Full text of "Die elliptischen funktionen und ihre anwendungen"

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DIE 

ELLIPTISCHEJSr FUNKTIONEN 

UND IHRE ANWENDUNGEN 

VON 
Dr. ROBERT PRICKE 

PROKES80K AN DEK TECHNISCHEN HOCHSCHULE 
IN BRAUNSCHWKIÖ 

ZWEITER TEIL 
DIE ALGEBRAISCHEN AUSFÜHRUNGEN 

MIT 40 IN DEN TEXT GEDRUCKTEN FIGUREN 



LEIPZIG UND BERLIN 
VERLAG UND DEUCK VON B. G. TEUBNER 

1922 



HATM-ST^T# 



SCHUTZPORMEL PUB, DIE VEREINIGTEN STAATEN VON AMERIKA: 
COPYRIGHT 1922 BY B. G. TEUBNBR IN LEIPZIG 



ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN 



QA 343 



MATH.- 

STAT. 

UBRARY 



DEM ANDENKEN 

RICHARD DEDEKIND'S 

GEWIDMET 






Vorwort. 

Der vorliegende zweite Teil meines Buches „Die elliptischen Funk- 
tionen und ihre Anwendungen" behandelt die algebraischen Ausführungen, 
er umfaßt also die Theoreme der Addition, Multiplikation und Division 
der elliptischen Funktionen, sowie die Transformationstheorie derselben. 
Das Interesse für diese Gegenstände ist während der langen Zeit der 
Entwicklung der Theorie der elliptischen Funktionen lebendig geblieben. 
Am 23. Dezember 1751 wurden Euler die Arbeiten Fagnano's zur Begut- 
achtung vorgelegt und regten ihn zur Entdeckung der Additionstheoreme 
an, so daß Jacobi den genannten Tag als den Geburtstag der elliptischen 
Funktionen bezeichnete. Die Entdeckungen Abel's und die Schöpfung 
der Theorie der Modulfunktionen durch Klein sind wichtigste Mark- 
steine der reichen Entwicklung, die noch bis in die jüngste Zeit hinein 
zu neuen Erkenntnissen führte. In letzterer Hinsicht scheint mir die 
Auffindung des „Klassenpolygons" nicht unwichtig. Es handelt sich hier- 
bei um ein beziehuugsreiches Gebilde, das die früh bemerkte Beziehung 
der elliptischen Funktionen zur Theorie der ganzzahligen binären qua 
drat Ischen Formen in klarster Weise darlegt und sich als ein wertvolles 
Mittel zur Behandlung der Transformationstheorie erwies. 

Es bleibt mir übrig, der verehrten Verlagsbuchhandlung für die tat- 
kräftige Förderung des Druckes meinen verbindlichen Dank auszu- 
sprechen und der HoJBPnung Ausdruck zu geben, daß auch der letzte Teil, 
der die arithmetischen, geometrischen und mechanischen Anwendungen 
behandeln soll, in nicht zu ferner Zeit folgen möchte. 

Bad Harzburg, den 15. September 1921. 

Robert Fricke. 



InhaltsYerzeichiiis, 

Einleitung. 
Ziisaiiimenstelliiug von Sätzen aus der Algebra und Zahlentheorie. 

L Endliche Gruppen. Seite 

§ 1. Begriff einer Gruppe endlicher Ordnung 1 

§ 2. Begriff der Untergruppe 4 

§ 3. Gleichberechtigte und ausgezeichnete Untergruppen . 6 

§ 4. Sätze über ausgezeichnete Untergruppen 8 

§ 5. Kompositionsreihe einer Gruppe (r„j 12 

§ 6. Sätze über Abelsche Gruppen 14 

§ 7. Permutationsgruppen 17 

§ 8. Transitivität und Primitivität der Permutationsgrupp'^n 20 

IL Algebraische Gleichungen. 

§ 1. Symmetrische Funktionen 23 

§ 2. Tschirnhausentransformation 26 

§ 3. Hilfssatz über ganze Funktionen 27 

§ 4. Funktionen in Zahlkörpern 28 

§ 5. Algebraische Zahlen in bezug auf einen Körper ^ 32 

§ 6. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Zahlen 34 

§ 7. Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Zahlen 38 

§ 8. Galoissche Körper und Galoissche Resolventen 41 

§ 9. Die Transformationen eines Galoisschen Körpers in sich 43 

§ 10. Die Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = 46 

§ 11. Untergruppen der Galoisschen Gruppe und zugehörige Zahlen .... 49 

§ 12. Die rationalen Resolventen einer Gleichung/ f{s) = 62 

§13. Auflösung einer algebraischen Gleichung f{z) = {) Ö4 

§ 14. Beispiel der Kreisteilungsgleichungen 56 

§ 15. Zyklische Gleichungen 58 

§ 16. Abelsche Gleichungen 61 

§ 17. Algebraisch lösbare Gleichungen 62 

III. Algebraische Funktionen. 

§ 1. Funktionen und Gleichungen in Funktionenkörpern 64 

§ 2. Algebraische Funktionen in bezug auf einen Körper .f ,. 67 

§ 3. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Funktionen 68 

§ 4. Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Funktionen 71 

§ 5. Galoissche Körper und Galoissche Resolventen 72 

§ 6. Galoissche Gruppe einer Gleichung f{z) --: 73 

§ 7. Auflösung einer algebraischen Gleichung f{z) =- 75 

§ 8. Monodromiegruppe einer Gleichung f{z):^0 76 

IV. Algebraische Zahlen. 

§ 1. Algebraische und ganze algebraische Zahlen 78 

§ 2. Ein algebraischer Hilfssatz SQ 



VI Inhaltsverzeichnis 

Seite 

§ 3. Folgerungen betreffs rationaler ganzer Zahlen ^ g2 

§ 4. Algebraische Zahlkörper gg 

§ 6. Die ganzen Zahlen des Körpers Ä §5 

§ 6. Teilbarkeit der Zahlen rj im Systeme c g7 

§ 7. Begriff und Darstellung eines Ideals g9 

§ 8, Multiplikation der Ideale 33 

§ 9. Faktorenzerlegung eines Ideals 95 

§ 10. Die Basen eines Ideals a 99 

§ 11. Norm eines Ideals 10^ 

§ 12. Äquivalenz der Ideale ■ 104 

§ 13. Die Idealklassen des Körpers ^. 105 

§ 14. Zerfällung der rationalen Primzahlen in Primideale 107 

§ 16. vSätze über Galoissche Zahlkörper HO 

§ 16. Beispiel der quadratischen Körper U2 

§ 17. Gegen ein Ideal a teilerfremde Zahlklassen 115 

§ 18. Satz über die zu einem gegebenen a teilerfremden Ideale 119 

V. Quadratische Körper und Formen negativer Diskriminante. 

§ 1. Zweige und Zweigideale im quadratischen Körper Ä 121 

§ 2. Zahlstrahlen im quadratischen Körper 126 

§ 3. Zerlegung der Idealklassen von ^ in Zweigklassen 129 

§ 4. Multiplikation und Äquivalenz der Zweigideale 131 

§ 5. Basen der Ideale und ebene Punktgitter I35 

§ 6. Notizen über quadratische Formen negativer Diskriminante 137 

§ 7. Beziehung zwischen den Zweigidealen o„ und den quadratischen Formen 141 

§ 8. Komposition der quadratischen Formen 148 

§ 9. Einteilung d'^r Formklassen in Geschlechter 161 

Erster Abschnitt. 
Die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptischen 

Funktionen. 

Erstes Kapitel. 
Die Additionssätze der elliptischen Funktionen. 

§ 1. Additionstheoreme der elliptischen Funktionen erster Stufe 157 

§ 2. Invariante algebraische Gestalten der Additionsformeln 161 

§ 3. Übergang zu den Additionsformeln der Jacobischen Funktionen . . . 164 

§ 4. Einführung einer Abelschen Gruppe G,^r,Q 166 

§ '). Die 256 dreigliedrigen Sigmarelationen 171 

§ 6. Die Additionstheoreme der Jacobischen Funktionen 175 

§ 7. Additionssätze für mehrgliedrige Argumentsummen 180 

Zweites Kapitel. 
Die Mnltiplikationssätze der elliptischen Funktionen. 

§ 1. Multiplikationssätze der Funktionen erster Stufe 184 

§ 2. Partielle Differentialgleichung der Funktionen i/)("> 190 

§ 3. Berechnung von pinu) durch ein Kettenbruchverfahren 192 

§ 4. Ansatz der Multiplikationsformeln für sn, cn und dn 196 

§ 5. Weitere Beziehungen zwischen den Funktionen G{z) . . 199 

§ 6. Differentialgleichungen zur Berechnung der Funktionen G{z) . , , , 206 



Inhaltsverzeichnis "VII 

Seite 

Drittes Kapitel. 
Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen. 

§ 1. Die allgemeine Teilungsgleichung der i<>-Funktion 210 

§ 2. Die Monodromiegruppe der allgemeinen Teilungsgleichung 214 

§ 3. Zyklische Untergruppen der G^^-^ und Kongruenzgruppen n^'^'' Stufe , . 218 

§ 4. Elliptische Funktionen w**"^ Stufe 225 

§ 5. Lösung der allgemeinen Teilungsgleichung 231 

§ 6. Divisionssätze der elliptischen Funktionen zweiter Stufe 234 

§ 7. Die Abelßchen Relationen 240 

Viertes Kapitel. 
Die Teilwerte der elliptischen Funktionen. 

§ 1. Die Teil werte p-^^^, p\ und die speziellen Teilungsgleichungen . . . 244 

§ 2. Kongruenzgruppen n**"" Stufe in der Modulgruppe T 249 

§ 3. Die Galoisschen Resolventen der speziellen Teilungsgleichungen . . . 265 

§4. Lösung der speziellen Teilungsgleichung 261 

§ 6. Die Teilwerte der Funktionen sn, cn und dn 265 

Zweiter Abschnitt. 
Die Transforiiiatioiistlieorie der elliptisclieii Punktionen, 

Erstes Kapitel. 

Die Transformation n*®" Grades und die allgemeinen 

Transformationsgleichungen. 

§ 1, Aufstellung des Transformationsproblems und Ansatz zur Lösung . . 270 

§ 2. Die Repräsentanten der Transformationen w*®*" Grades 274 

§ 3. Die allgemeine Transformationsgleichung der p-Funktion 278 

§ 4. Transformation n^*"» Grades der Sigmafunktion 284 

§ 5. Transformation zweiten Grades der Thetafunktionen 286 

§ 6. Transformation zweiten Grades der Funktionen sn, cn und dn. . . . 290 

§ 7. Transformation ungeraden Grades der Funktionen zweiter Stufe . . . 293 

Zweites Kapitel. 
Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n**'^ Stufe. 

§ 1. Teilwerte und Wurzeln der Diskriminante z/ 297 

§ 2. Einführung der ganzen elliptischen Funktionen dritter Art n^ ^ Ord- 
nung ^liyi I '^n t^s) ^^^ 

§ 3. Lineare Transformation der Funktionen X.^{u\(a^^ (a^ 308 

§ 4. Systeme von Modulformen für ungerade Stufen 314 

§ 6. Ein weiteres System für Modulformen für ungerade Stufen 316 

§ 6. Mehrgliedrige Bilinearverbindungen der jL^ und ihre lineare Trans- 
formation 320 

§ 7. Die Systeme der Funktionen Y^ und der Modulformen y^ 324 

§ 8. Die Systeme der Funktionen Z^ und der Modulformen ,r; 327 

Drittes Kapitel. 
Die speziellen Transformationsgleichuugen erster Stufe. 

§ 1. Die speziellen Transformationsgleichungen als Resolventen der spe- 
ziellen Teilungsgleichungen 335 



VIII Inhaltsverzeichnis 

Seite 

§ 2. Ansatz der speziellen Transformationsgleichungen. Geschichtliche Notizen 342 

§ 8. Das Transformationspolygon T„ und die Transformationsfläche F„ . . 349 

§ 4. Die erweiterte Gruppe r<"> und das Klassenpolygon K„ . 357 

§ 5. Algebraische Methode zur Aufstellung der speziellen Transformations- 
gleichungen 367 

Viertes Kapitel. 

Aufstellung der Transformationsglei«huBgeu erster Stufe für nieilere 

Grade n, 

§ 1. Die Transformationsgrade 2, 4, 8, 16 und 32 371 

§ 2. Die Transformationsgrade 3, 9 und 27 383 

§ 3. Die Transformationsgrade 5, 25, 7 und 49 389 

§ 4. Primzahlige Transformationsgrade der Gestalt w = 4i^ -f- 3 403 

§ 5. Primzahlige Transformationsgrade der Gestalt n = ^li-{-l 424 

§ 6. Zusammengesetzte ungerade Transformationsgrade 437 

§ 7. Zusammengesetzte gerade Transformationsgrade 446 

Fünftes Kapitel. 

Die Gruppen der speKicUen Transformationsgleiefaungeu und die 
drei Resolrenten der Grade 5, 7 und 11. 

§ 1. Die Galoisschen Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen . 459 
§ 2. Die Galoisschen imaginären Zahlen und die imaginäre Gestalt der 

G^i , , , 462 

§ 3. Zyklische Gruppen, metazyklische Gruppen und Diedergruppen in der 

G^i , „ ,, 465 

— n(«- — 1) 

§ 4. Ansatz zur Aufstellung aller Untergruppen der G, 471 

2«(«— 1) 

§ 5. Der Satz von Galois .' 475 

§ 6. Die Resolventen fünften und siebenten Grades 482 

§ 7. Die beiden Resolventea elften Grades 486 

Sechstes Kapitel. 

Die speziellen Transformationsgleiehungeu höherer Stufen. 

§ 1. Wiederholte Landensche Transformation. 492 

§ 2. Die Jacobi-Sohnkeschen Modulargleichungen 495 

§ 3. Die Schlaeflischen Modulargleichungen , 502 

§ 4. Die Jacobischen Multiplikatorgleichungen 508 

§ 5. Gruppentheoretische Grundlagen für die Resolventen fünften Grades 

zweiter Stufe 513 

§ 6. Aufstellung der Resolventen fünften Grades zweiter Stufe. ..... 515 

§ 7. Notizen über die Lösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades 

durch elliptische Funktionen 520 

§ 8. Notizen über irrationale Modulargleichungen 524 

§ 9. Notizen über Modularkorrespondenzen 527 

§ 10. System der Modulfunktionen sechster Stufe 533 

§ 11. Die Thetarelationen des dritten Transformatio^sgrades 538 



Einleitung, 

Zusammenstellung von Sätzen aus der Algebra 
und Zahlentheorie. 

Die Behandlung der Divisionssätze der elliptischen Funktionen und 
der Transformationstheorie dieser Funktionen setzt eine etwas tiefere 
Kenntnis der Algebra und Zahlentheorie voraus. In einer in fünf Teile 
zerlegten Einleitung werden zunächst die zur Verwendung kommenden 
Sätze aus den beiden genannten Gebieten entwickelt. 

I. Endliche Gruppen.') 

§ 1. Begriff einer Gruppe endlicher Ordnung. 

In I, 126 ff. ^) betrachteten wir ein System von m linearen Substitu- 
tionen einer komplexen Variablen 0, von dem wir aussagten, es bilde 
„eine Gruppe G^ endlicher Ordnung m". Dabei war m eine endliche An- 
zahl, die Substitutionen waren symbolisch durch ^o> ^1? • • •> '^m-i ^^ 
zeichnet, und es bedeutete insbesondere die erste unter ihnen, Sq, die 
„identische Substitution", die auch symbolisch durch 1 bezeichnet wurde. 

Ein erstes Kennzeichen des Begriffs einer Gruppe bestand darin, daß 
die aufeinanderfolgenden Anwendungen zweier Substitutionen S^ und 
Sf, der Gruppe (r^ eine gleichfalls in der G^ enthaltene Substitution lie- 
ferten. Genauer gesprochen: Wenn s == S^is) und /' = Sf,{0') zwei unserer 
Substitutionen sind, so soUte auch /'= /S^(5^(^)) eine der Gruppe ange- 
hörende Substitution sein. Die in dieser Art aus S^ und 5^ „zusammen- 
gesetzte" Substitution bezeichneten wir symbolisch als „Produkt^* ^ö'^a 
von S^ und Sg,. Die Reihenfolge, in der die Substitutionen auf die Variable 
auszuüben sind, entspricht der von rechts nach links im Produkte Sf, • S^ 
gelesenen Faktorenfolge. Das Produkt S^ • 5^ erwies sich im allgemeinen 



1) Von ausführlichen neueren Darstellungen sei genannt H. Weber, „Lehr- 
buch der Algebra", 2. Aufl. (Braunschweig 1898 u. 1899), Bd. 2, S. Iff. und Bd. 1, 
S. 513ff. Eine Zusammenstellung der Sätze findet man bei A. Loewy im Kap. III 
des „Pascalschen Repertoriums", 2. Aufl. (Leipzig 1910), erste Hälfte, S. 168 ff. 

2) Diese Angabe bedeutet „Seite 126 ff. in Band I des vorliegenden Werkes"- 

Fricke, Die elliptischen Funktionen II 1 



2 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 

als von Sf, • S^ verschieden, d. h. für unsere symbolischen Produkte gilt 
das „kommutative Grundgesetz" der gewöhnlichen Multiplikation nicht. 
Dagegen gilt für dreigliedrige symbolische Produkte unserer Substitutio- 
nen das „assoziative Gesetz", wie in I, 127 näher ausgeführt ist. 

Die nähere Beschaffenheit der einzelnen Gruppen gründet sich auf 
das Gesetz, nach dem sich die Zusammensetzung irgend zweier Substitu- 
tionen der Gruppe G^ zu einer dritten gleichfalls in G^ enthaltenen Sub- 
stitution vollzieht. Dieses Gesetz ist für unsere Substitutionen S durch 
die Gleichung (2) in I, 127 zum Ausdruck gebracht. 

Es tritt uns nun die Idee einer ganz entsprechenden Gruppenbildung 
nicht nur bei linearen Substitutionen, sondern weiterhin bei vielen ver- 
schiedenen Gelegenheiten entgegen. Wir wollen daher hier gleich bei 
Aufstellung der allgemeinen Sätze über endliche Gruppen die Begriffe 
von der besonderen Einkleidung befreien, welche bei den Gruppen linearer 
Substitutionen vorliegen. 

Es sei demnach jetzt irgendein System von m gleichartigen Ope- 
rationen oder m gleichartigen analytischen Ausdrücken oder m sonstwie 
gleichartig erklärten mathematischen Gebilden vorgelegt, die wir sogleich 
wieder durch Sq, S^, S^j - • -j Sj^_^ bezeichnen wollen und die m „Ele- 
mente" nennen, um einen von der besonderen Einkleidung unabhängigen 
Namen für dieselben zu besitzen. Es soll ferner ein Gesetz der Zusam- 
mensetzung irgend zweier Elemente S^^ S^ zu einem symbolisch als Pro- 
dukt zu schreibenden, eindeutig bestimmten Ergebnis S^^- S^ bekannt 
sein. Wir stellen dann unter der Voraussetzung, daß tn eine endliche 
Anzahl ist, folgende Erklärung auf: Die m Elemente Sq, S^ . . ., Sj^_-^ 
bilden eine „Gruppe'^ G^ der endlichen ^yOrdnung'^ m, wenn folgende drei 
Bedingungen zutreffen: 

1. Das Ergebnis der Zusammensetzung S^^- S^ irgend zweier Elemente 
S^y Sf, ist stets wieder eines der Elemente S. 

2. Für die nach 1. herstellbaren dreigliedrigen symbolischen Produkte 
gilt das assoziative Gesetz: 

(1) S,.(S,-SJ = (S, •«,):«.. 

3. Ist S(^=^ S^j d. h. sind S(, und S^ irgend zwei verschiedene Elemente^ 
und ist S^ irgendein Element^ so soll auch S(,-S^=^S^' S^ und S^'S(,=^S^' S^ 
gelten. 

Ist S^ irgendeines der m Elemente, so sind die m Elemente Sq-S^, 
S^-S^f S2-S^y . . ., Sj^^_^-S^ alle voneinander verschieden, und da sie alle in 
Gj^ enthalten sind, so stellen sie alle m Elemente der Gruppe in irgend- 
einer Reihenfolge dar. Dasselbe gilt von den m Produkten S^-Sqj S^-S^y 
S^-S^, . . ., >S^-/S,„_i. Wir folgern hieraus, daß, wenn S^ und S^ will- 
kürlich gewählt sind, stets ein und nur ein Element Sf, in G^^ enthalten 



Begriff einer endlichen Gruppe 3 

ist, das die Gleichung Sf^- S^ = S^ befriedigt; ebenso gibt es in G^^^ ein 
und nur ein Element S^^ das die Gleichung erfüllt S^- 8^ = Sj. 

Insbesondere gibt es für ein vorgelegtes S^ ein und nur ein etwa durch 
5'(„^ zu bezeichnendes Element, das die Gleichung /S^, ^ • S^ = S^ befriedigt 
und gleichfalls ein und nur ein Element S[^.^, für das S^ ■ S^^^ = S^ gilt. 
Aus diesen beiden Gleichungen ergeben sich für irgendwelche /S^, S^ die 
folgenden : 

Da nun durch geeignete Auswahl von S^ und Sf, die Elemente S^ • S^ 
und S(^ • S^ mit einem beliebigen Elemente S^ von G^^ gleich werden, so 
gilt für jedes S-. g^^^ . g^ ^ ^^_ g^ . ^, ^ ^ g^^ 

woraus wir die Folgerungen S^^^ = 5^^;^, S'^^ == S'^^^ ziehen. Die Elemente 
^(0)7 ^{1)7 ^(2)7 • • V ^(m-1) s^^^ ^^s^ einander gleich, ebenso die Elemente 
^io)f ^(Df ^(2)7 ' • 1 ^(rn-v -'^^ S^^^ ^^^^ ^^^ ^^^^ "^^ ^^^ Element S in 
^mf welches für alle S^.^ die Gleichung S ■ S^=^ S^ befriedigt, und eben- 
so ein und nur ein S\ das S^- S' = S^ erfüllt. Setzt man in die beiden 
letzten Gleichungen S^^ S ein, so folgt S • S = S und S - S' = S, so 
daß aus S - S = S - S' nach dem Grundsatze 3. endlich S' == S erkannt 
wird. Das eine so gefundene Element S spielt in den symbolischen Pro- 
dukten die Rolle der Einheit'^ es wird demnach das „Einheitselemenf^ ge- 
nannt und auch symbolisch durch 1 bezeichnet. Wir wojlen es hinfort an 
die erste Stelle setzen und also ^o ^ ^ nehmen: In der Gruppe G^ gibt 
es ein und nur ein „Einheitselemenf' Sq =- 1, das die Eigenschaft hesitd, 
mit irgendeinem S^ die Ergebnisse Sq- S^= S^ und S^- Sq= S^ su liefern. 
Weiter gibt es für irgendein Element S^ aus G^^ zwei symbolisch 
durch S['^-^ und 8['^-^ zu bezeichnende Elemente, die die Gleichungen: 

(^) ^(a) • ^a = '^O = 1; ^a ' Ka) = >^0 = ^ 

befriedigen. Aus 1 = 8['^^ • 8^ folgt unter Anwendung des assoziativen 
Gesetzes mit Rücksicht auf die zweite Gleichung (2): 

SO daß die beiden Elemente 8^'^^ und 8''^-^ einander gleich sind. Wir füh- 
ren für sie auch das Symbol 8'"^ ein und nennen dies Element S~^ das 
zu 8^ „inverse^^ Element : Zu jedem Elemente 8^ gibt es in G^ ein eindeu- 
tig bestimmtes ^,inverses" Element 8~^^ das mit 8^ zusammengesetzt, die 
Gleichungen 8'^ • 8^== 1 und 8^-8'^=^ 1 befriedigt-, zu 8~^ ist umgekehrt 
8^ invers. 

Das kommutative Gesetz für die symbolischen Produkte gehörte 
nicht zu den Grundgesetzen, durch die wir den Begriff einer endlichen 
Gruppe erklärten. Es braucht demnach keineswegs immer 8f^ • 8^ gleich 
8^ ' 8^ zu sein. Besteht indessen für zwei besondere Elemente >9^ un d 5 



4 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen. 

die Gleichung S^- 8^,= Sf,- S^y so heißen diese Elemente „verfauschhar^^ 
oder jjkommutativ". Bestellt für je zwei Elemente S^ und S(, von G^ die 
Regel S^' Si,== Sf,' S^j so wird G^ eine jjJcommutative^' oder ,^Ähelsche 
Gruppe^' genannt. 

§ 2. Begriif der Untergruppe. 

Eine Gruppe G^y deren sämtliche Elemente in G^ enthalten sind, 
heißt eine ^^Untergruppe" von (r^. Das Einheitselement 8^=' 1 bildet für 
sich eine Untergruppe G^y und die Gesamtgruppe G^ ist der Erklärung 
entsprechend auch zu ihren Untergruppen zu rechnen. 

Wir bezeichnen die Elemente einer Untergruppe G^ durch die Sym- 
bole To= /Sfo= 1, Ti, Tg, . . ., T^_i. Bedeutet U irgendein Element von 
G^y SO bezeichnen wir das System der ^ verschiedenen Elemente: 

(1) T,-Ü^Uy T,-Üy T,^U,..,T^_,U 

symbolisch durch G^^- ü und nennen es eine „Nebengruppe^'- von G^. Die 
Nebengruppe G • U bleibt, abgesehen von der Anordnung ihrer Elemente, 
unverändert, wenn wir U durch irgendein Element U'= T^- U von 
G ' ü ersetzen. Dies folgt aus der Tatsache, daß die Produkte Tq- T„, 
Tj- T„, T^T^y ...y T^_^' T^ wieder die G^ bilden. Zwei Nebengruppen 
G^' Ui und G^- Ü2 sind entweder gleich, G^- 11^ = G^- U^, d. h. sie 
bestehen abgesehen von der Anordnung aus den gleichen Elementen, 
oder sie haben kein Element gemein. Haben sie nämlich ein gemein- 
sames Element T^-TJ^^^T^- L\, so ist ^2= (^^TJ • U,,, also ist ü^ in 
G^^ ■ Ui enthalten, so daß G - U^= G • C/j folgt. Zu den Nebengruppen 
gehört auch G selbst; denn wir erhalten die G im Systeme (1) wieder, 
sooft U ein Element von G,^ ist. Alle von G,^ verschiedenen Neben- 
gruppen sind keine Gruppen, da keine von ihnen das Einheitselement 
enthält. 

Haben wir s verschiedene Nebengruppen G^, G^^- TJ^^ G^- TJ^y . . ., 
G ' U^_i bereits gebildet, so sind in den s^ verschiedenen Elementen 
derselben entweder bereits alle m Elemente von G^ erschöpft, oder es 
gibt noch ein weiteres Element ü^ in G^ und damit zugleich a weitere 
Elemente, die eine neue Nebengruppe G^ • C/, bilden. Da m endlich ist, 
so wird bei Fortsetzung dieses Prozesses die G„^ durch t Nebengruppen 
erschöpft, wo die Anzahl t aus der Gleichung ^ • ft = m zu berechnen ist: 
Die Ordnung [i der Untergruppe G^ erweist sich als ein Teiler von m; der 

Quotient t = — heißt der yylndex" der Untergruppe G^,. Es gilt der Satz: 

Die Gesamtgruppe G^ läßt sich der Untergruppe G entsprechend in t 
Nebengruppen zerlegen: 

(2) G„= G^+G^-U,^G,.-U,+ ---+G^. U,_„ 



Untergruppen und Nebengruppen 5* 

tvo 1, Uij C/g; . . ., üi_i geeignet geivälüte Elemente von G^ sind. Durch 
die Pluszeichen in (2) soll zum Ausdruck kommen, daß wir 6r^ durch 
Zusammenfügung der Elemente aller t Nebengruppen erhalten. Aus den 
vorausgehenden Betrachtungen folgt noch: Die t Nebengruppen der G 
sind, abgesehen von ihrer Anordnung, eindeutig lestimmt, d. h. unabhängig 
von der besonderen ÄiisivaJil der ü. 

Man kann die Bildung der Nebengruppen auch in der Art voll- 
ziehen, daß man an Stelle von (1): 

(3) r-T,= V, VT,, V-T„...,V-T^_, 

als eine Nebengruppe F- G^^ erklärt, unter V irgendein Element aus G^ 
verstanden. Alle weiteren Schlüsse gestalten sich dann wie oben, und wir 
gelangen zu einer Zerlegung: 

(4) (?„= (?^+ F,. (?^+ F,. (?,.+ • ■ • + F,_,. ö, 

von (t^. Eine spezielle Zerlegung dieser Art können wir aus (2) in der 
folgenden Gestalt ableiten: 

(5) (?„= G, + D-^^ ■ G^ f f7j' ■(?,.+ ••• + Ujl, ■ (?,, 

Da nämlich G^^ mit dem einzelnen Elemente T^ stets auch das inverse 
T~^ enthält und zu T^- £L offenbar U^- - Tä^ invers ist, so besteht 
TJ^^ ' G^^ aus aUen zu den Elementen von G^^ • Uo inversen Elementen 
und mag demnach die zu G • U^ inverse Nebengruppe heißen. Nun geht 
jede Gruppe in sich selbst über, wenn man jedes ihrer Elemente durch 
sein inverses ersetzt. Es ist demnach auf der rechten Seite von (5) jedes 
Element von G^^ vertreten und jedes nur einmal, so daß wir durch die 
in (5) rechts stehende Summe tatsächlich die ganze G^ erschöpfen. Wir 
folgern noch den Satz: Irgend zwei Zerlegungen (2) und (4) stehen in 
der Beziehung, daß bei der einen Zerlegung, abgesehen von der Anordnung, 
die inversen Nebengruppen der anderen Zerlegung als Summenglieder auf- 
treten. 

Zu einer einfachsten Art von Untergruppen führt folgendeÜberlegung: 
Mittelst eines beliebigen Elementes S von (r^ bilden wir die Reihe der 
gleichfalls in G„^ enthaltenen Elemente: 

(6) S, S-S = S\ S'S-S = S', ..., 

die wir abgekürzt als Potenzen von S schreiben. In dieser zunächst nicht 
abbrechenden Reihe können höchstens m verschiedene Elemente auftre- 
ten, so daß unter den Potenzen (6) notwendig solche auftreten, die gleich 
sind, d. h. die das gleiche Element von 6r^ darstellen. Es mag z. B. 
Sn^ Sn + '' sein, wo V > ist, während die 5« + \ 5'* + V • •; >^'*"^'"^ iioch 
alle von /S'* verschieden sein sollen. Dann gilt: 

S^'S'==S% S"-S''+S% 0<v<v, 



6 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 

woraus hervorgeht, daß S'' die niederste unter den Potenzen (6) ist, die 
das Einheitselement darstellt, S^= Sq= 1. Es ergibt sich weiter, daß 
keine zwei unter den Potenzen: 

(7) S,S^S',..,S'-\S'=S,= l 

einander gleich sind (da man sonst durch Wiederholung der Überlegung 
eine Gleichung 8""= 1 mit < v'< v fände), sowie daß S und ^S""^ zu ein- 
ander invers sind, desgleichen S^ und /S*""^, S^ und S^~^ usw. Verstehen 
wir unter S^ das Einheitselement und bezeichnen allgemein das zu S*^ 
inverse Element durch S~^, so sind in der unendlichen Reihe: 

(8) . . ., 5-', 5-2, S-\ S'= 1, 5, S', S^ . . . 

zwei Elemente stets und nur dann einander gleich, wenn ihre Exponenten 
mod V kongruent sind. Die Reihe (8) enthält demnach nur v verschiedene 
Elemente, als welche wir die Elemente (7) wählen können; bei Fortset- 
zung der Reihe (8) nach rechts und links hin tritt beständig periodische 
Wiederholung derselben Elemente in der gleichen Anordnung ein. Man 
sagt, S habe die „Periode v" oder sei „von der Periode v^'. Die v Ele- 
mente (7), d. h. die verschiedenen Potenzen von S, bilden für sich eine 
Untergruppe G^^ die eine „zyldische^^ Gruppe genannt wird; S heißt das 
„erzeugetide Elemenif^ dieser (r^, insofern die gesamten Elemente der G^ 
durch wiederholte Zusammensetzung von S mit sich selbst erzeugt wer- 
den können. 

§ 3. Gleichberechtigte und ausgezeichnete Untergruppen. 

SindTund J7 beliebige Elemente aus G^, so ist auch T = TJ-T- ü"^ 
in Gj^ enthalten. Man sagt, das Element T' = ü - T - ü~^ entstehe aus 
T durch f^Transformation^^ mit U oder T gehe in T' durch Transformation 
mit U über. Da umgekehrt T = V'^ - T - U ist, so geht T in T durch 
Transformation mit dem zu U inversen Elemente U~^ über. Das Ein- 
heitselement geht bei jeder Transformation nur in sich selbst über. Sind 
T^ und 1\ verschieden, so sind auch: 
(1) T:^U-T,-U-\ Tl=ü-T,.U-' 

verschieden. Sind jT^ und jT^ irgend zwei Elemente, die durch Transfor- 
mation mit TJ in T'^ und Tl übergehen, so wird T^ • T^ durch ü in 
T^ • T^ transformiert. Es gilt nämlich zufolge des Assoziationsgesetzes: 

Bilden die jTq^ 1, T^, Tg, . . ., T^_^ eine Untergruppe G^^ von G^, 
so bezeichnen wir mit Z7 • G^^ • U~^ das System der ^ durch ü transfor- 
mierten Elemente Ta== U- T^- U~^. Diese ^ Elemente T« sind alle von- 
einander verschieden, und man erkennt aus den eben ausgesprochenen 
Sätzen leicht, daß das System U • G„ • ü~ ^ alle Kennseichen einer Gruppe 



Zyklische Untergruppen. Gleichberechtigte Untergruppen 7 

G'^= TJ ' G^' TJ~^ der Ordnung u hat. Wir sagen, diese Gruppe G^^ gelie 
aus G^ durch Transformation mit U hervor; umgekehrt ist natürlich 
wieder G/u= TJ~^ - G\r U. Zwei Untergruppen dieser Art G^ij G'^, die 
durch Elemente von G^ ineinander transformierbar sind, heißen j,inner- 
halb der Gruppe G^ gleichherechtigif^ oder kurz „gleichherech��gt^^ . 

Die Elemente der beiden Gruppen 6r^ und G'^ sind umkehrbar ein- 
deutig aufeinander bezogen, indem allgemein dem Elemente T^ von G^ 
das Element T« = ü - T^- U~^ von G'^ zugewiesen ist. Diese Bezie- 
hung ist eine solche, daß, wenn T^- T^= T^ ist, zufolge (2) stets auch 
für die zugeordneten Elemente K, T^ und Ty die Gleichung T^ • T^ = Ty 
gilt. Die Regel, nach der sich je zwei Elemente von G^^ wieder zu einem 
Elemente dieser Gruppe zusammensetzen, liefert also beim Übergang zur 
G\i gerade genau die Regel für die gleichberechtigte Gruppe. Zwei 
Gruppen gleicher Ordnung, deren Elemente in der hiermit dargelegten 
Art umkehrbar eindeutig einander zugeordnet sind, heißen allgemein 
„isomorph*^. Da die wesentlichen Eigenschaften einer Gruppe aus dem 
Gesetze hervorgehen, nach dem sich je zwei Elemente zu einem dritten 
zusammensetzen, so stimmen zwei isomorphe Gruppen in ihren wesent- 
lichen Eigenschaften überein. Wir notieren den Satz: Zwei innerhalb 
der G^ gleichberechtigte Untergruppen sind isomorph. 

Sind die Elemente T^ = U- T^' ü~^ der mit G^^ gleichberechtigten 
G'/^y abgesehen von der Reihenfolge, den T^ gleich, so ist G[u wieder die 
Gruppe G . Wir bringen dies durch die Gleichungen: 
(3) V-G^-U-'^G^, U-G^=G^.U 

zum Ausdruck und sagen, die Gruppe G sei mit dem Elemente U „ver- 
tauschbar". Offenbar ist G mit jedem ihrer eigenen Elemente vertausch- 
bar. Allgemein besteht der Satz: Alle in G^^ enthaltenen Elemente Uy mit 
denen G vertauschbar ist, bilden eine Gruppe G-^,^^ in der G^ als Unter- 
gruppe enthalten ist. Aus: 

folgt nämlich auf Grund des assoziativen Gesetzes, das man leicht auf 
die hier vorliegenden symbolischen Produkte überträgt: 

iU.-ü,) ■ (?„■ {U,-U,y'^ U,-(U,-G^- U-,') ■ LY^ U,-G^-Ui'^G^. 

Die Ordnung der Gruppe aller Elemente CT, mit denen G^ vertauschbar 
ist, muß aber ein Vielfaches ftr von ^ sein, da G^^ in jener Gruppe als 
Untergruppe enthalten ist. 

Der Index dieser Gruppe G^ als Untergruppe der G^ ist — Die 
Gj^^ liefere als Zerlegung von (r^ in Nebengruppen: 



X 



8 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 

Alle Elemente der einzelnen Nebengruppe V^- G liefern dann, zur 
Transformation von G^ verwendet, ein und dieselbe transformierte Gruppe 
G^^^ = V^' G^- V~^. Zwei verschiedene Nebengruppen liefern indessen 
verschiedene transformierte Gruppen. Wäre nämlich: 

SO wäre G^ mit V'^- V^ vertauschbar, und also würde F~^- F^ ein Ele- 
ment TJ von G^ sein, woraus die nicht zutreffende Gleichung V^^V^-Ü 
folgen würde. Es ergibt sich also der Satz: Die Untergruppe G ist durch 

die gesamten Elemente von G^ im ganzen in — verschiedene gleichberech- 
tigte und also isomorphe Untergruppen transforinierhar. Wir nennen sie 
ein jßystem von — gleichberechtigten Untergruppen'^. 

Ist insbesondere t = t, d. h. ist G^ "mit allen Elementen von G^ 
vertauschbar, so ist G nur mit sich selbst gleichberechtigt und heißt 
dann eine „ausgezeichnete Untergruppe" von G,^.^. Die nur aus Sq= 1 be- 
stehende Untergruppe G^ ist eine ausgezeichnete, desgleichen die aus 
allen Elementen bestehende G^. Gibt es außer diesen beiden keine wei- 
teren ausgezeichneten Untergruppen in G^y so heißt die Gruppe G^ 
y^einfach''-^ andernfalls nennt man sie y,zusammengesetztf^ . 

Sind G;^, G y G^y ... irgendwelche Untergruppen von (r^, so nennt 
man das System aller Elemente, deren einzelnes in jeder dieser Gruppen 
enthalten ist, den yyDurchschnitt'' der Gruppen G^y G^, 6r^, ... und be- 
zeichnet denselben durch D{G^y G^y G^y . . .). Dieser Durchschnitt 
D{G^y G y G^, . . .) bildet tvieder eine Gruppe^ die als Untergruppe in jeder 
der Gruppen Gj^y G^^y G^y . . . enthalten ist. Gehören nämlich die Ele- 
mente 8^ und 5^ dem Durchschnitt D an, so sind sie in jeder Gruppe 
Gj^y G y G^y . . . enthalten; also ist auch Sf,- S^ in jeder Gruppe und da- 
mit im Durchschnitt enthalten. Gehen die Gruppen G;^, G^, G^y . . . 
durch Transformation mit irgendeinem Elemente U von G„^ in G\ , G' , 
G' y . . . über, so geht der Durchschnitt D{Gjy G^^, G^y . . .) bei Trans- 
formation mit U in denjenigen der Gruppen 6r^_, 6r^, (r'^, . . . über. Ein 
System gleichberechtigter Untergruppen 6r^^, G'^y G'^^y . . . geht bei einer 
solchen Transformation, abgesehen von der Anordnung der Gruppen, 
stets in sich selbst über. Hieraus folgt: Der Durchschnitt D {G ^^y G'^y G"^y...) 
eines Systems gleichberechtigter Untergruppen ist eine ausgezeichnete Unter- 
gruppe von G^. 

§ 4:. Sätze über ausgezeichnete Untergruppen. 

Ist die Untergruppe G^ des Index t und der Elemente Tq= 1, T^, 
T^y . . ., T^_^ ausgezeichnet, so gilt für jedes Element U^ von G^^ die 
Gleichung G-U^=U^' G,y so daß die beiden Arten (2) und (4) S. 4ff. 



Ausgezeichnete Untergruppen 9 

der Zerlegung von G^ in Nebengruppen im Falle einer ausgezeiclineten 
G nicht verschieden sind. Nach S. 5 haben wir also jetzt nur ein System 
von Nebengruppen, dem mit der einzelnen Nebengruppe immer auch die 
ihr „inverse*' Nebengruppe angehört. 

Wir nehmen nun an, daß das Element TJ^ • U^ in der zu ü^ gehörenden 
Nebengruppe enthalten und also in der Gestalt Z7^ • ü^ = T- ü^ darstellbar 
ist, wo T eines der Elemente von G ist. Dann werden sich irgend zwei 
Elemente T^- U^ und T^- ü"^ der beiden Nebengruppen (r^- U^ und 
G ' TJf^ stets wieder zu einem Elemente der zu ü^ gehörenden Neben- 
gruppe zusammensetzen, wie mit Rücksicht auf üf^- T^= T^- ZJ^ aus 

(1) (T^- U,) ■ (r„. ÜJ = {T^- T;) . {U,- P.) = (T^- T^-T)- u, 
folgt. Wir bringen diese Tatsache durch die Gleichung zum Ausdruck: 

(2) (G,-D,)-(©,-C/-J=G^-I7,, 

in die wir die den verschiedenen Kombinationen T^^, 1\ entsprechenden 
Gleichungen (1) zusammengefaßt denken. 

Die Gleichung (2) veranlaßt uns, die t zu einer ausgezeichneten Unter- 
gruppe des Index t gehörenden Nebengruppen G^^J G^^-U^, .. ., G^- Ui_^ 
selbst wieder als „Elemente" aufzufassen, was nach dem allgemeinen Be- 
griffe eines Elementes (S. 2) statthaft ist. Als solche neuen Elemente 
bezeichnen wir die Nebengruppen kurz durch TJq= G , TJ^ = G - JJ^^ 
U^ = G ' TJ^j ' ' ; ü'i_i= G^' Ut_^. Dann ist leicht zu zeigen, daß die 
U^ selbst wieder eine „Gruppe" der Ordnung t bilden, die wir durch G^ 
bezeichnen. Irgend zwei Elemente U^^ und ?7^ geben nämlich zufolge (2) 
bei Zusammensetzung das Element ZJ^ • U^ == ü^, das wieder zu den t Ele- 
menten U gehört. Da ein symbolisches Produkt U^, • Z7^, wie bemerkt, 
die Bedeutung einer zusammenfassenden Bezeichnung für eine Anzahl 
symbolischer Produkte von Elementen der G^ hat, so überträgt sich das 
assoziative Gesetz auf die neuen Produkte. Sind endlich Uf^ und U^ 
irgend zwei verschiedene Elemente, ist also ^7^4= Ü^, so ist auch 
Z7^=|= Z7g, und dann gehören auch U^' Uf, und U^- U^ nicht der 
gleichen Nebengruppe an, da aus U^- Ui,= T - ü^, ü^- C/^ = T' • ZJ^ so- 
fort auf zwei Gleichungen: 

geschlossen würde, aus denen hervorginge, daß ZJ^, und U^ entgegen der 
Annahme in der gleichen Nebengruppe enthalten wären. Aus Uf,=\= U^ 
folgt also U^' U(,=^Ü^' TJ^y und ebenso beweist man, daß auch Uf, • U^ 
=^U^'U^ zutrifft. Damit ist der Satz gewonnen: Die eindeutig 'bestimmten 
Nehengruppeti Uq=1, ZJj, ZJg, . . ., Z7^_i einer ausgezeichneten Untergruppe 
(?„ des Index t hilden, aufs neue als Elemente aufgefaßt^ eine Gruppe G^ 



10 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 

der Ordnung t = ~j die man die „Quotlenfengruppe^^ von G^ und G 
nennt und durch GJG^^ hezeichnet 

Die Gruppen G^^ und G^ sind l-/i-deutig aufeinander bezogen, indem 
dem einzelnen Elemente S=-T'U^ von G^ das Element U^ von G^ ent- 
spricht, dem einzelnen Elemente U^ von G^ aber die ^ Elemente C/^, T^ • ü^ 
T^'U^, , . .y T^_^'TJ^ zugeordnet sind. Dabei entspricht, indem den Ele- 
menten T^ ' JJ^ und T^ • üf, von G^ die Elemente U^ und Uf, von G^ zu- 
gebören, zufolge (1) dem aus T„- U^ und T^- üf, zusammengesetzten 
Elemente (T^ • U^) • (T^ • CT'J stets auch wieder das aus U^ und Uf, zu- 
sammengesetzte Element U(,U^=Ü^. Die Beziehung zwischen (r„, und 
6r^ ist also eine Verallgemeinerung des oben (S. 7) zwischen Gruppen 
gleicher Ordnung erklärten „Isomorphismus" (der hier für a = 1 vor- 
liegen würde); wir nennen die Gruppen G^^ und G^ einander „l-^-deufig 
homomorph^'. 

Es mögen nun die Elemente Wq= 1^ W^, TTg, . . ., W-^_^ von G^ 
eine Untergruppe G^^ bilden. Diesen Elementen W mögen im ganzen s 
verschiedene Elemente Fo= 1, F^, . . ., F,_i von G^ entsprechen. Sind 
den beiden Elementen F„ und F^ (vielleicht außer anderen) die Elemente 
W^ und TFfc der G^ zugeordnet, so entspricht dem Elemente Wf, • W^ 
eindeutig das Element F.« F„. Da nun TF^- W^ in G^ enthalten ist, so 
findet sich F^- F^ unter den Elementen F^, F^, . . ., F^_i: Jec?er Unter- 
gruppe G-^ von G^ entspricht eindeutig eine Untergruppe (r, von G^. Um 
zu prüfen, ob im Falle einer ausgezeichneten Untergruppe G^ vielleicht 
auch G, ausgezeichnet ist, bilden wir mit irgendeinem Elemente U von 
Gf das Element tl -V^- U~^. Ist S ein U entsprechendes Element, so 
ist S ' W^ ' S~ ^ ein dem Elemente U •¥„' U~ ^ zugeordnetes Element. 
Nun findet sich S- W^- S~^ in der ausgezeichneten G^j und also ist 
U 'V^' U~^ in Gg enthalten: Einer ausgezeichneten Untergruppe G^ von 
G^ entspricht wieder eine ausgezeichnete Untergruppe G^ von Gf. 

AUe in G^^ und G gemeinsam enthaltenen Elemente bilden den 
Durchschnitt D{G-^, G^^) der beliebigen Untergruppe (r^ und unserer 
ausgezeichneten G . Ist Gj^ auch an der Nebengruppe (r^ • U^ beteiligt, 
so sei F^ ein in (r^ und G - C/"^ zugleich enthaltenes Element. Wir 
können die Nebengruppe dann auch in der Gestalt G^^ • F^ schreiben, da 
nach S. 4 zur Bildung der einzelnen Nebengruppe das Element U^ durch 
irgendein in der Nebengruppe enthaltenes Element ersetzt werden kann. 
Mit B{Gj^, G^) und F^ enthält G^^ sogleich alle durch das symbolische 
Produkt D{Gj^, G ) • F^ zu bezeichnenden Elemente, die aus denen von 
D{Gxi G-^ und F^ zusammengesetzt sind. Hiermit sind aber auch die in 
Gx und G • F^ zugleich enthaltenen Elemente erschöpft. Soll nämlich 
neben F^ auch T- F^ in G^ enthalten sein, so ist auch (T- FJ- F;^ = r 



Sätze über ausgezeichnete Untergruppen 11 

in Gj und also im Durchschnitt D{G^^ 6r^J enthalten, so daß sich T- V^ 
in der Tat in D^G^y G^) • V^ findet. Nun ist aber (r^ im ganzen an s 
Nebengruppen von G beteiligt. Bezeichnen wir diese Nebengruppen 
durch G^j G^-V^^ . . ., G^'V,_i^), so ergibt sich der Satz: Die Ordnung 
s der einer leliebigen Untergruppe G^^ entsprechenden Untergruppe G, von 
Gf ist gleich dem Index , den die Gruppe I>{Gj^, G^) als Untergruppe der 
Gl besitzt, da sich die Gy^ ihrer Untergruppe D{G;^y G^) entsprechend in 
die s Nebengruppen: 

(3) G, = B{G„ &;> + B{G„ G;) V, + BiG„ GJ F, + • • • 

■■■ + D{G„G^)r,_, 

spaltet; die G, selbst besteht aus deti Elementen 1, F^, Fg, . . ., F,_i. 

Umgekehrt können der einzelnen Untergruppe G, von Gf, bestehend 
aus den Elementen 1, Fj, F2, . . ., F,_i, mehrere Untergruppen Gj^ von 
G zugeordnet sein. Unter ihnen findet sich eine eindeutig bestimmte, 
die aUe übrigen in sich enthält, und die wir deshalb als die „größte" der 
G^ entsprechende Untergruppe von G^ bezeichnen. Sie hat die Ordnung 
fiSy enthält G in sich und ist durch die Zerlegung in Nebengruppen 
charakterisiert: 

(4) G^.^ ^,+ G^r V,-\-G^r F, +^. . G^-y\_,, 

wo Fl, F2, . . ., F,_i irgend {s — 1) den F^, Fg, . . ., F,_i entsprechende 
Elemente sind. Daß alle von den Nebengruppen in (4) rechts gelieferten 
Elemente wieder eine Gruppe bilden, folgt mit Rücksicht auf die Grup- 
peneigenschaft von G, leicht aus einer dem Ansätze (1) entsprechenden 
Gleichung. Ist (r, ausgezeichnet, so erweist sich auch G^^ als eine aus- 
gezeichnete Untergruppe. Ist nämlich T^- F^ irgendein Element aus G 
und S ein beliebiges Element von (r,^, so ist: 

In der ersten Klammer rechts steht, da G ausgezeichnet ist, ein T^ aus 
G^. Entspricht dem S das Element U von (r^, so entspricht dem Pro- 
dukte S' V^' S~^ das Element U V ^•U~^=Vf,, das sich in der aus- 
gezeichneten ff, findet. Diesem entsprechen aber die in G^ • F^ zusammen- 
gefaßten Elemente, unter denen sich demnach S'V^-S~'^ findet. Es 
gilt also: 

S. F,. «-•= T^-V„ S-iT^. F„) . Ä-= (T^. T^) ■ F„ 

und das in der zweiten Gleichung rechts stehende Element findet sich in 
G : Einer beliebigen Untergruppe G^ von G^ entspricht als y^größte^^ 



1) Es ist natürlich keineswegs gemeint, daß dies gerade die an erster Stelle 
Tinserer ursprünglichen Anordnung (2) S. 4 stehenden Nebengruppen (r , O U^^ 
. . ., G■^^•Ug_^ sein sollen. 



12 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 

Untergruppe von G^ die durch (4) gegebene G^^ der Ordnung iis, die eine 
ausgezeichnete Untergruppe der G^^ istj falls G^ eine solche von G^ ist. 

§ 5. Kompositionsreihe einer Gruppe G^^. 

Eine ausgezeichnete Untergruppe G^ einer Ordnung ^ <im heißt 
eine ^.größte ausgezeichnete Untergruppe^'' von G]^, wenn außer G„^ und G^ 
keine ausgezeiclinete Untergruppe existiert, die G^ enthält und in G^^ 
enthalten ist. Es besteht der Satz: G^^ ist stets und nur dann eine größte 
ausgezeichnete Untergruppe von G^, ivenn die Quotientengruppe GJG == G^ 
einfach ist. Einer ausgezeichneten Untergruppe G^^^ mit 1 < 5 < ^, die 
G^ enthält, gehört nämlich eine ausgezeiclinete Untergruppe S-, von G^ 
zu, wie umgekehrt jeder ausgezeichneten 6r, mit 1 < s < ^, die in G^ ent- 
halten ist, als „größte" zugehörige Untergruppe von G^^ eine G enthal- 
tende ausgezeichnete G entspricht. 

Es sei weiterhin (x eine größte ausgezeichnete Untergruppe und G 
die zugehörige Quotientengruppe GJG . Einer von G verschiedenen 
ausgezeichneten Untergruppe G^^ entspricht in G^ eine ausgezeichnete G^^ 
die, da G^. einfach ist, entweder die G^ oder die G^. selbst ist. Im ersten 
Falle ist Gj in G enthalten. Soll also auch G^^ eine größte ausgezeich- 
nete Untergruppe von G^^ sein, so muß ihr die G^ entsprechen, die Glei- 
chung (3) S, 11 hat demnach die Gestalt: 

(i) G, = D(G,, (?,) + D{G„ G^) . F, + . • • + B{G„ ff,,) ■ V,_„ 

d. h. sie ist rechts ^gliedrig. Wir wählen hier die V so, daß V^ stets 
der Nebengruppe G • U^ angehört. 

Nun liefert der Durchschnitt D(G;^y G ) zweier ausgezeichneter G^, 
G eine gleichfalls ausgezeichnete Untergruppe, da. die Transformation 
irgendeines Elementes von J){Gjj G^) durch ein beliebiges S stets wieder 
ein in G^ und G und also in D(G^, G ) enthaltenes Element er- 
gibt. Zur Bildung der Quotientengruppe G^ = GjJB^Gj, G^) betrachten 
wir die t in (1) rechts stehenden Nebengruppen aufs neue als Elemente: 

(2) D(ö,, (?,,) = F„ = l, D((?„G,J.Fi = n, ..., 

Indem wir die Elemente U^, und V^ einander entsprechen lassen, werden 
die beiden Gruppen G^ und G'^ einander „isomorph", da ja aus U^,- U^ = U^ 
stets wieder Vf,-V^ = V^ folgt. Also ist auch G'^ einfach, und I){G^^ GJ 
erweist sich als „größte" ausgezeichnete Untergruppe von G^. Da man 
diese Betrachtung auch in d^r Art ausführen kann, daß man (r^ an Stelle 
von G voranstellt und G^ folgen läßt, so gilt der Satz: Sind G^ und 
G zwei verschiedene größte ausgezeichnete Untergruppen von G„^, so ist 
der Durchschnitt I){G^j G ) eine größte ausgezeichnete Untergruppe sowohl 



Reihe der Zusammensetzung einer Gruppe G^ 13 

wn G^ als von G^; die Quotientengruppen GJG^ und GJB{Gj^j G^) sind 
isomorpJi, und dasselbe gilt von den Quotientengruppen Gj^^jG^ und 

Wir denken jetzt eine Reihe von Untergruppen G„^y G , G , G ,. . . 
in der Art gewählt, daß jede eine größte ausgezeichnete Untergruppe in 
der voraufgehenden ist. Da hierbei w > /x^ > ^ttg > * * * i^^^y ^^ gelangt 
man nach einer endlichen Anzahl n von Schritten zur G^ und gewinnt 
die sich schließende Reihe: 

(3) ^m1 ^A^i' ^^.^ ^,"3^ • • -y ^Mn "" ^1» 

in der die vorletzte Gruppe einfach ist. Die n zugehörigen Indizes: 

rx ^2 rs ^rt 

iefern als Produkt die Ordnung ni == t^ ■ t^ • t^ - - - 1^ der Gesamtgruppe. 
Die zugehörigen Quotientengruppen bezeichnen wir durch: 

(5) GJG^^^G,^, GJG^=G,^, .... 

Die Reihe (3) heißt eine ,jReiJie der Zusammensetzung" oder eine „Kom- 
positionsreihe'^ der Gruppe (r^, die Reihe (4) heißt die zugehörige „In- 
dexreihe^'. 

Neben (3) liege nun auch in: 

(ß) ^my ^X,7 ^X^^ ^Ä,7 • . .; ^1 

eine Kompositionsreihe von G^ vor mit der zugehörigen Indexreihe: 

l'j Y^—^u 17-^2. X~~^^' ••• 

und den Quotientengruppen. 

(8) <?Jff^=Ö.,, G,JG,=G,^, GJG,^^G,^, .... 

Dann gilt folgender Satz: Die Kompositionsreihen (3) und (6) unserer G^ 
haben stets gleiche Gliederanzahl (w + 1), die n Indizes (4) sind, abgesehen 
von der Anordnung, den n Indizes (7) gleich, und es lassen sich die Quo- 
tientengruppen (5) und (8) zu Paaren, G. und G^ , 50 einander zuordnen, 
daß Gf und 6r, isomorph sind. 

Diesen Satz kann man durch vollständige Induktion beweisen. Ist 
m eine Primzahl, so gibt es nur die eine Kompositionsreihe G„^, G^, und 
dann ist der Satz selbstverständlich. Wir zerlegen nun bei beliebiger 
Ordnung m die Zahl m in ihre Primfaktoren und zählen deren Anzahl 
ab. Wir nehmen den Satz als bereits bewiesen an für aUe Ordnungen 
m'y deren Primfaktorenanzahl mindestens um eine Einheit geringer ist 
als die von m. Dann läßt sich zeigen, daß der Satz auch noch für m gilt. 

Es ist nämlich der Durchschnitt D{G^^, G ) = G^,^ eine größte aus- 
gezeichnete Untergruppe sowohl in G als G^ . Irgendeine Kompositions- 



14 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen • 

reihe (r,,^, G^^^ . . ., G^ von G^.^ liefert deinnacli in: 

<?«, G^., »n- ß.v • - <?. ind G„.. (?;., ö.., e,,, . . ., (?, 
zwei Kompositionsreihen für G,^^ wobei (nach dem vorausgesandten 
Satze) die Gruppen GJG^^ und G^jG^.^ isomorph sind und ebenso die 
Gruppen GJG^^ und GjG^.^. Nun sind: 

G^^, G^^^, . . , 1 und G^^, G,.^, G,^, . . ., 1 

Kompositionsreihen für G^^. Da ^^ mindestens einen Primfaktor weniger 
hat als m, so haben diese beiden Reihen der Annahme gemäß gleiche 
Gliederanzahlen, und es gilt für die Systeme der Quotientengruppen 
^J^.u^j ^J^Mz^ • • • ^^^ ^J^v.y ^vj^v^y ... die im Satze behauptete 
Zusammenordnung zu Paaren. Insbesondere findet sich im ersten Systeme 
eine zu G^JG^.^ und also zu GjG^^ isomorphe Gruppe, während die übri- 
gen {n — 2) Gruppen des Systems G^jG^^, G^JG^^, ... in irgendeiner 
Anordnung den Quotientengruppen GJG^.^, GJG^^, ... als isomorph zu- 
gewiesen sind. In derselben Art findet man im Systeme Gj^ /G;_ , GJG^^, 
. . . eine mit GJG^^ isomorphe Gruppe, während jede der übrigen im 
Systeme GJG^.^, GJ^^r,, • • • ^nd damit im Systeme GjG^^, GJG^^^, . . ., 
jedoch unter Ausschluß der bereits der Gruppe GJG^ zugeordneten, ihre 
isomorphe findet. Damit ist der aufgestellte Satz bewiesen. 

§ 6, Sätze über Abelsche Gruppen. 

Eine Gruppe 6r^ soUte als eine kommutative oder Abelsche bezeich- 
net werden, wenn jedes ihrer Elemente mit jedem anderen vertauschbar 
ist. Die Elemente einer solchen Gruppe seien >S'o= 1, S^, S^, ..., S^_-^f 
und die Periode von S^ werde durch v^ bezeichnet, so daß Vq =1, v^ > 1, 
Vg >!,... gilt. 

Man bilde die Produkte: 

(1) s'vs:-.^,'...sl"'_V, 0^ ;»„<,<„, 

die sich auf aUe ^i • 1^2 * * * ^w-i Kombinationen ganzzahliger Exponenten 
h beziehen, welche den in (1) rechts angegebenen Ungleichungen genügen. 
Im Systeme der Produkte (1) kommt jedes Element von G^ zur Darstel- 
lung, nämlich das Einheitselement z. B. dann, wenn alle h gleich ge- 
setzt werden, und das von Sq verschiedene Element S^y wenn z. B. der 
Exponent h^ = 1, aUe übrigen h aber = gesetzt werden. Das Einheits- 
element möge nun im ganzen e Male unter den Produkten (1) auftreten, 
d. h. es möge im ganzen e verschiedene Kombinationen der Exponenten h 
geben, für welche das Produkt (1) gleich ^0 ^ ^ wird. Wir belegen diese 
Kombinationen mit der besonderen Bezeichnung %, '>]2) Vs) - --iVm-i ^^^ 
haben dann : 

(2) ^7^•/s;^^•iSf^••>s^^-'l'= 1- 



Abelsche Gruppen 15 

Ist S ein beliebiges Element von G^ mit einer ersten Darstellung: 

(3) s=s:'.s*,'. «:-... s:»-s 

so ergeben sich sofort e verscbiedene Darstellungen von S in der Gestalt: 

(4) S = S'' "■ ''^ . Äg* ■*■ ''"' . . . S^^S^' ^'^^' - ' 

aus der Vertauschbarkeit der Elemente, wobei wir jeden Exponenten 
(K "^ Va) ™^^ *'a nötigenfalls auf seinen kleinsten nicht-negativen Rest 
reduziert denken. Ist andrerseits: 

irgendeine Darstellung des fraglichen Elementes S, so ergibt sich wieder 
au^ der Vertauschbarkeit der Elemente in: 

(nötigenfalls nach Reduktion der Exponenten) eine Darstellung (2) des 
Einheitselementes. Hieraus folgt, daß wir in den e verschiedenen Dar- 
stellungen (4) von S bereits aUe von den Produkten (1) gelieferten Dar- 
stellungen von S vor uns haben: Jedes Element von G^ wird vom System 
der v^- v^- ' ' Vjj^_^ Produkte gerade so oft geliefert ivie jedes ander e^ näm- 
lich e Male, so daß die Gleichung gilt: 

(5) v^'V^v^"'V^^^_^==e'm. 

Irgendein Primfaktor p von m ^) geht zufolge (5) in mindestens einer 

der Zahlen v, etwa in v^, auf. Dann ist S^p ein Element der Periode p. 
Ist p irgendein Primfahtor der Ordnung m der Ahelschen Gruppe G^, so 
gibt es in G^ sicher ein Element S der Periode p und damit eine zyklische 
Untergruppe G^ der Ordnung p. Es seien S^^ Sf,, S^^ . . . Elemente aus 
Gj^ von den Perioden v^, v^y v^y . . ., und es sei v das kleinste gemein- 
schaftliche Vielfache von v^, i/^, ^c? • • • I^3,nn gilt für das aus S^, S(,y S^y... 
zusammengesetzte Element S: 

Also ist nach S. 5 ff. die Periode von S ein Teiler von v: Die Periode des 
aus den Elementen S^ySf^yS^y... zusammengesetzten Elementes S^^S^-Sf^-S^... 
ist ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Perioden v^yVf^yV^,... 
der zusammensetzenden Elemente. 

Die Ordnung m der Abelschen Gruppe sei als Produkt k • l zweier 
teilerfremder Zahlen ky l darstellbar. In Gj^ mögen k\ durch Üq = 1, 

Ulf ZJj, .. ., Z7t'_i zu bezeichnende Elemente auftreten, deren Perioden 
in k aufgehen. Da nach dem eben bewiesenen Satze die Periode von 

ü^ ' Uf, gleichfalls in k aufgeht, so gehört ü^ • ü(, zu den k' Elementen U. 

1) Falls nichts weiter gesagt ist, gilt p als von 1 verschieden. 



l6 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 

Die li Elemente TJ bilden hiernach eine Gruppe Gj^'y die natürlich wieder 
eine Abelsche ist. Ebenso gelangen wir zu einer Abelschen Gruppe 6r,' 
aller V in G^ enthaltenen Elemente Fo== 1, Fj, Fg, . . ., F/'_i, deren 
Perioden in l aufgehen. Da keine Periode i/ > 1 in li und l zugleich 
aufgeht, so haben die Gruppen Gk' und Gr nur das Einheitselement ge- 
mein. Die Ordnung 1: der Gk' ist teilerfremd gegen Z, und entsprechend 
ist V teilerfremd gegen /v. Hätten nämlich Ic' und l einen Primfaktor p 
gemein, so gäbe es in Gk' ein U der Periode p^ die in l aufgeht und also 
teilerfremd gegen Tc ist. Dies würde der Erklärung der Elemente TJ 
widersprechen. 

Die Tz • r Produkte TJ^ • F^ stellen lauter verschiedene Elemente von 
G^ dar. Soll nämlich U^- Fj= U^- V^ sein, so folgt: 

(6) ür'-Ua=ra'Vf'==i', 

denn Ui^' TJa ist in Gk' und Va- Vf^ in Gi enthalten, beide Gruppen 
haben aber nur das Einheitselement gemein. Aus (6) aber ergibt sich 
sofort U^= ü^j ^6= ^d- ^^^ kann weiter zeigen, daß jedes Element S 
von G^ als ein Produkt U^ • F^ darstellbar ist. Da nämlich Je und l teiler- 
fremd sind, so lassen sich nach I, 281 zwei ganze (positive oder negative) 
Zahlen jc, X angeben, die die Gleichung lex -{- IX = 1 befriedigen. Wir 
setzen dann: 
(7) S^S'^'^-^'^^S'^'S'^''- 

und folgern aus den beiden Gleichungen: 

daß S^^ ein ü^ und S^"" ein F^ ist. In (7) liegt also die Darstellung 

Die Je ' V Produkte ü^ ■ F^ bilden selbst wieder eine Gruppe der Ord- 
nung Je 'l\ die wir Gj^'.j' nennen und symbolisch als Produkt G^-- Gi> be- 
zeichnen können. Nach der eben beendeten Überlegung ist diese G^.',^' mit 
der Gesamtgruppe G„ identisch. Es gilt also: 

Ic V = m = 1c'lj 
und da wir bereits wissen, daß // teiler fremd gegen Z und V teilerfremd 
gegen h ist, so folgt h' =hj Z' = Z. Gestattet die Ordnung m einer Abel- 
schen Gruppe Gj^ die Zerlegung m =^ k - 1 in zwei teilerfremde Faktoren 
k, Z, so gibt es in G^ genau k eine Gj^ bildende Elemente TJ, deren Perioden 
k teilen^ und genau l eine G^ bildende Elemente F, deren Perioden in l auf- 
gehen; die Gesayntgruppe G^ aber ist in der Gestalt G,^- G^ der Gruppe 
aller Elemente TJ^ • F^ darstellbar. 

Da jedes Element einer in G^ enthaltenen Untergruppe (r^ mit 
einem beliebigen Elemente S von G^^ vertauschbar ist, so ist auch G^ 
mit S vertauschbar: Jede TJntergruppe Gf^ einer Abelschen Gruppe G^^ ist 



Sätze über Abelsche Gruppen 17 

„ausgemchnet'^ und übrigens seihst wieder eine Abelsche Gruppe. Zur Auf- 
stellung der Quotientengruppe GJG^c führte die Gleichung (2) S. 9. 
Da im Falle unserer Abelscnen Gruppe aus jener Gleichung wegen der 
Yertauschbarkeit der Elemente 

folgt, so gilt weiter der Satz: Die zu einer (ausgezeichnetefii) Untergruppe 
Gu einer Abelschen Gruppe G^ gehörende Quotientengruppe GJGj^ = G^ 
ist gleichfalls eine Abelsche Gruppe. 

Ist p'^ eine höchste in m aufgehende Primzahlpotenz, so setzen wir 
m = p'^ 'l und finden in G^ eine Untergruppe der Ordnung p'\ Daran 
schließt sich der Satz: In einer Abelschen Gruppe^ deren Ordnung die 
Frimzahlpotenz p" ist, gibt es stets eine Untergruppe der Ordnung p^~^. 
Der Beweis wird durch vollständige Induktion geführt. Daß in einer 
Abelschen Gpi stets eine Untergruppe Gp nachweisbar ist, steht bereits 
fest. Wir nehmen an, daß der Satz für die Ordnungen jp^, ^^, . . -^ p"~^ 
richtig ist, und können dann leicht zeigen, daß er auch für die Ordnung 
p'^ gilt. Die Abelsche G a enthält nämlich eine (ausgezeichnete) G . Die 
zugehörige Abelsche Gruppe G^a/Gp enthält der Annahme nach eine 
Untergruppe Gp(r-2, da jene Quotientengruppe die Ordnung p''-^ hat. 
Nach S. 11 fF. entspricht dieser G^a-^ in der G^a eine Untergruppe der 
Ordnung p'p"~^ = p'^~\ womit der Beweis des Satzes beendet ist. 

Wir halten an der Zerlegung m = p" -l fest und multiplizieren nach 
S. 16 die eben nachgewiesene G^a-i mit der Gi. Es entsteht eine Gruppe 

der Ordnungj9^~^-Z= . In jeder Abelschen Gruppe der Ordnung m, 

die durch die Primzahl p teilbar ist, gibt es eine Untergruppe der Ord- 

vn. * 

yiung — , die in G^^ ausgezeichnet enthalten ist; die zugehörige Quotienten- 
gruppe Gp ist als Gruppe von Primzahlordnung „zyklisch'^ und „einfach^'. 
Selbstverständlich ist die Untergruppe der Ordnung — eine „größte'' 
ausgezeichnete Untergruppe. 

Durch wiederholte Anwendung dieses Ergebnisses folgt der Haupt- 
satz: Jede Indexreihe einer Abelschen Gruppe G^^ besteht aus den gesamten 
Primfäktoren von m, wobei jeder Primfaktor so oft als Reihenglied auftritt, 
wie er in m enthalten ist; jede Quotientengruppe ist als Gruppe von Prim- 
Zahlordnung zyklisch. 

§ 7. Permutationsgruppen. 

Es seien n gleichartige Dinge vorgelegt, die wir numerieren und 
mit ihren Nummern 1, 2, 3, . . ., n als Namen belegen. Eine erste An- 
ordnung der Dinge ist durch 1, 2, 3, . . ., w gegeben, irgendeine der n\ 

Fricke, Die elljpti«cben Funktionen IT 2 



18 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 

Anordnungen sei darch «j, «g, %, ...,«„ bezeiclinet, so daß die a^ die 
Zahlen 1, 2, 3, . . ., w in der neuen Anordnung bedeuten. Unter der 
Operation S^ verstehen wir den gleichzeitigen Ersatz des Dinges 1 durch 
«1, 2 durch ag usw., allgemein k durch a^^. Wir nennen diese Operation 
S^ eine „Permutation^^ der n Dinge, so daß es den n\ Anordnungen 
«1, a^y . . ., a„ entsprechend n\ verschiedene Permutationen der n Dinge 
gibt. 

Die Permutation S^ kann man symbolisch durch: 

(1) Ä«=('' '' '' ■■•' ") 

bezeichnen, wobei also dasjenige Ding a^, durch welches Je ersetzt werden 
soll, genau unter h steht. Die in der oberen Zeile gewählte Anordnung 
ist unwesentlich: man kann S„ z. B. auch durch: 



^._ /3, 5, 1, . . ., n-3\ 



bezeichnen, wenn nur in der ersten Zeile jedes der n Dinge und jedes 
nur einmal untergebracht ist und unter h allemal a^ steht. Wir haben 
also im ganzen nl Schreibweisen für die einzelne Permutation zur Hand. 
Als abgekürzte Bezeichnung für S^ benutzen wir >S'^ = (h, aj. 

Die Permutation Sq = (Je, Je), bei der also jedes Ding durch sich selbst 
ersetzt wird, heißt die „identiscJie Permutation^' und wird unten als Ele- 
ment der zu erklärenden Gruppen auch durch 1 bezeichnet, da sie das 
„Einheitselement" dieser Gruppen liefern wird. Die Permutation (a^, Je), 
bei der also umgekehrt a^ durch 1, «g durch 2 usw. ersetzt wird, heißt 
zur Permutation S^ ^yinvers'^ und wird durch S~^ bezeichnet. 

Üben wir auf die n Dinge zuerst die Permutation S^ = (Je, aj , so- 
dann die Permutation Sf,= (Je, &J = (a^, ha ) aus, so ist das Ergebnis 
wieder eine Permutation, nämlich offenbar (Je, ha ) , die wir symbolisch 
durch das Produkt Si,'S^ bezeichnen: 

(2) s,. s, = ft 6.; = (^ '/•••-; )• 

Man kann auch sofort solche Produkte mit drei oder noch mehr Faktoren 
bilden, die stets wieder Permutationen darstellen, und findet, daß für diese 
Produkte das assoziative Gesetz gilt. Ist nämlich S^= (Je, cj == (ha , Cia ) 
eine dritte Permutation, so gewinnt man als Permutation S^'(S(^' S^): 

(3) ^c-(^.-^J = ft%)- 

Andrerseits gilt : S^'Sf,= (Je, c^ J == (a^ , c^^) , 

so daß (8^ ' S^ • S^ zu der schon in (3) gewonnenen Permutation zurück- 
führt. Sind die beiden Permutationen Sf,= (dk^ha^ und S^=(ai, Ca^ 
verschieden, so sind stets auch Sf,- S„= (Je, ha) und S^- S^= (Je, Ca ) ver- 



Sätze über Permutationsgruppen 19 

schieden, und ebenso erweist sich S^- Si^=^ S^- 5^ als zutreffend. Es be- 
steht hiernach der Satz: Alle n! Permutationen von n Dingen bilden, als 
„Elemente^^ aufgefaßt, eine Gruppe 0^: der Ordnung nl, die wir als eine 
Permutationsgruppe bezeichnen. 

Wir bestimmen weiter, daß die Benennung „PermMtationsgruppe^' 
auch auf alle in der Gni enthaltenen Untergruppen übertragen werden soll^ 
Ihnen gegenüber wird die Gesamtgriippe Gn: als die ^^symmetrische Permu- 
tationsgruppe" oder kurz die „symmetrische Gruppe" bezeichnet. Die An- 
zahl n der Dinge, die den Permutationen unterworfen werden, heißt der 
„Grad" der fraglichen Gruppen. 

Außer der symmetrischen Gruppe betrachten wir zunächst nur die 
„zyklischen" Permutationsgruppen. Die Bestimmung der Periode einer 
einzelnen Permutation S und damit der Ordnung der aus ihr zu erzeugen- 
den zyklischen Permutationsgruppe geschieht durch folgende Betrachtung. 
Irgendeines der n Dinge of^ rqöge bei Ausübung von S in a^ übergehen, 
a^ aber in a^, a^ in a^ usw. Die zu S inverse Permutation S~'^ führt 
dann a^ in a^ über, a^ in a^, cc^ in a^ usw. Man verfolge nun die Reihe 
c«i, «2 7 ^3? • • •• ^^^ ^^^^ ^'^ einem Dinge a^^^ gelangt, das schon einmal 
aufgetreten ist. Dann sind die t Dinge «j, «g? ^s? • • •? ^r verschieden, 
und a^^i ist notwendig gleich a^. Wäre nämlich «^+i== «^ mit Ä: > 1, 
so würden auch die durch S~^ aus a^^j und a^^ hervorgehenden Dinge a^ 
und a)^_^ gleich sein, und also wären die «j, «g, «g, . . ., a^ nicht alle 
voneinander verschieden. Die Dinge <^i, «2^ ^s? • • •> ^r werden, wie man 
sagt, durch S „im Zyklus permutiert'^; man nennt auch die Zusammen- 
stellung «1, «2? ^3? • • •? ^r einen „z-gliedrigen Zyklus" der Permutation S. 

Ist insbesondere r = n, so ist 8 gegeben durch: 

Diese Permutation S, die bei der in der ersten Zeile stehenden Anord- 
nung jedes Ding du?ch das folgende, das letzte aber durch das erste er- 
setzt, heißt insbesondere eine „zyldische Permutation'' -^ offenbar erzeugt 
sie eine zyklische Permutationsgruppe G^ der Ordnung n. Ist indessen 
T < I?, so erschöpfen die «j, «g, . . ., a^ noch nicht alle n Dinge. Es 
mögen dann die r Dinge a[, a^^ . . .^ Ut' einen zweiten t'- gliedrigen 
Zyklus von S bilden, sowie vorkommenden Falles die a[, «g, • • •, «r' 
einen r'^-gliedrigen Zyklus usw. Man hat nun: 

C5\ g _ M. «2, • • •. oct. ^i' «2' • • •. <'i • • A 

und findet auf diese Weise S in eine Anzahl von Zyklen aufgelöst. Es 
ist einleuchtend, daß die Periode v von S und damit die Ordnung v der 
aus S zu erzeugenden zyklischen Gruppe das kleinste gemeinschaftliche Viel- 
fache von T, r, t", . . . ist. 

2* 



20 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 

Die Bedeutung der Permu-tationsgruppen für die allgemeine Theorie 
der endlichen Gruppe wird durch folgenden Satz gekennzeichnet: Jede 
endliche Gruppe G.^^^ der Ordnung m ist als Permutationsgruppe, 2. B. als 
eine solche m^^" Grades darstellbar. Man fasse nämlich die m „Elemente" 
Sq, S^, S2y .■ .y Sm-i in. dieser Reihenfolge als m Dinge, wie wir sie 
bisher durch 1, 2, 3, . . ., m bezeichneten, auf. Dem Elemente S^ der G^ 
möge dann die Permutation: 

/ '^O' ^1? ^2^ • • •? ^m-l \ 

\S^'Sq, S^'Sj^j S^'S^y . . ., S^'S^_J 

der m „Dinge" S zugeordnet sein. Alle m so zu gewinnenden Permu- 
tationen bilden dann die „Einkleidung" unserer G^^ als einer Permu- 
tationsgruppe m*®° Grades. 

§ 8. Transit! vität und Primitivität der Permutationsgruppen. 

Es sei jetzt G,^ eine beliebige unserer Permutationsgruppen w*®^ Gra- 
des. Zwei Dinge a^ und a^ heißen „durch G^ verbunden", wenn es eine 
Permutation S in G„^ gibt, die a^ durch cc^ ersetzt; die gleichfalls in G^ 
enthaltene Permutation S~^ ersetzt dann natürlich cc^ durch a^. Sind 
zwei Dinge durch Gj^ mit einem dritten verbunden, so sind sie auch unter- 
einander durch G^ verbunden. Sind demnach a^, «g, . .., a^ die gesamten 
mit «^ durch G„^ verbundenen Dinge, so ist jedes dieser r Dinge mit 
jedem unter ihnen, aber mit keinem weiteren Dinge durch G^ verbunden. 

Ist r = n, d. h. ist jedes der n Dinge mit jedem anderen durch (r^ 
verbunden, so heißt die Gruppe G^^ „transitiv". Ist r < w, so können wir 
ein zweites System a,\, d^, . . ., dt> miteinander durch G^ verbundener 
Dinge aufstellen, sowie vorkommenden Falles ein drittes usw. Zwei aus 
verschiedenen Systemen entnommene Dinge sind dann nicht durch G^ 
verbunden. Die Gruppe G^ heißt jetzt „intransitiv", und die verschiedenen 
Systeme verbundener Dinge nennt man die „Systeme der Intransitiv ität" 
von G^. Die aus (4) S. 19 zu erzeugende zyklische G^ ist offenbar 
transitiv; dagegen erzeugt die Permutation (5) S. 19, die in mehr als 
einen Zyklus verfällt, eine intransitive zyklische G^j bei der die ver- 
schiedenen Zyklen die Systeme der Intransitivität liefern. 

Der Begriff der Transitivität kann in folgender Art weiterentwickelt 
werden. Die Gruppe G^ heißt „h-fach transitiv", wenn es bei willkür- 
licher Auswahl der h Dinge «1, «g, . . ., a^, in G^^ stets eine Permutation: 



/l, 2, 3, ..., ^, ...\ 



gibt, die also die Ic Dinge 1, 2, . . ., /»; bzw. in die k willkürlich gewählten 
Dinge a^, a^, . . ., cc^ überführt. Es gibt dann sicher in G^ auch eine 



Transit! vität und Primitivität 21 

Permutation, die Tc willkürlich gewählte Dinge a^, «2» • • •> ^k ^^^- i^ ^ 
gleichfalls willkürlich gewählte ft, /Sg, . . ., /3^ überführt. Genauer wollen 
wir die G^ immer dann Mach transitiv nennen, wenn sie nicht auch 
noch (Je -\- l)-fach oder Qz -\- 2)-fach usw. transitiv ist. 

Eine weitere Einteilung der transitiven Gruppen in zwei Arten ge- 
schieht nach folgendem Grundsatze. Es mögen die n Dinge in eine An- 
zahl von Systemen, die wir symbolisch durch A^ A\ A", . . . bezeichnen 

(1) UA), a^,a^, . . ., aa', 



in der Art zerlegbar sein, daß diese Zerlegung gegenüber jeder Perhiu- 
tation von G^ invariant ist. Die letzte Aussage soU folgenden Sinn 
haben. Es sollen, wenn die Anordnung (1) der n Dinge durch eine be- 
liebige Permutation von (r^ in die Anordnung: 



übergeht, die Systeme B, B' ^ . . ., als ganze betrachtet (d. h. abgesehen 
von irgendeiner Umordnung der Dinge im einzelnen Systeme), wieder 
nur die Systeme A, Ä, . . . in irgendeiner Anordnung darstellen. 

Da G^ transitiv sein soUte, so gibt es in G^ eine Permutation, die 
das Anfangsglied «W einer beliebigen unter den Reihen A^'^ in \ über- 
führt. Dann geht der Annahme zufolge das System A^^^ der 6^^^ Dinge 
a^i\ a[pj ... in das System B der 6 Dinge h^, 63, . . ., h„ über. Wir 
ziehen hieraus die Folgerung: JDie Anzahlen ö, (?', <?", . . . der Dinge in 
den einzelnen Systemen (1) sind einander gleich =6 = a" = - -, so daß 
6 ein Teiler des Gruppengrades n ist. 

Zwei solche Einteilungen der n Dinge können wir für jede 6r^ an- 
geben, nämlich die für a = n und für 6=1. Existieren Iceine weiteren 
Anordnungen (1), so heißt die transitive Gruppe G^ „pritnitiv"; gibt es in- 
dessen eine Anordnung (1) 7nit 1 < (? < ?^, so wird G^ „imprimitiv^' ge- 
nannt y die — Systeme A, A', Ä\ . . . werden als „Systeme der Impri- 

mitivitäif^ bezeichnet 

Es liege nun eine imprimitive Gruppe Gj^ vor. Zur Abkürzung 

schreiben wir ~ = t. so daß t ein von 1 und n verschiedener Teiler von 

n ist. Da G^ transitiv ist, so findet sich in 6r^ eine Permutation T, die 
a^ in ein beliebiges Ding des ersten Systems A überführt. Diese Permu- 
tation transformiert dann das ganze System A in sich, was wir durch 
T{A) = A andeuten. Man sammle nun alle Permutationen Iq= 1, 



22 Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 

I\, T^, . . .j T^_i von G^y welche A in sich, überführen. Da mit T^ 
und Tß auch T^ • T^ das System A in sich transformiert, so Ulden die 
To= 1, T^y T^, . . ., T^_^ eine in G^ enthaltene Untergruppe G j die 
offenbar intransitiv ist und A zu einem ersten Systeme der Intransitivi- 
tät hat. 

Da die G^^ transitiv ist, so erhält sie weiter eine Permutation F., die 
JL in ein beliebiges System A^^ überführt, was durch V.(A) =- A^'^ an- 
gedeutet werde. Ist aber S irgendeine Permutation der Gruppe G„^, für 
die gleichfaUs S(A) = ^W zutrifft, so folgt Fj-^ • S(A) = V-^(A^)) = A, 
so daß V~^'S=T eine Permutation der G^^ ist. Da andrerseits alle 
Permutationen V^ • T das System A in A'^-^^ transformieren, so ergibt sich 
der Satz: Die Nebengruppe V^-G besteht aus den gesamten Fermutationen 
der G„^j die A in A^*^ überführen, was wir durch F^'(t^(J.) == A^^^ andeuten. 
Nun führt jede Permutation ^S^ von G^ das System A in eines der Systeme 
A, A\ . . ., ^('-1) über. AUe t Nebengruppen G^, V^-G^, V, -G^, .. ., 
F^_j- G^^ erschöpfen demnach die ganze (x^: In der Gleichung: 

(2) G„ = ff, + r,-G^ + r,.G„ + -..+ V,_,.G^ 

haben wir die der Untergruppe G^ entsprechende Zerlegung von G^ in 
Nebengruppen vor uns; es gilt demnach: 

(3) ^.t^ii' j^m, ^=— , 

so daß 6 m ein Vielfaches von n ist. 

Ist reine beliebige Permutation von G^, so gilt F^.. T- F-i(^(^)) = ^W. 
Andrerseits zeigt man leicht, daß jede Permutation S von (r^, die A^*^ in 
sich überführt, in die Gestalt S =■= V^- T- V~^ gesetzt werden kann. Nun 
haben wir in: 

G , G' = V,-G -V-K G''=V.G ^V-\ . . ., G^'-^) = F .-G ■V7\ 

die gesamten mit G innerhalb G^^ gleichberechtigten Untergruppen, die 
natürlich keineswegs alle verschieden zu sein brauchen, und die im Falle 
einer ausgezeichneten G^ sogar alle gleich sind. Es ergibt sich der Satz: 
Die t mit G^ gleichberechtigten Untergruppen G^^, G' . . ., (r^J-^) sind den 
t Systemen A, Ä, . . ., A^^~'^'> zugeordnet, indem die einzelne dieser Unter- 
gruppen alle Fermutationen der G^^ umfaßt, die das zugehörige System in 
sich transformieren. Insbesondere ergibt sich die Folgerung: Der Durch- 
schnitt Gj^ = D{G , G' , G'l, . . ., G^[~^^) liefert eine in der G^ ausgezeich- 
nete intransitive Untergruppe, die aus allen Fermutationen besteht, welche 
jedes System (1) in sich überführen. Es kann hierbei natürlich der Fall 
vorliegen, daß G-^ die Untergruppe G^ ist. 

Umgekehrt gilt folgender Satz: Gibt es in einer transitiven Gruppe 
G„^ eine intransitive ausgezeichnete Untergruppe Gj einer Ordnung A > 1, 



Transitivität und Primitivität 23 

SO ist G^ imprimitiv, und die Systeme der Intransitivität von (r^ liefern 
für G„^ Systeme der Imprimitiviiät. Die Systeme der Intransitivität von 
G;^y für welche wir die Bezeichnungen (1) heranziehen^ sind eindeutig be- 
stimmt, und insbesondere steht ihre Anzahl fest. Eine beliebige Permu- 
tation S aus G^ führe die Systeme Äj Ä\ A", ... in die oben durch 
By B\ B'\ . . . bezeichneten Systeme über, deren Anzahl also gleich der- 
jenigen der Ä, A\ A"y . . . ist. Dann gelten die Gleichungen: 

G^{A^^) == A^\ S • 6^^(^^*)) = S{A^)) = B^\ A^^ = S-\W'^\ 
aus denen S - G;^ - S~'^(B^^) = B^^ hervorgeht. Da nun G;^ eine aus- 
gezeichnete Untergruppe ist, so folgt /S • 6r^ • Ä~^ = (r; und also 
G;^(&^) = &K Das einzelne B^''^ stellt also wieder ein System durch G^ 
verbundener Dinge vor oder mehrere solche Systeme. Die letztere Mög- 
lichkeit ist aber ausgeschlossen, da sonst aus den gesamten Bj B'y B^'y . . . 
Systeme der Intransitivität für (r^ in einer Anzahl hervorgehen würden, 
die größer als die Anzahl der A, A\ Ä\ . . . wäre. Also sind die 
Bj B\ jB" . . . wieder die Systeme der Intransitivität von G^ und als 
solche mit den Systemen Ay Ä, A'\ . . ., von der Anordnung abgesehen, 
gleich. Die Zerlegung A, A\ AI' . . . aller n Dinge besitzt somit gegen- 
über jeder Permutation von (r^ den oben bezeichneten Charakter der In- 
varianz. Da die Anzahl der Systeme > 1 (die Ordnung X ist > 1) sowie 
<,n {Gy^ ist intransitiv) ist, so ist der Satz bewiesen. 

Als eine unmittelbare Folge notieren wir noch: Jede in einer primi- 
tiven Gruppe G^ enthaltene ausgemchnete Untergruppe ist transitiv. 

IL Algebraische Gleichungen.^) 

§ 1. Symmetrische Funktionen. 

Unter g(^ij ^27 • ■ -y ^n) verstehen wir eine rationale ganze Funktion 
der n unabhängigen Veränderlichen «sr^, <^2, . . ., 5„, die wir in der Gestalt: 

mit von den unabhängigen Koeffizienten A geben. Die Gruppe Gn\ sei 
die „symmetrische'^ Gruppe aller w! Permutationen der 2^, 8^, . . .^ z^. 
Eine einzelne Permutation S^ = (2^^, 2^ ) der Gn\ wird die Funktion (1) 
entweder in eine neue Funktion überführen oder in sich transformieren. 
Der letztere FaU charakterisiert sich dadurch, daß g(2^^y z^^, - ■ ■? ^a) 
durch Umrechnung auf die Gestalt g(2i, 2^y . . ., 2^ zurückgebracht 
werden kann und also mit giz^y z^y . . .y z.^ bei unabhängig variablen 

1) Neben den S. 1 genannten Werken vgl. man noch E. Landau „Ein- 
führung in die elementare und analytische Theorie der algebraischen Zahlen und 
der Ideale", Teil I (Leipzig 1918). 



24 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

;&!, «efg, . . ., ^„ „identisch" ist. Falls jede der beiden Permutationen S^ 
und Sf, die Funktion (1) in sich transformieren, so geschieht dasselbe 
durch Sf,' S^. Die gesamten Permutationen, welche g{z^^ s^, . . ., ^J in 
sich transformieren, bilden eine in der Gn\ enthaltene Untergruppe, die (r^ 
heiße und deren Index t = — ist. 

Alle |u. Permutationen der einzelnen zu Gf^i gehörenden Nebengruppe 
F,- • (r^ transformieren g{z^y s^, . . ., 2.^ in eine und dieselbe Funktion. 
Zwei aus verschiedenen Nebengruppen entnommene Permutationen V 
und V^ ergeben indessen stets verschiedene Funktionen, da andernfalls 
F~^ • V^ die Funktion (1) in sich transformieren würde und also der G 
angehören müßte. Die t Funktionen, in welche g{s^, z^, . . ., z„) durch 
die ^Permutationen F^ = 1, F^, V^, . . ., F^_i übergeführt wird, heißen 
einander j^konjugierf^, und ^(^i, ^2? • • •? -^J ^^^^ ^^^ ^^^^ „t-wertige^^ 
Funktion bezeichnet. Gegenüber irgendeiner Permutation der Gn\ er- 
fahren die t konjugierten Funktionen selbst eine Permutation. 

Eine einwertige Funktion, die also durch alle Permutationen der 
„symmetrischen" Gruppe Gn\ in sich transformiert wird, heißt eine „sym- 
metrische Funiction". Ein Beispiel einer solchen Funktion ist: 

P = ^1 + ^2 + ^3 H f- ^n- 

Als Beispiel einer >^-wertigen Funktion nennen wir g == z^. Sie bleibt 
bei den Permutationen derjenigen G(n-i)\ unverändert, welche nur die 
Argumente ^2y ^sj - ■ -y ^n ^^^ ^^^® Arten umstellt; die zugehörigen n kon- 
jugierten Funktionen sind 0^^ z^, . . ., z^. Als Beispiel einer w!-wertigen 
Funktion nennen wir endlich etwa: 

(2) g{z^, z^, . . ., ^J = ^1 -f 2^2 + 3^3 + . . . -f- w^„; 

sie wird nur durch die identische Permutation in sich transformiert. 

Die Funktion z^- z^- z^- - • Zj. bleibt bei den h\ • {n — ky. Permuta- 
tionen unverändert, welche die z^, z^j . . ., z^ und ebenso die r^^i, 
^jfc+2> ' ■ ••> ^n ^^^ unter sich permutieren. Die Wertigkeit t dieser Funk- 
tion ist also, da sie durch alle übrigen Permutationen geändert wird: 

n\ /n\ 

^ = M'ln^k)\ " \k)' 

Die Summe der (^] zugehörigen konjugierten Funktionen ist sym- 
metrisch und wird als die k^^ symmetrische Grundfunktion a,^ bezeichnet. 
Den Zahlen ä; = 1, 2, . . ., n entsprechend gewinnen wir im ganzen 
n symmetrische Grundfunktionen: 

Ö^ = Zi-\-Z^-j-Z^-i + ^„, 



(3) 



<?2 = ^1^2 + ^1^3 H + ^n-l^nf 



Sätze über symmetrische Funktionen 25 

Bildet man mit irgendeinem nicht- verschwindenden Faktor üq und einer 
Unbekannten die Gleichung n^^"^ Grades: 

deren n „Wurzeln" z die -^1, ^2? ^3? • • -j ^« si^^? ^^d kleidet man diese 
Gleichung nach Ausmultiplikation der Klammern in die Gestalt: 

a,z" + a,z—' + a,z^^-' + • • • + a„ = 0, 

so ist bekanntlich die Beziehung der n Grundfunktionen (3) zu den 
Gleichungskoeffizienten gegeben durch: 



(4) <r, = - :■ , <J, = }, ff, = - J, . . ., ^„ = (- 1)»«.. 

Der Hauptsatz der Theorie der symmetrischen Funktionen lautet 
Jede ganze symmetrische Funldion (1) Jiann umgerechnet werden in die Ge- 
stalt einer rationalen ganzen Funldion: 

(5) g{z,, ^2, . . ., o -2BH.,,.,:.,Hn ^1' • <^'2' • • • <?;;« 

der n symmetrischen Grimdfmiktionen (3); dabei sind die Koeffizienten B 
lineare homogene, mit ,,ganzzahUgen'' Koeffizienten versehene Ausdrücke in 
den ursprünglichen Koeffizienten A der Funktion g, der Grad der in (5) 
rechtsstehenden Funktion in den a aber ist gleich dem größten im Ausdrucke 
(1) von g auftretenden Exponenten l}) 

Nennen wir eine Funktion (1) mit ausschließlich ganzzahligen Koef- 
fizienten kurz eine „ganzzahlige" Funktion, so folgt insbesondere der 
Satz: Eine ganze ganzzahlige symmetrische Funktion (1) läßt sich in eine 
ganze ganzzahlige Funktion der symmetrischen Grundfunktionen umrechnen, 
deren Grad in den a gleich dem höchsten in (1) rechts auftretenden Ex- 
ponenten X ist. 

Die bekanntesten Beispiele liefern die „Potenzsummen^^ der ^1 , ^2 ? • • •> '^«• 
Die v^ Potenzsumme bezeichnen wir durch: 

(6) 5v = -^i + 4' + 4' + --- + ^;. 

Die Darstellung der niedersten Potenzsummen als ganzer ganzzahliger 
Funktionen der ist: 



(7) 



% = ^l- ^^<?i^2 + 3^3, 

S^ = Öf - 4(?f(T2 + 4^1 (?3 -f 26l - 4:6^, 



1) Dieser Satz ist sehr bekannt, aber nicht ganz kurz beweisbar. Man findet 
den Nachweis in allen ausführlicheren Lehrbüchern der Algebra, z. B. bei Weber, 
a.a.O., Bd. 1, S. 160 ff. 



26 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

Wir erinnern ferner noch an das „DifferenzenproduJct" der s: 

dessen Quadrat eine ganze ganzzahlige symmetrische Funktion der ^ und 
also eine ganze ganzzahlige Funktion der ist. Für die oben aufgestellte 
algebraische Gleichung n^^°- Grades^ deren Wurzeln die ^^, ^2? • • •? ^n ^^^^7 
ist dieses Quadrat die ^^Diskriminante^^ , deren Verschwinden das Auftreten 
einer mindestens zweifachen Wurzel jener Gleichung anzeigt. Das Dif- 
ferenzenprodukt (8) selbst, d. h. die Quadratwurzel der Diskriminante, ist 
eine zweiwertige Funktion der -2^1, ^2; • • •? ^«5 ^^^ ^i^'^ durch alle „geraden" 
Permutationen in sich transformiert und erleidet gegenüber allen „un- 
geraden" Permutationen Zeichenwechsel. Die zur Funktion (8) gehörende 
Untergruppe ist die sogenannte ,^alterniereiid&^ Gruppe aller „geraden" 
Permutationen, die die Ordnung }^ n\ hat und ausgezeichnet ist.^) 

§ 2. Tschirnliausentransformation. 

Eine erste Anwendung der entwickelten Sätze können wir bei Ge- 
legenheit der nach Tschirnhausen benannten Transformation einer al- 
gebraischen Gleichung machen. Eine Gleichung w*®"" Grades sei durch: 

(1) ^" + a,z^-' -f- a,z'^-' + . . . -f a„ = 

gegeben, ihre Wurzeln seien -^^i, %, -2^3, • • ., ^,r Es soll nun die Glei- 
chung (1) für z auf eine Gleichung für eine neue Unbekannte w um- 
gerechnet werden, die mit z durch die Beziehung: 

(2) w==c^ + c^z + c,z^ + • • • + c„_i^«-^ 

zusammenhängt, unter den c gegebene Konstante verstanden. 

Um diese Transformation zu vollziehen, berechnen wir die n Werte: 

(3) wj^ =-- Co 4- c^z^ + c^zl + • • • + c„-i^rS /^ = 1, 2, . . ., n, 

die den n Wurzeln z,^ der Gleichung (1) entsprechen. Die Gleichung 
n^^"^ Grades für w. 

(w — iv^) (tv — W2) (w — iV^) ' • • (w — tvj = , 
welche die n Wurzeln (3) hat, möge entwickelt so lauten: 

(4) w"" + h^w""-^ 4- hw"-^ + • . • -f fe„ = 0; 

sie heißt eine j^Tschirnhausenresolvente*' der Gleichung (1), und die durch 
(2) gegebene Transformation wird als eine j/Tschirnhausentransformation'^ 
der Gleichung (1) bezeichnet. 

Der einzelne Koeffizient h^ ist eine ganze homogene Funktion i^^°- 
Grades der w^^ w^j . . ., w^, die zugleich in diesen Größen symmetrisch 
ist. Tragen wir für die Wf. die Ausdrücke (3) ein, so wird 6. eine ganze 



1) S. das Nähere bei Weber, a.a.O. Bd. I, S. 537ff. 



Tschirnhausentransformation. Hilfssatz über ganze Funktionen 27 

symmetrisclie Funktion der 2j^, s^y . . ., ^„; deren Koeffizienten ganze ganz- 
zahlige homogene Ausdrücke i^^^ Grades der ^o? ^i? • • •? c«-i sind. Da 
nun die symmetrischen Grundfunktionen der ^i, ^2, ■ . .; ^„, von den Vor- 
zeichen abgesehen, einfach die Koeffizienten a^, «g, • • •; ^n ^^r Gleichung (1) 
sind, so folgt aus dem Hauptsatze von S. 25 das Ergebnis: Die Koeffizien- 
ten }). der Tschirnhausenresolvente (4) sind rationale ganze FunMionen der 
ursprünglichen Koeffizienten a^y a^, . . .j a^ mit Koeffizienten^ die ganze 
ganzzahlige homogene Äusdrüclce i^^" Grades der Cq, q, c^j . . ., c^_^ sind. 

§ 3. Hilfssatz über ganze Funktionen. 

Es seien n unabhängige Variable ie^i, ^2» -^3» • • •> ^n ^^^ ^^ rationale 
ganze Funktionen der z: 

gegeben, unter m und n beliebige positive ganze Zahlen verstanden. Wir 
ordnen jede der Funktionen so, daß in ihr die Glieder, die in ihren 
variablen Bestandteilen ^]^•2'^'^'3l^"' übereinstimmen, zusammengefaßt sind. 
Die einzelne Funktion verschwindet „identisch", wenn in der so geord- 
neten Gestalt jeder Koeffizient gleich ist. Wir nehmen an, daß keine 
der Funktionen (1) identisch verschwindet, daß also in jeder mindestens 
ein Glied mit einem von verschiedenen Koeffizienten auftritt. Dann 
gilt folgender, bald zur Verwendung kommender Satz: Sind m nicht iden- 
tisch verschwindende ganze rationale FunMionen von n Variablen vorgelegt, 
so kann man auf unendlich viele Arten für die 3^, z^, . . ., z^ ganze Zahlen 
eintragen, für welche keine der Funktionen verschwindet und also ihr Pro- 
dukt von verschieden ist. 

Der Beweis kann leicht durch vollständige Induktion geführt wer- 
den. Ist zunächst w = 1, so haben wir m nicht identisch verschwindende 
ganze Funktionen ^^.(^i) einer Variablen. Für die einzelne gibt es nur 
eine beschränkte Anzahl von Werten z^, die g^i^i) = befriedigen. 
Meiden wir also die endlich vielen Werte z^, für die mindestens eine der 
Funktionen gki^i) verschwindet, so bleiben in der Tat noch unendlich 
viele ganze Zahlen z^, für die keine der Funktionen verschwindet. Unser 
Satz ist also für n = 1 richtig. 

Wir nehmen nun an, der Satz gelte auch noch für mehrere Variable, 
und zwar jedenfalls bis zum FaRe von (^n — 1) Variablen. Dann können 
wir leicht zeigen, daß er auch noch im nächstfolgenden Falle von 
n Variablen richtig ist, womit der allgemeine Beweis des Satzes beendet 
sein wird. Ordnen wir nämlich die Funktionen (1) nach Potenzen der 
letzten Variablen z^, so werden die Koeffizienten dieser Potenzen offenbar 
ganze Funktionen der (n — 1) Variablen z^, z<^, . . ., ^„_i. Dabei können 
in der einzelnen Funktion g^ diese „Koeffizienten" nicht alle identisch 



28 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

verschwinden, da sonst g^ {^u ^i, - ■ -, -^J selbst identisch verschwinden 
würde. Der Annahme gemäß können wir dann auf unendlich viele Arten 
für die ^^ i^^y • • -j ^n-i solche ganze Zahlen eintragen, daß alle nicht 
identisch verschwindenden unter jenen „Koeffizienten" von verschiedene 
Werte annehmen. Wir haben dann mit einem System nicht identisch 
verschwindender ganzer Funktionen der einzigen Variablen z zu tun und 
können nach dem für n = 1 bereits bewiesenen Satze auf unendlich viele 
Arten für z^ eine gleichfalls ganze Zahl so eintragen, daß keine dieser 
Funktionen verschwindet. Damit ist der Beweis unseres Satzes allgemein 
geführt. 

§ 4. Funktionen in Zahlkörpern. 

Neben den Begriff der Gruppe tritt in der Theorie der algebraischen 
Gleichungen als nicht minder wichtig der von Dedekind*) eingeführte 
Begriff des „Körpers^'. Ein System konstanter Zahlen heißt ein „Zahl- 
körper^^ oder kurz ein „Körper^' ^^), wenn mit irgendzwei Zahlen a, h des 
Systems stets auch (a -f &), (a — 1))^ a • h und, sofern h von verschieden 
ist, auch a :h im System enthalten ist. Das Ergebnis irgendwelcher 
rationaler Rechnungen, angewandt auf Zahlen von ^, ist also, wenn nur 
die Division durch stets vermieden wird, immer wieder in St enthalten. 
Die Zahlen von ^ mögen irgendwelche reelle oder komplexe endliche 
Konstante sein; der zunächst mögliche Fall, daß ^ nur aus der Zahl 
besteht, soll übrigens ausgeschlossen sein. 

Nach der letzten Bemerkung enthält ^ sicher eine von verschie- 
dene Zahl (X, dann aber auch a : a = 1 und damit sogleich alle rationalen 
Zahlen. Die gesamten rationalen Zahlen bilden offenbar für sich einen 
Körper, der der ,,raUonale Körpe/^ genannt wird und durch Ül bezeichnet 
werden möge. Der rationale Körper 9ft ist, wie wir sahen, in jedem Zahl- 
körper ^ enthalten. Ein weiteres Beispiel eines Körpers liefert das 
System aller Zahlen (a -^ iV) mit rationalen a, &; wir nennen ferner den 
Körper aller reellen Zahlen sowie den alle übrigen Körper umfassenden 
Körper aller reellen und komplexen Zahlen. 

Es sei jetzt irgendein Zahlkörper ^ vorgelegt. Eine rationale ganze 
Funktion einer Variablen s: 

(1) f{z) = «0^«+ a^s--^ + a^^^-^-f ••• + «„ 

heiße „eine Funktion im Körper ^" oder kurz eine ,,Funktion in ^", falls 



1) Siehe die Angaben am Anfang des vierten Teiles der vorliegenden Ein- 
leitung sowie über den Begriff des „Funktionenkörpers" die Ausführungen in I, 81. 

2) Mit gewissen Eigenschaften ausgestattete Systeme unendlich vieler Zahlen 
oder Systeme unendlich vieler Fxinktionen werden weiterhin vielfach auftreten. 
Zur Bezeichnung solcher Systeme benutzen wir stets die Frakturschrift. 



Zahlkörper ^ und Funktionen in Ä 29 

die Koeffizienten ao, «i, a»? • • •> ^n Zahlen aus ^ sind. Damit der „Grad" 
n in (1) wirklich vorliegt, gelte der Koeffizient a^ des höchsten Gliedes 
stets als von verschieden. Jede von verschiedene Zahl aus Ä gilt 
hiernach als eine „Funktion nullten Grades in ^'"; die Zahl steht für 
sich als ,,identisch verschwindende Funktion in ^". 

Das Produkt zweier Funktionen in ^ ist offenbar wieder eine Funk- 
tion in ^y deren Grad gleich der Summe der Grade der Faktoren ist. 
Läßt sich andrerseits f{z) als Produkt f{z) = X\{.^) ' X^i^) zweier Funk- 
tionen in ^ darstellen, so heißt jede der Funktionen %-^{2), x^i^) ein 
„Teiler^' der Funktion f(z). Es ist einleuchtend, daß f{2) jede Funktion 
nullten Grades in ^ zum Teiler hat, und daß auch jedes Produkt von 
f{z) und einer Funktion nullten Grades Teiler von f{z) ist. 

Es seien f{z) und g^s) zwei festgewählte Funktionen in ^, deren 
Grade n und m > seien. ^) Man bilde alle Ausdrücke: 

(2) f{d)t{^) + g{s)<p{z), 

unter (p{z) und ^(5) irgendwelche Funktionen in R verstanden. Es ent- 
steht so ein System unendlich vieler Funktionen in 1^, das wir durch g 
bezeichnen, und das folgende Eigenschaften besitzt: 

1. Die Summe und die Differenz zweier FunMionen aus g liefern 
stets wieder FunMionen aus ^; 

2. Das Produkt einer Funktion aus ^ und einer Funktion in ^ ist 
stets wieder eine Funktion aus 5. 

Das System % enthält die mit identische Funktion in ^, die wir 
z. B. erhalten, wenn wir q)(z) mit f{z) und ^(;2f) mit ~ g{z) identisch 
wählen. Auch die Funktionen /*(^) und g{z) selbst kommen in g vor. 
Wir sehen von der mit identischen Funktion ab und ordnen die übri- 
gen Funktionen von g nach ihren Graden. Es sei v der hierbei auftre- 
tende „Minimalgrad", der dann jedenfalls weder > m noch > n ist. Eine 
in g auftretende Funktion des Minimalgrades v sei xiß)^ ^^^ ^i^ nötigen- 
falls nach Division durch den Koeffizienten des höchsten Gliedes in die 
Gestalt setzen: 

(3) x{^) = z^+c,z^-'-\- e^z^' - 2 + . . . + c,. 

Dann gilt der Satz: Die Funktion %{/) ist durch f{z) und g{ß) eindeutig 
bestimmt. Ist nämlich x{z) == z" ^ c[z''-'^-{ irgendeine in g enthal- 
tene Funktion des Minimalgrades v mit dem höchsten Koeffizienten 1, 
so ist x{^) — x{^) öiiiö in % enthaltene Funktion eines Grades < v, die 
demnach mit identisch ist. Also ist liz) mit x{^) identisch. 



1) In dem Falle, daß mindestens eine der Funktionen f{z), g{z) dem null- 
ten Grade angehört, gestalten sieh die folgenden Entwicklungen elementar. 



30 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

Da V ^n ist, so können wir /'(^) durch xi's) teilen und ein Ergeb- 
nis der Gestalt: 

(4) f(,) = g(,)^(,) + r(,) 

aufstellen, wo q(0)j der Quotient, und r(z\ der Rest der Division, Funk- 
tionen in Ü sind und der Grad von r(z) kleiner als v ist. Ziehen wir die 
Darstellung: 

(5) xi^')-m>i'<^)+g(^)<p(^) 

der Funktion x als einer solchen des Systems ^ heran, so folgt aus i4) 
"°d (5): ^(^) _ f^^y^^ _ ^(^)^(^)) _ ^(^)^(^) ^(^). 

Die Funktion r(js) ist hiernach gleichfalls in g enthalten; sie ist also als 
einem Grade < v angehörig mit identisch, so daß /'(^) durch xi^) ohne 
Rest teilbar ist. Da man dieselbe Betrachtung auf g(^) anwenden kann, 
so ist x{0) ein gemeinsamer Teiler von /*(^) und g{i2). Aus (5) folgt wei- 
ter, daß jeder gemeinsame Teiler von f(^) und g(2) ein Teiler von x'\^) 
ist-, die Funktion %(^) heißt demnach der „größte gemeinsame Teiler"^ von 
/'(^) und g{z): Die durch f{s) und g{z) eindeutig bestimmte Funktion (3) 
des in 55 auftretenden Minimalgrades v ist der größte gemeinschaftliche 
Teiler von f{s) und g{£). 

Ist der Minimalgrad v = 1 und also i{z) mit 1 identisch, so heißen 
die beiden Funktionen f{z) und g{z) „teilerfremd'^ . Es folgt: Sind fyz) 
und g{z) zivei teilerfremde Funktionen in ^, so kann man (p(z) und Tb{z) 
als Funktionen in ^ so wählen, daß die Gleichung: 

(6) fl,)t{^)+g{z)<p(z) = \ 

identisch besteht; umgekehrt folgt aus dem Bestehen einer Gleichung (6), 
daß f{z) und giß) teilerfremd sind. 

Eine weitere wichtige Folgerung ist: Sind f(z), g{z) und h{is) Funk- 
tionen in ^, von denen die leiden ersten teiler fremd sind, undist g{z)'h{z) 
durch f{ß) teilbar, so ist f{z) ein Teiler von h{z). Für teilerfremde f{z)y 
g{z) folgt nämlich aus (6): 

(7) h{z) = f{z) . ^{z)h{z) -f g{z)h{z) • q>{z), 

und da die beiden Glieder rechter Hand den Teiler f{z) haben, so hat 
auch h{z) diesen Teiler. 

Mit (p{z) und ^(^) genügen auch die beiden Funktionen: 

(8) qpi(^) = (p{z) -f ^{z)f{z), i^,{z) = Jl^iz) - (D{z)g{z) 

der identischen Gleichung (6), wobei g){z) eine beliebige Funktion in ^ 
ist. Man kann über ra {z) so verfügen, daß qpj {z) einen Grad < n erhält. 
Aus der identischen Gleichung: 

• f{^)^l^,{z)-^-9{^)^i{^ 



Sätze über Paare von Funktionen. Irreduzibilität 31 

folgt dann, daß ^i(^) einen Grad < m hat. Ist aber weiter q)[(0) und 
i^j(^) irgendein Funktionenpaar mit Graden < n bzw. < m, das die Glei- 
chung (6) befriedigt, so folgt als identische Gleichung: 

Da f(0) und g{is) teilerfj'emd sind, so muß nach dem letzten Satze f(0) 
ein Teiler von {(pi{2) — (p[is)) sein, so daß die letztere Funktion, da sie 
den Grad n von /'(^) nicht erreicht, mit identisch ist. Es sind also (pi(^) 
und (p[{ii) identisch, und ebenso folgert man die Identität von ti{^) und 
t[{^)' Sind f\z) undg(z) teuer fremd^ so gibt es ein und nur ein Paar, die 
identische Gleichmig (6) befriedigender Funktionen 9(^), 'fpi^), deren Grade 
bsiv. < n und < m sind. 

Sind fis) und g(z) wieder teilerfremd und sind (p{8) und ilf{z) zu- 
nächst zwei beliebige die Gleichung (6) erfüllende Funktionen, so folgt 
durch Multiplikation mit irgendeiner Funktion li{z) die Gleichung (7). 
Schreiben wir in ihr für h,(2)(p{z) und h{s)tl)(/) gleich selbst wieder (p{z) 
und rp{ß)y so folgt: 
(9) h{z)=^f{d)^l^{z)^g{z)cp{z). 

Hieran schließe man die oben mit den Gleichungen (8) begonnene Be- 
trachtung, die jetzt zu folgendem Ergebnisse führt: Sind f(z) und g(z) 
teilerfremdj so Jcann man jede Funlction li{z) in ^ in der Gestalt (9) mit 
zwei FimMionen (p{z) und iIj(z) in ^ darstellen, und zivar Jcann man die 
Funhtionen g)(z) und il^iß) in einer und nur einer Art so wälden, daß der 
Grad von (p{z) Meiner als der Grad n von f(z) ist. 

Die Funktion /'(^) heißt j^in ^ reduzibel", falls sie eine Funktion x(z) 
in ^ von einem Grade, der > und < n ist, zum Teiler hat; besitzt sie 
keinen solchen Teiler, so heißt sie „in ^ irreduzibeV^. Der Zusatz „in ^'^ 
wird hierbei, wenn er sich von selbst versteht, gewöhnlich fortgelassen. 
Eine reduzibele Funktion f(z) ist in das Produkt f(z) = %{/)- %^{z) zweier 
Funktionen in ^ spaltbar, deren Grade zwischen und n liegen. Sie hat 
nämlich einen Teiler %{z), worauf wir vermittelst der Division von f{z) 
durch ;^(^) einen Quotienten ;^j (;sr) erhalten, der die Bedingungen des Satzes 
erfüllt.- 

Ist ^ der Körper aller reellen Zahlen, so ist jede Funktion f{z) 
eines Grades w > 2 reduzibel; sie ist nämlich in ^ in Faktoren ersten 
oder zweiten Grades spaltbar. Ist ^ der Körper aller Zahlen, so ist jede 
Funktion f{z) eines Grades w > 1 reduzibel, nämlich in Faktoren ersten 
Grades zerlegbar. Diese Angaben folgen aus dem Fundamentaltheorem 
der Algebra. 

Es besteht der Satz: Ist von den beiden Funktionen f\z) und g{z) in 
^ die erste irreduzibel, so sind f{z) und g{z) entweder teiler fremd oder g{z) 
hat den Teiler f(z). Sind sie nämlich nicht teilerfremd, so haben sie einen 



32 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

größten gemeinsamen Teiler %{z) eines Grades > 0^ der als Teiler der 
irreduzibelen Funktion f{2), abgesehen von einem konstanten* Faktor, nur 
f{z) selbst sein kann. Einfache Folgerungen des letzten Satzes sind: Zivei 
irreduzibele Funktionen f{z) und g(z) sind entweder teuer fremd oder bis auf 
einen konstanten Faktor ^ der eine Zahl aus Ä ist, identisch. Sind sie näm- 
lich nicht teilerfremd, so ist jede Funktion ein Teiler der anderen. Eine 
irreduzihele Funktion f{z) ist stets teilerfremd zu ihrer Ableitung f\z). Es 
kann nämlich f{z) als Funktion {n — If^^ Grades in ^ nicht durch f{s) 
teilbar sein. 

Endlich besteht der Satz: Eine reduzibele Funktion f{ß) ist nur auf 
eine Art als Produkt irredusibeler Funktionen darstellbar, abgesehen davon, 
daß jede irreduzibele FtmMion noch um eine Zahl aus ^ als Faktor abge- 
ändert 'werden mag. Haben wir nämlich für f(/) die beiden Zerlegungen: 

in irreduzihele Faktoren, so ist g^ {s) Teiler des Produktes von /j {z) und 
fii,^) ' fsi^) ' ' ' f/iii^)- Da f^(z) und g^{z) irreduzibel sind, so sind diese 
Funktionen entweder (bis auf einen konstanten Faktor) identisch oder 
teilerfremd. Im letzteren Falle ist gi{z) Teiler von f2{z) ■ f^iß) - - - f,,{z). 
Indem man alsdann dieselbe Schlußweise für g-i^{z') und das Produkt 
U{^) ' ih^^) ' ' ' ffS^)) wiederholt und in derselben Weise fortfährt, ergibt 
sich, daß g^{z) notwendig unter den Faktoren f^{z), f^{z), . . ., fjz) auf- 
tritt. Die Fortsetzung des Beweises ist einleuchtend. 

§ 5. Algebraische Zahlen in bezug anf einen Körper ü. 

Durch Nullsetzen einer Funktion f{z) in ^ entsteht eine „Gleichung 
im Körper ^" oder kurz eine „Gleichung in ^^' f{z) == 0, die „in ^ redu- 
zibeV^ oder „irreduzibel^^ heißt, je nachdem die Funktion f(z) reduzibel 
oder irreduzibel ist. Der Zusatz „in ^" wird auch hier gewöhnlich fort- 
gelassen. Zwei Gleichungen f(z) = und g(z) = in $t haben keine ge- 
meinsame Lösung, falls f(z) und g(z) teilerfremd sind. Haben diese Funk- 
tionen aber einen größten gemeinsamen Faktor x (z) eines Grades v > 0, 
so ist jede gemeinsame Wurzel der Gleichungen f(z) == und g(z) = 
eine Wurzel der Gleichung x(z) = und umgekehrt. Diese Angaben fol- 
gen leicht aus den Formeln (5) ff. von § 4. 

Die Sätze aus dem letzten Teile des vorigen Paragraphen ergeben 
nun unmittelbar einige wichtige Folgerungen: Eine irreduzibele Gleichung 
f{z) = hat nie eine mehrfache Wurzel. Hätte nämlich f{z) = eine 
mehrfache Wurzel, so würde diese auch der Gleichung f{z) = genügen, 
während doch f{z) and f {z) teilerfremd sind. Ist von den beiden Glei- 
chungen f{z) = und g{z) = die erste irreduzibel, so wird die ziveite 
entweder durch keine' oder durch alle Wurzeln der ersten befriedigt. Es 



Begriff einer in bezug auf Ä' algebraischen Zahl 33 

sind nämlich f{z) \xndig{3) entweder teilerfremd oder^(^) hat den Teiler 
f(z). Als besonderer Fall ergibt sich hieraus: Zwei irreduzibele Gleichun- 
gen in k haben entweder Iceine gemeinsame Wurzel, oder ihre linken Seiten 
sind^ abgesehen voti einem Jionstanien Faktor^ identisch. 

Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Eine Zahl 6 heißt j,alge- 
hraisch in bezug auf den Körper ^", wenn sie die Lösung einer Gleichung 
in ^ ist. Ist diese Gleichung reduzibel, so hat ihre linke Seite mindestens 
einen irreduzibelen Faktor, der für S verschwindet. Dieser Paktor sei 
vom n*®"" Grade und liefere für ö die irreduzibele Gleichung: 

(1) f{z) = 2-^a,z-^-\-a^z—^-\-- . . -f a,= 

mit dem Koeffizienten 1 im höchsten Gliede. Mit Rücksicht auf den 
letzten Satz folgt: Jede in bezug auf ^ algebraische Zahl 6 genügt einer 
eindeutig bestimmten irreduzibelen Gleichung (1) in ^. Ist w= 1, so ist 
6 im ^ enthalten. Ist w > 1, so bezeichnen wir die n Wurzeln von (1) 
durch dy 6', S", . . ., ö^""^); sie liefern n verschiedene in bezug auf ^ al- 
gebraische Zahlen, die einander j^Jconjugiert'' genannt werden, und von 
denen keine in ^ enthalten ist. 

Unter der j,Ädjun]äion" von 6 zum Körper ^ versteht man den Zu- 
satz von 6 sowie aller durch rationale Rechnungen aus 6 und Zahlen 
von ^ berechenbarer Zahlen zum Körper ü-, natürlich bleibt wieder die 
Division durch ausgeschlossen. Die Adjunktion führt zu einem durch 
(ü, 6) zu bezeichnenden Zahlkörper, der ^ in sich enthält. Ist ö in Ä 
enthalten, d. h. ist w = 1, so ist natürlich der Körper (Ä\ 0) kein anderer 
als ^ selbst. Ist indessen w > 1, so tritt eine Erweiterung von ü ein; 
dieser PaU wird uns demnach vornehmlich interessieren. 

Jede Zahl J des erweiterten Körpers (^, 6) ist in der Gestalt: 

(2) t^m 

darstellbar, wo h(z) und g(z) Funktionen in ^ sind, von denen die letztere 
für ^ = ö nicht verschwindet. Da hiernach f{z) und g(z) teilerfremd sind, 
so ist h(z) nach einem Satze von S. 31 in der Gestalt: 

darstellbar. Dabei sind die Funktionen (p(z) und tjj^z) eindeutig be- 
stimmt, wenn wir fordern, daß (p(z) einen Grad <n hat und damit die 
Gestalt besitzt: 

(4) (p(z) = c^+c,z -f c,z'+ . . . -h c„_,z"-\ 

Tragen wir nun in (3) insbesondere z = 6 ein, so wird f(6) = 0, und wir 
finden: ..^v 

Pricke, Die elliptischen Funktionen II 3 



34 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheoiie 

Wir sind damit zu dem Satze gelangt: Jede Zahl J des erweiterten Kör- 
pers (^, 6) ist auf eine und nur eine Art in der Gestalt: 
(Ö) 5 = Co + c,ö-i-C2(9^ + ...-}-c,_iÖ"-i 

darstellbar (unter Cq, c^y . . ., c^_^ Zahlen aus ^ verstanden), und umgekehrt 
ist jeder Ausdruck (5) eine Zahl von {% 6). Es bleibt hierbei nur nocb 
zu zeigen, daß die einzelne Zahl J nur auf eine Art in der Gestalt (5) 
darstellbar ist. Gäbe es nämlich noch eine zweite solche Darstellung 
t, = c^ -]r c\B -{- • ' 'y so wäre: 

Die Gleichung (c;_, - c„_i)^«-i 4. . . . _f- (c; _ q)^ + (c^ - Cq) = hat 
demnach die Wurzel B, so daß die linksstehende Funktion den Teiler 
^ten Q^rades f{z) hat und also notwendig die identisch verschwindende 
Funktion ist. Daraus folgt die Behauptung. 

Es besteht folgender Satz: Ist 6 algebraisch in bezug auf ^ und öj 
algebraisch in bezug auf (ß, 6), so ist 6^ auch algebraisch in bezug auf ^. 
Die Zahl 6^ genügt einer Gleichung: 

g{g, ö) = ^' + d, {ey - > + rf, (ö)r'- ^ + • . ■ 4- rf,(ö) = 0, 

deren Koeffizienten als Zahlen von (^, B) die Gestalt (5) haben. Man 

bilde das Produkt: 

(6) Kn) = g{s, ff) ■ g{,, ff) ■ g{s, Ö") • • • g{,, ÖC-D), 

dessen Faktoren man gewinnt, indem man in g{Zj B) für B der Reihe nach 
die n konjugierten Zahlen B, B\ B'\ . . ., B^"~'^\ d. h. die n Wurzeln der 
irreduzibelen Gleichung (1) einträgt. In Abhängigkeit von ö, B', B" ^ . . ., 
Ö^'*"^^ \%ih{z) eine symmetrische Funktion, deren „Koeffizienten" zufolge 
der Bauart der d „Funktionen in ^" sind. Nach dem Hauptsatze von 
S. 25 läßt sich diese symmetrische Funktion in eine rationale ganze Funk- 
tion der Koeffizienten a^, «g; • • •; ^« ^^"^ (1) umrechnen, wobei die Koef- 
fizienten dieser Funktion der a ganzzahlige lineare homogene Verbin- 
dungen der eben genannten Funktionen in Ä' sind. Also ist h{z) selbst 
eine Funktion in ^ und h{z) = eine Gleichung in ^, deren Lösung 
öl ist. 

§ 6. Oleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Zahlen. 

Es seien B^ und B^ zwei verschiedene in bezug auf ^ algebraische 
Zahlen, die den beiden irreduzibelen Gleichungen fi{z) = und /"2(^) = 
der Grade n^ und % mit den höchsten Koeffizienten 1 genügen. Da die 
Koeffizienten von f^i^) in Ä' und also in (^, B^ enthalten sind, so ist B^ 
auch in bezug auf (^, B^) algebraisch. Ist B^ in (Ä, B^ enthalten, so er- 
gibt die Adjunktion von B^ zu (^, öj keine Erweiterung dieses Körpers. 
Ist aber B^ nicht in (^, B^ enthalten, so liefert die Adjunktion von B^ zu 



Adjunktion mehrerer algebraischer Zahlen zu Ä 35 

(ßy 6^) einen durch (^,6^ O^) zu bezeichnenden erweiterten Körper, dessen 
sämtliche Zahlen durch 6^ und Zahlen C^, Cj, Cg, ... aus (^, öj in der 
Gestalt: 

(1) c'„+c,ö,+ c,0H--- + c^-iör' 

darstellbar sind.^) Trägt man für die C ihre Darstellungen (5) S. 34 ein, 
so nehmen die Zahlen von (ß, öj, ög) die Gestalt an: 

(2) 2c,J'A, X = 0, 1, ..., W.-1, ^ = 0,1,...,%-!, 

WO die C;j^ Zahlen aus ^ sind. Umgekehrt ist jeder Ausdruck (2) eine 
Zahl aus (^, öj, ög)- Offenbar gelangt man zu demselben Körper, wenn 
man zu ^ zunächst ög und dann 6^ adjungiert; man kann auch sagen, es 
entstehe (^, ö^, O^) durch gleichzeitige Adjunktion von 6^ und 6^. 

Diese Betrachtung ist leicht zu verallgemeinern. Sind sogleich öj, 
^2? ' ■ "> ^m ii'gGJid m verschiedene in bezug auf ^ algebraische Zahlen, 
die den irreduzibelen Gleichungen f^^z) = 0, f^(si) =0, • • •, /"«W ™ ^ 
von den Graden ^1,^2,...,^^ und mit den höchsten Koeffizienten 1 ge- 
nügen, so entsteht durch gleichzeitige Adjunktion aller m Zahlen ein durch 
(^, Öj, Ö2, . . ., 9^) zu bezeichnender Körper, dessen Zahlen & in der 
Gestalt: 

(3) © = J'Ci^....öJöjej.., A = 0,l,...,n,-1, fi = 0,l,..,»,-l,... 

mit Koeffizienten c aus ^ darstellbar sind. Zugleich liefert jeder Aus- 
druck (3) eine Zahl aus (^, ö^, ög, . . ., 6^). Die angenommene Verschie- 
denheit der O^y $2, . . ., 6^ schließt nicht aus, daß zwei oder mehrere dieser 
Größen oder vielleicht sogar alle der gleichen irreduzibelen Gleichung ge- 
nügen und also konjugiert sind. Es ist ja nur die Verschiedenheit 
der ö, aber nicht diejenige der irreduzibelen Gleichungen /'^ (2) = 0, /*2(xf) = 0, 
• • V /m(^) = ö gefordert. 

Es besteht nun der grundlegende Satz: Der durch AdjunJction einer 
heliebigen Anzahl in hezug auf ^ algebraischer Zahlen 0^^ 0^, . . •, 0^ ent- 
stehende Körper (^, 0^,02,..., 6^) ist auch herstellbar durch Adjunktion 
einer einzigen in bezug auf^ algebraischen Zahl 7], die man in der Gestalt: 

(4) v = nOt + 7A+-- + r^o^ 

mit rationalen ganzen Zahlen y wählen kann. 



1) Diese Darstellung ist übrigens nur dann eindeutig für die einzelne Zahl 
von (Ä, öi,Öj) bestimmt, wenn f^{z) auch im Körper (^, ÖJ irreduzibel ist. Trifft 
dies nicht zu, so genügt d^ einer in (^, ÖJ irreduzibelen Gleichung eines Grades 
W2<C^2' uiid wir haben dann für die einzelne Zahl von (^, ö^, Öj) eine Darstel- 
lung (1) jedoch nur vom Grade (ng — 1) in 6^ , die dann eindeutig ist. Durch 
diesen Umstand wird die folgende Schlußreihe nicht berührt. 



36 Einleitung, Teil U : Galoissche Gleichungstheorie 

Zum Beweise erklären wir tj zunächst als lineare homogene Funktion 
von m unabhängigen Variablen ^ly ^^y - - -j 0rn' 

(5) V = ^te,+,,d, + z,d,+ - • . + 0^6^. 

Die Zahl 6^ ist eine unter n^ voneinander verschiedenen konjugierten 
Zahlen ö^, $[, . . ., 6[^^~^\ Ebenso haben wir Wg voneinander verschie- 
dene konjugierte Zahlen ög? ^2? • • •? ^2"""^^ ^^^- Gfreift man je eine Zahl 
aus dem einzelnen der m Systeme konjugierter Zahlen heraus, so lassen 
sich auf diese Weise N = n^- n^- n.^ • ' ' '^m Kombinationen bilden, von 
denen keine zwei in der vorliegenden Anordnung dasselbe Zahlensystem 
darstellen. Man ersetze nun in (5) die ö^, ög, . . ., ö^ nach und nach durch 
alle N Kombinationen und gewinnt auf diese Weise N lineare Funktionen 
rjj rfy rf'y . . ., 7f^~'^\ von denen keine zwei identisch sind. Es stellen 
demnach die \N{N — 1) Differenzen: 

(6) V ~ V > V ~ v'y • • •> V ~ V^^''^^ V ~ v\ ■ • -7 rf^~^^ — rf^-'^) 
ebenso viele lineare Funktionen der 3^, s^, . . ., z^^ dar, von denen keine 
einzige identisch verschwindet. 

Diese Funktionen genügen den Voraussetzungen des Satzes von S. 27. 
Nach jenem Satze können wir jetzt den Argumenten 3^, z^^ . . .y 3^ der 
jNiN— 1) Funktionen solche ganzzahlige Werte y^ ^21 • - -y 7m ei^eÜen, 
für welche keine der Funktionen (6) verschwindet. Für diese ganzzah- 
ligen Argumente y nehmen also die n linearen Funktionen rj,rj'y...y -j^^^-^) 
durchgängig voneinander verschiedene Werte an. Wir nennen diese 
Werte gleich selbst wieder rj, rf^ . . . , rf^^~ ^^ ; der erste der Werte soU die 
in (4) in Ansatz gebrachte Zahl sein. 

Wir bilden nun mit den N Zahlen rij r{, . . ., rf^-'^) und einer Va- 
riablen Z die Funktion iV*®"^ Grades: 

(7) F{Z) =. {Z-r,){Z- r,'){Z-r,") ■ ■ ■ (Z - r/*-»), 
die entwickelt die Gestalt habe: 

(8) F{Z) = Z^ H- A,Z'^-' + A,Z^-'^ 4. . . . + j.^,. 

Die Koeffizienten A^, A^, . . ., A^ sind (abgesehen vom Vorzeichen) die 
symmetrischen Grundfunktionen der 7;, rf^ . . ., 7]^^~^l Stellen wir die 
Tj, r{, . . ., rf^-'^) durch die 6 dar, so werden die A^, A^, . . ., A^ zu gan- 
zen ganzzahligen Funktionen der Lösungen der m Gleichungen f[ {z) = 0, 
f^{z^ = 0^ .. .^ ^^^(^) = 0, und zwar sind sie symmetrisch in den Wur- 
zeln jeder einzelnen dieser Gleichungen. Wir rechnen nun die A zunächst 
als symmetrische Funktionen der n^ Wurzeln von f^ (s) = in rationale 
ganze Funktionen der Koeffizienten dieser Gleichung um, wobei nach dem 
Hauptsatze von S. 25 als „Koeffizienten" ganze ganzzahlige Funktionen 
der Wurzeln von f^{3) =- 0^ . . ., f^iz) = auftreten, die wieder in den 
Wurzeln jeder dieser Gleichungen symmetrisch sind. Durch Wiederho- 



Zurückführung mehrerer Adjunktionen auf eine einzige 37 

lung dieses Verfahrens finden wir für die A schließlich ganze ganzzah- 
lige Ausdrücke in den Koeffizienten aller Gleichungen /i {z) = 0, f^ (z) = 0, 

• • •? fm{^) '^ ^' ^^ ^^^ ^^^^ ^(^) == ^ ^^'**^ Gleichung in üy so daß t] als 
Lösung dieser Gleichung eine in hezug auf ^ algebraische Zahl ist; zu- 
gleich gilt für die Ableitung F' {Z) die Ungleichung F\rf)=^Oy da die 
Gleichung F(Z) = nur einfache Wurzeln hat. 

Es sei nun irgendeine Zahl ® des Körpers (^^ ^i; ^2? • • •? ^m) g^" 
wählt. Indem wir in der Darstellung (3) dieser Zahl die 6^, 0^, , . ., 0^ 
durch alle N Kombinationen der Wurzeln von /^ (z) == 0, /j (^) = 0, . . . , 
f^(z) = ersetzen, mögen wir die den t]^ rj', . . ., tj^^-^^ zugeordneten 
Zahlen @, @', . . ., S^^-"^) erhalten. Dann haben wir in: 

(9) |I^-® + ^V-®'+--- + ^-^-®''"""==^(^) 
eine ganze Funktion (N — 1)*"^ Grades von Z: 

H(Z) = B,Z^-^+B,Z''--'^ + --- + B^, 

und zwar sind die B^, B^, . . ., B^ ganze symmetrische Funktionen der 
Wurzeln jeder der m Gleichungen /iC^) = 0, . . ., f^^i^) = mit Koeffi.- 
zienten, die dem Körper ^ angehören. Auf Grund des Hauptsatzes von 
S. 25 folgern wir hieraus wie oben, daß II{Z) eine ,,Funktion in ^^' ist. 
Für Z = rj ergibt sich aus der Gleichung (9) : 

(10) ® = #i, 

und da F^rf) 4= ist, so gehört & zufolge (10) dem Körper (ß^ ij) an. 
Da andrerseits wegen (4) die Zahl ri in (^, 6^, ß^j . . ., B^ enthalten ist, 
so findet sich in diesem Körper überhaupt jede Zahl aus (^, rf). Jede 
Zahl des einen der beiden Körper (^, rf) und (^, ö^, Ög, . . ., B^ ist dem- 
nach im anderen enthalten, so daß beide Körper, insofern sie das gleiche 
Zahlensystem darstellen, einander gleich zu nennen sind. Der aufgestellte 
Satz ist damit bewiesen. 

Aus dem letzten Satze von § 5 (S. 34) ergibt sich noch eine Er- 
weiterung des eben bewiesenen Satzes. Wir nehmen jetzt die Adjunk- 
tionen in der Art hintereinander vor, daß ög algebraisch in bezug auf 
(^, B^ ist, ebenso B^ in bezug auf {ü, ö^, B^ usw. Dann ist nach dem 
Schlußsatze von § 5 zunächst B^ auch in bezug auf ,^ algebraisch; ebenso 
ist, da wir (^, öj, B^ als einen Körper {^, ri^ darstellen können, nach 
jenem Satze auch B^ algebraisch in bezug auf ^, und man folgert in der- 
selben Weise weiter, daß überhaupt aUe B^, B^, . . ., B^m bezug auf ^ 
algebraisch sind. Auch der durch diese Art der AdjunJction entstehende 
Körper (^, ö^, ög, . . ., Ö^J ist als ein Körper (^, rj) mittelst einer einzigen 
Adjunktion herstellbar. 



38 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungatheorie 

§ 7. Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Zahlen. 

Die in bezug auf Ä algebraische Zahl 6 genüge der irreduzibelen 
Gleichung n^^^ Grades (1) S. 33. Dem Grade n dieser Gleichung ent- 
sprechend heißt der durch Adjunktion von 6 zu ^ entstehende Körper 
(^, 6) ein algebraischer Körper n^" Grades in hezug auf ^. Ist n = 1, so 
ist ö in ^ enthalten, und die beiden Körper (ßj ß) und Ü sind gleich, 
d. h. sie stellen das gleiche Zahlensystem dar, was wir durch (^, 0) == ^ 
zum Ausdruck bringen. Ist w > 1 , so ist 6 nicht in ^ enthalten, und 
also enthält (^, 6) den Körper ^, ohne durch ihn erschöpft zu werden. 
Enthält allgemein ein Körper ^' einen Körper ^ in sich, ohne durch ihn 
erschöpft zu werden, so bringen wir dies S ach Verhältnis durch ^' > ^ 
oder Ä < ^' zum Ausdruck. In unserem Falle w > 1 gilt also (^, 6) > ^. 

Die n durchweg verschiedenen Lösungen der Gleichung f(z) = 
wurden als n „konjugierte^' in bezug auf ^ algebraische Zahlen bezeichnet 
(S. 33). Statt der bisherigen Bezeichnung ist es fortan zweckmäßiger, 
diese n konjugierten Zahlen durch untere Indizes zu unterscheiden und 
sie durch 6^= 6, 6^, Ög, . . ., ö^ zu bezeichnen. Ihnen entsprechen n m 
bezug auf ^ algebraische Körper w*«^ Grades (^,öj = (ß, d\ (Ä, ög), . . . 
Ä ^n); ^i® ^ f, konjugierte" Körper heißen. Die Zahlen dieser n Körper 
entsprechen einander umkehrbar eindeutig, indem wir einer Zahl: 

(1) ? == Co + c,Ö + 0,6' -f • • • -f c^.iO^-' 

von (Ä, 6) im Körper (^, öj die Zahl: 

(2) ii-c,+ c,e, -f c,e', + • • • + c.n.,er' 

mit den gleichen Koeffizienten c zuordnen. Je n solche Zahlen J^ = g, 
^2, gg, . . ., J„ soUen wieder j,honjugierif^ heißen. 

Wir setzen nun die Gleichung n^^ Grades an, die ein solches System 
von n konjugierten Zahlen zu Wurzeln hat; sie lautet: 

(3) g(w) = iw-i,){w-t,)---{w-Q = 
oder in ausgerechneter Gestalt: 

(4) g{w) = m;»4-&i^<^""^+ hw^'-^-l \-K= 0. 

Nach dem Hauptsatze von S. 25 sind die fe^, 63, . . ., h^ Zahlen in ^, also 
g(w) = eine „Gleichung in ^". Mit Benutzung der Entwicklungen in 
§ 2, S. 26, finden wir als Ergebnis: Je n honjugierte Zahlen 5i = 5, S2? • • •; 
g„ unserer n Körper sind die Wurzeln einer Gleichung w^^" Grades (4) in 
^, die eine Tschirnhaus&iiresölvente der Gleichung f{z) = ist; umgeTcehrt 
liefert jede Tschirnhausentransformation (2), S. 26, mit Koeffizienten c 
aus ^ eine Besolvente g(w) = von f(z) = 0, deren Wurzeln n Jcmijugierte 
Zahlen unserer Körper sind. 



Konjugierte Körper und Zahlen. Primitive und imprimitive Zahlen 39 

Die Zerlegung der Funktion g{w) in ihre in ü irreduzibelen Fak- 
toren sei: 

(5) g(w) = \ (w) 'h^(w)'" \ (w) ; 

der Bestimmtheit halber seien die höchsten Koeffizienten der Faktoren 
alle gleich 1 genommen. Ein beliebiger dieser Faktoren liefert eine Glei- 
chung h{w) = in Ä, die durch mindestens ein ^. befriedigt wird. Dann 
wird das zugehörige 6. der Gleichung in ^: 

(6) h{c, + c,0 ^€,0'+.,. + c„_,z-') = 

genügen. Da f(d) = irreduzibel ist, so wird nach S. 32 die Gleichung (6) 
mit 6. sogleich alle n konjugierten Zahlen 6^, B^j . . ., B^ zu Wurzeln 
haben. Daraus folgt umgekehrt, daß h{w) = durch alle Zahlen ^i, ^2, 
, . ., t,^ befriedigt wird. Andere Wurzeln kann die Gleichung h{w) = 
nicht besitzen, da sie ein Bestandteil der Gleichung g{w) = ist. Da 
h{w) irreduzibel ist, so hat die Gleichung hiw) = nur einfache Wur- 
zeln. Da diese Überlegung für jeden Faktor h{w) gilt, so ergibt sich: 
Die linke Seite g{w) der Tschirnhausenresolvente (4) ist die ^i^'^ Potenz 
einer irreduzibelen FunUion hiw) vom Grade v, wo n - v => n gilt; die 
n konjugierten Zahlen t,^, ^3? • ■\-j ^n ^^^^ zu je ^ einander gleich und 
liefern v verschiedene Zahlen, die die Wurzeln der irreduzibelen Gleichung 
h(w) = sind. 

Wir wollen nun die beiden Fälle, daß ft => 1 oder /m< > 1 ist, unter- 
scheiden und stellen folgende Erklärung auf: Eine Zahl J des Körpers 
(ßt, B) heißt jyprimitiv'^ oder „imprimitiv^', je nachdem die n konjugierten 
Zahlen 5i = S? ^2? • • .? 5„ alle verschieden sind oder nicht. Dann besteht 
der Satz: In einem Körper (^, B) eines Grades w> 1 gibt es sicher 
unendlich viele primitive Zahlen}) Verstehen wir nämlich für den Augen- 
blick unter g die Funktion: 

der n unabhängigen Variablen ;2^o> -^i? • • •? -^«-i "^^ entsprechend unter 
ii die Funktion: c. ^i^ör^öa. ,^ an-i 

so sind keine zwei dieser Funktionen Ji = J, t,^, . . ., J„ identisch, da z.B. 
ihre Koeffizienten von z^ durchweg verschieden sind. Von den jn^n — 1) 
Funktionen (g, - ?,), (f, - Q, . . ., (J, ^ Q, (J, _ Q, . . ., (J_^ _ Q 
verschwindet also keine identisch. Durch Wiederholung der Überlegung 
von S. 27 findet man demnach, daß man die Zq, z^, . . ., z„_j^ auf unend- 
lich viele Arten als rationale ganze Zahlen so wählen kann, daß n kon- 
jugierte, durchweg verschiedene Zahlen J^, J2? • • v 5« unserer n Zahl- 
körper gewonnen werden. 



1) Für n==l würde die Unterscheidung primitiver und imprimitiver Zahlen 
ihre Bedeutung verlieren. 



40 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

Es sei jetzt S = 5i primitiv und also g'(t) 4= 0. Ferner sei ry = r^^ 
irgendeine Zahl aus (ßy 6) und Viy V27 - ' -y Vn ^^^ zugehörigen n konju- 
gierten Zahlen. Wir bilden den Ansatz: 

und erkennen genau wie S. 37 auf Grund des Hauptsatzes von S. 25 in 
H{w) eine Funktion (n — 1)*®^ Grades in ^. Setzen wir w; =- ^^ = ^ in 

(7) ein, so folgt: 

(8) V - j^ , 

so daß jede Zahl r] aus (^, 6) im Körper (ß, Q enthalten ist. Da umge- 
kehrt J in {^, 6) enthalten ist, so gilt {ß, J) = f^, 6). Durch ÄdjunUion 
irgendeiner primitiven Zald f von {ß^ 6) zum Körper ^ ergibt sich stets 
der gesamte Körper (ß^ 6) wieder. Ist hingegen t, imprimitiv, so ist {ß, ^) 
ein Körper eines Grades v < w, dessen sämtliche Zahlen irreduzibelen 
Gleichungen mit Graden ^ v genügen. In diesem Körper kann also 
keine primitive Zahl von (ß^ 6) enthalten sein: Für eine imprimitive 
Zahl S von {% 6) gilt {ß, J) < (^, 6), d. h. (^, J) ist in (t, d) enthalten, 
erschöpft aber den Körper (^, 6) noch nicht. 

Der Körper (^, 6) möge selbst „primitiv" oder „imprimitiv^'- heißen, 
je nachdem seine sämtlichen Zahlen (außer denen, die den Körper ^ 
bilden) primitiv sind oder neben primitiven auch imprimitive vorkommen. 
Ist t, eine noch nicht in .^ enthaltene imprimitive Zahl von {ß, ö), so 
genügt der Körper ^'= (^, J) der Bedingung ^ < ^' < (^, 0). Dieser 
Satz ist umkehrbar: Jeder die Bedingung ^ < ^' < (^, 6) erfüllende 
Körper ü\ der also ^ enthält und in {ß, 0) enthalten ist, ohne mit einem 
dieser Körper gleich zu sein, ist ein Körper {ß, 5), der aus ^ durch Ad- 
junTction einer imprimitiven Zahl J von (^, 6) geivinnbar ist. Die Existenz 
eines solchen Körpers ^' ist also charakteristisch für einen imprimitiven 
Körper {ü, B). 

Zum Beweise verstehen wir unter t,^ eine nicht in ^ enthaltene Zahl 
von ^'. Dann gilt (^, ^i) ^ ^', und t,^ ist eine imprimitive Zahl von (ß, 0), 
so daß der Grad v^ von {ß, f^) die Ungleichung v^ < n befriedigt. Ist 
{ß, Ji) = ^'', so ist der Satz bewiesen. Ist {ß, t,^ < Ü\ so sei ^^ eine nicht 
in {ß, gl) enthaltene Zahl von ^'. Nach S. 35 ff. können wir dann eine 
gleichfalls in ^' enthaltene Zahl t,^ so wählen, daß {ßj^i,^^)^ Ä ^2) 
wird. Der Körper (ß, fg) befriedigt die Bedingung {ß, J^) ^ ^'? ^^^ sein 
Grad v^ liegt im Intervall i/^ < Vg <^ W- Ist auch jetzt noch nicht (£, go) 
= ^', so können wir in derselben Art einen Körper {ß, gg) bilden, für 
den {ß, fg) ^ ^' gilt, und dessen Grad Vg im Intervalle v^<v^Kn liegt. 
Dieser Prozeß führt nach endlich vielen Schritten zum Ziele, d. h. zu 
einem Körper {ß, J.), der gleich ^' ist; denn die Grade v sind ganze po- 



Primitive und imprimitive Körper. Galoissche Körper 41 

sitive Zahlen, von denen jede größer als die vorhergehende ist, und die 
aUe < n sind. 

Einige bemerkenswerte Folgerungen sind noch: Ein Körper (^, 0) 
vom Frimsahlgrade n ist stets primitiv. Der Grad v der irreduzibelen 
Gleichung für eine imprimitive Zahl aus (^, 6) ist nämlich ein von n 
selbst verschiedener Teiler von n-, im FaUe einer Primzahl n haben wir 
also nur v = 1. Ein die Bedingung : 

(9) ^<^' < {^, d) 

erfüllender Körper £' ist, falls er vom n^^^ Grade ist, notwendig gleich 
{üj 0). Wie soeben stellen wir nämlich ^' als einen Körper (^, J) dar und 
hahen in ^ wegen des Grades n von ^' = (^, Jj eine primitive Zahl von 

§ 8. Galoissche Körper und Oaloissche Resolventen.*) 

Wie bisher seien {^, d) = {Ü, 0^), (^, 6^), . . ., (^, OJ konjugierte 
in bezug auf U algebraische Körper n^^"^ Grades. Soll 6. in (ß, 0) ent- 
halten sein, so ist hierfür hinreichend und notwendig das Bestehen einer 
Gleichung : 

(1) ö, = c,„ + c,,e + c,,6^ + ... + <;,„_,e»-% 

wo die c hier und weiterhin stets Zahlen aus ^ sind. Es ist dann 
(^, 0^ ^ {% 9) und also nach dem Schlußsatze von § 7 genauer (^, 6^) 
= (^, 6\ so daß aus (1) umgekehrt auch die Gültigkeit einer entspre- 
chenden Darstellung von 6 in 0^ entspringt. 

Hieran schließt sich folgende Erklärung: Der Körper n*^'^ Grades 
{ü, 0) heißt ein y,Galoisscher Körper'^ oder ,yNormalkörper^^, falls er mit 
seinen sämtlichen konjugierten Körpern gleich ist. Ein notwendiges und 
hinreichendes Kennzeichen für einen Norraalkörper ist also, daß sich alle 
mit 9 = 6^ konjugierten Zahlen 9. in der Gestalt (1) durch 9 darstellen 
lassen. Es wird sich dann in entsprechender Gestalt überhaupt jedes 9^ 
in jedem 9^ darstellen lassen. Einleuchtend ist der Satz: Ein Galoisscher 
Körper enthalt mit irgendeiner Zahl J stets alle mit J konjugierten Zahlen 
in sich. 

Ein den Körper (^, 9) umfassender Galoisscher Körper wird neben 
9=9^ auch die konjugierten Zahlen 9^y 9^, . . ., 9^ und damit den Kör- 
per (ßj 9^y 9^, . . .y 9J enthalten. Es gilt aber der Satz: Der Körper 
(^, 9^y ^2, . . ., 9^) ist selbst ein Galoisscher Körper und ist demnach als 



1) Die folgenden Entwicklungen geben die Grundzüge der Galoisschen Glei- 
chungstheorie in der neueren auf den Körperbegriff aufgebauten Gestalt. Galois' 
Werke sind im Zusammenhang von Liouville im Bd. 11 des Journ. de math. 
(1846) veröffentlicht, eine deutsche Ausgabe ist von Maser veranstaltet (Berlin, 
1889). 



42 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungatheorie 

der „kleinste^' den gegebenen Körper (ßj 6) enthaltende Galoissche Körp&r 
SU teseiclmen. Nach S. 35 können wir nämlich den Körper (^, ^i, ög, . - ., ÖJ 
auch als einen Körper (Ä', rj) durch Adjunkt ion einer einzigen Zahl: 

(2) n-rA + rA+--- + rJn 

mit rationalen ganzen Koeffizienten y herstellen. Die Zahl r} genügt einer 
Gleichung in ^ vom Grade N= n"^ deren sämtliche Wurzeln in der Gestalt: 

(3) rA+yA+--- + rA 

enthalten sind.-^) Wir nennen jetzt den irreduzibelen Bestandteil dieser 
Gleichung, welcher tj als Wurzel hat, F(Z) = und bezeichnen den 
Grad dieser in ü irreduzibelen Gleichung durch m. Da alle Wurzeln 
dieser Gleichung die Gestalt (3) haben, so sind sie in (^, öj, ß^j . . ., öj 
enthalten, d.h. alle mit ri konjugierten Zahlen gehören wieder dem Kör- 
per {U, 7}) an, so daß {ß, i^) = (^, öj , ö^ , . . . , ö J tatsächlich ein Normal- 
körper ist. 

Es mag noch bemerkt werden, daß sich die eben gewonnenen Ergeb- 
nisse von der Voraussetzung der Irroduzibilität der Gleichung f{ß) = 
frei machen lassen. Den Vorbedingungen der Entwicklung von S. 35 ff. 
entsprechend haben wir nur zu fordern, daß die n Wurzeln 0^, O^, . . ., ß^ 
der Gleichung f{z) = durchweg verschieden sind. Wir gewinnen zufolge 
jener Entwicklungen auch dann in (^, ^i? ^2; • • •? ^n) "= (^? v) einen 
Galoisschen Körper, nur ist er nicht mehr notwendig der „kleinste^ den 
Körper (^, ß) umfassende Galoissche Körper. Doch werden wir weiterhin 
immer nur beiläufig auf den Fall einer reduzibelen Gleichung f(0) = 
eingehen. 

Bezeichnen wir jetzt allgemein die Zahlen des Galoisschen Körpers 
(^, öj, Ö2, . . ., ß„) durch 7]^ so ist jede von ihnen in der Gestalt: 

(4) n = Rie„ e,, . . ., ej 

als rationale Funktion der ß^j ög, . . ., ß^^ mit Koeffizienten aus ^ dar- 
stellbar. Jede primitive Zahl (4) des Galoisschen Körpers genügt einer 
irreduzibelen Gleichung in ^ vom Grade m: 

(5) F{Z)^0, 

die man als eine ^^Galoissche Resolvente^^ der Gleichung f(3) = () bezeichnet, 
mag die letztere Gleichung irreduzibel oder reduzibel sein. Betrachtet 
man den Körper '{ß., rf) ohne Beziehung auf (ß, ß) und die Gleichung 
f{z) = als einen durch Adjunktion von 7; zu ^ entstehenden „Normal- 
körper", so erscheint es zweckmäßiger, die Gleichung (5) als eine j^Nor- 

1) Zur Vorbereitung der hier vorliegenden Überlegung wurde bereits S. 35 
darauf aufmerksam gemacht, daß nur die damals 0^,02, . . . , 0,„ genannten 
Zahlen verschieden sein sollten, daß dagegen die Gleichungen f^ {z) = 0, f^ (z) = 0, 
. . ., /*^(^!) r= (wie ea hier zutrifft) alle einander gleich sein dürfen. 



Galoissche Resolvente einer Gleichung 43 

malgleicJmng" zu bezeichnen. Aus den Entwicklungen am Anfang des 
Paragraphen ergibt sich der Satz: Eine irreduzihele Gleichung m^'"^ Grades 
in ^ ist dadurch als eine Normalgleichung charaMerisiert, daß jede ihrer 
Lösungen rj. in einer heliebigen unter ihnen iq^. in der Gestalt darstellbar ist: 

Da alle Zahlen r^^j %y • • -j Vm i^ Ä ^i) enthalten sind und also der 
Körper (^, '»?i, ^2? • • •> Vm) =" Ä Vi) ^^% so kann man auch sagen, eine 
Normalgleichung sei dadurch charaJcterisiert, daß sie ihre eigene Galoissche 
Resolvente ist. 

Die Bedeutung der Galoisschen Resolvente geht aus folgenden An- 
gaben hervor. In der Theorie der algebraischen Gleichungen bezeichnet 
man, falls irgendein Zahlkörper vorgelegt ist, die Zahlen desselben als 
„rational heJkannte^' Größen. Ist eine Gleichung /*(^) = zu lösea, so sind 
mit ihr die Koeffizienten von /*(^) gegeben. Als vorgelegt gilt also ein 
Körper, der jedenfalls aUe Koeffizienten von f(z) enthält. Vm für den 
Augenblick mit einem bestimmten Körper zu tun zu haben, denken wir 
etwa ^ als Körper aller Zahlen, die sich aus den Gleichungskoeffizienten 
rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten berechnen lassen. Ist die Glei- 
chung f(^0) = irreduzibel, und ist ihr Grad n > 1, so gehören die Wur- 
zeln der Gleichung noch nicht zu den „rational bekannten" Größen. Aber 
es gilt der Satz: Hat man eine „einzige" Wu/rzel t] einer Galoisschen Resol- 
vente (5) von f{z) = gewonnen und damit die Erweiterung des Körpers 
Ü durch AdjunMion von rj zum Körper (9:, rj) vollzogen^ so sind nicht nur 
alle übrigen Wurzeln der Galoisschen Resolvente, sondern auch alle Wurzeln 
der Gleichung f\z) == selbst „rational behannt". 

§ 9. Die Transformationen eines Galoisschen Körpers in sich. 

Wie soeben bedeute rj eine fest gewählte primitive Zahl des Galois- 
schen Körpers, die der irreduzibelen Normalgleichung F(Z) =- vom 
Grade m genügt. Beliebige Zahlen aus (^, rj) mögen durch ^ bezeichnet 
werden; jede von ihnen ist eindeutig in der Gestalt darstellbar: 

(1) ^ = ^0 + ^1^ + c,rj' -f • • • + c^_ir "'• 

Die mit J konjugierten Zahlen unterscheiden wir wieder durch die Be- 
zeichnungen ?i = S, ^2? ^3? • • •? ^m- Is^ ^ primitiv, so sind diese m Zahlen 
alle verschieden; andrenfaUs werden sie zu je [i einander gleich und stel- 
len V verschiedene Zahlen ^1 = ^, ^2? • • •? 5,. dar, wo ^ ein von 1 ver- 
schiedener Teiler von m und fi-v = m ist. Bezeichnen wir allgemein ein 
System konjugierter Zahlen durch ^1,^2,...,^^,, so können wir den Fall 
primitiver Zahlen für v =» m hier mit einbegreifen. 

Im Ausdruck (1) aUer Zahlen von {Ü, rj) ersetzen wir jetzt rj durch 



44 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

irgendeine konjugierte Zalil rj^. Hierbei geht jede Zahl t, von {ü^rj) in 
eine bestimmte mit ihr konjugierte Zahl über^ und zwar zwei verschiedene 

Zahlen stets wieder in zwei verschiedene. Ist nämlich ^ = Cq -{- c'^t] -\ 

+ f^'m-iV"'~^ ^0^^ d^i* i^ W dargestellten Zahl J verschieden, so gelten 
nicht gleichzeitig alle m Gleichungen cjj== c^, c[= c^j . . ., c^_i == c^_i. 
Dann sind aber notwendig auch die beiden Zahlen: 

verschieden, da aus ihrer Gleichheit eine nicht identische Gleichung in ^ 
für 7]^ von einem Grade < ni hervorgehen würde, was der Irreduzibilität 
von F(Z) = widerspricht. Es folgt: Beün Ersatz von fj durch irgend- 
eine der m 'konjugierten Zahlen rj^ erfahren je v Iconjugierte Zahlen J^ , gg? • • •? ?v 
des Galoisscheii Körpers (^, rf) eine bestimmte Fermutation. Wir bezeichnen 
diese Permutation (damit ^^ = 1 die identische Permutation wird) durch 
S^_^ und erhalten (da die mit t, konjugierten Zahlen alle in (ß, ri) enthal- 
ten sind), indem wir der Reihe nach 'y]a'=VifV2j - --y Vm setzen, im ganzen 
m Transformationen des Galoisschen Körpers (^, ri) in sich, die wir gleich 
selbst wieder S^, S^, . . ., S^_^ nennen, und von denen S^ == 1 die ,jiden- 
tische'^ Transformation ist, bei der jede Zahl von (^, rj) sich selbst ent- 
spricht. 

Diese Transformationen haben eine wichtige aus der Irreduzibilität 
von F(Z) = folgende Eigenschaft. Es seien durch das Symbol B bei 
der folgenden Überlegung stets rationale Funktionen bezeichnet, deren 
Koeffizienten in ^ enthalten sind. Es seien zunächst Bj^(z) und i?2(^) 
solche Funktionen einer Variablen, und es mögen die Zerlegungen der 
i?i (z)y 11^ (z) in Quotienten je zweier ganzer Funktionen gegeben sein durch: 

Dann besteht der Satz: Haben die Funläionen B^(z), B^{z) für z = rj = rj^ 
gleiche endliche Werte y B^(rf) = B^irf), so haben sie für jede der m kon- 
jugierten Zahlen rj^ gleiche endliche Werte, B^ (rj^) = B^ ('»/«). Der Voraus- 
setzung nach gelten nämlich die drei Bedingungen: 

9i{v) + 0, g,(7i) =4= 0, ffiivVhiv) - 92(v)'h{v) = 0, 
wo linker Hand „drei Punktionen in ^' stehen. N'ach einem S. 32 auf- 
gestellten Satze folgt sofort für jedes rj^/. 

9i iVa) + , g. (i? J + , g, (rj^) h, (r^J - g. (t? J h, (>? J = , 
woraus die Richtigkeit des Satzes hervorgeht. 

Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall des folgenden grund- 
legenden Satzes: Besteht zwischen irgendwelchen Zahlen J, ^\ ^", . . . und 
^, ff ^", . . . aus (^, ^) eine Gleichung: 

(2) B,{t,t',t",---)-Ji,{lt',f',---), 



Transformationen des Galoisschen Körpers in sich 45 

WO rechts und links rationale Ausdrücke endliciier Werte mit Koeffizienten 
des Körpers ^ stehen, so sind auch die beiden Zahlen R^iXai C? • • •) ^^^ 
R^^aj &7 • • •) ^öf^2!c/i und einander gleich: ^ 

(3) -Ria., c, c, ■ ■ •) =.ii,{L, z, ?:, ■•■), 

wenn wir unter J„, ^^, J^', ... und t,^, ^^, ?«?••• die aus den Argumenten in 
(2) durch die Transformation S^_^ hervorgehenden Zahlen verstehen. Der 
Beweis folgt sofort aus dem voraufgehenden Satze, wenn wir in (2) rechts 
und links für die Argumente ihre Ausdrücke (1) in ri eintragen. 

Die Transformation S^_^ mag nun als Permutation der ri die fol- 
gende sein: 

und also rj^^ in rja^^. überführen. Dann gilt der Satz: Die Transformation 
^a-i ^^^ Galoisschen Körpers in sich kann auch dadurch vollzogen iverden, 
daß man alle Zahlen dieses Körpers durch rjj^ darstellt und in diesen Dar- 
stellungen Tjf. durch rjaj^ ersetzt. Hat nämlich die beliebige Zahl J des 
Körpers in rjj. die Darstellung: 

(5) ^ = 4 + <% + oWk + • • • + <n-iv'r'> 

und geht J durch die Transformation S^_^ in f^ über, so folgt aus (5) 
nach dem soeben bewiesenen Satze die Gleichung: 

o 

^a = 4 + < Va, + 4^Jä + • • • + 4-1 Vu'''- 

Daraus geht die Behauptung unmittelbar hervor. 

Aus dem letzten Satze folo't die Möglichkeit der Ziisammensetzungr 
je zweier Transformationen des Körpers in sich. Üben wir zunächst die 
Transformation S^_^ aus, die yj in 7]^ überführt, und hierauf die Trans- 
formation /S^_i, die vermittelst des Ersatzes von rj durch rj^ oder also 
vermittelst des Ersatzes von rj^ durch t]^ erzielt werden kann, so ge- 
langen wir zu einer durch S.^^ - S^^_^ zu bezeichnenden Transformation, 
die unmittelbar vermöge des Ersatzes von rj durch rj^i^ erzielbar ist, also 
unserem System der m Transformationen wieder angehört und für die 7} 
die Permutation liefert: 



o ^ (Vi, V2y '"^Vm \ 



Das System der m Transformationen Sq, S^, . . ., Ä,„_i erfüllt hiernach 
die erste Gruppenbedingung von S. 2. Aber auch die beiden anderen 
Gruppeneigenschaften liegen vor; man zeigt dies wie S. 18, indem man 
die S als Permutationen der i^u V2'< - - - Vm schreibt und beachtet, daß 
die einzelne Permutation die zugehörige Transformation des ganzen 
Körpers in sich eindeutig festlegt: 



46 Einleitung, Teil 11: Galoissche Gleichungstheorie 

Die m Transformationen eines Gdloisschen Körpers m'^" Grades in 
sich bilden eine Gruppe G^ der m^^ Ordnung^ die sich für die rj^j »?2; • • •? Vm 
sowie überhaupt für jedes System Iconjugierter primitiver Zahlen als eine 
Permutationsgruppe G^ des m*^^ Grades darstellt. 

Unter den m Permutationen der r] gibt es eine und nur eine, die ri^ 
in die beliebig vorgeschriebene konjugierte Zahl r}^ überführt, nämlich die 
Permutation 5„_i. Sie führt dann -ri^ in eine bestimmte Zahl rja^j nicht 
mehr in eine frei wählbare unter den konjugierten Zahlen über. Nach der 
S. 20 eingeführten Bezeichnung ist somit die Gruppe G^^ als Fermutations- 
gruppe m^"^ Grades für rj^, r^^f . . ., i^^ oder irgendein System von m primi- 
tiven Jconjugierten Zahlen „einfach transitiv^'. 

§ 10. Die Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = 0. 

Wir kehren jetzt zur Gleichung w*®" Grades f{£) = zurück, die wir 
einstweilen als irreduzibel vorraussetzen, und aus deren Wurzeln wir in 
der Gestalt {ß, B^^ 6^, . . ., öj = (^, ri) den Galoisschen Körper her- 
stellten. Ist 6 = 0^ eine primitive Zahl dieses Körpers, so ist w == w, 
und wir haben in f{^) = eine „Normalgleichung". Ist w < ?w, so ist 
imprimitiv und also n ein vom ganzen verschiedener Teiler der Zahl m. 
Im ersten Falle liefert die G^, eingekleidet in die Gestalt einer Permu- 
tationsgruppe der n = m Wurzeln ö^, Ö^, ... eine einfach transitive 
Gruppe G„^ des Grades w, wie in § 9 am Schlüsse gesagt wurde. Im 
zweiten Falle zeigen wir zunächst, daß die m Transformationen des Ga- 
loisschen Körpers in sich w verschiedene Permutationen der 0^, 0^, . •., 6^ 
liefern. SoUen nämlich S^ und S^ die gleiche Permutation der 6 be- 
wirken, so liefert S~ ^ ■ S^ die identische Permutation der 6 und damit 
die Transformation, bei der jede Zahl des Körpers (Ä, ö^, ög; • • •? ^») 
= (^, rf) sich selbst zugeordnet ist. Also ist /S~^ • 5^ = 5^ == 1 und S^ = S^.' 

In jedem Falle (mag n = m oder n <im sein) stellen wir folgende 
Erklärung auf: Die von den Transformationen des Galoisschen Körpers 
(51', öj, ^2, . . ., 0„) == {^f v) «w sich gelieferten m Permutationen der 
6^, ög, . . ., 6,^ ergeben eine besondere Einkleidung der Gruppe G^ als einer 
Permutationsgruppe m^^'' Ordnung n^ Grades, die man als die „Galoissche 
Gruppe" der Gleichung f{z) = bezeichnet. Sie liefert den im Mittel- 
punkte der Galoisschen Theorie der Gleichungen stehenden Begriff. Für 
die Normalgleichung F{Z) = des vorigen Paragraphen ist die 
Galoissche Gruppe die daselbst betrachtete einfach transitive Permutations- 
gruppe m*^" Grades der ^i, ^2? • • •? ^m- 

Die Eigenschaften der Galoisschen Gruppe ergeben sich leicht aus 
den Entwicklungen des vorigen Paragraphen. Wir notieren zunächst, 
daß die Galoissche Gruppe einer irredtmbelen Gleichung /*(;£?) = stets 



Galoisscbe Gruppe einer Gleichung f{z) = 47 

transitiv ist. Eine beliebig vorgeschriebene Wurzel 0^ gewinnen wir näm- 
lich aus öj durch die ^Transformation S^ des Körpers (Ä, ri) in sich. 

Von grundsätzlicher Bedeutung sind die folgenden Ausführungen: 
Unter Ii{9^y 6^, . . ., 8^) verstehen wir wieder einen rationalen Ausdruck 
mit Koeffizienten aus ^. Hat der Ausdruck i?(ö^, 6^^ . . ., öj als Wert 
eine bereits in Si enthaltene Zahl c, so sagen wir, es bestehe für die 
d^y ß^f . . ., 0„ die „rationale Gleichung in St'^: 

(1) iJ(Ö,, 0,,..., 0,) = c. 

