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Full text of "Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen"

ENCYKLOPADIE 



DER 



MATIIEMATISCIIEN 

WISSENSCHAFTEN 



SBCHSTERBAND: 

GEODASIE, GEOPHYSIK 
ASTROI^OMIE 



ENCYKLOPADIE 

DER 

MATHEMATISOHEN 

WISSENSCHAFTEN 

MIT EUSTSCHLUSS IHRER 



DES SECHSTEN BANDES ERSTER TEIL 

GEODASIE UND GEOPHYSIK 



BBDIGIEBT VON 

PH. PURTW ANGLER IN WIEN 

UND 

E. WIECHERT (1899-1905) IN GOTTINGEN 



LEIPZIG 

VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEUBNER 
19061925 



A.LLE KECHTK, EINSCHLIESSLICH DBS 0BEBSETZUNGSRKCHTS, VOKBEHA.LTEN 



/, i I 



MATH.O 

STAT. 

LIBRARY 



Vorrede zum sechsten Bande, 1, Teil, 

Der erste Teil des VI. Bandes der Encyklopadie der mathemati- 
schen Wissenschaften, der nunmehr abgeschlossen vorliegt, behandelt 
die Geodasie und Geophysik. Er zerfallt dementsprechend in zwei 
Unterabteilungen: A. Geodasie und B. Geophysik, die jede fur sich 
paginiert sind. Um die beiden Abteilungen sofort bequem unter- 
scbeiden zu konnen, sind zur Paginierung der ersten Abteilung die 
gewohnlichen Zifi ern, fiir die zweite dagegen schrag stehende Ziffern 
verwandt. * 

Die erste Abteilung beginnt mit dem Artikel Niedere Geodasie 
von C. Reinhertz (f ), an den sich ein kurzer Artikel fiber Photogram- 
metrie von S. Finsterwalder anschlieBt. Es folgt dann der zentrale 
Artikel der ersten Abteilung: Hohere Geodasie von P. Pizzetti. Dieser 
behandelt zunachst die allgemeinen Grundlagen der hoheren Geodasie, 
sodann ihre Rechnungs- und Messungsmethoden und schliefit mit einer 
summarischen Entwicklungsgeschichte der geodatischen Kenntnisse. 
Der nachste Artikel Kartographie von E. Bourgeois (iibersetzt und er- 
ganzt vom Unterzeicbneten) berichtet iiber die in der Geodasie und 
Geographic gebrauchlichen Kartenprojektionen. Den Abschlufi bildet 
der Artikel Nautik von H. Meldau, in dem speziell die Theorie des 
Kompasses an Bord eiserner Schiffe ausiiihrlich besprochen wird. 

In der zweiten Abteilung konnte die ursprunglich geplante An- 
ordnung aus Griinden redaktioneller Natur nicht vollig beibehalten 
werden, was aber kaum von erheblichem Nachteil sein diirfte. Der 
erste Artikel iiber die Bewegung der Hydrosphare, der von G. H. Dar 
win (f) und S. S. Hough verfafit ist, behandelt die Erscheinungen von 
Ebbe und Flut in weitestem TImfange und berichtet auch iiber An- 
wendungen auf Problem e der Kosmogonie. Der zweite Artikel von 
F. B. Eelmert (f) betrifft die Schwerkraft und [die Massenverteilung 
der Erde. Es wird das gesetzmafiige Verhalten und die Stoiung der 
Schwerkraft, die Schltiese auf die Massenverteilung in der Erdkruste 
erortert. 



VI Vorrede zum sechsten Bande, 1. Teil. 

Sodaun folgt der Artikel Dynamiscbe Meteorologie von F.M.jExner 
und W. Trabert (f). Wahrend der letzte die allgemeinen Grundbegrifte 
der Meteorologie auseinandersetzt, behaudelt der erste eingehend die 
Dynamik der Atmosphare. Nach einem kurzen Artikel iiber die atrno- 
spharisehe Elektrizitat von E. v. Schweidler schlieBt sich der Artikel 
Erdmagnetismus von Ad. Schmidt an. In diesem werden zunachst die 
Instrumente und Beobachtungsmethoden, die zur Bestimmung des erd- 
magnetischen Feldes dienen, besprochen, und sodann wird iiber die 
Beobachtungsergebnisse und ihre physikalische Deutung berichtet. Es 
folgt ein groBer Artikel iiber Dynamische Geologic von V. Conrad. 
der erne ausfiihrliche Darstellung der modernen Seismik gibt. Die 
zweite Abteilung schlieBt endlich mit dem Artikel Optik der Atmo 
sphare, in dem W. Mobius iiber Luftspiegelungen, Haloerscheinungen, 
Theorie des Regenbogens und verwandte Dinge berichtet. 

Auf eine nahere Inhaltsangabe der einzelnen Artikel moge im 
Interesse der Raumersparnis verzichtet werden, was um so eher ge- 
schehen kann, als das dem Bande vorgedruckte ausfiihrliche Inhalts- 
verzeichnis einen guten Uberblijck Jrietet. Es sei nur betont, daB alle 
Artikel vom Standpunkt der angewandten Mathematik aus geschrieben 
sind. Uber die allgemeine mathematische Theorie, die in den verschie- 
denen behandelten Gebieten in Betracht kommt, muB sich der Leser 
aus den ersten Banden der Encyklopadie unterrichten , wofiir die 
notigen Hinweise gegeben sind. 

Das Register hat Herr K. Mader angefertigt, wofiir ihm auch an 
dieser Stelle bestens gedankt sei. Zur Unterscheidung der beideu Ab- 
teilungen sind den Seitenzahlen die Buchstaben A und B vorgesetzt, 
und es sind auBerdem zur Bezeichnung der Seitenzahlen fur die Ab 
teilung B ebenso wie im Text schrag stehende Ziffern benutzt. 

An den Vorarbeiten fur den vorliegenden Teilband hat sich auBer 
E. Wiechert, von dem ein Dispositionsentwurf stammt, besonders F. Klein 
durch Gewinnung von Mitarbeitern beteiligt. 

Wien, im November 1924. 

Ph. Furtwangler. 



Inhaltsv rzeichnis zu Band VI, 1. Teil. 



A. Geodiisie. 

1. Niedere Oeodasie. Von C. REINHERTZ in Hannover.*) 

A.. Allgemeines. Seite 

1. Aufgabe und Einteilung der Geodasie 7 

2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdoberflache und die Ein 
teilung der Messungen 9 

3. tibersicht der Methodeu 11 

4. Allgemeines fiber die Anwendung der Ausgleichsrechnung 13 

5. Instrumentelle Hilfsmittel 17 

B. Die fundameiitalen Messungen. 

6. Die Laugenmessuug 19 

7. Die Winkelme.ssung 22 

a) Der Theodolit 22 

b) Horizontalwinkelmessung . 25 

c) Vertikalwinkelmessung 26 

C. Die Lagemessuugen. 

8. Die Koordinatensysteme der Lagemessungen 27 

a) Allgemeines iiber die geodiltischen Koordinatenaysteme 27 

b) Rechtwinklige ebene Koordiuateu 29 

c) Rechtwinklige spharische Linearkoordinaten 30 

d) Konforme rechtwinklige GauBsche Koordinaten 33 

e) Koordinatentransforinatiou 34 

9. Die Punktbestimtnuug durcli Triangulierung 35 

a) Allgemeines iiber Triangulierung 35 

b) Zentrierurig 36 

c) Die Wiukelmessungen und ihre Anordnung ............ 37 

10. Die Grundaufgaben des trigonometrischeu Einschneidens im rechtwink- 
ligen Koordinatensystetn 40 

a) Vorwarts- und Seitwartseinschneiden 40 

b) Riickwartseinschneiden 41 

c) Einige andere Methoden der trigonometrischeu Punkteinschaltung 43 

11. Ausgleichung von Kleintriangulierungen 47 

a) Methode der vermittelnclen Beobachtungen 48 

b) Graphische Punktausgleichung 50 

c) Methode der beclingten Beobachtuugen 52 

d) Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen 53 

12. Polygonzugmessuug . 54 

a) Der Theodolitpolygonzug 55 

b) Der Bussolcn-(KompaB-)zug 58 

13. Einzelaufnahme . 59 



*) Die Angaben uber den Aufenthaltsort der Verfasser beziehen sich auf 
die Zeit des Erscheinens der Artikel. 



VIII Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil. 

Seite 

14. Berechnung und Teilung dei Flachen 61 

a) Die Flachenberechnung 61 

b) Die Flachenteilung 63 

16. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen 66 

1). Die Hohemnessungen. 

16. Das Nivellieren 69 

a) Definition des HShenunterschiedes. HiBtorisches 69 

b) Der Nivellierapparat 70 

c) Das Nivelh ervertahren 71 

d) Die Genauigkeit der Nivellieruug 74 

e) Erdmassenberechnung 75 

f) Kotierte Projektion 77 

17. Trigonometrische Hb hennuessung 78 

18. Barometrische Ho hemuessung 81 

E. Tachymetrische Methoden. 

19. Indirekte Langenmessung (Distanzmessung) 85 

a) Distanzmesser mit Distanzlatte 86 

b) Distanzmesser mit Basisschiene (Basislineal) , . . 88 

20. Tachymetriscbe Instrumente und Aufnabmen 90 

21. Die MeBtischaufnahme 92 

22. Fliichtige Aufnahmen 96 

(Abgeschlosgen im Oktober 1S05.) 



2. Photogrammetrie. Von S. FINSTERWALDER in Munchen. 

1. Einleitung 99 

2. Apparate 101 

3. Ausmeesung der Bilder 104 

4. Das KiickwartseinBchneiden 107 

5. Das Vorwartseinschneiden und die Bekonstruktion der Objekte bei be- 
kannten Standpunkten 109 

6. Fluchtipe Aufnahmen. Stereophotogrammetrie. Mechanismen .... 113 

(Abgeschlossen im Oktober 1905.) 



3. Hb here Geodasie. Von P. PIZZETTI in Pisa. 

I. Allgemeine Grnndlagen. 

1. Aufgabe der hoheren Geodasie 125 

2. Lotrichtung, ISchwerkraft 126 

3. Beobachtunggtatsacben und Satze der Potentialtheorie 129 

4. Weiteie Folgerungen aus der Potentialtheorie. Theorem von G. G. Stokes 130 

5. Beobachtungen zur Bestimmung des Geoids. Keduktion der Schwer- 
kraftsmessungen 134 

6. Geodatische BeBtimmung des Geoids. Referenzellipsoid 138 

7. Lotabweichungen 139 

8. Eeduktion der beobachteten Lotrichtungen 140 

9. Beesels Rotationsellipsoid 141 

II. Bechnungs- und Messungsmetboden. 
A. Geodatische Rechnungen auf dem Rotationsellipsoid. 

10. Fundamentalformeln 142 

11. Normalscbnitte . 146 



Inhaltsverzeichnie zu Band VI, 1. Teil. IX 

Scite 

12. Geodatische Linien 148 

13. tfbertragung der geographischen Koordinaten und des Azimuts. . . . 149 

14. Fortsetzung. Fall kleiner Bogen 162 

16. Bestimmung der L ange und des Azimuts eines geodatischen Bogens 

aus den geographischen Koordinaten der Endpunkte. 163 

16. Geodatische Polarkoordinaten 155 

17. Vergleichung der geodatischen Linie rait einem Normalschnitt .... 157 

18. Das geodatische Dreieck 158 

19. Auflosung des geodatischen Dreiecks durch Rednktion auf das ebene 
Dreieck. Spharoidischer ExzeB 161 

20. Sehnen und Normalschnitte 163 

21. Reduktion ellipsoidischer Figuren auf spharische durch konforme Ab- 
bildung 164 

12. Rechtwinklige geodatische oder Soldnersche Koordinaten 166 

23. Ubertragung der geographischen Koordinaten vermittels rechtwinkliger 
geodatischer 169 

24. Projektionen auf die Ebene 170 

B. Landesvermessnng. 

25. Basismessungen 173 

26. Basisapparate 175 

27. Winkel; ihre Reduktion auf das Ellipsoid 179 

28. Triangulation 180 

29. Basisnetze oder VergroBerungsnetze 182 

30. Berechnung einer Triangulation und der geographischen Koordinaten der 
Dreieckspunkte 183 

31. Ausgleichung 184 

32. Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen 190 

33. Genauigkeit der Basis- und Winkelmessungen 192 

C. Hohenmessung. 

34. Trigonometiiscb.es Nivellement 194 

35. Der Refraktionskoeffizient als Funktion der atmospharischen Verhaltnisse 197 

36. Empirische Untersuchungen iiber den RefraktionBkoeffizienten .... 199 

37. Geometrisches Nivellement 200 

38. EinfluB der Schwerestoi-ungen auf Nivellements 206 

39. Das Mittelwasser der Meere und der Nullpunkt fur die Hohen .... 207 

40. Genauigkeit einer Nivellementsausgleichung 209 

D. Erdmessung. 

41. Ableitung der Konstanten des Erdellipsoids aus zwei oder mehr Meri- 
dianbogen 211 

42. Bestimmung von a und e durch Parallelkreisbogen 213 

43. Stvicke des Ellipsoids. Lotabweichungen 214 

44. Fortsetzung. Bestimmung der Lotabweichungen. Ausgleichung . . . 217 
46. Fortsetzung. Angenaherte Bestimmung von Geoidstiicken 220 

46. DieSchwerestorungenund die Abweichungen zwischenGeoid und Ellipsoid 223 

III. Snmmnrischc Entwicklungsgeschichte der geodatischeu Kenntnisse. 

47. Anfange der geodatischen Messungen, bei denen die Erde als Kugel 
betrachtet wird 223 

48. Physikalische Untersuchungen iiber die Gestalt der Erde 226 

49. Die wichtigsten geodatischen Messungen bis 1860 230 

50. Die hauptsachlichsten Berechnungen der Konstanten des Erdellipsoids 234 

51. Bestimmungen der Abplattung aus Pendelmessungen 236 

52. Benutzung einiger astronomischer Daten zur Berechnung der Konstanten 

des Erdellipsoids 237 

53. Moderne geodatische Arbeiten. Lotabweichungen 239 

(Abgeschlossen im April 1906.) 



X Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil. 

4. Kartographie. Von R. BOURGEOIS in Paris und PH. FURTWANGLER 
in Aachen. Seit9 

1. Einleitung 250 

2. Problemstellurg Allgemeine Analyse der Verzerrungen 252 

3. Perspektiven 255 

4. Konische Abbildungen oder Kegelprojektionen und ihre Grenzfalle. 
Uberblick und Einteilung 259 

5. Azimutale Abbildungen 261 

6. Zylindrische Abbildungen 265 

a) Flachentreue zylindrische Abbildungen 266 

b) Winkeltreue zylindrische Abbildungen (Mercatorprojektion) . . . 267 

c) Mittelabstandstreue zylindrische Abbildungen (Plattkarten) . . . 269 

7. Konische Abbildungen 269 

a) Flachentreue konische Abbildungen 270 

b) Winkeltreue konische Abbildungen 273 

c) Mittelabstandstreue konische Abbildungen 274 

8. Unechte Kegelprojektionen nebst Grenzfallen 275 

a) Die Bonnesche Projektion , 275 

b) Die Sanson-Flamsteedsche Projektion 278 

c) Flachentreue Projektionen, bei denen die Parallelkreise durch ein 
System von parallelen Geraden abgebildet werden 279 

d) Die Planisphare von A itow und verwaudte Entwurfe 280 

9. Polvkonische Projektionen 281 

a) Die gewohnliche polykonische Projektion 281 

b) Die rechtschnittige polykonische Projektion des englischen Office 281 

10. Polyederprojektion. Gradabteilungskarten 282 

11. Kreisnetze . . . . 283 

12. Projektion mit geringster Langenverzerrung nach Tissot 285 

13. Allgemeines uber die winkeltreuen Abbildungen. Projektionen von 
Tschebyschoff, Peirce und August 287 

14. Allgemeines fiber die flachentreuen Abbildungen 290 

15. Darstellung der Hohenverhaltnisse 290 

16. Kartometrie 292 

17. Enfrwicklung des staatlichen Kartenwesens im 19. Jahrimndert .... 294 

(Abgesclilossen im Januar 1909.) 

5. Nautik. Von H. MELDAU in Bremen. 

A. Terrestrische Navigation. 

1. Einleitung: 

a) Allgemeines, Begrenzung des Gebietes 301 

b) Erklarungen . ". 302 

2. Bestimmung des Kurses 303 

a) KompaB 303 

b) Beschickung des KoinpaBkurses zum wahren Kurs 303 

3. Messung der Distanz 304 

4. Loxodromische Schiffahrt 306 

a) Fundamentalgleichuugen der Besteckrechnung ... 306 

b) Aufgaben der Besteckrechnung, rechnerische Losung 308 

5. Die loxodromische Karte : . 309 

a) Graphische Losung der Aufgaben der Besteckrechnung im Netz 

der Seekarte 309 

b) Inhalt der Seekarte 310 

6. Zuverliissigkeit der Besteckrechnung 310 

7. Orthodromische SchiSahrt 311 

a) Allgemeines 311 

b) Rechnerische Losungen 312 

c) Graphische Losungen 313 

8. Kiistenschiffahrt 315 

a) Allgemeines 315 



Inhaltsverzeichuia zu Band VI, 1. Teil. XI 

Seito 

b) Richtungsbestimmungen 316 

c) Abstandsbestimmungen 316 

d) Horizontalwinkel 318 

e) Lotungen, W. Thomsons Lotmaschine 318 

f) Verbindungeu zweier Standlinien zur Bestimmung des Schiffsortes 319 

B. Der KompaB an Bord eiserner Schiffe. 

9. Historische Einleitung 320 

a) Phasen der Problemstellung 320 

b) Phasen der Losungsversuche 320 

c) Airys Kompensationsvorschlage 322 

d) Streit um die Kompensation 323 

e) Ausgang des Streites 324 

10. Magnetische Eigenschaften des Schiffseisens, KompaBort 325 

a) Fester Sehiffsmagnetismus 325 

b) Halbfester Schiffamagnetismus 326 

c) Fliichtiger Schiffsmagnetismus 327 

d) Wahl des KompaBortes 327 

11. Beobachtungsmethoden 328 

a) Zu bestimmende GroBen 328 

b) Ermittelung der Deviationen 328 

c) Deviationskurven 329 

12. Hilfsinstrumente 330 

a) Messung der horizontalen Feldstarke 330 

b; Typen von Deflektoren 331 

c) Messung der vertikalen Feldstarke (Vertikalkraftwage) 333 

13. Deviation bei aufrechtem Schiff 333 

a) Allgemeines 333 

b) Die Poisaonschen Gleichungen 334 

c) Deviationsformeln 334 

d) Bestimmung der Koefnzienten 337 

e) Allgemeines iiber die Koeffizienten 339 

14. Deviation bei geneigtem Schiif 341 

a) Der Kransrunusfehler und seine Bestandteile 341 

b) Bestimmuug 1 des Krangungskoeffizienten 343 

15. Anderungen der Deviation 344 

a) Anderungen init der Breite 344 

b) Anderungen durch halbfesten Magnetismus 345 

c) Deviationsstorungen 346 

16. Genauigkeit 347 

a) Bei unmittelbarer Beobachtung 347 

b) Ermittelung der Deviation aus Richtkraftmessungen ...... 348 

c) Berechnung aus den Koeffizienten 348 

17. Graphische Darstellungen der Feld.starke 349 

a) Allgemeines. Zweck der Darstellungen 349 

b) Darstellungen init festliegendem Meridian 350 

c) Darstellungen mit festliegender Langsschiffslinie 351 

d) Dromoskope 352 

18. Kompasse und KompaBrosen 352 

a) Geschichtliches 352 

b) Nadelanordnung 353 

c) Magnetisches Moment des Rosensystems, Nadelinduktion .... 354 

d) Einstellungsvermogen 365 

e) Rube der KompaBrose 356 

f) Trockenkompasse 358 

g) Fluidkompasse 359 

19. Kompensation der Kompasse 361 

a) Aufgabe der Kompensation 361 

b) Kompensationsmittel 361 

c) Reihenfolge der Kompensationen 363 



XII Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil. 

Seite 

d) Ausfuhrnng der Kompensation 363 

e) Hindernisse vollkommner Kompensation 364 

f) KompaBsysteme mit besonderen Kompensationsvorrichtungen . . 365 

20. Kompasse mit Doppelrosen 366 

a) Zwei Rosen 366 

b) Zwei Rosen und ein Deflektor 367 

21. Bestimmung des Meridians durch die Inklinationsnadel 368 

22. Fernfibertragung von KompaBangaben 368 

28. Ersatz des magnetischen Kompasses durch Kreiselapparate 369 

a) Gyroskope zur Festhaltung einer an ihnen eingestellten Richtung 369 

b) Kreiselapparate mit eigener Richtkntft 370 

(AbgeschloBscn im Juli 1909.) 



B. Geophysik. 

6. Bewegung der Hydrosphare. Von Sir G. H. DARWIN in Cam 
bridge und S. S. HOUGH in Capstadt. 

Einleitung 5 

A. Historiscbes. 

1. Historiscb.es 6 

B. Dynamisehe Theorie. 

2. Fluterzeugendes Potential 8 

3. Gleicbgewicbtstheorie der Gezeiten 9 

4. Entwicklung des fluterzeugenden Potentials 10 

5. Korrektion der Gleicbgewichtstbeorie wegen der gegenseitigen Anziehung 

der Wassermassen 11 

6. Korrektion wegen der Verteilung von Land und Wasser 12 

7. Dynamisehe Tbeorie. Fundamentalgleichungen 13 

8. Die Kontinuitatsgleichung 14 

9. Bedingung t iir die freie Oberflache 14 

10. Gezeiten in Kanalen 15 

11. Die Laplacesche Differentialgleichnng fur die Gezeiten 16 

12. Gezeiten von langer Periode. Losung durch Potenzreihenentwicklung . 17 

13. Gezeiten von langer Periode. Losung durch Kugelfunktionen 19 

14. Tagliche Gezeiten. Losung von Laplace 21 

15. Halbtagige Gezeiten. Losung von Laplace 22 

16. Transformation der Gleichungen von Laplace 23 

17. Losung in allgemeinen Kugelfunktionen 24 

C. Praktische Anvrendungen. 

18. Beobachtung der Gezeiten 26 

19 Seiches und Vibrationen der Seen uud des Meeres 27 

20. Flnterzeugeude Krafte 28 

21. Lotablenkungen 29 

22. Methoden zur Diskussion der wirklichen Ozeantiden 31 

23. Harmonische Analyse . , 33 

24. Meteorologische Tiden, Obertiden und kombinierte Tiden oder Seicht- 
wassertiden 38 

26. Die Resultate der harmonischen Analyse 39 

26. Numerische harmonische Analyse 41 



Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil. X1H 

Seite 

27. Erklarung einiger gebrauchlicher Ausdriicke; Nullpunkte 44 

28. Synthetisehe Methocle fiir die halbtagigea Gezeitea 45 

29. Synthetische Methode fur die taglichen Gezeiten 48 

30. Reduktion der Beobaehtungen von Hoch- und Niedrigwasser 49 

31. Gezeitenvorhersage. Methoden zur Aufstellung von Gezeitentafeln . . 50 

32. Fehler der Gezeitentafeln 52 

33. Karten gleicher Gezeiten 54 

34. Gezeitenstromungen, Sti irmer 57 

35. Gezeiten in Seen und Meeresbuchten 59 

D. Yerschiedene Untersnchungen. 

36. Bestimmung der Mondinasse mit Hilfe der Gezeiten 60 

37. Elastische Tiden und die Steifigkeit der Erde 61 

38. Gezeiten der Atmosphiire 66 

39. Prazession und Nutation 67 

40. Breitentiden oder Eulersche Tiden 68 

E. Flutreibung- und spekulative Astronomle. 

41. Geschichtlicb.es 68 

42. Allgemeine Betrachtung der Flutreibung 71 

43. Die Gezeiten eines z aben Spharoids 72 

44. Die Natur des Problems der Gezeitenreibung und seiae Einteilang . . 73 

45. Problem, wenn die Mondbahn kreisformig , aber nicht geneigt gegen 

die Ekliptik ist 76 

46. Problem, wenn die Mondknoten oszillieren oder ungleichformig um- 
laufen 79 

47. Problem, wenn die Bahn exzentrisch, aber nicht geneigt iat 80 

48. Analytische Losung fiir zwei Korp^r 82 

49. Eine Spekulation viber Zeit und Art der Entstehung des Mondes ... 82 

50. Gezeitenreibung bei Vorhandeusein mehrerer Satelliten 82 

51. Verwandte Probleme 83 

(Abgeschlossen im Mam 1908.) 



7. Die Schwerkraft uud die Massenverteilung der Erde. Von 

F. B. HELMERT in Potsdam. 

1. ttberblick 87 

2. Die normale Schwerebcschleunigung (Pormel von Clairaut) 89 

3. Anmerkungen: Die maximale Erhebung des Niveauspharoids CTiiber das 
Ellipsoid gleicher Achsenlangen u. a 93 

4. Zahlenwerte. ^ 94 

5. Die normale Anderung der Schwerebeschleunigung y mit der Meeres- 
hohe H. Beobachtungswerte 97 

6. Die totale Schwerestdrung 99 

7. Zusammenhang zwischen Schwerestorung, Massenstorung und H5hen- 
storung der Meeresflache 100 

8. Die Reduktion der Schwerebeschleunigung aufs Meeresniveau nach 
Bouguer, Young und Poisson 104 

9. Die Gelandereduktion .... 106 

10. Schiitzung der Abweichungen N des Geoids vom Normalspharoid . . . Ill 

11. Die Schwerestorungen im Lichte der Gleichgewichtstheorie 114 

12. Formeln fur kreisformige Kontinente und Inseln mit vertikalem Kiisten- 
abfall 120 

13. Cbersicht der Schwerestorungen: Schwerkraft auf dem Meere, Isostasie 123 

14. Inselschwerkrafte 128 

15. Kustennahe auf den Kontinenten 134 

ID. Kiistennahe auf dem Meere . ... 141 



XIV Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil. 

sate 

17. Festland, Gebirge U4 

18. Horizontal verschiebungen der Ausgleichsmassen, ausgebreitete Massen- 
anhaufungen und Defekte 152 

19. Geologische und geotektonische Beziehungen Der wahre Charakter des 
Gleichgewichtszustandes 154 

20. Interpolationsforniel f iir die Schwerebeschleunigung innerhalb der Kon- 
tinente 159 

21. Veranderung der Schwerebeschleunigung mit der Tiefe und Beobach- 
tungen der Schwerebeschleunigung iu Bergwerken 160 

22. Zusammenhang zwischen der ideellen storenden Schicht und den Lot- 
storungen 162 

2b. Methode von Baron Roland Eo*tvSs zur Messung zweiter Differential- 

quotienten des Schwerepotentials . 166 

24. Noch einige Reduktionsweisen der Schwerebeschleunigung 172 

25. Zeitliche Veranderungen der Schwerkraft 175 

(Abgeschlossen im April 1910.) 



8. Dynamische Meteorologie. Von FELIX M. EXNER in Inns 
bruck und W. TRABERT in Wien. 

I. Grundbegriffe der Meteorologie. 

1. Messung der meteorologischen Elemente 180 

2. Bearbeitung der meteorologischen Elemente 185 

3. Abnahme des Luftdrucks mit der Hohe und Hebung der Flachen glei- 
chen Druckes 187 

4. Zusammensetzung der Luft 190 

5. Zustandsanderungen der Luft 194 

6. Ortsveranderungen der Luft 197 

1. Die Strahlung 201 

8. Die Warmeverteilung auf der Erdoberflache 204 

II. Dynamik der Atmospliare. 

9. Allgemeine Ursache der Luftstromungen 207 

A. Allgemeine Zirkulation der Atmosphare. 

10. Allgemeine Bewegungsgleichungen 208 

11. Konstanz der Flachengeschwindigkeit 210 

12. Giirtel hohen Druckes 210 

13 Druck- und Geschwindigkeitsverteilung nach W. Ferrel 212 

14. Schema der allgemeinen Zirkulation 213 

15. Zusammenhang der allgemeinen Zirkulation mit den Storungen in der 
Atmosphare 214 

B. Atmospharische Storungen. 

16. Gleichgewicht in ruhender Luft 215 

17. Energiequelle der atmospharischen Storungen nach M. Margules . . . 216 

18. Gleichgewicht bewegter Luft 218 

19. Geradlinige horizontale Bewegung 219 

20. Gekriimmte Luftbahnen 220 

21. Kreisformige Isobaren 221 

22. Kreisformige Zyklonen nach Oberbeck 221 

23. Depressionen hoherer Breiten 222 

24. Assymmetrische Zyklonen nach L. de Marchi 223 

25. Vertikale Bewegung 225 

26. Problem der Sturmtheorie 225 

27. Kalte und warme Zyklonen 225 



Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil. XV 

Seite 

28. Antizyklonen 226 

29. Kompression und Ausbreitung einer Luftmasse nach Margules .... 227 
oO. Bewegung der Isobaren 227 

C. Schwingungen der Atmosphare. 

31. Schwingungen periodisch erwarmter Luft 229 

32. Freie Schwingungen der Atmosphare 233 

(Abgeschlossen im Dezember 1912.) 

9. Atmospharische Elektrizitat. Von E. v. SCHWEIDLER in 
Innsbruck. 

1. Historische tJbersicht; Problemstellung 236 

2. Die Quellen der lonisierung der Atmosphare 239 

3. Der lonisationszustand der Atmosphare 244 

i. DAS elektrische Feld und die Raumladung der Atmosphare 250 

5. Die elektrischeu Strome in der Atmosphaxe ,855 

6. Das gesto rte Feld der Troposphare ... 260 

7. Elektrische Erscheinungen in der Stratosphere (Polarlicht) 263 

(Abgeschlosseu im Juli 1915.) 

10. Erdmagnetismus. Von AD. SCHMIDT in Potsdam. 

1. Einleitung 267 

A. Vie Eestimmung des erdmagnetischen Feldes. Instruments 
und Beobav htungsmethoden. 

2. Allgemeines 271 

3. Die Elemente der Beobachtungsmittel und Methoden 273 

4. Die ponderomotorische Einwirkung zweier Magnete aufeinander . . . 278 

5. Besondere Falle. Gebrauchsformeln 292 

6. TemperatureiiifluB und Induktion 298 

7. Ableukungsbeobachtungen 304 

8. Schwingungsbeobachtnngen 311 

9 Bestimmung der Magnetkonstanten 314 

10. Variationsbeobachtungen 317 

11. Richtungsmessungeri 322 

12. Intensitatsmessungen 325 

13. Sonstige Messungen. Deviation 328 

K. Das erdmagnetische Feld. Beobachtungsergebnisse mid Kusammeii- 
fassende Darstellungen. 

14. ftbersicht uber die Erscheinungen 330 

16. Gang der Mittelwerte. Sakularvariation. Nachstb rung 332 

16. Periodische Schwankungen, insbesondere die tagliche Variation . . . 335 

17. Stb rungen 340 

18. Erdstrome. Polarlicht 346 

19. Die raumliche Verteilung des Feldes 351 

20. Dis GauBische Theorie 361 

C. Die physikalische Natur der erdmagnetischen Erscheinungen. 

21. Dauernde Magnetisieruiig und Sakularvariation 374 

22. Periodische Schwankungen. Theorie von Schuster 381 

23. Stb rungen und damit zusammenhangende Vorgange 389 

(Abge&ohloBeen im Februar 1917.) 



XVI Inhaltsverzeichnia zu Band VI, 1. Teil. 

11. Dynamische Geologic. Von V. CONRAD in Wien. 

Vorbemerkung 398 

I. Erdbeben als Erreger elastischer Wellen in der Erde. 

1. Einleitung $99 

2. Die allgemeinen Elastizitatsgleichungen , 401 

3. Isotropie und Aolotropie 402 

4. Fortpflanzung elastischer Wellen in der Erde 407 

4 a. Reflexion elastischer Wellen 4.12 

5. Oberflachenwellen 422 

II. Theorie des Erdbebenstrahls. 

6. Grundproblem. Annahmen, Laufzeitkurve 438 

7. Bezeichnungsweise 440 

8. Die Strahlgleichung 441 

9. Direkte Methode zur Losung der Strahlgleichung 444 

10. Indirekte Methoden zur Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung iin 
Erdinnern 453 

III. Das Seismogramm. 

11. Allgemeine Charakteristik - 470 

12. Deutung von Einsatzen im Diagramm 473 

13. Die Amplitudenfunktion (Intensitats- und Energiebetrachtungen) . . . 478 

IV. Ankaug. 

14. Epizeutralort und -zeit 486 

15. Herdtiefe 490 

(Abgeschlossen im Oktober 1922.) 

12. Optik der Atmosphare. Von W. MOBIUS in Leipzig. 

1. Einleitung 498 

2. GewOhnliche Strahlenbrechung (Refraktion) 499 

3. AuBergewohnliche Strahlenbrechung (,,Luftspiegelungen") 500 

4. Szintillation (,,Funkeln") 504 

5. Die Eiskriatalle in der Atmosphare und Allgemeines uber die Halo- 
erscheinungen 505 

6. Die durch Reflexion allein erzeugten Haloerscheinungen 508 

7. Durchgang des Lichtes durch Prismen 509 

8. Durch Brechung allein erzeugte Haloerscheinungen 511 

9. Durch Mitwirkung iunerer Reflexion erzeugte Haloerscheinungen . . . 514 

10. Die Regenbogentheorie (Historisches) 515 

11. Die Aitysche Regenbogentheorie und ihr weiterer Ausbau 516 

12. Vereinfachte Berechnuug des Regenbogens und der iiberzahligen Bogen 
durch Mascart 520 

13. Strenge Behandlung des Regenbogenproblems durch Debye und Lord 
Rayleigh 521 

14. Randbeugung an Teilchen verschiedener Art und GroBe (Kranzerschei- 
nungen) 522 

15. Polarisationszustand, Farben und Helligkeit des klaren Himmels (All 
gemeines) 524 

16. Der Polarisationszustand des klaren Himmels 526 

17. Die Dammerungserscheinungen 530 

18. Die Helligkeitsverteilung am klaren Himmel 534 

19. Die allgemeine Tageshelle 537 

20. Die scheinbare Gestalt des Himmelsgewolbes und damit zusammenhan- 
gende Erscheinungen 539 

(Abgcschlosseu im Mare 1921.) 



Cbersicht 

iiber die im vorliegenden Bande VI, 1. Teil, zusammen- 
geiafiten Hefte und ihre Ausgabedaten, 



I. Teilbaud. 

A. Geodasie. 



Heft 1. 
5. IV. 1906 

Heft 2. 
25. VII. 1907. 



f 1. REINHERTZ: Niedere Geodasie. 
\ 2. FINSTERWALDER : Photogrammetrie. 



3. PIZZETTI: Hohere Geodasie. 



Heft 3. | 4. BOURGEOIS u. FURTWANGLER: Kartograpkie. 
9. IX. 1909. \ 5. MELDAU: Nautik. 



Heft 1. 
15. IX. 1908. 

Heft 2. 
11. X. 1910. 

Heft 3. 
6 XII. 1912. 

Heft 4. 
9. IV. 1918. 



Heft 5. 
16. II. 1925. 



II. Teilband. 

B. Geophysik. 
6. DARWIN u. HOUGH: Bewegung der Hydrosphare. 

I 7. HELMERT: Die Schwerkraft und die Massenverteilung der 
I Erde. 

8. EXNER u. TRABERT: Dynamische Meteorologie. 

| 9. v. SCHWEIDLER: Atmospharische Elektrizitat. 
\ 10. SCHMIDT: Erdmagnetismus. 

11. CONRAD: Dynamische Geologie. 

12. MOsius: Optik der Atmosphare. 
Vorrede zum sechsten Bande, 1 Teil 
Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil 
Register zu Band VI, 1. Teil. 



Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1, B. 



A. GEODASIE. 



Encyklop. d. math. Wisaensch. VI 1. 



VI 1,1. OTEDERE GEODASIE. 

VON 



C. EEINHERTZ 

IN HANNOVER. 



Inhaltstibersicht. 

A. Allgemeines. 

1. Aufgabe und Einteilung der Geodasie. 

2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdobernache und die Ein 
teilung der Messungen. 

3. Ubersicht der Methoden. 

4. Allgemeines iiber die Anwendung der Ausgleichungsrechnung. 

5. Instrumentelle Hilfsmittel. 

B. Die fuudamentalen Messungen. 

6. Die Langenmessung. 

7. Die "Winkelmessxing. 

a) Der Theodolit. 

b) Horizontalwinkelmessung. 

c) Vertikalwinkelmessung. 

C. I)ie Lagemessungen. 

8. Die Koordinatensysteme der Lagemessungen. 

a) Allgemeines iiber die geodatischen Koorclinateusysteme. 

b) Rechtwinklige ebene Koordinaten. 

c) Rechtwinklige spharische Koordinaten. 

d) Konforme rechtwinklige Gaufi sche Koordinaten. 

e) Koorclinatentransformation. 

9. Die Punktbestimmung durch Triangulierung. 

a) Allgemeines uber Triangulierung. 

b) Zentrierung. 

c) Die Winkelmessungen und ihre Anordnung. 

10. Die Grundaufgaben des trigonometrischen Einschneidens. 

a) Vorwiirts- und Seitwartseinschneiden. 

b) Ruckwartseinschneiden. 

c) Einige andere Methoden der trigonometrischen Punkteinschaltung. 

1* 



4 VI i,l. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

11. Ausgleichung von Kleintriangulierungen. 

a) Die Anwendung der Methode der vermittelnden Beobachtungen. 

b) Graphische Punktausgleichung. 

c) Die Anwendung der Methode der bedingten Beobachtungen. 

d) Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen. 

12. Polygonzugmessung. 

a) Der Theodolitpolygonzug. 

b) Der Bussolen-(KompaB-)Zug. 
IB. Einzelaufiiahme. 

14. Berechnung und Teilung der Flachen. 

a) Flachenberechnung. 

b) Flachenteilung. 

15. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen. 

D. Die Hohenmessnngen. 

16. Das Nivellieren. 

a) Definition des Hohenunterschiedes. Historisches. 

b) Der Nivellierapparat. 

c) Das Nivellierverfahren. 

d) Die Genauigkeit der Nivellierung. 

e) Erdmassenberechnung. 

f) Kotierte Projektion. 

17. Trigonometrisehe Hohenmessung. 

18. Barometrisclie Hohenmessung. 

. Tachymetrische Methoden. 

19. Indirekte Langenmessung (Distanzmessung). 

a) Distanzmesser mit Distanzlatte. 

b) Distanzmesser mit Basisschiene. 

20. Tachymetrische Instrumente und Aufnahmen. 

21. MeBtischaufnahmen. 

22. Fliichtige Aufnahmen. 



Literatur. 

A) Zeitschriften und tibersichten. 

0. Borsch, Geodatische Literatur, auf Wunsch der Permanenten Kommission iin 

Zentralbureau zusammengestellt, Berlin 1889. 
J. H. Gore, A bibliography of geodesy. 2. ed. Report of the superintendent 

of the U. S. coast and geodetic survey 1901/1902, Washington 1903, p. 429. 
Bulletin de la societe beige de geometres, Anvers. 
Journal des geornetres-experts, Paris. 
Revue suisse de topographic et d arpeutage, Genf. 
Rivista di topografia e catastro, Firenze. 
The surveyor, London. 

Tidsskriffc for Opmaalings-og-Matrikulsvaesen, Kopenhagen. 
Tijdschrift voor Kadaster en Landmeetkunde, Utrecht. 



Literatur. 5 

La topografia moderna y el catastro, Barcelona. 

Zeitschrift fur Vennessungswesen, Stuttgart. Gibt jahrliche Literaturubersichten. 

(Zeitschr. f. Vermess.) 
Osterreichische Zeitschrift Mr Vermessungswesen, Wien. 

Die vorstehenden Zeitschriften bilden nur eine Auswahl unter den zahl- 
reichen Fachzeitschriften , die zum Teil als Organe von Landmesservereinen 
dienen. Insbesondere ist noch auf die verschiedenen ingenieurwissenschaftlichen 
Zeitschriften hinzuweisen, die viele geodatische Abhandlungen enthalten. 

B) Lehrbucher und Monographieen. 

VIII. Anweisung vom 25. Okt. 1881 fiir das Verfahren bei Erneuerung der Karten 
und Bucher des Grundsteuerkatasters, 2. Ausgabe, Berlin 1897 (Anweisung VIII). 

IX. Anweisung vom 25. Okt. 1881 fiir die trigonometrischen und polygonometri- 
schen Arbeiten bei Erneuerung der Karten und Bucher des Grundsteuerkatasters, 
3. Ausgabe, Berlin 1904 (Anweisung IX). 

C. M. v. Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde , 2 Biinde, 7. Aufl., 

Stuttgart 1890 (Bauernfeind, Vermessungskunde 1, 2). 

A. Baule, Lehrbuch der Vermessungskunde, 2. Aufl., Leipzig und Berlin 1901. 
A. Borsch und P. Simon, Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate von 

C. F. Gaufi, Berlin 1887. 
C. Bohn, Die Landmessung, Berlin 1886. 
0. Brathuhn, Lehrbuch der praktischen Markscheidekunst, 3. Aufl., Leipzig 

1902. 

F. Bronnimann, Die Katastervermessung, Bern 1888. 

Ch. L. Durand-Claye, A. Pettetan et Ch. Lallemand, Lever des plans et nivelle- 
ment, Paris 1889 (Lallemand, Nivellement). 

G. Eredi, Elementi di topografia, Firenze 1894. 
L. B. Francoeur, Geode sie, 8. dd., Paris 1903. 

F. G. Gaufi, Die trigonometrischen und polygonometrischen Eechnungen in 
der FeldmeBkunst, 2. Aufl., Halle 1893 (F. G. Gaufi, Rechnungen der Feld 
meBkunst). 

Ch. L. Gerling, Die Ausgleichungsrechnung der praktischen Geometric oder die 
Methode der kleinsten Quadrate mit ihren Anwendungen auf geodatische 
Aufgaben, Hamburg 1843 (Gerling, Ausgleichungsrechnungen d. prakt. Geom.). 

W. M. Gillespie, A treatise on surveying. Part I. Land surveying and direct 
levelling; Part II. Higher surveying (revised and enlarged by C. Staley), 
London 1901. 

C. M. Goidier, Etudes theoriques et pratiques sur les levers topome triques et 
en particulier sur la tacheometrie, Paris 1892 (Goulier, Tacheometrie). 

G. H. L. Hagen, Grundsatze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1. Aufl., Berlin 
1837. 

E. Hammer, Lehrbuch der ebenen und spharischen Trigonometric, 2. Aufl., Stutt 
gart 1897 (Hammer, Trigonometric). 

F. Hartner-E. Dolezal, Hand- und Lehrbuch der niederen Geodasie, 2 Bande, 
9. Aufl., Wien 1904/5 (Hartner- Dolezal 1, 2). 

F. E. Helmert, Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten 
Quadrate mit Anwendungen auf die Geodasie und die Theorie der Me6- 
instrumente, Leipzig 1872 (Helmert, Ausgleichungsrechnung). 



6 VI i, 1. C. Eeinlierts. Niedere Geodasie. 

G. Chr. K. Hunaus, Die geometrischen Instrumente der gesamten praktischen 

Geometrie, deren Theorie, Beschreibung und Gebrauch, Hannover 1864. 
N. Jadanza, Elementi di Geodesia, Torino 1895. 
Instruktion zur Ausfiihrung der trigonometrischen und polygonometrischen Ver- 

messungen behufs Herstellung neuer Plane fur die Zwecke des Grundsteuer- 

katasters, 5. Aufl., Wien 1904. 
/. B. Johnson, The theory and practice of surveying, 15. ed., New York, London 

1901. 
W. Jordan, Handbuch der Verinessungskunde, Stuttgart. Bd. 1, Ausgleichungs- 

rechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, 5. Aufl., 1904; Bd. 2, 

Feld- und Landmessung, 6. Aufl., 1904; Bd. 3, Landesvermessung und Grund- 

aufgaben der Erdmessung, 4. Aufl., 1896 (das Werk enthalt zahlreiche Lite- 

raturangaben) (Jordan, Handbuch 1, 2, 3). 

W. Jordan und K. Steppes, Das deutsche Vermessungswesen, Stuttgart 1882. 
0. Koll, Die Theorie der Beobachtungsfehler und die Methode der kleinsten 

Quadrate mit ihrer Anwendung auf die Geodasie und die Wassermessungen, 

2. Aufl., Berlin 1901. 
C. Koppe, Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate 

in der praktischen Geometrie, Nordhausen 1885. 
A. Laussedat, Recherches sur les instruments, les methodes et le dessin topo- 

graphiques, Paris 1898, 1901. 
Manual of surveying instructions for the survey of the public lands of the U. S. 

and private land claims, issued by the commissioner of the general land 

office, Washington 1890. 

Moinot, Lever de plans a la stadia, Pe rigueux 1865. 
M. d Ocagne, Application generale de la nomographie au calcul des profils de 

remblai et deblai avec une instruction pratique pour la construction et le 

mode d emploi des abaques a points isoplethes, Paris 1896. 
M . d Ocagne, Le9ons sur la topometrie et la cubature des terrasses, Paris 1904. 
G. Orlandi, Tacheometria, Torino 1896. 
A. Pelletan, Operations souterraines, Paris 1889. 
J. Porro, Traite de tacheometrie, Paris 1847. 
L. Puissant, Traite de topographic, d arpentage et de nivellement, 2. ed., Paris 

1820. 
A. Sdlmoiraghi, Istrumenti e metodi moderni di geometria applicata, Milano 

1884. 
S. Stampfer, Theoretische und praktische Anleitung zum Nivellieren, 1. Aufl., 

Wien 1845; 9. Aufl. von F. Lorber, Wien 1894; 10. Aufl., umgearbeitet von 

E. Dolezal, Wien 1902. 

W. F. Stanley, Surveying and levelling instruments, 3. ed., London 1901. 
P. Uhlich, Lehrbuch der Markscheidekunde, Freiberg i. S. 1901. 
Chr. A. Vogler, Lehrbuch der praktischen Geometrie, Braunschweig. Bd. 1, Vor- 

studien und Feldmessen, 1885; Bd. 2, Hohemessungen, 1894 (Vogler, Prakt. 

Geom. 1, 2). 

Abbildungen geodatischer Instrumente, Berlin 1892. 

Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln, Berlin 1877. 
M. de Vos, Leerboek der Lagere Geodesic, Groningen 1902/04. 



1. Aufgabe und Einteilung der Geodasie. 7 

A. Allgemeines. 

1. Aufgabe und Einteilung der Geodasie. Die Geodasie oder 
Vermessungslehre lehrt diejenigen Methoden der Messung, Rechnung 
und Abbildung, welche zur Bestimmung der raumlichen Verhaltnisse 
sowohl der gesamten Erdoberflache als auch beliebig begrenzter Teile 
derselben dieneu. Die Aufgabe der Geodasie lautet daher in all- 
gemeiner Fassung: Die Lage von Punkten der Erdoberflache zu be- 
stimmen und diese Bestimmung in irgend einer Weise auszudriicken, 
numerisch in Koordinaten und Messungsausweisen oder grapMsch in 
Karten, Pldnen, Rissen. 

Als Grundlage dient alien diesen Bestimmungen die jedem Erdort 
eigentiimliche Richtung der Schwerkraft (Lotrichtung oder Vertikale), 
die instrumentell durch das Fadenlot oder die Libelle angegeben wird. 
Eine alle Lotrichtungen rechtwinklig durchschneidende Flache heiBt 
eine Niveauflache ; ihr einfachstes Beispiel ist die ruhende Meeresflache, 
die man auch als ,,Geoid" (mathematische Erdfigur) bezeichnet, indem 
man sie sich durch die Kontinente in geeigneter Weise fortgesetzt 
denkt. Die Erfahrung lehrt, daB, wie alle Niveauflachen in der Nahe 
der Erdoberflache, speziell das Geoid mit groBer Annaherung als 
schwach abgeplattetes RotalionseUipsoid aufgefaBt werden kann, dessen 
kleine Achse in die Rotationsachse der Erde fallt 1 ). 

Infolge der geringen Abplattung des Erdellipsoids kann man fur 
Vermessungen, die sich nur auf kleine Gebiete beziehen, annehmen, 
daB alle Lotrichtungen des Messungsgebietes auf einer Kugeloberflache 
senkrecht stehen, deren Mittelpunkt in der Erdachse liegt. Den 
Kugelradius wahlt man am zweckmaBigsten so, daB die Kugel dasselbe 
KriimmungsmaB besitzt wie das Ellipsoid in dem betreffenden Gebiete, 
weil dann eine kleine Schale der Kugel ohne merkliche Anderung 
der Langen in die ellipsoidische Schale verbogen werden kann. Macht 
man die im vorstehenden angegebene Annahme, daB die betrachtete 
Niveauflache eine Kugel sei, so tritt gegeniiber dem Ellipsoid die 
Vereinfachung ein, daB die Vertikalebene in einem Punkte A der 
Kugel (d. h. eine durch das Lot in A gehende Ebene), die durch den 
Punkt B geht, identisch ist mit der Vertikalebene in B, die durch 
A geht, weil beide Ebenen den Kugelmittelpunkt enthalten. Zwei 
beliebige Punkte der Kugelflache haben also eine gemeinsame Ver 
tikalebene. 



1) Naheres hieriiber und die genaueren Definitionen der im vorstehendeu 
skizzierten BegriiFe findet man in dem Artikel iiber ,,H6here Geodasie" VI i, 3 
(P. Pizzetti). 



8 VI i, 1. C. Eeirihertz. Niedere Geodasie. 

1st das Vermessungsgebiet sehr klein, so kann man auch von der 
Konvergenz der Lotlinien absehen und diese als ein System von 
Parallelen betrachten; die Niveauflachen werden dann zu parallelen 
Ebenen. 

Die Verschiedenartigkeit der in der Geodasie zu behandelnden 
Aufgaben fiihrt, ohne eine strenge Trennung, zu einer Teilung in ver- 
schiedene Zweige oder Arbeitsgebiete je nach dem Umfange des Ver- 
messungsgebietes und der erstrebten Genauigkeit. Die Erdmessung 
(friilier Gradmessung) , welche die Bestimmung der mathematischen 
Erdgestalt zur Aufgabe hat, umfafit als Messungsgebiet die ganze 
Erde. Die Landesvermessung legt ein bestirnmtes Ellipsoid ihren 
Messungen zugrunde und hat die Aufgabe, auf dieser Grundlage fur 
das gesamte Gebiet eines Staates eine einheitliche Ausmessung und 
Abbildung herzustellen, wobei GrundsteuerJcatastervermessung und topo- 
f/raphische Gelandeaufnahme unterschieden wird. Die in Einzelfallen 
fur die verschiedenartigsten Zwecke unternommenen Ausmessungen 
und Abbildungen, welche auf engbegrenzte Teile der Erdoberflache 
beschrankt bleiben, rechnet man entsprechend zur Feld-(Land-) 
Messung, .F0rs-Vermessung ; Gnt&m-Messung (Markscheiden). Daneben 
sind noch zu nennen die nautisclien Messungen (Kiistenvermessungen) 
sowie die jRe?"se e</-Aufnahmen (Routen, Itinerare), welche auch als 
geographische Landmessung bezeichnet werden. 

Zur Iwheren Geodasie rechnet man nun alle diejenigen Aufgaben, 
bei denen die Niveauflachen als Ellipsoide betrachtet werden miissen, 
zur niederen Geodasie diejenigen, bei denen man mit der Annahme 
von kugelformigen oder ebenen Niveauflachen auskommt. 

tlber die Bedeutung des Wortes ; ,Geodasie" sei angefuhrt, dafi 
es urspriinglich Feld- (Acker-)einteilung bezeichnet; erst im Laufe des 
verflossenen Jahrhunderts hat der Begriff allmahlich die heutige Er- 
weiterung bis zur gesamten Vermessungswissenschaft erfahren. Die 
Geodasie als Feldmessung war die rechnende, angewandte Geometrie 
(geometria practica) im Gegensatz zur reinen Geometrie, d. h. der 
reinen Raunilehre 2 ). Die heute angewendeten Methoden fufien im 
wesentlichen auf den bei den ersten exakten Gradmessungen des 17. 
und 18. Jahrhunderts entwickelten; ihre im letzten Jahrhuiidert er- 
folgte fehlertheoretische Durchbildung verdanken sie, im Verein mit dem 
allgemeinen Fortschritt der exakten Wissenschaften, der Prazisions- 
mechanik und den gesteigerten Anforderungen an die Zuverlassigkeit 



2) Als historischer Hinweis auf die erste Entwickelungsstufe geniigt .- 
M. Cantor, Vorlesungen fiber die Geschichte der Mathernatik, Leipzig 1880, 1892. 



2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdoberflache. 9 

geodatischer Arbeiten, vornehmlich der Einfuhrung der Methode der 
kleinsten Quadrate, also dem Einflusse von C. F. Gaufi. Obwohl die in 
Betracht kommenden einfachen trigonometrischen Losungen der wesent- 
lichsten FeldmeBaufgaben langst bekannt waren, war bis vor rund 
100 Jahren das Verfahren der Feldmessung hauptsachlich ein rein 
graphisches, d. h. man ging unter Benutzung von Winkelkreuz (groma), 
Astrolabium, Bussole und MeBkette, sowie besonders auch des MeB- 
tisches, auf unmittelbare graphische Darstellung aus und konnte sich 
mit den einfachsten mathematischen Hilfsmitteln begniigen. Erst mit 
Anfang des 19. Jahrhunderts, der Zeit des Beginnes der ersten all- 

O / f-J 

gemeinen Landesverinessungen, ging man unter Anwendung des Theo- 
dolits nach und nach zu zahlenmaBigen Methoden und Punktbestim- 
mung durch Koordinaten iiber, welche heute den Grundton der exakt 
rechnenden Feldmessung bildet. 

Die Literatur ist entsprechend den zahlreichen und verschieden- 
artigen Methoden, der allmahlichen Ausbildung und Anwendung der- 
selben fur mannigfache Zwecke (Grundsteuerkataster, Topographic, 
Ingenieurbauwesen, Bergbau) eine ebenso umfangreiche wie verschie- 
denartige, wobei auch besonders die Verschiedenartigkeit der Ent- 
wicklung des staatlichen Yermessungswesens der verschiedenen Lander 
in Betracht kommt. 

In der Literaturiibersicht sind eine Anzahl der gebrauchlichen 
Lehr- und Handbiicher genannt, unter denen das von W. Jordan die 
ausfiihrlichsten Literaturangaben enthalt. Eine historisch-kritische 
Darstellung des deutschen Vermessungswesens geben W. Jordan und 
K. Steppes*}. Von alteren Lehrbiichern moge das von J. T. Mayer* } 
zitiert werden, das fruher sehr verbreitet war und jetzt einen interes- 
santen Vergleich des heutigen Standes der Vermessungswissenschaft 
mit dem zu Beginn des verflossenen Jahrhunderts, unmittelbar vor 
Einfuhrung der Methode der kleinsten Quadrate, bietet. 

2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdoberflache und 
die Einteilung der Messungen. Bei den Vermessungen an der Erd 
oberflache w ahlt man eine bestimmte Niveauflache aus, die als Be- 
rechnungs- und Abbildungsflache (Referenzflache, Vermessungsflache 
oder Vermessungshorizont, Landeshorizont) zugrunde gelegt wird; 
gewohnlich ist es diejenige Flache, die in ihrer Fortsetzung mit der 

3) Das deutsche Verrnessungswesen, Stuttgart 1882. 

4) Griindlicher und ausfiihi licher Unterricht zur praktischen Geometric, 
5 Bd., 4. Aufl., Gottingen 1814 1820; ferner sei genannt L. Puissant, Traite de 
topographie, d arpentage et de nivellemeut, 2. ed., Paris 1820 nnd F. Pro/3, 
Lehrbuch der praktischen Geometric, Stuttgart 1838. 



10 VI i, 1. C. Ecinhertz. Niedere Geodasie. 

Meeresflache zusammenfallt. Um diese Flache gegen den Erdkorper 
festzulegen, orientiert man einen Punkt (Indifferenzpunkt) durch Be- 
stimmung der astronomischen Breite und Lange; bestirnmt man dann 
noch das astronomische Azimut einer Richtung auf der Flache, so 
kann man die Lage aller anderen Flachenpunkte zum Erdkorper ledig- 
lich durch Messungen auf der Flache selbst bestimnien. 

Um nun einen beliebigen Punkt der Erdoberflache festzulegen, 
projiziert man ihn vermittels der durch ihn gehenden Lotlinie auf 
die Vermessungsflache. Kennt man dann den in der Lotlinie gemes- 
senen Abstand des Punktes von der Bezugsflache und auBerdem die 
Koordinaten seiner Projektion in einem beliebigen Koordinatensystem 
auf dieser Flache, so ist der Punkt eindeutig festgelegt. Die Veran- 
lassung zu der angegebenen Bevorzugung der vertikalen Richtung ist 
die leichte Zuganglichkeit der Schwerkraftsrichtung. Uberdies sind 
die Vermessungen meist in vertikaler Richtung viel weniger ausgedehnt 
als in horizontaler, und man pflegt deshalb die gesamten Messungen 
in Lagemessungen (Bestimmung der Lage der Projektion in der Be 
zugsflache) und Holienmessungen (Bestimmung des Abstandes von der 
Bezugsflache) einzuteilen. 

Hiernach ist die Definition der wesentlichsten Bestimmungsstiicke 
ohne weiteres gegeben. Der in der Lotlinie gemessene Abstand eines 
Punktes von der Normalflache ist die ,,Holie" (H) des Punktes; fallt 
die Normalflache in die Meeresniveauflache, so erhalt man die ,,Meeres- 
hohe". Die Beziehung der Normalflache auf die Meeresniveauflache 
ist gegeben, sobald an einem oder mehreren Punkten durch Pegel- 
beobachtungen (Mareographen) gewonnene ,,Mittelwasserstande" zur 
Definition der Niveauflache des Meeresspiegels eingefiihrt und in das 
geodatische Netz einbezogen sind 5 ). 

Zu einer kugelformigen Normalflache konzentrische Kugelober- 
flachen, welche durch die Messungspunkte an der Erdoberflache hin- 
durchgehen, entsprechen den ,,Horizontflachcn" der betreflenden Punkte; 
der Abstand (in den Lotlinien gernessen) dieser ,,Horizonte" entspricht 
dem ,,Hohenuntersc}iied A/i" der betreffenden Punkte. Die horizontale 
Entfernung (s) zweier Punkte (Lange, Linie, Strecke"} ist der kiir- 



5) In PreuBen (Deutschland) z. B. ist hierzu an einem Pfeiler der Stern- 
warte in Berlin ein kleiner lotrechter MaBstab angebracht, dessen mittlerer Teil- 
strich (Nullpunkt) nach Ableitung aus dem Landes-Prazisionsnivellement die 
,,Hohe" 37 m fiber N.N. (Normal-Null) erhalten hat, und als ,,Normalhohen- 
punkt fiir das Konigreich PreuBen" gilt. Andere Lander haben entsprechende 
Bestimmungen getroffen. Vgl. VI i, 3, Hohere Geodasie, ferner z. B. auch Jordan, 
Handbuch 2, 114. 



3. Dbersicht der Methoden. 11 

zeste Abstand ihrer Lotlinien, gemessen auf der angenommenen mathe- 
matischen Erdoberflache. Die unmittelbare Verbindungslinie zweier 
Punkte der Erdoberflache, welche nicht dem gleichen Horizont an- 
gehoren, ist die ,,geneigte" oder ,,schiefe" Entfernung s n . Der Winkel, 
den diese geneigte Verbindungslinie s n zweier Punkte mit dem posi- 
tiven Zweige der Lotlinie in einem Punkte bildet, ist der ,,Zenit- 
winkel" (,,Zenitdistanz"} (0), der ihn zum rechten Winkel erganzende, 
von der Wagerechten aus genommene, der ,,H6kenwinkel" (a). Zenit- 
winkel werden von bis 180, Hohenwinkel von bis 90 mit 
Vorzeichen + (Hohen-, Tiefenwinkel) gezahlt. 

Ist ein ganzes System von im Gelande bezeichneten Punkten 
P! . . . P n in Bezug auf einen Ausgangspunkt P a zu bestimmen, so 
denkt man sich die Lotebenen samtlicher Punkte in Bezug auf P a 
hergestellt, was durch Drehung einer durch die Lotlinie von P a 
gehenden Lotebene erreicht wird, indem das MaB der Drehung im 
Horizont von P a verzeichnet oder an einem zentrisch und rechtwink- 
lig auf die Lotlinie von P a gesetzten Kreis (,,Horizontalkreis") ge 
messen wird. Es ergibt sich das ,,Horizontal-Eicldungssystem" , die 
,,Bichtiingen" r^ ... r n . Das einfachste Horizontal-Richtungssystem 
ist der Horizontalivinltel z. B. w l2 = r. 2 r^ das Richtungssystem 
r^ . . . r n kann auch durch beliebige Winkelangaben , z. B. w 12 , 
Wi<> . iv, oder w 19 , w usw. ausgedriickt werden. 

lo l n L&7 - 

,,Geneigte (schiefe) Winkel", d. h. in der Ebene des Ausgangs- 
punktes P a und zweier Zielpunkte P : und P 2 gemessene Winkel, 
kommen seit Einfiihrung des Theodolits, welcher selbsttatig projiziert, 
kaum noch in Betracht 6 ). 

3. Ubersicht der Methoden. Einen Uberblick fiber die wesent- 
lichsten geodatischen Verfahren und die dazu erforderlichen Hilfs- 
mittel gibt die nachfolgende Zusammenstellung. 

Grundlegend ist: 

a) Die Absteckung gerader Linien zwischen Punkten der Erdober 
flache und Messung Hirer Entfernung auf Grund einer bestimmt de- 
finierten MaBeinheit (V 1 (C. Bungef). Die Langenmessung erfolgt 
entweder mit einfachen FeldmeBinstrumenten oder, wenn groBere 
Genauigkeit erreicht werden soil, mit Hilfe besonderer Apparate 
(Basisapparate). 

b) Die Messung von Winkeln und zwar meistens von Horizontal- 



6) Fur event. ,,schief " gemessene Winkel ist ,,Reduktion auf den Horizont" 
erforderlich ; hierzu mussen noch die Hohenwinkel von P l und P z gemessen 
sein. 



12 VI i, 1. C.EeinTiertz. Niedere Geodasie. 

oder Vertikalwinkeln. Als MeBinstrument dient der Theodolit oder 
auch untergeordnete Instrumente wie Winkelscheibe (Astrolabium) 
und Bussole (KompaB) fiir Horizontalwinkel, Hohen- oder Neigungs- 
messer mit Senkel, Pendelkreis oder Libelle fiir Vertikalwinkel, und 
Sextant (Prismenkreis) fur beliebige Winkel. 

Aus diesen grundlegenden Messungsverfahren ergeben sich die 
verschiedenen zusammengesetzten Bestimmungsmethoden und zwar 

fur die Lagemessung: 

a) Triangulierung (Dreiecksmessung) auf Grund von Basismessung 
und Theodolit- Horizontal winkelniessung in stufenweise aufeinander 
gegriindeten Dreieckssystemen. 

b) Polygonisierung (polygonale Zugmessung) mit Messung von 
Langen und Horizontalwinkeln (Theodolit, ev. Sextant) oder von 
magnetischen Azimuten (Bussole) in gebrochenen Linienziigen, in der 
Regel auf Grund einer Triangulierung. 

c) Kleinaufnahme durch Anwendung von Langen- und Winkel 
messung bezw. Absteckung auf Grundlage von Triaugulierung und 
Polygonisierung oder auch unabhangig davon. Hierzu gehort auch 
die Absteckung gerader und krummer Linien (Linien-, Tunnel-, Kurven- 
absteckung). 

d) Mefltischaufnahme, d. h. unmittelbare Ubertragung der Punkt- 
lage auf die Zeichnungsflache des MeBtisches im AnschluB an eine 
Triangulierung oder Polygonisierung sowie auch unabhangig davon. 

Fur die Hohenmessung: 

a) Nivellierung bei Verwendung des Nivellierinstrumentes niit 
horizontalen oder nahe horizontalen kurzen Ziellinien und lotrechten 
Skalen. Hierhin gehoren auch dein geonietrischen Prinzip nach die 
hydrographischen bezw. nautischen Tiefenmessungen, wobei die Wasser- 
oberflache den Nivellierhorizont bildet. 

b) Trigonometrische Hohenmessung bei Verwendung geneigter 
Ziellinien und Messung von Vertikalwinkeln mit dem Theodolit in 
der Regel auf der Grundlage einer Horizontaltriangulierung, oder auch 
kurzer schiefer Linien (MeBbander, Schnur, z. B. bei Grubenmessungen) 
mit Hohenbogen, Hangebogen usw. 

c) Barometrische Hohenmessung in der Regel mit dem Feder- 
barometer (Aneroid) fiir Gelandeaufnahme bei bekannter Punktlage. 

Neuerdings sind auch die sogenannten ,,tachymetrischen Methodcn" 
weiter ausgebildet worden. Charakteristisch fiir diese ist die Ersetzung 
der direkten Langenmessung durch die indirekte Distanzmessung und 
die Vereinigung der trigonometrischen Hohenmessung und der Lage 
messung. Zur Verwendung kommen dabei die verschiedenartigsten 



4. Allgemeines iiber die Anwendung der Ausgleichungsrechnung. 13 

tachymetrischen Instrurnente. Uber die ebenfalls in diesen Abschnitt 
gehorige Photogrammetrie vergleiche man den nachsten Artikel dieses 
Bandes (S. Finsterw alder). 

Auf die Ergebnisse der angefiihrten Messungsmethoden und deren 
rechnerische Auswertung durch Koordinaten und Abrisse griindet sich 
dann die Albildung der Erdoberfldclie (vgl. VI 1, 4 (R. Bourgeois)), bei 
der die mannigfachsten Zeichenhilfsmittel zur Verwendung kommen. 
Die Abbildung erfolgt bei ausgedehnten Gebieten mit Beriicksichtigung 
der Erdkrummung (Kartenprojektionen). Wird die Gelandedarstellung 
durch Hohenschichtlinien und Bergstriche besonders beriicksichtigt, 
so liegt eine topographische Abbildung vor; wird dagegen die exakte 
Darstellung aller Einzelheiten im GrundriB, vornehmlich der Eigen- 
tums- und Kulturgrenzen, angestrebt, so handelt es sich um geome- 
trische Kartierung. 

Eine weitere Verwendung finden die Messungen zur Berechnung 
von Fldcneninlialten unmittelbar aus den gemessenen Zahlenwerten, 
aus Koordinaten oder auf Grund einer Karte mit Benutzung ver- 
schiedenartiger Hilfsmittel (Planimeter). Hierhin gehort auch die 
Teilung von Grundfldclien (Felderteilung). 

4. Allgemeines iiber die Anwendung der Ausgleichungsrech- 
nung. Die Anordnung der Messungen ist gegriindet auf die Satze der 
Fehlertheorie nach der Methode der kleinsten Quadrate, die, nachdem 
sie von C. F. Gauft aufgestellt waren, sofort Eingang in die Vermes- 
sungskunde fanden. Dafiir wirkten zuerst besonders Ch. L. Gerling 
und G. H. L. Bagen 1 }. Die Graufi sche Originalanordnung der Aus- 
gleichung von Kleintriangulierungspunkten ist erst neuerdings bekannt 
geworden 8 ). 

Als allgemeines Fehlermafi gilt der }} mittlere Feliler"; der ; ,wahr- 
scheinliche" Fehler sowie der ..durchschnittliche" werden seltener ere- 

// o 

braucht. Die Genauigkeit amtlicher Messungen bis herab zu den 
Kleinmessungen wird durch die auf dem , ; mittleren Fehler" beruhen- 
den ,,Fehlergrenzen", deren Innehaltung vorgeschrieben ist, reguliert. 
Die Fehlergrenzen werden in den Vermessunofsanweisuncren in der 

O a 

Regel etwa gleich dem dreifachen Betrag des ,,mittleren Fehlers" fest- 
gesetzt. Diese Annahme beruht einerseits auf der Fehlerwahrschein- 
lichkeit nach dem Graufischen Fehlergesetz, andererseits auf praktischen 
Erwagungen 9 ). Die mittleren Fehler werden aus besonderen Unter- 

7) Vgl. C. Reirihertz, Zeitschr. f. Vermess. 30 (1901), p. 1. 

8) Carl Friedrich Gaufi Werke, 9. Bd., Gottingen 1903. 

9) Jordan, Handbuch 1, Kap. V. Vgl. auch A. Bliimcke, Zeitschr. f. 
Vermess. 26 (1897), p. 51, 276, 561; 27 (1898), p. 313; 30 (1901), p. 229. 



14 VI i, 1. C. Heinhertz. Niedere Geodasie. 

suchungen und bei praktischen Vermessungen aus den gegen die Aus- 
gleichungsergebnisse iibrigbleibenden Abweichungen gewonnen. Bei 
den unter den verschiedenartigsten Verhaltnissen auszufuhrenden und 

o 

aus mannigfachen Elementen sich zusaminensetzenden Messungen der 
niederen Geodasie ist eine strenge Fehlertrennung und das Aus- 
scheiden systematischer Fehler nicht moglich; die Reste der systema- 
tischen Fehler gehen mit zum Teil erheblichen Betragen in die zu- 
falligen iiber. Gegebenen Falls werden vorliegende Fehlerreihen nach 
dem Gaufischen Fehlergesetz gepriift. Die Grundlage fur die Be- 
rechnung der Einwirkung der unmittelbaren Beobachtungsfehler auf 
die daraus abgeleiteten Ergebnisse (Funktionen der Beobaehtungen) 
bildet das allgemeine ^FeUerfortpflanzungsgesettf fur die Funktion 
X = f(x, y, z, . . .}: 



worin x, y, z, . . . BeobachtungsgroBen, M x , m x , m y , m z} ... die ent- 
sprechenden mittleren Fehler von X, x, y, 2, . . . bedeuten. Fur die 
einfachen linearen Beziehungen, z. B. den Fehler der Summe von un- 
abhangigen Einzelbeobachtungen (ohne Riicksicht auf systematische 
Fehler) X = x l -f- x 2 -f- X 3 -| ---- -f- x n hat man 

M x = -h m x Yn, 

sog. ,,Quadrativurzelgesetz". Fiir Messungen ungleicher Genauigkeit 
wird der Begriff des ,,Gewichtes" p verwendet, wobei die Beobach- 
tung, der man das Gewicht 1 beilegt (Gewichtseinheif) , passend ge- 
wahlt wird. Z. B. kann bei Richtungsmessungen mit dem Theodolit 
genommen werden eine aus Beobachtung in zwei Fernrohrlagen 
gemittelte (somit von den Instrumentachsenfehlern befreite) Richtung; 
bei Langenmessungen kann geuommen werden die Messung einer 
bestimmten Strecke, z. B. 100 ni oder 1000 m; fur Nivellierung 
wird z. B. angenommen die einmalige Bestimmung des Hohenunter- 
schiedes zwischen zwei Punkten, deren horizontale Entfernung 1 km 
ist. Die mittleren Fehler ergeben sich aus den bei der Ausgleichung 
iibrig bleibendeu plausibelsten Fehlern; sie konnen unter Umstanden 
auch aus wahren Fehlern berechnet werden, z. B. bei Langenmessungen 
oder bei Nivellierungen aus der Vergleichung der Hin- und Riick- 
messungen 10 ). 

Es ist wiinschenswert, dafi fiir eine gemessene GroBe immer der 
mittlere Fehler bestimmt wird; jedoch ist bei Genauigkeitsschatzungeu 



10) Z. B. Jordan, Handbuch 1, 11. 



4. Allgemeines uber die Anwendung der Ausgleichungsrechnung. 15 

zu beachten, daB in den berechneten mittleren Fehlern vielfach nur 
der EinfluB der zufalligen Beobachtungsfehler, nicbt aber der der 
systematisclien Fehler erscheint. 

,,Grobe Fehler" sind bei dem umfangreichen, bei Vermessungen 
zu behandelnden Zahlenmaterial, bei den mit der Ausdehnung der 
Einzelaufnahmen zahllos werdenden, haufig unter schwierigen Ver- 
haltnissen und aufieren Storungen zu nehmenden Ablesungen, un- 
vermeidlich. Daher ist es Grundsatz, daB jede weiter zu ge- 
brauchende Messungszahl einwandfrei kontrolliert wird; eine einfache 
unkontrollierte einmalige Ablesung oder Messung z. B. eines Winkels, 
einer Lange usw. ist geodatisch unbrauchbar. Die somit fiir jede 
Messung erforderliche Probe kann eine unabhangige Nachmessung 
sein oder eine indirekte Probe, wie AbschluB auf gegebene Werte, 
oder Verkniipfung durch eine bekannte Beziehung, z. B. Hypotenuse 
fur zwei Katheten, Summe der Dreieckswinkel usw. Die Lehre von 
der Anordnung der Messungsproben ist eine wichtige Aufgabe der 
Vermessungskunde. 

Um das Anwachsen der Messungsfehler innerhalb moglichst enger 
Grenzen zu halten 7 wird eine systematiscbe Gliederung der Messimgen 
angewendet derart, daB untergeordnete Systeme (,,Netze"} in iiberge- 
ordnete eingefiigt werden, d. h. man ,,arbeitet vom GroBen ins Kleine". 
Dies gilt in erster Linie fiir die Anordnung exakter Landesvermessun- 
gen, in gleichem Sinne aber auch ebenso fur raumlich eng begrenzte 
Aufnahmen. Bei den Landesvermessungen z. B. wird die Grundlage 
durch ein System von Dreiecken (Ketten und Netze) gebildet, in 
welche der Reihe nach untergeordnete Punktsysteme eingeschaltet 
werden, so daB das zu bearbeitende Gebiet zunachst mit moglichst ein- 
fach gegliederten Systemen, also mit weitmaschigen Netzen 7 iiber- 
zogen wird, in die sich die der Natur der Sache nach immer ver- 
wickelter gestaltenden Kleinsysteme einfugen lassen. Die Haupt- 
systeme werden dementsprechend durch moglichst wenige, aber mog 
lichst scharf gemessene Elemente bestimmt. Jedes nach solchen 
Gesichtspunkten gemessene iibergeordnete System gilt fur das unter 
geordnete als fehlerfrei. Die richtige Bemessung des Genauigkeits- 
verhaltnisses der einander unter- bezw. iibergeordneten Systeme ist 
eine wichtige Frage der Vermessungstechnik. Diese Systeme werden 
je fur sich nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgeglichen, 
sodaB das iibergeordnete System das ,,Soll" fiir die weiteren Systeme 
angibt. Es handelt sich also um eine fortgesetzte Einschaltung unter- 
geordneter Systeme in iibergeordnete. 

Die Ausgleichung der Hauptsysteme fiir umfangreiche Ver- 



16 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

messungen geschieht stets nach der Methode der kleinsten Quadrate, 
und zwar nacli ,,vermittelnden" oder ,fiedingten u Beobachtungen 11 ); ob 
das eine oder andere Verfahren anzuwenden ist , wird von Fall zu Fall 
nach der Anordnung der gerade vorliegenden Systeme entschieden 12 ). 
Fiir die untergeordneten Systeme werden mit Riicksicbt auf die sich 
mehr und mehr komplizierenden Beziehungen (Zusammenfassung 
von Winkel- und Langenmessungen) vielfach Naherungsausgleichungen 
(,,Felilervertcilungsverfa]iren" und ,,graphische" Ausgleichungen) ver- 
wendet. Diese werden als berecbtigt und zweckmaBig angesehen, 
wenn sie eine praktiscli in Betracht kommende Erleichterung der 
Arbeit herbeizufiihren imstande sind und die EinbuBe an Strenge 
zulassig erscheint. Im iibrigen laBt sicb bei zweckmaBiger Anordnung 
der Rechnungen und Beiseitelassung iiberfliissigen Zahlenballastes die 
Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate so einfach gestalten, 
daB sie fur den groBteu Teil der in der niederen Geodasie vorkommen- 
den Ausgleichungen als das bequemste und zuverlassigste Interpola- 
tionsverfahren betrachtet wird, welches, wenn auch in den Gewichts- 
ansatzen oder deren Vernachlassigung, sowie in der Anordnung der Aus- 
gleichungssysteme eine gewisse Willkiir bestehen bleibt, doch die Aus- 
gleichung an eine streng kontrollierbare, einwandfreie Methode bindet 
und auf jeden Fall eine willkiirfreie Fehlerberechnung fur die Aus- 
gleichungsergebnisse zulaBt. Die Fehlerberechnungen sind von wesent- 
lichster Bedeutung fiir die Kritik und Ausbildung der Messungs- 
methoden. 

Tiber die Literatur, die sich speziell auf die Anwendung der Aus- 
gleichungsrechnung in der Geodasie bezieht, sehe man die Literatur- 
iibersicht uach. Im iibrigen sei auf die Angaben in dem Artikel 
,,Ausgleichungsrechnung", I D 2 (J. Bauschinger) verwiesen. 

Die umfangreiche Anwendung der Ausgleichungsrechnung nach 
der Methode der kleinsten Quadrate, besonders fiir die zahlreichen 
Punktbestimmungen der Klein triangulierung, hat ebenso wie fiir die 
iibrigen Rechnungen der niederen Geodasie zum Gebrauch von Rechen- 
,,Formularen" gefiihrt, welche fiir die amtlichen Arbeiten in den 
,,Vermessungsanweisungen" vorgeschrieben sind 18 ). Fiir die Rechen- 
scharfe gilt im allgemeinen, daB die Rechenunsicherheiten von 
niederer Ordnung als die Messungsfehler sein rniissen und keine neuen 
Unsicherheiten in die Bestimmungen hineinbringen diirfen, daB aber 

11) Vgl. I D 2 (/. Bauschinger), p. 768 ff. 

12) Vgl. die Bemerkungen zu den einzelnen MeBmethoden. 

13) Vgl. z. B. Anweisung IX der preuBischen Katasterverwaltung, die viel 
fach als Vorbild gedient hat. 



5. Instrumentelle Hilfsmittel. 17 

iiberfliissiger Zahlenballast zu vermeiden 1st. Darauf griindet sich 
z. B. die sehr empfehlenswerte Verwendung des einfachen Rechen- 
schiebers bei den Ausgleichungsrechnungen der niederen Geodasie 14 ). 
Ebenso wie die Anordnung der Messungen und die Rechnungen 
griinden sich aucb die fur den rationellen Gebrauch der geodatischen 
Instrumente maBgebenden Gesichtspunkte auf die Fehlertheorie. 
Der durch diese ermoglichten einwandfreien Kritik der Instrurnent- 
leistungen ist im Verein mit der Ausbildung der Prazisionsmechanik 
der Fortschritt in der Entwicklung der geodatischen Instrumente im 
letzten halben Jahrhundert in erster Linie zu verdanken. Die ein- 
zelnen Glieder (Organe), aus denen sich die Instrumente zusammen- 
setzen, miissen in Bezug auf Leistung und Anordnung einander und 
dem Prinzip des Instrumentes entsprechen. Fur diese Anordnung 
bleibt ein gewisser Spielraum, sodaB sich mannigfaltige Instrument- 
typen ergeben, wobei die fiir ein Messungsverfahren jeweils zu er- 
reichende und vorher bestimmte Genauigkeit sowie weitere Gesichts 
punkte, z. B. schnelle und sichere Aufstellung, maBgebend sind. Im 
Vermessungswesen handelt es sich nicht darum, in jedem Fall mit alien 
moglichen Mitteln die weitgehendste Genauiglceit zu erreichen, sondern 
vielmehr darum, innerhalb vorgesehener Genauiglieitsgrenzen die ge- 
suchten Hesidtate mit dem geringsten Aufwand an Arbeit und Kosten 
zu gewinnen. Dazu fiihrt die Anwendung der Fehlertheorie in der 
geodatischen Beobachtungstechnik und die Fehlerdiskussion a priori. 

5. Instrumentelle Hilfsmittel. Uber die instrumentellen Hilfs 
mittel mogen, da ihre Darstellung nicht im Plane der Encyklopadie 
liegt, nur wenige Worte hier Platz finden. Die den beiden hauptsach- 
lichsten FeldmeBinstrumenten, Theodolit und Nivellierinstrument, ge- 
meinschaftlichen Teile sind ,,Libelle" und ,,Mefifernrohr". 

Die Libelle. Verwendet werden ,,Rohrenlibellen" 15 ) ; deren ,,Empfind- 
lichkeiten" oder n Angaben u (d. i. zu einem Strich Ausschlag gehoriger 
Winkelwert) zwischen den Grenzen von rund 5" und 50" liegen, wobei 
1 Strich der Libellenteilung gleich 1 Pariser Linie oder neuerdings auch 
gleich 2 mm genommen wird 7 so daB die Krumrnungsradien der tonnen- 
formigen Schlifffliiche 16 ) etwa zwischen 80 m und 8 m betragen, bei 
untergeordneten und besonders Freihand-Instrumenten kommen noch 



14) Jordan, Handbuch 1, Kap. II u. III. 

15) In historischer Hinsicht (Thevenot 1660) sei verwiesen auf E. Wolf, 
Handbuch der Astronomic 2, Zurich 1892. 

16) Zur Theorie der Libellenschliffflache vgl. F. B. Helmert, Zeitschr. f. 
Vermess. 7 (1878), p. 185. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1. 2 



18 VI i, 1. C. Reinhcrtz. Niedere Geodiisie. 

starkere Kriimmungen vor. . ,,Dosenlibetten" werden an groberen In- 
strumenten sowie zur allgemeinen Einstellung feinerer Instrumente 
gebraucht; die Radien der Kugelhauben liegen rund zwischen Y 2 m 
und 2 m. Zur Bestimmung der Angaben von Rohrenlibellen und zur 
Priifung des Schliffes dient der Libellenpriifer mit Mikrometerschraube 
(Legebrett). Die inn ere Flache der Rohrenlibelle, an der die Blase 
spielt, ist nach alien Richtungen gekrummt: derjenige in der Mitte 
der Flache verlaufende Hauptschnitt, in dem die Kriimmung am ge- 
ringsten ist, enthalt die Libellenachse , die als Tangente an den ge- 
nannten Hauptschnitt im Hauptstrich der Libellenteilung definiert ist. 
Ist die Libellenachse der Yerbindungslinie der Aufsatzpunkte der 
Libelle parallel, so ist diese kreuzungsfehlerfrei , was man daran er- 
kennt, da6 die Blase ihre Lage bei Drehung der Libelle um die durch 
die Aufsatzpunkte gehende Gerade nicht andert. Die Libelle dient 
dazu, Achsen vertikal und horizontal zu stellen 17 ). Eine Achse ist 
vertikal, wenn eine fest mit ihr verbundene Libelle bei der Drehung 
um die Achse ihre Einstellung nicht andert. Um die Horizontalitat 
einer Achse zu priifen, wird die Libelle auf ihr umgesetzt (d. h. um 
180 gedreht); andert sie dabei ihre Einstellung nicht, so ist unter 
der Voraussetzung, daB kein Kreuzungsfehler vorhanden, die Achse 
horizontal. Spielt bei vertikaler oder horizontaler Achse die Libelle 
auf den Hauptstrich ein, was fur die Benutzung der Libelle nicht 
notwendig, aber bequem ist, so heiBt sie ,,berichtigt" ; in der niederen 
Geodasie arbeitet man meistens mit berichtigter Libelle. Die Ge- 
nauigkeit der Libelle als Lot- und Horizontierinstrument ist, abgesehen 
von Nebeuunistanden, abhangig von der Steigkraft der Blase, welche 
im allgemeinen mit der GroJBe der Blase und der Starke der Kriim 
mung der Schliifkurve zunimmt. Die Genauigkeit der Libellen ist 
von C. Reinhertz 1 *} untersucht. 

Das Mefifernrolir. Die an den geodatischen Instrumenten in 
Betracht kommenden Pemrohre sind stets Kepler sche (astronomische) 
mit Okularen nach Ramsden, Huygens oder auch orthoskopischen 
Okularen. Die Vergrofierung liegt etwa zwischen den Grenzen 
10 45fac-h, und dementsprechend gehen die Objektivoffnungen bis 
zu rund 45 mm, die Brennweiten bis zu 50cm. Das Fadenkreuz 19 ) wird 
meistens durch ein einfaches, sich rechtwinklig schneidendes Fadenpaar 
gebildet (Vertikal-, Horizontalfaden) ; anstatt des einfachen Vertikal- 

17) M. d Ocagne, Bull. astr. 1903, p. 51. 

18) Zeitschr. f. Instr. 11 (1890), p. 309. 

19) Als historische Notiz sei Terwiesen auf R. Wolf, Handbuch der Astro- 
uomie 2, Zurich 1892. 



6. Die Langenmessung. 19 

zielfadens wird auch ein mit rund 1 iy 2 mm scheinbarem Abstand 
angeordneter Zieldoppelfaden benutzt, dessen Mittellinie die Einstell- 
ebene angibt. Bei Arbeiten im Dunkeln (im Tunnel, in der Grube 
beim Markscheiden) wird Beleuchtung des Fadenkreuzes durch Licht- 
werfer vom Objektiv aus ; durch die hohle Horizontalachse oder auch 
vom Okular aus angewenclet. Bei den Fadendistanzmessern (vgl. Nr. 19) 
treten die zum Mittelfaden parallelen Distanzfaden hinzu, wobei 
dann auch die Fernrohranordnung nach Porro (vgl. p. 86) zur An- 
wendung komnit. Von Wichtigkeit fur die Verwendung des MeBfern- 
rohrs ist die damit zu erzielende Ablesegenauigkeit an Skalen 
(Nivellier- und Distanzskalen). Daruber ist eine Untersuchung von 
lieinhertz} angestellt. 

Der Zielfehler der MeBfernrohre beim Einstellen auf scharf be- 
zeichnete Ziele kann bis auf einige Zehntel Sekunden herabgebracht 
werden; bei Einstellung auf die bei Yermessungen verweudeten Ziele 
(Signale, Kirchturme, Stabe usw.) liegt der Fehler im allgemeinen 
etwa zwischen 1 L" und 3", wobei Durchsichtigkeit der Luft. Flimmern. 

I & 7 <-J 9 

Beleuchtung, Hintergrund, Form des Signales usw. neben der Leistung 
des Fernrohrs an sich eine erhebliche Rolle spielen, und noch zu 
unterscheiden ist, ob es sich urn Einstellungen des Vertikal- oder 
Horizontalfadens (Horizontal- oder Vertikal winkelmessung) handelt 21 ). 
Beziiglich der weiteren Untersuchungen der verschiedenen geo- 
datischen Instrumente, ihre ,,Berichtigung" (Justierung), Bestimmung 
der Konstanten usw. ist zu verweisen auf die genannten geodatischen 
Lehr- und Handbiicher 22 ). 

B. Die fundamentalen Messungen. 

6. Die Langenmessung. Grundlegend fur alle Lagemessungen 
ist die j.Langenmessuny". Zur unmittelbaren Langenmessung dienen 
holzerne MaBstabe (Me/flatten, 3, 4, 5 m lang) mit stahlernen Endfiachen 
oder Endschneiden, oder ^tahlmeftMnder" oder ,,Mefidrahte" (10, 20, 
25 bis 100 m lang). Die MaBbezeichnung ist fiir die Latten stets die 



20) Leop. N. A. 62 (1894), p. 91 ; Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 593, 641 ; 
26 (1897), p. Ill, 399; G. Kummer, ibid. 23 (1894), p. 129; 26 (1897), p. 225, 
257; C. Wagner, ibid. 25 (1896), p. 449. 

21) S. Stampfer, Jahrbiicher des k. k. polytechn. Inst. Wien 18(1834), p. 211. 

22) Als alteres Werk ist hinzuzufugen : G. Chr. K. Hunaus, Die geometri- 
schen Instrumente, Hannover 1864. Ferner sei hingewiesen auf Chr. A. Vogler, 
Abbildungen geodatischer Instrumente, Berlin 1892; W. F. Stanley, Surveying 
and levelling instruments, London 1895; M. cVOcagne, Les instruments de pre 
cision en France, Paris 1904, p. 21 31. 

2* 



20 VI i, 1. C. Reirihertz. Niedere Geodasie. 

der EndmaBe, sodaB die Mittellinie zwischen den Endflachen oder 
Endschneiden den MaBwert angibt; MeBbander sind entweder als End- 
maBe (Me.Bbandstabmittellinie) oder als StrichmaBe (Anlegemarken) 
aufzufassen. Die Unterteilung erfolgt in m, dm, cm. Die friiher sehr 
gebrauchliche ,,Mefikette" ( Gliederkette aus Draht) findet wegen der 
Yeranderlichkeit der Glieder bei exakten Arbeiten keine Verwendung 
mehr; der ,,Fddzirkel" , ein Stab mit rechtwinklig zu seiner Langs- 
achse angebrachten Endspitzen, sowie das ,,Meflrad" mit Zahlwerk 
(Hodometer) kommen nur fiir vereinzelte Falle in Betracht. Der 
MaBwert 23 ) der Stabe und Bander wird durch ,,Ma fiver gleickung" mit 
NormalmaBen (Kontrollnormalen) bestimmt: es ist leicht, die Ver- 
gleichung auf 0,1 mm genau auszufiihren. Nach vielseitigen Er- 
fahrungen und Untersuchungen - 4 ) ist die Langenanderung von Holz- 
maBstaben abhangig von Luftfeuchtigkeit und Temperatur derart, daB 
fiir einen Stab von 1 in Lange die Langenanderungen 0,3 mm be- 
tragen konnen. Da bei langen Stahlbandern und MeBdrahten die 
Lange von der Spannung stark abhtingig ist, werden fiir feinere MeB- 
bandraessungen bei Vergleichung und Messung Spannungsmesser (Feder- 
dynamometer) eingesehaltet, um eine konstante Spannung zu erzielen. 
Die Ausfiihrung der Langenmessung erfordert: 1) Ausrichten der 
lotrechten Richtungsebene (,,Linie") zwischen den Punkten, deren ,,Ent- 
fernung" zu bestimmen ist; zur Bezeichnung dienen Absteckstabe, 
Pfahle usw., in besonderen Fallen auch ausgespannte Schniire. Die 
Aussteckung geschieht mit freiem Auge, oder mit einem Handfernrohr 
oder mit dem Theodolit (Abloter, Alignementsfernrohr). 2) Einrichten 
der einzelnen MeBlage (MeBstab, MeBband) in die ausgesteckte Richtungs 
ebene. 3) Einrichten der einzelnen MeBlage innerhalb der Richtungs 
ebene in vertikalem Sinne, entweder a) horizontal, oder b) geneigt, 
mit Ableitung der Reduktion auf horizontale Lage; die Einrichtung 
in die horizontale Lage geschieht entweder durch einfache Schatzung 
(nach Lotschnur oder Lotstab) oder mit Hilfe der Setzlibelle (Setz- 
wage); zur Reduktion der geneigten Lage auf die horizontale wird 
entweder die Neigung mit der Libelle (Lattenreduktor) gemessen, oder 
der Vertikalwinkel parallel zur MeBlage (gleich lange Zielstabe) mit 
einem Freihandhoheninstrument (Pendel- oder Libellenhohenkreis) ge- 
nommen, oder auch der Hohenunterschied h zwischen Anfangs- und 

23) Vgl. V 1 (C. Runge}, p. 12. 

24) R. Hildebrand, Ann. Phys. Chem. 34 (1888), p. 361; H. Stadfhagen, ibid. 
61 (1897) p. 208; Ch. Lallemand, Verbandlgn. der 12. Konf. d. Intern. Erdmessung, 
Berlin 1899, Beilage C. I, p. 525 (Bericht uber die Untersucbungen von C. M. 
Goulier). 



6. Die Langenmessung. 21 

Endpunkt der MeBlage benutzt (vgl. Abschnitt Hohenmessung). Die 
horizontal Lage ist danach S Q = s n cos , oder bei Verwendung des 
Hohenunterschiedes 

-- 9 7~9 1 h~ 

S n h = S n 2 s ..... 
* 

Zur Ableitung der Reduktion dienen Tabellen und anderweitige Hilfs- 
mittel. 4) Aneinanderreikung der einzelnen MeBlagen; bei unebenem 
Gelande und horizontaler MeBlage, der sog. , 7 Staffelmessung", geschieht 
die Aneinanderreihung durch Ablotung mit Fadenlot oder Lotstab und 
Libellenstab. Die ,,Entfernung" zweier Punkte ergibt sich demnach 
durch dies MeBverfahren als die Summe der Projektionen der ein 
zelnen MeBlagen im Messungshorizont. Um die Entfernung s aus 
dem Messungshorizont auf die Vermessungsflache (Landeshorizont) zu 
projizieren, ist die Reduktion 



_ 
S \R B* 

anzubringen 7 wo H die Hohe des Messungshorizonts und R den Erd- 
radius bedeutet. In der niederen Geodasie ist diese Reduktion 
meistens zu vernachlassigen. 

Die bei der Langenmessung entstehenden Fehler sind ihrer Natur 
nach teils regelmafiige, welche proportional der durchmessenen 
Lange fortschreiten, teils unregelmafiige, welche mit der Quadrat- 
wurzel aus der Anzahl der MeBlagen wachsen. Zu den ersteren 
gehort die Ausweichung der Mefistangen in horizontalem und verti- 
kalem Sinne, die Durchbiegung und bei absoluten Messungen der 
Fehler des MaBstabs. Man hat die Abhangigkeit des Fehlers 
von der Lange in verschiedener Form zum Ausdruck gebracht 23 ). 
Wenn / der regelmaBige, u der unregelmaBige Fehler ist 7 so hat man 
1) ]// 2 s^ -\- u 2 s, oder je nach dem Vorherrschen der einen oder 
anderen Fehlerart 2) fs (prozentualer Fehler) , 3) uys (sog. Qua- 
dratwurzelgesetz) ; unter Hinzunahme des Ablesefehlers a (Abrundung, 
Punktbezeichnung) wird die Beziehung 1) zu la) ~J/a 2 -|-/ 2 s 2 -{-w 2 s; 
man hat auch angewendet a -f- fs -f- u~}/s und a -j- fs. Als Ausdruck 
der praktisch als erreichbar angenommenen Genauigkeit seien einige 
in verschiedener Form ausgesprochene J? Fehlergrenzen" der amtlichen 
Vermessungsanweisungen (Maximalabweichung zwischen Messungen, 
deren Betrag etwa dem 3- bis 4fachen mittleren Fehler entspricht) 
fiir Feldmessungen in giinstigem Gelande angefiihrt: PreuBen 
2 7 Wiirttemberg 0,01)/s + ; 0005 - s, ElsaB-Lothringen 



25) W. Jordan, Handbuch 2, 19. 



22 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

0,006^ -f 0,00040 s -f 0,05, Osterreich 0,005]/s -f 0,00015 s -f 0,015, 
wobei s in Metern zu rechnen ist. Als zulassige relative Ab- 
weichung wird etwa y iooo bis ^^Q genommen. Eine neuere Unter- 
suchung uber die Fehler der Langenmessung gibt Reinherte* 6 ). 
Bei Messung auf besonders hergerichteten Unterlagen (Eisenbahn- 
schienen usw.) ist eine erheblich hohere Genauigkeit zu erzielen; 
wahrend z. B. bei Messung kurzer Linien (einige 100 m) auf ebenen 
StraBen die zwischen verschiedenen Messungen derselben Linie auf- 
tretenden Abweichungen leicht innerhalb weniger cm zu halten sind, 
ist das bei Messung auf Schienen oder langs gespannter Schniire fur 
Strecken von 1000 in moglich (Y 50000 bis V 100000 ist unter besonderen 
Umstanden erreichbar). Genauigkeit (V 200000 und mehr) und Schnellig- 
keit vereinigt das Messungsverfahren von Jdderin mit Metalldrahten, 
dem neuerdings durch Benutzung eines gegen Temperaturanderungen 
fast unempfindlichen Nickelstabls (Invar) als Drahtmaterial eine be- 
besonders praktische Form gegeben ist. Die exaktesten Bestimmungen 
geben die zur Beschaffung der fundamentalen Langen der Triangu- 
lation dienenden Basisapparate (vgl. VI l, 3). 

7. Die Winkelmessung. 

7 a. Der Theodolit. Das HauptwinkelmeBinstrument der Geodasie 
ist der Theodolit. Uber Geschichte und Etymologie vgl. J?. Wolf zl } 
sowie die Handbiicher von Chr. Vogler und Jordan 28 ) mit weiteren 
Literaturangaben. Der Grundgedanke des Instrumentes, welches meistens 
Horizontal- und Vertikalwinkel gleichzeitig, aber unabhangig voneinander 
zu bestimmen gestattet, lafit sich zuriickverfolgen bis zur Bliitezeit der 
Araber ini 8. Jahrhundert; aber das ini 15. bis 17. Jahrhundert oft 
in groBen Dimensionen hergestellte Instrument ist erst in der zweiten 
Halfte des 18. Jahrhunderts zuerst durch englische Mechaniker zum 
transportablen und exakten geodatischen Instrument ausgebildet worden 
und seit Beginn des 19. Jahrhunderts zur allgemeinen Anwendung 
gelangt, indem die Kreisscheibeninstrumente (Astrolabien) sowie die 
Positionswinkelinstrumente (vgl. p. 11) einschlieBlich der Reflexions- 
instrumente (Sextant usw.) aus der Feldmessuug verdriingt wurden. 

Das Konstruktionsprinzip des Instrumentes ist unmittelbar in dem 
p. 11 angegebenen Grandgedanken des Messens an der Erdoberflache 



26) Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 7; 32 (1903), p. 176. 

27) Handbuch der Astronomie 2, Zurich 1892, p. 48. 

28) Vogler, Prakt. Geom. 1, p. 126 u. 361 (zur Etymologie); Jordan, Hand 
buch 2, p. 203. 



7 a. Der Theodolit. 23 

enthalten, wonach die Richtungswinkel bestimmt werden durch Drehung 
um die Vertikale des Messungspunktes, sodafi der Theodolit als 
Polarkoordinateninstrument bezeichnet werden kann. Hauptachse ist 
die auf dem , ; DreifuB" aufgestellte ,,Vertikalachse" (stehende Achse), 
welche mittels der FuBschrauben nach einer Libelle (p. 17) lotrecht 
gerichtet wird. Die vom Oberbau getragene ^Horizontalaclise" (, ; Kipp- 
achse", liegende Achse) liefert mit der rechtwinklig mit ihr verbun- 
denen Ziellinie des ,,Mefifernrohrs" (p. 18) die in den lotrechten 
Richtungsebenen wirkende Projektionsvorrichtung. Diese mit Hinzu- 
nahme der Ablesezeiger wird als 7 ,Alhidade" bezeichnet. Zur Nivel- 
lierung der ,,Horizontalachse" dient die Horizontalachsenlibelle oder 
auch die Vertikalachsenlibelle, wobei dann Priifung auf richtige Ablotung 
in den Richtungsebenen erforderlich wird (Priifung durch Projektion in 
zwei um 180 abstehenden Lagen der Kippachse, Durch schlagen, mit 
kiinstlichem Horizont usw.). Fur das Achsensystem des Instrumentes 
ergibt sich demnach als Bedingung: Hauptachse vertikal, Kippachse 
horizontal, Zielachse des MeBfernrohrs rechtwinklig zur Kippachse 
(sog. Kollimation). Sind diese Bedingungen nicht erfiillt, so entstehen 
Projektionsfehler; die Abweichungen der Kippachse und der Zielachse 
erscheinen in doppeltem Betrage bei Einstellung eines Punktes in n zwei 
Lagen des Fernrolirs", welche durch ,,Durcliscldagen" bezw. ,,Umlegen" 
des Fernrohrs um die Kippachse und Drehung um die Vertikalachse 
um 180 hergestellt werden. Auf diese Weise konnen die Fehler 
erkannt, ,,berichtigtf oder durch Messung in zwei Fernrohrlagen und 
Mittelbildung im Resultate beseitigt werden. Wegen der Ausfiihrung 
der Priifung und Berichtigung ist auf die in der Literaturiibersicht 
genannten Handbiicher zu verweisen. Wird der Zielachsenfehler (Kolli- 
mationsfebler) mit c, der Horizontalachsenfehler mit -i } der Vertikal- 
achsenfehler mit v bezeichnet, so sind fur eine Ziellinie mit dem 

Hohenwinkel h die einzelnen Reduktionen ^; *tg/^; i v igh, worin i a 

die durch v erzeugte Horizontalachsenabweichung bedeutet. In der 
niederen Geodasie wird von der Reduktion nach diesen Formeln kein 
Gebrauch gemacht, sondern das Instrument , 7 berichtigt" oder die Fehler 
durch ; ,Durchschlagen" des Fernrohrs eliminiert, nur in Ausnahme- 
fallen kommt eine Bestimmung in Betracht, wobei dann fiir sehr steile 
Zielungen i durch eine Horizontalachsenlibelle fiir jede einzelne Richtung 
besonders zu bestimmen ist. 

Der Durchmesser der Horizontalkreise (Limbus) betragt je nach 
dem Zweck des Instrumentes etwa 10 26 cm (4 10 Zoll). Die Kreis- 
teilung ist entweder die 360-Teilung (sog. alte Teilung) oder 400 g - 



24 VI i, 1. C. Beinherts. Medere Geodasie. 

Teilung (sog. neue Teilung). Die ftir die trigonometrischen Rechnungen 
bequemere 400 g -Teilung hat neben der alten Teilung nach und nach an 
Boden gewonnen. Der Umstand, daB bei den die Grundlagen liefernden 
Messungen der hoheren Geodasie die ,,alte Teilung" beibehalten wird, 
steht der Verallgemeinerung der ,,neuen Teilung" entgegen. Da in 
der niederen Geodasie die Winkelmessung lediglich zur Vermittlung 
der Kenntnis linearer Gro Ben dient, und die gemessenen Winkel oder 
Richtungen nicht als ein selbstandiges Ergebnis wie die Winkelkoordi- 
naten (Polhohe, Lange) der hoheren Geodasie und Astronomie (Nautik) 
zu betrachten sind, und weiterhin die Anwendung der einen oder andern 
Teilung nichts an Prinzip und Genauigkeit der Messungen andert, so 
kann die Festsetzung der Teilungsart als eine besondere Frage der 
Rechentecknik behandelt werden. Bei den preuBischen Katasterver- 
messungen 29 ) z. B. sind (bei Vorherrschen der alten Teilung) beide 
Teilungsarten nebeneinander zulassig. (Bei den Zahlenangaben dieses 
Referates ist nur 360-Teilung angewendet.) Der Kreis wird je nach 
dem Durchmesser in YA Y 2 , l / 3 , Vg 030 ) geteilt und entsprechend der 
allgem einen Richtungszahlung (vgl. p. 11) rechtslaufig (Uhrzeiger- 
bewegung) beziffert. Zur Ablesung dient: Nonius 31 ), Skalen- und 
Schraubenmikroskop, welche von der Alhidade getragen werden. Als 
Nonius kommt zur Erlangung gleichlaufender Bezifferung fur Kreis- 
teilung und Nonien lediglich der sog. J; nachtragende" in Betracht. 
Ist T ein Kreisteil, N ein Nonienteil, so ist die Angabe A des Nonius: 

T 
A = T N = , wo n die Anzahl der Nonienteile (bei den an- 

n 

angegebenen Kreisteilungen meistens 20, 30 oder 60) bedeutet. 
Gebrauchliche Anordnungen sind z. B. T = Y 2 , n 30 oder 60, also 
A = 1 oder l / z - T = Y 3 , n = 60, A = Y 3 - Das Skalenmikroskop 
gibt durch eine in der Bildebene den Bildern der Kreisteile genau 
entsprechende auf Glas geatzte Feinteilung unmittelbar eine weitere 
Einteilung in z. B. Yio? Vso? Vso- -^ Kreisteilung in Ye w i r( ^ neuer- 
dings meistens das Schraubenmikroskop angewendet. Zur Elimination 
der ,,Alhidadenexzentrizitat" werden stets zwei diametrale Ablese- 
zeiger verwendet. Weiteres iiber die Anordnung, Priifung und Be- 
richtigung der Ablesehilfsmittel, Bestimmung der Exzentrizitats- und 
Kreisteilungsfehler geben die genannten Handbiicher 32 ). 



29) Anweisung IX. 

30) Fiir 400e-Teilung kommt in Betracht %*, y^, y/. 

31) Als historische Notiz sei angefiihrt: J?. Wolf, Handbuch der Astro 
nomie 2, Zurich 1892, p. 33. 

32) Jordan, Handbuch 2, 5462; 3, p. 43. 



7 b. Horizontalwinkelmessung. 25 

7b. Horizontalwinkelmessung. Die Horizontalwinkel werden 
am Horizontalkreis abgelesen. Die in rechtlaufigem (Uhrzeiger-) Sinne 
nacheinander erfolgende Einstellung von Objekten P]_P 2 bezw.PjPg . . . P n 
bei Winkel- bezw. Richtungsmessung (vgl. p. 11) ergibt in einer Fernrohr- 
lage (I) die Richtungswerte r r 2 bezw. r r 2 f . . . r n je als Mittel aus beiden 
Zeigerablesungen, bei den (in der Regel in umgekehrter Reihenfolge vor- 
genommenen)EinstellungeninFernrohrlage(II) t\"r 2 " bezw. ^ V/ .-.r/ , 
und als Mittel hieraus die von den erwahnten Achsen- und Exzen- 
trizitatsfehlern befreiten Ergebnisse r x r 2 bezw. t\r 2 . . . r n . Eine solche 
Richtungsreihe bezeichnet man als ,,Satz" (Gyrus). Bei Wiederholung 
der Messung wird zur Herabminderung des Einflusses der Kreisteilungs- 
fehler bei Ablesung an zwei diametralen Zeigern in mehreren um 

0/ A 

- voneinander abstehenden Kreisstellungen gemessen (s = Anzahl 

2 S 

der Satze). Um die Richtungswerte verschiedener Kreislagen in ein- 
facher Weise, zunachst fiir die Mittelbildung, vergleichbar zu machen, 
werden dieselben auf irgend eine Richtung (Anfangs-, Nullrichtung) 
bezogen, z. B. t\ r x = = Q^ r^-r i = Q^ ... r n r l = Q n . Da 
nun bei den Theodolitmessungen der niederen Geodasie grundsatzlich 
mit (in Bezug auf Achsen-, ev. Mikroskopfehler) ;; berichtigtem" In 
strument gearbeitet wird, und die ubrigen Fehler oder Fehlerreste 
durch Beobachtung in zwei Fernrohrlagen, mit Ablesung an zwei 
diametralen Zeigern und iu symmetrisch u ber den Kreis verteilten 
Lagen, moglichst eliminiert werden, so findet eine Korrektur der ein- 
zelnen Ablesungen nach Teilungs-, Mikroskopfehlern usw. in der Regel 
nicht statt. Bei den Genauigkeitsvergleichungen wird als Beobachtung 
vom Gewicht 1 (Geiviclitseinheit p. 14) in der Regel eine in Beiden Fern- 
roltrlayen" in der angegebenen Weise gemessene ,,RicMung" genommen. 
Der mittlere Fehler derselben ist bei den fiir die verschiedensten Zwecke 
konstruierten kleinen oder groBeren Instrumenten verschieden; fiir 
Nonientheodolite kleinster Konstruktion kann etwa angenommen werden 
+ 15", fiir grofiere Mikroskoptheodolite kann er bis unter + 1" herab- 
gebracht werden, fiir Instrumente mittlerer GroBe (13 -15 cm Durch- 
messer) betragt er, je nachdem Mikroskop- oder Nonienablesung an- 
gebracht ist, etwa + 2" bis + 6". Die einfachste Ableitung des 
mittleren Messungsfehlers fiir Richtungsmessungen ergibt sich aus 
einer Anzahl gleichartiger Satzbeobachtungen auf Grund des arithme- 

tischen Mittels nach nf r = + l/c IliY7 ITri wenn v ^ e ,,zufallige" 
Abweichung gegen das arithmetische Mittel, r die Anzahl der Rich- 
tungen und s die Anzahl der Satze bezeichnet. Die Beziehung zwischen 
Richtungs- und Winkelfehler ist m w = ^r_m r 1/2. 



26 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

Wird der Theodolit mit einem doppelten Achsensystem versehen 
derart, daB z. B. die Alhidadenachse in der Kreisachse und diese wieder 
im Unterbau drehbar und feinstellbar ist, so kaim durch abwechselnde 
Drehung um diese Achsen eine mechanische Addition ernes Winkels vor- 
genommen werden. 1st die Ablesung in der Anfangslage beirn Zielpunkt 

links r , in der Endlage nach n Additionen r,, so ist w = (r r X 

ct/ e/ M \ e a/ 

Zur Elimination der Achsenfehler wird die Halfte der Repetitionen in 
der zweiten Fernrohrlage ausgefiihrt. Naheres iiber die Anordnung des 
Achsensystems und die Ausfuhrung der Messungen geben die geodati- 
schen Handbiicher. Diese Methode (zuerst Multiplikation, spater Re 
petition der Winkel genannt) wurde von Tobias Mayer 1752 begriindet 
und gait wegen der Herabminderung der Teilungs- und Ablesefehler 
lange Zeit als maBgebende Winkelmessungsrnethode (z. B. wurde sie 
auch von Gaufi bei seiner Grradmessung angewendet) ; bis sie zu 
gunsten der zuerst von F. G. W. Stmve und F. W. Bessel ausgebildeten 
satzweisen Richtungsmessungsmethode mehr und mehr verlassen 
wurde 33 ). Zurzeit ist das Doppelachsensystem nur noch fur kleinere 
und mittlere Instrumente in Benutzung und teilweise unentbehrlich. 
Fiir Prazisionsinstrumente wird (bei durchweg guter Kreisteilung) das 
Repetitionsachsensystem niclit mehr verwandt, weil bei der Repetition 
systematische, im Achsengang begriindete, mechanische Einwirkungen 
auftreten, welche schon Gaufii 1 Bedenken erregten. Wird von diesen 
letzteren abgesehen, so ist die Fehlerbeziehung fiir einen w-fach 



repetierten Winkel +!/ f^ 2 ~f~ } } gegeniiber der w-maligen Satz- 



messung + (a~ -|- /3 2 ), wenn a bezw. /3 die unabhangigen Ziel- 

f W 

bezw. Ablesefehler bedeuten 33 ). 

7 c. Vertikalwinkelmessung. Der Vertikalkreis ist zentrisch auf der 
Kippachse des Fernrohrs angebracht, entweder fest oder auch zur 
Elimination von Teilungsfehlern drehbar. Erforderlich ist eine Vertikal- 
kreislibelle parallel zur Kreisebene, entweder in fester Verbindung mit 
der Hauptvertikalachse oder auf der Vertikalkreisalhidade, durch welche 
fiir jede Hohenrichtung dem Zeiger eine konstante Stellung erteilt 
werden kann; die Messung der einzelnen Hohenrichtungen ist also 
voneinander unabhangig und gegriindet auf die Nivellierung des 



33) Jordan, Handbuch 2, 03; 3, p. 41; G. Friebe, Zeitschr. f. Vermess. 
23 (1894), p. 333; Nippa, ibid. 25 (1896), p. 675. Das Mitschleppen des Kreises 
wird durch Messen von links nach rechts und dann von rechts nach links zum 
Teil eliminiert. 



7c. Vertikalwinkelmessung. 8a. Allg. iiber die geod. Koordinatensysteme. 27 

Zeigers. Die Bezifferung des Kreises ist verschieden, entweder durch- 
laufend oder mit beliebiger Nullpunktlage, oder nach Zenitwinkeln 
oder Hohen- bezw. Tiefenwinkeln, sodaB bei wagerechter Zielung die 
Ablesung 90 bezw. sich ergeben soil. Bei der Messung ist 
demnach bei scharf einspielender Vertikalkreislibelle der Horizontal- 
faden auf den Zielpunkt einzustellen, oder bei eingestelltem Zielpunkt 
die Vertikalkreislibelle abzulesen und danach die Hohenrichtung zu 
reduzieren. 

An einem Instrument mit t estem Kreis soil bei einspielender 
Libelle bei genau borizontaler bezw. vertikaler Ziellinie die Ab 
lesung bezw. 90 (je nach der Bezifferung) sein; die Abweichung 
davon ist der ^Indexfehler" : , Avelcher bei Messung einer Hohen 
richtung in ,,beiden Fernrohrlagen" (Kreis links und rechts) in 
doppeltem Betrage sich in den Ablesungen zu erkennen gibt, im 
Mittel beider Fernrohrlagen eliminiert ist, oder auch an Fadenkreuz, 
Libelle (ev. auch an jedem Zeiger je fur sich) korrigiert werden kann. 
Der Betrag des Indexfehlers ist abhangig von der gegenseitigen 
Stellung von Kreisnullinie, Ziellinie, Zeiger und Libellenachse und 
muB fiir zwei zusammengehorige Messungen in beiden Fernrohrlagen 
konstant sein. Bei der Anwendung auf trigonometrische Hohen- 
messungen kommt wohl zur Herabminderung der Kreisteilungsfehler 
Beobachtung in mehreren Kreisstellungen in Betracht, was bei Fein- 
messung stets der Fall ist; in den meisten Fallen wird aber in der niede- 
ren Geodasie mit festem Hoheukreis in einer Kreisstellung gemessen. 
Bei im tibrigen gut berichtigtem Instrument wird der EinfluB eines 
etwa noch vorhandenen Kippachsenfehlers fiir die Vertikalwinkel 
messung ebenso wie der der Fernrohrbiegung auBer acht gelassen, 
bezw. durch Beobachtung in beiden Fernrohrlagen als eliminiert an- 
gesehen. Der mittlere Fehler einer Vertikalwinkelmessung entspricht 
im allgemeinen in rein instrumenteller Hinsicht der einer Horizontal- 
winkelmessung mit gleicher Ablesungsgenauigkeit unter Hinzunahme 
des Libelleneinstellungs- bezw. Ablesungsfehlers; bei der Anwendung 
tritt aber hinzu der EinfluB der Refraktionsunsicherheit (vgl. p. 79). 

C. Die Lagemessungen. 

8. Die Koordinatensysteme der Lagemessungen. 

8 a. Allgemeines iiber die geodatischen Koordinatensysteme. Die 

rechnerisch erlangten Ergebnisse geodatischer Punktbestimmungen 
werden zahlenmaBig ausgedriickt durch die auf die mathematische Erd- 
oberflache (Normalnullflache) bezogenen Koordinaten. Als Ausdruck fiir 



28 VI i, 1. C. Eeirihertz. Niedere Geodasie. 

die gegenseitige Lage von Punkten der Erdoberflache bieten sich zu- 
nachst Polarkoordinaten dar, d. i. die ,,Entfernung" s zweier Punkte 
und der ,,Richtungswinkel" r, den diese Linie (Vertikalebene) mit 
einer bestimmten der Zahlung als Ausgang dienenden Richtung 
(z. B. der Nullstrichrichtung eines Kreises) einschliefit. Die Polar 
koordinaten s und r, welche das umnittelbare Ergebnis der Langen- 
und Richtungsmessungen darstellen, werden dementsprechend allgemein 
nur als Ausdruck fur die gegenseitige Lage benachbarter Punkte 
verwendet, nicht aber zur Lagebestimmung beliebig gelegener, zahl- 
reicher Punkte gegen einen einzigen Ausgangspunkt (Pol). Wenn 
zahlreiche Punktbestimmungen auf grofie Stiicke der Erdoberfliiche 
(ganze Lander, Landesvermessung) ausgedehnt werden, so werden 
die Punktorte in ,,geographischen Koordinaten" (Breite oder Polhohe cp 
und L ange A) ausgedriickt, ebenso wie bei den auf astronomischem Wege 
ausgefiihrten ,,0rtsbestimmungen". Diese ,,geodatischen Koordinaten" 
cp, A werden aus der Triangulierung durch Vermittlung der Polarkoor 
dinaten s, r y bezogen auf einen astronomisch orientierten Ausgangs 
punkt, unter Zugrundelegung der ellipsoidischen Erdfigur berechnet. 
(Vgl. YI i, 3.) 

Wahrend nun fur die einheitliche Darstellung der Ergebnisse 
einer sich iiber ein groBes Stiick des Erdellipsoides erstreckenden 
Triangulierung (,,Landestriangulierung") und die als Gradabteilungs- 
karten behandelten topographischen Kartenwerke jene ,,ellipsoidischen 
Winkelkoordinaten" y, A unmittelbar gebraucht werden, sind die- 
selben nicht geeignet fiir die Spezialvermessungen, die Linien- 
und Winkelmessungen rechnerisch verbinden, z. B. die staatlichen 
Katasteryermessungen. Fiir die iibersichtliche Darstellung der Ergeb 
nisse dieser Spezialvermessungen (Kleintriangulierung, Polygonisierung 
und Einzelaufnahme, vgl. dieNrn. 9 13) muB die Beziehung zwischen 
den unmittelbaren Messungen und dem Ausdruck fiir die Punktorte 
(Koordinaten), d. h. also das anzuwendende Rechnungsverfahren ein- 
facher sein, als es das die Punktorte in Bezug auf die Erdachse an- 
gebende System der sog. geographischen Koordinaten gestattet. Dies 
wird erreicht durch ,,Linearkoordinatensysteme" , welche gewonnen 
werden durch zwei auf der ,,mathematischen Erdoberflache" sich recht- 
winklig schneidende Richtungslinien, ,,geodatische reclitwinkliye Koor 
dinaten". Bei Voraussetzung einer ebenen Yermessungsflache ent- 
sprechen dieselben unmittelbar den ebenen rechtwinkligen Koordinaten 
y, x der analytischen Geometric, bei Riicksichtnahme auf die Kriimmung 
der mathematischen Erdoberfliiche ergeben sich daraus die recht 
winkligen ,,spharischen", bezw. ,,ellipsoidischen" Linearkoordinaten. Die 



8b. Rechtwinklige ebene Koordinaten. 29 

Theorie der ,,ellipsoidischen Linearkoordinaten" gehort zur ; ,hoheren 
Geodasie", VI i, 3. 

8 b. Rechtwinklige ebene Koordinaten. Im Vermessungs wesen muB, 
um bei den umfangreichen Zahlenrechnungen ein eindeutiges Formelsystem 
zu erhalten, wenigstens fiir ein zusammenhangendes Vermessungswerk 
(Landesvermessung) eine bestimmte Richtungszahlung ein fiir allemal 
festgestellt und innegehalten werden. Vollstandige TJbereinstimmung 
besteht nicht; auf Grund der wichtigsten Vermessungsanweisungen 
und Lehrbiicher (p. 5, 6) kann jedoch als maBgebend angenommen 

werden, daB in derniederen 

4- x, 
Geodasie die Zahlung von 

-|- x iiber -f~ 1 J i m Sinne 

der Uhrzeigerbewegung 
durchlaufend in Uberein- 
stimmung mit der Beziffe- 
rung des Horizontalkreises 

desTheodolitserfolgt(Fig.l), 

womit also die Quadranten- 
zahlung (I. Quadrant zwi- 
schen -|- x und -j- y usw.) 
gegeben und bestimmt ist, 
daB von -f- x aus die , ; Rich- 
tungen" von bis 360 
durchgezahlt werden. Die an Fig. 1. 

sich willkurliche Auswahl 

der 7 ,Hauptrichtachse" X wird bei vereinzelten, unabhangigen Kleinauf- 
nahmen in passender Weise, z. B. zusammenfallend mit einer Haupt- 
messungslinie, einer Dreiecks- oder Polygonseite, angeordnet, etwa so, 
daB alle Punkte des begrenzten Vermessungskomplexes in den I. Quad- 
ranten fallen. Zuweilen werden auch die Koordinaten dadurch orientiert, 
daB der 7; magnetisc}ie Meridian" des Aufnahmegebietes die X-Achse 
bestimmt (mit oder obne Beriicksichtigung der magnetischen Dekli- 
nation), oder daB grobe astronornisclie Orientierung (korrespondierende 
Sonnenhohen usw.) vorgenommen wird. Erhalt eine solche fiir sich 
selbstandig ausgefiihrte Vermessung nachtraglich AnschluB an ein be- 
stehendes oder neugewonnenes Vermessungssystem, oder wird sie von 
vornherein auf Grund von bereits in einem gegebenen Koordinaten- 
system vorliegenden Punktbestimmungen ausgefiihrt, so ergeben diese 
iibergeordneten Systeme die Orientierung fiir die Neuaufnahnien. Die 
Beziehungen zwischen den Koordinaten y, x und den zugehorigen (ge- 
messenen oder zu messenden) Polarkoordinaten Entfernung s, System- 



30 



VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodlisie. 



oder Netzrichtungswinkel (Direktionswinkel) 34 ) n sind die folgenden 
(Fig. 2): 

>jy Ql /\ fit . . . . O Cm /M /Y> />* _ _. /\ /V O f*f\Q M 

Wo W-* {* 17 1 o o olJJ. rv<t a . *.Q i//- _i tX- i 9 O OV/o fv-t o * 

s = >/A ^1 -(- A a;^ ; w 12 == arctg - - 1 : ; 21 = w 12 + 180. 

Die in Betracht kommenden Aufgaben sind also: 1) Gregeben i/ 1; ^; ge- 
messen s l} M 12 ; gesucht / 2 , a; 2 ; 2) Umkehrung: gegeben y lt x 1} y%, 2 ; 




Fig. 2. 

gesucht s, w 127 w 21 -, 3) Ableitung der im Koordinatensystem 77 orien- 
tierten Richtungen" (Netzrichtungen) n ln aus den unmittelbar beob- 
achteten Kreisablesungen am Theodoliten, den gemessenen Ricntungen r 
oder Winkeln w. Es ist r ln -f- o = n ln , wozu die , ; 0rientierung" 
o zu ermitteln ist, und mindestens eine Richtung bereits orientiert sein 
muB. z. B. w 19 = arctg- ? - : o = w 19 r 19 . Liegen mehrere Rich- 

/ 12 O /y /v> / X A* O 

2 1 

tungen zur Orientierung vor ; |so entsteht eine Ausgleichungsaufgabe (vgl. 
p. 48). Liegt nur ein Winkel w vor ? so ist z. B. w = r u r 12 =w 13 n 12 , 
womit der Winkel aus beiden Netzrichtungen, oder die eine Richtung 
aus der audern durch den Winkel bestimmt ist. 

8c. Rechtwinklige spharische Linearkoordinaten. Wenn Ver- 
messungen groBere Ausdehnung annehmen, so tritt (wie friiher angegeben) 
zunachst anStelle der 7 ,ebenen" die ,,kugelformige u Vermessungsflache; das 
,,ebene Koordinatensystem" erweitert sich zum ,,spharischen". Als 



34) Fiir den Richtungswinkel ist bei dem preuBischen Kataster die Bezeich- 
nung Neigung ublich. Der auch zuweilen gebrauchte Ausdruck Azimut bleibt 
besser dem astronomischen Azimut vorbehalten. Andere Namen sind Bestim- 
mungswinkel und Siidwinkel. Vgl. Hammer, Trigonometric, Anmerk. 67, p. 559. 



8c. Rechtwinklige spharische Linearkoordinaten. 31 

Hauptrichtachse (X-Achse) dient der Meridian des passend gewahlten 
, } Koordinatenmdlpimktes", womit die Orientierung des Punktsystemes 
gewonnen ist. Diese Orientierung erfolgt wieder aus etwa vorhan- 
denen Bestimmungen (Koordinaten y n , x^) oder kann direkt nach irgend 
einer Methode der astronomischeii Azimutbestimmung vorgenommen 
werden (z. B. Winkelmessung zwischen Polarstern und einer geodatischen 
Richtung). Entsprechend den Bezeichnungen fiir das ebene System 
sind nun die 7r Abszissen" der Punkte 1 und 2 die Meridianbogen x 
und X 2 des Nullpunktmeridians, gerechnet vom eingefiihrten Null- 
punkt bis zum ; ,FuBpunkt" der Ordinaten y l7 y% } welche durch die 
rechtwinklig zu ihm stehenden (im Querschnittpol konvergierenden) 
,,Querschnittbogen" y 1} y% gebildet werden. Die Entfernung s ist der 
Erdbogen (GroBkreisbogen) zwischen 1 und 2; die in 1 und 2 ge- 
legten 77 Meridianparallelen" bestimmen in ihrem positiven Zweige (ent- 
sprechend der -|- X-Richtung) die Anfangsrichtung fiir die Zahlung 
der ,,Riclitimgswinkel" 12 bezw. n n , welche der Erdbogen s mit 
diesen positiven Zweigen der Parallelen einschlieBt. In TJberein- 
stimmung mit den oben fiir die Ebene gegebenen Beziehungen sind 
nun die fiir das in Frage kommende Anwendungsgebiet in der Regel 
hinreicbenden Formeln 35 ) (R = Erdradius, Q hier und stets im fol- 
genden Faktor zur Verwandlung von Bogen- in WinkelmaB) 

s ^M.cos 2 ^,, s s sin. a cos 3 n. , 

nt at - C C31T1 <M 

2 9i ~ 



sy 9 2 cos , , s 3 sin 2 n, 9 cos n, 

z 



^/2 snw u cosw ]2 . . . 

4_ 180 M S 5* n _ ^sin OTl2 co.s Mli , 
"21 "12 HI - L0 ^ _^2 V 2 J2 S " 

Die Vergleichung mit den Formeln des ebenen Systems laBt die 
spharischen Zusatzglieder erkennen, welche die Beriicksichtigung der 
Erdkugelkriimmung im Vergleich zur ebenen Rechnung erforderlich 
macht. Die Entscheidung iiber die Vernachlassigung der spharischen 
Glieder hangt von der Genauigkeit ab, mit der die Punktabstande und 
Richtungswinkel durch die Rechnung wiedergegeben werden sollen. 



35) Jordan, Handbuch 3, 46. 



32 VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie. 

Tragt man die Koordinaten (y, x) als ebene rechtwinklige Koordinaten 
auf, so erhalt man eine Kartenprojektion (Soldner sche Projektion 36 )). 
Die Verzerrungen derselben wachsen hauptsachlich mit wachsendem y 
im Verhaltnis --^-j, so daB ihr zu beiden Seiten des Nullmeridians 

bei den heutigen Anforderungen uur eine Ausdehnung von 30 bis 
50 km gegeben werden kann. In der Meridianrichtung kann sie sich 
liber mehrere Breitengrade erstrecken, wie die Rektifikation der Erd- 
meridianellipse zeigt. 

Nehmen zusammenhangende Vermessungen so groBe Ausdeh- 
nungen an, wie die iiber das gesamte Gebiet eines Staates ein- 
heitlicli sich erstreckenden ,,Katastervermessungen", so tritt die 
Notwendigkeit hervor, einerseits moglichst einfache und bequeme 
Rechenmethoden beizubehalten, andererseits dafiir zu sorgen, da6 
der Zusammenhang zwischen den der Natur der Sache nach ge- 
trennt und unabhangig voneinander vorzunebmenden Spezialver- 
messungen streng gewahrt bleibt, sodaB jeder Messungspunkt auf der 
zu Grunde gelegten matbematischen Erdoberflache die ihm im Ver- 
gleich zu alien andern Punkten zukommende Lage erhalt. Dazu ist 
als Grundlage erforderlich eine einheitliche Haupttriangulierung und 
im AnschluB an diese fur groBe Staaten (z. B. PreuBen) die An- 
ordnung einer Eeihe von Einzelkoordinatensystemen , die durch diese 
Triangulierung orientiert sind. Die durch die grundlegende Landes- 
triangulierung gelieferten ellipsoidischen Winkelkoordinaten 95, A werden 
innerhalb der Einzelsysteme in ellipsoidische Linearkoordinaten y, x 
verwandelt, sodaB innerhalb der begrenzten Einzelsysteme je nach 
den Punktabstanden spharisch (mittlerer Kriimmungsradius) oder eben 
gerechnet werden kann. Die Beziehung der Ellipsoidkoordinaten q>, A 
und y, x zu einander gehort in das Gebiet der ;; hoheren Geodasie". 
Die Anordnung der Einzelsysteme erfolgt in verschiedener Weise, 
entweder nach runden Werten der geographischen Koordinaten oder 
Verwaltungsbezirksgrenzen, wie z. B. in PreuBen, wo 40 Spezialsysteme 
mit y bis 60 km bestehen. Anstatt einen Meridian als Hauptachse 
anzunehmen, kaiin dazu auch der Querschnittbogen des Normalpunktes 
genommen werden, wodurch die Bedeutung von x und y sich um- 
kehrt. Die Methode der Punktortangabe durch rechtwinklige Koordi 
naten auf der gekrummten Erdoberflache ist aus den franzosischen 



36) Die Soldner schen Entwickelungen sind publiziert in: Bayerische Landes- 
vermessung in ihrer wissenschaftlichen Grundlage, Miinchen 1873; vgl. ferner 
J. Bohnenberger, De computandis dimensionibus trigonometricis etc., Tubingen 
1826, 1516; Jordan, Handbuch 2, Kap. VII; 3, Kap. V und VII. 



8d. Konforme rechtwinklige GauB sche Koordinaten. 33 

Messungen gegen Ende des 18. Jahrhunderts iibertragen worden und 
dann zuerst irn heutigen Sinne rational! entwickelt und zur Anwendung 
gekommen bei der zu Beginn des 19. Jahrhunderts in Angriff ge- 
nommenen bayerischen Landesvermessung durch SoMner 36 ). Nach dem 
Vorgange Bayerns sind rechtwinklige spharische Soldner sche Koordi 
naten fast allgemein bei den Katastervermessungen eingefiihrt worden. 
Die Formeln sind zunachst von J. Bohnenberger weiter entwickelt worden 
und in neuerer Zeit besonders durch Jordan 36 ). 

Sd. Konforme rechtwinklige GauB sche Koordinaten. Bei der 
hannoverschen Landesvermessung hat C. F. Gauft (vgl. Werke, Bd. 9) 
das Prinzip der konformen Abbildung (fur die Kartenprojektiou schon 
friiher verwendet) zum erstenmal auf geodatische Punktbestimmungen 
iibertragen. Durch Einfiihrung der Bedingung der Ahnlichkeit der 
von der gekriimmten Erdoberflache (Kugel) auf eine ebene Berech- 
nungsflache abgebildeten unendlich kleinen Figuren ergeben sich, wenn 
wieder der Meridian des Nullpunktes als ebene Abszissenachse (Kar- 
tenmittellinie des umhiillenden Zylindermantels) angenommen wird, 
die Abszissen ebenso wie bei dem Soldner schen System, die ebenen 
Ordinaten t) dagegen erscheinen im Vergleich zu den spharischen 
(natiiiiichen) uni einen von der GroBe der Ordinate und der Erd- 
kriiinmung abhangenden Betrag geandert. Die Erdbogen s bilden 
sich zwischen den projizierten Punkten als schwach gekriimmte Linien 
ab; die Richtungswinkel T der Tangenten in den Anfangspunkten 
der Bogen weichen nur urn einen geringen Betrag von den Richtungs- 
winkeln it der geraden Verbindungslinien ab. Bezeichnet die gerad- 
linige Entfernung in der jt)- Ebene und s, wie oben angegeben, die 
spharische Entfernung, so gelten die Formeln 37 ): 

r x- ti u 4- -^-- q 
6A >8 

T = " - 



Die Vergleichung der Zusatzglieder fiir die Strecken und Richtungs 
winkel mit denjenigen der Soldner schen Rechnung zeigt, daB bei den 
(rawyS schen Koordinaten fur die Strecken der Faktor cos 2 w wegfallt, 
d. h. entsprechend dem Prinzip der konformen Abbildung die Strecken- 
verzerrung nach alien Richtungen dieselbe ist und gleich dem Maximal- 
betrag derselben bei den Soldner schen Koordinaten fiir n = 0. Wird 
dies Zusatzglied nicht beriicksichtigt, so ist die mittlere Streckenver- 
zerrung bei den (rau/3 schen Koordinaten groBer; soil das Glied aber 



37) Jordan, Handbuch 3, 50. 

Encyklop. d. math. Wiasenscli. VI 1. 



34 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

beriicksicbtigt werden, so ist das wegen der Unabhangigkeit von der 
Ricbtung bei diesen einfacber als bei den Soldner schen, da, sobald die 
Strecken oder (y% y^ klein sind, das Glied ortlicb konstant ist. Die 
Vergleichung der Zusatzglieder fur die Ricbtungsreduktion zeigt, daB 
das erste Glied bei beiden Arten von Koordinaten klein ist, daB das 
zweite bei den Soldner schen Koordinaten von 7/ 2 abhangige Glied bei 
den Graw/Tschen nicht vorkommt, wahrend bei diesen das zweite Glied 
uberbaupt nur sebr gering ist, d. b. bei der konformen Projektion ist 
die Vernachlassigung der Ricbtungsreduktion verhaltnismaBig belang- 
los. Die Theorie der 6raw/J schen Koordinaten fiir das Ellipsoid ist 
zuerst von 0. Schreiber 56 ) dargestellt, und spater in die Berechnungs- 
arbeiten der preuBiscben Landesaufnahme eingefiibrt worden. In letzter 
Zeit hat Jordan 39 ) die Vorziige der konformen Koordinaten beson- 
ders bervorgehoben und dieselben auch fiir die Einfiihrung bei den 
Spezialvermessungen empfoblen. Das alte klassiscbe Gaufi sche Koor- 
dinatensystem mit dem Nullpunkt Gottingen ist bei den preuBischen 
Katastervermessungen aufgegeben worden. Ein konformes Koordi- 
natensystem (Kegelprojektion) hat Mecklenburg 40 ). Weiteres iiber 
Kartenprojektionen findet man in VI l ? 4 (R. Bourgeois). 

8e. Koordinatentransformation. Sowohl bei Kleinmessungen, bei 
welchen als Richtachsen irgend welche Messungslinien gewahlt wurden^ 
als auch bei geodatischen Koordinatensystemen (bier besonders an 
den Systemgrenzen) tritt haufig die Aufgabe der Umwandlung von 
rechtwinklig ebenen Koordinaten von einem System in das andere 
auf. Hierbei wird statt der allgemeinen Transformationsformeln 

y = 2/o + 9 cos E -J- l sin e 
x = X Q -f- J cos ty sin e 
haufig besser nach Koordinatenunterschieden von Punkt zu Punkt 

Ay = At) cos -f~ A sin 
A# = Aj cos s At) sin s 

gerechnet, wobei sich in den AbschluBkoordinaten eine Rechenprobe 
ergibt. Die Differenz der Systemrichtungen ist in der Regel aus 
in beiden Systemen gegebenen Koordinaten abzuleiten, sodaB auch 
diese Ableitungen in die Rechenformeln fiir die Transformation un- 



38) Theorie der Projektionsmethode der hannoverschen Landesvermessung, 
Hannover 1866. 

39) Zahlreiche Artikel in Zeitschr. fur Vermessungswesen von 1894 bis 1899. 

40) GroBherzoglich Mecklenburgische Landesvermessung, V. Teil, Schwerin 
1895; Jordan, Handbuch 3, p. 335. 



8e. Koordinatentransformation. 9 a. Allgemeines iiber Triangulierung. 35 

mittelbar eingefiihrt werden. Sehr haufig (z. B. an den auf der 
mathematisclien Erdoherflache gleichartig orientierten Systemgrenzen, 
p. 32) sind die Richtungsdifferenzen s der Systeme sehr klein, 
sodaB die Koordinatenanderungen als Differentiale aufgefaBt und 
dementsprechend die Rechnungen vereinfacht werden konnen 41 ). 

9. Die Punktbestimmung durch Triangulierung. 
9 a. Allgemeines iiber Triangulierung. Die Aufgabe der Triangu 
lierung ist, fiir ein im Gelande dauerhaft bezeichnetes System von Fest- 
punkten (,,Dreieckspunkt", ,,trigonom. Punkt" oder ,,Station") durch Win- 
kelmessung mit dem Theodolit die Lage ihrer Projektionen auf die Ver- 
messungsflache in geodatischen Koordinaten zu bestimmen. Die Methode 
ist von W. Snellius^ in der Absicht ersonnen, die zeitraubende und 
praktisch oft nicht durchfiihrbare direkte Messung langer Strecken zu 
ersetzen und ist von ihm 1610 bei der Messung eines Meridian- 
bogens zur Ausfuhrung gebracht. Im Gelande werden Punkte derart 
ausgewahlt, dafi ihre Verbindungslinien ein System von Dreiecken 
bilden. Wenn nun in diesen Dreiecken die Winkel (oder die Rich- 
tungssysteme auf den Stationspunkten) sowie fiir irgend eine Linie 
des Systemes die Lange unmittelbar gemessen werden, und weiterhin 
noch das Azimut irgend einer Linie oder ihr Richtungswinkel in einem zu 
Grunde gelegten Koordinatensystem bekannt ist, so konnen fiir samtliche 
Dreieckspunkte die Koordinaten und hieraus alle etwa erforderlichen 
weiteren Punktabstande, Richtungen und Winkel berechnet werden. Im 
Rahmen der ;; niederen Geodasie" handelt es sich hierbei stets um Punkt 
bestimmung im rechtwinkligen Koordinatensystem mit 7; ebener" oder 
, ; spharisclier" Rechnung (vgl. p. 29), und zwar in der Regel um 
,,EinscliaUungs-Triangulierungen" in die als gegeben betrachteten iiber- 
geordneten Punktsysteme einer Landestriangulierung. Es kommen 
jedoch fiir kleinere Gebiete auch selbstandige in sich geschlossene 
Kleintriangulierungsnetze vor, bei denen dann entweder fiir eine Linie 
durch besondere ,,Basismessung" mit MeBlatten oder MeBband (vgl. 
Anordnung und Genauigkeit p. 19) mit eventueller Einfiigung eines 
,,Basisnetzes u (vgl. VI 1, 3) das LangemnaB eingefiihrt, oder auch 

41) Weiteres hieriiber sowie iiber die Transformation zusammenhangender 
trigonometrischer Netze findet man bei Jordan, Handbuch 2, 68 und F. G. 
Gaufi, Rechnungen der FeldmeBkunst, Kap. V; fur amtliche Rechnungeu mit 
Formularen vgl. Anweisung IX. 

42) Eratosthenes Batavus, de terrae ambitus vera quantitate, Lugduni 
Batavorum 1617. Historisches bei J. D. van der Plaats, Tijdschr. v. Kadaster 
en Landmeetkunde 5 (1889), p. 1 und G. B. H. de Balbian, ibid.; ferner Jordan, 
Handbuch 1, p. 453. 

3* 



36 "VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodiisie. 

aus einer vorhandenen Triangulierung entnommen wird, und nur das 
Richtungsnetz der Neuarbeit an sich als selbstandiges System auf- 
gefaBt wird, wie das z. B. yorkommt bei Stadtvermessungen, Tunnel- 
triangulierungen und anderen Aufgaben 43 ). 

Die grundlegenden Triangulierungen fiir die Erd- und Landesver- 
messung, welche sich iiber weite Gebiete hinziehen und Rechnung 
auf der ellipsoidisclien Flache erforderlich machen, rechnet man zur 
,,hoheren Geodasie". Man untersclieidet dementsprechend ^Hauptf -, 
,,Zwischen"- und ,,.B7em"-Triangulierung, oder Triangulierung I. ? II., 
III. und IV. (auch V.) ,,0rdnung". Durch diese bei Landesverniessungen 
stufenweise einander untergeordneteu Systeme werden die Punktab- 
stande (Dreiecksseiten) nach und nach von etwa 50 km und mehr 
bis zu einigen km, und fiir die Spezialvermessungen bis zu 1 km, ja 
Y 2 km herabgefiihrt, wobei gleichzeitig stufenweise die Messungs- und 
Rechnungsmethoden eine entsprechende Modifikation erfahren, und 
der Ubergang von der ellipsoidisclien Rechnung zur ebenen Rechnung 
der Kleinmessungssysteme vollzogen wird. 

Die zunachst bei einer Triangulierung vorzunehmenden Arbeiten 
sind: A) ,,Erkundung cles Netzes", Auswahl und sachgemafie Ver- 
teilung der Punkte im Gelande; B) dauernde Bezeichnung ( ;; Vermar- 
kung") der Punkte, z. B. durch einen Stein mit eingemeiBelteni Kreuz- 
schnitt mit unterirdischer Versicherung durch eine ahnliche Marke; 
C) Sichtbarmachung (,,Signalisierung") der so bezeichneten Punkte 
fiir die Winkelmessung durch lotrecht gerichtete Stangen, Signaltafeln ; 
Signalpyramiden. Fiir groBere Entfernungen und besondere Verhalt- 
nisse wird auch vom Heliotrop (vgl. VI 1, 3) (rebranch gemacht. 
GroBe Bedeutung haben als Signale die Kirchtiirme, deren Helmstangen- 
Mittellinien als Zielpunkte in ausgiebiger Weise verwendet werden. 

9b. Zentrierung. Kann der Theodolit nicht genau iiber einem 
solchen Vermarkungsstein aufgestellt werden, oder ist, wie z. B. bei 
Kirchtiirmen, das ^Zentrum der Station" als Instrumentstandpunkt 
nicht zuganglich und muB auf einem ^Nebenstandpuiikt" (Galerie usw.) 
beobachtet werden, oder ist umgekehrt ein J$ebenzidpunkt ii erforder 
lich, so handelt es sich um das ,,Zentrieren" der Beobachtungen, d. h. 
Umrechnung auf zentrale Sicht. Wird das auf dem ,,exzentrisclien 
Standpunlet" S gemessene Richtungssystem r i} * 2 , . . ., r n auf die Zen- 
trallinie nach dem Zentrum C als Anfangsrichtung reduziert und mit 
8 i} 6%, ..., s n bezeichnet, und das entsprechende auf die gleiche Anfangs 
richtung bezogene gesuclite ,,zentrierte System" mit cc lr a 2 , ...,, so ist 



43) Beispiele und Literatur in den Handbuchern. 




9b. Zentrierung. 9c. Die Winkelmessungen und ihre Anordnung. 37 

a t = ,. -f- S t (Fig. 3), worin der parallaktische Winkel d ( . iiber der 
Exzentricitat e = CS bei bekannter bezw. vorher zu bestimmender 
Entfernung s f aus dem parallaktischen Dreieck sich ergibt. Die 
Zentrierung fur einen Winkel ergibt sich ohne weiteres aus den 
Richtungsreduktionen. Die durch besondere Messungen (,,Zentrierungs- 
messungen") zu bestimmenden Werte e und , sowie die Entfernung s 
bezeichnet man als ^Zentrienmgselemenie" . Dieselben miissen so genau 
ermittelt werden, daB ihre Fehler keine in 
Betracht komrnende Erhohung des Be- 
obachtungsfehlers fiir die Richtungen her- 
beifiihren konnen. Die Messung der 
,,Zentrierungselemente" e und s muB 
haufig ,,indirekt" mit besonderen Hilfs- S 
konstruktionen geschehen, wenn z. B. 
der Standpunkt S des Instrumentes auf 

der Galerie eines Kirchturmes und das Zentrum C die Helmstangen- 
mittellinie ist. Man kann dann eine Grundlinie messen und an deren 
Enden die Richtungen nach C und S in bezug auf die Grundlinie (Auf- 
gabe der unzuganglichen Entfernung, vgl. p. 43). Die Aufgabe kam 
schon bei Snellius Triangulierung vor. Wenn irgend moglich, werden 
iiberschiissige Bestimmungen verwendet, sodafi die Zentrierung zu 
einer kleinen Triangulierung mit Ausgleichung wird 44 ). 

9c. Die Winkelmessungen und ihre Anordnung. Als Genauig- 
keitsausdruck fiir die Messung mit dem bei den Triangulierungen der 
niederen Geodasie verwendeten Theodolit mittlerer GroBe kann nach 
p. 25 angenommen werden (bei Anwendung der dort erwahnten fehler- 
tilgenden Beobachtungsmethode), daB der 7 ,mittlere Richtungsfehler im 
Satz" etwa zwischen den Grenzen + 2" bis + 6" liegt, so daB bei der 
Ausfiihrung von 3 bis 6 Satzen der Fehler des Gesamtmittels stets 
innerhalb weniger Sekunden zu halten ist, wobei zu beriicksichtigen 
ist, daB auBere Fehlerquellen (Signalstellung usw.) Fehler von gleichem, 
ja grofierem Betrage in die Bestimmungen hineinbringen. Ist z. B. ein 
Zielpunkt urn + 1 cm unrichtig bezeichnet oder eingestellt worden, 
so ist bei einer Zielweite von 1000 m die entsprechende Richtungs- 
unsicherheit + 2", und wenn das Instrument gleichfalls um + 1 cm 
unrichtig aufgestellt (zentriert) ist, so wird daraus + 2"]/2. Wah- 
rend friiher die Dreieckswinkel unabhangig je fiir sich gemessen 
wurden, wird jetzt in der Regel das fiir eine Punktbestimmung auf 
einer Station sich ergebende ,,Richtungssystem" r^ . . . r n als das ge- 

44) Jordan, Handbuch 2, 74, 75. 



38 



VI i, 1. C. Beinhertz. Medere Geodasie. 



suchte betraehtet, aucli wenn fur die eigentliche Messung der ,,Winkel" 
als das giinstigst zu messende Richtungssystem verwendet wird. Der 
einfachste Fall liegt vor, wenn (ygl. p. 25) die satzweise Richtungs- 
messung in ,,vollstandigen" Satzen ausfiihrbar ist und das arithme- 
tische Mittel sofort das Beobachtungsergebnis liefert. Nicht zu ver- 
meidende Storungen und Hindernisse fiihren aber sehr haufig zur 
Anwendung ^unvottstandiger" Satze. Dies fiihrt dann unter Beachtung 
moglichster Elimination der Teilungsfehler und moglichst systemati- 
scher Anordnung der Messungen zu einer Ausgleichungsaufgabe, sog. 
} ,Stationsausgleichung" . Diese erfolgt in der Regel nach der Methode 
der vermittelnden Beobachtungen, wobei satzweise die Fehlerglei- 
chungen fiir die Richtungen und die ; ,0rientierungen" aufzustellen 
sind 45 ). Bei den sich meist sehr verwickelt gestaltenden Richtungs- 
netzen der Einschaltungstriangulierungen wird dann auch mit Vorteil 
von einer bei der englischen Landesvermessung 46 ) zuerst gebrauchten 
Naherungsausgleichung Anwendung gemacht. 
Sind etwa die folgenden Satze beobachtet: 



Satz 


Station 

I A | B 


C 




1 





, 





ft 




2 





<* 2 


ft 


^2 




3 








/3 3 


7s 




4 





"4 





7l . 




Mitfcel 


a 





r 





wobei angenommen ist, dafi eine Station (0), auf die die (ibrigen be- 
zogen werden, in alien Satzen vorkommt, so bildet man zunachst die 
Mittel der Messungen fur die einzelnen Stationen a, ft, y. . . . Dann 
recbnet man fiir jeden Satz die mittlere Abweichung gegen die Stations- 

mittel aus ; also z. B. fiir Satz 1 die Abweichung (a K^ -(- 7 y^) 
oder fiir Satz 2 : -- (a # 2 -\- /3 /3 2 -f- y y 2 ) usw. ; und fiigt diese 
Abweichung alien Ablesungen des betreffenden Satzes hinzu. Mit den 



45) Vgl. die genannten Handbiicher der Vermessungskunde bezw. der Aus- 
gleichungsrechnung, z. B. Jordan, Handbuch 1, Kap. II. 

46) Ordnance trigonometrical survey of Great Britain and Ireland, London 
1858, p. 62. 



9c. Die Winkelmessungen und ihre Anordnung. 39 

verbesserten Werten wiederholt man das ganze Verfahren, bis die 
Verbesserungen innerhalb der Beobachtungsfehler liegen 47 ). 

Anstatt ein Richtungssystem r lJ r 2 , . . ., r n als Ganzes zu behandeln 
oder in einige mehrzahlige Reihen zu zerlegen, kann bei der Beobachtung 
auch das kleinste Richtungssystem, d. h. der Winkel, zur Anwendung 
kommen, wie das bei den alteren Triangulierungen zunachst geschah und 
bei Anwendung des Sextanten (nautische Triangulierungen) notwendig 
wird. Die Zerlegung eines mehrzahligen Richtungssystems in Winkel 
kann in verschiedener Weise geschehen. Wird das Richtungssystem 
r i> r ^ ) r n i n d* 6 Winkel w lz , w n , . . ., w ln zerlegt, so wird der 
Zusammenhang lediglich durch die Anfangs- oder Nullrichtung ver- 
mittelt, welche dem trigonometrischen Netze nicht notwendig an- 
zugehoren braucht. Die einzelnen Winkel konnen mehrfach (wie bei 

o * 

Richtungsmessung in verschiedenen Kreisstellungen) oder auch nach 
der Repetitionsmethode gemessen werden. Wird das Richtungssystem 
r D r z> > r n i n die aufeinanderfolgenden Winkel w 12 , w> 23 , . . ., w nl 
zerlegt, sodaB die Bedingung auftritt 2!w = 360, so hat man f in 
die das Richtungssystem ergebende Stationsausgleichung den einfachen 
Fall der Verteilung eines AbschluBfehlers ( 7 ,Horizontsumme"). Werden 
die Winkel so angeordnet ; daB beliebige Kombinationen gebildet und 
iiberschussige Bestimmungen erhalten werden, so wird das Richtungs 
system nach der Methode der kleinsten Quadrate abgeleitet, wobei 
sowohl die Rechnung nach ,/verinittelnden " als nach ,,bedingten" 
Beobachtungen erfolgen kann. Als maBgebend fur die Wahl des 
Rechnungsverfahrens wird meistens die Zahl der aufzulosenden Normal- 
gleichungen angesehen; hat man n Richtungen zu bestimmen und w 
Winkel gemessen, so sind bei ,,verruittelnden Beobachtungen" w Fehler- 
gleichungen anzusetzen und n 1 unabhangige Unbekannte zu be 
stimmen bezw. Normalgleichungen aufzulosen, und bei ,,bedingten" 
Beobachtungen w n -j- 1 Bedingungsgleichungen aufzustellen bezw. 
Normalgleichungen aufzulosen. 

Das giinstigste Verfahren der Richtungsbestimmung aus Win- 
kelmessung ist ,,Winkelrnessung in alien Kombinationen", welches 
0. Schreiber^ entwickelt hat. Dies zunachst fur Haupttriangulierung 
ausgebildete Verfahren findet neuerdings auch bei Kleintriangulierungen 
Anwendung. Fur das Richtungssystem r l} r 2) . . ., r n werden durch 
Bildung der Kombinationen ohne Wiederholung fur je zwei Richtungen 



47) Helmert, Ausgleichungsrechnung, p. 154; Jordan, Handbuch 1, p. 176; 
z. B. amtlich angewendet in Anweisung IX. 

48) Zeitschr. f. Vermess. 7 (1878), p. 209; 8 (1879), p. 07. 



40 



VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie. 



die n (n 1) Winkel gebildet. Diese Winkel w werden, wenn das 

Grewicht der ausgeglichenen Richtungen gleich s (entsprechend s Rich- 

2s 180 

timgssatzen) sein soil, p = mal in beiden Fernrohrlagen in : 

von einander abstehenden Kreislagen gemessen, wobei fur die einzelnen 

180 

Winkel die Kreisstellungen innerhalb des Intervalles so zu be- 

stimmen sind, daB die Richtungsablesungen symmetriscli iiber den Kreis 

verteilt werden. Dazu sind um bezw. . -r von einander abstehende 

p n p(n 1) 

Kreisstellungen erforderlich, je nacndem n eine ungerade oder gerade 
Zahl ist. Infolge der symmetrischen Anordnung dieses Beobachtungs- 
verfahrens gestaltet sich die Ansetzung der Febler- und der Normal- 
gleichungen sowie ihre Auflosung auBerst einfach. Dieses Messungs- 
verfahren ist ein ausgezeichnetes Beispiel fiir rationelle Anordnung 
von Messungen ; um niit einem Minimum an Arbeitsaufwand bei Be- 
obachtung und Rechnung ein Maximum an Genauigkeit zu erreichen 49 ). 

10. Die Grundaufgaben des trigonometrischen Einschneidens im 
rechtwinkligen Koordinatensystem. 

10 a. Vorwartseinsclmeiden und Seitwartseinschneiden. Der 
einfacbste Fall liegt vor, wenn zwei Punkte A und B durcn Koordinaten 
gegeben sind und auf A und B je eine im System ,,orientierte Rich- 
tung" tp und ift besteht, durch deren Schnitt die Koordinaten des 
Punktes P bestimmt werden (,,Vorwartseinsctmeiden u }. Sind im Drei- 





Fig. 4. 

eck ABP (Fig. 4) die an der Basis" AB gelegenen Winkel A, B 
gemessen, so hat man damit sofort y und ^, da die Richtung AB aus 
den gegebenen Koordinaten von A und B zu ermitteln ist. Andern- 



49) Jordan, Handbuch 1, Kap. II, IV; 3, Kap. I mit erweiterten Literatur- 
angaben; vgl. ferner VI i, 3. 



10 a. Vorwarts- und Seitwiirtseinschneiden. 1Gb. Ruckwartseiuschneiden. 41 

falls ist cp und ^ aus Richtungsmessungen nach irgend welchen anderen 
in Koordinaten gegebenen Punkten abzuleiten, wozu die J7 Richtung" 
(AS) nicht direkt erforderlich ist. Damit ist die Losung gegeben, 
fur welche, da diese Rechnungen bei Vermessungen stets wiederkehren, 
schematische Rechenformulare verwendet werden. Erwahnt sei noch, 
daB fiir logarithmische Rechnung die unmittelbar aus dem Dreieck 
durch Einfiihrung der Basis A 13 sich ergebende Form geeignet ist, fur 
die Verwendung der Rechenmaschine die analytische Ableitung aus 
dem Richtungsschnitt. Die Rechenmaschine kommt bei derartigen trigo- 
nometrischen Rechnungen neuerdings mehr und mehr in Anwendung 50 ). 

In trigonometrischer Hinsicht die gleiche Aufgabe ergibt sich 
beim sog. ?7 Seitwartseinschneiden" (Fig. 5); dabei ist A und B in 
Koordinaten und die orientierte Richtung <p auf A gegeben, und 
der Winkel y auf C gemessen (^ = cp -f- y), 

10 b. Riickwartseinschneiden. Gegeben sind drei Punkte, welche 
an einem vierten Punkte P, dessen Lage zu den drei Punkten zu 
bestimmen ist, in der rechtslaufigen Reihenfolge AMB erscheinen; 
gemessen sind auf P die Richtungen nach A, M, B z. B. durch die 
nebeneinander liegenden Winkel a, ft (Fig. 6). Diese Vierecksaufgabe (Drei- 
punktproblem) ist schon von Snellius (1610) bei seiner ersten Triangu- 
lierung benutzt. In der Vermessungskunde wird sie nach der graphischen 
Losung auf dem MeBtisch (vgl. p. 94) als ,,Ruckwartseinschneiden" 
bezeichnet; nach einer von Pothenot gegebenen Losung auch wohl 
unkorrekter Weise das ,,Pothenot sche Problem" genannt. Die Auf 
gabe ist oft behandelt und liifit verschiedene Losungen zu 51 ). Da beim 
Riickwartseinschneiden lediglich durch Richtungsmessung nach drei 
gegebenen Punkten die Koordinaten des Standpunktes sich ergeben, 
so hat die Aufgabe fiir die Praxis der Kleintriangulierung groBe 
Bedeutung und findet weitgehende Anwendung. Eine der bei Anwen 
dung im rechtwinkligen Koordinatensystem gebrauchlichsten Losungen 
(vgl. die Lehrbiicher) ist die folgende, mit Einfiihrung eines Hilfs- 
winkels 52 ) (Fig. 6): 1) Ableitung der Richtungswinkel(^Jf) 



50) Jordan, Handbuch 2, 78; 0. Koll, Geodatische Rechnungen mittels 
der Rechenmaschine, Halle 1903. 

51) Historisches bei G. D. E. Weyer, Ann. d. Hydr. 10 (1882), p. 534; /. 
D. van der Plaats, Tijdschr. v. Kadaster en Landmeetkunde 5 (1889), p. 1; 
Jordan, Handbuch 2, Kap. VIII, 7984. 

52) J. C. Burckhardt, Monatl. Korr. (v. Zach sche) zur Beford. d. Erd- und 
Himmelsk. 4 (1801), p. 360; F. W. Sessel, ibid. 27 (1813), p. 222, 566; Delambre 
in Cagnoli-Chombre, Trigonometrie, Paris 1808, p. 211 und Vorrede p. VIII. 
Historisches bei Hammer, Trigonometrie, p. 558 Anmerk. 58; Zeitschr. f. Vermess. 
24 (1895), p. 598. 



42 



VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 



sowie der Langen der Linien AM=a, BM=b aus den Koordinaten. 
2) In den Dreiecken AMP und BMP Ableitung der unbekannten 
Winkel qp und ^ bei den Punkten A bezw. B aus 



worin cp -f- ty bekannt ist und cp ^ aus 

tg 1 (9 ^) = co^g (45 + /*) tg (9? 
berechnet wird; ^ ergibt sich aus 

a sin /? sin i;> 




Fig. 6. 



6 sin a sin qp 

3) Danach lassen sich die iibrigen 
Seiten und Winkel und damit die 
Richtungswinkel aller Linien nach 
P und die zugehorigen Koordinaten- 
unterschiede (mit Probe) ableiten. 
Eine andere Methode, welche 
zur Zeit z. B. bei der preuBischen 

Katastervermessung (vgl. An- 
weisung IX) praktisch verwendet 
wird, griindet sich auf die von 
Collins 53 ) gegebene Losung. Der 
durch einen um ABP (Fig. 6) 
beschriebenen Kreis auf der Rich- 
tung MP abgeschnittene Punkt Q 

(Collins 1 Hilfspunkt) ist seiner Lage nach im Dreieck ABQ bestimmt 
durch die Winkel K und ft (als Peripheriewinkel iiber AQ bezw. BQ 
den gemessenen gleich), durch die er in Bezug auf die Puiikte A und 
B ,,vorwartseingeschmtten" wird 54 ). Damit ist der Richtungswinkel der 
Geraden PMQ bekannt und durch a und ft die Richtungswinkel (AP) 
bezw. (BP) sowie die entsprechenden Entfernungen ; zur numerischen 
Losung dieser Ansatze kann, je nachdem Logarithm en- oder Maschinen- 
rechnung stattfinden soil, das eine oder andere der bei ,,Vorwarts- 
einschneiden" angegebenen Rechenverfahren verwendet werden. 

