ENCYKLOPADIE
DER
MATIIEMATISCIIEN
WISSENSCHAFTEN
SBCHSTERBAND:
GEODASIE, GEOPHYSIK
ASTROI^OMIE
ENCYKLOPADIE
DER
MATHEMATISOHEN
WISSENSCHAFTEN
MIT EUSTSCHLUSS IHRER
DES SECHSTEN BANDES ERSTER TEIL
GEODASIE UND GEOPHYSIK
BBDIGIEBT VON
PH. PURTW ANGLER IN WIEN
UND
E. WIECHERT (1899-1905) IN GOTTINGEN
LEIPZIG
VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEUBNER
19061925
A.LLE KECHTK, EINSCHLIESSLICH DBS 0BEBSETZUNGSRKCHTS, VOKBEHA.LTEN
/, i I
MATH.O
STAT.
LIBRARY
Vorrede zum sechsten Bande, 1, Teil,
Der erste Teil des VI. Bandes der Encyklopadie der mathemati-
schen Wissenschaften, der nunmehr abgeschlossen vorliegt, behandelt
die Geodasie und Geophysik. Er zerfallt dementsprechend in zwei
Unterabteilungen: A. Geodasie und B. Geophysik, die jede fur sich
paginiert sind. Um die beiden Abteilungen sofort bequem unter-
scbeiden zu konnen, sind zur Paginierung der ersten Abteilung die
gewohnlichen Zifi ern, fiir die zweite dagegen schrag stehende Ziffern
verwandt. *
Die erste Abteilung beginnt mit dem Artikel Niedere Geodasie
von C. Reinhertz (f ), an den sich ein kurzer Artikel fiber Photogram-
metrie von S. Finsterwalder anschlieBt. Es folgt dann der zentrale
Artikel der ersten Abteilung: Hohere Geodasie von P. Pizzetti. Dieser
behandelt zunachst die allgemeinen Grundlagen der hoheren Geodasie,
sodann ihre Rechnungs- und Messungsmethoden und schliefit mit einer
summarischen Entwicklungsgeschichte der geodatischen Kenntnisse.
Der nachste Artikel Kartographie von E. Bourgeois (iibersetzt und er-
ganzt vom Unterzeicbneten) berichtet iiber die in der Geodasie und
Geographic gebrauchlichen Kartenprojektionen. Den Abschlufi bildet
der Artikel Nautik von H. Meldau, in dem speziell die Theorie des
Kompasses an Bord eiserner Schiffe ausiiihrlich besprochen wird.
In der zweiten Abteilung konnte die ursprunglich geplante An-
ordnung aus Griinden redaktioneller Natur nicht vollig beibehalten
werden, was aber kaum von erheblichem Nachteil sein diirfte. Der
erste Artikel iiber die Bewegung der Hydrosphare, der von G. H. Dar
win (f) und S. S. Hough verfafit ist, behandelt die Erscheinungen von
Ebbe und Flut in weitestem TImfange und berichtet auch iiber An-
wendungen auf Problem e der Kosmogonie. Der zweite Artikel von
F. B. Eelmert (f) betrifft die Schwerkraft und [die Massenverteilung
der Erde. Es wird das gesetzmafiige Verhalten und die Stoiung der
Schwerkraft, die Schltiese auf die Massenverteilung in der Erdkruste
erortert.
VI Vorrede zum sechsten Bande, 1. Teil.
Sodaun folgt der Artikel Dynamiscbe Meteorologie von F.M.jExner
und W. Trabert (f). Wahrend der letzte die allgemeinen Grundbegrifte
der Meteorologie auseinandersetzt, behaudelt der erste eingehend die
Dynamik der Atmosphare. Nach einem kurzen Artikel iiber die atrno-
spharisehe Elektrizitat von E. v. Schweidler schlieBt sich der Artikel
Erdmagnetismus von Ad. Schmidt an. In diesem werden zunachst die
Instrumente und Beobachtungsmethoden, die zur Bestimmung des erd-
magnetischen Feldes dienen, besprochen, und sodann wird iiber die
Beobachtungsergebnisse und ihre physikalische Deutung berichtet. Es
folgt ein groBer Artikel iiber Dynamische Geologic von V. Conrad.
der erne ausfiihrliche Darstellung der modernen Seismik gibt. Die
zweite Abteilung schlieBt endlich mit dem Artikel Optik der Atmo
sphare, in dem W. Mobius iiber Luftspiegelungen, Haloerscheinungen,
Theorie des Regenbogens und verwandte Dinge berichtet.
Auf eine nahere Inhaltsangabe der einzelnen Artikel moge im
Interesse der Raumersparnis verzichtet werden, was um so eher ge-
schehen kann, als das dem Bande vorgedruckte ausfiihrliche Inhalts-
verzeichnis einen guten Uberblijck Jrietet. Es sei nur betont, daB alle
Artikel vom Standpunkt der angewandten Mathematik aus geschrieben
sind. Uber die allgemeine mathematische Theorie, die in den verschie-
denen behandelten Gebieten in Betracht kommt, muB sich der Leser
aus den ersten Banden der Encyklopadie unterrichten , wofiir die
notigen Hinweise gegeben sind.
Das Register hat Herr K. Mader angefertigt, wofiir ihm auch an
dieser Stelle bestens gedankt sei. Zur Unterscheidung der beideu Ab-
teilungen sind den Seitenzahlen die Buchstaben A und B vorgesetzt,
und es sind auBerdem zur Bezeichnung der Seitenzahlen fur die Ab
teilung B ebenso wie im Text schrag stehende Ziffern benutzt.
An den Vorarbeiten fur den vorliegenden Teilband hat sich auBer
E. Wiechert, von dem ein Dispositionsentwurf stammt, besonders F. Klein
durch Gewinnung von Mitarbeitern beteiligt.
Wien, im November 1924.
Ph. Furtwangler.
Inhaltsv rzeichnis zu Band VI, 1. Teil.
A. Geodiisie.
1. Niedere Oeodasie. Von C. REINHERTZ in Hannover.*)
A.. Allgemeines. Seite
1. Aufgabe und Einteilung der Geodasie 7
2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdoberflache und die Ein
teilung der Messungen 9
3. tibersicht der Methodeu 11
4. Allgemeines fiber die Anwendung der Ausgleichsrechnung 13
5. Instrumentelle Hilfsmittel 17
B. Die fundameiitalen Messungen.
6. Die Laugenmessuug 19
7. Die Winkelme.ssung 22
a) Der Theodolit 22
b) Horizontalwinkelmessung . 25
c) Vertikalwinkelmessung 26
C. Die Lagemessuugen.
8. Die Koordinatensysteme der Lagemessungen 27
a) Allgemeines iiber die geodiltischen Koordinatenaysteme 27
b) Rechtwinklige ebene Koordiuateu 29
c) Rechtwinklige spharische Linearkoordinaten 30
d) Konforme rechtwinklige GauBsche Koordinaten 33
e) Koordinatentransforinatiou 34
9. Die Punktbestimtnuug durcli Triangulierung 35
a) Allgemeines iiber Triangulierung 35
b) Zentrierurig 36
c) Die Wiukelmessungen und ihre Anordnung ............ 37
10. Die Grundaufgaben des trigonometrischeu Einschneidens im rechtwink-
ligen Koordinatensystetn 40
a) Vorwarts- und Seitwartseinschneiden 40
b) Riickwartseinschneiden 41
c) Einige andere Methoden der trigonometrischeu Punkteinschaltung 43
11. Ausgleichung von Kleintriangulierungen 47
a) Methode der vermittelnclen Beobachtungen 48
b) Graphische Punktausgleichung 50
c) Methode der beclingten Beobachtuugen 52
d) Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen 53
12. Polygonzugmessuug . 54
a) Der Theodolitpolygonzug 55
b) Der Bussolcn-(KompaB-)zug 58
13. Einzelaufnahme . 59
*) Die Angaben uber den Aufenthaltsort der Verfasser beziehen sich auf
die Zeit des Erscheinens der Artikel.
VIII Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil.
Seite
14. Berechnung und Teilung dei Flachen 61
a) Die Flachenberechnung 61
b) Die Flachenteilung 63
16. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen 66
1). Die Hohemnessungen.
16. Das Nivellieren 69
a) Definition des HShenunterschiedes. HiBtorisches 69
b) Der Nivellierapparat 70
c) Das Nivelh ervertahren 71
d) Die Genauigkeit der Nivellieruug 74
e) Erdmassenberechnung 75
f) Kotierte Projektion 77
17. Trigonometrische Hb hennuessung 78
18. Barometrische Ho hemuessung 81
E. Tachymetrische Methoden.
19. Indirekte Langenmessung (Distanzmessung) 85
a) Distanzmesser mit Distanzlatte 86
b) Distanzmesser mit Basisschiene (Basislineal) , . . 88
20. Tachymetriscbe Instrumente und Aufnabmen 90
21. Die MeBtischaufnahme 92
22. Fliichtige Aufnahmen 96
(Abgeschlosgen im Oktober 1S05.)
2. Photogrammetrie. Von S. FINSTERWALDER in Munchen.
1. Einleitung 99
2. Apparate 101
3. Ausmeesung der Bilder 104
4. Das KiickwartseinBchneiden 107
5. Das Vorwartseinschneiden und die Bekonstruktion der Objekte bei be-
kannten Standpunkten 109
6. Fluchtipe Aufnahmen. Stereophotogrammetrie. Mechanismen .... 113
(Abgeschlossen im Oktober 1905.)
3. Hb here Geodasie. Von P. PIZZETTI in Pisa.
I. Allgemeine Grnndlagen.
1. Aufgabe der hoheren Geodasie 125
2. Lotrichtung, ISchwerkraft 126
3. Beobachtunggtatsacben und Satze der Potentialtheorie 129
4. Weiteie Folgerungen aus der Potentialtheorie. Theorem von G. G. Stokes 130
5. Beobachtungen zur Bestimmung des Geoids. Keduktion der Schwer-
kraftsmessungen 134
6. Geodatische BeBtimmung des Geoids. Referenzellipsoid 138
7. Lotabweichungen 139
8. Eeduktion der beobachteten Lotrichtungen 140
9. Beesels Rotationsellipsoid 141
II. Bechnungs- und Messungsmetboden.
A. Geodatische Rechnungen auf dem Rotationsellipsoid.
10. Fundamentalformeln 142
11. Normalscbnitte . 146
Inhaltsverzeichnie zu Band VI, 1. Teil. IX
Scite
12. Geodatische Linien 148
13. tfbertragung der geographischen Koordinaten und des Azimuts. . . . 149
14. Fortsetzung. Fall kleiner Bogen 162
16. Bestimmung der L ange und des Azimuts eines geodatischen Bogens
aus den geographischen Koordinaten der Endpunkte. 163
16. Geodatische Polarkoordinaten 155
17. Vergleichung der geodatischen Linie rait einem Normalschnitt .... 157
18. Das geodatische Dreieck 158
19. Auflosung des geodatischen Dreiecks durch Rednktion auf das ebene
Dreieck. Spharoidischer ExzeB 161
20. Sehnen und Normalschnitte 163
21. Reduktion ellipsoidischer Figuren auf spharische durch konforme Ab-
bildung 164
12. Rechtwinklige geodatische oder Soldnersche Koordinaten 166
23. Ubertragung der geographischen Koordinaten vermittels rechtwinkliger
geodatischer 169
24. Projektionen auf die Ebene 170
B. Landesvermessnng.
25. Basismessungen 173
26. Basisapparate 175
27. Winkel; ihre Reduktion auf das Ellipsoid 179
28. Triangulation 180
29. Basisnetze oder VergroBerungsnetze 182
30. Berechnung einer Triangulation und der geographischen Koordinaten der
Dreieckspunkte 183
31. Ausgleichung 184
32. Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen 190
33. Genauigkeit der Basis- und Winkelmessungen 192
C. Hohenmessung.
34. Trigonometiiscb.es Nivellement 194
35. Der Refraktionskoeffizient als Funktion der atmospharischen Verhaltnisse 197
36. Empirische Untersuchungen iiber den RefraktionBkoeffizienten .... 199
37. Geometrisches Nivellement 200
38. EinfluB der Schwerestoi-ungen auf Nivellements 206
39. Das Mittelwasser der Meere und der Nullpunkt fur die Hohen .... 207
40. Genauigkeit einer Nivellementsausgleichung 209
D. Erdmessung.
41. Ableitung der Konstanten des Erdellipsoids aus zwei oder mehr Meri-
dianbogen 211
42. Bestimmung von a und e durch Parallelkreisbogen 213
43. Stvicke des Ellipsoids. Lotabweichungen 214
44. Fortsetzung. Bestimmung der Lotabweichungen. Ausgleichung . . . 217
46. Fortsetzung. Angenaherte Bestimmung von Geoidstiicken 220
46. DieSchwerestorungenund die Abweichungen zwischenGeoid und Ellipsoid 223
III. Snmmnrischc Entwicklungsgeschichte der geodatischeu Kenntnisse.
47. Anfange der geodatischen Messungen, bei denen die Erde als Kugel
betrachtet wird 223
48. Physikalische Untersuchungen iiber die Gestalt der Erde 226
49. Die wichtigsten geodatischen Messungen bis 1860 230
50. Die hauptsachlichsten Berechnungen der Konstanten des Erdellipsoids 234
51. Bestimmungen der Abplattung aus Pendelmessungen 236
52. Benutzung einiger astronomischer Daten zur Berechnung der Konstanten
des Erdellipsoids 237
53. Moderne geodatische Arbeiten. Lotabweichungen 239
(Abgeschlossen im April 1906.)
X Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil.
4. Kartographie. Von R. BOURGEOIS in Paris und PH. FURTWANGLER
in Aachen. Seit9
1. Einleitung 250
2. Problemstellurg Allgemeine Analyse der Verzerrungen 252
3. Perspektiven 255
4. Konische Abbildungen oder Kegelprojektionen und ihre Grenzfalle.
Uberblick und Einteilung 259
5. Azimutale Abbildungen 261
6. Zylindrische Abbildungen 265
a) Flachentreue zylindrische Abbildungen 266
b) Winkeltreue zylindrische Abbildungen (Mercatorprojektion) . . . 267
c) Mittelabstandstreue zylindrische Abbildungen (Plattkarten) . . . 269
7. Konische Abbildungen 269
a) Flachentreue konische Abbildungen 270
b) Winkeltreue konische Abbildungen 273
c) Mittelabstandstreue konische Abbildungen 274
8. Unechte Kegelprojektionen nebst Grenzfallen 275
a) Die Bonnesche Projektion , 275
b) Die Sanson-Flamsteedsche Projektion 278
c) Flachentreue Projektionen, bei denen die Parallelkreise durch ein
System von parallelen Geraden abgebildet werden 279
d) Die Planisphare von A itow und verwaudte Entwurfe 280
9. Polvkonische Projektionen 281
a) Die gewohnliche polykonische Projektion 281
b) Die rechtschnittige polykonische Projektion des englischen Office 281
10. Polyederprojektion. Gradabteilungskarten 282
11. Kreisnetze . . . . 283
12. Projektion mit geringster Langenverzerrung nach Tissot 285
13. Allgemeines uber die winkeltreuen Abbildungen. Projektionen von
Tschebyschoff, Peirce und August 287
14. Allgemeines fiber die flachentreuen Abbildungen 290
15. Darstellung der Hohenverhaltnisse 290
16. Kartometrie 292
17. Enfrwicklung des staatlichen Kartenwesens im 19. Jahrimndert .... 294
(Abgesclilossen im Januar 1909.)
5. Nautik. Von H. MELDAU in Bremen.
A. Terrestrische Navigation.
1. Einleitung:
a) Allgemeines, Begrenzung des Gebietes 301
b) Erklarungen . ". 302
2. Bestimmung des Kurses 303
a) KompaB 303
b) Beschickung des KoinpaBkurses zum wahren Kurs 303
3. Messung der Distanz 304
4. Loxodromische Schiffahrt 306
a) Fundamentalgleichuugen der Besteckrechnung ... 306
b) Aufgaben der Besteckrechnung, rechnerische Losung 308
5. Die loxodromische Karte : . 309
a) Graphische Losung der Aufgaben der Besteckrechnung im Netz
der Seekarte 309
b) Inhalt der Seekarte 310
6. Zuverliissigkeit der Besteckrechnung 310
7. Orthodromische SchiSahrt 311
a) Allgemeines 311
b) Rechnerische Losungen 312
c) Graphische Losungen 313
8. Kiistenschiffahrt 315
a) Allgemeines 315
Inhaltsverzeichuia zu Band VI, 1. Teil. XI
Seito
b) Richtungsbestimmungen 316
c) Abstandsbestimmungen 316
d) Horizontalwinkel 318
e) Lotungen, W. Thomsons Lotmaschine 318
f) Verbindungeu zweier Standlinien zur Bestimmung des Schiffsortes 319
B. Der KompaB an Bord eiserner Schiffe.
9. Historische Einleitung 320
a) Phasen der Problemstellung 320
b) Phasen der Losungsversuche 320
c) Airys Kompensationsvorschlage 322
d) Streit um die Kompensation 323
e) Ausgang des Streites 324
10. Magnetische Eigenschaften des Schiffseisens, KompaBort 325
a) Fester Sehiffsmagnetismus 325
b) Halbfester Schiffamagnetismus 326
c) Fliichtiger Schiffsmagnetismus 327
d) Wahl des KompaBortes 327
11. Beobachtungsmethoden 328
a) Zu bestimmende GroBen 328
b) Ermittelung der Deviationen 328
c) Deviationskurven 329
12. Hilfsinstrumente 330
a) Messung der horizontalen Feldstarke 330
b; Typen von Deflektoren 331
c) Messung der vertikalen Feldstarke (Vertikalkraftwage) 333
13. Deviation bei aufrechtem Schiff 333
a) Allgemeines 333
b) Die Poisaonschen Gleichungen 334
c) Deviationsformeln 334
d) Bestimmung der Koefnzienten 337
e) Allgemeines iiber die Koeffizienten 339
14. Deviation bei geneigtem Schiif 341
a) Der Kransrunusfehler und seine Bestandteile 341
b) Bestimmuug 1 des Krangungskoeffizienten 343
15. Anderungen der Deviation 344
a) Anderungen init der Breite 344
b) Anderungen durch halbfesten Magnetismus 345
c) Deviationsstorungen 346
16. Genauigkeit 347
a) Bei unmittelbarer Beobachtung 347
b) Ermittelung der Deviation aus Richtkraftmessungen ...... 348
c) Berechnung aus den Koeffizienten 348
17. Graphische Darstellungen der Feld.starke 349
a) Allgemeines. Zweck der Darstellungen 349
b) Darstellungen init festliegendem Meridian 350
c) Darstellungen mit festliegender Langsschiffslinie 351
d) Dromoskope 352
18. Kompasse und KompaBrosen 352
a) Geschichtliches 352
b) Nadelanordnung 353
c) Magnetisches Moment des Rosensystems, Nadelinduktion .... 354
d) Einstellungsvermogen 365
e) Rube der KompaBrose 356
f) Trockenkompasse 358
g) Fluidkompasse 359
19. Kompensation der Kompasse 361
a) Aufgabe der Kompensation 361
b) Kompensationsmittel 361
c) Reihenfolge der Kompensationen 363
XII Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil.
Seite
d) Ausfuhrnng der Kompensation 363
e) Hindernisse vollkommner Kompensation 364
f) KompaBsysteme mit besonderen Kompensationsvorrichtungen . . 365
20. Kompasse mit Doppelrosen 366
a) Zwei Rosen 366
b) Zwei Rosen und ein Deflektor 367
21. Bestimmung des Meridians durch die Inklinationsnadel 368
22. Fernfibertragung von KompaBangaben 368
28. Ersatz des magnetischen Kompasses durch Kreiselapparate 369
a) Gyroskope zur Festhaltung einer an ihnen eingestellten Richtung 369
b) Kreiselapparate mit eigener Richtkntft 370
(AbgeschloBscn im Juli 1909.)
B. Geophysik.
6. Bewegung der Hydrosphare. Von Sir G. H. DARWIN in Cam
bridge und S. S. HOUGH in Capstadt.
Einleitung 5
A. Historiscbes.
1. Historiscb.es 6
B. Dynamisehe Theorie.
2. Fluterzeugendes Potential 8
3. Gleicbgewicbtstheorie der Gezeiten 9
4. Entwicklung des fluterzeugenden Potentials 10
5. Korrektion der Gleicbgewichtstbeorie wegen der gegenseitigen Anziehung
der Wassermassen 11
6. Korrektion wegen der Verteilung von Land und Wasser 12
7. Dynamisehe Tbeorie. Fundamentalgleichungen 13
8. Die Kontinuitatsgleichung 14
9. Bedingung t iir die freie Oberflache 14
10. Gezeiten in Kanalen 15
11. Die Laplacesche Differentialgleichnng fur die Gezeiten 16
12. Gezeiten von langer Periode. Losung durch Potenzreihenentwicklung . 17
13. Gezeiten von langer Periode. Losung durch Kugelfunktionen 19
14. Tagliche Gezeiten. Losung von Laplace 21
15. Halbtagige Gezeiten. Losung von Laplace 22
16. Transformation der Gleichungen von Laplace 23
17. Losung in allgemeinen Kugelfunktionen 24
C. Praktische Anvrendungen.
18. Beobachtung der Gezeiten 26
19 Seiches und Vibrationen der Seen uud des Meeres 27
20. Flnterzeugeude Krafte 28
21. Lotablenkungen 29
22. Methoden zur Diskussion der wirklichen Ozeantiden 31
23. Harmonische Analyse . , 33
24. Meteorologische Tiden, Obertiden und kombinierte Tiden oder Seicht-
wassertiden 38
26. Die Resultate der harmonischen Analyse 39
26. Numerische harmonische Analyse 41
Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil. X1H
Seite
27. Erklarung einiger gebrauchlicher Ausdriicke; Nullpunkte 44
28. Synthetisehe Methocle fiir die halbtagigea Gezeitea 45
29. Synthetische Methode fur die taglichen Gezeiten 48
30. Reduktion der Beobaehtungen von Hoch- und Niedrigwasser 49
31. Gezeitenvorhersage. Methoden zur Aufstellung von Gezeitentafeln . . 50
32. Fehler der Gezeitentafeln 52
33. Karten gleicher Gezeiten 54
34. Gezeitenstromungen, Sti irmer 57
35. Gezeiten in Seen und Meeresbuchten 59
D. Yerschiedene Untersnchungen.
36. Bestimmung der Mondinasse mit Hilfe der Gezeiten 60
37. Elastische Tiden und die Steifigkeit der Erde 61
38. Gezeiten der Atmosphiire 66
39. Prazession und Nutation 67
40. Breitentiden oder Eulersche Tiden 68
E. Flutreibung- und spekulative Astronomle.
41. Geschichtlicb.es 68
42. Allgemeine Betrachtung der Flutreibung 71
43. Die Gezeiten eines z aben Spharoids 72
44. Die Natur des Problems der Gezeitenreibung und seiae Einteilang . . 73
45. Problem, wenn die Mondbahn kreisformig , aber nicht geneigt gegen
die Ekliptik ist 76
46. Problem, wenn die Mondknoten oszillieren oder ungleichformig um-
laufen 79
47. Problem, wenn die Bahn exzentrisch, aber nicht geneigt iat 80
48. Analytische Losung fiir zwei Korp^r 82
49. Eine Spekulation viber Zeit und Art der Entstehung des Mondes ... 82
50. Gezeitenreibung bei Vorhandeusein mehrerer Satelliten 82
51. Verwandte Probleme 83
(Abgeschlossen im Mam 1908.)
7. Die Schwerkraft uud die Massenverteilung der Erde. Von
F. B. HELMERT in Potsdam.
1. ttberblick 87
2. Die normale Schwerebcschleunigung (Pormel von Clairaut) 89
3. Anmerkungen: Die maximale Erhebung des Niveauspharoids CTiiber das
Ellipsoid gleicher Achsenlangen u. a 93
4. Zahlenwerte. ^ 94
5. Die normale Anderung der Schwerebeschleunigung y mit der Meeres-
hohe H. Beobachtungswerte 97
6. Die totale Schwerestdrung 99
7. Zusammenhang zwischen Schwerestorung, Massenstorung und H5hen-
storung der Meeresflache 100
8. Die Reduktion der Schwerebeschleunigung aufs Meeresniveau nach
Bouguer, Young und Poisson 104
9. Die Gelandereduktion .... 106
10. Schiitzung der Abweichungen N des Geoids vom Normalspharoid . . . Ill
11. Die Schwerestorungen im Lichte der Gleichgewichtstheorie 114
12. Formeln fur kreisformige Kontinente und Inseln mit vertikalem Kiisten-
abfall 120
13. Cbersicht der Schwerestorungen: Schwerkraft auf dem Meere, Isostasie 123
14. Inselschwerkrafte 128
15. Kustennahe auf den Kontinenten 134
ID. Kiistennahe auf dem Meere . ... 141
XIV Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil.
sate
17. Festland, Gebirge U4
18. Horizontal verschiebungen der Ausgleichsmassen, ausgebreitete Massen-
anhaufungen und Defekte 152
19. Geologische und geotektonische Beziehungen Der wahre Charakter des
Gleichgewichtszustandes 154
20. Interpolationsforniel f iir die Schwerebeschleunigung innerhalb der Kon-
tinente 159
21. Veranderung der Schwerebeschleunigung mit der Tiefe und Beobach-
tungen der Schwerebeschleunigung iu Bergwerken 160
22. Zusammenhang zwischen der ideellen storenden Schicht und den Lot-
storungen 162
2b. Methode von Baron Roland Eo*tvSs zur Messung zweiter Differential-
quotienten des Schwerepotentials . 166
24. Noch einige Reduktionsweisen der Schwerebeschleunigung 172
25. Zeitliche Veranderungen der Schwerkraft 175
(Abgeschlossen im April 1910.)
8. Dynamische Meteorologie. Von FELIX M. EXNER in Inns
bruck und W. TRABERT in Wien.
I. Grundbegriffe der Meteorologie.
1. Messung der meteorologischen Elemente 180
2. Bearbeitung der meteorologischen Elemente 185
3. Abnahme des Luftdrucks mit der Hohe und Hebung der Flachen glei-
chen Druckes 187
4. Zusammensetzung der Luft 190
5. Zustandsanderungen der Luft 194
6. Ortsveranderungen der Luft 197
1. Die Strahlung 201
8. Die Warmeverteilung auf der Erdoberflache 204
II. Dynamik der Atmospliare.
9. Allgemeine Ursache der Luftstromungen 207
A. Allgemeine Zirkulation der Atmosphare.
10. Allgemeine Bewegungsgleichungen 208
11. Konstanz der Flachengeschwindigkeit 210
12. Giirtel hohen Druckes 210
13 Druck- und Geschwindigkeitsverteilung nach W. Ferrel 212
14. Schema der allgemeinen Zirkulation 213
15. Zusammenhang der allgemeinen Zirkulation mit den Storungen in der
Atmosphare 214
B. Atmospharische Storungen.
16. Gleichgewicht in ruhender Luft 215
17. Energiequelle der atmospharischen Storungen nach M. Margules . . . 216
18. Gleichgewicht bewegter Luft 218
19. Geradlinige horizontale Bewegung 219
20. Gekriimmte Luftbahnen 220
21. Kreisformige Isobaren 221
22. Kreisformige Zyklonen nach Oberbeck 221
23. Depressionen hoherer Breiten 222
24. Assymmetrische Zyklonen nach L. de Marchi 223
25. Vertikale Bewegung 225
26. Problem der Sturmtheorie 225
27. Kalte und warme Zyklonen 225
Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil. XV
Seite
28. Antizyklonen 226
29. Kompression und Ausbreitung einer Luftmasse nach Margules .... 227
oO. Bewegung der Isobaren 227
C. Schwingungen der Atmosphare.
31. Schwingungen periodisch erwarmter Luft 229
32. Freie Schwingungen der Atmosphare 233
(Abgeschlossen im Dezember 1912.)
9. Atmospharische Elektrizitat. Von E. v. SCHWEIDLER in
Innsbruck.
1. Historische tJbersicht; Problemstellung 236
2. Die Quellen der lonisierung der Atmosphare 239
3. Der lonisationszustand der Atmosphare 244
i. DAS elektrische Feld und die Raumladung der Atmosphare 250
5. Die elektrischeu Strome in der Atmosphaxe ,855
6. Das gesto rte Feld der Troposphare ... 260
7. Elektrische Erscheinungen in der Stratosphere (Polarlicht) 263
(Abgeschlosseu im Juli 1915.)
10. Erdmagnetismus. Von AD. SCHMIDT in Potsdam.
1. Einleitung 267
A. Vie Eestimmung des erdmagnetischen Feldes. Instruments
und Beobav htungsmethoden.
2. Allgemeines 271
3. Die Elemente der Beobachtungsmittel und Methoden 273
4. Die ponderomotorische Einwirkung zweier Magnete aufeinander . . . 278
5. Besondere Falle. Gebrauchsformeln 292
6. TemperatureiiifluB und Induktion 298
7. Ableukungsbeobachtungen 304
8. Schwingungsbeobachtnngen 311
9 Bestimmung der Magnetkonstanten 314
10. Variationsbeobachtungen 317
11. Richtungsmessungeri 322
12. Intensitatsmessungen 325
13. Sonstige Messungen. Deviation 328
K. Das erdmagnetische Feld. Beobachtungsergebnisse mid Kusammeii-
fassende Darstellungen.
14. ftbersicht uber die Erscheinungen 330
16. Gang der Mittelwerte. Sakularvariation. Nachstb rung 332
16. Periodische Schwankungen, insbesondere die tagliche Variation . . . 335
17. Stb rungen 340
18. Erdstrome. Polarlicht 346
19. Die raumliche Verteilung des Feldes 351
20. Dis GauBische Theorie 361
C. Die physikalische Natur der erdmagnetischen Erscheinungen.
21. Dauernde Magnetisieruiig und Sakularvariation 374
22. Periodische Schwankungen. Theorie von Schuster 381
23. Stb rungen und damit zusammenhangende Vorgange 389
(Abge&ohloBeen im Februar 1917.)
XVI Inhaltsverzeichnia zu Band VI, 1. Teil.
11. Dynamische Geologic. Von V. CONRAD in Wien.
Vorbemerkung 398
I. Erdbeben als Erreger elastischer Wellen in der Erde.
1. Einleitung $99
2. Die allgemeinen Elastizitatsgleichungen , 401
3. Isotropie und Aolotropie 402
4. Fortpflanzung elastischer Wellen in der Erde 407
4 a. Reflexion elastischer Wellen 4.12
5. Oberflachenwellen 422
II. Theorie des Erdbebenstrahls.
6. Grundproblem. Annahmen, Laufzeitkurve 438
7. Bezeichnungsweise 440
8. Die Strahlgleichung 441
9. Direkte Methode zur Losung der Strahlgleichung 444
10. Indirekte Methoden zur Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung iin
Erdinnern 453
III. Das Seismogramm.
11. Allgemeine Charakteristik - 470
12. Deutung von Einsatzen im Diagramm 473
13. Die Amplitudenfunktion (Intensitats- und Energiebetrachtungen) . . . 478
IV. Ankaug.
14. Epizeutralort und -zeit 486
15. Herdtiefe 490
(Abgeschlossen im Oktober 1922.)
12. Optik der Atmosphare. Von W. MOBIUS in Leipzig.
1. Einleitung 498
2. GewOhnliche Strahlenbrechung (Refraktion) 499
3. AuBergewohnliche Strahlenbrechung (,,Luftspiegelungen") 500
4. Szintillation (,,Funkeln") 504
5. Die Eiskriatalle in der Atmosphare und Allgemeines uber die Halo-
erscheinungen 505
6. Die durch Reflexion allein erzeugten Haloerscheinungen 508
7. Durchgang des Lichtes durch Prismen 509
8. Durch Brechung allein erzeugte Haloerscheinungen 511
9. Durch Mitwirkung iunerer Reflexion erzeugte Haloerscheinungen . . . 514
10. Die Regenbogentheorie (Historisches) 515
11. Die Aitysche Regenbogentheorie und ihr weiterer Ausbau 516
12. Vereinfachte Berechnuug des Regenbogens und der iiberzahligen Bogen
durch Mascart 520
13. Strenge Behandlung des Regenbogenproblems durch Debye und Lord
Rayleigh 521
14. Randbeugung an Teilchen verschiedener Art und GroBe (Kranzerschei-
nungen) 522
15. Polarisationszustand, Farben und Helligkeit des klaren Himmels (All
gemeines) 524
16. Der Polarisationszustand des klaren Himmels 526
17. Die Dammerungserscheinungen 530
18. Die Helligkeitsverteilung am klaren Himmel 534
19. Die allgemeine Tageshelle 537
20. Die scheinbare Gestalt des Himmelsgewolbes und damit zusammenhan-
gende Erscheinungen 539
(Abgcschlosseu im Mare 1921.)
Cbersicht
iiber die im vorliegenden Bande VI, 1. Teil, zusammen-
geiafiten Hefte und ihre Ausgabedaten,
I. Teilbaud.
A. Geodasie.
Heft 1.
5. IV. 1906
Heft 2.
25. VII. 1907.
f 1. REINHERTZ: Niedere Geodasie.
\ 2. FINSTERWALDER : Photogrammetrie.
3. PIZZETTI: Hohere Geodasie.
Heft 3. | 4. BOURGEOIS u. FURTWANGLER: Kartograpkie.
9. IX. 1909. \ 5. MELDAU: Nautik.
Heft 1.
15. IX. 1908.
Heft 2.
11. X. 1910.
Heft 3.
6 XII. 1912.
Heft 4.
9. IV. 1918.
Heft 5.
16. II. 1925.
II. Teilband.
B. Geophysik.
6. DARWIN u. HOUGH: Bewegung der Hydrosphare.
I 7. HELMERT: Die Schwerkraft und die Massenverteilung der
I Erde.
8. EXNER u. TRABERT: Dynamische Meteorologie.
| 9. v. SCHWEIDLER: Atmospharische Elektrizitat.
\ 10. SCHMIDT: Erdmagnetismus.
11. CONRAD: Dynamische Geologie.
12. MOsius: Optik der Atmosphare.
Vorrede zum sechsten Bande, 1 Teil
Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 1. Teil
Register zu Band VI, 1. Teil.
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1, B.
A. GEODASIE.
Encyklop. d. math. Wisaensch. VI 1.
VI 1,1. OTEDERE GEODASIE.
VON
C. EEINHERTZ
IN HANNOVER.
Inhaltstibersicht.
A. Allgemeines.
1. Aufgabe und Einteilung der Geodasie.
2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdobernache und die Ein
teilung der Messungen.
3. Ubersicht der Methoden.
4. Allgemeines iiber die Anwendung der Ausgleichungsrechnung.
5. Instrumentelle Hilfsmittel.
B. Die fuudamentalen Messungen.
6. Die Langenmessung.
7. Die "Winkelmessxing.
a) Der Theodolit.
b) Horizontalwinkelmessung.
c) Vertikalwinkelmessung.
C. I)ie Lagemessungen.
8. Die Koordinatensysteme der Lagemessungen.
a) Allgemeines iiber die geodatischen Koorclinateusysteme.
b) Rechtwinklige ebene Koordinaten.
c) Rechtwinklige spharische Koordinaten.
d) Konforme rechtwinklige Gaufi sche Koordinaten.
e) Koorclinatentransformation.
9. Die Punktbestimmung durch Triangulierung.
a) Allgemeines uber Triangulierung.
b) Zentrierung.
c) Die Winkelmessungen und ihre Anordnung.
10. Die Grundaufgaben des trigonometrischen Einschneidens.
a) Vorwiirts- und Seitwartseinschneiden.
b) Ruckwartseinschneiden.
c) Einige andere Methoden der trigonometrischen Punkteinschaltung.
1*
4 VI i,l. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
11. Ausgleichung von Kleintriangulierungen.
a) Die Anwendung der Methode der vermittelnden Beobachtungen.
b) Graphische Punktausgleichung.
c) Die Anwendung der Methode der bedingten Beobachtungen.
d) Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen.
12. Polygonzugmessung.
a) Der Theodolitpolygonzug.
b) Der Bussolen-(KompaB-)Zug.
IB. Einzelaufiiahme.
14. Berechnung und Teilung der Flachen.
a) Flachenberechnung.
b) Flachenteilung.
15. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen.
D. Die Hohenmessnngen.
16. Das Nivellieren.
a) Definition des Hohenunterschiedes. Historisches.
b) Der Nivellierapparat.
c) Das Nivellierverfahren.
d) Die Genauigkeit der Nivellierung.
e) Erdmassenberechnung.
f) Kotierte Projektion.
17. Trigonometrisehe Hohenmessung.
18. Barometrisclie Hohenmessung.
. Tachymetrische Methoden.
19. Indirekte Langenmessung (Distanzmessung).
a) Distanzmesser mit Distanzlatte.
b) Distanzmesser mit Basisschiene.
20. Tachymetrische Instrumente und Aufnahmen.
21. MeBtischaufnahmen.
22. Fliichtige Aufnahmen.
Literatur.
A) Zeitschriften und tibersichten.
0. Borsch, Geodatische Literatur, auf Wunsch der Permanenten Kommission iin
Zentralbureau zusammengestellt, Berlin 1889.
J. H. Gore, A bibliography of geodesy. 2. ed. Report of the superintendent
of the U. S. coast and geodetic survey 1901/1902, Washington 1903, p. 429.
Bulletin de la societe beige de geometres, Anvers.
Journal des geornetres-experts, Paris.
Revue suisse de topographic et d arpeutage, Genf.
Rivista di topografia e catastro, Firenze.
The surveyor, London.
Tidsskriffc for Opmaalings-og-Matrikulsvaesen, Kopenhagen.
Tijdschrift voor Kadaster en Landmeetkunde, Utrecht.
Literatur. 5
La topografia moderna y el catastro, Barcelona.
Zeitschrift fur Vennessungswesen, Stuttgart. Gibt jahrliche Literaturubersichten.
(Zeitschr. f. Vermess.)
Osterreichische Zeitschrift Mr Vermessungswesen, Wien.
Die vorstehenden Zeitschriften bilden nur eine Auswahl unter den zahl-
reichen Fachzeitschriften , die zum Teil als Organe von Landmesservereinen
dienen. Insbesondere ist noch auf die verschiedenen ingenieurwissenschaftlichen
Zeitschriften hinzuweisen, die viele geodatische Abhandlungen enthalten.
B) Lehrbucher und Monographieen.
VIII. Anweisung vom 25. Okt. 1881 fiir das Verfahren bei Erneuerung der Karten
und Bucher des Grundsteuerkatasters, 2. Ausgabe, Berlin 1897 (Anweisung VIII).
IX. Anweisung vom 25. Okt. 1881 fiir die trigonometrischen und polygonometri-
schen Arbeiten bei Erneuerung der Karten und Bucher des Grundsteuerkatasters,
3. Ausgabe, Berlin 1904 (Anweisung IX).
C. M. v. Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde , 2 Biinde, 7. Aufl.,
Stuttgart 1890 (Bauernfeind, Vermessungskunde 1, 2).
A. Baule, Lehrbuch der Vermessungskunde, 2. Aufl., Leipzig und Berlin 1901.
A. Borsch und P. Simon, Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate von
C. F. Gaufi, Berlin 1887.
C. Bohn, Die Landmessung, Berlin 1886.
0. Brathuhn, Lehrbuch der praktischen Markscheidekunst, 3. Aufl., Leipzig
1902.
F. Bronnimann, Die Katastervermessung, Bern 1888.
Ch. L. Durand-Claye, A. Pettetan et Ch. Lallemand, Lever des plans et nivelle-
ment, Paris 1889 (Lallemand, Nivellement).
G. Eredi, Elementi di topografia, Firenze 1894.
L. B. Francoeur, Geode sie, 8. dd., Paris 1903.
F. G. Gaufi, Die trigonometrischen und polygonometrischen Eechnungen in
der FeldmeBkunst, 2. Aufl., Halle 1893 (F. G. Gaufi, Rechnungen der Feld
meBkunst).
Ch. L. Gerling, Die Ausgleichungsrechnung der praktischen Geometric oder die
Methode der kleinsten Quadrate mit ihren Anwendungen auf geodatische
Aufgaben, Hamburg 1843 (Gerling, Ausgleichungsrechnungen d. prakt. Geom.).
W. M. Gillespie, A treatise on surveying. Part I. Land surveying and direct
levelling; Part II. Higher surveying (revised and enlarged by C. Staley),
London 1901.
C. M. Goidier, Etudes theoriques et pratiques sur les levers topome triques et
en particulier sur la tacheometrie, Paris 1892 (Goulier, Tacheometrie).
G. H. L. Hagen, Grundsatze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1. Aufl., Berlin
1837.
E. Hammer, Lehrbuch der ebenen und spharischen Trigonometric, 2. Aufl., Stutt
gart 1897 (Hammer, Trigonometric).
F. Hartner-E. Dolezal, Hand- und Lehrbuch der niederen Geodasie, 2 Bande,
9. Aufl., Wien 1904/5 (Hartner- Dolezal 1, 2).
F. E. Helmert, Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten
Quadrate mit Anwendungen auf die Geodasie und die Theorie der Me6-
instrumente, Leipzig 1872 (Helmert, Ausgleichungsrechnung).
6 VI i, 1. C. Eeinlierts. Niedere Geodasie.
G. Chr. K. Hunaus, Die geometrischen Instrumente der gesamten praktischen
Geometrie, deren Theorie, Beschreibung und Gebrauch, Hannover 1864.
N. Jadanza, Elementi di Geodesia, Torino 1895.
Instruktion zur Ausfiihrung der trigonometrischen und polygonometrischen Ver-
messungen behufs Herstellung neuer Plane fur die Zwecke des Grundsteuer-
katasters, 5. Aufl., Wien 1904.
/. B. Johnson, The theory and practice of surveying, 15. ed., New York, London
1901.
W. Jordan, Handbuch der Verinessungskunde, Stuttgart. Bd. 1, Ausgleichungs-
rechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, 5. Aufl., 1904; Bd. 2,
Feld- und Landmessung, 6. Aufl., 1904; Bd. 3, Landesvermessung und Grund-
aufgaben der Erdmessung, 4. Aufl., 1896 (das Werk enthalt zahlreiche Lite-
raturangaben) (Jordan, Handbuch 1, 2, 3).
W. Jordan und K. Steppes, Das deutsche Vermessungswesen, Stuttgart 1882.
0. Koll, Die Theorie der Beobachtungsfehler und die Methode der kleinsten
Quadrate mit ihrer Anwendung auf die Geodasie und die Wassermessungen,
2. Aufl., Berlin 1901.
C. Koppe, Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate
in der praktischen Geometrie, Nordhausen 1885.
A. Laussedat, Recherches sur les instruments, les methodes et le dessin topo-
graphiques, Paris 1898, 1901.
Manual of surveying instructions for the survey of the public lands of the U. S.
and private land claims, issued by the commissioner of the general land
office, Washington 1890.
Moinot, Lever de plans a la stadia, Pe rigueux 1865.
M. d Ocagne, Application generale de la nomographie au calcul des profils de
remblai et deblai avec une instruction pratique pour la construction et le
mode d emploi des abaques a points isoplethes, Paris 1896.
M . d Ocagne, Le9ons sur la topometrie et la cubature des terrasses, Paris 1904.
G. Orlandi, Tacheometria, Torino 1896.
A. Pelletan, Operations souterraines, Paris 1889.
J. Porro, Traite de tacheometrie, Paris 1847.
L. Puissant, Traite de topographic, d arpentage et de nivellement, 2. ed., Paris
1820.
A. Sdlmoiraghi, Istrumenti e metodi moderni di geometria applicata, Milano
1884.
S. Stampfer, Theoretische und praktische Anleitung zum Nivellieren, 1. Aufl.,
Wien 1845; 9. Aufl. von F. Lorber, Wien 1894; 10. Aufl., umgearbeitet von
E. Dolezal, Wien 1902.
W. F. Stanley, Surveying and levelling instruments, 3. ed., London 1901.
P. Uhlich, Lehrbuch der Markscheidekunde, Freiberg i. S. 1901.
Chr. A. Vogler, Lehrbuch der praktischen Geometrie, Braunschweig. Bd. 1, Vor-
studien und Feldmessen, 1885; Bd. 2, Hohemessungen, 1894 (Vogler, Prakt.
Geom. 1, 2).
Abbildungen geodatischer Instrumente, Berlin 1892.
Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln, Berlin 1877.
M. de Vos, Leerboek der Lagere Geodesic, Groningen 1902/04.
1. Aufgabe und Einteilung der Geodasie. 7
A. Allgemeines.
1. Aufgabe und Einteilung der Geodasie. Die Geodasie oder
Vermessungslehre lehrt diejenigen Methoden der Messung, Rechnung
und Abbildung, welche zur Bestimmung der raumlichen Verhaltnisse
sowohl der gesamten Erdoberflache als auch beliebig begrenzter Teile
derselben dieneu. Die Aufgabe der Geodasie lautet daher in all-
gemeiner Fassung: Die Lage von Punkten der Erdoberflache zu be-
stimmen und diese Bestimmung in irgend einer Weise auszudriicken,
numerisch in Koordinaten und Messungsausweisen oder grapMsch in
Karten, Pldnen, Rissen.
Als Grundlage dient alien diesen Bestimmungen die jedem Erdort
eigentiimliche Richtung der Schwerkraft (Lotrichtung oder Vertikale),
die instrumentell durch das Fadenlot oder die Libelle angegeben wird.
Eine alle Lotrichtungen rechtwinklig durchschneidende Flache heiBt
eine Niveauflache ; ihr einfachstes Beispiel ist die ruhende Meeresflache,
die man auch als ,,Geoid" (mathematische Erdfigur) bezeichnet, indem
man sie sich durch die Kontinente in geeigneter Weise fortgesetzt
denkt. Die Erfahrung lehrt, daB, wie alle Niveauflachen in der Nahe
der Erdoberflache, speziell das Geoid mit groBer Annaherung als
schwach abgeplattetes RotalionseUipsoid aufgefaBt werden kann, dessen
kleine Achse in die Rotationsachse der Erde fallt 1 ).
Infolge der geringen Abplattung des Erdellipsoids kann man fur
Vermessungen, die sich nur auf kleine Gebiete beziehen, annehmen,
daB alle Lotrichtungen des Messungsgebietes auf einer Kugeloberflache
senkrecht stehen, deren Mittelpunkt in der Erdachse liegt. Den
Kugelradius wahlt man am zweckmaBigsten so, daB die Kugel dasselbe
KriimmungsmaB besitzt wie das Ellipsoid in dem betreffenden Gebiete,
weil dann eine kleine Schale der Kugel ohne merkliche Anderung
der Langen in die ellipsoidische Schale verbogen werden kann. Macht
man die im vorstehenden angegebene Annahme, daB die betrachtete
Niveauflache eine Kugel sei, so tritt gegeniiber dem Ellipsoid die
Vereinfachung ein, daB die Vertikalebene in einem Punkte A der
Kugel (d. h. eine durch das Lot in A gehende Ebene), die durch den
Punkt B geht, identisch ist mit der Vertikalebene in B, die durch
A geht, weil beide Ebenen den Kugelmittelpunkt enthalten. Zwei
beliebige Punkte der Kugelflache haben also eine gemeinsame Ver
tikalebene.
1) Naheres hieriiber und die genaueren Definitionen der im vorstehendeu
skizzierten BegriiFe findet man in dem Artikel iiber ,,H6here Geodasie" VI i, 3
(P. Pizzetti).
8 VI i, 1. C. Eeirihertz. Niedere Geodasie.
1st das Vermessungsgebiet sehr klein, so kann man auch von der
Konvergenz der Lotlinien absehen und diese als ein System von
Parallelen betrachten; die Niveauflachen werden dann zu parallelen
Ebenen.
Die Verschiedenartigkeit der in der Geodasie zu behandelnden
Aufgaben fiihrt, ohne eine strenge Trennung, zu einer Teilung in ver-
schiedene Zweige oder Arbeitsgebiete je nach dem Umfange des Ver-
messungsgebietes und der erstrebten Genauigkeit. Die Erdmessung
(friilier Gradmessung) , welche die Bestimmung der mathematischen
Erdgestalt zur Aufgabe hat, umfafit als Messungsgebiet die ganze
Erde. Die Landesvermessung legt ein bestirnmtes Ellipsoid ihren
Messungen zugrunde und hat die Aufgabe, auf dieser Grundlage fur
das gesamte Gebiet eines Staates eine einheitliche Ausmessung und
Abbildung herzustellen, wobei GrundsteuerJcatastervermessung und topo-
f/raphische Gelandeaufnahme unterschieden wird. Die in Einzelfallen
fur die verschiedenartigsten Zwecke unternommenen Ausmessungen
und Abbildungen, welche auf engbegrenzte Teile der Erdoberflache
beschrankt bleiben, rechnet man entsprechend zur Feld-(Land-)
Messung, .F0rs-Vermessung ; Gnt&m-Messung (Markscheiden). Daneben
sind noch zu nennen die nautisclien Messungen (Kiistenvermessungen)
sowie die jRe?"se e</-Aufnahmen (Routen, Itinerare), welche auch als
geographische Landmessung bezeichnet werden.
Zur Iwheren Geodasie rechnet man nun alle diejenigen Aufgaben,
bei denen die Niveauflachen als Ellipsoide betrachtet werden miissen,
zur niederen Geodasie diejenigen, bei denen man mit der Annahme
von kugelformigen oder ebenen Niveauflachen auskommt.
tlber die Bedeutung des Wortes ; ,Geodasie" sei angefuhrt, dafi
es urspriinglich Feld- (Acker-)einteilung bezeichnet; erst im Laufe des
verflossenen Jahrhunderts hat der Begriff allmahlich die heutige Er-
weiterung bis zur gesamten Vermessungswissenschaft erfahren. Die
Geodasie als Feldmessung war die rechnende, angewandte Geometrie
(geometria practica) im Gegensatz zur reinen Geometrie, d. h. der
reinen Raunilehre 2 ). Die heute angewendeten Methoden fufien im
wesentlichen auf den bei den ersten exakten Gradmessungen des 17.
und 18. Jahrhunderts entwickelten; ihre im letzten Jahrhuiidert er-
folgte fehlertheoretische Durchbildung verdanken sie, im Verein mit dem
allgemeinen Fortschritt der exakten Wissenschaften, der Prazisions-
mechanik und den gesteigerten Anforderungen an die Zuverlassigkeit
2) Als historischer Hinweis auf die erste Entwickelungsstufe geniigt .-
M. Cantor, Vorlesungen fiber die Geschichte der Mathernatik, Leipzig 1880, 1892.
2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdoberflache. 9
geodatischer Arbeiten, vornehmlich der Einfuhrung der Methode der
kleinsten Quadrate, also dem Einflusse von C. F. Gaufi. Obwohl die in
Betracht kommenden einfachen trigonometrischen Losungen der wesent-
lichsten FeldmeBaufgaben langst bekannt waren, war bis vor rund
100 Jahren das Verfahren der Feldmessung hauptsachlich ein rein
graphisches, d. h. man ging unter Benutzung von Winkelkreuz (groma),
Astrolabium, Bussole und MeBkette, sowie besonders auch des MeB-
tisches, auf unmittelbare graphische Darstellung aus und konnte sich
mit den einfachsten mathematischen Hilfsmitteln begniigen. Erst mit
Anfang des 19. Jahrhunderts, der Zeit des Beginnes der ersten all-
O / f-J
gemeinen Landesverinessungen, ging man unter Anwendung des Theo-
dolits nach und nach zu zahlenmaBigen Methoden und Punktbestim-
mung durch Koordinaten iiber, welche heute den Grundton der exakt
rechnenden Feldmessung bildet.