Da jede Zahl c von ^ bei den Transformationen S^ nur sich selbst zu- 
geordnet ist, so folgt nach dem Satze von S. 44 ff. aus (1): 

(2) JJ(^,0„,, •••, Ö„J = c, 

wenn 6j^ durch S^ in ö„ übergeführt wird. Damit haben wir den Satz: 
Jede rationale Gleichung in ^, die für die ^i, ^a, • . •, Ö^ zutrifft^ hleibt 
richtig f falls man in ihr die ^i, Ög, . . ., Ö„ einer leliebigen Permutation 
der Galoisschen Gruppe unterwirft. Umgekehrt gilt der Satz: Ein ratio- 
naler Ausdruck BiS^, 6^, . . ., ÖJ mit endlichem Werte, der sich gegenüber 
den Permutationen der Galoisschen Gruppe G^ nicht ändert, stellt eine 
Zahl aus ß dar. Die Zahlen aus ^ sind nämlich die einzigen Zahlen des 
Körpers {ßt, rj), die nur sich selbst konjugiert sind. Sehen wir nur erst 
den Körper ü als gegeben und also dessen Zahlen als „rational bekannt" 
an, so können wir auch sagen: Ein rationaler Ausdruck It{B^, 6^, ..., B„) 
der Wurzeln von f(z) = 0, der sich gegenüber den Permutationen der 
Galoisschen Gruppe (r^ nicht ändert, ist „rational bekannt^'. 

Der erste dieser drei Sätze ist in folgender Art umkehrbar: Eine 
Permutation der 6^, 6^, . . ., 6^, die ,Jede'^ zwischen den Oi, S^, . . ., 6^ 
gültige rationale Gleichung in ^ in eine gleichfalls richtige solche Gleichung 
überführt, gehört der Galoisschen Gruppe G^ an, so daß diese G^ auch als 
Gruppe aller Permutationen der Wurzeln von f{z) = erJdärt werden kann, 
bei denen „alle^^ für die ^i? ^2? • • •? ^» bestehenden rationalen Gleichungen (1) 
wieder in richtige Gleichungen übergehen. Wir können nämlich mittelst 
rationaler ganzer Zahlen y eine Zahl: 

so wählen, daß die n\ Zahlen Vi ==' Vy V2^ %> - • -y die aus (3) durch alle 
w! Permutationen der ö^, ög, . . ., 0„ hervorgehen, durchweg verschieden 
sind. Man beweist dies durch Wiederholung einer S. 36 ausgeführten 
Überlegung. In der Reihe '»?i, ^2? • • • mögen die m in (^, rj) mit rj = rj^^ 
konjugierten Zahlen an erster Stelle stehen; sie gehen aus (3) durch die 
Permutationen der Galoisschen Gruppe G^^ hervor, während der Rest 
Vm+ij Vm+2J • • -7 Vni ^^n den nicht in G„^ enthaltenen (n! — m) Permu- 



48 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

tationen herrührt. ^) Ist nun F{Z) = die zur Zahl (3) gehörende 
Galoissche Resolvente m^^ Grades, so gilt: 

(4) Fiv^)-o, F(n,) = 0,..., F(^J = 0, 
während andrerseits: 

(5) F{^^^,) + 0, i^(,?„^,)-+0, ..., -?(,„,) + 

zutrifft. Die Wurzeln von F(Z) = sind nämlich die m konjugierten 
Zahlen t^j, tj^, . . ., rj^^, von denen die rj^^i^ . . ., ^n: durchweg verschieden 
sind. Denken wir nun F(ri) == durch Einsetzung des Ausdrucks (3) 
für rj als eine für die ö^, O^y , . ., 6^ gültige rationale Gleichung in ^ ge- 
schrieben, und soll eine auf die 9 auszuübende Permutation diese Glei- 
chung wieder in eine richtige Gleichung überführen, so kann es sich zu- 
folge (4) und (5) nur um eine der m ersten Permutationen handeln, also 
um eine Permution der (r^, die i] in eine der Zahlen 7/^, 7^3, • - -7 Vm il^ßi*- 
führt. Damit ist der Satz bewiesen. 

Die Übertragung der gewonnenen Ergebnisse auf redusihele Glei- 
chungen f{z) = ist leicht. Auch im Falle einer reduzibelen Gleichung 
n^^^ Grades f\s) == mit n verschiedenen Wurzeln 0^,6^, . ..,6^ hatten wir 
oben (S. 42) einen Galoisschen Körper (^, 6^, 6^, . . ., ö„) = {ß, rf) her- 
gestellt. Die m Transformationen dieses Körpers in sich liefern wieder 
m Permutationen der ö^, ög, . . ., ö„, die man wie vorhin (S. 46) als durch- 
weg verschieden erkennt. Diese m Fermutationen liefern uns die „Galois- 
sche Gruppe^' Gjj^ der reduzibelen Gleichung f\z) = 0. ZerfäUt f(s) in die 
irreduzibelen Faktoren /'i(^), /*2(^); • • •? fx(^) ^i^r Grade w^, Wg, . . ., n^, 
so sind die Wurzeln des einzelnen Faktors nur unter sich konjugiert und 
werden demnach durch die (r^ auch nur unter sich permutiert: Die 
Galoissche Gruppe der reduzibelen Gleichung f{z) = ist also „intransitiv^', 
und die Systeme der n^, n^y . . ., % Wurzeln der irreduzibelen Bestand- 
teile von f{z) == liefern die yßysteme der Intransitivitäf. Die Gruppen- 
ordnung m ist ein Multiplum jedes der Grade n^, w^, . . ., W;, ist aber 
keineswegs mehr notwendig ein Multiplum von n selbst. Die wesent- 
lichen Eigenschaften der Galoisschen Gruppe, die auf der Irreduzibilitat 
der Galoisschen Resolventen F(Z) = beruhen, bleiben auch bei redu- 
zibelen Gleichungen f(z) = bestehen. 

Es sei wieder f{z) = eine irreduzibele Gleichung n^^^ Grades mit 
den Wurzeln B^, 6.^, . . ., 6^. Ist der Körper {ß, 6) = (ß, Öj (und damit 
natürlich jeder der konjugierten Körper (^, 6.)) im Sinne von S. 40 im- 
primitiv, so nennen wir auch die Gleichung f{z) = yjimprimitiv'^. Es 
liege dieser Fall vor, und es sei insbesondere t, = F^iß) eine imprimitive 



1) Wir dürfen m <in\ anaehmen, da für ni = n\ der zu beweisende Satz 
selbstverständlich ist. 



^1? ^2? 


• M ^f,j 


>+l? > + 27 • 


' -y ^2fO 


"2/t + l? "2^ + 27 • 


■ '7 ^3«» 



Galoissche Gruppe einer Gleichung f{z) = 49 

Zahl aus (^, 6). Dann sind die n mit J konjugierten Zahlen zu je ^ ein- 
ander gleich und stellen nur v verschiedene Zahlen f^, ^g? • • •> §v ^^r; 
dabei ist ^ ein von 1 und n verschiedener Teiler der Zahl n. Wir ordnen 
nun die n Zahlen Ö so in v Zeilen zu je fi Zahlen an: 



(6) 



daß die 6 der i^^^ Zeile, als Argumente in B eingesetzt, übereinstimmend 
die Zahl ^^ liefern. Für zwei Argumente d^ und On gilt alsdann: 
(7) JJ(ÖJ = J?(e^) oder B{e:) + B{9^), 

je nachdem die 0^, 6^ in der gleichen Zeile (6) oder in verschiedenen 
Zeilen stehen. Bei Ausübung einer Permutation der Galoisschen Gruppe 
G^ geht nun aus einer Gleichung (7) stets wieder eine Gleichung, aus 
einer Ungleichung (7) stets wieder eine Ungleichung hervor. Die Zeilen- 
anordnung (6) der n Zahlen 6^, ög, . . ., 6^ besitzt demnach gegenüber 
der Gruppe G^ die S. 21 bei der Erklärung der Imprimitivität einer 
Permutationsgruppe näher dargelegte Invarianz. Es folgt somit: Die 
Galoissche Gruppe der imprimitiven Gleichung f[z) = ist eine „imprimi- 
tive Gruppe'^, und die Zeilen (6) liefern die „Systeme der Imprimitivität^'}) 

§ 1 1. Untergruppen der Galoisschen Gruppe und zugehörige Zahlen. 

Wir gehen auf die ursprüngliche Erklärung der Galoisschen Gruppe 
G^ als Gruppe der m Transformationen des Galoisschen Körpers {% r]) 
in sich zurück. Aus diesem Körper greifen wir eine beliebige Zahl ^ 
heraus, die in der Gestalt ^ = R(r)) darstellbar ist, wo man B(7]) als 
rationale ganze Funktion (m — l)*®"^ Grades von rj mit Koeffizienten aus 
M schreiben kann. Die mit J konjugierten Zahlen sind zu je ^ einander 
gleich, wo ^ ein Teiler von m ist, zunächst unter Einschluß von ^ = m 
und ,a = 1; für ^ = m ist J eine schon in ^ enthaltene Zahl, für ^ = 1 
haben wir in J eine primitive Zahl des Körpers (^, rj). 

Unter den Transformationen der G^, die nach S. 44 die mit f kon- 
jugierten Zahlen Si = 5, J2? • • •? ^v untereinander per mutieren, kommen im 
ganzen n vor, die die Zahl ^ in sich selbst überführen. Diese ^ Trans- 
formationen bilden eine in der G^ enthaltene Untergruppe G , deren 
Index - = t die bisher durch v bezeichnete Anzahl ist. Wir nennen die 
Gf_i „die zur Zahl J gehörende Untergruppe Gu' und umgekehrt J „eine zur 
Untergruppe G^i gehörende ZahV\ 7j\x einer Zahl von ^ gehört dann die 

1) Weiteres über imprimitive Gleichungen findei: man bei Weber, a.a.O., 
Bd. 1, S. 524 ff. 

Fr icke, Die elliptischan Funktionen II 4 



50 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

Gesamtgruppe 6r^, .zu einer primitiven Zahl des Körpers (^, »^) die Unter- 
gruppe Gj. Zerlegen wir die G^ entsprechend der 6^^, in die Neben- 
gruppen G^^y Vi' Gf^y Vi- G^juj ' 'y ^t-i' ^/.> so führen die Transforma- 
tionen der einzelnen Nebengruppe Ff_i • G^^ die Zahl ^ in eine und 
dieselbe konjugierte Zahl i- über; allen t Nebengruppen entsprechen auf 
diese Weise die t (= v) verschiedenen konjugierten Zahlen t^ = J, i^j 
Jg, . . ., J^. Zur Zahl ^. ihrerseits gehört die mit 6r^, gleichberechtigte 
Untergruppe Vi_i - G^^- V~_\: Zu den t verschiedenen mit l Iconjugierten 
Zahlen des Körpers {ß, rj) gehören die t mit G^ gleichberechtigten Unter- 
gruppen G^^j ^1' Gju' ^i^f ^2•^^•^2"^ ' ' 'f ^*^ natürlich keineswegs 
alle verschieden zu sein hrauchen. 

Es besteht nun folgender grundlegende Satz: Zu jeder Untergruppe 
G^i von Gm gibt es unendlich viele zugehörige Zahlen im Körper (£', r/); 
ist 5 irgendeine dieser Zahlen, so ist jede andere sowie überhaupt jede Zahl^ 
die zu einer G^ in sich enthaltenden Untergruppe gehört, im Körper (Ü, Q 
enthalten und also rational in J mit Koeffizienten aus ^ darstellbar. 

Da der Satz für /i = 1 und ^ = m selbstverständlich ist, so setzen 

wir 1 < /i < w voraus. Wir bezeichnen die mit r] konjugierten Zahlen 

so, daß 7j == 1]^ durch die Transformationen der Gf^ in die in der ersten 

Zeile (1) stehenden Zahlen rju rj^j - - -j rji^i übergeht, während diese ganze 

Zeile durch die Transformation V. in die Zeile v. ^.. ri. ^^, . . ., tj,.^,, 

» 'ifi + i''i^ + £' ' *(i + 1} f4, 

übergeführt wird: 

(1) 



Vi, %) 


••' %, 


%, + i» 'J^ + s' • 


■■' %,, 


'Ja ,11+ I' ■'^ä;. + 2' • 


••' %,' 



Wir bilden nun die fi symmetrischen Grundfunktionen 6^^, a^^\ . . ., <?J|^ 
der in der Zeile ri. .^j^]. , g, • • • stehenden t] und gewinnen so i neue 
Zahlenreihen : 

(2) /" ^^' •••' '''" 

Ol , 02 , . . • , O// , 



von denen keine zwei einander gleich sind; es würden ja sonst die t; der 
beiden entsprechenden Zeilen (1) von der Anordnung abgesehen überein- 
stimmen. Nach einer wiederholt ausgeübten Schluß weise können wir 
somit (und zwar auf unendlich viele Arten) /i rationale ganze Zahlen y 
so wählen, daß die t Zahlen von (Ä\ rf): 

(3) ri^, + 72^2-\---' + r^.^f.^ >'!< +r2< + ••• + r^^^>••• 
durchweg voneinander verschieden sind. Die erste dieser Zahlen gehört 



Untergruppen der Galoisschen Gruppe und zugehörige Zahlen 51 

zur (t^,, die übrigen gehen aus ihr durch die Transformationen F^, Fg, . . . 
hervor und sind also die mit der ersten konjugierten Zahlen. Wir haber 
demnach in der Tat in: 

(4) t = Ti^i + r2<^2 + " ' + y^^, 

eine zur Gruppe Gu gehörende Zahl konstruiert. 

Aus den mit t = ti konjugierten Zahlen bilden wir mittelst einer 
Variablen w die Funktion g(w) == (^w — ^i){w — fg) • • • (^ — Q ^^m 
Grade t^ die ausgerechnet eine irreduzibele Funktion in ^ ergibt. Es sei 
alsdann ^' irgendeine Zahl aus (^, rj)^ die durch die Transformationen 
der Gu in sich selbst übergeführt wird^ die also entweder auch zur Gu 
oder zu einer Gu umfassenden Untergruppe gehört. Durch 1, F^, Fg, . . ., 
Vt-i werde ^ = ^[ in die Zahlen t,[y Jg, . . ., ^^ übergeführt, die nicht alle 
voneinander verschieden zu sein brauchen. Es ist nun, wie man durch 
Division von g(tv) durch (w — JJ feststellt: 

eine Funktion (t — 1)*®"^ Grades von iVj deren Koeffizienten Zahlen aus 
(^, rj) sind, die alle durch die Transformationen der (r^ in sich über- 
geführt werden. Durch 1, F^, Fg, . . ., F^_i geht die Funktion (5) in 
die t „konjugierten Funktionen" über: 

die sich bei Ausübung irgendwelcher Transformationen der G^ unter- 
einander permutieren. Die Summe der Funktionen (6) bleibt demnach 
bei allen Transformationen der G^ unverändert und erweist sich also als 
eine „Funktion in ^": 

Wie üblich gewinnen wir hieraus für t<; == J^ == J: 

(8) t'=^^^ 

so daß l' tatsächlich dem Körper (^, J) angehört. 

Kehren wir zu unserer ursprünglichen Gleichung w*"" Grades f(z) = 
zurück, so ist der betrachtete Galoissche Körper in der Gestalt {^yO^yO^,.. .,ö„) 
zu erklären, und die G^ wird die als Galoissche Gruppe der Gleichung 
f(0) = erklärte Permutationsgruppe. Man nennt in der Theorie der 
Gleichungen eine Zahl aus (^, ö^, 0^, . . ., öj, d.h. eine Zahl, die durch 
einen rationalen Ausdruck: 

(9) 5 = Ii(ö„ ö„ . . , 0„) 

mit Koeffizienten aus ^ gegeben ist, eine j^natürliche Irrationalität^ der 



52 Einleitung, Teil 11: Galoissche Gleichungstheorie 

Gleichung f{z) = 0. Demgegenüber heißt eine beim Auflösungsprozeß 
der Gleichung etwa zu benutzende Zahl, die dem Körper (ß, O^y O^y . . . SJ 
nicht angehört, eine y,dlt2essorische Irrationalität^^ der Gleichung f(z) = . 
Wir übertragen die Bezeichung der „Zugehörigkeit'^ von den Trans- 
formationsgruppen Gfi und Zahlen J auf die Untergruppen der Galoisschen 
Gruppe und die natürlichen Irrationalitäten der Gleichung. Den eben be- 
wiesenen Satz können wir dann auch in folgende Gestalt kleiden: Zu 
jeder Untergruppe G^ der Galoisschen Gruppe G^ unserer Gleichung f{z) = 
giht es unendlich viele zugehörige natürliche Irrationalitäten; in einer unter 
ihnen ist jede andere^ soivie jede natürliche Irrationalität y die zu einer die 
Gju, umfassenden Untergruppe gehört y rational mit Koeffizienten aus ^ dar- 
stellbar. 

§ 12. Die rationalen Kesolventen einer Gleichung /(;$;) = 0. 

Irgendeine Zahl ^ = B{6^y O^y . . ., dj des Galoisschen Körpers 
{ßy O^y O^y . . .y Öj genügt einer irreduzibelen Gleichung in ^: 

(1) g{w) - 

des Grades ty die wir als eine „rationale Besolvente'' der Gleichung f(z) = 
bezeichnen. Die t Wurzeln der Resolvente J^ = J, Jg; • • •> S< sind Zahlen 
des genannten Galoisschen Körpers, die zu den gleichberechtigten Unter- 
gruppen (?,„ F, . ff^. y-x = (?;, ..., 7,_^. g^_. 7-_i^ = (?('-) der 

Ordnung ^ gehören mögen. Das Produkt der Gruppenordnung ^ und des 
Grades t der Resolvente ist gleich m. Die im Extremfalle ^ = m, fi = 1 
für primitive Zahlen 5 des Galoisschen Körpers eintretenden Resolventen 
sind natürlich die Galoisschen Resolventen der gegebenen Gleichung 

/■(^) = o. 

Die t gleichberechtigten Untergruppen G , G\y . . ., G^^~'^^ brauchen 
keineswegs alle voneinander verschieden zu sein, können sogar alle ein- 
ander gleich sein, nämlich wenn G^ eine ausgezeichnete Untergruppe ist. 
Jedenfalls ist der Durchschnitt: 

(2) g, = d(ö,„ö;, e;;,..., ö;;-«) 

eine ausgezeichnete Untergruppe, deren Ordnung wir l nennen. Diese 
Gl setzt sich zusammen aus allen Transformationen der Gesamtgruppe G^, 
die jede einzelne der t Zahlen g^, Jg, . . ., J^ in sich überführen. Den 

Index der Untergruppe 6r, bezeichnen wir durch ,- == m, die Zerlegung 

der (t^ in Nebengruppen entsprechend der G^ sei durch: 

(3) G„ = G,+ L\- G,+ U,- G. + - ■■ + U^^_,- G, 

gegeben. Alle Transformationen der einzelnen Nebengruppe U^ • G^ er- 
geben die gleiche, etwa durch T. zu bezeichnende Permutation der 



Rationale Resolventen und ihre GaloiBschen Gruppen 53 

?i7 iif ' ■ -y ity wobei T^ = 1 die identische Permutation ist. Es ergibt 
sich der Satz: Gegenüber allen m Transformationen der G^ erfahren die 
t Wurzeln Jj, Jg? • • •? it ^^^ rationalen Besolvente (1) im ganzen m Per- 
mutationen Tq= 1 ^ T^, . . ., T-.^_^j die eine mit der „Quotientengrup2')e" 
Gj,JGi isomorphe und also tvie diese auf die G^ 1-l-deutig homomorph 
bezogene Gruppe G-^ bilden. Wir bezeichnen diese Permutationsgruppe 
G- gleich selbst als Quotientengruppe G^/G^ von G^ und Gj. 

Ist 1 = 1 und also fn = m^ so erhalten wir in der Permutationsgruppe 
(t- eine neue Darstellung unserer G^ und erkennen in dieser Permutations- 
gruppe einfach die „Galoissche Gruppe'^ der Resolvente (1). 

Besonders wichtig aber ist nun der Fall, daß ? > 1 ist. Wir bilden 
wie oben bei der Gleichung f[z) = jetzt für die Resolvente (1) den 
Galoisschen Körper: 

(4) 2=={B,i„t„...,Q, 

den wir mittelst irgendeiner zur G^ gehörenden Zahl rj auch in der Gestalt 
^ = (ßf Tj) darstellen können. Diese Zahl rj genügt dann einer in ^ ir- 
reduzibelen „Normalgleichung": 

(5) F(W) = 

vom Grade fn = , , welche eine jfialoissche liesolvente'' der Gleichung (1) 

ist; die Gruppe Gfü der Transformationen des Körpers S in sich liefert in 
der Gestalt der Fermutationsgriippe GJG^ der Tq= T^^ T^, . . ., T . die 
„Galoissche Gruppe'' der Gleichung (1). 

Nicht minder wichtig sind die Folgerungen für die ursprüngliche 
Galoissche Resolveute F{Z) = 0. Die Gruppe Gj ist als Permutations- 
gruppe der m Wurzeln von F(Z) = intransitiv und besitzt m Systeme 
der Intransitivität zu je l Wurzeln. Ein beliebiges dieser Systeme sei 
Vi) Vij ■ • V Vr I^ie symmetrischen Grundfunktionen dieser l Zahlen rj ge- 
hören zur Gl und sind also im Körper ^ = (^, rj) enthalten (S. 50). Die 
Viy V27 • • •; Vi sind also die Wurzeln einer Gleichung H(Z) = in ^ 
vom Grade l. Wir können leicht zeigen, daß diese Gleichung in ^ ir- 
reduzibel ist. Sollte sie es nicht sein, so bezeichnen wir mit h(Z) = 
den irreduzibelen Bestandteil, dem r]^ genügt. Ersetzen wir die in den 
Koeffizienten von h(Z) auftretende Zahl ^ durch ihren rationalen ganzen 
Ausdruck in t^^^), so entsteht aus h(r]j) = eine für r]^ gültige „Gleichung 
in Sl". Diese Gleichung bleibt demnach bei allen m Transformationen der 
G^ richtig, und also insbesondere bei allen l Transformationen der Gj, 
Die letzteren aber lassen rj unverändert und führen r]^ in r/j, ri^j . . ., ri 
über. Man beachte noch, daß die Transformationen der einzelnen zu G^ 



1) 7]i ist eine primitive Zahl des Körpers (^, ri). 



54 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

gehörenden Nebengruppe die Zahl /; in eine ihrer konjugierten Zahlen 
überführt, das System %; ^2? • • •? ^^ ^^^^ i^ eines der m Systeme der In- 
transitivität von G^. Wir haben damit den Satz gewonnen: In dem nach 
Adjunläion von rj ^u ^ entstehenden Körper ^ = (ß^ Ij) ist die ursprüngliche 
Galoissche Besolvente F{Z) = reduzihel und zerfällt in m irreduzihele 
Gleichungen in S vom Grade l, deren einzelne H{Z) = je eines der m 
genannten Systeme der Intransitivität zu Wurzeln hat; aus einer Gleichung 
S(Z) = gehen die übrigen hervor y wenn man die in den Koeffizienten 
von H(^Z) auftretende Zahl rj durch ihre konjugierten Zahlen ersetzt. 

Bilden wir für die einzelne in S irreduzibele Gleichung Z*®"" Grades 
II{Z) = den Galoisschen Körper (S, %, r?2? • v Vi\ so ist dieser natür- 
lich unser bisheriger Körper (^, rj) und kann auch als Körper (S, rj^) ge- 
schrieben werden. Nach S. 44 ff. werden die l Transformationen dieses 
Körpers in sich dadurch gewonnen, daß wir rj^ der Reihe nach durch 
Vif V2y ' • 'f Vi ersetzen. Wir gelangen dabei zu den l Permutationen der 
Vi7 V2f • • ■} Vv ^^® ^^^ ^^^ ^i ^^^ dieses System der Intransitivität ge- 
liefert werden. In dieser Gestalt einer Permutationsgruppe Z*®'^ Grades ist 
dann die (r, wieder einfach transitiv: Die einzelne in k irreduzibele Glei- 
chung Z^" Grades II{Z) = ist eine „Normalgleichung'\ deren Galoissche 
Gruppe die als Permutationsgnippe l^^" Grades der r^^, rj^^ . . ., ri^ ge- 
schriebene Gruppe Gj ist. 

Wegen der grundlegenden Wichtigkeit fassen wir die gewonnenen 
Ergebnisse nochmals zusammen: Ist G^ eine ausgezeichnete Untergruppe 
der ursprünglichen Galoisschen Gruppe G^^, so genügt eine zur G^ gehörende 
natürliche Irrationalität ^ von f(z) = einer in ^ irreduzibelen Gleichmig 

(5) des Grades m = ,, deren Galoissche Gruppe die Quotientengruppe GJG^ 

ist; nach ÄdjunJction von rj zu Ä wird die ursprüngliche Galoissche Re- 
solvente F(Z) = im Körper ^ = (^, t]) reduzibel und liefert nach Zer- 
legung m in ^ irreduzibele^ innerhalb (Ä\ rf) „konjugierte^^ Gleichungen V^" 
Grades H(Z) == 0, die wieder „Normalgleichungen" sind, und für deren 
einzelne G^ die Galoissche Gruppe ist. 

§ 13. Auflösung einer algebraischen Gleichung /(.^) = 0. 

Am Schlüsse von § 8, S. 43, wurde die Bedeutung der Galoisschen 
Resolvente F(Z) = für die algebraische Gleichung w*^"" Grades f(z) = 
dargelegt. Wir nehmen diese Gleichung in einem vorgelegten Körper ^ als 
irreduzibel an.^) Das Problem, die Gleichung voUstäudig zu lösen, d, h. 
alle Wurzeln anzugeben oder doch auf Grund „rationaler" Rechnungen 



1) Andernfalls würden wir mit dem einzelnen irreduzibelen Bestandteile von 
f(z) = arbeiten. 



Lösungsprozeß einer algebraischen Gleichung 55 

finden zu können, erfordert alsdann die .Gewinnung des Körpers (ß, rj)^ in 
dem in der Tat alle Wurzeln öj, ög, . . ., Ö^ von f(z) = „rational be- 
kannt" sind. 

Die in § 12 aufgestellten Sätze im Verein mit den Entwicklungen 
von S. 12 ff*, über die „Kompositionsreihe" einer Gruppe G^ zeigen, wie die 
Lösung dieses Problems zu vollziehen ist: Wir gewinnen durch Auflösung 
einer Kette von „Nonnalgleichungen'^ je mit y^einfachen*^ Galoisschen Gruppen 
die Erweiterung von ^ zum Körper .(^, r^), in dem f{z) = 0, wie auch die 
Galoissche Resolvente F(Z) = 0, in lauter ,ylineare^^ Gleichungen reduzibel 
sind. 

Die Galoissche Gruppe G.,^ unserer Gleichung besitze nämlich als 
eine Kompositionsreihe die Gruppen: 

und als zugehörige Indexreihe: 

(2) .^ = «., ^ = <„ ^^t,,..., 

wobei das Produkt der Indizes t^ • t^ - t^ - • ' = m ist. Die zugehörigen 
Quotientengruppen : 

(3) GJG^ = G^, GJG„^ = G^,... 

sind einfach, d. h. keine der Gruppen G^ enthält (von G^ und G^ abgesehen) 
eine ausgezeichnete Untergruppe. Da die Berechnung einer Wurzel ^ von 
F(Z) = unser Ziel ist, so gehen wir nach dem Schlußsatze von § 12 
so vor: Wir nehmen für die daselbst G^ genannte Gruppe die „größte" 
ausgezeichnete Untergruppe G^^. Die zugehörige Gleichung (5) S. 53 
möge jetzt durch fi(w) = bezeichnet werden; sie hat den Grad t^ und 
ist eine „Normalgleichung" mit „einfacher'^ Galoisscher Gruppe G^ . Es 
genügt, eine beliebige Wurzel rj^ dieser Normalgleichung zu berechnen, 
deren Adjunktion zu ^ den Körper ^^ == (^, rj^) liefere. In ^j ist nun 
F(Z) = reduzibel, und zwar in t^ irreduzibele Gleichungen m^^^^ Grades 
zerfäUbar. Eine beliebige unter ihnen sei Fi(Z) = 0'j sie ist wieder eine 
Normalgleichung und hat (r^^ zur Galoisschen Gruppe. Nun wiederholen 
wir den gleichen Prozeß, indem wir in G^ die größte ausgezeichnete 
Untergruppe G^ aufgreifen usw. Nach einer endlichen Anzahl solcher 
Schritte gelangen wir bis zur G^ und damit zur Kenntnis der gesuchten 
W^urzel 7j: Die Lösung der Gleichung f{ß) =0 wird geleistet ^ indem man 
für die endliche Kette von Normalgleichungen: 

(4) /IW-O, f,{w)^0, /;(«;) = 0,... 

mit den die Bedingung t^ ■ t^* t^- ■ - = m erfüllenden Graden t^, t^, t^^ . , . 
je eine Wurzel rj^j%f -. ■ berechnet^); die einzelne Normalgleichung f^{iv) = 

1) Beiläufig bemerken wir, daß die Berechnung einer Wurzel der einzelnen 



56 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

ist irreduzibel im Körper ^^_^=(ß:, rj^, rj^j - • •■> Vv-i) ^^^^ ^^^ ^^^ ^^^^' 
fache Galoissche Gruppe G^ . Hat man die letzte Gruppe G^ der Reihe (1) 
erreicht, so liegt für die gesuchte Wurzel ri eine „linear e^^ Gleichung vor, 
d. h. ri ist heliannt Der Satz von S. 13 über die Kompositionsreihen einer 
Gruppe (t,„ aber liefert uns noch das Ergebnis: Irgendeine andere Korn- 
positionsreihe der Galoisschen Gruppe G^^^ unserer Gleichung f(z) = liefert 
eine Kette von NormaJgleichungen, die in der Anzahl sowie (abgesehen von 
der Reihenfolge) in den Graden und den Galoisschen Gruppen mit den 
Gleichungen (4) übereinstimmen. Dabei gelten zwei isomorphe Gruppen 
als gleich. Hiermit sind die im Mittelpunkte der Galoisschen Gleichungs- 
tbeorie stehenden Sätze gewonnen.*) 

§ 14. Beispiel der Kreisteilungsgleicliungen.^) 

Ein einfaches Beispiel zur Erläuterung der Galoisschen Theorie liefern 
die Kreisteilungsgleichungen. Diejenige für den n*®^ Teilungsgrad lautet 
zunächst ^" = 1, ihre Lösungen sind die n Wurzeln n^'^^ Grades der Einheit: 

2t7t ÜTt 6i7t 2(n-l)/.7t 

(1) 8, = e~^, 8, = e'^, s, = e^, . . ., s^_, = e'~-'~~, f, = 1, 

die als die aufeinanderfolgenden Potenzen s, s^, . . ., a^~^j s^ =1 der ersten 
unter ihnen s = s^ darstellbar sind. Zugrunde zu legen ist der rationale 
Körper 3ft. Der bei der Auflösung der Gleichung zu erreicbende Galoissche 
Körper (JR, s^, e^, . . ., s^ ist auch bereits als Körper (^R, s) darstellbar 
und heißt der „KreisteilungsMrper" für den n*®"^ Teilungsgrad. 

Unter den ?* Wurzeln f^j. = a^ sind primitive Zahlen von (SR, a) alle 
und nur die, bei denen h teilerfremd gegen n ist. Ist die Zerlegung von n 
in Primfaktoren durch n =i?i''i>2' • . . gegeben, so hat man bekanntlich: 

(2) ^(,) = „(l_±)(l_l)... 

mod n inkongruente, gegen n teilerfremde Zahlen Je, so daß im ganzen 
(p(n) unter den Einheitswurzeln (1) primitive Zahlen von (9^, a) sind. 



Hilfsgleichung f^{w) = auch ersetzt werden kann durch die vollständige Auf- 
lösung irgendeiner rationalen Resolvente, die die Normalgleichung f^{w) = zur 
Galoisschen Resolvente hat. 

1) Die im Lösungsprozeß der Gleichung vollzogenen Adjunktionen beziehen 
sich ausschließlich auf „natürliche Irrationalitäten" von f(z) = 0. Die Heranziehung 
irgendwelcher „akzessorischer Irrationalitäten" vermag den Prozeß nicht zu ver- 
einfachen, insofern auch dann unter den zu lösenden Hilfsgleichungen sich immer 
wieder solche der Gruppen G^, G^ , . . . einstellen. Man vgl. hierüber Weber, 
a. a. 0., Bd. 1, S. 555ff. sowie Loewy, ä. a. 0., S. 803. 

2) Wegen genauerer Begründung der in den nächsten vier Paragraphen ge- 
gegebenen Ausführungen ist wieder auf Weber, a. a. 0., Bd. 1, S. 452ff. und 
564 ff. zu verweisen. 



Kreisteilungskörper und Kreisteiluugsgleichungen 57 

Sie heißen die ,^primitiven n^^"" Einheitswurzeln^^ und genügen einer in ^ 
irreduzibelen Gleichung qo*^^ Grades: 

(3) s'' + a,z^-' + a^^'/'-^ -}-... + a^^ _ 0, 

welche die „irreduzihele Kreisteilungsgleichung" für den n^^^ Teilungsgrad 
heißt. ^) 

Da jede der (p(n) Lösungen von (3) rational in einer unter ihnen 
£ = f 1 darstellbar ist, so haben wir in der irreduzibelen Gleichung (3) 
nach S. 41 ff. eine „Normalgleichung" und in (9v, e) einen „Galoisschen 
Körper" des Grades (p{n). Die Transformationen ^S' und S' des Galoisschen 
Körpers (% e) in sich mögen £ in £" bzw. e(^ überführen. Dann wird so- 
wohl durch S- S' als auch durch S' ■ S die Wurzel £^ in e"ß'^ übergeführt. 
Es gilt demgemäß S - S' = S' - S, so daß wir den Satz gewinnen: Die 
irreduzihele Kreisteilungsgleichung (3) ist eine „Normalgleichung'^j deren 
Galoissche Gruppe G ^^^^ eine ,Jcommutative'^ oder „Ahelsche Gruppe^' ist. 

Nach dem Hauptsatze von S. 17 über die Kompositions- und Index- 
reihen Abelscher Gruppen haben wir nun die Gruppenordnung (p(n) in 
ihre Primfaktoren zu zerlegen: 

(4) (p(n)=^q, .q^-q^..., 

wobei jede mehrfach vorkommende Primzahl q entsprechend oft hinter- 
einander als Faktor zu setzen ist. Die Reihe der Primzahlen q^q^jq^, • • • 
liefert dann eine Indexreihe der Gruppe G ^^y Die Lösung der irredu- 
zibelen Kreisteilungsgleichung (3) für den n^^"' Teilungsgrad erfordert demnach 
die Lösung einer Kette von normalen Hilfsgleichungen, deren Grade die Prim- 
zahlen qi, q2, q^y ■ ' ' sind, und deren Galoissche Gruppen als Gruppen der 
Frimzahlordnungen qi^q^y^,-" durchweg zyklisch sind. Auf Gleichungen 
mit zyklischen Gruppen kommen wir im nächsten Paragraphen zurück. 
Vorerst seien noch folgende Bemerkungen über die Kreisteilungsgleichun- 
gen angeschlossen. 

Bekanntlich ist die wirkliche Durchführung der Lösung der Kreis- 
teilungsgleichungen bereits lange vor Galois durch Gauß entwickelt. 
Ist n = n^ • Wg das Produkt zweier teilerfremder Zahlen n^, n^, so gilt: 

(2t7r\ / 2i7t 2i7t\ 

'^^ e'n') _ [9^^ e^, e^J > 

d. h. wir erhalten den Kreisteilungskörper für den n^^ Teilungsgrad durch 

2i7t im 

gleichzeitige Adjunktion von e "i und e"^-^ . Es bestehen nämlich erstens 
die Gleichungen: 2/ä nn 2in 2irt 



e »1 = e « e "« = e 



1) Über die Beweise der Irreduzibilität der Gleichung (3) im rationalen Körper 
sehe man auch die geschichtlichen Angaben bei Loewy, a. a. 0., S. 314. 



58 Einleitung, Teil 11: Galoissche Gleichungstheorie 

sowie zweitens, wenn a und ß zwei die Bedingung an^ — ßn^ = 1 er- 
füllende rationale ganze Zahlen sind, die Darstellung: 

2iTt 2i7t 2/7t 

e ^ == e «1 . e ' "^ ^ 

woraus die Gleichung (5) hervorgeht. Die Auflösung der Gleichung (3) 
für den Teilungsgrad n kann demnach in der Weise vollzogen werden, 
daß man gesondert voneinander die in-eduzibelen Kreisteilungsgleichungen 
für die Teilungsgrade n^ und Wg löst. Die wirkliche Durchführung der 
Auflösung darf man demnach auf den Fall beschränken, daß der Teilungs- 
grad n eine Primzahlpotenz n = p^' ist. Hier gilt: 

(p{pn-p"-\p - 1) = ^1 • Q2 • "P'-\ 

wo ^1 • g'g • • • ^ie Primfaktorenzerlegung von (p — 1) ist. Wir haben also 
Normalgleichungen der Grade q^q^, • • • und {v — 1) Normalgleichungen 
p**" Grades zu lösen. Die Gleichungen der Grade q^y q^, ... dienen zur 
Berechnung der Einheitswurzeln p^^^ Grades. Die weiteren {v — 1) Glei- 
chung p*®^ Grades sind dann einfach die (v — 1) „reinen" Gleichungen: 

2i7t tJTt iirt 

(6) ^p = e^, ^ = ei'% . . ., ^p^e^""' 

wobei mittelst der Lösung jeder Gleichung die rechte Seite der nächsten 
Gleichung gewonnen wird. Hier handelt es sich also um Gleichungen, 
die durch „Wurzelziehungen" (Einteilungen von Winkeln in p gleiche 
Teile) lösbar sind.. Gauß sagt (in Art. 336 der„Disquisitiones arithmeticae") 
von diesen Gleichungen, daß sie sich in keiner Weise auf Gleichungen 
niederen Grades zurückführen lassen.^) 

Demgegenüber bezieht sich der Hauptinhalt der Gaußschen Theorie 
auf die Lösung der irreduzibelen Kreisteilungsgleichung: 

(7) ^P-i-^^P-2 4_... _|_^4. 1_0 

für die Primzahl 7i = p. Der erste Teil der Theorie führt zu der Kette 
der Gleichungen, welche in der späteren allgemeinen Galoisschen Theorie 
den Hilfsgleichungen (4) S. 55 entsprechen. Daran reiht sich sodann die 
wirkliche Auflösung der Hilfsgleichungen, die auf „reine" Gleichungen 
zurückgeführt werden und demnach wieder durch „Wurzelziehungen" lös- 
bar sind. 

§ 15. Zyklische Gleichungen. 

Nicht nur für die Kreisteilungsgleichungen, sondern auch für die 
gleich zu besprechende allgemeinere Klasse der „Abelschen Gleichungen" 

1) Wir kommen auf Gleichungen dieser Art im nächsten Paragraphen zurück. 



Lösung der Kreisteilungsgleichungen. Zyklische Gleichungen 59 

sind die Gleichungen mit zyklischer Gruppe von grundlegender Bedeutung. 
Wir stellen folgende Erklärung auf: Eine in einem Körper ^ irreduzihele 
Gleichung w'*"* Grades f(z) = 0, deren Galoissche Gruppe zyUisch ist, soll 
seihst eine „zyklische^' Gleichung genannt werden. Die Galoissche Gruppe 
soll sich also aus einer einzigen Permutation S erzeugen lassen. Zerlegen 
wir diese Permutation S nach S. 19 in ihre Zyklen, so kann nur ein Zyklus 
vorliegen, der aUe n Wurzeln der Gleichung verbindet, da andernfalls die 
Gruppe intransitiv sein würde. Wir ordnen die Wurzeln, die wir übrigens 
hier zweckmäßig durch Öq, S^y ^o; • • •? ^«-i bezeichnen, in der Art an, daß: 

wird. Wir erhalten damit den Satz: Die Galoissche Gruppe einer irredu- 
zibelen zyklischen Gleichung n*^" Grades ist eine Gruppe G.^^ von der n^^ 
Ordnung, so daß jede zyklische Gleichung f{z) = eine Normalgleichung ist. 
Für den vorliegenden Zweck ist es ausreichend, den Grad n der 
zyklischen Gleichung gleich einer Primzahl p zu nehmen, wodurch die 
Schlußweise wesentlich erleichtert wird. Wir bemerken dann zunächst, 

daß die primitive p*^ 'Einheitswurzel s = e ^ entweder in ^ enthalten ist 
oder eine akzessorische Irrationalität von f(z) = darstellt. Im Galoisschen 
Körper (^, 6) vom Primzahlgrade p sind nämlich, abgesehen von den Zahlen 
des Körpers Ä\ nur primitive Zahlen enthalten (vgl. S. 41), die als solche 
irreduzibelen Gleichungen^*®^ Grades genügen; s aber genügt einer Glei- 
chung (p — 1)*®^ Grades in ^. Ist e nicht in Ä enthalten, so bleibt die 
Gleichung f{z) = auch im Körper (^, f) irreduzihel. Jede Zerlegung 
f(z) = (p{z)'ilj{z) mit zwei Faktoren qp (<£?), ^{z) von Graden <w und den 
höchsten Koeffizienten 1 liefert Funktionen (p{z\ il^(z), deren Koeffizienten 
im Körper p^^"^ Grades (Ä^, ö), aber noch nicht alle in ^ enthalten sind. 
Jeder solche noch nicht in ^ enthaltene Koeffizient kann aber als „primi- 
tive" Zahl des Körpers (^\ 6) nicht im Körper (p — 1)*"^ Grades (^, s) 
enthalten sein. 

Entsprechend unseren ursprünglichen Festsetzungen hat der Körper ^ 
nur den Bedingungen zu genügen, daß die Koeffizienten von f(z) == in 
ihm enthalten sind. Diese Forderung befriedigt mit ^ auch der Körper 
(ßf e). Sollte demnach die Einheitswurzel s nicht ohnehin schon in ^ auf- 
treten , so IV ollen tvir sie adjungieren und fortan den gleich selbst wieder 
durch ^ zu bezeichnenden Körper {ß., s) der Untersuchung zugrunde 
legen. Auf dieser Grundlage können wir die Lösung der zyklischen Glei- 
chung in folgender Art durchführen. Wir bilden, unter a eine der Zahlen 
0, 1, 2, . . ., p — 1 verstanden, den Ausdruck: 



(2) L -% + f-"^i + ^-'"0, + '■' + e-iP-')<^e 



p-if 



60 Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie 

der eine „Lagrangesclie Besolvenie^'^) heißt und (nach Adjunktion von s) 
zu den natürlichen Irrationalitäten der Gleichung /'(^) = gehört. Bei 
Ausübung der erzeugenden Perniutation (1) der Galoisschen Gruppe G 
wird ^„ übergeführt in f"^^. Durch wiederholte Ausübung von S findet 
man als die p mit 5« konjugierten Zahlen: 

Die p Zahlen 1, s-% e^f, . . ., £(^-i)." sind für /^ = aUe gleich 1, für 
eine der Zahlen fi = 1, 2, 3y . . ., p — 1 stellen sie die p Wurzeln y®"" 
Grades der Einheit in irgendeiner Reihenfolge dar und geben dann die 
Summe 0. Die für a = 0, 1, 2, . . ., ^ — 1 zu bildenden Gleichungen (2) 
lassen sich daraufhin in folgender Art nach 0^, 6^^, . . ., 6^_j^ auflösen: 



p-i 

(4) ^/^ = ^-2>'?- ß^0,l,2,...,p-l. 

Die Zahl J^ ist bereits in ^ enthalten. Würde dasselbe von allen 
Zahlen J gelten^ so würden zufolge (4) auch die Ö^ in ^ enthalten sein, 
während doch keine einzige Wurzel der irreduz ibelen Gleichung /'(^) = 
eines Grades ^ > 1 in ^ vorkommt. Also gibt es unter den Zahlen (2) 
mindestens eine primitive und eben deshalb von verschiedene Zahl des 
Körpers (^^ 6). Die 2^*® Potenz jeder Zahl J^ ist zufolge (3) nur mit sich 
selbst konjugiert und stellt dieserhalb eine Zahl c^ aus ^ dar: Jede der 
p ZaJilen t,^ genügt einer ,,reinen^^ Gleichung in ^ ; 

(5) w" == c, 

vom Grade p, und es findet sich unter diesen Gleichungen mindestens eine, 
die in ^ irreduzihel ist, und für die c^^ =}= ist. 

Nennen wir eine beliebige unter den Wurzeln dieser reinen Glei- 
chung t, =yc^, so gilt (^, 6) = (^, t), und es ist jede Wurzel 6^^ unserer 
zyklischen Gleichung in der Gestalt: 

(6) 0^ = c,,,o + c^,,t + c^,,i' +■■■ + c,,,-ii'-' 

mit Koeffizienten c aus ^ darstellbar. Wir haben also den Satz ge- 
wonnen: Eine zyklische Gleichung des Primzahlgrades p ist nötigenfalls 
nach Ädjunläion der Einheitswurzel ^'^" Grades s mittelst einer einsigen 
WurzeUiehung p^'''' Grades lösbar. 

Dieser Satz begründet die am Schlüsse des vorigen Paragraphen 
über die Kreisteilungsgleichungen gemachten Angaben näher. Die zur 
Berechnung der Einheitswurzeln p^^"^ Grades zu lösenden Hilfsgleichungen 
sind zyklische Gleichungen der Grade q^^q^y • • •• Jede dieser Gleichungen 



1) Hier bedeutet also der Ausdruck „Resolvente" nicht eine Gleichung für 
eine natürliche Irrationalität, sondern eine besonders gewählte Irrationalität dieser 
Art selbst. 



Lösung der zyklischen Gleichungen. Abelsche Gleichungen (31 

ist durch eine einzige Wurzel g**"^ Grades lösbar, wobei freilicli der vor- 
stehenden Theorie zufolge eine $*" Einheitswurzel zu adjungieren ist. 
Schon hieraus folgt ohne näheres Eingehen auf die Gaußsche Theorie 
durch den Schluß der vollständigen Induktion, daß die Kreisfeilungsglei- 
chungen und mit ihnen jedenfalls auch alle zyMischen Gleichungen von 
Frimsahlgraden allein durch Wurzelziehungen (und rationale Rechnungen) 
lösbar sind. 

§ 16. Albelsche Gleichungen. 

Eine in einem Körper ^ irreduzibele Gleichung w*^" Grades, deren 
Wurzeln wir etwa wieder 6 = ö^, Ö^, ög, . . ., 6^^_^ nennen, heißt eine 
„Abelsche Gleichung''^ wenn ihre Galoissche Gruppe eine kommutative 
oder Abelsche ist. Da die Gruppe transitiv ist, so können wir n Permu- 
tationen 'Sq= 1, S^, ..., S,^_i aus ihr entnehmen, von denen Sf, die 
Wurzel 6q in ö^ überführt. Biese n Fermutationen bilden bereits die ganze 
Galoissche Gruppe der Gleichung. Es sei nämlich G^^ die Untergruppe 
aller Permutationen, die Oq in sich überführen. Dann bilden diejenigen 
Permutationen, die eine beliebige Wurzel ö^ in sich überführen, die mit G^^ 
gleichberechtigte Untergruppe Sj.- G^- Sj^. Da aber jede Untergruppe 
einer Abelschen Gruppe ausgezeichnet ist, so ist 8j^- G^^ ' ^k^ ^ ^i-n ^- ^• 
die Permutationen der G^^ führen jede Wurzel der Gleichung in sich über, 
so daß G^i = G^ nnr aus der identischen Permutation 8^=1 besteht. 
Führt neben S^ auch ^^ die Wurzel 6^ in dj^ über, so transformiert 
^1^ ' ^k ^^^ Wurzel 6q in sich, so daß S''^ • S'^^ = l und also S'j. = 5^ 
gilt. Es gibt also eine und nur eine Permutation in der Gruppe, die Oq 
in eine beliebig vorgeschriebene Wurzel dj^ überführt. Damit ist der Satz 
bewiesen: Die Galoissche Gruppe einer Abelschen Gleichung n^^" Grades 
ist eine einfach transitive Gruppe G^^ der Ordnung n; eine Abelsche Glei- 
chung ist also stets eine Normalgleichung, und der zugehörige Galoissche 
Körper ist der durch (^, 6) gegebene Körper n^^"" Grades. 

Jede Wurzel ö^ der Abelschen Gleichung ist in einer ersten unter 
ihnen 6 in der Gestalt: 

(1) Ö,= c,,„ + c,,jö + c,^,e'+- ■ ■ + c,,„_iö»-i 

mit Koeffizienten c ausÄ' darstellbar. Die in (1) rechts stehende Funktion, 
die durch Mj^ bezeichnet werden möge, liefert die Wurzel Ö^, in welche B 
bei der Permutation Sj, übergeht. Üben wir zuerst S^. und dann 5^ aus, 
so gehe d m d^= ^kW^)) über. Da nun 5^,- 5,= Sj- S^ ist, so folgt: 
Je zwei der bei unserer Abelschen Gleichung auftretenden rationalen ganzen 
Funldionen R befriedigen die Bedingung: 

(2) i?»(-B,(Ö)) = -R,(iJ,(e)) . 

Bei der Zusammensetzung zweier Funktionen R hat man die zunächst 



62 Einleitung, Teil IT: Galoissche Gleichungstheorie 

auftretenden Potenzen von mit Exponenten > n mittelst der Gleichung 
f(6) = auf solche mit Exponenten < n zu reduzieren. In (2) rechts 
und links erscheinen dann nach Ausführung dieser Reduktionen iden- 
tische Funktionen (n — 1)*^"^ Grades von 6. 

Umgekehrt gilt der Satz: Eine in ^ irreduzihele Gleichung n^'"' Grades 
f{z) = ist eine Ahelsche Gleichung, wenn jede ihrer Wurzeln 0^. in einer 
ersten unter ihnen rational in der Gestalt (1) darstellbar ist^ und wenn 
diese rationalen Funläionen B die Bedingung (2) erfüllen. Der Galois- 
sche Körper {^, 6, 6^, . . ., ö,,_i) ist dann nämlich als Körper (^, 6) dar- 
stellbar und also vom Grade n, so daß f(z) = eine Normalgleichung 
ist. Die Galoissche Gruppe G^^ der Ordnung n ist aber zufolge (2) kom- 
mutativ. 

Nach S. 17 wird die Jndexreihe der kommutativen Gruppe G„ von 
den die Zahl n zusammensetzenden Primfaktoren t^, t^, t^, ... geliefert. 
Die Gruppen G^^, G^^, . . . der Hilfsgleichungen sind demnach als Gruppen 
von Primzahlordnung durchweg zyklisch, so daß die Hilfsgleichungen 
selbst ohne Ausnahme zyklische Gleichungen von Primzahlgraden sind, 
deren Auflösung in § 15 behandelt ist. Eine Gleichung, deren vollstän- 
dige Auflösung ausschließlich durch rationale Rechnungen und Wurzel- 
ziehungen, also durch „Operationen der Algebra" vollzogen werden kann, 
wird als eine „algebraisch lösbare Gleichung^' bezeichnet. Nach S. 60 ff. sind 
die zyklischen Gleichungen von Primzahlgraden solche Gleichungen. Die 
vorstehende Betrachtung hat uns also zu dem Satze geführt: Die Äbel- 
schen Gleichungen, m denen insbesondere die Kreisteilungsgleichungen und 
alle zyTdischen Gleichungen gehören, sind algebraisch lösbar. 

§ 17. Algelbraisch lösbare Gleichungen. 

Um die Gesamtheit aller algebraisch lösbaren Gleichungen zu über- 
blicken, gehen wir noch etwas weiter, als es in § 15 geschah, auf die al- 
gebraische Bedeutung der Ausziehung einer Wurzel w*^" Grades ein. Ist 
die Primfakt orenzerlegung von n durch n = p^- p^- p^- - • gegeben, so 
kommt das Ausziehen einer Wurzel ?^*®" Grades auf eine Kette von Wur- 
zelziehungen der Primzahlgrade Pi, P-zj Pzy - ' - hinaus. Für die einzelne 
dieser Wurzelziehungeu, d. h. für die Lösung einer „reinen" Gleichung: 

(1) si'^c 

des Primzahlgrades p gilt nun der folgende Satz: Die Gleichung (1) ist 
in einem die Zahl c enthaltenden Körper U entweder irredusibel oder c 
ist die p^^ Potenz einer Zahl Cq aus ^. 
Soll es nämlich eine Zerlegung: 

(2) zP-c^(p{z)'ti^) 

von (zP— c) in zwei Funktionen q)(z) und f(z) in ^ von niederem als 



Lösung der Abelschen Gleichungen. Algebraisch lösbare Gleichungen 63 

^**'' Grade geben, so sei m der Grad von cpis). Die m Wurzeln von g?(^) = 
gehören zu denen der Gleichung (1) und haben also alle die Gestalt 
£^|/c, wo yc eine unter ihnen ist, e eine primitive p*® Einheitswurzel 
bedeutet und l ganzzahlig ist. Das Produkt der m Wurzeln der Gleichung 
(p{z) = ist als Absolutglied der Funktion (p(^s) eine in ^ enthaltene 
Zahl a. Wir haben also: /p/-\ 

wo auch ft eine ganze Zahl ist, und finden durch Erheben der letzten 
Gleichung zur p^^ Potenz : 
(3) c"' = aP . 

Da nun m teilerfremd gegen p ist, so kann man zwei ganze Zahlen a 
und ß angebeu, die die Gleichung am -{- ßp = 1 befriedigen. Mit Be- 
nutzung von (3) ergibt sich hieraus: 

so daß c in der Tat als p^^ Potenz einer Zahl aus ^ dargestellt ist. 

Ist nun die Gleichung (1) reduzibel und also c = cj, so sind die 
Wurzeln dieser Gleichung c^, fc^, f^Og, . . ., bp~^Cq, so daß die Auflösung 
der Gleichung einfach auf die der Kreisteilungsgleichung für den p^*^^ Tei- 
lungsgrad surüc'k'kommt. 

Im Falle der Irreduzibilität sei ö = )/c eine beliebige unter den 
Wurzeln der Gleichung (1), die dann noch nicht in U enthalten ist. Da 
sich die gesamten Wurzeln dann in der Gestalt: 

(4) e,= e, d.^ee, e,==8^d, ..., e^_,^ep-'6 

ansetzen lassen, so ist s sicher im Galoisschen Körper (^, ö, öj, . . ., 
Op_-^ enthalten. Sollte e noch nicht in ^ enthalten sein, so wird doch 
gleichwohl die Gleichung (1) auch noch im Körper {ß, s) irreduzibel sein. 
Wäre sie nämlich reduzibel, so fänden wir wie oben, daß c die p*® Potenz 
einer Zahl aus (ß, e) sein müßte, und also wären alle Wurzeln der in Ä 
irreduzibelen Gleichung p*«^ Grades (1) im Körper (^, s) vom {p — 1)*«^ 
Grade enthalten, was unmöglich ist. 

Wir adjungieren nun s nötigenfalls und bezeichnen den Körper (^, s) 
gleich selbst wieder durch ^. Aus (4) erkennen wir in der Gleichung (1) 
etzt nach den Sätzen von S. 61fP, sofort eine „Abelsche Gleichung", und 
zwar ist sie offenbar „zyklisch", so daß die Wurzelziehung p^""" Grades 
jetzt auf die Lösung einer zyklischen Gleichung des Frimzahlgrades p 
hinauskommt. 

Da auch die Kreisteilungsgleichungen ihrerseits auf zyklische Glei- 
chungen von Primzahlgraden zurückgeführt werden, so bedeutet über- 
haupt jede Radizierung im Sinne der Gleichungstheorie die Lösung einer 
Kette zyklischer Gleichungen von Primzahlgraden. Hiernach können wir so- 
fort beantworten, wann irgendeine in einem Körper ^ irreduzibele Glei- 



64 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen 

chung f(£) = algebraiscli lösbar ist. Die bei der fortgesetzten Reduk- 
tion der Galoisscben Gruppe G^^ bis zur G^ bin nach und nacb zu lö- 
senden Hilfsgleicbungen haben lauter einfache Galoissche Gruppen. Sollen 
diese Gleichungen alle algebraisch lösbar sein, so müssen sie ohne Aus- 
nahme zyklische Gruppen von Primzahlordnung zu Galoisschen Gruppen 
haben. Ist dieses aber der Fall, so sind sie auch sicher algebraisch lös- 
bar. Da jede Gruppe von Primzahlordnung zyklisch ist, so ergibt sich 
der Satz: Eine in einem Körper ^ irreduzihele Gleiclnmg ist stets und nur 
dann algebraisch löshar^ wenn die Indexreihe der zugehörigen Galoisschen 
Gruppe aus lauter Primzahlen hesteht. 

III. Algetoraische Funktionen. 

§ 1. Funktionen und Gleichungen in Funktionenkörpern. 

Die Entwicklungen des zweiten Teiles übertragen wir jetzt auf solche 
Gleichuni^en mit variablen Koeffizienten, wie sie in der Theorie der al- 
gebraischen Funktionen (vgl. I, 76 ff.) auftreten. Wesentliche Änderungen 
sind dabei, daß erstens an Stelle von Zahlkörpern hier ,jFunktionenJcör- 
per" treten, deren Begriff bereits in I, 81 aufgestellt wurde^ und daß 
zweitens an die Stelle der Gleichheit zweier Zahlen jetzt die Identität 
zweier Funktionen tritt. Im übrigen gestalten sich die Entwicklungen 
durchaus nach dem \^orbilde derjenigen im Teile II, so daß es der Kürze 
halber vielfach gestattet sein wird, auf die obigen Darlegungen Bezug 
zu nehmen. 

Die F'unktionenkörper, mit denen wir zu arbeiten haben, sind in fol- 
gender Art zu erklären. Wir legen zunächst einen bestimmten Zahl- 
körper ^ zugrunde, verstehen unter x eine komplexe Variable und unter 
U-iix), B^ipc), . . . rationale Funktionen von x mit Koeffizienten aus ^. 
Weiter sei y eine algebraische Funktion von Xj gegeben durch eine im 
Sinne von I, 79 irreduzihele Gleichung P^^ Grades in y: 
(1) f + R, {x)y'- 1 + B, (^)»/'- ^ + . • • + R,{x) = . 

Dieser algebraischen Funktion y gehört eine gewisse zusammenhängende 
^blättrioje Riemannsche Fläche F, über der rc-Ebene zu. Die gesamten 
algebraischen Funktionen dieser Fläche sind nach I, 80 rational in x 
und y darstellbar, und umgekehrt ist jede rationale Funktion von x und y 
mit nicht identisch verschwindendem Nenner eine algebraische Funktion 
der Fläche. Wir greifen unter diesen Funktionen diejenigen heraus, 
welche als rationale Äusdrüclce B{x, y) in x und y mit Koeffizienten aus 
^ darstellbar sind}) Es ist einleuchtend, daß die herausgegriffenen Funk- 

1) Unter (5) S. 68 wird eine eindeutig bestimmte Normal darstellung für die 
einzelne dieser Funktionen B{x, y) angegeben werden. 



Der Funktioneiikörper ^^ und die Funktionen f{z) in ^^ 65 

tionen B(x, y) in ihrer Gesamtheit einen jyFunJäionenJcörper" bilden; wir 
bezeichnen diesen Körper durch ,^^ und legen ihn den nachfolgenden 
Entwicklungen zugrunde. Ist insbesondere Z =• 1, so handelt es sich ein- 
fach um den Körper ^^ aller rationalen Funktionen von x mit Koeffi- 
zienten aus ^. Dieser letztere Körper, der durch Adjunktion der Varia- 
blen X zum Körper ^ entsteht, kann entsprechend auch durch (^, x) 
bezeichnet werden. 

Es seien nun «qW? ^iW? • • •? ^«W ^^^^ ^\i.rz «q, ö^i; • • •? <^n irgend 
(w -\- 1) Funktionen aus ^^, von denen die erste nicht identisch ver- 
schwinden soll. Vermittelst einer komplexen Variablen s bilden wir 
dann den Ausdruck: 

(2) f(^) = o,0^+a,0--'+a,B--'+ • • • + ^„, 

den wir als eine „FunMion w'^" Grades im Körper ^J^ bezeichnen, und 
aus dem wir durch Nullsetzen eine „Gleichtmg n^^"^ Grades in ^J^ ge- 
winnen. Die Funktionen nullten Grades in ^^ sind dann einfach die den 
Körper ^^ bildenden Funktionen, abgesehen von der identisch verschwin- 
denden Funktion, die wieder für sich steht. Für funktionentheoretische 
Schlüsse ist die Tatsache wichtig, daß jede Lösung einer Gleichung f{z) = 
in it^ eine algebraische FunJdion der ursprünglichen Variablen x liefert 
Durch Elimination von y aus f^s) = und der Gleichung (1) erhalten 
wir nämlich eine algebraische Relation zwischen ß und x. 

Es lassen sich nun zunächst die Entwicklungen von S. 29 K auf die 
hier vorliegenden Funktionen {(s) übertragen. Kann /'(^) als das Produkt 
Xii^) ' %^(ß) zweier Funktionen x^^s), ^gW i^ ^x dargestellt werden, so 
heißt jede dieser beiden Funktionen ein „Teiler'^ von f{3). Einleuchtend 
ist dann wieder, daß jede nicht identisch verschwindende Funktion aus 
^^ (d. h. jede Funktion nullten Grades in ^ J ein Teiler von f^s) ist und 
ebenso jedes Produkt von f{s) mit einer solchen Funktion aus ^^. 

Aus zwei fest gegebenen Funktionen f{s) und giß) in ^^, deren 
Grade n und m > seien, bilden wir mittelst beliebiger Funktionen (p{z\ 
i)(d) in ^^ die Gesamtheit % aller Funktionen: 

(3) /'W^/'W+^W^W. 

Aus der Körpereigenschaft der Koeffizienten unserer Funktionen geht dann 
wieder hervor, daß das System % die S. 29 unter 1. und 2. genannten 
Eigenschaften besitzt, wobei ü^ an Stelle von ü tritt. Hieran schließt sich 
die Überlegung von S. 29 ff., die zum „größten gemeinsamen Teiler'^ der 
beiden Funktionen f{2) und g{z): 

hinführt. Dieser größte gemeinsame Teiler ist eine durch f{e) und g{z) 
eindeutig bestimmte Funktion in ^^, deren Grad v^O ist und jedenfalls 

Fricke, Die eUiptischen Funktionen II 5 



66 Einleitung, Teil III: ArithmetiBche Theorie der algebraischen Funktionen 

keinen der Grade n, m übertrifft. Die Funktion % {£) gehört dem Systeme 
g an, ist also darstellbar in der Gestalt: 

(5) x{^)-t{s)t{s)-\-g{z)^{z). 

Ist der Grad v = und also x{s) mit 1 identisch, so heißen dier 
Funktionen /'(<s:),^(^) Jeilerfremd'^ : Für zwei teilerfremde f{z)y g{z) kann 
man zwei FunUionen (p{z)y 7l){z) in K^ so bestimmen, daß die Gleichung: 

(6) f(2M^) + g{z)<p[z) = i 

identisch besteht. Auch umgekehrt ist unmittelbar einleuchtend, daß die 
Funktionen f{z) und g{z) durch die Existenz einer identischen Gleichung 

(6) als teilerfremd charakterisiert sind. Hätten nämlich f(z) und g{z) 
einen gemeinsamen Teiler eines Grades i^ > 0, so würde in (6) link» 
das Produkt einer Funktion des Grades v '> mit einer Funktion in ^^ 
stehen, die wegen (6) nicht mit identisch sein kann. Also würde in (6) 
links eine Funktion mindestens vom Grade v > stehen, die nicht mit 
der Funktion nullten Grades 1 identisch ist. 

Hieran schließen sich genau wieder die Überlegungen von S. 30ff^ 
Wir dürfen sogleich folgende Sätze notieren: Sind f{z)j g(z) und h(z) 
Funktionen in ^^, von denen die beiden ersten teiler fremd sind, und ist 
g{z) - h(z) durch f{z) teilbar, so ist f{z) ein Teiler von h{z). Auf die 
Gleichung (6) bezieht sich der Satz: Sind f{z) und g(z) teiler fremd, so 
gibt es ein und nur ein Paar, die Gleichung (6) identisch befriedigender 
Funktionen (p{p), il^(z), deren Grade bzw. < n und < m sind. Für eine 
beliebige Funktion h(z) in ^^ gilt endlich der Satz: Sind f{z) und g{zy 
teilerfremd, so kann man jede Funktion h{z) in ^^ in der Gestalt: 

(7) h{z) = f{z)Hz) + g{z)^{z) 

mit zwei Funktionen (p(z) und xp{z) in ^^ darstellen, und zwar kann man 
die Funktionen (p{z) und ipiz) in einer und nur einer Art so wählen, daß 
der Grad von cp (z) kleiner als der Grad n von f{z) ist. 

Die Funktion f{z) heißt „in ^^ reduzibeV', falls sie eine Funktion 
x{z) in ^^ eines Grades, der > und < n ist, zum Teiler hat; existiert 
ein solcher Teiler nicht, so heißt f(z) „in ^^ irreduzibeV'.^) Hieran schlie- 
ßen sich wie S. 31 ff. die folgenden Sätze : 

Ist von den beiden Funktionen f(z) und g{z) in 9t^ die erste irredu- 
zibel, so sind f(z) und g{z) entweder teiler fremd oder g{z) hat f{z) zum 
Teiler. 

Zwei irreduzibele Funktionen f{z) und g{z) sind entweder teiler fremd 
oder bis auf einen Faktor, der eine Funktion aus ^^ ist, identisch. 



1) Der Zusatz „in Ä^." wird wieder, falls er selbstverständlich ist, gewöhn- 
lich fortgelassen. 



Re duzibilität und Irreduzibilität. Algebraische Funktionen in bezug auf S^^ 67 

Eine irreduzihele FunMicn f{z) ist stets teuer fremd zur FunMion f {£), 
die man durch partielle Differentiation nach z aus ihr erzielt. 

Jede Funktion f{z) in ^^ ist nur auf eine Art als Produkt irredu- 
zibeler Funktionen darstellbar , abgesehen davon, daß jede irreduzihele Funk- 
tion noch um eine nicht identisch verschwindende Funktion aus ^^ als 
Faktor geändert werden kann. 

§ 2, Algebraische Funktionen in bezng auf einen Körper Ä^t. 

Die Gleichung n*®° Grades f(z) = in ^^, die wir durch Nullsetzen 
einer Funktion w*^" Grades in ^^ gewinnen, heißt „in ^x reduziheV oder 
„irreduzibel^^ je nachdem f{z) reduzibel oder irreduzihel ist. Eine Lösung 
oder Wurzel z == 6{x) der Gleichung f{z) = ist nach S. 65 eine „alge- 
braische Funktion" von rr; genauer ist sie als eine mehrdeutige Funktion 
der Stelle der Riemannschen Fläche F^ zu denken und werde als eine ,,in 
hezug auf den Körper ^^ algebraische Funktion'^ bezeichnet. Ist f(z) = 
reduzibel, so muß für z = B{x) mindestens einer der irreduzibelen Fak- 
toren von f{z) identisch verschwinden, so daß jede in bezug auf ^^ 
algebraische Funktion sicher mindestens einer irreduzibelen Gleichung in 
K genügt. 

Es gilt nun zunächst der Satz: Haben die beiden Gleichungen f(z) = 
und g(z) = 0, von denen die erste irreduzibel ist, eine gemeinsame Wurzel 
z = d{x), so ist f(z) ein Teiler von g{z). Wäre dies nämlich nicht der 
Fall, so müßten, da f{z) irreduzibel ist, f{z) und g{z) teilerfremd sein 
Also gäbe es zwei Funktionen (p{z) und ipi^z) in ^^, die mit f{z) und 
g{z) die Relation (6) S. 56 identisch befriedigen. Wählen wir aber irgend- 
eine Stelle Xq auf F^, für welche alle Koefüzienten unserer Funktionen 
endliche Werte haben, so ist sicher: 

f(e[x,))i;(e{x,)) + g{eix,))^{d{x,)) = o, 

da (p(6{Xq)), t(d{xQ)) nicht unendlich sind und f{d{0CQ)), g{6{x^) ver- 
schwinden. Dies widerspricht aber der identischen Relation (6) S. QQ, so 
daß der Satz richtig ist. 

Als einfache Folgerungen ergeben sich die Sätze: Zwei irreduzibele 
Gleichungen in ^^ haben entweder keine gemeinsame Wurzel cder ihre lin- 
ken Seiten sind, abgesehen von einem Falter, der eine Funktion in ^^ ist, 
identisch. Eine in bezug auf den Körper ^^ algebraische Funktion z=d{x) 
genügt im wesentlichen nur einer einzigen irreduzibelen Gleichung in ^^. 
Der Ausdruck „im wesentlichen" bezieht sich darauf, daß die linke Seite 
der Gleichung noch mit einer Funktion aus ^^ als Faktor versehen wer- 
den kann. Weiter besteht der Satz: Ist z = 6(x) eine Wurzel der irredu- 
zibelen Gleichung f(z) = 0, so kann f{6{x)) nicht identisch verschwinden. 

Ist n der Grad der irreduzibelen Gleichung für z = 0{x)y so nennen 



68 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen 

wir 6{x) eine in bezug auf ^^ algebraische Funktion ,^vom n^^" Grade^'. 
Für n = 1 haben wir in 6(x) natürlich eine Funktion aus ^^. Ist w > 1, 
so gehört ß(x) dem Körper ^^ nicht an, so daß wir durch Adjunktion 
von ß = 6{x) zu ^^ einen durch (ß^^ 6) zu bezeichnenden erweiterten 
Funktionenkörper erhalten. Dieser Körper besteht aus allen in der Gestalt: 

darstellbaren Funktionen, wo g(x) und h(x) Funktionen in ^^ sind, yon 
denen die erste für 6{x) nicht identisch verschwinden und also f(0) nicht 
als Faktor haben darf. Da hiernach /'(^) und g(z) teilerfremd sind, so 
können wir nach (7) S. 66 die im Zähler von J stehende Funktion h {s) 
in der Gestalt: 

(2) h{^) = f{z)t{s) + g{^)<p{z) 

darstellen, wo (p{/) und ^(^) Funktionen in ^^ sind und der Grad von 
(p{£) kleiner als n ist. Schreiben wir demnach: 

(3) ^{z) = Co + c,s + c,z' + • • • 4- c„_i^"-S 

so ergibt sich durch Eintragen von Q{x) für z in (2) und (3) der Satz: 
Jede Funlction ^ = i(x) des erweiterten Körpers (ß^, 6) ist in der Gestalt: 

(4) e = c, + c,d + c^ö^-f . . . + c.^_,e-' 

darstellbar, wo die c Funktionen aus ^^ sind; zugleich ist diese Darstellung 
für die einzelne Funktion ^(x) eindeutig bestimmt. Der letzte Teil des 
Satzes folgt genau wie S. 34 aus der Irreduzibilität von f{z). 

Man kann diesen Satz auch auf die Gleichung'(l) S. 64 und damit auf 
die Darstellung der algebraischen Funktionen R(x, y) des Körpers ^^ 
anwenden. Jene Gleichung ist irreduzibel im Körper (^\ x^ der rationalen 
Funktionen von x mit Koeffizienten aus ^}) Für die Funktionen R^x^y) 
des Körpers ^^ ergibt sich demnach je eine eindeutig bestimmte Dar- 
stellung: 

(5) R(x, 2/) = < + c^y + c^y^ + • • • + c[_^y'-\ 

wo die c dem Körper (ß, x) angehören und also rationale Funktionen 
von X mit Koeffizienten aus ^ sind. 

§ 3. Grleiclizeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Funktionen. 

Yon grundsätzlicher Bedeutung ist auch hier die Tatsache, daß man 
die gleichzeitige Adjunktion einer beliebigen Anzahl algebraischer Funktionen 
Bi{x), 0^{x), . . ., B^{x) zu ^^ durch die Adjunktion einer einzigen Funktion 
r}{x) ersetzen kann. Der Beweis dieses Satzes kann wieder durch die 



1) Sie ist nach I, 79 sogar irreduzibel im Körper aller rationalen Funktionen 
von X mit beliebigen konstanten Koeffizienten. 



Darstellung der Funktionen von (^^, 6). Adjunktion mehrerer Funktionen 69 

Überlegungen von S. 35 ff. geführt werden, nur sind ein paar Änderungen 
dadurch bedingt, daß wir hier mit Funktionen und nicht mit Zahlen zu 
tun haben. 

Wir gehen schrittweise vor, bezeichnen zunächst die Funktion 6^ (x) 
kurz durch d(x) und stellen nach (4) und (5) § 2 die Funktionen J des 
Körpers (^^, ß) in der Gestalt: 

(1) ^ = 2c,ye^\ A = 0,1,...,Z-1, i. = 0,l,..,n-l 

dar, wo die C;^^ Funktionen des soeben, mit (^, x) bezeichneten Körpers 
der rationalen Funktionen von x mit Koeffizienten aus ^ sind. Die Funk- 
tion d(x) war zunächst eine mehrdeutige Funktion auf der Riemannschen 
Fläche Fj. Sie ist aber auch direkt in bezug auf (Ä, x) algebraisch und 
möge als solche der in (^, x) irreduzibelen Gleichung: 

(2) ö- + B[ {x)d^-' + i?;(a;)ö— 2 + . . . + J?;(:r) = 

genügen, die wir der Gleichung (1) S. 64 für y anreihen. 
Wir setzen nun: 

(3) 2/i W = <^2/(^) -i- ß^{^) oder kurz y^=- ay -\- ßO, 

wo ay ß als rationale ganze Zahlen in folgender Art bestimmt werden 
sollen: Da keine zwei Lösungen y{x)y y{x)j . . ., y^^~'^\x) der Gleichung 
(1) S. 64 identisch sind und ebenfalls keine zwei Lösungen 6{x\ 0'{x)j 
. . ., ö^"'~^)(^) von (2), so können wir ein Argument Xq so wählen, daß 
die l Zahlen 2/(^o)? /(^o); • • • durchweg verschieden sind und ebenso 
die m Zahlen B{x^, ß\^o), • • •• Wir bilden die l - m Kombinationen: 

(4) ay(^){x) + ßd(f^\x), A = 0, 1, . . ., Z - 1, ^ii = 0, 1, . . ., m - 1 

und erhalten auf diese Weise l • m Funktionen, die wir in irgendeiner 
Reihenfolge y^, y[, y[, . . ., ^(J»»-!) nennen. Wegen der Verschiedenheit 
der Zahlen y^^^x^ und derjenigen, der 6'^'\x^ können wir nach einer oben 
wiederholt ausgeübten Überlegung die cc, ß als rationale ganze Zahlen so 
bestimmen, daß die ^m Zahlen yi{x^, y'{{x^y . . ., y''\'"'~^\x^ durchweg ver- 
schieden sind. Daraus folgt dann, daß von den Im Funktionen (4) keine 
zwei identisch sein können. 

Hieran schließt sich nun die Wiederholung der Überlegung, die wir 
oben (S. 36) mit der Gleichung (7) begonnen hatten. Wir finden, daß die 
Ifn Funktionen y^, y\j . . ., y^['"--'^'^ die Wurzeln einer Gleichung F(z) = 
im Körper (^, a;) vom Grade Im sind. Diese Gleichung braucht in {ßt, x) 
nicht irreduzibel zu sein; aber es verschwindet wegen der Verschieden- 
heit der y^y y\y ' . * sicher F\y^) nicht identisch, was für die weitere 
Überlegung ausreichend ist. Durch Übertragung der an (9) S. 37 an- 
geschlossenen Überlegung finden wir, daß der Körper (ß^y 6) = {ßy x, y, 6) 
auch als Körper (ßy Xy y^)y der durch £^^) bezeichnet werde, durch Ad- 



70 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen 

junktion der einzigen Funktion y^ zu {^, x) an der Stelle der beiden y, 9 
gewinnbar ist. 

Wir setzen jetzt genauer 6^{x) für die Funktion 6(oc) ein und halten 
an der Bezeichnung (^^, öj = ^^^) fest. Wesentlich ist, daß der so erhal- 
tene Körper ^^^^ wieder ein Körper derselben Art wie ^^ ist. Die Funk- 
tionen des Körpers (ß'^^\ 6.^) =- (^^, 6^, 6^) lassen sich demnach in der 
Gestalt: 

«2—1 

(5) J'c('>ö5 = ^c,„Öie|, 1 = 0,1,. ..,n,-l, t, = 0,l,...,n,-l 

darstellen, wo die d^^ Funktionen aus Sli^^ und die C; „ solche aus ^^ sind, 
und n^y n^ die Grade von ö^ix), O^ipo) bedeuten. Die Darstellungen (4) 
sind freilich nicht mehr notwendig eindeutig bestimmt^); doch wird da- 
durch die weitere Schluß weise nicht beeinflußt. Der Körper (ßl^\ 0^) 
kann dann wieder als ein Körper i"^^^) von der Art des Körpers ^^ durch 
Adjunktion einer einzigen Funktion y^ zu (^, x) gewonnen werden. 

Um das Ergebnis möglichst dem Satze von S. 35 anzupassen, ent- 
nehmen wir aus der vorstehenden Betrachtung die Tatsache, daß die bei 
den weiteren Adjunktionen eintretanden Körper {ß.^, 6^, O^j ög), . . . stets 
wieder als Körper ^^^>, . . . von der Art des Körpers ^^ bei der Fortset- 
zung der Betrachtung zugrunde gelegt werden können. Wir gelangen so 
für die Funktionen des Körpers (^^, ö^, $2, . . .; 6^) zu Darstellungen 
der Gestalt: 

(6) ^%....öi%ö;-; >l = 0,l,...,^,-l, (1 = 0,1,. ..,n,-l,..., 

die für die einzelnen Funktionen natürlich wieder nicht notwendig ein- 
deutig bestimmt sind. Die Zahlen w^, %, . . . sind die Grade der irredu- 
zibelen Gleichungen /i(^) = 0, f^i^) = 0, . . ., denen die Funktionen 6^(x)y 
S^(x)j . . . genügen. Diese Gleichungen brauchen natürlich, wenn wir 
auch die m Funktionen 6^ (x), 0^ {x), ... als durchweg verschieden voraus- 
setzen, keineswegs alle voneinander verschieden zu sein. 

Die Überlegungen von S. 36 ff. zum Beweise des am Anfang des Para- 
graphen aufgestellten Satzes wiederholen sich nun genau wie dort, 
wobei nur der Schluß auf die Verschiedenheit der N = n^- n^. . .n^ 
Funktionen ri{x\ tf{x), . . ., r]^^~'^\x) einer funktionentheoretischen Be- 
trachtung bedarf, bei der man von einer geeigneten speziellen Stelle der 
Riemannschen Fläche F^ auszugehen hat. Wir gelangen zu dem Ergebnis : 
Der durch Adjunktion von m in hemg auf^^ algebraischen Funktionen 0^{x)j 
62(00) j . . ., 0^(x) zu ^^ zu gewinnende Funktionenkörper (^3., ö^, ög, . . ., 0^) 



1) Die für 6^ vorgelegte in Ä'^ irreduzibele Gleichung des Grades n^ kann 
nämlich im Körper ^^J-^ reduzibel sein. 



Adjunktion mehrerer Funktionen, Konjugierte Körper 71 

kann auch durch Adjunhtion einer einzigen in hezug auf Ä^ algebraischen 
Funktion 7} (x), die in der Gestalt: 

(7) v{^) = rA(x) + rM^) + • • • + rm^mi^) 

mittelst rationaler ganzer Zahlen y darstellbar ist, zu ^^ gewonnen werden. 

§ 4. Konjugierte Körper. Primitiye und imprimitive Funktionen. 

In den folgenden vier Paragraphen übertragen wir die Entwicklun- 
gen von S. 38 ff. auf unsere jetzt vorliegenden Gleichungen mit variablen 
Koeffizienten. Die Beweise gestalten sich wie oben: sie dürfen demnach 
zumeist übergangen werden. 

Es sei wieder f{z) == eine irreduzibele Gleichung in ^^ vom w*®"" 
■Qrade, deren n Lösungen wir jetzt durch 6(x) = ^^(ir), 0^(x)j . . ., 0^(x) 
bezeichnen. Die = 6^, O^y . . ., 6^ heißen n „konjugierte^' in bezug auf 
ü^ algebraische Funktionen, und entsprechend werden die w Funktionen- 
körper (^^, 6) = (t^, e^), (t^, ö^), . . ., (t^, (9„) als n „konjugierte" in be- 
zug auf Ä^ algebraische Körper w**''^ Grades bezeichnet. Irgendeine Funk- 
tion ^ = ^(x) des Körpers (^^, 6) ist nach (4) S. 68 in der Gestalt: 

(1) i=-c,-\-c,e + c,e' -!-.•• + c„_,d'^-' 

darstellbar, unter Cq, ^i, • • •; ^«-i Funktionen aus ^^ verstanden. Ersetzen 
wir in (1) rechts 6 = 6^ durch 6^, Ö3, . . ., 6^, so erhalten wir die mit 
? = ti(x) „konjugierten Funktionen" t^ix), ^^(x), . . ., t^(x). Wie S. 38 
beweist man, daß ^(x) = ^^(x), t^ix)^ . . ., i„(x) die Wurzeln einer Glei- 
chung n^^ Grades in ^^: 

(2) g(w) = «t'«4- &iw;»-i-i- 63«^«- H hb„=0 

sind, die aus der Gleichung f(z) = als „Tschirnhausenresolvente^^ mit- 
telst der Transformation gewonnen wird: 

(3) w = Cq-\- c^z+ c.y-\ -I- c,^_iZ''-\ 

Die Frage der Reduzibilität der Gleichung (2) führt zu der Über- 
legung von S. 39 zurück. Wir haben den Satz: Die linke Seite g(w) der 
Tschirnhausenresolvente (2) ist die fi^^ Fotenz einer irreduzihelen Funktion 
v^^" Grades in ^^, wobei ^ - v = n zutrifft; die n konjugierten Funktionen 
^,, ^2, . . ., g„ sind zu je ft einander gleich und liefern v verschiedene Funk- 
tionen. Ist /i = 1, so ist die Gleichung (2) irreduzibel, und die n konju- 
gierten Funktionen Ji; S2? • • •? ?«; ^^^ ^^ diesem Falle durchweg verschie- 
den sind, heißen „primitive'^ Funktionen des Körpers (^^, 6). Für m > 1 
werden die J „imprimitive^^ Funktionen des fraglichen Körpers genannt. 

Es gilt der Satz: In jedem in bezug auf ^^ algebraischen Körper n^" 
Grades (^^, 6) gibt es unendlich viele primitive Funktionen. Man kann 



72 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen 
nämlich bereits auf unendlich viele Arten ein System rationaler ganzer 
Zahlen ^o; 7i? }^2? • • •? ^n-i ^^ wählen, daß die w mit 

(4) t = ro+ri0 + n6'+--- + rn-i6"-' 

konjugierten Funktionen durchweg verschieden sind. Hierzu ist hinrei- 
chend, daß die n mit (4) konjugierten Funktionen an irgendeiner spe- 
ziellen Stelle Xq der Riemannschen Fläche F^ durchweg verschiedene 
numerische Werte annehmen. Dies aber ist durch unendlich viele Aus- 
wahlen von Zahlen y erreichbar, wenn nur, was keine Schwierigkeit hat, 
die Stelle Xq etwa so gewählt ist, daß die Zahlen 0^(Xq), Ö2(:ro), . . ., 0^{Xq) 
durchweg verschieden sind. 

Genau wie S. 40 gestaltet sich der Beweis des Satzes: Durch Ad- 
junUion irgendeiner f,primitiven" FunMion l von {^^, 6) zum Körper ^^ 
ergibt sich stets der gesamte Körper {ß:^^ B) wieder, während für eine ,,im- 
primitive^' Funktion J der Körper (^^, Q den Körper (ß^, 6) noch nicht 
erschöpft. 

§ 5. Oaloissche Körper und Galoissche Resolventen. 

Entsprechend den Entwicklungen von S. 41 haben wir nun folgende 
Erklärung aufzustellen: Der Funlctionenlcörper (ß.^, 6) heißt ein „Galois- 
scher'^ Körper oder „NormalJcörper'^j falls er mit seinen sämtlichen konju- 
gierten Körpern gleich ist. Notwendig und hinreichend hierfür ist, daß 
jede der Funktionen B^{x\ d^(x)y . . ., 6^(x) im Körper (^^, öj = (^^, 6) 
enthalten ist, d. h. daß (n — 1) Gleichungen gelten: 

(1) ^k- c*o + (^ki^ + <^k2^' + • • • + %n-iO'^-\ A; = 2, 3, . . ., w, 

wo die c Funktionen aus ^^ sind. Es ist dann in entsprechender Weise 
jede Funktion 9j^(x) in jeder d.{x) darstellbar. Einleuchtend ist, daß ein 
Normalkörper mit jeder seiner Funktionen ^(x) alle ihr konjugierten 
Funktionen t^{x) = i{x\ ^^(p^), . . ., J„(.t) enthält. 

Wie oben besteht auch hier der Satz: Ist (ß^, 6) ein beliebiger in 
besug auf ü^ algebraischer Körper n^'" Grades, und sind 0^{x) = 6{x\ 
62 (x), . . ., d„(x) die mit 6(x) konjugierten Funktionen, so ist der Körper 
(k^, 0^, 6^, . . ., öj der „kleinste" Galoissche oder Normalkörper, der (ß^, 6) 
in sich enthält. Der Beweis wird durch Wiederholung der Betrachtung 
von S. 42 geführt. 

Ist (^^, 6^, Ö2, . . ., ÖJ in bezug auf ü^ ein algebraischer Körper 
m^^ Grades, so genügt irgendeine primitive Funktion yi{x) dieses Kör- 
pers einer irreduzibelen Gleichung m*®"" Grades in ü^: 

(2) F(Z) = 0, 

die wir als eine „Galoissche Besolvente" der Gleichung /'(^) = bezeichnen 
oder auch, für sich betrachtet, eioe „Normalgleichung" nennen. Eine Nor- 



Galoissche Körper und ihre Transformationen in sich 73 

malgleicliuiig ist durch die Eigenschaft charakterisiert, daß sie in ^^ ir- 
redusibel ist, und daß jede ihrer Lösungen rjf(x) in einer beliebigen unter 
ihnen r}j;(x) in der Gestalt: 

(3) %=cf^ + <^i% + <^!^nl H- ■ • • + c^t-^nl-' 

mit Ftmhtionen c aus ^^ darstellbar ist. Eine Normalgleichung ist stets 
selbst eine ihrer Galoisschen Resolventen. 

§ 6. Galoissche Gruppe einer Gleichung /(^) = 0. 

Wie eben bedeute rj{x) eine bestimmt gewählte primitive Funktion 
des Galoisschen Körpers (^^, O^j d.^^ . . ., öj, die der irreduzibelen Glei- 
chung (2) § 5 genüge. Wir gewinnen dann alle Funktionen des Körpers 
(t„ 0^, e„ . . ., Öj = (^,, 7^) in der Gestalt: 

(1) t = C,-{-c,ri + c,rj'+'-- + c^_,r-' 

und zwar jede Funktion nur einmal, wenn wir hier für die Cq, c^j . . ., c^_^ 
alle möglichen Systeme von Funktionen aus ^^ eintragen. Statt rj können 
wir aber auch jede mit rj{x) konjugierte Funktion ri,^(x) benutzen, d. h. 
wir gewinnen auch durch den Ansatz: 

(2) e,= c,+ e,rj,+ c,ril + • • • + c^^^vT'' 

jede Funktion von (^^, yj) und jede nur einmal. 

Ersetzen wir nun yj durch tj^^, so geht entsprechend J in g^ über, und 
wir erhalten einen umkehrbar eindeutigen Ersatz jeder Funktion aus 
(^xf V) tlurch eine bestimmte mit ihr konjugierte Funktion aus (^^, ri). Wir 
nennen diesen Ersatz wie oben eine „Transformation des Galoisschen 
Körpers in sic¥'. Nehmen wir der Reihe nach ?^^ gleich Vif V2y - - -^ Vm7 
so erhalten wir m verschiedene Transformationen des Galoisschen Kör- 
pers in sich, die wir symbolisch durch Sq= Ij S^^ ^2? • • •? ^m-i bezeich- 
nen; sie haben für jedes System von konjugierten Funktionen m Permu- 
tationen zur Folge, die wir gleichfalls durch die Symbole Sj^ bezeichnen. 

Für das System dieser m Transformationen gelten nun wieder alle 
Ausführungen von S. 44 ff. mit denjenigen Abänderungen der Begründun- 
gen, welche auf dem Umstände beruhen, daß wir hier mit Funktionen- 
körpern zu tun haben. Es besteht insbesondere der Satz: Wenn die m 
Permutationen auch nicht für jedes System konjugierter imprimitiver Funk- 
tionen von (ß^, Yj) durchgängig verschieden sind, so sind sie doch sicher durch- 
gängig verschieden für die n Lösungen d^(x), 0^{x), . . ., Ö^(^) der ursprüng- 
lich vorgelegten irreduzibelen Gleichung f(^z) = 0, 

Die Gruppeneigenschaft der m Transformationen folgt wie S. 45: 
Die m Transformationen Sq= 1, S^, S^j . . ., S^_i des Galoisschen Kör- 
pers (^^, 7]) in sich bilden eine endliche Gruppe G^ der Ordnung m, die in 
ihrer Gestalt als Permutationsgruppe der m konjugierten Funktionen r^ die 



74 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen 

jyGaloissche Gruppe^^ der Normalgleichung F(Z) = heißt, in ihrer Ge- 
stalt als Permutationsgruppe der 6 aber „die Galoissche Gruppe^^ der Glei- 
chung fiß) == 0. Die Galoissche Gruppe (r^ der irredusihelen Gleichung 
f{s) = ist transitiv. Die Galoissche Gruppe einer Normalgleichung 
m^^"^ Grades ist eine G^ der Ordnung m und des Grades m, die einfach 
transitiv ist. 

Die Eigenschaften der G^^, die auf der Irreduzibilität der Gleichun- 
gen beruhen, gestalten sich gleichfalls wie oben. Es seien: 

Quotienten von „Funktionen in ^J\ deren Nenner nicht durch F{z) teil- 
bar seien. Dann sind gi{r]j^{x)) und g^ijl^^i^)) für jedes ri^ix) Funktionen 
aus (^^, 7i)y die nicht identisch verschwinden. Damit die beiden in {ß^, ■rj) 
enthaltenen Funktionen B^(r}{x)) und Il^{r}{x)) identisch sind, ist hinrei- 
chend und notwendig, daß die Gleichung: 

(4) \{^)g,{£)-\{£)g,{!i)=^() 

die Lösung s ^ ri{x) hat. Nach S. 67 hat sie dann aber jede Funktion 
'rij^{x) als Lösung, so daß die Gleichung B^(rj,^{x)) = B^ir^j^ix)) für jedes 
'rjj^(x) identisch besteht, sobald sie für eine der m Funldionen rj(x) zutrifft. 

Die Übertragung dieses Satzes auf die Galoissche Gruppe der Glei- 
chung f{ß) = ergibt wie oben (S. 47) den Satz: Jede rationale „Glei- 
chung in ÜJ^, die für die Funldionen 6^(x), 6^(x), . . ., 0^{x) identisch be- 
steht ^ bleibt eine identisch gültige Gleichung, falls man die 0^, S^, . . ., 0^ 
irgendeiner Permutation der Galoisschen Gruppe unterwirft. Berücksichtigt 
man noch, daß eine Funktion des Körpers (^^, öj, S^, . . ., öj durch die 
Permutation der G^ in ihre „konjugierten" Funktionen übergeführt wird, 
so folgt der Satz: Ein rationaler Aiisdruch B_{6^, 6^, . . ., 0^ mit 
Koeffizienten aus ^^, der bei allen Permutationen der G^ mit sich selbst 
als Funktion auf der Fläche F^ identisch bleibt, ist eine Funktion aus ^^. 

Als Umkehrung des vorletzten Satzes haben wir noch den folgenden 
Satz zu nennen: Eine Permutation der ^i, ög, . . ., ö„, die „jede'^ zwischen 
diesen Funktionen identisch gültige „Gleichung in ^^" wieder in eine eben- 
solche Gleichung überführt, gehört der Galoisschen Gruppe G^ an; diese 
G^ kann demnach als Gruppe aller Permutationen der 6 erklärt werden, 
hei denen „alle^^ zwischen den d^(x), B^ip), . . ., B^{x) identisch bestehenden 
Gleichungen in ^^ wieder in solche übergehen. Man führt den Beweis genau 
wie S. 47 ff. mit einer besonders gewählten Funktion ri{x) der Gestalt (3) 
S. 47. Die Auswahl der ganzzahligen Koeffizienten y kann wieder so ge- 
troffen werden, daß von den w! Funktionen, die bei allen w! Permutationen 
der 6 aus ri hervorgehen, keine zwei identisch sind. 



Galoissche Gruppe und Auflösung einer Gleichung 75 

§ 7. Auflösung einer algebraischen Gleichung f{^) = 0. 

Es sei (tu irgendeine Untergruppe der Galoisschen Gruppe G^ un- 
serer irreduzibelen Gleichung f{i2) = 0. Eine Funktion t,{x) des Galois- 
sclien Körpers {ü^, d^y 6^^ . . ., öj, die bei den Permutationen der G^ 
und nur bei diesen in sich übergeführt wird, nennen wir ^^eine mr G^^^ 
geliörende FunMion^' und sagen auch umgekehrt, die Gruppe G^u gehöre 
ßu t{^)' Es besteht der Satz: Zu irgendeiner Untergruppe G/^ von G^ gibt 
es unendlich viele zugehörige FunMionen; ist ^(x) eine unter ihnen, so ist 
jede Funktion des Galoisschen Körpers, die durch die Permutationen der 
Gu in sich übergeführt wird, im Körper (^^, ^) enthalten. Der Beweis 
überträgt sich von S. 50 ff. ohne weiteres, wenn nur überall an Stelle des 
Wortes „Zahl" das Wort „Funktion" gesetzt wird und die „Identität" 
der Funktionen an Stelle der „Gleichheit" der Zahlen tritt. 

Irgendeine Funktion ^(x) des Galoisschen Körpers nennen wir auch 
hier eine „natürliche Irrationalität" der Gleichung f(^z) == 0. Die Gleichung 
in ^^, der J genügt, heißt wie oben eine „rationale Besolvente" der gege- 
benen Gleichung f^s) = 0. Die Entwicklungen von S. 52 ff. übertragen 
sich auf die vorliegenden Verhältnisse mit den eben genannten formalen 
Abänderungen, wobei insbesondere alle gruppentheoretischenÜberlegungen 
unberührt bleiben. Als Hauptsatz gilt der folgende: Ist Gj eine ausge- 
zeichnete Untergruppe der Galoisschen Gruppe G^, so genügt eine zur G^ 
gehörende Funläion rj einer in ^^ irreduzibelen Gleichung des Grades 

m = -y, deren Galoissche Gruppe die Quotientengruppe G^JG^ ist; nach 

Adjunktion von rj zu ^^ wird die Galoissche Besolvente F(Z) = im Kör- 
per ^^ = (ß^, 7J) reduzibel und liefert nach Zerlegung m in ü^ irreduzihele 
Gleichungen V^"^ Grades, die ivieder Normalgleichungen sind, und für deren 
einzelne Gj die Galoissche Gruppe ist. 

Der Prozeß der „vollständigen Auflösung" der Gleichung f(z) = 
oder, was auf dasselbe hinausläuft, die Berechnung „einer^' Lösung der 
Galoisschen Besolvente F{Z) = gestaltet sich nun genau so wie für die 
Gleichungen des vorigen Teiles. Wir haben eine Kette von Hilfsgleichun- 
gen, die „Normalgleichungen" mit „einfacher Galoisscher Gruppe^' sind, zu 
lösen und erreichen nach der einzelnen Lösung eine Erniedrigung der Ord- 
nung der jeweils vorliegenden Galoisschen Gruppe unter entsprechender 
Zerfällung der bis dahin erreichten Galoisschen Besolvente. Insbesondere 
sind wieder die Kennzeichen für die „algebraische Lösbarkeit" der Glei- 
chung f(z) = nach der oben (S. 64) angegebenen Regel aus der 
Struktur der Galoisschen Gruppe G^ zu entnehmen. 



76 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen 

§ 8. Monodromiegruppe einer Gleichung /(;$;) = 0. 

Die bei der Lösung einer Gleichung f{z) = nach und nach zu ad- 
jungierenden natürlichen Irrationalitäten sind Funktionen des Körpers 
Ä? ^1? ^27 • • •? ^J- Es ist nicht ausgeschlossen, daß hierbei auch Funk- 
tionen auftreten, die bereits in x und der ursprünglich vorgelegten alge- 
braischen Funktion y von x rational sind. Solche zu adjungierende Funk- 
tionen werden dann freilich nicht schon im Körper ^^ enthalten sein, 
d. h. im rationalen Ausdruck It {x, y) dieser Funktionen müssen unter den 
Koeffizienten „Zahlen" auftreten, die noch nicht im Zahlkörper ^ ent- 
halten sind. Wir nennen diese Zahlen „numerische Irrationalitäten^^ die 
für die Gleichung f{z) == „natürlich^^ sind. Indem wir sie zu ^ und ^^ 
adjungieren, erhalten wir einen Zahlkörper ^' und einen Funktionen- 
körper ^^, welchem letzteren die zu adjungierenden Funktionen Rix, y) 
angehören. 

Es entsteht nun die Frage, wie weit wir durch Adjunktion „nume- 
rischer^^ Irrationalitäten die Auflösung der Gleichimg f{z) = zu treiben 
vermögen. Hierauf antwortet die folgende Betrachtung: 

Um die Lösungen t]i{x)j ri^{x), . . ., rij^ipc) der Galoisschen Resolvente 
F{Z) = eindeutig zu erklären, wählen wir auf der Riemannschen 
Fläche F, eine Stelle x^, in deren Umgebung keine dieser Funktionen ver- 
zweigt ist, und beziehen die Funktionen ri{x) vorerst nur auf diese Um- 
gebung. Setzen wir jetzt von Xq aus eine dieser Funktionen ri(x) längs 
eines auf die F^ geschlossenen Weges fort, so erhalten wir nach Rückkehr 
zum Ausgangspunkte Xq der Fj wieder eine Lösung von F{Z) = 0, also 
eine der m Funktionen riipc). Auch liefern zwei verschiedene Funktionen 
riix) bei dieser Fortsetzung über einen geschlossenen Weg der Fläche 
am Schlüsse notwendig wieder zwei verschiedene r^(x). Einem geschlosse- 
nen Wege auf der F, gehört demnach eine bestimmte Permutation T der 
m Lösungen der Galoisschen Resolvente F{Z) = m. 

Es sei irgendeine zwischen den ri^{x), ri^{x), . . ., ri^{x) identisch 
bestehende rationale Gleichung: 
(1) R{riiix\ri^{x\...,rijx))^0 

vorgelegt, deren Koeffizienten rational in x und y mit irgendwelchen nu- 
merischen Konstanten (keineswegs nur mit Zahlen aus ü) aufgebaut sind. 
Bei analytischer. Fortsetzung über die Fläche F^hin bleibt die Gleichung (1) 
gültig; sie geht demnach wieder in eine identisch bestehende Gleichung 
über^ faUs wir die ri der Permutation T unterwerfen. Da dies insbeson- 
dere auch für „jede" Relation (1) gilt, deren Koeffizienten Funktionen 
aus ^^ sind, so folgt nach S. 74: Alle durch geschlossene Umläufe auf der 
Fläche Fj herstellbaren Permutationen T der j^^, %y . . ., i?,„ sind in der 
Galoisschen Gruppe G„. enthalten. 



Monodromiegruppe einer Gleichung f{z) = 77 

Zwei geschlossene Umläufe, die wir hintereinander ausüben, lassen 
sich zu einem dritten Umlaufe zusammensetzen. Also folgt der Satz: Die 
gesamten durch geschlossene Umläufe herstellbaren Permutationen T^jT^jT^y 
. . . , T^< _ 1 bilden eine Gruppe (r^, , die in der Galoisschen Gruppe G^ ent- 
halten ist und als „Monodromiegruppe'^ der Gleichung F{Z) = bezeichnet 
ivird. In ihrer Gestalt als Permutationsgruppe w*®^ Grades der öj, Ög, . . ., 
B^ nennen wir die Gu die „Monodromiegruppe^^ der Gleichung f{z) = 0. 
Es ist einleuchtend, daß wir diese Gestalt der (7^^ unmittelbar gewinnen, 
wenn wir alle Permutationen Tq= 1, T^, Tg, . . ., T^<_i der Funktionen 
B^{x)j B^{x)y . . ., B^{x) bei geschlossenen Umläufen auf der F^ sammeln. 

Es ist möglich, daß die Monodromiegruppe (x^ mit der Gesamt- 
gruppe G^ gleich ist. Liegt dieser Fall nicht vor, so gilt folgende Über- 
legung: Die Monodromiegruppe Gu ist als Permutationsgruppe der ri für 
II <Cm intransitiv. Da das einzelne iq durch die ^ Permutationen der G^i 

in ^ verschiedene r] übergeführt wird, so erhalten wir t = — Systeme 
der Intransitivität, die wir durch: 

(2) ^.,. + 1^ V + 2^ •••^ %,.+^.^ Ä; = 0, 1,2, ..., ^-1 

bezeichnen. Die 7} jedes dieser t Systeme werden bei den Umläufen auf 
der F; nur unter sich permutiert. Die symmetrischen Grundfunktionen 
der ri des einzelnen Systemes (2) sind demnach algebraische Funktionen 
der F^ und als solche rational in x und y. Es folgt der Satz: Die ri{x) 
eines jeden der t Systeme (2) sind die Lösungen einer Gleichung ^^^"^ Grades: 

(3) H,{Z) = Q, i = 0,l,2, ..,«-1, 

deren Koeffizienten rationale Funktionen von x und y sind. Da F{Z) = 
im Körper ^^ irreduzibel ist, so treten in diesen rationalen Funktionen 
von X und y Zahlenlweffizienten auf, die als „numerische Irrationalitäten^^ 
für die Gleichung f{z) = „natürlich'^ sind. Es besteht weiter der Satz: 
Jede der t Gleichungen (3) iü in dem Sinne irreduzibel, daß FI^{Z) nicht 
in Faktoren von niederem als ^^^"^ Grade zerfällbar ist, die gleichfalls in x 
und y rationale Koeffizienten hätten. Jeder solche Faktor würde nämlich, 
wie die an (1) angeschlossene Überlegung zeigt, durch alle ri seines 
Systems (2) befriedigt. 

Diese Ergebnisse legen die Bedeutung der Monodromiegruppe G^^ 
dar: Durch Adjunktion „numerischer Irrationalitäten''' ist die Zerfällung der 
Galoisschen Besolvente in die t Gleichungen (3) erreichbar; jede iueitere Zer- 
fällung erfordert die Adjunktion von „Funktionen^' . Durch Adjunktion je- 
ner numerischen Irrationalitäten werde der Körper ^ auf ^' und ent- 
sprechend ^^ auf 5?^ erweitert. Jede der t Gleichungen (3) ist eine „Glei- 
chung in ^'J\ die in diesem Körper, sowie überhaupt in jedem Körper Ä^', 
der durch weitere Adjunktionen von „Zahlen'^ herstellbar ist, irreduzibel ist; 



78 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

dabei ist die Gleichung (3) wieder eine „Normdlgleichung^% deren Galois- 
sehe Gruppe die aus den [i Lösungen der Gleichung aufgebaute Gf^^ ist. 

Über die Berechnung der numerischen Irrationalitäten kann hier 
nur erst folgendes gesagt werden: Entsprechend dem ersten Satze von 
§ 7 haben wir zunächst eine zur Gju gehörende „Funktion" f (rc) zu bilden^ 
die einer Gleichung t^^ Grades in ^^ genügt: 

(4) t'+c,i'-'+c,t'-'+-.- + c,_,= 0. 

Im Körper (^^, g) sind dann die sämtlichen Koeffizienten der t Gleichun- 
gen (3) enthalten. Die Gleichung (4) ist durch eine ,,rationale Funktion^^ 
von X und y lösbar; nichtrationale Operationen bei der Auflösung von (4) 
beziehen sich also nur auf die Berechnung von „Zahlen" Indessen muß 
es späteren besonderen FäUen vorbehalten bleiben, an Stelle der Gleichung 
(4) für eine „Funktion" eine solche für eine „Zahl" zu setzen. 

IV. Algebraische Zahlen.') 

§ 1. Algebraische und ganze algebraische Zahlen. 

An die Entwicklungen von S. 32 ff. schließen wir für den einfachsten 
Fall, daß der damalige Körper ^ der rationale Zahlkörper iR ist, folgende 
Erklärung an: Unter einer „algebraischen Zahl'^ schlechthin versteht man 
eine Zahl, die in besug auf den rationalen Körper ^ algebraisch ist. Eine- 
algebraische Zahl B genügt also einer Gleichung: 

(1) f{z) = ^" + a^z--'-\- a.j-'^ . . . + a^ = 

mit rationalen Zahlenkoeffizienten a, und jede Wurzel einer solchen Glei- 
chung, mag sie reduzibel oder irreduzibel in ^ sein, ist eine algebraische 
Zahl. Da wir die Irreduzibilität der Gleichung (1) einstweilen nicht for- 
dern, so lassen sich für eine einzelne Zahl 6 unendlich viele Gleichungen 
angeben, deren Wurzel sie ist. 

Insbesondere gilt die Erklärung: Eine algebraische Zahl heißt speziell 
eine ,,ganze algebraische Zahl'^ ri, wenn sich mindestens eine in 9fl reduzi- 
bele oder irreduzibele Gleichung (1) mit rationalen „ganzen^^ Koeffizienten a 
angeben läßt, deren Wurzel t] ist. 

Es besteht der Satz: Sind rj und rf ganze algebraische Zahlen, so 



1) Es kommen in diesem Teile einige späterhin unentbehrliche Hauptsätze 
der „Idealtheorie" Dedekind's zur Behandlung; s. das Supplement XI zu Di- 
richlet's „Vorlesungen über Zahlentheorie", 3** Aufl. (Braunschweig, 1879), S.434ff., 
4^« Aufl. (Braunschweig, 1894), S. 434 ff.. S. auch den ersten Teil des S. 23 genannten 
Werkes von Landau. Beim Hauptsatze der Idealtheorie (S. 97) folgt die vorliegende 
Darstellung der besonders kurzen von A. Hurwitz herrührenden Beweismethode; 
s. dessen Note „Über die Theorie der Ideale", Göttinger Nachrichten von 1894. 



Begriff der ganzen algebraischen Zahl 79 

sind auch ihre Summe {ri + yj'), ihre Differenz (r^ — rj') und ihr Produkt 
7j • r^' ganze algebraische Zahlen. Für ri bestehe die Gleichung (1) mit den 
Wurzeln ^1 = "»?, ^2> • • •> '^n' ^^^ V ®^^® entsprechende Gleichung des 
Grades n mit den Wurzeln ri'^^ rfy r]'^, . . ., ri'^,. Man bilde die n • n 
Summen (^^j+^ä) je einer Wurzel der ersten und einer der zweiten 
Gleichung. Die symmetrischen Grundfunktionen dieser n • n Summen 
sind nach dem Hauptsatze der Theorie der symmetrischen Funktionen 
(S. 25) ganze ganzzahlige Funktionen der Koeffizienten a^ , ag , . . . und 
«j, »2? • • • jener beiden Gleichungen, sind also selbst rationale ganze 
Zahlen. Also genügt (t^ + ri) einer Gleichung: 

mit rationalen ganzen & und ist somit eine ganze algebraische Zahl. Da 
offenbar mit rf auch —ri eine ganze algebraische Zahl ist, so gilt unser 
Satz auch für die Differenz (ji — rf). Endlich wird für das Produkt ri - rf 
der Beweis gerade so wie für die Summe (ji -\- rf) geführt. Durch wieder- 
holte Bildung von Summen, Differenzen und Produkten folgt: Jede rar 
Uonale ganze, ganzzahlige Funktion von ganzen algebraischen Zahlen ist 
wieder eine ganze algebraische Zahl. 

Der Hauptsatz über symmetrische Funktionen gestattet uns auch 
noch folgenden Satz zu beweisen: Jede Wurzel rj einer Gleichung (1), de- 
ren Koeffizienten a^, a^y . . ., a^ ganze algebraische Zahlen sindj ist selbst 
eine ganze algebraische Zahl. Der einzelne Koeffizient aj^ genügt jetzt 
selbst einer Gleichung: 

(2) 2,»*+ 6^,2,"»- 1+ b,,r'-'+ ■ • • + 6,,„^= 

mit rationalen ganzen?), deren sämtliche Wurzeln a^^, a^, . . ., a^'"*"^^ seien. 
Wir bilden die w^ • ^3 • • • m„ Funktionen : 

(3) ^« + a(/i)^'^-i + 4^«);?«-2 H J- a^n) 

für alle m^- m^- • - m^ Kombinationen der Zahlen a^\ Die erste dieser 
Funktionen ist die linke Seite der für rj vorgelegten Gleichung. Das Pro- 
dukt aller dieser Funktionen gibt, gleich gesetzt, eine Gleichung für r]^ 
deren Koeffizienten ganze ganzzahlige Funktionen der b und also selbst 
rationale ganze Zahlen sind. Also ist rj eine ganze algebraische Zahl. 

Irgendeine algebraische Zahl 9 genüge der Gleichung (1), deren 
Koeffizienten 0^^,052,...,«^ rationale Brüche sind. Ihr Hauptnenner sei 
die rationale ganze positive Zahl a^ so daß a • «j, a • «g? • • •> ^ * ^n ratio- 
nale ganze Zahlen sind. Das Produkt a - = rj genügt der Gleichung: 

deren Koeffizienten durchweg rationale ganze Zahlen sind. Es folgt 
hieraus der Satz : Jede algebraische Zahl 6 liefert durch Multiplikation mit 



80 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

einer geeignet gewählten rationalen ganzen positiven Zahl a als Produkt 
ad = 7} eine „ganze^' algebraische Zahl, 

Unter einer ,,ganzen Zahl" verstehen wir im vorliegenden Teile stets 
eine ganze ^^algebraische" Zahl. Die ganzen „rationalen" Zahlen, die zu 
den ganzen algebraischen Zahlen gehören, mögen immer durch den Zu- 
satz ,,rational" gekennzeichnet werden. 

§ 2. Ein algebraischer Hilfssatz. 

Ist eine ganze algebraische Zahl rj als Produkt rj = 1]' - rj" zweier 
ganzer algebraischer Zahlen rj\ rj" darstellbar, so heißt jeder Faktor, z. B. 
7}'^ ein „Teiler'^ von rj oder t] heißt durch rj' „teilbar" oder man sagt, 
7}' „gehe in t; auf". Die Gesetze der Teilbarkeit der ganzen algebraischen 
Zahlen werden den wichtigsten Gegenstand unserer Untersuchungen aus- 
machen. Um den hierbei auftretenden Hauptsatz besonders kurz beweisen 
zu können, soll zunächst ein Hilfssatz aufgestellt werden. 

Mit irgendwelchen ganzen (algebraischen) Zahlen a^, a^, . . ., a^ und 
?)q, ?>!, . . ., 6y, von denen «q und &q von verschieden seien, bilde man 
die Funktionen: 

(1) (p{z) = a,z^^-{-a,z^-'-\---'-\-a,,, ^(^) = &o^^' + 2>i^'"'+ '• • + ^v. 
deren Produkt: 

(2) (p{0) . T^(^) = f{0) = c,z-+c,0--'+ c,z"-'-^' • • 4- c„ 

vom Grade n = ^-{-v ist und wieder ganzzahlige Koeffizienten hat. Dann 
gilt der Satz: Sind alle Zahlen Cq, q, . . ., c^ durch die ganze Zahl rj teil- 
bar ^ so hat auch jedes der (^ -j- 1) (v -\- 1) ganzzahligen FroduUe a.- b^y 
zu bilden für ?' = 0, 1, . . ., ^ und Ic = 0^1, . ..,v, den Teiler tj. 

Einen sehr kurzen Beweis dieses Satzes hat Hurwitz^) geliefert. 

Es wird zunächst bewiesen, daß die (y + 1) Produkte a^^o, «o^j, «0^2? 

. ., (Xo&y durch rj teilbar sind. Für aQ&Q= Cq folgt dies bereits aus der 

Voraussetzung; für die übrigen Produkte gilt folgende Betrachtung: Die 

Gleichung: ^^^(^) _ ^^^, ^ ^^j^^,_, ^ ^^j^^._2 + . . . 4. „^j^ _ q 

hat V Wurzeln ^j, z^f . . ., z^^ die zu den n Wurzeln von f(z) = ge- 
hören. Der Quotient: 

(3) (- 1)'^ = -'»(^i. ^., • • •, O 

iefert die ¥^ symmetrische Grundfunktion der z^, z^^ . . ., z^. Als Funk- 
tion der n Wurzeln z^^ z,^, . . .^ z^ der Gleichung f{z) = ist eine belie- 
bige der V Funktionen (7;^, die wir kurz <? nennen, noch nicht symmetrisch, 
bleibt vielmehr nur erst bei denjenigen v\{n — v^. Permutationen unver- 
ändert, welche die z^^ z^, - ■ -y z^ unter sich vertauschen und ebenso die 



1) In der S. 78 genannten Note. 



Hilfssatz bei Produkten zweier ganzer Funktionen 81 

.y 3^. Somit ist 6 im Sinne von S. 24 eine ^ wertige ganze 
ganzzahlige Funktion der Wurzeln von f{£) = 0, wo 



t== 



-C) 



v\{n — v)\ 

ist. Als if- wertige Funktion genügt 6 einer Gleichung i^^^ Grades: 
(4) (?' -f (^i0^-'+ c?2Ö^-'-f • • • + ^,= 0, 

wo die — d^j d^^ — d^^ ä^, . . . die symmetrischen Grundfunktionen der 
t verschiedenen Ausdrücke sind, die aus q{z^j s^j ■ • -y ^r) ^^^ allen n\ Per- 
mutationen der s^j ^2, . . ., z^ hervorgehen. Nach dem Hauptsatze von 
S. 25 sind die d als ganze ganzzahlige symmetrische Funktionen der .^^^ 
^2? • • •; ^n rationale ganze ganzzahlige Funktionen der symmetrischen 



c, c, c. 



Grundfunktionen der 3^, s^, . .., 2^ und damit der — , --, . . ., — , und zwar 



'0 *'0 

c c c 

ist der Grad von d^ als Funktion der --, ', . . ., -" gleich 1, der von d, 



A £»T> trrvn n 



"0 ^0 

gleich 2; der von d^ gleich 3 usw. 

Man multipliziere die Gleichung (4) mit c^ und schreibe Cq^ = r 
oder ausführlich: ^^^^ = r, = (- \)^a,\ . 

Die Produkte c^d^^ e^, cld^= e^y . . ., cldi= e^ sind alsdann ganze ho- 
mogene Funktionen ersten, zweiten, . . ., ^*'^ Grades von <?o? ^i? • • v ^n? 
die als solche der Voraussetzung zufolge bzw. durch t]j r^^^ . . ., t]^ teilbar 
sind. Die mit c^ multiplizierte Gleichung (4) aber hat die Gestalt: 

und liefert, durch rj* geteilt: 

Somit befriedigt — eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und 

ist demnach zufolge des vorletzten Satzes in § 1 selbst eine ganze Zahl. 
Also sind in der Tat alle (v-\-l) Produkte ör^^o, «o^i? ^0^2? • • •; %^v 
durch 7] teilbar. 

Nachdem bewiesen ist, daß alle Produkte «o^o? ^o\y ■ "7%K durch rj 
teilbar sind, stellen wir weiter fest, daß auch das Produkt von: 

(5) cp(2) - %s^ = «1^'"-^ a^z^'-^ H h «^ 

und '^{ß), nämlich die Funktion: 

{(p{z) - a^z^) ' t{0) = f(0) - z'^{%\z' + ao&i^^-^ 4- • • • + %h;) 
lauter durch ri teilbare Koeffizienten hat. Ist a^ =[= 0, so finden wir durch 
Wiederholung der vorstehenden Überlegung, daß auch alle Produkte 
«i&o, ai&i, a^l)^j . . .j a^h^ durch rj teilbar sind. Im Falle a^ = ist dies 
selbstverständlich. In gleicher Weise fortfahrend erkennen wir die Rich- 
tigkeit des aufgestellten Satzes. 

Fr icke, Die elUptiachen Punktionen II 6 



82 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

§ 3. Folgerungen betreffs rationaler ganzer Zahlen. 

Es gilt der Satz: Eine ganze algebraische Zähl rj, die dem rationalen 
Körper 0t angehört, ist eine rationale ^^ganze^^ Zahl. Als eine in ^ ent- 
haltene Zahl kann rj = — gesetzt werden, wo q und r zwei teilerfremde 

rationale ganze Zahlen sind. Als ganze (algebraische) Zahl genügt t] einer 
Gleichung (1) S. 78 mit rationalen ganzen a^, "£ . j: . .. Also folgt^ 

wenn wir rj = — für z in jene Gleichung eintragen und mit r" multi- 
plizieren: 

g«=. _ r(a^q''-^-\- a^q^'-^r + «g^^-V^H \- a.^r'"'^). 

Hiernach ist q"* und also q durch jeden Primfaktor von r teilbar. Da 
aber q und r teilerfremd sind, so hat r keinen Primfaktor, der größer 
als 1 wäre, d. h. es ist r = 1 und also 7] rational und ganz. 

Wir ziehen nun einige Folgerungen aus dem Satze des § 2 für den 
Fall, daß die Koeffizienten a^, a^^ . . ., au und b^, \, . . ., h^ der Funk- 
tionen (p(z) und t{^{z) rationale ganze Zahlen sind. Eine ganze Funktion 
mit rationalen ganzen Koeffizienten soll „ursprünglich" heißen, wenn diese 
Koeffizienten keine rationale ganze Zahl, die > 1 ist, als Teiler gemein- 
sam haben. Dann besteht der Satz: Das Produkt zweier ursprünglicher 
Funktionen (p{z) und tl^iz) ist stets wieder eine ursprüngliche Funktion f{z). 
Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es mindestens eine Primzahl p > 1, 
die in allen Koeffizienten c von f{z) und also in allen {ji -{- l){y -{- 1) 
Produkten afij^ aufgeht. Da (p{z) ursprünglich ist, so gibt es mindestens 
eine Zahl a^, die nicht durch p teilbar ist, und ebenso können wir ein 
gegen p primes &^ angeben. Also ist afij^ nicht durch p teilbar, so daß 
die Annahme einer nicht ursprünglichen Funktion f{z) unhaltbar ist. 

Es gelte ferner die Annahme, daß die Funktion: 

(1) f{p) = z-^c^z—^-\-c^z^-^+- • • + c, 

mit rationalen „ganzen" Koeffizienten c im Körper 9t reduzibel sei und in 
das Produkt der beiden Funktionen: 

(2) q){z) = ^^ -1- a^z^-^ + • • • + öt^a; ^W - ^" + ^1^'"' + • • • + ^' 
mit „rationalen" Koeffizienten a, b zerfalle. Die rationalen Brüche a mögen 
den Hauptnenner a^ haben, so daß a^y a[ = aQa^, ä^ = a^a.^, . . ., a'^ = a^ci,^ 
rationale ganze Zahlen ohne einen allen gemeinsamen Teiler > 1 sind; 
ebenso mag b^ der Hauptnenner der rationalen Brüche b sein, so daß auch 
l^^ &i = &o^i> • • •? K == \^v J'ationale ganze Zahlen ohne einen allen ge- 
meinsamen Teiler sind. Es stehen also auf der linken Seite der Gleichung: 

{a^z^ -f a;^^-i -f • • • -f «;) {b^z' -f b[z^- 1 + . • . + &;) = aM(/) 
zwei ursprüngliche Funktionen, und also ist nach dem eben bewiesenen 



Begriff eines algebraischen Körpers n**° Grades 83 

Satze auch ttob^fiz) ursprünglich. Hieraus ergibt sich öfo&o = 1, »q = 1, 
&o == 1, so daß der Satz gilt: Ist die Funktion (1) mit rationalen ganzen 
Koeffizienten c im rationalen Körper 91 reduzihel und zwar zerfällbar in 
das Produkt der leiden Funktionen (2) mit rationalen Koeffizienten a, &, 
so sind diese Koeffizienten a, h notwendig „ganze^^ rationale Zahlen. 

§ 4. Algebraische Zahlkörper. 

Aus den Sätzen von S. 33 ff. entnimmt man unmittelbar die folgenden 
Ergebnisse: Eine algebraische Zahl 6 genügt einer eindeutig bestimmten, 
im rationalen Körper '^ irreduzilelen^) Gleichung: 

(1) f{z) = ^« + ai^"-i4- a2Ä«-2+ . . . + a„ = 

mit rationalen Koeffizienten, deren sämtliche Wurzeln 6^= 6, ög? • • •? ^n 
verschieden sind und n „konjugierte'^ algebraische Zahlen heißen. Die Ad- 
junktion von ö zu 9ft liefert einen in bezug auf '^ algebraischen Körper 
^ = (^, 6), der weiterhin kurz als ein „algebraischer Körper w^^" Grades'* 
bezeichnet wird. Die n Körper {% 0,) = {m, d), {% e^\ ••.,{% Öj heißen 
„konjugiert" und sollen kurz ^j = ^, ^2, . . ., ^„ genannt werden. Diese 
Körper brauchen nicht alle voneinander verschieden zu sein. Sind sie 
insbesondere alle einander gleich, so heißt Ü ein „Galoisscher Körper" oder 
„Normalkörper". 

Jede Zahl J des Körpers ^ ist auf eine und nur eine Art in der Gestalt: 

(2) 5 = Co + c,ö 4- C3Ö2 + . . . + c„_iÖ«-i 

mit rationalen c darstellbar; sie genügt der durch die Tschimhausen- 
transformation: w == c^ + c^z -V c^z^ ^- ^ -- + c^^^z""^ 
aus (1) hervorgehenden Gleichung w*®"" Grades und ist deshalb wieder 
eine algebraische Zahl. Umgekehrt ist jede mit rationalen c dargestellte 
Zahl (2) in ^ enthalten. Die n mit J ^^konjugierten" Zahlen: 

(3) S, = Co + q e, 4- c,öf. + • • • + c„_,er\ i = 1, 2, . . ., w 

sind zu je ^ einander gleich und stellen v verschiedene Zahlen dar, wobei 
[i'V =^ n ist. Gilt ft == 1, so heißt g eine „primitive" Zahl des Körpers ^, 
für ft- > 1 wird sie „imprimitiv" genannt. 

Hieran schließen sich einige weitere Entwicklungen über die Dar- 
stellung von Zahlen aus ^. Irgend n Zahlen J, ^, . . ., g("-^) aus ^ heißen 
„linear- abhängig" j falls ein System nicht durchgängig verschwindender 
rationaler Zahlen b, b\ . . .^ ?)(«-i) angebbar ist, für das: 

(4) &J + b'i' -f- h &(«-i)5(«-i) = 

gilt; existiert ein solches Zahlensystem b nicht, so heißen die f, ^', . . ., g(«-^) 

1) Der Zusatz „im rationalen Körper Si" bleibt gewöhnlich fort, da sich die 
Irreduzibilität hier stets auf fR bezieht. 



84 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

jylinear-unahhängig^'. Zufolge der Irreduzibilität von (1) sind jedenfalls die 
Zahlen 1, d, 6^, . . ., 0'*-^ linear-unabhängig. Für die n Zahlen gW = §;, j; . . . 
j(»-i) mögen als Darstellungen (2) gelten: 

(5) JW = d^ + cf)e 4- 4^)0^ + • • • + c^'-^0-\ Ä: = 0, 1, ..., n- 1. 

Damit die Zahlen J, ^', ..., J("-^) linear-abhängig sind, ist dann hin- 
reichend und notwendig, daß n nicht durchgängig verschwindende ratio- 
nale Zahlen h existieren, die den Gleichungen: 

Ic^ 4- h'c\ -f • • • + &(«-i)c(«-i) = 0, ^- = 0, 1, ..., (w- 1) 
genügen. Nach bekannten Sätzen der Determinantentheorie folgt: Irgend 
n durch (5) gegebene Zahlen ?, ^^ . . ., g("-^) des Körpers ^ sind linear- 
unabhängig oder nicht, je nachdem die Determinante \ cf^ \ der n^ Koeffizienten 
c in (5) von verschieden ist oder verschwindet. 

Es seien ^[^^ =- JW JW, . . .^ gW die mit J(^) konjugierten Zahlen. Dann 
gilt folgende Erklärung: Das Quadrat der w-reihigen Determinante: 

p c/ Hn-l) 

bi; bl7 • • •? bi 

c. c.' c.(„_i) 

b2; S2> • • •? b2 



(6) 



= |5P' 



heißt die „Dishriminaiite'^ der w Zahlen J, J', . . ., J^"-^) und wird durch 
D (^, ?'? • • -f S^" ~ ^0 bezeichnet. Insbesondere ist die Diskriminante 
D(l, ö, . . ., ö"-^) der n Zahlen 1, ö, . . ., ö""^ zugleich die Diskrimi- 
nante der irreduzibelen Grleichung (1) in ^ (S. 26):, diese Diskriminante 
ist eine von verschiedene rationale Zahl. Schreibt man alle mit (5) kon- 
jugierten Grleichungen auf, so ergibt das Multiplikationsgesetz der Deter- 
minanten: 

(7) D (i, r, . . ., s<»- ") = 1 4" r -D (1, e, ö^ . . . , ö»- 1) . 

Hieraus folgt mit Rücksicht auf den letzten Satz: Die Diskriminante 
D(g, S', . . ., g^'*"^^) der n Zahlen J, J', . . ., J^""^) verschwindet oder hat einen 
von verschiedenen rationalen Zahlwert, der mit D {1,6,0^, . . ., ö**"^) im 
Vor seichen übereinstimmt , je nachdem die J, g', . . ., J^"~^) linear-abhängig 
sind oder nicht. 

Ist I c;.*) 1 + 0, so lassen sich die n Gleichungen (5) nach 1, ö, . . ., ö"~ ^ 
lösen. Es ergeben sich so Darstellungen der 1, ö, ö^, . . ., ö""^ und damit 
Darstellung aller Zahlen von ^ in der Gestalt: 
(8) cj -f ci'+ c'i"-h' • • + c("-^)J("-^) 

(?wrc/» die n linear-unabhängigen Zahlen ^, J', . . ., $;("-^) mittels rationaler 
Cj c'y . . . . Auch diese Darstellung ist für die einzelne Zahl von ^ ein- 
deutig bestimmt, wie aus der linearen Unabhängigkeit der J, 5', . . . folgt. 
Umgekehrt liefert natürlich jeder mit rationalen c gebildete Ausdruck (8) 
eine Zahl aus ^. 



Diskriminanten, Spuren und Normen 85 

Es mögen sich nocli folgende Erklärungen hier anschließen: Sind 

^1 = ^, ^2? •••??« ^^® *^ mit J konjugierten Zahlen, so versteht man unter 

der ,ßpur^^ S{^) von J die Summe und unter der „Norm^^ N{i) von 5 das 

Produkt jener konjugierten Zahlen: 

(9) S{i)^i, + t, + --- + t„, N{t)^t,-t,.-.i„. 

S(t) und N(t) sind rationale Zahlen, die an bekannten Stellen als Koeffi- 
zienten in der Gleichung n^^^ Grades für J auftreten. Konjugierte Zahlen 
haben natürlich gleiche Spuren sowie auch gleiche Normen. Bildet man 
das Quadrat der Determinante (6) nach dem Multiplikationsgesetze der 
Determinanten, so gelangt man zu folgender Darstellung der Diskriminante 
der Zahlen J, g', . . ., g("-^) durch Spuren: 

s{it), Sita,.., 5aj(«-i)) 



(10) i)a,s;...,g("-^o 



^(j(«-i)j), ^(j(«-i)r), . . ., >sf(e(«-^)5("-^>) 



§ 5. Die ganzen Zahlen des Körpers Ä. 

Die in ^ = (JR, 6) enthaltenen ganzen Zahlen sollen aUgemein t] ge- 
nannt werden, das System aller dieser ganzen Zahlen werde e genannt. 
Es gilt der Satz : Sind rj und ri irgend zwei Zahlen aus e, so sind auch ihre 
Summe (i] -f rj'), ihre Differenz (rj — rj') und ihr FroduJct (rj - rf) in e enthalten. 
Es sind nämlich {ji + ri) und y] . rf nach S. 79 wieder ganze Zahlen, und 
andrerseits gehören {ri + rf) und ri • 7/ dem Körper ^ an und sind dem- 
nach im System e enthalten. Allgemein gilt der Satz: Jede rationale ganze 
FunUion von Zahlen aus e mit rationalen ganzen Koeffizienten ist ivicder 
eine Zahl aus e. Für die Spuren und Normalen bestehen die Regeln: 

(1) S{n ± V) = s{ri):± sw , N{ri ■ n) = N{rt) ■ N{n') ■ 

Sind nämlich zu y] und rl im Körper ^. die Zahlen r]. und ri\ konjugiert, 
so ist zu {ri + rf) die Zahl {t}. + rff) und zu ri ■ rf die Zahl 7]^ • rf. kon- 
jugiert, woraus die Regeln (1) leicht folgen. 

Eine Zahl aus e, deren Norm gleich +1 ist, heißt eine „Einheit" 
des Körpers ^ oder des Systems e und möge speziell durch e bezeichnet 
werden. Genügt s der irreduzibelen Gleichung: 

(2) z' + a^z'-^^- • . -I- a^_.^z + 1 = 

mit rationalen ganzen Koeffizienten, so genügt die gleichfalls in ^ ent- 
haltene Zahl s~^ der Gleichung: 

^' ± {%-i^'-'+ • • • + «1^ + 1) = 0, 
stellt also gleichfalls eine ganze Zahl dar. Ist andrerseits mit der von 



86 Einleitung, Teil lY: Idealtheorie 

verscliiedenen Zahl i] aus e auch, rj ~ ^ eine ganze Zahl und also wieder in 
e enthalten, so genügt rj einer irreduzibelen Gleichung mit dem Absolufc- 
gliede + 1. Es gilt also der Satz: Eine von verschiedene Zahl rj aus e 
ist stets und nur dann eine Einheit e, wenn auch rj~'^ eine ganze Zahl ist. 
Jede mit einer Einheit konjugierte Zahl ist natürlich wieder eine Einheit 
ihres Körpers. Ist rj eine beliebige Zahl aus e und s eine Einheit, so heißt 
£ • ri eine mit ri „assomerte Zahl". Zwei assoziierte Zahlen haben, abgesehen 
vom Vorzeichen, gleiche Normen. 

Nach S. 80 liefert jede Zahl g aus ^, mit einer geeignet gewählten 
von verschiedenen rationalen ganzen Zahl a multipliziert, eine ganze 
Zahl rj^a-^. Es mögen auf diese Weise aus den n Zahlen J^, fg, . . ., g^^) 
von ^ die n Zahlen >?i = «i?i, '»?2 == %&? • • •> ^« = <^nS« ^^n e gewonnen 
werden. Sind die f linear-unabhängig, so gilt dasselbe offenbar von den 
n ganzen Zahlen "»^i, '>?2? • • •? '^n- ^^^ können somit stets n linear-unab- 
hängige ganze Zahlen ViyV2>--'}Vn zugrunde legen, in denen jede Zahl J 
von ^ auf eine und nur eine Art in der Gestalt: 

mittels rationaler Koeffizienten c darstellbar ist (vgl. S. 84). 

Die Diskriminante D(jlif Vi) - • -y Vj irgendeines Systems linear- 
unabhängiger ganzer Zahlen Vi? V2f " -i Vn ^^^ ^ ^^^ nach S. 84 eine ganze 
Zahl, sowie nach dem an (7) S. 84 angeschlossenen Satze eine rationale, 
von verschiedene und mit D(l, 0, . . ., ö"~^) im Vorzeichen überein- 
stimmende Zahl. Also folgt: Die Dishriminanten aller Systeme linear-un- 
ahhängiger Zahlen Vij %) - - -j Vn ^^^ ^ ^^^^ ^^** ^ verschiedene^ rationale 
ganze Zahlen, die alle das gleiche Vorzeichen haben. 

Unter allen von verschiedenen rationalen ganzen Zahlen, die als 
Diskriminanten bei den Systemen linear-unabhängiger Zahlen Vi} V^y • • -yVn 
aus e auftreten, gibt es eine absolut kleinste. Diese absolut kleinste Zahl 
D heißt die „Grundzahl" oder ,,I)isliriminante" des Körpers ^; ein System, 
dessen Diskriminante jenen Minimalwert hat, wird eine „Basis" des Zahl- 
ßystems e genannt. Es besteht der Satz: Bilden die Zahlen VnVii • • -^Vn 
eine Basis von e, so ist nicht nur jede Zahl: 

(4) V-^iVi + e^n^-^'-'^^nVu 

mit rationalen ganzen e in e enthalten, sondern umgekehrt ist auch „jede" 
Zahl aus e auf eine und nur eine Art in der Gestalt (4) mittels rationaler 
„ganzer" e darstellbar. Zu beweisen ist hier nur noch, daß keine ganze 



1) Bisher bezeichneten wir mit ^^, t%i • ■ ■■, In ^^^ System von n konjugierten 
Zahlen. Da solche Systeme weiterhin nur noch selten zu betrachten sind, so be- 
nutzen wir die bequeme Schreibweise der unteren Indizes zur Unterscheidung ir- 
gendwelcher Zahlen aus Ä. 



Grundzahl oder Diskriminante von Ä. Basen für c 87 

Zahl in der Gestalt: ^ ^ ,^^^ + c,% + • • ■ + o.^„ 

mittels rationaler, aber nicht durchweg ganzer c darstellbar ist. Sollte 
aber eine ganze Zabl rj mit solcher Darstellung vorkommen, so stellen 
wir die c als Quotienten kleinster ganzer Zahlen dar und nennen ihren 
Hauptnenner h. Dann sind: 

n rationale ganze Zahlen, deren größter, allen gemeinsamer Teiler prim 
gegen h ist. Irgendein Primfaktor p^ 1 von Ji geht demnach nicht in 
allen diesen e auf und möge etwa teilerfremd gegen e^ sein. Schreiben 
wir h = apj so ist auch: 

aV=^ ^1^1 + ^ 8 "^»"^ ^^nnn 

' P 

eine ganze Zahl. Da e^ und p teilerfremd sind, so kann man eine rationale 
ganze Zahl h entsprechend der Kongruenz be^ = 1 (modjp) wählen und 
hat dann auch in: 

rj[ = ahri- ''~ rj, ==-^7j, + ah {c,r}^ + - • • + c^ri„) 

eine ganze Zahl. Für die Diskriminante des Systems i/j, rj^, ...,?/„ er- 
gibt sich nun leicht: 

so daß wir in 2)(i^i, 7/2, • • -, '»/„) noch nicht die minimale Diskriminante 
erreicht haben würden. Damit ist der Satz aber bewiesen. 

Irgendein System von n Zahlen ^^ rj'^^ . . ., ri[^ aus e besitze in der 
Basis ri^, ri^i ' • -y 'nn ^^® Darstellung: 

(5) n'i = ^iiVi + ^i2^2 + • • • + e,.„i?„, ^ = 1, 2, . . ., n. 
Wie S. 84 folgt aus dem Multiplikationsgesetze der Determinanten: 

(6) ^{v[, %, . . ., O = \e,,\' • D(7}„ Ti,, . . ., 7?„). 

Hieraus folgt der Satz: JDie Zahlen Vi> V27 • • •? % ^i^den stets und nur 
dann gleichfalls eine Basis von e, wenn die Determinante der n^ ganzzahligen 
Koeffizienten in (5) gleich + 1 ^"5^. Weiter liest man aus (6) das Ergebnis 
ab: Ist die rationale ganze Zahl D(rj[y V27 - • -^ Vn) ^^^^^^ ^^^'^ Quadrat 
(außer 1) teilbar y so bilden die ri\,ri^, . ..jri„ eine Basis ^ und D(rj[f ...yrj'^) 
ist die Grundzahl des Körpers. 

§ 6. Teillbarkeit der Zahlen ri im Systeme e. 

Eine Zahl rj des Systems e heißt durch die gleichfalls in e enthaltene 
Zahl 7j' ,,teilbar^' oder rj' ist ein ^yTeiler^^ von ri oder „geht in rj auf", falls 
es eine Zahl 1^" in e gibt, die mit rj und rj' die Gleichung rj = r[ - tj" be- 



88 Einleitung, Teil III: Idealtheorie 

friedigt. Natürlicli ist dann aucli rl' ein Teiler von r^. Es ist ein- 
leuchtend, daß ri durch jede Einheit £ des Körpers ^ und durch jede mit 
ri assoziierte Zahl £i; teilbar ist. 

Im rationalen Körper sind die Gesetze der Teilbarkeit sehr einfach. 
Die einzigen Einheiten von ^ sind + 1 und — 1. Eine von und ± 1 
verschiedene rationale ganze Zahl p, die als Teiler nur die vier Zahlen 
± 1 und +^ hat, heißt eine „PrimzahV^. Es besteht der Satz: Jede von 
verschiedene rationale ganze Zahl a ist als ProduU einer der Einheiten 
± 1 und einer Anzahl positiver Primzahlen darstellbar, und zwar sind diese 
Primzahlen (natürlich abgesehen von ihrer Reihenfolge) durch a eindeutig 
bestimmt Der Satz von der eindeutigen Bestimmtheit dieser „Primfaktoren - 
Zerlegung" ist die Grundlage vieler arithmetischer Überlegungen und ge- 
hört zu den wichtigsten Grundsätzen der Zahlentheorie. 

Bei der Ausdehnung der Gesetze der Teilbarkeit auf die ganzen Zahlen 
ri eines algebraischen Körpers ^ stellte sich nun die Tatsache ein, daß 
der eben für den rationalen Körper ^ ausgesprochene Satz keineswegs all- 
gemein auf algebraische Körper ^ verallgemeinert werden konnte, indem 
bereits Körper zweiten Grades nachweisbar waren, in denen ernicht mehr gilt. 

Als Beispiel betrachten wir den durch die irreduzibele Gleichung 
^^ + 5 = gegebenen Körper zweiten Grades ^ = (9t, i]/5). Derselbe 
ist ein Normalkörper, dem i|/5 als ganze Zahl angehört und dessen 
sämtliche Zahlen in der Gestalt (cq + c^il/ö) mit rationalen c darstellbar 
sind. Da: 



D{i,iyb) = 



1, +^y5 

1, -iYö 



= -20 



nur den quadratischen Teiler 4 hat, so sind sicher alle ganzen Zahlen von 
^ mittelst rationaler ganzer e in der Gestalt j (cq -{- e^il/bj darstellbar. 
Nun ist aber : ^ /e^Vl\ _ aH_6ef 

nur dann eine ganze Zahl, wenn e^ und e^ gerade Zahlen sind. Also bilden 
die beiden Zahlen 1, ^]/5 eine Basis von e, und die Grundzahl von 'St ist 
— 20. Aus iV(eo + e^il/b) = el + bei 1^®^* ^^^ sofort weiter ab, daß 
+ 1 die einzigen Einheiten von ^ sind. 

Die Zahl 21 ist nun in das Produkt 3 • 7 spaltbar. Keiner der Fak- 
toren 3 und 7 ist in e weiter zerlegbar. Wäre nämlich z. B. die Zahl 3 
als Produkt rj^ • rj^ zweier von + 1 verschiedener ganzer Zahlen von ^ 
darstellbar, so wäre nach (1) S. 85: 

^W-^W = ^(3) = 9, 

und also würde, da N{rj^) und N(%) rational, ganz und von + 1 ver- 
schieden sind, N(rj^) = N(%) = ± 3 zu treffen. Ist also rj^ = eQ-{- e^iyb^ 



Teilbarkeit der ganzen Zahlen j] im Systeme e 89 

so würde ej + 5ef = + 3 folgen, eine Gleichung, die durch rationale ganze 
Cq, «1 nicht zu befriedigen ist. Die Zahl 3 ist also im vorliegenden Sy- 
steme e unzerlegbar, und man zeigt in derselben Art, daß auch 7 unzerleg- 
bar ist. Neben der Zerlegung 21 = 3 • 7 der Zahl 21 besteht aber noch 
eine zweite Zerlegung: g^ _ (^ ^ gil/ö) (l - 2*1/5) 

von 21 in das Produkt zweier in ^ enthaltener ganzer Zahlen. Diese 
Faktoren sind gleichfalls unzerlegbar. Wäre nämlich etwa 1 -\- 2iyb 
= ri^' %i wo wieder t^^, ri^ keine Einheiten sind, so würde: 

N{ri,) . iY(%) = S (1 + 2iT/5) = 21 

folgen, und also wäre für einen der beiden Faktoren N{ri) = + 3, was 
wir bereits als unmöglich erkannten. Die Zahl 21 ist hiernach in zwei 
wesentlich verschiedenen Arten als Produkt unzerlegbarer ganzer Zahlen 
unseres Körpers (9^, iYo) darstellbar. 

Es ist ein naheliegender Gedanke, durch eine Erweiterung des Ge- 
bietes e unserer ganzen Zahlen den Satz von der „Eindeutigkeit" der Zer- 
legung jeder ganzen Zahl des erweiterten Gebietes in unzerlegbare Fak- 
toren zu retten. In unserem Falle müßte etwa eine Zerlegung von 21 in 
vier unzerlegbare Faktoren pj, pg? Ps» p4 stattfinden, und es müßte: 

(1) 3 = p,.p2; 7 = 1)3. p, und H-2^l/5 = Pl•p3, l-2^y5 = P2•p4 

gelten. Die Durchführung dieses Gedankens in einer für alle algebraischen 
Körper ^ gültigen Gestalt ist von R. Dedekind in seiner „Idealtheorie" 
geleistet. Die wichtigsten Grundlagen dieser Theorie sind nun zu ent- 
wickeln. 

§ 7. Begriff und Darstellung eines Ideals. 

Der Grundgedanke der Dedekindschen Theorie ist der, daß die Be- 
griffe und Gesetze der Teilbarkeit nicht auf einzelne Zahlen angewandt 
werden, sondern auf gewisse Systeme unendlich vieler ganzer Zahlen aus e, 
die Dedekind „Ideale'^ nennt. Es mögen zunächst die elementaren Vor- 
stellungen und Überlegungen, die die Teilbarkeit der rationalen ganzen 
Zahlen betreffen, in die Sprache der Idealtheorie übersetzt werden. Es 
sei demnach zunächst e das System aller ganzen Zahlen des rationalen 
Körpers 3^1. 

Ist a eine von verschiedene Zahl aus e, und durchläuft rj alle Zahlen 
von e, so heißt das System rja aller durch a teilbaren Zahlen von e ein 
in e enthaltenes „IdeaV. Als Bezeichnung für ein solches Ideal benutzen 
wir wieder die Frakturschrift a und schreiben auch, wenn wir ausdrücken 
wollen, daß a aus allen Vielfachen von a besteht, a = [a], so daß auch 
\a\ ein Symbol für das System der unendlich vielen Zahlen ria ist. Die 
charakteristischen Eigenschaften eines solchen Ideals sind die folgenden : 



90 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

1. Die Summe und die Differenz zweier Zahlen aus a sind wieder in 
ü enthalten. 

2. Das Produlct irgendeiner Zahl rj aus c und einer Zahl aus a ist 
wieder in a enthalten. 

3. Das Ideal a soll nicht nur aus der einzigen Zahl hestehen.^) 

Es ist leicht zu zeigen, daß diese drei Eigenschaften im System e 
der rationalen ganzen Zahlen stets ein Zahlsystem 7]a obiger Art fest- 
legen. Versteht man also jetzt unter einem Ideale a in jenem Sy- 
steme e irgendein in e enthaltenes Zahlsystem, das die drei genannten 
Eigenschaften hat, so ist zu beweisen, daß a stets aus den gesamten 
durch eine nicht-verschwindende ganze Zahl a teilbaren Zahlen von e be- 
steht. Ist nämlich a eine absolut kleinste von verschiedene Zahl in a, 
die zufolge 3. existiert, so enthält a sicher aUe Zahlen T^a wegen der 
Eigenschaft 2. Weitere Zahlen können aber in a nicht auftreten, da sonst 
zufolge 1, sofort eine absolut zwischen und | a \ gelegene Zahl in a 
nachweisbar wäre. Man beachte übrigens gleich noch, daß die Gesamt- 
heit e aUer rationalen ganzen Zahlen offenbar selbst ein Ideal darstellt, 
das wir auch durch [1] bezeichnen können. 

Da zu jeder Zahl a aus e eindeutig ein Ideal a = [«] gehört und 
umgekehrt zu jedem Ideal o eindeutig ein Paar „assoziierter" Zahlen + cc 
aus e (die sich in Rücksicht auf Teilbarkeit im wesentlichen gleich ver- 
halten), so erscheint es möglich, die Zahlen durch ihre zugehörigen Ideale 
zu ersetzen und die Regeln der Teilbarkeit in die Sprache der Ideale zu 
übertragen. 

Als f,Produlä'' zweier Ideale o = [cc] und B = [ß] bezeichnen wir das 
Ideal c = a ' h = [a ' ß]. Dann ist offenbar h • a = a -hy und wir finden, 
wenn eines der Ideale 0, B, etwa B = e = [1] ist, a • e = c • a = a, so daß 
e als j,EinheitsideaV' bezeichnet werden kann. Ist c = a • B, so heißt jedes 
der Ideale a, h ein „Teiler" von c, oder man sagt, c sei durch o und b 
„teilbar" j oder a und b „gehest in c auf] umgekehrt ist c ein „Vielfaches" 
von a und auch von h. Das Ideal a ist stets und nur dann ein Teiler von 
c, wenn jede Zahl von c in a enthalten ist}) Setzen wir nämlich c = [y]y 
so ist 7 in a enthalten, also y ^ ß • a, wo ß eine Zahl aus e ist. 

Sind a und ß zwei von verschiedene Zahlen aus e, so bilden aUe 
Zahlen (ji^a -f iq^ß) mit irgendwelchen Paaren ri^,ri^ aus e wieder ein Ideal. 
Wir bezeichnen dieses Ideal durch b = [a^ ß]. Offenbar sind sowohl die 
Zahlen von a als auch die von B in b enthalten, so daß b ein gemeinsamer 
Teiler von a und B ist. Da jeder gemeinsame Teiler von a und B die 



1) Das aus der Zalil allein bestehende „System" würde die Eigenschaften 
1. und 2. besitzen. Durch die Forderung 3. ist dieses „System" ausgeschlossen. 

2) Der „Teiler" a ist hier also ein „umfassenderes" Zahlsystem als das „Viel- 
fache" c, sofern nicht etwa c = a • e vorliegen sollte. 



Begriff eines Ideals im Körper ^ 91 

Zahlen rj^a und rj^ß und also die von b in sich enthält, so heißt b = [a, ß] 
der f, größte gemeinsame Teiler^^ von a und b. Dies ist mit dem elemen- 
taren Begriffe des größten gemeinsamen Teilers zweier rationaler ganzer 
Zahlen in Übereinstimmung. Ist nämlich b = [a, ß] = [d], wo d positiv ge- 
wählt sein mag, so ist d die kleinste positive, mit rationalen ganzen 
r^^j 7}^ in der Gestalt d = rj^a -]- r^^ß darstellbare Zahl. Diese ist aber in 
der Tat der größte gemeinsame Teiler von « und ß (vgl. S. 30). 

Wir kehren nun zu einem beliebigen Körper 7^*®" Grades ^ zurück, 
dessen ganze Zahlen das System e bilden. Irgendein System von Zahlen 
aus e bildet ein „Idea¥ a des Körpers ^, wenn das System die drei oben 
genannten Eigenschaften 1., 2. und 3. besitzt. Wir stellen im Anschluß 
an diese Erklärung sogleich fest: Zwei Ideale a und b von ^ heißen ein- 
ander gleichj a = h, wenn jede Zahl des einen Ideals auch im anderen ent- 
halten ist. Auf Grund des folgenden Satzes kann man Ideale des Körpers 
^ herstellen: Sind a^, cc^y . . ., a^ irgendwelche X festgewähltey nicht durch- 
weg verschwindende Zahlen aus e, so liefern die gesamten Zahlen: 

(1) rj^a^ + V2^2 -^ " ' + Vx<=^x^ 

zu bilden für alle möglichen Systeme von X Zahlen VirV^y - - 'fVx ^^^ ^y ^'^'^ 
Ideal a, das wir durch: 

(2) a = K, «2, ..., üfj 

bezeichnen. Man zeigt nämlich am Systeme (1) sofort die drei charakte- 
ristischen Eigenschaften eines Ideals. Hierbei ist übrigens keineswegs 
behauptet, daß die einzelne Zahl aus a nur auf eine Weise in der Gestalt 
(1) darstellbar sei. 

Auch umgekehrt gilt der Satz: Jedes Ideal a von ^ ist mittelst einer 
j,endlicken^' Anzahl seiner ZaJden a^i a^^ . ..^ cc^^ in der Gestalt [a^j a^,.. ., a^] 
als System aller Zahlen (1) darstellbar. Zu einer weiterhin besonders 
wichtigen Art einer solchen Darstellung irgendeines vorgelegten Ideals a 
führt folgende Überlegung: Es gibt sicher in a Systeme von n linear- 
unabhängigen Zahlen «j, «g, . . ., «„. Ist nämlich a eine von verschie- 
dene Zahl aus a, und bilden rj^y rj^y . . .j rj^ eine Basis von e, so bilden z. B. 
die n Zahlen a^ == %a, a2= %cc, . . ., cCn^ Vn^ ^^^ System linear-unab- 
hängiger Zahlen von a. Für jedes solche System ist D(a^, a^, . . .^ aj 
eine von verschiedene rationale ganze Zahl. Wie S. 86 nennen wir ein 
System linear- unabhängiger Zahlen a^, a^, . . ., a^ aus a eine y,Basis" des 
Ideals a, falls die von verschiedene rationale ganze Zahl D(a,,cf2,...,aJ 
absolut genommen, einen möglichst kleinen Wert hat. Dann gilt der 
Satz: Jede Zahl: 

(3) a = e,0;i-h Cg^gH ^^n^^n 

mit rationalen ganzen e ist in a enthalten, und jede Zahl a von a ist auf 
eine und nur eine Art in der Gestalt (3) mittelst rationaler ganzer Zahlen 



92 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

e durch die Basis o^i, ß^2> • • •? ^« darstellbar. Der Beweis wird durch Wie- 
derholung der Überlegung von S- 87 geführt, wobei an die Stelle der 
damaligen Zahlen i?i, '>?2? • • •; Vn ^^^ Zahlen cc^^ a^, . . ., a^ treten und das 
System e durch a zu ersetzen ist. Hiernach ist a sicher z. B. in den 71 
Zahlen einer Basis a^, a^^ . . ., a^ als Ideal [«i, «2» • • •> ^J darstellbar, 
womit der letzte Satz bewiesen ist. 

Während später der Gebrauch einer Basis von a wichtig wird, ist es einst- 
weilen zweckmäßiger, die Anzahl X der Zahlen a in (2) unbestimmt zu 
lassen und als „Koeffizienten^* nicht nur rationale ganze Zahlen, sondern 
wie in (1) beliebige ganze Zahlen ri aus e zuzulassen. Sollen alle Zahlen 
eines zweiten Ideals B = [/Jj, /^g, . . ., /3^] in a enthalten sein, so ist hier- 
für das Bestehen der ft Gleichungen: 

(4) A = na^x + ni'L^^ + • • • 4- ^a«A? i = 1, 2, . . ., ^ 

erforderlich und hinreichend, wo natürlich die ri Zahlen aus e sind. Be- 
stehen außerdem X Gleichungen: 

(5) «i = i;;. A + i?«A + • • • + n,^P^, i = 1, 2, . . , X 

wieder mit Zahlen rl aus e, so sind auch alle Zahlen von a in b enthalten, 
d. h. wir haben Qi = h. 

Ein Ideal a = [a], das also aus allen durch die von verschiedene 
ganze Zahl a teilbaren Zahlen aus e besteht, heißt ein ,yHauptideaV^ . 
Sollen die beiden Hauptideale a = \a] und b = [/3] einander gleich sein, 
so müssen zwei Gleichungen ß ^= rja und a = rj'ß mit Zahlen rj und rj' 
aus e gelten. Aus ihnen folgt rj • tj' = Ij so daß die Zahlen r] und rj' Ein- 
heiten sein müssen, rj = s und rj' = s = s~'^. Aus ß = ea folgt auch so- 
fort a = s ß, so daß der Satz gilt: Die "beiden Hauptideale a = [a] und 
b = [|!3] sind stets und nur dann einander gleich^ wenn a und ß assoziierte 
Zahlen sind. Insbesondere folgt: Jedes aus einer Einheit e hergestellte 
Hauptideal [s] ist gleich e. 

Die „Hauptideale" sind es, die den Zahlen von e, genauer den Syste- 
men assoziierter Zahlen von e zugeordnet sind. Soll der Begriff des Ideals 
allgemein die S. 88 ff. besprochene Schwierigkeit heben, so müßte die zu 
vollziehende „Erweiterung" des Gebietes e der ganzen Zahlen von ^ 
darin bestehen, daß wir, nachdem die Systeme der assoziierten Zahlen 
durch ihre Hauptideale ersetzt sind, die gesamten übrigen Ideale von ^,. 
sofern solche vorhanden sind, als selbständige Elemente, gewissermaßen 
als neue ganze Zahlen, den bisherigen hinzuzufügen. In dem so erweiter- 
ten Gebiete müßten dann die Gesetze der Teilbarkeit wieder denselben 
einfachen Charakter annehmen wie im rationalen Körper. Daß dies in der 
Tat der Fall ist, wird der in § 9, S. 97 aufzustellende Hauptsatz der 
Idealtheorie zeigen. 



Basis eines Ideals. Hauptideal. Produkt zweier Ideale 93 

§ 8, Multiplikation der Ideale. 

Die Multiplikation zweier Ideale ist so zu erklären, daß insbesondere 
die Multiplikation zweier Hauptideale auf diejenige zweier ganzer Zahlen 
hinausläuft. Dies leistet folgende Festsetzung: Bas FroduJä c == a-b der 
beiden Ideale a = [c^i, 0^2» • • •? ^J w**^ ^ = [ft ? A» • • •> ß/u] ^st das Ideal: 

(1) C = Kft, a^ß^, . . ., aj^, a^ß^, . . ., a^ß^]. 

Dem Produkte gehört jede Zahl an, die durch Multiplikation einer Zahl 
« aus a und einer Zahl ß aus h entsteht, und damit auch jede Summe 
solcher Produkte: 

(2) aß + « /3' + ß"/3" + . . • + «W/3(^). 

Umgekehrt ist jede Zahl des Ideals (1) in der Gestalt (2) darstellbar 
z. B. als eine Summe: ^^^. _^ ^^ß. ^ . . . _^ ^^^(,)^ 

wo c^j, 0^2, • . ., a^ die zur Darstellung des Ideals a = [«i, «3, . . ., aj aus- 
gewählten Zahlen sind und ß\ /3", . . ., ß'^^^ Zahlen des Ideals b bedeuten. 
Man kann das Produkt a • b geradezu als das ein Ideal bildende System 
aller Zahlen (2) erklären. Hieraus erkennt man, daß das FroduM a • b 
durch die Faktoren a und b eindeutig bestimmt ist, d. h. daß a • b nicht 
etwa abhängig ist von der besonderen Auswahl der beiden Zahlensysteme 
«1, a^y • . V ^2 ^^^ ßu A? • • V /^^? ^i® ^^^ Erklärung (1) zugrunde liegen. 

Aus (1) folgt der Satz: Für die Multiplikation der Ideale gelten die 
Gesetze a • b = b • a und (a • b) • c = a • (b • c). Für das assoziative Gesetz 
wolle man sich das Produkt dreier Ideale entsprechend dem Ansätze (1) 
g.nschreiben. Die Gesetze bestehen für die Ideale dann einfach deshalb, 
weil sie für die Zahlen gelten. 

Von grundsätzlicher Bedeutung ist nun der folgende Satz: Ist 
a = [«0, «1, 0^2; • • •> ^^J ^^^ beliebiges Ideal des Körpers ^, so kann man 
ein zweites Ideal b von ^ so angeben, daß das Produkt von a und b ein 
Hauptideal a • b = [a] mit rationaler ganzer positiver Zahl a wird. Um 
dies zu zeigen, bilden wir mit einer Variablen z die ganze Funktion /x*®"^ 
Grades : 

(3) cp{z) = a^z^^ + «i^^'-i + '-■\-a^ 

und stellen die (n ~ 1) mit q){z) „konjugierten" Funktionen her: 
a'^z^'-^- a[zf'-'^ H h «1, 



(4) 



unter a^, a,., a^, . . ., a^~'^^ die n mit a^ konjugierten Zahlen verstanden. 
Das Produkt der (n — 1) Funktionen (4) bezeichnen wir durch: 

(5) t(^) = ßo^'+ßi^'-'+"' + ß.] 



94 Einleitung, Teil IV: Idealtlieorie 

der Grad v von -^{z) ist ^{n — 1), die Koeffizienten ß sind ganze Zahlen. 
Durch Multiplikation der Funktionen (p(d) und ^(^) entstehe die Funk- 
tion iin^"^ Grades: 

(6) qp(^)^(^) =/'(;er) = y^zf^nj^^^^^n-lj^ . . . + ^^^^ 

Da f{z) das Produkt der n konjugierten Funktionen (3) und (4) ist, so 
sind die y^, y^-, - - -yV^n rational^) und stellen also nach einem Satze von 
S. 82 rationale ganze Zahlen dar. Da ferner ^(^) der Quotient von f{z) 
und (p{z) ist, so gehören die Koeffizienten ß dem Körper ^ an und sind 
als ga7i2e Zahlen in e enthalten. Aus dem Hilfssatze von § 2, S. 80 folgt 
nun leicht, daß das Ideal ^ =^ [_ßQ, ß^y ß-i, - - -, ß^] dem zu beweisenden 
Satze genügt. Haben nämlich die /o? 7ij • • v 7«« ^^® rationale ganze 
positive Zahl a als größten gemeinsamen Teiler, so ist nach jenem Hilfs- 
satze a ein Teiler jedes Produktes c^^ft. Demnach ist jede Zahl des Ideals 
C = a • b durch a teilbar und also in der Gestalt ria darstellbar. Andrer- 
seits gehören dem Ideale c = a • b alle Zahlen yo, y^ • • -, y^n ^^^ damit 
die Zahl: 

C^) Wo + ^iri + «2^2 + • • • + e^,„r^„ 

mit irgendwelchen rationalen ganzen e an. Man kann aber die e so wäh- 
len, daß die Zahl (7) gleich dem größten gemeinsamen Teiler a aller y 
wird.^) Hiernach ist auch a in c enthalten. Es ist also nicht nur jede 
Zahl von c in der Gestalt ria darstellbar, sondern jedes Produkt ria mit 
beliebigem Faktor ri aus e ist in c enthalten, d. h. es gilt c = a • B = [a] 
womit unser Satz bewiesen ist. 

Aus dem eben bewiesenen Satze kann man leicht auf den folgenden 
schließen: Sind die Produkte a • a' und a • a" eines Ideals a mit den heider^ 
Idealen o! =\a\y a^, . . ., a\'\ und a''= [a^, a^j . . ., a[] einander gleich^ so 
sind auch a' und a" gleich^ d. h. aus a • a' = a • a" folgt a' = a\ Ist nämlich 
B ein Ideal, das in b • a ein Hauptideal [a] mit rationaler ganzer positiver 
Zahl a liefert, so folgt durch Multiplikation von a • a' = a - ü" mit h zu- 
folge der Gültigkeit des assoziativen Gesetzes [a] • a' = [a] • a'\ Diese 

Gleichung besagt, daß jede Zahl (rj[aa[ -\- r]'^aa^-\ \-rj[aa\) des Ideals 

[a] • a' auch als eine Zahl (7]'^aa^-\- ri^aa^-\- •••-}- r(' aa'^ von \a\ • a" 

1) Um den Hauptsatz über symmetrische Funktionen bequem anwenden zu 
können, stelle man die a^, cc^, . . . als Zahlen von 5? in der Gestalt (2) S. 83 dar 
und ordne geradezu die Funktion cp{z) nach Potenzen von ö an. Für die Funk- 
tionen (4) ergeben sich dann die entsprechenden Ausdrücke in den mit d konju- 
gierten Zahlen 0', 0", .... 

2) Daß man bei zwei rationalen ganzen Zahlen y,,, y^ die gleichfalls ratio- 
nalen ganzen Zahlen e^^ e^ so wählen kann, daß {e^y^ -\-ßi7i) der größte gemein- 
same Teiler von y^ und y^ wird, ist ein bekannter Elementarsatz der Zahlen- 
theorie (S. 90 ff.). Hieraus folgt die Behauptung des Textes leicht durch vollstän- 
dige Induktion. 



Sätze über Produkte zweier Ideale. Teiler eines Ideals 95 

darstellbar sei und umgekehrt. Teilen wir durch a, so folgt, daß jede Zahl 

{ri\a^ + ^2S H + Vi^l) ^^^^ ^^s ®i^® ^^^1 (^1 «r + ^2 «2 H + \^"[) 

darstellbar ist und umgekehrt. Dies aber heißt, daß a' = a" ist. 

§ 9, Faktorenzerlegung eines Ideals. 

Um einen bei der Faktorenzerlegung eines Ideals zu benutzenden 
Hilfssatz zu beweisen, schicken wir folgende Erklärung voraus: Zwei 
Zahlen iq und ri aus t, deren Differenz durch die ganze Zahl a aus e teil- 
bar ist, sollen modulo a kongruent heißen: 

ri ^r} (mod a). 

Alle mod a kongruenten Zahlen von e fassen wir in eine „ZahlJdasse^' zu- 
sammen. Es gilt der Satz: Ist a rational, ganz und positiv j so gibt es mod a 
im ganzen a" inJcongruente ZahlUassen in e. Stellen wir nämlich die Zah- 
len 7] von e in einer Basis ^^ V2j • - -y Vn ^''^^' 

(1) V = e^Vi + %^2 H H e„7?„, 

so ist die Zahl (1) mit der Zahl i^'= e^rj^ + e'^V^ + * * ' + ^'nVn ^^^^^ ^^^ 
nur dann mod a kongruent, wenn ej^ ^ €[ (mod a) für h = 1, 2, . . ., w gilt. 
Man erhält demnach ein volles System moda inkongruenter Zahlen rj, 
wenn man die n Koeffizienten e^ in (1) auf alle a'^ Arten entsprechend 
den Bedingungen ^ e4< a auswählt. 

Hieraus ergibt sich der unten anzuwendende Satz: ^5 gibt in ^ nur 
eine heschränhte Anzahl von Idealen, die eine vorgeschriebene rationale ganze 
positive Zahl a enthalten. Ein solches Ideal enthält nämlich mit einer 
Zahl ri sogleich die ganze Klasse der moda mit ri kongruenten Zahlen, 
setzt sich also aus einer gewissen Anzahl der a" moda inkongruenten 
Zahlklassen zusammen. Aus einer endlichen Anzahl a" von Klassen können 
wir aber nur eine endliche Anzahl von Kombinationen herstellen, woraus 
der Satz hervorgeht. 

Es ffelte nun folgende Erklärunoj: Ein Ideal c hat ein Ideal a als 

o o o 

yyTeiler" oder ist „durch a teilbar" oder a „geht in c auf^, falls es ein Ideal 
a' gibt, das mit a multipliziert c liefert, a • a' = c. Aus a • e = a folgt, daß 
jedes Ideal a sowohl das Einheitsideal e als sich selbst zum Teiler hat. 
Sollte es Ideale a in ^ geben, die außer e und a keinen Teiler haben, so 
werden wir solche Ideale als „Primideale'^ bezeichnen. An die Erklärung 
des Teilers schließt sich der Satz: Ist a ein Teiler von c, so gibt es auch 
nur ein Ideal a\ das mit a multipliziert c als Produht liefert. Wäre näm- 
lich neben a • a' = C auch a • a'' = c, so wäre a ■ a' = Cl - a" und also nach 
dem letzten Satze des vorigen Paragraphen a' = a'\ 

In den nächstfolgenden Sätzen wird man Verallgemeinerungen der 
S. 90 ff. für den rationalen Körper aufgestellten Sätze erkennen. Das Ideal 



96 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

a ist stets und nur dann ein Teiler von c, tvenn jede ZaJil von c in a ent- 
halten ist. Daß jede Zahl von c = a • a' in a enthalten ist, folgt aus der 
Erklärung (1)S. 93 des Produktes zweier Ideale. Ist andrerseits c irgendein 
Ideal, dessen sämtliche Zahlen in a enthalten sind, und ist b ein Ideal, 
das mit a multipliziert wie oben als Produkt ein Hauptideal ah = \a\ 
liefert, so ist auch jede Zahl des Ideals c • b = B • c durch a teilbar. Es 
gibt demnach für B • C eine Darstellung: 

I) • C = [aa\, aa^, . . ., aa^], 

wo die a\, cc[^^ . . ., ß^, ganze Zahlen sind. Setzen wir \a\j cc^, ...,«'] = a', 
so wird B • c = [a] • a' = B • a • a', woraus c = a • a' und also der zu be- 
weisende Satz folgt. 

Ein Ideal, das in jedem der beiden Ideale a und o! aufgeht, und das 
jeden gemeinsamen Teiler von a und a' selbst zum Teiler hat, heißt ein 
„größter gemeinsamer Teiler" von a und a\ Es gilt der Satz: Je zwei Ideale 
und q! des Körpers ß haben einen eindeutig bestimmten größten gemein- 
samen Teiler b; ist a = [«i, «g? • • •; «^;.] und a' ^ \a\, cc^, . . ., aj, so ist die- 
ser Teiler b: 

(2) b.= [a^, «2; . ■ V «;., «1, «2' • • V %]• 

Jede Zahl von a ist nämlich in diesem b enthalten, ebenso jede von a'; 
also ist b ein gemeinsamer Teiler von a und a'. Ist aber b' irgendein ge- 
meinsamer Teiler von a und o', so sind alle Zahlen a^, a^, . . ., a^, «i, «39 
.,.,«' in b' enthalten. Also sind auch alle Zahlen von b in b' enthalten, 
d. h. es ist V Teiler von b. Hieran schließt sich die Erklärung: Ist der 
größte gemeinsame Teiler von a und o! das Einheitsideal e, so heißen a und 
a' „teilerfremd'^. 