Weitere Lb sungen (Fig. 7) gehen von den durch AMP und BMP 
beschriebenen Bestimmungskreisen mit den Peripheriewinkeln a und ft 
aus (wobei auch, wie schon von Snellius geschehen, die Kreismittel- 
punkte eingefiihrt werden konnen). In diesen Kreisen werden in den 
rechtwinkligen Dreiecken iiber MA bezw. MB und den beiden von 



53) Lond. Phil. Trans. 6 (1671), p. 2093; 15 (1685), p. 1231. 

54) tiber die Verwandtschaft zwischen Vorwarfcs- und Riickwartseinschneiden 
vgl. auch C. Eunge, Zeitschr. f. Vermess. 28 (1899), p. 313. 



10 c. Einige andere Methoden der trigonometr. Punkteinschaltung. 43 

M ausgehenden Kreisdurchmessern mit a und /3 (als Peripheriewinkel 
den gemessenen gleich) zwei Punkte A bezw. -B / , ; vorwartseingeschnitten", 
die eine beiden Kreisen gemeinschaftliche Sekante bestimmen, auf 
welcher P die Projektion von M darstellt. Auch hierbei konnen 
wieder die fur logarithmische sowie die fiir Maschinenrechnung geeig- 
neten Ansatze Verwendung finden 55 ). 

Die Losungen versagen, sobald der Punkt P auf dem Kreise durch 




Fig. 7. 

AMB liegt, sie geben unsichere Bestimmungen, wenn P diesem Kreise 
(,,gefahrlicher Kreis") nalie liegt; im Falle der ersten Losung (p. 42) 
wird (p -f- ^ ~ 180, tg ^ = 1, im Falle der zweiten Losung (Collins) 
bleibt die Richtung M Q unbestimmt, im Falle der dritten Losung die 
Sekante A If. Wegen des weiteren fiber die Moglichkeit und TJnmog- 
lichkeit der Losung, die Giinstigkeit der Lage von P in Bezug auf AMS 
und besondere Falle der Losung, Praxis der Zahlenrechnung, Rechen- 
formulare usw. mu6 auf die angegebene Literatur verwiesen werden. 

10 c. Einige andere Methoden der trigonometrischen Punkt 
einschaltung. 

a) Aufgabe der unzugangliclien Entfernung, Aufgabe der zwei Punkt- 
paare (Hansen sohe Aufgabe) 56 ). Sind von einem Viereck ABCD 



55) W. Cr. Hockner, Uber die Einschaltung von Punkten in ein durch Koor- 
dinaten gegebenes Netz mit ausgiebiger Verwendung der Ilechenniaschine, Leip 
zig 1891; C. Bwige, Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 204; H.Sossna, ebenda 25 
(1896), p. 269, 471. 

56) Historiscb.es und Literatur bei Hammer, Trigonometrie, p. 332 Anmerk., 
p. 559 Anmerk. 61 uud p. 562 Anmerk. 76; Jordan, Handbuch 2, p. 356. Uber 
die verschiedenen Losungsmoglichkeiten vgl. man: J. Bohneriberger-Pfleiderer, 
Ebene Trigonometrie, Tubingen 1802, p. 217; P. A. Hansen, Astr. Nachr. 13 
(1841), p. 165; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 24 (1895), p. 603; E. Dolezal, 
Berg- und Hiittenmannisches Jahrbuch (Leoben und Pribram) 1902, p. 183. Fiir 



44 



VI i, 1. C. Beinhertz. Medere Geodasie. 



(Fig. 8) zwei Ecken A und B bekannt und sind auBerdem vier un- 
abhangige Winkel zwischen den vier Eckpunkten gemessen, so kann 
man die Lage der beiden unbekannten Ecken C und I) bestimmen. 
Liegen die vier gemessenen Winkel a 3} a 4 , /3 3 , /3 4 an der bekannten 

Entfernung AB und ist die 
Entfernung CD die Haupt- 
unbekannte, so hat man die 
Aufgabe der unzuganglichen 
Entfernung. Hierbei handelt 
es sich um doppeltes Vor- 
wartseinschneiden und die 
Losung kann daber auch 
Fig 8 nach den Formeln fiir Vor- 

wartseinschneiden erfolgen. 

Liegen die gemessenen Winkel an der unbekannten Entfernung (die 
Aufgabe kann dann als doppeltes Riickwartseinschneiden aufgefaBt 
werden), so liegt die Aufgabe der zwei Punktpaare vor (Hansen sehe 
Aufgabe). Es gibt eine Anzahl Auflosungen, die fiir beide Falle ge- 
meinsam gelten, z. B. die folgende, bei der wie beim Riickwartsein- 
schneiden ein Hilfswinkel eingefiihrt wird. Es gilt nach Fig. 8 




sa 



AS 



-f , 



? 



Von den unbekannten Winkeln <p und ^ ist also die Surnnie und das 
Verhaltnis der Sinus bekannt. Setzt man daher: 



so wird 



to- a = 
Oi sin sn 



V) = cotg(45 



Damit sind die Winkel (f und ty und folglich auch alle Winkel 
zwischen den vier Punkten bekannt. Ist nun irgend eine Entfernung 
zwischen den vier Punkten gegeben, so kann man offenbar jede andere 
mit Hilfe des Sinussatzes ausrechnen. 

/3) Der Gegensclinitt ^}. Die von Jordan als Gegenschnitt be- 
zeichnete Methode der Punkteinschaltung ist eine Verbindung von 
Vorwarts- und Riickwartseinschneiden. Gegeben sind drei Punkte 



Losung mit der Rechenmascliine vgl. H. Sossna, Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), 
p. 361 ; 26 (1897), p, 649. 

57) Vgl. Jordan, Handbuch 2, 84, p. 363; Hartner-Dolezal 1, p. 612; 
fiir Rechnung mit der Maschine H. Sossna, Zeitschr. f. Vermess. 31 (1902), 
p. 364, 429. 



10 c. Einige andere Methoden der trigonometr. Punkteinschaltung. 45 



A, B, C (Fig. 9); ein vierter Punkt P soil bestimmt werden durch 
Messung eines Winkels d auf P und /^ auf B. Zur Berechnung der 
Koordinaten von P kann man zuerst die Koordinaten des Punktes M, 
des Mittelpunktes des umbeschriebenen Kreises von ACP ausrechnen. 
Dann sind in dem Dreieck BPM zwei Seiten und ein Winkel be- 
kannt, und man kann daher die beiden Seiten MP und BP und ihre 
Richtungswinkel finden und hat damit zwei Wege, die Koordinaten 
von P zu berechnen. 

y) Enveitertes Riickwartseinschneiden. Gregeben sind die drei Punkte 
A, M, B (Fig. 10) und auf den Neupunkten P und Q die Winkel 
<x. 2 , a i} /3 2 , /3 X gemessen 58 ). Man kennt dann von den Winkeln (p und 





Fig. 9. 



Fig. 10. 



if> die Summe und das Verhaltnis ihrer Sinus und kann sie daher 
unter Benutzung eines Hilfswinkels wie bei dem einfachen Riick- 
wartseinschneiden (p. 42) finden Sind (p und i{> ermittelt, so be- 
rechnet man die Strecken BQ und AP und ihre Richtungswinkel 
und daraus die Koordinaten von P und Q. Statt zweier Punkte P 
und Q kann man auch noch mehr Punkte gleichzeitig liber drei 
Punkte riickwarts einschneiden. 

Bei dem zweifach gegenseitigen Euckivdrtseinsdmeiden (Maretts Auf- 
gabe) 59 ) sind vier Punkte A, B, A } B gegeben und auf den Punkten 
P und Q die Winkel a, ft, y, d gemessen (Fig. 11). Zur Berechnung 
der Koordinaten von P und Q kann man die dem Collins schev, Hilfs- 



58) F. Pross, Trigonometric, Stuttgart 1840, p. 201; W. Jordan, Zeitschr. f. 
Vertness. 23 (1894), p. 449. 

59) J. Marek, Techn. Anleitung zur Ausfiihrung der trigonometrischen 
Operationen des Katasters, Budapest 1875, p. 269; E. Hammer, Zeitschr. f. Ver- 
mess. 24 (1895), p. 610. 



46 VI i, 1. C. Reinhf.rtz. Ni.edere Geodasie. 

punkte beim einfachen Riickwartseinschneiden entsprechenden Punkte 

P , Q heranziehen, deren Konstruktion aus der Figur ersichtlich 1st. 

Eine Abart des Ruckwartseinschneidens, bei der eine Langen- 

messung zwischen den Nenpunkten erforderlicli 1st, ist von W. Laslta 60 ) 




11. 



betrachtet. Gegeben sind (Fig. 12) die drei Festpnnkte jP 17 F 2} F & 
und auf drei Neupunkten N 1} N 2 , N 3 die in der Figur bezeichneten 




Fig. 12. 



Winkel gemessen, von denen einer iiberschussig ist; aufierdem ist eine 
Seite des Dreiecks N t N 2 N 3 gemessen. 

d) Lamberts Sectiseck- und Achteckaufgabe. Wir erwahnen noch 



60) Zeitschr. f. Vermess. 29 (1900), p. 565. 



11. Ausgleichung von Kleintrianguliernngen. 



47 




zwei Aufgaben von J. H. Lambert^, obwohl sie, wenigstens fiir die 
Feld- und Landmessung, nur von geringer praktischer Bedeutung 
sind. Bei der Sechseckaufgabe 
(Fig. 13) sind entweder auf 
den Punkten D, JE, F die 
Azimute von A, B, C bestimmt 
oder es sind die in Fig. 13 
bezeichneten Winkel gemessen. 
Bei der Achteckaufgabe (Fig. 14) 
sind zwischen den acht Punkten 
A, B, C, D, E, F, G, H von 
den vier letzten Punkten aus 
die 12 in der Figur bezeich 
neten Winkel gemessen. Die 

beobachteten Winkel bestimmen die Gestalt des Sechs- resp. Achtecks. 
Man vgl. auch III l, 3 (M. Simon). 

Da in der Vermessungstechnik stets iiberschussige Bestimmungen 
notwendig sind, dienen 
die vorstehenden Be 
stimmungen hauptsach- 
lich dazu, als Grundlage 
fiir die nachfolgeude 
Ausgleichung ,,ge- 
naherte Koordinaten" 
der zu berechnenden 
Punkte zu liefern. Die 
Genauigkeit der Punkt- 
bestimmung in den 

1 U Ct - -L CT 

Fig. 14. 



D 




beim , 7 Vorwarts"-, ;7 

warts"- und ,,Riick- 

warts"-Einschneiden sich ergebenden Figuren ist von Helmert und 

Jordan untersucht 62 ). 

11. Ausgleichung von Kleintriangulierungen. 

Die Ausgleichung der stets mit einer Anzahl iiberschussiger Rich- 
tungen oder Winkel oder gegebener Punkte erfolgenden trigonome- 



61) Beitrage zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung 1, 
Berlin 1765, p. 72, 77, 81, 186. 

62) Helmert, Zeitschr. Math. Phys. 13 (1868), p. 73; Jordan, ibid. 16 (1871), 
p. 397; vgl. auch Helmert, Ausgleichungsrechnung, p. 231; Jordan, Handbuch 1, 
2. Aufl. 1877, Kap. Ill; 3. Aufl., Kap. V. 



48 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

trischen Punktbestinimungen kann nach der Methode der ,,bedingten" 
oder der ; ,vermittelnden" Beobachtungen (vgl. I D 2 (J. Bauschinger), 
p. 768) vorgenommen werden, und zwar sowohl fiir unabhangige Klein- 
triangulierungen mit eigener Grundlinie als fur Einschaltungstriangu- 
lierungen. Die Auswahl des Verfahrens wird, wenn nicht besondere 
Umstande zu beachten sind, mit Riicksicht auf den schnellsten und 
glattesten Rechnungsgang getroffen. Bei einf ach gegliederten Systemen, 
wobei also mit moglichst wenig Linien viele Punkte verbunden sind, ist 
im allgemeinen die Methode der ; ,bedingten Beobachtungen" giinstiger, 
bei Systemen mit vielen iiberschiissigen Richtungen und wenigen Punkten 
die Methode der r vermittelnden Beobachtungen"; dementsprechend 
kommt die erstere mehr fiir die iibergeordneten Systeme, die letztere 
mehr fiir die untergeordneten Einschaltungen in Betracht, wobei auch 
der iibersichtlichere ,,Schematismus" von Wert ist. 

11 a. Methode der vermittelnden Beobachtungen. (Vgl. I D 2, 
p. 786.) Als Unbekannte werden betrachtet die Koordinaten y, x 
der zu bestimmenden Punkte und bei Stationsrichtungssystemen (vgl. 
p. 38, 39) deren ; ,0rientierungen" z, sodaB also die unabhangigen Winkel 
bezw. die Richtungen als Funktionen der Punktkoordinaten erscheinen. 
Diese werden zunachst angenahert berechnet und dann ihre Verbesse- 
rungen doc, dy durch die Ausgleichung ermittelt. Als lineare Fehler- 

gleichung ergibt sich fiir den vorliegenden Fall mit tg cp n = ^ 2 

(worin cp 12 die auf 1 nach 2 genommene Richtung, y^x lf y. 2 x. 2 die un- 
bekannten Punktkoordinaten sind): 

v = I -f- a dx -f- & dy l -j- c dx z -(- d dy% -f- dz, 

in der dz die Orientierungsverbesserung bedeutet. Die ;; Richtungs- 
koeffizienten" a, &, c, d bestimmen sich nach der Beziehung zwischen 
den j ; Richtungs anderungen" und den ,,Koordinatenanderungen"; es ist 



Diese Koeffizienten werden auch in der Form 

^~ 2/1 gdx bezw. ^ -^ gdy 

gebraucht; zu ihrer Berechnung dienen verschiedene Hilfsmittel, Rechen- 
schieber, numerische und graphische Tafeln, oder auch logarithmische 
Differenzen der trigonometrischen Funktionen 63 ). Ist einer der beiden 



63) Jordan, Handbuch 1, Anhang p. [8] [17]; 0. Seiffert, Logarithmische 
Hilfstafel zur Berechnung der Fehlergleichungskoeffizienten nach der Methode 
der kleinsten Quadrate, Halle 1892; J. H. Frarike, Koordinatenausgleichung 



11 a. Methods der vermittelnden Beobachtungen. 49 

Punkte 1 2 gegeben, so fallen die entsprechenden Glieder aus; fur 
eine Richtung am 7 ,gegebenen Standpunkt" 1 zam ,,Neupunkt" 2 (sog. 
,,auBere Richtung") ist 



sin qp, o -. . cos m, 

- ---- 7 



fiir eine auf einem ,,N"eupunkt" 1 nach dem ,,gegebenen Zielpunkt" 2 
(sog. ,,innere Richtung") ist 



, sin 

rf^is = H 

fiir die zur 7 ,0rientierung" von Systemen zwischen gegebenen Punkten 
beobachteten Richtungen fallen alle Richtungskoeffizienten fort. Die 
Fehlergleichungen fiir den Fall der Messung unabhangiger Winkel 
(z. B. bei Anwendung des Repetitionstheodolits) ergeben sich mit 
den Differenzen der zugehorigen Richtungskoeffizienten. Fiir jede be- 
obachtete Richtung (bezw. Winkel) wird ihre Fehlergleichung an- 
gesetzt. Z. B. bei der Bestimmung eines Punktes durch ein System 
auf ihm nach gegebenen Punkten beobachteter Richtungen (Riick- 
wartseinschneiden) ist die Form der Fehlergleichungen 
v = adx -f- bdy -f- dz -f- Z; 

hierin bedeuten die I die Abweichungen der beobachteten Richtungen 
gegen die mit ,,gen aherten" Koordinaten berechneten. Vielfach werden 
die zugehorigeu Normalgleichungen gleich so gebildet 7 da6 die Orien- 
tierungsverbesserung dz eliminiert ist. Sind n Fehlergleichungen vor- 
handen, so ersetzt man entweder in den Fehlergleichungen die Koeffi- 

zienten a und b durch a - - und b - ~ (reduzierte Form der 

Fehlergleichungen) oder 7 was noch zweckmaBiger ist, man fiigt (nach 
O. Schreiber) die fingierte Fehlergleichung: 

v n+t = M dx + M dy 

mit dem Gewicht ----- hinzu. Man braucht sich dann um dz nicht 

n 

mehr zu kiimmem. 

Ist ein Punkt durch Richtungssysteme bestimmt, die auf mehreren 
gegebenen Punkten nach gegebenen und dem Neupunkte beobachtet 
sind (Vorwartseinschneiden), so ist fiir jeden Standpunkt das System 
der Fehlergleichungen aufzustellen, welches dann ; falls nur ein Neu- 
punkt vorhanden ist, ebenfalls auf eine einzige Grleichung von der Form 

nach Naherungsmethoden, Miinchen 1884, p. 133; 0. Eggert, Hilfstafel zur Be- 
rechnung der Richtungskoeffizienten, entworfen von Fr. Kreisel, Berlin 1903 ; 
E.Engel, Osterr. Zeitschr. f. Vermess. 1 (1903), p. 101; Rechenschieber von W. Voigt, 
Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 183 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1. 4 



50 VI i, 1. C.Eeinliertz. Niedere Geodasie 

v adx -{- bdy -\- I 

mit dem Gewicht . - reduziert werden kann, wo m die Anzahl der 
m -\- l 

auf dem betreffenden Standpunkt nach gegebenen Festpunkten be- 
obachteten Richtungen ist. Bei der Punktbestimmung durch auBere 
und innere Richtungen (,,vereintes Einschneiden") ergeben sicli dem- 
nach Fehlergleichungen beider Art. In der Praxis der Kleintriangu- 
lierung handelt es sich in der Regel nur urn die Einschaltung eines 
einzelnen Punktes, also um zwei bezw. drei Unbekannte, y, x, bezw. 2. Bei 
gleichzeitiger Ausgleichung mehrerer Punkte in einem geschlossenen 
Netz oder Netzteilen (Punktgruppen aus zwei, drei und mehr Punkten 
bestehend) ergeben sich dazu noch die Fehlergleichungen in der oben 
angefiihrten Form zwischen je zwei Neupunkten. Die aus den Fehler 
gleichungen gebildeten Normalgleichungen werden nach dem Gaufi- 
schen Verfahren (vielfach mit Benutzung der Probe nach der Summen- 
gleichung I D 2, p. 790) aufgelost. Zur Bildung der Faktoren der 
Normalgleichungen und deren Auflosung ist fiir die meisten Aufgaben 
der Kleintriangulierung der Rechenschieber als ausreichend zu er- 
achten 64 ). Die Ableitung des ,,mittleren Fehlers der Gewichtseinheit" 
(Richtung oder Winkel) aus der Fehlerquadratsumme [j>wy] bezw. \v v\ 



nach der allgemeinen Gleichung (worin n die Anzahl aller 

1 r n u v 

eingefuhrten Beobachtungen, u die Anzahl der unabhangigen Un- 
bekannten bedeutet) sowie die Ableitung der ,,Gewichtskoeffizienten" 
(I D 2, p. 788) zur Berechnung des mittleren Fehlers der Unbekannten 
bildet den SchluB der Ausgleichung 64 ). 

lib. Graphisclie Punktausgleichung. Statt Ausgleichung nach 
,,verinittelnden Beobachtungen" wird auch wohl graphische Koordinaten- 
ausgleichung in einer ,,fehlerzeigenden Figur", 77 Schnittfigur", angewendet. 
Die allgemeine Bedeutung derartiger Naherungsmethoden ist bereits 
p. 16 erwahnt worden. Die Aufgabe besteht darin, A) die fehlerzeigende 
Figur darzustellen, B) in derselben die endgu ltige Punktlage so zu 
bestimmen, daB nioglichst die Quadratsumme der Richtungsverbesse- 
rungen, wie bei der Methode der kleinsten Quadrate, ein Minimum 
wird. Fiir die ;; Konstruktion der fehlerzeigenden Figur" liegt der 
einfachste Fall vor bei der Punktbestimmung durch Vorwartsein- 
schneiden mittels unabhangiger 7; auBerer" (p. 49) Richtungen. Wird 
(auf Grund genaherter Koordinaten) in der Nahe des gesuchten Punkt- 

64) Uber die Anordnung der Rechnungen, die Rechenschemata, besondere 
Hilfsmittel, die Rechenproben usw. vgl. die Lehrbiicher, speziell Jordan, Hand- 
buch 1, Kap. III. 



lib. Graphische Punktausgleichung. 51 

ortes ein Wert y x angenommen, so liefert eine von einem gegebenen 
Punkt ausgehende Richtung qp zwei Schnitte mit den Geraden X = X Q , 

y = y Q oder ihnen naheliegenden (tggp = ^-~^V deren Verzeichnung 

(in groBem MaBstab 1 : 1, 1 : 10) die Richtung darstellt. Wird die Rich 
tung cp selbst im Punkt y Q x Q rait dem Auftragkreis (Transporteur) ein- 
getragen, so geniigt ein Achsenschnitt. Es konnen auch die Ab- 
weichungen zwischen den ,,genaherten" Richtungen und den beobach- 
teten, d = n cp (I der Fehlergleichungen p. 48) zur Auftragung be- 
nutzt werden, indem die den d entsprechenden Querverschiebungen 

s" 

q = , s vom genaherten Punktort aus rechtwinklig zu den von hier 

aus gezeichneten Richtungslinien aufgetragen, oder ihre auf die Achsen 
i/ , X Q bezogenen Projektionen zur Konstruktion verwendet werden. 
Beim , 7 vereinten" Einschneiden orientiert man kurzerhand die w inneren" 
Richtungen durch die ,,auBeren" und fiihrt die Aufzeichnung dadurch 
auf das Friihere zuriick. Fur Riickwartseinschnitte ist diese Konstruk 
tion nach Orientieren der Richtungen mit Hilfe der genaherten 
Koordinaten nicht korrekt, jedoch praktisch anwendbar. Man kann 
auch die Schnittlinien als Tangenten der mit den gemessenen Winkeln 
sich ergebenden Kreise (Peripheriewinkel zu den gegebenen Seiten 
als Sehnen) darstellen 65 ). Eine andere Methode auf Grand von ,,Trans- 
formationen nach reziproken Radien" ist von C. Runge mitgeteilt 66 ). 
Ein alteres Verfahren ist das von Tulla angegebene (sogen. badisches 
Ausgleichungsverfahren) 67 ). Die Ableitung der endgultigen Punktlage 
in der Schnittfigur geschieht entweder durch einfache Schatzung 
oder auf analytischem Wege. Die erstere, welche mit einer plau- 
siblen mittleren Punktlage sich begniigt, ist fiir die praktische An- 
wendung als bequemes Naherungsverfahren ausreichend (p. 16). Die 
Aufgabe lautet: Gegeben sind in einer Ebene n Linien _R; es ist der 
Punkt P so zu bestimmen, daB unter Beriicksichtigung der Gewichte 
p fur die Abstande h die Bedingung [phJi] = Min. erfiillt wird. Eine 
erste sehr elegante Losung riihrt von H. Bertot^} her 69 ). 



65) Jordan, Handbuch 2, 85; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), 
p. 611. 

66) Zeitschr. f. Yermess. 29 (1900), p. 581. 

67) Vgl. F. G. Gaufi, Rechnungen der FeldmeBkunst, p. 53 und speziell 
p. 60, erste Anmerk. 

68) Paris C. R. 82 (1876), p. 682. 

69) Man vgl. auch C. F. Gauft , Werke 9, p. 221. Weiteres iiber Bedeu- 
tung und Behandlung der Aufgabe in der niederen Geodasie siehe bei Jordan, 
Handbuch 2, Kap. VIII, 85, 86; Vogler, Prakt. Geom. 1, 164; F. G. Gaufi, 

4* 



52 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

Einen neuen Vorschlag mit Anwendung eines dynamischen Aus- 
gleichsprinzips macht Fischer 10 ) dadurch, dafi elastische, das Rich- 
tungssystem darstellende Stabchen zur Bestimmung des die Gleich- 
gewichtslage im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate ausdriicken- 
den Punktes verwendet werden. 

lie. Methode der bedingten Beobachtungen. Die Anwendung 
dieser Methode mit Korrelatengleichungen (ID 2, p. 794) auf die Trian- 
gulierungsausgleichung, von C. F. Gaufi 11 ) begriindet, erfordert zu- 
nachst die Aufstellung der unabhangigen Bedingungen, welche das 
Netz bietet. Hierzu sind von C. F. Gaufi die Regeln gegeben und 
von Ch.L. Gerling 12 ) mitgeteilt worden. Es kommen Bedingungen ver- 
schiedener ArtinBetracht; ^Stationsbedingungen" (Bedingungen I. Klasse 
nach Gerling), welche sich fur jede Station nach der Art der Beobachtung 
ergeben und bei vorher erfolgter ,,Stationsausgleichung" (vgl. p. 38) 
inWegfall kommen ; ; , Winkelsummen"bedingungen (Bedingungen II. Klasse, 
Polygonbedingungen), welche aus den Figuren, die das Netz darbietet, 
folgen, also in einfachster Form Dreiecks-, ev. Viereckssummen usw.; 
f jSeitenbedingungen" (Bedingungen III. Klasse), welche aus dem Zusammen- 
schluB der Linienverhaltnisse sich ergeben. Z. B. fur ein Viereck mit 
einem Zentralpunkt, wobei iiber den Vierecksseiten mit dem Zentral- 
punkt als Spitze 4 Dreiecke und 6 unabhangige Bedingungen ent- 
stehen, hat fiir unabhangige Winkelmessung die Stationsbedingungs- 
gleichung des Zentralpunktes die Form a-{-b-\-c-\-d = 360, die 
Winkelsummenbedingung fiir die 4 Dreieckssummen die Form a-\-b -\-c 
= 180, die Seitenbedingung die Form (Fig. 15) 

sinoij sin a, sina 4 ^ 



Nach der allgemeinen Form der Bedingungsgleichungen 



Rechnungeu der FeldmeBkunst, Abschn. V; F. B. Helmert, Zeitschr. f. Vermess. 
6 (1877), p. 53 ; Genge, Vierteljahrschrift Zurich 1886, p. 268^ M. d Oeagne, 
Paris C. E. 114 (1892), p. 1415 ; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892), 
p. 618; Klingatsch, Die graphische Ausgleichung, Wien 1894; E. Puller, Zeitschr. 
f. Vermess. 24 (1895), p. 553; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 611; 
Weixler, Mitteil.d.militar-geograph.Inst. Wien 16 (1896), p. 143; C. Runge, Zeitschr. 
f. Vermess. 29 (1900), p. 581; Komel, Osterr. Zeitschr. f. Vermess. 1 (1903), p. 173; 
Polzer, ibid., p. 205. In Osterreich wird das Horsky sche Diagramm benutzt, 
vgl. dazu Hartner-Dolezal 1, p. 795. 

70) Fischer, Zeitschr. f. Vermess. 28 (1899), p. 553, 655. 

71) Supplementum theoriae combinationis etc., Comm. recent. Getting. 6 
(1828) = Werke 4, p. 55. 

72) Ausgleichungsrechnungen d. prakt. Geom., 4. Abschnitt (sowie Beitrage 
zur Geographic Kurhessens, Kassel 1831/39). 




lie. Methode der bedingten Beobachtungen. 53 

a^ + a 2 v 2 -f a 3 v 3 -{ \- a n v n -f w { = 

ergeben sich dementsprechend die , ; Koeffizienten". Diese sind bei der 
logarithmisch angesetzten Seitengleichung entweder unmittelbar den 
Tafeln zu entnehmende logarith- 
mische Differenzen oder nach der 

JUT 

Formel cotg K zu berechnen, da 
9 

d log sin K M 

- = cotffcc 
Q da. Q 

ist, unter M den Modul der ge- 
wohnliehen Logarithmen verstanden. 
Aus den aufgestellten Korrelaten- Fig. 15. 

gleichungen 

v = a^\ -f- \1^ -f c t k a -\ 

und den Normalgleichungen (I D 2, p. 795) ergeben sich die Korrelaten 
und damit die den Beobachtungen beizulegenden Verbesserungen 73 ). 
Das Ergebnis der Ausgleichung sind demnach widerspruchlos sich zu 
einem einheitlichen System zusammensetzende Winkel bezw. Rich- 
tungen ; aus denen die Koordinaten der Neupunkte auf verschiedenen 
Wegen in Ubereinstimmung sich ergeben miissen. (Probe.) Die Fehler- 
berechnung griindet sich auf den mittleren Fehler der Gewichtseinheit, 
der bei r Bedingungen den Wert: 

m = 

hat. In besonderen Fallen des Netzanschlusses kommt auch die 
Methode der ,,vermittelnden Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen" 
(I D 2, p. 792) in Betracht. Bei untergeordneten Messungen werden 
wohl Naherungsausgleichungen angewendet, wobei zunachst die Winkel- 
bedingungen fur sich behandelt werden und erste Winkelverbesserungen 
ergeben, und danach die Seitenbedingungen, welche dann zur end- 
giiltigen Verbesserung dienen 73 ). 

lid. Die Genauigkeit der KLeintriangulierungen wird beurteilt 
nach dem mittleren ,,Richtungs"- bezw. ,,Winkelfehler", wobei zu unter- 
scheiden ist der sich unmittelbar aus den Stationsbeobachtungen er- 
gebende Messungsfehler und der aus der Netzausgleichung folgende 
(Riicksicht auf die Lange der Richtungslinien). Der letztere Fehler 
ist stets groBer als der erstere (AnschluBzwang und Zentrierfehler usw.). 

73) Uber die von C. F. Gauft angewendete Methode gibt Bd. 9 der Werke 
AufschluB. Ferner vgl. L. Kruger, Uber die Ausgleichung von bedingten Beobach 
tungen, Potsdam 1905. Weiteres u ber Aufstellung der Bedingungsgleichungen, 
Rechenschemata usw. geben die Lehrbucher, bes. Jordan, Handbuch 1, Kap. II. 



54 VI i, 1 C. Beirihertz. Niedere Geodasie. 

Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen wird amtlich reguliert 
durch ,,Fehlergrenzen" (Max.-Fehler rund der dreifache Betrag des 
,,mittleren Fehlers") fur den nach der Netzausgleichung sich ergeben- 
den Richtungsfehler; z. B. gilt fur die preuBischen Kleintriangulierungen 
nach Anweisung IX als Fehlergrenze fur die verschiedenen Stufen 
15", 25" (fiir trigonometrisch bestimmte Polygonnetzpunkte 35"), was 
rund V 10000 Max. - Abweichung entspricht. Der mittlere relative Langen- 
fehler der Kleintriangulierungen der preufiischen Landesaufnahme 74 ) 
iibersteigt nicht + Vssooo- Einen iibersichtlichen Genauigkeitsausdruck 
liefert auch der auf Grund des aus der Ausgleichung gefundenen 
Richtungsfehlers als Funktion desselben berechnete ,,mittlere Koordi- 
natenfehler", und der hiernach bezw. direkt als Funktion der aus- 
geglichenen Elemente gewonnene ,,Entfermmgsfehler" 75 ). Die Fehler- 
ellipse (I D 2, p. 796), welche den Punktfehler in allgemeinster Fassung 
gibt, wird als Fehlerausdruck nur in besonderen Fallen verwendet 76 ), 
dagegen der nach m =]/w 2 + w x 2 gebildete ,,mittlere Punktortfehler" 
oft angegeben. Auch die DreiecksschluBfehler w, welche ein Dreiecks- 
netz liefert, werden als Genauigkeitsmafi verwendet, welches besonderen 
Wert dadurch hat, daB es vom AnschluBzwang frei ist; der ,,mittlere 
Winkelfehler" ist bei n Dreiecksabschliissen naherungsweise 



Als Genauigkeitsangabe sei angefiihrt, dafi fur mehrere neuere Stadt- 
triangulierungen mit zusammen 1745 Punkten und der mittleren Strahlen- 
lange 2,4 kin der mittlere Richtungsfehler im Netz gleich + 3", der 
mittlere Punktfehler gleich +17 mm gefunden ist. Als ein Beispiel 
fiir die mit einfachen Hilfsmitteln unter groBeren Verhaltnissen zu 
erreichende Genauigkeit kann auch eine von der preuBischen Kataster- 
verwaltung ausgefiihrte groBere Verbindungstriangulation genannt 
werden 77 ). 

12. Polygonzugmessung. 

Polygonisierung ist die geometrische Punktbestimmung in ge- 
brochenen Linienziigen durch Messung der Horizontalwinkel auf den 
,,Brechungspunkten" (,,Brechungswinkel", ,,Polygonwinkel") mit dem 



74) v. Schmidt, Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 387. 

75) Jordan, Handbuch 1, Kap. II, III. 

76) Helmert, Ausgleichungsrechnung, p. 231; Jordan, Handbuch 1, 2. Aufl., 
Kap. Ill; 3. Aufl. Kap. V. 

77) C. Reinhertz, Die Verbindungstriangulation zwischen der Triangulation 
im Kohlenrevier und dem Rhein. Dreiecksnetz, Stuttgart 1888. 



12. Polygonzugmessung. 55 

Theodolit und der Entfernungen (Strecken, Polygonseiten) von Punkt zu 
Punkt mit LangenmeBwerkzeugen oder durch indirekte Entfermmgs- 
messung (vgl. p. 85). Die groBe Bedeutung des Polygonzuges er- 
klart sich daraus, daB er auBerst schmiegsam 1st und sich alien Ver- 
hiiltnissen anpassen lafit; er folgt den StraBen, Eisenbahnen, Bachen, 
Waldwegen, Schluchten, den Stollen im Gruben- und Tunnelbau usw. 
Die Polygonisierung liefert insbesondere bei den Spezialvermessungen 
das auf Kleintriangulierung gegriindete, in rechtwinkligen Koordinaten 
auszudriickende Liniensystem, welches als TJnterlage fiir die Klein- 
messungen verschiedener Art erforderlich ist. Die Punktabstande 
konnen je nach der vorliegenden Aufgabe mehrere huridert Meter be- 
tragen oder aber auf ganz kurze Entfernungen herabgehen. Ein 
System mehrerer Ziige ergibt das ,,Polygonnetz", wobei die Ziige die 
gegebenen trigonometrischen Punkte unmittelbar verbinden (,,Haupt- 
ziige") oder bereits bestimmte Polygonpunkte (,,Nebenzuge" in ver- 
schiedenen Stufen). Die Vermessung einer Stadt z. B. macht in den 
StraBen zahlreiche Ziige in verschiedenen Stufen erforderlich. Poly- 
gonziige ohne Koordinaten- bezw. RichtungsanschluB kommen nur in 
ganz besonderen Fallen oder fiir kleine Nebenmessungen zur An- 
wendung; bei geschlossenen Polygonen werden stets samtliche Be- 
stimmungsstiicke (Winkel und Seiten) ev. indirekt gemessen 78 ). Werden 
nicht die Brechungswinkel mit dem Theodoliten, sondern fiir jede 
einzelne Strecke die magnetischen Azimute mit der Bussole (KompaB) 
bestimmt, so entsteht der 77 Bussolen-(KompaB-)zug". Wird der Zug 
mit dem Tachymeter und dabei die Entfernungen durch Distanz- 
messung (vgl. p. 85) gewonnen, so entsteht der v tachymetrische Poly- 
gonzug". 

12 a. Der Theodolitpolygonzug. Gegeben sind die Koordinaten der 
AbschluBpunkte P a und P e und auf jedem derselben mindestens ein 
gegebener Richtungswinkel zu einem Zielpunkt N a bezw. N e -, gemessen 
sind samtliche Strecken s und samtliche Brechungswinkel /3 (irn Sinne 
rechtslaufiger Zahlung) einschlieBlich der AnschluBwinkel auf P a und 
P c zwischen der anliegenden Polygonseite und N a bezw. N e . Fiir irgend 
eine Strecke des Zuges ergibt sich dann durch , 7 Ubertragung" mittels 
der gemessenen Winkel von der je vorhergehenden Richtung aus der 
Richtungswinkel z. B. w 45 = w 34 -f- /3 4 + 180 und die zugehorigen 
Koordinatenunterschiede sind entsprechend dy s sin n, 4x s cos n, 

78) Uber die Bedeutung und Behandlung der Vielecksaufgaben vgl. Nell, 
Zeitschr. f. Vermess. 2i> (1893), p. 489; E. Puller, ibid. 23 (1894), p. 257; vgl. 
auch Hammer, Trigonometrie 40 43. 



56 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

womit die beim AbschluB auftretenden Bedingungen sind N e N a 
z 180 + [0] ; Y e = Y a -f [zty], X e = X a -f [4x], fur die bestimmte 
,,Fehlergrenzen" innezuhalten sind. Die Berechnung geschieht in einem 
geeigneten Schema init Logarithmen, ; ,Koordinatentafeln" fiir s sin n, 
s cos n oder der Rechenmaschine 79 ). 

Die Grenauigkeit der Langenmessung ist p. 21 erwahnt, deui 
noch die Bemerkung zuzufiigen ist ; da6 im System von Klein- 
messungen die Genauigkeit im Polygonnetz derjenigen der nach- 
folgenden Linienaufnahme iibergeordnet sein muB. Zur Winkel- 
messung dienen kleine oder mittlere Theodolite (vgl. p. 23). Von 
besonderer Bedeutung sind die mechanischen Fehler des Verfahrens, 
die Zentrierung von Theodolit und Signal (Fluchtstab, Signalscheibe, 
beim Markscheiden und im Tunnel Lichtsignale), weshalb bei scharfen 
Messungen besondere Hilfsmittel (optische Abloter, festes Lot, bei 
Grubenmessungen 80 ) Steckhiilsen usw.) verwendet werden. Ist e die 
Exzentritat der Aufstellung des Instrumentes, e und e die der 
Signale fur einen gestreckten Winkel mit den Seiten a und b, so 
ist der bei quer zur Zugrichtung angesetzten Exzentrizitaten hieraus 
entstehende Fehler des Winkels 81 ) 



der sich mit dem reinen Messungsfehler verbindet. Die Gleichung 
des mittleren Richtungsfehlers fiir die rte Richtung in einem ange- 

schlossenen Zuge von n Winkeln M=m\/ -- - zeigt, wie der 

r % 

Richtungsfehler zur Zugmitte wachst. Fiir den auf den unmittel- 
baren Winkelfehlern m beruhenden linearen Querverschiebungsfehler 
am Ende eines geradlinigen Zuges mit n gleichlangen Seiten s gilt 



q = Y(rismy + ((n l)sm) 2 +" " + (2sm) 2 + (1 ~s m)* 

VJ^S 
- } welcher sich beim RichtungsabschluB entsprechend 

reduziert 81 ). Die erwahnten fiir die Theorie des Polygonzuges 

79) Uber Rechenbilfsmittel vgl. die Lehrbucher, z. B. Hartner-Dolezal 1, 
p. 619; Jordan, Handbuch 2, p. 268. Daraus u. a. C. F. Defert, Tafeln zur Be 
rechnung rechtwinkliger Koordinaten, Berlin 1874; E. Liiling, Math. Tafeln fiir 
Markscheider und Bergingenieure, 4. Aufl., Berlin 1898; Gurden, Traverse Tables, 
London 1888. Man hat ferner besondere Rechenschieber und Apparate fiir die 
Koordinatenrechnung konstruiert; vgl. z. B. Ch. Lallemand, Zeitschr. f. Verniess. 
29 (1900), p. 233 und Hartner-Dolezal 1, p. 625, wo ein Koordinatometer nach 
Friedrich beschrieben wird. 

80) Vgl. die Lehrbucher der Markscheidekunde. 

81) Jordan, Handbuch 2, 97 und 100103. 



12 a. Der Theodolitpolygoiizug. 57 

wesentlichen Forrneln zeigen, dafi die Polygonseiten moglichst lang, 
oder z. B. bei gegebenem trigonometrischen Punktabstand moglichst 
wenig Zwischenpunkte genommen werden sollen, wobei aber anderer- 
seits zu bedenken ist, daB der Polygonzug so angelegt werden muB, daB 
die untergeordneten Liniennetze bequem angeschlossen werden konnen. 
Die strenge Ausgleichung nacb der Methode der kleinsten Quadrate 
hat in praktischer Hinsicht wegen der Unsicherheit der Gewichtsver- 
haltnisse fur die Langen- und Winkelniessung Schwierigkeiten (vgl. die 
Lehrbiicher), es finden daher in der Regel numerische oder auch 
graphische 82 ) Naherungsverfahren Anwendung (ein einfaches, meist 
angewendetes Verbesserungsverfahren ist gleichmaBige Verteilung des 
RichtungsabschluBfehlers auf die Winkel und danacb Verteilung des 
linearen KoordinatenabschluBfehlers je proportional den Seitenlangen). 
Die Aufgabe kann auch als Koordinatenumwandlung mit kleiner 
Achsenabweichung und MaBstabreduktion aufgefaBt werden (vgl. p. 34). 
Die Genauigkeit der Polygonzugmessung wird ausgedriickt durch den 
aus dem EichtungsabschluBfehler /? sich ergebenden mittleren Winkel- 

feliler _ , welcher unabhangig ist von der Einfiihrung des Langen- 

yn 

maBes, sowie durch die KoordinatenabschluBfehler f y , f x} oder deren 
Projektion auf die Zugrichtung als ,,Langenfehler" ^34+I^f^ 
und ,,Querfehler" E^^L_I^S^ (fif = Zuglange). Hierfur sind in den 

Vermessungsanweisungen amtliche Fehlergrenzen festgesetzt. Zahl- 
reiche Genauigkeitsbestimmungen 83 ) haben mittlere Winkelfehler zwi- 
schen 15" bis 5" ergeben; in den meisten Fallen begniigt man sich 
mit 15" bis 30". 

Besonders zu erwahnen bleibt noch der AnschluB von Ziigen an 
unzugangliche Dreieckspunkte, besonders Kirchturme, sowie die Uber- 
windung von Gelandehindernissen (Fliisse usw.). Hierzu sind trigo- 
nometrische Hilfsmessungen erforderlich, sodaB z. B. fur einen Turm- 
anschluB die fehlenden AbschluBstiicke (Linien und Winkel) sich in- 
direkt ergeben. (Vgl. die Lehrbiicher.) Werden mehrere Ziige zu 
einem an gegebene Punkte anschlieBenden Netz zusammengefaBt 
(,,Knotennetz"), so entsteht eine Ausgleichungsaufgabe, welche nach 
^vermittelnden" oder , ; bedingten" Beobachtungen behandelt werden kann, 
und im Fall nur ein Knotenpunkt vorliegt (der weitaus haufigste 

82) Ein neueres graphisches Verfahren gibt Klinyatsch, Zeitschr. f. Ver- 
mess. 29 (1900), p. 540 (vgl. auch 30 (1901), p. 335). 

83) Zeitschr. f. Vermess., Literaturiibersichten und Jordan, Handbuch 2, 
Kap. IX. 



58 VI i, 1. C. Reinserts. Niedere Geodlisie. 

Fall), auf die Ausgleichung ,,direkter" Beobaehtungen (I D 2 7 p. 782) 
nach dem Prinzip des ,,allgemeinen arithmetischen Mittels" fiihrt. 

12 b. Der Bussolen-(Kompafi-)zug findet vielfache Anwendung bei 
tachymetrischen und topographischen Aufnahmen (p. 90), bei Waldver- 
messungen, und besonders Grubenaufnahmen (hierbei auch mit sehr 
kurzen Strecken, Schmiren), Routenaufnalimen und nautischen Ver- 
messungen (mit sehr langen Strecken). Bei engbegrenzten Aufnahmen 
werden oft die magnetischen Meridianrichtungen unmittelbar als Ab- 
scissenachsen genomrnen ; bei AnschluB an trigonometrische Netze die 
Abweichungen der magnetischen Richtungen von den trigonometrischen 
Abscissenrichtungen durch Beobachtung bekannter trigonometrischer 
Linien gefunden, bei ausgedehnten Aufnahmen ohne trigonometrischen 
AnschluB die absoluten magnetischen Deklinationen durch Vergleichen 
der magnetischen Richtungen mit bekannten oder besonders (vielfach 
zu dem Zweck nur genahert) bestimmten absoluten Azimuten ermittelt, 
oder aber auch aus den allgemeinen Deklinationsbestimmungen ent- 
nommen (z. B. Neumaycrs Karten). Von der Beriicksichtigung der 
taglichen Variation wird bei der Feldmessung in der Regel abgesehen, 
bei Grubenaufnahmen, Orientierungsmessung, beim Markscheiden je nach 
den Umstanden darauf Rucksicht genommen, wobei dann im gegebenen 
Fall korrespondierende Variationsbeobachtungen in Betracht kommeu. 
Bei Kleinaufnahmen im Felde wird der EinfluB der Variation ohnehin 
durch die wiederholten trigonometrischen Anschliisse geniigend elimiuiert. 

Die Genauigkeit der unmittelbaren magnetischen Richtungs- 
angaben durch das Instrument schwankt bei Bussoleninstrumenten 
etwa zwischen einigen Minuten bis zu einigen Zehntel Grad, je nach 
der Einrichtung und GroBe des Instrumentes, beim Freihandgebrauch 
ist der Fehler entsprechend grofier (einige Grad) 84 ). Da im Kom- 
paBzug jede Richtung unabhangig bestimmt wird ; ist das Fehler- 
gesetz ein anderes als im Theodolitzug 7 und zwar ist der Querfehler 
fiir einen Zug mit n gleichlangen Strecken q = + m a s~^n. Der Ver- 
gleich mit der entsprechenden Fehlerformel des Theodolitzuges p. 56 
zeigt, daB die Fehlerfortpflanzung im KompaBzug erheblich giinstiger 
ist als im Theodolitzug, und im Gegensatz zu diesem moglichst kurze 
Strecken, d. h. haufige Messungen verlangt; sie erklart, daB grob er- 
scheinende Messungen mit kleinen Bussolen, wie z. B. tachymetrische 



84) Wegen der verschiedenen Einrichtung, der Einteilung (gewohnlich in 
Grad, bei Grubenkompassen auch Stunden), der Pn ifung der zur Anwendung 
koinmenden Instrumente , Feldbussolen, Markscheiderbussolen vgl. die geodati- 
schen Lehrbucher. sowie die speziellen Lehrbiicher der Markscheidekunde. 



12 b. Der Bussolen-(KompaB)zug. 13. Einzelaufnahme. 59 

Kleinzuge, Markscheideziige mit dem ,,Hangezeug" (Kreisbussole im 
doppelten Hangering schwebend), Itinerarziige auf Forschungsreisen 
verhaltnismaBig gute Resuitate zu geben vermogen. Wegen Berech- 
nung und Fehlerverteilung sowie Auftragung der Zuge sehe man 
die Lehrbiicher nach. 

13. Einzelaufnahme. Bei den exakten Kleinvermessungen 
( 77 Grundstuckaufnahme" sog. ,,Stuclivermessung"^ erfolgt die Aufnahme 
der Einzelheiten (Grenzsteine, Gebaude, Wege usw.) durch unmittel- 
bare Langenmessung auf Grund eines Systems von stufenweise sich 
aufeinander stiitzenden und bei umfangreichen Aufnahmen ( ;; Kataster- 
vermessungen") auf Triangulierung und Polygonisierung gegriindeten 
Linien, dem sog. ,,Liniennetz" . Fiir die Punkte, in welchen eine unter- 
geordnete Linie in eine iibergeordnete miindet (,,Liniennetz-", ,,Binde u - 7 
7 ,Klein"-Punkt) werden auf Grund der Langenmessung (p. 19) Koor- 
dinaten berechnet. Yerbindet eine gerade Linie die gegebenen Punkte 
P a und P e (Fig. 16) und sind die Streckenunterschiede s n , so rechnet 
man nach 

A y y<t A x e x a 

Ifn !/-! == ^Vn == S n TcT ? X n ^n-1 == *^ X n == S n TcT > 




sodaB durcb Ansatz der gemessenen Streckensumme [s] die Fehler 

der Langenmessung proportional den gemessenen Strecken s n auf 

die Koordinatenunterschiede verteilt werden (vgl. aucb Koordinaten- 

umformung p. 34) 85 ). Der AbschluBfehler mufi innerbalb der fur 

die Langenmessung festgesetzten , 7 Fehler- 

grenzen" (p. 21) bleibeu. Bei dieser An- 

ordnung der Messungen erfolgt somit eine 

fortgesetzte Verteilung bezw. Ausgleichung der 

Messungsfehler und Beurteilung der Genauig- 

keit von der Triangulierung ausgeliend, iiber 

die Polygonisierung bis lierdb zur Kleinauf- 

nahme. Da die Messungen der Landestrian- Fig. 16. 

gulierungen auf die Normalnullflacbe (Meeres- 

spiegel) (p. 9) projiziert werden, ergibt demnach dies Interpola- 

tionsverfahren auch die Projektion samtlicber Linien und der durch 

sie gebildeten Figuren. Zur Sicberung der Lage jeder Linie dienen be- 

sondere Messungsproben, Querlinieu, Anscbnitte, Verlangerungen usw. 7 

welche rechnerisch oder graphisch ausgewertet werden (z. B. Probe 

auf Geradlinigkeit aus den Richtungstangenten oder der Flache des 

gestreckten Feblerdreiecks). Die Methode der kleinsten Quadrate wird 

85) Anwoisung IX, p. 28 und Trigonom. Formular 23, p. 335. 



60 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

zur Ausgleichung von Linienmessungen nur selten benutzt; sie ist 
in Anweisung IX bei der Bestimmung wichtiger Punkte durch mehr- 
fachen Bogenschnitt angewandt 85 ). Bei der Aufmessung kleiner Kom- 
plexe, bei welchen weder AnschluB an iibergeordnete Systeme noch 
Winkelmessung stattfinden soil, wird oft ein Viereck, dessen Diago- 
nalen gemessen sind (Diagonalenviereck), verwendet, wobei durch den 
Schnittpunkt sich eine Probe ergibt. Die Anordnung und Berechnung 
solcher Messungen ist besonders von F. G. Gaufi 86 ) behandelt. 

Auf ein derartiges in sich gesichertes Liniennetz griindet sich 
die } ,Einzelaufnahme" entweder dadurch, daB die aufzunehmenden 
Punkte oder Linien (Grundstiicksgrenzen, Gebaudefluchten usw.) als 
untergeordnete Linien in das bestehende Netz eingefiigt werden, oder 
daB die Punkte durch Absteckung rechter Winkel auf die nahe an sie 
herangelegten Netzlinien projiziert werden, sog. } ,Koordmatenaufnahme" . 
In jedem Falle konnen fur alle Punkte Koordinaten berechnet werden, 
im letzteren Falle durch Transformation der einzelnen Messungslinien 
mit den rechtwinklig zu ihnen aufgemessenen Abstanden in das all- 
gemeine System. (Die Koordinatenberechnung bleibt meistens auf 
einen Teil der wesentlichsten Punkte, Grenzen von ,,Fluren", ,,Ge- 
wannen" und sonstige wichtige Messungspunkte beschrankt.) 

Die Instrumente zum Abstecken rechter Winkel sind das uralte 
^Wirikelkreuz" (groma, in neuerer Form als ;; Winkelkopf", ; ,Winkel- 
trommel") und die Renexionsinstrumente Winkelspiegel" und Wiiikel- 
prisma". Beim ,,Winkelspiegel" 7 welch er aus zwei kleinen Spiegeln 
besteht, werden im Kreuzungspunkt doppelt reflektierter Strahlen 
Winkel vom doppelten Betrage des Spiegelwinkels (45) gebildet, 
soda6 7 wenn bei vertikalen Spiegelflachen eine direkte Zielung mit 
einem reflektierten Bilde in Deckung erscheint, der gewiinschte Hori- 
zontalwinkel gleich einem rechten Winkel abgesteckt ist. Ein 7; Winkel- 
prisma a ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Glasprisma, in 
welchem, wie Sauernfeind 1851 gefunden hat, doppelt reflektierte 
Strahlen (an der Kathete infolge von Totalreflexion) im Kreuzungs 
punkt mit einer direkten Zielung einen rechten Winkel bilden 87 ). 
Diese doppelt reflektierten Strahlen sind unabhangig vom Einfalls- 
winkel und dadurch von den einfach reflektierten zu unterscheiden 88 ). 



86) Wegen der Ausfuhrung der Reclaming (Logarithmen , Rechenmaschine 
usw.), Rechenschernata usw. vgl. die Lehrbucher, speziell F. G. Gaufi, Rech- 
nungen der FeldmeCkunst. 

87) Vgl. die verschiedenen Lehrbucher der Geodasie, besonders Bauern- 
feind, Vermessungskunde. 

88) Es sind eine Reihe weiterer Prismen konstruiert, unter denen ein 



14 a. Die Flachenberechnung. 61 

Werden zwei ; ,Winkelspiegel" oder zwei sich unter 90 kreuzende 
Spiegel zusammengesetzt, so erhalt man das }) Spiegelkreu0", ebenso 
das y ,Prismenl\reuz" (in verschiedener Form), womit gestreckte Winkel, 
d. h. gerade Linien abgesteckt werden konnen. Die Richtigkeit der 
Instrumente wird durch Absteckung von zwei Seiten aus gepriift, 
wonach Spiegelinstrumente und Prismenkreuze gegebenenfalls zu be- 
richtigen sind. Die Genauigkeit der Absteckung betragt rund 1 bis 2 . 89 ) 
Weiteres iiber die Instrumente und ihren Gebrauch bei Aufnabmen 
und zu verschiedenen Absteckungsaufgaben geben alle Lehrbiicher der 
Geodasie. 

Die ,,geometrische Karte", der } ,Lageplan" } ist eine entsprechend 
verkleinerte Darstellung des auf den Vermessungshorizont (N. N.) 
projizierten Punkt- bezw. Liniensystems, hergestellt auf Grand des 
der Berechnung zu Grunde liegenden rechtwinkligen Koordinaten- 
systems. Die Grundlage bildet das Koordinatennetz (sog. ,,Quadrat- 
netz"), in welches die Koordinaten der berechneten Punkte (Drei- 
ecks-, Polygon- und Liniennetzpunkte) eingetragen werden, womit 
das ,,Liniennetz" konstruiert ist, welches als Unterlage fur die 
Eintragung der weiteren (im sog. ,,HandriB" oder ,,FeldriB" auf- 
geschriebenen) Aufmessungen dient. Zum Auftragen der Koordinaten 
sowie der nach der ,,Koordinatenmethode" aufgemessenen Punkte dient 
ein Auftragapparat (Koordinatograph), bestehend aus Abscissenlineal 
und Ordinatenschieber. Der ,,MaBstab" von Spezialkarten liegt im 
allgemeinen zwischen 1 : 500 bis 1 : 5000, sehr haufig gebraucht wird 
1 : 1000 und 1 : 2000. (Zurzeit werden die hundertteiligen MaBstab- 
verhaltnisse bevorzugt.) Der nicht zu vermeidende ,,Papiereingang" 
wird durch Kontrollierung der Quadratnetzlinien erniittelt und danach 
reduziert 90 ). Weiteres iiber die geometrische Kartierung geben die 
geodatischen Lehrbiicher, fur die ,,Grubenaufnahme" (Grubenrisse) 
die Lehrbiicher der Markscheidekunde. 

14. Berechnung und Teilung der Flachen. 

14 a. Die Flachenberechrmng. Die Berechnung des ,,Flachen- 
inhaltes" vermessener Flachen kann erfolgen aus den Messungszahlen, aus 

funfseitiges Prisma von L. Prandtl erwahnt sei, Zeitschr. f. Vermess. 19 (1890), 
p. 462. 

89) F. Lorber, Zeitschr. f. Instr. 8 (1888), p. 381; eine Fehlertheorie des 
Winkelprismas findet man bei Jordan, Handbuch 2, p. 36. 

90) Uber die bei ausgedehnten Gebieten in Frage kommenden Projektions- 
verzerrungen sei auf Jordan, Handbuch 3, 59 und auf VI i, 4 (E. Bour 
geois) verwiesen. 



62 VI i, 1. C. Eeirihertz. Niedere Geodasie. 

den Koordinaten der Eckpunkte, graphisch auf Grundlage der Karte, 
oder auch durch eine Verbindung von Messungszahlen und Karten- 
maBen. Die Berechnung der geradlinig begrenzten Figuren geome- 
trischer Aufnahmen griindet sich auf die einfachsten Satze der Plani- 
metrie, wobei auch graphische Verwandlung 91 ) von Figuren (Vielecke 
in Vier- bezw. Dreiecke) in Betracht kommt. Fiir in Koordinaten 
gegebene oder auch direkt nach der Koordinatenmethode aufgemessene 
Figuren wird z. B. (bei rechtlaufiger Zahlung) gebraucht 

2F= 2y n (x n _i x n + 1 ) = Zx n ( y n _i -f y n + l )- 

zur Ausrechnung dienen in der Regel Multiplikationstafeln oder Rechen- 
maschinen (IF (R. Melimlte], p. 944); wegen Anordnung, Rechen- 
schemata usw. siehe die Lehrbiicher. Die Ableitung der Flachen 
von Vielecken aus Seiten und Winkeln iiberhaupt (vgl. Ill l, 3 
(M. Simon}) wird selten verwendet, da, wie oben auseinander gesetzt, 
die Winkelrnessung in der Regel nur zur Netzlegung, nicht aber zur 
Kleinaufnahme dient, falls das geschieht, aber ohnehin Koordinaten- 
berechnung eintritt. Bei der Flachenermittlung nach Pliinen wird 
fiir regelmaBige Figuren entweder Dreiecks- bezw. Viereckszerlegung 
verwendet, wobei verschiedene Hilfsmittel gebraucht werden, z. B. 
eine mit feinen Quadratnetzlinien versehene Glastafel, sowie eine 
transparente Hyperbeltafel von Kloth 92 \ Haben die im Flachen- 
produkt F zu vereinigenden Faktoren a und 6 die mittleren 
Fehler m a bezw. m b , so ist M y + ]/(am 6 ) 2 4- (6w a ) 2 , woraus sich 
mit Riicksicht auf Messungs-, Kartenfehler usw. verschiedene Fol- 
gerungen ergeben 92 ). Ein bequemes Naherungsverfahren zur Be 
rechnung namentlich langgestreckter unregelmafiig begrenzter Figuren 
liefert das 7 ,Parallelennetz" ( ; ,Harfe", ,,Fadenplanimeter") , womit sich 
die Flache als Summe schmaler Trapezstreifen ergibt zu F = &[p], 
(p = Trapezmittellinien mit Zirkeladdition erhalten, oder mit der 
oben erwahnten Glastafel abgelesen). Dies kann fiir gekriimmte Um- 
fangslinien auch zur Anwendung der Simpson schen Flachenformel 
fiihren. Iro iibrigen ist auf die Lehrbiicher zu verweisen. In aus- 
gedehntem MaBe finden die ,,Planimeter" (Polar-, Prazisions-, Scheiben-, 
Kugdrollplanimeter vgl. II A 2 (A. Vofi), p. 128) Anwendung, deren 
Genauigkeit in mittlerem relativen Fliichenfehler etwa zu ^ bis ^ an- 
genommen und bei den Prazisionsinstrumenten bis zu ^ und sogar 5^ 
gesteigert werden kann. Die Flachenberechnung bei der Vermessung 



91) i . Collignon, Ann. des ponts et chauss. 1887^ p. 9. 

92) Jordan, Handbuch 2, Kap. Ill und Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892), p. 628 
(22 (1893), p. 60, 338); 32 (1903), p. 686; J. Schnockel, ibid. p. 129 und 369. 



14 b. Die Flacheuteilung. 63 

zusammenhangender groBerer Gebiete (ganze Gemarkungen, Fluren 
usw.) stellt zunachst den ,,Sollinhalt" fur ein Kartenblatt (Flur, Block 
usw.) aus den Koordinaten des das Blatt umrahmenden Liniennetzes 
fest, worauf die Berechnung der Einzelflachen folgt, welche auf den 
ermittelten ,,Sollbetrag" ausgeglichen werden. Fur alle diese Berech- 
nungen sind entsprechende ,,Fehlergrenzen" innezuhalten, welche ge- 
maB der Genauigkeit der Flachenberechnung unter Berucksichtigung 
der Messungs- und Kartierungsfehler, des KartenmaBstabes usw. auf- 
gestellt sind; fur die preuBischen Kleinmessuugen gilt z. B. nach 
Anweisung VIII als amtliche Fehlergrenze 0,01 ]/WF+ ~0~02 F 2 fur 
F in qm. 

14 b. Die Plachenteilung. Bei der Teilung (Veranderung, Urn- 
legung) vermessener Fliichen handelt es sich darum, rechnerisch oder 
graphisch auf Grund eines Planes die den gerade vorliegenden praktischen 
Bedingungen entsprechenden Einteilungs- oder Begrenzungslinien zu be- 
stimmen und im AnschluB an die Messungsergebnisse oder den Plan 
diese Linien im Gelande abzustecken, und schliefilich die Richtigkeit 
und Genauigkeit der Absteckung zu priifen. Das Verfahren griindet 
sich auf die Teilung geradlinig begrenzter einfacher Figuren, welche 
entweder im Plan, oder durch Koordinaten der Eckpunkte, oder durch 
Messungszahlen im Handrifi, auch Seiten und Winkel, gegeben sein 
konnen. Die planimetrische Theorie dieser Teilungen behandeln die 
Lehrbiicher der Elementarmathematik ; die hauptsachlich technisch in 
Betracht kommenden Anwendungen die Lehrbiicher der Geodasie; die 
rechnerische Losung auf Grund von Koordinaten ist besonders von 
F. G. Gaufi entwickelt 93 ). 

Die Aufgaben lassen sich im allgemeinen zuruckfiihren auf 
die, von einem durch zwei sich schneidende Linien gegebenen Winkel- 
raum (Dreiecksraum) oder einem durch drei Linien umgrenzten an 
einer Seite offenen Doppelwinkelraum (Vierecksrauni) bestimmte 
Flachenstiicke unter bestimmten Bedingungen abzuschneiden. Diese 
Bedingungen werden in der Vermessungstechnik durch verschieden- 
artige Umstande vorgeschrieben; die wesentlichsten mathematisch 
in Betracht kommenden sind: 1) Die abzusteckende Trennungs- 
linie soil durch einen gegebenen Punkt gehen, der in den meisten 
Fallen auf einer der gegebenen Umgrenzungslinien liegt; 2) die Tren- 
nungslinie soil eine bestimmte Richtung haben, z. B. parallel oder 



93) F. G. Gaufi, Die Teilung der Grundstiicke, 4. Aufl. , Berlin 1904. Die 
Literatur zu zahlreichen besonderen Fallen ist in den jahrlichen Literaturiiber- 
sichten der Zeitschr. f. Verniess. angegeben. 



64 VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie. 

rechtwinldig zu einer gegebenen Linie, in manchen Fallen zu einer 
der Umgrenzungslinien; 3) die durch die Trennungslinie abge- 
schnittenen Linienstiicke der Urfigur sollen in einem bestimmten 
Verhaltnis zueinander stehen (sog. ,,Proportionalteilung"). Fur die ein- 
fache Dreiecksteilung ergibt sich danach z. B. folgende Ubersicht. Vom 
Dreieck ?7(Fig. 17) mit den Seiten A, B, C soil von der gegeniiber^i liegen- 
den Ecke aus ein Flachenstiick f durch Linienstiicke & 7 c abgeschnitten 

werden, sodaB wird ~ = m, ~^=n, und demnach k=t-= -- . ^ = m-n. 

ji C U Jj C 

Das gibt fur den Fajll 1), wenn Punkt P auf (7 durch c gegeben 1st, das ge- 
suchte m = , b = mB; fiir Fall 2), wenn z. B. die Trennungslinie 




parallel A sein soil, m = n = Yk, usw. Entsprechend gestaltet sich die 
Vierecksteilung, wobei noch besonders hinzuweisen ist auf die auf 

quadratische Gleichungen fiihrende 
Parallel- uud Proportionalteilungen, 
welche verschiedene Losungen zu- 
lassen 94 ). Die richtige Absteckung 
wird schlieBlich durch Aufmessung 
und Flachenberechnung der ab- 
gesteckten Figuren innerhalb der 
erwahnten Fehlergrenzen sicher- 

pn A - _ )" gestellt. Im ubrigen ist zu bemerken, 

Fig. 17. daB in den verwickelten Fallen der 

Praxis sehr viel Annaherungsver- 

fahren zur Anwendung kommen derart, daB die Bedingung fiir die 
Lage der Teilungslinie (z. B. parallel oder rechtwinklig zu einer be 
stimmten Linie) vorweg genau erfiillt wird und die Flachenbedingung 
zunachst nur genahert, sodaB dann nach erfolgter Flachenberechnung 
noch kleine Verschiebungen der Linie unter Beriicksichtigung der 
Lagebedingung auszufiihren bleiben, die dann auf die Absteckung eines 
schmalen Dreiecks, Paralleltrapezes usw. herauskommen. Derartige 
Annaherungsverfahren konnen auf Grund eines ,,Handrisses" oder auch 
direkt im Felde vollstandig rechnerisch durchgefiihrt werden. Die 
gleiche Aufgabe liegt vor bei der sog. ,,Grenzbegradigung" , wobei es 
sich darum handelt, einen gebrochenen Grenzzug bei unveranderter 
FlachengroBe der Figuren durch eine gerade Linie zu ersetzen. Mu6 

94) Uber einige besondere Behandlungen vgl. Zeitschr. f Vermess. 13 
(1884), p. 277; 14 (1885), p. 289; 15 (1886), p. 465; 23 (1894), p. 321; 24 (1895), 
p. 80, 383; 27 (1898), p. 490; 30 (1901), p. 159; 31 (1902), p. 317, 477; 32 (1903), 
p. 378; 33 (1904), p. 97, 121, 124; ferner die ,,,Allgemeinen Vermessungsnach- 
richten", Liebenwerda, und andere Fachzeitschriften. 



15. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen. 65 

bei den Teilungen der verschiedenartige Wert der Flachen (Bonitat) 
in Riicksicht gezogen werden, so gehen die danach bestimmten Flachen- 
werte in die Rechnung ein 93 ). 

15. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen. Das 

Abstecken (Ausrichten) von geraden Linien im Gelande (Vertikal- 
ebene) erfolgt auf kurze Entfernungen, falls nicht besondere Genauig- 
keit erforderlich ist, mit Fluchtstaben (Baken) nach freiem Auge 
oder mit Anwendung eines Handfernrohrs (Feldstecher) durch ,,Ein- 
weisen" oder aucb mit Winkel- oder Prismenkreuz (vgl. p. 61). 
Bei genauen Absteckungen, langen Linien usw. wird der Theodolit 
oder ein besonders in der Vertikalebene richtig kippendes Fern- 
rohr (Alignementsfernrohr) verwendet, mit festem Stand auf einem 
Endpunkt oder fortschreitender Standanderung von Linienpunkt zu 
Linienpunkt. Fur sehr lange Linien werden aucn indirekt Zwischen- 
punkte abgesteckt, indem in der Nahe der Linie ein Hilfspunkt an- 
genommen wird, der kleine Abweichungswinkel von der Geraden mit 
dem Theodolit gemessen und mit Hilfe der ebenfalls bestimmten 
Entfernung die Verschiebung des Hilfspunktes berechnet wird. 1st 
eine direkte Zielung zwischen den Linienendpunkten nicht moglich, 
wie z. B. bei der Achsenbestimmung fur groBe Tunnel, so wird der Ab- 
steckung eine Triangulierung zu Grunde gelegt, die den Winkel zwischen 
Achsenriehtung und gegebenen trigonometrischen Linien (Miren) ergibt, 
wonach im Tunnel mit dem Alignementsfernrohr mit fortschreitender 
Standanderung die Linienpunkte gewonnen werden. Die Fehlertheorie 
dieser Absteckungen entspricht der des gestreckten Polygonzuges 
(vgl. p. 56) 9o ). Tiber kleine Absteckungen mit Winkelspiegel, Recht- 
ecke, Quadratnetze, Parallelenabsteckung usw. s. die geodatischen 
Lehrbucher. 

Das Abstecken von Kreisbogen wird beim Bau von StraBen, Ka- 
nalen, insbesondere Eisenbahnen erforderlich. Durch das Projekt 1st 
in der Regel gegeben die Richtung zweier sich schneidender Geraden 
(Tangenten), welche durch einen Kreisbogen mit ebenfalls durch die 
Bedingungen des Projekts vorgeschriebenem Radius zu verbinden sind; 
seltener ist eine Tangente an einen oder mehrere Bogen zu legen. 
Verlangt wird, daB in kurzen Abstanden Bogenpunkte im Gelande 
abgesteckt werden. Die Bestimmungsstucke sind demnach: die beiden 



95) Beispiele fuv Linien- und Tunnelabsteckungen gibt Jordan, Handbuch 2 T 
195, 205 mit weiterer Literatur, ferner Hartner-Dolezal 2, p. 447 u. 448. Fiir 
den Gotthardtunnel z. B. C. Koppe, Zeitschr. f. Vermess. 2 (1873), p. 369; 6 
(1876), p. 86; fur den Simplontunnel M. Rosenmund, ibid. 32 (1903), p. 74. 

Encyklop. d. math. Wissensoh. VI 1. 5 



66 VI i, 1. C. JReinhertz. Niedere Geodasie. 

,,Tangentenrichtungen", der von ihnen eingeschlossene Winkel, der 
Radius, in besonderen Fallen ein bestimmter Kurvenpunkt, oder auch 
zwei Punkte (Sehne). Erforderlich ist daher in der Regel zuerst 
Messung des Tangentenschnittwinkels mit dem Theodolit. Danach 
ergibt sich dann zunachst als Gerippe der weiteren Absteckungen 
(sog. Hauptpunkte, Hauptlinien) die durch Abmessung auf den Tan- 
genten zu findenden Beriihrungspunkte (ev. deren Verbindungslinie) 
und durch die rechtwinkligen Abstande bezw. durch Halbierung des 
Schnittwinkels die Bogenmitte (Proben). Neben diesem einfachen 
Fall wird haufig die Absteckung weiterer Hauptlinien erforderlich, 
d. h. ein den Bogen einschlieBendes Tangentenpolygon (,,Zwischen- 
tangenten" als Fortfiihrung des einfachen Falls) oder ein eingeschrie- 
benes ,,Sehnenpolygon". Die zugehorigen Teilzentriwinkel ergeben 
sich entweder durch aliquote Einteilung des ganzen Zentriwinkels 
(bestimint durch die Hauptberiihrungspunkte) oder durch Berech- 
nung der zu bestimmten (runden) Bogen-, Tangenten-, oder Sehnen- 
langen gehorenden Winkel. Die Methode des Sehnenpolygons, 
d. h. also die Herstellung eines der Kurve eingeschriebenen Polygon- 
zuges mit bestimmten (ev. konstanten) Brechungswinkeln und Seiten, 
ist die in der Regel bei der Absteckung von Kurventunneln ver- 
wendete Methode. Kann im ,,Tangentenschnittpunkt" der Theodolit 
nicht aufgestellt werden, ist dieser Punkt iiberhaupt nicht herstellbar, 
sowie auch Langenmessung in den Tangentenrichtungen nicht ausfuhr- 
bar, so miissen die Bestimmungselemente auf indirektem Wege be- 
schafft werden (z. B. sehr oft bei Kehrtunneln). Die wesentlichsten 
Falle sind: Verbindung der Tangenten durch eine ineBbare gerade 
Linie und Messung der anliegenden Winkel, wodurch das abgeschnittene 
Dreieck bestimmt ist, oder Einfiihrung eines Polygonzuges (moglichst 
wenig Zwischenpunkte) oder endlich Triangulierung mit Ausgleichung; 
in solchen Fallen wird auch Berechnung der Absteckungselemente 
nach rechtwinkligen Koordinaten verwendet. 

Auf die Absteckung des Gerippes der Hauptlinien griindet sich 
diejenige der ,,Einzelbogenpunlde" , welche in der einfachsten Weise durch 
rechtwinklige Koordinaten (sog. ,,Koordinatenmethode") von der Tan- 
gente oder Sehne aus mit ,,Winkelspiegel" usw. sich ergeben, und 
zwar entweder mit gleichen runden Abstanden (5, 10, ... m) auf Tan- 
gente bezw. Sehne, oder mit gleichen Bogenlangen (5, 10, ... m). 

Neben dieser uninittelbar auf die Hauptlinien gegriindeten ,,Ko- 
ordinatenmethode" kommen noch einige andere Verfahren in Be- 
tracht. Eine Methode (Fig. 18) ist die der ,,Peripheriewinlcelstrahlen" 
aus nfestem Stand", wobei mit fortgesetzter Abtragung einer kon- 



15. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen. 



67 



stanten Sehne (z. B. 20 m) die zugehorigen Zentriwinkelvielfachen 
von der Tangentenrichtung aus mit dem Theodolit hergestellt 




Fig. 18. 

werden oder runde Winkel angetragen werden. Eine andere Me- 
thode ist (Fig. 19): Aufsuchen der Bogenpunkte vermittelst der zu 
einer bestimmten Sehne gehorigen Peripheriewinkel bei ,,tvanderndem 





Fig. 19. 



Fig. 20. 



Stand" ernes diesen Winkel fassenden ^Freihandreflexionsinstrumentes *, 

welches wie ein einstellbarer Winkelspiegel oder ein Doppelprisma 

nach Art des Sextanten usw. auf diesen berechneten Winkel einstell- 

bar ist (Arkograph). 

Weitere n Einruckungs- 

verfahren" sind die sog. 

Absteckung von der ,,ver- 

Idngerten Sehne" und von 

der , } verlangerten Tan- 

gente" aus, wobei ein 

MeBband (20m) bequem 

verwendbar ist. Bei ersterem (Fig. 20) wird die erste Sehne von der 

Tangente aus mit den hierfiir (meistens fiir runde Bogenlangen) be 

rechneten rechtwinkligen Koordinaten abgesteckt, diese Sehne ver- 

langert und von ihr aus die nachste Sehne durch die auf erstere 

bezogenen rechtwinkligen Koordinaten abgesetzt, wonach die Arbeit 




Fig. 21. 




68 VI i, 1. C. Eeirihertz. Niedere Geodasie. 

in gleicher Weise fortschreiten kann. Beim zweiten Verfahren(Fig.21) 
werden in ahnlicher Weise von der Tangente A T aus in rechtwinkligen 
Koordinaten zwei gleichabstandige Kurvenpunkte S und C berechnet 

und abgesteckt, sodaB die nachst- 
folgende im zweiten Punkt beriihrende 

O 

Tangente durch diesen zweiten Bogen- 

punkt C und den Abstand des Tan- 
Fig. 22. 

gentenschnittpunktes B" vom Ordi- 

natenfuBpunkt B des ersten Bogenpunktes bestimmt ist, womit die 
fortgesetzte Absteckung der Tangenten mittels rechtwinkliger Bogen- 
punktkoordinaten ermoglicht ist. Auch die Einschaltung von Zwischen- 
punkten fiber gegebenen Sehnen durch fortgesetzte Einlegung von 
Zwischensehnen mittels des Pfeilhohenviertels (sog. ,,Viertelsmethode", 
Fig. 22) wird als Naherungsmethode fiir flache Bogen angewendet 96 ). 
Ein besonderer Fall ist die Verbindung zweier Tangenten durch 
mehrere Kreiskurven vorgeschriebener Kriimmung, sog. ^Korbbogen", 
welche notwendig werden, wenn den Bedingungen des Projektes nicht 
mit einem eiuzigen Bogen entsprochen werden kann. Z. B.: Gegeben 
die Tangentenrichtungen und auf einer Tangente der Beriihrungspunkt 
und zwei Radien, sodaB zu berechnen ist der Beriihrungspunkt auf 
der zweiten Tangente, sowie die gemeinschaftliche Tangente beider 
Bogen; oder gegeben die Richtungen der beiden Tangenten, ihre 
Beriihrungspunkte und ein Radius, sodaB der andere Radius und die 
gemeinschaftliche Tangente zu bestimmen sind. In manchen Fallen 
werden auch mehr als zwei Radien erforderlich, z. B. gegeben die 
beiden Tangentenrichtungen, die Beriihrungspunkte und drei Radien. 
Die Bogen sind bestimmt, sobald ihre Zentriwinkel berechnet sind 97 ). 
Bei der Absteckung der Eisenbahnlinien sind zwischen Geraden und 
Bogen zur tlberleitung von der Kriimmung Null zur Kriimmung 
des Kreisbogens ,,tibergangskurven" erforderlich. Die Absteckung 
anderer als Kreisbogen, der Kegelschnitte oder anderer Kurven, kommt 
bis jetzt allgemein nicht in Betracht 98 ). Fiir die praktische Durch- 
fiihrung der Absteckungen werden stets Hilfstabellen verwendet") (oft 

96) Uber die Anordnung der Rechnungen und Messungen sowie uber 
weitere Aufgaben vgl. die Lehrbiicher, z. B. Jordan, Handbuch 2, Kap. XVII und 
Hartner-Dolezal 2, 2831. 

97) E. Puller, Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892), p. 519; 23 (1894), p. 257; 
E. Hammer, ibid. 29 (1900), p. 236 (vgl. Literaturiibersichten). 

98) Heclit, Hand- und Hilfsbuch zurn Abstecken von Eisenbahn- und 
StraBenkurven mit besonderer Rucksicht auf die Verwertung der Kegelschnitte, 
Dresden 1893. 

99) Sarrazin und Oberbeck, Taschenbuch zum Abstecken von KreisbOgen 



16. Das Nivellieren. 69 

auch in Taschenkalendern enthalten), worin z. B. enthalten sind zum 
Radius 1 (bezw. 100) als Funktionen der Zentriwinkel: Tangentenlangen, 
Bogenlangen, Sehnenlangen, Pfeilhohen, Scheitelabstande; ferner Kreis- 
koordinaten, Peripherie winkel usw. 

Wegen weiterer Literatur sei verwiesen auf die Angaben in den 
Lehrbiichern 10 ) , sowie die technischen Zeitschriften, z. B. auch die 
Literaturiibersichten der Zeitschr. fur Vermessungswesen. 

Als eine besondere bei , 7 Grubenmessungen" vorkommende Auf- 
gabe sei noch genannt die Ubertragung oberirdisch (,,iiber Tage") ge- 
gegebener Punkte bezw. Richtungen in die Grrubenraume (^unter 
Tage") und umgekehrt, die sogenannte ,,0rientierungsmessung" mit 
,,Schachtlotung". Da Richtungsubertragung mit dem KompaB (Dekli- 
natorium, Magnetometer) nur in unmagnetischem Gebirge moglich 
und nicht in alien Fallen geniigend genau ist, handelt es sich dann 
darum, zwei oder auch rnehrere Punkte zu projizieren, entweder 
beide in kurzem Abstand in einem Schacht oder je einer in benach- 
barten Schachten. Hierzu dient entweder direkte Ablotung mit , 7 Schacht- 
loten" (Methode der schwingenden oder der fixierten Lote) oder 
pptische Ablotung mit Lotfernrohr; letzteres Verfahren ist jedoch wegen 
Undurchsichtigkeit der Luft in den Schachten vielfach unanwendbar. 
Nach Projektion von zwei Punkten ist die Aufgabe auf eine be 
sondere Art trigonometrischeu bezw. polygonometrischen Anschlusses 
(p. 57) zuriickgefiihrt 101 ). 

D. H o h e n m e s s u n g. 

16. Das Nivellieren. 
16 a. Definition des H6henunterschied.es, Historisches. Die 

Methode der Hohenbestimmung beirn sogenannten , ? Nivellieren" mit 
Verwendung wagerechter Ziellinien und lotrechter Skalen (vgl. p. 12) 
folgt unmittelbar aus der fur die Vertikalebene zweier Punkte ge- 
gebenen Definition. Der Abstand der als parallel zur Normalnullflache 
betrachteten Horizonte zweier Punkte P t und P 2 (in den Lotlinien 
gemessen) ist der ; ,Hoheunnterschied" der Punkte mit der Definition 
= h 2 h v Diese Hohenunterschiede werden durch kurze wage- 



usw., Berlin ; Knoll, Taschenbuch zum Abstecken der Kurven an StraBen- und 
Eisenbahnen, 2. Aufl. von Weitbrecht, Stuttgart 1902 und andere. 

100) Jordan, Handbuch 2, p. 842; Hartner-Dolezal 2, p. 447. 

101) Weiteres fiber die Schaehtlotungen und AnschluBmessungen geben die 
Lehrbu cher der Markscheidekunde ; man vgl. auch ,,Mitteilungen aus dem Mark- 
scheidewesen", Freiberg i. S. 



70 VI i, 1. G. Eeinhertz. Niedere Geodasie. 

rechte Ziellinien zwischen den Lotlinien einander naheliegender Punkte 
unmittelbar hergestellt. Schneiden diese Ziellinien an den Lotlinien 
in P x und P 2 die Stiicke ^ und 1 2 ab, so ist AA 12 = /^ h i = l l Z 2 , 
oder mit Einfiihrung des Horizontes h t der wagerechten Ziellinie 
(,,Instrumenthorizont") h. = h -J- ^ ; h 2 = h t 1 2 . Hierbei ist von 
der Konvergenz der Lotlinien abgesehen, oder aber die Abweiehung 
durch Anwendung gleichlanger Ziellinien als eliminiert betrachtet 
(,,Nivellieren aus der Mitte"). Der Hohenunterschied entfernter Punkte 
ergibt sich als die Summe der zugehorigen Einzelunterschiede 

A.. = AA al + A* 12 + + *h ne . 

Wird die wagerechte Linie durch ein mit einer Setzwage (Bleiwage 
oder Setzlibelle) wagerecht zu richtendes ,,Richtscheid" gebildet und 
an einem lotrechten Stab der Hohenunterschied entnommen, so hat 
man die grobe Hohenbestimmung mit dem ,,Staffelzeug", angewendet 
z. B. bei Erdbauten (vgl. Nr. 16e). Zur Herstellung wagerechter 
Ziellinien mit Einwinken einer Scheibe in die wagerechte Sicht an 
den lotrechten Staben l n in P n diente schon im Altertum die an 
einem Stab aufgehangte ,,Bleiwage" sowie die nach dem Prinzip der 
kommunizierenden Rohren zwei der Wagerechten angehorende Ziel- 
punkte darbietende vKanalwage" 2 ). NachErfindung des ? ,Zielfernrohres" 
wurden seit Ende des 17. Jahrhunderts mehrfach Versuche gemacht, 
dieses zum ,,Fernrohrniveau" auszubilden; erst seit Beginn des 
19. Jahrhunderts wurde die heutige Form als ,,Nivellierinstrument" 
gefunden und besonders seit der Zeit der ersten Eisenbahnbauten das 
heutige Nivellierverfahren mit dem Nivellierinstrument zu der exak- 
testen aller Hohenmessungsmethoden ausgebildet. 

16 b. Der Nivellierapparat besteht aus dem ^Nivellierinstrument" 
und den ,,Nivellierlatten". Das Nivellierinstrument ist eine Verbindung 
von Zielfernrohr und Libelle, so daB, wenn die Blase der mit dem 
Fernrohr in gleicher Richtungsebene befindlichen Libelle auf den 
Normalpunkt einspielt, die Absehlinie des Fernrohres horizontal ge- 
richtet ist, oder auch kleine Abweichungen von der Horizontalen 
durch Ablesen der Blasenstellung in der Libellenteilung gemessen 
werden konnen. Die Art der Verbindung von Libelle und Fernrohr 
untereinander sowie mit dem als Trager derselben erforderlichen 
Unterbau (in der Regel ein ; ,DreifuB" mit Stellschrauben) kann ver- 
schieden sein; das wesentlichste Unterscheidungsmerkmal ist die Art 
der Fernrohrlagerung und der Libellenanordnung, ob Fernrohr und 

102) ttber einige altere Fonnen dieser Vorrichtung und weitere Literatur 
Tgl. Vogler, Prakt. Geom. 2, 228. 



16 b. Der Nivellierapparat. 16 c. Das Nivellierverfahren. 71 

Libelle untereinander und mit dem Unterbau fest oder beweglich 
(umlegbar), sowie aucb durch Vermittlung von Mikrometerschrauben 
verbunden sind, wobei fiir die ,,Fehlertilgung" besondere Anordnungen 
in Betracht kommen. Hiervon ist auch die Erzielung der Bedingungen, 
welchen das Instrument in bezug auf seine Achsen (Libelle, Ziellinie, 
Ringachsen, Drehachsen) geniigen muB, die sogenannte ,,Berichtigung" 
abhangig, deren Endresultat sein muB: bei Einspielen der Libelle 
auf den Nornialpunkt (vgl. p. 18) wagerechte Zielung. Die An- 
ordnung der Instrumente und die entsprechenden Berichtigungsver- 
fabren sind in den Lehrbiichern ausgiebig behandelt. Die Leistung 
eines Nivellierinstrumentes hangt (abgesehen von fester Aufstellung 
und sicherem Gang der mechanischen Teile) ab von Fernrohr und 
Libelle. Die Angabe der Libellen liegt bei 1 P. L. oder 2 mm- 
Teilung etwa zwischen 50" und 3", die VergroBerung der Fernrohre 
ist 15fach bis 45fach; starkere Fernrobre werden im Felde nicbt 
verwendet. Bei sachgemaBer Zusammenstellung dieser Werte kann 
die Horizontierung der Abseblinie mit einem mittleren Fehler von 
einigen Zehntel Sekunden bis zu mehreren Sekunden erfolgen 103 ). 

Die ,,Nivellierlatten", welche die lotrechten Abschnitte l n zu bilden 
haben, sind mit dem Fernrohr des Nivellierinstrumentes abzulesende 
Zielskalen, die je nach der erstrebten Genauigkeit (in Ubereinstimmung 
mit der Instrumentleistung) in Y 2 cm, % cm oder aucb Y 2 dm und 
*/! dm geteilt sind; es kommen auch andere Einteilungen (z. B. 
Doppellinien = 4 mm, auch 2 mm und 1 mm) vor. Friiher wurden 
statt dieser Ableseskalen Latten mit einer in die Wagerechte einzu- 
winkenden Zielscheibe benutzt. Die Teilung ist eine ,,Feldeinteilung" 
mit abwechselnd rot-weiBen oder schwarz-weiBen Intervallen oder auch 
eine ,,Strichteilung". Die Skalen werden in der Regel aus Holz her- 
gestellt, neuerdings beginnen fiir Prazisionsarbeiten auch Versuche mit 
Metallskalen verschiedener Anordnung, um die muhevollen, fiir Fein- 
messungen taglich erforderlichen Vergleichungen der Holzskalen mit 
NormalmaBen (vgl. p. 20) und nachfolgenden Reduktionen zu ersparen 
bezw. diese letzteren zu verscharfen. Die Latten werden mit daran 
befestigten Dosenlibellen lotrecht gerichtet und auf besonderen Unter- 
legeplatten oder in den Boden getriebenen Bolzen oder Pfahlen auf- 
gestellt, beim Markscheiden auch als Hangelatten eingerichtet. 

16c. Das Nivellierverfahren. Bei der Anwendung des Nivellierver- 
fahrens kommen stets kurze Zielweiten in Betracht. Fiir die fortlaufenden 

103) Genauigkeitsuntersuchungen findet man bei Jordan, Handbuch 2, 
Kap. X; vgl. auch die FuBnote 20. 



72 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

Hohenbestiinmuugen in Nivellierziigen gilt als mittlere Zielweite rund 
50 m (wodurch bei StraBen, Eisenbahnen, Wasserlaufen gleichzeitig 
in bequemer Weise AnschluB an die vorhandene Langeneinteilung, 
,,Stationierung", dieser Bauten gewonnen wird), so daB die Nivellier- 
skalen in Abstanden von 100 m aufgestellt werden; bei Grelande- 
aufnahmen sind die Zielweiten wechselnd, in anderen Fallen, z. B. 
bei Arbeiten in Gruben unter Tage, sehr kurz. Bei gleicben Ziel 
weiten kann der EinfluB der Erdkriimmung als eliminiert be- 
trachtet werden, bei den ungleichen Zielweiten der Grelandeaufnahme 
wird die Abweichung ohne weiteres vernachlassigt. Wahrend bei 
einfachen Nivellierungen die beiden Skalenablesungen \ und \ bei 
einspielender Libelle und wagerechten Ziellinien genornmen werden, 
wird bei Feinnivellierung meistens mit nur genahert einspielender Libelle 
und Ablesung der Blasenstellung mit Reduktion auf die wagerechte 
Zielunff gearbeitet, femer auch zur Verminderung der Skalenablesefehler 

O O / " 

die Einstellung bestimmter Skalenstellen oder Marken mittelst der Mikro- 
meterschraube mit Reduktion nach den zugehorigen Libellenablesungen 

O O O 

verwendet, oder auch mehrfache Einstellung bezw. Ablesung, sei es 
an Parallelfaden, mit Drehen des Fernrohrs oder der Libelle in ver- 
schiedenen Lagen usw. 104 ). Zur Yermeidung der Subtraktionen \ / 
wird auch nach dem Vorgange der preuBischen Landesaufnahme die 
Rechnung mit dekadischen Erganzungen, z. B. 
-f- 1,012 1,258 = + 1,012 + x 8,742 = x 9,754 (= 0,246), 

wo X eine negative Einheit in seiner Stelle ausdriickt, angewendet, 
wozu dann in dieser Art bezifferte Skalen benutzt werden. Zur 
Sicherung und Verfeinerung der Skalenablesungen werden auch 
,,Wendelatten" mit beiderseitiger Teilung in verschiedener Anord- 
nung, sowie doppelte ,,Anbindepunkte" usw. benutxt 104 ). 

Die Anwendung des Nivellierverfahrens ist eine vielseitige und 
verschiedenartige; es kommenin Betracht die Aufgaben der Erdmessung, 
der Landesvermessung und techuische Arbeiten mannigfaltiger Art; 

104) Eine Ubersicht viber die bei den verschiedenen Landesnivellierungen 
gebrauchten Apparate hat v. Kalmar gegeben, Verhandlgn. der Permanenten 
Komm. d. Intern. Erdm. in Genf 1893, Berlin 1894, Beilage A II. tJber die 
franzosischen Instrumente und Methoden findet man naheres bei Lallemand, 
Nivellement; vgl. ferner C. M. Goulier, Puris C. E. 105 (1887), p. 270, 306; M. 
Levy, ibid. 110 (1890), p. 1233. Ein kathetometrisches Nivellierinstrument ist 
von Cfir. A. Vogler beschrieben, Zeitschr. f. Vermess. 31 (1902), p. 55. 

105) Weiteres fiber solche Aufgaben siehe in den Lehrbuchem sowie fiir 
die verschiedenen bautechnischen Zwecke in dem Handbuch der Ingenieur- 
Wissenschaften, Leipzig. 



16 c. Das Nivellierverfahren. 73 

dementsprechend ist allgemein zu unterscheiden: Anwendung des 
Nivellierens in der Technik (Kleirmivellierung) , deren Genauig- 
keit der gerade vorliegenden Aufgabe entsprechen muB, und Ni- 
vellierung fiir die Zwecke der Erdmessung und die Hauptsysteme 
der Landesvermessung 7 deren Ergebnis das mit gro Btmoglicher Ge- 
nauigkeit bestimmte Landeshohennetz ist, welches gebildet wivd durch 
ein System von Festpunkten, ; ,Bolzen" 7 ,,H6henmarken" usw., die an 
festen Gebauden oder in Steinpfeilern angebracht sind. Diese letzteren 
Arbeiten bezeichnet man als ,,Prazisionsnivellierang" oder 7 ,Nivellierung 

I. Ordnung". Eine Mittelstellung zwischen diesen beiden Aufgaben 
des Nivellierens nehmen diejenigen Arbeiten ein 7 welche als Fort- 
fiihrung oder auch als Ersatz der etwa fehlenden Landesprazisions- 
Nivellierung zur Grundlegung fiir umfangreiche und wichtige Klein- 
nivellierungen zu dienen haben (,,Netznivellierung", , ; Nivellierung 

II. Ordnung"). Die Nivellierungen I. und II. Ordnung bestehen ledig- 
lich aus Ziigen zwischen Festpunkten, die Kleinnivellierungen dagegen 
aus der Verbindung der Zugnivellierung mit Gelandeaufnahmen. 

Bei ,,Kleinnivellierungen" handelt es sich um die verschiedenartigeii 
Arbeiten zu technischen Zwecken: Gelandenivellierungen auf Grund 
eines vorhanuenenLageplanes mit nachfolgender Auszeichnung von Linien 
gleicher Hohe (Hohenschichtlinien, Horizontalkurven), sodann die Auf- 
nahme von Langen- und Querschnitten, wie sie Eisenbahn-, StraBen-, 
Wasser-, Bergbau usw. erforderlich machen. Bei der zeichnerischen 
Darstellung dieser Vertikalschnitte (Hohenplane) wird in der Regel 
eine entsprechende Vergrofierung der Ordinaten (Hohen) angewendet. 
Fiir die Absteckung projektierter Hohenpunkte (vgl. die vorerwahnten 
Bauten) ; ist die dem Projektpunkte fiir eine bestimmte ? aus einem 
Festpunkt abgeleitete, Instrumentaufstellung entsprechende Latten- 
ablesung 1. = h { Ji n zu erzielen. Bei der Aufnahme der Sohien- 
punkte bei Gewassern wird der Wasserspiegel als Nivellierhorizont 
verwendet, dessen Hohenlage bezw. Schwankungen dann zu bestimmen 
sind (Aufnahmepegel) 105 ). 

Gelegentlich kommt auch die dem Prinzip der Kanalwage (p. 70) 
entsprechende Schlauchkanalwage zur Anwendung. Durch eine Schlauch- 
leitung sind zwei vertikale Glaszylinder verbunden, in denen der 
Wasserstand (event, durch Schwimmer) direkt an Skalen abgelesen 
wird. Auf dem Telegraphenberge bei Potsdam ist seitens des 
PreuBischen Geodatischen Instituts 10 ) eine 900 m lange Rohren- 

106) Veroffentlichung des Konigl. Geodat. Instituts, N. F. 14; E. Sctmmann, 
Ergebnisse einer Untersuchung iiber Veranderungen von Hohenunterschieden auf 
dem Telegraphenberge bei Potsdam, Berlin 1904. 



74 VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie. 

leitung angelegt, urn durch ein hydrostatisches Nivellement even- 
tuelle Bewegungen der Erdscholle aufzudecken. 

16 d. Die Genauigkeit der Nivellierung ist einerseits abhlingig von 
den instrumentellen Werten des Nivellierapparates (Skala, Libelle, Fern- 
rohr), sowie der Art der Ausniitzung des Apparates (Libelleneinstellung 
oder Ablesung, Skaleneinstellung bezw. Ablesung), andererseits von den 
mechanischen Fehlern des Verfahrens (Instrument-, Stativ- und Latten- 
aufstellung, Eiusinken), sowie den auBeren Umstanden (storende Ein- 
wirkung von Temperatur und Feuchtigkeit auf Instrument, Stativ und 
Latte) und bei den dicht iiber den Erdboden hinstreichenden Ziel- 
linien besonders auch der ,,topographischen Refraktion", welche zur 
Innehaltung kurzer Ziellinien zwingt, und der Luftwallung, welche 
Feinarbeiten an bestimmte Tagesstunden (Nachmittag) bindet. Wind 
macbt das Nivellieren iiberhaupt unmoglich. Die aus diesen ver- 
schiedenartigen Ursachen entstehenden Fehler sind teils zufallige, teils 
regelmafiige, zusammenwirkend nach der allgemeinen Form wie p. 21 
]// 2 s 2 -{- u*s. Zur Herabminderung (bezw. Elimination) der Fehler 
ist das Nivellierverfahren in mannigfacher Weise ausgebildet und ver- 
feinert worden 107 ). 

Zusammenhangende Nivellierungsnetze, in denen die Ziige zwi- 
schen den Netzknotenpunkten stets aus Hin- und Hernivellierung ge- 
bildet werden, werden nach der Methode der kleinsten Quadrate 
vielfach nach , 7 bedingten", jedoch auch nach w vermittelnden" Be- 
obachtungen (vgl. p. 16) ausgeglichen 7 wobei die Gewichtsbestim- 
mung fur die Ziige besonderer Beriicksichtigung bedarf. Die Be- 
dingungsgleichungen (Polygon- und AnschluBbedingungen) bezw. 
die Fehler- und Normalgleichungen lassen sich bei derartigen 
Netzen unmittelbar nach den Netzskizzen anschreiben, die Rechen- 
arbeiten gestalten sich in den meisten Fallen sehr einfach. Bei 
der Zusammensetzung des ein groBes Staatsgebiet oder Teile eines 
Kontinentes, wie z. B. Westeuropa, iiberziehenden Netzes, wie es die 
Aufgaben der Erdmessung erforderlich machen, ist auf die Abplattung 
der Erdoberflache und die Schwereanomalien Riicksicht zu nehmen 
und die dementsprechenden Korrektionen den einzelnen Ziigen bei- 
zulegen (vgl. VI l, 3). Die Genauigkeit der Nivellierung kann be- 
urteilt werden entweder nach den Abweichungen, welche zwei 
Messungen fur dieselben Teilstrecken ergeben, oder nach dein 



107) S. Stampfer, Theoretische und praktische Anleitung zum Nivellieren, 
1. Aufl., Wien 1845; 9. Aufl. F. Lorber, Wien 1894; 10. Aufl. E. Dolezal, Wien 1902; 
ferner Jordan, Handbuch 2, Kap. X; Vogler, Prakt. Geom. 2. 



16d. Die Genauigkeit der Nivellierung. 16 e. Erdmassenberechnung. 75 

Fehler ; welcher bei der Zusammenstellung der Ziige zum Netz 
(PolygonschluBfehler) oder der Netzausgleichung event, mit AnschluB- 
bedingungen sich berechnet. Als GenauigkeitsmaB dient allgemein 
der mittlere Fehler der Nivellierung einer Strecke zwischen zwei 
Punkten, deren horizontaler Abstand 1 km betragt, welcher also bei 
der Normalzielweite 50 m rund zehn Aufstellungen erforderlich macht. 
So spricht man vom ,,mittleren Kilometerfehler einer einmaligen oder 
einer doppelten Nivellierung oder der Schleifen (Polygone) des Netzes. 
Nachder alteren Bestimmung der europaischen Gradmessung (1867) gait 
eine Nivellierung als gut, wenn der ,,wahrscheinliche" Kilometerfehler 
nicht + 3 mm, als brauchbar, wenn er nicht + 5 mm uberschritt; 
diese Genauigkeit wird heute ohne besondere Scbwierigkeit mit mitt- 
leren Instrumenten, bei sorgf altigem Verfahren auch fiir Nivellierungen 
II. Ordnung erzielt (und als ,,mittlerer" Febler + 3 mm bis + 5 mm 
hierfiir wohl als Norm angewendet), wahrend bei den modernen Prii- 
zisionsnivellierungen der Fehlerbetrag sich innerhalb + 1 mm halten 
laBt, und selbst bei den einfachen Nivellierziigen technischer Arbeiteu 
bei der Verwendung von in % cm geteilten Latten der mittlere Fehler 
nicht + 10 mm iibersteigt 108 ). 

16e. Erdmassenberechnung. Im AnschluB an die vorbe- 
sprochenen technischen Messungen und Absteckungen (Nr. 15) kommt 
die Berechnung des Inhaltes von Erdkorpern, Dammen, Einschnitten 
usw. in Betracht. Die Gelandeoberflache ist auf Grund der bei 
der Horizontal- und Vertikalaufnahme aufgemessenen Punkte in 
Flachenstiicke zerlegt, welche in geradlinigen Kanten die Begren- 
zungsflachen eines sich der natiirlichen Oberflache anschmiegen- 
den Polyeders darstellen. Ein einfacher Fall der Erdmassenberechnung 
liegt nun z. B. vor, wenn ein Quadratnetz (etwa mit 20 m Maschen- 
weite) abgesteckt ist, fiir alle Netzpunkte die Hohen gemessen siud, 
und die Erdmasse etwa bis zu einer bestimmten Horizontflache, oder 
auch einer geneigten Flache ermittelt werden soil (schief abgeschnittene 
Prismen mit quadratischem Grundschnitt). Treten dazu noch die 
Boschungen, welche die Gelandeoberflache mit der fiber oder unter ihr 
liegenden (projektierten) Flache verbinden, ev. unter Hinzunahme von 
Graben, Rampen usw., so lassen sich doch, sofern eine genugende 
Anzahl von Punkten gegeben ist, irnmer diese Erdkorper in bestimmte 



108) Uber die Ergebnisse von Genauigkeitsuntersuchungen vgl. Fufin. 20 
und die jiihrlichen Literaturubersichten der Zeitschr. f. Vermess. Uber die inter- 
nationalen Arbeiten wird fortlaufend berichtet in den Verhandlgn. der Konf 
der internationalen Erdmessung. 



76 VI i, 1. C. Eeinliertz. Niedere Geodasie. 

geometrische Korper, Prismatoide, Prismen, Pyramidenstutze usw. zer- 
legen und darnach im Einzelnen berechnen 109 ). 

In den nieisten Fallen wird jedoch besonders bei den ausgedehnten 
Massenbestimmungen der Damm- und Einschnittskorper beim Eisen- 
bahn-, StraBen-, Kanalbau diese bei korrekter Einzeldurchfiihrung sehr 
niiihsame Zerlegung nicht ausgefiihrt (zumal neben anderen Umstanden 
in praktischer Hinsicbt die Auflockerung des Bodens beim Fordern 
und Wiederabsetzen in Betracht kommt). Eine sehr gelaufige Berech- 
nungsmethode der Erdinassen bei den erwiihnten Bauwerken ist die 
folgende: Es werden rechtwinklig zur Langsachse, dem Langenprofil, 
in bestimmten Abstanden s Querscbnitte (Querprofile) aufgenommen 
(p. 73), und deren Flacheninhalte F aus den aufgezeichneten Quer- 
profilen berechnet. Dann wird der Korperinhalt zwischen zwei auf- 
einanderfolgenden parallelen Querprofilen gefunden nach ^(F 1 -f- -F 2 )s; 
es ist also das arithmetiscke Mittel der Begrenzungsprofile an Stelle 
des Prismatoidmittelschnittes F gesetzt (^s[F 1 -f- _F 8 -f- 4.F ]). So 
wird auch verfahren, wenn ein Gelande durch Horizontalkurven (p. 73) 
dargestellt ist, iiidem die Erdmasse zwischen zwei benachbarten Hori- 
zoritflachen aus deren Vertikalabstand und dem mittleren Flachen- 
inhalt der von den Kurven umschlossenen Flachen gewonnen wird 
(bei ahnlichen Kurvenfiguren abgestutzte Kegel). Die Flacheninhalts- 
berechnung der Prismatoidgrunclflachen, Dreiecke, Vielecke, Damm- 
und Einschnittprofile geschieht je nach den Umstanden nach einer 
der p. 71 fiir die Flachenberechnung angegebenen Methoden, nume- 
risch, graphisch oder mechanisch (Planimeter). Zur Vereinfachung dieser 
Rechnungen sind eine Reihe von Verfahren enfcwickelt und Tabellen 
berechnet; es kommen besonders graphische Methoden hierbei in 
Betracht 110 ). Der Flacheninhalt eines Damm- oder Einschnittprofils 
fiihrt auf die allgemeine Form A -f- Bx -f- Cx 2 , worauf die graphi- 
schen Methoden, welche in I F (R. Mehmcke), p. 1006 ff. behandelt 
sind, Anwendung finden konnen. Im sogenannten ,,Profilma6stab a wird 
diese Form durch eine Gerade y = A -f- Bx und eine Parabel 
y Cx 2 auf gemeinschaftlicher Abszisse, die Flache also linear 
dargestellt. Werden diese Linien als Ordinaten an den betreflenden 
Achsenpunkten des Langenprofils eingetragen (Abtrag oberhalb, Auf- 
trag unterhalb der Projektlinie), so entsteht das ,,Flachenprofil", dessen 
Flache die Raummassen zwischen den Profilen darstellt. Auf solche 



109) Als Beispiel einer besonderen Aufgabe moge hierzu zitiert sein: Wilski, 
Zeitschr f. Vermess. 21 (1892), p. 401; Ghr. A. Vogler, ibid. 34 (1905), p. 169. 

110) Handbuch der Ingenieurwissenschaften 1 (G. Meyer und 8. v. Will- 
manri), 1. Abt., 3. Aufl , Leipzig 1898, 19, 4. Aufl. 1904, 19. 



16 f. Kotierte Projektion. 77 

Darstellungen griindet sich dann die Massenverteilung im sogenannten 
,,Massennivellement" mit dem ,,Massenprofil", worin in jedem Profil- 
punkt die algebraische Summe aller vorhergehenden Massen auf- 
getragen erscheint no ) U1 ). Auch sei an dieser Stelle hingewiesen 
auf einige interessante Aufgaben, welche W. Launhardt 1 ^ in der 
Theorie des kommerziellen Trassierens aufstellt. 

16f. Kotierte Projektion. Endlich sei auch hier noch hin 
gewiesen auf die ,,kotierte Projektion", d. h. diejenige Methode der 
darstellenden Geometrie 113 ) , welche sich auf die geometrische Karte 
als orthogonale Parallelprojektion in der Vermessungsgrundflache mit 
jedem Gelandepunkt zugeschriebener Hohenzahl (Kote) und Auszeich- 
nung der Horizontalkurven griindet. Die Lage eines Punktes ist be- 
stimmt durch seine Projektion und die zugefiigte Kote, die Lage einer 
Geraden durch zwei derart gegebene Punkte, die einer Ebene durch 
drei Punkte oder durch Festlegung der Linie starkster Neigung. Zur 
bequemen Ausfuhrung der Konstruktionen werden die Linien nach 
ganzzahligen Koten eingeteilt (,,graduiert"). Der horizontale Abstand 
zweier benachbarter, der Hoheneinheit entsprechender Einteilungs- 
(Graduierungs)- Punkte ist das ,,,Intervall". Zwischen dem Hohen- 
(Koten-)Unterschied k zweier Punkte, ihrem horizontalen Abstand s f 
der Neigung der Linien n und dem Intervall * bestehen demnach die 

O O 

Beziehungen n : 1 = h : s = 1 : i, womit alle bei der kotierten Pro 
jektion vorkommenden Rechnungen ausgedriickt sind. Der ,,Boschungs- 
m.iBstab" einer Ebene ist eine in der Richtung des starksten Gefalles 
verlaufende graduierte Gerade; die Horizontalen stehen rechtwinklig 
zu ihr. Bei der topographischen Flache werden die Fallinien sowie 
die Horizontalen zu Kurven. Eine ,,Horizontalkurvenkarte" gibt in 
jedem Punkt an: die Hohe des Punktes, die Richtung der Horizon 
talen, des starksten Falles und den Betrag der Neigungen. Die 
kotierte Projektion ermoglicht eine einfache Darstellung der Erdkorper 
und Boschungsschnitte bei der Anlage von Eisenbahnen, Kanalen, 
Wegen usw. ; sie ist eingehend von G. A. Peschka iu ) behandelt. 

Bei der Darstellung der topogruphischen Flache (vgl. p. 92) 



111) C. M. v. Bauernfeind, Graphische Bestimmung der Erd- und Transport- 
weiten, Munchen 1856; C. Culmann, Graphische Statik, Ziirich 1866, 2. Aufl. 1875, 
Kap. 2 u. 3; F. Eickemeyer, Massennivellement, Leipzig 1870; /. Amsler-Laffon, 
Anwendung des Integrators zur Massenberechnung, Zurich 1875; vgl. hierzu 
II A 2 (A. Voft\ p. 131. 

112) Theorie des Trassierens, Hannover, Heft 1, 1887; Heft -2, 1888. 

113) Vgl. Ill i, 11 (E. Papperitz). 

114) Kotierte Ebenen, Brtinn 1877. 



78 VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie. 

durch Bergstrichzeiehnung entsprechen die ,,Bergstriclie" den Fallinien. 
Durch Auszeichnung dicht nebeneinanderliegender Fallinien wird die 
topographische Flache in Elemente zerlegt, sodaB dadurch an jeder 
Stelle der Karte Betrag und Richtung der Neigung zum Ausdruck 
kommt. Zur Veransehaulichung der Flachenneigungen werden dann nach 
J. 6r. Lehmann n5 ) unter der Voraussetzung vertikal einfallenden Lichtes 
die einzelnen Flachenteilchen nach dem Grade ihrer Neigung durch 
passende Anordnung der Strichstarke mehr oder weniger weiB oder 
schwarz ausgezeichnet; nach ,,Lehmanri$ Manier" vom Hohenwinkel 
a = bis zur Grenze a = 45 in 9 Stufen nach der Beziehung- 
Schwarz : WeiB = a : (45 a). In Spezialkarten (vgl. auch Nr. 20, 
21) werden in der Regel nur Horizontalkurven eingetragen; Berg- 
strichzeichnung kommt in der Regel nur in Betracht fur topogra 
phische Karten in MaBstaben etwa von 1 : 25000 ab (vgl. VI 1, 4). 

17. Trigonometrische HShenmessung. 1st bei Anriahme paral- 
leler Lotlinien in einem Punkte P t in der Vertikalebene nach P 2 der 
Zenitwinkel ^ oder der Hohenwinkel a x gemessen und die horizontale 
Entfernung s bekannt, so ist h% = \ -\- stga r Die Messung der 
Vertikalwinkel geschieht mit dem Hohenkreis des Theodolits (vgl. 
p. 26). Unter \ ist demnach die Hohe der Kreisachse verstanden, 
die entweder durch Hohenwinkelmessung nach einem gegebenen Hohen- 
punkt in bekannter Entfernung aus \ = h p stga abzuleiten ist, oder 
durch unmittelbare Messung des lotrechten Abstandes i iiber dem Auf- 
stellungspunkte h t = h p -f- i. Ist nicht der zu bestimmende Hohen- 
punkt P 2 direkt angezielt, sondern ein Hilfszielpunkt, der um ein 
bestimmtes MaB l t iiber oder unter P 2 liegt, so wird demnach die 
vollstandige Hohenformel h 2 = \ -\- i -j- l t -f- siga. Ist die Ent 
fernung s nicht direckt meBbar, wie z. B. bei Turmen, so muB sie 
indirekt durch besondere Messungen, wie bei der Horizontaltriangu- 
lierung (Dreieck mit Grundlinie und anliegenden Winkeln), ermittelt 
werden. Wird hierbei die Grundlinie in die Vertikalebene der Auf- 
stellungspunkte und des unzuganglichen Turmpunktes gelegt, so ent- 
fallt die Messung der Horizontalwinkel, es ergibt sich die unbekannte 
Entfernung aus dem Dreieck in der Vertikalebene. 

Die Annahme der Parallelitat der Lotlinien kann nur fur sehr 
kurze Entfernungen beibehalten werden. Wird auf der kugelformigen 
Erdoberflache durch P, und P 9 eine Vertikalebene geleoct und der 

A & O O 

Abstand s der Lotlinien in der Normalnullflache als bekannt (etwa 

115) Darstellung einer neuen Theorie der Bezeichnung der schiefen Flachen 
im GrundriB oder der Situationszeichnung der Berge, Leipzig 1799. 



17. Trigonoiuetrische Hohenmessvmg. 79 

aus der Horizontaltriangulierung) angesehen und wieder der Vertikal- 
winkel a^ gemessen, so ist in dem durch den Schnitt der Lotlinien 
im Erdzentrum C gebildeten Dreieck CP 1 P^ bei bekanntem Erdradius 
alles zur Bestimmung des Hohen- 
unterschiedes A7i 12 gegeben. Die 
Beziehung wird wegen der Kleinheit 
des zugehorigen Erdzentriwinkels und 
der Hohen von P t und P 2 im 
Versfleich zum Erdradius R unter 

O 

Einfuhrung der Abweichung des Fig. 23. 

wahren und scheinbaren Horizontes 

s 
(Niveauflache und Tangentialebene) , der ,,Horizontdepression" --^ 

(Fig. 23), unmittelbar zuriickgefuhrt auf die einfache Rechenformel 
bei parallelen Lotlinien, sodaB ist 




wozu nun nocn die ,,terrestrische Refraction" tritt (vgl. VI 2, 3 (E. v. 
Oppolzer)). Der Betrag der terrestrischen Refraktion wird als Funktion 
der spharischen Depression durch den ,,Refraktionskoeffizienten" k zum 

s* 
Ausdruck gebracht in der Form k ^~ ; sodaB in dieser Zusammen- 

j _ ^ 
fassung die Hohenformel lautet h 2 ==7^ -j- s tg a -\ --^- 5 2 (zur Rech- 

nung dienen Tabellen 116 )). Es wird demnach die Lichtkurve kurzweg 
als flacher Kreisbogen ausgedriickt. Werden in beiden Punkten P l und 
P 2 sogenannte ,,gegenseitige Zenitdistanzen" ^ und 2 2 gemessen, so 
gilt unter der Voraussetzung gleichmassiger Krummung der Licht- 
bahn die vereinfachte Beziehung h 2 \ = stg-^(^ 2 ^), worin der 
Refraktionskoeffizient nicht erscheint, und die zugehorige Gleichung 

_ I y -t OAO 

If = 1 R, woraus (am zuverlassigsten bei gleichzeitiger 

gegenseitiger Beobachtung) Bestimmungen fur den Refraktionskoeffi- 
zienten gewonnen werden konnen. 

Die starke Veriinderlichkeit der terrestrischen Refraktion und 
ihre Abhangigkeit von der Temperaturverteilung langs der Ziellinien 
(Besonnung usw.) ist die wesentlichste Fehlerquelle fur trigono- 
metrische Hoheumessungen. Der Fehler des als ,,mittlerer Refraktions- 
koeffizieut" beniitzten Wertes k = 0,13 (BesseT) ist rund auf % 
seines Betrages zu schatzen, etwa mit dem Ausdruck 0,13 + 0,03, 



116) Jordan, Handbuch 2, Kap. XI mit ausfuhrlichem Literaturverzeichnis, 
p. 692. 



80 VI i, 1. C.Reirihertz. Niedere Geodasie. 

wodurch aber groBere Abweichungen nicht beriicksichtigt werden. 
Besondere Beobachtungen fiber die terrestrische Refraktion, ihre tag- 
liche Periode usw. sind von C. M. v. Bauernfeind 111 ) angestellt; 
weitere Literaturangaben findet man bei Jordan 116 ). Durch diese Ver- 
anderlichkeit und die Unsicherheit der Refraktionsbestimmimg ist 
der Genauigkeit der trigonometrischen Hohenmessung eine Grenze 
gesetzt, sodaB zur Zeit diese Methode hauptsachlich in Verbindung 
mit der Kleintriangulierung fur topographische Messungen praktisch 
verwertet wird, wahrend sie frtiher als die ausgezeichnetste und 
scharfste Hdhenmessungsmethode betrachtet wurde; als ein Beispiel 
derartiger Messungen sei verwiesen auf das trigonometrische Nivelle- 
ment Swinemiinde-Berlin 118 ) ; einer spateren Zeit gehoren z. B. an die 
Beobachtungen zum AnschluB von Helgoland an das Festlandnetz 119 ). 
Uber die Theorie der terrestrischen Refraktion lese man die Lehr- 
biicher von F. E. Helmert} und W. Jordan 115 ) nach, die weitere 
Literaturangaben enthalten. Fur exaktere Messungen und beson- 
dere Untersuchungen kommen fur die Hohenformel noch weitere 
Glieder in Betracht; soil z. B. die Hohenlage der Messungspunkte in 
Riicksicht gezogen werden, so wird 



wobei R m der mittlere Kriimmungsradius, eventuell derjenige des 
Ellipsoidnormalschnittes in dem betreffenden Azimut ist. tJber die 
strenge Reduktion der trigonometrischen Hohenmessung, ihre Be- 
deutung fur die Bestimnmng der Erdfigur und den theoretischen 
Unterschied ihrer Ergebnisse gegeniiber denen der Nivellierung vgl. 
VI i, 3 (P. Piegetti). 

Der Fehlertilgung (vgl. p. 27) wegen werden die Vertikalwinkel 
stets in beiden Fernrohrlagen , sowie auch in mehreren Kreislagen 
gemessen, bei Kleinmessungen wird meistens mit einspielender Libelle, 
bei scharferen Messungen mit Libellenreduktion gearbeitet. Aus der 



117) Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion. Drei 
Mitteilungen rait Nachtrag, Miinchen 1880, 1883, 1888, 1890; H. Haril, Mitt, 
milit.-geogr. Inst. Wien 3 (1883). 

118) /. J. jBaeyer, Trigon. Nivellement zwischen Swinemunde und Berlin, 
Berlin 1840. 

119) Veroffentl. d. Kgl. PreuB. Geodat. Institut. Zenitdistanzen zur Bestim- 
mung der Hohenlage der Nordseeinseln Helgoland, Neuwerk und Wangeroog, 
Berlin 1895. 

120) Mathematische und physikalische Theorien der hdheren Geodaaie, 
Bd. 2, Leipzig 1884. 



18. Barometrische Hohenmessung. 81 

Beziehung A/z = stgcc ergibt sich aus den mittleren Messungsfehlern 
m und m^ der Hohemmterschiedfehler 



fur nahe wagerechte Zielung M A /, = + ^ s. Aus der Winkelmessungs- 

genauigkeit, welche je nach dem Zweck und dem verwendeten Instru 
ment etwa ausgedriickt wird durch m a = + 1" bis + 1 unter Be- 
riicksichtigung der vorerwahnten Refraktionsfehler, ergibt sich ein 
tiberblick iiber die Genauigkeit dieses Hohenmessungsverfahrens. Im 
allgemeinen wird fiir die technisclie Verwendung als geniigend er- 
achtet, weun der mittlere Hohenunterschiedfehler etwa zwischen den 
Grenzen + - dm bis + 2 dm bleibt und dementsprechend Verfahren 
und Instrumente gewahlt. Die Ausgleichung zusammenhangender 
trigonometrischer Hohennetze geschieht nach der Methode der kleinsten 
Quadrate, oder in einfacheren Fallen nach einem passenden Naherungs- 
verfahren 116 ). 

Hier ist auch noch zu erwahnen die Hohenmessung mit Grad- 
bogen, Pendelkreis, Libellenhohenkreis, s. p. 20 (eventuell als Frei- 
handinstrumente gebraucht), in Verbindung mit der geneigten Lange 
des MeBbandes oder der MeBschnur (Schnurzug des Markscheiders) 
p. 12, wobei sich der Hohenunterschied ergibt nach li = s n sin a (s n 
geneigte Lange). Die Genauigkeit clieser Hohenwinkelmessung lafit 
sich etwa durch den mittleren Fehler +0,1 bis + ; 3 ausdriicken. 
Diese Hohenmesserziige (auch wohl Schragnivellement genannt) werden 
oft mit den p. 58 erwahnten Kompafiziigen verbunden. 

18. Barometrische Hohenmessung. Zu topographischen Auf- 
nahmen, besonders auch fiir Vorarbeiten zu Eisenbahnbauten und 
Erkundungsaufnahrnen (Reiseaufnahmen), s. p. 96, wird in aus- 
giebiger Weise von der barometrischen Hohenmessung Gebrauch ge- 
niacht, wobei als Instrument lediglich das ; ,Federbarometer" in Be- 
tracht kornmt, wahrend Quecksilberbaronieter und ,,Siedethermometer" 
(Kochbarometer) zur Kontrolle des als ,,Feldinstrument" betrachteten 
,,Aneroides" dienen; die zur Zeit stattfindende weitgehende Verwen 
dung der Baroineterinessungen ist nur durch die Einffihrung dieses 
Instrumenttypus moglich geworden 131 ). Das wesentlichste Element 
der fiir Hohenmessung in Betracht kommenden Instrumente ist 
eine nahezu luftleer gepumpte, luftdicht verschlossene Biichse, 
gebildet (lurch zwei federhart gewalzte diinne Wellblechplatten, 



121) L. Vidie, Paris C. R. 24 (1847), p. 975. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VT 1. 



82 "VI i, 1- C. Reinhertz. Niedere Geodasie. 

welche auf einen kraftigen Ring aufgelotet sind. Die Biichse ruht 
auf einer Grundplatte und tragt einen Zapfen, an dem eine starke 
Feder angreift, welclie den Luftdruck balanciert. Die bei Luftdruck- 
schwankungen sich einstellenden elastischen Biegungen des Feder- 
systems, rund etwa Y 200 mm fiir 1 mm Barometerstandanderung, werden 
in versckiedener Weise ablesbar gemacht, wodurch sich verschiederie 
Konstruktionen ergeben. Am gebrauchlichsten ist mechanische Ver- 
groBerung (etwa 500fach) durch ein Hebelwerk mit Ablesung an einem 
Zeiger auf einem Zifferblatt (z. B. Naudet, Bohne). Mikrometrische 
Messung durch ein Schraubenmikrometer mit Fiihlfeder ist ange- 
wendet von J. Goldsclimid; die im Prinzip einfachste Methode direkter 
optischer mikroskopischer Ablesung (Reitz) hat sich praktisch bisher nicht 
gut bewahrt. Wegen der Konstruktionseinzelheiten sei auf die Lehr- 
biicher verwiesen m ). Die in der Konstruktion begriindeten, den unmittel- 
baren Instrumentablesungen beizulegenden Verbesserungen sind: 1) die 
,,Teilungsverbesserung" ; d. h. also die Umwandlung der Einteilung des 
betreffenden Instrumentes in die Millimetereinteilung des Quecksilber- 
barometers, bezogen auf einen bestimmten Anfangspunkt; 2) die 
w Temperaturverbesserung", d. h. die Reduktion der mit der Temperatur 
veranderlichen elastischen Kraft der zu dern Federsystem verwendeten 
Metalle, sowie die Reduktion der Spannkraft der in der Biichse ent- 
haltenen Luft und der in Frage kommenden thermischen Ausdehnungen 
auf eine Normaltemperatur (die Instrumenttemperatur wird bestimmt 
durch ein ,,inneres" Thermometer); 3) die ; ,Standverbesserung" zur 
Beseitigung des nach Beilegung der beiden ersten GroBen noch blei- 
benden Unterschiedes gegeri den Quecksilberbarometerstand. Die Be- 
stimmung der Korrektionen geschieht durch Vergleichen mit einem 
Quecksilberbarometer bei verschiedenen Temperaturen und Luftdrucken, 
wozu besondere Einrichtungen getroffen werden konnen 122 ). 

Die mitunter stark von linearer Form abweichenden Interpolations- 
gleichungen werden graphisch oder nach der Methode der kleinsten 
Quadrate, ev. auch durch eine Naherungsrechnung abgeleitet. Eine 
allgemeine Form ist 122 ): 

Q Q =F+x+yt + *(760 -F) +y t(lQO-F)+z (l 60-J T ) 2 -f y"* 2 +-, 
in der t die Temperatur, F den beobachteten Barometerstand und 



122) Jordan, Handbuch 2, Kap. XII (mit weiterer Literatur). Uber die ver- 
schiedenen Aneroidkonstruktionen vgl. L. Lmveriherz, Bericht viber die wiss. Instr. 
auf der Berliner Gewerbeausstellung im Jahre 1879, Berlin 1880, p. 122; C. Koppe f 
Die Aneroidbarometer von J. Goldschmid, Zurich 1877; F.H.Reitz, Zeitschr. f. 
Vermess. (1873), p. 363; E. Hammer, ibid. 76 (1887), p. 20. 



18. Barometrische Hohenmessung. 83 

x > V) Z J y y s > y" zu bestimmende Koeffizienteu bedeuten. Ohne Beriick- 
sichtigung dieser Verbesserungen, welche nicht nur jeder Konstruktions- 
art, sondern auch jedem Instrumente eigentiimlich und innerhalb ge- 
wisser Grenzen veranderlich sind, sind die Federbarometer fiir Hohen- 
messungszwecke unbrauchbar (elastische Nachwirkung 123 )). Die ,,Stand- 
verbesserung" wird etweder durch Anordnung der Messungsmethode 
(AnschluB an Hohenfestpuukte) eliminiert oder durch Vergleichen mit 
Quecksilberbarometern oder Siedethermometern (letztere besonders auf 
Reisen geeignet) bestimmt 122 ). Es sind demnach die Federbarometer 
ihrer Natur nacb Interpolationsinstrumente von ziemlich hoher rela- 
tiver Genauigkeit ihrer Angaben, und dementsprechend beim Messungs- 
verfahren zu verwenden. 

Die Grundlage der barometischen Hohenmessung bildet die , 7 baro- 
metrische Hohenformel", die, zuerst von Laplace 1799 aufgestellt, 
spater mit Berechnung zugehoriger Tabellen mehrfach bearbeitet 
wurde, (Biot, Gaufi, Bessel, Babinet u. a. 122 )) und in verschiedener 
Form gebraucht wird. Als Beispiel sei angefiihrt die von W. Jordan 
mit Ausscheidung der zuweilen mit aufgenommenen Instrumentreduktion 
(Unterschied zwischen Quecksilber- und Federbarometer, besonders 
in bezug auf Schwere) gegebene Formel 124 ): 



0,377 

worin die barometrische Konstante 

= 0,76 13,59593 1 
(i 0,00129277 1,00021 

und t die mittlere Temperatur, e den mittleren Duustdruck der freien 
Luft, p den mittleren Luftdruck und H die mittlere Hohe bedeutet. 
Fiir ortlich begrenzte Gebiete, wie sie bei einer ausgiebigen Ver- 
wendung der barometrischen Hohenaufnahme in Betracht kommen, 
werden die Glieder fiir die Schwere nach Breite und Hohe und fiir 
die Luftfeuchtigkeit mit mittleren Werten in der barometrischen 
Konstanten zusammengefafit; so lautet z. B. die von Jordan 1 ^} fiir 
Mitteleuropa gegebene Formel 

h = 18464 (1 -f 0,003665^ (log B logfe), 

womit dann fiir den mittleren , im Meeresspiegel zutreffenden Luft 
druck von 762 mm eine Tafel der Hohendifferenzen nach t von Grad 
zu Grad und B in Y 10 mm berechnet ist 124 ). Eine andere fiir die 

123) C. Reinhertz, Zeitschr. f. Instr. 7 (1887), p. 153, 189. 

124) W. Jordan, Barometrische Hohentafeln, 2. Aufl., Stuttgart 1886; desgl. 
fur Tiefland und grosse Hohen, Hannover 1896. 

6* 



84 VI i, 1- C. Eeinliertz. Niedere Geodasie. 

Hohenberechnung geeignete Form, wohl ;? Hohenstufe" genannt, er- 
halt man, wenn die Gleichung so umgewandelt wird, daB die Hohen- 
differenz als Funktion einer bestimrnten Barometerstanddifferenz z. B. 
1 mm erscheint (Bdbinet 1850); fur die vereinfachte Jordan sche For- 
mel wird z. B. 



A = (1 + at) und h = 

wozu Rechenschieber und anderweite Hilfsmittel (graphische Tafeln) 
in Betracht kommen. Diese Hohenstufe" kann auch direkt durch 

TT _ TT 

Beobachtung an gegebenen Hohenfestpunkten gefunden, A = # ^TgS 
und danach die weiteren Hohen interpoliert werden. Weiteres iiber 
Genauigkeit der Formel (tagliche Periode), die einzelnen Glieder, Rechen- 
niethode ; verschiedene Hilfsmittel und Literatur finclet man bei 
Jordan. 

Zur Ausfiihrung der barometrischen Hohenaufnanme sei nur nocli 
erwahnt, da6 den Barometerstandschwankurigen Rechnung getragen 
wird durch fortlaufende korrespondiereude Beobachtungen an , ? Stand- 
barometern", gegen welche die Ablesungen der ;; Feldbarometer" re- 
duziei-t werden, oder durch in moglichst kleinen Zeitabstanden wieder- 
holte Riickkehr an ,,Anbindepunkte u (Schleifenaufnahme) mit Reduktion 
nach der Zeit, sowie durch AnschluB an gegebene , ; Hohenfestpunkte". 
Diese letztere Methode ist die fiir topographische Aufnahmen geeig- 
netste ; wozu zahlreiche im Aufnahmegebiet passend verteilte nivellitisch, 
trigonometrisch oder tachymetrisch bestimmte Hohenfestpunkte ver- 
wendet werden. Bei sorgfaltigem Verfahren lassen sich bei derartigen 
Aufnahmen bez. Einschaltungen auf beschrankten Gebieten (am besten 
mit graphischer Ausgleichung) die Gelandepunkte mit einem mittleren 
Fehler von rund + 1 bis 2 m anschliefien. 



E. Tachymetrische Methoden. 

Unter v Tachymetrie" (Schnellmessung) versteht man dasjenige 
Messungsverfahren, bei welchem ,,Lage"- und ,,Hohen u -Messung gleich- 
zeitig erfolgt. Die Entfernung wird dabei indirekt durch sogenannte 
Distanzmessung ermittelt, da die direkten Langenmessungen verhaltnis- 
maBig viel Zeit erfordern. Verfahren und Instrumente sind mannig- 
facher Art und voneinander unterschieden, einerseits nach der Methode 
der Distanz- und Hohenmessung, andererseits nach der Bestimmung 
der Horizontalrichtungen mit Theodolit, Bussole oder MeBtisch; dem 
entsprechen die Bezeichnungen : Schnellmesser, Tachymeter (Tacheo- 
meter) ; Tachygraph, Tachygraphometer, Celerimeter, Omninieter, Stadi- 



19. Indirekte Langenmessung. 19 a. Distanzmesser mit Distanzlatte. 85 

meter, Euthy meter usw. Die Bezeichnung des Messungsverfahrens 
als Schnellmessung (Tachymetrie, Tacheometrie, Stadia surveying oder 
tacheometry, Celerimensura) erklart sich aus der zweckmaBigen Ver- 
einigung von Lage- und Hohenmessung, welche insbesondere fur die 
technische Topographic von groBer Bedeutung ist, wie denn auch die 
heutige Tachymetrie ihre Entwicklung wesentlich den Anforderungen, 
welche die geometrischen Vorarbeiten ftir den Eisenbahnbau stellten, 
verdankt. 

19. Indirekte Langenmessung (Distanzmessung). Erforderlich 
ist ein Instrument ^Distanzmesser 1 ^) , welches die Lange der Ziellinie 
(oder deren Projektion) bis zu einem Zielpunkte durch unmittelbare 
Ablesung der gesuchten Entfernung selbst oder einer einfachen 
Funktion derselben angibt. Damit ist der Unterschied zwischen 
dem Prinzip der ,,Distan2" - (Entfernungs-)wesser und den ,,Ldngen- 
mefiwerkzeugen" (MeBlatte, MeBband usw.) gekennzeichnet. Den speziell 
geodatisch in Betracht kommenden Distanzmessern liegt in der Regel 
eine irgendwie instrumentell hergestellte Parallaxe zu Grunde. Fiir 
die Anordnung der bestimmenden Elemente stehen verschiedene Wege 
offen, durch deren Kornbination sich eine ganze Reihe von Kon- 
struktionsmoglichkeiten (Erfindungen) von Distanzmessern darbieten. 
Fiir Konstruktion, Bedeutung und Verwendung der Instrumente ist 
in erster Linie entscheidend die Anordnung der Distanzbasis L. Wird 
die Distanzbasis im Zielpunkt als sog. ,,Distanzlatte 11 (eine leicht trans 
portable mit Teilung oder Zielmarken versehene Ziellatte) aufgestellt, 
so spricht man von Distanzmessern } ,mit Latte", diese Anordnung 
wird in der Feldmessung (Tachymetrie, Topographie) fiir kiirzere 
Entfernungen (d. h. bis zu einigen 100 m, stets aber innerhalb 1 km) 
angevvendet. Zur allgemeinen Losung des Problems fiir groBere Ent 
fernungen, besonders aber fur militarische (artilleristische) Zwecke, 
wenn die Anbringung einer Distanzbasis im Ziel unmoglich ist, wird 
das Instrument selbst Trager der Basis (Basisschiene, Basislineal) ; 
fiir diese Zwecke kommen neben den parallaktischen Distanzmessern 
auch in Betracht die weniger brauchbaren Fernrohrbildweiten-Distanz- 
messer und neuerdings besonders der stereoskopische Entfernungs- 
messer von Zeift in Jena 125 ). 

19 a. Distanzmesser mit Distanzlatte. Hierzu gehort in erster Linie 
der in der Feldmessung am meisten zur Anwendung kommende Fern- 



125) C. Ptilfrich, Phys. Zeitschr. 1899, p. 98. Vgl. auch Zeitschr. f. Instr. 21 
(1901), p. 221 und 249; 0. Hecker, Zeitschr. f. Vermess. 30 (1901), p. 85. 



86 VI i, 1. C. Reinserts. Niedere Geodasie. 

rohr-Okularfadendistanzmesser 126 ) mit festem Fadenab stand p in der Bild- 
ebene, der beira einfachen astroriomischen Fernrohr die auf den Ob- 

jektivhauptpunkt bezogene Entfernung D = F -f- F --- liefert, wenn 

F die Objektivbrennweite, p den Fadenabstand in der Bildebene be- 
deutet und L an einer geteilten Skala, die parallel p ist, abgelesen wird. 
Soil die Entfernung auf die Instrumentdreb.acb.se bezogen werden, so 

hat man F -f- c -f- F oder allgemeiner D = a -j- JcL. Das zu- 

sammengesetzte Fernrohr (Ramsden, Huygens) liefert auf gleiche 
Form a -f- ~kL (a = Additions-, k = Multiplikationskonstante, in der 
Regel 100 oder 200) zu bringende Beziehungen, worin beim Fernrohr 
von Porro 12T ) durch Zwischensetzung einer Kollektivlinse bei passender 
Auordnung des optischen Systems a gleich Null in Bezug auf die 
Instrumentacb.se gemacht werden kann (anallaktisches Fernrohr). 1st 
die optische Achse des Fernrohrs geneigt und bleibt L parallel p, so 
gibt D die geneigte Entfernung an, welche durch Messung des 
Yertikalwinkels auf die horizontale reduziert werden muB; wird aber 
L lotrecht gestellt, was meistens geschieht, so wird die projizierte 
Entfernung s = a cos a -f- LJic,os 2 a } worin a der Hohenwinkel der 
Mittenzielung ist. Das Okular-Schraubemnikrometer, welches bei kon- 
stantem L das variable p in Schraubenwert liefert, findet seltener Ver- 
wendung (p. 92, Prazisionsmessung). 

Einfiihrung des parallaktischen Winkels s durch Winkelbewegung 
eines Zielfernrohrs mit zwei aufeinander folgenden Einstellungen findet 
in verschiedener Form Verwendung. Zunachst kommt in Betracht 
bei wagerecht und rechtwinklig zur Mittenzielung eingerichtetem L 
die Messung von s als Horizontalwinkel. Bei lotrechtem L wird s 
als Differenz zweier Hohenwinkel gemessen; ist dann s = /3 a, 
fur die obere und untere Zielung nach L, so wird die wagerechte 

Entfernung S = L sin 7g_ \- In der Regel wird die Winkelbewegung 

durch besondere ,,distanzmessende" Schrauben eingefiihrt, und zwar 
der lotrecht oder wagerecht wirkenden Tangentialschrauben bei lot- 



126) Geschichtliches zum Fadendistanzmesser und zur Tachymetrie findet 
man bei Goulier, Tacheonietrie , p. 5; A. Salmoiraghi, Istrumenti e metodi 
modern! di geometria applicata, Milano 1884, 2, p. 278; E. Hammer, Zeitschr. 
f. Vermess. 20 (1891), p. 295 und Zeitschr. f. Inst. 12 (1892), p. 155; 17 (1897), 
p. 278. 

127) J. Porro, La Tacheometrie, Paris 1858. tJber die Vorteile und Nack- 
teile des Porroschen Fernrohres vgl. Vogler, Prakt. Geom. 2, 263, 264; Tinier, 
Zeitschr. f. Instr. 2 (1882), p. 117 u. 157; Hemoldt, ibid. 5 (1885), p. 413. 



19 a. Distanzmesser mit Distanzlatte. 87 

rechtem L. 128 ) Bei wagerechtem L kann p unmittelbar durch das 
Horizontalmikrometer eines Winkelmessers ermittelt werden. Bei 
lotrechter Tangentialschraube und lotrechtem L ergibt sich die wag- 
rechte Entfernung s, wenn p die Schraubenbewegung ausdriickt, und 
d den wagerechten Abstand des Drehpunktes von der Schraubenachse 

d k 

s = L = Lli (k z. B. = 100). oder bei konstantem L ist s = 
P P 

Bei der von S.Stampfer verwendeten Schraube (Sehnenschraube) wird 
fur die Parallaxe eine Interpolationsformel mit wenigen Gliedern 
" = a" (o M) b" (o 2 tt 2 ) verwendet, wobei o und u die beiden 
Schraubenangaben, und a und b empirisch zu bestimmende Konstanten 
sind. Durch Einsetzen dieser Winkelgleichung ergibt sich die Distanz- 

gleichung 

-ri L rf V o-\-u , (h u}- , , r , c\ 
D = -77 4- L\ a - L 4- o (to u) , 

a (o u) \_ a 2 o u o u _| 

worin a und b die Konstanten des Instrurnentes, h die Nullstellung 
der Schraube (horizontale Visur) bedeuten. Fiir horizontal angeord- 
nete Tangentialschraube und vertikales L gilt ebenfalls die vorer- 
wahnte Beziehung s = Lk bezw. = Diese Anordnung kann bei 

der Kippbewegung des Theodolitfernrohrs angewendet werden, wahrend 
die lotrechte Schraube sich besonders fiir Nivellierinstrumente eignet. 
Nach den hier angedeuteten Anordnungen sind eine ganze Reihe von 
Instrumenten koustruiert worden, auch mit automatischer Reduktion 
auf den Horizont, welche besonders fiir die Tachymetrie von Be- 
deutung ist 129 ). 

Die bisher aufgezahlten, fiir kiirzere Entfernungen bestimmten 
Distanzmesser: Okularfaden, Okularmikrometer, MeBschrauben und 
Tangentenmikrometer sind in Bezug auf die Genauigkeit der Ent- 
fernungsbestimmung im allgemeinen als einander gleichwertig zu 
bezeichnen. Nach der einfachen Beziehung D = kL ist 7 abgesehen 
vom Fehler in k selbst, der Entfernungsfehler vom numerischen Wert 
von 7o (z. B. 100, 200) abhangig. Die Genauigkeit der Ermittlung 
von L hangt ab von der Genauigkeit der Skalenablesung bezw. Ein- 
stellung der Distanzlatte, welche wieder abhangig ist von der Ein- 
richtung und Aufstellung der Skala, der Leistung (VergroJBerung) des 
Fernrohrs sowie der Schraubenmikrometer, der zu bestimmenden Ent- 



128) Zuerst angegeben von J. L. Hogreive, Praktische Anleitung zum Nivel- 
lieren oder Wasserwagen usw., Hannover 1800. 

129) Vgl. die nachste Nummer. Eine kurze Ubersicht gibt 0. Lueger, 
Lexikon der gesamten Technik, Stuttgart, Art. Distanzmesser; ferner Jordan, 
Handbuch 2, Kap. XIE u. XIV; Hartner-Dolezal, 1, 3335. 



88 VI i, 1. C.Eeinliertz. Niedere Geodasie. 

fernung und der terrestrisehen Refraktion. Die zahlreichen fur die 
verschiedensten Instrumente angestellten Genauigkeitsermitthmgen 129 ) 
lassen sicli etwa so ausdriicken: 



D 


100 m 


200 m 


500 m 


+ m D 


0,050,20 m 


0,10,3 in 


0,51,0 m 



Eine allgemeine Beziehung fur den Fehler und sein Wachsen mit der 
Entfernung laBt sich nicht ohne weiteres angeben. Fiir kleine Ent- 
fernungen, bei giinstigen Verhaltnissen (Refraktion, Wind), guten In- 
strumenten laBt sich die Genauigkeit der Distanzmessung bis zu der 
einer maBig genauen 130 ) unmittelbaren Messung mit L angenmeBwerk- 
zeugen steigern, wahrend sie die Genauigkeit einer verfeinerten Langen- 
messung allerdings nicht erreichen kann. Man unterscheidet auch 
hier zwischen Prazisionsdistanzmessung, welche die unmittelbare Langen- 
messung bei kurzen Strecken ersetzen soil, und tachymetrischer Distanz 
messung (Schnellmessung). Bei dem Wettstreit zwischen der Distanz- 
und der Langenmessung behauptet im allgemeinen die erstere den Vor- 
rang in Bezug auf die Schnelligkeit, die letztere in Bezug auf die 
Genauigkeit. Das eigentliche Gebiet dieser Art Distanzmessung ist 
daher die Tachymetrie und Topographic. 

19 b. Distanzmesser mit Basisschiene (Basislineal) 131 ). Das Instru 
ment selbst ist Trager der Basis (Basis-Schiene, -Lineal) und rniBt 
oder gibt den parallaktischen Winkel e. Die Anordnung ist dement- 
sprechend verschieden. Ist L konstant, so wird s durch die Ab- 
weichung zweier bei der Nullstellung (oo) parallel gerichteter Fern- 
rohre gemessen und zwar entweder an einem geteilten Kreisbogen, 
oder mikrometrisch mit Okularmikrometer, oder nach dem Prinzip 
der Tangentenschraube oder auch in einem besonderen Falle 132 ) durch 
ein Hebelwerk. Ist s konstant, so sind auf der Schiene zwei Fern- 
rohre angebracht, von denen das eine verschiebbar und mit kon- 
stantem zum anderen angeordnet ist; I) wird an der Schiene ab- 



130) Vgl. die Fehlergrenzen p. 21. 

131) Vgl. den zusammenfassenden Bericht von A. Schell, Wien. Ber. 75 
(1877), p. 145. Die Distanzmesser mit Basisschiene sind besonders fiir rnilitari- 
sche Zwecke wichtig; man vgl. in dieser Hinsicht: J. D. Marre, Des instruments 
pour la mesure des distances, Extr. du Me"m. de 1 artillerie de la marine 43, 
Paris 1880; V. Niesiolowski-Gawin von Niesiolowice, Mitt, u ber Gegenst. d. Artill. 
u. Geniewesens 1898, p. 827. 

132) Distanzmesser von Cerebotani ; vgl. dazu W. Jordan, Zeitschr. f. Vermess. 
13 (1884), p. 389. 



19 b. Distanzmesser init Basisschiene. 89 

gelesen. Fur beide Konstruktionen ist Bedingung feste Aufstellung 
und bei nicht festen Zielen gleichzeitige Visur durch zwei Beobachter. 
Dies wird giinstiger durch Reflexionsdistanzmesser nach dem Prinzip 
des Spiegelsextanten, wodurch beide Ziehmgen zu einer einzigen 
vereinigt werden. An der Distanzbasis sind angebracht zwei Spiegel, 
ein fester und ein beweglicher; bei D = oo sind beide Spiegel 
parallel, bei Beobachtung (Fernrohr am festen Spiegel) eines end- 
lich entfernten Gegenstandes gibt bei Deckung des reflektierten Bildes 
mit dem direkt gesehenen Zielpunkte der an einer Kreisteilung oder 
mikrometrisch zu messende Drehwinkel des beweglichen Spiegels ^s. 
Auch nach diesen Prinzipien sind eine groBe Zahl von Instrumenten 
nait Basislineal konstruiert worden, zu denen fast alljahrlich einige 
hinzuzukommen pflegen. 

Aus der einfachen Beziehung D = L folgt, dafi wenn L als 

fehlerfrei betrachtet werden kann, der naittlere zu fiirchtende, allein 
vom Fehler m s des parallaktischen Winkels s herriihrende Distanz- 

f ehler ist m D = j~- Unter giinstigen Verhaltnissen (gute Beleuch- 

tung, kein Flimmern) bei scharf bezeichneten Zielpunkten, absolut fest 
aufgestelltem (unveranderlichem, von Temperatur usw. nicht beein- 
fluBtem) Instrument ist es moglich, die Messungsgenauigkeit fiir einen 
Winkel wie s bei Verwendung guter Fernrohre und geeigneter Mikrometer 
innerhalb 1" zu halten. Diese Grenze ist aber bei der praktischen 
Verwendung (nicht scharf bezeichnete, schwankende oder sich be- 
wegende Ziele) nicht zu erreichen. Bei dioptrischer Zielung ist das 
Maximum der erreichbaren Zielgenauigkeit etwa 10" 15", bei Frei- 
handinstrumenten etwa 1 . Die theoretisch erreichbare Genauio-keit 

O 

m D ware demnach fiir L 2m (die Lange der Basisschiene betragt 
in der Regel etwa 1 bis 3 m) und m, = + 1" die folgende: 



D 


50 


1000 


5000 


10000 m 



m D 0,6 2,4 60 240 m 

Unter giinstigen Verhaltnissen, mit guten Instrumenten, bei scharf er 
Bezeichnung der Zielpunkte unternommene Genauigkeitsbestimmungen 
haben ergeben, daB bei der praktischen Verweudung mindestens 
3 bis 5 mal groBere Fehlerbetrage zu erwarten sind. Die Leistung 
untergeordneter Instrumente ist eine entsprechend geringere. (Hin- 
gewiesen sei noch auf den Ausdruck fiir den relativen Fehler 

m n j, ", 
D = ~ LQ 



90 VI i, 1- C. Beinhertz. Nieclere Geodasie. 

Erwahnt seien hier auch DistanzmeBvorrichtungen, welche eine 
kleine Basismessung (konstante MeBbandlange usw.) beanspruchen. 
Hierzu gehort zunachstdas T)istansprisma von Bauernfeind" 3 ), welches 
gestattet einen Winkel abzustecken, cler um einen kleinen Betrag vom 
rechten Winkel abweicht, also beim Abstecken dieses Winkels von 
beiden Enden einer Basis aus ein langgestrecktes gleichschenkliges 
Dreieck mit dem parallaktischen Winkel s ergibt, der so bemessen 
ist, daB I) ein Vielfaches (50, 100) von L ist. Hierhin gehort auch 
der Distanzrnesser nach Souchier lSi \ ein vierseitiges Prisma (Wollaston- 
sches Prisma)., welcher Winkel von 90 und (90 -f- O) abzustecken 
gestattet, also iiber einer zu messenden Grundlinie ein langgestrecktes 
rechtwinkliges Dreieck mit gegebenen Winkeln bildet. Auch der ge- 

O O O * * 

wohnliche Winkelspiegel und das jBauernfeind sche Winkelprisma zuni 
Abstecken rechter Winkel konnen zur Distanzmessung verwenclet 
werden, indem nach Absteckung einer Grundlinie rechtwinklig zum 
Zielstrahl vom Zielpunkt aus nun auch am anderen Ende der Grund 
linie ein rechter Winkel gebildet wird, sodaB sich ein dem ersten 
Dreieck ahnliches kleines rechtwinkliges Dreieck an der Grundlinie 
ergibt. Der bei der Absteckung eines Winkels mit einem Prisma zu 
erwartende Fehler betragt etwa 1 , wonach sich der Entfernungsfehler 
a priori beurteilen laBt. 

20. Tachymetrische Instrumente und Aufnahmen. Von den 
verschiedenartigen tachymetrischen Instrumenten, auf deren Einzelheiten 
hier nicht eingegangen werclen kann 135 ), hat die groBte Bedeutung der 
mit Vertikalkreis und festen Distanzfaden im Fernrohr ausgeriistete 
Theodolit, vielf ach vervollstandigt durch einen RichtkompaB oder eine 
Kreisbussole. Nach p. 86 ist hierfiir bei lotrecht stehender Distanz- 
skala die projizierte wagerechte Entfernung fiir das astronomische 
Fernrohr S = avoscc -}-kLco$^K, fiir das Porro sche anallaktische Fern 
rohr S=il Lcos 2 a, und bei rechtwinklig zur Ziellinie aufgestellter 
Distanzskala /S = (Lk -j- a) cos a -\- l z sin a (l z = Abstand der Mitten- 
zielung vom SkalenfuBpunkt). Der Hohenunterschied A/i des Mitten- 
zielpimktes an der Distanzskala gegen die Instrumentachse ist 
beim einfachen Fadendistanzmesser mit vertikaler Latte A/J = Skga 
= a sin a -j- kL sin a cos or, und beim Porro schen Fernrohr 
A/i = IfkLs m 2 a; bei rechtwinklig zur Ziellinie gerichteter Skala 

133) Bauernfeind, Vcrmessungskunde 1, p. 192 u. 395. 

134) Archiv f. d. Artill. u. In^en.-Offiz. d. deutsch. Reichsheeres, April 1893 
und Zeitschr. f. Vermess. 24 (1895), p. 177. 

135) Vgl. Jordan, Handbuch 2, Kap. XIV und Hartner-Dolezal 2, 21 27, 
mit weiterer Literatur; speziell sei verwiesen auf Goulier, Tacheometrie. 



20. Tachymetrische Instrumente und Aufnahmen. 91 

AA = 7i L sin a. Wie bei der trigonometrischen Hohenmessung p. 78 
kommt hierbei Instrument-, bez. Zielhohe in Betracht, sodaB die 
Hohenformel z. B. lautet h n = 1i p -j- i I, -f- %kL sin 2 a. Der EinfluB 
der Erdkriimmung und Refraktion wird bei der tachymetrischen Hohen- 
raessung in der Regel aufier acht gelassen. 

Zur Ausrecbnung der Entfernung und Hohenunterschiede dienen 
verschiedene Hilfsmittel. ^Tacliymetertafeln", das sind Tabellen, aus 
denen mit den Argumenten L und a (bez. Zenitdistanz z) die gesuchten 
Werte S und A/i entnommen werden konnen 136 ). ^Tacliymetrische Reclien- 
scliieber", das sind logarithmische Rechenschieber fur die in Betracht 
kommenden Funktionen von verschiedener Konstruktion ; desgleichen 
eine ganze Reihe von ^Tacliymeterdiagrammen" und sonstigen Rechenhilfs- 
mitteln 137 ). Erwahnt sei noch Teilung des Vertikalkreises nach Gefall- 
prozenten, nach der Funktion sin a cos K (Tachymeter von Gmilier), 
sowie logarithmische Teilung (Schell s und Tichy-Starke s logarithm ischer 
Tachymeter). Eine unrnittelbare Reduktion der bei geneigter Ziellinie 
bestiminten schiefen Entfernung wird in verschiedener Weise erstrebt. 
Es sei auf die zahlreichen italienischen Anordnungen 188 ) verwiesen, 
sowie auf die neueste Konstruktion von Hammer- Fennel 1Sff ), welche 
mittels eines im Gesichtsfeld des Fernrohrs erscheinenden Diagramntfl 
unmittelbar wagerechte Entfernung und Hoheuunterschied gibt. Eine 
andere Art zur unmittelbaren Angabe dieser Werte ist bei den ,.,Schiebe- 
tachymetern" verwendet uo ) ; es ist hierbei ein Fadendistanzmesser der- 
art mit Schiebeskalen verbunden, daB, nachdeni am Fadendistanzmesser 
zunachst die schiefe Entfernung abgelesen und an einer Fernrohrskala 
in verjiingtem MaBstabe eingestellt ist, an je einem, den Naturlinien 
entsprechenden horizontalen und vertikalen MaBstab unmittelbar Eiit- 
fernung und Hohe zur Ablesung gebracht wird. 

136) W. Jordan, Hilfstafeln ftir Tachymctrie , 2. Aufl., Stuttgart 1899. 

137) Jordan, Handbuch 2, 176; eine kurze Ubersicht gibt 0. Lueger, 
Lexikon der gesainteu Technik, Stuttgart, Art. Tachymetrie. 

138) J. Porro, Riv. di topogr. e cat. 8 (1895/96), p. 139 (sthenallaktisches 
Fernrohr); Baggi, ibid. p. 151 u. 9 (1896/97), p. 17; Roncagli-Urlani, ibid. 8 
(1895/96), p. 28, 146; Beina, ibid. 9 (1896/97), p. 65; Roncagli, ibid. p. 177 u. 10 
(1897/98), p. 5; M. Nasso, ibid. 11 (1898/99), p. 145; 12 (1899/1900); p. 9; 15 
(1902/03), p. 1, 18, 53, 75. 

139) E. Hammer, Der Hammer- Fennel sche Tachymeter-Theodolit, Stutt 
gart 1901. 

140) Zuer^t 1865 von Kiefer in Coin angewandt; vgl. dazu E. Puller, 
Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 375; 30(1901), p. 531; 32(1903), p. 649. Ferner 
ist zu nennen : F. Kreuter, Patentiertes Quotier-Instrument fiir generelle Auf 
nahmen in koupiertem Terrain, Wien 1874; 0. Fennel, Zeitschr. f. Vermess. 7 
(1878), p. 57. 



92 VI i, 1. C. JReinhertz. Niedere Geodasie. 

Neben der fiir die Tachymetrie besonders geeigneten Fadendistauz- 
messung haben die iibrigen in Nr. 19 ihrem Prinzip nach erwahnten 
Distanzmessungsmethoden eine geringere Bedeutung. ,,Distanzmessende 
Schrauben" werden auch in Verbindung mit dem Fadendistanzmesser 
angeordnet, andere Konstruktionen z. B. Eckhold s Onmimeter, Sanguet s 
Tachymeter mit Hebelwerk usw. 7 haben keine allgemeine Bedeutung 
erlangt. 

Die Durchfuhrung einer topograpbischen Aufnahme griindet sicb 
in der Regel auf eine Horizontal- und Vertikaltriangulierung mit 
nachfolgender Polygonisierung. 1st das Instrument auf einem nach 
Lage und Hohe gegebenen Punkt aufgestellt, so gibt dasselbe un- 
mittelbar Lage und Hohe der angezielten Gelandepunkte an, nam- 
lich durch Horizontal- und Vertikalricbtungen und Entfernung bez. 
Hohenunterschied. Das Ergebnis der Aufnabme ist scblieBlicb ein 
topographischer Plan mit Hohenzahlen und Horizontalkurven , vgl. 
p. 73. tjber die Genauigkeit der Bestimmung von Entfernung und 
Hobe gilt das bei Distanzmessung p. 88 und trigonometrischer 
Hohenmessung p. 81 Gesagte. Im allgemeinen begniigt man sicb, 
dern Zweck der topograpbischen Aufnahme entsprechend, mit einer 
maBigen Genauigkeit, sodaB fur Zielungen bis zu einigen 100 m 
die gegenseitige Lage und Hohe der Punkte innerhalb einiger dm 
genau bestimmt wird, wobei auf die letztere ein hoherer Wert gelegt 
wird, als auf erstere ; und richtet zur Erzielung dieser fiir Gelande- 
aufnabmen hinreichenden Genauigkeit Instruinente (bequeme Ablesung) 
und Yerfahren zu moglichst rascher und glatter Feldarbeit ein. Ver- 
scharfung der Distanzmessung, welche fiir die topographische Gelaiide- 
aufnahme nicbt in Betracbt kommt, sondern nur dann, wenn die Tachy 
metrie die exakte Linearmessung ersetzen soil, ist durch entsprechende 
Einricbtung der Instrumente, 7J Prazisionstacbymeter" und 7 ,Prazisions- 
latten" (z. B. Schell s und Tichy-Starke s logarithmischer Tachymeter) 
zu erzielen; vgl. p. 88. Die Prazisionstachyrnetrie ist ebenso wie die 
Prlizisionsnivellierung an beschrankte Arbeitszeit (giinstige Witterung) 
und kurze Zielweite (Refraktion) gebunden. Bei den tachymetrischen 
Messungen ist auch zu erwahnen die Hohenaufnahme auf Grund vor- 
bandener, durch Linearmessung gewonnener Lageplane, wobei in un- 
ebenem Gelande anstatt des Nivellierinstrumentes (p. 73) mit Vorteil 
der Hohenkreis des Theodolits verwendet wird, indem die Entfernungen 
aus der Karte genommen werden, sodaB zu rechnen ist nach A/< = $tg, 
wozu Rechenschieber und Diagramme als Hilfsmittel dienen. 

21. Die Mefitischaufnahme. Als eine besondere Methode der 
tachymetrischen Messungen ist zur Zeit die ,,topographische MeBtisch- 



21. Die MeBtischaufnahme 93 

aufnalime" zu betrachten, nachdem der ,,MeBtisch" bei exakten Spezial- 
aufnahmen durch die numerischen Methoden ersetzt ist. Der ,,Mefltisch" 
ist ein auf einem Stativ mittels eines theodolitahnlichen DreifuB- 
unterbaues aufgestellter kleiner Zeichentisch, dessen mit einer Libelle 
horizontierte Flache die ebene Vermessungsflache reprasentiert. Zur 
Aufzeiclinung der Richtungslinien dient das eine lotrechte Absehebene 
liefernde )} Diopterlineal" (dioptrische Regel) oder die )} Femrohrkipp- 
regel" (Perspektivlineal). In einfachster Form besteht diese Projektions- 
vorrichtung aus einem eine Saule tragenden Lineal, an der eine hori- 
zontale Kippachse gelagert ist. Diese tragt das die Vertikalebene liefernde 
Fernrohr, analog der Theodoliteinrichtung. Anordnung der Libellen, 
Bedingungen fiir die Achsen nnd Ziellinie, Priifung und Berichtigung 
entspricht dem Theodolit (vgl. die Lehrbiicher). Wird das Fern- 
rohr der einfachen Kippregel mit Distanzfaden ausgeriistet, so erhalt 
man die ,,distanzmessende Kippreyel u , kommt ein Hohenkreis oder 
Hohenbogen mit Libelle hinzu, so erhalt man die ,,tachymetrische 
Kippregel" (,,Universalkippregel"). Ist der MeBtisch auf einem Messungs- 
punkte (, ; Station") so aufgestellt 7 da6 bei horizontaler Platte der zu- 
gehorige Punkt der Zeichnung genau lotrecht iiber dem Feldpunkte 
sich befindet und im Fernrohr diejenigen Zielpunkte eingestellt er- 
scheinen, an deren Bilder die Linealkante angelegt wird, so ist er 
^entriert" und ^orientiertf . Wird in dieser Weise bei genau orien- 
tiertem Tisch das Lineal scharf an den Stationspunkt angelegt und 
gleichzeitig der zu bestimmende Punkt mit dem Fernrohr eingestellt, 
so gibt die am Lineal ausgezogene Linie die Richtungslinie an; wird 
die Entfernung durch ,,L angen"- oder ,,Distanz"-Messung (p. 86) er- 
mittelt und mit dem MaBstab in der entsprechenden Verjiingung 
eingetragen, so ist der neue Punkt bestimmt (,,stationiert a ) und kanu 
wieder als MeBtischstation dienen; wird das fortgesetzt, so erhalt man 
einen graphisch bestimmten Polygonzug, vgl. p. 54. 