Die Literatur ist entsprechend den zahlreichen und verschieden-
artigen Methoden, der allmahlichen Ausbildung und Anwendung der-
selben fur mannigfache Zwecke (Grundsteuerkataster, Topographic,
Ingenieurbauwesen, Bergbau) eine ebenso umfangreiche wie verschie-
denartige, wobei auch besonders die Verschiedenartigkeit der Ent-
wicklung des staatlichen Yermessungswesens der verschiedenen Lander
in Betracht kommt.
In der Literaturiibersicht sind eine Anzahl der gebrauchlichen
Lehr- und Handbiicher genannt, unter denen das von W. Jordan die
ausfiihrlichsten Literaturangaben enthalt. Eine historisch-kritische
Darstellung des deutschen Vermessungswesens geben W. Jordan und
K. Steppes*}. Von alteren Lehrbiichern moge das von J. T. Mayer* }
zitiert werden, das fruher sehr verbreitet war und jetzt einen interes-
santen Vergleich des heutigen Standes der Vermessungswissenschaft
mit dem zu Beginn des verflossenen Jahrhunderts, unmittelbar vor
Einfuhrung der Methode der kleinsten Quadrate, bietet.
2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdoberflache und
die Einteilung der Messungen. Bei den Vermessungen an der Erd
oberflache w ahlt man eine bestimmte Niveauflache aus, die als Be-
rechnungs- und Abbildungsflache (Referenzflache, Vermessungsflache
oder Vermessungshorizont, Landeshorizont) zugrunde gelegt wird;
gewohnlich ist es diejenige Flache, die in ihrer Fortsetzung mit der
3) Das deutsche Verrnessungswesen, Stuttgart 1882.
4) Griindlicher und ausfiihi licher Unterricht zur praktischen Geometric,
5 Bd., 4. Aufl., Gottingen 1814 1820; ferner sei genannt L. Puissant, Traite de
topographie, d arpentage et de nivellemeut, 2. ed., Paris 1820 nnd F. Pro/3,
Lehrbuch der praktischen Geometric, Stuttgart 1838.
10 VI i, 1. C. Ecinhertz. Niedere Geodasie.
Meeresflache zusammenfallt. Um diese Flache gegen den Erdkorper
festzulegen, orientiert man einen Punkt (Indifferenzpunkt) durch Be-
stimmung der astronomischen Breite und Lange; bestirnmt man dann
noch das astronomische Azimut einer Richtung auf der Flache, so
kann man die Lage aller anderen Flachenpunkte zum Erdkorper ledig-
lich durch Messungen auf der Flache selbst bestimnien.
Um nun einen beliebigen Punkt der Erdoberflache festzulegen,
projiziert man ihn vermittels der durch ihn gehenden Lotlinie auf
die Vermessungsflache. Kennt man dann den in der Lotlinie gemes-
senen Abstand des Punktes von der Bezugsflache und auBerdem die
Koordinaten seiner Projektion in einem beliebigen Koordinatensystem
auf dieser Flache, so ist der Punkt eindeutig festgelegt. Die Veran-
lassung zu der angegebenen Bevorzugung der vertikalen Richtung ist
die leichte Zuganglichkeit der Schwerkraftsrichtung. Uberdies sind
die Vermessungen meist in vertikaler Richtung viel weniger ausgedehnt
als in horizontaler, und man pflegt deshalb die gesamten Messungen
in Lagemessungen (Bestimmung der Lage der Projektion in der Be
zugsflache) und Holienmessungen (Bestimmung des Abstandes von der
Bezugsflache) einzuteilen.
Hiernach ist die Definition der wesentlichsten Bestimmungsstiicke
ohne weiteres gegeben. Der in der Lotlinie gemessene Abstand eines
Punktes von der Normalflache ist die ,,Holie" (H) des Punktes; fallt
die Normalflache in die Meeresniveauflache, so erhalt man die ,,Meeres-
hohe". Die Beziehung der Normalflache auf die Meeresniveauflache
ist gegeben, sobald an einem oder mehreren Punkten durch Pegel-
beobachtungen (Mareographen) gewonnene ,,Mittelwasserstande" zur
Definition der Niveauflache des Meeresspiegels eingefiihrt und in das
geodatische Netz einbezogen sind 5 ).
Zu einer kugelformigen Normalflache konzentrische Kugelober-
flachen, welche durch die Messungspunkte an der Erdoberflache hin-
durchgehen, entsprechen den ,,Horizontflachcn" der betreflenden Punkte;
der Abstand (in den Lotlinien gernessen) dieser ,,Horizonte" entspricht
dem ,,Hohenuntersc}iied A/i" der betreffenden Punkte. Die horizontale
Entfernung (s) zweier Punkte (Lange, Linie, Strecke"} ist der kiir-
5) In PreuBen (Deutschland) z. B. ist hierzu an einem Pfeiler der Stern-
warte in Berlin ein kleiner lotrechter MaBstab angebracht, dessen mittlerer Teil-
strich (Nullpunkt) nach Ableitung aus dem Landes-Prazisionsnivellement die
,,Hohe" 37 m fiber N.N. (Normal-Null) erhalten hat, und als ,,Normalhohen-
punkt fiir das Konigreich PreuBen" gilt. Andere Lander haben entsprechende
Bestimmungen getroffen. Vgl. VI i, 3, Hohere Geodasie, ferner z. B. auch Jordan,
Handbuch 2, 114.
3. Dbersicht der Methoden. 11
zeste Abstand ihrer Lotlinien, gemessen auf der angenommenen mathe-
matischen Erdoberflache. Die unmittelbare Verbindungslinie zweier
Punkte der Erdoberflache, welche nicht dem gleichen Horizont an-
gehoren, ist die ,,geneigte" oder ,,schiefe" Entfernung s n . Der Winkel,
den diese geneigte Verbindungslinie s n zweier Punkte mit dem posi-
tiven Zweige der Lotlinie in einem Punkte bildet, ist der ,,Zenit-
winkel" (,,Zenitdistanz"} (0), der ihn zum rechten Winkel erganzende,
von der Wagerechten aus genommene, der ,,H6kenwinkel" (a). Zenit-
winkel werden von bis 180, Hohenwinkel von bis 90 mit
Vorzeichen + (Hohen-, Tiefenwinkel) gezahlt.
Ist ein ganzes System von im Gelande bezeichneten Punkten
P! . . . P n in Bezug auf einen Ausgangspunkt P a zu bestimmen, so
denkt man sich die Lotebenen samtlicher Punkte in Bezug auf P a
hergestellt, was durch Drehung einer durch die Lotlinie von P a
gehenden Lotebene erreicht wird, indem das MaB der Drehung im
Horizont von P a verzeichnet oder an einem zentrisch und rechtwink-
lig auf die Lotlinie von P a gesetzten Kreis (,,Horizontalkreis") ge
messen wird. Es ergibt sich das ,,Horizontal-Eicldungssystem" , die
,,Bichtiingen" r^ ... r n . Das einfachste Horizontal-Richtungssystem
ist der Horizontalivinltel z. B. w l2 = r. 2 r^ das Richtungssystem
r^ . . . r n kann auch durch beliebige Winkelangaben , z. B. w 12 ,
Wi<> . iv, oder w 19 , w usw. ausgedriickt werden.
lo l n L&7 -
,,Geneigte (schiefe) Winkel", d. h. in der Ebene des Ausgangs-
punktes P a und zweier Zielpunkte P : und P 2 gemessene Winkel,
kommen seit Einfiihrung des Theodolits, welcher selbsttatig projiziert,
kaum noch in Betracht 6 ).
3. Ubersicht der Methoden. Einen Uberblick fiber die wesent-
lichsten geodatischen Verfahren und die dazu erforderlichen Hilfs-
mittel gibt die nachfolgende Zusammenstellung.
Grundlegend ist:
a) Die Absteckung gerader Linien zwischen Punkten der Erdober
flache und Messung Hirer Entfernung auf Grund einer bestimmt de-
finierten MaBeinheit (V 1 (C. Bungef). Die Langenmessung erfolgt
entweder mit einfachen FeldmeBinstrumenten oder, wenn groBere
Genauigkeit erreicht werden soil, mit Hilfe besonderer Apparate
(Basisapparate).
b) Die Messung von Winkeln und zwar meistens von Horizontal-
6) Fur event. ,,schief " gemessene Winkel ist ,,Reduktion auf den Horizont"
erforderlich ; hierzu mussen noch die Hohenwinkel von P l und P z gemessen
sein.
12 VI i, 1. C.EeinTiertz. Niedere Geodasie.
oder Vertikalwinkeln. Als MeBinstrument dient der Theodolit oder
auch untergeordnete Instrumente wie Winkelscheibe (Astrolabium)
und Bussole (KompaB) fiir Horizontalwinkel, Hohen- oder Neigungs-
messer mit Senkel, Pendelkreis oder Libelle fiir Vertikalwinkel, und
Sextant (Prismenkreis) fur beliebige Winkel.
Aus diesen grundlegenden Messungsverfahren ergeben sich die
verschiedenen zusammengesetzten Bestimmungsmethoden und zwar
fur die Lagemessung:
a) Triangulierung (Dreiecksmessung) auf Grund von Basismessung
und Theodolit- Horizontal winkelniessung in stufenweise aufeinander
gegriindeten Dreieckssystemen.
b) Polygonisierung (polygonale Zugmessung) mit Messung von
Langen und Horizontalwinkeln (Theodolit, ev. Sextant) oder von
magnetischen Azimuten (Bussole) in gebrochenen Linienziigen, in der
Regel auf Grund einer Triangulierung.
c) Kleinaufnahme durch Anwendung von Langen- und Winkel
messung bezw. Absteckung auf Grundlage von Triaugulierung und
Polygonisierung oder auch unabhangig davon. Hierzu gehort auch
die Absteckung gerader und krummer Linien (Linien-, Tunnel-, Kurven-
absteckung).
d) Mefltischaufnahme, d. h. unmittelbare Ubertragung der Punkt-
lage auf die Zeichnungsflache des MeBtisches im AnschluB an eine
Triangulierung oder Polygonisierung sowie auch unabhangig davon.
Fur die Hohenmessung:
a) Nivellierung bei Verwendung des Nivellierinstrumentes niit
horizontalen oder nahe horizontalen kurzen Ziellinien und lotrechten
Skalen. Hierhin gehoren auch dein geonietrischen Prinzip nach die
hydrographischen bezw. nautischen Tiefenmessungen, wobei die Wasser-
oberflache den Nivellierhorizont bildet.
b) Trigonometrische Hohenmessung bei Verwendung geneigter
Ziellinien und Messung von Vertikalwinkeln mit dem Theodolit in
der Regel auf der Grundlage einer Horizontaltriangulierung, oder auch
kurzer schiefer Linien (MeBbander, Schnur, z. B. bei Grubenmessungen)
mit Hohenbogen, Hangebogen usw.
c) Barometrische Hohenmessung in der Regel mit dem Feder-
barometer (Aneroid) fiir Gelandeaufnahme bei bekannter Punktlage.
Neuerdings sind auch die sogenannten ,,tachymetrischen Methodcn"
weiter ausgebildet worden. Charakteristisch fiir diese ist die Ersetzung
der direkten Langenmessung durch die indirekte Distanzmessung und
die Vereinigung der trigonometrischen Hohenmessung und der Lage
messung. Zur Verwendung kommen dabei die verschiedenartigsten
4. Allgemeines iiber die Anwendung der Ausgleichungsrechnung. 13
tachymetrischen Instrurnente. Uber die ebenfalls in diesen Abschnitt
gehorige Photogrammetrie vergleiche man den nachsten Artikel dieses
Bandes (S. Finsterw alder).
Auf die Ergebnisse der angefiihrten Messungsmethoden und deren
rechnerische Auswertung durch Koordinaten und Abrisse griindet sich
dann die Albildung der Erdoberfldclie (vgl. VI 1, 4 (R. Bourgeois)), bei
der die mannigfachsten Zeichenhilfsmittel zur Verwendung kommen.
Die Abbildung erfolgt bei ausgedehnten Gebieten mit Beriicksichtigung
der Erdkrummung (Kartenprojektionen). Wird die Gelandedarstellung
durch Hohenschichtlinien und Bergstriche besonders beriicksichtigt,
so liegt eine topographische Abbildung vor; wird dagegen die exakte
Darstellung aller Einzelheiten im GrundriB, vornehmlich der Eigen-
tums- und Kulturgrenzen, angestrebt, so handelt es sich um geome-
trische Kartierung.
Eine weitere Verwendung finden die Messungen zur Berechnung
von Fldcneninlialten unmittelbar aus den gemessenen Zahlenwerten,
aus Koordinaten oder auf Grund einer Karte mit Benutzung ver-
schiedenartiger Hilfsmittel (Planimeter). Hierhin gehort auch die
Teilung von Grundfldclien (Felderteilung).
4. Allgemeines iiber die Anwendung der Ausgleichungsrech-
nung. Die Anordnung der Messungen ist gegriindet auf die Satze der
Fehlertheorie nach der Methode der kleinsten Quadrate, die, nachdem
sie von C. F. Gauft aufgestellt waren, sofort Eingang in die Vermes-
sungskunde fanden. Dafiir wirkten zuerst besonders Ch. L. Gerling
und G. H. L. Bagen 1 }. Die Graufi sche Originalanordnung der Aus-
gleichung von Kleintriangulierungspunkten ist erst neuerdings bekannt
geworden 8 ).
Als allgemeines Fehlermafi gilt der }} mittlere Feliler"; der ; ,wahr-
scheinliche" Fehler sowie der ..durchschnittliche" werden seltener ere-
// o
braucht. Die Genauigkeit amtlicher Messungen bis herab zu den
Kleinmessungen wird durch die auf dem , ; mittleren Fehler" beruhen-
den ,,Fehlergrenzen", deren Innehaltung vorgeschrieben ist, reguliert.
Die Fehlergrenzen werden in den Vermessunofsanweisuncren in der
O a
Regel etwa gleich dem dreifachen Betrag des ,,mittleren Fehlers" fest-
gesetzt. Diese Annahme beruht einerseits auf der Fehlerwahrschein-
lichkeit nach dem Graufischen Fehlergesetz, andererseits auf praktischen
Erwagungen 9 ). Die mittleren Fehler werden aus besonderen Unter-
7) Vgl. C. Reirihertz, Zeitschr. f. Vermess. 30 (1901), p. 1.
8) Carl Friedrich Gaufi Werke, 9. Bd., Gottingen 1903.
9) Jordan, Handbuch 1, Kap. V. Vgl. auch A. Bliimcke, Zeitschr. f.
Vermess. 26 (1897), p. 51, 276, 561; 27 (1898), p. 313; 30 (1901), p. 229.
14 VI i, 1. C. Heinhertz. Niedere Geodasie.
suchungen und bei praktischen Vermessungen aus den gegen die Aus-
gleichungsergebnisse iibrigbleibenden Abweichungen gewonnen. Bei
den unter den verschiedenartigsten Verhaltnissen auszufuhrenden und
o
aus mannigfachen Elementen sich zusaminensetzenden Messungen der
niederen Geodasie ist eine strenge Fehlertrennung und das Aus-
scheiden systematischer Fehler nicht moglich; die Reste der systema-
tischen Fehler gehen mit zum Teil erheblichen Betragen in die zu-
falligen iiber. Gegebenen Falls werden vorliegende Fehlerreihen nach
dem Gaufischen Fehlergesetz gepriift. Die Grundlage fur die Be-
rechnung der Einwirkung der unmittelbaren Beobachtungsfehler auf
die daraus abgeleiteten Ergebnisse (Funktionen der Beobaehtungen)
bildet das allgemeine ^FeUerfortpflanzungsgesettf fur die Funktion
X = f(x, y, z, . . .}:
worin x, y, z, . . . BeobachtungsgroBen, M x , m x , m y , m z} ... die ent-
sprechenden mittleren Fehler von X, x, y, 2, . . . bedeuten. Fur die
einfachen linearen Beziehungen, z. B. den Fehler der Summe von un-
abhangigen Einzelbeobachtungen (ohne Riicksicht auf systematische
Fehler) X = x l -f- x 2 -f- X 3 -| ---- -f- x n hat man
M x = -h m x Yn,
sog. ,,Quadrativurzelgesetz". Fiir Messungen ungleicher Genauigkeit
wird der Begriff des ,,Gewichtes" p verwendet, wobei die Beobach-
tung, der man das Gewicht 1 beilegt (Gewichtseinheif) , passend ge-
wahlt wird. Z. B. kann bei Richtungsmessungen mit dem Theodolit
genommen werden eine aus Beobachtung in zwei Fernrohrlagen
gemittelte (somit von den Instrumentachsenfehlern befreite) Richtung;
bei Langenmessungen kann geuommen werden die Messung einer
bestimmten Strecke, z. B. 100 ni oder 1000 m; fur Nivellierung
wird z. B. angenommen die einmalige Bestimmung des Hohenunter-
schiedes zwischen zwei Punkten, deren horizontale Entfernung 1 km
ist. Die mittleren Fehler ergeben sich aus den bei der Ausgleichung
iibrig bleibendeu plausibelsten Fehlern; sie konnen unter Umstanden
auch aus wahren Fehlern berechnet werden, z. B. bei Langenmessungen
oder bei Nivellierungen aus der Vergleichung der Hin- und Riick-
messungen 10 ).
Es ist wiinschenswert, dafi fiir eine gemessene GroBe immer der
mittlere Fehler bestimmt wird; jedoch ist bei Genauigkeitsschatzungeu
10) Z. B. Jordan, Handbuch 1, 11.
4. Allgemeines uber die Anwendung der Ausgleichungsrechnung. 15
zu beachten, daB in den berechneten mittleren Fehlern vielfach nur
der EinfluB der zufalligen Beobachtungsfehler, nicbt aber der der
systematisclien Fehler erscheint.
,,Grobe Fehler" sind bei dem umfangreichen, bei Vermessungen
zu behandelnden Zahlenmaterial, bei den mit der Ausdehnung der
Einzelaufnahmen zahllos werdenden, haufig unter schwierigen Ver-
haltnissen und aufieren Storungen zu nehmenden Ablesungen, un-
vermeidlich. Daher ist es Grundsatz, daB jede weiter zu ge-
brauchende Messungszahl einwandfrei kontrolliert wird; eine einfache
unkontrollierte einmalige Ablesung oder Messung z. B. eines Winkels,
einer Lange usw. ist geodatisch unbrauchbar. Die somit fiir jede
Messung erforderliche Probe kann eine unabhangige Nachmessung
sein oder eine indirekte Probe, wie AbschluB auf gegebene Werte,
oder Verkniipfung durch eine bekannte Beziehung, z. B. Hypotenuse
fur zwei Katheten, Summe der Dreieckswinkel usw. Die Lehre von
der Anordnung der Messungsproben ist eine wichtige Aufgabe der
Vermessungskunde.
Um das Anwachsen der Messungsfehler innerhalb moglichst enger
Grenzen zu halten 7 wird eine systematiscbe Gliederung der Messimgen
angewendet derart, daB untergeordnete Systeme (,,Netze"} in iiberge-
ordnete eingefiigt werden, d. h. man ,,arbeitet vom GroBen ins Kleine".
Dies gilt in erster Linie fiir die Anordnung exakter Landesvermessun-
gen, in gleichem Sinne aber auch ebenso fur raumlich eng begrenzte
Aufnahmen. Bei den Landesvermessungen z. B. wird die Grundlage
durch ein System von Dreiecken (Ketten und Netze) gebildet, in
welche der Reihe nach untergeordnete Punktsysteme eingeschaltet
werden, so daB das zu bearbeitende Gebiet zunachst mit moglichst ein-
fach gegliederten Systemen, also mit weitmaschigen Netzen 7 iiber-
zogen wird, in die sich die der Natur der Sache nach immer ver-
wickelter gestaltenden Kleinsysteme einfugen lassen. Die Haupt-
systeme werden dementsprechend durch moglichst wenige, aber mog
lichst scharf gemessene Elemente bestimmt. Jedes nach solchen
Gesichtspunkten gemessene iibergeordnete System gilt fur das unter
geordnete als fehlerfrei. Die richtige Bemessung des Genauigkeits-
verhaltnisses der einander unter- bezw. iibergeordneten Systeme ist
eine wichtige Frage der Vermessungstechnik. Diese Systeme werden
je fur sich nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgeglichen,
sodaB das iibergeordnete System das ,,Soll" fiir die weiteren Systeme
angibt. Es handelt sich also um eine fortgesetzte Einschaltung unter-
geordneter Systeme in iibergeordnete.
Die Ausgleichung der Hauptsysteme fiir umfangreiche Ver-
16 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
messungen geschieht stets nach der Methode der kleinsten Quadrate,
und zwar nacli ,,vermittelnden" oder ,fiedingten u Beobachtungen 11 ); ob
das eine oder andere Verfahren anzuwenden ist , wird von Fall zu Fall
nach der Anordnung der gerade vorliegenden Systeme entschieden 12 ).
Fiir die untergeordneten Systeme werden mit Riicksicbt auf die sich
mehr und mehr komplizierenden Beziehungen (Zusammenfassung
von Winkel- und Langenmessungen) vielfach Naherungsausgleichungen
(,,Felilervertcilungsverfa]iren" und ,,graphische" Ausgleichungen) ver-
wendet. Diese werden als berecbtigt und zweckmaBig angesehen,
wenn sie eine praktiscli in Betracht kommende Erleichterung der
Arbeit herbeizufiihren imstande sind und die EinbuBe an Strenge
zulassig erscheint. Im iibrigen laBt sicb bei zweckmaBiger Anordnung
der Rechnungen und Beiseitelassung iiberfliissigen Zahlenballastes die
Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate so einfach gestalten,
daB sie fur den groBteu Teil der in der niederen Geodasie vorkommen-
den Ausgleichungen als das bequemste und zuverlassigste Interpola-
tionsverfahren betrachtet wird, welches, wenn auch in den Gewichts-
ansatzen oder deren Vernachlassigung, sowie in der Anordnung der Aus-
gleichungssysteme eine gewisse Willkiir bestehen bleibt, doch die Aus-
gleichung an eine streng kontrollierbare, einwandfreie Methode bindet
und auf jeden Fall eine willkiirfreie Fehlerberechnung fur die Aus-
gleichungsergebnisse zulaBt. Die Fehlerberechnungen sind von wesent-
lichster Bedeutung fiir die Kritik und Ausbildung der Messungs-
methoden.
Tiber die Literatur, die sich speziell auf die Anwendung der Aus-
gleichungsrechnung in der Geodasie bezieht, sehe man die Literatur-
iibersicht uach. Im iibrigen sei auf die Angaben in dem Artikel
,,Ausgleichungsrechnung", I D 2 (J. Bauschinger) verwiesen.
Die umfangreiche Anwendung der Ausgleichungsrechnung nach
der Methode der kleinsten Quadrate, besonders fiir die zahlreichen
Punktbestimmungen der Klein triangulierung, hat ebenso wie fiir die
iibrigen Rechnungen der niederen Geodasie zum Gebrauch von Rechen-
,,Formularen" gefiihrt, welche fiir die amtlichen Arbeiten in den
,,Vermessungsanweisungen" vorgeschrieben sind 18 ). Fiir die Rechen-
scharfe gilt im allgemeinen, daB die Rechenunsicherheiten von
niederer Ordnung als die Messungsfehler sein rniissen und keine neuen
Unsicherheiten in die Bestimmungen hineinbringen diirfen, daB aber
11) Vgl. I D 2 (/. Bauschinger), p. 768 ff.
12) Vgl. die Bemerkungen zu den einzelnen MeBmethoden.
13) Vgl. z. B. Anweisung IX der preuBischen Katasterverwaltung, die viel
fach als Vorbild gedient hat.
5. Instrumentelle Hilfsmittel. 17
iiberfliissiger Zahlenballast zu vermeiden 1st. Darauf griindet sich
z. B. die sehr empfehlenswerte Verwendung des einfachen Rechen-
schiebers bei den Ausgleichungsrechnungen der niederen Geodasie 14 ).
Ebenso wie die Anordnung der Messungen und die Rechnungen
griinden sich aucb die fur den rationellen Gebrauch der geodatischen
Instrumente maBgebenden Gesichtspunkte auf die Fehlertheorie.
Der durch diese ermoglichten einwandfreien Kritik der Instrurnent-
leistungen ist im Verein mit der Ausbildung der Prazisionsmechanik
der Fortschritt in der Entwicklung der geodatischen Instrumente im
letzten halben Jahrhundert in erster Linie zu verdanken. Die ein-
zelnen Glieder (Organe), aus denen sich die Instrumente zusammen-
setzen, miissen in Bezug auf Leistung und Anordnung einander und
dem Prinzip des Instrumentes entsprechen. Fur diese Anordnung
bleibt ein gewisser Spielraum, sodaB sich mannigfaltige Instrument-
typen ergeben, wobei die fiir ein Messungsverfahren jeweils zu er-
reichende und vorher bestimmte Genauigkeit sowie weitere Gesichts
punkte, z. B. schnelle und sichere Aufstellung, maBgebend sind. Im
Vermessungswesen handelt es sich nicht darum, in jedem Fall mit alien
moglichen Mitteln die weitgehendste Genauiglceit zu erreichen, sondern
vielmehr darum, innerhalb vorgesehener Genauiglieitsgrenzen die ge-
suchten Hesidtate mit dem geringsten Aufwand an Arbeit und Kosten
zu gewinnen. Dazu fiihrt die Anwendung der Fehlertheorie in der
geodatischen Beobachtungstechnik und die Fehlerdiskussion a priori.
5. Instrumentelle Hilfsmittel. Uber die instrumentellen Hilfs
mittel mogen, da ihre Darstellung nicht im Plane der Encyklopadie
liegt, nur wenige Worte hier Platz finden. Die den beiden hauptsach-
lichsten FeldmeBinstrumenten, Theodolit und Nivellierinstrument, ge-
meinschaftlichen Teile sind ,,Libelle" und ,,Mefifernrohr".
Die Libelle. Verwendet werden ,,Rohrenlibellen" 15 ) ; deren ,,Empfind-
lichkeiten" oder n Angaben u (d. i. zu einem Strich Ausschlag gehoriger
Winkelwert) zwischen den Grenzen von rund 5" und 50" liegen, wobei
1 Strich der Libellenteilung gleich 1 Pariser Linie oder neuerdings auch
gleich 2 mm genommen wird 7 so daB die Krumrnungsradien der tonnen-
formigen Schlifffliiche 16 ) etwa zwischen 80 m und 8 m betragen, bei
untergeordneten und besonders Freihand-Instrumenten kommen noch
14) Jordan, Handbuch 1, Kap. II u. III.
15) In historischer Hinsicht (Thevenot 1660) sei verwiesen auf E. Wolf,
Handbuch der Astronomic 2, Zurich 1892.
16) Zur Theorie der Libellenschliffflache vgl. F. B. Helmert, Zeitschr. f.
Vermess. 7 (1878), p. 185.
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1. 2
18 VI i, 1. C. Reinhcrtz. Niedere Geodiisie.
starkere Kriimmungen vor. . ,,Dosenlibetten" werden an groberen In-
strumenten sowie zur allgemeinen Einstellung feinerer Instrumente
gebraucht; die Radien der Kugelhauben liegen rund zwischen Y 2 m
und 2 m. Zur Bestimmung der Angaben von Rohrenlibellen und zur
Priifung des Schliffes dient der Libellenpriifer mit Mikrometerschraube
(Legebrett). Die inn ere Flache der Rohrenlibelle, an der die Blase
spielt, ist nach alien Richtungen gekrummt: derjenige in der Mitte
der Flache verlaufende Hauptschnitt, in dem die Kriimmung am ge-
ringsten ist, enthalt die Libellenachse , die als Tangente an den ge-
nannten Hauptschnitt im Hauptstrich der Libellenteilung definiert ist.
Ist die Libellenachse der Yerbindungslinie der Aufsatzpunkte der
Libelle parallel, so ist diese kreuzungsfehlerfrei , was man daran er-
kennt, da6 die Blase ihre Lage bei Drehung der Libelle um die durch
die Aufsatzpunkte gehende Gerade nicht andert. Die Libelle dient
dazu, Achsen vertikal und horizontal zu stellen 17 ). Eine Achse ist
vertikal, wenn eine fest mit ihr verbundene Libelle bei der Drehung
um die Achse ihre Einstellung nicht andert. Um die Horizontalitat
einer Achse zu priifen, wird die Libelle auf ihr umgesetzt (d. h. um
180 gedreht); andert sie dabei ihre Einstellung nicht, so ist unter
der Voraussetzung, daB kein Kreuzungsfehler vorhanden, die Achse
horizontal. Spielt bei vertikaler oder horizontaler Achse die Libelle
auf den Hauptstrich ein, was fur die Benutzung der Libelle nicht
notwendig, aber bequem ist, so heiBt sie ,,berichtigt" ; in der niederen
Geodasie arbeitet man meistens mit berichtigter Libelle. Die Ge-
nauigkeit der Libelle als Lot- und Horizontierinstrument ist, abgesehen
von Nebeuunistanden, abhangig von der Steigkraft der Blase, welche
im allgemeinen mit der GroJBe der Blase und der Starke der Kriim
mung der Schliifkurve zunimmt. Die Genauigkeit der Libellen ist
von C. Reinhertz 1 *} untersucht.
Das Mefifernrolir. Die an den geodatischen Instrumenten in
Betracht kommenden Pemrohre sind stets Kepler sche (astronomische)
mit Okularen nach Ramsden, Huygens oder auch orthoskopischen
Okularen. Die Vergrofierung liegt etwa zwischen den Grenzen
10 45fac-h, und dementsprechend gehen die Objektivoffnungen bis
zu rund 45 mm, die Brennweiten bis zu 50cm. Das Fadenkreuz 19 ) wird
meistens durch ein einfaches, sich rechtwinklig schneidendes Fadenpaar
gebildet (Vertikal-, Horizontalfaden) ; anstatt des einfachen Vertikal-
17) M. d Ocagne, Bull. astr. 1903, p. 51.
18) Zeitschr. f. Instr. 11 (1890), p. 309.
19) Als historische Notiz sei Terwiesen auf R. Wolf, Handbuch der Astro-
uomie 2, Zurich 1892.
6. Die Langenmessung. 19
zielfadens wird auch ein mit rund 1 iy 2 mm scheinbarem Abstand
angeordneter Zieldoppelfaden benutzt, dessen Mittellinie die Einstell-
ebene angibt. Bei Arbeiten im Dunkeln (im Tunnel, in der Grube
beim Markscheiden) wird Beleuchtung des Fadenkreuzes durch Licht-
werfer vom Objektiv aus ; durch die hohle Horizontalachse oder auch
vom Okular aus angewenclet. Bei den Fadendistanzmessern (vgl. Nr. 19)
treten die zum Mittelfaden parallelen Distanzfaden hinzu, wobei
dann auch die Fernrohranordnung nach Porro (vgl. p. 86) zur An-
wendung komnit. Von Wichtigkeit fur die Verwendung des MeBfern-
rohrs ist die damit zu erzielende Ablesegenauigkeit an Skalen
(Nivellier- und Distanzskalen). Daruber ist eine Untersuchung von
lieinhertz} angestellt.
Der Zielfehler der MeBfernrohre beim Einstellen auf scharf be-
zeichnete Ziele kann bis auf einige Zehntel Sekunden herabgebracht
werden; bei Einstellung auf die bei Yermessungen verweudeten Ziele
(Signale, Kirchturme, Stabe usw.) liegt der Fehler im allgemeinen
etwa zwischen 1 L" und 3", wobei Durchsichtigkeit der Luft. Flimmern.
I & 7 <-J 9
Beleuchtung, Hintergrund, Form des Signales usw. neben der Leistung
des Fernrohrs an sich eine erhebliche Rolle spielen, und noch zu
unterscheiden ist, ob es sich urn Einstellungen des Vertikal- oder
Horizontalfadens (Horizontal- oder Vertikal winkelmessung) handelt 21 ).
Beziiglich der weiteren Untersuchungen der verschiedenen geo-
datischen Instrumente, ihre ,,Berichtigung" (Justierung), Bestimmung
der Konstanten usw. ist zu verweisen auf die genannten geodatischen
Lehr- und Handbiicher 22 ).
B. Die fundamentalen Messungen.
6. Die Langenmessung. Grundlegend fur alle Lagemessungen
ist die j.Langenmessuny". Zur unmittelbaren Langenmessung dienen
holzerne MaBstabe (Me/flatten, 3, 4, 5 m lang) mit stahlernen Endfiachen
oder Endschneiden, oder ^tahlmeftMnder" oder ,,Mefidrahte" (10, 20,
25 bis 100 m lang). Die MaBbezeichnung ist fiir die Latten stets die
20) Leop. N. A. 62 (1894), p. 91 ; Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 593, 641 ;
26 (1897), p. Ill, 399; G. Kummer, ibid. 23 (1894), p. 129; 26 (1897), p. 225,
257; C. Wagner, ibid. 25 (1896), p. 449.
21) S. Stampfer, Jahrbiicher des k. k. polytechn. Inst. Wien 18(1834), p. 211.
22) Als alteres Werk ist hinzuzufugen : G. Chr. K. Hunaus, Die geometri-
schen Instrumente, Hannover 1864. Ferner sei hingewiesen auf Chr. A. Vogler,
Abbildungen geodatischer Instrumente, Berlin 1892; W. F. Stanley, Surveying
and levelling instruments, London 1895; M. cVOcagne, Les instruments de pre
cision en France, Paris 1904, p. 21 31.
2*
20 VI i, 1. C. Reirihertz. Niedere Geodasie.
der EndmaBe, sodaB die Mittellinie zwischen den Endflachen oder
Endschneiden den MaBwert angibt; MeBbander sind entweder als End-
maBe (Me.Bbandstabmittellinie) oder als StrichmaBe (Anlegemarken)
aufzufassen. Die Unterteilung erfolgt in m, dm, cm. Die friiher sehr
gebrauchliche ,,Mefikette" ( Gliederkette aus Draht) findet wegen der
Yeranderlichkeit der Glieder bei exakten Arbeiten keine Verwendung
mehr; der ,,Fddzirkel" , ein Stab mit rechtwinklig zu seiner Langs-
achse angebrachten Endspitzen, sowie das ,,Meflrad" mit Zahlwerk
(Hodometer) kommen nur fiir vereinzelte Falle in Betracht. Der
MaBwert 23 ) der Stabe und Bander wird durch ,,Ma fiver gleickung" mit
NormalmaBen (Kontrollnormalen) bestimmt: es ist leicht, die Ver-
gleichung auf 0,1 mm genau auszufiihren. Nach vielseitigen Er-
fahrungen und Untersuchungen - 4 ) ist die Langenanderung von Holz-
maBstaben abhangig von Luftfeuchtigkeit und Temperatur derart, daB
fiir einen Stab von 1 in Lange die Langenanderungen 0,3 mm be-
tragen konnen. Da bei langen Stahlbandern und MeBdrahten die
Lange von der Spannung stark abhtingig ist, werden fiir feinere MeB-
bandraessungen bei Vergleichung und Messung Spannungsmesser (Feder-
dynamometer) eingesehaltet, um eine konstante Spannung zu erzielen.
Die Ausfiihrung der Langenmessung erfordert: 1) Ausrichten der
lotrechten Richtungsebene (,,Linie") zwischen den Punkten, deren ,,Ent-
fernung" zu bestimmen ist; zur Bezeichnung dienen Absteckstabe,
Pfahle usw., in besonderen Fallen auch ausgespannte Schniire. Die
Aussteckung geschieht mit freiem Auge, oder mit einem Handfernrohr
oder mit dem Theodolit (Abloter, Alignementsfernrohr). 2) Einrichten
der einzelnen MeBlage (MeBstab, MeBband) in die ausgesteckte Richtungs
ebene. 3) Einrichten der einzelnen MeBlage innerhalb der Richtungs
ebene in vertikalem Sinne, entweder a) horizontal, oder b) geneigt,
mit Ableitung der Reduktion auf horizontale Lage; die Einrichtung
in die horizontale Lage geschieht entweder durch einfache Schatzung
(nach Lotschnur oder Lotstab) oder mit Hilfe der Setzlibelle (Setz-
wage); zur Reduktion der geneigten Lage auf die horizontale wird
entweder die Neigung mit der Libelle (Lattenreduktor) gemessen, oder
der Vertikalwinkel parallel zur MeBlage (gleich lange Zielstabe) mit
einem Freihandhoheninstrument (Pendel- oder Libellenhohenkreis) ge-
nommen, oder auch der Hohenunterschied h zwischen Anfangs- und
23) Vgl. V 1 (C. Runge}, p. 12.
24) R. Hildebrand, Ann. Phys. Chem. 34 (1888), p. 361; H. Stadfhagen, ibid.
61 (1897) p. 208; Ch. Lallemand, Verbandlgn. der 12. Konf. d. Intern. Erdmessung,
Berlin 1899, Beilage C. I, p. 525 (Bericht uber die Untersucbungen von C. M.
Goulier).
6. Die Langenmessung. 21
Endpunkt der MeBlage benutzt (vgl. Abschnitt Hohenmessung). Die
horizontal Lage ist danach S Q = s n cos , oder bei Verwendung des
Hohenunterschiedes
-- 9 7~9 1 h~
S n h = S n 2 s .....
*
Zur Ableitung der Reduktion dienen Tabellen und anderweitige Hilfs-
mittel. 4) Aneinanderreikung der einzelnen MeBlagen; bei unebenem
Gelande und horizontaler MeBlage, der sog. , 7 Staffelmessung", geschieht
die Aneinanderreihung durch Ablotung mit Fadenlot oder Lotstab und
Libellenstab. Die ,,Entfernung" zweier Punkte ergibt sich demnach
durch dies MeBverfahren als die Summe der Projektionen der ein
zelnen MeBlagen im Messungshorizont. Um die Entfernung s aus
dem Messungshorizont auf die Vermessungsflache (Landeshorizont) zu
projizieren, ist die Reduktion
_
S \R B*
anzubringen 7 wo H die Hohe des Messungshorizonts und R den Erd-
radius bedeutet. In der niederen Geodasie ist diese Reduktion
meistens zu vernachlassigen.
Die bei der Langenmessung entstehenden Fehler sind ihrer Natur
nach teils regelmafiige, welche proportional der durchmessenen
Lange fortschreiten, teils unregelmafiige, welche mit der Quadrat-
wurzel aus der Anzahl der MeBlagen wachsen. Zu den ersteren
gehort die Ausweichung der Mefistangen in horizontalem und verti-
kalem Sinne, die Durchbiegung und bei absoluten Messungen der
Fehler des MaBstabs. Man hat die Abhangigkeit des Fehlers
von der Lange in verschiedener Form zum Ausdruck gebracht 23 ).
Wenn / der regelmaBige, u der unregelmaBige Fehler ist 7 so hat man
1) ]// 2 s^ -\- u 2 s, oder je nach dem Vorherrschen der einen oder
anderen Fehlerart 2) fs (prozentualer Fehler) , 3) uys (sog. Qua-
dratwurzelgesetz) ; unter Hinzunahme des Ablesefehlers a (Abrundung,
Punktbezeichnung) wird die Beziehung 1) zu la) ~J/a 2 -|-/ 2 s 2 -{-w 2 s;
man hat auch angewendet a -f- fs -f- u~}/s und a -j- fs. Als Ausdruck
der praktisch als erreichbar angenommenen Genauigkeit seien einige
in verschiedener Form ausgesprochene J? Fehlergrenzen" der amtlichen
Vermessungsanweisungen (Maximalabweichung zwischen Messungen,
deren Betrag etwa dem 3- bis 4fachen mittleren Fehler entspricht)
fiir Feldmessungen in giinstigem Gelande angefiihrt: PreuBen
2 7 Wiirttemberg 0,01)/s + ; 0005 - s, ElsaB-Lothringen
25) W. Jordan, Handbuch 2, 19.
22 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
0,006^ -f 0,00040 s -f 0,05, Osterreich 0,005]/s -f 0,00015 s -f 0,015,
wobei s in Metern zu rechnen ist. Als zulassige relative Ab-
weichung wird etwa y iooo bis ^^Q genommen. Eine neuere Unter-
suchung uber die Fehler der Langenmessung gibt Reinherte* 6 ).
Bei Messung auf besonders hergerichteten Unterlagen (Eisenbahn-
schienen usw.) ist eine erheblich hohere Genauigkeit zu erzielen;
wahrend z. B. bei Messung kurzer Linien (einige 100 m) auf ebenen
StraBen die zwischen verschiedenen Messungen derselben Linie auf-
tretenden Abweichungen leicht innerhalb weniger cm zu halten sind,
ist das bei Messung auf Schienen oder langs gespannter Schniire fur
Strecken von 1000 in moglich (Y 50000 bis V 100000 ist unter besonderen
Umstanden erreichbar). Genauigkeit (V 200000 und mehr) und Schnellig-
keit vereinigt das Messungsverfahren von Jdderin mit Metalldrahten,
dem neuerdings durch Benutzung eines gegen Temperaturanderungen
fast unempfindlichen Nickelstabls (Invar) als Drahtmaterial eine be-
besonders praktische Form gegeben ist. Die exaktesten Bestimmungen
geben die zur Beschaffung der fundamentalen Langen der Triangu-
lation dienenden Basisapparate (vgl. VI l, 3).
7. Die Winkelmessung.
7 a. Der Theodolit. Das HauptwinkelmeBinstrument der Geodasie
ist der Theodolit. Uber Geschichte und Etymologie vgl. J?. Wolf zl }
sowie die Handbiicher von Chr. Vogler und Jordan 28 ) mit weiteren
Literaturangaben. Der Grundgedanke des Instrumentes, welches meistens
Horizontal- und Vertikalwinkel gleichzeitig, aber unabhangig voneinander
zu bestimmen gestattet, lafit sich zuriickverfolgen bis zur Bliitezeit der
Araber ini 8. Jahrhundert; aber das ini 15. bis 17. Jahrhundert oft
in groBen Dimensionen hergestellte Instrument ist erst in der zweiten
Halfte des 18. Jahrhunderts zuerst durch englische Mechaniker zum
transportablen und exakten geodatischen Instrument ausgebildet worden
und seit Beginn des 19. Jahrhunderts zur allgemeinen Anwendung
gelangt, indem die Kreisscheibeninstrumente (Astrolabien) sowie die
Positionswinkelinstrumente (vgl. p. 11) einschlieBlich der Reflexions-
instrumente (Sextant usw.) aus der Feldmessuug verdriingt wurden.
Das Konstruktionsprinzip des Instrumentes ist unmittelbar in dem
p. 11 angegebenen Grandgedanken des Messens an der Erdoberflache
26) Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 7; 32 (1903), p. 176.
27) Handbuch der Astronomie 2, Zurich 1892, p. 48.
28) Vogler, Prakt. Geom. 1, p. 126 u. 361 (zur Etymologie); Jordan, Hand
buch 2, p. 203.
7 a. Der Theodolit. 23
enthalten, wonach die Richtungswinkel bestimmt werden durch Drehung
um die Vertikale des Messungspunktes, sodafi der Theodolit als
Polarkoordinateninstrument bezeichnet werden kann. Hauptachse ist
die auf dem , ; DreifuB" aufgestellte ,,Vertikalachse" (stehende Achse),
welche mittels der FuBschrauben nach einer Libelle (p. 17) lotrecht
gerichtet wird. Die vom Oberbau getragene ^Horizontalaclise" (, ; Kipp-
achse", liegende Achse) liefert mit der rechtwinklig mit ihr verbun-
denen Ziellinie des ,,Mefifernrohrs" (p. 18) die in den lotrechten
Richtungsebenen wirkende Projektionsvorrichtung. Diese mit Hinzu-
nahme der Ablesezeiger wird als 7 ,Alhidade" bezeichnet. Zur Nivel-
lierung der ,,Horizontalachse" dient die Horizontalachsenlibelle oder
auch die Vertikalachsenlibelle, wobei dann Priifung auf richtige Ablotung
in den Richtungsebenen erforderlich wird (Priifung durch Projektion in
zwei um 180 abstehenden Lagen der Kippachse, Durch schlagen, mit
kiinstlichem Horizont usw.). Fur das Achsensystem des Instrumentes
ergibt sich demnach als Bedingung: Hauptachse vertikal, Kippachse
horizontal, Zielachse des MeBfernrohrs rechtwinklig zur Kippachse
(sog. Kollimation). Sind diese Bedingungen nicht erfiillt, so entstehen
Projektionsfehler; die Abweichungen der Kippachse und der Zielachse
erscheinen in doppeltem Betrage bei Einstellung eines Punktes in n zwei
Lagen des Fernrolirs", welche durch ,,Durcliscldagen" bezw. ,,Umlegen"
des Fernrohrs um die Kippachse und Drehung um die Vertikalachse
um 180 hergestellt werden. Auf diese Weise konnen die Fehler
erkannt, ,,berichtigtf oder durch Messung in zwei Fernrohrlagen und
Mittelbildung im Resultate beseitigt werden. Wegen der Ausfiihrung
der Priifung und Berichtigung ist auf die in der Literaturiibersicht
genannten Handbiicher zu verweisen. Wird der Zielachsenfehler (Kolli-
mationsfebler) mit c, der Horizontalachsenfehler mit -i } der Vertikal-
achsenfehler mit v bezeichnet, so sind fur eine Ziellinie mit dem
Hohenwinkel h die einzelnen Reduktionen ^; *tg/^; i v igh, worin i a
die durch v erzeugte Horizontalachsenabweichung bedeutet. In der
niederen Geodasie wird von der Reduktion nach diesen Formeln kein
Gebrauch gemacht, sondern das Instrument , 7 berichtigt" oder die Fehler
durch ; ,Durchschlagen" des Fernrohrs eliminiert, nur in Ausnahme-
fallen kommt eine Bestimmung in Betracht, wobei dann fiir sehr steile
Zielungen i durch eine Horizontalachsenlibelle fiir jede einzelne Richtung
besonders zu bestimmen ist.
Der Durchmesser der Horizontalkreise (Limbus) betragt je nach
dem Zweck des Instrumentes etwa 10 26 cm (4 10 Zoll). Die Kreis-
teilung ist entweder die 360-Teilung (sog. alte Teilung) oder 400 g -
24 VI i, 1. C. Beinherts. Medere Geodasie.
Teilung (sog. neue Teilung). Die ftir die trigonometrischen Rechnungen
bequemere 400 g -Teilung hat neben der alten Teilung nach und nach an
Boden gewonnen. Der Umstand, daB bei den die Grundlagen liefernden
Messungen der hoheren Geodasie die ,,alte Teilung" beibehalten wird,
steht der Verallgemeinerung der ,,neuen Teilung" entgegen. Da in
der niederen Geodasie die Winkelmessung lediglich zur Vermittlung
der Kenntnis linearer Gro Ben dient, und die gemessenen Winkel oder
Richtungen nicht als ein selbstandiges Ergebnis wie die Winkelkoordi-
naten (Polhohe, Lange) der hoheren Geodasie und Astronomie (Nautik)
zu betrachten sind, und weiterhin die Anwendung der einen oder andern
Teilung nichts an Prinzip und Genauigkeit der Messungen andert, so
kann die Festsetzung der Teilungsart als eine besondere Frage der
Rechentecknik behandelt werden. Bei den preuBischen Katasterver-
messungen 29 ) z. B. sind (bei Vorherrschen der alten Teilung) beide
Teilungsarten nebeneinander zulassig. (Bei den Zahlenangaben dieses
Referates ist nur 360-Teilung angewendet.) Der Kreis wird je nach
dem Durchmesser in YA Y 2 , l / 3 , Vg 030 ) geteilt und entsprechend der
allgem einen Richtungszahlung (vgl. p. 11) rechtslaufig (Uhrzeiger-
bewegung) beziffert. Zur Ablesung dient: Nonius 31 ), Skalen- und
Schraubenmikroskop, welche von der Alhidade getragen werden. Als
Nonius kommt zur Erlangung gleichlaufender Bezifferung fur Kreis-
teilung und Nonien lediglich der sog. J; nachtragende" in Betracht.
Ist T ein Kreisteil, N ein Nonienteil, so ist die Angabe A des Nonius:
T
A = T N = , wo n die Anzahl der Nonienteile (bei den an-
n
angegebenen Kreisteilungen meistens 20, 30 oder 60) bedeutet.
Gebrauchliche Anordnungen sind z. B. T = Y 2 , n 30 oder 60, also
A = 1 oder l / z - T = Y 3 , n = 60, A = Y 3 - Das Skalenmikroskop
gibt durch eine in der Bildebene den Bildern der Kreisteile genau
entsprechende auf Glas geatzte Feinteilung unmittelbar eine weitere
Einteilung in z. B. Yio? Vso? Vso- -^ Kreisteilung in Ye w i r( ^ neuer-
dings meistens das Schraubenmikroskop angewendet. Zur Elimination
der ,,Alhidadenexzentrizitat" werden stets zwei diametrale Ablese-
zeiger verwendet. Weiteres iiber die Anordnung, Priifung und Be-
richtigung der Ablesehilfsmittel, Bestimmung der Exzentrizitats- und
Kreisteilungsfehler geben die genannten Handbiicher 32 ).
29) Anweisung IX.
30) Fiir 400e-Teilung kommt in Betracht %*, y^, y/.
31) Als historische Notiz sei angefiihrt: J?. Wolf, Handbuch der Astro
nomie 2, Zurich 1892, p. 33.
32) Jordan, Handbuch 2, 5462; 3, p. 43.
7 b. Horizontalwinkelmessung. 25
7b. Horizontalwinkelmessung. Die Horizontalwinkel werden
am Horizontalkreis abgelesen. Die in rechtlaufigem (Uhrzeiger-) Sinne
nacheinander erfolgende Einstellung von Objekten P]_P 2 bezw.PjPg . . . P n
bei Winkel- bezw. Richtungsmessung (vgl. p. 11) ergibt in einer Fernrohr-
lage (I) die Richtungswerte r r 2 bezw. r r 2 f . . . r n je als Mittel aus beiden
Zeigerablesungen, bei den (in der Regel in umgekehrter Reihenfolge vor-
genommenen)EinstellungeninFernrohrlage(II) t\"r 2 " bezw. ^ V/ .-.r/ ,
und als Mittel hieraus die von den erwahnten Achsen- und Exzen-
trizitatsfehlern befreiten Ergebnisse r x r 2 bezw. t\r 2 . . . r n . Eine solche
Richtungsreihe bezeichnet man als ,,Satz" (Gyrus). Bei Wiederholung
der Messung wird zur Herabminderung des Einflusses der Kreisteilungs-
fehler bei Ablesung an zwei diametralen Zeigern in mehreren um
0/ A
- voneinander abstehenden Kreisstellungen gemessen (s = Anzahl
2 S
der Satze). Um die Richtungswerte verschiedener Kreislagen in ein-
facher Weise, zunachst fiir die Mittelbildung, vergleichbar zu machen,
werden dieselben auf irgend eine Richtung (Anfangs-, Nullrichtung)
bezogen, z. B. t\ r x = = Q^ r^-r i = Q^ ... r n r l = Q n . Da
nun bei den Theodolitmessungen der niederen Geodasie grundsatzlich
mit (in Bezug auf Achsen-, ev. Mikroskopfehler) ;; berichtigtem" In
strument gearbeitet wird, und die ubrigen Fehler oder Fehlerreste
durch Beobachtung in zwei Fernrohrlagen, mit Ablesung an zwei
diametralen Zeigern und iu symmetrisch u ber den Kreis verteilten
Lagen, moglichst eliminiert werden, so findet eine Korrektur der ein-
zelnen Ablesungen nach Teilungs-, Mikroskopfehlern usw. in der Regel
nicht statt. Bei den Genauigkeitsvergleichungen wird als Beobachtung
vom Gewicht 1 (Geiviclitseinheit p. 14) in der Regel eine in Beiden Fern-
roltrlayen" in der angegebenen Weise gemessene ,,RicMung" genommen.