Aus den bisherigen Sätzen ergeben sich einige einfache Folgerungen: 
Gilt für sivei Ideale a und a' die Gleichung a - o! = t, so ist a = Ci ^ t. 
Es ist nämlich jede Zahl von e sowohl im Teiler a als im Teiler a' ent- 
halten. Irgendein vorgelegtes Ideal a hat nur endlich viele Teiler. Ist wie 
oben a • B = [a], so ist jede Zahl von [a], also auch a selbst in a und da- 
mit auch in jedem Teiler von a enthalten. Es gibt aber nach S. 95 nur 
endlich viele Ideale, die die Zahl a enthalten. Ist a • a'= C, und ist o! 
nicht das EinJieitsideal e, 50 hat a iveniger Teiler als c. Jeder Teiler von a 
ist nämlich ein Teiler von c. Aber nicht jeder Teiler von c ist ein solcher 
von a. Es geht z. B. c selbst wohl in c, aber nicht in a auf. Wäre nämlich 
a = C • a", so würde durch Multiplikation mit a': 



ca •a=a-a=c = c-e 



und also a' • a" = e, a' = e entgegen der Annahme folgen. 

Das Ideal e ist nur durch sich selbst teilbar und hat demnach den 
Charakter eines Primideals. Indes verstehen wir weiterhin unter einem „Prim- 



Faktorenzerlegung der Ideale. Hauptsatz 97 

ideal'' ein von e yerschiedenes Ideal p, welches nur e und p selbst 
zu Teilern hat. Es gilt dann der Satz: Jedes von e verschiedene Ideal a 
ist durch mindestens ein Primideal teilbar. Es hat nämlich a sicher min- 
destens einen von e verschiedenen Teiler, nämlich a selbst, und andrer- 
seits auch nur eine endliche Anzahl solcher Teiler. Unter diesen von e 
verschiedenen Teilern des Ideals a können wir einen aussuchen, der seiner- 
seits nicht mehr Teiler hat als irgendein anderer von ihnen. Jeder Teiler 
hat nämlich selbst nicht mehr Teiler als a; unter den Teileranzahlen gibt 
es also eine kleinste. Den ausgesuchten Teiler nennen wir b und erkenuen 
leicht, daß er ein Primideal darstellt. Gäbe es nämlich eine Zerlegung 
J = c • c', wo keines der Ideale c gleich e wäre, so wären auch c und c' 
Teiler von a, die nach dem letzten Satze entgegen der Annahme über b 
weniger Teiler als b hätten. 

Jetzt ist auch der folgende Satz beweisbar: Geht ein Primideal p in 
dem Produkte a = a' • a" der beiden Ideale a' und o" auf, so ist mindestens 
einer der Faktoren o', a" durch p teilbar. Wir nehmen an, daß p nicht in 
a" aufgeht, und haben zu zeigen, daß p Teiler von cl ist. Der Annahme 
entsprechend sind a"= [«/, a^, . . ., aj] und. p ==- [it^, %^j . . ., tc ] teiler- 
fremd: r '' "^ " T 

K, «2^ • -v ^x? ^u ^2; •••; ^J^e. 

Da die Zahl 1 in c enthalten ist, so gibt es eine Darstellung: 
1 = V/< + « + • • • + ^>r + %^i + • • • + rj^^jc^^ 
dieser Zahl. Ist nun a eine beliebige Zahl aus a', so folgt durch Multi- 
plikation der letzten Grieichung mit a: 

a' = «X« + V2 < H + ^10 + (^'Vi-^i + • • • + «'^^?r^. 

Das erste Glied rechts, als Produkt einer Zahl a aus a' und einer Zahl 
{ri[a[-\- • • •) aus a", ist in a'- a"== a und also auch im Teiler p von a 
enthalten. Da auch die Zahl (ari^Ti^ + • • •) in p enthalten ist, so gilt das- 
selbe von a, also von jeder beliebigen Zahl aus a'. Also ist p Teiler von a'. 
In allen diesen Sätzen erkennt man die Übertragungen bekannter 
Elementarsätze über die Teilbarkeit der rationalen ganzen Zahlen auf die 
Ideale des Körpers ü. Der Hauptsatz der Idealtheorie ist endlich der fol- 
gende: Jedes von e verschiedene Ideal a von ^ ist als Produkt von Prim- 
idealen darstellbar: 

und zwar im wesentlichen^ d. h. abgesehen von der Anordnung der Faktoren 
nur auf eine einsige Art, wobei wir übrigens in (3) rechts etwa gleiche Prim- 
ideale auch in Primidealpotenzen zusammenfassen können. Ist a nicht selbst 
Primideal, in welchem Falle die Gleichung (3) für ? = 1 gilt, so sei p^ 
ein erstes in a aufgehendes Primideal, das nach dem vorletzten Satze 
existiert. Wir setzen a = p^ • a' und haben in a' ein Ideal, das weniger 

Fr ick 8, Die elliptischen Funktionen II 7 



98 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

Teiler hat als a. Ist a' noch nicht Primideal, so setzen wir a' = p^ ■ a" 
wo die Teileranzahl von a" wieder geringer ist als die von a. Da die 
Teileranzahl von a endlich war, so kommt dieser Prozeß zum Abschluß 
und liefert eine Darstellung (3) von a. Gibt es noch eine zweite solche 
Darstellung: 

W a = p;.p;.p;...p;„, 

fiö gelten folgende Schlüsse. Es sei etwa l ^m. Das Ideal p^ geht im 
Produkte p[ • (p^ * P'3 * • • Pm) ^^f; also ist entweder p^ = p[, oder pj geht 
in P2 * P3 ■ • • Pli ^^^' Durch Fortsetzung dieses Verfahrens findet man, 
daß pj unter den in (4) rechts stehenden Idealen auftritt. Wir können 
demnach, nötigenfalls nach Umordnung der Ideale in (4) rechts, p[ = p^ 
setzen. Dann folgt nach einem Satze von S. 94: 

p2-P,-"Pl-p2-p'^'-'Pnr 

Auf dieselbe Art ergibt sich pg "^ ■p2> Pa ^ P37 • • •? Pz-i == P;-i) worauf 
die Gleichung übrig bleibt: ^ _ >n' W W 

ri~ Vi ' ri + l ' ' ' Vm' 

Diese Gleichung lehrt, daß l = m sein muß, und daß pj = pj zutrifft. Da- 
mit ist der Satz bewieseu. 

In dem S. 88 ff. betrachteten quadratischen Körper der Grundzahl — 20 
konnten wir das Hauptideal [21] als Produkt sowohl von [3] und [7] als 
auch, als Produkt von [l -|- 2^"|/5] und [l — 2i]/5j darstellen, was den 
Zerlegungen 21 = 3 • 7 und 21 = (l + 2iyb) (l — 2^1/5) entspricht. Die 
Hauptideale [3], [7], [l + 2^]/'5] sind nun noch keine Primideale. Die 
Zerlegung von [21] in Primideale enthält vier Faktoren, nämlich: 

p, = [3, 1 + 2iy5], p, = [3, 1 - 2iyb\ , 

^ = [7, l+2»y5], p, = [7, l-2iy6], 
in denen man auf Grund späterer Sätze leicht Primideale erkennt, und die 
übrigens die größten gemeinschaftlicheu Teiler von [3] und [l-f 2^y5]^ 
von [3] und [l — 2^y5] usw. sind. Bildet man nach (1) S. 93 das Pro- 
dukt Pi ' p2, so ist: 
(5) Pi-^2 = [9, 3 + 6i-l/5, 3-6^1/5,21]. 

Das Ideal p^ • p^ enthält auch die Zahl 21 — 2-9 = 3 und also alle Zahlen 
von [3]. Da andrerseits aUe vier Zahlen in (5) rechts in [3] enthalten 
sind, so sind auch alle Zahlen von p^ • p^ in [3] enthalten, d. h. man hat 
die erste der vier Gleichungen: 

pi-^Ja^p], Pi-p3 = [i + 2«y5], P3-V4 = m, p,-p, = [i-2iy-o], 

deren drei übrige entsprechend zu zeigen sind. Aus der eindeutig be- 
stimmten Zerlegung [21] ■= Pi' p^- P^ - P4, kommen wir demnach bei den 
beiden Anordnungen: 



Beweis des Hauptsatzes. Basen der Ideale 99 

[21] = (^l-p2)-(^3'P4) = [3]-m, 

[21] = (p, • p,) • (p, • p,) = [1 + 2iyb] • [1 - 2^1/5] 
zu den leiden Zerleguugen von [21] in Produkte von Hauptidealen zurück. 
Die Erweiterung auf alle Ideale des vorliegenden Körpers ü stellt die 
Eindeutigkeit der Primidealzerlegung wieder her. 

§ 10. Die Basen eines Ideals a. 

Eine „Basis" eines Ideals a wurde von irgendeinem Systeme linear- 
unabhängiger Zahlen a^^ a^^ . . ., a^ aus a gebildet, deren Diskriminante 
Z)(«i, «27 • • -7 O ^^^ absolut kleinste von verschiedene Zahl ist, die 
als Diskriminante von n Zahlen aus a auftritt (S. 91). In der Basis 
a^, a^, . . ., a^ i^t jede Zahl a von a auf eine und nur eine Art in der 
Gestalt: 

(1) a = e^a^^e^a^-^'-' ^ e^a^ 

mit rationalen ganzen e darstellbar, und umgekehrt ist jeder Ausdruck (1) 
eine Zahl von a. Dieser Satz ist für eine Basis charakteristisch, d. Ji. ein 
System linear-unabhängiger Zahlen a\j a^, . , ., a^ von a, in dem jede Zahl 

des Ideals in der Gestalt e\a\-\-e^a^-\ \- e^ a[^ mittels rationaler ganzer 

e' darstellbar ist, liefert immer eine Basis von a. Es sind nämlich sowohl 
die a^, «2? • ' •; ^1 i^ ^^^ ^i; ^2y • • •? ^n üiie^r homogen mit rationalen 
ganzen Koeffizienten darstellbar wie auch umgekehrt die c^i, «2^ • • •> ^» 
in den a\, a^, . . ., a\^. Hieraus folgt (bei Benutzung des Multiplikations- 
gesetzes der Determinanten), daß jede der beiden rationalen ganzen Zahlen 

D(«i, cfg; • • •? ^J ^^^ ^Wi} ^2 7 • • •; ^1) i" ^^^ anderen aufgeht, so daß 
sie als Zahlen von gleichem Vorzeichen einander gleich sind. Also ist 
auch a\, a^, . . ., a^ eine Basis. 

Die DarsteUungen der eben betrachteten Zahlen «'^, «g, . . ., cc^ in 
der ersten Basis seien: 

(2) a\ = e^^a^ + e^2«^2 + * ' ' + ^in^n . ^ = 1, 2, . . ., n 
Aus der Gleichheit der beiden Diskriminanten folgt dann der Satz: In 
einer ersten Basis «i, <^2? • • •> ^ti ^'^^ ^ ^^^ J^^^ andere Basis «^, «g, . . ., a^ 
dieses Ideals in der Gestalt (2) mit rationalen ganzen Koeffizienten e^j^ der 
Determinante + 1 darstellbar, und jedes so gewonnene Zahlsystem cc[,a^,...,a^ 
ist auch offenbar wieder eine Basis von a. 

Es seien nun die Zahlen a^, a^, . . ., a^ einer Basis von a in einer 
Basis riiy ri^, ' . •■, yjn von e in der Gestalt: 

(3) (ii = hi.rj^ + /i,2 ^2 + ■ ' • + KnVn 1 i = 1, 2, . . ., /* 

mit rationalen ganzen h dargestellt. Dann gilt nach (7) S. 84: 

(4) 2)(a„ «2, • . v «„) = W^\^D{ri^, rj„ . . ., i?J, 



100 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

wo I hij^ I die ?*-reihige Determinante der Koeffizienten h ist. Der absolute 
Wert dieser Determinante hat für das Ideal a eine wichtige Bedeutung, 
welche im nächsten Paragraphen zur Besprechung gelangt. Zur Vor- 
bereitung wählen wir hier zunächst eine besonders gebaute Basis für a 
aus. Es besteht nämlich folgender Satz: Man kann eine Basis von a stets 
durch n Zahlen der Gestalt: 



(5) 



«1 =^^11^1; 

«3 =^%%+^32% + ^53%; 



«n = ^^«1^1 + ''^«2^2 + • • • + Kn^a 

mit positiven h^^j h^^j . • ., h^^ aufhauen. 

Um dies einzusehen, betrachten wir alle in a enthaltenen Zahlen: 

(6) (^ = ^iVi + e^V2 + -" + ^Vr 

mit e^ =1= 0, wo v eine der Zahlen 1^2, .. ., n ist. Solche Zahlen kommen 
sicher für jedes v in a vor; denn es gibt in a von verschiedene rationale 
ganze Zahlen e^,, also z. B. auch Zahlen e^rj^. Die Gesamtheit der in a 
enthaltenen Zahlen (6) heiße $1^. Da mit cc auch — oj in a enthalten ist, 
so kommen auch Zahlen (6) mit e^ > in 51^ vor. Die kleinste positive 
Zahl e^y die vorkommt, heiße h^^^ eine Zahl aus 51^, bei der sie auftritt, sei: 

Wir können nun zunächst leicht zeigen, daß alle in 51,, auftretenden 
e^, Vielfache von \^ sind. Gäbe es nämlich eine Zahl (6), bei der e,, nicht 
durch \^ teilbar ist, so könnten wir von ihr durch wiederholten Zusatz 
oder Abzug von a^ zu einer Zahl (6) mit < e^, < h^^ gelangen, d. h. h^^ 
wäre der Annahme entgegen nicht die kleinste positive Zahl e^. Ist nun 
für irgendeine Zahl a aus 5(^, der letzte Koeffizient e^ = e\, • \^, wo also 
e^ rational und ganz ist, so ist offenbar (a — e\,a^) eine Zahl, die bereits 
einem der Systeme 5(y_i, 5l,,_2, - . • angehört. Nun bilden alle Systeme 
51^, ^l„_i, . . ., ^2? ^1 zusammen mit der Zahl das ganze Ideal a. Durch 
wiederholte Anwendung der eben durchgeführten Überlegung finden wir, 
daß jede Zahl a aus a in der Gestalt: 

(8) a = e[a^ -i- e^a^ -\ h < cc.^ 

dai'stellbar ist. Dabei bildet die Zahl keine Ausnahme, da sie in (8) 
für e^ = 0, ^2 = 0, . . ., c'^ = gewonnen wird. Nehmen wir noch hinzu, 
daß offenbar: 

(9) D («1, «27 • • •; O^J = (^11 • ^''22 • • • KnY •D{VuV2>-"^ V,) + 

gilt, so erkennen wir in «j, ccg, • ■• «„ eine Basis von a. 



Basen und Normen der Ideale 101 

§ 11. Norm eines Ideals. 

Wir gellen jetzt auf die Gleichung (4) § 10 und die in ihr als Spezial- 
fall enthaltene Gleichung [9) daselbst zurück und stellen folgende Er- 
klärung auf: Unabhängig von der ausgewälilten Basis a^, a^^ . . ., a^ des 
Ideals a ist die positiv genommene Wurzel: 



eine eindeutig bestimmte, dem Ideal a eigentümliche rationale ganze positive- 
Zahl, die die „Norm'' des Ideals a genannt und durch N(d) bezeichnet wird. 
Die Norm N{a) ist also der absolute Betrag der Determinante der n^ 
Koeffizienten h^j^ in (3) § 10; insbesondere folgt für die in (5) § 10 vor- 
liegenden Zahlen h: 

(2) N(c^) = K-K-h.---Kn- 

Für ein Hauptideal [a] gilt der Satz: Die Norm N([a]) eines Haupt- 
ideals [a] ist gleich dem absoluten Betrage der Norm N(a) der ganzen 
Zahl a. Für \a\ haben wir nämlich eine Basis in a^ = ari^, a^ = ari^, . . ., 
^n "^ ^Vn- ^^^^ ^j ^7 ^' > • ' •> «^^"^"^^ <iie mit « konjugierten Zahlen, so 
liefert die zur Berechnung von D(«^, «g, . . ., aj anzusetzende w-reihige 
Determinante : 

so daß sich aus (1) und der Erklärung der Norm (S. 85) der Satz ergibt. 
Um die Bedeutung der Zahl N{a) darzulegen, erweitern wir den Be- 
griff der Kongruenz zweier Zahlen in folgender Art: Zivei Zahlen ßj y 
aus e sollen mod a kongruent heißen: 

(3) /5 = 7 oder y = ß (mod a) , 

wenn (ß — y) und damit auch (y — ß) in a enthalten ist. Für ein Haupt- 
ideal a = [a] ist die Kongruenz (3) gleichbedeutend mit ß ^ y (mod a). 
Die Elementarregeln für das Rechnen mit Kongruenzen in bezug auf 
Zahlen als Moduln übertragen sich auf die Kongruenzen (3). Ist ^ ^ y 
(mod a) und y^d (mod a), so ist auch ß^d (mod a); denn mit (ß — y) 
und (y — ö) ist auch (ß ■— y) -{- (y — d) = ß — d in a enthalten. Besteht 
neben (8) die Kongruenz ß' = y (mod a), so gilt auch (ß ±: ß') = (7 ± /) 
(mod a). Ebenso folgt aus (3) sofort T^ß — r^y (moda), da mit (ß — y) auch 
7](ß — y)m a enthalten ist; etwas allgemeiner folgt aus (3) und ß'^y 
(mod a) auch ßß' ^ yy (mod a). 

Alle mod a kongruenten Zahlen von e vereinigen wir in eine „Zahl- 
Masse'' modulo a. Es besteht dann der Satz: Das System e der ganzen 
Zahlen von ^ zerfällt mod a in N{a) Klassen, als deren „Bepräsentanten" 



102 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

tmr die iV(a) = /i^ • ^^22 * * ' Kn Zahlen: 

(4) e^ri^-\-e^ri^^'"-\-e^ri^, ^^^\<Ky ^ £^2<h2, • • ',^£e^<Kn 
wählen können, unter \^ ^h^^, . .., h^^ die n in (5) S. 100 auftretenden Zahlen 
verstanden. Erstlich sind nämlich die N{<i) Zahlen (4) durchweg inkon- 
gruent mod a. Die Differenz zweier verschiedenen unter ihnen hat näm- 
lich die Gestalt: 

mit rationalen ganzen^ nicht durchweg verschwindenden d, die die Be- 
dingungen 0^!c?j <.\i erfüUen. Es kann demnach die sicher von ver- 
schiedene Zahl (5) keinem der oben (S. 100) durch %^, ^n-i^ • • ^ ^1 ^Q" 
zeichneten Zahlsysteme angehören und ist demnach auch nicht in a ent- 
halten. Andrerseits kann, wenn wir für a die Basis (5) (S. 100) benutzen, 
jede Zahl ri aus e auf eine Zahl des Systems (4) reduziert werden, in- 
dem wir von iq nach und nach die Produkte e,^a,^, ^'n-i^n-u •••? ^'1^1 
mit geeignet gewählten rationalen ganzen e abziehen. Also ist jede Zahl 
aus e mit einer Zahl (4) mod a kongruent. 

Ein Repräsentantensystem der Nia) verschiedenen Zahlklassen mod a 
sei von den Zahlen Qi^Q^, -- y Q^ geliefert. Dann sind auch die N Zahlen 
Q^-\-l, ()2 + I7 • • •; Q^-^-^y ^ie alle in e enthalten sind, mod a durchweg 
inkongruent, bilden also gleichfalls ein Repräsentantensystem mod a. Hier- 
aus folgt: 

(^1 + 1) + ((>2 + 1) + • • • + ((>^. -f 1) ^ 9i + (>2 + • • • + Qn (moda) 

und damit iV(a) = (mod a) : Im Ideal a ist die rcdionale ganze positive 
Zahl N(a) enthalten. Da nach S. 95 eine gegebene rationale ganze Zahl 
nur in endlich vielen Idealen auftritt, so folgt weiter der Satz: Es gibt 
nur endlich viele Ideale mit gegebenem Werte der Norm. 

Ferner besteht der wichtige Satz : Ist a ein beliebiges Ideal und p ein 
Primideal des Körpers .^, so gilt für N(a • p) die Kegel: 

(6) iV(a.p) = 7\r(a).i^(p). 

Der etwas umständliche Beweis läßt sich so gliedern: 

Alle Zahlen von a • |) sind in a enthalten, aber nicht umgekehrt alle 
Zahlen von a in a • p, da sonst ^ = e wäre. Wir können demnach aus a 
eine Zahl a entnehmen, die nicht in a • p enthalten ist und deshalb auch 
sicher von verschieden ist. Da a ein Teiler von \a\ ist, so gibt es ein 
Ideal B, das die Gleichung a • b = [a] befriedigt. Dieses Ideal b ist sicher 
zu ^ teilerfremd. Es müßte nämlich andernfalls durch p teilbar sein; dann 
aber wäre d'h = [0] durch a • p teilbar, und also wäre a entgegen der 
getroffenen Auswahl dieser Zahl in Q • p enthalten. 

Zur Abkürzung schreiben wir N{ci) = l und iV(p) = m und verstehen 



A* 



Sätze über die Normen der Ideale 103 

unter q^, Q27 • • v Qi ^^^ ^1; ^2? • • •? ^n» Repräsentantensysteme mod a 
und mod p. Wir können dann zeigen, daß die l • m Zahlen: 

(7) Q;^ + aTt^, A == 1, 2, . . ., Z, ^ = 1, 2, . . ., m 

ein Repräsentantensystem mod a • p bilden, womit die Regel (6) bewiesen 
sein würde. 

Erstlich können keine zwei verschiedene Zahlen (7) mod a • p kon- 
gruent sein. Aus q^^. + «st^/ = Q^ + «^^^ (mod ap) folgt nämlich, da jede 
Zahl von a • p auch in a enthalten ist, die Kongruenz Q^,-{-a7C , = p^ -|- a:r 
(mod a) und also, da a in a enthalten ist, p;, = (>; (mod a). Somit ist 
()^, = Q^ und also «:t^, = a^t^ (mod a-p), d. h. es ist cc(7t^, — jt ) in a-p 
.enthalten. Es ist demnach a • p ein Teiler des Hauptideals: 

[a {7t ^^. - Tt^)] = [a] • [jt^. -:t^]=^ah' [%^^. - :rj , 

und also geht p im Ideal b • [;n?^^/ — inc^J auf. Da aber p kein Teiler von b 
ist, so ist [jr^,. — :t^] durch p teilbar, woraus jt^, = 7t ^ (mod p) und also 
:r,y = jr^, folgt. Also sind die l-m Zahlen (7) mod a • p durchweg inkon- 
gruent 

Wir haben endlich zu zeigen, daß jede Zahl 7/ aus e mod a-p mit 
einer Zahl (7) kongruent ist. Gehört i] mod a in die durch q^ repräsentierte 
Klasse, so gilt t} = Qx-\- ol, unter a eine Zahl aus a verstanden. Da b 
und p teilerfremd sind, so ist a der größte gemeinsame Teiler von a • b = [a] 
und a • p. Also läßt sich nach S. 96 die in a enthaltene Zahl a als Summe 
u = r(a 4- a" einer Zahl rfa aus [«] und einer Zahl a" aus a • p darstellen. 
Gehört rf mod p zur Klasse des Repräsentanten n , so ist tj = 7t -{- 7t j 
wo 7t m p enthalten ist. Es folgt also: 

a = dTt^, -\- a7t -\- a\ tj = q^ -\- aTt^^ + («jr + a') . 

Da nun « in a und 7t in p enthalten ist, so ist a7t in a-p enthalten; und 
da dasselbe von a' gilt, so folgt rj ^= q^-\- cc7t^^ (mod ap), womit unsere 
Behauptung eingelöst und also der Satz (6) bewiesen ist. 

Die Regel (6) ist als Spezialfall im folgenden Satze enthalten: Die 
Norm des Produläes a • b zweier Ideale a, b ist gleich dem Produkte der 
Normen der Faktoren: 
(8) N(a^h) = N(a)'N{h). 

Für b = e ist der Satz (8) selbstverständlich, da a • e = a und iV(e) = 1 
gilt. Für ein Primideal b = p ist (8) soeben bewiesen. Der allgemeine 
Beweis kann durch vollständige Induktion geführt werden. Der Satz sei 
richtig, falls b in weniger als v Primideale zerfällt. Dann zeigt man leicht, 
daß er auch noch gilt, wenn b ein Produkt von v Primidealen ist. Man 
setze nämlich h=^p • c, wo x ein Produkt von {v — 1) Primidealen ist, und 



104 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

beweist leiclit folgende Kette von Gleichungen: 

N{a ' h) = N(a - (p • c)) = N{{a • p) • c) = N{ci • ^) • N{z) 
= N{Oi) . N{z) . i^(p) = Niix) . J\^(|3c) = iV(a) • JV(b) . 

§ 12. Äquivalenz der Ideale. 

Der Erklärung der Äquivalenz zweier Ideale schicken wir folgenden 
Hilfssatz voraus: Liefern die beiden Ideale a^ und Qg, mit einem und dem- 
selben Ideale b multipliziert, als Produkte zwei Hauptideale: 

(1) Oi-ö = k], 02-6 = ^], 

und ist auch das ProduM von a^ mit dem Ideale c ein Hauptideal a^ c == [aj J, 
so ist stets auch das ProduM a^ • C ein Hauptideal. Es gilt nämlich: 

Wi ' «2] = K] • K] = (Ol • c) • (a^ • b) = (Qj . b) . (a^ • c) 

und also, wenn wir a^-h = [«J setzen : 

(O2 • C) • [o:J = \a[ ' «2] . 

Alle Zahlen des rechts stehenden Ideals, also auch a,\- «g? haben somit 
den Teiler «j, so daß wir schreiben können: 

Das Ideal 02 • C ist also gleich -i— ?^ L d.h. es ist ein Hauptideal. 

Hieran schließt sich folgende Erklärung: Zwei Ideale a^ und Og aus 
^ heißen einander äquivalent , wenn es ein Ideal b in ^ gibt, das, mit Qj 
und Qg multipliziert, in den Produkten a^ ■ b und Og • b Hauptideale liefert. 
Als Zeichen der Äquivalenz möge dienen a^ ^ a^. Der vorausgeschickte 
Hilfssatz ergibt die Folgerung: Gilt a^ ~ a^ und a^ ~ Qj, 50 gilt auch 
Qj ~ Q3, d. h. sind zwei Ideale einem dritten äquivalent, so sind sie auch 
untereinander äquivalent. Sind nämlich Qj • b und a^ • b Hauptideale, und 
gilt dasselbe von Qj • c und üg • C, so ist nach dem Hilfssatze auch a^ • C ein 
Hauptideal, so daß ag^Og gilt. 

Aus dem für zwei äquivalente Ideale a^ und a^ charakteristischen 
Gleichungen (1) folgt: 

(2) a, ■ [a,] = a^ • [ojj . 

Besteht andrerseits für zwei Ideale a^, ttg und zwei Zahlen a^ und a^ aus e 
die Gleichung (2), so folgt durch Multiplikation mit einem Ideale b: 

ö^ . b . [«2] = ß2 • Ö • [«1] • 
Nun können wir nach S. 93 das Ideal b so wählen, daß a^-h = [ci] ein 
Hauptideal wird. Dann gilt Qg • b • [aj = [a • a^, woraus wir wie im An- 
fang des Paragraphen folgern, daß auch a^ • b ein Hauptideal ist. Somit 



Äquivalenz der Ideale. Idealklassen 105 

kann man auch sagen: Zwei Ideale a^ und (x^ sind stets und nur dann 
äquivalent, wenn es zwei von verschiedene Zahlen a^ , a^ in e gibt, die mit 
a^ und O2 die Gleichung (2) erfüllen. Wir notieren als unmittelbare Fol- 
gerung nocli den Satz: Gilt Cli ~ CI2; ^^ gewinnt man die Zahlen von 02 aus 
denen von a^, indem man die letzteren sämtlich mit einer gewissen Zahl 
-^ aus ^ multipliziert. 

§ 13. Die Idealklassen des Körpers ^. 

Alle mit einem einzelnen Ideale a äquivalenten Ideale vereinigen wir 
in eine ,^Klasse" von Idealen oder „IdealMasse^^, die wir durch % bezeichnen. 
Dann sind je zwei Ideale der Klasse 51 miteinander äquivalent, und irgend 
zwei Ideale verschiedener Klassen nennen wir ,,inäquivalent". Jedes Ideal a 
von ^ gehört einer bestimmten Klasse an, da a, mit einem geeigneten 
Ideale h multipliziert, ein Hauptideal liefert. Als „Repräsentanten" der ein- 
zelnen Klasse können wir ein beliebiges Ideal derselben wählen. Es gilt 
der Satz: Die gesamten Hauptideale von ^ bilden eine Klasse für sich, die 
die „Hauptmasse" heißt und durch (£ bezeichnet werden mag. Jedes Haupt- 
ideal a ergibt nämlich, mit e multipliziert, ein Hauptideal, nämlich a 
selbst, und soll umgekehrt • e ein Hauptideal sein, so muß a selbst 
ein solches sein. 

Es besteht der grundlegende Satz: Die gesamten Ideale des Körpers 
^ ordnen sich in „endlich viele" Idealklassen an. 

Dem Beweise müssen wir einen Hilfssatz vorausschicken, zu dem 
die folgende Betrachtung hinführt: Es sei rj^, t]^, ..., rj^ eine Basis von e, 
und es seien rj., rj'^, rj'!, . . ., rj^/^~^^ die mit tj. konjugierten Zahlen, rji^^ eine 
beliebige unter ihnen. Die Summe der n absoluten Beträge {rj^^^, Ivi^^l • • •? 
|iy^*)| hat einen reellen positiven Wert, ebenso das Produkt aUer n Summen: 

* = 

Dieser reeUe positive Wert M ist mit der Auswahl der Basis fest be- 
stimmt. Jede Zahl rj von e ist nun in der Gestalt: 

mittels rationaler ganzer e darstellbar. Wir lassen jetzt nur noch die- 
jenigen Zahlen (2) zu, bei denen die absoluten Beträge | e- \ eine rationale 
ganze positive Zahl g, deren Auswahl wir vorbehalten, nicht übersteigen, 
\^i\^9' Dann gilt, falls t], ri , rf', . . ., rf'^-'^) die mit ri konjugierten 
Zahlen sind: | V*)| ^^(hf'l + h?M + • • • + l»?«!)- 
Mit Rücksicht auf (1) folgt hieraus: 
(3) \N{,i)\£Mg''. 



106 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

Es sei jetzt b irgendein Ideal von ^. Da iV(b) eine rationale ganze 
positive Zahl ist, so können wir die ganze Zahl g so wählen, daß: 

(4) g"" £ N(Jo) < ((/ + If 

zutrifft. Wir bilden nun die (g + 1)" verschiedenen ganzen Zahlen (2), 
die allen Kombinationen rationaler ganzer Zahlen e mit den Bedingungen 
0<e,.<^ entsprechen. Da es modb nur N(b) inkongruente ganze Zahlen 
in e gibt, so sind unter jenen (g -\- 1)" Zahlen rj wegen (4) mindestens 
zwei mod b kongruente Zahlen nachweisbar, deren Differenz ß eine von 
verschiedene Zahl (2) mit \ e.\ ^ g ist, die sicher in b enthalten ist. Also 
ist zufolge (3) der absolute Betrag | N(ß) \ < Mg% und da ^« ^ N(h) 
ist, so folgt der Satz: In jedem Ideal b von ^ ist eine von verschiedene 
Zahl ß nachweisbar, für deren Norm die Ungleichung gilt: 

(5) I N(ß) \£M' N(b) . 

Es sei nun % irgendeine Idealklasse des Körpers ^ und b ein Ideal, 
das, mit den Idealen a von Sl multipliziert, Hauptideale a • b liefert. Wir 
wählen aus b eine der Bedingung (5) entsprechende Zahl ß und können 
dann, da das Hauptideal [ß] den Teiler b hat, [ß] ^ a • h setzen, wo a 
der Klasse % angehört. Nach S. 101 ff. folgt: 

. i N(ß) \ = N(a) • N(b) < M • N{b) , 

und also gilt N{a) ^ M, so daß in jeder Klasse 51 ein Ideal a nachweis- 
bar ist, dessen Norm nicht größer als der reelle positive Wert M ist. Ins- 
besondere können wir als Repräsentanten der Klasse 51 ein solches Ideal a 
wählen. 

Nun gibt es nur endlich viele rationale ganze positive Zahlen, die 
< M sind. Zu jeder dieser Zahlen, als Norm iV^(a) aufgefaßt, gibt es nach 
S. 102 nur endlich viele Ideale Q. Wir können also für jede Klasse 51 des 
Körpers ^ einen Repräsentanten a aus einer begrenzten Anzahl von Idealen 
wählen. Also haben wir in der Tat auch nur eine begrenzte Anzahl von 
Idealklassen in Ü. 

Aus dem Satze am Anfang des vorigen Paragraphen folgt weiter: 
Ist ah ein Hauptideal, so ergibt irgendein Ideal a' der Klasse % von a 
mit irgendeinem Ideale b' der Klasse 33 von b als Produkt a • b' wieder 
ein Hauptideal. Man kann demnach von einer Multiplikation der beiden 
Klassen 51 und 33 sprechen und den vorstehenden Satz durch die Glei- 
chung 5( • 33 = @ oder auch 33 • 51 = @ zum Ausdruck bringen. Jede 
der beiden Klassen 51, 33 heißt zur andern „invers^'; auch mag 33 durch 
5l~^ und entsprechend 5( durch 33~^ bezeichnet werden. 

Gilt a ~ a', und ist c irgendein Ideal, so gilt auch a • c ^ a c. Sind 
nämlich ab und a-h Hauptideale, und gehört das Ideal b der zur 



Multiplikation der Idealklassen 107 

Klasse S von c inversen Klasse an, so sind die beiden Ideale: 

(a . c) • (6 . b) = (a . b) . (c . b), (a'- c) • (b • b) = (a'- b) • (c • b) 

Hauptideale, da rechts beide Male Produkte von Hauptidealen stehen. 
Also ist in der Tat a • C ~ a' • C. Weiter folgt durch zweimalige Anwen- 
dung dieses Satzes : Gilt a ~ a' und b ~ b', so gilt auch a • b '^ a' • b'. 

Hieraus ergibt sich die Möglichkeit, allgemein die Idealklassen mit- 
einander zu multiplizieren: Sind 51 und 33 irgendzwei IdealMassenj so er- 
geben zwei Ideale a und b aus 51 und 33 als FroduU a • b == c stets ein 
Ideal einer durch % und 35 bestimmten dritten Klasse ^, die wir sijmho- 
lisch als Produkt 51 • S = (S von 5( und 33 schreiben. Für Produkte dieser 
Art gelten das kommutative und das assoziative Gesetz, 51 • 33 == 33 • 51 
und (51 • S) • ß: = 5[ . (33 • (5), da diese Gesetze für die Multiplikation der 
der Ideale gelten. Produkte gleicher Faktoren können wir natürlich als 
Potenzen schreiben. 

Wir bezeichnen jetzt mit h die endliche Anzahl aller Idealklassen 
des Körpers St, diese Klassen selbst aber mit ^q, 5Xi, %2) ■ • •; ^a-i? ^^' 
bei 5jfo die oben mit (S bezeichnete ,,Hauptklasse" sei. Dann können wir 
die 5lo, 5Ii; . . ., 51;^ _i im Sinne von S. 2 als die Elemente einer Gruppe 
Gf^ auffassen, wobei das Gesetz der Zusammensetzung zweier Elemente 
%.j 51^ zu einem dritten 5(^ durch die Multiplikation der Idealklassen ge- 
geben ist, 5lj- ^j,= %• Man erkennt sofort, daß dieses Gesetz den drei 
Gruppenbedingungen von S. 2 gehorcht, und zwar der zweiten Bedin- 
gung, da das assoziative Gesetz für die Produkte der Idealklassen gilt, 
der dritten Bedingung, wie man leicht aus dem Umstände folgert, daß 
mit der einzelnen Klasse 51^ immer auch die inverse Klasse 51^ ^ dem 
Systeme 51^, 5li, . . ., 5(;i_i angehört. Da überdies 51^- 51^ = 51;^' % S^^% 
so haben w^ir den Satz: Die h Idealklassen des Körpers ^ bilden gegen- 
über Multiplikation eine kommutative oder Äbelsche Gruppe G^ der Ord- 
nung h, in der die Hauptklasse ^q= (^ das ^yEinheitselement" darstellt. 

Es sei V die „Periode" irgendeines Elementes 51 der Gruppe G^y d.h. 
es sei v die kleinste rationale ganze positive Zahl, für die 51'' = 5to •= @ 
ist. Dann bilden die Elemente 51, 5(^ . . ., 51^"^, 51"= % eine zyklische 
Untergruppe G^, der Gj^y und also ist v ein Teiler von h. Insbesondere 
gilt stets 51^' = 5(o; wir können auch sagen: Die h*"' Potenz jedes Ideals a 
tius ^ ist ein Hauptideal. 

§ 14. Zerfällung der rationalen Primzahlen in Primideale. 

In jedem Ideale a gibt es von verschiedene rationale ganze posi- 
tive Zahlen, z. B. die Zahl N(Ci). Ist a die-kleinste rationale ganze posi- 
tive Zahl von a, so sind 0, ± a, ± 2a, + 3a, . . . alle in a auftretenden 
rationalen ganzen Zahlen. Gäbe es nämlich in a noch eine weitere ratio- 



108 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

nale ganze Zahl, so würde auch noch eine zwischen und a liegende Zahl 
auftreten. Da iV(a) in a enthalten ist, so folgt: Die Zahl N(a) ist durch 
die Jcleinste in a vorkommende rationale ganse positive Zahl a teilbar. Da 
ferner a im Hauptideal [a] aufgeht, so kann man \a\ als Produkt 
\a\^ a -h darstellen, woraus: 

N{\a]) ^ a- == Nisi) ■ JS {1o) 

folgt: Die Norm N{ci) ist eine in a"' aufgehende rationale ganze positive 
Zahl, unter a die Jcleinste rationale ganze positive Zahl von a verstanden. 
Ist a ein Primideal p, so ist die Zahl a notwendig eine rationale 
Primzahl p. Man beachte zunächst, daß a = 1 nur für das Ideal e zu- 
trifft; denn in diesem Falle ist Nid) = 1, also a = e. Wäre nun für a==p 
die Zahl a = a^- a^, wo a^ und a^ zwei rationale ganze Zahlen > 1 sind, 
so würde p in [a] = [a^] • | «g] ^^^ ^-Iso mindestens in einem Faktor [a^] 
oder [ötg] aufgehen, so daß a nicht die kleinste rationale ganze positive 
Zahl von p wäre. Da N(p) in p'^ aufgeht und übrigens N{p) > 1 ist 
(sonst wäre p = e), so folgt: Die Ideinste rationale ganze positive Zahl, 
die in einem Primideale p auftritt, ist eine rationale Primzahl p ; für die 
Norm eines Primideals p gilt: 

(1) JV(p)=y, 

wo der Exponent X eine Zahl der Peihe 1, 2, . . ., n ist und als der „Grad*^ 
des Primideals p bezeichnet wird. 

Die Primfaktorenzerlegung des Hauptideals [p] sei: 

(2) [p] = Pi'p2--Pi- 
Nach (8) S. 103 folgt hieraus: 

(3) N([pJ) == i>" = N(p,) . N{p,) . . N(p,) . 

Es ist demnach jeder der rechts stehenden Faktoren eine Potenz von p 
(mit einem Exponenten > 0), so daß der Satz gilt: Ist p eine rationale 
Primzahl, so zerfällt das Hauptideal [^] in l Primideale Pi, p^j • • -y Vv 
wo l eine der Zahlen 1, 2, . . ., n ist; jedes dieser Primideale hat p als 
kleinste rationale ganze positive Zahl, und die Summe ihrer Grade X^, l^, 
' . ., Xj ist gleich n. 

Die tieferen Entwicklungen, die sich an die Zerlegung (2) des Haupt- 
ideals Ijp] anschließen, gehören zu den schwierigsten und interessantesten 
Teilen der Dedekindschen Idealtheorie.^) Ein ziemlich leicht beweisbarer 
Satz, den wir nicht entbehren können, ist der folgende: Geht p nicht in 
der Grundzahl D des Körpers ^ auf, so sind die Primideale p^ p^j - - -, 
pj, in welche [/?] zerfällt, alle voneinander verschieden. 



1) Vgl. Dedekind, „über die Diskriminanten endlicher Körper", Göttinger 
Abhandl, Bd. 19 (1882). 



Sätze über rationale Primzahlen und Primideale 109 

Dem Beweise dieses Satzes schicken wir zwei Hilfssätze voraus: Sind 
ßij ß2, ' ' -) ßn Zahlen aus e, und ist: 

(4) c,^hj, + h,ß, + --+hj„, 

WO die h rationale Zahlen mit dem Hauptnenner h sindj eine ,^gan3&^ Zahlj 
so ist die Dishriminante D{ß^, ß^, . . ., ß^ der ß durch das Quadrat h^ 
des Hauptnenners h teilbar. Sind die ß linear-abhängig, so ist ihre Dis- 
kriminante 0, und dann ist der Satz richtig. Sind die ß linear-unabhän- 
gig, so mögen sie in einer Basis %, ^j ■ • -, '»?„ die Darstellungen besitzen: 

Die Determinante d = \ e^^. \ der n^ ganzen Zahlen e^j^ ist jetzt von ver- 
schieden, und die 7^1, 7^2? • • v ^« sowie damit jede Zahl 7} von e stellen sich 
durch die ß je auf eine und nur eine Art in der Gestalt dar: 

(5) ri'=c,ß,JrC^ß,+ --- + cJ„ 

wo die rationalen c, insoweit sie Brüche sind, einen in d aufgehenden 
Hauptnenner haben. Da: ^^^^^ ^^^ . . ., /3J = rf^. 2) 

ist, wo rechts die Grundzahl D von ^, also eine rationale ganze Zahl 
steht, so ist J[)(/3i, /Sg, . . ., /3J durch d^ teilbar. Nun ist das in (4) dar- 
gestellte a eine Zahl aus e; der Hauptnenner h der h^y\y - . ., &„ geht 
also in d und das Quadrat h^ demnach in d^ und damit in der Diskri- 
minante -D(/3j, ß^j • ■ •? ßt^ ^^^- Damit ist der erste Hilfssatz bewiesen. 
Zwei ganze algebraische Zahlen (mögen sie in ^ enthalten sein oder 
nicht) sollen mod^ kongruent heißen, falls ihre durch die rationale Primzahl 
p geteilte Differenz eine ganze algebraische Zahl liefert. Da dieBinomialkoef- 
fizienten (^), (|), . . ., ,(i»-i) durch p teilbar sind, so gilt für irgendzwei 
ganze algebraische Zahlen a, a : 

{a -f a'y = «P 4- a^ (modp) , 

woraus man leicht für irgendeine Anzahl ganzer Zahlen et, a', . . ., a^"'^^ 
folgert: 

(6) {a + a -\ h «("-1))? E^ «^ + o:'^ -j f- [^a^'-^^yp {modip). 

Ist a eine Zahl aus e, und sind a, o:', . . ., cc^''"^) die mit a konjugierten 
Zahlen, so folgt aus (6) für die Spur S{cc) = « + a' H \- «(^-i) : 

(ß{a)y — ctP-^ aP^ " ' -\- («("-1))^= S(aP) (modp). 

Nach dem Fermatschen Satze gilt aber für die ganze rationale Zahl S{a) 
die Kongruenz (S{a))p = S{a) (modp). Wir finden demnach als für jede 
Zahl a aus e gültig: 

(7) S{a)~S{aP) (modp). 

Sind a^, «3, . . ., a^ irgend n Zahlen aus e, so können wir ihre Dis- 



110 Einleitung, Teil IV; Idealtheorie 

kriminante B{a^, «2? • ■ •> ^J ^^^^ ^^^ Regel (10) S. 85 durch die Spuren 
der Produkte der a zu zweien darstellen. Bilden wir entsprechend die 
Diskriminante I){aP, «|, . . ., aj), so folgt aus der Kongruenz (7) als 
zweiter Hilfssatz: Für irgend n Zahlen a^j u^, . . ., a^ aus e gilt, unter p 
eine rationale Primzahl verstanden, die Kongruenz: 

(8) D{a„ cc„ . . ., «J = D(aP, a^, . . ., ccp) (mod p). 

Zum Beweise des Satzes über die Primideale p^^ p^, . . ,, p^ von [p] 
nehmen wir an, \p] sei durch mindestens ein Primidealquadrat p^ teilbar^ 
und haben dann zu zeigen, daß p in der Grundzahl D des Körpers ^ 
aufgeht. Wir schreiben [p'] = a • p^ und haben in a • p ein nicht durch 
[p] teilbares Ideal. Folglich gibt es in a • p eine nicht durch p teilbare 
Zahl rj. Da aber (a • p)^ = a • [p] durch [p] teilbar ist, so ist rj^ und also 
auch 7}^ durch p teilbar. 

Ist die Darstellung Ton rj in der Basis von e: 

so sind die e rationale ganze Zahlen, die nicht alle durch p teilbar sind. 
Durch Erheben zur ^*®^ Potenz folgt mit Rücksicht auf (6) und den Fer- 
matschen Satz e^ = e^. (mod p): 

rf — e^fil^ e^rjP + • • • + e,,??^ (mod p). 

Da rjP durch p teilbar ist, so gilt: 

eiV^;-\-e,n'2 + --- + ^n€ = (mod p), 

SO daß wir in: « = — t?'' + — ?9^ + • • • + " r]!" 

eine „ganze^^ Zahl gewonnen haben, während rechts mindestens ein Bruch 
des Nenners ;) als Koeffizient auftritt. Nach dem ersten Hilfssatze ist 
also D(r}P, Tj^, . . ., 7/Jl) durch p^ teilbar, worauf die Kongruenz (8) lehrt, 
daß I)(r}^, 7}^, . . ., ?2„), d. h. die Grundzahl D des Körpers ^ durch p teil- 
bar ist. 

Hiermit ist bewiesen, daß in der Zerlegung (2) von [p] lauter ver- 
schiedene Primideale auftreten, falls die rationale Primzahl p nicht in 
der Grundzahl D von ^ aufgeht. Über die Zerlegung der in D auf- 
gehenden rationalen Primzahlen, der sogenannten „kritischen" Primzahlen 
des Körpers ^, sei auf die S. 108 genannte Arbeit von Dedekind verwiesen. 

§ 15. Sätze über (xaloissche Zahlkörper. 

Unter ^ verstehen wir den bisher betrachteten Körper w*^"" Grades 
und unter ^' einen seiner konjugierten Körper. Einer ganzen Zahl ri aus 
Ü entspricht als konjugiert wieder eine ganze Zahl r^ aus ^', so daß dem 
„Ideale" e von ^ das Ideal t von ^' zugeordnet ist. Allgemeiner ent- 



Kritische Primzahlen. Galoissche Körper 111 

spricht einem Ideale a von Ä stets wieder ein Ideal a' von ü'. Sind näm- 
lich «1 und «2 zwei Zahlen aus a, die die gleichfalls in a enthaltene 
Summe ccj + «g = ^s liefern, so besteht nach S. 71 ff. auch zwischen den 
konjugierten Zahlen die Gleichung a[ + «'2 ^ "3? ^"^ ebenso überträgt 
sich die Gleichung r]- a^ = a^ auf die für a' gültige Gleichung r/ - a\ = a\ 
zwischen den konjugierten Zahlen. Sind die Zahlen eines Ideals b in a 
enthalten, so sind auch die Zahlen des zu B konjugierten Ideals b' in a' 
enthalten. Man folgert hieraus leicht, daß sich die Ideale von ^' in bezug 
auf Teilbarkeit genau so verhalten, wie die ihnen konjugierten Ideale von 
5t. Insbesondere entspricht einem Primideale p von ^ stets wieder ein 
Primideal p' von W. Zwei nach einem Ideale kongruente ganze Zahlen 
des einen Körpers liefern als konjugiert zwei Zahlen, die bezüglich des kon- 
jugierten Ideals kongruent sind, so daß sich die Klasseneinteilung aller 
Zahlen von e bezüglich eines Ideals a auf eine Klasseneinteilung aller 
Zahlen von t mod a' überträgt. Hieraus folgt der Satz: Konjugierte Ideale 
Q und a' der beiden Körper Ü und ^' hahoi stets gleiche Jsormen, d. h. 
es gilt N{a) = N{ü). 

Es sei jetzt ß' insbesondere ein „Galoisscher Körper'^, der mit seinen 
sämtlichen konjugierten Körpern gleich ist. Nach S. 44 ff. gestattet der 
Galoissche Körper ^ vom w*®^ Grade n Transformationen Sq^ S^^, . . ., S„_i 
in sich, die eine Gruppe G^^ bilden, und bei denen je n konjugierte Zahlen 
untereinander permutiert werden. Jetzt sind die mit einem einzelnen 
Ideale a konjugierten Ideale a, a', a", . . ., a^""^) alle in ^ enthalten. Eine 
erste Folgerung knüpfen wir an die nun vorliegende Möglichkeit, diese 
n Ideale nach S. 93 miteinander zu multiplizieren. Hierbei ergibt sich 
der Satz : In einem Galoisschen Körper ^ liefert die gemeinsame Norm N(a) 
von n konjugierten Idealen a, a', . . ., a^""^^ ein Hauptideal \N{pi)], das 
gleich dem Produkte der n konjugierten Ideale ist: 
(1) a-a'-a"-..a(«-i)=[i\r(a)] 

Dieser Satz ist für Hauptideale a = [«], a = [a], . . ., a("~^^= [a<"-^^] 

einleuchtend; denn nach der Erklärung der Multiplikation der Ideale ist: 

[«] . [a'j . . . [«(«-1)] = [« . cc' . . . a(«-i)] = [N(ix)]. 

Für ein beliebiges Ideal a gilt nach S. 107 die Gleichung a*= [a\, wo h 
die Anzahl der Idealklassen ist und a eine Zahl aus e bedeutet. Da die 
Gleichung (1) für Hauptideale schon bewiesen ist, so folgt: 

{iX'Qi "' a^«-i))^ = a'^ . a'^ • . • (a^^-^y = [iV(a^)] = [N{cif\ « [N{(x)\'. 

Sind aber die A*®^ Potenzen zweier Ideale gleich, so sind diese selbst 
gleich, wie aus der eindeutigen Zerlegung der Ideale in Primideale folgt. 
Also gilt die Gleichung (1) allgemein. 

Die n konjugierten Ideale a, q', . . ., Q^""^^ brauchen keineswegs alle 



112 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

voneinander verschieden zu sein. Sind im ganzen ft unter jenen Idealen 
mit a gleicli, so gibt es ^ unter den n Transformationen Sq^ 8^^ . . .j S^_-^ 
der G„ , die a in sicli überführen. Diese Transformationen bilden für sich 
eine Untergruppe G der G^ von der Ordnung ft, die wir als die „zum 

Ideal a gehörige Untergruppe^^ bezeichnen. Den v = — Nebengruppen 

{i 

entsprechend bilden dann die a, a', . . ., d^" ~ ^^ im ganzen v verschiedene 
Systeme von je /a einander gleichen Idealen. Sind alle n Ideale a, a', . . ., 
q(«-i) verschieden, so gilt ft = 1; ist a == [a] ein Hauptideal mit rationaler 
ganzer Zahl a, so gilt ^ = n. 

Die in (2) S. 108 angesetzte Zerlegung eines Hauptideals [p] mit 
rationaler Primzahl p läßt sich in einem Galoisschen Körper in folgender 
Art weiter entwickeln: Ist Ip^ ein in [p] aufgehendes Primideal A*®^ Gra- 
des, so war iV(pi) = p^-^ und X war eine der Zahlen 1, 2, . . ., n. Zu ^j 

gehört eine Untergruppe G^ der (r„ vom Index v = — • Wir haben dann v 

verschiedene mit p-^ konjugierte Primideale pj, pg, . . ., p,,, und der Satz 
(1) ergibt die Gleichung: 

(2) (Pi-h-'-PrY-lpf- 

Ist demnach pl die höchste in [p] aufgehende Potenz von p^, so ist ;c^ = /[t 
und also zXv = n. Zugleich ergibt sich: Das Hauptideal [p] mit einer 
rationalen Frimsahl p zerfällt im Galoisschen Körper ^ in das Produkt: 

(3) [pl-rrri'-'K 

von V Iconjugierten Primidealpotenzen gleicher Exponenten %. Dabei ist die 
Anzahl V ein Teiler von n^ der Exponent % ein Teiler von - ; es ist ferner 

A = ^ der gemeinsame Grad der Primideale Pi, p2> • • •? Pr> ^***^ endlich 

ist II = 7cX die Ordnung der zum einzelnen Primideale gehörenden Gruppe. 
Dies gilt, mag p eine kritische Primzahl des Körpers sein oder nicht. 
Für nichtkritische Primzahlen p ist nach S. 108 ff. stets % = 1. Hier also 
gilt der Satz: Ist die rationale Primzahl p Icein Teiler der Grundzahl D 
des Körpers, so zerfällt [p] in das ProduU von v verschiedenen Primidealen: 

(4) [l>]-Pl'p2-'-Pr 

des Grades f* = -- , der mit der Ordnung der zum einzelnen Primideale 
gehörenden Gruppe G^^ gleich ist. 

§ 16. Beispiel der quadratischen Körper. 

Ein Körper zweiten Grades oder quadratischer Körper ^ wird nach 
S. 83 durch eine Gleichung zweiten Grades mit rationalen ganzen Koef- 
fizienten «0-^*+ ^1^ + 0^=0 bestimmt, die im rationalen Körper irredu- 



Primideale in Galoisschen Körpern. Quadratische Körper 113 

zibel ist, d. h. deren Diskriminante (a^ — 4:aQa^) nicht das Quadrat einer 
rationalen ganzen ZaM ist. Sondern wir das größte in dieser Diskrimi- 
nante als Teiler enthaltene Quadrat einer rationalen ganzen Zahl ab, so 
bleibe die rationale ganze Zahl d übrig, die dann durch kein Quadrat 
(außer 1) teilbar ist. Der Körper ^ setzt sich zusammen aus allen Zahlen: 

unter Cq und c^ irgendwelche rationale Zahlen verstanden. Da mit J stets 
auch die konjugierte Zahl i' = Cq~ c^ yd in Ä enthalten ist, so ist jeder 
quadratische Körper ein Galoisscher Körper. 

Es ist zunächst festzustellen, welche unter den Zahlen (1) ganz sind. 
Ist t, = Cq-\- c^Yd und also auch ^'= c^— c^Yd ganz, so gilt dasselbe 
von ^ + ^'= 2cq und (J — ^f = {2c^yd. Es sind also 2cq= e^ und, da 
d durch kein Quadrat teilbar ist, auch 2c^ = e^ rationale ganze Zahlen, 
so daß die ganzen Zahlen von Ä jedenfalls in der Gestalt: 

<2) t = ^f ^ 

mit rationalen ganzen e enthalten sind. Da die Zahl (2) der Grleichung 

genügt, so ist dafür, daß sie ganzzahlig ist, die Bedingung: 

(3) el ~ del (mod 4) 

hinreichend und notwendig. Nun ist d modulo 4 mit einer der Zahlen 

1, 2, 3 kongruent. Für d^2 oder 3 (mod 4) folgt 6^= ei= (mod 2) 

aus (3), womit diese Kongruenz erfüllt ist; für d ^1 (mod 4) ist bereits 

das Bestehen der Kongruenz Cq = e^ (mod 2) hinreichend. Indem wir im 

letzten Falle der Zahl (2) die Gestalt verleihen: 

_ gp-gi , ^ i-\-y d 

finden wir für d ^1 (mod 4) in 1, - J ^ eine Basis für das System c 

aller ganzen Zahlen von ^, für d~2 oder 3 (mod 4) aber in 1, ]/d Die 
Grundzahl D von ^ ist entsprechend gleich d bzw. 4d. Für die Basis 
können wir in den beiden eben unterschiedenen Fällen einen gemein- 
samen Ausdruck in der Grundzahl D finden. Setzen wir: 

<4) ^±1^ = e, 

so gilt der Satz: Die Grundzahl des quadratischen Körpers ^ ist D = dj 
falls rf — 1 (mod 4) ist, und D = Ad, falls d^2 oder 3 (mod 4) gilt; 
.eine Basis für das System e der ganzen Zahlen von ^ ist in allen Fällen 
durch 1, 6 gegeben, unter 6 die ganze Zahl (4) verstanden. 

Fricke, Die elliptischen Funktionen II 8 



114 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

Ist p eine rationale Primzahl, so ist das Hauptideal \_p] im Körper 
Ü entweder ein Primideal zweiten Grades oder das Produkt zweier Prim- 
ideale ersten Grades, die konjugiert sind und nur dann einander gleich 
sein können, wenn p m. B aufgeht. Wir nehmen den Fall [^] = p • p' 
an, ohne die Möglichkeit p = ^' auszuschließen. Da p ein Primideal ersten 
Grades ist, so gilt iV"(p) = py so daß es mod p im ganzen p inkongruente 
Zahlklassen in e gibt. Als Repräsentanten dieser p Klassen können wir 
die Zahlen 0, 1, 2, . . ., p — 1 wählen, da p die kleinste rationale ganze 
positive Zahl in p ist und also die Zahlen 0, 1, . . ., ^ — 1 mod p durch- 
weg inkongruent sind. Die in (4) erklärte ganze Zahl 6 gehöre in die 
durch die rationale ganze Zahl h repräsentierte Klasse mod p, so daß 
ö — 2> = (mod p) gilt. Setzen wir zur Abkürzung 6 — h = tj und 
D — 2b = a, 80 gilt: 

^==?+l£^0 (modp). 

Die zu rj konjugierte Zahl rj' ist demnach im konjugierten Ideale p' ent- 
halten: _-i/JT 

V = "— /^^O (modp'), 

und also gehört das Produkt rj • t]' dem Hauptideale p • p' = [j?] an : 

^2 J) 

(5) Tj ' Tj' = — -.- — = (mod^), D = a^ (mod 42>). 

Die letzte Kongruenz liefert den Satz: Ist das Hauptideal [p] mit ratio- 
naler Primsahl p in das Produkt p • p' zweier Primideale ersten Grades 
spalthary so ist die Grundzahl D des Körpers quadratischer Pest von Ap. 
Dieser Satz ist umkehrbar. Ist nämlich D quadratischer Rest von 
4p, so gibt es eine die zweite Kongruenz (5) befriedigende rationale ganze 
Zahl a. Da diese Zahl a auch a^ D (mod 2) befriedigt, so sind: 

(6) ^±^ = "-^ ± e 

zwei ganze Zahlen, deren Produkt zufolge (5) durch p teilbar ist. Da 
aber keine dieser beiden Zahlen einzeln durch p teilbar ist^), so kann 
[p] kein Primideal sein. Es besteht also der Satz: Ist D quadratischer 
Rest von 4p, so zerfällt das Hauptideal [p] in das Produkt zweier Frim- 
ideale p, p' ersten Grades. 

Wir haben endlich noch festzustellen, ob im Falle einer in D auf- 
gehenden rationalen Primzahl p etwa \>' = \> zutrifft. Die Grundzahl D 
ist zufolge ihrer Erklärung aus d entweder = oder = 1 (mod 4). Ist 
p eine ungerade Primzahl, so kann die zweite Kongruenz (5) durch a = 



1) Aus dem Umstände, daß 1, eine Basis von c ist, folgt leicht, daß die 
durch p teilbaren Zahlen (e^ -j- e^ 6) von e durch p teilbare e^ > ^i haben. 



Zerlegung der rationalen Primzahlen im quadratischen Körper -115 

oder a == p befriedigt werden, je nachdem Z)= oder = 1 (mod 4) ist. 
Ist aber p = 2 und also D (als durch p teilbar) = (mod 4), so genügt 
der zweiten Kongruenz (5) die Zahl a = oder a = 2, je nachdem D ^ 
oder = 4 (mod 8) gilt. Geht p in der Grundzahl D auf, so ist D quadra- 
tischer Rest von 4^, und die ziveite Kongruenz (5) wird mittelst einer durch 
p teilbaren Zahl a befriedigt. Wir zerlegen nun [p] in das Produkt p • p' 
der beiden Primideale p und p' und beachten, daß das Produkt der beiden 

ganzen Zahlen r^, rl = ^^ — durch p teilbar ist. Es geht also p-p' in 

[rj] • [??'] auf, so daß p in einem der Faktoren [t^], [rj']^ etwa in [ty], 
aufgeht. Dann aber geht p' in [rj'] auf, d. h. rj' ist in p' enthalten. 
Da auch a (als durch p teilbar) in p' enthalten ist, so findet sich in p' 
auch r] = a — r}', so daß rj in p und in p' enthalten ist. Wären nun p 
und p' verschieden, so würde [i;], als durch p und p' teilbar, auch durch 
p • p' = [p] teilbar sein, d. h. rj hätte den Teiler p, was indessen nicht der 
Fall ist.^) Also sind p und p' einander gleich. 

Unter Zusammenfassung der Ergebnisse haben wir folgenden Satz: 
Ist p eine rationale Frimzahl, so ist das Hauptidedl [p'] das Quadrat eines 
Primideals ersten Grades, falls p in D aufgeht; dagegen ist \_p] für eine 
nicht-kritische rationale Primzahl p das Produkt zweier verschiedener kon- 
jugierter Primideale ersten Grades oder ein Primideal ztveiten Grades, je 
nachdem die Grundzahl D quadratischer Rest oder Nichtrest von 4p ist. 

Auf Grund dieses Satzes bestätigen sich die Angaben von S. 98 ff. über 
die Primidealzerlegung von [3] und [7] in dem damals betrachteten qua- 
dratischen Körper ^ der Grundzahl D = — 20. 

§ 17. Gegen ein Ideal a teilerfremde Zahlklassen. 

Der soeben für quadratische Körper ausgesprochene Satz ist bei einer 
Untersuchung zu verwenden, die sich zunächst auf einen beliebigen Kör- 
per ^ vom w*®^ Grade bezieht. Von einer ganzen Zahl rj dieses Körpers 
sagt man, sie habe mit einem Ideal a desselben den größten gemeinsamen 
Teiler b, wenn [rj] und a das Ideal b als größten gemeinsamen Teiler 
haben. Ist b = e, so heißt t^ zu a teilerfremd. Gilt rf ^^ ri (mod a), so 
haben auch rf und a den größten gemeinsamen Teiler b. Da nämlich rj 
sowie alle Zahlen von a in b enthalten sind, und da andrerseits (ri — rj) 
dem Ideal a und also auch b angehört, so ist auch t]' = 7} -{- {rf — rj) in 
b enthalten, so daß b ein Teiler von [rj'] ist. Nennen wir nun b' den 
größten gemeinsamen Teiler von 7/ und a, so ist b Teiler von b'. Kehren 
wir diese Betrachtung um, indem wir an rj' und b' statt an 7j und b an- 
knüpfen, so findet sich in derselben Weise, daß b' Teiler von b ist. Also 



1) S. die vorige Note. 



11^ Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

ist b'= b: Alle Zahlen der einzelnen der N(a) mod a inkongruenten Zahl- 
klassen von c haben mit a einen und denselben größten gemeinsamen Teiler, 

Es soll nun festgestellt werden^ wie viele unter den N(a) mod a in- 
kongruenten Zahlklassen teilerfremd gegen a sind. Die Anzahl dieser 
Klassen bezeichnen wir durch das Symbol ijj{a) im Anschluß an das be- 
kannte Symbol cp (m) der rationalen Zahlentheorie, das für eine rationale 
ganze positive Zahl m die Anzahl der mod m inkongruenten und zu m 
teilerfremden Zahlklassen darstellt. 

Das Symbol z/>(a) hat die folgende Eigenschaft: Sind a und b teiler. 
fremde Ideale^ so gilt if^ {a ■ h) = ifj i^a) • il^(h). Da nämlich der größte ge- 
meinsame Teiler von a und b gleich e ist, so gibt es (vgl. S. 96) eine 
Zahl a in a und eine Zahl ß in b, deren Summe a -\- ß = 1 ist. Hieraus 
folgt a = 1 (modb) und /3 = 1 (mod a); die in a enthaltene Zahl cc ist 
also teilerfremd gegen b, und die in b enthaltene Zahl ß ist teilerfremd 
gegen a. Es mögen nun die Zahlen r^j r^j . . . ein Repräsentantensystem 
der N(a) mod a inkongruenten Klassen bilden und die s^, s^, . . . ein sol- 
ches für die iV(b) mod b inkongruenten Klassen. Wir haben dann in: 

(1) ti,,= r,ßi-s,a 

ein System von N{a) • N(h) = N(a • b) Zahlen, das ein Repräsentanten- 
system der JV(a • b) mod ah inkongruenten Klassen bildet. Es ist nämlich 
leicht zu zeigen, daß keine zwei verschiedenen Zahlen (1) mod a-b kon- 
gruent sind. Soll aber: 

(2) rß + s'cc — rß + sa (mod a-b) 
gelten, so folgt, da cc = (mod a) ist : 

(r'-r)ß~0 (moda). 

Da nun ß teilerfremd gegen a ist, so ist [r — r] teilbar durch a, woraus 
/ = r (mod a) und also r = r folgt. In derselben Weise folgt s' = s, so 
daß die Behauptung über die Zahlen (1) zutrifft. Soll jetzt die Zahl (1) 
teilerfremd zu a • b sein, so ist hierzu notwendig und hinreichend, daß r,- 
teilerfremd zu a und 5;^. teilerfremd zu b ist. Da nämlich cc = (mod a) 
gilt und ß teilerfremd zu a ist, so ist der größte gemeinsame Teiler von 
r-ß und also von t^j^ und dem Ideale a derjenige von r^ und a. Wir er- 
halten also aUe gegen a • b teilerfremden Repräsentanten (1), wenn wir 
r. auf die ^(a) gegen a teilerfremden Repräsentanten r und 5^ auf die 
i/'(b) gegen b teilerfremden Repräsentanten s beschränken. Damit ist die 
Regel ti^^a-h) = 7j^(a) ■ ^(b) bewiesen. 

Die Primidealzerlegung von a sei (unter Zusammenfassung gleicher 
Faktoren zu Potenzen): 

(3) a = pi-p5-|)f .-.. 



Anzahl der gegen a teileifremden Zahlklassen mod a 117 

Aus der eben bewiesenen Regel folgt dann: 

(4) t(a) = t{V^) . i/.(pj'0 • ^(p?) • • •, 

so daß nur noch die Anzahl i/'(p^) für eine Primidealpotenz p"" zu be- 
stimmen ist. Zu diesem Zwecke zerlegen wir e in die N{)(i) mod p inkon- 
gruenten Klassen, die wir durch die Zahlen Q^y q^j • ■ • repi'äsentieren. Wir 
zerlegen sodann erneut alle durch p teilbaren Zahlen^), die eine der eben 
abgetrennten Klassen bilden, bezüglich des Moduls p" in Klassen, deren 
Anzahl wir durch das Symbol (p, v) bezeichnen, und die wir durch <?j, 
0^y ... repräsentieren. Bildet man nun die (p, v) • ^(p) Summen {q. + eyj, 
so zeigt sich, daß keine zwei verschiedene von diesen Summen mod p** 
kongruent sind, daß aber jede Zahl iq aus e mit einer der Summen mod p*' 
kongruent ist, woraus sich die Regel ergibt: 

(5) N{y) = {hv)-N{\>). 

Aus Q -{- ö' ^ Q -\- (3 (mod p^) folgt nämlich Q ^ q (mod p) und damit 
Q = Q sowie (?' = ö (mod p^). Diese letzte Kongruenz ergibt dann sofort 
auch ö' = 6. Andrerseits ist irgendeine ganze Zahl iq mod p mit einem 
bestimmten q kongruent, und weiter ist die durch p teilbare Zahl {t} — q) 
mod p^ mit einem bestimmten ö kongruent, woraus iq^ q -{• 6 (mod p*") 
folgt. Damit ist die Regel (5) sichergestellt. 

Da nun i^^(p»') = (iV'(p))" ist, so folgt (p, v) = (JNr(p))^-\ AUe iV(p^) 
mod p^ inkongruenten Klassen setzen sich nun aus den i/^(p*) gegen p" 
teilerfremden und den (p, v) Klassen der durch p teilbaren Zahlen zu- 
sammen. Also ist: 

N()?^) = ^{y) + (p, v) = t{v) + ^(r-'), 

Bei Rückgang auf die Gleichung (4) ergibt sich damit der Satz: Die An- 
zahl ip(a) der mod a inkongruenten und gegen a teilerfremden Zahlklassen 
von e ist gegeben durch: 

(6) ^(a) = iv(a)/J(l-^-l^), 

WO sich das ProduU auf alle unterschiedenen in a aufgehenden Primideale 
bezieht. 

Die Formel (6) soll jetzt für einen quadratischen Körper ^ und ein 
in ^ enthaltenes Hauptideal a = [a] mit rationaler ganzer positiver Zahl 
a spezialisiert werden. Die rationalen Primfaktoren von a, die etwa kri- 
tische Primzahlen des Körpers Ä sind und also in der Grundzahl D des 



1) E« darf als selbstverständlich gelten, daß eine Zahl r] durch ein Ideal 
teilbar heißt, wenn [tj] durch dieses Ideal teilbar ist, d. h. also wenn 73 im Ideal 
enthalten ist. 



118 Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 

Körpers aufgehen, sollen durch pQ bezeichnet werden; die übrigen ratio- 
nalen Primfaktoren von a mögen p^ oder p^ heißen, je nachdem D qua- 
dratischer Rest oder Nichtrest von Ap ist. Zur Unterscheidung dieser 
drei Fälle bedient man sich einer Verallgemeinerung des Legendre-Jacobi- 
schen Zeichens. Man versteht für eine rationale Primzahl p unter dem 
Symbole (D^p) die Zahlen 0, + 1 oder — 1, je nachdem p eine Zahl Pq 
Pi oder P2 ist: 

(7) (D,p„)^o, (Ai>x) = + i, (Ai'.) = -i- 

Nach S. 115 ist nun im quadratischen Körper ^ das Hauptideal [pq] 
das Quadrat eines Primideals p^ ersten Grades, während ein Hauptideal 
[PyJ das Produkt zweier verschiedenen konjugierten Primideale p^, pj 
ersten Grades ist und ein Hauptideal [p^] selbst ein Primideal zweiten 
Grades darstellt. Für die Normen gelten also die Regeln: 

Da iV([a]) = a* ist, so nimmt die Regel (6) hier die Gestalt an: 

(8) .(M)-^j7(i-i)-i7(i-Kr-r/(i-.i). 

wo sich die Produkte auf die verschiedenen rationalen Primzahlen der 
einzelnen der drei Arten, die in a enthalten sind, beziehen. 

Die Gleichung (8) kann mittelst des schon oben erwähnten Zeichens 
9(a)aus der rationalen Zahlentheorie vereinfacht werden. Bekanntlich ist: 

(9) ,p(a) = aJ7(l-^), 

WO sich das Produkt auf alle verschiedenen in a aufgehenden rationalen 
Primzahlen bezieht. Da wir die Gleichung (9) auch: 

^«-n('-s)n('-^)/7('-i) 

schreiben können, so kann die Gleichung (8) in die Gestalt: 

*([«]) = .,(«). «.]7(i-i-)./j(i + K) 

gesetzt werden. Ziehen wir also das in (7) erklärte Zeichen heran, so er- 
gibt sich der Satz: Ist a eine rationale ganze positive Zahl, so sind von den 
^^([^]) = ^^ i^od [a] inlcongruenten ZahlMasseny in die das System e der 
ganzen Zahlen des quadratischen Körpers U zerfällt, im ganzen: 

(10) v-CM) -?'(«)• «71(1 -^T^) 

Klassen gegen a teilerfremd, tvo sich das Produkt auf alle verschiedenen, in 
a aufgehenden rationalen Frimzahlen bezieht. 



Formel für -»/»([a]) im quadratischen Körper 119 

§18. Satz über die zu einem gegebenen Ideale teilerfremden Ideale. 

Es seien a und c irgend zwei Ideale des Körpers Ä. Alle in a und 
C zugleich enthaltenen Zahlen, zu denen jedenfalls alle Zahlen des Ideals 
a • c gehören, bilden offenbar wieder ein Ideal in, das als das „Ideinste ge- 
meinschaftliche VielfacJie'^ oder „Multiplum'^ von a und c bezeichnet wird. 
Die Benennung rechtfertigt sich dadurch, daß m als Teiler in jedem ge- 
meinschaftlichen Vielfachen von a und c enthalten ist. Sind für a und c 
die Primidealzerlegungen bekannt, so kann man diejenige von m genau 
in derselben Art herstellen, wie man für zwei in ihre Primfaktoren zer- 
legte rationale ganze Zahlen a und c die Primfaktorenzerlegung ihres 
kleinsten gemeinsamen Multiplums m gewinnt. 

Der Begriff des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen zweier Ideale 
a und c kommt beini Beweise des folgenden Satzes zur Geltung^): Ist 
ein Ideal a durch keines der endlich vielen Ideale c^, Cg, . . ., c^ teilbar, so 
ist in a eine Zahl a nachweisbar^ die in keinem der v Ideale c enthalten 
ist}) Ist 1/ == 1, so ist der Satz richtig, da c ein Teiler von a wäre, falls 
alle Zahlen von a in c enthalten wären. Der allgemeine Beweis des Satzes 
kann weiter durch vollständige Induktion geführt werden. Wir nehmen 
an, der Satz sei richtig, falls die Anzahl der Ideale c kleiner als v ist, 
und beweisen, daß er dann auch noch für die Anzahl v gilt. 

Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von a und c,. sei m^ = a • b,., 
wo b,. ein bestimmtes von e verschiedenes Ideal ist.^) Ist die Zahl a 
von a nicht in tn, enthalten, so ist sie auch nicht in c^ enthalten, 
da m^ aus allen a und c,- gemeinsamen Zahlen besteht. Es genügt 
demnach in a eine Zahl a nachzuweisen, die in keinem der Ideale 
ntj, tilg, . . ., nt^ enthalten ist. Es mögen sich nun erstlich unter den 
Idealen b^, ba, . . ., ^v ^^^^i finden, die nicht teilerfremd sind. Wir stellen 
sie an den Schluß der Reihe und nennen b^_^ den größten gemeinsamen 
Teiler von b^_i und b^,, der dann also von c verschieden sein wird. In 
nii = a • bi, . . ., m^_2 = a • b^_2, m'^^ == Cih[_^ haben wir dann {v — 1) 
Ideale, von denen keines in a aufgeht. Der Annahme zufolge gibt es dem- 
nach in a eine Zahl a, die in keinem der Ideale ntj, tttg, . . ., iny_2j Jn^_i 
enthalten ist. Da aber 1h'^_i sowohl in^_i als itt^ teilt, so ist a auch nicht 
in m^_i und nt^ enthalten, so daß in diesem Falle unser Satz bewiesen ist. 

Es braucht jetzt nur noch die Möglichkeit betrachtet zu werden, daß 
je zwei unter den v Idealen b^, b2, . • ., b,, teilerfremd sind. Dann ist 



1) S. hierzu Dedekind in Dirichlets „Vorlesungen über Zahlentheorie" 
(4. Aufl.), S. 558 fiF. 

2) Ist a = [a] ein Hauptideal, so ist der Satz einleuchtend, da in diesem 
Falle a der Voraussetzung nach in keinem der Ideale c enthalten ist. 

3) Wäre bj = e, so wäre a(=Tn^) durch c^ teilbar, entgegen der Voraussetzung, 



120 Einleitung, Teil lY: Idealtheorie 

unser Satz aber leicht direkt beweisbar. Ist nämlicli h'. das Produkt der 
Ideale b, abgeseben von b^, so ist b]. nicht durch das von e verschiedene 
Ideal b^ teilbar, und also ist auch a • b^ nicht teilbar durch ah^. Es 
gibt demnach in a - h'. eine Zahl «., die nicht in a • b^. enthalten ist. Die 
V so zu erklärenden Zahlen a^, a^y . . .y a^ sind aber alle in a enthalten, 
und dasselbe gilt also von ihrer Summe: 

Für diese Zahl a von a aber finden wir a = a. (mod a • h^), da alle «^ 
mit Ic =^ i zufolge der Erklärung von h[ in dem Ideale a ■ b,. enthalten 
sind.^) Die Zahl «^ ist indessen nicht in a • b^ enthalten, und also gehört 
auch a dem Ideale m^= a - b,. nicht an. Hiermit ist unser Satz vollstän- 
dig bewiesen. 

Aus dem aufgestellten Satze ziehen wir nun eine Folgerung, die 
später grundsätzliche Bedeutung erlangt. Zunächst ist folgender Satz zu 
nennen: Sind a und b irgend zwei Ideale des Körpers ^, so kann man 
eine von verschiedene Zahl a aus a so auswählen ^ daß die beiden Ideale 
a • b und [«] das Ideal o selbst als größten gemeinschaftlichen Teiler haben. 
Wir verstehen nämlich unter q, Cg, . . ., C^ aUe endlich vielen Teiler von 
a • b, die zugleich a als Teiler enthalten, aber von a selbst verschieden sind. 
Dann geht keines der Ideale c in a auf, und wir können also aus a eine 
Zahl « wählen, die in keinem der Ideale c enthalten ist. Der größte ge- 
meinschaftliche Teiler von a • b und [a] hat das Ideal o, das sowohl in 
a • b als in [a] aufgeht, zum Teiler und geht seinerseits in a • b auf Dieser 
größte gemeinschaftliche Teiler muß also entweder eines der Ideale c 
sein oder stellt das Ideal a vor. Hiervon bleibt aber nur die zweite Mög- 
lichkeit, da a in keinem der Ideale c enthalten ist. Der ausgesprochene 
Satz ist also richtig. 

Durch Vermittlung dieses Satzes gelangen wir nun zu dem schon 
genannten, für später wichtigen Ergebnisse. Das Hauptideal [a] als durch 
a teilbar, kann als Produkt [a] == a • a' dargestellt werden. Aus der Tat- 
sache, daß a • a' und a • b den größten gemeinschaftlichen Teiler Q haben^ 
folgt, daß a' und b teilerfremd sind. Man kann also aus dem Ideole a ein 
JSauptideal stets durch Multiplikation mit einem solchen Ideale a' herstel- 
len, das teilerfremd gegen ein beliebiges Ideal b ist. In der zur Idealklasse 
von a inversen Klasse gibt es demnach stets ein Ideal a', das teilerfremd 
zu b ist. Bei der freien Wahl der Ideale a und b sind wir damit zu dem 
aufzustellenden Hauptsatze gelangt: In jeder Idealklasse des Körpers Ä 
gibt es Ideale, die zu einem beliebig vorgeschriebenen Ideale b des Körpers 
teilerfremd sind. 



1) a^ ist in a • b^ und also im Teiler a • b^- von a • b'^. enthalten. 



Satz über die zu einem gegebenen Ideale teilerfremden Ideale 121 

Y. Quadratische Körper und Formen negativer 
Diskriminante.') 

§ 1. Zweige und Zweigideale im quadratischen Körper Ä. 

In einer nahen Beziehung zur Theorie der elliptischen Funktionen 
stehen die quadratischen Körper negativer Grundzahl oder Diskriminante 
D.^) Über diese Körper ^ sind demnach noch etwas weitergehende Unter- 
suchungen anzustellen. Nach S. 113 ist die Diskriminante [^ = d oder 
= 4öf, je nachdem die von quadratischen Teilern freie, rationale ganze 
negative Zahl d^l (mod 4) ist oder einer der Zahlen 2, 3 mod 4 kon- 
gruent ist. Das System e der ganzen Zahlen von ^ stellen wir hinfort in 
der Basis 1, dar, wo: 

(1) = - L+ 1^ „ ni±iT^ oder 0=1/0: = •VE 

^ / 2 2 2 2 

ist, je nachdem H^ = d oder = Ad gilt. Offenbar gilt der Satz: Die Dis- 
kriminante D ist durch kein ungerades Quadrat teilbar; es ist entweder 
D = 1 oder ^0 (mod 4), und in letzterem Falle gilt genauer D ^ 8 oder 
= 12 (mod 16). 

Für eine Einheit £ = ^0+ e^G von ^ gilt, wenn e und 0' die zu s 
und konjugierten Zahlen sind: 

e • f'= (^0+ 6i0)(eo-f ^0') = ^0 + e\Q(d'-^ e,e,{Q ^ß') = 1. 

Durch Eintragung der Ausdrücke (1) von und der entsprechenden 
Ausdrücke von 0' zeigt man leicht den Satz: Der Körper der Diskrimi- 
nante D = — 3 hat die sechs Einheiten £ = + 1, +(>? ±(>^ unter q die 

dritte Einheitswurzel q = — — -|--— verstanden^ derjenige der Diskriminante 

D = — 4 hat die vier Einheiten £ = ± 1, + ^, alle übrigen haben nur die 
beiden Einheiten £ = + 1. 



1) Den folgenden Entwicklungen liegt vornehmlich die Schrift Dedekinds 
„Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines end- 
lichen Körpers'' (ßraunschweig 1877) zugrunde. Die Theorie der quadratischen 
Formen im geometrischen Gewände und die Beziehungen dieser Theorie zu den 
elliptischen Funktionen behandelte Klein in seinen (autographierten) Vorlesungen 
„Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie I und 11" (Göttingen 1896 und 1897). 

2) Wir bevorzugen fortan die Benennung „Diskriminante" für D, da diese in 
der Theorie der quadratischen Formen die übliche ist. Übrigens werden die Dis- 
kriminanten D der Körper ^ weiterhin durch Fettdruck hervorgehoben, damit wir 
die Bezeichnung 2> in anderem Sinne verwenden können. 



122 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

Wir sondern jetzt aus dem Systeme e aller ganzen Zahlen (cq -f- e^ 0) 
von ^ das System e„ aller Zahlen aus, bei denen e^ durch eine vorge- 
schriebene rationale ganze positive Zahl n teilbar ist. Dieses Zahlsystem 
e„, bestehend aus allen in der Gestalt (^o + e^'i^O) wieder mit rationalen 
ganzen e darstellbaren Zahlen von 1^, bezeichnen wir als einen ,^Zweig^' 
von e und nennen n den „Grad^^ des Zweiges, sprechen auch kurz vom 
„n''^" Zweige^' e„ des Systems e. 

Es gilt der Satz: Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier 
Zahlen des Zweiges e„ liefern stets wieder Zahlen dieses Zweiges.^) 

Für n = 1 erhalten wir als „ersten Zweig" das System e selbst; 
dieses System, dem alle übrigen Zweige angehören, soll demnach auch 
als ,jStamm'* bezeichnet werden. 

Die negative Zahl D = n^ü heiße die „Zweigdiskriniinante^\ D selbst 
wird demgegenüber „Stammdis/irinnnante" genannt.^) Ordnen wir die 
Stammdiskriminanten den Zweigdiskriminanten (nämlich für n==l) unter, 
so läßt sich jede rationale ganze negative Zahl D, die = 1 oder (mod 4) 
istj als eine Zweigdiskriminante auffassen. Ist nämlich erstens Z) ^ 1 
(mod 4), so verstehe man unter n^ das größte in D aufgehende (ungerade) 
Quadrat und setze D = w^D = wd. Dann ist d eine von quadratischen 
Teilern freie Zahl, die = 1 (mod 4) ist. Gilt aber 2) e= (mod 4), so sei 
n\ das größte in D aufgehende ungerade Quadrat und 4*' die größte in D 
aufgehende Potenz von 4. Dann ist 4""- w~^- D ganzzahlig und ^ 1, 2 
oder 3 (mod 4). Im ersten Falle setzen wir: 

n==2''n^, D^^n^ü^n^d, 

wo auch d ^ 1 (mod 4) und von quadratischen Teilern frei ist. Im zwei- 
ten und dritten Falle schreiben wir: 

wo d wieder quadratfrei und = 2 oder = o (mod 4) ist. 

Eine „Basis" für e„ haben wir in den Zahlen 1, w0, insofern e„ ge- 
rade von allen Zahlen (e^ -\- e^- nQ) mit irgendwelchen ganzzahligen e ge- 
bildet wird. Besseren Anschluß an die oben für e gebrauchte Basis ge- 
winnen wir, wenn wir statt nQ die auf folgende Art zu erklärende Zahl 
heranziehen: 



1) Dedekind bezeichnet ein Zahlsystem dieser Art als eine „Ordnung" und 
nennt n den „Führer" der Ordnung; Hilhert bedient sich der Bezeichnung „Ring" 
oder „Zahlring". 

2) Der Name „Stammdiskriminante" ist von Weber eingeführt, der Bezeich- 
nung „Zweigdiskriminante" bedient sich Klein in seinen oben genannten Vor- 
lesungen. 



Zweige des Systems e und Zweigdiskriininanten 



123 



(2) 



d= nO 



YD 






f ür D ^ 0, D = 
für D = 0, D = 1 



6 



n— 1 



+ W0 = — ^4"^- für Z) = 1, D - 1. 



(mod 4). 



Wir haben dann in allen Fällen (auch unter Einschluß von w = 1) den 
Satz: Eine Basis von e^ wird durch die Zahlen 1, 6 geliefert, wo: 



(3) 



e = 



— i + j/D —i^iy\D 



oder 6 = 



Yd ,Y\W\ 



= i 



ist, je nachdem D ^ 1 oder = (mod 4) gilt. 

Die folgenden Entwicklungen beziehen sich auf Ideale a, die teiler- 
fremd gegen das zum Grade n des Zweiges e„ gehörende Hauptideal \n\ 
sind. Alle Zahlen, die zugleich in a und e„ enthalten sind, bilden ein 
durch a„ zu bezeichnendes System, das wir als den „w^^" Zweig des Ideals 
a'' bezeichnen. Dieser Zweig a„ enthält jedenfalls unendlich viele Zahlen, 
z. B. alle Zahlen des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen von a und 
[n\ Zwei Zahlen des w*®^ Zweiges a„ geben, addiert oder subtrahiert, stets 
wieder Zahlen von a„; denn die Summe und die Differenz sind wieder 
sowohl in a als in e„ enthalten. Ferner ist das Produkt einer beliebigen 
Zahl aus e„ und einer solchen aus a„ stets wieder in a„ enthalten, da 
dieses Produkt eben auch wieder in a und e„ zugleich enthalten ist. 

Eine dritte Eigenschaft von a„ folgt aus dem Umstände, daß a teiler- 
fremd gegen \n] ist. Der größte gemeinsame Teiler von a und [?^] ist 
also e, so daß sich nach S. 96 jede Zahl von e als Summe einer Zahl « 
aus a und einer Zahl nri aus \n\ darstellen läßt. Ist insbesondere für 
irgendeine Zahl ri^ aus e„ diese Darstellung i^„= a -{- nr], so gehört 
ci = rj^— nr} offenbar dem Zweige e„ und also auch dem Zweige a„ des 
Ideals a an und mag demnach genauer durch a^^ bezeichnet werden. Die 
Gleichung r]^= a^-f ^'»? zeigt, daß jede Zahl des Zweiges e„ als Summe 
einer Zahl aus a„ und einer solchen aus [n] darstellbar ist, eine Tatsache, 
die wir kurz durch die Aussage kennzeichnen, a„ sei „teilerfremd^^ zu \n\. 

Als „Produkt" e • a„ von e und o„ erklären wir das System aller 
Zahlen, die als Produkte einer Zahl von e und einer von a,^ oder als 
Summen solcher Produkte darstellbar sind (vgl. die Erklärung des Pro- 
duktes zweier Ideale S. 93). Dann gilt der Satz: Bas FroduM e • a„ von 
e und dem n*^'^ Zweige des gegen \n'\ teilerfremden Ideals a stellt wieder 
dieses Ideal a selbst dar. Zunächst überzeuge man sich, daß das Produkt 
c • a„ die drei Grundeigenschaften eines Ideals hat (S. 90). Alle Zahlen 
des Ideals e • a^ sind in a enthalten, so daß a ein Teiler von e • a„ ist. 
Da ferner Q„ teilerfremd gegen [n] ist, so besitzt die Zahl 1, die in e„ ent- 



124 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

halten ist, eine Darstellung: 

(4) 1 =^ a^+ni]. 

Ist jetzt « eine beliebige Zahl aus a, so folgt aus (4) die Gleichung 
a == ««„+ n7]a. Das erste Glied dieser Summe a • a„ gehört dem Ideale 
e • a„ an. Die Zahl nrju ist in e„ sowie als Produkt (nr]) • a in a, also in 
a^ und damit auch in e • a„ enthalten. Demnach ist auch die Summe a 
der Zahlen a • a^^ und nrja und also jede Zahl a von a im Ideal e ^ a„ ent- 
halten. Somit ist e • a„ ein Teiler von a. Da hiernach jedes der Ideale a 
und e • a^ ein Teiler des anderen ist, so gilt in der Tat e • a„ =«= a. 

Die Zweige a^ der zu [w] teilerfremden Ideale spielen im Zweige e„ 
offenbar dieselbe Rolle wie die Ideale a selbst im Stamme e. Wir be- 
zeichnen die a„ dieserhalb auch kurz als „Zweig ideale'^, genauer als „die 
zum Grade n gehörenden Zweigideale" und nennen ihnen gegenüber die 
a selbst „Stammideale'^. Es ist sogar möglich, die Zweigideale unabhän- 
gig von den Stammidealen in folgender Art zu erklären: Ein System a^^ 
von Zahlen des n^^^ Zweiges e„ soll ein „ZweigideaV^ heißen, wenn es fol- 
gende Eigenschaften besitzt: 

1. Die Summen und die Differenzen zweier Zahlen von a^ sind wieder 
in a„ enthalten. 

2. Das Produkt einer Zahl von e^ und einer von a^ ist wieder in a„ 
enthalten. 

3. Das System a,^ ist gegen [n] teilerfremd, d. h. jede Zahl von e„ ist 
als Summe einer Zahl aus a^^ und einer solchen aus \n\ darstellbar. 

Die Eigenschaft 3. hat natürlich nur für n > 1 Bedeutung. Sie er- 
setzt zugleich die bei einem Stammideale a geforderte Bedingung 3 (S. 90), 
daß a nicht aus der Zahl allein bestehen solle. Da nämlich für w > 1 
das Hauptideal [n] den Zweig e,^ nicht erschöpft, kommen sicher in a^ 
von verschiedene Zahlen vor. 

Daß die w*®" Zweige a„ der gegen [n'\ teilerfremden Stamm ideale a 
die drei Eigenschaften 1. bis 3. besitzen, wurde bereits gezeigt. Daß diese 
j^ten Zweige aber auch alle den Bedingungen 1. bis 3, genügenden Zweig- 
ideale erschöpfen, geht aus folgendem Satze hervor: Ist a„ ein der in^ 
dependenten ErMärung entsprechendes Zweigideal, so ist das wie oben zu 
erklärende Produkt e • a„ = a ein gegen \n\ teilerfremdes Stammideal, und 
a„ ist der n^^ Zweig von a. Zunächst ist wieder einleuchtend, daß das Zahl- 
system e • Q„, das sich zusammensetzt aus allen Produkten einer Zahl aus 
e und einer solchen aus a„, sowie aus allen Summen solcher Produkte, 
ein Stammideal ^ = z - Qi^ bildet. Zufolge der Eigenschaft 3. von a„ gibt 
es eine Darstellung (4) der Zahl 1, unter a^ eine Zabl des Zweigideals a„ 
verstanden. Ist r[ eine beliebige Zahl aus e, so folgt aus (4): 



Zweigideale und Stammideale 125 

so daß jede Zahl ri als Summe einer in t - Qi^^-=^ Qi enthaltenen Zahl i\ a^ 
und einer Zahl nyiv\ des Hauptideals \n\ darstellbar ist. Also ist das 
Stammideal Qi-^t- <x^ teilerfremd zu \n\. Ist endlich a^ der w*® Zweig 
Yon Qi^Z'Qi^j so haben wir noch die Gleichheit von a^^ mit a„ zu zeigen. 
Da aUe Zahlen von a,^ zugleich in a = e • a^ und e„ enthalten sind, so 
o-ehören sie auch alle dem Zweige a'„ von a an. Ist andrerseits a^^ eine 
beliebige Zahl des Zweiges a^, so gibt es wegen der Eigenschaft o. des 
Zweigideals a^ eine Darstellung: 

(5) <=c^„ + w^?, 

wo a„ dem Zweigideal a„ angehört. Die Zahl wt^ = ä^— a^^, als Differenz 
zweier in a enthaltenen Zahlen, findet sich gleichfalls in a, so daß das 
Ideal \nri\ = [w] • [ri\ durch die beiden teilerfremden Ideale \n] und a^ 
also auch durch [n] • a teilbar ist. Nun gewinnt man die Zahlen von 
[i^] . a = \n\ • (e • aj, indem man die Zahlen von a„ mit denen von 
[^] . e = [w] multipliziert und alle Summen solcher Produkte hinzufügt. 
Alle so erhaltenen Zahlen sind, da die Zahlen von \n\ in e„ enthalten 
sind, zufolge der Eigenschaften 2. und 1. des Zweigideales a^ in diesem 
enthalten. Dies gilt also auch von der Zahl niq selbst, und mit a^ und 
mq gehört zufolge (5) auch a^ dem Zweigideale a„ an. Alle Zahlen des 
Zweiges a^ sind demnach im Zweigideale a^^ enthalten, so daß die Gleich- 
heit von a^ und a„ jetzt feststeht. Wir haben somit den Satz gewonnen: 
Die gegen \n] teilerfremden Stammideale a sind den Zweigidealen a^ des 
n^'"' Zweiges e„ umliehrhar eindeutig zugeordnet, indem einerseits a„ der n^ 
Zweig von a ist und andrerseits a das Frodulä e • a^ darstellt. 

§ 2. Zahlstrahlen im quadratischen Körper. 

Um die Äquivalenz der Zweigideale behandeln zu können, ist eine län- 
gere Zwischenentwicklung einzuschalten. Zwei Zahlen ri und rf aus c sollen 
„teilerfremd" heißen, wenn die Hauptideale \ri\ und [yi] teilerfremd sind. 
Wir greifen nun erstens aus e alle Zahlen heraus, die teilerfremd gegen 
den Grad n unseres Zweiges e^ sind. Den ausgewählten Zahlen fügen 
wir sodann noch alle diejenigen gebrochenen Zahlen von ^ hinzu, deren 
einzelne als Quotient zweier gegen n teilerfremden ganzen Zahlen von ^ 
darstellbar ist. Das so gebildete Zahlsystem hat die Eigenschaft, daß so- 
wohl das ProduU wie auch der Qtwtient zweier seiner Zahlen stets wieder 
dem, System angehört. Ein mit dieser Eigenschaft ausgestattetes Zahl- 
system heißt ein „Zahlstrahl^^ oder kurz ein „Strahl" ^) ; der besondere, so- 
eben ausgewählte Strahl werde durch ©^"^ oder, wenn der obere Index 
entbehrlich ist, durch (S bezeichnet. 



1) Weber gebraucht statt Strahl die Bezeichnung „Gruppe". 



126 Einleitung, Teii V: Quadratische Körper und Formen 

Zweitens greifen wir aus dem n*®° Zweige e^ alle gegen n teilerfrem- 
den Zahlen heraus und fügen ihnen wieder alle gebrochenen Zahlen hin- 
zu, die als Quotienten zweier herausgegriffener Zahlen darstellbar sind. 
Das so zu gewinnende in <B enthaltene Zahlsystem stellt wieder einen 
Strahl dar, der durch f^"*) oder kurz durch f bezeichnet werden soll. 

Wenn nun auch die Strahlen (5 und f neben ganzen auch gebrochene 
Zahlen enthalten, so können wir diese Strahlen doch mod [n] oder, was 
auf dasselbe hinausläuft, mod n in „Zahlklassen" zerlegen, nämlich (S in 
^(M) ^^^ f ^^ <p(^) Klassen, unter if([n]) und cp(n) die in (10) und (9) 
S. 118 erklärten Anzahlen verstanden. Wir führen dies zunächst im ein- 
facheren Falle des Strahles f aus; die Übertragung auf 'S wird hernach 
leicht sein. 

Für die ganzen Zahlen (Bq -{- e^nQ) von j ist die Einteilung einleuch- 
tend. Die Zahl (<?o+ ^i^O) ist mod n mit Cq kongruent, und da Cq teiler- 
fremd gegen n ist, so haben wir für die ganzen Zahlen von f insgesamt 
(p{n) Klassen, die wir repräsentieren durch die cp(^n) rationalen ganzen 
Zahlen r^= 1^ r^, . . ., r = n — 1 zwischen und n, die teilerfremd zu 

n sind. Eine gebrochene Zahl ^ von \ habe ^ = ~o als eine erste Dar- 
stellung als Quotient zweier ganzer Zahlen oj, ß von f. Es sei a = r,., 
ß ^Vj^ (mod n). Dann gibt es, da r^ teilerfremd gegen n ist, einen und 
nur einen Repräsentanten r^, der die Kongruenz r^^- r^^ 1 (mod n) erfüllt 
und im Anschluß an diese Kongruenz auch durch r~^ bezeichnet sein 
mag. Ist r. • r, = r,. • r~^^ r^ (mod n), so fügen wir die Zahl ft der durch 
r^ vertretenen Klasse bei, was durch: 

(1) ,(t = j -r^-r-'^r^ (mod n) 

zum Ausdruck komme. Zu zeigen ist noch, daß die Klasse, der ii zuer- 
teilt ist, von der besonderen Darstellung a = ^ unabhängig ist. Eine 
zweite Darstellung von ^ sei /i = -^y, und es gelte a^r'., ß' ^ r[ (mod n), 

so daß von dieser Darstellung aus die Zahl /i in die Klasse von r.- r'f^ 
gehören würde. Aus aß' = aß folgt dann r^j^^r'-r^ {modn), und also 
ergibt sich weiter durch Multiplikation mit r~^-r^~^ die Kongruenz 
r.r~'^^^ r. r'/~ ^ (mod n). Durch unsere Maßregel ist also auch jede gebrochene 
Zahl von \ einer und nur einer unter den (p(n) ZahlJdassen suerteilt. 

Es besteht der Satz: Zwei Kongruenzen [i = r, ^i' = r (modw) für 
Zahlen ft, ^' aus f Mnnen miteinander multipliziert oder durcheinander 
dividiert iverden, ohne ein unrichtiges Ergebnis zu liefern. Die Division 
durch r läuft dabei natürlich auf die Multiplikation mit r~ ^ hinaus. Der Satz 
ist zunächst einleuchtend für die Multiplikation ganzzahliger ii, ^i (S. 101). 
Dann gilt er aber auch für die Multiplikation, in dem Falle, daß eine der 



Sätze über Zahlstrahleu im quadratischen Körper 127 

beiden Zahlen fi, /i' oder beide gebrochen sind. Ist nämlich ^ = -^ ^ 
fi = jr , und gehören die a, ß, a\ ß' in die Zahlklassen von r.^ r^^, r'., r'^j 
so ist: a ' a =f\' r., /3 • /3' = r^ • r^ (mod n)^ 

so daß ftft' in die Zahlklasse von (r-r.) • {r,^rl)~'^ hineingehört. Nun ist 
aber (rj^r[)~'^^r-^ - r'-^, woraus: 

(r.r:) . (rj^rl)- ^ - r/. ^r^^r-' = (r,r- 1) • (r/-^) = rr (mod n) 

folgt. Also gehört |Lt • ^' in die Zahlklasse von rr, d. h. aus ^i^r^ [i ^r' 
(mod w) folgt ini^rr (mod w). In ähnlicher Art zeigt man auch die 
Erlaubnis der Division zweier Kongruenzen ii^^r, ii ^r (modw) durch- 
einander. Den bewiesenen Satz verallgemeinert man leicht noch dahin, 
daß irgend zwei Kongruenzen ^ = yi'y //' = ^'" (mod n) hei Multiplikation 
und Division wieder richtige Kongruenzen liefern. 

Das System aUer in die durch r. repräsentierte Klasse gehörenden 
Zahlen von f werde durch §(") oder kurz durch §^ bezeichnet. Die Tat- 
sache^ daß alle (p{n) Systeme §1, §2? • • v ^«) ^®^ Strahl f gerade erschöp- 
fen, bringen wir durch die symbolische Gleichung: 

(2) i = §i+^2+--- + «,p 

zum Ausdruck. Das System S^ bildet wieder einen „Strahl'^, da für zwei 
Zahlen aus \, die = 1 (mod n) sind, sowohl das Produkt als der Quotient 
wieder ^ 1 (mod n) sind. Nach dem soeben bewiesenen Satze gehört das 
Produkt von r^ und einer Zahl aus §j in das System ^., und umgekehrt 
ist der Quotient einer Zahl aus g^ und der Zahl r^ stets in §j enthalten. 
Wir erhalten also gerade das ganze System g^., indem wir r^ mit allen 
Zahlen von §j multiplizieren, was durch die Gleichung ^. = r^ • gj zum 
Ausdruck komme. Die Zusammensetzung des StraJdes \ aus seinen g)(n) 
ZaJilklassen können ivir demnach an Stelle von (2) auch so schreiben: 

(3) f = §^4.^^.g^ + ,.3.g^ + ... + ^^.§^. 

Es wiederholen sich entsprechende Betrachtungen für die Zerlegung 
des Strahles @ in Zahlklassen mod n. Da die ganzen Zahlen von @ alle 
gegen \n\ teilerfremden Zahlen von e sind, so verteilen sie sich auf t/» ([w]) 
Klassen (S. 117). Wir repräsentieren diese Klassen durch ^ geeignet 
gewählte Zahlen q^ = 1, q<^, q^, . . ., q^ und dürfen die ersten (p unter 
ihnen mit den obigen r^, r^y . . ., r identisch nehmen. Für irgendein q^, 
gibt es dann stets ein und nur ein die Kongruenz ^^ • (>, ^ 1 (mod n) be- 
friedigendes Q^y das demnach auch durch ()j^ bezeichnet werden mag.^) 

1) Der Beweis folgt (wie in der rationalen Zahlentheorie) aus dem umstände, 
daß die i|) Produkte ()^, p^^j, QkQzi •••1 QkQxj) durchweg modn inkongruent und 
teilerfremd zu n sind, so daß eines dieser Produkte mit ^i = 1 kongruent sein muß . 



128 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

Die gebrochenen Zahlen von (3 verteilen wir daraufhin genau nach den 
oben beim Strahle f befolgten Grundsätzen auf die t(\ß\) Klassen. Auch 
die Fortsetzung der Betrachtung gestaltet sich Wort für Wort wie oben : 
Jede Zahl X von @ gehört in eine und nur eine der ^([w]) mod n inkon- 
gruenten Klassen; zwei Kongruenzen 1^e^X'\ k' ^: X'" (mod ?^) zwischen 
Zahlen von (S dürfen miteinander midtipliziert oder durcheinander dividiert 
werden, ohne ein unrichtiges Ergebnis zu liefern. 

Eine beliebige Zahl der durch pj = 1 repräsentierten Klasse von (S 

sei A = ~ • Mit der ganzen Zahl ö ist auch die ihr konjugierte Zahl d' 

teilerfremd gegen [n]j da ein [d'J und [n] gemeinsamer Primidealfaktor p' 
im konjugierten Ideale ^ einen gemeinsamen Faktor von [d] und [n] 

liefern würde. Schreiben wir X = ^y, so ist der Nenner dd' als ratio- 
nale ganze Zahl in e^ enthalten und als teilerfremd gegen n einer Zahl r. 
mod n kongruent. Aus X = l,dd'^ r. (mod n) folgt weiter: 

yö' = X • öö' ^r^ (mod n), 
so daß auch yd' in e„ und also /l in j enthalten ist. Als mit 1 modw 
kongruent gehört dann X in das Teilsystem %^ . Umgekehrt ist jede Zahl 
von §1 auch in @ enthalten und gehört daselbst zu der durch ^^ == 1 re- 
präsentierten Klasse. Also führt die durch ^i = 1 repräsentierte Klasse 
von @ einfach zum Systeme »^ zurüch Wie oben zeigt man dann weiter 
leicht, daß man das System aller mit q. kongruenten Zahlen von © ge- 
rade genau erschöpft, indem man das symbolisch durch Qf-^^ zu bezeich- 
nende System aller Produkte von q^ und den Zahlen von §j, bildet. Es 
ergibt sich der Satz: Der Strahl @ setzt sich aus den i^([n]) Systemen §i, 
Q2' ^ly Qs' ^ij ' ' ') 9rp' ^1 zusammen und Jcann demnach wieder symbolisch 
in der Gestalt einer Summe geschrieben werden: 

(4) (S = §^4- (>2- §1+ ^3- ^1 + • • • + (>^- h' 

Da ()2 = rg, (>3 == ^3, . . ., Q(p= r sein sollte, so liefern die ersten 9? 
Glieder in (4) rechts zufolge (3) als Summe f. Wir schreiben nun 
Q(p+i= <^2 ^^^ haben in ö^, ^2' Q21 ^2' Qzy • • •■» ^2 ' Qtn weitere (p Zahlen 
von (5, die untereinander und gegen q^= 1, q^, . . .y q durchweg inkon- 
gruent sind. W^ir können demnach die Zahlen <>2 , <?2 ' (^2 > • • •? <^2 ' (*«> ^^ 
weitere (p Repräsentanten Q^p^u Qu,^^, - • -, Qi(p benutzen; die zugehörigen 
Glieder der Summe (4) fassen sich zur Teilsumme: 

Q<p+i • ^1 + • • • + (>2.p • ^1 = ^2(^1 + (>2 • ^1 + \-Q.p' h) = <^3 • f 

zusammen. Wir setzen weiter (>2a) + i = ^3 und wiederholen dieselbe Schluß- 
weise, bis alle Glieder auf der rechten Seite von (4) erschöpft sind, was 
nach ^(\n\): (p{n) = x{n) Schritten erreicht sein wird. Da übrigens 
^([w]) mod n inkongruente, gegen n teilerfremde ganze Zahlen in e vor- 



Beziehung zwischen den Zahlstrahlen @ und \ 129 

kommen, so stellt nichts im Wege, die Repräsentanten q durchweg ganz- 
zdhlig zu wählen; auch die %{n) Zahlen (Jj = 1, 6^j . . ., 6 werden dann 
ganz. Wir gelangen zu dem Satze: Die gesamten Zahlen des Strahles <ö 
lassen sich auf % (w) Zahlsysteme verteilen, entsprechend der symbolischen 
Darstellung von @ als Surnrne: 

(5) © = f + ^2-f + (?3 •! + ••• + ^;,-f; 

WO X (n) die durch % (ii) = ih {[n]) : cp (n) erJdärte Anzahl ist, die sich im 
Anschluß an (10) S. 118 in der Gestalt darstellen läßt: 

(6) lin) = nU{l-^'^- 

f bedeutet den oben näher erldärten zum n^^"* Zweige gehörenden Strahlj und 
<?j = 1, (?2; . . ., <3^ sind geivisse %{n) inlco7igruente, geeignet geivählte .^ganze^^ 
Zahlen aus (S. 

§ 3. Zerlegung der Idealklassen von Ä in Zweigklassen. 

Nach S. 104 ff. sind zwei Ideale a und b von ^ dann und nur dann 
:aquivalent, wenn es eine Zahl /l in 5^ von der Art gibt, daß die Zahlen 
des Ideals a, mit X multipliziert, gerade genau alle Zahlen von h ergeben. 
Wir bringen diese Tatsache durch die Gleichung b = A • a zum Ausdruck. 
Alle mit einem gegebenen Ideale äquivalenten Ideale bildeten eine „Ideal- 
klasse'^, und es gab in ^ nur eine endliche Anzahl solcher Klassen. Nach 
S. 120 gibt es in jeder Idealklasse gegen \n\ teilerfremde Ideale. 

Es besteht der Satz: Sind a und 6 = A-a zwei äquivalente Ideale, so 
ist die Zahl X bis auf einen Faktor, der eine Einheit e von £ ist, eindeutig 

bestimmt. Gilt nämlich neben b = A • a auch 5 = X' • a, und setzen wir X = -^ 

und A' = ^ , so müssen wegen der Gleichheit der Zahlsjsteme X - a und 

X' • a auch die beiden Systeme: 

ßß'- X'a=^aß''a und ßß' - X' • a = aß - a 

gleich sein. Also folgt die Gleichheit der Ideale [aß'] • a und [aß] • a 
und damit auch diejenige von [aß'] und [aß]. Die Zahlen aß' und aß 
sind demnach assoziiert, woraus der aufgestellte Satz folgt. 

Wir stellen weiter den Satz auf: Ist eines der äquivalenten Ideale a 
und b = A • a teiler fremd gegen [n], und gehört X dem Strahle @ an, so ist 

auch das andere Ideal teilerfremd gegen [n]. Wir setzen ^ = -ö- , wo a 

und ß ganze Zahlen des Körpers ^ bedeuten, die gegen n teilerfremde 

Normen N(a) und N{ß) haben. Aus h = X - a folgt h - [ß] = a- [a] 
und also: 

(1) N(h) • N(ß) = N(d) • N(a), 

Fr icke, Die elliptiacben Funktionen II 9 



130 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

Ist nun eines der Ideale a, B, etwa a, teilerfremd gegen [w] und damit 
N(a) teilerfremd gegen w^), so folgt aus (1), daß N(h) teilerfremd gegen 
71 und also h teilerfremd gegen [n] ist. Der aufgestellte Satz ist also rich- 
tig. Hieran schließt sich der Satz: Sind die beiden äquivalenten Ideale a 
und b == A • a teilerfremd gegen [n], so gehört X dem Strahle © an. Wir 
können nämlich aus der zur Klasse von a und B inversen Idealklasse ein 
gegen [n] teilerfremdes Ideal c entnehmen und jß.nden dann in b • c = [a~\ 
und a • c = [ß'] zwei Hauptideale, die gegen [n] teilerfremd sind und also 
gegen n teilerfremde Zahlen a\ ß' liefern. Aus h = X - a oder der damit 
gleichbedeutenden Gleichung [/3] • b = [cc] - a folgt durch Multiplikation 
mit c: 

Also sind ßcc und aß' assoziiert, und wir finden: 



a sa 



a/3 = £ . ß ft '^ = 7 = J 



unter b eine Einheit verstanden. Zufolge der letzten Darstellung von A 
gehört diese Zahl dem Strahle © an. 

Es sei jetzt >^ > 1. Die Zahlen X des Strahles @ waren entsprechend 
der Gleichung (5) S. 129 in ;k(w) Systeme \ 6^'\^ . . ., 6 '\ verteilt, wo 
\ der zum n^^^ Zweige e„ gehörende Strahl f"^ war und 1 = ^j, ^g; • • v 
^ gewisse %(w) ganze Zahlen von @ bedeuten. Mit einer Zahl X gehört 
— X stets dem gleichen Systeme 6^ • \ an, da der Strahl \ mit einer ein- 
zelnen Zahl immer auch ihre entgegengesetzte enthält. Nach den An- 
gaben von S. 121 über die Einheiten von ^ ergibt sich: Für |D| >4 
sind je zwei assoziierte Zahlen ± A ^) immer in dem gleichen Systeme 6^ • \ 
enthalten. Ist | D | = 4, so gehören die beiden assoziierten Zahlen X und 
X' = iX stets verschiedenen Systemen öj^- \ an, da sonst ihr Quotient 
X' '. X = i in \ enthalten wäre, was jedoch wegen w > 1 nicht der Fall ist. 
Ebenso gehören für |D| = 3 die drei assoziierten Zahlen A, qX, q'^X stets 
drei verschiedenen Systemen öj, • f an. Ist für | D | = 4 die zu 6j, assoziierte 
Zahl i^j^ in 0^'\ enthalten, so können wir, wenn nicht bereits (^i= i^^ 
sein soUte, 6^ durch iöj^ ersetzen^) und finden, daß öj- f einfach aus aUen 
Zahlen besteht, die aus denen von 6^.- \ durch Multiplikation mit i ent- 
stehen. Die beiden Systeme a^ • f und 6^ • j mögen dann selbst „assoziiert" 
heißen. Durch Übertragung der Betrachtung auf | D | = 3 folgt der Satz: 



1) Hätten -^(a) und n eine rationale PrimzaM p als gemeinsamen Faktor, 
so würde mindestens ein in [p] aufgehendes Primideal a und [n] zugleich teilen. 

2) Wir übertragen den Begriif der „assoziierten" Zahlen in sofort verständ- 
licher Art auch auf die gebrochenen Zahlen von ^. 

3) Ist 6i irgendeine Zahl des Systems (>j-j, so ist offenbar das System o^ • 
mit 6i ■ f identisch. 



Zerlegung einer Idealklasse in tx{n) Zweigklassen . 131 

Für I D 1 > 4 sind unter den i{n) Systemen ö^- \ Jceine zwei assoziiert, für 
I D j = 4 sind sie su je ziveien assoziiert und bilden \ % (n) nicht-assoziierte 
Systempaare, für | D | = 3 sind sie zu je dreien assoziiert und bilden y %(w) 
nicht-assoziierte Systemtripel. 

Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Zwei gegen w teilerfremde^ 
der gleichen Klasse angehörende Ideale a und B sollen „im Zweige e,^ 
äquivalent" heißen, wenn sich eine Gleichung b = /t • angeben läßt, in 
der ^ dem Strahle j angehört; läßt sich eine solche Gleichung nicht an- 
geben, so heißen a und h „in e^ inäquivalenif'. Man bilde nun zunächst 
aus einem ersten gegen [n] teilerfremden Ideale a die n äquivalenten 
gleichfalls gegen n teilerfremden Ideale a, (Jg-ö, ög-a, . . ., 6 -a. Nach 
dem Satze über die Bestimmtheit der Faktoren X in den Gleichungen 
b = /l • a zwischen je zwei äquivalenten Idealen und nach den Angaben 
über die Verteilung aller Zahlen 2 von @ auf die Systeme ^^, • f ergibt 
sich der Satz: Die i{n) Ideale a, ö^-d, (jg-a, . . ., 6 -a sind für |D| > 4 
in e„ inäquivalent, für | D | = 4 werden sie zu Paaren in e„ äquivalent und 
stellen l %(n) in e„ inäquivalente Idealpaare dar, für |D| = 3 werden sie 
zu dreien in e„ äquivalent und liefern Ixi^n) in e„ inäquivalente Idealtripel. 

Um die beiden Ausnahmefälle nicht stets besonders nennen zu müssen, 
verabreden wir, daß die Zahl r = 1, |- oder J sein soll, je nachdem | D | > 4, 
I D I = 4 oder = 3 ist. Auch ordnen wir in den Ausnahmefällen die a, 
(jg • a, ...,(?• a so an, daß t%{n) durchweg in e^ inäquivalente Ideale a, 
Ö2' Ci, . . ., 6^ ■ a voranstehen. Einleuchtend ist, daß irgend zwei gegen 
[n] teilerfremde ld*eale h = X - a und V = )J • a stets und nur dann in e„ 
äquivalent sind, wenn X und l' dem gleichen Systeme 6j^ • ) oder assozi- 
ierten Systemen angehören. Alle einander in e„ äquivalenten Ideale fügen 
wir in eine „ZiveigMasse'' zusammen und bezeichnen ihnen gegenüber die 
ursprünglichen Klassen auch als „Stammldassen". Wir haben dann den 
folgenden Satz: Die gesamten gegen [n] teilerfremden Ideale einer vorge- 
legten StammMasse verteilen sich auf t% (n) „Zweigklassen^', die ivir durch 
a, (?2* ci, . . ., (?^ • a repräsentieren Iwnnen; zwei Ideale aus verschiedenen 
ZweigUassen sind stets in e„ inäquivalenf. 

§ 4. Multiplikation und Äquivalenz der Zweigideale. 

Die Erklärung der Multiplikation zweier Zweigideale des n^^^^ Zwei- 
ges e^ schließt sich an diejenige der Stammideale an. Unter dem Produkte 
a„ • B„ zweier Zweigideale a^ tmd h^ verstehen tvir das System aller Zahlen, 
die entweder Produlde je einer Zahl a^ aus a„ und einer Zahl ß^ aus B„ 
sind oder als irgendwelche Summen solcher Produkte gewonnen werden. 
Am Produkte a„-b^ erkennt man leicht wieder die drei S. 124 genannten 
Grundeigenschaften eines Zweigideals. Jedenfalls enthält das System 
dn'^n ^^^ Zahlen des Zweiges e„. Betreffs der Eigenschaft 1 beachte 



132 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

man nur wegen der Differenzen, daß ein Zweigideal mit einer einzelnen 
Zahl immer auch deren entgegengesetzte Zahl enthält. Die Eigenschaft 
2 kann man für a,^ • B„ leicht aus dem Umstände ableiten, daß diese 
Eigenschaft für a^^ zutriffl. Um die Eigenschaft 3 am Systeme a„ • B„ 
nachzuweisen, verstehen wir unter ?;„ eine beliebige Zahl des Zweiges e,^. 
Da a„ und b^^ die Eigenschaft 3 besitzen, so gibt es zwei Darstellungen: 

der in e„ enthaltenen Zahlen y^ und 1. Es folgt: 

ist, so daß jede Zahl von e„ als Summe einer Zahl aus a„ • h^^ und einer 
solchen aus [n] darstellbar ist. Bas Produkt mveier Zweigideale a,^, b^^ ist 
wieder ein Zweigideal c„= Q„- b„. Daß für unsere Produkte das kommu- 
tative und das assoziative Gesetz gelten, folgt wieder leicht aus dem Um- 
stände, daß diese Gesetze für die Produkte der Zahlen zutreffen. 

Die Multiplikation der Zweigideale steht zu derjenigen der Stamm- 
ideale in enger Beziehung: Sind a = e • a^^ und b = e • b^^ die zu den Zweig- 
idealen a,j und b^^ geJiörenden Stammideale, so gehört zum ProduJde c„ = a^ • b^ 
von a^ und b,^ als Stammideal e • c^ das ProduJä c = a • b der beiden 
Stammideale a und b. Das Ideal a besteht nämlich aus allen Produkten 
^] • cc^ und allen Summen solcher Produkte, und ebenso besteht b aus 
allen Produkten t] • /3„ und deren Summen, Da nun e • e wieder gleich e 
ist, so setzt sich das Ideal c = a • b aus aUen Produkten ri . a,^^ß^^^ und 
allen Summen solcher Produkte zusammen. Zu genau demselben Zahl- 
system aber gelangt man, wenn man vom Zweigideal c,^ = Cl„ • b„ durch 
Multiplikation mit e zum zugehörigen Stammideal e • c^ übergeht. Die 
Umkehrung des letzten Satzes lautet: Sind a und b gegen [n] teilerfremde 
Stammideale, denen die Zweigideale a^ und b„ zugehören, so entspricht dem 
offenbar gleichfalls gegen \n\ teilerfremden Stammideale c = a • b als Ziveig- 
ideal das Produkt a^-h^ von a„ und b^^. Nach S. 125 entsprechen die 
Zweigideale und die gegen [^.] teilerfremden Stammideale einander um- 
kehrbar eindeutig. Zufolge des letzten Satzes entspricht aber dem Zweig- 
ideal a • b das Stammideal c == a-^i also ist umgekehrt das zu c = a • b 
gehörige Zweigideal c„= a„- b,^. 

Der Äquivalenz der Zweigideale legen wir folgende Erklärung zu- 
grunde: Zivei Zweigideale a„ und b^ heißen stets und nur dann „äquivalenf^, 
tvenn es eine Zahl ^ des Strahles j gibt, die der Gleichung b^, = /[* • a„ ge- 
nügt, was besagt, daß die Zahlen von b„ einfach die mit 11 multiplizierten 
Zahlen von a,^ sind. Wir können dann folgenden Satz beweisen: Zwei 
Ziveigideale a^ und b„ sind stets und nur dann äquivalent, wenn die beiden 
zugehörigen Stammideale a und b „im Ztveige e,^, äquivalent'^ sind. Trifft 



Multiplikation und Äquivalenz der Zweigideale 133 

nämlicli die letzte Bedingung zu, so gibt es eine Zahl tt = — in f die 

ß . 

die Gleichung b = ft • a erfüllt. Die Zahl ß ist teilerfremd gegen n und in 

e„ enthalten. Dasselbe gilt von der zu ß konjugierten Zahl /3', so daß 

ß • ß' eine gegen n teilerfremde rationale ganze Zahl ist. Nun ist jede 

Zahl des Systems: ^ ^ß- 

in 6 enthalten und also ganz. Da jede dieser ganzen Zahlen bei Multipli- 
kation mit der gegen n teilerfremden rationalen ganzen Zahl ß • ß' als 
Produkt eine Zahl des Systems aß' - o„ und also des Zweiges e„ liefert, 
so gehört sie bereits selbst dem Zweige e^^ an.*) Da außerdem alle Zahlen 
von iL • %, in b enthalten sind, so finden sie sich alle im Zweige b„ von b. 
In derselben Art zeigt man, daß jede Zahl von /i~*- b^ in a„ enthalten 
ist. Sind also die beiden Stammideale a und b in e„ äquivalent, so gilt 
sicher b^ = ii • a„, d. h. die beiden Zweigideale a^ und b„ sind äquivalent. 
Umgekehrt folgt aus h^-= ^ • a^ sehr leicht (e • bj = /«- • (e • a„), womit 
der aufgestellte Satz im vollen Umfange bewiesen ist. 

Auch für die Äquivalenz der Zweigideale a„ und b„ benutzen wir 
das oben (S. 104) eingeführte Zeichen a„<^ h,^. Da sich die Zahlen des 
Strahles ] bei Multiplikation reproduzieren, so sind auch hier wieder 
zwei Zweigideale, die einem dritten äquivalent sind, miteinander äqui- 
valent. Alle mit einem gegebenen a,^ äquivalenten Zweigideale fügen wir 
zu einer „IdealJdasse^' ^^ zusammen, wobei dann je zwei Zweigideale der 
Klasse 5l„ äquivalent sind. Die mit dem Zweigideale e^ äquivalenten 
Zweigideale bilden die „Hauptklass&' und mögen wieder ^^HawptideaM^ 
genannt werden.-) 

Es ist nun leicht, die Betrachtung so zu ergänzen, daß Überein- 
stimmung mit den bei den Stammidealen aufgestellten Sätzen vorliegt. 
Zunächst haben wir den Satz: Js^ a • b^ = C,, und qilt o' ~ a , b' ~ b , 
SO ist auch c'^= o^^- b^~ c,^. Es gibt nämlich zwei Zahlen u und ji in f, 
die die Gleichungen ü',, = ,a • a„, b^^ = /it' • b,^ befriedigen. Die Zahlen des 
Produktes c^ -= a^'^ • b^^ gehen dann aus denen des Produktes a„ • b„ einfach 
durch Multiplikation mit ^i ■ ^i' hervor. Da diese Zahl in f enthalten ist, 
so gilt C,'^~C,j. Nennen wir 5(„ und 33^ die zu a^ und b^ gehörenden 
Idealklassen, so gibt irgendein Ideal aus 51,^, mit irgendeinem aus 33,^^ 
multipliziert, als Produkt stets ein Ideal einer bestimmten dritten Klasse 



1) Soll niimlich eine Zahl (e^^ -f- e^wO) von e,^, durch die gegen 7t teilerfremde, 
rationa'e ganze Zahl ßß' geteilt, eine gaoize Zahl als Quotienten liefern, so müssen 
Cq und Cj durch ßß' teilbar sein. 

2) Wenn wir bei den letzten I'enennungen den Zusatz „Zweig" der Kürze 
halber vermeiden, so wird daraus kaum eine Zweideutigkeit entstehen, da aus 
dem Zusammenhange stets die genaue Bedeutung der Benennung zu entnehmen ist. 



134 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

(S„, die wir das „Froduklf^ der beiden Klassen 51,^ und ^,^ nennen und 
symbolisch durch. S„ = ^„ • S3„ bezeichnen. 

Ist a^ irgendein Zweigideal und a das zugehörige Stammide^l, so 
gibt es ein gegen [n\ teilerfremdes Stammideal h\ das in a • b' = [y] ein 
Hauptideal des Stammes e liefert. Die ganze Zahl y ist teilerfremd gegen 
n, gehört also in eine der ^([w]) oben (S. 127 ff.) betrachteten Zahlklassen 
mod n hinein. Wir können nach den dortigen Darlegungen eine gleich- 
falls gegen n teilerfremde Zahl [Lq so wählen, daß li =^ ii^y in die Zahl- 
klasse §j und damit zum Strahle \ gehört. Indem wir die Zahlen des 
Ideals d'V -= \y\ mit ii^ multiplizieren und /liq • B' = B setzen, ist auch b 
ein gegen [w] teilerfremdes Ideal, und wir finden • B = [ft]. Der n^^ Zweig 
des Hauptideals [ft] ist nun einfach das Hauptideal ft-e„ des Zweiges e„. 
Daß alle Zahlen von i«- • e„ im n^^^ Zweige von [^] vorkommen, ist näm- 
lich einleuchtend. SoU andrerseits die Zahl ii • i^ von [/i] in e^ enthalten 
sein, so ist auch (^ • ^i) • i] in e„ enthalten, unter ^1 die zu ii konjugierte 
Zahl verstanden. Dann gehört aber, da fi • ^' rational, ganz und gegen 
n teilerfremd ist, auch schon nq dem Zweige e^ an. Aus a-h = \ji\ folgt 
nun durch Übergang zu den Zweigidealen ö« • B^ = ^ • e„ und also, da ii 
in \ enthalten ist, der Satz: Für jedes Zweigideal a^ gibt es sicher ein Ideal 
B^ von der Art, daß das ProduJct a^^ • B„ ein Hauptideal des w'7 Zweiges 
ist. Natürlich gibt dann jedes Ideal der Klasse 5t„ von a„, mit irgend- 
einem Ideale der Klasse ^,^ von B„ multipliziert, als Produkt ein Haupt- 
ideal des Zweiges e^. Wir nennen die Klassen 5I„ und ^^ einander „m- 
^ers" und bezeichnen im Anschluß daran auch wohl 35^ durch 5(~^ und 
%^ durch Sb-K 

Die durch /^| D |) = /^(w^| D |) zu bezeichnende „Anzahl der Ideal- 
klassen" des Zweiges e^^ wird durch den S. 132 sogleich an die Erklärung- 
äquivalenter a,p B„ angeschlossenen Satz auf die Anzahl /*(| D |) der Ideal- 
klassen im Stamme e zurückgeführt. Aus der Zerlegung der einzelnen 
Klasse der Stammideale in je %{'ii) „Zweigklassen" ergibt sich unmittel- 
bar der Satz: Die „KlassenanmM" h {{ D \) der Ziveigidedle im n^^^ Ztveige 
^n ^^^ quadratischen Körpers ^ der DisJcriminaoite D ist gegeben durch : 

(1) h(D^ = hqO[).rn'[J{l-^f), 

tuo h (i D jj die endliche Ansalü der IdealJdassen im Stamme e id und die 
übrigen Bestandteile der rechten Seite von (1) die oben (S. 118 und 131) 
dargelegte Bedeutung haben. 

Endlich bleibt uns noch übrig, die gruppentbeoretische Auffassung 
der Multiplikation der Idealklassen auf den Zweig e„ zu übertragen, wobei 
die h Klassen %, %^, . . ., %^_i die „Elemente" der Gruppe bilden und 
unter ihnen insbesondere die „Hauptklasse" \ „das Einheitselement" 
liefert. Die Überlegungen schließen sich genau au S. 107 an; wir notieren 



Klassenanzahl der Zweigideale, Basen der Ideale 135 

sogleich den Satz: Die h IdealUassen %i "^i, - -j %_x des w''" Zweiges 
vom Körper ^ bilden gegenüber Multipliliation eine liommutative oder Abel- 
sehe Gruppe Gj^ der Ordnung h, in der das EinJieitseJement von der Haupt- 
Masse ^Q geliefert ivird. 

§ 5. Basen der Ideale und ebene Punktgitter. 

Die Überlegung, welche uns oben (S. 86 ff.) zur Existenz einer „Basis" 
für das Zahlsystem e hinführte, war auch auf jedes Ideal a anwendbar 
(S.91 ff.) und ist ohne Änderung auch bei jedem Zweigideal a„ durchführbar. 
Wir schließen jetzt, wenn wir von einem „Ideale aj' sprechen, den Fall 
n = 1 mit ein, so daß a„ ein Zweigideal oder ein Stammideal bedeuten 
mag. Um den schon erwähnten Zusammenhang der quadratischen Kör- 
per ^ negativer Diskriminanten mit der Theorie der elliptischen Funk- 
tionen gleich äußerlich hervortreten zu lassen, bezeichnen wir die Zahlen 
einer Basis von a^ durch w^, cog", die zu cd^, (o^ konjugierten Zahlen, die 
zugleich ihre „konjugiert komplexen" Zahlen sind, mögen Qj, co^ heißen. 

Als ein erstes aus den allgemeinen Sätzen über die Basen folgendes 
Ergebnis haben wir anzumerken: Irgendeine Basis (d\, o^ des Ideals a^ 
ist durch eine erste Basis o^j cog i'^ der Gestalt: 

(1) co[= aoj^-]- ßa^, (d[^= y(D^-i- öcj^f ad — ßy = + 1 

darstellbar, tvo a, ß, y, ö vier rationale ganze Zahlen der Determinante 
-\- 1 oder — 1 sind. Da die fö_^, Og linear-unabhängig sind, so ist der 

Quotient o = — eine nicht-rationale Zahl von ^, die wegen der nega- 
tiven Diskriminante D komplex ist. Wir können nötigenfalls durch 
Zeichen Wechsel einer der beiden Zahlen (o^, o^, der für den Gebrauch 
dieser Zahlen als einer Basis von a„ ohne Folge ist, erreichen, daß der 
Quotient o eine komplexe Zahl mit positivem imaginären Bestandteile wird. 

Wir wollen in diesem Falle ca^ , cö^ eine „positive^^ Basis und co = — einen 

„positiven^^ Basisquotienten nennen. Dann gilt insbesondere der Satz: 
Irgendeine positive Basis (d\ , co^ von a^^ ist durch eine erste unter ihnen o^ , 
(»2 iii der Gestalt darstellbar: 

(2) Gi\= a(o^-\- ßco^, (Ö2*= 7G5i + «Jca^, aö — ßy = 1^ 

wo «, ß, y, 8 vier rationale ganze Zahlen der Determinante 1 sind; andrer- 
seits bildet jedes durch eine Substitution (2) aus einer ersten positiven Basis 
Gjj, (Ö2 geivinnbare Zahlenpaar (o\y «^ tvieder eine positive Basis von a^,. 
Wir sind hiermit zu der Lehre von den linearen Transformationen 
der Ferioden o^, co^, die in I, 182 ff. entwickelt wurde, zurückgeführt. 
Unter Aufnahme der gruppentheoretischen Sprechweise können wir dem 
letzten Satze die Gestalt geben: Aus einer ersten positiven Basis (öj, (o^ 



136 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

von a^ gewinnen wir gerade genau die gesamten positiven Basen dieses 
Ideals, indem wir auf a^ , (o^ die gesamten Substitutionen der „homogenen 
ModulgrupjJe" F^""^ ausüben (s. I, 283), und in entsprechender Art ergeben 
sidi aus einem ersten positiven Basisquotienten o alle solche Quotienten für 
a„ durch Ausübung der „nicht-homogenen Modulgruppe'' T^'") auf (o. 

Die geometrisclien Hilfsmittel aus Bd. I mögen nun auch hier heran- 
gezogen werden. Wir kleiden die gesamten Zahlen von a„ in die Gestalt: 

(3) U = m^^ 03^ + ^^2 €0.2 y 

wo m^, w?2 alle Paare rationaler ganzer Zahlen durchlaufen sollen. In- 
dem wir in der y,u-Ehene^' alle Bildpunkte dieser Zahlen markieren, er- 
halten wir ein ebenes „PunJctgitter^^ von der Art, wie uns solche Gitter 
in I, 174 ff. von den Eckpunkten der Parallelogrammnetze der w-Ebene 
geliefert wurden.^) Das vorliegende Gitter (3) gewinnen wir vom Par- 
aUelogrammnetze der Perioden coj, cog. Doch können wir nach der Lehre 
von der linearen Transformation der Perioden das gleiche Gitter (3) noch 
durch unendlich viele weitere Parallelogrammnetze ausschneiden, wie sie 
eben durch die Substitutionen der F(^) aus dem ersten Netze hervor- 
gehen. Zur geometrischen Deutung der Werte co der Basisquotienten 
ziehen wir die „co-Halbebene" heran, in der wir das „DreiecJcsnetz^^ der 
Modulgruppe F^^^ gezeichnet denken. Die gesamten positiven Basisquo- 
tienten CO unseres Ideals a„ stellen dann ein System bezüglich der F^^^ 
äquivalenter Punkte (d im Dreiecksnetze dar. 

Für das zu a„ konjugierte Ideal ä„ hat man das Zahlenpaar — cdi, m^ 
als eine positive Basis, wenn das Paar o^, co^ eine solche von a^^ darstellt.^) 
Das zu ö„ gehörende Gitter geht aus dem von a^ durch Spiegelung an der 
reellen i*-Achse hervor. Der zu — a>i, räg gehörende Quotient — ö liefert 
den bezüglich der imaginären w-Achse mit co symmetrisch gelegenen 
Punkt: Die gesamten positiven Basisquotienten von a„ liefern ein PunU- 
system der co-Halbebene, das mit dem zu a^ gehörenden Punktsystem bezüg- 
lich der durch Spiegelungen erweiterten Modulgruppe F^""^ äquivalent ist 
Insbesondere können diese beiden Punktsysteme dadurch identisch wer- 
den, daß sie auf Symmetriekreise des Dreiecksnetzes der co-Halbebene 
rücken. Wir kommen unten auf diesen Fall zurück. 

Ein mit a^ „äquivalentes" Ideal q'^ ist nach S. 132 symbolisch als 
Produkt al= [i ' a^ darstellbar, wo ^ eine Zahl des Strahles ] ist. Es ist 
einleuchtend, daß wir aus einer Basis «i, co^ von a„ in: 

(4) G)[= ^G}^, CD2=/AÖ2 



1) Die Vorstellung des Punktgitters ist das wichtigste geometrische Hilfs- 
mittel, mit dem Klein in seinen S. 121 genannten Vorlesungen arbeitet. 

2) Wie in Bd. I verstehen wir unter Wj , w^, w die zu ©i, co^, a konjugiert 
komplexen Zahlen. 



Basen der Zweigideale und Punktgitter 137 

eine Basis für a[^ gewinnen. Das zu a^ gehörende Punktgitter wird dem- 
nach aus dem Gitter (3) durch die Transformation u' = ^u erhalten. Wir 
haben den Satz: Äquivalente Ideale a„ und a^ haben „ahnlich&^ PunJct- 
gitter, und ihnen kommt ein und dasselbe System bezüglich der F^^^ äqui- 
valenter Punkte der co-Halbebene zu, so daß dieses FimUsystem als ein 
Attribut der Idealklasse anzusehen ist. 

Die Perioden o^, cog sind in der Theorie der elliptischen Funktionen 
abgesehen davon, daß ihr Quotient nicht reell sein darf, frei wählbar, und 
sie werden in der Theorie der Modulfunktionen als variabel betrachtet. 
Demgegenüber sind die als Basen der Ideale a„ auftretenden gj^j cog in 
der Art beschränkt, daß sie gewisse Paare ganzer Zahlen eines quadra- 
tischen Körpers ^ negativer Diskriminante D sind, woraus dann folgt, 
daß auch die Basisquotienten co diesem Körper angehören. In der Theorie 
der elliptischen Funktionen heißen diese co^ , a^ „singulare Periodenpaare'' 
und die o „singulare Periodenquotienten'' -^ ihre Bedeutung für die Theorie 
der elliptischen Funktionen wird unten ausführlich darzulegen sein. 

§ 6. Notizen über quadratische Formen negativer Diskriminante. 

Um die Beziehung zwischen den Idealen a„ und den ganzzahligen 
binären quadratischen Formen negativer Diskriminante entwickeln zu 
können, sind zunächst einige Notizen über diese Formen vorauszuschicken.^) 
Unter einer j,ganzzahligen binären quadratischen Form'' verstehen wir 
einen Ausdruck der Gestalt: 

(1) ax" i- bxy + cy\ 

dessen Koeffizienten a, b, c rationale ganze Zahlen sind, während x, y 
willkürliche Größen bedeuten. Je nach Umständen gelten die x, y als 
komplexe Variable oder sind auf willkürliche rationale ganze Zablen ein- 
geschränkt. Als Bezeichnung für eine Form (l) benutzen wir, wenn es 
nicht erforderlich ist, die Variablen x, y besonders hervorzuheben, das 
Symbol (a, &, c). 

Die größte rationale ganze positive Zahl t, die in a, b, c zugleich 
aufgeht, heißt der „Teiler" der Form (n, b, c). Ist ^ = 1, so heißt die 
Form „ursprünglich". Für ^ > 1 setzen wir a = ta^, b^= tbQ, c = tcQ und 
können jetzt (a, &, c) aus der ursprünglichen Form («q, &o, Cq) durch 
Multiplikation mit t ableiten. Für ^ > 1 heißt demnach (a, &, c) eine 
„abgeleitete" Form. Der Ausdruck (6^— 4ac) wird diie „Diskriminante" 
der Form («, &, c) genannt und durch D bezeichnet. Die Diskriminante 
Ist offenbar durch das Quadrat f des Teilers t teilbar. Ist die Diskrimi- 
nante negativ, so sind a und c von verschieden und haben gleiches 



1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, „Vorlesungen über Zahlentheorie^, 4. Aufl., 
S. 128 iF. und „Modulfunktionen" Bd. I, S. 24a ff. 



138 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

Vorzeiclien. Je nachdem dieses Vorzeichen positiv oder negativ ist, heißt 
{cij h, c) selbst eine j,positwe'' oder eine j,7iegative Form". Da eine nega- 
tive Form einfach durch Zeichenwechsel ihrer drei Koeffizienten in eine 
positive übergeführt wird, so wird bei den folgenden Untersuchungen 
der alleinige Gebrauch positiver Formen keine wesentliche Beschränkung 
bedeuten. 

Führt man in die Form (1) an Stelle der x, y neue Variable x, y 
mittels einer „ganzzahligen linearen Substitution der Determinante 1": 

(2) x = ax -\- ßy, y = yx + 8y, a^ — ßy = \ 
ein, so erhält man aus {a, &, c) die Form: 

(3) {a, h\ c) ==ax'+ h'xy + c'y'\ 

deren ganzzahlige Koeffizienten sich aus den a, h, c und den Substitutions- 
koeffizienten a, ß, y, 8 nach der Regel berechnen: 

a = d^a ~ ydl) -{■ y^c, 

(4) \h' =-2ßda-\-{ad -^ ßy)'b-2ayc, 

c = ß^a — aßh -\- a^c. 

Umgekehrt wird die Form (a^ h\ c) durch die zu (2) „inverse" Substi- 
tution mit den Koeffizienten d, — ß, — y, a wieder in {a, b, c) überge- 
führt, wobei sich die Gleichungen (4) invertieren zu: 

a = a^a + oLyh' -f y^c\ 

(5) h == 2aßa -f {ad -f ßy)V + 2ydc, 
e^ß'a-i-ßdh'i-ö'c'. 

In (2) haben wir die Substitutionen der homogenen Modulgruppe F^"^^ 
wiedergewonnen, abgesehen davon, daß die Bezeichnungen Oj, co^ der 
der Variablen hier durch Xy y ersetzt sind. Indem wir die in I benutzte 

abgekürzte Bezeichnung y' ^j für die Substitution (2) wieder heranziehen, 

können wir sagen, die Form (a, 6, c) gehe durch die Substitution ("' U 

in (a\ &', c) über und umgekehrt (a', Z>', c') durch (_^ '^j wieder in 
(a, &, c). 

Jede durch eine Substitution (2) aus (a, &, c) entstehende Form 
(a, V, c) heißt mit (et, &, c) ,yäquwalent^^ . Aus der Gruppeneigenschaft 
der Substitutionen (2) folgt dann, daß umgekehrt auch {a, h, c) mit 
(a\ b\ c) äquivalent ist, und daß zwei Formen, die mit einer dritten 
äquivalent sind, stets auch miteinander äquivalent sind. Vereinigen 
wir daher alle mit einer gegebenen Form {a, h, c) äquivalenten 
Formen in eine ^.Klasse von Formen" oder „Formldasse" g, so sind je 
zwei Formen der Klasse g äquivalent. Aus (A) ergibt sich h'^—4:ac' 



Äquivalenz der quadratischen Formen 139 

= b^— 4:ac, äquivalente Formen haben demnach gleiche Biskriminanten D. 
Aus (4) und (5) folgt ferner, daß äquivalente Formen stets gleiche Teiler t 
haben. Endlicli folgert man aus (4) leicht: 

Aaa==(2da — yby-I)f, 

so daß für D < stets aa'> zutrifft: Zwei äquivalente Formen nega- 
tiver DisJcriminante sind demnach immer zugleich positiv bzw. negativ. Die 
Diskriminante D und der Teiler t sind demnach Attribute der Formklasse 
%j auch gehören für D < der Klasse entweder nur positive oder nur 
negative Formen an. 

Die Hauptaufgabe ist nun für uns, bei gegebener Diskriminante D 
die gesamten hier eintretenden Formklassen ^ festzustellen und insbe- 
sondere ihre Anzahl abzuzählen. Wir behandeln diese Aufgabe nur für 
den weiterhin allein in Betracht kommenden Fall D < und setzen die 
Formen als positiv voraus. Zur Durchführung der Aufgabe setzen wir 

den Quotienten der Variablen = o und führen eine geometrische Beu- 
tung der Form (a, &, c) durch denjenigen Punkt der positiven o-Halb- 
ebene ein, für welchen die Form (a, &, c) verschwindet. Dieser „Null- 
punkt" der Form berechnet sich zu: 

(a\ ^ _ - 2» + 1/^ _ -^ + iVV^\ 

(b) (D ^- - —Ya y 

und es ergibt sich aus (5) durch eine einfache Rechnung im Falle der 
Äquivalenz der beiden Formen (a, by c) und {a, b\ c) für ihre Null- 
punkte die Gleichung: 
(7) 0.'=. "-".*!, 

^ ^ 7 CO -f- o ' 

SO daß die Nullpunkte o und a der beiden äquivalenten Formen stets 
bezüglich der nicht -homogenen Modulgruppe äquivalent sind. Besteht 
andrerseits zwischen den beiden Nullpunkten a und o' zweier positiver 
Formen {a, &, c) und {a\ b'., c) mit gleicher Diskriminante 2) < eine 
Relation (7), so folgt: 

2a ~ (2Sa — yb) + yiy[l)\~ 2{d'a — ySb -i- y^c) 

woraus man leicht auf die Gleichungen (4) zurückschließt. Die beiden 
positiven Formen (a, b, c) und (a, b\ c) gleicher negativer Diskriminante 
B sind also auch stets äquivalent, wenn ihre Nullpunkte co, c-/ bezüglich 
der F^"') äquivalent sind. 

Die in I, 185 ff. entwickelte Reduktionstheorie der Periodenquotien- 
ten setzt uns nun unmittelbar in den Stand, die gestellte Aufgabe der 
Aufzählung aller Formklassen g gegebener negativer Diskriminante B 



140 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper nnd Formen 

ZU lösen. Der NuUpunkt einer gegebenen Form ist mit einem und nur 
einem Punkte co des durch Fig. 43 in I, 179 gegebenen Diskontinuitäts- 
bereiches der Gruppe jT^ äquivalent. Ein diesem Bereiche angehörender 
Punkt CO lieferte uns einen ,/eduzierten^' Periodenquotienten. Die fiir 
einen solchen Punkt co charakteristischen Bedingungen sind: 

(8) - 1 ^ O + O < + 1, Gi(D > 1 

oder (für ein o auf dem unteren Rande des Diskontinuitätsbereiches): 

(9) -1^03 + 0^0, 030=1, 

wo w wie bisher der zu oj konjugiert komplexe Wert ist. Die zu 
einem solchen „reduzierten" m gehörende Form (a, h, c) möge selbst als 
eine „reduzieiie Formf^ bezeichnet werden. Aus (8) und (9) ergibt sich 
dann als Kennzeichen einer reduzierten positiven Form negativer Biskri- 
minante D: 

(10) —a<h£a<c bzw. 0^h^a = c. 

Nach den voraufgehenden Überlegungen und Rechnungen ist nun 
in jeder unserer Formklassen eine und nur eine reduzierte Form enthal- 
ten. Für eine solche Form ergibt sich aus (10) und der Erklärung von 1): 

(11) U^£4:ac, 3&2^iZ)i, Aac ==^h^+ \D\. 

Bei gegebenem D sind hiernach nur endlich viele h zulässig und beim 
einzelnen h zufolge der letzten Bedingung (11) nur endlich viele Kom- 
binationen a, c. Indem wir daher die einzelne Formklasse § durch ihre 
reduzierte Form „repräsentieren", haben wir durch Aufzählung aller re- 
duzierten Formen auf Grund der zweiten und dritten Bedingung (11) 
unsere Aufgabe der Feststellung aUer Formklassen einer gegebenen Dis- 
kriminante D gelöst. Wir haben insbesondere den Satz gefunden: Ißel 
gegebener negativer Dislcriminante I) gibt es nur eine endliche Anzahl zu- 
gehöriger Klassen ^ positiver Formen. 

Es mögen sich weiter folgende Notizen anschließen: Zwei Formen 
(a, &, c) und (a, — &, c), die sich nur im Vorzeichen des zweiten Koeffi- 
zienten unterscheiden, heißen ^^entgegengesetzte . Die Nullpunkte entgegen- 
gesetzter Formen liegen symmetrisch zur imaginären ca- Achse. Eine Form, 
deren Nullpunkt auf einem Symmetriekreise des Dreiecksnetzes der 
co-Halbebene liegt, heißt „ziveiscitig^' oder „amMg'^. Äquivalente Formen 
sind immer zugleich zweiseitig, so daß die Benennung „zweiseitig" oder 
„ambig" auf die Formklasse g übertragen werden kann. Aus der Struk- 
tur des Dreiecksnetzes der G3-Halbebene geht der Satz hervor: Eine Form 
ist stets und nur dann mit ihrer entgegengesetzten Form äquivalent^ wenn 
sie zweiseitig ist. Für die reduzierten Formen, die, falls sie zweiseitig 
sind, ihre Nullpunkte auf der imaginären cj-Achse oder auf dem Rande 



Endlichkeit der Klassenanzahl. Ambige Formen, Hauptfonnen usw. 141 

des Diskontinuitätsbereiclies der F^'"^ haben, ist dies unmittelbar ein- 
leuchtend. Die gesamten Formklassen % negativer Diskriminante D 
setzen sich also aus den ambigen Klassen und den Paaren entgegenge- 
setzter Klassen zusammen. 

Die Diskriminante D ist mod 4 entweder mit oder mit 1 kon- 
gruent. Je nachdem der erste oder zweite dieser Fälle vorliegt, haben 
wir in: 

(12) {1,0,-lD) bzw. (1, 1,1(1 -D)) 

eine reduzierte Form der Diskriminante JDy die offenbar anibig isty da ihr 
Nullpunkt: 

(13) ö = 2 ^ "" 2 

auf der imaginären co Achse oder auf dem linken Rande des Diskonti- 
nuitätsbereiches der r^""^ liegt. Man bezeichnet die Form (12) als die 
„Hauptform^'' und ihre Klasse als die „Hauptldasse'"' der Diskriminante D. 
Endlich haben wir mit Rücksicht auf die weitere Entwicklung noch 
folgenden Satz zu nennend In jeder Klasse ursprünglicher Formen der Bis- 
h'iminante B ist eine Form (a, h, c) nachiveishar, die einen gegen die be- 
liebig vorgeschriebene rationale ganze positive Zahl n teilerfremden ersten 
Koeffizienten a hat. Zum Beweise entnehmen wir der Klasse eine beliebige 
Form {a'y &', c) und verstehen unter p-^, p^, - - -, P-, ^i© verschiedenen 
Primfaktoren von n. Wir setzen sodann: 

ipit folgender Bedeutung der Exponenten: 

Uk=--0, ft,,,= l für a^O I 

(14) \h-^, it^i = für a .-EE 0, c^O (mod p,\ 
i;.^=0, fi^.= für a'~0, c^ol 

woraus hervorgeht, daß a und y teilerfremd sind. Von den drei Fällen 
(14) liegt für jeden Primteiler Pj^ von n einer und nur einer vor. Für a 
und y bestimmen wir irf.^end zwei, die Gleichung ad — ßy = 1 befriedi- 
gende rationale ganze Zahlen /3, d und berechnen nach (5) die mit («', b\ e) 
äquivalente Form (a, bj c). Man zeigt dann in der Tat leicht, daß a 
durch kein p^ teilbar ist, wobei für den dritten Fall (14) in Betracht 
kommt, daß a', b', c nicht zugleich durch Pf. teilbar sind. 

§ 7. Beziehung zwischen den Zweis;idealen a,, und den 
quadratischen Formen. 

Es sei a„ irgendeines unserer Zweigideale und a das zugehörige 
Stammideal; der Fall w = 1, wo 0^= ci ist, sei mit eingeschlossen. Eine 
positive Basis von a„ möge durch ca^, Oo gebildet werden. Um in (3) 



142 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

S. 136 die 7%, m^ als „wiUkürliclie" rationale ganze Zahlen zu kenn- 
zeiclinen, schreiben wir m^ = — y, m^ = x, so daß die Zahlen des Ideals 
a„ durch (iccag— 2/G5i) gegeben sind. Die Norm der einzelnen Zahl von 
0„ ist dann: 

(1) N^xco^ — ycj^) = co^co^x-— {o^ay^ + (02'^j)xy + o^co^y^, 

wo Wj , Gjg die zu co^ , cog konjugierten Zahlen sind. Die in (1) rechts auf- 
tretenden rationalen ganzen Zahlen Ogirag? ~(^i^2 "i~^2^i): OiCÖi gehören 
dem Produkte a • a des Stammideals a mit seinem konjugierten Ideale iä 
an. Da dieses Produkt das Hauptideal [iV"(a)] ist (s. (1) S. 111), so sind 
die drei Zahlen osgräg, ... durch die rationale ganze positive Zahl N(cl) 
teilbar. Schreiben wir also: 

(2) C32CÖ2 = N(a) • üy — G5iC»2 — CO^CJ^ = N(Cl) ' &, G^i GJ^ = N(a) • C, 

so sind a, h, c drei rationale ganze Zahlen, von denen die erste und dritte 
positiv sind. Die Gleichung (1) schreibt sich in die Gestalt um: 

(3) N{x(o^ — yo^ == N{(x) {ax^ + Ixy + cy^\ 

wo wir rechts in der Klammer eine ganzsahlige binäre quadratische Form 
gewonnen haben. Wir bezeichnen die Diskriminante (h^ — 4ac) dieser 
Form (a, h, c) vorläufig durch D\ um durch D wie früher die Diskrimi- 
nante des Zweiges e^ zu bezeichnen. 

Zum Zwecke einer ersten Angabe über D' stellen wir die Oj, 03^ 
durch die in (3) S. 123 gegebene Basis 1, 6 von e^^ in der Gestalt: 

(4) a,,^em + eme, «,, = «(2) + ef e 
dar und erhalten aus (2) leicht: 

N(ay . B' = N{ay(h' - Aac) == {(o,cj, - co,o,y = (d^h^p - e^^^d^^f- D, 

wo D = w^» D die Diskriminante von e^^ ist. Da D < ist und a > 0, 
c > schon festgestellt wurde, so handelt es sich in (3) rechts um eine 
positive Form (a, &, c) negativer Dislcriminante D'. 

Der Übergang von co^, co^ zu irgendeiner positiven Basis (o\, cog von 
a^ wird durch die Substitution (2) S. 135 vermittelt, die für die konjugiert 
komplexen Werte ca^, ösg die gleiche Substitution nach sich zieht. Bei 
Zugrundelegung der Basis cd'^, Og führt die Regel (2) zur Form («', h', c\ 
deren Koeffizienten sich nach (4) S. 138 aus a, h, e und den Substitutions- 
koeffizienten berechnen. Also besteht der Satz: Den unendlich vielen 
positiven Basen des Zweigideals a„ gehören die unendlich vielen Formen 
der zu {a, &, c) gehörenden FormMasse ^ umkehrbar eindeutig zUy so daß 
dem Ziveigideale a„ die FormMasse zugeordnet erscheint. 

Ist a^ = iid^ irgendein mit a„ äquivalentes Zweigideal, so ist a' = ft • a 
das zu ä^ gehörende Stammideal. Auf Grund der Regel (7) S. 103 zeigt 



Die Klassen 5t der Zweigideale und die Formklassen ^^ 143 

man (unter Spaltung von ^ in den Quotienten zweier ganzer Zahlen) 
leicht die Regel N(a') = ftjiZ • N{cl\ wo Ji die zu ^ konjugierte Zahl ist. 
Eine erste Basis von a^ haben wir in g)[ = ^cd^, f^'2^ ^^27 ^^iiter (0^ cog 
eine solche von a„ verstanden. Für die zu (d[j w^ gehörende quadratische 
Form (a, h\ c) folgt aus (2): 



a N(a') == a • [i^N(a) = cogCOg = ^^i- Og 



C3 



2? • • •? 



SO daß der Vergleich mit (2) zu <i'= a, h' = h, c = c führt: Den gesam- 
ten Idealen der zu a„ gehörenden Klasse % ist hiernach ein und dieselbe 
FormMasse % mgeordnet, so daß der Idealklasse % die FormMasse g mn- 
deutig zugehört. 

Es ist nun die Diskriminante B' und der Teiler t der Formklasse g 
festzustellen. Nach den gewonnenen Ergebnissen dürfen wir zu diesem 
Zwecke der Idealklasse 51 ein beliebiges Zweigideal a^ entnehmen und 
dem gewählten Ideale a„ irgendeine seiner positiven Basen zugrunde legen. 
Zu zweckmäßigen Auswahlen führt die folgende Überlegung: 

Die größte rationale ganze positive Zahl, durch die aUe Zahlen des 
Stammideals a teilbar sind, heiße der „größte rationale Divisor" oder 
,,Teiler" von a und werde durch d bezeichnet. Ist d = 1, so heiße das 
Ideal a „ursprünglich^^ j für c? > 1 werde a „abgeleitet^' genannt. Aus den 
Grundeigenschaften eines Ideals folgt, daß die Zahlen von a, durch d ge- 
teilt, wieder die Zahlen eines Ideals a^^^ bilden, das dann ursprünglich ist. 
Da a = [c?] • a^^^ teilerfremd zu [n] ist, so ist d teilerfremd zu n und 
also im Strahle \ enthalten. Die beiden Stammideale a und a^^^ sind also 
„im Zweige e„ äquivalent" und somit sind die zugehörigen Zweigideale a„ 
und a^^) schlechthin äquivalent. Es ist hiernach statthaft, für die Unter- 
suchung der Diskriminante D' und des Teilers t von {a, h, c) ein Ideal 
a„ der Idealklasse 51 zu entnehmen, dessen zugehöriges Stammideal a 
ursprünglich ist. 

Es besteht nun der folgende auch für sich bemerkenswerte Satz: 
Ist a ein ursprüngliches Ideal, so ist N(a) die kleinste rationale ganze posi- 
tive in a auftretende Zahl}) Bezeichnen wir nämlich mit a die kleinste 
rationale ganze positive ZahP) von a, so sind alle rationalen ganzen Zah- 
len von a Vielfache dieser Zahl a. Insbesondere ergibt sich für die Zahl 
iV(a) von a eine Darstellung N{a) = a • Cj wo c rational und ganz ist. 
Hieraus folgt: 
(^ a-ä = [i^(a)] = [a].[c]. 

1) Übrigens erweitert man diesen Satz leicht zu dem folgenden noch etwas 
allgemeineren Satze: Die kleinste in einem Ideale a auftretende rationale ganze 
positive Zahl ist fZ~i-iV(a), unter d den größten rationalen Divisor von a ver- 
standen. 

2) Die Wahl der Bezeichnung a ist deshalb zweckmäßig, weil diese Zahl 
hernach der erste Koeffizient einer quadratischen Form wird. 



144 Einleitung, Teil Y: Quadratische Körper und Formen 

Da a ein Teiler von [a] ist^ so können wir [a] = a • b setzen und folgern 
hieraus, da [a] sich selbst konjugiert ist [a] = ä • b, unter b das zu b 
konjugierte Ideal verstanden. Tragen wir ä • b für [a] in (5) ein und 
heben die entstehende Gleichung durch ä, so erhalten wir a = [c] • b. 
Also geht c im größten rationalen Teiler 1 von a auf^, so daß c = 1 und 
damit a == N{a) folgt, wie zu beweisen war. 

Es zerfallen nun die Zahlen von e mod a in .^(a) = a Zahlklassen, 
die wir durch die offenbar inkongruenten Zahlen 0, 1, 2, . . ., a — 1 re- 
präsentieren können. Die zweite in der Basis des Zweiges e„ auftretende 
Zahl 6j die durch: 

(6) e = -'+:^^- oder e^'^^ 

gegeben ist, je nachdem D = 1 oder ^ee (mod 4) gilt, möge in die durch 
m repräsentierte Klasse gehören: 

(7) 6 = m (mod a), 

wo also m eine bestimmte der Zahlen 0, 1, 2, . . ., a — 1 ist. Setzen wir 
h = 2m -f 1 oder & — 2m, je nachdem D = 1 oder e:^ (mod 4) gilt, so 
haben wir in h eine der Kongruenz h e^ D (mod 2) genügende rationale 
ganze Zahl, und es folgt: 

(8) e-m = = *i^^riJj^o ^^„j^)^ 

SO daß die Zahl — -^— — - dem Ideale a angehört. 

Statt 1, 9 können wir nun auch 1, 6 — m als Basis für e^^ benutzen. 
Die Zahlen von e,, sind also in der Gestalt: 

(9) . .„ + .-^i/^® 

mittelst rationaler ganzer e darstellbar. Soll die Zahl (9) von e^^ auch in 
a enthalten sein und also eine Zahl des Zweigideals a„ liefern, so muß 
wegen (8) die Zahl Cq in a vorkommen, also ein Vielfaches von a dar- 
stellen. Eine Basis des Zweigideals a„ erhalten wir somit in den heiden 
Zahlen: 

(10) cöi == ~-^— ^-L-- ' , «2=a. 

Mit der Zahl co^ ist auch N(co^) in a enthalten und stellt als rational 
und ganz ein Multiplum ac von a dar; es gilt also: 

wo auch c rational, ganz und positiv ist. Da N{a) = a ist, so berechnet 
sich aus (2) als die zur Basis (10) gehörende quadratische Form («,6, c). 



Die Klassen 51 der Zweigideale und die Formklassen fj 145 

Zur Idealldasse % gehört demnach eine FormUasse g, deren Diskriminante 
gleich der Diskriminante D des Zweiges e„ ist. 

Wir können endlich zeigen, daß die drei Zahlen a, h, c keinen ge- 
meinsamen Teiler if > 1 besitzen. Da nämlich a und also ä teilerfremd 
gegen [n] sind, so sind auch a • ä = [a] und [n] teilerfremd, so daß a und n 
teilerfremde rationale ganze Zahlen sind. Hätten nun a, hj c den unge- 
raden Primfaktor p gemein, so würde p^ in h^ — Aac =^ D = n^U auf- 
gehen. Es wäre also, da D durch kein ungerades Quadrat teilbar ist, p 
auch in 7t enthalten, was aber der Tatsache teilerfremder a, n wider- 
sprechen würde. Wären aber a, 5, c zugleich durch 2 teilbar, so wäre n 
als teilerfremd zu a ungerade. Da D und also D durch 4 teilbar wäre, 
so würde nach S. 121 entweder D ^ 8 oder D = 12 (mod 16) gelten, 
woraus wegen n^:2^1 (mod 4) auch D 3^ 8 bzw. ^= 12 (mod 16) folgen 
würde. Dies steht im Widerspruche dazu, daß bei drei geraden Zahlen 
a, hj c notwendig: 

B = ?>2___ 4^^ E^ &2_ oder - 4 (mod 16) 

zutrifft. Also ist auch der gemeinsame Teiler 2 von a, &, c ausgeschlossen. 

Unter Zusammenfassung aller Ergebnisse haben wir folgenden für 
92 = 1 und w > 1 geltenden Satz: Jeder Idealklasse ^ im n^"- Zweige e„ 
des Körpers ^ der negativen Diskriminante D ist eindeutig eine bestimmte 
Klasse 5 ursprünglicher positiver quadratischer Formen der Ziveigdiskri- 
minanie D = w^D zugeordnet, und zwar werdest von irgendeinem Ideale a„ 
der Klasse % aus die gesamten Formen {ax^ -{- hxij -f- cif) von g als die 
durch N{a) = N(t - aj geteilten Normen der Zahlen (xo^— ycs^) von a„ 
erhalten, indem man nach und nach alle positiven Basen co^, »2 zur Dar- 
stelluitg dieser Zahlen heranzieht. 

Der gewonnene Satz ist umkehrbar. Man kann zunächst beweisen, 
daß man eine beliebige Klasse g ursprünglicher positiver Formen der Zweig- 
diskriminante D von einer geeigneten Idealklasse 51 des n^^^ Zweiges aus 
gewinnt. Da wir soeben alle Formen der Klasse g den verschiedenen 
Basen o_^, co^ von a^ entsprechend fanden, so dürfen wir beim Versuch der 
ümkehrung der Entwicklung der beliebig vorgelegten Klasse g irgendeine 
Form (a,b,c) entnehmen. Wir wählen, entsprechend dem Schlußsatze von §6, 
S. 141, eine Form (a, b, c) mit einem gegen n teilerfremden a. Wir er- 
klären sodann zwei Zahlen co^, C3^ wie in (10). Beide Zahlen Oj, cjg sind 
ganzzahlig, und zwar o^ deshalb, weil b^ D (mod 2) gilt; zugleich ge- 
hören beide Zahlen dem Zweige e„ an. Wir bilden nun das System aller 
Zahlen: 

(12) X (ög — 2/ Ol = ö ic -f — 2^~ Vy 

wo Xy y aUe Paare rationaler ganzer Zahlen durchlaufen, und können 

Fricko, Die elliptischen SSxnktionen II 10 



146 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

leicht zeigen, daß diese offenbar auch durchweg in e^ enthaltenen Zahlen 
ein Zweigideal a„ liefern. Das Zutreffen der Eigenschaft 1 eines Zweig- 
ideals (S. 124) ist einleuchtend. Zur Prüfung der Eigenschaft 2 kön- 
nen wir 1, «1 an Stelle von 1, 6 als Basis von c^ benutzen. Es genügt 
dann zu zeigen, daß coj und (D-^^G}2 im Systeme (12) enthalten sind, weil 
damit das Produkt irgendeiner Zahl yj^ von e„ mit einer beliebigen Zahl 

(12) wieder diesem Systeme angehört. Nun erweist sich (d^co.2== ao^ un- 
mittelbar als dem Systeme (12) angehörig; dasselbe folgt aber für wj 
aus der Gleichung: 

G3l = — aC—0 ^^. -JLL - ' = _ ^03^ _ cßj^^ 

Die Eigenschaft 3 der Zweigideale fordert, daß jede Zahl i]^ von e„ als 
Summe : 

(13) rj^= (xcj^—yoj^) + nri 

einer Zahl des Systems (12) und einer solchen des Hauptideals [n] dar- 
stellbar ist. Es genügt, diese Darstellbarkeit für die beiden Basiszahlen 
1^^ = 1 und ri^ = (o^ zu zeigen. Für r]^ = (d^ haben wir in (13) zu setzen 
a; = 0, 2/ = — 1, '>? = 0; für '»?„ = 1 bestimme man x aus der wegen teiler- 
fremder a, n lösbaren Kongruenz aic = 1 (mod w), setze 2/ = und findet 
für ri eine rationale ganze Zahl. Die Zahlen (13) bilden also tatsächlich 
ein Zweigideal a„. 

Der Basis coi, cog dieses Zweigideals entspricht nun auf Grund von 
(2) eine ursprüngliche quadratische Form, deren Koeffizienten die von 
ihrem größten gemeinschaftlichen Teiler befreiten rationalen ganzen Zah- 
len K)2 02, — «/(Dg— cogc?!, caiG^i siud. Durch Eintragen der Werte (10) 
für cl>i, C32 findet man als Form (a, &, c) wieder und als jenen größten 
gemeinsamen Teiler, der nach (2) zugleich die Norm des Stammideals 
a = e • a„ ist, die Zahl a. Also wird in der Tat die vorgelegte Klasse g 
von einer unserer Idealklassen % geliefert. 

Wir können endlich zeigen, daß g auch nur von einer Idealklasse 
% geliefert wird. Ist nämlich o'^, ra^ die Basis irgendeines Zweigideals, 
die nach (2) die zuletzt betrachtete Form (a, ö, c) ergibt, so gilt für die 
durch die Form eindeutig bestimmten Basisquotienten: 
, , —^b^i^/\B\ 

ö^ : «2 = 03i : (»2 = '~^ — ' ^' 

Wir schreiben demnach (o[ = ^cj^^ cd'^^ fico2 mit einem Proportionali- 
tätsfaktor ft, für den wir die Darstellung haben: 

«i (02 ß>2 

Die im letzten Nenner stehende Zahl a ist teilerfremd gegen n und in e„ 
enthalten. Auch der Zähler cOg ist in e„ enthalten. Wir nehmen nun an, 



Die Klassen 21 der Zweigideale und die Formklassen ^ 147 

daß [(02 ] und [n] mindestens ein Primideal p als Faktor gemein haben. 
Aus [a] • [fOj] = [cOg] • [(öj würde dann wegen teilerfremder a, n folgen 
daß auch [co^] den Faktor p hat. Mit (x)[ und (d'^ ist aber auch jede Zahl, 
von a'== e • Q/ in p enthalten, d. h. a' hätte selbst den Faktor p mit [n\ 
gemein, während doch das zu einem Zweigideale 0^ gehörende Stamm- 
ideal a' teilerfremd gegen [n] ist. Also ist auch Wg teilerfremd gegen n^ 
so daß wir in ^ eine Zahl des Strahles f und damit in a'^ = ita„ ein mit 
a„ äquivalentes Ideal erkennen. Jede Formklasse g wird also nur von 
einer Idealklasse geliefert. 