Werden auf mindestens zwei bekannten Standpunkten A und B 
die Richtungslinien nach einem Neupunkt P gezogen, so hat man 
Punktbestimmung durch ,,Vorwartseinschneiden" (vgl. die trigonometr. 
Losung p. 40); wird auf einem gegebenen Standpunkt A die Rich 
tungslinie nach P gezogen, der MeBtisch danach nach P gebracht, 
hier nach P A orientiert, an B angelegt und gezielt, durch den 
Schnitt A P und P B der Neupunkt P bestimmt, so hat man 
Punktbestimmung durch ,,Seitwartseinschneiden" (vgl. p. 40). Soil 
ein Neupunkt dadurch bestimmt werden, daB auf ihm die Richtungs 
linien nach drei der Lage nach gegebenen Punkten bestimmt werden, 
so hat man das graphische ,,Riickwartseinschneiden" (p. 41). Die 



VI 1,1. C. Reinliertz. Niedere Geodasie. 




Konstruktion kann in verschiedener Weise erfolgen. Zuniichst durch 
Aufzeichnung des Strahlensy stems (z. B. auf Pauspapier) und Orientie- 
rung desselben nach der Reihe der Bildpunkte durch Probieren; ein 
mechanisches Hilfsmittel hierzu ist der mit Gradscheibe und einstell- 
baren Armen versehene ,,Standfinder". Die Bestimmung des Punktes 

als Schnittpunkt der Bestimmungskreise durch 
Konstruktion derselben mittels Einstellung der 
Peripheriewinkel ist benutzt bei ,,Bauern- 
feind s Einschneidezirkel" 141 ). Zu einer direkten 
konstruktiven Losung ist z. B. Collins Hilfs- 
punkt (vgl. p. 42) geeignet. Ist amb (Fig. 24) 
das Bilddreieck des Naturdreiecks AMU., so 
wird auf dem Neupunkt P zunachst a b nach 
M orientiert und von a aus nach B gezielt, 
sodann wird ba nach M orientiert und von 
b aus nach A gezielt. Der Schnitt der beiden 
gezogeneu Richtungslinien liefert das Bild q des Collin schen Hilfs- 
punktes und die Verbindungslinie qm einen Ort fiir das Bild p des 
Neupunktes P. Die vollstandige Bestimmung von p kann dann durch 
Seitwartseinschneiden erfolgen. 

GroBere Bedeutung als diese direkte und die mechanischen Losungen 

O O 

hat fiir die eigentliche MeBtischpraxis die ,,indirekte" Losung. Der 
MeBtisch wird nach AugenmaB oder mit Hilfe einer Orientierbussole 
genahert orientiert und die Richtungslinien mit der Kippregel ge- 
zogen. Infolge der nur genaherten Orientierung ergibt sich statt 
eines Schnittpunktes das ,,fehlerzeigende Dreieck", dessen Form von 
der gegenseitigen Lage der Punkte und dern Fehler der Orientierung 
abhangt. Uber die Lage von p zum Fehlerdreieck hat J. G. Lehmann u2 ) 
folgenden Satz aufgestellt: 

Der Punkt p liegt innerbalb oder auBerhalb des Fehlerdreiecks, 
jenachdem P innerhalb oder auBerhalb von AMB liegt. Im letzten 
Falle liegen p und das Fehlerdreieck zu verschiedenen Seiten der 
mittleren Visur, wenn P innerhalb des durch A } M, B gehenden 
Kreises oder in einem Scheitelwinkel des Dreiecks sich befindet; da- 
gegen liegen p und das Fehlerdreieck auf derselben Seite der mitt 
leren Visur, wenn P auBerhalb des durch A, M, B, gehenden Kreises 



141) C. M. v. Bauernfeind, Munch. Abhandl. 11 (1871), p. 83; Bauernfeind, 
Vermessungskunde 2, p. 189. 

142) Anleitung zum vorteilhaften und zweckmiiBigen Gebrauche des MeB- 
tisches, Dresden 1820. Vgl. ferner F. Hartner, Wien. Ber. 2 (1849), Novemberheft, 
p. 216; Hartner-Dolezal 1, p. 891. 



21. Die MeBtischaufnahme. 95 

einer Dreiecksseite gegeniiber liegt. Die Abstande des Punktes p von 
den durch a, &, m gezogenen Visierlinien verhalten sich wie die Ent- 
fernungen des Punktes p von den Punkten a, m, b oder des Punktes 
P von A, M, R 

Ein praktisch sehr brauchbares Orientierungsverfahren besteht 
darin, daB man zwei Fehlerdreiecke zu Hilfe nimmt. Man orientiert 
zunachst nach dem ersten Fehlerdreieck angenahert auf Grund des 
vorstehenden Satzes und iiberdreht dann den Tiscb absichtlich, sodaB 
die Orientierung riach der entgegengesetzten Seite gefalscht wird. Man 
erhalt dann ein zweites Fehlerdreieek, dessen homologe Ecken man mit 
denen des ersten verbindet, dadurcli kommt man dem Punkt p sehr nahe. 
Uber Moglichkeit und Giinstigkeit der Losung vgl. p. 43. 

Aus der zusammenwirkenden Anwendung dieser Bestimmungs- 
methoden ergibt sich die MeBtischaufnahme; bei der Anwendung im 
groBen wird eine Triangulierung zugrunde gelegt 7 welche auf dem MeB- 
tisch graphisch weiter gefiihrt wird. Uber die tachymetrischen und die 
Hohenmessungen gilt das friiher (p. 90) Gesagte; auf Grund der ge- 
wonnenen Hohenzahlen werden die Horizontalkurven entworfen. Bei 
einheitlich durchgefuhrten Landesaufnahmen wird der gewahlten Projek- 
tionsart entsprechend (vgl. p. 13 und Nr. 8) eine passende Blatteinteilung 
angeordnet. Beispielsweise ist bei der preuBischen Landesaufnahme das 
Staatsgebiet auf Grund der Gradeinteilung des jBesseZ schen Ellipsoides 
in Abschnitte zerlegt. Der von je zwei aufeinanderfolgenden Breiten- 
und Langengraden umschlossene Flachenteil, eine 77 Gradabteilung^, 
wird nach der Breite in 10, nach der Lange in 6 Teile zerlegt, deren 
jedes ein ? ,MeBtischblatt" bildet, welches in seinen Eckpunkten in 
1 : 25000 aufgetragen (sog. 7 ,preuBische Polyederprojektion" ; vgl. VI l, 4), 
auf dem MeBtisch nach Eintragung der nach Lange und Breite ge- 
gebenen Dreieckspunkte zur Feldaufnahme verwendet wird. Ein all- 
gemeiner Ausdruck fur die Genauigkeit der MeBtischaufnahme in 
Bezug auf die Lagemessung, welche naturgemaB wesentlich abhangig 
ist vom Verfahren, den gegebenen Grundlagen, dem MaBstab usw., 
laBt sich gewinnen durch die Angabe, daB sie derjenigen einer exakten 
Zeichnung entspricht, bei der der Fehler der Punktorte innerhalb 
+ 0,1 mm bleibt, und die Richtungsgenauigkeit im giinstigsten Fall 
etwa durch + 1 ausgedriickt werden kann. 

Der MeBtisch ist, seit er durch Pratorius in Altdorf (mensula 
praetoriana) mit Beginn des 17. Jahrhunderts allgemein bekannt wurde, 
bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts eines der wichtigsten geometrischen 
Instrumente gewesen. Fur die Kartographie brachte die Ausbreitung 
der MeBtischaufnahme einen wesentlichen Fortschritt mit sich, indem 



96 VI i, 1. C. Reiiihertz. Niedere Geodasie. 

sie, gestiitzt auf die Triangulierung, den Schritt von den mit Bussole, 
Quadrant , MeBschnur und SchrittmaB gewonnenen Landeskrokis zu 
einer zusammenhangenden, systematischen Aufnahme erleichterte, 
welche besonders in den exakten graphischen Landesvermessungen 
Bayerns (18081837) in 1 : 5000 und Wiirttembergs (18181840) 
in 1 : 2500 ihren Hohenpunkt erreichten 143 ). Nach der ersten Halfte 
des 19. Jahrhunderts ist die MeBtischaufnahme fur die Spezialver- 
messungen, insbesondere die modernen Katastervermessungen, rnehr 
und mehr in den Hintergrund getreten. Bei topographischen Auf- 
nahmen (Horizontalkurvenbearbeitung p. 92) wird sie fiir solche Ge- 
biete noch von Bedeutung bleiben, in denen nicht die kartographischen 
Ergebnisse der speziellen numerisch durchgefiihrten Landesvermessung, 
vervollstandigt durch spezielle Hohenmessung, zur Herstellung der topo 
graphischen Spezialkarten zur Verfiigung stehen. Der groBe Vorteil 
des MeBtisches besteht darin, dafi unmittelbar nach der Natur ge- 
zeichnet wird, was die Herstellung leicht lesbarer Karten sehr fordert 144 ). 
22. Fliichtige Aufnahmen. Exakte spezielle Landesvermessungen 
mit Anwendung der vorbesprochenen Methoden, deren Ergebnisse geo- 
metrische und topographische Spezialkarten sind ? liegen zur Zeit nur 
fiir kleine Gebiete der Erdoberflache (Westeuropa 7 Teile der Vereinigten 
Staaten, einzelne Teile auBereuropaischer Staaten und einige Kiisten- und 
Kolonialgebiete) vor; fiir andere Gebiete (Osteuropa, den groBten Teil 
der Vereinigten Staaten, kleine Teile Siidamerikas, Kapland, Vorder- 
indien, Ostaustralien, Japan) bestehen zur Zeit nur generelle Aufnahmen 
mit trigonometrischer Grundlage, wobei die Einzelaufnahmen bis jetzt 
weniger speziell und exakt und nicht im Zusammenhang zur Durch- 
fiihrung gekommen sind; fur den Rest, d. h. also den weitaus groBten 
Teil der Erdoberflache, beruht das vorhandene Kartenmaterial auf 
,,Routenaufnahme", entweder planmaBig ein zusammenhangendes Karten- 
bild gebend oder als Einzelergebnisse von Erkundungsreisen. Hierbei 
ist fiir die ,,GrundriBaufnahme" das geodatische System ein an astro- 
nomisch bestimmte Punkte angeschlossenes System von Bussolen- 
ziigen (p. 58), meistens aufgenommen mit Freihandbussole, wobei die 
Entfernung aus der Marschzeit hergeleitet wird, fiir die ,,Hohen- 
aufnahme" barometrische Hohenmessung mit Federbarometer, kontrol- 

143) W. Jordan-K. Steppes, Das deutsche Vermessungswesen, Stuttgart 1882. 

144) Fiir militartopograpische MeBtischaufnahmen sei genannt: Vorschrift 
fur die topographische Abteilung der Landesaufnahme. Heft I. Das topo 
graphische Aufnehmen, Berlin 1898; B. Schulze, Das militarische Aufnehmen 
unter besonderer Berucksichtigung der Arbeiten der kgl. preuB. Landesaufnahme, 
Berlin und Leipzig 1903. 



22. Fluchtige Aufnahmen. 97 

liert durch Quecksilberbarometer und Siedethermometer 145 ). Neuer- 
dings sind automatische Methoden von Th. Ferguson ausgebildet 
worden 146 ). 

In historischer Hinsicht sei hier erinnert an die Wegekarten 
der Romer, Itineraria Antonini, Alexandri etc., vornehmlich an die 
sogenannte Peutinger sche Tafel. 

Als eine besondere Methode der topographischen Messungen 
kommt neuerdings fiir bestimmte Aufgaben in Betracht die Photo- 
grammetrie (vgl. den folgenden Art. , S. Finsterwalder) , die man in 
ihrer besonderen geodatisehen Anordnung unter Benutzung des 7 ,Photo- 
theodolits" als ,,Phototachymetrie" oder ; ,Phototopographie" bezeichnet. 



145) Weiteres mit Literatur findet man bei Jordan, Handbuch 2, 183; 
G. Neumayer, Anleitung zu wissenschaftlichen Beobachtungen auf Reisen, 2. Aufl., 
Berlin 1888; 3. Aufl., Hannover 1905. Ein durchgearbeitetes Beispiel mitFehler- 
berechnung enthalt: W. Jordan, Physische Geographie und Meteorologie der 
lybischen Wu ste, Cassel 1876. Spezialschriften sind : Kaltbrunner, Manuel du 
voyageur, Ziirich 1879 (auch deutsch von Kollbrunner, Zurich 1881); Hints to 
travellers edited by the Royal geogr. society, London 1883 (8. ed. 1901) ; E. de 
Larminat, Topographie pratique de reconnaissance et d exploration, Paris (1905). 
Man vgl. ferner: E. Hammer, Die methodischen Fortschritte der geographischen 
Landmessung, Geogr. Jahrb. 22 (1899), p. 37; 25 (1902), p. 343. 

146) Automatic surveying instruments and their practical uses on land 
and water (Introduction by E. Hammer), London 1904. 



(Abgeschlossen im Okt. 1905.) 



Encyklop d. math Wisseusoh. VI 1 



98 VI i, 2. Finsterwalder. Photogrammetrie. 



VI i, 2. PHOTOGRAMMETRIE. 

VON 
S. FINSTEBWALDEB 

JN MTJNCHEN. 



Inhaltsubersicht. 

1. Einleitung. Historisches. Innere und iiuBere Orientierung. Eigentliche und 
abgeleitete Photographien. 

2. Apparate. Das Objektiv. Vorrichtung zur inneren Orientierung. Bestim- 
mung von Hauptpunkt und Bildweite. Photogrammeter un,d Phototheodolite. 

3. Ausmessung der Bilder. Direkte Ausmessung nach J. Porro. Ermittlung 
von Winkeln aus den Koordinaten der Bildpunkte. ZusammenschlieBen meh- 
rerer Bilder, die vom gleichen Standpunkt aus aufgenommen sind. 

4. Das Ruekwartseinschneiden. Riiumliches Riickwartseinschneiden nach 
drei Punkten. Das raumliche Problem der 6 Punkte und das ebene Problem 
der 5 Punkte. 

5. Das "Vorwartseinschneiden und die Kekonstruktion der Objekte bei 
bekannten Standpunkten. Hohenkontrolle. Gegnerische Kernpunkte. 
Moglichkeit der Rekonstruktion aus einer Anzahl von Photographien. Zeich- 
nung eines Kisses aus zwei Photographien. 

6. Fliiclitige Aufnahmen. Stereophotogrammetrie. Mechanismen. 



Literatur. 

Bticher. 

E. Deville, Photographic surveying, Ottawa 1895. 

E. Dolezal, Die Anwendung der Photographic in der praktischen MeBkunst, 
Halle 1896 (Dolezal, Anwend. d. Phot.). 

C. Koppe, Die Photogrammetrie oder BildmeBkunst, Weimar 1889 (Koppe, Photo 
grammetrie). 

Photogrammetrie und Internationale Wolkenmessung, Braunschweig 1896 
(Koppe, Wolkenmessung). 

A. Laussedat, Recherches sur les instruments, les methodes et le dessin topogra- 
phiques. T. II. Iconometrie et metrophotographie, Paris 1901 03 (Laussedat, 
Me"trophotographie). 

G. Le Son, Les levers photographiques, 2 vol., Paris 1889. 

V. Legros, Sommaire de photogrammetrie, Paris 1891. 



1. Einleitung. 99 

P. Paganini, Fotogrammetria, Mailand 1901. 

F. Schiffner, Die photographische MeBkunst, Halle 1892. 

F. Steiner, Die Photographic im Dienste des Ingenieurs, Wien 1891 (Steiner, Phot.). 

Monographien. 

S. Finsterwalder , Die geometrischen Grundlagen der Photogrammetrie, Jahres- 
bericht d. Deutschen Mathematiker -Vereinigung 6 (1897), 2. Heft, p. 1, Leipzig 
1899 (Finsterwalder, Grundlagen). 

Die Photogrammetrie als Hilfsmittel der Gelundeaufnahme. In : G. Neumayer, 
Anleitung zu wissenschaftl. Beobachtungen auf Reisen, 3. AufL, Hannover 1905. 

G. Hauci, Neue Konstruktionen der Perspektive und Photogrammetrie (Theorie 
der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme), J. f. Math. 95 (1883), p. 1; 
97 (1884), p. 261; 98 (1885), p. 304; 108(1891), p. 25; 111(1893), p. 207; 128 
1906), p. 91. 

C. Pulfricli, Neue stereoskopische Methoden und Apparate, 1. Lief., Berlin 1903. 
F. Schilling, tJber die Anwendungen der darstellenden Geometrie, insbesondere 
u ber die Photogrammetrie, Leipzig und Berlin 1904. 



1. Einleitung. Die Photogrammetrie (BildmeBkunst) hat die 
Aufgabe, aus photographischen Bildern das dargestellte Objekt oder 
einzelne Abmessungen desselben zu ernritteln. Die Losung dieser Auf- 
gabe war durch die liiicJctvdrtsJconstruktionen der Perspective 1 ") und Me 
thoden der Kustenaufnahme aus perspektivischen Handskizzen 2 ) vor- 
bereitet und wurde zuerst von A. Laussedat (1852 59) 3 ) versuchsweise 
auf topographische Vermessungen angewandt. Im Anschlusse hieran 
beschaftigte sich J. Porro^) seit 1855 mit der instrumentellen Seite. 
A. Meyderibau&r 5 ) pflegt seit 1867 vorzugsweise die Architekturphoto- 
grammetrie, die er zu hoher Vollendung brachte. W. Jordan 6 ) (1876) 
und C. Koppe 1 } (1889) forderten das Problem vom geodatischen Stand- 
punkt aus, Cr. Hauck 8 ) (1883) nach der theoretischen Seite. In groBem 
MaBstabe wurde die Photogrammetrie zuerst praktisch verwendet in 
Italien von L. P. Paganini 9 ) seit 1880 und in Canada von E.Deville 10 ) 

1) J. H. Lambert, Treye Perspektive, Zurich 1759, 8. Abschnitt, p. 203. 

2) Beautemps-Beaupre 1791 93, beschrieben in: Methode pour la levee 
et la construction des cartes et des plans hydrographiques, Paris 1808. 

3) Paris C. E. 50 (1860), p. 1127. 

4) E. Dolezal, Photogr. Correspondenz, 1902, p. 82. 

5) Zeitschr. f. Bauwesen 17 (1867), p. 61. 

6) Zeitschr. f. Vermess. 5 (1876), p. 1. 

7) Die Photogrammetrie oder BildmeBkunst, Weimar 1889. 

8) J. f. Math. 95 (1883), p. 1; 97 (1884), p. 261; 98 (1885), p. 304; 108 
(1891), p. 25; 111 (1893), p. 207; 128 (1905), p. 91. 

9) Fotogrammetria, Mailand 1901. 

10) Photographic Surveying, Ottawa 1889, 2. Aufl. 1895. 



100 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie. 

seit 1889. Mit der Ballonphotogrammetrie beschaftigt sich S. Finster 
walder seit 1890. Durch C. Pulfricli wurde seit 1000 die Stereoskopie 
in den Dienst der Photogrammetrie gestellt. Reiches Material zur 
Geschichte der photogrammetrischen Methoden und Apparate hat 
A. Laussedat gesammelt. 

Die photographischen Bilder sind in der Regel als ebene Per- 
speldivcn des Objektes aufzufassen. Die Entfernung des perspek- 
tivischen Zentruins (Linsenrnittelpunkts) von der bildauffangenden 
Ebene (lichtempfindlichen Schicht) heiBt Bildweite (Distanz), der FuB- 
punkt der Senkrechten von ersterem auf letztere Hauptpunkt (Aug- 
punkt), die Senkrechte selbst Achse der Perspective (bezw. der photo 
graphischen Kamera). Die Vertikalebene durch die Achse der Perspek- 
tive wird als Hauptvertikalebene, ihr Schnitt mit der Bildebene als 
Hauptvertikale bezeichnet. Die Horizontalebene durch das Zentrum 
schneidet die Bildebene nach dem Horizont. 

Hauptpunkt und Bildweite bilden die innere Orientierung einer 
Photographic. Zur Rekonstruktion des Objektes sind auBer den Ele- 
menten der innern Orientierung der verwendeten Photographien noch 
Abmessungen desselben, darunter wenigstens eine Lange, als bekannt 
anzusehen. Bei den wichtigsten Objekten (Terrainflachen, Architek- 
turen) spielt die Vertikale eine ausgezeichnete Rolle, und man wird 
deshalb die Gesamtheit der Lote, bezw. deren gemeinsamen unendlich 
fernen Punkt als Bestandteil des Objektes ansehen. Ebenso sollen die 
Punkte, von welchen die Photographien aufgenommen wurden (Stand- 
punkte), als Bestandteile des zu ermittelnden Objektes gelten. Alle 
Abmessungen, welche von dem so erweiterten Objekt zur Rekon 
struktion herangezogen werden, bilden die auflere Orientierung, z. B. 
Lange der Standlinie, Neigung der Achsen der Photographien, Hori 
zont usw. 

An photographischen Bildern kommen in Betracht: 1. wirJdiche 
oder eigentliclie Photographien und zwar a) solche mit bekannter innerer 
Orientierung, wie sie von photogrammetrischen Apparaten geliefert 
werden, b) nicht orientierte Photographien, wie sie von gewohnlichen 
photographischen Apparaten geliefert werden, 2. uneigentliche oder 
algeleitete Photographien n ) 7 namlich Perspektiven wirklicher Photo 
graphien, wie sie die Reproduktionstechnik irn allgemeinen liefert. 
Fiir genaue Arbeiten sind nur die Originalnegative oder davon ab- 
geklatschte Glasdiapositive als eigentliche Photographien aufzufassen; 
Papierpositive, wegen der Veranderung in den Badern, die einer homo- 



11) Finsterwaldtr, Grundlagen, p. 8. 



2. Apparate. 

genen Deformation entspricht, und VergroBerungen, die in der Regel 
eine kleine perspektivische Verzerrung erfahren, dagegen nur als ab- 
geleitete. 

Abgeleitete Bilder konnen in der Regel nicht als Schnitte des 
Strahlenbiindels, welches das urspriingliche Bild erzeugte, aufgefaBt 
werden. Dazu sind zwei Bedingungen erforderlich, die man folgender- 
maBen formulieren kann: Das Strahlenbuschel in der Ebene des ab- 
geleiteten Bildes, welches von einem beliebigen Punkte nach Punkten 
der unendlich fernen Geraden gezogen werden kann, muB dem Biischel, 
das im Strahlenbiindel den unendlich fernen Punkten der Bildebene 
entspricht, kongruent sein. Oder: den imaginaren Kreispunkten des 
abgeleiteten Bildes miissen im Biindel Strahlen nach dem imaginaren 
Kugelkreis entsprechen. 

2. Apparate. Der wichtigste Bestandteil derselben ist das photo- 
grophisclie Objektiv 12 ) ; dessen optische Achse senkrecht zur Bildebene 
steht und jene im Hauptpunkt trifft. Von raumlichen Objekten kann 
man nur dann scharfe Bilder erzielen, wenn die Bildweite klein ist 
gegeniiber der Entfernung der nachstgelegenen Objektpunkte. Die 
Bildweite ist dann von der Brennweite wenig verschieden und wird 
in der Regel unveranderlich gleich letzterer genornmen; die daraus 
entspringende Unscharfe kann durch Einblenden aufgehoben werden. 
Das Objektiv soil perspektivisch zeichnen. Ist a der Winkel eines 
die Blendenmitte durchsetzenden Strahles mit der Achse vor Eintritt 
in die Linse und h die Entfernung des von ihm erzeugten Bild- 
punktes vom Hauptpunkt der Photographie, so zeichnet die Linse 
perspektivisch, falls h : tg a einer Konstanten (der Bildweite) gleich 
iet. Als Standpunkt der Aufnahme dem Objekt gegeniiber hat der 
Punkt zu gelten, in welchem die Verlangerungen derjenigen in die Linse 
eintretenden Strahlen, die nach der Brechung im Vorderteil der 
selben die Blendenmitte durchsetzen, die Achse schneiden. Der so 
definierte Standpunkt und das um die Bildweite vom Hauptpunkt 
entfernte Zentrum der Perspektive fallen bei den in der Praxis meist 
verwendeten Objektiven nahe zusammen, nur bei den Teleobjektiven 
liegt ersterer am Vorderende oder innerhalb des Linsensystems, letz- 
teres objektseits um den groBeren Teil der Brennweite auBerhalb. 
Bis auf einige Minuten genau zeichnen perspektivisch: Teleobjektive 
innerhalb 2 a = 25, Aplanate innerhalb 2 a = 50, Kottineare, Ortho- 
stigmate, Protare, Doppelanastigmate innerhalb 2 a = 60 75, Weit- 



12) M. v. Bohr, Theorie und Geechichte des photogr.0bjektivs, Berlin 1899]; 
A. Gleichen, Photogr. Optik, Leipzig 1906. 



102 Vt *i 2 - & Finsterwalder. Photogrammetrie. 

winkel innerhalb 2 a = 80100, der Hyper gondoppelanastigmat bis 
2 a = 140. Bei groBen Winkeln a werden die dnrch Unebenheit der 
kauflichen Glasplatten verursachten Fehler erheblich. Die innere 
Orientierung der Bilder einer Karaera verlangt erne stabile Verbindung 
von Linse und lichtempfindlicher Flache. Auf letzterer miissen sich 
mindestens zwei Marlten (meist ein rechteckiger Rahmen ; eventuell 
mit Fadenkreuz), die mit der Kamera fest verbunden sind, abbilden. 
In bezug auf diese Marken wird die Lage des Hauptpunktes festgelegt. 

Bestimmung des Hauptpunktes. Man sehraubt die Linse ab 7 er- 
setzt die lichtempfindliche Flache durch einen Spiegel ? richtet auf 
diesen ein Fernrohr derart, dafi sich sein Fadenkreuz mit dem Bilde 
seines Spiegelbildes deckt, sehraubt die Linse wieder an, ersetzt den 
Spiegel durch eine photographische Platte und photographiert das 
Fadenkreuz des Fernrohres, dessen Bild dann den Hauptpunkt ergiebt. 
Oder einfacher: Man stellt den Apparat mit der lichtempfangenden 
Flache horizontal und photographiert in dieser Stellung bei enger 
Blende einige von der Decke herabhangende Lote, deren Bilder sich 
im Hauptpunkt schneiden. 

Bestimmung der Bildweite. Es sei das Strahlenbuschel von einem 
Standpunkt nach einer Anzahl (mindestens drei) in einer Ebene mit 
ihm befindlicher Objektpunkte bekannt. Photographiert man dieselben 
von dem Standpunkte aus und legt man das bekannte Strahlen 
biischel perspektivisch zur Punktreihe der Bildpunkte 13 ), so ist die 
Entfernung des Biischelmittelpunktes von der Punktreihe gleich der 
Entfernung des perspektivischen Zentrums von der Punktreihe, wo- 
durch letzteres bei bekanntem Hauptpunkt bereits bestimmt ist Bei 
unbekanntem Hauptpunkt photographiert man dieselben Objekte vom 
gleichen Standunkt aus in anderer Lage der Kamera und erh alt 
dann die Elemente zur Konstruktion des Hauptpunktes und der 
Bildweite. Die Elemente der inneren Orientierung einer vor- 
liegenden Aufnahme konnen iminer dann wiedergefunden werden, 
wenn man aus ihr die im Endlichen gelegenen Fluchtpunkte dreier 
bekannter (meist zueinander senkrechter) Richtungen entnehmen 
kann. Ein Gleiches gilt unter Voraussetzung vertikaler Bildebene, 
sobald auf dem Bilde die Perspektive eines wagerechten Quadrates 
oder Rechteckes von bekanntem Seitenverhaltnis vorliegt 13a ). Meist 

13) Rechnerisch geschieht dies nach der Methode des Ruckwartseinschneidens 
nach drei oder mehreren Punkten der Punktreihe. Vgl. W. Jordan., Zeitschr. f. 
Vermess. 5 (1876), p. 1; Koppe, Photogrammetrie, p. 39, woselbst auch die Aus- 
gleichungsmethode behandelt iat. 

13 a ) Die zugehorigen Methoden sind im 8. Abschnitt von J. H. Lambert 



2. Apparate. 103 

begniigt man sich nicht mit der inneren Orientierung, sondern 
nimmt noch Horizont und Hauptvertikale dazu, was am einfachsten 
bei horizontaler Aclise (vertikaler Bildebene) gelingt. Es muB dann 
die Kamera mit einer Drehachse verbunden werden, die durch eine 
Libelle vertikal zu stellen ist. Die Vertikalstellung der Kamera wird 
durch Photographic zweier Lote, die als parallels Linien erscheinen 
miissen, kontrolliert. Zur Bestimmung des Horizontes geniigt dann 
das Bild eines mit dem Standpunkt gleich hohen Objektes. Horizont 
und Hauptvertikale werden durch Marken (Fadenkreuz) fixiert. Appa 
rate mit dieser Einrichtung, welche meist noch mit einer Vorrichtung 
zur Orientierung der Hauptvertikalebene (Horizontalkreis, Bussole) 
versehen sind, heiBen Photogr ammeter u ). 

Als photogrammetrische Theodolite (Phototheodolite) bezeichnet 
man Kombinationen von Photogrammeter und Theodolit. Dieselben 
gestatten die Bestimmung beliebig vieler Winkel der auBeren Orien 
tierung. Die Verbindung bei der kann rein auBerlich sein, doch ist 
fast immer die vertikale Drehachse des Theodolits und der Kamera 
gemeinsam. Die Achse der Kamera ist meist dauernd horizontal ge- 
stellt 15 ), gelegentlich auch zum Neigen eingerichtet 16 ). In anderen 
Fallen ist die Achse der Kamera mit jener des Theodolitfernrohrs 
starr verbunden und beide parallel gestellt 1T ). Dadurch, daB man 
das photographische Objektiv als Fernrohrobjektiv beniitzt, kann man 
auch beide Achsen zusammenftdlen lassen 18 ). Endlich hat man auch 
versucht, den fur die photographische Aufnahme maBgebenden Stand 
punkt (vgl. Nr. 2, p. 101) in den Schnittpunkt der beiden Theodolit- 



,,Freie Perspektive", Zurich 1759, auseinandergesetzt. Vgl. auch F. Schilling, 
Uber die Anwend. der darst. Geom. insb. fiber die Photogrammetrie, p. 101 120. 

14) Zu den beaten Apparaten dieser Art gehoren der Photogrammeter von 
E. Deville, Photographic Surveying, p. 136, jener von Pollack, ibid. p. 120 und 
die beiden Apparate von Paganini, Fotogrammetria, p. 189, 236, wovon letzterer 
mit automatischer Horizontalstellung und photogr. Registrierung des Kompasses, 
ahnlich dem Apparate von Bridges Lee [Engineering 2 (1897), p. 314] versehen 
ist. In diese Gruppe gehoren auch die Apparate von A. Meyderibauer. 

15) So bei den ersten Apparaten von Laussedat, Metrophotographie, p. 125, 
dem alteren Apparat von Pollack (vgl. Steiner, Phot., p. 123), bei jenen des osterr. 
militiirgeogr. Institutes in Mitt, desselben 16 (1896), p. 67 und dem von Breit- 
haupt, Eders Jahrb. f. Phot. 1900, p. 387. 

16) Alterer Apparat von Paganini, Fotogrammetria, p. 28; jener von Gustav 
Heyde, EderB Jahrb. f. Phot. 1901, p. 357. 

17) Phototheodolit vonKoppe, Photogrammetrie, p. 26 ; Wolkenmessung, p. 14. 

18) Zuerst eingefuhrt von Paganini 1889, Fotogrammetria, p. 140, dann von 
Pollack, vgl. Zeitschr. des Osterr. Iiigen.- u. Arch.-Vereins 46 (1894), p. 489. 



104 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie. 

achsen zu bringen 19 ) ; um voile Ubereinstimmung der Scheitel der 
gemessenen und photographierten Winkel zu erreichen. Eine eigen- 
tumliche Kombination von Theodolit und Kamera mit horizontaler 
Achse hat Finsterwalder 20 ) angegeben. Bei ihr wird das Fernrokr 
aus dem parallel verschieblichen photographischen Objektiv und einem 
um eine Horizontalacbse drehbaren, nach dem perspektivischen Zentrum 
zielenden Okulare gebildet. 

Apparate, welche Bilder auf nicht ebene Flachen entwerfen, sind 
der Zylindrograph von Moessard* 1 ), bei welcbem eine um eine verti- 
kale Drebacbse bewegliche Linse sukzessive einen nahezu 180 um- 
fassenden Teil einer mit Film bespannten Zylinderflaclie belichtet, und 
der Photoiheodolit von J. P0m> 22 ) 7 der als Bildflache eine die Linse 
konzentrisch umgebende, mit lichtempfindlicher Schicht praparierte 
kugelformige Glaskalotte besitzt. Letzterer, sowie der photograpbische 
Mefttisch von Chevalier 23 ) sind langst aufier Gebraucb. 

Das Bedurfnis, von einem Punkt aus Momentaufnahmen zu 
machen, welche den ganzen Aussichtsbereich des Standpunktes oder 
wenigstens einen sehr groBen Teil desselben umfassen, hat zur Kon- 
struktion einer Anzahl (3 7) unter festen Winkeln zusammen- 
gekoppelter photogramnietrischer Apparate gefiihrt, die fur Schiffs-, 
Luftballon- und Drachenaufnahmen Verwendung finden sollen 24 ). 

3. Ausmessung der Bilder. Die vollkommenste Methode der 
Bildausmessung, von J. Porro 22 ) erdacht und von C. Koppe 25 ) aus- 
gebildet ; besteht im wesentlichen darin ; da6 man das entwickelte 
Negativ wieder genau an jene Stelle des Apparates bringt, die es bei 
der Aufnahme eingenommen bat, dasselbe dann von riickwarts be- 
leuchtet und die aus dem Apparat durch das Objektiv austretenden 
Strahlen mit einem beweglichen Fernrohr, dessen Drehungen wie bei 
einem Theodolit an geteilten Kreisen gemessen werden konnen, ab- 
sucht. Auf diese Weise eliminiert man alle Fehler, die in der mangel- 
haften perspektivischen Zeichnung der Linse, in der Unebenheit der 



19) Beim Apparat von A. Schell, vgl. Dolezal, Anwend. d. Photogr., p. 47. 

20) Zeitschr. f. Instr. 15 (1895), p. 370. 

21) Moessard, Le Cylindrograplie, Paris 1889. 

22) Vgl. Dolezal, Photogr. Correspondenz 1902, p. 8587. 

23) Vgl. Stein, Das Licht im Dienste wiss. Forschung 2, 5. Heft; spezieller 
Teil VI u. VII, Die Photogrammetrie, bearb. von F. Stolze, p. 199; Lamsedat, Metro- 
photographie 2 1 , p. 27. 

24) B. Thiele, Eders Jahrb. f. Phot. 17 (1903), p. 131; Th. Scheimpflug, ibid. 
18 (1904), p. 193, Bowie Phot. Corresp. 1903, p. 659 und Illustr. aer. Mitt. 8 
(1904), p. 88. 

25) Photogrammetrie, p. 15. 



3. Ausmessung der Bilder. 



105 



Glasplatten und in der Unkenntnis der inneren Orientierung begriindet 
sind. In der Regel werden jedoch Koordinaten der Bildpunkte ge- 
messen und aus ihnen die gewiinschten WinkelgroBen berechnet. 1st 
r die Entfernung zweier Bildpunkte voneinander, r und r 2 ihr Ab- 
stand vom Hauptpunkt und d die Bildweite, so ist der Winkel nach 
den Bildpunkten aus einem Dreieck mit den Seiten r, "jA^ 2 -f- d?, 



yr g 2 -f- d 9 zu berechnen. Steht die Achse der Kamera Iwrisontal 
und sind x und y die auf den Horizont und die Hauptvertikale be- 
zogenen rechtwinkligen Koordinaten eines Bildpunktes, so berechnen 
sich die Azimutdifferenz a gegen die Hauptvertikalebene und die 
Hohenwinkel /3 aus den Formeln: 

tg a = x : d, tg /3 = y cos K : d . 

Ist die Achse der Kamera unter dem Winkel co gegen den Horizont 
nach aufwarts geneigt (Fig. 1) und bedeuten x und y die rechtwink- 




E 




I 


A~"l 


f/ 


a, 


b 






Fig. 2. 



ligen Koordinaten eines Bildpunktes, bezogen auf die Hauptvertikale 
(y) und die Senkrechte dazu (x) durch den Hauptpunkt, so wird: 

x 
: . ter a = -, 

y sin co 



n d sin co 4- v cos co 
tg 3 = -, y . cos a 

d cos to 



d cos co y sin to 
oder nach Einfiihrung der HilfsgroBen m und M: 

d = m cos M } y = m sin M, ~ = tg M t 

tg a 7 T - ir . tg 3 = tg (a -4- M} cos a . 

m cos (co -[- M) 

Statt der Berechnung von a kann man auch nebenstehende Konstruktion 
anwenden und /3 aus denDaten der Figur tg/3 = P 2 P : OP 1 ermitteln 26 ). 
Sind aus abgeleiteten Sildern orientierter Photographien Winkel zu 
entnehmen, so moge vorausgesetzt werden, dafi der an der wirklichen 
Photographic rechtwinklige Rahmen samt Achsenkreuz mit abgebildet 
ist (Fig. 2). Aus den schiefwinkligen Koordinaten x lt y eines Bild- 

26) Beide Methoden von Koppe, Photogrammetrie, p. 8, 9. 



106 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie. 

punktes in bezug auf das deformierte Achsenkreuz lassen sich dann 
die rechtwinkligen Koordinaten x, y in bezug auf das ursprungliche 
Achsenkreuz und daraus sehlieBlich die Winkel nach folgenden, aus 
der kollinearen Verwandtschaft beider Ebenen sich ergebenden For- 
meln berechnen: 

l ..!. l 

= a -L- ft J1L -L- y _ -SB g .3. J_ fl -f_ y _ 

x r x l f x t > y t/j y, 

wobei 

a ( s + a t j ^ a(a 1 -f a 2 ) & a 6 2 (! + a 8 ) 

6 &! -j- fc 2 Oj a, 

X = - - -;- j 

a a t -j- a 2 Oj t 2 

ist 27 ). 

Auf ahnlichem, etwas allgemeinerem Wege kann man auch aus 
nichtorientierten Photographien Winkel entnehmen, wenn die gegen- 
seitige Lage von vier Strahlen, deren Bilder bekannt sind, gegeben 
ist. Fiir wirkliche Photographien geniigen schon drei Strahlen hier- 
fiir 28 ). 

Sind von einem Standpunkt aus zwei oder mehrere JBilder auf- 
genommen, so entsteht die Aufgabe, dieselben untereinander in Be- 
ziehung zu bringen. Sind die Orientierungsunterschiede der Achsen 
der Bilder bekannt, so geschieht dies ohne weiteres nach den Regeln 
der spharischen Trigonometrie. Sind sie unbekannt, so kann man sie 
ermitteln, sobald auf den verschiedenen Photographien die Bilder der- 
selben Objekte zu finden sind. Waren die Achsen zweicr Photographien 
horizontal und die innere Orientierung bekannt, so geniigt ein Paar 
Bildpunkte; ist nur letzteres der Fall, so sind zwei Punktpaare notig. 
Hat man es mit unorientierten wirklichen Bildern zu tun, so kann 
man aus der kollinearen Beziehung beider aufeinander die Schnitt- 
linie der Bildebenen als Achse der Perspektivitat ermitteln, sobald 
vier Punktpaare zu finden sind 29 ). Der Winkel, den die Bildebenen 
einschlieBen, bleibt aber noch unbestimmt. Hat man indessen drei 
solcher Aufnahmen von einem Standpunkte aus, so lassen sich in ahn- 
licher Weise die drei Schnittlinien ihrer Bildebenen finden. Hierdurch 
wird das Dreikant der Bildebenen und das gemeinsame perspektivische 
Zentrum festgelegt. Drei eigentliche Photographien von einem Stand 
punkt geniigen also zur Ermittlung der inneren Orientierung jeder 



27) Finsterwalder, Miinchen Ber. 30 (1900), p. 152; vgl. hierzu W. Jordan, 
Zeitschr. f. Architektur und Ingenieurwesen 44 (1898), p. 346; ein graphisches 
Verfahren findet sich bei Finsterwalder, Photogrammetrie, p. 179. 

28) Vgl. Nr. 4. 

29) Finsterwalder, Miinchen Ber. 30 (1900), p. 153 u. 157. 



4. Das Riickwartseinschneiden. 107 

derselben und der gegenseitigen Stellung ihrer Achsen, falls sich auf 
je zweien derselben die Bildpunkte von denselben vier Objektpunkten 
finden. 

4. Das Riickwartseinschneiden. Da sich aus Photographieu 
Horizontal- und Vertikalwinkel entnehmen lassen, kann man dieselben 
in der in der Geodasie iiblichen Weise zur Bestimmung des Stand- 
punktes nach drei oder mehreren gegebenen Fixpunkten verwenden 
(Pothenofschc Aufgabe) 30 ). Dieselbe Aufgabe tritt aber in der Photo- 
grammetrie nocb in der Form auf, daB in einer Photographie mit 
innerer Orientierung die Bilder dreier in ihrer gegenseitigen Lage 
bekannter Objektpunkte, die mit dem Standpunkt nicht in einer Ebene 
liegen, gegeben sind; man soil hieraus die Lage des Standpunktes 
ermitteln. Die Photographie liefert alle Elemente des Dreikantes der 
drei Visierstrahlen, und dieses Dreikant ist durch eine Ebene so zu 
schneiden, da6 sich die Schnittfigur mit dem Dreieck der bekannten 
Objektpunkte zur Deckung bringen lafit. Diese Aufgabe hat vier 
Losungen, von welchen zwei zusammenfallen, falls sich der Stand- 
punkt auf dem Kreiszylinder befmdet, der sich iiber dem umschrie- 
benen Kreise des Dreiecks der bekannnten Objektpunkte senkrecht 
zu dessen Ebene erhebt. In diesem Falle wird die Bestimmung des 
Standpunktes unsicher (gefahrlicher Ort) 31 ). 

Ist die innere Orientierung der Photographie nicht gegeben ; so 
sind zur Riickwartsbestimmung des Standpunktes sechs Objektpunkte 
und deren Bilder notig. Die Losung dieser raumlichen Aufgabe wird 
auf das ebene Problem der funf Punkte 52 } zuriickgefiihrt ; welches 
lautet: Zu funf Punkten einer Ebene einen sechsten so zu finden, 
daB die von ihm aus nach den fiinf Punkten gehenden Strahlen vor- 
gegebene Doppelverhaltnisse haben. Das Problem kann als projek- 
tive Verallgemeinerung des Pothenofschen Problems aufgefafit werden. 
Letzteres geht aus ersterem hervor ; wenn von den fiinf gegebenen 
Punkten zwei in die imaginaren Kreispunkte riicken. Das Problem 
der fiinf Punkte wird gewohnlich dazu verwendet, zu einer Photo 
graphie ohne innere Orientierung, welche aber bei horizontalliegender 
Achse aufgenommen wurde, den Standpunkt und die innere Orientie- 



30) Vgl. VI i, 1, Nr. 10 b (C. Eeinliertz). 

31) S. Finsterwalder, Grundlagen, p. 26; S. Finsterwalder u. W. Scheufele, 
Munchen Ber. 33 (1903), p. 591, wo sich auch die Ausgleichung der Fehler er- 
ortert findet. 

32) Unter diesem Namen wurde von F. Steiner, Phot., p. 24 das von R. Sturm, 
Math. Ann. 1 1 1869), p. 532 geometrisch geloste Problem in die Photogrammetrie 
eingefiihrt. 



108 VI l, 2. S. Finsterw alder. Photogrammetrie- 

rung gleichzeitig zu bestimmen. Man hat (label in der GrundriBebene 
der fiinf gegebenen Objektpunkte den gesuchten Standpunkt so zu 
bestimmen, dafi sich das von ihm ausgehende Biischel der fiinf Strahlen 
nach einer Punktreihe, die mit dem GrundriB der Bildpunkte kon- 
gruent ist, schneiden lafit. Eine lineare geometrische Losung ist 
folgende: Es seien J. .# (7 D -E die Grundrisse der bekannten Punkte, 
jener des gesuchten Punktes, A B C D E die Punktreihe, zu der 
das Biischel Q (A Q B C () D E ) projektiv sein soil. Man betrachte nun 
in dem Kegelschnittbiischel mit den Grundpunkten A Q B Q C Q jene 
Kegelschnitte, die durch D und E Q hindurchgehen. Von jedem kennt 
man auBer den Grundpunkten das Doppelverhiiltnis (= (A B C D } 
bezw. (A B C E }}, welches u4 5 D bezw. A B C E Q auf dem 
Kegelschnitt einschlieBen. Hieraus kann man an jeden der beiden 
Kegelschnitte die Tangenten in A B C Q konstruieren. Diese schneiden 
sich paarweise auf den Seiten des dem Kegelschnittbiischel gemein- 
samen Polardreieckes, dessen Ecken auBerdem auf den Verbindungs- 
linien der bekannten drei Grundpunkte A B Q C Q liegen. Das Polar- 
dreieck kann hieraus konstruiert und damit der unbekannte vierte 
Grundpunkt gefunden werden. Der durch ^4 jE? (7 D iJ gehende 
Kegelschnitt bildet insofern eine ,,gefahrliche" Kurve, als die Losung 
illusorisch wird, falls auf demselben liegt 33 ). F. Steiner 3 *) und 
Mandl yj } haben analytische Losungen der Aufgabe gegeben. 

Das oben erwahnte rdumlidie Problem der seeks PunJcte wird 
IblgendermaBen auf das ebene Problem der fiinf Punkte zuriick- 
gefiihrt 36 ). Der gesuchte Punkt wird mit einem der gegebenen 
Punkte A verbunden und das Ebenenbiischel durch OA als Achse 
nach den fiinf anderen gegebenen Punkten gelegt. Dieses Ebenen 
biischel muB zu dem Strahlenbiischel, das vom Bildpunkt A nach 
den fiinf anderen Bildpunkten geht ; projektiv sein. Ist P der Schnitt 
der Achse des Ebenenbiischels mit der GrundriBebene, und projiziert 
man von A aus die fiinf iibrigen Punkte ebenfalls in die GrundriB 
ebene, so ist das Strahlenbiischel von P nach den genannten fiinf 
Projektionen ebenfalls projektiv zum Strahlenbiischel durch A der 
Bildebene, und P kann somit nach dem Problem der fiinf Punkte 



33) Losung von Kinkel, Wochenschr. d. OBterr. Ingen.- u. Arch.-Vereins 16 
(1891), p. 292. 

34) Phot., p. 28. 

35) Mitt, iiber Gegenst. d. Artill.- u. Geniewesens 1898, p. 165. Das zu- 
gehorige Ausgleichungsproblem giebt E. Dolezal, Zeitschr. Math. Phys. 47 (1902), 
p. 29. 

36) Losung von E. Waelsch in F. Steiner, Phot., p. 53. 



5. Das Vorwartsemschneiden tmd die Rekonstruktion der Objekte. 109 

gefunden werden. Die Gerade AP 1st ein geometrischer Ort fur 
den Standpunkt. Weitere Orter durch die iibrigen Punkte lassen sich 
auf gleiche Weise finden. Der Standpunkt darf nicht auf der 
Raumkurve 3. Ordnung, welche durch die sechs Punkte geht, liegen, 
sonst wird die Konstruktion illusorisch. Die Bestimmung des Stand- 
punktes griindet sich nur auf Doppelverhaltnisse, die dem Bilde ent- 
nommen werden; sie gilt also auch fiir abgeleitete Bilder. Bei Ver- 
wendung letzterer ist aber das Einpassen der sechs Bildpunkte in das 
von dem gefundenen Standpunkt ausgehende Strahlenbtindel nicht 
immer moglich. 

5. Das Vorwartseinschneiden und die Rekonstruktion der 
Objekte bei bekannten Standpunkten. Wenn nach den Methoden 
von Nr. 3 die Horizontalprojektionen der zu den Photographien 
gehorigen Strahlenbundel konstruiert und durch die mit dem photo- 
grammetrischen Theodolit gemessenen Winkel gehorig gegeneinander 
orientiert sind, ergibt sich der Grundrifi der Objektpunkte ahnlich wie 
bei der MeBtischaufnahme durch Schnitt entsprechender Strahlen. Die 
Hohenunterschiede h der Objeldpunkte gegeniibar den Standpunkten 
werden unter BeniitzuDg der aus dem GrundriB abgenommenen 
Horizon talentfernung e und dem Hohenwinkel /3 nach der Form el 
h = e tg /3 = (ey cos ) : d gerechnet und so die Hohe jedes Objekt- 
punktes aus mindestens zwei Standpunkten bestimmt 37 ). 

Allgemeingiiltige Formeln ; mittels welcher man bei bekannten 
Standpunkten und bekannter innerer und auBerer Orientierung der 
Aufnahmen aus den ebenen Koordinaten entsprechender Bildpunkte 
die raumlichen Koordinaten des zugehorigen Objektpunktes ausrechnen 
kann, sind mehrfach, insbesondere fiir Zwecke der Wolkenmessung, 
aufgestellt worden 38 ). 

Den Sinn und die Tragweite der aus der Hohenbestimmung von zwei 
Standpunkten aus sich ergebenden ,,Hdhenkontrolle" 3Q ) hat 6r. Hauclc 
durch Einfiihrung der gegnerischen Kcrnpunkte^) klar gemacht. Zwei 



37) Zur Erleichterung der hierbei notigen Zeichnungen und Rechnungen 
hat P. Par/anini verschiedene Apparate konstruiert, Fotogrammetria , p. 108; 
vgl. auch A. v. Hubl, Mitt. d. militargeogr. Inst. Wien 18 (1898), p. ( J3. 

38) K. Hcun, Zeitschr. Math. Phys. 44 (1899), p. 18; A. W. Sprung, Met. 
Zeitschr. 20 (1903), p. 414. 

39) ttber die Hohenkontrolle und ihre Verwendung zur Abschatzung der 
Genauigkeit vgl. Koppe, Photogrammetrie, p. 6 .), sowie Finsterwalder, Ergiinzungs- 
hefte zur Zeitschr. d. Deutsch. u. Oesterr. Alpen-Vereins 1 (1897), p. 38; Zeitschr. 
f. Vermess. 25 (1896), p. 225. 

40) J. f. Math. 95 (1883), p. 11. 



110 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie. 

beliebig aufeinander bezogene Punktfelder konnen namlich im all- 
gemeinen nicht als Perspektiven eines raumlichen Objektes aufgefaBt 
werden. Die hierfiir notwendige Bedingung erhalt man, wenn man 
das Biischel der Ebenen betrachtet, welche durch die Verbindungs- 
linie der beiden Standpunkte O i und 2 als Achse und beliebige 
Objektpunkte geht. Die Achse : 2 schneide die Ebenen der Photo- 
graphien in O/ und 2 , den Bildern je eines Standpunktes vom 
anderen aus. Diese sind die gegnerischen Kernpunkte und Zentren 
zweier projektiver Strahlenbiischel, nach welch en die Bildebenen das 
Ebenenbiischel mit der Achse 1 2 schneiden. Entsprechende Strahlen 
jener Biischel laufen nach den Bildpunkten ein und desselben Objekt- 
punktes. Damit nun zwei Punktfelder (P } Q } R } . . .) (P", Q", R", . . .) 
Perspektiven desselben Raumobjektes sind 7 miissen sich auf ihnen 
zwei Punkte 2 und O x " so bestimmen lassen, da8 die Strahlen- 
biindel 2 (P , Q , K, . . .) und 0" (P", Q" , E", . . .) projektiv sind. Dazu 
ist die Kenntnis von 7 zusammengehorigen Punktepaaren notig. Die 
Aufgabe hat drei Losungen 41 ). Ist die Bedingung erfullt, so 
existieren oo 5 der Form nach verschiedene unter sich kollineare Ob- 
jekte, von denen die vorgegebenen Photographien Bilder sind 42 ). Um 
ein solches Objekt zu finden ; schneide man in der ersten Bildebene das 
Kernstrahlenbiischel durch eine Transversale nach einer Punktreihe, 
suche im projektiven Kernstrahlenbiischel der zweiten Bildebene jene 
Transversale aus, welche nach einer kongruenten Punktreihe schneidet, 
stecke die beiden Bildebenen langs der beiden kongruenten Punkt- 
reihen unter beliebigem Winkel ineinander und wahle auf der Ver- 
bindungslinie beider Kernpunkte beliebig die perspektivischen Zentren 
O x und 2 . Die Verbindungslinien 0P und 2 P" liegen nun in 
einer Ebene und schneiden sich in einem Objektpunkt. 

Die Rekonstruktion des Objektes ist nach G. Hauck nur noch 
auf oo 3 Weisen moglich, sobald eine dritte Photographic gegeben ist 43 ). 
Nachdem die sechs gegnerischen Kernpunkte 1 "0 2 7 O 2 "0 3 ", O/" O s 
auf den drei Photographien gefunden sind ; kann man die drei Bild 
ebenen so legen, dass die drei Bilder p r p" p" e ines beliebigen Raum- 
punktes P mit dem Schnittpunkt der drei Bildebenen zusammenfallen. 
Die Linien ; in welchen sich dabei zwei Bildebenen schneiden (Grund- 
schnitte), sind aufier durch die gewahlten Bildpunkte noch durch die 

41) Von dieser von M. Chasles gestellten Aufgabe hat S. Sturm, Math. 
Ann. 1 (1869), p. 543, eine geometrische, 0. Hesse, J. f. Math. 62 (1862), p. 188 
eine analytische Losung gegeben. 

42) Finsterwalder, Grundlagen, p. 11. 

43) J. f. Math. 97 (1884), p. 263. 



5. DaB Vorwartseinschneiden und die Rekonstruktion der Objekte. HI 



Bedingung bestimmt, daB sie je ein Paar gegnerische Kernstrahlen- 
biischel nach kongruenten Punkten schneiden miissen. Die (nicht 
immer reellen) Losungen der so gestellten Aufgabe durch zwei vor- 
gegebene Punkte zwei Gerade so zu legen, dass zwei vorgegebene 
Strahlenbiischel in kongruenten Punktreihen geschnitten werden, 
ermoglicheu schlieBlich die Konstruktion des Dreikantes der drei 

O 

Bildebenen aus seinen Seiten. Die sechs Kernpunkte liegen dann 
in einer Ebene, die auch die drei Standpunkte enthalt. Die Strahlen 
von ihnen aus nach drei entsprechenden Bildpunkten schneiden sich 
in einem Raumpunkt. Vier wirkliche Photographien bestimmen das 
Objekt bis auf den MaBstab. Finsteriv alder 44 ) fiihrte die Konstruktion 
desselben auf die Ermittelung eines Kegelschnittes zuriick, der acht 
Raumgerade, die zu zweien durch einen Punkt gehen, trifft. 

Wesentlich vereinfacht wird die Rekonstruktion des Objektes, sobald 
die innere Orientierung der beniitzten Photographien bekannt ist 45 ). 
Es reichen dann bereits zwei Bilder aus, um das dargestellte Objekt 
bis auf den MaBstab zu bestimmen. 
Man verschafft sich zunachst die 
gegnerischen Kernpunkte $/ und 
2 , wofiir S. Finsterwalder* 6 ) 
passende Naherungsmethoden an- 
gegeben hat. Verbindet man diese 
Kernpunkte mit den zugehorigen 
Zentren 2 und O v so massen die 
Verbindungslinien bei richtiger 
Lage der Bildebenen zur Deckung 

kommen. Die gegenseitige Stellung der Ebenen und Achsen der 
Photographien findet man durch folgende Uberlegung (Fig- 3). Man 
ziehe in den Bildebenen die Kernstrahlen 2 P und : " P". Mit Hilfe 
der inneren Orientierung berechnet man die Winkel t und 2 , welche 
sie mit den Verbindungslinien O s 1} 1 "0 2 einschlieBen, sowie die 
Neigungswinkel der Ebenen P 2 1 und P"0 1 "0 2 gegeniiber der 
ersten bzw. zweiten Bildebene. In dem Dreikant, das die beideii 
Bildebenen mit der Ebene O i 2 P einschlieBen , ist nun die Seite 




3. 



44) Finsterwalder, Grundlagen, p. 14. 

45) Ibid. p. 15. 

46) Munchen Abhandlgn. 22 (1903), p. 229 u.Munchen Ber. 33(1903), p. 683. 
Ist der Kernpunkt des einen Bildes bekannt, so kann der des anderen durch 
eine dem Ruckwartseinschneiden entsprechende spharische Konstruktion ge- 
funden werden. Vgl. S. Gunther, Miinchen Ber. 24 (1904), p. 115 und Finster 
walder, ibid. 25 (1905), p. 3. 



112 



VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie. 



y = 180 ! a 2; sowie die anliegenden Winkel bekannt und es 
konnen die Winkel ft und ft, welche die Kernstrahlen mit der Schnittlinie 
der beiden Bildebenen einschlieBen, sowie der Winkel der letzteren 
gerechnet werden. 1st nun noch eine Lange, z. B. jene der Standlinie 
1 0. 2 gegeben, so ist die gegenseitige Lage der Standpunkte und der 




Fig. 4. 

Bildebenen bestimmt und das Objekt kann punktweise konstruiert 
werden. Ein vollstandig durchgefuhrtes Beispiel hat Finsterwalder* 1 ) 
gegeben. Dort sind auch die Fragen der Ausgleichungsrechnung be- 
handelt, welche sich ergeben, wenn ein photogrammetrisch der Form 
nach ermitteltes Objekt durch passende Wahl des MaBstabes und der 



47) Miinchen Abhandlgn. 22 (1903), p. 248. 



Fluchtige Aufnahmen. Stereophotogratnmetrie. Mechanismen. 

auBeren Orientierung mit einer iiberscbiissigen Zahl von Abmessungen 
des wirklicben Objektes in moglichste Ubereinstimmung gebracht 
werden soil 48 ). 

Von G. Hauck stammt eine Mettiode, beliebige Risse, auch Zentral- 
projektionen des Objektes, auS zivei photographischen Bildern zu zeicbnen, 
welcbe auf die trilineare Verwandschaft dreier Projektionen desselben 
Objektes gegriindet ist. Zwei Perspektiven eines Punktes bestimmen 
(im allgemeinen linear) die dritte Perspektive desselben und diese 
kann, sobald man die Beziebung der drei Paare gegneriscber Kern- 
strablenbiischel kennt, unmittelbar als Scbnitt zweier Kernstrablen 
gefunden werden. Ist die genannte Beziebung aus der raumlicben 
Konfiguration von Bildebenen und Zentren in der sogenannten ,,Vor- 
bereitungsfigur" ermittelt, so kann die weitere Konstruktion in der 
r Ausfiibrungsngur" ausschlieBlich in der Ebene durcbgefuhrt werden 49 ). 
Man vergleicbe das Beispiel auf S. 112 (Fig. 4), in welcbem der 
AufriB aus zwei Pbotograpbien mit lotrecbter Bildebene bestimmt wird. 

In manchen Fallen ist man scbon aus einer Aufnabme imstande, 
das Objekt zu rekonstruieren; z. B. wenn das Objekt eben (UmriB- 
linie eines stehenden Gewassers) und die Lage des Standpunktes 
gegeniiber der Ebene desselben bekannt ist 50 ). Ferner, wenn das 
Bild auBer dem Objekt aucb nocb. eine Perspektive desselben entbalt, 
wie z. B. bei Arcbitekturen einen perspektiviscben Grund- oder AufriB 
oder den Schatten auf eine Ebene. Wenn das Objekt eine Symmetrie- 
ebene besitzt, oder samt seinem Spiegelbild aufgenommen wurde, 
so gelingt ebenfalls die Rekonstruktion aus einer Aufnabme, da sicb 
das Bild der Ortbogonalprojektion auf die Symrnetrieebene (Spiegel- 
ebene) durch perspektiviscbe Halbierung der Verbindungslinien 
symmetriscber Punkte immer ermitteln lafit 51 ). 

6. Fliichtige Aufnahmen. Stereophotogrammetrie. Mecha 
nismen. Als fliicbtige Aufnabmen bezeicbnet man jene, bei welcben 
die pbotogrammetriscben Standpunkte nicbt, wie es im Interesse der 
Genauigkeit zumeist gescbiebt, durch Messungen boheren Genauig- 
keitsgrades von vornberein festgelegt werden. Die Rekonstruktion 
eines Objektes aus vier wirklicben unorientierten Pbotographien 
oder aus zwei Bildern mit innerer Orientierung fallen bereits 
unter diesen Begriif. Fiir die Anwendung ist aber der Sonderfall 



48) Ibid. p. 240. 

49) G. Hauck, J. f. Math. 95 (1883), p. 23. 

50) E. Deville, Photographic Surveying, p. 45. 

51) S. Finsterw alder, Grundlagen, p. 18. 

Encyklop. d. math. Wisseusch. VI 1. 



114 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie. 

von erheblicher Bedeuturg, bei welchem die optischen Achsen der 
Aufnahmen im Raume orientiert [sind, sei es vollstandig gegen die 
Lotlinie und die Himmelsrichtungen (also mittels Libelle und Bus- 
sole) oder unvollstandig gegen die Lotlinie allein. Bei vollstandiger 
Orientierung fiihrt eine einfache lineare Konstruktion auf Grund zweier 
Bilder zur Rekonstruktion des Objektes eamt den Standpunkten; bei 
ausschliefilicher Orientierung der Aufnabmen gegen die Lotlinie ist 
zur Erreichung des Zieles die Losung einer Gleichung secbsten Graden 
notig, welche den Orientierungsunterschied beider Aufnahmen liefert 52 ). 
Die Losung dieser Gleichung kann durch eine einfache Naherungs- 
konstruktion ersetzt werden. Wenn es sich um die ^Verarbeitung 
einer gro Beren Zahl von Aufnahmen, die verschiedenen Standpunkten 
zugehoren, handelt, so ist es von Vorteil, samtliche in betracht 
kommenden Richtungen ,,gnomcnisch" abzubilden, indem man durch 
ein festes Zentrum Parallele zu den betreffenden Richtungen zieht 
und ihnen die Schnittpunkte mit einer Horizontalebene entsprechen 
laBt. Richtungen, die in einer Ebene liegen oder einer solchen 
parallel sind, entsprechen daim Punkte auf einer Geraden. Auf diesem 
Wege ergeben sich dann graphisch die Bedingungen, denen die 
Richtungen der verschiedenen Standlinien entsprechen miissen, damit 
sie sich einem raumlichen Netz von Standpunkten zuordnen lassen 53 ). 
Diese Konstruktionen beruhen im wesentlichen auf der Verwendung 
der Hohenwinkel, bzw. Hohenkontrollen. Wenn die Hohenabmessungen 
des Objektes zu klein sind, um eine wirksame Hohenkontrolle zu ge- 
Btatten, wenn man also auf die Horizontalwinkel allein angewiesen 
ist, hort die Moglichkeit der Rekonstruktion des Objektes aus zwei 
Bildern ohne Kenntnis der Standpunkte auf. Sind die Richtungen 
der Achsen der Bilder bekannt, so liefert die Lambert sche Aufgabe 
der sechs Punkte 54 ) (drei Standpunkte und drei Objektpunkte) die 
Mittel zur Rekonstruktion eines ebenen Objektes aus drei Bildern. 
Sind auch diese unbekannt, so kann man mittels der Lambert schen 
Aufgabe der acht Punkte 55 ) (vier Standpunkte und vier Objektpunkte) 
auf Grund von vier Bildern zum Ziele gelangen. Ein ahnliches 



52) S. Finsterwalder, Miinchen Ber. 24 (1904), p. 103. Vgl. auch K. Fuchs, 
Zeitschr. f. Vermess. 34 (1905), p. 449. 

63) S. Finsterwalder , Verhandlg. d. dritten Mathematikerkongresses in 
Heidelberg, Leipzig 1905, p. 476. 

54) J. H. Lambert, Beitrage zum Gebrauche der Mathematik und deren 
Anwendung 1, Berlin 1765, p. 72, 77, 81. 

55) Ibid. p. 185. Vgl. J. A. Grunert, Arch. Math. Phya. 1 (1841), p. 89 
und W. Ldska, Monatshefte Math. Phys. 12 (1901), p. 172. 



6. Fliichtige Aufnabmen. Stereophotogrammetrie. Mechanismen. 115 

Problem der acht Punkte (drei Standpunkte und fiinf Objektpunkte) 
hat bisher noch keine Losung gefunden. 

Eine besondere Bedeutung gewinnen die gegnerischen Kern- 
punkte und Strahlenbiischel, sowie die auf ihnen fufienden Kon- 
struktionen dadurch, dafi sie die Mcglichkeit bieten, Kurven aus 
ihren Bildern zu rekonstruieren, ohne dafi man imstande ist, auf diesen 
Bildern zusammengehorige Punkte zu erkennen 56 ). Ziebt man durch 
einen beliebigen Punkt des ersten Bildes der Kurve den Kernstrahl, 
BO ist ihm der gegnerische Kernstrabl im zweiten Bilde zugeordnet. 
Dieser muB den zugehorigen Punkt enthalten und letzterer ist somit 
einer der Schnittpunkte des gegneriscnen Kernstrahles mit dem 
zweiten Bild der Kurve. Auch in anderer Weise sind die Kern- 
strahlen zum Aufsuchen entsprechender Punkte niitzlicli 57 ). 

Eine wesentliche Vereinfachung des Aufsuchens und der Be- 
nutzung der Kernpunkte tritt dann ein, wenn die Bildebenen unter 
sich parallel oder sogar noch zur Standlinie parallel gestellt werden 58 ). 
In letzterem Falle kommen die Kernpunkte ins Unendlicbe zu liegen 
und die gegneriscben Kernstrablenbiiscbel werden Parallelstrablen- 
biiscbel. Die beiden Aufnabmen bilden dann ein Paar Stereoskop- 
bilder mit einer Augendistanz gleich der Standlinie. Hierauf berubt 
das stereoskopiscbe AusmeBverfabren von C. Pulfrich 53 ] oder die 
Stereopliotogrammetrie. Setzen wir zur Vereinfacbung den Fall lot- 
recbter Bildebenen voraus und verschieben wir die beiden Bilder in 
ihrer gemeinsamen Ebene parallel derart, daB sicb die Hauptpunkte 
decken, so liegen entsprecbende Punkte beider Bilder in den End- 
punkten paralleler Strecken (Parallaxen) von einer Lange p, die 
der Entfernung e des Objektpunktes von der Standlinie umgekebrt 
proportional ist (e = (bD):p, wo & die Lange der Standlinie, D die 
gemeinsame Bildweite beider Aufnabmen ist). Bezeicbnet p x die 
Horizontalparallaxe, d. b. die Projektion der Strecke p auf den 
Horizont, so driicken sicb die drei Koordinaten (X horizontal in 
Ricbtung der Basis, T horizontal senkrecbt dazu, Z lotrecbt) auf den 
linken Standpunkt bezogen folgendermafien aus: Y=(bD^):p r , 



56) G. Hauck, J. f. Math. 95 (1883), p. 11. 

67) A. v. Hull, Abhandlgn. d. geogr. Ges. in Wien 3 (1901), p. 20. 

68) Ibid. p. 21 Anmerk. C. Koppe (Wolkenmessung, p. 10) hat schon das 
Parallelstellen der Achsen empfohlen und Formeln fiir die Punktbestimnrang ab- 
geleitet. 

59) Zeitschr. f. Inetr. 22 (1902), p. 229; 23 (1903), p. 43, 317; 24 (1904), 
p. 53, sowie gesammelt in: Neue stereoskopiscbe Methodenund Apparate, l.Lief., 
Berlin 1903. 

8* 



116 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogratnmetrie. 

X = (xD} : p x} Z=(yIJ}:p xJ wobei x und y die Koordinaten des 
Bildpunktes auf dem linken Bild sind. Zusammengehorige Bildpunkte 
werdeu mittels des Zeifischen Stereokomparators nach dera Prinzip 
~der wandernden Marke sehr leicht und genau gefunden. Die Schwierig- 
keit der Stereophotogrammetrie besteht in der genauen Herstellung 
des Parallel] smus der optischen Achsen beider Aufnahmen 60 ). Die 
Yersuche von E. Deville, an Stelle der Ausmessung stereoskopischer 
Bilder die direkte raumliche Konstruktion des Objektes auf optisch-. 
mechanischern Wege zu setzen, haben in der Geodasie kerne Ver- 
wendung gefunden, dagegen scheint das Prinzip bei der Deutung 
chirurgischer Rontgenaufnahmen brauchbar zu sein 61 ). 

SchlieBlich sind noch die Versuche zu erwahnen, welche be- 
zwecken, die photogrammetrischen Konstruktionen durch mechanische 
oder optische Apparate zu ersetzen. Einen theoretisch sehr voll- 
kommenen Apparat zur mechanischen Herstellung einer dritten Per- 
spektive aus zwei vorliegenden hat Gr. Hauck 62 ) angegeben. In die 
photogrammetrische Praxis ist er indessen ebensowenig iibergegangen 
wie audere Perspektographen 63 ) einfacherer Art, welche nur eine 
ebene Figur perspektivisch umzeichnen. Letztere Aufgabe wird zur 
Zeit sicherer mittels perspektiviseher Netze ausgef iihrt 64 ). Aussichts- 
reicher sind die neueren Versuche, optische Hilfsmittel zur Be- 
waltigung heranzuziehen. So hat Th. Scheimpflug 6 ^ ein Verfahren 
zur perspektivischen Umzeichnung einer ebeneu Figur auf die Tat- 
sache gegriindet, da8 eine vollkommene Weitwinkellinse eine beliebig 
gegen die optische Achse geneigte Objektebene Punkt fur Punkt 
scharf und perspektivisch richtig in eine gewisse andere Ebene ab- 
bildet ; welche man durch einen einfachen Mechanismus mit der Objekt 
ebene zwanglaufig in Verbindung setzen kann. 

60) A. v. H iibl, Mitt. d. militargeogr. Inst. Wien 23 (1904), p. 182; 24 
(1905), p. 143. In diesen Arbeiten wird insbesondere auch den notwendigen 
Korrekturen bei unvollkommener Parallelstellung der Achsen Rechnung ge- 
tragen. 

61) E. Deville, Trans, of the R. S. of Canada (2) 8 (190203), p. 63. 

62) Mein persp. Apparat, Festschr. der techn. Hochschule, Berlin 1884; 
verbessert von E. Bruuer, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 25 (1891), p. 782. 

<>3) E. Deville, Photographic Surveying, p. 77. 

64) Ibid. p. 88 und Fin^tenvalder, Grundlagen, p. 6. 

65) Method of distorting plane images by means of lenses or mirrors, 
Anierikanische Patentschrift Nr. 751 347 und Apparatus for the systematic 
alteration of plane pictures Nr. 752596 (1304). 



(Abgeschlossen im Oktober 1905.) 



VI t,3. P. Piszctti. H8hew Geodasie. 117 



VI 1,3. HOHERE GEODASIE. 



VOK 

P. PIZZETTI 



Inhaltsiibersicht. 

I. Aligemeine ftrnudlagen. 

1. Aufgabe der ho heren Geodusie. 

2. Lotrichtung, Schwerkraft. 

3. Beobachtungstatsachen and S&fce der Potential theorie. 

4. Weitere Folgerungen aus der Potential fcheorie. Theorem von (?. G. Stokes. 

6. Beobachtuugen zur Beatimmuug des Geoida. Roduktion der Bchwerkrafts- 
messungen 

0. Qeodatiache Bestimmung des Geoids. tlefereozel ipsoid. 

7. Lotabweicbungen. 

8. Reduktion der beobachteten Lotrichtungen. 

9. Besseh 



II. Rechnungs- nnd 

A. Qcndatischc Reobnnagen auf dem Rotationsellipsoid. 

10. Fundamentaltbrmeln. 

11. Normalschnitte. 

12. Geodatiache Linion. 

IB. Obertraguag der geographischen Koordiuaten and doa Azimnta. 

14. Fortsetzuug. Fall kloinor Bugen. 

15. Bestinuaang der Liinge und des Azimuts eines geodatischen Bogens aus 
den goographbchea Koordioaten der Kadpunkte. 

16. Geodatiache Polarkoordiuaten. 

17. Yergleichuug der geodatischen Liuie tuit einem Normalschuitt. 

18. Das geodatische Draieck. 

19. Aut loaung des geodatischen Dreiacks duroh Reduktion avif das ebene Drei- 
eck. Spbaroidischor ExzeB. 

20. Sebnen und NormaUchnitte. . 

21. Reduktiou ellipsoidiscber Figureu auf sphar incite durch konforme Abbildung. 

22. Rachtwinklige geodatiscbe oder Soldnersche Koordiuaten. 

23. Obertragung der geograpbischeu Koordinatea vennittels rechtwinkliger geo- 
datiicher. 

24. Projaktionen auf die Ebene. 

p. d. math. Wiu8cb. VI 1. 9 



VI i,3. P. Pieeetti. H6here Geod isie. 

B. Landesvermessaiig. 
26. BasisTnessungen. 

26. Hasisapparat. 

27. Winkel; ihre Reduktion auf das Ellipsoid. 

28. Triangulatioo. 

29. Basisnetze oder VergroBerungsnetze. 

30. Brechnung einer Triangulation and der geographiscben Koordinaten der 
Dreieckspunkte. 

81. Auegleichung. ". 

32. Ausgleichung nach vennittelnden Beobachtungen. 

33. Genauigkeit der Basis- und Winkelmegsungen. 

C. Hdheumessung. 

34. TrigonometTisches Nivelloment. 

85. Der Refraktionskoeffizient alg Funktion der atmoepharischen Verhaltuisse. 

$6. Euipirische Ontersuchungen fiber den Refraktiojiskoeffizienten. 

37. Geotnetriscb.es Nivellement. 

$8. Eintiufl der Schwerestorungf?n auf Ni veil entente. 

39. Daa Mittelwusser der Meere und der Nullpuukt fur die Uohen, 

40. Geaauigkeit euies Nivellements. A usgleichung. 

D. Erdmessung. 

41. Ablmtung dor Konetanten dee Erdellipsoids BUH zwei oder raehr Meridian- 
bogen. 

42. Bestiramung von a und e durcb Parallelkreisbogen. 

43. Sttfcke des Ellipsoids. Lotabweicbungeu. 

44. Forteetzung. fiestimmung der Lotabweicbungen. 

45. Fortaetzung. Angenaherte Bestimmung von Geoidstfickeii. 

46. Die Schweresloruugen und die Abweichungen zwiecben Gooid und Ellipaoid. 

III. Samniarifiche Entwicklung^geschichto der geodatischen Kenntnisse. 

47. Anfange der geodatischen Messungen, bei denen die Erde als Kugel be- 
trachtet wird. 

48. Physikalieche Uutersuchungen iiber die Gestalt der Erde. 
40. Die wichtigsten geodatischen Meseungen bis 1860. 

60. Die hauptsachlichBten Berftcbnungen der Krdkoustanten. 

51. Beatimmung der Abplattung aus Fendelmeesungen. 

52. Benutzuug einiger astronomiscber Daten zur Berechnung der Konstanten 
des Erdellipsoids. 

53. Modern? geodatische Arbeiten. Lotabweicbungen. 



Literatur. 

A. fiibliographisches. 

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I. Allgemeiiie Omndlagen. 1 ) 

1. Aufgabe der hoheren Qeodasie. Urn die Ziele der hoheren 
Geodaaie in Kiir/e bezeichnen /.u konnen, defmieren wir a Is eine 
Niveaufltiche der firde 1 ) eine solche Flache, deren Normale in jedera 



1) Einen grofien Teil der Literaturnachweise uber die fundamentalen Fragen 
der Geodiisie tindet man in Teil III (Summarioche Entwicklungsgeschichte der 
geodatischen Kenutnisse). 

2) C. Maclaurin (A treatise on fluxions, Edinburgh 1742) benutzte zuexst 
(nach Todhunter, History, chapt. IX) die Bezeichnung Niveauflache bei Unter- 
uuchungen uber die Gleichgewichtsfiguren rotiereuder Flussigkeitsmassen. 



126 VI i,3. P. Piizftti, Hohere Geodfieie. 

Punkte rait der Vertikalen oder Lotriehtung dieses Punktes zusammen- 
fallt. Die Hauptaufgabe der hoheren Geodaaie isi dann das Studium 
dieser Niveauflachen und die Losung der damn zusammenhangnden 
Probleme. Die praktische Geodasie zieht aus diesen Studien insofern 
Nutzen, als die Niveauflachen die beaten Bezugsflachen fiir die Ver- 
messungsoperationen abgeben, soweit man dabei wie in der niederen 
Geodasie nicht iiberhaupt von der Kr unarming der Erdoberflache ab- 
sehen kann. 

2. Lotrichtnng, Schwerkraft. UberlaBt man einen materielleo 
Punkt an der Stelie M, der in bezug auf ein mit. dem starren Teil 
der Erde fest verbundenea Koordinatensyatem keioe relative Aufangs- 
geschwindigkeit hat, der Wirkuug der Schwere, so bewegt er sich 
in einer Richtung MY und erhalt nach der unendlich kleiaen Zeit dt 
die Geschwindigkeit gdt. Die Richtung MV nennt man die Vertikale 
oder die Lotrichtung und g die Schwerkraftsbeschleunigung oder kurz 
Schwerkraft 8 ) im Puukte Af. Nach den Satzen uber die relative Be- 
wegung gilt fiir den Vektor g*) 

(1) 9 = A. -A., 

wo A a den Beschleunigungsvektor der absoiuten Bewegung des Punktes 
M und A t den des beweglichen Gaumes (uioto di strascinamento) in 
demselben Punkte bedeutet, d. h. den BeBchleuniguogsvektor fiir deii 
Punkt M , wenn er mit dem angenommeneu Koordinatensystem fest 
rerbunden gedacht wird. Die Be^chleunigung A u hat ihre Lfrsache 
in der Anziehimgskraft der Masse der Erde und der Gestirne auf M, 
A t in der taglichen Umdrehung der Erde um ihre Achse und in ihrer 
TraiihLition im liaume. 

Wir nehmen jetzt ais Koordinatenanfangspunkt den Schwerpunkt 
der Erde an und als i-Achse pines rechtwinkligen Koordinatensygtems 
die Achse der taglichen Umdrehung, deren Winkelgeschwindigkeit wir 
o> nennen. Bezeiclmen wir dann mit V das Potential der Erdmasse 
in bezug auf M(jr, y, z}, mit X,, K,. Z i die Koordinaten eines puukt- 
formig gedachteu Gestirns von der Masse (,., mit R if p 4 die Entfer- 
nungen des Gestirns voin Koordinatenanfaugtipunkt und von M und 

8) Die einfache Anziehuugakraft der Erde auf einen Massenpuukt 1 he 
zeichnen P. L. At. dr Maupertuis uud A. C. Clairaut init gravitc. C. Muclaurm tait 
gravity und R. G. Boscovich mit graviteH primitiva Die zusammengesetzte Wir- 
kung der Au/.iehungskraft der Krde uad der durch die tagliche Bewegung ver~ 
arsacbten Zenirifugalkraft bezeicimon die geuannteu Antoren der Reihe nach 
mit peeanteur, gravitation uud gravitac residua (vgl. Todhunter, History, 25). 

4) Da in dem betrachteten Augenblicke die relative Geschwindigkeit Null 
ist, ist auch die sog. ,,/,usamuieugeBet-/te Zentrifugalbeschleuuigung 1 gleich Null. 



2. T,otrichtung, Schwerkraft 127 

mit f die Gravitationskonstante, so ergeben aich ala Komponenten des 
Vektora g aach (1): 



f 
9irjj - 

wo 



ist and ahnlicrte Auadriicke fiir rj und gelten; die Summation ist fiber 
die verschiedenen Sterne zu erstrecke/i. 

Bei einer ersten Definition der Vertikalen, und soweit man die 
Figur der Erde ala unverandarlich betrachtet, kb nnen die Glieder 
, y, % vernachlassigt werden. Denn es it die Lange des Vektors, 
dessen ersfce Komponente 

fr 

ist, immer kleiner als 

wo d die groBto Entfernniig des Punktes M vom Koordinatenanfangs- 
punkt bedeutet. Die letzte Grofie kann man abr angenahert durch 

57- oder auch durch &g = 2.9 ~ -~^ ersetzen, wo m die Masse 



der Brde bezeichnet. Far die Sonne ist -^-= 324400, -^ > 23000, da- 

ffi a 

her A/7< t877 1 000 ^; tiir den Mond gilt -^ < 0,0126, ~> 56,9, 

j 
&ff <1 ^oi/ww^ff- ) Fiir die Planeten ergibt sich Av noch viel kleiner. 

lolvvvU 

In Anbetracht der Beobachtungsnngenauigkeit bei der Bestiinmung 
von g sind aber solche Werte von A^ fur die Geodasie gan?; oline 
Bedeutung. 

Wir reduzieren deshalb die Komponenten der Schwerebeschleuni- 
gung auf die Ausdrueke: 



wo 
(8) 



5) Solchen Anderungen der GrOBe von y eutsprechen Anderungen der Lot- 

richtung, die nicht grofier sind als - 7 - 0",028. 

e 



128 VI i, 8. P. ffetvfti. Hflhere GeodiUie 

irt. Anf Grund der Satze uber die Krafte, die ein Potential (vgJ. 
IIATb (//. Burkhardt und W.F.Meyer}) besitzen. fiudet man daiin, 

da6: 

W = konst. 

die Grleiehung einer Niveauflache ist und dafi die Schwerkraft itn 
Ptmkte M durch 



gegeben ist, wo dn ein Element der auf der Niveauflacbe in M nuch 
aufien bin errichteten Normalen ist. 

Wenn man von den Meeresbewegnngen, die aus astronomischeu 
oder meteoTologischen Ursaoben euistehen, absieht, so wird die Wasser- 
oberflache des Meerea zu einer Niveauflacbe gehoren, uiid wenn mail 
noch uniiinimt, dnB die Oberflacben der verschiedenen Meere in einer 
eiuzigen Niveauflacbe liegeu, so wird man rliese als Bexugsflache 
walilen und ihre Bestirnmung als ds Endziel der geodatischen Ope- 
rationen anseben kounen 6 ). Nach einer von /. B. Listing" 1 ) eingeffihrten 
Bexeichnung bat man ihr den Naraen Oeoid gegeben. Da es abr 
erstens zweifelbaft ist, ob das Mittelwasser der Meere, wie es von 
den Pegeln autgezeicbnet wird, geniigend genau mit demjenigen ttber- 
einstimmt, das sich bei Abweseuheit der storenden Ursacben einstellen 
wiirde, und zweitens, ob die Mittelwasser verschiedener PegeJ derselben 
Niveauflacbe angehoren, so ist es prazisur, durcb tlbereinkunft die- 
jemge Niveantiacbe, die durcb den Stand des Mittelwasserg an einem be 
st j mm ten Pegel gegeben ist, als Ueoid anzusprecben fa ). 



6) DaB das Stadium der Figur der Krde an eioe Viveaufl^che aukndpfen 
mufi, ifit explizite zuerst von ( F. Gaufl ancgesprucher in .,Bestimmung dea 
BreitennnterachiedeB zwiftchen den Sternwarten von Gottiugen und Altooa u*w ", 
Werke 9, p. 49. Stillechweigeud iet man allerdings iminer von dieeem Gedanken 
anegegangen , Bobald man begonnen hatte, uich systematise!! rait dem Problem 
der Figur der rde zu beBchaftigen. So etellt J. Netvion in t. Ill, prop. XVIII 
der Principia, wo er das Verhaltnie der polaren Halbachae eines Planeten zur 
aquatorealeu beslimiueu will, die Bedinguug auf, dafi die M>prf aicii im Gleich- 
gewicht befinden sullen. Man vergleiehe forner A. C. Clairaut, Theorie de ia 
figure de la terre, Paris 1748, Einleitung. F W. K*n* l (Gradmessung in Ost- 
preu&eu, Abhandlungen 3, p. 128) detiniert ala mathemafache Figur tier Erde 
diejenigc Flache, in der die Oberflachen eines Netzeti von Kaualen Jiegen wurdn, 
die mit dem Meere kommuuizieren usw 

7) Cber uueere jetzige Kenutnis der Geetait und <r6Be der Erde, Gottingen 
1873, p. 41. Man benutzt auch nach F. W. tlenscl die BQ/eichuung ,,mathema- 
ticbe Figui- der Erde" (F. K. Hclmtrt, H. Brunt u. a ). 

8) Die geuaucten Zweifel aijid apeziell ausgepprocueu vou H. Hrurus, Die 
Figur der Erde. Berlin 1878, 1. Die Frage der praziswn Definitiou des Geoida 



3. Beobschtungstafcsachen und Satze dcr Potentialtheorie 129 

3. Beobacbtnngstatsachen und Satze der Potential theorie. Wir 
konnen als gegebene Tatsachen annehmen: 

1) daB die physische Erdoberflaohe \venig von einer Kugel ver- 
Bohteden ist, deren Miitelpunki anf der Rotationsachse der Erde liegt 
oder daB. nachdem man einen Punkt C auf der Rotationsachse und 
einen Radius R geeignet gewahlt hat, die Ditferenz zwischen H und 
dem Radiusvektor r von C nach einem Punkte P der Erdoberflache 
eine kleine Grro Be ira Vergleich zu R ist, genauer, daB 



ist; 

2) daB das Verhaltnis 



E_-_r 
K 



I 

Too 



7W 



wo M die Masse der Rrde bezeichnet, ungefahi gleich o-j i 



Folgerunyen. Wenn man von den vorstehenden Daten ausgeht. 
8.) kann man beweisen ; daB 

1) die Richtung der Schwerkraft in einera Punkte P der Erd 
oberflache oder auBerhalb derselben mit dem Ltadiusvektor CP einen 
stwnpfen Winkel bildet, wenigstens so lange dieser Radiusvektor rund- 
gerechnet weniger als sechsmal so groB ist als der mittlere Radius R. 
AuBerhalb der Erdoberflii ehe und iunerhalb dieser Grenze.kann man 
deshalb sicher sein, daB die Funktion W nach oben bin abnimmt 

2) Innerhalb der genannten Greuze siud die Niveauflacheu ge- 
schlossen und schneiden je den von C ausgehenden Radius nur 
einmal "). 

Satze dcr Poteatialtheorie. Aus den Eigenschaften der Potential- 
fimktiojien und aus einfachen Rechnuugen rait Bnnutzung von (I?), 
(3), (4j findet man: 

a) Die Niveauflachen W = konst. aiud stetige Flachen ohae 
Kan ten und Ecken. 



hangt mit der Wahl des Nullpunktes t iir die H6hen zugammen, worn her man 
Nr. S7 verg]<nche. 

9) Wenn man von tlen geographischen Beweisen absieht, go wird die an- 
nabernde Kugeigestalt der Erde noch durch verschiedene astronomische Tatsachen, 
apeziell durch die Mondparallaxen, bewiesen. 

10) Htlwrt, H. G. 2. p. 82; ./. Tisaerand , Traite de me canique celesta 2, 
p. 91. Den Wert dieses Verhaltnisses kann man aus der Theorie dor Mond- 
bewegung ableiten. 

1 1) DaB die Niveauflachen der Erde geuchloBsen sind, wird gewtthnlich ohne 
fieweis angenommen. Der Beweis ergibt aich leu-Li aus den angefiihrten 
sachen, vgl. P I izzetti, A.CC. Line. Rendic. (5) 10 (1901), p. 9 u. 36. 



130 VI i, 3. P Piztetti. HiJhere Geodasie. 

b) Die Richtung der Schwerkraft andert sich stetig von einem 
Raumpunkt zum andern. (Diese beiden Tatsachen gelten sowohl inner- 
halb wie auBerhalb der Erdoberflache.) 

c) DieKrummung der Niveauflachen (d. h. die Hauptkrummungs- 
radien und die Richtung der Kriimmungslinien) andert sich im Innern 
der Erde nur dann stetig, wenn die Dichte sich stetig andert. Er- 
leidet diese an einer Stella eiiie sprungweise Anderung, so treten auch 
Kriimmungsdiskontmuitaten in den Niveauflachen auf 18 ). 

d) Wenn x eine Tangente in einem Punkte P einer Niveauflache 
ist und wenn man auf der Vertikalen von P einen unendlich benach- 
barten Punkt P t im Abstande dz annimrot, so bildet die Vertikale 
P l V l von P! mit der Geraden x einen Winkel, dessen Kosinus bis 
auf Glieder zweiter Ordnung den Wert hat 13 ): 

(5) cos^^^-y-^, 

wo die Werte von g und der Ableitung von ^.sicb auf dan Punkt P 
beziehen. 

e) Wenn das Potential der anziehenden Masse aus irgend einem 
Grande eine unendlich kleine Anderung 6V erfahrt, so erleidet die 
Niveauflache (die einem bestimmteu Werte der Funktion W entspricht) 

die Verschiebung dh ) <{h positiv nach oben gerechnet). 

4. Weitere Folgerungen aus der Fotentialtheorie. Theorem 
von G. G. Stokes. Wenn man tine Niveauflache S auBerhalb der Erd- 
masse als bekannt voraussetzt und wenn die Gesamtmasse M der Erde 
gegeben ist, so ist die Funktion W und deshalb auch der Wert der 
Schwerkraft fur alle Punkte auf S und aufierhalb von S bestimmt 15 ). 
Denn macht man zwei verschiedene Annahmen V, V fiber den Aus- 



12) Dieue diskontinuierlichen Anderungen sind berechnet von H. Bruns. Figur 
der Erde, 2. Vgl. auch Helmert, H. G. 2, p. 36. 

18) Diese Formel ist leioht abzuleiten nach Britns, Figur der Erde, 2. 
Vgl. auch P. Pieeetti, Astr. Nachr. 138 (1895), p. 353. 

14) Dies Theorem ist von H. Bruns hewiesen (Figur der Erde, p. 20). 0. Za- 
notti- Bianco (Torino Atti 31 (1896), p. 1022) hat bemerkt, daB die genannte Re 
lation bereits von /. H. Pratt (A treatise on attractions etc., 4. edit Cambridge 
1871) angegeben ist; aber die Ausfuhrungen von Pratt sind kaum ein Beweis 
zu nennen. 

15) G. G. Stokes, On attractions and on Clairauta theorem, Cumbr. and Dubl. 
math. J. 4 (1849), p. 194. In der Fassung des Theorems bei Stokes fehlt die Be- 
dingung, dafi die gesamte Masse bekaunt sein mufi, uad infolgedessea ist der 
Beweis uuvollstaudig. Der Satz und Beweis wurden vervollstandigt von //. Poin- 
care (vgl. Tisstrand, M^c. c61. "2, p. 324). 



4. Weitere Folgerungeii us der Potentialtheorie. J31 

druck des Potentials tier Auziehungskraft der Erde, so rauB die Funk- 
tion V V sich auf S auf cine (unbekannte) Konstante C reduzieren 
nnd iiberdies auBerhalb von 5 der Gleichung A = geniigen. Andrer- 
seits ist V V" die Potentialfunktion der Gesamtmnsse Null. Die 
Konstante C muB deshalb Null sein *) and dahr auch V V sowohl 
auf S wie anBerhalb von S verschwiuden. 

Setzt man speziell voraus, dali 5 ein abgeplattetes Rotations- 
ellipsoid sei, desseu Id pine Achse wit der Rotationsachse der Erde 
zusammenfallt, so erhalt roan fur einen beiiebigen Punkt P: 



(M + , P *) J= _ H. ( E - are tg E> 




Darin bedeuten ar, y f z die Cartesischen Koordinaien von P, der Mittel- 
p.mkt des Ellipsoids ist Anfangspunkt des Koordinateusystems and 
die r-Achse fallt mit der Eotationsachse zusammen; a, a, & aind die 
lialbachsen des Ellipsoids. AuBerdem ist geaetzt: 

/a* 6* 



unter A die groBere Wnrzel der Gleichung: 



verstanden. Die GroBe p ist ferner definiert durch die Formel: 

* 3 + 3 
- _ r^ !__ arc tg f =-, wo e = 

*> - f +i * O c* / 



In dem praktisch wicbtigen Falle, daB t sehr klein ist, ist es zweck- 
rnaliig. die Ausdn icke fur \ , E und A in Reihen zu entwickeln, wo- 
bei a lie hoberen Potenzen von als die dritte und das Produkt von 
i* mit <.r vernacliiiissigt verden konnen. 
Die Formeln (3) and (6) geben dann: 



wenn man mit r den Radiuavektor und mit das Komplement der 
geozentrischen Breite.von P bezeicbnet. Mit demselben Grade der 
Annaherung ergibt sich fur die Scbwerkraft im Punkte P: 15 ) IT ) 

16) Bewoic durch Anwendang der Formeln (16), (17) in II A 7b (H. Burk- 
hardt und W. F. Meyer) auf die Funktion VV. 

17) Helmert, H. G. 2, p. 75. Der vollatandige Ausdrock von V ffir ein Bl- 
lipaoid let 1 890 von M JJamy mit Hulfe Latnecbet Funktionen gegeben [J. de 



132 VI i,3. P. Pizzetti. HShere Geodaeic. 



(8) - + * ( ! - 2) ( 



wo .</ die Schwerkraft auf deni Aquator bezeichnet Durch Anwen- 
dung der letzten Formel ergibt sich, indem man nacheinander 
und 90 setzt: 



ffa 2 9* 

oder auch mit derselbea Annaherung: 

9* 2 9 a 

Hier bezeichnet, g h die Schwerkraft am Pol nnd a die Abplattung 

?- des Kllipsoids. Die Gleichnng (9) hei6t das Clairautsche Theorem. 
Der Brueh * (VerhsiUnis der Zentrifngalkraft zur Schwerkraft, am 
Aqnator) ist merklich identisch mit dem Ausdruck -j^r aus Nr. 3 

und hat deshalb den numerisclien Wert ^aaiiJ w * r we rden ihn mit y 
bezeichnen. 

Mit demselben Grade der Annaheruug konna wir Formel (8) 
die Gestalt geben: 



9 - 9.V + ft sin 9 ) - </ 15 l - cos 

in der man gewohnlich die Sehwerkraft im Mecresnivenu auadrfickt; 
<f bedeutet die geographische Breite und ff^ die Schwerkraft unter 
der Breite 45. 

Die Perm el (8 ) ist von J. Newton 1 *) ffir den Fall eines homo- 
genen Flaneten gegeben und von A.C.Clairaut unter der allgemeineren 
Voraussctzung bewiesen, daB die Dichte im ICrdinnern sich in gewissw 
regelma&iger Weise andere; writer dereelben Voraussetzung hat Clairaut 
auch zura ersten Male die Formel (9) bewieaen 19 ). G. B. Airy 90 ) be- 
hauptete dann und G. G. Stokes**) bewies, tlafi die Relation (9) ledig- 



math. (4) (1890), p. C J]. Ohne Ztenntzang jener Funktionea hat P. Pizzetti den 
explizitea Anadrock fur V (Formel (6)) entwickelt [Ace. Line. Rend. (6) & (1894), 
p. 166]. Efl ist leicht za Mhen, <]& der ngenherte Wert (7) von W mit dem 
darch Formel (1) bei Helmert, H. G. , p. 75 gegebenen ubereinstimmt, wenn man 
die Konnuln (10), (11), (12) (p. 75) beriickaichtigt. Mit derselben Annaherung 
stimmt onsen <jleichung (8) mit (3) bei Helmert iibereiu. 

IS) Phil. nat. principia 3, prop. XX. 

19) ThtSorie de la figure de la terre tire de principe* de Iliydro0tatiqii, 
ParU 1743, 3. partie, 49. 

SO) London Phil. Tram. 116 (1826), p. 662678. 

21) Vgl. Fufinote 15. 



4. Weitere Folgerungen aus der Potentialthcorie. 133 

lich daraus folgt, daB die Niveauflache im Meeresniveau ein abgeplattetes 
Rotationsellipsoid sei. Die Benutzung der Schwerkraftsmessungen zur 
Bestimmuug der Abplattuug ist deshalb votlig unabhangig von der 
Annahme iiber die Verteilung der Dichte im Erdinnern. 

Setzt man voraus, dafl die Niveauflache S ein wenig von einem 
Ellipsoid verschieden sei und daB in jedem Punkte die Differenz A<? 
zwischen dem wirklichen Wert der Schwerkraft unit dem durch For 
mel (8 ) gegebenen bekannt sei, so kann man nach Stokes in jedem 
Punkte den Abstand An der Fliiche S von dem Ellipsoid E, auf das 
(8 ) sich bezieht, ermitteln. MiBt man den genannten Abstanri An 
langs des Radiusvektor vom Zentrum C des Ellipsoids nach irgend- 
einem Punkte P von S (oder mit derselben Annaherung laugs des 
Lotes in P), so ergibt sich: 82 ) 

/* i 



4- 1 ~ 6 sin J 5 cos ^ 3 cos ^ Igfsin -^ -f 8iii s |r) 

wobei die Integration iiber S oder mit derselben Annaheruiig auch 
fiber eine Kugel zu erstrecken ist: dQ bedeutet das Flachenelement 
auf einer Kugel um C mit dem Radius !, Ay ist die Schwerestorung 
im Punkte M, auf den sich das Element d*>l bezieht und (/> der 
Winkel, unter dem die Entfernung PAf von C aus erscheint; G- be- 
zeichnet eiuen Mittelwert von g, 

Die Stokessehe Formel wird einen praktischen Wert haben, wrenn 
von zahlreichen gleichmaBig iiber die Erde verteilten Orten Schvrer- 
kraftsmessungei) vorliegen. H. Hergesell**) glaubt sogar, daB man 
auch aus einer beschrankten Zahl von Sehwerkraftsmessungen um einen 
Ort her u in, wenn auch nicht auf den Betrag, so doch auf das Vor- 
zeichen der Abweichung des (reoids vom Ellipsoid an jenem Orte 
schlieBen kann. 

Sowohl bei dem Beweise des ClairautBuhen Satzes wie bei dem 
der Formel (10) macht Stokes von der Entwicklung des Potentials 
nach Kugelfunktionen 3 *) Gebrauch, indem er mit deu Kug-elfunktionen 

22) Cambridge Phil. Trans. 8 (184 J), p. 672; tfelmert, H. G. 2, p. 253. 

23) ber die Formel von G. G. Stokes zur Berechnung regionaler Abweichun- 
gen del Geoids vom Normalspharoid, Digs. Strafibnrg 1891 (vgl. dazu die Bemer- 
kungen von A Riirsch in Fortschr. d. Math. 22 (1893), p. 1194). 

24) Die Entwicklung der Potentialfunktion schreitet nach ganzen positiven 



r 



Potenzen des Yerhaltnisses des Radiusvektors nach dem Massenelement und 

r 
nacb detn ,,Aufpunkt" fort. Da dies Yerhaltnis nicht iinnier kleiner als 1 ist, so 

Knoyklop. a. math. WiMnseh. VI t. . 10 



134 VI i,3 P. Pizzctti. Hfthere Geodasie. 

xweifcer Ordiiung abbricht. Hdmert**) beriioksichtigt aucb noch Kugel- 
iunktionen vierter Ordnung uwi erhah> indem er die Darstellung der 
Schwerkrai t dureh die Foriuel: 



alt* gegeben ansieht, als Gleichuug des Meridians der Niveauftacbe die 
folgende Beziehung zwischen dem Eadiusvektor r und der Breite q>: 

(1 1) r a { 1 a( I -f- ft ) sin s qp tf sin 2 <p -j- (/S -}- d) sm*qD } , 
wo 



ist. 

5. Beobachtungen zur BeHtimnuing des Geoids. Beduktion 
der Sohwerkraftsmessungen. 

a) Asfronomiseh-yeodatische Beobachtunytn. Die Lotrichtung V 
eines Punktes P wird cbarakterisiert durch die beideu Elemente: 
a.ttronomiscke Hreite und Liinye, von dentn die erste das Komp]e\pent 
des Winkels ist, den die Ricbtung V (nach oben bin) mit der Nord- 
richtung der Erduchse iiiacbt und die zweite derjeuige Winkel, den 
die dnrch die Vertikale parallel zur Erdachae gelegte Ebene (astro- 
iiomische Meridianebene in P) mit einer i esten Ebene durch die Erd- 
achse (Nulluieridian) macht. Wir werden die Lilnge pofeitiv von 
bis 360 nacb Oaten recbneu; den Ort der Pimkte mit der Breite 
Null werden wir Erdaquutor neuuen und alien Punkten nordlich vom 
Aquator positive und siidlich voiu Aquator negative Breite beilegen. 
Durch Vergleiehung der Zenitricbtung mit den Kichtungen naeh deu 
GeBtimen an der Himmelskugel liefert die spharische Astrouomie (vgJ. 
VI -2, 2, F. (John] die Mittel, uua fdr jeden Erdort Lange nud Breite 
%u ermittelu. Es gibt uoch ein drittes astrouoinisch-geodatisches Ele 
ment, ,,das iistronomisehe Atimut", das folgendermafien definiert ist. 
Ist A irgend ein von P aus sic lit barer Puukt, so heiftt asti onomisches 
A /i unit des Punktes A in bezug auf P der Winkel, den die durch A 



Konvwgenzbedenken gegen eiue solche Entwickluug (vgl. Helmert, H. G. 
2, p. 135 und Tiss rand, Moc. eel. 2, p. 317). l ; ui soicheu Bedenken aus dem 
Wege zu gehen, hat Utlim-rt die ,,Methodo der Kondensation" ersouneu, vou der . 
in der u&chsten Nummer die Rede eeiu wird. Eine Ableitoog der Foriuel (10), 
die vcm den geoanaieu Bedeukon frei ist, bat PizseUi gegeben, Torino Ace. 
Atti 81 (1^96), p. 85U. 
86) H. G, 2, p. 7785. 



5. BeobachUmgen zur Bestimmung des Geoids:. |3o 

gebende Vertikalebene in P init der Meridianebene von P bildet: es 
wird positi? von Norden flber Osten-Siiden-Westen von bis 360 * 
gerechnet. 

b) The tigentlifjwn geodatischen Messungen. A Is solche IcommeTi 
in Betracht: 

1. der Winkel, welchen der Visierstrahl von P naeh einem Punkte 
A mit der Lotrichtung in P bildet (Zcnitdistanz von A in bezug 
auf P); 

2. der Winkel BZA zwischen den Vertikalebenen in P, die durch 
zwei von P aus sichtbare Punkte A und B gehea (Hirrizontalwirikd 
zwischen den Pimktou A und B von P ana oder Dift erenz der Azimute); 

3. die J/ange gewisser, im nachsteii Abschnitt zu definiereuder 
Liuien xwiscben zwei Punkten der Brdoberflache: 

4. die Hohen der Pnnkte iiber dem Meeresuiveuu. t 

c) Andere astronomischc Dalen auBer den unter a) gennnnten, wie 
die Mondparattaxe, die UngkicftheiteA der Momibewegung. die P>- - 
aesaifm und Nutation, kb nnen nur in geringereuj Grade xur Kenntnis 
der Erdgestalt beitragen wie die trorher angef iihrten ; wir bericliten 
dariiber in Nr. 53. 

d) Sctiwerkraftsmessungen. Indem wir wegen der Theorie des 
Pendels und der Messung der Schwerkraft mit demselben auf IV 7 
(Ph. Furtwangler) verweisen, seilnor uur erwahnt, daB man die Schwer- 
Icraftsniessungen in absolute und relative Messungen etnteilt. J)ie 
ersten baben den Z^vveck, direkt den Wert von. g an einem Orte /n 
ermitteln und erfordern viel Zeit, Sorgfall und komplizierte Apparate; 
l>ei den relativen Messungen will man dagegen mir die Different der 
Schwerkrat tswerte fur xwei Orte ermitteln, \vas sich in kflrzerer Zoit 
und mit verhaltnisrnaijig einfacheren Apparaten erreichen lafit 28 ). 

Indem wir die Auseinandersetzungen iiber die Reduktion der 
eigeutlichen geodatischen Messungen (welche die Kauptnut gabe der 
Geodasie bilden) auf den folgenden Abscbnitt verschieben, seien liier 
nur einige Worte iilier die Retivkkion der Schwtrkraftsmesxungen 
gesagt. 

Die beobachteten Schwerkraftswerte niussen redu/Jert werden, 
um Hie samtlich auf eine Niveauflache (gewohnlich das Meeresniveau) 
zu beziehen. Sei Q der Ort, an dem die Schwerkraft g^ gemessen 
ist, und P der Punkt, in dem die Vertikale von Q das Geoid trifft, 
imd set/en wir fiir den A-ugenblick voraus. daB siib zwischen Q und 



26) ft. v. Sternect, Milit.-geogr lust Wien 7 flS?<7), p. 88. ^ Thfforges, 
Paria C. R 106 (lf88), p. 126, 11J. 

10* 



136 VI i, 3. P. Pietetti. Hdhere Geodasie. 

P keine Masse befindet, so kami die Differenz g 9 g q mit genflgen- 
der Genauigkeit nach der Formel* 7 ): 



berechnet werden. wo H = P# ist und /? einen mittleren Erdradius 
bedeutet. Befindet sich zwischen A und B Masse, so hat man lange 
Zeit die Attraktion der gesamten Schicht von der beobachteten Schwer- 
kraft abgezogen. Wird der Einfachheit halber das Terrain urn Q als 
horizontal vorausgesetzt, so kann man diese Attraktion mit 

3 H S 



ausetzen, wo & m die mittlere Erddichte und & die Dichte der Massen- 
schicht z\iischen Q und P bedeutet. Die vollstandige Korrekttou 
wlirde also sein 28 ): 

,. N 8/f/. 3 

(14) 9,~9 9 



Will man auf die Abweichung des Terrains von der Horizontali- 
tat Rttcksicht nehmen, so muB man noch die Attraktion T der Masse, 
die sich zwischen der horizontalen Bbene von Q und der wirklichen 
Erdoberflache befindet oder dort fehit, in (14) rechts hinzufQgen. Man 
hat dann: 

C\A \ 2H (\ 3 9 \ i_ T 

^~.^ =a= - i ---- 9 *^ 



T heiBt die Reduktion auf horixontales Terrain* 9 ). 

Diese Reduktionsart der beobacuteton Schwerkraft stiit/t sich auf 
ein Prinzip, dessen Richtigkeit die Erfahrung iin allgemeinen nicht 
bestaJigt hat. namlicn, daB die Abweichungen des Geoids von einera 
Ellipsoid ausschlieBlich der Wirkung der sichtbaren Storungstnassen 

27) Diese Formel kann man ans (8) ableiten, vgl. Hetmert, H. G. 2, p. 98, 166. 

28) Diese Reduktionsraethode 1st nach Todhunter (Hietorj, chapt. XII) zuerst 
von P. Bouguer (La figure de la teire determmee etc. aux environs de 1 ^quatenr, 
Paris 1749) angegeben. Die Formel (14) geht guwohnlich uuter dem Namen der 
Th. Yown^schen Regel, dr. sie ohne Beweia in London Phil. Trans. 101) (1819), 
p. 89 (Todhunter, HiBtory letztee Kapitel) gab. Vgl. auch P. S. Laplace, M&J. 
c^l. 6, livre XI, 6. 

29) It. G. Boscovich scheint zuerst 176f> an die Mdglichkeit einer sole-he n 
Kompensation gedacht zu haben (vgl. Todhunter, History, 476). Wegen weiterer 
Notizen betreffs einer aolchen Idee ygl. /. ./. Saigey, Petite physique du glob; 
J. H. Pratt, London Phil. Tranr 161 (1871), p. 335; Clarke, Geodesy, p. 361; 
H. Faye, Paris C. fi. 90 (1880), p. 1185; 102 (1886), p. 661 und 786; 112 (1891), 
p. 9; Helmert, H. G. 2, p. 364368; Pucct, Fondamenti 2, cap. XII. 



5. Beobachtnngen znr Beatimmung des Geoide. 137 

zuzuschreiben Beien, also den Massen ttber dm Meeresniveau und dem 
Massendefekt, der durch die geringere Dichte des Meerwassers im 
Vergleich mit den oberflachlichen Erdschichten herrorgerufen wird. 
In Wirklichkeit liegen die Dinge in der Mehrzahl der Falle so, dafi 
irgend eine Ursache (Masaendefelrfce unter den Gebirgen und die er- 
hohte Dichte der Massen, die den Meeresboden bilden) die Wirkung der 
eichtbaren Storungsmassen zu kompensieren strebt, so dass wenigstens 
auf kontinentalen Stationen rait grofterer Wfthrscheinlichkeit die nach 
Forme! (14) oder (14 ) reduzierten Scbwerkraftswerte mehr TOE den 
normalen (auf dem Ellipsoid) abweichen als die nach der einfachen 
Formel (12) redu/ierten 80 ). 

In jedem Falle ist es sicher, daft die iiach Formel (14) oder (14*) 
reduzierte Schwerkraft sich nicht auf das wirkliche, sondern auf ein 
tingiertes Geoid bezieht. 

Hdmert 31 ) hat vorgeschlagen , hauptsachlich urn Konvergenz- 
bedenken bei der Entwickelung des Poteatials nach Kugelfunktionen 
zu beseitigen**), der wirklichen Massen verteilung der Oberflachen- 
schichten der Erde eine fingierte Massen verteilung zu substituieren, 
die dadurch erhalten wird, dafi man auf eine Flache S , parallel zum 
(reoid in der Entfemung QjR (a Abplattung), alle Masse /wischen S 
uud der Erdoberfliiche kondensiert. Hdmert beweist and das ist 
von besouderer Wichtigkeit , daB bei dieser {Condensation die 
Ni?eauflachen nicht merklich geiicdert werden 33 ). 

Auch die Anderuugen der Schwerkraft bei der Kondensation sind 
im allgemeineu ziemlich klein, wenigstens im Innern der Koutinente^), 



80) J. L. (PAiembert (nacb Todhunter, History, 593) gibt den Ausdrnck 
von 7 fiir verecbiedene Annahme iiher die Gestalt der Bergo. Erschopfende 
Methoden und Formeln findet man bei Helmert, H. G. 2, Kap. 3. Vgl. aucb 
R. . Sierneck, Mitt, milit.-geogr. Inst. Wien 11 (182), p. 214. 

81) H. G. 2, Kap. Ill und IV 
32) H. G. 2, p. 165. 

3) V. R. Helmert. Die Schwerkraft im Hocbgebirge, Berlin 1890, p. 3S. 
Bti kontinentalen Stationen kann man die Korrektion wegeu Hohe eint ach nach 
Porniel (12) (wie in freier Luft) auafubren. JB. v. Stemeck (Mitt, rnilit.-geogr. 
Inat. Wien 17 (1898), p. 109) bat auf Grand von 508 Scbwerkraftsuiessungen uacb 
der Method * der kleiusten Quadrate gefunden: 

yq g p *m. 0,3023 H 

(ff in m und ff^ffp in Kinheiten der 6 tl! " Dezimale), was sehr na,he mit 
Fonnel (12) iibewinstimmt; H. Faye, [Paris C. R. 90 (1880), p. 1185. 1462 1 nhnuit 
MI. daB die ituBerou kontinentalen Erbebungeu uud mariuen Senkungen ohue Eiu- 
fluQ auf die Scbwerkraft seien uud schlagt deabalb vcr, nur die Anziehung io- 
iicrier Maaten, welche nicb iiber dais iuittlre Niveuu eiiier Gegeud rbebii, zu 



138 VI i, 3. P. Pizzctti. Hohere Geodasie. 

sie eind etwas erheblicher i ttr kieine Insebi und die Meereskiisten. 
Die Kundensationsmetliode bat auBer dera schonenvahnten theoretischen 
Vorteil uoch den, daB sic die Wirkung lediglich lokaler StoTungen 
auf die beohachteteu Schwerkrai tswerte berabmindert. obne docb den 
allgemeinen Gang der Niveauflache erheblicb zu indent* 4 ). 

Wir iibergelien die Probleme imd Formeln, welcbe sicli auf den 
Z.upummenliang zwischen den Sehwerkraftswerteu und der Dicbte der 
Oberflaehenschiehten der Erde beziehen und verweisen dieserbalb avrf 
VI i, 7. 

6. Gcodatische Bestimmung des Geoids. Referenzellipsoid. 
l>ie ini vorigen Paragrapben aulgezahlten Beobacbtnngsdaten genii gen, 
um die Kichtung und die niumliebe Lage einer Anzabl von Vevfcikalea 
oder Normalen /.urn Geoid festzulegeu, und diese 1-lllcbe kanja diuin 
(vrenigstens fiir begreuzte Gebiete) mit der praktisch erreicbbaren An- 
niiherung durch die beiden Bedingungen bestimnit werden, daB sie 
erstens durch einen festeu Punkt gebt ( Mittelwasser eines gewissen 
Pegels) und zweitens das System der beobachteteu Vertikalen ortbo- 
goual scbneidet. Praktisch scblagt man zur Liigung des I*Tobienis 
einen indirekten Weg ein, indein man znnacbst eirie eiulache Hypothene 
uber die allgeraeine Gestalt des Geoids niaciit imd die Fliicke in dieser 
vereiufachteu Geetalt als Keferenzllacbe fiir die geodatiscben Hech- 
nungen zugTiinde legt. Indem man die Beobachtungen dieeer Flacbe 
auzupassen versucbfc, ergeben sich dann die systeinatiscbeu Abwei 
cbuugeu des gesuchteu Geoids vou der r\eferenzfiiicbe. 

Als hervorragend geeiguet bat sich die Annahme uines Hotations- 
ellipsoides, dessen Botationsachse uiit der Erdachse zusanimenfallt, 
erwieseu, eine Annahme, zu der man vor alien Dingen auf Gruiid 
bydrostatischer Erwaguiigen gefubrt wird. Auf Grund der geuanuten 
Mypotbese "werden ~vvir dann im niichsten Abschnitt seben, wie man 
die Konstanteri des Ellipsoids in der Weise bestimmen kann, daB 
seine Normalen moglicbst wenig von den "beobaditeteu Vej-ti"kalen ab- 
vreicbeu, und wie man. weuigstens fiir bestimmtf Gegenden der Enl- 
obertlacbe, die Abweichuugen des Geoids voin Ellipsoid ermitteln 
kann. 

Wie die Schwevkraftsmessungen zur Kenntnis des Geoids ^ei- 
trugen, gebt zur Gentige aus Nr. 4- hervor. 



"beriicksiolitigen, uud "bei Inseletatioueii auf boher See uur die Masse <it-s Insel- 
pfeilers \T\ Kechnung xu zieben. 

34) Wegfcn der Reduktion der Schwerkrati uuf eiae gemeiiisame Niveau- 
Hache vgl. uuch F. it. Heimert, Berlin Ear. 1902, p. 843; 1903, p. 650. 



7. Lotabweichnngen. 139 

7. Lotabweichungen. Eine geodatipehe Bestimmung der Gestalt 
des Geoids kaun man n.ur in begrenzten Gebieten tier Krde ansffihren, 
iiHinlich nur dort. wo es moglich ist, eine Anzahl von Punkten durch 
geodatischfc Messungen zu verbinderi. Aber auch in dieser Beschriin 
kxmg karin man das Problem nur durch sukzessive Annahermigeu 
Ibsen. (Jin *icb die zur Tlerechnung der geographischen Positioner! 
auf dem. Referenzellipsoid notigen Daten zu verschaffen, odcrr um die 
Winkel, Langen und die beobachteten astronomiscben Illleniente auf 
das Ellipsoid reduxierert %u Icormen, in uB wan in erster Auniiherung RlJip- 
soid und Geoid identifi/ieren. Erst venn die Abtveichungen zvvischen 
"beideu FlacVien niiherungsweise T^elmnnt sind, kann man die Be- 
obaehtungsdaten mit groBerer Genauigkert auf das Ellipsoid redu- 
-/aeren. 

Wenn P (rnit der astron. Breite A UTid der astron. Lange 1} eiu 
Punkt des Geoids ist und P seine Projcktion auf das Ellipsoid, so 
bezeichnet man mit ,,totaler Lotrtbweichung" (deviation, attraction 
locale)* 5 ) in P den Winkel ^, den die Yeriikale v in P rait der Nor- 
malen n des Ellipsoides in P bildet; ellipsoidische Breite <f und 
Lange w heiBen (entsprechend A und I) die Winlcei, welehe die KicKtnng 
der Normalen n bestimmen. Die Difterenzen A <p . I o> netint 
man. Lotabweich.unge.ri in Breite und Lange. 

Bezeichnet man mit y den Winkel, den. die Ebene vP n mit dam 
ellipsoid iscnen Meridian ran P macht (Azirmit der Abweichungsebene). 
so hat man: 



<ft> == co ~- <9sinj ; sec p. 

Die Korrektionen 6A, 6t,. die man an dem astronomischen 
Azirnut A und der Zenitdistanz Z eines xweiteo Punktes B anf dem 
Geoid in bezug auf den Punkt P anbringen uinB, um die analogen 
GroBen . t, fflr das Ellipsoid /,u erlialten, haben die Wrt,e 36 ): 



35) Der Ausdruek ,. attraction locale" koninit daher, dasi man xuerst unH 
lunge Zeit hrndurch der Ansicht war, da6 die Lotabweichungen hauptsiichlicb 
dutch lokale U-nregelmaflisrkeiteu in der Erdkruste verursacbt wiirdn. Die ersteu 
Studien iibcr Lotabweichuagen von dieseui Gesichtspunkt us ainrl von /*. Souyuer 
und C. M. L, Condumine. (1730) in Pru und von N. Maskelyne (1775) in Schotc- 

(Tod-hwrfter, History 1, 3G3, p. 724727) ausgefuhrt. Der erste, dcr ver- 
<lati die Lotabweichungeu eber durch ausgfdhnt Kontinente oder Meere 
hervorgerufen wcrdeti l<0nutea als durch einzelne Berge uxid daB sie deshalb 
systHmatiscLcu Charakt;r habcn kounten, war R. G. llwnnch (1750), vgl. Tndhuvttr, 
History, 1, 47r 47i>. In 18. .fatirhundert warden verachietlem: geodatische 
Untrsuchtiugf,n znm Studium der LotatiweiclmngHn in dea Alpen ausjgefiihrt 



140 VI i, 3. P. Pizeetti. HOhere Geodasie. 

(17) A = <M = sin <jp dco @cotg sin (y a), 

(18) -2T <S = cos.4 <Jqp sin.4 cosy 8&. 

In (17) 1st das zweite Glied wegen der Kleinheit von cotg in* 
allgemeinen zu veraachlassigen und man hat dann 
(17 ) d^ sin? d<o, 

was von P. S. Lafiace (Mec. eel. 2, livre III, 38) zuerat an- 
gegeben 1st. 

Beschrankt man sich auf die Genauigkeit, roit der (17 ) gilt, so 
haben die Lotabweichungen auf die Messung der Horizontal winkei 
keinen EinfluB. 

8. Reduktion der beobaehteten Lotrichtnngen. Bei einer eud- 
gGltigen Bestimmung yon Qeoidteilen inuB man noch eine andere 
theoretische Korrektion berUcksichtigen. 1st A ein Beobachtungs- 
P mkt, Av die Vertikale von A , ferner A der Punkt, in dem Ao 
das (Jeoid triflft und A v die Vertikale in A , so raflBte man zur Be- 
stimmung dee Geoids die Richtnng A v kennen, wahrend die astro- 
nomischen Beobacbtungen nur Av liefern. Der Ricbtungsunterschied 
zwischen beiden Geraden ist aber im allgemeinen nicbt zu vernach- 
lassigen, wenn nicht die Hohe A A = H des Puuktes A iiber dem 
Meeresniveau sebr klein ist. 

Nimmt man die Meeresobei*fiacbe als Rotationsellipsoid an, so 
fallt die Lange von A mit der von A zusammen, wahrend die Breite A 
von A urn den Betrag ST ): 



n A n m, <A 

zn korrigieren ist, um die Breite A von A zu erhalten. 

Aber bei einer hypothesenfreien Bestimmung des Geoids kann 
man den Obergang von Av auf A v nicht in dieser Weise ausfuhren. 
Das einzige nicht willkiirliche Mittel wird hier durch Schwerkrafts- 

36) F. W. Basel, Astr Nachr. 14 (1837), p. 333: Y Villarceau, J de math. 
(f) 18 (187), p. 398; helmert, H. G. 1, Kap. 12. 

87) In dieser GeBtalt wird die Korrektion von Helmurt^ H. G. 2, p. 98 ge- 
gebeo; auch C. F. Gauft hat sie bereits berecbnet, iodem er von der Ciairaut- 
achon Formel: 



Gauft setzt 

XT 

Al -= 1070" ~ sin 2. 
a 

Man tin let diesen Audruck in einem Hhefe an J. J. Baeyer, vgl. Astr. Nachr. 
84 (1874), p. 1. 



9. Bcasela Rotationscllipsoid. 141 

messungen auf Grund von Formel (5) geliefert, aus der sich ergibt: 



wo sich die Quotienten hr|j und \~-\ auf den Punkt A beziehen. Es 

ist indessen zu bemerken, daB die eben angegebenen Formeln eine 
stetige Anderung der zweiteu Ableitung von W zwischen A und A 
und deshalb auch eine stetige Dichteanderung zwischen den genannten 
Punkten zur Voraussetzung haben, was in Wirklichkeit im allgemeinen 
nicht zutrifft. Der EinfluB unvorhergesehener Diehteanderungen kann 
aber von derselben GroBenordnung Bein, wie die aus (18 ) resultieren- 
den Werte von 8k, d/. 88 ) Die Formeln (18 ) werden am besten be- 
nutzt, wenn man darauf verzichtet, die Gestalt der Meeresniveaufiache 
direkt zu bestimmen und statt dessen eine hohere Niveauflache be 
stimmen will, die ganzlich anfierhalb der festen Erdrinde verlauft. 

Helmert} hat gezeigt, wie man kleine Flachenstiicke des Geoids 
bestimmen kann, ohne daB dabei die Reduktion von Lange und Breite 
auf das Meeresniveau nb tig wird. Statt dessen braucht man einen 
Mittelwert g n der Schwerkraft langs des Lotabschnitts zwischen dem 
Beobachtungsort uud dem Geoid. 

9. Bessels Rotationsellipsoid. Wir werden als Referenztiache 
das von F. W. Bessel 40 ) berechnete Rotationsellipsoid annehmen. dessen 
Konstanten folgende Werte haben: 

Halbe grofie Achse a = 6 377 397,16 m , 
kleine b = 6356078,96 m, 

<? f^=i! = 0,006674372 , -^=- ft = 0,003342773 = ~ 

Q- Ci 7r^lO 

Die Rechnungen von A. li. Clarke^} und die erstea Resultate 
der Nordamerikanischen Graduiessung scheinen allerdings bewiesen zu 
haben, daB es zweckmaBig ist, die groBe Halbachse des Bessefscheo. 
Ellipsoides um 800 bis IKK) m und die Abplattuug um bis ihres 
Wertes zu vergroBern. Aber audererseits ist zu bedenken, daB der 
aus den Schwerkraftsmessungen abgeleitete Abplattungswert weit besser 
rait dem Hessehchen als dem GVarfoschen Werte stimiut und daB 
auch neuere europaische Triangulierungen sich besser dem 



88) P. Pizeetti, Astr. Nachr. 188 (1806), p. 353: fcrner Helmert. Arch. Neerl 
(2) 6 (1901), p. 442. 

39) Berlin Ber. 1900, p. 964; 1901, p. 968. 

40) Astr. Nacbr. 14 (1837), p. 383 und 19 (1842), p. t7. 

41) Geodesy, p. 319; vgl. Nr. 50. 



142 VTi. 3. P. Pizzcttt. Hohere GeodSsie. 

Ellipsoids an/upassen scheinen 42 ). Nun geniigt fiir die praklisohen 
Zwecke der Geodasie die Erset/ung des Geoids dutch das .Bewefeehe 
^Ellipsoid vollkojnmen; fiir die theoretischen Studien soil e- alter HUT 
als Referen/flache dienen. es hat, also nnr die Bedingung za erfullen. 
daB seine Abweichungen ^om Greoid so klein sind. daB die sogenarmten 
Ditterentialformeln auf sie angewandt werden konnen. Da das Besselr 
sche Ellipsoid diese Bedingung eri iillt, kaim man stets auf dasselbe 
Bezug nehmen 43 ). 

Wenn man fur Naherungsrechnungen das Ellipsoid durch eine 
Kugel ersetzen will, so kann man als Ttaudms: 

= 6370.3 km 

nehmen. Diese Kugel hat darni lois auf Glieder von der Ordnung 
c* in R die folgendeu Grofien mit dem Bcsselschen Ellipsoid 
gemeinsara: 1) den mittleren Kriimmungsradius der Fliiche (uiiter 
Kriiuimuugsradius einer Fliiche in einem Punkte das BeziproTce der 
<3t<y8schen Kriimmung verstauden), 2) den mittieren Halbiuesser (die 
Mittelbiidung erfolgt in beiden Fallen Hurch Integratiou fiber die 
Fliiche), 3) die Oberflache. 4) das Volumen* 4 ). 



II. Redlinings- un<l Messungsinethoden. 

A. Geodatische Redmimgen auf dem Rotationseliipsoid. 

10. Fundamentalformeln (Fig. 1). Es seien a mid ft die heiden 
Halbachsen des Botatiousellipsoids ( = OE - OF, b ~ OP), e die 

numerische Exzentrizitat }/a 8 & 2 , o die Abpljittang - - , tp die 

geoflraphifschf Breite eines Punkteg A (90 < A TIP), tp die yvo- 
ztmiarische Breite (-^C AOF). r der Ka<liuavektor OA, r der Radius des 
Parallelkreises (AH) durch den Pnnkt A und z die Entlernuug von 
A von der Aquatorebeue. Es folgt dann ans elementareu Koruielii 
der Difterentialgeoinefcrie* 5 ): 



42) Literaturangahen zu den neueren Trianguliftmngen ia Nr. 53. 
48) F. M. Helm&ri, Lotabweichungen 1, Berlin 1886, p. 3. 
44) flelmcrt, H. G. 1, p. 6568. 



45) Helmert, H. G. 1 gibt die numerisc hen Werte von log |/1 <." sia* <p 
fiir die Werte y, von 10 /u 10 . Die volletimdiggfcen uuiuerisclien TabeHen findet 
man bei T/t* Albrecht, Fonneln und Hillstatela fiir geographi8<;!ie Ortsbestim- 
mungen, 3. Autt. , Leip/Jg 1894. Vgl. aucb W. Jordan, Math, und gecdiitische 
Hilfstafeln, 9. Auti., Hanaover 1895. 



10. "Fundamentalfonneln. 

, a cos ft , . a>(\ 

r r cos cp , s r sin g> = ; 

1/1 - *9in* <p 1/1 < 

tg qp (1 e 8 ) tg <p, 

und hieraus durch Reiheneniwicklung: 

, . ^ w* . . w 8 . s. 

tp fp = w. sin Jf OP sin 4<p -j sm o <jp 



143 



m 




Tig l. 

Nennt man reduzierte Breite deu durcb die Gleichnng 4 *): 

tg M =*= tg qp |/1 e 2 
definiei-ten Wjnkel M, so ist: 



sn 



sm 



T wn 



l _ 1/1 _ * . 

= ist. 



Die Haaptkrflmmiuigsradien in einem Punkte mit der Breite <p sind: 
KrUuimungsradiug im Meridian: p = "^Iff 

Querkr iiunnungsrad ins : N *** - .; 

yi -tf siu^v 



(0 



46 A. M. Lcgendre, Analyse dH iriaugle ur la surface d un spheroido, 
Paris Mdin. de I lnst. 7 (1800); C. Bremiker (Studieu ilber hohere Geodoeie, Berlin 

(i it 
1869) und T"ft.. ARtrecht 46 ) gebu die numerischen Werte vou log - 1 : - 

^ui . ^y 



144 VI i, 3. P. Pizzetti. HShere GeodBsie. 

In einem Normalschnitt im Azimut a iet der Krammungsradius R a 
gegeben durch 47 ): 



1 * COB* tt> sin 1 cf 1 /. <* , \ 

-- =? -- TV + T^? COB * cos ) 




Der Meridiaubogen 6 zwischen den Breiten <jp, und 9, wird durch 
das Integral: 



a(l * 2 ) /(I 



sn 



dargestellt. Auf die bequemste Weise erhalt man das Integral, in- 
dem man die Funktion unter dem Iiitegralzeicheu nach deni Kosinus 
der Vielfachen von 2 9) entwickclt 4 *). Setzt man: 

-}- y 2 ), ^ 2 y, ^= Ay (Amplitude des Bogens), 

m (m 1) . . . (m r-f 




>t 



A r * w w r r 4- w, r+1 w r - t 8 -|- w 2 r+2 n r + 4 -f- 
so ergibt si eh: 



cos 

I r = l 

und speziell 4 *) 



47) Helmsrt, H. G. 1, p. 68; BremtJfcer 46 ) gibt die numeriechen Werte von 
log B u fiir die Worte von qp zwischcn 36 und 84 von Grad zu Grad und fSr 
die Werte von a zwischen und 90 von Grad zu Grad. Vgl. auch Albrecht 46 ). 

48) Der Gedanke einer aolchen Entwicklung stmnmt von A M. Legendre 
(J. B. Delambre, Mdthodes analytiqueg pour la determination d un arc du m&i- 
dien, pr^ced^es d un memoire sor le uieme eujet par J^egendre, Paris, An 7, 
179899). Legtndre nimmt an, da 6 die Meridiankurve durch die folgeiide Glei- 
chung zwischeu dem Radiuavektor r und der geozentriscben Breite ii> dar 
gestellt sei: 

r * K(l -j- m sin* V + / sin 4 ty). 

Delaware (p. 72) gibt die Entwicklung fur den elliptischen Meridian; die Koeffi- 
zientn werden nach Potenzen von e- entwickelt. L. Puissant (Traite de geo- 
desie, Paris 1805, 5. Aufl. 1849) gibt die Entwicklung mit Koeffizienton, die nach 

e * 
Potenzen von $ fortschreiten. Die im Text gegebene fintwicklung stanuat 

X *~~~ 

von F. W. Bessel (Abhandl. 3, p. 46). 

49) Helmert schreibt den enten Faktor in der Geetalt: a(l n)(l n 1 ). 



10. Fundamentalformeln. 145 



* sn 

wo 

^ . 9 2 , 226 4 , 46 3 

ao^i-f 7-" +-eT* "I ---- i 3n -g-w 3 ---, 

15 . . 106 , 36 3 315 . 

8 =-T n + 1F* + %^.-- fj**-"! i 866* + 

ist. 

Die nicht angegebenen Glieder sind von der Ordnung e 10 und 
deshalb stets zu veruachlassigen. Aus (4) erhalt man: 

*t -j- j 

Meridianquadrant: 

Lange des Meridiangrades unter der Breite q>\ 



oder bis auf GHeder der Ordnung ^*: 

^ = G Q -f fa sin 1 sinV 

Eine fiir kleine Meridianbogen ^hochstens 2) sebr passende Ent- 
wickluug ist die von C. Gr. Andrae**) 

(5) tf ( A q> -f- p cos 2 



wo (> der Wert von (> filr die inittlere Breite ^> ist. In der an 
gegebenen Entwicklung sind die Grofien von der Ordnung e z (Ay) 8 , 
e 9 (Ag>) 5 vernachlassigt. 

Der Parallelkreisbogen zwiscben den Langengraden ci^ a, und 
miter der Breite (p iat durcn: 

( .) COS 
li T 



n / \ 

$ = r (, - O.) 



sin 8 



gegeben. Die Oberflache eines ellipsoidischen Trapezes zwischen den 
Breiten und <p und den Langengraden <9 lt <o t ist 51 ): 



50) Problemes de haute godesie, 4. cah., p. 3. Wenn nicht ausdriieklich 
das Gregenteil bemerkt wird, sind die Wiukel immer im BogeotnaB oder a&aly- 
tischem MaB zu zechnen. 

61) VgL z. B. Helmcrt, H. G. 1, p. 61. 



140 V1 1.8. P. Pizzetti. H&here GeodiUi*. 

11. Normaleclmitte. Es eeien J(y,,Wj) und l?(<p, o) zwei 
Ellipsoidpunkte: ~A~B sei dr Normalsclmitt in A, der durch JB geht, 
und BA der Norrnalschnitt in B, der durcb ^t geht (reziproker Nor- 
malschnitt). Das Azimut A. von AB in A ist dann durch die 

Form el : 

COP <p, g y (1 -- c*y) sin y t coa(ro ,) 
(6) COtg ^ - (-,) 

gegeben, wo 



1 sin qp, V 1 f? sin- 1? 
y =a > e: 1 



to 9 ]/l e sin ^ 

ist. Wir nehmen nun auf der Normalen in B ein Segment 
an , das so klein ist, dafi man die Grofien e* (-J . ~ , er- 
nchlasigen kann. Nennt man dann A das Azitnut von B in bezug 
auf A, so hat man annilhernd: 

cotg A cotg A e 2 -- tg <p cos a t cosec (w ,). 



1st die Entfernung s zwischen den Punkten A und B so klein, daB 
das Prodnkt c 2 -- zu vernachiassigen ist, so folgt aws der vor- 
stehenden Tormel 5 *): 
(6 ) A A =* ~~ cos 2 v, sin 2 A ; 

diese Gleichung gibt die E-et 1 ktion ernes beobachteten Azimuts wegen 
der Hohft des Beobachtungsortes. 

Theorem von Dalby. E* sei A das Aziraut des Norraaischnitts 
AB in A und B das A /mint des Normulschnitts BA in B. Man 
betrachte dann auf einer Kugcl vom Radius 1 das spharische JDrei- 
eck P 1 A 1 B 1 , dessen Seiten P 1 A 1} PjBj resp. gleich ~ q?,, y <p 
sind und dessen Winkel in 1\ gleich o co, isfc. Betrachtet man 
daun die Bogen P 1l A l , P^B V als spharische Meridian? und sind A L , B l 
die Azimute von B l beziiglich A t und von A l beziiglich JB, (in der- 
selben Weise wie fur das Ellipsoid gereehnet), so hat man bis uuf 

s 
(irofien von der Ordnung et R (s = Aft):} 



62) IT. James aud A. 7Z. darke, Orduauce trigouom. survey. Accotiut of 
the observation^ and calculations of the principal triaugulatiou aud of the figure, 
dimensions aud mean specific gravity of the earth as derived therefrom, London 
1858, p. 281; Hdmert, H. G. 1, p. 190 gibt einen geiiaueren Ausdxucli tut A A . 
Die genannte Heduktion ist schon von C F. Gaufi angewandt werden, vgl VVerke 
9, p. 95 uud p. 320321 (Brief an Olbers voin 14. Mai 1826). 

53) W. Roy, London I nil. Trans. BO (1790), p. 111. Dort ist der geoinetrisclie 
der vou J. Dalby angegebenen Kormcl (7) mitgeteilt und gezeigt, wie ie 



11. Normalachnitte. 147 

(7) A - B = A l B t 

oder niit grofierer Annaherung: 

e i 
A B = A 1 B l -f- -j sin (w wj sin* (<p <jPj) cos 4 qp sin g> 0; 

wenn - ^ y qp gesetzt wird. 

I 

Die Ditf eren/ zwischen den beiden Seiten von (7) hetragt bis zu 
Enlfernungen von 1200 km einige tausendstel Sekundeu; sie ist io> 
allgemeineu /<u vernachlassigen. 

Aus (6) uud dem analogen Ausdruck fiir B findet man durch 
geeiguete Eutwicklungen: 



, 1 - 

, + /y, e^ __ _ _8_ . 

2 2 1 e*(l coB ysiu o ) 



j i 1> ^^^ 

wrenn man n 1 - = <* setzt und mit den spharischeu Bogeu 
A 1 J5, bezeichnet; 7\ ist eine kleine GroBe von der Ordnung & -^ 

ft 

uiid e 6 . Die Formeln (7) ; (8) liefern das bequeoiste Mittel zur Be- 
rechnung der reziproken Animate A, B } wenn die geographischen 
Koordinaten der beideu Punkte gegeben sind. Die sphiirisehen Azi- 
mute A, J5 t erhalt man mit Hilfe der Dehitnbr&H hwi Gleichnngeu 
aus dem spbsirischen Dreieck P l A^B^. Es sei noch die Fonnel 
fiir die Liinge K der Sehne AB hinzugefflgt 5 *): 



(9) log K == log (2 R sin ^) 

+ \M\ He* cos 4 -^ sin 2 2a -f e 2 (A^)* (cos 2 y 2 8m 2 a ) H ---- } , 
wo K der Kriimmungsradius des Normalschnittes in der Breite 
<f, m = ?J--2 und im Azimut a ist. Die Furmeln (7), (8), (9) bilden 

die Grundlage fur diejenigen geodatischen Rechnuugsmetboden, die 
sich auf die Beuutzuug der Sehnen und der astronomischen Atiniute 

stiitzen f>5 ). 



zur Bercchnung der Langenditfereiix. dieueu karm, WPUH die astronomischen Azi- 
mute und die Breiteii zweier Punkte gegebeii sind. Vgl. in dieser Hiueickt 
J. L. TiarkS. Phil Mag. 4 (1828), p. 364. Gtenaue Beweise von (8) findet man 
bei Hebnert, H. G. 1, p. 150 (dort wird c 6 noch berucksichtigt) und bei PMCCI. 
Foudameuti 2, p. 178. 

54) tielmert, H. G. 1, p. 144158. 

56) Wegen weiterer Untersuchungen uber die Normalschmtt* vgl. J.J.Baeyer, 
Das Messen auf der spharoidischen Erdoberflache, Berlin 1862 (Glcichung des 
Nonnalschnittes in seiner ELeue, Achsen, Exrentrizitat), lireuuker * ) (Winkel dee 



148 VI i,a. P. Piezetti. HOhere Geodftsie. 

12. Geodatische Linien. Unter der geodatischen Linie zwischen 
zwei Pnnkten A und B einer Fliiche versteht man die kiirzeste Ver- 
bindungslinie auf der Flache zwischen den beiden Punkten. Es 
seien nun J.(<p, o>), JS((jp -f d<p, <u -f- dcj) zwei unendlieh benach- 
barte Punkte auf dem Rotationsellipsoid, r der Radius des Parallel- 
kreises durch A, ferner ds die Lange und a das Azimut des Elementes 
AB in A. A us elementaren ftberlegungen der Differentialgeometrie 
folgt dann: 

(9 ) $d<p == cos a ds, rdca = sin a. ds, tg a = ^r- 

and. wenn raan mit r -f- rfr den Radius des Paralloikreises durch B 
bezeichnet: 



Aus den Differentialgleicbungen der geodatisehen Linien fiir eine be- 
liebige Rotation sflache, deren Achse als /-Aclise eines Cartesischen 
Koordinatensystems genommen wird, folgt: 

dy dx , 

x -j 2 - -j- == konst. 

a* * rfs 

und hieraus 

(11) r sin K = c (c Konstante), 

wie ein Satz von Clairaut^ ausspricht. 

Diflferentiiert man (1.1) und beachtet (10), so ergibt sich: 

/4 tvv da sin q> flin a . dot 

(12) -T- = - 2- - = SID q> -T- 

rf r ^ ds 

Die Relation rfa =- sin qp rfco gilt in Wirklichkeit fur eine geodatische 
Linie auf einer behebigen Placbe 57 ), wenn die astronomische Bedeutung 
von at, <f y a unrerandert bleibt. 

Eliminiert man a aus (9 ) und (11), so bekommt man: 

(13) rf 

(das Zeichen -j- gilt, wenn im ersten oder vierten Quadranten 
liegt). 



Sehnendreiecks, Vbertragong der goographischeti Koordinaten veraittelst dr 
Sohuon usw.). 

56) Nach Todhunter, History 1, 160 kouuut dieae Funnel zum erstenmai 
vor bei Clairaut, D^termin. gomtrique de 1* perpendiculairo a la miidinne 
(Mem. Paris 1738). Der Gedanke, die geod&tiBchen Linien bei den geodatisehen 
Rechmmgen zu benutzen, wurde auch von L. Euter aoagesprochen (Todkunter, 
History, chapt. XV). 

67) Vgl. Bessel M > 



13. tybertragung der geographischen Koordinaten und da Asimnte. 149 



Der Kriimmungsradius in einem Punkte einer geoditischen Lime 
folgt aus (2). Eliminiert man a aus (2) und (11), BO folgt: 



oder: Langs einer geodatisehen Linie andert sich ft. proportional 
mit p (Satz von Ch. Giulermann)**}. Man erhalt endlich: 



3 * sin 2 <p cos 
2 



1 *n*f> 

IS. ftbertragung der geographwohen Koordinaten und ctea 

Azimuts (Fig. 2). Gegeben aind die geographischen Koordinaten 

Vi ) t yon ^ nn das Azimut 

! und die Lange s der geo- 

datischen Linie Alt: getucht 

die geographischen Koordi 

naten 9, w von S and das 

A 7,iin nt der geodatischen Linie 

AH m 1! (mit werde das 

Aziniut der Verlangerung yon 

A B iiber H hi nans bezeiobnet; das so^enannte reziproke Azimut zu 

, ist a + 180*). Man lost da Problem, indem man (13) durch 

Reihenentwicklnng integriert. Die folgende Methode stammt in ihrer 

speziellen Form von JBess*? 59 ). Fiihrt man die durch die Glair Imogen: 

(14 ) tgi^-V l-^tg*, 




definierten redu%ierten Breiten eiii. so kaun man (11) die Qestalt 

geben: 

(15) cos u sin == cos u t sin t 

und aus (13) wird: 



(16) 




cos Mj/coa u cot*^ cos*, 



58) J. f. Math. 43 (1852), p. 284. 

59 Die Methode Terdankt man im wesentlichea Leyendre **, der den Ge- 
dsnken hatte. die geodatiacha Linie auf dem Ellipsoid mit der auf der Kugel 
zu vergleichen. F. W. Bessel gab fur die mimemche Rechnung bequeme Formelu 
(Abb. 3, p. 5). Hrlwert. H. 6. 1, p. 220 gibt die Formel (18 ) nach / uutgelwt. 

Knc.Tklop. d. raU WUieaich. VI 1. U 



150 VI i,3. P. Pietefti. Hahere GeodHsie. 

Man betrachtet nun auf einer Kugel vom Radius 1 das Dreieck 
P A B j dessen Seiten P A f P S resp. gleich -- #,, w sind 
und dessen Winkel A, /> mit den Winkeln A, If des ellipsoidischen 
Dreiecks ubereinstimmen (was wegen (15) moglich ist). Bezeichnet 
man den Winkel bei P mit W, die Seite A B mit y, so geben die 
Gleichungen (16), verglichen mit den entsprechenden Formeln fur die 
Kugel: 

(17) da = a y\^~~ & t ** u dy> 

(1 8) da yi *-&>** ud W. 
Set/.t man 

(19) cotg M = ctg MJ cos a, , 
so hat man 

(20) sin M e gin M! sin (JW -f y) cosec Jtf 

und erhalt. indem man hiermit cost! aus (17) eliminiert und mit Hilfe 
der Entwicklung (3) integriert: 

(2 M + y) 

-f ft* sin 4 y cos (4 M -f- 2 y) -f 
wo die /3 in folgender Weise zu berechnen sind. Man setz: 



- e eiuM 



A-i+i< 4+ (1 i 4 tg 4+.. 

y4. sse ttf^ -4- ti?* -4- - 

i <> "ft o n^ i "S .> T^ > 



und hat dann: 

fi. 



arc 



Der Winkel y in (18 ) wird daun in Sekunden erhalten. 

Die Formeln (14 ), (19), (19 ), (20 ), (18 ), (20), (14"), (15) dieneu 
zur Bestimmung von qp und . Zur Berechnung der Lange sub- 
stituieren wir naheruugsweise far (12) die folgeude Gleiehung: 

do **> dW Y cos w x sin u r (l ~ -- e 2 COS M] cty, 
die sich von (12) nur dureh Glieder der Ordnung c 8 unterscheidet 60 ). 
60) Der auf dieae Weise bei der Bcrechnung von CD begangene Fehler ist 



13. Obertragvmg der geograpbischen Koordinfttfn und dee Azimuts. 151 

Indem man dann in analoger Weise vrie vorher integriert und setzt: 
. F ^ 3iu "> I/ 3g * " p 

1 &* J *MY 4-w r 



* .. ( C08 g , . V , 

V** I / 



erhalt man: 

.., ^Bitl V. fiin a, , . a /ft m* i 

w - ra, = W r --- j I ^ y -I- fa sin y COB (2JV -f 



-f- /?, sin 2y cos (43f + 2y) H ---- } 

Den Winkel W erhalt man aus dem spharischeu Dreieck 
Bessd hat numerische Tabellen (ur die Logarithmeu von ft,, /3 t , /3 8 , 
/3 , /?/ gegeben, die nach den Argnmenten log tg E, log tg E fort- 
schreitcn 61 ). 

Da das Problem auf diese Weise auf die Auflosung eines spha- 
rischeD Dreiecks zuriickgefulirt ist ? wird cs zweckmaBig sein. .-inige 
der hierzu geeignetsten P^ormeln auzugeben. 

Die Ddamkresphen Gleichungen liofevn: 

Ji) siii ?LE 8 in co 



co. (45 -f f) co, ^" - cos ^ cos (46 4- 

- i A~n i *\ a W ft > /j-n i *i 

sm (4o 4- Y I sin t , ^= sm -^ sin (4o 4- g 

/*-o i M \ a W or. . /.. . . 4- y\ 

sin (4o -f J cos - == cos g * sin <45 -f ^ M 

Nmch <rM/8" 2 ) fiihrt man die Berechnung von , a, M^ un be- 
quemsten mit den Formeln HUB: 

tg s = cos j tg y, tg W tg a, sin .s sec (w t -j- *), 

tg i -. .in , sin y tg (u, -f s), sin T _ sin ( tg -|- sin , 

sin = tg i tg-y cos (a, -f s). w = MI -|_ _ tf , 

3= Oj -j- / t. 



kieim-r ai> ., e"/ und deshalb kleioer !H 0",<Mon(7 filr erne geodittiache lanie, 

OJ* 

die einm&i um die ^aoie Erd? hemiugebt (7 = - w <>euaure Entwieklungen 
siehe bei BMft:/ 6A ). 

01) Vgl. auch Jttrecfet"). 

62) UnterauchuugOD fiber Gegeatkude der hiibereo Geod&aie, CMttiugen 1844, 
p. 30 Werke 4, p. 269. Uooere Formeln uatrcfaeideo iicb in weaig von 
den ^7au/5&chen. weil das Aziuut andera gerecbnet wird. 

11* 



152 VI i, 3. P. Piuetli. Hohere Geodasie. 

Sind M I? u, W gegeben und sucht man a, ,, }>, so gebeu die 
Gleichungen: 



7 i-4- W M ~f- tt i y . a or, . If . u-{-H. 

in -jpiin * 2 f =8m cog 1~ , cos-^-sm - 1 - sm -j-sm 

y a. 4-a 

tin ~ co -*-~ =*= cos sin ^-, cos -~ cos 

" 



~ - -, -~ 

7 : "."- 




14. Fortaetnuag. Fall kleiner Bogen. Betraclrtet man q, a, a 
ais Funktionen des Bogenci s und entwickelt diese Funktionen nach 
Madaurin, so erhalt man mit Berflcksichtigung von (9), (10), (12): 



, 4- ~ co a, ^ tg 



* 

sio 2y coa 8 , r rpj cos t sin 2 a, (I -f- & tg 8 y,) -{--, 
PI *i 



.^ . t |^ * tg qp, sin a, co, 

1 JV, cos <jp, A r , * cos .-p, 



mm 
i I /~1 I tA 1. & \ 

-f- i-TjF-i sin . cos a, cos* a> -j- . 

1 * z-tvr 

Es sind dabei in dem Ausdruck t iir 9 und fiir o> Glieder unit 
und .v 4 , in dem von a Glieder mil s z vernuchlassigt; p,, 2V t sind die 
Werte von p, JV aus (1) fiir die Breite q> r **) 

Gaufl**) hat mit Hilfe der kouforraen Abbildung, die wir in 
Nr. 21 behandeln werden, Formeln fur die tTberti-agung der geo- 
graphischen Koordinaten abgeleitet ; die die mitttere Breite und das 
mUttert Azimut enthalten; au&erdem hat er noch eine direkte Ab- 
leitung derselben Formeln gegeben. 0. Sdtreiber***) hat die Gauft- 
chen Fonueln so abgeandert, daB alles indirekte Rechnen verniieden 
wird. 



03) Entwicklungen dieser Art sind von Legmdre gegebeu (Pri Mem. 

. pour 1787 (1789), p. 853). Legendrt berucksicbtigt Glieder mit e *, e***. 9 s . 
Die im Texte gegebeuen Entwickhingen sind genugend genau, so lauge a niciit 
100 km ubenteigt. Fur weitere Anntlherungen ?gl. Helmert, H. 0. 1, p. 298, 
wo die veruacblaasigten Glieder von der Ordnung e* 4 und ,s 8 ind, otler A V. Jet- 
ilama (Gnida al calcolo delle coordinate geodetiche, Torino 1891), der trlieder 
von der Ordnung <* 6 und * vernaohlasaigt. 

64) Vgl. Zitat in Fufiuote 62, U. Abt. 

64*} Recbuungavorachriften f. d. trig. Abt. d. Laudesanfnahme. Formelu 
und Tafeln zur Berechnung der geographiacben Koordinaten aus Jen Ricbtuugeu 
und Laugeii der Dreieckiseiten, Berlin 1878. 



15. Besiimmong der Lange nnd des A/imuts. 153 

hat das Problem dadureh gelost, dafi er die geodatische 
Linie B F durch B senkrecht zum Meridian von A konstruiert, das 
Dreieck BAF auf lost und die Breite von F berechnet. Zwei ein- 
fache Entwickelungen geben die Differenzen zwischen den Koordinaten 
von B und F. Die Andraesche Losung iat nicht wesentlich von 
der verse Lieden. die rechtwinklige geodatische Koordinaten benutxt 
(vgl. Nr. 23). 

Die Losung von K. G. J. Jacobi stiitzt sich auf elliptische Funk- 
tioneii 6 "). P. A. Hansen* 1 ) hat eine Methode angegeben, die sich 
von der des vorigen Paragraphen nur dadurch unterscheidet, dafi er 
als Anfangspunkt der Bogen auf dem Ellipsoid und der Kugel den 
Pwnkt wahlt, in dem die geodatische Linie AB einen Meridian recht- 
winklig schneidet. 

Die Different der Auimute etj nennt man gewohnlich 
Meridiankotwerycnt**). 

15. Bestimmnng der Lange und des Aiimuts ernes geodatiaohen 
Bogena aus den geographischen Koordinaten der Bndpunkte Das 
vorstehende Problem, das die Umkehrung der in den vorhergehenden 
Nummern behandelten Aufga^e 1st, lost man durch sukzessive An- 
naherungen. Es moge auf die folgenden Losungen hingewiesen sein: 

ffir Bogen von beliebiger Lange: 1. Umkehrung der Legendre- 
Methode 6 ^) (ISfr. 13); 2. Losung von Hansen ) (benutxt 



65) Vgl. Zitat in FuBnote 5<>, 2. cahier. 

66) E. Lutherj Astr. Nachr. 41 (1855), p. 2*09 und 42 (1866), p. 337; J. f. 
Math. 53 (1857), p. 34*; O. Winterhery, Antr. Nachr. 89 (1877), p. 108, 11H and 
91 (1878), p. 113. 

67) GeodiltiBcbe Untersuebungen. Leipzig 1865, Erster Abschnitt. Man Beh* 
auch wegen der Ubertragung der geographischen Eoordinaten die Losung von 
J. J. Baeyer" 6 \ der die (Jlcicliutig (13) transformiert, indwn er den Radius r 
des ParalleJkreises als Variabele eiiifiibrt, dann nach Potenzen von <!* ontwickelt, 
integriert und <p durcn snkzeasive A.unahenmg berochnet. 

68) In dieaem Sinne wird der Ausclruck gewohnlich in den Lehrbffchern 
gcbraucht; (Francoeur, Jordan, Pucci, Puissant uaw.). Gaufl legt ihm. einen 
anderen Sinn bei In der konformen Abbildung der Hannove^chen Landea- 
vennessung (vgl. Nr. 24) nennt er Meridiankonvergenz den Winkel, den der 
Meridian in B mit der Parallelen inacht, die man. in B zu der den Anfaujfs- 
meridian repraeeutierenden Geraden ziehen kann. Helmert (H. G. 1, p. 420) und 
Clarke (Geodesy, p. 272) brauchen den genannten Ausdruck nur in dem Falle, 
dafl die geodatische Linie AS den Meridian in A rechtvdnklig sohneidet. Die 
bnchranktere Definition stimmt mit derjenigen von Gauft uberein, wenn man die 
Abplattung der Erde vernachlassigt. Vgl. Jordan, Handbuch der Vermessiing*- 
kuude 3, p. 46465. 

69) Helmert, H. G. 1, p. 247. 



154 VI i, 3. P. Pitzetti. Hohere Geodaaie. 

die Reziehung zwischen der geodatischen Linie und den Normal- 
schnitten); 3. Benutzung der elliptischen Funktionen 71 ); 

far Bogen von begrenzter Liinge: 1. Losuiig auf Gvund der kou- 
formen Abbildung von Gun ft (vgl. Nr. 21); 2. Umkebnmg der Ent- 
wicklungen von Lcgetulre (Nr. 14), indem als Anfangtspnnkt der 
Mittelpunkt des Bogens angenommen wird 72 ); 3. Losung init Hilfe des 
Theorems von J. Da/% 78 ). Durch Anwendnng des genannten Theorems 
und unter Benutzung der Formel (27) der iiachsten Nummer kann 
man die Differenz t berechnen. Mit Hilfe der Formel 

tl , 4- | * W l i. * + "l 

tg - 1 COtg -3-J. * tg - 1 tg _> , 



die man aus (15) ableitet, be kn mint man dann K und ,. 1st , be- 
kannt ; so findet man nacb Nr. 18 ohne Schwierigkeit y und s; 
4. Formeln von Ch. M. Schols u \ die die astronoinischen Azimute und 
die Sehnen benutzen; 5. Formeln von W. Jordan 1 **). Wie bei der 
Umkehrung der Legendre itussdachen Methode wird zunachst die in 
Nr. 13 erwahnte Hilfskugel benutzt. Dann aber entwickelt Jordan 
aus (18) den spharischen Laugenunterschied W in eine Reihe naeh 
Foten/.en von o und ebenso aus (17) y in eiiie Reihe nach Potenzen 

W i 

von s. Durch EinfQhrung der Mittelbreite erhiilt man und ~ als 

Funktionen der ellipsoidischen Langen- und Breitenunterscbiede. In 
dem man nun zunachst W berechuet (das sich bei einem Breiten- 
und Langenunterschied von je 10 unter Beschrankung auf die Glieder 
bis zur 3. Ordnnrig noch bis auf etwa 0,001 genau ergibt), kann man 
dann das Kugeldreieck AP1B auflosen. Die Winkel A und S siud 
gleich den ellipsoidiachen Aziinuten; aus y wird s bercchnet; (>. Formeln 
von Uelmert 1 *), die aus denen von Gaufi 98 ) abgeleitet sind, in denen 
die mittlere Breite und das mittlere Aziinut auftreteu. Im (rO4/3schen 
Nachlasse haben sich allgeniein fiir Rotatiousflaehen geltende Formeln 
gefunden, aus denen sich die Hd-merteu\\e Umkehrnng sofort ergibt 7 **). 

70) Vgl Zitat in Fufinote 67, 2. Abschnitt. 

71) G. A Halphcn, Fonctions clliptiquea, 2* 4d., Paris 1888, p. 286; vgl. 
auch G Cwcato, Venet. 1st. Atti (7) 8 (1898), p. 1087. 

72) / Guarducci, Sopra due problem! di trigoaotnetria sferoidia, Torino 
1882; Pucci, Fondamenti 2, p. 168. 

73) H. Brunt, Astr. Nachr. 97 (1880), p. 7S; Pucci, Fondamenti 8, p. 177. 
74 t Ch. M. Schols, Arch, neerland. 17 (1882), p. 101; Helmert, Zeitochr. f. 

Vermess. 11 (1882), p. 555 und 689; Th. AlbrecM, Astr. Nachr. 96 (1880), p. 209. 
74 a ) Zeitwhr. f. Verrness. 12 (1888), p. 65. 
75) Lotabweichungen, Heft 1, Berlin 1880. 
7ft ) Werke y, p. 89. 



16. Geodatiflche Polarkoordinaten. 155 

Die Hclmert&chen Formeln mogen schliefilich angegebeu werden. 
da sie eine bequeme Losung des Problems liefern. 

Wir bezeichnen das reziproke Azimnt von t mit a^, so 
a, K 180. Setzt man danu: 

t = , . 180, 2* l(t + t 

w y i 4. ? / ,r 

- 



n Z cos 5, W - ]/ 1 <* sin* B, 

so bekomnit man (iudem man als Einheit die 7. Dezimale des Loga- 
rithmus nimmt) 

log t = log ( M sec |) 4. [3j* 4- [6 1*, 
log (a sin T) = log fnfl j) fcm* 4- [7}6 S , 
log (s cos T) log (ft [21 cos 4) + [o] f -f 
Die Koeffizienten [ | haben die tblgenden Wert: 






[6] - k- cos ^ [7] - ft - 

l] ^r { COB 2 /? 4- e* sin* B(4 - 3 sin* B) } , 

log k 4,6287228 10. 

16. O eodatisohe Polarkoordinatan. Wenn man die Pnnkte 
einer Flilche auf ein System von orfchogonalea Koordinaten a, a be- 
zieht und weun die Liuieri = konst. geodatische Linieii siud, so 
kann man dem Linienelement die Gostalt geben: 



(21 ) ds == Vdti- 4- G <lv* . 

Dor Winkel 0, deu das Element ds mit der Lime = Tconst., 
naturlicb im Sinue wachsender a, bildet, ist durch die beiden Relations 
definiert: 

/" \ ft d > n t , r 7T <^ a 

(21 ) cos it = -j- , sia = V ^ -j- 

(1.9 rfl 

Der geodatische Bogen s, der voii einem festen Punkte zu einem 
beliebigen Punkte mit den Koordiuateti (S, geht, genilgt deu partiellen 
DifiPerentialgleicbuugen : 

/,?* 3s ,. ^^j 

sin ^ = = 3- , cos $ = -3 . </# == 3 aof. 

1 <; ^ <7 



156 VI i. 8. P. PtaMftt. Hfihcre OeodSaie. 

Dor Koeffifcient G ist mit der absoluten Kriimnnmg If der Flache 
im Punkte (, fl) durch die Gleichung verbvmden 7 *): 



(23) . 