Der mittlere Fehler derselben ist bei den fiir die verschiedensten Zwecke
konstruierten kleinen oder groBeren Instrumenten verschieden; fiir
Nonientheodolite kleinster Konstruktion kann etwa angenommen werden
+ 15", fiir grofiere Mikroskoptheodolite kann er bis unter + 1" herab-
gebracht werden, fiir Instrumente mittlerer GroBe (13 -15 cm Durch-
messer) betragt er, je nachdem Mikroskop- oder Nonienablesung an-
gebracht ist, etwa + 2" bis + 6". Die einfachste Ableitung des
mittleren Messungsfehlers fiir Richtungsmessungen ergibt sich aus
einer Anzahl gleichartiger Satzbeobachtungen auf Grund des arithme-
tischen Mittels nach nf r = + l/c IliY7 ITri wenn v ^ e ,,zufallige"
Abweichung gegen das arithmetische Mittel, r die Anzahl der Rich-
tungen und s die Anzahl der Satze bezeichnet. Die Beziehung zwischen
Richtungs- und Winkelfehler ist m w = ^r_m r 1/2.
26 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
Wird der Theodolit mit einem doppelten Achsensystem versehen
derart, daB z. B. die Alhidadenachse in der Kreisachse und diese wieder
im Unterbau drehbar und feinstellbar ist, so kaim durch abwechselnde
Drehung um diese Achsen eine mechanische Addition ernes Winkels vor-
genommen werden. 1st die Ablesung in der Anfangslage beirn Zielpunkt
links r , in der Endlage nach n Additionen r,, so ist w = (r r X
ct/ e/ M \ e a/
Zur Elimination der Achsenfehler wird die Halfte der Repetitionen in
der zweiten Fernrohrlage ausgefiihrt. Naheres iiber die Anordnung des
Achsensystems und die Ausfuhrung der Messungen geben die geodati-
schen Handbiicher. Diese Methode (zuerst Multiplikation, spater Re
petition der Winkel genannt) wurde von Tobias Mayer 1752 begriindet
und gait wegen der Herabminderung der Teilungs- und Ablesefehler
lange Zeit als maBgebende Winkelmessungsrnethode (z. B. wurde sie
auch von Gaufi bei seiner Grradmessung angewendet) ; bis sie zu
gunsten der zuerst von F. G. W. Stmve und F. W. Bessel ausgebildeten
satzweisen Richtungsmessungsmethode mehr und mehr verlassen
wurde 33 ). Zurzeit ist das Doppelachsensystem nur noch fur kleinere
und mittlere Instrumente in Benutzung und teilweise unentbehrlich.
Fiir Prazisionsinstrumente wird (bei durchweg guter Kreisteilung) das
Repetitionsachsensystem niclit mehr verwandt, weil bei der Repetition
systematische, im Achsengang begriindete, mechanische Einwirkungen
auftreten, welche schon Gaufii 1 Bedenken erregten. Wird von diesen
letzteren abgesehen, so ist die Fehlerbeziehung fiir einen w-fach
repetierten Winkel +!/ f^ 2 ~f~ } } gegeniiber der w-maligen Satz-
messung + (a~ -|- /3 2 ), wenn a bezw. /3 die unabhangigen Ziel-
f W
bezw. Ablesefehler bedeuten 33 ).
7 c. Vertikalwinkelmessung. Der Vertikalkreis ist zentrisch auf der
Kippachse des Fernrohrs angebracht, entweder fest oder auch zur
Elimination von Teilungsfehlern drehbar. Erforderlich ist eine Vertikal-
kreislibelle parallel zur Kreisebene, entweder in fester Verbindung mit
der Hauptvertikalachse oder auf der Vertikalkreisalhidade, durch welche
fiir jede Hohenrichtung dem Zeiger eine konstante Stellung erteilt
werden kann; die Messung der einzelnen Hohenrichtungen ist also
voneinander unabhangig und gegriindet auf die Nivellierung des
33) Jordan, Handbuch 2, 03; 3, p. 41; G. Friebe, Zeitschr. f. Vermess.
23 (1894), p. 333; Nippa, ibid. 25 (1896), p. 675. Das Mitschleppen des Kreises
wird durch Messen von links nach rechts und dann von rechts nach links zum
Teil eliminiert.
7c. Vertikalwinkelmessung. 8a. Allg. iiber die geod. Koordinatensysteme. 27
Zeigers. Die Bezifferung des Kreises ist verschieden, entweder durch-
laufend oder mit beliebiger Nullpunktlage, oder nach Zenitwinkeln
oder Hohen- bezw. Tiefenwinkeln, sodaB bei wagerechter Zielung die
Ablesung 90 bezw. sich ergeben soil. Bei der Messung ist
demnach bei scharf einspielender Vertikalkreislibelle der Horizontal-
faden auf den Zielpunkt einzustellen, oder bei eingestelltem Zielpunkt
die Vertikalkreislibelle abzulesen und danach die Hohenrichtung zu
reduzieren.
An einem Instrument mit t estem Kreis soil bei einspielender
Libelle bei genau borizontaler bezw. vertikaler Ziellinie die Ab
lesung bezw. 90 (je nach der Bezifferung) sein; die Abweichung
davon ist der ^Indexfehler" : , Avelcher bei Messung einer Hohen
richtung in ,,beiden Fernrohrlagen" (Kreis links und rechts) in
doppeltem Betrage sich in den Ablesungen zu erkennen gibt, im
Mittel beider Fernrohrlagen eliminiert ist, oder auch an Fadenkreuz,
Libelle (ev. auch an jedem Zeiger je fur sich) korrigiert werden kann.
Der Betrag des Indexfehlers ist abhangig von der gegenseitigen
Stellung von Kreisnullinie, Ziellinie, Zeiger und Libellenachse und
muB fiir zwei zusammengehorige Messungen in beiden Fernrohrlagen
konstant sein. Bei der Anwendung auf trigonometrische Hohen-
messungen kommt wohl zur Herabminderung der Kreisteilungsfehler
Beobachtung in mehreren Kreisstellungen in Betracht, was bei Fein-
messung stets der Fall ist; in den meisten Fallen wird aber in der niede-
ren Geodasie mit festem Hoheukreis in einer Kreisstellung gemessen.
Bei im tibrigen gut berichtigtem Instrument wird der EinfluB eines
etwa noch vorhandenen Kippachsenfehlers fiir die Vertikalwinkel
messung ebenso wie der der Fernrohrbiegung auBer acht gelassen,
bezw. durch Beobachtung in beiden Fernrohrlagen als eliminiert an-
gesehen. Der mittlere Fehler einer Vertikalwinkelmessung entspricht
im allgemeinen in rein instrumenteller Hinsicht der einer Horizontal-
winkelmessung mit gleicher Ablesungsgenauigkeit unter Hinzunahme
des Libelleneinstellungs- bezw. Ablesungsfehlers; bei der Anwendung
tritt aber hinzu der EinfluB der Refraktionsunsicherheit (vgl. p. 79).
C. Die Lagemessungen.
8. Die Koordinatensysteme der Lagemessungen.
8 a. Allgemeines iiber die geodatischen Koordinatensysteme. Die
rechnerisch erlangten Ergebnisse geodatischer Punktbestimmungen
werden zahlenmaBig ausgedriickt durch die auf die mathematische Erd-
oberflache (Normalnullflache) bezogenen Koordinaten. Als Ausdruck fiir
28 VI i, 1. C. Eeirihertz. Niedere Geodasie.
die gegenseitige Lage von Punkten der Erdoberflache bieten sich zu-
nachst Polarkoordinaten dar, d. i. die ,,Entfernung" s zweier Punkte
und der ,,Richtungswinkel" r, den diese Linie (Vertikalebene) mit
einer bestimmten der Zahlung als Ausgang dienenden Richtung
(z. B. der Nullstrichrichtung eines Kreises) einschliefit. Die Polar
koordinaten s und r, welche das umnittelbare Ergebnis der Langen-
und Richtungsmessungen darstellen, werden dementsprechend allgemein
nur als Ausdruck fur die gegenseitige Lage benachbarter Punkte
verwendet, nicht aber zur Lagebestimmung beliebig gelegener, zahl-
reicher Punkte gegen einen einzigen Ausgangspunkt (Pol). Wenn
zahlreiche Punktbestimmungen auf grofie Stiicke der Erdoberfliiche
(ganze Lander, Landesvermessung) ausgedehnt werden, so werden
die Punktorte in ,,geographischen Koordinaten" (Breite oder Polhohe cp
und L ange A) ausgedriickt, ebenso wie bei den auf astronomischem Wege
ausgefiihrten ,,0rtsbestimmungen". Diese ,,geodatischen Koordinaten"
cp, A werden aus der Triangulierung durch Vermittlung der Polarkoor
dinaten s, r y bezogen auf einen astronomisch orientierten Ausgangs
punkt, unter Zugrundelegung der ellipsoidischen Erdfigur berechnet.
(Vgl. YI i, 3.)
Wahrend nun fur die einheitliche Darstellung der Ergebnisse
einer sich iiber ein groBes Stiick des Erdellipsoides erstreckenden
Triangulierung (,,Landestriangulierung") und die als Gradabteilungs-
karten behandelten topographischen Kartenwerke jene ,,ellipsoidischen
Winkelkoordinaten" y, A unmittelbar gebraucht werden, sind die-
selben nicht geeignet fiir die Spezialvermessungen, die Linien-
und Winkelmessungen rechnerisch verbinden, z. B. die staatlichen
Katasteryermessungen. Fiir die iibersichtliche Darstellung der Ergeb
nisse dieser Spezialvermessungen (Kleintriangulierung, Polygonisierung
und Einzelaufnahme, vgl. dieNrn. 9 13) muB die Beziehung zwischen
den unmittelbaren Messungen und dem Ausdruck fiir die Punktorte
(Koordinaten), d. h. also das anzuwendende Rechnungsverfahren ein-
facher sein, als es das die Punktorte in Bezug auf die Erdachse an-
gebende System der sog. geographischen Koordinaten gestattet. Dies
wird erreicht durch ,,Linearkoordinatensysteme" , welche gewonnen
werden durch zwei auf der ,,mathematischen Erdoberflache" sich recht-
winklig schneidende Richtungslinien, ,,geodatische reclitwinkliye Koor
dinaten". Bei Voraussetzung einer ebenen Yermessungsflache ent-
sprechen dieselben unmittelbar den ebenen rechtwinkligen Koordinaten
y, x der analytischen Geometric, bei Riicksichtnahme auf die Kriimmung
der mathematischen Erdoberfliiche ergeben sich daraus die recht
winkligen ,,spharischen", bezw. ,,ellipsoidischen" Linearkoordinaten. Die
8b. Rechtwinklige ebene Koordinaten. 29
Theorie der ,,ellipsoidischen Linearkoordinaten" gehort zur ; ,hoheren
Geodasie", VI i, 3.
8 b. Rechtwinklige ebene Koordinaten. Im Vermessungs wesen muB,
um bei den umfangreichen Zahlenrechnungen ein eindeutiges Formelsystem
zu erhalten, wenigstens fiir ein zusammenhangendes Vermessungswerk
(Landesvermessung) eine bestimmte Richtungszahlung ein fiir allemal
festgestellt und innegehalten werden. Vollstandige TJbereinstimmung
besteht nicht; auf Grund der wichtigsten Vermessungsanweisungen
und Lehrbiicher (p. 5, 6) kann jedoch als maBgebend angenommen
werden, daB in derniederen
4- x,
Geodasie die Zahlung von
-|- x iiber -f~ 1 J i m Sinne
der Uhrzeigerbewegung
durchlaufend in Uberein-
stimmung mit der Beziffe-
rung des Horizontalkreises
desTheodolitserfolgt(Fig.l),
womit also die Quadranten-
zahlung (I. Quadrant zwi-
schen -|- x und -j- y usw.)
gegeben und bestimmt ist,
daB von -f- x aus die , ; Rich-
tungen" von bis 360
durchgezahlt werden. Die an Fig. 1.
sich willkurliche Auswahl
der 7 ,Hauptrichtachse" X wird bei vereinzelten, unabhangigen Kleinauf-
nahmen in passender Weise, z. B. zusammenfallend mit einer Haupt-
messungslinie, einer Dreiecks- oder Polygonseite, angeordnet, etwa so,
daB alle Punkte des begrenzten Vermessungskomplexes in den I. Quad-
ranten fallen. Zuweilen werden auch die Koordinaten dadurch orientiert,
daB der 7; magnetisc}ie Meridian" des Aufnahmegebietes die X-Achse
bestimmt (mit oder obne Beriicksichtigung der magnetischen Dekli-
nation), oder daB grobe astronornisclie Orientierung (korrespondierende
Sonnenhohen usw.) vorgenommen wird. Erhalt eine solche fiir sich
selbstandig ausgefiihrte Vermessung nachtraglich AnschluB an ein be-
stehendes oder neugewonnenes Vermessungssystem, oder wird sie von
vornherein auf Grund von bereits in einem gegebenen Koordinaten-
system vorliegenden Punktbestimmungen ausgefiihrt, so ergeben diese
iibergeordneten Systeme die Orientierung fiir die Neuaufnahnien. Die
Beziehungen zwischen den Koordinaten y, x und den zugehorigen (ge-
messenen oder zu messenden) Polarkoordinaten Entfernung s, System-
30
VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodlisie.
oder Netzrichtungswinkel (Direktionswinkel) 34 ) n sind die folgenden
(Fig. 2):
>jy Ql /\ fit . . . . O Cm /M /Y> />* _ _. /\ /V O f*f\Q M
Wo W-* {* 17 1 o o olJJ. rv<t a . *.Q i//- _i tX- i 9 O OV/o fv-t o *
s = >/A ^1 -(- A a;^ ; w 12 == arctg - - 1 : ; 21 = w 12 + 180.
Die in Betracht kommenden Aufgaben sind also: 1) Gregeben i/ 1; ^; ge-
messen s l} M 12 ; gesucht / 2 , a; 2 ; 2) Umkehrung: gegeben y lt x 1} y%, 2 ;
Fig. 2.
gesucht s, w 127 w 21 -, 3) Ableitung der im Koordinatensystem 77 orien-
tierten Richtungen" (Netzrichtungen) n ln aus den unmittelbar beob-
achteten Kreisablesungen am Theodoliten, den gemessenen Ricntungen r
oder Winkeln w. Es ist r ln -f- o = n ln , wozu die , ; 0rientierung"
o zu ermitteln ist, und mindestens eine Richtung bereits orientiert sein
muB. z. B. w 19 = arctg- ? - : o = w 19 r 19 . Liegen mehrere Rich-
/ 12 O /y /v> / X A* O
2 1
tungen zur Orientierung vor ; |so entsteht eine Ausgleichungsaufgabe (vgl.
p. 48). Liegt nur ein Winkel w vor ? so ist z. B. w = r u r 12 =w 13 n 12 ,
womit der Winkel aus beiden Netzrichtungen, oder die eine Richtung
aus der audern durch den Winkel bestimmt ist.
8c. Rechtwinklige spharische Linearkoordinaten. Wenn Ver-
messungen groBere Ausdehnung annehmen, so tritt (wie friiher angegeben)
zunachst anStelle der 7 ,ebenen" die ,,kugelformige u Vermessungsflache; das
,,ebene Koordinatensystem" erweitert sich zum ,,spharischen". Als
34) Fiir den Richtungswinkel ist bei dem preuBischen Kataster die Bezeich-
nung Neigung ublich. Der auch zuweilen gebrauchte Ausdruck Azimut bleibt
besser dem astronomischen Azimut vorbehalten. Andere Namen sind Bestim-
mungswinkel und Siidwinkel. Vgl. Hammer, Trigonometric, Anmerk. 67, p. 559.
8c. Rechtwinklige spharische Linearkoordinaten. 31
Hauptrichtachse (X-Achse) dient der Meridian des passend gewahlten
, } Koordinatenmdlpimktes", womit die Orientierung des Punktsystemes
gewonnen ist. Diese Orientierung erfolgt wieder aus etwa vorhan-
denen Bestimmungen (Koordinaten y n , x^) oder kann direkt nach irgend
einer Methode der astronomischeii Azimutbestimmung vorgenommen
werden (z. B. Winkelmessung zwischen Polarstern und einer geodatischen
Richtung). Entsprechend den Bezeichnungen fiir das ebene System
sind nun die 7r Abszissen" der Punkte 1 und 2 die Meridianbogen x
und X 2 des Nullpunktmeridians, gerechnet vom eingefiihrten Null-
punkt bis zum ; ,FuBpunkt" der Ordinaten y l7 y% } welche durch die
rechtwinklig zu ihm stehenden (im Querschnittpol konvergierenden)
,,Querschnittbogen" y 1} y% gebildet werden. Die Entfernung s ist der
Erdbogen (GroBkreisbogen) zwischen 1 und 2; die in 1 und 2 ge-
legten 77 Meridianparallelen" bestimmen in ihrem positiven Zweige (ent-
sprechend der -|- X-Richtung) die Anfangsrichtung fiir die Zahlung
der ,,Riclitimgswinkel" 12 bezw. n n , welche der Erdbogen s mit
diesen positiven Zweigen der Parallelen einschlieBt. In TJberein-
stimmung mit den oben fiir die Ebene gegebenen Beziehungen sind
nun die fiir das in Frage kommende Anwendungsgebiet in der Regel
hinreicbenden Formeln 35 ) (R = Erdradius, Q hier und stets im fol-
genden Faktor zur Verwandlung von Bogen- in WinkelmaB)
s ^M.cos 2 ^,, s s sin. a cos 3 n. ,
nt at - C C31T1 <M
2 9i ~
sy 9 2 cos , , s 3 sin 2 n, 9 cos n,
z
^/2 snw u cosw ]2 . . .
4_ 180 M S 5* n _ ^sin OTl2 co.s Mli ,
"21 "12 HI - L0 ^ _^2 V 2 J2 S "
Die Vergleichung mit den Formeln des ebenen Systems laBt die
spharischen Zusatzglieder erkennen, welche die Beriicksichtigung der
Erdkugelkriimmung im Vergleich zur ebenen Rechnung erforderlich
macht. Die Entscheidung iiber die Vernachlassigung der spharischen
Glieder hangt von der Genauigkeit ab, mit der die Punktabstande und
Richtungswinkel durch die Rechnung wiedergegeben werden sollen.
35) Jordan, Handbuch 3, 46.
32 VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie.
Tragt man die Koordinaten (y, x) als ebene rechtwinklige Koordinaten
auf, so erhalt man eine Kartenprojektion (Soldner sche Projektion 36 )).
Die Verzerrungen derselben wachsen hauptsachlich mit wachsendem y
im Verhaltnis --^-j, so daB ihr zu beiden Seiten des Nullmeridians
bei den heutigen Anforderungen uur eine Ausdehnung von 30 bis
50 km gegeben werden kann. In der Meridianrichtung kann sie sich
liber mehrere Breitengrade erstrecken, wie die Rektifikation der Erd-
meridianellipse zeigt.
Nehmen zusammenhangende Vermessungen so groBe Ausdeh-
nungen an, wie die iiber das gesamte Gebiet eines Staates ein-
heitlicli sich erstreckenden ,,Katastervermessungen", so tritt die
Notwendigkeit hervor, einerseits moglichst einfache und bequeme
Rechenmethoden beizubehalten, andererseits dafiir zu sorgen, da6
der Zusammenhang zwischen den der Natur der Sache nach ge-
trennt und unabhangig voneinander vorzunebmenden Spezialver-
messungen streng gewahrt bleibt, sodaB jeder Messungspunkt auf der
zu Grunde gelegten matbematischen Erdoberflache die ihm im Ver-
gleich zu alien andern Punkten zukommende Lage erhalt. Dazu ist
als Grundlage erforderlich eine einheitliche Haupttriangulierung und
im AnschluB an diese fur groBe Staaten (z. B. PreuBen) die An-
ordnung einer Eeihe von Einzelkoordinatensystemen , die durch diese
Triangulierung orientiert sind. Die durch die grundlegende Landes-
triangulierung gelieferten ellipsoidischen Winkelkoordinaten 95, A werden
innerhalb der Einzelsysteme in ellipsoidische Linearkoordinaten y, x
verwandelt, sodaB innerhalb der begrenzten Einzelsysteme je nach
den Punktabstanden spharisch (mittlerer Kriimmungsradius) oder eben
gerechnet werden kann. Die Beziehung der Ellipsoidkoordinaten q>, A
und y, x zu einander gehort in das Gebiet der ;; hoheren Geodasie".
Die Anordnung der Einzelsysteme erfolgt in verschiedener Weise,
entweder nach runden Werten der geographischen Koordinaten oder
Verwaltungsbezirksgrenzen, wie z. B. in PreuBen, wo 40 Spezialsysteme
mit y bis 60 km bestehen. Anstatt einen Meridian als Hauptachse
anzunehmen, kaiin dazu auch der Querschnittbogen des Normalpunktes
genommen werden, wodurch die Bedeutung von x und y sich um-
kehrt. Die Methode der Punktortangabe durch rechtwinklige Koordi
naten auf der gekrummten Erdoberflache ist aus den franzosischen
36) Die Soldner schen Entwickelungen sind publiziert in: Bayerische Landes-
vermessung in ihrer wissenschaftlichen Grundlage, Miinchen 1873; vgl. ferner
J. Bohnenberger, De computandis dimensionibus trigonometricis etc., Tubingen
1826, 1516; Jordan, Handbuch 2, Kap. VII; 3, Kap. V und VII.
8d. Konforme rechtwinklige GauB sche Koordinaten. 33
Messungen gegen Ende des 18. Jahrhunderts iibertragen worden und
dann zuerst irn heutigen Sinne rational! entwickelt und zur Anwendung
gekommen bei der zu Beginn des 19. Jahrhunderts in Angriff ge-
nommenen bayerischen Landesvermessung durch SoMner 36 ). Nach dem
Vorgange Bayerns sind rechtwinklige spharische Soldner sche Koordi
naten fast allgemein bei den Katastervermessungen eingefiihrt worden.
Die Formeln sind zunachst von J. Bohnenberger weiter entwickelt worden
und in neuerer Zeit besonders durch Jordan 36 ).
Sd. Konforme rechtwinklige GauB sche Koordinaten. Bei der
hannoverschen Landesvermessung hat C. F. Gauft (vgl. Werke, Bd. 9)
das Prinzip der konformen Abbildung (fur die Kartenprojektiou schon
friiher verwendet) zum erstenmal auf geodatische Punktbestimmungen
iibertragen. Durch Einfiihrung der Bedingung der Ahnlichkeit der
von der gekriimmten Erdoberflache (Kugel) auf eine ebene Berech-
nungsflache abgebildeten unendlich kleinen Figuren ergeben sich, wenn
wieder der Meridian des Nullpunktes als ebene Abszissenachse (Kar-
tenmittellinie des umhiillenden Zylindermantels) angenommen wird,
die Abszissen ebenso wie bei dem Soldner schen System, die ebenen
Ordinaten t) dagegen erscheinen im Vergleich zu den spharischen
(natiiiiichen) uni einen von der GroBe der Ordinate und der Erd-
kriiinmung abhangenden Betrag geandert. Die Erdbogen s bilden
sich zwischen den projizierten Punkten als schwach gekriimmte Linien
ab; die Richtungswinkel T der Tangenten in den Anfangspunkten
der Bogen weichen nur urn einen geringen Betrag von den Richtungs-
winkeln it der geraden Verbindungslinien ab. Bezeichnet die gerad-
linige Entfernung in der jt)- Ebene und s, wie oben angegeben, die
spharische Entfernung, so gelten die Formeln 37 ):
r x- ti u 4- -^-- q
6A >8
T = " -
Die Vergleichung der Zusatzglieder fiir die Strecken und Richtungs
winkel mit denjenigen der Soldner schen Rechnung zeigt, daB bei den
(rawyS schen Koordinaten fur die Strecken der Faktor cos 2 w wegfallt,
d. h. entsprechend dem Prinzip der konformen Abbildung die Strecken-
verzerrung nach alien Richtungen dieselbe ist und gleich dem Maximal-
betrag derselben bei den Soldner schen Koordinaten fiir n = 0. Wird
dies Zusatzglied nicht beriicksichtigt, so ist die mittlere Streckenver-
zerrung bei den (rau/3 schen Koordinaten groBer; soil das Glied aber
37) Jordan, Handbuch 3, 50.
Encyklop. d. math. Wiasenscli. VI 1.
34 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
beriicksicbtigt werden, so ist das wegen der Unabhangigkeit von der
Ricbtung bei diesen einfacber als bei den Soldner schen, da, sobald die
Strecken oder (y% y^ klein sind, das Glied ortlicb konstant ist. Die
Vergleichung der Zusatzglieder fur die Ricbtungsreduktion zeigt, daB
das erste Glied bei beiden Arten von Koordinaten klein ist, daB das
zweite bei den Soldner schen Koordinaten von 7/ 2 abhangige Glied bei
den Graw/Tschen nicht vorkommt, wahrend bei diesen das zweite Glied
uberbaupt nur sebr gering ist, d. b. bei der konformen Projektion ist
die Vernachlassigung der Ricbtungsreduktion verhaltnismaBig belang-
los. Die Theorie der 6raw/J schen Koordinaten fiir das Ellipsoid ist
zuerst von 0. Schreiber 56 ) dargestellt, und spater in die Berechnungs-
arbeiten der preuBiscben Landesaufnahme eingefiibrt worden. In letzter
Zeit hat Jordan 39 ) die Vorziige der konformen Koordinaten beson-
ders bervorgehoben und dieselben auch fiir die Einfiihrung bei den
Spezialvermessungen empfoblen. Das alte klassiscbe Gaufi sche Koor-
dinatensystem mit dem Nullpunkt Gottingen ist bei den preuBischen
Katastervermessungen aufgegeben worden. Ein konformes Koordi-
natensystem (Kegelprojektion) hat Mecklenburg 40 ). Weiteres iiber
Kartenprojektionen findet man in VI l ? 4 (R. Bourgeois).
8e. Koordinatentransformation. Sowohl bei Kleinmessungen, bei
welchen als Richtachsen irgend welche Messungslinien gewahlt wurden^
als auch bei geodatischen Koordinatensystemen (bier besonders an
den Systemgrenzen) tritt haufig die Aufgabe der Umwandlung von
rechtwinklig ebenen Koordinaten von einem System in das andere
auf. Hierbei wird statt der allgemeinen Transformationsformeln
y = 2/o + 9 cos E -J- l sin e
x = X Q -f- J cos ty sin e
haufig besser nach Koordinatenunterschieden von Punkt zu Punkt
Ay = At) cos -f~ A sin
A# = Aj cos s At) sin s
gerechnet, wobei sich in den AbschluBkoordinaten eine Rechenprobe
ergibt. Die Differenz der Systemrichtungen ist in der Regel aus
in beiden Systemen gegebenen Koordinaten abzuleiten, sodaB auch
diese Ableitungen in die Rechenformeln fiir die Transformation un-
38) Theorie der Projektionsmethode der hannoverschen Landesvermessung,
Hannover 1866.
39) Zahlreiche Artikel in Zeitschr. fur Vermessungswesen von 1894 bis 1899.
40) GroBherzoglich Mecklenburgische Landesvermessung, V. Teil, Schwerin
1895; Jordan, Handbuch 3, p. 335.
8e. Koordinatentransformation. 9 a. Allgemeines iiber Triangulierung. 35
mittelbar eingefiihrt werden. Sehr haufig (z. B. an den auf der
mathematisclien Erdoherflache gleichartig orientierten Systemgrenzen,
p. 32) sind die Richtungsdifferenzen s der Systeme sehr klein,
sodaB die Koordinatenanderungen als Differentiale aufgefaBt und
dementsprechend die Rechnungen vereinfacht werden konnen 41 ).
9. Die Punktbestimmung durch Triangulierung.
9 a. Allgemeines iiber Triangulierung. Die Aufgabe der Triangu
lierung ist, fiir ein im Gelande dauerhaft bezeichnetes System von Fest-
punkten (,,Dreieckspunkt", ,,trigonom. Punkt" oder ,,Station") durch Win-
kelmessung mit dem Theodolit die Lage ihrer Projektionen auf die Ver-
messungsflache in geodatischen Koordinaten zu bestimmen. Die Methode
ist von W. Snellius^ in der Absicht ersonnen, die zeitraubende und
praktisch oft nicht durchfiihrbare direkte Messung langer Strecken zu
ersetzen und ist von ihm 1610 bei der Messung eines Meridian-
bogens zur Ausfuhrung gebracht. Im Gelande werden Punkte derart
ausgewahlt, dafi ihre Verbindungslinien ein System von Dreiecken
bilden. Wenn nun in diesen Dreiecken die Winkel (oder die Rich-
tungssysteme auf den Stationspunkten) sowie fiir irgend eine Linie
des Systemes die Lange unmittelbar gemessen werden, und weiterhin
noch das Azimut irgend einer Linie oder ihr Richtungswinkel in einem zu
Grunde gelegten Koordinatensystem bekannt ist, so konnen fiir samtliche
Dreieckspunkte die Koordinaten und hieraus alle etwa erforderlichen
weiteren Punktabstande, Richtungen und Winkel berechnet werden. Im
Rahmen der ;; niederen Geodasie" handelt es sich hierbei stets um Punkt
bestimmung im rechtwinkligen Koordinatensystem mit 7; ebener" oder
, ; spharisclier" Rechnung (vgl. p. 29), und zwar in der Regel um
,,EinscliaUungs-Triangulierungen" in die als gegeben betrachteten iiber-
geordneten Punktsysteme einer Landestriangulierung. Es kommen
jedoch fiir kleinere Gebiete auch selbstandige in sich geschlossene
Kleintriangulierungsnetze vor, bei denen dann entweder fiir eine Linie
durch besondere ,,Basismessung" mit MeBlatten oder MeBband (vgl.
Anordnung und Genauigkeit p. 19) mit eventueller Einfiigung eines
,,Basisnetzes u (vgl. VI 1, 3) das LangemnaB eingefiihrt, oder auch
41) Weiteres hieriiber sowie iiber die Transformation zusammenhangender
trigonometrischer Netze findet man bei Jordan, Handbuch 2, 68 und F. G.
Gaufi, Rechnungen der FeldmeBkunst, Kap. V; fur amtliche Rechnungeu mit
Formularen vgl. Anweisung IX.
42) Eratosthenes Batavus, de terrae ambitus vera quantitate, Lugduni
Batavorum 1617. Historisches bei J. D. van der Plaats, Tijdschr. v. Kadaster
en Landmeetkunde 5 (1889), p. 1 und G. B. H. de Balbian, ibid.; ferner Jordan,
Handbuch 1, p. 453.
3*
36 "VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodiisie.
aus einer vorhandenen Triangulierung entnommen wird, und nur das
Richtungsnetz der Neuarbeit an sich als selbstandiges System auf-
gefaBt wird, wie das z. B. yorkommt bei Stadtvermessungen, Tunnel-
triangulierungen und anderen Aufgaben 43 ).
Die grundlegenden Triangulierungen fiir die Erd- und Landesver-
messung, welche sich iiber weite Gebiete hinziehen und Rechnung
auf der ellipsoidisclien Flache erforderlich machen, rechnet man zur
,,hoheren Geodasie". Man untersclieidet dementsprechend ^Hauptf -,
,,Zwischen"- und ,,.B7em"-Triangulierung, oder Triangulierung I. ? II.,
III. und IV. (auch V.) ,,0rdnung". Durch diese bei Landesverniessungen
stufenweise einander untergeordneteu Systeme werden die Punktab-
stande (Dreiecksseiten) nach und nach von etwa 50 km und mehr
bis zu einigen km, und fiir die Spezialvermessungen bis zu 1 km, ja
Y 2 km herabgefiihrt, wobei gleichzeitig stufenweise die Messungs- und
Rechnungsmethoden eine entsprechende Modifikation erfahren, und
der Ubergang von der ellipsoidisclien Rechnung zur ebenen Rechnung
der Kleinmessungssysteme vollzogen wird.
Die zunachst bei einer Triangulierung vorzunehmenden Arbeiten
sind: A) ,,Erkundung cles Netzes", Auswahl und sachgemafie Ver-
teilung der Punkte im Gelande; B) dauernde Bezeichnung ( ;; Vermar-
kung") der Punkte, z. B. durch einen Stein mit eingemeiBelteni Kreuz-
schnitt mit unterirdischer Versicherung durch eine ahnliche Marke;
C) Sichtbarmachung (,,Signalisierung") der so bezeichneten Punkte
fiir die Winkelmessung durch lotrecht gerichtete Stangen, Signaltafeln ;
Signalpyramiden. Fiir groBere Entfernungen und besondere Verhalt-
nisse wird auch vom Heliotrop (vgl. VI 1, 3) (rebranch gemacht.
GroBe Bedeutung haben als Signale die Kirchtiirme, deren Helmstangen-
Mittellinien als Zielpunkte in ausgiebiger Weise verwendet werden.
9b. Zentrierung. Kann der Theodolit nicht genau iiber einem
solchen Vermarkungsstein aufgestellt werden, oder ist, wie z. B. bei
Kirchtiirmen, das ^Zentrum der Station" als Instrumentstandpunkt
nicht zuganglich und muB auf einem ^Nebenstandpuiikt" (Galerie usw.)
beobachtet werden, oder ist umgekehrt ein J$ebenzidpunkt ii erforder
lich, so handelt es sich um das ,,Zentrieren" der Beobachtungen, d. h.
Umrechnung auf zentrale Sicht. Wird das auf dem ,,exzentrisclien
Standpunlet" S gemessene Richtungssystem r i} * 2 , . . ., r n auf die Zen-
trallinie nach dem Zentrum C als Anfangsrichtung reduziert und mit
8 i} 6%, ..., s n bezeichnet, und das entsprechende auf die gleiche Anfangs
richtung bezogene gesuclite ,,zentrierte System" mit cc lr a 2 , ...,, so ist
43) Beispiele und Literatur in den Handbuchern.
9b. Zentrierung. 9c. Die Winkelmessungen und ihre Anordnung. 37
a t = ,. -f- S t (Fig. 3), worin der parallaktische Winkel d ( . iiber der
Exzentricitat e = CS bei bekannter bezw. vorher zu bestimmender
Entfernung s f aus dem parallaktischen Dreieck sich ergibt. Die
Zentrierung fur einen Winkel ergibt sich ohne weiteres aus den
Richtungsreduktionen. Die durch besondere Messungen (,,Zentrierungs-
messungen") zu bestimmenden Werte e und , sowie die Entfernung s
bezeichnet man als ^Zentrienmgselemenie" . Dieselben miissen so genau
ermittelt werden, daB ihre Fehler keine in
Betracht komrnende Erhohung des Be-
obachtungsfehlers fiir die Richtungen her-
beifiihren konnen. Die Messung der
,,Zentrierungselemente" e und s muB
haufig ,,indirekt" mit besonderen Hilfs- S
konstruktionen geschehen, wenn z. B.
der Standpunkt S des Instrumentes auf
der Galerie eines Kirchturmes und das Zentrum C die Helmstangen-
mittellinie ist. Man kann dann eine Grundlinie messen und an deren
Enden die Richtungen nach C und S in bezug auf die Grundlinie (Auf-
gabe der unzuganglichen Entfernung, vgl. p. 43). Die Aufgabe kam
schon bei Snellius Triangulierung vor. Wenn irgend moglich, werden
iiberschiissige Bestimmungen verwendet, sodafi die Zentrierung zu
einer kleinen Triangulierung mit Ausgleichung wird 44 ).
9c. Die Winkelmessungen und ihre Anordnung. Als Genauig-
keitsausdruck fiir die Messung mit dem bei den Triangulierungen der
niederen Geodasie verwendeten Theodolit mittlerer GroBe kann nach
p. 25 angenommen werden (bei Anwendung der dort erwahnten fehler-
tilgenden Beobachtungsmethode), daB der 7 ,mittlere Richtungsfehler im
Satz" etwa zwischen den Grenzen + 2" bis + 6" liegt, so daB bei der
Ausfiihrung von 3 bis 6 Satzen der Fehler des Gesamtmittels stets
innerhalb weniger Sekunden zu halten ist, wobei zu beriicksichtigen
ist, daB auBere Fehlerquellen (Signalstellung usw.) Fehler von gleichem,
ja grofierem Betrage in die Bestimmungen hineinbringen. Ist z. B. ein
Zielpunkt urn + 1 cm unrichtig bezeichnet oder eingestellt worden,
so ist bei einer Zielweite von 1000 m die entsprechende Richtungs-
unsicherheit + 2", und wenn das Instrument gleichfalls um + 1 cm
unrichtig aufgestellt (zentriert) ist, so wird daraus + 2"]/2. Wah-
rend friiher die Dreieckswinkel unabhangig je fiir sich gemessen
wurden, wird jetzt in der Regel das fiir eine Punktbestimmung auf
einer Station sich ergebende ,,Richtungssystem" r^ . . . r n als das ge-
44) Jordan, Handbuch 2, 74, 75.
38
VI i, 1. C. Beinhertz. Medere Geodasie.
suchte betraehtet, aucli wenn fur die eigentliche Messung der ,,Winkel"
als das giinstigst zu messende Richtungssystem verwendet wird. Der
einfachste Fall liegt vor, wenn (ygl. p. 25) die satzweise Richtungs-
messung in ,,vollstandigen" Satzen ausfiihrbar ist und das arithme-
tische Mittel sofort das Beobachtungsergebnis liefert. Nicht zu ver-
meidende Storungen und Hindernisse fiihren aber sehr haufig zur
Anwendung ^unvottstandiger" Satze. Dies fiihrt dann unter Beachtung
moglichster Elimination der Teilungsfehler und moglichst systemati-
scher Anordnung der Messungen zu einer Ausgleichungsaufgabe, sog.
} ,Stationsausgleichung" . Diese erfolgt in der Regel nach der Methode
der vermittelnden Beobachtungen, wobei satzweise die Fehlerglei-
chungen fiir die Richtungen und die ; ,0rientierungen" aufzustellen
sind 45 ). Bei den sich meist sehr verwickelt gestaltenden Richtungs-
netzen der Einschaltungstriangulierungen wird dann auch mit Vorteil
von einer bei der englischen Landesvermessung 46 ) zuerst gebrauchten
Naherungsausgleichung Anwendung gemacht.
Sind etwa die folgenden Satze beobachtet:
Satz
Station
I A | B
C
1
,
ft
2
<* 2
ft
^2
3
/3 3
7s
4
"4
7l .
Mitfcel
a
r
wobei angenommen ist, dafi eine Station (0), auf die die (ibrigen be-
zogen werden, in alien Satzen vorkommt, so bildet man zunachst die
Mittel der Messungen fur die einzelnen Stationen a, ft, y. . . . Dann
recbnet man fiir jeden Satz die mittlere Abweichung gegen die Stations-
mittel aus ; also z. B. fiir Satz 1 die Abweichung (a K^ -(- 7 y^)
oder fiir Satz 2 : -- (a # 2 -\- /3 /3 2 -f- y y 2 ) usw. ; und fiigt diese
Abweichung alien Ablesungen des betreffenden Satzes hinzu. Mit den
45) Vgl. die genannten Handbiicher der Vermessungskunde bezw. der Aus-
gleichungsrechnung, z. B. Jordan, Handbuch 1, Kap. II.
46) Ordnance trigonometrical survey of Great Britain and Ireland, London
1858, p. 62.
9c. Die Winkelmessungen und ihre Anordnung. 39
verbesserten Werten wiederholt man das ganze Verfahren, bis die
Verbesserungen innerhalb der Beobachtungsfehler liegen 47 ).
Anstatt ein Richtungssystem r lJ r 2 , . . ., r n als Ganzes zu behandeln
oder in einige mehrzahlige Reihen zu zerlegen, kann bei der Beobachtung
auch das kleinste Richtungssystem, d. h. der Winkel, zur Anwendung
kommen, wie das bei den alteren Triangulierungen zunachst geschah und
bei Anwendung des Sextanten (nautische Triangulierungen) notwendig
wird. Die Zerlegung eines mehrzahligen Richtungssystems in Winkel
kann in verschiedener Weise geschehen. Wird das Richtungssystem
r i> r ^ ) r n i n d* 6 Winkel w lz , w n , . . ., w ln zerlegt, so wird der
Zusammenhang lediglich durch die Anfangs- oder Nullrichtung ver-
mittelt, welche dem trigonometrischen Netze nicht notwendig an-
zugehoren braucht. Die einzelnen Winkel konnen mehrfach (wie bei
o *
Richtungsmessung in verschiedenen Kreisstellungen) oder auch nach
der Repetitionsmethode gemessen werden. Wird das Richtungssystem
r D r z> > r n i n die aufeinanderfolgenden Winkel w 12 , w> 23 , . . ., w nl
zerlegt, sodaB die Bedingung auftritt 2!w = 360, so hat man f in
die das Richtungssystem ergebende Stationsausgleichung den einfachen
Fall der Verteilung eines AbschluBfehlers ( 7 ,Horizontsumme"). Werden
die Winkel so angeordnet ; daB beliebige Kombinationen gebildet und
iiberschussige Bestimmungen erhalten werden, so wird das Richtungs
system nach der Methode der kleinsten Quadrate abgeleitet, wobei
sowohl die Rechnung nach ,/verinittelnden " als nach ,,bedingten"
Beobachtungen erfolgen kann. Als maBgebend fur die Wahl des
Rechnungsverfahrens wird meistens die Zahl der aufzulosenden Normal-
gleichungen angesehen; hat man n Richtungen zu bestimmen und w
Winkel gemessen, so sind bei ,,verruittelnden Beobachtungen" w Fehler-
gleichungen anzusetzen und n 1 unabhangige Unbekannte zu be
stimmen bezw. Normalgleichungen aufzulosen, und bei ,,bedingten"
Beobachtungen w n -j- 1 Bedingungsgleichungen aufzustellen bezw.
Normalgleichungen aufzulosen.
Das giinstigste Verfahren der Richtungsbestimmung aus Win-
kelmessung ist ,,Winkelrnessung in alien Kombinationen", welches
0. Schreiber^ entwickelt hat. Dies zunachst fur Haupttriangulierung
ausgebildete Verfahren findet neuerdings auch bei Kleintriangulierungen
Anwendung. Fur das Richtungssystem r l} r 2) . . ., r n werden durch
Bildung der Kombinationen ohne Wiederholung fur je zwei Richtungen
47) Helmert, Ausgleichungsrechnung, p. 154; Jordan, Handbuch 1, p. 176;
z. B. amtlich angewendet in Anweisung IX.
48) Zeitschr. f. Vermess. 7 (1878), p. 209; 8 (1879), p. 07.
40
VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie.
die n (n 1) Winkel gebildet. Diese Winkel w werden, wenn das
Grewicht der ausgeglichenen Richtungen gleich s (entsprechend s Rich-
2s 180
timgssatzen) sein soil, p = mal in beiden Fernrohrlagen in :
von einander abstehenden Kreislagen gemessen, wobei fur die einzelnen
180
Winkel die Kreisstellungen innerhalb des Intervalles so zu be-
stimmen sind, daB die Richtungsablesungen symmetriscli iiber den Kreis
verteilt werden. Dazu sind um bezw. . -r von einander abstehende
p n p(n 1)
Kreisstellungen erforderlich, je nacndem n eine ungerade oder gerade
Zahl ist. Infolge der symmetrischen Anordnung dieses Beobachtungs-
verfahrens gestaltet sich die Ansetzung der Febler- und der Normal-
gleichungen sowie ihre Auflosung auBerst einfach. Dieses Messungs-
verfahren ist ein ausgezeichnetes Beispiel fiir rationelle Anordnung
von Messungen ; um niit einem Minimum an Arbeitsaufwand bei Be-
obachtung und Rechnung ein Maximum an Genauigkeit zu erreichen 49 ).
10. Die Grundaufgaben des trigonometrischen Einschneidens im
rechtwinkligen Koordinatensystem.
10 a. Vorwartseinsclmeiden und Seitwartseinschneiden. Der
einfacbste Fall liegt vor, wenn zwei Punkte A und B durcn Koordinaten
gegeben sind und auf A und B je eine im System ,,orientierte Rich-
tung" tp und ift besteht, durch deren Schnitt die Koordinaten des
Punktes P bestimmt werden (,,Vorwartseinsctmeiden u }. Sind im Drei-
Fig. 4.
eck ABP (Fig. 4) die an der Basis" AB gelegenen Winkel A, B
gemessen, so hat man damit sofort y und ^, da die Richtung AB aus
den gegebenen Koordinaten von A und B zu ermitteln ist. Andern-
49) Jordan, Handbuch 1, Kap. II, IV; 3, Kap. I mit erweiterten Literatur-
angaben; vgl. ferner VI i, 3.
10 a. Vorwarts- und Seitwiirtseinschneiden. 1Gb. Ruckwartseiuschneiden. 41
falls ist cp und ^ aus Richtungsmessungen nach irgend welchen anderen
in Koordinaten gegebenen Punkten abzuleiten, wozu die J7 Richtung"
(AS) nicht direkt erforderlich ist. Damit ist die Losung gegeben,
fur welche, da diese Rechnungen bei Vermessungen stets wiederkehren,
schematische Rechenformulare verwendet werden. Erwahnt sei noch,
daB fiir logarithmische Rechnung die unmittelbar aus dem Dreieck
durch Einfiihrung der Basis A 13 sich ergebende Form geeignet ist, fur
die Verwendung der Rechenmaschine die analytische Ableitung aus
dem Richtungsschnitt. Die Rechenmaschine kommt bei derartigen trigo-
nometrischen Rechnungen neuerdings mehr und mehr in Anwendung 50 ).
In trigonometrischer Hinsicht die gleiche Aufgabe ergibt sich
beim sog. ?7 Seitwartseinschneiden" (Fig. 5); dabei ist A und B in
Koordinaten und die orientierte Richtung <p auf A gegeben, und
der Winkel y auf C gemessen (^ = cp -f- y),
10 b. Riickwartseinschneiden. Gegeben sind drei Punkte, welche
an einem vierten Punkte P, dessen Lage zu den drei Punkten zu
bestimmen ist, in der rechtslaufigen Reihenfolge AMB erscheinen;
gemessen sind auf P die Richtungen nach A, M, B z. B. durch die
nebeneinander liegenden Winkel a, ft (Fig. 6). Diese Vierecksaufgabe (Drei-
punktproblem) ist schon von Snellius (1610) bei seiner ersten Triangu-
lierung benutzt. In der Vermessungskunde wird sie nach der graphischen
Losung auf dem MeBtisch (vgl. p. 94) als ,,Ruckwartseinschneiden"
bezeichnet; nach einer von Pothenot gegebenen Losung auch wohl
unkorrekter Weise das ,,Pothenot sche Problem" genannt. Die Auf
gabe ist oft behandelt und liifit verschiedene Losungen zu 51 ). Da beim
Riickwartseinschneiden lediglich durch Richtungsmessung nach drei
gegebenen Punkten die Koordinaten des Standpunktes sich ergeben,
so hat die Aufgabe fiir die Praxis der Kleintriangulierung groBe
Bedeutung und findet weitgehende Anwendung. Eine der bei Anwen
dung im rechtwinkligen Koordinatensystem gebrauchlichsten Losungen
(vgl. die Lehrbiicher) ist die folgende, mit Einfiihrung eines Hilfs-
winkels 52 ) (Fig. 6): 1) Ableitung der Richtungswinkel(^Jf)
50) Jordan, Handbuch 2, 78; 0. Koll, Geodatische Rechnungen mittels
der Rechenmaschine, Halle 1903.
51) Historisches bei G. D. E. Weyer, Ann. d. Hydr. 10 (1882), p. 534; /.
D. van der Plaats, Tijdschr. v. Kadaster en Landmeetkunde 5 (1889), p. 1;
Jordan, Handbuch 2, Kap. VIII, 7984.
52) J. C. Burckhardt, Monatl. Korr. (v. Zach sche) zur Beford. d. Erd- und
Himmelsk. 4 (1801), p. 360; F. W. Sessel, ibid. 27 (1813), p. 222, 566; Delambre
in Cagnoli-Chombre, Trigonometrie, Paris 1808, p. 211 und Vorrede p. VIII.
Historisches bei Hammer, Trigonometrie, p. 558 Anmerk. 58; Zeitschr. f. Vermess.
24 (1895), p. 598.
42
VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
sowie der Langen der Linien AM=a, BM=b aus den Koordinaten.
2) In den Dreiecken AMP und BMP Ableitung der unbekannten
Winkel qp und ^ bei den Punkten A bezw. B aus
worin cp -f- ty bekannt ist und cp ^ aus
tg 1 (9 ^) = co^g (45 + /*) tg (9?
berechnet wird; ^ ergibt sich aus
a sin /? sin i;>
Fig. 6.
6 sin a sin qp
3) Danach lassen sich die iibrigen
Seiten und Winkel und damit die
Richtungswinkel aller Linien nach
P und die zugehorigen Koordinaten-
unterschiede (mit Probe) ableiten.
Eine andere Methode, welche
zur Zeit z. B. bei der preuBischen
Katastervermessung (vgl. An-
weisung IX) praktisch verwendet
wird, griindet sich auf die von
Collins 53 ) gegebene Losung. Der
durch einen um ABP (Fig. 6)
beschriebenen Kreis auf der Rich-
tung MP abgeschnittene Punkt Q
(Collins 1 Hilfspunkt) ist seiner Lage nach im Dreieck ABQ bestimmt
durch die Winkel K und ft (als Peripheriewinkel iiber AQ bezw. BQ
den gemessenen gleich), durch die er in Bezug auf die Puiikte A und
B ,,vorwartseingeschmtten" wird 54 ). Damit ist der Richtungswinkel der
Geraden PMQ bekannt und durch a und ft die Richtungswinkel (AP)
bezw. (BP) sowie die entsprechenden Entfernungen ; zur numerischen
Losung dieser Ansatze kann, je nachdem Logarithm en- oder Maschinen-
rechnung stattfinden soil, das eine oder andere der bei ,,Vorwarts-
einschneiden" angegebenen Rechenverfahren verwendet werden.