Wir haben so den Satz gewonnen: Die IdealMassen 51 des n^^^ Zwei- 
ges e^ 'com quadratischen Körper ^ der negativen JDishri^ninante und die 
Klassen ^ ursprünglicher positiver quadratischer Formen der negativen 
Zweigdishriminante D = n^B entsprechen in der ohen näher erörterten 
Weise einander umlcehrhar eindeutig. Insbesondere geht hieraus hervor, 
daß die Anzahl der Klassen ursprünglicher positiver Formen der negativen 
DisJcriminante I) gleich der Anzahl h(\D\) der IdealJdassen des n^*^" Zwei- 
ges ist. Für die Anzahlen /i(|D|) und /i(|D|) der Formklassen der beiden 
Diskriminanten i) = w^O und D bleibt demnach die in (1) S. 134 aufge- 
stellte Relation gültig. 

Die „Hauptklasse" 21^ wurde nach S. 133 von den mit e^^ äquivalenten 
Idealen geliefert. Benutzen wir wieder die Basis 1, d für e„, so finden 

wir als zugehörige Form sofort (l, 1, — - — j bzw. (1, 0, .— ), je nach- 
dem D ^ 1 oder E= (mod 4) ist. Wir gelangen also zur Hauptform, so 
daß der Hauptklasse ^q der Ideale a„ die HaiiptJdasse ^q der Formen zu- 
geordnet ist. 

Eine später zur Verwendung kommende Folgerung aus der Gleichung 
(1) S. 134 möge hier gleich noch angeschlossen werden. IstJ)^ 1 (mod 4)^ 
so ist auch D ^ 1 (mod 4), und n ist ungerade. Wir wollen in diesem 
FaUe eine Beziehung zwischen den Klassenanzahlen h(jD\) und h(\I)'\) 
= /i(4 |D|) der Diskriminanten D und D' = 4i) aufstellen. 

Ist erstlich Z) = — 3 und also Stammdiskriminante, so folgt aus 
(1) S. 134: 1 / / 3 2)\ 

wo (— 3, 2) das S. 118 erklärte Symbol ist. Da die Kongruenz x^^^ — S 
(mod 8) keine rationale ganze Lösung x hat, so ist (— 3, 2) == — 1, und 
wir finden h(l2) = h(ß). Ist I) eine von — 3 verschiedene Stammdis- 
kriminante, so gilt nach (1) S. 134: 

(14) h(4:\D\)=^hi\D\)-2{l-^^'/). 

Ist hingegen D eine Zweigdiskriminante, ö = n~^ • D aber die zugehörige 
Stammdiskriminante, so gelten die beiden Gleichungen: 

10* 



148 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und iPormen 

{n) 



h({I)\)^hQOi).r.nlJ{l^-^^°f), 

Da n ungerade ist, so hat das Produkt auf der rechten Seite der letzten 
Gleichung neben den im Produkte der ersten Gleichung auftretenden 
Faktoren noch den zu ^ = 2 gehörenden weiteren Faktor. Die Division 
der letzten Gleichung durch die vorletzte führt also zur Relation (14) 
zurück. Die Kongruenz x'^ :^ I) (mod 8) ist nun aber in rationalen ganzen 
Zahlen x lösbar oder nicht lösbar, je nachdem I) ^^ 1 oder :^ 5 (mod 8) 
gilt. Im ersten FaUe ist also (D, 2) = -f- 1, im zweiten (D, 2) = — 1. 
So ergibt sich aus (14) der Satz: Ist i) -- — 3 oder ee= 1 (mod 8), so sind die 
Klassenanmhlen /j (4 | D 1) und ä (| D |) einander gleich; ist B — b (mod 8), 
jedoch Glicht gleich — 3, so ist h (4 1 B |) das Breifache der Klassenan^ahl 
h(\B\). 

§ 8. Komposition der quadratisclien Formen. 

Die Multiplikation der Ideale a„ im n^^^ Zweige e,^ des quadratischen 
Körpers £' führte uns S. 134 ff. zur ,ßIultiplikation der Idealkiassen'^. Die 
Grundlage dieser Entwicklung war der Satz, daß das Produkt eines be- 
liebigen Ideals der Klasse % und eines beliebigen der Klasse W ein Ideal 
einer durch 5t und W eindeutig bestimmten dritten Klasse W liefert, 
die wir dann selbst als Produkt % • W der beiden gegebenen Klassen 31 
und W bezeichneten. Gegenüber dieser Multiplikation bildeten die h 
Idealklassen 5to, 5li, . . ., 5l^_.i von e,^ eine xibelsche Gruppe G^^ der Ord- 
nung h^ in der das Einheitselement von der Hauptklasse %q geliefert wird. 

Die Multiplikation der Idealklassen %, ^i, • • v ^a-i ^^s w*''^ Zwei- 
ges e^^ ergibt nun, auf die den % eindeutig zugeordneten Klassen ursprüng- 
licher positiver quadratischer Formen der Zweigdiskriminante B über- 
tragen, die Lehre von der yKomposition" dieser Formklassen go? Si? • • •? 
%j,_iy die von Gauß begründet ist^), und die sich in etwas kürzerer Gestalt 
im Supplement X der „Vorlesungen über Zahlentheorie" von Birichlet- 
Bedehind'^) dargestellt findet. Entsprechen den drei Idealklassen 51, W 
und W =% ' W die Formklassen %, ^' und g", so sagt man, die Klasse 
%" entstehe aus fj und 5' durch „Komposition'' und bezeichnet 5" wieder 
symbolisch durch das Produkt ^ • §', wobei entsprechend den Pro- 
dukten der Idealklassen das kommutative Gesetz 3*5' = 5'-S S^^^- ^^^^ 
h FormUassen So? Si? • • •? Sa-i ^^^den dann gegenüber der Komposition 

1) In Art. 234 der „Disquisitiones arithmeticae". 

2) S. 387 ff. der 4. Auflage. 



Multiplikation der Ideale und Komposition der Formen 149 

die Elemente einer AhdscJien G^'uppe Gj^ der Ordnung Ä, in der das Ein- 
heitselement von der Hauptklasse %q geliefert wird. 

Die Komposition der Klassen wird von Gauß auf diejenige der For- 
men gegründet, die ^^Komposition der Formen^*^ aber wird direkt, und zwar 
mit einem erhebliclien Rechnungsaufwande durchgeführt. Der einfachste 
Ansatz zur Behandlung der Komposition der Formen wird von der Mul- 
tiplikation der Ideale o^ geliefert. Der Komposition zweier Formen {a, &, c) 
und {/(/, h'y c) entsprechend haben wir hier nicht nur zwei ihnen zuge- 
hörige Ideale a,^ und a[j zu wählen, sondern auch für diese Ideale zwei 
besondere Basen Oj, o^ und cOj, ca'^ zugrunde zu legen. Die Produkte der 
Zahlen {xo,^ — yco^ und {xco^^ — yco^ von a„ und a^ sind dann im 
Produkte 0^'= a„ • a^ enthalten. Wenn wir also für o!^ irgendeine Basis 
Oj, cOg auswählen, so gibt es für vier beliebige rationale ganze Zahlen 
•^? Vj ^\ y stets zwei bestimmte rationale ganze Zahlen x" , y\ die der 
Gleichung genügen: 

(1) (a;ö2 ~ yGi^{xGi\ — yu)'^ == x'(o'^~ y" Gi[. 

Aus dieser Grundgleichung lassen sich alle Formeln der Kompositions- 
theorie entwickeln. Wir folgern zunächst für die zu (öj, roo, . . . konju- 
gierten Zahlen i»i, cög? • • •• 

(2) (rrräg — 2/01) {x »2 - y&\ ) = x'g}'^— y"'^[. 

Nach einem S. 132 aufgestellten Satze gehört zum Produkte a^- a^ als 
Stammideal das Produkt a • a' der zu a„ und a'^ gehörenden Stammideale. 
Da nun JV'(a • a ) = -^(a) • JV'(a') gilt, so ergibt sich durch Multiplikation 
der Gleichungen (1) und (2) auf Gruud von (3), S. 142: 

(3) {ax^ -}- Ixy + cy") - (a'x'^^ + Vxy -f c'y^) = a'x"^-\- Vxy" + c"y'\ 
wo (a'y Vy c") die zur Basis m^j m'^ gehörende Form ist. Lösen wir die 
Gleichungen (1) und (2) nach x" und y" auf ^), so berechnen sich die x% 
y" aus den x, y und x, y in Gestalt einer sogenannten jf)ilinearen Sub- 
stitution'': 

I x" = ccxoo' + cc'xy 4- a'xy -f a"yy', 

^ \y''=ßxx-{- ß'xy'+ ß'^xy -f ß"'yy\ 

Durch diese hüineare Substitution wird die in (3) rechts stehende, aus 
(o, b, c) und {a, b\ c) „komponiefrte^' Form (a\ b", c") in das in (3) linhs 
stehende Produlct der ^fiomponierenden^' Formen verlegt. 

Durch Auswahl besonders zweckmäßiger Formen aus zwei vorge- 
legten Klassen fy und g' kann man die vorstehenden Gleichungen in sehr 
einfache Gestalten kleiden und dadurch Regeln zur Bestimmung der kom- 
ponierten Klasse g ' S' gewinnen. Wir entnehmen z. B. den Klassen g; 

1) Die Determinante des Gleichungssystems (1), (2) ist als Diskriminante 
Z>(ö)'/, cog) der beiden linear-unabhängigen Zahlen (o\\ 00" von verschieden. 



150 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

5' zunächst zwei Formen (a, \, c^ und {a^ h'^, c^ in denen a teilerfremd 
gegen 7i und a teilerfremd gegen an ist, was nach dem Schlußsatze 
von § 6, S. 141 keine Schwierigkeiten hat. Wir üben sodann auf diese 
beiden Formen zwei Substitutionen der F^'"^ mit a = d =l,'y = aus, wobei 
nach (4) S. 138 die ersten Koeffizienten der Formen unverändert bleiben, 
während sich als mittlere Koeffizienten (\ — 2ßa) und (b\ — 2 ß' a) ein- 
stellen. Da a und a teilerfremd sind und h'^ eee \ (mod 2) wegen der 
gleichen Diskriminanten der Formen gilt, so kann man die beiden ratio- 
nalen ganzen Zahlen ß und ß' so wählen, daß: 

ßa — ß'a = \ (6i— l[) und also \ -^2ßa = h[ — 2 ß'a 

zutrifft. Wir gelangen zu zwei Formen (a, &, c) und (a, h, c) mit glei- 
chen mittleren Koeffizienten und folgern aus der Gleichheit der Diskri- 
minanten die Grleichung ac = de. Da nun a und d teilerfremd sind, so 
geht a in c auf. Wir setzen also c = ac^ und finden c = d c^\ Aus zwei 
'beliebig vorgelegten Klassen ^, %' hami man zivei Formen (a, h, dc^) und 
{dyhyac^ lüählenj in denen a und d gegeneinander und gegen n teiler fremd 
sindy tvährend c^ rational und ganz ist. 

Als zugehörige Ideale benutzen wir nun die der Zahlen: 

(5) ax + \ y, a x + g '"^^ «/ • 

Die Gleichung (1) nimmt dann die Gestalt an: 

(6) {xx — c^yy) ad + (axy + dxy + hyy) -~ ^^^^ — = x'o'^- y"ci[. 
Die Zahl a-d ist im Ideal a'J= a„ • d^ enthalten. Aber auch - -txJ — 

findet sich m a^; denn sowohl a ~^-- — - als auch a --— — 

kommen in d^ vor, und a, a' sind teilerfremd. Aus (6) geht demnach 
hervor, daß man: 

(7) ö, = ^2 > "^2 = «^' 

als Basis von d^ benutzen kann, worauf die zugehörige bilineare Sub- 
stitution (4) die Gestalt annimmt: 

(8) x' = XX — c^yxjy y" = axy' -f- dxy + hyy. 

Wir haben also den Satz gewonnen: Bepräsentieren tvir die beiden ge- 
gebenen Klassen % und %' durch die Formen (a, &, a'co) und (d, b, aCo), 
so ist die Icomponierte Klasse % • g' diejenige der Form {ad, &, c^. Dies 
ist in der Tat die der Basis (7) entsprechende Form. 

Die zu zwei „entgegengesetzten*^ Formen (a, b, c) und («, — &, c) ge- 
hörenden Klassen nannten wir bereits S. 141 selbst „entgegengesetzt'^. 
Diese Klassen sind stets und nur dann einander gleich, wenn sie ambig 



Durchführung der Komposition der Formen 151 

sind. Wir nehmen a teilerfremd gegen n an und haben in den beiden 
zugehörigen Idealen: 

(9) ax + 2-—' 2/, ax "-f" - ' V 

zwei ,,konjugierte'^ Ideale a^, a^. Es läßt sich nun leicht zeigen, daß die 
beiden zugehörigen Idealklassen 51, %! im Sinne von S. 134 einander in- 
vers sind und also in 51 • 51' = ^tp die Hauptklasse liefern. Wir stellen 
nämlich in o„- a^ zunächst die drei Zahlen fest: 

a , a ^ \- a ^ —au, ^ " 2 ~^h 

damit aber auch (weil a, h, c keinen Teiler if > 1 gemein haben) die 
Zahl a. Mit a und a~ — ~-p-- — enthält a • a' alle Zahlen: 

(10) a(. + ^'ffl,). 

Andrerseits sind, wie man leicht feststellt, alle Produkte zweier Zahlen 
(9) im Systeme (10) enthalten. Also ist, da 1, ^^ — ®^^® Basis 

von e„ ist, O-n' Cin= a ' e„? so daß a„- a[ tatsächlich mit e„ äquivalent ist. 
Wir kleiden das Ergebnis in die Gestalt: Zwei entgegengesetzte Form- 
Massen %, g' gehen, miteinander komponiert, stets die Hauptklasse go? ^^ 
daß g' auch durch g~^ bezeichnet tverden mag. Da mit g die Klasse g', 
die der Gleichung 5 * 5' = i5o g^^^g^? eindeutig bestimmt ist, und da nur 
die ambigen Klassen sich selbst entgegengesetzt sind, so folgt insbeson- 
dere: Nur die ambigen FormMassen gehen, mit sich seihst komponiert, die 
Hauptklasse gg. 

§ 9. Einteilung der Formklassen in Geschlechter. 

Von einer rationalen ganzen Zahl m sagt man, sie sei durch die 
quadratische Form (a, h, c) „darstellbar", wenn es zwei rationale ganze 
Zahlen x, y gibt, für welche {ax^ -\- hxy + cy^) gleich m wird: 

(1) m = ax^ + hxy + cy^. 

Nach (4) S. 138 folgt, daß z. B. alle Zahlen, die als erste Koeffizienten 
der mit (a, h, c) äquivalenten Formen auftreten, durch (a, h, c) darstell- 
bar sind. Wir können demnach zufolge eines S. 141 aufgestellten Satzes 
durch {a, h, c) darstellbare Zahlen m angeben, die zu irgendeiner vorge- 
schriebenen Zahl n teilerfremd sind. Fs giht sogar unendlich viele gegen 
eine vorgeschriebene Zahl n teilerfremde, durch (a, h, c) darstellbare Zahlen. 
Ist nämlich m eine erste, so können wir auch eine gegen nm teilerfremde, 
durch (a, h, c) darstellbare Zahl ni angeben, sodann eine gegen nmm' 
teilerfremde usw. 



152 Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

Durch Ausübung einer Substitution (2) S. 138 auf (1) folgt leicht 
der Satz: Ist die Zahl m durch (a, h, c) darstellbar , so ist diese Zahl auch 
durch jede mit (a^ h, c) äquivalente Form darstellbar. Wir dürfen uns 
demnach der Ausdrucksweise bedienen, die Zahl m sei „durch eine Form- 
Masse % darstellbar^'. Weiter ergibt sich aus (1) sofort: 
m = ax^+ (— b) x{—y)-\-c{-' yf. 

Da nun (a, — b, c) der zu g entgegengesetzten Klasse %~^ angehört, so 
besteht der Satz: Ist eine Zahl m durch eine der beiden entgegengesetzten 
Klassen 5? S~^ darstellbar y so ist sie stets auch durch die andere Klasse 
darstellbar. Aus (3) S. 149 geht endlich noch folgender Satz hervor: Ist 
m durch die Klasse g und m' durch %' darstellbar, so ist das Produlä m • m' 
durch die aus der Komposition der Klassen % und ^' su gewinnende 
Klasse % • ^' darstellbar. 

Es seien nun m und m' irgend zwei durch g darstellbare Zahlen. 
Dann ist m' auch durch g" ^ und also m • m' durch die Hauptklasse 

S ' S~^== 5o darstellbar. Benutzen wir die Hauptform (1, 0, — -A bzw. 
(l, 1, — .- ) selbst, so folgt: 

(2) m7n = x^ — . y^ oder Amm' = (2x ■}- yY — Dy^, 

je nachdem D = oder ^ 1 (mod 4) ist. 

Wir verstehen weiter unter p irgendeine in D aufgehende ungerade 
Primzahl und unter m, m' irgend zwei gegen p teilerfremde ganze Zahlen^ 
die durch g darstellbar sind. Aus (2) folgt dann: 

mm'^x"^ bzw. ^mm' ^ (2 x -\- yY (modjö), 
so daß m • m' quadratischer Rest von jp ist. Also besteht der Satz: Alle 
gegen den ungeraden Primfalctor p von D teuer fremden, durch g darstell- 
baren Zahlen m, m', m", . . . haben gleichen quadratischen Charakter in 
bemig auf p, d. h. sie sind entweder durchweg quadratische Beste oder durch- 
weg quadratische Nichtreste von p, so daß wir mit Hilfe des Legendreschen 
Zeichens schreiben können: 

(^) 0=0 =(;>•••• 

Der gemeinsame Wert + 1 oder — 1 dieser Legendreschen Zeichen^ 
der durch die in D enthaltene ungerade Primzahl p und die Form- 
klasse g bestimmt ist, heißt ein „Gharahter" der Klasse 5 ^^^ möge 
durch X bezeichnet sein. Jede Klasse g hat demnach zunächst so viele 
Charaktere %, als verschiedene ungerade Primzahlen p in der Diskrimi- 
nante I) enthalten sind. Eine wesentliche Eigenschaft dieser Charaktere 
kommt durch folgenden Satz zum Ausdruck: Sind % und % die zum un- 
geraden Primfalctor p von D gehörenden Gharaldere der Klassen % und 



Die Charaktere einer Formklasse 153 

g', SO ist der zu p gehörende Charakter der durch Komposition von g und 
%' entstehenden Klasse % • %' das Produkt % • % der Charaktere % und %. 
Sind nämlich m und m zwei gegen p teilerfremde durch % bzw. %' dar- 
stellbare Zahlen, so ist m • m durch g • 5' darstellbar und teilerfremd 
gegen p. Dann aber gilt: 



p ) = \p)-\p) = ^-^- 



Ist D gerade, aber nicht e^ 4 (mod 16), so können wir für jede 
Klasse g iioch einen, in einem gewissen Falle sogar noch zwei weitere 
Charaktere erklären, die wieder die bisherigen Eigenschaften der i be- 
sitzen. Ist nämlich erstens |D = 3 (mod 4), hat also D die Gestalt 
1) = 16^ -f 12, unter k hier und weiterhin rationale ganze Zahlen ver- 
standen, so folgt aus (2) für irgend zwei ungerade durch g darstellbare 

Zahlen m,fn'. ' 9 , «> / j ^n 

' wm = ä;^ 4- 2/ (mod 4). 

Da hier eine der Zahlen x, y gerade, die andere ungerade sein muß, so 
folgt m-m'=l, m'=m (mod 4), so daß für alle ungeraden, durch g 
darstellbaren Zahlen m, m, m'\ ... die Gleichungen gelten: 



(4) (-1) ^' =(_!) ^ =(-1) 2 ^.... 

Ist zweitens |D = 2 (mod 8), also D = 32/j -f 8, so folgt aus (2) 
für irgend zwei ungerade, durch g darstellbare Zahlen m, m': 

mm = a;^ — 2 !/^ (mod 8). 
Also ist X ungerade, und es folgt wm'^ + 1, m'-^E^^m (mod 8). In 
beiden Fällen folgt Kw^— 1) = l(m'2— 1) (mod 2), so daß sich jetzt 
für alle ungeraden, durch g darstellbaren Zahlen: 

»n^-l r/t'2_i m"-~l 

(5) (- 1) » ' = (- 1)^^ == (- 1)^^' = . . . 

ergibt. Ist drittens ^D = 4 (mod 8), also D = 327^ -f 16, so schließt 
man wieder auf m' = m (mod 4) und damit auf das Bestehen der Glei- 
chungen (4). Haben wir viertens \D ^Q (mod 8), also D = 32Ä -[- 24, 
so folgt aus (2): mm'^x'+2y' (mod 8). 

Da X ungerade sein muß, so schließen wir auf m • m' = 1 oder m • m' e= 3 
(mod 8), also auf m^m bzw. m'^3m (mod 8). In beiden FäUen ge- 
langt man leicht zu den Gleichungen: 

■))t — l m- — 1 m' -1 m'- — l 

(6) (- 1) 2^ ^ ~ 8 _ (^_ 1) "^ '" "^« = . . . . 

Ist endlich \D = (mod 8), also B = Z2 kj so folgt in der bisherigen 
Weise mm-^ 1 (mod 8) und also ni^=m (mod 8). Jetzt bestehen also 
die Gleichungen (4) und (5) zugleich. 

Wir führen nun, falls D = 16 k -]- 12 oder = 32Ä; -f 16 ist, den 



154 EinleituDg, Teil V: Quadratische Körper und Formen 

m — 1 

Wert (— 1) - als neuen Charakter % von % ein. Ebenso führen wir für 

rii- — 1 

D = 32Ä: + 8 den Charakter % = (- 1) « ' und für D = 32A; + 24 den 

m — l rn^ — l 

Charakter % = (— 1) ^ '^ ein, sowie endlich für D = 32 ä; die bei- 



den Charaktere (— 1) ^ und (—1) ^ . Auch diese Charaktere haben 
stets einen der Werte -f- 1 oder — 1. Da man aber für irgend zwei un- 
gerade Zahlen «/, m' leicht die Gleichungen zeigt: 

m — l m' — 1 m m' — 1 

(-ip"'.(-ip =(-ir^ , 

m- — 1 77i'^ — l (m m')- — 1 

(- 1)-^-- (- 1)"^= (- 1)~~«""; 

so besteht auch für jede Art der neu erklärten Charaktere der Satz: Der 
Charaläer einer Tiomponierten Klasse %-%' ist das Produkt der CharaMere 
der komponierenden Klassen. 

Die Anzahl v der Charaktere der einzelnen Klasse g ist gleich der 
Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von D, falls D = 4Ä -j- 1 oder 
= 16/^ + 12 oder mod 32 mit einer der Zahlen 8, 16, 24 kongruent ist; 
für D == IG/i) + 4 ist diese Anzahl v um eine Einheit geringer als die 
Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von D, für J) = 32 Z; um eine 
Einheit größer. Wir bezeichnen die Charaktere der einzelnen Klasse ^ 
in einer bestimmten Anordnung jetzt genauer durch %^, %„' • • •? %v ^^^^ 
nennen diese Zusammenstellung aller v Charaktere den j^Totalcharaläer'^ 
der Klasse g. Dann gilt der Satz: Der TotalcharaUer i^^ %^, . . ., %l der 
durch Komposition von g und %' entstellenden Klasse g'' = 5 ' 5' ^^" 
rechnet sich aus den Totalcharalderen der komponierenden Klassen %^, %^, 
. . ; %^ und %^y %,2, ■ ' ; %[. nach dem Gesetze: 

Da jeder einzelne Charakter einen der beiden Werte + 1 hat, so 
sind im ganzen 2^ verschiedene Totalcharaktere kombinatorisch möglich. 
Wie viele von diesen 2^ verschiedenen Kombinationen als Totalcharaktere 
unserer Formklassen wirklich auftreten, muß hier unentschieden bleiben. 
Da zwei entgegengesetzte Klassen g und g~^ gleiche Totalcharaktere 
haben, so ist nach der Regel (7) einleuchtend, daß die Hauptklasse 5o 
den Totalcharakter %\= ^y %^= '^, - • ^ %y = 1 hat. 

Wir vereinigen nun alle Klassen, welche im Totalcharakter über- 
einstimmen, zu einem ^^Geschlechte" von Formklassen und nennen insbe- 
sondere dasjenige Geschlecht, dem die Hauptklasse angehört, das „Haupt- 
Geschlecht". Die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes heiße ^, 
die Klassen selbst seien g^, g^, . . ., 5/<-i- ^^^^ besteht zufolge der 
Regel (7) der Satz: In der Ahelschen Gruppe G,^ aller h{\I)\) Klassen 



Total Charaktere und Geschlechter der Formklassen 155 

der Diskriminante JD bilden die [i Klassen 5o? Si? • • •? S/<-i ^^^ Haupt- 
geschleclites eine ausgezeichnete'^) Untergruppe G^ der Ordnung iij so daß ^ 
ein Teiler von h ist. Komponiert man irgendeine Klasse ^5 ^^^ ^^^ f* 
Klassen ^^^ Si? •••? 5/^-1 ^^^ Hauptgeschlechtes, so haben alle 
Klassen % • go, % • ^^^ . . ., S • ^5/d-i gleiche Totalcharaktere, und zu- 
gleich erschöpfen diese [i Klassen das ganze zu diesem Totalcharakter 
gehörende Geschlecht. Den — zur G gehörenden Nebengruppen (vgl. 
S. 4) entsprechen also ebenso viele Geschlechter von Formklassen, und 
hiermit werden zugleich alle Geschlechter erschöpft: Alle Geschlechter 
der Formldassen der Diskriminante D enthalten gleich viele Klassen; die 
Klassenanzahl hy geteilt durch die Anzahl ^ der Klassen im einzelnen 
Geschlechte, ergibt uns somit als Quotienten die Anzahl der Geschlechter 
und damit die der wirklich auftretenden Totalcharaktere. 

Die 2'^ kombinatorisch möglichen Totalcharaktere bilden gegenüber 
Multiplikation (entsprechend der Gleichung (7)) eine Abelsche Gruppe 
G2V der Ordnung 2^ Die bei der Diskriminante D wirklich auftretenden 
Totalcharaktere bilden für sich eine Gruppe, da mit zwei solchen Total- 
charakteren stets auch ihr Produkt auftritt. Die Ordnung jeder Unter- 
gruppe der G^v ist ein Teiler von 2'', also wieder eine Potenz 2^ von 2. 
Für die Klassenanzahl /i(|i)|) und damit für die Ordnung der Gruppe 
Gj^ folgt hieraus h = 2^ - ^, wo ^ die Anzahl der Klassen im einzelnen 
Geschlechte ist. Die Anwendung des S. 17 (am Schlüsse von § 6) aufge- 
stellten Satzes ergibt somit das Resultat: Die Abelsche Gruppe Gj^ besitzt 
als Indexreihe die in ^ aufgehenden Primzahlen, vereint mit X Indizes, die 
alle gleich 2 sind. 



1) Alle Untergruppen einer Abelschen Gruppe sind ausgezeichnet. 



Erster Abschnitt. 

Die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze 
der elliptisclien Funktionen. 

Die in diesem Absclinitte zur Sprache kommenden Entwicklungen 
über die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptisclien 
Funktionen stammen in ihren Grundlagen aus der älteren Geschichte der 
elliptischen Funktionen. Die Additionstheoreme wurden bereits gegen Mitte 
des vorletzten Jahrhunderts von Euler entdeckt^) und gehören zu den 
in der älteren und neueren Geschichte der elliptischen Funktionen am 
häufigsten behandelten Gegenständen. Für die Ausbildung der Multipli- 
kations- und Divisionssätze sind vornehmlich die Schöpfungen Abels 
grundlegend gewesen.^) Insbesondere ist von Abel der algebraische Cha- 
rakter der Teilungsgleichungen erkannt, und die hier gewonnenen Sätze 
sind für seine allgemeinen Untersuchungen über die Auf lösung algebraischer 
Gleichungen vorbildlich gewesen. 

Die nachfolgende Darstellung schließt sich durchweg an die in Bd. I 
des vorliegenden Werkes entwickelte Gestalt der Theorie der elliptischen 
Funktionen an. Die Theoreme sind also überall zunächst für die Funk- 
tionen erster Stufe dargelegt; bei der zweiten Stufe aber werden sie in 
derjenigen Gestalt entwickelt, wie sie bei Jacobi vorliegen. 



Erstes Kapitel. 

Die Additionssätze der elliptischen Funktionen. 

Eine vorläufige Betrachtung der Additionssätze der Funktionen erster 
Stufe wurde schon in I, 202 ff. durchgeführt. Es sei insbesondere an die 
daselbst S. 204 entwickelte Auffassung erinnert, nach welcher die Addi- 



1) Vgl. A.Enneper, „Elliptische Funktionen, Theorie und Geschichte", 2. Aufl., 
bearb. von F. Müller (Halle 1890), S. 182ff. Dieses Werk wird weiterhin kurz durch 
die Namen der Autoren zitiert. 

2) S. die „Recherches sur les fonctions elliptiques", Art. 9 ff., Journ. für Math., 
Bd. 2 (1827) oder „Werke", Bd. 1, S. 279ff. 



• Einleitende Bemerkungen über die Additionstheoreme 157 

tionsformeln für p und p': 

p(u -\-v) = i?i(p(w), Pill), p{v), p{v)) 

p'(u + t;) = B^X^iu), p{u), p{v), p\v)) 

eine algebraisclie Darstellung der kontinuierlichen Gruppe zweifach un- 
endlich vieler Transformationen der Riemannschen Fläche Fg in sich lie- 
ferten. Funktionentheoretisch ist die Existenz zweier Gleichungen der an- 
gegebenen Gestalt für p{u -\- v) und p{u -f v) leicht einzusehen. Es ist z. B 
p{u -\- v) als Funktion von u doppeltperiodisch mit den Perioden cj^, co 
und läßt sich also nach den Sätzen von 1, 198 als rationale Funktion von 
p(u)j p{u) darstellen. Weierstraß hat in seinen Vorlesungen^) die Exi- 
stenz eines Additionstheorems sogar an die Spitze der ganzen Entwicklung 
gestellt und teilt den Satz mit, daß die Existenz eines solchen Theorems 
eine charakteristische Eigenschaft der elliptischen Funktionen und ihrer 
Ausartungen sei. Als Eingang in die Entwicklung der Additionssätze 
wählen wir eine gleichfalls von Weierstraß aufgestellte dreigliedrige 
Sigmarelation ^), aus welcher im wesentlichen nur noch durch das Mittel 
analytischer Umformungen die Hauptformeln der Additionssätze gewonnen 
werden sollen. 

S 1 . Additionstheoreme der elliptischen Funktionen erster Stufe. 

Sind u^y Wg, u^i drei beliebig gewählte Werte von u, so stellen die 
drei Produkte: 

6(w -f- ?«J 6(w — u^), 6(it -f u.^)(5(u — «2), G(u + u.^) 6(tt — %) 

drei gleichändrige ganze elliptische Funktionen dritter Art zweiter Ord- 
nung dar, zwischen denen nach I, 227 eine lineare Gleichung: 

(1) Ä^G(u -f Wj) (5(u — u^) -f- A^ ^{u --h U2) ^(^^ — «*2) 

mit nicht durchweg verschwindenden, von %{, unabhängigen Koeffizienten 
A identisch besteht. Zur Bestimmung der A setzt man in (1) nachein- 
ander n == Wj, Wg, Wg ein und findet: 

A^ 6 (u^ 4- u^) 6 (2^3 — u^ + A^ 5 (wo + %i^ 6 (w« — Wg) = , 

Ax ^ 0% + Wi) 6 {11.. ~u^-r A^'o (i*3 -f li.^ 6 («3 — %) = . 

1) Vgl. H. A. Schwarz, „Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der ellip- 
tischen Funktionen", nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn K. Weier- 
straß (Göttingen 1881ff.) S. Iflf. 

2) S. die eben genannte Schrift S. 47. 



158 I> !• I^ie Additionssätze der elliptischen Funktionen • 

Aus diesen Gleichungen bereclinen sich die Verhältnisse der Ä wie folgt: 

Durch Eintragen dieser Werte in (1) findet man die dreigliedrige Weier- 
straßscJie Sigmarelation. 

(2) 6 (w + u^) 6 {u — itj) 6 (wg + %) ^ (^2 ~ ^3) 

■j- 6(u -{■ ^*2) (o(w — z/g) 0(^3 4- Wj) 6(^<3 — t/^) 
+ 6(u + ^«3) 6(w — tfg) 6(«^i + Wg) 6(^fl — ^3) = 0, 

die man als die gemeinsame Quelle der weiteren Additionsformeln be- 
nutzen kann. 

Bevor dies ausgeführt wird, schließen wir an (2) noch folgende, unten 
zur Benutzung kommende Betrachtung an. Für die zwölf Argumente 
der in (2) auftretenden Sigmafunktionen benutzen wir folgende Abkürzungen: 



(3) 



^1 == ^2 — %> ^1 "^ '^h + ^; ^1 = U^ — W, 
^2 ^"^3 — ^17 ^2 == ^2 + ^7 -^^o = t*2 — ^3 
a?3 = Mj^ ^2? 2/3 "^ ^3 I ^h '-3 "^ ^3 '^; 



v-j Us) lA/n • 



^2 = 



"1? 



"2? 



mit deren Hilfe sich die Relation (2) in die Gestalt kleidet: 
(4) eiw,)6{y,) 6(z,)6(Q + 5{x,)6{y,) 6(0,) 5{t,) 

Man kann hierbei an Stelle der vier unabhängigen Variablen u, u^yU^, u^ 
auch die x^ y, z, t irgendeiner der drei Reihen (3) als solche benutzen. 
Nehmen wir z. B. die erste Reihe (3), so ergeben sich für die u die Dar- 
stellungen: 

(5) U = -J («/i - ^i), U^ = K^l + ^l)^ «*2 = i(^l - ^l); '^3 == 2 (- ^1 - ^l)- 

Durch Vermittlung dieser Formeln findet man die x,yjZjt der zweiten 
und dritten Reihe (3) in denen der ersten durch die beiden quaternären 
linearen Substitutionen der Determinante 1 dargestellt: 



(6) 



^2 2^1 2^/1 2*^1 2'^1? 

2/2=+ 2^1+1«/!- K- 2^1, 
^2 = + '2^1 "'2 2/1 ~1~ l-^l 2 ^17 

^2 "^ + J^l ~ ^Vl ~ 1^1 + "2^1? 
^3 = ~ 2 ^1 + I2/1 + 1^1 -f 2 ^U 
2/3 = - i^l + l^/l - 1^1 - 2 '^n 
^3 = - 2^1 - i2/l + 1^1 - 1^1; 
^3 = - 2^1 - I2/1 - 1^1 + 4^1- 

Die erste dieser Substitutionen, die wir symbolisch durch S bezeichnen, 



(7) 



Weierstraßsche Sigmarelation uebst Folgerungen 159 

liefert, zweimal ausgeübt, die Substitution (7), die deiünach. durch S^ zu. 
bezeiclmen ist. Dreimalige Wiederholung von S liefert aber die identische 
Substitution, so daß die Substitutionen (6) und (7) im Verein mit der iden- 
tischen Substitution eine zyklische Gruppe G^ der Ordnung 3 bilden. Bilden 
die x[, y[y z\, t\ ein zweites Variablensystem, das gleichfalls den Substi- 
tutionen S und S^ unterworfen werden soU, so erweist sich der bilineare 
Ausdruck (x^x\ + y^y\ -f ^i^j + t^t\) als invariant gegenüber S und S^, 
d. h. es besteht die Relation: 

x^x\ -f y^y\ + z^z\ -f- t^t[ = x.^x'^^ + y^jj^ + ^2^ + ^2^2 

Dieserhalb werden S und S^ als „orthogonale'^ Substitutionen bezeichnet.^) 
Unter Zusammenfassung können wir den Satz notieren: Sind x-^,y^jZ^^ t^ 
vier unabhängige Variable j die durch die orthogonalen Substitutionen S und S^ 
der zyklischen G^ in die Variablensysteme (6) und (7) übergehen, so besteht 
für diese drei Variablensysteme x-, t/^, 0^, t. die Sigmarelation (4) identisch. 
In die Relation (2) werde jetzt eingesetzt % = ö, u^= v, wodurch 
sie die Gestalt annimmt: 

--6(11 + Ui)6(u — u^)6(vy -\- 6(v -{- u^)6(jv — Ui)6(uy 
-f- 6(u + v)6(u — v)6(uj)^= 0. 

Verstehen wir unter + u^ die beiden Nullpunkte der j^^-Funktion, so kön- 
nen wir S(w + Uj)6(u — Wj) durch das Produkt — p(u)6(uy6{u^y er- 
setzen (vgl. (11) in 1, 216) und 6(v -]- Uj)(d(v — 11^) entsprechend aus- 
drücken: ^(w)5(^)25(^J25(^)2_^(.^,),5(^)2(5(.^j25(,,)2 

-f- 6(u -f v)6(u — v)6(u^y= 0. 
Hieraus folgt die schon in I, 217 unter (14) gewonnene Gleichung: 

Man logarithmiere diese Gleichung und differenziere nach u bzw. 1;; 
bei Benutzung von (6) in I, 209 ergibt sich: 

tiu + v) + t{u -v)~ 2SW = + -^^01^, 

Die Addition dieser Gleichungen ergibt das sogenannte „Additionstheorem 
des Normalintegrals zweiter Gattung ^(uY', das auch bereits in I, 202 unter 



1) In der analytischen Geometrie des Raumes liefern die Drehungen eines 
rechtwinkligen Achsenkreuzes um den Nullpunkt ternäre orthogonale Substitutionen 
der Koordinaten. 



160 Ij 1- Die Additionssätze der elliptischen Funktionen 

(2) gewonnen wurde: 

(9) ^(u + ^^i(u) + ^(^ + l^^. 

Durch die in I, 203 ausgeführte Rechnung findet man aus (9) die a. a. 0. 
unter (5) angegebene Gleichung: 

(10) K« + '«)=l(fS£||)-K»)-.W. 

Hier hat man eine erste Gestalt des ,yA.dditionstheorems der p-FunJction^^ 
vor sich; das Theorem bringt mim Ausdruck, daß die p-Funldion, gebildet 
für die Summe (u -\- v), sich rational durch die Funktionen p, p der ein- 
seinen Summanden u, v darstellt, und ^eigt zugleich die Gestalt dieser Dar- 
steUung. Aus (9) und (10) folgt: 

p(it + v) 4- 9(u) 4- p(v) = (?(?* i-v)- ^(w) - my- 

Durch Differentiation nach u bzw. i? und Addition der entstehenden Glei- 
chungen folgt bei nochmaliger Benutzung von (9): 

(11) 2p- (u + v) + p'{u) + p\v) = «-|M(j,(,„) ^ p(^) _ 2p(« + ^)), 

eine Gleichung, der man die übersichtliche Gestalt geben kann: 
\p(u-i-v), ~p(u-]-v), 1 

(12) I p{u), p(u), 1 =0. 

p(v), p(v), 1 

Ersetzt man s^j(u + v) durch den Ausdruck (10), so hat man eine erste Ge- 
stalt des Additionstheorems der p -Funktion getvonnen. 

Mit Hilfe der zwischen p und p' bestehenden Gleichung kann man 
die vorstehenden xidditionsformeln in verschiedene andere Gestalten klei- 
den. Da sich p^ rational in p ausdrückt, so kann man z. B. Gestalten der 
Gleichungen erzielen, die in p{i() und p(v) linear sind. Für die ^.>- Funk- 
tion gelangt man so zu der in I, 203 unter (4) angegebenen Gleichung: 

(13) 2p(u-{-v)(p(:u)-p(v)y 

= {2piu)p{v)(^)(:u) -f p(:v)) — l,g^2(^m -f 9{'o)) — //J — p'(^)^'W• 
Als entsprechende Gestalt des Additionstheorems der ^./-Funktion findet 
man nach einer nicht ganz kurzen Rechnung: 

(14) 2p{u^v){p{u)-p{v)y 

= {2p{uY{p{v) 4- 3^(i*)) - \g^{^p{u) + p(:v)) - 2g.)p{v) 
-{2p{v)\pCo) 4- ^p{u))-\g.X^p{v) 4- pi:u)) - 2g^)p\u), 

Eine weitere bemerkenswerte Gestalt der Additionsformeln erzielt man 
auf folgendem Wege: Man multipliziert (13) mit 2{p{u) — p{v)) und er- 



Verschiedene Gestalten der Additionsformeln für p und p' 161 

setzt im Produkte rechts die dritten Potenzen von p auf Grund der 
Regel: 

(15) ^p^=p'^ + g2P -\-9i' 

Dabei erscheint ein Aggregat, das in jedem der beiden Größenpaare p(u) , p^ii) 
und p (v) , p' (v) rational und ganz vom zweiten Grade ist. Einer entsprechen- 
den Umformung unterziehe man die rechte Seite der mit 2 multiplizierten 
Gleichung (14). Endlich folgere man aus (15): 

4(^(w) - p{v)y= P'(}iy — P(vy- (12p{u)piv) — g^)(piu) - p{v)). 

Als zusammenfassender Ausdruck der Additionsformeln für p und p' ent- 
steht so: 

(16) p(u + v) : p\u -\-v):l = 

{pXuyp{v)-p{tt)p\vy-{2p\u)pXv)-i-g.XP(^)-{-p{v)) + 3g,Xp{u)- 

: { (P' (u) p' {V) + 3^3) (f (w) - p (V)) ■\-2{^p (w) p {V) - g.^) {p iu) p' {v) - p\u) piv)) 

+ g^XP(^)P(^) — Piv)Pi'^)) 1 
• IpW— pXvy-(^i2p{u)piv) - g,^{p{u) — p{v)}. 

Hier stehen rechts in jedem Gliede der Proportion rationale ganze Funlc- 
tionen zweiten Grades in jedetn der beiden Größenpaare p{u)y p\u) und 

P(f^),P(f^)- 

Man kann das Additionstheorem der p-Funktion auch dadurch zum 
Ausdruck bringen, daß nach demselben zwischen den drei Funktionen 
p(u -\- v)y p{i(), p{v) eine algebraische Beziehung bestehen muß. Diese Be- 
ziehung nimmt symmetrische Gestalt an, wenn wir — {u -{- v) = w und 
also p{u-\-v) = p{w) setzen. Die fragliche Beziehung gewinnt man leicht 
aus (13) durch Auflösung nach p'{u)p\v)j Quadrieren und Ersatz von 
p\uy und p\vy durch ihre Ausdrücke in p{u) und p{y)'. Für irgend drei 
Argumente u^Vjtv der Summe u -{- v -\- w = gilt folgende Relation zwei- 
ten Grades in jeder der FunUionen p{u)y p{v)y p(w): 

(17) (piv)p{w) -f p{w)p{u) + p{u)piv) + y^y 

— {4p{u)p{v)p{tü) - gs){p{u) + p{v) + p{w)) = 0. 

§ 2. Invariante algebraische Gestalten der Additionsformeln. 

Verlegt man die Betrachtung aus der ?^-Ebene auf die Riemannsche 
Fläche Fg, so nehmen die Additionsformeln des § 1 algebraische Gestal- 
ten an, die sich an die Rechnungen in I, 146 ff. anschließen. Wir setzen 
f(z) = 4:Z^ — g^z — g^ und haben den einzelnen Punkt der Fg durch ein 
zusammengehöriges Wertepaar ^,y/*(;^) festzulegen. Den beiden Argumen- 
ten u und V mögen die Stellen a;, Yf^x) und y^ Yfiv) ^^^ ^2 entsprechen, 
dem Argumente {u + v) aber die Stelle z, yf(z). Die Bedeutung der Ad- 
ditionsformeln ist dann die, daß zwei willhürlich gewählte Stellen x, yf{x) 

Fr icke, Die elliptischeu Funktionen II 11 



162 I? 1- 1^16 Additionssätze der elliptischen Funktionen 



und y, Yfij/) stets eine dritte Stelle 0, yfi^) eindeutig hestimmen, die sich 
auf Grund von (13) und (14) >S'. 160 algebraisch aus den gegebenen Stellen 
berechnen läßt. 

Es hat nun Klein^) gezeigt, daß man die zu gewinnenden neuen 
Formeln für die Additionstheoreme (13) und (14) S. 160 in sehr ein- 
einfache invariante Gestalten setzen kann. Wir spalten (und natürlich 
entsprechend die Werte x und y von 0) in den Quotienten ^^ : ^^ zweier 
homogenen Variablen und ziehen neben f(z) die „Verzweigungsform": 

(1) fz- ^4^2- 92^14-9^4 

heran. Die Gleichung (13) S. 160 nimmt dann, in algebraische Gestalt um- 
geschrieben, nach Multiplikation mit xlyl die Form an: 

2{x,yf0 = (2x^y^ - \g^x,j^){x^y^ + x^y^) - g.xlyl - Yf^ • >7;, 

wo das Symbol (ic, y) wie in I, 146 eine Abkürzung für (^i2/2~~ ^iVi) i^^- 
Entsprechend kleidet sich die Gleichung (14) S. 160 nach Multiplikation 
mit xlyl in die Gestalt: 

{x, yfVfis) = {^lix^y^ + ^x.j^) - {g^xl&x^y^ + x^y^) - g^xly^)y% 
- (yl(yi^2 + 32/2^1) - 1^22/2(^2/1% + 2/2%) - ^32/2%) Vfx' 
Es sei nun g^^ die durch 4 geteilte erste Polare der Verzweigungsform f^ 
und h^^^j die durch 12 geteilte zweite Polare: 



(2) 



, dfx . dfx 

45'x,j,-^^;2/ii- ^2/2; 

12/^.,.- S2/? + 2^1^^,2/2+ ^2/1- 



Aus (1) berechnet man: 

9x,y= (PA^2 - 1^2^2)2/1 + {^\ - l92^i4 - 9z4)92y 
K,y- ^^i^iVl + (2^1 - ^92^)9192 - {\92^i^2 + 9A)yl' 
Der Vergleich mit den vorstehenden Gleichungen ergibt als invariante 
Schreibweise der Additionsformeln der Funktionen p und p': 



(3) 



VM = 



K,y^-yZVfy 

2{x,yy ' 

9,,y\/Ty-gy,xVZ 



^ ~ Hx^yY 



{x,yY 

Diese Gleichungen erscheinen als algebraische Ausdrucksformen der tran- 
szendenten, zwischen den Stellen x, y, z bestehenden Gleichung: 

^^ J vm J vm J Vf{t)' 



1) „über hyperelliptische Sigmafunktionen", Math. Ann. Bd. 27 (1886), S. 455 ff. 



Invariante Gestalten der Additionsformeln 163 

In algebraischer Gestalt tritt das Additionstheorem bei Euler auf.^) 
Das Hauptinteresse wendet' sich dann aber in den ältesten Untersuchungen 
unseres Gegenstandes sogleich der Annahme zu, daß der Wert z fest- 
gehalten wird. Dadurch werden die Stellen x und y in Abhängigkeit von- 
einander gesetzt, und zwar drückt sich diese Abhängigkeit zunächst in 
Gestalt der Differentialgleichung: 

(5) -^ + _iL = 



aus, der man auch die homogene Gestalt verleihen kann: 

^a\ {x,dx) {y,dy) ^ ^ 

^ ^ Vr. VTy 

Indem man etwa in der ersten Gleichung (3) für 3 den konstanten Wert G 

einträgt, ergibt sich als algebraische Beziehungzwischen den Stellen x, ^({x) 

und y, Yflyj: 

m Ky-^c{x,yy-Vfjf^^o. 

In dieser Gleichung hat unser Additionssats das allgemeine Integral der 
Differentialgleichung erster Ordnung (5), und zwar als algebraische Bezie- 
hung zwischen x und y ergeben. Auf dieses Ergebnis wurde ursprünglich 
das Hauptgewicht gelegt.^) 

Sowohl die Differentialgleichung (6) als auch ihr Integral (7) sind 
invariant gebaut. Geht man demnach durch lineare Transformation zu 
einer beliebigen Verzweigungsform: 

(8) f^=a^z{-\-4.a^zlz^-\-&a,j\zl-\-4.a^z^zl-\-a^z\, 

so behalten für diese sowohl die Differentialgleichung (6) als auch ihr 
Integral (7) unverändert ihre Gestalt bei. Übrigens gestattet die Gleichung 
(7) noch eine Vereinfachung. Man berechnet zunächst aus (8): 

K, y = ^lyl{%^^y^ + ^a^xyix + y) + a^{x^ + ^xy -f y^) 4- '^a^{x + !/) + aj 

und gestaltet den Klammerausdruck unter Aufnahme der beiden Funk- 
tionen f((c) und f{y) leicht so um: 

- 2a,{x'-y'){x ~ y) - 2a^{x - yf). 
Durch Eintragung dieses Ausdrucks in (7) entwickelt man als Gestalt des 
allgemeinen Integrales der Gleichung (5): 

(9) ( ^'"'tlf^ )' = «o(^ + yy + 4«, (^ + t/) + c, 

wo C = 4a2 + 46' als neue Konstante eingeführt ist. Dieses Integral ist 
bereits von Euler entdeckt. 



1) S. die geechichtlichen Angaben bei „Enneper-Müller", S. 184 ff. 

2) S. „Enneper-MüUer", S. 185 ff. 

11* 



I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen 

In eine sehr einfache invariante Gestalt, die bisher nicht bemerkt zu 
sein scheint, kann man die Additionsformeln (16) S. 161 durch Aufnahme 
ternärer Variablen auf Grund der Proportion: 

(10) x^:x^'.x^= p{u) : pXu) : 1 

kleiden. Zwischen den drei Xj^ besteht dann eine algebraische Beziehung, 
die man durch Nullsetzen der ternären kubischen Form: 

(11) F^-^^l-92^i4-4^s-9z4 

erhält. Man setze u -f v^-\- w = 0, wie S. 161, und bezeichne die den Argu- 
menten u, VyW zugehörigen ternären Variablen durch Xj^, y^, z^. Die Pro- 
portion (16) niiiimt dann die Gestalt an: 

(12) ^r.^3:^3 = 

{ ^IViV^ - ^AVl - {^VJ2 + ^2(^12/3 + ^32/1) + 35^3% 2/3) (a?! 2/3 - ^32/1) 1 
{ - {VJ2 + Sö's ^32/3) (^22/3 - ^32/2) - 2(6 fl?!?/! - 92X^yz){x^y^ - x^y^) 

+ ö'2(^i^2 2/3- ^32/12/2)1 

{ Avl -4yl- (i2rri2/i - 5'2^32/3)(^i2/3 - ^32/1) } • 

Bezeichnet G^^y die erste Polare der Form (11): 

so gilt explizite: 

G^^y = 12xly^ - öAVi - ^^AV^ - 25^2^1 ^3^3 - AVz - ^ffs^Vs- 
Die Proportion (12) läßt sich nun mit dieser Polare einfach so schreiben: 

Da die homogenen Variablen nur als Verhältnisgrößen für die Riemannsche 
Fläche in Betracht kommen, so kann man die 0f. auch direkt den drei in 
der letzten Proportion rechts stehenden Gliedern gleich setzen: Bei Ge- 
hrauch der durch (10) eingeführten ternären Variablen kann man die Ad- 
ditionsformeln in die einfachen Ausdrücke: 

(14) ^k=^k(^y,.-yk(^.,yy ^ = ^'2.3 

zusammenziehen, wo G^^y die erste Folare der ternären kuhischen Form 
(11) ist. 

§ 3. Übergang zu den Additionsformeln der Jacobischen 

Funktionen. 

Bei Ausübung einer linearen Transformation auf die homogenen 
Variablen verhalten sich die rechten Seiten der Gleichungen (3) S. 162 
invariant. Übt man die unimodulare Substitution z^^ z[ + e^z\, z^ = z'^ 
aus, so geht die Verzweigungsform f^ = ^z^{z^ — c^z^{z^ — e^z^{z^ — e^z^) 
bei Fortlassung der oberen Indizes an den neuen Variablen über in: 

(1) /; = 4^1 ^2(^1 - («A - %)32){^l - (^lu - ^y)^2^y 



Umformung der invarianten Additionsformeln in die Jacobischen 165 

wo Zj A, fi die Indizes 1, 2, 3 in irgendeiner Anordnung sein sollen. Die 
erste Gleichung (3) S. 162 ergibt somit in den neuen Variablen und also 
für die Form (1): , « / n« ,/:r-./i.- 

^^> '^ 2(i7^'~ • 

Berechnet man nun für die Form (1) die zweite Polare 121%^^, so er- 

gibt sich: K,y-^e,i^.yy-^^.^.y\ 

+ 2{x\ + Qc^x^x^ + {e^-e;){e^- e,)xly,y, + 2{e;, - e,){e^- e;)x,x,yl), 
wofür man nach Multiplikation mit ^x^x^y^y^ schreiben kann: 

Die Gleichung (2) gestattet demnach die Schreibweise: 



z = 



4^1 ^j 2/12/2(^,2/)^ 

Nach Ausziehen der Quadratwurzel und Übergang zur nichthomogenen 
Schreibweise folgt: 



V7= ]/^T/(2/-(e,-e,))(2/-(e,-e,))-]/2/T^(;r-(e,-e,)) (a^-(6^-e,)) 
^ — x — y 

Diese Gleichung schreibt sich bei Einführung der in I, 383 ff. er 
klärten doppeltperiodischen Funktionen zweiter Stufe ^^(w), 9^(w) so: 

^A^ + v)-± .^fzi-^j,^^- ~ 

Für lim «t == folgt, da lim^j^(tf) = cx) ist: 



u = 



^,W = T *.(.). Um (^) 



Nach (4) und (9) in 1, 384 ff. ist aber der rechts stehende Limes gleich 1, 
so daß das untere Zeichen gilt: Die Additionstheoreme für die drei Funh- 
tionen siveiter Stufe 'tpy^iu) = ]/^(m) — e.^ lauten also: 



wo (py_{u) nach 1, 385 erldärt werden kann durch: 



(3) *^(» + ^) ^M'-^M- 



(4) 9,,(m) == ^,{u)t^{u) = V{i>,(MS' - (ex - eMi>M)' - («,.-«.))• 

Von (3) aus kann man unmittelbar zu den Additionssätzen der Jacobi- 
schen Funktionen gelangen. Nach I, 389 gilt: 



(5) 






166 I, 1. Die Additionssätze der elliptisclien Funktionen 

so daß man mit Rücksicht auf (4) weiter findet: 

(ßj — e^) cn w dn w 



(6) 






(Cg — Cj) dn u 



anu^ 



(gg — ej cn u 
ye^e'J Sil«*' 

Die Gleichungen (3) führen damit zu dem Ergebnis: Die Additionsformeln 
der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn sind: 



(7) 



sn (u -{- v) = 
cn (u -\- v) = 
dn. (u -\- v) = 



sn w cn t; dn v — anvcnudnu' 
dn«*sn«?cn«; — dnvsnwcn«* 
sn«*cnt? dni; — snv cnu dnu' 
cn i* dn V sn v — cn v duu snu 



sn w cn t? dn ?; — sn t; cn tt dn w 
Bei Aufstellung der zweiten und dritten Gleichung hat man von den be- 
kannten Relationen Gebrauch zu machen: 
(8) cn^ = 1 - sn2, dn^ = 1 - F sn». 

Gewöhnlich benutzt man eine andere Gestalt der Additionsformeln 
der Funktionen sn, cn, dn, die aus (7) durch eine einfache Umrechnung 
hervorgeht. Mit Hilfe von (8) beweist man leicht die Gleichung 

(sn u cn V dD.v — snv cnu dnu) (sn tf cnt; dn v -f sn ü cn w dn u) 
= (sn u^ — sn v^) (1 — h^ sn u^ sn v^) . 
Erweitert man nun die Gleichungen (7) rechts mit dem Ausdrucke 
(snu env dn«? + anv cnu dnu), so lassen sich auch die Zähler mittelst 
der Relationen (8) derart umformen, daß sich aus allen drei Brüchen die 
Faktoren (sn u^ — sn v^) fortheben lassen. Als neue Ausdrücke für die Ad- 
ditionsformeln der Jacohischen Funktionen sn, cn, dn gewinnt man so: 

sn u qhv dvLV -\- QTLV (mu dnu 



(9) 



sn (u -{- v) == 
cn {u -\- v) ^ 
dn (u -^ v) = 



1 — Ä^snii^snt?* ' 

cn w cn V — anuanvdnudnv 

dnudnv — Tc^ sn u sn «; cn -w cn v 



1 — Ä'snw^ snv'' 

Für die in I, 472 unter (7) angegebene Ausartung der elliptischen 
Funktionen, die im Falle ^^ = eintritt, gelangen wir hier zu den Ad- 
ditionssätzen der trigonometrischen Funktionen sin und cos zurück. 

§ 4. Einführung einer Abelschen Gruppe G^^^. 
Nach I, 384 führen die Änderungen des Argumentes u der ursprüng- 
lichen Sigmafunktion um Periodenhälften zu den drei Sigmafunktionen 



Additionstheoreme für die Funktionen sn, cn und dn 



167 



(5f(u I (»1, Og) der zweiten Stufe. Um allgemein das Verhalten der drei- 
gliedrigen Relation (4) S. 158 bei solchen Änderungen festzustellen, er- 
klären wir zunächst für die Argumente x^^y^f^^, #i im ersten Gliede unserer 
Relation (4) S. 158 die symbolisch durch Fzu bezeichnende Substitution: 



(1) 



und schreiben für diese Substitution auch abkürzend: 

'<; Ä, /i, ^1 



•^1 


— ^1 -r ^1 


2 


r «^1 


2 ' 


Vi 


= 2/i + ft 


(Ol 

2 


+ ß'; 


«2 

2 ' 


«1 


= ^1 + y[ 


«1 

2 


+ /; 


«2 

2 ' 


t'r 


= ^1 + ^; 


CO, 

2 


+ ^'; 


«2 

2 ^ 



M; Pi; n; ö^X 

\"i, ßu n, äj 



(2) 

Hierbei soUen die a[f a[^ . . ., d'l irgendwelche acht ganze Zahlen sein, 
die nur der einen Bedingung zu unterliegen haben, daß die vermöge der 
in (6) und (7) S. 158 gegebenen Transformationen S und S^ auf die Argu- 
mentreihen x^^y^j .., und iCg, «/s? • • • umgerechnete Substitution V wieder 
Substitutionen S - V - S-^ mi^ S^ - V- S'^ der Gestalten: 



(3) 



^e + ^e Y + n- y. 



2/,- 



^; 



1 = 2,3 



mit gansmhligefn Koeffizienten a^j a^^ . . ., ö'^ liefern. Nun berechnen sich 
aber die vier Koeffizienten a'., ß'.^ y., d'. aus den cc[y ß[j y[y d[ einfach 
durch die Substitution S bzw. S^, und ebenso erhält man die a^j ß'^j y.\ ö'! 
aus den a^^y ß'[y y'^j d^. Für die Ganzzahligkeit der «g, a^, . . ., dg ist dem- 
nach das Bestehen der beiden Kongruenzen: 

(4) a[ + ß\ + y\ + ä',^0, cc';+ß^;+y;+ä';=0 (mod.2) 

notwendig und hinreichend. 

Alle Substitutionen V mit ganzzahligen, die Kongruenzen (4) erfül- 
lenden Koeffizienten bilden nun eine Icommutatwe oder Äbelsche Gruppe F. 
Der Äbelsche Charakter dieser Gruppe ist eine Folge des Umstandes, daß 
sich bei Kombination zweier Substitutionen V entsprechende Koeffizienten 
addieren. 

Soll die 6-Relation (4) S. 158 durch ein einzelnes V in sich trans- 
formiert werden, so müssen sowohl die acht Koeffizienten von V, wie die 



168 I, 1. I>ie Additionssätze der elliptischen Funktionen 

sechzehn von S • V • S~^ und S^ - V- S~^ durchweg gerade Zahlen sein. 
Aus den auf unsere Koeffizientensysteme umgeschriebenen Substitu- 
tionen (6) und (7) S. 158 geht hervor, daß für die Geradzahligkeit 
der Koeffizienten von F, S-V- S-\ S^ • F- 5" ^ die Kongruenzen: 

... («;^/3;^/,^(j;^o, <^ft'^/;-d'>o (mod2), 

^^ \a[+ß[ + y[ + ö',^0, c/;+ß';+y;-{-d';^0 (mod4), 

notwendig und hinreichend sind. AUe Substitutionen F, die die Kon- 
gruenzen (5) befriedigen, bilden eine in F enthaltene ausgezeichnete Unter* 
gruppe. ^) 

Die gefundene Untergruppe nennen wir F' und zerlegen nach dem 
bei endlichen Gruppen angewandten Grundsatze die Gesamtgruppe F in 
eine symbolische Summe von „Nebengruppen*^ (vgl. S. 4): 

6) r=r-f-r.f^,+ r.cr2 + ---, 

wo die U geeignet gewählte Substitutionen F sind. Aus dem additiven 
Gesetze, das für die Kombination unserer Substitutionen gilt, ist dann 
folgendes einleuchtend: In irgend zwei Substitutionen der einzelnen Neben- 
gruppe sind je zwei entsprechende Koeffizienten mod 2 und je zwei ent- 
sprechende Koeffizientensummen {cc -\- ß -\- y -\- d) mod 4 kongruent; für 
irgend zwei Substitutionen aus verschiedenen Nebengruppen bestehen diese 
Kongruenzen nicht zugleich. Die Anzahl der Nebengruppen bestimmt man 
demnach durch folgende Abzahlung: Auf Grund von (4) ist von den vier 
Zahlen a\ ß\ y, ö' eine mod 2 durch die übrigen bestimmt, und dasselbe 
gilt von einer der Zahlen a\ ß'\ /', d'\ Man hat also (2^)^ = 64 inkon- 
gruente Klassen von Substitutionen mod 2. Jede dieser 64 Klassen zerlegt 
sich wieder in 4 Unterklassen, je nachdem von den Zahlen (a-\-ß'-{- y+ö') 
und (a' + ß'' -\- y" -f d''), die zufolge (4) gerade sind, beide durch 4 teil- 
bar sind oder nur die erste oder nur die zweite oder endlich keine von 
beiden. Indem wir den Begriff des „Index'^ einer Untergruppe aufnehmen, 
(vgl. S. 4), hat sich ergeben: Die durch die Kongruenzen (5) erldärte aus- 
gezeichnete Untergruppe der Gruppe F hat den Index 256 und möge demnach 
1^256 genannt werden. 

Nach den S. 9 ff. für ausgezeichnete Untergruppen entwickelten Sätzen 
fassen wir nun die 256 Nebengruppen (6) selbst als Elemente einer Gruppe 
und bezeichnen diese Elemente gleich wieder durch Uq==1j U^, C^g, . . . , C/255 . 
Die ausgezeichnete Untergruppe Tgse liefert auf diese Weise eine Äbelsche 
Gruppe 0^256 ^^ endlichen Ordnung 256, 

Von den Untergruppen dieser G^t^q kommt diejenige zur Benutzung, 
deren Substitutionen den Kongruenzen: 
(7) a[^ß,^Y\^S[, a;^ß';^Y';^d'; (mod 2) 

1) Es ist selbstverständlich, daß auch Äbelsche Gruppen der Ordnung 00 
nur ausgezeichnete Untergruppen enthalten. 



Einführung und Untersuchung einer Abelschen Gruppe (tj^q 169 

genügen. Unter den 64 mod2 inkongruenten Klassen von Substitutionen 
befriedigen vier diese Kongruenzen; man hat nämlich die beiden Fälle 
a[~ ß[ = "' = oder = 1 (mod 2) mit den beiden Fällen a^'= /3'/- • • ^ 
oder = 1 (mod 2) zu kombinieren. Jede der vier Klassen zerfällt aber, 
wie wir sahen, in vier Unterklassen, so daß im ganzen 16 unter den 256 
bezüglich der J^gse inäquivalenten Klassen von Substitutionen die Kon- 
gruenzen (7) befriedigen. Die den Bedingungen (7) genügenden Substitu- 
tionen der 6r256 bilden eine ausgezeichnete Untergruppe G^q der Ordnung 16 
und des Index 16. Dieser G^^ entspricht innerhalb der Gruppe F eine 
ausgezeichnete Untergruppe JTjg des Index 16. 

Bevor wir etwas näher auf die G^^ eingehen, stellen wir die Wirkung 
der Transformation unserer Gruppen rj F^^, jTggg durch die Substitution S 
fest. Daß die Substitution S - V - S~'^ wieder ganzzahlige Koeffizienten 
^'2? /^2> • • •; ^2' ^^^? wurde bereits oben (S. 167) ausgesprochen. Da sich 
jede der beiden Reihen a^, ß^j y^y ä^ aus der entsprechenden Reihe 
«1, j3i, 7i, (^1 durch die Substitution S selbst berechnet, so ist für beide 
Reihen: 
(8) «, + ftH- 7^2+ ^2 = ^1 - ft - ri- ^1, 

wie aus (6) S. 158 folgt. Also erfüllt auch S - V- S~^ wieder die Kon- 
gruenzen (4), so daß S • r ' S~^ wieder die Gruppe F ist (natürlich für 
die Variablen o^g? !/2> ^2? ^2 geschrieben). Da die Substitution S ortho- 
gonal ist, so gilt nach S. 159 für jede der beiden Reihen a^, . .. und cc'^ ...: 

< ■\-ß\-\- rl -\-äl = a\-\- ßl -\-yl-\- d^ 

Bestehen also insbesondere die Kongruenzen (7), so folgt: 

al + ßl + rl + dl~0 (mod4). 

Da das Quadrat einer ganzen Zahl mod 4 mit oder 1 kongruent ist, je 
nachdem die Zahl gerade oder ungerade ist, so folgt aus der vorstehenden 
Kongruenz, daß die Zahlen «g? ß^t 72? ^2 ^®^ einzelnen der beiden Reihen 
mod 2 einander kongruent sind. Somit ist ^S* • F^q- 5~^ wieder die Gruppe rjg 
selbst. Gelten endlich die Kongruenzen (5), so erweist sich (wegen der 
ersten Gleichung (6) S. 158) jede der Zahlen c^^, a^ als gerade, und also 
sind nach der eben beendeten Überlegung alle acht Zahlen «3? ft? ^2? ^2 
beider Reihen gerade. Dann aber folgt aus (8) und (5) weiter: 

«2 + ft + 72 + ^2 = «1 + A + ri + ^1 = (mod 4), 

so daß auch S • V- S~^ die Kongruenzen (5) befriedigt. Es hat sich also 
gezeigt, daß jede der drei Gruppen F, F^q und r'gse (^^^^ch S und also auch 
durch S^ in sich transformiert wird. 

Wir bauen nun zunächst die G^q in folgender Weise auf: Ein ein- 
zelnes Zahlquadrupel (a, /3, y, d) geht durch die Substitutionen 1, S, S^ 



170 I» !• I^iö Additionssätze der elliptischen Funktionen 

in drei zusammengeliörige Quadrupel über. Für (a, /3, y, d) = (0, 0^ 0, 0) 
sind diese drei Quadrupel einander gleich. Setzen wir weiter (^oc^ ß, y^ d) 
^ (2, 0, 0, 0), so erhalten wir die drei Quadrupel: 

(9) (2,0,0,0), (-1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1). 

Wir fügen zu diesen drei Quadrupeln noch (0, 0, 0, 0) hinzu und kom- 

/a, ß\ y\ d'\ 
binieren die vier Quadrupel zu den sechzehn Paaren 1 „ ^,, ,, ^„\. 

V« ,/3 ,y , <^ / 

Diese sechzehn Paare können wir als die Substitutionen der G^^ verwerten. 

. . /Ö, 0, 0, 0\ 
Unter ihnen haben wir zunächst die identische Substitution (^ ^ rv /a) 

Die 15 übrigen ordnen sich in fünf Systeme zu je dreien, wobei die Sub- 
stitutionen des einzelnen Tripels durch S zyklisch permutiert werden. Bei 
dreien unter diesen Tripeln, neun Substitutionen liefernd, besteht jedesmal 
eine der Substitutionen nur aus geraden Zahlen; ein Beispiel ist 

/2,0,0,0\ /-l, 1, 1, 1\ /-l, _l,-l,_ly 
^^^' lo, 0,0,0/' V 0, 0, 0, 0^ V 0, 0, 0, 0/- 

Bei den beiden übrigen Tripeln, die noch sechs Substitutionen ergeben, 
ist keine der Substitutionen aus durchweg geraden Zahlen zusammen- 
gesetzt; ein Beispiel hierfür ist das Tripel: 

/ 2,0,0,0\ /-l, 1, 1, 1\ /-1,-1,-1, -1\ 

^^^^ \-\, 1, 1, ij' l- 1, - 1, - 1, - ir V 2, 0, 0, o; • 

Man zerlege nun die ö^gse entsprechend ihrer ausgezeichneten Unter- 
gruppe G^i6 in die sechzehn Nebengruppen: 

(12) (^256= ^16+ ^16- ^1+ ^16- ^2+ • ' ' + ^16 ' ^15 • 

Es sind dann endlich auch noch die sechzehn hierbei zu benutzenden 
Substitutionen ^0= 1, T^, Tg, . . ., Tjg zweckmäßig zu wählen. Es ge- 
hören aber zwei Substitutionen 



U, ß-, /, s'\ /5', ß', r, s- 
\a",ß",r",d"J' \a",ß",r",s" 

stets und nur dann der gleichen Neben gruppe G^^- Tj^ an, wenn die 
Kongruenzen gelten: 

'a — a =: ß' — ß' = Y — y = ö' — d' 

— ff ff W/f nff . rt — ff je.// jtv/ 

a — a = ß — ß = y — y ^o — o 

Neben T^=l treffen wir nun für die weiter folgenden neun Substitutionen 
Ti, Tg, . . ., T9 die Wahlen: 



(mod2). 



Die ausgezeichnete Untergruppe G^, in der Gjj, 



171 



(13) 



^' Vo, 0,0,0^' 
-'^ lo, o,o,oy' 

/' VO, 0,0,0;/' 



7,^/0,0,0,0N /O, 0,1, IX 

^' lo, 0,1,1^' ^»-lo, 0,1,1^ 

/0,0,0,0N „^/o,i,o,i\ 

^' Vo, 1,0,1/' ^0 \o, 1,0,1/' 

7,^/0,0,0,OX /0,1,1,0X 

^« lo, 1,1,0;- ^^ 10,1,1,0/' 



während wir den Rest der sechs Substitutionen Tj^, ... so bestimmen: 
'0, 0, 1, 1\ /O, 1, 0, 1\ /O, 1, 1, 0^ 



(14) 



_/ü,0,l,l\ _/0, 1,0,1\ _/0, 1,1,0N 

'i» 10,1,0,1/' -'""lo, 0,1,1/' ^'^-^O, 0,1,1;/' 
/O, 0,1, IN /O, 1,0, IN /O, l,l,Ox 

/'^-lo, 1,1,0;/ • ^""lo, 1,1,0/' ^'^""lo, 1,0,1/- 



Man wolle mittelst der elementaren Durchrechnung feststellen, daß keine 
zwei der sechzehn Substitutionen Tq, T^^ . . ., T^^ der gleichen Neben- 
gruppe (12) angehören. Damit ist dann bewiesen, daß man diese Sub- 
stitutionen zum Zwecke der Zerlegung (12) in der Tat gebrauchen kann. 

§ 5. Die 256 dreigliedrigen Sigmarelationen.^) 

Mittelst der Relation (8) in 1, 209 stellt man die Wirkung einer Sub- 
stitution V der Untergruppe Pgse ^^^ ^i® Relation (4) S. 158 fest. Das 
erste Glied der Relation erfährt die Substitution F, während auf die Argu- 



mente Xc, 



. . und x^^ ... der beiden anderen Glieder die Substitutionen 



S • V ' S~'^ und S^ ■ V- S~^ auszuüben sind. Alle Sigmafunktionen gehen 
bis auf Exponentialfaktoren in sich über. Der bei der ersten Funktion 
5(rCi) auftretende Faktor aber ist: 

/*l-4 - -^ — 2— j + 2 l^^+ 4 )^ 

und man findet, daß das erste Glied unserer Sigmarelation in sich, multi- 
pliziert mit der Exponentialfunktion von: 

"^^■(«-f ß[ß';-\- r[y:-r d;d;o + |(K%+<^,)a;, + .-. + (d;iy,-fr;^,)^,) 

Übergeht. Die beiden anderen Glieder verhalten sich entsprechend; die bei 
ihnen auftretenden Exponentialfaktoren gehen aus dem eben angegebenen 

1) Über das Auftreten solcher Relationen in Gestalt von Thetarelationen und 
über zahlreiche sie betreffende Untersuchungen vgl. man die sachlichen und ge- 
schichtlichen Darlegungen bei „Enneper-MüUer'', S. 135 ff. In erschöpfender Weise 
behandelt den Gegenstand E. Study in der Arbeit „Sphärische Trigonometrie, 
orthogonale Substitutionen und elliptische Funktionen", Leipz. Abhandl. Bd. 20 (1893). 



172 I, 1- Die Additionssätze der elliptieclien Funktionen 

liervor, indem man die Indizes 1 bei den Koeffizienten «,/?,... und den 
Variablen x^ «/,... durch 2 bzw. 3 ersetzt. Nun ist es die Wirkung der 
^orthogonalen*' Substitution 5, daß bei diesem Ersätze die Ausdrücke: 



«1 < + ft/3;' + y\y[ + ^\Ki <^i + • • • + ^'A, 



+ --- + ^r 



unverändert bleiben. Die Faktoren der drei Glieder sind demnach ein- 
ander gleich und können aus der transformierten Gleichung fortgehoben 
werden: Die dreigliedrige Sigmarelation (4) S. 158 tvird durch die Sub- 
stitutionen V der Untergruppe 1^256 ^^ ^^^^* transfortniert und nimmt dem- 
nach gegenüber den Substitutionen V der Gesamtgruppe höchstens 256 ver- 
schiedene Gestalten an. 

Die Gewinnung dieser Relationen ist nur noch eine etwas umständ- 
liche Rechenarbeit, die hier nicht in allen Einzelheiten dargestellt werden 
kann. Man wird zunächst die sechzehn Substitutionen der G^q zur Aus- 
übung bringen und die entstehenden sechzehn Relationen sodann ver- 
mittelst der sechzehn Substitutionen T^, Tj, . . ., T^^ umformen. Es ist 



G3i 



CJo 



zweckmäßig, neben co^, o^ auch noch als dritte Periode C3^ = 
einzuführen und % als entsprechende Periode des Integrals zweiter Gat- 
tung zu benutzen. Bei den Rechnungen ist wiederholt die Legendresche 
Relation (6) aus I, 160 zu benutzen. Im übrigen gründen sich die Rech- 
nungen auf das Verhalten der ursprünglichen 6-Funktion und der drei 
Funktionen 6^ (u), 63 {n), 63 (ii) zweiter Stufe bei Änderung der Argumente 
um Perioden oder um Periodenhälften. Wir notieren zunächst aus 1,384* 



(1) 



wo %, X zwei verschiedene der drei Indizes 1, 2, 3 sind. Weiter folgt 
aus der Erklärung der 6^,(1«) in 1,384 und den übrigen daselbst ent- 
wickelten Formeln: 

'Q(t* + |'') = ±e±*"«"'S(|')S.(«), 
S, (m + !^-) = + e± i '»" + i "'-■' . 1- . 5 (m) , 



5(m± 


<«.) = 


_g± 1x»+ Jljtlu» 


5(«), 


^«(«i 


^,) = 


gllzU + Yfen'x 


s.(«), 


<5.(m± 


0^) = 


+ e±''j"+l''i'"i 


S.W, 



(2) 



s.(»±-1') 



,± -|'?z"- { »;xWA 



m 



^uW; 



wo X, A, (i die Indizes 1, 2, 3 in irgendeiner Anordnung sind. Die Werte 
der Sigmafunktion für die Periodenhälften können nach I, 416 j3P. durch 



Transformation der ursprünglichen 5-Relation durch die Fj^g 173 

die daselbst unter (12) eindeutig erklärten vierten Wurzeln aus den Dif- 
ferenzen der e^y e^, e^ so dargesteEt werden: 



(3) 



y 6q 6^ ' y 6^ 6j 



i;, w. 



6(f) 



•Ve 






Die 15 von der identischen Substitution verschiedenen Substitutionen 
der 6rie zerlegten wir in zwei Systeme zu neun bzw. sechs Substitutionen. 
Um ein Beispiel für die Wirkung der ersten neun Substitutionen aus- 
zuführen, so üben wir auf die drei Glieder der Relation (4) S. 158 gleich- 
zeitig die drei Substitutionen (10) S. 170 aus. Im ersten Gliede bleiben 
die ursprünglichen 6-Funktionen bestehen, im zweiten und dritten Gliede 
findet sich überall die Funktion 5^ ein. Entsprechend ist es überhaupt 
der Charakter der neun sich ergebenden neuen Relationen, daß immer in 
einem der drei Glieder die ursprünglichen 5 verbleiben, während übrigens 
entweder nur 6^ oder nur (5^ oder endlich nur 63 auftritt. Als ein Bei- 
spiel für die sechs noch fehlenden Substitutionen der G^q üben wir auf 
die drei liederG der Relation (4) S. 158 gleichzeitig die drei Substitu- 
tionen (11) S. 170 aus. Dabei treten im ersten Gliede nur Faktoren 63, 
im zweiten nur 63 und im dritten nur 6^ auf. Entsprechend erscheinen 
wieder die übrigen fünf Relationen gebaut. 

Etwaige gemeinsame Exponentialfaktoren in den drei Gliedern einer 
transformierten Relation wird man fortheben. Auch hat man sich bei 
den Umrechnungen neben der Legendreschen Relation zur Vereinfachung 
der drei Gleichungen (3) zu bedienen. Die Rechnungen führen zu einem 
sehr übersichtlichen Ergebnisse, falls man sich folgender Abkürzungen 
bedient: | r*') = S (^,) ^ (./,) 6 (^,) 6 (^ , 

(4) w,-) _ _ (5{x,)6,iy,)6,(z,)6,ß ,) 

Die der G^q entsprechenden sechzehn dreigliedrigen Sigmarelationen setzen 
sich dann zusammen erstens aus der ursprünglichen lielation: 

(5) |w+|(^)+|m=0, 
sodann den neun Belationen: 

(6) |(" - 1« + |(') = 0, |a) + |»_|(3)=o, -|a)+|(2)+|(3) = o, 

wo X = 1, 2, S gu nehmen ist, drittens aus den sechs Itdationen: 

7) |W 4- If + !{?> = 0, 



174 I, 1- Die Additionssätze der elliptischen Funktionen 

tvo X, A, ^ die sechs Anordnungen der drei Indizes 1, 2, 3 zu durchlaufen 
hoben. 

Auf die gewonnenen sechzehn Relationen sind nun weiter die neun 
Transformationen (13) S. 171 sowie die sechs Transformationen (14) 
S. 171 auszuüben. Aus der Bauart dieser Substitutionen ersieht man 
dann wieder leicht^ welche Sigmafunktionen in den transformierten Rela- 
tionen auftreten. Die Ergebnisse kleiden sich nach längeren Zwischen- 
rechnungen wieder in eine sehr übersichtliche Gestalt. Wir erklären im 
Anschluß an (4) drei Systeme von je vier Größen ri durch: 

^« = + 6(^,)5to6,(^,)6,ft.), 
^(') = -6,(^,)5,(2/,)5(^,)5ft), 



(8) 



VI 



Vf 



Cz. 4. 1 — ei 



^k + l ^k + i 



WO h die Indizes 1, 2, 3 durchläuft und die unteren Indizes bei den 5 
und e nötigenfalls mod 3 zu reduzieren sind. Sechs weitere Systeme von, 
je vier Größen rj erklären wir durch: 

^(•■) = + 5(a;,)5,(2/,)5(^,)S,ft), 
ry» = -5,(a;,)5(2/,)5,(5,)5(0, 



(9) 



und durch: 



V'2 



^fr + 1 ^/t + 2 

^k + S W ^k + 1 (Vi) ^k + 2 i^i) ^k + 1 i^i) 



— e^ 



(10) 



(») 



+ 6(^,)^.WÖ.(^.-)Ö(0, 

-6,{x,)6{y,)6(z;)6,(Q, 



<i) ^k + 1 i^i) ^k + 2 (Vi) ^k + 2 (^i) ^k + 1 ih) 

^k + 1 ^fc + 2 



^^^-^ 



+ 



^k + 2 (^e) S/t + 1 (2/t) Ö/fc + 1 i^i) ^k + 2 (h) 



^k + 1 ^* + 2 

^w c^i'e 16 Relationen (5) ff. re^Äe/^ sich dann den neun Substitutionen (13) 
S. 171 entsprechend die weiteren 9 • 16 Relationen: 

(11) i?W + 7^(2) 4_ ^(3) _ 0, 

(12) 7^(1) - 7?W + ^(3) _ 0, rj^^ + 7?(2) _ ^(3) = 0, - ri^) + 7^(f) + r/3) = 0, 

(13) ' " V.^^ + ^? + <^) = 0, 

^^e sic/^ aw/" die neun erldärten Größensysteme rj, ri^, %, rj^ beziehen. 

Endlich sind noch die sechs Substitutionen (14) S. 171 auf die sech- 
zehn Relationen (5) ff. auszuüben. Das Charakteristische ist nun, daß wir 
zu dreigliedrigen Relationen geführt werden, bei denen im einzelnen Gliede 



(14) 



System der 256 Sigmarelationen 175 

als Faktoren die ursprüngliche Sigmafanktion und die drei Funktionen 
zweiter Stufe zugleich auftreten. Wir erklären sechs Systeme zu je vier 
Größen t durch: , j« _ g^^^.^ g^^^^.) 5^^^^.) q^(^^)^ 

?<•■)= 5,(^,) 5(1/,) 6j0,)6,(t,), 

a''=G,(^*)S»(2'.-)Qfe) S,(<,), 
U»=S„(:r,)5,(y,)G,(^,)5(<,), 

WO auch die Indizes Ic^ l, m alle sechs Anordnungen von 1,2,3 durchlaufen 
sollen. Die noch fehleyidcn 6 • 16 Belationen haben dann wieder die Gestalt: 

(15) g(i)+jW+j(s)==o, 

(16) ?(« - t? + e<?> = 0, tm + j(2) _ j(3) = 0, - ?w + 5<f) + ew = 0, 

(17) ?<«+Sf' + 5iP)=0. 

Jede der 256 Relationen kann auch unabhängig von den übrigen 
durch eine funktionentheoretische Überlegung gewonnen werden, die uns 
oben zur ursprünglichen Relation (4) S. 158 führte. Übrigens sind die 
Relationen natürlich in mamnigfachster Art voneinander abhängig. Sehr 
einfach gestaltet sich diese Abhängigkeit für je sechzehn zusammengehörige 
Relationen, wie im Falle der Relationen (5), (6) und (7) ausgeführt werden 
möge. Den ursprünglichen vier unabhängigen Variablen u, u^fU^, u^ ent- 
sprechend wählen wir etwa die vier Größen h,^^\ |^^), ^W, l^g^) als unabhängig. 
Die Auflösung der Relationen (5) ff. nach den ^^^\ ^^^\ . . . ergibt: 

^ 2^ 2>1 2^2 2^3 ? 

fei T^ 2 ' ' 2 ^1 2 ^2 2 ^3 ' 

'2 ^ 3 « 2 '1 "^ 2 '2 2 -3 ? 

?(2)_ J_ i.fc(l)_ ifc(l)_ it(l)_{_ lt(l) 
b3 ' 2 » 2 '1 2 ^2 ' 2 »3 ^ 

während wir für die ^^^\ |f\ ... zu den Ausdrücken gelangen: 

|(3)__lg(l)+i|(l)_lJ(l)_l|m 

m = — -1- Ml) _ 1- Ml) 4- -1 Ml) — i Ml) 

^2 2 ^ 2 '1 ^^ 2 '2 2 '3 7 

M3)= _ _1M1)_ 1M1)_ 1M1)_L IMi) 
^3 2 ^ 2 '1 2 '2 ' 2 '3 • 

Aus diesen acht unabhängigen Relationen^ die uns übrigens, wie man sieht, 
zu unseren beiden orthogonalen Substitutionen 5 und S^ zurückgeführt 
haben, sind dann die sechzehn Relationen (5) ff. einfache Folgen. 



(18) 



(19) 



§ 6, Die Additionstheoreme der Jacobischen Funktionen. 

Nach I, 416 ff. ist die Beziehung zwischen den Sigmafunktionen und 



den vier Jacobischen O'-Funktionen die folgende: 



176 



I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen 



6(u) 



«2 y A 



^•«^Vlpr^ 






(5^{u) 



l/iL_J 



63W==]/^ 






wo u == va^ gilt und die rechts auftretenden Wurzeln durch die Relation 
verbunden sind: 

Rechnet man nun die einzelne dreigliedrige Sigmarelation auf ihren 
Ausdruck in den -^'-Funktionen um, so erweisen sich die in den drei Gliedern 
auftretenden Exponentialfaktoren auf Grund der Eigenschaft der 5 und S^ 
als ,,orthogonaler" Substitutionen als gleich. Diese Faktoren und ebenso 

die von den Wurzeln 1/ — herrührenden gemeinsamen Faktoren der drei 
Glieder können demnach fortgehoben werden. Die Rechnungen führen zu 
folgendem Ergebnis: In den 256 für die ^, i?, J aufgestellten Belationen 
Icann man diesen Größen auch folgende Bedeutungen unterlegen: 
!«=+ »,(x,) »,iy,) ^,fe) »,{t,), 

i^f = - »oi^d »o(y.) »oi^d »oiQ, 

IS?=+ ^aW ^s(2/.-) *sk) »,{(,), 
^(0= + ^^(^^) ^^(2/.) <^^(^^) <).^(f.)^ 

^«)= - »,{x.) »M »,(ed 9,(t,), 

?«=^,(^,) ^i(%)^,„(5,)'9',ft), 

Hierbei ist noch folgendes zu bemerken: In den vier Formeln für die rj 
hat man die Indizes Je, l, m zuerst gleich 0, 2, 3, sodann gleich 2, 3, 0, 
endlich gleich 3, 0, 2 zu nehmen. Neben jedes der drei so zu gewinnen- 
den Systeme der ri treten dann noch zwei weitere, die man aus ihnen ein- 
fach durch zyklische Permutation der Argumente y, Zjt ableiten kann. 



Übergang von den 256 Thetarelationen zu den Additionssätzen 177 

Auf diese Weise entstehen, wie es sein muß, die neun Systeme der rj . In 
den Formeln für die 5 liat man für Je, l, m der Reihe nach die sechs An- 
ordnungen der Indizes 0, 2, 3 einzutragen, womit wir die sechs Systeme 
der ^ gewinnen. Die drei Systeme der x^y y^^ z^y t. hängen wieder durch 
die Relationen (6) und (7) S. 158 zusammen. 

Der Ansatz der -^'-Relationen führt uns in das Gebiet der Unter- 
suchungen, welche Jacobi in seiner Vorlesung „Theorie der elliptischen 
Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet"^) zur Grund- 
lage gewählt hat. Analytische Entwicklungen über diese Relationen sind 
seither vielfach wiederholt und weitergeführt.^) Die Möglichkeit, jede 
dieser Relationen auch einzeln auf Grund eines funktionentheoretischen 
Schlusses (mittelst des Hermiteschen Satzes von 1, 227) zu gewinnen, wurde 
bereits erwähnt. Im übrigen erscheinen die Relationen in ihrer Anzahl 256 
deshalb in einer gewissen abgeschlossenen Vollständigkeit, weil man in ihnen 
eben alle Relationen besitzt, die man aus einer unter ihnen vermittelst der 
Änderung der Argumente um Periodenhälften abzuleiten imstande ist. 

Zu den Additionssätzen der Jacobischen Funktionen gelangt man 
nun, indem man für die Argumente ^i, «Zu -^i? h insbesondere 

^1 = 2/i = «^, Zi=ti = v 
einträgt, was nach (6) und (7) S. 128 für 0:2, 2/2? • • •? ^3 ^i® Werte: 
Xi== — u — Vy y^=^u — v, ^2 = ^2 = 0, x.^= 2/3 = ^? % = ^3 = — w 

nach sich zieht. Die 256 Relationen werden dann z. T. identisch erfüllt, 
z. T. werden sie miteinander identisch. 

Zunächst gewinnen die zwölf Größen ^ folgende Bedeutungen: 

|(i) = _ |(3) = + ^^ (uy »^ (vy, |(^) = 0, 

1(1) = + |(3) = _ »^(uy-»,ivy, sf ^-»l 9,{u + v) »,{u - v), 

1^1) = + |(s) = _ ö-, iuy »,{vy, if = - *| ö', (« + v) »,{u - v), 
|0) = + 1(3) = + ^3 (uy ^3 {vy, I« = + ^1 «-3 („ + v) ^3 (m - v) . 

Bei Eintragung in die sechzehn Relationen (5), (6) und (7) S. 173 werden 
vier von ihnen identisch erfüllt, während die zwölf übrigen zu Paaren 
identisch werden und folgende sechs verschiedene ^-Belationen liefern: 

'»l»„{u + v)»„{u -v) = »,{uy»„{vy-9^(uyd;{vy 
= »,{uy»,ivy-»,{uy»,ivy, 

= »,iuy»,ivy-»,{uy»,(vy, 

n»,{u + v)9,iu - ») = »,iuy»,ivy+ d;(uyd;{vy 

~»,{uy»,{vy+»,i^cy»,(vy- 

1) Ausgearbeitet von C. W. Borchardt; s. Jacobis Werke, Bd. I, S. 503ff. 

2) S. die Note S. 171. 

Fr icke, Die elliptischen Funktionen II 12 



(1) { 



(2) 



(3) 



178 I, 1- I^i© Additionssätze der elliptischen Funktionen 

Man stelle entsprechend die für x^^ y^== u, 0^= t^ = v eintretenden be- 
sonderen Gestalten der Größen rj fest und wird durch Eintragung in die 
Gleichungen (11) ff. S. 174 finden, daß die 9-16 Relationen der rj im ganzen 
M verschiedene d^-Belationen ergeben. Es sind dies erstens die drei Systeme 
zu je sechs Relationen: 

= ^,(uy^o(^y + ^,[uy&,{vy 

-^oW^ii^y+^,(uy^M\ 
= ^,(iiy^,{vy-^,{uy&,{vy 

= M^y^s{vy-^o{^y^i(^y, 
=- ^,[uy^,{vy- ^,iuy^,(vy 
-^o(^y^s(vy-^,{uy^o{vy, 

= ^,(uy^,(vy-{-^,(uy^o{vy 

= ^o(^y^M'-^,(uy^2W 
= ^,(uy^,ivy- ^,(uy^,(vy, 

= ^,(uy^,{vy-^,{uy^,{vy 

= M^y^M'+^,(uy^o(vy 
= ^,(uy&,(vy+^oW^,{^y, 

= &o(^y^2i^^y-^,{uy^^(^y 
==^,iuy&M'-^,{uy^,{vy, 

an die sich weiter die drei Systeme zu je zwei Relationen anreihen: 

-^2 '^3 -0-2 (W + ^)'^3(^ -V)= d'^{u)d'^{u)&^(v)d'^(v) 
^3^2 ^3(«* + «^)^2(«* - ^) = ^2W'^3W^2W'^3W 

-^lW^2W^lW^2(< 

v) = ^,(u)^,(u)d's{v)^Q(v] 

V) = ^2W^oW^2(v)'^o(^: 

v) ^ ^,(u)^,{u)&,(v)^,(v] 



(4) 



^l^2{^ + t?)'^2(^ — ^^ 



(5) 



(6) 



(7) 






(8) 



Additionssätze der Thetafunktionen 179 

Endlich bleiben noch die sechs Systeme zu je vier Größen J übrig. Ihre 
6 16 Relationen ergeben für ^i == «/i = «*, 2^= t^= v nur noch sechs ver- 
schiedene d'-Belationen y die wir in drei Systeme zu je zweien anordnen: 

^2^3^o(«* + ^)^l{^ - «;) = ^iW^o W^2 W^3(^> 

+ ^oW^3W^lW^2W 
0-0 ^3 ^2 (W + V)^^{U -V) = ^iW^2 W^oW^sW 

-^oW'^3W^lW^2W 
'^0^2^3(W + V)^z{u -V) = ^i W^3W^oW^2W 

^0^2^8(«^ + V)^l(^ - V) = ^iW^s W^oW^bW 

- ^oW^2W'^lW^3W 

Nach I, 419 ff. gelten für die Jacobischen Funktionen sn^ cn, dn die 
Darstellungen: ^^(^^ _ yj^ sn(2Ä)*„(«), 



(9) 



(10) 



^,(«)=]/; 



*s(«).= p^,dn(2^w)9-„(«), 

während die O'-Nullwerte mit den Integralmoduln durch die Beziehungen 
yerknüpft sind: &,= »,.yh', &,^»,■^/l. 

Bildet man nun den Quotienten irgend zweier von den 36 '^--Relationen, 
so lassen sich die Quotienten der -O'-Funktionen durch die Funktionen 
sn, cn, dn und die Quotienten der -O'-NuUwerte durch die Integralmoduln 
ausdrücken. Schreibt man für die Argumente 2Ku und 2Kv sogleich 
wieder u und r, so gelangt man zu einer Relation, die die Funktionen 
sn(?^ ±_v)^ cn(w + v), dn(w ± v), snw, snv, cnw, . . ., dnv aneinander 
bindet, und deren Koeffizienten aus den Integralmoduln aufgebaut sind. 
Um für die Funktionen sn, cn, dn die Additionsformeln im engeren 
Sinne zu erhalten, d. h. die rationalen Ausdrücke für sn(w -{- v), cn(w + v), 
dn {u -{• v)y kann man in vier Arten vorgehen. Man muß sich aus den 
Gleichungen (l)ff. die vier Formeln aussuchen, in denen die Funktionen 
%'^{u + v)^ d-^iu -\- v)y %'z{u -f v), '9'o(w + ^) entweder aUe vier mit dem 
gleichen Faktor %'q{u — v) oder mit d^^iu — v) oder mit %'^(u — v) oder 
endlich mit Q'^{u — v) multipliziert erscheinen, und aus ihnen die Quo- 
tienten bilden. Greifen wir z. B. die erste Formel (8) und ebenso die ersten 

12* 



180 I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen 

Formeln (7), (6) und (1) heraus, so ergibt sich nach den nötigen Verein- 
fachungen die Proportion: 

m(u -h v) : cn(u + v) : dn(w -f v) : 1 = (anumvdRV -f- snvcnudnu) 

: (cn ucnv — snudnusnvdnv) 
: (dn udnv — Ic^ snucnusnv cn v) 
: (1 — ÄJ^snw^sni?^). 

Damit sind wir zu den bekannten Formeln (9) S. 166 zurückgelangt. 

Gewöhnlich treten bei den fraglichen Quotientenbildungen linker 
Hand mehrere Funktionen, miteinander multipliziert oder durcheinander 
geteilt, auf. Besonders einfach sind die drei Gleichungen: 

sn{u -\- v) SJi(u — v) = Ti ^ 



sn w — sn z?^ 

^7 



snt?' 



/ , N / X cn w' cn ?;2 — Ä;' * sn w* sn v* 
cn(« + V) on(u - t,) = ^ ^,,__^^^_--_._ , 

die man leicht aus der ersten Formel (2) und den Formeln (1) herstellt. 

§ 7. Additionssätze für melirgliedrige Argumentsummen.^) 

Setzt man in den beiden Additionsformeln für ip(u-{-v) und p\n -f v) 
an Stelle von v die Summe (v + w) und wendet auf p(v-{-w) und p\v -\- w) 
jene Formeln nochmals an, so gelangt man zu Darstellungen von p(u + v-\-w) 
und p\u-^v -\-w) durch die Funktionen der einzelnen Argumente u, v, w. 
Man kann offenbar in der gleichen Art fortfahren und erkennt die Mög- 
lichkeit, die Funktionen (p und p' für w-gliedrige Argumentsummen 
(^1 + Wg + • • • + ^«) rational in den Funktionen der einzelnen Summen- 
glieder darzustellen. Die Gewinnung dieser „Additionssätze für mehrglie- 
drige Argumentsummen" auf induktivem Wege ist freilich schon bei den 
niedersten Werten n recht umständlich. Dagegen gelingt die direkte Be- 
handlung sogar des allgemeinen Falles einer n-gliedrigen Summe nach 
einer von Weierstraß^) herrührenden Methode mittels einer ;Determi- 
nante auf folgende Art: 

Mit irgendwelchen (n -|- 1) Argumenten w, w^, Wg, . . ., m^ bilden wir 
die {n -f l)-reihige Determinante: 



1) Man vergleiche hierzu die geschichtlichen und literarischen Notizen im 
Artikel „Elliptische Funktionen" in Bd. II, 2 der „Enzyklopädie", S. 299 ff. Hin- 
weise auf diesen Artikel sollen weiterhin durch „Enzyklopädie" unter Angabe der 
Seitenzahl gemacht werden. 

2) Vgl. Schwarz, „Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen 
Funktionen", S. 16. 



Methode von Weierstraß zur Verallgemeinerung der Additionsformeln 181 

(1) ^n+ii^h^ir-yu,)- 



l,io(u), p\u), p\u), ..., ^.(«-D« 



1, P(.K)y PMy P"My '"> P^"~'Kk) 
An Stelle der Ableitungen ip'\ p"\ . . . kann man aucli Potenzen von jp 
und p' treten lassen. Nach 1,206 ist nämlicli die Potenz ^(w)*+^ als 
(2 k -{- 2)-wertige doppeltperiodische Funktion mit einem einzigen Pole 
(2 k -{■ 2)*®^ Ordnung bei w = und insbesondere als gerade Funktion in 
der Gestalt: 

darstellbar. Der Koeffizient des ersten Gliedes rechts ist aus den Potenz- 
reihen bestimmt, die übrigen Koeffizienten können unbekannt bleiben. 
Durch Differentiation nach u folgt weiter: 

Mit Benutzung bekannter Determinantensätze kann man auf Grund dieser 
beiden Formeln die Determinante (1) umrechnen, und zwar findet man 
im Falle eines ungeraden n: 



(2) 9'„+i = 



2!-3!.4 



2 2 



n + l 



1, ^(^i), ^>i), pM\ pMp'M, ••♦, pM 



n + l 
2 



n + l 



1; p K) ; pM , p K)^ p K) pXk)> ' • •, pK) ' 

woran sich für eine gerade Zahl n die Darstellung anschließt: 

n-2 

1,^W. ^'0*), PWy -"yPi^)^ P\^) 
2!-3!.4!--n! n-2 

1, ^K), pX^i), FK)^ • • •; P(^i) ' P'M 



(3) fPn + l 



22 



1, pM> pX%)y pKY, 



\r pm 



Der bequemen Bezeichnung halber schreiben wir Uq statt u und folgern 
aus (8) S. 159 für n = 1 als Darstellung der Determinante q)^ durch die 
Sigmafunktion: 



(4) 



qPgK, Wi) = — (5(Wo+«^i) 



6{uoy6{u,y 



Diese Gleichung liefert den niedersten Fall des folgenden Satzes: Die 
(n + l)'reihige Determinante 9>„+i(Wo? ^i» • • •? w«) *^^ äiircJi die Sigmafunk- 
tion in folgender Art darstellbar: 



182 I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen 

(5) 9„ + iK;«*i, •••,wj 

= (-l)M!.2!-3!.4!...^!6K4-«*i + --- + t^J^^^^^ , 

te70 s^c/i f?as Produkt im Zähler der rechten Seite auf alle Kombinationen 
X, A der Indizes 0,1,2, .. .,n zu zweien mit x > A bezieht 

Der allgemeine Beweis der Formel (5) wird durch vollständige In- 
duktion geführt. Wir nehmen an, daß für 9>„(«*], «^2; • • •? ^») ^i® ^®^ Glei- 
chung (5) entsprechende Darstellung gilt, und wählen vorerst die w^ , Mg , . . . , u^^ 
so, daß 9)„(%, u^, . . ., wj einen endlichen, nicht verschwindenden Wert 
hat; es soll also keines der Argumente u^, U2, . . ., u^y auch nicht ihre 
Summe einen Gitterpunkt des Parallelogrammnetzes der w-Ebene liefern, 
und keine zwei der Argumente u^^u^, . . ., «*„ sollen bezüglich der Gruppe 
F(") äquivalent sein. In Abhängigkeit von u ist jetzt die Determinante (1) 
eine {n + l)-wertige doppeltperiodische Funktion, deren (^n -f 1) Pole bei 
w = zusammenfallen. Als Anfangsglied der Entwicklung dieser Funk- 
tion nach Potenzen von u folgt aus (1): 

Von den Nullpunkten unserer Funktion liegen n zufolge (1) bei w = Wj, Wg 
• •, w„. Nach dem Abelschen Theoreme liegt somit der letzte Nullpunkt bei 
t* = — Wj — ^fg — . . — u^. Als Darstellung (6) in 1, 214 für unsere Funk- 
tion von u erhalten wir hiernach: 

wo C eine von u unabhängige Größe ist. Als Anfangsglied der Poteuz- 
reihe von (p„^i ergibt sich aus (7): 

n 

= (- l)''C5(«i + «,+ • ■ . + mJ.JY5(m,) •«-"-'+ • • •• 

y. = l 

Der Vergleich mit (6) liefert für C den Ausdruck: 

n 

Q^u, + u, + -- + ujn(5{u,) 

x = l 

Indem man diesen Ausdruck für C in (7) einträgt, gp„(wi, Wg, . ., w„) durch 
seinen als gültig vorausgesetzten Ausdruck in der Sigmafunktion ersetzt 
und Uq an Stelle von u schreibt, ergibt sich die zu beweisende Formel (5). 
Um nun die Additionssätze für n-gliedrige Argumentsummen zu ge- 
winnen, hat man die beiden ersten Glieder der eben bereits mehrfach be- 



Additionsformel für ^(u) bei n-gliedriger Argumentsumme 183 

trachteten Potenzreihe heranzuziehen. Von (1) aus gelangt man zum zweiten 
Reihengliede, indem man die zum Elemente p^"~^\u) der ersten Zeile ge- 
hörende Unterdeterminante einführt. Wir bezeichnen dieselbe durch: 



^,9i}Qy9\^n), 



,(«-3) 



K); ^("-%„) 



und können sie im Anschluß an f2) bei ungeradem n auch so schreiben: 

I n-l n+ 

! 1. ^K), ^'K); PK)^ • • •; ^K) ' , PKP 

n-l n + 

1; FK^; ^'K); ^K)^ • • •. ^(^s)""^", ^W"' 



(9) ^, 



2!-3!-4!-..w! 



7t-8 

2 



2 ^ (w— 1): 



woran sich im Falle eines geraden n, der Formel (3) entsprechend, reiht 

n - 4 TC — 2 



(10) ^„= 



2!.3!.4!-.n! 



2-(n — 1)! 



1;^W, ^'W.-'-^^W " ^'K);K%) ^ 9{^i) 



n — 4 



Auf Grund von (1) erhalten wir damit für die beiden Anfangsglieder der 
Potenzreihe von ^„^i als Funktion von w. 

Bei Zugrundelegung des Ausdrucks (5) dieser Funktion aber führt 
die Entwicklung des zweiten Reihengliedes auf Grund der Relation (6) 
in I, 209 auf das Normalintegral zweiter Gattung. Man gelangt zu fol- 
gender Gestalt der beiden ersten Glieder: 

-iiu,) ^^(«*J)w + ...}. 

Der Vergleich der zweiten Glieder führt zum AdditionstJieorem des Nor- 
malintegrals zweiter Gattung für eine n-gliedrige Argumentstimme: 

(11) ^(w, + ^,^ +...-!_ t,j = ^(.u,) -f Uu,) + •'- + i{u„) 

J_ 1. '^n K t ^ä > • • -1 ^n) . 

Wir haben hier die Verallgemeinerung der Gleichung (9) S. 160 vor uns. 
Wie damals, so können wir auch hier durch Differentiationen zu ent- 
sprechenden Sätzen für die Funktionen p und p' gelangen; doch sind die 
entstehenden Formeln für uns ohne weitergehende Bedeutung. 



184 I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 

Zweites Kapitel. 

Die Mnltiplikationssätze der elliptisclieii Funktionen. 

Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen betreffen die Be- 
ziehungen, die zwischen einer Funktion mit w-fachem Argumente nu und 
der gleichen, für einfaches Argument u gebildeten Funktion bestehen; n 
ist dabei als ganze positive Zahl vorausgesetzt. Man kann diese Sätze 
aus den Additionsformeln für l^-gliedrige Argumentsummen durch Gleich- 
setzung aller n Summanden entwickeln; doch führt eine direkte Behand 
lung leichter zum Ziele. Literarische Notizen über die Multiplikations- 
sätze findet man in ^^Enzyklopädie" S. 302 ff.; die ältere Theorie betref- 
fend vgl. man auch „Enneper-MüUer", S. 368 ff. 

§ 1. Multiplikationssätze der Funktionen erster Stufe. 

Die Funktion ^(nu), gebildet für irgendeine positive ganze Zahl n^ 
hat als Funktion mit den Perioden öj, o^ aufgefaßt, im Periodenparalle- 
logramm n^ Pole zweiter Ordnung in den n^ Punkten: 

(1) U = n ^ ;.,/^ = o,i,2,---,«-i 

und stellt demnach eine Funktion der Wertigkeit 2n^ dar. Da sie über- 
dies eine gerade Funktion ist, so ist sie bereits in <p{u) allein rational 
darstellbar, und zwar vom Grade n^. Wir nennen diese rationale Funk- 
tion JK(^(w)) und finden durch Differentiation nach w eine entsprechende 
Darstellung für (p{nu): 

(2) (p{nu) = B{(p {u)), <p' (nu) = -^ B' (^ (w)) • <p' {u) 

Um die Funktion B{p) zugänglicher zu machen, führt Weierstraß'^) 
folgenden, symbolisch durch ip^^'^iu) zu bezeichnenden (o-Quotienten ein: 

Aus (7) und (8) in I, 209 folgt, daß diese Funktion die Perioden co^, o^ 
hat; dabei besitzt sie die Wertigkeit (w^— 1), indem sie im Nullpunkte 
einen Pol der Ordnung {n^ ~ 1) und in den (n^— 1) weiteren Punkten 
(1) je einen einfachen Nullpunkt hat. Es besteht nun die Gleichung: 

(4) p{nu)^^[u)^^ ^^^ , . 

so daß, wenn man die Funltionen ^("^(w) in <p{u) und <p'(u) dargestellt 
hat, damit die Darstellung von p(nu) in der Gestalt (2) zugleich gewonnen 

1) S. Schwarz, „Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen 
Funktionen" S. 18. 



Einführung der Funktion i/j*"^(w) zur Berechnung von p{nu) 185 

ist. Die Gleichung (4) ist nämlich eine einfache Folge der Gleichung (8) 
S. 159, -wenn man in ihr v = nu einträgt. An Stelle von (4) könnte man 
auch die Gleichung: 

(ö) p (^w) = f w - -, — ^y^ 

treten lassen, die aus (3) mit Rücksicht auf die zweite Gleichung (1) in 
I, 212 folgt. 

Die Ausdrücke der ersten Funktionen t^^^(u)j x(j^^\u)f ... in p{u) 
und p\u) sind: 

-\g29i<p^^)^i^jl-glh 



(6) 



Die zweite Gleichung folgt aus der Übereinstimmung der Nullpunkte 
und Pole von f\u) und '^^^\ii) mit Rücksicht auf die Anfangskoeffizienten 
der beiderseitigen Potenzreihen. Zum Beweise der dritten Gleichung fol- 
gern wir aus (4) für n = 2 mit Rücksicht auf die beiden ersten Glei- 
chung (6) : ^(3) (^) = {^p (.u) — <p (2 u)) p {uf 
und entnehmen den Ausdruck von v^(2w) aus (10) S. 160 für lim?; = w: 

Zur Entwicklung des Ausdrucks von i[}^^^(u) kann man an: 

^"w -ew'^ww- (w) = - p (2«) • p (»y 

anknüpfen und hat aus (7) den Ausdruck von p\2u) in p(u) und p'(u} 
zu berechnen.^) 

Zur Berechnung der Ausdrücke von i/'^^^(w), ^^^^(w), ... in ^(w) und 
jp'{u) kann man sich zweier Rekursionsformeln bedienen. Setzt man in 
der S-Relation (4) S. 158 für die ^i, 2/i, %, ^i die Werte x^ = (2n+ 1)m, 
yi = ^1 = t^ = u ein, so ergibt sich : 

5 ({2n + l)w) 6{uy - 6((w 4- 2)w) 6(nw)2 -j- 6{{n — l)u) S((w -}- Duf = 0. 
Trägt man zweitens rr^ = 2ww, t/^ = 2w, ^^ = ^^ = w ein, so folgt: 
6(2nw) 6(2^f) 6(u)2— 6(wm) 6((w + 2)u) 6{in - 1)^)^ 

+ 6{nu)6({n - 2)u)6({n + 1)«0"= 0. 
In die Funktionen z^ umgeschrieben lauten diese Relationen: 

1) Ein anderer Weg zur Berechnung von i/j^^^(m) und ip^^\u) wird sogleich 
angegeben werden. 



1§6 I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 

Im Anschluß an (6) kann man mit Hilfe dieser Formeln in der Tat ^^^^(w), 
4^^^\u\ . . . berechnen. 

Diese Rekursionsrechnungen gestalten sich aber alsbald sehr um- 
ständlich. Demgegenüber kann man wieder durch Einführung einer De- 
terminante einen Ausdruck für ip^'^\u) sogar bei beliebigem n angeben. 
In I, 450 ist unter (1) die von Klein eingeführte Funktion S;^ (tt | g3i , cög) 
erklärt^), wo /l, ^ die unter (1) genannten Kombinationen ganzer Zahlen 
durchlaufen sollen mit Ausschluß der Kombination A = 0, /* = 0, die zur 
ursprünglichen 6-Funktion zurückführt. Der Quotient von 5; (u) und 
6(w) zeigt bei Vermehrung von u um Perioden das Verhalten: 

^ ^ (d {u -\- m^a^ -\- m^ cog) 6 (u) 

wie man aus der Gleichung (2) in I^ 451 folgert. Die w*® Potenz dieses 
Quotienten hat demnach die Perioden coi, o^, und zwar stellt sie eine 
9^- wertige doppeltperiodische Funktion dar, deren n Pole im Gitterpunkte 
ii = zusammenfallen, während die n Nullpunkte an der Stelle (1) gleich- 
falls zusammenliegen. Nach I, 206 stellen wir nun diese Funktion in der 
Gestalt: 

(%|^y = ^0 + «1 ^ W + «2^^'W + • • • + a._, pC^-'^u) 

dar, wo der letzte Koeffizient (i^_i sicher von verschieden ist. Da aber 
an der Stelle (1) ein Nullpunkt ?^**'^ Ordnung unserer Funktion liegt ^), so 
verschwinden ebenda auch noch ihre (n — 1) ersten Ableitungen; d. h. 
für die Stelle (1) sind die {n — 1) in den Ableitungen von p(u) linearen 
homogenen Gleichungen erfüllt: 

a^p'iu) + a^p"{u) + • • . + a„_i^("-'H«^) = 0, 
a^<p'\u) + ay{u) + . . • + a,_i <p^-){u) = 0, 



Mit Rücksicht auf a„_i=j= folgt hieraus aber weiter das Verschwinden 
der {n — l)-reihigen Determinante 



(10) -D„W 

an jeder Stelle (1). 



S5(«-i)(«), pC^u), . . ., p<'-'\u) 



1) An Stelle der in I, 450 im Anschluß an ältere Arbeiten über -Ö'-Funk- 
tionen benutzten Bezeichnung 6^ j^{u) wird fortan die in der Theorie der Modul- 
funktionen übliche Bezeichnung 6^ (u) gebraucht. 

2) Es gilt hier immer die Kombination X = 0, ft = als ausgeschlossen. 



Determinante i)„(t*) von Brioschi und Kiepert 187 

Wir haben damit die schon erwähnte Determinante gewonnen, die 
von F. Brioschi^) und L. Kiepert^) zur Aufstellung der Multiplikations- 
sätze der elliptischen Funktionen herangezogen ist. Tragen wir für p\u), 
^o'{u)y ... die Anfangsglieder der Reihenentwicklungen nach Potenzen 
von u ein, so gewinnt man als Anfangsglied der Reihe von i)„(w) selbst: 
(11) !)„(«) = (-l)»-'C„.«-(»=-i)+.., 

WO (7„ die folgende, sogleich weiter zu berechnende Determinante ist: 



(12) 



= 



2!, 
31, 



3!, 

4!, 



41, 
5!, 



., {n + 1)1 



n!, (/z-fl)!, (w + 2)!, ..., (2w-2)! 
Hiernach ist D„{u) eine (n^— l)-wertige doppeltperiodische Funktion, die 
mit ^^"^ (u) in bezug auf Pole und Nullpunkte genau übereinstimmt und 
also mit ^("^(w) bis auf einen konstanten Faktor identisch ist. 

Um diesen Faktor zu bestimmen, haben wir zunächst 0„ zu berech- 
nen. Wir sondern aus den Zeilen der Determinante (12) bzw. die Fak- 
toren 2!, 3!, . . ., w! ab, hierauf aus den Spalten die Faktoren 1, 1!, 2!, 
. . ., (n — 2)! und gewinnen auf diese Weise: 
(13) 



c: = 



^»= 


= »(2! 


•3! 


.4!- 


.(n- 


1)!)^. 


o:. 




1, 







Q' 


©' 


• • •? 


L 


:.) 


1, 


C). 




Q' 


0' 


. . ., 


C 


iö 



^'CV)>cvycn ■■■'{':-:) 



wo (^j der F® Binomialkoeffizient der w*®^ Potenz ist. Die Determi- 
nante 0^ erweist sich als von n unabhängig und hat demnach den Wert 
Cg = 1. Zieht man nämlich jede Spalte, mit der vorletzten beginnend, 
von der folgenden ab, und verfahrt man darauf mit den Zeilen genau so, 
so kürzt sich bei Benutzung einer bekannten Regel der Binomialkoeffizien- 
ten Ci zu: ,3v ^v /n — l\ 






c: 



1) „Sur quelques formules pour la multiplication des fonctions elliptiques", 
Compt. Rend. Bd. 59 (1864) S. 999. 

2) „Wirkliche Ausführung der ganzzahligen Multiplikation der elliptischen 
Funktionen", Journ. f. Math. Bd. 76 (1875), S. 21. 



188 I» 2. Die Multiplikation ßsätze der elliptischen Funktionen 

Hiernach haben wir an Stelle von (11) genauer: 

D^(w) = (- l)«-i>i(2!-3!.4! .-. (M- l)!y^*-(«'-l)+ . • • 

als Anfangsglied der Reihe von D„(w), und der Vergleich mit dem An- 
fangsgliede der Reihe für ^("^(w) ergibt den Satz: Die Funktion ^^"^(w) 
'besitzt für beliebiges n in den Ableitungen von p(u) die Darstellung: 

(14) *<»' W = (2..3..'7!'.".(«- iyy ^» W' 

wo D^(u) die in (10) gegebene (n — Vj-reiliige Determinante ist. Der ^^Mul- 
tipliJcationssatz^^ für die p-Funktion nimmt damit die abgeschlossene Ge- 
stalt an, daß p{nu) sich in dem Ausdrucke (4) oder (5) darstellt, tvo die 
Funktionen il)^'^\u) für alle n sich nach dem Gesetze (14) und (10) aus den 
Ableitungen p'(u), p"(ii)y • • . berechnen. 

Um schließlich bis zur Gleichung (2) vorzudringen, ist hiernach in 
der Hauptsache weiter nichts mehr nötig als die Ableitungen der ^-Funk- 
tion von p'\u) ab in p(u) und p\u) darzustellen (vgl. 1,207). Für die Ab- 
leitungen p'\u)y p"{u), p^^\u)y p^^\u) finden wir bei Fortlassung der Ar- 



gumente u^): 
(15) 



^(5)=(3.5!^2-2.3V2)^'- 



Bei Fortführung dieser Rechnung erkennt man leicht, daß sich jede Ab- 
leitung gerader Ordnung ^(^*) als ganze Funktion (k -f l)*®"" Grades von 
p darstellt, deren Koeffizienten ganze ganzzahlige Ausdrücke in \g^ und 
g^ sind. Wir bezeichnen diese Funktion durch das Symbol Pj,{p, ^g^y 9^ 
und haben dann die allgemeinen Ansätze: 

(16) (3(2*) = P,( ja, \g„ g,), f>("+» - P;(p, y„ g,) ■ p', 

WO P^' die Ableitung von Fj^ nach p ist. Der Koeffizient des höchsten 
Gliedes von Fj^ bestimmt sich aus den Anfangsgliedern der Potenzreihen 
nach M zu (2fc-f 1)!. Da übrigens p^^^^ eine homogene Funktion der 
Dimension — (2^-1-2) in u, (Oj, Og ist, so kann man den rationalen gan- 
zen Ausdruck von Fj^ in p, |^2? 9b ^^^ ^^^ ^^® numerischen Koeffizienten 
sofort angeben. Man hat den Ansatz: 

(17) ^(2^)= p^(^, i^^, ^3) = (2k + l)lp'^'+ a,(^9,)p'-'+ a,g,p'-' 

+ ci,(}92)V-'+ a,{\g,)g,p'-'-\-{a,{y,f+ a.gDp'-'^ 
+ «6(1^2)^3^*-'+ K(i^2)'+ ci',(y,)9l)p'-' + - ' •, 
wo die a ganze Zahlen sind. 

1) Mit Rücksicht auf die sogleich auszuführende Rekursionsrechnung ist es 
zweckmäßig, die numerischen Koeffizienten in den nachfolgenden Gleichungen (ab- 
gesehen vom ersten) in ihre Primfaktoren zu zerlegen. 



Berechnung der Determinanten D^iu) 189 

Differenziert man die zweite Gleichung (16) nochmals nach u, so er- 
gibt sich als „Rekursionsformel" für die Berechnung der Funktionen P^: 



(18) 



* + l 



(6 p» - \g,)P', + (4 p' - <,, f> - g,) F^. 



Mittels dieser Gleichung findet man im Anschluß an (15) für die nächst- 
folgenden Ableitungen p^^\ . . . gerader Ordnungen: 

^(8) ==9!^o5- 25.3^.5. 7^2 ^3_24. 32.5.13^^^2^ 2*. 33. 7^3^ 



(19) 



+ 23.3^.11^,^3, 

^(10)= ll!^6_ 27. 35. 5. 7. 11^^ ^4_ 26.32.52.11.47^^ 



+ 2*.3*. 72.11^2^2+ 2*.3«.5- 53^,^3^ 
-23.33.7^1 + 2^32.5.13^1. 

Zufolge (3) ist ■ip^'"\u) und damit D^(u) eine gerade oder ungerade 
Funktion von u, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Somit läßt sich 
Z)^(w) für ungerades n als ganze ganzzahlige Funktion von p{u), \g, g.^ 
darstellen, für gerades n aber als Produkt einer solchen Funktion mit 
f>'{u). Der Grad dieser Funktion in <p{u)y die Dimension in u, o^^ co, und 
der Koeffizient der höchsten Potenz von p{u) werden aus dem oben an- 
gegebenen Anfangskoeffizienten der Entwicklung von I)^{u) nach Potenzen 
von u bestimmt. Wir haben allgemein für ungerades n den Ansatz: 

<20) i)„(w) = w(2!.3!.4!. 



{n 



1M\2 W-^'^ , -L ri \ 2 ("'-5) 



•(n^-7) 



i-(n'--9) 



+ h9zP^^ " + h(j92yP' + h(j92)9zP 

+ (&5(i^2)^+&;/5)p^^""'''+--v 

w^ährend sich für gerades n der Ansatz ergibt: 



-}(n^-ll) 



(21) D» = p'.i|n(2!.3!.4! 



1M^2 i(«'-*) , /1 N i(«'-S) 



+ C293P' 



+ C3(i9i) 



2 .i("^ 



12) , ,1 . i(n^-14) 

+ c^iY92)93P- 



>-(n^-16) 



wo die h und c ganze Zahlen sind. Wir reihen an die Gleichungen (6) 
wenigstens noch die fertigen Ausdrücke von ^(^^ und ^(^^ an: 



<22) l/;(^)(^i) = 



D,{u) 



31 



= 5f^2_:^^^^^io_5.i9^^^^9_ 



3-5 7 



3^29 



(2!- 3!- 4!)' 

+ 3.5^2^3^^'+ (^^3 - 3 • ^gi)^^^+ -^3-^2^3 F 
-g^-2.3.5^,^|)^^-(A^3^3_5V3)^.3 

+ (|»^i - %^-9l9i)r + {Is9t9z - Y9^9i)p 
-{^r.9l--^9l9l + 9t)- 



190 h 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 

Für ^(^^ findet sich aus der zweiten Rekursionsformel (8) der Ausdruck: 

so daß ^(^^ die Funktionen ^^^^ und tp^^^ als Faktoren enthält. Für den 



dritten Faktor findet man: 

^23 , o or, oA « 3.11 






-(2^.^2-^^2Ö'3 + 2^)- 

Wie man sieht, werden die Ausdrücke der il)^^\u) in p{u) und p'(^) 
bei wachsendem n schnell sehr umständlich. Wertvoll für später sind 
übrigens namentlich die allgemeinen Ansätze (20) und (21), an die wir 
wieder anzuknüpfen haben werden. 

§ 2. Partielle Differentialgleichung der Funktionen tp<**>. 

Es gibt noch ein paar andere Methoden zur Berechnung von ^ {n u) 
bzw. von ijj^^^u), die, wenn sie auch nicht mehr leisten als die Methoden 
von § 1, immerhin der Erwähnung wert sind. Eine erste solche Methode 
beruht auf einer partiellen Differentialgleichung, der ^("^ als Funktion 
von ^, ^2 und g^ genügt. 

Nach I, 322 befriedigt die 6-Funktion die Differentialgleichung: 

a^lo^) + ^~^^)'+ 2D,(logS(«)) + ±,,„^=0. 
Setzt man nu statt u ein und multipliziert mit *^^, so folgt: 

— kr- + (~V"^) + 2»*i)„(logS(«M)) + j^gy^- 0. 

Von dieser Gleichung ziehe man die mit n^ multiplizierte erste Gleichung 
ab, führe die kurz f zu nennende Funktion tjj^^\ sowie nach (1) in I, 212 
die Funktionen ^(u) und p(u) ein. Das Ergebnis kleidet sich bei Fort- 
lassung der Argumente ti in die Gestalt: 

^ + (-11^)' + 2«^S ^r + 2.=D, (log^) + n^in^- 1)^ = 0, 

wofür wir unter Zusammenfassung der beiden ersten Glieder nach" Mul- 
tiplikation mit ip schreiben können: 

(1) + 2»^eg+2«^D,(*) + n^K-l)F^ = O. 



Berechnung von i^^"^ mittelst einer Differentialgleichung 191 

In dieser Gleichung gelten w, g^j g^ als die unabhängigen Variablen. 
Führt man ^o an Stelle von u ein, so ist für die Differentiationen nach g^ 
und ^3 zu berücksichtigen, daß p die Arguinente w, g^ und g^ enthält. 
Die Ableitungen von ^ nach g^ und g^ sind also: 

und als algebraische Gestalt des Differentialausdrucks Z),^(t^) tritt an Stelle 
von (9) in I, 317: 

Andrerseits gilt, da u in <p allein (und nicht in g^ und g^ enthalten ist: 

du d<^)^^ du- di^^^ "^ d<p^ • 
Die Gleichung (1) gewinnt damit die Gestalt: 

Der im dritten Gliede auftretende Klammerausdruck ist nach (7) in 
I, 322 gleich (— 2p^-\- jg^). Ersetzen wir noch ^9'^ und p" durch ihre 
Ausdrücke in p, so ergibt sich: Die FunMion t^^"^ genügt als solche von p, 
g^ und g^ der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung: 

(2) (4^=-,,,. -,,)g - ((4«^- 6)^.^- (I n^- i-),,)g 

- 12 «Vs g - I n^gl g + »^(»»^ - 1)F^ = 0. 

Man kann diese Differentialgleichung zur Berechnung von i^(") be- 
nutzen, was freilich schon bei n = 6 einen erheblichen Aufwand von 
Rechnung erfordert. Um die Methode für n = 3 durchzuführen, haben 
wir dem Ansätze (20) entsprechend: 

t = 3p* + ag^p^ + hg^p + cg\ 

mit numerischen Konstanten a, h, c in die Differentialgleichung: 

+ 72j;^^ = 

einzutragen und müssen dadurch eine in p^ g.^^ g^ identisch bestehende 
Gleichung gewinnen. Die entstehende Gleichung muß also z. B. auch 
gelten, wenn wir ^3=0 setzen; auf diese Weise erhalten wir: 

{^P'-92P)(ßQp'+ 2ag,) - (^0p'-'ig,)(12p'+2ag,p) - Ghglp 

+ 12p{3p'+ag,p^+cgl) = 0. 



192 I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 

Ordnet man nach Potenzen von ^, so muß jeder dabei auftretende Koef- 
fizient der einzelnen Potenz für sich verschwinden, was: 

(3) 2a + 3 = 0, 3a-2&-f24c = 

liefert. Nimmt man ferner p = 0, so gelangt man auf entsprechendem 
Wege zur Gleichung: 

(4) 4a- ll& + 432c = 0. 

Die Auflösung der Gleichungen (3) und (4) liefert a = — f , & = — 3, 
c = — ^ und führt zu dem in (6) S. 185 angegebenen Ausdrucke von 
^(^^ zurück. 

§ 3. Berechnung von ^(nu) durch ein Kettenbruchverfahren. 

Nur beiläufig gehen wir endlich auf eine Methode ein, den Ausdruck 
von p(nii) in p(u) mittelst eines Kettenbruchverfahrens zu gewinnen. 
Diese Methode führt in ihren Ergebnissen freilich nur zu bereits Bekann- 
tem zurück; sie wird hier erwähnt wegen der bedeutenden Rolle, die sie 
in der Literatur des vorigen Jahrhunderts spielt. Einem Zusammenhange 
zwischen Integralen mit der Quadratwurzel einer ganzen Funktion und 
der Kettenbruchentwicklung dieser Quadratwurzel ist schon Abel^) nach- 
gegangen. Wenig später stellte Jacobi^) ohne Beweis die Formeln auf, 
die im Falle der Quadratwurzel einer ganzen Funktion vierten Grades 
zwischen der Kettenbruchentwicklung und den Multiplikationssätzen der 
zugehörigen elliptischen Funktionen bestehen. In einer an die allgemei- 
neren Fragen Abels anknüpfenden Arbeit von C. W. Borchardt^) sind 
sodann die Jacobischen Resultate neu behandelt und bewiesen. Späterhin 
sind endlich G. Frobenius und L. Stickelberger*) in einer ausführ- 
lichen Arbeit auf diese Gegenstände zurückgekommen und haben die 
Multiplikationsformeln der ^<?-Funktion bis zur Gewinnung der obigen 
Determinantenformeln hingeführt. 

Um die Kettenbruchentwicklung zunächst auf transzendenter Grund- 
lage zu gewinnen, bilden wir die Funktion: 

mit einer ganzen Zahl *^ > 1. Die Stelle Uq denken wir vorerst fest ge- 



1) „Sur l'integration de la formule differentielle — - , JR et ^ etant des fonc- 

tions entieres", Journ. f. Math., Bd. 1 (1826). 

2) „Note sur une nouvelle application de l'analyse des fonctions elliptiques 
ä l'algebre", Journ. f. Math., Bd. 7 (1831). 

3) „Application des transcendantes abeliennes ä la theorie des fractions con- 
tinues'S Journ. f. Math., Bd. 48 (1852). 

4) „Über Addition und Multiplikation der elliptischen Funktionen", Journ. 
f. Math., Bd. 88 (1879). 



Ansatz einer Kettenbrach entwicklung 193 

wählt, und zwar so, daß ^o(miQ), p^nUo), {p(Uq) — pinu^)) endliche und 
von verschiedene Werte sind. Es ist dann jedenfalls miQ keine ganz- 
zahlige Kombination von Periodenhälften, woraus hervorgeht, daß auch 
F(^o)? F'(^o) endlich sind, und daß die beiden Stellen +nuQ bezüglich 
der Gruppe T^") nicht äquivalent sind. 

Die Funktion (1) hat im Periodenparallelogramm zwei Pole und ist 
also zweiwertig. Der eine Pol liegt bei w = 0, wo das Anfangsglied der 
Potenzreihe durch 0^(u) = — ir^ -{- • • - gegeben ist. Ein weiterer Pol 
kann nur in einem der beiden getrennt liegenden Nullpunkte erster Ord- 
nung + nuQ des Nenners (p(:u) — f{nuQ)) auftreten. Da aber an der Stelle 
u = nuQ auch der Zähler (p\u) — p'{nu^) verschwindet, so bleibt als 
weiterer Pol nur noch u = — nu^ übrig. Von den beiden Nullpunkten 
der Funktion (1) liegt einer bei u = Uq und also der andere zufolge des 
Abelschen Theorems (5) in I, 213 bei u =- — {n -\- 1)uq. Man kann dar- 
aufhin sofort die Darstellung (6) in I, 214 der Funktion (1) durch die 
6-Funktion ansetzen, wobei der von ii unabhängige Faktor aus dem 
schon genannten Anfangsgliede ~ ir'^ von ^^(li) gewonnen wird. Man 
findet: 

^ ^ ^riy^^ 6{u) 5{u -f nu^) 6{u^) 6((n + Di^o) ' 

eine Gleichung, in der fortan Uq als unabhängige Variable gelten darf. 
Für M > 2 findet man weiter mit Benutzung von (14) in I, 217: 

^ ^ ^«_ 1 W S (^«) 6 («* -f n ^o) 6 {u^) Q{{n — 1)Uq) ' 

Der links stehende Quotient ist also gleichfalls eine zweiwertige doppelt- 
periodische Funktion, die mit Q^(ti) die Pole gemein hat und wie ^„(w) 
das Anfangsglied — u~^ der Potenzreihe nach u hat. Die Differenz der 
Funktionen (3) und (2) hat demnach eine unter 2 herabsinkende Wertig- 
keit und stellt also eine von u unabhängige Größe dar, die als Funktion 
von Uq durch 9'„(Wo) bezeichnet werden soll: 

Zur Berechnung von ^.„(wq) tragen wir u = — Uq ein und finden aus (1): 
(5) 9«W = -^«(-^0= ^''^"'^' 



PK) — F(»*««o) 



Für n = 1 ist die den Funktionen (1) entsprechende zweiwertige 
Funktion durch: 



(6) ^,W = 



2 p(u) — p{u,) 2 p(u,) 



gegeben. Sie hat ihre beiden Pole bei w = und w = — Wq, während 

Fricke, Die elliptischen Funktionen II 13 



194 1) 2. Die Multiplikationss'ätze der elliptischeii Funktionen 

ihre Nullpunkte bei u = Uq und u = — 2uq liegen. Erklären wir q)^ (uq) 
durch: 

1 ^^"(«*o) 



(7) 9)1 K) 



2 p'{u,) ' 



SO reiht sich an (4) für w = 1 die Gleichung an: 

Im übrigen gilt auch für die Funktion ^i(w) die allgemein unter (2) 
gewonnene Darstellung durch die Sigmafunktion. Hieraus folgt wie oben^ 
daß die Gleichung (4) auch für n = 2 bestehen bleibt, falls wir 9)3 (%) 
durch die allgemeine Vorschrift (5) erklären. 

Schreiben wir die entwickelte Formelkette in der Gestalt: 

P{U) — jj9(Wo) ^ („\ j_ ff. AA 

^{U)—P{U^) ^ („\ , ff, /,A 

^^^^ = 93 K) + ^3 («*); 

unter n irgendeine ganze Zahl > 1 verstanden, so sind die ersten Glieder der 
rechten Seiten stets als die Grenzen der links stehenden Ausdrücke für 
11, r= Uq eindeutig bestimmt, womit dann zugleich auch die in den zweiten 
Gliedern rechts stehenden ^^{u) als für u = Uq verschwindende Funktionen 
bestimmt sind. Die Elimination von ^j, ^2? • • •> ^»-1 ergibt aber für 
die in der ersten Gleichung links stehende Funktion die Entwicklung in 
einen w-gliedrigen Kettenbruch: 

qP4 (w.) + ; 

• . F(^) — fK) 

• Diese Kettenbruchentwicklung ist nun auch in algebraischer Gestalt 
durchführbar, nämlich auf Grund der Regel, nach der man eine Potenz- 
reihe in einen Kettenbruch umrechnet. Wir setzen zunächst die Formel 
(9) in algebraische Gestalt, indem wir: 

schreiben, unter f(x) die ganze Funktion (4:X^ — g^x — g^) verstanden: 



Die Kettenbruchentwicklung in transzendenter und in algebraischer Gestalt 195 

(10) 4l%i-« = „, + ^-^« 



9» 4- ^- ^ ^ 

^4 + 



_^ a; a;„ 



9n + ^« 

Um die Taylorsche Reihe der links stehenden Funktion: 

(11) i J/^if^"-^) = a, + a,(^ - ^g + a,{x- x.f + • • , 

in den Kettenbruch (10) umzuwandeln, hat man wiederholt von der Glei- 
chung: 

Gebrauch zu machen, mittelst deren man den reziproken Wert einer 
Potenzreihe wieder in eine solche Reihe umwandelt. Die Anfangsglieder 
des Kettenbruchs (10) in der neuen Gestalt sind gegeben durch: 



1 yf{x)-yf(x,) _ ,x-x, 

o „ „ — "Ol 



1 X — Xq 



X Xf, 



z 11= ~ '~o 

Der Vergleich mit (10) lehrt die folgenden Darstellungen der 9>i, 9?,, 
(12) 9i = ö^o> 9^2==^, ^3 = -;r^ 9^4 = 



a^ ' ^* ai (ai «3 — a|) ' 

_ _ K ^s - «!)' 

wo die «0, «1, ^2, . . . durch die zweite Gleichung (11) gegeben sind. 

Bei Rückgang zu den transzendenten Funktionen wollen wir den 
Index an Uq fortlassen und haben dann erstlich: 

^1"" 2 p'{u)> ^«~ p{u) — p{nü)' **->-'■' 
während andrerseits aus der zweiten Gleichung (11): 

_ 1 dpju) _ 1 p"(u) 1 da„_i 1 da^_ ^ 1 



als Regel für die Berechnung der a folgt. In den ersten Fällen haben 
wir bei Fortlassung der Argumente u die Darstellungen: 

13* 



196 I» 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 



(^(\ — « ,_' » (^^ — . , 'S » O/9 — 



Man prüfe etwa den Fall n = 3, wo die Gleichung: 

nach Eintragung der Ausdrücke von p'\ f"\ f^^^ in (^ und <p' auf die von 
früher bekannte Darstellung von <p{^u) in <p{u) und p'(^) zurückführt. 
Im übrigen sei wegen Durchbildung der Methode nochmals auf die letzte 
der S. 192 genannten Abhandlungen verwiesen. 

§ 4. Ansatz der Multiplikationsformeln für sn, cn und dn. 

Die Multiplikationsformeln für die früher allein betrachteten Funk- 
tionen zweiter Stufe sind von AbeP) aufgestellt. Jacobi bezieht sich 
in den ^.Fundamenten" (am Ende des Artikels 28) auf Abel und übergeht 
daher die Einzelheiten der Multiplikationsformeln. Er kommt jedoch 
alsbald auf den Gegenstand zurück^) und erkennt die Existenz einer par- 
tiellen Differentialgleichung, welche zur Berechnung der Multiplikations- 
formeln dienen kann. Es handelt sich um die der Gleichung des § 2 ent- 
sprechende Differentialgleichung für die Funktionen zweiter Stufe; wir 
kommen unten auf diese Gleichung zurück. 

Die drei Funktionen sn^^^;, cnt«;, ^tlw gehören je als zweiwertige 
doppeltperiodische Funktionen zu den drei in 1, 378 eingeführten Gruppen 
Tf\ r^^"\ r^^\ deren Diskontinuitätsbereiche durch die Figuren 75 ff. in 
\ 393 gegeben sind. Die Werteverteilung der Funktionen ist in diesen 
Figuren durch die in Klammern eingetragenen Werte veranschaulicht. 
Ist nun n irgendeine positive ganze Zahl, so gehören auch die drei Funk- 
tionen sn(92t{;), cn(ww;), dn(w^t') bzw. zu den drei genannten Gruppen. 

Es hat nämlich z. B. die Funktion sn inv)) die Perioden — und , 

und zwar gehört sie als zweiwertige Funktion zu dem diesen beiden 
Perioden entsprechenden Parallelogramme. Man mache sich deutlich, daß 
sich n^ Parallelogramme dieser letzteren Art zu dem in Fig. 75 a. a. 0. 
gegebenen Diskontinuitätsbereiche der Pg"*^ zusammenordnen lassen. In- 
dem man die Betrachtung auch auf die beiden anderen Fälle überträgt, 
erkennt man in sn (nw), cn(w^<;), din{nw) Funktionen der Wertigkeit 2n'^ 
der fraglichen Gruppen. Auf Grund des Satzes in I, 394 (unten) und der 
entsprechenden Sätze für die T^"'^, J'^"'^ sind nun die s\\{niv\ Gu(nw)j 



1) Im zweiten Paragraphen der „Recherches sur les fonctions elliptiques", 
Journ. f. Math., Bd. 2 (1828). 

2) „Suite des notices sur les fonctions elliptiques", Journ. f. Math., Bd. .3 
1828) oder Jacobis Werke, Bd. 1, S. 264, Abs. III. 



Ansätze für sn(nw?), cn(wtü), dn(ww;) als Funktionen von snw?, cnw, dnw 197 

dTi(nw) rational in snw^ cmv^ dnw darstellbar. Die Ansätze für diese 
Darstellungen gewinnt man durch einfache funktionentheoretisclie Über- 
legung, wie wenigstens im Falle der Funktion sD.(nw) etwas näher aus- 
geführt werden soll. 

Ist erstlich n ungerade, so bleibt die ungerade Funktion sn (nw) 
bei der Substitution ^(;'= 2 Z"— m; unverändert und ist demnach eine 
rationale Funktion von sn w allein, und zwar wegen der Wertigkeit eine 
solche vom Grade n^. Bei w = haben sn (nw) und sn t«; einen NuUpunkt 
erster Ordnung und bei w = iK' einen Pol erster Ordnung gemein. Hieraus 
schließt man, daß der Zähler der fraglichen rationalen Funktion den Faktor 
sn w hat, und daß der Grad des Nenners um eine Einheit kleiner als der 
Grad des Zählers ist. Hiernach ist sn(w^e;) darstellbar als Produkt von 
snt(; und einer rationalen Funktion des Grades (n^—l). Diese Funktion 
kann nur gerade Potenzen von sn^(; enthalten, da ^n{nw) : ^nw eine 
gerade Funktion von iv ist. Übrigens nimmt die fragliche rationale Funk- 
tion von (sn wY für sn w? = den Wert n an, da man aus (10) in I, 399 
sofort lim (sn {nw) : sn w) = n feststellt. 

10 = ' 

Etwas umständlicher gestaltet sich die Überlegung im Falle einer 
geraden Zahl n, einfacher hingegen wieder für cn {nw) und dn (niv). Wir 
fassen sogleich die Ergebnisse zusammen und schreiben hierbei zur Ab- 

l^"™"g= • (sn«;)='=^. 

Im Falle einer ungeraden Zahl n gelten für die MuUiplilcationsformeln der 

Jacöbisclien Funldionen sn, cn, dn die Ansätze: 

(1) sn (^nw) = c,)^^ " , on(nw) = —^rn^ . M^^) = -^in^T^ y 
Go (2) Go (z) Gq {z) 

wo die G rationale ganze FunUionen folgender Gestalten sind: 

G'l^\z) = 1 -h a^^^z 4- a^^^z^ + ... + « n^-iz'^, 0^ = 0,2,3) 



(2) 



G[-\z) = n + a,, ^^a,,z'+ '-• + an^-i /^; 



für eine gerade Zahl n schließen sich hieran die Ansätze: 

(3) sn(nw) = - ,, cn(n^«;) = -^, dn(mv) = -~}^ 

Go {Z) Gq {z) CTo [z) 

wo die rationalen ganzen FunUionen G folgende Gestalten haben: 

71- 

G'^f(z) = 1 + %i ^ + %2^'+"' + (^ -! '^S (^ = 0'2,3) 

^' 2 



(4) 



71^-4 

2 



198 Ii 2. Die MultiplikationBsätze der elliptischen Funktionen 

Zwischen den vier Funktionen eines und desselben n bestehen zwei 
identische Gleichungen, die sich aus den beiden in 1, 389 gewonnenen Re- 
lationen zwischen sn, cn und dn ergeben. Diese Gleichungen lauten im 
Falle eines ungeraden n: 

(5) (i-g)G,i,y=^G„i0y-0G,(,y, ii-k',)G,i,y=^G,(zy-k^,G,i0y, 

während sie bei geradem n die Gestalt haben: 

G, (zy ^G,izy-0(i- ,) (1 - k'z) G, (zy, 

G,{zy = G,{zy - ¥z(l -z){l- ¥z) G,{zy; 
Jc^ ist der Legendre-Jacobische Integralmodul (vgl. I, 367). 

Das Ziel der weiteren Entwicklung ist nun die genauere Berechnung 
der ganzen Funktionen G. Zunächst bietet sich ein rekurrentes Verfahren 
dar. Setzen wir in den drei Additionsformeln (9), S. 166 für u und v über- 
einstimmend nw ein, so folgt: 



(6) 



(7) 



sn2nw == 
cn2nw = 
dn2nw = 



2snfiw;. cnnw • dnnw 
1 — k^Bnnw'*^ ' 

1 — k^snnw* * 

dnnw^ — Jc^ anw^ cnnw* 



1 — k^snnw'*^ 

Hieraus berechnen sich, wenn wir der Kürze halber die Argumente 2 der 
Funktionen G fortlassen, mit Rücksicht auf die Anfangskoeffizienten der 
6r bei ungeradem n die Formeln: 



(B) 



^(2w) i>n(n) n^n) nS-n) n(n) 



2G'^-'G';''GfGf\ 

Q^^n) = (1 _ ;^) ö^^->2 a^n^. -iz- Wz^) Gf^ G'l'^ , 
G^(2.) _ ^1 _ ;^2^) ^(«), ^(«), _ (^2^ _ ^2^2) Q^n^^ Qin^ ^ 

bei geradem n aber die Beziehungen: 



(9) 



QinU _ ^2^2(^1 _ ^)2(1 _ ;^2^)2 ^Cn), ^ 



G'l''' = 2&^'G'^'G'^'Gf, 



Qi2n^ = a^n), ^(«), _ (^ _ (1 4. 7.2)^2 ^ 7^2^3^) Q^n), Q^n),^ 
[G'^^n) _ ^(«), Qin), _ ^J^2^ _ (^2 ^ j^4)^2 _^ ^4^3) ^(n), ^(^«),^ 

Setzt man andrerseits u== (n + l)Wy v = nw in die Additionsformeln 
ein, so gelangt man entsprechend zu den drei in jedem Falle n gültigen 
Formeln : 

(10) I 6^^2n+i) _ (^wö^(»>ö^^-+i>G^<^«+i> - {2- ¥2^) G'f GfG'^^''' Gf"-''^ 

{k'0-Jc'0') G'P GfG["'-'' G'^:^^\ 



/nr(2ra + l) 



G^r^3"'^r''^r'' 



(14) 



Rekursionsformeln für die ganzen Funktionen G{z) 199 

während sich G^^"'^^^ bei ungeradem n durch die Formel: 

(11) Ö^f «■^i> = G^'' G'f Gf"-'' G'^^^' 

4_ (1 _ (1 4_ ^2) ^ _!_ ^2 ^2^) Qin) Qin) Qin + 1) Q,n + 1)^ 

bei geradem n aber durch: 

(12) G^i^n+l) _ Q^n) Qin) Qin^l) ^(« + 1) 

4- (1 _ (1 -p A;2)^ + ¥3^) G'^' G^f G^^^+-^^ G'^""^' 
berechnet. 

Da alle vier Funktionen G^^^ mit 1 identisch sind, so ergibt sich aus 
den Formeln (8): 

(13) Gf^l-l^z^ G['' = 2, Gf^ = l-20 + h^z', Gf==\-2¥z + ¥z\ 

sowie weiter mittelst der Formeln (10) und (11): 

Gf = 3 - 4 (1 + Ä;^) 5 + Wz^ - l&z\ 

Gf = 1 _ 4^ + i^Wz'' - M&z'' + /^V, 

Gf = 1 - ^Wz + ^li^z^ - 4.1c' z' + itV. 

Mit Rücksicht auf die Gestalt der Rekursionsformeln gewinnen wir aus 
diesen Angaben den allgemeinen Satz, daß die Koeffizienten a der ganzen 
Funktionen G durchweg rationale ganze ganzzahlige Funktionen von k' sind. 
Einige weitere allgemeine Gesetze über unsere Funktionen G erhalten 
wir durch Heranziehung bisher noch nicht benutzter Hilfsmittel. 

§ 5. Weitere Beziehungen zwischen den Funktionen G(z), 

Da weiterhin nur noch die Funktionen G'-q\ G^^\ . . . eines und des- 
selben n zur Sprache kommen, so wird der obere Index n fortgelassen. 
Dagegen wird ausführlicher Gq (Zy A;^), G^ {Zj k')y . . . geschrieben, um die 
Abhängigkeit der Funktionen von k' hervorzuheben. Es ist nun zunächst 
möglich, die Koeffizienten der höchsten Potenzen in den Ausdrücken (2) 
und (4) S. 197 der Funktionen G allgemein zu bestimmen. Diese Koef- 
fizienten a «2-1, a „2-1, . . . der vier Ausdrücke (2) S. 197, die sich auf 

ungerades n beziehen, sind bzw.: 

(- 1)^^ n k'^", (- 1)"2" l~^^ k~^~, k^^ • 
im Falle eines geraden n hat man für a „-., a „2-4, .. . bzw.: 

71 n* n-2 n* — 4 n^ n^ 

{-iyk\ (-I)~2"n7r2", Ä;% k^. 



200 I? 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 

Für n = Ij 2 und 3 geht die Richtigkeit dieser Angaben aus den am 
Schlüsse von § 4 zusammenge stellten Ausdrücken der zugehörigen Funk- 
tionen G hervor. Die Rekursionsformeln (8)jff. S. 198 zeigen dann mittelst 
des Schlusses der vollständigen Induktion die allgemeine Gültigkeit. 
Schreiben wir auch noch bei den Koeffizienten a das Argument h^ hinzu, 
so gilt hiernach als Ansatz bei einem ungeraden oi: 

G, (z, ¥) = « + «1, {]c')0 + a,, {¥) s^' +■■■ + {- Ip'' k^ «V 
G^{,, P) = 1 + «^.1 (Jc')s + a,„(7c2)«^ + • ■ • + /o^/'ä", (/-=J,s> 



(1) 



und bei einem geraden n: 



(2) 



G, (e, ¥) = w + a,i (¥) s + a,^ Qc') z^ + ... + {- ip" nk~^ h~, 

Man gelangt nun zur Kenntnis einer Anzahl von Relationen zwischen 
den vier Funktionen G, wenn man das Argument w der Funktionen sn^ 
cn, dn um Periodenhälften ändert, und wenn man diese Funktionen der 
linearen Transformation unterwirft (vgl. 1,475). Das Verhalten von sn w, . . ., 
sn (nw)y . . . bei Vermehrung von w um iK' geht aus der Tabelle in 1, 395 
und den Formeln (13) in I, 390 hervor; der Integralmodul bleibt unver- 
ändert. Die für ungerades n gültigen Gleichungen (1) S. 197 gehen dem- 
nach bei dieser Änderung ton w in die folgenden über: 



1 «'fc-''^) 



= (-1)' 



dn {nw) , ^ s^„- dn w ^\Tc^z' ) 



2 

sn {nw) \ ^y snw 



e» 



(^.'^r 



cn {mv) ^ ^ >~2^ ^^ ^^ \fc^ z I 

sn {nw) ^ ^ sn iü 



'^»(p.'^-') 



Der Vergleich mit den ursprünglichen Gleichungen lehrt die bei un- 
geradem n bestehenden Beziehungen: 



(3) 



(4) 



(5) 



Weitere BeziehuDgen zwischen den ganzen Funktionen G{z^ k^) 201 

öl (^, F) = (- Ip"' (Jczf^ Go {-- , f) , 
Bei geradem n gewinnt man auf entsprechendem Wege die Regeln: 

(?„(^,F) = (-i)^(;c#(?o(^,&^), 

Gl i^, Tc') = (- IP"' Qc0f^'~G, {^^, Je') , 

G^{z,¥)^{h,f'G,{^,,h')- ("-^.^y 

Man übe zweitens die in 1, 475 mit —STS bezeichnete lineare Trans- 
formation aus. Das Verhalten der Funktionen und des Integralmoduls 
ist a. a. 0. angegeben; insbesondere ist ^ durch h^^ zu ersetzen und Ä;^ durch 

vj • Man findet, daß sowohl bei ungeradem als geradem n die Regeln gelten: 

G^(2,]c')=G^^(k'^z,~^, (^=0,1) 

0,i^,Jc') = G,{lch,^). 
Bei Anwendung der linearen Transformation T geht h^ zufolge 1,475 
in (1 — h^) über und ^ in _ • Hier findet man bei ungeradem n die 

Gesetze: „a_i 

■ e» i^, ^^) = (^ - 1)"^" G, (^^ ,1-w), 

G, {B, V) = (. - 1)" ^" ' G„ (^-^ ^ , 1 - ¥) , 

G,{B, Je') = (^ - 1)^ G,, (^ , 1 - *^) , 
während sich bei geradem n die Regeln anschließen: 

Gl (^, fc^) = (^ - Ip"' ö, (--^-j , 1 - F) , 



(6) 



(fi^iA 



C) 



202 I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 

Zu neuen Regeln würde auch noch die Vermehrung von w um K führen; 
doch sind diese etwas umständlicher und kommen weiterhin nicht zur 
Verwendung. 

Die gewonnenen Formeln zeigen, daß hei ungeradem n mit Gq die 
drei anderen Funktionen als bekannt gelten können, da man, falls Gq be- 
kannt ist, G2 aus der zweiten Formel (6) und sodann G^ und G^ aus den 
Formeln (3) gewinnt. Bei geradem n dürfen mit Gq und G^ auch G^ Und 
G^ als bekannt gelten, da man G2 mittelst der dritten Formel (7) aus Gq 
und sodann G^ aus G^ durch die dritte Formel (5) bestimmt. Übrigens 

ist G^^\ falls die Funktionen G^^' schon bekannt sind, aus der zweiten 
Rekursionsformel (9) S. 198 unmittelbar abzulesen, so daß sich unsere 
Aufgabe im wesentlichen auf die Berechnung von (r^"^ beschränkt. 

Besonders wertvoll sind die Regeln (5), die wir für die Koeffizienten a 
in die Gestalten kleiden: 



(8) 






Der Schlußsatz von § 4 kann demnach so ergänzt werden: Der einzelne 
Koeffizient a^^ ist eine ganze ganzzahlige Funktion höchstens v^"- Grades 
von k^. 

Ehe wir weitere Folgerungen aus den Relationen (3) ff. ziehen, stellen 
wir allgemein die Werte der Koeffizienten a für den Fall k^=0 fest. In 
diesem Falle sind die Funktionen Gq und G^ für w = 1, 2 und 3 nach 
§ 4 mit 1 identisch. Die Rekursionsformeln (8) ff. S. 198 zeigen alsdann 
durch den Schluß der vollständigen Induktion, daß für jedes n die Funk- 
tionen (to(^, 0) und G^{z, 0) mit 1 identisch sind. Es folgt hieraus: Die 
Koeffizienten aQ^ (k^) und a^^ik^) in den Ansätzen (1) und (2) verschwinden 
mit k^j haben also als ganze Funktionen höchstens v^^" Grades von k'^ die 
Absolutglieder 0. Die Regeln (8) zeigen daraufhin weiter: Die Grade von 
c^Q^ik^) und ci.2^(k^) in k^ sind höchstens (1/ — 1), so daß insbesondere 
%i (^^) ^^^ ^ identisch ist. 

Auch die Funktionen G^ {z, 0) und G^ {z, 0) können allgemein an- 
gegeben werden, da bei verschwindendem Integralmodul die Funktionen 
snt«; und cnw nach 1,472 in die trigonometrischen Funktionen ^\nw und 
cos w übergehen und also unsere Multiplikationsformeln einfach auf die 
Elementarformeln zurückkommen, in denen sin«<; und 0,0^ w nach Po- 
tenzen von sint<; entwickelt sind. Wir haben also bei ungeradem n die 
Darstellungen: 



(9) 



Regeln für die Koeffizienten von G{z) 203 

G, (., 0) = n - '^»^-^. + »("'-!')»-- «■),» _ ■ ■ . 



5! 



• • • + l- i j ^^j 3 



n-l 



• + (-1) 



V (**' - 1*) (^' - 3«) . . . (n= - (r* - 2)«) ^V 



(n-l)! 
während bei geradem n sich die Gleichungen anschließen: 

(ri /» f\\ n(n«— 2*) , w(n2— 2«) (1*2 — 4^ „ 



(10) 



3! 

n — 2 

^— w(w*— 2») . . .(n^— (n — 2)*) ^-^— 



••• + (-1) 

w* (w* — 2^...(n *— (n — 2)2) ~ 



n-2 

2^^ 



(n-l)! 

^2 ^^2 o2^ 



<^" 



+ (-1) 



_.«... 



Die hier hei de)i Fotenzen s, z^^ z^ auftretenden Koeffizienten sind die Ah- 
solutglieder der rationalen ganzen Ausdrücke der a^^ih^), a^^^(h^)y ^^sC^^)?--- 
in ¥ für fi = 1 hzw. 2; diese Ähsolutglieder verschwinden hei ungeradem n 
von a „ + 1 aw, hei geradem n von a „ und a n + ^ an. 



^» 



^'Y 



Was die übrigen Koeffizienten in den Ausdrücken der a^^ als Funk- 
tionen von Ti^ angeht, so folgt aus der ersten Gleichung (8), daß sowohl 
bei a^^ als bei a^^ die Koeffizienten, die gleich weit vom Anfang und 
Ende des Ausdrucks abstehen, einander gleich sind. In dem für uns wich- 
tigsten Falle der «q,, haben wir somit den Ansatz: 

(11) ao, == a,¥-\-cc,l^-^ . • . + a,¥^-'+a^l^^-' 

mit ganzen Zahlen a, wofür wir unter Zusammenziehung entsprechender 
Glieder auch schreiben können: 

(12) fc-.a„,= «,(r-^ + ^) + a,(£'-*+^)+... 
Führt man die Größe: 

(13) »^ = * + T 

ein, so kann man die in (12) auftretenden Klammerausdrücke in folgender 
Art durch die Potenzen von x darstellen: 

(14) &2 + i, = x2_2, P+i, = «'_3x, ^ + A = H*_4xH2,... 
Die rechte Seite von (12) wird dann eine rationale ganze Funktion : 



(15) 



h-"- o„^= «;»•-*+ «;5t''-*+ a;j«'-8+ 



204 Ij 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 

höchstens (v — 2)*®" Grades von k mit ganzzahligen Koeffizienten «'. Ist 
aber in (12) rechts «,. der erste nicht verschwindende Koeffizient, während 
«1, «2? • • •? ^»-1 gleich sind, so verschwinden auch «i? «'2? • • •? '^f-i? 
und es ist a. = «,.. 

Wir gehen nun auf die Relationen (3)jff. zurück und tragen in die 
erste Gleichung (3) rechts für Gq den Ansatz (1) ein. Es ergibt sich mit 
Rücksicht auf «oj = nach kurzer Umrechnung für G^ der Ausdruck: 

« - 1 / n^ - 5 «* - 9 

«2_13 n2_7 «2-9 n^-^ «'^ - 1 \ 

... + Ä: 2 a^3^"'2 -_^^. 2 -^^^^ 2 _!_ (ft^) 2 I 

Dieser Ausdruck geht aber für ä:^ = in die rechte Seite der ersten 
Gleichung (9) über. Hieraus können wir einen Schluß ziehen auf die 
Gestalt des ersten in (11) rechts wirklich auftretenden Gliedes. Um ein 
abschließendes Ergebnis aussprechen zu können, setzen wir entsprechend 
dem Ansätze (1) den ersten Koeffizienten a^^ = 1 und gehen übrigens 
sogleich auf (15) zurück: Im Falle eines ungeraden n haben wir für die 
höchsten Koeffizienten von Gq^z^Jc^) die Darstellungen: 

w» - 1 n-l 

Ic « a^„._i = (-l) 2 n, 
' 2 

Ä 2 öt ,_3 = -(-l) 2 _^-^x, 

IC 2 ^ ^,_g = + (_ 1) 2 _^ y^ 1 ^2 ^ ^^^_g ^ 

0. — I — • • '_ 1 1 



(16) 



während sich für die Anfangskoeffizienten aus (15) ergibt: 
^00^1? %i = ^j ^~ ^02 ==^2,1? 



[k~ öfo3 = «gj^ ;c, ic aQ^ = cc^^x -j- (^^2 j 

wo die a durchweg ganze Zahlen sind. 

Im Falle eines geraden n könnte man im Anschluß an die erste 
Gleichung (6) die Entwicklung der Koeffizienten a^^ ebensoweit fördern 
wie soeben bei ungeradem n. Doch wollen wir hier nur erst die erste 
Gleichung (4) anwenden, die, wie man leicht feststellt, Beziehungen 
zwischen je zwei vom Anfang und Ende des Ausdrucks (2) für Gq gleich 
weit abstehenden Koeffizienten a ergibt. Wir gewinnen den Satz: Irr^ 
Falle eines geraden n gelten für die Koeffizienten von Gq {z, h^ die Dar- 
stellungen: 



(18) 



Die Anfangs- und Endkoeffizienten von G(^{z, /:*) 

' 2 ' 

n n- — 4 

0, 2 

yt «2-6 



205 



0, 



t(;ö cZie a wieder durchiveg ganze Zahlen sind. Für die Bestimmung dieser 
ganzen Zahlen kann die S, 196 erwähnte von Jacob i aufgefundene Diffe- 
rentialgleichung benutzt werden. 

§ 6. Differentialgleichungen zur Berechnung der Funktionen G{z), 
Aus (1) S. 172 folgert man mit Hilfe der Legendreschen Relation, daß 
die Funktion 6^ (w) folgender Gleichung bei Vermehrung von u um Perio- 
den multipla genügt: 

\{u -f m,co, + m^co^) = (- ir'"'-^'"V-^'?>+-«'/^)(" + ^^5, (t*). 

Hieraus geht hervor, daß der Quotient: 

^^^^ (6,(1^))«'» 

die Perioden Oj, cjg hat. Der Nenner dieses Quotienten hat im Perioden- 

paraUelogramm einen einzigen NuUpunkt der Ordnung w^ an der Stelle -^ • 

Der Zähler hat n^ Nullpunkte erster Ordnung im PeriodenparaUelogramm 
an den Stellen: 



(2) u = '''- -f ^^vil^ 



(2« -f 1)0)^4- 2/3 (Oa 
2w 



, ar,,9 = 0, 1, 



(n-1), 



von denen im Falle eines ungeraden n eine, im Falle eines geraden n 
keine mit dem Nullpunkte des Nenners zusammenfällt. Der Quotient (1) 
hat demnach die Wertigkeit {n^ — 1) bzw. ?^^ und ist übrigens als gerade 
Funktion von u rational in (p(u) darstellbar. 

Auf Grund der vierten Gleichung (1) in I, 401 schreiben wir die 
Funktion (1) in der Weierstraßschen Funktion Al(«r) so: 

/Q\ 6i(n'M) k\{nw) 

(5i(w))««~ (AI («;))"■«' 

als solche werden wir sie dann statt in ^(w) rational in z = (snw)^ dar- 
stellen. Nun fällt der Pol der Ordnung (w^— 1) bzw. n^ unseres Quo- 
tienten mit dem Pole zweiter Ordnung von z zusammen, so daß der Quo- 



206 I» 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 

tient eine rationale ganze Funktion des Grades j(n^— 1) bzw. -n^ von 
ist. Die Zählernullpunkte (2) führen uns genau zu den Polen der Funk- 
tion sn(wo) zurück. Die Nullpunkte der fraglichen ganzen Funktion des 
Grades |(w^— 1) bzw. |w^ von 2 sind demnach genau wieder die Null- 
punkte der Funktion Gq(0), so daß der Quotient (3), abgesehen von einem 
konstanten Faktor, mit Gq{^) identisch ist. Dieser Faktor aber ist einfach 
gleich 1, da für w = und also = einerseits ö^oW zufolge (1) und 
(2) S. 200 gleich 1 wird und andererseits A1(0) == 1 zufolge (7) in I, 403 
zutrifft: Die ganze Funktion G^q\z) läßt sich als Funktion von w in der 
Weierstraßschen Funktion Al{w) so darstellen: 

KV ^0 W (AKw;))«'''- 

Entsprechende Darstellungen der Funktionen G'^\0), G^^\z), G^\z) in 
allen vier Funktionen A1(m;) wird man mit Benutzung der eben aufge- 
stellten Gleichung (4) aus (1) und (3) S. 197 auf Grund von (2) in I, 401 
leicht ableiten. 

Wie aus der Gleichung (3) S. 184, der unsere jetzige Gleichung (4) 
offenbar genau entspricht, in § 2, S. 190 ff., eine partielle Differentialglei- 
chung für i/>(") abgeleitet wurde, so können wir aus (4) eine ebensolche 
Gleichung für die fortan kurz durch G zu bezeichnende Funktion G^^ {Sy k^) 
ableiten. Der Differentialgleichung (5) in I, 470 von AI als Funktion von 
w und k^ kann man die Gestalt: 

dno^k\{w) / aiogAiH y ^^^^ d\ogk\{w) 

+ 4F(1 - ;i^)^f~ÖÜ + feW = 

geben. Man setze nw an Stelle von w, multipliziere mit n^ und ziehe vom 
Ergebnis die mit w* multiplizierte Gleichung (5) ab. Die entstehende 
Gleichung nimmt bei Einführung von G auf Grund von (4) und bei Be- 
nutzung der dritten Gleichung (6) in I, 402 die Gestalt an: 

dw^ ' \ 3w / dw \ dw / 

+ 4nVil - k'f-^ + n\n'- 1)¥0 = 0. 
Hierfür kann man nach Zusatz des Faktors G auch schreiben: 

^ / dw^ ' dw \ dw J 

Führt man an Stelle von w und k^ als neue unabhängige Variable z 
und k* ein, so ist zu beachten, daß w nur in enthalten ist, während k^ 



Entwicklung einer partiellen Differentialgleichung fux Gq{z^ k^) 207 

niclit nur als zweite unabhängige Variable auftritt, sondern außerdem noch 
in z als zweites Argument vorkommt. Wir haben also einerseits: 

CIO dz dw^ dio^ ~dz*\dw) "^ dz dw^ ^ 

während andererseits die in (6) gemeinte partielle Ableitung von G nach 
h^ durch: g6^ dz dG 

dz d{k') "^ d{lc') 
zu ersetzen ist. Die Gleichung (6) nimmt so die Gestalt an: 

Die mit den Ableitungen von G nach s multiplizierten Faktoren 
sind nun noch auf s und h^ umzurechnen. Zunächst leitet man aus (1) 
und (2) in I, 396 leicht die Gleichungen ab : 



(8) 



(||;)'=4.(1-.)(1-Ä^.), 

^''i = 2(1 - 2(1 + ¥)e + Sk'z'). 



dtv^ 
Die zweite Ableitung von z nach w können wir auch so entwickeln: 

d*z _ d^jsnw^) ^ g 'snw 1 / g(snw)^ ^ 

dw^~ dw^ " ^^^ dw^ '^ 2{Bnwy\ ßw ) 

und folgern mit Rücksicht von (8) die sogleich zu benutzende Gleichung: 

(9) snw^^=-{l+¥), + 2kV. 

Der Rest der Zwischenrechnung ist etwas umständlicher. Subtrahiert man 
die durch AI (w) und Al^ (w) geteilten beiden ersten Differentialgleichungen 
(5) in I, 470 voneinander, so ergibt sich bei Einführung der Logarithmen 
der Funktionen AI: 

a» log AI, (w) dnogkljw) (d log AI, {w) \ ' / dlogAl{w )\ » ^ ,2 /dlogM^ 

dlv' d^' — '^\~d~^ / '~\~'d^ ; '^'^^ ^\ d^ 

aiogAl(M;) \ . , 2/1 j,i\ ( dlogAl^jw) dlogA.l{w) \ . _ 7.2 _ a 

Fiv /+'*'' Ki^-f^)[ dw dipr)'^ 

Setzt man für Al^ («;) das dieser Funktion gleiche Produkt snW'Al(w), 
so folgt nach Multiplikation der entstehenden Gleichung mit 2n^(8Jiwy 
'=2n^z 

+ 2n\l-'k')0 = O. 



208 ^1 2- Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 

Mit Benutzung von (9) finden wir somit: 

Auf Grund dieser Gleichung sowie der Gleichungen (8) und (9) lassen 
sich die Koeffizienten der Gleichung (7) durchweg auf ^ und k^ umrech- 
nen: Die FunMion G = G^Q\^f h^) befriedigt die partielle Differentialglei- 
eJiung zweiter Ordnung: 

(10) 4.(1 -.)(1-^^.)^ 



"^^ dz' 

+ 2 (1 + 2(- 1 -}- in'- l)]c')z - {2n'- ?>)¥z')\^ -j- ^nV{l - ¥) ,^ 

^n\n^-l)'k^zG==0, 
Tn diese Gleichung tragen wir den Ansatz: 

ein, ordnen nach Potenzen von z und setzen den Koeffizienten der ein- 
zelnen Potenz ;2?^ gleich 0. Es ergiht sich: 

(2v + l)(2i. + 2)a,^, + 4.n'h\l ~ 1^1^ + 4.v{{n^ - v)Tc'- v)a^ 

+ (n^- 2v -f l)(y-2v + 2)l^a^_^ == 0. 