In der Geodasie ist speziell die Benntzung der yeodatisdtsn 
PnlarbwrJi-natm von Vorteil. Nennt man den Winkel, den eioe 
von dem fasten Puukte ausgehende geodatisehe Linie OA mit eiuer 
testen Tlichtimg in der Tangentialebene vou madit, und tf den 
Bogen OA. o ergibt sicb, wenu man beachtet, daB fiir -= aiich 

uud -^ 1 ist r duntb Eatwickluwg nach Matbumn, in- 
man "/G ls Furiktion von betrachtct, uud (23) beachtet: 



/S|>ezie?) fur das Rotationseliipsoid wird [k = ^| : 

ff 3 . <*g 4 ^m2,coB 

"^A; " A .-Vofi-O^ 



wo <JP O die Breite von 

Hdmgrt 1 ^) hat f2,H) intogriert mit Vertutchluxsigung von Grofien 
der Ordnong <*\ er erlialt*. 



/ntTA 

(25) 



yro 
e l = e a sin 2<^ cos und e 9 2 > (sin* <p cos 1 <p cos 8 a). 

ittigt man Grofieo von der Ordnung M ) , so hat man: 




E. B. Chrittnffel) hat ]/G die ,,reduzierte Lange" des Bogen 6 
getiautit und gexeigt, daft dicse Grude uugeindert bleibt, wenu man 
die Endpunkto 0, A des Bogens vftrtauscht, indem man A als Aufsnga- 
purkt. als ndpunkt annimint 



76) C F. ^Tati^DiaquiiiitiooeB generaleH circa uprficiefl cnrvaa, GOttingon 
18J8, Art. 19 Wrke 4, p. 217. 

77) H. <?. 1, p. 278. 

78) Cter di allgmojac Theorie des geodatisebeu Dreiecke, B0rlin Ahh. 18W 



17. Vergleiclmng der geodatischen Linie mit einem Nonnalschnitt. 157 

17. Vergleiohung der geod&tiechen Linie mit einem Normal- 
schnitt. Es sei A ein Flfichenpunkt, 7?, uml 72, die HauptkriiniinnngB- 
radien in A ivnd AJ$ eiu geodati seller Bogcn von der Lange tf, der in A 
den Winkel a mit dem zuno Radian jR, gehorigen Nonnalschnitt bildet. 
1st dfcnn JT, y, e ein rechiwinkliges Koordinatensy stein, dessen x- und 
y Achse mit den Haupttftngenten in A zusammeofallen, so erhiilr man 
fvir die Koordiiiaiea x, y, & des Punktes B, wenu man sie als Funk- 
tionen von betrachtet, durch Entwicklung nach 

a 9 cos a 

x - a cos 1t B -j , 

**i * 



wo h., der Krummungsradins der geodatischen Liaie in A ist. Nennt 
man den Winkel, den der Normalschnitt AB init der z-Achse mai-ht, 
A (in deinselben Si ime wie gezahlt) und beach tet, dfi dieser "Winkel 
durch die Relation y = x tg A definiert ist, so folgt aus (26) bis auf 
Glieder der Ortlunng tf 4 : 

i 1 



ein angenaberter Ausdruck ffir die Abweichung der gcodtitischen Linie 
ini Punkte A von dem Normal pchnikl AB. Fiir das Rotationsellipsoid 
ergibt sich speziell: 

? s ff* 
(27) A or = , cos 1 <p sin 2 A, 



roan die GHeder *<y 2 und < 8 e* veniachlassigt. 
Die starkste lineare Abweichung zwiscben Ijeiden Linien ist 
annabernd : 

f28) <J = TT- cos* r sin 2 A. 

isysa- 

Die Langendifferenz zwischen den Bogen s, n des Normalsehnittes 
und der geodatischen Linie findet man durch Integration von (21), 



79) Dicse Entwicklungen gehen unter dem Namen von .7". Weinyarten, der tie 
1862 in einer Note zu einer Abhandlung von Baeyer 6 *) entwickelt hat. Dieselben 
Entwicklnngen fiudet man aber echon in einer JTole TOU Y. A. Puisevx xu: 
G. Monge, Application de I analyse a la geometrie, Ausgabe von J. I^ouoiUe, 
Man findet sie anch bei E. F. Minding, J. f. Math. 44 (1852), p. 06 
waren eie schon C. F. Gauft bekannt, Werke 9, p. 84 Wegen weiturer Glieder 
der Reiheneutwicklung (20) vgl. Weingarten. 



158 VI i, 8. P. Pizzctti. Hohere Geodiisie. 

indem man dee durch do vermitteist (27) ausdruckt und fur l/7r 
den angenaherten Wert (25) set/t; man erhalt: 

e*<s* 
(29) s d =*= jJQ^ cos 4 ijp sin 2 A cos s 4 + 

Setzt man 

tf = 100 km in (27), so folgt A < 0",014, 

<y = 20 km in (28), o folgt d < 0,000042 m, s <s < 0,0024 tO~* m , 
1000 km in (29), so folgt s tf < 0,000075 in. 

Die Different (27) zwischen dein Azimut des Normalschnitts and 
der geodatischen Linie ist im allgnmeinen gegeniiber den Beobuchtung* 
fehiern zu vernachlassigen; die Abweichung d* und die Differenz 8 tf 
sind bei direkten Messungen immw zu vernachlassigen. 

Der Ausdruck von A ffir Bogen vou beliebiger Lange ist 
schon von Bessd t{1 } angegeben, der von seiner in Nr. 13 gegebeaen 
spiiariscben Darfltellung und von dein in Nr. 1 1 angefiibrten Ausdruck 
fur das Azimut des Normalschnitts ausgekt. Man erhiilt bis auf 
Glieder der Ordnung c 4 : 

e* / t * s\ o , e s / , * s\ . 
A *== II cotg j cos- M, sm 2a ( tg j sin 2, sin , 

wo U L die reduzierte Breite von A ist. 

0. (7. Andrae* 1 ) hat zum Vergleich der geodatischen Linie mit 
dem Normalschnitt auch von Reihenentwicklungen der Cartesischen 
Koordinaten Gebrauch gemacht, hat aber als j^Achse die Tangente 
an die geodatieche Linie in A genorninen. 

Ea folgt aus den Bechnungen von Andrac, duli mit derselbeu 
AnuJilii i-img, mit der (27) gilt, der Winkel, den die geodatische Linie 
A tf im hmk te A mit dem Normalnchnitt A B bildet, die Halt te von 
demjenigen ist, den sie mit dem reziprnkeii Normalschnitt JiA bildet. 

18. Das geod&tische Dreieok. Der Ausdruck (24) fiir \-<i (Nr.16) 
zeigt, dafi ein begrenztes Stuck R einer Iliiche urn eiueu I uukt 
herum, so lange die Glieder von der Ordnuug a 4 gegenUtar e veniitch- 
liissigt wet-den kouneu, als ein Stuck einer Kugel aufgfafit werden 
kann, deren Radius gieich dem geometrischen Mittel \ H l tt t der 
Hauptkritmnmngsradien in ist. Fiir das Erdellipsoid kano mmi zu 
dem Gebiet / die Umgegeud von (J bis /u einer Entfernung von 

80) Abhaiidlgn. 3, p. 1 und vsi ; ibe auch Bwyer**) jKorrektiou in Attr. 
Nacbr. (186S), p. 183]. 

81) Ygl. Andrae**), 1. cahier, p. 6ff.; liehe aocb J. De tierardini*, Toriuo 
Mem. (2) 36 (1886;, p. 15 . 



18. Das geodfttische Dreieck. 159 

200 km rechnen. da der prozentuale Fehler von (25), hei der an- 

e fi s 1 

gegebenen Vernachlassigung, kleiner als -r-y der ^ , fiirtf = 200 km 

1st. Innerkalb vines solctten Gebictes kann deshalb ein (jfnddtisc.hes 
Dreieck nach den Formeln der spharischen Trigonometric berechnei 
werden, indem man als Kugdradim das geotmtrische Mittd der Hanpt- 
kriimmmifisradien im Zentrum des Gdrietes li nimmt oder allgemeiner 
in eincm Pnnkte. der von den Ecken des Drciecks ni M tnehr als 200 km 
entfernt ist. 

Wir kominen jetzt zu weiteren Anniiherungen. 

Oie verschiedenen Methoden zur nJibcrnngsweisen Auflosung eines 
geodatischen Dreiecks lassen sich zum groBten Teil aus der schon er- 
wahnten Abhandlung von Gate/8 76 ) ableiten. Gaufi 9 *) nimmt ein 
System rechtwinkliger georliitischer Koordinaten (tf, K) an; die Linie 
o = und die Linien = konst. sind geodatische, der Parameter a 
mifit den Bogen der Liuie 6 = von einem willkttrlichen Anfangs- 
punkte aus. Betrachtet man ein rechtwiukliges geodatisches Dreieck. 
das die Punkte (0, 0) (0, a) (tf, a) zu Ecken und tf, s, a zu gegen- 
iiberliegeiiden Seiten hat und nennt den Winkel (*, 0) 9, so entwickolt 
Gnafj die G roBen s cos 0, s sin 0, s 9 in Reilum nach Potenzen von <y 
und a, so dufi sie den Ditferentialgleichungen: 

/or^\ n l ds 1 - a 1 a* s n (^ ^\ 8 , /^J\ 3 

(30) s cos = -5^- , 5 sju 6 B -=- x , G [G - -*-) 4- (5-) , 
v " 2 SO 2|/6 l ^ a \ d \9*r- 

die aus (^2) foJgen, geuflgen. Nimmt man |/6r in eine Reihe: 
j/G-1 -f /X + />*+ ...4- %< |i4. i(7l tf+...4.A^+ ... 

entwickelt an, so lassen sich die Eutwicklungskoeffizienten von 
s cos 0, s sin und s* durch die f, y, It, - - ausdrucken. Gaufi be- 
trachtet dann ein beliebiges geodatisches Dreieck als Sumine oder 
Diiferenz zweier rechtwinkliger Dreiecke und bestiramt die Differenzen 
zwischen den Winkeln A, B, C dieses Dreiecks und den Winkeln 
A*, B*, C* ernes ebenen Dreiecks mit denselbeji Seiten; diese Diffe 
renzen ergebeii sich als Funktionen der f, y, h, -. Elirainieii mau 
drei dieser Koeffizienten durch Einfuhruug der Kriiinmungen k a , k kf k c 
in den drei Ecken, die init dom Ausdruck von YG durch (23) zu- 
sammenhangen, und vernachlassigt kleiue ftriiBen vierter Ordnung in 
bezug auf die Seiten, so ergibt sich: 

(31) A- ,|- 



82) Die von una uiit , , a, 0, G bezeichneten GrOBen aennt G aw/8 



* 



160 VI i,8. P.Pitssetti. HChere tfeodtteie. 

und analoge Ausdriicke fflr B *, C C*; S ist der Inhalt des 
ebenen Dreiecks. 

Hansen**} hat die Methode von Ganft weiter entwickelt, indem 
er sich geodatiseher Polarkoordinaten bediente. Er erhalt die Diffe- 
renzen zwischen den Winkeln des geodatiscben Dreiecks und denen 
des spharischen Dreiecks mit denselben Seiteii bis avf Glieder rierter 
Ordnttng eiiischlieBlich und wendet die Resultate vermittelst einer 
sehr komplizierten Itechnung auf das Rotationseilipsoid an. indem er 
Qlieder yon der Ordnnng e*s 6 , *s* vernachlassigt. Aber die Entwick- 
lungen Hansens enthalten GroBen, die von der ftestalt z <f>(x,y) 
der Flachengleichnng in Oartesiscben Koordinateu abhangen. vras die 
Bechnung unnotig kompiiKiert, da die Beziebungeii xwiRchen den sechs 
Stficken eines geodatisclien Dreiecks von der speziellen Gestalt, die 
di Flache durcb Verbiegnng annehmeu kann. unabkangig sind und 
nur von der Form des Linieneleineufa der Flache abhangen. 

Unter Vermeidung dieser Koniplikation hat /. Weingarten**) in ein- 
facher Weise fur eine beliebige Flache und bis auf Glieder vierter 
Orduung einschliefilich die Differenzen A A* } B B* f C C* 
ermittelt, indem er die Kn immungen und die Werte des DifferentiMl- 
parameters urster Ordnuny von It (Infiektent) in den drei cken ein- 
fiihrt. Er bat seine Formeln auch auf dae iioUitiouseilipsoid mit 
deraelben Annahenmg wie Hansnn^) angewandt. 

Auf einfachere Weise erhalt man den Vergleich zwischen den 
Winkeln des geodatischen Dreiecks und denen eiues ebenen Dreiecks 
mit denselben Seiten, wenu man Polarkoordinaten benutzt und nacb 
6r- Darboux**) die Differentialgleichung: 

82) O gj)% (ff)= 6 

nacb der Methode der nnbestimmten Koeffixieuteu zu integrieren ver- 
sucht, l)arbvur betrachtet das Dreieck, das den Koordinatenanfaugs- 
punkt und die Punkte (o , cr ) (0, i zu Ecken uud ,<, a, e zu Seitn 
bat und setzt auf Grand einfacber geometrischer Uberlegungen: 

(33) s* -e <y* 4- a f 20 cos (a a ) tf 2 5 s sin 2 ( ) P, 
wo P eine Entwicklung nach Potenzen von tf tt; a \*t, deren Koeffi- 



83) Vgl. Zitat in Funutt> 67, III. Abscbnitt. 

84) Anii. Nachr. 73 (1869), p. 66; 75 (1870), p. 91. 

96) Kinen unahtifichen und iiumeriflchen Vergleich der Formelu von 
und Weingartt-n findet man bei Hdtnert, H. 6. 1, p. 375 S86. 

86) Le^one sur la th^orie generate de 8urtac8. Paris 1890, 3, livre VI, 
chap. VIII 



19. Auflosung des geodiitisehon Dreiecks. 161 

zienten als Funktionen von , KQ vermittelst (32) zu bestimtnen sind. 
Fftr G fuhrt man die Entwicklung (24) ein. Naeh Bestimmung der 
ersten drei Grlieder von P und darch Vergleich von (33) rait dera 
Kofiinussatz: s* = tf g 2 -f~ <* 9 *2o6 9 COB A* der cbenen Trigonometrie 
findet man leicht die Differenz K A* oder Formel (31) von 
Gaufi. Darbottx treibt dann die Annaherung bis zu den OroBen 
vierter Ordnung einschliefilich, indem er die Krummungen in den 
Seitenmitten einfiihrt. 

Nennt man die Winkel des spharischen Dreiecks, das die gleichen 
Seiten wie das geodatische hat und auf einer Kugel mit dem 

Radius =. liegt ; wo k = (* + k b H- k e ), A , B , C , so hat man 

yk 

mit derselben Genanigkeit wie in (31): 



nnd analog B B , G C . Bftschrankt man sich auf deu speziellen 
Fall des Rotationsellipsoifls, so hat Bessel 81 ) ohne Beweis die Aus- 
driicke fiir A A , usw. bis auf (xlieder 2 ^ 4 oder mifc entsprechender 
Annaherung wie (34) gegeben. 

Helwert 8 *} hat eine vollstiindige Eniwicklung der spharoidischen 
Trigonometrie fiir den Fall des Rotationsellipsoides auf Orund der 
Differentialformeln von E. B. Christoffel* 9 ) gegeben, welche die unendlich 
kleinen Anderungen der Stiicke eines geodatischen Dreiecks bei einer 
infinitesimalen Verlangerung oder Drehung einer Seite lietern. Fur 
YG set^t Kdmwt die Entwicklung (25"). Die flelmerfache Methode 
unterscheidet sich in ihren Grundlagen nicht von dur Han^enschen, 
aber sie bietet im Vergleich mit dieser den Vorteil grofierer Einfach- 
heit und iiberdies enthalten die in dem Ausdruck fiir }/Cr vernach- 
lassigten Terrae samtlich e 2 als Faktor und sind deshalb sehr klein, 
auch wenn die Dreiecksseiten ziemlich lang Bind 90 ). 

19. Auflosung des geodatischen Dreiecks durch Reduction auf 
das ebene Dreieck. Sph aroidiaoher Exxefi. Legendre* 1 ) verdankt 
man die Idee, ?.ur Berechnung des spharischen Dreiecks das ebene 

87) Astr. Nachr 1 -,1888), p. 86 = Abb. 3, p. 8 

88) H. G. 1, Kap. VIII. 

89) Cber die allgemeine Theorie des geodat. -Dreiecka, Berlin Abb. 18S. 

90) Cber das Problem der geudiltischen Dreiecke vgl. auch: H. James and 
A. E. Clarke 6 *), p. 240ff. ; J. /. Bafyer, Astr. Nachr. 61 (1864), p. 225; Helmert, 
Zeitflcbr. f. Vermess. 18 (1889), p. 257. 

91) Paris M&n. Acad. pour 1787 (1789), p. $5-2 oder auch Delambre **), 
Note HI. 



162 VI i, 3. P. Piztctti HSbcre Geodaaie. 

Dreieck mit denselben Seiten zu benutzen. IjJr hat bewieecn, daB bis 
auf Grb Beu vierter Ordnuiig die Differenzen A A*, usw. (A , 7? , C r 
spharische, A*, *, C* ebene Wiiikftl) durcb die Formeln: 

(36) A A* - B - 7?* C C* ^ 

gegeben sind, wo $ der Inbalt des ebenen Dreiecks und R der Kugel- 
radius ist. Treibt man die Annaberung weiter, so erhalt man bis auf 
GJieder secbster Orduung: 

s 



und analog fur # *, C C*. Hierau* und wit Hilfe von (34) 
erbalt man bis auf Giieder mit 5* und e 2 * 4 , wenn 



gesetzt wird w ): 
(36) A-A - 

Diese Anniiherung geiiugt in praxi immer. 

Moistens ist es sogar sebon ausreicbend. das geodatische Dreieck 

<lurch eiii sphariscbes zn ersetzen, indem man als KugoJ radius ^ 

annimmt und vom spbariscben Dreieck zum ebenen mit Uilfe der 
eiufacbeu Formeln (35) ubergebt, Man vemachlassigt daun in den 
Ausdriickeu fiir die Wiiikel Glieder mit s 4 und *$*, was bei Seiten 
unter 127 km Laiige nicbt mebr als ,0(X)1 bezw. 0",0005 ausmacht 93 ). 
Mit dieser Geuauigkeit wird der splaroidische Exzefi 

A = A -f K 4- C 180 

des geodatiscben Dreieckg in Sekunden durch die Formvl: 

A ks 

** ais - TT> 

rc 1 
gegeben und mau bat: 

A *- A* *= B - B* C C* * . 

Wir woilen die durcb diese einfachen Formelu erhalteflt An- 
uaherang als iiblicke Annahentng hezeicbnen. Mit derseiben Genauig- 

keit kauu man t flr k den Wert ^ tier Kriimmung unter der Breite <p 9 



92) Bis auf die Bexeichnuiig stimmen diese Augdriicke mit Hetmert. ii. 0. 1, 
p. 369, Formel (6) iibcrein. 

93) Helmert, H G 1. p M a si. 



20. Sebnen uad Normalschnitt* 163 

des mitfteren Parallel* 4 ) des Dreiecks nebmen. Den ExzeB A 
kann man durch folgende Formeln bereclinen: 

* S b-csinA* _ c* sin ,4* sin B * 

*" fAafcl" = ~ 89 A" arc 1" 2 9 2V sin (J* 4- B*) arc 1" 



c* rin ^ sin (vt* -f- C*) _ y> (p ) (p 6) (p - c) 
C* arc 1" pJVTarcl" 



o j_ 5 _i_ e 
wo p = ist. Man andert den Grad der Annaherung nicht, 

wenc man in diesen Ausdriicken A*, B*, C* dnrch A, B, C ersetzt. 
Soil A mit derjenigen Genauigkeit berechnet werden, die (36) ent- 
sprieht, so ist zu setzen: 

Sk /- . a* -4- 6* 4- c- ,\ 
A r. I 1 rfr : K I . 

arcl \ 24 / 

20. Sehnen und Normalsohnitte. Sowohl bei der tjbertragung 
der Koordiuaten und d*s Azimuts wie bei der Autlosmig der geoda 
tischen Dreiecke iat die Benutzung der geodntiscben Linien natfirlicb 
uicht unumganglich notwendig. Mnn kann aucb die Sehnen oder 
Normalschnitte benutzen. So lost Delambr<: n ) das Problem der Uber- 
traguug der geograpbischen Koordinaten, wenn die Sehne uud das 
astronomische Aziinut (oder Azimut des Normalschnitts) gegeben sind. 
C Brcmiker**) lost dasselbe Problem rait grofierer Annaherung and be- 
hundelt auch die Aufgabe ; die Lange der Sehne und das astrouomische 
A/.imut zu hestimmen, wenu die geographischen Koordinaten der Gud- 
punkte gegeben sind. Wir haben in Nr. 11 die auf dies Problem 
beztiglichen Formeln von Helmert gegeben. Bremtf&r gibt auch Me- 
thodeu zur Berechnung der Dreiecke mit Hilfe der Sehnendreieck^, 
deren Winkel er aus deu Horizontalwinkeln berechuet. Helmeri* > hat 
beuierkt. daB man bequem die Sehnm benutzen kann, obne die Winkel 
zwischen den Sehnen in die Kechnung einzufiihren, da zwLschen den 
Sehneu a, b , c uud den Horizontalwinkoln einfache Reiationeu von 



94) VVeun die Seiten nichi linger aU 120 km siud, so hat ein Fchler von 
Einheiteu der lunt teu Stelle det> Logarithmus auf A keinen gro&eren EiuSnfi 

ais 0",OU16. Andereneita itt die Auderung von log ^ nicht groBer ala 0",00011, 

Qj\ 

weun tp ich urn 1 iindert. Es geniigt deshalb, die Mittelbreite bis auf 10 genau 

zu b*rechiien, aiu in --- eicher keiueu grOBeren Febler ala 0",0005 zu erhalten. 

B 

96) Vgl Zit&t iii 1 uBu 48, p. 77 f. 
96) V 1. /itat in PuBu. 46, 6 u. f. 

U7) H. G. 1, p. 105, 190. Wegen der Cbertragung der geographiachen 
Koordinaten ituter Bnutzung der Sehnen vgl. ibid., p. 14); s interessieren be- 
die Formeln t iir den Fall kleiner Entfernnngeu 



164 VI 1,3. P. Piztetti, Hohere GeodaUie. 

geniigender Annaherung bestehen. Es verdient in dieser Beziehung filr 
den Fall eines ipharischen Dreiecks die Sinusformel von J. A. Gruncrt *) 
erwahnt zu werdeu, die beziiglich der Seiten bis auf Glieder vierter 
Ordnung aussehiieBlich genaa ist: 

n : b :c = sin (A -- j-) : sin (S -- J : sin (C -- ) 

Hehnert 9 *) hat erne analogs Formel fur das Rolationsellipsoid 
aufgestellt, indem er auch noch die kleinen Grofien vierter Ordnung 
und die Exzentmitiit e bertieksichtigte. 

Berechuungen aus der spharoidischeu Trigonometrie in ft Hilfe 
der astronomischen Azimute und der Normalschnitte fmdet man bei 
Jamas und Clarke 10 ). Die Normalschnitte ha ben indes den Nachteil, 
filr jedcs Punktpaar doppelt vorhanden zu sein und weniger einfache 
Rechnungen zu liefern als die geodatischen Linien. 

21. Roduktion ellipsoidischer Figure a auf spharische dnrch 
konforme Abbildung. flan ft 101 ) hat von den TIauptproblemen der 
hoheren Oeodasie eine Anfioaung gegeben, die sich auf eiue konforme 
Abbildnng des Rotationsellipsoids auf die Kugel stiitzt. Die Parallel- 
kreise und Meridiane des Ellipsoids entsprecheu den Parallelkreisen 
und Meridianen auf der Kugel nach den Formeln: 

ii == a <D 



V , /. V\ /1-f C08t \ . 7 v , . 

tgT-H^T) (i-ecoB.) <>* Konstonte), 
o ist die Lange, v das Komplement der Breite r* y>\ fttr einen 

Ellipsoidpunkt ; J2 ; V sind die analogen GroBen fiir den entoprechenden 
Kugelpunki Der lineare Modul odev das Verhaltnis zwischen einem 
Linienelement auf der Kugel und dem eutsprechenden auf dem 

Ellipsoid ist: 

/nQ\ -R sin V(l " cos* v) 

(OO) >M = . 

a Bin r 

wenn K den Kugelradius und a den Aquatorradius des Ellipsoids 
bezeichuet. Die GroBen R, a, k sind so zu bestimmen, daB auf einem 
ausgewahlten Parallel mit <ler Breite P (Normalbreite) 



98) Aicb. Math. Fhya. 26 (1866), p. 197; beziiglich dee Sehnendreiecks vgl. 
auch A Nagel, Zeitschr. Math. Phys. 1 (I860), p. 267. 
y) H 6. 1, p. 197. 

100) Ygl. Zitat in Fufin 62, p. 232 f 

101) Vgl. Zitat iu FnQn. 62. In dieser Hinsicht siehe auch: K Hammer, 
Zeitachr. f. Yermosg. 20 (1881), p. 609 a. 641. 



21. Reduktiou ellipaoidiachei Figurea durch konforme Abbildung. 165 



Bezeichnet man die P entsprecheude sphari&che Breite mit Q, so 
la u ten die Bedingungen: 

a cos P /-k -n 

jK =*B - ~ a sin = sin P, 

u cos # J/l e* sin* P 




Aus den ersten dreien ergibt sich durch Elimination von a, P: 

a /I e* 



/ia " 1 >8inP 

d. h. der Kugelradius ist dua geometrische Mittel der Hauptkrumnmngs- 
radien unter der Breite P. Wenn man eine ellipsoidische Zone be- 
trachtet, die nur wenig von dem Parallel abweicbt, iind mit s die 
groBte Entfernung eines Zonenpunktes vom Parallel bezeicbuet, so 
konnen die Ellipsoidbogen innerhalb jenes Gebietes den entsprechen- 
den auf der Kugel mit einem relativen Pehler von der Ordnung 

* 
c 2 , gleichgesetzt werden. In dieser Annaherimg konnen daher die 

ellipsoidischen Dreiecke als spharische aufgelost werden, was die Re- 
sultate der Nr. 18 bestatigt. 

Zur tfbertragung der geographischen Koordinaten von einem 
Punkte A(v } w) nach eiuem anderen B(v t o ) bei gegebeneni geoda- 
tischem Bogen AB s und Azimut t in A, verfahrt man so: 

t) Man berechnet auf? (37) das dem ellipsoidischen v entsprechende 
spharische F; 

( \ 
F, pj und 

dem eingeschlossenen Winkel t auf und berechnet dadurch das v ent- 
sprechende F und die spharische Liingeudifferenz Q ; 

f\ 

3) aus (37) leitet man v und <u ab. Bei dem Uber- 

gang von den ellipsoidischen Breiten zu den spharischen ist es /weck- 
maBig, an Stelle von (37) Reihenentwicklungen zu benutzen. Ist 
P -}- P die Breite eines Ellipsoidpunktes und Q -\~ q die Breite des 
entaprechenden Kugelpuiiktes, so findet man durch Entwicklung von (37): 



2 C08*0 

Durch Umkehrung der Reihe ergibt sioh: 

Encyklop. d. math. Wuscmcb. VI 1. 



166 VI i,3. P. Pizzctti. HShcre Geodasie. 



wenn fur den Augenblick geset/t wird: 

5 sin P, c cos P, h **~ yT~ e* } e sin P = sin 0. 

fV<m/tf hat die Anuiiherung Boch weiter getrieben. Will man 

s* 
GroBen von der Ordnung e $ , wo s den Bogen bedeutet, beriick- 

sich tiger. BO kann der Bogen A C l? auf der Kugel, der dein geo- 
dafcischen Bogen A 7? auf dem Ellipsoid entspricht, iiicht mit dem 
Bogen des groflten Kreises AC 1? idenfciftziert werden, und an den 
Azimuteu der geodatischen Linie AB inuB man gewisse Korrektionen 
il> lf i t anbringcu, uin die A/imute #, , </ des Bogens A C"& abzu- 
leiten. Setzt man: 

, , , <7 1 d log MI 1 d login 

arc (AA--S, * - ^ ^ - - ^ {$-$ , 

so ergibt sich 10 *): 

8 

t l ^ ^ =- . ( A ? sin s 4- 2*j sin ,), 

o 

^ V == ^ 2 JQ ( *j sin , -f 2 A, SID ,), 

bis auf GroBen der Ordnung e*a*. Mit derselben Annaherung erhalt 
man fiir das Verbal tnis von S zum Bogen S =* A Cf ff 4 es groBfcen 
Kreises: 

L 

I, 

/TJ, w t sind die Werie von k, m iin Punkte A, A - 8 , w s im Punkte B. 
Weitergeheude Formeln siud von 0. Schreiber entwickelt worden 10211 ). 

22. Bechtwinklige geodatisohe oder Soldnersohe Koordinaten 103 ). 
Von besonderem luteresse sowohl fiir theoretische Zwecke wie fiir die 
praktische Geodasie ist die Bestimmung der Ellipsoidpnukte (lurch das 



102) Rei dem Vergleich dieser FortuelQ mit denen vou Gauft beachte man, 
<UC Gaufi dae Ay.imut von Siiden statt von Nordeu aue rechuet. J>ie von Gauft 

S 

mit L bezeichnete Grotte iut bei une 

a 

102 ) Die kon forme Doppelprqjektion usw., Berlin 1897. 

103) In rier Karte von Fraukreich, die von C. F. Cassini de Thury und aftinem 
Sobne anagetuhrt ist (vo)lendet 1816), Hind die ebeuen rechtwinkligen Koordioaten 
^enau gleich den bier dufinierteu recbtwiukligcn geodatiscben Koordinaten, wobei 
das Observatorium vou Paris aU Anfaugspuukt genouimen it. Der rationelle 
Gebraucb dieuer Koordiuaten zu geodiitischeo Kechnungen wurde vou /. v, Soldner 
1809 fiir die bayenecbe Landeaveraieasung eiugeffibxt (vgl. C. v. Or// uud C. M. 
v. liiiufrnfeiini. Die Bayer. LandeavermesBung in ihrer wissentichaftlicbeu Grund- 



22. Rechtwinklige geodatische oder Soldnersche Koordinaten. 167 

folgende .System geodatischer Koordinaten. Fiir einen beliebigen Punkt 

A (Fig. 3) ueniien wir die Lange der geodatischen Linie A A , die von 

A senkrecht v,u einem Hauptmeridian gezogen ist, 

y und den Bogen dieses Meridians zwisehen A 

uud einein fester. Punkte (Anfangspunkt der 

Koordinaten) X. Wir werden Y positiv voni ^ 

Meridian nach Ostfn und X positiv nach Norderi 

reehnen. 

Sind die geodatischen Polarkoordinaten des 
Punktes A in bezug auf 0: s, a 1} so erhalt man 
die Koordinaten X,, y, von A in der Ublieheii 
Annnherung (Nr. 19) aus dem geodatischen Drei- 
eck AA Oj*) lessen spharischer Ex/eB aus der 
Gleichung: 

., ** sin a t cos x, 

* t = ^ ~ . T a 

folgt (p,, NI sind die Werte von (;, N fur 0). "Man bekommt: 

(40) X, = s cos (a, 2*), 1 1 = 5 sin ( ; <?). 

Fiir die umgekehrte Uechnung hat man mit clerselben (icnauigkeit: 




A 



S COS 0. = X, ( I .. XT ) 

1 \ HP, ^v 



Der Winkel des "Dreiecks A AO in A ist 90- a, -f- 3 f. 

Es sei jetzt die Lange .9 des geodatischen Bogens A ft und iier 
Winkel A!AB = M gegeben; gesucht sind die Koordiuaten X,, 1, 
von II. Maclit man auf BK (Ordinate von B) BH = A A Y^ 
so bekommt. man aus dem, Viereck A A RU, wenn man den spharoi- 
dischen F4xzeli in it E bezeichnet, in der iiblichen Anniiherung: 



lage, MiincheD 1873) und tmabliiingig van ilun von J. Bohnenberyer bei der 
wfirtteinbcrg . Laiidesverraessung (I>e coraputandis dimensionibus trigonoraetricie 
etc. Tiibingen 1826, dcntsch bearbeitet von E. Hammer. Stuttgari J885). 

104) Die hier betblgte Methode gtammt von G. Zachariae, Die geodatischen 
Hauptpunkte und ihre Koordiuaten, Berlin 1878, uud voa N.Judanza**}. O.Sckreiber 
hat Formeln fiir geodatische Koordiuaten im H. Tftile der Hanptdreiecke der 
K. Preufi. Landeetriangulatiou, Berlin 1874, p 605 gegeben. Ihre Entwicklung 
findefc sich bei W. Jordan und K, Steppes, Das deutsche Vermessungswesen, 
Stuttgart 1882; Bd. 1, Hohere Geodasie und Topographic des deutsche.n Beichet 
von W Jordan, p. 103. Vgi. fernet 0. Borsch, Anlcituug zur Berechnung geo- 
dat. Koordinaten, Kassel 1886; W. Jordan, Zeitscbr. f. Veruiess. 20 (1891;, p. 213; 
L. Kriiger, ibid. 26 (1897), p. 441. 

12* 



168 VI i, 3. P. Pizzetti. HShere Geodasie. 

^ (A AH} = < (AHE] ^ 90 -f- 



, 



(AST) (A V) -~^-(AA) (E in Sekunden). 



Aus dena Dreieck ^IRff findet man dann, wenn sein sphiiroidi- 
echer Exzefi mit 3*! bezeichnei wird: 



ssin -.. . . 

auf 



r sin (If- E - 2O -j- 



Den Exzefi E kann man nach der Formel berechnen: 

r- _ l^j^ 3Jn M 

Q N arc 1" 

Zur Auf(ihrung der umgekebrten Rechnung (gegeben X v Y l , 
gesuciit s ? Jf j setzen wir: 

X 2 X t = AX, F 2 -- F t = AF 
erhaiten dann: 

F- -J 



2 p A 7 arc 1" 

s cMjtf Al r +-=i-(E + 2 l )AX, 

s sin Jf A X arc 1"(E -f 2 O A F "^ EF, . 

Auf direkterem Wege lost Hdmort m } die Probleme fiir die recht- 
winkligen geodatiscben Koordinaten, iudeni er von den Different ial- 
gleichungen (analog mit (21) in Nr. 16) 106 ): 

^ 3 /-\ , <*/- 

/ ^ wi \ 

(4-.) s cos a = 



ausgeht, denen der geodatische Bogen s genflgt, der einen festen Punkt 
^.(XjFJ rait einem beliebigeu Puukt (XY) verbindet; a ist der 
Winkel, den das Element ds im Punkte / mit der Kurve F = kont., 
natiirlich ira Sinne der wacbsenden X, macht (RichtutigswinkeT), und 
G der Koeffizient im Ausdruck fur das Linienelement: 



GdX*. 



lOfi) H. G. 1, p. 412420. 

106) Diese Gleichungen wrhiilt mau am eimuehstou. auf geomctrischem Wege, 
wenn man dea Satz berucksichtigt, da6 das eine End^ eiuos geodlltischon Bogens 
von konttauter Langd, das um das andere Kude rotiert, eiuc /.urn Bogea solbst 
rechtwinklige Linie erzeugt. 




28. fJbertragting der geographiscaeu Koordinaten. 169 

Indem man (42) nach der ^fethode der unbestimmten P\oeffizienten 
integriert, erhSilt raan fur s cos a, s sin a Keihen nacli Potenzen von 
X -- X v Y Yj. Durch Umkehrung der Reihen lassen sich X X t , 
F YI durch 5 und a ausririiek< i n. Die /Ze/werfcchen Formeln gehen 
bis zu Gliedern mit s 5 und <?V einschlieBlich. 

23. TTbertragung der geographischen Koordinaten vermittelst 
reohtwinkliger geod atischer. Das in Nr. 13 und 14 behandelte Pro 
blem kann raan auch mit Hulfe der mcht- 
winkligen geodiitisohen Koordinaten Xjl^ 
des Punktea B in bezug auf A als Anfangg- p< 
punkt loseuj denn nacb Berechnung von N. "*^J "^ 

XY kann man die Breite von F (Fig. 4). 
des Fufipunktes der geod atischeii Linie, die 
durch senkrecht zum Meridian von A 
geht, finden und hierauf die geographischen 
Koordinaten von jp nach B tibertragen. 
Wir geben die Hdmerfedheo Formeln 107 ) Fig. 4. 

nnter Bemitzung dr in der Figur auge- 

g<beuen Bezeichnung<ui, wo BP der Meridiiin von B und BP die 
durch B gehende Linie 7= konst ist. Der Winkel PBP t ist 
die Mcridiankonvergmz /wiscben / and B (Nr. 13). 

C< i. i 

oetz.t ican: 

u = 8 cos 12 , v = s sin ff ta , 
so bat man 

log X =* log n -f- $ , ^_ 2 W 4 

L s (Jf 0/342945 ...), 

log r = log, i-^--^ 

-<Pi>- 8 Vp m arcl V " "T~\^~j ( ^ ^ 
(F (jp l in Sekunden), 



sin(F ?,) sin 1? tg F tg ^ ^^^5 ; 

107; H. G. 1, p. 456. Dort ist aber die X-Achse positiv nach Sudeu, die 
Y-Achee positiv nach Westea und das Azimut von Siiden aus gerechnet. 0. Schrti- 
ber (RecbmingsvorBchriften fiir die Tiigon. Abt. der Landesaufiiahme , Berlin 
1878) hat das Problem dor spbaroidJKchen tJbertragung nach denuselbsn f rinxip 
gelSst. Seine Formeln gind etw as weitlaufiger, Fcrmeiden aber indirektes Rechnen. 
la den Albn cMau heu Tafcln* 6 ) findet man nunjerifiche Tabellen zum Gebrauch 
der Schrtibernchwa Formeln. 



170 VI 1.3. P. Pigzefti. Hohere GeodSsie. 

q> lf F, <p z sind die Breiten von A, F, B\ a lf 1st die Langen different 
zwischeu B und A, W der Wert von V l c* sin* y fiir die Breite 
(f> l -f- "K-F <jpj) fin erster Annaherung tindet man .Faus: log^F qpj)" 
= log u -f- *U>1 1 1; p m ist der Kriimmungsradins im Meridian uuter der 



Breite \ (F + <p,) , TF der Wert von VT <r sin 2 ^ fur die Breite 

F (JF , ) A r = a Den Winkel t findet man aus 

yi ^sin F 

der Fonnel: 

tg t sin i/ tg .F 

und das Azimut 21 von BA in 7* ist gegeben durch: 

"V YW * 



Die in diesen Formeln vernachlassigten GroBen sind von der 
Ordnung s 5 und ^.s 4 in bpzug auf A , Y, von der Ordmmg ^.s 3 , e*s :> 
bei F <p lf P 2 s 4 bei F <p 2 , f 2 s 5 hei ti I2 , ^s 3 und s 4 bei dem Azi- 
mut 21 . Fiir s 300km siud diese Fehler kleiner als 0",0002 in 
y, F, 0" ? OfX)4 in F ^. 0",0003 in <a ls und 0",014 in 2l (vgl. 
Helwert, H. G 1. p. 452 4r>4). 

54. Projektionen auf die Ebene. Wir habcn in Nr. 21 aus- 
einandergesetzt, v\ r ie Gauft uiit Hiiife einer konformen Abbildung die 
Probleme der spliaroidischen Trigonometric auf die der spharischen 
zuriiekgefiihii nat. In analoger Weise (und mit groBereni Nutzeu fiir 
die Anwendu ngen in der praktischen Geodiisie) kann man Projektionen 
auf die Ebene benutzen, um die geodtitischen Rechnungen anf solehe 
der ebenen Trigonoinetiie zuriickzufuhren 108 ). Es seien einige Haupt- 
systeme dieser Projektionen genannt. 

Projektion von Soldner. Die Cartesischen Koordinaten eines Punktes 
der Ebene werden den rechtwinkligen geodatischen Koordinaten des 
entsprechenden Punktes auf dem Ellipsoid gleich gemacbt 108 ). 

Konfortne Kegclprojcktion 1 * } , bei der die Meridiane durch ein 
Strahlenbiischel und die Parallelkroise durch konzentrische Kreise ab- 



108) Kine vollstiindige Behandluag der ebenen Projektionen findet man bei 
Jordan, HandbucU 3, p. 255291 und 404 487; Bemerkungen dazu von A. fiorsch 
in Fortschr. der Mathom. 27 (189>), p. 785 Man sehe auch C F. Gaitft Werke 9, 
p. 137 und vergleiche ira tibrig&it VI i, 4 (1{. Bourgeois). 

109) Vgl. FuBuote 103. 

110) Diese Projektion ist von t\ I when bei der mecklenburg. Landea- 
yerme5ung benutzt, vgl- W.Jordan, GroBnerzog). Mecklenb Lftndesvenn., 5. Teil, 
Schweiin 1895. Fiir die geodatischeu Rechnung<>n in der Aquatorgegend iat die 
J/ifrAa*yrprujcktiou von Ch. A/. Schols vorgeschlagon und studicrt [Delft J. ec. 
polyt. 1 (1885), p. 1]. 



24. Projektionen auf die Ebenft. 

gebilclet werden. Entspricht dem Flachenpunkte <p, r<i ein Punkfc in 
der Ebene mit den Polarkoordrnaten 7?, 0, so ist 



WO 

* _ * ( +-f) (Ja ft, * Konstaten). 

Wenn man eine Erdzone mit der Mittelbreite <p abbilden will, 
BO sind die passendsten Werte der KonstaoteD: 

fv === Sill CPrt n ^^ 



<P 07 r sind die Werte von <Z>, r (Radius des Parallelkreises) ftir die 
Breite vp n . Die Theorie dieser Projekfcion ist vollstiindig analog 
der sphiirischen Abbildung von (7awy8 (Nr. 21j. 

Konforme Projection von 6rawy6 m ), bei der der Hauptmeridian 
durch eine Gerade dargeateUt wird und die Bogen dieses Meridians 
den entsprechenden Strecken in der Ebene gleich sind (langentreue 
Abbildung des Hauptmeridians). Setzt man: 




so kann man das Linienelement der Flache in der Gestalt 



ds =* rYdq* + da* 

ansetzen und jede konforrne AWldung auf die Ebene wird durch eine 
Relation der Form: 



vermittelt. Wenn die X-Achse den Hauptmeridian darstellt, so muB 
sich fittr 01 = die Gleichung X = a ergeben, wo ^ den Meridian- 
bogen zwischen dem Aquator und der Breite tp bedeutet. Dies be- 
stimmt die Gestalt der Funktion / uud fiir kleine Werte & erhaK 
man durch Reihenntwicklung: 



- ^ sin y cos" 9? (5 / 2 -f 9 iy ! ~h 4i? 4 ) 
2V cos 3 qp (1 t* -f- V) H ---- , 



111) Diese Projektion ist von Ganfi fur die Rechnungen der Hannoversclien 
(rradmeBsung nod ihrer Fortsetzung uach Jever (1821 1 825) sowie fur die 
Ilannoversche Landesvejrmessung (18281844) benutzt. Die Theorie it von 
0. Schreiber aaseinandergesetzt, Theorie der Projektionsmethode in der Kannov. 
Laaden verm ess ., Hannover 1866. Die in Gnuft NachlaB gefundenen Pormeln aind 
Werke 9, p. 141 204 von L. Krugvr zusamaieugestellt; vgl. dazu auch den Brief- 
wechscl rnit Schumacher, ibifL ; p. 805- 218. 



172 



VI i, 3. P. Pizxetti. HShere Geodasie. 



wo zur Abkurxung: 



i 



gesetzt igt Urn die umgekehrten Fonneln binzuschreiben, bezeichuen 
wir mit y t die Breite* des Parallelkreises, der vom Aquator den Ab- 
stand X hat. Man hat dann mit derselben Genauigkeit: 




wo Q I: N v ^j, ^ sich auf die Breite qpj beziehen. Das Verhaltnis 
zwischen einem geodiitjschen Bogen AB s und der Strecke A H = S 

(Fig. 6) in der Ebene, die die A uud B 
eutsprechendea Ptmkte verbindet, ist bis 
auf Grofien der Ordnung 6 2 s 3 und s* 




Die Winkel, welche das ebene Bild AC S 
der geodatischen Linie AB mit der Strecke 
AS inacht, sind mit derselben Genauigkeifc: 



Fig. 5. 



Der Bogen A CB kehrt imraer die konkave Seite zur X-Achse, was 
als Regel zur Bestimmung der Vorzeichen von <$,. d 8 dient. Die Or- 
dinate Y l luacht mit dem Bild* des Parallels im Punkte ( A" } , Fj) einen 
Wiukel: 



Y 



Y s 



sn 



-f 



cos 2 y (1 -f- 



-f* 



dies sind die fundameutalen Formeln der konformen Projektion von 
Gauft. Wegen weiterer Entwicklungen ygl. man Schreibcr ni } und 
Jordan, Handbnch 3. In neuerer Zeit hat die GaufiBcbe Projektion 
bei der Laudesyermessnng von Frankreich durch Ch. LaUemand Ver- 
wendung gefunden; man beabsichtigt Frankreich in 7 Meridianstreifen 
von je 2 Breite zu teilen 111 *). 

In der Praxis hat sich die ,,konfonne Doppelprojektion", die von 
0. Schreiber bei der preuflischen Landesaufnahrae eingeftthrt ist, als 



!!!) Zeitschr. f. Veroiess. 28 (1899), p. 48, 138. 



25. Basismesstingen. 178 

sehr zweckmafiig erwiesen. Man erhalt sie durch 1) eine konforme 
Abbilduiig des Ellipsoids auf die Kngel nach Gauft (Nr. 21) und 2) 
eine konforme Abbildung der Kugel auf die Ebene, bei der ein Mittel- 
meridian langentreu abgebildet wird mb ). 

B. Landcs?ermessung. 

25. Basismessungen. Urn die gegenseitige Lage von Punkten 
auf der Erde zu bestimmen, mufi man wenigstens die Lunge einer 
Strecke direkt messen ; eine solcbe gemessene Strecke nennt man Basis. 
Die Einrichtung der Basis, d. h. der Linie AB, langs der die Trager 
der MeBstangen aufgestellt werden, erfolgt durch Aufstellung eines 
Alignementsfernrohrs (d. h. eines um eine horizontale Achse drehbaren 
Fernrohrs) in einem Ende A, mit dessen Hilfe man auf dem Boden 
die Punkte des Vertikalschnitts AlB festlegen kann; umgekehrt kann 
man von B aus den Vertikalschnitt BA festlegen. Endlich kann 
man aucb durch sukzessive Aufstellung des Instruments in Zwischen- 
punkten P zwischen A und B diese Puakte P so bestimmen, daB 
die Azimutdifferenzen zwischen den Vertikalschnitten PA, PB 180 
betragen. Man erhalt in dieseui Falle die sog. Feldlinie n *} (courbe 
d alignement), die als Ort der Puakte definiert werden kann, in denen 
die Normalen von den Punkten der Geraden AB aus auf die Flache 
diese schneiden. Eine solch<j Linie beriihrt die Normalschnitte AB 
und BA in A und B reap. 113 ), und ihre Abweichungen von diesen 
sind von derselben Ordnuug wie die xwischen den geodiitischen Linien 
und den Normalschnitten (Nr. 17), d. h. in praxi vollig zu veri ach- 
lassigen 114 ). 

Bei dem Gosagten ist stillsc.hweigend vorausgeset/t, daB die Ein 
richtung der Basislinie auf dem Ellipsoid erfolgt. In Wirklichkeit 
geht sie aber auf der physischen Erdoberflache vor sich und die Ab- 
weichung dieser vom Referenzellipsoid ist nicht zu vernachlassigen 115 ). 

lll b ) 0. Schrciber, Die konforme Doppelprojektion der Trigonom. Abt. der 
Kgl. PrenB. Landesaufnahme, Berlin 1897; Zeitsclir. 1 . Vermeag. 28 (1899), p. 491, 
693; 29 (1900), p. 257, 289. 

112) ftber die Feldlinie vgl. James und Clarke 6 *), p 237; Bremiker 46 ), 
p. 6267; Helmet*, H. G. 1, p. 400. 

113) tfber den Vergleich der Feldlinie mit den Normalschnitten vgl. Clarke, 
Geodosy, p. 113116 und Pizzetti, (Horn, di mat. 21 (1882;, p. 1. 

114) Fur eine Basii Ton 10 km Lange betragt die grSBte lineare Abweichung 
zwischen den beiden Nortnalschnitten nicht mehr als 0,005 mm. wahrend mau bei 
der Einfluchtung auch nait einoui shr guten Alignemeutsfernrohr eeitliche Ab- 
> ciciiungen von mehrereu Millimetern fur eine Stangenlage kanm vermeideu kaoo. 

115) Wegen der Reduction einer Baais auf eino gegebeue Niveauflache vgl. 



174 



VH, 3. P. fizzettt. Htfhere Geodaaie. 



Es sei ANB (Fig. 6) die Basislinie: fallt man dann von A, B 
Normalen auf das Ellipsoid bis .4 K, so % ist aus der gemeesenen 

Ljiuge ANB die Liinge der 
geodatischen Linie oder des 
Vertikalschnitts A B abzu- 
leiten. Der Winkel /wischen 
den beiden Vertikalebenen 
AA B f AAH (Nr. 11) ist 
so klein, dafi sie, was die 
Einrichtung und Messung der 
Basis augeht, als identisoh 
betrachtet werden kornien. 
Mit dieser Annaherung kann 
die Projektion P Q einer 
Stangenlage PQ auf das El 
lipsoid als ein Element von 
A T? betrachtet werden. Die 
beiden Normalen PF, QQ 
bilden einen so kleinen Winkel 
# 6 - miteinander, daB der Bogen 

P Q mit dem Bogen des os- 

kulierenden Kreises in P identifiziert werden kann. Aus dem Drei- 
eck PCQ (C ist der Kriimmungsmittelpunkt von P auf A B} erhalt 
man dann: 




wo b = PQ, h die Hohe QQ der Stange Uber dem Ellipsoid und 
i 90 <; VPQ ihre Neigung gegen den Horizont ist; R ist der 
Kriimmungsradius von A B in P . Bis auf zu vernachlassigende 
Grofien wird deshalb die Liinge von A B : 

~ 



(44) 



L = 



Zbi* 



Dr Ausdruck ^2lti a heifit Reduction auf den Hwizont n *) (die Nei 
gung i wird an einer mit der MeBstange verbundenen Libelle ab- 



Jdeltntrt, H. G. 1, p 4X7 und E J ttcci, Sulla teoria delle basw geodeticbe, Neapel 
1880 Es ist mir nicht bekaunt, wann zum ersten Mai die Koduktion einer 
Basis auf das Meeresniveau ausget iihrt ist. T,(.tcoittlaminc und Bonyuer haben 
dieso Reduktiim bei dem Peruanischea Bogen angebracht (siebe Todhuntcr, 
History, 358). 

116) Diese Korrektion acheint zuerst von liouyuer bei der Haais von Quito 
Ciugefiilirt zu fiein (Core, Geodesy, p. ?). 



20. Basisapparatc. 175 

gelesen) und -_- Reduction auf das Meeresniveau. Diese k?uin mit 

geniigender Genauigkeit auch in dor Gestalt: TJ-~ geschrieben werden, 
wo J?,, der Kriimmungsradius von A B in A " 1 ) nnd H m die mittlere 
Hohe der Basis fiber dem Meere 118 ) ist, die durch ein geometrisches 
Nivelleinent bestimrnt wird. Es ist nicht notwendig, dafi das Nivelle- 
ment die Hohe jeder Stangenlage gibt, es geniigt das Mittel aus den 
Hohen einer Auzahl passend verteilter Stangenlageu oder sogar der 
Eiiden A, R Ein Fehler von 64 cm in H m wiirde rjrf von L aus- 
machen. 

26. Basisapparate 119 ). Bei den metallischen Basisapparaten, die 
heutzutage fast ansscblieBlicb benutzt werden, mu8 man die Audermig 
der Stangenlange mit der Temperatur beriicksiebtigen. Wird diese 
direkt mit einem Quecksilbertbermometer gemessen ; so erhalt man die 
Stangenliinge bei der Temperatur < durch die Formol: 

b = b Q (l+pt), 

wo 6 die Staugenlango bei und der Ausdelmungskoeffizient 1 * ) 
ist. Aher meistens verzichtet man auf die direkte Messung der Tem 
peratur und stelit nach dem Prinzip des MetaUfhwmotncters von ftorda) 

117) Der Krummungsradius in einem Pxmkte P von A B unterscheidet gicb 
von /^ sehr nahe urn : 



/ E\ 6 e*s . . 

I j ] = - - si" 2 qp cos of 

\ds/ 2 p 



(NT. 12), wo .s>=arc(.4 P ). Fur s 10 km 1st diese Differenz kleiner ala 
0,000016 K n , d. h. wenu man in dero letzten Gliede von (44) J? iur B setzt, go 

begeht man einen proxentualen Fehler, der kleiner iat ala 0,000016 (oder kleiner 



118) Genau gfmommen mu Ote man die H5he der Stangen \ibor dem Refe- 
ren ellipsoid licnutzen, aber in erste.r Ann Aherung identitizieren wir dies mit 
dem Geoid (Nr. 7). 

119) Vgl. A Wtstyihal, -Zcitschi. f Instr. 6 (1885). p. 267, 383, 373, 420; 
8 (1888), p. 189 und 337. 

120) Das Thennometerquecksilber muB in m&rlichat dirckter Bcriibrung 
uiit dem Stangenmetall aein. Deahalb bringt man in der Stange.noberflache 
Hoblraurae an, die mit Quecksilber oder Eisenfeilspanen gefiillt werden; in dieae 
tHiK lion die Therinonieterkugeln ein. 

121) J. C. Borda, Experiences snr lea regies qui ont servi i la mesore des 
banes (Anhang zu: Dclambre, Base du systeme m^trique etc., Paris 18061810). 
Nenerdings sind Zweifel an der Genauigkeit der bimetallischen Apparate auf- 
getaucht, weil die beiden Stangeu Terschiedene Triigheit gegenuber Temperatur- 
anderungcn besitzen. Vgl. 0. Schrciber, Zeitchr. f. Vermess. 11 (1882), p. 1; 
A. Ftsdicr, Astr. Nachr. 108 (1882), p. 33. 



176 VI 1,8. P. ftzzettt. Hohere Geodasie. 

den Apparat aus zwei Stangeu ?on verschiedenen Ausdehnungskoeffi- 
zienten, die an einem Ende verbunden sind, her (Fig. 7). Die Laiige 
b einer der beiden Stangen ist dann eine lineare Funktion der Dif- 
ferenz A; der Langen beider (Angabe des Metallthermoraeters), deren 
Konstanten durch Vergleich der Stangen rait einenu Prototyp bei ver 
schiedenen Ternperaturen zu bestioamen sind. 



a) 






es 
ft 



Fig. 7. Fig. 8. 

Man hat aucK Kompensati<tH8apjMirte konstruierr, bei denen zwei 
Metallstangen mit verschiedenem Ausdehnungskoeffizienten so ver- 
verbunden sind, daB zwei bestiramte Punkte eine von der Temperatur 
unabluingige Entfernung besitzen. Die beiden benntzten Apparattypen 
aind in Fig. 8 scliematisch dargestellt. Bei dera ersten (englischer 
Apparut von Th. Colby} gehen die Querstilbe ace nud bdf (Fig. 8 a) in 
Scharnierew und die Entfernungen ee und {If sind so gewsihlt, daB die 
Strecke ef von der Temperatur unabhangig ist. In Fig. 8b (nord- 
amerikanischer Apparat von C. A. Schott) sind ab und cd xwei gleich 
lunge Stabe aus gleichem Material und fe em Stab aus anderem Material^ 
der mit den beiden ersten bei a und c resp. verbunden ist. Das 
Verhaltnis ab : ac lattt sich so wahlen, daB die Entfernui)g bd kou- 
staut ist. 

Die Basismessung selbst wurde urspriinglich so ausgefiilirt, daB 
die Stangnn unmittelbar aneinander geschoben wurden; die Liinge der 
Slauge wurde dann durch die Entfernung der beideu Endflachen oder 
Kanten deiiniert (Endmaft). Spater hat man diese Methode verbessert, 
indem ein kleiner Zwischenraum zwiscben den Stangen gelassen wurde, 
der mit Hilfe eines Keils (Besset) oder Fuhlhebels (F. G. W. Stnwe) oder 
Schiebers (J. C. Borda) (slide-contact, linguetta) bestimmt wurde, wie 
Fig. 9 zeigt. Neuerdings ist das dritte System noch durch Anbringung 
von Feder und Sohraube verbessert worden. 

Der erste, der Stricbe auf den MaBstabcn anbraclitc und ihre Liinge 
durch Entferuung der Striche definiertc (titrickmafi), war R G. Bo- 
scoiich 1M ) (Basis auf der Via Appia und bei Rimini, 1751). Er schob 
claim die MaBstabe mit kleinem Zwischeuraum aneinander (Fig. 10) und 

122) Vgl. A. Wettphal, Zeitsclir. f. Insrt. 5 (1885), p. 333. 



26. Basisapparate. 



177 



bestimmte die Entfernung ab mit Hiilfe dcs Zirkels und einer ge- 
teilten Skala. (r. B. Beccaria in Turin 185 ) (1774) und die Mailander 
Astronomen (Basis von Somma, 1788) legten die MaBstabe so, wie es 
Fig. 11 zeigt (Seitenkontakt). Bei .dem Apparate von Colby wurde 




Fig. 9. 



ebenfalls ein kleiner Zwischenraum zwischen 7/wrei aufeinanderfolgenden 
Stangenlagen gelassen, der rait Hilfe eines Systems von zwei Mikro- 
skopen mit vertikalen Achsen gemessen worde. Die Nachteile der 



L 



J 



1 



Fig. 10. 



Fig. 11 



direkten oder indirekten Berflhrung der Stangen werden am besten 
vermieden bei dem modernen optischen System, das kurz folgendes ist 
(Fig. 12): Eiue einzigz MeBstange tragt an jedem Ende eine Teilung, 



Fig. 12. 

auf die, wenn die Stange in der Basis liegt, awei Mikroskope mit 
vertikalen Achsen gerichtet werden. Die Mikroskope werden fest auf 
Boeken, die von denen fiir die Stange unabhangig sind, aufgestellt, 
mid die mit t Hilfe der Stange ermittelte Entfernung ihrer Achsen 

123) Ibid , p 336. 



178 V1 1,3. P. Piezctti Hfthere Geodasie. 

bildet ein Element 6 der Basis (Forniel (44)). Indem man dann das 
Mikroskop c und die Stange im Sinne des Pfeils vorwarts bewegt, 
mibt man von c aus ein neues Element der Basis usw iMit der Er- 
findung dieser Methode sind die JNauieu J. Porro, F. /?. Ha filer, J. F. 
d Aubuisson verknupt t; wem die Prioritat zukommt, ist nicht sicber 124 ). 
Gescbichtlich sei noch bemerkt, dafi aut angs Holzstiibe, x. T. mit 
metal] enen Einsiitzen beuutzt wui den; Cassini //. benutzte zum ersten 
Mai eiserne Stabe 125 ). Wir lassen liier die Namen einer Auzahl von 
Basisapparaten mit den zugehorigen Literatiirnachweiseii folgen (die 
in Klammern beigesetzten Namen geben init den Apparaten ge- 
messfne Baseu an): Apparat von J. Ramsdcn 1 * 6 } (Hunslow Heath in 
England, 1784): Ibrda 7 ) (Meluu und Perpignan, 179899): G. von 
} (Nih-nberg und Speyer, 1807 und 1819); Th C0% m ) 
nhl Aiidfl^lJ: J?6 > ,seZ 130 )(Konigsberg, 1834, und die meisten 
deutsehen und italienischen, aufierdem belgiscbe, eine schwedische und 
eiue dauische Basis); Struve*) (E.u Bland von 1827 an); J. Porro. 
moditiziert von A. Seccfii 1 ) (Via Appia. 185455); Porro, modi- 
tiziert von P. Hossard***) (Algier, 1854 67); C. Jba.nee, konstruiert 
von #ra?fv m ) (Madrid, 1858); Preuft. geodat. Institut*}, dem vorigen 
fast gleich, (Strehlen, 1879, Berlin, 1880, Bonn, 1892); Jbnnez verein- 
facht 146 ) (Spanien, 1865-79, Schwciz, 188081): liepsold-Coni- 

124) E. Hammer, ZeitscLr. f. Vermea*. 20 (1891). p 446; C Davito, Kiv. <ii 
lopografia 9 (1696), p. 4t>. 

1^5) A. Westptifd, Zeitschr. f. Inetr. 1885, p. 265. 

126) W. Roy, London Phil. Trans. 15 <1785), p. 385. 

127) Vgl, JMamlre ot Mechain in Fnfinote 121. * 

128) C M. von Bautrnfeitid und (/. van Orfl\ Die JJayerische Laode-ffver- 
mesBung, Miinchen 1878. 

120) James and Clarke "), p. t OOtf. 

laO) 7 r> . W. BesfeJ und J. J. Bueyer, Gradme^sung in OstpvenBen usw\. Berlin 
1H3J5 (Bvssek Abhaiidlgn. 3). 

131) F. G. W. Slruve, Arc dn meridieu de 25 20 entre le Dauul>c e la 
mer glaciale mesur^ depuie 1816 jugqu eu 1850, sous la direction de Tenner, 
Sclander, Hamtttn und F. G.W. Struve, St. Peterabourg 185760. 

132) A. Secchi, Mieura della base trigonometrica della Via Appia, Rom 1858. 
138) P. Hossard. Note svir la mesure des bases (iu L. Fntncowr, Geode sie, 

4. ^d., Paris 1866). 

134) C. Ibunez et Soavedra, Experiences faites avec Fappareil ^ laesurer les 
bases appartenant a la commisBion de la, carte d Espagne (Trad action pai 
A. Lausstdaf, Paris I860). 

135) General bericht derEurop. Gradmeguug 1878 79. Vgl. auch F Kuh- 
nen und It. Sctmmann, Die Neumesgung der Grundlinien bei Strehlen, Berlin und 
Bono, Berlin 1897. in dieser Alihandluug findet man einen mteressanteu Ver 
gleich zwischen den BasisHpparaten von Ittxsel und Brunner. 



27. Winkel; ihra Tteduktion auf da* Ellippoid. 179 

stock* 31 ) (Chicago, 1877): Schott 19 *) (Yolo und Los Angeles in K*U- 
fornien); Eiwbeck) ,,Duplex (Salt-Lake, 1896V 40 ); Wottdward" 1 ) in 
Eis (Helton, 1890). 

Wir nennen endlich noch den Jtiderinschen Apparat 1 **), der zwei 
Drahte von 25 m (oder 50 m) Lange, einen aus Phosphorbronze nd 
einen aus Stahl, enthalt, die durch eine Federwage oder durch ein 
System von Gewichten gespannt werden. Der Apparat 1st neuerdings 
unter Verwendung von Nickelstahldruhten abgeandert worden und 
scheint in dieser Form eine groBe Zukunft zu haben 14 *). 

27. Winkcl; ihre Reduktion auf das Ellipsoid Auf die 
Messung der Horizontahviiikel gehen ^vir hier nicht ein, sondern ver- 
weisen, soweit ihre Dnrstellung tiberhaupt in den Rahtnen der Enoy- 
klopadie gehort. auf den Artikel Ober ,,Niedere Qeodasie" (\ : I 1, I 
(C. Pern he rtx)\ Es sei hier nur bemerkt, dafi die Kreisablesung 
an den WinkelmeBinstruinenten bci den Aufgab^n der hoheren Geo- 
dasie heuizutage immer mit Hilfe von Mikroskopen erfolgt 144 ). 

1st an einem Beobacbtungsort A der Horizontal winkel 5M zwischen 
B und C oder die Different der astronomiscben Aziraute von B 
und C in be/.ug auf A gemessen (vgl. Nr. 5), so muB man daraus 
den Winkel 31 zwischen den geodatischeu Linien AH uiid AC auf 



336) Zeitscbr. f. Instr. 1865, p. 17J5. Vgl. auch C. Koppr, Der Baaisapparat 
des Generals Ibanez und die Aarberger Basismesaung, Zurich 1881. 

137) Jordan. Handbucb 3. p. 9093. 

138) C. A. Schott, Description and construction of a now compensatiou 
base- apparatus, R. C. G. S. 1882, App. 7. Vgl. anch Zeitchr. f. Inst. 1885, p. 315. 

139) W. Kimbfck, The duplex base-apparatus etc., R. . G. S. 1397, A.pp. 11. 

140) Dae Prinzip des Metal Ithennometers wird bier nicht auf die einxelne 
Stangenlage, sondern auf die ganze Basis angewundt (wie in dem spater erwaiin- 
ten Jarfmnacben Apparate); die Ditfereuz der Mesaungeii mit zwei Metallen dient 
znr Elimination der Temperatur 

141) S. Woodward, On the measurement of the Holton Base etc., B. C. G. S. 
1892, App. 8, Teil 2. 

142) E. Jtiderin, Sveuaka Akftd. 9 (1896), Anhang, p. 57; vgl. auch Int. 
Erdui. 1898, p. 277. Wichtige Versucbe iiber die Verwendung von Nickelstah!- 
drabt (Invar) x.ur Basismessung sind im Internationale!) Bureau ffir MaBe und 
Gewichte in Breteuil gemacht. Vgl. R. Benoit et Ch. fatillautne , l>es nouveaux 
appareils pour la inesure des bases geodesiqucs, Paris 1905. Dber neuere Ver- 
eucho zur Basismessung vgl. auch Int. Erdua. 1903, I. T., p. 186: II T., p. 84, 90, 
293; ferner A. L. Baldwin, B. C. G. S. 1901, App. Nr. 3. 

14&) Um nicht zu sehr auf techniache Details bei Basismessungen einzugehen, 
gprechen wir nicht weiter von der Einfluchtung, der Fixierung der Basisenden usw. 
t^ber vide Einzelheiten findet man bei Kiihnen und Schumann lto ) Auskunft. 

144) Nach Gore, (reodesy, p. 139 ist das Mikroskop zur Kreisablesung aura 
ersten Male von J. Jtam^len (ungefahr 1787) benutzt. 



180 VI i, 5. P. Piezetti. HChere Geodasie. 

dem Ellipsoid berechnen 145 ). Die Punkte A, B, C sind die Schnj,tt- 
punkte der Vertikalen von A , B , C mit dem Ellipsoid. Beriick- 
eichtigt man die Fonneln (6 ) in Nr. 11 und (27) in Nr. 17, so 
ergibt sich: 

* - + i^fl A. "in 2M e - k, sin 2^ 6 } 

(45 \ 

V f 1 o 1 



8m 



wenn A 6 , A e J ft , ^4 C die Hohen resp. die Azimute Ton B und C, s b , s e 
die Entfernungen AB, AC bedeuten. Der zweite Teil dieser Kor- 
rektion ist fast immer zu vernachlassigen, der erste wird nur dann merk- 
lich, wenn die Meereshohe der Beobachtungspunkte 500 m iibersteigt 146 ). 

28. Triangulation. Einen Punkt B rait einem anderen A geo- 
datisch verbinden heifit: diejenigen geodatischen Messungen ausfahren, 
die notwendig sind ; um aus den gegebenen Koordinaten von A 
(ellipsoidische Lange und Breite) und der Meridianriohtung in A die 
Koordinaten von B und die Meridianrichtung in B zu bestimmen. Um 

die direkte Messung der Entfer- 
uung A B zu umgehen, die nur fur 
zehn bis zwanzig Kilometer prak- 
tisch ausfuhrbar ist 147 ), hat WUle- 
brord Sndlius van fimjen um 1615 
die Methode der Triangtdation er- 
funden und angewandt. Man wablt 
bei dieser Methode in der Gegend 
zwischen A und B eine Anzahl 
Fig. is. wohl definierter Punkte C,D,E,... 

(die wir der Einfachheit halber 

auf dem Ellipsoid gelegen annehmen) und denkt sie sich durch geo- 
datische Linien in der Weise verbunden, dafi sie eine Drewck&kettt 




145) BezHglich der Reduction der beobachteteu Winkel auf das Ellipsoid 
vgl. u. a. A. Sonderhcf, Arch. Math. Phys. (Grunerta Archiv) 61 (1870), p. 20 
und 42. 

146) Man muBte noch zweierlei berucksichtigen; 1. die Lotabweichung in 
A oder die Abweichung der Ellipsoidnonnale von der Lotrichtung in A!\ 2. die 
Tatsache, dafi die Vertikalen von A. und A nicht zuBammenfalleQ. Ka ist abet 
in NT. 7 gezeigt, daB die Abweichung de.s Kllipsoids vora Geoid ohne merklicheu 
Einflufl auf die Messung der Horizontal wink el ist; um so mehr ist der EinfluO 
dr Vorschiedenheit der Vertikalen von A und A zu Ternachlassigeu. 

147) Die liingste in neuerer Zeit gcmessene Banis ist 14,6 km lang (Madxi- 
dojofl); im allgemeinen sind die Basislinieu nicht fiber 10 km laug. Nach Jordan, 
Handbuch S, p. 103 ist die mittlere LRnge der gemesseneu Basislinien 6 km. 



28. Triangulation. 181 

bilden (Fig. 13). Man ruiBt nun eine Seite und eine geniigende Anzahl 
von Winkeln, urn von dem Dreieck aus, dem die gemessene Seite 
angekort, samtliche Dreiecke nacbeinander auflosen zu konnen; die 
Punkte A, C, /), . . .. B sind dann geodiitisch unter sich verbunden. 
Kann man in verschiedener Weise von A nach B ubergehen, BO 
nennt man die Gesaratheit der Dreiecke ein Neta. 

Bei der Auswabl der Dreieckspunkte spielen vor alien Dingen 
praktiscbe Erwagungen, die sich auf die ortlichen Verhaltnisee be- 
ziehen, eine Rolle; indesgen sind anch einige tbeoretiscbe Furderungoa 
in bezug auf die beste Gestalt und Dimension der Dreieck? BO weit 
als moglicb zu beriicksichtigen. Das Problem der besten Gestalt der 
Dreiecke, d. h. derjenigen Gestalt, bei der die WinkelmeBfebler den 
geringsten EinfluB auf die geodatische Verbindung haben, kann man 
nirlit allgemein losen; man kaun nur in speziellen Fallen und in it 
vielen Beschrankungen Losungen geben 148 ). Ohne hier auf detaillierte 
Rechnuugen, die von geringer theoretiscber und praktischer Bedeutung 
sind, einzugehen, bescbranken wir uns auf die Bemerkuiig, daB in 
einem Dreieek, in dem eine Seite und zwei Winkel bekannt sind, der 
EinfiuB der Winkelfehler auf die bei den andereu Seiten (relativ zu 
diesen Seiten) ungefahr den Kotangenten der gemessenen Winkel 
proportional ist. Ein kleiner Winkel bedeutet desbalb, wenn er zur 
Seiteniibertragung notwendig ist, eine schwacbe Stelle in einem Netze 
und ist durum in einem solchen Falle nioglichst zu vermeiden. Von 
diesem Gesicntspunkt aus ist es vorteilbaft, sich nieht allzusehr von 
der Gestalt gleichseitiger Dreiecke zu entfemen. 

Was die GroBe der Dreiecke betrifft, so wurde es einerseits 
zweckmafiig seiri, die Netze erster Ordnung aus moglichst wenigen 
Dreiecken aufzubauen, dam it eiue moglicbst geriuge Zahl von beob- 
achteten Winkeln in die Rechnung eingeht; aber andererseits muB 
man beachten, daB der mittlere Fehler der Winkelmeasungen mit der 
Entfernung der Dreieckspnnkte wachst. Speziell kommt hier die so- 
genannte LaterfdrefraJction zur Geltung, d. b. die azimutale Ablenknng, 
welche die Sehstrahlen durch die atmospharisehe Refraktion erleideu tw ). 

F. Pfa/f 1 * 1 } in Erlangen hat wahrend eines Jahres eine Keihe 



148) Rechnungeu dieser Art findet man bi Jordan, Handbuch 3, 19, SO 
und Pucct, Fondamenti 2, cap. VII. 

150) Hietoriache Notizen 8. bei A. Ftschfr, Der Eintiufi der Latenkefraktion 
auf dae Messen von Horieontalwinkeln , Berlin 1882; Jordan, Handbucb S, 
p. 185141. 

161) A. Fischer 169 ) , die von C. M. von Bauemfeind (Ergebnisie aus Be- 
obachiungea der terreetrischen Refraktion, 1. iCitteilung, Monchen 1880) acge- 

ncjrklop. d. math WitMntob. VI I. IS 



VI i, 3. P. Pizgetti. HChere Geodasie. 

von Winkelmessungen ausgeftihrt, indem er die Horizontalwinkel 
zwischen zwei in einer Entfernong von 11 und 19 km gelegenen 
Pnnkteu und einer benachbarten Mire beobachtete; die gemessenen 
Winkel anderu sich periodisch und die groBte Abweichung hetragt 
reap. 19" and 18". 

A. Fwfttr hat nach dem Beispiel von W. Struve 1 **) das Problem 
der Anderung des EinrlusseH der Lateralrefraktion mit der Liinge der 
Visuren praktisch dadurch zu losen versucht 158 ), daB er die Sdtlufl- 
fehler der Dreiecke dcs ,,Rheinischen Netzos" mit der mittleren Liinge 
der Dreiecksseiten verglich. Er kommt zu dem SchluB tM ), daB die 
Entfernung des Objektes an sich nur geriugen KinrluB auf die Lateral 
refraktion hat. Hiernaeh und nach anderen statistischeu Zusammen- 
stellungen Fischers scheint der SchluB erlaubt, daB die langen Visier- 
strahlen (tauger als 100 km) in bezng auf (renHuigkeit 165 ) keine 
merklichen Nachteile habeti, wenn der Beobachter fur das Einsehneiden 
giinstige Luft- and Beleuchtungsverhaltnisse wahlt. 

29. Basisnetse oder Vergrdfierungsnetae. Das im vorsieheiulen 
fiber die Gestalt der geodatisehen Dreiecke Gesagte gilt nicht fur die- 
jenigen Netzteile, die zur VergroBerung der Basis bis ur Twinge der 
gewohnlichen Dreiecksseiteu dienen. Da die Baseo selten langer als 
1 km uud die Dreiecksseiten im allgemeinen langer als ."() km big /u 
100 km hin sind, 8O moB zunachst ein Oreieekssystein mit wachseB- 
den Seiten an die Basis aageschlossen werden. Der gewohnlichste 
Typus der Basisnetze ist der rhonibisdw (Fig. 14 a). Nach 



stellten Beobachtnngen haben nicht mit Bioheriieit einen EinflnB der Lateral 
refraktion erkeunen laasen. 

162) Astr. Nachr. 7 (1829), p. 8 J. 

163) Eiue theoretischc Uaterauchung mu6 Bich immer mit der Amialime 
begnugeu, daB die Atmosphiire aus homogenen, lurch regelmaBige Flachen 
(etwa kouzentrische EHipeoide) getrennten Schichten bestehe Solche Unter- 
Buohungen fiihreu zu uumerklicheu Reeultateu; vgl. <S oMi7*<.v 145 ); Helmert, 
H. G. 2, p. 664665; Piezetti, Torino Ace. Atti 25 (1889), P- 101. hi Wirklichkeit 
iat die Verteilung dev Luftschichten in der Nahe des Bodens weit davon entfernt, 
eich (lurch eine iufacbe matbeoiatiBche Formel daretelleii zu lassen. 

164) Fischer ), p. 40. 

155) Der Grund, dafi der EinfluB dor Lateralrefraktion nicht Bobr mit der 
Entfernong w^cbst, scheint darin zu liegen, daB die Gesichtslinien nach sehr 
entferaten Objekteu meiatena boch fiber deal Boden hiuwegzieben und infolge- 
desaen dutch gleichmaBig gelagerte Luftschichten hindurchgehen, welche aine 
seitliche Verbcbiebung de Lichtstrahls nicht bewirken; vgl. auch W. Struwt, 
Graclmessung in den Ostseeprovin/ea Rulilands 1, Dorpat 1831, p. 149; Jor 
dan, JTaudbuch 1, p. 660. 

156) Zeitschr. Math. Pbye. 13 C1868), p. 16S. 



80. Berechnung einer TriaDgulation. 



183 



bekommt man in bezug auf Genauigkeit die gunstigste Entwieklung, 
wenn die Diagonale jedes Rhombus ca. 1,5 nial so groB als die 
des vorhergeheuden ist. 

a) 



Ein anderer Typus von 
Baeisuet/en (Gitternetz, 
Fig. 14 b) ist der, bei cem 
die Basis vermittelst eines 
Systems von annahernd 
gleiehseitigen Breieeken 
verliingert wird. Nach 
Jordan t57 ) erfordert das 
zweite System eine groflere 
Arbeit an Winkelmessun- 
gen, ist aber aucb genauer 
als das rbombisciie. 





Fig 14. 



8(K Berechrnnig einer Triangnlation und der geographiaohen 
Koordinaten der Dreieckspnnkte. Fflr eine erste angenaherto Be 
rechnung eines Dreiecksnetzes kann man von alien Korrektionen ab- 
sehen ir>8 J und die Dnieeke als ebene berechnen. Diese Rechnung 
lietert angenaherte Werte der Dreiecksseiten. Setzt man daun, wie 
es notwendig ist, die T3reite eines Dreieckspunktes und das Azimut 
einer Dreiecksseite als bekannt vorau^ so kann man rohe Werte filr 
die Breiten samtlicher Dreieckspunkte und die Aziraute der Seiten 
ermitteln. Am einfachsten versohatft man sich eine angenaherte 
graphische Darstellung des Netzes. Man bekommt so die notwendigen 
Daten, urn die Korrektionsglieder und die spharoidischen Eizesse fur 
die einzelnen Dreiecke berecbnen zn konnen. 

Nachdem dies erledigt ist, kanu man zur Ausyieicfmng des Ndees 
nttch dtt Methade der kleinstcn Quadrate (I D 2, J. Bauschinyer} iiber- 
gehen, d. h. zur Berecbnung der im Sinne dieser Methode besteu Werte 
der Winkel, die sich aus den Beobachtungen unter Beriicksichtigung 
der geometrischeu Bedingungen des Netzes ergebeu. Davon wird im 
tblgenden Paragraphen die Rede sein. 

Sind die Dreiecksseiten definitiv berec-knet, so hat es keine 
Schwierigkeit mehr, vom Punkte A aus. in dem die Koordinaten und 



167) Handbnch 3, p. 121. 

158) Solchc Korrektionen aiud z. B. durch die Fonnel (45) gegeben. Ferner 
koramt die Keduktion dei gemeaBeneu Winkel auf <la Zentrum der Station orier 
des SignaLi (Zenti ierang) iu Betracht, wegeu der wir auf die niedere Geodiiaie 
verweiseii. 

18* 



184 VI i, J. P. Piszetti. Hohere Geodaaie. 

das Azimut einer Seite bekannt siiid, die geographischen Koordinaten 
(in bezug auf das Referenzellipsoid) der iibrigen Dreieckspuukte zu 
berechueu. In der Tat, betrachtet man das Polygon ADEFB . . , 
(Fig. 13) desn Seiten samtlich Netzseiten aind, so kann man nach 
den Methoden von Nr. 13 und 14 die Koordinaten yon D und das 
Aziinnt von T)A in /> berecbnen; fiigt man zu diesem den Winkei 
ADE (im Sinne der rechtslaufigen Drebuug von DA nach DE ge- 
zahlt) hinzu, BO erbalt man das A/.imut von DE in D usw. Man 
kaun BO die Koordinaten und das Azimat schrittweise tibertragen. 

Wenn man nicbt die Koordinaten eines jeden Dreieckspunktes 
gebraucht, kann man auch anders verabren. Wenn i. B. die Koor 
dinaten yon 1) und E aicht berechuet zu werden brauchen, so kann 
man die Dreieeke ADE, AEF auflosen, Seite AF und j DAF 
berechnen und so direkt die geographischen Koordiuaten und das 
Azimut von A nach F ubertrageu 

Man kann auch auf das Polygon ADEF. . . die Metbodeii von 
Nr. 22 aawenden und die Soldncrs<A\&n Koordinaten der verschiedenen 
Dreieckspunkte bereehuen, mvt derenHilfe man d&un die geographischeu 
Koordinaten ableitet. 

il. Anngloiohong. Die Horizontalwitikelniesguugen, die auf 
jeder Station ausgefiihrt sind. werden zunachst t Ur sich ausgeglichen 
(StatuMswusfflricktmfi), d. h. es werden die plausibelsten Werte der 
Winkei (oder Ricbtungen) f.rmittelt, wenn man die auf einer StatioD 
ausgefUbrten Beobachtungen tiir sich betracbtet. Die so erhaltenen 
Werte miisseu dann der Netzausgleictiung unterworfen werden, um die 
Bcdingangsgleicbungen, welche die Winkei der verschiedenen Statiouen 
verknilpfen, /u befriedigen. Die Ausgleichung geschiebt nach der 
Metbode der vermittetnden Jleokichtungeti mit Bedinyunysgleichtingen IS9 ). 
Uber die Ausgleichung selbst sei noch folgendes bemerkt: 
ft) Statitmsausgleichung. Gegenwartig betracbtet man als beste 
Metbode zur Erledigung einer geodatischen Station die Winkelmessuny 
in alien Kombinationen 160 }, d. h. man mifit fiir sich saiutliche Winkei, 



159) Das allgetneme Problem der vermittelndeu Beobachtungeu mit Be- 
dingUDgugleichungen wurde in seineu Haupttcilen (mit Ausnahme der Berech- 
nung des mittleren Fehlerfl) von Bessel 130 ) geliist Die Anwendungen auf die 
GeodJUie wurden volUtandig von C. G. Andrae (Den Danske Gradmaaling 1, 
Kopenhagon 1867) uud P. A Hanten [Leipzig Abhaudlgn. 13 (1865), p. 573 j 
behandelt. 

160) In die Praxis 1st diese Methode von General Schreiber eingetuhrt 
worden, dem es auBerdem gelaug, die Winkei messungen BO ant verachiedeue 
Kreisstande zu Terteilen, dafi dit* Mittel moglichst frei von Teiluagsfehlero dee 



31. Ausgleiebung. 185 

die zwei beliebig von der Station ausgehende Richtungen raiteinander 
bilden Nennt man die Richtungen 1, 2 ; 3, . . >; s, so sind 

(12) (13) . . . (Is) (23) (24) . . . (2s) (34) ... (3s) ... (s I, s) 

/o __ 1\ 

die =-= - fur sich und mit gleicher Genauigkeit zu messenden 

Winkel. Bezeichnet man mit ( M } den ausgeglichenen Wert des 
Winkels zwischen den Richtungen 1 und t, so iat: 



wobei 

(rr)-0, (rl 
iat. 

Die Gewichtskoeffmenten sind: 



Den mittleren Fehler der Gewichtseinheit kann man nach der 
Formel: 



" = 



berechnen, wo v die Verbesserungen der -^ 5 - gemesBenen Winkel 
sind. 

Hansen nimmt an Stelle der Winkel die Richtungen 161 ) als Un- 
bekannte an, d, h, die Winkel, welche die Gesichtslinien mit einer 
willkiirlich fixierten Richtung auf jeder Station bilden. Nennt man 
j 1 j, [2], . . ., [s] die ausgeglichenen Werte der Richtungen, so ist: 

M - - 7 1 (*!) + (^)-f ----f-M} 

und die Gewichtskoeffizienten sind: 



Kreiees erhalten werden. Vgl. 0. Schreiber, Die Kgl. PreuBische Landestriangu- 
lation, 2. Teil, Berlin 1874: Zeitschr. f. Venness. 7 (1878), p. 209 und 8 (1879), 
p. 97. Er sagt, daB nach der Erfahrang die groBere Schnelligkeit, welche die 
Methode der Beobachtung von Satzen btetet, illusoriech ist und daB bei 
gleichei Miihe die Methode der Winkelbeobacbtungen genauer ist. V gl. auch 
P. A. Hansen, Fortgesetzte geodat. Untersuchungen, Leipzig 1868 69; Jordan, 
Handbuch 1, p. 259ff. ; N. Jadanza, Torino Ace. Atti 33 (1898), p. 883; mit Ver- 
beKserung ibid. 34 (1899), p. 698: C. Bremiker, Astr. Nachr. 89 (1877), p. 66; 
L. D. Bache, R. C. G. S. 1864, App. 33. 

161) Wegen des Vergleiche von Winkel- und Richtungsmessungen s. auch 
Jordan, Handbuch 1, p. 230 u. 276. 



186 VI 1,3. P. Pizzetti. Hfihere Geodisie. 

7, 0, 0, ... 

o, 1, o, ... 



Wenn man an Stelle der Winkelbeobachtungen die Methode der 
SateleobacktuiMifn befolgt, so geht die Stationsausgleichung anders 
vor sink. fiei einer beitiminten Stellung des Horizon talkreises 
schneidet man nacheinander die Punkte 1, 2, . . ., s em und liest die 
entsprechenden Kreisstellungen l lt i*, . . ., l t ab; man hat so einen 
Beobachtungssatz erhalten. Bezeicbnet man mit k den Winkel, den 
die Hichtung 1 mit der der Ablesuug entsprechenden Richtung 
ruacht und mit X, Y, Z, . . die Wiukel, welehe die Richtungen 
2, 3 ; 4. ... mit 1 bilden, so hat man die Fehlergleiohungen : 

k /! = j, 1; -f- X Z 8 r 2 , fc -j- 1 / a v. A usw. 

Jeder neue Satz mit einer neuen Limbusstellung gibt ein neues 
System analoger Gleichungen, in denen an Stelle von I eine rieue 
TJnbekauute V auftritt. So liefern r Satze sr Gleichungen (wenn 
jeder Satz vollstandig ist, was im ullgemeineii nicht zutrifft) zwischeu 
r -j- s 1 Unbekannten, aus denen man mit Hilfe der Nonual- 
gleichungen die Werte X, Y } Z, . . . und die Gewichtskoef fizieuten 
ableitet. Diese Methode stamint von B^ssel 1 **). 

b) Netzuusj/leichuny. Wieviel Bedingungsgleiclmngen bestehen 
zwischen den Elementen eines NetzesV Urn die relative Lage von n 
F J unkten auf einer Flache zu bestimmen, muB man 2 H Stiicke 
(Entfernungen oder Winkel, cine Eutlernuug niindestens) messen; 
jedes weitere gemessene Stiick Ia8t sich als Fuuktion dieser 2n 3 
Stiicke darstellen und liefert so eine Bedingungsgleichung. Siud li 
Basislinien und M Wiukel in einem Net/ ron n Punkten gemesBen, 
so ist die Anzahl der Bedingungsgleiehuugen deshalb: 

(48) M + B 2n + 3. 

Man teilt diese Bedingungsgleichungen in drei Kategorien 168 ) : 



li>2) Gradmessung in OfltpretiBen, Abliandl. 8, p. 89. Wegen der Aus- 
gleichnug von Satzen vgl. aach James aiid Clarke 6 *), p. 62; Cli. A. Vogler, 
Zeitschr. f. Vermess. 14 (1886), p. 49; F R. Htlmert, ibid., p. 2C3. 

H?3) Die Zalil der Polygon- und Seiten^leichungen ist von C. F. Gaufi 
befltiuant: vgl. dip Brifffc an Gerling vom 6. Juni 1838 und 14. Nov. 1838, 
Werke 9, p. 323; s. a. p. -297. Die bezuglichen Formeln vou Gauft Bind von 
Cti, L. Gerlimg publi?iert und bewieaen in: Die Auegleichungsrechnungen der 
praktiecLen Geometric, Hamburg 1843. Gaufi macht keiuen Unterschied zwisohen 



31. Ausgloichuner 187 

1. Winl dgleichiu f n(je.n\ diese sagen aus, daB die Winkelsumme 
eines geodatischeii Polygons von r Seiten gleicb 2(jr 2jR ist, ver- 
mehrt uin dtTi spharoidischen. ExzeB. 1st die Xabl der Stationen n 
mid I die Zahl der von beiden Seiten beobacliteten Linien, so ist die 
Zahl der Winkelgleichungen: 

(49) I n -i-l. 

2. Seitenylcichunfjeii. Um n Pvmkte miteinander zu verbindea, 
muB man auBer einer direkten Langeutuessung die relativen Ricbtungeii 
von *2n 3 Linien zwischen diesen Punk ten besiimruen: die Richtung 
jeder anderen Linie, die z\vei von diesen Punk ten verbindet, ist darn 
bentimnit. Wenn desbalb die Hichtungon von / Linien beachtet sind, 
so hat matf 

(50) / 2n 4-3 

Bedingungsgleicbungen, die man Seitengleichungen nennb. 

3. I>asi<$i/lcichiiHff(M 1 **). Da cine Basismessnng geniigt ; HO ergeben 
sicb. wenn B Basislinien geinesseu sind: 

(51) B 1 

Bedingungsgleicbnngen, die Basisyleichunym beiBen. 

Maa verifixiert leicbt, dafi die Surame von (49), (50), (51) gleich 
(48) ist, da M = I -f I 11. 

Die Aufstellung der Winkel- nud Basisgleiclmngen bietet keine 
Scliwievigkeit. Bei den Seitengleichungen k;ujn man drei Typen 
unterscheideD : 

1. Viereck mit seimn beiden Diafjonalcn. Man hat (Fig. 15 a): 

sin (GHA) sin (D VA) sin (ADS) 
= sin (ACS) sin (ADC) sin (DBA). 

Nennt man 7,, / 2 , . . ., 6 die beobachteten Werte der sechs in dor 
vorstehenden Forinel auftretendeu Winkel und (1), (2), (3), . . ., (0) 
die unbekannten Korrektionen (in Sekunden), so kann man Gleichung 



den tvur von ciner und den von beiden Seiten beohachteten Tjinieu; Jordan, 
Handbuch 1, gibt die Formeln mit Boriickeichtigung dieses Untcrsohiedep. Vgi. 
auch James and Mnrke**), p. 2771 .: F. M. Htlrrwrt, Pio Ausgleiohungsjechaung 
nsw., Leipzig 1872, p. 325; B. v. Prodzyn&ki, Asir Nacbr. 75 (1S69), p. St. 

164") Um die Rechuungen nichi, KU koinpluioreu, geh(/ man bfti der A.;:3- 
gleicbung eiues NetzcR gow5hnlich von ciner Basiw aus, o>me die Btsi&gleichiirjgen 
zu bcracksicbtigen. Kin ) angenilhcrte Mothocle, DJTI do.itn deii GiundhnUm- 
anschliisscn Reclinung zu trapcn, ist ange<jebon und WJgeiand| in : vl. Lorf>c/> 
und 1,. Kriigcr, Die europ?:ischc La,ngcngra<ime"sb"i,!7 iu ?2 Grad Breit* 2, Bsrlin 
1896, p. 2i~30. 



188 



VI i, 3. P. Piseetti. HOhere Geodftsie. 



(52) (mit Vernachlascigung der Quadrate der Korrektinnen) schreiben: 

(1)4\ + (2) A, + <B) A, - (4)A 4 - (6)A, - (6) A. + IP - 0, 
wo 

W log sin Jj -j- lg 8 n t ~f- lg 8 i ^3 
log sin Z 4 log sin Z 5 log sin ? 6 

let und A r die Andenmg von log sin l r bei der Anderung yon l r am 
1" bedeutet. Sind in einem Viereck rait den Diagonalen je zwei 
Wiukel an alien 4 Ecken gemessen, so kann man der Seiteugleichung 





Fig. 16. 

4 gleichberechtigte Formen geben. Ftir die Rechnung ist es am vor- 
teilhaftesten, bei der Aufstellung der Seitengleichung diejenige Ecke 
des Vierecks auazuzeichnen, der die groBte Dreiecksflacbe gegentiber 



2. Geschlossenes von cinem Pwikie profixiertes Polygon (Zentral- 
sygtem) (Fig. 15b). Mnn hat im System der Dreiecke OAI1, 
OBC, . . ., OEA die Gleichuiig: 

sin OBA sin OCB sin ODC sin OED sin OAE 
sin BAO sin CBO sin DCO sin EDO sin AEO, 

die man in ahnlicher Weise wie (52) transformiereii kann 165 ). 

3. Aufier diesen beiden gewohnlichen Fiillen von Bedingungs- 
gleichungen hat man noch einen weniger einfachen Fall, der bei der 
Betrachtung eines Nettes, das sich urn tin geschlossenes Polygon hin- 
ziekt (Fig. 16) (Kramsystem) iw ) } auftritt. Wir nennen ein Netz, 

164*) G. Zachariae, Die geodatiaohen Hauptpunktt nsw., Berlin 1878, p. 152; 
Jordan, Handbuch 1, p. 299; C. F. Oauft, Werkc 9, p. 246, 249, 326. 

166) Bei dieaer und der Forme! ds vorhergehenden Falles nimmt man an, 
daB die Wiukel bereite um /, des spharoidischen Exzesses korrigiert seieu. 
Strengere Formeln, bei denen die Krummungsdifferenz in den drei Eckpunkten 
det Dreiecks beriicksichtigt wird, eind von C. H. Kummel! gegeben [Astr. Nachr. 
80 (1877), p. 49 j. 

166) Die Bedingungsgleichnngen fur ein Kranzsystem sind bereita von 
C. F. Gauft auigestellt, wie aut aeinem Nachlafi hervorgeht, Werke 9, p. SS9 



SI. Ausgleichuug. 



189 




Fig. 16. 



in dem nur Seitengleichungen des ersten oder zweiten Typus auf- 

treten, ein gewohnlickes Netz. Deformiert man ein solches Netz in 

der Weise, daB xwei auBere Drei- 

eckspunkte mit zwei anderen zu- 

sammenfallen, so entsteht ein 

Kranzsystem. Die Zahl der 

Linien ira deforraierten Netz ist 

um 1 geringer als im urspriing- 

lichen Netz, die Zahl der Drei- 

eckspunkte urn 2. Erinnert man 

sich an (48) und (50), so sieht 

man, dafi im Kranzsystem, wenn 

die Zahl der gemessenen Stiicke 

unverandert bleibt, vier Bedin- 

gungsgleichuugen mehr als im ge- 

wohnlichen Netz auftreten; von 

diesen sind drei Seitengleichungen und eine einc Winkelgleichung. 

Die letzte bezieht sich auf die Winkelsurnme in dem inneren Polygon 

ABODE. Um die anderen drei zu erhalten, stellt C. F. (ran fi 

erstens die Bedingung auf, daB die Lange einer Netzseite, wenn 

man durch das Netz hindurch rechnet, sich unverandert ergibt, und 

zweitens die Bedingungen, daB die Koordiuaten eines Netzpunktes 

denselben Wert erhalten, wenii man auf irgend einem von den Seiten 

des Kranzsystems gebildeten Linienzuge zu ibm zuriickkel i t. 

Beziiglich der Netzausgleichung ist noch der folgende Satz von 
0. Schreiber erwahnenswert 167 ): Wenn in einem Dreiecksnetze mit 

839 (B. a. die Bemerkungen von L. Kruger dazui. Der Publikationszeit 
nach stammt die erste Methode zur Ausgleichung der Kranzsysteme von B. v. Prod- 
zynski, Astr. Nachr. 71 (1868), p. 145. Ferner hat 0. Borsch, Astr. Nachr. 71 
(1868), p. 26(5, eine Methode angegeben. Ein anderer Weg zur Behandlung des 
Problems ist von O. Schreibcr eingeechlagen, derrechtwinklige geodatische Koordi- 
uaton benutzte (Egl. PreufJ. Landestriangulation , Hauptdreiecke , 1. Teil. Berlin 
1870). Vgl. auch L. Kriiger, Beitr^ge zur Berechnung ron Lotabweichungs- 
aystemen, Potsdam 1898, p. 2930. 

167) O. Schreiber, Zeitschr. f. Venness. 11 (1882), p. 129. Es aei n die 
Zahl der Unbekannten und r die Zahl der Bedingungagleichungen. Das Theorem 
von Schreiber lanft dann in Wirklichkeit auf die Beschrankung der Beobachtung 
auf die n r nnumganglich notwendigen Unbekannten hinaus, d. h. auf die Ab- 
schaffring der Ausgleichung. Aber es ist zu bemerken, daB zur Bestimmung 
einer Funktion F die eine oder aiidere Wahl der zu messenden Unbekannten 
keineswege gleichgiiltig ist. Wahlt man die n r Unbekaunten beliebig, was 

auf I ] verschiedene Arten ino glich iat, eo wird der mittlere Fehler von F im 



190 VI i,3. P. PizirtH. Hfihere rteodlsie. 

Bedingtmgsgleichungen cine- Seite mit moglichst groBem Oewicht, bei 
konstanter Surarae [j>] der Winkelmessungsgewichte p lt p.,,, . . . be- 
stimmt werden soil, so ist unter den hierzu moglichen Verteilungen 
der Gewichte p l} 2%, ... jedenfalls eine Verteilung, in weleher nur 
so viele Gewichte p wirklieh vorkommen, als die Zahl der xnr Be- 
stimmung jener einen Seite ummigiinglieh notigen Winkel betragt, 
wahrend die flbrigen Gewichte p alle gleich Null zu set/en sind. 

32. Ausgleichung nachvermittelndenBeobachtungen. Udmurt 1 **} 
hat zur Ausgleichung einer Triangulation eine andere speziell fiir 
groBe Netze zweckmafiige Methode angegeben. Er uimrat an, daB 
mit Hilfe der unkorrigierten Triangulationsdaten provisorische VVerte 
fQr die Langen und Breiten der Dreieckspunkte und die Aziumte d< i r 
Dreiecksseiten berechnet seien, und fiihrt dunn die yerbesseruugen 
dieser GroBen als Unhekannte ein. 

Wenn die Euden / und /, eiues geodatischen Bogeus die iuh ni- 
tesimalen Anderungen tt<fi if 6(f^. in Breite und 610^ Sa) k in Lange er- 
leiden, so erfahrt das Azimut u ik der geodatischen Linie im Punkte 
die Anderung 169 ): 

I e* /dm\ . 1 . 

sui a o<f i -yy T sin H 9y> k 



ooi^ 
-f (4*4 dojj - w r-cs t ,j. 



wo m ik die reduzierte Lange desBogens (tic) nach Christoff d (Nr. 16) ist. 

Es sei nun |4 das provisorisch berechnete Azimut der Richtung 

(ify im Punkte /, ferner u t der Orientierungsfehler der Beobachtuugen 

einer Station (bei Beobachtungen niehrerer Siitze auf eintn- Station 



allgeuieiuen betr3,cbtlicb groBer ein, als wenn man die Beobachtungeu auf siimt- 
liche Unbekannte verteilt und auegleicht. tlber die Regeln fur eine geeignete 
Answnhl, die praktisch /.u groBen Komplikatioueii fiihrt. vgl. Jordan, Handbuch 1, 
\>. 144. Aber aurb unabhiiugig von dieer Scliwierigkeit ist zu beachteu, dafi 
ein System von VViukelmesanngen iui allgemeinen nicht zur Beetimmuiig einer, 
soiidern mehrer^f Funktionen dient. Eine i iir die Bestimumng eiuer Funktion 
passende Wahl der Uubekanuten wird dann aber im allgeraeinen fiir die andoreu 
Funktioiien ni lit pasecn. KB wird daher trotz des Satzea vou ScJtreibcr im all- 
geuieinen die Messung iiberschussiger GroBen und uaohfolgende Ausgleichung 
vou Nutzen fin Allgemeiuerellntersuchungen hieriiber tindet man bei //. Jiruns, 
Cber eine Aulgal>e der A usgleichungsrecbniiog, Leipzig 18H6. 

168) H O. i. p. 49u -512. 

169) Helmirt, H. (J. 1, p. 282. Man erhiilt dieee Foruiel aus deu Differential- 
foruieln von E. H. t hrwtuft fl (vgl. Ende vou Nr 18). 



32. Ausgleichong nacb Termitteluden Beobachtungen. 191 

1st fUr jeden Satz ein besonderes einzufflhren). Bezeichnet man 
dann mit l ik den beobachteten Wert der Richtung (fjfe) und mit v tk 
die plausibelste Verbesserung, so ergibt sich die Fehlergleichung: 

(54) a ik 4- da ik = l ik -f u< -f v ik , 

in der man fiir 6a ik den Wert (53) zu substituieren hat. Diese und 
aualoge Grleichungen fur die ftbrigen Richtungen der Station i und 
fur die anderen Stationen werden nach der Methode der vermittelnden 
Beobachtungen behandelt. 1st n die Zahl der Dreieckspunkte, ri die 
Zahl der Stationen, so hat man: 

ri 1 Unbekannte u und 2(n 1) Unbekannte dtp, <Jo, zusaramen 
also n -f- 2 n 3 Unbekannte (da man auf der Ausgangsstation 
dip = rfco = u = annehmen kann). 

Jede gemeasene Basis lie tort cine Gleichung: 

~ 



cos 9 A 



A j 

-f (do,. 6 Gj t ) - sin a ki j = , 



in der s ;i die mit den provisorischen Werten <p if <p k , >,, n k berechnete 
Liinge des Bogens (ik) bedeutet. Die vorstehende Gleichung wird wegen 
der geringen Messungsfehler der Baaismessungen nicht als Fehler 
gleichung, soudem als Bedingungsgleichung (rechte Seite Null) be 
handelt; die Basisniessungen werden also streng befriedigi 

Nimmt man B Basislinien und R Richtungen als gemessen an 
(und wie iiblich die Koordinaten und das astronomische Azimut in 
einem Punkte als bekannt), so hat man R -f- 13 Gleichungen und folg- 
lich 

R + B (w -j-2 3) 

Bedingungen, was mit (48) stimnit, da M R n ist 170 ). 

170) Ausser deu bereite zitierteu Werkea vgl. fiber Nefczausgleichung noch: 
A. M. Nell, Schh ifrmachers Mefchode dor Winkelauegleichung in einem Dreiecks- 
net/e, Z. f. Vennese. 10 (1881), p. 1 und 109 (ehe die Normalgleichungeii ge- 
bildet werden, werden BUS den Korrelatengleichungen soviel Korrelaten eliminiert 
als Winkelgleichungen vorhanden sind); Z. f. Vermess. 12 (1883), p. 313; C. Ilinipt, 
Astr. Nachr. 109 (1884), p. 7; P. Simon, Gewichtebestimmungen fur Seiteurer- 
hultnisse uaw. Berlin 1889; L. Krtiger, Astr. Nachr. 133 (1893). p. 153; F. H. Helmert, 
ibid. 134 (1894), p. 281 und in: Die Europaische Litngengradinessung in 52 Grad 
Breite, Heft 1, Berlin 1893, p. 33 60; L. Kruger, Beitr age zur Berechnung von 
Lotabweichungssygtenxen, Potsdam 1898; Cber die Ausgleichnng von bedingten 
Beobachtungen in zwei Grruppen, Potsdam 1906; Zur Ausgleichung der Wider- 
sprQche in den Wiukelbedinguugsgleichungen trigonometrisoher Neize, Pots 
dam 1906. 



192 VI i, 3. P. Pizzetti. Hfihere Geodasie. 

33. Oenauigkeit der Basis- und Winkelmeasungen. Wir werden 

hier einige summarische Notizen und Literaturnachweise iiber die 
Geuauigkeit der Triangulationen geben. 

Basismessiingen. Den zusammengesetzteu mittleren Fehler bei der 
Messung einer Basis Ton der Lange I km kann man (lurch 



B*I 

darstellen, wo A der mittlere systematise}!* und B der mittlere zur 
falliye Fehler (fiir 1 km) ist. Der mittlere Fehler A hangt haupt- 
sachlich von den benutzten Instrumenten m ) und von den Mangeln 
der Vergleichung der Stange mit dem NormalmaB ab. Urn B zu be- 
stimmen, teile man die Basis in n Abschnitte von der Lange l lf 1 2 , . . ., l n 
und messe jeden Abschnitt zweimal. Sind d l} d i} ..-,d n die Diffe- 
renzen zwischen den Hin- und Riickmessungen, so kann man setzen 172 ): 



2n 

Der eigene Fehler der Basismessung ist aber imiiier viel kleiner 
als der, der aus dem VergroBeruugsnetz entspringt (Nr. 29), so daB 
es nach A. Ferrero) zweckmaBig ist, den mittleren Fehler der be- 
rechneten Basis anzugeben, d h. der ersten Seite im Dreiecksnetz 
erster Ordnung, die mit Hill e des VergroBerungsnetzes aus der ge- 
messenen Basis abgeleitet ist. Der mittlere Fehler der berechneten 
Basis liegt im allgemeinen zwischeu 55^5 und ^^ und ist vier- bis 
fiinfmal so groB wie der mittlere Fehler der direkten Messung 174 ). 

Winkdmessunyen. Eine erste Genauigkeitssehatzung fiir die 
Winkelmessungen gewinut man aus den mittteren Fehlern der Stutiotw- 
ausgleichungen. Dabei bleiben aber gewisse systematische Feliler (wie 
z. B. Lateralrefraktion), die man durch Vergleich der auf den ver- 
schiedenen Stationen gemessenen Winkel erhalt, verborgen. Deshalb 
leitet man auf die einfachste Weise den mittleren Winkelfehler nach 
der Jerrcroachen Formel 175 ) 

(A) m 



ab, wo n die Zahl der Dreiecke, in denen alle drei Winkel gemessen 
Bind, bedeutet und A x , A 2 , . . . A, ihre Scfdufifehler. Die Formel (A) 

171) Bezfiglich der Fehler bei BaBiBmeseungen vgl. Kuhnen und Schumann 13 *). 

172) S. z. B. Jordan, Handbuch 2, p. 55. 

173) Intern. Erdm. 1892, Rapport BUT lee triangulationi, p. 7. 

174) Intern. Erdm. 1898, Rapport sur les triangulations, p. XXVI XXXV; 
1908, II. Tort, p. 2*4. 

176) Intern. Erdm. 1887. 



33. Genauigkeit der Basis- und Winkehnessungen. 193 

berftcksicLtigt die Netzbedingungen nicht und ist deshalb nur ala 
Naherungsformet aufzufassen; sie empfiehlt sich aber durch ihre Ein- 
fachheit 176 ). L. Tfrwprer 176 *) hat sich init einem Vergleich der Formel (A) 
und der aus der Ausgleichung heryorgehenden in folgenden Fallen be- 
schaftigt: 

a) Zentralsystem (vgl. Nr. 31) mit unabhangigen Winkelbeobach- 
tungen der drei Winkel eines jeden Dreieclcs. 

b) Zwei Zentralsysteme, die durcb zwei gemeinsame Dreiecke 
zusainmenhangeu mit Winkelbeobachtungen. 

c) Einfache Kette mit unabhangigen Ricbtungsbeobachtungen. 

d) Falle a) und b) mit unabhangigen Richtungsbeobachtungen 
von gleichem Gewicht. 

e) Polygon, in dem die Richtungen aller Seiten. und Diagonaleu 
beobachtefc sind (Richtungsbeobachtungen von gleichem Gewicht). 

f) Doppelkette, die von einer Reihe vollstandiger Vierecke ge- 
bildet ist. 

Aus den beigebrachten Beispielen geht hervor, daB in den meisten 
Fallen die Formel (A) einen zu kleinen mittleren Fehler liefert. Nur 
im Falle e), wenn man nur die WinJcelyleich ungen beriicksichtigt, 
fuhrt die Ausgleichung zu demselben Wert von m wie (A). 

Man kann im Mittel m gleich 1" setzen. Die beste Bestimmung 
des mittleren Winkelfehlers erliJilt man aus der gesaniten Ausgleichung 
des Netzes und der Stationen 177 ); der auf diese Weise gefundene 
mittlere Fehler ist im allgemeinen etwas grofier als aus Formel (A) folgt. 

Gena-uigkeit der geodatischen Verbindivng. Ein Mittel zur SchJitzung 
des Einflusses der Winkelfehler auf die geodatisehe Verbindimg be- 
steht in dem Vergleich zweier direkt gemessener Basislinien, die durch 
eine Triangulation verbunden sind. Sind b i} b t die geuiessenen Langen 
der durch n Dreiecke verbundenen Basislinien und nennt man 

A lt At, ...,4,,^,.^, ...,B n 
geeignet gewahlte Winkel, so mufite man haben: 

(55) log 6, log ft, = Jlog sin A r J^log sin B r . 

Wir nennen nun die beobachtete Differenz zwischen den beiden 
Seiten von (55), wobei A r , B r die aus der Netzausgleichung abgeleiteten 
Werte sind, kurz MiiJstimmigkeit der beiden Basislinien. Diese kann 

178) Vgl. die Tabelle der nach Formel (A) berechneten mittleren Fehler 
fHr die veredbiedenen Triangulationen in Intern. Erdm. 1898, Ilapport sue les 
triangulations, p. VI. 

176) Zeitschr. Math. Phys. 47 (1902), p. 167. 

177) Intern. Erdm. 1898, Rapport sur les triangulations, p. XIII. 



194 VI i,3. P. Piezetti. HShere Geodasie. 

1) von den Fehlern der BasismesBung selbst, 2) von den Fehlern in 
den VergroBernngsnetzen und 3) von den Fehlern des Verbindungs- 
netzes verursacht \verden. Im folgenden Bind einige Mifistimmig- 
keiten von Basispaareu in Einheiten der siebenten Dezimale des Loga- 
rithmus zusaininengestellt 17S ). 



d M 

Berlin Konigsberg 23 4- 32 
Konigsberg Strehlen 23 + 35 
Strehlen Caenstochau -j- 



8 M 

Ostende Lommel -|- 32 4- 46 
Lommel-Bonn + 38 31 
Bonn Gtittingen 12 4: 14 
6 ist die beobacbtete MiBstimmigkeit und M die a priori aus den 
mittleren Fehlern der berechneten Basisiinien gefundene mittlere MiB 
stimmigkeit; in M gehen die Fehler des Verbindungsnetzes also nieht 
ein. DaB ft groBtenteils kleiner als M herauskomint, ist wohl Zufall 179 ); 
aber es beweist doch, daB in den betrachteten Beispielen das Ver- 
bindungsnetz die Ungenaaigkeit der geodatischen Verbindung kuum 
vergroBert 18 ). 

Es ist bis jetzt nicht nioglich, numerisch den Genauigkeitsgrad 
einer geodatischen Verbindung anzugeben. Nur soviel kann man 
sagen, daB 1) die Hauptfehlerquelle das Vergro Berungsnetz ist und 
daB 2) der aus dem Verbindungsnetz herriihrende Fehler kleiner ist 
als man ihn nach den aus der Netzausgleichuug resultieren<len mitt 
leren Fehlern erwarten sollte 181 ). Diese Ausgleichung tragt deshalb 
wahrscheinlich zur Elimination gewisser systematiacher Fehler bei, 
deren Wirkung sich in den Widerspruchen der Bedingungsgleichungen 
zeigt. 

C. Huliciiimvisnuu:. 

34. Trigonometrisohes Nivellement. Es mogen A und B 
(Fig. 17) zwei Punkte der Erdoberflache sein, h a und h b ihre Hohen 
fiber dem Referenzellipsoid. Die Differenz h b h a kann dann an- 
naherungsweise mit Hilfe der Messung einer oder der beiden schein 
baren Zenitdistanzen ^, ^ bestimmt werden. Die durch B geheude 
Norraalebene in A moge die Ellipsoidoberflache langs A B schneiden; 

17 v Ibid. Tableau II und HI. Man bemerke, daB 10 Einheiten der siebenten 
Stelle dos Logarithmus ungofahr einem prozeutualeii Fehler von ^AQQQ enteprechen. 

179) Ganz anders iet ee bei der ruseischeu Triangulation , wo M noch 
nicht + 60 erreicht, w ahrend die beobachtete Mifistimmigkoit bis zu 2609 Ein 
heiten geht. 

180) Das folgt in anderer Weise auch aus den Rechnungen von Htlmert 17 ), 
p. 244. 

181) Intern. Eidm. 1898, Rapport eur leg iriangulations, Tableau III. 



34. Trigonometries hs Nivellement. 



195 



bei dera gegenwartigen Problem kann man dann ohne merklichen 

Fehler die Linie AS durch den Kreis- 

bogen ersetzen, der sie in A oskuliert. 

In der Tat, wenn der Radius dieses 

Kreises J? 1st und s die Entfernung 

Alt , so ist der Abstand dea Punktes 

If voo dem genannten Kreise sebr 

nahe gleich 




d R 

Setzt man fur die Ableitung --^- den 

in Nr. 13 gegebenen Ausdruek, so er- 

kennt man leicht, daB die genannte 

Abweichung kleiner als 0,006 m ist, 

fflr a = 50 km. Ist C der Krii inmungs- 

mittelpunkt fur A } so kann man mit 

derselben Annaherung die Normalen in 

den Punkten des Bogens A I? sich in 

C schneiden lassen. Den Gang des Visierstrahles zwischen A und 

& berechnet man, indem man die atrnospharisehe Refraktion auf 

Grund derselben Hypothese berflcksichtigt, die man in der Astronomic 

gebraucht, d. b. man setzt voraus, daB die Atinosphare aus homo- 

genen sphariscbeu Schichten mit dem Mittelpunkt C zusammengesetzt 

sei. Ist i der Winkel, welchen der Visierstrahl in einem Punkte M 

mit dem Radius CM bUdet, y der Winkel A CM, t der Radius CM 

imd v der Brecbungsindex in M, so hat man: 

vtsini = konst. (aua der Refraktionstheorie), 

== tcotgi (nach den Formeln fur die Polarkoordinaten). 

Wir setzen weiter 

t dv _ (in , 

" "dt ~ n dl^ n 

und bezeichnen mit dem Index 1 die GroBen, die sich auf den Ponkt A 
beziehen. Betracbtet man dann t als Funktion von y, so findet man 
mit Hilfe der Taylorscben Entwicklung 



.(57) 



F der Winkel ACS ist und r t CA. 



196 VI i, 8. P, FiezetH. H&here Geodfciie. 

Setzt man r v F**= s l = der horizontalen Entfernnng tM ) zwischen 
A und B im Niveau dea Pnnkteg A gemessen, so wird: 

** *. *i<5 fc gi -f cotg k 4- i 



Yernachlassigt man hierin die Glieder dritter Ordnung und das 
(meistens zu vernachlassigende) Glied 



so reduz.inrt sich diese Entwicklung auf die eiufache Form 
(58 ) Ji, - h a s, cotg (g t ^ sj) , 

oder auch, wenn man beachtet, daB ^ in praxi wenig verschieden 
von 90 ist: 

(58") h b -h a = ^cotgS, -f 



Diese Formeln 188 ) werden gewohnlich bei dem trigonometriachen 

Nnelloment gebraucht. 

Man sieht leicht, daB man zu derselben Formel gelaugen wiirde, 
wenri man den Yisierstrahl als geradlinig voraussetzt und die Zenitli- 

distanz in A gleich ^ -\- - T, wenn man also annimmt, daft der 

Lichtatrahl in A den Winkel ~ J 1 mit der Sehne AB bildefc. 



Betrachtet man i als Funktion von / und entwickelt nach Taylor, 
so ergibt sicb: 

(59) 180 - ^ = ti -f F( Wl - 1) + y n. r, cotg^ + . . . 

Wenn man in (58) die Glieder dritter Ordnung vernachlassigt, 
was darauf hinausliiutt, dafi man die Kurve A B durch den Beriih- 
rungskreis in A oder J5 ersetzt, so kann man auch in (59) die Glieder 
mit f 12 vernachlassigen, und es ergibt sich 

(60) n, r- 180 - St f + F, 



182) Helmert (H. G. 2, p. 655) gibt die Entwicklnng bis zu den Gliedern 
rierter Ordnung einsohl. Vergl. aueh: Pucci, Fondamenti, cap. VI. 

183) Abgesehen von kleinen Unterechieden in der Form, findet man Formel (58") 
bei Laplace, M^c. eel. 4, p. 279. Fur die GrOBe n, iet dort ihr Ausdruck alfl 
Fonktion der meteorologischen Daten gesetzt. Dieaelbe Formel findet man in 
alien und neuen Lehibiichern der Gcodasie, i. B. L. Puissant, Trait^ de ge ode gie 1, 
chap. XX. 



&5. Der Refraktionekoefhzient als Ftmktion d. atmOHpharischen Verhaltnissfi. 197 

worn it gezeigt ist, daB nF in dieser Anraiherung die totale iie- 
fraktion DEB ist. Die Grofie M (das Verhaltnis zwischen der to- 
talen Refraktion und der WinkelgroBe des Erdbogens A K) nennt 
man den Jtyraktionskoeffutienten. 

Die Formel (60) zeigt, wie n t zu berechneu ist, wenn die beiden 
fW/enseitiffen Zenitdistanzen x , ^ gemtsaen sind. In diesein Palie 184 ) 
kaim man indessen die NiveaudiflFerenz bequemer ohne die Berechnung 
von n l erhalten. Denn setzt man -^ EAB = -^C ESA A, so er- 
gibt sich aus dem Dreieck ACB: 

2A - 180" + F 




_ * _ 

s, tg -f A, tg" 

i-tgytg- 

Da der Refraktion skoeffizient mit den atmospharischen Vyr- 
haltnissen sich andert, miissen die beiden gegenseitigeri Zenitdistanzon 
gleichxeitig gemessen vrerden. Die aus deu klaasischen Arbeiteij iiber 
Hohenmessung abgeleiteten Werte des Koefftzienten n sind 1 * 5 ): 

(1736) P. L. M. de Maupertvis (Lapplaud) n = 0,1053 
(1751) T. Mayer (Frankreich) 1250 

(1792) J. B. J. Delambre (ebeuda) 1678 

(182126) C. F. Gau$ (Hannover) 1306 

(1831) F. G. W. Struve (lluss. Ostseeprovinzen) 1237 
(1834) F. W. Bessd (Ostpreufien) 1370 

(1849) J. J. Baeyer (Kustenvermessung) 1300 

(1858) H James und A. R. Clarke (England) 1587 
(187075) Preufiische Landesaufhahme _ 1180 

~Mittel 0,1322 

Wenn man die Annaherung, die Formel (60) entspricht, nicht filr 
geniigend halt, so mu6 man die Glieder beriicksichtigen, die von den 
Ableitungen n , n , . . . von abhangen. Man vergleiche in dieser 
Beziehung die Arbeiten von Jordan und Hdwerl 1 * 6 ). 

35. Der Befraktionskoefnaient als Fuiiktion der otmosphuri- 
schen Verhaltnisse. Man verdankt J. J. Baeyer m ) den Gedanken, daB 



184) J. B. J. Ddambre, M\5tliodes analytiquB, p. 98 ff. 

185) Jordnn, iiandbuch 2, p. 509. 

186) W. Jordan, Astr. Nachr. 88 (187tt), p. 99 oder Handbueh 2, p. 587. 

187) Astr. Nachr. 14 (1837), p. 66; 17 (1840), p. 206; Trigouometrisches 
Nivcllement zwischen Swineiuimde und Berlin, Berlin 1840; Petersb. M^m. Akad. 
(7) S (I860), Nr. 5. In der letzten Abhaudluog gibt Baeyer die Resultate einer 

Enoyklop. d. math. Wissenich. VI 1. 14 



] 98 VI , 3- P- Wtt. HOhere Geodasic 

die Refraktion urn Mittag kleiner ist als am Morgen und Abend, weil 
urn Mittag die Abnahme der Temperatur mit der Hohe einc gro&ere 
ist und darum die Verrainderung der Luftdichte bei wacbsender Hohe 
einc geringere. 

Baeyer setzt w=*afe, wo b der absolute Wert der Zeit, von 
Mittag aus gerechnet, ist, der ale Bruch des halbtagip^n Sonnwiliogens 
auszudriicken ist; a ist eine Konstante, der Baeyer auf Grund seiner 
eigenen Beobachtungen den Wert 0,2132 gibt. Eine solche Formel 
hat den Nachteil, dafi die Refraktion um Mittag Null wird; es ist in- 
dessen irnmerhin das Verdienst von Baeyer, die Abbangigkeit des n 
von der Tageszeit erkannt y.u haben. 

Das Gesetz der Veranderang der atraosphtiriscben J.)ichte uiit 
der Hohe iat bekannt. wenn zwiscben zweipu der vier GroBen fe> 
(Dichte). p (jDruckj. & (Temperatnr) und t Hob* 1 ) fine empirische 
oder hypothetische Relation angeuoiouien wird (uuBer derjenigen, welche 
die Gesetze von Boyle und Gatf Lussfic liefern). Wird nun & als 
bekannte Funktion von t ausgedrttckt und wird die eine der beideii 
folgenden Beziehungen: 

v \ =: c & , tJ 2 1 - 2c# , (c 0.000293) , 

die in der astronomischen Theorie gebraiicht werden, benutzt, so hat 
man v und desbalb n alb Funktion von t und den meteorologischen 
Daten ausgedriiokt. 

Bawrnfeind***) hat zwischen dem Druck p uad der absoluten 
Temperatur T 273 -}- It die Beziohung 



r 
angenommen, und fiir die Dichte die Formel 



abgeleitet, wo die H6he h des Puuktes in der Weise zu berechnen 
ist, dafi man im Meeresniveau /< (1 51 400 m hat. In geeigneterer 
Weise hat sich Jwdan wv ), ohne eine willkiirliche Funnel fiir die 
Konstitution der Atmosphare einzuftihren, damit beguiigt, n mit Hilfe 
des Druckes, der Temperatur und der Warineabnahme auszudriicken, 



lieobachtongaBerie von re/iproken ZenitdietftnEen fiir die venchiedeneu Tagea- 
otunden wUchen Kupferkuhle nod Brocken \Entfernung 48 km, Nivoauuuter- 
>chid 971 m). 

188) C M. von BitUfrnfetnd, Att. Nachr. 67 (1866), p. 33. Krituche Notizen 
znr Theorie von Haufrnfeind tindet man in He.linrrt, H. Q. 2, p. 687. 

188) /.it v. 186, oder Handb. X, p. 536 



86. Empirische Untersuchungen fiber den RefraktioiiBkoeffizienten 109 



wobei er findet 190 ) 
(63) n 



0,2325 A (?!) (1-29,39*), 



wo B der Druck in mm ist, T die absolute Temperatur, x die Warme- 
abnahme in Graden fiir 1m Hohe [im Mittel nach J.Hann m ) x =0,005 7], 

36. Erapirieche Untcrsuchungen iiber den Refraktionakocffl- 
zienten. AuBer den erwahnten Beobachtungeu von Baeyer sind die 
Beobachtungen von Baiternfeind l<J *} in Bayern zu nennen zur Be- 
stiinmur.g der taglichen Variation der Zenitdistanzen zwischen zwei 
Punktpaaren Die von Baeyer beobachtete tagliche Periode hat sich 
dabei gut bestatigt. 

Hartl 193 } hat spater auf Grund der Beobachtungsresultate, die in 
sechs Gegenden Deutschlands und der russischen Ostseeprovinzen ge- 
funden sind, die folgende Tabelle fiber den Zusammenhang zwischen 
dem Koeffizienten n und der Tageszeit b, letztere, wie schon erwahnt, 
als Bruch des taglichen Sonnenbogeiis ausgedriickt, aufgestellt. 



0,0 



0,1 
0,10 



0,2 
0,11 



0,3 
0,11 



0,4 

0,12 



0,5 
0,13 



0,13 



0,7 
0,15 



0,8 
0,16 



0,17 



1,0 
0,19 



Nimmt man zwischen n und & eine Relation n = a + yb* an, so 
bestimmt er die Werte von x und y fiir jedes der sechs Nivellements- 
netze und erhalt im Mittl 

n = 0,1041 -f- 0,0840 V. 

Iiidem er dann in (63) die aus dieser Formel erhaltenen Werte 
fflr n einfQhrt, sucht Hartt die den verschiedenen Tageszeiten ent- 
sprechenden Werte der Warmeabnahme abzuleiteu und vergleicht sie 
mit den aus den Luftballonbeobachtungen Glaishers folgenden Werten. 
Der Vergleieh ist einigermaBen befriedigend. 



Laplace (Mec. eel. 4, p. 279) bat /.urn eraten Mai den Refraktions- 
k< eftizienten ftls Funktion der meteorologiichen Daten gegeben, indem er f5r die 
Konstitution der Atmosphate dieselbe Formel anwandte, die von ihm auch zur 
Berechnung der aetronomiBchen Refralction beuutzt worden war. Vgl. Frurnley 
in der Beilage VII /.urn Generalbericht der Kurop. Gradmeaaung, 1883. 

191) Handbnch der Klimatologie 1, p. 241, 2. Aufl., Stuttgart 1897. 

192) Ergebniatse aus Beob. der terrestrischen Ketraktiou, Munchen . 8bH io. 
Vgl. die DialniBftion dieeer Beobachtongen bei Jordan, Handb. 2, p. 689, und in 
0. Eggert, Vergleichungeu der Ergebnieee des geometr. and trigonom. Nivelle- 
meutH UHW., Dies. Berlin 1898. 

19S) H. Haril, Mitt, mil.-geogr. Inatitat Wien 1888, p. 110-136 und in 
der Zeitechr d. oaterreich. Geaellachaft far Meteorologie 16 (1881), p. 18. Sartl 
hat aueh den mittieren Refraktionskoeffizienten mit dor mittleren Hdhe h dee 
Visierstrahlei abet dein Meeresniveau in Beziehung za eetzen gesacht, vgl. Mitt. 
lail.-geogr. Inatitut Wien 4 (1884), p. 15. 

14* 



200 VI i, 3. P. Pizzetti. Hohere Geodasie. 

V. Reina und G. Occonetti 194 ) habeu zwischen Rom und Monte-Cavo 
(Entfernung 30 km, Hohenunterschied 900 in) eine Beobaehtungsreihe 
von gegenseitigen Zenitdistanzen an 11 Tagen ausgefiihrt, und haben 
eine Tabelle fur den Zusammenhang zwischen n und 1) gegeben. Der 
Grang der Zahlen ist regelmafiig, aber nicht symmetriseh zum Mittag 
(n variiert am Nacbmittag weniger stark). 

Reina hat auch vennittolet der Foraiel von Jordan die Werte 
von n berecbnet, indem er die Warmeabnahme aus gleichzeitigeu 
Thennometerbeobachtungen auf beiden Stationen bestimmte. Die be- 
obachteten Koeffizienten n ergeben sich iin allgemeiuen kleiner als 
die nach (63) berechneten; aber die Differenzen fibersteigeri (von 
wenigen Ausnahmen abgesehfii) nicht 0,02, was als eine gute Be- 
statigung der Jortfangchen Theorie angesehen werden katm. 

AbschlieBend kanu man sagen, da8 der sogenannte Refraktions 
koeffizient eine nicht gut bestimmte GroBe ist, und zwar aus zwei 
Grfiuden: 1) weil er von der Schnelligkeit dev Warmeabnahme mit der 
Hohe abhaugt. die sehr veranderlich ist mit der Tageszeit, mit der 
Ortlichkeit and mit der Beschaffenheit des Bodens, ttber deu der 
Visierstrahl bingeht, und 2) weil die Definition dieses Koeffizienten, 
wenn man ihn als unabhangig von der Entfernung betrachtet, nur 
in den Fallen gilt, in denen die Formel (58") als genugend genau 
betrachtet werden kann 196 ). 

Bei kleinen Entfernungen hat iibrigens die (JnBicherheit im Werte 
von n wenig Einfiufi auf die Berechnung der HohendiiFerenz, wie aus 
eifcer instruktiven Tabelle Jordans (Handbuch 2, p. 542) hervorgeht. 
So andert sich bei einer Entfernung von 5 km, wenn n zwischen 
0,10 und 0,16 variiert, die berechnete Hohendifterenz um nicht mehr 
als 11 cm; bei einer Entfernung von 10 km betragt die entaprechende 
Auderung 47 cm 196 ). 

37. GaometrvacL.es Nivallament. Wenn man von der grofiereo 
Prazision sowohl beziiglich der Instmmente als der Meosungen ab- 

194) Mem. Soc. Ital. XL (3) 10 (18*6), p. 14; Rezension von Jordan in 
Zeitschr. t . Verm. 26 (1897), p. 17. Siehe ferner A. Venturi und E. Soler, Prime 
ricerche mil coeff. di refraseione in Sicilia, Palermo 1893; feruer A. Ventwi und 
Loperfido in Riv. topog. e catasto 10 (1897), p. 10; C. A. Schott, R. C. G. 
S. 26 (1883), App. Nr. 12. 

195) Versuche, eine Beaiehung zwischen den Koeffizieuten n und der Ent 
fernung der beiden Stationen aufzustelleu, aind von E. Pucci gemacht: Sulla 
livellaz. trig., Firenze 1879; vgl. auch M. Dietze in Zeiteclu. f. Vermeu. 18 
(1884), p. 246. 

196) In demseiben Kap. von Jordan fmdet man auch auagedehnte Literatur- 
naehweiae EU diesem Gegenatand. 



87. Geometrisches Niyellement. 



201 



sieht, so unterscheidet sich die Beobachtungsmethode des geometri- 
sohen Nivellements nicht in der hoheren und niederen Gcodasie. Wuf 
werden mis deshalb darauf beschranken, den Umstand, der die Be- 
rechnung des Prazisionsnirelleiiients von der der topographischen 
Nivellements unterscheidet, zu behandeln, namlich die Beriicksichtigung 
der Abweichung der NiveautiUchen vom Parallelismus 197 ). 

Es mogen A and B 
(Fig. 18) zwei Punkte der 
Erdoberflache sein, S a und 
S b die zugehorigen Nireau- 
flachen und S die Nivean- 
nulinaclu , auf die die Hi hen 
bezogen werden. So lange 
diese Flachen als parallel be 
trachtet werden, hat die Defi 
nition des Hofaeuunternchiedes 
zwischen A und J5 keine 
Schwierigkeit; aber wenn man 




Fig. 18. 



auf ihre Abweichung vom Pa- 

rallelismus Rucksicht mount. 

so ergibt sich die Hohen 

differenz verschieden, je nachdem man aie defmiert 1) als das Stftck 

197) Nach S. Giiniher (Handb. d. math. Geographic, Stuttgart 1890) yerdankt 
man W. Fuchs (1843) den ersten Gedanken, den Nichtparallelumus der Niveau- 
flachen bei der Bereehnung der Nivellements in Rechnung zu ziehen. Die An- 
wendung der Potentialtheorie auf diesen Gegenstand wnrde zum ersten Male 
(nach Bruns) von Th. Wand (Prinzipien der math Ph/aik und Potentialtheorie, 
1871} angegeben. Th. Wittstein [Aatr. Nachr. 81 (1873), p. 292] und G. Zacharia* 
[ibid 80 (1873), p. 305] berechneten, indem sie von einer ungeniigenden Vorausaetzung 
fiber die Kriimmung der Lotlinien auegingen, die spharoidische orthometriache 
Korrektion. Der letztere verbesserte dann die eigentlicbe Formel fibid. 82 (1873), 
p. 73], indem er die Formel von Gfow/8 benutzte (vgl. FuBn. 31). Helmert [Aatr. 
Nachr. 81 (1873), p. 297] fiihrte die ,,reduaierte Niveaudifferenz" ein (welche spater 
von LaUemand .,dyniineche" genannt wurde), indem .er zeigte, dafl es bei dieen 
Rechnungen zweckmaBiger sei, die Werte der Schwerkraft einauiVibreri angtatt 
die Kriinimung der Lotlinien zu benntzen. J. J. Itaeytr [ibid. 84 (1874), p. 1] 
handelt von den Wirkungen der Kriimmung der Lotlinien (nach Gauft) und der 
lokalen Lotabweichungen auf die trigon. und geom. Nivellement*. Eine zu- 
sammeufaaseude Darstellung der orthometrischen und dynamischen Tbeorie findet 
man bei E. duber, Techn. Blatt. Prag 23 (1891), p. 86, 152. Ferner sei verwieaen 
auf .R v Sterneck in den Mitt. miJ.-geogr. hist. Wien 8 (1888), p. 69; F. R. Hel 
mert, Die Schwerkraft im Uochgebirge, Berlin 1890; C. M. Goitlicr in Paris 
C. R. 106 (1887), p. 270; Cft. L. Durand-Claye , A. Pelletan et Ch. Lallcmand, 
Lever del plans et nivellement, HI. partie par Ch. Laltemand, Paris 1889 



202 VI i, 3. P. Pitzetti. Hflbere Geodasie. 

A A der Vertikalen von A zwischen S a and 5 ft , oder 2) als das 
Stuck BB der Vertikalen von B zwischen S a uud S b oder eudlicli 
3) als die Differenz BB 9 AA+ zwischen den Hohen der Punkte 
B and A in bezug auf die Flache S c . Es machi sich nocli eiue 
andere Schwierigkeit hier geltend. Wenn man, um die Ideen zu 
fixieren, die zweite Definition anuinnnt, d. h. die Niveaudifferenz 
zwischeu A und B gleich HI? setzt, und man im Gelaude zwischen 
A und B eine Reihe von Punkten P l . F 9 , . . ., P n einschaltet, die so 
dicht liegen, dafi der Hohenunterschied zwischeii aufeinander folgenden 
Punkten direkt mit einem Nivellierinstruinent bestimmt werden kann, 
so ist die Suinme der sukzessiven Hohenunterschiede Se (zwischen 
P l und A , PI und P, . . . . , B und. P,,) im allgemeineD nicht gleich 
dem gesamten Unterschiede U B , wie man es in der niederen Geodasie 
annimmt, uud diese Sunime wird sich auch verschieden ergeben. je 
nach dem Wege AP 1 P s ...P n B t den das Nivellement einschlagt. 
Koch mehr, weini man ein gcscblossenes Polygon AP V P^ . . . P,,A 
betrachtet, no ist die Summe der Hohenunterschiede je zweier auf 
einander folgender Pnnkte im allgenieinen nicht Null, sondern hat 
einen nk Lt inimer zu vernachlassigenden Wert (theoretischcr Scklufi- 
feJUer des Nivellementspolygous). Man hat zwei Wege, uui dieae 
Schwierigkeit zu ubenvinden. 

1) Die orthometrisctie Tlteotw. Man definiert als Hohenunterschied 
zwischen A uud B das Stfick BJX der Vertikalen in B, das zwischen 
B uud S f liegt, und sucht die Korrektion, die man an der Summe 
der sukzessiven Hohenunterschiede zwischen den Punkten P s und A, 
P a und P,, . . . B und P n anbringen muo; man ueuiit sie die ortho- 
metrische Korrektion. 

2. Die dynamische Theorie. Man sucht die Differenz zwischen 
den Werten W b und W a des Erdpotentials (2) fiir S b und S, t zn er- 
mitteln; diese Differenz, geteilt durch die mittlere Schwere G (file 
45 Breite und im Meeresniveau) liefert den sogenannten dyuamischeu 
Hohenunterschied zwischen B und A. Der augegebene Oedanken- 
gaug stainmt von F. E. Helnurt). Das Verhalthis (W a Wj: G, 
wo W u den Wert von W auf 5, bedeutet, nennt man dynuuiische 
Kote des Punktes A. Die an der Sumuie der d - auzubringeude Kor 
rektion, um die oben erwahute Differenz (W b JTJ: G zu erhalten ; 
nennt man die dynamiache Korrektion*). 

Es seieii (Fig. 19) M und N zwei aufeiuander folgende Punkte 



198} Vgl. FuBn. 1&7. 

199) Vgl das iu FuBii 197 (Ende derti.) ziiierte Werk vou Lallematid. 



37. Geometriscbee Nivellement. 



aoa 



eincr Nivellementsschleife. Das Nivellierinstrument sei in der Linie 
MR aufgestellt, in der Mitte zwigehen den Vertikalen MM l and 
NNt und es seien z t ** MM^, a t = N N l die Lattenablesungen; es 
sei ferner M^N t die durch das Zentrum des Fadennetzeg des Fern- 
rohrs gehende Niveauflache; d^ = J/ t 3f 8 , rf a .Ni-ATj seien die De- 
pressioneii dieger Niveauflache antcr dem Visierstrahl M l N l . Sind 




Fig. 19. 



dann W, W m , W n die Werte des Erdpotentials tit 3f f (und N 9 ), 
M und N, fa und ^ 8 die Werte der Schwerebeschleuniguug in M. 
und N und behandelt man die Abschnitte MM t und NN a als uu- 
endlich klein, so ergibt sich 



Die beiden Depressionen konueu als merklich gleich angegehen 
werden" ), und man kann auch das Produkt der Depreasiou and der 
Differenz ft #, vernachlaasigen, so dafi die vorhergehende Forme! 
in die folgende flbergeht: 



- IT. 



^ * 

/ 



Vernachlassigt man anch noch den zweiten Term der recliten 
Seite* 1 ) und setzt 



800) DaB dies Hypotheac allgemein zullisBig ist, ^oon das Nirellierinstru- 
metit in der mittlereu Entfernung zwischen den Vertikalen von Af und JV auf- 
gestellt wird, it von Helmert (H. G. 2, p. 508-611, 539) bemeaeu. Mit .lm 
EinfluB der Differenz der beiden Deprcaatonen ih Folge der GesUlt der Niveau- 
flaohen bechaftigt sich J. A. Oufamtau [Aatr. Naohr. 88 (1876), p. 22]. Mil lem 
EinfluB der normalen Refnktiou beichaftigt aich LuUemnnd in dem in h uiiu 197 
zitierten Werke, p. 396. 

201) Vgl. Helmtrt, H. G. 2, p. 503. Setzt man ^*, + *,; 3 m, so liofert 
die Gesaiutheit der Ausdriicke, die K^i -f ? i)(^ ft) enteprechea, zu einem 
Nivellement, das sich uber eiuen ganzeu Meridianqnadranten entrockt, einen !ioi- 



204 V1 1, 3. P. Piggetti. Hdhere Geodiiflie. 

% (<*i + ft) 9, *i *a =* **> 
so erhalt man 

(64) W 9 -W m --y*i. 

Wenn man mit tie den Abstand der beiden Punktc At N (Fig. 18), 
in denen die durch M and N gehenden Niveaufliichen die Yertikale 
von L> tretfen, be/eiehnet. so ergibt sicb naeb (64) und nach der 
analogen Formel fttr AT W: 
(66) d /-*%**, 

y 

wo g die mittlere Schwere fQr den Abschnitt M N bedeutet. 

Die dyriamische nnd ortiiometriscbe Theorie grunden sich be- 
zflglich auf die Formeln (64) und (65). 

Orthometrischt Theorie. Nimmt man an, daft die Schwerkraft der 
tbeoretiscben Formel tos ) 

(66) ?-= (7(1 /Jcos2^)(l ftfl) (* = -|, /I -=0,00266) 
folgt, wo // di Meeresbohe imd i2 den mittleren Erdradius bedeutet, 
so kann man das Verbaltnis 4 in (65) in folgender Weise schreiben: 



1 0,00265 cos 2 q 6 

wo <f, <p h die Breiten von JV und B bedeuten. Hieraus ergibt sich 
mit geniigender Annahemng, wenn man die mittiere Breite zwischen 
A and B mit tf> m bezeichnet, f8r die Niveaudifterenz (BH) der Aug- 
druck: 

(67) (JBtf). 

WilJ man dann die Hobe ( HB ) = ft des Punktes B iiber 5 
bftben, o imisa man zu (B&) die GrSBe H^ -f- (ffB^ (^-4 ) (vgl. 
Fig. 18) hinzufugeu, welche nabeningsweise durcb 

ausgedrfickt wird. 

DieSumme (67) -f (68) gibt die gesuchteHoheftdes Puiiktes B, 
dies ist in Kdrze das Veriahren von Hdtnert (H. 6. 2, p. 505). 
Lallemand in deni (Fuftn. 197 ude) zitierten Werke, p. 366, gibt die 



von 16 mm (die Schwereanderuog als normal vorausgenetzt.) Setzt man 
{ (z l -}-*,)= 2 na, so wurde bei einer Meseung im Gebirge der enteprecheude 
Beitrag . 3 zato sein, woon der Hfiheuunterfiuhied 8000 m bett&gt. 
Vgl. Nr 4 und 5. 



87. Geometrisches Niyellement. 205 

Formel ein wenig verschieden 2 * 3 ): 

T6 

(69) H B = } 

wo H und qp die Hohe und Breite irgend eines Punktes des Nivelle- 
mentezuges sind 804 ). 

Dynamische Theorie. Wir nennen &AB die schon definierte dyna- 
inische Niveaudifferenz. Wir haben dann, indem wir auf kleine Niveau- 
unterschiede dz die Differentialformel dW = gdz anwenden: 

\ ) ff\ 

Die letzte Suinme ist die clynamische Korrektion, welche man 
auf Grund von (66) in folgender Form schreiben kann: 

n ^i -f % > 

wo 

B 

1/1 = fij cosSytiz 

A 
and 

/* Jt 

rj s = ^/ Hd> oder angenahert 7/ 2 = (H A -|- HB) (H B H^) 

A 
(17, heifit dyn. Breiten-, rj 2 dyn. Hohenkorrektion). 

Fall eines f/eschlossetten Polygons AP l P i ...P n A. Die linke 
Seite von (70) ist 0, und man hat deshalb 

(71) 

Die letzte Summe (in welcher man fur G einen konstanten Wert # 
setzen kann) ist der theoretische Schlitfifehler des Polygons. Nimmt 

20:$) Das letzte Glied stellt die sogenannte ,,orthometri8che" Korrektion 

dar (ein von C. M. Goulier eingefiihrter Name, siehe Zit. der Fufln. 197, Ende ders.). 

204) Urn Gleichung (60) mit (67) und (68) KU vergleichen, mn8 man 1) in 

der leteteren die Einheit an Stelle von (1 0,002 ft 5 COB 2^ setzen; 2) nahenwgs- 

weise die Summe durch ein Integral ersetzen und 3) beachten, dafi J H si 
durch partielle Integration 



oder naherungaweise 

n 

= - \ /f /i (cOB2qp 6 - cos2q[> a ) -f- sin^ -f qp 6 )J(<jp fr qp)(Jlf 

A 

ist. 



206 VI i, 3. P. Ptztftti. Hfihere Qeodaaie. 

man den normalen Ausdruck (06) fQr die Schwere an und beachtet, 
daB das von kll abhangende Glied in der Summe verschwindet, so 
ergibt sich der folgende angenaherte Ausdruck fia- den SchluBfehler 105 ): 



38. Binflufl dar Schwerestorungen auf Nivellementa. Wir 
haben bisher die Schwerkraft unter der Voraussetzung berticksichtigt, 
daB sie durch Formel (66) dargestellt sei, wobei indessen zu beachten 
1st, daB die ScfiwerestorHw/rH einen nicht zu vernachlassigenden Ein- 
fluB auf die Nivellements haben. Hd inert* * } hat eine Nivellements- 
schleife in den Tiroler Alpen (Innsbruck, Brenner, Brixen, Bo/ru, 
Innsbruck), langs der in 37 Puukteu von E. v. Sterneck die relative 
Schwere bestimmt war, daraufhin geprUft und hat gefunden, daB der 
wirkliche theoretische SchluBiehier auf Grund der beobachteteu 
Schwerkraftswerte naeh Formel (71) berechnet 0,024m 207 ) betriigt, 
wahrend der mifc der normaleii Schwere berechnete SchluBfehler 
(spharoidischer SchluBfehler) 0,007 m betriigt. Der spharoidische 
SchluBfehler kaiin also unter ITmstTindeu nur ein kleiner Bruchteil 
dee wichtigen theoretischen SchluBfehlers sein. Der EinfluB der 
wirklichen Schwereanderungen auf die Berechnung der Niveaudifte- 
renzen 8 **) ist sehr schwer auszuwerten, besonders wenn es sich 
um grofiere Niveaudifferenzeu handelt. In der Tat wiirde eine 
solche Rechuung die Kenntnis der wirklichen Schwerewerte [g in 
Formel (65)] in verschiedenen Pnnkten eines vertikalen Abschnitts im 
Inneren der Erde erfordern und die Annahmen, die man in dieser 
Hinsicht machen kann, eind immer etwas willkiirlich. s wird des- 
halb, anch wenn langs der Nivellementslinien relative Schweremessungen 
ausgef&hrt srnd, bei groBen Niveandifferenzen immerhin eine betriicht- 
liche Unsicherheit bestehen bleiben 80 *). 



206) Helmert, Die Schwerkraft im Hochgebirge, p. 20. 

206) Ibid. p. 19 und Tafel II. 

207) Der mittlere Fehier dieeea Ko*ultea vat von Hetnert zu _ 0,013 m aus- 
gerechnet worden, iudem er die zufUlligen Fehier der Schwerkraftsmessungen 
und die zufalligeu Anderungeu berficksichtigt, denen die Schwerkraft von Ort zu 
Ort atiterworten int. 

208, Eine tbeoretische Unterauchung iiber den EintiuB der Schwereandemngen 
auf die Reaultale der Nivelleuaenia unter der Vorausgetzung, da8 diese Storungen 
auf Qruud der A.ttraktioa der gichtbaren Massea sich berechnen la-.seu, iat von 
Hdmert (H. G. 2, p. 6i7-538) angetellt. 

209) Fur ein Nivellement von der Nordaee bis zum Adriatiachen Meere 
durch die Alpen hindurcli findet Helmert (Die Schwerkraft im Hochgebirge, 
p. 20 29), daB die Ditferenz zwischen der wirklichen und der spharoidiacben 



89. Das Mittelwasser der Afeere und der Nullpunkt fur die H6hen. 207 

39. Das Mittelwasser der Meere and der Nullpunkt fiir die 
H<3hen. Die Hohen der Nivelleinentsbolzen beziehen sich in den ver- 
schiedenen Lundern auf einen mehr oder weniger willkiirlich an- 
genommenen Nullpunkt. Grofitonteils dient zu diesem /week das 
Mittelwasser eines bestimmten Pegels. In seiner eiufachsten Gestalt 
ist ein Pegel ein mit Skala versehener Apparat, der in jedem Augen- 
blick die Hohe der Wasseroberflache fiber einem bestimmten Null 
punkt angibt. Das Mittel uus den wahrend mehrerer Jahre stiind- 
lich abgelesenen Werten der Wasserhohe kann, wenigatens fiir den 
Zeitraum eines Jahrhunderts, als konstant angesehen warden. Die 
auf ein solches Mittel bezogenen Hohen nennt man kurz Meeresh&hen. 

Gehoren nun die Mittelwasser der verschiedenen Pegel alle der- 
selben Niveauflache an, oder bestehen systematische Unterschiede 
zwischen den Hohen der verschiedenen Meere? Die Ant wort auf diese 
Frage hat praktische Wichtigkeit, insofern es sich um die Uber- 
einstimuiung der Nivellements der verachiedenen Lander handelt, die 
sich auf rerschiedene Pegel beziehen ; sie hat v auch theoretisehes 
In t creese, insoferu mit ihr die Definition des Geoids verknflpft ist, 
die wir in Nr. 2 augenomtnen haben. 

Die Frage ist bis jetzt nicht gelost, und es haben sich, wenigstens 
in bezug auf die europaischen Meere. in den letzten Jahren die An- 
sicbten geandert. Bis 1890 schien es nach den Messungen, dab 
zwischen dem Atlantischen Ozean und dem Mittelmeer, xwischen 
diesem und der Nord- und Ostsee betrachtliche Niveauunterschiede 
(bis zu 1,10 m) bestauden. Die wachsende Genauigkeit der Ni^elle- 
uH-nts und die strengere Berechnung 910 ) und Ausgieichung der Resul- 
tate hat diese Difierenzen zum Teil verschwiudpn lasseu, zum Teil 
botriiehtlio.li vermindert. 

Ch. Lalleniand* 11 ) (IS^Q) hat, indem er sich speziell aufdieResultate 
der neuen fran/osischen Nirellements stGt/t, zuerst den Gedanken aua- 
gesprochen, dafi die erwahnten Differenzen ihre Ursache zum grofiten 
Teil in Beobachtungsfehlern haben. Wir geben aus der Lallemand- 
schen Tabelle einige Zahlen an, wobei zu bemerken ist, dafi seine Daten 



orthometriachen Korrektion hftchatens ein paar Zentiineter betrageu kauu. I a- 
gegea tirdet er bei der Bestimmung der Hohe des Stilfner Jochs, iudein er eiue 
spezielle Hypotlieae iiber die Schwereiinderung mit der HOhe eioffthrt, eine Ditfe- 
renz von ca. 30 cm zwiachen der wirklichen uud der ephSxoidigchen Korrektion. 

210) So wiirde z. B. die orthooietrische Korrektion den HShenunterHchied 
zwisrheu den Nord- and Sudkiiaten vou Zentralearopa um 16 cm vermindero 
(Verb, der Intern. Erdm. 1891, p. 150). 

211) Revue acientitique 46 (18t>0), p. 16 uud lut. Brdm. 1890, p. 181187. 



208 



VI i, 3. P. Piztetti. Hhere Geodasie. 



noch nicht die defmitiven waren: wir ftigen deshalb in der letzten 
Kolumne die (lurch die Rechnungen des Zen tral bureaus der inter* 
national en Krdmessnng, die wir gleich noch erwahnen trerden, ge- 
lieferten Zahlen bei. 

Mittlere MeercsHohe einiger Hafen in bezug auf Marseille (in cm): 





Kach den alten 
Beobacb tnngen : 


Recbnung von 
Lattemand 


Rechnung dea 
Zentralbureaus 


Triest 


42 


2 


8 


Oette 


11 


3 


3 


Brest 


110 


7 


13 


Cherbourg 


90 


9 


17 


Amsterdam 
Swinemiinde . 


74 
86 


1 
2 


17 

27 



Auf Grand dieser Rechnangen sphcht Lalleniand den folgenden 
Satz aus: ,,L ancienne hypothese de I uniformite de niveau dea mers, 
primitivement admise d apres les lois de la mecanique des flnides, puis 
abandonnee aur la foi de mesures inexactes, parait en voie de se re- 
habiliter dans Tensemble et abstraction faite peut-etre de quelque 
anomalie locale usia ). 

Die schon erwahnten Resultate des Zentralbureaus 213 ), die auf der 
Ausgleichung von 48 Polygonen in Zentral- und Westeuropa be- 
mbeu, bestatigen im allgemeinen das Vorhergehende. Die erwahnteu 
Differenzen verschwinden zwar nieht, aber aie warden von der Ord- 
nung der Beobachtungsfehler. So findet man z. B. eine mittlere De 
pression von 18 cm des Mittelmeeres und des Adriatischen Meeres 
gegentiber der Nord- nnd Ostsee und dem Armelkanal, aber der 
mittlere Fehler dieser Kiveaudifferenz ist 18 cm vor und 9 cm nach 
der Ausgleichung 14 ). 

Aufierdem fiihren verschiedene Recbnungen zu verschiedenen 
Resultaten. Aus drei Ausgleichungen des Zentralbureaus und einer 
von LaU^mand ergibt sich die Hohe der nordlichen Meere tibcr der 
der sfidlichen: 



212) Deraelbe Oedanke wurde (1890) von A von Kalmdr wenigstena in bezug 
ttuf die enropaischen Meere ausgeaprochen (lot Erdm. 1890, p. 102108); vgi. 
ferner Bmtquet de la Gryes Bericht in Int. Erdm. 1898, p. 363. 

218) A. Borsch und / . Kuhnen, Vergleichuog der Mittelwadaer der Ostsee 
and Nordgee UPW., Berlin 1891. 

214) Helmert in Int. Erdm. 1891, p. 251. Neuere Bestatigungeu hat inau 
in den Resultfcten der neuen franzfoiBchen Nivelleinents und der russiscben laugt 
der OstBee (Int. Erdm. 1398, p. 163 164 und p. 412481). Vgl. ferner den 
Artital von A. Borsch in Int. Srdm. 1892, p. 547. 



40. Genauigkeit einer Nivellementsausgleichung. 209 

I. Auagleichung 13.4 cm 

II. 26,5 cm 

III, 4,6 cm 

LaVemand 2,0 ctn. 

Diese Resultate sind zu verschieden, als daB man einem unter 
ihnen genflgendes Vertrauen schenken kounte 315 ^. 

Bedenkt man, mit welcher Uusicherheit die erwahnten Niveau- 
differenzen sich ergeben, so verbietet jedenfalls nichts, sie als rein 
lokale Erscheinungen aufzufassen, weil man Unterschiede von der- 
selben GroBenordnung zwiseheu Pegeln derselben Kuste findet, die 
nur wenig von einander entfernt siud (z. B. 22 era zwiseheu Ostende 
und Boulogne, 29 cm zwischen Biarritz und Sables d Olonne, 13 cm 
zwisehen Pola und Fiume 216 )). 

Die Frage nach dera internationalen Nullpunkt far die Hohen, 
die wir hier erwiihnen mttssen. obgleich sie von mehr technisehem 
als theoretischem Charakter ist, ist um 1864 aufgeworfeu worden und 
bis heute noch nicht definitiv enischieden 217 ). 

40. Genauigkeit einer Nivellementsausgleichung. Wenn man, 
wie es iiblich ist, ein Nivellement mit konstanter oder ung^fiihr kon- 
stanter Zielweite ausfiihrt, so ist der mit tie re Pehler eines Hdhen- 
unterschiedes der Quadratwurzel aus der Entfernung proportional 218 ): 

(72) w- fV V7 A 

Nimmt man L in km an, so nennt man ^ den mittleren Kilometer- 
fehler eines einfachen Nivellements. Abgesehen von anderen Um- 
standen hangt ft t von der Zielweite s ab. Wenn der mittlere Fehler M 
einer einfachen Stationsbeobachtung (Riickblick Vorbli(^k) proportional 
mit s angenommen wird, so ergibt sich t u x proportional mit Y7 und 
daher hat man 219 ) 

(72 ) m == k 



215) Ygl. Zit. der FuBn. 213, p. 89. 

216) Int. Erdm. 1802, p. 551. 

217) Eine zusammeufaasende Geschichte dieser Diskussionen findet man in 
einem Artikel von Ch. Lallemand in Int. Erdm. 1893, p. 124. Vgl. auch den dies- 
beziiglichen Meinungsauataudch in den Bitzungeu der Int. Erdin. 1891, p. 44, 94; 
1892, p. 5357 und 118117. 

218) Vgl. den Art. von 0. Borsch in der Zeitsch. f. Verm. 7 (1878), p. 456 und 
495. Die Formel (72) wird moistens gebraucht. Indessen hat O. Horsch [Astr. 
Nachr. 96 (1880), p. 33 und 81] vereucht, m als Fuuktion von L durch einon 
komplizierteren Ausdruck darzustellen. 

219) Jordan, Handb 2, p. 466 ff. 0. Bwsch (FuBn. 218, erste Zitat) hat anf 
Qruud des PrazisionBuiTellements der Elbe uutexincht, welche der drei Formeln 



210 VI i, 3. P. Pizzetti. HShere Geodfcwe. 

Die Konstante /t x in Formel (72) kann man in der Weise be- 
stimmen, dafi man die Nivellementslinie in mehrere Absehnitte ab- 
teilt und die Hohenunterschiede jedes Abgchnitts bin und zuriick 
misst. Sind l l} l t , / 3 , .../,, die Langen der verschiedenen Abschnitte, 
dj , (L 2 , d % , . . . </ die Differenzen der Doppelmessungen, so kann man 
/*! nach der Formel berechnen 826 ): 



Der mittlere Kilometerfehler eiues Doppelnivellements ist dann 

(74) ,-. 

Hat man n gescblossene Polygone, von denen jedes doppelt 
nivelliert ist, und sind w lt w t , . . . w n die SchluBfehler der Polygone, 
so kann man ft in folgender Weise berechnen. 



(76) - 

wo ? t , ? 2 ,-../,, die Langen der verscbiedenen Polygone sind. Man 
vergleiche in dem Bericht iiber das Prazisonsnivellement in Europa 
von v. Kalmar**} die numerischen Werte von ft, ftir die Nivelluments 
der verschiedenen Staaten; sie variieren etwa von 0,1 bis 5 mm. 
Aus 48 Polygonen der erwahnten Vergleichung der Mittelwasser***) 
ergibt sich (i aus den PolygonschluBfehlern zu 4,42 mm und aus der 
allgemeinen Ausgleichung xu 4,48 mm. Fflr das nivellement general 
de la France 25 ) (18971898) ist p = 2,45 mm. 

Die Ausgleichnng eines Nivellementsnetzes kann auf zwei Alien 
erfolgen : 



(h konntant) am meiiten gseignet itl, die Beziehung zwischen M und g am- 
zadrocken and hat >ich fiir die zweite der drei Formeln entechieden. Danaeh 
wflrde sich m h^L ergeben, d. h. der mittlere Kilometerfehler wurde un- 
abhangig von der Zielweite s sein. In Wirklichkeit hangt m stark von der 
lokalen BodenbeBchaffenheit und andern Umstinden ab, die man theoretiaeh nicht 
in Recbnung ziehen kann. 

220) ./ J. Baeyer in Astr. Nachr. 86 (1875), p. 177. Allgemeinere Formeln 
fur den Fall, dad die verschiedenen Ziige beliebig oft gemewen sind, gibt 
O. BSrfch in seinem am Anf. der Fu8n. 218 zit. Aufsatz. 

2J1) Int. Erdm. 195, n. T., p. 31 f. 

222) ibid. p. 7676. 

223) Bericht von Ch. Lallemand in Int. Erdm. 1898. Die Zahl 2,46 itt von 
line mit Hilfe der Formel (76) berechnet anf Grund der Augaben der Koluni- 
nen 2, 7 und 8 in der Tabelle p. 419 des genannten Berichteg. 



41. Ableitung der Kotutftnten des Krd ellipsoids. 211 

1) Bs wien 1 , 2, . . . n die Seiten des Netzes iind es sei allgemein 
(r) die dynamische Hohendifferenz der beiden Endpunkte von r, 
wobei ein bestimrater Durchlaufungssinn als positiver von vornberein 
festgesetzt wird. Dae geschlossene Polygon a, b, e, . . . /> gibt den 
SchluBfehler 

WW""(*)- H r , 

wo man fflr eine bestimmte Seite das Zeicben -f- oder zu nebmen 
bat, je nacbdem die Seite, wenn das Polygon im Sinne a, 6, e, . . . p 
durcblaufen wild, im positiven oder negativen Sinne durchlaufen wird. 
Bezeicbnet man mit [], [6],.. . \J>] die an den beobacbteten Hohen- 
unterschieden unzubringenden Korrektioneii, so ergibt sich die Be 
dingungsgleiebung 

[][fc]---[;>]-f ^-o. 