Weitere Lb sungen (Fig. 7) gehen von den durch AMP und BMP
beschriebenen Bestimmungskreisen mit den Peripheriewinkeln a und ft
aus (wobei auch, wie schon von Snellius geschehen, die Kreismittel-
punkte eingefiihrt werden konnen). In diesen Kreisen werden in den
rechtwinkligen Dreiecken iiber MA bezw. MB und den beiden von
53) Lond. Phil. Trans. 6 (1671), p. 2093; 15 (1685), p. 1231.
54) tiber die Verwandtschaft zwischen Vorwarfcs- und Riickwartseinschneiden
vgl. auch C. Eunge, Zeitschr. f. Vermess. 28 (1899), p. 313.
10 c. Einige andere Methoden der trigonometr. Punkteinschaltung. 43
M ausgehenden Kreisdurchmessern mit a und /3 (als Peripheriewinkel
den gemessenen gleich) zwei Punkte A bezw. -B / , ; vorwartseingeschnitten",
die eine beiden Kreisen gemeinschaftliche Sekante bestimmen, auf
welcher P die Projektion von M darstellt. Auch hierbei konnen
wieder die fur logarithmische sowie die fiir Maschinenrechnung geeig-
neten Ansatze Verwendung finden 55 ).
Die Losungen versagen, sobald der Punkt P auf dem Kreise durch
Fig. 7.
AMB liegt, sie geben unsichere Bestimmungen, wenn P diesem Kreise
(,,gefahrlicher Kreis") nalie liegt; im Falle der ersten Losung (p. 42)
wird (p -f- ^ ~ 180, tg ^ = 1, im Falle der zweiten Losung (Collins)
bleibt die Richtung M Q unbestimmt, im Falle der dritten Losung die
Sekante A If. Wegen des weiteren fiber die Moglichkeit und TJnmog-
lichkeit der Losung, die Giinstigkeit der Lage von P in Bezug auf AMS
und besondere Falle der Losung, Praxis der Zahlenrechnung, Rechen-
formulare usw. mu6 auf die angegebene Literatur verwiesen werden.
10 c. Einige andere Methoden der trigonometrischen Punkt
einschaltung.
a) Aufgabe der unzugangliclien Entfernung, Aufgabe der zwei Punkt-
paare (Hansen sohe Aufgabe) 56 ). Sind von einem Viereck ABCD
55) W. Cr. Hockner, Uber die Einschaltung von Punkten in ein durch Koor-
dinaten gegebenes Netz mit ausgiebiger Verwendung der Ilechenniaschine, Leip
zig 1891; C. Bwige, Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 204; H.Sossna, ebenda 25
(1896), p. 269, 471.
56) Historiscb.es und Literatur bei Hammer, Trigonometrie, p. 332 Anmerk.,
p. 559 Anmerk. 61 uud p. 562 Anmerk. 76; Jordan, Handbuch 2, p. 356. Uber
die verschiedenen Losungsmoglichkeiten vgl. man: J. Bohneriberger-Pfleiderer,
Ebene Trigonometrie, Tubingen 1802, p. 217; P. A. Hansen, Astr. Nachr. 13
(1841), p. 165; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 24 (1895), p. 603; E. Dolezal,
Berg- und Hiittenmannisches Jahrbuch (Leoben und Pribram) 1902, p. 183. Fiir
44
VI i, 1. C. Beinhertz. Medere Geodasie.
(Fig. 8) zwei Ecken A und B bekannt und sind auBerdem vier un-
abhangige Winkel zwischen den vier Eckpunkten gemessen, so kann
man die Lage der beiden unbekannten Ecken C und I) bestimmen.
Liegen die vier gemessenen Winkel a 3} a 4 , /3 3 , /3 4 an der bekannten
Entfernung AB und ist die
Entfernung CD die Haupt-
unbekannte, so hat man die
Aufgabe der unzuganglichen
Entfernung. Hierbei handelt
es sich um doppeltes Vor-
wartseinschneiden und die
Losung kann daber auch
Fig 8 nach den Formeln fiir Vor-
wartseinschneiden erfolgen.
Liegen die gemessenen Winkel an der unbekannten Entfernung (die
Aufgabe kann dann als doppeltes Riickwartseinschneiden aufgefaBt
werden), so liegt die Aufgabe der zwei Punktpaare vor (Hansen sehe
Aufgabe). Es gibt eine Anzahl Auflosungen, die fiir beide Falle ge-
meinsam gelten, z. B. die folgende, bei der wie beim Riickwartsein-
schneiden ein Hilfswinkel eingefiihrt wird. Es gilt nach Fig. 8
sa
AS
-f ,
?
Von den unbekannten Winkeln <p und ^ ist also die Surnnie und das
Verhaltnis der Sinus bekannt. Setzt man daher:
so wird
to- a =
Oi sin sn
V) = cotg(45
Damit sind die Winkel (f und ty und folglich auch alle Winkel
zwischen den vier Punkten bekannt. Ist nun irgend eine Entfernung
zwischen den vier Punkten gegeben, so kann man offenbar jede andere
mit Hilfe des Sinussatzes ausrechnen.
/3) Der Gegensclinitt ^}. Die von Jordan als Gegenschnitt be-
zeichnete Methode der Punkteinschaltung ist eine Verbindung von
Vorwarts- und Riickwartseinschneiden. Gegeben sind drei Punkte
Losung mit der Rechenmascliine vgl. H. Sossna, Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896),
p. 361 ; 26 (1897), p, 649.
57) Vgl. Jordan, Handbuch 2, 84, p. 363; Hartner-Dolezal 1, p. 612;
fiir Rechnung mit der Maschine H. Sossna, Zeitschr. f. Vermess. 31 (1902),
p. 364, 429.
10 c. Einige andere Methoden der trigonometr. Punkteinschaltung. 45
A, B, C (Fig. 9); ein vierter Punkt P soil bestimmt werden durch
Messung eines Winkels d auf P und /^ auf B. Zur Berechnung der
Koordinaten von P kann man zuerst die Koordinaten des Punktes M,
des Mittelpunktes des umbeschriebenen Kreises von ACP ausrechnen.
Dann sind in dem Dreieck BPM zwei Seiten und ein Winkel be-
kannt, und man kann daher die beiden Seiten MP und BP und ihre
Richtungswinkel finden und hat damit zwei Wege, die Koordinaten
von P zu berechnen.
y) Enveitertes Riickwartseinschneiden. Gregeben sind die drei Punkte
A, M, B (Fig. 10) und auf den Neupunkten P und Q die Winkel
<x. 2 , a i} /3 2 , /3 X gemessen 58 ). Man kennt dann von den Winkeln (p und
Fig. 9.
Fig. 10.
if> die Summe und das Verhaltnis ihrer Sinus und kann sie daher
unter Benutzung eines Hilfswinkels wie bei dem einfachen Riick-
wartseinschneiden (p. 42) finden Sind (p und i{> ermittelt, so be-
rechnet man die Strecken BQ und AP und ihre Richtungswinkel
und daraus die Koordinaten von P und Q. Statt zweier Punkte P
und Q kann man auch noch mehr Punkte gleichzeitig liber drei
Punkte riickwarts einschneiden.
Bei dem zweifach gegenseitigen Euckivdrtseinsdmeiden (Maretts Auf-
gabe) 59 ) sind vier Punkte A, B, A } B gegeben und auf den Punkten
P und Q die Winkel a, ft, y, d gemessen (Fig. 11). Zur Berechnung
der Koordinaten von P und Q kann man die dem Collins schev, Hilfs-
58) F. Pross, Trigonometric, Stuttgart 1840, p. 201; W. Jordan, Zeitschr. f.
Vertness. 23 (1894), p. 449.
59) J. Marek, Techn. Anleitung zur Ausfiihrung der trigonometrischen
Operationen des Katasters, Budapest 1875, p. 269; E. Hammer, Zeitschr. f. Ver-
mess. 24 (1895), p. 610.
46 VI i, 1. C. Reinhf.rtz. Ni.edere Geodasie.
punkte beim einfachen Riickwartseinschneiden entsprechenden Punkte
P , Q heranziehen, deren Konstruktion aus der Figur ersichtlich 1st.
Eine Abart des Ruckwartseinschneidens, bei der eine Langen-
messung zwischen den Nenpunkten erforderlicli 1st, ist von W. Laslta 60 )
11.
betrachtet. Gegeben sind (Fig. 12) die drei Festpnnkte jP 17 F 2} F &
und auf drei Neupunkten N 1} N 2 , N 3 die in der Figur bezeichneten
Fig. 12.
Winkel gemessen, von denen einer iiberschussig ist; aufierdem ist eine
Seite des Dreiecks N t N 2 N 3 gemessen.
d) Lamberts Sectiseck- und Achteckaufgabe. Wir erwahnen noch
60) Zeitschr. f. Vermess. 29 (1900), p. 565.
11. Ausgleichung von Kleintrianguliernngen.
47
zwei Aufgaben von J. H. Lambert^, obwohl sie, wenigstens fiir die
Feld- und Landmessung, nur von geringer praktischer Bedeutung
sind. Bei der Sechseckaufgabe
(Fig. 13) sind entweder auf
den Punkten D, JE, F die
Azimute von A, B, C bestimmt
oder es sind die in Fig. 13
bezeichneten Winkel gemessen.
Bei der Achteckaufgabe (Fig. 14)
sind zwischen den acht Punkten
A, B, C, D, E, F, G, H von
den vier letzten Punkten aus
die 12 in der Figur bezeich
neten Winkel gemessen. Die
beobachteten Winkel bestimmen die Gestalt des Sechs- resp. Achtecks.
Man vgl. auch III l, 3 (M. Simon).
Da in der Vermessungstechnik stets iiberschussige Bestimmungen
notwendig sind, dienen
die vorstehenden Be
stimmungen hauptsach-
lich dazu, als Grundlage
fiir die nachfolgeude
Ausgleichung ,,ge-
naherte Koordinaten"
der zu berechnenden
Punkte zu liefern. Die
Genauigkeit der Punkt-
bestimmung in den
1 U Ct - -L CT
Fig. 14.
D
beim , 7 Vorwarts"-, ;7
warts"- und ,,Riick-
warts"-Einschneiden sich ergebenden Figuren ist von Helmert und
Jordan untersucht 62 ).
11. Ausgleichung von Kleintriangulierungen.
Die Ausgleichung der stets mit einer Anzahl iiberschussiger Rich-
tungen oder Winkel oder gegebener Punkte erfolgenden trigonome-
61) Beitrage zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung 1,
Berlin 1765, p. 72, 77, 81, 186.
62) Helmert, Zeitschr. Math. Phys. 13 (1868), p. 73; Jordan, ibid. 16 (1871),
p. 397; vgl. auch Helmert, Ausgleichungsrechnung, p. 231; Jordan, Handbuch 1,
2. Aufl. 1877, Kap. Ill; 3. Aufl., Kap. V.
48 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
trischen Punktbestinimungen kann nach der Methode der ,,bedingten"
oder der ; ,vermittelnden" Beobachtungen (vgl. I D 2 (J. Bauschinger),
p. 768) vorgenommen werden, und zwar sowohl fiir unabhangige Klein-
triangulierungen mit eigener Grundlinie als fur Einschaltungstriangu-
lierungen. Die Auswahl des Verfahrens wird, wenn nicht besondere
Umstande zu beachten sind, mit Riicksicht auf den schnellsten und
glattesten Rechnungsgang getroffen. Bei einf ach gegliederten Systemen,
wobei also mit moglichst wenig Linien viele Punkte verbunden sind, ist
im allgemeinen die Methode der ; ,bedingten Beobachtungen" giinstiger,
bei Systemen mit vielen iiberschiissigen Richtungen und wenigen Punkten
die Methode der r vermittelnden Beobachtungen"; dementsprechend
kommt die erstere mehr fiir die iibergeordneten Systeme, die letztere
mehr fiir die untergeordneten Einschaltungen in Betracht, wobei auch
der iibersichtlichere ,,Schematismus" von Wert ist.
11 a. Methode der vermittelnden Beobachtungen. (Vgl. I D 2,
p. 786.) Als Unbekannte werden betrachtet die Koordinaten y, x
der zu bestimmenden Punkte und bei Stationsrichtungssystemen (vgl.
p. 38, 39) deren ; ,0rientierungen" z, sodaB also die unabhangigen Winkel
bezw. die Richtungen als Funktionen der Punktkoordinaten erscheinen.
Diese werden zunachst angenahert berechnet und dann ihre Verbesse-
rungen doc, dy durch die Ausgleichung ermittelt. Als lineare Fehler-
gleichung ergibt sich fiir den vorliegenden Fall mit tg cp n = ^ 2
(worin cp 12 die auf 1 nach 2 genommene Richtung, y^x lf y. 2 x. 2 die un-
bekannten Punktkoordinaten sind):
v = I -f- a dx -f- & dy l -j- c dx z -(- d dy% -f- dz,
in der dz die Orientierungsverbesserung bedeutet. Die ;; Richtungs-
koeffizienten" a, &, c, d bestimmen sich nach der Beziehung zwischen
den j ; Richtungs anderungen" und den ,,Koordinatenanderungen"; es ist
Diese Koeffizienten werden auch in der Form
^~ 2/1 gdx bezw. ^ -^ gdy
gebraucht; zu ihrer Berechnung dienen verschiedene Hilfsmittel, Rechen-
schieber, numerische und graphische Tafeln, oder auch logarithmische
Differenzen der trigonometrischen Funktionen 63 ). Ist einer der beiden
63) Jordan, Handbuch 1, Anhang p. [8] [17]; 0. Seiffert, Logarithmische
Hilfstafel zur Berechnung der Fehlergleichungskoeffizienten nach der Methode
der kleinsten Quadrate, Halle 1892; J. H. Frarike, Koordinatenausgleichung
11 a. Methods der vermittelnden Beobachtungen. 49
Punkte 1 2 gegeben, so fallen die entsprechenden Glieder aus; fur
eine Richtung am 7 ,gegebenen Standpunkt" 1 zam ,,Neupunkt" 2 (sog.
,,auBere Richtung") ist
sin qp, o -. . cos m,
- ---- 7
fiir eine auf einem ,,N"eupunkt" 1 nach dem ,,gegebenen Zielpunkt" 2
(sog. ,,innere Richtung") ist
, sin
rf^is = H
fiir die zur 7 ,0rientierung" von Systemen zwischen gegebenen Punkten
beobachteten Richtungen fallen alle Richtungskoeffizienten fort. Die
Fehlergleichungen fiir den Fall der Messung unabhangiger Winkel
(z. B. bei Anwendung des Repetitionstheodolits) ergeben sich mit
den Differenzen der zugehorigen Richtungskoeffizienten. Fiir jede be-
obachtete Richtung (bezw. Winkel) wird ihre Fehlergleichung an-
gesetzt. Z. B. bei der Bestimmung eines Punktes durch ein System
auf ihm nach gegebenen Punkten beobachteter Richtungen (Riick-
wartseinschneiden) ist die Form der Fehlergleichungen
v = adx -f- bdy -f- dz -f- Z;
hierin bedeuten die I die Abweichungen der beobachteten Richtungen
gegen die mit ,,gen aherten" Koordinaten berechneten. Vielfach werden
die zugehorigeu Normalgleichungen gleich so gebildet 7 da6 die Orien-
tierungsverbesserung dz eliminiert ist. Sind n Fehlergleichungen vor-
handen, so ersetzt man entweder in den Fehlergleichungen die Koeffi-
zienten a und b durch a - - und b - ~ (reduzierte Form der
Fehlergleichungen) oder 7 was noch zweckmaBiger ist, man fiigt (nach
O. Schreiber) die fingierte Fehlergleichung:
v n+t = M dx + M dy
mit dem Gewicht ----- hinzu. Man braucht sich dann um dz nicht
n
mehr zu kiimmem.
Ist ein Punkt durch Richtungssysteme bestimmt, die auf mehreren
gegebenen Punkten nach gegebenen und dem Neupunkte beobachtet
sind (Vorwartseinschneiden), so ist fiir jeden Standpunkt das System
der Fehlergleichungen aufzustellen, welches dann ; falls nur ein Neu-
punkt vorhanden ist, ebenfalls auf eine einzige Grleichung von der Form
nach Naherungsmethoden, Miinchen 1884, p. 133; 0. Eggert, Hilfstafel zur Be-
rechnung der Richtungskoeffizienten, entworfen von Fr. Kreisel, Berlin 1903 ;
E.Engel, Osterr. Zeitschr. f. Vermess. 1 (1903), p. 101; Rechenschieber von W. Voigt,
Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 183
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1. 4
50 VI i, 1. C.Eeinliertz. Niedere Geodasie
v adx -{- bdy -\- I
mit dem Gewicht . - reduziert werden kann, wo m die Anzahl der
m -\- l
auf dem betreffenden Standpunkt nach gegebenen Festpunkten be-
obachteten Richtungen ist. Bei der Punktbestimmung durch auBere
und innere Richtungen (,,vereintes Einschneiden") ergeben sicli dem-
nach Fehlergleichungen beider Art. In der Praxis der Kleintriangu-
lierung handelt es sich in der Regel nur urn die Einschaltung eines
einzelnen Punktes, also um zwei bezw. drei Unbekannte, y, x, bezw. 2. Bei
gleichzeitiger Ausgleichung mehrerer Punkte in einem geschlossenen
Netz oder Netzteilen (Punktgruppen aus zwei, drei und mehr Punkten
bestehend) ergeben sich dazu noch die Fehlergleichungen in der oben
angefiihrten Form zwischen je zwei Neupunkten. Die aus den Fehler
gleichungen gebildeten Normalgleichungen werden nach dem Gaufi-
schen Verfahren (vielfach mit Benutzung der Probe nach der Summen-
gleichung I D 2, p. 790) aufgelost. Zur Bildung der Faktoren der
Normalgleichungen und deren Auflosung ist fiir die meisten Aufgaben
der Kleintriangulierung der Rechenschieber als ausreichend zu er-
achten 64 ). Die Ableitung des ,,mittleren Fehlers der Gewichtseinheit"
(Richtung oder Winkel) aus der Fehlerquadratsumme [j>wy] bezw. \v v\
nach der allgemeinen Gleichung (worin n die Anzahl aller
1 r n u v
eingefuhrten Beobachtungen, u die Anzahl der unabhangigen Un-
bekannten bedeutet) sowie die Ableitung der ,,Gewichtskoeffizienten"
(I D 2, p. 788) zur Berechnung des mittleren Fehlers der Unbekannten
bildet den SchluB der Ausgleichung 64 ).
lib. Graphisclie Punktausgleichung. Statt Ausgleichung nach
,,verinittelnden Beobachtungen" wird auch wohl graphische Koordinaten-
ausgleichung in einer ,,fehlerzeigenden Figur", 77 Schnittfigur", angewendet.
Die allgemeine Bedeutung derartiger Naherungsmethoden ist bereits
p. 16 erwahnt worden. Die Aufgabe besteht darin, A) die fehlerzeigende
Figur darzustellen, B) in derselben die endgu ltige Punktlage so zu
bestimmen, daB nioglichst die Quadratsumme der Richtungsverbesse-
rungen, wie bei der Methode der kleinsten Quadrate, ein Minimum
wird. Fiir die ;; Konstruktion der fehlerzeigenden Figur" liegt der
einfachste Fall vor bei der Punktbestimmung durch Vorwartsein-
schneiden mittels unabhangiger 7; auBerer" (p. 49) Richtungen. Wird
(auf Grund genaherter Koordinaten) in der Nahe des gesuchten Punkt-
64) Uber die Anordnung der Rechnungen, die Rechenschemata, besondere
Hilfsmittel, die Rechenproben usw. vgl. die Lehrbiicher, speziell Jordan, Hand-
buch 1, Kap. III.
lib. Graphische Punktausgleichung. 51
ortes ein Wert y x angenommen, so liefert eine von einem gegebenen
Punkt ausgehende Richtung qp zwei Schnitte mit den Geraden X = X Q ,
y = y Q oder ihnen naheliegenden (tggp = ^-~^V deren Verzeichnung
(in groBem MaBstab 1 : 1, 1 : 10) die Richtung darstellt. Wird die Rich
tung cp selbst im Punkt y Q x Q rait dem Auftragkreis (Transporteur) ein-
getragen, so geniigt ein Achsenschnitt. Es konnen auch die Ab-
weichungen zwischen den ,,genaherten" Richtungen und den beobach-
teten, d = n cp (I der Fehlergleichungen p. 48) zur Auftragung be-
nutzt werden, indem die den d entsprechenden Querverschiebungen
s"
q = , s vom genaherten Punktort aus rechtwinklig zu den von hier
aus gezeichneten Richtungslinien aufgetragen, oder ihre auf die Achsen
i/ , X Q bezogenen Projektionen zur Konstruktion verwendet werden.
Beim , 7 vereinten" Einschneiden orientiert man kurzerhand die w inneren"
Richtungen durch die ,,auBeren" und fiihrt die Aufzeichnung dadurch
auf das Friihere zuriick. Fur Riickwartseinschnitte ist diese Konstruk
tion nach Orientieren der Richtungen mit Hilfe der genaherten
Koordinaten nicht korrekt, jedoch praktisch anwendbar. Man kann
auch die Schnittlinien als Tangenten der mit den gemessenen Winkeln
sich ergebenden Kreise (Peripheriewinkel zu den gegebenen Seiten
als Sehnen) darstellen 65 ). Eine andere Methode auf Grand von ,,Trans-
formationen nach reziproken Radien" ist von C. Runge mitgeteilt 66 ).
Ein alteres Verfahren ist das von Tulla angegebene (sogen. badisches
Ausgleichungsverfahren) 67 ). Die Ableitung der endgultigen Punktlage
in der Schnittfigur geschieht entweder durch einfache Schatzung
oder auf analytischem Wege. Die erstere, welche mit einer plau-
siblen mittleren Punktlage sich begniigt, ist fiir die praktische An-
wendung als bequemes Naherungsverfahren ausreichend (p. 16). Die
Aufgabe lautet: Gegeben sind in einer Ebene n Linien _R; es ist der
Punkt P so zu bestimmen, daB unter Beriicksichtigung der Gewichte
p fur die Abstande h die Bedingung [phJi] = Min. erfiillt wird. Eine
erste sehr elegante Losung riihrt von H. Bertot^} her 69 ).
65) Jordan, Handbuch 2, 85; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896),
p. 611.
66) Zeitschr. f. Yermess. 29 (1900), p. 581.
67) Vgl. F. G. Gaufi, Rechnungen der FeldmeBkunst, p. 53 und speziell
p. 60, erste Anmerk.
68) Paris C. R. 82 (1876), p. 682.
69) Man vgl. auch C. F. Gauft , Werke 9, p. 221. Weiteres iiber Bedeu-
tung und Behandlung der Aufgabe in der niederen Geodasie siehe bei Jordan,
Handbuch 2, Kap. VIII, 85, 86; Vogler, Prakt. Geom. 1, 164; F. G. Gaufi,
4*
52 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
Einen neuen Vorschlag mit Anwendung eines dynamischen Aus-
gleichsprinzips macht Fischer 10 ) dadurch, dafi elastische, das Rich-
tungssystem darstellende Stabchen zur Bestimmung des die Gleich-
gewichtslage im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate ausdriicken-
den Punktes verwendet werden.
lie. Methode der bedingten Beobachtungen. Die Anwendung
dieser Methode mit Korrelatengleichungen (ID 2, p. 794) auf die Trian-
gulierungsausgleichung, von C. F. Gaufi 11 ) begriindet, erfordert zu-
nachst die Aufstellung der unabhangigen Bedingungen, welche das
Netz bietet. Hierzu sind von C. F. Gaufi die Regeln gegeben und
von Ch.L. Gerling 12 ) mitgeteilt worden. Es kommen Bedingungen ver-
schiedener ArtinBetracht; ^Stationsbedingungen" (Bedingungen I. Klasse
nach Gerling), welche sich fur jede Station nach der Art der Beobachtung
ergeben und bei vorher erfolgter ,,Stationsausgleichung" (vgl. p. 38)
inWegfall kommen ; ; , Winkelsummen"bedingungen (Bedingungen II. Klasse,
Polygonbedingungen), welche aus den Figuren, die das Netz darbietet,
folgen, also in einfachster Form Dreiecks-, ev. Viereckssummen usw.;
f jSeitenbedingungen" (Bedingungen III. Klasse), welche aus dem Zusammen-
schluB der Linienverhaltnisse sich ergeben. Z. B. fur ein Viereck mit
einem Zentralpunkt, wobei iiber den Vierecksseiten mit dem Zentral-
punkt als Spitze 4 Dreiecke und 6 unabhangige Bedingungen ent-
stehen, hat fiir unabhangige Winkelmessung die Stationsbedingungs-
gleichung des Zentralpunktes die Form a-{-b-\-c-\-d = 360, die
Winkelsummenbedingung fiir die 4 Dreieckssummen die Form a-\-b -\-c
= 180, die Seitenbedingung die Form (Fig. 15)
sinoij sin a, sina 4 ^
Nach der allgemeinen Form der Bedingungsgleichungen
Rechnungeu der FeldmeBkunst, Abschn. V; F. B. Helmert, Zeitschr. f. Vermess.
6 (1877), p. 53 ; Genge, Vierteljahrschrift Zurich 1886, p. 268^ M. d Oeagne,
Paris C. E. 114 (1892), p. 1415 ; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892),
p. 618; Klingatsch, Die graphische Ausgleichung, Wien 1894; E. Puller, Zeitschr.
f. Vermess. 24 (1895), p. 553; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 611;
Weixler, Mitteil.d.militar-geograph.Inst. Wien 16 (1896), p. 143; C. Runge, Zeitschr.
f. Vermess. 29 (1900), p. 581; Komel, Osterr. Zeitschr. f. Vermess. 1 (1903), p. 173;
Polzer, ibid., p. 205. In Osterreich wird das Horsky sche Diagramm benutzt,
vgl. dazu Hartner-Dolezal 1, p. 795.
70) Fischer, Zeitschr. f. Vermess. 28 (1899), p. 553, 655.
71) Supplementum theoriae combinationis etc., Comm. recent. Getting. 6
(1828) = Werke 4, p. 55.
72) Ausgleichungsrechnungen d. prakt. Geom., 4. Abschnitt (sowie Beitrage
zur Geographic Kurhessens, Kassel 1831/39).
lie. Methode der bedingten Beobachtungen. 53
a^ + a 2 v 2 -f a 3 v 3 -{ \- a n v n -f w { =
ergeben sich dementsprechend die , ; Koeffizienten". Diese sind bei der
logarithmisch angesetzten Seitengleichung entweder unmittelbar den
Tafeln zu entnehmende logarith-
mische Differenzen oder nach der
JUT
Formel cotg K zu berechnen, da
9
d log sin K M
- = cotffcc
Q da. Q
ist, unter M den Modul der ge-
wohnliehen Logarithmen verstanden.
Aus den aufgestellten Korrelaten- Fig. 15.
gleichungen
v = a^\ -f- \1^ -f c t k a -\
und den Normalgleichungen (I D 2, p. 795) ergeben sich die Korrelaten
und damit die den Beobachtungen beizulegenden Verbesserungen 73 ).
Das Ergebnis der Ausgleichung sind demnach widerspruchlos sich zu
einem einheitlichen System zusammensetzende Winkel bezw. Rich-
tungen ; aus denen die Koordinaten der Neupunkte auf verschiedenen
Wegen in Ubereinstimmung sich ergeben miissen. (Probe.) Die Fehler-
berechnung griindet sich auf den mittleren Fehler der Gewichtseinheit,
der bei r Bedingungen den Wert:
m =
hat. In besonderen Fallen des Netzanschlusses kommt auch die
Methode der ,,vermittelnden Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen"
(I D 2, p. 792) in Betracht. Bei untergeordneten Messungen werden
wohl Naherungsausgleichungen angewendet, wobei zunachst die Winkel-
bedingungen fur sich behandelt werden und erste Winkelverbesserungen
ergeben, und danach die Seitenbedingungen, welche dann zur end-
giiltigen Verbesserung dienen 73 ).
lid. Die Genauigkeit der KLeintriangulierungen wird beurteilt
nach dem mittleren ,,Richtungs"- bezw. ,,Winkelfehler", wobei zu unter-
scheiden ist der sich unmittelbar aus den Stationsbeobachtungen er-
gebende Messungsfehler und der aus der Netzausgleichung folgende
(Riicksicht auf die Lange der Richtungslinien). Der letztere Fehler
ist stets groBer als der erstere (AnschluBzwang und Zentrierfehler usw.).
73) Uber die von C. F. Gauft angewendete Methode gibt Bd. 9 der Werke
AufschluB. Ferner vgl. L. Kruger, Uber die Ausgleichung von bedingten Beobach
tungen, Potsdam 1905. Weiteres u ber Aufstellung der Bedingungsgleichungen,
Rechenschemata usw. geben die Lehrbucher, bes. Jordan, Handbuch 1, Kap. II.
54 VI i, 1 C. Beirihertz. Niedere Geodasie.
Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen wird amtlich reguliert
durch ,,Fehlergrenzen" (Max.-Fehler rund der dreifache Betrag des
,,mittleren Fehlers") fur den nach der Netzausgleichung sich ergeben-
den Richtungsfehler; z. B. gilt fur die preuBischen Kleintriangulierungen
nach Anweisung IX als Fehlergrenze fur die verschiedenen Stufen
15", 25" (fiir trigonometrisch bestimmte Polygonnetzpunkte 35"), was
rund V 10000 Max. - Abweichung entspricht. Der mittlere relative Langen-
fehler der Kleintriangulierungen der preufiischen Landesaufnahme 74 )
iibersteigt nicht + Vssooo- Einen iibersichtlichen Genauigkeitsausdruck
liefert auch der auf Grund des aus der Ausgleichung gefundenen
Richtungsfehlers als Funktion desselben berechnete ,,mittlere Koordi-
natenfehler", und der hiernach bezw. direkt als Funktion der aus-
geglichenen Elemente gewonnene ,,Entfermmgsfehler" 75 ). Die Fehler-
ellipse (I D 2, p. 796), welche den Punktfehler in allgemeinster Fassung
gibt, wird als Fehlerausdruck nur in besonderen Fallen verwendet 76 ),
dagegen der nach m =]/w 2 + w x 2 gebildete ,,mittlere Punktortfehler"
oft angegeben. Auch die DreiecksschluBfehler w, welche ein Dreiecks-
netz liefert, werden als Genauigkeitsmafi verwendet, welches besonderen
Wert dadurch hat, daB es vom AnschluBzwang frei ist; der ,,mittlere
Winkelfehler" ist bei n Dreiecksabschliissen naherungsweise
Als Genauigkeitsangabe sei angefiihrt, dafi fur mehrere neuere Stadt-
triangulierungen mit zusammen 1745 Punkten und der mittleren Strahlen-
lange 2,4 kin der mittlere Richtungsfehler im Netz gleich + 3", der
mittlere Punktfehler gleich +17 mm gefunden ist. Als ein Beispiel
fiir die mit einfachen Hilfsmitteln unter groBeren Verhaltnissen zu
erreichende Genauigkeit kann auch eine von der preuBischen Kataster-
verwaltung ausgefiihrte groBere Verbindungstriangulation genannt
werden 77 ).
12. Polygonzugmessung.
Polygonisierung ist die geometrische Punktbestimmung in ge-
brochenen Linienziigen durch Messung der Horizontalwinkel auf den
,,Brechungspunkten" (,,Brechungswinkel", ,,Polygonwinkel") mit dem
74) v. Schmidt, Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 387.
75) Jordan, Handbuch 1, Kap. II, III.
76) Helmert, Ausgleichungsrechnung, p. 231; Jordan, Handbuch 1, 2. Aufl.,
Kap. Ill; 3. Aufl. Kap. V.
77) C. Reinhertz, Die Verbindungstriangulation zwischen der Triangulation
im Kohlenrevier und dem Rhein. Dreiecksnetz, Stuttgart 1888.
12. Polygonzugmessung. 55
Theodolit und der Entfernungen (Strecken, Polygonseiten) von Punkt zu
Punkt mit LangenmeBwerkzeugen oder durch indirekte Entfermmgs-
messung (vgl. p. 85). Die groBe Bedeutung des Polygonzuges er-
klart sich daraus, daB er auBerst schmiegsam 1st und sich alien Ver-
hiiltnissen anpassen lafit; er folgt den StraBen, Eisenbahnen, Bachen,
Waldwegen, Schluchten, den Stollen im Gruben- und Tunnelbau usw.
Die Polygonisierung liefert insbesondere bei den Spezialvermessungen
das auf Kleintriangulierung gegriindete, in rechtwinkligen Koordinaten
auszudriickende Liniensystem, welches als TJnterlage fiir die Klein-
messungen verschiedener Art erforderlich ist. Die Punktabstande
konnen je nach der vorliegenden Aufgabe mehrere huridert Meter be-
tragen oder aber auf ganz kurze Entfernungen herabgehen. Ein
System mehrerer Ziige ergibt das ,,Polygonnetz", wobei die Ziige die
gegebenen trigonometrischen Punkte unmittelbar verbinden (,,Haupt-
ziige") oder bereits bestimmte Polygonpunkte (,,Nebenzuge" in ver-
schiedenen Stufen). Die Vermessung einer Stadt z. B. macht in den
StraBen zahlreiche Ziige in verschiedenen Stufen erforderlich. Poly-
gonziige ohne Koordinaten- bezw. RichtungsanschluB kommen nur in
ganz besonderen Fallen oder fiir kleine Nebenmessungen zur An-
wendung; bei geschlossenen Polygonen werden stets samtliche Be-
stimmungsstiicke (Winkel und Seiten) ev. indirekt gemessen 78 ). Werden
nicht die Brechungswinkel mit dem Theodoliten, sondern fiir jede
einzelne Strecke die magnetischen Azimute mit der Bussole (KompaB)
bestimmt, so entsteht der 77 Bussolen-(KompaB-)zug". Wird der Zug
mit dem Tachymeter und dabei die Entfernungen durch Distanz-
messung (vgl. p. 85) gewonnen, so entsteht der v tachymetrische Poly-
gonzug".
12 a. Der Theodolitpolygonzug. Gegeben sind die Koordinaten der
AbschluBpunkte P a und P e und auf jedem derselben mindestens ein
gegebener Richtungswinkel zu einem Zielpunkt N a bezw. N e -, gemessen
sind samtliche Strecken s und samtliche Brechungswinkel /3 (irn Sinne
rechtslaufiger Zahlung) einschlieBlich der AnschluBwinkel auf P a und
P c zwischen der anliegenden Polygonseite und N a bezw. N e . Fiir irgend
eine Strecke des Zuges ergibt sich dann durch , 7 Ubertragung" mittels
der gemessenen Winkel von der je vorhergehenden Richtung aus der
Richtungswinkel z. B. w 45 = w 34 -f- /3 4 + 180 und die zugehorigen
Koordinatenunterschiede sind entsprechend dy s sin n, 4x s cos n,
78) Uber die Bedeutung und Behandlung der Vielecksaufgaben vgl. Nell,
Zeitschr. f. Vermess. 2i> (1893), p. 489; E. Puller, ibid. 23 (1894), p. 257; vgl.
auch Hammer, Trigonometrie 40 43.
56 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
womit die beim AbschluB auftretenden Bedingungen sind N e N a
z 180 + [0] ; Y e = Y a -f [zty], X e = X a -f [4x], fur die bestimmte
,,Fehlergrenzen" innezuhalten sind. Die Berechnung geschieht in einem
geeigneten Schema init Logarithmen, ; ,Koordinatentafeln" fiir s sin n,
s cos n oder der Rechenmaschine 79 ).
Die Grenauigkeit der Langenmessung ist p. 21 erwahnt, deui
noch die Bemerkung zuzufiigen ist ; da6 im System von Klein-
messungen die Genauigkeit im Polygonnetz derjenigen der nach-
folgenden Linienaufnahme iibergeordnet sein muB. Zur Winkel-
messung dienen kleine oder mittlere Theodolite (vgl. p. 23). Von
besonderer Bedeutung sind die mechanischen Fehler des Verfahrens,
die Zentrierung von Theodolit und Signal (Fluchtstab, Signalscheibe,
beim Markscheiden und im Tunnel Lichtsignale), weshalb bei scharfen
Messungen besondere Hilfsmittel (optische Abloter, festes Lot, bei
Grubenmessungen 80 ) Steckhiilsen usw.) verwendet werden. Ist e die
Exzentritat der Aufstellung des Instrumentes, e und e die der
Signale fur einen gestreckten Winkel mit den Seiten a und b, so
ist der bei quer zur Zugrichtung angesetzten Exzentrizitaten hieraus
entstehende Fehler des Winkels 81 )
der sich mit dem reinen Messungsfehler verbindet. Die Gleichung
des mittleren Richtungsfehlers fiir die rte Richtung in einem ange-
schlossenen Zuge von n Winkeln M=m\/ -- - zeigt, wie der
r %
Richtungsfehler zur Zugmitte wachst. Fiir den auf den unmittel-
baren Winkelfehlern m beruhenden linearen Querverschiebungsfehler
am Ende eines geradlinigen Zuges mit n gleichlangen Seiten s gilt
q = Y(rismy + ((n l)sm) 2 +" " + (2sm) 2 + (1 ~s m)*
VJ^S
- } welcher sich beim RichtungsabschluB entsprechend
reduziert 81 ). Die erwahnten fiir die Theorie des Polygonzuges
79) Uber Rechenbilfsmittel vgl. die Lehrbucher, z. B. Hartner-Dolezal 1,
p. 619; Jordan, Handbuch 2, p. 268. Daraus u. a. C. F. Defert, Tafeln zur Be
rechnung rechtwinkliger Koordinaten, Berlin 1874; E. Liiling, Math. Tafeln fiir
Markscheider und Bergingenieure, 4. Aufl., Berlin 1898; Gurden, Traverse Tables,
London 1888. Man hat ferner besondere Rechenschieber und Apparate fiir die
Koordinatenrechnung konstruiert; vgl. z. B. Ch. Lallemand, Zeitschr. f. Verniess.
29 (1900), p. 233 und Hartner-Dolezal 1, p. 625, wo ein Koordinatometer nach
Friedrich beschrieben wird.
80) Vgl. die Lehrbucher der Markscheidekunde.
81) Jordan, Handbuch 2, 97 und 100103.
12 a. Der Theodolitpolygoiizug. 57
wesentlichen Forrneln zeigen, dafi die Polygonseiten moglichst lang,
oder z. B. bei gegebenem trigonometrischen Punktabstand moglichst
wenig Zwischenpunkte genommen werden sollen, wobei aber anderer-
seits zu bedenken ist, daB der Polygonzug so angelegt werden muB, daB
die untergeordneten Liniennetze bequem angeschlossen werden konnen.
Die strenge Ausgleichung nacb der Methode der kleinsten Quadrate
hat in praktischer Hinsicht wegen der Unsicherheit der Gewichtsver-
haltnisse fur die Langen- und Winkelniessung Schwierigkeiten (vgl. die
Lehrbiicher), es finden daher in der Regel numerische oder auch
graphische 82 ) Naherungsverfahren Anwendung (ein einfaches, meist
angewendetes Verbesserungsverfahren ist gleichmaBige Verteilung des
RichtungsabschluBfehlers auf die Winkel und danacb Verteilung des
linearen KoordinatenabschluBfehlers je proportional den Seitenlangen).
Die Aufgabe kann auch als Koordinatenumwandlung mit kleiner
Achsenabweichung und MaBstabreduktion aufgefaBt werden (vgl. p. 34).
Die Genauigkeit der Polygonzugmessung wird ausgedriickt durch den
aus dem EichtungsabschluBfehler /? sich ergebenden mittleren Winkel-
feliler _ , welcher unabhangig ist von der Einfiihrung des Langen-
yn
maBes, sowie durch die KoordinatenabschluBfehler f y , f x} oder deren
Projektion auf die Zugrichtung als ,,Langenfehler" ^34+I^f^
und ,,Querfehler" E^^L_I^S^ (fif = Zuglange). Hierfur sind in den
Vermessungsanweisungen amtliche Fehlergrenzen festgesetzt. Zahl-
reiche Genauigkeitsbestimmungen 83 ) haben mittlere Winkelfehler zwi-
schen 15" bis 5" ergeben; in den meisten Fallen begniigt man sich
mit 15" bis 30".
Besonders zu erwahnen bleibt noch der AnschluB von Ziigen an
unzugangliche Dreieckspunkte, besonders Kirchturme, sowie die Uber-
windung von Gelandehindernissen (Fliisse usw.). Hierzu sind trigo-
nometrische Hilfsmessungen erforderlich, sodaB z. B. fur einen Turm-
anschluB die fehlenden AbschluBstiicke (Linien und Winkel) sich in-
direkt ergeben. (Vgl. die Lehrbiicher.) Werden mehrere Ziige zu
einem an gegebene Punkte anschlieBenden Netz zusammengefaBt
(,,Knotennetz"), so entsteht eine Ausgleichungsaufgabe, welche nach
^vermittelnden" oder , ; bedingten" Beobachtungen behandelt werden kann,
und im Fall nur ein Knotenpunkt vorliegt (der weitaus haufigste
82) Ein neueres graphisches Verfahren gibt Klinyatsch, Zeitschr. f. Ver-
mess. 29 (1900), p. 540 (vgl. auch 30 (1901), p. 335).
83) Zeitschr. f. Vermess., Literaturiibersichten und Jordan, Handbuch 2,
Kap. IX.
58 VI i, 1. C. Reinserts. Niedere Geodlisie.
Fall), auf die Ausgleichung ,,direkter" Beobaehtungen (I D 2 7 p. 782)
nach dem Prinzip des ,,allgemeinen arithmetischen Mittels" fiihrt.
12 b. Der Bussolen-(Kompafi-)zug findet vielfache Anwendung bei
tachymetrischen und topographischen Aufnahmen (p. 90), bei Waldver-
messungen, und besonders Grubenaufnahmen (hierbei auch mit sehr
kurzen Strecken, Schmiren), Routenaufnalimen und nautischen Ver-
messungen (mit sehr langen Strecken). Bei engbegrenzten Aufnahmen
werden oft die magnetischen Meridianrichtungen unmittelbar als Ab-
scissenachsen genomrnen ; bei AnschluB an trigonometrische Netze die
Abweichungen der magnetischen Richtungen von den trigonometrischen
Abscissenrichtungen durch Beobachtung bekannter trigonometrischer
Linien gefunden, bei ausgedehnten Aufnahmen ohne trigonometrischen
AnschluB die absoluten magnetischen Deklinationen durch Vergleichen
der magnetischen Richtungen mit bekannten oder besonders (vielfach
zu dem Zweck nur genahert) bestimmten absoluten Azimuten ermittelt,
oder aber auch aus den allgemeinen Deklinationsbestimmungen ent-
nommen (z. B. Neumaycrs Karten). Von der Beriicksichtigung der
taglichen Variation wird bei der Feldmessung in der Regel abgesehen,
bei Grubenaufnahmen, Orientierungsmessung, beim Markscheiden je nach
den Umstanden darauf Rucksicht genommen, wobei dann im gegebenen
Fall korrespondierende Variationsbeobachtungen in Betracht kommeu.
Bei Kleinaufnahmen im Felde wird der EinfluB der Variation ohnehin
durch die wiederholten trigonometrischen Anschliisse geniigend elimiuiert.
Die Genauigkeit der unmittelbaren magnetischen Richtungs-
angaben durch das Instrument schwankt bei Bussoleninstrumenten
etwa zwischen einigen Minuten bis zu einigen Zehntel Grad, je nach
der Einrichtung und GroBe des Instrumentes, beim Freihandgebrauch
ist der Fehler entsprechend grofier (einige Grad) 84 ). Da im Kom-
paBzug jede Richtung unabhangig bestimmt wird ; ist das Fehler-
gesetz ein anderes als im Theodolitzug 7 und zwar ist der Querfehler
fiir einen Zug mit n gleichlangen Strecken q = + m a s~^n. Der Ver-
gleich mit der entsprechenden Fehlerformel des Theodolitzuges p. 56
zeigt, daB die Fehlerfortpflanzung im KompaBzug erheblich giinstiger
ist als im Theodolitzug, und im Gegensatz zu diesem moglichst kurze
Strecken, d. h. haufige Messungen verlangt; sie erklart, daB grob er-
scheinende Messungen mit kleinen Bussolen, wie z. B. tachymetrische
84) Wegen der verschiedenen Einrichtung, der Einteilung (gewohnlich in
Grad, bei Grubenkompassen auch Stunden), der Pn ifung der zur Anwendung
koinmenden Instrumente , Feldbussolen, Markscheiderbussolen vgl. die geodati-
schen Lehrbucher. sowie die speziellen Lehrbiicher der Markscheidekunde.
12 b. Der Bussolen-(KompaB)zug. 13. Einzelaufnahme. 59
Kleinzuge, Markscheideziige mit dem ,,Hangezeug" (Kreisbussole im
doppelten Hangering schwebend), Itinerarziige auf Forschungsreisen
verhaltnismaBig gute Resuitate zu geben vermogen. Wegen Berech-
nung und Fehlerverteilung sowie Auftragung der Zuge sehe man
die Lehrbiicher nach.
13. Einzelaufnahme. Bei den exakten Kleinvermessungen
( 77 Grundstuckaufnahme" sog. ,,Stuclivermessung"^ erfolgt die Aufnahme
der Einzelheiten (Grenzsteine, Gebaude, Wege usw.) durch unmittel-
bare Langenmessung auf Grund eines Systems von stufenweise sich
aufeinander stiitzenden und bei umfangreichen Aufnahmen ( ;; Kataster-
vermessungen") auf Triangulierung und Polygonisierung gegriindeten
Linien, dem sog. ,,Liniennetz" . Fiir die Punkte, in welchen eine unter-
geordnete Linie in eine iibergeordnete miindet (,,Liniennetz-", ,,Binde u - 7
7 ,Klein"-Punkt) werden auf Grund der Langenmessung (p. 19) Koor-
dinaten berechnet. Yerbindet eine gerade Linie die gegebenen Punkte
P a und P e (Fig. 16) und sind die Streckenunterschiede s n , so rechnet
man nach
A y y<t A x e x a
Ifn !/-! == ^Vn == S n TcT ? X n ^n-1 == *^ X n == S n TcT >
sodaB durcb Ansatz der gemessenen Streckensumme [s] die Fehler
der Langenmessung proportional den gemessenen Strecken s n auf
die Koordinatenunterschiede verteilt werden (vgl. aucb Koordinaten-
umformung p. 34) 85 ). Der AbschluBfehler mufi innerbalb der fur
die Langenmessung festgesetzten , 7 Fehler-
grenzen" (p. 21) bleibeu. Bei dieser An-
ordnung der Messungen erfolgt somit eine
fortgesetzte Verteilung bezw. Ausgleichung der
Messungsfehler und Beurteilung der Genauig-
keit von der Triangulierung ausgeliend, iiber
die Polygonisierung bis lierdb zur Kleinauf-
nahme. Da die Messungen der Landestrian- Fig. 16.
gulierungen auf die Normalnullflacbe (Meeres-
spiegel) (p. 9) projiziert werden, ergibt demnach dies Interpola-
tionsverfahren auch die Projektion samtlicber Linien und der durch
sie gebildeten Figuren. Zur Sicberung der Lage jeder Linie dienen be-
sondere Messungsproben, Querlinieu, Anscbnitte, Verlangerungen usw. 7
welche rechnerisch oder graphisch ausgewertet werden (z. B. Probe
auf Geradlinigkeit aus den Richtungstangenten oder der Flache des
gestreckten Feblerdreiecks). Die Methode der kleinsten Quadrate wird
85) Anwoisung IX, p. 28 und Trigonom. Formular 23, p. 335.
60 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
zur Ausgleichung von Linienmessungen nur selten benutzt; sie ist
in Anweisung IX bei der Bestimmung wichtiger Punkte durch mehr-
fachen Bogenschnitt angewandt 85 ). Bei der Aufmessung kleiner Kom-
plexe, bei welchen weder AnschluB an iibergeordnete Systeme noch
Winkelmessung stattfinden soil, wird oft ein Viereck, dessen Diago-
nalen gemessen sind (Diagonalenviereck), verwendet, wobei durch den
Schnittpunkt sich eine Probe ergibt. Die Anordnung und Berechnung
solcher Messungen ist besonders von F. G. Gaufi 86 ) behandelt.
Auf ein derartiges in sich gesichertes Liniennetz griindet sich
die } ,Einzelaufnahme" entweder dadurch, daB die aufzunehmenden
Punkte oder Linien (Grundstiicksgrenzen, Gebaudefluchten usw.) als
untergeordnete Linien in das bestehende Netz eingefiigt werden, oder
daB die Punkte durch Absteckung rechter Winkel auf die nahe an sie
herangelegten Netzlinien projiziert werden, sog. } ,Koordmatenaufnahme" .
In jedem Falle konnen fur alle Punkte Koordinaten berechnet werden,
im letzteren Falle durch Transformation der einzelnen Messungslinien
mit den rechtwinklig zu ihnen aufgemessenen Abstanden in das all-
gemeine System. (Die Koordinatenberechnung bleibt meistens auf
einen Teil der wesentlichsten Punkte, Grenzen von ,,Fluren", ,,Ge-
wannen" und sonstige wichtige Messungspunkte beschrankt.)
Die Instrumente zum Abstecken rechter Winkel sind das uralte
^Wirikelkreuz" (groma, in neuerer Form als ;; Winkelkopf", ; ,Winkel-
trommel") und die Renexionsinstrumente Winkelspiegel" und Wiiikel-
prisma". Beim ,,Winkelspiegel" 7 welch er aus zwei kleinen Spiegeln
besteht, werden im Kreuzungspunkt doppelt reflektierter Strahlen
Winkel vom doppelten Betrage des Spiegelwinkels (45) gebildet,
soda6 7 wenn bei vertikalen Spiegelflachen eine direkte Zielung mit
einem reflektierten Bilde in Deckung erscheint, der gewiinschte Hori-
zontalwinkel gleich einem rechten Winkel abgesteckt ist. Ein 7; Winkel-
prisma a ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Glasprisma, in
welchem, wie Sauernfeind 1851 gefunden hat, doppelt reflektierte
Strahlen (an der Kathete infolge von Totalreflexion) im Kreuzungs
punkt mit einer direkten Zielung einen rechten Winkel bilden 87 ).
Diese doppelt reflektierten Strahlen sind unabhangig vom Einfalls-
winkel und dadurch von den einfach reflektierten zu unterscheiden 88 ).
86) Wegen der Ausfuhrung der Reclaming (Logarithmen , Rechenmaschine
usw.), Rechenschernata usw. vgl. die Lehrbucher, speziell F. G. Gaufi, Rech-
nungen der FeldmeCkunst.
87) Vgl. die verschiedenen Lehrbucher der Geodasie, besonders Bauern-
feind, Vermessungskunde.
88) Es sind eine Reihe weiterer Prismen konstruiert, unter denen ein
14 a. Die Flachenberechnung. 61
Werden zwei ; ,Winkelspiegel" oder zwei sich unter 90 kreuzende
Spiegel zusammengesetzt, so erhalt man das }) Spiegelkreu0", ebenso
das y ,Prismenl\reuz" (in verschiedener Form), womit gestreckte Winkel,
d. h. gerade Linien abgesteckt werden konnen. Die Richtigkeit der
Instrumente wird durch Absteckung von zwei Seiten aus gepriift,
wonach Spiegelinstrumente und Prismenkreuze gegebenenfalls zu be-
richtigen sind. Die Genauigkeit der Absteckung betragt rund 1 bis 2 . 89 )
Weiteres iiber die Instrumente und ihren Gebrauch bei Aufnabmen
und zu verschiedenen Absteckungsaufgaben geben alle Lehrbiicher der
Geodasie.