Da die Produkte 'k~^ -a^, rationale ganze Funktionen der in (13) S. 203 
eingeführten Größe ^ sind^ so ist es zweckmäßig, an Stelle der a^, diese 
Produkte zu berechnen und an Stelle von li^ die Größe n als unabhängige 
Variable einzuführen. Wir gelangen so zu dem abschließenden Ergebnis, 
das die von Jacobi entdeckte Methode der Berechnung von G^^^ begründet: 
Je drei aufeinander folgende ProduJcte lc~''~^-a^._^^,h~''a^,Jc~^'^^a^,_^ sind 
durch die folgende Relation aneinander gebunden: 

(11) (2v + 1)(2.. + 2)(/.— ^.a,^,) + 2n\A - x^) ^&^) 

'\-2v(n'-2v)K - Qc-^ ' a;) + {n'^-2v + l){n'-2v + 2){k-''+^ ' a^_^) =^0. 

Mittelst dieser Gleichung kann man die Ergebnisse des vorigen Para- 
graphen bestätigen und wesentlich ergänzen. Da aus (16) und (17) S. 204 
in jedem Falle n sowohl die beiden niedrigsten als auch die beiden höch- 
sten Koeffizienten bekannt sind, so ist die Berechnung der übrigen auf 
rekurrentem Wege sowohl in aufsteigender als in absteigender Linie mög- 
lich. So findet man bei w == 4 unter zweckmäßiger Zusammenfassung der 
Glieder: 

(12) G'^\z,h') = (1 -F ilczf) - 20{ßczf-^{lzf) 

+ ^2K{{hzf-\- (kzf) - 2(Soi'-\- 13)(kzy. 



Partielle Differentialgleichung für G^ {z, k-) 209 

Für n = b reiht sicli hieran: 

(13) Gf{z,'k'') = 5 - 20k{12) + 2(8jc24- 31)(^^)2 - mK{h£f - 105(Ä:^)* 
4- ^mKiksf- 60(4;c2+ b){hzf ^ 16(4y.»+ 23x)(Ä:^y 

- 5(32 ;c2H- 25)(ä;^)«+ 140;«(/o<^)9- 50(ä;^)io _,_ (^^)12_ 

Endlich ergibt sich für w = 6 wieder unter Zusammenfassung je zweier 
Olieder: 

(14) Gf{3, ¥) = {!- {lz)^^)-\0b{(Jczf-Qc3f^) + U^xiSkzf- (hz)'"') 

- 12(72x2+ 37)((/,^)4_ (^^)U) ^ 76S{K'+^x){{hz)'-iJc3)'^) 

- 4(64;e^ + 84.0x' + 621) ((Ä;^)^ - (/i;«^)^^) 

+ 192(8x3-1- 33;c)((^^^)'-(/v^)i^)-126(32z2 + 15)((Ä;^)8-(^^)io). 
Das Glied mit z^ fällt aus. Durch die erste Relation (4) S. 201 zeigt man 
allgemein, daß der Koeffizient a^ „2 stets verschwindet, falls n das Dop- 
pelte einer ungeraden Zahl ist. 



'' , 



Drittes Kapitel. 

Die Divisionssätze der elliptischeii Funktionen. 

Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen sind von Abel ent- 
deckt und zum ersten Male in den „Recherches sur les fonctions ellipti- 
ques^^^) Art. 14 ff. dargestellt. Die Erkenntnis Abels, daß die allgemeinen 
Teilungsgleichungen durch Wurzelziehungen lösbar sind, dürfte für seine 
allgemeinen Untersuchungen über algebraisch lösbare Grleichungen von 
wesentlichem Einfluß gewesen sein. Bei dem Interesse, das die Teilungs- 
gleichungen als Beispiele für die Galoissche Gleichungstheorie darbieten, 
kommen die Divisionssätze ausführlicher in denjenigen Darstellungen zur 
Geltung, bei denen algebraische Fragen im Vordergrunde stehen. So wid- 
met C. Jordan in seinem bekannten Werke ^) ein besonderes Kapitel den 
Gruppen der Teilungsgleichungen, und zwar sowohl der hier zunächst zu 
behandelnden „allgemeinen" Teilungsgleichungen, wie der im nächsten 
Kapitel zur Sprache kommenden „speziellen" Teilungsgleichungen. Be- 
sonders ausführlich behandelt H. Weber die algebraische Seite der Divi- 
sionssätze in seinem Buche „Elliptische Funktionen und algebraische 
Zahlen".^) Über die wirkliche Durchführung des Lösungsprozesses der 
allgemeinen Teilungsgleichung vgl. man L. Kiepert, „Auflösung der 
Transformationsgleichung und Division der elliptischen Funktionen".*) 

1) Jonrn. f. Math. Bd. 2 (1828). 

2) „Traite des substitutions et des equations algebriques" (Paris, 1870). 

3) Braunschweig, 1891. Eine zweite Auflage ist 1908 als dritter Band des 
S. 1 genannten „Lehrbuches des Algebra" erschienen. 

4) Journ. f. Math., Bd. 76 (1873), S. 34. 

Fr icke, Die elliptischen Funktionen II 14 



210 I» 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 

§ 1, Die allgemeine Teilungsgleichung der ^^-Funktion, 

Während das Ziel der Multiplikation bei den Funktionen p{u) und 
p'{u) die Berechnung von p(nu) und p\nu) aus p(u) und p\u) ist, unter 
n irgendeine positive ganze Zahl verstanden, ist das Problem der Divi- 
sion, hei gegebenen und durch die heJcannte Relation verknüpften Funldions- 

werten ^(w), p\u) die zugehörigen Werte p(--)yp(-j zu berechnen. Die 

ganze Zahl n heißt der „Grad" der Division oder Teilung. Wird in den 

Gleichungen (2) S. 184 an Stelle von u der Wert — gesetzt, so folgt: 



« ij(p(^))-K«) = o, p'(|) = 



np'{u) 



B' 



m 



Die erste dieser Gleichungen läßt sich auf Grund von (4) S. 184 nach Mul- 
tiplikation mit dem Nenner (t^("))^ der Funktion R in die Gestalt setzen: 

(2) K^) (*'"'(»))'- *'"-"(»)*'""''(^) - K«)(*"">(^)) = 0. 

Die Darstellung der Funktionen i^(**)(w) in p{u), p(u) geht aus (14) S. 188 
und (20) ff. S. 189 hervor. Man hat bei ungeradem n: 



woran sich für ein gerades n die Gleichung schließt: 

^(«)(u) = - p\u){inp(uy^''^~'W 7i(i92)P(^r^^^' 



8) 



(w'^-lO) _ \ 



Die ß und y erweisen sich zunächst als rationale Zahlen; sie sind aber 
sogar ganze Zahlen, wie auf Grund der Rekursionsformeln (8) S. 185 aus 
den auf die niedersten n bezogenen Gleichungen (6) S. 185 hervorgeht. 
Benutzt man diese Ausdrücke der ifj^'^^ zur weiteren Entwicklung der Glei- 
chung (2), so ergibt die Zwischenrechnung, daß der Koeffizient der höch- 
sten Potenz der unbekannten Funktion p(—) sowohl bei geradem als bei 

ungeradem n in einfachster Weise gleich 1 wird. Die Koeffizienten der 
Gleichung sind rationale ganze, ganzzahlige Funktionen von j^g? ffsr Pi'^X 
und sie sind speziell in p (u) linear; die Dimension der Gleichung in ^f , Oj , cog 

ist — 2wl Indem wir die Funktion p(—) als „Unbekannte" der Gleichung 

durch Z bezeichnen, können wir die Gleichung (2) in die entwickelte Ge- 
stalt kleiden: 



Ansatz der allgemeinen Teilungsgleichung und des Teilungsproblems 211 
(3) Z-'-n'p(u)Z-'-^+ a,(y,)Z-'-'+(a,g, + a,{ig,)piu))Z"'-' 

+ {a,ii92)' + alg,p{u))Z-'-^ + • • • = 0, 
wo die a^j a^y a^, a^y . . . ganze Zahlen sind. 

Die Gleicliuiig (3) soll die ,^aTlgemeine Teilungsgleichung^) der p-Funh- 
tion für den w'^" Teilungsgrad^' heißen. Das Teilungsproblem darf als er- 
ledigt gelten, wenn die Gleichung (3) nach Z aufgelöst ist. Kennt man 

nämlich p(~)f so ist p(—) auf Grund der zweiten Gleichung (1) rational 
berechenbar. 

Die Funktionen ^(— ), P {—) haben die Perioden wcl>i, wog. Der ein- 
zelne Punkt des zugehörigen Periodenparallologramms der Ecken 0, ncs^, 
n(x)j^-\~ n(02y >^G?i ist durch das hier auftretende Wertepaar ^(— ), P\—) 

eindeutig angebbar. Das fragliche Parallelogramm läßt sich nun aus 
n^ Parallelogrammen der ursprünglichen, auf co^, (d^ bezogenen Teilung 
aufbauen. Die Angabe eines Paares zusammengehöriger Werte p(u)y p'{u) 
legt aber in den n^ kleinen Parallelogrammen ein System von n^ homo- 
logen, bezüglich der Gruppe P(") äquivalenten Punkten fest. Ist u der im 
ersten Parallelogramm der Ecken 0, ojg, «i + c^s? ^i gelegene Punkt dieses 
Systems, so sind alle n^ Punkte durch 

(4) U -i- Xg}^ + ^(02, k, 111 = 0,1,2,.. .,n-l 

gegeben, wo A, ^ alle n^ Kombinationen der n ganzen Zahlen 0, 1, 2, . . ., 
n — 1 durchlaufen. Abkürzend verstehen wir unter PxA'^), 9xn{^) <iie 
beiden Funktionen: 

(5) ^,,,w=K»+'-^— )' ^^i.w=^'(«+'^'4^)- 

Unser Teilungsproblem läuft dann darauf hinaus, hei Festlegung eines 
Systems von n^ Stellen (4) im großen Parallelogramm durch Angabe eines 
Paares zusammengehöriger Werte p(ii)y p{u) die in jenen n^ Stellen auf- 
tretenden Wertepaare ^xA-), p'?.fiV~) ^u berechnen. 

Im Anschluß hieran kann man das Teilungsproblem auch noch rein 
algebraisch aussprechen. Das einzelne Parallelogramm der ursprünglichen 
Teilung wird durch die Funktion z = f (u) auf die in Bd. I mit Fg be- 
zeichnete zweiblättrige Riemannsche Fläche des Geschlechtes jp = 1 ab- 
gebildet, deren einzelner Punkt durch zwei zusammengehörige Werte z, 
tv = |/4^3_ g^g _ g^ angebbar ist. Entsprechend gibt die Abbildung des 
Parallellogramms der Perioden no^^na^ durch z = p{u) eine Riemann- 

1) Im Gegensatze zur „speziellen Teilungsgleichung", die unten betrachtet 
wird. Wenn kein Zweifel vorliegt, mag der Zusatz „allgemein" auch fortbleiben. 

14* 



212 I, 3. Die Divißionsaätze der elliptischen Funktionen 

sehe Fläche F^^-^ des Geschlechtes p = 1, die mit 2n^ Blättern über der 

;gr-Ebeiie lagert. Ein Funktionssystem dieser F^n'' haben wir dann in 

Z^pi^^j^ W = y4:Z^ — g^Z — g^. Nun kann die Fg«^ offenbar auch 

durch eine n^-iache Überlagerung der Fg gewonnen werden. Unser Pro- 
blem läuft dann darauf hinaus, für n^ in den Exemplaren der Fg homologe 
Stellen der Fg^^, wie sie durch Angabe eines Wertsystetns z, iv festgelegt sindy 
die n^ zugehörigen Wertsgsieme Z, W zu berechnen. 

Indem wir die in der Einleitung entwickelte Galoissche Gleichungs- 
theorie auf die Teilungsgleichung (3) anwenden, gewinnt die Untersuchung 
neben dem algebraisch-funktionentheoretischen Interesse noch einen we- 
sentlichen arithmetischen Charakter, der durch den Bau der Koeffizienten 
der Gleichung (3) begr��ndet ist. Als gegeben gilt mit der Gleichung (3) 
der weiterhin mit ^ zu bezeichnende Körper der rationalen FunMionen von 
F (^)? F'(^)> deren Koeffizienten rationale FunMionen von g^, g^ mit rationalen 
Zahlenlcoeffizienten sind. Dabei liegt hier insofern noch eine Besonderheit 
vor, daß für uns nur solche Ausdrücke des Körpers ^ in Betracht kommen, 
die in u, c?^, co^ homogen sind. Sehen wir die Perioden coj, Og als veränder- 
lich an, so bilden übrigens die von u unabhängigen Größen von ^ ihrer- 
seits auch noch einen FunUionenkörperj da sie rationale Funktionen der 
Modulformen ^2(^1; ^2)? ^3(^1? ^2) ^^ rationalen Zahlenkoeffizienten sind. 
Dieser Umstand wird für die Entwicklungen des nächsten Kapitels grund- 
legend. 

Als erster Satz der Teilungstheorie ist zu nennen: Die allgemeine 
Teilungsgleichung (3) ist im Körper ^ irreduzibel und bleibt auch dann 
noch irreduzibel, wenn man zu ü irgendwelche ,jVon u unabhängige'^ Irra- 
tionalitäten adjungiert. Ist nämlich nach irgendwelchen Adjunktionen 
dieser Art F(Zj p{u), )^>/(w)) = der irreduzible Bestandteil von (3), dem 

die erste Lösung ^-'(~) genügt, so besteht die Gleichung: 

(6) J'(f(^)vF(»),f'(«)) = 

in u identisch. Die Gleichung (6) bleibt also richtig, falls man u um das 
Periodenmultiplum X(x)^-\- ^cj^ zunehmen läßt. Hierbei gehen p{u) und 
p'(u) in sich über. Die Gleichung F(Zj p{u), <p\u)) = wird also durch 

alle w^ Lösungen Z = ^-;;i^^(—j des Teilungsproblems befriedigt und ist 

demnach die Teilungsgleichung (3) selbst, die damit als irreduzibel er- 
kannt wird. 

Zu den Funktionen (5) gehören für die Kombination A = 0, ^ = 
auch die ursprünglichen p(w), p\u). Setzt man in den übrigen (w"— 1) 
Paaren (5) das erste Argument u = 0, so gelangt man zu den abgekürzt 
durch Pj^^^, p'. zu bezeichnenden Ausdrücken: 



Einführung der Teilwerte p^ , p'^ des w**" Teilungsgrades 213 

die homogene Funktionen der Dimension (— 2) bzw. (— 3) der Perioden 
(öj, Og allein sind und als die zum n*^^ Teilungsgrade gehörenden ,,Teil- 
werte'^ der Funktionen ^j und p' bezeichnet werden. Da p(u) eine gerade 
und p\u) eine ungerade Funktion ist, so gilt* 

Man folgert hieraus leicht die Sätze: Bei ungeradem n gibt es nur \{n^ — 1) 
verschiedene Teilwerte <p^^ und die (w^— 1) Teilwerte <p\ ^ sind m je zweien 
einander entgegengesetzt. Bei geradem n hat man erstlich \{n} -{- 2) Teil- 
werte (p-^^^, unter denen sich die drei schon heim Grade 2 auftretenden Teil- 
iverte: 

2' '2 2'2 

finden (vgl. (13) in 1^217); wn den p'^ verschwinden die den drei Teilwer- 
ten (9) entsprechenden identisch^ während die {n^ — 4) übrigen zu je zweien 
entgegengesetzt sind. 

Nach den Additionssätzen sind übrigens pj^^ p'^ ^ rational mit ratio- 
nalen Zahlenkoeffizienten in g^, g^, pj^, Po , p'^^y p'^^^ darstellbar. Ferner 
sind nach den Multiplikationssätzen p^^ und p^ wieder rational mit ratio- 
nalen Zahlenkoeffizienten in g^^ g^ und p^^ bzw. p^^ darstellbar, und 
für p\q, Pq^ hat man entsprechende Darstellungen unter Hinzunahme 
von p'^Q bzw. p'^^. Jedenfalls sind also die gesamten Teilwerte des n^^"^ Tei- 
lung sgrades rational mit rationalen Zahlenlcoeffizienten in g^jQ^y Pi^y Pqi, 
Fio? Foi darstellbar j wobei übrigens die beiden p\q^ p^^ aus g^yg^ und p^^ 
bztv. Pqi mittels zweier Quadratwurzeln berechenbar sind. 

Es besteht nun der wichtige Satz: Die Teilwerte des n*'^ Teilungs- 
grades gehören zu den natürlichen Irrationalitäten der allgemeinen Teilungs- 
gleichung dieses Grades. Der zur Teilungsgleichung gehörende Galoissche 
Körper entsteht nämlich aus ^ durch Adjunktion aller n^ Lösungen 

i^Xuif ^®^ Teilungsgleichung. Diesem Galoisschen Körper gehören wegen 

der Gleichung: 

dann auch die n^ Funktionen p'^ ^ (— ) an. Nun folgt aber aus dem Addi- 
tionstheoreme (10) S. 160: 



214 I, •^- Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 

woraus unmittelbar hervorgeht, daß ^^;j„ dem fraglichen Galoisscheü Kör- 
per angehört. In derselben Weise erkennt man auch die Zugehörigkeit 
der <p\ zu diesem Körper. 

Wir wenden uns nun zunächst zu der Frage, wie sich der Lösungs- 
prozeß der allgemeinen Teilungsgleichung gestaltet, wenn bereits alle 
natürlichen Irrationalitäten, die von u unabhängig sind, also insbesondere 
die Teilwerte <p^ ^ <p\ ^ adjungiert sind. Den alsdann zugrunde liegenden 
Körper (^, ^^;^ , fI ,? • • •) nennen wir kurz ^'. Entsprechend der allgemei- 
nen Theorie (S. 76 ff.) haben wir zur Beantwortung dieser Frage zunächst 
die „Monodromiegruppe^^ der allgemeinen Teilungsgleichung aufzustellen. 

§ 2. Die Monodromiegruppe der allgemeinen Teilungsgleichung. 

Nach S. 77 wird die Monodromiegruppe der Teilungsgleichung (3) 

S. 211 von allen Permutationen der w^ Lösungen Z=F;( — J geliefert, die 

bei den Umläufen von z auf der Riemannschen Fläche Fg oder (was auf 
dasselbe hinauskommt) bei den Substitutionen: 

(1) W' = W + ^1 C3i -f- Wg (»2 

der Gruppe F^"^ auftreten. Bei der einzelaen Substitution (1) aber geht 

(2) X' ^X -\- m^y fi' ^ ^ -\- m^ (mod. n) 

zu berechnen ist. Nennen wir die Substitution u = u -\- m\G)^ -\- m'^ o^ mit 
der Substitution (1) kongruent modw, falls m\ = m^, m'^ = 7n^ (mod. n) 
zutrifft, so ist einleuchtend, daß alle mod n miteinander kongruenten 
Substitutionen ein und dieselbe Permutation der n^ Wurzeln der Teilungs- 
gleichung bewirken. Insbesondere ergeben die Substitutionen der in I, 375 
mit JT^"^ bezeichneten „Hauptkongruenzgruppe >^*®' Stufe'^ innerhalb der jT^"^ 

die identische Permutation der ^^^A — )• 

Andererseits liefern n^ mod^ inkongruente Substitutionen (1) ebenso 
viele verschiedene Permutationen der n^ Wurzeln der Teilungsgleichung; 

denn es wird irgendeine erste Lösung PxAA, wie aus (2) leicht folgt, 

durch jene n^ Substitutionen in aUe n^ verschiedenen Lösungen unserer 
Gleichung übergeführt. Je zwei der n^ Permutationen sind zufolge des 
Gesetzes (2) „kommutativ'^ Nach der allgemeinen Theorie haben wir also 
folgenden grundlegenden Satz: Die Monodromiegruppe der allgemeinen 
Teilungsgleichung (3) S. 211 ist eine „Jcommutative'^f einfach transitive Gruppe 
(t^2 der Ordnung n^; die Teilungsgleichung selbst ist demnach im Körper 
^ = i^j Pxiuf P'x 1 • • •) ^^^^ Äbelsche Gleichung und als solche algebraisch 



Monodromiegruppe der allgemeinen Teilungsgleichung 215 

lösbar. Das Kennzeichen einer Abelschen Gleichung, daß jede ihrer Wur- 
zeln in jeder anderen rationaPdarstellbar ist, und daß je zwei hierbei auf- 
tretende rationale Funktionen kommutativ sind, muß also an unserer Tei- 
iungsgleichung erfüllt sein. Die rationale Darstellbarkeit ist aus dem 
Additionstheorem unmittelbar ersichtlich; so gilt z.B. als Darstellung Yon 

(3) F;., - =4 -,^^ -F - - F./). 

Um die algebraische Lösung der Teilungsgleichung wirklich durch- 
zuführen, haben wir auf die Struktur der Gruppe G^^^ und die in ihr ent- 
haltenen Untergruppen einzugehen. Ehe dies geschieht, sollen noch einige 
bemerkenswerte DarsteUungsformen der G^-^ erwähnt werden. 

Sieht man die mod n kongruenten Substitutionen (1) als nicht ver- 
schieden an, so reduziert sich die F^") auf eine endliche Gruppe G^^, deren 
Substitutionen man zweckmäßig symbolisch durch die Kongruenzen: 

(4) u ^li -\- m^ G)^ -\- m^ ca.2 (mod n) 

an Stelle der Gleichungen (1) darstellt. Die ganzen Zahlen m^, m^ wird 
man dabei auch nach Kombination zweier Substitutionen stets auf ihre 
kleinsten, nicht-negativen Reste mod n reduzieren. Diese 6r„a ist der 
Monodromiegruppe der Teilungsgleichung isomorph und darf als eine 
Darstellungsform jener Gruppe benutzt werden. Für die Untersuchung 
der Untergruppen jener Gruppe ist diese Darstellung besonders geeignet. 
Nach 1, 190 liefert jede Substitution (1) eine eindeutige Transforma- 
tion der Riemannschen Fläche Fg^^ in sich, die wir oben vom Parallelo- 
gramm der Perioden vkd^, nco^ aus herstellten. Dabei ergeben zwei mod w 
kongruente Substitutionen (1) ein und dieselbe Transformation der Fläche 
in sich, während die n^ mod n inkongruenten Substitutionen ebenso viele 
verschiedene Transformationen liefern. Diese n^ Transformationen der 
f^n" ^^ ^^^^ bilden dann ihrerseits wieder eine Gruppe (r„2, in der wir 
eine neue Ausdrucksform unserer Monodromiegruppe finden. Das Addi- 
tionstheorem gestattet eine algebraische Darstellung der Gruppe zu ge- 
winnen, und zwar ist hier die Gestalt (16) S. 161 der Additionsformeln 

besonders geeignet. Setzt man in dieser Proportion — statt u und 
— ^ ^ statt V ein, so erhält man bei Benutzung der algebraischen 

1) Man beachte, daß ^<>'(7-) zufolge der zweiten Gleichung (1) S. 210 rational 
in p l — j und Größen des Körpers Ä darstellbar ist. 



216 I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 

Sehreib weise: 

als der Substitution u^u-^Xcj^-^^cd^ entsprecbend die Transformation: 

(5) Z': W':l = {Whh,-Ziy,l-{2Wp;^, + g,(Z+io,^,) + Sg,)(Z-p,^)) 

■■ {(Wp[^, + 3g,){W-p\^,) + 2(6^p,„ - g,){Zp[^- Wp,^} 

+ g,iZW-p,^,p[^)) 
■■(W- P[l - {12 Zp,^ - g,)(Z - p,^)) . 

Die G^^ erscheint hier eingeUeidet in eine Gruppe eindeutig urrikehrharer 
quadratischer Transformationen der Z^ W. 

Eine Erniedrigung des Grades dieser Transformationen tritt in den 
beiden niedersten Fällen w == 2 und 3 ein. Im Falle n = 2 ist p-^^ eine 
der drei Größen e^, e^y Cg, etwa e^, wäbrend <p\^^ = ist. Ersetzt man auf 
der rechten Seite von (5) die ^2? ffs durch ihre Ausdrücke in e^, 63, e^ und 
W^ durch 4{Z—e^){Z — e^JiZ—e^), so läßt sich nach den nötigen 
Zwischenrechnungen aus den drei Gliedern der Proportion der gemeinsame 
Faktor 4(Z -~ e^ herausheben, und es verbleibt die Proportion: 

(6) Z':W':1^{Z~ e,) {e,Z + 6? + e,e,) : - (2< + e^e^) W : (Z-e.y. 

Die drei von der Identität verschiedenen Transformationen der G^ werden 
demnach in Z allein linear und führen uns zu den Substitutionen (2) in 
1, 133 zurück. In der Tat ist ja die vorliegende Gruppe für diejenige zwei- 
blättrige Riemannsche Fläche Fg des Geschlechtes 1, welche durch Ab- 
bildung der Fg vermittelst der Funktion Z gewonnen wird, einfach die 
Vierergruppe der Transformationen der zugehörigen Yerzweigungsform 
in sich (vgl. I, 133 ff.). 

Im Falle n = 3 handelt es sich bei der Herabminderung des Grades 
der Transformationen (5) um einen bei den Anwendungen der elliptischen- 
Funktionen auf die Theorie der Kurven dritten Grades bekannten Satz,, 
der übrigens in der von Klein entwickelten „Theorie der elliptischen 
Normalkurven" verallgemeinert ist.^) 

Statt übrigens die Transformationen (5) einer direkten algebraischen 
Umformung zu unterwerfen, kann man sich zum Beweise des Satzes, daß 
für w == 3 die neun Transformationen der Fläche Fjg in sich in Z und W 
linear werden, der folgenden funktionentheoretischen Überlegung bedienen : 

Die beiden Funktionen p^^ (u), p[iX^) sind zwei- bzw. dreiwertig und 

haben einen Pol zweiter bzw. dritter Ordnung an der Stelle "^"T^"^ • 



1) Vgl. Klein, „Über die elliptischen Normalkurven der wten Ordnung und 
zugehörige Modulfunktionen der n^^^^ Stufe", Leipziger Abhandl., Bd. 13 (1885), 
sowie die Darstellung in „Modulfunktionen", Bd. 2, S. 237 ff., insbesondere S. 248. 



Algebraische Darstellung der Monodromiegruppe 217 

Nach dem Abelschen Theorem (vgl. 1,2 14 ff.) gibt es eine dreiwertige doppelt- 
periodische Funktion ^(w), die an jener Stelle einen Nullpunkt dritter 
Ordnung und bei u = einen Pol dieser Ordnung hat. Diese Funktion 
tp(ii) läßt sich nach der Regel (4) in I, 206 so darstellen: 

t{u) = Co + Ci^e?(w) + c^^y(u), 

wo die c von u unabhängige Größen sind und c^ von verschieden ist. 
Übrigens ist t/> (u) durch Pol und Nullpunkt nur erst bis auf einen von u 
unabhängigen, beliebig wählbaren Faktor bestimmt. Wir verfügen über 
diesen Faktor .so, daß Cg = — p\^^ wird. Die Werte c^ und Cj ergeben sich 
dann aus dem Umstände, daß wegen des Nullpunktes dritter Ordnung an 

der Stelle ^i"r^^8 gowohl ^(tt) als auch die Ableitung: 

o 

PM = ^1 P\«*) + ^2 P\'^) = ^1 v>' W + C2(6^(**)^ - ¥^2) 

verschwindet. Hieraus ergeben sich, wenn wir noch C2= — f' eintragen, 
die beiden Gleichungen: 

Co + q Px^ = - P'd = - 4^1. + 9-2 Pxf. + gs , 

aus denen sich q und Cg sofort bestimmen. Man findet: 

(7) i^(ii) = (2^,% + 1^2 p;,^ + (/g) - (6^^, - 1^2) p(u) - p[^^ p\u) . 

Die beiden Produkte f(u) • p^iui'^) ^^^ ^W ' ^^1^ W "^^^^ ^^^ ^^^ 
dreiwertige doppeltperiodische Funktionen mit Polen dritter Ordnung bei 
21 = gleichfalls in den Gestalten: 

^ W F;. u («*) = «0 + «^1 F («^) + «2 $^' (^0 r 



l ^ W f1^. (^0 -=h-^h F W + ^2 9 (^) 

darstellbar. Die Koeffizienten a^, «j, . . ., i^g lassen sich aber leicht mittelst 
der Reihenentwicklungen bestimmen. Man hat erstlich wegen der rechten 
Seiten der Ansätze (8): 



Auf der anderen Seite folgt aus (7): 

und man findet bei Benutzung der Regeln (15) S. 188: 

Fi,« W = f1,u + (6^1« - 1^2)^ + 6F;.,.Fa,.^' + 
Durch Multiplikation dieser Reihen mit der für i/;(t*) gewinnt man die fertige 



218 I> 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 

Gestalt der Anfangsglieder der Reihen für i^{u)p^^(u) und t(u)p\ (u)^ so 
daß der Vergleich mit den Ansätzen (8) die Bedeutung der Koeffizienten 
«Q, ttj, . . ., 62 aufklärt. 

Man schreibe endlich in den Gleichungen (7) und (8) noch — an 

Stelle von e* und führe übrigens wie oben (S. 216) die algebraischen Be- 
zeichnungen Z, Wy Z\ W ein. Als Ergebnis findet man: Im Falle 
w = 3 stellen sich die 9 Transformationen der Biemannschen Fläche F^g in 
sich mittelst der Zj W durch folgende lineare Substitutionen dar: 

(10) Z':W^:1 = ({2^1 - \g,^o,^ - 2g,)Z - ^o,^^o\^W 

-(1^2 Fl. + 3^3 ^,^,+ 1^1)) 
: ((6 Fl. - 1^2) 9V^- pH Wi- {Qpl, - y, p,^ - 3^3) p[^) 
'• (- (6f!, - ~192)^-P[, W+ &Pl, + \g,Pi, +^3)). 

§ 3. Zyklische Untergruppen der Gn^ und Kongruenzgruppen 

n*«^ Stufe. 

Für die Substitutionen der Gruppe G^^-^. gebrauchen wir fortan die 
Schreibweise: u' ^u -\-lai, ^ m^^, (modn); 

wir bezeichnen diese Substitutionen durch /S^ = 1, iS^, /Sg, . . ., S^^^_^ und 
deuten die einzelne unter ihnen auch durch das Symbol Q, m) aru Es 
soU nun zunächst die Entwicklung, welche in 1, 377 für n = 2 ausgeführt 
wurde, auf beliebiges n übertragen werden. Zu diesem Zwecke stellen 
wir erstlich die „Perioden" der Substitutionen S und damit die „zyklischen 
Untergruppen" der G^^ fest. 

Die V*« Potenz von S == (l, m) ist einfach S' = {vi, vm). Soll /S" = 1 
sein, so müssen die beiden Zahlen vi, vm zugleich durch n teilbar sein. 
Ist t der größte gemeinsame Teiler von Z und m, so gibt es zwei ganze 
Zahlen a, &, die die Gleichung al-i-hm = t befriedigen. Soll demnach S^'= 1 
sein, so ist hierzu notwendig und offenbar auch ausreichend, daß: 

a ' vi -\- 1) ' vm == vt 

durch n teilbar ist. Die kleinste, dieser Bedingung genügende positive 

Zahl 1/ ist — , wo r der größte gemeinsame Teiler von t und n ist. Im 

Falle r = 1 nennen wir das Zahlenpaar l, m teilerfremd gegen n. Die 
sogleich näher zu bestimmende Anzahl inkongruenter und gegen n teiler- 
fremder Zahlenpaare mod n werde durch das Symbol %{n) bezeichnet. 
Wir merken vorläufig den Satz an: Die Periode der einseinen Substitution S 
ist stets ein Teiler von n; insbesondere hat man x(n) Substitutionen der 
Periode n. 



Anzahl der gegen n teilerfremden Zahlenpaare 219 

Zur Bestimmung der Anzahl x(n) nehmen wir an, daß n das Pro- 
dukt ^1 • Wg zweier teilerfremder ganzer Zahlen n^, n^ sei. Für das 
einzelne Paar l, m gelte: 

l = lif m = m. (mod wj , (» = 1,2) 

wo die l.j m^ Zahlen der Reihe 0, 1, 2, . . ., w,. — 1 sind. Das einzelne 
Paar ly m reduziert sich also nach den Moduln n^ auf zwei bestimmte 
Restpaare l., m.. Auch umgekehrt gelangen wir durch Kombination der 
nl Restpaare ?i, m^ mit den w| Restpaaren Zg? ^2 ^^ ^^n gesamten 
nl' ffl = n^ Restpaaren mod n zurück. Die einzelne Zahlklasse mod n 
ergibt sich nämlich entsprechend durch Kombination der w^ Zahlklassen 
mod n^ mit den n^ Klassen modn^. Aus den Gleichungen: 

(1) l = J.^a,n., m = m,. + ftw., 

in denen die cc, ß ganze Zahlen sind, ist einleuchtend, daß der größte ge- 
meinsame Teiler t. von Z^., m^, n^ auch als Teiler in Z, m und n enthalten 
ist. Haben andrerseits Z, m und n einen Primteiler jp gemein, so istp in w., 
d.h. in einer der Zahlen n^^n^, als Faktor enthalten und geht zufolge (1) 
auch in l. und m. auf. Die sämtlichen gegen n teilerfremden Paare Z, m 
erhalten wir also gerade genau, wenn wir die xi^i) g®g®^ ^1 teilerfremden 
Paare Z^, m^ mit den x^n^) g^g^^ ^2 teilerfremden Paaren kombinieren. Es 
gilt demnach für die Anzahl x das Gesetz xd^i ' '^h) = xi'^i) ' ^(^2); f^^s 
w^ und n^ teilerfremd sind. 

Hiernach braucht man x W niir noch in dem Falle zu berechnen, 
daß n eine Primzahlpotenz p^ ist. Unter den p" inkongruenten Zahlen 
0, 1, 2, . ' .fP" — 1 sind aber p"-^ durch ^ teilbar und (p^ — p"'^) teiler- 
fremd gegen p. Wird l gleich einem dieser (p" — p"''^) teilerfremden 
Reste gesetzt, so liefert jedes m ein gegen jp" teilerfremdes Paar Z, m, was 
P^iP" — P"'^) inkongruente Paare ergibt. Setzt man aber Z gleich einem 
der p"-^ durch p teilbaren Reste, so sind für m nur noch die (i?*"— i?""^) 
gegen p teilerfremden Reste zugänglich, was noch p''~'^(p''—p^-'^) Paare 
liefert. Hieraus folgt: 

xiP') =p^{f-p^-') i-p^-\p^-p^-')=p'^(l - i,) 

und damit der allgemeine Satz: Ist die Primfaktorenzerlegung der Zahl n 
durch n =pl^- p"^ • Pg' • . . gegeben, so ist die Anzahl x(n) der gegen n teiler- 
fremden Paare Z, m und damit die Anzahl der in G^i enthaltenen Sub- 
stitutionen der Periode n: 

(2) ,W = .= (l_^,)(l_^^)(l_i,).... 

Jede dieser x(n) Substitutionen 8 der Periode n erzeugt eine zy- 
klische Untergruppe G„ der Ordnung n. Soll unter den n Substitutionen 



220 Ii 3. Die Divißionssätze der elliptischen Funktionen 

S* dieser (x„ die einzelne S^ wieder die Periode n haben, so ist hierzu 
notwendig und hinreichend, daß v teilerfremd gegen n ist. Da unter den 
Resten mod n im ganzen: 

(3) ^(n) = .(l-l)(l-ij(l-l)... 

teil er fremd gegen n sind, so enthält die 6r„ insgesamt (p(n) Substitutionen 
der Periode n und kann aus jeder dieser Substitutionen erzeugt werden. 
Erklären wir neben ;^(n) und (p(n) eine dritte von n abhängige Anzahl 
ip^ti) durch: 

(4) ^(«) = .(i + i.)(i + i)(i + l).., 

SO gilt ;f (>^) = 9? (n) • i/'(m), und wir gewinnen den Satz: Als syMische 
Untergruppen höchster Ordnung treten in der G^i im ganzen tl)(n) Unter- 
gruppen G^ der Ordnung n auf. Da G^^ eine Abelsche Gruppe ist, so ist 
jede dieser G^ eine ,,ausgemchnete" Untergruppe der G,^i. 

Innerhalb der Gruppe P^") der Substitutionen w' = w + Zco^ + wtö^ 
bilden nun alle Substitutionen, die mit den Substitutionen einer vorgelegten 
zyklischen G„ mod n kongruent sind, eine durch Fjf^ zu bezeichnende 
Untergruppe, welche die in I, 375 erklärte Hauptkongruenzgruppe Fn^^ 
der w*®"" Stufe in sich enthält. Wir nennen auch T^^ eine „Kongruens- 
gruppe n^^"^ Stufe^^ und haben unseren il){n) zyklischen G„ entsprechend 
il){n) innerhalb der Gesamtgruppe T^"^ ausgezeichnete Kongruemgruppen 
n^^^ Stufe r^n^. Daß sie ausgezeichnet sind, folgt in der Tat unmittelbar 
wieder aus dem koramutativen Charakter der r^"\ 

Wie im Falle n = 2 (vgl. 1, 379 ff.) gestalten sich die Verhältnisse aber 
wieder anders innerhalb der ternären Gruppe F^"'"'), in welcher die T^"^ 
als ternäre Untergruppe der Substitutionen: 

(5) ti = u -\- Ico^ -\- ma}2 , Wj = cöj , cjg "^ ^3 

und die Modulgruppe F^'^^ als ternäre Untergruppe der Substitutionen: 

enthalten ist. Transformiert man nämlich die kurz durch S = (l, m) 
zu bezeichnende Substitution (5) mittelst der unter (6) gegebenen Sub- 
stitution Fder F'<'"\ so wird, wie schon in 1,379 festgestellt ist, die trans- 
formierte Subsitution: 
(7) S' == V ' S ' V-"^ ^ (r, m') = {U - my, -lß + ma) . 

Gilt nun zunächst ? = m = (modw), so ist freilich auch r=m'=0 
(mod n\ woraus man folgert, daß die Hauptlongruensgruppe F'n^^ auch in 
der ternären Gruppe F^"'''') ausgezeichnet ist Demgegenüber wird z. B. 
die Substitution S = (0, 1) in S' = (— y, a) transformiert. Nun kommen 
in der T^'") als Zahlen — y, a alle Paare teilerfremder ganzer Zahlen vor. 



Die a/>(w) Kongruenzgruppen n*""" Stufe T/^"^ 221 

Geben — 7; « als kleinste nichtnegative Reste mod n die Zahlen Zq, m^j 
so haben wir in l^y ttIq sicher ein gegen n teilerfremdes Zahlenpaar, da 
ein gemeinsamer Teiler r von ?o, Mq und n auch y und a zugleich teilen 
würde. Andrerseits kann man zu irgendeinem gegen n teilerfremden 
Paare Z^, m^ stets zwei mod n mit Zq bzw. m^ kongruente Zahlen — y, a 
angeben^ die zueinander teilerfremd sind.^) Die Substitution S = (0, 1) 
ist also durch Transformation mit einem geeignet gewählten V in ein S' 
überführbar^ welches mit einer „beliebigen" unserer obigen Substitutionen 
(Z, m) der Periode n kongruent ist. Hieraus ergibt sich insbesondere: 
Die il){n) innerhalb der T^") ausgeseichneten Kongruenzgruppen F^^ werden 
innerhalb der ternären Gruppe F^"«'") miteinander „gleichberechtigp'y d.h. in- 
einander transformierbar. Es gelten also für beliebiges n dieselben Sätze, 
die in I, 378 ff. für n = 3 gewonnen wurden. 

Die Ergebnisse kann man auch in geometrische Gestalt kleiden. Als 
Diskontinuitätsbereich der Hauptkongruenzgruppe Fn^^ kann man das 
Parallelogramm der Ecken 0, wcog, woj + wcag; ncD^ benutzen, das aus n^ 
,,quadratisch" angeordneten Parallelogrammen des ursprünglichen Netzes 
zusammensetzbar ist. Übt man jetzt alle linearen Transformationen der 
F^^) aus (die offenbar auch für die beiden Perioden na^y nco^ die ge- 
samten „linearen Transformationen" (vgl.I; 184) liefern), so nimmt das große 
Parallelogramm unendlich viele verschiedene Gestalten an, die aber alle 
nur wechselnde Formen des Diskontinuitätsbereiches einer und derselben 
Gruppe, nämlich der ausgezeichneten JT^"^ sind. Für eine einzelne der 
^ (n) Kongruenzgruppen r^^\ etwa die durch Z = (mod n) erklärte, ist 
ein Diskontinuitätsbereich als Parallelogramm der Ecken OfCo^jna^-^-cj^f 
ncj^ wählbar, das aus w „linear" aneinander gereihten Parallelogrammen des 
ursprünglichen Netzes besteht. Wendet man jetzt auf dieses Parallelo- 
gramm der Ecken 0, ojg, ncj^ -j- co^, nco^ die gesamten linearen Trans- 
formationen der F^'^^ an, so sind die entstehenden unendlich vielen Paral- 
lelogramme nicht mehr Diskontinuitätsbereiche einer und derselben Gruppe; 
über sie liefern, als Dislcontinuitätsbereiche aufgefaßt, doch nur endlich viele 
verschiedene Gruppen, nämlich eben unsere ip(n) gleichherechtigten Kon- 
gruenzgruppen F^^\ 



1) Man nehme etwa y= — Z^ und bezeichne mit y^ das Produkt aller Prim- 
faktoren von y, die nicht zugleich in n aufgehen. Dann ist eine ganze Zahl a 
entsprechend der Kongruenz an^l — 111^ (mod y^j) angebbar, da der Faktor n 
der linken Seite zum Modul y^ teilerfremd ist. Setzt man nun a = w^ -{-an, so 
ist a ^ 1 (mod y^) und also teilerfremd gegen y^ . Hätte also a. mit y = — \ 
mindestens einen Primteiler p gemein, so würde es sich um einen zugleich in n 
aufgehenden Teiler handeln, der zufolge m^, = a — an auch m^ teilen würde. 
Dies widerspricht aber dem Umstände, daß das Paar Z^, m^ teilerfremd gegen n 
ist. In — y, a haben wir also teilerfremde Zahlen, die mod 9^ mit Z^ bzw. m^ kon- 
gruent sind. 



222 i, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 

Zwei abgekürzt durch F= r' U und V = r ,' ^,) zu bezeichnende 

Substitutionen der F^""^ heißen mod n kongruent, wenn die vier Kon- 
gruenzen : 

(8) a=a, ß' = ßy y = yy ^' = d (modot) 

bestehen. Wir kennzeichnen ihr Zutreffen kurz durch V = V (mod n). 
Gilt F'= F(modw), so ergibt F', mit der zu Finversen Substitution F"^ 

kombiniert, in V'V~^ eine mit der identischen Substitution Vq== ( ' ) 

oder kurz Vq= 1 kongruente Substitution. Ist zweitens eine der beiden 
Substitutionen F, F' mit der identischen Substitution kongruent, so ist 
V ' V mit der anderen kongruent. Diese Angaben folgen sofort aus der 
Regel, nach der sich die Koeffizienten einer aus zwei Substitutionen zu- 
sammengesetzten Substitution berechnen (s. Gleichung (2) in I, 127). Es 
folgt, daß alle mit der identischen Substitution Vq=1 modn kongruenten 
Substitutionen der F^""^ eine Untergruppe bilden, die nach 1,375 die „Haupt- 
Icongruen^gruppe n^^"" Stufe" innerhalb der F^*"^ heißt.^) Ist F=l (modw) 
und F' beliebig, so ist V - F= V und also F'- F- F'~^ = 1 (mod. n). 
Die Hauptkongruenzgruppe w'^^ Stufe ist also eine ausgezeichnete Unter- 
gruppe der F^^\ 

Bildet man für diese Untergruppe nach dem Schema (2) oder (4) 
S. 4 ff. die Nebengruppen, so erscheinen in der einzelnen Nebengruppe 
aUe Substitutionen der F^^^ vereint, die mit einer unter ihnen mod n kon- 
gruent sind. Der Index der Hauptkongruenzgruppe n^^^ Stufe ist demnach 
gleich der Anzahl mod n inkongruenter Substitutionen in der F^^\ Da 
aber jede Substitution F mit ihren vier Koeffizienten eine Lösung der 
Kongruenz: 

(9) aö — ß'y = l (mod n) 

in ganzen Zahlen c^, /3, y^ d ergibt, so ist die Anzahl der mod n inkon- 
gruenten Substitutionen sicher nicht größer als die Anzahl inkongruenter 
Lösungen der Kongruenz (9). Diese Anzahl stellen wir leicht fest. Zu- 
nächst muß a, y wegen (9) ein gegen n teilerfremdes Restpaar sein, und 
wir haben ;^(w) derartige Paare. Ist beim einzelnen solchen Paare a teiler- 
fremd gegen n^ so ist ß unbeschränkt, und für jedes ß ist ein zugehöriges 
d aus (9) eindeutig bestimmt, was für dieses Paar a, y im ganzen n in- 
kongruente Lösungen von (9) ergibt. Hat aber a mit n den größten 
Teiler r gemein, so ist y teilerfremd gegen r, und die aus (9) folgende 
Kongruenz /3y = — 1 (modr) hat eine und nur eine Lösung /^q. Wir finden 



1) Es ist dies die in „Modulfunktionen" Bd. 1, S. 387 ff. ausführlich unter- 
suchte Gruppe. 



Hauptkongruenzgnippe F^'"^ in der Modulgruppe F^'"^ 22'd 

aus ihr — mod n inkongruente Zahlen: 

ß^ß,, ß, + t, ß, + 2t,..., ^, + (-^_l)r (modn) 

als zugehörig. Für jede einzelne dieser Zahlen (ß^ -\- vt) ist weiter die 
Kongruenz: ^ ^«7+1 . / a ''\ 

nach d zu lösen. Sie hat mod nT~^ „eine" Lösung Öq, aus der r mod n 
inkongruente Zahlen: 

als brauchbar hervorgehen. Wir haben also auch jetzt für das einzelne 
Paar a, y im ganzen — t = n Lösungen der Kongruenz (9), so daß tvir 
als Anzahl irikongruenter Lösungen von (9) finden: 

(10) .,(.)=«3(l_^)(l_^)(l_i^).... 

Es geht nun schon aus der Fußnote von S. 221 hervor, daß alle 
%{n) inkongruenten Paare «, y in der F^""^ wirklich auftreten. Zum ein- 
zelnen Paare teilerfremder Zahlen a, y gehören aber nach (1) in I, 292 
die einfach unendlich vielen Substitutionen: 

^= aT )• (»'=•.,-2,-1,0,1,2,...) 

Wir erkennen sofort, daß unter ihnen genau n inkongruente Sub- 
stitutionen enthalten sind, die wir etwa für v = 0, 1, 2, . . ., w — 1 ge- 
winnen. Also haben wir für alle n%(n) inkongruenten Lösungen von (9) 
zugehörige Substitutionen F, woraus hervorgeht, daß der Index der 
Hauptliongruenzgruppe n*^^ Stufe innerhalb der JT^"') durch die in (10) dar- 
gestellte Anzahl n%{n) gegeben ist. Die fragliche Untergruppe möge dem- 
entsprechend durch r'-'"\ . oder kurz durch JT^^^ bezeichnet werden. 

Sehen wir je zwei mod »^ kongruente Substitutionen V als nicht 
verschieden an, so reduziert sich die Gruppe F^^^ hiernach auf eine 
Gruppe Gcnvin) ^^^ endlichen Ordnung n%{n)y deren Substitutionen wir 
zweckmäßig durch: 

(11) co\^ a(o^-\- ßco^y ca'g = y «1 -f d GJg (mod ^) 

bezeichnen. Die Kongruenzzeichen beziehen sich natürlich auf die ganz- 
zahligen Koeffizienten a, /5, y^ §, die nur mod n zu unterscheiden sind. 
Das Gesetz der Kombination zweier Substitutionen ist selbstverständlich 
das bisherige; nur tritt an SteUe der „Gleichung" (2) in I, 127 hier eine 
entsprechend gebaute „Kongruenz". Zur deutlicheren Unterscheidung der 



224 I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 

Gruppe G-ny{n) ^^^ ^®^ ^^®^ betrachteten Gruppen G„2 und G^^ der Sub- 
stitutionen S schreiben wir genauer G^'"\ . sowie G^""} und G^"\ 

Reduzieren wir endlich die ternäre Gruppe JT^^'"') mod n^ so gelangen 
wir zu einer Gruppe ^1"'^(„) der Ordnung n^x(n)j in der (nach der oben 
bei den Gruppen r^''''"\ r^''\ F^'") dargestellten Auffassung) sowohl die 
{t^"^ (und damit auch ihre zyklischen G^^^) als auch die (r^"'^ , als Unter- 
gruppen enthalten sind. Da die Regel (7), nur als Kongruenz mod n ge- 
schrieben, gültig bleibt, so folgert man aus den oben aufgestellten Sätzen 
betreffs der zyklischen G'"^^ die Angaben: Bie 7p (n) zyklischen Unter- 
gruppen G^ sind sivar in der (x^" ausgezeichnet, dagegen werden sie in 
der ö^„"'^L gleicliberechtigt, ja innerhalb dieser letzteren Gruppe sind sogar 
alle %{n) Substitutionen S der Periode n gleichberechtigt. 

Zwei unter den ^(n) zyklischen Untergruppen G^ mögen zu ein- 
ander „komplementär" heißen, wenn sie außer der identischen Substitution 
keine Substitution gemein haben. Es soll festgestellt werden, wie viele 
unter den 7p (^i) zyklischen Gruppen mit einer vorgelegten unter ihnen 
komplementär sind. Da alle G^ innerhalb der G^^ ineinander trans- 
formierbar sind, so ist die gesuchte Anzahl ein und dieselbe, welche G.^ 
wir auch vorlegen mögen. Wir wählen etwa die aus S = (0,1) zu erzeu- 
gende G]^ und schreiben T = (l, m) als erzeugende Substitution einer 
komplementären G^\ Dann darf keine der (n — 1) Substitutionen 
T^ = (vi, vm) mit v = 1, 2,. . ., n — 1 der aus S zu erzeugenden G^' an- 
gehören, d. h. keine der Zahlen l, 21,. . ., (n — 1)1 darf durch n teilbar 
sein, was einfach darauf hinausläuft, daß l einer der (p(n) gegen n teiler- 
fremden Reste mod n ist. Da m unbeschränkt bleibt, so haben wir ncp(n) 
brauchbare T und gewinnen den Satz: Mit der einzelnen der 7p{n) Grup- 
pen Gi^ sind immer n dieser zyklischen Gruppen 'komplementär. 

Die Bedeutung des Begriffs der komplementären G]^ geht aus fol- 
gendem Satze hervor: Bie aus zwei Substitutionen S und T der Periode n 
hergestellten n^ Substitutionen: o,, ^ rny' v v' = o 1,2,. ..«-1 

sind stets und nur dann alle von einander verschieden und erschöpfen also 
die (rjjt , tvenn die aus S und T zu erzeugenden G^ komplementär sind. 
Ist (rjf^ die aus S zu erzeugende Untergruppe, so können wir die Zer- 
legung der Gesamtgruppe G^^ in die zugehörigen n Nebengruppen so 
schreiben: ^(„) ^ ^(m) ^^u) ^ j, , q{u) . _2^2 i . . . i q.^^) . j'n-i 

Zu der in der G\^ ausgezeichneten G^ gehört demgemäß als entspre- 
chende „Quotientengruppe^^ G^^^/G^^^ eine mit der Gruppe der Substitutio- 



Lösbarkeit der TeilungsgleichuDg durch zwei zyklische Gleichungen 225 

nen 1, T, T^ . ., T""-^ isomorphe Gruppe^ d. h. ivieder eine syUische G^. 
Wir folgern hieraus für die Lösung der allgemeinen Teilungsgleichung 
das Ergebnis: Die im Körper £' = (^, p^/^y ^[^f ■ •) ^^^^sche Teilungs- 
gleichung des Grades n- ist mittelst ziveier syldischer Gleichungen n^^"^ Gra- 
des lösbar. 

§ 4. Elliptische Funktionen n-*«' Stufe. 

Nach I, 376 ist eine elliptische Funktion w*®"^ Stufe neben anderen 
Eigenschaften dadurch charakterisiert, daß sie homogen in u, o^, cd^ ist 
und gegenüber den Substitutionen der ternären Hauptkongruenzgruppe 
w*®"^ Stufe unverändert bleibt. Zu diesen Funktionen gehören insbesondere 

die Lösungen des Teilungsproblems P^JA^f^^l—j- Schreiben wir 

nämlich z. B. die erster dieser Funktionen ausführlich: 

so erweist sie sich gegenüber einer Substitution u = u -\- m^co^ + mgco^ 
mit TWj ^ 0, mg ^ (mod n) unmittelbar als invariant. Die Ausübung 
einer Substitution g}[ = aco^ -]- ßco^j (ol, = y (d^ -{- d a^ auf das zweite und 
dritte Argument in (1) läßt diese Funktion gleichfalls unverändert. Für 
das erste Argument finden wir: 

SO daß für a^d^^l, |3 = 7 = (mod n) die ünveränderlichkeit der 
Funktion (1) feststeht. 

Es gibt nun noch einfachere elliptische Funktionen ni&r Stufe, die 
in doppelter Hinsicht wichtig sind. Sie werden uns einmal eine einfache 
Lösung des Teilungsproblems vermitteln, andrerseits stellt ihre Theorie 
eine planmäßige Erweiterung der in I, 382 jff. entworfenen Theorie der 
elliptischen Funktionen zweiter Stufe auf eine beliebige Stufe n dar. 

Wir bilden entsprechend dem Ansätze (1) in I, 450 für die vor- 
liegende Stufe n die w^- Funktionen 

(2) ^;i.u(^l^l; ^2); X, 1.1= 0,1,2..., n-l, 

von denen ö^ («* | »i , «2) ^i* ^®^ ursprünglichen 6 -Funktion identisch 
ist. Etwas kürzer schreiben wir ö;j^(w) statt (2) und verstehen unter (5^ ^ 
den Wert dieser Funktion für t* == 0; dabei ist 600 mit identisch, 
während die übrigen 6;^^ nicht identisch verschwindende Funktionen der 
Oj, 02 sind. Die Verallgemeinerung der drei unter (4) in 1, 384 erklärten 
Funktionen zweiter Stufe ^k{^\G)^, o.^ sehen wir nun in den (w^— 1) 
.Funktionen : 

Fricke, Die elliptischen Punktionen II 15 



226 I| 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 

wo nur die Kombination A = 0, ^ = auszuschließen ist. Nacli I, 451 
zeigt diese Funktion bei Vermehrung von 11 um Perioden das Verhalten: 

(4) «*■,„ (m + Im, + mm,) = e'"-"'^- 'i^,„ («), 

unter « die Einheitswurzel e '* verstanden; sie bleibt sicher unverändert, 
wenn Z = 0, m = (mod n) gilt. Nach (5) in I, 451 bleibt die Funktion 
^\u gleichfalls unverändert, wenn man auf die o^, cog eine mod w mit 
1 kongruente Substitution F ausübt. Wir haben hiernach in (3) im ganzen 
(w^— 1) verschiedene Funktionen n^"" Stufe gewonnen ^ die offenbar in u, 
03^, «2 homogen von der Dimension — 1 sind. Die Funktion ^^^(w) hat 
einen Pol erster Ordnung in jedem Gitterpunkte des ursprünglichen 
Parallelogrammnetzes. Speziell bei w = gilt die Entwicklung: 

(5) 3^,» = i- + J;j + ,|'^u + ..., 

WO neben den 6;j auch noch die „Nullwerte^^ der Ableitungen 6i^<(w), 
6r^(w), ... in bezug auf u auftreten. Vornehmlich wichtig sind die 6;^ 
und 6a^, ; wir bezeichnen sie als yßie 5- bziv. 6'-Teihverte" des wten 
Teilungsgrades. Nullpunkte erster Ordnung hat W;^ (u) an aUen mit 

-^^-^ -— bezüglich der jT^"^ äquivalenten Stellen. Sonstige Pole oder 

Nullpunkte treten aber nicht auf. Andern wir in der Erklärung (1) in 
1,450 der Funktion 6;^(if) die A, ^ um Vielfache von w, so zeigt die 
Funktion das in (4) daselbst notierte Verhalten. Bei der Bauart der 
rechten Seite von (3) geht hieraus hervor, daß W-i^^(i() unverändert bleibt, 
wenn wir X und ft um Vielfache von n ändern. Dieser Umstand ist ge- 
legentlich für die Schreibweise unserer Gleichungen wichtig. 

Haben A, ^, n einen Teiler ^ > 1 gemein, so tritt W;^ ^^ (u) bereits bei 

der Stufe — auf. Demgegenüber nennen wir die ;u (w) Funktionen ^;i^(w), 

welche zu den x(n) gegen n teilerfremden Paaren A, ^ gehören, die 
f, eigentlich zur Stufe n gehörigen'^ Funktionen W^^^{u). Soll die eigentlich 
zur Stufe n gehörende Funktion Wj^^{u) bei der Substitution S = ft m) 
der JT^") unverändert bleiben, so ist hierzu die Kongruenz: 

(6) lii — ml = (mod n) 

hinreichend und notwendig. Da A, /i ein gegen n teilerfremdes Paar 
sind, so kann man zwei ganze Zahlen a, b angeben, die die Kongruenz 
aft + &A=l (modw) befriedigen (vgl. S. 222 ff.). Durch Multiplikation 
dieser Kongruenz mit l bzw. m findet man bei Benutzung von (6): 
l = (am + bl) A, m^ (am -f bl) ^ (mod n). 



Die elliptischen Funktionen w<" Stufe W-^ (u\(o^, to^) 227 

Setzt man also zur Abkürzung am -{- hl = v^ so gelten die Kongruenzen 
l^vX, m^^vii (mod ?^). Umgekehrt folgt aus diesen Kongruenzen 
bei beliebigem v auch wieder (6). Hieraus ergibt sich der Satz: Die 
eigentlich zur Stufe n gehör e)ide FunJdion W;^^(u) bleibt bei den Substitu- 
tionen derjenigen Kongruenzgruppe n^^'' Stufe V^' unverändert, die sich 
mod n auf die aus S = (A, ^) m erzeugende syldische G^^^ reduziert; zur 
gleichen F^"^ gehören alle cp(n) Funktionen Wp^ ^^^^ (w), wo jetzt v die (p (n) 
inkongruenten und gegen n teilerfremden Zahlen durchläuft. 

Unter den ^(w) innerhalb der JT^^^'«) gleichberechtigten Gruppen 
Fn^ bevorzugen wir zunächst die aus den beiden Substitutionen 
?/= u -\- n(o^, u = u + fi)2 erzeugbare. Als Diskontinuitätsbereich dieser 
Gruppe kann man das Parallelogramm der Ecken 0^ co^, nco^^ -{- (O2, na)^ 
benutzen, das sich aus n Parallelogrammen des ursprünglichen Netzes 
aufbaut. In 'f^W^ '^02W? • • •? '^Oj/t-iW haben wir {n — 1) Funk- 
tionen, die bei den Substitutionen der ausgewählten F'^^ unverändert 
bleiben, und deren einzelne bei Ausübung von u = u -}- o^ das Verhalten 
zeigt ^FqiX^i + «i) = f"^0;üW- Hieraus geht hervor, daß die (n — 1) 
Produkte : 

(7) '^oi(")'- '*.,„-.(»), 

die Perioden coi, cog haben. Das einzelne Produkt (7) stellt eine (y -\- 1)- 
wertige E'unktion mit einem Pole (v + 1)*"^ Ordnung bei u = und 
(v -\- 1) Nullpunkten im Parallelogramm, von denen v an der Stelle 

zusammenfallen. Das Anfangsglied der Reihe nach Potenzen von u ist 



n 

zufolge (5) gleich «i~(*' + ^l 



Die Funktion (7) soll nun auf Grund der Regel (4) in I, 206 dar- 
gestellt werden. Wir benutzen dabei sogleich die Lage des v- fachen 
Nullpunktes und verstehen unter p!^^, f'^ , . . . die entsprechend den Glei- 
chungen (7) S. 213 zu erklärenden „Teilwerte" der Funktionen ^c'"(m), 
<^"'(u)y.... Mit Rücksicht auf die Anfangsglieder der Reihen nach 
Potenzen von n hat man den Ansatz: 

(8) W^^iuy . '^^^,_,^u) = a,i(^m) - ^i) -f a^,.X9\u) - ^'oJ + • • • 



Zur Bestimmung der noch unbekannten JCoefiizienten benutzen wir die 
Tatsache, daß (wegen des Nullpunktes v*®'' Ordnung) auch noch die 

{y — 1) ersten Ableitungen der Funktion (8) an der Stelle ^ ver- 
schwinden. Es gelten also die {y — \) Gleichungen: 

15* 



228 Ii 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 



(9) 



ö^.i ^01 + 0^.2 a'i + • • • + (^v,v-i Pol = --"-r-- iPo'/^ 



a.^p^r' + «.. pS + . . . + «.,._. ^£^-^^ = ^ p^r'- 



Da für i» = 1 in (8) noch kein unbekannter Koeffizient auftritt, so 
haben wir dieses Gleicbungs System nur auf die (n — 2) Zahlen v = 2, 3,..., 
(n — 1) zu beziehen. Als Determinante dieses Systems haben wir nach 
den Gleichungen (10) und (14) S. 186 ff.: 

(10) D, {^^) ^ (- iy-'{2\ . 3! . 4! • . . (z, - l)!)^^w(^) , 

wo die Funktion iIj^^^u) nach S. 189 bei ungeradem v durch: 

(11) ^^^){u)=vio{uy +Äa^2)pw -^h9,p{^) +•••, 

bei geradem v aber durch: 

(12) ^^(ei) = - i9\u) {^^v^{u)'^^'~'\ y,{\9,)9{^f^^~'^ 

+ n9ziK^) +•••) 

gegeben ist und die ß und y ganze Zahlen sind. Diese in (3) S. 184 ein- 
geführte und oben bereits ausführlich betrachtete Funktion hat die Wertig- 
keit {v^— l)j und ihre durchweg einfachen Nullpunkte liegen in den 
^^^ten Xeilpunkten" des Parallelogramms, d, h. an den SteUen, die sich 

als ganzzahlige Multipla von — , -^ darstellen, unter Ausschluß des Null- 
punktes w = 0, in dem il)^'^\u) unendlich wird. Mit ^^^^^ bezeichnen 
wir die entsprechend (7) S. 213 zu erklärenden „Teilwerte" von ijj^'^^^u) für 
den w*®"" Teilungsgrad. Da. v<n ist, so ist der in (10) rechts auftretende 
Teil wert ip'^^ sicher von verschieden, so daß das System (9) nach den 
a auflösbar ist. Für die mit dem Faktor i}Jq^ versehenen a finden sich 
rationale ganze Ausdrücke der Teil werte ^j'^^j ^o'^^^ . . . mit rationalen 
Zahlenkoeffizienten. 

In dem daraufhin für das Produkt: 

(13) «•'PoiW'-'P«,»-.W 

sich ergebenden Ausdrucke sollen endlich alle höheren Ableitungen 
P"W; f"'W; • • V P^"~''K'^) auf Grund der Gleichungen (16) S. 188 durch 
p(u)j^\u)y g^j g^ ausgedrückt werden, und ebenso mögen die Teilwerte 
Foi? ^01? • • • durch die aus jenen Gleichungen für sie entspringenden 
Ausdrücke in p^^^ p^^, g^^ g^ ersetzt werden. In der neuen Gestalt des 



Anaatz zur Berechnung der Funktionen ^^)^^{u) 229 

Produktes (13) kommt dann p(u) sogleich nur in der ersten Potenz vor. 
Aber auch von p^^^ können wir etwa zunächst auftretende höhere Potenzen 
mittelst der Relation p^l = 4 p^^l — g^ p^i — g^ entfernen. Aus der in (8) 
auftretenden höchsten Ableitung <^.'^^~^^(w) folgern wir auf Grund der 
Gleichungen (16) ff. S. 188, daß bei ungeradem v im neuen Ausdruck des 

v_+l 

Produktes (13) das Glied höchsten Grades die Potenz p (ii) ^ , das nächste 

v-3 

Glied aber das Produkt p{ii) • p{u) ^ enthält. Bei geradem v tritt im 

v-2 

höchsten Gliede das Produkt j^y(ti) • y>{ti) ^ auf, im nächsten aber die 

Potenz i')(u)^. Die Koeffizienten sind nunmehr rationale ganze Funk- 
tionen von ^^017 ^01? ^2? 9'd ^^ rationalen numerischen Koeffizienten, wo- 
bei wie bemerkt p^^ nur in erster Potenz auftritt. Die nähere Bauart 
der Koeffizienten geht aus dem Umstände hervor, daß das Produkt (13) 
in «i, 03i, O2 homogen von der Dimension — v{v -{- 1) ist. Da diese Zahl 
gerade ist, so wird in jedem Gliede, das p'(u) enthält, zugleich der Fak- 
tor pQ^ auftreten. Für das Produkt (13) haben ivir hei ungeradem v die 
Bar Stellung : 

(14) <' ■ yf,,{uy 'p-„,„_(») = <' + <' p(«) + ^V i<^r +■■■ 



2 



während sieh für gerades v ergibt: 

(15) < ■ 3<-„(«)-'Po,„_,(«) = <'+ 0(m) + A-'^inf + • ■ • 

2 2 ^ 

die Koeffizienten haben die Gestalten: 

_J.i,(v + l)-^. l.^(v + l)_^_2 J ,,(,. + l)_i-3 

(16) 



^r - <? Fol + <l92 K + ^Vz 9z Fm -f • • • r 

iv(r4-l)-A-3 1 ^-(».4.i)_Ä_5 .V».(t, + i) _ i_ G 



WO die a, ß rationale Zahlen sind. Übrigens bestimmen sich die Koeffi- 
zienten der höchsten Glieder leicht aus den Anfangskoeffizienten der 
Reihenentwicklungen-, man findet, je nachdem v ungerade oder gerade ist: 

In den beiden niedersten FäUen v = 1 und 1/ = 2, von denen der erste 



230 I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 

direkt aus (8) hervorgeht, findet mau: 

Im nächsten Falle v = 3 gilt: 

mit folgender Bedeutung der Ä^^\ Ä^\ JB^^^i 

Auf die vorstehenden Rechnungen gründet sich die Methode, die 
elliptischen Funktionen n^^'' Stufe 'jP'^^W aus denjenigen der ersten 
Stufe zu berechnen. Wir haben in (14) bzw. (15) für W^^i^uy • 'P*o,»-vW 
einen durch Il^.(pi:a), p(u)y p^j, p'^^) zu bezeichnenden Ausdruck ge- 
wonnen, der dem Körper (^, g)^^, g)^^) angehört, unter ^ den S. 212 im 
Anschluß an die Koeffizienten der allgemeinen Teilungsgleichung er- 
klärten Körper verstanden. Wir haben dann die (^n — 1) Gleichungen: 

(18) '^01 W'^o,«-vW = A(^i«*); F 1^). Pou Fol); ^=^ 2,...,«-i, 

in deren letzter linker Hand die n*^ Potenz von '-P^iW steht. Die Auf- 
lösung tiach den 'Jf^o,u(^) *^^ geleistet durch: 

'P'oiW = >^^«-i(f(«*)? F'(«*); Fol» Fii). 



(19) 



3If A/^ = ii*>(ji>'»,_F>), i^oi. £01) 



SO daß zur Gewinnung def (n -— 1) Funktionen Wq^ (ti) sum Körper 
ißy Fol? Foi) ^^^^ ^^^^ ^^'^^ ^''' ^^^ GMchmig (19) enthaltene n^' Wurzel zu 
adjungieren ist. 

Da die übrigen Gruppen J^^"^ innerhalb der r'('^'"^) mit der eben be- 
trachteten Gruppe gleichberechtigt sind, so gelangen wir durch Aus- 
übung geeigneter Substitutionen der JT^'"^ auf (19) zu den entsprechend 
zu den übrigen Gruppen gehörenden Gleichungen. Bei diesen Substitu- 
tionen bleiben die Größen des Körpers ^ invariant. Üben wir insbesondere 
die Substitution co[ == — co^, «g ^ ^1 ^^^^7 ^^ folgt auf Grund der Regel 
(3) in I, 451 das Gleichungensystem: 



'-^loW = K-ßn-i(FH F'(«), Flo; Fio)? 



(20) 

Die hier auftretenden Funktionen R^ gehören dem Körper (^, ^^^q^ p\^^) an. 






Berechnung aller ^xAu) durch zwei 7i*° Wurzeln 231 

Nach S. 213 sind im Körper (^, ^e?^Q, p^^^ p^^j p'^^ bereits alle p- 
und ^'- Teilwerte des w**^ Teilungsgrades enthalten, so daß dieser 
Körper, wie schon S. 214 ff. geschah, durch (^, i->}.uyP\ ) bezeichnet werden 
mag. Es besteht nun der wichtige Satz: Nach Ädjunhtion der „beiden" 
in den ersten Gleichungen (19) und (20) gegebenen Wurseln w^*^" Grades 
zum Körper (Ä, ^j-,^^, ^o\ ) smd 'bereits „alW {n^ — 1) eigentlich oder un- 
eigentlich zur n ^""^ Stufe gehörenden Funktionen ^/^(w) „rational bekannt"}) 
Ist nämlich 'P*„_^ «-uW irgendeine unserer Funktionen mit zwei von 
verschiedenen Indizes w — A, w — a, so erweist sich: 

<21) '?•„-;..,-,„(«) •'P'.«(«)'P-o^(«) 

auf Grund der Regel (4) S. 226 als eine Funktion der Perioden tDj, CÖ3, 
die übrigens dreiwertig ist und bei w = ihren Pol dritter Ordnung mit 
dem Anfangsgliede ir^ der Reihenentwicklung hat. Nach (4) in I, 206 
gestattet diese Funktion eine Darstellung: 

in der Cq und (7^ von u unabhängig sind. Zur Bestimmung dieser Kon- 
stanten dient der Umstand, daß die dargestellte Funktion die Nullpunkte 

-'^ und '""• hat: 

n n 

Die Differenz (^^^q— Pq^) verschwindet nicht, da die zweiwertige Funk- 
tion (p(u) — Pq^) ihre beiden Nullpunkte im Periodenparallelogramm bei 

^- und y^^'^p-^^- hat und also nicht bei ^^ • Nach Berechnung der Cq, 

Ci findet man 

r22^ ,«. / ^^(Pxo^^f,-i^zoPoji) + (Ao — ^OM^Pj^)-(^^^ 

woraus der zu beweisende Satz hervorgeht. 

§ 5. Lösung der allgemeineu Teilungsgleichung. 

Um die Auflösung der Teilungsgleichung nicht zu unterbrechen, 
soll eine Betrachtung über das Absolutglied der Reihenentwicklung (5) 
S. 226 vorausgesandt werden. Für die n*® Potenz von 'i^ii W ergibt sich 
mit Rücksicht auf (19) S. 230: 

u- 4- ""l'^^ «-« + ^ + • • • = -R,_,(Fiw^ v/(w), Fol, Fii). 



'Ol 



1) An Stelle der beiden zu den Wurzeln (19; und (20) gehörenden Kongruenz- 
gruppen rj,*'> kann man irgend zwei dieser Gruppen, die komplementären G^("> 
entsprechen, zugrunde legen. 



232 I, 3. Die Divisionssätze der elliptisclien Funktionen 

Entwickelt man auch die recMe Seite nach Potenzen von w, so findet 
man als Koeffizienten von w~" + ^ einen rationalen Ausdruck in g^, g^y 
S-^oi? Fol ^^^ rationalen Zahlenkoeffizienten. In einer solchen Gestalt läßt 

5' 
sich also ^-^ darstellen. 

Die wirkliche Aufstellung des fraglichen Ausdrucks, und zwar so- 

gleich für einen beliebigen Quotienten ^ '" , führt man indessen zweck- 



m 



mäßiger auf folgendem Wege aus: Aus der Erklärung von S;^ (t*) folgt 
unter Heranziehung des Integrals zweiter Gattung: 






^^Jl}^.i.tl 



Für u = ergibt sich, wenn wir die „J-Teilwerte^^ J;^ wie üblich er- 
klären : 

Durch Differentiation des Logarithmus der zur nächst niederen 
Zahl (n — 1) gehörenden Funktion: 

in bezug auf u findet man: 

^3.1 : - '1^ '-i ((^^ - 1)^) - (^^ - 1) ? W • 

Trägt man u = — ii^"° ein, so möge das aus der linksstehenden ' Ab- 
leitung folgende Ergebnis wieder durch Anhängung des Indexpaares 
X, ft gekennzeichnet werden: 

n-1 \ du )xr ^ \ ' 'n-^'^ "^ ^""^ -^11^,) -in- 1) %,^. 

Das erste Glied der rechten Seite ist nach (5) in 1, 196 gleich Ir}^ + ^% — ^x^'-) 
die gesamte rechte Seite ist also gleich dem i^-fachen Werte der rechten 
Seite von (1). So ergibt sich der Satz: Der Quotient (1) ist eine Modul- 
form n^^'' Stufe (— ly^' Dimension, die sich aus der FunUion ^("~^^(tf) 
nach der Begeh: 

her echten läßt und also eine rationale FunUion von g^, g^j Px/^y P'xfi ^^'^ 
rationalen Zahlenkoeffizienten ist. Für n = 2 verschwindet der Quotient 
(2); in den nächsten FäUen n = 3, 4, 5 findet man: 



6<s^ = -6FL + f^», 



Auflösung der allgemeinen Teilungsgleichung 233 

20*r;|;; = - eO p^ + es g,pl + 192 ff,^.j,. - l glpt, - SO^.j,^^.«^ 
- (II gl + 24 gl) iol - 2 ^^?3 i.,„ + (,^ ^* - g,gl), 

WO die Ausdrücke der ^^,^ in ^g? ^3? ^;iu? P[u ^^^ (^) ^- -^^^ abzulesen sind. 

Um nun die Auflösung der Teilungsgleicliung (3) S. 211 zu voll- 
ziehen, adjungieren wir zu dem S. 212 erklärten Körper ^ die Teilwerte 
Pxuy Piu ^^^ ^^^^ Grades. Es wird sich im nächsten Kapitel zeigen, daß 
dem so zu gewinnenden Körper ^' = (ßj <^j-j^^, p] ^ die n^^ Wurzel der 
Einheit s angehört, die demnach fortan als „rational bekannt^' gelten darf. 

Für die Summe der n^ Lösungen der Teilungsgleichung lesen wir 
aus dieser Gleichung selbst die Darstellung ab: 

Weiter bilden wir, unter l und l zwei Zahlen der Reihe 0, 1, 2, . . ., w — 1 
verstanden, die Summe: 






Xo}j^-\-(ico^' 



Bei Zunahme von u um ojg geht diese Summe in sich selbst, multipliziert 
mit 6\ über. Das Produkt der Summe und der Funktion '-^^^^(^0 ^^^ dem- 
nach (vgl. (4) S. 226) die Periode cog; dabei ist m aus der Reihe 0, 1, 2, . . ., 
n—1 willkürlich wählbar, nur unter Vermeidung der Kombination 1 = 0, 
m = 0. Man multipliziere dieses Produkt mit £"*^- und bilde die Summe 
aller Produkte für ^ = 0, 1, . . ., ?z — 1. Die entstehende Funktion hat 
dann, wie man mit Hilfe von (4) S. 226 leicht feststellt, die Perioden «i, cog • 
Von dieser Summe: 

(4) 'i-.„(«)i; U"-3-Mi + "^')) 

2=0 ^ /< = ^ 

bestimme man nun die beiden ersten Glieder der Entwicklung nach Po- 
tenzen von u. Für den Faktor 'P'^^ (u) ist die Gleichung (5) S. 226 heran- 
zuziehen. Bei der Doppelsumme rühren Glieder mit negativen Exponenten 
von u nur von der Kombination A = 0, ^ = her, und zwar nur das eine 
Glied n^u-^. Man hat somit: 



234 Ii •"• Die Divisionssätze der elliptisclien Funktionen 



(5) ^^mM2^-'-''s'% (-;;-) = ^^^ u-^ + 



Ö^m 



als die gesuchten Anfangsglieder der Reiheaentwicklung. 

Der Ausdruck (4) stellt nun eine dreiwertige Funktion der Perioden 
«1, cog dar, deren drei Pole bei u = zusammenfallen, während einer der 
Nullpunkte von demjenigen der Funktion Wj^(u) geliefert wird. Sie ist 
demnach in der Gestalt: 

darstellbar. Die Koeffizienten Äy B bestimmen sich vermittelst der beiden 
ersten in (5) angegebenen Reihengliedern. Für irgendeine der (n^ — 1) 
von Z == 0, m = verschiedenen Kombinationen l, m gilt: 

(6) 2'^"-"v.„(") - ^;;;^ ^(fw - 9,j - 1 cv-w-^j) . 

Man multipliziere nun, unter Aq, ^q irgendeine der n^ Zahlkombi- 
nationen verstanden, die einzelne Gleichung (6) mit £'."o-"«^o und addiere 
alle (n^ — 1) Gleichungen zur Gleichung (3). In der Summe tritt linker 

Hand bei der einzelnen Funktion ^^jui ) ^^^ Faktor: 

l, m m l 

auf. Falls nicht 2 -= Aq, ^ ==» ^o zutrifft, ist mindestens eine der Summen 
rechter Hand gleich 0; nur wenn A = Aq, ft = ^a^ ist, sind beide rechts 
stehenden Summen von verschieden und gleich n. Es ergibt sich somit 
unter Fortlassung der Indizes bei Aq und ^Iq-. 

(7) F.,(-:) =F(«)+2'*'"--- ,^i(,^(J(p(«)-v',J-KF'(»)-Fü), 

WO durch den oberen Index am Summenzeichen angedeutet sein soll, daß 
die Kombination Z = 0, m = auszulassen ist. Diese Gleichung gibt die 
Auflösung der allgemeinen TeilungsgleicJmng ; die sämtlichen Wurzeln sind 
rational bekannt, sobald zum Körper ^'==(^, s^^^^^, «j^/^) die beiden Wurzeln 
^ten Qrades adjungiert sind, welche nach S. 230 ff. zur Berechnung der Funk- 
tionen Wj^(t(,) dienen. Das Ergebnis ist in Übereinstimmung mit der 
allgemeinen Theorie der zyklischen Gleichungen (S. 59ff.) und dem S. 225 
ausgesprochenen Satze, daß die allgemeine Teilungsgleichung nach Ad- 
junktion der Teilwerte durch zwei zyklische Gleichungen w*®" Grades 
lösbar sei. 

§ 6. Divisionssätze der eHiptischen Funktionen zweiter Stufe. 

Im Gebiete der elliptischen Funktionen zweiter Stufe führt das Problem 
der Division nicht mehr zu wesentlich neuen Sätzen ; es handelt sich viel- 



Auflösung der allgemeinen Teilungsgleichung 235 

mehr nur um eine formale Umgestaltung der bisherigen, auf die erste Stufe 
bezüglichen Sätze, Als gegeben hat man den Körper ^ anzusehen, der 
durch Adjunktion des Integralmoduls Ic^ und der drei Funktionen ^nw^ 
cn IV, dn w aus dem rationalen Körper ^ entsteht. Zu berechnen sind die 

Funktionen sn — ^ cn , dn — , und zwar durch Auflösung der „all- 
gemeinen Teilungsgleichungen^*, die aus den Multiplikationsformeln (1) 
und (o) S. 197 durch den Ersatz von tv durch hervorgehen. 

Zur Erleichterung der Entwicklung kann man von dem Umstände 
Gebrauch machen, daß bei zusammengesetztem Grade 7i = n-^ - n.^ unser 
Problem zerlegt werden kann in die beiden auf w^ und n^ einzeln be- 
zogenen Probleme. Man kann demnach so vorgehen, daß man zunächst 
die Teilung zweiten Grades behandelt, deren wiederholte Ausübung die 
Grade n = 2* erledigt. Es verbleibt dann nur noch die Besprechung der 
Teilung ungeraden Grades. 

Aus den drei Gleichungen (7) S. 198 folgt, falls man in ihnen lü 

durch - - ersetzt: 

2ri 



(1) 



2 sn — cn „ dn — 
2 2 2 



sn tv 



Ir sn 



2 

to2 



dn 



w^ 



cn w = 



yfe'sn 



w 



dn«^7 = 



, W^ ... IV ^ w^ 

dn - — /j-sn - cn - 
2 2 2 



1 — Ä;'8n 



Das Teilungsproblem zweiten Grades fordert nun die Berechnung von 

sn— - , cn , dn - aus diesen drei Gleichungen, d. h. bei gegebenen snw, 

cnw, dmv. Die Lösung dieses Problems erfordert an irrationalen Ope- 
rationen das Ausziehen zweier Quadratwurzeln. Mittelst der beiden 
zwischen den Funktionen sn, cn, dn bestehenden quadratischen Relationen 
(vgl. I, 389) folgert man aus (1): 



1 -\- cn IV 



2cn 



1 — Ä;2sn- 



2dn 



w^ 



.4 ? 



1 -j- dn IV == 



1 — l^ sn 



cn tv -j- dn w 



2cn 



2 
jfc*sn 



dn^ 



236 I» 3. Die Divisionssätze der elliptisclien Funktionen 

Als Auflösungen dieser Gleichungen nach cn -— und dn — ergehen sich: 



(2) 



cn 



Tj /cn'M;+ dn 



+ dntü ' 



dn 



^ -j /cn w -\- duß-w 

— ± f/ Y^cnw' 



während sich sn - mit Hilfe der ersten Gleichung (1) in cn - und dn 



eindeutig berechnet: 
(3) 



10 



sn 



1 -f- CTß.W 



cn 



dn 



snw 



dn 



1 + dn w w; 

cn-^ 



Aus (1) ergeben sich zngleicli die Formeln, mittelst deren wir die 
Divisionsgleicliungen erster Stufe auf diejenigen der zweiten Stufe um- 
zurechnen haben. Die drei Gleichungen (10) in I, 389 nehmen bei Er- 



satz von u und w durch — und -- die Gestalten an: 






y«! — «1 



y^Ki) 



1 w , 



VKI) -^' 



Durch Eintragen dieser Ausdrücke in die drei Gleichungen (1) ergibt sich: 



(4) 



sn IV 



cn w 



dnt«; 



wo bei der Umrechnung von den beiden bekannten Gleichungen: 

^1 -f ^2 + % = 



^2 _^ ^s ^ 



Gebrauch zu machen ist. Es erscheint nun zweckmäßig, an Stelle von 
^{u) und ^^{u) weiterhin die beiden Funktionen nuUter Dimension ein- 
zuführen: 



(5) 



i>W = .^^, /o 



In den auf diese Funktionen umgerechneten Gleichungen (4) stellen sich 
die Koeffizienten rational in W' allein dar: 



Teilung zweiten Grades der Funktionen sn, cn und dn 



237 



(6) 



snw = 



cn w 



dn w 



H^ 


+ 


X 2 ; 




Hy 


)+ 


jr~ — 2\ — 9 (1 — 


k^) 


(^H 


;i) 


+ l+Ä;2y--9fc* 


> 


(^^'(i: 


)+^ 


— 2i^A -f-9Ä;^(l- 


-i-') 



(3i>(|)+l+^^)-9A:^ 

Man kann diese Gleichungen in folgender Art deuten: In ^ f-x-) ? 

jp' (--) hat man ein Funktionssystem der Hauptkongruenzgruppe zweiter 

Stufe r^\ Zu dieser Gruppe gehören auch die Funktionen snWj cnw^ 

dnw, so daß sie sich rational inp (— j , p' (yj darstellen lassen, was eben 

durch die Formeln (6) geschehen ist. Es muß sich aber auch umgekehrt 
in sn w, cn w^ dn w jede weitere Funktion jener Gruppe rational darstellen 

lassen. Um z. B. p (— j und p l ] i^ sn%', amv, dnw darzustellen, ent- 
nehmen wir aus (6): 

-^ \ 2 / ' dmv — cnw 





8p 


(1) 






2(1 


— Ä;*)cn«< 


Sp 


ii) 


+i- 


— 2 


= 


1 — 

2k' 


dnzo 




3/ 


(1) 




enw ^ 


3p (- 


r)+- 


2Ä« 


= 


1 — 


cnw 




o.,' / 


^«A 




2sn20 



Durch Addition dieser drei Gleichungen, sowie zweitens durch Sub- 
traktion der zweiten von der dritten gelangt man leicht zu folgenden 

Ausdrücken der pCj), p'(|) in snw, cnw, dnw: 



(7) 



1 _ fc4 _|_ ^2 (^2 _ 2) cn w -f- (2fe» — 1) dn w 
— S -\- Sk^ — Sk^ cnw -{- 3 dnw ' 



p{y)- 



' (1\ = 2k\l — k ^) anw 



cnw -{- dnw 



Für einen ungeraden Teilungsgrad n bezeichnen wir als zugehörige 
?,Teilwerte'^ der Funktionen sn, cn, dn die Größen: 



238 I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 



(8) 



sn, = sn — , 

dn, ^^ = dn J-.-^—^. . 



Nach (5) in I, 388 entspricht dem rechts stehenden Argumente der 
Wert u = ^^-^J--Lllt.-A „jjd also ^ = ''»'+?'"' • Für die Funktionen (5) 
erklären wir die Teil werte natürlich durch: 

Aus (6) ergibt sich nun: 

(10) sn,„ : cn,^ : dn,^, : 1 = 9^; ^ : ((3ft „ + k'-2?-9il- k')) 

■■ (i^Pi^ + 1 - 2^7 + 9Pa - m) : ((3pj„ + 1 + k')'- 9F), 
und andrerseits folgt aus (7): 

(11) lh,.-Pi, : 1 = (1 - F + ^ijc'- 2) en,^ + läfc^- 1) dn,„) 

: 6k\l - k') sn„. : 3(- 1 + S^- F cn,^ + dn,,). 

Es gilt also der Satz: Die für ein ungerades n erklärten Teihverte 
sn;^^, Gn^^^y dn^^ sind umkehrbar rational in den zum gleichen n gehörenden 
Teilwerten Pxfii P'x^ darstellbar, tvobei die Koeffizienten raUmiale Ausdrücke 
in k^ mit rationalen Zahlenkoeffmenten sind. 

Um nun bei ungeradem n die Divisionssätze für die zweite Stufe zu 
erhalten, tragen wir erstlich in die Gleichungen von S. 211 ff. statt 
u ein und schreiben zur Abkürzung = v. Wir beachten sodann, daß 
jene Gleichungen in den u, «i, co^ homogen sind und demnach durch 
Division mit einer geeigneten Potenz der Wurzel Ye^ — e^, die nach 
I, 473 ein Modulform 4*®'' Stufe der Dimension — 1 ist, in Gleichungen 
der Dimension umgewandelt werden können. Indem wir diese Um- 
wandlung an den einzelnen in den Gleichungen verbundenen Größen vor- 
nehmen, haben wir an Stelle von p(«?) und ^^{v) m\ip{v) und p{v) zu tun, 
an Stelle der g^ und g^ aber mit den rationalen Funktionen von k'^: 

(12) 7 — -^-Ti = t (1 - ^' + ^% , -" ^■■ = t (^ - 3Ä;2- 3Ä-H 2F), 

die man leicht aus den Darstellungen der g^, g^ in den e,, Cg? % ableitet. 
An die SteUe des Körpers, der durch Adjunktion von g^^ g^, p{u), p'(u) 
zum rationalen Körper 9^ entsteht, tritt bei Ersatz von u durch v und 
Übergang zur Dimension der folgende Körper: Ä = (9fl, Ä^, p{v\ p{v)). 



Teilung ungeraden Grades der Funktionen sn, cn und dn 239 

Der Hauptsatz der Teilungstheorie war, daß die Lösung der auf die Di- 
mension umgereclineten Teilungsgleichung (3) S. 211 nach Adjunktion 
der p;^, p\ ^ an irrationalen Operationen nur das Ausziehen zweier Wur- 
zeln Yi}^^'^ Grades erfordert. Nun kann Ä zufolge (6) und (7) auch durch 
(fR, Ä^, ^xiw, cniVy dnw) erklärt werden, und ebenso ist (ß, Pxuf Px ) ^^" 
folge (10) und (11) mit dem Körper (ß, su;^,, cn;^^, du;,«) gleich. End- 
lich aber sind die Lösungen des Teilungsproblems ^;^ (~-\ , p^ l—\ 
einerseits und sn^^i^"^^, CU;.^ (^), dn-^^ ('J], gegeben durch: 

^''^■4«) =='"(«+ - n- )'•■■' 

andrerseits gegenseitig rational ineinander mit Koeffizienten des Körpers 
(9^, h^) darstellbar (Gleichungen (6) und (7)). Also ist in der Tat mit der 
algebraischen Lösung der Teilungsgleichung (3) S. 211 die Lösung des 
Teilungsprdhlems für die zweite Stufe sogleich mitgegeben. 

Es erübrigt, noch einige Angaben über die äußere Gestalt des Teilungs- 
problems zweiter Stufe hinzuzufügen. Da n als ungerade gilt, so haben 

wir an die Gleichungen (1) S. 197 anzuknüpfen, in denen an Stelle 

von w einzusetzen ist. Aus der zweiten und dritten der genannten 
Gleichungen folgt: 

während aus der ersten Gleichung, in der wir sn iv = yz = Z eintragen, 
sich als ,jaUgemeine Teilungsgleichung der sn-FunJction für den ungeraden 
Tedungsgrad n^^ ergibt: 

(14) Z . Gf' {Z') - sn tv . G',^' (Z') = 

oder explizite unter Angabe der höchsten und niedersten Glieder: 

(15) Ä;' 2 >^ - nk~^~smv Z«^- ^ + -^"^^^^"(1 + Je') snwZ-'-^-\---- 
• • - (- i)V ^(^'^-i j(i ^ F)Z^-\- (- iyT-nZ-(- l)"2~sn«(; = 0. 

Diese Gleichung, deren Glieder alternierend den Faktor sn w haben 
und übrigens ganze ganzzahlige Funktionen von 7c^ zu Koeffizienten be- 
sitzen, tritt also für die zweite Stufe bei ungeradem n an die Stelle der 
Gleichung (3) S. 211. 

Als beiläufiges Ergebnis ziehen wir noch aus (13) für w = die 
Folgerung: 



240 ^i '^*- JDie Divisionssätze der elliptischen Funktionen 

Bei ungeradem n sind also die Teilwerte cn^^^, dn; rational in sn^ dar- 
stellbar mit Koeffizienten des Körpers (JR, k^). 

§ 7. Die Abelschen Relationen. 

Für die algebraischen Überlegungen des nächsten Kapitels sind ge- 
wisse Relationen zwischen den Teilwerten des n^^ Teilungsgrades und 
den n^^^ Wurzeln der Einheit von Wert, die wir zweckmäßig schon hier 
aufstellen, da sich die Methode ihrer Aufstellung an die voraufgehenden 
Entwicklungen anschließt. Die fraglichen Relationen betrejffen ein be- 
liebiges ungerades n und sind nach Abel benannt, weil sie von ihm 
für die Funktionen zweiter Stufe in Nr. 6 der Einleitung zum „Precis 
d'une theorie des fonctions elliptiques" ^) angegeben sind. Bewiesen und 
für die algebraische Berechnung der Teilwerte verwertet wurden die 
Abelschen Relationen durch Sylow^) sowie später durch Kronecker ^), 
dem die Untersuchungen Sylows zunächst unbekannt geblieben waren. 
Für die erste Stufe sind die Abelschen Relationen im Jahre 1884 durch 
Klein in einer Vorlesung aufgestellt.^) 

Man kann die Abelschen Relationen zunächst für die Funktionen 
erster Stufe auf folgendem Wege gewinnen. Der Quotient: 

stellt eine zweiwertige Funktion der Perioden co^, CO2 dar, deren Null- 
punkte bei tt = und ^ 7 und deren Pole bei w = ^ ^^^ '"^ "t "-- liegen. 
Die Funktion (p^ (u -f yj hat dieselben Nullpunkte und Pole, ist also 

bis auf einen von u unabhängigen Faktor gleich 92W- Dieser Faktor 
kann nur gleich -|- 1 oder — 1 sein, da q)^ (u) bei zweimaliger Ausübung 

der Substitution ti = u -\- ~ unverändert bleibt. Der Faktor -j- 1 ist nicht 

brauchbar, da 9^2 (w) sonst eine emwertige Funktion der Perioden co^, 

_" wäre-, es gilt also: 

(2) qp2 (u + «J = 92 W ? 9^2 («* + y) "^ ~ 9^2(«*) • 



1) Joum. f. Math., Bd. 4 (1829). 

2) In den Schriften der Gesellsch. d. Wiss. zu Christiania von 1864 und 71. 

3) „Über die algebraischen Gleichungen, von denen die Teilung der ellip- 
tischen Funktionen abhängt", Berliner Berichte von 1875. 

4) Mit Erweiterungen veröffentlicht durch Engel in den Berichten der Ge- 
sellsch. d. Wiss. zu Leipzig von 1884. 



Ableitung der Abels eben Relationen 241 

Für beliebiges ungerades n bilde man die Summe: 

n-l 

(3) ^,(«.)=^«^^"<P, («+•",?), 

,u=0 

WO E in der bisherigen Bedeutung als n^^ Wurzel der Einheit gebraucht 
ist und X der Zahlenreihe 0, 1, 2, . . ., w — 1 angehört. Wächst u um 

— , so kann man mit Rücksicht auf die zweite Gleichung (2) schreiben: 

'pA'' + —in-^) = - -3^2 (« + --^ - „ --) = - -P. (« + V)' 
WO zur Abkürzung ii = ^i -^ \ (n -\- 1) gesetzt ist. Da 

£2 ^. .« _ £2 ;. (,u' - -|- (n + D) = £- ^- . ^2 ;. ,a' 

ist, so folgt aus (3): 

wo ^' beginnend mit \ (n + 1) ein volles Restsystem mod n durchläuft. 
Aber bei Änderung von ^' um ein Vielfaches von w bleibt das einzelne 
Glied dieser Summe unverändert, so daß die in der letzten Gleichung 
rechts stehende Summe wieder gleich C&gW ist. Die Funktion ^2(^0 9^' 
nügt den Bedingungen: 

(4) ^,{u + co,)^0,{u), 9^{u+^)=-i->-9,{u), 

stellt also nach I, 217 eine elliptische FunMion zweiter Art der Perioden 
co[ = C3i, (»2 = ^ und des FaJctorensystems A^ = 1, Ag = — f^ dar. 

Diese Funktion hat nun im zugehörigen Parallelogramme der Perio- 
den C5j, «2 nur einen einzigen Pol, nämlich bei u = tv = —' Sie hat 

demnach daselbst auch nur einen KuUpunkt v, für den aus (8) in I, 220 
die Gleichung folgt: 



CÖ, , . , CO, 



v-tv = v--^^ 7n^a)[ -f m^ «; - ^f^ log (- £-^-) . 

Sehen wir vom Periodenmultiplum (m^co[ -f Mgcol) ab und schreiben: 

(o[ = öj , log (— s~^') = Tci — A log s = Tci — A f 

so ergibt sich als Lage des einzigen Nullpunktes von ^2 (^0 ^^ Parallelo- 
gramme der Perioden iXi[ = 0^, «o sofort v = ^- Unter Rückgang auf 

die Gestalt (3) von ^^C^O ^^^ ^^^ Bedeutung (1) von gpgW ergibt sich 
bei Einführung der Teil werte: Für irgendein l der Zahlenreihe Oj 1, 2, . .., 
n—1 gilt: 

Fr icke, Die elliptischen Funktionen II 16 



242 i, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 



n-l 



(5) 2^''""'f''-0. 

^ =0 ^ 

dagegen ist für zwei j,verschiedene'^ A', ^ st'Cts: 

(6) >J,2'/„»-'i/i-'''^0. 

Eine entsprechende Entwicklung kann man an den Quotienten: 

knüpfen, der den Bedingungen: 

qPl («* + "2') = ~ 9^1 W > ^l(^ + G)2) = 9P1 («<) 

genügt und in der Summe: 






eine elliptische Fmiktion zweiter Art der Perioden ^ , - und des Faktoren- 

Systems A^ = — 1, Ag = £~^^' ergibt. Durch Fortsetzung der Betrachtung 
in obiger Art findet man den Satz: Für irgendein X der Zahlenreihe 
0, 1, 2, . . ., >^ - 1 gilt: 

während für zwei ,jVerschiedene^" X, X stets die Ungleichung besteht: 

(8) 5U.>"i^^^'+0. 

Durch Kombination der beiden Gleichungen (5) und (7) gelangt man 
zu den beiden, mit ihnen gleichwertigen Gleichungen: 

«-1 «-1 

fi = • 11=0 '^ 

In ihnen haben tvir die für ungerades n und für jede Zahl X der Beihe 
0, 1, 2, . . ., w — 1 bestehenden „Äbelschen Belationen^^ der ^- und ^^-Teil- 
werte erreicht. Aus den beiden Ungleichungen (6) und (8) können wir 
freilich nur noch die folgende Aussage herleiten: Sollen für zwei Zahlen 
X und X' der Reihe 0, 1, 2, . . ., w — 1 die Gleichungen: 



Die Abelschen Relationen 243 

(10) %"'''.— o> 2'"-'"^-(^ 



gleichzeitig gelten^ so ist notwendig A' = A. 

Durch Ausübung von Substitutionen der homogenen Gruppe F^"'^ 
kann man aus (9) andere Relationen dieser Art ableiten. So findet man 
z.B. mittelst der Substitution co^ == w,, 0'^ = — o^ aus (9): 



(11) ^^'''i:-^. 2'-'''v^-^ 






Die in der älteren Literatur vorliegenden Abelschen Relationen be- 
treffen die sn-Funktion. Wir gelangen zu ihnen, indem wir die an (1) an- 
geschlossene Überlegung auf den reziproken Wert der in 1, 384 erklärten 
Funktion ^^(w) anwenden. Aus ihr bilden wir die Summe: 






u = lp 



.(»+'-P)' 



in welcher wir unter Benutzung der Regel (7) in 1, 384 leicht eine ellip- 
tische Funktion zweiter Art der Perioden Oj, — und des Multiplikatoren- 
systems 1, — €~^^- erkennen. Im zugehörigen Parallelogramme liegt ein 
Pol erster Ordnung bei -^; den einen im Parallogramme auftretenden 
NuUpunkt findet man daraufhin bei u = ^ gelegen. Den Übergang 

zur sn-Funktion vermitteln die Formeln (5) und (8) in 1,388 ff. Wir no- 
tieren sogleich als Beispiel einer Abelschen Relation älterer Gestalt: 



(12) 3^^-"sn,^, = 0. 



Viertes Kapitel. 

Die Teilwerte der elliptisclien Funktionen. 

Der Satz, daß die allgemeine Teilungsgleichung eine Abelsche Glei- 
chung ist, setzt die Adjunktion und damit die Kenntnis der Teil werte 
p^ f <§>j voraus. Diese genügen ihrerseits Gleichungen, die man als „spe- 
zielle Teilungsgleichungen^^ bezeichnet und deren Theorie zu den inter- 
essantesten Gegenständen unserer Darstellung gehört. Die Galoissche 
Gruppe der zum Grade w gehörenden speziellen Teilungsgleichung hat 

16* 



244 I. 4- Di© Teilwerte der elliptischen Funktionen 

C. Jordan in seinem bekannten Gruppenwerke ^) betrachtet, ohne zu end- 
gültigen Ergebnissen zu gelangen. Solche werden jedoch in den schon 
S. 240 genannten Untersuchungen von Sylow und Kronecker erreicht- 
In funktionentheoretischer Hinsicht hat namentlich Kiepert^) die Teil- 
werte der Funktionen erster Stufe untersucht und ihre Beziehung zur 
Transformationstheorie verfolgt. 

§ 1. Die Teilwerte p^^, ^3^^^ und die speziellen Teilimgsgleichungen. 

Beim Teilungsgrade n haben wir nach der S. 213 vollzogenen Abzah- 
lung für ungerades n im ganzen j(n^ — 1) verschiedene Teilwerte ^; 
und (fi^ — 1) paarweise entgegengesetzte Teil werte p^ . Bei geradem 7i 
reihten sich Y0^^^- 2) verschiedene p-^^^ an, unter ihnen die drei schon 
bei n = 2 auftretenden „Teilwerte" e^, 63,63, sowie (n^ — 4) paarweise 
entgegengesetzte p^^ . 

Für die Teilwerte p;^ versehen wir uns zu späterem Gebrauche so- 
gleich mit einer analytischen Darstellung, die wir aus der Gleichung (14) 

in L 270 durch Eintragen des Wertes u = _J?lj1ü^2 entnehmen. Dabei 

möge für den Quotienten — die Darstellung (15) in I, 271 eingeführt 

werden; auch ersetze man die trigonometrischen Funktionen durch ihre 
Ausdrücke in der Exponentialfunktion. Eine einfache Zwischenrechnung 
ergibt : 



u m , 



2Xm 



m = 1 

2 171 

WO wie bisher a = e " ist. Wesentlich an dieser Darstellung ist, daß 
erstlich ^ nur in den Exponenten der Potenzen von e auftritt, und daß 
zweitens, abgesehen vom Absolutgliede — /g in den Koeffizienten der Po- 
tenzen von q neben € nur rationale ganze Zahlen vorkommen. Bei Um- 

2 
Ordnung nach ansteigenden Potenzen von g" erhalten wir somit eine Dar- 
stellung: 

^ 2 4 6 

wo sich die Koeffizienten Ä^f,(e-'') in der Gestalt: 



1) Traite des substitutions et des equations algebriques" (Paris 1870) S. 93ff. 

2) „Über Teilung und Transformation der elliptischen Funktionen", Math. 
Ann. Bd. 26 (1885). 



Reilienentwicklung der Teilwerte p^ 245 

(3) ^,,(f") = o*^ + <«" + aflB^^ +■■■ + «<»-" 6'«-"" 

mit rationalen ganzen Zahlen a^^l darstellen und also gan^e algebraische 
Zahlen des sum Teilungsgrade n gehörenden ,,Kreisteilungs¥örpers^^ sind. 

Nach S. 225 gehen die Funktionen p;^^^ (— L ^9'^ l~\ bei Ausübung 
einer Substitution der Hauptkongruenzgruppe n^"^ Stufe F^^,. in sich 
selbst über. Setzen wir w == 0, so folgt: Die zum n^^"^ Teilungsgrade ge- 
hörenden Teilwerte p^^y p[ sind invariant gegenüber den Substitutionen 
der HauptJcongruensgruppe n*^'' Stufe r^.\. und heißen dieserhalb y^Modul- 
fornien n^^^ Stufe'^. 

Die in (3) S. 184 eingeführte (n^ ■— 1)- wertige Funktion 7p^"\u) hatte 

gerade die (n^ — 1) Teilpunkte ^^ ^ des Periodenparallelogramms 

zu Nullpunkten. Setzt man also in den Ausdruck von ^("Y^) als rationale 
ganze Funktion von (^^(u) an Stelle von ip(u) eine Unbekanntem ein, so ge- 
langt man zu einer Gleichung für die Teilwerte p;^ . Aus den S. 189 für 
i^^"^(w) angegebene Ausdrücken folgt somit der Satz: Bei ungeradem n sind 
die —{n"^ — 1) verschiedenen p^^ die Wurzeln einer Gleichung: 



(4) 


nz^ 


+ A(i<?.)/'"^' 


-' + ß.J''^- 


■V.. 


• = o, 




während bei geradem n die -|-(?«^ - 
der Gleichung: 


-4) von den e^, 


e,y e, V 


erschiedenen 


Fa, 


(5) 


In^'"- 


~''+Ml9,>^' 


(»—8) |o 


i2 _ 10) 


... = o 





genügen ^) ; die ß und y sind dabei rationale ganze Zahlen. Bis n = 6 sind 
diese Gleichungen in den Entwicklungen von S. 185 ff. explizite ent- 
halten. Entsprechende Gleichungen für die p[f^ kann man durch Elimi- 
nation von z aus: 

(6) 4z'-g,z-(z''-{-g,)=^0 

und (4) bzw. (5) gewinnen. Da jedoch die Berechnung von p^^^ aus p^^^^ 
nur noch das Ausziehen einer Quadratwurzel erfordert, so beschäftigen 
wir uns zunächst vornehmlich mit den (^^^^ und den Gleichungen (4) 
und (5). 

Als „eigentlich'' zum Teilungsgrade n oder zur Stufe n gehörig be- 
zeichnen wir diejenigen Teilwerte, die nicht bereits bei einer niederen 
Stufe auftreten. Haben die drei Zahlen X, ^, n den größten gemeinsamen 

Teiler t, so gehören die p^ , p^ eigentlich zur Stufe .- • Nach S. 218 



1) Der Fall n = 2, bei dem die drei ^i?-Teüwerte durch e^, e^, e^ geliefert 
werden, während noch keine (von verschiedene) p[ auftreten, gelte als ausge- 
Bchlossen. 



246 I, 4:. Die Teil werte der elliptischen Funktionen 

gibt es ;^u^) gegen w teilerfremde mod n inkongruente Zahlenpaare, wo 
xiti) die in (2) S. 219 berechnete Anzahl ist. Diese Zahlenpaare liefern 
die eigentlich zur n*®^ Stufe gehörenden Teilwerte. Da mit X, [i auch 
n — Xy n — II ein gegen n teilerfremdes Paar ist, so folgt für w > 2: Es 
gibt -\'%(n) eigentlich zur Stufe n gehörige Teiliverte y>;^^ und %{n) paariveise 
nur im Vorseichen verschiedene eigentlich zur Stufe n gehörige ^')'-^. Bei 
n = 2 hat man y^{2) = 3 Teilwerte y>^^^, während die y/^^ identisch Yer-> 
schwinden. 

Üben wir eine Substitution V = \aV) der homogenen r"^'"^ aus, so 

geht i^)^^ in p.^,^^, = V''«x+ y,u,.^;. + c^,u über, und eine entsprechende Aussage 
gilt für ^'^/ ^. Da die Indizes mod n beliebig reduzierbar sind, so gilt der 

Satz: Bei Ausübung einer Substitution V = \ \) der homogenen F^'"^ er 

fahren die Indizes A, [i eine durch die Kongruenzen: 

(7) X'=aA-fy/i, iii^ßl-\-dii (mod ^) 

darstellbare Transformation. Bei dm p^^^ ist für n^ 2 neben BeduUionen 
mod n nötigenfalls auch noch ein gleichzeitiger Zeichemuechsel der Indizes 
vorzunehmen. 

Bei diesen Tränsformationen werden nun die gegen n teilerfremden 
Zahlenpaare stets nur unter sich permutiert. Auch können wir etwa aus 
dem Paare A = 1, ^ = mittels einer geeigneten Transformation (7) jedes 
beliebige gegen n teilerfremde Paar herstellen, da nach S. 220 ff. für jedes 

solche Paar l\ ^ ' in der I^^"') Substitutionen y' U mit c« = A', /3 = ^' auf- 
auftreten. Mit Rücksicht auf die Gruppeneigen schaft der P^'"^ können 
wir also den Satz aussprechen: Die \ % {n) eigentlich zur n^^" Stufe ge- 
hörenden Teilwerte ip^^^ werden bei Ausübung irgendeiner Substitution der 
homogenen F^'"^ stets nur untereinander permutiert; auch Jcönnen wir jeden 
dieser Teilwerte durch eine geeignete Substitution in jeden vorgeschriebenen 
unter ihnen transformieren. Die l zi^^) Teilwerte v>;,^ werden in diesem 
Sinne als ,jgleichberechtigf' bezeichnet. Übrigens kann man das gewonnene 
Ergebnis kurz auch so ausdrücken: Gegenüber den Substitutionen der 
Gruppe F^"'^ erfahren die -Ixin) eigentlich zur n^''' Stufe gehörenden Teil- 
werte p^^ die Permutationen einer Jransitiven^'' Gruppe, deren nähere Ge- 
setzmäßigheit durch die Kongruenzen (7) nötigenfalls mit gleichzeitigem 
Zeichemvechsel von l\ ii' festgelegt ist. Entsprechende Sätze gelten natür- 
lich für die i{}i) Teilwerte 






Auf Grund dieser Ergebnisse können wir die Frage der Reduzibi- 
iität der Gleichung (4) bzw. (5) im Körper ^ = {^, g^y g^ behandeln. 
Bilden wir die symmetrischen' Grundfunktionen der \% (n) eigentlich 
zur Stufe n gehörenden <p-^ , so gelangen wir zu Ausdrücken, die gegen- 



Die eigentlich zur n^"'' Stufe gehörenden p^ ^ 247 

übier allen Substitutionen der F^'"'^ invariant sind. Als ganze Funktionen 
der p^/i werden sie sich zufolge (2) in Potenzreihen nach q^ entwickeln 
lassen^ die für | g | < 1 konvergent sind^ und die ausschließlich „positive" 
Exponenten der Potenzen von q^ aufweisen. Auf Grund der Sätze in 
I, 305 ff. erkennen wir in jenen symmetrischen Grundfunktionen „ganze 
Modulformen erster Stufe", die als solche nach dem Gesetze (8) in I, 309 
durch ^2 ^^d ^3 darstellbar sind. Ziehen wir noch die Dimension in den 
«1, 032 heran, so folgt, daß die 2 %(^) Teilwerte y>;^^ die Wurzeln einer 
Gleichung: 

(8) 0^ + «1 g^y + «2.^3^^ + cc^g^B^ 4- • • • = 

sind, in der die cc^, a^, . . . numerische, d. h. von den w^, «o unabhängige 
Konstante sind. 

Yon diesen Konstanten kann man durch den Schluß der vollstän- 
digen Induktion zeigen, daß sie rationale Zahlen sind. Die Wurzeln der 
Gleichung (4) bzw. (5) sind nämlich die eigentlich zur Stufe n gehören- 
den p-^^y sowie außerdem aUe eigentlich zu den Stufen , gehörenden 

Teilwerte, wo t alle Teiler > 1 von n durchläuft. Nur ist natürlich 
t ^ n ausgeschlossen, und außerdem ist aus der Gleichung (5) bereits 
-der zur zweiten Stufe gehörende Bestandteil (40^ — ^2^ — ^3) entfernt. 
Man kann aber durch „rationale" Divisionen aus (4) bzw. (5) alle Wur- 
zeln entfernen, die zu Stufen , < w gehören. Gilt das Gesetz der ratio- 

V 

nalen numerischen Koeffizienten für alle Stufen <>^, so ist hiernach ein- 
leuchtend, daß es auch für n gilt. Nun ist dieses Gesetz jedenfalls für 
alle Primzahlen n richtig, da für eine ungerade Primzahl n die Gleichung 
iß) einfach die durch n geteilte Gleichung (4) ist. Unsere Behauptung ist 
damit allgemein bewiesen. 

Denkt man in (8) für ^ eine einzelne Wurzel P; eingetragen, so ergibt 
■sich eine in co^, (o^ identisch bestehende Gleichung. Die Gleichung bleibt 
demnach richtig bei allen solchen Veränderungen der coj, cog? bei denen der 
Periodenquotient o in seiner positiven Halbebene verbleibt. Durch Än- 
derungen dieser Art kann man nun von einem ersten Werte])aare co^, O2 
zu jedem bezüglich der jT^"^) äquivalenten Paare gelangen. Hieraus folgt 
mit Rücksicht auf die Gleichberechtigung der «zW Teilwerte ^^ die 
Irreduzibilität der Gleichung (8) selbst nach Adjunktion irgendwelcher 
„numerischer" Irrationalitäten. Genügt nämlich etwa 2 = S{\q einer „irre- 
duzibelen" Gleichung F{ßy g^, g.^) =0 in einem Körper, der aus (9ft,^2>.^3) 
durch Adjunktion irgendwelcher numerischer Irrationalitäten entsteht, 
so zeigt sich durch Wiederholung der vorstehenden Betrachtung, daß 
jene Gleichung durch alle 2 ;t(w) Teilwerte erfüllt wird. Sie enthält also 



248 I, 4. Die Teilwerte der elliptisclien Funktionen 

die Gleichung (8) und ist demnacli als irreduzibel bis auf einen von-<^ 
unabliängigen Faktor mit (8) identisch. 

Wir fassen die Ergebnisse in folgenden Satz zusammen: Die l'%{n) 
eigentlich ^ur n^^"" Stufe gehörenden Teilwerte ^j^^^ sind für n^2 die Wurzelnder 
als jySpezielle Teilungsgleichung^^ für den n""" Teilungsgrad bezeichneten Glei- 
chung (8), deren Koeffizienten dem Körper ^ = (9^, g^, g^) angehören^ und 
die in diesem Körper irreduzibel ist, auch irreduzibel bleiben ivürde, falls 
noch irgendivelche „numerische^' Irrationalitäten adjungiert ivürden. Im 
Falle M = 2 bleibt dieser Satz mit der Abänderung bestehen, daß der Grad 
der Gleichung nicht '\%{2), sondern ;^(2) =3 ist. 

Übrigens findet man durch Elimination von z aus (8) und der Glei- 
chung: 4^3_^^^_(,-.^^^)^0, 

daß die %{n) eigentlich zur Stufe n gehörenden Teilwerte p'^^ einer Glei- 
chung %{ny'^^ Grades: 

(9) //(«) + ß.g.z'Xir^)-^ ^ ^ß^g^S ^ ß^g^^)/xin)-l^ . . . = Q 

genügen, welche die soeben über die spezielle Teilungsgleichung (3) aus- 
gesagten Eigenschaften gleichfalls besitzt. 

Der Schluß auf die Rationalität der numerischen Koeffizienten der 
speziellen Teilungsgleichung kann auch noch in anderer Art vollzogen 
werden. Ersetzt man den zweiten Index ^ der p^ durch %^, unter z 
einen der cp (n) gegen n teilerfremden Reste mod n verstanden, so permu- 
tieren sich die \%(n) Teilwerte p^^ untereinander. Die symmetrischen 
Grundfunktionen der pj^ bleiben demnach bei jenem Ersätze unverändert. 
Die aus (2) zu entnehmende Reihenentwicklung: 

(10) ^($.,„) = O'" K + «.3^ + a,q' +■■■) 

für die v^^ symmetrische Grundfunktion hat also als Koeffizienten nur 
noch Zahlen des zum Teilungsgrade n gehörenden Kreisteilungskörpers, 
die beim Ersätze von b durch irgendeine der (p{n) primitiven Einheits- 
wurzeln >^*®" Grades unverändert bleiben, d. h. die Koeffizienten a in (10) 
sind rationale Zahlen. Als ganze Modulform der ersten Stufe bezeichnen 
wir ^XPx,^ durch 6r^(a)i, cog). Nach (8) in I, 309 läßt sich eine solche 
Form in der Gestalt: 

(11) G,i<ov^.)-2G,j,.s: 

l,m 

mittelst numerischer Koeffizienten (7^^ durch g^, g^^ darstellen. Diese Dar- 
stellung von G^,{g}^, cög) ist einzig, da sonst zwischen ^^ und g^ eine iden- 
tische Relation bestände. 

Eine nicht identisch verschwindende ganze Modulform erster Stufe 
der Dimension —2v hat nach I, 309 im Diskontinuitätsbereiche der T^"'* 



Spezielle Teilungsgleichung des w**"" Teilungsgrades 249 

Nullpunkte iu der Gesamtordnung — • Verschwinden demnach in der 
Potenzreihe einer solchen Form die Koeffizienten bis zu einem Gliede mit 
einem Exponenten von (i\ der > -_- ist, so liegt bereits in der Spitze 
03 = ioo des Diskontuinitätsbereiches ein Nullpunkt von einer Ordnung 

> _ , so daß die Form dann notwendig mit identisch ist. Dieserhalb 

sind zwei ganze Modulformen erster Stufe der Dimension — 2v, deren 
Potenzreihen in den Anfangsgliedern, und zwar bis zu einem Exponenten 

> g von g^, übereinstimmen, notwendig miteinander identisch. 

Tragen wir nun in den Ausdruck (11) irgendeiner Form Gr^ip^, ^^ 
für (/g? 9z die Potenzreihen (3) in I, 274 ein, so ergibt sich bei Umord- 
nung nach ansteigenden Potenzen von (f". 

(12) GX'o,, «>,) = g)'^, + 6.2^ + \q' + •••), 

WO die })^ lineare homogene Funktionen der C^^\ 

(13) ^=2"«i:i(^,„. 

l, m 

mit „rationalen" Koeffizienten a sind. Soll jetzt die Form (11) mit 0^{i<fxu) 
identisch sein, so ist hierzu nach den vorausgeschickten Überlegungen 
notwendig und hinreichend, daß die Reihe (12) von G-^{p^, cog) mit der 
Reihe (10) in einer gewissen Anzahl von Anfangskoeffizienten überein- 
stimmt, daß also die G^^ einer gewissen Anzahl linearer Gleichungen: 

(14) 2uZC,^^a„ ^«:;,!C,„=a„... 

;, in l, m 

mit durchweg rationalen Koeffizienten genügen. Nun gibt es sicher ein 
System endlicher Zahlen (7^^^, die diese Gleichungen befriedigen, da 
^viPk/u) ^Is ganze Modulform erster Stufe in der Gestalt (11) darstellbar 
ist. Da aber jedes Lösungssystem (7^^ der Gleichungen (14) eine Darstel- 
lung (11) liefern würde und diese Darstellung für <?^(s^^;.^,), wie wir wissen 
einzig ist, so gibt es auch nur ein Lösungssystem C^^^ der Gleichungen (14). 
Die linearen Gleichungen (14) sind also zur eindeutigen Berechnung der 
endlichen Größen C^^ geeignet ^ so daß sich die C^^^ als Quotienten von 
Determinanten der a und a und damit als rationale Zahlen aus (14) be- 
stimmen. Diese Schlußweise ist hier gleich ausführlich dargelegt, da wir 
sie noch öfter zu verwenden haben werden. 



§ 2. Kongruenzgruppen n*®^ Stufe in der Modulgruppe P. 

Da sich die nächsten Überlegungen nur auf die Gruppen jT^"') und 
^Hcn) beziehen, so wird der obere Index co der Kürze halber fortgelassen. 



250 1, 4:. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 

Es sei jetzt in der endlichen Gruppe G-^^,^(.^^, auf die sich die Grappe JT 
mod ii reduziert, irgendeine Untergruppe G^ der Ordnung t und des In- 

dex ^ = -^-- vorgelegt. Die zugehörige Zerlegung der Gesamtgruppe in 

Nebengruppen sei etwa in der Gestalt gegeben: 

(1) <?»^w= G- + Gr U, + G, ■ l\ + • • ■-+G, ■ U^,_„ 

WO U^, C/g, . . ., Uu-i 5''Weckmäßig gewählte Substitutionen der G^ ,. 
oder der Gruppe /' sind. Nun können wir die ö^„ ;>,(„) auch im Anschluß 
an die Zerlegung: 

(2) r= r„^ + r„^ . r, + 1;^ - r, + • • • + r„^. f„^_, 

der Gruppe T in die der Hauptkongruenzgruppe n^^"" Stufe zugehörigen 
Nebengruppen erklären. Da die r'^,^(,j^ ausgezeichnet ist, so liefern die 
n%{n) Nebengruppen, selbst wieder als Elemente gefaßt (vgl. S. 9), eine 
endliche Gruppe der Ordnung w;^(i^), nämlich unsere (t„^(„v ^^^ Substi- 
tutionen derjenigen t Nebengruppen (2), die die Elemente der vorgenannten 
G^ sind, bilden nun für sich eine Untergruppe von F, und zwar eine solche 
des Index ^ die dieserhalb F,^ heiße; der Zerlegung (1) entspricht nämlich 
•die Zerlegung: 

(3) r = i; + r„ • i\ + r„ ■ ?7, + • • • + .r„ • u„_, 

der Gesamtgruppe V in die entsprechenden Nebengruppen. Alle so zu 
gewinnenden Gruppen F,^ bezeichnen wir als „Kongriiensgruppen n^^'' 
ßtufe^^. Man kann offenbar als eine solche Kongruenzgruppe w*" Stufe 
auch jede Gruppe erklären, die die Hauptkongruenzgruppe dieser Stufe 
^nyin) ^^^ Untergruppe in sich enthält; denn jede solche Gruppe wird 
-sich aus einer bestimmten Anzahl von Nebengruppen (2) zusammen- 
setzen und liefert demnach ihrerseits eine bestimmte Gf innerhalb der 
^n/(n)' Einem Systeme gleichberechtigter Untergruppen G^ des Index (i 
entspricht ein System ebenso vieler gleichberechtigter Kongruenzgrup- 
pen ^^^ des Index ^t; eine ausgezeichnete G^ ergibt eine ausgezeichnete F , 
speziell die G^ liefert die Hauptkongruenzgruppe F^^^^^^. 

Das Problem, alle Kongruenzgruppen n^^^ Stufe anzugeben, kommt 
also auf die Aufgabe zurück, die Gruppe G^^^^^^^ in ihre gesamten Unter- 
gruppen zu zerlegen. Diese Aufgabe ist, wie beiläufig erwähnt sei, im 
wesentlichen als gelöst anzusehen. Ist n das Produkt n^ • n^ zweier teiler- 
fremder Zahlen, so ist, wie in „Modulfunktionen", Bd. 1, S. 402 ff. gezeigt 
wird, die vollständige Zerlegung der 6i^,,^(„) auf die Zerlegungen der bei- 
den Gruppen G^^^„^^ und G.^^.^^^^^^ zurückführbar. Man hat demnach weiter 
nur noch Primzahlpotenzen n zu behandeln. Nun hat J. Gier st er zu- 
nächst für den FaU einer Primzahl n'^) und sodann für den Fall einer 

1) „Die Untergruppen der Galoisschen Gruppe der Modulargleichung für 
,den Fall eines primzahligen Transformationsgrades", Math. Ann., Bd. 18 (1881). 



Kongruenzgruppen n**"" Stufe in der Modulgruppe 251 

beliebigen Potenz einer ungeraden Primzahl^) die vollständige Zerlegung 
der G-.^ (^ wirklich durchführen können. Rückständig sind demnach nur 
die Potenzen der Primzahl 2, von denen allein die drei niedersten Fälle 
2, 4, 8 erschöpfend behandelt sind. 

Für die Theorie der speziellen Teilungsgleichung ist folgender Satz 
grundlegend: Ist n = p' eine Potenz der Primzahl p mit einem Exponenten 
v^2j so bilden alle Substitutionen der 6r^y(„), die mod p^~^ mit der iden- 
tischen Substitution 1 Icongruent sind, eine Äbelsche Gruppe (r^» der Ord- 
nung p^, die in der G.ny(.n) (ausgezeichnet enthalten ist, und die, abgesehen 
von der identischen Siibstitution nur aus Substitutionen der Periode p be- 
steht. Die fraglichen Substitutionen haben nämlich die Gestalt: 

mit beliebigen ganzen Zahlen a, b, c. Man erhält in der Tat p'^ Sub- 
stitutionen, wenn man a, b, c, unabhängig voneinander Restsysteme 
mod p durchlaufen läßt. Zwei Substitutionen V und V dieser Art kom- 
binieren sich nach dem Gesetze: 

Hieraus sind die Angaben des Satzes abgesehen von der Behauptung, 
daß die Gp-^ ausgezeichnet ist, leicht abzulesen. Die Gp^ aber ist aus- 
gezeichnet, weil sie der ausgezeichneten Kongruenzgruppe F v-i . r-i^ der 
Stufe ^^ ~ ^ entspricht. ^) 

Bei beliebigem n kommen für die speziellen Teilungsgleichungen 
gewisse zyklische Untergruppen G.^ der Ordnung n in Betracht. Unter 

S verstehen wir wie in I, 298 die Substitution l ' ) ; da S" := 1 (mod n) 

gilt, so erweist sich S in der (t„ („^ als eine Substitution der Periode n 
und erzeugt eine zyldische Untergruppe der Ordnung n, bestehend aus den 
Substitutionen /S^ = 1, S, S"^, . . ., /S""^, die offenbar alle voneinander 
verschieden sind. Die Anzahl der mit dieser (r,, gleichberechtigten Gruppen 
bestimmt man durch folgende Überlegung: Soll die G^ durch die Sub- 
stitution V = \ ^ \) i^ sich transformiert werden, so muß F~*-5- F=Ä*' 

1) „Über die Galoissche Gruppe der Modulargleichung, wenn der Transfor- 
mationsgrad die Potenz einer Primzahl > 2 ist'', Math. Ann., Bd. 26 (1885). Übri- 
gens betreffen die Giersterschen Untersuchungen die weiterhin noch zu betrach- 
tenden nichthomogenen Gruppen G^^ 

2) Wie in (11) S. 223 bezieht sich das Kongruenzzeichen natürlich auf die 
Koeffizienten der Substitution. 

3) Nach der Begriffserklärung der Kongruenzgruppen »i**"^ Stufe gehören zu 
ihnen auch alle Kongruenzgruppen der Stufen, die Teiler von n sind. 



252 I, 4:. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 

sein. Die Kongruenz lautet ausführlicli : 

und führt also zu den beiden Bedingungen yd e^ 0, y* = (mod n). 
Multipliziert man diese beiden Kongruenzen mit a und — /5, so liefert 
ihre Addition y ^0 (mod n)^ womit sie beide erfüllt sind. Die Zahl a 
kann jeden der (p(n) gegen n teiierfremden Reste mod n bedeuten, ß 
bleibt beliebig wählbar, und für d gilt die Kongruenz d = a~^ (mod n). 
Alle so gewonnenen Substitutionen: 

(6) F^gf_,) (mod«) 

bilden eine Untergruppe 6r^y(„) der Ordnung ncp^n) und also des Index 
ip (w) ^), die als eine „meta^yMische^' Gruppe bezeichnet werden soll und in 
der die aus S erzeugte zijldische (x„ als ausgezeichnete Untergruppe ent- 
halten ist. Im niedersten Falle n = 2 ist übrigens die (t^ ,j^s mit der G-.^ 
selbst gleich. 

Wir zerlegen nun die Gesamtgruppe ö„^(„^ in die 'il){n) der G^ ^^^^ 
entsprechenden Nebengruppen: 

Die Substitutionen der einzelnen Nebengruppe transformieren G^ in eine 
und dieselbe mit G^ gleichberechtigte Gruppe. Man hat also höchstens 
^l){n) mit der G^ gleichberechtigte Gruppen: 

G = n~'^ G TT G' = U~^ ' G TJ Q{^p-i)— tt-i . a . TT 

unter U^ die identische Substitution verstanden. Diese tpin) Gruppen 
sind aber durchweg verschieden. Wäre nämlich U^^G„' Uj^= U'^-G,^- U 
bei verschiedenen U^y Z7^, so würde Uj.- U^^ die G^ in sich transformieren 
also in G^ u) enthalten sein. Dies ist aber nicht der Fall, da Uj^ sonst 
der Nebengruppe G^ • U^ angehören würde. In der G^ r^s sind demnach 
ipin) gleichberechtigte zyMische Untergruppen G^ der Ordnung n enthalten, 
von denen eine die aus S zu erzeugende G^ isty und deren einzelne in einer 
metazyUischen Gruppe G^^^^ als ausgezeichnete Untergruppe enthalten ist. 

Die symbolisch durch — 1 zu bezeichnende Substitution L _' i 

ist im Falle n = 2, aber auch nur in diesem Falle mit der identischen 
Substitution kongruent. Wir nehmen n > 2 und stellen fest, daß die 
Substitution — 1 mit jeder Substitution der 6r„ ^^^ vertauschbar ist. Eine 
Untergruppe G , die die Substitution — 1 nicht enthält, wird demnach 



1) ip(n) bedeutet die in (4) S. 220 erklärte, der Gleichung (p{n)- ^{n) = %{n) 
genügende Anzahl. 



Zyklische und metazyklische Untergruppen der G^ ,^-. 253 

durch Zusatz dieser Substitution zu einer G^ der Ordnung 2/i erweitert, 
in der die (r„ ausgezeichnet enthalten ist. So wird die aus der Substi- 
tution S zu erzeugende G^ durch Zusatz von — 1 zu einer G^ ^ erweitert, 
die übrigens in der G^„^(„) der Substitutionen (6) enthalten ist. Soll 

F^("'U diese G^^ in sich transformieren, so ist, da — 1 durch F in 

sich transformiert wird, hierzu notwendig und hinreichend, daß F~ ^ • >S • F 
in der G^^ enthalten ist: 

Gilt das obere Zeichen, so gehört F der G,^^^^ an. Das untere Zeichen 
kann aber, wie man durch Addition des ersten und vierten Koeffizienten 
von V'^- S • V findet, nur für n = 4: gelten. In diesem Falle kommen 
neben den acht Substitutionen (6) noch die acht inkongruenten Substi- 
tutionen mit y = 2 (mod 4) für F zur Geltung, so daß hier die ö^gn ^^ 
einer G^^ ,^s ausgezeichnet enthalten ist. Wie oben findet man den Satz: 
Für w = 3 und n > 4 hat man i{j(n) gleicliberechtigte G^^, deren einzelne 
eine zyTdisclie G^ als ausgezeichnete Untergruppe enthält^ aus der sie durch 
Zusatz von — 1 entsteht; für n = 4: hat man 2 ^(4) = 3 solche G^, deren 
einzelne zwei zyMische 6^4 als ausgezeichnet enthält 

Den Untergruppen 6r„ und Go^ entsprechen ebenso viele gleichbe- 
rechtigte Kongruenzgruppen n^^^ Stufe F .„) und F^ der Indizes %{n) 

bzw. \%{n)' Zu diesen Gruppen gehören nun gerade die Teil werte p'^,^ 
und p^^^. Die jj-^^,« ^^^ Po ^^^i^^n unverändert bei der Substitution Sj 
die (s^Q ^^ auch gegenüber der Substitution — 1. Umgekehrt folgt aus der Regel 
(7) S. 246, daß eine Substitution, die PQ^^ in sich überführt, der F^ 

angehört, und daß eine Substitution, die ^'^^^ in sich transformiert, zur 
F /„x gehört^); gemeint sind hierbei natürlich diejenigen Gruppen, welche 
zu den aus S und — 1 bzw. aus S zu erzeugenden (x2„ und (t„ gehören. 
Nun gehen aUe eigentlich zur Stufe n gehörenden Teilwerte ^^ ^, p'^ 
aus den pQ^, p^^ durch Transformationen der F^'"^ hervor; die p^^^^ (und 
ebenso die p[J heißen dieserhalb „gleichberechtigt" (vgl. S. 7). Hieraus 
ergibt sich der Satz: Die |%(w) = j(p(n)i^{n) Teiliverte p^^^ gehören in 
Systemen zu je \(p(n) den tl^in) gleichberechtigten Kongruenzgruppen F/ 

an, indem sie hei den Suhstitiitionen der betreffenden F. und nur bei 



1) Bei den eigentlich zur Stufe n gehörenden ^o^^ ^qu"» ^^ ^^® ^^ '^^^^ ^^^^ 
allein handelt, ist ft teilerfremd gegen n. 



254 I» 4:. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 

ihnen unverändert 'bleiben'^); ebenso geli'ören die %(>^) Teilwerte <p^^ zu je 
(p(n) den i{j(^n) gleiehbereclitigten Kongruenzgruppen r ,^^ an. 

Ein paar weitere später zur Benutzung kommende Ausführungen über 
Kongruenzgruppen mögen sich gleich hier anschließen. Die Kongruenz 
zweiten Grades ^^e^I (mod n) ist bekanntlich stets lösbar.^) Die Anzahl 
ö ihrer modin inkongruenten Lösungen ist gleich 1 für w = 2; weiter ist 
6 = 2, wenn n die Potenz einer ungeraden Primzahl oder das Doppelte 
einer solchen Potenz ist oder n = 4: gilt; in allen übrigen Fällen ist ö 
durch 4 teilbar. Nennen wir die Lösungen jener Kongruenz fti, ft27 • • •? 

^^, so bilden die 6 Substitutionen rt^' \ (^^' ),...; (J!'^' ) eine aus- 
gezeichnete G,j in der G.^^^^^^^ denn K' j ist mit jeder Substitution der 

(r^ , ^ vertauschbar. In den Fällen mit 6 = 2 besteht die (x^ aus den 
beiden Substitutionen 1 und — 1 ; in den Fällen mit <? ^ 4 bilden diese 
beiden Substitutionen eine in der ö^„^(^) ausgezeichnet enthaltene Unter- 
gruppe G^ der G^, 

Zur (to gehört eine „Quotientengruppe^^ ^«yrnv^^2 = ^i ? ^^^ 

welche sich die 6r„ . ^ reduziert, wenn wir je zwei Substitutionen ( ' A 
und ( "" ^' "" U als nicht verschieden ansehen. Dies ist der Standpunkt 

der nicht-homogenen Modulgruppe r^'"\ wie in I, 280 ff. näher erörtert ist. 
Man kann auch sagen, daß sich die nicht-homogene Modidgruppe F mod n 
auf eine Gruppe der endlichen Ordnung \n%{n) reduziert y die mit der obigen 
G^ isomorph ist. Die Zerlegung dieser G. in ihre Unter- 

gruppen liefert dann wie oben die gesamten Kongruenzgruppen n^'^^ Stufe 
in der nicht-homogenen Modulgruppe. Insbesondere entspricht der Unter- 
gruppe G^ die „Hauptkougruenzgruppe w**^' Stufe" F^ des Index 

\nx(n). Die zyklischen Gruppen G^ erfahren keine Reduktion der Ord- 
nung bei Fortgang zu den nicht-homogenen Substitutionen. Dagegen re- 
duzieren sich die metazyklischen Gruppen auf Untergruppen G^ der 

Ordnung ^ng)(n)j da in der einzelnen homogenen ö^^^^^«) die Substitution 
— 1 enthalten ist und also ihre Substitutionen paarweise durch Zeichen- 
wechsel der vier Koeffizienten ineinander übergehen. Da die einzelne G^ 
nach wie vor durch die Substitutionen der zugehörigen G. und durch 

.:, n (f (n) 

1) Nur für n = 4. gehören die |jj(n)==6 Teilwerte ^^^ zu je (p{n) = 2 den 
±i|j(m) = 3 Gruppen F. = T. an. 

2) S. etwa Dirichlet-Dedekind, „Vorles. über Zahlentheorie", S. 88 der 
vierten Auflage. 



Sätze über Kongruenzgruppen ri*'''' Stufe iti F^'"'' 255 

keine anderen in sich transformiert wird, so haben wir in der G. 

jn/ in) 

wieder Tp{n) gleichherecJdigte zyklische G^ der Ordnung n, von denen eine 
die aus S zu erzeugende Gruppe ist. 

Allgemein entspricht der ausgezeichneten G^^ eine Quotientengruppe 

G ( JG^^' Gn der Ordnung ;f(w), während ihr andrerseits eine 
ausgezeichnete Kongruenzgruppe F„ des Index ^(^n) in der nicht- 

homogenen Modulgruppe zugehört. Diese Gruppen kommen in der Theorie 
der Modulargleichungen zur Verwendung. 

§ 3. Die Galoisschen ßesolyenteii der speziellen 
Teilunj^sgleichiingen. 

Die in den Teilen II und III der Einleitung entwickelte Galoissche 
Gleichungstheorie soll jetzt auf die spezielle Teilungsgleichung (8) S. 247 
in Anwendung gebracht werden. Falls man diese Gleichung den S. 65 
eingeführten Gleichungen genau anpassen will, so hat man etwa an Stelle 
der i^')j, die Größen nullter Dimension: 

benutzen. Sie genügen einer Gleichung, die aus der Gleichung (8) S. 247 
durch die Substitution: ^ 

hervorgeht. Diese „auf die nullte Dimension reduzierte" spezielle Tei- 
lungsgleichung hat, wie man mit Hilfe von (16) in I, 124 zeigt, die 
Gestalt: 

(2) z^ + a^J(J - 1) ^,? -I- oc^ J(J _ 1)2^2 _!_..._ 0, 

wo der Koeffizient von z^ ' eine ganze Funktion ]c^^ Grades von J 

mit rationalen Zahlenkoeffizienten ist. Den Koeffizienten dieser Gleichung 
entsprechend hat man den Körper ^j der rationalen Funktionen von J mit 
rationalen Zahlenkoeffizienten als gegeben anzusehen, der dann an Stelle 
des S. 65 ff. durch ^^ bezeichneten Körpers tritt. Nach dem Satze von 
S. 248 ist die Gleichung (2) in diesem Körper ^j irreduzibel und würde 
auch nach Adjunktion irgendwelcher „numerischer'^ Irrationalitäten irre- 
duzibel bleiben. Zur Erleichterung der Schlußweise werden wir in der 
Tat gelegentlich von der Gleichung (2) Gebrauch machen. Doch legen 
wir zunächst die Gleichung (8) S. 247 direkt zugrunde; vom Körper 
^ = (JRj g^j g^) kommen dann natürlich nur Größen, die in (Dj, co^ homogen 
sind, d. h. „Modulformen", zur Benutzung. 



256 ^^ 4:. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 

Wir bilden nun durch Adjunktion der |-%(>^) Teilwerte ^9^^^ den zur 
Gleichung (8) S. 247 gehörenden Galoisschen Körper: 

(3) Ä • • V P?.^c^ •") = {% 92, 9z, • • V i'>?i,o ' ■ •)• 

Nach S. 70 kann dieser Körper auch durch Adjunktion einer einzigen 
Größe hergestellt werden, die man mit Hilfe zweckmäßig gewählter ratio- 
naler ganzer Zahlen c aus den p^ in der Gestalt: 

(4) Pl(^l,^2)=2<^X,uPx,a 

bilden kann. Diese Größe ist eine Modulform w*" Stufe der Dimension 
— 2; die Bedeutung des Index 1 wird unten erklärt werden. 

Die ^2.(1 ^^ Größen des Körpers (3) sind in p^ rational mit Koeffi- 
zienten des Körpers ü darstellbar: 

(5) ih^-RxM)- 

Hieraus folgt leicht, daß zur Modulform Pi{(j^i, Wg) diejenige ausgezeich- 
nete Kongruenzgruppe n^^^ Stufe F^ gehört, deren Substitutionen 

mod n mit 1 oder — 1 kongruent sind, d. h. daß diese und nur diese 
Substitutionen der F^'"^ die Form jj^^ (o^ , cog) in sich transformieren. Daß 
nämlich p^ gegenüber diesen Substitutionen invariant ist, geht aus (4) 
hervor. Jede Substitution, die p^ in sich transformiert, wird aber auch 
zufolge (5) z. B. die beiden Formen p^^ und ^o^q zugleich in sich über- 
führen, ist also zugleich mit einer Substitution (~ l\ als auch einer 
Substitution (""■ i^ .) mod n kongruent, d. h. sie ist :^ + 1- 

Durch die Substitutionen der T^'') wird hiernach p^ip^, o,) im gan- 
zen in "^nxin) verschiedene Modulformen transformiert, deren symme- 
trische Grundfunktionen ganze Modulformen erster Stufe sind. Zur Dar- 
stellung dieser Modulformen als rationaler ganzer Funktionen von g^, g^ 
bedienen wir uns der Methode von S. 248 ff. Wir entnehmen zunächst aus 
(2) S. 244 eine Potenzreihe für ^j: 

2 t 6 

(6) p,{^„ a>,) = g)' (B, + B,{e)q- + B,{d)r + B^i" + ' ' ), 

wo jBq eine rationale Zahl des Nenners 12 ist und die B^{e)f B^(e)y . . . 
Zahlen (und zwar ganze Zahlen) des zum n^^"^ Teilungsgrade gehörenden 
Kreisteilungskörpers (9i, i) sind, der ein Körper des Grades q)(n) ist. 
Eine entsprechende Darstellung gestattet jede der l^x W ^^^ Pi gleich- 
berechtigten Formen, und also wird auch die v^"" symmetrische Gruud- 

funktion dieser Formen, abgesehen vom Faktor (-^j \ als Entwicklungs- 
koeffizienten der Potenzreihe Zahlen des Kreisteilungskörpers haben. Die 



Galoisscher Körper der speziellen Teilungsgleichung 257 

Methode von S. 248 zeigt daraufhin, daß auch die numerischen Koeffizienten 
in den Darstellungen der fraglichen symmetrischen Grundfunktionen durch 
g^ , g^ Zahlen von (iR, b) sind. Man gelangt auf diese Weise zu dem Satze : 
Die \nx{n) mit p^ gleichberechtigten Formen, sind die Lösungen einer 
Gleichimg: 

deren Koeffizienten dein Körper- (^, g2, ff^, «) angehören ; die Gleichung ist 
in diesem Körper irredusihel und würde auch hei ÄdjunJction sonstiger 
j,numerischer'' Irrationalitäten irreduzihel hleihen. Den letzten Teil des 
Satzes beweist man genau so wie S. 247 die Irreduzibilität der speziellen 
Teilun gsgle ichuii g. 

Ersetzt man in der Potenzreihe (2) S. 244 von ^j^^^ die Einheits- 
wurzel e durch irgendeine der (p (n) primitiven Einheitswurzeln «'*, so ge- 
langt man zur Reihenentwicklung für ^x,xu- ^"' erklären nun im An- 
schluß an (4) die (p(n) Modulformen ^^^(»1, ojg) durch: 

WO % die (p{n) gegen n teilerfremden Reste modw durchläuft. Da die 
c^ rational sind, so folgt aus (6) als Reihenentwicklung von^)^(cL)i, Og): 

(9) p,(», , ro,) = (g)' [B, + B, (3")^ + B,{a')q^ + B,{B'')r + ■••). 

Die Gleichung (5) besteht in co^, co^ oder, wenn man die rechte und 
linke Seite nach Potenzen von q entwickelt denkt, in (ög und q identisch, 
so daß die Koeffizienten gleich hoher Potenzen rechts und links gleich 
sind. Diese Koeffizienten sind Zahlen aus (3^1, £)05 j® zwq\ einander gleiche 
Koeffizienten rechts und links bleiben demnach gleich, falls man s durch 
irgendeine primitive Wurzel £''• ersetzt. Da die Koeffizienten von i^^^ dem 
Körper (9^, g^j g^) angehören, also bei jenem Ersatz unverändert bleiben, 
so bleibt die Gleichung (5) richtig, falls man p^ durch p^ und pp^^ durch 
iPxy.u ersetzt. Wir haben also q)(n) Systeme zu je jnx(n) Gleichungen: 

(10) >,■>>.,.>.- üxAp.)- 

Für das einzelne z und die jx(n) Paare A, ^ haben wir auch in 
Px,yiii ^Ue eigentlich zur n^^^ Stufe gehörenden ^,>-Teilwerte. Die yzW 
auf dieses x bezogenen Gleichungen (10) zeigen demnach, daß nicht nur 
Pi , sondern jede der (p (n) Größen p^ benutzt tverden hanny um durch ihre 
AdjunMion den Galoissche^i Körper (3) zu gewinnen. Indem wir die zur 



1) Natürlich wieder abgesehen vom gemeinsamen Faktor ( — j 



^2: 
Pricke, Die eniptiachcn Funktionen II 17 



258 ^1 4- Die Teil werte der elliptischen Funktionen 

Gleichung (7) führende Überlegung auf jp^ anwenden, ergibt sich, daß 
diese Form und die mit ihr gleichberechtigten die Wurzeln einer Glei- 
chung sind: 

(11) Z^ +P^i5'2^ -^ ßx293^ + ßy.592^ 

4- • • — 0, 

welche alle oben von der Gleichung (7) ausgesagten Eigenschaften besitzt. 
Nun wird die Gleichung (7) für Z = p^ nach Eintragung der Reihen- 
entwicklungen wieder zu einer in (o^ und q identisch bestehenden. Sie 
bleibt demnach auch gültig, wenn wir in ihr überall, d. h. auch in den 
Koeffizienten ß^^, ß^^y • • • ^i® Einheitswurzel 8 durch £''■ ersetzen. Es ge- 
nügt demnach p^ einer Gleichung des Grades i-nx(n), die aus (7) hervor- 
geht, indem man in den Koeffizienten ß^^, ß^^, ... die Einheitswurzel s 
durch 6" ersetzt. Die so zu gewinnende Gleichung muß aber direkt die 
Gleichung (11) sein, wie sich aus der Irreduzibilität dieser Gleichung er- 
gibt. Die yW%(w) mit p^ gleichherccJitigten Formen genügen der im Körper 
(^? 92 j 93 y ^) irreduzihelen Gleichung (11), in der die ß^^, ß^^y ßy.zy - - - 
diejenigen Zahlen des KreisteilungsJcörpers (3fl, s) sind, die aus den nume- 
rischen Koeffizienten ß^^, ß^^, ftg, . . . der Gleichung (7) durch den Ersatz: 
von £ durch e"" hervorgehen. 

Es ist nun zu entscheiden, ob die (p{n) Gleichungen (11) alle ver- 
schieden sind oder nicht. Zu diesem Zwecke wird folgende Hilfsbetrach- 
tung vorausgeschickt, bei der wir den niedersten Fall w == 2 als elemen- 
tar ausschließen. Wir üben auf das Formentripel p^^y ^3^^, ip^^ zunächst 
die vwy(^) bezüglich der F. zu unterscheidenden Substitutionen 

aus und erzeugen auf diese Art die ^n%{n) verschiedenen „gleichberech- 
tigten Triper^: 

Ersetzen wir andrerseits in den Potenzreihen des ersten Tripels die Ein- 
heitswurzel E durch die (p(n) primitiven Einheitswurzeln £^-, so erhalten 
wir die {p(n) Tripel: 

(1-^) Fox? Fix, F2x> 

die wir als 9p(«) „konjugierte" Tripel bezeichnen woUen. Abgesehen da- 
von, daß ^,?oj, Pii, ^'?2i sowohl unter (12) als unter (13) auftritt, kommt 
keines der gleichberechtigten Tripel (12) zugleich unter den konjugierten 
Tripeln vor. Aus dem gleichzeitigen Bestehen der drei Gleicliungen: 

\X^) Fyrf==Fox> Fa + y.^^ + cT^ Fix? Fs a + y,2/? + (^ ^ F2x 

folgt nämlich zunächst 7 e= auf Grund der ersten Gleichung, sowie 
dann weiter a = -{- 1 auf Grund der zweiten. Da ein gleichzeitiger Zei- 



Übergang zur Galoisschen Resolvente der speziellen Teilungsgleichung 259 

chen Wechsel von a, ß, y, ö vorgenommen werden kann, so soll a = 1 und 
damit d ^^ 1 (wegen y ^0) gesetzt werden. Die zweite und dritte Glei- 
chung (14) lauten nun Fi,^+i == Pi,;,; ^2,2^:^+1 "= Fj,x ^"^ führen auf 
;fHs/5-fl£=2/5+l und damit auf /3 ^ 0, z :^ 1, womit die behaup- 
tete Verschiedenheit der Tripel (12) und (13) bewiesen ist. 
Man bilde nun alle Tripel von Differenzen: 

indem man nur davon absieht, das sowohl unter (12) als (13) auftretende 
Tripel $-9q^, p^^, p^^ mit sich selbst zur Subtraktion zu bringen. Man hat 
dann eine begrenzte Anzahl von Tripeln (15), von denen nach dem eben 
bewiesenen Satze keines aus drei mit identischen Differenzen besteht. 
Wie S. 36 und S. 69 kann man hieraus den Schluß ziehen, daß man 
drei rationale ganze Zahlen a, h, c so wählen kann, daß von allen, den 
Tripeln (15) entsprechenden Formen: 

keine einzige identisch verschwindet. Demnach ist von aUen -lnx(n) mit 
(ö^^oi + ^^11 + ^Pii) ,;gleichberechtigten" Formen keine einzige mit einer 
der „konjugierten" Formen (a,pox+ ^Fix + ^V'*2 J ^^^ x ^ 1 (mod }i) 
identisch. 

Nun ist aber ((iPoi~^ ^Pn~^ ^S'^2ih ^^^ ™ Galoisschen Körper (3) 
enthalten, in der Gestalt: 

(16) ap^, -f hp^, + c^^2i = ^(Pi) 

mit Koeffizienten des Körpers (3fi, <72? ^3) darstellbar. Hieraus schließt 

man wie oben für die konjugierten Formen auf Darstellungen: 

Wäre nun die z*® Gleichung (11) mit x ^ 1 identisch mit der Gleichung 
(7), so würde p.^ zu den mit p^ „gleichberechtigten" Formen gehören und 
also die Form (17) unter den mit (16) gleichberechtigten Formen auftreten. 
Dies aber trifft, wie wir wissen, nicht zu. Es ist also keine der Glei- 
chungen (11) mit 1c ^ 1 identisch mit der Gleichung (7). Da es uns nun 
unbenommen bleibt, irgendeine der (p (n) Formen p.^ als Form 2\ an die 
Spitze der Entwicklung zu stellen, so ist die wichtige Tatsache erkannt, 
daß die (p(n) Gleichungen (11) durchweg voneinander verschieden sind. 

Zur Erleichterung der nächsten Überlegung passen wir die vorlie- 
genden Voraussetzungen dadurch etwas besser an die allgemeinen Sätze 
der Einleitung über die Galoissche Gleichungstheorie an, daß wir mit den 
in (1) gegebenen Teilwerten nullter Dimension arbeiten. Die entsprechend 

an Stelle der p^ tretenden Größen ^-^^'^ genügen (p(n) „konjugierten" 

17* 



260 I» 4. Die Teil werte der elliptischen Funktionen 

Gleichungen: 

(18) 4-'"'+ft.j(j^- i)4-'°'-%ft,j(j-i)^4-«-'+...=o 

mit Koeffizienten des Körpers CStr, «), der durch Adjunktion von s zu 
^j entsteht und einen in bezug auf ^j algebraischen Körper (p (w)*®"" Gra- 
des darstellt. Wir nennen die Koeffizienten der Gleichung (18) kurz 
^xi» ^x2? ^y.sf • ■ • "^^ stellen fest, daß die Dijfferenzen: 

^xl -^y/l) ^x2 '^x'2f ■ ' ' 

für irgend zwei verschiedene Indizes jc, x' ein System nicht durchweg iden- 
tisch verschwindender Funktionen von (9^1/, s) darstellen, da die (p{n) Glei- 
chungen durchweg verschieden sind. Man kann demnach ein System 
rationaler ganzer Zahlen «i, «g, . .so wählen, daß 

«i(Ai - A'i) 4- «2(^2 - A.'2) + • • • 

für keine Kombination zweier verschiedener %, x' identisch verschwindet 
Hieraus aber folgt, daß: 

eine „primitive" Funktion des Körpers {fÜj^ s) ist, und daß demnach dieser 
Körper auch durch Adjunktion von 6 zu ^j gewonnen werden kann. Nun 
gehören die Ä,^^, A^^, ... als Koeffizienten der Gleichung (18) dem 
Galoisschen Körper (3) an. Im gleichen Körper ist also, da die a^, a^? • • • 
rationale ganze Zahlen sind, auch ö und damit der Körper (3fl^, ö) = (9ft^, b) 
enthalten. Hiermit ist die grundlegende Tatsache bewiesen, daß die Ein- 
heitswurzel n*'^'^ Grades s eine natürliche Irrationalität der speziellen Tei- 
lungsgleicJmng des n*""' Teilungsgrades ist (vgl. oben S. 233). 

Die Frage nach der Galoisschen Resolvente der speziellen Teilungs- 
gleichung ist jetzt unmittelbar zu beantworten. Durch MultipliJcation der 
q){n) Gleichungen (11) entsteht eine im Körper (^,^2)^3) irreduz ihele 
Gleichung des Grades 2^^^;t(w)9'(^^); welche die Galoissche Besolvente der 
speziellen Teilungsgleichung , bezogen auf den durch die Koeffizienten dieser 
Gleichung gegebenen Körper ü = (Üt, g.2, g>^) ist. Weiter aber ergibt sich 
sofort: Nach ÄdjunMion der natürlichen Irrationalität e wird die Galois- 
sche Resolvente im Körper (Ä\ s) == (^, g^, g^, e) reduzihel und zerfällt in 
die (p{n) nunmehr irreduzihelen Gleichungen (11), die auch hei Adjunktion 
irgendwelcher sonstiger numerischer Irrationalitäten irreduzihel bleiben. 

Die „Galoissche Gruppe" der speziellen Teilungsgleichung ist hier- 
nach eine G, der Ordnung l?^7(w)9?(?^t, die eine Gruppe 

G^ der Ordnung \nx{n)j die „Monodromiegruppe" unserer Glei- 

chung, als ausgezeichnete Untergruppe besitzt. Als zugehörige „Quo- 



Galoissche Gruppe der speziellen Teilungsgleichung 261 

aber ergibt sich die Gruppe der Kreisteilungsgleichung des w*®^ Teilungs- 
grades. Bei Benutzung der Gleichung (2) würde sich die Monodromie- 
gruppe auf die Umläufe von J in seiner Ebene beziehen (S. 76). Nach 
den Darlegungen in I, 299 ff. erzielen wir diese Umläufe durch Ausübung 
der Substitutionen der Modulgruppe auf o bzw. Oj, co^. Ms Permutations- 
gruppe der Wurzeln p^ der speziellen Teilungsgleichung ist demnach die 
Monodromiegruppe durch die \n%{n) inkongruenten Substitutionen (7) 
^S'. 246 gegeben, ivobei swei Suhstitutionen, die durch gleichzeitigen Zeichen- 
wechsel der vier Koeffizienten ineinander übergehen, als nicht verschieden 
gelten. Natürlich ist dies so zu verstehen, daß man sich die f^W Wur- 
zeln unserer Gleichung in eine Reihe geschrieben denkt und dann nach- 
einander die jnx{n) Substitutionen (7) S. 246 auf die Indizes X, /tt aus- 
übt, wodurch die Permutationen der ^^ hergestellt werden. Übrigens 
können wir nach S. 246 den Satz aussprechen, daß die Monodromiegruppe 
der speziellen Teilungsgleichung isomorph mit der G^ ist, auf die sich 

2-»/(«) 

die nicht-homogene Modulgruppe mod w reduziert. 

Um zur Galoisschen Gruppe zu gelangen, haben wir s der Reihe nach 
durch alle qp(w) primitiven Einheitswurzeln w*®^ Grades zu ersetzen. 
Dieser Ersatz bewirkt auf die Indizes A, ft der Teilwerte ^^j^^ die Sub- 
stitution : 

(19) X' ^ l, ^'z^y^^i (modn), 

wo z aUe (p(n) inkongruenten gegen n teilerfremden Reste mod w zu 
durchlaufen hat. Kombinieren wir die Substitutionen (19) mit den jnx{n) 
Substitutionen (7) S. 246, so ffelansen wir zur Galoisschen G, : 

Die Galoissche Gruppe G. der ^speziellen Teilungsgleichung wird 

g-n/(«)<^(n) 

als Fermutationsgruppe der p^^^ durch die ^n%{n)(p{n) inlcongruenten 
Substitutionen : 

(20) A'~ aA + yi^^; [L ^ ßl -\- d^ (mod n) 

erzielt, deren Determinanten (ad — ßy) alle gegen n teilerfremden inkon- 
gruenten Beste tc sind, und bei denen gwei durch gleichzeitigen Zeichen- 
wechsel der Koeffizienten ineinander überführbare Substitutionen als nicht 
verschieden gelten. 

§ 4. Lösung der speziellen Teilungsgleichung. 

Es ist jetzt möglich, über den Prozeß der Berechnung der Teilwerte 
^')j^^ durch Auflösung der speziellen Teilungsgleichung endgültige An- 
gaben zu machen. Ist n = n^n^ das Produkt zweier teilerfremder Zahlen 
n^f n^, so kann zunächst die Berechnung der Teilwerte des Grades n auf 



262 i, ^- Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 

die der Grade n^j n^ zurückgeführt werden. Wir verstehen unter yl^, 1^ 
zwei ganze Zahlen, die die Gleichung yt^Wa -f Za^j = 1 befriedigen, setzen. 

und entwickeln die rechten Seiten dieser Gleichungen nach dem Addi- 
tionstheorem. Aus den Teilwerten ^9 (-—-), p \~^) '^^^ ^®^ durch Qua- 
dratwurzeln zu berechnenden zugehörigen Teilwerten der ^/-Funktion be- 
rechnen wir uns also die Teilwerte (1) und aus ihnen weiter auf Grund 
der Additionssätze die übrigen Teil werte des Grades n^n^-n^. Auf 
dwse Weise wird die Berechnung der Teihverte irgendwelcher Grade mit 
Hilfe von Quadratwurzeln und rationalen Rechnungen auf die Berechnung 
der Teilwerte solcher Graden zurüclcgeführt, die Primsahlpotensen =p*' sind 
In der zu n --^ p" gehörenden Monodromiegruppe haben wir nun für 
1/ > 1 oben (S. 251) eine ausgezeichnete Untergruppe gefunden, deren 
zugehörige Quotientengruppe eine Abelsche Gruppe Gp^ der Ordnung ^^ 
ist. Dem entspricht folgende einfache algebraische Tatsache: Nach dem 

Satze von S. 234 berechnet man aus p (-—-Aj ^^'(-^^1) durch Lösung 
der „allgemeinen" Teilungsgleichung für den p*^^ Teilungsgrad die Teil- 
werte p (-t\ P \^)f ^^^ nach Adjunktion der p^^^ Einheitswurzel s an 

irrationalen Operationen das Ausziehen zweier Wurzeln p*^^ Grades er- 
fordert. Mittelst zweier weiteren Wurzeln jp*^^ Grades bestimmt man ent- 
sprechend p r']), p (">), womit dann alle weiteren Teilwerte des Tei- 
lungsgrades p^ rational bekannt sind. Eine der vier W^urzeln 2^*®^ Grades 
muß freilich überflüssig sein. Jedenfalls aber besteht der Satz, daß, falls 
die Teilwerte der primzahligen Teilungsgrade p bekannt sind, die Teilwerte 
aller weiteren Grade allein durch rationale Rechnungen und WurselsieJiun- 
gen herechenhar sind. 

Wir haben demnach unsere Aufmerksamkeit allein noch auf die Prim- 
zahlgrade n -^ p zu richten und betrachten nunmehr nach Adjunktion 
der 2>*®^ Einheitswurzel s die Monodromiegruppe G^ ^ der speziellen 

Teilungsgleichung, welche wir nach S. 246 in der Gestalt der modw re- 
duzierten nicht-homogenen Modulgruppe F vorlegen. Es besteht nun der 
grundlegende Satz: Für alle Primzahlen p> S ist die Gruppe G^ 

„einfach'^, d. h. sie besitzt i außer der G^ und der G^ ^ \ Jceine ausge- 
zeichnete Untergruppe. 

Zum Beweise dieses Satzes erinnern wir daran, daß nach I, 297 die 

Modulgruppe F aus den beiden Substitutionen S = ( ' j und T= ( '^ J 



Lösungsprozeß der speziellen Teilungsgleichung 263 

erzeuffbar ist. Entsprechend wird die G. aus den Substitutionen 

vS = / * j und T:^l_' j erzeugbar sein. Wir können nun beweisen, daß 
für jP > 3 eine ausgezeichnete Untergruppe der G^ , die nicht nur aus 

der Substitution 1 besteht, notwendig die Substitutionen S und T besitzt 
und also die G. sein muß, womit der Satz ersicljtlich sein würde. 

Eine ausgezeichnete Untergruppe muß mit einer ihrer Substitutionen 

F= r' ^j alle mit V gleichberechtigten, d. h. durch Transformation aus 

V hervorgehenden Substitutionen enthalten. Transformieren wir aber die 
vorgelegte Substitution V durch die Substitution: 

^'--(iS' ^-(-Vo)' ^-(o:-;.) (-^^).- 

unter a und h irgendwelche Zahlen der Reihe 1, 2, . . ., jp — 1 verstanden, 
so gewinnen wir: 

Enthält nun die von der G^ verschiedene ausgezeichnete Untergruppe 
G eine Substitution F= i' \ mit ß ^0, so enthält sie auch S und da- 
mit auch: / n i \ 

S .{T-^- S ' T)' S ^ (^_Y ^ ^ T-, 

sie ist also notwendig die (r. . Enthält G zweitens eine Substitution 

V= L^' i.A mit a ^ 4: 1, so ist {a — a~^) teilerfremd gegen ^. Zufolge 
der ersten Kongruenz (2) haben wir nun: 

WO V durch zweckmäßige Auswahl von & mit jeder Zahl 0, 1, 2, . . ., p — 1 
kongruent werden kann. Mit Vq und F„ ist auch: 






in G enthalten, so daß wieder G = G. ist. Eine von der G^ and 

der G^ verschiedene ausgezeichnete G hat demnach, abgesehen 

von der identischen Substitution, keine Substitution mit y = und also 
wegen der zweiten Kongruenz (2) auch keine mit /3 e= 0. Ist demnach 

F= f^' ^) ^ ^ irgendeine Substitution von 6r, so ist y ^ (mod^), so 

daß es eine Zahl h — ay'^ (modp) gibt. Für dieses h hat F'=5~*- F-;S'' 



264 li ^- I^iß Teilwerte der elliptischen Funktionen 

einen durcli p teilbaren ersten Koeffizienten, so daß es in G sicher eine 

Substitution F'== ( ^'--i ^<) gibt und demnach auch die Substitution: 

Da sie einen durch p teilbaren zweiten Koeffizienten hat, so ist sie ^ 1^ 
d. h. wir haben /?'^ + 1, (J'^ 0. In ö^ kommt stets die Substitution T 
vor: zugleich ist diese Substitution, Avenn G nicht die G^ sein soll, 

die einzige in G auftretende Substitution mit a ^e^ 0. Xun kommt aber 

in G zufolge der dritten Kongruenz (2) mit T auch ( ' ^g j vor. Man 

kann aber a, wenn J9 > 5 ist, sicher so wählen, daß diese Substitution 
von T verschieden ist. Dieser Widerspruch zeigt, daß für ^ > 5 keine 
von G^ und G^ verschiedene ausgezeichnete Untergruppe vorkommt. 

2 

Bei j9 = 5 gelangen wir zu dem gleichen Resultate, indem wir bemerken^ 
daß hier B~^- T- S^y ohne es 1 zu sein, ein durch 5 teilbares ß hat. 

Fürp>3 besteht hiernach die „Indexreihe" (vgl. S. 13) unserer Gruppe 
G^ nur aus dem einzigen Gliede \p(p^~ 1): und da diese Zahl 

keine Primzahl ist, so ist nach dem Theorem von S. 75 die spezielle Tei- 
limg sgleichung des p^^ Teilungsgrades für ^ > o nicht algebraisch lösbar. 
Für p == 2 und jd = 3 gehören die Teilungsgleichungen den Graden 3 und 
4 an : In den beiden niedersten Fällen p = 2 und p =-?> ist die Berechnung 
der Teilwerte allein durch Wurzelziehungen durchführbar. 

Bei dieser Sachlage war es nun ein besonders wichtiges Ziel der von 
Klein geschaffenen Theorie der elliptischen Modulfunktionen, die eigenarti- 
gen algebraischen Probleme, welche den Monodromiegruppen für ^ = 5, 7^ 
11, ... entsprechend als „Galoissche Probleme" der Grade CO, 168, 660, 
. . ., allgemein des Grades \p{p'^— 1); auftreten, näher zu erforschen. Bei 
p == b gelangt man zur „Ikosaedertheorie".^) Im Falle p = 7 entwarf 
Klein seine besonders schöne Theorie der zugrunde liegenden Gruppe 
^r,^o durch direkte aliifebraische Methoden ohne Zuhilfenahme voll Reihen- 
entwicklungen der elliptischen Funktionen^), und auch im Falle p = 11 
gelang ihm die Durchführung einer entsprechenden Theorie.^) Für die 

1) „Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen 
vom fünften Grade" (Leipzig 1884); s. auch „Über die Transformation der ellip- 
tißchen Funktionen und die Auflösung der Öleichungen fünften Grades'', Math. 
Ann., Bd. 14 (1878). 

2) „über Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen", 
Math. Ann., Bd. 14 (1878). 

3) „Über Transformation elfter Ordnung der elliptischen Funktionen", Math. 
Ann., Bd. 15 (1,879). 



Die Galoisschen Probleme bei Primzahlgraden p 265 

höheren Fälle bediente sich Klein indessen der analytischen Hilfsmittel 
der elliptischen Funktionen. 

Die Behandlung dieser Galoisschen Probleme ist in dem Werke 
„Modulfunktionen", Bd. 1 und 2 mit großer Ausführlichkeit gegeben. 
Demgegenüber nimmt die vorliegende Entwicklung die Wendung, daß 
sie sich den der älteren Theorie entstammenden algebraischen Gesichts- 
punkten enger anschließt. Es handelt sich dabei nicht um die Galoisschen 
Resolventen, sondern um die „Resolventen niedersten Grades" der spe- 
ziellen Teilungsgleichungen. Es sind dies wenigstens im allgemeinen die 
Modular- und Multiplikatorgleichungen oder, wie wir sagen werden, die 
„speziellen Transformationsgleichungen", die bei der Transformation 
höheren Grades der elliptischen Funktionen auftreten. Auch in diesem 
Gebiete haben übrigens^ wie unten näher darzulegen sein wird, die Klein- 
schen Methoden mannigfach bahnbrechend gewirkt. Ehe wir indessen 
allgemein auf die Transform ationstheorie der elliptischen Funktionen ein- 
gehen, sind noch ein paar Ausführungen über die Teilwerte der Jacobi- 
schen Funktionen sn, cn, dn nachzutragen. 

§ 5. Die Teilwerte der Funktionen sn, cn und dn. 

Die S. 240 genannten Untersuchungen von Sylow und Kronecker 
beziehen sich auf die Teilwerte der sn-Funktion und betreffen übrigens 
nur ungerade Teilungsgrade n. Die Aufgabe der Berechnung der Quadrate 
sn| unterscheidet sich vom Probleme der Berechnung der p^^^ nur dadurch, 
daß noch die Ädjimktion der Modul form Biveiter Stufe (e» — ^i) ^u voll- 
ziehen ist. Diese Adjunktion hat zunächst die Bedeutung, daß an Stelle 
von (^, g^, g^) der Körper (% kF) tritt, sowie daß andrerseits die Teil- 
werte ^^ , p\ durch die in (9) S. 238 erklärten Teilwerte nullter Di- 
mension p^ y p' zu ersetzen sind. Dann aber gelten nach (10) und (11) 
S. 238 die Gleichungen: 

12 (27p| _ 9(1 - Ä« -f k')p^^ - 2 -}- U' -f 3/.:* - 2Ä«) 



(1) 



^ 1 _ V-yk'Qc'^ - 2) 011;^^^+ (2Ä*--l)dii;^^, 



während sich die CU; , du;^ auf Grund von (16) S. 240 rational in sn* 
ausdrücken. Die Gleichwertigkeit der beiden genannten Teilungsprobleme 
geht aus diesen Gleichungen hervor. 