Die Zahl dieser Gloichungcn ist gleicb der Anzabl der vonein- 
ander unabhiingigen geschlosseuen Polygonu im Netz; das Gewicht jeder 
Beobachtiing (r) ist umgekebrt proportional der Lange der Seite /-. 
Ein solcbes System von Bedingungsgleicbungen kann entweder nach 
der Melbode der bedingteu oder der vermittelndeu Beobacbtungen 
behaudelt werden 824 ). 

2) Die Ausgleichnng eines Nivellementanetzes kann aucii nach 
der Methode der vermittdnden Beobadttungen erfolgen, olmq dub 
man die Polygongleichungen benutzt. EB seien JP , t\,...F t{ die- 
jenigen Netzpunkte, in denen mehr als zwei Seiten zusammenstofien 
un d es sei H rt die beobacbtete Hobeudifferenz zwischen zwei Punkten 
F r , F t , die direkt durch eine Nivellementslinie yerbunden sind. Be 
zeicbnet man die Hobo des Punktes F r iiber dern Niveau des Punktes 
> mit # r , so ergibt lich die Fehlergleichang 

X r X t "r* "^ V rf 

Wenn die Pnnkte F durch L Linien verbunden sind, so wird 
man L Fehlergleichnngen der angegebenen Art haben, aus denen man 
die plausibelsten Werte der x ableiten kann, 

D. Erdniessung. 

41. Ableitung der Konstanten des Erdellipsoids aus zwei 
oder mehr Meridianbogen** 6 ). Wenn man von vornherein das tteoid 
als Rotationsellipsoid anntmmt, so geniigen zwei Messungen von 



224) Es ist die erate oder die zweite diesez Methoden ijassend. je oach- 
dem die Anzahl der Pul;gone ^ 

Die elementarea Formeln far die Ableitang von a and e ana Erdbogen 



212 



VI i t S. P. Pizzetti. Hehere Geodasie. 



Meridianbogen in verschiedenen Breiten theoretisch zur Bestimmung 
der Konstauten a und c dieses Ellipsoids. Zur Berechnung des 
Meridianbogens zwischen den beiden Endpunkten einer Triangulation ; 
die ich liings ernes Meridians erstreekt, kann man in folgender 
Weise verfahren. Ausgehend vom Punkte A 
(Pigur 20), in welchem die astronomische Breite 
und das Azimut als bekannt vorausgesetzt werden, 
kann man durch Auflosung der Dreiecke ABM, 
MFN, .... die Stiicke AM, MN, .... QH des 
Meridianbogens berechnen. Legt man dann durch 
den Endpuokt E des Nefczes die geodatische Linie 
EX senkrecht zum Meridian von A und lost das 
Dreieck REX auf^ so bekommt man den ganzen 
Bogeu AX. 1st die Breite rp des Punktes E astro- 
nomisch bestimmt; so erbalt man die des Punktes 
X mit geniigender Annaberyng aus der Formel 

1 S* tang 9? 
9Px==9-j- YjVearcl v, 

wo S = (EX) ist. Man hat so die Liinge eines 
Meridianbogens zwischeu zwei Punkten von be- 
Fig. 20. kannter Breite. Es ist dies die Methode yon 

A. M. Legendre***). 

Oder man verfahrt auf folgende Weise. Durch Berechnung der 
Dreiecke ABC, ACD, ADE, . . . . bekoramt man die Lange s und 
das Azimut , der geodatischen Linie, welche die Endpunkte der 
Triangulation verbindet und aus diesen Elementen kann man leicht 
den Meridianbogeu zwischen den Breitenkreisen von A und E erhaltea. 
Damit diese Rechnung soweit ais moglich unabhangig von den be- 
nutzteu provisorischen Werten von a und e ausfallt, ist es zweck- 
mafiig, aueh in dem Endpankt E das astronomische Azimut eu be- 
stimmen; die Lange des Meridianbogens a ist dann durch die Formel 
von Bessd** 1 ) gegebeu: 




(Meridian- und Parallelbogen) tindet man in: P. L. M. dr Maupetiuis, La figure 
de la terre, Paris 1738, p. 127; E. G. Boxcorich, De litteraria expeditione per 
pontificiam ditionem, 6, Bomae 1765; J. L. cTAlembert, Recherches sur different* 
points da systeme da monde 2, Paris 1754. Wegeii der neueren Unterauchungen 
und speziellou Wege der bis heute ausgeiuhrten numeriachen Recknungen vgl. 
J. B- Listing, ttber onsere jetzige Eenntnis der Gr58e uad Figur der Erde, 
GOttiogen 1872. 

226) J B. J. Delaiabre, Methodes enalytiques etc., p. S. 

227) JP. W. Bessel in Astr. Nachr. 14 (1837), p. 338; vgl. auch Helmcrt, H. G., 



42. Restimmung von a und e dutch Parailelkreisbogea. 213 

/ie\ *eos f, . *9in 1 a r1 , * / -. n 

(76) ,= _i 4- ^[l + a* cos (* + *)] + 




wo ^ (*! -f a, 180), Aa =, ! 180 ist and ,, a 2 
die reziproken Azimute des Bogens s bedeuten und q> lf g> 2 die Breiten 
der Endpunkte. 

Nach Berechnung von 6 kann man mit geniigender Genauigkeit 
(wenn der Bogen nicht mehr als 2 Amplitude hat, vgl. Nr. 10) 
schreiben: 

(77) a am p(qp s yj arc I", 

wo 

fmfl a*\ 1 

/rjo\ CH.1 B ; l / i \ 

< (O) p =" s- unu op =^ _ icp, -i 0ai 

/l I*J\T 1 ^ a/ 

ist und die BreitendiSerenz in Sekunden auszudriicken ist. 

Die Formeln (77) und (78) liefern eine Gleichimg zwischen a, e 
und B j obachtungsgro8en. Weun man wie gewohnlicb mehr als zwei 
Meridianbogen /.ur Verfugung hat, wird man die Methode der kleinsten 
Quadrate in folgender Weise anwonden. Es seien <i , <? Niiherungs- 
werte von a, e, niit denen der vorlauiige Wert (> von Q in Forme! (78) 
berechnet ist. Wir setzen dann 

a == a ft -f- <Ja, t?* = e^ -\- d(<? 8 ) 

und nennen v t , v s die Verbesserungen der astronoinischen Bedtimmung 
von ipuip*. Die Formeln (77), (78) geben dann die Fehlergleichung: 

8 




! * i /i 

7 "" ^ + V 1 ~T sm 
in der die Glieder mit e 8 da, e*de 2M ) vernachlaasigt siud. Die Fehler- 
gleichungen werden dann mit Hilfe der Bedingung [v 8 ] == Minimum 
aufgolost. 

42. Bestimmung von a und e daroh FarallelkreiBbogen. Wenn 
die Triaugulatiou langs eines Parallelkreisbogens erfolgt i.st, uud wean 
in deu Endpunkten ^1 und B die astro nomischen Azimute uud die 
Langeiidifferenz Aa> beobachfcet ist, so kann man, unter G>N den 

Parallelkreisbogen in der Mittelbreite <p = y "t T.i f zwischen den Me- 
ridianen von A und B verstanderi, fur 6> die folgende Formel aufstellen: 



1, p. 304308. Andere Methodea fur die Berechnung von e haben F. G. W. 

ttnd J. J. Baeyer gegeben. Vgl. JV. Jadanza, Metodi per la misara di uu aro 

di meridiano, Firenze 1831. 

228} Geuauere Formeln tiudet mau in eiuom Aufaatz vou F. W. Beimel, 
Abhdlg. 3, p. 41. 

Kitoyklop. d. mth. Wiaaeu;h. VI 1. 15 



214 VI i,3. P. Piixctti. Hfchere Geodaaie. 

* / ,18 \ 

9 ACJ cos tp = -jy sin { 1 ^^ (1 sec 8 9 sin 2 ) J 



Querkriimmungsradius fiir die Mittelbreite 



wo $ die Lnge der geodatisehen Linie ^ K bedeutet uud die flbrigen 
Bnchstaben dieselb Bedeutung haben beziiglich der Punkte A und 7? 
wie in der vorigen Nr. Die Formel (80) gibt eine Beziehung zwischen 
gemessenen Groflen und den Unbekannten a, e*. m ) 

4S. Stroke def Ellipsoids. Lotabweichvmgen. Das Problem, 
aus einem System von Erdbogen die plausibelstert Werte von a und e 
ab/ul^iten, hat an Wichtigkeit verloren, seitdein die Geodaten sich 
uberzeugi haben, dafi die Hesultate der verschiedenen Gradmessungen 
nicht uiit genugender Genauigkeit eiuem einzigen Ellipsoid angepafit 
werden konnen. Gibt man eininal zu ; daB systematische Unterechiede 
zwischeu dcin Geoid und dem Ellipsoid vorhanden sind, so hat die 
AusgJeichuiig der Resultate yon unabhangigen Gradmessuugen keinen 
anderen Zweck, als fiir a und e Mittelwerte a m und zwisehen den 

f /* fit 

Werten (o,, fj), (o t , c^), . . . . zu liefern, die sich auf die verschiedenen 
Ellipsoide EI, E), . . . . beziehen, welche sich jeweils den verschiedenen 
Gradmessungen am besten anpassen. Aber dies ist nicht gleichbe- 
deutend mit der Bestimxnung eines Ellipsoids, das am besten den 
gesarnten Gradmefisangen entspricht. Denn so lunge diese nicht unter* 
einander verhunden sind, haben wir keine Kenntnis bezflglich der 
Lag*-, welche die yerschiedenen Ellipsoidstficke lt E t , .... zuein- 
adder haben, und deshalb habeii wir keine Garantie, dafi das mittlere 
Ellipsoid (a m , e fn ) nicht nur bezflglich der Kriimmung seiner Teile, 
sondern auch bezttglich seiner Lage zum Erdkorper sich samtlichen 
stndierten Teilen des Geoids anpasse. 

Da die Ermitteluug der absoluten Abweichungen des Geoids 
von einem einzigen Ellipsoid bis jetzt nicht moglich ist, miisfeu wir 
uns darauf besebranken , einzeln jede Erdgegeud /.u untersuchen, die 
mit geodatisch und ustronomisch untereinander verbundenen Trian- 
gulationeti Uberdeckt ist, indem wir die Dimensionen and die Lage 
eines Ellipsoids ** ) zu bestimmt ii suchen, welches sich moglichst gut 
den Daten dieser Triangulationen anpaBt, und die Abweichimgen er> 



229) Siehe: N.Jadttnza in Torino Atti Accad. 19 <lftJ), p. 980; 
dintl, Alcune formole per calcolare un arco di parailulu tenentre, Messin* 1890. 

229 ) Schon zu Beginn (tea vorigen Jahrbuoderts besubaftigte eich W. Lumbton 
mit der Bestimmuug eines lokalen Ellipsoidi, daa am beaten geeignet wJLre, die 
Retaliate der englichen Mesaungen dazzuutelleu [An account of the measurement 
of an arc of the meridian etc., Asiatic Researches 8 (1605), p. 187]. 



43. Stu cke dep Ellipsoids. Lotabweichungen. 215 

mitteln, welche in der betreffenden Gegend das Geoid vom Ellipsoid 
aufweist. 

Die Bestimmung eines Ellipsoidstiickes verbindet sich unter diesem 
Gesichtspnnkt mit der Bestimmung der Lotabweichungen 230 ) und eben- 
so mit dem Problem der Ausgleichuug verschiedener, miteinander 
verbundener Triangulationen. Wir wollen hier in Kiirze die Metbode 
und die Formeln von Helmert angeben* 81 ). Es mogen i, k zwei 
geoditisch miteinander verbundene Punkte sein. In bezug anf ein 
vorlfiutiges Ellipsoid E$ (z. B. das Bessehche) mogen B t L { , fi k L^ 
angenommeiie Werte 88 *) fiir die geodatischen Langen und Breiten der 
Punkte i und k sein. Indem man von diesen Daten ausgeht und die 
Elements a, e des Ellipsoids E benutzt, berechnet man (Nr. 15") vor- 
Isiufige. aber streng zu J^l/ o ^*^t gehorige Werte der Liinge S ik 
und der Azimute T ik) T k{ der geodatischen Linie ilc 111 ihren Rnd- 
puukten. Es seien dann weiter: 

BdB, L + dL, T + dT, S + dS 

die analogen Grofien fiir das gesncbte, sich am beaten anschlifBende 
Ellipsoid E. Die Relationen zwischen den Diiferenzen dK, dL, dS, 
dT erhalt man dann (abgesehen von kleinen OroBen 2. Ordnung), 
indem man die Formeln, welche zur tfbertragung der geographischen 
Koordinaten und des Azimutes dienen, difterentiiert und dabei die 
Breite, die Lauge und das Anfangsazimut B n L if T ilt und die Grofrm 
a und e als Veranderliche angieht 233 ). 

Bezeichnet man mit a die Abplattung 1 Y\ e* und mit rf, 
da die Korrektionen von a, a, wenn man vom Ellipsoid E n zu E 
iibergeht, so ergeben sich Relationen folgender Art: 



280) Der Gtadanke, die Lotabw. an den beiden Enden eines geodativcfaeu 
Rogeni mit den wahnicheinlichaten Yerbessernngen der Konntanten a and e dea 
Ellipsoids in Einklang zu briugeu, 1st von Hessel analytisch entwickelt, Aatr 
Nachr. 14 (1837), p. 269, 8 und 9; vgl. auch C. G. Andrae, Problemea de 
bant* geodesie, 3 e cah. 

231) Lotabw. Heft 1, Berlin 1886 Wegen der weiteren Behandlung des 
Problems vgl. Helmert, H. G. 1, p. 538562. Vgl. ferner: Die Europ. Langen- 
gradmesBung in 62Grad UBW., Heft 1 und 2, 18 J3 96; L. Kriiger, Beitrilge zurBe- 
rechnnng von Lotabweichungss\ steuien, Potsdam 1898: A. "Borsch und L. Kriiger, 
Lotabweichungen, Heft 2, Berlin 1902; A. Borsch, Lotabweichungen, Heft 8, 
Berlin 1906. 

232) Diese vorlaufigen Werte konnen innerbalb gewisaer Grenzeu noch be- 
liebig angenomraen werden; wenn sie sich iindern, andern aich S, f und die 
Schlufiformeln (83) bleiben dieaelben. 

283) Diese Beziehungen sind von Helmert in H. G. 1, p. 282294 ange- 
geben, indem er die redutierte L8nge von E. B. Ckristotfel benutzte. 



216 VI 1, 3. P. Pizsetti. Hohere Geodiisie. 



- dB k 

cos l^rilfc COB B k dL t 4- q^-B, -f q<*S, t 4- 

-h <fc v 



(81) 



f r,d$ t + r 4 rfJ a -f r +r,<l. 

Bezeichnen wir mit B , L , T die Koordinaten und die astro 
nomisch beatimmten A&imute, mit dlf, dl , 8T die Fehler dieser 
Beatimmungen; ferner mit !,, A,, ^, Jl t die Lotabweichungen ia Breite 
and Lange der Punkte / resp. k, bezogen auf daa EUiptolid E u , so 
haben wir 

^ B; 4- 



r,t -f rfTt* 7^-t -|- 8T ik A, tin A, 
and drei andere von entsprechender Bauart ftir den Punkt k. 

Wir iieunen dann S lk die Lange der Seite ik, die direkt durch 
Triangulation gefunden 1st, d/* die eritsprechende Korrektion, so dafi 

s; k + <ss; t *~s ik + ds ik . 

Vermittelst dkser let/ten (Heiclmng uud (82) eliminieren wir 
die tilij-dL, d l\ dS aus (81). Auf diese Weise kotnnien wir zu 
den drei Gleichungen: 

I* - ft B k + dff t H- , ( B, + * ig &) - p 8 A, 
*-h *(#* ~ .* -f **) 4- iW* - y -I- **") 
f P 5 * - 4- Mo, 

A* =* Z<i Lk 4" "* * < 4~ ^^* ^Xf 

-f q t (J; T- ft -f *# - fe) ~ ^ f A, -f q, (6% f 



4- q 4 (^* - r,* -f *r rt ) 4- q s 



-f r 8 (^;* - B<* -r- */*) -I- r 4 (r; t - f,* 4- 



Fiir die Koeffizienten dieser Gleichungen gibt Helmert 5 3 *) die 
folgenden Naberungswerte an. 

234) Lotabweichungen, Heft 1, p. 10, 11, 13. Fur die Koefizienten mit 

deu Indizee 1 bia 5 sind die veruachiasnigteu Grdfien ron der 4. Ordnung be iiglich 

H 
f uud , fiir die Koeffi^ieaten mit dcm Index 6 vou 3. Ordnuog. 



44. Fortflotzung. Bestimmung der Loiabweichungen. 217 

Setzt man 
I-Isi Ij, b-J? B t , TT-J l-esin.B, JS~51i, 

so wird: 

W* (1 - O IT 

*i w w* 8 l> % -- en^ am 
< I 

fllffl I 

r "* ~ *i*B k <*B k (1 * "* # cos* J5T), 
p t p 4 ain # q, = q 4 8in^ 1, r, r 4 si 

, -. TT ^^ - r ^^"^ ac 

^ "* a(l-)ol" *^7 a-arcl" 

TT wnr V. 



p, -= - 2b -f (3 b - Y sm B cos B arc 1") sin 1 B, 

(^ = 1 Bin 2 B t cos If,, sec S t , r e q, & f rin e arc * * 

m ist die reduzierte Lauge des Bogens ^ it uud zwar gilt mit 
genQgeuder Anniiherung: 

m A/S*. /rfm\ JtfS* 



/rfm\ 
(rffi) 



44. FortsetEong. Bestimmung der Lotabweiohnngen. Aus- 
gleiohung. Es sei eine Gegend der Erde mit Trianguiationen tiber* 
deckt, die in einem oder raehreren Punkten zuEammenhangen. Die 
Trianguiationen s -u-n an nnabhangige Basismessungen angescMostien 
iind jede fiir sich ausgeglichen 235 ). Betrachten wir zuniichst nur die 
astronomischen Pnnkte. so wird es unter diesen einige geben, in denen 
sowohl die Lange wie dag astronomische Azimut besfcimmt siud ; diese 
neuaen wir Laplacesdie Pnnkte. In anderen Punkten wird anfier 
der Breite entweder nur das Azimut oder nur die Lange bestimmt 
sein. Wir gehen nun von eineni Zentralpunki aus rmd ziehen Poly- 
gone, die durch die astronomischen Punkte hindurch- zu den ent- 

28ft) Wir werden ntir TOrauBBetzen , dn8, wenn zwei Trianguiationen eine 
Seite gemeinsatn haben, die Lange der Dreiecksaeiten derart ge&ndert wird, da6 
ein event. Untertchied /wischen den beiden Werten der Seiten, die aus den beiden 
Triangulatioiien erhalien sind, beseitigt wird. Vgl. Hetmert, Lotabw. i a. 



218 VI i,8. P. Pizzetti. HOhere Geodasie. 

fern ten Punkten hinfiihren. (Es kann vorkommen. daB ein und derselbe 
Punkt mit dem Zentralputikt durch mehrere Polygonxiige verbunden 
1st.) Filr jedc Polygoriseite schreiben wir dann die Gleichungen vom 
Typus (83); es 1st klar, dati diese sic,h in der Weise kombinieren 
lassen, daB man Gleiobnagen erhiilt, in deneii die , A irgend eines 
Punktes k auftreten und solche fUr den Zentralpunkt I. 236 ) Die Lot- 
abweichungen in Lange ergeben sicb fur die Laplateschen Puiikte 
aus (83) auf /wei Arten, aber der Vergleich zwischen dem astrono- 
mischen Azimut und dem aus der Triangulation abgeleiteteu ist fiir 
Puiikte, die vom Zentralpunkt weit entfernt sind, bedeutend ungenauer, 
uls der Vergleich der Langen. Es 1st deshalb zweckmaBig { wenigstens 
fftr eiue erste Anniiherung), nur die Laiigen zur Bestinrmung der A 
zu benutzen und sich der Azimute nur bei der Ausgleichung zu be- 
dienen. Dies lauft darauf hi n HUB, daB man die Verbesserungen dL 
der astro nomischen Langeu gleich Null setzt. Es bleiben dann (ab- 
gesehen von den Verbesserungen dJT, welche oflfenbar nicht von den 
entsprechenden getrennt werden konneo) in deji Gleichungen (83) 
die Verbesserungen dS a und ST ik- Jede der Verbesserungen 8T 
kann als Sum me zweier Verbesserungen f -f~ v ik betrachtet werden, 
von denen die erste (die fiir alle \rorn Punkt* i ausgehenden Ricb- 
tungeu die gleicbe iat) die Verbesserung der astronotnischen Orien- 
tierung ist, wahrend die zweite die Verbesserung der geodatischen 
Besiimuiung der Richtung ik ist. Die Ausgleichung kann man danu 
auf Gnmd der Minimumsbedingung: 

- Minimum 



W 4. yj!L + V 
m-5 ^ mf ^ 



ausffthren, vro m der mittlere Kilometerfeliler der geodatischen Be- 
stimmung von S, m u der mittlere Fehler der astronomischen Azimut- 
bestiinmung, m f der einer geodatischen Bichtungabestimmung ist. 
Die Bedingu&gagleichungen konuen so in folgender Weise erhalten 
werden : 

1) fiir jeden /<<;>/a\seheu Puukt liefert die Elimination von A 
zwischen der zweiten und dritten Relation (83) erne Gleichung (er- 
weiterte Laplacesche Gleichung); 

2) fiir jedes geschlossene Polygon, das sich ergibt, wenn zwei 
Punkte , /r durch zwei verschiedene Polygonziige (irk), (isk) verbunden 
smd, hat man drei Gleichungen , welche ausdriicken, daB die Werte 



Jii ietii man ., 1 ; iu dea Gleicbuugen (83) bezQglich der Seite ik und 
den anaiogen beziiglich der Seite li elimiaiert, hat man drei Gleichuogen zwichen 



44. Fortsetzung. Beatimuiung der Lofcabweichungen 219 

| t , x, t des Punktes k aus (83) sich in derselben Weise ergeben, vrenn 
man (irk) oder wenn man (isjt) durchlauft, oder, was dasselbe ist: man 
erhalt zwei Gleichungen, indem man die Identitat der Werte von | t , A A fflr 
die beiden Wege aus den ersten beiden Gleichungen (83) ausdriickt. 
Die dritte ergibt sieh aus deu Ijaplacescben Gleichungen fur die beiden 
Wege. In Wirklichkeit ist diese Gleichung nichts anderes als die Poly 
gon winkelgleichung (vgl. Netzausgleichung in Nr. 31) fiir das Polygon 
(*rifes*)) 8S7 ). Wenn man deshalb A Laplaceaohe Punkte hat, die mit 
einem Laplaceschen Zentralpunkt verbunden sind, und p geschlossene 
Polygone, so ergeben sich im ganzen A -f- 3p Bedingungsgleiehungen. 
Die praktischen Regeln fur die numerische Aufstellnag der Bedingungs- 
gleichungen und fiir die Aimabme der mittleren Fehler m, m u , m f 
konneu hier nicht anseinandergesetzt. werden; wir verweisen in dieser 
Beziehung auf die genannten Arbeiten von Hehmrt und A. Borsch und 
L. KriiQcr, wo zahlreiehe Beispiele zur Illustration der Theorie vorhanden 
sind 23 "). Als Resultat der Ausgieichung ergeben sich schlieBlich die 
Lotabweichungen der verschiedenen Punkte mit Ausnahme des Zentral- 
punktes als lineare Funktionen (mit numeriscb bekannten Koeftizienten) 

der GroBen: 

>. if 11 . 

Su ^. ^- ^ a 

(vgl. Helmert, Lotabw., Heft 1, 31), wenii man absieht von den 
Fehlern b tt\ 6 L der astronotuischen Langen- und Breitenbestitnnmng. 
Setzfc man der Bequemlichkeit wegen i) t aiistelle von >L f cos B ir s 
ergeben sich Beziehungen folgender Art: 



(84) 



* = <Si 4- b^ -f c ~ -f 

lt = ili -f 4 9, -f tC ~ -f 



wo a, />, . , a , b , . . . bekannte Zahlenwerte haben. 

Will man ein Ellipsoid bestinirnen, das sich demjeuigeii Teile der 
Erdoberflache, auf den sich die Triangulationen erstreckeu, auschlieBt, 
so kann man ais Bedinguug uehinen 939 ): 

(85) ( 4- i?) = Minim., 



237; Die sogenannte Laplacenche Gleichuag ist nichts andres als die Winkel 
gleichung fur das Dreieck, welchet den Nordpol und die beiden Punkte i und k 
zn Ecken hat. 

238) Helmert, Lotabw., Heft 1, 2226; A. Bdrsch und L. Kriiger, Die 
urop. Gradm. uw. Heft 2, Kap. 5, 4 8. 

239) Es iat klar, dafi man dabei die verschiedene Genauigkeit, mit der | 
und /) beutimmt sind, nicht bcrueksiehtigt. Dieae konnen uicht einfacb wie 



220 VI i, 3. P. Pitzetti. Hflbere Geodftsie. 

wodurch das Problem auf die Formeln der Methode der kleinsten 
Quadrate zurtlckgefuhrt ist. Die Fehlergleichungen sind die Gleichungen 
(84), zu denen man hinzufftgen raufi: 



45. Fortsetzung. Angenaherte Besthnmnng von Geoid- 
atiicken. Bestimmt man die Komponenten |, ?, der Lotabweichung 
ftir eine grofie Zabl von Punkten, so kann man dadurch naherungs- 
weiae eine Niveaufl&che in der betrachteten Gegend konstruieren. Wir 
betrachten eine Reihe von Pmikten, die ungefahr langs einer geoda- 
tischen Linie I liegen; ftir einen beliebigen Pnnkt derselben P f aeien 
I,, 17, die Werte von ^, ly. Ipt ,. das Azimut von I in P f , so ist die 
Komponente der Lotabweichuxig in der Richtung / und im Punkte 
P,): 

(86) y i \ t cos a t -f ij ( sin u t . 

Nennsn wir H t , H k die Erhebungen des Geoids aber dem Ellipsoid 
in den Pnnkten P p P t , so hat man rait genilgender Genanigkeit: 

(87) ff k -S t 

wo dl ein Element der Linie / ist. Die Integration kann man nahe- 
rnngsweise durch mechaniscbe Quadrator austnhren, indem man die 
Entfernungen I als Abszissen und die durch (86) gegebenen Werte y 
als Ordinaten nimmt. Man muB natilrlich den Wert von //in einetn 
Punkte kennen, oder a priori annehmen. Die Frage haugt mit der 
Hrduktion der Sasisilinien auf das Meeresniveccu zusammen (Nr. S5). 
Die Basislinien miiBten streng genominen auf das Referenzellipsoid 
reduziert werden, wahrend wir sie auf das Meeresniveau rednzieren, 
was darauf hinauslaut\ willkttrlicb in einem bestimmten Punkte des 
TriangulationsgebietdJ H = zu setzen. Solauge man indessen iiur 
begrenzte Gebiete der Erde betrachtet, interessiereu nur die relativen 
Werte der H6hen, und es kann deahalb die Willkiir bei der Wabl 
des Nnllpunktes fxlr die H5ben nicht ale ein Mangel der oben an- 
gegebenen Methode angeseben werden. 

Beobachtungtfehler behandelt werden ; die Forme! (86) mufi devhalb nur fftr den 
Ansdmck einee konTentionellen Verffthrena angesehen werden, \ia> daejenige 
Ellipsoid zu beotinimen, das sich io der betrachteten Qegend dem Geoid am 
besten anchliefit. 

240) Man findet diet leicbt auu den fintwicklungen in Nr. 7. Die Grandlage 
tiir das analytivcbe Studinm dee Geoide wurde von Bessel geliefert (vgl. Zit. unter 
Fufin. 228\ 



45. Fortsetznng. Angenaherte Bestimmung von Geoidstucken. 221 

Wenn die Werte Ton H fur verschiedene Serien von Punkten in 
verschiedenen Richtungen M1 ) bestimmt siud, so kann roan die Gestalt 
und Lage des Geoids zum Ellipsoid in der betrachteten Gegend gra- 
phisch nach topographischer Methode oder mit Hilfo von Niveau- 
kurven (H = konst.), wie man sie in der niederen Geodasie xur Dar- 
stellung der Hohenverhaltnisse benutzt, darstellen 842 ). 

Man kann aucb analytische Hilfsmittel zur Bestimmung des 
Geoids. wenigstens in der betrachteten Gegend, heranziehen. Setzt 
man in einem Punkte P: 

H - A, A, -f J* A. + B> V + 2 A A, A. + ^A w f + -, 

wo A V , A ro die Breitn- mid Langendifferenzen zwischen dem Punkt P 
nnd dem Zentralpunkte mit H sind, so ergibt sich mit geniigen- 
der Genauigkeit: 



(88) 



(p, JV Hauptkrilmmungsradien in P) M8a ). 

Wendet man diese Relation^n auf Punkte an, in den en |, y be- 
stimmt sind, so konnen sie zur Bestimmung einer gewissen Zahl der 
Koeffizienten A, B dienen. Man benatzt auch trigonometriscbe Ent- 
wicklungen 848 ): 

& ^o 4~ ^i eos x ~h ^2 cos 2.r -f- + a i s n * -f- ^ 8 2 x -)-, 
wo 



241) Es 1st natiirlich notwendig, daB eine Linie vorhanden ist, welche alle 
anderen kreuzt, damit man alle H von einem einzigen Ausganggpunkte (H 0) 
ab lei ten kann. 

242) Alg Beispiel einer Bestimmnng von PronMen oder von ehenon Schnitten 
deeGeoidB vgl. bei Jffflmert (H. O. 1, p. 5f>8) die Bestimmung eines Meridianprofiles 
in der Harzgegend; ferner vl. Fnt. Erdm. 1888, p. 19 (und die beigngebene Karte). 
Die topographische Darstellung dee Gooids iet von C. G. And roe (Problemes 
de haute geodesic, 3 me cahier, p. 53) ffir die Gegend des Harzes und deg 
Thflringer Waldes auf Grund der Lotstflrungen 5 und unter Annahme einer 
willkiirlichen Hypotheee beziiglich der Werte ). langs eines Parallels versucht 
worden. Pomerantzcff hat eine solche Darstellung fiir das Gebiet zwischen den 
FKipsen Kara- und Srr-Darja in Zentralasien (iw den Br. 40 15 nnd 41 "16 und 
d. L. 380 und 42 25 6stl. von Pulkowa) angegeben. Die Abhandlung Ton 
Pomerantieff findet sich in russischer Sprache in den Deukschr. der Milit.-topogr. 
Abteilg. des Generalstabe, St. Petersburg 1897, p. 76; em Ausxug aus ihr in: 
Bull. astr. 14 (1897), p. 479. Beziiglich der Bestiiumung begreuzter Teile deti 

vgl. Helmert, Zit. der Fufinote S9, ferner die Zitate /u Nr. 63. 
242 e ) Beispiel hierzu James and Clarke* 1 ). 
248) Bcttel, Zit. dex Fufin. 228, 10. 



222 VI i, 8. P. Pizzetti. HOhere 

-h *> { * si 2 y H ---- i 
4- < sin 2y H ---- 

ist, und wo jc, y geeignet gewahlte Vielfache der A , A 0) sind. Aber im 
allgemeinea ist zu erwnrten, daB diese analytiscben Hilfsmittel keine 
besseren Resultate liefern als die oben erwiihnte topographische Me- 
tbode. Die lokaien Geoidstorungen sind zu sehr mil den geologtschen 
Oberfiachenverhaltaisseu der Erdkruste verkutipit, als daS man hoffen 
konnte, daB sich die Anderungen von H in einer nur einigermafien 
auBgedehnten Gegend geniigend durch eine einfache Forme] darstellea 
lieBen. 

A. J. Yron Villarceau* 4 ) hat vorgesehlagec , die Abweichungen 
des Geoids vom Ellipsoid dureh eio doppeltes Ntvellenient, ein trigo- 
ntuneti isc}u j s und ein geometrisches, zu bestimnien; das erste gibt die 
Hohen der Puukte in bezug auf das Ellipsoid, das zweite in bezug auf 
das Geoid. Die Mcthode hut augenblicklich gar keine praktiscke Bedeu- 
tung wegen der grofien Ungenauigkeit der trigonometrischen Nivelle- 
mentsergebnisse, die durch die Kefraktion verursacht wird. Aui5erdcni 
ist zu bemerken, daB die in die Recbnung eingefttbrten Zenitdistanzen 
auf das Ellipsoid und nicht auf das Geoid bezogen sind, und deshalb 
ist an die beobachteten Zenitdistanzen die in Nr 7 angegebene Korrek- 
tion anzubringen, \vozu bereits eine wenigstens angeuaherte Kenntnis 
der Lotabweichnngen notwendig ist. 

Von theoretischem Interesae ist aaeh die Methode von K. B. 
Christoffel***) zar Bestimmung einer Flache, wenn die Hauptkriim- 
mungsradien in jedem Punkte gegeben sind. 

Yon den tbeoretischen Untersncbungen iiber das Geoid nennen 
wir nocb das Theorem von Vtilarceau** 6 \ das die geometrische Be- 
diugung ausdrdckt, der ein orthogonales Strahlensystero gentigen uauB; 
in unaerer Bezeichnungsweise kann man es schreiben: 



dot ?qp 

Diese Bedingung mfibtf man beriicksichtigen, wenn man die , >/ nach 
Potenzen von A , A w entwickeln wollte. Aber sie ist scbon mit ge- 
niigender Annaheruug beriicksichtigt, wenn man bei der Bestimmung 
der , r t die in Nr. 48, 44, angegeb^nen Methoden anwendet, oder 

244) J. de math. 18 (1873;, p. 398. 

246) J. f. Math. 04 (1864), p. 193; V. Reinn [Roin. Accad. Lincei (6) 2(1893), 
p . 287] hat eine Methode zur Bestiiomung der Hauptkruiamungaradien aii- 
gegeben. 

246} Vgl. Fufinotn 244, p 412. 



4ft. Die SchwerestortmgeD. 47. Anfange der geodatichen Messungen. 223 

wenn man von einom analytiachen Auadruck fur ff, wie oben an 
gegeben ist, ausgeht 847 ). 

46. Die Schwerestdrungen und die Abweichungen zwischen 
Geoid und Ellipsoid. Wie die Schwerkraftsmessungen, wenn sie 
sidi auf die gauze Erdoborflache erstrecken, znr Bestimmung der Ab- 
weichangeu H dienen konnen, baben wir schon in Nr. 4 bei Gelegen- 
heit der Formel von Stokes erwahnt; aber eine solche Formel kann 
augenblicklich iioch nicht mit Sicherheit angewandt werden. BeBtim- 
mungen von H durch lokale Schweresfcorungon sind unmoglich, wenn 
man nicht a priori Voraussetzungen fiber die geologiachen Verhalt- 
nisae der Oberfliichenachichten der Erde umeht, da die Schwerefltorung 
in jedem Punkte sowohl von dem lokalen Werie von H ala auch von 
lokalen Unregehmifligkeiten in der Konstitution der Erdrinde ab- 
hiingt 248 ). DaB dieae Unregelma,8igkeiten durchaus nicht zu vemach- 
laaaigen siad, kann heutzutage ala sicher bewiesen angenommen wer- 
t ten. ludeaaen sei in dieser Beziehung, was den Zusainmenhang 
zwischen der Schwerkraft und der Erddichte betrifft, auf die Geo- 
physik verwiesen 

111. s u m in a rise IH> Eiitwickluugsgeschiehte der geodatischen 

Kenntnisse. 

47. Anfange der gaod&tischeu Mcssungea, bei denen die Erde 
als Kugel botrachtot wird. Die Kugelgestalt der Erde wurde von 
den alten Griechen (Aristoteles, Archimedes, Pythagoras} aua rein meta- 
physischen Grflnden angenommen und vor ihnen noch von den 
Chaldaern fvgl. Railly, Astron. ancienne). Der erate Versuch, den 
Erdumfang wirklich auszuraesseu, ist, soweit wir sichere Nachrichten 
haben, von Eratosttones aus Gyrene (geb. 276 v. Chr.) unternomraen 
worden. Dieser bestirauite durch Meridianbeobachtungen der Sonne 
den Breitenunterschied zwischen Alexandria und Syeoe in Agypten 
zu 7 30 ; indem er dann die Entferuung der beiden Orte nach der 
Marschdauer zu 5000 Stadien ermitteRp, fand er den Erdumfang 
E= 2500000 Stadien. Posidonius (geb. 135 v. Chr.) leitete aus dem 
Bogen Hhodus- Alexandria, desseu Breitendiffereuz er mit Hilfe der 

247) Iteziiglii h der geodfttischen Recbnungen anf einer Oberflaehe, die aich 
wenig vom Ellipsoid tmterscheidet, vgl. P. S. Laplace, M<?c. c^l. S, 8. Buch, 38; 
Bessel*"); L. Puissant, Traite do g($od6sie; E F. Mitiding, J. f . Math. 44 (1852), 
p. 6(>; James and Clarke, 0?dn. trigon. survey etc., p. 609 ff.; O. Bonnet, Ann. di 
mat. 2 (1869). p. 46. 118, 180; E. Pucci, Ann. di mat (2) 14 (1886), p. 199. 

248) Helmtrt, H. G. S, p. 261, Formel (10). 



224 VI i, 8. P. Piezftti. H5here GeodSsie. 

Hdhen von Kanopus bestitnmte, J5 = 2400000 Stadien ab. Das von 
beiden benutzte Stadion ist sehr wahrscheinlich das olympische, dessen 
Lange von Uckert zu 570 Pariser FuB M9 ) (entsprechcnd 185 m) be- 
stimmt ist. Es wttrde deshalb nach Eratosthenes der Erdquadrant 
sich zu 11562km, nach Foxidwiius zu 11100km ergeben. tTber 
diese Messungen des Eratosthenes und des Posutftnius hat uns JT/eo- 
mfes S5 ) Nachrichten hmterlasseu. Eine Messung eines Meridian- 
bogens von 2 Grad mit Hilfe von Staben wurde von den Arabern 
im Jahre 827 auf Befehl des Khalifen Almamun in der Ebene von 
Sandjar in Mesopotamien ansgefiihrt. Das Messungsresultat ist in 
arabischen Ellen angegeben. Setzt man eine Elle* 51 ) = 0,540 m, so 
erhalt man den Erdquadranten Q - 11 016 km. 

Von der Zeit der Griechen bis 1525 liegt keine Naehricht fiber 
irgend eine in Europa ausgefQhrte Messuug vor* 58 ). In diesem Jahre 
maB Fernel, ein franxo sischer Arzt, die Entfernuug Paris-Amiens, in- 
dem er die Aneahl der Umluufe ernes Wagenrades zablte, und erhielt 
Q 10011 km, wobei er die Britendiffernz durch Sonnenbeobaoh- 
tungen bestimmte. 

Die modemen geodittischon Operatiouen wurden von Willebrord 
Sndlius (1580 1626) eingeleitet, der zum ersten Mai sich der Triangu- 
laticn bediente 85 *). Er berechnete den Meridianbogen zwischen den 
Breitenkreisen von Alkmaar und Bergen-op-Zoom in Holland (Ampli 
tude ca. 1*11 ) durch eine Kette von 33 Dreiecken, indem er die 
Winkel mit Hilfe eines geteilten Halbkreisea von ungefabr 3% FuB 
Durchmeaser maB. Die Basis von ca. 1230m Lunge wurde zweimal 
mit einer Kette und dann mit einem Holzstab gemessen; die Breiten 
der beiden Endpunkte wurden mit einem Quadranten von 5% FuB 
Durchmesser bestimrnt. Nacfadem Sndlius ein astronomisches Azimut 



249) 7. Pofch, Breiteiigrdme8$angec , p. 2C. Vgl. darin anch deo An- 
hang: Cber die francOsuche Stadienhypothese. 

250) De motu circular! corpornm coeleatium, I^eipzig 1891, lib. I, cap. X. 
Klevmede* apricht noeh von einer aoderen Messnug, die von Positioning ausgefuhrt 
wurde t aber J. S. Partly (Aftaron. modcrne, p. 163) bezweifelt ihre Ecbtheit. 

261) Die Lange der arabiscben Elle warde auf Grand hydrumetrucher 
MeBsangen am Nil bei Kairo brotimmt (Jordan, fiandbuch 3, p. 4). 

268 1 Besflglicb der A&schaunngen, die im Mittelaltt-r fiber die Gestftlt der 
Erde Geltung batten, vgi. Builly, Astn.a. ncienne; Gore, Geodesy; ferner 
G. Marinelli, La geografia e i padri dell* Chieaa, Boma 1882 (aus dem Italieni- 
Bcheii flheruetzt, Leipzig 1884); S. Giinther, Studien zur Geachichte der matb. and 
phya. Geographic, Halle 1877. 

268) W. Snellius van IMjen, Eratoithenes Batavuc, sen de teirac ambitus 
quantitate irera suacitatu. Lngduni Hatavorum 1617. 



47. Anfange dor geodiitiichen Meaauugen. 225 

in Leiden gemessen hatte, erhielt er die Lange des Meridianbogens, 
iudem er eine Reihe von Dreiecksseiten auf den Meridian projizierte 
and dabei wie in der Ebene rechnete. Die Messungen wurden 1622 
von Snellius wiederholt, und die ueuen von Musschenbroek* 5 *) veroffent- 
lichten Resultate ergaben Q =*= 10004 kin. 

Es sind dann die beiden folgendeu Messungen zu erwahnen: Bogen 
von London bis York, von R. Norwood direkt mit der Kette gemessen 
(1635): Bogen bei Modena, iin Jahre 1645 von G. B.Riccioli und F, M. 
GrimaMi ***) durch eine Triangulation gemessen. Die Amplitude des 
Bogens wurde durch Beobachtung reziproker Zenitdistanzen erhalten, 
eiue Methode, die zweifellos sehr bequein ware, wenn nicht die Un- 
sicherheit der atmoaphanschen Refraktion die Resultate fast illusoriach 
niachte 85 *). 

Auf Betreiben Ludwigs XIV. beschilftigte si eh die franzosiBehe 
Akademie in der zweiten Hajfte des 17. Jahrhunderts init dem Stu- 
dium der Erdgestalt und beauftragte J. Picard, in Frankreicb den Bogen 
zwischen Amiens und Malvoisine (36 km siidlich von Paris) zu messen. 
Picarrf 237 ) bildete eine Kette von 13 Dreiecken, indem er von einer 
Basis von 5622 Toisen ausging, die in der Nate dea Sfldendes ge- 
inessen war. Eine Kontrollbasis von 3900 Toisen wurde bei Amiens 858 ) 
gemessen. Die. Breiten wurden in Afalvoisine, in Amiens und in 
Sourdon (bei Amiens) bestimmt. Auf diese Weise wurden zwei Meridian- 
bogen erhaiten: Malvoisine-Sourdon (Ampl. 112 ) und Malvoisine- 
Amieus (123 ) ; aus denen im Mittel die L inge etnes Grades zu 
57060 Toisen folgte. 

Bei diesen Messungen wurden zum ersten Mai die Winkel mit 
Hilfe eines Fernrohrs mit Fadenkreuz gemessen 259 ) und zum ersten Mai 

264) Physicae, experimentalea et geometricae diesertatiouee, Leyden 1729. 

266) F. X. ton Zacli, Corresp. astron. 2 (1818), p. 115. 

266) .F. Maurolico echlagt 1543 vor, den Erddarchmesaer aug der Lcingo der 
Tangente abzuleiten, die von einem Punkte in bekannter Hohe an die sichtbare 
Erdkngel gezogen 1st; T. W. Wright (ungef. 1695) fiihrte in England eine Meaanng 
aua, die gich auf eiue etwaa verschiedeue Methods grdr-det, indem er namlich 
die Horizontaldepression einee Punktea von bekannter Hohe beobachtete (vgl. 
(>. Zaiiuttt-Ktuitco, Sopra una vecchia a poco nota inisura del geiuidiametro ter- 
restre, Turin 1894). 

257) ./. Picard, La mesure de la terre, Paris 1671; sp&ter aufgenommen in: 
Pria Mem. Acad. 1718 (1720), 2 partie, p. 1. 

258) Mit V nrf lit achreibt mat) der pcruaniachen Expedition von 1736 das 
Yerdienat zu, zum ergten Mai eine Kontrollbasis gemeason ?.\i haben. 

269) Der Quadrant von Picard war in Wirklichkeit mit 2 Fernrohren ver- 
sehen, von deneu das eine gegen das audere beweglich war wie bei d.eu spateren 
von J. C. Burda, 



226 VI 1,8. P. Pizzetti. HOhere Geodasie. 

zur Messung der Grundlinien vier MaBstabe (i wduiaBe) bermtzt. Dem 
spharischen ExzeB wurde keine Rechnnng getragen, indem die Dreiecke 
uls eben behandelt wurden. 

Die Fortsetzung der Pwwrfschen Messungeri durch ganz Frank- 
reich von Dunkerque bis Collioure wurde nacheinander von J. D. 
Cassini, J. Cassini (Sohn cles Vorhergehenden), Ph. de Ixihire, G. F. 
Maraldi, C. A. Couplet und J. M. de Chaeettes von 1683 hie 1718 aus- 
geftihrt und lieferte einen Meridian bogen von ungefahr %. ffio ) 
Es ergab eioh aus diesen Messungeri die folgende Lange t iir einen 
Meridiangrad : 

Ans dem Siidbogen . . . . 1 = 57 098 Toisen 
aus dem Bogen Paris-Amiens 1 57 060 
aus dem Nordbogen . . . . 1 56 960 

Die Gradlangen schienen also nach Norden abzunehuien. Dies 
veranlaBte die fiun/osischen Asironomeii /u der Annahine, daB die 
Erde sich nacb den Polen zu verlangere. So wurde die Abplattung 
der Erde durch die Kesultate uagenauer geodatisclier Beobachtungen 
in Zweifel gezogen 261 ). 

48. Fhysikalische Untereuchungen fiber die Gestalt der Erde- 62 ). 
Wichtige Einwurfe gegen die Kugelgestalt der Erde waren schon vom 
mechanischen Standpunkte aus erhoben worden. J. Richer beobaehtete 
in Cayenne (5 nordl. Br.) im Jahre 1672, daB das Pendel einer Uhr, 
welche YOU Fraukreich nach dort transportiert war, langsamer al in 
Parig schwang und. daB es um 1% Pariser Linie verkiirzt werden 
muBte, um normalen Gang zu erhalten; die Schwere nahm also init 
der Breite ab 863 ). J. Ikwton und Ch. ffuygens behaupteten, daB die 

260) J.Casfini, Traite de la grandeur de la terre et de sa figure, Paris 
M&n. Acad. 1718 (1720), p. 1. Die Messungen warden von C. F. Cassini de Thury 
und N. L. de Lacaille (1739 -40) wiederholt. Vgl. C. F. Cassini de Thury, Paris 
M<hn. Acad. 1740 (1742), p. 276. 

261) Nach Todhuntcr, History 76 encheint die Hypotheee des oertangtrtcn 
rdsphS,roidg, aue Gradmessungen abgeleitet, zum ersten Male bei ) . Eifenschmidt, 
Diatriba de fignra telluris, Strafiburg 1691. J. Cassini stellte dieee Hypotheee 
auf in: De la figure de la terre, Paris Mem. Acad. 1713 (1739), p. 187. Auch 
die Messungen von Parallelkreiebogon durch J. und C. F. Cassini (1738 35) 
scbieuen die Verl&ngerung der Erde an den Polen zu bestatigen (Todhunter, 
History 215, 224, 226). 

262) Wir beschranken une daranf, einige mathematiach-physikalische Unter- 
suehnngeu anKufuhren, die mit dem Problem der Erdgestalt in direkter Beziehung 
stehen. Vgl. dazu: Trxihunttr , History und O. Zanotti- Bianco, II problem* 
meccanieo della figura dell* terra, Turin 188085. 

863) Bezdglicb weiterer Pendel beobachtuugen in jener Zeit vgl. Todhunter, 
History 1, Kap. 8. 



48. Physikalische Untersuchungen fiber die Gestalt der Erde 227 

Zontrifugalkraft nicht geniige, um die beobaehtete Verminderuiig zu er- 
kliiren und daB man deshaib der F.rde eine spharoidische Gestalt mit 
Abplattung an den Polen zuschreiben intisse. In den Prop. 18 und 
19 des dritten Baches der ,,Principia WW4 ) von Newton, die seine 
Theorie der Erdgestalt auf Grund der allgeraeinen Anziehung ent- 
halleu, stelit er sich die Aufgabe, /u berechnen, wieviel der flfissige 
Teil der Erde am Aquator hoher sein mttsse als an den Polen, damit 
die Meere im Gleichgewichte seien (Prop. 18). Von diesem Gesichts- 
pnnkte aus denkt er sich zwei Kanale, welehe von der Oberflache 
zum Erdmittelpunkt gehen, der eine langs eines Aquatorradius, der 
andere langs einer polaren Halbachse, und stellt dann nnter der 
Voraussetzung, <laB die Erde homogen sei und ellipsoidische Gestalt 
babe, die Bediugung auf, dafi das Gesamtgewicht der beiden Kauale 
dasaelbe sei. In moderrier SpracLe kaun man den (redankeugang 
Newtons so wiedergeben: Die Anziehung eines homogenen Rotations- 
ellipsoids von der Abplattung s auf das eine Elide der kleinen Achse 
gteht tur Anziehung auf einen Aquatorpunkt^ ft ) in dern Verhaltnis 

U ~i"~T - ) : ^ un< ^ deshaib verhalt sich die Sohwere am Pol zu der 
am Aquator wie (l -}- y) : (l aio) WODe * 539 ^ as Verhaltuis zwi- 
schen der Zentrifugalkraft and der Schwere am Aqaator ausdrilckt. 
Wenn man sich den polaren und den aquatorialen Radius in die 
gleiche Anzahl gleicher Teile zerlegt denkt, so ist das Verhaltnis der 
Schwerkraft in zwei entsprechenden Punkten dasselbe, weil l"Qr zwei 5ihn- 
liche homogene Ellipsoide die Anziehungen auf homologe Punkte sich 
ivie die linearen Dimensionen verhalten uud weil aiidererseits die Zentri 
fugalkraft der Eutferuuug vom Mittelpunkte proportional ist. Des 
haib verhalten sich die totaleu Drucke der beiden Kanale auf ihren 

Schnittpunkt wie (l -j- ~\ : (\ ~ | (1 -f- ). Damit dieses Ver 
haltnis = 1 sei, muB ==.-== en. r sein* 6 *). In Prop. 20 be- 

4 oV o* 

rechnet Newton dae Gesetz fflr die Anderung der Schwerkraft vom 
Pol zum Aquator unter der Bedingung, daft man gr = konst. habe, 

Jii.4 Piop. 18 laatet: Axes plauetarum diametris quae ad eosdem axes 
normaliier ducuntur ininores eaee. Prop, lit: Invenire proportionem axis planetae 
ad diametros eiedem perpendiculareu. 

265) EHe fetfheren Potenten von t auBr der ersten sind vernachlassigt. 

266) Newton (Principia, liber III, prop. 20) behauptet zu unrecht, da6 die 
Abplattung, wenu die Erddichte nach innen wacbse, grufier sein musae als iin 
Palle einer bomogenen Erde. A. C. Warrant hat auf den Febler Me wtona aufmerk- 

geiuacbt (De la figure de la tern- etc. Pane 1743, 2. Teil, 36 u. uO). 



228 VI i, 3. P. Piezetti. HShere Geodasie. 

weira g die Schwerkraft am Ende des Halbmessers r bedeutet. Aus 
dieser Bedingung, die theoretisch imgeniigend ist, leitet er ein wenig- 
stens bis auf GroBen zweiter Ordnung richtiges Resultat al>, namlich 
g = g Q (1 -f s sin 8 <JP) , eine Naherungsformel, durch welche die 
Schwerkraft unter der Ann ah me eines homogeuen Ellipsoides aus- 
gedriickt ist. Ch. Huygens**" 1 ) faud unter der Voraussetzung, daB die 
Au/iehungskraft nach dem Mittelpunkt der Erde gerichtet sei, die 
A bplattung zu r=^ Er benutzt bei seinen tjberlegungen zwei Kanale, 
von denen der erne aqnatorial, der andere beliebig gelegen ist, und 
nimmt an, dafl die Anziehungskraffc konstant sei, bemcrkt aber dann, 
dafi man zu deinselben Gesetze gelange, weun man aunalune, sie 
andere sich dem Newtonach&a. Gesetze ]visj>recheud. 

A, C. Claimut hat ge/eigt, dafi die Reclumng von Huygens darauf 
hinausliel . , die Erdmasse im Mittelpunkt sich koiulensiert zu deukeu. 

Newton hat a priori das Rotafcionsellipsoid als Gleichgewiehts- 
figur angenonimen, J. Stirling* 9 *) dagegen ging lediglich von eiuer 
homogenen rotierenden Flflssigkeitsmasse aus. Er stellte als Gleich- 
gewichtsbedingung die Forderung auf, daB die Resultaute der An 
ziehungskraft and der Zentrifugalkraft in Punkten der freien Ober- 
flache normal zu ihr sich en miisse 2 * 9 ), und bewies so, duB in erster 
Annaherung das abgepiattete Rotationsellipsoid in der Tat Gleich- 
gewiehtsfigur sein kanii 270 ). Ferner bestimmte er das Yerfaaltnis 
zwischen der Abplattung und der Winkelgeschwindigkeit. 

C. Mac Lau rin" 1 ) konnte anf Grund seiner Entdeckungen 
fiber die Anziehuug von Ellipsoidea die genaue Beziehung zwischen 
der Exzentrizitat und der Rotationsgeschwindigkeit fiir eine homogene 
rotierende Fliis^igkeitsmasse feststellen. T. Simpson* 1 *) zcigte dann, 
dafi fiir jede gegebene Wiukelgeschwindigkeit nicht nur ein, sondern 
zwei Rotationsellipsoide den Gleichgewichtsbedingungen genflgen 873 ). 

267) Trttite de la lamiere avec un discours sur la cause de la pesanteur, 
Leyden 1690. 

266) On the figure of the earth and the variation of gravity on the aurface, 
Lond. Phil. Trans. 89 (1736), p. 98. 

269) Huygens hatte eben dieses Prinzip aufgestellt, /.og es aber dann vor, 
die Methode drr Kanale zu beuutzen. 

270) Clairaut bewies daaaclbe unabhM.ngig von Stirling, Lond. Phil. Trauo. 
40 (1787), p. 19. 

271) A treatise on fluxions etc , London 1742. 

272) A mathematical dissertation on the figure of the earth, London 1748. 

273) Dasselbe wurde von J. L. d Alembert bewiesen (Opnec. math. 46), der 
in allgemeinerer Weiee zeigte, daB eina der beiden Ellipsoide mstabil ist. P. 8. 
Laplace (Mec. c^l. liv. 3, chap 3) bewies, daft in Wiiklichkeit uicht me hi ahj 



48. Physikalische Untersuchungen uher die Gestalt der Erde. 229 

Clairaut 3 ) studierte aufier dera Fall eiues homogenen Plaueteo 
auch den eines solchen, der aus festen, homogenen, von Kugel- 
schalen wenig abweichenden Schichten von verschiedener Dichte 
zusammengesetzt und von einer homogenen Fliissigkeit urngeben ist. 
Ferner betrachtete er eineu fliissigen Planeteo, der von homogenen, 
amiahernd spharischen Sehichten vou verschiedener Dichte gebildet 
wirti. Fiir beide Fiille zeigte er, dafl das Ellipsoid Gleichgewichts- 
figur sein kann und gab die Differentialgleiehung an, welche die 
Anderung der Ell iptizi tilt der versehiedenen Schichten bestimmt, wenn 
das Gesetz der Auderung der Dichte bekannt ist. la der Abhand- 
lung ,,An inquiry concerning the figure of such planets etc." stellte er 
zum ersten Male das berUhuite (7/amwfeche Theorem auf (vgL 4, 5 
dieser Abhandhmg) 878 ). 

A. M. Legendre*} zeigte durch Benutzung der von ihm erfuudenen 
Koeffizienten P n (Kugelfunktionen), daB die einzige Gleichgewichtsfigur 
fiir eine homogeue, um eine Achse rotierende Fliissigkeitsmasse das Rota 
tionsellipsoid ist, wenn man anuiinmt, dafi die Oberflache wenig von einer 
Kugel verschieden ist. Aber der Beweis von Legcndre aetzt a priori 
voraus, d,-iB die Oberflache eine Rotationsflilche ist; diese willkiirliche 
Beschrankung wurde von P. S. Laplace} aufgehobeu. Es ist indes zu 



zweiRotationsellipsoide als Gleichgewicbtafiguten existieren kimnen und dafi diese 

t 
Ellipeoide reell sind, falls die GroBe t? = j - < 0,2246 ( = Win kelgeschwindigkeit, 



p == Dichte, k Attraktionskonstante). SchlieBlich behauptcte K. G. J. Jacobi (Ann. 
Pli.vs. Chem. 3H (1834), p. 229), dafi auch ein llip8oid urit diei uogleichen Achsen 
Gleichgewichtafigur sein kann uud dafi die dritte Achse uud die Wiukelgeschw. 
befitimmt ind, wenn man zwei Achaen willkiirlich aunimmt. /. Liouvillt (J. e*col. 
jiolvt. 23 (1X34), p. 289) gab den Beweis datur and ( . O Meyer (J. f. Math. 24 
(1842). p. 44) zeigte, dafi fiir jeden gegebenen Wert der Wiukelgeachwindigkeit 
avifier den beiden bekaimten Uotationsellipaoiden ala Gleichgewichtsfigur ein 
einzigee dreiachsiget) Ellipsoid exutiert, weun das YerhiUtuis f kleiuer ala 0,1871 
int. 1m Falle der Mrde ist v = 0,0023 und die drei Achseu des Joco&t schen 
EllipsoideB t-tehen im Verlialtnis 1:1,02:19,57, wobei die kleinste Achse die 
Rotatioueai^iae ist. Vgl. auch Lioumlle, J. de math. 16 (1851), p. 241. 

274) Thlorie d la figure de la terre etc., Paris 1743. 

275) London Phil. Trans. 40 (173H), p. 277. In Wirklichkeit gibt der Satz 
von Clairaut eiuo Hnziehung zwischen dem relativeu Anwachseii der Schwere 
vom Aquiitor zum Pol, der wahreu Abplattung und derjenigeu Abplattung, welche 
der Hjpothese eiuer homogenen Erde eutsprechen wiitde. Setzt man fiir die 
letztere % des \ frhiiltuiHseb zwischen Schwerkraft und Zeutrifugalkraft, BO hat 
man deu Satz von Clairaut in der bekanuten Form. 

276) Paris Mem. Acad. 1784 (1787), p. 370. Nach Todhunter geht diese 
Abhandlung der von Laplace vou 1782 voraus. 

277) Paris Mem. Acad. 1782 (1785), p. 113; vgl. auch Me c. eel., t. 2, livr. 8, 

Kncyklop. ti. math. WisaeuacU. VI 1. 16 



230 VI i, 8. P. J azetti. Hdhere GeodUsie. 

bmerken, daB die Rechnung von Leyendre sich nicht wie die von 
Laplace auf Glieder beschrankt, welche die erste Potenz der Ab- 
p laitiing enthalten. Ijegendre* 1 *) dehnte dann den Beweis aaf den 
Fall eines festen Planeten aus, der aus homogeiien, iOinlithen Schichten 
znciaminengesetzt 1st und auf den eines fliissigen, aus ellipsoidischen 
Schichten aufgebauten Planeten. Laplace bewies in der Mec. eel. 879 ), 
daft das Rotationsellipsoid in zwei Fallen Gleichgewichtsfigur ist: 

1. fiir eiueu homogenen, 

2. fiir einen iiussigeu, nicht homogenen Planeten, wenn die Dichte 
von innen nnch auBen abnimmt uml die Fliichen gleicher Dichte 
wenig von Kugeln sich unterscheiden m ). 

49. Die wichtigsten geodatisohen Mossungeu bis 1860. Nach 
dieser Abschweifung wenden wir uns jetzt dazu, die hauptsachlichsten 
Gradmessungen aufzuzithleu. 

Die Hesultate der franzo&iscuen Messun^en, die yon J. Cassini 
von 1716 bis 1733 veroffeutlicht wurden, und die theoretischen Uuter- 
suchungen von Newton teilten die wissenschaftliche Welt in xwei 
Lager, von denen das eine fttr -in verlaugertes, das andere fiir ein 
abgeplattetes Ellipsoid eintrat 281 ). Die Frage wurde auf Yeranlassung 
der franzosischen Akademie durch eine geodiitiache Doppelexpedition 
nach Peru und Lappland gelost. P. L. M. Mauiwtuis** 9 ), A. C. Clairaut 
und andere ui alien in Lapplaud (1730 57) den Meridianbogen zwischen 
Kittis und Tornea (Ampl. ca. 57,5 ), wiihrend P. Bouguer, C. M. de 
la Qmdamine und L. God-in* 1 *) in der Gegend der heutigen Republik 
Ecuador den Bogen zwischen Cotohesqui und Tarqui (Ampl. 3 T} 
(1735 41). Wertvolle Fortschritte bei diesen Messungen waren: 



chap. 4. Za deacolben Kesultaten im Falle einer rotiereudeu 

gelangton auoh J. L. d Alembert und J. Ivory, ber auf unbefriedigeodem Wege 

(vgl. Todhmder, History 75, 1422, 1480). 

278) Paris Mew. Acad. 1789 (1795), p. 372. 

279) Vol. 2, livre 3, chap. 4. 

280) Fill den erston Fall gab Laplace aufter dem Beweiae mit Hilfe der 
Kugelfunktioneu uoch eiuen andereit, wenig beiriedigenden, welcher dann von 
/. Liouvilte nnd S. D. Poisson so umgeformt wurde, dafi er einwandfrei war 
(J. de math. 2 (1837), p. 286). 

281) Cber die Geechichte dieses Streitea vgl. Todhunter, History 1, cap. 
3, 4, 7. 

282) P. L. M. lUntipertttts , La figure de la terre determinee par les obser 
vations au cerclo polaire, Ametetdam 1738. 

283) P. Bouguer, La figure de la terre d^t. par les observ. aux environs de 
IVquateur, Paris 1749; C. M. de La Condamiite, Mesure des trois premiers degr^s 
du m^ridien dana rbemisph^ro austral, Paris 1751. 



49. Die wichtigsten geodatischen Meeaungen bis I860. 

derGebrauch von Mikrometern fftr die Ablesung der Kreisteilungen, eine 
genauere Kenntnis der Sterapositionen und eine groBere Genauigkeit bei 
den Basismessungen. Die beiden Expeditionen stellten die Abplattung 
der Erde auBer Zweifel, obgleich der aus ihren Messungen abgeleitete 
Abplattungswert 284 ) . ziemlich stark von dem wirklichen ab- 
weicht. 

Wir erwahnen dann in Italien ausgefiihrteMessungen, woJR. G. Hos- 
comch und C. A. l^maire einen Bogen zwisohen Horn und Rimini 2 * 5 ^ 
(1751 53), G. B. Beeatria**) einen solcheu zwischen Mondovi und 
Andrate (in der Niibe von Ivrea) (1762 64), mailiindisrhe Astro- 
nomen in der Lombardei inaBen (1788). Spater wurden die Triangu- 
lationen von Pieinont und der Lombardei zugleich mit den franzo- 
sischen (1821 23) und denen des Kirchenstaates in Angriff genommen 
und im Osten bis nach Dalmatien und iin Suden bis nach Genua 
ausgeclehnt 287 ). 

Ldcaitte* 88 ) niaB 1750 einon Meridianbogen von ca. 1 13 Ampl. 
aui Kap der gutou Hoffnung (die Messung wurde erweitert und 
revidiert von Maclear 1836 48). Ch. Mason uud J.Dixon***) maBen 
in den Vereinigten Staaten von Nordamerika direkt (olme Triangu- 
lierung) im Jahre 1764 einen Bogen von 1 29 iangs der Grenze 
zwischen Maryland und Delaware. Eine systematische Auinahme der 
Atlautischen Kiiste in den Vereinigten Staaten wurde 1816 von F. H. 
Hassler begonnen. 

1m Jahre 1700 scblug Talleyrand der geaetzgebenden Versamui- 
lung vor, daB ein MaBstabprototyp - >(JO ) studiert wurde, welches aus tier 



284) La Condamine, Zitat der vorigen FuSaote, p. 260. 

285) C. A. Lemairc uud /?. G. Boscovich, De litterariae expeditione per |>oiiti- 
(litinnem ad dimetiendos duos meridian! gradu^, Romae 1755. 

286> Beccaria, Gradus Taurinensie, Aug. Taurinorum 1774. 

287) </. Regyio, De meneione basis habita anno 1788 etc., Effem iiMtr. di 
Milauo 1794; F. Carlmi, G, A. A. Plana nod Campari-a, Operations g^oddaiques 
et astr. pour la mesure d un arc du parallele inoyen en Pieinont et Savoye, 
Milan 1826. Wegen andorer italienischer Graduiesaungeu vgl. man v. Zach, Corr. 
astr. 1 (1818), p. 17; 2 (1819\ p. 240. 

288) N. L. dc Lacaille, Journal hietorique du voyage fait au Cap de Bonne 
Esperance, Paris 1763; vgl. auch Paris Acad. Mem. pour 1751 (1756), p. 3D; 
T. Maclear, Verification and extension of Lacaillea arc of the meridian at the 
Cap of G H., London 186. 

283) Loud. Phil. -Trans. 58 (1768), p. 270. 

290) Der Gedanke, ala Einheit dea Liingenmaues einen aliquoten Teil des 
Meridians xu beuntzen und der, das Selcundenpeudel als Prototyp /.u nehuieu, 
von G. Mouton (160) augegangen stu sein (vgl. Gun . Geodesy , p. 47). 

1G* 



232 VI 1, P. Pizeetti. Hohere Godaie. 

Lange des Sekundenpendels abzuleiten sei. Eine aus J. C. Borda, J. L. 
Lagrange, P. S. Laplace, G. Monye und M.de Condorcet besfcehende Kommis- 
sion beschaftigte sich mit dein Vorschlage und zog als Langeneinheit den 
10000000***" Teil des Meridianquadranten vor m ), dessen Lange aus der 
eines Meridiangrades unter 4ft Breite abgeleitet werden sollte m ). Sie 
beaufbragte dann J. B. J, J)elambre und P. F. A, Mechain, einen Bogen 
YOU ungefahr 9%, von Dilnkirchen bis Barcelona, zu messen. Umgebeu 
von vielen Schwierigkeiten, die durch die franzctaische Revolution ver- 
ursacht warden, ffthrten die beiden Astronomen von 1792 bis 1798 die 
angegebene Messung aus 899 ), indem sie die Triangulationen auf zwei 
Grundlinien aufbauten (Melon bei Paris und Perpignan). Sie benutzten 
i iir die Basismessungeu den bi metallise hen Apparat von ,/. C. Borda and 
fUr die Winkeimessuugen den Repetitionstheodoliten von E, Lewoir 894 ). 
Die Kommibsion, welehe die Ergebnisse dieser Messung mit deneu 
der peruanischen Expedition kombinierte, fand fQr die Abplattuug 
den Wert ^ uu ^ setzte die Liinge des Meters zu 443,296 Pariser 
Linien fest 2 * 6 ). Im Jahre 1803 wurde M&hain beauftragt, den fran- 
zosischen Bogen bis zu den Baleareu zu verlangera. Diese Messuugeu 
wurden dann von 1807 08 von J. B. Biot uitd I). F. J. Arago be- 
rechnet, die auch zablreiche Schwerkraftsuiessungen in Spanien, Fraiik- 
reich und Scbottiand ausftthrten 896 ). 

In England waren bereits seit Mitte des Jahrhunderts Ver 
messungsarbeiten unter General Roy im Gange, als 1783 C. F. Cassini 



J. Picard konstruierte einige Jahro nachher (vgl. Gore, Geodesy, p. 58) ein S 
dnnpendel, das or ,,rayon astronomiqTte u nannte and dessen 4. Teil er als Liingeu- 
einheit vorschlug. J. Cassini (1718) empfahl als Langeneiuheit den 10 000 000* ten 
Teil des Etdradius. 

291) Paris Mem. Acad. pour 1786 (1798), p. 7; due Datum dee Berichtes 1st 
in Wirklichkeit d 1. Mara 1791. 

292) Der Meridiaiigrad uater 45 Breite unterscheidet aicb aehr wenig von 
dera 90. Teiie des Qaadranten; die Differenz kaun auch mit einem augeu^herten 
AbplattuugRwert genogend genaa berecbnet werden. 

293) MecfiaiH tt Ddambre, Base du tt.ysteiuo metrique decimal ou mettore 
de Tare du me*ridien comprid eutre leg paralleled de Dunkerque et Barcelona, 
Paris 1H06 10. Es interessiert beaooderB in historischer Beziehoug der ,,diecourb 
preliminaire". 

294) Dei erete Tbeodolit mjt vollatiindigem Kreise 1st 1770 von J. JRamsden, 
und der erste Itepetitiouutheodolit 1786 von ,/ C. Borda gebaut worden (Gore, 
Geodesy, p. 189). 

296) Zitat von FuBnote 294, p 94. 

296) Biot et Arago, Recueil d observatioui! g^od^siques et astron. et phyn 
etc., PariB 1821; vgl. ferner: L. Pumant, Paris Mem. Acad. 14 (1833), p. 1 (ver- 
cffentlicht 1838). 



49. Die wichtigsten geodatiechen Meesnngen bis 1860. 233 

de Thury die geodatische Verbindung der beiden Observatorien von 
Greenwich und Paris vorschlug, die von ihm 1787 90 ausgefiihrt 
wurde 897 ). In den Jahren 1800 02 mafi W. Mudge. den Bogen von 
Dunnose (50 37 n. Br.) bis Clifton (53 27 n. Br.). Die gesamte 
Zwischentriangulation von Dnnnose bis Saxavord (Shetlands-Insela) 
wurde unter der Leitung von H. James in der ersten Hiilfte des 19. Jahr- 
hunderts wiederholt und die Result ate 1858 publiziert 898 ). Besonders 
erwahnenswert sind die von den Englandern in Ostindien ausgefflhrten 
Arbeiten; W.Lambto* von 18001823 und G. Everest von 18231842 
beendigten den groBen Meridianbogen von 21, welcher vom Kap 
Comorin bis zum Himalaya reicht. Danach wurde unter der Leitung 
von Waugt und nach ihrn von J. T. Walker cine grofie Triangulation 
langs vier Meridianen und drei Parallelkreisen ausgefuhrt. Die Haupt- 
ketten der Triangulation batten eine Lange von ca. 17300 km 29 *). 

In PreuBen wurde die Triangulation im Jahre 1805 begonnen. 
Bin Parallelkreisbogen Seeberg-Dunkirchen wurde 1817 von F. F. K. 
i\ Muffling berechnet; 1820 begann C. F. Gaufi die Verbindung von 
Gottingen mit Altona (AmpL 2 1 ), wobei er das Heliotrop benutzte 
und die Netze nach der Methode der kleinsten Quadrate ausglich 800 ). 

Etwas vor Gaufl wurde eine Gradmessung von 1 32 Ausdehnung 
von H, C. Schumacher 301 ) im Siiden Schleswig-Holsteins ausgeftihrt. 
Gegen die Mitte des Jahrhunderts wurde die danische Triangnlation 
von C. G. Andrae erweitert und berechnet 808 ). Im Jahre 1820 zeigte 
J. M. Schwerd m } auf praktischem Wege dutch eine kleine Trianjju- 
lation in der Pfalz bei Speier, wie man in asweckmaBiger Weise 
kleine Grundlinien benutzen kann. 

Im Jahre 1831 wurden von Sessel und Baeyer die klassisclien 
Arbeiten in OstpreuBen begonnen 804 ). Bei ihnen wurde die Methode 
der Richtungsmessung von F. G. W. Strum und der bekaunte Basis- 
apparat von Bessel benutzt. 



27) W. Roy, Lond Phil. Trans. 80 (1790), p. 111. 

298) H. James and A. R. Clarke, Ordnance trig, survey etc., London 1858. 

299) J. T. Walter, Acconnt of the operations of the great trigon. survey of 
India, Dehra-Dun 187083, 19. Eine gate ttbereicht der Rosultate dieser 
Arbeiten findet man in Walker, Loud. Phil. Trans. 186 (1896), p. 745. 

300) Gaufi, Werke 9, p. 5. 

301) F. Zachs Corresp. astr. 1 (1818), p. 266. 

802) C. G. Andrae, Den Danske Gradmaaling, Kopenhagen 186778. 

803) J M. Schiterd, Die kleine Speierer Basis usw., Speier 1822. 

304) F. W. Bessel und ,/. J. Baeyrr, Gradmessung in OstpreuBen und ihre 
Verbindung mit preuBischen uudruBsischen Dreiecksketten, Berlin 18S8 ( 
A)-h. 3). 



234 V1 1, S. P. Piggetti. HOhere Geodesic. 

Auf der skamlinarisehen Halbinsel wiederholte nnd erweitrte 
J.Svariberff* *} im Jahre 1 801 die Triangulatiou von P. L.M.de Mnupcrhiis. 
lu RuBland begannen systematische Verrnessungsarbeiten iin Jahre 1726 
unter der Leitung von J. N. Ddisle, der vou Peter clem Grofien b -rufen 
war. Der grofie russisch-skandinavische Bogen 806 ) von der Donau- 
mttndung bis zum Eismeer (Hammerfest) von ea. 25 20 Ampl. wurde 
von 1816 50 gemessen; zum groBten Teile unter der Leitung von 
F. G. W. Struve und C. Tenntr, auf der norwegischen Seite uuter 
Hansteen und Selander. Die Triangulation besteht aus 259 Dreiecken 
und stilt/ 1 sich auf zehn Grundlinien. Iin Jab re 1860 wurde in 
RuBland die Messung des grofien Parallelkreisbogens unter 52 Breite 
begonnen. Bin Parallelkreisbogen in der Breite von 45 wurde 1811 
von den Franzosen begonnen und in der Folge in it den Arbeiten in 
Piemont und in der Lombardei verbundeu, so daB ein durchgehender 
Bogen von der Mundung der Gironde bis nach Fiume entstand 307 ). 

50. Die hauptaachliobHten Berechnungon der Konstanteu des 
Erdellipsoids. J. S. Listing 30 *} hut die numeriselien Resultate der 
hauptsachlichsten Berechnungeti der Konstanten ties Erdellipsoids, die 
von 1 800 bis auf seine Zeit ausg-efuhrt waren, zusunnneiigestellt. Er gibt 
die Resultate vou J. B. J. Delaware ) (1810), H. J. Walbeck (1819; die 
Rechuung stiitzt sich auf die Methods der kleinsten Quadrate 810 )), J. K. 
E. Schmidt (1830), G. B. Airy (1830;, F. W. Sessd (1841), G. Everest. 



30B) Vgl. Gore, GeoJesy, p. 168. 

30) F. G. W. Slruve, Arc du meridiou de L 6 20 entre le Daaule et la 
Mcr glaciale mosur^ depuis 1816 jusqu on I8t .0 etc., St. INJtersbourg 1867 60. 

307) Carlrin . Pinna UBW. siehe FuUnotc 287. Vgl. t erner: L. Puissant, Nou- 
vclle doscription geomt trique do la France, Paris 1832 

308) t)ber unnere jetzige Kenntuis der (restalt und GroBe der Erde, 
Gottingen 1873. 

309) Base du ayst-ine metrique 3, p. 135. 

310) Mati kann nicht sagen, daB die Ucchuung von WuJbfd den ersteu 
Verauch gebildet batte, die Gradmesauogen rationell zur Berechnung der Konstautea 
des Erdellipsoids zn kombinieren. Jf?. G. Eoscovich hat scbon Ende 1760 (De 
recentissimis graduum dimensionibus etc. in Philosophia recentior, Roniae 1760) 
vorgegchlagen , die genannten Kunstanten unter folgenden Bedingungen zu be- 
rcchuen: 1) die Suraiue der positiven Fehler iu den Lilngeri der gemesseneu 
Grade soil gleicb der Summe der wyativen Fehler sein und 2) jede der beiden 
Stmimen soil mOgliebst klein sein. P. 5. Laplace (Mec. c^l. 3, 40 u. 41) wendete 
dasselbe Prinzip zur Berechnuug der Meridianellipse an. Was die Anwendung 
der Methode der kleiusten Quadrate auf die Berechnung der Koustanten dea 
Er*tellipBoids betrifft, so echeint der erste Versuch von A. M. Legendrf aus- 
gegaugen zu sein, vgl. Nouvelles nic thodes pour la determination de 1 orbite 
des cometuH, Paris 1806, p. 7(J. 



50. Die hauptsacblichsten Berechnnngeii dor Konstantcti dea Erdellipsoid*. 235 

(1847), H.James und A R.Clarke (1858). ttes*d beiiutzte den peru 
anischen, den ersten und zweiten Meridian bogen in Ostindien, den fran- 
zosischen, englischen, hannoverscheii. danischen, preu(5ischen, russischen 
uud schwedisehen Bogen (Sum me dr Amplituden der Meridianbogoii 
f SO i> 34 , Zahl der beobachteten Breiten 38). Jnwcx und Clarke be- 
nutzten neun Meridianbogen: den englischen init 10 56 Ausdehnung 
(mit Einschlufl der Verbmdung rnit Frankreich), den franzosisch- 
spanisehen (von Formentera bis Ddnkircheii), den rnsisch sk.mdinn- 
vischen, zwei indische Bogen, den peruanischen, den preuBischen, han- 
iioverscben und daaischen (Summe der Amplitnden 7^5 36 , Anzakl 
der astrouomiBcken Stationen 67). Bei einer ersten Redlining be* 
nutzte Cfarke einen nicht dliptisthen Meridian 311 ), dessen Krthnmungs- 
rudius als Funktiou der Breite if er durch die Formel 3W ) darstellte: 



Bei einer zweiten Rechnung setzte er den Meridian elliptisch vor- 
aus 811 ). 

T. F. r. Sdmbert 314 ) hat 1859 zum ersten Male die Rechnuug 
unter Voraussetzung einee dreiachsigen Ellipsoids ausgefiihrt; die Ab- 
plattungen der beiden Hauptmeridiane ergnbeu sich zu 1 : 292,109 
uud 1 : 302,004. Clarke bat 18fi<> die Rechnung ebentalls fiir em 
dreiachsiges EllipBoid durchgeftthrt. Ph. Fischer leitete 18t>8 die Ab- 
plattung nur aus Schwerkraftoinessungen ab und die grofie Acbae aus 
dem englisch-franzosiscben Bogeu. Von neueren Rechnnngen auf 
Grund der Hypothese des Rotationsellipsoides sind die von A. R 
Clarke) (1880), A. Vonsdorff) (1890) und A. Skdanow) (1894) 
/u nennen. 



311) Schon JV. Hmcditeh hat 1^32 ia einer Note zor Oberet/ung dcr Mer. 
eel. TOU Ltipluce (Boston 1882) die Bcreclmung eiuos uicht elliptiachen Meridians 
versucht. M. O. r. Paucker (vgl. Helmert, H. G 1, p. 17, 18) fflhrto eine auaioi? 
Hecbunng durch, indem er fur den Kriitnmungaradius die Formel 

Q t= a . (i -j- sin* qp -\- ft stu* <j) -f- y sin" qp -f- S sin 8 q>) 
anunahui. 

312) Ordnance trigon. survey, p. 765. 

313) Ibid., p. 771. 

314 Petersb. M. : iu. Acad. 1 (1859), p. 82. Wegen theoretischer Reclmungen 
bezviglich des dreiachsigen Ellipsoids vgl. auch Clarke, Geodesy, p. 805; A.8<md& 
hof, Zeitscbr. Math. Phye. 17 (1872), p. 89, 177; H. J^JTC*, Paris 0. R. 76 (1*73). 
p. 410, 700. 

:;!>) Geodesy, p. 319. 

316) Jahrb. d. Astrou. u Geopbys. 1 (1890). 

317) Ibid. 5 1894). 



236 VI i, 8. P. Pizietti. HShexe Geodesic. 



E. JFer^oZa 818 ) hac 187476 ein RotationselKpsoid unter der Vor- 
aussetzung bestirainl, dafi die Achse der tagliohtm Umdrehung dnrch 
den Mittelpunkt des Ellipsoids gehe, aber nicht mit der Fignrenachse 
zusammenfalle. Indessen verbessert die Einfiibrung einer solchon 
Hypothese die t^bereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung 
nicht weeentlich, und die mittleren Febler in der Bestimmung der 
beiden Koordinaten, welche die Lage des Kotatiouspols beziiglich des 
Pols der Figurenachse festlegen, sind so betrachtlich, dafi man eiue 
wirklicbe Verschiedeuheit der beiden Achsen nicht als erwiesen an: 
sehen kann 31 ). 

Am meisten benntzt werden das Bessdsehe und das Clartu wh* 
Ellipsoid yon 1880, deren Konstanten zum Vergleich hier nebeneinander 

gestelit seien: 

jftewrfscLee Ellipsoid Clark<*vhe Ellipuuid (1880) 

Halbe grofie Achse G 877 397 m 6 378 180 m 

Reziproke Abplattung 29<J,153 293,465 

Meridianquadrant 10000856m 10001871m 

51. Befltimmung der Abplattung aus Pendelmessungen. J<r. de 
IdUcuide** ) leitete 1785 unter Benutzuug des Clairaut&ehen Theorems 
die Abplattung aus den bis dahin bekauuteii Schwerkraftsmessungen zu 
3 j0 ab. Aus einer Tabeile Ton W. flwrkness 9 * 1 ) leiten wir die folgen- 
den AiiKclriicke i iir die Lange des Sekundenpendels (in Metern) ab, 
die sich aus dec hauptsachlichsteu bis dahin bekannten Rechnungen 

ergeben. Hin/ugefQgt sind die Werte der reztproken Abplattung , 
welche aus der Auwendung des Cfotratitschen Theorems folgen. 

Laplan (1799) L 0,990631 -f 0,005637 sin ? ~ -= 336 

Mathieu (1816) 0743 5466 317 

Biat (1821) 0880 5340 305 

Sabine (1825) 0977 5142 287 

Saigey (1827) 1026 5072 282 

Pontt foubint i,lH29) 0555 5679 341 

Airy (1830) 1017 5087 283 

Poissan (1833) 0941 6142 287 

Unferdinger (1869) 0970 6186 291 

Hdmert (1884) 0918 5262 297,8 

318) Napoli Ace. sci. tie. mat. 6 (1876), n 10; 7 (1878), n" 7. 

319) jfbid., p. 25 u. 26. 

820) Paris M&n. Aod. poor 1785 (1788), p 1 

321) The eolar parallax and its related couataute, VV ashing COB 1891, p. 8. 



52. Benntzung einiger astronomiecher Daten mr Berechnnng uw. 237 

Auf Grund von ungefahr 1400 Schwerkraftsmessungen gibt Helmert **) 
in einer seiner neuesten Publikationen t ir die normale Seuwerkraft 
die foigende Formel (in em) an: 

y = 978,046 (1 -f- 0,005302 sin* <p 0,000007 sin* 9) , 

woraus tnit Hilfe der in Nr. 4 erwahnten Formeln, welche die Kugel- 
funktionen vierter Ordnung berucksichtigen, tt = 1 : 298,3 folgt. 

Iivanoff***) leitete aus den Resultaten von 3(X Schwerkrafts- 
messungen fiir die Lange des Sekundenpeudels foigende Formel (in. 
cm) ab: 

I 99,0997 -f 0,6240 sin<p 0,0016 (* m y | sin 8 ^ ), 

wo q> die geozentrische Breite bedeutet. Der eutsprechende Wert 
von a ist 1 : 296,6. m ) 

52. Benutzung einiger afttronomiacher Daten znr Berechnung 
der KonBtanten des Erdellipgoida. a) AMrihwi der Abplattung aus 
der Hfondpa-rallaxe. Die Diiferenz zwischen den geozentrischen Posi- 
tionen des Mondes, die sich aus der Mondtheorie ergeben, und den 
an einem Erdorte beobachteten Positionen, oder mit anderen Worten 
die Moudparallaxe in ilektaszen.sion und Deklination, sind einfache 
Funktionen des Verhaltnisses der Mondentfernung zum aquatorialen 
Radius a und der Exzentrizitat e. Solche Parallaxenbestimmungen 
konnen deshalb zur Kenutiuy von e beitragon. Wir nennen in dieser 
Beziehuug die Nam en: KMnnfredi**), P. JJouyuer***), Jvr dc Lalande** 1 ), 
J. A.Euler***), A. Coffwdi 329 ). Laplace handelt davon ancb in dem 3. Buche 
der Mec. eel. Indessen entspricht die Geuauigkeit der erwahnten Me- 
tliode nicht den Anforderungen der moderuen Geodasie. 

b) Ableitwifl der aquatorinlcn Halbachse a aus MessutHjcn der 
Mondparallaxe und der fichu-trkraft. Zwischen der mittleren Schwere 
y, dem inittleren Brdradius K, der mittleren aquatorialen Mond- 
parallaxe p und der mittleren Winkelgeschwindigkeit to der Mond 

328) Berlin Ber. 1901, p. 328. Der Koeffizient 0,000007 von sin* q> 1st 
nicht ans den Schwerkraftsbeobachtungen abgeleitet, eondern von E. Witchert 
and G. H. Darwin auf Grund epezieller Anuahmen alter die Dicbte dee Kr<l- 
inneren berechnet. 

B83) Bulletin A cad. St. Peterabourg 8 (1898), p. 919. 

384) Zitat in PuBn. 328, p. 8. 

325) M&n. Acad. Pane pour 1734 (178(1), p. 1. 

326) Mem. Acad. Paris pour 1751 (1755), p. 64. 

327) Mem. Acad. Paris pour 1752 (1756), p. 78. 

328) Miinchen Abb, 5 (1763), p. 197. 

329) Verona Mem di mat. Sue. Ital d (1792), p, 227. 



238 VI i, 8. P. Pizsftti. HBhere Oeodaeie. 

bewegung besteht naherungsweise folgende Beziehung 880 ) ( atis der 
elennentaren Theorie der Planetenbewegung abgeleitet): 

(A) X-9(l+ri~^*, 

wo p das Verhaltnig zwischen Mond- und Erdmasse ist. J. H. TMinbcrt 9 * 1 } 
knm auf den Gedanken, die Mondparallaxe vermittels dieser Formel 
abzuleiten, iadem er 11 und g als bekannt roraussetzte, und Laplace 
fiihrte die Rechnung aus (Mec. eel. 1). Helmert schlug vor, iudem er 
an Stelle von (A) cine genauere Formel setzte, bei der die Exzen- 
trizitat der Erd- und Mondbahn beriicksichtigt ist, umgekehrt die 
aquatoriale Halbaebse a aus beobachteten Werten von g und p ab 
zuleiten. Er fand w ) 

a = 6378 830, die Abplattung zu 1 : 290,1 5 vorausgesetzt. 
a = 6381460, 1 : 28l,7G 

c) Die Ungleichheiten der Mondbewegung in Jtrcite und Langr 
sind a priori auszurechneu^ wenn der Ausdrock cles Erdpotenticds fQr 
Punkte auBerhalb der Erde bekanjat ist. Wenn diese Ungleichheiten 
beobachtet sind, so liefern sie deghalb ihrerseits ebenso wie die 
Schwerkraftsmessuugeu ein Mittel zur Restirainung der Erdahplattung. 
tlberdies ist diese Methode unabhiuigig 98 "; von jeder Hypotliese iiber 
die Andenmg der Dichte im Innern der Erde. HelMert* * 4 ) leit^te 
aus einer Diskussion der Hansenschen A.rbeiten die Abplattung zu 
1 : 297,8 4- 2,2 ab. 

d) Die Erscheiuungen der Praeessicm und Nutation sind, wie be- 
reits erwahntj geeignet, numerische Daten fiJr die Berechnung ler 
Abplattung zu liefern. Aber die theoretische Auswertung dieser Er- 
scheiuung ertbrdert aufier der Keuntnis des Erdpotentials fur anfiere 
Punkte auch die des Tragheitsradius der Erdmasse in bezug auf die 
Ilotationsachse. Die Beuntzung der Prazession und Nutation zur Be 
rechnung der Abplattung kann deshalb nicht ganxlich auf eine be- 
sondere Hypotbese flber die innere Erddichte verzichten. Man kaun 
indessen beweisen, dafi die beobachteten Werte der Prazession uod 



330) Helmert, Hdhere Geodasie 8, p. 461. 

381) Vgl. Seidel, Aatron. Nachr. 50 (1859), p. 281. 

832) Helmert, flohere Geod. 2, p. 466. 

383) Diese Unabhiingigkeit wurde TOD Stokes hervorghoben (On attractions 
and on Clairaut * theorem, Cambridge 1819). Die Zitate der hauptsiichlichsten 
Arbeiten, die sich auf die Berechimug der Moodungleichheiten hexiohen, tiudet 
man in dem in Fufin 821 zit. Werke, p. 101. 

334) Hobere Oeod. 2, p. 473. 



53. Moderne geod&tische Arbeiten. Lotabweichnngen "J39 

Nutation notwendig zu einer kleineren Abplattung als l /.^^ fiibron, 
wenn man umiimmt, daB die Erddichte bestandig von der Oberflache 
nach dem Mittelpunkte bin wiicbst *" :> ). 

e) W. Harkness* 9 *) bemerkt. iudem er eine genaue Diskussion der 
iiumerischeu Werte verschiedener terrestrischer und astronomischer 
Konstanten vornahra, daB zwischen zwolf von ihnen sieben Bedingungs- 
gleichungen aufgestellt werden konnen, die man beuutzen kann, um in 
geeigueter Weise die beobachteten Werte nach der Methode der 
kleinsten Quadrate zu verbessern. Unter diesen Koustanten befindet 
sich die Abplattung, fiir welche aus der Rechmmg von Harfaifss der 
Werfc von 1 : (300 -f 3) folgt. 

53. Moderne geodatische Arbeiten. Lotabwetcbnngen. Im 
Jahre 1861 publizierte J. J. Baeyer eine Abhandlung, welche den Zweck 
verfolgfce, fur den Gedanken einer geodiitischm Vcremiijung der Staaten 
Mitteleuropas Stimmung zu raacben. Er setzte den augenscheinlichen 
Nutzen auseinander, den das Studiura der Kriiinmung des zentraien 
Meridians von Europa baben wurde, und schlug daher vor, durch 
Meridian- und Parallelkreisbogen eine Zone von 12 Lange tnit dem 
Mittelineridian Berlin xmd den Parallelkreisen von Christiania und 
Palermo als Grenzen geodiitiscb zu studieren. Baeyer brachte seine 
Gedanken schliefilich in einem bestimmteu Vorscblag 337 ) zum Aua- 
druck, den er dein preuBischen Kriegsministerium einreichte und der 
von der preuBischen Regieraug durcb Kabinetsorder vom 20. Januar 
1861 angenommen wurde. 15 Staaten traten der Vereinigung bei, 
die ,,Mitteleuropaisdw Gradmessuwf genannt wurde; der erste General- 
bericht wurde 1862 veroff entlicht, und 1864 faud die erste allgemeine 
Konferenz statt. 1867 wurde der Name der Vereinigung in ,,Europ&ische 
GradmessuHff" und schliefilich 1886 in ,,Internationafo Erdmcssung" 
umgewandelt. Eine Erneuerung dieser Vereinigung mit teilweiser 
Neuordnung fand 1895 statt; gegenwartig sind folgende Staaten an 

885) Vgl. TisseratiJ, Me cauique eeleate 2, p. 224. Solche Untorsucbungen 
verdankt man H. 1 oincare. 

836) Vgl. Zitat der FuBnote 321, p. 121133. Die 12 der Rechnung von 
Harkness zugrunde gelegten Konstanten sind: die imttlere Mond- uod Sonnen- 
parailaxe, die Erdabplattung , das Verbii.ltniB der Erdmasae zu der der Sonne, 
das Verhalttiis der Mondmasse zu der der Erde, die Mondgeschwiodigkeit, die 
Aberrationskoustante , die vom Licht ^ebrauchte Zeits urn die mittlcre Entfemung 
Sonne Erde zu durchlanfen (aus der Beobachtuag der Jupitertrabanten abge- 
leitet), die Konstanten der Prazession uud Nutation, die beiden Uugleicbbeiten 
der Mondbewegung. 

387) Vgl.: Zur Entstebuugsgeschi elite der Europaischeu Gradmessuug (ini 
Generalbericht der Mitteleurop. Gradmeasung 1862). 



240 VI i, S. P. Pixzetti. Hflhere Geodacie. 

ihr beteiligt: Argentinien, Belgien, Danemark, Deutschland, Fraukreich, 
Griecheiiland, GroBbritantiien, Italien, Japan, Mexiko, Niederlande, 
Norwegen, Osterreich, Ruruiinien, RuBland, Schweden, Schweiz, Por 
tugal, Span ien, Uugarn, Vereinigte Staaten Ton Nordamerika. Die 
Vereinigung verfolgt hauptsachlich folgende Ziele: darauf hinzuwirken, 
dafi die geodatischen Arbeiten soweit als moglich nach ubereinstim- 
menden Regeln auegefiihrt werden; die Resultate der einzelnen Ar 
beiten in einer Hand zu sammelu, damit sie eiuer zusammenfassenden 
Diskussion unterworfen werden konnen; apezielle Studien, welche die 
Geodasie interessiereu, zu begttnstigen, und durch Vennittlung der 
bestehenden Kommissionen sowie durch Anweisung der Mittel die- 
jenigen Untersuchungen von allgemeinerein Interesse zu fdrdern, welche 
die Mitarbeit verschiedener Staaten erfordern. Die wichtigste dieser 
internationalen Untersuchungen ist augenblicklich die fiber die Ver- 
anderlichkeit der Breite oder die Polhohenschwankungen. "Dber diesen 
Gegenstand werden wir hier nieht sprechen, obgleich er von groBer 
Bedeutung in der theoretischen Geodasie ist, weil in der Geophysik 
davon die Rede sein wird. 

Gegenwartig ist Europa fast ganz mit Triangulationen iiber- 
deckt 33 *), die zum Teil ganzlich erueuert worden sind. AuBer dem 
schon erwahnten grofien ruasisch - skandinavischeu Bogen und den in 
Osterreich, Dalmatien und Ghechenland au^gefiihrten Arbeiten aaben 
wir: den mitteleuropiiischen Bogen, der von den Lofoten bis aach Malta 
in einer Ausdehnung von ca 33reicnt; den englisch-fraiizosisch-spanisch- 
algerischen Bogen 838 ) von den Shetlands-luseln bis nach Laghouat in 
Algier (ca. 21 AmpL); den Parallelkreisbogen in 52 Breite vom 
atlantischen Ozean bis Orsk (Sibirieu); dcu Parallelkreisbogen in 47^ A 
Breite vom Atlantischen Ozeau bis Astrachan. Das zusaramenhangende 
Netz, das sich durch Italien, Frankreich, Span ien, Algier und Sizilien 
hinzieht, umgibt fast den ganzen westlichen Teil des mittellandischeu 
Meeres. Die Kussen und Schweden habeu auf Spitsbergen zwischen 
76,7 und 81,7 Breite geodatische nnd astronomieche Arbeiten aus- 
gefuhrt 340 ). 

33#) Vgl. die Karte von Etaropa, welche dem Rapport stir les triangulations 
in Intern. Krdoi. 1908, II. T., p. 292 beigegeben ist. 

889} Die geodatisch-astronomieche Yerbindung von Spanieu mit Algier und 
die von Malta mit Sizilien hat fur die europ&ischen Arbeiten eine besondere 
Bedeutuug -wegen der ungewOnnlichen Lange der Sichten. Vgl. J. Pcrrier et 
C. Ibatiez, Jonction geod^Hique et aetronomique de I Alge rie avec 1 Espagne, Paris 
1880 und K. Comm. geod. italiana, Collegaaiento delle ieole Maltesi colla Sicilia, 
Fireu/a 1902. 

340) Int. Krdm. 1900, I. T., p. 169; 1908, II. T., p. 127. 



&8. Moderoe good&tische Arbeiten. Lotabweichungen. 241 

In den Vereinigten Staaten von Nordamerika haben wir haupt- 
sachlich die Triangulation langa des 39. Parallels vom atlantischen 
bis zum pazifischen Ozean 841 ) und den schiefen Bogen langs der at 
lantischen Kttste von der Grenze Kanadas bis New Orleans 542 ). Man 
oiifit dort auch einen zentralen Meridianbogen 348 ) Clangs 98 ostl. L. 
von Greenwich), dessen Verlangerung durch Meiiko 344 ) bis zum pazi- 
fischen Ozean ebenfalls in Angriff genommen ist. In Australien ist 
seit langeren Jahren die Triangulation von Victoria vollendet und 
die von New <9outh Wales so gut wie vollendet 845 ); in Japan ist die 
Triaugulation der Hauptinsel vollstandig 34 *). Wichtige geodiitische 
Arbeiten sind an der Westkiiste von Sumatra ausgeftihrt** 1 ). In 
Siidafrika ist aufier den versehiedenen Dreiecksnetzen in der Kap- 
koionie und dem benachbarten Deutsch-Siidwestafrika eine Triangu 
lation lungs des Meridians in 30 ostl. L. im Oange, welche die Kap- 
kolonie rait den hereitft bestehenden Netzen in Natal verbinden und 
bis zum Tanganjika*See durchgehen soil 848 ). Man hoii t, in iiicht zu 
ferner Zeit durch Rhodesien, der Ktlste des Tanganjika cntlang, durch 
Uganda bis /urn Nil bin eine Dreieckskette legen zu konnen, die dann 
vora Kap bis Kairo reichen wiirde. Der sogeuanute peruanische 
Bogen wird mit 6 Amplitude neu geuiessen von der Nordgrenze 
cuadors am pazifischen Ozean bis zur Nordgrenze Perus 849 ). Die 
grofie Indische Triangulation 350 ) hat jetzt schou eine Au.sdehnung von 
22 in Breite und 2o in Lange, und soil durch einen Meridian- und 
eineu Parallelbogen in Biriua fortgesetzt werden. 

Bezuglich der Schwerkraftsmessungen, von denen im Jahre 1903 
etwa 1900, iiber ganz Europa und die Kflsten eines grofien Teils der 
iibrigen ErdteQe verteilt, vorhantleu waren, verweisen wir auf die 



A ScJiott, The trauscontiucntal triangul&tion and the American arc of 
the parallel, Washington l .H)0 (R. C. (i. S., Special public. Nr. 4). 

34-J) .1. Schott, The eastern oblique rc ui* the U. S. and OBCidating sphe 
roid, WaHhingtoii 1902 (R, C. G. S., Special public. Nr. 7). 

848) Int. Erdrn. 103, I. T., p. 185. 

844) Int. Erdm. 1903, I. T., p. 141. 

345) Int. Erdin. 1903, II. T., p. 248. 

846) Ixit, Erdm. 1895, II. T., p. 287; 1900, L T., p. 215. 

347) lut Erdm 1903, I. T., p. 155. 

348) Vgl. die Karte in Int. Erdm. 1903, II. T., p. 292. 

349; H. PoincarS, Ann. du Bur. d, longitudes 1901 und Int. Ei-dm. 1903, 
II. T , p. 113. 

350) /. T. Walker, London Phil. Trans. 186 (1895), p. 199; Int. Erdm. 1903, 
II. T., p. 219, 228. 



242 VI i, 3 - P- Pizzetti. H6here Geodaeie. 

Berichte von Helmert und E. JBorrass 9tl \ Besondere Erwahnung ver- 
dienen die Schwerkraftsniessungen auf dem atlantischen Ozean 358 ). 

Die Schwerkraftsmessungen zusaminen mit astronomisch-geoda- 
tischen Bestimmungen fuhren zu einem Abplaltungswert, der nur 
wenig von dein Bessdschen verschieden ist, so daB von diesem Ge- 
sichtspunkt aus das Besselsdie dem C7arA*eschen Ellipsoid vorzuziehen 
ware. Die Frage nach dem best anscblieBenden Ellipsoid steht in- 
desseu, wie bereits friiher (vgl. NT. 43) hervorgehoben 1st, nicht niehr 
im Mittelpunkt des geodatischen Interests, weil man fcicht alle Grad- 
messungen durch ein Ellipsoid befriedigend darzustellen vermag. Man 
strebt vielmehr heute danach, die Kriimmungeverhaltuisse der Niveau- 
flachen in den von den Gradmessungen bedeckten Gebieten zu er- 
forschen, was durch Berechnung der Lotabweichungen gegen ein in 
gewissen Grenzen willkiirlich zu wahlendes Referenzellipsoid geschieht. 

Ein Verzeiebnis der bis 1887 bekannten Lotabweichungen gibt 
Helmert in den Verhandlungeii der Internationalen Erdniessuug von 
1887. Fortgesetzt is.t dasselbe 1889, 1892 und 1895 von Hdmert und 
1898 und 1903 von A. Borsch. Wir mac hen in den folgenden FuB- 
uoten einige Literatnrangaben beziiglich der Untersuchungeu fiber Lot- 
abweicbnngen in den Laudern: Deutschland 358 ), Osterreich-Ungarn 3f>4 ), 
Frankreich 855 ), GroBbritanniea 866 ), Italien 867 ), Schweiz 368 ), Englisch- 



8M) Int. Erdm. 1000, II. T., p. 139; 103, U. T., p. lb. 

362) Int. Erdm. 1903, II. T., p. 15 und 0. Htcker, BeKtiuimung der Schwer- 
kraft auf dem atlantischen Ozean, sowie iu Uio de Janeiro, Liseabou und Madrid, 
VerOffentl. d. preuB. Geod. Inst., Berlin 1903. 

353) Int. Erdm. 1887, p. 16; 1898, p. 258; 1903, II. T., p. 400. Ferner die 
VerOffentlichungen d. preoB. Geod. Inst.: Lotabv/eichungen, Het t 1, 1886; Heft 2, 
1902; Polbohenbcstimmungen aus dem Jahre 1886 usw., 1889; Das Markis x ch- 
Thiiringipche Dreieckanetz, 1889; Lotabweichungen in der Umgebung von Berlin, 
1889; Bestimmuug der Polh5he und der Inteugitat der Schwerkraft auf 22 Sta- 
tiunen usw., 1896; Bestimnmng von Azimuten im Harzgebirge, 1898; Bestimmung 
der PolhShe und der Intensitat der Schwerkraft in der Nahe des Berliner Men- 
diana, 1902. E. Hammer, Astronom. Niveilement durch Wiirttemberg usw., 
Stuttgart 1902. 

864) Int. Erdm. 1908, II. T. , p. 404; Die Ergebnisse der Triangulieruug 
des unlit. -geogr. Inst., Wien 1901/02; J. Netustihill, Mitt, milit.-geogr. inst. Wien, 
21 (1902), p. 44 

855) Int. Erdm. 1887, Beilage A, p. 14; 1898, p. 263; 1903, II. T., p. 411; 
Memorial du dep&t ge"ndral de la guerre 12 (1902). 

366) Int. Erdm. 1887, Beilage A, p 11. 

357) Int. Erdm. 1887, Beilage A, p. 26; 1898, p. 262; 1908, H. T., p. 40,9; 
P. L. Cattolica, Differenza di longitudine tra Livorno Geneva, Geneva 1899; 
G. Citcato, Aatr. Nachr. 149 (1899), p. 386: V. Reina, Rend. Ace. Line. (6) 9 (1900), 
p. 189; 10 (1901), p. 284, 346; 11 (1902), p. 431; V. Reina, Detenu, astron. di 



53. Moderne geodiitische Arbeiten. Lotabweichtmgen. 213 

Indien 359 ), Siidafrika 8 * ), Vereinigte Staaten von Nordamerika afi1 \ RuB- 
land 362 ), Schweden 36 *), Norwegen 864 ), Daiiemark 365 ), Austral i en 3fifi ), 
Java 367 ) und den Sandwich-Inseln 368 ). 



!at,itd. e d azimut lungo il meridiano di Roma, Firenze 1908; A. /I teeo, Rend. 
Ace, Line. (5) 1 (1898), p. 11; A. Riceo, T. Zona, G. Saijn, Mem. Soc. Spettro- 
scopinti 28 (1809), p. 12; A. Vtnturi, Rend. Ace. Line. (5) 6 (1897;, p. 327; 4. Yen- 
tttri, Azimut diMoute Alfano etc., Palermo 1892; R. P. Sirrneck, Mitt, milit.-geogr. 
Inst. Wien. 11 (1892), p. 212 

358) Int. Krdm. 1887, Beiiage A, p. 26; 1895, U. T., p. 181; 1898, p. 260; 
1903, II. T., p. 406; J. Messemcbmitt, Dan Schweiscerisclie Dreiei-ksnetz 6 (1894), 8 
(1898), 9 (1901), Zurich; A. Beck, Astr Nacbr. 159 (190"- ), p. 138; 163 (1903\ 
p. 190. 

359) Int. Erdm. 1892, p. 51fi; 189*, p. 273; 1903, p. 415; J. T. Walker, 
London Phil. Trans. 186 (1895), p. 770; S. G. Burrnrd, The attraction of the 
Hyxualay.1 M. upon the plnmbliue. Dehra-Dun 1901. 

360) Int. Erdni. 1895, II. T, p. 18>*: 1898, p. 270; D. Gill, Report of the 
geud. survey of South-Africa, 1, Capetown 1896, 2, Capetown 1901. 

361) Int. Erdm. l*S7, Beilage A, p. 38; 1895, II. T.. p. 185; 1903, I. T., 
p. 208; II. T., p. 424; (Jh. A. Schoft, R. C. G S. 1*69, p. 113 and FuBn. 341 u. 342). 

362) Int. Erdm. 1887, Beilage A. p. 35; 1893, p. 183: 1895, H. T., p. 184; 
1898, p. 266; 1903, H. T., p. 412; A . G. Schiceiser , Moacou Hull. Soc. Nat. 87 
(1864), p. 96; J. A. Iwerottow , Mem. Topogr. Abt. d. Geueralstabs, Petersburg 61 
(1894), p. 324; Lcbedeff, ibid. 48 (1896), p. 1; Pomemntzeff, ibid. 54 i;i897), p. 75; 
Venukoff, Paris C. R. 123 (1896), p. 40. 

363) Int. Erdm. 1892, p. 620; 1898, p. 263; P. G. Rosen, Die astr.-geodilt 
Arbeiten der Topogr. Abt des Schwed. Generitlstabes, 2, Stockholm 1908. 

364) Int. Erdm. 1896, II. T., p. 183 u. 184. 

365) Int. Erdm. 1887, p. 17, 27; 1903, II. T., p 412; Deu Danske Gradmaa- 
ling 3 (1878), 4 (186), Kopenhagen. 

366) Int. Erdm. 1903, II. T., p. 419; T. F. Furbr, The trigon. eunrey of 
New Sonth Wales, Sydney 1898. 

367) Int. Erdm. 1908, II. T., p. 421; J. A. C. Oudemant, Die Triangulation 
von Java, Haag 1900. * 

368) Tut. Erdm. 1896, II. T., p. 186; E. D. Prcaton, R. C. G. 8. 1888, app. 14; 
1893, app. 12. 



(Abgeschlotmen im April 1906.) 



VI i, 4. JS. Bourgeois-Ph. Furtwanghr. Kartographie. 245 



VI i, 4. KARTOGRAPHIE. 

VON 
E. BOUBGEOIS UND PH. FURTWANGLEB 

IN PARIS IS AACHEN. 



Inhaltstibersicht. 

1. Einleitung. 

2. Problemstellung. Allgemeine Analyse der Verzerrungen. 

3. Perspektiven. 

4. Konische Abbildungen oder Kegelprojektionen*) nnd ihre Grenzfiille. 
blick und Einteilung. 

5. Azimutale Abbildungen. 

6. Zylindrisohe Abbildungen. 

a) Flachentreue zylindrische Abbildungen. 

b) Winkeltreue zylindrische Abbildungen. 

c) Mittabstandstreue zylindrische Abbildungen. 

7. Koniache Abbildungen. 

a) Flachentreue konische Abbildungen. 

b) Winkeltreue koniecbe Abbildungen. 

o) Mittabstandstreue konische Abbildungen. 

8. Uneehte Kegelprojektionen nebst Grenzfallen. 

a) Die JBownesche Projektion. 

b) Die Sanson-FlainsteedBcha Projektion. 

c) Flacbentreue Projektionen , bei denen die Parallelkreise durch ein 
System von parallelen Geraden- abgebildet werden. 

d) Die Planisphare von Att&w und verwaudte Entwiirfe. 
Polykonische Projektionen. 

Polyederprojektion. GradabteilungHkarten. 

Kreisnetze. 

Projoktion mit geringater Langonverzerrung nach Tissot. 

Allgemeines iiber die winkeltreuen Abbildungen. Projektionen von Tsche- 

byschoff, Peirce und August. 

*) Das Wort ,,Projektiou" wird in der Kartographie nicht nur in dem in 
dcr projektiven Geometric \iblichen engeren Sinne gebraueht, soudern steht auch 
allgemein fur Abbilduug. Da dieser Sprachgebrauch eingebxirgert ist, ist im 
folgeuden nebeu dem Worte ,,Abbildung" aid gleichbedeutend die Bezeichrinng 
,,Projektion" benutzt. 

JBnoyklop. d. matb. Wijeuch. VI 1. 17 



246 VI i, 4. 2?. Bourgeois-Ph. Furtwangkr. Kartograpbie. 

14. Allgemeines fiber die flachentrouen Abbildungen 

15. Darstellung der Hohouve.rhaltnisge. 

16. Kartometrie. 

17. Entwicklung des etaatlichen Kartenwesens im 19. Jahrhundert. 



Literatur. 

Lehrbttcher. 

(In einigen der genannten Werke bildet die Kartographie nur einen Abschnitt.) 

A. Brewing, Das Verebnen der Kugeloberflache fiir Gradnetzentwurfe, Leipzig 1892. 

Th. Craig, A treatise on projections, Washington 1882. 

M. Fiorini, Le projezioni delle carte geografiche, Bologna 1881, mit Atlas. 

A. Germain, Traite des projections des cartes geographiques, Paris 1866. (Germain, 

Trait^ des projections.) 

H. Gretsehel, Lehrbuch der Kartenprojektion, Weimar 1873. 
N. Hers, Learbueh der Landkartenprojektionen, Leipzig 1885 (Herz). 
W. Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Bd. 3, LandesvermesBung und Grund- 

aufgaben der Erdmessung, 4. Aufl., Stuttgart 1896. 
J. J. Littrow, Chorographie oder Anleitung, alle Arten von Land-, See- und 

Himmelskarten zu verfertigen, Wien 1833. 

T. Mayer, Unterricht zur praktischen Geometric, Toil IV, 2. Aufl., Erlangen 1804. 
L. Puissant, Traite* de topograpbie, d arpentage et de nivellement, 2. ed., Paris 1820. 
A. Steinhauser, Grundziige der mathematischen Geographie und der Landkarten- 

projektion, Wien 18G7, 2. Aufl. 1880. 

A. Vital, Kartenentwurfslehre, Wien 1903. (Teil XXVI von ,,Die Erdkunde".) 
H. Wagner, Lehrbucb der Geographie, 1. Bd., Buch I, Kap. IV, 7. Aufl., Hannover 

und Leipzig 1903. 
K. Zoppritz-A. Bludau, Leitfaden der Kartenentwurfslehre, 2. Aufl.; I. Teil: 

Die Projektionelehre, Leipzig 1899; II. Teil: Kartographie und Kartometrie, 

Leipzig 1908. (Zoppritz - Bludau 1, 2.) 
H. Zondfrvan, Allgemeine Kartenkunde, Leipzig 1901. 

AuBerdem existieren noeh zahlreiche populare zuni Teil sehr oberflachliche 
Darstellungen der Kartographie; ferner nnden sich Abrisse der Kartenentwurfs- 
Jehre in vielen Lehrbiicheru der Geodaeie, Astronomie, Geographie und Mathe- 
matik (z. B, 0. Schlomilch, Handbuch der Mathematik, 2. Aufl. herausg. von 
K Henke und E. Hcger, Leipzig 1904, Bd. 3; 0. Kriimwd und M. Eckert, Geo- 
graphisches Praktikum, Leipzig 1908), sowie in Atlanten (z. B. H. Wagner, 
Methodiacher Schulatlas, Gotha 1888; Schrader, Prudent et Anthoine, Atlas de 
g^ogr. moderne, Paria 1891). 

Jfonographien. 

If. C. Albers,, Cber Mardoclis drei Kegelprojektionen , Zachs Monatl. Corresp. f. 

Erd- und HimrneJskunde 1.1, p. 97; 12, p. 460, Gotha 1806. 
G. B. Airy, Explanation of a projection by balance of errors for maps, Phil. 

Mag. (4) 22 (1861). 
A. August, Dber eine konforme Abbildung der Erde, Zeitschr. Ges. Erdk. 9 (1874). 



Literatur. 247 

0. Bonnet, Sur la theorie dee cartes geographiques, Paris, These d astr. , J. de 

math. (1) 17 (1852). 
E. Collignon, Recherches sur la representation plane de la surface du globe terrestre, 

J. 6"c. polyt. 24 (1865). 
L. Euler, De repraesentatione superficiei sphaericae super piano, Petrop. Acad. 

Acta 1777, 1, p. 107. 

De projectione geographica auperficiei sphaericae, ibid., p. 133. 

De projectione geographica De Lisliana in mappa generali imperil ruseici 
ueitata, ibid., p. 143. (Deutsche Cbersetzung der drei Abhandlungen in Ostw. 
Klass. Nr. 93, herausg. von A. Wangerin.} 

J. Frischauf, Beitrage zur Geschichte und Konstruktion der Kartenprojektionen, 
(Ira/. 1891. 

Die Abbildungslehre und deren Anwendung auf Kartographie und Geodasie, 
Zeitschr. math.-naturw. Unterr. 36 (1906), auch ale S.-A. erscbienen. 

J. R. Frankc, Geodatische Punktkoordinierung in spharischen Kleinsystemen. 
Vergleicbende Entwicklungen im einbeitlichen Koordinatensystem der baye- 
rischen Landesvermessung, Munch en 1898. 

C. F. Gaufl, Allgemeine Auf Itfsung der Aufgabe : Die Teile einer gegebenen Flache 
auf einer anderen gegebenen Flache so ubzubilden, dafi die Abbildung dem 
Abgebildeten in den kleinsten Teilen ahnlich wird. Astron. Abb., heraueg. 
von H. C. Schumacher, 3. Heft, Altona 1826. 

D. A. Grave, ftber die Grundaufgaben der mathematischen Theorie der Karten- 
projektion, Petersburg 1896 (russiach). 

Sur la construction doe cartes geographiques, J. de math. (6) 2 (1896). 

E. Hammer, tlber die geographisch wichtigsten Kartenprojektionen, insbesondere 
die zenitalen Entwurfe nebst Tafeln zur Verwandlung von geographischen Ko- 
ordinaten in azimutale, Stuttgart 1889. (Hammer, Kartenprojektionen.) 

Zur Abbildung des Erdellipsoids, Stuttgart 1891. 

H. Hartl, Die Projektionen der wichtigsten vom k. k. Generalquartiermeisteratabe 

und vom k. k. militar-geographischen Institute herausgegebenen Kartenwerke, 

Mitt. milit.-geogr. Inst. Wien 6 (1886). 

Hollander , Cber fiachentreue Abbildungen, Progr. Gymn. Miihlheim a. R. 1891. 
Instruzioni aulla projezione naturale, applicata alia formazione dell a Carta 

d ltalia, Firenze 1875. 
//. James, Description of the projection used in the topographical departement 

of the war office for maps embracing large portions of the earth s surface, 

Journ. Roy. geogr. soc. 30 (1860). 

and A. R. Clarke, On projection for maps, Phil. Mag. (4) 23 (1862). 

On projection for maps applying to a very large extent of the earth s surface, 
Phil. Mag. (4) 26 (1865). 

H. James, Account of the methods and processes adopted for the production of 
the maps of the Ordnance Survey of the united kingdom. Revised in 1901 
under the direction of D. A. Johnston, London 1902. 

W. Jordan, K. Mauck, E. Vogeler, GroBherzogl. mecklenburgische Landesver 
messung, V. Toil. Die konforme Kegelprojektion und ihre Anwendung auf 
das trigonometriache Netz I. Ordnung, Schwerin 1896. 

A. Korkinc, Sur les cartes geographiques, Math. Ann. 36 (1890). 

J. L. de Lagrange, Sur la construction des cartes ge ographiques , Berlin Acad. 
Mem. 1779. 

17* 



248 VI i, 4. P. Bourgeois- Ph. Furtwangkr. Kartographie. 

J. H. Lambert, Anmerkungen and Zusatze zur En tw or Fung de.r Land- uad Himmela- 

charten aus: Beytrage zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, 

3. Teil, Berlin 1772 = Oatw. Klass. Nr. 64, herausg. von A. Wangerin (Lambert, 

Land- nud Himmelacharteu). 
/. G. Lehmann, Darstellung einer neaen Theorie zur Bezeichnung der schiefen 

Flachen im GrundriB oder der Situationszeichnung der Berge, Leipzig 1799. 
A. A. Markoff, ftber die giinstigste Abbildung ernes Teiles einer gegebenen Ro- 

tationsflache auf die Ebene, Pe*tersb. acad. sci. bull. 1896 II (niss.). 
C. v. Orff und C. M. Bauernfeind, Die Bayerische Landesvermessung in ihrer 

wisBenschaftlichen Grundlage, Munchen 1873. 

C. S. Pet ree, A quincunctial projection of the sphere, Amer. Journ. Math. 2 (1879). 
A. M. Perrot-Bourgoins, Nouveau manuel complet pour la construction et le desain 

des cartes geographiquos, Paris J .)03. 
M. Rosenmund, Die Anderung des Projektionasystems der schweizerischen Landes- 

vermessung, Bern 1903. 
v. Schmidt, Die Projektionsmethode der Trigonometrischen Abteilung der Kgl. 

Preufi. Landesaufuahme, Zeitschr. f. Vermeas. 23 (1894). 
Ch. M. Schols, Eene equivalente projectie met minimumafwijking voor een cirkel- 

vormig terrein van geringe uitgebreidheid , Amsterdam Akad. van Wetenach. 

Versl. en Medd., Abt. Naturkunde (3) 2 (1886). 
0. Schreiber, Theorie der Projektionsmethode der hannoverschen Landesvermessung, 

Hannover 1866. 

Die konforme Doppelprojektion der trigonometrischen Abteilung der Kgl. 
PreuBischen Landesaufnahme. Fornieln und Tafeln. Berlin 1897. 

Zur konformen Doppelprojektion der Kgl. PreuBischen Landesaufnahme, Zeit- 
schrift f. Vermess. 28 (1899); 29 (1900). 

A. Tissot, Memoire sur la representation des surfaces et les projections des cartes 
geographiquea, Paris 1881. 

Die Netzentwiirfe geographischer Karten, dentsche Bearbeitung von E. Hammer, 
Stuttgart 1887 (Tissot- Hammer). 

G. Wenz, Atlas zur Landkartencntwurfslehre, Munchen 1886. 

JET. Wiechel, Theorie und Darstellung der Beleuchtung von nicht geaetzmaBig ge- 

bildeten Fllichon mit Riicksicht auf die Bergzeichnung, Civilingenieur 24 (1878). 

Wegen der allgemeinen Abbildungslehre, sei auf die Lehrbiicher der Flachen- 

theorie und Differentialgeometrie verwiesen, von denen genannt aeien: 

G. Darboux, Le9ons sur la theorie ge ne rale dea surfaces, 3, 4, Paris 1894, 1896. 

L. Bianchi, Vorlesungen fiber Differentialgeometrie, deutsch von M. Lukat, 

Leipzig 1899. 

Historisclies. 

M. A. P. d Aveeac, Ck>up d oeil historique sur la projection des cartes de geographic, 

Bull. soc. g<$ogr. Paris (5) 5 (1863), p. 257, 438. (Auch als Separatabzug er- 

schienen.) 
Berthaut, La carte de France, 17501898. Etude historique. T. I et II, 

Paris 189899. 
A. Breusing, Gerhard Kremer, genannt Mercator, der deutsche Geograph, Duis- 

burg 1878. 
J. Lelewel, Geographic du moyen-age, 4 vol., Bruxelles 1862 I8fi7. 



Literatur. 249 

A. E. Nordenskiold , Facsimile- Atlas to the early history of cartography, Stock 
holm 1889. 

Periplus, an essay on the early history of charts and sailing directions, Stock 
holm 1897. 

Vic. de Santarem, Essai sur Vhistoire de la co&mographie et de la cartographie 

pendant le moyen-age, 3 vol., Paris 18491852. 
W. Stavenhagen, Die geschichtliche Entwicklung des preuBischen Militarkarten- 

wesens, Leipzig 1901 (S.-A. aus Geogr. Zeitsch. 6 (1900)). 

Skizze der Entwicklung und des Standee des Kartenwesens de& au&erdeutechen 
Europas, Peterm. Mitt., Erganzungsheft 148, Gotha 1904. 

H. Wagner, Leitfaden durch den Entwicklungsgang der Seekarten, Bremen 1896. 
H. Wauwermans, Hietoire de 1 ^cole cartographique Beige et Anvertoifte du 

XVI. siecle, 2 vol., Bruxelles 1895. 

JR. Wolf, Handbuch der Astronomic usw., 2 Bde., Ziirich 189093. 
W. Wolkenhauer, Leitfaden zur Geschichte der Eartographie in tabellarischer 

Darstellung, Breslau 1895. 

Daa Geographische Jahrbuch bringt zusammenfassende Eeferate uber Earto 
graphie, die bisher von folgenden Autoren verfafit sind: 
S. Giinther, Die Fortschritte der Eartenprojektionslehre, Geogr. Jahrb. 9 (1882), 

p. 407; 10 (1883), p. 323; 12 (1888), p. 1; 14 (189091), p. 185. 
E. Hammer, Die Fortechritte der Eartenprojektionslehre, der Eartenzeichnnng und 

der Eartenmessung, ibid. 17 (1894), p. 41; 19 (1896\ p. 1; 20 (1897), p. 426; 

24 (1901), p. 3. 
H. Haack, Die Fortschritte der Eartenprojektionslehre, Eartenzeichnung und 

-Vervielfaltigung, sowie der Eartenmessung, ibid. 26 (1903), p. 369; 89 (1908), 

p. 321. 

Endlich sei auf die Mitteilungen des k. k. militargeographischen Inftituts in 
Wien (seit 1881) hingewiesen. 

Darchgehende Bezeichnnngen. 

?> geographische Breite, 

1 geographische Lange, 

9 = 90 <p Poldistanz, 

K Azimut, 
Ji Eriimmungshalbmesser im Meridian, 

r Eriimmungsbalbmesser im Parallel, 
x, y rechtwinklige Koordinaten in der Eartenebene, 
e, i|> Polarkoordinaten in der Eartenebene, 
a, b Maximum, Minimum des Langonverhaltnisses in einem Punkte, 

h L angeuverhaltnis im Meridian, 

k Langenverhaltnis im Parallel, 

S Flachenverhaltnis, 
2wgr56te Winkelverzerrung in einem Punkte. 

Verzeichnis der erwflhiiten Karteiiprojektionen. 

Orthographische Pr., p. 266. 

Zentral- oder gnomonische Pr., p. 266. 

Stereographs Bche Projektion, p. 257 = winkeltreue Azimutalprojektion, p. 262. 



250 VI i, 4. R. Bourgcois-Ph. Furtwdngler. Kartographie. 

Flachentreue Azimutalprojektion von Lambert, p. 262. 

Mittabstandstreue (aquidistante) Azimutalpr. (Postel, richtiger Mercator), p. 264. 

G. B. Airy* projection by balance of errors, p. 266. 

A. Brewings vennittelnde Azimutalprojektion, p. 265. 

Abbildung dines schmalen Kugelstreifens nach F. J. Miiller, p. 266, FuBn. 40. 

Flachentreue Zylinderprojektion mit langentreuem Haaptkreis (Aquator) von 

Lambert, p. 267. 

Flachentxeue Zylinderprojektion mit kleinster Winkelverzerrung von Tissot, p. 267. 
Winkeltreue Zylinderpr. oder Mercatorpr., p. 267. 
Quadratische Plattkarte, p. 269. 
Cassini-Soldnersche Projektion. p. 269. 
Rechteckige Plattkarte, p. 269. 
Lamberts flachentreue Kegelprojektion, p. 271. 

Flachentreue Kegelprojektion mit geringster Winkelverzerrung, p. 271. 
Albers Kegelrumpfprojektion, p. 271. 

Kegelrumpfprojektion mit kleinster Winkelverzerrung von Tissot, p. 272. 
Lambert-Gaufiache konforme Kegelprojektion (Boolea Proj.), p. 273. 
Konforme Kegelprojektion mit kleiueter Flachenverzerrung, p. 273. 
Gewohnliche (einfache, wahre) Kegelprojektion von Ptolemtius, p. 274. 
Ue I Isle* Kegelprojektion, p. 275. 

Vereinfachte Kegelprojektion (Mercators Kegelproj.), p. 275, FuBn. 57. 
jBownesche Projektion, p. 275. 
Satison-Flamsteedache Projektion, p. 278. 
Stab-Werncrsche Projektion, p 279, FuBn. 66. 
Projektion von Collignon, p. 279. 

Projektion von K. B. Mollweide (homalograph. Proj.), p. 280. 
Eckert flachentreues Trapeznetz und Kreisringnetz, p. 279, FuBn. 69 und p. 280, 

FuBn. 72. 

Planisphitre von Aitow, p. 280. 
Flachentreue Planiephare von Hammer, p. 280. 
Gewohnliche polykonische Proj. (amerikanische polyk. Pr.), p. 281. 
Rechtschnittige polykonische Proj. (dea englischen War Office), p. 231. 
PreuBiache Polyederprojektion (projezione naturale), p. 282. 
Winkeltreue Kreianetze von Lagrange (Lambert), p. 283. 
Projektion von Nicolosi (Globularpr., englische Pr.), p. 284, FuBn. 88. 
JVeJfeche Projektion, p. 284, FuBn. 88. 
Kreisnet.z von A. J. van der Grinten, p. 284, FuBn. 88. 
Projektion mit geringster Langenverzerrung von Tissot, p. 285. 
Tissota kompensative Kegelproj ektiou, p. 286. 
Quiucuucialprojektion von C. S. Peirce, p. 289. 
Konforme Projektion von August, p. 289. 
Konforme Projektion von P. L. Ischebyschoff, p. 289. 



1. Einleitung. Da die Erdoberflache keine abwickelbare Flacbe 
ist, kaun man sie nur in der Weise auf eine Ebene oder ein Stfick 
einer Ebeae abbilden, dafi man mehr oder weniger die Entfernungen, 
die GroBen der Flachen, der Winkel usw. anderfc 1 ). Je nacb den Be- 

1) DaB eine Kugel nicht in den kleinsten Teilen kongruent auf eine Ebene 



1. Eiiileitung. 251 

diirfnissen, welche die Karte befriedigen soil, wird m;m der Erhaltung 
oder wenigstens der geringsten Anderung dieser oder jener GroBe bei 
der Abbildung den Vorzug geben, z. B. der Erhaltung der Winkel 
oder Erhaltung der Flachen. In anderen Fallen wird man versuchen, 
fiir die Bilder der Meridiane und Parallelkreise moglichst einfache 
Kurven, z. B. Gerade oder Kreise, zu erhalten. 

Die Diskussion der Bedingungen, die in den verschiedeneu Fallen 
zu berttckeichtigen sind, die Aufsuchung der Wege, auf denen man 
das gewiinschte Resultat erhalten kann und endlich die Herstellung 
des Liniensystems, das das Kartennetz liefert, bilden denjenigen Zweig 
der mathematischen Geographic, den man als Kartenprojektionslehre be- 
zeichnet. Zur Kartographie im weiteren Sinne rechnet man noch die 
Darstellung der Hohenverhaltnisse, die Wiedergabe der ,,Situation" 
(FluBnetze, Wegenetze usw.) und im weitesten Sinne auch die Lehre 
von der technischen Herstellung und Vervielfaltigung der Karten. Von 
diesen Dingen wird hier aber, da die mathematischen Gesichtspunkte 
dabei zuriicktreten, nur teilweise und kurz die Rede sein. 

Bei der Herstellung des Kartennetzes macht es einen wesentlichen 
Unterschied, ob der MaBstab der Karte grofi oder kleiu ist 2 ). Unter 
dem MaBstab versteht man, allgemein zu reden, das Verhaltnis der 
Lange eines Linienelemeutes im Original zur Lange seines Bildes 8 ) 
(LangenverhdUnis oder linearer ModuC). Ist dies Verhaltnis groB 
(etwa groBer als gooboo)> so ^ ann man au ^ Q ^ Giai handlichen Blatte nur 
ein relativ kleines Stiick der Erdoberflache abbilden. Dies Stuck kann 
man aber praktisch als eben betrachten., so daB in diesem Falle das 
Kartenblatt ein innerhalb der Grenzen der Zeichen- und Messungs- 
genauigkeit vollig getreues Abbild der Wirklichkeit darstellt. Erst 
wenn der MaBstab kleiner ist, so dafi man ein groBeres Stuck der 
Erdoberflache auf einem Blatte abbilden kann, spielen die Verzerrungen 



abgebildet werden kann, hat wohl zuerat L. Euler bewiesen, vgl. Petrop. Acad. 
Acta 1777, L, p. 107132, speziell 9. 

2) Nach dem MaBstab pflegt man die Karten in topographische Karten 
(Mafiatab groBer als etwa 1 : 500 000) und geographische Karten (MaBstab kleiner 
als etwa 1:500000) einzuteilen, wobei man die beiden Abteilungen noch wieder 
in Unterahteilungen zerlegt. Neuerdinga teilt man auch in Spezial- und General- 
karten ein. 

8) Daa genannte Verhaltnis iindert sich in der Karte im allgemeinen von 
Punkt zu Punkt und ist auch in den verschiedenen Eichtungen in einem Karten- 
pnukte im allgemeinen verschieden. Um diesem Umstaude Bechnuug zu tragen, 
definiert man als MaBstab genauer das Lilngenverhiiltnis in oinem bestimmten 
Punkt (gew5hnlich in dem Mittelpunkt der Karte) uud in bestimrnter Richfcung 
(z. B. im Meridian;. 



252 VI i, 4. R. Bourgeois-Ph. Furtwangkr. Kartographie. 

auf der Karte eine Bolle. Ira folgenden wird daher hauptsachlich 
von diesen Karten kleineren MaBstabes zu reden sein. 

Um bei den folgenden Auseinandersetzungen den MaBstab nicht 
immer mitftihren zu raiissen, wollen wir annehmen, daB die Erdober- 
tiiiche zunachst auf eine ahnliche Flache (Globus), die in dem ge- 
wunechten MaBstabe verkleinerl ist, abgebildet sei, und daB nun diese 
Globusflache im MaBstab 1 : 1 auf die Ebene abgebildet werden soil. 

Es sei endlich daran erinnert, daB man auch auBerhalb der Karto 
graphie in der Geodasie fur Zwecke der Rechnung, besonders zur Er- 
leichterung der Ausgleiehung geodatiseher Messungen, Abbildungen 
der Erdoberflache benutzt. Wegen dieser Abbildungen, an die im all- 
gemeinen scharfere Anforderungen bezilglich der zulassigen Verzerrungen 
zu stelleu sind, vergleiche man VI i, 3, Hohere Geodasie (P. Piezettf), 
Nr. 21, 22 und 24 und VIi, 1, Niedere Geodasie (C. Reinhert*}, 
Nr. 8c, 8d. 

Auf die geschichtliche Entwicklung der Kartographie 4 ), soweit 
sie sich nicht aus den Literaturangaben des Textes ergibt, soil hier 
nicht naher eingegangen werden Es sei nur kurz erwahnt, daB man 
gewShnlich drei Epochen zu unterscheiden pflegt. Die alteste, in der 
von der Kartographie als Wissenschaft noch kaum die Rede sein kaiin, 
reicht bis Mercator. Die zweite Epoche beginnt mit dem Auftreten 
Mercators (1569) und hat in ihm, der als Begriinder der wissenschaft- 
lichen Kartographie zu gelten hat, zugleich ihren Hauptvertreter. Die 
neueste Epoche kann durch die Namen J. H. Lambert (1772) und 
A Tissot (1881) gekennzeichnet werden. Ihr Charakteristikum ist, 
daB die Verzerrungen auf der Karte in eingehender Weise studiert 
und zur Beurteilung der Kartenentwiirfe herangezogen werden. 

2. Problematellung. Allgemeine Analyse der Verzerrungen 5 ). 
Das Bild eines beliebigen Punktes M der Erdoberflache fi ), der auf 

4) Vielc der in der LiteraturiiberBicht genannten Lelirbucher beriicksichtigen 
auch die geschichtliche Entwicklung der Kartographie, am ausfuhrlichsten wohl 
das Lehrbuch von M. Fiorini. 

5) A. Tissot, Memoire sur la repreBentation des Burfaces et lea projections 
des cartes ge"ograpb.iques , Paris 1881; dcutsche Bearbeitung mit Zusatzen von 

E. Hammer, Stuttgart 1887; Paris C. R. 49 (1859), p. 673. Vgl. auch J. Frischauf, 
Die Abbilduugslehre und deren Anwendung auf Kartographie und Geodasie, 
Leipzig 1905. 

6) Die Erdobei-fTacbe wird als Rotationsellipsoid (meistens mit den von 

F, W. Bessel bereclmeten Diiaenaioncn) angenomiuen, desecn Rotationsacbse mit 
der Achso der taglichen Unudrehung znsammenfallt. Fur die Zwecke der Karto 
graphie geniigt es fast immer, an Stelle dee Ellipsoids eino Kugel za. setzen, 

man den Kugelradius so wablt, daB die Krummnag der Kugel rait der 



2. Problemstellung. Allgemeine Analyse der Verzerrnngen. 253 

dieser durch seine Poldistauz d, auf dem durch M gehenden Meridian 
gemessen. und durch den Winkel A, den dieser Meridian mit einem 
Anfangsmeridian bildet, bestimmt ist, moge in der Karte auf zwei recht- 
winklige Achsen OX und OY durch einen beliebigen Anfangspunkt 
bezogen werden. Die ebenen rechtwinkligen Koordinateii x, y sind 
dann Funktionen der Koordiuaten auf der Flache d, A, die so zu be- 
stimmen 8ind, daB die Karte gewisse vorgeschriebene Eigenschaften 
erhalt. 

Sind die genannten Funktionen 7 ): 



so gilt fur die Umgebung von M und ftir die seines Bildpunktes M 
das Differentialsystem: 



wobei die partiellen Ableitungen fur die Stelle M zu nehmen sind. 
Die Umgebung des Punktes M ist daher auf die seines Bildpunktes 
M affm bezogen. Wenn man also um M auf der Flache einen un- 
endlichkleinen Kreis mit dem Radius dr beschreibt, so geht dieser im 
Bilde in eine Ellipse iiber, die als Verzerrungsellipse bezeichnet werden 
moge. Werden ihre Halbachsen adr und bdr genannt ; so sind die 
beiden Zahlen a, & charakteristisch fur die Verzerrung an der Stelle 
Jf ; a und b reprasentieren den Maximal- und Minimalwert des Langen- 
verhaltnisses im Punkte M . 

Fur die Anwendungen sind am wichtigsten die Abbildungen, bei 
denen die Winkel erhalten werden (winkeltreu) und diejenigen, bei 
denen die Flacheninhalte beliebiger Figuren ungeandert bleiben (flachen- 
treu) 8 ). 

Kriimmting des Ellipsoids in einem mittleren Punkte des abzubildenden Flachen- 
stiickes iibereinstimmt. tJber die Beriicksichtigung der Abplattung vgl. anch 
E. Hammer, Zur Abbildung des Erdellipsoids, Stuttgart 1891 ; ferner Zeitechr. f. 
Schulgeogr. 21 (1900;>, p. 161. 

7) Die Funktionen f, F mvissen, damit die folgendea Betrachtungen durch- 
gefiihrt werden konnen, gewisse Eigenschaften haben, \vie Stetigkeit, Differentier- 
barkeit, Unabh2,ugigkeit voneinander (Funktionaldeterminante nicht identisch 
Null), usw. Vou diesen Eigenscbaften braucht bier uicht weiter die Rede zu 
sein, da fur die praktisch benufczten Abbildungen nur einfache Funktionen in 
Betracht konunen, die die notwendigen Eigenschaften sicher haben. 

8) tTber die allgemeine Theorie der winkeltreuen und flachentreuen Abbil 
dungen vgl. Nr. 13 und 14. 



254 VI i, 4. It. Bourgeois-Ph. Furtwdngler. Kartographie. 

Die toinJceltreuen Abbildungen 9 ) sind durch die Gleichurig 

a == b oder =- = 1 
o 

charakterisiert. Die Verzerrungsellipse wird zu einem Kreis. Das 
Langenverhaltnis ist fiir alle von M ausgehenden Richtungen dasselbe, 
das Bild ist dem Original in den kleinsten Teilen iihnlich (konforra), 
Daraus folgt dann die Erhaltung der Winkel 10 ). Verbindet man auf 
der Karte die Punkte mit gleichem Langenverhaltnis, so erhalt man 
die Aquideformaten, die am anschaulichsten fiber die Verzermngen der 
Karte orientieren. 

Flachentreue 11 ) tritfc ein, wenn die Bedingung 

o6 = l 

erfiillt ist. Denn S ab gibt das Flachenverhaltnis an, d. h. das 
Verhaltnis des lulialts eines unendlichkleinen Flachenstiicks um M 
zu dem seines Bildes. 

Es seien noch einige allgemeine Formeln angegeben. Bezeichnet 
7^ den Krummungshalbmesser des Meridians in M und r den Radius 
des durch M gehenden Parallelkreises, so sind die Linienelemente im 
Meridian und Parallel resp. lidd und rdl., wahrend die Linienelemente 
des Bildes von Meridian und Parallel in der Karte resp. den Wert 
haben: 



Das Langenverhaltnis (linearer Modul) im Meridian h und im Parallel k 
ist daher gegeben durch: 






Das FlacfienverliaUnis ist durch die Formel: 

/RS , _. 1 rdy dx dx 

W "1FU*IT""I? 

bestimmt. Bedeutet ferner 9" einen der beiden Winkel zwischen den 



9) Bezeicbnungen fur diese Abbildongen sind: winkeltreu (Breusing), kon- 
form (Gnu ft), autogonal (Ti?sot\ isogonal, orthomorph. 

10) Die Winkeltreue der Abbildung kann fiir einzelne Stellen, wo das 
Langenverhaltnis Null oder unendlich wird, verloren gehen (Unstetigkeitspunkte, 
Verzweigungspunkte) . 

11) Anetatt der Bezeicbnurtg flaxibentreu (Breusing) benutzt man auch aqui- 
valent, isomer (Ijambert), authalique (Tissot). 



3. Perspektiven. 255 



Bildern von Meridian und Parallel, so gilt: 

dy dxd]i 





ax 



IX 38 J ~ 36 d* 

Da zwei beliebigen aufeinander senkrechten Durchmessern des 
kleinen Kreises urn M konjugierte Durchmesser der zugehorigen Ver- 
zerrungsellipse entsprechen, so sind auch die Bilder der Linienelemente 
von Meridian und Parallelkreis konjugierte Durchmesser und man hat 
daher nach einem bekannten Theorem 1 *) fiber diese die Gleichung: 

a * 4. 52 = /i 2 -f P. 
Zur Bestimmung von a und b hat man noch die Gleichung 

a& = S 
hinzuzufiigen, wobei der Wert von S aus (5) zu entnehmen ist. 

1st 2o die groBte Winkelverzerrung an der Stelle M , d. h. die 
grofite DiflTerenz zwischen einem Winkel, der von zwei von M aua- 
gehenden Linienelementen gebildet wird, und seinem Bilde, so gilt: 

a b a 6 

(7) sin GJ a= r-;- , tg o = :== 

\ t a + 6 } 2]/a& 

Mit Hilfe der vorstehenden Formeln kann man die Verzerrungen 
jeder gegebenen Abbildung an einer beliebigen Stelle berechnen 18 ). 

Es ist nicht moglich und auch nicht notwendig, alle je er- 
sonnenen Kartenprojektionen hier durchzusprechen ; wir miissen uns 
vielmehr darauf beschranken, die praktisch wichtigeren durchzugehen 
und ihre wesentlichen Eigenschaften zu erortern. 

3. Perspektiven. Wir beginnen mit der Erorterung der Per- 
epektiven, da bei ihnen die geometrischen Verhaltnisse der Anschauung 
am unmittelbarsten zuganglich sind; praktisch sind die Perspektiven 
auBer etwa der winkeltreuen nur von geringer Bedeutung 14 ). 

Wahlt man einen beliebigen Punkt A des Raumes als Augen- 
punkt, zieht von ihm aus Sehstrahlen nach alien Punkten des ab- 
zubildenden Flacheustucks und bringt diese mit einer beliebigen nicht 
durch A gehenden Ebene, der Bildebene, zum Schnitt, so entsteht ein 
perspektivisches Abbild des gegebenen Flachenstiicks. Die Senkrechte 
vom Augenpunkt auf die Bildebene soil Achse der Perspektive heiBen. 

12) Vgl. IHC 1, Kegelschnitte und Kegelachnittsysteme (F. Dingddey], Nr. 17. 

13) Bei Tissot und noch erganzt bei Tissot- Hammer findet man die Ver- 
zerrungeelemente aller irgendwie in Betracht kommenden Abbildungen in zahl- 
reichen Tabellen eusammengestellt. 

14) Vgl. Tissot- Hammer, p. 120, und Hammer, Kartenprojektionen, Ab- 
schnitt IV, besonders p. 60. 



256 VI i, 4. E. Bourgeois-Ph. Furtwdngkr. Kartographie. 

Ein perspektivisches Bild der Meridiane und Parallelkreise fallt 
am einfachsten aus, wenn man den Augenpunkt auf der Erdachse 
und die Bildebene senkrecht zur Erdachse annimmt. Eine solche 
Perepektive soil eine Perspektive in normaler Lage oder kurz normale 
Perspektive heifien. Die verschiedenen normalen Perspektiven unter- 
gcheiden sich nur durch die Lage des Augenpunktes; die Bildebene 
kann beliebig parallel mit sich verschoben werden, weil das uur den 
MaBstab der Zeichnung andert. 

Das allgemeine Bild einer normalen Perspektive ist demnach 
folgendes: Die Meridiane werden als ein System von Geraden ab- 
gebildet, die sich samtlich in einem Punkte, dem Mittelpunkt der 
Karte (Bild eines der Erdpole), unter denselben Winkeln wie in Wirk- 
lichkeit schneiden; die Parallelkreise bilden auf der Karte ein System 
konzentrischer Kreise um den Kartenmittelpunkt 15 ). 

Die verschiedenen normalen Perspektiven unterscheiden sich dann 
durch das Gesetz, nach dem die Radien der Parallelkreisbilder Q von 
der geographischen Breite <p oder ihrem Kompleuient, der Poldistanz d, 
abbangen (Halbmessergesetz). 

Es seien hier nur drei Perspektiven 16 ) erwahnt: 

a) Die orthographische Projektion. Der Augenpunkt liegt im Un- 
cndlichen, das Halbmessergesetz lautet 17 ): 

(8) Q = sin 9. 

Die Verzerrungen sind charakterisieii durch die Formeln 18 ): 

* 

(9) a 1, b = cos tf, sin ra == tg 2 ~- , S cos d. 

Eine Halbkugel wird auf einen Kreis abgebildet. 

b) Die Zcntral- oder gnomonische Projektion. Augenpunkt ist der 
Kugelmittelpunkt, Bildebene difc Tangentialebene im Nord- oder Siidpol, 
Halbmessergesetz: 



Verzerrungen: 

(11) a = sec 2 d, & "== sec d, sina) = tg 8 --, S = sec 3 



16) Es sei aber darauf aufmeiksam gernacht, daB nicht jcdes derartige Netz 
eine Perspektive ist, vgl. Nr. 5. 

16) Die perspektivischen Projektionen waren boreits den Griechen bekannt. 

17) Der Kugelxadius wird gleich 1 angenommen. 

18) Wegen der Bezeichnungen vgl. Nr. 2. Die orthographische Projektion 
wird fiir Mondkarten benutzt. 



8. Perspektiven. 257 

Es vvird eine Halbkugel auf die unendliche Ebene abgebildet. Die 
Zentralprojektion hat die ausgezeichnete Eigenschaft, dafi jeder groBte 
Kugelkreis als Gerade abgebildet wird. Sie kaun deshalb als Zwischen- 
glied clienen, um Stiicke groBter Kugelkreise punktweise auf Karten 
in anderen Projektionen zu konstruieren 19 ). Darin berubt aucb ihre 
Bedeutung in der Nautik fiir das ,,Segeln im groBten Kreise". Zur 
kartograpbischen Darstellung selbst eignet sie sich wegen der starken 
Verzerrungen nicht; nur bei einigen neueren Seekarten hat man sie 
verwendet. 

c) Die stereographische Projektion (winkeltreue Perspektive). Augen- 
punkt im Nord- oder Siidpol, Halbmessergesetz: 

(12) e = 2tg|-, 

wenn auf den Aquator projiziert wird. Es wird die Vollkugel auf die 
unendliche Ebene abgebildet 20 ). 

Auf die besonderen Eigenschaften und die Verzerrungen der 
letzten Projektion soil hier nicht eingegangen werden, da sie uns 
sp ater von einem allgemeineren Gesichtspunkte aus noch einraal be- 
gegnen wird (vgl. Nr. 5). Dagegen ist hier auf den Umstand auf- 
merksam zu machen, daB man aus einer normalen Perspektive un- 
endlich viele andere ableiten kami. indem man einfach entweder bei 
festgehaltener Achse der Perspektive die Kugel um ihren Mittelpunkt 
dreht oder, was auf dasselbe hinauslauft, bei festgehaltener Kugel die 
Achse der Perspektive um den Kugelmittelpunkt dreht. Nehmen wir 
die letzte Vorstellungsweise an, so erhalten wir, wenn die Achse in 
die Aquatorebene wandert, eine transversale Perspektive. Liegt die 
Achse beliebig schief zur Aquatorebene, so soil die Perspektive eine 
schiefachsiye heiBen. Die Achse der Perspektive soil also in jedem 
Falle (lurch den Kugelmittelpunkt gehen, da andere Perspektiven ganz 
wertlos sein Aviirden. Da der ubergang von den normalen Perspek 
tiven zu den transverealen imd schiefachsigen, wie oben angegeben, 
durch Drehung der Kngel um ihren Mittelpunkt geschehen kanu, so 
kann man die transversalen und schicfuchsigen Netzentwiirfe aus den 
normalen zeichnerisch nach denselben Mothoden herleiten, die in der 
darstellenden Geometric bei den Drohungen der Korpor benutzt werden. 



19) Vgl. z. B. Thoukt, Bull. soc. de g^ogr. (G) 8 (1874), p. 171. 

20) Selbstverstandlich kann man praktisch wegen Anwachsena der Ver- 
zerrengen nicht weseiitlich iibcr die Abbildung eiuer Halbkugel in stereo- 
graphischer Projektion binausgeben, cbonso wie man uriter b) nur einen Teil der 
Halbkugel abbilden kann, 



258 VT i, 4. 2?. Bourgeois- Ph. Furtwangler. Kartographie. 

Die Unterscbeidung in normale, transversale und schiefacbsige 
Netze 21 ) ist nicbt auf die Perspektivan besehrankt, sondern laBt sich 
fast bei alien spater zu besprechenden Projektionen durcbfiihren, da 
es sich dabei nur urn eine einfacbe Koordinatentransformation auf der 
Kugel haDdelt. Urn dies in bequemer Weise zum Ausdruck zu bringen 
und um die drei genannten Kategorien gemeinsam bezeichnen zu 
konnen, wollen wir uns auf der Kugel ein Hilfsnetz konstruiert 
deukeu. Wir bezeicbnen die beiden Punkte, die an Stelle von Nord- 
und Siidpol treten, als Hauptpunkte und die durch sie hindurcb- 
gehenden GroBkreise als Hauptkreise. Ferner denken wir uns alle 
Kreise auf der Kugel gezeicbnet, deren Ebene zur Verbindungslinie 
der Hauptpunkte senkrecht steht; sie mogen als Horizontalkreise be- 
zeichnet werden, weil sie den Hauptpunktshorizonten parallel laufen. 
Dies Liniensystem entspricht fur die trans versalen und scbiefachsigen 
Entwiirfe genau dem System der Meridiane und Parallelkreise fflr den 
normalen Entwurf und zwar entsprechen die Hauptkreise den Meri- 
dianen, die Horizontalkreise den Parallelkreisen. Die auf dies Linien 
system beziiglichen Koordinaten, namlich Hauptpunktsabstand d und 
Azimut des Hauptkreises , d. b. Winkel zwischen einem beliebigen 
Hauptkreis und dem festen Hauptkreis, der durcb Nord- und Siidpol 
geht (also zugleicb ein Meridian ist) werden als agimutale Koordinaten 
bezeichnet. E. Hammer**) bat fur verschiedene runde Hauptpunkts- 
breiten Tabellen zur Verwandlung der geographiscben Koordinaten in 
azimutale berecbnet und damit rechnerisch die Hilfsmittel gescliaffen, 
um bequem von einem normalen Netzentwurf zum transversalen oder 
einem beliebigen scbiefacbsigen iiberzugeben. 



21) Statt der Bezeichntmg normal, transversal (querachsig), schiefachsig, die 
im Text im AnechluB an Lambert und Tissot- Hammer gebraucht ist, sind aucb 
die Bezeichnungsweisen: Aquatorialprojektion, Meridianprojektion, Horizontal - 
projektion (die Lage der Bildebene wird durch den Namen bezeichnet), oder 
polstandige, aquatorstandige , zwischenstandige Projektionen, oder aber: Polar- 
projektion, Aquatorialprojektion , Horizon talprojektion im Gebrauch. Die letzte 
Bezeichnungsweise ist inkonsequent. Projektionen in transversaler Lage sind 
besonders von J. H. Lambert vorgeschlagen , aber auch schon vor ihm benutzt 
worden, z. B. von C. F. Cassini, vgl. Nr. 6c. Die Benutzung nichtnormaler Ab- 
bildungen vor Lambert steht aber vereinzelt da, die oben angegebene Betrach- 
tungsweise in konaequenter Durchfiihrung ist durchaus Eigentum Lamberts. 

22) t^her die geograpbisch wichtigsteu Eartenprojektionen, Stuttgart 1889; 
am Schlufi dieses Werkes Tafeln zur Verwandlung von geographischen Koordi 
naten in azimutale fur die Hauptpunktabreiten 0, 15, 20, 25, 30, 36, 40, 
45, 60, 65", 60, 76. Vgl. auch bei Lambert, Land- und Himmelscharten, die 
Tafeln zum 97. 



4. Konische Abbildungen oder Kegelprojektionen und ihre Grenzfalle. 269 

4. Konische Abbildungen oder Kegelprojektionen und ihre 
Grenzfalle. tiberblick und Einteilung. Fast alle praktisch wichtigen 
Projektionen lassen sich in die Kategorie der Kegelprojektionen ein- 
reihen oder wenigstens als einfache Abarten derselben charakterisieren. 
Wir haben uns deshalb jetzt ausfiihrlich mit diesen zu beschaftigen. 
Wahrend die Erdoberflache keine abwickelbare Flache 1st, waren 
doch einfache krumme Fiachen bekannt, denen diese Eigenschaft 
zukain, namlich Kegel und Zylinder. Es lag daher nahe, diese 
Fiachen ala Zwischenglieder bei der Herstellung der Abbildung zu 
benutzen. Um das Netz einer Kegelprojektion in normaler Lage zu 
erhalten, denke man sich um die Erdkugel einen Kegel gelegt, dessen 
Achse mit der Erdachse zusammenfallt, und der die Erdoberflache in 
einem bestimmten Parallelkreise berilhrt. Um jetzt die Meridiane 
auf den Kegel zu iibertragen, denke man sich einfach ihre Ebenen 
bis zum Schnitt mit dem Kegel verlangert. Schneidet man dann den 
Kegel langs einer Seitenlinie auf und wickelt ihn in die Ebene ab, 
so erscheint als Bild der Meridiane ein System gerader Linien, die 
sich samtlich. in einem Punkte schneiden. 1st der Offnungswinkel des 
Kegels n 2ix, so schlieBen die Bilder zweier Meridiane mit der 
Langendifferenz A den Winkel n A ein. Um auch die Parallelkreise 
auf den Kegel zu ubertragen, konnte man etwa ihre Ebeneu bis zum 
Schnitt mit dem Kegel verlangern oder sie von einem Punkt der 
Kegelachse aus auf den Kegelmantel projizieren. Dadurch wiirden 
sich indessen keine guten Projektionen ergeben. Es sollen deshalb 
die Vorschriften fur die Zeichnung der Parallelkreisbilder weniger 
spezialisiert werden; es soil nur vorgeschrieben werden, dafi die 
Parallelkreise als konzentrische Kreise abgebildet werden, deren Mittel- 
punkt im Schnittpnnkt der Meridianbilder liegt. Uber die Badieu 
dieser Kreise wird dagegen zunachst nichts bestimmt. 

Was hier fur Kegelprojektionen in normaler Lage ausgefiihrt 
ist, gilt auch f(ir solche in beliebiger Lage, wenn man Meridiane 
und Parallelkreise durch Haupt- und Horizontalkreise ersetzt. Wir 
konnen daher die Kegelprojektionen in folgender Weise definieren, 
wobei der vermittelnde Kegel selbst gar nicht mehr erwahnt zu werden 
braucht: 

Eine Kegelprojektion (in normaler Lage) ist cine Projection, bei 
der die Bauptkreise (Meridiane) als ein System von Geraden abgebttdet 
werden, die sich samtlich in einem Punkte schneiden, und ewar derart, 
daft die BUder zweier ffaupfkreisc (Meridiane), die in Wirklichkeit den 
Winkel A einschliefien, in der Karte den Winkel n A miteinander bilden, 
wo n eine feste Zahl ist. Die Bilder der Horizontalkreise (Parallelkreise) 



260 VI i, 4. K. Bourgeois-Ph. Fwtwangler. Kartographie. 

sind Jconeentrische Kreise mii dem Mittclpunkt im Schnittpwikt der 
Haupikreis-(Meridian-)bHder zy }. (Fig. 3, p. 270.) 

Das in Klammern Beigefflgte bezieht sich iramer auf die normalen 
Kegelprojektionen. Die Zahl n wird kleiner oder hochstens gleich 1 
genoinmen, weil anderenfalls tjberdeckungen in der Ebene eintreten 
wfirden. Als Grenzf alle kommen die Werte n und n 1 in Be- 
tracht. 

Rfickt die Kegelspitze auf der Achse ins Unendliche, so geht der 
Kegel in einen Zylinder fiber, wir erhalten mit n = die Zylinder- 
jprojektionen. Bei diesen werden die Hauptkreise (Meridiane), die mit 
gleichen Winkeln aufeinander folgen, als ein System von aquidistanten 
Parallelen abgebildet, wahrend die Horizontal-(Parallel) -kreise durch 
ein System von parallelen Geraden, das zu dem ersten System senk- 
recht verlauft, dargestellt werden. 

Ruckt die Kegelspitze auf die Erdkugel, so geht der Kegel in 
eine Ebene iiber, und wir erhalten mit n = 1 die sogenannten azimu- 
talen Projektionen. Bei ihnen besteht das Netz (ahnlich wie friiher 
bei den Perspektiven) aus einem System von Geraden, die sich als 
Bilder der Hauptkreise (Meridiane) unter denselben Winkeln schneiden 
wie diese in Wirklichkeit. Die Horizontalkreise (Parallelkreise) werden 
als konzentrische Kreise urn den Kartenmittelpunkt abgebildet, wobei 
aber zuniichst die Halbmesser dieser Kreise im Gegensatz zu den 
Perspektiven ganz willkiirlich sind 2 *). Die Projektionen heifien azi- 
mutale, weil bei ihnen das Azirnut irgend einer vom Kartenmittel 
punkt ausgehenden Richtung erbalten bleibt. 

In den folgenden Nummern sollen nun die Kegelprojektionen 

23) Wie aua dieser Definition hervorgeht, sind die Netze der Kegelprojek 
tionen in normaler Luge, da eie aus Geraden und Kreisen besteben, theoretiach 
einfach zu konstruieren. Praktisch ist dieser Vorteil allerdings fast bedeutungs- 
los, denn einerseits liegt der Schnittpunkt der Meridianbilder, der zugleich 
Mittelpuukt der Parallelkreisbilder ist, moistens nicht auf der Karte, und anderer- 
seits eind die Eadien der zu zeichnenden Kreiae so groB, daB selbst der Sfcangen- 
zirkel meistens nicht ausreicht. In praxi werden desiialb fast alle Kartennetze 
in der Weise konstruiert, daB man rechtwinklige Koordinaten der Netzschuitt- 
punkte berechnet (eventuell mit Benutzung besonderer Hilfstafelu) und die Pankte 
selbst durch Absetzen der recbtwinkligen Koordinaten bestimmt. Die Netzlinien 
erhalt man dann durch geeignete Verbindung dieser Punkte (eventuell unter 
Benutzung von Kurvenlinealen). Zum Auftragen der Koordinaten kann man sich 
auch der von den Landmessern gebrauchten Instrumente (Koordinatoineter) be- 
dienen; vgl. VI i, 1, Niedere Geodasie (C. Reinhertz), p. 56, FuBn. 79. 

24) Es ist also keineewegd jede azimutale Projektion eine Perspektive. 
s gibt z. B. koine flachentreue Perspektive, wohl aber eine flachentreue Azimutal- 
projektion, vgl. Nr. 5. 



5. Azimutale Abbildungen. 261 

eiugehender besprochen werden, wobei wir mit den Grenzf alien als 
den einfacheren beginnen. 

5. Azimutale Abbildungen 25 ). Es sei zunacht die Definition der 
Azirautalprojektionen in einem besonderen Satze ausgesprochen, wobei 
wieder das auf die normale Lage Bezugliche in Klammern beigefiigt ist. 

Eine Projection heiftt eine AzimwtulprojeUion (in normaler I^age), 
wenn die Hauptkreise (Meridians) als ein System von geraden Linlen 
abgebildct werden, die sick in einem Punkte, dem Kartenmittelpunlde, 
so schneiden, daft in diesem Punkte die Karte winkeltreu ist, und wenn 
ferner die llorizontalkreise (Parollelkreise) durch honzentrische Kreise 
um den Kartenvnittelpunkt abgebildet werden. (Fig. 1.) 