Die ,,geometrische Karte", der } ,Lageplan" } ist eine entsprechend
verkleinerte Darstellung des auf den Vermessungshorizont (N. N.)
projizierten Punkt- bezw. Liniensystems, hergestellt auf Grand des
der Berechnung zu Grunde liegenden rechtwinkligen Koordinaten-
systems. Die Grundlage bildet das Koordinatennetz (sog. ,,Quadrat-
netz"), in welches die Koordinaten der berechneten Punkte (Drei-
ecks-, Polygon- und Liniennetzpunkte) eingetragen werden, womit
das ,,Liniennetz" konstruiert ist, welches als Unterlage fur die
Eintragung der weiteren (im sog. ,,HandriB" oder ,,FeldriB" auf-
geschriebenen) Aufmessungen dient. Zum Auftragen der Koordinaten
sowie der nach der ,,Koordinatenmethode" aufgemessenen Punkte dient
ein Auftragapparat (Koordinatograph), bestehend aus Abscissenlineal
und Ordinatenschieber. Der ,,MaBstab" von Spezialkarten liegt im
allgemeinen zwischen 1 : 500 bis 1 : 5000, sehr haufig gebraucht wird
1 : 1000 und 1 : 2000. (Zurzeit werden die hundertteiligen MaBstab-
verhaltnisse bevorzugt.) Der nicht zu vermeidende ,,Papiereingang"
wird durch Kontrollierung der Quadratnetzlinien erniittelt und danach
reduziert 90 ). Weiteres iiber die geometrische Kartierung geben die
geodatischen Lehrbiicher, fur die ,,Grubenaufnahme" (Grubenrisse)
die Lehrbiicher der Markscheidekunde.
14. Berechnung und Teilung der Flachen.
14 a. Die Flachenberechrmng. Die Berechnung des ,,Flachen-
inhaltes" vermessener Flachen kann erfolgen aus den Messungszahlen, aus
funfseitiges Prisma von L. Prandtl erwahnt sei, Zeitschr. f. Vermess. 19 (1890),
p. 462.
89) F. Lorber, Zeitschr. f. Instr. 8 (1888), p. 381; eine Fehlertheorie des
Winkelprismas findet man bei Jordan, Handbuch 2, p. 36.
90) Uber die bei ausgedehnten Gebieten in Frage kommenden Projektions-
verzerrungen sei auf Jordan, Handbuch 3, 59 und auf VI i, 4 (E. Bour
geois) verwiesen.
62 VI i, 1. C. Eeirihertz. Niedere Geodasie.
den Koordinaten der Eckpunkte, graphisch auf Grundlage der Karte,
oder auch durch eine Verbindung von Messungszahlen und Karten-
maBen. Die Berechnung der geradlinig begrenzten Figuren geome-
trischer Aufnahmen griindet sich auf die einfachsten Satze der Plani-
metrie, wobei auch graphische Verwandlung 91 ) von Figuren (Vielecke
in Vier- bezw. Dreiecke) in Betracht kommt. Fiir in Koordinaten
gegebene oder auch direkt nach der Koordinatenmethode aufgemessene
Figuren wird z. B. (bei rechtlaufiger Zahlung) gebraucht
2F= 2y n (x n _i x n + 1 ) = Zx n ( y n _i -f y n + l )-
zur Ausrechnung dienen in der Regel Multiplikationstafeln oder Rechen-
maschinen (IF (R. Melimlte], p. 944); wegen Anordnung, Rechen-
schemata usw. siehe die Lehrbiicher. Die Ableitung der Flachen
von Vielecken aus Seiten und Winkeln iiberhaupt (vgl. Ill l, 3
(M. Simon}) wird selten verwendet, da, wie oben auseinander gesetzt,
die Winkelrnessung in der Regel nur zur Netzlegung, nicht aber zur
Kleinaufnahme dient, falls das geschieht, aber ohnehin Koordinaten-
berechnung eintritt. Bei der Flachenermittlung nach Pliinen wird
fiir regelmaBige Figuren entweder Dreiecks- bezw. Viereckszerlegung
verwendet, wobei verschiedene Hilfsmittel gebraucht werden, z. B.
eine mit feinen Quadratnetzlinien versehene Glastafel, sowie eine
transparente Hyperbeltafel von Kloth 92 \ Haben die im Flachen-
produkt F zu vereinigenden Faktoren a und 6 die mittleren
Fehler m a bezw. m b , so ist M y + ]/(am 6 ) 2 4- (6w a ) 2 , woraus sich
mit Riicksicht auf Messungs-, Kartenfehler usw. verschiedene Fol-
gerungen ergeben 92 ). Ein bequemes Naherungsverfahren zur Be
rechnung namentlich langgestreckter unregelmafiig begrenzter Figuren
liefert das 7 ,Parallelennetz" ( ; ,Harfe", ,,Fadenplanimeter") , womit sich
die Flache als Summe schmaler Trapezstreifen ergibt zu F = &[p],
(p = Trapezmittellinien mit Zirkeladdition erhalten, oder mit der
oben erwahnten Glastafel abgelesen). Dies kann fiir gekriimmte Um-
fangslinien auch zur Anwendung der Simpson schen Flachenformel
fiihren. Iro iibrigen ist auf die Lehrbiicher zu verweisen. In aus-
gedehntem MaBe finden die ,,Planimeter" (Polar-, Prazisions-, Scheiben-,
Kugdrollplanimeter vgl. II A 2 (A. Vofi), p. 128) Anwendung, deren
Genauigkeit in mittlerem relativen Fliichenfehler etwa zu ^ bis ^ an-
genommen und bei den Prazisionsinstrumenten bis zu ^ und sogar 5^
gesteigert werden kann. Die Flachenberechnung bei der Vermessung
91) i . Collignon, Ann. des ponts et chauss. 1887^ p. 9.
92) Jordan, Handbuch 2, Kap. Ill und Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892), p. 628
(22 (1893), p. 60, 338); 32 (1903), p. 686; J. Schnockel, ibid. p. 129 und 369.
14 b. Die Flacheuteilung. 63
zusammenhangender groBerer Gebiete (ganze Gemarkungen, Fluren
usw.) stellt zunachst den ,,Sollinhalt" fur ein Kartenblatt (Flur, Block
usw.) aus den Koordinaten des das Blatt umrahmenden Liniennetzes
fest, worauf die Berechnung der Einzelflachen folgt, welche auf den
ermittelten ,,Sollbetrag" ausgeglichen werden. Fur alle diese Berech-
nungen sind entsprechende ,,Fehlergrenzen" innezuhalten, welche ge-
maB der Genauigkeit der Flachenberechnung unter Berucksichtigung
der Messungs- und Kartierungsfehler, des KartenmaBstabes usw. auf-
gestellt sind; fur die preuBischen Kleinmessuugen gilt z. B. nach
Anweisung VIII als amtliche Fehlergrenze 0,01 ]/WF+ ~0~02 F 2 fur
F in qm.
14 b. Die Plachenteilung. Bei der Teilung (Veranderung, Urn-
legung) vermessener Fliichen handelt es sich darum, rechnerisch oder
graphisch auf Grund eines Planes die den gerade vorliegenden praktischen
Bedingungen entsprechenden Einteilungs- oder Begrenzungslinien zu be-
stimmen und im AnschluB an die Messungsergebnisse oder den Plan
diese Linien im Gelande abzustecken, und schliefilich die Richtigkeit
und Genauigkeit der Absteckung zu priifen. Das Verfahren griindet
sich auf die Teilung geradlinig begrenzter einfacher Figuren, welche
entweder im Plan, oder durch Koordinaten der Eckpunkte, oder durch
Messungszahlen im Handrifi, auch Seiten und Winkel, gegeben sein
konnen. Die planimetrische Theorie dieser Teilungen behandeln die
Lehrbiicher der Elementarmathematik ; die hauptsachlich technisch in
Betracht kommenden Anwendungen die Lehrbiicher der Geodasie; die
rechnerische Losung auf Grund von Koordinaten ist besonders von
F. G. Gaufi entwickelt 93 ).
Die Aufgaben lassen sich im allgemeinen zuruckfiihren auf
die, von einem durch zwei sich schneidende Linien gegebenen Winkel-
raum (Dreiecksraum) oder einem durch drei Linien umgrenzten an
einer Seite offenen Doppelwinkelraum (Vierecksrauni) bestimmte
Flachenstiicke unter bestimmten Bedingungen abzuschneiden. Diese
Bedingungen werden in der Vermessungstechnik durch verschieden-
artige Umstande vorgeschrieben; die wesentlichsten mathematisch
in Betracht kommenden sind: 1) Die abzusteckende Trennungs-
linie soil durch einen gegebenen Punkt gehen, der in den meisten
Fallen auf einer der gegebenen Umgrenzungslinien liegt; 2) die Tren-
nungslinie soil eine bestimmte Richtung haben, z. B. parallel oder
93) F. G. Gaufi, Die Teilung der Grundstiicke, 4. Aufl. , Berlin 1904. Die
Literatur zu zahlreichen besonderen Fallen ist in den jahrlichen Literaturiiber-
sichten der Zeitschr. f. Verniess. angegeben.
64 VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie.
rechtwinldig zu einer gegebenen Linie, in manchen Fallen zu einer
der Umgrenzungslinien; 3) die durch die Trennungslinie abge-
schnittenen Linienstiicke der Urfigur sollen in einem bestimmten
Verhaltnis zueinander stehen (sog. ,,Proportionalteilung"). Fur die ein-
fache Dreiecksteilung ergibt sich danach z. B. folgende Ubersicht. Vom
Dreieck ?7(Fig. 17) mit den Seiten A, B, C soil von der gegeniiber^i liegen-
den Ecke aus ein Flachenstiick f durch Linienstiicke & 7 c abgeschnitten
werden, sodaB wird ~ = m, ~^=n, und demnach k=t-= -- . ^ = m-n.
ji C U Jj C
Das gibt fur den Fajll 1), wenn Punkt P auf (7 durch c gegeben 1st, das ge-
suchte m = , b = mB; fiir Fall 2), wenn z. B. die Trennungslinie
parallel A sein soil, m = n = Yk, usw. Entsprechend gestaltet sich die
Vierecksteilung, wobei noch besonders hinzuweisen ist auf die auf
quadratische Gleichungen fiihrende
Parallel- uud Proportionalteilungen,
welche verschiedene Losungen zu-
lassen 94 ). Die richtige Absteckung
wird schlieBlich durch Aufmessung
und Flachenberechnung der ab-
gesteckten Figuren innerhalb der
erwahnten Fehlergrenzen sicher-
pn A - _ )" gestellt. Im ubrigen ist zu bemerken,
Fig. 17. daB in den verwickelten Fallen der
Praxis sehr viel Annaherungsver-
fahren zur Anwendung kommen derart, daB die Bedingung fiir die
Lage der Teilungslinie (z. B. parallel oder rechtwinklig zu einer be
stimmten Linie) vorweg genau erfiillt wird und die Flachenbedingung
zunachst nur genahert, sodaB dann nach erfolgter Flachenberechnung
noch kleine Verschiebungen der Linie unter Beriicksichtigung der
Lagebedingung auszufiihren bleiben, die dann auf die Absteckung eines
schmalen Dreiecks, Paralleltrapezes usw. herauskommen. Derartige
Annaherungsverfahren konnen auf Grund eines ,,Handrisses" oder auch
direkt im Felde vollstandig rechnerisch durchgefiihrt werden. Die
gleiche Aufgabe liegt vor bei der sog. ,,Grenzbegradigung" , wobei es
sich darum handelt, einen gebrochenen Grenzzug bei unveranderter
FlachengroBe der Figuren durch eine gerade Linie zu ersetzen. Mu6
94) Uber einige besondere Behandlungen vgl. Zeitschr. f Vermess. 13
(1884), p. 277; 14 (1885), p. 289; 15 (1886), p. 465; 23 (1894), p. 321; 24 (1895),
p. 80, 383; 27 (1898), p. 490; 30 (1901), p. 159; 31 (1902), p. 317, 477; 32 (1903),
p. 378; 33 (1904), p. 97, 121, 124; ferner die ,,,Allgemeinen Vermessungsnach-
richten", Liebenwerda, und andere Fachzeitschriften.
15. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen. 65
bei den Teilungen der verschiedenartige Wert der Flachen (Bonitat)
in Riicksicht gezogen werden, so gehen die danach bestimmten Flachen-
werte in die Rechnung ein 93 ).
15. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen. Das
Abstecken (Ausrichten) von geraden Linien im Gelande (Vertikal-
ebene) erfolgt auf kurze Entfernungen, falls nicht besondere Genauig-
keit erforderlich ist, mit Fluchtstaben (Baken) nach freiem Auge
oder mit Anwendung eines Handfernrohrs (Feldstecher) durch ,,Ein-
weisen" oder aucb mit Winkel- oder Prismenkreuz (vgl. p. 61).
Bei genauen Absteckungen, langen Linien usw. wird der Theodolit
oder ein besonders in der Vertikalebene richtig kippendes Fern-
rohr (Alignementsfernrohr) verwendet, mit festem Stand auf einem
Endpunkt oder fortschreitender Standanderung von Linienpunkt zu
Linienpunkt. Fur sehr lange Linien werden aucn indirekt Zwischen-
punkte abgesteckt, indem in der Nahe der Linie ein Hilfspunkt an-
genommen wird, der kleine Abweichungswinkel von der Geraden mit
dem Theodolit gemessen und mit Hilfe der ebenfalls bestimmten
Entfernung die Verschiebung des Hilfspunktes berechnet wird. 1st
eine direkte Zielung zwischen den Linienendpunkten nicht moglich,
wie z. B. bei der Achsenbestimmung fur groBe Tunnel, so wird der Ab-
steckung eine Triangulierung zu Grunde gelegt, die den Winkel zwischen
Achsenriehtung und gegebenen trigonometrischen Linien (Miren) ergibt,
wonach im Tunnel mit dem Alignementsfernrohr mit fortschreitender
Standanderung die Linienpunkte gewonnen werden. Die Fehlertheorie
dieser Absteckungen entspricht der des gestreckten Polygonzuges
(vgl. p. 56) 9o ). Tiber kleine Absteckungen mit Winkelspiegel, Recht-
ecke, Quadratnetze, Parallelenabsteckung usw. s. die geodatischen
Lehrbucher.
Das Abstecken von Kreisbogen wird beim Bau von StraBen, Ka-
nalen, insbesondere Eisenbahnen erforderlich. Durch das Projekt 1st
in der Regel gegeben die Richtung zweier sich schneidender Geraden
(Tangenten), welche durch einen Kreisbogen mit ebenfalls durch die
Bedingungen des Projekts vorgeschriebenem Radius zu verbinden sind;
seltener ist eine Tangente an einen oder mehrere Bogen zu legen.
Verlangt wird, daB in kurzen Abstanden Bogenpunkte im Gelande
abgesteckt werden. Die Bestimmungsstucke sind demnach: die beiden
95) Beispiele fuv Linien- und Tunnelabsteckungen gibt Jordan, Handbuch 2 T
195, 205 mit weiterer Literatur, ferner Hartner-Dolezal 2, p. 447 u. 448. Fiir
den Gotthardtunnel z. B. C. Koppe, Zeitschr. f. Vermess. 2 (1873), p. 369; 6
(1876), p. 86; fur den Simplontunnel M. Rosenmund, ibid. 32 (1903), p. 74.
Encyklop. d. math. Wissensoh. VI 1. 5
66 VI i, 1. C. JReinhertz. Niedere Geodasie.
,,Tangentenrichtungen", der von ihnen eingeschlossene Winkel, der
Radius, in besonderen Fallen ein bestimmter Kurvenpunkt, oder auch
zwei Punkte (Sehne). Erforderlich ist daher in der Regel zuerst
Messung des Tangentenschnittwinkels mit dem Theodolit. Danach
ergibt sich dann zunachst als Gerippe der weiteren Absteckungen
(sog. Hauptpunkte, Hauptlinien) die durch Abmessung auf den Tan-
genten zu findenden Beriihrungspunkte (ev. deren Verbindungslinie)
und durch die rechtwinkligen Abstande bezw. durch Halbierung des
Schnittwinkels die Bogenmitte (Proben). Neben diesem einfachen
Fall wird haufig die Absteckung weiterer Hauptlinien erforderlich,
d. h. ein den Bogen einschlieBendes Tangentenpolygon (,,Zwischen-
tangenten" als Fortfiihrung des einfachen Falls) oder ein eingeschrie-
benes ,,Sehnenpolygon". Die zugehorigen Teilzentriwinkel ergeben
sich entweder durch aliquote Einteilung des ganzen Zentriwinkels
(bestimint durch die Hauptberiihrungspunkte) oder durch Berech-
nung der zu bestimmten (runden) Bogen-, Tangenten-, oder Sehnen-
langen gehorenden Winkel. Die Methode des Sehnenpolygons,
d. h. also die Herstellung eines der Kurve eingeschriebenen Polygon-
zuges mit bestimmten (ev. konstanten) Brechungswinkeln und Seiten,
ist die in der Regel bei der Absteckung von Kurventunneln ver-
wendete Methode. Kann im ,,Tangentenschnittpunkt" der Theodolit
nicht aufgestellt werden, ist dieser Punkt iiberhaupt nicht herstellbar,
sowie auch Langenmessung in den Tangentenrichtungen nicht ausfuhr-
bar, so miissen die Bestimmungselemente auf indirektem Wege be-
schafft werden (z. B. sehr oft bei Kehrtunneln). Die wesentlichsten
Falle sind: Verbindung der Tangenten durch eine ineBbare gerade
Linie und Messung der anliegenden Winkel, wodurch das abgeschnittene
Dreieck bestimmt ist, oder Einfiihrung eines Polygonzuges (moglichst
wenig Zwischenpunkte) oder endlich Triangulierung mit Ausgleichung;
in solchen Fallen wird auch Berechnung der Absteckungselemente
nach rechtwinkligen Koordinaten verwendet.
Auf die Absteckung des Gerippes der Hauptlinien griindet sich
diejenige der ,,Einzelbogenpunlde" , welche in der einfachsten Weise durch
rechtwinklige Koordinaten (sog. ,,Koordinatenmethode") von der Tan-
gente oder Sehne aus mit ,,Winkelspiegel" usw. sich ergeben, und
zwar entweder mit gleichen runden Abstanden (5, 10, ... m) auf Tan-
gente bezw. Sehne, oder mit gleichen Bogenlangen (5, 10, ... m).
Neben dieser uninittelbar auf die Hauptlinien gegriindeten ,,Ko-
ordinatenmethode" kommen noch einige andere Verfahren in Be-
tracht. Eine Methode (Fig. 18) ist die der ,,Peripheriewinlcelstrahlen"
aus nfestem Stand", wobei mit fortgesetzter Abtragung einer kon-
15. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen.
67
stanten Sehne (z. B. 20 m) die zugehorigen Zentriwinkelvielfachen
von der Tangentenrichtung aus mit dem Theodolit hergestellt
Fig. 18.
werden oder runde Winkel angetragen werden. Eine andere Me-
thode ist (Fig. 19): Aufsuchen der Bogenpunkte vermittelst der zu
einer bestimmten Sehne gehorigen Peripheriewinkel bei ,,tvanderndem
Fig. 19.
Fig. 20.
Stand" ernes diesen Winkel fassenden ^Freihandreflexionsinstrumentes *,
welches wie ein einstellbarer Winkelspiegel oder ein Doppelprisma
nach Art des Sextanten usw. auf diesen berechneten Winkel einstell-
bar ist (Arkograph).
Weitere n Einruckungs-
verfahren" sind die sog.
Absteckung von der ,,ver-
Idngerten Sehne" und von
der , } verlangerten Tan-
gente" aus, wobei ein
MeBband (20m) bequem
verwendbar ist. Bei ersterem (Fig. 20) wird die erste Sehne von der
Tangente aus mit den hierfiir (meistens fiir runde Bogenlangen) be
rechneten rechtwinkligen Koordinaten abgesteckt, diese Sehne ver-
langert und von ihr aus die nachste Sehne durch die auf erstere
bezogenen rechtwinkligen Koordinaten abgesetzt, wonach die Arbeit
Fig. 21.
68 VI i, 1. C. Eeirihertz. Niedere Geodasie.
in gleicher Weise fortschreiten kann. Beim zweiten Verfahren(Fig.21)
werden in ahnlicher Weise von der Tangente A T aus in rechtwinkligen
Koordinaten zwei gleichabstandige Kurvenpunkte S und C berechnet
und abgesteckt, sodaB die nachst-
folgende im zweiten Punkt beriihrende
O
Tangente durch diesen zweiten Bogen-
punkt C und den Abstand des Tan-
Fig. 22.
gentenschnittpunktes B" vom Ordi-
natenfuBpunkt B des ersten Bogenpunktes bestimmt ist, womit die
fortgesetzte Absteckung der Tangenten mittels rechtwinkliger Bogen-
punktkoordinaten ermoglicht ist. Auch die Einschaltung von Zwischen-
punkten fiber gegebenen Sehnen durch fortgesetzte Einlegung von
Zwischensehnen mittels des Pfeilhohenviertels (sog. ,,Viertelsmethode",
Fig. 22) wird als Naherungsmethode fiir flache Bogen angewendet 96 ).
Ein besonderer Fall ist die Verbindung zweier Tangenten durch
mehrere Kreiskurven vorgeschriebener Kriimmung, sog. ^Korbbogen",
welche notwendig werden, wenn den Bedingungen des Projektes nicht
mit einem eiuzigen Bogen entsprochen werden kann. Z. B.: Gegeben
die Tangentenrichtungen und auf einer Tangente der Beriihrungspunkt
und zwei Radien, sodaB zu berechnen ist der Beriihrungspunkt auf
der zweiten Tangente, sowie die gemeinschaftliche Tangente beider
Bogen; oder gegeben die Richtungen der beiden Tangenten, ihre
Beriihrungspunkte und ein Radius, sodaB der andere Radius und die
gemeinschaftliche Tangente zu bestimmen sind. In manchen Fallen
werden auch mehr als zwei Radien erforderlich, z. B. gegeben die
beiden Tangentenrichtungen, die Beriihrungspunkte und drei Radien.
Die Bogen sind bestimmt, sobald ihre Zentriwinkel berechnet sind 97 ).
Bei der Absteckung der Eisenbahnlinien sind zwischen Geraden und
Bogen zur tlberleitung von der Kriimmung Null zur Kriimmung
des Kreisbogens ,,tibergangskurven" erforderlich. Die Absteckung
anderer als Kreisbogen, der Kegelschnitte oder anderer Kurven, kommt
bis jetzt allgemein nicht in Betracht 98 ). Fiir die praktische Durch-
fiihrung der Absteckungen werden stets Hilfstabellen verwendet") (oft
96) Uber die Anordnung der Rechnungen und Messungen sowie uber
weitere Aufgaben vgl. die Lehrbiicher, z. B. Jordan, Handbuch 2, Kap. XVII und
Hartner-Dolezal 2, 2831.
97) E. Puller, Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892), p. 519; 23 (1894), p. 257;
E. Hammer, ibid. 29 (1900), p. 236 (vgl. Literaturiibersichten).
98) Heclit, Hand- und Hilfsbuch zurn Abstecken von Eisenbahn- und
StraBenkurven mit besonderer Rucksicht auf die Verwertung der Kegelschnitte,
Dresden 1893.
99) Sarrazin und Oberbeck, Taschenbuch zum Abstecken von KreisbOgen
16. Das Nivellieren. 69
auch in Taschenkalendern enthalten), worin z. B. enthalten sind zum
Radius 1 (bezw. 100) als Funktionen der Zentriwinkel: Tangentenlangen,
Bogenlangen, Sehnenlangen, Pfeilhohen, Scheitelabstande; ferner Kreis-
koordinaten, Peripherie winkel usw.
Wegen weiterer Literatur sei verwiesen auf die Angaben in den
Lehrbiichern 10 ) , sowie die technischen Zeitschriften, z. B. auch die
Literaturiibersichten der Zeitschr. fur Vermessungswesen.
Als eine besondere bei , 7 Grubenmessungen" vorkommende Auf-
gabe sei noch genannt die Ubertragung oberirdisch (,,iiber Tage") ge-
gegebener Punkte bezw. Richtungen in die Grrubenraume (^unter
Tage") und umgekehrt, die sogenannte ,,0rientierungsmessung" mit
,,Schachtlotung". Da Richtungsubertragung mit dem KompaB (Dekli-
natorium, Magnetometer) nur in unmagnetischem Gebirge moglich
und nicht in alien Fallen geniigend genau ist, handelt es sich dann
darum, zwei oder auch rnehrere Punkte zu projizieren, entweder
beide in kurzem Abstand in einem Schacht oder je einer in benach-
barten Schachten. Hierzu dient entweder direkte Ablotung mit , 7 Schacht-
loten" (Methode der schwingenden oder der fixierten Lote) oder
pptische Ablotung mit Lotfernrohr; letzteres Verfahren ist jedoch wegen
Undurchsichtigkeit der Luft in den Schachten vielfach unanwendbar.
Nach Projektion von zwei Punkten ist die Aufgabe auf eine be
sondere Art trigonometrischeu bezw. polygonometrischen Anschlusses
(p. 57) zuriickgefiihrt 101 ).
D. H o h e n m e s s u n g.
16. Das Nivellieren.
16 a. Definition des H6henunterschied.es, Historisches. Die
Methode der Hohenbestimmung beirn sogenannten , ? Nivellieren" mit
Verwendung wagerechter Ziellinien und lotrechter Skalen (vgl. p. 12)
folgt unmittelbar aus der fur die Vertikalebene zweier Punkte ge-
gebenen Definition. Der Abstand der als parallel zur Normalnullflache
betrachteten Horizonte zweier Punkte P t und P 2 (in den Lotlinien
gemessen) ist der ; ,Hoheunnterschied" der Punkte mit der Definition
= h 2 h v Diese Hohenunterschiede werden durch kurze wage-
usw., Berlin ; Knoll, Taschenbuch zum Abstecken der Kurven an StraBen- und
Eisenbahnen, 2. Aufl. von Weitbrecht, Stuttgart 1902 und andere.
100) Jordan, Handbuch 2, p. 842; Hartner-Dolezal 2, p. 447.
101) Weiteres fiber die Schaehtlotungen und AnschluBmessungen geben die
Lehrbu cher der Markscheidekunde ; man vgl. auch ,,Mitteilungen aus dem Mark-
scheidewesen", Freiberg i. S.
70 VI i, 1. G. Eeinhertz. Niedere Geodasie.
rechte Ziellinien zwischen den Lotlinien einander naheliegender Punkte
unmittelbar hergestellt. Schneiden diese Ziellinien an den Lotlinien
in P x und P 2 die Stiicke ^ und 1 2 ab, so ist AA 12 = /^ h i = l l Z 2 ,
oder mit Einfiihrung des Horizontes h t der wagerechten Ziellinie
(,,Instrumenthorizont") h. = h -J- ^ ; h 2 = h t 1 2 . Hierbei ist von
der Konvergenz der Lotlinien abgesehen, oder aber die Abweiehung
durch Anwendung gleichlanger Ziellinien als eliminiert betrachtet
(,,Nivellieren aus der Mitte"). Der Hohenunterschied entfernter Punkte
ergibt sich als die Summe der zugehorigen Einzelunterschiede
A.. = AA al + A* 12 + + *h ne .
Wird die wagerechte Linie durch ein mit einer Setzwage (Bleiwage
oder Setzlibelle) wagerecht zu richtendes ,,Richtscheid" gebildet und
an einem lotrechten Stab der Hohenunterschied entnommen, so hat
man die grobe Hohenbestimmung mit dem ,,Staffelzeug", angewendet
z. B. bei Erdbauten (vgl. Nr. 16e). Zur Herstellung wagerechter
Ziellinien mit Einwinken einer Scheibe in die wagerechte Sicht an
den lotrechten Staben l n in P n diente schon im Altertum die an
einem Stab aufgehangte ,,Bleiwage" sowie die nach dem Prinzip der
kommunizierenden Rohren zwei der Wagerechten angehorende Ziel-
punkte darbietende vKanalwage" 2 ). NachErfindung des ? ,Zielfernrohres"
wurden seit Ende des 17. Jahrhunderts mehrfach Versuche gemacht,
dieses zum ,,Fernrohrniveau" auszubilden; erst seit Beginn des
19. Jahrhunderts wurde die heutige Form als ,,Nivellierinstrument"
gefunden und besonders seit der Zeit der ersten Eisenbahnbauten das
heutige Nivellierverfahren mit dem Nivellierinstrument zu der exak-
testen aller Hohenmessungsmethoden ausgebildet.
16 b. Der Nivellierapparat besteht aus dem ^Nivellierinstrument"
und den ,,Nivellierlatten". Das Nivellierinstrument ist eine Verbindung
von Zielfernrohr und Libelle, so daB, wenn die Blase der mit dem
Fernrohr in gleicher Richtungsebene befindlichen Libelle auf den
Normalpunkt einspielt, die Absehlinie des Fernrohres horizontal ge-
richtet ist, oder auch kleine Abweichungen von der Horizontalen
durch Ablesen der Blasenstellung in der Libellenteilung gemessen
werden konnen. Die Art der Verbindung von Libelle und Fernrohr
untereinander sowie mit dem als Trager derselben erforderlichen
Unterbau (in der Regel ein ; ,DreifuB" mit Stellschrauben) kann ver-
schieden sein; das wesentlichste Unterscheidungsmerkmal ist die Art
der Fernrohrlagerung und der Libellenanordnung, ob Fernrohr und
102) ttber einige altere Fonnen dieser Vorrichtung und weitere Literatur
Tgl. Vogler, Prakt. Geom. 2, 228.
16 b. Der Nivellierapparat. 16 c. Das Nivellierverfahren. 71
Libelle untereinander und mit dem Unterbau fest oder beweglich
(umlegbar), sowie aucb durch Vermittlung von Mikrometerschrauben
verbunden sind, wobei fiir die ,,Fehlertilgung" besondere Anordnungen
in Betracht kommen. Hiervon ist auch die Erzielung der Bedingungen,
welchen das Instrument in bezug auf seine Achsen (Libelle, Ziellinie,
Ringachsen, Drehachsen) geniigen muB, die sogenannte ,,Berichtigung"
abhangig, deren Endresultat sein muB: bei Einspielen der Libelle
auf den Nornialpunkt (vgl. p. 18) wagerechte Zielung. Die An-
ordnung der Instrumente und die entsprechenden Berichtigungsver-
fabren sind in den Lehrbiichern ausgiebig behandelt. Die Leistung
eines Nivellierinstrumentes hangt (abgesehen von fester Aufstellung
und sicherem Gang der mechanischen Teile) ab von Fernrohr und
Libelle. Die Angabe der Libellen liegt bei 1 P. L. oder 2 mm-
Teilung etwa zwischen 50" und 3", die VergroBerung der Fernrohre
ist 15fach bis 45fach; starkere Fernrobre werden im Felde nicbt
verwendet. Bei sachgemaBer Zusammenstellung dieser Werte kann
die Horizontierung der Abseblinie mit einem mittleren Fehler von
einigen Zehntel Sekunden bis zu mehreren Sekunden erfolgen 103 ).
Die ,,Nivellierlatten", welche die lotrechten Abschnitte l n zu bilden
haben, sind mit dem Fernrohr des Nivellierinstrumentes abzulesende
Zielskalen, die je nach der erstrebten Genauigkeit (in Ubereinstimmung
mit der Instrumentleistung) in Y 2 cm, % cm oder aucb Y 2 dm und
*/! dm geteilt sind; es kommen auch andere Einteilungen (z. B.
Doppellinien = 4 mm, auch 2 mm und 1 mm) vor. Friiher wurden
statt dieser Ableseskalen Latten mit einer in die Wagerechte einzu-
winkenden Zielscheibe benutzt. Die Teilung ist eine ,,Feldeinteilung"
mit abwechselnd rot-weiBen oder schwarz-weiBen Intervallen oder auch
eine ,,Strichteilung". Die Skalen werden in der Regel aus Holz her-
gestellt, neuerdings beginnen fiir Prazisionsarbeiten auch Versuche mit
Metallskalen verschiedener Anordnung, um die muhevollen, fiir Fein-
messungen taglich erforderlichen Vergleichungen der Holzskalen mit
NormalmaBen (vgl. p. 20) und nachfolgenden Reduktionen zu ersparen
bezw. diese letzteren zu verscharfen. Die Latten werden mit daran
befestigten Dosenlibellen lotrecht gerichtet und auf besonderen Unter-
legeplatten oder in den Boden getriebenen Bolzen oder Pfahlen auf-
gestellt, beim Markscheiden auch als Hangelatten eingerichtet.
16c. Das Nivellierverfahren. Bei der Anwendung des Nivellierver-
fahrens kommen stets kurze Zielweiten in Betracht. Fiir die fortlaufenden
103) Genauigkeitsuntersuchungen findet man bei Jordan, Handbuch 2,
Kap. X; vgl. auch die FuBnote 20.
72 VI i, 1. C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
Hohenbestiinmuugen in Nivellierziigen gilt als mittlere Zielweite rund
50 m (wodurch bei StraBen, Eisenbahnen, Wasserlaufen gleichzeitig
in bequemer Weise AnschluB an die vorhandene Langeneinteilung,
,,Stationierung", dieser Bauten gewonnen wird), so daB die Nivellier-
skalen in Abstanden von 100 m aufgestellt werden; bei Grelande-
aufnahmen sind die Zielweiten wechselnd, in anderen Fallen, z. B.
bei Arbeiten in Gruben unter Tage, sehr kurz. Bei gleicben Ziel
weiten kann der EinfluB der Erdkriimmung als eliminiert be-
trachtet werden, bei den ungleichen Zielweiten der Grelandeaufnahme
wird die Abweichung ohne weiteres vernachlassigt. Wahrend bei
einfachen Nivellierungen die beiden Skalenablesungen \ und \ bei
einspielender Libelle und wagerechten Ziellinien genornmen werden,
wird bei Feinnivellierung meistens mit nur genahert einspielender Libelle
und Ablesung der Blasenstellung mit Reduktion auf die wagerechte
Zielunff gearbeitet, femer auch zur Verminderung der Skalenablesefehler
O O / "
die Einstellung bestimmter Skalenstellen oder Marken mittelst der Mikro-
meterschraube mit Reduktion nach den zugehorigen Libellenablesungen
O O O
verwendet, oder auch mehrfache Einstellung bezw. Ablesung, sei es
an Parallelfaden, mit Drehen des Fernrohrs oder der Libelle in ver-
schiedenen Lagen usw. 104 ). Zur Yermeidung der Subtraktionen \ /
wird auch nach dem Vorgange der preuBischen Landesaufnahme die
Rechnung mit dekadischen Erganzungen, z. B.
-f- 1,012 1,258 = + 1,012 + x 8,742 = x 9,754 (= 0,246),
wo X eine negative Einheit in seiner Stelle ausdriickt, angewendet,
wozu dann in dieser Art bezifferte Skalen benutzt werden. Zur
Sicherung und Verfeinerung der Skalenablesungen werden auch
,,Wendelatten" mit beiderseitiger Teilung in verschiedener Anord-
nung, sowie doppelte ,,Anbindepunkte" usw. benutxt 104 ).
Die Anwendung des Nivellierverfahrens ist eine vielseitige und
verschiedenartige; es kommenin Betracht die Aufgaben der Erdmessung,
der Landesvermessung und techuische Arbeiten mannigfaltiger Art;
104) Eine Ubersicht viber die bei den verschiedenen Landesnivellierungen
gebrauchten Apparate hat v. Kalmar gegeben, Verhandlgn. der Permanenten
Komm. d. Intern. Erdm. in Genf 1893, Berlin 1894, Beilage A II. tJber die
franzosischen Instrumente und Methoden findet man naheres bei Lallemand,
Nivellement; vgl. ferner C. M. Goulier, Puris C. E. 105 (1887), p. 270, 306; M.
Levy, ibid. 110 (1890), p. 1233. Ein kathetometrisches Nivellierinstrument ist
von Cfir. A. Vogler beschrieben, Zeitschr. f. Vermess. 31 (1902), p. 55.
105) Weiteres fiber solche Aufgaben siehe in den Lehrbuchem sowie fiir
die verschiedenen bautechnischen Zwecke in dem Handbuch der Ingenieur-
Wissenschaften, Leipzig.
16 c. Das Nivellierverfahren. 73
dementsprechend ist allgemein zu unterscheiden: Anwendung des
Nivellierens in der Technik (Kleirmivellierung) , deren Genauig-
keit der gerade vorliegenden Aufgabe entsprechen muB, und Ni-
vellierung fiir die Zwecke der Erdmessung und die Hauptsysteme
der Landesvermessung 7 deren Ergebnis das mit gro Btmoglicher Ge-
nauigkeit bestimmte Landeshohennetz ist, welches gebildet wivd durch
ein System von Festpunkten, ; ,Bolzen" 7 ,,H6henmarken" usw., die an
festen Gebauden oder in Steinpfeilern angebracht sind. Diese letzteren
Arbeiten bezeichnet man als ,,Prazisionsnivellierang" oder 7 ,Nivellierung
I. Ordnung". Eine Mittelstellung zwischen diesen beiden Aufgaben
des Nivellierens nehmen diejenigen Arbeiten ein 7 welche als Fort-
fiihrung oder auch als Ersatz der etwa fehlenden Landesprazisions-
Nivellierung zur Grundlegung fiir umfangreiche und wichtige Klein-
nivellierungen zu dienen haben (,,Netznivellierung", , ; Nivellierung
II. Ordnung"). Die Nivellierungen I. und II. Ordnung bestehen ledig-
lich aus Ziigen zwischen Festpunkten, die Kleinnivellierungen dagegen
aus der Verbindung der Zugnivellierung mit Gelandeaufnahmen.
Bei ,,Kleinnivellierungen" handelt es sich um die verschiedenartigeii
Arbeiten zu technischen Zwecken: Gelandenivellierungen auf Grund
eines vorhanuenenLageplanes mit nachfolgender Auszeichnung von Linien
gleicher Hohe (Hohenschichtlinien, Horizontalkurven), sodann die Auf-
nahme von Langen- und Querschnitten, wie sie Eisenbahn-, StraBen-,
Wasser-, Bergbau usw. erforderlich machen. Bei der zeichnerischen
Darstellung dieser Vertikalschnitte (Hohenplane) wird in der Regel
eine entsprechende Vergrofierung der Ordinaten (Hohen) angewendet.
Fiir die Absteckung projektierter Hohenpunkte (vgl. die vorerwahnten
Bauten) ; ist die dem Projektpunkte fiir eine bestimmte ? aus einem
Festpunkt abgeleitete, Instrumentaufstellung entsprechende Latten-
ablesung 1. = h { Ji n zu erzielen. Bei der Aufnahme der Sohien-
punkte bei Gewassern wird der Wasserspiegel als Nivellierhorizont
verwendet, dessen Hohenlage bezw. Schwankungen dann zu bestimmen
sind (Aufnahmepegel) 105 ).
Gelegentlich kommt auch die dem Prinzip der Kanalwage (p. 70)
entsprechende Schlauchkanalwage zur Anwendung. Durch eine Schlauch-
leitung sind zwei vertikale Glaszylinder verbunden, in denen der
Wasserstand (event, durch Schwimmer) direkt an Skalen abgelesen
wird. Auf dem Telegraphenberge bei Potsdam ist seitens des
PreuBischen Geodatischen Instituts 10 ) eine 900 m lange Rohren-
106) Veroffentlichung des Konigl. Geodat. Instituts, N. F. 14; E. Sctmmann,
Ergebnisse einer Untersuchung iiber Veranderungen von Hohenunterschieden auf
dem Telegraphenberge bei Potsdam, Berlin 1904.
74 VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie.
leitung angelegt, urn durch ein hydrostatisches Nivellement even-
tuelle Bewegungen der Erdscholle aufzudecken.
16 d. Die Genauigkeit der Nivellierung ist einerseits abhlingig von
den instrumentellen Werten des Nivellierapparates (Skala, Libelle, Fern-
rohr), sowie der Art der Ausniitzung des Apparates (Libelleneinstellung
oder Ablesung, Skaleneinstellung bezw. Ablesung), andererseits von den
mechanischen Fehlern des Verfahrens (Instrument-, Stativ- und Latten-
aufstellung, Eiusinken), sowie den auBeren Umstanden (storende Ein-
wirkung von Temperatur und Feuchtigkeit auf Instrument, Stativ und
Latte) und bei den dicht iiber den Erdboden hinstreichenden Ziel-
linien besonders auch der ,,topographischen Refraktion", welche zur
Innehaltung kurzer Ziellinien zwingt, und der Luftwallung, welche
Feinarbeiten an bestimmte Tagesstunden (Nachmittag) bindet. Wind
macbt das Nivellieren iiberhaupt unmoglich. Die aus diesen ver-
schiedenartigen Ursachen entstehenden Fehler sind teils zufallige, teils
regelmafiige, zusammenwirkend nach der allgemeinen Form wie p. 21
]// 2 s 2 -{- u*s. Zur Herabminderung (bezw. Elimination) der Fehler
ist das Nivellierverfahren in mannigfacher Weise ausgebildet und ver-
feinert worden 107 ).
Zusammenhangende Nivellierungsnetze, in denen die Ziige zwi-
schen den Netzknotenpunkten stets aus Hin- und Hernivellierung ge-
bildet werden, werden nach der Methode der kleinsten Quadrate
vielfach nach , 7 bedingten", jedoch auch nach w vermittelnden" Be-
obachtungen (vgl. p. 16) ausgeglichen 7 wobei die Gewichtsbestim-
mung fur die Ziige besonderer Beriicksichtigung bedarf. Die Be-
dingungsgleichungen (Polygon- und AnschluBbedingungen) bezw.
die Fehler- und Normalgleichungen lassen sich bei derartigen
Netzen unmittelbar nach den Netzskizzen anschreiben, die Rechen-
arbeiten gestalten sich in den meisten Fallen sehr einfach. Bei
der Zusammensetzung des ein groBes Staatsgebiet oder Teile eines
Kontinentes, wie z. B. Westeuropa, iiberziehenden Netzes, wie es die
Aufgaben der Erdmessung erforderlich machen, ist auf die Abplattung
der Erdoberflache und die Schwereanomalien Riicksicht zu nehmen
und die dementsprechenden Korrektionen den einzelnen Ziigen bei-
zulegen (vgl. VI l, 3). Die Genauigkeit der Nivellierung kann be-
urteilt werden entweder nach den Abweichungen, welche zwei
Messungen fur dieselben Teilstrecken ergeben, oder nach dein
107) S. Stampfer, Theoretische und praktische Anleitung zum Nivellieren,
1. Aufl., Wien 1845; 9. Aufl. F. Lorber, Wien 1894; 10. Aufl. E. Dolezal, Wien 1902;
ferner Jordan, Handbuch 2, Kap. X; Vogler, Prakt. Geom. 2.
16d. Die Genauigkeit der Nivellierung. 16 e. Erdmassenberechnung. 75
Fehler ; welcher bei der Zusammenstellung der Ziige zum Netz
(PolygonschluBfehler) oder der Netzausgleichung event, mit AnschluB-
bedingungen sich berechnet. Als GenauigkeitsmaB dient allgemein
der mittlere Fehler der Nivellierung einer Strecke zwischen zwei
Punkten, deren horizontaler Abstand 1 km betragt, welcher also bei
der Normalzielweite 50 m rund zehn Aufstellungen erforderlich macht.
So spricht man vom ,,mittleren Kilometerfehler einer einmaligen oder
einer doppelten Nivellierung oder der Schleifen (Polygone) des Netzes.
Nachder alteren Bestimmung der europaischen Gradmessung (1867) gait
eine Nivellierung als gut, wenn der ,,wahrscheinliche" Kilometerfehler
nicht + 3 mm, als brauchbar, wenn er nicht + 5 mm uberschritt;
diese Genauigkeit wird heute ohne besondere Scbwierigkeit mit mitt-
leren Instrumenten, bei sorgf altigem Verfahren auch fiir Nivellierungen
II. Ordnung erzielt (und als ,,mittlerer" Febler + 3 mm bis + 5 mm
hierfiir wohl als Norm angewendet), wahrend bei den modernen Prii-
zisionsnivellierungen der Fehlerbetrag sich innerhalb + 1 mm halten
laBt, und selbst bei den einfachen Nivellierziigen technischer Arbeiteu
bei der Verwendung von in % cm geteilten Latten der mittlere Fehler
nicht + 10 mm iibersteigt 108 ).
16e. Erdmassenberechnung. Im AnschluB an die vorbe-
sprochenen technischen Messungen und Absteckungen (Nr. 15) kommt
die Berechnung des Inhaltes von Erdkorpern, Dammen, Einschnitten
usw. in Betracht. Die Gelandeoberflache ist auf Grund der bei
der Horizontal- und Vertikalaufnahme aufgemessenen Punkte in
Flachenstiicke zerlegt, welche in geradlinigen Kanten die Begren-
zungsflachen eines sich der natiirlichen Oberflache anschmiegen-
den Polyeders darstellen. Ein einfacher Fall der Erdmassenberechnung
liegt nun z. B. vor, wenn ein Quadratnetz (etwa mit 20 m Maschen-
weite) abgesteckt ist, fiir alle Netzpunkte die Hohen gemessen siud,
und die Erdmasse etwa bis zu einer bestimmten Horizontflache, oder
auch einer geneigten Flache ermittelt werden soil (schief abgeschnittene
Prismen mit quadratischem Grundschnitt). Treten dazu noch die
Boschungen, welche die Gelandeoberflache mit der fiber oder unter ihr
liegenden (projektierten) Flache verbinden, ev. unter Hinzunahme von
Graben, Rampen usw., so lassen sich doch, sofern eine genugende
Anzahl von Punkten gegeben ist, irnmer diese Erdkorper in bestimmte
108) Uber die Ergebnisse von Genauigkeitsuntersuchungen vgl. Fufin. 20
und die jiihrlichen Literaturubersichten der Zeitschr. f. Vermess. Uber die inter-
nationalen Arbeiten wird fortlaufend berichtet in den Verhandlgn. der Konf
der internationalen Erdmessung.
76 VI i, 1. C. Eeinliertz. Niedere Geodasie.
geometrische Korper, Prismatoide, Prismen, Pyramidenstutze usw. zer-
legen und darnach im Einzelnen berechnen 109 ).
In den nieisten Fallen wird jedoch besonders bei den ausgedehnten
Massenbestimmungen der Damm- und Einschnittskorper beim Eisen-
bahn-, StraBen-, Kanalbau diese bei korrekter Einzeldurchfiihrung sehr
niiihsame Zerlegung nicht ausgefiihrt (zumal neben anderen Umstanden
in praktischer Hinsicbt die Auflockerung des Bodens beim Fordern
und Wiederabsetzen in Betracht kommt). Eine sehr gelaufige Berech-
nungsmethode der Erdinassen bei den erwiihnten Bauwerken ist die
folgende: Es werden rechtwinklig zur Langsachse, dem Langenprofil,
in bestimmten Abstanden s Querscbnitte (Querprofile) aufgenommen
(p. 73), und deren Flacheninhalte F aus den aufgezeichneten Quer-
profilen berechnet. Dann wird der Korperinhalt zwischen zwei auf-
einanderfolgenden parallelen Querprofilen gefunden nach ^(F 1 -f- -F 2 )s;
es ist also das arithmetiscke Mittel der Begrenzungsprofile an Stelle
des Prismatoidmittelschnittes F gesetzt (^s[F 1 -f- _F 8 -f- 4.F ]). So
wird auch verfahren, wenn ein Gelande durch Horizontalkurven (p. 73)
dargestellt ist, iiidem die Erdmasse zwischen zwei benachbarten Hori-
zoritflachen aus deren Vertikalabstand und dem mittleren Flachen-
inhalt der von den Kurven umschlossenen Flachen gewonnen wird
(bei ahnlichen Kurvenfiguren abgestutzte Kegel). Die Flacheninhalts-
berechnung der Prismatoidgrunclflachen, Dreiecke, Vielecke, Damm-
und Einschnittprofile geschieht je nach den Umstanden nach einer
der p. 71 fiir die Flachenberechnung angegebenen Methoden, nume-
risch, graphisch oder mechanisch (Planimeter). Zur Vereinfachung dieser
Rechnungen sind eine Reihe von Verfahren enfcwickelt und Tabellen
berechnet; es kommen besonders graphische Methoden hierbei in
Betracht 110 ). Der Flacheninhalt eines Damm- oder Einschnittprofils
fiihrt auf die allgemeine Form A -f- Bx -f- Cx 2 , worauf die graphi-
schen Methoden, welche in I F (R. Mehmcke), p. 1006 ff. behandelt
sind, Anwendung finden konnen. Im sogenannten ,,Profilma6stab a wird
diese Form durch eine Gerade y = A -f- Bx und eine Parabel
y Cx 2 auf gemeinschaftlicher Abszisse, die Flache also linear
dargestellt. Werden diese Linien als Ordinaten an den betreflenden
Achsenpunkten des Langenprofils eingetragen (Abtrag oberhalb, Auf-
trag unterhalb der Projektlinie), so entsteht das ,,Flachenprofil", dessen
Flache die Raummassen zwischen den Profilen darstellt. Auf solche
109) Als Beispiel einer besonderen Aufgabe moge hierzu zitiert sein: Wilski,
Zeitschr f. Vermess. 21 (1892), p. 401; Ghr. A. Vogler, ibid. 34 (1905), p. 169.
110) Handbuch der Ingenieurwissenschaften 1 (G. Meyer und 8. v. Will-
manri), 1. Abt., 3. Aufl , Leipzig 1898, 19, 4. Aufl. 1904, 19.
16 f. Kotierte Projektion. 77
Darstellungen griindet sich dann die Massenverteilung im sogenannten
,,Massennivellement" mit dem ,,Massenprofil", worin in jedem Profil-
punkt die algebraische Summe aller vorhergehenden Massen auf-
getragen erscheint no ) U1 ). Auch sei an dieser Stelle hingewiesen
auf einige interessante Aufgaben, welche W. Launhardt 1 ^ in der
Theorie des kommerziellen Trassierens aufstellt.