Gleichwohl ist es zweckmäßig, auf das Problem der Berechnung der 
sn;i^ noch etwas näher einzugehen, um die früher hierbei benutzten Me- 
thoden und Überlegungen zu kennzeichnen. Setzt man, unter n nach wie 
vor eine beliebige ungerade Zahl verstanden, t«; == in (14) S. 239 ein, 
so ergibt sich G';^\Z^) = als Gleichung (w^- 1)*«" Grades für Z-sn^^, 



266 It *• -Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 

oder als Gleichung des Grades |(w^— 1) für Z^ = sn^ ^. Diese Gleichung 
ist nur im Falle eines primzahligen n im Körper (9i, ]c^) irreduzibel. Bei 
zusammengesetztem n stellt man indessen wie S. 247 durch einen Divi- 
sionsprozeß die irrediisible, „spemelle Teilungsgleichung^^ des Grades \%{n) 
für Z^ -= sn^^^ dar, deren Lösungen die ,,eigentlich" zum Teilungsgrade n 
gehörenden Teilwerte der sn-Funktion sind. 

Die Hauptaufgabe ist nun die Bestimmung der Gruppe dieser spe- 
ziellen Teilungsgleichung, wobei man so verfahren kann: Nach (1) S. 197 



gilt die Regel: 



(2) sn 



an- 






für jedes positive ganzzahlige "a, wobei rechts eine rationale Funktion von 
sn^ mit Koeffizienten des Körpers {^,1^^) steht. Insbesondere folgt hieraus: 






sn; 



Eine einzelne vorgelegte Permutation der Galoisschen Gruppe unserer 
Gleichung möge nun sUj^ und sn^j in sn^ > bzw. sn ^ überführen, wo a, ß 
und y, ö gewisse, im Sinne von S. 218 gegen n teilerfremde Zahlenpaare 
sind. Nach den Sätzen von S. 74 über die Galoissche Gruppe einer Glei- 
chung gehen die Relationen (3) bei der fraglichen Permutation wieder 
in richtige Relationen über. Nimmt man demnach noch auf die Rela- 
tion (2) Rücksicht, so zeigt sich, daß bei der vorgelegten Permutation 
unsei-er Gruppe sn^^p in sn^^ .,. und sn^^ in sn^,.^ ,.j übergeht. Weiter 
folgt aus dem Additionstheorem mit Rücksicht auf die Formeln (16) 
S. 240 eine Darstellung von sn; . ,, „ , ,, in der Gestalt: 

als rationale Funktion von sn;^ und sn^, , mit Koeffizienten aus (JR, P). 
Als Spezialfall von (4) notieren wir: 

(5) sn;„ = i?(sn^o, suoj. 

Durch die fragliche Permutation geht nun sn;^^ in sn^^;^^^^ ^^^ s"o/< ^^ 
sn ^ über. Da nun auch die Relation (5) in eine richtige Relation 
übergeführt wird, so liest man aus (4) ab, daß su;^^ in ^li-ai+yfi, iii^6,u 
übergeht. Da die Indizes beliebig modt^ reduziert werden können, so 
finden wir, daß die einzelne Pertnutation der Galoisschen Gruppe sn^^ in 
sn^,^, überfährt, wo: 

(6) a' E= «2 + ya, ^' ^ ßl -{- dii (mod n) 

gilt und a, ß, y, d vier ganze Zahlen sind, von denen jedenfalls a, ß und 
y, d gegen n teilerfremde Paare bilden. 

Hier dürfen nur solche Zahlquadrupel a, /3, y, ö auftreten, welche 
die x(n) gegen n teilerfremden Zahlenpaare A, ^ wieder in diese %(w) 



Spezielle Teilungsgleichung für die sn-Funktion 267 

Paare A', fi überführen. Hieraus kann man den Schluß ziehen, daß 
(ccö — ßy) teilerfremd gegen n sein muß. Hätte nämlich (ad —- ßy) mit 
n mindestens einen Primfaktor p gemein, so beachte man, daß sich die 
j(^(n) Paare l, ^ mod^ auf die x{p) gegen p teilerfremden und jnodp in- 
kongruenten Paare reduzieren. Auch diese % (p) Paare müssen sich dem- 
nach bei den auf den Modul p bezogenen Kongruenzen (6) permutieren. 
Setzen wir aber in (6) das gegen ^ teilerfremde Paar A = — 7, fA = a ein^), 
so entsteht wegen ad — ßy ^0 (mod^) das nicht gegen p teilerfremde 
Paar X' = 0, ft' eez 0. Also ist notwendig (ad — ßy) teuer fremd gegen n. 

Die gesamten Substitutionen (6), in denen aö — ßyi^y. die (p(n) 
gegen n teilerfremden Zahlen durchläuft, bilden nun, wie wir wissen, 
eine Gruppe (jrny{„)(p{n)y ^^ ^^^ ^^® Substitutionen mit ad — ßy:^l (modw) 
eine ausgezeichnete Untergruppe G^„^(„) der Ordnung n%(n) bilden. In 
der G^„ ;,(«)«,(„) ist die Gdloissche Gruppe der speziellen Teilungsgleichung der 
sn-FunJction sicher enthalten. Bestimmen wir nun zunächst die Monodromie- 
gruppe für die sn^^ als algebraische Funktionen von Ä;-, so sind, wenn 
wir die Umläufe von h^ in seiner Ebene durch Periodensubstitutionen 
ersetzen, nach I, 475 die homogenevi Substitutionen der Hauptkongruenz- 
gi'uppe zweiter Stufe F^ anzuwenden. Bei Ausübung der Substitution 
T^ = — 1 wird der einzelne Teilwert sn. „ durch sn^ , „ ,, = — sn, „ er- 
setzt. Für ungerades n ist die Anzahl der mod n inkongruenten Substitu- 
tionen der homogenen Gruppe Fq gleich n%(n). Man kann nämlich zu 

jeder Substitution y' U , indem man die Koeffizienten nötigenfalls um n 

ändert, sofort eine ihr modw kongruente Substitution: 

G)^ Eris «'oj -f- ß' CO.,, «2 E^ /oj -f d\o,-,j ad' — /3'/ z 1 (mod 2n) 

angeben, die mod 2 mit 1 kongruent ist. Zu dieser Substitution gibt es 
dann aber mod 2n kongruente Substitutionen in der homogenen F^"'^ 
(vgl. S. 221), so daß umgekehrt innerhalb der homogenen F^ alle nx(n) 
inkongruenten Substitutionen mod*? vertreten sind. Diese Suhstitutionen 
liefern dann in der Tat die oben schon genannte G^ ^^-^ mit ad — ßy ^=\ 
(mod n) als Monodroniiegruppe der speziellen Teilungsgleichung. 

Was nun die auf den Körper (9ft, /:") bezogene Galoissche Gruppe 
der speziellen Teilungsgleichung betrifft, so besteht sie nach S. 74 aus 
allen Permutationen der su;^ , bei denen jede zwischen den Teilwerten 
bestehende rationale Gleichung mit Koeffizienten aus (9^, Z:-) wieder in 
eine richtige Gleichung übergeht. Tragen wir aber in irgendeine solche 
Gleichung für die sn^ und für lir die Reihen nach Potenzen von q ein 
und ordnen die linke Seite der Gleichung selbst nach Potenzen von q^ so 

1) cc und y können nicht zugleich durch p teilbar sein, weil sonst ^'^0 
mod p) infolge (6) für jedes Paar /l, ^ zutreffen würde. 



268 I> 4- I^ie Teilwerte der elliptischen Funktionen 

muß jeder Koeffizient, der übrigens eine ZaU des Körpers (9f?, s) ist, für 
sicli verschwinden. Hieraus kann man mit Rücksicht auf die Irreduzibi- 
lität der Kreisteilungsgleichung den Schluß ziehen, daß die gedachte 
rationale Gleichung zwischen den sii;^ richtig bleibt, falls sn^^ durch 
sn;^ XU ersetzt wird, unter % eine beliebige der cp (n) gegen n teilerfremden, 
mod n inkongruenten Zahlen verstanden. Die GaloisseJie Gruppe der Tei- 
lungsgleichung ist also wirMich die 6r« („^ (^^. 

Die Reduktion der Galoisschen Gruppe auf die Monodromiegruppe 
kann man nun auch mit Benutzung der „Abelschen Relationen" in fol- 
gender Art vollziehen. Ist s adjungiert und damit der Körper auf (Ül, A;^, s) 
erweitert, so ist die Abelsche Relation (12) S. 243 eine zwischen den sn^ 
bestehende Relation mit rational bekannten Koeffizienten. Eine Permuta- 
tion der sn;j , bei welcher sn;^^ in sn; ^^^^ mit z^l (modw) übergeht, 
kann jetzt der Gruppe der Teilungsgleichung nicht mehr angehören. Aus 
den Betrachtungen von S. 243 folgt nämlich: 

n-l 

^6^''" SU; ^ ., =H für z ^ 1 (mod n). ^) 

Die Abelsche Relation (12) S. 243 würde also durch eine jener Permuta- 
tionen mit X ^ 1 (mod w) nicht wieder in eine richtige Gleichung über- 
geführt, so daß jene Permutationen nach Adjunktion von s nicht mehr 
der Gruppe unserer Gleichung angehören. Nach Adjunlction von e Tcommt 
also die Gruppe der Gleichung In der Tat auf die (^„xin) ^^^^c^^- 

1) Man wolle sich in dieser Formel wie auch in der Abelschen Relation (12) 
S. 243 die nicht eigentlich zum Teilungsgrade n gehörenden sn^^ durch die Wur- 
zeln unserer irreduziblen Teilungsgleichung nach den Multiplikationssätzen aus- 
gedrückt denken. 



Zweiter Abschnitt. 

Die Transformationstheorie der elliptisclieii 
Funktionen. 

Als Ziel der weiteren Entwicklung wurde S. 265 die Untersucliung 
der Resolventen niedersten Grades der speziellen Teilungsgleichung be- 
zeichnet. Wir erweitern diese Aufgabe in der Art, daß wir auch für die 
allgemeine Teilungsgleichung nach bemerkenswerten Resolventen niederen 
Grades suchen. In der Tat werden uns solche Resolventen von den Glei- 
chungen der Transformationstheorie, den „allgemeinen" und den „spe- 
ziellen Transformationsgleichungen" geliefert. Es handelt sich hierbei 
um eine außerordentlich vielseitig entwickelte Theorie, deren Anfänge 
in das vorletzte Jahrhundert zurückreichen, deren wichtigste Grundsätze 
von Abel und Jacobi aufgestellt wurden, die aber erst im letzten Drittel 
des vorigen Jahrhunderts durch die Ausbildung der Theorie der ellipti- 
schen Modulfunktionen ihre jetzt vorliegende Gestalt gewonnen hat. 

Erstes Kapitel. 

Die Transformation 7i*'^ Grades nnd die allgemeinen 
Transformationsgleichnngen. 

Die Grundaufgabe der Transformationstheorie tritt bereits bei Euler 
und Lagrange^), und zwar bei Behandlung gewisser mechanischer Auf- 
gaben, auf. Es handelt sich in der Sprechweise der elliptischen Funk- 
tionen um die Frage, ob ein elliptisches Differential, das z als Variable 
hat, in ein anderes elliptisches Differential mit / als Variable dadurch 
transformiert werden kann, daß man zwischen s und 5' eine algebraische 
Relation vorschreibt. Es ist dies die algebraische Fassung des Transfor- 
mationsproblems, während sich die transzendente Gestalt, wie sogleich 
in § 1 ausgeführt wird, an den Begriff der doppeltperiodischen Funktion 
anschließt. Diese transzendente Gestalt bahnt in einfachster Weise die 



1) Vgl „Enzyklopädie" S. 186. 



270 n, 1. Transformation rt**° Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen 

allgemeine Lösung des Problems an. In den grundlegenden Unter- 
suchungen von Abel und Jacob i kommen natürlich beide Seiten des 
Problems zur Geltung, und zwar die algebraische vornehmlich im „Precis 
d'une theorie des fonctions elliptiques" ^) und im ersten Teile der „Fun- 
damenta nova*^^), die transzendente in den „Recherches sur les fonctions 
elliptiques" (vgl. die erste Note S. 209) und den späteren Entwicklungen der 
jjFundamenta nova^^ In neuerer Zeit pflegt man das Transfbrmations- 
problem in transzendenter Gestalt anzusetzen und die algebraische Fas- 
sung nur mehr beiläufig zu erwähnen. ^) In dieser Art soU auch hier ver- 
fahren werden. 

§ 1. Aufstellnng des Transformationsproblems und Ansatz zur 

Lösnng. 

Es seien cp(ti \ (o^, (a^) und j{;(u \ «j, cOg) zwei elliptische Funktionen 
mit fest gegebenen Perioden. Das Grundproblem der allgemeinen Trans- 
formation ist dann in transzendenter Gestalt: Unter welchen Umstän- 
den hat die Annahme einer linearen Relation u = mu -\- ^ mit konstanten 
m, ^ eine „algebraische" Relation F((py i/^) = zwischen den elliptischen 
Funktionen (p und t ^^r Folge? 

Da cp(u\co^y Og) und ^<? (u . co^, ojg) algebraisch zusammenhängen und 
ebenso ^ (u | C9j, cö^) und p (u' \ ca^, co'^), so können wir unsere Frage ohne 
Beschränkung der Allgemeinheit gleich auf ^(wlouco^) und p{u'\(o\yCo'^) 
an Stelle der Funktionen qp (w 1 co^, cog) und t/; (u \ co^^g)'^) beziehen. Weiter 
hängt p (mu -j- ^ \ (X)\, co'^) mit ^{mu \ o^, w'^) algebraisch zusammen (auf 
Grund des Additionstheorems), und es gilt, da die ^^-Funktion homogen 
von der Dimension — 2 in ihren drei Argumenten ist: 

ipimu I (d\, «;) == m-2 . ip{u I ^, ^2) . 

Setzt man demnach für — , — sogleich wieder gjI.cjI, so hat das auf- 

gestellte Problem ohne Beschränkung der Allgemeinheit folgende Gestalt 
angenommen: Unter welchen Umständen j d, h. für welche Periodenpaare 
co^f Gjg tmd G)[j cog besteht zwischen p {u j coi, cog) und <p (u \ Wj, Og) ß^we alge- 
braische Relation: 

(1) F(p (W } C3j, (O^), ^Hu I G)[f co'^)) = 

mit Koeffizienten j die natürlich von u unabhängig sein sollen? 

Schreiben wir für die beiden in der Relation (1) verbundenen ^o-Funk- 

1) Journ. f. Math., Bd. 4 (1829) oder Abels Werke, neue Ausg. Bd. 1, S. 518. 

2) Königsberg 1829 oder Jacobis Werke, Bd. 1, S. 49 ff. 

3) Man vgl. z.B. Weierstraß, „Vorlesungen über die Theorie der ellipti-- 
tischen Funktionen", Werke, Bd. 5, S. 276. 



Das Transformationsproblem in transzendenter und in algebraischer Gestalt 271 
tionen ^ und /, und bezeichnen wir zur Einführung der algebraischen 
Schreibweise des Differentials du die 5^2 W> ^2) "^^ 5^3 (^1? ^2) ^^^^ 
durch g\^ g^, so können wir unser Problem in folgende algebraische Ge- 
stalt umkleiden: Unter welchen Umständen Jcann man allgemein die Diffe- 
rentialgleicJiung : 

(2) ^' ^' 



y4.z'^g,z-g, y^z'^ - gU' - gi 

durch eine algebraische Relation F{z, z) ■== integrieren , oder wie Jcann 
das in (2) links stehende Differential mittelst einer algebraischen Funktion 
z von z in ein gleichgebautes Differential transformiert werden? 

Die Lösung des Problems wird durch folgende Betrachtung ange- 
bahnt: Die in I, 229 eingeführte Gruppe F^"^ für die Perioden Oj^, Og 
werde kurz T genannt; die entsprechende Gruppe für die Perioden oj, Og 
der zweiten ^-Funktion heiße T' . Da die Gleichung (1) in u identisch 
bestehen soll, so bleibt sie bei Ausübung der Substitutionen von JT richtig; 
und da bei ihnen (^{u ' a^^ Og) unverändert bleibt, so genügen bei ge- 
gebenem ^(li I 03^, Og) alle Funktionen: 

der Gleichung (1), wo m^, m^ alle Paare ganzer Zahlen durchlaufen. Nun 
liegt aber in (1) eine algebraische Gleichung für v>(«i j oj'^, co^) vor; man 
hat also in (3) nur endlich viele, etwa >^, verschiedene Funktionen vor 
sich. Die gesamten Substitutionen der Gruppe T, die auch (p{u \ ci\, cog) 
in sich transformieren, bilden dann eine Untergruppe des Index w, die 
durch T^ bezeichnet werden mag. Die zugehörige Zerlegung der Gruppe 
T in Nebengruppen sei: 

(4) T^r^^r^- ^(^) + r„. s^^) + • • • + r„. 8^-^\ 

wo S'^^'>=- 1, S^^\ S^^\ . . ., /S^"-^) gewisse n zweckmäßig gewählte Substi- 
tutionen von JT sind, die die n verschiedenen Funktionen (3) liefern. 

Übertragen wir den Begriff des ^,Dnrchschnittes'' endlicher Gruppen 
[ß. 8) auf Gruppen unendlicher Ordnung, so ist F^ als „Durchschnitt" 
D(F, r') der Gruppen Fund F' zu bezeichnen. Da die Gleichung (1) 
auch in p(u \ cjj, o^) algebraisch ist, so ist D(F, F) auch in F' als Unter- 
gruppe eines endlichen Index n enthalten und werde als solche F^, ge- 
nannt. Zwei Gruppen F und F' heißen nun yfiom7nensurabel'\ wenn der 
Durchschnitt />(F, F') in jeder derselben eine Untergruppe von endlichem 
Index ist. Eine algebraische Relation (1) kann ztvischen p(u ' Oj, Og) und 
p(u\cj[, Og) jedenfalls nur dann bestehen, wenn die Gruppen Fund I' 
„ko)7imensurabel^' sind. Aus den folgenden Betrachtungen wird hervor- 
gehen, daß umgekehrt die Kommensurabilität der beiden Gruppen F und 
F' auch hinreichend für das Bestehen einer algebraischen Relation (1) ist.. 



272 IIi 1- Traasformatiou w*^" Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen 

Um einen Diskontinuitätsbereich der Untergruppe F„ zu gewinnen, 
gehen wir auf das zur Gruppe F gehörende Parallelogrammnetz zurück 
und benennen, wie Fig. 47 in 1, 233 darlegt, die einzelnen Parallelogramme 
nach den zugehörigen Substitutionen. Die beiden erzeugenden Substitu- 
tionen der Gruppe u = u + cj^^ und u = ti -\- Og nennen wir wieder S^ 
und ^2- 1^3, nur n bezüglich der F„ inäquivalente Parallelogramme exi- 
stieren, so sind unter den Parallelogrammen Sq = 1, /Sg, Sl, . . ., S^ sicher 
mindestens zwei äquivalente S^ und S^'^ ^ vorhanden, wo D eine positive 
ganze, möglichst klein gewählte Zahl sei. Die letztere Angabe soll be- 
deuten, daß unter den Parallelogrammen S^, /S^'"^^, . . ., /S^'^^-^ noch nicht 
zwei bezüglich der jT^ äquivalente auftreten. Aus der Äquivalenz zweier 
Parallelogramme S und S' folgt nun auch diejenige der Parallelogramme 
S^^'S und S~"'S'. Es sind demnach die Parallelogramme Sq= l und 
S^ bezüglich F^ äquivalent, die D Parallelogramme 1, S^y /S|, . . ., Sf-^ 
aber durchweg inäquivalent; die Substitution u' = it -{- D(02 ist daraufhin 
in der F^ enthalten. 

Weiter reihen wir an das Parallelogramm 1 die Parallelogramme S^^ 
:SIj S^, ... an, bis wir zu einem Sf kommen, das mit einem der vorauf- 
gehenden 1, Sj^j S'l, .. ., Sf~^ oder mit einem der schon an 1 angereihten 
Parallelogramme S^j Slj . . ., /S^^~^ äquivalent ist. Dies tritt natürlich 
wieder spätestens für Ä = n ein. Dabei kann Sf mit keinem der Paral- 
lelogramme S^j Slf . . ., Sf~^ äquivalent sein, da sonst schon Sf~^ mit 
einem der Reihe 1, 5i, ..., S'^~^ äquivalent wäre. Also ist Sf mit einem 
der Parallelogramme 1, S^, >S'|, . . ., ^f ~^ äquivalent, etwa mit S^-^, wo 
B eine der Zahlen 1, 2, . . ., D ist. 

Man reihe nun die Ä-D Parallelogramme: 

(5) S''(-Sl^, /v=0,l,...,/t-l; r = 0,l,...,Z)-l 

ZU einem größeren Parallelogramme der Ecken 0^ Do^y ÄcOj^-{- Dc32j äcd^ 
zusammen. Von den Ä • D Parallelogrammen (5) können keine zwei ver- 
schiedene bezüglich der F^^ äquivalent sein. Soll nämlich Sl''Sl' mit 
Sf^ • S'^ äquivalent sein, wo wir ^'^^ voraussetzen dürfen, so folgt daraus 
die Äquivalenz von /Sf'~'" mit Sl""' oder auch mit >Sp''+^^, welches Par- 
allelogramm wir für v — v <0 bevorzugen. Aus der Reihe /SJ= 1, S^y 
S\j . . ., Sf~^ ist aber, wie wir wissen, nur das Parallelogramm 1 mit 
einem solchen der Reihe 1, S^, Sl^ . . ., ^f -^ äquivalent, und zwar ist es 
auch nur mit sich selbst äquivalent. Also gilt fi' ^ (i, v = Vy womit die 
Behauptung bewiesen ist. 

Von der die Punkte und Dtög verbindenden Seite des großen Par- 
allelogramms wird nun, wenn B < D ist, das durch und (Z> — B)co2 
begrenzte Stück durch die in F^ enthaltene Substitution: 



Untergruppe des Index 71 in der Gruppe F^"^ 273 

in das äquivalente, von (^Ä(d^ + ^(^2) ^^^ (^^1 + ^^2) begrenzte Stück 
der Gegenseite transformiert. Der von (D — B)(x>2 und DcOg begrenzte 
Rest aber wird durch u ^ ti -\- Äa^-r {B — D)co^ in das noch freie, durch 
die Punkte A(o^ und {Aco^ -\- Bg3^ begrenzte Stück der Gegenseite über- 
geführt. Die letzte Substitution kann man aus den beiden durch S\ und 
8'^ zu bezeichnenden Substitutionen: 
(6) u == u -\- A(o^-\- Bcj^, u = u -f- Dcog 

herstellen. Um jene entbehren zu können, schneiden v^ir vom großen Par- 
allelogramm das Dreieck der Ecken 0, Ä(o^-\- Bco^y äcj^ ab und ersetzen 
es durch das äquivalente Dreieck der Ecken Dcj^^j A(d^-\- (B -{- D)^^^ 
Aco^ + Do^' Ini Parallelogramm der Ecken 0, Dcog, Aco^-^ (B -\- D)(02f 
Aü)i-{- Bco^ haben wir nun einen Diskont Inuitätshereich der Untergruppe 
jT^ in besonders einfacher Gestalt gewonnen; die Gegenseiten dieses Paral- 
lelogramms sind durch die Substitutionen (6), die ein System von erzeugen- 
den Substitutionen der 1\ bilden, aufeinander bezogen. Dieser Satz bezieht 
sich zwar auch auf den Fall B = D. Da jedoch in diesem Falle die Seite 
zwischen und Do^ des ursprünglichen großen Parallelogramms durch 
die Substitution cd = u -f ^w^ ungeteilt in die äquivalente Gegenseite 
übergeht, so behalten wir dieses Parallelogramm unmittelbar als Dis- 
kontinuitätsbereich der r^^ bei. Es läuft dies darauf hinaus, daß die 
ganze Zahl B in (6) auf die Werte 0, 1, 2, . . ., D — 1 beschränkt ist. 

Da nun die AD Substitutionen (5) ein System bezüglich der F^ 
inäquivalenter Substitutionen bilden müssen, so ist notwendig A-D = n. 
Nehmen wir andrerseits eine beliebige Zerlegung der Zahl n in zwei posi- 
tive ganzzahlige Faktoren n = A'D und verstehen unter B eine beliebige 
der Zahlen 0, 1, 2, . . ., Z) — 1, so bilden die beiden mit diesen Zahlen 
angesetzten Substitutionen (6) die Erzeugenden einer Untergruppe r 
des Index w, deren Diskontinuitätsbereich das Parallelogramm der Ecken 
0, Dog, Aco^ -f {B -\- D)(D2, A(o^-{- Bco^ ist. Zwei verschiedenen Zahlen- 
tripeln A, B, D und A\ B\ D' dieser Art entsprechen dabei auch sicher 
zwei verschiedene Gruppen F^ und F^. Sollten nämlich dies 3 beiden Grup- 
pen gleich sein, so muß erstlich jede der Zahlen D, D' ein Vielfaches der 
anderen sein, woraus 7/ = D und also A' = A folgt. Da alsdann weiter 
in Fj^= F^ die Substitution u = u -\- {B^ — B)(d^ enthalten sein muß, so 
folgt auch noch B' = B. Damit ist der Satz bewiesen: Die Anzahl ver- 
schiedener Untergruppen des Index n in F ist gleich der durch 0(n) zu 
bezeichnenden' TeiJersmnme der Zahl n. Man gewinnt nämlich alle brauch- 
baren Paare (6) von Erzeugenden, wenn man für D der Reihe nach alle 

Teiler von n wählt, A= jj setzt und für B nacheinander 0, 1, 2, . . ., D — 1 
einträgt. 

Die gewonnenen Ergebnisse setzen uns in den Stand, einen Ansatz 

Fricke, Die elliptischen ruuktionen II 18 



274 n, 1- Transformation n*®° Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen 

zur Lösung des Transformationsproblems zu entwickeln. Als Untergruppe 
r^^ des Index n von F ist der Durchschnitt i)(jr, r") eine unserer eben 
gefundenen Gruppen, deren ^^-Funktion p{u\Äc3^-{- JB(02y Do3^ wir zur 
Vermittlung zwischen p{u\c3^, o^ und ^j{ii\g)\,(x)[^) einführen. Da 
^^ (w j cöj , cög) und ^<?(it I ö^, Og) bei den Substitutionen der F^ unverändert 
bleiben und übrigens gerade Funktionen sind, so gilt der Satz: Für die 
beiden Funktionen p(u | w^, coj und p{u j c}[, Og) mit Icommensurahelen 
Gruppen F, F' gelten Darstellungen: 

\p{u I G)\, ög) = B'{p{u 1 Ag)^ + Bfo^, Bco.^)) 

als rationale Funktioneit des gleichen Argumentes f(u \ Acd^ -\- Bco^j Bcd^)^ 
durch dessen Elimination aus den Gleichungen (7) eine algebraische Be- 
lation (1) zwischen ^(^ 1 «i, g)^) und ^ (w | co^, cog) gewonnen wird. Die Kom- 
mensurabilität der Gruppen ist demnach, wie schon oben behauptet wurde,, 
auch hinreichend für die Existenz einer Relation (1). 

§ 2. Die Repräsentanten der Transformationen ii*«° Grades. 

Eine Untergruppe I„ des Index n in der Gruppe F hat als Diskon- 
tinuitätsbereich ein Parallelogramm, dessen Ecken 0, coo, co^' + cDg, cj/ 
Gitterpunkte des ursprünglichen Netzes sind, und dessen Inhalt wmal so 
groß wie der Inhalt des Parallelogramms der Ecken 0, Og, «i + co^, Oi ist. 
Wir nehmen die Bezeichnungen oj , (o^ auf die Ecken so verteilt an, da& 
der Quotient oj' = (d[ : co^ positiven imaginären Bestandteil hat. Umge- 
kehrt liefert jedes solche Farallelogramm den Biskontinuitätsbereich einer 
Untergruppe F^ des Index n in J", die aus den beiden Substitutionen: 

(1) U' = Si\u) = U + (D.\[ (i = 1 2) 

erzeugbar ist. Die o^', Og stellen sich als Gitterpunkte des ursprünglichen 
Netzes in der Gestalt: 

(2) Oj = acj^ -{- ftcog, cog "^ ^^1 ~)~ ^^2 

mittelst ganzer Zahlen a, b, c, d dar. Da der Quotient 0'= (d[ : Og po- 
sitiven imaginären Bestandteil hat, so ist die Determinante (ad — bc) 
positiv, und da der Inhalt des Parallelogramms der Ecken 0, Og , g)[ -f ©g , (x)[ 
gleich dem w fachen Inhalte des ursprünglichen Parallelogramms ist, so 
gilt insbesondere: 

(3) ad — bc = n. 

Man kann demnach sagen: Berechnet man die coj, co^ aus den Oj, co^ nach 
(2) mittelst irgendwelcher ganzer Zahlen a^by c, d der Beterminanie w, so 
erzeugen die in (1) gegebenen Substitutionen S[, Ä eine Untergruppe des 



Die transformierten Funktionen und Invarianten 275 

Index n in F; zugleich gelangt man auf diese Weise zu allen Untergruppen 
r„ von r. 

Man sagt nun, in (2) liege eine ^^Transformation w''" Grades^' der 
Perioden tOj, co^ vor, falls a, 6, c, d vier ganze Zahlen der Determinante n 
sind. Diese Erklärung schließt den Begriff der „linearen Transformation" 
oder „Transformation ersten Grades" der Perioden, wie er in I, 184 ge- 
geben wurde, ein und verallgemeinert ihn. Symbolisch möge eine Trans- 
formation (2) durch T bezeichnet werden. Als Ziel der Transformations- 
theorie für die FunJäionen erster Stufe sehen wir die Berechnung der trans- 
formierten FunUionen^' p(u \ Oj, Og), p\u \ co^, o^) oder: 

p(u \aco-, + hco.^, cc3^ -\- dG)^, p{u \ acj^ -f hcj^, co^ -f dco^) 

und der ^transformierten Invarianten^^ 

g^iacj^ -f- hG}^, C(D^ + fZwg), gs(ßG)i + ha^, co^ -\- dco^), -/(l^i^J 

aus den ursprünglichen Funktionen und Invarianten an. Das Transfor- 
mationsproblem des vorigen Paragraphen ist dadurch ein wenig abgeän- 
dert. Die ursprüngliche Funktion p(w | cöj, cog) ist rational in der transfor- 
mierten p{ii I cl){, (»3) darstellbar: 

(4) ^o(w j »1,02) = B{p(:u j acoi + öcog, oca^ -f- dco^)). 

In (7) S. 274 liegen zwei Relationen dieser Art vor, die das gleiche Ar- 
gument der rationalen Funktionen haben. Erst durch Elimination dieses 
Argumentes ergibt sich eine algebraische Relation der Art (1) S. 270. 
Indem wir uns auf die einzelne Gleichung (4) beschränken, betrachten 
wir also nur algebraische Relationen (1) S. 270, in denen die eine der 
beteiligten ^-Funktionen linear enthalten ist. Demgegenüber haben wir 
unser Problem in anderer Hinsicht wesentlich erweitert, insofern wir die 
Aufgabe gestellt haben, die transformierten Funktionen aus den ursprüng- 
lichen zu berechnen. 

Während man nun für den einzelnen Grad n unendlich viele, abge- 
kürzt durch T = ( ' j) zu bezeichnende Transformationen hat, gibt es 

nach S. 273 doch nur endlich viele, nämlich (01) verschiedene Unter- 
gruppen F^j, unter 0(ji) die Teilersumme der Zahl n verstanden. In der 
Tat gelangen wir immer wieder zu derselben Gruppe F^, wenn wir an 
SteUe der g3^ , co!^ zwei aus ihnen durch irgendeine „lineare" Transforma- 
tion entstehende Perioden treten lassen. Alle zu derselben Gruppe P^, 
und also zu den gleichen transformierten Funktionen und Invarianten 
führenden Transformationen fassen wir in eine ,,Klasse von Transforma- 
tionen w'^" Grades^' zusammen. Sie entstehen aus einer ersten unter 
ihnen T in der Gestalt: 

18* 



276 n, 1. Transformation »i*^'* Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen 

(P.\ V T= h ^\ (^' ^\ ===-/''" + ^^'' ah-\-ßd\ 

^ ^ \y,8l' \c, d] \ya + de, yb + öd) ' 

WO V die Substitutionen der homogenen Modulgruppe PH durchläuft. 
Nach S. 273 muß in jeder Klasse eine und nur eine Transformation 
der Gestalt: 

(6) ^=(o;3' '-l-^=-«. 0£B<D 

enthalten sein, wo A, B, D positive ganze Zahlen sind, die den unter (6) 
angegebenen Bedingungen genügen. Dies ist arithmetisch leicht zu be- 
stätigen. Bei gegebener Transformation [ ' ) kann man in der Tat die 

Substitution V in einer und nur einer Art so bestimmen, daß in (5) rechts 
eine Transformation (6) vorliegt. Ist nämlich A der positiv genommene, 
größte gemeinsame Teiler von a und c, so hat man zu setzen: 

und gewinnt, da A in n aufgeht, auch in B eine positive ganze Zahl. Da y 
und d teilerfremde ganze Zahlen sind, so gibt es einfach unendlich viele 
Substitutionen V in F^"'^ mit diesen y und d als dritten und vierten 
Koeffizienten. Hat eine erste von ihnen die beiden ersten Koeffizienten 
^0» ßoy ^^ gewinnt man alle, indem man: 

«=Cfo + ^Tj ß== ßo + '^'^> (r-..., -2,-1,0,1,2,..) 

setzt und v, wie angedeutet, alle ganzen Zahlen durchlaufen läßt. Daraus 
findet man weiter: 

aa + ßc = A(aö — ßy) ^ A, ah -{- ßd = {a^h -|- ß^d) -\-vD = B 

und kann über v in einer und nur einer Art so verfügen, daß die letzte 
Bedingung (6) erfüllt ist. Wir wollen nun die eine in der Klasse enthal- 
tene Transformation (6) zum ^fBepräsentanten" der Klasse wählen und 
haben dann folgenden Satz: Bei7n Grade n hat man im ganzen 0{n), 
durch die y,Bepräsentanten^\ (6) gelieferte Klassen von Transformationen 
und entsprechend 0(n) verschiedene Systeme transformierter Fimhtionen und 
Invarianten. 

Ist t der größte gemein sauie Teiler der vier Koeffizienten a, b, c, d 
der Transformation T, so haben auch die vier Koeffizienten jeder weite- 
ren Transformation V- T der gleichen Klasse t als größten gemeinsamen 
Teiler, so daß der Teiler t als ein Attribut der Klasse anzusehen ist. Ist 
^ = 1, so sagt man, es liege „eigentliche" Transformation n^*^" Grades vor. 
Ist ^ > 1, wo alsdann n den „quadratischen'* Teiler t^ hat, so schreiben 
wir a =^ t ■ ttQ, h = t ■ Ijq^ c = t • Cq, d === t • dQ und haben: 



Die ^{n) Repräsentanten. Eigentliche Transformation >i**° Grades 277 

^2 (« e»! -f & (»2, CG}^-\-dGi^)^t-^- g^ (% GJ^ 4- \ G),, Co co^ + rfo (»2), . . ., 

Vcco-j-d/ \coCo4-rf„/ 

Sehen wir von den Faktoren t~^, ... ab, so liegt bei den Funktionen 
,,eigentliclie" Transformation des Grades y in Verbindung mit der Divi- 
sion des Argumentes u durch t vor, bei den Invarianten aber „eigent- 
liche" Transformation des Grades .^ • Sieht man auch über die Division 
des Argumentes u bei den Funktionen hinweg, so kann man den Satz 
aussprechen, daß sich die 0(;n) Fälle der Transformation n^^"- Grades zu- 
sammensetzen aus den „eigentliche^ zu allen Graden -r^ gehörenden Trans- 
formationen, ivo t^ die quadratischen Teiler von n unter Einschluß von t"=^ 1 
durchläuft 

Zur Bestimmung der Anzahl der Klassen aller eigentlich zum Grade 
n gehörenden Transformationen stellen wir zunächst fest, daß jede Unter- 
gruppe r„ des Index n eine Kongruenzgruppe n^"'' Stufe ist Benutzen wir 
nämlich die beiden in (6) S. 273 gegebenen Substitutionen S[, S'^ als er- 
zeugende Substitutionen der P^^, so sind mit ihnen auch S[^'S'^~^ und 
S[/ oder explizite die Substitutionen u => u -\- no^j v/= u + nco^ in F^ 
enthalten. Aus diesen beiden Substitutionen aber läßt sich die Haupt- 
kongruenzgruppe r^,j der n^^"^ Stufe erzeugen. Da der Flächeninhalt des 
Diskontinuitätsbereiches der JT^^- w-mal so groß wie der des Diskontinui- 
tätsbereiches der r^ ist, so ist die F^i eine Untergruppe des Index n in 
der F„, und die letztere Gruppe JT^ reduziert sich mod n auf eine Unter- 
gruppe G^^ der Ordnung n in der (r^s aUer mod n inkongruenten Sub- 
stitutionen. 

Wir sind auf diese Weise zu den Entwicklungen von S. 21 8 ff. über 
Kongruenzgruppen w*®^ Stufe in der Gruppe F(") zurückgeführt. Dabei 
stellen sich die Substitutionen der G^ in der Gestalt: 

(7) u~u + lÄcji-]-(lB-i-mD)(o^ (mod w) 

dar, unter l und m ganze Zahlen verstanden. Hieran schließt sich der 
Satz : Die G^^ ist stets und nur dann eine zyklische Gruppe, wenn eigent- 
liche Transformation n^^'' Grades vorliegt. Haben nämlich Ä, B, D den 

/ /if \ te 

gemeinsamen Teiler ^> 1, so ist sicher die 1 ) Potenz der Substitu- 
tion (7) mit der identischen Substitution mod n kongruent, so daß in 
diesem Falle die G^ keine Substitution der Periode n enthält und also 
nicht zyklisch sein kann. Haben indessen Ä, B, D keinen Teiler^ > 1 



278 11,1. Transformation V*"» Grades u. allgemeine Transformationsgleicliungen 
gemein, so weist man in der G^ leicht eine Substitution: 

(8) u' ^ u -\- Ac3^-\- (B -\- mD)(o^ (mod n) 

der Periode n nach. Man zerlege nämlich A in das Produkt Ä^ ■ A^, 
wo in Ai alle Primfaktoren von A zusammengefaßt sind, die auch in D 
aufgehen, und wo also A^ teilerfremd gegen D ist. Hieraus folgt, daß 
man m als ganze Zahl entsprechend der Kongruenz: 

5^+mZ)E-l (mod ^2) 

bestimmen kann. Dann ist (B + mD) teilerfremd gegen A^. Da aber 
eine in A^ aufgehende Primzahl auch in ß aufgeht und deshalb B sicher 
nicht teilt, so ist (B-\-mD) auch teilerfremd gegen A^ und also auch gegen 
A. Die beiden ganzen Zahlen A und (B -{■ mD) bilden also im Sinne von 
S. 218 ein gegen n teilerfremdes Paar, so daß nach den dortigen Sätzen 
die Substitution (8) die Periode n hat. Die G^ ist also jetzt zyklisch und 
gehört zu den i}^(n) schon S. 220 betrachteten Gruppen G„. 

Umgekehrt lieferte jede der ^(m) Gruppen G^ eine Kongruenzunter- 
gruppe r^j die als Untergruppe des Index n zu unseren bei der Trans- 
formation n*°" Grades eintretenden F^ gehört, und die, als einer zykli- 
schen G^ entsprechend, eigentliche Transformation n*®"^ Grades liefern 
muß. Mit Rücksicht auf die Entwicklungen von S. 220 ff. ist also der fol- 
gende Satz festgestellt: Die eigentlich zum Grade n gehörenden Transfor- 
mationen bilden ip(n) Klassen; die entsprechenden Gruppen F^ sind in der 
der F(") ausgezeichnet ^ aber in der tertiären Gruppe jT^"»"'^ miteinander 
gleichberecMigt. 

Zum Grade tj gehören hiernach ii^{jA Transformationsklassen im 
eigentlichen Sinne. Ist n rein quadratisch, so tritt auch der Repräsen- 
tant A = D = Yn, B = auf, der die lineare Transformation liefert. 
Unter dem bisher noch nicht erklärten Symbole ^(1) hat man demnach 
den Wert 1 zu verstehen. Aus den berechneten Anzahlen der Trans- 
formationsklassen ergibt sich daraufhin die Regel: Die Teilersumme ^(n) 
stellt sich in den ganzen Zahlen f durch die Gleichung: 

(9) 0(n) = ^t{^) 

dary wo sich die Summe auf alle quadratischen Teiler f von n bezieht^ 
unter Einschluß von 1^=1. 

§ 3. Die allgemeine Transformationsgleichuiig der ^-Funktion. 

Unter den jp(n) eigentlich zum Grade ^^ gehörenden wesentlich ver- 
schiedenen Transformationen nennen wir die durch A =71, B=0, D = \ 
.gegebene die ^^erste Haupttransformation", während die Zahlen A = \ 



Die 'if){n) Klassen eigentlicher Transformation n**" Grades 279 

B = 0, D = n die ,yZiüeite Eaupttransformation'^ liefera mögen. Die Dis- 
kontinuitätsbereiche der zugehörigen Gruppen sind leicht herstellbar. Für 
die erste Gruppe r„ hat man n Parallelogramme des ursprünglichen Netzes 
zu einem größeren Parallelogramme der Ecken 0^ 0.2, nco^ +052> **^i ^^' 
sammenzuordnen. Die beiden Haupttransformationen sind natürlich keines- 
wegs vor den übrigen Transformationen ausgezeichnet. Indem man statt 
der (D^j (Dg in geeigneter Weise linear transformierte Perioden einführt, 
wird man jede beliebige Transformation in den neuen Perioden z. B. als 
erste Haupttransformation schreiben können. Umgekehrt geht aus den 
z. B. bei der ersten Haupttransformation eintretenden Größen: 

(1) iD{u I nc3,, Ö2), . . . , 5'2(w«i, Ö2); y A^^) 

das System der Größen irgendeiner anderen Klasse von Transformationen 
einfach durch eine geeignete „lineare^^ Transformation der Perioden in 
der Gestalt: ^^^^ | ^^^^ j_ ^ß^^^ ^^^ _^ ^^^^^ ^ ^ 

hervor, entsprechend der Gleichberechtigung der i/;(w) Gruppen r„ inner- 
halb r^"'^\ Bei dieser Sachlage darf man sich auf die Betrachtung der 
Haupttransformationen beschränken und könnte unter ihnen sogar eine, 
z. B. die erste, bevorzugen. 

Im Diskontinuitätsbereiche der zur ersten Haupt transformation ge- 
hörenden Gruppe jT^ ist p(u\g)^,c)2)=p(u)^) eine 2w- wertige gerade Funk- 
tion, die dieserhalb eine rationale Funktion w*®"" Grades: 

(2) p (u) = R(j)iu\nc3^j CO2)) 

von p{u I wo?!, ^2) ^^^' ^^^ Gleichung w*®° Grades für die transformierte 
^-Funktion aufgefaßt, bezeichnen wir diese Gleichung als die „allgemeine 
Transformationsgleichung'^ der p-FmiUion für die erste Haupttransforma- 
tion w'^" Grades. Sie hat die n Lösungen: 

(3) ^(m + ^«1 : no^, C3^), (/ = 0,1,2,...,«-1) 

und ist irreduzibel in jedem Körper, der aus (tR, io{u\ 'p'{u),g^jg^ durch 
Adjunktion irgendwelcher von u unabhängiger Größen entsteht. 

Die Theorie dieser allgemeinen Transformationsgleichung ist nun 
bereits in den Entwicklungen von S. 225 ff. über die allgemeine Teilungs- 
gleichung vollständig enthalten. Die beiden zu den Haupttransforma- 
tionen gehörenden Gruppen I\ sind im Sinne von S. 224 „komplemen- 
tär"; auch die beiden Haupttransformationen mögen deshalb „komple- 
mentär" heißen. Die aufeinanderfolgende Ausübung der beiden Haupt- 
iransformationen führt zu/r Division. Üben wir nämlich auf <p{ii\n(o^,co^ 
die zweite Haupttransformation aus, so gelangen wir zu: 

1) Sind Perioden der Funktionen p, ^', 6, . . . nicht besonders angegeben, 
so sind immer ©i, Wg als solche gedacht. 



280 II, 1- Transformation w^"' Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen 

Hatten wir nun oben den Satz gefunden, daß die allgemeine Teilungs- 
gleichung nach Adjunktion der Teilwerte durch zwei zyklische Glei- 
chungen w'^" Grades lösbar ist, so werden wir jetzt leicht erkennen, daß 
die hei den aufeinander folgenden Haupttransformationen eintretenden lei- 
den Transformationsgleiehungen n^^"' Grades unmittelbar als jene heiden 
zyläischen Eesolventen der allgemeinen Teilungsgleichung angesehen werden 
Jcönnen. 

Man erinnere sich, daß unter den in (3) S. 226 eingeführten W^ (u) 
die (n — l) Funktionen ^^^^(w) der zur ersten Haupt trän sformation ge- 
hörenden Gruppe P„ angehören. Die Berechnung dieser Funktionen 
^Q (?/) aus p{u)y p\u) geschieht aber auf Grund von (19) S. 230 nach 
Adjunktion der Teilwerte mittelst einer einzigen Wurzel n*®" Grades. Es 
besteht nun einfach der Satz, daß nach AdjunUion dieser n^"^"^ Wurzel tmd 
also der "^Fq (u) die Wurzeln (3) der allgemeinen Transformationsglei- 
chung (2) rational hehannt sind. 

2 in 

Man bilde nämlich mittelst der Einheitswurzel s = e " aus den Lö- 
sungen (0) der Transformationsgleichung die Summe: 

n-l 

(4) ^s^- '" p (ti -f- Xco^lnco^, CO.;,), 

;. = o 

unter ^ eine Zahl der Reihe 0, 1, 2, ... , (n — 1) verstanden. Die Summe 
(4) bleibt bei Vermehrung von u um (o^ unverändert, bei VermehruDg 
von u um o^ geht sie in sich selbst, multipliziert mit 6"''^, über. Für 
(1 = liegt also eine Funktion der Perioden coj, «2 vor, die im ursprüng- 
lichen Parallelogramm einen einzigen, bei u = gelegenen Pol zweiter 
Ordnung mit den Anfangsgliedern der Reihenentwicklung: 

n-l 

hat. In diesem Falle ist also die Summe (4), abgesehen vom Absolut- 
gliede der eben angegebenen Reihe, mit der Funktion p(u) identisch: 

71 — 1 n — l 

(P) ^9{^ + lG)^\n(0^,G)^) = p{u) +^P(Ac9i|?^C0i, K>2). 

/. = ?.■■=! 

Die rechts stehende Summe gestattet Darstellung durch die Teilwerte 
der ^-Funktion. Man hat nämlich in p{mi\n(D^, o^ eine Funktion der 

Perioden oj^, «g mit ii Polen zweiter Ordnung an den Stellen w = 0, -^ , 
-"* , • • • , -^ des Periodenparallelogramms. An der einzelnen Stelle 



Beziehung der transformierton ii?-Funktion zu den ^-'"^^(t*) 281 

^ wird n^p{nu\nG)^,(D2} = p(u\g)^, ~\ genau so unendlich, wie die 

unter (5) S. 211 eingeführte Funktion ^^o,-xOO "^ 9o>i--Ä'^)- Demnach 
ist die Differenz: „_] 

n^p(nu\ na^ , co^) — ^ pQ (u) 

eine von ii unabhängige Größe, für die man aus dem Absolutgliede der 

Reihe nach Potenzen von u den Ausdruck — ^Vou abliest: 

/« = i ' 

n — l 

n^p(nu ! wc3i, cag) = p(;u) + ^(fou^:^) ~ ^ J- 
Setzt mau u = — -, so folgt: 

n — \ ii—l 

Pilo, I »^G3l, G^a) = ^^ (^ p^_^^ -^^^^o,«) * 

^/ = jM = 1 

Bildet man diese Gleichung für 1 == 1, 2, . . ., (n — 1) und addiert aUe 
{n — \) so entstehenden Gleichungen, so folgt bei zweckmäßiger Zusam- 
menfassung der rechts stehenden Glieder: 

n-l n-l 

/. = 1 ;.,,u // = i 

wo sich die erste Summe rechts auf alle inkongruenten Zahlenpaare mod n 
unter Auslassung der Kombination. 1 = 0, jli = bezieht. Nach (8) S. 247 
ist diese Summe gleich 0, da für jeden Teiler von n die im eigentlichen 
Sinne zugehörigen Teilwerte verschwindende Summe liefern. Es besteht 
also die Gleichung: 

n-l 71—1 

(ß) 2 Pi^^l I **«1. (^2) = - l^ Po,u , 

und die Relation (5) schreibt sich um in: 

n — 1 71 — 1 

Bedeutet ^ in der Summe (4) eine der Zahlen 1, 2, . . ., (n — 1), so 
hat das Produkt dieser Summe und der Funktion 'P'o^^(^f) zufolge (4) 
S. 226 die Perioden cd^ und ca^; und zwar stellt dieses Produkt eine drei- 
wertige Funktion mit einem Pole dritter Ordnung im Punkte u = dar. 
Es gilt also für ^1=^0 der Ansatz: 

n — l 

^Oi.W '^s''"p(u H- Xo3,\na),,co2) == Ä(piu) — p^ ^ -f B(^p{u) —pQ^t), 



282 n, 1. Transformation w**^^" Grades n. allgemeine TransformationsgleicliTingen 

wobei sogleich noch benutzt ist, daß das Produkt im Nullpunkte u = ^' 

von Wq (u) verschwinden muß. Zur Bestimmung der von tt unabhängigen 
Faktoren benutzen wir die Anfangsglieder der Potenzreihe nach u für 
das Produkt, die nach (5) S. 22ß lauten: 

Es ergibt sich für die Summe (4) die Darstellung: 

^Ou, , 1 , 

« - 1 5 - (P (u) — Po ^) - Y ^^ ^^^ ~ ^\t ) 

(8) y^, s^^^ <p{u^X(o^\ ncD^, (D^) = ~^' — - 



i = 



^O^W 



Der Faktor von p(u) im Zähler rechter Hand gehört, wie S. 232 festge- 
stellt wurde, dem Körper {% g^, g^, p^^, p^^) an. 

Durch Auflösung der Gleichungen (7) und (8) gewinnt man nun für 
die einzelne Wurzel der Transformationsgleichung die Darstellung 

(9) p{u 4- Aö^jWöi, tög) 



-^(k«)-11.o.+^-^''5L 



*»"("^ 



Es sind also die Lösungen der allgemeinen Transformationsgleichung (2) 
nach Adjunktion der in der ersten Gleichung (19) S. 230 stehenden n^^ 
Wurzel zum Körper (fR, p{ii), p'iu), g^^g^y Pxu7 Pif.^ rational bekannt. Da 
•sich umgekehrt die Funktion Wq^^{u) zufolge: 



6/ 



<io) -^oM^ -' 



Oft 

^ s^^^ p{u -\- X(o^\n(o^, öjj.) 



als im „Galoisschen Körper" der Transformationsgleichung (2) enthalten 
erweist, so ist unsere obige Behauptung über den algebraischen Cha- 
rakter dieser Gleichung bewiesen. 

Die entwickelte Gestalt der Transformationsgleichung (2) kann man 
aus (5) ableiten. Indem man zur Vereinfachung der Schreibweise vor- 
erst — statt coi einträgt, kleidet sich die Gleichung (5) in die Gestalt: 



^(^ i 1' ' ^2) = ^W +^ fe.o(^')-~ Pxo)' 



Im Falle eines ungeraden n schreiben wir hierfür: 



Wirkliche Anfstellung der allgemeinen Transformationsgleichung 283 



«-1 

2 



Ist hingegen der Transformationsgrad n eine gerade Zahl, so ergibt sich 
entsprechend: 



n — 2 



Nun folgt z. B. aus der Gleichung (6) S. 216, faRs man Z und Z' wieder 
als p-Funktion schreibt und 2w an Stelle von u einsetzt: 

während das Additionstheorem (4) in I, 203 zur Umformung der einzel- 
nen Glieder der Summen die Gleichung liefert: 

Man findet für ungerades n: 



(11) ^(^|-^, .,) = K-) +2 -"- ~--27^(.)- 

sowie für gerades n: 

(12) -iz? 



9^p^^ — -gs 



^^1 (FW — Fao) 



Mittelst des Ersatzes von ö^ durch ncoi erhält man aus (11) bzw. (12) 
die Transformationsgleichung (2) selbst. Die Koeffizienten sind dann 
zwar noch nicht (wie wir nach dem Ausdrucke (9) der Lösungen er- 
warten sollten) in den g^j g^ und den ursprünglichen Teilwerten ausge- 
drückt, sondern stellen sich in denjenigen Größen dar, die aus g^^ g^ und 
den (pj^Q durch die erste Haupttransformation hervorgehen.^) 



1) Im Falle eines geraden n ist e^ der zu X = — - gehörende Teilwert p. ^ , 

während e« e„ = -^ ist. 
4q 



284 n, 1- Transformation ?**•'" Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen 

§ 4. Transformation n*^" Grades der Sigmafnnktiou. 

Die eben bei der ^-Fuuktion befolgte Art, die Transformationsglei- 

cliiing anzusetzen, bestand darin, daß zunächst ^<?ut — , oog) als rationale 

Funktion von <p{u \ ca^, ojg) ^'ai Darstellung kam. Beim Übergänge vom 

ursprünglichen (p{ii\Gd^, oj^ zu <P\u\—,(oA handelt es sich um die 

zur ersten Haupttransformation inverse Operation. Diese Art, die Trans- 
formation M*®^ Grades anzufassen, ist besonders geeignet bei der 6- Funk- 
tion und den '^'-Funktionen, weil hier zur Entwicklung der aufzustellen- 
den Relationen die Sätze aus I, 21 7 ff. über ganze elliptische Funktionen 
dritter Art Verwendung finden können. 

Um dies zunächst bei der S-Funktion auszuführen, stellen wir fest, 

daß 5 [u j -", (oA eine ganze elliptische Funktion dritter Art ist, die bei 

Vermehrung von u um co^ und g)^ bzw. die Faktoren annimmt: 

e — e " • , 

Hier bedeuten rj[j r/^ die zu den „transformierten Perioden" (x)[ = ^, 
Og = «2 gehörenden Perioden dos Integrals zweiter Gattung: 

(1) Vi = Vi{^[y O - %{^> »2) ; * = ^'2 

und die Bezeichnungen |u,, v sind im Sinne von 1,21 7 ff. gebraucht. Diese 
Größen ft, v stellen sieb in den Perioden wie folgt dar: 



(2) 






»32 .. ^2 «2 






Die Nullpunkte der Funktion gIuI^^co^) im Periodenparallelo- 
gramm sind nun bei w = 0, ^^ , ^- , • • -, -^-^^^-^ gelegen, so daß nach 
(13) in 1,221 anzusetzen ist: 

(3) s(«f-«,)=c.«—|76(« -'■-:■), 



;. = o 



wo A, B, G von u unabhängig sind. Zur Berechnung von Ä dient die 
Gleichung (10) in I, 220. Man findet, indem man A als Funktion der 
Perioden durch G^i(öi, «2) oder kurz durch G^ bezeichnet: 

A = G^{(o^, «2) = - livii^i- V2^h) = 4^r^(^ViVi-ViV2)7 



Transformation w*"* Grades der 6-Funktion 285 

wofür man auch schreiben kann: 

(4) A= G,= 4 --> ^(«»1% • ^Wi - «2^1 • f^'i V2) ■ 

Setzt man nun (auf Grund der Legendreschen Relation) erstlich: 

(0^7]^ = 2i:t -f- ß>2%, ^1% ^ ^*^ ^" ^Wl 
und sodann zweitens: 

in die rechte Seite von (4) ein, so gelangt man nach kurzer Zwischen- 
rechnung zu den beiden folgenden Ausdrücken für Ä = G^: 

(5) A = G,{o,„ CO,) = -/', - |5'- = Ji - ^"^ ■ 

Eine dritte Darstellung von Ä = G^ durch ^-Teilwerte folgt unten; übri- 
gens haben wir in ^^^(föi, «2) ®"^^ wichtige Modulform w*'-"^ Stufe der 
Dimension — 2 gewonnen, die später noch wiederholt zu betrachten 
sein wird. 

In die Gleichung (14) in I, 221 ist entsprechend den Nullpunkten 
der Funktion (3) und den Werten (2) der fi^v einzutragen: 

I . , n—l 

'^\ + V^-i + V„ = -^—^if 

und übrigens natürlich m = n. Es ergibt sich m^ = 0, m.^ = 0. Da man 
übrigens leicht das Zutreffen der Gleichung: 

zeigt, so bestimmt sich ^ == - ^ 7^^. Auf Grund der in (l) I, 450 ge- 
gebenen Erklärung der Funktionen 'o-^ (li) kann man den Exponential- 
faktor e^" mit dem Produkte in (3) rechts zum Produkte der n Funktio- 
nen v5^o(w) zusammenfassen. Der Faktor C bestimmt sich endlich aus den 
Anfangsgliedern der Reihen nach Potenzen von ii. Man gelangt zu dem 
Ergebnis: Die durch die zur ersten Haupttransformation inverse Operation 
umgeformte (3-Funktion stellt sich in den Funldionen 6^o(w) und ihren 
Nulliverten wie folgt dar: 

(6) S(«|^,«,,)=/-.".s,„)|-J.^^. 

Durch Logarithmierung und zweimalige Differentiation folgt aus (6) 

n-l 

PW 5 , «2) = - 2G^i -f p(u) -f- ^^^;.o(w). 



286 Hl 1- Transfoimation w***" Grades u, allgemeine Transformationsgleichungen 
Nach S. 282 aber gilt: 



«-1 



^ (^ r?' '^^) == ~ ^^'^0 + ^ w + ^f^xoi^) • 



X=l i^l 



Der Vergleich mit der voraufgehenden Gleichung liefert demnach noch 
den Satz: Die Größe Crtico^j (o^) stellt sich in den p-Teilwerten des w*®"" 
Teilungsgrades so dar: 



(7) (?iK,«».) = l2'^;. 



« — 1 



X=l 



% 5. Transformation zweiten Grades der Thetafunktionen. 

Bei den Funktionen der älteren Theorie, die zu den Stufen 2, 4, . . . 
gehören, bringt das Transformationsproblem in seiner in § 1 entwickelten 
allgemeinen Fassung sachlich nichts Neues, da die Funktionen der zwei- 
ten Stufe mit denen der ersten algebraisch zusammenhängen und also 
eine algebraische Beziehung zwischen Funktionen erster Stufe eine eben- 
solche zwischen den zugehörigen Funktionen der Stufen 2, 4, . . . zur 
Folge hat. Formal ist zu bemerken, daß die Argumente v und w der d-- 
Funktionen und der Funktionen sn, cn, dn mit u durch die Gleichungen 
zusammenhängen: 

(1) ^ = 1:' iv = iiye,~-e„ 

wo der Faktor von u in der letzten Gleichung nach 1,473 eine Modul- 
form vierter Stufe ist. Geht man demnach von co^, o^ zu den transfor- 
mierten Perioden (2) S. 274, während u unverändert bleibt, so ändern sich 
gleichwohl die v und tv^ indem sie übergehen in: 

(2) "'-e.Td' «*'' = ^«'. 
WO der Faktor M von w der Quotient: 

ye^ — t'i {(0, , ©2) 

des transformierten Wertes der Modulform Ye^ — e<^ und des ursprüng- 
lichen Wertes ist. M ist der bei der Transformation eintretende „Multipli- 
kator" des Integrals erster Gattung w^ von dem Jacob i zeigt, daß er 
einer gewissen algebraischen Gleichung genügt. Wir kommen späterhin 
auf diese „Multiplikatorgleichung" für die Transformation n^^ Grades 
zurück. 

Die erste Haupttransformation yi^^ Grades läßt sich, wenn n eine 
zusammengesetzte Zahl n^ • n^ ist, ersetzen durch die Aufeinanderfolge 
der beiden entsprechenden Transformationen der Grade n^. n^. Es steht 



Transformation zweiten Grades der Thetafanktionen 287 

UDS also freiy aus dem Grade n zunächst die höchste in dieser Zahl ent- 
haltene Potenz 2* von 2 auszusondern und die Transformation des 
Grades 2*' durch v-malige Ausühung der Transformation zweiten 
Grades zu ersetzen. Wir behandeln demnach, wie es für die Funktionen 
zweiter Stufe auch schon bei der Teilung zweckmäßig erschien, die Trans- 
formation zweiten Grades für sich und schließen dann die Transformation 
ungeraden Graden an. 

Bei den -0-- Funktionen folgen wir zunächst der Entwicklung, die in 
§ 4 auf die Funktion 6(w) angewendet wurde, d. h. wir üben auf die vier 
Funktionen '9',,(i', q) die zu den Transformationen inversen Operationen 
aus und versuchen, die entstehenden Größen in den ursprünglichen d-- 
Funktionen auszudrücken. Die fraglichen Ausdrücke werden gewonnen 
auf Grund der Sätze in I, 420 ff. über Thetafunktionen erster und höherer 
Ordnung mit beliebigen Charakteristiken. 

Im Falle des ziveiten Grades bedeutet die zur zweiten Haupttrans- 
formation inverse Operation den Übergang von o^ zu — bei unverändei'- 

ten Uy (o^. Infolge (1) handelt es sich hier also um den Übergang von 
Vj q zu 2Vj cp. Dieser Übergang läßt sich aber auch so auffassen, daß er 
die Kombination der ersten Haupttransformation und der Multiplikation 
des Argumentes u mit 2 ist. Die Hinzunahme der Multiplikation hat zur 
Folge, daß die umgeformten Funktionen wieder die Perioden der ursprüng- 
lichen erhalten und dadurch in den letzteren ausdrückbar werden. Dieser 
Auffassung folgend pflegt man als erste Haupttransformation zweiten 
Grades den Übergang von v, q zu 2i;, q^ bezeichnen, während bei der 

zweiten Haupttransformation und der noch fehlenden dritten Transfor- 

1. ^ 1 

mation q durch q^ bzw. iq^ ersetzt wird, beide Male bei unverändertem 

V. Es gilt nun also die drei Systeme zu je vier Funktionen: 

(4) ^^(ßv.q'), ^Mqi), ^M^Q:')^ ^=«'^'^'^ 

in den ursprünglichen d- auszudrücken. 

Aus den Formeln (19) in I, 419 folgt bei Ersatz von v und (o durch 

2v und 2«: ^^^^^^ ^ ^^^ ^^.^ _ _^ ^-2^-4...-^^(2t;, q'\ 

wo rechts für v = und 1 das negative, für v = 2 und 3 das positive 
Zeichen gilt. Da ferner jede '^--Funktion bei Vermehrung des Argumen- 
tes V um 2 unverändert bleibt, bestehen die Gleichungen: 

^X^{v + l\q')==^,{2v,q'). 

Im Sinne der in I. 428 aufgestellten Erklärung sind hiernach die vier 
Funktionen ^,.{^v, q^) „allgemeinem^ ThetafunMionen zweiter Ordnung 6'^l(v) 
der vier Charakteristiken (0,1), (0,1), (0,0), (0,0). Zu einem ähnlichen 



288 II, 1. Transformation n^^"^ Grades u. allgemeine Transformationsgleicliungen 

Resultate gelaogt man bei dem zweiten und dritten Quadrupel (4). Man 
knüpfe, um das Verhalten bei Vermehrung von v um co festzustellen 
bzw. an: c^^^^ _^ go, e^*''") = q-^e-'^-'^^'d-Xv, e^^""^), 

ersetze cd durch „ bzw. -^— und gelangt durch Fortsetzung der Über- 
legung zu dem Ergebnis, daß auch die acht noch fehlenden Funktionen 
(4) „allgemeinem^ ThetafunMionen zweiter Ordnung d^^l{v) sind. Die Charakte- 
ristiken des zweiten Quadrupels (4) sind aber der Reihe i» == 0, 1, 2, o nach 
(0,0), (1,0), (1,0), (0,0) und die des dritten (0,0), (1,1), (1,1), (0,0). 

Nach I, 429 ff. sind somit die zwölf transformierten Funktionen (4) 
durch die Quadrate und zweigliedrigen Produkte die vier ursprünglichen 
'^--Funktionen darstellbar, deren Verteilung auf die vier Charakteristiken 
(g, h) in I, 429 unten angegeben ist: Bei der Charakteristik (0,0) darf 
man irgend zwei der vier Quadrate '^•^(v)^ für die Darstellung zugrunde 
legen. ^) Bei den anderen drei Charakteristiken (^, h) aber beachte man, 
daß immer ein Produkt ^fX'^)^X'^) eine gerade, das andere eine ungerade 
Funktion darstellt. Unter den zwölf Funktionen (4) sind übrigens die 
vier mit v ^ 1 ungerade, alle übrigen aber gerade. 

Dem Ansätze der gesuchten Darstellungen schicken wir noch ein 
paar Relationen zwischen 'ö'-Null werten voraus. Die Nullwerte der drei 
geraden -S'-Funktionen sind nach (18) in I, 418 durch die Produkte dar- 
stellbar: 



(5) 



».--= 



/J(l-2'"')]7^1-2^"'-T, 



m = l /re = 1 

00 00 



Durch Multiplikation der ersten und dritten Gleichung folgt: 

00 00 00 00 

m = 1 m = l m = l jn = 1 

WO sich rechts die Produktentwicklung von '9'o(</^)^ eingefunden hat. 
Entsprechend gewinnt man: 



1) Bei einer ohne zweites Argument geschriebenen Funktion Q'y{v) gilt stets 
q als zweites Argument. Ebenso ist bei einem ohne Argument geschriebenen Null- 
werte Q-y als Argument g zu denken. 



Transformation zweiten Gradea der Thetafunktionen 289 

00 00 

«> m = l m = l 

00 00 

w = 1 m = 1 

WO rechts die Produktentwicklung von y-O-g^g'^/ steht. Auf diese Weise 
erhält man die Relationen: 

•deren dritte eine unmittelbare Folge der zweiten ist. 

Man bilde nun nach den Regeln von I, 429 ff., die sich auf den 
Hermiteschen Satz gründen, zunächst die Ansätze: 

<7) »,i2v,q') = a»,(v)»M, »,{2v,q') = b»,{vf + c»,{vy, 

WO die a, h, c von v unabhängig sind. Vermehrt man in der zweiten 
Gleichung v um j, so bleibt '^'3(2^, q^) nach I, 419 unverändert, während 
sich d-^(v) und d'^iv) austauschen; es gilt also c^h. Vermehrt man v um 

~, so folgt aus (7) nach I, 419 bei Fortlassung der rechts und links 

übereinstimmend auftretenden Faktoren: 

Jetzt setze man v = in die erste Gleichung (7) und die zweite Glei- 
chung (8) ein und findet so: 

Mit Benutzung von (6) ergibt sich somit: 

Für die mittelst der ersten Haupttransformation umgeformten ^•-lunldionen 
gelten also folgende Darstellungen in den ursprünglichen d'(v): 

(9) 2»,{q')»,{2v,q')^»,{yy-»,{vy, 
l 2»,{q^»,{2v,q')^»,{yr + »,{v)\ 

Von den Funktionen ^\vj q^) haben die beiden ersten die Charakte- 
ristiken (0,0) und (1,0), so daß die Ansätze gelten: 

(10) #, U S = a^,{vy + hM^r, ^1 U q') = c^,{v)»,(v). 
Vermehrt man in der ersten Gleichung v um y> ^^ kommt für die linke 

Flicke, Die eUiptischen Fnnktioiieii II 19 



290 11,1. Transformation n**° Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen 

Seite die auf -- statt co umgeformte erste Gleichung (19) in I, 419, für 

die beiden rechts stehenden Funktionen aber die Tabelle daselbst zur 
Verwendung. Man findet nach' Fortlassung überflüssiger Faktoren: 

so daß a = h gilt. Bei Vermehrung von v um | folgt aus (10): 

(11) »,{v,q^) = a{&,{v)' + ^,{vf), ^,{^,q'')=-c^,{v)^,{v). 

Durch Eintragen von i? = in die erste Gleichung (10) und die zweite 
Gleichung (11) ergibt sich wieder mit Benutzung von (6): 



». 



(/^) 1 . »A^') 



kL^Y "'*' ^AS 



Für die durch die zweite Haupttransformation umgeformten ^'-Funktionen 
hat man also folgende Darstellungen in den ursprünglichen %'{v)'. 



(12) 



An SteEe der zweiten und dritten Gleichung kann man auch schreiben: 



(13) 



{^) ''^'' ' ^AS 



Endlich trage man in die erste und vierte Gleichung (12) und in die 
Gleichungen (13) statt « noch cö + 1 ein und bediene sich bei der Um- 
rechnung der Reihenentwicklungen (17) und (20) in I, 418 ff. Man wird 
leicht zu folgendem Ergebnis gelangen: Die durch die noch fehlende Trans- 
formation zweiten Grades umgeformten ^--Funktionen stellen sich in den 
ursprünglichen ^•{v) so dar: 



(14) 






^s{ig^)^,{v,iq^) = »,(vy + i&,{vy 



§ 6. Transformation zweiten Grades der Funktionen sn, en und dn. 

Auf die Berechnung der transformierten Werte der von den Perio- 
den allein abhängenden Modulfunktionen gehen wir erst in den späteren 
Kapiteln ein. Um indessen über die Transformation zweiten Grades der 



Transformation zweiten Grades des Integralmoduls Ö91 

Funktionen sn, cn und dn abschließende Angaben machen zu können, 
sind schon hier einige vorläufige Notizen über die Transformation des- 
selben Grades der Integralmoduln und ihrer Wurzeln zu machen. 

Nach I, 419 stellen sich die vierten Wurzeln aus dem Integralmodul 
h^ und dem komplementären Modul Tc^ = 1 — ¥ in den 'Ö'-NuUwerten 
so dar: 

und sie sind hierdurch als eindeutige Funktionen von o erklärt. Setzt man 
im Quotienten der dritten und vierten Gleichung (9) S. 289 für v den Wert 
ein, so folgt bei Übergang zu den Integralmoduln auf Grund von (1) : 

Ebenso findet man aus der ersten und vierten Gleichung (9) S. 289: 

Es gilt also der Satz: Die durch die erste Haupttransformation zweiten 
Grades umgeformten Integralmoduln stellen sich in den ursprünglichen 
Moduln wie folgt dar: 

(2) 1/^(2«.) = ^, *(2<») = r^, *'(2-)=fi4- 

Um entsprechende Gleichungen für die zweite Haupttransformation 
aufzustellen, kann man entweder an die Gleichungen (12) und (13) S. 290 

anzuknüpfen oder in den eben aufgestellten Gleichungen - an SteUe von 

(ö eintragen und nach h ( y j und ]/^' f -|- j lösen. Die mittelst der zweiten 

Haupttransformation zweiten Grades umgeformten Integralmoduln stehen 
zu den ursprünglichen Moduln in der Beziehung: 

Die dritte Transformation zweiten Grades betrachten wir hier nicht be- 
sonders. 

Die Wirkung der Transformationen zweiten Grades auf die Funkti- 
onen sn, cn und dn liest man nun aus den Formeln (9) ff. S. 289 leicht ab. 
Wir nehmen in diese Funktionen neben iv die Quadratwurzel des Integral- 
moduls Ti^ als zweites Argument auf ^) und fassen die Formeln (28) in 



1) Ißt bei den Modulfunktionen k, k\ Yk, ]/k' ein Argument nicht angegeben, 
so ist stets fö als solches hinzuzudenken. 

2) So oft ein solches Argument nicht angegeben ist, gilt der ursprüngliche 
Wert k als zweites Argument. 

19* 



292 n, 1. Transformation w**"** Grades u. allgemeine Transtbrmationsgleichungen 
I, 420 durch die Proj)ortion zusammen: 

I sn {w, h) : cii{w, h) : dn (w, Ä;) : 1 

Die Wirkung der ersten Haupttransformation (vereint mit der Multipli- 
kation) auf V und (o ist nun v' = 2t;, o' = 2w. Für das Argument w^ 
das sich nach I, 388 und (21) in I, 419 so darstellt: 



(5) w = tiye., — e^ ^vco^Ve^ — e^= ^'^^ly 
ergibt sich also die Transformation: 

(6) w' = 27CV ^^{q'y-= 2w[^^y^ (1 + ¥)w, 

wie man mit Hilfe der für v = gebildeten letzten Gleichung (9) S. 289 
und der zweiten Gleichung (1) feststellt. Die Wirkung der ersten 
Haupttransformation auf Ic aber ist unter (2) angegeben. Die Proportion 
(4) ist demgemäß umzuformen in: 

3n((l + k')w, \--^:) : cn((l + ]c')u; [=|) : dn((l + k')w, [" J) : 1 

■9,{q')»,(q')»,i2v,q'). 
Man drücke nun die rechts stehenden transformierten -O^-Funktionen 
nach (9) S. 289 durch die ursprünglichen aus, führe auf Grund von (1) 
und (4) die Moduln und Funktionen sn, cn, dn ein und ersetze noch die 
transformierten Moduln nach (2) durch die ursprünglichen. Die rechte 
Seite der letzten Proportion nimmt dabei die Gestalt an: 

(1 -{- k')9nw(inw: (cn w;- — h'sn w^) : , _ry'(^' 4- dn w^) : dn w. 

Im zweiten und dritten Gliede schreibe man noch (1 — sn^) für cn^ und 
(1 — Jc^ sn^) für dn^. Unter Spaltung der Proportion in drei Gleichungen 
findet sich der Satz: Die mittelst der ersten Haupttransformation umge- 
formten Funktionen sn, cn und dn stellen sich in den ursprünglichen 
Funktionen so dar: 

sn ((1 +h)w, ^^^^) = (1 + fc ) --^-~ , 

cn((l + h )W, j :j;-^.) ^ , 

j In I T\ 1— *'\ 1— (1 — *')snw' 
(dn((l + h )w, j _p^) 3^^^ 

Diese Formeln liefern die sogenannte Landensche Transformation}) 



0) 



1) Vgl. die Landensche Abhandlung „An investigation of a general theorem 
for finding the length of any arc of any conic hyperbel etc.", Philosoph. Transact, 
Bd. 65 (1775) oder „Math. Mem." (London 1780) Bd. 1, S. 33. 



Landensche und Gaußsche Transformationen 293 

Die anderen beiden Transformationen zweiten Grades gestatten eine ganz 
entsprechende Behandlung. Wir notieren nur noch das Ergebnis: Die 
durch die zweite Haupttransformation umgeformten Funldionen sn, cn und 
dn stellen sich in den ursprünglichen Funktionen und Moduln so dar: 

/,. , ,. 2|/Ä\ (1+Ä:)8nw; 

ldn((l +;<■)««, ^-^-j)= Y+k^o'- 
Diese Gleichungen bilden die sogenannte Gaußsche Transformation}) 

§ 7. Transformation ungeraden Grades der Funktionen 
zweiter Stufe. 

Es sei endlich der Transformationsgrad n eine beliebige ungerade 
Zahl. Beschränken wir uns auf die beiden Haupttransformationen, so 
haben wir entsprechend der bei n == 2 befolgten Methode zunächst die 
transformierten Thetafunktionen : 

(1) d'^{nv,q-), K\^,qVy . = 0,1,2,3 

in den ursprünglichen darzustellen. Die Ansätze zur Lösung dieser Auf- 
gabe gewinnt man wie im Falle n = 2. 

Man folgert erstlich aus den Gleichungen (19) in I, 419: 

d-^{nv + noy q^) = + q-"e-^"'*''*d-^(nv, q% 

wo die rechts gültigen Vorzeichen aus den eben genannten Gleichungen 
zu entnehmen sind. Aus diesen Vorzeichen geht hervor, daß die %-^(nv,q^) 
als Thetafunktionen ?**"" Ordnung die Charakteristiken (0,1), (1,1), (1,0), 
(0,0) besitzen. 

Zur Behandlung des zweiten Quadrupels (1) knüpft man an die aus 
(19) in I, 419 für beliebiges ungerades n leicht ableitbare Regel: 

^^v + ww, g) = ± 2-"'e-2''^^»>^,(v, 5), 

wo wieder dieselben Vorzeichen gelten wie in den genannten Formeln. 

Schreibt man statt o, so folgt: 

^,(v + 03, qV = + 5-«e-2«'-^-'^,,(r, q^) , 



1) Vgl. Gauß' Abhandlung „Determinatio attractionis, quam in punctum quod- 
vis positionis datae exerceret planeta etc.", Göttinger Abhandl., Bd. 4(1818) oder 
„Werke", Bd. 8, S. 331. 



294 n, 1. Transformation ri**"" Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen 
während sich andrerseits unmittelbar: 



^^U + 1, g«) = ±^.U^V 



ergibt. Man findet, daß auch das zweite Quadrupel (1) Thetafunktionen 
n^^ Ordnung der Charakteristiken (0, 1), (1, 1), (l/O), (0, 0) darstellt. 

Die Ansätze für die Darstellung der beiden Systeme transformierter 
Thetafunktionen in den ursprünglichen d-(v) werden durch die Kegeln 
von 1, 430 ff. geliefert. Für die vier in Frage kommenden Charakteristiken 
sind daselbst je n linear-unabhängige Ausdrücke in den Funktionen -9*^ (v, q) 
gebildet, in denen die einzelnen transformierten Funktionen jeweils linear 
und homogen darstellbar sind. Für die beiden Funktionen ^Q(nv, q") und 

d'Q\v, q^J kommen nur die geraden Ausdrücke der Charakteristik (0, 1) 
in Betracht. Dies sind die —jj— Produkte: 

welche in der Zusammenstellung von I, 430 (unten) an erster Stelle ge- 
nannt sind. Man hat also die beiden Ansätze: 



(2) 



2 



wo die Koeffizienten a, h von v unabhängig sind. 

Statt für die übrigen drei transformierten Funktionen jedes Quadru- 
pels (1) ähnliche Ansätze auf demselben Wege aufzustellen, kann man 
diese Ansätze auch durch Umrechnung aus (2) gewinnen. Zur ^^-Funk- 

tion gelangt man von %'q aus durch Vermehrung von v um — • Erstlich 
ergibt sich aus der Tabelle in I, 419 leicht: 

n 

womit man die erste Gleichung (2) umzurechnen hat. Für die zweite 
Gleichung (2) knüpfe man an die für jede ganze Zahl m gültige Gleichung: 

#0(1; -f TWfij, q) = (- l)"'g-"»'e-2'«^^»>o(?;, q). 
Man setze hier m =\{n—l) und vermehre v um — , wodurch man erhält: 



Transformation ungeraden Grades der Thetafunktionen 295 

und weiter, wenn man statt o einträgt: 

Die Wirkung der Vermehrung von v um „ auf die rechten Seiten 

der Gleichungen (2) ist direkt aus der Tabelle in 1,419 feststellbar. Man 
erhält aus (2) die weiteren Ansätze: 

n-l 



(3) 






wo die a und & dieselbe Bedeutung haben wie in (2). Durch Vermehrung 
von V um -| gelangt man von (2) und (3) aus zu entsprechenden Ansätzen 
für die transformierten Funktionen #3 und d-.^. 

Von den Koeffizienten ergeben sich a^ und ?>q aus (2), indem man 
V = einträgt: / ix 







Ebenso kann man aus (3) für lim v = unter Berücksichtigung des aus 
1,418 ff. sich ergebenden Anfangsgliedes: 

^ife 2) = 'ö-; . i; + • • • = ^^0^2^^^ + '■' 

der Reihe von ^^(v) nach Potenzen von v die Bedeutung der beiden 
letzten Koeffizienten entnehmen. Die Rechnung führt auf: 



(5) 



a„_i = (-l) 



"" 2^ *, ^oir) ^iir) ^,{r) 



&» &. * 



t ^s 



K-1 _ joki)3Miisl«^ 



J.WCÄ Ä Übrigen Koeffizienten a, h sind rational mit rationalen Zahlen- 
Jcoeffidenten durch die ursprünglichen und transformierten %--Nullwerte dar- 
stellbar. Man findet nämlich z.B. zum Zwecke der Berechnung der a bei 
Division der ersten Gleichung (3) durch die erste Gleichung (2): 

(6) {-Vf^yTm{iv\l) = 



n— 1 
2 



2 



296 II, 1. Traneformation w*^" Grades u. allgemeine TiansformationsgleichungeD 

WO das Argument w' und der transformierte Integralmodul l gegeben 
sind durch: 

Multipliziert man in (6) mit dem Nenner nach links herauf und ent- 
wickelt rechts und links nach Potenzen von w, so gelangt man durch 
Gleichsetzung der Koeffizienten gleicher Potenzen rechts und links zu 
Gleichungen, aus denen man mit Benutzung der schon bekannten Werte 

dof Cin-i die übrigen Koeffizienten bestimmen kann. 

„__ 

Arbeitet man bei diesen Rechnungen an Stelle der O-^-Funktion mit 
den d'^- und -ö-g-Funktionen, so erscheint die Funktion snw durch anw 
bzw. dn w ersetzt. Man gelangt so zu zwei neuen Arten die Koeffizienten 
darzustellen und erhält durch Gleichsetzung der Ausdrücke, die man für 
ein und denselben Koeffizienten findet, Belationen zwischen den ursprüng- 
lichen und den transformierten d'-Nullwerten}) Auf die algebraische Natur 
dieser -^-Relationen wird am Schlüsse des vorliegenden Bandes eingegangen.. 

Eine andere Art die Koeffizienten a, & zu bestimmen benutzt die 
Nullpunkte der transformierten O'-Funktionen. So verschwindet z. B. die 

j 2 3 n 1 

Funktion -0". (nv. q") für ?; = — , — , — , • • •, — Aus (3) entnimmt 

man demnach ein System homogener linearer Gleichungen: 
«.*. (1)"+«.^. (:-)""^«(^)^+ • • • + a^^ ^, (I) ^„(1)"-'= 0, 

wo ^ die Werte 1, 2, . . ., w — 1 durchläuft. Nachdem a^ aus (4) be- 
reits bekannt ist, könnte man versuchen, diese Gleichuugen zur Berech- 
nung der übrigen a zu verwenden. Dieser Weg führt alsdann zu Rela- 
tionen, in denen neben den ursprünglichen und den transformierten 
-d-- Nullwerten auch „Teilwerte^^ der '»•-Funktionen auftreten. 

Die beschriebenen Rechnungen sind übrigens nur für ganz niedere- 
Transformationsgrade durchführbar. Das Hauptinteresse der Transforma- 
tionstheorie hat sich denn auch wesentlich von den „allgemeinen Trans- 
formationsgleichungen", zu denen z.B. auch die Gleichung (6) gehört^ 
abgewandt und den in algebraischer und arithmetischer Hinsicht weit 
interessanteren „speziellen Transformationsgleichungen" zugekehrt, denen 
die transformierten Modulfunktionen und Modulformen genügen. Zu diesen 
Gleichungen gehören auch die unten noch ausführlich zu betrachtenden 
Jacobischen Modular- und Multiplikatorgleichungen. 

1) Relationen dieser Art haben sich in großer Zahl im Nachlasse von Gauß 
gefunden; vgl. die Fragmente IV und V in Gauß' „Werken'*, Bd. 3 S. 461 ff. In neuerer 
Zeit hat sich mit diesen Thetarelationen insbesondere M. Krause beschäftigt; siehe 
dessen „Theorie der doppeltperiodischen Funktionen einer veränderlichen Größe** 
(Leipzig 1895), Bd. 1 S. 177 ff. 



Thetarelationen. Übergang zu den speziellen Transfonnationsgleichungen 29T 

Zweites Kapitel. 

Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art 

n*«"* Stufe. 

Wendet man die Transformation n*^" Grades auf die von den Perioden 
©1, Wg allein abhängenden Modulfunktionen und Modulformen an, so ent- 
stehen Größen, die mit den ursprünglichen Funktionen bzw. Formen wieder 
algebraisch zusammenhängen. Diese algebraischen Relationen nennen wir 
„spezielle Transformationsgleichungen'^ Sie entsprechen den speziellen 
Teilungsgleichungen und sind, wie schon gelegentlich bemerkt wurde, 
im allgemeinen, d.h. von einigen besonderen Transformationsgraden ab« 
gesehen, die Resolventen niedersten Grades der speziellen Teilungs- 
gleichungen. Wegen der beziehungsreichen und ausgedehnten Theorie 
dieser speziellen Transforraationsgleichungen erscheint es zweckmäßig, 
die Betrachtung zunächst auf die Transformation der Funktionen erster 
Stufe ^7(03), ^2(^1; ^2)7 9s(^i) ^2) ^^^ ^(^i> ^2) einzuschränken; nur 
sollen zugleich auch die Wurzeln der Diskriminante A, soweit sie ein- 
deutige Modulformen liefern, zugelassen werden. 

Bei den algebraischen Einzelausführungen über diese speziellen Trans- 
formationsgleichungen bedürfen wir noch der Kenntnis gewisser Systeme 
elliptischer Modulformen n^^^ Stufe, deren man sich bei allen tiefer grei- 
fenden Untersuchungen über Transformation der Funktionen erster Stufe 
mit Vorteil bedient. Es werden jene Systeme von Modulformen geliefert 
von gewissen Systemen ganzer elliptischer Funktionen n^^^ Stufe dritter 
Art, deren Theorie namentlich in gruppentheoretischer Hinsicht auch an 
sich bemerkenswert ist. Die Kenntnis dieser Funktionssysteme verdankt 
man der Abhandlung von Klein „Über die elliptischen Normalkurven 
der /^*®'^ Ordnung und zugehörige Modulfunktionen w*®'" Stufe^'^) sowie 
derjenigen von A. Hurwitz „Über endliche Gruppen linearer Substitu- 
tionen, die in der Theorie der elliptischen Transzendenten auftreten".^) 
Eine ausführliche Besprechung der fraglichen Funktionssysteme findet 
man in „Modulfunktionen" Bd. 2, S. 236 If. Die Darstellung des vorliegen- 
den Kapitels beschränkt sich auf das für die weitere Entwicklung un- 
bedingt Notwendige. 

§ 1. Teilwerte und Wurzeln der Diskriminante A. 

Um die späteren Entwicklungen nicht zu unterbrechen, werden zu- 
nächst einige Beziehungen zwischen den Teilwerten und den Wurzeln der 

1) Abhandl. der Sachs. Gesellsch. d. Wiesensch. zu Leipzig, Bd. 18 (1885). 

2) Math. Ann., Bd. 27 (1886). 



298 n, 2. Systeme ganzer elliptischer FunktioDen dritter Art n^^ Stufe 

Diskriminante z/ aufgestellt. Aus (9) in I, 268 ergibt sich die Produkt- 
entwicklung: 

n\ 5(-) - _ ^ sin ^'^ rT a~«^^g'^)(i-«"^g^^) 

v = l ^ 

WO der Teilungsgrad n der Deutlichkeit halber als oberer Index an der 
Bezeichnung 6 angebracht ist. Man nehme n ungerade, setze der Reihe 

nach /A = 1. 2, 3, . . ., — ^r — und bilde das Produkt der entstehenden 

n-l _ 

Gleichungen (1), wobei sich das Produkt der Sinus zu 2 ^ ]/t^ zu- 
sammenfaßt : 



n-l 

2 „_i n-l 



fK = (- 1)^ ' y^n^ 



2nv 



^t = 1 r = 1 

Schreiben wir die transformierten Perioden in der Gestalt: 

(2) «l = öl, «2 = 5 

und nennen z/' die zugehörige Diskriminante ^(oi, Og), so ergibt sich 
aus der Produktentwicklung (6) in I, 313 der Diskriminante: 



yi=v«(f:ri7(i 



(1-9 



2v\n 



Für jedes ungerade n besteht also zwischen der Diskriminante und den 
(j'Teilwerten die Beziehung: 

n-l 

(3) ^=(_i;-i^jj6-. 

Die ^'-Funktion läßt sich durch die 6-Funktion in der Gestalt: 
darstellen. Für den Teilwert p^ folgt hieraus: 






(re) 
0,2^ 



^0^. - ^ /^0,,\* ((j^P^ 



m' 



— 1 



Man setze f* = 1, 2, . . ., — ^ — und bilde das Produkt: 

n— 1 »—1 



Beziehungen zwischen der transformierten Diskriminante und den Teilwerten 299 
Aus den Formeln (4) und (6) in I, 451 leitet man nun leicht die Regel 
^o"i- i ^ ^0*^ ^^- -^^^ letzten Faktoren im Zähler des eben angegebenen 
Produktes 6o „_i, ^o.n-s? • • • kann man demnach durch (Dq^^ (Jq^^ . . . 
ersetzen und findet so: 

w — 1 / n — 1 

Aus (3) folgt also der weitere Satz: Für jedes ungerade n besteht zwischen 
der DisJcriminante und den p -Teilwerten die Beziehung: 

(4) t/i=#'- 

Endlich leitet man aus der Gleichung (14) in I, 217 leicht: 



2^. - fOi 









'0^ 



ab. Es sei nun die ungerade Zahl n teilerfremd gegen 3. Lassen wir 
II wieder die Zahlen 1, ' 
die zweiten Indizes auf: 



II wieder die Zahlen 1, 2, 3, . . ., ~~ — durchlaufen, so treten im Zähler 



o /» Q 3n — 9 3n — 3 

o, o, y, • • •, 2 1 ~~2 

Reduziert man diese Indizes mod n auf ihre absolut kleinsten Reste, d. h. 

auf Zahlen der Reihe ^— , -— , • • ♦, H — ^, so werden keine 

zwei gleich oder entgegengesetzt, wie leicht festgestellt wird. Der ein- 
zelne 6-Teilwert erfährt hierbei höchstens einen Zeichenwechsel. Lassen 
wir ein sich hier einstellendes, jedoch weiterhin nicht zur Benutzung 
kommendes Vorzeichen der Kürze halber unbestimmt, so ergibt sich aus 
(3): Für jeden ungeraden gegen 3 teilerfremden Grad n hesteht zwischen 
der Diskriminante J und den ^-T eilwerten die Beziehung: 



w n 



±1 



/7(^o,2^.-a^) 



Für ein gerades n bilden wir aus (1) das Produkt: 

(1 — ^2"vy 



w-2 

2 



n sr; = s- 17 (6;;>y = - (^-)"- 77 sin ^" J7 Jr^:^ • 



300 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n^""" Stufe 

Das rechts stehende unendliche Produkt ist wieder in einfacher Weise 
durch die Diskriminante darstellbar: Für jedes gerade n hesteht zwischevh 
der Diskriminante und den (5- Teilwerten die Beziehung: 

(6) y~i--^^^An^r. 

Hieraus folgt weiter: 




(7) 1/Z2=-C|/^)»(tä"QoV) 

Nun ergibt sich aus einer in I, 452 aufgestellten Gleichung: 

T' = 1 

woraus man durch Vergleich mit der ersten Gleichung (14) in 1,456 die 
Folgerung zieht: 

Trägt man diesen Ausdruck für die zweite Klammer auf der rechten Seite 
von (7) ein, so zeigt sich, daß diese rechte Seite das Quadrat einer 
eindeutigen Modulform darstellt. Man kann also nochmals die Quadrat- 
wurzel ziehen^) und findet: Für gerades n besieht zwischen der Dishri- 
minante und den 6-Teilwerten die Beziehung: ^_, 



5 7li 



2 



(8) 'fj'j = ± e^ (T^)^ (s;t Qil' V2) H K . ■ 

fi = 1 

Die Bestimmung des rechts zutreffenden Vorzeichens möge der Kürze 
halber wieder übergangen werden. 

Die transformierte Diskriminante z/' == z/ (coi, — j wird durch die 

Substitutionen der durch y^O (modw) erklärten Kongruenzgruppe F^^^y 
der w**" Stufe in sich übergeführt. Bei diesen Substitutionen bleibt 
also sowohl die Form (3) als die Form (8) bis auf eine multiplikative 
248te Einheitswurzel unverändert. Die bei der einzelnen dieser Formen 
wirklich auftretenden Einheits wurzeln reproduzieren sich ihrerseits gegen- 
über Multiplikation irgend zweier unter ihnen; es handelt sich also um 
die t Einheitswurzeln eines Grades t, der ein bestimmter Teiler von 24 ist. 
Zerlegen wir nun die Substitutionen der rL(„) in t Klassen, indem 
wir in die einzelne Klasse alle Substitutionen hineintun, die die Form 
(3) bzw. (8) mit dem gleichen Faktor versehen, so ist leicht einzusehen, 

1) Ohne das Gebiet der eindeutigen Modulformen zu verlassen (vgl. I, 450). 



Beziehungen zwischen der transformierten Diskriminante und den Teilwerten 301 

daß wir die t Nebengruppen einer in der r^^^) ausgezeichneten Unter- 
gruppe JT^^^,,) vor uns haben, deren zugehörige Quotientengruppe eine 
zyklische G^ ist. Diese ausgezeichnete F^w/(„) besteht dann aus allen Sub- 
stitutionen, bei denen die fragliche Modulform unverändert bleit)t. 

In dem weiterhin zu bevorzugenden Falle eines ungeraden n müssen 
wir die Gruppe F^^/^^ noch näher bestimmen. Wir betrachten zunächst 
die Modulform (5) und stellen fest, daß {Pq^2u~ Pqu) durch eine Sub- 
stitution y' A mit y ^ (mod n) in (^'^0,2;«^ ~" ^o,iud) übergeführt wird. 
Nun ist d teilerfremd gegen y und also gegen n. Die — r — Zahlen 
d, 2dj 3d, . . ., — - — d darf man ohne Änderung der ^-Teilwerte mod n 

auf ihre absolut kleinsten Reste reduzieren. Von diesen Resten sind dann, 
eben weil d teilerfremd gegen n ist, keine zwei gleich oder entgegen- 
gesetzt. Da unsere ^-Teilwerte aber auch bei Zeichenwechsel der Indizes 
unverändert bleiben, so bleibt das in (5) rechts stehende Produkt über- 
haupt unverändert: Im Falle eines ungeraden gegen 3 teilerfremden n ist 
die in (5) dargestellte zwölfte Wurzel des Diskriminantenquotienten eine un- 
mittelbar zur T^{^n) g^^örende Modulform n^"" Stufe. 

Etwas umständlicher ist die Feststellung des Verhaltens, welches 
das in (4) rechts auftretende Produkt: 

gegenüber einer Substitution mit 7 = (mod n) annimmt. Da 

gilt, so bleibt das Produkt unverändert oder es erleidet Zeichenwechsel, 
je nachdem bei Reduktion der ~ Zahlen d, 2d, 3d, . . ., ^~~d auf 

ihre absolut kleinsten Reste mod w die Anzahl der hierbei auftretenden 
negativen Reste gerade oder ungerade ist. 

Um diese Anzahl und damit das fragliche Vorzeichen festzustellen, be- 
merken wir, daß nur für eine Primzahl n alle -^^ Faktoren (9) „eigent- 
lich'^ zum w**^ Teilungsgrade gehören. Ist n zusammengesetzt, so gehören nur 
2 ^ (^) Faktoren (9) eigentlich zum Grade w, nämlich diejenigen p^ , bei 
denen ^ teilerfremd gegen n ist. Ist aber r irgendein Teiler von w, so treten 
in (9) auch die zum Teilungsgrade r gehörenden Teilwerte p^^j p^^, . . ., 

^^ r - 1 auf, und zwar j (p (t) unter ihnen als „eigentlich" zum Grade t 

' 2 

gehörig. Wir erschöpfen aber das ganze Produkt (9) gerade genau, indem 
wir T alle Teiler von n durchlaufen lassen, unter Einschluß von n und 



302 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n^*"" Stufe 
Ausschluß von 1, und für jedes r die eigentlich zu diesem Grade gehörenden 

\(p{t) Teilwerte ^^i? ^02? - • -yf't-i zulassen. 

°» 2 
Bei. einer Substitution mit y^Q (modw) geht nun jedes dieser Pro- 
dukte zu je \ q) (t) Faktoren in sich über oder erleidet nur einen Zeichen- 
wechsel. Das von uns gesuchte Vorzeichen aber ist einfach das Produkt 
aller den einzelnen t entsprechenden Vorzeichen. Um beim einzelnen r 
dieses Vorzeichen zu bestimmen, reduzieren wir die ^€p(r) Produkte ^f* 

mit gegen t teilerfremden Zahlen ^ der Reihe 1, 2, . . ., mod t auf 

ihre absolut kleinsten Reste und sehen nach, ob unter diesen Resten eine 
gerade oder ungerade Anzahl negativer vorkommt. Da nach Zeichen- 
wechsel der negativen Reste wieder die \ cp (r) anfänglichen Zahlen jt vor- 
liegen, so gilt für das Produkt der l-(p{r) Zahlen d^ die Kongruenz: 

S\'''''nt^^±n(^, (modr), 

wo rechts das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem die Anzahl der 
negativen unter jenen absolut kleinsten Resten gerade oder ungerade ist. 
Damit haben wir aber das Vorzeichen erreicht, welches wir für das auf r 
bezogene Teilprodukt der ^'-Teilwerte suchen. Indem wir noch durch die 
gegen x teilerfremde Zahl IJ^i heben, findet sich für das Vorzeichen: 

(10) dh^'^^±\ (modr). 

Um diese Kongruenz zu verwerten, stellen wir den Satz auf: Ist die 
ungerade Zahl m das Produkt m = m^- m^ zweier von 1 verschiedener 
teilerfremder Zahlen m^, mg, so ist stets: 

(11) di^^"^ = l (modm), 

faUs 8 teilerfremd gegen m ist. Nach dem verallgemeinerten Fermatschen 
Satze 1) gilt nämlich: ^^ (,„j _ ^ ^^^^ ^j ^ 

Da aber (p{7yi)==q)(m^'(p{m^ gilt und 95(^2) eine gerade Zahl ist, so folgt: 

^i9'(-)_(ö9(-x))|y(m,)_^ (modmO. 

Da die gleiche Kongruenz auch für den Modul m^ gewonnen wird, so ist 
der Satz (11) damit bewiesen. 

Für die Potenz p^ einer ungeraden Primzahl p gilt qp(pO=jP''~^^(i?)> 
so daß man findet: 



1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, „Vorles. über Zahlentheorie", 4. Aufl., S. 38. 



Bestimmung eines Vorzeichens durch das Symbol ( — | 305 

Das hier gesuchte Vorzeichen ist dasselbe, wie dasjenige der Kongruenz: 

{dY^^^)p'~'^±l (modp), 

wofür wir, da die in der großen Klammer stehende Zahl mod^ mit + 1 
kongruent ist und_p^~^ eine ungerade Zahl bedeutet: 

1 ^~J 

dY^^^^d 2 = + 1 (modi?) 

schreiben können. Das hier gesuchte Vorzeichen ist also einfach das 

Legendresche Zeichen l—j aus der Theorie der quadratischen Reste.^) 

Zufolge (11) brauchen wir von den Teilprodukten des Produktes (9) 
nur die zuzulassen, welche sich auf Teiler r der Gestalt p^ beziehen, wo 

dann jedesmal das gesuchte Vorzeichen ( ~ ) ist. Ist aber p'' eine höchste 

in n aufgehende Primzahl, so haben wir x der Reihe nach gleich jp% 
p^~^, . . ., p^, p zu setzen und also die eben genannte Regel v Male an- 
zuwenden. Hieraus ergibt sich das Vorzeichen des Produktes (9) als 

Produkt der Faktoren ( — j bezogen auf alle Primteiler von n. Damit 

aber sind wir zum Legendre- Jacobischen Zeichen^) geführt und gewinnen 
den Satz: Die für ein ungerades n in (4) dargestellte achte Wurzel des 
Diskriminantenquotienten wird durch Ausübung einer Substitution mit 
y = (mod n) in: 

(12) ^ Ol/| 

transformiert, wo (— ) das Legendre-Jacdbische Zeichen ist. 

Da man die 24^*® Wurzel (3) als Quotienten der beiden Formen (4) 
und (5) darstellen kann, so folgt aus den über diese letzteren Formen 
aufgestellten Sätzen: Für die ungeraden, gegen 3 teilerfremden n nimmt 
die in (3) dargestellte 24*^^ Wurzel des DisJcriminantenquotienten bei Aus- 
übung einer Substitution mit y^O gleichfalls den Faktor (-A an. Weitere 
Sätze über diesen Faktor folgen später. 

§ 2. Einführung der ganzen elliptischen Funktionen dritter Art 
^ter Ordnung X^ (w|(oi, C02). 
Unter co^, o^ verstehen wir auch weiterhin die transformierten 
Perioden (2) S. 289 und bezeichnen die zugehörigen Perioden des Normal- 
integrals zweiter Gattung durch: 

ni = Vi (g5i, ~) = 'niip\i «2); *=^'' 



1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, a.a.O., S. 104. 

2) Vgl. Dirichlet-Dedekind, a. a. 0., S. 78. 



304 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n^""" Stufe 
Die entsprechend der Gleichung (5) S. 285 gebildete Größe: 

^^) ^1 (^1 ^ ^^s) - ^^; - 2 «^ - ^^ - 2 ^^ 

ist eine Modulform n^^'^ Stufe, die durch die ^-Teil werte in der Gestalt: 

n-l 

darstellbar ist. Diese Gleichungen gehen aus (5) und (7) S. 285 ff. ein- 
fach durch die mit T bezeichnete Substitution ( ' ) der homogenen 

Modulgruppe F^'"^ hervor, wobei in Betracht zu ziehen ist, daß die 
Perioden des Integrals zweiter Gattung sich zu den coj, coo „kogredient" 
substituieren. 

Ist nun zunächst n eine beliebige ungerade Zahl, so bilden wir 
für die transformierten Perioden die Funktion 6^"^^ (u\co\f (o^) und be- 
haupten, daß sie den Charakter einer Modulform n^^"" Stufe hat, 
d.h. daß sie bei Ausübung einer Substitution \ ^ \) der Hauptkongruenz- 
gruppe n^^^ Stufe unverändert bleibt. Für die transformierten Perioden 
rechnet sich die Substitution auf ( _\ A um, bei der die fragliche 
6-Funktion nach (3) in I, 451 übergeht in: 

Die rechts stehende Funktion ist aber nach (4) in 1,451 wieder mit 
(o^^\{u\(x)\, col) identisch. Man hat bei der erforderlichen Rechnung nur 
zu berücksichtigen, daß n ungerade sein soUte, und daß bei geradem /3 
auch {a — 1) gerade sein muß. Wir fügen noch einen mit G-^ aufgebauten 
Exponentialfaktor hinzu und haben auch in: 

(3) «-«."-s<>io,;,<o;) = e-«.»'S<»'„(«i«,„^) 

einen Ausdruck, der den Charakter einer Modulform »^*®'" Stufe hat. 
Im FaUe eines geraden n reihen wir an (3) den Ausdruck an: 

(4) 6-'''«'S«";„„.(« i 0,;,«,;) = «-'-'■■ "=s','4„,„ {u \ «„ -') , 

wo (tj in der bisherigen Bedeutung gebraucht ist. Als Funktion der 
Perioden w^, cog hat auch dieser Ausdruck die Eigenschaft der Invarianz 
gegenüber den Substitutionen einer gewissen Kongruenzgruppe. Jedoch 
ist es nicht erforderlich, die Stufe genauer festzustellen. 

Die Ausdrücke (3) und (4) gewinnen nun, wie der Erfolg zeigen 
wird, gruppentheoretisch ein besonders einfaches Verhalten, wenn wir sie 



Einführung der Funktionen X;^(t*|wj, Og) 305 

noch mit )/z/'z/ multiplizieren, A' im Sinne von § 1 gebraucht. Nach 
(4) S. 299 ist bei ungeradem n\ 

(5) f5=rz-^(M-"^-' 

unmittelbar eine Modulform n*®"" Stufe. Wir wollen demnach bei unge- 
radem w genauer den Faktor }/z/' A (yz/)"» hinzuzusetzen, wo n^ die kleinste, 
nicht-negative, der Kongruenz: 

(6) „„^_!Lti (mod4) 

genügende ganze Zahl ist. In dem für uns wichtigeren Falle eines un- 
geraden n haben wir dann auch nach Zusatz des genannten Faktors Aus- 
drücke mit dem Charakter der Modulformen n^^^ Stufe vor uns.^) Wir 
fügen unseren Ausdrücken außerdem noch numerische Faktoren hinzu, 
die den Zweck haben, die durchzuführenden Rechnungen zu vereinfachen. 
Als abkürzende Bezeichnung benutzen wir 'X^{u\Gi^^ci^^ und zwar setzen 
wir für ungerades n: 

(7) X, (ulco,, a>,) ^ ^ VJ'-J {j/JT-e- ''.«'6<«'„ [u \ co„^) , 
während für gerades n die Erklärung gelten soll: 

Wächst A um n, so erfährt zufolge (4) in I, 451 der 6 -Faktor in 
(7) Zeichenwechsel, während der in (8) den Faktor i annimmt. Es ist 
die Folge der aufgenommenen numerischen Faktoren, daß die Gesamt- 
ansdrücke in (7) und (8) rechts bei Vermehrung von X um n in sich 
selbst übergehen: 

(9) ^;.+„(w I coi, (Dg) = X^Xu I »1,032). 

Wir haben deshalb in jedem Falle im ganzen höchstens n verschiedene 
Funktionen Xq, Xj, X^, . . ., X^_^. 

Man setze für G^ den zweiten Ausdruck (1) ein und rechne die 
5-Funktionen in (7) und (8) auf die 0-- Funktionen, gebildet für die 
transformierten Perioden, um. Im Falle eines ungeraden n gelangt man 
zur -O-^- Funktion auf Grund von (9) in I, 416; bei geradem n führt die 
Tabelle in I, 419 zur -Ö-g- Funktion. Die Rechnung, deren Einzelheiten 
wir übergehen, ergibt: 



1) In der S. 297 genannten Abhandlung von Klein wird die Form (5) un- 
mittelbar als Faktor benutzt. Indem wir negative Potenzen der Diskriminante 
grundsätzlich meiden, werden die später zu erklärenden Modulformen v}""" Stufe 
unmittelbar ganze Modulformen sein. 

Fricke, Die elliptischen Funktionen II 20 



306 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n*^'' Stufe 

(10) X,= i-iyy^i/2(V2)'"e^^''\-''^'-q^»,{^^, i"), 
bezogen auf ungerades w, während sich bei geradem n anreiht: 

(11) x,=]/|f^.-^%--"^^ ^3(^—^,9-)- 

Setzt man schließlich die Thetareihen (16) in I, 418 ein, so ergeben sich 
ReihendarsteUungen der Funktionen X}^(u \ Oj, Og), nämlich im Falle eines 
ungeraden n: 

(12) x,{u I »., CO,) = i=-^]/^ V^ {V-2Y 



'2 
„,j, ^ +<» ((2r + l)w-22)* niu 

. e's^ " 2^ (— 1)'' ^ ^" ~ e "^ 



((2f +1)m-2;1) 



während sich für gerades n einfindet: 



(13) X,(t. I ca,, 0.,) = y ^ f^ e^^ "'^ "^^ 3 



00 



Im Parallelogramme der transformierten Perioden ist X^ polfrei und 
hat nur einen NuUpunkt erster Ordnung, der bei 

u = — bzw. u = — -[■ -TT G)-i -h -„ CO« 
n w ' 2 1 ' 2 2 

liegt, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Zur Feststellung des Ver- 
haltens der X;^ bei der Vermehrung von u um die Perioden co^ = (x)\ und 
Og = ^(»2 ziehe man die Gleichuug (2) in I, 451 heran und benutze die 
Darstellungen (7) und (8), in denen sich die 6-Funktionen auf die 
Perioden o^, (o^ beziehen. Die Rechnung liefert das einfache Verhalten : 

(14) X, {u + 09.) = (- 1)« e" 'h (" + 1 %•) X, (w), .-=1, ^. 

Wir notieren unter Zusammenfassung der Ergebnisse den Satz: Die 
X^{u \ 03i, 02) stellen für jedes n ein System von n gleichändrigen ganzen 
elliptischen FunUionen dritter Art w'^"" Ordnung dar, die im Falle eines 
ungeraden n den Charakter von Modulformen n^^ Stufe haben ;^) die n 
einfachen Nullpunkte im Parallelogramme der Perioden (öj, cog liegen für 

ungerades n hei: x«, -j-a«, 

u = '^^ % ^ = 0,1,2,. ..,w-l 

im Falle eines geraden n aber bei: 

(2 ;i + n) 00, + (2 a + 1) «8 

U=- ^ ^ V ^^ -^^-^, /^=0,l,2,...,n-l. 



1) Nach „Modulfunktionen", Bd. 2, S. 289 liegt bei geradem n die Stufe 2 n 
Tor, falls n durch 4 teilbar ist, die Stufe An dagegen, falls n das Doppelte einer 
ungeraden Zahl ist. 



Gmndeigenschaften der Funktionen Xi{u\(o^^ Wj) 307 

Ändert man u um — oder — , so zeigen die X, ein einfaches Ver- 

halten, das man z. B. aus den Formeln (10) und (11) mit Benutzung der 
Grundformeln der 'S" -Funktionen von I, 419 und der Legendreschen 
Relation leicht feststellen kann. Die Rechnung, deren Einzelheiten wir 
wieder übergehen, führt zu dem Satze: Die Funktionen X^{u) erfahren 

lei Vermehrung von u um ~ und — die folgenden Transformationen: 



(15) 






2 t 7t 

wo e = e "^ ist. 

Mit Hilfe dieser Regeln kann man beweisen, daß die n FunJctionen 
X^(u) des einseinen Systems linear-unabhängig sind. SoUte nämlich eine 
Relation: ^^^^^^^ ^ ^^j^^^^-^ ^ . . . ^ c„_,X,._,M = 

mit Koeffizienten, die von u unabhängig sind, identisch bestehen, so fände 
man durch |Lt-malige Ausübung der ersten Transformation (15) nach 
Fortlassung eines gemeinsamen Faktors aller Glieder: 

c^X„(«) + e^^,X,{u) + . ■ ■ + c^_iX„_i(») = 0. 

Man übe weiter v Male die zweite Transformation (15) aus und 
lasse jedesmal den auftretenden gemeinsamen Faktor aller Glieder 

(— l)"e ^ ^"^ fort; auf diese Weise würde man weiter finden: 

Setzt man hier der Reihe nach i/ = 0, 1, 2, . . ., w — 1 und addiert alle 
Gleichungen, so folgt nc X^iu) == als identische Gleichung, aus der 
notwendig c = folgt. Damit aber ist die Behauptung bewiesen. 

Die Wirkung eines Zeichen wechseis von u auf X^ bestimmt man 
leicht aus (12) und (13). Man führe zugleich einen neuen Summations- 
buchstaben v ein, indem man v = — v oder v = 1 — v setzt, je nach- 
dem n ungerade oder gerade ist. Beide Male wird man dann zur Reihe 
von X^_j^ geführt. Bei ungeradem n ist noch der Faktor (— 1)'^ zu be- 
rücksichtigen, der Zeichenwechsel erfährt, wenn A durch (n — X) ersetzt 
wird. Bei Zeichenwechsel von u zeigen die FunJctionen X^^ das Verhalten: 

(16) X,(- u I a,„ a>,) = (- 1)''X„_,(« I m„ m,). 

In den drei Argumenten w, coi, cj^ sind unsere Funktionen homogen, und 
zwar von der Dimension — 3 Wq — 2 bzw. — 2, je nachdem n ungerade 

20* 



308 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art w*®"" Stufe 

oder gerade ist. Bei gleichzeitigem Zeichenwechsel aller drei Argumente 
gelten die Begeln: 

(17) X^(— u j — »1, — «2) = (— 1) ^ X^(u I »i; C5i) bzw. == Xj(u I «1, «2); 

je nachdem n ungerade oder gerade ist. Aus (16) und (17) ergibt sich 
endlich noch als Folgerung: Bei gleichzeitigem Zeichenwechsel von o^^ oj.^ 
transformieren sich die X; entsprechend den Gleichungen: 



(18) XXt*|-ß3i,-G52)=(-l) ^ X„_Xw|09i,C32)bzW. = X,^,_,(w Cai,«2), 

je nachdem n uvgerade oder gerade ist. Für A = hat man die Indizes n 
auf den rechten Seiten von (16) und (18) durch zu ersetzen. 

§ 3. Lineare Transformation der Funktionen X;^(w|coi, C02). 

Ändert man den Summationsbuchstaben v in (12) und (13) S. 306 
um eine Einheit, so ändert sich der Exponent von q beide Male um eine 
gerade Zahl. Hieraus folgt, daß aUe Glieder der einzelnen Reihe bei Aus- 
übung der Substitution S = ( ' ) der homogenen Gruppe T^'") das gleiche 

Verhalten zeigen. Berücksichtigt man auch die vor den Summen stehen- 
den Faktoren, so zeigt sich, daß X^ sich gegenüber S verhält wie: 

T + y + -^ir- - "."+¥(-2- " + "''; , ir + -^ 

q =3' ' bzw. 2 

Mit Rücksicht auf die Kongruenz (6) S. 305 findet man den Satz: 
Bei Ausübung der Substitution ^ = \q^ 9^^l X^ ^^s auf einen FaJdor in 
sich selbst über: 

iX^(w|a5l + 02,032) = £ ^ Xj^(u\(D^,(D^)y n^l {mod 2) 

Xj^(u\(0^-\- (x)2,(02) = S^ ^X^('i*|c3i,«i), n = (mod 2) 

Wendet man auf die für i=l genommene Gleichung (14) S. 306 die 
Substitution T= l' „) an, so folgt, da die ry^mit den cd- kogredient sind: 

X^(u + Walwg,— GJj) = (- lye *^^X^(^*|c32,— «i). 

Ebenso folgt aus der für i = 2 genommenen Gleichung (14) S. 306: 

X^(U — C3j(»2,— G3i) = (- lye ^X^(it|032,— «J , 

woraus man nach Vermehrung von u um co^ entnimmt: 



Lineare Transformation der Funktionen X^(tt|cOj, oj«) 309 

Demnach sind die Xj^(u\G)2y— (o^) mit den ursprünglichen X^(u\a)i,(02) 
gleichändrige ganze elliptische Funktionen dritter Art und als solche 
nach I, 227 durch die n linear- unabhängigen Funktionen X^(t*|c?i; ojg) in 
der Gestalt: 

n — l 

(2) X,{uco2,-co,)^^C;,.^X.Xu\(o,,(o,) 

mit von u unabhängigen, eindeutig bestimmten Koeffizienten c darstellbar. 
Zur Bestimmung dieser Koeffizienten nehmen wir im Ansätze (2) 

zunächst A = und vermehren u um ^ • Links kommt die zur zweiten 

n 

Transformation (15) S. 807 inverse Transformation zur Benutzung, da 

— Oj die zweite Periode von X^i^ulco^y — (o^) ist; rechts ist die erste 

Regel (15) S. 307 anzuwenden. Nach Forthebung überflüssiger Faktoren 

folgt: n-l 

X^(U \ «2, - öl) =2' %y.^y.-l('^ ' ^U «2); 

so daß aus der eindeutigen Bestimmtheit der Koeffizienten Cq ^ = Cq ^_^ 
folgt. Also sind für A = alle Koeffizienten c des Ansatzes (2) einander 
gleich : 

n — l 

(3) XQ{u\a)2,- (D^) = c^ X^(u\co^,(D,^. 



Vermindert man hier u um — -, so sind links und rechts die zu (15) 
S. 307 inversen Transformationen auszuüben. Es folgt: 

w-l 
x = 

sowie bei wiederholter Ausübung der gleichen Operation allgemein: 

n-l 

Um c erstlich für ungerades n zu bestimmen, differenzieren wir die 
Gleichung (3) nach u und setzen hierauf w = 0. Ist X[ (u) die Ableitung 
nach Uj so folgt: 

n-l 

(5) X„(0 1 0,,, - m,) = c^ X[{0 I coi, a,j). 



310 II, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n*«"^ Stufe 
Nun folgt aus (10) S. 306: 

(6) -2^;(o|«.x,c.,) = ^]/g^^(t^^)-^;(^«), 

sowie hieraus weiter mit Benutzung von (25) in I, 420: 

(7) x;(o I fi,„ CO,) = ^ iV^T'Kii) Kii')- 

Bei Ausübung von T = (_' J nimmt "/z/ nach (10) in I, 454 den Fak- 
tor — i an, während aus der ersten Gleichung (4) in I, 482 für den Null- 
wert der -ö-^- Funktion die Regel folgt ^): 

(8) K\i^) = e * 09 ]/^=^ ^\{e^'^). 

Setzt man in (8) statt ro den Wert — ein, so folgt: 



f^t \ (XI \ 4 nr\ n ] 



Hiernach berechnet sich als die Wirkung der Substitution T auf die 
Gleichung (7): 

(9) x;(o 1 0,,, - 0,,) =^^^'' ^ {y-ÄT ^\{q)^\{r\ 

wo die Wurzel ]/?^ positiv zu nehmen ist.^) Für die in (5) rechts stehende 
Summe folgt aus (12) S. 306: 



'n — 1 +00 



'2 ' "^2 

'n — 1 +00 ((2r + l)n-2/l)- 



1 = r=-oo 



Nun durchläuft bei Ausführung beider Summen (ß v -{- 1) n — 2 X) ge- 
rade genau alle positiven und negativen ungeraden Zahlen. Wir schreiben 
also ((2 V -f 1) n — 2 X) = 2 V + 1 unter Einführung eines neuen Sum- 
mationsbuchstaben v und folgern hieraus: 

X-{-v = v7i — l = v 2~~ = '^ -\ ^ (™od 2). 



1) Statt der hier gebrauchten Bezeichnung » (q) = d- {e" ' '^ ) für die -O-- Null- 
werte ist in l, a. a. 0. einfacher d'{o)) geschrieben. 

2) Nach I, 481 müssen die Werte V— co , l/_ -- positive reelle Bestand- 
teile haben. 



Lineare Transformation der Funktionen X]^{u\(o^, w,) 311 

Die letzte Gleichung nimmt damit die Gestalt an: 

n— 1 
1 = 



Die mit x multiplizierte Summe liefert nach (24) in I, 419 den -O-- Null- 
wert d'[\q^). Ersetzen wir wie oben y2l durch den Ausdruck in ^[{q) 
entsprechend der Gleichung (25) in I, 420, so ergibt sich : 

(10) ^ X1(0| CO,, »,) = (- 1)-^ ^ iV^jr- &', (q) 9[ iqi). 

2 = 

Trägt man nun die Ausdrücke (9) und (10) in (5) ein, so folgt nach 
Fortheben gemeinsamer Faktoren beider Seiten der Gleichung bei Be- 
nutzung der Kongruenz (6) S. 305 für n^: 

(11) ^^ '=c-{-lp~, ^^i~yn 

y n ^ 

mit positiv genommener Wurzel "j/w. 

Im Falle eines geraden n setze man in (3) unmittelbar w = ein 
und findet: 

w— 1 

(12) X„(0i»,,-a,.) = c^X,(0i »„«,). 
Nun ergibt sich aus (11) S. 306: 

^o(0 ! 0.,, 03,) = -j/l;^ f/^ ^3 (2«) = 1^ ^; (g) ^3(g«). 

Die Wirkung der Substitution T findet man aus der obigen Formel (8) 
und der vierten Regel (4) in I, 482: 

(13) X„(0 1 «,,, - ca,) = - 1^ . -L ^;(2) *3 (j») 

mit positiv genommener Wurzel ■^/>^. Andrerseits findet man aus (13) S. 306 : 

2 = /, = 1' = — CO v'— — 00 

Nach (16) in 1,418 ist die letzte Reihe gleich d'^ ig'"/, so daß man findet: 

(14) ^X,iO\a,„a,,)^^9',{q)4r)- 

2 = 



312 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n*«"" Stufe 

Trägt man die in (13) und (14) berechneten Ausdrücke in (12) ein, so 
folgt nach Forthebung überflüssiger Faktoren: 

(15) i = -V». 

In leiden Fällen ist c nicht nur von w, sondern auch von den Perioden 
(D^ y cog imabhängig ; es ist dies eine wichtige Folge der aus der Diskrimi- 
nante aufgebauten Faktoren, die oben in die Erklärung der Funktionen 
X^ aufgenommen wurden. Unter Zusammenfassung beider FäUe merken 
wir den Satz an: Bei Ausübung der Substitution T transformieren sich die 
X^ nach dem Gesetze: 



(16) 



n-1 



n-1 
— Yn X^ (U I «2 7 — COi) = ^ €''■ ^- X.^ {u\cO^, Og) ? « = O (mod2). 



x=0 



wo Yn beide Male positiv zu nehmen ist. 

Da die Gruppe jPH aus den Substitutionen S und T erzeugbar ist^ 
so erfahren die n FunMionen Xj^ jedes Systems gegenüber irgendeiner Sub- 
stitution der r^""^ und also im Sinne von 1, 184 bei irgendeiner „linearen" 
Transformation der Perioden selbst eine homogene lineare Substitution mit 
konstanten Koeffizienten. Da ferner die zum Grade n gehörenden X;^ bei 
den Substitutionen einer gewissen Kongruenzgruppe unverändert bleiben^ 
so erhalten wir, dem Index dieser Untergruppe entsprechend, nur endlich 
viele X;^- Substitutionen, die ihrerseits eine endliche Gruppe G bilden. 

Um dies wenigstens in dem wichtigeren Falle eines ungeraden n^ 
wo die X^ den Charakter von Modulformen w*®"^ Stufe haben, näher aus- 
zuführen, stellen wir auch noch die Wirkung einer die Bedingungen 
/3 ^ 0, y ^0 (mod n) befriedigenden Substitution fest. Bei einer 

solchen Substitution 1^' ^j ist a mit einer der (p(n) mod n inkongruenten^ 

gegen n teilerfremden Zahlen kongruent, und es gilt d = «~^ (mod n)[ 
insofern die Substitution mod n durch a bereits bestimmt ist, möge sie 
U„ genannt werden. Für die durch (2) S. 298 gegebenen transformierten 

Perioden 03^, cog rechnet sich die Substitution U^ auf ( "_/\,] um. Nach 
(3) in I, 451 hat man nun zunächst: 

Weiter folgt aus (4) a. a. 0.: 



Lineare Transformation der Funktionen X^(m|wi, Wg) 313 

Da ß durch n teilbar ist und n ungerade sein sollte, so gilt für den rechts 
auftretenden Faktor: 



,y;. + a — /.2 



man beachte hierbei, daß ß{l -\- a)~ l + a (mod 2) gilt, da a und ß 
nie zugleich gerade sind. Hiernach gilt: 

(- iyS,,„(« I «0.. + ß<o„ r'^-'+J^) = (_ l)"^S„,,„(« : a>, , ^^) . 

Die Modulform G^ ist gegenüber U^ invariant, der Faktor 

aber zeigt dasselbe Verhalten wie die Modulform (5) S. 299, d. h. sie 
nimmt den Faktor l -) an (vgl. (12) S. 303), für den wir wegen « • d = 1 
(mod n) auch i^j schreiben können. Es gilt also der Satz: Gegenüber 
einer die Bedingung C/"^ ^ ( ' _ j (mod n) erfüllenden Substitution zeigen 
die X^ eines ungeraden n das Verhalten: 
(17) X^{u ! aa^ + ßa^, ya, + dco^) = (-^) X^^{u co^, co^), 

wo (~"-j das Legendre-Jacobische Zeichen ist Die erste Regel (18) S. 308 

ist hierin als besonderer Fall enthalten. 

Die X^ eines ungeraden n bleiben nun bei den Substitutionen der 
Hauptkongruenzgruppe n*®^ Stufe r^yfn) unverändert. Es ist jetzt leicht 
zu zeigen, daß sie insgesamt auch nur bei den Substitutionen der r^y(n) 

unverändert bleiben. Soll nämlich zunächst Xf^{u\G)^j Oo) durch \^' ^j in 

sich transformiert werden, so muß 6(^103^,02) durch die Substitution 

( Ij J in sich transformiert werden, was ein ganzzahliges 'yn~'^, d. h. 

ein durch n teilbares y voraussetzt. Wir haben also nur noch die mit: 

(18) ^"''■u.^io^;!-) ("»od«) 

kongruenten Substitutionen einer unserer von S. 252 her bekannten Kon- 
gruenzgruppen -T v(„) zuzulassen. Die Substitution (18) transformiert X^ in: 

(19) .-"''''^"(^^x^.ch »,;«,). 

Hieraus ziehen wir zunächst den später anzuwendenden Satz: Bie 
Funldion Xq(u \(o^, oj^) eines ungeraden n bleibt hei den Substitutionen der 
durch 7 = (mod n) erUärten Kongruensgruppe n^"' Stufe Jr',^(„) unver- 
ändert oder erfährt nur einen ZeichemvechseJ, entsprechend der Regel: 



314 11, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n^""" Stufe 

(20) Xo(w|aa)i4-/3G92, r«i+ ^«g) = (^) Xo(w|ö1,C}2), y-0(mod„). 

Soll weiter X^ durch die Substitution (18) in sich transformiert werden, 
so muß zufolge (19) notwendig a=\,ß = (mod n) zutreffen. Damit 
ist die Behauptung, daß die X.^ insgesamt nur bei den Substitutionen der 
Jr„ („) unverändert bleiben, bewiesen. 

Zwei mod n inkongruente Substitutionen F, V liefern hiernach stets 
zwei verschiedene X^- Transformationen, da sonst V- V~ ^ die „identische" 
X;^- Transformation ergeben würde. Damit aber ist der folgende Satz be- 
wiesen: Aus den heiden gleich wieder durch S und T zu heseichnenden 
linearen X^- Transformationen: 

x = 

erzeugt man im Falle eines ungeraden n durch Wiederholung und Kombi- 
nation eine endliche Gruppe G^^^n) ^^^ Ordnung n%{n) solcher Transfor- 
mationen, die isomorph mit der mod n reduzierten homogenen Modidgruppe 
ist. Den bei der Transformation T links auftretenden Faktor kann man 
nach der letzten Gleichung in I, 494 als ,,Gaußsche Summe" darstellen: 

71 — 1 n — 1 n— 1 

(21) i~^ Yn = (- 1) ^ ^ s^^\ 

v = 

Wir merken daraufhin noch den Satz an: Bei ungeradem n sind die 
Koeffizienten der n%{n) linearen Transformationen der X^ Zahlen des zum 
Teilungsgrade n gehörenden Kreisteilungskörpers vom Grade (p{n). 

§ 4. Systeme von Modulformen für ungerade Stufen. 

Für die Transformationstheorie wichtige Größensysteme gewinnen 
wir in den Modulformen, welche aus den X^{u\ «i, Og) und ihren ersten 
nach u genommenen Ableitungen X^ (w | cöj , Og) für w = hervorgehen. 
Indem wir n als ungerade voraussetzen, entnehmen wir für den Zeichen- 
wechsel des ersten Argumentes u aus (16) S. 307: 

(1) X,(-«) = -X._,(«), X[{-u) = -^X:_,{u), 

wo für yl = statt des Index n rechts zu setzen ist. Schreiben wir ^ 
nun abkürzend: 

(2) X;i(o I (Dj, 02) = ^i(öi, ög), x;(o I öl, (»2) = l^{p^, «2), 

so ergibt sich aus (1): 



Die Systeme der Modulformen ä;^((öj, «j) und ^^(cöj, Wj) 315 

während Xq (o^ , a^) identisch verschwindet. Für jedes ungerade n erhalten 
wir somit ein System von g" Modulformen x^{c3^y o^), ^2(^1? ^2)? • • v 
^«-1 (^1? ^'■i) ^^^ ^'^^ ^^'^f^ '^^^ ^^^ System von ^— ^ Modulformen SoCc^i? coa), 
|^((Di, GJg), . . ., |„_i(öi; Ö2) ^^^ gleichen Stufe. 

Aus den Gleichungen (10) und (12) S. 306 ergeben sich folgende 

^ "i 

Darstellungen der — ^ Modulformen ^^(töj, cog): 

(4) x,ia>„ «,) = (- iy + ']/g V^(1/^)"»3">.(A<o, n 

(5) .,(«,„ 0,,) = t^ ]/-^ |/^(V^)- 2^ (- 1)'2 — *^— . 

Weiter folgt aus (12) S. 306 für die -i- Modulformen |^((0i, <0s): 

(6) |,K,a,,) = (-iy^]/g|/^(V^)'" 

+ * ((2r + l)w -2A)* 

. ^ (- 1)^ ((21/ + l)n - 2X)q *» . 



Für lo(^i; ^2) baben wir auch die schon in (6) S. 310 genannte Dar- 
stellung: 

(7) w». «-.) - ^^yfvw^r%(q% 

die wir mit Hilfe von (25) in I, 420 auch noch umkleiden in: 

(8) !„(«,„ 0,,) = ^ vj {V2r v^ («'u ^) • 

Aus den Rechnungen von S. 308 ff. geht folgender Satz hervor: Die 

— ^ Modulformen x^ substituieren sich gegenüber den Substitutionen der 

homogenen Modulgruppe F^^^ selbst linear und homogen, und insbesondere 
entsprechen den erzeugenden Substitutionen S und T der F^'"^ die Transfor- 
mationen: 

(S) x[^s ' x„ 

n-1 
n-1 _ ~2~ 

{T) i 2 ynx[== ^(s''^-e-^-^)x^. 

Derselbe Satz gilt für die -^ Modulformen J^, bei denen die Transfor- 
mationen S und T die Gestalten haben: 



316 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art w***»' Stufe 



x = l 

Für lo(^i? ^^2) insbesondere notieren wir zu späterem Gebrauche die 
Regeln : 



{T) 


i ' ]/»i;=i„ + 2ii + 2|j + .. 





m 


^«=(«)^o- 


£ 



Die Reihen (5) und (6) sind für \q\<il konvergent und weisen 
keine negativen Exponenten der Entwicklungsgröße q auf. Da z/ eine 
„ganze" Modulform erster Stufe ist (vgl. I^ 305), so sind die Modulformen x-^ 
und \-^ im Innern der (xt-Halbe'bene polfrei und bleiben auch für q = 0, d. h. 
in der nach co = icx sehenden Spitze der Kreisbogendreiecke der cj-Halb- 
ebene endlich. Der eben erkannte Satz, daß sich die x^^^ und auch die |; 
gegenüber den Substitutionen der F^'^^ linear und homogen substituieren^ 
führt von hieraus noch zu einer wichtigen Folgerung. Schreiben wir die 
einzelne Substitution der F^^^ nicht-homogen in der Gestalt: 

(9) ^^7„~+^' 

so nähert sich o' vom Innern des Dreiecksnetzes dem rationalen Punkte 

— , faUs o in die Spitze ioo wandert. Da sich nun die x-^ und ebenso 

die I; bei Ausübung der Substitution (9) linear und ganz substituieren, 
.90 iverden diese Größen, auch wenn ivir uns im Innern eines einzelnen 

Dreiecks der (o-Halbebene einem rationalen Funkte — annähern, endlich 

7 ^ 

bleiben. Im Anschluß an die in I, 305 eingeführte Bezeichnung nennen 
wir dieserhalb die x^ und |; ,,gan2e^^ Modulformen n^^'' Stufe. Insbesondere 
erweisen sie sich in einem Diskontinuitätsbereiche der Hauptkongruenz- 
gruppe n^^"^ Stufe -r„y(„) überall als polfrei, eine Eigenschaft, die später- 
hin zu wichtigen Folgerungen den Grund legt. 

§ 5. Ein weiteres System von Modulformen für ungerade Stufen, 

Da weiterhin Funktionssysteme X; für verschiedene Grade n mit- 
einander kombiniert werden sollen, so erscheint es nötig, den Grad n als 
oberen Index am X^^ anzubringen. Wir ziehen nun die drei Funktionen 
Xf (^t^ I Ol, Wg) und die 3w Funktionen Xf "^^ ' ^n ^^2) hieran, unter n 



Dreigliedrige Bilinearverbindungen der X^ 317 

eine ungerade, gegen 3 teilerfremde Zahl verstanden; jedes System sei 
für ein besonderes erstes Argument Wj bzw. ii^ gebildet, während das 
Periodenpaar in beiden Funktionen das gleiche sein soll. Aus beiden 
Funktionssystemen setzen wir die folgenden dreigliedrigen Ausdrücke zu- 
sammen: 

(1) B,(«u u,\co„ .,) = xfx<:;^+ xf xf;|..4- ^'^:;U, 

die wir j^biUnear^ nennen und dieserhalb durch das Symbol B bezeichnen, 
weil sie in den X jedes der beiden Systeme linear aufgebaut sind. Ändert 
man X um w, so ändert sich der untere Index der einzelnen Funktion X^^'*) 
um Sfiy wobei sie nach der Regel (9) S. 305 unverändert bleibt. Aus dem 
Ansätze (1) entstehen also im ganzen höchstens n verschiedene bilineare 
Verbindungen Bq, B^^ . . ., B^_^. 

Dieser Ansatz soll in § 6 auf mehrgliedrige bilineare Ausdrücke der 
X; verallgemeinert werden. Im vorliegenden besonderen Falle setzen wir 
sogleich Wj = und können dann bei % den Index 2 fortlassen. Da 
X'^\0) identisch verschwindet und Xf\0) = - Xf (0) = icf ist, so ge- 
langen wir zu den n Funktionen: 

(2) S,(«|a,„<u,) = .f>(xf,t„-X<-!„). 

Für x':^^ folgt aus (5) S. 315 die Darstellung: 



+ C0 



-r=iV'^v^\Sj-iyi 



(6r + l)2 



12 



3 »TT 



SO daß man zufolge (9) in I, 433 findet: 

(3) xf'=i{V2f. 

An Stelle von (2) können wir also auch schreiben: 

(4) B,iu\<o„ CO,) = üv^y (x</;|„- xt;>„). 

Bei Ausübung der Substitution S nimmt Y^ den Faktor q = e ^ 
an (vgl. (13) in I, 455), während das Verhalten der X^^") aus der ersten 
Regel (1) S. 308 zu bestimmen ist. Man findet: 

(5) B;^(U I öl + (»2, tög) = ()2-»f 2 ^^(^^ I ^^^ ^^) 

Gegenüber T bleibt ^/z/ und also xf^ unverändert. Das aus der ersten 
Gleichung (16) S. 312 abzuleitende Verhalten der X^^«) ergibt: 

3w-l 

i * ]/3 w B^(u I 02, — öj) 

3n-l 



= xf 2 G'^'<"^"'_ /,:-(''-"^) xy. 



318 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Functionen dritter Art w**'' Stufe 

Der Faktor von X^^""^ unter dem Summenzeiclien läßt sich kürzer in die 
Gestalt (()''— Q''')^''-^- setzen. Da er verschwindet, so oft ;c durch 3 teil- 
bar ist, so genügt es, x = 3x -{-n und 7c = 3z —n zu schreiben, wo dann 
beide Male x die Zahlen 0, 1, 2, . . ., w — 1 zu durchlaufen hat. Man er- 
hält dabei: 

wo (yJ das Legen dresche Zeichen ist. Somit findet sich: 

i'^i/3^B,(«|a,„-c»,)=.-(|)y3^e-r(xr;j„-zf;2„). 

x = 

Nimmt man die vor dem Summenzeichen stehenden Faktoren nach links 
hinüber, so ziehen sie sich mit den Faktoren von B^ zu: 

zusammen, wie man mit Hilfe des auf das Legendre-Jacobische Zeichen 
verallgemeinerten Reziprozitätsgesetzes findet.^) Als Wirkung von T hat 
man also: 

x = 

Ist n ^ 2 (mod 3), so liegen in (5) und (6) genau wieder die X^- 
Substitutionen S und T von S. 314 vor, nur ist an Stelle von e die gleich- 
falls primitive w*® Einheitswurzel £3 = e^ getreten. Zum Zwecke dieses 

n-l 

Ersatzes hat man i ^ Yn in Gestalt der Gaußschen Summe (21) S. 314 
darzustellen, worauf dann nach der letzten Gleichung in I, 494 beim Er- 
sätze von £ durch fg sich der Faktor l—j einfindet. Im FaUe w = 1 

(mod 3) benutzen wir nochmals den Umstand, daß "j/z/ gegenüber S den 
Faktor q annimmt und durch T in sich transformiert wird. Also wird 
im Falle n=l (mod 3) der Quotient B;^ : V^/ die X;^-Substitutionen unter 
Ersatz von s durch s^ erfahren. 

Das zu erklärende System von Modulformen gewinnt man nun aus 
den B^ durch Einsetzung von w = 0. Aus der Regel (16) S. 307 leitet 
man leicht: ^^(_ ^ | ^^^ ^^^ ^ ^^_^(^ | ^^^ ^^) 

ab, so daß man für w = zu einem System von ^^^ Modulformen n*«' 



1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, „Vorles. über Zahlentheorie", S. 104 ff. der 
4. Aufl. 



(7) 



System von i^(w-|-l) Modulformen ^;l(^i> ^s) 319 

Stufe gelangt, wenn man im Falle w = 1 (mod 3) statt der NuUwerte von 
J5^ diejenigen der Quotienten B^^iyzl benutzt. Zur Vereinfachung einer 
sogleich anzugebenden Darstellung des Nullwertes von Bq versehen wir 
aUe NuUwerte noch mit dem gemeinsamen Faktor — j und bezeichnen 
die damit gewonnenen Modulformen durch ^xi^iy ^2)- ^^ ^®^ ^- ^^^ ®i^" 
geführten Formen x gelten also die Darstellungen: 

,M, 0^2) = - i* V^(4Vt„- 4?1„)> — (-<") 
.,K, CO,) = - i*V^^(4?|„- 4-„). — '-") 

Als Ergebnis merken wir an: Für jede gegen 6 teilerfremde Stufe n exi- 
stiert ein System von -^^ durch (7) gegebener ganzer Modulformen n^^'' 

Stufe, die sich hei Ausühung der Substitutionen S und T in folgender Art 
substituieren: 

_Hn-X) 

(ß) 4 = ^3" '"'^A; 

^^^ ^"^ (I) v~ ^: = ^0 + 2* (^3' + *3"*">«, 

y. = l 

unter s^ die primitive n*^ Einheitswurzel a^ verstanden. 

Da die beiden Modulformen rc^"*"^ und x^^ = icf sich nur im Vor- 

71 — n an 

zeichen unterscheiden, so gilt speziell für die Form ZqI 

(8) ^„=-»1/^4"»' bzw. ^„=-»v^^4''"*- 

« 
Aus der Reihendarstellung (5) S. 315 der x aber ergibt sich: 

(6v+l)2n 



^r = iV'^V^ iV^T"' ;2 (- m 



Damit sind wir zur Reihe (9) in I, 433 für die 24^*® Wurzel der Diskri- 
minante geführt. Verstehen wir unter z/' die transformierte Diskriminante 
^' = J(nG)^y co^), so ergibt sich der folgende Satz: Die Modulform n^ 
Stufe Zq(g)^, cog) stellt sich in der Diskriminante wie folgt dar: 

n ist eine beliebige gegen 6 teilerfremde Stufe, A' hat die Bedeutung 
^{ncj^, cl)^) und (3>i)q ist die Meinste, nicht negative ganze Zahl, die der 
Kongruenz genügt: 
(10) (3«)o^-^^ (mod 4). 



320 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n^^'' Stufe 

§ 6. Mehrgliedrige Bilinearverbindungeii der X; und ihre lineare 

Transformation. 

Es soll jetzt der Ansatz (1) S. 317 der dreigliedrigen Bilinearver- 
bindungen der X^ auf entsprechende Ausdrücke mit einer beliebigen 
Gliederanzahl l verallgemeinert werden. Wir denken n nach wie vor als 
ungerade Zahl gewählt und setzen l (wie oben 3) als teilerfremd gegen 
71 voraus. Die zu untersuchende Bilinearverbindung der Funktionen X^'^ 

und X^'") erklären wir durch: 

z-i 

(1) B^(U^, 11^ I 03i, CJ^) = ^ Xf (U^) Xu + nk-^ {U^\ 

y.=(i 

die für Z = 3, li = l den Ansatz (1) S. 317 wieder liefert. Um diesen Aus- 
drücken bei beliebigem l möglichst einfache Eigenschaften zu erteilen, 
verstehen wir unter k eine der Kongruenz: 

(2) n¥+l=0 (mod2/) bzw. (mod Z) 

genügende ganze Zahl, je nachdem l gerade oder ungerade ist. Wir können 
dieser Kongruenz entsprechend auch setzen: 

(3) nlc^ + 1 = 2Un bzw. nh^ -{- 1 = Im, 

unter m eine weitere ganze Zahl verstanden, die wie l offenbar positiv 
ist. Im Falle eines geraden l gilt die erste Gleichung (3), aus der her- 
vorgeht, daß Ic in diesem Falle ungerade ist. Dann ist /v^^ 1 (mod4), 
und da 2?m durch 4 teilbar ist, so ergibt sich, daß im Falle eines geraden 
l die ungerade Zahl n der Beschränhmg w = 3 (mod 4) unterliegt. Indem 
wir der Reihe nach A = 0, 1, 2, . . ., w — 1 in (1) einsetzen, erhalten wir 
ein System von n bilinearen Ausdrücken. Das Feriodenpaar «i, Og soll 
in allen Funktionen X^'^ und X('") dasselbe sein. Es ist zunächst festzu- 
stellen, wie sich unser Größensystem B^, B^, . . ., B^_^ bei linearer 
Transformation der Perioden verhält. 

Ist erstlich l und also In gerade, so nimmt das Produkt: 

(4) xf(«,)xn„..K) 

zufolge der zweiten Formel (1) S. 308 gegenüber der Substitution S den 
Faktor an: 

Mit Hilfe der ersten Gleichung (3) führt man den Ausdruck dieses Fak- 
tors leicht über in: 






Mehrgliedrige Bilinearverbindungen der X^ 321 

wo Sj die primitive w*® Einheitswurzel f' ist. Ist l ungerade, so nimmt 
das Produkt (4) gegenüber S den Faktor an: 

— U^~lx) + ^{{n + nkx)''-ln{U + nkx)) , ^^i + x + Ä;« ^(nx* + p;.2 + n2fc2x2) 

e^ '" =(—1) e'" , 

wie aus der ersten Gleichung (1) S. 308 folgt. Mit Hilfe der zweiten 
Gleichung (3) und der aus ihr folgenden Kongruenz 1 + Ä -f- m = (mod 2) 
wandelt man die Gestalt des eben erhaltenen Faktors in: 

um. Hiernach erweist sich der Faktor in beiden Fällen als von y, un- 
abhängig, so daß er für alle Glieder der Summe (1) ein und derselbe ist. 
Du Bilinea/rverhindung (1) nimmt also gegenüber S den Faktor: 

(5) is^ ^ bzw. £j ^ 

an, je nachdem l gerade oder ungerade ist. 

Um die Wirkung der Substitution T festzustellen, schreiben wir die 
Faktoren von Xj^ auf den linken Seiten der Gleichungen (16) S. 312 
kurz C„, so daß: „_i 

0„= i ^ Yn oder = — ]/w 

gilt, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Aus den eben genannten 
Gleichungen findet man dann: 

l-l l-l In-l 

wo die rechts stehenden Funktionen X für die ursprünglichen Perioden 
cl>i, cjg gebildet sind. Nimmt man die Summation in bezug auf x zu- 
nächst vor, so folgt: 

l-l 

OA„BMu u, I <»3, - CO,) = 2* Q-X^Xr^üe^"'''"'). 

Die innere Summe hat für die einzelne Zahlkombination ^^ v stets den 
Wert 0, falls ^ -^Icv ^0 (mod l) ist, dagegen den Wert l, wenn ^-[-hv 
^ (mod l) zutrifft. Die letzte Gleichung vereinfacht sich demnach zu: 

V — O 

über die frei gewordenen Summationsbuchstaben x und ^ können wir 
jetzt im neuen Sinne verfügen. Wir setzen v = lx-\-n^ und erhalten ein 
System mod In inkongruenter Zahlen v, falls k die Zahlen 0, 1, . . ., w — 1 
und IL die Zahlen 0, 1, ...,? — 1 durchlaufen: 

Fr icke, Die elliptischen Funktionen II 21 



n+ 1 



322 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art /***■' Stufe 

Da. kn zufolge (3) teilerfremd gegen l ist, so durchläuft, falls man 
— hnfi ^ V (mod l) setzt und auf diese We^se auch v in neuer Bedeu- 
tung gehraucht, mit /t auch v ein Restsystem mod l. Durch Multipli- 
kation der letzten Kongruenz mit Je und weiter mit n folgt aber wegen (2): 

— Jf^fifi^ {i^lcv (mod Z), n^^Jcnv (mod Zw). 

Die innere Summe der letzten Gleichung läßt sich also auch so schreiben: 

i-i 

v = 

und erweist sich also zufolge (1) als mit IB.^ identisch: 

n-l 
y. = 

Ist nun erstlich l geradej so ist C^-C^^^ l^n. Es läßt sich zeigen, 
daß in diesem Falle das Legendre-Jacobische Zeichen ( — ) der Gleichung: 

(') (-a 

genügt. Schreibt man nämlich Z = 2^^ • V, unter V den größten ungeraden 
Teiler von Z verstanden, so gilt, da zufolge (2) die Zahl — n quadratischer 
Rest von V ist, zufolge des verallgemeinerten Reziprozitätsgesetzes (s. die 
Note S. 318): v-i « + i 

da jetzt w = 3 (mod 4) ist. Man findet also: 

Ist 7^ == 1, so ist (— j = + 1 oder — 1, je nachdem w = 7 oder = 3 
(mod 8) gilt. In beiden Fällen erweist sich die Gleichung (7) als richtig, 
Ist A > 1, so folgt w = 7 (mod 8) aus (2). Nun ist (— j zufolge (8) 
gleich 1, so daß die Gleichung (7) auch jetzt sich als richtig erweist. 
Trägt man in (6) für G^C^J^ seinen Wert Z]/w ein und benutzt die Glei- 
chung (7), so folgt: Im Falle eines geraden l zeigen die n Bilinearverbin- 
dungen (1) hei Ausübung der Substitution T das Verhalten: 

«-1 _ «-1 

xs=0 



Lineare Transformation der Bilinearverbindungen Bi{u^f Wj | Wj, Wj) 323 
Im Falle eines ungeraden l gilt: 



J-l «+1 w-l 



Da — n zufolge (2) quadratischer Rest von l ist, so gilt: 

l-l n+l l — l n+1 

Im Falle eines ungeraden l transformieren sich die n Äusdrüclce Bj^ gegen- 
über der Substitution T nach der Begel: 

n-l "-1 

x = 

Nach (10) in I, 454 zeigt die Modulform vierter Stufe "j/zi gegen- 
über S und T das Verhalten: 

V^(cOi + «2, (Ö2) = i^^ip^y (Ö2), V^ip^y — »1) = ~ ^V^K^iy ^2)' 
Im Falle eines geraden l zeigen demnach die n Quotienten B^ : }/^ gegen- 
über linearen Transformationen der Perioden genau das gleiche Verhalten 
wie die B^ mit ungeradem l. 

Nun gehen die Koeffizienten der linearen Transformationen S und 
T der B^ : Y^ bzw. der B^ aus den Koeffizienten der entsprechenden 
X;^- Transformationen dadurch hervor, daß man die primitive w*® Ein- 
heitswurzel s durch die gleichfalls primitive ^*® Einheitswurzel s^ ersetzt. 

ra-l 

Der Ausdruck i ^ ]/w ist dabei als ganze Zahl des Kreisteilungskörpers 
{^, s) in der Gestalt (21) S. 314 darzustellen. Die Schlußformel in 

I, 494 lehrt dann eben, daß i ^ Yn heim Ersatz von s durch s^ das Vor- 
zeichen ( j als Faktor annimmt. Im Anschluß an die Ergebnisse von 
S. 314 finden wir den Satz: Gegenüber der Gesamtgruppe F^'"^ aller linearen 
Periodentransformationen erfahren die n FunMionen B^ : "j/z/ bzw. B^ eine 
Gruppe 6r„^(„) von nx(n) linearen Transformationen^ tvelche mit den ent- 
sprechenden X;^'- Transformationen als „Jconjugiert" zu bezeichnen sind, in- 
sofern sie aus jenen durch Ersatz von s durch die gleichfalls primitive n^ 
Einheitswurzel £, hervorgehen. Hieraus folgt insbesondere: Die n Funktio- 
nen B^ : "j/z/ bzw. jB^ haben den Charakter von Modulformen n^^^ Stufe. 

Eine rationale Zahl des Kreisteilungskörpers (9fi, s) ist nur mit sich 
selbst konjugiert. Rational aber sind die Koeffizienten aller X;i-Trans- 
fomiationei), die den Substitutionen mit /3 = y = (mod n) entsprechen: 
Für alle der Kongruenz /3 = y = (mod n) genügenden Substitutionen 
sind die Transformationen der Bj : Y^ bzw. der B^ genau so gebaut wie 
diejenigen der X^. 

21* 



324 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n*«*^ Stufe 

§ 7. Die Systeme der Funktionen Tj^ und der Modulformen p;^. 

Für den Fall eines geraden l und also einer der Kongruenz w = 3 
(mod 4) genügenden Zahl n sollen jetzt Reihendarstellungen der bilinea- 
ren Ausdrücke entwickelt werden: Indem man für die X;^ ihre Reihen 
(13) S. 306 einträgt, gewinnt man folgenden Ansatz: 

dabei haben v und N die Bedeutungen: 

(1) V = vj — X, N = v^nl — IX — nJcx, 

von den Summationsbuchstaben durchläuft x die Zahlen 0, 1, . . ., Z — 1 , 
während v^ und v^ unabhängig voneinander alle ganzen Zahlen durch- 
laufen. Die Zahl v nimmt somit gerade einmal jeden ganzzahligen Wert 
an. Für das einzelne v ist x der kleinste, nicht-negative Rest von — v 
mod ?, und weiter berechnet sich v^ aus der ersten Gleichung (1). Die 
ganze Zahl N läßt sich in die Gestalt setzen: 

Bei gegebenem v und also bestimmtem v^ durchläuft die durch die zweite 
Gleichung erklärte ganze Zahl ^ wegen der Bedeutung von v^ gerade 
einmal alle mod n mit — X kongruenten ganzen Zahlen. Bei Benutzung 
der ersten Gleichung (3) S. 320 findet man nun: 

Den hier rechts stehenden Klammerausdruck fassen wir als eine in den 
variablen ganzen Zahlen ^, v geschriebene ganzzahlige binäre quadrati- 
sche Form: 

(2) /*(/[*, v) = — -^2 _^ Jcn^v -{- mnv^ 

auf, für die wir nach früherem Brauche auch die symbolische Bezeichnung 
(y, hn^ mn\ benutzen (vgl. S. 137 ff.). Die quadratische Form /*(^, v) hat 
die negative Diskriminante: 

D = Jc^n^ — 2lmn = — n, 
sie ist positiv und ursprünglich^ da zufolge (3) S. 320 die beiden ersten 
Koeffizienten ^ , Jen teilerfremd sind. 

An Stelle der bisherigen Variablen w^, u^ führt man jetzt zweck- 
mäßig zwei neue Variable w, v durch: 

(3) Wi = W -f -^ V, ,% = — y 



Die Funktionen Yj^{Uf v | ooj, ©j) und die Modulformen y^im^, Wj) 325 
ein. Dann wird nämlich einerseits: 

l(ul-i-nul)^l{u'-\-2~uv-h -'^' + "" v') = 2f(u, v), 
und andererseits gilt: 

vu^ + ^^2 = V m + -p t?) — (nlcv + l^) -j = vu — iiv. 

In Abhängigkeit von u und v mögen nun die Quotienten der Bi- 
linearverbindungen -B^ ^^^ ^^^ Modulform yzl durch Y;^ (w, v) bezeichnet 
werden : 

(4) -^ ^ ^ = r,(.u, V I CO,, CO,), 

Als Beihendarstdlung dieser Funktionen Y^ gemnnt man: 

(5) r,(«, t;|m„ß)2) = — e<^ ^ 2 » e <". 

«;o /* e?2e quadratische Form (2) is^, /t alle der Kongruenz /Lt = — A (modw) 
genügenden ganzen Zahlen und v alle ganzen Zahlen durchlaufen. 

Aus (5) folgt, daß die Funktion Y^ (w, v) bei gleichzeitigem Zeichen- 
wechsel von u und v unverändert bleibt, während die {n — 1) übrigen 
Funktionen Y das Verhalten zeigen: 

Yj,{- W, ^ t? I (Dl, ©2) == r„_;i(w, V I «1, CO,). 

Für M = 0, t; = liefern demgemäß die Funktionen Y^ ein System von 

«1 _4_ 1 

~[ ganzen Modulformen der w'*" Stufe y©? 2/i> • • •? 2/»-i; welche durch 

2 
0(26 Potenzreihen: 

(6) y;i(aj„ 0^2) = - 2L ^ " ' '"^"^ ^"""^"^ 

darstellbar sind und gegenüber den linearen Periodentransformationen die 
S. 316 angegebenen ij^-Substituiionen unter Ersatz von s durch s^ erfahren. 
Von diesen Modulformen werden wir später insbesondere die erste 
^0(0,, CO,) gebrauchen. Schreiben wir hier fi == fin, so durchläuft ^' alle 
ganzen Zahlen, und man hat /'(/i, v) = nf\iiy v), wo f die quadratische 
Form (I In, hn, m) der Diskriminante — n ist. Auch diese Form ist 
positiv und ursprünglich, da nach (3) S. 320 die ganzen Zahlen m und 
Jen teilerfremd sind. Als Reihenentwicklung der Modulform y^ folgt: 

(7) yoK,«'.) = ^2'2'''''"' 

WO /i, V alle Paare ganzer Zahlen durchlaufen. Est ist nun in jeder Klasse 



326 II» 2. Systeme ganzer elliptisclier Funktionen dritter Art n*^"" Stufe 
ursprüngUclier positiver Formen der Diskriminante — n eine Form der 
Gestalt [Y^f ^^r ^) nachweisbar. Nach S. 141 können wir nämlich zu- 
nächst einer beliebig vorgelegten Klasse eine Form (a, 5, c) entnehmen, 
deren dritter Koeffizient c eine gegen n teilerfremde Zahl m ist. Gehen 
wir sodann mittelst einer Transformation (4) S. 138 zu einer äqui- 
valenten Form (a , b\ c ), indem wir a = Ö = 1, /3 = 0, wählen, so sind 
die Koeffizienten der neuen Form durch: 

a = a — yh -{- y^m, h' =h — 2ymj c=m 

gegeben, und man kann wegen teilerfremder Zahlen 2 m und n über y 
so verfügen, daß b' ein Vielfaches kn von n wird. Da die Diskriminante 
nach wie vor gleich — n ist, so gilt: 

;^2^2_ 4öj'^ z=:z — n^ 

so daß a durch n teilbar ist. Schreiben wir 2~ = 1, so haben wir in 

n ' 

der vorgelegten Klasse eine Form (\ln, hn^ m) der gewünschten Gestalt 
erreicht. Endlich können wir aber von der Form f unserer Kksse durch 
eine ganzzahlige Substitution der Determinante 1: 

(8) II = aii -{- ßvy V == yii 4- 8v 

zu jeder beliebigen Form (a, h, c) der Klasse zurückgehen. Es gilt: 

und da mit /i, v zufolge (8) auch /i', v genau alle Paare ganzer Zahlen 
durchlaufen, so haben wir bei Fortlassung der oberen Indizes an den 
neuen Summationsbuchstaben /*', v an Stelle von (7) die Reihendarstellung: 

(9) 3/o(«'n'»2) = ^2'2'""'"^""^°''- 

Da mit /it, v auch immer das Zahlenpaar ft, — v auftritt, so ergeben zwei 
„entgegengesetzte" Formen (a, 6, c) und (a, — 6, c) eine und dieselbe 
Modulform 2/o^^i? ^2)- unter Erinnerung an die Substitutionen S und 
Ua, deren Wirkung auf die l^^ oben (S. 316) festgesteUt wurde, und unter 
Zusammenfassung aller Ergebnisse haben wir folgenden für später grund- 
legenden Satz gewonnen: Im Falle einer die Kongruenz w = 3 (mod 4) 
befriedigenden Slufe n liefert jede zweiseitige Klasse ursprünglicher positiver 
quadratischer Formen der Diskriminante — n und ebenso jedes Paar ent- 
gegengesetzter solcher Klassen eine ganze Modulform n*^'' Stufe (9) der Di- 
mension — 1, die gegenüber den Substitutionen der durch y = (mod n) 
erklärten Kongruenzgruppe rL(„) das Verhalfen: 

(10) 2/o(«05l + /30?2, yG)i + Ö(D,) = (^) ?/o(öi, 0^2) 



Anzahl der Modulformen yo('*'i» ®a) 327 

zeigt; die quadratische Form (a, 6, c) in (9) hann der Klasse willhiklich 
entnommen werden, die ^, v durchlaufen alle Paare ganzer Zahlen. 

In den später zu betrachtenden Einzelfällen ordnen wir die Reihen 
(9) stets nach ansteigenden Potenzen von q um. Die einzelne Modulform 
Pq ist dann in der Gestalt gegeben: 

00 

(11) yoi<^^,'o,) = ^^^Ai'•', 

« = 

wo nach der Sprechweise von S. 152 die nicht-negative ganze Zahl A. die 
Anzahl der „Darstellung evif^ der ganzen Zahl i durch die quadratische 
Form (a, &, c) angibt. 

§ 8. Die Systeme der Funktionen Z^ und der Modulformen ^^, 

Zu ähnlichen wenn auch nicht so einfachen Ergebnissen gelangt man 
im Falle eines ungeraden l. Wir dürfen hier, wie aus dem Ansätze (1) 
S. 320 hervorgeht, ohne Änderung der Funktion B^ die Zahl h um l ver- 
mehren und wollen von diesem Umstände in der Weise Gebrauch machen, 
daß wir Je stets als ungerade gewählt denken. Dann gilt: 

X -\-lX -{• nJcK ~ l (mod 2), 

so daß wir durch Eintragen der aus (12) S. 306 zu entnehmenden Reihen- 
entwicklungen der X in die Gleichung (1) S. 320 für die Entwicklung 
des bilinearen Ausdrucks B^ den Ansatz haben: 

(1) B,= -(t^/"°"""°.|%^^"''""'^ 

'SJ, .x^ + ^i + i'o —.t;— --(rUi + AMa) 

.^(-1) q ^'" e-» ; 

V und N sind Abkürzungen für folgende Ausdrücke : 

(2) v = (2vi-fl)Z-2;«, N=(2v,^+ l)ln - 21X - 2nkx, 

X durchläuft die Zahlen 0, 1, 2, . . ., Z — 1, während v^ und v^ alle ganzen 
Zahlen durchlaufen. 

Hier hat nun v gerade genau einmal alle ungeraden ganzen Zahlen zu 
durchlaufen. Für das einzelne v ist 2;c als kleinste, nicht-negative ge- 
rade Zahl, die mod? mit — v kongruent ist, bestimmt, worauf sich dann 
weiter v^ aus (2) eindeutig berechnet. Für N können wir statt des Aus- 
drucks (2) auch den folgenden setzen: 

(3) N = nlcv -\- 2lii, ft = v^n — v^nh -\- n - — X. 

Die damit eingeführte ganze Zahl ft hat dann bei stehendem i/^ wegen 



328 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n**' Stufe 

der Bedeutung von v^ gerade einmal alle mod n mit — X kongruenten 
Zahlen zu durclilaufen. 

Es sind jetzt die einzelnen Bestandteile auf der rechten Seite des 
Ansatzes (1) auf den Summationsbuchstahen fi umzurechnen. Man findet 
erstlich bei Benutzung der zweiten Gleichung (3) S. 320: 

wobei in Betracht kommt, daß wegen der ungeraden k die ganze Zahl m 
gerade ist. Es stellt sich also hier die ganzzdhlige binäre quadratische 
Form ein: 

(4) f(^, v) = 2 Ifi^ -f- 2]cniiv + ~ nvK 

Diese Form (27, 2 Jen, ~n\ ist wieder positiv und hat die negative JDis- 

kriminante: 

D == AJc^n^ — 4:lmn = — 4w. 

Die beiden ersten Koeffizienten 21 und 2 Jen haben den größten gemein- 
samen Teiler 2. Da m zufolge der zweiten Gleichung (3) S. 320 die Kon- 
gruenz m = w -f- 1 (mod 4) befriedigt, so ist m das Doppelte einer un- 
geraden Zahl oder durch 4 teilbar, je nachdem w = 1 oder = 3 (mod 4) 
ist. Die quadratische Form (4) ^5^ also ursprünglich^ oder sie hat den 
Teiler 2, je nachdem n = 1 oder = 3 (mod 4) gilt. 

Entsprechend den Gleichungen (3) S. 324 führen wir hier an Stelle 
der bisherigen Variablen u^ und u^ die neuen Variablen u und v durch 
die Gleichungen ein: 

(5) u^^u-^^^v, u^--Yi 
Dann gilt erstlich: 

2ZK + ««!) = 2l[u'+ '^uv + "-'-^i^ V') = f{u, V), 
und man findet andrerseits: 

vu^ + Nu^ = v(u + ^A — (wA;v -\- 2lfi)-^ = vu — p>v. 

Endlich ist noch das Vorzeichen unter der Summe des Ansatzes (1) um- 
zugestalten. Dies geschieht auf Grund der aus der zweiten Gleichung (3) 
folgenden Kongruenz: 

-^ + n + *'2 = f* + ^i^ (mod 2). 
Wir erklären nun im Anschluß an die Gleichung (4) S. 325 ein 
System von Funktionen Z^(m, v) durch die Festsetzung: 



Die Funktionen Z^iu, i? | (Oj, oa^) und die Modulformen Zx{(o^, co,) 329 
Als Beihenentwicklungen dieser Funktion hat man: 

WO f die quadratische Form (4) ist, (i alle der Kongruenz ft = — A (mod n) 
genügende}! ganzen Zahlen und v alle ungeraden ganzen Zahlen durchlaufen. 
Will man nur mit ursprünglichen quadratischen Formen arbeiten, so mag 
man den vorstehenden Satz nur auf die der Kongruenz n = 1 (mod 4) 
genügenden Stufen beziehen, im Falle w = 3 (mod 4) aber den Teiler 2 
der Form fortheben. Es folgt dann der Satz: Ist n^^ (mod 4), so haben 
wir als Beihendarstellung der Z^: 

unter f jetzt die ursprüngliche quadratische Form: 

(9) f=[l,kn,^n) 

der negativen Diskriminante D == — n verstanden; die Summationshedin- 
gungen für /i und v sind die bisherigen. Den Charakter von Modulformen 
n^^ Stufe haben, wie wir in Erinnerung bringen, erst die Produkte der 
Z^ und der Modulform (y^y+^o + {rii)o^ ^q i^ ^^^ (jil)o die kleinsten, nicht- 
negativen ganzen Zahlen sind, die die Kongruenzen befriedigen: 

(10) lo^-'-^, («Oo--^' (mod 4). 

Diese Produkte erfahren dann gegenüber den linearen Transformationen 
der Perioden die X^- Substitutionen, jedoch unter Ersatz von s durch f,. 
Aus den Reihenentwicklungen (7) und (8) ergibt sich, daß bei gleich- 
zeitigem Zeichen Wechsel von u und v die Funktion Zq(u, v) in sich über- 
geht, während sich die übrigen Funktionen Z^{UyV) des einzelnen Sy- 
stems nach dem Gesetze: 

transformieren. Für w = 0, t? = erhalten wir demnach aus den Zj^ des 

n -}- 1 
einzelnen Systems ein System von -——- ganzen Modulformen ( — 1)'*^ Di- 
mension Zq, z^y . , ., Zn-h ^^Iche durch Multiplikation mit (yz/)* + '<»+("^)» zu 

ganzen Modulformen n^"" Stufe werden, die gegenüber den linearen Perioden- 
transformationen die i,^- Substitutionen unter Ersatz von s durch f, erfahren. 
Als Reihen darstellungen der z^ haben wir im Falle einer mod 4 mit 1 kon- 
gruenten Zahl n: , . 

(11) ^>u<».) = ^2'(-l)''2"^' 



330 II, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n^*"" Stufe 

WO /"(ft, v) die ursprüngliche quadratische Form (4) der negativen Dis^ 
Tcriminante — ^n ist; im Falle w = 3 (mod 4) aber gilt: 

(12) ^,K,».) = ^2'(-1)''3'"'"'^' 

unter f die ursprüngliche Form (9) der negativen Dislcriminante — n ver- 
standen. Die Summationsbuclistaben /*, v sind natürlich den bisherigen 
Bedingungen unterworfen. 

Vom einzelnen Systeme der 0^ wird später insbesondere wieder die 
erste Modulform 0q{(o^, Og) benutzt, die wir bei Wiederholung der S. 325 ff. 
durchgeführten Überlegung so dargestellt finden: 



(13) 



^ f'M 






'o-^^'^-l)"«"'""' "^'<"°**'- 



fl,V 



Die quadratische Form f ist durch: 

(14) r=={2ln, 2 Jen, |) bzw. f = (Zn, Ä;w, ^) 

gegeben, während ft jetzt alle ganzen Zahlen und v alle ungeraden ganzen 
Zahlen zu durchlaufen haben. Auch die Form f hat die Diskriminante 
D = — 4w bzw. — n und ist positiv und ursprünglich. 

Es ist nun zu untersuchen, ob in jeder Klasse ursprünglicher posi- 
tiver Formen der Diskriminante — 4w bzw. — n mindestens eine Form 
der Gestalt (14) nachweisbar ist. Ist erstlich w = 1 (mod 4) und also 
7) = — 4w, so entnehmen wir der einzelnen vorgelegten Klasse eine erste 
Form (a, &, c) mit einem gegen 2 n teilerfremden c und setzen 2c = ni^ 
so daß m das Doppelte einer ungeraden Zahl ist. Wir gehen sodann zu 
einer äquivalenten Form (a', h\ c) mit den Koeffizienten: 

(15) fj^ ^a — yh ■\-y^c, h'=h — 2yc, c=c 
und können die ganze Zahl y den beiden Kongruenzen: 

l'==h — 2yc~0 (modw), ¥=l) — 2yc^2 (mod 4) 

entsprechend bestimmen, wobei für die zweite Kongruenz in Betracht 
kommt, daß die mittleren Koeffizienten der vorliegenden Formen durch- 
weg gerade Zahlen sind. Setzt man b'=21cn, so erweist sich k als un- 
gerade ganze Zahl. Für a' folgt aus: 

n i- ¥n^ = a—f 



Die Modulformen w**' Stufe Zx^fo^ , ojj) 331 

daß diese Zahl gerade und durch n teilbar ist. Setzt man dementspre- 
chend a' =» 2Zw, so folgt 1 -1- k^n =- Im und damit wegen m = 2 (mod 4): 

2l~lm = l -\-¥n = n-{-1^2 (mod 4), 

so daß l eine ungerade Zahl ist. Also haben wir in der Tat eine brauch- 
bare Form (14) in der Klasse nachgewiesen. 