Die Punkte der Ebene werden 
hier am einfachsten durch Polar- 
koordinaten (Q, ^) bestimmt, indem 
man den Kartenmittelpunkt als An- 
faogspunkt und das Bild des Haupt- 
kreises mit dem Azimut Null (Null- 
meridian bei normaler Lage) als 
Polarachse wahlt. v> ist dann bei 
alien Azimutalprojektionen gleich 
, dem Azimut des entsprechenden 
Hauptkreises (Winkel des Meridians 
mit dem NuUmeridian), und ( > ist Fig j Lamberts flachentrcue Azimutal- 
eine Funktion allein von d, dem projektion in normaler Lage. 

spharisclien Abstand vom Haupt- 

punkt (Poldistanz\ so daB die Azimutalprojektionen durch die beiden 
Gleich ungen charakterisiert sind: 

(13) *-, ^ -/(). 

Die verschiedenen Azimntalprojektionen ucterscheiden sich durch die 
verschiedenen Funktionen f(d), das Halbmcssergesete**). 

Die Achsen der Verzerrungsellipse liegen bei alien Azimutal 
projektionen und bei alien Kegelprqjektionen iiberhaupt, vvie aus Sym 
metriegrunden f olgt, in den Richtungen der Haupt- u:nd Horizontal- 
kreise (Meridiane und Parallelkreise), so daB die Verzerrungen einfach 
zu berechnen sind. 




26) Angaben iiber Atlaskarten in dieeen Projektionen bei Zoppritz-Bludan 
1, p. 38, 43, 48, 68. 

26) G. B. Airy hat bereits ffir eine Anzahl von azimutalen Projektioneu 
Halbtnessertafelti berechnet und auch die Verzerrungen angegeben, vgl. Phil. 
Mag. 22 (1861), p. 416. 

Encyklop. d. math. Wiasensch. VI 1. 18 



262 VI i, 4. R. Bowrgeois-Ph. Fwrtwdngler. Kartographie. 

Unter den Projektionen sind, wie bereits friiher betont ist, die 
fllichentreuen und winkeltreuen die wichtigsten. Flacbentreue und 
Winkeltrene zugleieh ist nicht erreicbbar, da das Bestehen beider 
Eigenscbaften Eongruenz in den kleinsten Teilen bedingen wflrde. 
Ftir die meisten geographischen Zwecke iibertreffen die flacbentreuen 
Projektionen die winkeltreuen nocb an Bedentung; im folgenden sind 
deshalb in jeder Kategorie immer die flacbentreuen vorangestellt, 
dann folgen die winkeltreuen und schliefilich die Projektionen mit 
keiner von diesen beidcn Eigenscbaften, die man wobl als vermittelnde 
bezeicbnet. Bei den Azimutalprojektionen ist iibrigens bei gegebener 
Hauptpunktslage durcb die Forderung der Flachentreue oder Winkel- 
treue die Abbildung eindeutig bestimmt. 

Lamberts flachentreue Azimutalprojektion^} (Fig. 1). 

B 

(14) Halbmessergesetz: p 2sin , 

8 d 1 cos 1 

(15) Verzerrungen: a sec -=-, b == cos -^ t sin <a = v-, S 1 . 

l-j-COS y 

Bei der Abbildung einer Halbkugel gebt die Winkelverzerruug 
am Rande bis zu 89, wahrend die Halbacbsen der Verzerrungsellipse 
dort die Werte 1,4 dr und 0,7 dr haben. Bildet man nur eine 30- 
Kalotte ab, so bleibt die Winkelverzerrung unter 4 und die Langen- 
verzerrung unter 4%. Unter den flacbentreuen Abbildungen einer 
Halbkugel bat die azimutale die ausgezeicbnete Eigenscbaft, die maxi- 
inale Winkelverzernmg zu einem Minimum zu machen 28 ). 

Winkdtrreue Aeimwtalprojektion} (stereograpbiscbe Pr.). 

* 

(16) Halbmessergesetz: (>= == 2tgY> 

A 

(17) Verzerrungen: a~b*= sec 2 ----- , o == 0, S = sec 4 



27) Lambert, Land- und Himmelscharten, p. 183, 104. Lambert entwickelt 
die Fonneln fur norznale und transversale Lage und gibt fur den letzten Fall 
eine Abbildung der Erde in zwei Halbkugeln. Rechnungen i iir das Netz einer 
Karte von Afrika in der genannten Projektion hat E. Hammer durchgefBbrt, 
vgl. Peterm. Mitt. 1894, p. 113. 

28) Tissot- Hammer, p. 73. Wegen dieser gunetigen Eigenschaft, die zu 
der Flachentreue noch hinzutritt, kommt diese sehr brauchbare Lambertsche 
Projektion, die lange Zeit wenig beachtet war, in den Atlanten mehr in Auf- 
nahme. Die genannte Eigenscbaft gilt auch far Kalotten. Man vgl. auch 
Chr. M. Schols, Arch. ne"erl. 20 (1885), p. 388. 

29) Die stereographische Projektion (Name TOO Agwllon 1613) iat von 
Hippcreh (160125 v. Chr.) zur Abbildung der Himmelskugel benutzt; es win! 
ihm abex ecbwerlicb die Winkeltreue der Abbildung bekannt geweeen aein. 



6. Azimutale Abbildungen. 263 

Hat der Hauptpunkt die Breite <JP O und Lange und legt man die 
Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems in der Ebene so, dab 
der Anfangspunkt das Bild des flauptpunktes ist und dafi die a?-Achse 
nach Norden, die y-Achse ostlich gerichtet ist, so lauten die Formeln 
fiir die rechtwinkligen Koordinaten: 



* 



cos <p sin g> sin <p cos qp cos X 
I -j- cos qp u cos qp cos i -j- sin p 9 sin g> 



- 



cos <r sin .1 



1 -f- cos 9 cos g> cos A + sin q? sin cp 
Die stereograpbische Projektion ist uns bereits friiher unter den 
Perspektivea begegnet. Sie besitzt auBer der Wiukeltreue noch die 
ausgezeiehnete Eigenscbaft, daB das Bild ernes jeden Kugelkreises 
wieder ein Kreis wird 30 ). Infolge dieser Eigenechaft ist sie auch bei 
schiefachsiger Lage in einfacber Weise rait Zirkel und Lineal geo- 
raetrisch zu konstruieren 31 ). Man kann sie desbalb als Zwiscbenglied 
benutzen, um irgend eine andere a/imutale Projektion in beliebiger 
Lage heraistellen. Man bedient sick dazu am zweckmaBigsten der 
von E. Hammer angegebenen Haibmesserstabe 82 ); das sind Stabe ; auf 
denen filr einen gewablten Mafistab die Halbmesser der Parallelkreise 
irgend einer Azimutalprojektion in normaler Lage von G:rad za Grad 
oder in anderen Intervallen abgetragen sind. Da man diese Stabe 
benutzen kann, um von irgend einer gezeichnet vorliegenden Azimu 
talprojektion zu einer beliebigen anderen mit der gleichen Hauptpunkts- 
breite tiberzugehen, soil ihre Verwendung gleich in dieser Weise hier 
auseinandergesetzt werden. Es liege die Azimutalprojektion P l gezeicbnet 
vor, und man soil von ikr zur Azimutalprojektion P 8 mit derselben 
Hauptpunktsbreite iibergehen. Man nimmt zu diesem Zweck zunachst 
den zu Pj gehorigen Haibmesserstab und mifit mit ihm die Entfernung 
des Punktes A, den man iibertragen will, vom Kartenmittelpunkt. 

30) Bei der oben augenominenen Lage des Hauptpunktes sind die Glei- 
chungen der Meridianbilder: 

(a: -\- tg qp )* -f (y + 86C 9o eot ff ^) s ^ sec * <Po cosec l 
und der Parallelkreisbilder: 

_jL?.__.y . v3= / COB JL__V- 

sin qp -J- sin q>} \sin 9 P -}- ain qp/ 

31) Das iat z. JtJ. mit Hilfc der Methoden mOglich, die in dex darstellcnden 
Geometric bei der Darstellung der Drehung der KSrper angewandt werden. 

32) Hammer, Kartenprojektionen, p 68; vgl. auch A. H- Clarke, Artikel 
Geography (mathematical) in Encycl. Brit. Edinb. 1879, vol. X, p. 204. Das Prinsdp 
der Konsfcraktion riilirt von J. 3. Lambert hor, Land- and HiumtclBcharten, 
p. 177; vgl. ferner Cwttpont, Bull. BOG. ge ogr. (6) 13 (1877), p. 163 ; (6) 16 
(1878), p. 5. 

18* 



26i VI i, 4. R. Bourgeots-Ph. Furtwartgler. Kartographie. 

Betragt diese etwa 0, so niramt man jetzt den zur Projektion P 2 
gehorigen Halbmesserstab, legt ihn in der Bichtung vom Kartenmittel- 
punkt nach A an und sticht die Entfernung cf* ab. Der so erhaltene 
Punkt ist der dem Punkte A in der neuen Projektion entsprechende 
Punkt. 

Das Flachenverhaltnis entfernt sich bei der stereographischen 
Projektion bereits in geringem Abstand vom Kartenmittelpunkt be- 
trachtlich von 1; es betrligt z. B. im Abstand 30 bereits 1,149 und 
am Eande eines Halbkugelbildes 4. Man wendet deshalb heute die 
friiher ofter benutzte stereographische Projektion 33 ), auBer bei Stern- 
harten, nur noch wenig an. 

Vermittelnde azimutalc Projektionen. Hier hat haupisachlich die 
sogenannte mittabstandstreue (aquidistante) Azimutalprojektion^ Be- 
deutung, bei der die Abstande vom Kartenmittelpunkt erhalten bleiben. 
Sie ist dementsprechend charakterisiert durch: 
(1.9) Halbmessergesetz : Q = d , 



(20) Verzerruugen: a = -, 6 - 1, sin o , 8 = 



Beziiglich der Flachen- und Winkelverzerrungen steht sie zwischen 
der fliichen- und winkeltreuen Azimutalprojektion, wie folgende kleine 
Zusammenstellung lehrt, welche die Verzerungen fur Punkte mit 30 
Abstand vom Kartenmittelpunkt gibt: 






flachentreu 


wiukeltreu 


mittabstandstreu 


a 


I 


1,H9 


1,047 


2o> 


3 58 





2 39 



Unter alien Abbildungen der Halbkugel hat die mittabstandstreue 
Azimutalprojektion die ausgezeichnete Eigenschaft, die grofite Langen- 
verzerrung zu einem Minimum zu machen 35 ). 

33) Man hat haufig die ostliche und westlicbe Halbkugel in trausversaler 
stereographischer Projektion abgebildet. 

34) Die Projektion iet vielfach als Postclscher Entwurf bezeicbnet, weil sie 
nach den Angaben von d Arezac znerst von dem Franzoaen G. Postel (1581) an- 
gewandt sein sollte; indcssen hat bereits G. Mercator (1669) die Projektion in 
normaler Lage fur Polarkarten benutzt. In allgemeiner Lage hat sie Lambert 
(1772) zuerst vorgeschlagen, Land- und Himmelscharten, p. 179. In geodiitischer 
Beziehung sei erwahnt, daB fur die Rechnungen der VermesBung von Corsica 
eine schiefachsige mitteabstandstreue Azimntalprojektion (Coordonees azimutales) 
benutzt ist; vgl. P. Hatt, Ann. Hydrogr. 1886; Paris C. R. 115 (1890), p. 459: 
Des coordonne"es rectangulaires, Paris 1893. 

35) Tissot-Hanuner, p. 74. 



6. Zylindrische Abbildungen. 265 

Brwahnt sei noch 6r. B. Airys projection by balance of errors" 36 ). 
Airy beurteilt die Gate einer Projektion nach dem Mittelwert des 
Ausdrucks : 

(21) (a l) 2 -f(6 I) 2 

Er bestimmt dann bei der azimutalen Abbildung einer Kugelkalotte 
dae Halbmessergesetz so, daB das Integral: 



iiber das abzubildende Flachenstiick erstreckt, ein Minimum wird. 
Es ergibt sich dann fur eine Kalotte mit dem spharischen Halb- 
inesser A 87 ): 

(22) Q = 2 { tg - cotg 8 - g - Ign sec -- -f cotg - - Ign sec - - ) 

A. Sreusing 36 ) hat, um zu einer vermittelnden Projektion zu ge- 
langen, fur die Halbmesser der Horizontalkreise einfach das geome- 
trische Mittel aus den Halbmessern der flachen- und winkeltreuen 
Projektion gewiihlt, die Abbildung stiinmt uahe mifc der Airyschen 
iiberein. 

6. Zylindrische Abbildungen 89 ). Es sei wieder die Definition 
dieser Abbildungen an die Spitze gestellt, wie sie sich aus den geo- 
metrischen tJberlegungen von Nr. 4 ergibt. Definition: Eine Abbildung 
soil zylindriscli (in normaler Lage) heifien, wenn die Haupikreise (Me- 
ridiane) als ein System dquidistanter Parallelen abgebildet werden, wakrend 
die Bilder der Horizontalkreise (Parallelkreise) gerade Linien sind, die 
jenes System senkrecht durchsdineiden. (Fig. 2.) 

Nimmt man das geradlinige Bild des Grundkreises, d. h. des- 
jenigen Horizontalkreises, der zugleich ein KugelgroBkreis ist, also im 
normalen Falle des Aquators, als /-Achse und das Bild des Haupt- 
kreises mit dem Azimut Null als #-Achse eines rechtwinkligen Ko- 

36) Phil. Mag. (4) 22 (1861\ p. 414; vgl. auch Herz, p. 206221 und Hamtner, 
Kartenproj., Abschn. VII. Das Prinzip ist auch auf nichtazimutale Abbildungen, 
z. B. zylindrische, anwendbar. 

37) Das von Airy angegebene Kesultat ist nicht korrekt; es iat verbessert 
von H. James and A. E. Clarice, Phil. Mag. (4) 23 (1862), p. 308. 

38) Das Verebnen der Kugeloberflache, Leipzig 1892, p. 18. 

39) Von den zylindrischen Abbildungen ist bei weitem am haufigsten die 
Mcrcatorprojcktion benutzt, die man iu alien Atlanten findet. In transversaler 
und besouders in schiefachsiger Lage sind die zylindrischen Abbildungen wenig 
angewandt. Mit ihnen hat sich E. Hammer eingehender beschaftigt, rgl. Karten- 
projektionen, p. 119 und Zeitschr. f. wies. Geogr. 6 (1884), p. 1. Angaben Ober 
Karten in Zylinderprojektion findet man bei Zoppritz-ljludau 1, p. 137, 141, 146- 



266 



VI i, 4. E. Bourgeois- Ph. Furtwangltr. Kartographie. 



ordinatensystems, so sind die zylindrischen Abbildungen durch die 
Gleichungen charakterisiert: 

(23) x = f(8) , y = CK (c Konstante) , 

wo wie frflher das Azimut und $ den Hauptpunktsabstarid bedeutet. 

Bei noroialer Lage tritt an 
Stelle von a die Lange A 
und an Stelle von d das 
Komplement der geographi- 
schen Breite 90 (p. Die 
Achsen der Verzerrungs- 
ellip.se fallen in die Kich- 
tung der Haupt- und Hori- 
zontalkreisbilder; die Lan- 
genverhaltnisse in diesen 
Richtungen sind resp. 




Fig. 2. J,o6er*8 flichentreue Zylinder- 
projektion in normaler Lage. 



(24) \f(d)\ und 



Die zylindrischen Abbildungen eignen sich besonders fur schmale 
Zonen, die langs eines Grofikreises verlaufen 40 ). 

a) FlacketitrefAe gylindrische Abbildungen. Damit die zylindriscbe 
Abbildung flacheutreu wird, ist nach dem VorBtehenden die Funktion 
f(S] so zu bestimmen, daft 

=-i 



wird. Daraus folgt 



wobei die Integrationskonstaute gemaft der Annabme fiber die Lage 
der y-Achse gleich Null gesetzt ist. Die flachentreaen zylindrischen 
Abbildungen sind also durch die Grleichungen : 



(26) 



MM 4 



ca. 



40) Einen aaderen Yorschlag zur Abbildung ernes schmalen Streifens eiuet 
Rotationsflache , der liluga einer gegen die Meridiane genugend geueigten Geo- 
datischen verlaaft, hat F. J. Mtiller gemacht, vgl. Siiddentsche Technikerzeitung 
1906, p. 613 und Zeitschr. d. Bayer. Geom. -Ver. 10 (1906), p. 217 (Bemerkungen 
dazu von E. Hammer ibid. 11 (1907), p. 229). Die Geodatiscke wird langentreu 
-.Us Gerade abgebildet, die Meridiane werden ebenfalla lilngontreu ale Gerade 
abgebildet, die derart gegen das Bild der Gcodatischen orieutiert werden, dafi 
dio Winkel zwiachen den Meridianen und der Geodatigcheu erhalteu bleiben. 
Dieae Abbildungsart erbalt zwar die Orthogonalitat zwischen Meridianen und 
Parallelkreisen, iet aber wedar winkel- nocb fliicheutreu. 



6. Zyliudrisehe Abbildoiigea. 267 

gegeben. tfber die Konstanii c kann man verfJigen, um noch eine 
weitere Bediugung zu erfullen. 

Setzt man c == 1 y so wird der Grundkreis langentreu abgebildet. 
Man erhalt so bei normaler Lage Lamberts flachentreue zylindrisctie 
Abbildung mit langentreuem Aquator^ (Fig. 2), die durch folgende 
Formeln charakterisiert 1st: 
(27) x = sin <p, y*= A, 

(28) 



Bildet man eine Zone, die sich 15 nordlich und sfldlich vom Aquator 
erstreckt, in der angegebenen Weise ab, so liegt der grofite Winkel- 
fehler unterhalb 4 und der grofite Langenfehler unterhalb 4%. 

Sollen zwei Parallelkreise mit den Breiten <p und <p langen 
treu abgebildet werden, so ist c = cos tp Q zu setzen. Soil flir eine 
Zone zwischen zwei Parallelkreisen mit den Breiten <p und g>" die 
flachentreue zylindriscbe Abbildung mit kleinster Winkelverzerrung 
gefunden werden 48 ), so hat man, wenn die Zone ganz auf einer Seite 
deg Aquators liegt: 
(29) c "I/cos g> cos q>" 

zu setzen. Es wird dann, wie aus (24) folgt: 

j, cos 9* I. * 

" m y?^7 "* 

und auf den beiden Grenzparallelkreisen : 

/oi\ i /OOB <p . 9>"+ V A v" V 

(31) a = I/ ^-r, , sin CD ===== tg - tg ~-~~?~. 

v Y cos * 2 e 2 

Es wird also bei dieser Wahl des c die Winkelverzerrung auf dea beiden 
Grenzparallelkreisen gleich und ein Maximum. Erstreckt sich die Zone 
zu beiden Seite n dea Aquators, so hat man die Form ein auf den groficren 
Zonenteil, der auf einer Seite des Aquators liegt, aiizuwonden. 

Bei Benutzung dieser Projektion kann man eine Zone, die zu 
beiden Seiten des Aquators ttber 20 hinausgeht, abbilden, ehe die 
oben genannten Fehler auftreten. 

b) Winkettreue zylindrische Abbildung. (Mercatorproyektion)**). Soil 
die zylindrische Abbildung winkeltreu sein, so ist nach (24) die Be- 



41) Die Projektion ist von J. H. Lambert sowohl in normaler wie in trans- 
veraaler Lage angegeben, vgl. Land- und HimmelBCharten, p. 181. 

42) Tissot-Hammer, p. 100. 

43) Mercator vero flFentlichte 1569 in dieser Projektion in normaler Ln-ge ei 
Weltkarte, ohne anzugeben, wie er die Parallelkreisabstandc p:efanden 



268 VI i, 4. R. Bowgeois-Ph. Furtwdngler Kartographie. 

diugung zu erfullen: 

(32) /- , 

Man erhalt daraus: 

(33) x = c Ign cotg - , y = ccc. 

Da beide Koordinaten den Faktor c enthalten, so folgt, daB es, ab- 
gesehen vom MaBstab, bei gegebener Lage der Zylinderachse nur 
eine winkeltreue zylindrische Abbildung gibt. 

In normaler Lage ist die winkeltreue zylindrische Abbildung, bei 
der der Aquator langentreu abgebildet wird, durch folgende Fonneln 
charakterisiert: 



(34) # = lgntgy+ g; y =- i, a = & 

In dieser Lage wird sie speziell als Mercatorprojektion bezeichnet, 
weil sie zuerst von Mercator 44 ) (G. Kremer) angegeben wurde. Sie 
eignet sich besonders, wozu sie auch ersonnen wurde, als Netz fftr 
Seekarten, weil sie winkeltreu ist und weil die Loxodromen, die Linien 
gleichen Kurses, als gerade Linien abgebildet werden. Spater ist sie 
vielfach in Atlanten fur Weltkarten beuutzt worden, wo besser flachen- 
treue Abbildungen am Platze gewesen waren. 

Das Langenverhaltuis wachst wie secg>, also in boheren Breiten 
schnell; am Pol geht die Winkeltreue verloren. Um bequem Langen- 
messungen auf einer in Mercatorprojektion gezeichneten Karte vor- 
nehmen zu konnen, ist es zweckmaBig, wenn in einer besonderen 
Figur die ,,MaBstabe fiir die vergro Berten (wachsenden) Breiten" an 
gegeben sind, so daB man aus ihr sofort entnehmen kann, wie lang 
irgend eine Entfernung in den verschiedenen Breiten ist. 

In transversaler Lage ist die wiukeltreue Zylinderprojektion von 
J. H. Lambert**} vorgeschlagen 46 ). 



E. Wright hat dann 1699 einen Niiherungsausdruck und H. Bond 1645 den 
strengen Ausdruck fiir die Abst2,nde der Parallelkreisbilder angegeben. Man er- 
Lalt den Naherungsaufldruck fiiraj^^d), wenn man das Integral Jcosecddi 
durch eine endliche Summe approximiert. Karteu in Mercatorprojektion werden 
auch als ,,Seekarten lt oder ,,reduzierte Karten" bezeichuet. 

44) Historisches iiber Mercator (gest. 1594), den ,,Reformator der Karto 
graphie", bei A. Brcusing, Gerhard Kremer, genannt Mercator, der deutsche Geo- 
graph, Duisburg 1878. 

46) Land- und Himmelacharten, p. 170. 

46) Zu geodatischen Zwecken ist diese Projektion von C. F. Guufi bei der 
Hannoverschen Gradmessung benutzt (unter Berucksicbtigung der Elliptizitat der 
Erdmeridiane). Sie wird daher auch wohl konforme Projektion von Gauju, und die 
entsprechenden Koordinaten werden kurz konforme Koordinaten genannt. tjber 



7. Konische Abbildnngen. 269 

BiJdet man erne Zone, die sich 15 zu beiden Seiten eines GroB- 
kreises erstreckt, in der vorstehenden Weise ab, so betragt der maxi- 
male Langenfehler etwa 3,5% und deninach die maximale Flachen- 
verzerrung rund 7/ . 

c) Mittabstandstreue zylindrische Abbildungen (Platfkarten)^). 
Wahlt man die Bilder der ParaJlelkreise als ein System aquidistanter 
Parallelen, so erhalt man die mittabstandstreuen zylindrischen Ab- 
bildungen. 

Fiir normale Lage ergibt sich dann, wenn man den Aquator 
langentreu abbildet 48 ): 

(35) x tp, y = A; A 1, k = sec,(p. 

Diese Projektion vrird als quadratische Plattkarte bezeichnet; in 
transversaler Lage entsteht die Cassini-Soldnersche Projektion 49 ). 

Sollen zwei Parallelkreise in den Breiten + 9>o langentreu ab- 
gebildet werden, so entsteht die rechteekige Plattkarte, die in normaler 
Lage durch die Beziehungen: 

(36) x = y, y Acosgy, h = 1, k = -^ 
charakterisiert ist. 

7. Konische Abbildungen /0 ). Beziigiich der Definition der ko- 
nischen Abbildungen sei auf Nr. 4 verwiesen. (Fig. 3). 

die anzuwendenden Formeln vgl. VI i, 3 Nr. 24, p. 171, HShere Geodftaie (P. Piz- 
zctti) und VI i, 1 Nr. 8d, Niedere Geodasie (C. Meinherts). In schiefachsiger Lage 
ist die genannte Projektiou von M. Rosenmund bei der schweizerischen Landes- 
vermessung eingefiihrt, vgl. M. Rosen mund, Die Anderung des Projektionssyateins 
der Bchweizeriachen liandesvermeesung, Bern 1903. 

47) Als Erfinder der Plattkarten gilt Marinus (100 n. Chr.). Er benutzte 
rechteekige Plattkarten, die quadratische Plattkarte tritt nach H. Wagner erst 
viel spater auf, vgl Lehrbuch der Geographic, 1, Hannover 1903, p. 196. 

48) Man kann die Formeln fur die rechtwinkligen Eoordinaten erhalten, 
wenn man die entsprechenden Formeln fur die flachen- oder winkeltreuen Ab 
bildungen in Reihen nach Potenzen von g> entwickelt und die Eutwicklungen 
mit dem orsten Gliede abbricht. EB folgt daraus, dafi dieee Projektionen fur 
kleine Werte 9 merklich iibereinstimmen. 

49") Zuerst von C. I Cassini bei der 1746 begonnenen Carte de France be- 
nutzt. /. v. Soldner hat dann die Entwicklungen vervollstandigt und die Ko- 
ordinaten bei der Bayerischen Landesvermessung eingefuhrt (1809). Heute werden 
diese Eoordinaten viell ach fur die Zwecke des K a tasters benutzt. Nilheres 
hieriiber und iiber die Theorie dieser Koordinaten in VI i, 1 Nr. 8c, Niedere 
Geodasie (C. Reinhertz) und VI i, 3 Nr. 22, HShere Geodasie (P. Pizzetti). 

50) Kegelprojektionen in normaler Lage sind haufig angewandt; zur Be- 
nutzung auderer Lagen, bei denen man sich mehr dem abzubildenden Gebiet an- 
passen kann, ist man erst neuerdings ubergegangen. Durchgefflhrte Beispiele 
nichtnormaler Kegelprojektiouen findet man bei K. Ziippritz, Zeitechr. Gee.Erdk. 



270 



VI i, 4. B. Bourgeois-Ph. Furtw&ngler. Kartographie. 



Fiihrt man in der Kartenebene Polar koordinaten (o, VO ein, deren 
Anfangspunkt im Schnittpunkt der Meridian bilder bei normaler Lage 
der Kegelachse liegt, so ist eine konische Abbildung in normaler 
Lage durch die Formeln charakterisiert: 

wo n eine Konstante bedeutet. Der einfachen Ausdrucksweise wegen 

wollen wir im folgenden nor- 
male Lage der Abbildung vor- 
aussetzen, was nach den frflhe- 
ren Ausfiihrungen keine Ein- 
schrankung bedeutet. Es ist 
dann das Langeuverhaltnis im 
Meridian: 

(38) A = ) 

und im Parallel: 

(39) * = 




Pig. 8. Lambert* flachentreue Kegel- a ) FUichentreue konische Ab- 

projektion in normaler Lage. ,.,, TX ., . , . , 

bildunyen. Damit eine konische 

Abbildung flachentreu wird, muB die Differentialgleichung: 



ert iillt sein. Diese liefert f&r Q, wenn man die Integrationskonstante 
mit C bezeichnet: 

\ J Y * = \ n 

Setzt man (7=1, so wird: 

(42) 9 -**p.. 

In diesera Falle wird der Pol durch einen Punkt auf der Karte ab- 
gebildet, wahrend, wenn C von 1 vorschieden 1st, das Bild des Poles 
ein Kreis ist. Die letzten Abbildungen bezeichuet man wohl als 
Kegdrumpfprojektionen. 

Nehmen wir zunachst (7=1 an, so bleibt noch n verfugbar. Soil 
eiu Mittelparallel d des abzubildenden Gebietes langentreu abgebildet 
werden, so hat man zu setzen: 

/4^ rta * 2 8m */* 



n 



cos 1 



Berlin 19 (1884), p. 22; 24 (1889), p. 222; 27 (1892), p. 221: Hammer, Kartenpro- 
jektionen, p, 88, 188. Augaben iiber ausgefiilirte Karten in Kegelprojektion bei 
1, T> 90, 94, 99. 105, 118. 



7. Koniscbe Abbildungen. 271 

Man erhalt dann Lamberts fl&chentreue famische Abbildung* 1 ) (Fig. 3), 
deren maximale Winkelverzerrung 2ro mit Hilfe der Formel: 

(44) tg Hh tg -~ tg -~ 

zu berechnen ist. Ist etwa d = 40 (Mittelbreite -j- 50) und erstreckt 
sich die abzubildende Zone 20 nordlich und siidlich vom Mittelparallel, 
so geht die maximale Winkelverzerrung nordlich bis zu 5,4, siidlieh 
bis zu 9,3, wahrend der starkste Langenfehler nordlich nicht ganz 5% 
und siidlich etwa 8% betragt Man erkennt aus dieser ungleich- 
mafiigen Verteilung der Verzerrungen bereits, dafi bezuglich der 
Winkelverzerrungen noch nicht das Gflustigste erreicht ist. 

Soil die maximale Winkelverzerrung fiir eine bestimmte Zone 
zwischen den Parallelkreisen 8 und 8" ein Minimum werden 58 ), so hat 
man sie anf den Grenzparallelkreisen gleich zu machen. Man hat dann 

/Af -. 9 9" 2sind/2 

(45) n = cos -5- cos , o = - _.= 

* * 1 / 9 9" 

K c03 Y c08 y 

zu setzen; die maximale Winkelverzerrung 2 a an den Grenzen be- 
rechnet sich nach der Forme! : 

/A*\ i O "" O t 



Bildet man die oben genannte Zone in der angegebenen Weise ab, so 
geht die maximale Winkelverzerrung bis 7,4 und der Langenfehler 
bis6V,%. 

Noch gunstiger lassen sich die Verzerrungsverhaltnisse gestalten, 
wenn man nicht C 1 macht, also eine Kegelrumpfprqjektion wahlt. 
Man kann dann zwei Parallelkreise S und ^ langentreu abbilden 
(Albers Kegelrumpfprojektion), wenn man setzt: 

(47 ) = cos ^- cos ^^ = (cos d -f cos * t ) , 



(48) Q ==*yQ p * -f ~ sin 8 y , wo 

(49) ,,-An.in 

den Halbmesser des Kreises bedeutet, der den Pol abbildet 58 ). 

51) Die Projektion ist in norinaler Lage zuerat von J. H. Lambert angegeben, 
Laud- und Hiramelscbarten, p. 186. 

62) Ttesot-Hammer, p. 139. K. Zoppritz hat dieae Projektion in transver- 
aaler Lage ii ir Afrika rorgeschlagen und eingehend bebandelt, vgl. Zeitacb. Ges. 
Erdk. Berlin 19 (1884), p. 22 ; 2fi (1891), p. 145. 

58) Zuerst von H 0. Albers angegeben, v. Zachs Monatl. Correspond, f Erd- 



272 VI i, 4. A . Bourgeois-Ph. Furtwangkr. Kartographie. 

Soil nun eine gegebene Zone zwischen den Parallelkreisen <$ 
und d" flacbentreu mit kleinstcr Winkelverzerrung durch eine Kegel- 
rumpfprojektion abgebildct werden 54 ), so hat man 

/-f\\ d"-f <> 

(oO) n ===== cos | - 

zu setzen; das Maximum H des Langenverhaltnisses h im Meridian 
wird dann: 



Die beiden Parallelkreise # und 8 lt die langentreu abgebildet werden, 
liegen zwischen d und d" und ergeben sich aus den Gleichungen: 

(52) ^ T-^ir cos^^ = nJ?. 

Hat man d und d^ berechnet, so geben die Formeln (47), (48), (49) p. 
Die maximale Winkelverzerrung ftir den ganzen Kartenbereich 2Q 
ist durch die Formel: 

(53) 



gegeben, hangt also nur von der Different (d" d ) ab. 

Die Poldistanzen S sind von dem Pol ab zu zahlen, fiir den 
<r-h<r <180 ist. 

Halbiert der Aquator die gegebene Zone, so erhalt man die in 
Nr. 6b erwuhnte flachentreue zylindrische Abbildung mit kleinster 
Winkelverzerrung. Ist d = 0, handelt es sich also um Abbildung 
einer Kalotte, so wird wicder C = 1, und man kommt auf die oben 
erwahnte flachentreue Kegelprojektion mit kleinster Winkelverzerrung 
Gleichzeitig ergibt sich, daB die groBten Verzerrungen der flachen- 
treuen Kegelrumpfprojektion, die die Zone zwischen den Parallel 
kreisen # und 6" mit kleinster Winkelverzerrung abbildet, gleich sind 
den Verzerrungen, welche bei der flachentreuen Kegelprojektion mit 
kleinster Winkelverzerrung der Kalotte vom spharischen Halbmesser 
(d"3 f ) entstehen. 

Wendet man die flachentreue Kegelrumpfprojektion mit kleinster 
Winkelverzerrung auf die oben genannte Zone zwischen 30 und 70 
n. Br. an, BO geht die Winkelverzerrung nur bis 3,6 und der starkste 
Langenfehler betragt rund 3%- Die Fehler gehen also gegenflber der 

und Himmelskimde 11, p. 97 und 12, p. 450, Gotba 1805. Durchgeffihrte Be- 
rechuuugen bei K. Zoppritz, Zeitachr. Ges. Erdk. Berlin 24 (1889), p. 222; 27 
(1892), p. 221. 

54) Tistot- Hammer, p. 148. 



7. Konische Abbildungen. 273 

oben erwahnten Kegelprojektion mit kleinster Winkelverzerrung auf 
die Halfte hinunter. 

b) WinJcellreue Itonisdw Abbildungen. Una winkeltreue konische 
Abbilduugeu zu erhaltcn, hat man nach (38), (39) die Differentiai- 

gleichung: 

,-.. d 9 

( 54 ) f 

zu integrieren, aus der 

(55) 0= 



folgt; p a , die Integrationskonstante, bedeutet geometrisch den Radius 
des Kreises, der den Aquator (d = 90) abbildet. Anderungen der 
Konstanten Q a haben nur auf den MaBstab EinfluB. Der Wert d 
entspricht einem Verzweigungspunkt, in dem die Abbildung nicht 
mehr winkeltreu ist. 

Soil auf den Kegel, der im Parallelkreis d beriihrt, abgebildet 
werden, so hat man 

$ N 00(i 

tg Y 
(56) n = cos ^ , 9 = tg d 




zu setzen. Die entstehende Abbildung wird als 

Iconforme Kegelprojektion 5 *) bezeichnet. Ihre Verzerrungen sind ge- 

geben durch: 

Soil eine gegebene Zone zwischen den Parallelkreisen d und d" 
so abgebildet werden, daB die FJachenverzerrung ein Minimum wird, 
so muB das Liingenverhaltnis a auf beiden Grenzparallelkreisen gleich 
werden. Man hat demnach zu setzen: 

Ign sin ft" Ign sin $ 

(58) -^ - p- 

l gn tg . _ - lgu tg 

w 6 

Man kann im letzten Falle die Projektion ebenfalls (abgesehen vom 



56) Lambert, Land- und Himmelscharten, p. 137; C. F. Gaufi, Allgemeine 
Auflosung der Aufgabe usw., p. 16. Die Projektion ist vielfach auf rusaischen 
Karten angewandt; vgl. ?.. B. Bull. soc. de geogr. (5) 4 1,1862), p. 185. In Mecklen 
burg bedieut man sich bei der LandesvermesBung einer konfonnen Kegelprojektion, 
vgl. VI i,3, HShere Geodasie (P. Pizzetti), Nr. 24. In England wird die obige 
Projektion bei Berticksichtigung der Erdabplattung als Boolee Proj. bezeichnet. 



274 VI i, 4. JR. Bourgeoig-Ph. Furtwangkr. Kartographie. 

MaBstab) als Abbildung auf einen Bertthrungskegel auffassen, indem 
man d so bestimmt, daB die beiden Werte ffir n aus (58) und (56) 
gleich werden. 

Bildet man die friiher schon betrachtete Zone zwischen 30 und 
70 n. Br. winkeltreu auf den Beriihrungskegel in 50 n. Br. ab, so 
wird das Langenverhaltnis in 30, 50 und 70 n. Br. resp. 1,056, 
1,000, 1,078. Es 1st in der ganzen Earte grofier als 1 ; durch geeignete 
Wahl des Mafistabes kann man es daher erreichen, daB der starkste 
Langenfehler unter 4% bleibt. Will man das Minimum der Langen- 
und Flachenverzerruflg erzielen, so muB man nach (58) n = 0,783 
setzen, was dem Werte <? 38,5 entspricht. Es wird dann das 
Langenverhaltnis auf den beiden Grenzparallelkreisen gleich und zwar 
gleich 1,065, wenn man es in 51,5 n. Br. gleich 1,000 nimmt. Der 
Langen- und Flachenfehler wird also kleiner, als wenn man den 
Mittelparallel der Zone langentreu abbildet. 

c) Mittabstandslrem Jconische Abbildttngen. Wahlt man die Ab- 
stande der Parallelkreisbilder gleich dem spharischen Abstand der 
Parallelkreise, so entstehen die mittabstandstreuen konischen Ab- 
bildungen. Diese sind durch die Formeln: 

(59) $ = nl, g = /3 -j- d 

charakterisiert, wo und ft Konstante sind. Die Meridiane werden 
also langentreu abgebildet. 

Bildet man auf den Kegel ab, der im Parallelkreis d beruhrt 
(llingentreue Abbildung eines Mittelparallels), so hat man zu setzen: 

(60) = co8* , p = tgd (<J d). 

Man erhalt in diesem Falle die gewohidiche Kegelprojektion} , die 
folgende Verzerrungen aufweist: 

_ Bin<y ft (8 
sin* 

(61) 



fc / *. \ -- ; 

sin tf (* d) cos * 6 -{- Bin d 

Der Pol wird stets als Kreis abgebildet. 

Da in (59) zwei Konstanten verfflgbar sind, kann man zwei Parallel 
kreise langentreu abbilden. Sind dies die Parallelkreise 3 1 , d 2 (d 8 > d t ) 



56) Andere Bezeichmmgen : Einfache odor wahre odor iiquidistante Kegel- 
piojektion. Die Abbildung wird auch nach Ptolemaw (130 n. Chr), der sie zu- 
erst benutzt haben eoll, ab Ptokmdische Kegelprojektion bezeichnet; vgl. N. Here, 
Lehrbnch der Landkartenprojektionen, Leipzig 1886, p. 93. 



8. Unechte Kegelprojektionen nebgt Grenzfallen. 275 

nnd setzt man e * "**-, d * , so hat man zu nehmen: 

(62) n 

Es ergibt sich dann J. N. de V Isles Kegelprojektion 61 ), wenn man die 
Parallelkreise rf, und &> so wiihlt, dafi sie yon den Randern and der 
Mitte der abzubildenden Zone gleich weit abstehen. L. Eider hat 
untersucht, wie d 1 und d y zu w ahlen sind, um eine gegebene Zone 
mit minim aler Langenverzerrung abzubilden, und seine Untersuchnng 
auf eine Karte des russischen Reiches angewandt 58 ). 

8. Unechte Kegelprojektioneu nebst Grenzfallen. Einige haufig 
benutzte Projektionen sind am einfachsten als Abarten der echten 
Kegelprojektionen zu beschreiben, Unter ihnen ist an erster Stelle 

a) Die Bonnesche Projection**) (Proj. des Depot de la Guerre 
oder der Carte de France) 60 ) zu nenuen, bei der die Bilder der Parallel 
kreise wie bei der einfachen mittabstandstreuen Kegelprojektion ge- 
zeichnet werden. Der mittlere Meridian wird langentreu als gerade 
Linie abgebildet, auf der der gemeinsame Mittelpunkt S der Parallel- 
kreisbiider liegt. (Fig. 4.) 

1st C der Schnittpunkt des mittleren Parallels mit dem mittleren 
Meridian, so gilt: 

(63) CS = Ecotg(p , 

wo <p die Breite des mittleren Parallels auf dem Ellipsoid und E den 
Kriimmungsradius des Meridians in C bezeichnet. Die tibrigen Meri- 

67) In dieser Projektion verOffentlichte zuerst J. N. de I Isle 1745 eine Karte 
von Ru Bland. Die Abbildungaart ist falschlich M creator zngeBchrieben, vgl. 
H. Wagner, Lehrbuch der Geographie, 7. Anfl. Hannover 1903, p. 205. Der 
Irrtum 1st dadurch entatanden, daB Mercator, nm die Schwierigkeit der Meridian- 
zeichnung bei der gewShnlichen Kegelprojektion, -wenn der Schnittpnnkt der 
Meridiane auBerhalb dea Kartenblattes liegt, zu beseitigen, zwei Parallelkreise 
langentreu einteilte und entsprechende Teilpunkto geradlinig verband. Die Lage 
d.er beiden Parallelkreise wahlte er analog wie De I Isle. Die so entstehende 
Projektion, die keine ecbte Kegelprojektion mehr ist, veil die Meridianbilder 
sich nicht in einem Punkte schneiden und die Winkel zwischen Meridian- and 
Parallelkreisbildern nicht uberall Rechte sind, wird wohl als ,,vereinfachtef c oder 
,,modifizierte" Kegelprojektion bezeichnet (auch Mercators Kegelprojektion) und 
ist haufiger benutzt. 

68) Petrop. Acad. Acta 1757, 1, p. 143; Tgl. auch V. Witkowski, Izv. Rnaak. 
G. ObS6 36 (1900), p. 467. 

69) Die Projektion heifit nach B. Bonne (1752); eie wird aucb nach Mercator 
genannt, der sie schon angewandt hat. 

60) Die Nainen riihren daher, weil die topographiache Karte von Frankreich 
(18181878) in 1:80000 die geuannte Projektion benutzt. 



276 



VI i, 4. R. Bourgeois- Pli. Furtwangler. Kartographie. 



diane werden punktweise konstruiert, indem man die Parallelkreis- 
bogen mit ihren wahren Langen auftragt (langentreue Abbildung der 
Parallelkreise). Die Meridianbilder schneiden sich 
genUgend fortgesetzt in einem Punkte P des 
Mittelmeridians, so daB CP gleich dem ent- 
sprechenden Bogen auf der Kugel oder dem Ellip 
soid ist. Aus der Beschreibung der Projektion 
geht ohne weiteres hervor, daB sie flachentreu 
ist 61 ). Winkeltreue ist nur auf dem mittleren 
Meridian und Parallel vorhanden; je weiter man 
sich von ihnen entfernt, urn so starker werden 
die Winkelanderungen. Der Winkel zwischen dem 
Meridian- und Parallelkreisbild in einem beliebigen 
Punkte M der Karte ist leicht anzugeben. Be- 
zeichnet & die Differenz dieses Winkels gegeu einen Rechten, <p die 
Breite des Zentralpunktes C, A die Lange von M in bezug auf den 
mittleren Meridian, d die Lange des Bogens CJ und a den Radius 
des Meridians, wobei dieser ohne merklichen Fehler als kreisformig 
angenoinmen werden kann, so gilt: 




Fig. 4. 



(64) 



tg = A sin (<jp -f --) 



a cotg (p,, 



Mit Hilfe des Winkels & lassen sich die Verzerrungen in folgender 
Weise charakterisieren : 



(65) 

Der Wert von 



* = sec 



ft=l, tga>--itg0, 8=1. 
wird fur d Null und bleibt immer sehr klein, 



so lange A nnd den Betrag von 9 bis 10 nicht Uberschreiten. wie 

es bei der Karte von Frankreich der Fall ist. Das Maximum von & 
an den Randern der Karte von Frankreich betragt nur 18 . Infolge 
dieser geringen Winkelanderungen sind auch die Langenfehler nicht 
betrachtlich, so daB man bei Gebieten von der Grrb Be Frankreichs eine 
Karte in Z?wwe3cher Projektion mit grofier Annaherung als ein ge- 
treues Bild der Wirklichkeit ansehen kann. 

Fiir die Karte von Frankreich ist der Parallelkreis 50 als mitt- 



61) Die Flachentreue der Bonneechen Projektion scheint erat spSter erkannt 
zu eein; vgl. K. B. Mollu>eide t v. Zac/ieMonatl. Corresp. f. Erd- und Himmelakunde 
13 (1806), p. 144 und H C. Albert, ibid. 11 (1805), p. Ill; in Frankreich war dieae 
Eigenschaft wohl schon vorher bekaunt 



8. Unechte Kegelprojektionen nebst Grenzfallen. 



277 



lerer Parallel und der Meridian von Paris als Hauptmeridian gewiihlt 62 ). 
Berechnet man uuter dieser Annahrae den Radius SC Jt cotg 50. 
so erhiilt man fur den MaBstab 1 : 80000 ungef ahr 50 m. Es ist klar, 
dafi man Kreise mit solchen Radien nicht kontinuierlich ziehen kann. 
Man berechnet desbalb fur eine Anzahl geeignet verteilter Schnifct- 
punkte der Meridian- und Parallelkreisbilder rechtwinklige Koordinaten 
und verbindet diese Punkte dann geradlinig. Die Rechnung ist in 
der Weise durchgefiihrt, daB zwischen benachbarten Scbnittpunkten 
je 0,1 Abstand in Liinge und Breite liegt. 

JSimmt man (Fig. 5) als Koordinatenanfang den Zentralpunkt C, 
als 2/-Achse den Hauptmeridian und 
als #-Achse die zuin Hauptrneridijin 
senkrechte Tangente des Parallel kreises 
in C, so erhalt man fur die recht- 
winkligen Koordinaten eines Karten- 
punktes M die Werte: 

M Q x = A sin v, 
MP = y = J^ cotg q) Q A cos v, wo 
A = 11 cotg qp d 

der Radius SM 1st. Ferner bedeuteu: 
rp Q und R resp. die Breite von C und 
den Kriimmungsradius des Meridians 
in 6 ; d ist der Bogen Cq und v der 
Winkel CSM. Man erhalt den letzteren aus der Formel: 

R . 

V = -r ACOS<jp, 

in der qp ; A und It resp. die Breite und Lange von M und den 
Kriimmungsradius des Meridians in M bedeuten. Man kann auf diesem 
Wege die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes, dessen geo- 
graphischo Koordiimten aus der Triangulation bekannt sind, berechnen. 
Man fiilirt indessen diese Rechnung fur die geodatischen Punkte nicht 
durch, sondern veriahrt, was bequemer ist, in folgender Weise. .Man 
berechnet direkt die rechtwirikJigen Koordinaten der Schnittpunkte 
der Meridian- und Parallelkreisbilder von Grad zu Grad und interpoliert 
dann streng die Werte dieser Koordinateu von Zehntel zu Zelmtel- 




5 - 



62) Bei dieser Wahl Vietriigt die grSfite Winlcelverzerruug 18 , die grofito 
Langenverzerrung y sgo . Nach A. Tissot (vgl, Tissvt- Hammer, p. H7) waren dieso 
Werte anf 10,5 und Y fl50 hinuutergegangea, \ve. om 46,6 ale Breite dea raitilecen 
Parallels angenommen ware. 

Knoyklop. d. math. Wia^ouscb, VI 1 19 



278 VI i, 4. JR. Bourgeois- Ph. Furtwangler. Kartographie. 

grad. Man erhalt auf diese Weise Tafeln, die fur Frankreich von 
Plessis berechnet sind. tTbertragt man nun die Koordinaten auf das 
Kartenblatt und verbindet die erhaltenen Punkte geradlinig, so erhalt 
man ein praktisch geniigend genaues Gradnetz. 

Die Jfowwesche Projektion bat lange Zeit eine dominierende Stellung 
eingenommen, bis sie zuerst von A. Tissot auf Grund seiner Unter- 
suchungen fiber die Verzerrungen und spater yon anderen (speziell 
von K. Zoppritz) abfallig kritisiert wurde 68 ). Fur groBe Gebiete ist die 
genannte Projektion wegen der stark anwachsenden Winkelanderungen 
zweifellos ungeeignet. Beztiglich ihrer Verwendbarkeit fur kleinere 
Gebiete herrscht nicht vollige Ubereinstiramung. Vom praktischen 
Gesichtspunkte aus, bei dem die Fehler innerhalb gewisser Grenzen 
als irrelevant betrachtet werden, lafit sich nicht viel gegen ihre Be- 
nutzung einwenden, allerdings auch nichts Besonderes zu ihren Gunsten 
anfiihren. Fflr kleinere Gebiete ist die Wahl der Projektionsart iiber- 
haupt von geringerer Bedeutung oder, was vielleicht richtiger gesagt 
ist, f&r kleinere Gebiete stimmen eine ganze Anzahl von Projektionen 
bei der praktisch erreichbaren Genauigkeit der Kartenherstellung iiber- 
ein. 64 ). Stellt man sich auf den Strandpxinkt, unter sonst gleichwertigen 
Verhaltnissen stets die Projektion mit den kleineren Verzernmgen zu 
wahlen, auch wenn die Verzernmgen praktisch nicht in Betracht 
kommen, so ist die Bonneache Projektion auch ffir kleinere Gebiete 
im aUgemeinen zu verwerfen. 

b) Die Sanson-Flamsieedscke Pmjektion, LaSt man bei der Bonne- 
schen Projektion den Kegel in einen Zylinder Ubergehen, so erhalt 
man als Grenzfall die Sanson-Flamstccdsvhe Projektion 65 ). Diese Pro- 

63) Vgl. TisnolrHammer, p. 37, 41, 44, 45; E. Rammer., Leop. N. A. 71 (1898) 
Nr. 9; Hammer, Kartenprojekfcionen, p. 108; Zoppritz-Blitdau 1, p. 168, 158, 169. 
A. Blwiau hat zum Vergleicfe die Karte Asiens in 1 : 40 Mill in JSowncBcher und 
fiiichentrnvier Azimutalprojektion aaf demseTben Blatt eatworfen, ygl. Zeitachr, 
Gea. Erdk. Berlin 26 (1890). 

64) Sebr instruktiv ist in diesor Bezifthung eine Tafel bei M. Roscnmmid, 
Die Anderung dee Projektioussyetecxs der schweizerischen Landesvcrrnessuug, 
Bern 1908, auf der 5 vorschiedeno Gradnetze fib: die Schweiz entworfeu sind, 
uamlich in winkeltreuer nonnaler Ivegelprojektion, in J?o>ssech6r Projektion, in 
winkeltrcaer transversaler und schielacbsiger Zylinderprojektion und in stereo- 
graphischer Projoktion. Dabei ist zu beacbten, daB die Abweichungen der 
tibrigen Projektionen gegenuber der Kegelprojektion 500-faeh ubertrieben sincl. 

66) Die Projektion findet sicb bereits in Mercators Atlas (1606) bei einer 
Katie von Stidamerika und ist darum richtiger als Mercatcr- 8ansonBQh& Projektion 
su bezeichnen. N. Sanson hat sic dann 1660 syiitematigch fur Erdteil- und 
Landerkazien benutzt, J. Flamsited IIM fir die Karteu seines Atlas coeleetie. 
Seit dieser Zeit hat die Projektion iieben der J3o7iwcschen die Atlaaten beberrscht 



8. Unechte Kegelprojektionen nebet Grenxfallen. 279 

jektion 1st daher ebenfalls flachentreu; die Meridianbilder sind Sinus- 
knrven (sinusoidcde Pr.), wie sicb aus den folgenden Gleichungen fur 
das Bild ernes Meridians mit der Langendifferenz A gegen den Mittel- 
meridian ergibt (Erdradius 1): 
(66) y = 9> o?== A cos 9. 

Die Abplattung kann man berucksichtigen, indem man den Mittel- 
meridian entsprechend den wachsenden Breitengraden auf dem El 
lipsoid einteilt 66 ). 

c) Flachentrcue Projektionen, bei denen die ParaUelkreise durch 
tin System von parallelen Geraden abgebildet werden. Ebenso wie die 
Sansonsche Projektion haben eine ganze Anzahl auderer Projektionen 
von den ecnt zylindrischen Abbildungen die Eigenscbaft ubernommen, 
die ParaUelkreise durch ein System yon parallelen Geraden abzu- 
bilden 67 ). Unter diesen sind besonders die flachentreuen Entwiirfe zu 
nennen, die man offenbar immer noch in beliebiger Anzabl herstellen 
kann. Bildet man namlich znnachst die ParaUelkreise durch ein System 
paralleler Geraden ab, deren Abstande ein beliebiges Gesetz befolgen, 
zieht dann eine Gerade oder eine beliebige Kurve als Bild des mitt- 
leren Meridians durch sie bindurch, so sind nunmehr erst durch die 
Forderung der Flachentreue die Bilder aller ftbrigen Meridiane fest- 
gelegt. Man kann auf dem angegebenen Wege offenbar nicht nur 
eine Halbkugel, sondern auch die ganze Erdoberflache in einer Karte 
darstellen. 

Unter den hierhergehorigen Projektionen kann man mehrere 
Gruppen unterscheiden: 

1) Die Meridiane sind gerade Linien; hierhin gehort die von 
E. Collignon**) 1865 angegebene Projektion, bei der die Halbkugel 
flachentreu auf ein Quadrat abgebildet wird 69 ). 

(besonders fiir Karten von Afrika, Siidamerika, u. a.). tJber ibre Benutzung gilt 
dasselbe, was oben fur die Bonne&che Projektion ausgefuhrt wurde. 

66) Ein zweiter Urenzfall der .Bonneechen Pr., die Stab-Wemerache Pr., 
ergibt sicb, wenn man den Kegel zur Ebene werdea laflt, also die Parallelkreia- 
bilder wie bei der mittabstandstrenen azimutalen Pr. in normaler Lage zeichnet. 
Diese Projektion, die 1514 von J, Werner nach den Angaben von J. Stab aus- 
gefiibrfc wurde, ist die erste flacbentreu (allerdings wohl unabsichtiich) hergestellte 
Abbildung. Sie hat uie gr^Bere Bedeutung erlangt. 

<37) Vgl. Tissot-Hammer, p. 105119. 

68) J. ec. polytecbn. 24 (1865), p. 73. 

69) In dieae Kategorie gehort anch Eckerta Trapeznetz, bei dem die Erd 
oberflache anf ein Doppeltrapez abgebildet wird, BO daB die eineni Pol ent- 
sprechende Strecke gleicli der balbeu Aquatoriange wird. Vgl. M. Eckert, 
Peterm. Mitt. 1906, p. 97. 

19* 



280 VI i, 4. jR. Bowgeois-Ph. Fitrtwdngler. Kartographie. 

2) Die Meridiane sind Elliytsen; wird speziell die Halbkugel auf 
einen Kreis flachentreu abgebildet, so erhalt man die von K. B. Mott- 
weide) 1805 angegebene Projektion, die spater unter dem Namen 
, ; homalographisehe Projektion" von J. Babinei empfohlen wurde und 
seitdem fur Halbkugel- und Erdkarten ofters angewaadt ist 71 ). 

3) Die Meridiane sind Sinuskurven. Diese Gruppe von Projek 
tionen wird durch die Formeln dargestellt: 

(67 ) y = ny, x = cosqp. 

Fiir n = 1 erhalt man die oben besprochene Sansonache Projektion; 

der Wert 

* " - , 



-1/ 



1 4 

macht die maximale Winkelverzerrung zu einem Minimum 72 ). 

LaBt man die Bedingung der Flachentreue fallen, so steigt die 
Anzahl der Moglichkeiten noch; die betreftenden Abbildungen haben 
aber geringere Bedeutung 7S ). 

d) Die PlanispMre von Aitow} und verwandie Entwiirfe^ ). Als 
Modifikation ernes azimutalen Entwurfes sei noch die Planisphare von 
Aiiow erwahnt. Aitow hat, um ein Bild der Vollkugel u erhalten, 
das Bild einer Halbkugel in mittabstandstreuer transversaler Azimutal 
projektion in der Weise verandert, daB er alle in bezug auf den Aquator 
genommenen Ordinaten auf die Halfte verkleinerte und die Bezifferung 
der Meridianbilder verdoppelte (Ausfiihrung zweier affiner Trans- 
formationen in bezug auf die beiden durch den Karteumittelpunkt 
gehenden Symmetrielinien als Achsen). Die Vollkugel wird dann auf 
eine Ellipse mit dem Achsen verhaltnis 2:1 abgebildet. 

Das Verfahren ist auch auf andere Projektionen anwendbar, zer- 
stort aber im allgenieinen die Eigenschaften der nrspriinglichen Pro 
jektion, nur Fiachentreue bleibt erhalten. Wendet man die angegebene 

70) v. Zachs Monatl. Corresp. 12 (1806), p. 162. 

71) Die Parallelkreisabstande sind fu r je 0,5 Abstand voii ./. Bourdin be- 
rechnet, vgl. die Tabelle Lei Germain, Traite des projections, p. 321. 

72) Tissot- Hammer, p. 113. Ein anderes Net/ mit krommlinigen Meridianen 
iat Eckerts Kreisringnetz, bei dem die einem Po). entsprechtmde Strecke ebenso 
wie boi detn in Fufin. 69 erwiihnten Trapeznetz gleich der halben Aquatorlange 
genommen ist; vgl. Zitat in FuSa. 69. 

73) Verschiedene Projektionen dieser Art sind bei Tissot- Hammer, p. 114, 
genaunt und bezuglich ihrer Verzerrungen untersucht. Hietoiifich sind die trapex- 
maschigen Karten von Interesse, die schon frvih ais Abanderungen der Platt- 
karten benutzt eind. 

74) Nouv. Geogr. 1892, p. 89. 



9. Polykonische Projektionen. 281 

Transformation auf die flachentreue Aziinutalprojektion in transversaler 
Lage an, so ergibt sich die flachentreue Planisphare von Hammer}. 

9. Folykonische Projektionen. Die polykonischen Abbildungen 
konnen als Erweiterungen der echtkonischen Abbildungen aufgefaBt 
werden. Wahrend bei diesen auf einen einzigen Kegel abgebildet 
wird, den man dann auf die Ebene abwickelt, wird bei den poly- 
kouischen Abbildungen auf ein ganzes System von Kegeln abgebildet 
und zwar wird auf jeden Kegel, ween wir uns auf die normale Lage 
beschranken, ein Streifen zwischen zwei Parallelkreisen abgebildet. 
Damit bei der Abwicklung dieser Streifen keine Liickeu entstehen, 
niiissen die Streifen unendlichschmal und die Kegel stetig veriinderlich 
angenommen werden. Man definiert die polykonischen Abbildungen 
am einfachsten durch die Forderung, daB die Parallelkreise durch ein 
System von Kreisen abgebildet werden, deren Mittelpunkte auf einer 
geraden Linie liegen. A. Tissot) hat auf Grund dieser Definition 
einige allgemeine Klassen der polykonischen Entwiirfe, speziell der 
fiachentreuen und winkeltreuen, aufgesucht. Praktisch verwendet sind 
bisher nur zwei polykonische Abbildungen, die weder flachen- noch 
winkeltreu sind, namlich 

a) die gewohnliche polykonische Projection 1 1 ) (amerikanische poly 
konische Pr., Pr. der Coast Survey) und 

b) die rechtschnittige polykonisdie Projection des engtischen War 
Office). 

Bei der gewohnlichen polykonischen Projektion wird zunachst 
der Mittelmeridian geradlinig abgebildet und iangentreu eingeteilt; die 
Parallelkreise werden dann mit den Halbmessern cotg^j gezogen und 
zur Abbildung der iibrigen Meridiane Iangentreu eingeteilt. Die 
Winkel zwischen Parallel und Meridian sind nur auf dem Mittel 
meridian Rechte. Um diese durchgangig zu rechten Winkeln zu 
machen, verzichtet das englische War Office bei seiner Projektion auf 
langentreue Einteilung der Parallelkreise. Es wird nur der Aquator 



75) E. Hammer, Peterra. Mitt. 1892, Heft 4; vgl. auch M. Fiorini, Mem. Soe, 
Geogr. Itai. 5(1895), p. 31. 

76) Tissot- Hammer, p. 156. 

77) Die Projektion wird bei der amerikamsehen Kustenvermesuung (Coast 
survey office) benutzt. Tafeln zur leichteren Konstruktion des Netzes bei J. E. 
Hilgerd, Pteport of the Superintend. Coast surrey 1859, Appendix 33, p. 328; Pro 
jection tables of the U. S. Navy, Washington 18(59; JR. 8. Woodward, Smithsonian 
Geographical Tables, Washington 1894. 

78) H. James, Journ. Eoy. Geogr. Soc. 30 (1860), p. 106. 



282 "VI i, 4- -B- Bourgeois-Ph Furtwangler. Kartographie. 

langentreu eingeteilt, und die Meridiane werden dann als orthogonale 
Trajektorien des Systems der Parailelkreisbilder abgebildet. 

Soil eine polykonische Projektion flachentreu und rechtschnittig 
sein, so mnB sie zu den echtkonisehen Projektionen gehoren. 

10. Polyederprojektion 79 ). Gradabteilungskarten. Will man ein 
groBeres Gebiet (z. B. Deutschland oder Frankreicli) in groBeui MaB- 
stabe (etwa ^f m bis ^ m } darstellen, so reicbt dazu ein handliches 
Kartenblatt nicht aus, man inuB vielmehr die ganze Karte in mehrere 
Blatter zerschneiden. Man kann dann die Forderung aufstellen, daB 
die Gesamtheit der Blatter sieh so zusammenlegen laBt, daB sie Itickenlos 
einen ebenen Bereich iiberdeckeu und daB die anfiere Grenze des ab- 
gebildeten Gebiets als geschlossene Kurve stetig abgebildet wird, m. 
a. W. daB man sich die einzelnen Blatter durch Zerscnneiden eines 
groBen Blattea entstanden denken kann. Die Erfiillung dieser Forde 
rung bat praktisch keine erheblicbe Bedeutung 80 ), man ist deshalb 
dazu iibergegangen, sie ganz fallen zu lassen und jedes einzelne Blatt 
als eine selbstandige Karte aufzufassen 81 ). Das auf dem einzelnen 
Blatt abzubildende Gebiet ist dann so klein, daB es praktisch als eben 
betracbtet werden kann; das Kartenblatt kann deshalb in diesein Falle 
praktisch als ein grundrifigetreues Abbild der Wirklichkeit angesehen 
werden. Als Grenzen eines Kartenblattes pflegt man Meridiane und 
Parallelkreise mit runder Bezifferung zu wahlen (Gradabteilungskarten); 
so bilden z. B. bei der Karte des Deutschen Reichs, der von Frank- 
reich und Osterreich-Ungarn in 1 : 100000 je acht Blatter ein Gradfeld, 
und zwar in der Weise, duB jedes Blatt in Hohe 15 Minuten geo- 
graphischer Breite und in der Breite 30 Minuten geographischer Lange 



79) Diese Projektion ist zuerst syBtematiech vom Kgl. PreuB. topograph. 
Bureau benutzt und wird deshalb ale PreuBische Polyederprojektion bezeichnet. 

80) Die genaue Zusammenlegbarkeit wiirde von Vorteil sein, wenn es mog- 
lich ware, aus einer Karte groBen MaBstabea einfach durch Verkleinern eine 
solche kleinen MaBstabes herzustellen. Das ist aber unmoglich, weil der ,,Inhalt" 
einer Karte kleinen Mafiatabes notwendig ein geringerer ist als der einer Karte 
groBen MaBstabes; es muB deshalb bei der Heretellung der ersten ,,generalisiert" 
werden, was einfaches mechanischea Verkleinern ausschlieBt. Auch fur Messungen 
auf der Karte ist Zuaammenlegbarkeit nicht von erheblicher Bedeutung. Denn 
eine kleine Anzahl von Blattem (etwa 4 oder 9) laasen sich in jedem Falle prak 
tisch genau zusammenlegeu ; bei Measungen uber eine groBere Anzahl von Slattern 
hinweg wachst aber auch die Messungsungenauigkeit. 

81) Dies geechieht z. B. bei der Karte des Deutschen Reiches in 1:100000, 
der Carte de la France, dresse e par le service vicinal in 1:100000, der Spezial- 
karte der Osterreich-Ungarischen Monarchic in 1:75000, der Garta del Regno 
d ltalia in 1:100000, der Mapa de Espana in 1:50000 u. a. 



II. Kreisnetze. 283 

umfaJBt. Um das Netz fur ein Blatt zu erhalten, entnimmt man die 
Langen der Meridian- und Parajlelkreisstiicke, welche die Blattgrenzen 
bilden, aus Tabellen 82 ), verkleinert sie in dem angenommenen MaBstab 
und konstruiert dann ein geradliniges gieiehschenkliges Trapez aus 
diesen Stiicken. Alle ttbrigen Meridian- und Parallelkreisbilder werden 
dann ebenfaUs geradlinig eingetragen, indem man die Grenzen in 
gleiche Teile teilt. 

Obwohl es, wie aue dem Vorstehenden hervorgeht, praktisch irre 
levant ist, in welcher Projektion man sich das einzelne Kartenblatt 
gezeichnet denkt, weil die Verzermngen von der Ordnung der Zeichen* 
ungenauigkeit sind, kaim man sich doch etwa vorstellen, daB <Ler *b- 
zubildenden Flache ein Polyeder entsprechend den einzelnen Karten 
blattern einbesohrieben sei und daB die einzelnen Gebiete orthogonal 
auf die Polyederflachen projiziert werden. Aus dieser Vorstellungs- 
weise ist der Name Polyederprojektion entstanden. Zweckmafiiger ist 
es noch, das einzelne Blatt als echte Kegelprqjektion aufzufassen 88 ), 
weil sich dann die Blatter einer Zone luckenlos zusammenlegen lassen, 
wahrend die Zonen gegeneinander klaffen. 

Die in dieser Nummer geschilderte Methode, das Kartennetz fur 
Karten groBen MaBstabes zu entwerfen, hat ; wie noch einmal zu- 
sammenfassend gesagt sei, den praktisch bedeutungsloeen Nachteil, 
dafi sich die einzelnen Blatter nieht liickenlos zu einem groBen Blatte 
zusammenlegen lassen, sie hat dagegen den erheblichen Vorteil, daB 
die Verzerrungen auf alien Blattern praktisch zu Null werden, wahrend 
bei einer genau zusammenlegbaren Karte die Verzerrungen af den 
einzelnen Blattern ungleich und ffir eine Anzahl von Blatteru {im 
allgemeinen die Randblatter) betraehtlich werden. 

11. Kreinnetze. Unter Kreisnetzen sind, wie der Name sagt, 
solche Kartennetze zu verstehen, bei denen samtliche Mendiane uad 
Parallelkreise durch Kreise abgebildet werden. J. H. Latnbert^) hat 
sich bereits mit der Aufgabe beschaftigt, alle winkeUreuen Kreignetze 

82) H. Wagner, Geogr. Jahrb. 3 (1870), p. XXXTTT. Diesen, wie fiberhaupt 
den moisten Tabellen fur kartographische Z wecke liegen die Dimensioneu dea 
JBewefschen Erdellipaoids zugrunde. Vgl. VI i, 8 Hohere Geodasie (P. Pizzetti), 
Nr. 9. 

83) Bei den MeBtiachblattera in 1:26000 der Freofiischen Landeaaufnahme 
wird die Krammung der Parallelkreiebilder bei der Eintragang der trigono- 
raetrischcji Punkte berucksichtigt, die GrenslLnien selbst werden gezade aus- 
gezogen; vgl. Tnetniktioa fiar die Topographen der topogr. Abteilung der K. Preufi. 
Landesaufnahiae, Heft I, Berlin Id 70. 

84) Land- uad Himmelecbarten, p. 148 = Ostwalds Kiass. d. exakt. Wisa. 
Nr. fA, p 81. 



284 VI i, 4. R. Bourgeois- Ph. Furtwangler. Kartographie. 

aufzusuchen. Er hat diese aucli bestimmt, aber seine Entwicklungen 
sind nicht gentigend streng und allgemein. Eingehender und von 
allgemeineren Gesichtspunkten aus hat sich dann J. L. de Lagrange**) 
rait der Aufgabe beschaftigt und eine beliebige Rotationsflache winkel- 
treu BO auf die Ebene abgebildet, daB den Meridianen und Paralle]- 
kreisen Kreise entsprechen. 

Man kann zunachst die Aufgabe stellen, alle rechtschnittigeu 
Kreisnetze zu bestimmen. Stellt man noch die Bedingung, daB jedew, 
Punkt der Kugel ein bestimmter Punkt der Ebene entsprechen soil, 
so werden die Meridiane durch eine Kreisschar abgebildet, deren 
Kreise samtlich darch zwei feste Punkte, die Bilder der Erdpole, 
gehen. Die orthogonalen Trajektorien dieser Kreisschar, die Bilder 
der Parallelkreise, sind dann wieder Kreise, deren Mittelpunkte auf 
der Verbindungslinie der Polbiider liegen. Urn unter diesen Kreis- 
netzen die winkeltreuen zu bekommen, hat man dafiir zu sorgen, daB 
die Langenverhaltniase im Meridian und Parallel gleich werden. Ale 
spezielle Falle ergeben sich die stereographische und die Mercator- 
projektion. Lagrange hat vorgeschlagen, die beiden verfiigbaren Kon- 
stanten in den besprochenen winkeltreuen Kreisnetzen so zu bestimnien, 
daB die Ableitung des Langenverhaltnisses nach geographischer Lange 
und Breite im Mittelpunkt der Karte verschwindet, damit das Langen- 
verhaltnis sich vom Mittelpunkt der Karte aus moglichst langsain andert. 

Eine zweite Serie von rechtschnittigen und daraus von winkel 
treuen Kreisnetzen erhalt man, wenn man umgekehrt die erste Kreis 
schar durch die beiden festen Punkte den Parallelkreisen und die 
orthogonalen Trajektorien den Meridianen entsprechen laBt. 

D. A. Grave hat alle flachentreuen Kreisnetze ermittelt 86 ). 

A. Tissot 6T ) hat noch andere rechtschnittige und auch schief- 
schnittige Kreisnetze, ferner Netze mit Kreismeridianen betrachtet 88 ). 

85) Mem. Acad. Berlin 1779, p. 161210 = Osttcalds Klass. d. exakt. Wiss. 
Nr. 55; vgl. auch 0. Bonnet, 3. de math. (1) 17 (1852), p. 301 (Paris These d astr.). 

86) fjber die Grundaufgaben der mathematischen Theorie der Karten- 
projektion, Petersburg 1896 (roasisch); J. de math. (5) 2 (1896), p. 317; I e"tergb. 
Acad. Sci. Bull. 1894, p. 73 

87) Tissot-Hawmcr, p. 165-189. 

88) Zu den Kreisnetzen gehort anch die Projektion von Nicolosi (auch 
(rlobularprojektian oder englische Pr. genamit), in der dieser eine Reihe von 
Karten (Rom 1660) herausgab. Aquator und Nullmeridian werdeu langentreu 
als flerade abgebildet; die Parallelkreisbildcr sind Kreise, die den Grenzmeridiau 
in gleiche Teile teileii. Eine Abanderung dieser Projektion ist von NeU vor 
geschlagen: Vorechlag zu einer neueu Chartenprojekiion, Heidelberg 1882: vgl. 
auch Deles, Mitt. Vcr. Erdk. Leipzig 1882, p. 19. Bei dem Nellxchev Kreisnete 



12. Projektion mit geringster Langenverzerrung nach Tissot. 285 

12. Projektion mit geringster Langenverzerrung nach Tissot. 89 ). 
Um eine der besonderen Gestalt eines Landes sich anpassende Pro 
jektion mit moglichst geringen Verzerrungen zu erhalten, kann man 
bei nicht zu groBen Landern (etwa von der GroBe Frankreichs) nach 
Tissot auf folgende Weise verfahren. Man bestimme die Lage eines 
beliebigen Punktes (tp, A) eines Landes in bezug auf einen geeignet 
gewahlten Nullpunkt <JP O , A (fiber die Wahl desselben wird sp ater 
naheres angegeben) durch den Meridianbogen ^ 

s und Parallelkreisbogen t (Fig. 6), wobei als 
Langeneinheit der Aquatorialhalbmesser der Erde \ 

gilt; s und t sind dann kleine GroBen (etwa \g 

klelner als Y 10 ), die als GroBen 1. Ordnung gelten 
soHen. Tissot setzt nun fur die rechtwinkligen - -^ *f ^ __ - ** 
Koordiuaten x, y des Biidpunktes von (<p, A) p^g 6 

ganze rationale Funktionen 3. Grades in s und t 

an, die er so zu bestimmen sueht, daB die Abbildung moglichst giinstig 
wird. Es wird fe^tgesetzt, daB die y-Achse Tangente an das Bild 
des Nullraeridians im Nullpunkte wird; ferner wird verlangt, daB die 
Abweichungen der Langeuverhaltnisse h und 7c im Meridian und 
Parallel von 1 von zweiter Ordnung werden, und daB die Differenz 
7i k und die Abweichung des Winkels zwischen Meridian und Parallel- 
kreis von jr/2 von dritter Ordnung werden. (Es ist nicht moglich, 
gleichzeitig 1 h und 1 k klein von dritter Ordnuug zu machen.) 
Bei Erfullung dieser Forderungen ergibt sich: 

* = + v- ^ 2 -f- 4 s3 - Ss *t + Cs? -f * t*, 
(68) r 



wo A, B, C drei verfiigbare Konstanten bedeuteu, zwischeii denen aber 
die Beziehung: 

2 (A + C ) cos 2 g) = cos 2<p 

bestehen muB. (p ist die Breite des zu wahlenden Nullpunktes, fiber 
die ebenfalls noch verffigt werden kann; r und r sind die Halbmesser 
der Parallelkreise unter den Breiten qp und <p . Die Langenverzerrung 
ist dann in alien Richtungen fur einen bestimmten Punkt bis auf 

liegen die Kreiso genavi in der Mitte zwischen dea entsprechenden Kieisen der 
Globularprojektion und der stereographischen Projektion in trans versaler Lage. 
Karten in dieser Projektion findet man in dem method. Sclmlatlas von Sydou:- 
Wagn&r, z. B. Blatt 6. Erwahnt sei endlich das Kreisnetz von A. J. van der 
Grinten, Peterm. Mitt. 1904, p. 165 und Aicer. J. sci. 19 (1906), p. 867. 
89) Tissoi- Hammer, p. 2345. 



286 VI i, 4. E. Boturgeois-Ph. FurtwangUr. Kartographie. 

GroBen dritter Ordnung gleich groB und hat den Wert: 
(69) e = As* 2Bst -f ( A)t*. 

Die Konstanten A, B und die Lage des Nullpunktes sollen nun nach 
Tissot so bestiinmt werden, daB der groBte Wert von e im Bereich 
der Karte im Minimum wird. 

Die Linien gleicher Verzerrung sind, wie aus (69) folgt, je nach 
der Wahl von A und B Ellipsen, Hyperbeln oder Paare von par- 
allelen Geraden; praktischkommen meist bei Erfiillung der vorstehenden 
Forderung nur Ellipsen in Betracht. Tissot hat ein mechanisches 
Verfahren angegeben, ura in einfacher Weise die verfiigbaren GroBen 
zu ermitteln. Man stelle sich Ellipsen mit verschiedenen Achsen- 
verhaltnissen, etwa ftir die Werte 0; 7 1; 0, 2; . . .; 1, dar und verschaffe 
sich von jeder Sorte eine Anzahl ahnlicher Ellipsen von verschiedener 
GroBe. Man zeichnet nun eine Hilfskarte des abzubildenden Landes und 
sucht zuerst von jeder Sorte Ellipsen diejenige kleinste aus, die bei 
geeigneter Lage das Land gerade iiberdeckt. Unter diesen Deckellipsen 
wahlt man dann diejenige, fur die der den Achsenwinkel halbierende 
Durchmesser den kleinsten Wert hat. Der Mittelpunkt dieser Ellipse, 
wenn sie das abzubildende Land deckt, bestimmt dann den Nullpunkt, die 
Lage und GroBe ihrer Achsen die verfiigbaren Konstanten. Ein ana- 
loges Verfahren ware auch mit Hyperbeln und Paaren paralleler Ge 
raden anzustelleu; es ist aber in praxi von vornherein meistens zu 
iibersehen, daB dieae Kurven zu schlechteren Resultaten als die El 
lipsen ftihren. 

Ist das abzubildende Land ungefahr symmetrisch zu einem Meri 
dian oder Parallel, so vereinfachen sich die angegebenen Formeln; man 
hat dann bei dem beschriebenen mechanischen Verfahren die groBe 
Achse der Ellipse senkrecht zu der Symmetrielinie des Landes zu 
stellen. Ergibt sich auBerdem aus den Versuchen noch der Wert 
von A nahe bei Null oder Y 2 , so gibt man A geiiau diese Werte und 
erhalt dann sehr einfache Formeln. Der letzte Fall (A == Y 8 ) liefert 
eine echte Kegelprojektion 90 ). 

Analoge Entwicklungen lassen sich auch fur die Abbildung 



90) ^Compensative Kegelprojektion von Tissot, vg). Paris C. E. 61 (1860), 
p. 964. Ein Beiepiel ihrer Anwendung ist die ffbersichtskarte von Osterreich- 
Ungarn in 1:900000 dea milit.-geogr. Institute. J. Frischauf gibt an, daB man 
die genannte Projektion erhalt, wenn man in den Formeln fur Lamberts kon- 
forme Kegelprojektion die auftretenden Funktionen in Potenzreihen bis zu den 
Gliodern 8. Ordnung entwickelt, Dabei ist aber vorauszusetzen, daS bei der 
konformen Kegolprojektion der Patallelkreis S , in dem der Kegel beruhrt 
(ygl. Nr. 7b), richtig gewahlt wird. 



18. Allgemeines fiber die winkeltreuen Abbildungen. 287 

schmaler Zouen zwischen Parallel krei sen oder schmaler Kugelzweiecke 
durchfuhren. 

Uin einen Vergleich der hier geschilderten Abbildungsart mit der 
SonneBchen Projektion zu geben, sei angefuhrt, daB bei der Carte de 
Prance in Bonnescher Projektion die groBte Winkelveranderung 18 
und die groBte Langenverzerrung 3 g betragt; bei einer geeignet ge~ 
wablten Projektion von der Art der in dieser Nurnmer beschriebenen 
wtirden die entsprechenden Verzerrungen 25" und ^ sein. Bildet 
man Spanien in Bonncscher Projektion ab, so sind die maximal en 
Verzerrungen 12 fiir die Winkel und 0,0018 fur die L angen; fftr 
Tissots kompensative Kegelprojektion warden die entsprechenden Ver 
zerrungen 4" und 0,0013 betragen. 

IB. Allgemeines fiber die winkeltreuen Abbildungen. Pro- 
jektionen von Tschobyschoff, Feiroe und August. Die allgemeine 
Lehre von den winkeltreuen Abbildungen spielt in der Funktionen- 
theorie und bei vielen Anwendungen physikalischer Natur eine wichtige 
Rolle und wird deshalb an anderen Stellen der Encyklopadie ausfiihr- 
lichbehandelt 91 ); hier soil deshalb nur kurz auf sie eingegangen werden. 

Historisch sei zunachst bemerkt, daB J. H. Lambert 9 *) sich zuerst 
mit der allgemeinen Aufgabe beschaftigt hat, die Kugel winkeltreu 
auf die Ebene abzubilden. Er leitet die zugehorige Differential- 
gleichung ab, findet mit ihrer Hilfe auBer schon bekannten (stereo- 
graphische und Mercator- Projektion) einige neue winkeltreue Pro- 
jektionsarten, gibt aber keine allgemeine Losung der Aufgabe. J.L.de 
Lagrange**} hat dann allgemein die Aufgabe gelost, eine beliebige 
Rotationsflache konform auf die Ebene abzubilden oder, was auf das- 
selbe hinauslauft, zwei beliebige Rotationsflachen konform auf ein- 
ander abzubilden; endlich hat C. F. 6r<xw/3 94 ) die allgemeine konforme 
Abbildung einer beliebigen Flache auf eine andere beliebige Flache 
bestimmt. 

Urn eine beliebige Rotationsflache konform auf die Ebene abzu 
bilden, ist es zweckmaBig, an Stelle der Breite <p oder ihres Kom- 



91) Vgl. HE 1 Allgemeine Theorio der analytischen Fnnktionen, Nr. 5, 21 u. f. 
(W. F. Osgood). 

92) Land- und Himmelecharten, Abschnitt IV bis VII. 

98) Sur la construction des cartes geographiques, Berlin M^ua. Acad. 1779, 
p. 161. 

94) Allgemeine AuflSeung der Aufgabe: Die Teile einer gegebenen Flache 
auf einer anderen gegebenen Flache so abzubilden, daB die Abbildung dem Ab- 
gebildeten in den kleinsten Teilen ahnlich wird, Astron. Abh., heraueg. von 
H. C. Schumacher, 3. Heft, Altona 1826, p. 5. 



288 VI i, 4. R. Bourgeois- Ph. Furtwangkr. Kartographie. 

plements 8 f d. h. des Winkels der Flachennormalen mit der Rotations- 
achse, erne neue Veranderliche durch die Gleielmng 95 ): 



? 

J 



wo jR und r die Kriimmungsradien im Meridian und Paralleikreis be- 
deuten, einzufiihren. Durch die Kurvenseliaren i; = konst. und A konst. 
wird dann die Rotationsflache in unendiiclikleine Quadrate zerlegt, so 
daB es zur Herstellung einer konformen Abbildung genugt, in der 
Ebene zwei Kurvenscharen zu zeichnen, die die Ebene ebenfalls in 
unendlichkleine Quadrate einteilen, und diese Kurvenscharen den Kurven 
| konst. und A = konst. auf der Rotationsflache entsprechen zu 
lassen. Geometrisch bedeutet | die Langendifi erenz der Schnittpunkte 
einer Loxodrome mit Aquator und Paralleikreis tp, die den Winkel 
zwischen Meridian und Parallel halbiert. 

Sind nun x und y rechtwinklige Koordinaten in der Ebene, so 
lauten die Bedingungen fiir winkeltreue Abbildung: 

dx dy dx _ _3y 

~n~~ di> ci~ ~ di 

oder durch Elimination von y 



Diese Gleichungen sind entsprechend dem oben entwickelten allgemeinen 
Gedankengange vollstandig unabhiingig von der speziellen Gestalt der 
Meridiane der Rotationsflache. 

Die allgemeine Losuug dieser Gleichung wird durch 

gegeben, wo / und f\ willkiirliche Funktionen der beigesetzten kom- 
plexen Arguments sind. Soil x reell werden, so miissen f und f\ kon- 
jugierte Funktionen sein. Der zugehorige Wert y ist: 
1 

Das Langenverhaltnis in einem beliebigen Punkte wird: 

2 , 

In der angegebenen allgemeinen Losung sind natfirlich die friiher be- 
trachteten wiukeltreuen Abbildungen als spezielie Falle enthalten; so 

96) Tissot- Hammer, p. 96 und p. 198. 



18. Allgemeines uber die winkeltreuen Abbildungen. 289 

ergibt sich z. B. fur die Mercatorprojektion 



Man kann die Verfiigbarkeit iiber die Funktion f benutzen, am 
vorgeschriebene Bedingungen dureh die Abbildung zu erftillen. Man 
kann z. B. verlangen, da6 eine beliebige Kurvenschar der Ebene das 
Bild der Meridiane oder Parallelkreise sei, ohne die Zuordnung der 
einzelnen Kurven der Schar festzulegen. Die Abbildung lafit sich 
dann stets so gestalten, dafi sie winkeltreu wird. 

Fiir ein abgeplattetes Rotationsellipsoid, dessen Meridianellipse 
die numerische Exzentrizitat e besitzt, ergibt sich, wenn Grlieder mit e* 
vernachlassigt werden: 

= Ign cotg -y e 2 cos d . 

Fiir die Erde ist e 2 0,0068; man erkennt daraus, da8 man bei unseren 
Abbildungen die Erde als spharisch betrachten kann. 

Im AnschluB an die allgemeinen Entwicklungen seien einige frtiher 
noch nicht erwahnte winkeltreae Abbildungen kurz genannt, die 
Projektionen von P. L. Tschebyschoff, yon C. S. Peirce* 6 } (Quincuncial- 
projection} und die Projektion von A. August 9 *) (epizykloidische Pr.\ 
Tschebyschoff 9 *} bestimmt die in der allgemeinen Lb sung auftretende 
willkiirliche Funktion so, dafi die Langenverzerrung in dem abzubil- 
denden Gebiet ein Minimum wird. Peirce benutzt zur Darstellung der 
rechtwinkligen Koordinaten in der Ebene elliptische Funktionen. Ein 
Vorzug seiner Abbildung ist, dafi bei Abbildung der Vollkugel nur 
6,6% der Kugeloberflache mit einem Langenverhaltnis grofier als 2 
abgebildet werden, wahrend der entsprechende Flachenteil bei der 
Mercatorprojektion und besonders bei der stereographischen erheblich 
grofier ist. August bildet die gesamte Kugelflache auf das Innere 
einer Epizykloide ab, die durch Rollen eines Kreises vom Halbmesser % 
auf einem solchen vom Halbmesser 1 entsteht. 



96) Amer. Jouru. Math. 2 (1879), p. 394. Angewandt bei Th. von Oppoher, 
Syzjgientafeln fiir den Mood, Leipzig 1881. Vgl. aueh Pierpont, Amer. Joiurn 
Math. 18 (1896), p. 145; G. Holzmuller, Zeitbchr. f. lateinloao Schulen 7 (1896), 
p. 332; Siebeck, J. f. Math. 57 (1860), p. 359. 

97) Zeitschr. Ges. Erdk. 9 (1874), p. 1. 

98) Petersb. Acad. sci. bull. 14 (1866), p. 257 Oeuvres 1, p. 231. Tsclteby- 
schoff untersucht auch, welche Geetalt ein Land haben niuB, damit die winkel- 
treue.ti Kreisnetze von Lagrange (Nr. 11) die beste Abbildung liefern. Man vgl. ferner 
JD. A. Grave, tJ ber die trmndaiuf-^aben der mathematiscben Theorie der Karten- 
projektion, Petersburg 1896, Abschnitt IV (russibch); C. It. ass. fran^. avauc. sci., 
Caen 1894 und Carthage 1896. A, Markoff, Petersb. Acad. sci. Bull. 1895, p. 177, 



290 VI i, 4 - -R- Bourgeois-Ph. Furtwangkr. Kartographie. 

14. Allgemeines uber die flftchentreuen Abbildtmgen"V Um 
eine beliebige Rotationsflache auf die Ebene flachentreu abzubilden, 
ist es zweckmafiig, an Stelle von <jp die Veranderliche: 



einzufiihren. Die Flache wird dann durch die Kurvenscharen konst. 
und I = konst. in flachengleiche Parallelogramme zerlegt. Zieht man 
nun in der Ebene zwei Kurvenscharen, die diese ebenfal.ls in flachen 
gleiche Parallelogramme zerlegen, und ordnet diese Kurvenscharen 
denen auf der Flache zu, so erh alt man eine flachentreue Abbildung 
der Rotationsflache auf die Ebene. Die geometrische Bedeutung von 
ist dadurch festgelegt, dafi 2 der Flacheninhalt der Zone zwischen 
Aquator und dem Parallelkreis <p ist. Fiir das abgeplattete Rotations- 
ellipsoid ergibt sich, wenn Glieder mit e 4 vernachlassigt werden und 
die grofie Halbachse ale Langeneinheit genonimen wird: 



[l ~ (2 + cos 29)] sin 



Die Bedingung fQr die Flachentreue lautet mit Benutzung von an- 

statt tp: 

<hc dy _ fix dy_ _ , 

dl Ji ai at"" 

die wieder wie die entsprechenden Gleichungen der vorigen Numiner 
vollsindig unabhangig von der speziellen Gesfcalt der Meridiane der 
gegebenen Rotationsflache ist. Durch Aufsuchung von Losungen der 
vorstehenden partiellen DifFerentialgleichung, die vorgeschriebenen Be- 
dingungen gendgen, kann man die entsprechenden flachenfcreuen Ab- 
bildungen erhalteii 100 ). A. Korkin m ) hat die Aufgabe behandelt, alle 
flachentreuen Abbildungen der Kugel auf die Ebene zu finden, bei 
denen zwei gegebenen orthogonalen Kurvenscharen auf der Kugel zwei 
orthogonale Kurvenscharen der Ebene entsprechen. 

15. Darstellung der Hohenverhaltnlsse. Die Einzeichnung der 
; ,Situation u in das Kartennetz liefert zunachst nur ein Bild der Pro- 

beschaftigt aich mit der Aufgabe, wie man die ,,ganstig8te u Abbildung erhalten 
kaun, wenn man auf Winkeltreue verzichtet.- 

99) Vgl. Tissot-Hamwer, p. 96 und p. 210. 

100) A. Tistot hat einige solcher Bedingungen, die man vorechreiben kann, 
erOrtet, vgl. Tissot- Hammer, p. 211. 

101) Math. Ann. 36 (1890), p. 688; vgl. ferner L. Bianchi, Ace. Line. RoncL 
(4) 6 1 (1890), p. 226; Hollander, ttber flachentrene Abb., Progr. Gymn. Mul- 
heim a/H, 1891. 



15. Darstellung der HObenverhaltnieae. 291 

jektion der wirklichen Erdoberflache auf diejenige Niveauflache, die 
als Referenzellipsoid gewahlt ist (BesselBches Erdellipsoid). Die Hohen 
lassen sich nur indirekt wiedergeben, am prazisesten, aber wenig an- 
schaulich durch Verzeichnung des Isohypsen, d. h. der Kurven, die 
Punkte gleicher Hohe verbinden, und Angabe der Hb henlage jeder 
solchen Isohypse durch eine beigesetzte Zahl. Diese Darstellung ist 
nur auf Karten groBen MaBstabes zweckmaBig, auf denen man die Iso 
hypsen in Stufen von 20m anzugeben pflegt; eventuell werden noch 
Zwiscbenstuf en (meistens von 5 m) durch schwachere Linien bezeichnet. 

Fur manche Zwecke ist die Erkennung der Steigung des Gelandes, 
des Boschungswinkels, wichtiger als die absolute Hohenlage. Dazu 
kann man ebenfalls die Isohypsen benntzen, denn diese werden sich 
um so mehr zusammendrangen, je steiler das Gelando ist. Durch 
Measung des Abstandes benachbarter Isohypsen kann man, da ihre 
Hohendifferenz bekannt ist, den Boscbungswinkel bestimmen, wozu 
man sich am bequemsten eines dem KartenmaBstab angepaBten 
BoschungsmaBstabes 102 ) bedient. 

Um die Hohenverhaltnisse anschaulicher zu maclien, bedient man 
sich der Schraffen oder Bergstriche, die zuerst von J. G. LeJimann m ) 
in systematischer Anordnung vorgeschlagen sind. Es werden zwischen 
je zwei benachbarten Isohypsen senkrecht zu ihnen, also in der 
Richtung starksten Gefalles, Striche gezogen, deren Stiirke mit der 
GroBe des Neigungswinkels wachst; praktisch genugt eine Anzahl 
von etwa 12 Strichstarken. Lehmann hat sich vorgestellt, dafi das 
Gelande von oben beleuchtet werde, und die Starke der Striche der 
Beleuchtung entsprechend gewahlt , so daB die weniger beleuchteten 
Flachen auch auf der Karte weniger hell erscheinen. Es sind eine 
Anzahl verschiedener Strichskalen im Gebrauch. Um die miihsame 
Herstellimg dej" Bergstriche zu umgehen, hat man die Steigung aucli 
dadurch kenntlich gemacht, daB man die zu schattierenden Flachen 
gleichmaBig dunkler oder heller anlegt (Tuschmanier, Schurninerung); 
dabei geht aber die Mogliehkeit, die Richtung starksten Gefalles zu 
erkennen, verloren, wenn nicht gleichzeitig Isohypsen gezeichnet sind. 

Von der geschilderten Darstellung in senkrechter Beleuchtung ist 
die Darstellung in schrager Beleuchtung zu unterscheiden. Man stellt 
siich vor, daB Licht schief in bestimmter Richtung einfallt (z. B. mit 
45 Neigung aus NW) und legt die Flachen heller oder dunkler an, 



102) B. Schulae. Das militajrische Aufnehmen, Leipzig a, Berlin 1903, p. 176. 
108) Dartll\mg einer neuen Theotie aur Bezeichnong der schiefen Flachen 
im Grundrifi oder der Sifcuationszeichnung der Berge, Leipzig 1799. 



292 VI i, 4. P. Bourgeois- Ph. Furtwangler. Kattographie. 

je nachdem sie niehr oder weaiger beleuchtet werden. Die eindeutige 
Beziehimg der Flachenhelligkeit zur Neigung geht dabei natiirlich 
verloren, denn die Helligkeit hangt sowohl von der Neigung wie vom 
Azimut des Flachenstiickes ab, die Darstellung wird aber plastischer. 
Aus diesem Grunde hat et> keinen groBen Wert, die Helligkeit der 
Flache in der Karte genau der pro Flacheneinheit einfallenden Licht- 
menge proportional zu rnachen; man wird vielmehr moistens, indem 
man mir das Prinzip im allgemeineri icnehalt, die Schattierung in freierer 
Weise so wahlen, daB die plastische Wirkung moglichst groB wird. 
Auch zur Darstelluug der absoluten Hohenlage hat man die 
verschiedeiie Abtonung der Flachen benutzt, indem man dabei nach 
dem Grundsatz ,Je holier, desto dunkler" oder auch naeh dem gerade 
eutgegengesetzten ; ,je tiefer, desto dunkler" verfuhr. Endlich hat man 
auch zu diesem Zweck die Verwendung von Farben herangezogen, 
die dann im wesentlichen nur die Bedeutung von Signature!! haben. 
Naher auf alle die&e Dinge einzugehen, verbietet der Zweck dieser 
Encyklopadie 10 *). 

16. Kartometrie 105 ). Als Messungsobjekte kommen bei Karten 
im wesentlichen Winkel, Langen und Flachen in Betracht 

Direkte Messmig von Horizontalwinkeln mit Hilfe des Trans- 
porteurs kommt im allgerneinen nur bei Karten gi-oBen MaBstabes in 
Frage: bei Karten kleinen MaBstabes eteht hindernd im Wege, daB 
die GroBkreisbilder, deren Tangenten in der Karte den zu messenden 
Winkel bestiminen, meistens keine Geraden sind. Selbstverstandlich 
wird man nur winkeltreue Karten zu solchen Messuugen benutzen 

Wichtiger sind die Langen- und Flachenmessungen. Der ein- 
fachste Fall der Langenmessung liegt vor, wenn die kurzeste Ent- 
fernung zweier gegebener Punkte bestimmt werden soil. Hat man 
erne Karte groBen MaBstabs zur Verfugung oder werden die groBten 
Kugelkreise auf der Karte durch Gerade oder wenigstens so schwach 



104) Bezuglich der Litoratur seien noch folgende Angaben gemacht: H. 
Wiechel, Theorie und Daratellung der Beleuchtuug von nicht gesetzmaBig ge- 
bildeten Flachen mit Rucksicht auf die Bergzeichiiung, Civilingenieur 24 (1878), 
p. 385; K. Peucker, Schattenplastik und Farbeuplastik, Wien 1898; Mitt, geogr, 
Ges. Wien 1899, H. 7 und 8; 1900, H. 1, 2, 9, 10; 1904, p. 280, 367; Geogr. 
Zeitschr. 7 (1901). p. 22; 8 (1902), p. 66. Eine zusammenfaasende Darsteilung 
findet man bei Zoppritz-Bludau 2, IY. Abechnitt. 

105) Vgl. den Bericht von E. Hammer in Geograph. Jahrb. 24 (190T^, p. 64 
und von H.Baack, ibid. 26 (1903), p. 417 und 29 (1906), p. 404; ferner Zopprils- 
Bludau 2, V. Abschnitt uud Kriimmd-Eckert, Geographiechee Praktiltum, Leipzig 
1908, IV. Teil. 



1C. Kartometrie. 293 

gekriimmte Linien abgebildet, daB sie praktisch als Gerade angesehen 
werden konnen, so kann die Messang auf der Karte einfach init dem 
Zirkel oder MaBstablineal erfolgen. Bei Karten kleineren MaBstabs 
ist zuerst das Bild des groBten Kugelkreises einzuzeichnen, wozu man 
sich /.weckmiiBig der Vermittlung der Zentralprojektion 106 ) bedient, da 
in dieser alle GroBkreise durch Gerade abgebildet werden. Die Messung 
selbst 1st in diesem Falle mit den unten angegebenen Hilfsmitteln, 
die zur Messung unregelmaBiger Linien dienen, auszufiihren; auBerdem 
ist die Langenverzerrung der Karte zu beriicksichtigen, was am eiii- 
facbsten bei winkeltreuen Abbildungen geschehen kann, da bei diesen 
die Langenverzerrung in einem Punkte in alien Richtungen dieselbe 
ist. Zeichnet man daher eine Anzahl Linien gleicber Langenverzer 
rung in die Karte, so kann man mit ihrer Hilfe leicht schatzungsweise 
die an der Messung anzubringende Korrektion ermitteln. 

Sind die Langen unregelmaBiger Linien (FluBlaufe, Kiisten usw.) 
auf der Karte zu inessen, so bedient man sich des Teilzirkels oder 
besonderer Instrumente, Kurvimeter oder Kartometer genanut. Bei 
diesen rollt entweder eine Rolle direkt fiber die zu messende Kurve 
hin oder es wird die Bewegung eines Fahrstiftes in geeigneter Weise 
durch Rollen registriert. Es sind eine ganze Anzahl von diesen In- 
strumenten konstruiert, hier sei nur auf eins der neueren, das Karto 
meter von Flei-schhaucr, hingewiesen 107 ). Die Messungen geben auf 
Karten kleineren MaBstabs zu kleine Resultate, was eine Folge der 
bei diesen Karten notwendigen Generalisierung ist. 

Um Fldchenmessungen ohne instrumentelle Hilfsmittel durehzu- 
fiihren, kann man in folgeuder Weise verfahren. Man verdichtet das 
Gradnetz in geeignetem MaBe, zahlt die Felder jeder einzelnen Zone 
zwischen benachbarten Parallelkreisen ab, indem man die Flache der 
nicht vollen Felder prozentual abschatzt, und entnimmt den Flachen- 
inhalt eines einzelnen Feldes aus zu diesem Zweck hergestellten Ta- 
bellen. Man ist bei dieser Messungsweise, der Feldermethode, un- 
abhangig vom MaBstab und von der speziellen Abbildungsart der 
Karte; es bleibt nur eine kleine Unsicherheit bei der Abschatzung 
der Flache der Randfelder. Will man instrumentelle Hilfsmittel an- 
wenden, so benutzt man dieselben Instrumente, die auch sonst zur 
Flachenmessung 108 ) dienen (Parallelennetz, Planimeter). 



106) Vgl. Nr. 8, p. 267. 

107) Vgl. E. Hammer, Zeitschr. f. lastr. 1889, p. 130, wo auoh Notizen zu 
verschiedenen anderen Kurvenmessern gegobon Bind. 

108) Vgl. VI i, 1, Niedere Geodasie. p. 62 (C. Eeinhfrtz). 

EitoylOop. d. mat!-. WiBencob. VI 1. 20 



294 VI i, 4. JR. Bourgeois-Ph. Furtwdngler. Kartographie. 

Es ist in jedem Falle zweckmaBig, die Messung, sei es Langen- 
oder Flachenmessung, relativ zu gestalten, d. h. das Verhaltnis der zu 
messenden Lange oder Flache mit einer bekannten Lange oder Flache 
der Karte zu ermitteln. Man wird dadurch unabhangig von den 
Konstanten der benutzten Instrumente, vom Papiereingang der Karte 
und in hohem Grade auch von der auf der Karte benutzten Projektion. 

17. Entwicklung des staatlichen Kartenwesens ixn 10. Jahr- 
hundert 109 ). Am Anfang des 19. Jahrhunderts standen alle europa- 
ischcn Nationen beziiglich der praktischen Kartographie unter dera 
EinfluB von Frankreich, das seit 50 Jahren auf diesem Gebiete eine 
beherrschende Stellung eingenommen hatte, einerseits durch Inangriff- 
nahme der Karte von Cassini in 1:86400, bei der die Projektion 
gleichen Namens 110 ) benutzt wurde, andererseits durch die Arbeiten 
der Ingenieurgeographen, die, den Napoleonischen Heeren folgend, 
das linke Rheinufer, einen betrachtlichen Teil des rechten Ufera und 
speziell Bayern, ferner ganz Norditalien aufnahmen, indem sie sich 
der Projektion von Bonne 111 ) oder Cassira 110 ) bedienten. Endlich 
begann Frankreich 1818 seine ,,Carte d Etat Major" in 1 : 80000, fttr 
die man ebenfalls die Projektion von Bonne benutzte. Es ist daher 
nicht uberraschend, daB die meisten europaischen Staaten, als sie in 
der auf 1815 folgenden Friedenszeit ihrerseits die Aufnahme ihrer 
Tenitorien unternahmen, wobei sie oft die von den franzosischen 
Ingenieurgeographen ausgefUhrten Arbeiten verwerten konnten, zum 
grofiten Teil eine der beiden franzosischen Projektiouen anwandten. 

So kniipfte in Preufien der General v. Muffling bei der Karte in 
1 : 25000 an die Arbeiten des franzosischen Generals Trancliot in der 
Rheinprovinz an; in Bayern benutzte man die Arbeiten des alten 
topographischen Bureaus, indem man fur die topographischen Karten 
die J5onsche Projektion anwaudte, wahrend man sich fur das Kataster 
der Soldnerachen Koordinaten entsprechend der Projektion von Cassini 
bediente. Ebenso verfuhr man im GroBherzogtum Baden (Bonnesche Pr.) 
und in Osterreich, wo man von 1810 ab eine Karte in 1 : 144000 in 
CassiniBcher Projektion begann und wo man 1822 eine tibersichts- 
karte in 1:864000 in jBowwescher Projektion herausgab. Italien, das 
von 1796 bis 1815 von den Franzosen besetzt war, und wo Napoleon 
seit 1797 ein dem Pariser entsprechendes Bureau des ,,Depot de la 



109) Man vgl. die in der Literaturuberaicht unter Historisches angefuhrten 
Werke von W. Stovenhagen, die jedoch nicht immer ganz znverlassig sind. 

110) Vgl. Nr. 6c. 

111) Vgl. Nr. 8. 



17. Entwicklung des staatlicben Kartenwesens ira 19. Jahrhundert. 295 

Guerre" eingerichtet hatte, publizierte naturlicb seine Earten unter 
Benutzung der wahrend dieser Periode ausgefiihrten Arbeiten in Bonne- 
scher oder Cassinischer Projektion. Endlich nahm RoBland 1822 
ebenfalls die Bonncsche Projektion fur alle kartographischen Arbeiten 
des Generalstabs an. 

Erst als Gauft seit 1822 fur die Karte von Hannover eine winkel- 
treue Abbildung benutzte, machte sich die Tendenz geltend, die 
.Bonnesche Projektion zu verlassen uud sie durch winkeltreue Ab- 
bildungen oder die preufiische Polyederprojektion l12 ) zu ersetzon. Fiir 
die Eatasteraufnahmen groBen MaBstabes ging die allgemeine Tendenz 
dahin, Systeme rechtwinkliger Eoordinaten nach Art der Soldnerachen 
anzunehmen 113 ). Zur Verringerung der Verzerrungen benutzte man 
fiir ein Land mehrere Systeme, die entweder nach Verwaltungsbezirken 
oder nach geographischen Zonen gewahlt wnrden. 

Die meisten Staaten haben seit einem Vierteljahrhundert die Her- 
stellung neuer Karten unternommen. In Fratikreich begann der ,,Service 
Geographique de 1 ArmeV die Arbeiten fur eine neue Karte in 1 : 50000 
in Polyederprojektion, von der 9 Blatter der Umgebung von Paris 
schon verdffentlicht sind. AuBerdein hat das Finanzministerium die 
Erneuerung des Eatasters angeordnet, wobei rechtwinklige Koordinaten- 
system e benutzt werden, deren Achsen je fiir Zonen von zwei Zen- 
tesimalgraden gelten. 

In Deutschland haben die Bundesstaaten die llerstellur;g der ,,Karte 
dea Deutschen Reichs" in 1 : 100000 in Polyederprojektion unter 
nommen (Generalstabskarte). Die einzelnen Blatter umfassen 30 Mi- 
nuten in Lange and 15 in Breite; die Lange wird vom Meridian der 
Insel Ferro gezahlt (31 3 4 ,25 westlich von der Sternwarte Berlin). 
AuSerdem geben die einzelnen Staaten MeBtischblatter heraus, PreuBen 
im MaBstab 1 : 25 000. Fiir die Publikation der Katastervermessungen 
werden Soldnerache Eoordinatensysteme benutzt, deren Acheen nach 
Verwaltungsbezirken gewahlt sind; nur Mecklenburg benutzt eine kon- 
forme Eegelprojektion lu ). 

Osterreich-Unyarn hat seit 1873 eine Earte in 1 : 75000 (,,Spezial- 
karte der osterreichisch-ungarischen Monarchic") ebenfalls in Polyeder 
projektion herausgegeben, deren einzelne Blatter dieselbe Erstreckung 
haben wie die der deutschen Generalstabskarte. Das Eataster bedient 
sich der Soldnerschen. Eoordinaten, mit Ausnahme der Provinzen Bos- 
nien und Herzegowiria, wo erne Polyederprojektion angewandt wird. 

112) Vgl. Nr. 10. 

113) Vgl. Nr. 6c. 

114) VgL Ni. 7b. 

20 



296 VI i, 4. JR. Bourgeois- Pk. Furtwangler. Kartographie. 

In Italien benutzt man ebenfalls fur die Karte des Konigreichs 
Italien (Carta del Regno d ltalia) in 1 : 100000 eine Polyederprojektion; 
die einzelnen Blatter umfassen 30 Minuteu in Lange und 20 in Breite. 
Jedem Biatte entsprechen 4 Blatter in 1 : 50000 und 16 Blatter in 
1 : 25000. Das italienische Kataster benutzt rechtwinklige Koordi- 
naten, wobei die Achsen nach Stadtbezirken oder Gruppen von solchen 
wechseln. 

England hat seit langein fur seine beiden Kartenwerke 7 ,one-inch 
map" und ,,six-inch map" die Soldner&che Projektion angewandt. Fiir 
das letzte Kartenwerk sind 19 Koordinatensysteme angenommen. 

In Rufiland wurde fiir die Karte von 1847 die Bonnesche Pro 
jektion benutzt. Seit 1886 sind die Arbeiten fur neue topographische 
Karten, die in Polyederprojektion publiziert werden, ini Gange. 

Die Coast and Geodetic Survey der Vereinigten Staateti von Nord- 
ametvha benutzt fflr ihre Arbeiten eine polykonische Projektion 115 ). 

Die Sclnveiz endlich hat eine schiefachsige winkeltreue Zylinder- 
projektion 116 ) angenommen. 

115) Vgl. Nr. 9 a. 

116) Vgl. Nr.Gb. 



(Abgeschloeaen im Januar 1909.) 



Vi i, 5. H. MeUlau. Nautik. 297 



VI 1,5. NAUTIK. 

VON 
H. MELDAU 

IN BREMEN. 



Inhaltsiibersicht. 

A. Tcrrestrische .Navigation, ^ 

1. Einleitung: 

a) Allgemeines, Begienzung des Gebietes. 

b) Erklarangen. 

2. Bestimmung des Knrees: 

a) KompaS. 

b) Beschickuug des Kompafikurees zum wahren Kurs 

3. Messung der Distanz. 

4. Loxodromische Scbiffahrt: 

a) Fundamentalgleicbungen der Besteckrecbnung. 

b) Aufgaben der Besteckrechnung, recbnerische LSsung. 

5. Die loxodromische Karte: 

a) Graphiscbe Ldsung der Aufgaben der Besteckrechnung im Netz der 
Seekarte. 

b) Inhalt der Seekarte. 

6. Zuverlassigkeit der Besteckrechnung. 

7. Orthodromische Schiffahrt: 

a) Allgemeines. 

b) Rechnerische Losungen. 

c) Graphische Losungen. 

8. Kiistenschiffahrt: 

a) Allgemeines. 

b) Richtungsbestimmungen. 

c) Abstandflbestimmungen. 

d) Horizontalwinkel. 

e) Lohmgeii, W. Thomsons Lotmaschine. 

f) Yerbindungen zweier Standlinien zur Bestimmung des Schiffsortee. 

B. Der Kompafi an Bord eiserner Sehiffe* 

9. Historische Einleitxing: 

a) Pbasen der Problem stellung. 

b) Phaseu der LQsungsversuche. 



298 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

c) Airys Eompensationsvorechlage. 

d) Streit um die Kompensation. 

e) Ausgang des Streites. 

10. Magnetische Eigenschaften des Schiffseiaens, KompaBort: 

a) Fester Schiffaiuagnetismus. 

b) Halbfeeter Schiffsmagnetisinus. 

c) Fluch tiger Schiffsmagnetisuaus 

d) Wahi des Kompafiortes. 
11* Beobachtungsmethoden : 

a) Zu bestimmende Grosaen. 

b) Ermittelung der Deviation. 

c) Deviationskurven. 

12. Hilfsinstrumente: 

a) Mesaung der horizontalen Feldstarke. 

b) Typeu von Deflektoren. 

c) Messuug der vertikaleu Feldstarke; Vertikalkraftwage. 

13. Deviation boi aufrechtexn Schiff: 
a) Ailgemeines. 

b) Die Pot ssonschen Gleichimgen. 

c) Deviationsfonueln. 

d) Bestimmung der Kocftizienteu. 

e) Ailgemeines uber die Koeffizienten. 

14. Deviation bei geneigtem Schiff: 

a) Der Krangungsfebler und Home Bestandteile. 

b) Bestimmang des Krangungskoeffizienten. 

15. Anderungen der Deviation: 

a) Audernngeu mit der Breite. 

b) Andernngen durch halbfesten Magnetiamus. 

c) Deviationsstorungen. 

16. Genaaigkeit: 

a) Bei uumittolbarer Beobachtnng. 

b) Ermittolung der Deviation aua Richtkraftmessungea. 
o) Berechnang aas den Koeffizienten. 

17. Graphische Darstellungen der Feldstarke: 

a) Allgemeines, Zweck der Darateilungen. 

b) Darsteiluugcn mit feetliegendem Meridian. 

c) Dwatellungen mit feetliegertder Langsschiffslinie. 

d) Dromoskope. 

1 .8. Kompase und KonipaBrosen : 

a) Geschichtliches. 

b) Nadelanordnung. 

c) Magnetisches Moment dea Rosensystems, Nadelinduktion. 

d) EinBtellungsvermdgen. 

e) Ruhe der Kompafiroae. 

f) Trockenkompaase. 

g) Fluidkompaaae. 

19. Eompeneation der KompaBse: 

a) Aufgabe der Kompeusation. 

b) Kompanaat).on8mittel. 



Literatur. 299 

c) Reihenfolge der Kompensationen. 

d) Ausfdhruog der Kompensa* ion. 

e) Hindernisse vollkommener i-Iompensation. 

f) KompaBsysteme mit besonderen Kompensationsvorrichtungen. 

20. Kompasse mit Doppelrosen: 

a) Zwei Rosen. 

b) Zwei Rosen und ein Deflektor. 

21. Bestimmang des Meridians durch die Inklinationsnadel. 

22. Fernubertragung von KompaBaugaben. 

23. Ersatz des magnetischen Kompasses durch Kreiselapparate : 

a) Gyroskope zur Festhaltung einer an ihnen eingestellten Richtung. 

b) Kreiselapparate mit eigener Richtkraft. 



Literatur. 

A. Terrestrisehe .Navigation. 

Die Lehrbiichar der Navigation, von denen eine Rcihe in VI 2, 3, Geo- 
graphische Ortsbestimmung, nautische Astronomie (C. W. Wirtz\ p. 82, 83, 161, 162 
genanut sind. Wegen vorliegender Neuanflagen seien wiederholt: 

F. BoUe, Neuea Handbuch der Schiffahrteknnde, Hamburg 1905. 

A. Brcuxinga Steuermannskunst. Neu bearbeitet von C. Schilling, 0. Fukt and 
H. Meldau. Leipzig 1909. 

Lfhrbnch der Navigation. Herausgegeben vom ReichBmarinearut, Berlin 1906. 

J. B. (fuilhuumon, Elements de cosmograpbie et de navigation, 4. ed. , Paris- 
Nancy 1906. 
Ferner seien genannt: 

A. Brewing, Das Verebnen der Kugeloberflache fur Gradnetzentwiirfe, Leipzig 
1892. 

P. Constan t Cours d astronomie et de navigation, Paris 1904. 

P. Constan, Tables grapbiquea, Paris 1906. 

J. A. Clrunert, Loxodromische Trigonometrie, Leipzig 1849. 

M E. Guyou, Manuel des instruments nautiques, Paris 1899, 2. ed. 1907. 

G Lecointe, La navigation astronomique et la navigation eatimoe, Paris 1897. 

G. W. Littlehales , Tne development of great circle sailing, Washington 1889, 
2 nd ed. 1899. 

F. Paugger, Lehrbuch des terrestrischen Teiles der Nautik, 2. Aufl., Triest 1874. 
A. Both, Lehrbnch der terrestrischen Navigation, Fiume 1896. 
A. Stupar, Lebrbuch der terrestrischen Navigation, Fiume 1905. 

B. Der KompaA an Bord eisemer Schiffe. 
I. Lehrbucher: 

Admiralty Manual for the deviations of the compass. Originally edited in 1862 
by F. J. Evans and Archibald Smith. 7. ed. London 1901. [Adm. Man. 
Die Zitate sind nach der 7. Auflage gegeben.] 
Elementary Manual etc. Ed. by IS. W. Creak, London 1908. 
Der Kompati an Bord. Herausgegeben von der Direktioa der Deutachen See- 
warte, 2. Aufi., Hamburg 1906. 



300 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

Handbuch der nautischen Instrument*, Berlin 1890. 

A. Collet, Traite theorique et pratique de la regulation et de la compensation 

des corupas., 3. e"d., Paris 1902. 
P. Corbara, Trattato sul Magnetismo delle navi in ferro e sulle bussole marine, 

Geneva 1907. 
S. W, B. Diehl, Pract. probl. and the compensation of the compass in the U. S. 

Navy, Washington 1893. 

/. WhitJily Dixon, The mariners compass in an iron ship, London 1898. 
P. Engel, Deviations des compas, Etude g<5ometrique, Paris 1907. 
E. Fournier, Deviations des compas, Paris 1873. 

M. E. Guyou, Manuel des instruments nautiques, Paris 1899, 2. ed. 1907. 
H. A. Jungclaus, Magnetismus und Deviation, Bremerhaven 1901. 

E. Ippolito, Deviazioni delle bussole, Palermo-Torino 1892. 

F. Laufter, Graphische Losung der Deviationsprobleme, Pola 1908. 

T. A. Lyons, A Treatise on electromagnetic phenomena and on the compass aud 

its deviations aboard ship, 2, New- York 1903. 
H. Florian, Theorie und Praxis der Deviation us\v., Pola 1887. 
A. Madamet, Traite des deviations des compas, Paris 1882. 
W. R. Martin, Lectures on compass adjustment, London 1906. 
A. Racic, Anhang zu H. Florians Theorie usw., Pola 1892. 

E. Rottok, Die Deviationstheorie und ihre Anwendung in dev Praxis, 2. Aufl., 
Berlin 1903. 

C. Schilling, 0. Fulst und H. Meldau , Der Kompali an Bord eiserner Schiffe 

(Sonderabtlruck aus Breusings Steuermaunskunst, 7. Aufl.), Leipzig 1904. 
/. Th. Totvson, Practical information on the deviation of the compass, London 
1899. 

Auftardem Darstellungen in den Lehrbuchern der terrestrischen Navigation, 
insbeaondere in: 

J^ehrbuch der Navigation. Herausgegeben vom Reichsmarineamt, Berlin 1906. 
A. Stupar, Lebjbuch der terreetrischen Navigation, Fiume 1905. 
Ferner seien angefiihrt: 

F. Bidlinymaier in Neumayers Anleitung zu wiss. Beobachtungeu auf Beisen, 
Bd. I. Hannover 1906. 

F. Bidlingmaier in Deutsche Siidpolarexpedition V. Erdmagnetigmus, 1. 

II. Von historiech bedeutungsvolleu Monographten seien hervorgehoben : 
S. D. Poisson, Meinoire sur les deviations de la boussole, produitea par le fer 
dee vaisseaux, Paris Mem. de 1 Iust. 16, 1838. 

G. B. Airy, Account of experiments in iron-built ships, instituted for the purpose 
of discovering a correction for the deviation of the compass produced by the 
iron of the ships. London Phil. Trans. 1839 I. 

Discussion of the observed deviations of the compass etc. London Phil. 
Trans. 1856. 

Archibald Smith, Beitrage in Subine, Contributions to terrestrial magnetism^. 
London Phil. Trans. 1843, 1844, 1846. 

Instructions for correcting the deviations, London 1860. 
W. Scoresby, Magn. investigations, London 1844 52. 

On the loss of the Tayleur etc., Brit. Ass. Rep. 1854. 

The compass in iron ships, London 1854. 



1. Einleitung. 301 

Reports of the Liverpool Compass Committee to. the Board of Trade, London 

1857, 1862. 

A. Smith and F. J. Evans, Report on the throe Reports of the Liverpool Com 
pass Committee, Brit. Ass. Rep. 1862. 
On the effect produced on the deviations of the compass by the length 

and arrangement of the compass needles, London Phil. Trans. 1861. 
F. J. Evans, On the magnetic character of the armour-plated ships etc., London 
Phil. Trans. 1866. 

Die wichtigsten der bis 1866 erschienenen Abhandlungen sind vom Navy 
Department in Washington gesammelt und in zwei B anden (Washington 1867 
und 1869) in Neudrucken herausgegeben. 

Ferner seien erwahnt: 
W. Thomson, On the perturbations of the compass, produced by the rolling of 

the ships, London Phil. Mag. 48 (1874). 
C. Koldewey, t)ber die Veriinderung dee Magnetismus in eiserneu Schiffen, Archiv 

d. S., Hamburg 1880. 
K. W. Creak, On the mariners compass in modern vessels of war, Journ. Un. Serv. 

InBt. 33 (1889). 

F. Bidlingmaier, Der DoppelkompaB, seine Theorie und Praxis (Sonderabdr. aus 
,,Deutsche Siidpolar-Expedition 19011908, Bd. V. Erdroagnetismus I."), Berlin 
1907. 

Die ubrige Literatur, fur deren VerOffentlichung besonders die Zeitschriften 
Phil. Trans. Roy. Soc. of London [London Phil. Trans.], 
Journal United Service Institution [J. Un. Serv. Inst.], 
Trans, of the Institution of Naval Architects [Nav. Arch. Trans.], 
Annalen der Hydrographie, Hamburg [Ann. d. Hydr.j, 
Mariue-Rundschau, Berlin [Marine-R.], 

Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte, Hamburg [Archiv d. S.], 
Mitteilungen aus dem Gebiete des Seewesens, Pola [Mitt.], 
Revue maritime, Paris [Rev. mar.], 
Rivista marittima, Rom [Riv. inarilt j, 

in Frage konamen, ist, eoweit darauf bezug zu nehmen war, in den Fufinoten 
namhaft gemacht. 

Ein ziemlich ausffihrliches Literaturverzeichnis fiber Kompasse und Deviation 
findet sich in ,,Kompa6 an Bord", 2. Aufl., Hamburg 1906, p. 165171, sowie in 
F. Corbara, Trattato USTV., Genova 1907. 



A. Terrestrische Navigation. 

1. Einleitung. a) Allgemeines. Begrensung des Gebides. Aufgabe 
der Navigation ist die moglichst schnelie und sichere Fiihrung des 
Schiffes an seinen Bestimmungsort. Sie erfordert auBer dem rein 
seemannischen Konnen und der Anwendung des SeestraBenrechtes die 
stete Verfolgung der Koordinaten des Schiflsortes und die Festleguiig 1 ) 

1) Hierbei hat in vielen Fallen die maritime MeUorologie al Hilfswissen- 
schaft eiazutreteu. 



302 VI i, 5. H. Mddau. Nautik. 

und Innehaltung der gfinstigsten zum Bestimmungsorte fiihrenden 
Route. 

Sofern man sich zur Losung der Aufgabe nichtastronomischer 
Hilfsmittel bedient, spricht man von terrestrischer Navigation. Diese 
findet ihre Erganzung in der astr&nomischen Navigation, wie sie ihrer- 
seits eine notwendige Erganzung dieser ist. 

Die astronoruische Navigation ist als v nautisehe Astronomie" in 
Band VI 2, 3, Nr. 3849 behandelt. 

Im folgenden soil eine kurze Darstellung der Beobachtungs- und 
Eechnungsmethoden der terrestrischen Navigation gegeben werden. In 
iliren Bereich fallt auch die magnetische Einwirkung des eisernen 
Schiffskorpers auf den KompaB. Umfang und Inhalt berechtigen zu 
einer Behandlung dieses Stotfes in einem besonderen Kapitel. 

b) Erkldrungen. Innerhalb des von der terrestrischen Navigation 
innezuhaltenden Genauigkeitsbereiches ist es gestattet, das Erdspharoid 
als Eugel zu betrachten, deren Radius gleich dem arithmetischen 
Mittel aus dem Polar- und dem Aquatorialradius (E 6 366 700 m) 
genommen werden darf. Als WegemaB benuizt man die Seemeile, 
d. i. die Lange der Minute eines grofiten Kreises dieser Kugel. Sie 
ist gleich 1852 m. 9 ) 

AuBer den Koordinaten eines Punktes auf der Erdoberflache, der 
Breite (tp) und der Lange (A), sind die Begriffe Breitenunterschied 
(6 =B y 9 ^j) und Lcmgenunterschied (I == Aj AJ zweier Orte von 
Bedeutung. Unter Abiveitung (a) versteht man zunachst 8 ) die Anzahl 
der in einem Parallel kreisbogeu enthaltenen Seemeilen. Der wahre 
Kurs (ct) ist der zwischen dem Ortsmeridian und der Fortschreitungs- 
richtung des SchifFes liegende Winkel. Linien konstanten Kurses wer 
den Loxodromen genannt. Das Segeln 4 ) in Loxodromen hat fur das 
Sehiff den grofien Vorteil praktischer Einfachheit. Man fafit die bier 
in Betraeht kommenden Aufgaben unter dem Namen Besteefarecknung 
zusammen. Neben der loxodromischen Schiffahrt ist mil der Zunabme 
des Dampferverkehrs im Laufe des 19. Jahrhunderts das Segeln im 
grofiten Kre ise (s. Nr. 7) als besonderer Zweig der t3rrestrischen Navi- 



2) Andere Detinitionen der Seemeile sind: die mittlere Meridianminute, die 
auf 45 geographischer Breite gemeeaene Minute der Erdmeridianellipse, die 
Minute eines grSfiten Kreises einer mit dem Erdsph iroid inhaltgleichen Kugel, 
die Aquatorminute. Hietoriflchea and Wertangaben darubei a. K. v. Pott, Mitt. 
84 (1906), p. 769. 

8) Der Begriff wird in Nr. a erwtitert. 

4) Das Wort ,,Segeln u ist nautisch gloichbedeutcnd mit ,,Fahren 11 , wird 
also auch von Dampfern gebraucht. 



2. Beatirtsmuug des Kurses. 303 

gation ausgebildet. Praktisch ist man aber auch beim Fahren im 
grofiten Kreise nach Festlegung des ,,orthodromischen" Bogens darauf 
angewiesen, eine Annaherung an ihn auf einer Anzahl von Loxo- 
dromenbogen zu erstreben. 

Die fur die Besteckrechnung im Rahmen der terrestrischen Navi 
gation zu beobachtenden Bestimmungsstiicke sind der Kurs und die 
Distanz. 

2. Bestimmung des Kurses. a) Kompafi. Der in Ib) definierte 
wahre Kurs ist aus dem Kompafifawse abzuleiten. 

Der SchiffskompaB unterscheidet sich von den am Lande gebrauch- 
lichen Kompassen vornehmlich dadurch, dafi die die Kreisteilung dea 
Horizontes 6 ) tragende Scheibe mit der oder den Magnetnadeln fest ver- 
bunden ist. Der so entstehende Korper, die Kompafirose, ist in den 
cardanisch aufgehangten KoinpaBkessel eingeschlossen. In der Mitte 
der Rose ist ein mit einer Edelsteinkappe versehenes Hiitchen be- 
festigt. Mit ihm rubt sie auf einer Pintle, die in der Mitte des 
Kessels und zwar mit ihrer Spitze im Schnittpunkte der Achsen der 
cardanischen Aufhangung angeordnet ist. Ein an der Innenwand des 
Kessels in der Kielrichtung angebrachter Steuerstrich laBt den ge- 
steuerten Kurs an der Rosenteilung ablesen 8 ). 

b) Beschickuny des Kompafikurscs zmn wahren Kurs. An Bord 
holzerner Schiffe zeigt der Nordstrich der Rose die Richtung des 
magnetischen Meridians an. Man liest an der Rosenteilung un- 
mittelbar den magnetischen oder mifiwcisenden Kurs ab. Mit Hilfe 
der magnetischen Deklination (nautisch Miflweisuny, auch reine oder 
Ortsmifiweisung genannt) leitet man aus ihm den rechtweisenden Kurs, 
<\. h. den Winkel der Kiellinie gegen den Erdmeridian ab 7 ). 

An Bord eiserner Schiffe oder holzerner Schifte mit erheblichen 
Mengen eiserner Ausrustungsgegenstande oder Ladungsteile kommt 
zum erdmaguetischen das schiflfsmagnetische Feld, zu .der Deklination 
die Deviation (Ablenkung) hinzu 8 ). Die Suinme beider ist als Ge- 
samtmiBweisung an den Kompafikurs anzubringen, um den recht 
weisenden Kurs zu erhalten 9 ). 

6) Neben der Gradteilung zeigen die moisten heutigen KompaBrosen noch 
die alte Strichrose (32 durch fortgeaetzte Winkelhalbierungen entstandene Rich- 
tungen). Die Eichtungen N, 0, S, W werden Hauptatriche, die Bichtuugen NO, 
SO, SW, NW Hauptzwischenstriche genannt. 

6) Die von der Kompa&rose zn erfiillenden magnetischen und mechaniachen 
Bedingungen eind in Nr. 18 behandelt. 

7) Abgesehen von einem Kollimationsfehler der Rose und unfcer der Vor- 
aussetsung, daB die Verbindungslinie Pinne-Steuerstrich der Kiellinie parallel ist. 

8) Der Schiifsmagnefcisrnus iet in Nr. 928 beliaadelt. 



304 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

Die Fortschreitungsrichtung des Schiffes fallt bei seitlichem Winde 
uicht init der Richtung des Kieles zusammen. Der Winkel zwischen 
diesen Richtungen wird Abtrift genannt. Zur Bestimmung ihrer 
GroBe ist man auf die Schatzung des Winkels zwischen der Langs- 
schiffsrichtung und der Richtung des Kielwassers angewiesen. Man 
gibt der Abtrift den Namen oder W } je uachdem der ,,behaltene 
Kurs" rechts oder links yom gesteuerten liegt, und vereinigt sie dann 
mit der GesaintmiBweisung. Durch Anbringung der so erhaltenen 
Gesamtberichtigung an den KompaBkurs erhalt man den wahren Kurs. 

3. Messung der Distanz. Unter der Fahrt des Schiffes versteht 
man die Anzahl der in einer Stunde zuriickgelegten Seemeilen 10 ). Bei 
Anwesenheit von Strb mungen hat man die Fahrt durch das Wasser 
zu unterscheiden von der Fahrt iiber den Gnind. 

Die zur Bestimmung der Fahrt benutzten Apparate werden Loggen 
genaunt; die altesten von ihnen sind die Handhggc und die Ritge- 
lungsloyge. Fur jede Seemeile, die das Schiff in der Stunde zuriick- 
legt, legt es in der Sekunde 1852 in : 3GOO 0,514 m zuriick. Diese 
Strecke heiBt Selcundetiknotenlange oder Meridiantertie. Bei der Hand- 
logge wird die in einer bestimmten Sekundenzahl t zuriickgelegte 
Anzahl von Meridiantertien gezahlt, bei der Riegelungslogge wird be- 
stimmt, wieviel Sekunden das Schiff zum Zuriicklegen einer bestimmten 
Anzahl von Meridiantertien gebraucht. Die Messung der Strecke er- 
folgt bei der Handlogge durch eine auslaufende Leine, deren Ende 
an einem zum aufrechten Schwimmen im Wasser hergerichteten Brett, 
dem Loggescheit, befestigt ist. Die Feststellung der Sekundenzahl t 
(15* oder 30*) erfblgt durch eine Sanduhr, das Loggeglas. Urn die 
Fahrt unmittelbar ablesen zu koimen, ist die Leiae in bestimmte, der 
Laufdauer des Glases entsprechende n Knotenlangen", d. h. Strecken von 
t 0,514 m Lange eingeteilt u ). 

Bei der Riegelungslogge bestimmt man nach einer Sekundenuhr 
die Zeit, die ein vorn am Schiff iiber Bord geworfener schwimmender 
Korper zum Zurucklegen einer Anzahl auf der Riegelung des Schiffes 
abgemessener Meridiantertien gebraucht. Die Riegelungslogge liefert 



9) Pie VerS,nderlichkeit der Deviation notigt dazu, wenn Gestirne sichtbar 
sind, die Gesamtmifiweieung unter Btetiger astronomischer Kontrolle zu halteu, 
BO daB zu solcben Zeiten die Bestimmung des Kurses eigentlich astronomisch 
gesohiebt und der Kompafi nur ale iibertragendes Hilfpinstroment dient. 

10) Eine Gescbwindigkeit vou n Seemeiien iu der Stunde bezeichnet man 
als eine Fahrt von n Knoten. 

11) Wegen des Nacbscbleppens des Loggoscbeites verkurzt man bei der 
Handlogge die Sekundenknotenlilnge auf 0,5 m. 



8. Messung der Distanz. 305 

bei kleinen Werten der Fahrt (2 4 Kuoten) genauere Ergebnisse 
als die Handlogge, Fiir grofie Gesehwindigkeiten ist sie nicht an- 
wendbar. 

Die Patentlogge besteht in einer sehr steilgangigen Schraube, die 
vom Schiffe im Wasser nachgeschleppt und so in Umdrehung versetzt 
wird. Die Anzahl der gemachten Umdrehungen wird durch ein rait 
der Schraube Terbundenes oder an Deck aufgestelltes Ziihlwerk regi- 
striert 12 ). Diese Loggen lassen die gesamte zuriickgelegte Distanz 
ablesen, mittelbar erlauben sie auch die Bestimmung der jeweiligen 
Fahrt. Sie versagen bei kleinen Werten der Fahrt, ihre Angaben 
werden unzuverlassig bei bewegter See. 

Im Mittel hat man bei alien drei genannten Loggeapparaten 
mit einer Unsicherheit von etwa 5% der Distanz zu rechnen. Bei 
leichtem Wind und ruhigem Wasser wird die Unsicherheit etwas 
geringer, bei starkem Wind und bewegter See wird sie groBer. 

Bei den hoheu Werten der Fahrt, wie sie moderne Passagier- 
dampfer und Kriegsschiffe entwickeln, versagen die bisher genannten 
Loggeapparate. Diese Fahrzeuge haben in der Umdrehungszahl des 
Propellers ein MaB fur die Fahrt, das an Genauigkeit den Angaben 
der genannten Loggen etwa gleichkommt 18 ). 

Zur genauen Bestimmung der Fahrt, etwa bei Probefahrten, zur 
Priifung von Loggeapparaten, Ermittlung von Korrektionsfaktoren und 
Feststellung des funktionalen Zusammenhanges zwischen Fahrt und 
Tourenzahl des Propellers hat man kein anderes Mittel als das Durch- 
laufen einer bekannten Strecke, wobei man durch Hin- und Zuruck- 
laufen den EinfluB einer etwaigen Stromung zu eliminieren hat. 

Im iibrigen kann die Fahrt fiber den Grand nur in sehr flachem 
Wasser (und bei Werten unter 5 Seemeilen stundlich) ermittelt wer 
den, indem man ahnlich wie bei der Handlogge verfahrt, statt des 



12) Einen Fahrtraesser in Gestalt eines nachgeschleppten Fliigelrades nach 
Art der Anemometerscbalenkreuze hat G. .E. Fleuriais angegeben. Bei dem 
Fahrtmeaser von Clarfa wird der Wasserdruck auf ein nachgescblepptes Logge- 
echeit an einem au Bord aufgestellten Manometer abgelesen. Der Fahrtmesser 
von Strangmeyer (Handb. d. naut. Instr., p. 396) will die Fahrt a us dem Druck 
des Wasaers gegen eine am Bng des Schiffes angebrachte Offnung vermittels 
eines Manometers bestimmen. 

13) Bei ruhiger See und nicht zu frischem Wind soil diese Methodc die 
genauesten Ergebnisse liefern. Naherea viber die Auggestaltung der auf den an- 
gefuhrten Prinzipien beruhenden Loggeapparate s. E. Kohlschiitter, Deutsche 
Mechanikerzeitung 1906, p. 9. Weiterea uber die VerwendungsmOglichkeit der 
verschiedenen Loggen und die mit verscbiedenen Arten von Patentloggen er- 
reichten Genauigkeiten 8. Marine-R. 20 (1909), p. 483. 



306 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

Loggescheites jedoch ein schweres, schnell auf den Grund sinkendes 
Lot verwendet. 

4. Loxodromische Schiffahrt. a) Fundamentcdglewhungen der 
Besteckrechnung. Unter Benutzung der in Nr. Ib angegebenen Bezeich- 
nung ist die Different] algleichung der Loxodrome 

cosy.cU ^ t 

dtp 
Ihre Integration gibt 



- A = tg log nat tg(-J -f I), 



wo A die Lange des Punktes ist, in welcher der Aquator von der 
Loxodrome geschnitten wird. Indem man statt des Halbmessers die 
Minute als Einheit einftihrt, bezeicbnet man den Wert 

- 3437,75 . log nat tg (f -f f ) 

als vergroflerte Preite von <p u ). Es ist dann in Langenminuten 

A ^ =tg- 0>. 

Sind tp l} >L X die Koordinaten des ,,Abfahrtsortes" A und <p if A, 
die des ,,Bestimmungsortes" B, so folgt durch Integration des Bogen- 
difterentials der Loxodrome 



dD = l?V5p4-cos 8 y^ Kdq> l -f- cos 8 <f> ~ 
als Wert der zwischen A und B liegenden Distane 



COB a 

oder, indem man unter 6 = y s qp t die Anzahl der in dein Meridian- 
bogen enthalteuen Minuten oder Seemeilen versteht, 

D = b sec a. 



14) Die Werte vou $ sind in den nautischen Tafelsammlungen fflr jede 
einzelne oder fiir jede zehnte Minute von qp angegeben. t)ber den Zusammen- 
hang von * mit den Hyperbelfunktionen siehe etwa F. Schicht, Mitt. 36 (1907), 
p. 1192 u. 1200. 

Einige Tafeln (B. B. ./. A. D. Jet. sen, Nantiske Tal teller, Kopenhageu 1902) 
geben die far die Abplattung der Erde berichtigten Werte 



* = A log nat tg ( -f- -x. 

L \ ft 

wo A der A qua tor radius, die Exzentrizitat der Meridianellipse ist; vgl. etwa 
N. Here, Landkartenprojektionen, Leipzig 1885, p. 117. Die Loxodxome auf dem 
Erdspharoid behandelt J. A. Grunert, Loxodromisohe Trigonometric, Leipzig 1849. 



4. Loxodromiache Schiffahrt 



807 



Die Rechnung nach den Formeln 

b = D cos a, I = Aj A t = (0, ^ i tg 
bezeichnet man als Eechnung nach vergrofierter Breite 1 * 1 ). 

Das ebene rechtwinklige Dreieck mit den Eatheten # 8 d\ und I 
und dem Kurswinkel a wird vergrofiertes Kursdreieck 
genannt (s. Figur 1). 

Ein zweites Verfahren zur Berechnung des Langen - 
unterschiedes geht aus yon einer genaherten Aus- 
wertung des Integrals in dem Werte 




Man setzt 



~ 



cos 



= I) sin a sec (ep 

^^ 



wo 



T 



und # eine von <p m und 6 abhangige Korrektion dieser ,,Mittelbreite" 
ist. Indeni man unter Verallgemeinerung des Begriffes der Abweitung 

a = D sin a 

setzt und ftir Distanzen, wie sie in der taglichen Schiffsrechmmg yor- 
kommen, x == annimmt, erhalt man die Formeln 

6 == D cos a; a = D sin a, I = a sec 
wo 



Die Recbnung nach diesen Formeln bezeichnet man als Rechnung 
nach Mitielbreite. 

Das ebene rechtwinklige Dreieck niit den Seiten D, b, a und 
dem Kurswinkel a wird wahres Kursdreieck 1 **) genannt (a. Figur 1). 

Der nur in hohen Breiten und bei grofien Breiten- und Langen- 
unterschieden bemerkbar werdende der Rechnung nach Mittelbreite 

15) Die Entwicklung dieser Methode geht zuruck auf G. Mercator, deaaen 
Weltkarte ,,ad usum navigantium" 1669 in Duisburg erschien. Die eraten Tafeln 
der vergrofierten Breite riihren von Ed. Wright her, dessen Buch: Certain errora 
in navigation, London 1599, reformatorisch wirkte. Der Wert des Integral ist 
zuerst von Henry Bond 1645 angegeben (vgl. A. Breusing, Gradnetzentwurfe). S. 
auch VI 1,4, Kartographie, E. Bourgeois und Ph. Furtwangler, Nr. 6b. 

16") Die Figur auf der Erdoberflache zwischen dem Loxodromenbogen AB, 
dem durch A gelegten Meridian und dem durch B gelegten Breitenparallel wird 
zweckmiiBig als loxodromisches Dreieck bezeichnet. 



308 VI i, 5. //. MeUau. Nautik. 

anhaftende Fehler 16 ) kann vevmieden werden durch Anbringung der 
(nie negativen) Korrektion x au <p m , die axis 



zu berechuen ist. Ihre Werte finden sich in mehreren nautischen 
Tafelsarumlungen fiir die Argumente <p m und b angegeben. 

b) Aufgaben der Besteckrechnung, rcchnerische Losung. Von den 
sechs GroBen tp 1} <jp 2 , Ji i} ).%, und D mtissen vier gegeben sein. Von 
praktischer Bedeutung sind nur die beiden 17 ) Aufgaben: 
I. Gegeben g> lf Z t , cc, D: gesucht <p. 2 , A 2 , 
II. Gegeben qp l7 JL lf <p a , A 2 ; gesucht a, D. 

Bei der Losung der Aufgabe I nach vergroBerter Breite findet 
man mit a und D zunachst aus dem wahren Kursdreieck ft. 18 ) Nach 
Bestimmung von qp 2 und Ennittlung von l und (P 2 folgt aus deni ver- 
grofierten Kursdreieck I = (0 2 C& t )tga und damit J1 2 . Das Ver- 
fahren ist exakfc, es versagt aber fur Kurswinkel in der Nahe von 90, 
weil fiir a == 90 der Langenunterschied I den Wert oo annimmt. 

Bei der Losung der Aufgabe I nach Mittelbreite findet man mit a 
und D zunachst b und a 18 ), daraus <p 2 , <p m und I a sec<p r/l . Das 
Verfahren ist approximativ, doch genugt es ; ausgenommen auf sehr 
hohen Breiten, stets fur die vom Schiffe im Laufe eines Tages ge- 
segelten Distanzen. 

Sind vom Schiffe nacheinander verschiedene Kurse gesteuert, so 
pflegt man, statt die Schiffsorte bei den einzelnen Kursanderungen der 
Reihe nach auseiuander abzuleiten, die Abweitungen ebenso wie die 
Breitenunterschiede algebraisch zu addieren oder, wie man sagt, die 
Kurse zu koppeln. Dieses Verfahren ist kein exaktes 19 ), weil bei 
ihm in verschiedenen Breiten gutgemachte Abweitungen gegeneinander 

16) Der Fehler in Z, gegeben durch 



wJlchst mit D und qp m . Firr gegebene Werte dieser GrSBen erreicht er ein 
Maximum for a = 35 16 . Ist D<360Sm., <p m <Z.60 , so ist fiir diesen ungiin- 
stigsten Wert des a der Fehler kleiner als 1 ; vgl. G. Lecointe, Lit. A, p. 11. 

17) In fruherer Zeit, als die Bestimmung der Lange erhebliche Schwierig- 
keit machte, batten auch die beiden Aufgaben: aus qp t , /l^, qp s , a die Stflcke 
1 2 , J) und aus qp lt l t , qp,, D die Stiicke i,, a zu finden, praktisches Interesse. 

18) Man bedient eich dazu der in den nautischen Tafeln gegebenen ,,Grad- 
und Strichtafeln", die mit den Argumenten und D die Katbeten der recht- 
winkligen Dreiecke unmittelbar geben. 

19) Fehlerabschatzung a. etwa F. Paugger, Terr. Nav., p. 218. 



5. Die loxodromieche Karte. 309 

aufgerechnet werden und ferner, well die ,,Mittelbreite" gefalscht 
werden kann, zuinal wenn in den ersten Kursen hauptsachlich die 
Breite, in den letzten hauptsachlich die Lange verandert wurde oder 
umgekehrt. Es stellt jedoch eine erhebliche Vereinfachung der Rech- 
nung dar und genugt, ausgenommen auf hohen Breiten, fur die wahrend 
eines Tages abgelaufenen Distanzen. 

Zur Losung der Aufgabe II nach vergroBerter Breite berechnet 
man nach Ennittelung von ^ und & s den Kiirswinkel im vergrofierten 
Kursdreieck. Die Distanz ist dann im wahren Kursdreieck zu be- 
stimmen. Das Verfahren ist exakt; es versagt aber fur Kurswinkel 
in der Nahe von 90, weil fur = 90 die Distanz D den Wert 0:0 
annimmt. 

Bei der Losung der Aufgabe II nach Mittelbreite findet man mit 
rp m = $ ((ft -f- <p 2 ) aus ^ zunachst a==?secg> m und bestimmt dann 
Kurswinkel uud Distanz aus dem wahren Kursdreieck. Das Yerfahren 
ist approximativ, fur die Ermittelung groBer Distanzen bei erheblichen 
Breitenunterschieden ist es nicht anwendbar. 

5. Die loxodromische Karte. a) Graphische Losmig der Auf- 
gaben der Besteckrechnung im Nets der Seekarte. Die an eine Seekarte 
zu stellenden Forderungen sind vornehmlich: 

1. sie nmB eine winkeltreue (konforme) Abbildung sein, 

2. die Loxodrome muB als gerade Linie erecheinen. 

Diese Porderungen lassen sich dadurch und nur dadurch erfullen, 
daB man in einem rechtwinkligen, den Aquator und den Nullmeridian 
darstellenden Koordinatensystem 

x == cA, y c^> 
setzt. 

Der lineare MaBstab der so konstruierten nach Mercator benannten 
Karte 20 ) wachst proportional sec <p. Die Karte laBt sich daher nicht 
bis zum Pol ausdehnen. 

Das exakte Verfahren zur Losung der Aufgaben der Besteck 
rechnung auf der Mercatorschen Karte besteht in der tfbersetzung 
der in der vorigen Nummer (4b) behandelten Losungen nach ver- 



20) 6. Mercator 1569. Noch lange nach diesem Zeitpunkt benntzten die See- 
fab rcr eogeuannte platte Karten, in deneu 

x = c , y = c qp sec tp m 

gesetzt war, wo qp m die Mittelbreite dee dargestellten Gebietes bedeutet (vgl. 
A. Brcusing, Verebnea der Kugeloberflache , p. 40, 41, wo ein Irrtnm botr. der 
Gestalt der Loxodrome auf der platten Karte zu verbessern ist). Man vgl. auch 
VI. 1, 4, Kartographie (E. Bourgeois und Ph. Furtwangler), Nr. 6b. 

d math. Wi**euscb. VI 1. 21 



310 VI i, 5. H. Metdau. Nautik. 

grofierter Breite ins Graphische, wobei man sich zur Zeichnung des 
wahren Kursdreiecks des Aquator-, d. h. des LangenmaBstabes bedient. 

Wenn es sich um die im Laufe eines Tages vom Schiffe abge- 
laufenen Distanzen handelt, so geniigt statt des exakten ein Nahe- 
rungs verfahren. Eine Seerneile in der Karte ist gleich der in gleicher 
Breite gelegenen vergroBerten Breitenminute. Zur naherungsweisen 
Messung einer Distanz kann man daher eine Breitenminute oder besser 
eine Anzahl soldier in der Hohe der Mittelbreite abgreifen und diese 
Strecke unmittelbar als MaBstab fur die Hypotenuse des vergroBerten 
Kursdreiecks benutzen 21 ). Fur Kurswinkel in der Nahe von 90 ist 
man auf dieses Verfahren beschrankt. 

b) Inhalt der Seekarte. Uber den in Nr. 5 a behandelten Zweck hin- 
aus hat die Seekarte die Aufgabe, dem Schiffsfuhrer alle Handhaben 
zur Feststellung des Schiftsortes relativ zum Land und alle fur die 
Wahl des Kurses aus der Konfiguration des Landes folgenden Momente 
zur Anschauung zu bringen. Sie hat deshalb eine genaue Darstellung 
der physikalischen Verhaltnisse des Meeres und eine Abbildung des 
Landes zu geben, soweit diese fur die Schiffahrt wichtig und vei-wert- 
bar ist. Insbesondere hat sie AufschluB zu geben iiber die Wasser- 
tiefe, die Bodenbeschaffenheit, Untiefen, Riffe und Klippen, Stromungen, 
kiinstliche Hilfsmittel der Schiffahrt, Leuchtfeuer, andere Landmarken 
und schwimmende Seezeichen. 

AuBerdem zeigeu die Seekarten an mehreren Stellen Bilder der 
KompaBrose in miBweisender und rechtweisender Lage. 

6. Zuverl^ssigkeit der Besteckrechnung. Die Zuverlassigkeit 
des durch die Besteckrechnung ermittelten Schiffsortes wird beschrankt: 

1. durch Fehler der bei der Rechnung benutzten ,,wahren" Kurse. 

2. durch Fehler in den geloggten Distanzen ; 

3. durch unbekannte Stromversetzungen, 

4. dadurch, daB dem Rechnungsverfahren nach Mittelbreite und 
dem Koppeln der Kurse Fehler anhaften. 

1. Kursfehler entstehen durch ungenaues Steuern und durch Un- 
genauigkeiten in den Berichtigungen, durch die der wahre Kurs aus 
dem KompaBkurs abgeleitet wird (Nr. 2). Man kann annehmen, daB 
auf einem Dampfer auch bei sorgfaltiger Kurskontrolle der wahre 
Kurs 2 bis 3 nach jedor Seite urisicher ist, so daB damit gerechnet 
werden muB, daB nach Zurucldegung von 100 Seemeileu das Schiff 
4 bis 5 Sm. rechts oder links vom berechneten Orte stehen kann. 

21) Sollte bei Loaung der Aufgabe I die Mittelbreite zunachst sehr falsch 
geschatzt eein, so ist das Verfahren zu wiederholen. 



7. Orthodromische Schiffahrt. 311 

2. Nach den in Nr. 3 fiber die Genauigkeit der Loggeapparate 
gemachten Angaben 1st nach Zurucklegung von 100 Sm. auch in der 
Kursrichtung auf eine Unsicherheit von etwa 5 Sm. zu rechnen. 

Segelschiffe sind im allgeuieinen, besonders hinsichtlich der Kurs- 
fehler, ungiinstiger gestellt als Dampfer. 

3. Es gibt zwar von den meisten Meeresteilen Stromkarten, aus 
denen man den fur die Dauer der Segelung geltenden Strom ent- 
nehmen konnte, um ihn an die gesteuerten Kurse anzukoppeln. Die 
in den Karten enthaltenen Angaben sind jedoch uur als allgemeine 
Mittelwerte anzusehen, von denen erhebliche Abweichungen stattfinden 
konnen. Man verzichtet deshalb in der Praxis darauf, eine so un- 
sichere GroBe wie den Strom in die Rechnung mit aufzunehmen, be- 
rechnet vielmehr den SchifFsort zunachst auf Grund der gesegelten 
Distanzen allein, um dann schatzungsweise 32 ) die mutmuBHche Wir- 
kung des Stromes in Riicksicht zu ziehen. 

4. Gegenuber den unter 1. bis 3. angegebenen Fehlern fallen die 
unter 4. genannten Ungenauigkeiten der Rechnung nicht ins Gewicht. 

7. Orthodromische Schiffahrt. a) Allgemeines. Das ,,Segeln im 
groBten Kreise", mit dem sich schon die Lehrbiicher der Navigation 
im 16. Jahrhundert beschaftigten 8S ), ist zunachst durch die Einfuhrung 
der Mercatorkarte ganz in den Hintergrund gedrangt worden. Erst 
seit der Mitte des 19. Jahrhunderts kommt es zumal fiir den Dampfer- 
verkehr 24 ) immer mehr in Aufnahme. 

Die Wegersparnis auf dem orthodromischen im Gegensatz zum 
loxodromischen Bogen wird erheblich, wenn der Abfahrtsort A und 
der Bestimmungsort B auf hoheren gieichnamigen Breiten liegen und 
wenn sie zugleich einen groBen Langenunterschied haben 85 ). 

Die Losung der Aufgabe erheischt die Ermittelung der zwischen 
A und B liegenden Distanz, die Niederlegung des Bogens in die 

22) Entsprechendes lindot Anwendung im Falle der Aufgabe: Bestimmung 
dea von A nach B fuhrenden Kurses unter Beriicksichtigung einer an Ort und 
Stelle laufenden Stromung, deren LOsung im ubrigen auf der Hand liegt. 

23) tfbrigens lag ein wesentliches Hinderuis fiir das Einhalteu eiues grdfiten 
Kreises zu jener Zeit in dem Mangel der Langenbestimmung. 

24) Fiir das Segelachiff nangt die Wahl der einzusclilagenden Route in 
erater Linie von den auf ihr zu erwartenden Windverhaltniasen ab ; unter Uin- 
standen hat die Riicksicht auf die mSglichste Annaherung an den grSBten Kreis 
unter verechiedenen Routen den Ausschlag zu geben. 

26) Z. B. San Franzisko Jedo 242 Sm. oder 5,4%; Kap Horn Kap dor 
guten Hoffnung 202 Sm. oder 5,5%. Bei ungleichnamigen Breiten iat die 
Wegeraparnis in alien praktiachen Fallen nicht nennenswert, z. B. Valpa 
raiso Nagaaaki 82 Sm. oder 0,8%. 

21* 



312 VI i, 6. H. Meldau. Nautik. 

Seekarte und die Berechnung des Kurswinkels, unter dem jeder Meridian 
zu schneiden ist. 

Es sind eine grofie Reihe von Versuchen gemacht, durch Bereit- 
stellung besonderer Hilfsmittel dem Segeln im gro Bten Kreise eine 
dem Fahren in der Loxodrome nahekommende Einfachheit zu sichern. 
Die wichtigsten der vorgeschlagenen Methoden seien im folgenden 
angedeutet 26 ). 

b) Rechnerische Losungen. Die nachstliegende Losung besteht in 
der Auflosung des zwischen A, B und dem Pol P liegenden sphari- 
schen Dreiecks, ftbergang zum ,,Scheitel" >$ (<? , A ) oder zum Aquator- 
schnittpunkt S (<JP O = 0, A ) und Berechnung der Breiten, in denen 
beliebige Meridiane geschnitten werden, und der zugehorigen Kurse 
durch Auflosung rechtwinkliger Dreiecke. 

Oder man kann, ausgehend von der Gleichung der Orthodrome 
auf der Kugel, die unter Benutzung der soeben angegebenen Bezeich- 
nung lautet 87 ) 

tg 9 tg 9> sin (^ <*o); 

zunachst die Konstanten <p , /. unter Zuhilfenahme der aus den Be- 
dingungsgleichungen 

% Vi = tg qp sin (^ A ) 
% 9 = *g 9 sin (A 8 A ) 
folgenden Beziehung: 

sin * 



ermitteln und mit der Auflosung rechtwiukliger Dreiecke fortfahren. 

Handelt es sich nur um die Niederlegung des grofiten Kreis- 

bogens in die Mercatorkarte, so kann man nach G. Zescevich die 

Breite <p . , in der der Meridian A = % (Aj -f- A 8 ) geschnitten wird, 

finden nach 

j i _ 5 

*g <P^ = y sin (<)PI + %) sec ^~2~ sec 9i sec 9> 

und in derselben Weise mit der Halbierung des Langenunterschiedes 
fortfahren 88 ). 



26) Eine ausfiihrliclie Ubereicht gibt das Buch von G. W. Littkhaks (a. Lit.). 

27) Auf der Mercatorkarte lautet die Gleichung der Orthodrome 



28) Das Yerfahreu lafit sich leicht fur die Berechnuug dee Schnittpunktes 
mit irgendeinem Meridian verallgemeinern. 



7. Orthodromische Schiffahrt. 313 

Den rechnerischen Losuugen schlieBen sich diejenigen an, die 
unter Verzicht auf grofie Genauigkeit zur Auflosung der Dreiecke 
Tafeln, insbesondere die zur Bestimmung des Azimutes zusammen- 
gestellten Tafeln 89 ), benutzen. Zunachst sei auf die in der modernen 
Navigation viel gebrauchten, besonders durch E. Perrin eingefiihrten 
sogenannten J. ; .B,C-Tafeln hingewiesen 30 ). Sie beruhen auf der Formel 

C = A + B, 
wo C = cot a sec qp; A = tg <p cot ; B -f- tg d coaec t. 

Hierin bedeuten tp und d die Komplemente zweier Seiten eines spha- 
rischen Dreiecks, t den zwischen diesen Seiten liegenden und a den 
der Seite 90 d gegenftberliegenden Winkel. Das zwischen den 
Punkten A, B und dem Pol liegende Dreieck kann auch durch Zer- 
legung in rechtwinklige Dreiecke aufgelost werden. Gradtafeln recht- 
winkliger spharischer Dreiecke enthalten die nautischen Tafeln von 
H. Raper, sowie die Spezialtafeln von J. Randermann**). Die Auf 
losung der rechtwinkligen spharischen Dreiecke kann auch durch 
Nomogramine erfolgen 31 *). 

Alle grofiten Kreise konnen erhalten werden durch Langen- 
verschiebung eines Systems solcher Kreise mit einem gemeinsaraen 
Aquatordurchmesser. Ein solches ,,orthodromisches System" kann 
durch Tabulierung oder durch geeignete Projektion zum Gebrauch 
bereitgestellt werden 32 ). 

c) Graphische Losungen. Die fur das orthodromische Segeln vor- 
geschlagenen graphischen Methoden geben entweder graphische Hilfs- 
mittel zur Auflosung spharischer Dreiecke, oder sie beruhen auf 
zweckentsprechenden Kartenentwfirfen, in vielen Fallen geht beides 
ineinander fiber. W. Chauvenet verwendet zur genaherten Auflosung 
spharischer Dreiecke stereographische Projektionen 88 ). Das Verfahren 
ist fiir den vorliegenden Zweck verschiedentlich modifiziert worden. 



29) Vgl. VI 2, 3 Nr. 46. 

SO) Vgl. z. B. S. T. S. Lecky, General utility tables, London 1897, oder die 
entsprechenden Tafeln in irgeudeiner neueren nautischen Tafelsammluug. 

31) Bremerhaven 1898. 

31 ) Siehe etwa Proc. United States Nav. Inst. 34 (1908) p. 633. 

32) Dieaen Weg verfolgte mau besonders in den 50 er Jahren (J. T. Towson, 
London 1850, A. H. Deichmann, Neue Tafeln usw. Hannover 1856, u. a.). 

33) Eine ,,Me8karte zur AuflSsung sphariacher Dreiecke", beatehend aus 
zwei urn ihie Mittelpunkte gegeneinander drehbaven stereographiachen Aquatorial- 
projektionea, (vgl. VI i, 4, Nr. 3), voii denen die eine auf transparent^ Material 
gedruckt iet. hat E.Koihlschutter, Berlin 1905, herausgegeben. Eino stereographische 
Projok<ion des spharischen Koordiuatennetaes in groBem MaBstab ist von G. W, 



314 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

Von Interesse ist eine von dem Kapitan Weir angegebene, von 
H. Maurer* *} eingehend behandelte graphische Darstellung, der die 
am SchluB von Nr. 7 b angefuhrte Gleichung zugrunde liegt. Setzt man 
in der Gleichung 

cot a sec cp tg tp cot t -f- tg d cosec t, 

wo <p, d die Breiten, t den Langenunterschied des Abfahrtsortes A 
und des Bestimmungsortes B und cc den Kurswinkel bedeuten, 

tg9cos = y, tgd = /, 

sec <p sin t = x, == x f 

so geht sie iiber in die Gleichung der Geraden 



X X 

Fur konstantes t liegt der Punkt (x, y) auf einer Hyperbel mit den 
Halbachsen sin t und cos t, fur konstantes tp auf einer Ellipse mit den 
Halbachsen sec (f und tg (p. Die Gesamtheit dieser (konfokalen) El- 
lipsen und Hyperbeln gibt eine winkeltreue Abbildung 85 ) des recht- 
winkligen spharischen Koordinatensystems. Die Verbindungslinie ernes 
Punktes (x, y) mit dem auf der y-Achse liegenden Punkt (x f y ) liefert 
den Kurswinkel a. 

Von eigentlichen Karten sind fur die Zwecke des Segelns im 
grofiten Kreise besonders solche in stereographisclter**) und solche in 
gnomonischer 37 ) Projektion vorgeschlagen. Wahrend die ersteren, 
obgleich der Kurswinkel auf ihnen in nattirlicher Grofie erscheint, 
sich keinen Eingang in die Praxis haben erobern konneii, sind die 
letzteren von einer gewissen praktischen Bedeutung geworden. Die 
umfassendste Sammlung solcher gnomonischer Karten ist vom Hydro- 
graphischen Amte in Washington herausgegeben. Die Kartenblatter 
selbst enthalten Hilfsmittel zur Messung von Distanzen und Be- 
stimmang von Kursen 88 ). 