16f. Kotierte Projektion. Endlich sei auch hier noch hin
gewiesen auf die ,,kotierte Projektion", d. h. diejenige Methode der
darstellenden Geometrie 113 ) , welche sich auf die geometrische Karte
als orthogonale Parallelprojektion in der Vermessungsgrundflache mit
jedem Gelandepunkt zugeschriebener Hohenzahl (Kote) und Auszeich-
nung der Horizontalkurven griindet. Die Lage eines Punktes ist be-
stimmt durch seine Projektion und die zugefiigte Kote, die Lage einer
Geraden durch zwei derart gegebene Punkte, die einer Ebene durch
drei Punkte oder durch Festlegung der Linie starkster Neigung. Zur
bequemen Ausfuhrung der Konstruktionen werden die Linien nach
ganzzahligen Koten eingeteilt (,,graduiert"). Der horizontale Abstand
zweier benachbarter, der Hoheneinheit entsprechender Einteilungs-
(Graduierungs)- Punkte ist das ,,,Intervall". Zwischen dem Hohen-
(Koten-)Unterschied k zweier Punkte, ihrem horizontalen Abstand s f
der Neigung der Linien n und dem Intervall * bestehen demnach die
O O
Beziehungen n : 1 = h : s = 1 : i, womit alle bei der kotierten Pro
jektion vorkommenden Rechnungen ausgedriickt sind. Der ,,Boschungs-
m.iBstab" einer Ebene ist eine in der Richtung des starksten Gefalles
verlaufende graduierte Gerade; die Horizontalen stehen rechtwinklig
zu ihr. Bei der topographischen Flache werden die Fallinien sowie
die Horizontalen zu Kurven. Eine ,,Horizontalkurvenkarte" gibt in
jedem Punkt an: die Hohe des Punktes, die Richtung der Horizon
talen, des starksten Falles und den Betrag der Neigungen. Die
kotierte Projektion ermoglicht eine einfache Darstellung der Erdkorper
und Boschungsschnitte bei der Anlage von Eisenbahnen, Kanalen,
Wegen usw. ; sie ist eingehend von G. A. Peschka iu ) behandelt.
Bei der Darstellung der topogruphischen Flache (vgl. p. 92)
111) C. M. v. Bauernfeind, Graphische Bestimmung der Erd- und Transport-
weiten, Munchen 1856; C. Culmann, Graphische Statik, Ziirich 1866, 2. Aufl. 1875,
Kap. 2 u. 3; F. Eickemeyer, Massennivellement, Leipzig 1870; /. Amsler-Laffon,
Anwendung des Integrators zur Massenberechnung, Zurich 1875; vgl. hierzu
II A 2 (A. Voft\ p. 131.
112) Theorie des Trassierens, Hannover, Heft 1, 1887; Heft -2, 1888.
113) Vgl. Ill i, 11 (E. Papperitz).
114) Kotierte Ebenen, Brtinn 1877.
78 VI i, 1. C. Eeinhertz. Niedere Geodasie.
durch Bergstrichzeiehnung entsprechen die ,,Bergstriclie" den Fallinien.
Durch Auszeichnung dicht nebeneinanderliegender Fallinien wird die
topographische Flache in Elemente zerlegt, sodaB dadurch an jeder
Stelle der Karte Betrag und Richtung der Neigung zum Ausdruck
kommt. Zur Veransehaulichung der Flachenneigungen werden dann nach
J. 6r. Lehmann n5 ) unter der Voraussetzung vertikal einfallenden Lichtes
die einzelnen Flachenteilchen nach dem Grade ihrer Neigung durch
passende Anordnung der Strichstarke mehr oder weniger weiB oder
schwarz ausgezeichnet; nach ,,Lehmanri$ Manier" vom Hohenwinkel
a = bis zur Grenze a = 45 in 9 Stufen nach der Beziehung-
Schwarz : WeiB = a : (45 a). In Spezialkarten (vgl. auch Nr. 20,
21) werden in der Regel nur Horizontalkurven eingetragen; Berg-
strichzeichnung kommt in der Regel nur in Betracht fur topogra
phische Karten in MaBstaben etwa von 1 : 25000 ab (vgl. VI 1, 4).
17. Trigonometrische HShenmessung. 1st bei Anriahme paral-
leler Lotlinien in einem Punkte P t in der Vertikalebene nach P 2 der
Zenitwinkel ^ oder der Hohenwinkel a x gemessen und die horizontale
Entfernung s bekannt, so ist h% = \ -\- stga r Die Messung der
Vertikalwinkel geschieht mit dem Hohenkreis des Theodolits (vgl.
p. 26). Unter \ ist demnach die Hohe der Kreisachse verstanden,
die entweder durch Hohenwinkelmessung nach einem gegebenen Hohen-
punkt in bekannter Entfernung aus \ = h p stga abzuleiten ist, oder
durch unmittelbare Messung des lotrechten Abstandes i iiber dem Auf-
stellungspunkte h t = h p -f- i. Ist nicht der zu bestimmende Hohen-
punkt P 2 direkt angezielt, sondern ein Hilfszielpunkt, der um ein
bestimmtes MaB l t iiber oder unter P 2 liegt, so wird demnach die
vollstandige Hohenformel h 2 = \ -\- i -j- l t -f- siga. Ist die Ent
fernung s nicht direckt meBbar, wie z. B. bei Turmen, so muB sie
indirekt durch besondere Messungen, wie bei der Horizontaltriangu-
lierung (Dreieck mit Grundlinie und anliegenden Winkeln), ermittelt
werden. Wird hierbei die Grundlinie in die Vertikalebene der Auf-
stellungspunkte und des unzuganglichen Turmpunktes gelegt, so ent-
fallt die Messung der Horizontalwinkel, es ergibt sich die unbekannte
Entfernung aus dem Dreieck in der Vertikalebene.
Die Annahme der Parallelitat der Lotlinien kann nur fur sehr
kurze Entfernungen beibehalten werden. Wird auf der kugelformigen
Erdoberflache durch P, und P 9 eine Vertikalebene geleoct und der
A & O O
Abstand s der Lotlinien in der Normalnullflache als bekannt (etwa
115) Darstellung einer neuen Theorie der Bezeichnung der schiefen Flachen
im GrundriB oder der Situationszeichnung der Berge, Leipzig 1799.
17. Trigonoiuetrische Hohenmessvmg. 79
aus der Horizontaltriangulierung) angesehen und wieder der Vertikal-
winkel a^ gemessen, so ist in dem durch den Schnitt der Lotlinien
im Erdzentrum C gebildeten Dreieck CP 1 P^ bei bekanntem Erdradius
alles zur Bestimmung des Hohen-
unterschiedes A7i 12 gegeben. Die
Beziehung wird wegen der Kleinheit
des zugehorigen Erdzentriwinkels und
der Hohen von P t und P 2 im
Versfleich zum Erdradius R unter
O
Einfuhrung der Abweichung des Fig. 23.
wahren und scheinbaren Horizontes
s
(Niveauflache und Tangentialebene) , der ,,Horizontdepression" --^
(Fig. 23), unmittelbar zuriickgefuhrt auf die einfache Rechenformel
bei parallelen Lotlinien, sodaB ist
wozu nun nocn die ,,terrestrische Refraction" tritt (vgl. VI 2, 3 (E. v.
Oppolzer)). Der Betrag der terrestrischen Refraktion wird als Funktion
der spharischen Depression durch den ,,Refraktionskoeffizienten" k zum
s*
Ausdruck gebracht in der Form k ^~ ; sodaB in dieser Zusammen-
j _ ^
fassung die Hohenformel lautet h 2 ==7^ -j- s tg a -\ --^- 5 2 (zur Rech-
nung dienen Tabellen 116 )). Es wird demnach die Lichtkurve kurzweg
als flacher Kreisbogen ausgedriickt. Werden in beiden Punkten P l und
P 2 sogenannte ,,gegenseitige Zenitdistanzen" ^ und 2 2 gemessen, so
gilt unter der Voraussetzung gleichmassiger Krummung der Licht-
bahn die vereinfachte Beziehung h 2 \ = stg-^(^ 2 ^), worin der
Refraktionskoeffizient nicht erscheint, und die zugehorige Gleichung
_ I y -t OAO
If = 1 R, woraus (am zuverlassigsten bei gleichzeitiger
gegenseitiger Beobachtung) Bestimmungen fur den Refraktionskoeffi-
zienten gewonnen werden konnen.
Die starke Veriinderlichkeit der terrestrischen Refraktion und
ihre Abhangigkeit von der Temperaturverteilung langs der Ziellinien
(Besonnung usw.) ist die wesentlichste Fehlerquelle fur trigono-
metrische Hoheumessungen. Der Fehler des als ,,mittlerer Refraktions-
koeffizieut" beniitzten Wertes k = 0,13 (BesseT) ist rund auf %
seines Betrages zu schatzen, etwa mit dem Ausdruck 0,13 + 0,03,
116) Jordan, Handbuch 2, Kap. XI mit ausfuhrlichem Literaturverzeichnis,
p. 692.
80 VI i, 1. C.Reirihertz. Niedere Geodasie.
wodurch aber groBere Abweichungen nicht beriicksichtigt werden.
Besondere Beobachtungen fiber die terrestrische Refraktion, ihre tag-
liche Periode usw. sind von C. M. v. Bauernfeind 111 ) angestellt;
weitere Literaturangaben findet man bei Jordan 116 ). Durch diese Ver-
anderlichkeit und die Unsicherheit der Refraktionsbestimmimg ist
der Genauigkeit der trigonometrischen Hohenmessung eine Grenze
gesetzt, sodaB zur Zeit diese Methode hauptsachlich in Verbindung
mit der Kleintriangulierung fur topographische Messungen praktisch
verwertet wird, wahrend sie frtiher als die ausgezeichnetste und
scharfste Hdhenmessungsmethode betrachtet wurde; als ein Beispiel
derartiger Messungen sei verwiesen auf das trigonometrische Nivelle-
ment Swinemiinde-Berlin 118 ) ; einer spateren Zeit gehoren z. B. an die
Beobachtungen zum AnschluB von Helgoland an das Festlandnetz 119 ).
Uber die Theorie der terrestrischen Refraktion lese man die Lehr-
biicher von F. E. Helmert} und W. Jordan 115 ) nach, die weitere
Literaturangaben enthalten. Fur exaktere Messungen und beson-
dere Untersuchungen kommen fur die Hohenformel noch weitere
Glieder in Betracht; soil z. B. die Hohenlage der Messungspunkte in
Riicksicht gezogen werden, so wird
wobei R m der mittlere Kriimmungsradius, eventuell derjenige des
Ellipsoidnormalschnittes in dem betreffenden Azimut ist. tJber die
strenge Reduktion der trigonometrischen Hohenmessung, ihre Be-
deutung fur die Bestimnmng der Erdfigur und den theoretischen
Unterschied ihrer Ergebnisse gegeniiber denen der Nivellierung vgl.
VI i, 3 (P. Piegetti).
Der Fehlertilgung (vgl. p. 27) wegen werden die Vertikalwinkel
stets in beiden Fernrohrlagen , sowie auch in mehreren Kreislagen
gemessen, bei Kleinmessungen wird meistens mit einspielender Libelle,
bei scharferen Messungen mit Libellenreduktion gearbeitet. Aus der
117) Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion. Drei
Mitteilungen rait Nachtrag, Miinchen 1880, 1883, 1888, 1890; H. Haril, Mitt,
milit.-geogr. Inst. Wien 3 (1883).
118) /. J. jBaeyer, Trigon. Nivellement zwischen Swinemunde und Berlin,
Berlin 1840.
119) Veroffentl. d. Kgl. PreuB. Geodat. Institut. Zenitdistanzen zur Bestim-
mung der Hohenlage der Nordseeinseln Helgoland, Neuwerk und Wangeroog,
Berlin 1895.
120) Mathematische und physikalische Theorien der hdheren Geodaaie,
Bd. 2, Leipzig 1884.
18. Barometrische Hohenmessung. 81
Beziehung A/z = stgcc ergibt sich aus den mittleren Messungsfehlern
m und m^ der Hohemmterschiedfehler
fur nahe wagerechte Zielung M A /, = + ^ s. Aus der Winkelmessungs-
genauigkeit, welche je nach dem Zweck und dem verwendeten Instru
ment etwa ausgedriickt wird durch m a = + 1" bis + 1 unter Be-
riicksichtigung der vorerwahnten Refraktionsfehler, ergibt sich ein
tiberblick iiber die Genauigkeit dieses Hohenmessungsverfahrens. Im
allgemeinen wird fiir die technisclie Verwendung als geniigend er-
achtet, weun der mittlere Hohenunterschiedfehler etwa zwischen den
Grenzen + - dm bis + 2 dm bleibt und dementsprechend Verfahren
und Instrumente gewahlt. Die Ausgleichung zusammenhangender
trigonometrischer Hohennetze geschieht nach der Methode der kleinsten
Quadrate, oder in einfacheren Fallen nach einem passenden Naherungs-
verfahren 116 ).
Hier ist auch noch zu erwahnen die Hohenmessung mit Grad-
bogen, Pendelkreis, Libellenhohenkreis, s. p. 20 (eventuell als Frei-
handinstrumente gebraucht), in Verbindung mit der geneigten Lange
des MeBbandes oder der MeBschnur (Schnurzug des Markscheiders)
p. 12, wobei sich der Hohenunterschied ergibt nach li = s n sin a (s n
geneigte Lange). Die Genauigkeit clieser Hohenwinkelmessung lafit
sich etwa durch den mittleren Fehler +0,1 bis + ; 3 ausdriicken.
Diese Hohenmesserziige (auch wohl Schragnivellement genannt) werden
oft mit den p. 58 erwahnten Kompafiziigen verbunden.
18. Barometrische Hohenmessung. Zu topographischen Auf-
nahmen, besonders auch fiir Vorarbeiten zu Eisenbahnbauten und
Erkundungsaufnahrnen (Reiseaufnahmen), s. p. 96, wird in aus-
giebiger Weise von der barometrischen Hohenmessung Gebrauch ge-
niacht, wobei als Instrument lediglich das ; ,Federbarometer" in Be-
tracht kornmt, wahrend Quecksilberbaronieter und ,,Siedethermometer"
(Kochbarometer) zur Kontrolle des als ,,Feldinstrument" betrachteten
,,Aneroides" dienen; die zur Zeit stattfindende weitgehende Verwen
dung der Baroineterinessungen ist nur durch die Einffihrung dieses
Instrumenttypus moglich geworden 131 ). Das wesentlichste Element
der fiir Hohenmessung in Betracht kommenden Instrumente ist
eine nahezu luftleer gepumpte, luftdicht verschlossene Biichse,
gebildet (lurch zwei federhart gewalzte diinne Wellblechplatten,
121) L. Vidie, Paris C. R. 24 (1847), p. 975.
Encyklop. d. math. Wissensch. VT 1.
82 "VI i, 1- C. Reinhertz. Niedere Geodasie.
welche auf einen kraftigen Ring aufgelotet sind. Die Biichse ruht
auf einer Grundplatte und tragt einen Zapfen, an dem eine starke
Feder angreift, welclie den Luftdruck balanciert. Die bei Luftdruck-
schwankungen sich einstellenden elastischen Biegungen des Feder-
systems, rund etwa Y 200 mm fiir 1 mm Barometerstandanderung, werden
in versckiedener Weise ablesbar gemacht, wodurch sich verschiederie
Konstruktionen ergeben. Am gebrauchlichsten ist mechanische Ver-
groBerung (etwa 500fach) durch ein Hebelwerk mit Ablesung an einem
Zeiger auf einem Zifferblatt (z. B. Naudet, Bohne). Mikrometrische
Messung durch ein Schraubenmikrometer mit Fiihlfeder ist ange-
wendet von J. Goldsclimid; die im Prinzip einfachste Methode direkter
optischer mikroskopischer Ablesung (Reitz) hat sich praktisch bisher nicht
gut bewahrt. Wegen der Konstruktionseinzelheiten sei auf die Lehr-
biicher verwiesen m ). Die in der Konstruktion begriindeten, den unmittel-
baren Instrumentablesungen beizulegenden Verbesserungen sind: 1) die
,,Teilungsverbesserung" ; d. h. also die Umwandlung der Einteilung des
betreffenden Instrumentes in die Millimetereinteilung des Quecksilber-
barometers, bezogen auf einen bestimmten Anfangspunkt; 2) die
w Temperaturverbesserung", d. h. die Reduktion der mit der Temperatur
veranderlichen elastischen Kraft der zu dern Federsystem verwendeten
Metalle, sowie die Reduktion der Spannkraft der in der Biichse ent-
haltenen Luft und der in Frage kommenden thermischen Ausdehnungen
auf eine Normaltemperatur (die Instrumenttemperatur wird bestimmt
durch ein ,,inneres" Thermometer); 3) die ; ,Standverbesserung" zur
Beseitigung des nach Beilegung der beiden ersten GroBen noch blei-
benden Unterschiedes gegeri den Quecksilberbarometerstand. Die Be-
stimmung der Korrektionen geschieht durch Vergleichen mit einem
Quecksilberbarometer bei verschiedenen Temperaturen und Luftdrucken,
wozu besondere Einrichtungen getroffen werden konnen 122 ).
Die mitunter stark von linearer Form abweichenden Interpolations-
gleichungen werden graphisch oder nach der Methode der kleinsten
Quadrate, ev. auch durch eine Naherungsrechnung abgeleitet. Eine
allgemeine Form ist 122 ):
Q Q =F+x+yt + *(760 -F) +y t(lQO-F)+z (l 60-J T ) 2 -f y"* 2 +-,
in der t die Temperatur, F den beobachteten Barometerstand und
122) Jordan, Handbuch 2, Kap. XII (mit weiterer Literatur). Uber die ver-
schiedenen Aneroidkonstruktionen vgl. L. Lmveriherz, Bericht viber die wiss. Instr.
auf der Berliner Gewerbeausstellung im Jahre 1879, Berlin 1880, p. 122; C. Koppe f
Die Aneroidbarometer von J. Goldschmid, Zurich 1877; F.H.Reitz, Zeitschr. f.
Vermess. (1873), p. 363; E. Hammer, ibid. 76 (1887), p. 20.
18. Barometrische Hohenmessung. 83
x > V) Z J y y s > y" zu bestimmende Koeffizienteu bedeuten. Ohne Beriick-
sichtigung dieser Verbesserungen, welche nicht nur jeder Konstruktions-
art, sondern auch jedem Instrumente eigentiimlich und innerhalb ge-
wisser Grenzen veranderlich sind, sind die Federbarometer fiir Hohen-
messungszwecke unbrauchbar (elastische Nachwirkung 123 )). Die ,,Stand-
verbesserung" wird etweder durch Anordnung der Messungsmethode
(AnschluB an Hohenfestpuukte) eliminiert oder durch Vergleichen mit
Quecksilberbarometern oder Siedethermometern (letztere besonders auf
Reisen geeignet) bestimmt 122 ). Es sind demnach die Federbarometer
ihrer Natur nacb Interpolationsinstrumente von ziemlich hoher rela-
tiver Genauigkeit ihrer Angaben, und dementsprechend beim Messungs-
verfahren zu verwenden.
Die Grundlage der barometischen Hohenmessung bildet die , 7 baro-
metrische Hohenformel", die, zuerst von Laplace 1799 aufgestellt,
spater mit Berechnung zugehoriger Tabellen mehrfach bearbeitet
wurde, (Biot, Gaufi, Bessel, Babinet u. a. 122 )) und in verschiedener
Form gebraucht wird. Als Beispiel sei angefiihrt die von W. Jordan
mit Ausscheidung der zuweilen mit aufgenommenen Instrumentreduktion
(Unterschied zwischen Quecksilber- und Federbarometer, besonders
in bezug auf Schwere) gegebene Formel 124 ):
0,377
worin die barometrische Konstante
= 0,76 13,59593 1
(i 0,00129277 1,00021
und t die mittlere Temperatur, e den mittleren Duustdruck der freien
Luft, p den mittleren Luftdruck und H die mittlere Hohe bedeutet.
Fiir ortlich begrenzte Gebiete, wie sie bei einer ausgiebigen Ver-
wendung der barometrischen Hohenaufnahme in Betracht kommen,
werden die Glieder fiir die Schwere nach Breite und Hohe und fiir
die Luftfeuchtigkeit mit mittleren Werten in der barometrischen
Konstanten zusammengefafit; so lautet z. B. die von Jordan 1 ^} fiir
Mitteleuropa gegebene Formel
h = 18464 (1 -f 0,003665^ (log B logfe),
womit dann fiir den mittleren , im Meeresspiegel zutreffenden Luft
druck von 762 mm eine Tafel der Hohendifferenzen nach t von Grad
zu Grad und B in Y 10 mm berechnet ist 124 ). Eine andere fiir die
123) C. Reinhertz, Zeitschr. f. Instr. 7 (1887), p. 153, 189.
124) W. Jordan, Barometrische Hohentafeln, 2. Aufl., Stuttgart 1886; desgl.
fur Tiefland und grosse Hohen, Hannover 1896.
6*
84 VI i, 1- C. Eeinliertz. Niedere Geodasie.
Hohenberechnung geeignete Form, wohl ;? Hohenstufe" genannt, er-
halt man, wenn die Gleichung so umgewandelt wird, daB die Hohen-
differenz als Funktion einer bestimrnten Barometerstanddifferenz z. B.
1 mm erscheint (Bdbinet 1850); fur die vereinfachte Jordan sche For-
mel wird z. B.
A = (1 + at) und h =
wozu Rechenschieber und anderweite Hilfsmittel (graphische Tafeln)
in Betracht kommen. Diese Hohenstufe" kann auch direkt durch
TT _ TT
Beobachtung an gegebenen Hohenfestpunkten gefunden, A = # ^TgS
und danach die weiteren Hohen interpoliert werden. Weiteres iiber
Genauigkeit der Formel (tagliche Periode), die einzelnen Glieder, Rechen-
niethode ; verschiedene Hilfsmittel und Literatur finclet man bei
Jordan.
Zur Ausfiihrung der barometrischen Hohenaufnanme sei nur nocli
erwahnt, da6 den Barometerstandschwankurigen Rechnung getragen
wird durch fortlaufende korrespondiereude Beobachtungen an , ? Stand-
barometern", gegen welche die Ablesungen der ;; Feldbarometer" re-
duziei-t werden, oder durch in moglichst kleinen Zeitabstanden wieder-
holte Riickkehr an ,,Anbindepunkte u (Schleifenaufnahme) mit Reduktion
nach der Zeit, sowie durch AnschluB an gegebene , ; Hohenfestpunkte".
Diese letztere Methode ist die fiir topographische Aufnahmen geeig-
netste ; wozu zahlreiche im Aufnahmegebiet passend verteilte nivellitisch,
trigonometrisch oder tachymetrisch bestimmte Hohenfestpunkte ver-
wendet werden. Bei sorgfaltigem Verfahren lassen sich bei derartigen
Aufnahmen bez. Einschaltungen auf beschrankten Gebieten (am besten
mit graphischer Ausgleichung) die Gelandepunkte mit einem mittleren
Fehler von rund + 1 bis 2 m anschliefien.
E. Tachymetrische Methoden.
Unter v Tachymetrie" (Schnellmessung) versteht man dasjenige
Messungsverfahren, bei welchem ,,Lage"- und ,,Hohen u -Messung gleich-
zeitig erfolgt. Die Entfernung wird dabei indirekt durch sogenannte
Distanzmessung ermittelt, da die direkten Langenmessungen verhaltnis-
maBig viel Zeit erfordern. Verfahren und Instrumente sind mannig-
facher Art und voneinander unterschieden, einerseits nach der Methode
der Distanz- und Hohenmessung, andererseits nach der Bestimmung
der Horizontalrichtungen mit Theodolit, Bussole oder MeBtisch; dem
entsprechen die Bezeichnungen : Schnellmesser, Tachymeter (Tacheo-
meter) ; Tachygraph, Tachygraphometer, Celerimeter, Omninieter, Stadi-
19. Indirekte Langenmessung. 19 a. Distanzmesser mit Distanzlatte. 85
meter, Euthy meter usw. Die Bezeichnung des Messungsverfahrens
als Schnellmessung (Tachymetrie, Tacheometrie, Stadia surveying oder
tacheometry, Celerimensura) erklart sich aus der zweckmaBigen Ver-
einigung von Lage- und Hohenmessung, welche insbesondere fur die
technische Topographic von groBer Bedeutung ist, wie denn auch die
heutige Tachymetrie ihre Entwicklung wesentlich den Anforderungen,
welche die geometrischen Vorarbeiten ftir den Eisenbahnbau stellten,
verdankt.
19. Indirekte Langenmessung (Distanzmessung). Erforderlich
ist ein Instrument ^Distanzmesser 1 ^) , welches die Lange der Ziellinie
(oder deren Projektion) bis zu einem Zielpunkte durch unmittelbare
Ablesung der gesuchten Entfernung selbst oder einer einfachen
Funktion derselben angibt. Damit ist der Unterschied zwischen
dem Prinzip der ,,Distan2" - (Entfernungs-)wesser und den ,,Ldngen-
mefiwerkzeugen" (MeBlatte, MeBband usw.) gekennzeichnet. Den speziell
geodatisch in Betracht kommenden Distanzmessern liegt in der Regel
eine irgendwie instrumentell hergestellte Parallaxe zu Grunde. Fiir
die Anordnung der bestimmenden Elemente stehen verschiedene Wege
offen, durch deren Kornbination sich eine ganze Reihe von Kon-
struktionsmoglichkeiten (Erfindungen) von Distanzmessern darbieten.
Fiir Konstruktion, Bedeutung und Verwendung der Instrumente ist
in erster Linie entscheidend die Anordnung der Distanzbasis L. Wird
die Distanzbasis im Zielpunkt als sog. ,,Distanzlatte 11 (eine leicht trans
portable mit Teilung oder Zielmarken versehene Ziellatte) aufgestellt,
so spricht man von Distanzmessern } ,mit Latte", diese Anordnung
wird in der Feldmessung (Tachymetrie, Topographie) fiir kiirzere
Entfernungen (d. h. bis zu einigen 100 m, stets aber innerhalb 1 km)
angevvendet. Zur allgemeinen Losung des Problems fiir groBere Ent
fernungen, besonders aber fur militarische (artilleristische) Zwecke,
wenn die Anbringung einer Distanzbasis im Ziel unmoglich ist, wird
das Instrument selbst Trager der Basis (Basisschiene, Basislineal) ;
fiir diese Zwecke kommen neben den parallaktischen Distanzmessern
auch in Betracht die weniger brauchbaren Fernrohrbildweiten-Distanz-
messer und neuerdings besonders der stereoskopische Entfernungs-
messer von Zeift in Jena 125 ).
19 a. Distanzmesser mit Distanzlatte. Hierzu gehort in erster Linie
der in der Feldmessung am meisten zur Anwendung kommende Fern-
125) C. Ptilfrich, Phys. Zeitschr. 1899, p. 98. Vgl. auch Zeitschr. f. Instr. 21
(1901), p. 221 und 249; 0. Hecker, Zeitschr. f. Vermess. 30 (1901), p. 85.
86 VI i, 1. C. Reinserts. Niedere Geodasie.
rohr-Okularfadendistanzmesser 126 ) mit festem Fadenab stand p in der Bild-
ebene, der beira einfachen astroriomischen Fernrohr die auf den Ob-
jektivhauptpunkt bezogene Entfernung D = F -f- F --- liefert, wenn
F die Objektivbrennweite, p den Fadenabstand in der Bildebene be-
deutet und L an einer geteilten Skala, die parallel p ist, abgelesen wird.
Soil die Entfernung auf die Instrumentdreb.acb.se bezogen werden, so
hat man F -f- c -f- F oder allgemeiner D = a -j- JcL. Das zu-
sammengesetzte Fernrohr (Ramsden, Huygens) liefert auf gleiche
Form a -f- ~kL (a = Additions-, k = Multiplikationskonstante, in der
Regel 100 oder 200) zu bringende Beziehungen, worin beim Fernrohr
von Porro 12T ) durch Zwischensetzung einer Kollektivlinse bei passender
Auordnung des optischen Systems a gleich Null in Bezug auf die
Instrumentacb.se gemacht werden kann (anallaktisches Fernrohr). 1st
die optische Achse des Fernrohrs geneigt und bleibt L parallel p, so
gibt D die geneigte Entfernung an, welche durch Messung des
Yertikalwinkels auf die horizontale reduziert werden muB; wird aber
L lotrecht gestellt, was meistens geschieht, so wird die projizierte
Entfernung s = a cos a -f- LJic,os 2 a } worin a der Hohenwinkel der
Mittenzielung ist. Das Okular-Schraubemnikrometer, welches bei kon-
stantem L das variable p in Schraubenwert liefert, findet seltener Ver-
wendung (p. 92, Prazisionsmessung).
Einfiihrung des parallaktischen Winkels s durch Winkelbewegung
eines Zielfernrohrs mit zwei aufeinander folgenden Einstellungen findet
in verschiedener Form Verwendung. Zunachst kommt in Betracht
bei wagerecht und rechtwinklig zur Mittenzielung eingerichtetem L
die Messung von s als Horizontalwinkel. Bei lotrechtem L wird s
als Differenz zweier Hohenwinkel gemessen; ist dann s = /3 a,
fur die obere und untere Zielung nach L, so wird die wagerechte
Entfernung S = L sin 7g_ \- In der Regel wird die Winkelbewegung
durch besondere ,,distanzmessende" Schrauben eingefiihrt, und zwar
der lotrecht oder wagerecht wirkenden Tangentialschrauben bei lot-
126) Geschichtliches zum Fadendistanzmesser und zur Tachymetrie findet
man bei Goulier, Tacheonietrie , p. 5; A. Salmoiraghi, Istrumenti e metodi
modern! di geometria applicata, Milano 1884, 2, p. 278; E. Hammer, Zeitschr.
f. Vermess. 20 (1891), p. 295 und Zeitschr. f. Inst. 12 (1892), p. 155; 17 (1897),
p. 278.
127) J. Porro, La Tacheometrie, Paris 1858. tJber die Vorteile und Nack-
teile des Porroschen Fernrohres vgl. Vogler, Prakt. Geom. 2, 263, 264; Tinier,
Zeitschr. f. Instr. 2 (1882), p. 117 u. 157; Hemoldt, ibid. 5 (1885), p. 413.
19 a. Distanzmesser mit Distanzlatte. 87
rechtem L. 128 ) Bei wagerechtem L kann p unmittelbar durch das
Horizontalmikrometer eines Winkelmessers ermittelt werden. Bei
lotrechter Tangentialschraube und lotrechtem L ergibt sich die wag-
rechte Entfernung s, wenn p die Schraubenbewegung ausdriickt, und
d den wagerechten Abstand des Drehpunktes von der Schraubenachse
d k
s = L = Lli (k z. B. = 100). oder bei konstantem L ist s =
P P
Bei der von S.Stampfer verwendeten Schraube (Sehnenschraube) wird
fur die Parallaxe eine Interpolationsformel mit wenigen Gliedern
" = a" (o M) b" (o 2 tt 2 ) verwendet, wobei o und u die beiden
Schraubenangaben, und a und b empirisch zu bestimmende Konstanten
sind. Durch Einsetzen dieser Winkelgleichung ergibt sich die Distanz-
gleichung
-ri L rf V o-\-u , (h u}- , , r , c\
D = -77 4- L\ a - L 4- o (to u) ,
a (o u) \_ a 2 o u o u _|
worin a und b die Konstanten des Instrurnentes, h die Nullstellung
der Schraube (horizontale Visur) bedeuten. Fiir horizontal angeord-
nete Tangentialschraube und vertikales L gilt ebenfalls die vorer-
wahnte Beziehung s = Lk bezw. = Diese Anordnung kann bei
der Kippbewegung des Theodolitfernrohrs angewendet werden, wahrend
die lotrechte Schraube sich besonders fiir Nivellierinstrumente eignet.
Nach den hier angedeuteten Anordnungen sind eine ganze Reihe von
Instrumenten koustruiert worden, auch mit automatischer Reduktion
auf den Horizont, welche besonders fiir die Tachymetrie von Be-
deutung ist 129 ).
Die bisher aufgezahlten, fiir kiirzere Entfernungen bestimmten
Distanzmesser: Okularfaden, Okularmikrometer, MeBschrauben und
Tangentenmikrometer sind in Bezug auf die Genauigkeit der Ent-
fernungsbestimmung im allgemeinen als einander gleichwertig zu
bezeichnen. Nach der einfachen Beziehung D = kL ist 7 abgesehen
vom Fehler in k selbst, der Entfernungsfehler vom numerischen Wert
von 7o (z. B. 100, 200) abhangig. Die Genauigkeit der Ermittlung
von L hangt ab von der Genauigkeit der Skalenablesung bezw. Ein-
stellung der Distanzlatte, welche wieder abhangig ist von der Ein-
richtung und Aufstellung der Skala, der Leistung (VergroJBerung) des
Fernrohrs sowie der Schraubenmikrometer, der zu bestimmenden Ent-
128) Zuerst angegeben von J. L. Hogreive, Praktische Anleitung zum Nivel-
lieren oder Wasserwagen usw., Hannover 1800.
129) Vgl. die nachste Nummer. Eine kurze Ubersicht gibt 0. Lueger,
Lexikon der gesamten Technik, Stuttgart, Art. Distanzmesser; ferner Jordan,
Handbuch 2, Kap. XIE u. XIV; Hartner-Dolezal, 1, 3335.
88 VI i, 1. C.Eeinliertz. Niedere Geodasie.
fernung und der terrestrisehen Refraktion. Die zahlreichen fur die
verschiedensten Instrumente angestellten Genauigkeitsermitthmgen 129 )
lassen sicli etwa so ausdriicken:
D
100 m
200 m
500 m
+ m D
0,050,20 m
0,10,3 in
0,51,0 m
Eine allgemeine Beziehung fur den Fehler und sein Wachsen mit der
Entfernung laBt sich nicht ohne weiteres angeben. Fiir kleine Ent-
fernungen, bei giinstigen Verhaltnissen (Refraktion, Wind), guten In-
strumenten laBt sich die Genauigkeit der Distanzmessung bis zu der
einer maBig genauen 130 ) unmittelbaren Messung mit L angenmeBwerk-
zeugen steigern, wahrend sie die Genauigkeit einer verfeinerten Langen-
messung allerdings nicht erreichen kann. Man unterscheidet auch
hier zwischen Prazisionsdistanzmessung, welche die unmittelbare Langen-
messung bei kurzen Strecken ersetzen soil, und tachymetrischer Distanz
messung (Schnellmessung). Bei dem Wettstreit zwischen der Distanz-
und der Langenmessung behauptet im allgemeinen die erstere den Vor-
rang in Bezug auf die Schnelligkeit, die letztere in Bezug auf die
Genauigkeit. Das eigentliche Gebiet dieser Art Distanzmessung ist
daher die Tachymetrie und Topographic.
19 b. Distanzmesser mit Basisschiene (Basislineal) 131 ). Das Instru
ment selbst ist Trager der Basis (Basis-Schiene, -Lineal) und rniBt
oder gibt den parallaktischen Winkel e. Die Anordnung ist dement-
sprechend verschieden. Ist L konstant, so wird s durch die Ab-
weichung zweier bei der Nullstellung (oo) parallel gerichteter Fern-
rohre gemessen und zwar entweder an einem geteilten Kreisbogen,
oder mikrometrisch mit Okularmikrometer, oder nach dem Prinzip
der Tangentenschraube oder auch in einem besonderen Falle 132 ) durch
ein Hebelwerk. Ist s konstant, so sind auf der Schiene zwei Fern-
rohre angebracht, von denen das eine verschiebbar und mit kon-
stantem zum anderen angeordnet ist; I) wird an der Schiene ab-
130) Vgl. die Fehlergrenzen p. 21.
131) Vgl. den zusammenfassenden Bericht von A. Schell, Wien. Ber. 75
(1877), p. 145. Die Distanzmesser mit Basisschiene sind besonders fiir rnilitari-
sche Zwecke wichtig; man vgl. in dieser Hinsicht: J. D. Marre, Des instruments
pour la mesure des distances, Extr. du Me"m. de 1 artillerie de la marine 43,
Paris 1880; V. Niesiolowski-Gawin von Niesiolowice, Mitt, u ber Gegenst. d. Artill.
u. Geniewesens 1898, p. 827.
132) Distanzmesser von Cerebotani ; vgl. dazu W. Jordan, Zeitschr. f. Vermess.
13 (1884), p. 389.
19 b. Distanzmesser init Basisschiene. 89
gelesen. Fur beide Konstruktionen ist Bedingung feste Aufstellung
und bei nicht festen Zielen gleichzeitige Visur durch zwei Beobachter.
Dies wird giinstiger durch Reflexionsdistanzmesser nach dem Prinzip
des Spiegelsextanten, wodurch beide Ziehmgen zu einer einzigen
vereinigt werden. An der Distanzbasis sind angebracht zwei Spiegel,
ein fester und ein beweglicher; bei D = oo sind beide Spiegel
parallel, bei Beobachtung (Fernrohr am festen Spiegel) eines end-
lich entfernten Gegenstandes gibt bei Deckung des reflektierten Bildes
mit dem direkt gesehenen Zielpunkte der an einer Kreisteilung oder
mikrometrisch zu messende Drehwinkel des beweglichen Spiegels ^s.
Auch nach diesen Prinzipien sind eine groBe Zahl von Instrumenten
nait Basislineal konstruiert worden, zu denen fast alljahrlich einige
hinzuzukommen pflegen.
Aus der einfachen Beziehung D = L folgt, dafi wenn L als
fehlerfrei betrachtet werden kann, der naittlere zu fiirchtende, allein
vom Fehler m s des parallaktischen Winkels s herriihrende Distanz-
f ehler ist m D = j~- Unter giinstigen Verhaltnissen (gute Beleuch-
tung, kein Flimmern) bei scharf bezeichneten Zielpunkten, absolut fest
aufgestelltem (unveranderlichem, von Temperatur usw. nicht beein-
fluBtem) Instrument ist es moglich, die Messungsgenauigkeit fiir einen
Winkel wie s bei Verwendung guter Fernrohre und geeigneter Mikrometer
innerhalb 1" zu halten. Diese Grenze ist aber bei der praktischen
Verwendung (nicht scharf bezeichnete, schwankende oder sich be-
wegende Ziele) nicht zu erreichen. Bei dioptrischer Zielung ist das
Maximum der erreichbaren Zielgenauigkeit etwa 10" 15", bei Frei-
handinstrumenten etwa 1 . Die theoretisch erreichbare Genauio-keit
O
m D ware demnach fiir L 2m (die Lange der Basisschiene betragt
in der Regel etwa 1 bis 3 m) und m, = + 1" die folgende:
D
50
1000
5000
10000 m
m D 0,6 2,4 60 240 m
Unter giinstigen Verhaltnissen, mit guten Instrumenten, bei scharf er
Bezeichnung der Zielpunkte unternommene Genauigkeitsbestimmungen
haben ergeben, daB bei der praktischen Verweudung mindestens
3 bis 5 mal groBere Fehlerbetrage zu erwarten sind. Die Leistung
untergeordneter Instrumente ist eine entsprechend geringere. (Hin-
gewiesen sei noch auf den Ausdruck fiir den relativen Fehler
m n j, ",
D = ~ LQ
90 VI i, 1- C. Beinhertz. Nieclere Geodasie.
Erwahnt seien hier auch DistanzmeBvorrichtungen, welche eine
kleine Basismessung (konstante MeBbandlange usw.) beanspruchen.
Hierzu gehort zunachstdas T)istansprisma von Bauernfeind" 3 ), welches
gestattet einen Winkel abzustecken, cler um einen kleinen Betrag vom
rechten Winkel abweicht, also beim Abstecken dieses Winkels von
beiden Enden einer Basis aus ein langgestrecktes gleichschenkliges
Dreieck mit dem parallaktischen Winkel s ergibt, der so bemessen
ist, daB I) ein Vielfaches (50, 100) von L ist. Hierhin gehort auch
der Distanzrnesser nach Souchier lSi \ ein vierseitiges Prisma (Wollaston-
sches Prisma)., welcher Winkel von 90 und (90 -f- O) abzustecken
gestattet, also iiber einer zu messenden Grundlinie ein langgestrecktes
rechtwinkliges Dreieck mit gegebenen Winkeln bildet. Auch der ge-
O O O * *
wohnliche Winkelspiegel und das jBauernfeind sche Winkelprisma zuni
Abstecken rechter Winkel konnen zur Distanzmessung verwenclet
werden, indem nach Absteckung einer Grundlinie rechtwinklig zum
Zielstrahl vom Zielpunkt aus nun auch am anderen Ende der Grund
linie ein rechter Winkel gebildet wird, sodaB sich ein dem ersten
Dreieck ahnliches kleines rechtwinkliges Dreieck an der Grundlinie
ergibt. Der bei der Absteckung eines Winkels mit einem Prisma zu
erwartende Fehler betragt etwa 1 , wonach sich der Entfernungsfehler
a priori beurteilen laBt.
20. Tachymetrische Instrumente und Aufnahmen. Von den
verschiedenartigen tachymetrischen Instrumenten, auf deren Einzelheiten
hier nicht eingegangen werclen kann 135 ), hat die groBte Bedeutung der
mit Vertikalkreis und festen Distanzfaden im Fernrohr ausgeriistete
Theodolit, vielf ach vervollstandigt durch einen RichtkompaB oder eine
Kreisbussole. Nach p. 86 ist hierfiir bei lotrecht stehender Distanz-
skala die projizierte wagerechte Entfernung fiir das astronomische
Fernrohr S = avoscc -}-kLco$^K, fiir das Porro sche anallaktische Fern
rohr S=il Lcos 2 a, und bei rechtwinklig zur Ziellinie aufgestellter
Distanzskala /S = (Lk -j- a) cos a -\- l z sin a (l z = Abstand der Mitten-
zielung vom SkalenfuBpunkt). Der Hohenunterschied A/i des Mitten-
zielpimktes an der Distanzskala gegen die Instrumentachse ist
beim einfachen Fadendistanzmesser mit vertikaler Latte A/J = Skga
= a sin a -j- kL sin a cos or, und beim Porro schen Fernrohr
A/i = IfkLs m 2 a; bei rechtwinklig zur Ziellinie gerichteter Skala
133) Bauernfeind, Vcrmessungskunde 1, p. 192 u. 395.
134) Archiv f. d. Artill. u. In^en.-Offiz. d. deutsch. Reichsheeres, April 1893
und Zeitschr. f. Vermess. 24 (1895), p. 177.
135) Vgl. Jordan, Handbuch 2, Kap. XIV und Hartner-Dolezal 2, 21 27,
mit weiterer Literatur; speziell sei verwiesen auf Goulier, Tacheometrie.
20. Tachymetrische Instrumente und Aufnahmen. 91
AA = 7i L sin a. Wie bei der trigonometrischen Hohenmessung p. 78
kommt hierbei Instrument-, bez. Zielhohe in Betracht, sodaB die
Hohenformel z. B. lautet h n = 1i p -j- i I, -f- %kL sin 2 a. Der EinfluB
der Erdkriimmung und Refraktion wird bei der tachymetrischen Hohen-
raessung in der Regel aufier acht gelassen.
Zur Ausrecbnung der Entfernung und Hohenunterschiede dienen
verschiedene Hilfsmittel. ^Tacliymetertafeln", das sind Tabellen, aus
denen mit den Argumenten L und a (bez. Zenitdistanz z) die gesuchten
Werte S und A/i entnommen werden konnen 136 ). ^Tacliymetrische Reclien-
scliieber", das sind logarithmische Rechenschieber fur die in Betracht
kommenden Funktionen von verschiedener Konstruktion ; desgleichen
eine ganze Reihe von ^Tacliymeterdiagrammen" und sonstigen Rechenhilfs-
mitteln 137 ). Erwahnt sei noch Teilung des Vertikalkreises nach Gefall-
prozenten, nach der Funktion sin a cos K (Tachymeter von Gmilier),
sowie logarithmische Teilung (Schell s und Tichy-Starke s logarithm ischer
Tachymeter). Eine unrnittelbare Reduktion der bei geneigter Ziellinie
bestiminten schiefen Entfernung wird in verschiedener Weise erstrebt.
Es sei auf die zahlreichen italienischen Anordnungen 188 ) verwiesen,
sowie auf die neueste Konstruktion von Hammer- Fennel 1Sff ), welche
mittels eines im Gesichtsfeld des Fernrohrs erscheinenden Diagramntfl
unmittelbar wagerechte Entfernung und Hoheuunterschied gibt. Eine
andere Art zur unmittelbaren Angabe dieser Werte ist bei den ,.,Schiebe-
tachymetern" verwendet uo ) ; es ist hierbei ein Fadendistanzmesser der-
art mit Schiebeskalen verbunden, daB, nachdeni am Fadendistanzmesser
zunachst die schiefe Entfernung abgelesen und an einer Fernrohrskala
in verjiingtem MaBstabe eingestellt ist, an je einem, den Naturlinien
entsprechenden horizontalen und vertikalen MaBstab unmittelbar Eiit-
fernung und Hohe zur Ablesung gebracht wird.
136) W. Jordan, Hilfstafeln ftir Tachymctrie , 2. Aufl., Stuttgart 1899.
137) Jordan, Handbuch 2, 176; eine kurze Ubersicht gibt 0. Lueger,
Lexikon der gesainteu Technik, Stuttgart, Art. Tachymetrie.
138) J. Porro, Riv. di topogr. e cat. 8 (1895/96), p. 139 (sthenallaktisches
Fernrohr); Baggi, ibid. p. 151 u. 9 (1896/97), p. 17; Roncagli-Urlani, ibid. 8
(1895/96), p. 28, 146; Beina, ibid. 9 (1896/97), p. 65; Roncagli, ibid. p. 177 u. 10
(1897/98), p. 5; M. Nasso, ibid. 11 (1898/99), p. 145; 12 (1899/1900); p. 9; 15
(1902/03), p. 1, 18, 53, 75.
139) E. Hammer, Der Hammer- Fennel sche Tachymeter-Theodolit, Stutt
gart 1901.
140) Zuer^t 1865 von Kiefer in Coin angewandt; vgl. dazu E. Puller,
Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 375; 30(1901), p. 531; 32(1903), p. 649. Ferner
ist zu nennen : F. Kreuter, Patentiertes Quotier-Instrument fiir generelle Auf
nahmen in koupiertem Terrain, Wien 1874; 0. Fennel, Zeitschr. f. Vermess. 7
(1878), p. 57.
92 VI i, 1. C. JReinhertz. Niedere Geodasie.
Neben der fiir die Tachymetrie besonders geeigneten Fadendistauz-
messung haben die iibrigen in Nr. 19 ihrem Prinzip nach erwahnten
Distanzmessungsmethoden eine geringere Bedeutung. ,,Distanzmessende
Schrauben" werden auch in Verbindung mit dem Fadendistanzmesser
angeordnet, andere Konstruktionen z. B. Eckhold s Onmimeter, Sanguet s
Tachymeter mit Hebelwerk usw. 7 haben keine allgemeine Bedeutung
erlangt.
Die Durchfuhrung einer topograpbischen Aufnahme griindet sicb
in der Regel auf eine Horizontal- und Vertikaltriangulierung mit
nachfolgender Polygonisierung. 1st das Instrument auf einem nach
Lage und Hohe gegebenen Punkt aufgestellt, so gibt dasselbe un-
mittelbar Lage und Hohe der angezielten Gelandepunkte an, nam-
lich durch Horizontal- und Vertikalricbtungen und Entfernung bez.
Hohenunterschied. Das Ergebnis der Aufnabme ist scblieBlicb ein
topographischer Plan mit Hohenzahlen und Horizontalkurven , vgl.
p. 73. tjber die Genauigkeit der Bestimmung von Entfernung und
Hobe gilt das bei Distanzmessung p. 88 und trigonometrischer
Hohenmessung p. 81 Gesagte. Im allgemeinen begniigt man sicb,
dern Zweck der topograpbischen Aufnahme entsprechend, mit einer
maBigen Genauigkeit, sodaB fur Zielungen bis zu einigen 100 m
die gegenseitige Lage und Hohe der Punkte innerhalb einiger dm
genau bestimmt wird, wobei auf die letztere ein hoherer Wert gelegt
wird, als auf erstere ; und richtet zur Erzielung dieser fiir Gelande-
aufnabmen hinreichenden Genauigkeit Instruinente (bequeme Ablesung)
und Yerfahren zu moglichst rascher und glatter Feldarbeit ein. Ver-
scharfung der Distanzmessung, welche fiir die topographische Gelaiide-
aufnahme nicbt in Betracbt kommt, sondern nur dann, wenn die Tachy
metrie die exakte Linearmessung ersetzen soil, ist durch entsprechende
Einricbtung der Instrumente, 7J Prazisionstacbymeter" und 7 ,Prazisions-
latten" (z. B. Schell s und Tichy-Starke s logarithmischer Tachymeter)
zu erzielen; vgl. p. 88. Die Prazisionstachyrnetrie ist ebenso wie die
Prlizisionsnivellierung an beschrankte Arbeitszeit (giinstige Witterung)
und kurze Zielweite (Refraktion) gebunden. Bei den tachymetrischen
Messungen ist auch zu erwahnen die Hohenaufnahme auf Grund vor-
bandener, durch Linearmessung gewonnener Lageplane, wobei in un-
ebenem Gelande anstatt des Nivellierinstrumentes (p. 73) mit Vorteil
der Hohenkreis des Theodolits verwendet wird, indem die Entfernungen
aus der Karte genommen werden, sodaB zu rechnen ist nach A/< = $tg,
wozu Rechenschieber und Diagramme als Hilfsmittel dienen.
21. Die Mefitischaufnahme. Als eine besondere Methode der
tachymetrischen Messungen ist zur Zeit die ,,topographische MeBtisch-
21. Die MeBtischaufnahme 93
aufnalime" zu betrachten, nachdem der ,,MeBtisch" bei exakten Spezial-
aufnahmen durch die numerischen Methoden ersetzt ist. Der ,,Mefltisch"
ist ein auf einem Stativ mittels eines theodolitahnlichen DreifuB-
unterbaues aufgestellter kleiner Zeichentisch, dessen mit einer Libelle
horizontierte Flache die ebene Vermessungsflache reprasentiert. Zur
Aufzeiclinung der Richtungslinien dient das eine lotrechte Absehebene
liefernde )} Diopterlineal" (dioptrische Regel) oder die )} Femrohrkipp-
regel" (Perspektivlineal). In einfachster Form besteht diese Projektions-
vorrichtung aus einem eine Saule tragenden Lineal, an der eine hori-
zontale Kippachse gelagert ist. Diese tragt das die Vertikalebene liefernde
Fernrohr, analog der Theodoliteinrichtung. Anordnung der Libellen,
Bedingungen fiir die Achsen nnd Ziellinie, Priifung und Berichtigung
entspricht dem Theodolit (vgl. die Lehrbiicher). Wird das Fern-
rohr der einfachen Kippregel mit Distanzfaden ausgeriistet, so erhalt
man die ,,distanzmessende Kippreyel u , kommt ein Hohenkreis oder
Hohenbogen mit Libelle hinzu, so erhalt man die ,,tachymetrische
Kippregel" (,,Universalkippregel"). Ist der MeBtisch auf einem Messungs-
punkte (, ; Station") so aufgestellt 7 da6 bei horizontaler Platte der zu-
gehorige Punkt der Zeichnung genau lotrecht iiber dem Feldpunkte
sich befindet und im Fernrohr diejenigen Zielpunkte eingestellt er-
scheinen, an deren Bilder die Linealkante angelegt wird, so ist er
^entriert" und ^orientiertf . Wird in dieser Weise bei genau orien-
tiertem Tisch das Lineal scharf an den Stationspunkt angelegt und
gleichzeitig der zu bestimmende Punkt mit dem Fernrohr eingestellt,
so gibt die am Lineal ausgezogene Linie die Richtungslinie an; wird
die Entfernung durch ,,L angen"- oder ,,Distanz"-Messung (p. 86) er-
mittelt und mit dem MaBstab in der entsprechenden Verjiingung
eingetragen, so ist der neue Punkt bestimmt (,,stationiert a ) und kanu
wieder als MeBtischstation dienen; wird das fortgesetzt, so erhalt man
einen graphisch bestimmten Polygonzug, vgl. p. 54.