Ist zweitens w = 3 (mod 4), so entnehmen wir der vorgelegten Klasse 
eine Form (a, hy c) mit einem gegen n teilerfremden c und setzen 4c== m. 
Jetzt sind die mittleren Koeffizienten ungerade. Gehen wir also durch 
die Transformation (15) zu einer äquivalenten Form («', 6', c) mit 6' = 
(mod n)y so ist 1) =lcn mit einer ungeraden Zahl Ic zu setzen. Da D = — n 
ist, so ist a' durch n teilbar. Setzt man also a =ln, so ist nur noch zu 
untersuchen, ob man hierbei ein ungerades l erreichen kann. Dies ist, 
falls w = 3 (mod 8) ist, selbstverständlich; dann gilt nämlich: 

4: ~ 1 ■{- n ^ 1 + h^n == Im = 4:cl (mod 8), 

woraus ? = 1 (mod 2) folgt. Im Falle n^l (mod 8) kann zunächst aber 
auch ein grades l auftreten. Doch ist dies, wenn c gerade ist, stets ver- 
meidbar, indem man die in der Transformation (15) auftretende ganze 
Zahl 7 nötigenfalls um w größer wählt. Ist aber c ungerade, so gehe man 
von der eben erhaltenen Form (a, &, c) = (In, hn, c) zunächst durch die 
Transformation: 

a = a, V = — 2a -\-h, c'=a — 'b-{-c-={l — k)n-\-c 

zu einer äquivalenten Form {a\ &', c) mit einem geraden, gegen n teiler- 
fremden c. Von dieser Form aus gelangt man dann wie soeben leicht zu 
einer aUen Anforderungen genügenden äquivalenten Form. Also ist auch 
für w = 3 (mod 4) in jeder ursprünglichen Klasse positiver Formen der 
Diskriminante — n eine brauchbare Form (14) enthalten. 

Wir fragen jetzt zunächst im FaUe w = 1 (mod 4), ob zwei äqui- 
valente Formen (14) verschiedene Modulformen Sq zu liefern vermögen. 
Transformieren wir durch die Substitution: 

(16) ft' = a/z- + ßvy V = yii -{- dvj 

so erhalten wir von der Form (14) aus die Form (a, &,c) der Koeffizienten: 



(17) 



a = d^2ln - rS21:n + f^, 

h = - 2ßd2ln + (ad -{- ßy)2]cn - 2aY'^, 

c = ß^2ln-ccß2kn-{-a^^' 



Die Kongruenz y = (mod2w) ist hinreichend und notwendig, damit 
(a, 6, c) wieder die Gestalt (14) hat. Zu letzterem Zwecke müssen nämlich 
erstlich y^ und ay und also y durch n teilbar sein. Außerdem aber muß 



332 n, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n*^' Stufe 

y gerade sein. Gilt andrerseits y = (mod 2w), so ist a und also c teiler- 
fremd gegen 2w, und es sind a und ö durch 2n teilbar. Übrigens gilt: 

a~<J2.2Zw = 2, h^ad'2]cn = 2 (mod 4), 

so daß in der Tat eine Form (14) vorliegt. 

Nennen wir die transformierte Form (2Z'w, 2k'ny ^), so ist einerseits 

und andrerseits ergibt sieb aus v=l, a = d=l, y = (mod 2): 
(18) (_ 1)^ = (_ 1)/* . (_ 1)A^; i;' = i;=l (mod 2); 

fi' durchläuft wieder alle ganzen Zahlen, v' alle ungeraden ganzen Zahlen- 
Die für die äquivalente Form hergestellte Modulform 2q ist also, ab- 
gesehen vom Faktor (— 1)^*, mit der ersten Modulform identisch. 

Übrigens können wir an Stelle der Form (14) jede beliebige Form 
der Klasse mit geradem ersten Koeffizienten a benutzen. Für eine solche 
Form ergibt sich aus: 



(y) — ^c = — »* ^ 3 (mod 4) , 



daß h das Doppelte einer ungeraden Zahl sein muß. Weiter folgt dann 
ac^2 (mod 4), so daß c ungerade und a das Doppelte einer uugpraden 
Zahl ist. Um in (17) eine solche Form zu erreichen, ist in (16) die Be- 
dingung 7^0 (mod 2) hinreichend und notwendig. Dann aber gelten 
wieder die Bedingungen (18) Man findet von hieraus leicht folgenden 
abschließenden Satz: Jede zweiseitige Klasse und jedes Paar entgegen- 
gesetzter Klassen ursprünglicher positiver Formen der DisJcriminante 
D = — 4w liefert im wesentlichen nur eine Modulform: 

(19) «.(«,„ o,) = '^2 (- 1)"« ' ' 



G), 



f^^ 



WO [i alle ganzen Zahlen und v alle ungeraden ganzen Zahlen durchlaufen 
und übrigens eine beliebige Form (a, 6, c) der Klasse mit geradem a zu 
wählen ist. Das Produkt von Zq und einer richtig gewählten Potenz von 
i/A gehört zur w*®" Stufe und bleibt gegenüber S unverändert, hat also 
eine Potenzreihenentwicklung nach ganzen Potenzen von q\ Aus dem 
Charakter der Zahlen a, ft, c mod 2 folgt demnach: Zur n^ Stufe gehört 
das Produkt von Zq mit (V^)* ö(?er V^? ß nachdem c^l oder = 3 
(mod 4) zutrifft. 

Im Falle n = 3 (mod 4) transformieren wir die zweite Form (14) 



Anzahl der Modulformen z^^ (co^ , o,) 333 

mittelst der Substitution (16) und gewinnen eine äquivalente Form 
(a, hy c) mit den Koeffizienten: 



.(20) 



m 
r 



a = d^ In — yd Jen -{- y^ -r 

b = - 2ß8ln + {aö + ßy)ln — 2ay^, 

c = ß^ln — aßkn -\- a^ Y' 



Damit hier wieder eine Form (14) vorliegt, muß erstlich y = (mod n) 
zutrejffen; dann sind auch sicher a und b durchs teilbar, c aber ist 
teilerfremd gegen n. Da h jetzt stets ungerade ist, haben wir nur noch 
die Forderung a^l (mod 2) zu untersuchen. Nun folgt aus der zweiten 
Oleichung (3) S. 320: 

Zm = w -f 1 (mod 8) , ^ = ^n~ln — ^ - = ^—^ (mod 2) , 

so daß sich die gestellte Forderung in die Gestalt kleidet: 

a = d'i-yd-\--'^^y^~l (mod 2) . 

Diese Kongruenz aber ist für w = 3 (mod 8) stets erfüUt, da y und d 
nicht zugleich gerade sind. Für w = 7 (mod 8) ist indes y ^0 (mod 2) 
erforderlich und hinreichend. Damit die zweite Form (14) durch eine 
Substitution (16) wieder in eine ebenso gebaute Form übergeht, ist hin- 
reichend und notwendig die Kongruenz y=0 (mod n), falls w = 3 (mod 8) 
gilt, und die Kongruenz 7/ = (mod 2w), falls ^ = 7 (mod 8) ist. 

Im FaUe n^l (mod 8) kommt daraufhin die Untersuchung leicht 
wie bei n^ 1 (mod 4) zum Abschluß. Man kann auch wieder eine be- 
liebige Form (a, b, c) der Klasse mit ungeradem a zum Gebrauche heran- 
ziehen, da beim Übergänge zu einer solchen Form die Bedingung j^ = 
(mod 2) besteht und also die Bedingungen (18) erfüllt sind. Wir finden 
den Satz: Ist n^l (mod 8), so liefert jede zweiseitige Klasse und jedes 
Paar entgegengesetzter Klassen ursprünglicher positiver Formen der Dis- 
kriminante D = — n im wesentlichen nur eine Modulform : 

(21) .„(o,,, «,,) = ^« ^(- l).2».'+».'+-, 

wo die quadratische Form (a, b, c) mit ungeradem a der Klasse beliebig zu 
entnehmen ist, während fi alle ganzen Zahlen und v alle ungeraden ganzen 
Zahlen durchlaufen. Da im vorliegenden FaUe c notwendig gerade ist, 
während a und b ungerade sind, so gehört die Form (21) unmittelbar der 
w'«» Stufe an. 



334 II, 2. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art w^"'* Stufe 

Ist endlich w = 3 (mod 8), so sind die Substitutionen (16), die eine 
Form (14) wieder in eine ebenso gebaute Form überführen, durch y = 
(mod n) charakterisiert und mod 2 keiner weiteren Beschränkung unter- 
worfen. Übt man eine Substitution (16) aus, so gilt: 

{22) (- 1)^'=(-1)V-/*»'; v = -yii+av~l (mod 2), 

und es sind diese Formeln gegenüber den sechs mod 2 inkongruenten 
Substitutionen näher zu untersuchen. Ist erstlich y = (mod 2), so 
kommen wir auf die Bedingungen (18) zurück, so daß wir im wesentlichen 
die Modulform z^ für die transformierte quadratische Form wieder ge- 
winnen. Ist zweitens a^y (mod 2), wo dann natürlich beide Zahlen a^y 
ungerade sind, so folgt ^i ^ v (mod 2), und für (— 1)" ergibt sich ent- 
weder (— 1)^', nämlich wenn ß=0 (mod 2) ist, oder aber (— 1)*''== — (— 1)^', 
nämlich wenn d = (mod 2) gilt. Wir kommen also im wesentlichen zum 
Ansätze (13) zurück, jetzt jedoch mit der Summationsbedingung ii ^ v 
(mod 2). Ist endlich oj = (mod 2), so folgt: 

(_ 1)M = (_ ly . (_ ly^ v = fi'=l (mod 2) . 

Man überzeuge sich noch, daß man stets zu den gesamten Paaren ganzer 
Zahlen ^', v gelangt, die den neuen Bedingungen genügen. 

Auch hier können wir an Stelle der Form (14) sogleich eine be- 
liebige Form der Klasse benutzen. Mit Rücksicht auf die soeben ab- 
geleiteten Ergebnisse gelangen wir zu dem Satze: Ist w = 3 (mod 8), so 
liefert jede zweiseitige Klasse und jedes Paar entgegengesetzter Klassen ur- 
sprünglicher positiver Formen der JDishriminante D = — n im wesentlichen 
drei Ansätze von Modulformen Zq, nämlich zunächst zwei Ansätze der Ge- 
stalt (21), und zwar den ersten Ansatz mit der Summationsbedingung v~l 
(mod 2), den zweiten mit der Bedingung ^^v (mod 2), sodann den drittelt 
Ansatz: 
(23) ^„ (o., CO,) = ?^ ^i- 1)^3«,..- + */- + -' 

mit der Bedingung ^~1 (mod 2); die Form (a, 6, c) ist irgendeine will- 
hürlich der Klasse entnommene. Da man aus: 

Iß — Aac = — w ^ 5 (mod 8) 

leicht folgert, daß a, 6, c durchweg ungerade sind, so gehört jetzt in 
jedem Falle das Produkt Zq ")/A zur n^^"- Stufe. 



Anzahl der Modulformen i'oC'^ii '"2^- Spezielle Transformationsgleichungen 335 

Drittes Kapitel. 

Die speziellen TransformationsgleichuDgen erster Stufe. 

Nach der S. 297 vereinbarten Sprechweise sollten die algebraischen 
Gleichungen, denen die bei Transformation w*®° Grades aus g^y ^3, A und J 
entstehenden Größen genügen, als „spezielle Transformationsgleichungen^^ 
bezeichnet werden. Insbesondere bezeichnen wir sie als spezielle Trans- 
formationsgleichungen „erster Stufe" und wollen hierzu auch noch die- 
jenigen Gleichungen rechnen, die wir für die Wurzeln 8*% 12**^ und 
248teii Qj-ades ^gj. Diskriminante z/ finden werden. Die speziellen Trans- 
formationsgleichungen entsprechen, wie oben bemerkt, den speziellen 
Teilungsgleichungen, denen sie als Resolventen zugehören. Es soll zu- 
nächst die allgemeine Theorie dieser Transformationsgleichungen erster 
Stufe entwickelt werden. Abschließende Einzeluntersuchungen über niedere 
Transformationsgrade folgen im nächsten Kapitel. 

§ 1. Die speziellen Transformationsgleichungen als Resolventen 
der speziellen Teilungsgleichungen. 

Nach S. 273 fi^". erhalten wir aus einer Modulform erster Stufe /"(coi , co^) ^) 
durch Transformation w'®" Grades im ganzen 0(n) verschiedene trans- 
formierte Funktionen fiaco^ -{-hcD^i ca^ -\- dco^), unter ^(w) die Teiler- 
summe des Transformationsgrades n verstanden. Nach der Lehre von 
den „Bepräsentanten" der 0(n) „Klassen" von Transformationen w**"" Grades 
(vgl. S. 276) können wir die ^(w) transformierten Formen in der Gestalt: 

(1) f{Ä(o^-{- B(D^, D(D.^)y ÄD = n, 0£B<D 

schreiben, wo Ay B, D positive ganze Zahlen sind, die den in (1) hinzu- 
gefügten Bedingungen genügen. Haben die Zahlen Äj B, D keinen ge- 
meinsamen Teiler, der > 1 ist, so liegt „eigentliche^^ Transformation w'*" 
Grades vor. Nach den Überlegungen von S. 276 ff. können wir uns auf 
eigentliche Transformationen w^®° Grades beschränken. Die Anzahl der 
Klassen solcher eigentlicher Transformationen w*®" Grades ist «/»(w), dieses 
Symbol tlß(n) in der bekannten Bedeutung (4) S. 220 gebraucht. Zu den 
eigentlichen Transformationen n*®" Grades gehören insbesondere die beiden 
Haupttransformationen (vgl. S. 278), von denen die erste durch J. = w, 5 = 0, 
D = 1, die zweite durch Ä = 1^ B = 0^ D = n gegeben ist. 

Die Existenz der Transformationsgleichungen erster Stufe, vorerst 
freilich unter Ausschluß derjenigen Gleichungen, die etwa für die ge- 

1) Ist die Dimension dieser Form gleich 0, so haben wir eine Modulfunktion 
erster Stufe. 



336 H» S. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe 

nannten Wurzeln der Diskriminante A bestehen mögen, ergibt sich nun 
aus folgender Überlegung: Aus der Modulform erster Stufe geht durch 
die erste Haupttransformation ?i*®^ Grades eine Modulform n*"'' Stufe: 

(2) f'(cai,(D2)=/'(woi,Ö2) 

hervor. In der Tat zeigt man sofort, daß die transformierte Form (2) }>ei 
den Substitutionen derjenigen Kongruenzgruppe n^^ Stufe unverändert bleibt, 
die durch y = (modw) erklärt ist. Durch diese Kongruenz ist aber eine 
unserer ^(w) gleichberechtigten Untergruppen F^^^^ des Index ^(n) erklärt. 
Wir zerlegen nun die Gesamtgruppe F^'"^ entsprechend dieser ^^^(n) 
in 7p (n) Nebengruppen: 

(3) PH ^ F^ + F^- V, + F^- V, + ^ • • + F^^ V^_, 

und schreiben V^ = ["' y) und speziell Fq = 1. Die Form (2) geht 

dann durch die Substitutionen der F^'"^ im ganzen in ^(w) verschiedene 
Formen über, die wir unter Benutzung der eben eingeführten Substitu- 
tionen Fy in den Gestalten anschreiben können: 

(4) /•(^ + ^) (cd,, (d,) = r(«,coi + ß^co,, y.o), + d^a>,) = 

Diese ip(n) Formen /*', /"', . . ., /W, die zu den ip(n) mit F^^^j gleich- 
berechtigten Untergruppen gehören, sind dann nach S. 279 ff. dieipin) durch 
eigentliche Transformation w*®" Grades aus /*(g3i, 033) herstellbaren trans- 
formierten Formen. 

Übt man nun auf die Argumente (Dj, Og der il;(n) transformierten 
Formen (4) irgendeine Substitution der F'"^ aus, so permutieren sich diese 
Formen. Daraus folgt, daß die symmetrischen Grundfunktionen der i/;(w) 
Formen (4) gegenüber jeder Substitution der JT^"'^ unverändert bleiben, 
also Modulformen „erster" Stufe darstellen und als solche rationale 
Funktionen von g^ und g^ sind. Wir gelangen zu dem Satze: Die 
tp(n) durch eigentliche Transformation w'*^" Grades aus einer Modul form 
erster Stufe entstehenden Modulformen n^'" Stufe sind die Lösungen einer 
Gleichung ip^^" Grades: 

(5) /V + R^(g^^ g^)fP-^ + B,(g,^ g,)f^-^ + . . . + R^{g,, g,) = 0, 

deren Koeffizienten rationale Funktionen von g^, g^ sind. In (5) haben wil- 
den allgemeinen Ansatz für die Transformationsgleichungen erster Stufe 
gewonnen. 

Wir wenden nun den Ansatz (5) auf die Formen g^y 9^, ^ und die 
Funktion J an und zeigen zunächst, daß wir hierbei in der Tat zu Re- 
solventen der speziellen Teilungsgleichung für den w*®" Teilungsgrad ge- 
führt werden. Zu diesem Zwecke ziehen wir die Gleichung (6) S. 285 



Allgemeiner Ansatz der Transformationsgleichnngen erster Stufe 337 
(unter Austausch der beiden Haupttransformationen) heran und folgern: 

(6) -...^ "(--'--^) rf^o,(-) 

wo G^ = G^ (oj, ög) die Modulform n*®' Stufe : 

n-l 

fl = l 

ist und bei den (5q^ und ^^^ der w*® Teilungsgrad vorliegt. Der einzelne 
Faktor des Produktes (6) ist bereits in (3) S. 226 eingeführt. Aus der 
Regel (4) daselbst ergibt sich, daß der Ausdruck (6) bei ungeradem n die 
Perioden o^, cog hat, bei geradem n aber die Periode Og besitzt und bei 
Vermehrung von u um co^ Zeichenwechsel erfährt. Der Ausdruck hat 
einen Pol (n — 1)**' Ordnung bei w = und (n — 1) leicht näher angeb- 
bare Nullpunkte in Periodenparallelogramm. Nach bekannten Methoden 
zeigt man leicht als Darstellung des Ausdrucks (6) in der ^-Funktion 
für ungerades n: 



während sich im Falle eines geraden n die Darstellung findet: 



5(w| 0,^,05,)« ^^^ 



Die Größe e^ gehört bei geradem n zu den ^-Teil werten, nämlich als 
ß) ^ . Für die transformier 

2 

geradem n die Darstellung: 



„ . Für die transformierte 6-Funktion ergibt sich hiernach bei un- 



w-l 



(1 = 1 



2 



(8) S (um,, ^) = «<''"= S(»| »,., CO,)» jj{m - F..), 

woran sich bei geradem n anschließt: 

Entwickeln wir jetzt rechts nach Potenzen von w, so ergibt sich in 
beiden Fällen eine Reihe der Gestalt: 

u -\- a^u^ + a^u^ -\- a^u^ + • • • ; 

wo «2^ eine ganze rationale Funktion der g^^ g^ und der Teil werte p^^ 

Fr icke, Die elliptischen Funktionen II 22 



338 H, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stute 

(vgl. Formel (7)) von der Dimension — 2v in coi, co^ ist. Die numeri- 
schen Koeffizienten dieser ganzen rationalen Funktion sind rationale 
Zahlen. Aber zufolge der linken Seiten von (8) und (9) gilt: 

1 / fo,\ n* . V 

^* === ~ 24Ö ^2 [(^v ^j = - 24Ö ^sC^C'i; ^2)^ 

^6 = - 84Ö ^3 («1, -^j = - 8iö ^3(»*«l. ^i)' 

Indem wir die beiden für jeden dieser Koeffizienten gefundenen Aus- 
drücke einander gleich setzen, ergibt sich der Satz: Die durch die erste 
Haupttransformation umgeformten Modulformen g^y g^ sind in der Gestalt: 

(10) g^inco^y (Og) = ^2(5^2; ^oA di^'^^v «2) = ^sfe, ^3; ^o,J 

als ganze rationale Funktionen der g^y g^ und der Teilwerte p^^ von den 
Dimensionen — 4 und — 6 in co^, Og niit rationalen Zahlenkoeffi dienten 
darstellbar. Auf der rechten Seite der ersten Gleichung (10) kann wegen 
der Dimension — 4 die ursprüngliche Form g^ noch nicht auftreten. Die 
etwa noch nicht „eigentliche^ zum w*®" Teilungsgrade gehörenden ^^ kann 
man nach früheren Sätzen in den Wurzeln der „irreduzibelen" Teilungs- 
gleichung ausdrücken. Man erkennt so in den transformierten Formen 
(10) „natürliche Irrationalitäten" der zum m*®"^ Teilungsgrade gehörenden 
irreduzibelen speziellen Teilungsgleichung der ^-Funktion. 

Innerhalb der Galoisschen Gruppe der speziellen Teilungsgleichung, 
die wir S. 261 auf Grund der damaligen Kongruenzen (20) darstell- 
ten, bleiben unsere Irrationalitäten bei den Permutationen derjenigen 
Untergruppe G-i_^^,.^ unverändert, die durch y^O (raod w) erklärt ist. 

Es handelt sich somit um tl;(n)-wertige Irrationalitäten, so daß die zugehörigen 
Besolventen vom Grade ip{^i) sind. Da z/ und J in g^ und ^3 rational mit ra- 
tionalen Zahlenkoeffizienten darstellbar sind, so folgt als abschließender 
Satz: Die speziellen Transformationsgleichungen if^iny^"^ Grades der Mo- 
dulformen g^, g^, J und der ModulfunUion J sind rationale Besolventen 
der speziellen Teilungsgleichung der p-FunUion; die Koeffizienten jener 
Transformationsgleichungen gehören also dem Körper (JR, g^, g^) an. 

Entsprechend diesem Ergebnisse woUen wir es als eine wesentliche 
Eigenschaft einer speziellen Transformationsgleichung erster Stufe an- 
sehen, daß sie den Gradtpin) hat und Koeffizienten des Körpers {% g^y g^) 
aufweist. Diese Eigeuschaft haben nun auch noch gewisse Gleichungen 
für die mehrfach genannten Wurzeln der Diskriminante z/. Wir gehen 
zunächst auf die in (9) S. 319 für ein gegen 6 teilerfremdes n erklärten 
ganzen Modulformen z^ip^y Og) zurück. Diese Formen zeigen gegenüber 
einer Substitution, die die Kongruenz y^O (mod w) erfüllt, das Ver- 
halten: 



Die Traiisformationsgleichungen als Resolventen der Teilnngsgleichungen 339 

(11) -^o(«fi^i -r /3«2. y(^i + ^02) = (v) ^o(«i? «2). 

WO (1 das Legen dre- Jacobische Zeichen ist. Dieses Vorzeichen ist er- 
klärt durch: 

wo rechts das Legendresche Zeichen gemeint ist und das Produkt sich 
auf alle Prim teuer von n bezieht, jeden so oft gezählt, als er in n ent- 
halten ist. Hat nun n irgendeinen Primteiler p in ungerader höchster 

Potenz, so kann man a so wählen, daß ( — J = — 1 ist, daß aber a bezüg- 
lich aUer übrigen Primteiler von n quadratischer Rest ist. Dann ist das 
Vorzeichen (12) das negative. Ist hingegen n eine gegen 6 teilerfremde 
Quadratzahl, so ist das Vorzeichen (12) stets das positive. Gegenüber 
den Substitutionen der durch y e=0 (mod n) erklärten Kongruenzgruppe 
rL/ V bleibt ^oC^^i? ^2) unverändert, falls n eine gegen 6 teilerfremde 
Quadratzahl ist; dagegen bleibt gegenüber der rL(„) erst das Quadrat von 
^q(cl)i, (02) unverändert, falls n eine nicht-quadratische gegen 6 teilerfremde 
Zahl ist. 

In den Darstellungen (9) S. 319 der Formen ^q durch die Diskrimi- 
nante z/ bedeutet (3w)o die kleinste nicht-negative, der Kongruenz (10) 
daselbst genügende Zahl. Ist n quadratisch, so findet man, daß 0q gleich 
"Y^'.d^^ ist. Der Schluß auf die Existenz einer Gleichung 1/;*^" Grades 
für diese Modulform wird durch Wiederholung der S. 336 ausgeführten 
Überlegung vollzogen: Im Falle einer gegen 6 teilerfremden Quadratzahl 
n genügt die durch die erste Gleichung: 

Fr, 

gegebene ganze Modulfm'm einer Gleichung rj)^'''^ Grades mit Koeffizienten^ 
die ganze rationale Funktionen von g^, g^ sind, während der in der zweiten 
Gleichung dargestellte Quotient eine später zu betrachtende Modulfunktion 
der r^ ist. 

Ist n nicht quadratisch, so haben wir mit der zweiten Potenz von 
Zq zu arbeiten. Man bestimme die ganze Zahl (3^)^, indem man der 
Reihe nach die acht mod 24 zu unterscheidenden n durchrechnet. Ohne 
das Verhalten der Form zl gegenüber der F^fn) zu ändern, kann man 
diese Form um eine ganze Potenz von z/ als Faktor ändern. Mit Rück- 
sicht hierauf gelangt man zu folgendem Satze, bei dem auch die quadra- 
tischen n nicht ausgeschlossen sind: Je nachdem w = 1, 5, 7 oder 11 (mod 12) 
gilty ist die erste, zweite, drifte oder vierte der folgenden ganzen Modul- 
formeii: 

22* 



340 n, 3. Die speziellen TransformationsgleicliuDgen erster Stufe 



die Wurzel einer Gleichung tp^"'' Grades, deren Koeffizienten rationale ganze 
Funktionen von g^ und g^ sind. 

Für die durch 3 teilbaren Transformationsgrade n gehen wir auf 
die Modulformen ^q{(o^, cog) zurück, deren Zusammenhang mit der Dis- 
kriminante durch (8) S. 315 gegeben ist. Es wiederholen sich dieselben 
Betrachtungen wie soeben, doch ist die Anzahl der Fallunterscheidungen 
geringer. In den Schlußergebnissen brauchen wir die gegen 3 teiler- 
fremden n nicht auszuschließen. Wir haben erstlich den Satz: Für un- 
gerade Quadratzahlen n ist die durch die erste Gleichung: 

(15) /•Ka,,) = i/ZZ', f^p}==j/^ 

gegebene ganze Modul form die Wurzel einer Gleichung z^^^" Grades, deren 
Koeffizienten rational und ganz in g^ und g^ sind. Endlich aber schließt 
sich der für alle ungeraden Grade n gültige Satz an : Je nachdem der un- 
gerade Transformationsgrad w = 1 oder e^ 3 (mod 4) ist, genügt die erste 
oder zweite der folgenden ganzen Modulformen: 



(16) f{p„ (Og) = v^'^\ = y^'^ 

einer Gleichung tjj^^^ Grades mit Koeffizienten, die rationale ganze Funk- 
tionen von g^, g-i sind. 

Soweit vierte und zwölfte Wurzeln aus Diskriminantenausdrücken 
in Betracht kommen, stellen sich die betreffenden Modulformen auf Grund 
der Relationen (4) und (5) S. 299 als rationale Funktionen der Teilwerte 
Po^ mit rationalen Zahlenkoeffizienten dar.^) Für die Formen (13) und 
(15) kommen wegen (4) S. 299 auch noch die Teilwerte p' zur Benutzung. 
In unseren Gleichungen tf^*^^ Grades erkennen wir auf diese Weise rationale 
Resolventen der speziellen Teilungsgleichungen; die Koeffizienten der Glei- 
chungen ip^^"^ Grades gehören demnach durchweg dem Körper (Üt, g^, g^) cf'^- 
Es erscheint also gerechtfertigt, die fraglichen Gleichungen den speziellen 
Transformationsgleichungen erster Stufe zuzurechnen. 

Zu einer weiteren wichtigen Resolvente ^*®'' Grades der speziellen 
Teilungleichung, die für alle Grade n^l (auch für die geraden) existiert, 
gelangen wir bei der Transformation der Perioden rj^, % ^^^ Normal- 
integrals zweiter Gattung. Die erste Haupttransformation führt uns in 
(1) S. 304 zur Größe G,{co^, o^), die infolge ihrer DarsteUung (2) S. 304 
eine zur Gruppe rL(„) gehörende ganze Modulform w**""" Stufe ist. Wir 
entwickeln zunächst für diese Form (r^ (öj, Og) aus der zweiten Dar- 



pOfi 



1) Man beachte, daß J' nach S. 338 selbst eine solche Darstellung in den 
zuläßt. 



Transformationsgleichungen für A und für G^ ((Oj , Wg) 341 

Stellung (1) S. 304 eine später zur Benutzung kommende Potenzreihe. 
Aus der Reihendarstellung (15) in I, 271 findet man bei Umordnung nach 
ansteigenden Potenzen von g für i^i die Entwicklung: 

v=l 

wo ^{y) wie üblich die Teilersumme von v ist. Tragen wir die durch 
(2) S. 298 gegebenen transformierten Perioden ein, so folgt: 

Für 0^1(01,03) ergibt sich demnach: 

G.K, .»,) = « g)' (^' +2* «>« <t' -^n0{v)q^'j. 

v=l v=l 

Ordnet man rechts beide Summen nach ansteigenden Potenzen von q zu- 
sammen, so erhalten alle Potenzen q^^ mit einem nicht durch n teilbaren 
V wieder 0(v) als Koeffizienten. Die einzelne Potenz q^^^ aber bekommt 
den Koeffizienten (^(nv) — n0{v))j d. h. die Teilersumme 0(nv) von 
nvy vermindert um die Summe aller Teiler von nvy die n als Faktor 
enthalten: Die hei der ersten Haupttransformation der Perioden ri^,% ein- 
tretende Modulform w^^"" Stufe (ti(g3i, co^) gestattet die EeiJiendarstellung : 

(18) G,{a>„ «,,) = n {^f (»^--^ +2» *„ Wä-) , 

v = l 

wo ^„(v) die Summe aller Teiler von v ist, die nicht selbst den Trans for- 
mationsgrad n als Teiler enthalten. 

Der Schluß auf die Existenz der Gleichung ip^^^ Grades für G^ wird 
wie in den obigen Fällen begründet. Als Resolvente der speziellen 
Teilungsgleichung aber ist diese Gleichung durch die Darstellung (2) 
S. 304 der Form G^ als symmetrischer Funktion der pQ charakterisiert. 
Wir merken sogleich den Satz an: Für jeden Transformationsgrad n > 1 
genügt die ganze Modulform n*®"^ Stufe G^{g)^j (O2) einer Transformations- 
gleichung erster Stufe il}(n)^^ Grades, deren Koeffizienten als ganze Funk- 
tionen von g^, g^ dem Körper (fÜ, g^, g^) angehören. 

Übrigens ist einleuchtend, daß wir ganz entsprechend wie oben die 
Zq und Iq auch die S. 3250". für ungerade n gewonnenen Formen i/q und 
Zq zum Ausgangspunkte für die Bildung von Gleichungen ^'®° Grades 
machen können. Für alle ungeraden n werden die Quadrate «/^, zl Wur- 
zeln von Gleichungen tjj^^^ Grades, deren Koeffizienten rational und ganz 
*^ 92y9s ^^d; hei ungeraden Quadratzahlen n genügen die y^, z^ seihst 
solchen Gleichungen. 



342 II, 3. Die speziellen Transformationagleichungen erster Stufe 

§ 2. Ansatz der speziellen Transformationsgleichungen. 
Greschichtliche Notizen. 

Über die Gestalt der verscliiedenen Transformationsgleichungeu, die 
in § 1 als existierend erkannt wurden, kann man auf Grund der allge- 
meinen Sätze in I, 299 ff. über Darstellung der Modulfunktionen und 
insbesondere der ganzen Modulformen erster Stufe eine Reihe allgemeiner 
Angaben macben. Jede ganze Modulform erster Stufe der Dimension — 2v 
ist als rationale ganze Funktion von ^2? ^3 ^^ ^^^ Gestalt (8) in I, 309 
darstellbar, wo die C^ ^ konstante Koeffizienten sind. Es ist nun z. B. die 
Dimension des Koeffizienten von G\'~^ in der Gleichung if;^^"^ Grades für 
Gl gleich — 2v. Wir haben also den fraglichen Koeffizienten nach der 
eben genannten Regel (8) in I, 309 anzusetzen, wobei dann die C^ „^ ratio- 
nale Zahlen werden. Die Überlegung überträgt sich sofort auch auf 
die Transformationsgleichungen für g^ und g^, deren Koeffizienten wieder 
„ganze" Modulformen erster Stufe sind: Als Ansätze für die spesiellen 
Transformationsgleichungen der Formen G^, g\^ g'^ haben wir: 

(1) Gt + «,(7,Gf -^+ «,g,(^r^+ <h!AG'r'+ '^^ff.g.Gf 

(2) //+ «;^,^;^-'+ «;?^/,^-^+ («;^i + ßs9i)9,''-'+---- 0, 

(3) g;v+ a^gJ,^-'+ «<7| + Ä^Dp^'^-^ «pI</s + «).'/;'^-H-=0, 

WO die a, ßy. . . durchweg rationale Zahlen sind. 

Bei den Gleichungen für die Modulformen (14) S. 340 kann man den 
Ansatz noch ein wenig verfeinern. Nach einem in I, 309 aufgestellten 
Satze hat eine ganze Modulform erster Stufe der Dimension — 2v im 
Diskontinuitätsbereiche der Modulgruppe F^'"^ Nullpunkte in der Gesamt- 
ordnung - • Liegt in der Spitze cj == ioo jenes Bereiches ein Nullpunkt 

der Ordnung m, so ist hierfür charakteristisch, daß die nach Potenzen 
von q fortschreitende Reihe der Modulform mit der Potenz q^'" beginnt. 
In diesem Falle ist auch noch der Quotient der Modulform und der w*®" 
Potenz z/™ der Diskriminante eine ganze Modulform erster Stufe, so daß 
die vorgelegte Form als Produkt von z/"* und einer rationalen ganzen 
Funktion der ^g? ^3 darstellbar ist. In einer ganzen Modulform erster 
Stufe, die nur in der Spitze o = ioo des Diskontinuitätsbereiches ver- 
schwindet, erkennt man leicht das Produkt einer Konstanten und einer 
Potenz von z/. Endlich beachte man für die zu vollziehenden Schlüsse, 
daß eine ganze Modulform erster Stufe in der fraglichen Spitze des Dis- 
kontinuitätsbereiches jedenfalls nur einen Nullpunkt ganzzahliger Ordnung 
haben kann; sie ist nämlich gegenüber der Substitution S invariant und 
dieserhalb nach ganzen Potenzen von q^ entwickelbar. 



Transformationsgleichnngen für G^^ g^^ g^ und J 343 

Die Modulformen (14) S. 340 haben nun die Dimensionen — 12, 
— 8, — 6 und — 2, woraus man die Dimensionen der Koeffizienten in 
den zugehörigen Transformationsgleichungen zu bestimmen hat. Die 
Potenzreihe für /"= ^]/z^'z/^^ sowie die Reihen für alle mit ihr gleichbe- 
rechtigten Formen beginnen mit Exponenten > g^ von q, woraus man leicht 
auf eine Mindestordnung des Nullpunktes der einzeluen symmetrischen 
Grundfunktion jener ^(w) Formen in der Spite co <= ^oo schließt. Speziell 
kann das Absolutglied der Transformationsgleichung als Wurzel aus 
einem Produkt von Diskriminanten nur in der fraglichen Spitze ver- 
schwinden und stellt demnach, abgesehen von einem konstanten Faktor, 
eine Potenz von z/ dar. Diese Überlegungen, die man leicht auch auf 
die drei anderen Formen (14) S. 340 ausdehnt, führen zu dem Satze: Für 
die zwölfte Wurzel der Diskriminante A hohen wir in den vier zu unterschei- 
denden Fällen w = 1, 5, 7 und 11 fmod 12) als Ansätze der Transforma- 
tionsgleichungen der Formen (14) S. 340: 

(4) r^+ a,Af^-' + {a,gl + ß,gl)Af^-' 

(5) f''+vj2^r-'+((^s9i + ß,9i)^r-' 



(6) frp+c,,Jfy^-'+ a,g,zlf^-^^ {a,gl +ß,gl)z/f^-' 

(7) r + a,AfrP-^-^a,g,Afy^-'+ cc,g,Af^-' 

wo die a, ß,. . . durchweg rationale Zahlen sind.^) 

Ahnliche Betrachtungen wird man auch bei den übrigen Transforma- 
tionsgleichungen erster Stufe für Modulformen durchführen. Bei den 
ungeraden nicht- quadratischen und durch 3 teilbaren Graden n haben 
wir mit den beiden in (16) S. 340 gegebenen Formen /"(oj, co^) zu arbei- 
ten, und zwar mitY^'A^ oder "/z^'z/, jenachdem?^= 1 oder = 3 (mod4) 
gilt. Hier besteht der Satz, bei dem übrigens auch die quadratischen n nicht 
ausgeschlossen zu werden brauchen: Ist der Transformationsgrad n durch 
3 teilbar und^ 1 (mod 4), so liegt für die Modulform f= yz/'z/^ eine Trans- 
formationsgleichung der Gestalt: 

1) Natürlich ist nicht gemeint, daß die z. B. in den drei ersten Gleichungen 
übereinstimmend gebrauchte Bezeichnung a, stets die gleiche rationale Zahl 
sein soll. 



344 II, 3. Die speziellen Traneformationsgleichungen erster Stufe 

(8) /V-l- a,z^/V-i+ {a,gl + ß,9l)Jr-' 

voTj während sich im Falle w = 3 (mod 4) für die Form f = f^z/'z/ der 
Ansatz anschließt: 



(9) /^+ «2^/-v-2+ a3^3z//-v-3+ (.,^Yv-4+ . . . + a^z/^'^^ 0. 

Endlich reihen wir noch die besonderen Transformationsgleichungen 
an, die bei quadratischen Transformationsgraden n auftreten: Für alle 
gegen 6 teilerfremden quadratischen Transformationsgeraden n genügt 
f= y^/'z/^^ einer Transformationsgleichung: 

(10) F+<^^^f^-''^{c,,g\ + ß,g\)^fy^-^ 

und für die durch 3 teilbaren ungeraden Quadrate n hat man hei der Form 
f — y^'J'' den. Ansatz: 

(11) f^+a,df^-^ + {a,gl + ß,gl)Jfy-^ 

+ («3i/| + ßz9\)^f''-'+ • • • + V^''= 0- 
Soweit die Glieder explizite angegeben sind, stimmen die Ansätze (10) 
und (11) noch überein. Die a, ß, . . . sind natürlich wieder rationale 
Zahlen. 

Die wichtigsten Transformationsgleichungen erster Stufe sind die- 
jenigen für die Modulfunktion erster Stufe J((o). Wir woUen übrigens 
hier die Gleichungen nicht für c7(tö), sondern nach Vorgang vonH. Weber 
für die Funktion: 

(12) 12V(Q)=j(cö) 

anschreiben, weil dadurch in arithmetischer Hinsicht wesentliche Vorteile 
gewonnen werden. Es gründen sich diese Vorteile auf die Potenzreihe 
für j{co)j die wir zunächst aufstellen. Aus (8) in I, 274 und (9) in I, 433 
folgt: 

12^2 = {^)\l -h 240g2 + 2160^* + 6720^6 +..•), 

^ = (^)V^(l + ^a'+ 44g^+ 192g«+ . . 0, 

wo die in den Klammern stehenden Potenzreihen durchweg ganzzahlige 
Koeffizienten besitzen. Durch Multiplikation der beiden letzten Gleichun- 
gen folgt: 

(13) ^^ = 12 vj=n(^) 



= q »(1 + 2482=' + 41243* + 347523« +■••)• 



Die TransformationsgleichuDgen für J(ca) == 12^ /(©) 345 

Durch Erheben zur dritten Potenz ergibt sich für j((d) selbst: 

(14) j((o) = ^-2+ 744 + 196884^2 + 21493760g* + • • • 
oder bei Spaltung der Koeffizienten in Primfaktoren: 

(15) i(c3) = g-2 +2^.3 -31 + 22. 33. 1823^2 ^211- 5- 2099g* +•.. 

Das Wichtige ist hier, daß der Koeffizient des ersten Gliedes gleich 1 ist 
und die Koeffizienten aller Glieder ganze Zahlen sind. 

Die ^(n) bei Transformation w*®^ Grades aus j{ai) zu gewinnenden 
Größen sind nun: 

2i7lB _2A 2iTtB 2A 

(16) j{-^^) = e ^ q ^-f- 744+ 1968846 ^ g^ + • • •, 

wo A, By D im bekannten Sinne (vgl. S. 335) gebraucht sind. Liegt co 
im Innern der o-Halbebene, so gilt dasselbe von allen transformierten 

Werten — -^ — Die symmetrischen Grundfunktionen der tp (w) trans- 
formierten Funktionen (16), in denen wir zunächst rationale Funktionen 
von j(ta) erkannten, sind demnach „ganze" rationale Funktionen von j(g>), 
da sie für keinen endlichen Wert von j unendlich werden können. Für 
die Transformationsgleichung haben wir somit den Ansatz: 

(17) /v+ Gi0-)/'^-i4- ö,(i)/v-»+ . . . + G^(j) = 0, 

WO die Koeffizienten rationale ganze Funktionen von j(tö) mit rationalen 
Zahlenkoeffizienten sind. 

Es läßt sich nun beweisen, daß die Zahlenkoeffizienten der Funktio- 
nen G{j) durchweg ganz sind. Es gilt nämlich folgender Satz: Hat eine 
ganze Funktion: 

(18) G{j) =» Coi- + Cij— 1 + cj— 2 + . . . + c^ 

von j eine Potenzreihe nach q^ mit durchweg ganzzahligen Koeffizienten, 
so müssen die Cq, q,. . ., c^ selbst ganze Zahlen sein. Man kann den Satz 
durch den Schluß der vollständigen Induktion zeigen und nehme also an, 
daß er für Funktionen (m ~ 1)*®^ Grades richtig ist. Aus (14) folgt für 
die m*® Potenz von j eine Entwicklung: 

(19) j".= g-2".+ a_„+ir'<"-'H «_»+ar'<'"-''+ • • • 

mit durchweg ganzzahligen Koeffizienten a. Das Anfangsglied der Potenz- 
reihe für G(j) ist also c^g'^"*, so daß Cq der Voraussetzung nach eine 
ganze Zahl ist. Dann aber hat (wegen der ganzzahligen a_ ^ ^ j , »_to + 2v • •) 
auch die Funktion (m — 1)*®^ Grades: 

^(i) - coi'^ cj— ^+ cgj— 2+ . . . + c'„ 



346 II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe 

eine Potenzreihe nach c^ mit ganzzahligen Koeffizienten, so daß der An- 
nahme nach auch die c^, Cg,. . ., c^ ganze Zahlen sind. Der Beweis wird 
hündig durch den Umstand, daß der Satz für Funktionen des Grades m = 
selbstverständlich ist. 

Die in (17) auftretenden ganzen Funktionen G(j) haben nun sicher 
rationale Zahlenkoeffizienten, so daß mit Rücksicht auf die Ganzzahligkeit 
der Koeffizienten in (14) die Potenzreihen für jene Funktionen G{jj) 
rationale Koeffizienten haben. Nun sind aber die (t(j) die symmetrischen 
Grundfunktionen der ^(w) transformierten Funktionen (16). Bei der Bau- 
art der Koeffizienten in (16) rechts folgt also, daß die Reihenkoeffizienten 

der G{ß) ganze Zahlen des Kreisteilungskörpers (3fl, s) sind, wo £ == e « 
ist. Ganze Zahlen dieses Körpers, die rational sind, stellen aber rationale 
ganze Zahlen dar. Also haben die Reihenentwicklungen nach Potenzen 
von c^ für die in (17) auftretenden (t(j) durchweg ganze rationale Koef- 
fizienten. Nach dem eben bewiesenen Satze sind demnach auch die Koef- 
fizienten c in den Ausdrücken (18) dieser Funktionen, wie zu beweisen 
war, ganze Zahlen. 

Ein weiterer wichtiger Satz ist, daß die Transformationsgleichung (11) 
auch in j auf den Grad t(n) ansteigt. Unter den symmetrischen Grund- 
funktionen der il^(n) transformierten Funktionen (16) wird nämlich 
das Produkt dieser Funktionen ± G^{j) bei g? = ioo stärker unendlich 
als die übrigen Funktionen G(^j). Die Ordnung des Unendlich werdens 
ergibt sich aus dem Anfangsgliede der Reihenentwicklung: 

(20) ±G^{j) = e~ '"^"i)- +..., 

WO sich die Summe auf die i^ {n) Repräsentanten für eigentliche Trans- 
formation w*®^ Grades bezieht. Ist nun n = A-D die einzelne Zerlegung 
von n in zwei positive ganzzahlige Faktoren, so durchläuft für diese J., D 
die Zahl B alle diejenigen Zahlen der Reihe 0, 1, 2, . . ., D — 1, welche 
teilerfremd gegen den größten gemeinsamen Teiler t von A und D sind. 

Es sind dies — (p (t) Zahlen B^ so daß das einzelne Paar A, D immer 
-r(p{t) Glieder der Summe in (20) liefert. Statt (20) können wir dem- 
nach auch schreiben: 

(21) ^^(i) = ±^ ^ +•••, 

wo sich die Summe auf alle Teiler A von n bezieht. Nun ist aber, da 
die einzelne Zerlegung n = AD im ganzen -r(p(ß) Repräsentanten lie- 
fert, die Anzahl il^(n) aller Repräsentanten in der Gestalt darstellbar: 



Die Transformationsgleichungen für jf(to) = 12 '/(w) 347 

(22) i,{n)^^^^{t), 

D 

WO die Summe sich wieder auf alle Teiler D von n bezieht. Also ist die 
Summe im Exponenten von (21) einfach gleich ^(w). Daraus folgt aber 
in der Tat, daß G^(j) inj auf den Grad i^(w) ansteigt. Der Koeffizient 
des Anfangsgliedes in (21) durfte sogleich gleich + 1 gesetzt werden; 
denn er ist zufolge (20) eine Einheitswurzel, und er ist andrerseits be- 
kanntlich rational. Das höchste Glied von G^(j) ist demnach + j'^, wäh- 
rend Iceine der übrigen Funktionen G(j) im Ansätze (17) den Grad il;(n) 
erreicht. 

Die algebraische Natur der Transformationsgleichungen betreffend 
notieren wir zunächst nur den folgenden gleich zu benutzenden Satz: Die 
gesamten Transformationsgleichungen i^^^^ Grades sind im Körper (JÜ,g^ygs) 
irredusihel und bleiben auch dann irredusibel, wenn man den Körper durch 
Adjunktion irgend ivelcher „numerischer" Irrationalitäten eriveitert. Den 
Beweis kann man direkt aus der Gleichberechtigung der ^(w) Wurzeln 
der einzelnen Transformationsgleichung bezüglich der Modulgruppe F^""^ 
durch dieselben Überlegungen führen, die wir S. 247 ff. für die speziellen 
Teilungsgleichungen ausführten. 

Die auf der linken Seite der Transformationsgleichung (17) stehende 
ganze ganzzahlige Funktion von / und j möge kurz F(fyj) genannt 
werden. Setzt man insbesondere / = j(w(d), der ersten Haupttransforma- 
tion entsprechend, so besteht die Gleichung: 

i^(i(w«),j((D))==o 

in o identisch und bleibt also auch gültig, wenn man — statt ca einträgt: 

Nun ist aber / = j l—j die durch die zweite Haupttransformation aus 

j{co) entstehende Funktion. Wir haben somit in F(jjf) = 0, wo / wie- 
der auf den Grad rjj(n) ansteigt, gleichfalls eine Gleichung ?/;(w)*^" Grades 
für die transformierten Funktionen /. Wegen der schon festgestellten 
Irreduzibilität ist also diese Gleichung F(jyf) = bis auf einen kon- 
stanten Faktor mit der Gleichung F{j',j) = identisch. Dieser konstante 
Faktor aber ist gleich + 1 oder — 1, da F(fyj) als höchstes Glied in j 
die Potenz + j^ hat: 

(23) FU,f)-'±F{j',j). 

Die Funktion F(f, j) ist also entweder in jy f symmetrisch gebaut oder 
wechselt bei Austausch von j und / das Zeichen. Der zweite Fall kann 
aber nicht vorliegen. Würde er gelten, so wäre F(jj j) = 0, d. h. unsere 



348 n, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe 

Gleichung ^*^'' Grades F(jJ) = für/ hätte die Lösung/ =/ so daß 
F{j\j) den Linearfaktor (/ — j) besäße. Dies widerspricht aber der 
Irreduzibilität. Also ist F{j\ j) in / und j symmetrisch. 

Da G^ij) die negativ genommene Summe der ^(72) transformierten 
Funktionen (16) ist und unter ihnen j (wo) in der Spitze ioo am stärk- 
sten unendlich wird, so gilt als Anfangsglied der Potenzreihe von G^{ji)i 

Im Ausdrucke (18) von G^ij) ist also — j" das höchste Glied. Nun ist 
zufolge (22) oder auch zufolge der ursprünglichen Erklärung (4) S. 220 
von ^(w) die Anzahl ^(w) — 1 bei primzahligem n gleich w, bei zusam- 
mengesetztem n aber stets > w. Das in F{j',j) auftretende Glied — j'"^" V" 
ist also bei primzahligem n sich selbst symmetrisch, während bei zusam- 
mengesetztem n daneben noch das Glied /"J^~^ auftritt. Unter Zusam- 
menfassung aller einzelnen Ergebnisse notieren wir den Satz: Die hei 
Transformation w*®^ Grades eintretende irreduzible Transformationsgleichung^ 
il^inf Grades für j{g)) = 12V((ö) hat die Gestalt: 

/^ + j^ + ^c,/*/=0, 

WO sich die Summe auf die Kombinationen ganzer Zahlen % l der Beihe 
0, 1, 2,. . ., ^ — 1 hesieht; die c sind der Bedingung c^, = c^J^ genügende 
ganze Zahlen, und speziell gilt hei primzahligem n, ^(;o i/>(w) == w + 1 ist^ 
c„„ = — 1, während bei zusammengesetztem Transformationsgrade c^_i,„ 
='Cn,rp-i'=- 1 zutrifft. 

Die Gleichungen (1), (2) und (3) für (r^, g'^ und g^ sind von 
F. Müller^) behandelt, und zwar in der Art, daß die Transformations- 
gleichungen (1) für G^ wirklich in Ansatz gebracht werden, während für 
^2 und ^3 rationale Ausdrücke in G^, g^y g^ notiert werden, mittels deren 
die Gleichungen (2) und (3) als Resolventen von (1) eingeführt werden. 
Die Endergebnisse sind noch sehr wenig weitgehend; es gelingt nur für 
die Transformationsgrade 2, 3 und 4 die Gleichungen wirklich anzugeben. 

Die Transformationsgleichungen für die Wurzeln der Diskriminante 
jd sind zuerst von Kiepert^) untersucht, und zwar unter Bevorzugung 
der Primzahltransformationen. Es gelingt, bis zum Grade 23 die ferti- 
gen Gestalten der Gleichungen zu gewinnen. Die Hilfsmittel zur Berech- 
nung der Koeffizienten der Transformationsgleichungen sind in den bis- 
her genannten Arbeiten die Potenzreihen der ursprünglichen und der 
transformierten Größen nach q^. 



1) „De transformatione functionum ellipticarum", Berliner Dissert. von 1867. 
Vgl. auch die weiteren Nachweise in „Enneper-Müller", S. 496 ff. 

2) „Zur Transformationstheorie der elliptischen Funktionen", Abh. 1 und 3, 
Joum. f. Math., Bd. 87 (1879) und Bd. 96 (1883). 



Geschichtliche Notizen über Transformationsgleichungen 349 

Eine Weiterbildung von grundsätzlicher Bedeutung erfuhr die Theorie 
der speziellen Transformationsgleichungen durch die von Klein ausgebil- 
dete Theorie der Modulfunktionen. Gegenüber den verschiedenartigen 
Gattungen von Transformationsgleichungen lieferte diese Theorie zunächst 
die Möglichkeit der Sichtung und sachgemäßen Anordnung, indem sie 
ein Urteil darüber lieferte, welche unter den transformierten Größen im 
einzelnen Falle als die einfachste anzusehen ist, und welches die Bezie- 
hungen der übrigen zu diesen einfachsten Größen sind. Darüber hinaus 
benutzt Klein neben den Potenzreihen die auf gruppentheoretischer und 
geometrischer Grundhige erwachsenen Hilfsmittel der Riemannschen 
Theorie der algebraischen Funktionen zur Aufstellung der Transforma- 
tionsgleichungen. Die nachfolgende Darstellung wird die großen Erfolge 
der Kleinschen Methoden darlegen. In den Vordergrund treten jetzt zu- 
nächst die Transformationsgleichungen für J{a)). Die Primzahlgrade bis 
w= 13 behandelte Klein selbst^); im Anschluß hieran stellte J. Gierster^) 
für einige niedere zusammengesetzte Grade Untersuchungen über die 
Transformationsgleichungen von J{(o) an. Später sind diese Untersuchun- 
gen dann von Kiepert^) aufgenommen und wesentlich auch mit dem 
Hilfsmittel der Reihenentwicklungen gefördert. Eine Behandlung der 
Transformationsgleichungen für die Wurzeln der Diskriminante vom 
Standpunkte der Theorie der Modulfunktionen gab A. Hurwitz.*) 



§ 3. Das Trans formationspolygon T^ und die 
Transformationsfläche F^. 

Die von Klein eingeführte Methode zur Behandlung der Transforma- 
tionsgleichungen gründet sich auf die Diskontinuitätshereiche der Kon- 
gruenzgruppen T^^^j (vgl. I, 233). Wir haben vielfach die zu den 
beiden Haupttrans- 
formationen w*®" 
Grades gehörenden 
Untergruppen ne- 
beneinander zu be- 
trachten und unter- 
scheiden sie dieser- 
halb durch die 




1) „Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung 
der Gleichungen fünften Grades", Math. Ann., Bd. 14 (1878). 

2) „Notiz über Modulargleichungen bei zusammengesetztem Transformations- 
grad", Math. Ann., Bd. 14 (1879). 

3) „Über die Transformation der elliptischen Funktionen bei zusammen- 
gesetztem Transformationsgrad'*, Math. Ann., Bd. 32 (1888). 

4) „Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen 
und Theorie der Multiplikatorgleichungen erster Stufe", Math. Ann., Bd. 18 (1881). 



350 II> 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe 

Bezeiclinungeii T^^^^ und T' , ^. Die zur ersten Haupttransformation ge- 
hörende r^^n) ^s* durch 7 = (mod>2) charakterisiert, die F' . aber durch 
/3i=0 (mod n). Die in der co-Halbebene gelegenen Diskontinuitätsbereiche 
dieser Gruppen können wir in der Gestalt von Kreisbogenpolygonen 
wählen, die wir ,jTransformationspolygone" nennen und durch T„ bzw. T'„ 
bezeichnen. 

Als Beispiel betrachten wir zunächst das zum Grade n = 7 gehörende 
Transformationspolygon T^. Entsprechend dem Index ^(7) = 8 der 
Gruppe können wir T^ aus acht Doppeldreiecken des Netzes der o-Halb- 
ebene aufbauen, die sich zu dem in Fig. 1, S. 349, angegebenen Polygone zu- 
sammenordnen. Wir bezeichnen diese acht Doppeldreiecke durch die Sub- 
stitution (*^'^), mittels deren sie aus dem als Diskontinuitätsbereich der 

Gesamtgruppe F == F^^^ in I, 295 ausgewählten Doppeldreiecke hervor- 
gehen. Es handelt sich dann in Fig. 1 um die acht Doppeldreiecke: 

(') g:)- m> ca^ m> cay 

Man stellt leicht fest, daß keine zwei unter diesen Doppeldreiecken be- 
züglich der F',^. äquivalent sind. Die acht in (1) gegebenen Substitutio- 
nen Fq = 1, Fl, . . ., F7 können wir demnach zur Zerlegung der Gruppe F 
in acht Nebengruppen: 

r = r;,„ + r;„„ • r, + r;„, • f, + • • • + r;„ • f, 

benutzen. Da hier rechts jede Substitution von F einmal und nur einmal 
auftritt, so ist jedes Doppeldreieck des die ganze co-Halbebene bedecken- 
den Netzes bezüglich der F'^ mit einem und nur einem der acht Dop- 
peldreiecke Fq, Fl, Fg, . . ., F7 des Polygons T^ äquivalent. Daraus aber 
geht hervor, daß T^ tatsächlich ein Diskontinuitätsbereich der Gruppe 

Irgendein dem Polygone T,' unmittelbar benachbartes Doppeldreieck 
des Netzes ist natürlich auch mit einem der acht Doppeldreiecke von T,' 
bezüglich F' äquivalent. Dies hat zur Folge, daß die am Rande von 
T7 liegenden Dreiecksseiten zu Paaren bezüglich der F^^^^ äquivalent sind, 
und zwar immer die Seite eines schraffierten Dreiecks mit der eines freien. 
Man zählt zunächst 16 solche am Rande liegende Seiten ab. Doch können 
wir mehrere zu Seitenketten zusammenfassen und haben in Fig. 1 insbe- 
sondere immer diejenigen Seiten, die einen Kreisbogen (eine Polygonseite) 
bilden, zusammengenommen und mit einer Nummer versehen. Die Zu- 
sammenordnung dieser Polygonseiten regelt sich dann wie folgt durch 
Substitutionen der Gruppe F'-. 



Die Tranaformationspolygone T, und T7 



351 



Neben der Zuordnung der Seiten ist jedesmal die Substitution angegeben, 
welche diese Zuordnung vermittelt. Wie man sieht, gehören alle vier hier 
auftretenden Substitutionen in der Tat zur Gruppe I^/,/^y 

Übt man auf T^ der Reihe nach die acht Substitutionen (1) aus, so 
gewinnt man die Diskontinuitätsbereiche der acht mit J^^^^ gleichberech- 
tigten Kongruenzgrup- 
pen, Die ersten sieben 
Substitutionen (1) er- 
geben einfach Translatio- 
nen von T7 in Richtung 
der reellen ca-Achse. Eine 
Änderung der Gestalt 
wird indessen durch die 
in (1) an letzter Stelle 
genannte Substitution T 
geliefert, die zu dem 
in Fiop. 2 abcrebildeten 
Transformationspolygone 
T7 hinführt. Der Deut- 
lichkeit halber ist die 
Längeneinheit in dieser 
Zeichnung weit größer 
als in Fig. 1 gewählt. 
Die Beziehung der Rand- 
kurven aufeinander ist 





hier durch 
{, — r 



Substitutionen 
1. — r 



geregelt:. 

Diese Substitutionen, die aus den Substitutionen (2) einfach durch Trans- 
formation mit T hervorgehen, gehören in der Tat alle zur Gruppe rL«^. 
Die Polygone T„ stehen nun zu den Transformationsgleichungen 
F{j', j) = in nächster Beziehung, wie zunächst wieder am Beispiele- 
n = 1 dargelegt werden soll. Wir knüpfen an das besonders über- 
sichtliche Polygon T7 der Fig. 1 an und bilden dieses mittels der Funk- 
tion j(ct)) auf die j-Ebene ab. Wir erhalten eine achtblättrige, zunächst 
noch zerschnittene Riemannsche Fläche F, mit einem in sich zurück- 
laufenden Schnitte, der vom Polygonrande herrührt. Die den Seiten 1 
bis 8 des Polygons entsprechenden Schnittränder liegen aber jetzt so, 
daß je zwei durch eine Substitution (2) einander zugeordnete Uferpunkte 
übereinander liegen. Indem wir entsprechend der Zuordnung (2) die 
Schnittränder aneinander heften, ergibt sich eine geschlossene Riemannsche 



352 II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe 

Fläche über der j-Ebene, die wir als „Transformationsfläche" F^ be- 
zeichnen. ^) 

Die Fläche F^ kann Verzweigungspunkte nur an den drei Stellen 
j = 0, 12^ y cx) haben, da übrigens die o-Halbebene auf die Ebene der 
Funktion j(a)) konform bezogen ist. Um mit j = oo zu beginnen, so lesen 
wir aus Fig. 1 zunächst ab, daß 14 einfache Dreiecke von T^ mit ihren 
Spitzen nach o = i(x> laufen. Indem wir vom Rande 1 bis zum Rande 8 
diese 1 4 Dreiecke durchlaufen, beschreiben wir eine Linie, die auf F^ einen 
geschlossenen Umlauf um einen bei j = oo gelegenen Verzweigungspunkt 
liefert. Also haben wir an der Stelle j = oo einen siebenblättrigen Ver- 
zweigungspunkt, während das achte Blatt der Spitze co = entsprechend 
isoliert verläuft. Die Stellen j = rühren von den Ecken unserer Kreis- 
bogendreiecke mit den Winkeln ^- her, also von den Punkten o = q, 

(> ib 1? (^ ib 2, . . . der Fig. 1, unter q die dritte Einheitswurzel ^ 

verstanden. Betrachten wir zuerst die beiden Punkte (d = q und cö = (> -f 1 
der Seiten 4 und 5, die durch die dritte Substitution (2) aufeinander 
bezogen sind, so ist aus Fig. 1 einleuchtend, daß der Umlauf um die zu- 
gehörige Stelle der F^ sich erst nach Durchschreiten von sechs j-Halb- 
blättern schließt. Wir gelangen also hier zu einem dreiblättrigen Ver- 
zweigungspunkte. Anders verhält sich z. B. der Punkt co == — 2 -f (>, der 
zufolge der Zuordnung der Seiten 2 und 3 zu einem bei j == isoliert ver- 
laufenden Blatte führt. Durch Fortsetzung der Betrachtung gelangt man 
zu folgendem Satze: Unsere achtUättrige Transformationsfläche F^ ist nur 
an den Stellen j = 0, 12^, oo verzweigt, und zwar hat man hei j = zwei 
dreiblättrige VerzweigungspunJcte und zwei isoliert verlaufende Blätter, hei 
j = 12^ vier zweiblättrige Verzweigungspunkte und hei j -= oo einen sieben- 
blättrigen Verzweigungspunlct und ein isoliert verlaufendes Blatt. 

Zwischen der geschlossenen Fläche F^ und der C3-Halbebene besteht 
nun eine l-oo- deutige Beziehung von der Art, wie wir sie in I, 303 
zwischen der J-Ebene und der 03-Halbebene fanden. Der einzelnen Stelle 
der F7 entsprechen unendlich viele Punkte der co-Halbebene, die bezüglich 
der r',„. äquivalent sind; umgekehrt liefert jedes System bezüglich der 
r'^. äquivalenter Punkte co eine Stelle der F7. Die Folge ist, daß die 

durch die zweite Haupttransformation zu gewinnende Funktion j ( yj , 
die zur r'^ gehört, von der o-Halbebene auf die F7 verpflanzt, daselbst 
eine eindeutige, und zwar algebraische Funktion liefert. Somit hängen 



1) Hier bedeutet also der Index 7 nicht, wie in I, 49 ff"., die Blätteranzahl der 
Fläche, sondern den Transformationsgrad. 



Die Transfonnationsfläche für den Grad 7 



353 



j' = j(^\ und j = j{(o) als eindeutige algebraische FunMionen unserer F^ 

durch eine algebraische Belation zusammen, und eben diese Relation ist 
unsere Transformationsgleichung. Um dies noch etwas näher darzulegen, 
bemerken wir, daß durch Angabe eines Wertes j acht Punkte der F-^ fest- 
gelegt sind, denen acht bezüglich der Gesamtgruppe F äquivalente Punkte 
im Bereiche T, zugehören. Ist unter ihnen co der im Diskontinuitäts- 
bereiche der F^'"^ gelegene Punkt, so sind die sieben weiteren o + 1, 

ö + 2 , CD -t 3 , An diesen acht Stellen finden folgende Werte der 

transformierten Funktion statt: 

j{y), ^{'-i~)r ^'(""r-')' ■^'C^*")' Kt^)=^^^'"'^- 

Dies sind aber genau die acht verschiedenen durch Transformation sieben- 
ten Grades von j(g)) zu gewinnenden Funktionen, die, wie wir wissen, in 
der Tat die acht Lösungen der Transformationsgleichung sind. 

Das Transformationspolygon T^ für beliebigen ungeraden Primzahl- 
grad n ist, wie wir noch an weiteren Beispielen darlegen werden, entsprechend 

durch n nebeneinander gereihte Doppeldreiecke L'\ (q~-^), (o~i)'*-' 

(n 1 ~ ) ^^^ ^^^ inmitten unten angehängte Doppeldreieck ( ' j 

zusammensetzbar. Nicht so leicht zu übersehen ist indessen die Gestalt 
von T^ bei zusammengest 
wir mit einer Unter- 
gruppe des Index i^(6) 
= 12 zu tun haben. Das 
Polygon Tg ist in Fig. 3 
dargestellt. Hier liegt in 
der Tat ein aus 24 ein- 
fachen Dreiecken zusam- 
mengesetzter Bereich vor, 
von denen 12 schraf- 
fiert und 12 frei sind. Man kann zeigen, daß keine zwei gleichartige 
Dreiecke durch eine Substitution der F'^. zusammenhängen. Die sechs 
mit Ziffern bezeichneten Seiten dieses Sechsecks sind nach folgender 
Regel eiiiander zugeordnet: 

i^^'ftDi 2-^'G:1)^ «-^'G;.)- 

Diese Substitutionen gehören in der Tat der Gruppe F'^. an. Die Trans- 
formation von Tg mittels der Substitution T liefert das Polygon Tg, das 



em n. Als Beispiel 


di€ 


me 


der 


JH'aü 


n = 


= ö, 


wo 




p^ 




V- 




r — 
















-: 














































^/^i 


r 


? 


H 


H 


^ 


r 


A 


t^ 


^ 


H 


^ 


--3 «»0 ««-2 












Fi 


?. 3. 













Fricke, Die elliptischen Funktionen II 



23 



354 n, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe 

in Fig. 4 dargestellt ist. Der Deutlichkeit halber liegt dieser Figur wie- 
der ein weit größerer Maßstab zugrunde als der Fig. 3. 

Durch Abbildung des Transformationspolygons T^ mittels der Funk- 
tion j(g)) gewin- 



nen wir für jeden 
Grad n eine ge- 
schlossene ^(w)- 
blättrige Rie- 
mann sehe Fläche 
über der j-Ebene, 
die wir wieder 
als „Transforma- 
tions fläche" FJße- 
zeichnen. Eine 
Frage von grund- 
sätzlicher Bedeu- 
tung ist, wie groß 
das Geschlecht p 
der Fläche F„ ist: 
wir wollen diese 
Zahl p auch das 
Geschlecht des 
Transformations- 
polygons T^ nen- 
nen und genauer 
durch p (n) bezeichnen. Die ifj (n) Blätter der F^ sind den ip (n) Repräsentanten 

(A 7?\ 
' j für eigentliche Transformation w*®" Grades eindeutig zugeordnet. Wir 

nehmen co im Diskontinuitätsbereiche der r'^^") an und wählen eine ein- 
zelne transformierte Funktion j \—^jr- — ) , deren Werte wir auf dem zu-^ 

gehörigen Blatte der F„ aufgetragen denken Umlaufen wir von jenem 
Blatte aus den Punkt j = oo etwa v Male, so kommt dies darauf hinaus, 
daß wir durch iz-malige Ausübung der Substitution S nach o' = (o -{- v 

gehen. Dabei aber wird jl — fr~) ^^ ji — " y^ — ) übergeführt. Um 

nun festzustellen, wie viele Blätter in dem fraglichen Punkte j = oo zu- 
sammenhängen, hat man die kleinste positive Zahl v anzugeben, für 

welche die Transformation ( ' ~^ j wieder durch die anfängliche 
( o' b) repräsentiert wird. Hierzu ist hinreichend und notwendig, daß in 
der Gruppe F^«") eine Substitution F= \ ^ existiert, für die: 




Verzweigung der Transformationsfläclie 355 

gilt. Es folgt: 

Ist also t der größte gemeinsame Teiler von A und Z), so ist: 

D 3 A 

Wir erhalten also einen -— - blättrigen Verzweigungspunkt , so daß die 
Blätteranzahl allein von D abhängt. Bei stehendem I) ht A = jr ^^^ -^ 

durchläuft, um alle zugehörigen Repräsentanten der ,,eigentlichen^' Trans- 
formationen n^^^ Grade für dieses Zahlenpaar J., D zu gewinnen, alle 
gegen t teilerfremden ganzen Zahlen des Intervalles ^B <i D. Dies 

sind — (p (f) Zahlen J5, so daß wir für das einzelne D im ganzen (p (f) je 

— - blättrige VerzweigungspunJäe finden. Durchläuft D alle Teiler von w, 
t 

so erschöpfen wir alle ip(n) Blätter von F^; wir gelangen dabei zu der 

schon unter (22) S. 347 aufgestellten Gleichung zurück. 

Von dem zu j\-~fj^) gehörenden Blatte der Fläche aus soll jetzt 

die Stelle j = 12^ einmal umlaufen werden, was auf die Ausübung der 
Transformation T auf co hinausläuft. Zweimaliger Umlauf um diese Stelle 
führt stets zum ersten Blatte zurück, einmaliger Umlauf aber stets und 

nur dann, wenn bereits die Transformation — ^:r- — wieder durch — .=f— 

repräsentiert wird, d.h. wenn es eine Substitution V = [ J gibt, für die 

B(o—A ___ y(Aa> -j-B\ _ uA(o + {aB-{- ßD) 
~Drä ^ \ D j "~ yÄa 4- {yB + SD) 

gilt. Diese Forderung ist gleichbedeutend mit den vier Bedingungen: 

aA=B, aB + ßB = ~-A, yA = B, yB+dB==0. 

Wegen der dritten Gleichung gilt y =^ 0. Wäre a = 0, so wäre 7=1, 
B == Oy A = B ==yny was aber selbst bei quadratischem n unzulässig ist, 
da keine eigentliche Transformation n^^^ Grades vorliegen würde. Somit 
gilt a 4= 0, y =^ Oj so daß ^ in J5 und B zugleich aufgeht und also gleich 
1 ist. Man gewinnt A= 1, B = n und damit 

a = B, r = n, d = -B, ^ = _ ?l±i . 

Damit ß ganzzahlig ausfällt, haben wir nur diejenigen Zahlen B des Inter- 
valls ^ jB< w zuzulassen, für welche die Kongruenz: 

(3) J52-fl-0 (modn) 

23* 



356 II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe 

erfüllt ist. Die Anzahl inkongruenter Lösungen dieser Kongruenz möge 
durch ^i(w) bezeichnet werden. Dann gilt der Satz: Beij = 12^ verlaufen 
ftj(w) Blätter der Fläche F„ isoliert, während die übrigen m Paaren in 
j(tf^in) — ^i(n)) Versweigungspunlden msammenhängen. 

Für die Stelle j == kommt an Stelle von S und T die Substitution 

U(c)) = ^£^- zur Benutzung. Nach dreimaligem Umlaufe um die Stelle 
j = gelangt man vom Blatte der Funktion j ("— ^-) stets zu diesem 
Blatte zurück. Das Blatt aber verläuft isoliert, so oft es eine Substitution 
Y z= p' M gibt, für die die Gleichung zutrifft: 



{A — B)(o-\-A ^ yf A(0+B \ ^ ccAai-\-{aB-\-ßB) 



— Da \ D I yAa) + {yB-\-aD) 

Dies führt auf die vier Bedingungen: 

aÄ^-Ä-B, aB+ßD = A, yÄ=--D, 'yB+dD=^0. • 

Aus der dritten Gleichung folgt wieder 7 =4= 0. Durch Elimination von 
D aus der zweiten und vierten Gleichung gewinnt man B = 8A. Wäre 
nun d «= 0, so wäre B ^ 0, y = — lyÄ = D = ]/n, was ausgeschlossen 
ist. Also gilt ^ + Ö, so daß Ä als gemeinsamer Teiler von B und D 
gleich 1 ist. Man hat demnach Ä = 1, I) = n und findet: 

Jetzt handelt es sich also um diejenigen B des Intervalles ^ ^ < w, 
für welche die Kongruenz: 

(4) B^-B+1^0 (modn) 

erfüllt ist. Bezeichnet man die Anzahl inkongruenter Lösungen dieser 
Kongruenz durch /*oW> ^^ ^^^ man den Satz: Bei j = verlaufen f*oW 
Blätter der Fläche F„ isoliert, während die übrigen su je dreien in 
\{^{n) — ii^in)) Verzweigungspunhten msammenhängen. 

Das Geschlecht p{n) der F„ berechnen wir jetzt nach (4) in I, 88 
und finden: 

p(w)=-^(w) 4- 1 + i(^(w)-^,(w)) -f-K^(**)-i^oW)+ i ^9^(0(7-1) 

D 

Mit Hilfe der Relation (22) S. 347 läßt sich die rechte Seite dieser 
Gleichung noch wesentlich zusammenziehen: Das Geschlecht p(n) der mm 
Grade n gehörenden Transformationsfläche F„ und damit des Transforma- 
tionspolygons T„ ist: 

(5) p(n) = 1 + A *(n) - \ii, {n) - yM - j^fCO- 

D 



Geschlecht der Transfonnationsfläche 357 

Die Transformationsgrade bis n=12 verteilen sich auf die Geschlecliter 
^ = bis ^ = 9 in folgender Art: 

p = 0, w = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, 25, 

p = 1 , w = 11, 14, 15, 17, in, 20, 21, 24, 27, 32, 36, 49, 

p = 2, w = 22, 23, 26, 28, 29, 31, 37, 50, 

p = 3, w = 30, 33, 34, 35, 39, 40, 41, 43, 45, 48, 64, 

p = 4 , w == 38, 44, 47, 53, 54, 61, 

p = 5 , w = 42, 46, 51, 52, 55, 56, 57, 59, 63, 65, 67, 72, 

^ = 6, w = 58, 71, 

p = l , w = 60, 62, 68, 69, 

jt) = 9, w = 66, 70. 

§ 4. Die erweiterte Gruppe P^") und das Klassenpolygon Kn • 

Unter W und W verstehen wir die linearen Substitutionen der 
Periode 2 und der Determinante n: 

(1) <o'=TF(«,) = =-^, a,'=TF'(«)-=-^- 

Die folgende Entwicklung gründet sich auf die Tatsache, daß die zu den 
Haupttransformationen w'^" Grades gehörenden Gruppen F^fj^n) ^^^ ^y^M 
durch W hzw. W in sich transformiert werden: 

(2) w-^■^^^„yw = ^^^„,, TF'-.r^„.i¥'=r;„. 

Eine Substitution F= T' ^j wird nämlich durch W in: 



\ -nß, u } 



transformiert. Ist V in jT^^^^ enthalten, so gilt y = (mod w), so daß 
auch y eine ganzzahlige Substitution der Determinante 1 mit einem durch 
n teilbaren dritten Koeffizienten ist. Also ist Y' in T^^^^^ enthalten. Auch 
ist leicht einzusehen, daß man in den W~^' V- W wieder die ganze rL(„) 
gewinnt, wenn V diese Gruppe durchläuft. Damit ist die erste Gleichung 
(2) bewiesen; die zweite ergibt sich entsprechend. 

Die Gleichungen (2) kann man auch in die Gestalten setzen: 

aus denen hervorgeht, daß die Gruppen F^,^) und -T' . mit TF bzw. W 
vertauschbar sind. Hieraus aber folgt weiter, daß die Gruppen r^^„) 
und F' durch Zusatz W hsw. W zu zwei Gruppen: 



358 



II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungeu erster Stufe 



et'weitert werden, in denen die ursprünglichen F^^^^ und F' ,. ausgezeich- 
nete Untergruppen des Index 2 sind. 

Wie in I, 296 verstehen wir unter ü die Substitution ,,zweiter Art" 
ö' = Ü{c3) = — ö, wo G3 der zu o konjugiert komplexe Wert ist. Diese 
Substitution, die geometrisch die Spiegelung an der imaginären o- Achse 

bedeutet, übt auf eine beliebige Substitution V= y' ^\ die Wirkung aus: 

Jede der vier Gruppen r^(„), ^'y,(^n)y ^^"\ ^'^"^ ^^^ ^^^^ ^^^ ^ vertauschhar 
und wird entsprechend durch Zusatz von U zu einer erweiterten Gruppe 
ausgestaltet, in der die ursprüngliche wieder eine ausgezeichnete Untergruppe 
des Index 2 ist. Wir bezeichnen diese Gruppen durch F^^^^^y ^\r{n)y -^"^^ Al'5 
für JT^"^ haben wir die Darstellung: 



r(") 



xp[n) 



+ r^(„)- -^FH- r^(„)- c^H-r^(„)- TT- u, 



und eine entsprechende Darstellung gilt für F'^"'\ 

Die Substitutionen zweiter Art W- U und W • Ü mögen durch W 
und W bezeichnet werden: 

1 

n ä' 



(4) 



oj' = W(oj) = 



G) 



W\Gi) = 




sie stellen Spiege- 
lungen an den 
Kreisen der Radien 

—= und Vn um 

den Nullpunkt 
= dar. Die 
Substitutionen W 
und W erster Art 
können dann auch 
aus den Spiege- 
lungen Ü,W,W' 
in den Gestalten 
hergestellt wer- 
den: 

w=wu, 

Indem man nun 
auf den Diskonti- 
nuitätsbereich T„ 
der r^(„^ die Sub- 



Übereinandertragung der Polygone T„ und T^ 359 

stitution W ausübt, gewinnt man entsprechend der ersten Gleicliung (2) 
wieder einen Diskontinuitätsbereich dieser Gruppe. Die Transformation 
von T„ durch W können wir aber durch die beiden hintereinander aus- 
zuübenden Spiegelungen W, U ersetzen. Im Falle n = Q wird das in 
Fig. 4 dargestellte Polygon Tg durch W bzw. durch W und U unmittel- 
bar in sich transformiert, wie Fig. 5 erläutert. In dieser Figur sind zwei 
Dreiecksnetze übereinander getragen. Das Netz mit der Vertikalschraf- 
fierung stellt das Polygon Fg wie in Fig. 4 dar. Durch die Spiegelung ü 
geht dies Netz in sich über. Durch die Spiegelung W an dem in der 

Figur stark ausgezogenen Kreise des Radius —= gelangt man zu dem 

Netze mit der Horizontalschraffierung. In dieses Netz geht also das ur- 
sprüngliche Netz durch die Substitution W über. 

Nicht immer kommt das durch W oder ü und W transformierte 
Polygon T„ unmittelbar mit seiner ursprünglichen Gestalt zur Deckung. 
So erkennt man z. B. in der den Fall w = 7 erläuternden Fig. 6, daß die 
beiden^j^Netze nicht glatt zur Deckung kommen, sondern ein wenig über- 
einander hinweggreifen. Je ein überschießender Bestandteil des einen 
Netzes ist dann natürlich mit einem solchen des anderen Netzes bezüg- 
lich der r'^(„) äquivalent. Man könnte freilich die Anordnung stets so 
treffen, daß der Bereich T„ bei Ausübung von W genau in sich selbst 
übergeht. Nur müßte man dann die Randkurven von T^ gelegentlich 
durch das Innere von 



Dreiecken führen,was 
man sich an Fig. 6 
näher veranschauli- 
chen woUe. 

In den beiden 
Figuren 5 und 6 tritt 
noch eine weitere 
Tatsache hervor. Das 
Dreiecksnetz des Po- 
lygons T„ geht bei 
Ausübung der Trans- 
formation W in das 
im Verhältnis von n 
zu 1 verkleinerte 

Dreiecksnetz des 
Transformationspo- 



lygons t; der r;^^^ 

über. Dies ist rech- 
nerisch unmittelbar 




360 n, 3. Die speziellen Trans form ationsgleichungen erster Stufe 

einleuchtend. Setzen wir nämlicli 

(5) ' nc3 = Sl, 

so trifft im Punkte C3 = — bereits Sl = l zu, so daß das zu Sl gehörende 

1 



Dreiecksnetz gegenüber dem ursprünglichen auf 
Nun wird durch (5) die Substitution: 



verkleinert erscheint. 



(6) 



CD = 



cca -\- ß 



m 



ß' = 



ciSl-i-nß 



transformiert, so daß wir, wenn j^ = (mod n) gilt, rechts in der Tat eine 
ganzzahlige Substitution der Determinante 1 gewinnen, deren „zweiter" 
Koeffizient durch n teilbar ist. Durch (5) wird also die Gruppe r^f„) in 
r\ , . transformiert. 

Wir gehen nun genauer auf die unter (3) gewonnene Gruppe JT^"^ 
ein. Die Neben gruppe T^^^^ • W besteht aus allen ganzzahligen Sub- 
stitutionen P' U , die die Bedingungen: 

(7) ad — ßy ^n, a = y = d = (mod w) 

befriedigen. Es soll festgestellt werden, welche unter diesen Substitutionen 
elliptisch oder parabolisch sind. Da die zweite Potenz jeder Substitution 
der Nebengruppe r^^in) • W in der -r^(„) enthalten ist, so hat eine ellip- 
tische Substitution unter ihnen eine der Perioden 2, 4 oder 6 und erzeugt 
dann eine zyklische Untergruppe G^j G^ oder G^. Wir untersuchen zu- 
nächst die Möglichkeit der Perioden 4 oder 6. Die zweite Potenz einer 



Substitution r ' ^j der Nebengruppe r^(„^ 
1 reduziert, die Gestalt: 



W hat, auf die Determinante 




Soll diese Substitution die Periode 2 oder 3 haben, so muß die Summe 
des ersten und vierten Koeffizienten gleich bzw. + 1 sein: 



(8) 



«2+ 2/37 + ^2 (a + d)2_2n 



bzw. = + 1 




Im ersten Falle ist also (a -f ^)^ = 2n. Da nun (a -f ö) 
ein Vielfaches von n ist, so ist 2w durch n^ teilbar, 
so daß einzig w = 2 zulässig ist. Allein in der hei 
n = 2 eintretenden F^^^ IcÖnnen elliptische Substitutionen 
der Periode 4 auftreten. Wie man in Fig. 7 sieht, ist 
der Diskontinuitätsbereich der T^^^ ein Kreisbogen- 



dreieck der Winkel 



7t 



, 0, so daß sich in der F^^^ 



tatsächlich ein System gleichberechtigter zyklischer G^ 



Elliptische und parabolische Substitutionen in der Nebengruppe F^W 361 

findet. Für die Periode 6 ist nur (a -\- öy = 3n brauclibar. Man gelangt wie 
soeben leicht zu dem Satze: Allein in der hei w = 3 eintretenden F^^^ 
können elliptische Substitutionen der Periode 6 auftreten. Der in Fig. 8 
dargestellte Diskontinuitätsbereich der F^^^ ist ein Kreisbogendreieck der 
Winkel -- , „ , und zeigt somit, daß in der F^^^ ein System gleich- 
berechtigter zyklischer Gq auftritt. 

Ehe wir die Periode 2 betrachten, soll die Möglichkeit parabolischer 
Substitutionen in der Nebengruppe r^^^^- TT untersucht werden. Hier muß 
der in (8) links stehende Ausdruck 
gleich + 2 sein. Doch ist nur 




das obere Zeichen brauchbar, da das untere zu « + d = und also zu 
den elliptischen Substitutionen der Periode 2 führt. Aus (a 4- öy = An 
folgt wie oben der Satz: Nur in der zu n = 4, gehörenden F^^^ können 
parabolische Substitutionen innerhalb der Nebengruppe F^ u) • W auf- 
treten. Daß sie wirklich auftreten, zeigt der in Fig. 9 dargestellte Dis- 
kontinuitätsbereich der F^^\ der ein Kreisbogendreieck der Winkel 
— , 0, ist-, zur Spitze (x) = — j gehört die der F^^^ angehörende parabo- 
lische Substitution ( ' J, die noch nicht in der rL(4) enthalten ist. 

Es bleibt der Fall der elliptischen Substitutionen der Periode 2, der 
zu einem wichtigen Ergebnisse hinführen wird. Soll die Substitution 

("' U der Nebengruppe F^^^^y W die Periode 2 haben, so ist hierfür 

a + d = und also d = — a charakteristisch, so daß der in der positiven 
(ö-Halbebene gelegene Fixpunkt der Substitution der Gleichung genügt: 

(9) y(o^ — 2a(D-ß = 0. 

Aus den Bedingungen (7) folgt leicht, daß y nicht verschwinden kann; 
man kann also nötigenfalls durch gleichzeitigen Zeichenwechsel von 



362 IIi 3. Die speziellen Transformationsgleicliungen erster Stufe 

ß, ft y, ^ stets /> erreichen. Dann aber ist durch: 

(10) (^ - 2«, - ^) = (a, ft, c) 

eine positive ganzzahlige binäre quadratische Form der Diskriminante —4«: 

gegeben. Da für alle Substitutionen der Nebengruppe F^^^j • TF die 
Zahlen y und d durch n teilbar sind, so sind a und ß zufolge (7) teiler- 
fremd. Die Form (10) kann also nur dann eine „abgeleitete" sein (S. 137), 
wenn ß und y zugleich gerade sind, und zwar hat sie dann den Teiler 2. 
Da in diesem Falle cc als teilerfremd gegen ß ungerade ist, so gilt nE^3 
(med 4). Es gilt also der Satz: Ist w = 0, 1 oder 2 (mod 4), so ist die 
Form (10) der Diskriminante — 4w ursprünglich; für w = 3 (mod 4) ist 
sie entweder ursprünglich oder sie hat den Teiler 2. Im letzteren Falle be- 
dienen wir uns an Stelle von (10) der durch 2 gehobenen Form, die dann 
ursprünglich und von der Diskriminante — n ist: 

(11) (^,-a,-£) = (a,h,c), B = V-Aac = a^ + ßv = -n. 

Das erhaltene Ergebnis ist umkehrbar. Es sei (a, &, c) eine ursprüng- 
liche Form der Diskriminante —Anj und es seien a durch n und h durch 

2n teilbar. Dann ist c teilerfremd gegen w, und man erhält in ( ^ '^ 1 

eine elliptische Substitution der Periode 2, die der Nebengruppe ry,^j^y W 
angehört. Weiter sei im Falle n^3 (mod 4) eine ursprüngliche Form 
(a, &, c) der Diskriminante — n vorgelegt, deren Koeffizienten a, h durch 
n teilbar seien. Dann ist wieder c teilerfremd gegen w, und man hat in 

(~ ' ~j, ) öi^® ^®^ Nebengruppe rL(„)' W angehörende Substitution 

der Periode 2. 

Es läßt sich weiter leicht zeigen, daß sich in jeder Klasse ursprüng- 
licher positiver Formen der Diskriminante — 4w bzw. — n eine zur Bil- 
dung einer elliptischen Substitution der Periode 2 im vorstehenden Sinne 
brauchbare Form nachweisen läßt. Man entnehme der Klasse zunächst 
eine Form («q, Jq, c) mit einem gegen n teilerfremden c und gehe von 

ihr mittels einer Substitution ( ' j zur äquivalenten Form (a^hjc). Liegt 

die Diskriminante — 4w vor, so sind die mittleren Koeffizienten der Formen 
gerade, und man hat |& = W — yc. Da c teilerfremd gegen n ist, so 
kann man y so wählen, daß |& durch n und also h durch 2n teilbar ist, 
worauf aus h^ — Aac = — 4w sich a~0 (mod n) ergibt. Haben wir im 
FaUe w~3 (mod 4) die Diskriminante — w, so ist, da jetzt 2c teilerfremd 
gegen w ist, y so wählbar daß h = hQ-'2yc durch n teilbar ist; aus 



Beziehung der Nebengruppe F^-W zu den quadratischen Formen 363 

h^ — 4:ac = — n folgt dann wieder a = (mod n). Es ist also in jeder 
zulässigen Klasse eine brauchbare Form nacbgewiesen. 

Es seien nun (a, h, c) und (a, V, c) zwei äquivalente Formen, die 
beide zur Bildung elliptischer Substitutionen der Periode 2 von rL/„)- W 
brauchbar sind. Im Falle der Diskriminante D = — An seien also a und 
a durch w, h und &' durch 2n teilbar, während für B = — n (im Falle 
w = 3 (mod 4)) die Zahlen a, a, h und ¥ durch n teilbar sind. Die Äqui- 
valenz beider Formen sei durch die Substitution ("' U vermittelt, so 
daß nach (4) S. 138 die Gleichungen gelten: 

a = d^a — ydh -\- y^Cj 
(12) ¥ = - 2ßda + (ad + ßy)h - 2ayc, 

c' =- ß^a-aßb -\- a^c. 

Im Falle D = — 4»^ folgt durch Reduktion der ersten Gleichung (12) mod n 
und der zweiten mod 2n: 

y^c — O (modw), 2ayc = (raod2w), 

so daß y^c und ayc durch n teilbar sind. Da aber a und y teilerfremde 
Zahlen sind und c teilerfremd gegen n ist, so ergibt sich y^O (mod w). 
Zu demselben Ergebnis gelangt man leicht auch im FaUe D = — n. Geht 
man andrerseits von einer brauchbaren Form (a, h, c) mittels einer Sub- 
stitution mit y = (modn) zur äquivalenten Form (a,\b\c)y so ist erstlich 
a und also zufolge der dritten Gleichung (12) auch c' teilerfremd gegen n. 
Weiter aber folgt aus den beiden ersten Gleichungen (12) sofort a' = 
(mod n) und &' = (mod 2n bzw. n). Also ist auch (a', &', c') eine zur 
Bildung einer unserer elliptischen Substitutionen brauchbare Form. 

Diese brauchbaren Formen der einzelnen Klasse fassen wir nun zu 
einer „Unterklasse'' zusammen. Die Formen der einzelnen Unterklasse 
sind bezüglich der rL(„) äquivalent und mögen kurz „relativ äquivalent" 
heißen; die einzelne Unterklasse besteht dann aus aUen mit einer unter 
ihnen relativ äquivalenten Formen. Die „Nullpunkte" 03 dieser Formen 
(vgl. S. 139), die die Fixpunkte der zugehörigen elliptischen Substitutionen 
liefern, sind also selbst bezüglich der rL(„) äquivalent, so daß im Trans- 
formationspolygone T„ für jede Unterklasse ein und nur ein Nullpunkt 
gelegen ist. Wir haben damit das wichtige Ergebnis gewonnen: Die 
Anzahl der im Transformationspolygone T„ gelegenen FixpunMe elliptischer 
Substitutionen der Periode 2 der Nebengruppe r^^„) • W ist gleich der An- 
zahl der Klassen ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante 
D = — 4w, falls w ^ 0, 1 oder 2 (mod 4) gilt, und gleich der Summe der 
Klassenzahlen solcher Formen der Dishriminanten D=^ — A:n und D = ■— n^ 
falls w = 3 (mod 4) ist; die Fixpunkte werden dabei unmittelbar von den 



364 n, 3. Die speziellen Transformationsgleicliuiigen erster Stufe 

Nullpunlcten der ,fiezüglich der rL(„) reduzierten^^ Formen der ünterhlassen 
geliefert. 

Als Beispiel betrachten wir den Fall n=ll. Die Anzahl der Klassen 
ursprünglicher positiver Formen der negativen Diskriminante D wurde 
S. 147 ff. durch h(\D\) bezeichnet. Nach einer S. 148 aufgestellten Regel ist 
Ä(44) = 3/^(11). In der Tat gilt Ä(ll) = 1, }i{U) = 3. Man hat näm- 
lich für Z) = — 11 nur eine zweiseitige Klasse mit der im ursprünglichen 
Sinne von S. 140 reduzierten Form (1, 1, 3), während für Z) = — 44 eine 
zweiseitige Klasse und zwei entgegengesetzte Klassen mit den reduzierten 
Formen (1, 0, 1 1 ) und (3, + 2, 4) vorliegen. Mit den vier genannten Formen 
sind bzw. die folgenden äquivalent: 

(11,11,3), (11,0,1), (33,^22,4); 

wir können diese Formen als die repräsentierenden Formen der vier 
Unterklassen wählen und haben als ihre Nullpunkte: 



(13) 



(O 



yii-f 



G) 



2 1/11 ' l/ll' 

sowie als die zugehörigen elliptischen Substitutionen: 



+ 1/11 + * 

31/fi ' 






(14) 



/ 11, 6 \ /O, -1\ / 11, +4 \ 
\- 22, 11/' \ 11, /' \+ 33, - 11/ 



Die geometrischen Verhältnisse in der o-Halbebene werden durch 
Fig. 10 erläutert. Das Transformationspolygon ist mit der Ü-Teilung ge- 




Mg. 10. 

zeichnet, so daß die Figur das Aussehen des Polygons T^^ mit dem auf 
^ verkleinerten Maßstabe hat. Die Zusammenordnung der mit Nummern 
1 bis 12 versehenen Randkreise geschieht durch folgende, auf Sl aus- 
zuübende Substitutionen, die also der -T^mj^ angehören: 

1->12,(V;);2-.5,(J;",);3->9,(V;); 



Beispiel n = ll. Einführung des Klassenpolygons K„ 365 

Die Umrechnung auf o geschieht einfach entsprechend dem Rückgange 
von der zweiten Substitution (6) zur ersten. Die vier Punkte (13) liegen 
an den in der Figur mit e^j e^y ^o, e^ bezeichneten Stellen. 

Der Diskontinuitätsbereich der durch W erweiterten Gruppe P^^^) 
setzt sich aus zwei bezüglich der imaginären co-Achse symmetrischen 
Hälften zusammen. Die einzelne, etwa linke Hälfte, die für sich einen 
Diskontinuitätsbereich der jT^^^^ bildet, fassen wir als ein Kreisbogenfünfeck 
der Ecken i oo, e^y e^, e^, e^ auf, obschon in der Ecke e^ der Winkel % 
vorliegt. Die stark ausgezogenen Kreisbogen sind Symmetriekreise von 
Spiegelungen der erweiterten Gruppe F^*^). Die Seite e^, e^ ist durch die 
vierte Substitution (14) auf die Seite e^y e^ bezogen. Entsprechend wird 
die Seite e^, e\ durch die dritte Substitution (14) in ^q, e^ transformiert, 
und endlich wird die Seite e^, e^ der linken Hälfte des Diskontinuitäts- 
bereiches der r"^^^) durch die zweite Substitution (14) in die symmetrische 
Seite ^2, ^3 der rechten Hälfte übergeführt. 

Der aus den beiden symmetrischen Kreisbogenfünfecken zusammen- 
gesetzte Diskontinuitätsbereich der F^^^^ möge das zum Grade 1 1 gehörende 
jjKlassenpohjgon^^ genannt und durch K^^ bezeichnet werden. Der Name 
rechtfertigt sich durch die Beziehung der Ecken von Ki^ zu den Form- 
klassen der Diskriminanten — 4-11 und — 11. Von diesen Ecken ge- 
hört die bei o = i oo bereits zum Transformationspolygon T^^. Weiter 
sind die vier Ecken e^, ßg, e\, e^ bezüglich der F^^^) äquivalent und bilden, 
wie man sagt, einen Zyklus zusammengehöriger Ecken. ^) Die übrigen 
drei Ecken e^, ej,? ^3 ^^^^ sind bezüglich der F(^^) iuäquivalent. Lassen 
wir von den vier äquivalenten Ecken des Zyklus nur eine als den Zyklus 
repräsentierend zu, so sind nun eben die noch nicht dem Transformations- 
polygon Tji zugehörigen Ecken des Klassenpolygons eindeutig den Klassen 
ursprünglicher positiver quadratischer Formen der Diskriminanten —4-11 
und — 11 zugeordnet. 

Dieselben Verhältnisse kehren entsprechend bei jedem Grade n wieder, 
wo wir den Diskontinuitätsbereich der F^") wieder als y,Klassenpolygo7i^^ K„ 
bezeichnen. Auch die oben in den Figuren 7, 8 und 9 erläuterten niedersten 
FäUe n = 2j 3 und 4 bilden keine Ausnahmen. Wie oben festgestellt 
wurde, kommen für w ^ 0, 1, 2 (mod 4) nur die Formklassen der Dis- 
kriminante D = — 4w in Betracht, während für w ^ 3 (mod 4) auch 
noch die Klassen der Diskriminante D = — n dazutreten. ^) 



1) Vgl. die allgemeine Theorie der Diskontinuitätsbereiche von Gruppen 
linearer Substitutionen einer Variablen in den „Vorlesungen über die Theorie der 
automorphen Funktionen" von F. Klein and R. Fricke, Bd. 1, S. 159 AT. 
(Leipzig 1897). 

2) Der Name „Klassenpolygon" für K„ erscheint um so mehr gerechtfertigt, 
als die unter den Randkurven von K„ befindlichen Symmetriekreise von Spiege- 



366 n, 3. Die speziellen Tiansformationsgleichungen erster Stute 

Bilden wir das Klassenpoljgon K^ mittelst einer zur JT^") gehörenden 
Funktion auf die Ebene dieser Funktion ab, so entstellt eine Riemannsche 
Fläcbe F^"), deren Geschlecht wir durch Po(^) bezeichnen und zugleich als 
das Geschlecht des Klassenpolygons K„ ansehen wollen. Um PQ{n) zu be- 
stimmen, wenden wir die Formel (4) in I, 88 an: 

(15) p^(^n) = -m+l+^'^, 

WO m die Blätterzahl der F ^'"'^ ist und die Summe sich auf die Verzweigungs- 
punkte der F^"^ bezieht, deren einzelner v-blättrig gedacht ist. Wenn wir 
nun das Transformationspolygon T„ durch dieselbe Funktion abbilden, 
so erhalten wir eine Fläche, deren Geschlecht p(n) wir bereits in (5) 
S. 356 berechnet haben. Sie erscheint hier aus zwei übereinander ge- 
lagerten Exemplaren der Fläche F<") bestehend, die in einer Anzahl zwei- 
blättriger Verzweigungspunkte aneinander geheftet sind. Diese Anzahl 
ist aber, wenn wir von den drei Fällen n = 2,3,4, wo^q=0 ist, absehen, 
gleich der Klassenanzahl Ji(4:n) oder gleich der Summe Ä(4n) -f h(n)j je 
nachdem ^ = 0, 1, 2 oder = 3 (mod 4) ist. Nach der Regel von S. 148 
können wir auch sagen, jene Anzahl sei gleich f^/i(4n), wo f„ == 1 ist, 
wenn ^ = 0, 1 oder 2 (mod 4) ist, dagegen s^ = 2 oder = ~ gilt, je nach- 
dem n^l oder ^ 3 (mod 8) zutrifft. 

Stellen wir nun das Geschlecht p(n) der 2 m-blättrigen Fläche auf 
Grund der Regel (4) in I, 88 dar, so kommt für w > 4: 

p(n) = - 2m + 1 + 2^"---' + \ *>(4n) , 

wofür wir mit Rücksicht auf (15) aucb schreiben können: 

p(n) = 2po(n) - 1 + \6^h{4n). 

Es ergibt sich hieraus der Satz: Das Geschlecht p^in) des Klassenpolygons 
K„ herechnet sich nach der JRegel: 

(16) p,{n) = ^p(n) -I- i - i-£„Ä(4n), 

wo p (w) das durch (5) S. 356 gegebene Geschlecht des Transformations- 
polygons T„ isty h{4n) die Klassenanmhl ursprünglicher positiver Formen 
der Dislcriminanie D = — An ist und s^ für n ^ 1 (mod 8) den Wert 2^ 
für ^ = 3 (mod 8) den Wert | und sonst den Wert 1 hat. Man kann 
hieraus noch den speziellen Satz ableiten : Die mit s^ multiplizierte Klassen- 



langen der Gruppe r^"\ die noch nicht der Gruppe r^(„) angehören, für n^O, 
•2 und 3 (mod 4) eindeutig den ursprünglichen Formklassen der positiven Diskri- 
minante 4n zugeordnet sind, im Falle n^l (mod 4) aber ebenso den ursprüng- 
lichen Formklassen der beiden positiven Diskriminanten n und In. Vgl. R. Fricke 
„Über Transformations- und Klassenpolygone", Gott. Nachr. von 1919. 



Geschlecht des Klassenpolygons K„ 367 

mhl h(4:n) liefert ein Frodukt £„ä(4w), das stets ^ 2p{n) -\- 2 ist; erreicht 
die Anzahl sJi{An) ihre obere Schranke 2p(n) + 2, so ist das Geschlecht 
des Klassenpolygons gleich 0. Unter den 71 Graden w, für welche oben 
S. 357 die Geschlechter ^(>^) angegeben sind, liefern 36 Klassenpolygone 
des Geschlechtes Pq = 0, nämlich: 

w = 2, 3, . . ., 21, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 35, 36, 39, 41, 

47, 49, 50, 71. 

§ 5. Algebraische Methode zur Aufstellung der speziellen 
Transformationsgleichungen. 

Wie schon oben (S. 349) angedeutet wurde, gründet sich die von 
Klein entwickelte algebraische Methode zur Aufstellung der speziellen 
Transformationsgleichungen auf den Gebrauch der Transformationspolj- 
gone.^) Durch die Funktion j((ö) bildeten wir das einzelne T^ auf die 
Transformationsfläche F^ ab, die i^(w)-blättrig die j-Ebene überlagerte, 
und deren Verzweigung, wie oben (S. 352) im FaUe n = 1 geschildert 
wurde, aus dem mit dem Dreiecksnetze der cj-Halbebene ausgefüllten 
Polygone T„ abgelesen werden kann. Auf dieser Fläche F„ ist dann/ eine 
i/>(w)- wertige algebraische Funktion, deren Zusammenhang mit^' eben durch 
die Transformationsgleichung dargestellt wird. Die von Klein entwickelte 
Theorie der Transformationsgleichungen beruht nun auf der Verwertung 
der Hilfsmittel vonRiemanns Theorie der algebraischen Funktionen. Der 
Grundgedanke ist, auf der Riemannschen Fläche F„ nicht sogleich die 
Funktionen / und j einer verhältnismäßig hohen Wertigkeit zu betrachten, 
sondern sich zunächst geeignete Funktionen einer möglichst niedrigen Wertig- 
keit zu verschaffen und sodann j und j in ihnen rational darzustellen. 

Bei den 14 S. 357 genannten Graden w, für welche die Flächen F„ 
das Geschlecht p = haben, gibt es einwertige Funktionen. Eine ge- 
eignete Funktion dieser Art, die t((o) genannt werden möge, ist im 
Einzelfalle auszuwählen, und sodann sind j und / rational in t darzu- 
stellen. Für die Gewinnung dieser rationalen Darstellungen benutzte 
Klein eine rein algebraische Methode, die sich auf die Verzweigung der 
i/'(w)- blättrigen Fläche F^ über der j-Ebene gründet. Es gelang ohne Be- 



1) Das Polygon T„ gibt uns, wenn wir über die oo-Teilung noch die nach dem 

Maßstabe gezeichnete ß-Teilung getragen denken (s. die Figuren 5,6,... S. 358 ff.), 

ein anschauliches Bild für die zum n^^^ Grade gehörende spezielle Transformationa- 
gleichung F{j\ j) = 0. Ein beliebig vorgeschriebener komplexer Wert j tritt in 
V>(m) Punkten von T„ auf, die äquivalent im Netze der ©-Teilung sind. Sie sind 
in der ß-Teilung t^{n) Punkte, deren zugehörige Funktionswerte j'{io)=j{Sl) die 
'^{n) zugehörigen Wurzeln der Gleichung F(j\j) = sind. 



368 n, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe 

nutzung der Potenzreihen die gewünscliten Darstellungen für / und j in 
allen 14 Fällen in Erfahrung zu bringen. Der Transformation W wird 
dabei eine wichtige Rolle zuerteilt.^) Die Transformationsgleichung selbst 
ergibt sich durch Elimination von r aus den beiden Gleichungen für j 
und /. Zur Weiterführung dieser Entwicklungen zog Fricke^) neben 
den Polygonen T„ auch noch die Klassenpolygone K^ und die zugehörigen 
Flächen F^'') heran und benutzte überdies bei den algebraischen Rech- 
nungen formentheoretische Methoden und Potenzreihen. Auf diese Weise 
werden die 36 Fälle, in denen das Klassenpolygon K^ das Geschlecht 
hat, ziemlich leicht zugänglich. 

Die vorliegende Darstellung entwickelt insbesondere die letzte Me- 
thode, und zwar in einer Reihe von Fällen, in denen das Geschlecht p^ (n) — 
ist. Wir bezeichnen mit t(co) eine geeignet gewählte einwertige Funktion 
der dem Klassenpolygone K„ entsprechenden Fläche F^") in ihrer Ab- 
hängigkeit von CO. Diese Funktion ist dann gegenüber den Substitutionen 
der erweiterten Gruppe F^") invariant. Durch Abbildung des Transfor- 
mationspolygons T^ vermittelst r(o) gewinnt man eine zweiblättrige 
Fläche über der r-Ebene mit (2 p -\- 2) Yerzweigungspunkten, wo p das 
Geschlecht des Transformationspolygons T„ ist. Wir denken r so ge- 
wählt, daß der Unendlichkeitspunkt dieser Funktion nicht gerade in 
einen jener Verzweigungspunkte fällt. Ist dann /'gp^.gC'^) diejenige ratio- 
nale ganze Funktion (2 p -\- 2) *®^ Grades mit dem höchsten Koeffizienten 
1, deren Nullpunkte die (2^ + 2) Verzweigungs werte r sind, so ist: 



(1) ^ = ■//".,+.« 

eine zweite Funktion der F„ bzw. der ^^(„p die gegenüber der Substi- 
tution W Zeichenwechsel erfährt, und die zusammen mit t zur rationalen 
Darstellung aller Funktionen der F„ ausreicht.^) 

Zu diesen Funktionen gehören nun insbesondere auch j und /. Mit 
Rücksicht auf das Verhalten von ö und r gegenüber W folgt somit der 
Satz: In den 36 Fällen y in denen das Geschlecht des Klassenpolygons K^ 
gleich ist, gibt es stets zwei Funktionen t(co) und 0{m) der r'^(„), die 



1) Vgl. die S. 349 genannten Arbeiten von Klein und Gi erster. Übrigens 
sind die betreffenden Entwicklungen in „Modulfunktionen", Bd. 1, S. 684 ff. aus- 
fuhrlicli dargestellt. 

2) Vgl. die Abhandlung „Neue Beiträge zur Transformationstheorie der ellip- 
tischen Funktionen", Math. Ann., Bd. 40 (1891). 

3) Die Gleichung /gp + gC^) == hat als Wurzeln die Werte der Funktion r(ai) 
in den Nullpunkten der S. 362 ff. betrachteten /i(4n) bzw. {h (in) -{-hin)) die Werte 
repräsentierenden quadratischen Formen. Wir nennen eine Gleichung dieser Art 
f^ ^^{t) = deshalb eine „Klassengleich ang" und kommen bei den arithmetischen 
Anwendungen der elliptischen Funktionen auf deren Theorie ausführlich zurück. 



Einfachste Funktionen des Klassenpolygons P(, = 369 

durch eine algebraische Belation: 

(2) «*-/2y+sW = 

verbunden sindy wo /jp+sC'^) ^^'^^ rationale ganze FunMion des Grades 
(2 jp -f- 2) ist und p das Geschlecht des Transformationspolygons bedeutet 
In den Funktionen t(g3) und ö(co)y von denen die erste gegenüber W un- 
verändert bleibt , während die zweite Zeichenwechsel erfährt j lassen sich j 
und f rational in der Gestalt: 

(3) j = B{t,0), J=B{t,-e) 

darstellen. Durch Elimination von 6 und t aus den drei Gleichungen (2) 
und (3) ergibt sich die spezielle Transformationsgleichung F(j\ j) = für 
den n^^"' Grad. 

Bei der wirklichen Herstellung der Funktionen r(ca) und <j(co) be- 
dienen wir uns ganzer Modulformen der Fy^^^y Die algebraischen Über- 
legungen stützen sich dabei auf einen Satz über die Anzahl der Null- 
punkte solcher Formen im Transformationspolygon T„, der zunächst auf- 
zustellen ist. Wir verstehen unter G^ (oi, «2) eine ganze Modulform der 



■^v/(n) ^^^ ^^^ Dimension — d, die gegenüber den Substitutionen der 
r'^(^) entweder unverändert bleibt oder sich nur um Einheits wurzeln als 
Faktoren ändert; eine hinreichend hohe, etwa m*® Potenz dieser Form 
bleibt dann gegenüber den Substitutionen der r'^(„) unverändert. Dem- 
nach ist der Quotient: 

"20 



(4) 

eine Modulfunktion der r'^(„) und also eine algebraische Funktion der 
Transformationsfläche F„. Für eine solche Funktion ist aber die Summe 
der Ordnungen aller Nullpunkte auf der F„ gleich der Summe der Ord- 
nungen aller Pole. Für den Zähler des Quotienten (4) ist also die Summe 
aller „im Polygone T„ gemessenen" Nullpunkte (vergl. I, 307) gleich der- 
jenigen des Nenners, d. h. gleich md-ipin). Damit ergibt sich der Satz: 
Eine ganze Modulform der Dimension — ö, die gegenüber den Substitu- 
tionen der Fy^f^j^y abgesehen von multiplikativen Einheitswurzeln ^ unver- 
ändert bleibt, hat im Transformationspolygon T^ NuUpunMe in der Gesamt- 

Ordnung ~—ip(n). Daß bei Modulformen Nullpunkte gebrochener Ord- 
nungen in einem Diskontinuitätsbereiche auftreten können, erkannten 
wir bereits in I, 307. Nach den damaligen Erörterungen wird man so- 
fort folgenden Satz verstehen: In einer mit co == i äquivalenten Ecke des 
Transformationspolygons T^ (deren zugehörige elliptische Substitution der 
Periode 2 dann in r'^(„) enthalten ist) kann eine ganze Modulform der 
^xp{n)y 7>**^ Polygone T„ gemessen^', einen Nullpunkt gebrochener Ordnung 

Fricke, Die eUiptischen Funktionen II 24 



370 n, 4. TransformationsgleichuDgen erster Stufe für niedere Grade n 

mit dem Nenner 2 hahen, und ebenso kann in einer mit cd = q äquivalenten 
EcTce von J^ein Nullpunkt gebrochener Ordnung mit dem Nenner 3 auftreten. 

Beim einzelnen Transformationsgrade n haben wir nun die Betrach- 
tung allemal an die ganzen Modulformen möglichst niedriger Dimension 
anzuknüpfen. Diese aber werden uns von den Modulformen (— 1)*®' 
Dimension t/o und 0q des vorigen Kapitels geliefert, auch von den Potenzen 
des Ausdrucks l/z/'z/ und den Formen Iq. Wie hierbei zu verfahren ist, 
muß den folgenden Einzelbetrachtungen überlassen bleiben. Das erste 
Ziel wird sein, jedesmal ein Paar von Formen t^^Gy^, cjg), ^2(0^, cDg) 
gleicher Dimension herzustellen, die als Quotienten r^ : Tg = t die ge- 
wünschte einwertige Funktion der F^") liefern. 

Die weitere Entwicklung hat alsdann die Darstellung von j und / 
in T und dem zugehörigen 6 zum Gegenstande. Wir schreiben zunächst 
die Transformation W in homogener Gestalt: 

(5) "^'-yn' ^2 -"7-' 

in der sie gleichfalls die Periode 2 hat. Die Ausdrücke: 

sind dann ganze Modulformen der JT^/^n, die gegenüber W unverändert 
bleiben oder Zeichen Wechsel erfahren, je nachdem in (6) die oberen oder 
unteren Zeichen gelten. Wir werden diese Ausdrücke (6) in den Tj , Tg , <? 
darzustellen versuchen und gelangen auf diese Weise schließlich zu den 
Ausdrücken (3) von j und /. Hierbei wird dann auch noch das Hilfs- 
mittel der Potenzreihen eine wichtige Rolle spielen. 

Viertes Kapitel. 

Aufstellung der Transformationsgleicliuiigeii erster Stufe 
für niedere Grade n. 

Bei Entwicklung der allgemeinen Ansätze des vorigen Kapitels werden 
die ungeraden Transformationsgrade bevorzugt. Unter den 36 S. 367 zu- 
sammengesteUten Graden n mit PQ{n) = sind nun zunächst die fünf 
ersten Potenzen w = 2, 4, 8, 16, 32 der Zahl 2 enthalten. Ihre Behand- 
lung schließen wir unmittelbar an die Entwicklungen über die Funk- 
tionen zweiter Stufe in I, 434 ff. an, indem wir uns übrigens der soeben 
entwickelten algebraischen Methoden bedienen. Für die ungeraden Trans- 
formationsgrade ziehen wir dann die analytischen Hilfsmittel der vorauf- 
gehenden Kapitel ausführlich heran. Ist aber allgemein der Grad 



Transformation zweiten Grades 371 

n == 2^ • vi und n ungerade, so werden wir versuchen, die Transformation 
dieses Grades n auf diejenigen der beiden Grade 2*" und n zurückzu- 
füliren. Es vereinfacht die Formeln ein wenig, wenn wir uns an Stelle 
von j{p) = 12^J{ci)) wieder der ursprünglichen Funktion J{(o) bedienen. 
Mit t(co) und ^ (tö) bezeichnen wir einwertige oder zweiwertige Funk- 
tionen der Gruppen -r^(„); doch sei bemerkt, daß diese Bezeichnungen 
wenigstens anfangs nicht immer genau in dem S. 368 vereinbarten Sinne 
gebraucht sind. 

§ 1. Die Transformationsgrade 2^ 4, 8, 16 und 32. 

1. Transformation zweiten Grades von J(o). Die beim Trans- 
formationsgrade n = 2 auftretende Transformationsgleichung dritten 
Grades für J{(o) kann aus den Entwicklungen in I, 434 ff. abgeleitet 
werden. In 1 , 442 wurde die mit A (o) bezeichnete einwertige Funktion 
der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe eingeführt, die nach der zweiten 
Gleichung (3) in I, 444 in: 

W/ \ ^ A ^ —X{(0) 

eine für unsere Zwecke geeignete einwertige Funktion des Transformations- 
polygons Tg liefert. Aus X(i oo) = 0, X(0) = 1, A (— 1~) = ^ berechnen 

sich als Werte von r (o) in den Ecken des durch Fig. 7, S. 360, darge- 
stellten Polygons Tgt 

(2) i.(0)=0,r(±^) = -l, r{ioo) = oo. 

Die Substitution W transformiert Tg in sich, so daß t ( W{g))) wieder 
eine einwertige Funktion von Tg und als solche eine lineare Funktion 
von t (o) ist. In der Tat gilt : 

da durch W die Polygonspitzen und i oo und also die Werte r = 
und r = oo ausgetauscht werden und der Eckenzyklus —^^-~ und da- 
mit der Wert t = — 1 in sich transformiert wird. 
Aus (6) in I, 445 folgt bei Umrechnung auf t: 

(4) J: (^- 1) : 1 = (r + 4)^: (r - Sfiz + 1) : 21 rl 

Übt man die Substitution IF aus und schreibt zur Abkürzung: 

so folgt bei Fortlassung des Argumentes o: 

24* 



372 II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

(5) r:{J'- 1) : 1 = (t'+ 4)^: (/- 8)2(r'+ 1) : 27 t\ r = \ 
oder als Darstellung der transformierten Funktion J" durch t: 

(6) J': (J'_ 1) : 1 = (4 r + 1)»: (8 r - 1)^ (r + 1) : 27 r. 

Die Elimination von r aus (4) und (6) führt zur Transformations- 
gleichung von J{g)) für den zweiten Grad. Benutzt man vorübergehend 
wieder ^* (o), so folgt zunächst: 

Man findet somit: 

f^/=16(4(r + 0-M7), 

j + / = 64 (64 (r -i- r? + 49 (r -f r') - 104), 

sowie weiter durch Elimination von (r + r): 

a) /4-j-(>^i>+ 3^.5. 11 |/j7- 2^.3^.5^=0. 

Durch Fortschaffung der Kubikwurzel aus fj ergibt sich als spezielle 
Transformationsgleichung für j{p) heim zweiten Grade: 

(8) p + f - Pf + 1488 jj (/ + i) - 162 . 10« (/^ + /) + 40773375 P 

-f 8748 . 106(/ + i) - 157464 - 10» = 
oc?er hei Zerlegung der Koeffizienten in ihre Primfalctoren: 

(9) /^ + /-/y+2^-3.31/i(/ + i)-2*.3*.5«(/H/) 

+ 3*.53.4027/i + 2«-3^.56(/4-j)-2i2.39.59_o 

Die Koeffizienten entsprechen den allgemeinen Sätzen von S. 348, 
sind aber bereits in diesem niedersten Falle n = 2 außerordentlich große 
ganze Zahlen, wenn sie auch (abgesehen von 4027) nur aus ganz niederen 
Primfaktoren aufgebaut sind. Schon in den nächsten Fälle a n = 3, 4, ... 
bietet die endgültige Herstellung der Transformationsgleichungen für 
J{g)) große rechneri-tche Schwierigkeiten, die auch nur im Falle w = 3 
überwunden sind. Für den späteren Gebrauch wird es nun nicht nötig 
sein, die Gleichungen in fertiger Gestalt zu besitzen. ^5 wird für unsere 
Zwecke, den Fall n = 2 betreffend, ausreichend sein, die beiden Gleichungen 
(4) und (6) zu kennen, aus denen die Transformationsgleichung selbst durch 
Elimination von r gewonnen wird, oder, was auf dasselbe hinausläuft, die 
Gleichung (4) und damit die gleichgebaute Gleichung (5) zwischen tT und 
t', sowie die Relation zwischen r und x zu besitzen. Bis zu diesem Punkte 
werden wir demnach die Untersuchung in den folgenden Fällen w = 3, 4, . . . 
führen.*) 

1) Im Sinne späterer Entwicklungen haben wir in (7) eine „Transformationa- 



Die Transformationen der Grade 2 und 4 373 

2. Transformation vierten Grades von J((d). Der Übergang 
zu den Graden 4, 8, 16, 32 wird jedesmal durch Ausziehen einer einzigen 
Quadratwurzel vollzogen.^) In Fig. 11 ist das Polygon 
T4 dargestellt. Die imaginäre ra- Achse und die beiden 

+ 14-«. 
von 09 = nach cj = — ~ ziehenden Kreisbogen 

zerlegen T^ in vier Kreisbogendreiecke. Die beiden 

schraffierten Dreiecke sind Abbilder der positiven -i 

Halbebene der eben bei n = 2 benutzten Funktion r, 

die fortan genauer Tg heiße. Einige Werte dieser Funktion sind: 




CX). 



(10) r,(0)=.0, r,(±^)=-l, r,(.-(x>) = T,(±|) 

die letzte Angabe folgt aus der Gleichung (6) für J' =- J{2 03), falls man 

CO = Y ^^^ ^Isö f7' =» 1 einträgt. 

Eine einwertige Funktion des Polygons T^ heiße jetzt 7(0). Wie 
schon in I, 442 erörtert wurde, ist eine solche einwertige Funktion da- 
durch eindeutig erklärbar, daß man an drei Stellen des Polygons die drei 
Werte von ^(0) vorschreibt. Wir setzen die Gleichungen fest: 

(11) ^(-ti) = _i r(0) = 0, r(J^) = oo. 

Die zu w = 4 gehörenden Substitutionen W und W mögen genauer W^ 
und TF4 heißen. Der Symmetriekreis der Spiegelung W^ ist der T^ durch- 
schneidende, die Punkte = + — verbindende Halbkreis. Durch W^ 
werden die Punkte o = und i 00 und also die Werte r = und 00 
ausgetauscht. Anderseits wird durch W^ der Punkt o =-= --- in sich trans- 
formiert und jebenso der Eckenzyklus o = + i- I^a t (+ y) = — y ist, 
so ist die Wirkung von W^ auf r (o) durch : 



gleichung dritter Stufe", nämlicli eine solche für die Funktion dritter Stufe 
j/j. Diese Gleichung hat bereits viel kleinere ganzzahlige Koeffizienten, Die 
gleiche Erscheinung kommt um so mehr zur Geltung, je höher die Stufe der 
Gleichung ist. Die in ihrer fertigen Gestalt am einfachsten gebauten Transforma- 
tion Sgl eichungen werden diejenigen sein, die wii im übernächsten Kapitel als 
„Jacobische" und als „Schlaeflische Modulargleichnngen" betrachten; sie gehören 
zu den Stufen 16 und 48. 

1) Man vgl. den Satz von S. 262 über die Lösung der speziellen Teilungs- 
gleichung für einen Grad, der eine Primzahlpoten/ ist. 



374 
(12) 



II, 4. Transfonnationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

1 



Uö)/ 



4 t{(o) 



gegeben, woraus man weiter auf r l—\ = - schließt. 

Nun ist Tg (g>) als zweiwertige Funktion des Polygons T^ eine ratio- 
nale Funktion zweiten Grades von r. Ihre beiden Nullpunkte fallen bei 
= und also bei r == zusammen, die Pole liegen bei o = i(x> und 
cj = + 4- und also bei r = c» und r = — \-. Da endlich für r = y der 



Wert Tg = -I- 



zutrifft, so besteht für r^ die Darstellung: 



(13) 



To = 



2r+l 



in r. Trägt man diesen Ausdruck von t^ in (4) für die daselbst t ge- 
nannte Funktion ein, so folgt: 

(14) J : (J- 1) : 1 = (r^ + 8 r + 4)3: (r^ _ lör^- 24r 

:27T*(2r + l). 



8)^ 



Biese Gleichung, die entsprechende in J' und r', sowie die aus (12) folgende 

Gleichung 4 r'r = 1 haben wir als Ersatz der Transformationsgleichung 

für J(co) heim vierten Grade anzusehen. 

3. Transformation achten Grades von J(g)). Fig. 12 stellt das 

Polygon Tg dar, dessen sechs mit Nummern versehene Seiten durch fol- 
gende der ^^(g) angehörende Substitutionen 
aufeinander bezogen sind: 

Die stark ausgezogenen Kreise sind Sym- 
metriekreise von Spiegelungen der Gruppe r^^\ Der Diskontinuitäts- 
bereich dieser F^^^ ist ein Kreisbogenviereck mit zwei Winkeln und 
zwei rechten Winkeln. Die in der Figur mit e und e bezeichneten Ecken 
der rechten Winkel liegen bei: 

2 |/2 + z 




(15) 



CO = 



&]/¥ 



und 



(O 



2|/2 



Die beiden in der Figur schraffierten Dreiecke sind Abbilder der posi- 
tiven r^- Halbebene. ^) Diese in (14) mit t bezeichnete Funktion hat die 



1) In sofort verständlicher Weise bezeichnen wir mit r4(a)) die soeben bei 
der Transformation vierten Grades von J{(o) benutzte Funktion r(ft)). Einer ent- 
sprechenden Bezeichnungsweise bedienen wir uns in den nächsten Fällen. 



Transformation achten Grades 375 

Spitzenwerte : 

(16) ^,(±i)--h u(±i} = -'di^)-°o, T,(0) = 0. 

Die Abbildung von Tg durch r^ (co) liefert, wie man aus Fig. 12 abliest, 
eine zweiblättrige Fläche über der r^-Ebene, die zwei bei r^ = und — y 
gelegene Verzweigungspunkte hat. Demnach haben wir in der Quadrat- 
wurzel: 

die auf der imaginären o- Achse positiv genommen werden soll, eine ein- 
wertige Funktion von Tg mit den Spitzenwerten: 

(18) <(i<x.) = l, <(0) = oo, <(±i) = 0, «(±i-) = -l. 

Durch TFg werden die Werte 1 und oo von t ausgetauscht und ebenso 
die Werte und — 1, woraus man leicht folgert: 

— 1\ t((o)-i-l 



(19) ' (?.) = 



t{co) 



An die Stelle von t (ra) soll nun weiterhin die gleichfalls einwertige 

Funktion: . , ^ .. ^. 

r((ö) =2 (t{(D) - 1) 

treten, deren Spitzenwerte nach (18) die folgenden sind: 

(20) tr(»oo) = 0, t(p) = <x>, r(±|) = -2, ^(±i) = _4. 

Die Wirkung von TFg ist zufolge (19): 

woraus sich für die beiden Stellen (15) die Werte berechnen: 

Für t^ ergibt sich aus (17) als rationaler Ausdruck in t: 

Durch Eintragung dieses Ausdrucks von r^ in die rechte Seite von (14) 
gelangt man zu dem Ergebnis: Der Ersatz der Transformationsgleichung 
fwr J {(o) heim achten Grade ist die Gleichung: 

(24) J : (J- 1) : 1 == 4 (t* -f 8 r^-f 20t2+ 16 r 4- 1)' 

: (2Tß+ 24t5+ 108 r*+ 224 t» + 207 t2+ 60r - 2)» 
:27T(r-f4)(r + 2)2, 

die entsprechende Gleichung zwischen J' und x und die Belation r' • r = 8 



376 II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

4. Transformation 16**° Grades von «/"(o). In Fig. 13 ist das 
Polygon Tjg dargestellt, dessen zwölf Seiten durch folgende Substitu- 
tionen aufeinander bezogen sind: 



i^i!)^ 






9 



10 ( 



-3, 
16, 

5, - 
16,- 






Die stark ausgezogenen Kreise sind Symmetriekreise von Spiegelungen 

der Gruppe F^^^l 
Das ganze Poly- 
gon Tjß ist hier 
aufgebaut aus 
vier Kreisbogen- 
fünfecken, deren 
einzelnes drei 
Winkel und 
zwei rechte Win- 
kel hat und 
durchweg aus 

Symmetriekreisen von Spiegelungen eingegrenzt ist. So haben z. B. die 
mit den Nummern 2 und 3 versehenen Kreise die Gleichungen: 

16 (l^+Y) + 141 -^ 3 = 0, 48 (|^+ ^0 4- 32H- 5 = 0; 
sie sind die Symmetriekreise der in der T^^^^ enthaltenen Spiegelungen: 

7 rö -}- 3 _, 16 « + 5 




ö 



o = 



48öj— 16 



^16rö — 7' 

Der die beiden Punkte + \ verbindende Halbkreis ist der Symmetriekreis 
der Spiegelung W^^. Die Punkte e und e', gelegen bei 

8-f i 



o = 



und CO = 



20 



sind die Nullpunkte der beiden quadratischen Formen (16, 0, 1) und 
(80, 64, 13), durch die wir die beiden Formklassen der Diskriminante. 
D = — 64 repräsentieren können. 

Das schraffierte Kreisbogenviereck der Ecken 0, i oo, — |, —\ ist 
hier ein Abbild der negativen Tg- Halbebene. Das zweite Abbild dieser 
Halbebene findet sich zur rechten Hand am unteren Ende des Polygons 
Tjg und wird durch den Rand dieses Polygons in zwei Stücke zerschnitten. 
Die Spitzenwerte von Tg sind: 

(25) 1^8(0) = cx), T3(tcx)) = r8(±i) = 

r3(±i-) = -4.. 



0, r3(±i) = -2, 



Transformation 16**° Grades 377 

Mittelst der Funktion Tg (ra) wird T^^ auf eine zweiblättrige Fläche 
mit zwei von = und dem Eckenzyklus + y herrührenden, hei Tg = oo 
und Tg = — 2 gelegenen Verzweigungspunkten ahgebildet. Eine einwertige 



Funktion von Tjg hat man demnach in: 



(26) t(m) = yit,{<o)+l, 

WO die Wurzel auf der imaginären C3- Achse positiv genommen werden 
mag. Diese Funktion hat folgende Spitzenwerte: 

<(0) = co, <(ioo) = l, K±i) = 0, <(±i) = -l, 
aus denen man leicht als Wirkung der Substitution W^q folgert: 

An Stelle von t((o) soU jetzt, wie im Falle n = S, die gleichfalls 
einwertige Funktion des Polygons J^^i 

r(^G}) = 2(^((ö) — 1) 

eingeführt werden, die die folgenden Spitzenwerte hat: 

(28) r(0) = <^, tr(*oo) = 0, r(±|) = -2, r(±i) = -4 
und zufolge (27) gegenüber W^^ das Verhalten zeigt: 

(29) -(^)-^- 
Der Zusammenhang zwischen Tg und r ist: 

Durch Eintragung dieses Ausdrucks von Tg in (24) ergibt sich der Satz: 
Der Ersatz der Transformationsgleichung für J(g)) heim 16^"^ Grade ist 
die Gleichung: 

(30) J: (J - 1) : 1 = (t» + 16 t^ -f 112 t« + 448 t^ -}- 1104 t* + 1664 t» 

-I- 1408 r^ + 512 r + 16)^ 
: (r^2 ^ 24 t^^ + 264 r^« 4. 1760 r^ + 7896 t» 

+ 24960 r^ + 56 448 t6 + 90 624 T^ 
+ 99 960 r* + 70 592 t^ + 27 456 t^ 
> 3840 r- 64)2 
: 1728 r (t + 4)(t2 + 4 r + 8)(r + 2)*, 
die entsprechende Gleidmng zwischen J' und % und die Beziehung r'T = 8. 



378 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

5. Transformation 32^*®"^ Grades von J((o). Aus T^g kann man 
das Polygon Tg, dadurch herstellen, daß man die beiden durch die ima- 
ginäre ö- Achse ausgeschnittenen Hälften von T^q mittels der Substitu- 
tionen o' = T ^^ transformiert und die entstehenden Bereiche längs 
+ 16 0) 4" 1 

der Seiten 7 und 6 von Tjg anfügt. Neben den Spitzen von T^g treten 
dann am Polygone Tgg noch weitere Spitzen bei co = + j^g, ± Ä? i i^e ^*^^- 
Es ist indessen nicht nötig, dieses Polygon Tgg wirklich herzustellen, 
vielmehr können wir uns zur Erledigung der Transformation 32'*®" 
Grades von J{(jo>) der soeben bei n = 16 benutzten Funktion r(a3) 
bedienen. Mittels dieser Funktion wird Tg, auf eine zweiblättrige 
Fläche abgebildet, die als zum Geschlechte p = 1 gehörig vier Ver- 
zweigungspunkte hat. Diese Verzweigungspunkte rühren von den Spitzen 
= 0, —j (oder + ^) und + ~ des Polygons T.g her, da die zu diesen 
Punkten gehörenden Substitutionen (vgl. die bei Fig. 13 genannten Sub- 
stitutionen): ^^ / 7, 4 x /5,-l\ /-3,-lx 

U6,l/^ V— 16, — 9/' \16, — s)' V 16, 5 / 

noch nicht der r^,^^) angehören, während ihre Quadrate der Bedingung 
y ^0 (mod 32) genügen. Die vier Verzweigungspunkte liegen also bei 
r = cx), — 2 und (— 2 ± 2 *); die beiden letzten Punkte sind die Null- 
punkte des im dritten Glied e der rechten Seite von (30) auftretenden 
Faktors (r^ -{- 4 r -f 8). Es ergibt sich also der Satz: Für das zum Ge- 
schlechte p -= 1 gehörende Transformationspolygon T32 hat man ein Funk- 
tionssystem in: 

(31) r (o) , (ö) = ]/r3 -t- 6 r2 + 16 r -f 16; 

wo t (o) die hei n = IQ so benannte Funktion ist und die Quadratwurzel 
auf der imaginären o-Ächse positiv genommen werden mag}) 

Mit t((x)) ist nun auch r'^co) = r (~- — j eine zweiwertige Funktion 

von T32, so daß r und t durch eine algebraische Relation der Gestalt: 

t'2 (a^r« -f- h^r + c^) + t (a^r^ 4. &^ r -|- Ci) + (a^r^ + h^ + Cg) = 

aneinander gebunden sind. Die beiden Stellen t' = 00 fallen in der 
Spitze CD = t cx), d. h. bei r = zusammen, so daß («oT^ + b^t -{- Cq) mit 
T^ identisch ist. Die beiden Stellen t' = treten bei C3 =-» und co == + "1 
ein, und also bei r = cx) und r == — 2, so daß (a^r^ -{- b^x + c^ mit 
63 (r + 2) identisch ist. Da die Relation zwischen r und r überdies sym- 
metrisch sein muß, so hat sie die Gestalt: 

^^^^ r'H^^x{bt + c) + c (r + 2) = 0. 



1) Man hat hier ein elliptisches Gebilde des harmonischen Falles vor aich. 



Transformation 32«**» Grades 379 

Man trage hier noch ein: 

0, i-, r' = .(|) 2 + 2». . = r(=^) = -4 

und findet mit Rücksicht auf den Umstand, daß die Koeffizienten h, c 
reell sein müssen, Z) = — 32, c = — 64. Die gesuchte Relation ist: 

(32) r'^T« - 32 zt - 64 (r -fr)- 128 = 0. 

Als Bestätigung dieses Ergebnisses kann die nach x' gelöste Gleichung 

gelten: ^,_ r-H\Qx + 32 + Syr^^ 67^+ 16r + 16), 

insofern sich rechts, wie es sein muß, die Quadratwurzel (31) einfindet. 
Als Ersatz der Transformationsgleichung für J{co) heim Grade w = 32 
hat man nun einfach die Gleichung (30), die entsprechende Gleichung zwi- 
schen tT und X und die Besiehung (32) zwischen x und x anzusehen. 

6. Weitere Transformationsgleichungen für den zweiten 
Grad. Die Transformationsgleichung für die Modulform G^ip^, O2) 
lautet beim zweiten Grade einfach: 

25(??-2f,,ff,-p,= 0, 
da G^ = -Cg = yp (yj ist. Die durch W^ transformierten Formen: 

gestatten folgende Behandlung. Nach einem Satze von S. 369 hat g'^ in Tg 
einen Nullpunkt, der zufolge (6) S. 372 bei r = — ^ liegt; derjenige von 
g^ liegt bei r = — 4.^) Der Quotient g\ : g^ ist demnach als einwertige 
Funktion in Tg linear durch t darstellbar, und zwar in der Gestalt: 

9^ ^r + 4' 
wo c eine Konstante ist. Da der links stehende Quotient gegenüber W^ 
in seinen reziproken Wert übergeht und dasselbe zufolge (3) von t(c3) 
gilt, so kann c nur gleich + 1 oder — 1 sein. Da auf der imaginären 
CO- Achse der links stehende Quotient und auch r reell und positiv sind, 
so ist c = 1. In ähnlicher Weise findet man auch die zweite und dritte 
der folgenden Gleichungen: 
/QON öi _ 4^+1 £3 8r— 1 ^' _ _1 



1) Vgl. auch Fig. 7, S. 360, die das mit den beiden Netzen versehene Polygon Tj 

darstellt. Hier sind die von sechs Dreiecken umlaorerten Punkte w = -^^^^^ — — — ^— 

° 2 

bzw. G) = — y— die Nullpunkte von g^ und g\ . 



380 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Durcli Elimination von r aus (4) und der ersten oder zweiten dieser 
Gleicliungen gewinnt man als Transformationsgleichungen für g^ und g^ 
heim zweiten Grade: 

[ ^'97 - 2'- 3V. 97 + 3 . 11^1/, + (IP^ - 3». 6»^§) = 0, 
Aus der dritten Gleichung (33) und der Gleichung (4) folgt: 

Durch Zusatz des Faktors z/ ergibt sich für die Modulform zweiter Stufe 
fiPiy ^2) ^ V^' ^ heim zweiten Grade die Transformationsgleichung: 

(35) 4/^-3^,^/-+z/^=0. 

7. Weitere Transformationsgleichungen für den vierten 
Grad. Auch beim vierten Transformationsgrade sind noch einige weitere 
Gleichungen bekannt. Gehen wir zunächst auf die Darstellungen (1) 
S. 304 von ö^i(ß>i, 032) ^^^ irgendein n zurück und üben die in (5) S. 370 
gegebene homogene Substitution TF„ aus, so finden wir mit Rücksicht 
auf den Umstand, daß die Perioden des Integrals zweiter Gattung mit den 
cöi, «2 kogredient sind und übrigens in den cj^, O2 die Dimension — 1 
haben: 

(36) G,(^^^^'^^) = G,{.„o>,); 

die Modulform n^" Stufe G^{Gi^, cd^) ist also gegenüher der homogenen Sub- 
stitution W„ invariant. 

Wir stellen nun die Modulform vierter Stufe G^{g)^j Og) mit der zur 
zweiten und also auch zur vierten Stufe gehörenden Form e^ico^^ co^) zu- 
sammen und notieren die Anfangsglieder: 

Nach dem Satze von S. 369 hat jede dieser Formen im Polygone T^ einen 
Nullpunkt erster Ordnung. Derjenige von G^ wird wegen (36) durch W^ 

in sich transformiert, liegt also entweder bei ca = y oder co = + —- Die 

erste Möglichkeit ist indessen ausgeschlossen, da G^ wegen der positiven 
Reihenkoeffizienten auf der imaginären co- Achse nicht verschwindet. Also 
liegt der Nullpunkt von G^ bei o = + \ und damit bei ^4= r = — |. 
Die Form e^ hat in Tg einen Nullpunkt der Ordnung |, der nur bei 

cj = — "*" ^ und damit bei r. = r = — 1 liegen kann. Hieraus entsteht 

der Ansatz: -^ = c ^^"^^ . 

e^ r + 1 ' 



Transformationsgleichungen für g^, g^^ J beim zweiten Grade 38 1 

Die Konstante c ergibt sich für & = ioo aus (16) und (37) zu |: 

/Q8^ ^1 _ g^ + 3 ^ _ 2^1 -3g, 

Wir bilden jetzt, unter a und h zwei endliche nicht zugleich ver- 
schwindende Koeffizienten verstanden, die „lineare Formenschar'\a G^ -f ^^a) 
der Dimension — 2. Die einzelne Form dieser Schar hat in T^ dann wie- 
der nur einen NuUpunkt erster Ordnung, der durch geeignete Wahl von 
a, h an eine beliebig vorgeschriebene Stelle von T^ gebracht werden kann. 
Haben wir dann irgendeine ganze Form g${(o^, cog) des Polygons T^ von 
der Dimension — 2d, die nach dem Satze von S. 369 d einfache Null- 
punkte in T4 hat, so entsteht die Möglichkeit, diese Form in der Gestalt: 

(39) g^ = («1 G^ -f \ e^) {a^ G^ + &2 ^2) • * • {<^6 ^1 + ^e^) 

als Produkt von d Formen der Schar darzustellen. Man kann nämlich 
ein solches Produkt bilden, das dieselben NuUstellen wie g^ hat; der 
Quotient von g^ und diesem Produkte ist dann als eine von Polen und 
Nullpunkten freie Funktion der rL/4) mit einer Konstanten identisch. 
Insbesondere findet man für g^ und g^ die Darstellungen: 

(40) g^ = -4.G\^12G,e,^-^el g,=^ 4.G\e,- \2G,el+ e\. 

Die beiden Nullpunkte von g^ sind nämlich die Wurzeln der quadrati- 
schen Gleichung t^ + 8 r + 4 = 0, so daß man mit Benutzung von (38) 

den Ansatz hat: n^An^t 10^ o 9^ 

^2= G{4:G\— 12Gie.2 — 3el). 

Die Konstante C bestimmt man aus den Anfangsgliedern der Reihenent- 
wicklungen. Entsprechend findet man die zweite Gleichung (40). 

In der mit 4 multiplizierten zweiten Gleichung (40) setze man noch 
{92^2 + ^3) ^^^ ^4 ®^^ ^^^ ordne beide Gleichungen nach Potenzen von e^i 

Durch Elimination von e^ aus diesen beiden Gleichungen erhält man als 
Gleichung für G^ beim vierten Transformationsgrade: 

(42) 2^^G\-2''%-bg.^G\-2^-^^^f)g^G\-2^-^^-bg\Gl 

-22.3^2^3 6?, -fz/ = 0. 

Der Nullpunkt von e^ liegt bei r = — 1. Die durch W^ transfor- 
mierte Form 63 verschwindet also bei r = — \ und damit wegen (38) für 
Gj = e^ . Die Wirkung von W^ auf e^ ist somit : 

(43) e,^G,-e„ 



382 H> 4r. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

da die zweimalige Ausübung von TF^ zu e^ zurückführen muß. Aus (40) 
bereclinen sich demnach weiter die Darstellungen: 

(44) g',^llGl-18G,e,+ Sel, 5,;= - 7GJ+ 17 (?««,- 90^^ - e| 
für die transformierten g^, ^3, sowie damit die Gleichungen: 

(45) g,-g,=^löG,iG,-2e,), g', + g,^ - UGf- 3Gle,+ 5G,4). 

Aus jeder dieser Gleichungen und den beiden Gleichungen (41) wolle 
man nun e^ eliminieren. Es entstehen zwei Ergebnisse, die nach g'^ und 
^3 aufgelöst folgende Darstellungen der transformierten g'^, g'^ in G^, g^y 
g^ liefern: 

2*. 3 . 5»(y| - 257 G\g^ _ 2 . 3^ 5 6?i p3 + gl 



(46) 



^2 2^13 6?f + i/2 ' 

"^'•^'TGl-S'-lGlg.-lOlGlg. + 'JG.gl + g.g, 



^3 2*.13 6^H-<72 

Auf dieser Grundlage kann man die Transformationsgleichungen für ^2 
und ^3 als Resolventen der Gleichung (42) einführen. 

Aus (44) und (40) folgt durch Rückgang zur Funktion t: 

{Al\ ^ _ 64r«+32r+ l 

Andrerseits ergibt sich aus (14) und Ausübung von TF^: 

27ff| _ (T^-f 8rH-4)° 21 g^^ ^ ( 64r^ + 32r + 1)» 
"^"~ r*(2r+l) ' z/' "~ 8r(2r-{-l) 

Dividiert man die zweite dieser Gleichungen durch die erste, so folgt bei 
Benutzung von (47): 

(48) -j, = 8r^ |/| = 2.. 

Erklären wir daraufhin /(Oj, cog) als ganze Modulform vierter Stufe durch: 

(49) /'(co„<3,)==4|/^^ = ^, 

SO ergibt sich durch Elimination von t zwischen dieser Gleichung und 
der aus (14) folgenden Relation: 

z/(T2-h 8t + 4)3- 21glt\2t + 1) = 

für /"((öj, (02) die zum vierten Grade gehörende Transformationsgleichung 
der Dishriminante A: 

(50) 2Y6 H- 2*. 3Z//-Ö + 22. 3 . 17z/Y^ + 2^. 11 z^^/^ + (3 • 59^| 

- 22. 3^. 17^2) ^s^ _ (22. 3 . 5^1+ 2*. 3*^|)z/Y + 2^^/« = 0. 



Weitere Gleichungen für den vierten Grad. Der dritte Grad 383 

§ 2. Die Transformationsgrade 3, 9 und 27. 

1. Transformation dritten Grades. Das Transformationspolygon 
Tg ist in Fig. 8, S. 361, dargestellt; das Klassenpolygon Kg läßt sich aus 

zwei symmetrischen Kreisbogendreiecken der Winkel -„ y a ? ^ und der 

Ecken g> = -^ , = — % — ^ , i od zusammensetzen. 

Die Form G^ ist hier einfach F (^*)> ^^ ^^ß ^*^ ^^^*^ dritten JJrade 
einträende Transformationsgleichung für G^ die zu diesem Teilungsgrade 
gehörende spezielle Teilungsgleichung: 

(1) 48 Gt - 24g, Gl -4Sg,G,-gl^0 
der p-FunJction ist (vgl. den Ausdruck von if;^^\u) S. 185). 

Eine einwertige Funktion r(co) für Tg führen wir durch die Fest- 
setzung: 

(2) r(»oo)=.0, ^(^) = 1, t(0) = oo 

ein. Da TT« die Punkte cj = und ioo austauscht und co = -^ zum 
Fixpunkte hat, so gilt: 

Die Funktion r((ö) ist auf der imaginären o- Achse reell und positiv, auf 
dem äußeren Rande von Tg reell und negativ, und speziell gilt: 



(4) • r{±^^) 



1. 



Die Formen g, , ^g ^^^ Dimension — 4 haben in Tg Nullpunkte je in 
der Gesamtordnung ~. Ein gemeinsamer Nullpunkt der Ordnung j liegt 

im Eckenzyklus ~ "T ; die Lagen der beiden anderen Nullpunkte 

sind aus den beiden Netzen der Fig. 8 sofort abzulesen, sie treten für 
zwei reelle negative, einander reziproke Werte r ein. Hieraus folgt der 
Ansatz: „' ^u.„ 



9i atr 4- 1 

wo a reell und positiv ist. Das rechts nicht noch ein von Hh 1 verschie- 
dener Faktor auftreten kann, folgt aus dem Umstände, daß sowohl der 
links stehende Quotient wie auch r durch Wg in ihre reziproken Werte 
transformiert werden. Für 09= ioo wird t = und die linke Seite gleich 
9; also ist a = 9, und es gilt das obere Zeichen: 

(5) ä = .L±_L. 



384 IIi 4» Transformationsgleichungea erster Stufe für niedere Grade n 

Die Form G^ der Dimension — 2 hat in Tg einen Nullpunkt der 

Ordnung |, der nur im Eckenzyklus = — e"^ ^^^ ^^^^ ^®^ r = — 1 
liegen kann. Demnach gilt der Ansatz: 

Die Konstante c bestimmt man für r = mit Hilfe der Anfangsglieder 
der Reihen für G^ und g^. Es gilt: 

rß^ ^* = A ^^ + ^ l2 _ i_ L±_? 

W Ö| 3 r+l ' (?? 3 r + l' 

wo die zweite Formel aus der ersten durch TFg oder auch mit Hilfe von 
(5) hergeleitet wird. Eliminiert man g^ aus (6) und (1), so folgt: 

n\ iL = _ A 27r'+18tr-l 9z _ , ± r« - i8r - 27 

VV (,» 27 (r+l)2 ^ Gl "^27 (r + 1)« ' 

WO die zweite Gleichung aus der ersten wieder durch TTg hervorgeht. 

Da z/ eine Form erster Stufe mit einer durch 4 teilbaren Dimension 
ist, so können wir an Stelle der durch die homogene Substitution W^ 
umgeformten Diskriminante z/ auch: 

(8) ^'=z/(a,,y3, ^) 

treten lassen, was mit Rücksicht auf die vorzunehmenden Radizierungen 
vorzuziehen ist. Es gilt nun einfach: 



(9) ^'=^^ y^' 



wo die links stehende Wurzel auf der imaginären ra-Achse positiv zu 
nehmen ist. Der Quotient der Diskriminanten ist nämlich eine Funktion des 
Polygons Tg, die nur in den beiden Spitzen ioo und verschwinden oder 
unendlich werden kann. Da sie (wegen des Anfangsgliedes der Reihe) 
bei ioo einen Nullpunkt zweiter Ordnung hat, so liegt bei = ein 
Pol der gleichen Ordnung. In dem daraus sich ergebenden Ansätze 
z/': z/ = cz^ muß aber c = + 1 sein, da der Quotient z/': z/ und r bei 
TTg in ihre reziproken Werte übergehen. Endlich ist c = 1, da sowohl 
z/' : z/ als T auf der imaginären ca- Achse reell und positiv sind. 

Die weiteren zum dritten Transformationsgrade gehörenden Glei- 
chungen folgen nun einfach durch Eliminationen. Wir entnehmen zu- 
nächst aus (6): 



(10) 



16 6?f r-fl 



und finden sodann durch Addition der Gleichungen (6) und weiter durch 
Subtraktion der Gleichungen (7) bei Benutzung von (10): 



Transformation dritten Grades 385 

^ ^ 127/3= -280(^^42^2^1 +27^3. 

Mittelst dieser Gleichungen sind die Transformationsgleichungen für g^ und 
g^ heim dritten Grade als Tschirnhausenresolventen der Gleichung (1) er- 
Märbar. 

Weiter folgt aus (6\ und (7): 

gl -27 gl ^ A ^ 4096 r 

G\ Gf 27(r-|-l)*" " '■' 

Aus dieser Gleichung und den eben genannten Gleichungen (6) und (7y 
ergibt sich bei Einführung von J{c3): 

(12) J: (J- 1) : 1 = (r + l)(9r + 1)^: (27t2+ 18ir - 1)*: 64r. 

Diese Gleichung^ die entsprechende für J' und x und die Besiehung 
X t = 1 bilden den Ersatz der Transformationsgleichung für J beim dritten 
Grade}) 

Nach S. 340 existiert beim dritten Grade eine Transformationsglei- 
chung für y/l'/l. Man schreibt zweckmäßig: 

(13) f{(D, , (D2) =1/3 yj^ = y3^ 

und findet aus dem zweiten und dritten Gliede von (12) beim Ausziehen 
der Quadratwurzel unter richtiger Bestimmung des Vorzeichens: 

_ 3>/35r3 _ 27tr«+18r — 1 

^ sy^ "* 

Indem man den aus (13) folgenden Wert von t hier einträgt, ergibt sich 
(14) 3f ^Q^f^- ^^g3^f - ^' = 

als die zum dritten Grade gehörende Transformationsgleichung der JDisTcri- 
minante. 

2. Transformation neunten Grades. Das Transformationspoly- 
gon Tg ist in Fig. 14 (S. 386) dargestellt; seine acht Seiten sind durch 
folgende vier Substitutionen einander zugewiesen: 

die sämtlich der Gruppe JT^C») angehören. Das Klassenpolygon Kg besteht 

1) Die fertige Transformationsgleiohung ist von St. Smith in den „Procee- 
dings" der Londoner mathematisclien Gesellschaft von 1878 (S. 242) und 1379 
(S. 87) mitgeteilt; sie lautet auf j und j' umgerechnet: 

/(/ + 2". 3 . 5»)« -\-j{j + 2»^ 3 . 5»)« -/; -f- 2»- 3^ 31/ V(/ i-j) 
— 2^ 3»- 9907/i(/* + /)+ 2 . 3*- 13 • 193 • 63677' V 
■f 2^6. S'^. 53. 17 • 263/j(/ +i) — 2"- 5«- 22973/J = 0. 
Fricke, Die elliptischen Funktionen II 25 



386 IIi 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

aus zwei symmetrisclieii Kreisbogenvierecken mit zwei Winkeln und 
zwei rechten Winkeln. Die Seiten des einzelnen Vierecks sind durchweg 

Symmetriekreise von Spiege- 
lungen der Gruppe r^^\ Das 
zur Linken der imaginären 
cö-Achse gelegene Viereck hat 
die beiden Spitzen o = t oo 
und — \ . Die Ecken der bei- 
den rechten Winkel dieses 

i 




Vierecks liesren bei 



G) = 



und 



G) 



— 3+i 



, die die Null- 



punkte der die beiden Formklassen der Diskriminante 2) = — 36 reprä- 
sentierenden Formen (9, 0, 1) und (18, 18, 5) sind. Die Seite 2 ist der 
Symmetriekreis der in der F^^^ enthaltenen Spiegelung: 



CD 



9w — 4 



18rä-{-9 

Die Abbilder der drei negativen Tg-Halbebenen sind in Fig. 14 schraf- 
fiert. Diese Abbilder sind von Symmetriekreisen der F^^'^ durchzogen; 
eines von ihnen (in Fig. 14, links unten) ist in zwei getrennte Teile zerlegt. 
Durch r^{(o) wird das Polygon Tg auf eine dreiblättrige Riemannsche Fläche 

Über der rg-Ebene abgebildet, die (den Stellen o «= und a == ^= — "T ^ 
entsprechend) zwei dreiblättrige Verzweigungspunkte bei Tg == oo und — 1 
hat. Man kann demnach yr^ + 1 oder noch zweckmäßiger: 

(15) t(o) = - 1 + frgTl 

mit der Bestimmung, daß die Kubikwurzel auf der imaginären oa-Achse 
reell genommen werden soll, als einwertige Funktion des Polygons T^ 
benutzen. Die Spitzenwerte dieser Funktion sind: 

(16) r(ioo) = 0, t(0) = ^, ,(±|) = ^l±il^. 
Die Wirkung der Substitution Wg auf r(o) ist: 

da durch "PFg die beiden Werte t = und r = oo sowie andrerseits die 
beiden Spitzenwerte r(4: ^) ausgetauscht werden. 

Trägt man nun den aus (15) folgenden Ausdruck: 



(18) 



r8(o) = r(tr2+3r-f 3) 



von Tg im jetzigen r in die Relation (12) zwischen J und Tj ein, so folgt: 



Transformation neunten Grades 387 



(19) J:{J-\) 



l = (9T*-h36T3+54T2-|-28r+ l)» 

(27t« + 162 t5+ 405i:* + 504t3+ 297ir2+ 54t - 1)^ 

64t(t2+3t + 3). 

Diese Relation^ die entsprechende zwischen J' und t und die Gleichung 
t't = 3 bilden den Ersatz der Transformationsgleichung für Jheim neunten 
Grade. 

Nach S. 340 muß beim neunten Grade für die Form y^'/J'^ eine 
Transforraationsgleichung zwölften Grades bestehen. Um sie zu gewinnen, 
üben wir W^ auf die Gleichung (18) aus und finden bei Benutzung von 
(3) und (17): 



\9ca/ r3(3co) r (r« "^ r + ^P 



WO bei den Funktionen t, die ohne Argument geschrieben sind, o als 
solches zu denken ist. Für die zur Gruppe rL(9) gehörende Funktion 
T3(3g)) berechnet sich hieraus: 

(20) 9^.(3») = ,-^+-^+3- 

Nun folgt aus (9) und (18): 



V 



(-'^■?,) 



^(©1, «2) 



Y^^ == x^ip) = T(w)(T(a})2-f 3t((ö) + 3). 



Setzt man «iVS, —: an SteUe von «i, cog und also 3 a) an Stelle von m 
ein, so folgt bei Benutzung von (20): 

kW 




(-^^'^) 



_ (o \ r((o)° 

^sl^Oj; 9(r(a))«+3T(co)4-3) 



Durch Multiplikation der beiden letzten Gleichungen und Ausziehen der 
vierten Wurzel ergibt sich: 

Erklären wir demnach eine zur r^i%\ gehörende Modulform /"(oj, cjg) 
durch die Gleichung: 

(22) f{<o„ m,) = -/H |/z/ (3fi,„ ^) zr(a,„ «,)' = V^ YÄÄ'^ = z?r, 

SO ergibt sich fü/r diese Form aus (19) die gesuchte Transformationsgleichung 
in der Gestalt: 

(23) (9/-* + 36 z//-» + 54z/ Y^ 4. 28z/Y -f z/^)» 

- 64(/|z/Y(f + Sz/fH- 3z/2) = 0. 



388 n, 4. Transformationsgleicliungen erster Stufe für niedere Grade n 

3. Transformation 27^*®" Grades. BeimGrade27 schlagen wir einen 
ähnlichen Weg ein wie oben (S. 378) beim Grade 32. Unter t((d) verstehe 
man die bei n = 9 benutzte Funktion, unter r (o) die aus ihr durch Aus- 
übung von 1^27 hervorgehende Funktion. Man kann alsdann t(o) und 
^'((o) als ein Funktionssystem des zum Geschlechte 1 gehörenden Poly- 
gons Tg^ benutzen. Um die zwischen r und t bestehende Relation zu 
finden, übe man TFg? ^^^ ^^^ Gleichung (20) aus und findet: 

^ ^3 ( 9 ^ ) = 72 +-3:^^^: 3 • 
Andrerseits folgt aus (18) durch Ausübung von W^ mit Benutzung von (17): 

, ^3(=^)=ie + | + 3) = ^|^±i).. _ 

Aus den beiden letzten Gleichungen ergibt sich als Belation zwischen den 
beiden dreiwertigen Funktionen r und x des Transformationspolygons T^,;: 

(24) r'V= 81(/2+ 3r'+ 3)(t2+ 3i: + 3). 

Statt T und r' kann man auch t mit einer geeigneten ziveiwertigen 
Funktion 6 zu einem Funktionssysteme der Fläche F27 zusammenstellen. 
Man formt nämlich die Gleichung (24) leicht in die Gestalt: 

um und findet demnach eine geeignete Funktion (? in: 

(25) = |/9(.^+3r + 3) = ^-^±^ • 
Die beiden durch die Relation: 

(26) 9(t2 + 3r + 3) = (?« oder (6(Tr + f))^ = 4:0^- 27 

aneinander gebundenen Funktionen zeigen, daß wir hier mit einem ellip- 
tischen Gebilde des „äquianharmonischen^^ Falles zu tun haben (vgl. 1, 136). 
Geht 6 durch Ausübung von TFgj in ö' über, so folgt aus (25): 

, r(/-f3) 
^ = r+3 • 

Durch Auflösung dieser Gleichung und der Gleichung (25) nach x und 
6 ergibt sich der Satz: Die Wirkung der Substitution TF27 (^'^f das Funk- 
tionssystem TT, 6 der r^(2i) ^^^' 

(27) -' = f^+s. «'=^^^- 

Für die späteren Zwecke ist es etwas vorteilhafter, mit einer zwei- 
wertigen Funktion zu arbeiten, die gegenüber TfgT unverändert bleibt 
und ihr eine zweite Funktion anzureihen, die bei Ausübung von W^^ 



Transformation 27'^*«'» Grades 389 

Zeichemveclisel erfährt. Von der Funktion: 

6 — 3 



X = 



(28) ---.+ 3 

zeigt man auf Grund von (27), daß sie bei W^i unverändert bleibt. Durch 
Elimination von o aus (26) und (28) folgt: 

T3i3_|_9^2(^3^-2_i)_^27r(i^+2i2 + r-l)+27(i3+3i2+3r) = 0. 

Diese Gleichung gestattet die Absonderung des Linearfaktors (t + 3) und 
liefert dann als Beziehung zwischen x und i: 

t2t3+ 3T(2i3+ 3r2- 3) + 9(^3+ 3i2-j- 3i) == 0. 

Die Diskriminante dieser für t quadratischen Gleichung ist nach Fort- 
lassung eines numerischen Faktors gleich (t*+ 4t^ -|- 6t^— 3). Durch 
Ausziehen der Quadratwurzel folgt der Satz: Als ein FunMionssystem der 
1^^(27) ^ctnn man: 



(29) X, ö = Yx^ + 4i^ + 6i2 _ 3 

gebrauchen ^) ; r ist ziveiwertig und ö" vierwertig^ gegenüber Wg, zeigen diese 
FunMionen das einfache Verhalten: 

(30) x=t, -d' = -S. 

Die Funktion x verschwindet für © = icx); 6 sei dadurch eindeutig er- 
klärt, daß ^(too) = -|- ij/S zutrifft. Die Funktionen x und 6 stellen sich 
in X und 6 umgekehrt in der Gestalt: 

[öl) X = —^ , 6 - ^^ 

dar. Was endlich die Transformationsgleichung für J((o) beim Grade 27 
angeht^ so ist es am Jcürsesten, die Gleichung (19), die entsprechende in 
J' und X und die Belation (24) zwischen x und x als Ersatz jener Glei- 
chung anzusehen. 

§ 3. Die Transformationsgrade 5, 25, 7 und 49. 

1. Transformation fünften Grades. Fig. 15 (S. 319) zeigt das 
Transformationspolygon T5 mit den beiden übereinander getragenen Drei- 
ecksnetzen-, es zerfällt in vier Kreisbogen Vierecke je mit drei rechten 
Winkeln und einem Winkel 0, die durch die stark ausgezogenen Sym- 
metriekreise von Spiegelungen der Gruppe F^^^ geliefert werden. Die acht 
mit Nummern versehenen Seiten sind durch folgende Substitutionen ein- 
ander zugewiesen: 

1) Nach I, 137 muß die auf Grund von (10) in I, 122 zu berechnende In- 
variante g^ für die unter der Quadratwurzel (29) stehende Funktion natürlich wieder 
verschwinden, was in der Tat zutrifft. 



390 n, 4. Transfonnationsgleichurgen erster Stufe für niedere Grade n 



— 2 + *■ - 



^'Q:-^ 



6 + »Vö j 



sein 



l->8,e;);2->3,(J;L,); 4^ 

Das Kreisbogenviereck der Ecken ioo, -^, 

zur rechten Seite der imaginären ca-Achse gelegenes Spiegelbild mögen 

das Klassenpolygon Kg zusammensetzen; die beiden Ecken -^— bilden 

dann einen Zyklus und ebenfalls die beiden Ecken — — "T*^ • 

Die zum fünften Grade gehörende Form G^ hat in Tg einen Null- 
punkt der Ordnung 1 und also 
in K5 einen solchen der Ordnung 
jj der in einem der beiden eben 
genannten Eckenzyklen liegen 
muß. Der Quotient von (rj^ 
und z/'-z/ liefert eine sechswer- 
tige Funktion von K5 mit einem 
8 Nullpunkte sechster Ordnung 
im Nullpunkte von G^ und 
einem Pole der gleichen Ord- 
nung bei o = i 00. Also ist 
jener Quotient die sechste Potenz 
einer einwertigen Funktion von 
K5, die selbst als Quotient 

f von Gl und Vz/'z/ darstell- 
bar ist. 

Da nun Gl gegenüber den Substitutionen der JT^^^ unverändert bleibt, 
so gilt dasselbe von yz/'z/. Wir verstehen hier unter z/' zweckmäßig 
die Form z/foi, ^) und haben dann folgende Anfangsglieder der Reihen: 

|/Z^= 25 (l^)'(g2_ 4 ^44. 2 ^6+ . . .). 

Mit Gl und y^^'^ bilden wir nun wieder eine lineare Schar (a Gl + & j/z/'z/) 
von Formen mit einem im Polygone Kg beweglichen Nullpunkte und 
können dann die übrigen ganzen Formen von Kg als Produkte von G^ 
und von Formen jener Schar oder auch nur aus Formen der Schar her- 
stellen. 

Für die mittelst der homogenen Substitution TFg umgestaltete Form 
^2 gilt zunächst der Ansatz: 

g, + ^2 = aGl + &|/ZZ, g,-g,-aGt + h'Gl VJ^-h c'V^J. 




«-0 

Fig. 15. 



(1) 



Transformation fünften Grades 391 

Durch Heranziehung der Potenzreihen findet man die Koeffizienten: 



(2) 

Bei Berechnung von g^^ g\ einzeln stellt sich die Quadratwurzel: 

(3) G^ (öl , cjg) = /Sl G\ - 99 G\ V^'^- V^^ 

ein, die durch Angabe des Anfangsgliedes — (— ^ j der Reihenentwicklung 

als eindeutige Modulform (— 4)*®' Dimension erklärt sein mag. Sie er- 
fährt gegenüber Wr, Zeichenwechsel, ihre beiden Nullpunkte in Tg sind 

die Fixpunkte von TFg, d. h. die Stellen -^ und = — 'TJ' — Man folgert, 

aus (3), daß G^ für = — iq~ nicht verschwindet: Bie Form G^ hat 
ihren Nullpunkt im EckensyUus (d = =^-^^^'— • Aus (2) und (3) berechnet 
man als Darstellungen für g^ und g['. 

|25^, = 39 GJ - 3 |/Z^- 4 G,, 
125 ^; « 39 G^^ _ 3 f Z:Z+ 4 G^. 

Da ^3 und g^ im Nullpunkte von G, zugleich verschwinden (vgl. 
Fig. 15), so sind die Quotienten g^ : G^ und g^ : G^ ganze Formen (— 4)**"" 
Dimension des Polygons Tg. Es gelten demnach die Ansätze: 

9,+g,-G,{aG\ + lV'^^), gl-9s = cG,G„ 
WO man wegen der zweiten Gleichung beachten wolle, daß eine ganze 
Modulform des Polygons Tg, die bei Tfg Zeichenwechsel erfährt, bis auf 
«inen konstanten Faktor mit G2 identisch ist.^) Die Koeffizienten a, h, c 
bestimmt man aus den Anfangsgliedern der Reihen; es findet sich für 

1 125 g, = -G, {62 Gl - 24 V^J- 7 G,) , 

1 125 g'^=--G, (62 Gl - 24 |/ZZ-f 7 G,). 

Zu entsprechenden Formeln für z/ führt folgende Überlegung: Tg 
hat die beiden Spitzen i 00 und und gehört zum Geschlechte 0. Eine 
Hauptfunktion t (m) werde so ausgesucht, daß t {i 00) == und r (0) = 00 
ist, wodurch t(co) bis auf einen konstanten Faktor festgelegt ist. Der 

Quotient von A' = A (ö^, yj und z/ = z/(öi, «2) ist eine vierwertige 

1) Die fragliche Form muß nämlich dieselben Nullpunkte wie G^ haben, da 
andernfalls der Quotient der Form mit G^ eine „Funktion" des Klassenpolygons K5 
wäre, die an den Nullstellen von G^ Nullpunkte oder Pole „gebrochener" Ord- 
nung hätte. 



392 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Funktion von T5, die bei o = i 00 einen Nullpunkt vierter Ordnung und 
also hei (D = einen Pol der gleichen Ordnung hat. Wir können dem- 
nach t(o) eindeutig durch die Festsetzung: 



(6) 






erklären, wobei auf der imaginären C3- Achse reelle positive Werte r(co) 
vorliegen sollen. Es gilt dann: 

Man hat nun in: 






eine gan^e Form (— 4)*®"^ Dimension von T5, die gegenüber W^ Zeichen- 
Wechsel erfährt und also bis auf einen konstanten Faktor mit G^ iden- 
tisch ist. Den Faktor bestimmt man aus dem Anfangsgliede der Reihe: 

(8) ■|/Z-125]/^==-4'|/ZZ. 0^2. 
Mit Rücksicht auf (3) folgert man hieraus: 

(}/Z -f 125 V^y= 4 -f/ZZ (324 Gt - 396 Gl f Z"^ + 121 1/^^), 
sowie durch Wurzelziehung bei richtiger Bestimmung des Zeichens: 

(9) yZ -j- 125]/^ = '^2^ (86 Gl - 22>^'Z). 

Aus (8) und (9) ergeben sich für j/z/ und ]/z/' die Darstellungen:; 

. ^ fl25y^=(l8(7?-ll|/Z^ + 2ö,)T^"'Z. 

I yz= {is Gl -11 I^Z^ - 2 0^2) 'f/Z^. 

Die Transformations gleichungen beim fünften Grade ergeben sich 
nun einfach durch algebraische Umgestaltungen der gewonnenen Formeln. 
Erstlich folgen aus (6) und (9), sowie weiter aus (6) und (8) die Dar- 
stellungen: 

(11) Gi = ''+'li+''' i/2-j, G^^-^i^^^y~jj 



von Gl und G^ in x und y Ä A. Durch Eintragung dieser Ausdrücke in 
die ersten Gleichungen (4) und (5) folgt: 

(12) g.- ^'+,\":+^ --^^, g,=-G:^±^^r^-^, ' 



woran wir noch die aus (6) fließende Gleichung z/ = t~^}/z/'z/ reihen.. 