Littkhaks, Philadelphia 1906, herausgegeben. Sie umfafit 368 Tafeln und ent- 
spricht einem Kugeldurchmesser von 12 FuB. Sie soil nicht nur zur Losung der 
bier in Frage stehenden Aufgabe, eondern auch zur astronomischen OrtsbeBtim- 
mung gebraucht werden. 

34) Ann. d. Hydr. 33 (1905), p. 125. 

35) Die Abbildung leidet an zu gtarken Verzemingen, urn praktisch brauchbar 
zu sein. Naheres iiber sie in der in Fufinote 34 zitierten Abhandlung von 
H. Maurer. 

36) F. Paugger, Terr. Naut.; R. A. Proctor, Great Circle Sailing, London 1888. 
87) H. Godfray hat schon im Jabre 1868 fur die euglische Marine eolche 

Ka.rten herauagegeben, G. Hilleret im Jahre 1879 solche fur die fran/osische Marine. 
38) Die Distanz wird uta den Berahrungapunkt gedreht, bis sie rait einem 



8. Kustenecbiffahrt. 315 

Fur kleinere Distanzen laBt sieh der orthodroraische Bogen in 
der Merkatorkarte angenahert a!s Parabelbogen einzeiehnen 88 *). 

8. Kiistenschiffahrt. a) AUgemeines. Solange das Schiff sich 
in der Nahe der Kuste befindet, erfolgt die Ortsbestimmung mit Hilfe 
von Peilungen, Abstandsbestimmungen und Winkelmessungen im An- 
schluB an gesichtete Kustenpunkte. Als Instrumente kommen dabei 
hauptsachlich die Logge, der Kompafi, die Peilscheibe und der Sextant 
in Anwendung. 1st das Land wegen zu groBer Entfernung oder wegen 
unsichtigen Wetters nicht zu sehen, so ist man auf den Gebrauch 
des Lotes angewiesen. 

Jede Beobachtung bestimmt im allgemeiuen eine Standlinie fiir 
das Schiff. Die so bestimmten Standlinien nennt man terrestrische 
im Gegensatz zu den astronomischen (VI 2, 3, Nr. 40). Der Schiffsort 
wird erhalten durch den Schnitt zweier Standlinien. Bei gleicher 
Zuverlassigkeit der Standlinien ist der Schnittpunkt um so genauer 
bestimmt, je naher der Schnittwinkel einem Rechten kommt. 

Der einzelnen Standlinie kommt in manchen Fallen eine Be- 
deutnng zu als Grenzlinie zur Vermeidung von Gefahren. 

An die Aufgabe der Ortsbestimmung schlieBt sich die der Wahl 
des zum Bestimmungsort fuhrenden Weges. Neben tunlichster Weg- 
kurzung muB die absolute Sicherheit des Schiffes hierbei maBgebend 
sein. Fur die Wahl des einzuschlagenden Kurses sind auBerdem die 
Art der Fortbewegungsmittel des Fahrzeuges Segel oder Maschinen- 
kraft sowie die Mogliehkeit stetiger Kurskontrolle mitbestimmend. 
Wahrend ein Dampfer von Feuerschiff zu Feuerschiff steuert und 
Landvorspriinge in wenigen Seemeilen Abstand passiert, hat ein Segel- 
schiff stets einen gehorigen Seeraum zwischen sich und der Kiiste 
zu lassen. 

Wenn Nebel oder unsichtiges Wetter das Sichten von Kiisten- 
punkten vereiteln, so ist man auf Lotungen oder auf die von Feuer- 
schiffen oder Leuchtturmen abgegebenen Schallsignale angewieeen. 
Die Beurteilung der Richtung, aus der ein in der Luft erregter Schall 
kommt, leidet unter groBer Unsicherheit. Mit Vorteil hat man in den 
letzten Jahren Unterwasserschallsignale eingefuhrt. Wenn das Schiff 
an beiden Seiten seines Buges mit Mikrophonen wie mit zwei Ohren 

Meridian zusammenfallt. Die Kurse warden an einem ,,great circle course dia 
gram" abgelesen, das in der nach y = tg 9 geteilten y-Achse und der mit der 
Teilnng nach <p versehenen, t = 20 entsprechenden Hyperbel des oben be- 
Bchriebenen Weirschen Diagrainmes bestebt. Das bei gegebenem y> zu t = 20 * 
gehOrende 8 entnimmt man der gnomonischen Karte. 
38) S. Ana d. Hydr. 36 (1908), p. 497 



316 VI i,5. H. Meldau. Nautik. 

ausgeriistet ist, so kann man die Richtung der Schallquelle auf etwa 
10 geuau dadurch feststellen, daB man das vSchiff dreht, bis beide 
Mikrophone gleich laut ansprechen. Die Entfernuug darf bis zu 
10 Seemeilen betragen 39 ). 

Der Nutzen, den Schiffe im Nebel aus der Wellentelegraphie 
ziehen konneu. ist beschrankt, da die Bestimmung der Richtung, in 
der das Wellenzentrum liegt, bisher uninoglich ist. 

b) Richtungsbestimmungen. Das wichtigste Hilfsmittel der Kiisten- 
Bchift alirt sind Richtungsbeatimmungen oder ,,Peilungen". Man macht 
sie mit dem KompaB unter Benutzung einer auf den Kompafideckel 
aufgesetzten Visiereinrichtung. Aus dieser KompaBpeilung erhalt man 
unter Berucksichtigung der fiir den gesteuerten Kurs geltenden Ab- 
lenkung die mifiweisende Peilung. Jede Peilung liefert in der Karte als 
Standlinie eine Gerade 40 ). Unter norrnalen Verhaltnissen hat man auf 
eine Unsicherheit von 1,5 in der Peilung zu rechnen 41 ). Die daraus 
folgende Unsicherheit im Schiffsort wiichst proportional der Ent- 
fernung des gepeilten Objekts. 

Haufig benutzt man zur Anstellung der Peilungen Peilscheiben, 
die mit ihrer Nullinie entweder in der Kielrichtung oder im wahren 
Meridian nach dem gesteuerten rechtweisenden Kurs oder im mag- 
netischen Meridian auf Grand einer bekannten magnetischen Richtung 
orientiert werden (s. Stupor, Terr. Nav., p. 60). 

c) Abstandsbestinmungen. Zur Bestimmung der Entfernung stehen 
an Bord folgende Methoden zur Verfugung. 

) Nur bei geringen Entfernungen und richtiger Beurteilung des 
Zustandes der Luft sowie bei grofier Ubung gewahrt die Schatsung 
der Entfernung geniigende Genauigkeit. 

/3) Eine Entfernungsbestimmung durch die Schallgeschwindigkeit 
isfc nur gelegentlich ausffihrbar. Bei ruhiger Luft gewahrt sie unter 
lltnstanden einen wiinschenswerten Anhalt. Bei Nebel gibt zuweilen 
das Echo eine wertvolle Warnung dadurch, daB es die Nahe des ver- 
hiillten Landes oder eines Eisberges anzeigt. 

39) S. z. B. Deutsche Mechanikerzeituiig 11)08, p. 29; Marine Ruudachau 
18, 1 (1907), p. 41 ; Ann. d. Hydr. 36 (1907), p. 9. 

40) Streng genommen entspricht der Peilung uicht eine Gerade der Seekarte, 
sondern ein orthodromiacher Bogen. Die Abweichung dieses Bogens von der 
Loxodrome ist bei den in Betracht kommenden Entfernungen gering, z. B. ist 
der Unterachied der loxodromischen und der wahren Bichtung fur zwei Orte, 
die auf dein Breitenparallel von 53 voneinander 10 Sm. entfernt liegen, 
etwa 6,6 . 

41) Den EinfluB der Neigung des Peilapparates untersucht H Mawer, 
Ann. d. Hydr 35 (1907), p. 275. 



8. Kustenachiffahrt 317 

y) Hohenwinkd. Erscheint ein Objekt von h Metern Hohe unter 
einem Hohenwinkel von n Minuten 42 ), so ist, sofern die terrestrische 
Refraktion vernachlassigt werden darf, 

E - --T - - Seemeilen oder nahe ^ ~ Seeineilen. 



Befindet sicli in der Nahe von Untiefen ein geeignetes Objekt von 
bekannter Hohe, so kann man einen Grenzwert des Hohenwinkels 
angeben, der bei der Annaherung nicht iiberschritten werden darf 
(vertikaler Gefahrwinkel). 

d) Leuchtfeuer in der Kimm. Aus den Dimensionen der Erde 
ergibt sich als Halbniesser des Erleuchtungskreises eines H Meter 
hohen Leuchtfeuers ohne Beriicksichtigung der Strahlenbrecliung 

E = 1,927 y S Seemeilen. 

Die terrestrische Refraktion bewirkt, da6 der Halbmesser des tatsach- 
lichen Erleuchtungskreiees von diesem Werte abweicht. In den nau- 
tischen Tafeln sind gewohnlich Tabellen angegeben, in denen eine Ver- 
groflerung des Wertes um Via seines Betrages angenommen 43 ), also 

E = 2,075 YH Seemeilen 

gesetzt ist. Da die analoge Forrnel Anwendung findet auf die Sicht- 
weite eines in einer Hohe von h Metern befindlichen Auges, so wird 
die Entfernung eines in der Kimm gesehenen Leuchtfeuers 

E = 2,075 (VH+ I/A) Seemeilen 

gesetzt. In der Praxis verfahrt man wohl so, dafi man durch Ver- 
auderung der Augesbohe das Feuer in die Kimm bringt. Die An 
wendung ist auf die Nachtzeit beschrankt. Es war langst bekannt, 
dafi die Zuverlassigkeit dieser Abstandsbestimmung bei ungewohnlichem 
Zustande der Atmosphare sehr gering ist. Durch die Untersuchungen 
von K. Kofi und Graf Thun-Hohenstein ist festgestellt, dafi die Re- 
fraktiou in den unteren Schichten der Atmosphare stark vom Tem- 
peraturunterschied von Wasser und Luft abhangig ist 44 ). Wichtige 



42) Die Winkelmessung wird mit dem Seitanten, dem Objektivmikromefcer 
von F. Schaub oder dem micrometre a double reflexion von G. E. Fleuriais 
ausgefvihrt, vgl. Eoth } Stupor, Guyou (Lit.). 

43) Vgl. VI 2, 3, Fufiuote 286. 

44) Vgl. VI 2, 3, Nr. 88; K. Kofi, Mitt. 29 (1901), p. 919; Stupar, Terr. 
Nav. (Lit. A). An neuerer Literatur zu der Frage der Kimmtiefe sei genannt: 
H. Meyer, Ann. d. Hydr. 34 (1906), p. 438; E. Moll, Marine Rundschau 181 (1907), 
p. 197; Engel, Marine Rundschau 191 (1908), p. 227; Ann. d. Hydr. 37 (1909), 
p 180 



318 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

Folgerungen aus den JBTo/Sschen Beobachtungen auch hinsichtlich der 
Berechnung der Entfernung der scheinbaren Kimm hat E. Kohlschutter 
gezogen. Sie beziehen sich insbesondere auf die Bahn der Licht- 
strahlen in den unteren Schichten der Atmosphare. Die von Kohl 
schutter angeregten beztiglichen planmaBigen Untersuchungen barren 
noch der AusfQhrung. 

e) Unter derselben Unsicherheit wie die Bestimmung der Ent 
fernung der scheinbaren Kimm leidet die Abstandsbestimmung durch 
Messung des Hohenwinkels eines Objekts, dessen Fu6 von der Kimm 
verdeckt ist. 

) Aufier den genannten Methoden sind an Bord von Kriegs- 
schiffen besondere Distanzmesser* 6 ) im Gebrauch; sie dienen jedoch 
in erster Linie artillerist! schen Zwecken 46 ). 

d) Der Horizontalwinkel zwischen zwei Objekten liefert als Stand- 
linie den Kreisbogen, der diesen Winkel als Peripheriewinkel faBt. 
AuBer zur Ortsbestimmung ist diese Standlinie wertvoll als Grenz- 
linie zur Vermeidung von Gefahren. Sind Sandbanke oder Klippen 
einer Ktiste vorgelagert, auf der zwei geeignete Peilobjekte in Sicht 
sind, so zeichnet man in der Karte einen durch die Objekte gehenden 
und die samtlichen Untiefen einschlieBenden Kreisbogen. Der diesem 
Kreisbogen entsprechende Peripheriewinkel wird als ,,Gefahrwinkel" 
am Sextanten eingestellt. Solange vom Schiffe gesehen der Winkel 
zwischen den Objekten kleiner ist, befindet man sich frei von den 
Untiefen. 

e) Lotungen, W. Thomsons Lotmctschine. Eine Lotung gibt als 
Standlinie die ihr entsprechende Linie gleicher Wassertiefe. Diese 
,,Tiefengleichen" sind in den Seekarten far je 5 oder je 10 m Wasser 
tiefe ausgezogen. Die Tiefenangaben der Karten beziehen sich ge- 
wohnlich auf das mittlere Niedrigwasser bei Springzeit. Zu anderen 
Zeiten gemachte Lotungen sind auf diese Zeit zu beschicken. AuBer 
der Wassertiefe gibt haufig auch die Bodenbeschaffenheit AufschluB 
fiber den Schiffsort, weshalb man sich bei jedem Lotwurf gleichzeitig 
mittels einer in den * Boden des Bleilotes eingelassenen Talgmasse 
auch eine Bodenprobe verschafft. Die Wassertiefe wird entweder un- 
mittelbar an der Lotleine gemessen oder, da dieses Verfahren nur bei 
sehr langsamer Fahrt moglich ist, nach W. Thomson aus dem am 

46) Z. B. Stereo-Telemeter, haupteachlich ausgebildet von C. Zeift in Jena, 
und der Dietanzmeeser von Barr und Stroud, eiehe z. B. Stupar, p. 204. 

46) Fast ausschliefilich artilleristischen Zwecken dient auch die sogenannte 
Horizontmethode , bei der man den Winkel mifit ^wiacben der Kimn: iind dem 
(schwiinmenden) Objekt, dessen Entfernnng gesucht ist. 



8. Kustenschiffahrt. 319 

Meeresgrunde herrschenden Wasserdruck bestimmt. Zu dem Zweck 
wird mit dem an einem dttnnen Stalildralit hangenden Lot eine etwa 
600 mm lange unten offene und oben geschlossene Glasrohre init 
hinabgegeben. Die Rohre 1st innen mit einem Belag von chrom- 
saurem Silber versehen. Dieser rote Belag wird durch das ein- 
dringende Salzwasser entfarbt, so daB nach dem Heraufholen der 
Rohre die Wassertiefe nach dem Mariotteschen Gesetz bestimmt oder 
an einem Mafistabe abgelesen werden kann. 

Ein Tiefenanzeiger von Massey miflt die Wassertiefe durch die 
Umdrehungszahl einer Schraube, die in fester Verbindung mit dem 
Lot hinunterfallt. 

Unter dem Namen Tiefenmelder (submarine sentry) Bind Drachen- 
apparate vereinzelt im Gebrauch, die, auf eine bestimmte Tiefe ein- 
gestellt, vom Schiffe nachgeechleppt werden. Wenn sie den Grund 
beriihren, so zeigen sie dies dadurch an, dafi sie infolge der Aus- 
losung eines Hakens an die Oberflache kommen 47 ). 

Wichtiger noch als fur die Ortsbestimmung sind die Lotungen 
als oft einziges Mittel zur Erkennung unmittelbar drohender Gefahr. 

f ) Verbindungen zweier Standlinien zur Scstimmung des Schiffsortes. 
Von den mannigfachen Verbindungen zweier Standlinien zur Bestim- 
mung des Schiffsortes seien besouders die folgenden erwahnt. 

Als Kreuspeilung bezeichnet man die Positionsbestimmung durch 
Peilung zweier Punkte A und B. Fur die zweite Peilung kann dabei 
die Messung des Horizontalwinkels zwischen A und J5 eintreten, 
was besonders zu empfehlen ist, wenn dieser Winkel klein ist. 

Die Horizontalwinkelmessung kann mit einer Abstandsbestimmung, 
etwa durch Hohenwinkelmessung, kombiniert werden. 

Als Doppelwirikelmessung oder Aufgdbe der vier Punkte bezeichuet 
man die Ortsbestimmung durch Messung von zwei Horizontalwinkeln 48 ) 
(Snellius-Potltenot, geodatisch Riickwartseinschneiden, vgl. VI i, 1, 
Nr. lOb). 

Das wichtigste Hilfsmittel zur Fiihrung eines Schiffes, zumal 
eines Dampfers langs einer Kfiste, sind unausgesetzte Doppelpeilungen. 



47) Betreffs der inannigfaltigen Ausgestaltung, die die Lotapparate auf 
Grund der genanuten Prinzipien erfahren haben, s. den Bericht Ton E. Kohlschfitter^ 
Deutsche Mechaniker-Zeitung 1906, p. 21, sowie die Berichte in der Marine Rund 
schau 19 (1908), p. 1409; 20 (1909), p. 53 und 61. 

48) Zur Bchnellen Auffindung dee Schiffsortea Bind ,,Doppeltxan8porteure" 
im Gebrauch. Diese sind mehrfach BO ausgestaltet worden, dafi die Winkel un 
mittelbar am Transporteur eingestellt werden kOnnen. Vgl. E. KoMschutter, 
Deutsche Mechaniker-Zeitung 1906, p. 20 und Eoth, p. 235; Stupar, p. 222. 



320 VI i, 6. H. Meldau. Nautik. 

Darunter versteht man die zwefonalige Peilung desselben Objektes bei 
bekannter zwischenliegender Versegelung. Beispielsweise peilt man 
jedes aufkommende Leuchtfeuer, sobald es 45 von vorn und wenn 
es querab erscheint. Dann 1st der Passierabstand gleich der inzwischen 
zuriickgelegten Distan/. Neben dieser einfachsten als ,,Vierstrich- 
peilung" bekannten Regel leisten noch eine Reihe anderer einfacher 
Falle von Doppelpeilungen fiir die sichere Ftthrung des Sclriffes gute 
Dienste 49 ). 

B. Der Kompaft an Bord eiserner Schiffe. 

9. HistoriKche Einleitung. a) Phasen der Problemstellung. Das 
Problem der Ablenkung oder Deviation des Kompasses an Bord der 
Schiffe ist ein neuzeitliches. Im Anfange des neunzehnten Jahrhunderts 
zuerst auftretend, hat es mit der zunehmenden Verwendung des Eisens 
als Schiffbaurnaterial und mit den erhohten Anforderungen an den 
ozeanischen Verkehr von Jahrzehnt zu Jahrzehnt an Bedeutung ge- 
wonnen. 

Die Entwicklung der Problemstellung ist durch die folgenden 
Etappen gekennzeiehnet. Im ersten Drittel des neunzehnten Jahr- 
hunderts hat noch das alte Holzschiff die Alleinherrschaft, nur werden 
auf ihm von Jahr zu Jahr mehr eiserne Ausriistungsgegenstande ein- 
gefiihrt. In den dreiBiger Jahren tritt in der Handelsmarine neben 
das holzerne das eiserne Schiff. Vom Jahre 1859 an geht auch die 
Kriegsmarine, die bis dahin zum Teil mit Rucksicht auf den KompaB 
dem holzernen Schiffsrumpf treugeblieben war, plotzlich und mit 
grofier Energie zum Bau eiserner Panzerschiffe iiber. Die Eisen- 
massen dieser Schiffe werden in der weiteren Entwicklung immer 
machtiger, die Kompasse selbst werden zum Teil unter Panzerschutz 
gestellt, wodurch die Anforderungen an die Konstruktion dieses In- 
strumentes und die Schwierigkeiten seines Gebrauches stetig wachsen. 

b) PJiasen der Losungsversuche. Der Entwicklung der Problem 
stellung parallel gehen die Losungsversuche. Auch in den ange- 
wandten Losungsmethoden sind verschiedene Phasen erkennbar. 

Das Problem wird in den Kreis wissenschaffclicher Behandlung 
geriickt durch M. Flinders 60 ). In der von den Arbeiten Flinders be- 



49) Biehe die Lehrbiicher der Navigation. Cber die Aufgaben der Kiisten- 
schiffahrt handelt K. von Pott, tftjer moderue terrestrische Nautik, Mitt. 34 
(1906), p. 418. 

60) Flinders, Kapitan eines cnglisciien Kriegsschiffes, leitete 18011803 
Vermessungsarbeiten an den Iviisten Austraiieus, wobei or die ersten Beobach- 
tun^en ftber Ablenkung machte , London Phil. Trans 1806, p. 186 und M. Flin- 



9. Historische Einleitung. 321 

herrschten ersten Periode, bis 1820, beschrankt man sich im wesent- 
lichen auf eine experimentelle Peststellung der Erscheinungen und 
sueht durcli empirische Formeln die Ablenkung als Funktion des 
Kurswinkels und der magnetisclien Breite darzustellen. Da auf Holz- 
schiffen permanenter Magnetismus fast ganz aufier Spiel bleibt, die 
Verteilung des Eisens und der Aufstellungsort des Kompasses auf 
solchen Schiffen aber im wesentlichen ubereinstimmte, so durfte man 
von dieser Art der Losung iimnerhin Erfolg erhoffen. 

Mit den Jahren 1819 1820 beginnen die Versuche, die beob- 
achteten Erscheinungen auf ihre magnetischen Ursachen zuriick- 
zufiihren 51 ). Besonders kommen hier eine Abhandlung von Th. Young**) 
und Experimentaluntersuehungen von P. Barlow**) in Frage. 

Die Untersuchungsmethode von Young und Barlow ist die des 
Studiums von Spezialfallen, insbesondere sucht man die an Bord ge- 
fundenen Ablenkungen als von einer mittschifis vor dem Kompafi 
gedachten, der erdmagnetischen Induktion uaterworfenen Eisenkugel 
ausgehend darzustellen. Die aus diesen Untersuchungen hervor- 
gegangenen Vorschlage zur Berechnung der Deviation, zu ihrer ex- 
perimentellen Bestimmung niittels einer zeitweilig vor dem KompaB 
angebrachten Weicheisenkugel und zur ^Compensation der Ablenkung 
konnen heute nur noch historisches Interesse beanspruchen 5 *). 

Das Fundament der heutigen Theorie des Schiffsmagnetismus ist 
von S. I). Poisson**) gelegt, dem es 18,38 gelang, einen allgemeinen 
Ansatz fur die Losung des Problems zu. finden. Wahrend die direkte 
Berechnung der magnetischen Wirkung gegebener Eisenmassen auf 
den KompaB auBer in den einfachsten Fallen 66 ) groBe und im allge- 

ders, A voyage to terra australis, London 1814, 2. Eine Daretellung und Bear- 
beitung der Flindersschen Boobaehtungeu gibt G. D. E. Weyer, Ann. d. Hydr. 16 
(1888), p. 82. 

51) Die Anregung ging beeondera von den Erfahrungen aus, die man auf 
den Keiaeit von /. Ross und Edw. Parry zur Erforschung einer nordwestlichen 
Durchfahrt und auf Walfiachfabrern in hohen magnetischen Breiten gemae.ht 
batte. S. London Phil. Trans. 1819, p. 112 u. p. 96. 

52) Quart. Journ. Sci. 9 (1820), p. 372. 

63) Essay on magn. attractions, London 1820. 

54) Eine Darstelluug dieses Entwickluugsstadiums, dessen Ergebnisse bis 
iiber die Mitte des Jahrhunderts hinaus fiir Holzschiffe eine gewisse praktische 
Bedeutung behalten, gibt H. Meldau, Ann. d. Hydr. 83 (1905), p. 411. 

66) Me"m. de 1 Inntitut 16 (1838), p. 479. Der Hauptgedanke findet sich 
Bchon am Schluese der zweiten der beiden Abhandlungen xiber die Theorie dea 
Magnetismua, die Poisson 1824 der Akademie vorlegte (Mem. de 1 Inatitut 6 (1826), 
p. 533). Er wird dort aber nur zur Abzahlung der fiir das Verachwinden der 
Deviation notigen Bediagungen benut/.t. 



322 VI i, 6. H. Meldau. Naufcik. 

gemeinen uniiberwindliche Schwierigkeiten bietet, faBte Poisson den 
Gedanken, daB die Form der allgemeinen Gleichungen, welche diese 
Wirkung darstellen, nicht von der Gestalt, der Lage oder der Induk- 
tionsfahigkeit des Eisens abhangt, sondem sich unraittelbar aus ein- 
fachen physikalischen tJberlegungen ableiten lafit. Diese Gleichungen 
(s. Nr. 13b) enthalten eine Anzahl von der Koniiguration und der 
magnetischen Beschaffenheit des Schiffseisens abhangiger Konstanten, 
die aber ohne Kenntnis dieser Besonderheiten aus den Wirkungen in 
verscbiedenen Lagen des Schiffes experimentell gefunden werden 
konnen 57 ). 

Die von Poisson aus den Grundgleichungen abgeleiteteii Aus- 
driicke zur Berechnung der Deviation sind noch wenig durcbsichtig. 
Die Ausgestaltung der Deviationstheorie auf Grund der Poissonschen 
Gleichungen ist durch A. Smith 68 } geschehen. Ihre endgultige Form 
hat die Theorie in der ersten Auflage des Admiralty Manual im 
Jahre 1862 erhalten, als nach dem Bau der ersten Panzerschifle die 
groBen auf ihnen beobachteten magnetischen Storungen zum Ge- 
brauche von exakten an Stelle von Naherungsfonneln notigten 59 ). 

c) Airys Kompettsationsvorschlage. Fur die eisernen Schiffe ; deren 
Zahl und GroBe in der Handelsmarme von der Mitte der dreiBiger 
Jahre an stetig zunahm, sind zunachst von der Entwicklung der 
Poissonschen Gleichungen ganz unabhangige Bestrebungen maBgebend, 
namlich die Versuche, durch kunstliche Mittel den KompaB wieder 
fehlerfrei zu machen. Diese Versuche gingen aus von G. B. Airy und 
griindeten sich auf Untersuchungen an den ersten eisemen See- 
schiffen ,,Rainbow" und ^Ironsides" 60 ). Als hervorstechendstes Re- 



56) Die der Rechnung zug&nglichen Falle der magnetischen Wirkung in- 
dividueller WeicheisenmaaBen hat A. Smith 1865 behandelt (s. London Phil. Traus. 
155 (1865), p. 804). 

67) Poissons Interesse ist bei diesen Untersuchungen vorwiegend der erd- 
magnetischen Forschung zugewandt, und zwar verfolgt er den Plan, die De- 
klination und daneben die in die Gleichungen eingeheude Inklination aus den 
an Bord vou Schiffen angeatellten Deklinationsbeobachtungen abzuleiten, nach- 
dem filr das Schiff gewisee Konstanten durch Beobachtungen im Heimatshafen 
ermittelt sind. 

58) Auch fur die Weiterentwicklung der Theorie iat zunachst das erd- 
magnetische Interesse die Haupttriebfeder. Sie findet sich in Beitragen von 
A. Smith zu Ed. Sdbine, Contrib. to terr. magn., zum Zwecke der Reduktion der 
auf den Schiffen ,,Erebus" und ,,Terror" gemachten magnetischen Beobachtungen, 
London Phil. Trans. 1848, p. 147; 1844, p. 116; 1846, p. 347. 

69) Vgl. Nav. Arch. Trans. 8 (1862). 

60) London Phil. Trana. 1889, p. 186. 



9. Historische Einleitung. 323 

sultat hatten diese Untersuchungen das Vorhandensein ernes enormen 
Betrages von permanentem Magnetismus im eisernen Schiffskorper er- 
geben 61 ). 

Die Theorie, deren sich Airy zur Auffindung geeigneter Kom- 
pensationsvorrichtungen bedient, zerspaltet zum ersten Male die Ab- 
lenkung in zwei Tcile 63 ). Den einen bezeichnet Airy als polare, den 
anderen als quadrantale Deviation. Die Ursachen der polaren Ab- 
lenkung sind 1) der permanente Schiffsmagnetismus und 2) die durch 
erdmagnetische Vertikalinduktion in den Weicheisenmassen erzeugten, 
wahrend der Drehung des Schiffes unveranderlichen Pole, Die Ur 
sachen der Quadrantaldeviation sind die durch erdmagnetische Hori- 
zontalinduktion in den Weicheisenmassen erzeugten, wahrend der 
Drehung des Schiffes veranderlichen Pole. Hinzu kommt noch eine 
bei seitlicher Neigung des Schiffes auftretende Zusatzablenkung, der 
Krangungsfehler. 

Der Umstand, da6 an Bord der von ihm untersuchten Schiffe 
die quadrantale Ablenkung nur einen geringen Betrag aufwies, ver- 
anlaBte Airy, dem induzierten Magnetismus iiberhaupt nur eine ge- 
ringe Bedeutung fur eiserne Schiffe beizumessen und sich zur Kom- 
pensation der polaren Deviation auf permanente Magnete zu beschranken. 
Zur Kompensation der Quadrantaldeviation sind nach Airy seitlich 
vom KompaB in der Hohe der Magnetnadeln Massen weichen Eisens 
anzubringen. 

Fiir die Kompensation des Krangungsfehlers gibt Airy eineu vor 
dem KompaB senkrecht zum Deck in der Hohe der Nadeln zu be- 
festigenden Magnet an 68 ). 

d) Streit um die Kompensation. tFber den richtigen Weg, den 
KompaB an Bord der Eisenschiffe gebrauchsfahig zu erhalten, ist 

61) Permanenter Magnetismus war zuerst 1835 konstatiert; London Phil. 
Trans. 1836, 2, p. 267. 

62) Airy gent nicht von den Poiesonschen Gleichungen axis. Er sagt dar- 
uber: Ich wurde gern die Berecbnuug nach Poissons Theorie gemacht haben. . . 
Die Schwierigkeiten der Anwendung dieser Theorie auf verwickeltere Falle sind 
groB, vielleicht unviberwindlich. 1 Die von Airy entwickelte Theorie von der 
er sich selbst von vornherein nur qualitativ richtige Resultate verspricht 
nimnit jedes Eiseuteilchen als in der Inklinationsrichtung proportional der 
erdmagnetiscben Kraft polarisiert an, ohne die gegenseitige Beeinfluasung der 
Teilchen ?,u berucksichtigen. 

63) Diese Kompensationsvorrichirong ist nicht in Aufnahme gekommen. 
Noch 1860 sagt Airy, die Krangungsdeviation sei noch nicht auf einfache Ge- 
setze znrfickgefiihrt, ihre Kompensation sei die einzige, die wirkliche Schwierig- 
keit darbiete (Nav. Arch. Trans. 1 (1860), p. 107) Diese Lflcke ist 1862 durch 
A. Smith ausgefiillt (1. Aufl. des Adm. Man.). 



324 VI i, b. H. Meldau. Nautik. 

zwei Jahrzehnte lang gestritten worden. Auf der einen Seite forderte 
man unter Verabscheuung jedes Eingriffes in die Wirksamkeit der 
naturlichen schiffsmagnetischen Krafte: sorgfaltige Auswahl des 
KornpaBortes, Beobaclitung ui)d Tabulierung der Fehler und Na- 
vigierung nach diesen Tabellen. Gegen die Kompensation fuhrte 
man besonders an, daB sie den Schiffsfuhrer in triigerische Sicher- 
heit wiege, daB sie die Deviationsanderung bei Veranderung der 
Vertikalkraft unberiicksiciitigt lasse, und daB sie eine wirkliche Er- 
kenntnis der magnetischen Storungen vereitle. Airy hingegen be- 
zeichnet das System, das Scliiff nach Ablenkungstafeln zu fiihren, 
wegen der leicbt moglichen Irrtumer als ein gefahrliches; es schutze 
auBerdem in keiner Weise vor den Wirkungen etwaiger Anderungen 
im ,,subpermanenten" Magnetismus, im Gegenteil verschleiere es nur 
diese Wirkungen durch die bei Breitenanderungen wegen der Ande- 
mngen der Horizontalintensitat eintretenden Deviationsanderungen. 
So babe es mit einem ,,gratuitous error" zu rechnen, von dem ein 
kompensierter KompaB vollig frei sei 6 *). 

Beiden Systemen gegeniiber vertrat W. Scoresby die Anscbauung, 
daB der Magnetismus eines eisernen Schiffes durchaus uustabil sei 
und durch jede Erschfltterung des Scniffes in der See verandert 
werde 65 ). Scoresby gebiihrt das Verdienst, die Frage 1854 vor das 
Forum der British Association gebracht und dadurch Veranlassung 
zur Bildung des Liverpool Compass Committee gegeben zu haben, 
Durch die systematischen Arbeiten dieser Kommission in den Jahren 
1854 1861 wurden die physikalischen Grundlagen des Problems hin- 
reichend geklart 66 ), so daB von da ab eine einheitliche Behandlung 
der Frage eintreten konnte. 

e) Ausgang des Streites. Es erwies sich, daB die Kompensation 
besonders wegen des durch sie gleichzeitig erzielten Ausgleiches 
der Richtkrafte ntitzlich und haufig notwendig 1st, daB sie aber 
nicht ihr ursprungliches Ziel der Annullierung der KompaBfehler er- 
reichen kann. Ihre Aufgabe ist lediglich, die Ablenkung fur alle be- 



64) London Phil. Trans. 146 (1866), p. 79. 

66) W. Scoresby, British ABB. Rep. 1847, 1864; Mag. Invest. 2, 1862; The 
compass in iron ships, London 1864. Scoresby seinerseits empfahl als einzige 
Bettung einen hoch an einem holzernen Mast angebrachten KornpaS; aus kiue- 
tiichen Grunden sind jedoch hoch angebrachte Kompasse durchaus nicht zu 
empfehlen (B. 18 e und FuBnote 137). 

66) First and second reports from the Liverpool Compass-Committee, London 
1857. Third report . . ., London 1862. Einen interessanten Bericht hierflber 
geben A. Smith und F. Evans, Brit. Ass. Rep. 1862. 



10. Magnetische Eigensehai ten des Schiffseisens. KompaBort. 325 

fahrenen Breiten in bequeme Grenzen einzuschlieBen und daneben die 
Richtkrafte auf den verschiedenen Kursen auszugleichen. Die iibrig 
bleibende Deviation iet zu beobachten und rechnungsmaBig wie die 
eines unkompensierten Kompasses zu behandeln. 

Der exakten Anwendung der Airyschen Koinpensationsmitfcel 
stellten sich noch erne Reihe von Hindernissen in den Weg, her- 
riihrend eineraeits von der im Vergleich zur Entfernung der Magnete 
und Weicheisenmassen nicht zu vernachliissigenden Nadellange, anderer- 
seits von der Nadelinduktion zwischen den Weicheisenraassen und 
dem Magnetsystem der KonipaBrose. Diese Schwierigkeiten sind einer- 
seits durch die Untersuchungen von A. Smith und F. Evans fiber den 
EinfluB der Nadellange und die nach den Ergebnissen dieser Unter 
suchungen konstruierten Mehrnadelsysteme (s. Nr. 18b), andererseits 
durch die Anwendung von KompaBrosen mit auBerordentlich geringeni 
magnetischen Moment iiberwunden worden (s. Nr. 18c). 

10. Maguetische Eigensohaften dee Sehiffsoiseus. KompaBort. 
a) Fester Schiffsmagnetismus. Der feste Schiffsmagnetismus ruhrt aus 
der Bauperiode des Schifies her. Wahrend das Schiff zu dieser Zeit 
der erdmagnetischen Induktion ausgesetzt ist, wird die Entstehung 
von festem Magnetismus durch die intensiven Erschiitterungen der 
Nietarbeit begiinstigt. Ein Teil des so erworbenen Magnetismus bleibt 
stets im Schiff erhalten. 

Die Lage der ,,magnetischen Achse" des Schiffes ist vom Baukurse 
abhangig 67 ), sie fallt annahernd in die Ebene, die beim Ban im 
magnetischen Meridian lag. Auf modernen Schiffen, insbesondere auf 
Kriegsschiffen, macht sich oft der EinfluB einzelner in der Nahe des 
Kompasses befindlicher Eisenmassen in emem solchen Grade bemerk- 
bar, daB der Baukurs in den magnetischen Kraften am KompaBort 
nicht mehr erkennbar ist, so daB man von einer ; ,magnetischen Achse" 
des Schiffes nicht wohl mehr sprechen kann (s. Nr. 10 d). Eine be- 
deutende Reduktion des aufgenomnaenen Magnetismus tritt bei der 
ersten Anderung der Lage des Schiffes nach dem Stapellaufe ein 68 ). 
Nach langerer oder kiirzerer Zeit, je nach den Kursen, auf denen das 



67) Zuerst yeraratet ist dies von Edw. J. Johnson (London Phil. Trana. 
1836, p. 285); Airy hat lange den Gedanken einer Abhangigkeit dee magne 
tischen Charakters eines SchifFes von der Richtung und der Temperatur, welche 
die zum Ban verwendeten Eisenplatten beim Walzen batten, verfolgt, London 
Phil. Trans. 1839, p. 212; Nav. Arch. Trans. 1862; London Phil. Trans. 162(1862), 
p. 273. 

68) Deviationuandertmgen von 1020 in wenigen Tagen sind nichtw Un- 
gewShnliches. 

Kucyklop. d. math. Wiicnich. V ! 1. 22 



326 VI i, 6. H. Meldau. Nautik. 

Schiff uachher liegt und je nach den Erschiitteruugen , denen es auf 
ihnen ausgesetzt ist, bildet sich allmahlich ein nahezu stationarer Zu- 
stand im Baumagnetismus des Schiffes heraus. In der Regel ist der 
ProzeB der Abschtittelung des ,,halbfesten" Magnetismus bei einem in 
Fahrt befindlichen Schiffe nach Jahresfrist praktisch beendet 69 ). 

Es sei noch folgendes hinzugefiigt. Der beste Baukurs ist der 
magnetische Meridian. Anf diesem Kurse entstehen nur Langsschiffs- 
krafte, wahrend bei 0- oder W-Kurs neben Querschiffs- such Langs- 
sehitfskrafte entstehen. Der Querschiffsmagnetismus erweist sich als 
erheblich variabler als der Langsschiffsmagnetismus, dadurch wird die 
Gesamtkraft am Kompafiort nach Grb Be und Richtung veranderlich. 

Nach dem Stapellauf ist das Schiff womoglich in die dem Bau- 
kurse entgegengesetzte Richtung zu legen und hat in dieser Lage 
seine weitere Ausriistimg zu empfangen. Dadurch wird die Absehutte- 
lung von halbfestem Magnetismus, sofern dieser auf Horizontalinduktion 
beruht, sehr beschleunigt und in die Bauzeit hineinverlegt 70 ). Zu 
einer Reduktion des durch Vertikalinduktion entstaiidenen Baumagne 
tismus ist erst bei einer etwaigen Fahrt des Schiffes in siidmagne- 
tische Breiten Veranlassung gegeben. 

b) Hcdbfester Schi/fsmagnetismus. Wenn das Schiff langere Zeit 
ein und denselben Kurs ateuert, oder weim es langere Zeit im Hafen 
beim Loschen und Laden in derselben Richtung liegt, so setzt sich 
dabei im Schiffe neuer Magnetismus fest, dessen Verteilung in erster 
Linie vom gesteuerten Kurse ; dessen Betrag von der Lange der Zeit, 
die das Schiff auf dem Kurse lag, von den Erschfltterungen , denen 
es ausgesetzt war, von den erdmagnetischen Elementen des Schiffs- 
ortes und in hohem Grade von den magnetischen Eigenschaften der 
zum Bau verwendeten Eisen- oder Stahlsorte abhangt. 



69) Beispiel: C. Koldewcy, Ann. Hydr. 26 (1897), p. 22. Bemerkenswerte 
Anderung der Deviation des Regelkompasxses des Dampfes ,,Phoenicia u wahrend 
des ersteu Fahrtjahres. 

70) Siehe z. B. London Phil. Trans. 150 (I860); J. Un. Serv. Inst. 9 (1865). 
Ann. d. Hydr. 1906, p. 495. Nfthere Ausfiihrungen fiber BaumagnetismuB s. ,,Schiff- 
bau" 9 (1907), p. 14. Die vollige Demagnetisierung oder Depolarisierung der 
Eisenschiife ist mehrfach versucht worden, znersi in England von K. Hopkins 
an dem Kriegeochiffe ,,Northumberland" (J. Un. Serv. Inst. 1866). Zurackgewieseii 
wird das Verfahren, soweit es in einer Bearbeitung dee Schiffsrumpfes mit Elek- 
tronaagneten bestand, durch F. Evans (London Phil. Trans. 168 (1868), p. 487 
und J. Un. Serv. Inst. 1872). Interessante Versuche eind spater in Osterreich von 
/. Peichl gemacht (Geschicbte der Entwicklung des magnetischen Charaktera 8. 
M. Kriegsschiffe und Entwurf eines ana derselben abgeleiteten Depolarieierungs- 
verfahrens, Pola 1876). 



10. Magnetische Eigenachaften des Schiffsoisens. Kompafiort. 

c) Fliichtiger Schift smagnetismus. Zum Teil iat das zian Bau 
von Schiffen verwandte Eisen als ntagnetisch weich zu bezeichnen, 
d. h. als Eisen, dessen Magnetisierung sich momentan mit der magne- 
tisierenden Ursache andert, und dessen Magnetisierungsriehtung an 
jeder Stelle mit der dort vorhandenen Feldrichtung zusammenfalit. 

d) Wahl des Kompafiortes. Bei gegebeneu Eisenmassen des 
Schiffes sind die magnetischen Verhaltnisse, unter denen der KompaB 
zu arbeiten hat, in hohem Grade von dem Orte abhangig, den man 
dem Instrumente anweist. Das Streben nmB dahin gehen, den KompaB 
auBerbalb des Bereiches der Wirkung individueller Eisenmassen zu 
stellen, so daB das Schiff magnetisch nur als Ganzes am KompaBorte 
wirkt. An Bord der modernen Kriegsschiffe ist die Erfiillung dieser 
Forderung meist nichfc niehr erreichbar 71 ). 

Da man bei den Kompassen, die als Steuer- oder Manoverkompasse 
dienen sollen, in der Wahl des Platzes durch die Rueksicht auf den 
Dienst meist an magnetisch weniger giirisi/ige Ortlichkeiten gebunden 
ist, so atellt man aufier diesen einen ,,Normal"- oder ,,IiegelkompaB" 
an einem moglichst gfinstigen Platze, unter alien Umstanden in der 
Symmetrieebene des Schiffes, auf. Dieser KompaB ist fur die Navi 
gation maBgebend ; neben ihm sind die (ibrigen Kompasse nur als 
Ubertragungsinstrumente anzusehen. 

Das wirksamste Mittel zur Vermeidung ungiinstiger magnetischer 
Verhaltnisse besitzt man in der Verwendung von Gelbinetall oder 
schwach magnetisierbaren Stahllegierungen, insbesondere von Nickel- 
stahlen 72 ), in der nachsten Umgebung des in Aussicht genommenen 
KompaBortes. Die Kaiserliche Marine verwendet seit mehreren Jahren 
mit gutem Erfolg zu diesem Zweck 23prozentigen Niekelstahl 7a *). 

71) S. z. B. E. W. Creak, J. Un. Scrv. last. 33 (1889), p. 949. 

72) Die Frage der magnetischeu Permeabiiit&t der Nickelstahle ist noch 
nicht genvigcnd gcklart. Nach den Untersuchnngen von Oh. Ed. Gwllaunic, 
F. Osmond und G. Tammann (B. Zeitschr. f. anorg. Ghemie 46 (1905), p. 206, wo 
weitere Literaturangaben, 60 (1908), p. 416, Zeitschr. f. phys. Chemie 65 1 (1908), 
p. 73) zeigen Nickelstahle von etwa 6 bis 36 Gewichtaprozeuten Nickel irrever 
sible Umwandhmgen derart, dafi eie ihre Permeabilitat beim Erhitzen bei Tena- 
peraturen von 760 460 verlieren und beim Abktihlen diese erst bei erheblich 
niedrigeren Temperatureu wiedererlangen. Letztere Temperatur soil bei 20 bia 
30 prozentigen Schinelzen teilweise zwischen 100 und liegen. Fur techniach 
hergestellte Nickelstahle, wie sie beiin Schiffbau Verwendung finden, ergaben von 
der Physikalisch-Techniachen Eeichsanstalt gemachte und bis zur Temperatur 
von 40 gehende Untersuchungen keine wesentliche Anderung des in der 
Regel zwiechen 1,0 und 1,1 liegenderi Wertea von p mit der Temperatnr. 

72*) Anch auf den nencren Pasaagierdampfern dea Norddeutschen Lloyd, 
bei deneu der Kompafi im Interesse dea Dienstes in eiuem geschloeeenen Brflckeu - 

22* 



328 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

11. Beobachtungsmethoden 73 ). a) Zu bestimmende Grofien. Das 
durch die schiffsmagnetisclien Kriifte am KompaBorte erzeugte Magnet- 
feld iiberlagert sich dem erdmagnetischen. 

Far den KompaB 1st unmittelbar nur die liorizontale Komponente 
des entstehenden Gesamtfeldes von Bedeutung, und zwar interessiert 
in erster Lime der Winkel, den diese Koinponente mit dem mague- 
tischen Meridian bildet, in zweiter Linie auch ihre GroBe, die in den 
Lehrbuchern meist als , 7 Richtkraft" bezeiehnet wird 73 *). Sie soil iin 
folgeuden ,,horizontale Feldstarke" genannt werden. Die Vertikal- 
kompouente des Gesamtfeldes bei aufrecht liegendem Schiff ist von 
Interesse, weil ihr schiffsmagnetischer Bestandteil bei der Neigung 
des Sehiffes eine horizontale Komponente liefert. 

b) Ermittelung der Deviationen. Man findet die Deviation, indem 
man mit einer um den Mittelpnnkt des Kompafideckels drehbaren 
Visiervorrichtuug die KompaBpeilung eines geeigneten Objektes be- 
stiinmt 7 *) und diese KompaBpeilong mit der magnetischen Peilung 
vergleicht 75 ). ZaMt man die Ablenkungen und die Peilungen von 
Nord aus reckts herum, so ist 

d = K , 

weun 8 die Ablenkung der Rose, a die magnetische Peilung und 
die zugehorige KompaBpeilung eines Objektes bezeichnen. 

hanse steht, ist fur die Wande des Hauses, soweit sie nicht aus Holz beatehen, 
hochprozentiger Nickeletahl oder Messing verwandt. Von beeouderem Intereeee 
ist der neuerliche Versuch, die tnagnetiechen Verhaltniase des Kompa8ortes da- 
diirch zu verbessern, daB die ganze mittlere Sektion des Bruckenhauses auf 
2 3 in Breite HUH nichtmaguetischem Me tall hergestellt wird. Man hofft so 
eine naturliche Kompensation der Querschiffsinduktiou zu erzielen. 

73) Der Inhalt des TexteB bezieht eich auf navigatorische Beobachtungen. 
ttber magnetische Beobachtuugen an Bord fur erdmagnetisch-wissenschaftliche 
Zwecke eiehe inabesondere Fr. Bidlingmaier , Deutsche Sudpolar-Expedition, 
V. Erdmagnetismns I, Kap. 3 und 4. 

Methoden, wie sie /. Ripoll, Rev. mar. 176 (1907), p. 613 als methodes nou- 
velles et precises enipfiehlt, verfetilen ihr Ziel schon deshalb, weil sie den an 
Bord vorliegenden Beobachtungsbedingungen durchaus nicht angepa^t Bind. 

73 ) Andererseits wird unter Richtkraft der Wert des Produktes aus Feld- 
starke und magnetischem Moment des Nadelsystems der Eompafirose verstaaden. 
E. Eottok und das Lehrbuch der Navigation (Lit. B) bezeichnen -dieses Produkt 
ale ,,Richtraoment u . 

74) Ygl. Nr. 8b. 

75) Magnetische Azimute nennt man die vom magnetiechen Meridian aus 
gezahlten im Gegenaatz zu den vom Nord- oder Sudpunkt des Eompaaaeu aus 
gezahlten jfiromp/8azimuten. Ebenso spricht mail von magnetiscfan und Kompafi- 
knnea. 



11. Beobachtungsmethoden. 329 

Handelt es sich urn eine vollstiindige Deviationsbestimmung, so 
ist das Schiff womoglich zweiinal, reclits und links, herumzudreheu, 
und es sind dabei die Ablenkungen etwa von 10 zu 10 des 
Drehungswinkels zu ermitteln. Als anzuvisierendes oder ,,Peil"-Ob- 
jekt verwendet man in diesem Falle entweder einen in einiger Ent- 
fernung am Lande in eisenfreier Umgebung aufgestellten KompaB, an 
dem gleichzeitig ein zweiter Beobachter das magnetische Azimut der 
Verbindungslinie der beiden Kompasse feststellt, oder ein entferntes 
terrestrisches Objekt oder zwei terrestrische Objekte in dem Augen- 
blicke, wo sie sich init dem Kompasse in gerader Linie befinden 76 ). 
Die magnetische Richtung entnimmt man in diesen Fallen der Karte. 

AuBer Sicht des Landes ist man auf das Peilen von Gestirnen 
angewiesen 77 ). Aus dem berechneten wahren Azimut findet man in 
diesem Falle zunachst die ? ,Gesamtmifiweisung" 7 aus der man durch 
Subtraktion der erdmagnetischen Deklination die Ablenkung erhalt. 

Bis auf ihr konstantes Glied (s. Nr. 13 c p. 337) laBt sich die 
Ablenkung ohne Kenntnis des magnetischen Azimutes des Peilobjektes 
finden. Man berechnet, am besten nacb Rechts- und Linksdrehung, 
zunachst die relativen Deviationen gegen ein angenommenes ungefahres 
magnetisches Azimut und verschiebt sodann die Deviationskurve ge- 
gebenenfalls unter Beriicksichtigung des von friiher bekannten kon- 
stanten Gliedes der Ablenkung 78 ). 

c) JDcviationskurven. Das bei einer vollstandigeu Deviations 
bestimmung erhaltene Beobachtungsmaierial wird in den rueisteu 
Fallen zweckinaBig zunachst graphisch verarbeitet. Die Darsteliung 
der Ableukung durch eine Kurve gewahrt nicht allein die flblichen 
Vorteile eines bequemen Fehlerausgleicbes, eines bequeinen Einschaltens 
und eines tjberblickes fiber den Gesamtverlauf der Deviation, sie 
bietet auch das einfachste Mittel, um aus den fur die KompaBkurse 
beobachteten Ablenkungen die fiir die magnetischen Kurse geltenden 
zu fiuden. 



76) Bei gegenuberiiegenden Pcilobjekten wird dieser Augeablick durch ein 
Sauernfeindaches Prismenkreuz festgcstellt (Ann. d. Hydr. 4 (1876), p. 384). Da 
Deckpeilungen in mancher Beziehung Vorteile bielen, so hat z. B. die Kaiser- 
licbe Marine in Kiel und Wilhelmsbaven besondere Vorkohrangon dazu in Ge- 
gtalt von Deviationsbaken getroffen, die in Deckung mit bcstimmten Kirchtflrmen 
oder einer besonderen Zentralbake bekannte magnctische Ricbtungen ergeben. 

77) Auch in Sicht des Landes sind haufig Peilungon VOTI Gestirnen das 
bequemste Hilfsmittel. 

78) Szigydrtfi-Florian, Mitt. 13 (1885), p. 461; H (188S), p. 605: 21 (1893), 
p. 24: A. Stupor, Terr. Nav., p. 70. 



330 



VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 



Die Kreisteilung der KorapaBrose sei in eine geradlinige Achse 
ausgestreckt. Tr agt man die den Kompafikursen entsprechenden Ab- 
lenkungen miter irgsndeinem Winkel zur Achse auf und verbindet 
die Endpunkte der aufgeiragenen Strecken mit dera Punkte der Teilung, 
der dem magnetisehen Kurse entspricht 79 ), so sind alle diese Linien 
parallel. In der Figur 2 sind die den Kompafikursen entspreehenden 
Ablenkungen senkrecht zur Achse im Mafistabe der Rosenteilung auf- 
getragen, K ist der Kompafikurs, M der zugehorige magnetische Kurs. 
Um die zu M gehorige Ablenkung zu finden, hat man also ML 
unter 135 zur Achse zu ziehen, dann ist LK die zugehorige Ab- 
lenkung. 



AT 






\ 










K 





L 




/ 

/ 




M 


f 




mm 














Fig. 2. 



Fig. 3. 



Im Napierschen Diagramm} werden die den Kompafikursen ent 
sprechenden Ablenkungen unter 60 im Hafistabe der Rosenteilung 
aufgetragen; dann sind die Linien LM (s. Fig. 3) unter 120 zur 
Achse geneigt, und statt LK kann man LM als die zu M gehorige 
Ablenkung ansehen. 

12. Eilfsinstrumente. a) Messung der horwontakn Fddstarkc. 
Die Ermittelung der Feldstarke hat nicht nur Bedeutung fur die Be- 
urteilung der Gtite des Kompafiortes,, es konneu aus dem Verhaltnis 
der Feldstarken auf den verschiedenen Knrsen auch die Deviations- 
koeffizienten gefunden werden, wodurch die Moglichkeit einer Regu- 

79) Bezeichnet f den magnetischen , f den Eompafikurs, so ist nach der 
im Anfang von Nr. lib getrofienen Festsetzung 

* f r Oder f = g +<y. 

80) Angegeben um 1860 vom Ingenieur R. J. Napier. Napiereche und 
lechtwinklige Netae zum Einzeichnen von Deviationekurven aind im Handel er- 
hSltlich. Es sei noch venviesen auf Riv. maritt. 1906. p. 471 ; D. naut. Zeitschr. 
Hausa 41 (1S04), p. 166, sovn e auf die FuBnote 95). 



12. .Tilfsinatramente. 331 

lierung des Kompasses auch lei Nebel und unsicbtigem Wetter ge- 
geben 1st. 

Man bedient sich der Schwingungs- oder Ablenkungsmethode. 
Im ersten Falle ist der KompaB za entferuen und eine fur diese Be- 
obachtungen geeignete einfache Horizontalnadel an den vom Nadel- 
system der Rose eingenommenen Ort zu bringen 81 ). Ablenkungsbeob- 
achtungen fiihrt man unmittelbar an der Rose des Kompasses selbst 
aus unter Benutzung eines geeigneten Deflectors 8 *). 

Alle Deflektoren bestehen aus einem Magnetsystem, das zentrisch 
zur Rose auf den KompaBdeckel aufgesetzt wird, und dessen Moment 
durch Veranderung des Polabstandes oder durch Veranderung der Bnt- 
fernung der Pole von dem Nadelsystem der Rose variabel gemacht ist. 

Das System ist urn die zentrale Achse des KompaBkessels dreh- 
bar und wird entweder in bestimmtem Winkel CD zur ursprunglichen 
Nordrichtung der Rose oder in bestimmtem Winkel zu der um a ab- 
gelenkten Rose gehalten. 

Die zu bestimmende Feldstarke H ist gegeben durch 

jy, _ sin (to a) Q 
sin a 

wo D die Intensitat des Deflektorfeldes am Rosenorte ist. Man mifit 
entweder bei konstantera o> die Intensitat H durch das D, das zur 
Hervorbringung eines bestimmten a erforderlich ist, oder bei kon- 
stantem D durch die erzeugte Ablenkung a. Immer ist, um kleine 
Fehler im gesteuerten Kurse 83 ) unschadlich zu machen, der Ab- 
lenkuugswinkel a moglichst gleich 90 zu machen 84 ). 

b) Typen von Deflektoren. Der Deflektor von W. Thomson he- 
si tzt zwei oben scherenartig verbundene Magnetpaare, deren untere 

81) Der Yorschlag einer Kompafiregulierung durch Schwingungsbeobach- 
tungen der KompaBrose selbst wird Ann. d. Hydr. 31 (1903), p. 402 diskutiert. 
Erfahmngen betr. Schwingungsbeobachtungen niit der Horizontalnadel auf See a. 
F. Bidlingmaier, Ann. d. Hydr. 36 (1908), p. 461, u. D. Sudpolarexp. V, 4. 

82) Die Einfuhrung eines derartigen magnetischen Hilfsinptriimentes fur 
die Losung der an Bord auftretenden Kompa&aufgaben wird schon in den ier- 
ziger Jahien versucbt: London Phil. Trane. 1846, p. 347 ; Ed. Sabine, Direetiona 
for the use of a small apparatus, London 1849. In Aufnahme gekominen 
Bind die Deflektoren nach dem Vorgehen des franzSsischen Marineoffiziers 
E. Fournier, B. Deviations des compas, Paris 1873. Dieses Buch ist wegen 
seiner eigenartigen , von der ublichen abweichenden Darstellung anch sonst be- 
merkenewert. 

83) Dieser Kurs wird wakrend der Beobachtung an einem anderen Kom- 
passe festgehrJten. 

84) Beim Gebrauche eines Deflektors ist dae in den Futtnoteu 87 und 158 
Gesagte zu beachten. 



332 



VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 



\ 



b> 




ungleiehnamige Pole durch eine Schraube mit Rechts- und Links 
gewinde gegeneinander verschoben werden konnen. Der Polabstand 
ist an eiuer geteilten Schiene ablesbar. Nach der von Thomson 
ernpfohlenen Beobachtungsmethode inacht man a = 90 und ( a) 
= 78 8 / 4 = 7 KompaBstrichen 85 ). Ist diese ,,Normalablenkung" (s. 
Fig. 4 a) erreicht, so ist H innerhalb 2% gleich D. 

Die Anwendung des Deflektors von Coll&ngue veranschaulicht die 
Figur 4b. Ein Horizontalmagnet wird mittels einer Schraube der Rose 

so genahert, daB die Richtung von D der 
von H entgegengesetzt ist und zwar so 
weit, bis D H wird. Labiles Gleich- 
gewicht wird vermieden, indem durch eineu 
kleinen Hilfsmagnet ein schwaches Feld 
senkrecht zu H und D erzeugt wird 86 ). 

Der Universaldeflektor von C. Clausen 
besitzt zwei vertikal stehende Magnete mit 
ungleiclmamigen Polen der Rose zugekehrt. 
Der Abstaiid der Magnete kann durch eine 
Schraube mit Rechts- und Linksgewinde variiert werden. Bei der 
von Clausen empfohlenen Anwendung macht man ra = 135 und 
D = |/2 H. Am eisenfreien Orte wird so die Rose um 90 ab- 
gelenkt und steht wieder unter einer Feldstarke gleich H (s. Fig. 4c). 
Die Koeffizienteubestimmung mit Hilfe des Deflektors gestaltet sich 
dadurch besonders einfach (s. Nr. 13d). 

Da der Bestimmung der am Rosenorte ausgeiibten Feldstarke 
nach absolutem Mafi aus den Dimensionen des Apparates und dem 
Moment der Deflektormagnete praktische Schwierigkeiten entgegen- 
steben 87 ), so begnugt man sich mit einer empirischen Teilung der 
Skale am eisenfreien Orte nach Einheiten der Horizontalintensitat 
eines Basisortes. Der Deflektor wird dadurch dem KompaB individuell. 
Universaldeflektoren besitzen eine Teilung nach willkiirlichen Ein- 
heiteu. Es entfallt dann die Bestimmung von A (s. Nr. 13 c); auBer- 
dem hat man beim Arbeiten mit variablem Ablenkungswinkel, um 



Fig. 4. 



85) Dieser Wiukcl ist statt des rechten gewahlt, um die Richtkraft nicht 
gleich Null werden zu lassen. 

86) Vgl. .11. de Coligny, Note sur le d^flecteur de Coliongue, Ecvue mar. 
160 (1904), p. 290. 

87) Die Mfiglichkeit einea Deflektors nach absolutem Ma6 erSrtert M. Jac- 
yuemier, Rev. mar. 103 (1889), p. 144. Dort wird die Anbringung einer Galvaiio- 
metorrolle oberhaib des Kompasses zur Benutzung fiir Riclitkraftmefisungen in 
Vordchlag gebraeht. 



13. Deviation bei aufrechtern ScLiff. 333 

dem Deflektor die 7 ,Normalemstellung" zu geben, vorbereitonde Beob- 
achtungen auf zwei entgegengesetzfcen Kursen zu machen 88 ). 

Die Messuug der Feldstarke am KompaBort durch Kompasse mit 
zwei Rosen wird in Nr. 20 a behandelt. 

c) Messung der vert ikalcn Feldstarke (Vertikalkraftwagc). Man 
miBt die Vertikalintensitat ara KompaBorte entweder durch Schwin- 
gungsbeobachtungen einer Vertikalnadel oder durch eine Vertikalkraft- 
wage. Eiue solche ist zuerst von W. Thomson angegeben. Die 
Thomsonsche Vertikalkraftwage besteht im wesentlichen aus einer In- 
klinationsnadel, die, bei der Beobachtung im magnetischen Meridian 
orientiert, durch ein auf der einen Nadelhalfte verschiebbares Ge- 
wichtchen zum Gleichgewicht in horizontaler Lage gebracht wird. 
Der Abstand dee Gewichtes von der Drehachse ist der zu raessendeu 
Vertikalkraft proportional. Das Instrument dient insbesondere dazu, 
zu konstatieren, wann durch die Verschiebung des vertikal zum Deck 
angebrachten Kraugungsmagueten eiu beabsichtigter Wert der Vertikal- 
intensitat erreicht ist (s. Nr. 19 b) am SchluB). 

Eiu ahnliches Instrument ist vou J. Peichl angegeben sa ). 

13. Deviation bei aufrechtom Schiff. a) Allgemeines. Es ist 
zweckmaBig, zunachst vorauszusetzen, dafi das Nadelsystem der KompaB- 
rose unendlich klein sei im Vergleich zur Entfernung der nachsten 
Eiseninassen, und daB es keine Induktion auf diese Eisenmassen aus- 
iibt 90 ). Die Deviationstheorie reduziert sich dann auf die Bestimmung 
der im KompaBmittelpunkt vorhandenen Feldstarke nach ihrer Rich- 
tung und GroBe. Die gesamte Feldstarke ist die Resultante der erd- 
magnetischen und der schiffsinagnetisehen Komponente. Letztere ist 
bei gegebenem Schiff und gegebenem KompaBort nach Richtung und 
GroBe in erster Linie vom gesteuerten Kurse, von einer etwaigen 
Neigung des Schiffes und von den magnetischen Elementen des SchifiFs- 
ortes abhangig. 

Die Theorie hat zunachst die Annahme zu machen, daB das 
Schiffseisen teils als permanent magnetisches, teils als weiches Eisen 
in dem in Nr. 10 a) und 10 c) angegebenen Sinne angesehen werden 



88) Als Literatur fiber Deflektoren aei nocli angefiibrt: W. Thomson, Pop. 
Lect. 3, p. 322; A. Gareis, Mitt. 25 (1897), p. 9; Mitt. 27 (1899), p. 904; 
H. Meldau, Ann. d. Hydr. 2B (1900), p. 217; A. de Coligny, Rev. mar. 160 (1904), 
p 290; llottok, Deviatiou; Lehrb. d. A r av., tu-sg. v. Reichsmarineaint; A. Stupar, 
Terr. Nav. 

89) S. PeichJ, Patent Balance, Fiume 1899. 

90) Die dein Nadelsysteni mit Riicksicbt auf diese \ orauaseteung xu gebende 
Gestalt wird in Nr. 18t>) und Nr. 18 c) erortert. 



334 VI i, 5. II. Mddau. Nautik, 

darf. Dem halbfesten Magnetifiittus (Nr. 10 b)) wird dann in der Weise 
Rechnung zu tragen sein, daB man die aus der Theorie abgeleiteten 
Koeffizienten als veranderlich ansieht. Man kann dann versuchen, 
diese Veranderungea auf bestimmte Gesetze zuriickzufiihren (Nr. 15b)). 
b) Die Prissonschen Gleichungcn. S. I). Poisson macht die Voraus- 
setzung, daB die Koinponenten des induzierten gcliiffsmagnetischen 
Feldes lineare ganze Funktionen der Komponenteu des induzierenden 
erdmagnetischen Feldes sind. 

Liegt das Schiff aufrecht auf horizontalem Kiel und bezeichnen 
X , Y , Z die Komponenten der gesamten, 
X, Y, Z die Komponenten der erdmagnetischen, 
Pj Q, It die Komponenten der dem festen Schiffsmagnetis- 
mus entsprechenden Feldstarke in einem System, 
dessen X-Aehse langschiifs nach vorn, dessen 
F-Achse querschiffs nach rechts (Steuerbord), und 
dessen Z-Achse senkrecht zum Deck nach unten 
verlaufen, so ist 91 ) 

cZ+P, 
fZ+ Q, 
= Z -f gX + hY+kZ + R. 



Die neun vom ,,weichen Eisen" des Schiffes abhangigen Kon- 
stanten a, . . ., k kann man sioh anschaulich durch neun parallel den 
Koordinatenachsen angeordnete diinue Eisenstangen hervorgebracht 
den ken, wie in Fig. 5 ausgefiihrt ist. Die den Koeffizienten in der 
Figur beigesetzten Vorzeichen -j- und gebeu an, ob die Wirkung 
der betreffenden Anordnung einen Zuwachs oder eine Verminderung 
der zugehorigen Feldkomponente herbeifiihrt. So zeigt z. B. Fig. 5 a, 
daB eine langsschiffs liegende Eisenstange, wenn sie am KompaBort 
nnterbrochen ist, eine VergroBerung, wenn sie ununterbrochen durch- 
geht, eine Verminderung der Komponente X nach sich zieht. 

c) Deviationsformeln. Bezeichnet H die Horizontalkomponente 
des Gesamtfeldes, H die des Erdfeldes, den magnetischen Kurs 
(Nr. 2b), die Inklination und d die Ablenkung, so folgt aus den 



91) Die Formeln aind der allgemeine Ausdrack einer Affinitat (vgl. Nr. 17 a)). 
Eine Prvifung der Powsowschen Deviationstheorie an Bordbeobachtungen hat 
G. D. E. Weyer, Ann d. Hydr. 17 (1889), p. 316 veranstaltet. Die Beobachtungen 
iiber den Verlauf der Magnetieierungsfunktion bei schwachem indu/ierenden 
Feld haben bei verscbiedenen Eisensorten erheblich abweichende Besultate ge- 
^eben. Siehe auch P. Engel (Litt. B), p. 12. 18. 



IB. Deviation bei aufrechtem Schiff. 
ersten beiden Pomowschen GHeichungen 

-jj sin 8 ^ \- (c tg 6 -f- jf ) sin ^ -{" (/" % ^ 

a 2 \ A// \ 



335 



cos 



cos a - 1 + - 



cos 



+ ^) cos g 

sin 2. 



sn 




L 

o 

1*0. 




+d 



-cL 



-d 



-7. 



-S" 



AA 



-^7i 



-Ti,- 







-fc 




Fig. 5. 

Der erste Ausdruck ist die nach magnetisch Ost gerichtete, der 
zweite die Meridiankomponente des horizontalen Gesamtfeldes. Be- 



336 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

zeichnet A den Mittelwert der let/teren auf einer Reihe aquidistanter 
Kurse, so ist 



Dividiert mau beiderseits durcli A, driickt also die Feldstiirken in 
IH als Einheit aus, so folgfc durch Division der beiden Komponenten 



- - _ _ 

1 H- 33 cos ( sinT 4. $ cos 2f @ sin 2 jf 
Hierin ist 



Die Formel (I) stellt d als Funktion des tnagnetischen Kurses ^ 
dar. In der Anwendung ist es erwiinscht, die Ablenkung als Funktion 
des Kompafikurses g = ^ d zu hnben 92 ). Es ist 
(la) sin S = SI cos tf -f- S3 sin -f- ( cos -f- sin (2^ + d) 

+ CM* (!?+*) 

Setzt man 

(II) J = ^4 -f 5 sin g 7 + C cos ^ -f D sin 2^ + E cos 2^ 

+ ^ sin 3 + G cos 3 -f JJsin 4^ + K cos 4^, 
so ist ; in BogenmaB ausgedriickt, bis auf GroBen vierter Ordnung 93 ): 



2 

s 



. _ 



24 8 

_ ffa re 51* o 

== _ - :: 4- ____ U/5D - _|_ JL 

I 14 8 8 

Der Zneammeiihaner zwiscben und f ist cxakt dutch die Formel 



(1 +"t) cos : -f "( - 6) sin f-f " 

^". Garbich, Mitt. 5 (1877), p. 569. Vgl. auch .". JFl>urw*>r, Deviations des compaa, 
Patis 1873, J. Ilipoll, Rev. mar. 17(5 (1908), p. 10 u. f. 

93) Mau betrachtet dabei 93, G, 2) als kleiuo Gfofion crster, 2( und 6 als 
solche xweitcr Orduuog. Geschloesene Aupdrticke fiir die Koeftizienten A, D, / 7 
gibt /. Ripott, Kev. mar. 176 (1908), p. 821. Es ist 

. of 35 G 4- St 

^ - arctg , 1) =: T -^ , )J; Y . ^ ^ t Vf F 

aleo tg ^L , 3> -= /> + -Ktg 4, 6- = E - D tg A. 



13. Deviation bei aufrechtem Schiff. 337 

Praktisch ist es von grofiter Wichtigkeifc, die Ablenkung, wenn 
sie groBer sein sollte, durch Kompensation so zu reduzieren, daB sie 
auf keinem Kurse den Wert von 20 iiberschreitet. In praktisch vor- 
kommenden Fallen (A und E klein, D kleiner als 5) kann man sich 
dann bei der zu erstrebenden Genauigkeit von 0,5 anf die fiinf Glieder 
beschranken 

(IH) d = A -f B sin + Ccos + D sin 2% + E cos 2 , 

wo $, A, B, C, D, E im GradmaB ausgedriickt sein mogen. Fiir den 
tfbergang zu der Forinel (I) hat man dann die Ausdriicke zu be- 
nutzen : 

U = sin A, = sin D, = sin E, 

!j 



Man nennt JL die konstante, J5 sin g -j- C cos ^ die halbkreisige 
(semizirkulare) und D sin 2 -{- j& cos 2^ die viertelkreisige (quadran- 
tale) Ablenkung. 

Von einigen Autoren 93 *) werden unter B und G die Maximal- 
deviationen verstanden, die durch die Langs- und Querschiffskraft bei 
unveranderter mittlerer Ricntkraft (IH] erzeugt wiirden, so daB 

sin B = S3, sin C = ( 

gesetzt ist. Die so definierten B und C stehen in engerer Beziehung 
zu den erzeugenden Kraften als die durch die Formeln II a gegebenen, 
durch die die Deviation nach Forrael II am genauesten dargestellt 
wird. Die erwahnte abweicheude Definition ist vorteilhaft, wenn man 
die Koeffizienten in erster Linie fur die Zwecke der Kompensation 
gebraucht (s. FuBnote 158). 

d) Bestimmu ng der Koeffizienten. Nach der Formel (I) sind fiinf 
Deviationsbeobachtungen auf verschiedenen Kursen notwendig und 
hinreichend, um die Deviation bei aufrecht liegeudem Schiff als 
Funktion des Kurses fur einen gegebenen Ort der Erde darzustellen. 
Es rnuB noch die Bestimmung der Feldsfcarke auf irgeudeinem Kurse 
hinzukommen, um A zu finden und dainit die magnetischen Verhalt- 
nisse des KompaBortes fiir das aufrecht liegende Schiff ganz zu cha- 
rakterisieren. Es ist 

_ H COB S 



H 1 -f- 95 cos f (i sin f + 3) cos 2 & ein 



98 ) Z. B. F. Lauffer, A. Stupar. Vgl. F. Lauffer, Ermittlung der Devia- 
tiouakonstanten auf graphiscbem Wege, Mitt. 33 (1905), p. 223 und die an- 
schlieBeiide Poiemik, Ann. d. Hydr. 33 (1906), p. 471; 34 (1908), p. 182. 



338 VI i, 6. H. Meldau. Nautik. 

Zur Erzieluug gesicherter Resultate vervielfaeht man, vor allem 
bei der Hauptregulierung der Kompasse, das Beobachtungsmaterial. 
Man beobachtet die Ablenkung auf alien 32 KompaBstrichen oder auf 
den 16 geraden oder den 8 Hauptstrichen oder etwa von 10 zu 10 
und berechnet aus ihnen nach der Methode der kleinsten Quadrate zu- 
nachst die Koeffixienten der Formel (III), von denen man dann zu den 
Koeffizienten der exakten Formel (I) iibergehen kann. Den Koeffi- 
zienteri I fitidet man als Mittel der auf n aquidistanten magnetiechen 
Knrsen beobachteten Feldstarken nach der Formel 



Den grdfiten Schwierigkeiten begegnet man bei der Bestimmung 
des Koeffizienten A, da in denselben nicbt nur aile konstanten Fehler 
in den Beobaehtuags- und RechnungsgroBen, sondern auch Wirkungen 
des halbfesten Magnetismus eingehen 94 ) (s. Nr. 16 b am SchluB). 

Wenn das Schiff in Dienst ist, so handelt es sich haufig darum, 
einen oder mehrere Koeffizienten aus einer inoglichst geringen Zahl 
von Beobachtungen neu zu bestimmen. Beeonders kommt hier die 
Neubestimmung der Koeffizienten B und C in Frage. Unter Um- 
standen wird man setzen miissen 

Jj=;J r $ o oder 7?=-^; C=-f S n oder (7 = ^, 

wo d die Ablenkung auf Ost-, d w die auf West-Kurs usw. bezeichnen. 
Von konstanten Fehlern der Deviationsbestimmung wird man frei 
durch 



Oft empfiehlt es sich, statt der Koeffizienten selbst ihre Anderungen 
A.B und AC gegen den an einer Basisstation beobachteten Wert fest- 
zustellen durch Vergleich der neuen mit der fruher auf den Haupt 
strichen gefuudenen Ablenkung 96 *). 



94) Aua diesem Grunde ist es schwer, Fehler in den Isogonenkarten durch 
die an Bord eiaerner Scbiffe erhaltenen Beobachtungen nachzuweisen. (Iher 
magnetiacho Beobachtungeu an Bord fur wiasenachaftliche Zwecke aiehe den 
Aufsatz von F . Bidlingmaier in G. von Newnayers Anleitung zu wiss. Beob. 
auf Reisen, 3. Auil., p. 468. 

95) Die so bestimmten Eoeffizienten weichen von den durch harnioniache 
Analyse aua einer grolieren Anzahl von Beobachtungen abgeleiteten um die 
Koeffizienten F und ~f G der Formel (II) ab, wfthrend die auf den Haupt- 
zwischenstrichen allein beobachteten Werte von B und C von jenen um -f F 
und G abweichen. 

96 a ) Stellt man A8 JB ain J -f dC coa ^ als Radius vector zum Winkel 
f in einem Polarkoordinatensystem dar, so liegt der Endpunkt auf einem Kreiae. 



18. Deviation bei aufrechtom Schiff. 339 

Sollte die GroBe der Deviationen die Anwendung der Formel (III) 
verbieten, so hatte man 51, $8, (, >, ( unmittelbar zu bestimmen und 
zwar naeh Naherungsformeln, die man aus der Formel (la) ableitet 90 ). 

Die Koeffizienten konnen, mit Ausnahme der Konstanten 1, auch 
ohne Deviationsbestimmungen, z. B. bei Nebel, aus Feidstarkenmcssungen 
bestimmt werden. Von praktischer Bedeutung ist die Bestimmung 
der GroBen Z, S3, S, 3) durch Messung der Horizontalkrafte H auf 
den vier Hauptkursen. Es ist, wenn cos # 1 gesetzt werden darf 97 ) ; 



- 3) 



Die Bestimmung des @ wiirde Beobachtungen auf den vier Haupt- 
zwischenstrichen NO, SO, SW und NW erfordern. 

Fiir die Bestimmung eines oder einer Gruppe von Koeffizienten 
aus Deviationsbeobaehtungen und Ricntkraftmessungen auf wenigen 
Kursen leisten graphische Darstellungen (s. Nr. 17) gute Dienste. Die 
wichtigsten dieser Aufgabeii sind in FuBnote 125 angefuhrt. 

e) Allyemeines tiber die Koeffizienten. Nach den Ubergangs- 
formeln (Ilia) gilt, allgemein gesprochen, von den Koeffizienten der 
Naherungsformel (III) dasselbe, wie von deuen der exakten Formel (I) 98 ). 

Die Koeffizienten 51, (, 2) und A sind unabhangig von den erd- 
magnetischen Elementen. 

SI utid ( sind als von unsymmetrischen Eisenanordnungen her- 
riihrend fur mittschiffs aufgestelJte Kompasse fast stets versch wind end. 
In A gent ein etwaiger Kollimationsfehler der Rose ein. 



Durch Inversion geht dieser Kreia in eine Gerade uber. Hat man durch Beob- 
achtung einige Punkte dieser, der J/ord!schen Geraden, gefunden, so ist ea leicut, 
die Deviationsandenmgen auf den ubrigen Kursen mit Hilfe der Figur abzuleiten, 
s. P. Engel (Lit. B), p. 64. Ein nomographischea Diagramm, durch welches die 
Ermittelung von B und C auf das Ziehen einer geraden Linie reduziert \rird, 
ist von E. Stiick angegeben; vgl. Ann. d. Hjdr. 37 (1909), p. 133 und Marino R. 
20 (1909), p. 492. 

96) Zusammenetellungen der in jedem Falle geeignetestcn Formeln s. Adm. 
Man., p. 119, 162. 

97) Dabei mutt vorausgeeetzt werden, dafl keine Nadelinduktion in den zur 
Kompenaation angebrachteu Weicheisenmaasen atattfindet. Findet eine solche 
statt, so sind die D-Kompensatoren bei der Beobachtung zn entfemen, oder ea 
ist die Skale des Kompensators (s. Nr. 19 f.) auf Null zu stellen. 

98) Eine Ausnahme tindet statt fur die Koeffizienten A und ft, insofern 
in ,1 auBer magnetischen Wirkaugen der Kollimationsfehier der Rose und 
andere konstante Fehler eingeben. Dieae Frage beleuchtet N. Garbich, Mitt. 4 
(1876), p. 40. 



340 VI i, 5. H. Metdau. Nautik. 

Der Hauptkoefifizient <& der Quadrantaideviatiou stelit in engem 
Zusammenbang mit A, der ,,mittleren Feldstarke nach magnetisch 
Nord" in Einheiten von H. Es ist 

~ _ 1 a e . __ 1 , -j- 

** Tvnf 1 A = * "T" 2 

1 4. a = A(l -f 2)). 1 -f e == A(l 3D). 

Fast ausnahmslos haben a und e an Bord negative Werte (s. Fig. 5), 
und e ist dem absoluten Betrage nach erheblich groBer als a, so dafi 
ein positiver Wert von S) und ein I < 1 resultiert. Auf Kauffahrtei- 
schiffen ist D im Mittel etwa 4, A im Mittel 0,8 bis 0,9; auf Kriegs- 
schiffen, besonders in geschiitzten Stellungen, wachst D nicht selten 
auf 10 bis 20 an, wahrend gleiclizeitig A auf 0,4 bis 0,3 sinkt"). 

F. J. Evam und A. Smith haben auf englischen Panzerschiffen 
festgestellt, daB 2) im Laufe der Zeit etwas abnimmt, wahrend A 
wachsfc, was auf eine mit Verringerung der Induktionsfahigkeit ver- 
bundene Anderung der molekularen Struktur des Schiifseisens hin- 
deutet 100 ). 

Die Koeffizienten S3 und S bestehen jeder aus zwei Teilen, von 
denen der eine 



vom festen Schiffsmagnetismus, der andere 

58 2 = -[- c tg bzw. 8 = \ f tg 

von der Wirkung der Vertikalinduktion herruhrt. 

SSi und S x hangen bei gunstigem KompaBort aufs engste mit 
dem Baukurse zusammen (s. Nr. 10 a). Als ungiinstig erweist sich 
der KompaBort meist dann, wenn der Baukurs nicht mehr an den 
Werten von 33 und erkennbar ist. TJnter Umstanden ubertrifFt in 

99) Zur Illustration aeien die auf dem englischen Panzerkreuzer ,,0rlando" 
gefundenen Werte angefuhrt (J. Un. Serv. Inst. 33 (1889), p. 949): Normalkompafi: 
X = 0,762; Bruckenkompafi : I = 0,616, D = -f 4,9; Kommandotunn : "k ~ 0,212, 
D =4. 16.2; vorderer Torpedoraum: A = 0,660, D = -f 18,9; Dampfsteuer- 
apparat hinten: 1 = 0,720, D == + 25,6. 

100) F. J. Evans and A. Smith, On the magnetic character of the armour- 
plated ships of the Royal Navy, London Phil. Trans. 155 (1865), p. 286. Eine 
Abnahme des Wertes von 3) ist auch an Bord der ,,GauB" auf der Deutschen 
Sudpolar-Expedition festgestellt; Deutsche Siidpolar-Ezpeditiou V, Erdmagnetie- 
mus I, p. 256. tJber die Erfahrungen der Deutschen Seewarte in dieaem Punkte 
B. C. Koldewey> Archiv d. S. 2 (1879). Eine Abhangigkeit dee fiir D gefundenen 
Wertes von der zur Drehung des Schiffes verwendeten Zeit hat weder von 

noch von der Deutechen Seewarte konstatiert werden konnen. 



14. Deviation bei geneigtem Schiff. 341 

diesem Falle die Horizontalkomponente der schiffsmagnetischen Kraft 
den Wert der erdmagnetischen Horizontalintensitat. 

93 a ist fur Kompasse, die im vorderen Teile des Fahrzeuges auf 
der Kommandobrucke aufgestellt sind, durchweg auf nordmagnetischer 
Breite uegativ, herriihrend von den hinter dem Kompasse befindlichen 
Eisemuassen . die oben einen Siidpol haben. Zur Charakterisierung 
der GroBenordnung sei fur solche Kompasse auf Handelsdampfern als 
Mittelwert c 0,1 angegeben. 

( 2 ist gewohnlich, weil es unsymmetrisches vertikales Eisen 
voraussetzt, versckwindend. 

14. Deviation bei geneigtem Schiff. a) Der Krangungsfehler und 
seine Bestandteile. Es kommen hier besonders die seitlichen Neigungen 
des Schiffes in Betracht, da sie viel bedeutendere Betrage annehmen 
als die Langsneigung 101 ). Ist das Schiff seitlich um einen Winkel i 
gegen die Horizontale geneigt, so treten in den Pomonschen Glei- 
chungen an Stelle von a, &,..., k, P, Q, Ji Kombinationen dieser GrroBen 
in Verbindung mit trigonometrischen Funktionen des Neigungswinkels i 
auf 102 ). Die Deviation 108 ) andert sich um den Krangungsfehler , der 
bei Besehrankung auf die erste Potenz von i durch den Ausdruck 
dargestellt werden kann 104 ) 

**-*-TF-*-X -i-cosr-^-t-cosgr 

= AJ i i - cos % -f- E i cos 2 % . 
Hierin ist 



eZ _. kZ+R If, 

x- ~i H -\ jfif- 3 y \\. 



101) Die durch eine La^ngsueigucg des Schiffes erzeugte Deviation behandeln 
H. Maurer, Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 130 und L. H. Chandler, U. S. Nav. Inat. 
Proc. 34 (1908), p. 1269. Durch die Langsneigung werden Z, 33, 3) am starksten 
beeinfiuBt, wahrend bei einer Krangung 81, K, @ die gro Bten Anderungen erleiden. 
Die Kompenaation fiir die Langsneigung wird gleichzeitig mit der fur die Eraugung 
erreicht. 

102) Bei hinzutretender Langsneigung auch des entsprechenden Winkels 
dieser Langsneigung. 

103) Bei Beschriinkung auf die erste Potenz von i iat Z, = 1, und in der 
Formel I (Nr. 13 c) iat zu setzen 



, , 

2)^3) und (,.= @- 

Die genauen Ausdriicke fur die veranderten Koeffizienten findet man im Adm. Man. 
104) A. Smith 1862, s. Adm. Man. 

Encyklop. d. math. Wiotenach. VI 1. 23 



342 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

Durch die Seitenneigung wird also eine semizirkulare Deviation 
und entsprechend der entstehenden Symmetriestorung, zunachst eine 
konstante Deviation A t und eine quadrantale Deviation I f cos2 
erzeugt. 

Bei gfinstigem KompaBort erreicht das von c abhangige Glied, 
da c im Mittel 4: 0,1 ist, auf 0- und W-Kurs Werte von 6 fUr jeden 
Grad der Krangung. Die GroBenordnung von g fttr solche KompaB- 
orte ist etwa durch die Grenzen und 0,2 gegeben. Der Koeffizient g 
ist im allgemeinen positiv fur Kompasse auf dem Achterdeck, negativ 
fiir Kompasse auf der Kommandobrucke 105 ). 

Der wichtigste Bestandteil des Krangungsfehlers ist das semi 
zirkulare Glied %i cos . Der erste der fiir den Krangungskoeffi- 
sienten x 106 ) angegebenen Ausdriicke lafit die Hauptursaclien des 
Krangungsfehlers erkennen: einerseits geben die senkrecht zum Deck 
wirkenden Krafte JcZ und R bei der Neigung des Schiffes horizontale 
Komponenten, andererseits werden die vorher horizontalen Eisenmassen 
vom e-Typus der Vertikalinduktion ausgesetzt. 

Fur frei aufgestellte Kompasse auf Schiffen, die in Europa gebaut 
sind, wird JR durchgehends positiv gefanden. Auch Jc ist fiir solche 
Kompasse positiv, etwa von der GroBenordnung -f- 0,05, e dagegen 
negativ, etwa von der GroBenordnung 0,15 bis 0,20. Auf nord- 
magnetischer Breite wirken daher alie drei Bestandteile zusammen, % 
positiv zu machen, entsprechend einer Anziehung des N-Endes der 
Nadel nach der erhohten Schiffsseite. Die entgegengesetzten Vor- 
zeichen fiir R und Tt ergeben sich fur Kompasse in Kommando- 
turmen oder im Zwischendeck auf Kriegsschiffen 107 ) oder fiir solche 
in den Briickenhausern der groBen modernen Passagierdampfer, falls 
die Wande dieser Hauser aus Eisen hergestellt sind 108 ). 

Die Veranderung des i mit der magnetischen Breite, die Trennung 



106) Bei groBen Werten der schiffamagnetisclien Konstanten, d. h. bei un- 
gunstigen magnetischen Vorhaltnissen des KompaBortes, werden auch S3 und % 
durch die Krangung beeinfluBt, s. Adm. Man., App. 1 und das Beispiel eines 
Kommandotunnkompasses, ib. p. 76. 

106) Krangungen nach der Steuerbord- (rechten) Schiffsseite werden ala 
poaitiv gezahlt; daher ist ^ der Krangungskoeffiziient nach der erhShten Schiffs 
seite. Iin Adm. Man. iat # = J gesetzt. 

107) Fu> den KommandoturmkompaB des ,,0rlando" (s. FuBn. 99) z. B. wurde 
gefunden ^ = 0,657, R = 0,318 Einheiten der Vertikalkraft in Greenwich. 
Der KompaB hatte in King George s Sound bei 10 Krangung 66 Krangunga- 
deviation, J. Un. Serv. Inst. 33 (1889), p. 949. 

108) S. H. Meldau, Zur Frage der KompaBaufstellung in eisernen Ruder- 
hausem, Gott. Phys. Zeitscbr. 5 (1904), p. 42. 



14. Deviation bei geneigtem Schiff. 



343 



seiner Bestandteile, sobald Beobachtungen in erheblich verschiedenen 
Breiten vorliegen, sowie die Vorausberechnung far neue Breiten erhell*- 
aus dem zweiten der fiir i angegebenen Ausdrucke 1W ). 

b) Bestimmung des Krangunyskoeffizienten. Sind Deviations- 
beobachtungen bei aufrechter und geneigter Lage deB Schiffes in der 
Nahe der Kurse N oder S erhaltlich und darf man die von c und g 
abhangigen Glieder A i und E f vernaehlassigen, so findet man 



* ~ tcoaf 

Man kanu den Krangungskoeffizienten bei aufrechter Lage des Schiffes 
berechnen, wenn man die w mittlere Vertikalkraft ft am KompaBort" 
gemessen hat. Nach der dritten Poissonschen Gleichung ist die Ver 
tikalkraft Z auf dem magnetischen Kurse , ausgedrflckt in Z als 
Einheit, 



g 



cos c 



Z Z r tg0 " tg0 

indent man den Mittelwert fi von Z : Z gemafi der Grleichung 



r s-sm 



einfiihrt. Unter Benutzuug dieses Wertes nimmt der in Nr. 14 a ge- 
gebene Ausdruck fiir # die Form an 



---"7" 



r- *-!--%- 

Zur Bestimmung von /, sind die Vertikal- 
krafte auf mindestens drei magnetischen Kursen 
zu messen. Wenn h = ist, so kann man 
sich auf zwei Kurse beschranken oder auf 0- 
oder TF-Kurs allein beobachten. Liegen mehr 
Beobachtungen vor, so ermittelt man p and g 




Fig. 6. 



109) Aus den in der FuBnota 103 angefuhrten Formeln ergibt aich die M6g- 

C Q 

lichkeit, neben y ohne Breitenanderung des Schiffes zu bestimmen, 

wenn man in der Lage ist, das Schiff bei zwei verschiedenen Ei&nguogswinkeln 
i und t" zu drehen und 2t t -, @ t -, 21^., (^ zu ermitteln. Es ist damn 



X i ;? * "" K *< T <) 

Der ubergrofie EicfluB kleinor Beobachtungsfehler auf das Besultat und die Koat- 
epieligkeit verbieton die Anwendung dieser Methode in der Praxis (vgl. F. Laufftr, 
Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 307). 

23* 



344 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

zweckmaBig durch ein graphisches Verfahren (A. Collet (Lit. B), siehe 
Fig. 6). Bei aquidistanter Verteilung der Kurse hat man 



15. Andemngen der Deviation, a) Andemngen mit der Breite. 
Die Anderung mit der magnetischen Breite beschrankt sich 110 ) auf die 
Koeffizienten der Semizirkulardeviation und zwar sind die vom festen 
Magnetismus herruhrenden SBj und (^ umgekehrt proportional der 
Horizontalintensitat, wahrend die von der Vertikaiinduktion erzeugten 
$8 2 und ( 2 sich andern wie die Tangente der Inklination. 

Da ( 2 gewohnlich verschwindend klein ist, so handelt es sieh he- 
sonders um Anderungen des 93 2 . Diese sind oft stark fiihlbar. So be- 

/ 

deutet der fiir -j- angegebene Mittelwert ( 0,1) beispielsweise fiir 

eine Reise von der deutsehen Nordseekiiste nach der Siidkiiste An- 
straliens eine Anderung in B von 28 nach der positiven Seite. 

Sobald zwei Beobachtungen in erheblich verschiedenen Breiten 
vorliegen, ist eine Trennung der Bestandteile des 23 moglich 111 ). 
Man hat 



{( tf + 8 ^) - I (H* -f H 



A Hig6 

p 

T 

Die Natur der Aufgabe 1 aBt eine graphische Losung am Platze er- 
scheinen. Es ist 

$# = -4- c Z 

*J *-* A f A -/ . 

Man setze SB JET = F und stelle die Gerade 

r-f+fz 

in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar (J5. Perrin, s. Fig. 7). 
Der Figur liegen die foigeuden an Bord des franzosischen Kreuzers 
,,Annamite <f gemachten Beobaehtungen zugnmde 112 ): 

110) Votatxsgeeetzt, daB in der Nahe des Eompasses keine Eisenmaasen 
TOrhanden eind, die eine merklicho. Induktion durch das Nadelsystein der KompaB- 
rose erfahren (vgl. Nr. 18c am Schlufi). 

111) Theoretisch kann die Trennung auch in derselbeu Breite ausgefiihrt 
werden, wenn das Schiff zweimal mit verschiedenen Graden von seitlichur Neigung 
gedreht wiirde (s. Fufinote 109 und vgl. F. BidHnymaier in dem in FuBnote 94 
geuannten Aufsatz, p. 477). 

112) Nach M. E. GuwoM^ Manuel des instr. naut., Paris 1899, p. 122. 



15. Aiiderungen der Deviation. 



345 



Kap Korso . . . 

Messina 

Suez 

Bab el Mandeb 
Singapore . . . 
Halong 



B 



4,8 
- 4,0 

+ 1,3 
+ V 
-flO ; 8 

+ 2,6 



H 2,26 G.E. 
2,50 
3,00 
3,46 
3,80 
3,65 



Z = -f 3,75 G. E. 



+ 2,52 
+ 0,31 
0,95 

+ 2,12 



Ftir 33 ist, entsprecheud der erreichbaren Genauigkeit, B= 57,3 $8 
eingesetzt. Aus der Pigur entnimmt man far Z die Ordinate 

= 1 die Ordinate 57,3 + - = 19,4, 



Y-3JT 
Q Sin. rapore 




RapKarso 



57,3 ~ = 30,9, far 

so daB 57,3 ~ = 11,5 gefunden wird. 

Die Figur erlaubt nachher, fur jedes Z den Wert des Koeffizienten 
zu entnehmen, um daraus beim Feblen 
direkter Beobachtungen die entspre- 
chende Deviation zu berechnen. 

Es sei aber darauf aufuierksam ge- 
macht, daB die Zuverlassigkeit der er- 
rechneten Deviation auf vielen Schiffen 
durch die Wirkungen des halbfesten 
Magnetismus leicht stark beeintrachtigt 
wird 118 ). 

b) Anderungen durch halbfesten Mag 
netismus. Der halbfeste Magnetismus igt 
von so mannigfachen Ursacben abhangig 

(a. Nr. lOb), daB der rechnungsmaBigen Verfolgung seiner Wirkungen 
groBe Scbwierigkeiten entgegenstehen. Die von ibm hervorgerufenen 
Deviations- und Richtkraftanderangen sind um so groBer, je un- 
giiustiger der EompaBort ist; sie sind deshalb in erster Linie aus- 
schlaggebend bei der Beurteilung der Beschaffenheit eines EompaB- 
ortes. 

Der halbfeste Magnetismus macht sich ablenkend besonders nach 
Kursanderungen geltend und zwar aus ersicbtlichen Grttnden immer 
derart, daB bei Kursiinderung nach rechts -westliche, bei Kursanderung 
nach links ostliche Ablenkang erzeugt wird, die allmahlich in 
der Regel innerhalb von etwa 24 Stunden wieder verschwindet. 

113) AUB Beobachtiuagsreihen an Bord dos franzOsiachen Kreuzers JJubourdieu 
(B6v. mar. 122 (1894), p. 3u2) z. B. ergab sich, da fiir die Kompasse dieses 

c P 

Schiffes als kolistant angeaehen werden konnte, wahrend -j- erheblichen, zu- 

>veilea sprnnghaften Anderungen ausgesetzt war (vgl. Nr. 10 b und 15 c, aiehe 
aucb. FuBnote 122). 



346 VI i, 6. H. Meldatt. Nautik. 

Insofern der auf einem Kurse aufgenommene Magnetismus fasten 
Charakter annimmt, verandert er die Koeffizienten S3 und ( in leicht 
zu iibersehendem Sinne. C. Koldewey hat versucht, diese Anderung 
auch zahlenmaig zu berucksichtigen, indem er den in Nr. 13 b bei 
der Formel (I) angegebenen Ausdriieken fur S3 und ( die Glieder hin- 
zufiigte 

j- sec B eos p , -f- -y sec 8 i n t p - 

Hierin bedeutet den in den letzten 24 Stun den gesteuerten Ears und 
v und v zwei durch Beobachtung festzustellende Konstanten 114 ). Sind 
verscbiedene Kurse gesteuert, so soil man fiir p den Gesamtkurs der 
letzten zurilckgelegten 200 Seemeilen nehnien. 

Die Koeffizienten v und v werden stets positiv gefunden und 
zwar ist allgemein t/>t>. Zur Charakterisierung der GroBenordnung 
seien als Mittelwerte fiir Normalkompasse angefiihrt v -f- 0,02, 
t> SB -f- 0,03. 115 ) Der erstere Wert z. B. bedeutet, daB bei einem 
24 Stunden oder langer daaernden Liegen auf N-Kurs in unserer Breite 
die Ablenkung auf 0- odter W-Kurs um etwa 3 geiindert wird. 

Bei der Koeffizientefibestimniuug macht sich der halbfeste Magne 
tismus in der Weise bemerkbar, daB sich fiir A und E, wenn diese 
Koeffizienten tatsachltch = sind, nicht verschwindende, sondern 
positive oder negative Werte im Betrage von 1 2 ergeben, je 
nachdem das Schiff links oder rechts herumgedreht ist 116 ). Dieser 
Fehler ist nnter dem Nameii ,,erreur Gaussin" bekannt. 

c) Deviationsstorungen. Unter diesem Namen seien alle ihrer 
Natur nach rechnerisch nicht zu verfolgenden Deviationsanderungen 
zusammengefaBt. Hierher gehoren zunachst die Anderungen mit der 
Temperatur des Schiffseisens. M. Morier hat ein Zariickweichen des 
Nordendes der Nadel von der durch die Sonne bestrahlten Schiffs- 
seite festgeetellt 117 ). Dampfer haben ihre Deviationsbestimmungen 
bei geheiztou Kesseln und vorgewarmter Maschine arizustelleu. 

Zu den Deviationsstorungen sind ferner etwaige Einwirkungen 
etektrischer Kraft- und lAchtavAagen an Bord zu rechnen. Hierher ge- 



114) Eine Ableitnng fur diese Ausdrucke findet sich in dem Sanunelwerke 
,,Aue dem Archiv der DeutscHeu Seewarte", 2 (1879) und in ,,Eompafi an Bord", 
p. 129. 

116) Archiv der Seswarte 2 (1879). 

116) t[ = -f- s l-r -- II; 8 =* 3) , wo s ein kleiner, ,,wahrscheinlich von der 

Schnelligkeit der Drehung abhangiger Winkel" ist, Adm. Man., p. Ill ; B. JV. Garbich, 
Mitt. 3 (1876), p. 177. 

117) EevvK 1 . *r,r 10S, (1889), Bericbt in Ann. d. Hyolr. 18 (1890), p. 101. 



16. Genauigkeit. 347 

horen einmal direkte magnetische Einwirkuugen von Dynamos, Elektro- 
motoren, Scheinwerfern usw v andererseits Ablenkungen durch Gleich- 
stromkabel. Wenn ein solcbes Xabel in der Nahe des Eompasses 
liegt, und das Sehiff als Ruekleiter benutzt wird, so sind aufier der 
moraentan eintretenden Storung noch solche vorhanden, die nach dem 
Einschalten allmahlich anschwellen und nach dem Ausschalten erst 
allmahlich wieder verschwinden 118 ). Die Sicherheit des Schiffes verlangt 
gebieterisch gehorige Entfernung der genannten Maschinen vom 
KorepaB und die Zusammenlegung von Hin- und Riickleitung bei 
Verwendung von Gleichstrom m ). 

Als Deviationsstorungen seien endlich Bewegungen in der Nahe 
des Eompasses befindlicher Eisenmassen, wie Krane, Geschiitze, 
Geschutztiirnie 12 ) usw., ferner ungewohniiche Erschutterungen beim 
SchieBen 121 ), bei Grundberuhrungen und Kollisionen, und Verande- 
rungen des magnetischen Zustandes des Schiffes bei Blitzgchlagen 181 *) 
gen aunt. 

16. Genauigkeit. a) Bei unmiUelbarer Beobachtung. Mit Rftcksicht 
auf die ubrigen Fehler der Besteekrechnung (s. Nr. 6) ist als er- 
strebenswerte Genauigkeit 122 ) fiir den rechtweisenden Kurs des Schiffes 
der ganze Grad zu bezeichnen. Diese Grenze ist im allgemeinen immer 
erreichbar, wenn Gestirne sichtbar sind, durch deren Peilung die 



118) Vgl. Ann. d. Hydr. 34 (1906), p. 247 und 344. Einiges Material gibt 
J. Krauft, Ann. d. Hydr. 35 (1907) p. 214. 

119) Die Eompensation elektriscber St3rangen ist wob! ausimhrasweise 
versucht, B. Ann. d. Hydr. 17 (1889), p. 461. Von W. Thornton empfohlene Vor- 
KichtamaBregeln g. Mitt. 17 (1889), p. 570. 

120) Eine Eompensation dieser Storungen let nach den in der Marine-Bund- 
echan (1901), p. 1228 mitgeteilteu Erfahrnngen untunlicb. 

121) Z. B. wurde auf den Scbiffen der Brandenburgklasse durch das ScbieBen 
aue den vorderen Turmgeschutzen die Magnetisierung des Turmes und seiner 
Umgebnng so geandert, dafi sich die Deviation der EommandoturmkompasBO 
bis zu 14 anderte (Rottok, Deviationstheorie, p. 126). 

121 *) Beispiele s. z. B. Ann. d. Hydr. 36 (1908), p. 34 u. p. 85. 

122) tjber die an Bord eines fiir erduiagnetische Beobacbtungen bestimmten 
Fabrzeugs erreicbbare Genauigkeit s. Deutsche Sudpolar-Expedition, V. Erd- 
magnetismus I., Eap. 3. Daeelbst Vergleich der Scbiffskonstanten und ibrer Ge 
nauigkeit auf der Expedition des ,,Challenger", der , , Gazelle" und des ,,Gau6". 
Die unkontrollierbaren Scbwankungen in den magnetiscben Eigenschafteu des 
SchiffseisenB brachten auf dem ^Gaufi" eine Ungenauigkeit in den Eorrektionen 
hervor, die in vielen Fallen grofier war, als diejenige der Bordbeobacbtungen. 
Das Carnegie Institut in Washington bat sich neuerdtngs fur erdmagnetische 
Beobacbtimgen ein fact eisenfreies Sehiff herstellen laasen; vgl. Year-Book 7 
(1908), y>. 1Q7. 



348 VI i, 5. H. Meldau. Nantik. 

GesamtmiBweisung 122a ) des Kompasses festgestellt werden kann. Fiir 
die Genauigkeit der Peilung selbst mu8 insbesondere 123 ) die Hori- 
zontaiitat des Peilapparates m ) vorausgesetzt werden. 

In die aus der Gesamtmifiweisung abgeleitete Ablenkung gehen 
noch die Fehler der Deklination ein. Die vorhandeneu Isogonen- 
karten diirfen im allgememen innerhalb der befahrenen Meeresteile 
als auf einen Grad zuverlassig angesehen werden, gelegentlich kommen 
grofiere Abweichungen vor. 

1st wegen bedeckten Himmels die direkte Bestimmung der De 
viation ffir den gesteuerten Kurs unmoglich , so haben sich Schiffe, 
die in festen Routen beschaftigt sind, hinraichendes Alter des Schiffes 
vorausgesetzt, in erster Linie an die an Ort mid Stelle auf friiheren 
Reisen erhaltenen Beobachtungen zu halten. 

b) Ermittduny der Deviation aus Richikraftmessiingen. Die Devia 
tion auf einem gesteuerten Kurse kann auch gefunden werden, indem 
man auf gewissen anderen Kursen die Richtkraft miBt und zwar ist 
zur Erzielung einer hinreichenden Genauigkeit im allgemeinen eine 
voile Drehung des Schiffes mit Beobachtungen auf den vier Haupt- 
strichen erforderlich. Die Methode setzt also voraus, dafi das Schiff 
ftir eine gewisse Zeit lediglich in den Dienst der Deviationsbestimmung 
gestellt wird (s. auch Nr. 20 a am SehluB). 

c) Berechnung aus den Koeffi&ienten. Die Koeffizieiaten konnen 
an Ort und Stelle durch Beobachtung gefunden, oder sie konnen aus 
fruher an anderen Orten ermittelten schiffsmagnetischen Konstanten 
errechnet sein. 

Auf die Fehler der aus einer geringen Anzahl von Beobachtungen 
gefundenen Koefh zientenwerte ist schon oben (Nr. 13d) hingewiesen. 
Die Genauigkeit der aus den schiffsmagnetischen Konstanten ermittelten 
Koeffizienten ist in hohem Grade von der magnetischen Beschaffenheit 
des KompaBortes abhangig. 

Einen t}herblick fiber die unter giinstigsten Verhaltnissen zu er- 
reichende Genauigkeit gewahren die an Bord der Valdivia" wahrend 
der deutschen Tiefsee-Expedition 1 898/99 gemachten Beobachtungen 134 *). 



122*) Vgl. Nr. lib. Von der Erorternng der Zuverlassigkeit der iibrigen dort 
aufgezahlten BeobachtungBmethoden sei hier abgeaehen. 

123) AuBerdem mufl der Steuerstrich oder die Nullinie der Peilscheibe, wenn 
eine solche gebraucht wird, geuau langsachiiBFs orientiert sein. 

124) ftber Peilfehler bei geneigfcem Peilapparat s. H. Maurer, Ann. d. 
Hydr. 35 (1907), p. 275. 

124*) Ann. d. Hydr. 30 (1902), p. 299. Der KornpaB war auf eiiiem bolzernen 
Deckshaviae, 6,5 in iiber dein Deck aufgestellt. Fiir den unkompensierten Kompafi 



17. Grapliische Darstellungen der Feldatarke. 349 

Das Schiff wurde wahrend der Dauer der Expedition 23mal zum 
Zweck der Deviationsbestimmung gedreht, wobei man jedesmal die 
Deviation auf den 32 KompaUstriclteu beobachtete. Aus diesen Be- 
obachtungswerten ermittelte man die Koeffizienten und berechnete 
aus ihnen die Ablenkung zuriick, Der mittlere Fehler eiuer Beobach- 
tung ergab sich zu 0,59 , der wahrscheinlicbe zu 0,38. 

Aus den 23 Beobaclitungsreihen fand man, daB die Koeffizienten 
B und C, durch die Form el 

B = -f 1,7 tg 8,9 ~ 0,4 sec cos t p , 

C= 0,1 tg 6 2,8 -| -f- 0,8 sec 6 cos ^ 

dargestellt, als wahrscheinlichen Fehler einer Bestimmung 0,44 bzw 
0,48 lieferten. 

17. Graphische Darstellungen. der Poldstarke. a) Allyumcines. 
Zweck, der Darstellungen. Eine graphische Behandlung ist der Natur 
und dem Genauigkeitsbediirfnis der Deviation stheorie durchaus ange- 
inessen. Sie ist besonders da am Platze, wo ein Uberblick aber die 
Deviationen und Feldstarken erwunscht ist ; sowie bei der Losung be- 
stimmter Aufgaben, z. B. der Bestimmung der % SB, <, 5), @, k aus 
Beobachtungen auf einer kleinen Auzahl von Kursen 125 ). 

Der voni Endpunkte des Vektors T = yX* + ~Y*~+Z* der erd- 
magnetischen Kraft urn den KompaBmittelpunkt bescbriebene Raum 
wird durch die Poissonscken Gleichungen (s. Nr. 13 b) affin bezogen 
auf den Raum der X Y Z 126 }. Fur einen gegebenen Ort der Erde 

war auf der Elbe 23 = 4,5, C = 11. Letzterer Koeffizient wurde kom- 
pensiert. Zur Kompensation von D waren Weicheisenzylindor angebracht. Das 
Schiff war 12 Jahre alt. 

125) Es seien die Aufgaben geiiannt: Bestiiumung von 93 und S aus be- 
obachteter Deviation und Feldutarke auf einem Kurse bei bekannten Werten der 
SI, 2), 6, J.. Bei bekannten 21, (5, 2) die Werte 95 und (S zu finden aus den 
Deviationen auf zwei Kursen. Unter der Annahme 21 = (5 = die Werte von 
S3, G, 3), I zu fmden aus den Deviationen und Feldstiirken auf zwei Kursen. 
Bndlich S[, $J, \, 3), (, I zu finden aua den Deviationen und Feldstarken auf 
drei Kursen. Die L8sung dieser Aufgaben mit Hilfe des ,,Dygogranims I" (siehe 
Nr. 17 b) nndet man in Adm. Man.; Auwondungen z. B. bei S, W. B. Diehl 
(Litt. B, I); vgl. auch M. E. Guyou (Litt. B, I). Eine grapbische Behandlung 
der Pomowschen Gleichungen gibt /. Ripott, Rev. mar. 176 (1908), p. 29 u. f. 

126) Hierauf griindet L. Ravier eine geometrisch-perapektivisehe Behand 
lung des Problems, Rev. mar. 153 (1902), p. 592. In Osterreich aind graphische 
Methoden neuerdings von F. Lauffer in den Vordergrund geriickt, s. Mitt. 32 
(1904 1 ), p. 877; 33 (1905), p. 223; Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 306, sowie die zu- 
sanimenfassende Monographic F. Lauffer, GraphiscJie Losung der Deviatiows- 
problemc, Pola 1908. 



350 



VI i, 6. H. Meldau. Nautik. 



bewegt sich der Endpunkt von XYZ bei irgendwelchen Drehungen 
des Schiffes um seine durch die KompaBmitte gelegten Hauptachsen 
auf einer Kugel um den KompaBmittelpunkt, der Endpunkt von X Y 2? 
auf einem Ellipsoid mit dem Mittelpunkt PQR. Das Diagramm der 
Horizontalkomponente der Feldstarke bei aufrecht auf horizontalem 
Kiel liegendem Schiff wird erhalten durch Projektion der Kurve 
Z= F Const, auf die XY-Ebene. Die Projektion ist eine Ellipse 
mit dem Mittelpunkte P -j- c V, Q + fV. 

Das so erhaltene Diagramm kann nach E. Guyou (Lit. B) auf- 
gelost werden in drei Vektoren mit den Komponenten: 

im magn. Meridian ON oder im 

(l -f- ^2~") -Ef = MI Winkel zu der Langsschiffs- 

richtung OX. 

senkrecht dazu nach rechts, 



I. 



H= 



a 



HI. 



P -j- c V 
Q -f- /"F 



A #93 
A JETS 



a e 



H 



langsschiffs oder langs OX, 
querschiffs nach rechts, 

im Winkel -f zu OX, 
senkrecht dazu nach rechts. 



/ngn.Jfard 



West 



Dabei kann man entweder H oder, wenn 
A unbekannt ist, iH als Langeneinheit wahlen. 

Durch verschiedene Anordnung der Sum- 
mierung der Vektoren und je nach der Wahl 
der festliegenden Bezugsachsen erhalt man Dia- 
gramme verschiedener Art, von denen die wich- 
tigsten die folgenden sind. 

b) Darstellungen mit festtiegendem Meridian. 
Wenn man den magnetischen Meridian ON 
als Hauptachse wahlt, so erhalt man die Devia 
tion und die Feldstarke als Funktion des 
magnetischen Kurses. Die Summation 127 ) 
.1 -f- III -f- II ergibt eine als Dygogramm I 
bezeichnete Pascahche Schneckenlinie 128 ). 




127) In diesen scbematischen Bezeichnungen soil der festliegende Yektor 
onterstrichen werden. 

128) Diese von dem rassischen Marineoffizier Golongue hercuhrende Kon- 
Btruktion weiet gegenuber der ursprungbch von A. Smith gewablten ^-f- II -f III) 
erhebliche Vorteile af. Die Eigensehaften dioser Dygogramme (Dynamo-GoBio- 
gramme) sind vornehrulich von den beiden Genannten ontersuclit. Aucb A. Caifley 



17. Graphisotio Darstellungen der Foidstiirke 



351 



Die Figur 8 zeigt eine Konstruktion dieser Kurve aus gegebenen 
Werten der Koeffizienten. Nachdera der dein magnetischen Kurse N 
entsprechende Punkt C konstruiert 1st, findet man den ,,Pol des Dygo- 
gramms" Q durch Verlangerung von CE bis zur Peripherie des urn 
A mit A H J/jD 2 -f- 6 s beschriebenen ,,Grundkreises". Legt man an 
QC in Q den magnetischen Kurs an und tragt vom zweiten Schnitt- 
punkte dieser Linie mit dem Grundkreise die Strecke AHy>8* -f" * 
ab, so erhalt man den Kurvenpunkt R, und es 1st P OE = tf und 

jr> 

OH ijj. Der Figur 8 liegen die folgenden Werte zugrunde: 



EB = 93 = + 0,380 
SC 6 = -f 0,260 



PA = St 

AD = 5) 



-f- 0,060 
+ 0,200 
4- 0,080. 

Dieselben Werte sind den Figuren 9 und 10 zugrunde gelegt. 

Eine von Q unabhangige Konstruktion des Kurveupunktes It ist 
in der Figur 9 angegeben. 

Bei Breitenandemngen hat man nach Neubestim- 
mung von S3 und ( die neue Lage von Q auf dem 
Grundkreise 7.u bestimmen. 

Die Summierung II -f- j[ -f- III gibt ein aus zwei 
Kreisen bestehendes Diagramm, das gegendber dem 
vorigen nur den Nachteil geringerer tJbersichtlich- 
keit hat. 

c) Darstellungen mit festtiegetider Langsschiffslinie. 
Wenn man die Langsschiffsrichtung OX als Haupt- 
achse wahlt, so erhalt man den Kompafikurs und die 
Feldstarke als Funktion des magnetischen Eurses. Am zweckmafiigsten 
diirfte die Summierung n -}- I -f- HI sein (s. Fig. 10). Der Winkel 
der Verbindungslinie von mit einem Punkte der Ellipse gegen 
OX gibt den Kompafikurs, ihre Lange die Feldstarke an. Zur Losung 
der in der FuBnote 125) bezeichneten Aufgaben leistet ein Verfahren 
der Variation der Koeffizienten gute Dienste. Sind zu lt ^ die 
Kompafikurse ^ , % gegeben, so bewegt sich bei Variation eines der 
Koeffizienten %, 2), @ der Punkt auf einer Geraden 188 *). 

hat fiich mit ihnen beschaftigt: 8. Ged&chtnisschrift von W. Thomson nui A.Smith, 
London Proc. 22 (1874). 

128 ) Bei gleichzeitigor Variation zweier Koeffizienten, etwa von 5) und (5, 
beechreibt eine affine Ebene. Vgl. die in FuBnote 126 zitierte Monographic 

vort F. Lauffer. 




352 



VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 



Bei Breitenanderaiigen andert aich nur die Lage von . 
Die Summierung III -j- II -f- I ergibt ein aus zwei Kreisen be- 
bestehendes Diagramm m ). 

d) Dromosfcope. Als Dromoskope bezeichnet man Apparate zur 
znechanischen Nachahmung der Abhangigkeit der Deviation von 

und . Die Konstruktion geht 
meistens aus von dem in Nr. 17 c 
erwahnten aua zwei Kreisen be- 
stehenden Diagramm. Die Koeffi- 
zienten S3 und ( werden an Schlit- 
ten, die parallel zur X- und F-Achse 
bewegt werden kb nnen, eingestellt. 
Der Quadrantaldeviation wird durch 
ein Raderwerk mit epizyklischer 
Bewegung Rechnung getragen 130 ). 
18. Kompasse und Kompafi- 
rosen. a) Gescfiichtliches. Das 
19. Jahrhundert hat die KompaB - 
rose in der primitiven Form iiber- 
kommen, in der sie seit Jahrhun- 
derten der Schiffahrt gedieut hatte, 
namlich ala einfache Scheibe mit 

einer darunter befestigten, zur Aufnahme des Hiitchens in der Mitte 
durchbohrton Magnetnadel. 

Die schwierigeren Verhaltnisse, unter denen der KompaB an Bord 

der eisernen Sehiffe arbeiten gollte, haben Verbesserungen der kineti- 

schen wie der magnetischen Eigenschaften des Inetrumentes bedingt. 

Die an eine KompaBrose zu stellenden Anforderungen sind: 1. ge- 

niigendes Einstellungsvermogen, 2. Ruhe trotz der Bewegungen des 

129) Das bis zur 6. Auflage (1893) im Admiralty Manual enthaltene, ala 
,,EllipBe und Kreis" bezeiehnete Diagramm beruhte auf einer Summierung von 
H zu II und dem ganzen durch Horizontalinduktion entstehenden Felde. A. Smith 
hatte OB fur den Fall 51 6 auf ein solches von zwei Kreisen reduziert. 
Erst W. Thomson zeigt (London Proc. 22 (1874)), dafi diese Reduktion allgemein 

a-f 




moglich 1st dadurch, daB man das Feld 



H in der Richtung ON und das 



Feld 



H senkrocht zu N aus dem schiffsmagnetischen Felde berausnimmt 



und mit H vereinigt. Auf diese Weiee erhalt man I -f- II -\- III. 

130) Solche Dromoskope sind besonders in Osterreich (F. Paugger und 
N. Garbich) und Frankieicb (E, Fournier) konetruiert worden; vgl. E. Geleich, 
Zeitschr. f. Inetr. 3 (1838), p, 346; Kcrilles-Callock, Rev. mar. 101 (1889), p. 456. 



18. Kompasee und Eompafiroaen. 



353 



Schiffes, 3. geeignete Konstruktion des Magnetsystems mit Riicksicht 
auf die Nahe der Kompensationamittel. 

Bis zum Jahre 1860 geht das Interesse lediglich auf die Erfiillung 
der ersten und zweiten Forderung, seit dieser Zeit liegt der Nacli- 
druck mehr auf der zweiten und dritten. 

Zur Erzielung einer ruhigen Rose hat zuerst (1813) F. Croiv den 
KompaBkessel rait verdunntem Alkohol angefiillt: Fiir diese Fluidkom- 
passe, die sich seitdem neben den Trocltenkompassen entwickelt haben, 
sind wesentlich audere inechanische und magnetische Eigenschaften 
maBgebend wie fiir jene; gemeinsam sind beiden nur die Forderungen 
hinsichtlich der geometrisehen Gestalt des Nadelsystems. 

b) Naddanordnung. Der Eompafi zeigt die Richtung des nach 
den Poissonschen Gleiohungen fiir seine Mitte berechneten Horizontal- 
feldes nur dann an, wenn dieses Feld als innerhalb der Nadellange 
homogen anzusehec 1st, d. h. wenn die Nadel als unendlich klein im 
Vergleich zur Entferuung der nachstgelegenen Magnetpole betrachtet 
werden darf. Das Erfulltsein dieser Bedingung ist in Frage gestellt, 
wenn Magnete uud Weicbeisenmassen zur Korapensation in der Nahe 
des Kompasses angebracht werden. Der EinfluB der Nadellange auBert 
sich dann im Auftreten sextantcder und oktantdler Deviationen. Solche 
Stomngsglieder des regularen Deviationsverlaufs sind zuerst (1860) an 
den Kompassen des in der Geschichte des Eisenschiffbaues beriihmten 
?? Great Eastern" beobachtet. Von A. Smith und F. Evans wurde im 
AnschluB an diese Beobachtungen folgendes festgestellt 131 ): Die Nahe 
fester Magnetpole gibt zu sextantalen, die Nahe der durch Horizontal- 
induktion in Weicheisenmassen erregten Pole zu oktantalen Storungen 
Veranlassung. Durch geeignete Nadelanordnungen konnen die Sto 
rungen vermieden werden. Die einfachste dieser 
Nadelanordnungen erhalt man, indem man zwei 
Nadeln von gleichem magnetischen Moment parallel 
der Nord-Sudlinie so anbringt, daB sich die Pole im 
Winkelabstand von 30 von dieser Linie befinden 
(s. Fig. 11). 

Fiir n Nadelpaare findet man, wenn m das 
Moment eines Paares, 21 der Polabstand jeder Nadel 
und s ihre Entfernung von der Nord-Siidlinie der 
Rose ist, daB 




Fig. 11. 



131) London Phil. Trans. 161 (1861), p. 161. 




364 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

sein mufi. Fur Nadelanordnungen wie die in der Figur 12 darge- 
stellte (s. Nr. 18f am SchluB) ergibt sich die allgemeinere Bedingung 

j?m(l*+ 36 s 3s 8 ) = 0. 
i 

Beziiglich der Frage der Nadelanordnung 
bei Vorhandensein von Nadeiinduktion ist fest- 
gestellt: Die Nadelanordnung mit den Polen im 
Winkelabstand von 30 zur Nord-Siidlinie bringt 
auch bei Vorhandensein von Nadeiinduktion das 
Hauptglied oktantaler Storungen zuin Verschwin- 
den. Es bleibt jedoch unabhangig von der 
Gestalt des D-Korrektors (s. Nr. 19 b) noch ein 
Restglied oktantaler Stoning, das linear mit dem magnetischen Moment 
der Rose wachst. Gleichzeitig tritt eine zwolftelkreisige Ablenkung 
auf 133 ). 

c) Magnetisches Moment des Rosensystems, Nadeiinduktion. Wenn 
die Rose die nach den Poissowschen Grleichungen berechuete Feldrich- 
tung anzeigen soil, so darf sie ferner nicht ihrerseits Pole in irgend- 
welchen Eisenmassen der Umgebung induzieren. Eine ,,Nadelinduktion" 
ist nicht zu befiirchten in den Eisenmassen des Schiffes, wohl aber 
kann sie leicht eintreten, wenu seitlich vom KompaB Quadrantalkor- 
rektoren oder vor oder hinter dem EompaB eine ,,Flindersstange" (siehe 
Nr. 19 b) angebracht ist. Denn man muB diese Weicheisenkorper inner- 
halb weniger Dezimeter vom KompaBmittelpunkt anbringen, um ihre 
Dimensionen nicht gar zu sehr anschwellen zu lassen. Die zur Ver- 
meidung der Nadeiinduktion notige starke Reduktion des magnetischen 
Momentes ist gelungen bei Trockenroseu (s. Nr. 18 f), sie ist ausge- 
schlossen bei den Rosen der Fluidkompasse (s. Nr. 18 g). 

Die Folge der Nadeiinduktion ist in erster Linie eine quadrantal 
mit dem Kompaflknrs sich andernde Ablenkung 133 ). Sie ist fur Eisen- 

132) H. Meldau,, Ann. d. Hydr. 36 (1907), p. 17. tfber einige frflhere, den 
Gegenstand betreifende Arbeiten ebenda. Die Untersacbung von Nadelsystemen 
auf Freisein von oktantalen StSrungen erfolgt bequem am Lande durch zwei 
reohtwinklig zu einander gestellte Eorrektorpaare. Es annullieren sich dann die 
quadrantalen Teile der Drehmomente, wiihreml etwa vorbandene oktantale Teile 
sich addieren, also leicbt erkennbar werden. Entsprechendes gilt von sechstel- 
kreisigen und hOheren Sto rungen bei geeigneter Anordnung mebrerer Korrek- 
toren; vgl. H. Meldau, Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 20; 36 (1908), p. 72 u. 263. 
Em Verfahren zur Ermittelung an Bord zu erwartender St&rungsglieder aua 
Landbeobachtungeu empfieblt H. Maurer, Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 544; vgl 
auch Ann. d. Hydr. 36 (1908), p. 72 u. 128 

133) Versuche einer Theorie der Nadeiinduktion s. Eiv. della marina roer- 



18. Kompasse und Kompafkosen. 355 

niassen, die seitwarts vom KompaB oder vor oder hinter ihm befestigt 
sind, von der Form D sin 2 *, und zwar entsteht dnrch die seitlich 
angebrachten D-Korrektoren ein I) von negativem, durch die vor 
oder hinter dem KompaB angebrachte Flindersstange ein solches von 
positivem Vorzeichen. In letzterera Falle wiirde das natiirliehe D des 
Schiffes durch die Nadelinduktion erhoht werden, was zu vermeiden 
ist. Die kompensatorische Wirkung der D-Korrektoren wird durch 
eine vorhandene Nadelinduktion erhoht, weshalb diese bei verschie- 
denen KompaBsystemen absichtlich herangezogen wird (s. Nr. 19 f). 
Nachteilig ist dabei, dafi die auf Nadelinduktion beruhende Wirkung 
sich umgekehrt proportional H andert, so daB auch die Quadrantal- 
deviation nicht niehr unabhangig von der magnetischen Breite ist. 

Bei fehlerhafter Nadelanordnung veranlafit die Nadelinduktion 
auBer der Quadrantaldeviation oft recht unangenehme Storungen ok- 
tantalen oder noch hoheren Charakters 184 ). 

d) Einstellungsvermogen. Bei Trockenkompassen ist das Einstel- 
lungsvermogen proportional MB. : e G, wo M das magnetische Moment 
der Rose, H die horizontale Feldstarke, G das Gewicht der Rose und 
s einen von der Beschaffenheit von Pinne und Hiitchen abhangigen 
Reibungsfaktor bezeichnet. Dieser ist durch sorgfaltige Konstruktion 
der Aufhangevorrichtung moglichst klein zu mat-hen, wobei zu be- 
rficksichtigen ist, daB die Pinne um so spitzer angeschliffen sein darf, 
je geringer das Gewicht der Rose ist, ohne daB man bei den Er- 
schiitterungen des Schiffes ein Einbohren der Spitze in das Hiitchen 
beftirchten mufi. 

Bei den modernen leichten Trockenrosen ist es keineswegs die 
Aufgabe, M moglichst groB zu machen, die Einstellungsfahigkeit muB 
nur hinreichend sein, um bei einer Feldstarke von beililufig 1, 8 G. E. 
[mm * mg2" sec" 1 ] eine Einstellurig auf 0,1 bis 0,2 zu gewahr- 
leisten 135 ). 

cantile 1888; Ann. d. Hydr. 34 (1906), p. 81; Ann. d. Hydr. 36 (1907), p. 22; 
F. Corbara (Lit. B.) p. 314; daran anknupfend L. Tonta, Riv. maritt. 41,3 (1908), 
p. 35; eineu allgemeinen Ansatz auf Grund dei Potentialtheorie gibt L. Dunoycr, 
Paris C. R. 147 (1908), p. 834 and in der in Fufinote 169 geuannten Dissertation 
t)ber die Verteilung der Richtkraft bei Anwesenheit von Nadelinduktion H. Meldau 
und L. Tonta., Riv. maritt. 41,4 (1908), p. 501. 

134) Experimentelle Untersuchungen daniber und Beispiele aus der Praxia 
s. H. Melduu, Ann. d. Hydr. 32 (1904), p. 161. 

136) Die bei den fniher gebraucblichen schwereren Rosen gestellte Auf- 
gabe, den Quotienten M : G mGglichst groB zu macben, bat ibre Bedeutung heute 
verloren. Es ist bei den heutigen Rosen, auch denjenigen der Trockenkompagse, 
nicbt ecbwer, etwa durcb Verwendung langerer Nadeln oder von Nadeln in Form 



356 VI i, 5. H. MeMau. Nantik. 

Fur die Rosen der Fluidkompasse sind grofie Werte des magne- 

(r 3. JL "A 
40 bis 100 Mill. G. E. [mm^ mg 2 sec" 1 ]) zur 

Sicherung einer geniigenden Einstellungsfiihigkeit unumganglich 136 ). 
Die wesentliehste Verbesserung dieses KompaBtyps ist durch die An- 
bringung eines Schwimmers ia Gestalt einer lufteriullten Metallkapsel 
im Mittelpunkte der Rose erreicht. Dadurch ist die Mb glichkeit ge- 
geben, das Gewicht der Rose bis auf wenige Gramm von der Pinne 
abzuheben, und deshalb beliebig starke Magnetsysteine zu verwenden. 

An Aufstellungsorten mit kleinem Werte der mittleren Feldstarke, 
an denen Fluidkompasse aus anderen Griinden (s. Nr. 18g) am Platze 
sind, wird die Rose durch die Fliissigkeit bei Drehungen des Schiffes 
leicbt mitgeschleppt. Dieses Mitschleppen der Rose kann nach den 
in unserer Kriegsmarine gemachten Erfahrungen durch einen weiten 
Zwischenraum zwischen Kesselwand und Rosenrand sehr herabgedriickt 
werden (s. Figur 14). 

e) Ruhe der Kompafirose. Die Ruhe der KompaBrose wird an 
Bord der Schiffe durch mechaniscbe und durch inagnetisehe Uraachen 
beeintrachtigt. Die Erschiitterungen des Schiffskb rpers durch den 
Seegang, die Maschine und die Schraube konnen zu exzentrischen 
StoBen der Pinne auf den Rosenkorper Veranlassung geben. Ferner 
weicht bei den RoJlbewegungen des Schiffes, infolge der wechselnden 
horizontalen Beschleunigungen die Richtung der scheinbaren Schwer- 
kraft, in die sich der KompaBkessel und die Rosenachse bei Vernach- 
lassigung ihrer Eigenschwingungen jeweils angenahert einstellen, perio- 
disch von der wahren Richtung der Schwerkraft ab, so daB die erd- 
magnetische Vertikalkraft periodisch Komponenten in der Rosenebene 
ergibt 137 ). An Bord der eisernen Schiffe sind die den Krangungsfehler 
erzeugenden Krafte weitere Ursachen zum Unruhigwerden der Rose. 



von Hohlzylindern (s. Eottok, Marine-Rundschau 13 (1902), p. 1209) M und M : G 
zu steigern. Bei ruhig liegendein Schiff erreicht man dadurch einen Vorteil, beim 
Schlingern oder bei Erscbiitterungen wird die Roae jedoch unruhig. Die alte An- 
schauuTig, daB durch ein grofies magnetisches Moment die Ruhe der Rose erhOht 
wiirde , ist von W. Thomson ale falsch , ihr Gegenteil als richtig erkannt worden 
(s. Pop. Lect. 3, p. 289). 

136) Die hochsten Werte des inagnetischen Momentes erreicht man in 
Elektromagnetkompassen. Vgl. Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 553, Brit. Patent 
Engineer 103 (1907), p. 538. 

137) W. Thomson, On the perturbations of the compas produced by the 
rolling of the ship, Phil. Mag. 48 (1874). Unter der Annahme eiaer durch 
i=s*J-Bwnt dargestollten Rollbewegung ergibt eich als Winkel zwischen der 

scheinbaren und der wahren Richtung der Schwerkiaft augenahert k = -=- *, wo 



18. Kompasse und KompaBrosen. 357 

t 

Die aus der Rollbewegung hervorgehenden Storungen sind fiir 
die Ruhe der Rose um so verhangnisvoller, je mehr die Schwingungs- 
dauer der Rose mit der des Schiffes ubereinstimmt. 

Von den vielen Versuchen, die zur Erzielung einer ruhigen Kom- 
paBrose im Laufe des 19. Jahrhunderts gemacht worden sind, muBten 
sich zunaehst alle diejenigen als verfehlt erweisen, die durch Ver- 
grofierung der Reibung die lebhaften Bewegungen der Rose ziigeln 
wollten. 

Bin wirklicher Fortschritt wurde erst durch die ,,Normalrose der 
britischen Admiralitat" in den vierziger Jahren erzielt, bei der statt 
der bisher ublichen einzigen Nadel zwei Nadeln zur Verwendnng kamen, 
deren Enden einen Winkelabstand von 30 von der Nord-Siidlinie 
batten 137 *). Zweck dieser Anordnung, die sich spater auch in mag- 
netischer Hinsicht als sehr giinstig erwies (s. Nr. 18b), war, das Trag- 
heitsellipsoid zu einem Rotationsellipsoid zu machen. Diese Norinal- 
rosen mit einem Gewicht von 100 bis 150 Gramm 188 ) und einem 
magnetischen Moment von 30 bis 40 Mill. G. E. sind bis in die neun- 
ziger Jahre im Gebrauch gewesen. 

Eine vollige Umwalzung in der Konstruktion der Trockenrosen 
wurde in den siebenziger Jahren herbeigefuhrt, als W. Thomson das 
Problem physikalisch durcharbeitete. Ausgehend von der Forderung, 
daB die Nadel und ihr magnetisches Moment im Interesse einer voll- 
kommenen Kompensation so klein wie moglich zu machen sei 139 ), 
wurde W. Thomson durch seine Untersuchung flber das kinetische 
Gleichgewicht der Rose auf rollendem Schiff 14 ) zu der tfberzeugung 



h die Hohe des Eompasses fiber der Rollachee des Schiffes und I die Liicge des 
mit der Rollbewegung isochronen Pendels ist. Der dadurch erzengte ,,Feiiler des 
kinetischen Gleichgewichts" ist durch J x = k tang 6 cos gegeben, wo 6 die 
Inklination und den magnetischen Kurs bedeuten. Thomson, selbst hat ver- 
sucht, ihn an Bord seiner Yacht miter Benutzung einer kleinen Nadel von nur 
zwei Sekunden Schwingungsdauer experimentell festzustellen. Der Fehler erwiee 
sich als so bedentend, ,,dafi es sehr schwer war, genaue Beobachtongen anzu- 
stellen, sobald die See nicht ungewohnlich ruhig war". 

137 *) Neben den Zweinadelrosen waren vielfach auch Viernadelrosen im 
Gebrauch, deren Enden im Winkelabstand von 15 bezw. 45 von der Nordsiid- 
linie lagen. 

138) Bei schwerem Wetter benutzte man besonders schwere ,,Sturmrosen" 
oder belastete die gewOhnliche Rose mit einem schweren Ring von geringem 
Durchmesser. 

139) In der Gedachtnisschrift auf A, Smith (London Proc. 22 (1874)), die 
ihn auf das Problem hinfuhrte, spricht Thomson die Ansicht ana: The Chinese 
compass or needle unloaded with compass-card is undoubtedly the compass of 
the future. 

Encyklop. d. math. Wiench. VI 1. 24 



VI i, 5. H. MeUaw. Nautik. 

gefiihrt, daB nur eine Rose mit einer groBen, die Periode der Roll- 
bewegung des Schiffes tibertreffenden Schwingungsdauer an Bord brauch- 
bar sein wiirde. Damit war erkannt, daB fiir die Ruhe der Rose nicht 
ein grofies, sondern im Gegenteil ein Jdeines magnetisches Moment, 
und nicht eine groBe Masse, soudern ein im Verhaltnis zum magne- 
tischen Moment groBes Tragheitsmoment erstrebt werden miisse. Auf 
Grund dieser Erkenntnis gelang es W. Thomson nach dreijahrigen 
mannigfachen Versuchen im Laboratorium und auf See, eine Rose mit 
vorziiglichen Seeeigenschaften und hinreichend kleinen Nadeln zur Er- 
moglichung einer vollkommenen Kompensation herzustellen 141 ). 




Fig. 13. 

f) Trockenliompasse. Die Thomsonsche Rose ist fiir alle seit ihrer 
Einfiihrong (1876) konstruierten KompaBrosen vorbildlich gewesen. 
Der Rosenkorper ist im wesentliehen aus Seidenf aden aufgebaut (siehe 
Fig. 13). Von einer kleinen Alnminiumscheibe, die iiber das mit der 
Edelsteinkappe versehene Hiitchen gestreift wird, sind 32 Seidenf aden 
nach dem auBeren Aluminiumring gespannt. An diesen Ring ist das 
aus leichter Pausleinewand verfertigte Rosenblatt geklebt; der mittlere 
Teil ist zur Reduktion des Gewichtes herausgeschnitten. Das Magnet- 
system besteht aus acht vergoldeten, 5 8 cm langen Nadeln, die durch 
Seidenfaden unter sich und mit dem Ringe verbunden sind. Die Rose 
ruht auf einer fein angeschliffenen Iridiumspitze. Zur Charakterisierung 

140) Phil. Mag. 48 (1874). Hier gelangt Thomson zu dem SchluB: ... no 
admisRiblo degree of viscous resistance can make the rolling error small enough 
for practical convenience, unless also the period of the compass is longer than 
that of any considerable rolling. Probably a period of 15 30 seconds (such aa 
an ordinary compass has) may be found necessary for general use at sea, and 
it becomes an important practical question, how is this best to be obtained 
with the smallness of the compass needles necessary for a thoroughly satisfac 
tory application of the eystem of magnetic correctors by which Airy proposed 
to cause the compass in an iron ship to point correct magnetic courses. 

141) Nature 18 (1878). 



IS. Kompa&se uud Kompa&rosen. 359 

der neuen Rose gegeniiber den alten seien folgende Zahlen als Mittel- 

werte angefiihrt. 

Normalrose Thomsonsche Rose 

Durchmesser 200 mm 250 mm 

Gewicht a 120 g 13 g 

Lange der langsten Nadel 200 ram 80 mm 

Magnetisches Moment M 36 Mill, G. E. 2,1 Mill. G. E. 

Tragheitsmoment T 500 Mill. G. E. 130 Mill. G. E. 

M:G 0,3 0,16 

T:G 4,2 10,0 

Schwingungsdauer 18* 38*. 

Wegen des geringen magnetischen Momentes ist die Dampfung 
bei der Thomsonsehen Rose durch Foucaultache Strome in den Kessel- 
wandungen unmerklich, die Dampfung beruht lediglich auf Luft- 
reibung 148 ). 

Von den Nachahmungen der Thomsomchen Rose ist die von 
HecheJmann in Hamburg bemerkenswert. Bei ihr sind die Magnet- 
nadeln zur VergroBerung des Tragbeitsmomentes unler dem Eande des 
Rosenblattes mit Seidenfaden parallel der Nord-Siidlinie aufgehangt. 

g) Fluidkompasse. Der Gebrauch yon Fluidkompassen ist ge- 
boten auf Schiffen uud an Aufstellungsorten mit starken Erschfit- 
terungen 148 ), zuweilen auch durch die Riicksicht auf die ^Compensation 
(s. Nr. 19 e). 

Den Erschutterungen gegeniiber yerhalt sich der Kessel, die 

Fliissigkeit und die Rose des Fluidkompasses gleichsam als Gauzes. 

Der Kessel des Fluidkompasses ist, urn der Volumanderung der 

Fliissigkeit bei Temperaturschwankungen Rechmmg zu tragen, mit 

einem elastischen Boden, Metallbalgen oder Lvvftkammern zu versehen. 

Die Figur 14 yeranschaulicht das neueste Modell (1903) des in 

der Kaiserlichen Marine emgefiihrten Fluidkompasses. Die Rose von 

196 mm Durchmesser mit dem Schwimmer S und den beiden Magnet- 

systemeu m (innerhalb des Schwimmers) und m (aufierhalb des Schwim- 



142) Neuerdinga hat man Versuche gemacht, die Dampfung dadurch zu er- 
hoberi, daC maa unter der Rose einen winzigen Fluidkompafi mit cinex Rose 
YOU auBerst gcringem Moment anbringt. Diese Rose wird von der Hauptroae 
um 180 gedreht; bei geeigneter "Wabl der Schwingungezeiten soil der erstrebte 
Erfolg erreicht werden, s. z. B. F. Corbara, Lit. B, p. 268. Die Ersetznng der 
einfachen T/iowwonacben Rose durch ein System von zwei Rosen hat immerhin 
eiwaa Bedenkliches. Das Urteil von L. Tonta, Riv. maritt. 86 c (1908), p. 83, 
Member erecheint vollig berechtigt. 

143) Z. B. Torpedobooten und Zerst6rern. 

24* 



360 



VI i, 5. H. Mcldau. Nautik. 



mers) ruht mit dem Saphirhutchen li auf der Pinne p in dera zur 
Verminderung des Nachschleppens sehr erweiterten Kessel. Die Ab- 
lesung erfolgt an dem Steuerstrich . Die Luftkamraer I ist mit 
einem EinlaBventil und einem AuslaBventil verseheri. Die Beleuchtung 
erfolgt durch die im Boden des Kessels angeordneten Gliihiampen u. 




Fig. 14. 

Ein Nachteil der gewohnlichen Fluidkompasse ist der, dafi Pinne 
und Hutehen schwer zuganglich, sind und dass die Rose nicht arretiert 
werden kann. Zur Vermeidung dieses tfbelstandes verwendet Dubsky 
eine Rose 1 * 4 ), deren Auftrieb das Gewicht iibersteigt. Die Pinne ist 
in einer mit Metallfassung versehenen Offnung in der Mitte des Deckel- 
glases nach unten gerichtet eingeschraubt. So sind die Pinne und 
das in eine zentrale Vertiefung des Schwimmers hineingelegte Hiit 
chen leicht zuganglich. Die Arretierung geschieht durch Entfernung 
der Pinne 145 ). 

Der Auftrieb der Rose von Fluidkonipassen ist Schwankungen 
mit den Volumanderungen der Flfissigkeit unterworfen, die urn so 
grofier sind, je hoher der Alkoholgehalt der Flussigkeit ist 146 ), und auf 
die bei der Konstruktion des Kompasses Rucksicht zu nehmen ist 147 ). 

144) Sie ist in Anwendung bei dem in der osterreichischen Kriegs- \wA 
Handelsmarine verbreiteten Peichksken. KompaB (a. 19f.). 

146) Eine andere sinnreiche Einrichtung dieser Art ist an dem neuen Mo- 
dell des Magnaghischen Kompaeees (s. Nr. 19 f) getroffen, s. Eiv.maritt. 38,4 
(1905), oder Referat in Aun. d. Hydr. 34 (1906), p. 27. 

14G) Ein geringcr Alkobolgehalt bringt die Gefahr dos Gefrierens der Flussig 
keit rait sich. 



19. Kompensation der Kompasse. 361 

19. Kompensation der Kompasse. a) Aufgdbe der Kompensa 
Als Hauptzweck der Kompensation ist schon in Nr. 9e und 13 c 
der durch sie bewirkte Ausgleich der Richtkrafte und die Anwendbar- 
keit der Naherungsformel 

8*=A + B&in+CcoB? + D sin 2 -f E cos 2^ 

hingestellt. Es sei hinj&ugefugt: GroBe Ablenkungen sind mit dem 
Kurswinkel stark veranderlich, bei Kursanderungen tauschen sie das 
Urteil iiber die wahre Winkelbewegung des Schiffes und geben AnlaB 
zum Unruhigwerden der Rose. GroBe Ablenkungen sind fast stets 
grofien Andemngen mit der magnetischen Breite unterworfen Indem 
sich diese Andemngen zu denen durch balbfesten Magnetismus addieren, 
verschleiern sie den EinfluB des letzteren. Die Kompensation des 
Krangungsfehlers isfc unumganglich mit Riicksicht auf die Ruhe 
der Rose. 

V) Kompensationsmittel. Die Kompensation ist nach Moglichkeit 
so einzurichten, daB sie fiir alle magnetischen Breiten ausreicht. Diese 
Forderung setzt voraus, daB sie durch adaquate Mittel geschieht, d. h. 
daB pennanenter Schiffsmagnetismus durch permanente Magnete, mo- 
mentan induzierter Magnetismus durch Weicheisenmassen des ent- 
sprechenden Typs aufgehoben wird, die auBerhalb des Bereiches merk- 
licher Nadelinduktion angebracht sind. Die zur vollkommenen Kom 
pensation anzuwendenden Mittel ergeben sich ohne weiteres aus den 
in Nr, 13 c bei der Formel I angegebenen Werten der Koeffizienten. 
Man beschrankt sich gewohnlich auf die folgenden: 

Zur Kompensation des 2) = y - bringt man seit warts vom 
KompaB in der Hohe des Magnetsystems der Rose jederseits eine 
Wdcheisenmasse vom Typus -f- e an 148 ) (s. Fig. 5e, p. 335). Dadurch 
wird gleichzeitig A verandert, und zwar in den meisten Fallen ver- 
groBert 149 ). Ein etwa vorhandenes kann zugleich mit % kompensiert 



147) Vgl. L. Tonta, Riv. maritt. 36,4 (1903), p. 332 und A. Santi, Eiv maritt. 
38,4 (.1905), p. 95. 

148) Meist verwendet man eiserne Hohlkugeln oder querachiffs liegende 
Zylinder. Diese K8rper fiihren gleichzeitig ein a ein. Die fiir Kugelkorrek- 
toren gultigen Verhaltnisae behandeln L. Jeanniot, Rev. mar. 154 (1902), p. 1194, 
H. Meldau, Ann. d. Hydr. 33 (1906), p. 171. Die kompensatorische Wirkung der 
KugeLn ist nahezu unabhangig vom Werte der Magnetisierungsfunktion und ge- 
gebeu durch 



(f) . 



wo p der Kugelhalbmesser, r die Entfernung vom Rosenmittelpunkt ist. 

149) Fiir Kugelkorrektoren findet eine VergroBerung oder Verringerong des 



362 VI i, 6. H. Meldau. Nautik. 

werden, indem man die Weicheisenkorper um einen Winkel 

l @ 

tj.***TF 

aus der Querschiffsrichtung herausdreht und sie auf den Wert 
-_|_~@2 einstellt. 
Die Koinpensation der Koeffizienten der Semizirkiilardeviation 



erfordert fur Schiffe, die ihre magnetische Breite stark Jindern, 
Magnete und Vertikalstangen aus weichem Eisen. 

Die gesonderte Eompensation der beideri Eomponenteu des 
festen Schiffsmagnetismus durch Langs- und Querschiffsmagnete ist 
ihrer gemeinschaftlichen Aufhebung durch einen einzigen Magneten 

im ,,Steuerbordwinkel" K = arctg ~- vorzuziehen. Man ordnet die 
Langsschiffsmagnete so an, daB ihre Mitte sich in einer durch den 
KompaB gelegten QuerschiflPsebene, die Querschiffsmagnete so, daB 
sich ihre Mitte in einer durch den KompaB gelegten Liingsschiffs- 
ebene befinden. 

Zur Koinpensation des c (f ist meist verschwindend) ist vor oder 
hinter dem KompaB eine Weicheisenstange yon geeigneter Lange an- 
znbringen. Nach W. Tfwmson verwendet man fiir diese schon von 
Flinders (s. Nr. 9b) angegebene Kompensationsvorrichtung Eisen- 
zylinder von 8 cm Durchmesser. Die ,,Fliudersstange" wird in einer 
Messiughiilse untergebracht ; sie besteht aus einzelnen Stiicken von 5 
bis 20 cm Lange. Indem man die unteren Stiicke durch Holzklotze 
ersetzt, vermag man die Wirkung der Stange zu variieren. 

Zur Vermeidung vertikaler Kraffce bringt man die Flindersstange 
so an, daB ein Zwolftel ihrer Lange tiber der Rosenebene hervorragt. 
Die Stange ist aufierhalb des Bereiches merklicher Nadelinduktion 
anzubringen (s. Nr. 18c). 

Die vollige Aufhebung des Krangungsfehlers wurde nach den in 
Nr. 14 a angegebenen Formeln fiinf verschiedene Vorrichtungen er- 
fordern. Von diesen wird die c-Kompensation bereits durch die Flinders 
stange geleistet. Eine Kompensation des g und eine gesonderte Kom- 
pensation des k sind nicht Gblich. 

Zur Annullierung des Krangungskoeffizienten 

, ^\, /i 

~ e 



i fitatt, je nachdem |/35* -j- * ^ i war ? ^- E- Guyou, Manuel des instr. iiaut. 
Paris 1899, p. 97. 



19. Kompersation der Kompasse. 363 

verandert man durch einen unter der KompaBmitte senkreeht zum 
Deck befestigten Magnet die raittlere Vertikalkraft p (s. Nr. 14b) 
derart, dafi 

g-j-^ l^O also ji=l-f-e=;,(l $)) 
wird. 

Sind D-Korrektoren vom -f- e-Typus vorhanden, so kompensieren 

diese den mit der Breite stark veranderlichen Teil T^^ ^ r a ^ e 
magnetischen Breiten fast vollstandig, indem sie die Querschiffs- 
induktion gleich der riel kleineren Langsschiffsinduktion machen. Es 

muB dann 

^ = 1 -f- a = A (1 + $>) 

gemacht werden, wo I und S) die urspriinglichen Werte dieser 
Grofien bedeuten 150 ). 

c) Beihenfolge der Kompensationen. Die Anbringung der Weich- 
eisenmassen hat tunlichst vor der Anbringung der Magnete zu er- 
folgen. Die D-Korrektoren kompensieren, soweit ihre Wirkung auf 
erdmagnetischer Induktion bemht, an Bord dasselbe Z), das sie an 
einem eisenfreien Orte am Lande erzeugen 151 ). Ihre Grofie und Ent- 
fernung kann deshalb nach Beobachtung des D aus vorher festgestellten 
Tabellen entnommen werden. 

Die Anbringung der Flindersstange kann zunachst nur schatzungs- 
weise nach den auf ahnlichen Schiffen gemachten Erfahrungen ge- 
schehen. Die Berichtigung erfordert Beobachtungen in Gegenden 
mit erheblich veranderter Vertikalkraft. Am einfachsten geschieht 
sie, indem man am magnetischen Aquator SSj = j-g durch die Langs- 
schiffsmagnete beseitigt und nach der Ruckkehr in hohere Breiten 
das jetzt erscheinende S3 8 4- tg durch Veranderung der Flinders 
stange aufhebt. 

Nach Anbringung der Weicheisenrnassen ist der Krangurigs- 
magnet einzustellen, und endlich sind die Langs- und Querschiffs- 
magnete zu verlegen. 

d) Ausfuhrung der Kompensation. Die Kompensation des S3, S 
und 55 wird ausgefiihrt, indetn man mittels der Kompensationsvor- 
richtungen entweder die Ablenkungen auf bestimmten Kursen zum 
Verschwinden bringt oder die EicMkrdfte auf bestimmten Kursen aus- 
gleidit. 



150) Die fur KugelkorreMoren gfiltigen \ 7 erhaltnisse s. Ann. d. Hydr. 33 
(1905), p. 171. 

151) Adm. Man.. App. 4. 



364 VI i, 5. H. Mcldau. Nautik. 

Bei dem ersten Verfahren kompensiert man S8 am einfachsten 
auf 0- oder FT-Kurs, auf N- oder $-Kurs, wahrend man die Kom- 
pensation dee 3) auf den Kurseu NO, SO, SW, NW kontrolliert. 

Bei dem zweiten Verfahren hat man durch Ausgleich der Richt- 
krafte auf N- und $-Kurs vermittels der Langsschiffsmagnete das S3, 
und durch Ausgleich der Richtkrafte auf 0- und Tf-Kurs vermittela 
der Querschiffsmagnete das aufeuheben. Die Rektifikation der 
Quadrantaldeviation erzielt man dadurch, da8 man mittels der D-Kor- 
rektoren den Wert der Richtkraft auf 0- und TF-Kurs dem auf N- 
und $-Kurs beobachteten gleichmacht 153 ). 

Fur die Richtkraftmessungen bedient man sich meist der Ab- 
lenkungsmethode, indem man einen der in Nr. 12 beschriebenen De- 
fle ktoren zur Anwendung bring! 

Bei der Ausfuhrung der Kompensation ist stets gehorige Rtick- 
sicht auf mutmaBlich vorhandenen halbfesten Magnetismus zu nehmen. 
Hat z. B. auf der Reise das Schiff lange Zeit auf ein und demselben 
Kurse gelegen, so darf man nicht unmittelbar nach einer Kursande- 
rung kompensieren, das Schiff rnuB zunachst einige Zeit, wenn moglich 
24 Stunden, auf dem zur Kompensation erforderlichen Kurse liegen. 

Der Krangungsfehler kann bei aufrecht liegendem Schiffe kom 
pensiert werden. Man hat den Krangungsmagneten so einzustellen, 
daB der in Nr. 19 b am SchluB angegebene Wert der Vertikalkraft 
erreicht ist, was man durch Schwingungsbeobachtungen an einer 
Vertikalnadel oder mittels der Tliomsonscheu Vertikalkraftwage 
(s. Nr. 12c) konstatiert. Zur Vermeidung eines Einflusses des Koef- 
h zienten g (s. Nr. 14 b und Fig. 5g, p. 335) hat man dabei das Schiff 
auf inagnetisch 0- oder TF-Kurs zu legen. 

e) Hindernisse vollkommener Kompensation. Einer fiir alle Breiten 
giiltigen Kompensation der Hauptfehler des Kompasses standen lange 
Zeit die Induktionswirkungen des Nadelsystems auf die zur Kompen- 
eation anzubringenden Weicheisenmassen im Wege. Dieses Hiuder- 
nis ist durch die Konstruktion der Thomsonschen. Rose beseitigt 
worden. 

Man kommt jedoch nicht iramer mit der Tfwmsonschen oder 
einer der ihr nachgebildeten leichten Trockenrosen aus. An manchen 
magnetisch ungiinstigen oder starken Erschiitterungen ausgesetzten 
KonipaBorten bewahrt nur der FluidkompaB die notige Ruhe. In 

152) s. Mitt. 27 (1899), p. 904 und Ann. d. Hydr. 33 (1906), p. 171. Bei 
dicser Eompeaaation muB vorausgesetzt worden, daB zwiachen der Rose, und dem 
Quadrantalkorrektor keine Nadelinduktion gtattfindet. Bei Fluidkompassea ist 
aus diesoiu Grundo der Gebrauch des Defloktors beachrankt, vgl. Eottok, p. 176. 



19. Eompensation der Kompasse. 365 

Panzertiirmen entstehen auBerdeui wesentliche Schwierigkeiten da- 
durch, daB bei den groBen Werteu des I) der Raum fur die An- 
bringung geniigend groBer Kugeln schlechterdings fehlt. Perner 
wurden an solchen Orten, da an ihneri gewohnlieh ein groBer negativer 
Wert des k vorhanden ist, die D-Kugeln den Krangungsfehler in hochst 
ungiinstiger Weise beeinflussen 163 ). 

Die KompaBsysteme von Peichl, Magnaghi und Flvrian kompen- 
sieren die Quadrantaldeviation zum groBen Teil oder ausschlieBlich 
durch Nadelinduktion. 

f) Kompafisysteme mit besonderen Kompensationsvorrichtungen. 
Der Peichhche D-Korrektor 154 ) und Intensitatsmultiplikator besteht 
aus zwei Scheiben mit 32 bis 48 radial verlaufenden Weicheisen- 
staben von 1 qcm Querschnitt und 5,5 bis 9,5 cm Lange. Die aufieren 
Enden der Stabe liegen auf einem Kreise, die inneren auf EUipsen. 
Die Stabsysteme kounen durch ein Zahnradgetriebe gegeneinander ver- 
stellt werden und zwar von der Koinzidenz beider groBen Achsen mit 
der Langsschiflfelinie bis 45 nach jeder Seite. In letzterer Stellung ist 
die kompensatorische Wirkung verschwindend, es wird lediglich eine 
Erhohung der Feldstarke durch die erdmaguetische Induktion in den 
Staben erzielt. Bei anderen Stellungen der groBen Achsen resultiert 
eine dem Kosinus des zwischen den Achsen liegenden Winkels pro- 
portionale quadrantale Kompensationswirkung. Ihr Betrag ist an 
einer Skale ablesbar. Zur Auf hebung ernes etwa vorhandenen @ kann 
das ganze System um einen entsprechenden Winkel nach rechts oder 
links verstellt werdeu. Der Apparat erlaubt in unseren Breiten 
Werte des D bis zu 30 aufzuheben. 

Der Korrektor ist innerhalb des Cardanringes angebracht, er er- 
fordert eine eigene Krangungskompensation, die gebildet wird durch 
einen kleinen senkrecht unter dem Kessel befestigten Beruhigungs- 
magnet, der ffir jede Breite leicht empirisch eingestellt werden kann 155 ). 



153) Vgl. Nr. 14 a. Siehe J. Un. Serv. Inst. 38 (1889), p. 949 und L.Jean- 
niot, Revue mar. 164 (1902), p. 1194. Um die Anbringung groBer Eisen- 
masaen zur Seite des KompasBes zu vermeiden, haben A. Smith und F. Evans 
(London Phil. Trans. (1861)) die Nebeneinanderstellung von zwei Kompassen 
einpfohlen. Die Rosen erzeugen dann durch ihre Wirkung aufeinander ein 
negatives D. Der Vorschlag hat keine Annahine gefunden. Neuerdings hat 
H. Maurer die Kompeusation der Quadrautaldeviation durch kleine KompasBe 
zur Seite des Hauptkompasaes erortert (Ann. d. Hydr. 36 (1907), p. 644). 

164) Mitt. 1875, p. 614; 1877, p. 41; 1879, p. 655. Jetzige Form s. bei 
A. Racic oder Stupar. 

155) Dem Peichlachfin KompaiJ nachgebildet ist der sog. Kompensationa- 



366 VI i, 6. H. Meldau. Nautik. 

Bei dem in der italienischen Kriegsmarine eingefdhrten KornpaB- 
system von Magnaghi ist beiderseits am Kessel des Fluidkompasses 
auf einer Konsole horizontal liegend ein Weicheisenring befestigt. 
Die Wirkung beruht zu etwa drei Vierteln auf Nadelinduktion und 
zu einem Viertel auf erdrnagnetischer Induktion 156 ). 

Ganz auf Nadelinduktion beruht der vonH.Florian 1 ***) angewandte 
Quadrantalkorrektor, der aus einem etwa 10 cm langen Weieheisen- 
stabe besteht, der querschiffs unter dem Kessel des Fluidkompasses 
in groBerer oder geringerer Entfernung von der Rosenebene fest- 
gesetzt werden kann. 

Die drei erwahnten KompaBsysteme weichen dadurch von der 
theoretisch geforderten Anordnung der Kompensationsvorrichtungen 
jib, daB sie die Quadrantalkorrektoren, sowie Magnete fiir den Rest 
der Semizirkulardeviation am Eompafi nelbst, inncrhalb des Cardan- 
ringes anbringen 157 ). Sie erzielen dadurch die Moglichkeit, Skalen 
zum Ablesen des in einer bestimmten Breite kompensierten Betrages 
anbringen zu konnen 158 ). 

20. Kompasao mit Doppelrosen. a) Zwei Rosen. Der Gedanke, 
die Ablenkung mit Hilfe von zwei vertikal tibereinander befindlichen 
Magnetnadeln oder KompaBrosen zu bestimmen, ist zuerst von dem 
englischen Kapitan W. Walker verfolgt worden 159 ). Walker glaubte, 
von irrtumlichen Vorstellungen ausgehend, die Ablenkung durch eine 
iiber der Rose des Eompasses angebrachte ,,Indikatornadel" anzeigen 
lassen zu konnen. Angeregt durch Walkers Bemiihung entwickelte 
F. Stamkart die Theorie eines Kompasses mit zwei flbereinander an- 



kompaB der Dentechen Kriegsmarine (s. Lehrb. der Navigation, her. vom Reichs- 
marineamt, 1, p. 73). 

166) J. Ricci, Eiv. maritt. 36,3 (1908), p. 10 und A. Santi, Eiv. maritt. 
38,4 (1905), p. 96. 

156 ) Beschreibung des .Fton ankompaasee Mitt. 25 (1897), p. 827 und bei 
Stupar, Terr. Nav. 

157) GrOBere Betrage von B und G werden durch gewohnliche LangBschiffs- 
und QuerschifiFsmagnete beseitigt. Die Anbringung des (7-Korrektors innerhalb 
des Cardauringes hat zur Folge, daB bei der Krangung des Schiffes das N-Ende 
der Eose nach der Seite gezogeu wird, an der der S-Pol des OKorrektors liegt. 
Die Abweichung ist unerheblich, solange die nachzukompeusierende Eestdeviation 
10 nicht fiberechreitet (a. Gareis, Mitt. 16 (1888), p. 464). 