Werden auf mindestens zwei bekannten Standpunkten A und B
die Richtungslinien nach einem Neupunkt P gezogen, so hat man
Punktbestimmung durch ,,Vorwartseinschneiden" (vgl. die trigonometr.
Losung p. 40); wird auf einem gegebenen Standpunkt A die Rich
tungslinie nach P gezogen, der MeBtisch danach nach P gebracht,
hier nach P A orientiert, an B angelegt und gezielt, durch den
Schnitt A P und P B der Neupunkt P bestimmt, so hat man
Punktbestimmung durch ,,Seitwartseinschneiden" (vgl. p. 40). Soil
ein Neupunkt dadurch bestimmt werden, daB auf ihm die Richtungs
linien nach drei der Lage nach gegebenen Punkten bestimmt werden,
so hat man das graphische ,,Riickwartseinschneiden" (p. 41). Die
VI 1,1. C. Reinliertz. Niedere Geodasie.
Konstruktion kann in verschiedener Weise erfolgen. Zuniichst durch
Aufzeichnung des Strahlensy stems (z. B. auf Pauspapier) und Orientie-
rung desselben nach der Reihe der Bildpunkte durch Probieren; ein
mechanisches Hilfsmittel hierzu ist der mit Gradscheibe und einstell-
baren Armen versehene ,,Standfinder". Die Bestimmung des Punktes
als Schnittpunkt der Bestimmungskreise durch
Konstruktion derselben mittels Einstellung der
Peripheriewinkel ist benutzt bei ,,Bauern-
feind s Einschneidezirkel" 141 ). Zu einer direkten
konstruktiven Losung ist z. B. Collins Hilfs-
punkt (vgl. p. 42) geeignet. Ist amb (Fig. 24)
das Bilddreieck des Naturdreiecks AMU., so
wird auf dem Neupunkt P zunachst a b nach
M orientiert und von a aus nach B gezielt,
sodann wird ba nach M orientiert und von
b aus nach A gezielt. Der Schnitt der beiden
gezogeneu Richtungslinien liefert das Bild q des Collin schen Hilfs-
punktes und die Verbindungslinie qm einen Ort fiir das Bild p des
Neupunktes P. Die vollstandige Bestimmung von p kann dann durch
Seitwartseinschneiden erfolgen.
GroBere Bedeutung als diese direkte und die mechanischen Losungen
O O
hat fiir die eigentliche MeBtischpraxis die ,,indirekte" Losung. Der
MeBtisch wird nach AugenmaB oder mit Hilfe einer Orientierbussole
genahert orientiert und die Richtungslinien mit der Kippregel ge-
zogen. Infolge der nur genaherten Orientierung ergibt sich statt
eines Schnittpunktes das ,,fehlerzeigende Dreieck", dessen Form von
der gegenseitigen Lage der Punkte und dern Fehler der Orientierung
abhangt. Uber die Lage von p zum Fehlerdreieck hat J. G. Lehmann u2 )
folgenden Satz aufgestellt:
Der Punkt p liegt innerbalb oder auBerhalb des Fehlerdreiecks,
jenachdem P innerhalb oder auBerhalb von AMB liegt. Im letzten
Falle liegen p und das Fehlerdreieck zu verschiedenen Seiten der
mittleren Visur, wenn P innerhalb des durch A } M, B gehenden
Kreises oder in einem Scheitelwinkel des Dreiecks sich befindet; da-
gegen liegen p und das Fehlerdreieck auf derselben Seite der mitt
leren Visur, wenn P auBerhalb des durch A, M, B, gehenden Kreises
141) C. M. v. Bauernfeind, Munch. Abhandl. 11 (1871), p. 83; Bauernfeind,
Vermessungskunde 2, p. 189.
142) Anleitung zum vorteilhaften und zweckmiiBigen Gebrauche des MeB-
tisches, Dresden 1820. Vgl. ferner F. Hartner, Wien. Ber. 2 (1849), Novemberheft,
p. 216; Hartner-Dolezal 1, p. 891.
21. Die MeBtischaufnahme. 95
einer Dreiecksseite gegeniiber liegt. Die Abstande des Punktes p von
den durch a, &, m gezogenen Visierlinien verhalten sich wie die Ent-
fernungen des Punktes p von den Punkten a, m, b oder des Punktes
P von A, M, R
Ein praktisch sehr brauchbares Orientierungsverfahren besteht
darin, daB man zwei Fehlerdreiecke zu Hilfe nimmt. Man orientiert
zunachst nach dem ersten Fehlerdreieck angenahert auf Grund des
vorstehenden Satzes und iiberdreht dann den Tiscb absichtlich, sodaB
die Orientierung riach der entgegengesetzten Seite gefalscht wird. Man
erhalt dann ein zweites Fehlerdreieek, dessen homologe Ecken man mit
denen des ersten verbindet, dadurcli kommt man dem Punkt p sehr nahe.
Uber Moglichkeit und Giinstigkeit der Losung vgl. p. 43.
Aus der zusammenwirkenden Anwendung dieser Bestimmungs-
methoden ergibt sich die MeBtischaufnahme; bei der Anwendung im
groBen wird eine Triangulierung zugrunde gelegt 7 welche auf dem MeB-
tisch graphisch weiter gefiihrt wird. Uber die tachymetrischen und die
Hohenmessungen gilt das friiher (p. 90) Gesagte; auf Grund der ge-
wonnenen Hohenzahlen werden die Horizontalkurven entworfen. Bei
einheitlich durchgefuhrten Landesaufnahmen wird der gewahlten Projek-
tionsart entsprechend (vgl. p. 13 und Nr. 8) eine passende Blatteinteilung
angeordnet. Beispielsweise ist bei der preuBischen Landesaufnahme das
Staatsgebiet auf Grund der Gradeinteilung des jBesseZ schen Ellipsoides
in Abschnitte zerlegt. Der von je zwei aufeinanderfolgenden Breiten-
und Langengraden umschlossene Flachenteil, eine 77 Gradabteilung^,
wird nach der Breite in 10, nach der Lange in 6 Teile zerlegt, deren
jedes ein ? ,MeBtischblatt" bildet, welches in seinen Eckpunkten in
1 : 25000 aufgetragen (sog. 7 ,preuBische Polyederprojektion" ; vgl. VI l, 4),
auf dem MeBtisch nach Eintragung der nach Lange und Breite ge-
gebenen Dreieckspunkte zur Feldaufnahme verwendet wird. Ein all-
gemeiner Ausdruck fur die Genauigkeit der MeBtischaufnahme in
Bezug auf die Lagemessung, welche naturgemaB wesentlich abhangig
ist vom Verfahren, den gegebenen Grundlagen, dem MaBstab usw.,
laBt sich gewinnen durch die Angabe, daB sie derjenigen einer exakten
Zeichnung entspricht, bei der der Fehler der Punktorte innerhalb
+ 0,1 mm bleibt, und die Richtungsgenauigkeit im giinstigsten Fall
etwa durch + 1 ausgedriickt werden kann.
Der MeBtisch ist, seit er durch Pratorius in Altdorf (mensula
praetoriana) mit Beginn des 17. Jahrhunderts allgemein bekannt wurde,
bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts eines der wichtigsten geometrischen
Instrumente gewesen. Fur die Kartographie brachte die Ausbreitung
der MeBtischaufnahme einen wesentlichen Fortschritt mit sich, indem
96 VI i, 1. C. Reiiihertz. Niedere Geodasie.
sie, gestiitzt auf die Triangulierung, den Schritt von den mit Bussole,
Quadrant , MeBschnur und SchrittmaB gewonnenen Landeskrokis zu
einer zusammenhangenden, systematischen Aufnahme erleichterte,
welche besonders in den exakten graphischen Landesvermessungen
Bayerns (18081837) in 1 : 5000 und Wiirttembergs (18181840)
in 1 : 2500 ihren Hohenpunkt erreichten 143 ). Nach der ersten Halfte
des 19. Jahrhunderts ist die MeBtischaufnahme fur die Spezialver-
messungen, insbesondere die modernen Katastervermessungen, rnehr
und mehr in den Hintergrund getreten. Bei topographischen Auf-
nahmen (Horizontalkurvenbearbeitung p. 92) wird sie fiir solche Ge-
biete noch von Bedeutung bleiben, in denen nicht die kartographischen
Ergebnisse der speziellen numerisch durchgefiihrten Landesvermessung,
vervollstandigt durch spezielle Hohenmessung, zur Herstellung der topo
graphischen Spezialkarten zur Verfiigung stehen. Der groBe Vorteil
des MeBtisches besteht darin, dafi unmittelbar nach der Natur ge-
zeichnet wird, was die Herstellung leicht lesbarer Karten sehr fordert 144 ).
22. Fliichtige Aufnahmen. Exakte spezielle Landesvermessungen
mit Anwendung der vorbesprochenen Methoden, deren Ergebnisse geo-
metrische und topographische Spezialkarten sind ? liegen zur Zeit nur
fiir kleine Gebiete der Erdoberflache (Westeuropa 7 Teile der Vereinigten
Staaten, einzelne Teile auBereuropaischer Staaten und einige Kiisten- und
Kolonialgebiete) vor; fiir andere Gebiete (Osteuropa, den groBten Teil
der Vereinigten Staaten, kleine Teile Siidamerikas, Kapland, Vorder-
indien, Ostaustralien, Japan) bestehen zur Zeit nur generelle Aufnahmen
mit trigonometrischer Grundlage, wobei die Einzelaufnahmen bis jetzt
weniger speziell und exakt und nicht im Zusammenhang zur Durch-
fiihrung gekommen sind; fur den Rest, d. h. also den weitaus groBten
Teil der Erdoberflache, beruht das vorhandene Kartenmaterial auf
,,Routenaufnahme", entweder planmaBig ein zusammenhangendes Karten-
bild gebend oder als Einzelergebnisse von Erkundungsreisen. Hierbei
ist fiir die ,,GrundriBaufnahme" das geodatische System ein an astro-
nomisch bestimmte Punkte angeschlossenes System von Bussolen-
ziigen (p. 58), meistens aufgenommen mit Freihandbussole, wobei die
Entfernung aus der Marschzeit hergeleitet wird, fiir die ,,Hohen-
aufnahme" barometrische Hohenmessung mit Federbarometer, kontrol-
143) W. Jordan-K. Steppes, Das deutsche Vermessungswesen, Stuttgart 1882.
144) Fiir militartopograpische MeBtischaufnahmen sei genannt: Vorschrift
fur die topographische Abteilung der Landesaufnahme. Heft I. Das topo
graphische Aufnehmen, Berlin 1898; B. Schulze, Das militarische Aufnehmen
unter besonderer Berucksichtigung der Arbeiten der kgl. preuB. Landesaufnahme,
Berlin und Leipzig 1903.
22. Fluchtige Aufnahmen. 97
liert durch Quecksilberbarometer und Siedethermometer 145 ). Neuer-
dings sind automatische Methoden von Th. Ferguson ausgebildet
worden 146 ).
In historischer Hinsicht sei hier erinnert an die Wegekarten
der Romer, Itineraria Antonini, Alexandri etc., vornehmlich an die
sogenannte Peutinger sche Tafel.
Als eine besondere Methode der topographischen Messungen
kommt neuerdings fiir bestimmte Aufgaben in Betracht die Photo-
grammetrie (vgl. den folgenden Art. , S. Finsterwalder) , die man in
ihrer besonderen geodatisehen Anordnung unter Benutzung des 7 ,Photo-
theodolits" als ,,Phototachymetrie" oder ; ,Phototopographie" bezeichnet.
145) Weiteres mit Literatur findet man bei Jordan, Handbuch 2, 183;
G. Neumayer, Anleitung zu wissenschaftlichen Beobachtungen auf Reisen, 2. Aufl.,
Berlin 1888; 3. Aufl., Hannover 1905. Ein durchgearbeitetes Beispiel mitFehler-
berechnung enthalt: W. Jordan, Physische Geographie und Meteorologie der
lybischen Wu ste, Cassel 1876. Spezialschriften sind : Kaltbrunner, Manuel du
voyageur, Ziirich 1879 (auch deutsch von Kollbrunner, Zurich 1881); Hints to
travellers edited by the Royal geogr. society, London 1883 (8. ed. 1901) ; E. de
Larminat, Topographie pratique de reconnaissance et d exploration, Paris (1905).
Man vgl. ferner: E. Hammer, Die methodischen Fortschritte der geographischen
Landmessung, Geogr. Jahrb. 22 (1899), p. 37; 25 (1902), p. 343.
146) Automatic surveying instruments and their practical uses on land
and water (Introduction by E. Hammer), London 1904.
(Abgeschlossen im Okt. 1905.)
Encyklop d. math Wisseusoh. VI 1
98 VI i, 2. Finsterwalder. Photogrammetrie.
VI i, 2. PHOTOGRAMMETRIE.
VON
S. FINSTEBWALDEB
JN MTJNCHEN.
Inhaltsubersicht.
1. Einleitung. Historisches. Innere und iiuBere Orientierung. Eigentliche und
abgeleitete Photographien.
2. Apparate. Das Objektiv. Vorrichtung zur inneren Orientierung. Bestim-
mung von Hauptpunkt und Bildweite. Photogrammeter un,d Phototheodolite.
3. Ausmessung der Bilder. Direkte Ausmessung nach J. Porro. Ermittlung
von Winkeln aus den Koordinaten der Bildpunkte. ZusammenschlieBen meh-
rerer Bilder, die vom gleichen Standpunkt aus aufgenommen sind.
4. Das Ruekwartseinschneiden. Riiumliches Riickwartseinschneiden nach
drei Punkten. Das raumliche Problem der 6 Punkte und das ebene Problem
der 5 Punkte.
5. Das "Vorwartseinschneiden und die Kekonstruktion der Objekte bei
bekannten Standpunkten. Hohenkontrolle. Gegnerische Kernpunkte.
Moglichkeit der Rekonstruktion aus einer Anzahl von Photographien. Zeich-
nung eines Kisses aus zwei Photographien.
6. Fliiclitige Aufnahmen. Stereophotogrammetrie. Mechanismen.
Literatur.
Bticher.
E. Deville, Photographic surveying, Ottawa 1895.
E. Dolezal, Die Anwendung der Photographic in der praktischen MeBkunst,
Halle 1896 (Dolezal, Anwend. d. Phot.).
C. Koppe, Die Photogrammetrie oder BildmeBkunst, Weimar 1889 (Koppe, Photo
grammetrie).
Photogrammetrie und Internationale Wolkenmessung, Braunschweig 1896
(Koppe, Wolkenmessung).
A. Laussedat, Recherches sur les instruments, les methodes et le dessin topogra-
phiques. T. II. Iconometrie et metrophotographie, Paris 1901 03 (Laussedat,
Me"trophotographie).
G. Le Son, Les levers photographiques, 2 vol., Paris 1889.
V. Legros, Sommaire de photogrammetrie, Paris 1891.
1. Einleitung. 99
P. Paganini, Fotogrammetria, Mailand 1901.
F. Schiffner, Die photographische MeBkunst, Halle 1892.
F. Steiner, Die Photographic im Dienste des Ingenieurs, Wien 1891 (Steiner, Phot.).
Monographien.
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bericht d. Deutschen Mathematiker -Vereinigung 6 (1897), 2. Heft, p. 1, Leipzig
1899 (Finsterwalder, Grundlagen).
Die Photogrammetrie als Hilfsmittel der Gelundeaufnahme. In : G. Neumayer,
Anleitung zu wissenschaftl. Beobachtungen auf Reisen, 3. AufL, Hannover 1905.
G. Hauci, Neue Konstruktionen der Perspektive und Photogrammetrie (Theorie
der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme), J. f. Math. 95 (1883), p. 1;
97 (1884), p. 261; 98 (1885), p. 304; 108(1891), p. 25; 111(1893), p. 207; 128
1906), p. 91.
C. Pulfricli, Neue stereoskopische Methoden und Apparate, 1. Lief., Berlin 1903.
F. Schilling, tJber die Anwendungen der darstellenden Geometrie, insbesondere
u ber die Photogrammetrie, Leipzig und Berlin 1904.
1. Einleitung. Die Photogrammetrie (BildmeBkunst) hat die
Aufgabe, aus photographischen Bildern das dargestellte Objekt oder
einzelne Abmessungen desselben zu ernritteln. Die Losung dieser Auf-
gabe war durch die liiicJctvdrtsJconstruktionen der Perspective 1 ") und Me
thoden der Kustenaufnahme aus perspektivischen Handskizzen 2 ) vor-
bereitet und wurde zuerst von A. Laussedat (1852 59) 3 ) versuchsweise
auf topographische Vermessungen angewandt. Im Anschlusse hieran
beschaftigte sich J. Porro^) seit 1855 mit der instrumentellen Seite.
A. Meyderibau&r 5 ) pflegt seit 1867 vorzugsweise die Architekturphoto-
grammetrie, die er zu hoher Vollendung brachte. W. Jordan 6 ) (1876)
und C. Koppe 1 } (1889) forderten das Problem vom geodatischen Stand-
punkt aus, Cr. Hauck 8 ) (1883) nach der theoretischen Seite. In groBem
MaBstabe wurde die Photogrammetrie zuerst praktisch verwendet in
Italien von L. P. Paganini 9 ) seit 1880 und in Canada von E.Deville 10 )
1) J. H. Lambert, Treye Perspektive, Zurich 1759, 8. Abschnitt, p. 203.
2) Beautemps-Beaupre 1791 93, beschrieben in: Methode pour la levee
et la construction des cartes et des plans hydrographiques, Paris 1808.
3) Paris C. E. 50 (1860), p. 1127.
4) E. Dolezal, Photogr. Correspondenz, 1902, p. 82.
5) Zeitschr. f. Bauwesen 17 (1867), p. 61.
6) Zeitschr. f. Vermess. 5 (1876), p. 1.
7) Die Photogrammetrie oder BildmeBkunst, Weimar 1889.
8) J. f. Math. 95 (1883), p. 1; 97 (1884), p. 261; 98 (1885), p. 304; 108
(1891), p. 25; 111 (1893), p. 207; 128 (1905), p. 91.
9) Fotogrammetria, Mailand 1901.
10) Photographic Surveying, Ottawa 1889, 2. Aufl. 1895.
100 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie.
seit 1889. Mit der Ballonphotogrammetrie beschaftigt sich S. Finster
walder seit 1890. Durch C. Pulfricli wurde seit 1000 die Stereoskopie
in den Dienst der Photogrammetrie gestellt. Reiches Material zur
Geschichte der photogrammetrischen Methoden und Apparate hat
A. Laussedat gesammelt.
Die photographischen Bilder sind in der Regel als ebene Per-
speldivcn des Objektes aufzufassen. Die Entfernung des perspek-
tivischen Zentruins (Linsenrnittelpunkts) von der bildauffangenden
Ebene (lichtempfindlichen Schicht) heiBt Bildweite (Distanz), der FuB-
punkt der Senkrechten von ersterem auf letztere Hauptpunkt (Aug-
punkt), die Senkrechte selbst Achse der Perspective (bezw. der photo
graphischen Kamera). Die Vertikalebene durch die Achse der Perspek-
tive wird als Hauptvertikalebene, ihr Schnitt mit der Bildebene als
Hauptvertikale bezeichnet. Die Horizontalebene durch das Zentrum
schneidet die Bildebene nach dem Horizont.
Hauptpunkt und Bildweite bilden die innere Orientierung einer
Photographic. Zur Rekonstruktion des Objektes sind auBer den Ele-
menten der innern Orientierung der verwendeten Photographien noch
Abmessungen desselben, darunter wenigstens eine Lange, als bekannt
anzusehen. Bei den wichtigsten Objekten (Terrainflachen, Architek-
turen) spielt die Vertikale eine ausgezeichnete Rolle, und man wird
deshalb die Gesamtheit der Lote, bezw. deren gemeinsamen unendlich
fernen Punkt als Bestandteil des Objektes ansehen. Ebenso sollen die
Punkte, von welchen die Photographien aufgenommen wurden (Stand-
punkte), als Bestandteile des zu ermittelnden Objektes gelten. Alle
Abmessungen, welche von dem so erweiterten Objekt zur Rekon
struktion herangezogen werden, bilden die auflere Orientierung, z. B.
Lange der Standlinie, Neigung der Achsen der Photographien, Hori
zont usw.
An photographischen Bildern kommen in Betracht: 1. wirJdiche
oder eigentliclie Photographien und zwar a) solche mit bekannter innerer
Orientierung, wie sie von photogrammetrischen Apparaten geliefert
werden, b) nicht orientierte Photographien, wie sie von gewohnlichen
photographischen Apparaten geliefert werden, 2. uneigentliche oder
algeleitete Photographien n ) 7 namlich Perspektiven wirklicher Photo
graphien, wie sie die Reproduktionstechnik irn allgemeinen liefert.
Fiir genaue Arbeiten sind nur die Originalnegative oder davon ab-
geklatschte Glasdiapositive als eigentliche Photographien aufzufassen;
Papierpositive, wegen der Veranderung in den Badern, die einer homo-
11) Finsterwaldtr, Grundlagen, p. 8.
2. Apparate.
genen Deformation entspricht, und VergroBerungen, die in der Regel
eine kleine perspektivische Verzerrung erfahren, dagegen nur als ab-
geleitete.
Abgeleitete Bilder konnen in der Regel nicht als Schnitte des
Strahlenbiindels, welches das urspriingliche Bild erzeugte, aufgefaBt
werden. Dazu sind zwei Bedingungen erforderlich, die man folgender-
maBen formulieren kann: Das Strahlenbuschel in der Ebene des ab-
geleiteten Bildes, welches von einem beliebigen Punkte nach Punkten
der unendlich fernen Geraden gezogen werden kann, muB dem Biischel,
das im Strahlenbiindel den unendlich fernen Punkten der Bildebene
entspricht, kongruent sein. Oder: den imaginaren Kreispunkten des
abgeleiteten Bildes miissen im Biindel Strahlen nach dem imaginaren
Kugelkreis entsprechen.
2. Apparate. Der wichtigste Bestandteil derselben ist das photo-
grophisclie Objektiv 12 ) ; dessen optische Achse senkrecht zur Bildebene
steht und jene im Hauptpunkt trifft. Von raumlichen Objekten kann
man nur dann scharfe Bilder erzielen, wenn die Bildweite klein ist
gegeniiber der Entfernung der nachstgelegenen Objektpunkte. Die
Bildweite ist dann von der Brennweite wenig verschieden und wird
in der Regel unveranderlich gleich letzterer genornmen; die daraus
entspringende Unscharfe kann durch Einblenden aufgehoben werden.
Das Objektiv soil perspektivisch zeichnen. Ist a der Winkel eines
die Blendenmitte durchsetzenden Strahles mit der Achse vor Eintritt
in die Linse und h die Entfernung des von ihm erzeugten Bild-
punktes vom Hauptpunkt der Photographie, so zeichnet die Linse
perspektivisch, falls h : tg a einer Konstanten (der Bildweite) gleich
iet. Als Standpunkt der Aufnahme dem Objekt gegeniiber hat der
Punkt zu gelten, in welchem die Verlangerungen derjenigen in die Linse
eintretenden Strahlen, die nach der Brechung im Vorderteil der
selben die Blendenmitte durchsetzen, die Achse schneiden. Der so
definierte Standpunkt und das um die Bildweite vom Hauptpunkt
entfernte Zentrum der Perspektive fallen bei den in der Praxis meist
verwendeten Objektiven nahe zusammen, nur bei den Teleobjektiven
liegt ersterer am Vorderende oder innerhalb des Linsensystems, letz-
teres objektseits um den groBeren Teil der Brennweite auBerhalb.
Bis auf einige Minuten genau zeichnen perspektivisch: Teleobjektive
innerhalb 2 a = 25, Aplanate innerhalb 2 a = 50, Kottineare, Ortho-
stigmate, Protare, Doppelanastigmate innerhalb 2 a = 60 75, Weit-
12) M. v. Bohr, Theorie und Geechichte des photogr.0bjektivs, Berlin 1899];
A. Gleichen, Photogr. Optik, Leipzig 1906.
102 Vt *i 2 - & Finsterwalder. Photogrammetrie.
winkel innerhalb 2 a = 80100, der Hyper gondoppelanastigmat bis
2 a = 140. Bei groBen Winkeln a werden die dnrch Unebenheit der
kauflichen Glasplatten verursachten Fehler erheblich. Die innere
Orientierung der Bilder einer Karaera verlangt erne stabile Verbindung
von Linse und lichtempfindlicher Flache. Auf letzterer miissen sich
mindestens zwei Marlten (meist ein rechteckiger Rahmen ; eventuell
mit Fadenkreuz), die mit der Kamera fest verbunden sind, abbilden.
In bezug auf diese Marken wird die Lage des Hauptpunktes festgelegt.
Bestimmung des Hauptpunktes. Man sehraubt die Linse ab 7 er-
setzt die lichtempfindliche Flache durch einen Spiegel ? richtet auf
diesen ein Fernrohr derart, dafi sich sein Fadenkreuz mit dem Bilde
seines Spiegelbildes deckt, sehraubt die Linse wieder an, ersetzt den
Spiegel durch eine photographische Platte und photographiert das
Fadenkreuz des Fernrohres, dessen Bild dann den Hauptpunkt ergiebt.
Oder einfacher: Man stellt den Apparat mit der lichtempfangenden
Flache horizontal und photographiert in dieser Stellung bei enger
Blende einige von der Decke herabhangende Lote, deren Bilder sich
im Hauptpunkt schneiden.
Bestimmung der Bildweite. Es sei das Strahlenbuschel von einem
Standpunkt nach einer Anzahl (mindestens drei) in einer Ebene mit
ihm befindlicher Objektpunkte bekannt. Photographiert man dieselben
von dem Standpunkte aus und legt man das bekannte Strahlen
biischel perspektivisch zur Punktreihe der Bildpunkte 13 ), so ist die
Entfernung des Biischelmittelpunktes von der Punktreihe gleich der
Entfernung des perspektivischen Zentrums von der Punktreihe, wo-
durch letzteres bei bekanntem Hauptpunkt bereits bestimmt ist Bei
unbekanntem Hauptpunkt photographiert man dieselben Objekte vom
gleichen Standunkt aus in anderer Lage der Kamera und erh alt
dann die Elemente zur Konstruktion des Hauptpunktes und der
Bildweite. Die Elemente der inneren Orientierung einer vor-
liegenden Aufnahme konnen iminer dann wiedergefunden werden,
wenn man aus ihr die im Endlichen gelegenen Fluchtpunkte dreier
bekannter (meist zueinander senkrechter) Richtungen entnehmen
kann. Ein Gleiches gilt unter Voraussetzung vertikaler Bildebene,
sobald auf dem Bilde die Perspektive eines wagerechten Quadrates
oder Rechteckes von bekanntem Seitenverhaltnis vorliegt 13a ). Meist
13) Rechnerisch geschieht dies nach der Methode des Ruckwartseinschneidens
nach drei oder mehreren Punkten der Punktreihe. Vgl. W. Jordan., Zeitschr. f.
Vermess. 5 (1876), p. 1; Koppe, Photogrammetrie, p. 39, woselbst auch die Aus-
gleichungsmethode behandelt iat.
13 a ) Die zugehorigen Methoden sind im 8. Abschnitt von J. H. Lambert
2. Apparate. 103
begniigt man sich nicht mit der inneren Orientierung, sondern
nimmt noch Horizont und Hauptvertikale dazu, was am einfachsten
bei horizontaler Aclise (vertikaler Bildebene) gelingt. Es muB dann
die Kamera mit einer Drehachse verbunden werden, die durch eine
Libelle vertikal zu stellen ist. Die Vertikalstellung der Kamera wird
durch Photographic zweier Lote, die als parallels Linien erscheinen
miissen, kontrolliert. Zur Bestimmung des Horizontes geniigt dann
das Bild eines mit dem Standpunkt gleich hohen Objektes. Horizont
und Hauptvertikale werden durch Marken (Fadenkreuz) fixiert. Appa
rate mit dieser Einrichtung, welche meist noch mit einer Vorrichtung
zur Orientierung der Hauptvertikalebene (Horizontalkreis, Bussole)
versehen sind, heiBen Photogr ammeter u ).
Als photogrammetrische Theodolite (Phototheodolite) bezeichnet
man Kombinationen von Photogrammeter und Theodolit. Dieselben
gestatten die Bestimmung beliebig vieler Winkel der auBeren Orien
tierung. Die Verbindung bei der kann rein auBerlich sein, doch ist
fast immer die vertikale Drehachse des Theodolits und der Kamera
gemeinsam. Die Achse der Kamera ist meist dauernd horizontal ge-
stellt 15 ), gelegentlich auch zum Neigen eingerichtet 16 ). In anderen
Fallen ist die Achse der Kamera mit jener des Theodolitfernrohrs
starr verbunden und beide parallel gestellt 1T ). Dadurch, daB man
das photographische Objektiv als Fernrohrobjektiv beniitzt, kann man
auch beide Achsen zusammenftdlen lassen 18 ). Endlich hat man auch
versucht, den fur die photographische Aufnahme maBgebenden Stand
punkt (vgl. Nr. 2, p. 101) in den Schnittpunkt der beiden Theodolit-
,,Freie Perspektive", Zurich 1759, auseinandergesetzt. Vgl. auch F. Schilling,
Uber die Anwend. der darst. Geom. insb. fiber die Photogrammetrie, p. 101 120.
14) Zu den beaten Apparaten dieser Art gehoren der Photogrammeter von
E. Deville, Photographic Surveying, p. 136, jener von Pollack, ibid. p. 120 und
die beiden Apparate von Paganini, Fotogrammetria, p. 189, 236, wovon letzterer
mit automatischer Horizontalstellung und photogr. Registrierung des Kompasses,
ahnlich dem Apparate von Bridges Lee [Engineering 2 (1897), p. 314] versehen
ist. In diese Gruppe gehoren auch die Apparate von A. Meyderibauer.
15) So bei den ersten Apparaten von Laussedat, Metrophotographie, p. 125,
dem alteren Apparat von Pollack (vgl. Steiner, Phot., p. 123), bei jenen des osterr.
militiirgeogr. Institutes in Mitt, desselben 16 (1896), p. 67 und dem von Breit-
haupt, Eders Jahrb. f. Phot. 1900, p. 387.
16) Alterer Apparat von Paganini, Fotogrammetria, p. 28; jener von Gustav
Heyde, EderB Jahrb. f. Phot. 1901, p. 357.
17) Phototheodolit vonKoppe, Photogrammetrie, p. 26 ; Wolkenmessung, p. 14.
18) Zuerst eingefuhrt von Paganini 1889, Fotogrammetria, p. 140, dann von
Pollack, vgl. Zeitschr. des Osterr. Iiigen.- u. Arch.-Vereins 46 (1894), p. 489.
104 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie.
achsen zu bringen 19 ) ; um voile Ubereinstimmung der Scheitel der
gemessenen und photographierten Winkel zu erreichen. Eine eigen-
tumliche Kombination von Theodolit und Kamera mit horizontaler
Achse hat Finsterwalder 20 ) angegeben. Bei ihr wird das Fernrokr
aus dem parallel verschieblichen photographischen Objektiv und einem
um eine Horizontalacbse drehbaren, nach dem perspektivischen Zentrum
zielenden Okulare gebildet.
Apparate, welche Bilder auf nicht ebene Flachen entwerfen, sind
der Zylindrograph von Moessard* 1 ), bei welcbem eine um eine verti-
kale Drebacbse bewegliche Linse sukzessive einen nahezu 180 um-
fassenden Teil einer mit Film bespannten Zylinderflaclie belichtet, und
der Photoiheodolit von J. P0m> 22 ) 7 der als Bildflache eine die Linse
konzentrisch umgebende, mit lichtempfindlicher Schicht praparierte
kugelformige Glaskalotte besitzt. Letzterer, sowie der photograpbische
Mefttisch von Chevalier 23 ) sind langst aufier Gebraucb.
Das Bedurfnis, von einem Punkt aus Momentaufnahmen zu
machen, welche den ganzen Aussichtsbereich des Standpunktes oder
wenigstens einen sehr groBen Teil desselben umfassen, hat zur Kon-
struktion einer Anzahl (3 7) unter festen Winkeln zusammen-
gekoppelter photogramnietrischer Apparate gefiihrt, die fur Schiffs-,
Luftballon- und Drachenaufnahmen Verwendung finden sollen 24 ).
3. Ausmessung der Bilder. Die vollkommenste Methode der
Bildausmessung, von J. Porro 22 ) erdacht und von C. Koppe 25 ) aus-
gebildet ; besteht im wesentlichen darin ; da6 man das entwickelte
Negativ wieder genau an jene Stelle des Apparates bringt, die es bei
der Aufnahme eingenommen bat, dasselbe dann von riickwarts be-
leuchtet und die aus dem Apparat durch das Objektiv austretenden
Strahlen mit einem beweglichen Fernrohr, dessen Drehungen wie bei
einem Theodolit an geteilten Kreisen gemessen werden konnen, ab-
sucht. Auf diese Weise eliminiert man alle Fehler, die in der mangel-
haften perspektivischen Zeichnung der Linse, in der Unebenheit der
19) Beim Apparat von A. Schell, vgl. Dolezal, Anwend. d. Photogr., p. 47.
20) Zeitschr. f. Instr. 15 (1895), p. 370.
21) Moessard, Le Cylindrograplie, Paris 1889.
22) Vgl. Dolezal, Photogr. Correspondenz 1902, p. 8587.
23) Vgl. Stein, Das Licht im Dienste wiss. Forschung 2, 5. Heft; spezieller
Teil VI u. VII, Die Photogrammetrie, bearb. von F. Stolze, p. 199; Lamsedat, Metro-
photographie 2 1 , p. 27.
24) B. Thiele, Eders Jahrb. f. Phot. 17 (1903), p. 131; Th. Scheimpflug, ibid.
18 (1904), p. 193, Bowie Phot. Corresp. 1903, p. 659 und Illustr. aer. Mitt. 8
(1904), p. 88.
25) Photogrammetrie, p. 15.
3. Ausmessung der Bilder.
105
Glasplatten und in der Unkenntnis der inneren Orientierung begriindet
sind. In der Regel werden jedoch Koordinaten der Bildpunkte ge-
messen und aus ihnen die gewiinschten WinkelgroBen berechnet. 1st
r die Entfernung zweier Bildpunkte voneinander, r und r 2 ihr Ab-
stand vom Hauptpunkt und d die Bildweite, so ist der Winkel nach
den Bildpunkten aus einem Dreieck mit den Seiten r, "jA^ 2 -f- d?,
yr g 2 -f- d 9 zu berechnen. Steht die Achse der Kamera Iwrisontal
und sind x und y die auf den Horizont und die Hauptvertikale be-
zogenen rechtwinkligen Koordinaten eines Bildpunktes, so berechnen
sich die Azimutdifferenz a gegen die Hauptvertikalebene und die
Hohenwinkel /3 aus den Formeln:
tg a = x : d, tg /3 = y cos K : d .
Ist die Achse der Kamera unter dem Winkel co gegen den Horizont
nach aufwarts geneigt (Fig. 1) und bedeuten x und y die rechtwink-
E
I
A~"l
f/
a,
b
Fig. 2.
ligen Koordinaten eines Bildpunktes, bezogen auf die Hauptvertikale
(y) und die Senkrechte dazu (x) durch den Hauptpunkt, so wird:
x
: . ter a = -,
y sin co
n d sin co 4- v cos co
tg 3 = -, y . cos a
d cos to
d cos co y sin to
oder nach Einfiihrung der HilfsgroBen m und M:
d = m cos M } y = m sin M, ~ = tg M t
tg a 7 T - ir . tg 3 = tg (a -4- M} cos a .
m cos (co -[- M)
Statt der Berechnung von a kann man auch nebenstehende Konstruktion
anwenden und /3 aus denDaten der Figur tg/3 = P 2 P : OP 1 ermitteln 26 ).
Sind aus abgeleiteten Sildern orientierter Photographien Winkel zu
entnehmen, so moge vorausgesetzt werden, dafi der an der wirklichen
Photographic rechtwinklige Rahmen samt Achsenkreuz mit abgebildet
ist (Fig. 2). Aus den schiefwinkligen Koordinaten x lt y eines Bild-
26) Beide Methoden von Koppe, Photogrammetrie, p. 8, 9.
106 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie.
punktes in bezug auf das deformierte Achsenkreuz lassen sich dann
die rechtwinkligen Koordinaten x, y in bezug auf das ursprungliche
Achsenkreuz und daraus sehlieBlich die Winkel nach folgenden, aus
der kollinearen Verwandtschaft beider Ebenen sich ergebenden For-
meln berechnen:
l ..!. l
= a -L- ft J1L -L- y _ -SB g .3. J_ fl -f_ y _
x r x l f x t > y t/j y,
wobei
a ( s + a t j ^ a(a 1 -f a 2 ) & a 6 2 (! + a 8 )
6 &! -j- fc 2 Oj a,
X = - - -;- j
a a t -j- a 2 Oj t 2
ist 27 ).
Auf ahnlichem, etwas allgemeinerem Wege kann man auch aus
nichtorientierten Photographien Winkel entnehmen, wenn die gegen-
seitige Lage von vier Strahlen, deren Bilder bekannt sind, gegeben
ist. Fiir wirkliche Photographien geniigen schon drei Strahlen hier-
fiir 28 ).
Sind von einem Standpunkt aus zwei oder mehrere JBilder auf-
genommen, so entsteht die Aufgabe, dieselben untereinander in Be-
ziehung zu bringen. Sind die Orientierungsunterschiede der Achsen
der Bilder bekannt, so geschieht dies ohne weiteres nach den Regeln
der spharischen Trigonometrie. Sind sie unbekannt, so kann man sie
ermitteln, sobald auf den verschiedenen Photographien die Bilder der-
selben Objekte zu finden sind. Waren die Achsen zweicr Photographien
horizontal und die innere Orientierung bekannt, so geniigt ein Paar
Bildpunkte; ist nur letzteres der Fall, so sind zwei Punktpaare notig.
Hat man es mit unorientierten wirklichen Bildern zu tun, so kann
man aus der kollinearen Beziehung beider aufeinander die Schnitt-
linie der Bildebenen als Achse der Perspektivitat ermitteln, sobald
vier Punktpaare zu finden sind 29 ). Der Winkel, den die Bildebenen
einschlieBen, bleibt aber noch unbestimmt. Hat man indessen drei
solcher Aufnahmen von einem Standpunkte aus, so lassen sich in ahn-
licher Weise die drei Schnittlinien ihrer Bildebenen finden. Hierdurch
wird das Dreikant der Bildebenen und das gemeinsame perspektivische
Zentrum festgelegt. Drei eigentliche Photographien von einem Stand
punkt geniigen also zur Ermittlung der inneren Orientierung jeder
27) Finsterwalder, Miinchen Ber. 30 (1900), p. 152; vgl. hierzu W. Jordan,
Zeitschr. f. Architektur und Ingenieurwesen 44 (1898), p. 346; ein graphisches
Verfahren findet sich bei Finsterwalder, Photogrammetrie, p. 179.
28) Vgl. Nr. 4.
29) Finsterwalder, Miinchen Ber. 30 (1900), p. 153 u. 157.
4. Das Riickwartseinschneiden. 107
derselben und der gegenseitigen Stellung ihrer Achsen, falls sich auf
je zweien derselben die Bildpunkte von denselben vier Objektpunkten
finden.
4. Das Riickwartseinschneiden. Da sich aus Photographieu
Horizontal- und Vertikalwinkel entnehmen lassen, kann man dieselben
in der in der Geodasie iiblichen Weise zur Bestimmung des Stand-
punktes nach drei oder mehreren gegebenen Fixpunkten verwenden
(Pothenofschc Aufgabe) 30 ). Dieselbe Aufgabe tritt aber in der Photo-
grammetrie nocb in der Form auf, daB in einer Photographie mit
innerer Orientierung die Bilder dreier in ihrer gegenseitigen Lage
bekannter Objektpunkte, die mit dem Standpunkt nicht in einer Ebene
liegen, gegeben sind; man soil hieraus die Lage des Standpunktes
ermitteln. Die Photographie liefert alle Elemente des Dreikantes der
drei Visierstrahlen, und dieses Dreikant ist durch eine Ebene so zu
schneiden, da6 sich die Schnittfigur mit dem Dreieck der bekannten
Objektpunkte zur Deckung bringen lafit. Diese Aufgabe hat vier
Losungen, von welchen zwei zusammenfallen, falls sich der Stand-
punkt auf dem Kreiszylinder befmdet, der sich iiber dem umschrie-
benen Kreise des Dreiecks der bekannnten Objektpunkte senkrecht
zu dessen Ebene erhebt. In diesem Falle wird die Bestimmung des
Standpunktes unsicher (gefahrlicher Ort) 31 ).
Ist die innere Orientierung der Photographie nicht gegeben ; so
sind zur Riickwartsbestimmung des Standpunktes sechs Objektpunkte
und deren Bilder notig. Die Losung dieser raumlichen Aufgabe wird
auf das ebene Problem der funf Punkte 52 } zuriickgefiihrt ; welches
lautet: Zu funf Punkten einer Ebene einen sechsten so zu finden,
daB die von ihm aus nach den fiinf Punkten gehenden Strahlen vor-
gegebene Doppelverhaltnisse haben. Das Problem kann als projek-
tive Verallgemeinerung des Pothenofschen Problems aufgefafit werden.
Letzteres geht aus ersterem hervor ; wenn von den fiinf gegebenen
Punkten zwei in die imaginaren Kreispunkte riicken. Das Problem
der fiinf Punkte wird gewohnlich dazu verwendet, zu einer Photo
graphie ohne innere Orientierung, welche aber bei horizontalliegender
Achse aufgenommen wurde, den Standpunkt und die innere Orientie-
30) Vgl. VI i, 1, Nr. 10 b (C. Eeinliertz).
31) S. Finsterwalder, Grundlagen, p. 26; S. Finsterwalder u. W. Scheufele,
Munchen Ber. 33 (1903), p. 591, wo sich auch die Ausgleichung der Fehler er-
ortert findet.
32) Unter diesem Namen wurde von F. Steiner, Phot., p. 24 das von R. Sturm,
Math. Ann. 1 1 1869), p. 532 geometrisch geloste Problem in die Photogrammetrie
eingefiihrt.
108 VI l, 2. S. Finsterw alder. Photogrammetrie-
rung gleichzeitig zu bestimmen. Man hat (label in der GrundriBebene
der fiinf gegebenen Objektpunkte den gesuchten Standpunkt so zu
bestimmen, dafi sich das von ihm ausgehende Biischel der fiinf Strahlen
nach einer Punktreihe, die mit dem GrundriB der Bildpunkte kon-
gruent ist, schneiden lafit. Eine lineare geometrische Losung ist
folgende: Es seien J. .# (7 D -E die Grundrisse der bekannten Punkte,
jener des gesuchten Punktes, A B C D E die Punktreihe, zu der
das Biischel Q (A Q B C () D E ) projektiv sein soil. Man betrachte nun
in dem Kegelschnittbiischel mit den Grundpunkten A Q B Q C Q jene
Kegelschnitte, die durch D und E Q hindurchgehen. Von jedem kennt
man auBer den Grundpunkten das Doppelverhiiltnis (= (A B C D }
bezw. (A B C E }}, welches u4 5 D bezw. A B C E Q auf dem
Kegelschnitt einschlieBen. Hieraus kann man an jeden der beiden
Kegelschnitte die Tangenten in A B C Q konstruieren. Diese schneiden
sich paarweise auf den Seiten des dem Kegelschnittbiischel gemein-
samen Polardreieckes, dessen Ecken auBerdem auf den Verbindungs-
linien der bekannten drei Grundpunkte A B Q C Q liegen. Das Polar-
dreieck kann hieraus konstruiert und damit der unbekannte vierte
Grundpunkt gefunden werden. Der durch ^4 jE? (7 D iJ gehende
Kegelschnitt bildet insofern eine ,,gefahrliche" Kurve, als die Losung
illusorisch wird, falls auf demselben liegt 33 ). F. Steiner 3 *) und
Mandl yj } haben analytische Losungen der Aufgabe gegeben.
Das oben erwahnte rdumlidie Problem der seeks PunJcte wird
IblgendermaBen auf das ebene Problem der fiinf Punkte zuriick-
gefiihrt 36 ). Der gesuchte Punkt wird mit einem der gegebenen
Punkte A verbunden und das Ebenenbiischel durch OA als Achse
nach den fiinf anderen gegebenen Punkten gelegt. Dieses Ebenen
biischel muB zu dem Strahlenbiischel, das vom Bildpunkt A nach
den fiinf anderen Bildpunkten geht ; projektiv sein. Ist P der Schnitt
der Achse des Ebenenbiischels mit der GrundriBebene, und projiziert
man von A aus die fiinf iibrigen Punkte ebenfalls in die GrundriB
ebene, so ist das Strahlenbiischel von P nach den genannten fiinf
Projektionen ebenfalls projektiv zum Strahlenbiischel durch A der
Bildebene, und P kann somit nach dem Problem der fiinf Punkte
33) Losung von Kinkel, Wochenschr. d. OBterr. Ingen.- u. Arch.-Vereins 16
(1891), p. 292.
34) Phot., p. 28.
35) Mitt, iiber Gegenst. d. Artill.- u. Geniewesens 1898, p. 165. Das zu-
gehorige Ausgleichungsproblem giebt E. Dolezal, Zeitschr. Math. Phys. 47 (1902),
p. 29.
36) Losung von E. Waelsch in F. Steiner, Phot., p. 53.
5. Das Vorwartsemschneiden tmd die Rekonstruktion der Objekte. 109
gefunden werden. Die Gerade AP 1st ein geometrischer Ort fur
den Standpunkt. Weitere Orter durch die iibrigen Punkte lassen sich
auf gleiche Weise finden. Der Standpunkt darf nicht auf der
Raumkurve 3. Ordnung, welche durch die sechs Punkte geht, liegen,
sonst wird die Konstruktion illusorisch. Die Bestimmung des Stand-
punktes griindet sich nur auf Doppelverhaltnisse, die dem Bilde ent-
nommen werden; sie gilt also auch fiir abgeleitete Bilder. Bei Ver-
wendung letzterer ist aber das Einpassen der sechs Bildpunkte in das
von dem gefundenen Standpunkt ausgehende Strahlenbtindel nicht
immer moglich.
5. Das Vorwartseinschneiden und die Rekonstruktion der
Objekte bei bekannten Standpunkten. Wenn nach den Methoden
von Nr. 3 die Horizontalprojektionen der zu den Photographien
gehorigen Strahlenbundel konstruiert und durch die mit dem photo-
grammetrischen Theodolit gemessenen Winkel gehorig gegeneinander
orientiert sind, ergibt sich der Grundrifi der Objektpunkte ahnlich wie
bei der MeBtischaufnahme durch Schnitt entsprechender Strahlen. Die
Hohenunterschiede h der Objeldpunkte gegeniibar den Standpunkten
werden unter BeniitzuDg der aus dem GrundriB abgenommenen
Horizon talentfernung e und dem Hohenwinkel /3 nach der Form el
h = e tg /3 = (ey cos ) : d gerechnet und so die Hohe jedes Objekt-
punktes aus mindestens zwei Standpunkten bestimmt 37 ).
Allgemeingiiltige Formeln ; mittels welcher man bei bekannten
Standpunkten und bekannter innerer und auBerer Orientierung der
Aufnahmen aus den ebenen Koordinaten entsprechender Bildpunkte
die raumlichen Koordinaten des zugehorigen Objektpunktes ausrechnen
kann, sind mehrfach, insbesondere fiir Zwecke der Wolkenmessung,
aufgestellt worden 38 ).
Den Sinn und die Tragweite der aus der Hohenbestimmung von zwei
Standpunkten aus sich ergebenden ,,Hdhenkontrolle" 3Q ) hat 6r. Hauclc
durch Einfiihrung der gegnerischen Kcrnpunkte^) klar gemacht. Zwei
37) Zur Erleichterung der hierbei notigen Zeichnungen und Rechnungen
hat P. Par/anini verschiedene Apparate konstruiert, Fotogrammetria , p. 108;
vgl. auch A. v. Hubl, Mitt. d. militargeogr. Inst. Wien 18 (1898), p. ( J3.
38) K. Hcun, Zeitschr. Math. Phys. 44 (1899), p. 18; A. W. Sprung, Met.
Zeitschr. 20 (1903), p. 414.
39) ttber die Hohenkontrolle und ihre Verwendung zur Abschatzung der
Genauigkeit vgl. Koppe, Photogrammetrie, p. 6 .), sowie Finsterwalder, Ergiinzungs-
hefte zur Zeitschr. d. Deutsch. u. Oesterr. Alpen-Vereins 1 (1897), p. 38; Zeitschr.
f. Vermess. 25 (1896), p. 225.
40) J. f. Math. 95 (1883), p. 11.
110 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie.
beliebig aufeinander bezogene Punktfelder konnen namlich im all-
gemeinen nicht als Perspektiven eines raumlichen Objektes aufgefaBt
werden. Die hierfiir notwendige Bedingung erhalt man, wenn man
das Biischel der Ebenen betrachtet, welche durch die Verbindungs-
linie der beiden Standpunkte O i und 2 als Achse und beliebige
Objektpunkte geht. Die Achse : 2 schneide die Ebenen der Photo-
graphien in O/ und 2 , den Bildern je eines Standpunktes vom
anderen aus. Diese sind die gegnerischen Kernpunkte und Zentren
zweier projektiver Strahlenbiischel, nach welch en die Bildebenen das
Ebenenbiischel mit der Achse 1 2 schneiden. Entsprechende Strahlen
jener Biischel laufen nach den Bildpunkten ein und desselben Objekt-
punktes. Damit nun zwei Punktfelder (P } Q } R } . . .) (P", Q", R", . . .)
Perspektiven desselben Raumobjektes sind 7 miissen sich auf ihnen
zwei Punkte 2 und O x " so bestimmen lassen, da8 die Strahlen-
biindel 2 (P , Q , K, . . .) und 0" (P", Q" , E", . . .) projektiv sind. Dazu
ist die Kenntnis von 7 zusammengehorigen Punktepaaren notig. Die
Aufgabe hat drei Losungen 41 ). Ist die Bedingung erfullt, so
existieren oo 5 der Form nach verschiedene unter sich kollineare Ob-
jekte, von denen die vorgegebenen Photographien Bilder sind 42 ). Um
ein solches Objekt zu finden ; schneide man in der ersten Bildebene das
Kernstrahlenbiischel durch eine Transversale nach einer Punktreihe,
suche im projektiven Kernstrahlenbiischel der zweiten Bildebene jene
Transversale aus, welche nach einer kongruenten Punktreihe schneidet,
stecke die beiden Bildebenen langs der beiden kongruenten Punkt-
reihen unter beliebigem Winkel ineinander und wahle auf der Ver-
bindungslinie beider Kernpunkte beliebig die perspektivischen Zentren
O x und 2 . Die Verbindungslinien 0P und 2 P" liegen nun in
einer Ebene und schneiden sich in einem Objektpunkt.