Transformationsgleichungen beiin fünften Grade 393 

Bei Einführung von J{co) ergibt sich aus (11) und (12): 
(13) J:(e7-l):l==(T2+10r-f 5)^ 

: (t2 + 22r + I2b){x^ + 4t + 1)» 

: 1728t, 

eine Gleichung, die uns in bekannter Weise im Verein mit der Relation 
t'-t= 125 die beim fünften Grade eintretende Transformationsgleichung 
für J{g)) ersetzt 

Durch geeignete Verbindung der Gleichungen (12) beweist man: 



ebenso mit Benutzung der ersten Gleichung (11): 

(14) T./.+ 'l^-ß^-S^Z^. 

Trägt man den hier gewonnenen Ausdruck von '\^ A' A in die voraufgehen- 
den Gleichungen ein, so folgt: 

5(?? - 29^,- 190| = - r{G\ - lg,- '-^^»), 

Durch Multiplikation dieser Gleichungen findet man als TransformationS" 
gleichung sechsten Grades für G^ beim fünften Transformationsgrade: 

(15) Gl - 6g, Gl - 40^3 Gl - hg\ G\ - ^g,g, G,-ogl^O. 



Durch Elimination von yz/'z/ aus (14) und der ersten Gleichung 
(2), sowie weiter durch Elimination von '^ A A und G^ aus (5) und (14) 
gewinnt man: 



(16) 



25/, = 80(^?-39^2-~^% 
1255r; = - 140G? + 112^^6^, + 195^3. 



Durch diese Darstellungen der transformierten Formen g',, g^ sind die Trans- 
formationsgleichungen der g^y g^ beim fünften Grade als Resolventen der 
Gleichung (15) erklärt. 

Nach S. 339 ff. besteht hier endlich noch für die Form : 

(17) f((o,, CD,) =yj^Ä~' = |/7|/Z2 

eine Transformationsgleichung sechsten Grades, die unter (5) S. 343 all- 
gemein angesetzt wurde. Diese Gleichung ergibt sich aus (13), indem 



394 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 
man r = /*'• z/"^ einträgt: 

Man multipliziere mit z/ und ziehe die Kubikwurzel, womit man als 
Transformaiionsgleichung für die Form (17) findet: 

<18) /•6+ 10z/y3_ I2^2z/Y+ 5z/*= 0. 

2. Transformation 25"*®'' Grades. Das Polygon T25 entsteht aus 
dem in Fig. 15 abgebildeten Tg^ indem man auf diesen Bereich die vier 

Substitutionen ( , ' j und ( 1 'q A ausübt und die vier so entstehenden 

Bereiche dem Polygone Tg anfügt. Polygonspitzen von Tgg liegen bei 
€3 = ioo, 0, +1^, ^t 10- J® ^i^ beiden von der einzelnen dieser sechs 
Spitzen ausziehenden Polygonseiten sind durch Substitutionen der Gruppe 
P^(25) aufeinander bezogen, und zwar der Reihe nach durch 

f'l\ fl'OX /4,-l\ / 6, 1\ / 9,-l\ / 11, IX 

\0, 1/ ' V25, 1/ ' V25, — 6/ ' \— 25, — 4/ ' VlOO, — 11/ ' V— 100, — 9/ 

Auch Tgg hat das Geschlecht 0. Eine zugehörige einwertige Funk- 
tion r(c3) sei durch die Festsetzungen: 

(19) r(i^) = 0, r(0) = ^, r(i)-y5 

näher erklärt; sie zeigt gegenüber W^^ das Verhalten: 

-(20) <^)-^V 

Die vier Spitzenwerte t{±^ J), r{±^ ^) sind zu Paaren konjugiert komplex 
und genügen also einer biquadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten: 

T* + ar» + ftr^ + er + ^ = 0, 

Ton denen d positiv ist. Durch TF5 werden die fraglichen vier Spitzen 
permutiert, so daß wegen (20) die letzte Gleichung auch: 

geschrieben werden kann. Also ist d = 25, c = 5a, und unsere Gleichung 
lautet: ^4 ^ ^^3 ^ j^2 ^ 5^^ -j- 25 = 0. 

Die Funktion r^{G)) ist in Tgg fünfwertig und zwar durch t als ganze 
Funktion fünften Grades darstellbar, da die fünf Pole von t^ bei o = 
zusammenfallen. Die fünf Nullpunkte dieser Funktion liegen in den 
übrigen fünf Polygonspitzen, so daß der Ansatz gilt: 

(21) h{g3)= G-r{t'^+aT^-}-hr^'i-6at + 25), ' 

"WO rechts o als Argument zu denken ist. Übt man die Substitution W^^ 



Transformation 25***" Grades 395 

aus, so folgt mit Benutzung von (7) und (20): 

Mit Rücksiclit auf (6) findet man aus den beiden letzten Gleichungen: 



24 




(22) r(«,)=K(5<o)rs(<») ,, ^^^^^^^^ 

Aus der Reihe für Y^ (vgl. I, 433) stellt man leicht folgende Anfangs- 
glieder der Reihen von r^{c3) und r((ö) fest: 

r,(co) = 12522(1 + 6q^ + 21q^+ . • •), 

r((D)= 5^2(1^ ^2^ 2^* +.-.). 

Trägt man diese Reihen in (21) ein, so folgt durch Vergleichung der 
Koeffizienten gleich hoher Potenzen von q rechts und links G = 1, a = 5, 
5 = 15. Die Darstellung von tg als ganze Funktion von % ist somit: 

(23) Tg = r(T* + 5t3 + 15r2 + 25r + 25). 

Diesen Ausdruck von t^ setze man nun in der rechten Seite von (13) 
für r ein. Es ergibt sich als Darstellung von J(g)) in der zu n = 2h ge- 
Mr enden Funktion r: 

(24) J: (J - 1) : 1 = (r^» + lOr^ + 55t« + 2007^ + 525r« + lOlOr^ 

+ 1425t^ + 1400^3+ 875t2 + 250r -f 5)» 
: (r« + 2r + 5) (t^ -f- 4t8 + Or^ + lOr + 5)^ (r>^ + lOr» 
-f 55t« + 200t^ + 525t6 + 1004t5 -f 1395t* 
-f 1310t3+ '725t2+ 100t - 1)^ 
: 1728t(t* + 5t3 + 15t2 + 25t + 25). 

Nach S. 339 genügt beim quadratischen Transformationsgrade w = 25 
die Form: ., . 24/-^r-^ 

einer Transformationsgleichung 30»*®^ Grades. Diese Gleichung läßt sich 
aus (24) unmittelbar abschreiben: 

(25) (/-lö + lOz//-^ -h hhA^f + 200 z/V^ + 525 z/Y« + lOlOz/^^ 
+ 1425 z/Y* + 1400 ^Y' -H 875z^Y2 -f 250 z^Y + öz/^^^s 

- 1728^z/2Y(/'*+ 5z//'3+ 15z^Y'+ 25z/Y4- 25 z^*) = 0. 

3. Transformation siebenten Grades. Die Polygone T, und K7 
sind in Fig. 2, S. 351, und Fig. 6, S. 359, figürlich dargestellt und daselbst 
näher besprochen. Als eine erste zur F^^^ gehörende Modulform ziehen 



396 n, 4. Transformationsgleicbungen erster Stufe für niedere Grade n 

wir das in (9) S. 326 gegebene t/^ der quadratisclien Form (1, 1, 2) der 
Diskriminante D = — 7 heran: 

(26) j/o= ^^9'<"'^'"^'',^'* = ~(1 + 22'+ 4q' + *+6q^+. . .). 

Durch den Stern soll darauf aufmerksam gemacht werden, daß das Glied 
mit q^ ausfällt. Bei den Substitutionen der r^n\ bleibt yQ unverändert 
oder erleidet nur einen Zeichenwechsel. In T^ hat «/^ Nullpunkte in der 
Gesamtordnung j. Nullpunkte gebrochener Ordnung können nur in den 

Ecken = — ^ ^ von T, auftreten. Da in zwei bezüglich der imaginären 

o-Achse symmetrischen Punkten die in (26) rechts stehende Potenzreihe 
konjugierte Werte hat, so liegt in jeder der beiden genannten Ecken ein 
Nullpunkt der Ordnung |. Durch die homogene Substitution W^ wird 
demnach «/o» vielleicht vom Vorzeichen abgesehen, reproduziert. Setzen 
wir aber in: 

(27) j,„(i^,-ia,,l/7)=±2,„(«,„,o,), 

dem Fixpunkte von W^ entsprechend, co^ -= i, 032 = ]/7 ein, so folgt, da 
l/oihV^) nicht gleich ist, die Gültigkeit des oberen Zeichens in (27). 
Von der zu w = 7 gehörenden Form G^ stellt man fest, daß sie in 

T7 nur zwei Nullpunkte je der Ordnung — in den Ecken ~^-- ^.^ hat; 

sie ist demnach bis auf einen konstanten Faktor mit yl identisch. Die 
Reihenentwicklung : 

bestätigt dies und liefert: 

(28) 4(?,= 7y^ 

Für K7 bilden die beiden Ecken = — rr^^^ einen Zyklus, in dem die 

Form yl einen Nullpunkt erster Ordnung hat. Unter z/' verstehen wir 
hier zweckmäßig ^diloo^, a^. Im Quotienten von i/q* und z/'z/ erkennen 
wir dann die achte Potenz einer einwertigen Funktion von K7, so daß 
der Quotient von y^ xmdn 

(29) i/Z:2^ = (i^)V + 2^-33* + *+5ä« ) 

eine einwertige Funktion von K^ ist, deren Pol in der Spitze ^'oo liegt. 
Aus den beiden Formen yl und ]/z:/' z/ , die gegenüber den Substitutionen 
von r'(') immer zugleich unverändert bleiben oder Zeichenwechsel erfahren, 
bilden wir nun wieder eine lineare Schar {ayl + hY^' ^) mit einem in 



Transformation siebenten Grades 397 

K7 beweglichen Nullpunkte. Die übrigen ganzen Formen von K^ , die wie 
Pq und die Formen der Schar bei Wrj unverändert bleiben, lassen sich 
dann als Produkte aus Faktoren y^ und Formen der Schar darstellen. 

Die Entwicklung geht nun auch w;eiter genau denselben Weg wie 
bei w = 5. Man gewinnt mit der Benutzung der Potenzreihe für ^2 zu- 
nächst die Darstellungen: 

(30) \Hffs+9.) = yo{royl-80V^^), 

Bei Berechnung Ton g'^ und g^ stellt sich eine Quadratwurzel ein, die die 
Modulform der Dimension — 3 : 

(31) (?^(<o„ 0,,) = Vyl - 2&yl fTT- 27 ^Z^ 

2 

liefert und durch das Anfangsglied der Potenzreihe ( — \ eindeutig er- 
klärt sei. Diese Form hat im Klassenpolygon K^ zwei Nullpunkte je der 
Ordnung — bei ca = — = und im Eckenzyklus — — i ', ' : . gegenüber W^ 
erfährt (r, Zeichenwechsel. Für g^ und g^ einzeln finden wir die Dar- 
stellungen: 

(32) 12^„12^; = 2,,(25t/?-80fZ^q:24ff^). 

Zur Berechnung von g^ und g[^ ist es etwas bequemer, neben {g'^ -J- ^3) 
die Differenz (^3 — ^3) darzustellen, nämlich als Produkt von G^ und einer 

Form der Schar. Die Rechnung führt zu: 

(33) 216^3, 2I6/3 = - 9(192/« ~2002/2f/Z^ - 12^4"^) 

Im Falle w = 7 erkennt man aus den Anfangsgliedern der Reihen 
im Quotienten von z/' und z/ die sechste Potenz einer einwertigen Funk- 
tion von T7. Im Anschluß daran erklären wir eine solche einwertige 
Funktion r(o3) selbst durch: 



(34) r(«,) = 49]/4-=7 







mit der Bestimmung, daß diese Funktion auf der imaginären o-Achse 
reell und positiv sein soll. Die Wirkung von TF-^ ist: 

(35) -(?-) = 4V 

^ \7ej/ r(a)) 



398 II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 



Das Produkt von (t — 49 r"^) und y A' /i ist nun eine ganze Form (— S)*®"^ 
Dimension, die die Nullpunkte von G^ hat und also mit dieser Form bis 

auf einen konstanten Faktor übereinstimmt. Die Anfangsglieder der 
Reihen liefern diesen Faktor und führen zur Gleichung: 

(36) ^Ä - 49 y^' = G^~Ja, 

2 

Zur Bestätigung dieses Ergebnisses leite man aus ihm mit Benutzung 
von (31) einen Ausdruck von (f^z/ + 49>^z/') ab. Es muß sich das Pro- 
i^\ dukt von )/z/'z/ mit einer Form der Schar fiuden; in der Tat ergibt sich 
bei richtiger Bestimmung eines Vorzeichens: 

(37) >/^ + 49 f/Z = (2/5 - 13f Zz/j'v'ZZ 

Durch Kombination der letzten Gleichungen gewinnt man für die Dis- 
kriminante z/ die Gleichungen: 

Um nun die Transformationsgleichungen zu gewinnen, entnehmen 
wir zunächst aus (37) und (36) mit Rücksicht auf (34) die Folgerungen: 

(39) j,» = !!+i^^±i?f/Z^, Ö^ = _^19|/Z^. 

2 

Durch Eintragung dieser Ausdrücke von yl und G^ in die ersten Glei- 
chungen (32) und (33) ergeben sich für g^ und g^ die Darstellungen: 

^*^^ 216^3 = - 7» fZ^ -'+"^'+T+^°^~' - 



(38) 



Nimmt man die aus (34) folgende Gleichung z/ = 7^t~^-')/z/'z/ hinzu, 
so gelangt man zu folgender Darstellung von J((o) als rationale Funktion 
achten Grades von t: 

(41) J:(J- 1):1 = (rH 13r + 49)(r2+ 5t + If 

:(r*4- 14T^+63TH70Tr-7)2 
: 1728r, 

eine Gleichung j die uns in bekannter Weise im Verein mit t't = 49 die 
Transformationsgleichung für J{g}) heim siebenten Grade ersetzt. 

Nach S. 339 ff. besteht beim siebenten Grade eine Transformations- 
gleichung für die Form: 



Transformationsgleichungen für den siebenten Grad 39^ 

(42) /•(«, , 0.,) = 7 yZ^ ==yZr , 

die durch ihr Anfangsglied (—j Iq^ eindeutig erklärt sei. Sie läßt sich 

fast unmittelbar aus der Gleichung (41) abschreiben, der wir zunächst 
die Gestalt geben: 

(T*+ Uir^-f 63r2+ 70r - lfJ^== Q'glt^ = (216^3/')l 

Nach Ausziehen der Quadratwurzel (unter richtiger Bestimmung des Vor- 
zeichens) und Multiplikation mit z/^ ergibt sich als Transformations- 
gleichung der DisJcriminante heim siebenten Grade: 

(43) f + 14Z//-6+ 63z/2f+ 70z^Y'+ 216g,zJ^f- 7z/^= 0. 

Zur Gewinnung der Gleichung achten Grades für G^ ist folgender 
Weg am kürzesten. Die fragliche Gleichung hat nach S. 342 die Gestalt: 

(44) Gl H- a,g. Gl + a,g. Gl + a^g\ G\ + a^g^g^ G\ + {a^g\ -f ft z/) G\ 

+ ^^g\gzGr^-\-^ig\ = ^, 

wo die a, /3 rationale Zahlen sind. Das Ahsolutglied ist bis auf einen 
numerischen Faktor gleich g\y da G^ und damit die mit G^ gleichberech- 
tigten Formen, d. h. alle acht Wurzeln der Gleichung (44) nur in NuLt- 
stellen von g^ verschwinden. 

Es ist nun zunächst möglich, mit einem Schlage alle sieben Koeffi- 
zienten a zu bestimmen, und zwar dadurch, daß man g = einträgt. 
Hierbei reduzieren sich g^^g^^A auf ihre Anfangsglieder: 

(45) 9,-Y^^)\ ^3 = 1^0", ^ = 0; 

von den acht Wurzeln G-^ wird aber die eine —( — ) , während die sie- 
ben anderen einander gleich und gleich — -t\ — ) werden. Aus der In- 
varianz von G^ gegenüber TF7 folgt nämlich: 

ein Ausdruck, der gegenüber der Substitution co^ = coi + cog, »a = »2 ^^" 
verändert bleibt und also den gemeinsamen Wert der sieben Wurzeln 
^i(^2> — ^\)-i ^i(^2> — G^i — 0^2) > • • • ^^^ g' = liefert. Man trage nun 
die Ausdrücke (45) in (44) ein und fordere, daß die entstehende Gleichung 
die acht angegebenen Wurzeln hat. Man findet die a und schreibt die 
Gleichung am bequemsten als solche für 2G^', 

(2G,)«-84^,(2Gi)»-3024^,(2(?.y- 1890^«(2Gi)''- 18144;?,^, (2 ö,)» 
- (3780?^ + aA){^G,Y- \m^g\g,{^G^ - 567p* = 0. 



400 II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Zur Bestimmung des einzigen nocli unbekannten Koeffizienten a 

stetzen wir: __5 + |/2l _,_ -5-/21 

r-— 2 — , t - 2 - 

ein und finden ^2 == ^ ^^^ C^^)? sowie weiter aus (28), (39) und (40) : 

(46) ^^'^'- = 3 . 56y3(3y3 + 2]/7). 
Andrerseits folgt aus der Gleichung für G^ im Falle g^^O: 

gl 9s 

Da diese Gleichung durch den Wert (46) befriedigt werden muß, so folgt 
a = — 2^-49. Die Gleichung achten Grades für G^ heim siebenten Trans- 
formationsgrade ist hiernach: 

(47) (2G,y- S4.g,(2G,y-3024.g,(2G,f- lS90gl(2G,Y 

- mUg,g,(2G,y- (3780^^ - 3136^)(2G,y 
-1664.glg,(2G,)-migl^0. 

4. Transformation 49^*®'' Grades. Das Polygon T^g ist aus dem 
in Fig. 2, S. 351, dargestellten Polygone T^ dadurch gewinnbar, daß man 

auf das letztere Polygon die Substitutionen (, ' j , ( i ^4 1 ) ? (4. 01 1) 

ausübt und die sechs so entspringenden Bereiche dem Polygone T^ anfügt. 
T49 ragt mit acht Spitzen an die Punkte o = ioo, 0, dt y, + ^l, d: g^^ heran^ 
wobei je die beiden von der einzelnen dieser Spitzen auslaufenden Polygon- 
seiten aufeinander bezogen sind und zwar durch die Substitutioaen: 

n, i\ / 1, 0\ / 6, - 1\ / 8, i\ / 13, - 1 \ / 15, 1 \ 
\0,1/' \49,l/(' \49, — 8/^ \^_49,_6/' U96, — 15/ ^ \— 196, — 13/ ' 

/ 20, - 1 \ / 22, 1 \ 

U4I, - 22/ ' \— 441, — 20/ * 

Die in (34) gegebene Funktion r((a) ist im Polygone T49 sieben- 
wertig. Die sieben Pole fallen in der Spitze cd = zusammen, während 
in den anderen sieben Spitzen Nullpunkte je erster Ordnung liegen. 
Durch die Transformation W^^ des Polygons T^g in sich werden die beiden 
Spitzen und ioo ausgetauscht, und ebenso werden die sechs weiteren 
Spitzen untereinander permutiert. Demnach ist r(o)) = r{W^Qi(o)) eine 
siebenwertige Funktion von T^g, die in der Spitze ioo einen Pol siebenter 
Ordnung hat und in den übrigen sieben Spitzen je in der ersten Ordnung 

verschwindet. Der Quotient — ist demnach achtwertig mit einem Pole 

achter Ordnung bei gj = und einem Nullpunkte gleicher Ordnung 
bei ioo. 



Transformation 49"*«'* Grades 401 

Da T49 zum Gesclilechte 1 gehört, so kann die achte Wurzel des 
eben genannten Quotienten, da sie auf T49 einwertig sein würde, nicht 
mehr eine Funktion der IL, (49) sein. Wohl aber gilt dies von der vierten 
Wurzel des Quotienten. Aus (34) und (35) folgt nämlich: 

^ ^ U9o)/ xilco) r ^(49(0^,(02) 

Setzen wir nun: 

so gelangen wir zu einer Funktion, die nach S. 339 in der Tat zur Gruppe 
^r^(49) gehört. Ihre eindeutige Erklärung gehe aus der Reihenentwicklung 
hervor: 

(49) (?(«) = 2*4-26+2^«+ 3^10^ 5gi2+ 7^1^+ llgi6+ 152^«+. . .. 
Gegenüber der Substitution W^^ zeigt ^(cj) das Verhalten: 

(5Ö) ^'(G5) = (y(-i)^ 4 . 

^ ^ ^ ^ \49(»/ la(Gi) 

Andrerseits folgt aus (48) für xici) das Verhalten: 

Zwischen r und a besteht eine algebraische Relation, die entsprechend 
der Wertigkeit dieser Funktionen in r vom zweiten und in <? vom sieben- 
ten Grade ist. Bei Anordnung nach Potenzen von r ist der Koeffizient 
von T^ gleich 1, da die sieben Pole von r bei ca = und also 6 = 00 zu- 
sammenfallen. Man setze demnach an: 

wo die g ganze Funktionen höchstens siebenten Grades von 6 sind. Die 
Absolutglieder von g^ und g^ verschwinden, da die beiden Nullpunkte von 
6 bei CO = i 00 j d.h. in einem NuUpunkte von x zusammenfallen. Übt man 
W^Q aus, so geht der Ansatz wegen (50) und (51) über in: 

so daß man für g^ und g^ noch die Bedingungen hat: 

Diese Funktionen haben also die Gestalten: 
g^ ((?) = a^a -{- a^ö^ -\- 1 a^ 6^, 
g^{a) == h^a + &2024- 63^3^ })^^j^u^a^-\- VKy^- 1%ö\ 

Fricke, Die elliptischen Funktionen II 26 



402 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Die sechs jetzt nocli unbekannten Koeffizienten bestimmt man mittelst 
der Reihe (49) und derjenigen für r: 

(52) t((ö) = l\q^ + 4g^ + 14^« + 40^« + 105gi<> + 252^^^ 

-1-57421* +1236216+-..). 

Zwischen den Fimläionen r und 6 des Polygons T^g besteht die algebraische 
Relation: 

(53) t2- Vr{6 + 5^2+ 7ö3) - 1\6 + 70^+3 • la^+ 1^0^+ ^ • Va^ 

+ 73^6 4_ 73^7) _o. 

J.?s Ersatz der Transformationsgleichung von J{co) für den 49*^^'' Grad 
Icönnen wir nun die Gleichung (41), die entsprechende Gleichung zwischen J* 
und %\ die Belation 49ö*r'= r und die Gleichung (53) ansehen. Durch 
Elimination von r, r' und 6 würde die fragliche Gleichung gewinn- 
bar sein. 

Übrigens hat man in 6 und r noch ni«ht die einfachsten Funktionen 
der Polygone T^^ und K^g erhalten. Aus (50) und (51) folgt, daß: 

(54) ^=7^-«^ ^ = ^+77 

Funktionen von K49 sind, und zwar ist r dreiwertig mit einem Pole dritter 
Ordnung bei icx) und zweiwertig mit einem Pole zweiter Ordnung 
ebenda. Aus (53) folgt als Relation zwischen und r: 

x^-x{l0 + 5) - l0\0 + 1) + 1 = 0, 

eine Gleichung, die man auch in die Gestalt kleiden kann: 

(55) 7 (g - l)(ö + 1)^ = (r + l)ä - 7 (r + 1) (5 + 1). 

Erklärt man nun eine neue Funktion taip) des Klassenpolygons K^g durch: 

die in der Spitze ^cx) einen Pol erster Ordnung hat, so folgt aus (55) 

und (56): 

(57) (7^=.^ -7.,+ 7, 



7r=rg-7r^+14ro-7. 

Da hieraus hervorgeht, daß r^ keinen weiteren Pol in K^g hat, so 
haben wir in ro(ct)) eine einwertige Funktion des Klassenpolygons K^g ge- 
wonnen. Bei Auflösung der Gleichung: 

7(?2_(T2_7ro+7)ö+l = 

nach stellt sich, dem Geschlechte 1 von T^g entsprechend, die Quadrat- 
wurzel einer ganzen Funktion vierten Grades von r^ ein. Diese Wurzel 
liefert uns in der Gestalt: 



Transformation 49«*«° Grades 403 



(58) ^0 = V< - 14t3 + 63tJ - OSr^ + 21 

eine Funktion der rL(49), die durch die Festsetzung lim (^o'^o"^) ^ ^ ®^"' 

deutig erklärt sein mag. In Tq und öq haben wir dann die einfachsten 

Funktionen des Polygons T^q vom Geschlechte 1 erhalten. Die Berechnung 

der zugehörigen Invarianten (nach I, 121) zeigt, daß hier ein elliptisches 

58 
Gebilde der absoluten Inyariante J = — -^ vorliegt. 

Die Funktionen ö und r berechnen sich aus Tq und öq so: 

^ ^ 1 4r = (t» - Irl + 14r, - 7)(r^ - 7r„ + 7 + ö„)l 

Die vier Nullpunkte von 6q in T^^ liefern die Nullpunkte der repräsen- 
tierenden Formen für die vier Formklassen der Diskriminante D= — 196. 



§ 4. PrimzaWige Transformationsgrade der Gestalt n = 4/i + 3. 

1. Transformation elften Grades. Die eine bei der Diskrimi- 
nante D = — 11 auftretende Formklasse kann durch die reduzierte Form 
(1, 1, 3) repräsentiert werden. Man hat also für die Gruppe JTLmi), ^®^ 
Ansätze (9) S. 326 entsprechend, eine Modulform i/q, die kurz y heiße 
und die Reihenentwicklung zuläßt: 

(1) 3, = ^ (1 + 2q' + 4q' + 22» + ^q'" + •••)• 

Von den drei nach S. 334 anzusetzenden Formen iSq verschwindet die 
erste identisch, während die beiden anderen sich nur im Vorzeichen unter- 
scheiden. Die durch 2 geteilte zweite Form 0^ heiße kurz 0-^ sie hat die 
Reihenentwicklung : 

(2) js=—{q-q^-q' + q""^ -f ^'' - o"^ ). 

Die Formen y und ;2r]/z/ gehören zur elften Stufe und nehmen gegenüber 

einer Substitution der r^^n) den Faktor (^j an. 

Die Gesamtordnung des Verschwindens sowohl von y als von z im 
Polygone T^i ist 1. Da F^(ii) keine elliptische Substitution enthält und 
y in der einen bei co = i oo gelegenen Spitze nicht verschwindet, so hat 
y an einer von dieser Spitze verschiedenen Stelle von T^^ einen Nullpunkt 
erster Ordnung. Dagegen verschwindet z zufolge (2) in der Spitze i oo 
in der Ordnung | ; es bleibt dann nur noch ein Nullpunkt in der gleichen 
Ordnung | über, der nur in der zweiten Spitze von 1^^ , d. h. bei = 
liegen kann. 

26* 



404 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Die Substitution W^^ transformiere y und z in /und /. Die Formen 
y' und z' |/z/ nehmen gegenüber einer Substitution der r^in) den Faktor 
(— j an, der wegen ad=l (modll) gleich f^j ist. Somit ergibt sich 

bei der Lage der Nullpunkte von 3 im Quotienten — eine von Nullpunkten 

und Polen freie Funktion der F^^^i^^ die also eine Konstante ist. Aber 

,11,, 
auch der Quotient — ist eine Konstante, da dieser Quotient höchstens 

eine einwertige Funktion auf dem Polygone 1^^ des Geschlechtes 1 sein 
könnte. Da TF^ die Periode 2 hat, so schließen wir auf das Bestehen 
der Gleichungen 2/' = ±2/? z' = + Z- Indem wir dem auf der imaginären 
co-Achse liegenden Fixpunkte von W^^ entsprechend coi = *, co^ = ]/!! 
eintragen, ergibt sich die Gültigkeit des oberen Zeichens, da weder y 
(zufolge der Reihe (1)) noch z in diesem Fixpunkte verschwindet. Die 
beiden Formen (— 1)'^'' Dimension y und z sind gegenüber W^^ invariant: 

Die Form y hat notwendig ihren NuUpunkt in einem Fixpunkte von TF^. 
Die beiden in Fig. 10, S. 364, mit e^ und 4 bezeichneten, symmetrisch 
liegenden Punkte können hierbei nicht in Betracht kommen, da y (wegen 
(1)) entweder in beiden Punkten zugleich oder in keinem von beiden ver- 
schwindet. Also folgt der Satz: Der Nullpunkt der Modulform y ist der 

in Fig. 10 mit e^ bezeichnete NullpunU co = ~ ^ ~^ der quadratischen 

Form (11, 11, 3). 

Man hat nun in (ay^-\- bz^) eine zum Klassenpolygone K^^ gehörende 
Formenschar mit einem beweglichen Nullpunkte, die der Darstellung der 
übrigen Formen zugrunde zu legen ist. Dies mag zunächst für die zu 
n = 11 gehörende Form: 

(^i = ~ (^)'(5 + 12q' + 36g* + 48^6 + 84^« + 12q'^ + • • •) 

geprüft werden. Die beiden Anfangsglieder der Reihen liefern: 

12G^^ll(by'-Sz'). 

Dieses Ergebnis kann zu einer Bestätigung der bisher entwickelten Schlüsse 
dienen. Indem man nämlich rechts für y und z die Reihen (1) und (2) 
einträgt, müssen sich auch die weiter in der Reihe für G^ angegebenen 
Koeffizienten wiederfinden, was in der Tat der Fall ist. 

Weiter ist (g'^ -\- g^) eine ganze homogene Funktion zweiten Grades 
von y^ und z^, sowie (^2~^2^^ ®^^® ebensolche Funktion vierten Grades. 
Die vier Nullpunkte der letzteren in Kj^ sind die vier unter (13) S. 364 



Transformation elften Grades 405 

genannten, in Fig. 10 daselbst mit Cq, e^, e^, e^ bezeiclineten Ecken des 
Polygons Kjj. Da y in der Ecke e^ verschwindet, so hat die fragliche 
Funktion vierten Grades den Faktor y^. Die Reihenentwicklungen er- 
geben die Koeffizienten: 



(4) 

{92-92)'= 1002/2(2/6- 2^- 52/V+ 2». Ti/V- 2«. l^ß). 

Die Quadratwurzel des in der letzten Gleichung rechts stehenden Aus- 
drucks, der die „Verzweigungsform" (vgl. 1, 119) für eine unten zu nennende 
Riemannsche Fläche mit vier Verzweigungspunkten liefert, hat in den 
vier Punkten 60,^0,61, e^ des Polygons 1,^ einfache Nullpunkte und liefert 
eine Modulform (—4)*" Dimension: 

(5) /; = 2/ Vf- 22. 02/* ^2+ 23- 72/V- 22. lU« 

der Gruppe F^^np die gegenüber TFu Zeichenwechsel erfährt. Die Potenz- 
reihe von /g ist: 

(6) /; = (^)\l - 2q^- 18g*- 56^6- Ußg»- 2b2q'^ ). 

Die Darstellungen von g^y g\ durch 2/^ ^^ /i fassen wir zusammen in: 

(7) 12^2; 12/2 = 6I2/*- 2*. 232/2;^^ + 2^ . 11^^ q= 2«. 3 . ö/;. 

Auf entsprechendem Wege gewinnt man für g^ und g\ wieder unter 
Zusammenfassung beider Formeln: 

(8) 216^3, 216^^; = -5.7. 192/6-1-2*. 3 • 7 • 232/V - 26- 3 • 7 • Wfz^ 

-f- 2^.7 . 112^6 _j_ 2 . 3Y2 (372/2- 23. 1U2), 

Nach S. 339 ist V^'^ = T^CHgj^, (»2)^(03,, Og) gegenüber den 
Substitutionen der rL(ii^ invariant. Da man in den beiden Spitzen von 
Tji je einfache Nullpunkte dieser Form feststellt, so ist sie bis auf einen • 
konstanten Faktor gleich z^. Es gilt aber einfach: 

(9) T^^ = ^, 

wie die Potenzreihen bestätigen. Aus der Invarianz von y~A'~2 folgt, 
daß }/z/ und -]/ J bei den Substitutionen der r^^^) entweder zugleich 
unverändert bleiben oder zugleich Zeichenwechsel erfahren. Aus der 
zweiten Formel (9) in I, 453 folgt aber: 



V^(^, --./n) =- v^(^-o..T/n, ^ = ip-y^'. 

jkehrt gilt also: 



406 II? 4r. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Jede der beiden Formen (l331 "j/z/' ± "|/^) wird also durch die Sub- 
stitutionen der rL(i ^ vielleicht vom Zeichen abgesehen, in sich trans- 
formiert. Bei Ausübung von TFn aber bleibt die erste Form unverändert, 
während die zweite Zeichenwechsel erfährt. Im Polygone K^^ hat jede 
dieser Formen Nullpunkte der Gesamtordnung 3. Je ein Nullpunkt der 
Ordnung j liegt in der Spitze ioo von K^, so daß noch Nullpunkte je 
in der Ordnung -| übrig bleiben. Nun verschwindet (l331 ]/z/' — Y^) 
im Punkte co = --*iz= (Punkt e^ der Fig. 10, S. 364). Das Quadrat: 

(1331 yz - y^y = iv^' + z/ - 2 . ivz'% 

das als homogene ganze Funktion sechsten Grades von y^ und z^ mit 
rationalen Zahlenkoeffizienten darstellbar ist, hat hiernach mit der im 
rationalen Körper irredusihelen Funktion: 

fl . 2/-2 = y^- 22. hy^z^J^2^' 7t/V- 2^. 11;^^ 

einen Nullpunkt gemein und enthält demnach diese Funktion als Faktor. 
Da überdies der Faktor 8 (wegen des Nullpunktes in der Spitze i oo) 
vorliegt, so gilt der Ansatz: 

y (1331 y~J' - y^) = 0f, (ay' + hz') . 
Die Koeffizienten bestimmt man mittelst der ersten Reihenglieder; es gilt: 

(10) y(>/^-1331}/7)=«A(^'-ll^')- 

Zur Prüfung dieses Ergebnisses berechne man aus ihm den Ausdruck 
für y (yj +1331 "j/z/'j, wobei sich die im Laufe der Rechnung auftretende 
Quadratwurzel rational ausziehen lassen muß. Dies bestätigt sich in der 
Tat; man findet: 

y^ 4- 1331 ]/Z = ys (?/ -3-7 y^z^ + 2^ • 11 ^) . 

Durch Kombination der beiden letzten Gleichungen folgt: 



^^^^ l 2.1P.i/yz/'= ;sf(2/^/- 3 .7i/V + 2« . ll^r*) - f,{y'' - Hz'')). 
Man bilde nun die beiden Quotienten: 



y' ....^_A 



,4 ? 



(12) r(to) = fr, <<^) 

von denen der erste eine einwertige Funktion des Klassenpolygons dar- 
stellt. Tji wird durch r auf eine zweiblättrige Fläche des Geschlechtes 1 
abgebildet, für die wir ein Funktionssystem in: 



(13) r und (? = yT(T=*-20r2+56r-44) 



Transformation elften Grades 407 

besitzen. Hier liegt ein elliptisches Gebilde von der absoluten Invariante 
2«. 31» 

Aus (7), (8) und (11) berechnet sich folgende Barstellung von J{g)) 
im FunJctionssystem 6, t: 

(14) J: (J-l):l = r(61r2- 2*- 23r + 2^ . 11 - 2^. 3 • böf 

: r(5 • 7 . 19t»- 2*. 3 • 7 • 2^t' + 2' • 3 • 7 • Ur 

_ 23 . 7 . IP- 2 . 32(J(37t - 2« • 11))^ 

: 2^. 33(t:(t2- 3 • 7r -f- 2»- 11) + (J(t - ll))l 

Die Gleichung für die transformierte Funktion J' geht hieraus durch 
Zeichenwechsel von ö hervor. Beide Gleichungen im Verein mit der Re- 
lation (13) ersetzen uns die Transformationsgleichung für J{(o). 

Beim elften Grade gibt es eine Transformationsgleichung für: 

(15) /• = 11^2 = 11 yJTiico,, co,y^^{<^^^, 

deren Gestalt unter (7) S. 343 angesetzt ist. Man könnte diese Gleichung 
durch Eliminationen aus den entwickelten Relationen gewinnen. Doch ist 
es leichter, direkt an den eben genannten allgemeinen Ansatz anzuknüpfen 
und die noch unbekannten numerischen Koeffizienten aus den Reihen- 
entwicklungen zu bestimmen. Für die Form (15) hat man zunächst 
die Reihe: 

(16) f{a>„ CO,) = 11 g)' (2^- 2q'-q'+2q'+ q^" + 2q^^- ■ ■ •). 
Aus der Invarianz von z gegenüber TF^ folgt: 

sowie, falls man tt^, - — ^— an Stelle von cj^, o^ einträgt: 

f{a>„ - «,) = 11 5 (^ , t^P C,) = - 5 (^, 0,,)'. 

Die Form /"(og, — Wj), die gleichfalls eine Lösung der gesuchten Trans- 
formationsgleichung ist, hat hiernach die Potenzreihe: 

(17) /•(«,„ - «0 = - g)" lä" - 23" - 3» + 23" + 3" + 23" -••.;. 

Man trägt nun in den mehrfach genannten Ansatz (7) (S. 343) zweck- 
mäßig 12^2 ^^^ ^Iß^'s an Stelle von g^ und g^ ein, damit die Anfangs- 
koeffizienten der Reihen für diese Produkte gleich 1 sind. Das vorletzte 
Glied der gesuchten Gleichung bestimmt sich dann aus dem Anfangs- 
gliede der Reihe (17), die übrigen Glieder findet man aber leicht durch 



408 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Vermittlung der Reihe (16). Die beim elften Grade auftretende Trans- 
formationsgleichung für die Form (15) ist: 

(18) r^-2.32.5.11z//-«+23.5.11(12^2)^/''-3-5-ll(216^3)z//'* 
+ 2.3- 11(12^2)'^^ + (12^2)(216^3)^/'- 11 ^'-0, 
2. Transformation 19*^" Grades. Die zur linken Seite der ima- 
ginären CO- Achse 
liegende Hälfte 
des Klassenpoly- 
gons Kjg ist in 
Fig. 16 abgebil- 
det. Neben den 
beiden geradlini- 
gen Seiten, die 
auch schon Sym- 
metrielinien des 
Transforma- 
tionspolygons 

Tjg sind, kommen noch die drei in Fig. 16 mit 1, 2 und 5 bezeichneten 
Symmetriekreise hinzu, von denen der letzte zur Spiegelung W^g gehört, 
während die beiden ersten die Gleichungen: 

m^'+v') + 381 + 9 = 0, 57(^2 + ^2) _!_ 381 + 6 = 
haben und zu den in der JT^^^^ enthaltenen Spiegelungen gehören: 




Fig. 16. 



CO = 



19 ö) 



(D = 



19« —6 



38cö-j- 19 ' ^ 57cä + 19 

Bei der Diskriminante Z) = — 19 gibt es nur eine Formklasse mit der 

reduzierten Form (1, 1, 5). Die nach Vorschrift von S. 362 der Klasse 

entnommene Form (19, 19, 5) hat als Nullpunkt die in Fig. 16 mit e^ 

l/l 9 -4- * 

bezeichnete, bei co = — l_^l_ gelegene Ecke. Nach S. 148 gehören zur 

Diskriminante D = — 76 drei Formklassen, und zwar neben der Haupt- 
klasse zwei entgegengesetze Klassen mit den reduzierten Formen (4, +2, 5). 
Der in Fig. 16 mit e^ bezeichnete Eckpunkt ist der Nullpunkt der in der 

Hauptklasse enthaltenen Form (19, 0, 1). Der bei cd = — ^^ ge- 
legene Punkt ^2 ist der Fixpunkt der elliptischen Substitution der Periode 
zwei ( ' j der F^^^^ und zugleich der NuUpunkt der in der einen 

der beiden entgegengesetzten Klassen enthaltenen Form (76,38,5); durch 
jene Substitution werden die Seiten 3 und 4 der Fig. 16 ineinander trans- 
formiert. Der bezüglich der imaginären ca-Achse mit e^ symmetrische 



Klassenpolygon K^g und zugehörige Formen y und z' 409 

Punkt e^ gehört der anderen der beiden entgegengesetzten Klassen an. 

Der Punkt e«, der bei o = ™ — - gelegen ist, bildet mit dem sym- 

metrischen Punkte e^ einen Eckenzyklus des Klassenpolygons Kjg. Am 
Transformationspolygon aber stehen diese Ecken je für sich und sind die 
Fixpunkte zweier in der T^ng) enthaltenen elliptischen Substitutionen 

der Periode drei (_ L~_ g) • Sie liefern für die über der J-Ebene 

lagernden Transformationsfläche Fj^ die beiden bei J=0 isoliert ver- 
laufenden Blätter, deren Auftreten aus der Abzahlung von S. 356 her- 
vorgeht. 

Die analytischen Ansätze von S. 326 ff. gestalten sich gerade so wie 
bei w = 11. Die quadratische Form (1, 1, 5) der Diskriminante D == — 19 
liefert die Modulform ( — 1)**^ Dimension: 

(19) y = —(1 -j- 2q'+ 2q^ + Aq"' + Aq^'-i- 2q'^+ ■ • •)• 

Von den drei Formen 0q verschwindet eine identisch ^), während die beiden 
anderen sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Eine dieser Formen, von 
dem gemeinsamen Faktor 2 ihrer Reihenkoeffizienten befreit, ist: 

(20) ^ = ^(2 - 3^- 3'+ 3"- 3"- 2"+ 3" + • • )• 

Dieses z liefert erst im Produkte ^Y^ ®i^6 ^^^ ^V(i9) g^^^rende Modul- 
form. Gegenüber der einzelnen Substitution der IL (ig) nehmen die 

beiden Formen y und 0}/^ den Faktor i^j an. 

Die Formen y und 2 haben in T^g NuUpunkte in der Gesamtordnung f- 
Die Lage der NuUpunkte von ist leicht feststellbar. Infolge (20) liegt 
in der Spitze * 00 im NuUpunkt der Ordnung | . Da in den beiden 
symmetrischen Punkten Cg, e^ (wegen der reellen Reihenkoeffizienten) 
Nullpunkte gleicher Ordnung Jiat, so muß in jeder dieser Ecken, damit 
die Gesamtordnung -| herauskommt, ein Nullpunkt der Ordnung \ liegen. 
Der rückständige Nullpunkt der Ordnung | liegt in der Spitze = 0, 
was durch den Umstand bestätigt wird, daß • )/z/ gegenüber der Sub- 
stitution ( ' J unverändert bleibt. Die Form y ist bei o = ^oo von 

verschieden und kann (wegen ihrer Invarianz gegenüber der eben ge- 
nannten Substitution) bei o == höchstens in ganzzahliger Ordnung ver- 



1) Das identische Verschwinden steht bereits fest, wenn in der Potenzreihe 
von Zq kein Glied mit einem Exponenten <^ 4 von q auftritt. In diesem Falle 
würde nämlich, falls Zq nicht identisch verschwände, bei 10 == i 00 ein Nullpunkt 
einer Ordnung ^2 auftreten, während doch ^r^, als von der Dimension — 1, in 
Tjg nur Nullpunkte in der Gesamtordnung |- hat. 



410 11, 4. Transformationsgleicliungen erster Stufe für niedere Grade n 

schwinden. Damit die Gesamtordnung j herauskommt, muß y in e^ und 
€3 Nullpunkte der Ordnung j haben, so daß noch ein einziger Null- 
punkt der Ordnung 1 übrig bleibt. Die funktionentheoretische Über- 
legung, die schon im Falle w = 11 ausgeübt wurde, zeigt, daß dieser 

Nullpunkt notwendig in dem bei o = — — gelegenen Punkte Cq von 

Ti9 liegt. 

Aus der Lage der Nullpunkte folgt weiter, daß y und z gegenüber 
TFjg invariant sind. Ein Zeichenwechsel gegenüber W^^ ist deshalb aus- 
geschlossen, weil diese Formen im Punkte e^ nicht verschwinden. 

Wir haben nun wieder in (ay^ -f hz^) eine lineare Formenschar mit 
einem beweglichen Nullpunkte erster Ordnung im Klassenpolygone K^g 
und übrigens je zwei festen Nullpunkten der Ordnung \ in e^ und e^. Die 
zu w == 19 gehörende Form G^ gehört der Schar an; es gilt nämlich: 

40^1=19(32/^-8^2). 

Zur Gewinnung derjenigen ganzen homogenen Funktion dritten Grades 
von y'^ und s'^, deren drei Nullpunkte erster Ordnung in K^g die zu den drei 
Formklassen mit D = — 76 gehörenden Ecken e^, e^, e^ sind, kann man 
so vorgehen: Im Quotienten: 

(21) r(a,) = |1 = 2-2+4 + 63^+ ••• 

haben wir eine einwertige Funktion von K^g, die ihren Pol bei o == ioo 
hat. Wir verstehen nun unter (o, da) das schon in I, 318 eingeführte 
homogene Differential: 

((ö, dco) = G3i • dü)^ — CO2 • do^ = — Cl)| • 6^03 , 

das gegenüber den homogenen Substitutionen der 1^^(19) invariant ist und 
bei TF19 Zeichenwechsel erfährt. Nennen wir die in (19) und (20) rechts 
in Klammern stehenden Potenzreihen kurz y' und s\ so haben wir in: 

dt _ 2jti qy' /dy' , dlogz'X 

(öj, ö5co)~~ co| z'^ \dq ^ dq ) 

eine Form (— 2)*®'' Dimension, die gegenüber W^q Zeichenwechsel er- 
fährt, und die in den beiden Polygonspitzen co = ioo und je einen Pol 
erster Ordnung hat. Demnach wird in: 

eine ganse Form (— 4)*^^^ Dimension von T^g gewonnen sein, deren Null- 
punkte in der Gesamtordnung f nicht in den beiden Spitzen von T^q liegen. 
Die Lage und Ordnung dieser Nullpunkte läßt sich sofort angeben, da die 
von ;ef^ bekannt sind und die des Differentialquotienten in (22) links sich 
nur an jenen Stellen finden, wo die konforme Beziehung zwischen der 



Funktionen des Transformationspolygons T^g 411 

T-Ebene und der oj-Halbebene unterbrochen ist, d.h. an den Stellen e^, e^, 
^2, ^2? ^8^ ^3- ^ "^19 gemessen hat die Form (22) je einen Nullpunkt erster 
Ordnung in den vier Punkten Bq, e^j e^j e'^ und je einen Nullpunkt der 
Ordnung | an den Stellen e^j e^. Demnach hat die Form: 

/oo\ / \ ^..z^dt ßn\^ ( r dlogz' dy\ 

(23) v{,o„ CO,) = - 2*;t ~ ^^^^ = (-) g [y ~^^ g|) 

in Tjg fünf einfache Nullpunkte bei e^, e^^ e^y e^, e^. Die Bezeichnung v 
möge darauf hinweisen, daß diese Form mit der Yerzweigungsform der 
dem Polygone T^g entsprechenden zweiblättrigen Riemannschen Fläche 
über der r-Ebene eng zusammenhängt; die Potenzreihe von v ist: 

(24) V = (^)' (1 - 2q^- Aq^- Uq'- 22q^-ASq'^ ). 

Das Quadrat von v ist nun eine Form des Klassenpolygons K^g, die 
drei einfache Nullpunkte in den Ecken e^, e^, e^ und einen Nullpunkt 
zweiter Ordnung im Eckenzyklus Cj, e^ hat. Somit ist v^ als ganze ho- 
mogene Funktion dritten Grades von y^ und z^ darstellbar, und zwar, wie 
die Reihenentwicklungen zeigen, in der Gestalt: 

(25) v^=y'- 2Y^' + ^'y'^' - 2' • 19^^ 

Das Produkt y^v^ liefert die Verzweigungsform der eben genannten zwei- 
blättrigen Fläche, auf die T^g durch r((D) abgebildet wird. Die Quadrat- 
wurzel yv dieser Verzweigungsform heiße als ganze Modulform (— 4)*^^^ 
Dimension f^ipi, g^^)- ^^^ haben dann in: 



{2Q) X und ^=^|==l/r(t8-2V +26^-22.19) 

ein Funktionssystem der fraglichen Fläche. Hier liegt, wie man durch 
Berechnung der Invarianten feststellt, ein elliptisches Gebilde der ab- 

soluten Invariante J" = — ^^— ^s vor. 

Ehe wir g^^ g^, g^, . . . m y, 2 und f^ darstellen, soU ein bisher schon 
wiederholt hervorgetretener Satz allgemein bewiesen werden. Die Ecken 
oder Eckenzyklen von K„, die noch nicht als solche am Polygone T„ auf- 
treten, wurden von den Fixpunkten der elliptischen Substitutionen der 
Periode 2 in der Nebengruppe T^^^) ' ^n geliefert und waren übrigens 
den Formklassen der Diskriminante D = — 4w bzw. der Diskriminanten 
D = — n und D = — 4:n zugeordnet. Es gilt der Satz, daß eine Form G^ 
der geraden Dimension — 2i/, die gegenüber der rL(„) absolut invariant ist, 
aber gegenüber TF"^ Zeichenwechsel erfährt , in jedem der eben genannten 

Tunkte von T„ einen NuUpunM hat. Durchläuft r'' U die r^^C»)^ ^' ^* ^^* 
y durch n teilbar, und benutzen wir für TF„ die homogene Schreibweise 



412 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

(5) S. 370 der Periode 2, so erhalten wir für y = nß die elliptischen Sub- 
stitutionen von der Periode 2 der Nehengruppe JL^^^ • W^ in der Gestalt: 



ta 



l ißVn, 

V^ I, ad-nß'^1. 

Der Fixpunkt der einzelnen dieser Substitutionen ist ---^ _ ^, wo d als 

syn ' 

positiv gelten darf. Der Annahme gemäß besteht nun die Gleichung: 
G-Mßco^ Vn — "^ , idcjj^ Yn - ißa^ YA = - G,{p^y co^)^ 

Setzt man hier, dem eben genannten Fixpunkte entsprechend, ß)i=/J'|/w-f ^V 
G)2= d ]/n ein, so folgt: 

a^ (- ^ |/^ - i, - öYn) = - G,{ßY^ + h ^Yn)y 

woraus sich wegen der geraden Dimension von G^ das Verschwinden 
dieser Form an der fraglichen Stelle ergibt. 

Das Polygon T^g hat an Punkten der fraglichen Art die vier mit 
Cq, e^j e^y e^ bezeichneten. Hier verschwindet die Form f^ je einfach. 
Wenden wir den eben bewiesenen Satz auf {g^ ~ g^) an, so heben sich die 
vier Nullpunkte bei ^q, e^y e^, e^ aus dem Quotienten (g'^ —^2) • /*2 ^^^^• 
Nun hat /"g außerdem noch im Polygone T^^ in den beiden Ecken 63, e.^ je 
einen Nullpunkt der Ordnung j und ist übrigens allenthalben von ver- 
schieden. Für (^2 ~ ^2) können wir in e^ und e^ zunächst nur je einen 
Nullpunkt der Ordnung { feststellen. Demnach ist der gegenüber W^^ 
invariante Quotient {g^ — g^) : ^ eine einwertige Funktion von K^g oder 
eine Konstante, nämlich letzteres, falls der noch übrig bleibende Null- 
punkt von (^2 — ^2) etwa auch im Eckenzyklus 63, e'^ liegen sollte. In 
jedem Falle gilt der Ansatz: 

Der erste Faktor links ist diejenige Form unserer linearen Schar, die den 
beweglichen Nullpunkt im Eckenzyklus 63, e^ von K^^g hat. Es ist also 
weder a noch h gleich 0, und also kann einer dieser Koeffizienten, etwa a^ 
gleich 1 gesetzt werden. Die drei anderen Koeffizienten ergeben sich 
leicht aus den Potenzreihen; man findet: 

(27) {f - ,^) (g^ - g,) = 10 f,(Sf - 5^') , 

so daß (%j^—z^) die Form der Schar ist, die im Eckenzyklus 63, ^ von 
Kjg einen Nullpunkt der Ordnung | hat. 

Einfacher ist die Darstellung von (^g^ -}- g^. Man erkennt leicht, 
daß (2/^ — ^^) (^2 + 9^ eine homogene Funktion dritten Grades von y^ 



Transformation 19'«° Grades 413 

und z^ sein muß, deren Koeffizienten wie üblich aus den Potenzreihen 
bestimmt werden. Durch Kombination beider Ergebnisse folgen für g^ 
und g\ die Darstellungen: 

(28) \^{f-z^)g,, 12(2/^-^%; = 18l2/«-3.5032/V-f 2*-211^«^* 

- 2^. 3 . 19^«+ 60/-2(32/-- 5^2). 

Für die Darstellung von J" in a und x ist es ausreichend, wenn wir 
neben (28) noch die Ausdrücke von z/ und z^' = z/(19c9^, cog) in y, z 
und /*2 kennen. Diesem Zwecke dient folgende Schlußweise. In A' - A 
haben wir eine Form des Polygons K^g mit einem Nullpunkte 20^'®'" Ord- 
nung in der Spitze i oo , die sich infolge ihres Anfangskoeffizienten so- 
fort als mit dem Quotienten von z^^ und (i/^ — z^')^ identisch erweist, 
welcher in der Tat in derselben Weise verschwindet. Wir finden bei 
richtiger Bestimmung der Wurzeln: 

(29) Vz:/ = ^„ i/^^^.^y'ZZZ:. 

Weiter ist nach den Sätzen von S. 339 ff. die sechste Wurzel des Quotienten 
A' \A eine Funktion der ^^(ig). Hieraus folgt, daß jeder der beiden Aus- 
drücke i^/Ä + 19 Vz/') gegenüber den Substitutionen der F^^^) bis auf 
multiplikative sechste Einheitswurzeln invariant ist. Nun liegt zunächst 
für die Form i^ A — 19}/^) ein Nullpunkt der Ordnung g in der Spitze 
i oo. Es bleiben Nullpunkte der Gesamtordnung | übrig, und da die frag- 
liche Form im Punkte e^ verschwindet, während andrerseits die Funktion 
dritten Grades (25) von y^ und z'^^ deren einer Nullpunkt e^ ist, im ratio- 
nalen Körper irreduzibel ist, so sind die beiden anderen Nullpunkte je der 
Ordnung |- von (]/^— 19 Y^J die Punkte e^y e'^}) Hiernach ist der Quo- 
tient von z^v^ und (V^ — 19 Vz/')^ eine ganze Form des Polygons Kjg, 
die nur noch im Eckenzyklus e^, e^ verschwindet. Infolge des Anfangs- 
gliedes der Potenzreihe ist sie einfach gleich (y^—z^y. Wir haben also 
wieder bei richtiger Bestimmung der Wurzel das Ergebnis: 



(30) V^ - 19VZ = ^ Vw^ • 

Die Schlußweise gestattet eine Prüfung, indem man aus (30) und der 
y.weiten Formel (29) den Ausdruck für {YÄ + 19 Ya') berechnet. Es 
muß sich nämlich die Quadratwurzel aus (v'-f 76<^^) in y und z rational 
darstellen. Dies ist in der Tat der Fall, man gewinnt: 



1) Man beachte, daß das Produkt von (y* — z^* und der sechsten Potenz 
iron \y/j — 19 y^') ganz und numerisch rational in y' und z* darstellbar ist. 



414 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für nieaere Grade n 

(31) V^ + 19 V2' ^y(f- 8z') y^^T^ ■ 

Für z/ selbst ergibt sich endlich der Ausdruck: 

(32) 2\y'-z^y^ = 0\y''-Syz'--^vy. 

Gebt man jetzt zum Funktionssystem ö, r von T^g zurück, so findet 
man aus (28) und (32) folgenden Ausdruck für J{co) als rationale Funk- 
tion von 6 und r: 

,ooN 7_ (r — I)r3(181r3— 3-503 T*-f 2*- 211 r — 2^- 3 • 19 — 60ö(3r — o))^ 
^"^"^^ ^ "" 27(r*-8r + ff)« ~ " * 

Die Gleichung für J' ergibt sich hieraus durch Zeichenwechsel von 6. Beide 
Gleichungen ersetzen uns im Verein mit der Belation (26) die heim 19^^"* 

Grade auftretende 
Transformations- 
t gleichungfürJ{(o)}} 

3. Transfor- 
mation23*"^Gra- 
des. Die zur lin- 
ken Seite der ima- 
ginären o- Achse 
gelegene Hälfte 
des Klassenpoly- 
Fig. 17. gons K23 ist in 

Fig. 17 dargestellt. Die mit 1 und 6 bezeichneten Kreisbogen sind die 

Symmetriekreise der Spiegelungen: 




CO = 



23i 



11 



(O 



1 
23^ 



46« + 23 ' 

Die Seiten 2 und 3 sind aufeinander bezogen, ebenso 4 und 5, nämlich 
durch: 



o = 



23(0 — 8 , , —23(0 — 6 

bzw. (O == 



69(ö-f 23 ^ 92(0 + 23 ^ 

deren Fixpunkte e^ und e^ gelegen sind bei: 

— 1/23+* , _T/23+t 

ßj = _ »^ — r^ und CO = — "^^=^- • 
3 1/23 4 ]/23 

Den drei Formklassen der Diskriminante D = — 23 gehören die Ecken e^^ 
(bei (D = — ^ _i* gelegen), e^ und die bezüglich der imaginären o-Achse 



symmetrische Ecke e[ an. Ebenso entsprechen die Ecken e^ (bei 






]/23 



1) Die TransformationsgleichuDg für die 12*« Wurzel der Diskriminante J ist 
beim 19*«° Grade von Kiepert im Journ. f. Math. Bd. 87, S. 216 angegeben. 



Klassenpol jgon Kjj und zugehörige Funktionen 415 

gelegen), e^ und die symmetrische Ecke e^ den drei Formklassen mit 
B == — 92. Die drei Ecken Sqj fj, «g, gelegen bei: 

__93_j_ty91 — 13|/7+t|/l3 — 47+*>/9l 
^ ~ 230 ' 46|/7 ' 23Ö ' 

und die symmetrischen Ecken a^, fj, ^2 bilden für das ganze Polygon Kg^ 
einen Zyklus.^) 

Die drei reduzierten Formen der Diskriminante D = — 23 sind die 
Hauptform (1, 1, 6) und die entgegengesetzten Formen (2, + 1, 3). Der 
Ansatz (9) S. 326 liefert zwei verschiedene Modulformen: 



(34) 



I y = ~ (1 + •2q'+ 2q'+4q''+iq''+ 2q'^+ ■ ■ ■), 
y^^^{l + 2g*+ 22^-f 23«+ 2^12^ 2q^^+ 2q'^-{- • • •). 



Der Ansatz (21) S. 333 liefert für die Hauptform eine identisch ver- 
schwindende Reihe und für die beiden entgegengesetzten Formen (3, + 1, 2) 
eine Modulform: 

(35) g = '-" (g^ _ 3* _ g6 + gl3 ^ g,6 _ g26 )^ 

die mit i(y — y[) identisch ist. Übrigens gilt einfach: 

(36) ^ =t^^ =tz/(23a,„c»,).z/(a.j7^, 

wie aus der Gleichheit der beiden ersten Glieder der beiderseitigen Reihen- 
entwicklungen folgt. ^) Gegenüber einer Substitution der JT^^/gs) nehmen 

die Formen y, y-^y z den Faktor \~\ an. 

Die Formen y Mnd. z haben auf dem Polygone Tgg Nullpunkte je in 
der Gesamtordnung 2. Ihr Quotient: 

(37) »(e,) = l. = 2-2+3 + 4ä»+-.. 

ist demnach eine zweiwertige Funktion von Tgg, da er nicht konstant ist 
und einwertige Funktionen auf diesem Polygone des Geschlechtes 2 nicht 
vorkommen. Nun gibt es auf einer hyperelliptischen Fläche im wesent- 
lichen, d. h. von linearer Transformation abgesehen, nur eine zweiwertige 
Funktion.^) In unserem Falle haben wir einerseits in t(co), andrerseits 

1) Es handelt sich hier um sogenannte „zufällige" Ecken (vgl. die „Vor- 
lesungen über automorphe Funktionen", I, 110), die nicht Fixpunkte elliptischer 
Substitutionen sind; entsprechend ist die Summe der Eckenwinkel gleich 2ä. 

2) Vgl. die Note S. 409. 

3) Existieren auf einer Riemannschen Fläche zwei zweiwertige Funktionen, 
die nicht linear miteinander zusammenhängen, so gehen diese beiden Funktionen 
eine algebraische Beziehung ein, die man leicht als zum Geschlecht p = oder 
p = 1 gehörig erkennt. 



416 I^ 4:. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

in jeder einwertigen Funktion des Klassenpolygons Kgg eine zweiwertige 
Funktion von Tgg. Also ist t((X)) eine einwertige Funktion von Kgg, und 
da z zufolge (36) gegenüher W^^ invariant ist, so gilt dasselbe von y und 
also auch von y^. 

Das Polygon Tgg wird durch t((d) auf eine zweiblättrige Riemann- 
sche Fläche mit sechs Yerzweigungsp unkten abgebildet, die von den 
Punkten Cq, öj, e\, Cg, e^, e^ herrühren. Die zu dieser hypereUip tischen 
Fläche gehörende „Verzweigungsform^^ gewinnen wir wieder durch einen 
Differentiationsprozeß. Es handelt sich hierbei einfach um eine Wieder- 
holung der Überlegung von S. 410 ff. Wir bilden die zur ^^^2^^ gehörende, 
gegenüber W^^ Zeichenwechsel erfahrende Form (—1)*^^ Dimension: 

(38) V = - 2*«« ^-^^-^ = - ^ (--) q (^- - y -^^) , 

wo / lind / die in der ersten Gleichung (34) und in der Gleichung (35) 
rechts in Klammern stehenden Potenzreihen sind. Für die Form v findet 
man die Reihenentwicklung: 

(39) V = (v)'(l - ^'- ^2*- 10q'-2iq^-22q'^ 

- 502^2 _ 44^14 _ 85^16 ) . 

Die Ableitung von t nach o hat zwei Pole erster Ordnung in den Spitzen 
von T23, die aber durch die daselbst liegenden Nullpunkte des Faktors 
fortgehoben werden. Andrerseits sind die sechs Nullpunkte erster Ord- 
nung der ganzen Form v die sechs Punkte e^y e^, e[, e^y e^, e„, die die 
Verzweigungspunkte unserer zweiblättrigen Fläche liefern. 

Die Verzweigungsform wird durch das Quadrat von v geliefert, das 
gegenüber TFgs invariant ist. Man beachte, daß wir für Kgg jetzt in 
(ay-{-hz) eine lineare Formenschar mit einem beweglichen NuUpunUe 
haben. Demnach ist v^ als homogene Funktion sechsten Grades von y 
und z darstellbar, die dann die gewünschte Verzweigungsform liefert. 
Die Reihenentwicklungen ergeben: 

(40) v'=y^-2'ly^z-\-^-19y^z'-2'b3i/z'+2 3'-6y^z^-2Hjz^-19z\ 
Als FunUionssystem für das Transformationspolygon Tgg führen wir nun: 

(41) -f, ^ = ^ 

ein, wobei sich die zweite Funktion in der ersten in Gestalt der folgenden 
Quadratwurzel darstellt: 



(42) a = yr^- Ut^+blt^- 106T3-f- 90t2- 16r - 19. 

Dieses Ergebnis ist einer bemerkenswerten Prüfung zugänglich. 
Durch Nullsetzen der unter dem Wurzelzeichen stehenden Funktion ge- 
winnt man eine Gleichung, deren Lösungen die drei zu den Formklassen 



Verzweigungsform der Transfonnationsfläche beim Grade 23 417 

derDiskriminanteD= — 23 gehörenden Werte r ( — —-=3^jj t ( ^ -- ~) 

und die drei entsprechend zu D = — 92 gehörenden t ( -^ ) , T^i /— "^ ) 

sind. Aus den späteren arithmetischen Anwendungen der elliptischen 
Funktionen folgt nun^ daß jedes dieser Systeme zu je drei Werten selbst 
einer Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügt. Die Gleichung 
sechsten Grades muß also im rationalen Körper reduzibel sein und zwar 
in zwei kubische Gleichungen zerfallen. Dies ist in der Tat der Fall; die 
beiden kubischen Gleichungen sind: 

D = - 23, T^ - 3t^ + 2r + 1 = 0, 
D = - 92, x'- llr^-f- 22r - 19 = 0. 

Daß die zweite Gleichung zur Diskriminante — 92 gehört, folgert man 
aus der Tatsache, daß sie (aber nicht die erste Gleichung) eine reelle 

positive Lösung hat (die den Wert t (—=z\ liefert). 

Um eine gleich auszuführende Rechnung zu erleichtern, bilden wir 

uns in: 

f V, = Vy'0 - Sy'0' +2yz'+ ^, 



v.^=yyh - lli/V + 22yz^- 19^ 

zwei Modulformen (—2)*®^ Dimension, von denen die erste drei Null- 
punkte erster Ordnung an den Stellen e^, e^, e\ von Tgg, die zweite eben- 
solche in den Punkten e^, e^, e^ hat. Außerdem hat jede dieser Formen 
noch einen Nullpunkt der Ordnung \ in jeder der beiden Polygonspitzen. 
Durch Eintragung der Reihen für y und z in (43) ergeben sich für v^ 
und v^ die beiden Potenzreihen: 



(44) 



^^ = ©'(« - 32' - 23^ - 4ä' +62^+22"+.. •), 



WO der Stern in der ersten Reihe andeuten soU, daß ein Glied mit q^'^ 
nicht auftritt. Da die Nullpunkte jeder Form Vj, v^ durch W^^ in sich 
transformiert werden, so wird jede dieser Formen durch W^^ bis auf 
einen konstanten Faktor in sich transformiert. Die dabei auftretenden 
Faktoren können aber wegen der Periode 2 von 1^33 nur gleich + 1 
sein. Bei v^ kann der Faktor — 1 nicht auftreten, da v^ im Punkte e^ 
nicht verschwindet. Nehmen wir noch hinzu, daß v^-v^^^ zv gegenüber 
Tfgs Zeichenwechsel erfährt, so folgt: Geg&nüher TFgg ist v^ invariant und 
t\ erfährt Zeichenwechsel. 

Fr icke, Die elliptischen Punktionen II 27 



418 II, 4:. Transformationsgleicilungen erster Stufe für niedere Grade n 

Die Darstellung von J durch ö und t bahnen wir jetzt wieder da- 
durch an, daß wir g^ und z/ durch die Formen y^ z, . . , darstellen. Zu- 
nächst bietet g^ keine Schwierigkeit; {g^ + g^ ist eine homogene Funk- 
tion vierten Grades von y und z, [g\ — g^ ist das Produkt von v und 
einer linearen Funktion von y und z. Die Reihenentwicklungen liefern 
die Darstellungen: 

f6(^;+^2)=5(532/^-2*-5y^ + 2*.592/V-2^-3.19i/^«+2^3V), 
^ ^ l6(^;-^2) = 2^-3^Hll2/-2^4 

Da y Ä /i gegenüber der -r^(23) invariant ist, so bleiben "/z/ und 
y^ bei der einzelnen Substitution dieser Gruppe stets zugleich unverändert 
oder erleiden zugleich Zeichen Wechsel. Demnach sind (j/z/ + 12167 ]/z/') 
Formen, die gegenüber der rL(23) ^^^ ^"^^ Zeichenwechsel invariant sind; 
gegenüber TTgs ist die erste Form invariant, die zweite erfährt Zeichen- 
wechsel. Das Produkt der beiden Formen enthält den Faktor v (vgl. S. 411) 
und auch den Faktor z (wegen der Nullpunkte in den Polygonspitzen); 
man kann demnach auch sagen, es enthalte den Faktor v^-V}^. Nun hat 
(]/^— 12161 y^f') mit der Form v^ den NuUpunkt e^ gemein. Da aber 
(y^ — 12161 Yzl^y eine ganze Funktion der y, z mit rationalen Koef- 
fizienten ist und vi eine im rationalen Körper irreduzible ganze Funktion 
von y und z ist, so enthält (]/^— 12167]/^') den Faktor Vg- I^^n Fak- 
tor v^ kann sie nicht auch noch enthalten, da sonst (]/^ — 12167 l/z/j 
in y und z rational wäre, was wegen des Nullpunktes der Ordnung '\ bei 
G) = i(x> nicht möglich ist. Somit sind die Formen (Y^ ± 12161 y^j 
als Produkte von v^ und v^ mit ganzen homogenen Funktionen vierten 
Grades von y und z darstellbar. Die Potenzreihen ergeben: 

'y'^-\-1216lYJ'^v,(y^-3'ly'z-h2'-^ly'z'^ 
(46) . -2^-b-19yz^+2^'b3z^), 

y^-1216iy2'^v,(y^-lly^z-\-2'd''by'z^-2-llyz^-2-lz''}. 

Eine Prüfung der vollzogenen Schlußweise kann man dadurch anstellen, 
daß man die Differenz der Quadrate der hier rechts stehenden Ausdrücke 
bildet, die sich zufolge (36) auf 4-23^^^^ zusammenziehen muß. 

An die Stelle der etwas umständlichen Gleichung für J"als rationale 
Funktion von ö und t lassen wir die beiden Gleichungen treten: 

^12^2^-^=o(53T^-400rH944r2_912r + 288)-288(?(llr-16),, 

2z/;?-i2-2.233 = (T*-17TH90T2-142r-14). 

(47) 

^ ^ ^ ((T3-llTH22r-19)(T^-17r^+90T2-142r-14) 

+ ^(T^-2lTr«+148T2-380r + 212)). 



Transformation 23«*«'» Grades. Klassenpolygon Kg^ 419 

Sie lüden mit der Gleichung (42) in bekannter Weise den Ersatz der 
Transformationsgleichung für J((d) heim 23. Grade}) 

4. Transformation 31^*®"^ Grades. Die zur linken Seite der ima- 
ginären w- Achse gelegene Hälfte des Klassenpolygons K^^ hat die in 




Fig. 18. 



Fig. 18 gegebene Gestalt. Die mit den Nummern 1, 4, 7 und 8 bezeich- 
neten Symmetriekreise nebst zugehörigen Spiegelungen der F^^^^ sind der 
Reihe nach gegeben durch: 

31w— 15 



2 • 31 (|2 + 7^2) _|_ 2 . 31 ^ 4_ 15 = 0, « == 
3 . 31 (|2 4- ,^2) _|_ 2 . 31 1 ^ 10 = 0, cd' = 



62« + 31 '^ 

— 31cö — 10 
~93 iS+~3 1~ > 

5.31(r + ,^) + 2.3U + 6 = 0, -' = i|^-^■i^ 

1 



31(J2 + ^2)_1_0, 03' = 



31 



Die zu Cqj e^y e^ und e^ bezüglich der imaginären Achse symmetrischen 
Eckpunkte der anderen Hälfte von Kgj mögen wieder e^j e[y e^ und e^ 
heißen. Der Eckenzyklus Cq^ e^ und die beiden Ecken e^ e[, gelegen bei: 



(O = 



j/31 + i 



— 1/31 -I- i 



2^31 



CO = — . 



4|/31 



CO 



4 j/31 



gehören den drei Formklassen der Diskriminante D = — 31 bzw. den 
diese Klassen repräsentierenden Formen (31, 31, 8), (62, + 31, 4) an, 
von denen die erste zweiseitig, die beiden anderen entgegengesetzt sind. 
Ebenso gehören die Punkte e^, e^ und e^, gelegen bei: 



1) Auch für den Grad 23 ist die Transformationsgleichung der zwölften 
Wurzel der Diskriminante J durch Kiepert berechnet; s. Journ. f. Math., Bd. 96, 
S. 230. 

27* 



420 II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

i — 2 1/31 4- * 2 I/Sl + i 

}/31 5)/31 5 1/31 

ZU den drei Formklassen der Diskriminante Z) = — 124, repräsentiert 
durch die Formen (31, 0, 1), (155, + 124, 25). Die Punkte e^ und e^ sind 
die Fixpunkte der beiden elliptischen Substitutionen der Periode 2: 

, _ — 31cQ — 8 ,__62(ö — 25 

^ "~ r24(o-f 31 ' ^ ~" T55^~+'62^ ' 

die in der r^^^\ aber noch nicht in der r^^^i) enthalten sind. Durch die 
erste werden die beiden Seiten 5 und 6 ineinander transformiert, durch 
die zweite die Seiten 2 und 3. Die beiden durch diese Seitenpaare zu- 
sammengesetzten Kreisbogen haben die Gleichungen: 

(2,3) 31(|2+^^) + 25| + 5 = 0, 

(5,6) 31(P+^2)_^16|^2 = 0. 

Diese beiden Kreise schneiden die in der Figur stark ausgezogenen Sym- 
metriekreise 1, 4, 7 überall unter rechten Winkeln. Der Punkt e^ endlich 
bildet mit dem symmetrischen Eckpunkte e^ am Polygone Kg^ einen Ecken- 
zyklus. Diese Punkte, die bei co = — — ~ — — gelegen sind, stehen am 

Transformationspolygone Tg^ für sich und bilden die Fixpunkte der bei- 
den in der r^^^ enthaltenen elliptischen Substitutionen der Periode 3: 

r — 6(ö — 1 , 6ca — 1 

G> = -^. r-r-, CO 



31w + 5 ' 31oo — 5' 

sie liefern für die über der eJ-Ebene gedachten Fläche Fg^^ die Stellen mit 
J = in den beiden hier unverzweigt verlaufenden Blättern. 

Die bekannten Ansätze (S. 326 ff.) liefern für ?^ = 31 zwei Modul- 
formen y und eine Form Z'. 



(48) 



2/ = ^ (1 + Sgä 4- 22» + 4318 + 22'8 4- . . .), 
2/1 = ^ (1 + 2ä* + 2^8 + 22'» + 22" + 22« +•••), 



die auch hier wieder in der Beziehung 20 = y — y^ stehen. AUe drei 
Formen nehmen wieder gegenüber einer Substitution der r'^'Csi) ^^^ 
Faktor (^j an. 

Jede der drei Modulformen y^y^y s hat im Polygone Tg^ NuUpunkte 
der Gesamtordnung |. Hieraus folgt leicht, daß y, y^ und z in e^ und 
e^ je einen NuUpunkt der Ordnung \ haben; außerdem besitzt jede Form 



Modulformen des Klassenpolygons Kg^ 421 

noch zwei Nullpunkte erster Ordnung in Tg^, die auch zusammenfallen 
können, vielleicht auch in den Ecken 64, e^ gelegen sein mögen. 
Im Quotienten: 

r(tD) = |- = r'+3 + 3g2+... 



z 



hehen sich die genannten Nullpunkte in e^ und e'^ fort, so daß wir auch 
hier in t(g3) eine zweiwertige Funktion des zum Geschlechte 2 gehören- 
den Polygons T31 und also eine einwertige Funktion von Kg^ erkennen, 
die übrigens ihren Pol in der Spitze i 00 hat. Da diese Spitze durch W^^ 
nach 03 = verlegt wird, so liegen die beiden Nullpunkte erster Ord- 
nung von z in den Spitzen i 00 und von Tgj . Hieraus aber ergibt sich 
leicht, daß z und damit auch y und y^ gegenüber W^^ invariant sind. Wie 
bisher stellen wir aus y und 3 in (ay-\-h0) eine lineare Formenschar des 
Klassenpolygons Kg^ her mit einem beweglichen Nullpunlcte erster Ordnung 
und einem festen der Ordnung |- im EchenzyMus e^, e\. 

Zur Gewinnung der „Verzweigungsform" der zweiblättrigen hyper- 
elliptischen Fläche über der r- Ebene, die das Abbild von Tg^ ist, be- 
nutzen wir wieder den Ansatz (38), der uns hier mit der Modulform ver- 
sieht: 

(49) i; = (^)'(l-g2_3g*-32«-133«-18^i«-27^i2 

_ 36^1^-59^1« ). 

Diese Form hat in den sechs Punkten Cq^c^, e^, eg, e^, e^ von Tgj je Null- 
punkte erster Ordnung; außerdem tritt je ein Nullpunkt erster Ordnung 
in 64 und e^ auf, da hier die Ableitung von x nach o in der Ordnung | 
und z in der Ordnung \ verschwindet. Hiernach ist das Quadrat von v 
als homogene Funktion sechsten Grades in y und z darstellbar, und zwar 
ergeben die Potenzreihen als Gestalt dieser Funktion: 

(50) ?;2==2/'-2-72/5;?-l-6l2/^02_2.532/3^3+2.3.1l2/V-23y^^-3<&6; 

in dem hier rechts stehenden Ausdrucke haben wir die Verzweigungsform 
der zweihläUrigen Fläche über der t- Ebene gewonnen. Als Funhtions- 
System des Transformationspolygons führen wir ein: 

wobei sich 6 in % mittels der Quadratwurzel darstellt: 



(51) (?=]/t6- 14T5-f6lT^-106T3-l-66r2-8r-3. 

Die gewonnenen Ergebnisse sind wieder wie bei w = 23 einer Prü- 
fung zugänglich. Die durch NuUsetzen der unter der Quadratwurzel (51) 
stehenden Funktion entstehende Gleichung sechsten Grades muß wieder 
im rationalen Körper reduzibel sein und in zwei kubische Gleichungen 



422 11, 4:. Transformationsgleicliungen erster Stufe für niedere Grade n 

zerfallen. Die Wurzeln der einen kubischen Gleichung sind die Werte t 
in den drei Nullpunkten eQjß^y e[ der quadratischen Formen mitD = — 31, 
die andere Gleichung gehört entsprechend zuZ) = — 124. Diese ZerfäUung 
der Gleichung sechsten Grades ist in der Tat möglich-, wir gelangen zu 
den beiden kubischen Gleichungen: 

D = - 31, T^- 5t24- 6r + 1 = 0, 

D=- 124, t«-9tH 10r-3 = 0, 

die ihrerseits leicht als im rationalen Körper irreduzibel erkannt werden.^) 
Die Verteilung der beiden kubischen Gleichungen auf die Diskriminanten 
2) == — 31 und — 124 entspricht dem Umstände, daß die zweite Glei- 
chung die reelle positive Lösung r (-;==-) ? die erste die reelle negative 

\ 2 1/31 / 

Wie bei n = 23 führen wir in: 



f V, = yy^,-öy'z'J^ßy0' + ^, 



( v^ = Yy'^ - 9y'z^ + Wy^^ - 3^* 

zwei Modulformen (—2)*®'' Dimension ein, deren Produkt gleich 0v ist. 
Die Nullpunkte der Gesamtordnung y jeder dieser Formen fj, V2 im Po- 
lygone T31 verteilen sich so: Erstlich hat v^ je drei einfache Nullpunkte 
in 60, ßj, e[ und v^ in e^y e^, e^. Ferner haben die Formen gemeinsam je 
einen Nullpunkt der Ordnung | in den Punkten e^ und e^ und je einen 
solchen der Ordnung -^- in den Spitzen ioo und von Tg^. Durch die- 
selbe Überlegung wie bei n = 23 findet man, daß v^ gegenüber TF31 in- 
variant isty während v^ Zeichenwechsel erfährt. Endlich gelten die Potenz- 
reihen der v^, t?2- 

("1= (ir)'(3 + * + 9'+ 32'- 3a'' + 62"+ • • •), 

(53) I 

1«.= O' (2-23'- 32^-2'+ ä"- 62" + ...). 

Es soll nun zunächst diejenige Form (ay + hz) der linearen Schar 
festgestellt werden, für welche der bewegliche Nullpunkt der Schar mit 
dem festen Nullpunkte im Eckenzyklus e^, e\ von K31 zusammenfällt. Die 
gesuchte Form {ay -f &^) hat im genannten Eckenzyklus einen Nullpunkt 
der Ordnung | und kann in folgender Art berechnet werden. Das Produkt: 

(54) z/'. z/ = z/(31(ai, (»2) . z/(oi, «2) 

ist eine Form von Kg^ mit einem einzigen Nullpunkte 32^*^'^ Ordnung in 

1) Keine der beiden kubischen Gleichungen hat nämUch eine ganzzahUge 
Lösung. 



Transformation 31^*«" Grades 423 

der Spitze ioo. Die Potenz z^^ hat ebenda gleichfalls einen Nullpunkt 
32ster Ordnung, außerdem aber einen Nullpunkt der Ordnung y im Zyk- 
lus e^, e'^. Demnach ist «s^^^ mit dem Produkte (ay + hzf-Zl'^ identisch, 
und man findet durch Ausziehen der achten Wurzel den Ansatz: 

Die beiden ersten Glieder der Potenzreihen liefern a und &: 

(55) 5*=(y-3^)VZ^, 

SO daß {y — 3^) die gesuchte Form ist. 

Die beiden Formen (ß'^ ± g^ haben in Kg^ Nullpunkte der Gesamt- 
ordnung y, so daß zunächst für den Eckenzyklus e^, e\ je ein Nullpunkt 
der Ordnung \ anzusetzen ist. Weiter hat {g^ — g^) je einen Nullpunkt 
der Ordnung -^- in den sechs Ecken e^, e^^ e[j e^, Cg, e^. Für (/^ — g^) ^'^- 
stieren also noch zwei, für (^^ + ^2) iioch fünf einfache Nullpunkte. Das 
Produkt von v mit einer ganzen Funktion zweiten Grades von y und z 
und ebenso eine ganze Funktion fünften Grades von y und 2 haben aber 
die Dimension — 5 und je einen Nullpunkt der Ordnung 3 im Zyklus 
64, e^. Hier also haben wir nicht {g'^ ± g^), sondern die Produkte 
(^2 ± ^2) (2/ — ^^) dazustellen. Die Potenzreihen führen auf folgende Äus- 
drüclce {g^ ± g^ in y, s, v: 

(56) . -2*. 23 -831/2 ^3 + 2*. 32. 1312/^* -2^. 5. 23^5, 
■ te-^2)(2/-3^) = 2^5^(2y-17i/^ + 2V). 

Aus den Sätzen von S. 339ff. folgert man, daß beim 31^*^^ Grade die 
beiden Formen (—2)*^'' Dimension ()/z/±31}/z^') gegenüber den Sub- 
stitutionen der rL(3i) bis auf eine multiplikative sechste Einheitswurzel 
invariant sind. Gegenüber W^^ bleibt die erste Form unverändert, die 
zweite erfährt Zeichen Wechsel. Jede dieser Formen hat auf Kg^ Null- 
punkte der Gesamtordnung f. Da in der Spitze ioo beide Male ein Null- 
punkt der Ordnung ^ liegt, so bleiben Nullpunkte der Gesamtordnung | 
übrig. Es treten also bei beiden Formen Nullpunkte in den Ecken e^, 
e^, . . ., 63 auf, und zwar folgt aus dem Verhalten gegenüber TFgj und 
der Irreduzibilität der beiden oben genannten kubischen Gleichungen 
für r, daß (yz/4- 31 yz/'j drei bei e^, e^, e\ gelegene Nullpunkte der 
Ordnung -\ hat, (}/z/ — 31 y^) aber ebensolche Nullpunkte bei e^^e^^e^. 
Jetzt restiert für jede unserer Formen noch ein Nullpunkt erster Ord- 
nung. Bilden wir aber demnach für diese Formen die Ansätze v^{ay -\- hz), 
v^{cy -f dz)y so ist zu beachten, daß diese Produkte im Eckenzyklus e^, e^ 
Nullpunkte erster Ordnung haben. Wir dividieren also noch durch 
Yz{y — dzy und erreichen so, daß die Quotienten nicht nur die richtigen 



(58) 



424 II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Nullpunkte haben, sondern auch die Dimension — 2 besitzen. Die noch 
unbekannten Koeffizienten bestimmt man aus* den beiden ersten Reihen- 
gliedern und gelangt zu dem Ergebnis: Die Bar Stellung der Ursprung- 
liehen und der transformierten DisJcriminante in den y^ z^ v^^ v^ ist heim 
Grade n = 31 geleistet durch: 

(57) I (VJ + 31 yj') V J{f-Si)' = v,{y-n,), 

1(V^- 31 V^)V^(d - 3^)^ = v,{y-bz). 

Zu einer Bestätigung der vollzogenen Schlußweise berechne man ^ A /i' 
durch Quadrieren und Subtrahieren aus den beiden Gleichungen (57). 
Dabei zieht sich, wie es sein muß, die Differenz der Quadrate der rechten 
Seiten auf das einzige Glied 124;£f^ zusammen, und man gelangt zur 
Gleichung (55) zurück. 

Als Ersatz der Transformationsgleichung für J{p) heim Grade 31 be- 
nutzen wir wie im voraufgehenden Falle die beiden Gleichungen: 

12^2 (r - 3)^-*= 481 T^- 5171 tH 19360 %^- 30544t2+ 18864r 

- 3680- 120ö (4t2- 17r + 16), 
2y^(r-3)V7=r3^-*=T5-19TH125T3-3287:2+280ir-13 

-f(?(r2-12r + 35) 
im Verein mit der Gleichung (51).-^) 

§ 5. Primzahlige Transformationsgrade der Gestalt m^ = 4/i + 1. 

1. Transformation 13*^^ Grades. Die zur linken Seite der ima- 
ginären CD-Achse liegende Hälfte des Klassenpolygons Kjg ist in Fig. 19 
dargestellt. Sie ist ein aus lauter Symmetriekreisen der JT^^^^ begrenztes 
Kreisbogenfünfeck mit drei rechten Winkeln, einem Winkel -^ und einem 

Winkel 0. Die mit den Nummern 1 und 2 bezeichneten Symmetriekreise 
nebst zugehörigen Spiegelungen sind: 

13(r + ,^) + 13| + 3 = 0, ^'^^^-l 

39(r + ^^) + 26|+4 = 0, «3'==^^^ 

mit 3 ist der Symmetriekreis der Spiegelung W^^ bezeichnet. Die Ecken 
ßo und ^1, gelegen bei co = -^ und ~ ^ _j ^^ , sind die Fixpunkte der 

2g' jq) ; sie ent- 



1) Über die Transformationsgrade 47 und 71, für die auch noch das Ge- 
schlecht des Klassenpolygons ist, vgl. man „Modulfunktionen", Bd. 2, S. 463ff.. 



Klassenpolygon K^ und zugehörige Modulformen 425 

sprechen den beiden (zweiseitigen) Formklassen der Diskriminante D = — 52 
bzw. den diese Klassen repräsentierenden Formen (13, 0, 1), (26, 26, 7). 
Der Eckpunkt e^ bildet am 
Polygone K^g mit dem sym- 
metrischen e^ einen Zyklus, 
ebenso die Eckpunkte e^, e^. 
Am Transformationspolygon 
stehen diese vier Ecken je 
für sich und liefern die 
Fixpunkte der schon in der 
rL(i3) enthaltenen Substi- 
tutionen der Perioden 2 
bzw. 3: 




Fig. lü. 



(1) 



CO 



— 5cö + 2 



CO 



3co -f- 1 



Auf der über der J-Ebene gedachten Fläche F^g sind e. 



+ 13C0 + 5' ^ +13(0-1-4 

^2 die beiden 

Stellen bei «7= 1 in den daselbst unverzweigten Blättern, ebenso sind 
^3, ßg die beiden Stellen bei tr= in den hier isoliert verlaufenden Blättern. 
Der Ansatz (19) S. 332 liefert nur für die Hauptklasse der Diskri- 
minante D = — 52 eine nicht identisch verschwindende Reihe. Man ge- 
langt zur Moduiform: 

(2) = — q^{l + q^-q'-2q'i-q''-2q''' ), 

die mit {y^j multipliziert eine Form der -TL/is) liefert und also ihrer- 
seits gegenüber den Substitutionen der r^fu) ^^^ ^^^ multiplikative vierte 
Einheitswurzeln unverändert bleibt. Die Form 2 hat auf dem Polygone T^g 
NuUpunkte der Gesamtordnung |. Zunächst liegt zufolge (2) in der 
Spitze ioo ein Nullpunkt der Ordnung \. Da ferner in e^ und e^ Null- 
punkte gleicher Ordnung auftreten, so kann diese Ordnung nur l^ sein. 
Endlich kann der übrigbleibende Nullpunkt der Ordnung j nur in der 
Spitze CD = gelegen sein. Da die NuUpunkte von durch W^^ in sich 
transformiert werden und keiner dieser Nullpunkte bei Bq liegt, 50 ist die 
Modul form z gegenüber W^^ invariant 

Zwei weitere Formen (— l)*®'^ Dimension des Klassenpolygons K^ 
gewinnt man auf folgende Art. Nach S. 339 iF. ist, falls wir: 



T^' = T^(i3c., , «.) = ^ T^ (^iViS; 



yTs 



setzen, die zwölfte Wurzel des Quotienten A' : z/ eine Funktion der T^,^^.. 
Da man für diese Funktion leicht einen einzigen Nullpunkt erster Ord- 
nung in Ti3, gelegen bei a} = ioo, und einen Pol erster Ordnung bei co = 
feststellt, so ist: 



426 n, 4, Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 



12 



(-•^•Ä 



(3) .,.)..3f^ris|/-i;iz5rt) 

eine einwertige Funktion von T^g , die zufolge (3 j gegenüber TF^g das Ver- 
halten zeigt: 

^^ ^ \13 M j ^ r(cö) * 

Durch TFi3 werden nur die beiden Punkte e^ und e^ von T^g in sich trans- 
formiert, denen somit die Werte r = ]/l3 und — ]/l3 zugehören. Hier- 
nach haben wir in ( "/^ i V^^ V^O zwei Formen der Dimension — 1, 
die gegenüber den Substitutionen der /^/(is) bis auf multiplikative zwölfte 
Einheits wurzeln invariant sind und gegenüber TF^g unverändert bzw. 
bis auf einen Zeichenwechsel unverändert bleiben. Im Klassenpolygon 
Kjg haben beide Formen einen Nullpunkt der Ordnung ^g in der Spitze 
^oo. Weiter hat (V^^ + 1/13 V^O ei^ien Nullpunkt der Ordnung ^ im 
Eckenzyklus c^, e[ und (l/z^ — l/l3 "/z/J einen ebensolchen NuDpunkt 
in der Ecke Cq. Diese beiden Modulformen haben zwar nicht mehr selbst 
rationale Entwicklungskoeffizienten, wohl aber gilt dies von ihrem Pro- 
dukte: 

(5) V^ - 13yZ = (^)^"kl - 4^'- 11^'+ Sa' - ^(f-^q^^ +•••). 

Eine einwertige Funktion des Klassenpolygons Kjg hat man in: 

Zähler und Nenner des rechts stehenden Quotienten liefern einzeln zwei 
Formen: 

>/^ + 13VZ = (—)V'(l-42'+ 102* +82' -02' -4^10 + •••); 

(7) ^""'^ 

^y^A = (-^")'2^(g^ _ 2^^ - 2« + 2^« + g^o ), 

die gegenüber pr^g invariant und gegenüber den Substitutionen der 1^^(13) 
bis auf multiplikative sechste Einheitswurzeln invariant sind. Aus beiden 
Formen gewinnt man in: 

(8) a (Vj + 13]/^) + h fJ^ 

eine Formenschar des Klassenpolygons K^g mit einem festen Nullpunkte der 
Ordnung ^ in der Spitze ioo und einem beweglichen Nullpunkte erster 
Ordnung. 

Um die Beziehung der Form zu den Formen (7) herzustellen, be- 



Transformation 13**^» Grades 427 

merke man, daß der Quotient von z^ und ^ A' /i diejenige Form der Schar 

(8) ist, für welche der bewegliche Nullpunkt in den Eckenzyklus ßg, e^ 
fällt, wie aus der Betrachtung der Nullpunkte hervorgeht. Die Potenz- 
reihen liefern für die fragliche Form (8) die Koeffizienten a = 1 , Z> = 5, 
woraus sich für z die Darstellung ergibt: 

(9) , = f (V^ + 13 V^ + 5T^^) Y^^. 

Weiter stellt man mit Hilfe der zum Polygone Kjg gehörenden Form: 

(10) e, = yQ'(1 + 22^+ 62*+ 82«+ 142«+ 122'°+ • • 

leicht fest, für welche Form (8) der bewegliche Nullpunkt in den Ecken- 
zyklus ßo? ^2 ^^^' ^on den Nullpunkten der Gesamtordnung -J, die G^ 
in Kj3 hat, liegt nämlich zunächst ein solcher der Ordnung |- im Ecken- 
zyklus Cg, 63. Der rückständige Nullpunkt der Ordnung |- kann nur in 
einem der Eckenzyklen e,, e^ oder e^y e^ liegen. Nun besteht wegen der 
ersten Substitution (1) die Gleichung: 

G^{— 5oi— 2co2, 13cjj + 502) = ö^i(c3i, 032)- 

Trägt man hier der Ecke e^ entsprechend cd^ = — 5 + *, a?2 = 13 ein, so 
folgt mit Rücksicht auf die Dimension von G^: 

G^(- 1 - 5^, 13*) = - Gi(- 5 + i, 13) = G,(- b + i, 13), 

so daß der fragliche Nullpunkt im Eckenzyklus e^y e^ liegt. Man hat 
nun, wie wieder aus der Lage der Nullpunkte folgt, im Quotienten Gl : z^ 
eine einwertige Funktion von Kjg mit dem Nullpunkte im Zyklus e^, e^ 
und dem Pole in der Spitze *cx), die demnach eine lineare ganze Funktion 
der in (6) eingeführten einwertigen Funktion von Kjg ist. Der sich hier- 
aus ergebende Ansatz liefert unter Zuhilfenahme der Potenzreihen: 



(11) 2 G^yj'J = 13z' VVÄ + 13 Y2' + 6 '|/Z2 
Somit haben wir in: 

(12) Vyj + I8I/Z+ 6'|/Z^ = ?^2^"(l + 2'+ ä^+ * + 32«+ . • •) 

eine Form (— 1)*®' Dimension, die neben einem Nullpunkte der Ordnung 
^ in der Spitze *oo einen solchen der Ordnung ^ im Eckenzyklus 63, e^ 
von K^g hat. 

Die Formen (g^ + g^) der Dimension — 4 haben auf K^j Nullpunkte 
der Gesamtordnung -J. Für beide Formen liegt ein Nullpunkt der Ord- 
nung ^ im Zyklus 63, e^, und (g^ — g^) hat zwei Nullpunkte der Ordnung 
\ bei Cq und e^; es bleiben dann noch zwei Nullpunkte erster Ordnung 
für (^2 -f g^ , und ein solcher für {g^ — ^2) übrig. Setzen wir aber für 



428 n, 4. Transformationsgleicliungeii erster Stufe für niedere Grade n 
(^2 "^di) ^^^ Produkt von z mit einer homogenen Funktion zweiten Grades 
der Formen (7) an und für {g^ — g^ das Produkt von z (l/z/ — 13 Vz/') 
und einer Form (8), so ist zu beachten, daß diese Produkte in der Spitze 
^oo in der Ordnung ^^ verschwinden. Diese Nullpunkte sind also durch 
Division mit j/z/'z/ wieder fortzuheben. Die entstehenden Ansätze werden 
leicht mit Hilfe der Potenzreihen durchgebildet. Es ergibt sich der Satz: 
Beim 13^"'' Transformationsgrade bestehen für g^ und g\ die Gleichungen: 

(13) +11.13(i/^4-13]/^0T^^ + 2-32.17i/Z';^), 

X^;-/72)T^^=2<s(>/^-13VZ0(7(V^ + 13VZ0 + 3-13T^"^). 

Eine entsprechende Überlegung führt zur Darstellung von^g und g'^. 
Die Rolle der Form übernimmt dabei die Form (12). Man gelangt zu 
dem Satze: Für die beiden Formen g^ und g^ gelten beim Grade w = 13 
die Gleichungen: 

^6(^3+^3)T;^=-l/f^l3l/^+6T^^(6l(V^+13|/Z)^ 
+2^.3.13(V^+13VZ)'i/Z^+7.1M3()/^+13V^)K^;^ 

+ 2-9. 132]/^^), 

'\08(^3-/3)T^^=7l/|/:i+13V^+6T^^(T/^-13V^') 

(l57(V^4-13VZ7 + 2.13.59(]/"^+13|/^)'|/Z^ 

+ 3-5.13.19)/^'^). 

Berechnet man g,^ und g^ einzeln aus (13) und (14), so gelangt man 
bei Einführung der einwertigen Funktion x von T^g zu folgenden Glei- 
chungen : 

3 



(15) 



l^f. = -j/^ + 5 + ^(^4^ 7r^+ 20t2+ 19r + 1); 



?^ _ ]/^ + 6 + ^^ (t6+ IOtH 46tH 108tH 122r2+ 38r - 1). 

Die Darstellung von J als rationale Funktion M^"" Grades von r kleidet 
sich hiernach wieder in die für die Fälle des Geschlechtes charakteri- 
stische Gestalt: 

(16) J: {J- 1) : 1 = (ir2+ 5ir 4- 13)(t*+ It'-h 20t' ■}• 19ir + 1)' 

: (T2+6r+ 13)(t«+ lOrH 46t^+ 108t8+ 122x'+ 38r - 1)^ 
: 1728r. 



Transformationsgleichungen für den Grad 13. Polygon K^^ 429 

Diese Gleichung, die entsprechende für J' und t und die Relation T'r = 13 
ersetzen uns die Transformationsgleichung für J{(o) beim 13*®'^ Grade. 

Nach S. 339 ff. besteht beim Grade 13 eine Transformationsgleichung 
für die Form: . . i .> iV~^> :*ii ^ 

Die Gestalt dieser Gleichung ergibt sich sofort aus der ersten Gleichung 
{15) durch Erheben zur dritten Potenz und Einführung von f anstelle 
von r: 

(17) {f'-\-bJf+ 13z/2)(/'*-|- 7z:/f -[- 20z/Y2+ 19z/Y+ z/^)^ 
2. Transformation IT^^^'Gra- 



des. In Fig. 20 hat man die zur lin- 
ken Seite der imaginären «-Achse 
gelegene Hälfte des Klassenpoly- 
gons Ki7 vor sich. Wie immer sind 
die stark ausgezogenen Seiten Sym- 
metriekreise von Spiegelungen der 
Gruppe r^^'^\ und zwar sind die 
Gleichungen der Kreise 1 und 4 ^^ - - 
und die zugehörigen Spiegelungen: 

17(1^+^^) + 171 + 4 = 0, 




09 = 



34(r+^^) + 17| + 2 = 0, «' 



Fig. 20. 

— 17« — 8 
3405 + 17"^ 

— 17o) — 4 
68ä+T7~' 



während der Symmetriekreis 5 der Spiegelung W^j angehört. Die mit 
den Eckpunkten e^^ e^, e^ symmetrischen Punkte der rechten Hälfte des 
Polygons Ki7 mögen wieder e^, e^, e'^ heißen. Die Punkte e^j e^, e^, e^, 
■gelegen bei: . _yTl + i +1/17+. 



(D 



j/l7 2yi7 3 j/l7 

'— 17, — 9\ /+17, 



sind die Fixpunkte der Substitutionen Wy^ ( o^ '^7 )? (T^, j_i7 ) ^^^ 

die Nullpunkte von quadratischen Formen, durch die wir die vier Klassen 
der Diskriminante J) = — 68 repräsentieren können. Durch die dritte 
dieser Substitutionen werden die Seiten 2 und 3 von K^^ ineinander trans- 
formiert. Diese Seiten setzen den Kreisbogen der Gleichung: 

17(r+t?2) + 12^ + 2 = 

zusammen, der die beiden Seiten 1 und 4 orthogonal trifft. Die Punkte 



€3 und 63 endlich, gelegen bei m 



±±±A 

17 



sind Fixpunkte der elliptischen 



Substitutionen ("^ '_l_4 ) ^®^ Periode 2, die auch bereits in der F, 



V/(1T) 



430 n, 4. Transformatioiisgleichuiigen erster Stufe für niedere Grade n 
enthalten sind. Diese Punkte liefern auf der über der J-Ehene lagernden 
Fläche Fi7 die beiden Stellen mit J= 1 in den daselbst isoliert verlaufen- 
den Blättern. Am Polygone K^^ bilden sie einen Eckenzyklus. 

Von den drei Reihen, die wir für n=ll dem Ansätze (19) S. 332 
entnehmen, verschwindet eine identisch. Von den beiden übrigen Reihen 
liefert eine die Modulform: 

2ä -3 



(18) yz/'z/ = ^^q^il - g_'- q'+ q^^+ q^^ - g^^ ), 

wo z/'== z/(l7o3i, cog) ist, die andere Reihe ergibt die Form: 

(19) Z = ^£~ i^ (1 + g4 _ ^8 _ 2^10 _|_ ^12 _ 2gl6 + g24 ^ . . .^^ 

Zur r^(i7) gehören nach S. 332 die Produkte ^(V^)', 'f Z"^ • j/^; sie 
nehmen gegenüber einer Substitution dieser Gruppe den Faktor (--) an. 
In Ti7 gemessen haben die Formen z und '}/ A A Nullpunkte je der 
Gesamtordnung f. Im einzelnen hat y^/'z/ zwei Nullpunkte der Ord- 
nung f in den beiden Polygonspitzen ioo und 0; gegenüber W^^ bleibt 
}/z/'z/ invariant. Die Form z hat zunächst einen Nullpunkt der Ordnung 
\ bei CO = ^oo und muß demnach, da ein Nullpunkt gebrochener Ord- 
nung des Nenners 4 nur noch in der Spitze co = auftreten kann, hier 
einen NuUpunkt mindestens der Ordnung \ haben. Die übrig bleibenden 
Nullpunkte der Gesamtordnung 1 liegen in den Punkten e^ und gg, wa 

z je in der Ordnung \ verschwindet. Da nämlich ( -^y ) = -}- 1 ist, so 

gilt für das Produkt z • VZ^: 

^]/z/^(— 4g)i— cjg, ITca^-f- 4CO2) = z]/A^{co^j Og). 

Tragen wir, dem Punkte e^ entsprechend, co^ = — 4 + «> 002= 17 ein, so- 
folgt mit Rücksicht auf die Dimension — 10: 

- zyz' (~ 4 + i, 17) = z yz^ (- 4 + i, 17). 

Demnach verschwindet z im Punkte e^ und also auch in e^. Gegenüber 
der homogenen Substitution W^^ bleibt <^, wie jetzt leicht folgt, invariant. 
Wir notieren die beiden Potenzreihen: 



(20) 



^2_ (^'')*'^(1 + 2q'-q'-4q'^-4q''-q''-{-4q''i- • • •), 

yZ'"z/ = (^£)\\^ -2q'-q^ + 2q'+q' + 2q''- 2q^'- 2q'' - • • •) 

und bilden aus diesen beiden Formen die Schar {az^ -\-'b y^'j) mit einem 
festen NuUpunkte der Ordnung -^- in der Spitze ioo und einem beweg- 
lichen Nullpunkte erster Ordnung im Klassenpolygone K^^. Daneben 



Transformation 17*^" Grades 432 

führen wir als einwertige Funktion dieses Polygons Kj^: 

(21) r(ro) = ^- = g-2+ 2 + Ig^J^ 122*+ . • • 

ein, die ihren Pol erster Ordnung in der Spitze ioo hat. 

Durch t(ö} wird das dem Geschlechte 1 angehörende Transforma- 
tionspolygon Tj7 auf eine zweiblättrige Riemannsche Fläche mit vier Ver- 
zweigungspunkten abgebildet. Um deren Verzweigungsform zu gewinnen,, 
ziehen wir wie üblich einen Differentiationsprozeß heran. Die Form (—2)*®'' 

Dimension j^^-y die gegenüber W^^ Zeichenwechsel erfährt, hat im 
Polygone Kj^ gemessen fünf Nullpunkte der Ordnung \ in den Ecken e^^ 
^2, ^2 und den Zyklen e^, e\ und ^g, ßg, sowie einen Pol erster Ordnung in 
der Spitze ioc. Aus ihr gewinnnen wir in: 

(22) ''K^».) = -2-^f^(^ 

eine Form (— 4)^«^ Dimension mit der Reihenentwicklung: 

(23) «; = (^)V(l - 3$2- 83H 2H 6^«+ 242io_ 282i2_j_ 21 ^i4_|_ . . .)^ 

die in der Spitze ^oo von K^^ einen NuUpunkt erster Ordnung und in 
den Punkten Cq, e^y e^ sowie im Zyklus e^, e^ je einen solchen der Ordnung 
\ hat. Gegenüber TF^^ erfährt diese Form Zeichenwechsel. Das Quadrat 
von V ist als homogene ganze Funktion vierten Grades von 2^ und V^'^ 
darstellbar und liefert in dieser Gestalt die Verzweigungsform der eben ge- 
nannten Eiemannschen FläcJie über der t-Ebene. Die fragliche Darstellung 
von v^ ist: 

(24) ^;2 = ^8 - 6^6 'f Z:^ - 21 ^y^^ - 28<^2 f/Z^ _ 16 YJ''^. 

Die Reihenentwicklungen liefern in bekannter Art die Koeffizienten dieses 
Ausdrucks. Als ein FunMio72Ssystem für die ^^(^i^) gewinnen wir endlich: 

(25) t((d) = ^-^ , 6{co)== ^-^ , 

wobei sich als Funktion von r mittelst der Quadratwurzel darstellt: 



(26) (? == ]/t*- 6x^-27t^- 28t - 16. 

Es liegt hier ein elliptisches Gebilde mit der absoluten Invariante 

^ = ~ 2^rrr^ ^''''^ 

Auf Grund der damit gewonnenen Ergebnisse lassen sich nun wieder 
die ursprünglichen und die transformierten Formen ^g? ffs ^^^ ^ mittels 
formentheoretischer Überlegungen und der Potenzreihen darstellen. Für 



432 n, 4, Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

die Gewinnung des Ausdrucks von J in ö und t ist es ausreichend, g^ 
und z/ zu betrachten. Wir finden erstlich für g^ und g^: 



(27) __ 

Zur Darstellung von z/ beachte man, daß Y^ "j/v/'z/ gegenüber den Sub- 
stitutionen der -^'^(17) abgesehen vom Vorzeichen invariant ist-, ]/z/ ^^ A A 
ist also absolut invariant. In: 

hat man demnach eine Form der rL(i7), die gegenüber TF^^ Zeichenwechsel 
erfährt und also als Produkt von v und einer ganzen homoorenen Funk- 
tion zweiten Grades von s^ und ^Y^'J darstellbar ist. Die Fotenzreihen 
liefern: 

(28) (]/^- 1VY^')'Y^^ ^vi/- II^^'YäÄ + 26]/Z^). 

Zar Prüfung dieses Ergebnisses berechne man durch Quadrieren usw. 

(■(/z/ -j- ll^Y^') ' V^'^' Für diese Form muß sich, indem man für 1;^ den 
Ausdruck (24) einträgt, das Quadrat einer homogenen Funktion vierten 
Grades von ^^ und Y ^' ^ ergeben. Die Rechnung bestätigt dies und 
führt auf: 

(29) (j/^ +173 ]/Z)yZ^ = ^8 _ 14^6 ^Y'a'a + 41 ^ Y^^ 

+ b22'Y^'j-94:Y~Ä~Ä, 

Durch Kombination der vorstehenden Formeln und Einführung der 
Funktionen und t findet man: 



(30) 



^^^2 = 5(29t3- 2 . 17t2- 103r - 2^. 3^) - 2». 3^(2 • 3t + 1), 



Y^J 

^Jd- = T^- 2 . 7 T^ + 41 tH 22 . 13r - 2 • 47 + (;(r2 - 1 1 r -I- 2 . 13). 

Hieraus ist der Ausdruck von J als einer rationalen Funktion von 6 und 
T leicht gewinnbar. Der entsprechende Ausdruck von T folgt durch 
Zeichenwechsel von 0. Man kann auch bereits die Gleichungen (30) itn Ver- 
ein mit der Gleichung (26) als Ersatz der Transformationsgleichung für J 
heim 17^"- Grade ansehen}) 

3. Transformation 20^*'''' Grades. Die zur linken Seite der ima- 
ginären o- Achse gelegene Hälfte des Klassenpolygons Kgg ist in Fig. 21 

1) Die Transformationsgleichung für die Diskriminante z/ beim Grade 17 ist 
von Kiepert im Journ. f. Math., Bd. 87, S. 215 mitgeteilt. 



Transformation 17*'''' Grades. Klassenpolygon K29 433 

abgebildet. Der mit 8 bezeichnete Symmetriekreis gehört zur Spiegelung 
TF29; die Gleichungen der Kreise 1, 2 und 5 und die zugehörigen Spiege- 
lungen sind: 

— 29ÖJ — 14 



1) 29(|2+^2)_|.29S + 7 = 0, 



03 = - 



58W + 29 ' 



2) 145(1^+^^)4-1161 + 23 = 0, <^'-^^^i^^> 



5) 116(r+t^^) + 58a+7 = 0, 



— 29ÖÖ — 7 







116cd + 29 

Von den sechs Formklassen der Diskriminante D = — 116 sind zwei 




Fig. 21. 



ambig; man kann sie durch die Formen (29, 0, 1) und (58, 58, 15) re- 
präsentieren, deren Nullpunkte die in der Figur mit e^ und e^ bezeichneten, 
1/29 + i 



bei CO = -7= und 



2 j/29 



gelegenen Fixpunkte der Substitutionen W, 



29 



}/29 
29 15\ 

' j sind. Die vier übrigen Klassen sind zu Paaren entgegen- 
gesetzt und repräsentierbar durch (87, + 58, 10), (145, + 58, 6). Von 
ihren Nullpunkten e^, e^ und 63, e^ sind e^ und e.. in Fig. 21 angegeben 

j/29_+i — y29 + 
5 j/29 

'8\';~29)^^^(^r5;~29)^ ^'^ ^^ 

a ineinander transformieren. Die 



und bei co = 



gelegen; sie sind die Fixpunkte der in 



3]/29 

der F^^^) enthaltenen Substitutionen ( 

Seiten 3 und 4 bzw. 6 und 7 von K^^ 

von diesen Seitenpaaren gebildeten Kreisbogen haben die Gleichungen: 

29(^ + ^-0 + 191 + 3 = 0, 29(^-^7^') + lU + 1 = 0. 

Endlich sind e^ und der bezüglich der imaginären C3-Achse symmetrische 
Punkte^ die Fixpunkte der schon in der r^^29) auftretenden Substitutionen 
/+l2,-5> 

\ 29, + 12 

Fr icke, Die elliptischen Funktionen 11 



j; sie liefern auf der über der J-Ebene gelegenen Fläche F29 

28 



434 II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

zwei Stellen J = 1 in den daselbst isoliert verlaufenden Blättern. Am 
Klassenpolygon Kgg vereinigen sich e^ und e^ zu einem Eckenzyklus. 

Der x^iusatz (19) S. 332 liefert für die Hauptklasse der Diskriminante 
J) = — 116 und für die beiden Paare entgegengesetzter Klassen nicht 
identisch verschwindende Reihen. Wir gelangen zur Kenntnis dreier Mo- 
dulformen der rL(29)> diö wir durch die Bezeichnungen Sq, z^^ z^ unter- 
scheiden: 



(31) 



^„= '^3^(1 + 3^+ 3^^- 3"- 22"- 23^H • • •), 
z, = ^3*(1 -q'- 2*+ 2"+ 2"- 2^^- • • ■), 



^2= !if 2i(l _ 2^ _ j6 -I- 312- 2«+ gl8_ jSO^ . . .y 

Für die zweite dieser Formen gilt: 

(32) z^ = yj^ = >/z/(29GJi,a32)z/((ö,;^ 

Zur r^(29) gehören die Produkte Zq']/ /l^ , z^^ Zl^ y z^'^ zl -^ sie nehmen 
gegenüber einer Substitution jener Gruppe übereinstimmend den Faktor 

Die einzelne Form z hat im Transformationspolygone Tgg Nullpunkte 
der Gesamtordnung -|, und zwar hat z^ zwei NuUpunkte der Ord- 
nung f in den beiden Spitzen von Tgg, woraus man leicht die Invarianz 
von z^ gegenüber W^q folgert, die sich ja auch aus (32) ergibt. Die Form 
Zq hat in der Spitze ioo einen NuUpunkt der Ordnung ^ und muß dem- 
nach (da die Ordnung f restiert) bei 03 = mindestens einen NuUpunkt 
der Ordnung |- haben. Der Quotient: 

r(co) =^ = q-'+l + 3q'+iq'+ ■ ■ ■, 

der eine Funktion der r^^29) ^^^y stellt demgemäß eine zweiwertige Funk-^ 
tion des zum Geschlechte p = 2 gehörenden Polygons Tgg und also eine 
einwertige Funktion des Klassenpolygons Kgg dar. Hieraus folgt wieder- 
um, daß mit z^ amh Zq gegenüber W^q invariant ist, und daß man dem- 
nach in (azQ -f hz^) eine Formenschar des Polygons Kg^ mit „einem" beweg- 
lichen Nullpunkte erster Ordnung und einem festen der Ordnung \ in der 
Spitze ioo hat. 

Die Form z^ hat in der Spitze ioo zunächst einen Nullpunkt der 
Ordnung f. Gegenüber der Substitution (oq~io) ^^^S^ ^^^ Produkt 
z^y^, da (~^^-) = — 1 ist, das Verhalten: 

;S2V^(- 12öi- ÖGjg, 29G3i-f- 120«) = - ^21^(^15 052)- 



Modulformen des Klassenpolygons K^g 435 

Trägt man, dem Eckpunkt e^ entsprechend, ca^ = — 12 + i, c»2 = 29 ein, 
so folgt: ^^y^^_ 1 _ ^2i^ 29 i) = - ^^ VZ(- 12 + i, 29) 

und also, da z^V^ ^®^ Dimension — 4 angehört: 

^^V^C- 12 + h 29) = - ^aV^C- 12 + i, 29). 

Die Form ^^ verschwindet also im Punkte e^ und damit auch in e^, und 
zwar kann hier je nur noch die Ordnung ^- vorliegen. Der zurückbleibende 
Nullpunkt der Ordnung f kann nur noch im Punkte g3 = liegen. Hier- 
aus ergibt sich, daß auch 0^ gegenüber TFgg ivi'Variant ist. 

Die vorstehenden Darlegungen zeigen, daß der Quotient zl : 3^ die- 
jenige Form {azQ-\- hz^ der Schar ist, für welche der bewegliche Null- 
punkt in den Eckenzyklus e^, e\ fällt. Es muß sich also z\ in der Gestalt 
{azQ-^lz^z^ darstellen lassen. Die beiden Anfangsglieder der Reihen 
liefern a = & = 1, so daß zwischen den drei Formen (31) die Gleichung 
'besteht: 

(33) (^o+^i)^, = 4- 

In der Tat stimmen für die beiderseitigen Reihen auch die weiteren Glieder 
überein. 

Das Transformationspolygon Tgg wird durch t(co) auf eine zwei- 
blättrige Riemannsche Fläche abgebildet, die sechs, den Punkten e^, e^, 
e^, e'^j ^3, ^3 entsprechende Verzweigungspunkte hat. Die zugehörige Yer- 
zweigungsform machen wir in üblicher Weise zugänglich, indem wir zu- 
nächst eine der rL(29) zugehörige Modulform (— 3)*^^^ Dimension: 

(34) H«'o <».) = - 2»» f(<^^£-) 

erklären. Es handelt sich um eine ganze Modulform, die gegenüber der 
TF27 Zeichenwechsel erfährt, die die Reihenentwicklung besitzt: 

(35)?; = (?^)V'Xl-23'-32*-2'-Ö2H2^^«-132^2^21giH23^«+..-); 

und die neben einem Nullpunkte der Ordnung f in der Spitze i(x> von Kgg 
sechs Nullpunkte der Ordnung \ in den genannten sechs Punkten e^jC^y... 
aufweist. Das Quadrat von v muß nun gleich einer ganzen Funktion 
sechsten Grades von z^ und z^ sein und liefert in dieser Funktion die ge- 
suchte Verzweigungsform. Man findet in bekannter Art mittelst der Po- 
tenzreihen: 

(36) t.^ = 4 - 44^1 - 12;?J^5 + 2««^» + %0l0\ + %g,z\ - 7ä«, 

WO rechts die Verzweigungsform der genannten zweiblättrigen Riemann- 
schen Fläche mit sechs Verzweigungspunkten gewonnen ist.^) 

1) Diese Verzweigungsform muß (nach späteren Sätzen) im rationalen Körper 

28* 



436 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 
Als ein Funktionssystem für die 1^^(29) kann man nun: 

(37) <m)=^'f, e{m) = ^ 

benutzen, wobei sieb die zweite, gegenüber TF29 Zeicbenwecbsel erfahrend© 
Funktion in der ersten mittels der Quadratwurzel darstellt: 



(38) G^yt^- 4t' - 12t* + 2r8 -f 8t2+ 8r - 7. 

Für die Gewinnung von J in Gestalt einer rationalen Funktion von 
t und ö ist es wieder ausreichend, g^, g^y ^ und /i' in z^y z^ und v dar- 
zustellen. Die formentbeoretiscben Überlegungen gestalten sieb wie üb- 
lich ; wir erhalten zunächst für {^g\ + g^ die Ausdrücke : 

( 6(/, + ä)^i = 4214 - 301^J^,- 18675^4 - 6714^3 

(39) +627^„4+4054, 
1 (9\ - 9,)^x = IQvilül + b0,z, - 4). 

Die Untersuchung von z/ und z/' beginnt man am einfachsten mit der 
Differenz (j/z/ — 29^ • "j/z/') , für welche die formentheoretische Über- 
legung im Verein mit den Potenzreihen die Darstellung ergibt: 

(40) (■|/^-293.-|/Z")'>/Z^ =^v{zl-llzlz^ + Uzlz\ + 14^0-^1'- 1004). 

Dies Ergebnis ist wieder einer Prüfung zugänglich. Berechnet man näm- 
lich aus (40) unter Benutzung von (36) den Ausdruck von: 

{fj - 29^ . yZ)'.yZ2 + 4 . 29ä(^Z^)' = {yj + 29» • yjJ-V"^^ 

in Zq und ^j, so muß sich das Quadrat einer homogenen Funktion 7*^"^ 
Grades von z^ und z^ ergeben. Dies bestätigt sich in der Tat; durch Aus- 
ziehen der Quadratwurzel gelangt man zu: 

(41) (y^ + 29^ . yz) 'v^z^ -^i- 134^1 + 45^5^2 ^ 2544 

- 2^^zlz\ -{- 29^54 + SOO-^o-^i' + 166^1- 

Der fertige Ausdrucli von J als rationale FunMon von 6 und t geht 
nun leicht aus den beiden Gleichungen hervor: 



irreduzibel sein. Dagegen muß sie (entsprechend den beiden Geschlechtern zu je 
drei Formklassen bei der Diskriminante J)= — 116) nach Adjunktion von 1/29 in 
zwei kubische Faktoren zerlegbar sein. Dies ist in der Tat der Fall; die beiden 
kubischen Faktoren sind: 



Transformation 29^*«° Grades. Klassenpolygon Kj 



437 



(42) 



2j/^ 



AA 



^1. = 421t5 - 7 . 43t^ - 1867tS - 11 • 61t2+ 3 • 11 • 19r + 3*- 5 

-22. 3 -50(772-1-57-1). 
'- 13t6 + 32. 5tH 5V- 269t8+ 297^+ 2^. 3 • o^x 
\ +2-83 + (?(T^-llT3-f-3lT2+2.7T-22.52). 

Die entsprechenden transformierten Modulformen ergeben sich durch 
Zeichen Wechsel von 6. Diese Gleichungen im Verein mit der Relation 
(38) ersetzen uns in bekannter Weise die Transformationsgleichung für J. 

% 6. Zusammengesetzte ungerade Transformationsgrade. 

1. Transformation 15*®° Grades. Die zur linken Seite der imaginären 
o-Achse gelegene Hälfte des Klassenpolygons K^g ist das in Fig. 22 dar- 
gestellte, von sechs Symmetriekreisen begrenzte Kreisbogensechseck. Die 
beiden Ecken Cq und e^, bei 



und 



G) = 



(O = 



— |/l 6 + t 
2|/i5 

-yiö + t 




4]/l5 

gelegen, sind die Fixpunkte ^^ 

der Substitutionen / ~ ' ~~ ^ 

und (~ g^' ~ g) ; sie sind die 

Nullpunkte der beiden qua-u>- 

dratischen Formen (15, 15, 4), ^'«- 22- 

(30, 15, 2), durch die wir die beiden Klassen der Diskriminante Z) = — 15 

repräsentieren können. Der Fixpunkt e^ von W^^ gehört zur Hauptklasse 

der Diskriminante Z) = — 60; und der bei 03 = L-_-J^_* gelegene Fix- 

punkt der Substitution ( ' j ist der NuUpunkt der quadratischen 

Form (120, 90, 17), die die zweite Formklasse mit D = — 60 repräsen- 
tiert. Die drei mit den Nummern 1, 2, 3 versehenen Seiten entsprechen 
den Gleichungen und Spiegelungen: 



2. 15(1»+ »i2) + 111 + 2 = 0, 

3. 15(|2+^^)+ 8J + 1 = 0, 



CO == 



o 



CO 



— lÖffl - 


- 7 


30co + 


15 ' 


— llw- 
3005 + 


-4 

n ♦ 


— 4w- 


-1 



15CÖ + 4 ' 

während der Kreis 4 der Symmetriekreis der Spiegelung TFjg ist. Die 



438 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

zweite und dritte Spiegelung sind bereits in der r^(i5) enthalten. Neben 
der Spitze ioo ragt K^g noch mit dem Spitzenzyklus ± | an die reelle 
ö-Acbse heran. 

Funktionentheoretisch sind die zusammengesetzten Transformations- 
grade besonders leicht zugänglich. Man setze zur Abkürzung: 

und beachte, daß sowohl z/g-z/g wie ^1-^15 gegenüber den Substitutio- 
nen der Tis invariant sind. Der Quotient (z/gz/g) : (z/jz/ig) ist also eine 
Funktion des Polygons K^g, und zwar kann diese Funktion Pole und 
Nullpunkte nur in der Spitze ioo und im Spitzenzyklus ± | haben. Da 
aber in der Spitze ioo ein Pol achter Ordnung liegt, so findet sich im 
Zyklus ± j ein Nullpunkt der gleichen Ordnung, so daß in: 



(1) ^(co) = y4A = 2-2+3 + 9^3+... 

bereits eine einwertige Funktion von K^g gewonnen ist. 

Die beiden Formen l/z/gz/g und l/z/^zd^^g als solche der Dimension 
— 3 haben beide Nullpunkte der Gesamtordnung 3 auf K^g. Dabei hat 
■j/z/gz/g in der Spitze ioo einen Nullpunkt erster Ordnung und also im 
Zyklus + -3- einen solchen zweiter Ordnung, während j/z/^z/^j an diesen 
beiden Stellen bzw. Nullpunkte der Ordnung 2 und 1 hat. Hiernach 
haben wir in: 



(2) 






zwei ganze Formen mit je einem Nullpunkte erster Ordnung im Zyklus 
+ j bzw. in der Spitze ioo, deren Quotient 0q : 0^ die in (1) erklärte 
Funktion r ist. In (a0Q + h0j) aber haben wir eine Formenschar mit einem 
beweglichen Nullpunkte erster Ordnung auf K15. 

Das Transformationspolygon T^g wird durch t(co) auf eine zwei- 
blättrige Riemannsche Fläche des Geschlechtes 1 abgebildet, deren Yer- 
zweigungsform wir in üblicher Art herstellen. Die nähere formentheore- 
tische Diskussion zeigt, daß die zur rL(i5) gehörende ganze Modulform 
(— 2)*®'' Dimension: 

(3) . = -2«i^(-^^^ = gf(l-3ä=-V-33«-2V-..-). 

die gegenüber W^^ Zeichenwechsel erfährt, ihre vier einfachen Nullstellen 
in den Punkten hat, die die Verzweigungspunkte jener zweiblättrigen 
Fläche liefern. Die Potenzreihen ergeben dann für v^ die Darstellung: 



• Modulformen des Klaasenpolygons K^g 439 

(4) . v'-4- ^H^i - 13^0^1 + 10^0^1 + ^t' 

womit die Verzweigungsform gewonnen ist. Als FunMionssystem des 

Transformationspolygons T^g haben wir daraufhin: 

/K.\ r \ ^0 / \ ^ 2ni dt 

(0) n-)=^> <-) = ^ = -.7^;(^3-„v 

wohei sich a in r durch die Quadratwurzel darstellt: 



(6) (3=yz^- lOx^- 13t2+ lOr + 1, 

so daß wir hier mit einem elliptischen Gebilde der absoluten Invariante 

" 6 ^7 -4 m tun haben. 

Zur Darstellung von J als rationale Funktion von 6 und r bedienen 
wir uns der in (6) S. 392 bei der Transformation fünften Grades einge- 
führten Funktion r, die bier mit x^ bezeichnet werden möge, und in der 
sich J in der Gestalt (1.3) S. 393 darstellt. Es ist hinreichend, die auf 
Ti5 vierwertige Funktion t^ in <? und x darzustellen. Wird Tg durch W^^ 
in r^ transformiert, so hat man: 



.,= 125|/f, <=fA, 



Der rechts stehende Zähler ist nun eine ganze Form ( — 6)*®'^ Dimension 
von Kj5, die gegenüber W^g Zeichen Wechsel erfährt und also den Faktor v 
enthält. Hierdurch werden Nullpunkte der Gesamt Ordnung 2 auf Kjg er- 
ledigt, so daß noch solche der Gesamtordnung 4 übrigbleiben. Ein Null- 
punkt erster Ordnung liegt in der Spitze i cx), so daß die Ordnung 3 ver- 
bleibt. Da diese Ordnung ganzzahlig ist, so muß im Zyklus ± |, wo unser 
Ausdruck sicher verschwindet, mindestens ein Nullpunkt erster Ordnung 
liegen. Zwei weitere Nullpunkte dieser Ordnung sind dann noch zu be- 
stimmen. Dieser Überlegung entspricht der Ansatz: 

VA^3 - I251/Z/5Z/15 = vz^z^(az\ + bz^z^ + cz\). 
Die Potenzreihen ergeben: 

<7) V5^ - 125t/z/5^ = vg^z^{f^ - 4z,^, - s\). 

Zur Prüfung dieses Ergebnisses berechne man mit Hilfe von (4) 
den Ausdruck von (f/z/^ z/3 + 125]/z/5z/j5) in Zq, z^, wobei sich das 
Quadrat einer homogenen Funktion sechsten Grades ergeben muß. Dies 
bestätigt sich, man findet durch Ausziehen der Quadratwurzel: 

(8) V^^ + 125 r^^ = z„z, {0t - 940, - 9z,4 - 4). 

Yon (7) und (8) aus gelangt man nun leicht zum Ziele: Der gesuchte 



440 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Ausdruck der heim Grade 5 auftretenden FunMion t^ in den jetzigen 6 

und t ist: 

(9) 



r4_ 9t»— 9t — 1 — (7(r' — 4t — 1) 



2t 



2. Transformation 21^*®'' Grades. Das halbe K]assenpolygon Kgi 

ist ein von lauter Sym- 



metriekreisen begrenztes 
^0 Kreisbogensiebeneck 
(Fig. 23). Die vier Ecken 
%j ^1? ^2? ^3 geboren zu 
den vier Formklassen 
der Diskriminante D =^ 
— 84. Die näheren An- 
gaben gehen aus folgen- 
««=0 der Zusammenstellung 
hervor: 




Fig. 23. 



CO = 



^o; ""-^T^y (21,0,1), 05' = 

(42,42,11), 05' = 

(105, 84, 17), 05' = 

05 = '—:^'--. (210,126,19), 05' = 



'2? 



O = 



C5 = 



1/21 ' 

— |/21+i 
2]/2l 

— 2|/21-|-i 
5y21 

— ^]/2l-}-^ 

ioy2i 



21«' 




— 21« - 


11 


42cö-f 


21 ' 


— 42 CO - 


-17 


105« + 


42 ' 


— 63cö- 


-19 


21000 + 


63 



Die Ecke e^ ist bei 05 = ^ ^ gelegen und steUt den Fixpunkt der 

auch schon in der 1^^(21) enthaltenen Substitution ( ' j der Periode 3 

dar. Für die mit den Nummern 1 bis 4 versehenen Seiten gelten die 
Angaben : 

21ä~-10 



1. 21(r+^') + 2U-f5 = 0, 05' = 

2. 21(r-f7^2) + i6|_^3_o, 05' = 



42« + 21 ' 
-8© — 3 



21CÖ + 8 ' 
— 13cä— -4 



3. 42 (r + ,^) + 261 + 4 = 0, CO' = ^--^ 

4. 84(1^+^0 + 421 + 5 = 0, co'==^J=^- 

Die zweite und dritte Spiegelung sind auch bereits in der r'^(2i) enthalten. 
Die Seite 5 des Polygons Kg^ gehört natürlich zur Spiegelung Tfgi- 
Gebraucht man die Abkürzung Zl^ wie soeben, so hat man in: 



(10) 



Klassenpolygon Kgi und zugehörige Modulformen 441 



2gi2 



.,=t4^,=OV(i- 


_22«-2'ä_23"+23''+---). 


-.=t:;^.^. = 0\"(i- 


-23^-3*+ 23« 4- ä« + 22I»- 
-2g"-22'8+...) 



zwei Formen, die auf Kgi Nullpunkte der Gesamtordnung 3 haben. Da 
diese Nullpunkte nur in der Spitze ioo und im Zyklus + 3 auftreten, so 
hat zufolge (10) Xq an diesen beiden Stellen Nullpunkte der Ordnungen 
•| und ", x^ umgekehrt solche der Ordnungen ^~ und f. Hiernach haben 
wir in: 

bereits eine einwertige Funktion von Kg^. 

Es ist hier auch noch der Ansatz (19) S. 332 heranzuziehen. Zwei 
unter den vier Formklassen der Diskriminante — 84 liefern identisch 
verschwindende Reihen, die beiden anderen ergeben die Reihen: 



(12) 



2« i 



^0= ^2^1 + a*- 2'»- ä'^- 23!«+ . . .), 

"'2 

^1= ~s% - ä^- 2ä« + 512 + 22"+ * + * + --.y) 



Die Produkte <^o(}/z/) und ^er^ yzf nehmen gegenüber den Substitutionen 

der rL(2i) ^®^ Faktor l^j an. Hiernach können Nullpunkte gebrochener 

Ordnung des Nenners 3 nur in den beiden Ecken e^, e^ von T,, auftreten; 
man zählt leicht ab, daß sowohl ^q als ^^ an jeder dieser Stellen einen 
Nullpunkt der Ordnung |^ hat. Für beide Formen bleiben Nullpunkte der 
Gesamtordnung 2 übrig. Werden nun 5q, 0^ durch W21 in /q, z\ trans- 
formiert, so sind die Quotienten z^ : z^ und z\ : z^ entweder Konstante oder 
Funktionen der rL(2i). Da aber wegen der in der Spitze ioo sich fort- 
hebenden Nullpunkte in beiden Fällen die Wertigkeit unter 2 herab- 
sinkt, so folgt mit Rücksicht auf das Geschlecht 1 von Tg^, daß beide 
Quotienten mit Konstanten identisch sind. Hiernach sind z^ und z^ gegen- 
über TTgi bis auf Faktoren, die nur gleich ib 1 sein können, invariant. 
Die Form z^ hat nun auf Kgi einen Nullpunkt der Ordnung \ in der 
Spitze ioo und einen solchen der Ordnung | im Zyklus e^, e^, so daß 
nur noch ein Nullpunkt der Ordnung \ übrig bleibt, der nur im Zyklus 
± 3 liegen kann. Demgegenüber hat z^ einen Nullpunkt der Ordnung \ 
in der Spitze i(x> und einen solchen der Ordnung ~ im Zyklus e^, e^; es 

1) Die beiden Sterne sollen andeuten, daß Glieder mit q^ 
auftreten. 



442 n, 4. Trans formationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

bleibt also noch die Alternative, daß entweder ein Nullpunkt der Ord- 
nung j im Zyklus J^ y liegt, oder daß sich daselbst ein Nullpunkt der 
Ordnung j und dann ein weiterer Nullpunkt der Ordnung ~ in einem der 
Punkte €q, . . .jß.^ findet. In beiden Fällen ist 21I '.z\ eine einwertige Funk- 
tion von K21 mit dem Pole in der Spitze ioo und also eine lineare ganze 
Funktion des in (11) erklärten x. Die Reihenentwicklungen liefern aber 
sofort das Bestehen der Gleichung: 



so daß 5^0 im Zyklus ± \ einen Nullpunkt der Ordnung ~ hat. 
Zufolge dieser Überlegung haben wir in: 

(13) e,z, = Cg) VXl - 2^ + ä* - ä" - 22» - ä>» - 3^^ + Sg" + • • •) 

eine Form von K21, welche Nullpunkte erster Ordnung in der Spitze ioo 
und im Zyklus + i hat und einen solchen der Ordnung | im Zyklus e^, 
e^ aufweist. Dieser Form bedürfen wir zur Herstellung der Yerzweigungs- 
form der zweiblättrigen Riemannschen Fläche, auf die Tgi durch t(g9) 
abgebildet wird. Wir haben zu setzen: 

(14) V = — 27ti ^ 1 s 7 21 — I 
und finden die Potenzreihe: 

(15) V = (^)'^'(l - 2^2- 8^*+ * -f- 5^«+ 4^10 _ 7gi2^ ^ ^, . . .), 

Diese Form hat im Klassenpolygon NuUpunkte je der Ordnung j an den 
Stellen icx> und + -|, sowie vier NuUpunkte der Ordnung -| in Cq und 

den Zyklen (e^pe[)y (ßg, e^), {e^, 4)- I^as Produkt v^^l/z/^z/gZ/^z/gi muß 
als homogene Funktion vierten Grades von Xq und x^ darstellbar sein. 
Die Reihen liefern: 

(16) v^XqXj^ = Xq — Qx^x^ — llxlxl — QxqxI + :r*, 

womit die Yerzweigungsform der vorhin genannten Fläche gewonnen ist. 
Als FunMionssystem der F^r^i) haben wir damit erhalten: 

<17) ^(c) = *-» = 4, ^(c,) = "'^»"Ä^ i = ^^ 1^ 

wobei sich 6 als FunJdion von t mittels der Wurzel: 



(18) 0=|/T*-6T3-17T2-6r 4- 1 



Transformation 21«^«" Grades 443 

darstellt}) Es liegt hier also ein elliptisches Gebilde der absoluteu In- 

193 
Variante — ^jTgi vor. 

Zur Darstellung von J als rationale Funktion von a und r bedienen 
wir uns der Vermittlung der in (34) S. 397 gegebenen, beim siebenten 
Grade benutzten Funktion r^. Aus der leicht beweisbaren Gleichung: 

t^s - ^YÄ'^.. =yz/,:/- i^I^' 

folgt, daß die links stehende ganze Modulform gegenüber den Substitu- 
tionen der -r^(2i) bis auf multiplikative Einheits wurzeln invariant ist; 
gegenüber Wgi erfährt sie Zeichenwechsel. Die Betrachtung der Null- 
punkte zeigt, daß sie bis auf einen konstanten Faktor gleich v ist. Sie 
ist unmittelbar gleich v, was die Potenzreihen bestätigen. Eine weitere 

Prüfung des Ergebnisses liefert die Berechnung von ( Y~^\^z + '^ V^i ^21)? 
wobei sich der Ausdruck in (16) rechts, vermehrt um 2%x\x\y als Qua- 
drat einer homogenen Funktion zweiten Grades von x^^ x^ ergeben muß. 
Dies bestätigt sich; man findet: 

(19) y^,zJ,zJ,zi;,{fA'^B + ^T^^) = ool- 3x,x, + xl 
Durch Fortsetzung der Rechnung gelangt man zu dem Ergebnis: Die 
heim siebenten Grade benutzte Funldion r^ stellt sich in den jetzigen 0, r 
so dar: 

(20) ^^^ (.'-3. + !-., . 

3. Transformation Sö^*®'^ Grades. Das halbe Klassenpolygon K35 ist 
in Fig. 24 (S. 444) abgebildet. Von den Ecken e gehören Cq und q zu den 
beiden Formklassen der Diskriminante D = — 35, die beide zweiseitig 
sind. Die Lage dieser Ecken, die repräsentierenden Formen und die zu- 
gehörigen Substitutionen der F^^ sind: 

'«' ''^^sf^' (35,o5,9), 03= ,00.4-3 5^ 

e„ « = ^i^ (105,35,3), cD-= ~f" ~J- 

1' 6]/35 ^ ^ ' ^ /' 210(0 + 35 

Die Ecke e^ gehört zur Hauptklasse der Diskriminante D = — 140 und 
damit zur Substitution W^^. Endlich gehören e^, e^j e^ und die zu den 



1) Die Funktion unter der Wurzel (18) muß nach Adjunktion von |/21 redu- 
zibel sein und in das Produkt zweier Funktionen zweiten Grades zerfallen. Dies 
bestätigt sicli; die Funktionen zweiten Grades sind: 



.= _(3±v'il)._^ll 



444 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stnfe für niedere Grade n 
beiden letzten symmetrisclien Ecken e^, e^ zu den fünf restierenden Form- 
klassen mit Z) = — 140. Die näheren Angaben gehen aus der Zusammen- 
stellung hervor: 



^4? 



"5 5 



G) 



CO = 



CO = 



— 5 1/35 -j- 
12|/35 

— y 35 -[- i 
3|/35 ' 

— 1/35 -f i 
4)/35 ^ 



(420,350,73), cö' = 
(105,70,12), co' = 
(140, 70, 9), 



CO = 



— 175(0 — 73 
420ta -j- 175 ' 

— 35fo — 12 
105(o + 35~' 

— 35(0 — 9 



140(0 + 35 




Fig. 24. 

Durch die beiden letzten Substitutionen werden die Seiten 3 und 4 bzw. 
5 und 6 von K35 in einander transformiert. Auf der reellen co -Achse 
liefern diese Seitenpaare die Polygonspitzen co = — |, — |^, — |^, die mit 
den symmetrischen |, |, |- zu einem einzigen Spitzenzyklus zusammen- 
gehören. Die Angaben, die Kreise 1, 2 und 7 betreffend, sind: 



35, 



17 



1. 70(|^+,^)4-70^+17 = 0, co'=-~^^--^. 



2. 35(|2-h7?2) + 29|-f 6 = 0, co' = 
7. 35(^+7^2) + 12 J-f 1 = 0, co' = 



29« — 12 



70« + 29 ' 
-6rö — 1 



35CÖ + 6 

Die beiden letzten Spiegelungen sind auch bereits in der rL(35) enthalten. 
Die funktionentheoretische Behandlung des Grades 35 kann man auf 
die beiden Formen gründen: 

deren erste in der Spitze ioo und im Spitzenzyklus von K35 Nullpunkte 



Klassenpolygon Kg 5 und zugehörige Modulformen 445 

der Ordnungen \ und | hat, während 0^ an diesen Stellen umgekehrt in 
den Ordnungen | und |- verschwindet. Folglich haben wir in: 

(22) r^f^=yf^^=q-^+l + 2i^+-.. 

bereits eine einwertige Funktion des Klassenpolygons K35 erhalten. 

Zur Berechnung der Verzweigungsform derjenigen zweiblättrigen 
Fläche, auf die T35 durch r(o) abgebildet wird, erklären wir zunächst die 
Modulform (— 2)*^^ Dimension: 

die zur rL(35) gehört und gegenüber W35 Zeichen Wechsel erfährt. Diese 
Form hat auf K35 gemessen acht Nullpunkte der Ordnung j in den acht 
Ecken e, die die Verzweigungspunkte der genannten zweiblättrigen Fläche 
liefern; ihre Reihenentwicklung ist: 

(24) v = (^^)\l - q^-Sq^-4:q'- Iq^- q^o_ 12 q^'- q^"^ 

Das Produkt von v^ und (^o-^i)^ ^^^ ^^^ homogene Funktion achten Gra- 
des in Sqj ^1 darstellbar: 

(25) {vz,z;f=^ 4 - 44^,-645^ - 4.zlz\- 9,X + "^44 - 6^o4 

und liefert in dieser Gestalt die gesuchte Verzweigungsform. 
Als FunJctionssystem der F^^ haben wir nunmehr: 

wobei sich als FunUion von t mittelst der Quadratwurzel ausdrückt: 



(27) (j = }/t« - 4t'- 6t6- 4t5- 9t*+ 4t»- 6t2+ 4t+ 1.') 

Zur Darstellung von J durch 6 und t bedienen wir uns wieder der 
Vermittlung der in (34) S. 397 gegebenen Funktion t^, durch die sich J 
in der Gestalt (41) S. 398 ausdrückt. Es ist demnach ausreichend t^ in 
<5 und T darzustellen. Zu diesem Zwecke knüpfen wir an die leicht be- 
weisbare Gleichung: 



1) Eine Prüfung des Ergebnisses kann man aus dem Umstände herleiten, 
daß der Ausdruck unter der Wurzel (27) im rationalen Körper reduzibel ist, näm- 
lich das Produkt zweier ganzzahliger Faktoren der Grade 2 und 6 sein muß, ent- 
sprechend den zwei Formklassen mit D = — 35 und den sechs mit D = — 140. 
Die Zerlegung ist: (,, ^ , _ i) (,« _ 5,5 _ 9,, _ 5, _ j). 



446 IIj 4- Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Vi;2l - 49 V^Ä = « - ■^7)1/^1^ , 
WO T,j die durch TF35 aus t^ hervorgehende Funktion ist. Die hier links 
stehende Form hat acht Nullpunkte auf K35. Erstens hat sie die acht 
Nullpunkte der Ordnung j mit v gemein, sodann kommen zwei einfache 
Nullpunkte in der Spitze ioo und im Spitzenzyklus dazu und endlich 
bleiben noch zwei Nullpunkte erster Ordnung übrig. Jene Form ist dem- 
nach als das Produkt von v und einer homogenen Funktion zweiten 
Grades von ^q^ z^ darstellbar; die Potenzreihen ergeben: 

(28) V^:^ - 49 v^Ä = ^{<^l - ^Vi - 4)- 

Die übliche Probe dieses Ergebnisses führt man bei der Berechnung von 
(Vz/1^5 + 49V-^7-^s5) durch. Man findet die Gleichung (28) bestätigt 
und erhält: 

(29) (V4^5 + 49 V^^) 0,z, = 4 - 54,0, + bzlzl - b0,zl - zl. 
Die Fortsetzung der Rechnung liefert für t^ den Ausdruck: 

V30) r, ^ ^ ^ . 

§ 7. Zusammengesetzte gerade Transformationsgrade. 

1. Transformation sechsten Grades. Die Verh��ltnisse liegen 
hier noch so einfach, daß man der Betrachtung unmittelbar das Trans- 
formationspolygon Tg zugrunde legen kann, das in Fig. 4, S. 354, abge- 
bildet ist und das Geschlecht hat. Neben den beiden Spitzen bei 
o = «"oo und CO = hat Tg die beiden Spitzenzyklen ±_ \ und + ~, die 
durch TTg in einander transformiert werden. Eine einwertige Funktion T(ca) 
von Tg möge so erklärt werden, daß die Werte riioc) = 0, r(0) = oo, 

T(-*_ I == 3]/2 zutreffen. Schreibt man abkürzend riW^^co)) = r\(o), so 
hat man zufolge der letzten Festsetzung: 

(1) -'=v 

als Verhalten von t(o) gegenüber Wq. 

Zum Polygone Tg gehören auch die bei den Graden 2 und 3 be^ 
nutzten Funktionen: 

(2) ^.= 64^S r3=27]/^, 

unter z/^ wie bisher ^(vco^, a)^) verstanden. Die erste dieser Funktionen 
ist reziprok zu der in (33) S. 379 bei w = 2 dargestellten Funktion t, die 
zweite ist direkt die in (9) S. 384 erklärte Funktion r des dritten GradeSv 
Die Lage der Nullpunkte und Pole von T2 und Tg in Tg stellt man da- 



Transformation sechsten Grades 



447 



durch fest, daß man erstlich Tg in vier mit Tg äquivalente Teilbereiche 
zerlegt, sodann in drei mit Tg äquivalente Teilbereiche und auf die Lage 
der Nullpunkte und Pole von t^ und Tg in den Teilbereichen Rücksicht 
nimmt. Der Wert von r im Spitzenzyklus + ~ heiße — a, so daß wegen 
(1) für r(+ I) der Wert — 18a~^ folgt. Dann ist die Werteverteilung 
von r, Tg und t^ in den Spitzen von Tg aus folgender tabellarischen Zu- 
sammenstellung zu ersehen: 





ioo 





±1 


±1 


r 


0^ 


oo^ 


— a 


-18a-' 


^2 


0^ 


oc» 


0^ 


oo' 


^3 


0^ 


<X)2 


oo^ 


0^ 



d. h. Tg hat in der Spitze ioo einen Nullpunkt erster Ordnung, Tg in der 
Spitze einen Pol zweiter Ordnung usw. 

Aus diesen Angaben entnimmt man folgende Ansätze von r^ und Tg 
als rationale Funktionen von t: 



(3) 



^2 '^^^^ 6(ar+18)^ 



= 27]/| 



tjat + isy 
c(r+a) 



WO h und c Konstante sind. Durch Wq gehen Tg, Tg in r'^, x\ über; mit 
Rücksicht auf (1) folgt: 



(4) 



T„ = 



64 z^6 br8(Tr + a)' 



'3 27 K zr« 



1 8»(r-|-a)' 
cr^(ar-|- 18) 



Durch Division der Gleichungen (3) und (4) durch einander und Aus- 
ziehen der vierten bzw. dritten Wurzel folgt weiter: 



(5) 



»V 



^.^a 



r(r + 



t i62>/.: 



r(ar+ 18) 



g ar-f-18' " \ A^A^ t -{- a 

Indem man diese beiden Gleichungen mit einander multipliziert und die^ 
Quadratwurzel zieht, findet man als Darstellung der einwertigen Funktion 
t(cö) von Tg durch A\ 



(6) 



36 



V AI 



Hiernach ist das Anfangsglied der Potenzreihe von t durch 3Qq^ ge- 
geben. Nimmt man nun in der ersten Gleichung (5) rechts und links die 
Anfangsglieder, so folgt: 



Sq' 



18 



2a3^ 



so daß a = 4 ist. Indem man entsprechend für die Gleichungen (3) die 



448 II, 4, Transformationsgleicliungen erster Stufe für niedere Grade n 

Anfangsglieder berechnet, folgt weiter 6 = 2, c = 108. Die Darstellungen 
von Tg und Tg als rationale Funktionen von r sind somit: 



0) 



4(2r+9)' 



r, = 



r(2r + 9)2 



27(ir-f4) 

Endlich ergibt sich der Ausdruck von J mit t einfach dadurch, daß man 
den in der zweiten Gleichung (7) gegebenen Ausdruck von t^ in (12) 
S. 385 für das damalige t einträgt. 

2. Transformation zehnten Grades. Auch die Behandlung die- 
ses Falles kann man unmittelbar auf das Transformationspolygon T^^ 




Fig. 25. 

gründen, das in Fig. 25 dargestellt ist und wieder zum Geschlechte ge- 
hört. Die Seiten 1 und 2 und ebenso 7 und 8 werden in einander trans- 
formiert durch die elliptischen Substitutionen (~ '^ j der Periode 2, 
deren Fixpunkte in der Figur kenntlich gemacht sind. Die Seite 3 geht 
durch die Substitution (..\j ^^ ^ über, die Seite 4 durch (,^'-,) in 5. 

Alle diese Substitutionen sind in der Tat in der rL(io) enthalten. Die 
vier Spitzen ± y, + i gehören zu einem Zyklus zusammen, der kurz der 
Zyklus + 1^ heiße; ebenso gehören die Spitzen + i zu einem Zyklus zu- 
sammen. 

Trägt man die Dreiecke des ursprünglichen Netzes der Modulgruppe 
pH in T^o ein, so erkennt man leicht, daß beim Umlaufen des Zyklus 
+ 2 fünf Doppeldreiecke jenes Netzes durchschritten werden, beim Um- 
laufen des Zyklas + \ aber deren zwei. Dasselbe kann man durch Rech- 
nung auf folgende Art feststellen: Die in der F^"'^ enthaltene zyklische 
Untergruppe parabolischer Substitutionen des Fixpunktes a = — j wird 

aus ( ^' j erzeugt; von dieser Substitution ist erst die fünfte Potenz 

2o' 11/ ^^^ ^^^ -^v(io) eiitlialten. Die erzeugende Substitution der ent- 
sprechend zum Fixpunkte — j gehörenden zyklischen Untergruppe ist 
aber l ^^ ' j , und von dieser Substitution ist schon die ziveite Potenz 

\ 5o', uj ^^ ^V'(io) enthalten. 

Diese Angaben sind wichtig, wenn man die Polygone Tg und T5 in 



Transformationspolygon Tio und zugehörige Modulfunktionen 



449 



Tjo einträgt und die auf T^q gemessenen Ordnungen der Nullpunkte und 
Pole der beiden Funktionen: 



(8) 



64 






T.-= 125 



Vi 



feststellt. Man findet diese Ordnungen sogleich tabellarisch zusammen- 
gestellt. Vorerst möge noch eine einwertige Funktion r((D) von T^q durch 

die Festsetzungen r(i(x>) = 0, r(0) = oo, t( y;^| = ]/5 erklärt werden. 



Diese Funktion wird dann durch W^q in: 



(9) r'=-^ 

transformiert. Die beiden Zyklen + | und Hh 5 werden durch W^q per- 
mutiert. Wird also r(4: J) = — a gesetzt, so ist r(+ |) = — 5«"^. Die 
Tabelle der Spitzenwerte von r, Tg, T5 ist dann: 





^cx) 





±i 


±i 


r 


Ol 


oo^ 


— a 


-5a-^ 


^2 


0^ 


oo^ 


0' 


oo» 


^5 


0^ 


oo2 


oo' 


0^ 



Diesen Angaben entsprechen folgende Ansätze für Tj und r^ in Ge- 
stalt rationaler Funktionen von t: 



(10) 



r,= 644 






wo h und c zwei Konstante sind. Wir verfahren nun genau wie im Falle 
der Transformation sechsten Grades. Durch Ausübung der Transforma- 
tion WiQ geben die Gleichungen (10) über in: 



(11) 



^9 



LA 

64 J,. 



(at + 6)^ , _ i/ ^i ^ 125(r4-a)^ 

bt'it -f a) ' ^5 ~ r z/i, ~ ct\at 4- 5) 



Dividiert man die Gleichungen (10) und (11) durcheinander und zieht 
die sechste bzw. dritte Wurzel, so folgt weiter: 



(12) 



r 






25 



v^ 



J,J, 



t{at -\- 5) 
t -\- a 



Durch Multiplikation dieser Gleichungen miteinander und Ausziehen der 
Quadratwurzel findet man als Ausdruck der einwertigen Funktion x in der 
Diskriminante A: 

Fricke, Die elliptischen Funktionen II 29 



450 II, 4:. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Das Anfangsglied der Reihe für z ist hiernacli 10^^. Die Bestim- 
mung von a, &, c aus der ersten Gleichung (12) und den Gleichungen (11) 
geschieht nun wie im vorigen Falle. Es findet sich a = 2, h = c=l. Die 
Barstellung der 'bei den Transformationsgraden 2 und 5 benutzten Funh- 
tionen t^ und t^ als rationale Funktionen des zu T,o gehörenden x ist: 



u = 



2ir-f 5 



ir(2r-4- 5)^ 



Die Darstellung von J durch r erhält man endlich durch Eintragen des 
in der zweiten Gleichung (14) gegebenen Ausdrucks für Tg in die Glei- 
chung (13) S. 393 an Stelle des damaligen r. 

3. Transformation zwölften Grades. Das in Fig. 26 darge- 
stellte Polygon Ti2 ist ein Zehneck, dessen untere mit Nummern bezeich- 
nete Seiten so zusammenhängen: 

i^Mi'a)^ 2->7,q;,); .w6,(,v.)^ ^^MiU 

Diese Substitutionen gehören in 
der Tat alle vier der rL(i2) ^^• 
Neben den Spitzen bei ö = ioo 
und (D = haben wir noch vier 
Spitzenzyklen + \, ±h ± \r 
» ± \y diß durch W^^ zu Paaren 
permutiert werden. 
Die beiden schraffierten Teilbereiche sind Abbilder der negativen 
Tg-Halbebene, die beiden freien Bereiche solche der positiven Tg-Halbebene. 
Wie man unmittelbar aus der Figur abliest, wird T^g durch Tg auf eine 
zweiblättrige Riemannsche Fläche abgebildet, die zwei der Spitze und 
dem Zyklus + \ entsprechende Verzweigungspunkte bei tg = oo und 
Tg — — f hat. Eine einwertige FunMion von T^g können wir demnach aus 
r^ mit einer einzigen Quadratwurzel in der Gestalt berechnen: 

(15) r = - 3 -f- y2 TgTÖ 

mit der Festsetzung, daß die Quadratwurzel auf der imaginären cö- Achse 
positiv genommen werden soll. Wir erzielen hierdurch die Spitzenwerte 
T(icx)) = 0, t(0) = oo. Auf dem äußeren Rande von Tjg wird t reell und 
negativ, und es gelten insbesondere folgende Spitzenwerte: 




r{±\)--2, r(±|) = -3, r(+i) = -4, r(±V) 



6. 



Da durch W^^ die beiden Zyklen ± |, ±\ ausgetauscht werden, so findet 
man als Wirhang der Transformation W^^ auf r: 



(16) 



12 

T 



Transformation 12*®° Grades. Klassenpolygon K14 451 

Indem man in die Darstellung von J durch Tg für Tg den Ausdruck 
\x(t + 6) einsetzt, erhält man den Ausdruck von J in dem zu w == 12 
gehörenden r. Diese Angaben über den Grad w = 12 sind für später aus- 
reichend. 

4. Transforma- 
tion 14*®^ Grades. Man 
knüpft hier zweckmäßig 
an das Klassenpolygon 
Ki4 an, dessen eine Hälfte 
in Fig. 27 dargestellt ist. 
Den vier Formklassen der 
Diskriminante Z) = — 56 
entsprechen die vier Punk- 
te e^, 61,^2,62, wo e\ zu e^ 
symmetrisch liegt. Die 
näheren Angaben sind: 




-0 



Qy 



CO = 



CO = 



G> 



— 4 y 14 + i 

91/14 

— >/l4 -f i 
3|/14 ' 



Fig. 27. 

(126.112,25), (-5-,^:), 
(42,28,6), (-f-^J. 



Durch die letzte Substitution werden die Kreisbogen 3 und 4 ineinander 
transformiert, die den Kreis der Gleichung: 

14(1«+ ij^) + 81 + 1 = 

zusammensetzen. Der Kreis 5 ist der Symmetriekreis der Spiegelung 1^145 
für die Kreise 1 und 2 gelten die Angaben: 

, —13« — 6 



1. 14(^+^^)4-131 + 3 = 0, 
2. 70(r-f.^2)^56j^n=0, 



CO = 



(O 



28» + 13 ' 
— 28rä — 11 



70ä + 28 

Das Klassenpolygon hat nur die Spitze i<x> und den Spitzenzyklus + |-, 
so daß die formentheoretische Behandlung des Grades 14 sehr einfach ist. 
Man erkennt zunächst im Quotienten z/g z/7 : z/^ /J^^ durch Abzahlung 
der NuUpunkte des Zählers und Nenners die sechste Potenz einer ein- 
wertigen Funktion r(co) von K^^, die demnach selbst durch: 

(17) ,(«,) = 1/^.^ = 2-^+ 4 +102^+... 

zu erklären ist. Die Formen 1/^2^7 ^"^^^ V^i^u -baben Nullpunkte der 
Gesamtordnung 4, und zwar hat V^2^7 i^ ^^^ Spitze ioo einen NuU- 

29* 



452 II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 
punkt der Ordnung | und im Zyklus + j einen solchen der Ordnung f , 
während ^/z/^ z/j^^ an diesen Stellen umgekehrt Nullpunkte der Ordnungen 
|- und I hat. Demnach hat l/z/j z/g z^^ z/^^ in der Spitze ^oo und im Zy- 
klus ±^ j je einen NuUpunkt der Ordnung 1. Wir setzen nun: 

und haben in z^ und ^j ^«^ei ^a^^e Modulformen der Dimension — 2 mit 
den Fotenzreihenentwicklungen : 

2 



(18) 



= (|^)%'(1 - 3^2 _!_ ^4 _f_ 2g6 4_ 2^8 - gio - 4^12 _|. 2^14 + . . .)^ 

<?erm Quotient s^ : z^ die einwertige FunJction t ist. Die Formenschar 
(a0Q -f- hz^) hat neben zwei festen Nullpunkten der Ordnung \ in den 
Spitzen einen beweglichen Nullpunkt erster Ordnung auf K^^. 

Die Verzweigungsform der zweiblättrigen Fläche des Geschlechtes 1, 
auf die das Polygon Tj^ durch t abgebildet wird, kann wie bisher durch einen 
Differentiationsprozeß leicht bestimmt werden. Doch ist es noch etwas 
kürzer, diese Bestimmung sogleich mit der Darstellung der bei n = 1 
benutzten Funktion r^ zu verknüpfen. Wir haben zunächst, wenn wieder 
r^CPTi^Co))) = /^(o) geschrieben wird: 

(19) ^^-^^Vi' <-Vi' 

woraus durch Addition hervorgeht: 

Die hier im Zähler stehende Form hat Nullpunkte der Gesamtordnung 4 
auf K14. Da in der Spitze ioo ein Nullpunkt der Ordnung | auftritt und 
die Form in den Ecken e nicht verschwindet, so liegt auch im Zyklus 
+ \ ein Nullpunkt der Ordnung |, so daß das Produkt jener Form mit 
^^ A^A^Ar^A^^ als homogene ganze Funktion dritten Grades von z^ und 
z^ darstellbar ist. Die Potenzreihen ergeben: 

(20) 'f ^7z^,^^,(V^;;^+ 49 >/A^J = ^? - S^o^i - 8^o4 + 4- 

Indem man diese Gleichung quadriert und 198 j/z/iZ/g-^T^u = 196 ^J^^ 
abzieht, findet man: 

y^.":^^7, (V^,^7- 49 V^^u)'= »% - 16 4^1 + 48 z%,\ - mz%z\ 



Transformation 14*^° Grades. Transformationspolygon T^g 453 

Dies Ergebnis ist einer Prüfung fähig. Es muß nämlich die rechts ste- 
hende Funktion reduzibel sein und in das Produkt der oben genannten 
Verzweigungsform vierten Grades und des Quadrates einer linearen Funk- 
tion zerfallen. Dies bestätigt sich; man findet durch Ausziehen der Qua- 
dratwurzel : 

(21) T^^^TA4(V^i^-49l/^:^j 

wo unter der Wurzel rechter Hand die Verzweigungsform gewonnen ist. 
Neben t(co) führen wir nun als zweite Funktion 0(0) der ^^(14) den 
Quotienten der in (21) rechts stehenden Wurzel mit ^l ein: Für das Funk- 
tionssjstem 6, r der r^n^) besteht dann die Relation: 

(22) 6 = y?'^lJr^+ T9t2^147+T, 

so daß wir mit einem elliptischen Gebilde der absoluten Invariante 

-tg „3 ^s ZU tun haben. Durch Subtraktion der Gleichung (21) von (20) 

findet man nach kurzer Zwischenrechnung den Satz: Die heim siebenten 
Grade benutzte Funktion r^ stellt sich als rationale Funktion von 6 und x 
in der Gestalt dar: 

/23) ^ ^^^4jl)(r^-9r+l)-(r-l)ö 



2r 



5. Transformation 18*®^ Grades. Das Transformationspolygon T^g 
ist in Fig. 28 dargestellt, die man sich auf der rechten Seite der imagi- 




Fig. 28. 



nären ca-Acbse symmetrisch fortgesetzt zu denken hat. Die sechs Halb- 
kreise, die Tjg links von co = nach unten begrenzen, bezeichne man der 
Reihe nach mit 1, 2, . . ., 6, die ihnen symmetrischen Halbkreise seien 
etwa durch 6', 5', . . ., 1' bezeichnet. Dann gelten folgende Zuordnungen 
der Polygonseiten durch erzeugende Substitutionen der ^^(,8): 

2' /""^'+^V 3->4 3'-v4' /-5, +1^ 

" ' \ + 18, 7 ; ' ^ -^ ^^ ^ -^ ^^ l, -t 36, 



2, r 



' ' VU4, 17; ' 



3'-v4;(- 



S 7 /' 



454 II, 4. Traasformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 
An Polygonspitzen hat man erstlich die sechs bei co^ioOj 0, ^, |-, — |, — -| 
gelegenen; von den übrigen Spitzen bilden die sechs 4: |, ± i? ± | einen 
Zjklus, die beiden + j einen zweiten. 

Die drei schraffierten Teilbereiche sind Bilder der negativen Tg-Halb- 
ebene, die drei freien solche der positiven Tg-Halbebene. Man liest aus 
der Figur leicht den Satz ab: T^g wird durch Tg auf eine dreiblättrige 
Riemannsche Fläche mit zwei dreiblättrigen Verzweigungspunkten abge- 
bildet, die der Spitze ca = und dem Zyklus (+ j, + ^, + 1-) entsprechen 
und also bei tg = — 4 und Tg = oo liegen. Eine einwertige FunUion von 
T^g ist also in: 

(24) r = - 2 + l/2'^gT8 

hergestellt, wo die Bestimmung gelte, daß die Kubikwurzel auf der ima- 
ginären 03-Achse reell ist. 

Als Spitzenwerte dieser Funktion berechnet man aus denen von Tg : 

|r(jcx)) = 0, r(0) = oo, t(± i) = t(± i) = r(+ |) = - 2, 

Da durch die Transformation W^^ die Spitzen | und — ^ ausgetauscht 
werden, so ist die Wirkung von TFjg ^'^f ^' 

(26) r' = |-. 

Den Ausdruck von J" in r erhält man einfach durch Eintragung von: 

(27) re=ir(r^+6r+12) 
in die Gleichung zwischen «/"und Tg. 

6. Die Transformationsgrade 20, 24 und 36. Diese drei Grade, 
für welche die Transformationspolygone übereinstimmend zum Geschlechte 
1 gehören, lassen sich sehr leicht im Anschluß an die Grade 10, 12 und 
18 behandeln. Man verstehe unter r der Reihe nach die Funktionen t^q, 
Tj2, Tis? bezeichne mit t die bzw. durch TTgo? ^24? ^se transformierte 
Funktion und beachte, daß in jedem Falle r und x zwei zweiwertige 
Funktionen von T sind, die demnach durch eine in jeder Funktion r, x' 
auf den zweiten Grad ansteigende Gleichung verknüpft sind. Die Spitzen- 
werte genügen bereits, diese in jedem Falle in r und x symmetrischen 
Relationen fertig anzuschreiben^): 



1) Man verfährt am zweckmäßigsten so, daß man in jedem Falle zunächst 
die Relation zwischen r(o3) und ir(2o3) aufstellt und dann die Substitution TF aus- 
übt, wobei r(a)) in r'(ca) übergeht und t(2(o) auf Grund der Gleichungen (9) bzw. 
(16) oder (26) durch t((ö) auszudrücken ist. 



Transformationen der Grade 18, 20, 24 und 36 



455 



(28) 



r = T 



10' 



r = T 



12 7 



/^T^-SOr'r- 50(t' + t)-100 
r'^T^ - 72r'r - 144 (/ -fr)- 288 
t'-\2_24t't- 36(T'-fr)- 72 



0. 



Indem man diese Gleichungen nach, z löst, stellt sich in jedem Falle 

. die Quadratwurzel einer ganzen Funktion dritten Grades von t ein^ die 

als Funktion von o durch (5{p) bezeichnet sei und mit t(o) zu einem 

Funktionssystem der JL vereint werden soll. Für die drei Transf(yrma- 

tionspolygone TgQ, T24 und Tgg erhalten ivir so die drei FunMionssysteme: 



(29) 



X == t 



10 J 



t = r 



12? 



'18» 



= ]/2t«+ 13r''+30r + 25, 
a = ]/t3+ llr'^4^36r + 36, 



11= 



so daß wir mit drei elliptischen Gebilden der absoluten Invarianten ^ , , , 

13' "... 

g 5 , zu tun haben, übrigens seien die Wurzeln in (29) so bestimmt, 

daß die Funktionen (S{(o) in der Spitze ioo die Werte + 5, -{- 6 und + 3 
annehmen. 

Bei Ausübung der Substitutionen W gehen die r(c3) über in rica), 
die man aus (28) durch Auflösung nach z unter richtiger Bestimmung 
des Vorzeichens der Quadratwurzel in folgenden Gestalten berechnet: 



(30) 



iz = 20, T =^V(3r4-5 + (?), 
w = 24, T'=^(3r + 6 + 6\ 
n = 36, t'=-4-(2t + 3 + ^). 



Wie man sieht, haben wir hier noch nicht mit Funktionenpaaren 
T, (J zu tun, die gegenüber W invariant sind, bzw. Zeichenwechsel er- 
fahren. Doch ist es leicht, aus den (?, t solche Paare herzustellen. In 
jedem Falle ist nämlich (x' -\- x) eine zweiwertige Funktion des Klassen- 
polygons K mit einem Pole zweiter Ordnung in der Spitze ioo. Es muß 
demnach möglich sein, x' -{■ x durch Zusatz einer additiven Konstanten 
zum Quadrate einer einwertigen Funktion x von K zu machen. In der 
Tat führt dieser Ansatz in den drei Fällen 20. 24 und 36 zu folgenden 



Funktioi 


len r: 


r 1 - 




i = y2r + 2r'+13 = " + " 


(31) 


Q 1 rf 




l~yr^r+Q-^+/. 



456 n, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 

Tragen wir die hieraus sich ergebenden Ausdrücke rr — 5, . . . von a in 
die zugehörigen Gleichungen (29) ein und lösen noch r auf, so stellen 
sich folgende Quadratwurzeln ein: 



(32) 



n = 20, 
w = 24, 
w = 36, 



6 


= y^- 


-26i'- 


-80r- 


-71, 


6 


= y^- 


-22i^- 


-48i- 


-23, 



ö = yT^-12T^-24:t-12. 



In r, 6 haben wir nun jedesmal ein System von Funktionen der F^, von 
denen die erste gegenüber W invariant ist, während die zweite Zeichen- 
wechsel erfährt. 

Natürlich sind in jedem Falle die beiden Funktionssysteme (?, t und 
dy t gegenseitig rational ine