158) Bei Verwendung dieser EompafisjBteme geht das Bestreben im allge- 
nieinen dahin, die Deviation durch Nachstellen der Korrektoren auf Null zn 
halten. Dabei verwendet man mit Vorteil graphische Moth o don, s. Lauffer, Mitt. 
33 (1905), p. 22. 5 und Ann. d. Hydr. 3* (1896), p. 82. 

169) W. Walker, The magnetisme of ships a.ud the mariners compass, 
London 1853. 



20. Kompasse mit Doppelrosen. 867 

geordneten Rosen zur Bestimmung der Horizontalintensitat am KompnB- 
orte 160 ), gab wertvolle Ideen fur die praktische Ausfuhrung des In- 
strumentes und erorterte seine Anwendung fur die Navigation 161 ). 

Neuerdings hat F.Bidlingmaier die Theorie des ,,Doppelkoinpasses" 
weiter durehgebildet und die praktische Ausfuhrung eines seetiichtigen 
Instrumentes unter Verwendung der raodernen KompaBrosen ge- 
fdrdert 162 ). 

Bidlingmaier zeigt, daB es unzulassig ist, die Theorie der beiden 
Eosen mit je einem Magnet auf den Begriff der , ; Poldistanz" auf- 
zubauen. Die Diskussion des Drehmomentes, das zwei Rosen mit 
beliebiger Nadelanordnung aufeinander ausuben, fiihrt zur Bestimmung 
der zweckmaBigsten Form der Rosen. Es zeigt sich, daB man die 
relative Horizontalintensitat aus dem ? ,Spreizungswinkel" fy der beiden 
Rosen mittels der einfachen Beziehungen finden kann: 

J3" cos -^ p 

]ff~ cos^i/ 

wo C ein Korrektionsfaktor ist, der sich durch passende Wahl des Rosen- 
systems nahe auf 1 reduzieren 1 aBt. Fttr Thomsonrosen z. B. ist C prak- 
tisch = 1 zu setzen. Inhomogenitaten des Feldes am Orte der beiden 
Rosen konnen durch Umschlagen der Rosen erkannt und eliminiert 
werden. Nach dem mitgeteilten Beobachtungsmaterial erlaubt der 
Apparat selbst bei unganstigem Wetter die Horizontalintensitat an 
Bord mit einem mittleren Fehler zu bestimmen, der durchschnittlich 
kleiner als ein Promille bleibt. Die Erprobung fiir die praktische 
Navigation, insbesondere fur die Aufgabe der Ermittelung der Deviation 
fur den gesteuerten Kurs aus Richtkraftmessungen auf zwei Kursen, 
die nur etwa 5 bis 6 rechts und links von diesem Kurse liegen, ist 
noch nicht abgeschlossen 168 *) 

b) Zwei Rosen und ein Deflektor. E. Bissan hat zwei kleine 
Nadeln vertikal iibereinander in einer Entfernung angeordnet, in der 
sie sich nicht gegenseitig beeinflusseu. Das erdniagnetische Feld 

160) Theorie van het Intensiteita-Kompass , Verb, der Koninkl. Akad. van 
Wetenschappen 7, Amsterdam 1859. 

161) Arch. Neerlarulaises 11 (1876), eine Abb. und zwei kleinere Mit- 
teihmgen. Gegenuber der Stamkartscben Arbeit stellt die Bebandlung der 
WalkerBchen Idee von E. Diibois (La deviation etc. Paris, etwa 1862) einen Riick- 
Bchritt dar. 

162) Deutscbe Siidpoiarexpedition 1901-1908. V. Erdmagnetismus I. Da- 
selbst ein kritischer Bericht uber die zitierten Arbeiten. D. R. P. 190824. 

162 ) tJber Erprobungen des Verfahrens am Land imd an Bord S. M. S. 
,,Muncben" berichtet H. Maurer, Ann. d. Hydr. 86 (1908), p. 262. Die Kurs- 
anderong niuS laiudestens 10 bis 26 uach jeder Seite betragen 



368 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

gibt fur beide Nadeln gleiche Komponenten. Die Komponenten des 
schiffsmagnetischen Feldes werden nach ihrer Richtung parallel, nach 
ihrer GroBe verschieden fiir die beiden Nadeln vorausgesetzt. Durch 
ein Magnetsystem, das fiir beide Nadeln gleiche Komponenten gibt, 
werden die Nadeln in gleiche Richtung gebracht. Diese Richtung 
stimmt uberein init der Richtung der gesamten schiffsmagnetischen 
Kraft. Wenn auBerdem die Intensitat des Deflektorfeldes am Orte der 
Nadeln bekannt ist, so ergibt sich auch die RichtuDg des magneti- 
schen Meridians 168 ). 

21. Bestimiuung des Meridians durch die Inklinationsnadel. 
Der Peichkche KontrollkoinpaB 164 ) fiihrt den folgenden Gedanken aus. 
Eine im festen Winkel zur Kielrichtung schwingende Inklinations 
nadel uimmt, abgesehen von den auf Horizontalinduktion beruhenden 
schiffsmagnetischen Kraften, bei der Drehung des Schiffes die kleinste 
Neigung an, wenn ihre Schwingungsebene in den magnetischen Meri 
dian f Silt. Berucksichtigt man die durch Horizontalinduktion in den 
Eisenmassen vom p-Typus bewirkte seniizirkulare Anderung der 
Vertikalkraft und ferner den fur alle Breiten unveranderlichen 
Quadrantalfehler sowie eine etwaige konstante Ablenkung, so hat 
man in der Feststellung der kleinsten Neigung ein Mittel zur Auf- 
findung des magnetischeu Meridians 165 ). 

Die Schwierigkeiten, mit denen Inklinationsbeobachtungen an 
Bord verbunden sind, haben der allgemeineren Einfiihrung dieses 
Kompasses im Wege gestanden. 

22. Fernfibertragung von Kompafiangaben. Die Moglichkeit, 
die Angaben eines an giinstiger Stelle aufgestellten Kompasses an 
die Kommando- und Steuerstellen zu iibertragen, wiirde zumal fur 
Kriegsschiffe von grofier Bedeutung sein. Von den zahlreichen vor- 
geschlagenen Methoden haben sich bisher optische und elektrische 
Ubertragungen als verwendbar gezeigt. Bei den optischen wird ein 
reelles Bild der grell beleuchteten Mutterrose am Orte des Tochter- 
kompasses entworfen. 

Bei der elektrischen Ubertragung muB die Eiastellung der Tochter- 
rose unabhangig von der Vorgeschichte nur durch die momentane 
Lage der Mutterrose bestimmt sein ? und es darf keine merkliche 



163) Paris 0. R. 97 (1883), p. 710 und 107 (1888), p. 16. 

164) Mitt. 1881, Heft 4, 6; 1882, Heft 14 und J. Peichl, Theorie des 
Kontrol-Koinpasses , Wien 1882. Beschreibung auch im Haudb. der naut. Instr. 

166) Statt dor kleinaten Neigung werden ,,korrespondierendc Neigungen" 
zu beiden Seiten der kloinsten beobachtet. 



22. Ferniibertragung von KompaBangaben. 369 

ftbertragungstragheit stattfinden. Die letztere Forderung tritt der 
Verwendung des Selens entgegen. Von der Mutterrose darf keine 
oder nur eine aufiersfc- geringe mechanische Arbeit verlangt werden. 

Die elektrischen Ubertragungen sehen am Ort der Tochter- 
rose ein mit dem Schiff fest verbundenes Magnetfeld vor yon 
solcher Starke, dafi das Erd- und Schiffsfeld dagegen verschwinden. 
Mit der Tochterrose verbunden sind zwei zueinander senkrechte Sfcrom- 
spulen angeordnet, durch die Strome proportional sin bzw. cos ^ 
gesandt werden. Die Stromverteilung fallt dem MutterkompaB zu. 
Am besten bewahrt haben sich die Systeme von S. Freese 166 ) und 
Einthoven 1 * 1 }. Ersteres stellt in einem Widerstande ein Potential- 
gefalle her und nimmt von ihm den Strom durch zwei rechtwinklig 
gegeneinander an der Rose befestigte Kontakte 168 ) ab. Einthoven 
verwendet zwei hintereinander gesohaltete Wheatstonesche Briieken; 
die mittleren Zweige dieser Briicken werden durch Stanniolstreifen 
gebildet, die in vier Quadranten unter der Rose angeordnet sind. 
Die Rose tragt einen Ausschnitt, durch den Warmestrahlen von einer 
iiber dem KompaBdeckel angeordneten Gliihlampe hiudureh treten 
konnen. Die dadurch bedingte Widerstandsvermehrung in den Qua 
dranten gibt Veranlassung zu Potentialdifferenzen, aus denen geeignete 
Strome fur die Tochterrose resultieren. 

Ein anderer Vorschlag zur Ubertragung von Kompafiangaben 
geht dahin, die Phasenverschiebung zweier mehrphasiger Induktoren, 
von denen der eine im horizontalen Erdfeld, der andere in einem ge- 
eigneten mit dem Schiff verbundenen Feld rotiert, an der Stelle des 
Tochterkompasses sichtbar zu machen 169 ). 

23. Ersatz des magnetischen Kompasses durch Kreiselapparate. 

a) Gyroskope zur FesthaUung einer an ihnen einycstellten Richtung. 
Die groBen Schwierigkeiten, denen der Grebrauch des magnetischen 
Kompasses zumal an Bord der Kriegsschiffe begegnet, haben in den 
letzten Jahren zu Bestrebungen gefiihrt, Gyroskope als Richtungs- 



166) Neufeldt & Kuhnke, Kiel. 

167) Siemens & Halske, Berlin. 

168) Die urspriirxgliclien Qnecksilberkontakte sind neuerdings durch Eoll- 
Bcheibenkontakte ersetzt. 

169) H, Th. Simon, Plays. Zeitschr. 5 (1904), p. 686; ferner Taudin-Chabot, 
Verb. d. Ges. d. Naturf. u. Arzte III (1905), p. 14 und D.R.P. 176764 (Kl. 42 c). 
Vgl. aucli L.Dunoyer, Paris C R. 145 (1907), p. 1142 u. 1323. Nach der Druck- 
legung dieses Artikelb erscbiei): L. Dunoytr, Etudes sur les compae de marine 
et leurs icethodea de compensation. Un noiiveau compaa electromagnetique. 
Tbese Paris 1909. 



370 VI i, 5. H. Meldau. Nautik. 

zeiger fftr den Bordgebrauch auszugestalten. So hat man versucht, 
Kreisel mit drei Freiheitsgraden zur Festhaltung einer Vertikalebene 
an Bord zu benutzen. Die Hauptschwierigkeiten bestehen in einer 
exakten Zentrierung und Ausbalancierung des cardanisch aufgehangten 
Kreisels, sowie in der Beseitigung des Einflusses der Reibungskrafte, 
die z. B. bei der Drehung des Kreiseltragers entstehen. Die Relatir- 
bewegung gegen die Erde wird am einfaehsten vermieden durch Lage- 
rung der Kreiselachse parallel zur Erdachse. Doch ist wegen der 
in dieser Lage auftretenden ungleichen Beanspruchung der Lager und 
den aus dieser entstehenden Reibungsstorungen vielfach der horizon- 
talen Lage der Kreiselachse der Vorzug gegeben. Es entsteht dann 
die Aufgabe, die Relativbewegung gegen die Erde aufouheben. Man 
hat ihre Losuiig versucht 170 ), indem man dem Kreisel eine geeignete Pra 
zession erteilte, entweder durch Anbringung von kleinen, der Breite ent- 
spreehenden Ubergewichten in der Verlangerung der Kreiselachse, oder 
durch erne geringe Versenkung des Schwerpunktes unter den Carda- 
nischen Punkt. Diese Kompensation wird leicht durch die aus Reibungs- 
kraften an den Aufhangeachsen resultierende Prazession gestort. Da 
aufierdem die fur die Erzeugung der Prazession anzuwendende Kraft 
von der Tourenzahl abhangig ist, so muB die Antriebskraft des Kreisels 
konstant erhalten werden; bei elektrischem Antrieb ist man daher 
abhangig von der Konstanz der Stromspannung. 

b) Kreisdapparate mit eigener Richflcraft. Im Jahre 1852 wies 
L. Foucault darauf hin, daB fiir die Achse eines Kreisels, wenn man 
sie zwingt, in einer horizontalen Ebene zu ble.iben, eine Richtkraft 
nach den Nord-Siid-Punkten des Horizontes resultiert 171 ). Nach einigeu 
friiheren Versuchen 172 ) ist die Ausfuhrung dieses Gedankens fiir die 
Konstruktion eines bordbrauchbaren Kompasses neuerdings mit den 
Hilfsmitteln der modernen Technik in Angriiff genommen. Wegen 
des Fehlens einer festen horizontalen Ebene ist man ffir den Bord 
gebrauch darauf angewiesen, der Kreiselachse eine groBe Stabilitat in 
der Horizontalebene zu verleihen. Eine solche Sfcabilitat kann etwa 
erreicht werden, indem man den in eine Grlasglocke eiugeschlossenen 



170) Einzelheiten s. in einer Eeihe von Patentschriften der Klaaae 42 c dea 
Kaiserlichon Pateutamtes. 

171) Vgl. IV 7, Die Mechanik der einfachaten physikalischen Apparate und 
Versucbsanordnungen (Ph. Fwrtwimgler} , Nr. 42 44; ferner IV 6, Elementare 
Dynamik der Punktsysteme und starren KQrper (P. Stfakel), Nr. 43 b, c, d und 
Klein-Sommerfeld, tlber die Theorie des Kreieela, Heft 3, Leipzig 1903, p. 731759. 

172) E. Ditboia, Paris G. R. 98 (1884), p. 227; W. Thomson, Nature 30 (1884), 
p. 524. 



23. Ersatz des magnetiachen Kom passes durch Kreiselapparate. 371 

Rotationsapparat in geeigneter Weise als Schwinimkorper in einer 
Fliissigkeit anordnet 178 ). Bezeichnet & das Tragheitsmoment des 
Rotationskorpers, o seine Winkelgeschwindigkeit, ra die Winkelge 
schwindigkeit der Erdrotation, y die Breite und a den Ausschlag der 
Kreiselachse aus dem Meridian, so ist die Richtkraft 

K = oo cos (p sin a. 
Als Schwingungsdauer ergibt sich 

T = ^- 
1/w cosg> 

wo C das Tragheitsmomeut des Apparates urn die vertikale Achse, 
g die Schwerebeschleunigung, m die Masse des Schwimmkorpers und 
a die metazentrische Hohe bedeuten. Das Tragheitsmomenfc erscheint 
vergroBert um einen mit der Ricbtkraft selbst wacbsenden Betrag. 
Bei geniigender Ricbtkraft wird die Scbwingungsdauer recht groB. 
Neuerdings ist es H. Anschutz-Kaempfe gelungen, auf Grand des 
jFoMomfrscben Gedankens einen bordbraucbbaren Kreisel berzustellen 174 ). 
Der etwa 6 kg scbwere Kreisel ist in Quecksilber scbwimmend an- 
geordnet und macbt ungefabr 20000 Umdrehungen in der Minute; 
die Schwingungsdauer betragt etwa 70 Minuten. Wesentlich fur den 
Anschutzsckeii Kreisel ist eine Dampfungsvorricbtung. Eine solche 
ist fur ein Schiffsinstrument wegen der mannigfacben durcb die Be- 
wegung des Schiffes entstebenden Bewegungsimpulse durcbaus notig. 
Die Dampfung hat obne VergroBerung der Reibung zu geschehen. 
Anschute erreicht sie, indem er den durch den Kreisel selbst erzeugten 
Luftstrom ein entsprechendes Drehinoment auf die Kreiselachse aus- 
iiben laBt. Zur Auslosung dieses Drehmomentes ist ein Pendel vor- 
gesebeu, dessen relative Verschiebung gegeniiber der Kreiselachse bei 
deren Elevation den Luftstrom in geeigneter Weise leitet. Die Dam 
pfung wird so stark gewahlt, daB die Kreiselachse nach zwei Schwin- 
gungen zur Rube kommt. Die Elevationen der Kreiselachse konnen 
an einer Libelle abgelesen werden; da mit einer borizontalen Be wegung 
der Bjreiselacbse stets auch eine Elevation verbunden ist, so kann 
durch die Libelle festgestellt werden, ob die Kreiselachse in horizon- 
taler Bewegung ist oder nicht. 

Die Dampfung ist dem Ausschlag der Kreiselachse aus der Hori- 
zontalebene proportional. Da die Ruhelage des ungedampften Kreisels 



173) 0. Martienssen, Phys. Zeitschi. 7 (1906), p. 585. 

174) Jahrbuoh der. Schiffbautechniacben Gesellschaft 1909, p. 352 und 
M. Schulcr, ibid., p. 661. 



372 VI i, 6, H. Mddau. Nautik, 

zwar im Meridian, aber, ausgenommen auf dem Aquator, nicht in der 
Horizontalebene liegt, so wirkt in dieser Stellung noch das von dem 
Luftstrom ausgetibte Drehmoment auf die Kreiselachse und treibt sie 
aus dem Meridian heraus. Die Gleichgewichtslage, die sich in den 
befalirenen Breiten nur einige Grade vom Meridian entfernt, wird er- 
reicht, wenn das vom Luftstrom auf die Kreiselachse ausgeiibte Dreh 
moment dem von der Erdrotation herriihrenden Drehmoment, das die 
Kreiselachse in den Meridian zurttckzudrehen sucht, das Gleichgewicht 
halt. 

Eine Abweichung aus dem Meridian von derselben GroBenordmmg 
wird von einer Nord-Siidkomponente der SchifFsgeschwindigkeit ver- 
ursacht, weil die Drehungsachse fur die Bewegung irgend eines mit 
dem Schiff fest verbundenen Punktes nicht mehr die Erdachse ist, 
sondern eine etwas von ihr abweichende Linie. 

Zu ballistischen Ausschlagen des Kompasses geben Beschleuni- 
gungen und Beschleunigungsanderungen der Schiflfsbewegung sowie 
Kursanderungen Veranlassung. 

Um diese und andere Storungen in mafiigen Grenzen zu halten 
und echnell auszugleichen, ist neben hoher Tourenzahl eine lange 
Schwingungsdauer und kraftige Dampfung fiir den Kreiselkompafi 
notwendig. 



(Abgeechloeeen im Juli 1909 ) 



B. GEOPHYSIK. 



Unuyklop. <i. math. Wisfonscb. VI 1, B. 



VI i, 6. BEWEGIHSTG DER HYDROSPHARE. 

VON 
SIR G. H. DARWIN UND S. S. HOUGH 

IN CAMBRIDGE IN CAP8TADT. 



Inhaltstibersicht. 

Literatur, 
Einieituog. 

A. Historisches. 

1. Historisches von G. H. Darwin. 

B. Dynaiuische Theorie von 8. S. Hough. 

2. Fluterzeugendes Potential. 

3. Gleichgewichtstheorie der Gezeiten. 

4. Entwicklung des fluterzeugenden Potentials. 

5. Korrektion der Gleichgewichtstheorie wegen der gegenseitigen Anziehung 
der Wassermassen. 

6. Korrektion wegen der Verteilung von Land und Wasser. 

7. Dynamieche Theorie. Fundamental gleichungen. 

8. Die Kontitniitatsgleichung. 

9. Bedingung f flr die freie Oberflache. 

10. Gezeiten in Eanalen. 

11. Die Laplace sche Differentialgleichung fur die Gezeiten. 

12. Gezeiten von langer Periode. Losung durch Potenzreihenentwicklung. 
18. Gezeiten von langer Periode. Loaung durch Kugelfanktionen. 

14. Tagliche Gezeiten. Losung von Laplace. 

15. Halbtagige Gezeiten. Losung von Laplace. 

16. Transformation der Gleichuugen von Laplace. 

17. Li-sung in allgemeinen Kugelfuuktionen. 

(Der Rest des Artikels ist von G. H. Darwin.) 

C. Praktische Anwendungen. 

18. Beobachtung der Gezeiten. 

19. Seiches und Vibrationen der Seen and des Meeres. 

20. Flnterzeugende Kraffce. 

21. Lotablenkongen. 

22. Methoden zur Diskussiou der wirklichen Ozeantideu. 

23. Hannonisehe Analyse. 



4 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphere. 

24. Meteorologieche Tiden, Obertiden iind kouibinierte Tideu oder Seicht- 
wassertideu. 

25. Die Resultate der harmonischen Analyse. 

26. Numerische harmoniache Analyse. 

27. Erklarutig einiger gebrauchlicher Ausdriicke; Nullpunkte. 

28. Synthetische Methode fflr die halbtiigigen Gezeiten 
20. Synthetische Methode fiir die taglichen Gezeiten 

80. Reduktian der Beobachtungen ton Hoch- und Niedrigvs aaser. 

81. Gezeitenvorhereage. Methoden zur Aut stellung \on Gezeitentafeln. 

32. Fehler der Gezeitentafeln. 

33. Karten gleicher Gezeiten. 

34. Gezeitenstromungen, Stiirmer. 

35. Gezeiten in Seen imd Meeresbuchten. 



D. 

3(J. Bestiuimung der Mondmasse mit Hilfe der Gezeiteu. 

37. Elastische Tiden und die Steifigkeit der Erde 

38. Gezeiten der Atnioephare. 
88. PraKecsion und Nutation. 

40. Breitentiden oder JEidersche Tiden. 

E. Fhitreibimi? nnd spekulative Astronomic. 

41. Gescbichtliches. 

42. Allgemeine Betrachtiing der b lutreibung. 

43. Die Gezeiten eiuea ziihen Spkiiroids 

44. Die Natur des Problems der Gezeitonreibung uud seine Einteiluag. 

46. Problem, vreim die Mondbahn kreififormig, aber geneigt gegen die Ekliptik ist. 

46. Problem, wenn die Mondknoten oazillieren oder ungleiclji orrnig umlaufen 

47. Problem, wenn die Bahn exvcentrisch, aber nicht geneigt it. 

48. Analytische Losung fiir xwei KSrper. 

4i). Eine Spekulatiou u ber Zeit und Art der Entstebung des Monde.}. 

50. Gezeitenreibung bei Vorbandensein mehrerer Satelliten 

51. Verwandte Probleme. 

Literatur. 

(Einzelne Abbandlwngen sind ini Text aufgefiihrt.) 

G. E. Airy, Tides and waves, Encyclop. Metropol., London 1845, p. 24i * [Airy, Tides]. 
A. W. Bnird, Manual of Tidal Observation, London 188G [Baird, Manual). 
A. Ti. Basset, Hydrodynamics 2, p. 199, Cambridge 1888. 
J). Bernoulli, Traite" BUT le flux et reflux de la mer, Receuii des pieces, qui out 

remporte le prix, Paris Acad. sci., 4 (1741); wiedcrabgedruokt im H. Bd. von 

1. Newton, Principia, Ausgabe von Lcsuew und Jacquier. 
G. H. Darwin, Tides, Encyclopaedia Britannica, 9. ed., 23 (1880), p. 353, und 

ein Artikel in den Ergitnzungsbanden [Darwin. Encyclop. Brit.J. 
Scientific Papers, Cambridge 1907. vol. 1, Oceanic Tides and Lunar disturbance 

of gravity; vol. 2, Tidal friction (xmter der Presse) 
J. Eccles, S. Gr Burrurd, St. G. C. Gore, E. Roberts, Details of the tidal observa 

tions .... from 1872 to 1892, and .... methods of reduction. Great Tri 

gonometrical Survey of India 10, Dehra-Dun 1901. 



Einleitung. 5 

TF. Ferrel i Tidal Researches, App. to Report of U. S. Coast and Geod. Survey, 

Washington 1874 [Ferrel, Tidal Researches]. 

S. Gunther, Handbuch der Geophysik 2, p. 456480, Stuttgart 1899. 
B. A. Harris, Manual of tides, Appendices to Rep. of U. S. Coast and Geod. 

Survey, Washington; Part 1, 1897, p. 320; Part 2, 1897, p. 472; Part 3, 1894, 

p. 123; Part. 4 A, 1902, p. 637; Part. 6, 1908, p. 239 [Harris, Manual 1, 2, 3,4, 6]. 
H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge 1906, p. 236; deutech Leipzig 1907. 
P. S. Laplace, Des oscillations de la mer et de 1 atmosphere, Me"c. eel, liv. 3; 

Dee oscillations dee fluidesqui recouvrent les planetes, ibid. liv. 13; Recherchea 

sur quelques points du systeme du monde, Oeuvres 9, p. 187. 
M. Ltvy, Le9ons sur la the orie des marges, premiere partie, Paris 1896. 
/. Newton, Principia, lib, 1, prop. 66, corr. 19; lib. 3, prop. 24, 36, 37. 
W. Thomson and P. O. Tait, Natural Philosophy, Cambridge 1883, vol. 1, pt. 2, 

798 [Thomson and Tait, Nat. Phil.]. 

Populare Werke: 

Lord Kelvin (W. Thomson), Lectures and Addresses 3, p. 139, London 1891. 
G. H. Darwin, Tides and kindred phenomena in the eolar system, London 1902, 

Boston 1899; deutsch Leipzig 1902; ungarisch Budapest 1904; italienisch 

Turin 1906 [Darwin, Tides]. 

Eine vollstandige Bibliographic bis 1881 findet man in Bd. 2 von 
J. C. Houzeau et A. Lancaster, Bibliographic gene r&le de I astronomie, Bruielles 

188289. 

Einleitung. Die Problems der physikalischen Astronomie kann 
man in drei Klassen teilen. In der ersten Klasse, welche die Theorie 
der Mond- und Planetenbewegung umfaBt, werden die Himmelskorper 
als Massenpunkte behandelt; in den Theorien der Prazession, Geodasie 
und Gravitation, welche die zweite Klasse bilden, werden sie als starre 
Korper betrachtet; die dritte Klasse endlich beschaftigt sich mit den 
Relativbewegungen der Teile, aus denen ein jeder dieser Korper zu- 
sammengesetzt ist. Zu dieser letzten Klasse gehort die Theorie der 
Figur der Planeten, bei der man annimmt, dafi die inneren Schichten 
gleicher Dichte sich im hydrostatischen Gleichgewicht befinden; ferner 
gehort dazu die Theorie der Gezeiten, bei der die Relativbewegungen 
der Teile des elastischen oder plastischen Planetenkerns und die Os- 
zillationen der aufgelagerten Ozeane von Wasser und Luft betrachtet 
werden. 

Da die Gezeitenbewegungen des Kerns sicher sehr klein sind 
und die Reaktion der oszillierenden Atmosphare auf den darunter- 
liegenden Ozean aufierst geringfiigig ist, so wird der bei weitem 
grofite Teil unserer Diskussion von den Bewegungen eines Ozeans 
handeln, welcher auf einem starren Kern ohne dariiberliegende Luft- 
schicht gelagert ist 1 ). Dieses vereinfachte Problem erfordert noch 

1) Das Gleichgewicht und die Oszillationen eines ganzlich flilssigeu Pla- 



6 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

erne weitere Gliederung, je nachdem man annimmt, daB die sich be- 
wegenden Teilchen frei von innerer Ileibung oder Viskositat sind, 
oder dafi sie diesem EinfluB unterworfen sind. 

Der Artikel ist nach folgendem Plan verfafit. Nach einigen 
wenigen Worten liber die Geschichte des Gegenstandes, Abschnitt A, 
werden die Oszillationen eines reibungslosen Ozeans im Abschnitt B 
behandelt; im Abschnitt C betrachten wir dann die praktischen An- 
wendungen ailer Art auf die irdischen Ozeane 2 ), in Abschnitt D 
werden verschiedenartige Fragen diskutiert, und endlich beschaftigeu 
wir uns im Abschnitt B mit dem EinfluB des Reibungswiderstandes 
auf die Gezeiten und mit den verschiedenen Problemen der spekula- 
tiven Astronomie, zu welchen dieser Widerstand Veranlassung gibt. 

Innerhalb des uns zur Verftigung stehenden Raumes ist es un- 
moglich 7 auf die Einzelheiten der Methoden und der Resultate eines 
so ausgedehnten Gegenstandes einzugehen. Wir haben uns aber be- 
strebt, unseren Uberblick iiber die Theorie der Gezeiten so zu ge- 
stalten, daB er den Leser befahigt, einige Einsicht in die Materie zu 
gewinnen, und ihn mit den verschiedenen Autoren bekannt macht, 
welche die einzelnen Zweige unseres Gebietes bearbeitet haben. 
Die Literaturnachweise des Artikels bilden keine vollstandige Biblio 
graphic des Gegenstandes; es sei deshalb erganzend auf das in der 
Literaturiibersicht genannte Handbuch der Geophysik von S. Gunther 
hingewiesen, wo der Leser viele hier nicht erwahnte Abhandlungen 
angegeben findet. 

A. Historisehes 3 ). 

1. Hiatorisohea. Obwohl J. Kepler und Cr. Galiki sich beide 
mit der Natur und dem Ursprung der Gezeiten besehaftigten, so war 

aeteu sind von H. Poincare, G. H. Darwin und G. H. Bryan betrachtet worden. 
Vgl. H. Poincare, Acta math. 7 (1885), p. 269 und London Phil. Trans. 198 A (1902), 
p. 333; G. H. Darwin, ibid. 178 A (1887), p. 242; ibid. 198 A (1902), p. 301; 
G. H. Bryan, ibid. 180 A (1889), p. 187. Vgl. auch J. H. Jeans, ibid. 200 A 
(1902), p. 67; A. Liapounoff, Toulouae Ann. 1904 (t)bersetzung einer russ. 
Abhandl. von 1884); Pdtersb. Acad. Bull. 17 (1905); ibid. M&n. 1906. 

2) Es ist kein Versuch gemacht worden, die Reaultate, welche sich auf die 
einzelnen Hafen beziehen, auch nur BU skizzieren. t)ber diesen sehr ausgedehnten 
Literaturzweig ko nnte nur sehr unvollstandig referiert werden, er ist deshalb 
ganz aufier Betracht gelassen. Unter den Schriften, welche sich auf ihn beziehen, 
mogen u. a. genannt werden die von J. P. van der Stok, Kon. Inst. Ingenieurs, 
Afd. Nederlandsch- India, The Reports of the Indian Survey, of the U. S. Coast 
Survey, of the Canadian Department of Marine and Fisheries und Harris, Manual 4 A. 

3) Der vollstandigste Abrifi der Geachichte, der inir bekannt ist, ist in 
Harris, Manual 1, chap. V VIII enthalten. Der Leser mag aber auch Ihomson, 



1. Historiaches. 7 

es doch erst I. Newton, der 1687 fur alle spateren Untersuchungen 
den Grand legte, indem er die Gravitationstheorie auf den Gegenstand 
anwandte. 1738 schrieb die Pariser Akademie einen Preis fiir die 
Theorie der Gezeiten aus. Verschiedene bemerkenswerte Arbeiten 
wurden eingeliefert, aber die einzige, welche eine so erhebliche 
Bedeutung fur den Gegenstand hat, daB sie unsere Aufmerksamkeit 
hier erfordert, war die von D. Bernoulli. Seine Arbeit enthielt eine 
vollstandige Entwicklung der Gleichgewichtstheorie, die unten erklart 
werden wird. 

Die Theorie befand sieh noch in ihrem Kindheitsstadium, als 
P. S. Laplace sie 1774 aufnahm. Er faBte das Problem, wie es Newton 
vor ihm getan hatte. als ein wesentlich dynamisches auf, und ihm 
gelang es nicht nur, die Schwingungen eines die ganze Erde be- 
deckenden Ozeans zu ennitteln, sondern er zeigte auch, wie Theorie 
und Beobachtung bei der Diskussion der Gezeiten an irgend einem 
Erdorte zu kombinieren sind. 

In der ersten H alfte des 19. Jahrhunderts lieferten J. W. Lubbock, 
W. Wliewdl und G. . Airy wichtige Beitrage zu dem Gegenstand, 
indem sie die Methoden der Verwertung von Beobachtungen ver- 
besserten, eine groBe Zahl von Beobachtungsdaten sammelten und 
gruppierten, indem sie ferner Gezeitentafeln fiir viele Hafen an- 
fertigten, die Besonderheiten der Gezeiten in Kanalen und FluB- 
miindungen diskutierten, Flutkarten konstruierten uud verschiedene 
andere Punkte studierteri. 

Da die Untersuchungen dieser Forscher gezeigt batten, daB die 
bisher benutzteu matheaiafcischen Methoden fur die zu losenden 
Probleme nicht ganz geeignet waren, so schlug Sir W. Thomson 
(Lord Kelvin) 1870 einen neuen Weg in der mathematischen Be- 
handlung durch Einfiihrung der harmonischen Analyse eiu, wie 
spater erklart werden wird. Diese Methode hat bestandig steigenden 
Beifall gefunden und kann jetzt als ein intemationales System mit 
einer allgemein angenonimenen Bezeichnungsweise angesehen werden. 

Unsere Kenntnis der Gezeiten auf der Erde ist vielmal groBer 
als die von P. S. Laplace. Aber es ist nicht zu viel behauptet, 
weun man sagt, daB wir uns erst im Beginn einer allgemeinen Ge- 
zeitenbeobachtung befinden, und es mogen noch manche Generationen 
vergehen, ehe man mit absoluter Sieherheit so weite Verallgemeine- 



Popular Lectures und Darwin, Tides zu Bate ziehen. Vgl. ferner R. Almagia, 
Ace. Line. Rend. 6 (1905), p. 877; Riv. geogr. italiana, X XI (1903/04), p. 2; 
G. Magrini, italienische tJbersetzung von Darwin, Tides, p. 366, 



$ VI i, 6. G. H. Darwin- 8. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

rungen aussprechen kann, wie es die Natur der Gezeitenwellen im 
offeneu Ozean erfordert. 

Es ist. ein schlagender Beweis sowohl fiir die Bedeutung von 
Laplace als auch fiir die Schwierigkeit des Problems, dafi von 1774 
bis 1897 durchaus kein Fortschrifct in der allgemeinen Diskussion der 
Gezeiten eines den ganzeri Planeten bedeckenden Ozeans gemacht 
wurde. Wir sind augenscheinlich auch so weit wie je von der 
Losung entfernt, wenn der Ozean durch Landmassen wiilkiirlicher 
Gestalt, wie es die Kontinente sind, unterbrochen angenommen wird. 

Die Namen vieler ForscLer, die wichtige Beitrage geliefert 
haben, werden unten erwahnt werden. Aber unter ihnen alien steht 
Newton an erster Stelle, und nach ihm miissen wir Laplace nennen. 
Wie originell auch immer eine zukiinftige Arbeit sein mag, so scheint 
es doch, daB sie durchaus auf dem basieren muB ? was diese beiden 
Manner geschrieben haben. 

B. Dynamische Theorie. 

2. Fluterzeugendes Potential. Die auf den Ozean wirkenden 
Krafte, die von der Anziehung irgend eines storenden Korpers, z. B. 
des Mondes, herriihren. konnen am besten durch eine Potentialfunktion 
dargestellt werden. Das Gravitationspotential des Mondes in einem 
Punkte P ist m/R, wo m die Mondmasse in Gravitation seinheiten 
und jR die Entfernung des Punktes P vom Mondschwerpunkte M be- 
deuten. 

Die Krafte, die zu diesem Potential gehoren, sind sowohl bei der 
Erhaltung der Bewegung der Erde als Ganzes als auch bei der Er- 
zeugung der Gezeiten wirksam. Um denjenigen Teil des Gesamtpoten- 
tials zu erhalten, welcher bei der Erzeugung der Gezeiten wirksam 
ist, miissen wir vom Mondpotential eine Funktion abziehen, deren 
Diflferentialquotienten in einem Punkt die Beschleunigungskomponenten 
des Erdschwerpunktes E angeben. 

Wenn wir mit r den Radiusvektor des Mondes von E aus und 
mit x die Projektion von EP auf EM, von der Erde zurn Monde hin 
gemessen, bezeichnen, so ist die Beschleunigung des Erdschwerpunktes, 

die von der Mondanziehung herriihrt, gleich j, und die abzuziehende 
Funktion ist .- Wenn z die geozentrische Zenitdistanz des Mondes 

fiir den Beobachtungsort P, d. h. den Winkel PEM, und g den 
geozentrischen Radiusvektor von P bezeichnet, so haben wir 

^ as Q* -f- r* 2pr cos z, und x = p cos e. 



3. Gleichgewichtstheorie der Gezeiten. 9 

Der Ausdruck fiir F, das fluterzeugende Potential, ist daher gegeben 

dnrch 

m m (t cos z 



V = 



2(ir cos z) /* r 



Entwickelt man nach Potenzeu von g/r } der Mondparallaxe, und 
unterdrilckt ein konstantes Glied m/r, so haben wir 

V = ~ ( 8 A cos 2 - V.) + f ( 6 / cos 3 * - / cos ) + 

Da die Mondparallaxe nur 1 / 6Q betragt, geniigt das erste Glied 
fiir alle praktischen Anwendungen. Wir konnen daher setzen: 



Zu einem entsprechenden Potential werden die Krafte Veran- 
lassung geben, die yon einem anderen storenden Korper herriihren. 
Es ist indessen klar, daB man nur zwei zu betrachten braucht, nam- 
lich die Sonne wegen ihrer grofien Masse und den Mond wegen 
seiner geringen Entfernung. 

3. Gleichgewichtstheorie der Gezeiten. Das GStezeitenproblem 
ist ein wesentlich dynamisches und wurde so auch von Newton auf- 
gefnfit. Aber unsere Aufmerksamkeit ist natiirlich mehr auf die Ge- 
staltsanderungen des Ozeans in Augenblicken, die durch betrachtliche 
Zeitintervalle getrennt sind, gerichtet 7 als auf den Bewegungszustand 
in irgend einem Moment. Diese Auffassung war es, welche wahr- 
scheinlich D, Bernoulli zu der Hypothese fohrte, daB die Gestalt des 
Ozeans in jedem Augenblicke unter der Wirkung der gerade zu be- 
trachtenden storenden Krafte sich im Gleichgewicht befinde. Dieser 
Annahme entsprechend muB die Meeresoberflache eine Niveauflache 
des Kraftfeldes sein, das von der Gravitation, der Zentrifugalkraft 
und der die Gezeiten er/eugenden Kraft herruhrt. Wenn U das 
Potential der Gravitation und Zentrifugalkraft, V das fluterzeugende 
Potential bedeutet, so muB U -\- V an der Oberflache konstant sein. 
Wenn g der Wert der Schwerkraft an der Erdoberflache ist und die 
Hohe des Punktes, auf welchen sich U bezieht, ttber der Erdober 
flache, so ist klar, daB U naherungsweise gleich einer Konstanten 
vermindert um g% ist. Daraus folgt, daB dieBeziehung f/-j- F==Konst. 
geschrieben werden kann: 

(2) $ = ~ + Konst. 

y 

Die Konstante in (2) ist durch die Bedingung zu bestimmen, 
daB das Volumen des Ozeans konstant bleibt. Analytisch ausgedriiekt 



10 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

gibt dies: 

(3) //^S = 0, 

wo dS ein Oberflachenelement 1st und die Integration sich iiber den 
ozeaniachen Teil der Erde erstreckt. Wenn der Ozean die gesamte 
Erdkugel bedeckt und wenn a den mittleren Erdradius bezeichnet, 
so erhalten wir aus (1) und (2): 



Da diese Funktion von g eine Kugelfunktion ist, so ist die Be- 
dingung (3) offenbar erfullt. 

Da die Gleichgewichtsflut, wie sie durch (4) gegeben ist, pro 
portional dem storenden Potential ist, so ist es in alien Fallen be- 
quem, die storenden Krafte durch. die Gleichgewiclitsflut zu charakte- 
risieren, welche sie hervorrufen wiirden. 

Wenn die Dichte des Ozeans geringer als die des Planeten ist, 
90 befindet sich ein den ganzen Kern bedeckender Ozean im stabilen 
Gleichgewicht fur alle moglichen Deformationen. Wenn aber der 
Kern leichter als der Ozean ist, so wird er im Ozean schwimmen, 
wobei ein Teil seiner Oberflache trocken ist. Das Problem, die 
Oberflachengestalt in dem letzteren Falle zu bestimmen, selbst wenn 
von Rotation und aufieren Storungen abgesehen wird, ist allgemein 
nicht gelost 4 ). 

4. Entwicklung des fluterzeugenden Potentials. Der Ans 

el ruck (4) fur die Gleichgewichtsflut zeigt, da8 die Oberfiache ein 
verlangertes Rotationsellipsoid ist mit der groBen Symmetrieachse 
zum Monde hin gerichtet, und da die Erde rotiert, mufi die Wasser- 
hohe in irgend eineui auf der Erde fiiierten Punkte periodischen 
Schwankungen unterworfen sein. 

Wir werden spater in Nr. 20 und Nr. 23 sehen, daB - $ (cos 2 z ^-1 

durch die Lange und Breite des Beobachtungsortes und durch die 
astronomischen Koordinaten des Mondes ausgedriickt werden kann. 
Wenn diese Grofien eingefuhrt sind, so lafit sich das Storungspotential 
als die Summe einer unendlichen Reihe von Gliedern ausdriicken, von 
denen jedes aus einer allgemeinen Kugelfunktion der Breite and Lange 
besteht, multipliziert mit einer einfachen harmonischen Funktion 
der Zeit. 

Wenn wir unsere Betrachtungen auf das einzige Glied von V 

4) W, Thomson and P. G. Tait, Nat. Phil., 816; G. H. Darwin, Ency- 
clop. Brit., 19. 



6. Korrektion d. Gleichgewichtstheorie weg d. gegens. Anzieh. d. Wassermassen. _ 

beschriinken, welches in (1) gegeben 1st, so werden diese Reihen- 
glieder Kugelfunktionen zweiter Ordnung sein und zwar von folgen- 
den drei Arten 4 *): 

1) Einfache Kugelfunktionen mit einem Zeitfaktor von langer 
Periode; die kurzeste Periode betriigt 14 Tage. 

2) Zugeordnete Kugelfunktionen mit dem Nebenindex 1 (tesseral 
harmonics of unit rank) mit einem Zeitfaktor von ungefahr taglicher 
Periode. 

3) Zugeordnete Kugelfunktionen mit dem Nebenindex 2 (tesseral 
harmonics of rank two) mit einem Zeitfaktor von ungefahr taglicher 
Periode. 

Wenn dann fi den Sinus der Breite und tp die Lange bezeichnet, 
so wird ein typisches Glied des fluterzeugenden Potentials lauten: 

(5) yn P. OO ( + *)> 

wo P K (^) die einfache Kugelfunktion von der Ordnung n ist und 

* d*P 

P n = (l-V)lf --J5. 
dfi 

In den Fallen, auf welche wir unsere Betrachtungen beschranken, ist 
n = 2, s 0, 1, 2 respektive, fur die drei oben angegebenen Arten 
von Kugelfunktionen; >l ist klein oder annahernd gleich o oder 2w, 
wo o die Winkelgeschwindigkeit der taglichen Erddrehung bedeutet. 
5. Korrektion der (Heichgewichtstheorie wogen der gegen- 
seitigen Anziehung der Wassermasseu. Wir wollen annehmen, daB 
das Wasser die ganze Erde bedeckt und daB das fluterzeugende 
Potential aus einem einzigen Gliede besteht: 

(5) F-y/P. Wcos^ + sy), 

wo n nicht not wen dig gleich 2 ist. Wir konnen auch annehmen, 
daB die korrigierte Gleichgewichtstide proportional V und daher 
durch eine Kugelfunktion derselben Ordnung und mit demselben 
Nebenindex ausdriickbar ist. Wenn d die Wasserdichte, <? die mittlere 
Erddichte bedeutet, haben wir g = 4 / 8 3T(?a, und man kann annehmen, 
daB der Ozean die Erdoberflache mit der Oberflachendichte gd be- 
decke. Aus der Theorie der Kugelfunktionen ergibt sich das aufiere 
und innere Potential einer solchen Schicht zu 



L_ a 

(2n-f l)p w + 1 



4*) Zux Terminologie vgl. n A 10, Theorie der Kugelfunktionen uaw. 
(A. Wangeriri). 



VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 
An der Oberflache, wo Q ~ a, nehmen die beiden Ausdriicke 



denselben Wert. namlich ,-^r-. an- Wenn man diesen Ausdruck 

{a M y- 1 J 

als Teil des Storungspotentials ansieht, so wird (2): 

, 3 fff d i T7 - T7- 

?C *T" 75~~4TiS r V Konst. 
Es ist ersichtlich, daB die Wirkung des Zusatzgliedes die ist, die 

(Q V 

1 75 T~JY ) zu vergrofiern. In dem 

Falle der Kugelfunktion zweiter Ordnung ist n = 2. AuBerdem 
wissen wir, daB die mittlere Erddichte ungefahr 5 J / 8 mal so groB 
ist wie die des Wassers. Daraus folgt der VergroBerungsfaktor zu 

1 _ 66 

~T~ ~ 49 

~6^l T /~ 

6. Korrektion wegen der Verteilung von Land und Wasser. 
Wenn das Storungspotential wie in (5) nur ein einziges Glied ent- 
halt, haben wir, wie in (2): 

Die Bedingung fur die Konstanz des Ozeanvolumens ist die, 
daB , fiber den Ozean integriert, verschwinden muB. Dies ermoglicht 
uns, C durch gewisse bestimmte Integrale auszudrucken. 

Wenn wir namlich mit SI die GroBe der Oberflache des Ozeans 
bezeichnen und 

f* (* /*/ 

A I I P* (ii) cos (59?) dS , B = I I P 1 (a) sin (sop ) dS 

*.s \s */ 1/ 

setzen, wo die Integrale fiber die Oberflache des Ozeans zu erstrecken 
sind, so konnen wir durch Elimination von C die Gleichung (6) in 
der Geetalt schreiben: 



Fiir irgend eine gegebene Verteilung des Wassers auf dem Pla- 
neten konnen die Integrale ii, A, B durch mechanische Quadratur 
ausgewertet werden. Es scheint, dafi fiir die irdischen Ozeane die 
Korrekturen unbedeutend sind 6 ). 

Das Reaultat (7) zeigt, daB in der verbesserten Theorie die 



5) G. H. Darwin und H. H. Turner, London Roy. Soc. Proc. 40 (1886), p. 303; 
Harris, Manual 2. 



7. Dynamische Theorie. Fundamentalgleichungeii. 13 

Phase der Gezeiten und die Phase der die Gezeiten erzeugenden 
Krafte nicht mehr iibereinstimmen. 

H. Poincare hat gezeigt, wie die Wirkung der gegenseitigen An- 
ziehuiig der Wassermassen in die verbesserte Theorie eingeschlossen 
werden kann; seine Resultate sind aber zu kompliziert, um nach ihnen 
numerisch rechnen zu konnen. Er behauptet indessen, dafi fur eine 
gewisse Verteilung von Land und Wasser die Korrektion wegen dieser 
Anziehung so bedeutend werden kann, daB (7) auch nicht einmal 
mehr naherungsweise richtig 1st 6 ). 

7. Dynamische Theorie. Fundamentalgleiohungen. Wir gehen 
jetzt zur Bildang der Bewegungsgleichungen iiber, die auf den Ozean 
anwendbar sind. 

Es mogen Q der Radiusvektor und V 2 yf # die Breite eines 
Punktes in bezug auf das Erdzentrum resp. die Rotationsachse sein, 
ff> die Lange in bezug auf einen Anfangsmeridian , der auf der Erde 
festliegt und daher mit der Wmkelgesehwindigkeit o> rotiert. w, u, v 
seieii die relativen Geschwindigkeitskomponenten des Wassers in den 
Richtungen des Radius vektors, der abnehmenden Breite und der 
Lange; V sei das Potential des Kraftfeldes, dem die Flussigkeit 
unterworfen ist. Man setze endlich 



V == V W<5-f- Vs 63 *? 2 si^O 1 -f- const., 

wo p der 13ruck iin Punkte p, ft, <p und d die Dichte des Wassers ist. 
Die allgemeinen Bewegungsgleichungen der Fliissigkeit in bezug 
auf die genannten Aclisen sind von Poincare mit Vernachlassigung 
der Quadrate und Produkte der relativen Geschwindigkeitskompo 
nenten in eine Form gebraeht worden 7 ). der man leicht folgende 
Gestalt geben kann: 



(8) 



io . 

-r 2 oo v sin 
ot 



cos & 

ot 

; : -f- 2(0 (w sin d 4- u cos d-) -= - 
c t Q am * d <f 



Da das Wasser auf eine diinne, nahezu sphiirische Schicht be- 
sehrankt ist, so wird aich Q riienials bedeutend von a unterscheiden; 
und da die Gestalt immer nahezu spharisch bleiben wird, wird w 
klein gegen u und v sein. Wir konnen daher $ in den beidcn 

6) J. de math. (5) 2 (1896), p. 7. 

7) Acta math. 7 (1885), p. 356. 



24 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

letzten Gleichungen von (8) dureh a ersetzen. Ferner diirfen wir # 
als merklich unabhangig von Q betrachten, da wegen der geringen 
Tiefe die Anderungen von ty mit g nur dann bedeutend werden 

konnen. wenn -~ von hoherer GroBenordmrai? als ^_ und 



-. 
asm & dtp 

ist. Die erste der Gleichungen laBt erkennen, daB dies nicht der 
Fall sein wird, wenn die Schwingungen uicht von solcher Schnellig- 

keifc sind, daB das Glied -^- von Einfiufi wird. Wir nehmen an, daB 

die Gezeitenoszillationen diesen Charakter nicht haben. Dann konnen 
wir die erste Gleichung weglassen und ty } u, v als merklich von 
demselben Werte in alien Punkten derselben Lotlinie ansehen. 

8. Die Kontinuitatsgleichung. Die Aufstellung dieser Gleichuug, 
welehe die Konstanz des Ozeanvolumens ausdriickt, wird wesentlich 
durch die Tatsache erleichtert, daB die horizontalen Gescliwindig- 
keiten in alien Punkten derselben Lotlinie als gleich betrachtet 
werden konnen. Bedeutet h die Tiefe des ungestorten Ozeans, so er- 
halten wir durch Beriicksichtigung der Verhaltnisse beim Eintritt des 
Wassers in einen kleinen rechteckigen Raura, der durch konstante 
Werte von #, ft -f- 8ft, y y <p -f- 8cp gekennzeichnet ist, die Konti- 
nuitatsgleichung in der Gestalt: 



!~ /) 

= ahu sin &d(p I aliu sin &d g> 4- SO- j^ (ahu sin 

4- ahv 
woraus folgt: 



4- ahvdft ahvd ~f tip ~ (a* c 



9. Bedingnng fiir die freie Oberfiache. Da der Druck an der 
Oberflache Null oder konstant sein muB, muB ^ V a> 2 (> 8 sin 8 & 
an der Oberflache konstant sein. Bezeichnen wir jetzt GroBen, die sich 
auf die ungestorte Oberflache beziehen, durch eckige B^lammern und 

o 

Differentation nach der Normalen der ungestorfcen Oberflache mit ---, 
so ergibt sich: 

.j y __ 1 ^* 8 i n a # _|_ ^ _ 4, _ v f o> sin 8 & Konst. 



Bedeutet fercer V 9 den ungestorten Wert von V , v das Storungs- 
potential und v das Potential, das der Fliissigkeitsschicht zwischen 



10. Gezeiten in Kanalen. 15 

der ungestorten and der wirkliehen Oberflache entspricht, so ist 

r-F. + + . 

Da die Referenzflache eine moglichst freie Oberflache ist, wenn 
keine storende Kraft vorhanden ist, ist 



und 

[F + V 2 oy 8in2 #] = Konst - 

Vernachlassigt man daher die Quadrate der kleinen von der Stoning 
abhangenden Grofien, so reduziert sich die Bedingung auf 
(10) 4> = v gt, -f v -f Konst. 

Da wir es in Zukunft nur mit Oberflachenwerten zu tun haben 
werden, so konnen wir die eckigen Klammern als nicht weiter notig 
weglassen, 

10. Gezeiten in Kanalen- Ist % die Neigung der Richtung 
eines schmalen Kanales von der Breite ft gegen den Meridian in 
irgend einem Punkte seiner Lange und U die borizontale Greschwindig- 
keit in der Kanalricntung, so ist u Uco$%, v = (7sin. 

Wenn wir jetzt die zweite und dritte Gleichung in (8) mit 
und sin % resp, multiplizieren und addieren, so erbalten wir 



wo s die Entfernung ist, gemessen langs des Kanals von irgend einem 
Fixpunkte in ihm aus. Die Kontinuitatsgleicbung lautet jetzt: 



Eliminieren wir aus ihr U f eo haben wirr 

+ . 

und indem wir weiter ij> durch (10) eliminieren, erhalt die Grleichung 
die Form: 



Diese Gleichung kann leicht iritegriert werden, wenn v als Funk- 
tion von s und t gegebeu ist. 

Wenn der Kanal die endliche Lange I besitzt, so inufi v durch 
eine Fourierscke Reihe each den Sinus und Kosinus der Vielfachen 



von =- ausdruckbar sein; die Koeffizienten dieser R,eihe sind einfache 
harmonische Funktionen der Zeit. In dieser Weise stellt sich v als 



16 VI i, 6. G. H. Darwin-8. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 
die Summe von Gliedern vom Typus 



dar, wo r cine positive oder negative ganze Zahl ist. Nimmt man, 
was sich rechtfertigen lafit, ein einziges Glied dieser Form und zwar 
das in it dem Kosinus, so haben wir: 



i ,, 

W -^JT*-* -?- Ah cos 

was als Losung ergibt: 



A 

~ ~~ ^jT\ "I ~v c 

Um eiiie allgemeinere Losung zu erhalten, kann man die beiden 
weiteren Grlieder hinzufugen: 



Fiir einen in sich zuriicklaufenden Kanal miissen B und C im 
allgemeinen Null sein ; ist der Kanal begrenzt, so mussen B, C, f v 2 
so bestimmt werden, daB fiir alle Werte von t die Geschwindigkeit 
an den Enden Null wird. 

Eine ausfiihrliche Entwicklung der Theorie der Gezeiteu in. 
Kanalen ist von G. B. Airy) gegeben worden. Die von ihm be- 
handelteu Probleme werden alle durch eine geeignete Entwicklung 
der Funktion v gelost, so daB sie die Anwendung der hier skizzierten 
Methode gestatten. 

11. Die Laplace sohe Differentialgleichung fiir die G-ezeiten. 
Wir ersetzen die trigonometrischen Funktionen durch Exponential- 
funktionen und betrachten ein einzelnes Glied von der Form 

dessen reeller und imaginarer Teil dem reellen und imaginaren Teil 
des Storungspotentials entspricht. 

Wenn wir voraussetzen, daB jede der GroBen u } v, 4 > proportional 
^(it+itp) j s ^ 8O g enen { |i e Gleichungen (8) und (9) iiber in: 

iitt 2ov cos d- = - - ^- , 

a o9 

, . _ isii> 

(11) * 1/iV p &(QU COS v === T- , 

1 ( b \ . , i 

A = " ~A 1 7r H (*** S1 ^ ^ "T" ^shv 1 . 

8) Airy, Tides. 



12. Gezeiten von langer Periode. LOeung durch Potenzreihenenfrwicklung. j7 



Setzen wir cos 9- p, D = (1 ( u 2 ) j-, ff = -- und sub- 

stituieren aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte, so er- 

halten wir: 

(12) a 2 (1 - p*) t = (D + 



Wir wollen jetzt gewisse wichtige Spezialfalle untersuchen, aut 
die wir am Ende von Nr. 4 bereits hinwiesen. 

12. Gezeiten von langer Periode. Losung durch Potenz- 
reihenentwioklung. Fiir diese und fur die folgenden Losungen gilt 
die Ozeantiefe als konstant. Fur die Gezeiten von langer Periode ist 
<j = 0; setzt man noch A/2 63 = f, so reduziert sich die Qleicbung (12) auf 

(13) 

Wir setzen nun 



wo die. Koeffizienten JBj , B s usw. unbestimmt sind. Multipliziert man 
(14) mit /" 2 ft* und integriert, so entsteht 

(16) * = K+ %B^^ + ^(B 3 f* - BJ ^ + V 6 (B,f* - BJ n* -f . 
Indem wir andererseits aus (14) in (13) substituieren, erhalten wir: 
(16) 



Bezeichnen wir dann das Storungspotential mit a (ft 2 V 8 ) und 
vernacnlassigen die gegenseitige Anziehung der Wassermassen, so gibt 
(10) die Gleichung 

^ = -^^H-(ft 2 -V 8 )- 

Ersetzen wir ty, durch ihre Beihenentwicklungen und setzen die 
Koeffizienten gleicher Potenzen von ^ einander gleicb, so finden wir 



(17) 



und allgemein: 



B _ s = 0., 



wobei /3 = T- ist und zur Abkiirzung (n) fur 7 XT 

if " Jt> (TV p X i 

Auf den ersten Blick erkennt man, dafi durch die Gleichungen 
(17) B lt B 3 , BS, ... als Funktionen von K und bestiinmt werden. 
Die GroBe a ist eine der gegebenen Daten des Problems, K aber 
ist eine willkiirliche Konstante, zu deren Bestimmung die Einfiihrung 
irgend einer anderen Bedingung als der bis jetzt betrachteten not- 
wendig erscheint. Die angenommene Losung ist symmetrisch zum 

Encyklop. d. matb. Witsengch. VI 1, S. 2 



18 VI i, 6. G. H. Dwwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphere. 

Aquator und es wiirde desbalb, wenn der Ozean durch Parallelkreise 
begrenzt ist, die ebenfalls symmetrisch zum Aquator sind, die ver- 
langte Bedingung durch die Tatsache geliefert werden, dafi keine 
Stromung durch diese Grenzen stattfinden kann. 

Vorausgesetzt, daB die so hergeleitete Losung eine wahre Losung 
des Problems ist, mussen die Reihen (14), (15), (16) eine reelle physi- 
kaiische Bedeutung haben und daher konvergent fiir alle Werte von 
^ sein, welche zu Punkten zwischen den Grenzen geho ren. Fur 
Punkte auBerhalb der Grenzen brauchen die Reihen nicht notwendig 
zu konvergieren. Wenn sich deshalb der Ozean gerade bis zu den 
Polen erstreckt, mussen die in Frago stehenden Reihen ftir alle 
Werte von 1 <. it <T -f- 1 konvergieren. Die Reihe 

"^ + ^ + B, + ** 

muB daher eine konvergente Reihe sein, was nur moglich ist, wenn 
(18) lim^ m+1 -0. 

m=ee 

Die Gleichung (17) in Verbindung mit der Bedingung (18) dient zur 
Bestimmung der Konstanten K, wie wir jetzt zeigen wollen 9 ). 
Aus (17) leiten wir ab: 



Wenn wir voraussetzen, dafi B im + l = (m > 1), erhalten wir durch 
schrittweise Ausffihrung 



^ 2w _ a 1 ~ (2n)Y 1 1 ~ (2n + 
woraus beim Ubergang zur Grenze, wenn m unendlich groB wird, 

Tn 

mit Hilfe von (18) folgt: -~^- = N K} wo N den unendlichen 

"a* s 
Kettenbruch bedeutet: 



_ 

(Sn) /*/ 1 1 - (In -f 2)YV "" i 1 - ( + 






9) Die Gviltigkeit des entsprechenden Verfahreus fur die FSlle der halb- 
tagigen und tftglichen Gezeiten wurde von G. B. Airy bestritten, Tides und 
Phil. Mag. (4) 60 (1875), p. 277. Er wurde von W. Ferrel (Phil. Mag. (6) (1876), 
p. 182; Aetr. Joum. (9) (1889), p. 41; 10 (1890), p. 121: Smithsonian Misoell 
Collections Nr. 843) unterstfltzt. Aber Sir W. Thomson (Phil. Mag. (4) 60 (1876), 
p. 227, 279, 888) wies die Korrektheit des in Frage stehenden Verfahrens nach, 
das auf Laplace znruckgeht; hente iut es allgemeiu anerkannt. Ygl. auch 
Lord Rayleigh, Phil. Mag. (6) 5 (1908), p. 136, eine fur den Gegenstand von 
Nr. 87 wichtige Abhandlung. 



18. Gezeiten von longer Periode. Losung durch Kugelfunktionen. jf<? 
Mit dieser Bezeichnung schreiben sich die Gleichungen (17) 

= *-vi A a ^ -j,p / 8 J , -g- = - - JV 8 , usw. 
Daraus folgt fur (16) 

(19) t~-%^r$^:z^^ 

Das Problem besteht hiernaeh in der Auswertung der Ketten- 
brflche N l} N 9) usw. Mit den numerischen Daten, die den wirklichen 
Bedingungen auf der Erde entsprechen, konvergieren diese Ketten- 
brtiche und die Reihen (19) sehr schnelL Wegen nurnerischer Bei- 
spiele verweisen wir auf die Arbeiten von G. H. Darwin 1 } und 
H. Lamb 11 }. 

13. Gezeiten von 1 anger Period e- Lbsung duroh Kugel- 
funktionen. Der Gebrauch der Kugelfunktionen gestattet uns nicht 
allein die Wirkung der gegenseitigen Anziehung der Wassermassen ein- 
zuschlieBen, sondern fflhrt auch zu schneller konvergieren den Reihen. 

Wir setzen 



wo P w (/*) die einfache Kugelfunktion von der Ordnung n bezeichnet. 
Dann ist das Potential des Ozeans durch. 



gegeben, wo 8 die Dichte des Wassers, 6 die mittlere Erddichte 
bedentet. 

Da t^ = fft }- v -\- Konst, hat man 

(20) r.-y.-a.C,, wo 



Setzen wir andererseits die eben fur ^, , v t v aiigenommenen Aus- 
drficke in (13) ein ; so wird 



I /o n 



> (2n-t-l)(2n-f-3) dp 
2 dP., 1 d. 



(2n 1) (2w -f 1) dp, 



10) Encycl. Britenn., 9 th ed., 23 (1880), p. 363 oder London Royal Soc. 
Proc. 41 (1886), p. 337342. 

11) Hydrodynamics, 216. 

2* 



20 VI i, 6. (r. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 



wobei kerne willkiirliche Integrationskonstante notig ist, weil beide 
Seiten fur ft Hh 1 verschwinden. 

Wir nehmen jetzt die Tiefe der See uberall gleich an und 
setzen auf beiden Seiten obiger Gleichung die Koeffizienten jeder 
Kugelfuriktion einander gleich. Beachtet man, daB 0_i 0, <7 
ist, so erhalt man: 

C n~ 2 Cn + % hv 

(9n ZriiWsfwT^IT^ ^n^n I , Q^riT a\ ("2*?, _LTfiT ~ 







WO 



-i/- === 



w(w -f- !) ( 2w l)(2w-f- 3 ) 

Abgesehen davon, daB y n auf der rechten Seite vorkommt, zeigen 
diese Gleichungen ahnliche charakteristische Eigenschaften wie die 
in Nr. 12 diskutierten Reihen. 

Wir bezeichnen jetzt mit ff n , K n bzw. die Kettenbriiche 

i l 



(23) 



von denen der erstere endlich bleibt, wahrend der letztere ins Un- 
endliche geht. Ersetzen wir alsdann y n durch Null, so erhalten wir 



(2n + 1) (2 n -f 3)* (2 n + ft 


(2 3) (2n l) 8 (2n + 1) 


A, 
i j 


ZL 

7*. a 

i j 


(2n 


3)(2n l) 1 (2n+l) 


(2- -f 1) (2 n -f 3) s (2 n -f 6) 


* n 






1) (g 



(24) 



Fiir die letzte dieser Gleicbungen gilt die Bedingung, daB C ver- 
schwindet, was notwendig ist, damit die Reihe fur g bis zu den 
Polen konvergiert. 

Ist eine von den GroBen y, etwa y r , von Null verschieden, so 
gilt die erste der Gleichungen (24), wenn n <r und die zvveite, wenn 
n > r. Substituieren wir die Verhaltnisse C r _ t /C rl C r+t /C r in die 
Gleichung, welche y r enthalt, so erhalten wir: 

r W .1 L r -f- K r +}} 



eine Gleichung, welche zur Bestimmung von C r mit Hilfe bekannter 
GroBen dient. 

Alle GroBen (7, deren Indizes sich von r um eine ungerade 
ganze Zahl unterscheideo, sind Null; es konnen deshalb die Verhalt- 



14. Tagliche Gezeiten. Losung von Laplace. 21 

nisse der iibrigbleibenden C zu C r durch (24) gefunden werden. 
Daraus leiten wir fiir die Fluthohe, die einem einzelnen .Gliede 
y n P n ((t) in dem Storungspotential entspricht, den Ausdruck ab: 

hy n 

(m ft ^ ^ 



Die Gezeiten werden unendlich groB, weun die Periode der storenden 
Kraft so beschaffen ist, daB 

f26"i Ff - J I Jf rr= 

Die Perioden, welche diese Bedingung erfflllen, sind angenscheinlich 
die der ,,freien" Schwingungen. Wegen einer praktischen Methode, 
die Gleichung (26) zu loeen und die Perioden der freien Schwingungen 
zu bestimmen, zugleich mit numerischen Anwendungen der Formeln 
(25), verweisen wir auf 8. S. Hough 1 *). 

14. Tagliche Gezeiten. L&sung von Laplace. Fiir die tag- 
lichen Gezeiten nehmen wir an, daB: 



und weiter nach dem Vorgange von Laplace, daB A streng gleich o> 
sei. Zur Darstellung von if> und sind dann die folgenden Aus- 
driicke geeignet: 



Die Bedingungsgleichung (10) gibt, wie zuvor, 

V-y* 1 -^ 1 , 

wahrend die Gleichung (12) sich reduziert auf: 



1st nun die Tiefe des Ozeans als Funktion der Breite durch die Be- 
ziehung h == a. -f- /3/t s gegeben, so wird 



und deshalb 



Das Steigen und Fallen der freien Oberflache verschwindet, wenn 
= , d. h. wenn die Tiefe des Wassers uberall gleich ist. In 



12) London Phil. Trans. 189 (1897), p. 201. 



22 VI ii 6 - " # Danoin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

anderen Fallen, wo die Tiefe durch die Formel a -\- ftp* dargestellt 
werden kann, wird die Tide ,,direkt" oder ,,umgekehrt" sein, je nach- 
dem die Tiefe an den Polen groBer oder geringer als am Aquator ist. 
15. Halbtagige Gezeiteu. I>5sung von Laplace. Fur die halb- 
tagigen Grezeiten nehmen wir A 2<o, s = 2, tf 2 und erhalten 
mit konstantem h aus (12): 

d 2 / d 2t 



Diese Gleichung reduziert sich auf: 



(29) (i-. - 

Aus (10) erhalteu wir aber, unter Vernacblassigung der gegenseitigen 
Anziehung der Wasserteilchen: 

^== g$ + v; 
daher lafit sich (28) auch schreiben: 



Setzen wir v = |/1 u 8 j so wird aus (30): 

(31) v\l - V ) ^ - v g ~ (8 - 2* 

wo @ 2 2 (1 ft 8 ) die H6he der Gleichgewichtstide darstellt, welche 
zu dem Storungspotential v gehort. 

Ffir einen Ozean, der die gauze Erde bedeckt, uehmen wir: 

(32) * = B Q v* -f B^ -f B^ H ----- h BUI** ** H ---- - 

Indem man diesen Wert von y> in (31) einsetzt und die Koeffizienten 
gleicber Potenzen von v auf beiden Seiten gleichsetzt, erhalt man: 



(33) 

und allgemein: 

2j (2j -f 6) B ij+ , - 2j (2j + 3) 5 2 , + 8 -f ftB^ 0. 

Da ^ fur v 1 endlicfe bleiben muB, mnB 5 = sein. Bezeichnen 
wir mit Nj den Kettenbruch: 

ft | _ _W$J+. ty0__\ ( 2 J H~ 2 )( 2 ^ + 8 )PI rl f 

mr* T 



__ _ __ _ _ 

8; : "(a7"+") " !(2j-f 2)(2j-f 6) | (2; -f- 4) (Sj -f ~7) 

so folgt wie in Nr. 12 : 



16. Transformation der Gleichungen von Laplace. 23 

und allgemein 



Setzen wir diese Koeffizienten in (32) ein und bestiinrnen so #, 
so erhalten wir 

(OQ:) g - - Uj (V -f- ! T" 1 8 I" 1 2 3 

Numerische Anwendungen dieser Formel gab Laplace 1 *}. Die Methode 
ist von Lord Kelvin 1 **) auf den Fall ausgedehnt worden, wo der 
Ozean durch Parallelkreise begrenzt und das Gesetz der Tiefen- 
anderung komplizierter ist. Eine Diskussion der Gleiehung (31) mit 
bibliograpnischen Notizen findet man in einer Abhandlung von 
G. H. Ling"). 

16. Transformation der Gleichungen von Laplace. Um eine 
allgemeine Losung unseres Problemes zu erhalten, beginnen wir mit 
gewissen vorlaufigen Transformatiorien der Gleichungen (12). Wir 
definieren einen neuen Operator A durch 

(35) A ~D T -^ t = ^.(D* **) , 

d(i 1 ft* 1 ft* ^ 

so dafi 

/gg\ A" 1 (1 u. 8 ) 

ist. 

Die Beziehung zwischen den Operatoren D, A lautet: 

(37) (D 6ft) (D + 6ft) (s 2 <?V) = (1 f* 2 ) (A + 6) , 
wo, wie zuvor, 6 - - ist. 

Wir wollen jetzt eine Hilfsfunktion *P" einfiihreu, definiert durch: 

(38) 7-i-r/Y ,T(^>- 

\ / A-/n*n* Is* if*n*\ \ 



Die Gleichung (12) gibt dann: 

(39) (D -f 6ft) (W ft) = (l ft*)$ -h AjL ^ 5 

eliminiert man aus dieser Gleichung <> mit Hilfe von (38), so geht 
sie fiber in: 

/ -r\ .^ \ / ~f) | \ / jjj t\ /Tl *<^^1 ^f* 

und weiter, kraft (37), in: 



13) M6c. cfl., livre IV, chap. I = Oeuvres compl. 2, p. 211. 
13) Phil. Mag. (4) 50 (1876), p. 388. 

14) Ann. of math. 10 (189596), p. 95. 



24: VI t, 6. G. H. Dancin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

oder 

(A + *)?F- A (00 H- ~{(1 - 0)g}. 

Durch Anwendung des Operators A" 1 erhalten wir mit Hilfe von (36) 
(40) (1 4. e A- 4 ) V [0 + D A- *] g ; 

wenden wir dann auf diese Gleichung die Operation D an, so ent- 
steht mit Rucksicht auf (35): 

(D 4- aDA- 1 )!? D(00 



Kombinieren wir die letzte Gleichung mit (39), so erhalten wir: 
(41) tf(DA-*-0)y--<f0g + a*" 1 * OT* 

Multipliziert man andererseits die Gleichung (38) mit (s* ^ 2 /* 2 ) 
wendet den Operator J9 + ^f*- an > so fiadet man: 



4- 
oder mit Hilfe von (39) und (37): 

(A - *) * - (/ -f tf-rt S - 



Endlich leiten wir durch Kombination dieser Gleichung mit (41) ab: 
(42) A. A ^ = s 8 (1 4- * A- x ) 5 - * (/t 4- 



Die Gleichungen (40) und (42), welche an die Stelle von (12) und 
(38) treten, haben den Vorteil, dafi sie, auf eine der in Frage stehen- 
den Funktionen angewandt. neue Funktionen von ganz ahnlichem 
Charakter wie die ursprftnglichen erzeugen. 

17. LbBuiig in allgemeineii Xugelfunktionen (spherical sur 
face harmonics). Die Funktion P n ((i) ist eine Losung von: 



Mit der neuen Bezeichnung kann diese Gleichung geschrieben werden 
oder 



A~ a P* = ~ P* 

* n(n-}-l) 

Daraus folgt mit Hilfe bekannter Eigenschaften der Kugelfonktionen: 

fAA\ 

(44) 



17. L6sung in allgemeinen Kugelfunktionen. 25 

Wir machen jetzt die Ansatze: 



Setzen wir diese Werte in (40) und (42) ein und fiihren die vor- 
kommenden Operationen mit Hilfe von (43) und (44) aus, so er- 
halten wir: 



" 

"l 



n(2n+l) 



TV f( M + 2 ) ( n + 1) p^ 
"L (n + l)(2n+l) - r "+ ! " 



n(2n+l) " 

M 

Setzt man die Koeffizienten entsprechender Funktionen auf den bei- 
den Seiten dieser Gleichungen einander gleich und ersetzt 6 durch 
2ws .i . -i 

- , so ergibt sicn: 



(46) 



Aus der Gleichung (10) folgt aber wie friiher, 

n = r n 9M y 

daher entsteht aus (46) 

a? , (n+l)(n-g) ,., r 

2n -i ^-i L4 

M 

Wenn alle GroBen y" n aufier einer Null sind, kann man durch (45) 
und (47) das Verhaltnis yon irgend zwei aufeinander folgenden Reihen- 
gliedern: C*, D +i, C+ 2, -, durch einen endlichen oder unendlichen 



26 VI i, 6. G. H. Dai-win- S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

Kettenbruch ausdrueken, der nur aus bekannten Daten des Problems 
zusammengesetzt 1st. Die Gleichung, welche y* n enthalt, kann dann 
dazu dienen, jeden dieser unbekannten Koeffizienten durch j>* aus- 
zudriicken. Das Verfahren ist bereits in Nr. 13 auseinandergesetzt 
worden. 

Betreffs numerischer Anwendungen auf die Hauptkomponenten 
einer Tide und die Bestimumng der Perioden freier Schwingungen 
vgl. einen Aufsatz von S. 8. Hough 15 ). 

C. Praktische Anwendungen. 

18. Beobachtung der Gezeiten. Ein Pegel 1 *) ist ein Instrument, 
welches automatisch eine zusammenhangende Flutkurve aufzeichnet, an 
der man die Wasserhohen fur jeden Zeitpunkt ablesen kann. In Wirklich- 
keit besteht aber ein groBer Teil der Flutdaten nur aus Beobachtungen 
der Zeiten und Hohen von Hoch- und Niedrigwasser, die direkt mit 
dem Auge abgelesen sind 17 ). Den Seeleuten geniigt die Kenntnis 
dieser Zeiten und Hohen, und deshalb wurden diese Erseheinungen 
fruher allgemein als Gegenstand der Beobachtung gewahlt. Man hat 
indessen erkannt, dafi die Tabulienmg stiindlicher Hohen, die von 
einer Plutkurve abgelesen sind, viel befriedigendere Daten fur die zur 
Bestimmung der Gezeitengesetze notigen Reduktionen liefert. 

Die Auswahl des Platzes fur einen Pegel ist nicht leicht. Denn 
die Kurve, die an ein em scheinbar gut gewahlten Platz registriert 
ist, kann manche kleinen Unregelmafiigkeiten aufweiseu, welche nicht 
von der wahren Flut herriihren; eine Gezeitenkurve soil aber so glatt 
als rnoglich sein 18 ). 

Ch. Lallemand hat 1896 ein Buch ,,Nivellement de precision" 
geschrieben, in dem er sein ,,Medimaremetre" beschreibt 18 *). Der 

15) London Phil. Trans. 191 A (1898), p. 139. 

16) tJber Pegel vgl. Art. ,,Hydrography" in (British) Admiralty Scient. 
Manual, Loud. 1886. Beschreibungen von verschiedenen Pegeln findet man bei 
Baird, Manual; W. Thomson, Civ. Eng. 66 (1881), p. 10 und Popular Lectures 3, 
p. 170; Harris, Manual 2, App. 9; einen Druckpegel beschreibt W. U. Moore in den 
Official Papers of H.j Brit. M. Admiralty, 1898; A. Mensing von der Kaiser- 
lich deutschen Marine hat sich einen pneumatischeii Pegel (Nr. 94007) und 
einen StrSmungsmesser (Nr. 102874) patentieren lassen; eine Kommission soil 
iiber sie gunstig berichtet haben. 

17) ttber die VorsichtemaBregeln, die angewandt werden miissen, vgl. den 
Art. ,,Tides u in (Brit.) Adm. Sci. Man. Die Beobachtung wird noch kompliziert 
durch ,,Seiches" und ,,Vibrationen", woriiber man Nr. 19 vergleiche. 

18) t)ber die Platzfrage vgl. Baird, Manual, p. 8. 

18*) Paris 1896; vgl. auch Eiv. Topog. e Catasto 9 (1896). 



19. Seiches und Vibrationea der Seen und des Meeres. 27 

Zweck dieses Instmments ist, die Tidenbewegungen zu beseitigen und 
auf diese Weise ohne miihsaine Reduktion von Tidenbeobachtungen 
die Hohe des Mittelwassers zu bestimmen. Bemerkungen tiber die 
Benutzung des Instruments findet man in den zahlreichen Berichten 
Lattemands fur die Konferenzen der Int. Erdmessung. 

19. Seiches und Vibrationeu der Seen und des Meeres. Die 
UnregelmaBigkeiten einer Flutkurve entstehen durch gewisse sekun- 
dare Wellen, welche abgeschlossene Wassermassen in Bewegung setzen 19 ). 
Unsere Kenntnis dieser Wellen verdankeu wir besonders den Arbeiten 
von F. A. Forel* ) aus Lausanne; die Wellen von langerer Periode 
sind deshalb allgemein unter dem Genfer Namen ,,Seiches" bekannt. 
Seiches sind Oszillationen des Wassers eines ganzen Beckens urn ge- 
wisse Knotenlinien. Im Genfer See sind einige Oszillationen longi 
tudinal, mit einem, zwei oder mehr Knoten, andere sind transversal. 
Die Periode der einknotigen longitudinalen Seiche umfafit die* doppelte 
Zeit, die von einer langen Welle beansprucht wird, um die Seelange 
zu durchschreiten. Die Seiches beginnen gewb hnlich plotzlich mit 
maximaler Amplitude und horen dann nach und nach auf in un- 
gefahr 6 Stunden. Sie entstehen gewohnlich durch lokale Ver- 



19) Diese sekuadaren Wellen sind bisweilen ,,periodische Gezeiten" genannt 
worden (Nature 69 (1899), im Index unter ,,Periodic Tides"); aber der Name ist 
eehr ungeeignet. 

20) F. A. Ford, Le Leman 2, Lausanne 1895, Der Autor fafit hier seine 
eigenen Abhandlungen zusammen, die er zwiachen 1873 und 1885 in Bull. Soc. 
Vaud. Sci. Nat., Arch. sci. phys. nat. , Schweiz. Nafcurf Gesellsch., Ann. chim. 
phys. und Assoc. fr. av. sci. (Montpellier) veroffentlicht hat. Forel berichtet 
iiber die Beobachtungen und Theorien von Fatio de Duillier, Hist, de Geneve 2 
(1730), p. 463; J. Jallabert, Paris Acad. Roy. Sci. 1742, p. 26; H. Sauss-ure, 
Voyages dans les Alpes, Neuchatel 1779, p. 12; G. B. E. Vaucher, Geneve Soc. 
Phys. 6 (1804), p. 36; D. Milne, Edinb. Roy. Soc. 1 (183244), p. 457; B Studer, 
Lehrbuch der phys. Greogr. 6, p. 78; C. 0. Meyer, Physik der Schweiz, 1864, 
p. 863; D. f. J. Arago, Oeuvres compl. 9 (1867), p. 580; E. Fame, Recherches 
ge"ol. 1 (1867), p. 12. Ein popularer ftberblick iiber Forela Arbeiten findet sich 
bei Darwin, Tides, Kap. 2; auch in dem Artikel ,,Tides", Encycl. Brit. 1902. 
Vgl. ferner Ph. Plantamottr, Arch. sci. phys. nat. 1 (1879), p. 336; G. B. Airy, 
London Phil. Trans. 169 (1878), p. 123; H. C. Russell, Ann. Address. Roy. Soc. 
N. S. Wales 1885, wieder abgedruckt in Nature 32 (1886), p. 232; A. Endros, 
Seiches auf dem Chiemsee, Diss., Trauustein 1903 u. a. Von besonderer theoretischer 
Wichtigkeit ist die Arbeit von G. Chrystal, Edinb. Roy. Soc. Trans. 41 (1906), 
p. 599; ibid. 45 (1906), p. 361; ferner G. Chryetal und E. Madagan-Wedderburn, 
ibid. 41 (1905), p. 823; P. White und W. Watson, Edinb. Roy. Soc Proc. 24 
(1905/06), p. 142; K. H&nda, T. Terada und D. Isitani, Phil. Mag. (6) 15 (1908), 
p. 88; dieselben Autbren und Y. Yoshida, On secondary undulations of oceanic 
tides, Tokyo Journ. College Sci., 24 (1908). 



28 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphere. 

anderungen des atmospharischen Druckes, durcb das Aufhoren eines 
Windes, der einige Zeit hindurch vorwiegend geweht hat, und durch 
kleine Erdbeben. F. A. Forel hat noch andere weniger plausible oder 
sicher weniger haufige Ursachen angegeberi. 

Das Wasser der Seen wird auch noch durch andere Schwingungen 
von so kurzen Perioden in Bewegung gesetzt, dafi sie keine Seiches 
sein konnen, bei denen sich ja der ganze See als ein einziges System 
bewegt. F. A. Ford nennt sie Vibrationen" und schatzt ihre Perioden 
auf 20 Sekunden bis 2 Minuten. Sie scheinen wenigstens zum Teil 
durch Wind verursacht zu werden, aber sie konnen anch durch Dampf- 
bote entstehen. Die Vibrationen bestehen, wie man beobachten kann, 
mit vollstandiger RegelmaBigkeit und abnehmender Amplitude mehrere 
Stunden hindurch. 

F. N. Denison vermutet, dafi die Vibrationen durch die Anderungen 
des Lufldruckes hervorgerufen werden, die sich mit einiger An- 
naherung an RegelmaBigkeit einstellen, wenn ein starker Wind weht. 
Er bringt diese Druckanderung mit der Instabilitat in Zusammenhang, 
welche nach H. v. Helmholtz existiert, wenn. eine Fliissigkeitsschicht 
iiber eine andere streicht. Die Atmosphare ist nicht vollstandig in, 
adiabatischem Gleichgewicht, und es ist gewohnlich ein plotzlicher 
Wechsel in der von W. v. Bezold sogenannten n potentiellen Tem- 
peratur" 80 *) an der Trennungsflache zweier Luftschichten vorhanden, 
wenn sich die untere gegen die obere bewegt. Die beiden Luftschichten 
sind dann vom mechanischen Standpunkte aus betrachtet zwei ver- 
schiedene Fliissigkeiten. Helmholtz hat die Lange der Wellen, welche 
an der Trennungsflache entstehen mfissen, berecbnet. Denison hat 
in ausgedehnter Weise die geringen Barometerschwankungen bei 
stiirmischem Wetter mit den gleichzeitigeu Vibrationen der kana- 
dischen Seen und Meeresanne verglichen. Er glaubt bewiesen zu 
haben, daB die beiden Erscheinungeu zusammenhangen 21 ). 

20. Flutersseugende Krafte. Es ist schon in Nr. 2 ge/eigt, daB 
das Potential der fluterzeugenden Kraft des Mondes geschrieben wer 
den kann: 



20*) Berlin Ber. 1888, p. 1189 = Gee. Abh., Braunschweig 1906, p. 128. 

21) H. v. HehnhoUz, Berlin Ber. 1889, p. 761 ; F. N. Denison, Proc. Canad. Inet. 
1897, p. 28, 66; 1898, p. 134; Canadian Engineer, Oktober und November 1897; 
Toronto Astr. Phyu. Soc. 1897, p. 1; Brit. ASBOC. (Dover) 1899, p. 666; (Glasgow) 
1901, p. 677. ftber einige sehr bemerkenewerte sekundare Schwankungen vgl. 
W. Ben Dawson, Trans. Roy. Soc. of Canada 6 (1899/1900), p. 23. Eine all- 
gemeine ftbersicht dee Gegenstandes gibt Darwin, Tides. 



21. Lotablenkungen. 29 

wo m die Masse und r der Radius vektor des Mondes, Q der Radius- 
vektor des Punktes, dessren Potential gleich F, und z der Winkel 
zwischen r und Q ist. 

Da es nur notwendig ist, das Potential an der Erdoberflache zu 
betrachten, und da die geringe Elliptizitat der Erdgestalt unwesent- 
lich ist, so konnen wir Q durch a, den mittleren Erdradius, ersetzen. 

Wenn zu einer gegebenen Zeit h der Greenwicher Stundenwinkel 
und d die Deklination des Mondes ist; wenn ferner mit A die nord- 
liche Breite und mit I die westliche Lange des Beobachtungsortes 
bezeichnet wird, so fuhrt die obige Forrnel zu: 



_ 

- 4r s - 



8V 
Die westliche Komponente der fluterzeugenden Kraft ist -- 



die nordliche ~^- Die Verhaltnisse dieser Komponenten zur Schwer- 

kraft geben die scheinbaren Lotstorungen. Die Komponenten selbst 
sind periodisch mit Ausnahme eines kleinen konstanten Teiles der 
nordliehen Komponente, der eine geringe dauernde Elliptizitat der 
Erdgestalt verursacht 23 ). 

Unter der Wirkung dieser Krafte beschreibt ein Pendel simultan 
zwei Ellipsen, die eine in der Zeit eines halben, die andere in der 
Zeit eines ganzen Mondtages. Das Zentrum, um welches diese Ellipsen 
beschrieben werden, oszilliert ebenfalls langsam von Nord nach Sud 
mit einer sehr kleinen Amplitude und einer 14tagigen Periode. 

Diese drei Bewegungen entsprechen Laplaces Gezeiten der bzw. 
dritten, zweiten und ersten Art, iiber die in Nr. 4 berichtet wurde. 

Der mittlere Wert des Koeffizienten 8 /2^(~) , wo M die Erdmasse 
bedeutet, betragt 0/ 0174. 

21. Lotablenkungen. Wenn es moglich ware, die wirklichen 
Anderungen der Gleichgewichtslage eines Pendels zu messen, so wtlrde 
ein Vergleich der so erhaltenen Resultate mit den aus obigen Formeln 
abgeleiteten uns angeben, wie weit die feste Erde den fluterzeugenden 
Kraften nachgibt. 

Ein Bericht fiber die verschiedenen Versucbe, die Lotableukungen 
zu messen, fiillt auBerhalb des Zweckes des Artikels; wir mttssen uns 
daher auf wenige Worte iiber den Gegenstand beschranken. 

Die frtiheren Versuche ftthrten oft, obwohl sie fehlschlugen , zu 

22) Vgl. G. H. Darwin, London Astr. Soc. Monthly Not. 1899, p. 119. 



SO VI ii 6 - G- H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

interessanten nebenher gewonnenen Resultaten 28 ). Von einem ge- 
wissen Erfolg gekront waren erst die Beobachtungen von E. v. Rebeur- 
Paschwite, der das Horizontalpendel **) benutzte und gleichzeitig ver- 
vollkommnete. Seine Untersuchungen wurden von jR. Ehlert, I. T. 
Kortazzi und anderen fortgesetzt 24 *). Kiirzlich erreichte 0. Heeker 
weit besser iibereinstimmende Resultate, indem er Beobachtungsreiheu 
mit zwei Horizontalpendeln, die in zwei um 90 voneinander ver- 
schiedenen Azimuten in einem tiefen Bnmnen aufgestellt waren, 
langere Zeit hindurch fortsetzte 241 *). Paschmtz, Etderi und Kortazzi 
schlossen, dafi die Pendeloszillationen etwa Y 2 bis 8 / 3 des theoretischen 
Betrages der Amplitude besitzen, die einer vollig starren Erde ent- 
sprechen wiirde. ffeckers Beobachtungen zeigten, daB der Bruchteil 
fast genau % ist. Ich glaube, dafi dies Resultat der Wahrheit sehr 
nahe kommt, sodafi es scheint, daB die wirkliche Steifigkeit der Erde 
ungefahr ebenso grofi ist, als wenn sie aus Stahl bestunde* 40 ). 

Eine der Schwierigkeiten, die sich der Durchfiihrung der ge- 
nannten Beobachtungen, wenigstene fur Stationen, die nahe an der 
Seekuste liegen, entgegenstellen , beruht auf der Tatsache, daB das 



23) G. H. Darwin und H. Darwin, Brit. Ass. Reports 1881, p. 93; 1882, 
p. 96. 

24) F. Zollner schrieb drei Abbandlungen uber das Instrument und seiuo 
Geflchichte in Ann. Phys. Chem. 160 (1873), p. 181, 184, 140 = Leipzig Ber. 21 
(1869), p. 281; 23 (1871), p. 479; 24 (1872), p. 188; dieeen Aufsatzen folgte einer 
von A. SafaHk, B6hm. Ges. 1872 = Ann. Phye. Chem. 150 (1878), p. 150. 
F. Zollner schreibt die Prioritat A. Perrot zu (Paris C. B. 65 (1862), p. 728j, 
aber denselben Gedanken scheint vorher J. Grttithuisen gehabt zu haben (Neue 
Analekten UBW., Munchen 1832, 1, Teil 1). Einen Berieht iiber die (zweifellos 
falBchen) Beobachtungen von L, Hengler nndet man im Polytechn. Journal 43 
(1832), p. 81. Eine wertvolle Bibliographie iiber das Horizontalpendel gibt 
E. Paschwits, Leop. N. A. 60 (1892), p. 1, Ein vollstandiges Verzeichnis der 
eigenen Arbeiten von Paschwitz ist in einem Nekrolog enthalten, Beitr. z. Geo- 
phygik 2 (1896), p. 16. Seine wichtigsten Abhandlungen sind die oben genanunte 
und Beitr. z. Geophysik 2 (1896), p. 211. Eine ttbersicht dieser Untersuchungen 
bis 1893 (er starb 1896) ist enthalten in Brit. As. Rep. (Nottingham) 1893, 
p. 309. Es ist besonders wichtig, zu verfolgen, wie er dazu kam, einige in 
friiheren Abhandlungeu rertretne Anschauungen zu modifizieren. 

24") JB. Ehlert, Beitr. z. Geophysik 3 (1896), p. 131; /. T. Kortazzi, Isvestia 
Rusak. Aetron. Obsbchestva 4 (1896), p. 24 und 6 (1896), p. 301. Dort findet sich 
eine sehr wertvolle Reihe von Beobachtungen, und es ist zu bedauern, dafi die 
Arbeit (soviet ich weifi) in keine der westlichen Sprachen iibersetzt ist. Eine 
allgemeine t)bewicht des Gegenstandes gibt Darwin, Tides, 2. ed. 

24 b ) 0. Heeker, VerSftentl. d. K. Preufi. Geodat Inst., Neue Folge Nr. 32, 
Potsdam 1907. 

24 C ) Vgl. Nr. 87, p. 61. 



22. Methoden zur Diskussion der wirklicben Ozeantiden 31 

wechselnde Gewicht der ozeanischen Wassermassen Beweguugen der 
Erdrinde hervorrufen mufi * 5 ). Diese Wirkung scheint tatsachlich durch 
A. d Abbadie dicht am Meere beobachtet zu sein 26 ), und theoretische 
Uberlegungen lassen es als moglich erscheinen, daB sie auch noch in 
gro Berer Entfernung von der Kiiste 27 ) bemerkbar werden konneu. 

Eine andere Schwierigkeit entsteht infolge einer bedeutenden 
taglichen Oszillation des Pendels, die iiberall beobachtet wurde. Diese 
Oszillation ist unzweifelhaft theriniseh, aber es ist ungewiB, inwieweit 
sie eine nur lokale oder eine allgemeine Erseheimmg ist, welche die 
ganze vom Sonnenlicht beschienene Hemisphere beeinfluBt. R. Ehlert 
neigt der letzteren Ansicht zu 28 ). 

22. Methoden zur Diskussion der wirklichen Ozeantiden. 
Laplace zeigte als erster, wie Theorie und Beobachtung zu kombi- 
nieren sind 29 ). Seine Diskussiori beruht auf dem Prinzipe der er- 
zwungenen Sehwingungen, das folgendermaBen zu formulieren ist: 

Die Schwingungen eines Eorpersystems, bei dem die Wirkung des 
Anfangssustandes der Bewegung durch Reibung vernichtet ist, haben 
die yleidien Perioden wie die auf das System wirkenden Krafte. 

Hieraus folgt, daB, wenn die See durch eine periodische Kraft 
erregt ist, die durch den Kosinus eines mit der Zeit gleichformig 
wachsenden Winkels, multipliziert mit einem Koeffizienten, ausgedriickt 
werden kann, daraus eine Partialtide resultiert, die ebenfalls durch 
den Kosinus eines in derselben Weise wachsenden Winkels aus- 
driickbar iet; nur die Phase und der Koeffizient werden von den ent- 
sprechenden Groflen in der Gleichgewichtstheorie verschieden und nur 
durch Beobachtung bestimmbar seiri. Durch die Theorie wird also 
nur das Anwachsen des Winkels bestimmt. 

Wenn die Gezeitenkrafte, die von der Sonne und dem Monde 
herrijhren, durch eine Reihe solcher Glieder ausgedriickt werden, so 
werden auch die Schwankungen des Meeres durch eine Reihe von 
Partialfluten darstellbar sein, die unbekannte Amplituden und Phasen, 



26) G. H. Darwin, Brit. ABE. Rep. 1882, p. 106; zum Teil neu abgedruckt in 
Phil. Mag. 1897, p. 177. 

26) Bruxelles Ann. Soc. Sci. 6* (1881), p. 37; vgl. auch F. Omori, Earthquake 
Inveatig. Committee Nr. 21, 1905, p. 6; Bull. Imp. Earthqu. Inv. Com. 1907, 
p. 167. 

27) Vgl. aber E. Paschwitz, Beitrage zur Geophysik 2 (1896), p. 882, der 
nachdriicklich darauf hinweist, daB die theoretischen Voraussetzungen, in Europa 
wenigstena, nicht anwendbar sind. 

28) Beitr. z. Geopbysik 3 (1896), p. 131. 

29) Me"c. C<?1. 4, chap. 3, 4. 



3% VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydroaphare. 

aber bekannte Perioden besitzen 30 ). In tJbereinatiminung mit dem 
Prinzipe der Superposition kleiner Bewegungen kann man diese 
Partialtiden addiren, urn die gesamte Tide am Beobachtungsorte zu 
erhalten. 

Der Vergleich zwisehen Gezeitentheorie und Beobaclitung ist 
auf zwei Arten ausgefiihrt word en, die man als die ,,synthetische" 
und die ,,analytische" bezeichnen kann. Die beiden Methoden unter- 
scheiden sich nur dureh die Vollstandigkeit, mit der die fluterzeugen- 
den Kraffce in eine Gestalt gebracbt sind, auf die das Prinzip dm- er- 
zwungenen Schwingungen unmittelbar anwendbar ist. 

Die halbtagige Periodizitat der Gezeiten mit der schwaehen Ande- 
rung von Spring- und Nippflut legt die Wahl mathematischer Formeln 
von ahnlicher Einfachheit nahe; dieser Gedanke leitete auch I. Newton, 
D. Bernoulli, C. Madaurin, P. 8. Laplace, W. Whewell und G. B. Airy. 
An Orten, wo nur eine geringe tagliche Ungleichheit vornanden ist, 
lassen sich die Gezeiten mit einigermaBen geniigender Genauigkeit 
durch eine einzige harmonische Funktion darstellen. Die Amplitude 
dieser Funktion variiert dann langsam und periodisch, ihr Argument 
wachst nicht vollstandig gleichmaflig, sondern die Geschwindigkeit 
des Zuwachses schwankt langsam um einen Mittelwert. Wo jedoch 
die tagliche Ungleichheit bedeutend ist, wie im pazih schen und indi- 
schen Ozean, verliert die formale Einfachheit der synthetischen 
Methode ihren scheinbaren VorteiL 

Wir haben in Nr. 20 den Ausdruck fflr das Mondpotential in 
einer fiir die synthetische Methode geeigneten Form gegeben. Die 
drei Glieder dieses Ausdruckes sind annahernd harmonische Funktionen 
der Zeit, und ihre Koeffizienten oszillieren oflfenbar langsam um 
Mittelwerte. Ein ahnlicher Ausdruck wiirde das Sonnenpotential 
darstellen. Die mathematische Basis der synthetischen Methode be- 
steht in der Zusammensetzung solcher Formeln. Die halbtagigen 
Glieder des Mond- und Sonnenpotentials konnen in eins zusammen- 
gezogen werden, und eine ahnliche Zusammenziehung kann fur die 
taglichen und langsam variierenden Glieder ausgefiihrt werden. Der 
Vergleich der Beobachtungeu in irgend einem Hafen mit einem solchen 
analytischen Ausdruck hat oenselben indessen immer als ungeniigend 
erwiesen, so daB viele Korrektionen notig waren. 

Ein wichtiger neuer Weg zur Behandlung der Gezeiten wurde 



30) Laplace echreibfc die Gezeitenkrafte einer Zahl von fingierten Satelliten 
zu. Diese werden geuauer angegeben von Gr. H.Darwin, London Phil. Trans. 
170 (1879), p. 466. 



23. IJarmonische Analyse. 55 

von* Sir W. Thomson eingeschlagen, der die harmoriisehe Analyse ein- 
fuhrte, bei der jedes Glied eirie genaue harmonisehe Funktion der 
Zeit 1st 81 ). Hier gelangt das Prinzip der erzwungenen Schwiugungen 
zur strengen anstatt angenaherten Anwendung. 

Da dieses Prinzip die Basis jeder praktischen Behandlung des 
Problems bildet,, so scheint es zweckmafiig, zuerst diese Metliode zu 
betrachten, bei welcher es in seiner logischeren Form zur Anwendung 
komrnt, und die weniger befriedigende Methode filr eine spatere Be- 
trachtung zuriickzustellen. Wenn wir diesen Weg einsciilagen, kehren 
wir die geschichtliehe Entwicklung um und betrachten die ueuere 
Methode vor der alteren. 

23. Harmonische Analyse 33 ). Der Ausdruck f(ir das Mond- 
potentia] in Nr. 20 enthalt (k 1), den Stuiidenwinkel des Mondes. 
Da die Mondparallaxe ist, so war seine Steliuug durch semen 
Stundenwinkel, seine Deklination urid seine Parallaxe bestimmt. Der 
Beobachtungsort auf der Erde war durch die Breite festgelegt. Man 
kann aber auch den Mondort durch seine mittlere Lange, die Langen 
seines Perigaums und Knotens, die Scliiefe der Ekliptik, die Neigung 
und Exzentrizitat seiner Bahn angebeu. Wenn diese Bestimmungs- 
art gewahlt wird, so fuhrt jeder der drei Bestandteile unseres 
fruheren Ausdrucks zu einer sclmell konvergierenden unendlichen 
Reihe, deren Glieder samtlich aus einer einfachen harmonischen 
Funktion der Zeit, multipliziert mit einer Konstanten, bestehen. Man 
hat es aber nicht fur notig gefunden, den Prozefi niit demselben 
Grade logischer Vollstandigkeit durchzufiihren wie bei der Mond- 
und Planetentheorie. Es geniigt in der Tat, erne Entwicklung 
aufzustellen, die nur dann vollstandig streng sein wiirde, wenn der 
Knoten und die Ebene der Mondbahn im Raume absolut fest lagen. 

O 

Infolge der Bewegung von Knoten und Bahnebene sind die Koeffi- 

31) G. B. Airy und nach ihm E. Chazallon [Paris C. K. 42 (1 856), p. 966] stellten 
das Steigen und Fallen der Tide an eineia einzigen Tage dutch eine Fouriersche 
Reihe dar; aber dieses Verfahren kann niclit als ein wirklicher Vorlaufer der 
analytischen Methode angosehen werden. Vgl. Airy, Tides und P. Hatt, Ph^no- 
menea des marees, Paris 1885. 

82) Dieser Abschnitt griindet sioh auf einen der Brit. Ass. Rep. (Southport) 
1883 von G. H. Darwin und ,/. (7. Adams erstatteten Bericht. Im weseutlichen 
dieselbe Entwicklung findet sich bei C. Borgen, Ann. d. Hydrographie 12 (1884), 
p. 305, 387, 438, 499, 558, 615, 664 und P. Hatt in Ann. liydrograph. 1893, 
(ohne viel Einzelheiten) und Explication des rnarees, Paris; R.A.Harris, Manual 2; 
J. Ecdes, Great trig, survey of India 16, Dehra Dun 1901; vgl. auch W. Ferret, 
Tidal researches, Rep. U. S. Coast Survey 1874. Sir W. Thorntons Original- 
abhandlungen finden sich in den Brit. Ass. Rep. 1868, 1870, 1871, 1872, 1876, 1878. 
Kncyklop. d. math. Wuaensch. VI 1, S. 3 



34 VI i, 6. G. H. Dartvin-S. S. Hough. Bewegnng der Hydrosphare. 

zienten in der Entwicklung des Potentials nicht streng konstant, 
sondern fiihren langsam kleine Schwingungen um Mittelwerte aus; 
ferner erfordern die Argumeute der harmonischen Funktionen der 
Zeit kleine und sich langsam andernde Korrektionen fur ihre Phasen. 
So gelangen wir zu folgender Annahme: Das Potential ist durch. 
eine Reihe mit zeitweilig konstanten Koeffizienten ausdriickbar. Diese 
Koefn zienten sind rait einfachen harmonischen Funktionen multipli- 
ziert, die zeitweilig konstanter Korrektionen ihrer Phasen bediirfen. 
Das Prinzip der erzwungenen Schwingungen berechtigt uns dann zu 
dem SchluB, daB jedes Glied der Reihe einer Partialflut von unbekannter 
Amplitude und Phase entspricht. 

Wenn die Gleichgewichtstheorie so vollstandig entwickelt ist, 
kann Amplitude und Phase jeder Partialtide genau bestimmt und 
daher die Amplitude der entsprechenden wirklichen Flut in irgend 
einem Hafen dadurch erhalten werden, dafi man die Gleichgewichts- 
amplitude mit einem nur durch Beobachtung zu ermittelnden Faktor 
multipliziert. In ahnlicher Weise laBt sich die Phase der wirklichen 
Flut ableiten aus der Gleichgewichtsphase durch Anbringung einer 
konstanten, ebenfalls durch Beobachtung zu bestimmenden Verbesse- 
rung. Aufgabe der harmonischen Analyse ist es dann, diesen Faktor 
und diese Phasenkorrektion fur jede Partialtide zu bestimmen. Wir 
werden spater auseinandersetzen, wie sich die praktische Verwirk- 
lichung dieses Gedankenganges gestaltet; aber augenblicklich werden 
wir in der Betrachtung der Resultate der Gleiehgewichtstheorie fort- 
fahren, die wir uns in der angegebenen Weise entwickelt denken. 

Nach der jetzt allgemein angenommenen Bezeichnungsweise ist y 
die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation, ?, ??, , (yfj, del^v^ r/Atog) 
sind die mittleren Bewegungen des Mondes, der Sonne und des Mond- 
perigaums. Die ,,Geschwindigkeit" einer Partialtide ist der Differential- 
quotient des Argumentes der einfachen harmonischen Funktion nach 
der Zeit; alle Geschwindigkeiten sind Funktionen von y, <J, fj t W. Eine 
Nomenklatur fur die verschiedenen Partialtiden erweist sich als eine 
praktische Notwendigkeit. Man hat beliebig gewahlte Anfangsbuch- 
staben zu ihrer Bezeichnung benutzt 88 ) In einigen wenigen Fallen, 
fiir welche keine Anfangsbuchstaben vorgesehen sind, ist es zweck- 



33) Die Haupttiden fiir Mond und Sonne eind bzw. init M, S bezeichnet. 
Die elliptischen Mondtiden L, N (verbunden mit M) entsprechen den Tiden JZ, 
T (verbunden mit S) fiir die Sonne. Die eint&gige Mondtide entspricht der 
eintagigen Sonnentide P. Die analytischen AuBdriicke fiir die Evektionstiden 
X,, v sind eng verwandt mit denen for die elliptischen Tiden L, N. Die Varia- 
tionstide (* hat eine ahnliche Verwandtschaft mit M. Sa, Ssa, Mm, Mf, MSf 



28. Hannonische Analyse. S6 

mafiig, die Tide durch ihre Geschwindigkeit zu bezeichnen; z. B. mag 
die monatliche Evektionstide durch tf-j- o? 2y gekennzeichnet werden. 

In dem mathematischen Ausdruck ffir die Tide ist die Einfiihrung 
der mittleren Langen naturlicher als die der Geschwindigkeiten. Wir 
schreiben deshalb s, h, p fur die mittlere Lange des Mondes, der 
Sonne und des Mondperigaums; t fur den mittleren Stundenwinkel 
der Sonne am Beobachtungsorte. Das Argument irgend einer Partialtide 
wird dann eine Funktion von t, s, h, j). 

In den folgenden Tabellen kommen noch verschiedene Bezeich- 
nungen vor, die wir jetzt erklaren miissen. 

Die Schiefe der Ekliptik heifit G>, die des Aquators gegen die 
Mondbahn ist I. I ist offenbar eine Funktion von N, der Lange 
des Mondknotens, und schwankt um den Mittelwert o. Die Neigung 
der Mondbahn zur Ekliptik ist i. Die Exzentrizitaten der Mond- und 
Sonnenbahn seien e und e ly das Verhaltnis der mittleren Bewegung 
der Sonne zu der des Mondes m. 

Wenn m die Mondmasse und c seine mittlere Entfernung be- 
deuten, wenn ferner r = % -^- gesetzt wird, so mifit r die Intensitat 

C 

der fluterzeugenden Kraft des Mondes. Wenn m if c l} r^ die ent- 
sprechenden GroBen fiir die Sonne sind ? so ist klar, da6 -- ( 0,46035) 
der Faktor ist, mit Hilfe dessen man Sonnen- und Mondgezeiten auf 
ein gemeinsames MaB bringen kann. 

Man wird bemerken, daB die Argumente in den folgenden Tabellen 
| und v enthalten; diese Buchstaben bedeuten die Lange in der Mond 
bahn und die Rektaszension des absteigenden Knotens des Aquators 
in der Mondbahn und sind Funktionen von N. Die Funktionen von 
| und v, welche in den Argumenten auftreten, sind jene kleinen 
Phasenkorrektionen, welche notig sind, um den Lagenwechsel des 
Mondknotens in Biicksicht zu ziehen. Es hat sich als hiureichend 
herausgestellt, konstante Werte fflr | und v anzunehmen, die ein 
ganzes Jahr lang anwendbar sind. 

Wir wollen jetzt die Resultate der Anwendung der Gleich- 
gewiehtstheorie in Form von Tabellen geben. Der allgemeine Aus 
druck fur die Gleichgewichtsflut lautet: 

h = 2 ,,allgem. Koeffiz." X ,,Koeffiz." X cos , ? Argument". 



bezeichnen bzw. die jahrliche und die halbjahrliche Sonnentide (Solar annual 
and solar semiannual), die monatliche (lunar monthly) und die halbmonatliche 
(lunar fortnightly) Mondtide sowie die 14tagige Mond-Sonnentide (luni-solar 
fortnightly). Fur die Wahl der meisten anderen Anfangsbuchstaben scheinen 
keine ersichtlichen Grunde vorzuliegen. 

8* 



i, 6, G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphiire. 

4. Mond-Tideii. 

1. Halbtagige Tiden. 



Allgemeiner Koeffizient: % -^ -5- cos 2 A. 



Name 


^Q 

6 

QQ 


Argument 
Koeffizient 
a* -1-2 (h v} 


Haupt-Mondtd. 




\ 

l/ /< f> / x>-^\ />n3^ I/ 7" 9 (a ^ 

,- v * % ) ^^"-* s V Sy 


Mond-Sonnentd. 
(Mondteii) 


* 


l /,(l -f- %e*) % sin*/ 


GroBere cllip- 
tische Td. 


* 


Vs V e cos4 V g J 2 (5 4) (s p) 


Kleinere ellip- 
tische Td. 


* 


V Yi c cos4 Vs i 2(s b) -f- (* p} -j- f 


Ellipt. Td. 
2. Ordnung 




V. "/i e s cos 4 y, I 2 (s 6) 2 (s p) 


GroBere 
Evektionstd. 


V 


11 . 105/ me Cog 4 i/ r 2(S ^) + (* p) 

/4 / 1 i v/vo J. . ., . 

"T" {ft ~~ 5 ) 


Kleinete 
Evektionstd. 


1 


/s- As 511 3 A- _2(/i_ S )4- 


Variationstd. 


, 


1 / .48, jj^ i COS 4 ^ I 2 (i ) -t- 2 f ft S^l 



2. Eintagige Tiden. 



Allgemeiner Koeffizient: 3 / 2 TF sin 2 A. 



o 






Name 


g 


Koeffizient 


ATgU 




OQ 




4-(A- 



Mondtd. 



Mond-Sonnentd. i & 
(Mondteii) l 



Grofiore ellip- 
tische Td. 

Kleinere ellip- 
tische Td. 






(l-Y^VAsinlcos Y,! 


-2(,-i)4-%* 


^ 


(1 4- s / 2 e*) y, sin Jcos/ 


-Yt" 


1 


_ 2 ( S -^)-(5_)4-y * 



Geschw. 

y -\- U t 



Diese Tide, die eigentUch aus zweien mit den Geachw. 

y o -f- Z9 und y c 85 zusammengesetzt ist, hat kom- 

plizieftere Koeffizienten und Argumente. 



% e l /t 8 ^ n -^ COB 



23. Harinonische Analyse. 
3. Tiden von langer Periode. 



37 



AUgemeiner Koeffizient: 3 / 2 ~ ~ (V 8 % sin 2 A) . 



Name 


1 
I 

OD 


Koeffizient 

- 


Argument 



Anderung des j 
Mittelwasaers j 



/i 4. / />*wi/ 
\ L T~ ft e ) \ / 



des ver&nderlichen Teilee 











Monatliche Td. 


Mm 


Wff** 


(.-,) 


Monatliche 
Evektionstd. 





. %mc( A-v, S u,/) 


( ^) + 2(s K) 


Monatliche 
Variationstd. 





M~^ 


Sii, 


UtiLgige 
Tide 


Mf 


(1 -%)/, m / 


{t D 



B. Sonnen-Tiden. 

1. Halbtagige Tiden. 



AUgemeiner Koeffizient: 



irr r cos 2 A. 
Jz c 



Name 


r 

o 

1 




Koeffizient 


Argument 


Haupt-Sonnentd. 


^ 


Vl ^-(1-%OCOBV, 


SI 


Mondtd. 
(Sonnenteil) 


^ 


VV (i + V,-! 1 ) 1 /,-^ 1 -. 


2t + 2fc 


Grofiere ellip- 
tische Td. 


T 


Vi^-V^,co8^/ 8 a, 


2*- (fc-J>) 


Kieinere ellip- 
tische Td. 





yA y.^coi % ID 

T 


* + (*- A) + * 



38 VI i, 6. Gr. H. Darwin-S. S. Houyh. Bewegung der Hydrosphare. 
2. Eintagige Tiden. 



Allgemeiner Koeffizient: % -^ 



9 . 



Name 


1 


Koeffizient 


Argument 


Sonnentd. 

. 


P 


* -(!- 

! 


/ e i *) V 8 ^ n cos s y t ca 


t h -\- y, 


Mond-Sonnentd. 
(Sonnenteil) 




* 


% e t *) y, sin CD cos a) 


<+.-/, 



3. Tide von langer Periode. 



Wl a* 
Allgemeiner Koeffizient: 3 / 2 -^p -,- (V, 3 / 8 sin 8 A). 

* M f. 3 \ a / 



Name 


1 

>> 

DD 


Koeffizient 


Argument 


Halbjahrliche 
Td. 


Ssa 


(l-%i V/,8in s fi> 

T 


2ft 



Anmerkung: Die Tide L sollte mit sich verbunden eine andere von der 
Geschwindigkeit 2y a -f- ffl enthalten; dadurch wurden aber die Koeffizienten 
und Argumente komplizierter. Die Koeffizienten aller Evektions- und Variations- 
tiden sollten die vollen Werte der betreffenden Ungleichheiten enthalten; sie 
enthalten oben nur die ersteu Glieder der wirklichen Beihen. Die Sonnen- und 
Mondtiden K fallen zusammen. Cbcr Ssa B. Nr. 24. 

Die wirkliche Flut ist ableitbar aus der Gleichgewichtsflut, in- 
dem man jeden ,,Koeffizienten" mit eineni der Beobachtung ent- 
nommenen Paktor k multipliziert und von dem ^Argument" einen 
ebenso gewonnenen Winkel x subtrahiert. 

Die numerischen Werte der EoeMzienten in irgend einer der 
drei Gruppen der Gezeiten geben die relative Wichtigkeit der ein- 
zelnen Glieder an, aber sie geben keinen Aufschlufi fiber die relative 
Wichtigkeit der Tiden, die zu verschiedenen Gruppen gehoren. 

24. Meteorologisohe Ticlen, Obertiden und kombinierte Tiden 
oder Seichtwasser-Tiden 38 *). Jede Tide, deren Periode geiiau ein Viel- 
faches oder ein Teil eines mittleren Sonnentages oder eines tropischen 



33 ) Harris, Manual 6. 



25. Bio Resultate der harmonischen Analyse. 39 

Jahres ist, wird durch die meteorologischen Verhaltnisse beeinfluBt 
und ist daher offenbar mit einiger Unsicherheit behaftet. . 

Wenn eine Welle in seichtem Wasser fortschreitet, so entfernt 
sich ihre Gestalt betrachtlich von der der Sinuskurve. Eine Ent wick- 
lung nach Fourier ffir die Form der Welle enthalt Glieder von der 
doppelten und dreifachen Sehwingungszahl der urspriinglichen Welle. 
Solche Glieder kann man Obertiden nennen in Analogie mit Helm- 
holtz Obertonen in der Akustik. Es ist aus diesem Grunde gebrauch- 
lich, die Tiden M^ M 6 , $ 4 , S 6 mit den bzw. Geschwindigkeiten 
4(y tf), Q(y ff), 4(y rf), 6(y 1?) einzufiihren. Die Ober 
tiden sind in anderen Fallen im allgemeinen zu vernachlassigen (oder 
sind wenigstens vernachlassigt worden). 

Wenn die H6hen zweier gleichzeitigen Wellen nicht geringe 
Bruchteile der Wassertiefe sind, so entstehen Kombinationswellen, 
deren Schwingungszahlen die Summe oder Differenz zweier fundamen- 
talen Wellen sind. Die Haupttiden dieser Art sind: MS, Msf mit 
den Geschwindigkeiten 2(y 0) 2(y 17), herrtihrend von M a und 
S if die letztere von diesen ist auch eine astronomische Tide; ferner 
28M mit der Geschwindigkeit 2y-|-2<y 4iy, herkommend von $ 4 
und MI] (i, herstammend von S t und M, mit derselben Geschwindig 
keit wie die Variationstide 2y 4<y-f-2i?. Es mag auch noch die 
Tide Jf s erwahnt werden mit der Geschwindigkeit 3(y tf), die von 
demjenigen Gliede in dem Mondpotential herriihrt, das die vierte 
Potenz der Mondparallaxe enthalt und das wir in Nr. 2 vernach- 
lassigten. 

In der harmonischen Analyse werden gewohnlich die folgenden 
Tiden ausgewertet: M a , M^ M^, S 8 , S 4 , K 9) N, L, v, p, 2SM, MS, 
K lf 0, P, Q, J, Sa, Ssa. 

Die Tiden M lt Mm, Mf, MSf werden auch bestimmt, haben 
aber im allgemeinen nur theoretisches Interesse. 

25. Die Kesultate der harmonischen Analyse. Wir betrachten 
nur eine einzige Partialtide als typisch fur alle. 

In tJbereinstimmung mit der in Nr. 23 gegebenen Tabelle kann 
die Tide M 3 ausgedruckt werden durch: 

V. (1 - V 8 ) os* V, 



In diesem Ausdrucke ist k m der Koeffizient, mit dem die halbe 
Hubhohe der Gleichgewichtsflut zu multiplizieren ist, um die wirk- 
lich halbe Hubhohe zu erhalten; x m ist die Phasenkorrektion. Die 
beiden GroBen Jc m und v. m lassen sich nur durch Beobachtung be- 
stimmen. 



40 VI i, 6 G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

Wenn wir schreiben: 
S m - * ~< cosU : % (1 - % e") cos* (% ) cos* (V, t), 



FW = 2 (* -f- & s), M W = 2 (v I) , 



so wivd der obige Ausdruck zu /" m r n} cos(F, n -j- u m *) ^m De " 
steht aus zwei Faktoren, von denen der eine aus astronomischen 
Daten ableitbare Konstanten enthalt, wahrend der andere, 7i; m , eine 
nur durch Beobachtung zu ermittelride Konstante darstellt. Daher 
kann H m als eine der Tide M z und dem Beobachtungsorte eigentiim- 
liche Konstante^ die nur durch Beobachtung ableitbar ist, angesehen 
werden. Wenn die Tidenkonstanten H m) x m bekannt sind, so lafit 
sich die durch J/ 2 hervorgerufene Wasserhohe fur irgend eine ver- 
gangene oder zukiinftige Zeit berechnen. f m ist der Faktor und u m 
die Phasenanderang, die notig sind, um die augenblickliche Lage des 
Mondknotens zu beriicksichtigen 34 ). 

Ihre Werte andern sich langsam, und es ist ublich, mittlere 
Jahreswerte anzimehmen. 

Jede Tide hat ihr besonderes f und u. Das u jeder Tide ist 
derjenige Teil des ? ,Argumentes", welcher v und | enthalt. Daher ist 
in den reinen Sonnentiden S if T, P der Wert u gleich Null und f 
offenbar gleich der Einheit, 

Die Tiden J5T 8 , K erfordern eine besondere Betrachtung, da sie 
gememsam von Mond und Sonne herriihren. Die Tiden L und M l 
miissen aus anderen Griinden auch fur sich untersucht werden. 

Die Theorie der Wellen in seichfcem Wasser zeigt, daB fur die 
zweite und dritte Obertide f das Quadrat und der Kubus des funda- 
mentalen / ist, u das Doppelte und Dreifache des fundamentalen u. 
Fiir zusammeiigesetzte Tiden ist f das Produkt, u die Summe oder 
Differenz seiner Kompouenten. 

Als Endresultat der harmonischen Analyse erhalten wir H und x 
fiir jede Tide. Wenu danu A Q die Hohe des mittleren Meeresniveaus 
iiber irgend einem NuUpunkt an der Kiiste bedeutet, ist die Seehohe 
zu irgend einer zukunftigen oder vergangenen Zeit ausdriickbar durch 



Es wird sich unten als notig herausstellen, die verschiedenen H, 
x besonders zu bezeichnen. Das soil durch Anhaugung des Anfarigs- 
buchstabens der Tide als Index geschehen. So bezieht sich z. B. H m , 



34) Vgl. die Tabellen bei Baird, Manual, und Harris, Manual 2. 



26. Numerische harmonische AnaljBe. 4- 

x m aaf die Tide M 3 . Fur die Tiden JT 2 , J5T t ist diese Bezeichnungs- 
weise nicht passend, wir schreiben deshalb T", x" bzw. H } x in 
diesen Fallen. 

26. Numerische harmonische Analyse. Der zwolfte oder vier- 
undzwanzigste Teil der Periode irgend einer halb- oder eintagigen 
Tide kann als eine Stunde einer speziellen, der betreffenden Tide 
eigentiiinlichen, Zeit bezeiehnet werden. Wir konnten die Hohen der 
Gezeitenkurve immer genau nach Verlauf je einer speziellen Tidestunde 
messen; aber es geniigt zur Durchf aiming der Rechnung, wenn die 
Wasserhohen je nach Verlauf einer genauen Stunde mittlerer Sonnen- 
zeit von der Kurve abgelesen werden. Diese Annaherung gibt in 
Wirklichkeit die mittlere Wasserhohe wahrend einer mittieren Sonnen- 
stunde, deren Mitte auf eine genaue Tidestunde failt. 

Wenn die mittieren Sonnenstundenhohen so gruppiert werden, 
wie sie zwischen die 24 Stundeu einer speziellen Tidenzeit fallen, er- 
halten wir durch Summation 24 Hohen, die zu den 24 Stunden 
jener speziellen Tidenzeit gehoren. Jede Stunde irgend einer anderen 
Tidenzeit wird unterschiedslos auf alle Stunden dieser Zeit fallen, 
und so werden alle Partialtiden auBer der gerade betrachteten aus 
dem mittieren Resultat yerschwinden. Die 24 Stundenhohen der 
speziellen Tidenzeit lassen sich dann durch folgende Fouriersche Reihe 
darstellen : 

A Q -\- E l cos (nt Q -f 12j cos (2nt 2 ) + JR 3 cos (3nt ,) -\ , 

2 Tt 

wo der spezielle Tidetag ist Wenn die Tide, die wir untersuchen, 

eine tagliche ist, so werden jR 2 , R^ usw. eehr klein gegen .R^ ist sie 
halbtagig, so sind R l} R$ usw. sehr klein gegen J? 2 und so fort. Es 
ist in der Tat geniigend, nur das spezielle R und auszuwerten, das 
zu der theoretischen Partialtide gehort. 

Um den Umstand zu beriicksichtigen, daB die Berechnungsmethode 
der Wasaerhohen in Wirklichkeit das Mittel der Wasserhohen, ge- 
nommen iiber das Zeitintervall eine halbe Stuude vor bis eine halbe 
Stunde nach der genauen Stunde der speziellen Tidfcnzeit, gibt, muB 
man die halbe Hubhohe R mit einem geeigneten Vergrofierungsfaktor 
multiplizieren; dadurch moge sie in R f iibergehen. Dann ist die in 
Rede stehende Partialfcide durch fIlcon(V-}-u x) ausdriickbar, wo 

H=~ ist. 

Wenn F den Wert des ,,Argumentes" im Augenblicke des Be- 
ginns der Beobachtungen bezeiehnet, so haben wir oftenbar 
F -j- w x =- g, oder x = + V + u. 



42 VI i, 6. G. JET. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

In dieser Weise werden die beiden Tidenkonstanten H, v, durch 
numerische Rechnung gefunden. 

Die Klassifikation oder Gruppierung der stiindlichen Hohen des 
mittleren Sonnentages ist in verschiedener Weise ausgefiihrt worden. 
Bei der in Indien benutzten Methode miissen alle Beobachtungen in 
eine Reihe von Tabellen iibertragen werden 85 ). 

C. Borgen gebraucht eine Anzahl Blatter Pauspapier, die mit 
starken schraglaufenden Leitlinien versehen sind. Legt man diese 
Blatter auf die tabulierten Beobachtungen, so zeigen die Leitlinien 
die Zahlen an, die zu Mittelwerten zu vereinigen sind. Die U. S. 
Coast Survey gelangt zu demselben Resultate mit Hilfe von durch- 
lochten Kartons. 

6r. H. Darwin hat eine Methode angegeben, bei der die zu jedem 
Tage gehorigen Beobachtungen als ein Ganzes behandelt werden 86 ). 
Jede dieser Methoden scheint ihre eigenen Vor- und Nachteile zu 
habeu. 

C. Borgen hat noch eine ganzlich andere Reduktionsmethode an 
gegeben, bei der die Zahl der Additionen betrachtlich vermindert ist 87 ). 
Das Verfahren ist sehr geistreich, hat aber, soviel ich weifi, nicht den 
verdienten Anklang gefunden. 

Die harmonischen Tidenkonstanten konnen auch aus Beobach 
tungen von Hoch- und Niedrigwasser abgeleitet werden 88 ). Jede 
solche Beobachtung ist zwei Beobachtungen einer einzelnen Hohe 
gleichwertig, so daB in Wirklichkeit annahernd 8 (7gf) Bedingungen 
pro Tag durch den analytischen Ausdruck fflr die Tide zu erfiillen 
sind. Aber diese Bedingungen sind fiir die in Rede stehende Aus- 
wertung nicht zweckmaBig, und es ist moglieh, dafi die wirksaraste 
Methode, die Konstanten aus den Beobachtungen zu ermitteln, die 
ist, eine empirische Flutkurve auf Grund der zu den beobachteten 
Zeiteu eintretenden Maxima und Minima und der abgelesenen Hohen 
zu konstruieren. 



35) Ea finden eich gewiese kleine Versehen in den (von E. Roberts fiir die 
indische Kegierung aufgestellten) Tabellen, aber sie geben zu keinem wesent- 
lichen Irrtum AnlaB. Vgl. G. H. Darwin, London Eoy. Soc. Proc. 62 (1893), p. 346. 

36) Harris, Manual 2, chap. V; G. H. Darwin, London Roy. Soc. Proc. 
62 (1893), p. 846. ttber die Beduktion einer kurzen Beobachtungsreihe siehe 
G. H. Darwin, British Admiralty Scientific Manual 1886 oder Rollet de I Isle, 
A.nn. hydrograph. 2 (1896), deuxieme section, p. 196. 

37) Ann. der Hydrographie 1894, p. 219, 266, 296. 

38) G. H. Darwin, London Eoy. Soc. Proc. 48 (1890), p. 278; Harris, Manual 
3, chap. III. 



26. Numerische karmonische Analyse. 43 

Wir haben bisher nur iiber die halb- und ganztagigen Gezeiten 
gesprochen, Die Gezeiten von langerer Periode lassen sich offenbar 
aus den taglichen mittleren Wasserhohen ableiten. Diese taglichen 
Mittel miissen so gruppiert werden, daB sie die Amplituden und 
Phasen der Tiden Sa, Ssa, Mm, Mf, Msf ergeben. Da diese Tiden 
im allgemeinen sehr klein sind, so ist es notwendig, Korrektionen an- 
zubringen, urn die taglichen Mittel von den Resten der groBen halb- 
und ganztagigen Tiden frei zn machen. Dieser ProzeB wird , 7 Klarung 
der taglichen Mittel" genannt. Der Leser mag wegen Details die ver- 
schiedenen in FuBnote 32 angegebenen Publikationen nachsehen. 

Wenn eine Funktion h durch eine Reihe harmonischer Glieder 
dargestellt ist und ein Paar dieser Glieder A cosnt + B sinnt lautet, 



2 it 



it 

wenn ferner T ein Vielf aches der Periode - ist, so wird 



Auf diese Weise kann man durch eine Maschine, die diese Inte- 
grationen ausfuhrt, A und B bestimmen. Bei der Reduktion der Flut- 
beobachtungen nehmen wir fiir h die Wasserhohe zu irgend einer 
Zeit wahrend des Intervalls T und fiir n die Geschwindigkeit irgend 
einer der Partialtiden. Man hat versucht, zur Reduktion der Gezeiten- 
beobachtungen den Integraphen von James Thomson 59 } zu benutzen. 
Eine Maschine zur Gezeitenreduktion (jetzt im South Kensington 
Museum) wurde wirklich mit betrachtlichem Kostenaufwande unter 
Lord Kdvins Leitung gebaut. Sie war zur Auswertung der Tiden 
M it $ 2 , K, 0, P und des mittleren Wasserniveaus A bestimmt, ist 
aber niemals benutzt worden, da man Grund zu der Annahme hatte, 
daB die Reduktionen teurer und weniger befriedigend ausfallen wfirden, 
als bei der Anwendung des numerischen Rechenprozesses. 

Es liegt nicht in der Absicht dieses Artikels, die Gezeiten in 
einzelnen Hafen zu diskutieren* ). 



39) London Roy. Soc. Proc. 24 (1876), p. 262; Thomson and Tait, Nat. Phil. 
I 1 , p. 488; Inst. Civ. Eng. 66 (1881), p. 10 

40) Ich kann kein vollstandigeB Verzeichnis der Literatur geben, wo die 
harmouiscben Eonatauten fiir verschiedene Orte zu fin den sind; es mogen 
folgende Zitate genugen: Great Trig. Survey of India 16, Dehra Dun 1901 
(Sammlung der indischen Resultate bis 1902); fteports of the U. S. Coast Survey; 
Harris, Manual 4 A; P. Hatt, VerSffentlichungen des frauzosischeu Service hydro- 
graphique; /. P. van der Stok, K. Instit. van Ingenieura, Afd. Ned. Indie und 
Amsterdam Ak. Wet.; A. Wijkander, K. Sv. Vet. Ak. 15 (1899). Eine Sammlung 



44 VI i, 6. G. H. Darwin-S, S. Sough. Bewegung der Hydrosphtlre. 

27. Erklarimg einiger gebrauchlicher Ausdriicke; Nullpunkte. 
Wir haben bereits am Ende von Nr. 25 angegeben, da8 die halbe 
Hubhohe und Phasenverzogerung fiir die verschiedenen Tiden durch 
an die Buchstaben H, x gesetzte Indizes bezeichnet warden. 

Die mittlere Hohendifferenz bei Springflut zwischen Hoch- und 
Niedrigwasser wird Springtidenhub genannt und ist gleich %(H m -f- jff f ). 
Der Nipptidenhub ist gleich 2(H m .H,); er ist gewohnlich der dritte 
Teil dee Springtidenhubs. Die Hohe zwischen der M&rke des mittleren 
Hochwassers bei Nippflut und der des mittleren Niedrigwassers bei 
Springflut heifit ,,neap rise" und ist gleich 2H m . Der mittlere Zeit- 
unterschied zwischen Voll- oder Neumond und der nachsten Spring 
flut heiBt ,,das Alter der Gezeit": es ist gleich -^** ~" *"! und betragt 

I (a tj; 

gewohnlich ca. 36 Stunden. Das Zeitintervall, das zwischen dem 
oberen oder unteren Meridiandurchgang des Mondes und Hochwasser 
verflieBt, heifit ,,das Intervall" oder ,,Mondflutmtervall". Beide, das 
Intervall und die Hohe der Tide, sind einer ,,14tagigen Ungleichheit" 
unterworfen. Das Intervall bei Voll- oder Neumond heiBt ,,Hafenzeit" 
(Hafenetablissement) oder ,,gewohnliche Hafenzeit". Das Intervall 
bei Springflut wird verbesserte oder mittlere Hafenzeit genannt. Man 
kann die letztere aus der ersteren bestimnien, wenn das Alter der Tide 
bekannt ist. 

Die Franzoeen nennen eine GroBe, welche gleich H m -f- R t zu 
sein scheint, ,,Einheit der Hohe" und definieren irgend eine andere 
Ungleichheit durch einen Koeffizienten 41 ). 

Die Praxis der britischen Admiralitat besteht darin, Lotungen 
und Gezeitentabellen auf das w mittlere Springniedrigwasser" zu be- 
ziehen. Die Lage dieses Niveaus (Kartenniveau) laBt keine exakte 
wissenschaftliche Definition zu; die Unsicherheit kann da betrachtlich 
werden, wo eine groBe eintagige Tide vorhanden ist. Wenn indessen 
das genannte Kartenniveau einmal in bezug auf eine feste Landmarke 
fixiert ist, so kann es ebenso gut wie jedes andere als Nullpunkt 
dienen. 

Ein spezielies Niedrigwasserniveau ist fiir die neuen Stationen 
der Indischen Vermessung angenommen; es heifit ,,Indische Niedrig- 



von Resultaten aua verschiedeaen Quelleu gibt G. H. Darwin tmd A. W. Baird, 
London Eoy. Soc. Proe. 39 (1886) , p. 136 und G. H. Darwin, ibid. 45 (1888), 
p. 656; T. Wright, ibid. 71 (1902), p. 91. 

41) P. Halt, Pbenomfenes dea marges, Paris 1886, p. 161. 



28. Synthetische Methode fur die halbtagiger. Gezeiten. 45 

wassermarke" und ist definiert durch H m -j- H s -f- H -j- // unter 
mittleren] Seeniveau. Ein seiches Niveau wird im allgemeirien nicht 
sehr von dem oben erwahnten verschieden sein und ist niedrig ge- 
nug, um alle negativen Ghofien aus den Gezeitentabellen auszuschlieBen. 
Ein wertvolles Verzeichnis von Nullpunkten ist von J. N. Shool- 
bred gegeben; weiteres fiber den Gegenstand findet man in einem 
Bericht von J. J. A. Bouquet de la 



28. Synthetische Methode fiir die halbtagigen Gezeiten 42 ). Wir 
konnten in der Weise vorgehen, daB wir die Form des Potentials, wie 
sie in Nr. 20 gegeben wurde, entwickeln, aber es ist befriedigender, 
von der harmonischen Entwicklung auszugehen. Die mittlere Sonnen- 
zeit und Mondlange miissen durch den Stundenwinkel ty, die Rektas- 
zension a und die Dekliriation d ersetzt werden. AuBerdem ist noch 
P, das Verhaltnie der Mondparallaxe zu seiner mittleren Parallaxe, 
und ^/ als eine solche konstante Deklination einzufiihren, daB cos 2 ^/ 
der mittlere Wert von cos 2 d ist. Die Resultate konnen ferner etwas 
kiirzer geschrieben werden, wenn wir noch folgende Bezeichnungen 
einfiihren: 8 fiir die Monddeklination zu einer Zeit, die um das 

;; Alter der Deklinationsungleichheit". namlich um - . dem Zeit- 

A 

punkte t vorausgeht, und P fiir den Wert von P zu einer Zeit, die 

X __ X 

urn das ;? Alter der parallaktischen Ungleichheit", d. h. um -^-~~ , vor 

t liegt. Diese beiden ? ,Alter" unterscheiden sich im allgemeinen 
nicht viel von dem friiher als ,,Aiter der Tide" eingeiuhrten Aus- 

druck: ^-^ 

2(c~Tj) 

Der einem Symbol angehangte Index 1 soil andeuten, daB die 
GrroBe sich auf die Sonne bezieht; in diesem Falle konnen die ver- 
schiedenen ,,Alter" als verschwindend betrachtet werden. 

Bei der vorliegenden Methode ist es notig, die K%- und ^-Tiden 
in ihren Mond-.und Sonnenteil zu spalten; die beiden Teile verhalten 
sich zueinander wie 683:317. 

Der folgende Augdruck ist dann mit der harmonischen Entwick 
lung gleichbedeutend: 



41*) J. N. Shoolbred, Brit. Ass. Rep. 1879, p. 220; J. J. A. Bouquet de la 
Grye, Yexhandl. d. Allgem. Konf. d. Intern. Brdm. 1898. 

42) Diese Nummer basiert auf G. H. Darwin, Brit. ABB. Hep. 1885, p. 86. 
Vgl. eine von C. Borgen angegebenc Verbesserung in Ann. der Hydrogr. 17 
(1889), p. 46. 



46 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydroephare. 
* = 



-f- - - -rj - 0,683 H" cos (2^ x") [Deklination })] 

1 

+ COS O COS 4-j * f\ f\ 4 p TT// /r^ //\ I~T"V 11 I / \T 

---T^ L 0,3.1 7 J7 cos (2^ x ) [Deklmation ] 

1 

a2fl d* r 0,683 JEf" 
iu*^, dtLcosfx" X OT ) 



sin2<* dSr 0,683 H " , 1 . /0 . x 

-- - - - - -", *g ^i sin (2* x,J 

J wy 



[Deklinationsanderung })] 

n If, COS K, 

- 



cos 



4. Hn 

2 



cos (x ?rt n ) COB(XI * 

[Anderung der Parallaxe J)] f 

wo einen Hilfswinkel bedeutet, der definiert ist durch: 
, _ H n sin x JT, sin x, 

lf n COB X M H\ COS Xj 

Der obige Ausdruck ist in mancher Hinsicht eine nahere 
Approximation als die Formel, aus der er abgeleitet ist, da die 
Stundenwinkel, Deklinationen und Parallaxen alle Mond- und Sonnen- 
ungleichheiten enthalten. 

Die hergeleitete Formel kann oflfenbar auch. in der Form ge- 
schrieben werden: 



p) -j- .MJ cos 2(V>! Pi) 

und der Leser wird leicht erkennen, welche Werte M, M l} p, ^ 
haben miissen. 

In der Gleichgewichtstheorie ist jedes H dem entsprechenden 
Gliede in der harmouischen Entwicklung des Potentials proportional, 
und diese Proportionality ist wirklich annahernd bei Tiden von nahe- 
zu gleicher Geschwindigkeit vorlianden. 

Wenn das genannte Gesetz fiir die reinen Sonnentiden JR, S f T 
und die Sonuentide K 2 als richtig angenommen wird, so haben wir: 



Eine ahnliche Syntbese kann filr M eigentlicb nicht ausgefiihrt 
werden, weil die ein/elnen Mondtiden sich in ihren Gescnwindigkeiten 
betracbtlich voneinander unterscheiden. Die folgende partielle Synthese 



28. Synthetische Methode fur die halbtagigen Gezeiten. 47 

liefert aber ganz gute Resultate 43 ): 



H? -- 68S H " 



2 P - * + c - --- > 683 



lf 



Mit welchem Grade von Genauigkeit auch immer M, p, M l 
ausgedriickt sein mogen, die schlieBliche halbtagige Synthese wird da- 
durch bewirkt, dafi man setzt: 



A 2 = JETcos 2(t/> 
wo 



H = z -f Jf x 2 -- 
und 

f 9 / m ^ - M i 8in2 ( g "i iULzJ^L. 

~ AT + X cos2( t +ft ft) 

Da (a t^), der Untersehied zwischen Mond- und Sonnenrektas- 
zension, seine Periode in einem Monat durchlauft, und da das Inter- 
vail nach dem Meridiandurchgang 44 ) des Mondes bis zum Hochwasser 
durch den Wert von <p bestimmt wird, so folgt, da6 die ,,H6he" H 
und das ,,Intervall" V 14tagigen oder halbraonatlichen Ungleichheiten" 
unterworfen sind. 

Da Springflut eintritt, wenn a t ===== ^ ^ 1st, und da die 
Mittelwerte von a a x und ^ ^ gieich s It, bzw. Vs( x * K m) 
sind, so folgt, dafi das mittlere Intervall von Voll- oder Neumond bis 

zur Springflut gieich -* ~~ ist. Der Zusammenhang der Gezeiten mit 

Voll- und Neumond fallt so in die Augen, daB man die Fiktion an- 
genommen hat, die Gezeiten entstiinden bei diesen Mondstellungen 
und gebrauchten eine gewisee Zeit, um den Beobachtungsort zu er- 
reichen. 

Deshalb wird auch ^*~ x ~ das ..Alter der Gezeit" genannt. Das 

2(<f Tj) 

durchschnittliche ,,Alter" der Gezeit diirfte, wie schon angegebeu, un- 
gefahr 36 Stunden betragen. In entsprechendem Sinne reden wir von 
,,den Altern der Deklinatione- und parallaktischen Ungleichheiten". 

Bei der Aufstellung einer Gezeitentabelle ist es nicht praktisch 
K j zu gebrauchen, das sich auf die unbekannte Zeit des Hoch- 

48) Diese Formeln haben in einem Muster zu einer Ge/eitentabelle An- 
wendung gefunden, Admir. Scientific Manual 1886. 

44) J. W. Lvibbock, W, Whewell und andere sind der Ansicht, da6 die 
Formeln sicb. der Wirklichkeit enger anschlieBeu, wenn jedes Hochwaeser auf 
den zweiten, dritten oder gar vierten vorhergehenden Meridiandurchgang anstatt 
auf den ersten bezogen wird. 



48 VI i, 6- G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

wassers bezieht. Wir ersetzen a c^ durch A , die Differenz der 
Rektaszensionen in dem Augenblicke des Meridiandurcbganges des 
Mondes, und Bchreiben also: 



Mit roher Annaherung. bei der 
dec dcc } 



gesetzt sind, kann man schreiberi: 






Diese Naberungsformel kann man bei der Berecbnung der 14tagigen 
Ungleicbbeit von Hohe und Interval! benutzen. * 

Wir setzten oben voraus, daB die Korrektionen wegen Deklination 
und Parallaxe an den Mond- und Sonnentiden vor ihrer Synthese an- 
gebracht sind; indessen kann eine Tabelle der 14tagigen Ungleich- 
heit auf die tnittleren Werte H m und H t basiert werden und die 
Korrektionen kounen biuterher angebracht werden. Das ist aiicn das 
gewo bnlich zur Anwendung komraende Verfabren, das aber trotz des 
Vorzugs der allgemeineren Verwendung weniger genau ist. 

29. Synthetisohe Methode fiir die t aglichen Gezeiten. Nimmt 
man an, daii der Anteil des Mondes an K l in demselben Verbal tnis 
zu stebt wie in der Gleicbgewicbtstheorie, und der Anteil der 
Soone in abnlicber Beziebung zu P, so liiBt sicb zeigen, daB die ge- 
sainte eintagige Tide durcb: 



sin 2^ ,,, . ,\ TT- 1/ci sin 2d. , 

.- . r cos ( v 4- x } 4- H n 1/2 . a -- cos 

am 2 ^j P r sin 2 J t 





4- 



ausgedruckt wird, wo d , ty Deklination bzw. Stundenwinkel eines 
fingierten Mondes bezeichnen. der dem wirkliohen Monde in seiner 
Babn in einem Abstande gleicb Y 2 (x ) folgt. Wenn die obige 
Annabme nicbt richtig ist, so tritt noch ein anderes Glied binzu. 
Die Synthese dieser bei den eintagigen Tiden kann in derselben Weise 
wie bei den halbtagigen ausgefiihrt werden. 

Eine andere Art der Synthese mit einern Beispiel ibrer Be- 
nutzung bei der Berecbuung einer Gezeitentabelle findet sich in den 
Brit. Ass. Rep. 1885 und im Admiralty Manual 1886. 

Man wird sich vielleicbt nicht wunderri, da6 die Bebandlung der 
eintagigen Gezeiten nach der syntbetischen Methode nicht sehr voll- 
standig durchgefuhrt ist, wenn man bedenkt, daB die tagliche Un- 



80. Reduktion der Beobachtungen von Hoch- und Niedrigwasser. 49 

gleichheit im nordatlantisehen Ozean kaum bemerkbar ist. Iin Jahre 
1836 schrieb W. Whewell (London Phil. Trans. 1836, p. 131): 

,,The existence of such an inequality (i. e. the diurnal) in the 
heights of high water has often been noticed by seamen and other 
observers, . . . But its reality has only recently been confirmed by 
regular and measured observations, and its laws have never been 
correctly laid down. . . . This inequality had never been obtained in 
numbers till the recent discussion of the Liverpool tides." 

Diese Stelle zeigt aufs deutlichste, wie sehr unsere Kenntnisse 
seit der Zeit Whewelh zugenommen haben. 

80. Reduktion der Beobaohtungen von Hoch- und Niedrig- 

wasser. Da alle alteren Beobachtungen von dieser Art waren, so 
muB diese Nummer bis zu einem gewissen Grade historisch sein. 

Die Beobachtungen, welche Laplace behandelte, bezogen sich 
fast ausschliefilich auf den Hafen von Brest. Er hatte vollstandige 
Beobachtungen von 1711 bis 1716 und weiter von 1807 bis 1822 zu 
seiner Verfiigung. Das Verfahren, das er zur Bestimmung der nume- 
rischen Werte der verschiedenen Ungleichheiten benutzte, bestand 
darin, dafi er Beobachtungen auswahlte, die bei gewissen Stellungen 
von Mond und Sonne gemacht waren. 

J. W. Lubbock machte einen wichtigen Fortschritt, iiidem er alle 
Beobachtungen in die Reduktion einschloB. Sein Verfahren 45 ) be 
stand in der Bildung von Beobachtungsgruppen, die den verschiedenen 
zu korrigierenden Elementen entsprechen. Der grofiere Teil seiner 
Arbeit bezieht sich auf englische Hafen, speziell auf London und 
Liverpool* 6 ). 

W. Whewetl 4 " 1 } lieferte wichtige Beitrage zur Lehre von den Ge- 



45) Eine Skizze desselben findet man bei G. B. Airy in dem Artikel 
,,Tides and waves" *der Encycl. metrop., London 1846. 

46) J. W. Lubbock, London Phil. Trans. 1831, p. 379 (Gezeiten von London); 
1832, p. 61 (Gezeiten von London); 1833, p. 19; 1834, p. 143; 1836, p. 276 
(Liverpool); 1836, p. 67 (Liverpool); 1836, p. 217 (London). Ferner (von ge- 
ringerer Bedeutung): Phil. Mag. (2) 9 (1831), p. 383; (3) 7 (1836), p. 467; (3) 11 
(1837), p. 196; Brit. ABB. Rep. 1831/82, p. 189; 1836, p. 285. Die beste Zu- 
sammenstellung seiner Tbeorie findet man in seiner beaonders gedruckten Schrift: 
An elementary treatise of the tides, London 1839. 

47) WheweUe Abhandlungen sind folgende: London Phil. Trans. 1833, p. 147 
(Linien gleicher Gezeiten, vgl. Nr. 88); 1884, p. 16 (Gezeiten von London); 1836, 
p. 83 (Linien gleicher Gezeiten fur England 1 , vgl. Nr. 88); 1836, p. 1 (Gezeiten 
von Liverpool); 1836, p. 131 (erste Berechnung der taglichen Ungleichheit fur 
Lhrerpool); 1836, p. 289 (Linien gleicher Gezeiten); 1837, p. 75 (tagliche Ungleich 
heit fur Liverpool und Singapore); 1837, p. 227 (tagliche Ungleichheit; mifi- 

Enoyklop. d. math. WUaenieh. VI 1, B. 4 



50 VI i, 6. G. H. Darwin-8. S. Hough. Bewegung der Hydvosphare. 

zeiten, indem er die Theorie auf Grund der numerischen Resultate 
LubbockB diskutierte und sie den Zwecken der Voraussage anpafite. Er 
war es auch, der zuerst ausgiebigen Gebrauch von Kurven der vierzehn- 
tagigen lingleiehheiten in Zeit und Hohe machte, sowohl zur Reduktion 
der Beobachtungen wie urn die Resultate zur Gezeitenvorhersage zu be- 
nutzen. Seine Methoden bilden die Grundlage, auf welcher Reduk- 
tionen dieser Art auch jetzt noch beruhen. 

Diese Behandlung der Gezeiten ist in mancher Hinsicht genauer 
als die durch harmonische Analyse, da sie verschiedene kleine lokale 
Eigentiimlicbkeiten einbegreift, welche bei der harmonischen Analyse 
nur -durcli die Hinzunahme einer Zahl kleiner Glieder dargestellt 
werden konnen. Nichtsdestoweniger sind die Vorteile der harmonischen 
Analyse ira allgemeinen so grofi, da6 sie die eben erwahnten bei 
weitem aufwiegen. G. J?. Airy* 8 } diskutierte die Methoden von La 
place, Luhbock und Whewell. 

Die harmonischen Konstanten lassen sich ebenfalls aus Gezeiten- 
beobachtuugen von Hoch- und Niedrigwasser durch geeignete rechne- 
rische Hilfsmittel ableiten 49 ). Aber diese Beobachtungsart ist nicht 
gut zur Auswertung der harmonischen Konstanten geeignet; die Be- 
rechnung derselben ist notwendigerweise kompliziert, wenn geniigend 
genaue Resultate erhalten werden sollen. 

31. Gezeiteuvorliersage. Methoden zur Aufstellung von Gezeiteu- 
tafeln. Bis zur Zeit der Einfuhrung der harmonischen Analyse 
wurde die Vorhersage in bezug auf den Meridiandurchgang des Mondes 
ausgefiihrt, indeni das Intervall nach dem Durchgang und die Hohe 
aus Kurveu oder Tafeln der vierzehntiigigen Ungleichheiten abgeleitet 
wurden. Hinterher brachte man Korrektionen sowohl wegen der 
Wirkungen der Deklination und Parallaxe von Mond und Sonne als 
auch wegen der taglichen Ungleichheit 60 ) an. An Orten, wo die tagliche 

luugener Yersucb, Linieii gleicher Qezeiteu fur diose Klasse von Gezeiten zu 
konstruieren) ; 1838, p. 231 (Behandluug einer kurzen Beihe von Beobachtungen); 

1839, p. 151 ((iezeiten von Plymouth); 1889, p, 1(58 (indische Qezeiten auf Grund 
sehr uiivollkommener Beobachtungen); 1840, p. 161 (Gezeiten von Petropavlovak) : 

1840, p. 255 (Steigeu und Fallen der Gezeit ernes jeden Tagea); 1848, p. 1 (Ge 
zeiten des pafcifiechen Ozeans); 1860, p. 227 (euglische Gezeiten). Vgl. auch: 
Brit. ABB. Kep. 5 (1837), p. 286; 6 (1838), p. 102; 7 (1839), p. 19; 8 (1840), p. 18; 
9 (1841), p. 486; ,10 (1842), p. 30; Phil. Mag. (8) 17 (1840), p. 321; African 
Quarterly 1836, p. 367 (Gezeiten vom Kap der guten Hoff mmg). 

48) Encyclop. metropol., Artikel Tides and waves. 

49) G. H. Darwin, London Roy. Soc. Proc. 48 (1891), p. 278 und 52 (1898), 
p. 388; J?. A. Harris, Manual 8, p, 149. 

50) Wegen einer Zusammenstellung der empkiechen Methoden der Gezeiten- 



31. Gezeitenvorhersage. Methoden zur Aufstellung von Gezeitentafeln. 51 

Ungleichheit sehr groB ist, wird diese Methode sehr miihsam, bleibt 
aber noch brauchbar, wenn nur erne genugende Anzahl von Kurven 
gezeichnet ist 51 ). 

Die alteren Methoden befriedigen fiir solche Orte, wo die tag- 
liche Tide klein ist, und viele Gezeitentafeln werden noch in dieser 
Weise berechnet. Aber der Gebraueh der harmonischen Analyse 
kommt bestandig mehr in Aufnahme. Man hat daher Methoden zur 
Berechnung der Vorhersagen direkt aus den harmonischen Kon- 
stanten notig. 

Der beschrankte Raum erlaubt es uns nicht, einen Bericht fiber 
die verschiedenen Methoden zu geben, die zur numerischen Vorher- 
sage erdacht sind, indessen findet man unten 52 ) einige Arbeiten fiber 
diesen Gegenstand angegeben. 

Um die groBe mit dem Verfahren verbundene Rechenarbeit zu 
vermindern, sind Instrumente erfunden worden, um eine Flutkurve 
aufzuzeichnen und auf diesem Wege die Vorhersage zu leisten. 

Das bei den wichtigsten Gezeitenvorhersageapparaten zur Ver- 
wendung kommende mechanische Prinzip ist einfach. Eine Anzahl 
sich bewegender Rollen ffihrt harmonische Oazillationen aus, die in 
Phase und Amplitude die einzelnen harmonischen Tiden darstellen. 
tlber alle diese Rollen lauft eine Saite, an deren Ende ein Bleistift 
befestigt ist. Der Stift nimmt alle die verschiedenen harmonischen 
Bewegungen auf und schreibt sie auf eine Trommel, welche mit alien 
Rollen durch geeignete Raderwerke in Verbindung steht 68 ). 

Sir W. Thomson scheint der erste gewesen zu sein, der die An- 
wendung dieses Prinzips zur Flutvorhersage 1872 angegeben hat; 
das erste Instrument dieser Art wurde ungefahr 1876 gebaut und 
befindet sich jetzt im South Kensington Museum. Das zweite Instru 
ment war von J5. Roberts fflr die indische Regierung bestimmt. Es 
summiert 20 Teilfluten und ist seit vielen Jahren in London (National 

vorhersage siehe W. Whewell, History of inductive sciences 2, 1873, p. 248: einen 
AuBzug gibt G. H. Darwin, Tides, p. 80. 

51) G. H. Darwin, London Phil. Trans. 182 A (1891), p. 159. 

62) C. Borgen, Ann. der Hydrograph. 1889, p. 1, 43, 89, 131; E. A. Harris, 
Manual 3, p. 183 ; G. H, Darwin, Admiralty Manual 1886, p. 72 ; Tides, p. 200 
und London Phil. Trans. 182 A (1891), p. 159. 

63) Dieses mecbanische Prinzip ist von F. Bashforih angegeben, der 
eine Abhandlung vor der Brit, Assoc. (Cambridge) im Jalire 1845 mit dein Titel 
las: ,,A description of a machine for finding the numerical roots of equations 
and tracing a variety of useful curves". Der Autor lie/5 lithographierte Kopien 
der Abhandlung in extenso zirkulieren. Den gleichen Gedanken hatte auch un- 
abhangig von ihm W. H. Russell, London Roy. Soc. Proc. 18 (1869), p. 72. 

4* 



Q2 VI i, 6. G. H. Darioin-S. S Hough. Bewegung der Hydrosphare. 

Physical Laboratory) zur Vorbereitung der indischen Gezeitentafeln in 
Gebraueh 54 ). Die Regierungen von Frankreieh und den Vereinigten 
Staaten haben Instrument* von ahnlichem Charakter konstruiert. 

Bin Gezeitenvorhersager von einem anderen Typus wurde von 
W. Ferrel erftmden und mit Erfolg in den Vereinigten Staaten ge- 
brancht. Er bestiinmt nur die Maxima und Minima der Summe 
einer Anzabl von liarmonischen Gliedern, ohne die vollstandige Kurve 
zu zeichnen 55 ). 

Wenn eine gute Gezeitenta belle fiir irgend einen Ort aufgestellt 
ist, so kann man oft die Gezeiten in einem Nachbarhafen voraus- 
sagen, gestiitzt auf die Vorhersage fur den ersten Hafen. Die ge- 
wohnlichste Regel ist die. zu alien Vorhersagen eine konstante 
Zeit zu addieren oder zu subtrahieren und die Hohen fiber und unter 
dem mittleren Seeniveau mit einem konstanten Faktor zu multipli- 
zieren. Die Anwemiung emer solchen einfachen Regel gibt oft sehr 
fehlerhafte Vorhersagen. W. B. Dawson} hat diese Methode in aus- 
gedehnter Weise angewandt, urn Vorhersagen far die kanadischen Ge- 
wasser zu gewinnen, tmd gezeigt, wie Verbesserungen^ die rait der 
Stellung des Mondes variieren, vorteiihafterweise angebracht werden 
konnen. 

82. Fehler der Gezeiteutafeln. Wenn nicht die Unsicherheit 
der meteorologischen Elemente vorhanden ware, so konnten ohne 
Zweifel Gezeitentafeln konstruiert werden, die jeden gewiinschten Grad 
von Genauigkeit erreichten. Unter den wirklichen Verhaltnissen 
hangt der Fehlerbetrag von der Lange der Beobachtungsreibe ab, aue 
der die Gezeitenkonstanten gefonden wurden, von dem Grade der An 
naherung des harmonischen Ansdrucke fur die Gezeiten und von dem 
Betrag der von Wind und Barometerschwankung herrJihrenden Un 
sicherheit. In FluBmtindungen wird die Gezeitenwelle moistens unter 
dem Einflufi des seichten Wassers stark deformiert, so dafi man, um 
zu einer genauen Daretellung der Tide zu kornineu, notwendiger- 
weise eine Anzahl Obertiden einfiihren mufl, die sonst zu vernach- 

64) E. Roberts, London Roy. Soc. Proc. 29 (1879), p. 198; W. Thomson, The 
Engineer 1879, 19, Dez.; Inst. Civ. Eng. 66 (1881), p. 16 (entbalt zugleich Br- 
Orterungeii fiber die Prioritat); Thomson and Tait, Nat. Phil. I 1 , p. 479; vgl. 
auch Sir W. Thomson, Popular lectures 2, p. 186. 

66) W. Ferrel, .U. S. Coast Survey Report 1883, App. 10, p. 263. Eineu 
kurzen Bericht fiber das Instrument gebea Harris, Manual 3, p. 181 und Darwin, 
Tides, p. 218. 

66) Survey of tides -and* currents in Canadian waters, besondera fur 1902. 
Siebe auch: Harris, Manual 8, chap. V. 



82. Fehler der Gezeitentafelu. 55 

lassigen sind. So sind in solchen Flufimiindungen selbst die Vorher- 
sagen, die auf 20 hannonischen Tiden basieren, betrachtlichen Fehlern 
unterworfen. Eg hat sich indessen die Moglichkeit herausgesteilt, 
solche Vorhersagen durch empirische Korrektionen zu verbessern, die 
yon der Zeit des Meridiaudurchganges des Mondes sowie von seiner 
Parallaxe und Deklination abhangen B7 ). Diese Verbesserungen konnten 
natiirlich auch durch eine geniigend weite Durchfuhrung der harmoni- 
schen Analyse geliefert werden, aber die zur Berechnung eiuer Ge- 
zeitentafel notige Rechenarbeit wurde dadurch so wachsen, dafi dieser 
Weg praktisch unmoglich ist. 

Unter diesen Umstanden Bcheint es zweeklos, ein Beispiel der 
wirklichen Fehler, die man in irgend einem Hafen beobachtefc hat, zu 



Man hat mit wechselndem Erfolg versucht, Barometerstand und 
Wind zu den Fehlern der Gezeitenvorhersage in Beziehung zu setzen. 
P. Daussy tand, daB die See auf den atmospharischen Druck wie ein 
Barometer reagiert und dafi Anderungen des Barometerstandes gegen 
den mittleren umgekehrte Anderungen der WasserhShe im Verhaltnis 
1:14,7 entsprechen 59 ). Eine Korrektionstabelle der Flutvorhersagen, 
die auf diesen Resultaten basiert, wird in dem Annuaire des uiarees 
der franzosischen Regierung gegeben. 

J. W. Lubbock und G. B. Airy gaben ebenfalls Resultate iiber 
die Wirkung von Wind und Barometerstand. Zwischen ihren Schliiseen 
und denen von Daussy besteht ein grof5er Unterschied 80 ). 

Vielleicht die vollstandigste Untersuchung fiber diesen Gegen- 
stand wurde von Sir J. Ross ausgefiihrt, als seine Schiffe ,,Enter- 
prize" und ,,Investigator" im Jahre 1848 unter 71 nordlicher Breite 
und 91 westlicher Lange eingefroren waren. Die Abwesenheit voti 
Wellenbewegungen bei dem Steigen und Fallen der Eisschicht ge- 
wahrte gunstige Versuchsbedingungen wahrend des langen arktischen 
Winters. Er land, daU der Faktor fast genau derselbe wie das Ver- 



67) E. Eoberts, Great Trigon. Survey of India, 16, Dehra Dun 1901, chap. VIE. 

58) Viele Vergleiche zwiechen Vorhersage und Beobachtung findet naan in 
den Reports of the U. S. Coast Survey und in den Reports of the Survey of 
India. Beispiele von wirklichen Resultaten sind auch gegeben in Darwin, 
Tideg, chap. XIV. 

69) Conn, dee tempe pour 1884, p. 85. 

60) London Phil. Trans. 1887, p. 97; G.B.Airy (Tides, 678) gibt an, daB 
P. Daussy nnd J. W. Lubbock in der Meinung fibereinfltimmen, dafi der Wind 
keine Wirkung ausube, nnd verweiet auf London Phil. Trans. 1882, p. 6