Die Rekonstruktion des Objektes ist nach G. Hauck nur noch
auf oo 3 Weisen moglich, sobald eine dritte Photographic gegeben ist 43 ).
Nachdem die sechs gegnerischen Kernpunkte 1 "0 2 7 O 2 "0 3 ", O/" O s
auf den drei Photographien gefunden sind ; kann man die drei Bild
ebenen so legen, dass die drei Bilder p r p" p" e ines beliebigen Raum-
punktes P mit dem Schnittpunkt der drei Bildebenen zusammenfallen.
Die Linien ; in welchen sich dabei zwei Bildebenen schneiden (Grund-
schnitte), sind aufier durch die gewahlten Bildpunkte noch durch die
41) Von dieser von M. Chasles gestellten Aufgabe hat S. Sturm, Math.
Ann. 1 (1869), p. 543, eine geometrische, 0. Hesse, J. f. Math. 62 (1862), p. 188
eine analytische Losung gegeben.
42) Finsterwalder, Grundlagen, p. 11.
43) J. f. Math. 97 (1884), p. 263.
5. DaB Vorwartseinschneiden und die Rekonstruktion der Objekte. HI
Bedingung bestimmt, daB sie je ein Paar gegnerische Kernstrahlen-
biischel nach kongruenten Punkten schneiden miissen. Die (nicht
immer reellen) Losungen der so gestellten Aufgabe durch zwei vor-
gegebene Punkte zwei Gerade so zu legen, dass zwei vorgegebene
Strahlenbiischel in kongruenten Punktreihen geschnitten werden,
ermoglicheu schlieBlich die Konstruktion des Dreikantes der drei
O
Bildebenen aus seinen Seiten. Die sechs Kernpunkte liegen dann
in einer Ebene, die auch die drei Standpunkte enthalt. Die Strahlen
von ihnen aus nach drei entsprechenden Bildpunkten schneiden sich
in einem Raumpunkt. Vier wirkliche Photographien bestimmen das
Objekt bis auf den MaBstab. Finsteriv alder 44 ) fiihrte die Konstruktion
desselben auf die Ermittelung eines Kegelschnittes zuriick, der acht
Raumgerade, die zu zweien durch einen Punkt gehen, trifft.
Wesentlich vereinfacht wird die Rekonstruktion des Objektes, sobald
die innere Orientierung der beniitzten Photographien bekannt ist 45 ).
Es reichen dann bereits zwei Bilder aus, um das dargestellte Objekt
bis auf den MaBstab zu bestimmen.
Man verschafft sich zunachst die
gegnerischen Kernpunkte $/ und
2 , wofiir S. Finsterwalder* 6 )
passende Naherungsmethoden an-
gegeben hat. Verbindet man diese
Kernpunkte mit den zugehorigen
Zentren 2 und O v so massen die
Verbindungslinien bei richtiger
Lage der Bildebenen zur Deckung
kommen. Die gegenseitige Stellung der Ebenen und Achsen der
Photographien findet man durch folgende Uberlegung (Fig- 3). Man
ziehe in den Bildebenen die Kernstrahlen 2 P und : " P". Mit Hilfe
der inneren Orientierung berechnet man die Winkel t und 2 , welche
sie mit den Verbindungslinien O s 1} 1 "0 2 einschlieBen, sowie die
Neigungswinkel der Ebenen P 2 1 und P"0 1 "0 2 gegeniiber der
ersten bzw. zweiten Bildebene. In dem Dreikant, das die beideii
Bildebenen mit der Ebene O i 2 P einschlieBen , ist nun die Seite
3.
44) Finsterwalder, Grundlagen, p. 14.
45) Ibid. p. 15.
46) Munchen Abhandlgn. 22 (1903), p. 229 u.Munchen Ber. 33(1903), p. 683.
Ist der Kernpunkt des einen Bildes bekannt, so kann der des anderen durch
eine dem Ruckwartseinschneiden entsprechende spharische Konstruktion ge-
funden werden. Vgl. S. Gunther, Miinchen Ber. 24 (1904), p. 115 und Finster
walder, ibid. 25 (1905), p. 3.
112
VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie.
y = 180 ! a 2; sowie die anliegenden Winkel bekannt und es
konnen die Winkel ft und ft, welche die Kernstrahlen mit der Schnittlinie
der beiden Bildebenen einschlieBen, sowie der Winkel der letzteren
gerechnet werden. 1st nun noch eine Lange, z. B. jene der Standlinie
1 0. 2 gegeben, so ist die gegenseitige Lage der Standpunkte und der
Fig. 4.
Bildebenen bestimmt und das Objekt kann punktweise konstruiert
werden. Ein vollstandig durchgefuhrtes Beispiel hat Finsterwalder* 1 )
gegeben. Dort sind auch die Fragen der Ausgleichungsrechnung be-
handelt, welche sich ergeben, wenn ein photogrammetrisch der Form
nach ermitteltes Objekt durch passende Wahl des MaBstabes und der
47) Miinchen Abhandlgn. 22 (1903), p. 248.
Fluchtige Aufnahmen. Stereophotogratnmetrie. Mechanismen.
auBeren Orientierung mit einer iiberscbiissigen Zahl von Abmessungen
des wirklicben Objektes in moglichste Ubereinstimmung gebracht
werden soil 48 ).
Von G. Hauck stammt eine Mettiode, beliebige Risse, auch Zentral-
projektionen des Objektes, auS zivei photographischen Bildern zu zeicbnen,
welcbe auf die trilineare Verwandschaft dreier Projektionen desselben
Objektes gegriindet ist. Zwei Perspektiven eines Punktes bestimmen
(im allgemeinen linear) die dritte Perspektive desselben und diese
kann, sobald man die Beziebung der drei Paare gegneriscber Kern-
strablenbiischel kennt, unmittelbar als Scbnitt zweier Kernstrablen
gefunden werden. Ist die genannte Beziebung aus der raumlicben
Konfiguration von Bildebenen und Zentren in der sogenannten ,,Vor-
bereitungsfigur" ermittelt, so kann die weitere Konstruktion in der
r Ausfiibrungsngur" ausschlieBlich in der Ebene durcbgefuhrt werden 49 ).
Man vergleicbe das Beispiel auf S. 112 (Fig. 4), in welcbem der
AufriB aus zwei Pbotograpbien mit lotrecbter Bildebene bestimmt wird.
In manchen Fallen ist man scbon aus einer Aufnabme imstande,
das Objekt zu rekonstruieren; z. B. wenn das Objekt eben (UmriB-
linie eines stehenden Gewassers) und die Lage des Standpunktes
gegeniiber der Ebene desselben bekannt ist 50 ). Ferner, wenn das
Bild auBer dem Objekt aucb nocb. eine Perspektive desselben entbalt,
wie z. B. bei Arcbitekturen einen perspektiviscben Grund- oder AufriB
oder den Schatten auf eine Ebene. Wenn das Objekt eine Symmetrie-
ebene besitzt, oder samt seinem Spiegelbild aufgenommen wurde,
so gelingt ebenfalls die Rekonstruktion aus einer Aufnabme, da sicb
das Bild der Ortbogonalprojektion auf die Symrnetrieebene (Spiegel-
ebene) durch perspektiviscbe Halbierung der Verbindungslinien
symmetriscber Punkte immer ermitteln lafit 51 ).
6. Fliichtige Aufnahmen. Stereophotogrammetrie. Mecha
nismen. Als fliicbtige Aufnabmen bezeicbnet man jene, bei welcben
die pbotogrammetriscben Standpunkte nicbt, wie es im Interesse der
Genauigkeit zumeist gescbiebt, durch Messungen boheren Genauig-
keitsgrades von vornberein festgelegt werden. Die Rekonstruktion
eines Objektes aus vier wirklicben unorientierten Pbotographien
oder aus zwei Bildern mit innerer Orientierung fallen bereits
unter diesen Begriif. Fiir die Anwendung ist aber der Sonderfall
48) Ibid. p. 240.
49) G. Hauck, J. f. Math. 95 (1883), p. 23.
50) E. Deville, Photographic Surveying, p. 45.
51) S. Finsterw alder, Grundlagen, p. 18.
Encyklop. d. math. Wisseusch. VI 1.
114 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie.
von erheblicher Bedeuturg, bei welchem die optischen Achsen der
Aufnahmen im Raume orientiert [sind, sei es vollstandig gegen die
Lotlinie und die Himmelsrichtungen (also mittels Libelle und Bus-
sole) oder unvollstandig gegen die Lotlinie allein. Bei vollstandiger
Orientierung fiihrt eine einfache lineare Konstruktion auf Grund zweier
Bilder zur Rekonstruktion des Objektes eamt den Standpunkten; bei
ausschliefilicher Orientierung der Aufnabmen gegen die Lotlinie ist
zur Erreichung des Zieles die Losung einer Gleichung secbsten Graden
notig, welche den Orientierungsunterschied beider Aufnahmen liefert 52 ).
Die Losung dieser Gleichung kann durch eine einfache Naherungs-
konstruktion ersetzt werden. Wenn es sich um die ^Verarbeitung
einer gro Beren Zahl von Aufnahmen, die verschiedenen Standpunkten
zugehoren, handelt, so ist es von Vorteil, samtliche in betracht
kommenden Richtungen ,,gnomcnisch" abzubilden, indem man durch
ein festes Zentrum Parallele zu den betreffenden Richtungen zieht
und ihnen die Schnittpunkte mit einer Horizontalebene entsprechen
laBt. Richtungen, die in einer Ebene liegen oder einer solchen
parallel sind, entsprechen daim Punkte auf einer Geraden. Auf diesem
Wege ergeben sich dann graphisch die Bedingungen, denen die
Richtungen der verschiedenen Standlinien entsprechen miissen, damit
sie sich einem raumlichen Netz von Standpunkten zuordnen lassen 53 ).
Diese Konstruktionen beruhen im wesentlichen auf der Verwendung
der Hohenwinkel, bzw. Hohenkontrollen. Wenn die Hohenabmessungen
des Objektes zu klein sind, um eine wirksame Hohenkontrolle zu ge-
Btatten, wenn man also auf die Horizontalwinkel allein angewiesen
ist, hort die Moglichkeit der Rekonstruktion des Objektes aus zwei
Bildern ohne Kenntnis der Standpunkte auf. Sind die Richtungen
der Achsen der Bilder bekannt, so liefert die Lambert sche Aufgabe
der sechs Punkte 54 ) (drei Standpunkte und drei Objektpunkte) die
Mittel zur Rekonstruktion eines ebenen Objektes aus drei Bildern.
Sind auch diese unbekannt, so kann man mittels der Lambert schen
Aufgabe der acht Punkte 55 ) (vier Standpunkte und vier Objektpunkte)
auf Grund von vier Bildern zum Ziele gelangen. Ein ahnliches
52) S. Finsterwalder, Miinchen Ber. 24 (1904), p. 103. Vgl. auch K. Fuchs,
Zeitschr. f. Vermess. 34 (1905), p. 449.
63) S. Finsterwalder , Verhandlg. d. dritten Mathematikerkongresses in
Heidelberg, Leipzig 1905, p. 476.
54) J. H. Lambert, Beitrage zum Gebrauche der Mathematik und deren
Anwendung 1, Berlin 1765, p. 72, 77, 81.
55) Ibid. p. 185. Vgl. J. A. Grunert, Arch. Math. Phya. 1 (1841), p. 89
und W. Ldska, Monatshefte Math. Phys. 12 (1901), p. 172.
6. Fliichtige Aufnabmen. Stereophotogrammetrie. Mechanismen. 115
Problem der acht Punkte (drei Standpunkte und fiinf Objektpunkte)
hat bisher noch keine Losung gefunden.
Eine besondere Bedeutung gewinnen die gegnerischen Kern-
punkte und Strahlenbiischel, sowie die auf ihnen fufienden Kon-
struktionen dadurch, dafi sie die Mcglichkeit bieten, Kurven aus
ihren Bildern zu rekonstruieren, ohne dafi man imstande ist, auf diesen
Bildern zusammengehorige Punkte zu erkennen 56 ). Ziebt man durch
einen beliebigen Punkt des ersten Bildes der Kurve den Kernstrahl,
BO ist ihm der gegnerische Kernstrabl im zweiten Bilde zugeordnet.
Dieser muB den zugehorigen Punkt enthalten und letzterer ist somit
einer der Schnittpunkte des gegneriscnen Kernstrahles mit dem
zweiten Bild der Kurve. Auch in anderer Weise sind die Kern-
strahlen zum Aufsuchen entsprechender Punkte niitzlicli 57 ).
Eine wesentliche Vereinfachung des Aufsuchens und der Be-
nutzung der Kernpunkte tritt dann ein, wenn die Bildebenen unter
sich parallel oder sogar noch zur Standlinie parallel gestellt werden 58 ).
In letzterem Falle kommen die Kernpunkte ins Unendlicbe zu liegen
und die gegneriscben Kernstrablenbiiscbel werden Parallelstrablen-
biiscbel. Die beiden Aufnabmen bilden dann ein Paar Stereoskop-
bilder mit einer Augendistanz gleich der Standlinie. Hierauf berubt
das stereoskopiscbe AusmeBverfabren von C. Pulfrich 53 ] oder die
Stereopliotogrammetrie. Setzen wir zur Vereinfacbung den Fall lot-
recbter Bildebenen voraus und verschieben wir die beiden Bilder in
ihrer gemeinsamen Ebene parallel derart, daB sicb die Hauptpunkte
decken, so liegen entsprecbende Punkte beider Bilder in den End-
punkten paralleler Strecken (Parallaxen) von einer Lange p, die
der Entfernung e des Objektpunktes von der Standlinie umgekebrt
proportional ist (e = (bD):p, wo & die Lange der Standlinie, D die
gemeinsame Bildweite beider Aufnabmen ist). Bezeicbnet p x die
Horizontalparallaxe, d. b. die Projektion der Strecke p auf den
Horizont, so driicken sicb die drei Koordinaten (X horizontal in
Ricbtung der Basis, T horizontal senkrecbt dazu, Z lotrecbt) auf den
linken Standpunkt bezogen folgendermafien aus: Y=(bD^):p r ,
56) G. Hauck, J. f. Math. 95 (1883), p. 11.
67) A. v. Hull, Abhandlgn. d. geogr. Ges. in Wien 3 (1901), p. 20.
68) Ibid. p. 21 Anmerk. C. Koppe (Wolkenmessung, p. 10) hat schon das
Parallelstellen der Achsen empfohlen und Formeln fiir die Punktbestimnrang ab-
geleitet.
59) Zeitschr. f. Inetr. 22 (1902), p. 229; 23 (1903), p. 43, 317; 24 (1904),
p. 53, sowie gesammelt in: Neue stereoskopiscbe Methodenund Apparate, l.Lief.,
Berlin 1903.
8*
116 VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogratnmetrie.
X = (xD} : p x} Z=(yIJ}:p xJ wobei x und y die Koordinaten des
Bildpunktes auf dem linken Bild sind. Zusammengehorige Bildpunkte
werdeu mittels des Zeifischen Stereokomparators nach dera Prinzip
~der wandernden Marke sehr leicht und genau gefunden. Die Schwierig-
keit der Stereophotogrammetrie besteht in der genauen Herstellung
des Parallel] smus der optischen Achsen beider Aufnahmen 60 ). Die
Yersuche von E. Deville, an Stelle der Ausmessung stereoskopischer
Bilder die direkte raumliche Konstruktion des Objektes auf optisch-.
mechanischern Wege zu setzen, haben in der Geodasie kerne Ver-
wendung gefunden, dagegen scheint das Prinzip bei der Deutung
chirurgischer Rontgenaufnahmen brauchbar zu sein 61 ).
SchlieBlich sind noch die Versuche zu erwahnen, welche be-
zwecken, die photogrammetrischen Konstruktionen durch mechanische
oder optische Apparate zu ersetzen. Einen theoretisch sehr voll-
kommenen Apparat zur mechanischen Herstellung einer dritten Per-
spektive aus zwei vorliegenden hat Gr. Hauck 62 ) angegeben. In die
photogrammetrische Praxis ist er indessen ebensowenig iibergegangen
wie audere Perspektographen 63 ) einfacherer Art, welche nur eine
ebene Figur perspektivisch umzeichnen. Letztere Aufgabe wird zur
Zeit sicherer mittels perspektiviseher Netze ausgef iihrt 64 ). Aussichts-
reicher sind die neueren Versuche, optische Hilfsmittel zur Be-
waltigung heranzuziehen. So hat Th. Scheimpflug 6 ^ ein Verfahren
zur perspektivischen Umzeichnung einer ebeneu Figur auf die Tat-
sache gegriindet, da8 eine vollkommene Weitwinkellinse eine beliebig
gegen die optische Achse geneigte Objektebene Punkt fur Punkt
scharf und perspektivisch richtig in eine gewisse andere Ebene ab-
bildet ; welche man durch einen einfachen Mechanismus mit der Objekt
ebene zwanglaufig in Verbindung setzen kann.
60) A. v. H iibl, Mitt. d. militargeogr. Inst. Wien 23 (1904), p. 182; 24
(1905), p. 143. In diesen Arbeiten wird insbesondere auch den notwendigen
Korrekturen bei unvollkommener Parallelstellung der Achsen Rechnung ge-
tragen.
61) E. Deville, Trans, of the R. S. of Canada (2) 8 (190203), p. 63.
62) Mein persp. Apparat, Festschr. der techn. Hochschule, Berlin 1884;
verbessert von E. Bruuer, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 25 (1891), p. 782.
<>3) E. Deville, Photographic Surveying, p. 77.
64) Ibid. p. 88 und Fin^tenvalder, Grundlagen, p. 6.
65) Method of distorting plane images by means of lenses or mirrors,
Anierikanische Patentschrift Nr. 751 347 und Apparatus for the systematic
alteration of plane pictures Nr. 752596 (1304).
(Abgeschlossen im Oktober 1905.)
VI t,3. P. Piszctti. H8hew Geodasie. 117
VI 1,3. HOHERE GEODASIE.
VOK
P. PIZZETTI
Inhaltsiibersicht.
I. Aligemeine ftrnudlagen.
1. Aufgabe der ho heren Geodusie.
2. Lotrichtung, Schwerkraft.
3. Beobachtungstatsachen and S&fce der Potential theorie.
4. Weitere Folgerungen aus der Potential fcheorie. Theorem von (?. G. Stokes.
6. Beobachtuugen zur Beatimmuug des Geoida. Roduktion der Bchwerkrafts-
messungen
0. Qeodatiache Bestimmung des Geoids. tlefereozel ipsoid.
7. Lotabweicbungen.
8. Reduktion der beobachteten Lotrichtungen.
9. Besseh
II. Rechnungs- nnd
A. Qcndatischc Reobnnagen auf dem Rotationsellipsoid.
10. Fundamentaltbrmeln.
11. Normalschnitte.
12. Geodatiache Linion.
IB. Obertraguag der geographischen Koordiuaten and doa Azimnta.
14. Fortsetzuug. Fall kloinor Bugen.
15. Bestinuaang der Liinge und des Azimuts eines geodatischen Bogens aus
den goographbchea Koordioaten der Kadpunkte.
16. Geodatiache Polarkoordiuaten.
17. Yergleichuug der geodatischen Liuie tuit einem Normalschuitt.
18. Das geodatische Draieck.
19. Aut loaung des geodatischen Dreiacks duroh Reduktion avif das ebene Drei-
eck. Spbaroidischor ExzeB.
20. Sebnen und NormaUchnitte. .
21. Reduktiou ellipsoidiscber Figureu auf sphar incite durch konforme Abbildung.
22. Rachtwinklige geodatiscbe oder Soldnersche Koordiuaten.
23. Obertragung der geograpbischeu Koordinatea vennittels rechtwinkliger geo-
datiicher.
24. Projaktionen auf die Ebene.
p. d. math. Wiu8cb. VI 1. 9
VI i,3. P. Pieeetti. H6here Geod isie.
B. Landesvermessaiig.
26. BasisTnessungen.
26. Hasisapparat.
27. Winkel; ihre Reduktion auf das Ellipsoid.
28. Triangulatioo.
29. Basisnetze oder VergroBerungsnetze.
30. Brechnung einer Triangulation and der geographiscben Koordinaten der
Dreieckspunkte.
81. Auegleichung. ".
32. Ausgleichung nach vennittelnden Beobachtungen.
33. Genauigkeit der Basis- und Winkelmegsungen.
C. Hdheumessung.
34. TrigonometTisches Nivelloment.
85. Der Refraktionskoeffizient alg Funktion der atmoepharischen Verhaltuisse.
$6. Euipirische Ontersuchungen fiber den Refraktiojiskoeffizienten.
37. Geotnetriscb.es Nivellement.
$8. Eintiufl der Schwerestorungf?n auf Ni veil entente.
39. Daa Mittelwusser der Meere und der Nullpuukt fur die Uohen,
40. Geaauigkeit euies Nivellements. A usgleichung.
D. Erdmessung.
41. Ablmtung dor Konetanten dee Erdellipsoids BUH zwei oder raehr Meridian-
bogen.
42. Bestiramung von a und e durcb Parallelkreisbogen.
43. Sttfcke des Ellipsoids. Lotabweicbungeu.
44. Forteetzung. fiestimmung der Lotabweicbungen.
45. Fortaetzung. Angenaherte Bestimmung von Geoidstfickeii.
46. Die Schweresloruugen und die Abweichungen zwiecben Gooid und Ellipaoid.
III. Samniarifiche Entwicklung^geschichto der geodatischen Kenntnisse.
47. Anfange der geodatischen Messungen, bei denen die Erde als Kugel be-
trachtet wird.
48. Physikalieche Uutersuchungen iiber die Gestalt der Erde.
40. Die wichtigsten geodatischen Meseungen bis 1860.
60. Die hauptsachlichBten Berftcbnungen der Krdkoustanten.
51. Beatimmung der Abplattung aus Fendelmeesungen.
52. Benutzuug einiger astronomiscber Daten zur Berechnung der Konstanten
des Erdellipsoids.
53. Modern? geodatische Arbeiten. Lotabweicbungen.
Literatur.
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arbeiten, Berlin 1880 (auch im Generalbericht der Europaischen Gradinessung
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J. J. Saeyer, Ober die Gr68e und Figur der Erde, Berlin 1861.
J. S. Bailly, Histoire do I astronomie ancienne depuia son origine jusqu a 1 eta-
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Geodaaie in Kiir/e bezeichnen /.u konnen, defmieren wir a Is eine
Niveaufltiche der firde 1 ) eine solche Flache, deren Normale in jedera
1) Einen grofien Teil der Literaturnachweise uber die fundamentalen Fragen
der Geodiisie tindet man in Teil III (Summarioche Entwicklungsgeschichte der
geodatischen Kenutnisse).
2) C. Maclaurin (A treatise on fluxions, Edinburgh 1742) benutzte zuexst
(nach Todhunter, History, chapt. IX) die Bezeichnung Niveauflache bei Unter-
uuchungen uber die Gleichgewichtsfiguren rotiereuder Flussigkeitsmassen.
126 VI i,3. P. Piizftti, Hohere Geodfieie.
Punkte rait der Vertikalen oder Lotriehtung dieses Punktes zusammen-
fallt. Die Hauptaufgabe der hoheren Geodaaie isi dann das Studium
dieser Niveauflachen und die Losung der damn zusammenhangnden
Probleme. Die praktische Geodasie zieht aus diesen Studien insofern
Nutzen, als die Niveauflachen die beaten Bezugsflachen fiir die Ver-
messungsoperationen abgeben, soweit man dabei wie in der niederen
Geodasie nicht iiberhaupt von der Kr unarming der Erdoberflache ab-
sehen kann.
2. Lotrichtnng, Schwerkraft. UberlaBt man einen materielleo
Punkt an der Stelie M, der in bezug auf ein mit. dem starren Teil
der Erde fest verbundenea Koordinatensyatem keioe relative Aufangs-
geschwindigkeit hat, der Wirkuug der Schwere, so bewegt er sich
in einer Richtung MY und erhalt nach der unendlich kleiaen Zeit dt
die Geschwindigkeit gdt. Die Richtung MV nennt man die Vertikale
oder die Lotrichtung und g die Schwerkraftsbeschleunigung oder kurz
Schwerkraft 8 ) im Puukte Af. Nach den Satzen uber die relative Be-
wegung gilt fiir den Vektor g*)
(1) 9 = A. -A.,
wo A a den Beschleunigungsvektor der absoiuten Bewegung des Punktes
M und A t den des beweglichen Gaumes (uioto di strascinamento) in
demselben Punkte bedeutet, d. h. den BeBchleuniguogsvektor fiir deii
Punkt M , wenn er mit dem angenommeneu Koordinatensystem fest
rerbunden gedacht wird. Die Be^chleunigung A u hat ihre Lfrsache
in der Anziehimgskraft der Masse der Erde und der Gestirne auf M,
A t in der taglichen Umdrehung der Erde um ihre Achse und in ihrer
TraiihLition im liaume.
Wir nehmen jetzt ais Koordinatenanfangspunkt den Schwerpunkt
der Erde an und als i-Achse pines rechtwinkligen Koordinatensygtems
die Achse der taglichen Umdrehung, deren Winkelgeschwindigkeit wir
o> nennen. Bezeiclmen wir dann mit V das Potential der Erdmasse
in bezug auf M(jr, y, z}, mit X,, K,. Z i die Koordinaten eines puukt-
formig gedachteu Gestirns von der Masse (,., mit R if p 4 die Entfer-
nungen des Gestirns voin Koordinatenanfaugtipunkt und von M und
8) Die einfache Anziehuugakraft der Erde auf einen Massenpuukt 1 he
zeichnen P. L. At. dr Maupertuis uud A. C. Clairaut init gravitc. C. Muclaurm tait
gravity und R. G. Boscovich mit graviteH primitiva Die zusammengesetzte Wir-
kung der Au/.iehungskraft der Krde uad der durch die tagliche Bewegung ver~
arsacbten Zenirifugalkraft bezeicimon die geuannteu Antoren der Reihe nach
mit peeanteur, gravitation uud gravitac residua (vgl. Todhunter, History, 25).
4) Da in dem betrachteten Augenblicke die relative Geschwindigkeit Null
ist, ist auch die sog. ,,/,usamuieugeBet-/te Zentrifugalbeschleuuigung 1 gleich Null.
2. T,otrichtung, Schwerkraft 127
mit f die Gravitationskonstante, so ergeben aich ala Komponenten des
Vektora g aach (1):
f
9irjj -
wo
ist and ahnlicrte Auadriicke fiir rj und gelten; die Summation ist fiber
die verschiedenen Sterne zu erstrecke/i.
Bei einer ersten Definition der Vertikalen, und soweit man die
Figur der Erde ala unverandarlich betrachtet, kb nnen die Glieder
, y, % vernachlassigt werden. Denn es it die Lange des Vektors,
dessen ersfce Komponente
fr
ist, immer kleiner als
wo d die groBto Entfernniig des Punktes M vom Koordinatenanfangs-
punkt bedeutet. Die letzte Grofie kann man abr angenahert durch
57- oder auch durch &g = 2.9 ~ -~^ ersetzen, wo m die Masse
der Brde bezeichnet. Far die Sonne ist -^-= 324400, -^ > 23000, da-
ffi a
her A/7< t877 1 000 ^; tiir den Mond gilt -^ < 0,0126, ~> 56,9,
j
&ff <1 ^oi/ww^ff- ) Fiir die Planeten ergibt sich Av noch viel kleiner.
lolvvvU
In Anbetracht der Beobachtungsnngenauigkeit bei der Bestiinmung
von g sind aber solche Werte von A^ fur die Geodasie gan?; oline
Bedeutung.
Wir reduzieren deshalb die Komponenten der Schwerebeschleuni-
gung auf die Ausdrueke:
wo
(8)
5) Solchen Anderungen der GrOBe von y eutsprechen Anderungen der Lot-
richtung, die nicht grofier sind als - 7 - 0",028.
e
128 VI i, 8. P. ffetvfti. Hflhere GeodiUie
irt. Anf Grund der Satze uber die Krafte, die ein Potential (vgJ.
IIATb (//. Burkhardt und W.F.Meyer}) besitzen. fiudet man daiin,
da6:
W = konst.
die Grleiehung einer Niveauflache ist und dafi die Schwerkraft itn
Ptmkte M durch
gegeben ist, wo dn ein Element der auf der Niveauflacbe in M nuch
aufien bin errichteten Normalen ist.
Wenn man von den Meeresbewegnngen, die aus astronomischeu
oder meteoTologischen Ursaoben euistehen, absieht, so wird die Wasser-
oberflache des Meerea zu einer Niveauflacbe gehoren, uiid wenn mail
noch uniiinimt, dnB die Oberflacben der verschiedenen Meere in einer
eiuzigen Niveauflacbe liegeu, so wird man rliese als Bexugsflache
walilen und ihre Bestirnmung als ds Endziel der geodatischen Ope-
rationen anseben kounen 6 ). Nach einer von /. B. Listing" 1 ) eingeffihrten
Bexeichnung bat man ihr den Naraen Oeoid gegeben. Da es abr
erstens zweifelbaft ist, ob das Mittelwasser der Meere, wie es von
den Pegeln autgezeicbnet wird, geniigend genau mit demjenigen ttber-
einstimmt, das sich bei Abweseuheit der storenden Ursacben einstellen
wiirde, und zweitens, ob die Mittelwasser verschiedener PegeJ derselben
Niveauflacbe angehoren, so ist es prazisur, durcb tlbereinkunft die-
jemge Niveantiacbe, die durcb den Stand des Mittelwasserg an einem be
st j mm ten Pegel gegeben ist, als Ueoid anzusprecben fa ).
6) DaB das Stadium der Figur der Krde an eioe Viveaufl^che aukndpfen
mufi, ifit explizite zuerst von ( F. Gaufl ancgesprucher in .,Bestimmung dea
BreitennnterachiedeB zwiftchen den Sternwarten von Gottiugen und Altooa u*w ",
Werke 9, p. 49. Stillechweigeud iet man allerdings iminer von dieeem Gedanken
anegegangen , Bobald man begonnen hatte, uich systematise!! rait dem Problem
der Figur der rde zu beBchaftigen. So etellt J. Netvion in t. Ill, prop. XVIII
der Principia, wo er das Verhaltnie der polaren Halbachae eines Planeten zur
aquatorealeu beslimiueu will, die Bedinguug auf, dafi die M>prf aicii im Gleich-
gewicht befinden sullen. Man vergleiehe forner A. C. Clairaut, Theorie de ia
figure de la terre, Paris 1748, Einleitung. F W. K*n* l (Gradmessung in Ost-
preu&eu, Abhandlungen 3, p. 128) detiniert ala mathemafache Figur tier Erde
diejenigc Flache, in der die Oberflachen eines Netzeti von Kaualen Jiegen wurdn,
die mit dem Meere kommuuizieren usw
7) Cber uueere jetzige Kenutnis der Geetait und <r6Be der Erde, Gottingen
1873, p. 41. Man benutzt auch nach F. W. tlenscl die BQ/eichuung ,,mathema-
ticbe Figui- der Erde" (F. K. Hclmtrt, H. Brunt u. a ).
8) Die geuaucten Zweifel aijid apeziell ausgepprocueu vou H. Hrurus, Die
Figur der Erde. Berlin 1878, 1. Die Frage der praziswn Definitiou des Geoida
3. Beobschtungstafcsachen und Satze dcr Potentialtheorie 129
3. Beobacbtnngstatsachen und Satze der Potential theorie. Wir
konnen als gegebene Tatsachen annehmen:
1) daB die physische Erdoberflaohe \venig von einer Kugel ver-
Bohteden ist, deren Miitelpunki anf der Rotationsachse der Erde liegt
oder daB. nachdem man einen Punkt C auf der Rotationsachse und
einen Radius R geeignet gewahlt hat, die Ditferenz zwischen H und
dem Radiusvektor r von C nach einem Punkte P der Erdoberflache
eine kleine Grro Be ira Vergleich zu R ist, genauer, daB
ist;
2) daB das Verhaltnis
E_-_r
K
I
Too
7W
wo M die Masse der Rrde bezeichnet, ungefahi gleich o-j i
Folgerunyen. Wenn man von den vorstehenden Daten ausgeht.
8.) kann man beweisen ; daB
1) die Richtung der Schwerkraft in einera Punkte P der Erd
oberflache oder auBerhalb derselben mit dem Ltadiusvektor CP einen
stwnpfen Winkel bildet, wenigstens so lange dieser Radiusvektor rund-
gerechnet weniger als sechsmal so groB ist als der mittlere Radius R.
AuBerhalb der Erdoberflii ehe und iunerhalb dieser Grenze.kann man
deshalb sicher sein, daB die Funktion W nach oben bin abnimmt
2) Innerhalb der genannten Greuze siud die Niveauflacheu ge-
schlossen und schneiden je den von C ausgehenden Radius nur
einmal ").
Satze dcr Poteatialtheorie. Aus den Eigenschaften der Potential-
fimktiojien und aus einfachen Rechnuugen rait Bnnutzung von (I?),
(3), (4j findet man:
a) Die Niveauflachen W = konst. aiud stetige Flachen ohae
Kan ten und Ecken.
hangt mit der Wahl des Nullpunktes t iir die H6hen zugammen, worn her man
Nr. S7 verg]<nche.
9) Wenn man von tlen geographischen Beweisen absieht, go wird die an-
nabernde Kugeigestalt der Erde noch durch verschiedene astronomische Tatsachen,
apeziell durch die Mondparallaxen, bewiesen.
10) Htlwrt, H. G. 2. p. 82; ./. Tisaerand , Traite de me canique celesta 2,
p. 91. Den Wert dieses Verhaltnisses kann man aus der Theorie dor Mond-
bewegung ableiten.
1 1) DaB die Niveauflachen der Erde geuchloBsen sind, wird gewtthnlich ohne
fieweis angenommen. Der Beweis ergibt aich leu-Li aus den angefiihrten
sachen, vgl. P I izzetti, A.CC. Line. Rendic. (5) 10 (1901), p. 9 u. 36.
130 VI i, 3. P Piztetti. HiJhere Geodasie.
b) Die Richtung der Schwerkraft andert sich stetig von einem
Raumpunkt zum andern. (Diese beiden Tatsachen gelten sowohl inner-
halb wie auBerhalb der Erdoberflache.)
c) DieKrummung der Niveauflachen (d. h. die Hauptkrummungs-
radien und die Richtung der Kriimmungslinien) andert sich im Innern
der Erde nur dann stetig, wenn die Dichte sich stetig andert. Er-
leidet diese an einer Stella eiiie sprungweise Anderung, so treten auch
Kriimmungsdiskontmuitaten in den Niveauflachen auf 18 ).
d) Wenn x eine Tangente in einem Punkte P einer Niveauflache
ist und wenn man auf der Vertikalen von P einen unendlich benach-
barten Punkt P t im Abstande dz annimrot, so bildet die Vertikale
P l V l von P! mit der Geraden x einen Winkel, dessen Kosinus bis
auf Glieder zweiter Ordnung den Wert hat 13 ):
(5) cos^^^-y-^,
wo die Werte von g und der Ableitung von ^.sicb auf dan Punkt P
beziehen.
e) Wenn das Potential der anziehenden Masse aus irgend einem
Grande eine unendlich kleine Anderung 6V erfahrt, so erleidet die
Niveauflache (die einem bestimmteu Werte der Funktion W entspricht)
die Verschiebung dh ) <{h positiv nach oben gerechnet).
4. Weitere Folgerungen aus der Fotentialtheorie. Theorem
von G. G. Stokes. Wenn man tine Niveauflache S auBerhalb der Erd-
masse als bekannt voraussetzt und wenn die Gesamtmasse M der Erde
gegeben ist, so ist die Funktion W und deshalb auch der Wert der
Schwerkraft fur alle Punkte auf S und aufierhalb von S bestimmt 15 ).
Denn macht man zwei verschiedene Annahmen V, V fiber den Aus-
12) Dieue diskontinuierlichen Anderungen sind berechnet von H. Bruns. Figur
der Erde, 2. Vgl. auch Helmert, H. G. 2, p. 36.
18) Diese Formel ist leioht abzuleiten nach Britns, Figur der Erde, 2.
Vgl. auch P. Pieeetti, Astr. Nachr. 138 (1895), p. 353.
14) Dies Theorem ist von H. Bruns hewiesen (Figur der Erde, p. 20). 0. Za-
notti- Bianco (Torino Atti 31 (1896), p. 1022) hat bemerkt, daB die genannte Re
lation bereits von /. H. Pratt (A treatise on attractions etc., 4. edit Cambridge
1871) angegeben ist; aber die Ausfuhrungen von Pratt sind kaum ein Beweis
zu nennen.
15) G. G. Stokes, On attractions and on Clairauta theorem, Cumbr. and Dubl.
math. J. 4 (1849), p. 194. In der Fassung des Theorems bei Stokes fehlt die Be-
dingung, dafi die gesamte Masse bekaunt sein mufi, uad infolgedessea ist der
Beweis uuvollstaudig. Der Satz und Beweis wurden vervollstandigt von //. Poin-
care (vgl. Tisstrand, M^c. c61. "2, p. 324).
4. Weitere Folgerungeii us der Potentialtheorie. J31
druck des Potentials tier Auziehungskraft der Erde, so rauB die Funk-
tion V V sich auf S auf cine (unbekannte) Konstante C reduzieren
nnd iiberdies auBerhalb von 5 der Gleichung A = geniigen. Andrer-
seits ist V V" die Potentialfunktion der Gesamtmnsse Null. Die
Konstante C muB deshalb Null sein *) and dahr auch V V sowohl
auf S wie anBerhalb von S verschwiuden.
Setzt man speziell voraus, dali 5 ein abgeplattetes Rotations-
ellipsoid sei, desseu Id pine Achse wit der Rotationsachse der Erde
zusammenfallt, so erhalt roan fur einen beiiebigen Punkt P:
(M + , P *) J= _ H. ( E - are tg E>
Darin bedeuten ar, y f z die Cartesischen Koordinaien von P, der Mittel-
p.mkt des Ellipsoids ist Anfangspunkt des Koordinateusystems and
die r-Achse fallt mit der Eotationsachse zusammen; a, a, & aind die
lialbachsen des Ellipsoids. AuBerdem ist geaetzt:
/a* 6*
unter A die groBere Wnrzel der Gleichung:
verstanden. Die GroBe p ist ferner definiert durch die Formel:
* 3 + 3
- _ r^ !__ arc tg f =-, wo e =
*> - f +i * O c* /
In dem praktisch wicbtigen Falle, daB t sehr klein ist, ist es zweck-
rnaliig. die Ausdn icke fur \ , E und A in Reihen zu entwickeln, wo-
bei a lie hoberen Potenzen von als die dritte und das Produkt von
i* mit <.r vernacliiiissigt verden konnen.
Die Formeln (3) and (6) geben dann:
wenn man mit r den Radiuavektor und mit das Komplement der
geozentrischen Breite.von P bezeicbnet. Mit demselben Grade der
Annaherung ergibt sich fur die Scbwerkraft im Punkte P: 15 ) IT )
16) Bewoic durch Anwendang der Formeln (16), (17) in II A 7b (H. Burk-
hardt und W. F. Meyer) auf die Funktion VV.
17) Helmert, H. G. 2, p. 75. Der vollatandige Ausdrock von V ffir ein Bl-
lipaoid let 1 890 von M JJamy mit Hulfe Latnecbet Funktionen gegeben [J. de
132 VI i,3. P. Pizzetti. HShere Geodaeic.
(8) - + * ( ! - 2) (
wo .</ die Schwerkraft auf deni Aquator bezeichnet Durch Anwen-
dung der letzten Formel ergibt sich, indem man nacheinander
und 90 setzt:
ffa 2 9*
oder auch mit derselbea Annaherung:
9* 2 9 a
Hier bezeichnet, g h die Schwerkraft am Pol nnd a die Abplattung
?- des Kllipsoids. Die Gleichnng (9) hei6t das Clairautsche Theorem.
Der Brueh * (VerhsiUnis der Zentrifngalkraft zur Schwerkraft, am
Aqnator) ist merklich identisch mit dem Ausdruck -j^r aus Nr. 3
und hat deshalb den numerisclien Wert ^aaiiJ w * r we rden ihn mit y
bezeichnen.
Mit demselben Grade der Annaheruug konna wir Formel (8)
die Gestalt geben:
9 - 9.V + ft sin 9 ) - </ 15 l - cos
in der man gewohnlich die Sehwerkraft im Mecresnivenu auadrfickt;
<f bedeutet die geographische Breite und ff^ die Schwerkraft unter
der Breite 45.
Die Perm el (8 ) ist von J. Newton 1 *) ffir den Fall eines homo-
genen Flaneten gegeben und von A.C.Clairaut unter der allgemeineren
Voraussctzung bewiesen, daB die Dichte im ICrdinnern sich in gewissw
regelma&iger Weise andere; writer dereelben Voraussetzung hat Clairaut
auch zura ersten Male die Formel (9) bewieaen 19 ). G. B. Airy 90 ) be-
hauptete dann und G. G. Stokes**) bewies, tlafi die Relation (9) ledig-
math. (4) (1890), p. C J]. Ohne Ztenntzang jener Funktionea hat P. Pizzetti den
explizitea Anadrock fur V (Formel (6)) entwickelt [Ace. Line. Rend. (6) & (1894),
p. 166]. Efl ist leicht za Mhen, <]& der ngenherte Wert (7) von W mit dem
darch Formel (1) bei Helmert, H. G. , p. 75 gegebenen ubereinstimmt, wenn man
die Konnuln (10), (11), (12) (p. 75) beriickaichtigt. Mit derselben Annaherung
stimmt onsen <jleichung (8) mit (3) bei Helmert iibereiu.
IS) Phil. nat. principia 3, prop. XX.
19) ThtSorie de la figure de la terre tire de principe* de Iliydro0tatiqii,
ParU 1743, 3. partie, 49.
SO) London Phil. Tram. 116 (1826), p. 662678.
21) Vgl. Fufinote 15.
4. Weitere Folgerungen aus der Potentialthcorie. 133
lich daraus folgt, daB die Niveauflache im Meeresniveau ein abgeplattetes
Rotationsellipsoid sei. Die Benutzung der Schwerkraftsmessungen zur
Bestimmuug der Abplattuug ist deshalb votlig unabhangig von der
Annahme iiber die Verteilung der Dichte im Erdinnern.
Setzt man voraus, dafl die Niveauflache S ein wenig von einem
Ellipsoid verschieden sei und daB in jedem Punkte die Differenz A<?
zwischen dem wirklichen Wert der Schwerkraft unit dem durch For
mel (8 ) gegebenen bekannt sei, so kann man nach Stokes in jedem
Punkte den Abstand An der Fliiche S von dem Ellipsoid E, auf das
(8 ) sich bezieht, ermitteln. MiBt man den genannten Abstanri An
langs des Radiusvektor vom Zentrum C des Ellipsoids nach irgend-
einem Punkte P von S (oder mit derselben Annaherung laugs des
Lotes in P), so ergibt sich: 82 )
/* i
4- 1 ~ 6 sin J 5 cos ^ 3 cos ^ Igfsin -^ -f 8iii s |r)
wobei die Integration iiber S oder mit derselben Annaheruiig auch
fiber eine Kugel zu erstrecken ist: dQ bedeutet das Flachenelement
auf einer Kugel um C mit dem Radius !, Ay ist die Schwerestorung
im Punkte M, auf den sich das Element d*>l bezieht und (/> der
Winkel, unter dem die Entfernung PAf von C aus erscheint; G- be-
zeichnet eiuen Mittelwert von g,
Die Stokessehe Formel wird einen praktischen Wert haben, wrenn
von zahlreichen gleichmaBig iiber die Erde verteilten Orten Schvrer-
kraftsmessungei) vorliegen. H. Hergesell**) glaubt sogar, daB man
auch aus einer beschrankten Zahl von Sehwerkraftsmessungen um einen
Ort her u in, wenn auch nicht auf den Betrag, so doch auf das Vor-
zeichen der Abweichung des (reoids vom Ellipsoid an jenem Orte
schlieBen kann.
Sowohl bei dem Beweise des ClairautBuhen Satzes wie bei dem
der Formel (10) macht Stokes von der Entwicklung des Potentials
nach Kugelfunktionen 3 *) Gebrauch, indem er mit deu Kug-elfunktionen
22) Cambridge Phil. Trans. 8 (184 J), p. 672; tfelmert, H. G. 2, p. 253.
23) ber die Formel von G. G. Stokes zur Berechnung regionaler Abweichun-
gen del Geoids vom Normalspharoid, Digs. Strafibnrg 1891 (vgl. dazu die Bemer-
kungen von A Riirsch in Fortschr. d. Math. 22 (1893), p. 1194).
24) Die Entwicklung der Potentialfunktion schreitet nach ganzen positiven
r
Potenzen des Yerhaltnisses des Radiusvektors nach dem Massenelement und
r
nacb detn ,,Aufpunkt" fort. Da dies Yerhaltnis nicht iinnier kleiner als 1 ist, so
Knoyklop. a. math. WiMnseh. VI t. . 10
134 VI i,3 P. Pizzctti. Hfthere Geodasie.
xweifcer Ordiiung abbricht. Hdmert**) beriioksichtigt aucb noch Kugel-
iunktionen vierter Ordnung uwi erhah> indem er die Darstellung der
Schwerkrai t dureh die Foriuel:
alt* gegeben ansieht, als Gleichuug des Meridians der Niveauftacbe die
folgende Beziehung zwischen dem Eadiusvektor r und der Breite q>:
(1 1) r a { 1 a( I -f- ft ) sin s qp tf sin 2 <p -j- (/S -}- d) sm*qD } ,
wo
ist.
5. Beobachtungen zur BeHtimnuing des Geoids. Beduktion
der Sohwerkraftsmessungen.
a) Asfronomiseh-yeodatische Beobachtunytn. Die Lotrichtung V
eines Punktes P wird cbarakterisiert durch die beideu Elemente:
a.ttronomiscke Hreite und Liinye, von dentn die erste das Komp]e\pent
des Winkels ist, den die Ricbtung V (nach oben bin) mit der Nord-
richtung der Erduchse iiiacbt und die zweite derjeuige Winkel, den
die dnrch die Vertikale parallel zur Erdachae gelegte Ebene (astro-
iiomische Meridianebene in P) mit einer i esten Ebene durch die Erd-
achse (Nulluieridian) macht. Wir werden die Lilnge pofeitiv von
bis 360 nacb Oaten recbneu; den Ort der Pimkte mit der Breite
Null werden wir Erdaquutor neuuen und alien Punkten nordlich vom
Aquator positive und siidlich voiu Aquator negative Breite beilegen.
Durch Vergleiehung der Zenitricbtung mit den Kichtungen naeh deu
GeBtimen an der Himmelskugel liefert die spharische Astrouomie (vgJ.
VI -2, 2, F. (John] die Mittel, uua fdr jeden Erdort Lange nud Breite
%u ermittelu. Es gibt uoch ein drittes astrouoinisch-geodatisches Ele
ment, ,,das iistronomisehe Atimut", das folgendermafien definiert ist.
Ist A irgend ein von P aus sic lit barer Puukt, so heiftt asti onomisches
A /i unit des Punktes A in bezug auf P der Winkel, den die durch A
Konvwgenzbedenken gegen eiue solche Entwickluug (vgl. Helmert, H. G.
2, p. 135 und Tiss rand, Moc. eel. 2, p. 317). l ; ui soicheu Bedenken aus dem
Wege zu gehen, hat Utlim-rt die ,,Methodo der Kondensation" ersouneu, vou der .
in der u&chsten Nummer die Rede eeiu wird. Eine Ableitoog der Foriuel (10),
die vcm den geoanaieu Bedeukon frei ist, bat PizseUi gegeben, Torino Ace.
Atti 81 (1^96), p. 85U.
86) H. G, 2, p. 7785.
5. BeobachUmgen zur Bestimmung des Geoids:. |3o
gebende Vertikalebene in P init der Meridianebene von P bildet: es
wird positi? von Norden flber Osten-Siiden-Westen von bis 360 *
gerechnet.
b) The tigentlifjwn geodatischen Messungen. A Is solche IcommeTi
in Betracht:
1. der Winkel, welchen der Visierstrahl von P naeh einem Punkte
A mit der Lotrichtung in P bildet (Zcnitdistanz von A in bezug
auf P);
2. der Winkel BZA zwischen den Vertikalebenen in P, die durch
zwei von P aus sichtbare Punkte A und B gehea (Hirrizontalwirikd
zwischen den Pimktou A und B von P ana oder Dift erenz der Azimute);
3. die J/ange gewisser, im nachsteii Abschnitt zu definiereuder
Liuien xwiscben zwei Punkten der Brdoberflache:
4. die Hohen der Pnnkte iiber dem Meeresuiveuu. t
c) Andere astronomischc Dalen auBer den unter a) gennnnten, wie
die Mondparattaxe, die UngkicftheiteA der Momibewegung. die P>- -
aesaifm und Nutation, kb nnen nur in geringereuj Grade xur Kenntnis
der Erdgestalt beitragen wie die trorher angef iihrten ; wir bericliten
dariiber in Nr. 53.
d) Sctiwerkraftsmessungen. Indem wir wegen der Theorie des
Pendels und der Messung der Schwerkraft mit demselben auf IV 7
(Ph. Furtwangler) verweisen, seilnor uur erwahnt, daB man die Schwer-
Icraftsniessungen in absolute und relative Messungen etnteilt. J)ie
ersten baben den Z^vveck, direkt den Wert von. g an einem Orte /n
ermitteln und erfordern viel Zeit, Sorgfall und komplizierte Apparate;
l>ei den relativen Messungen will man dagegen mir die Different der
Schwerkrat tswerte fur xwei Orte ermitteln, \vas sich in kflrzerer Zoit
und mit verhaltnisrnaijig einfacheren Apparaten erreichen lafit 28 ).
Indem wir die Auseinandersetzungen iiber die Reduktion der
eigeutlichen geodatischen Messungen (welche die Kauptnut gabe der
Geodasie bilden) auf den folgenden Abscbnitt verschieben, seien liier
nur einige Worte iilier die Retivkkion der Schwtrkraftsmesxungen
gesagt.
Die beobachteten Schwerkraftswerte niussen redu/Jert werden,
um Hie samtlich auf eine Niveauflache (gewohnlich das Meeresniveau)
zu beziehen. Sei Q der Ort, an dem die Schwerkraft g^ gemessen
ist, und P der Punkt, in dem die Vertikale von Q das Geoid trifft,
imd set/en wir fiir den A-ugenblick voraus. daB siib zwischen Q und
26) ft. v. Sternect, Milit.-geogr lust Wien 7 flS?<7), p. 88. ^ Thfforges,
Paria C. R 106 (lf88), p. 126, 11J.
10*
136 VI i, 3. P. Pietetti. Hdhere Geodasie.
P keine Masse befindet, so kami die Differenz g 9 g q mit genflgen-
der Genauigkeit nach der Formel* 7 ):
berechnet werden. wo H = P# ist und /? einen mittleren Erdradius
bedeutet. Befindet sich zwischen A und B Masse, so hat man lange
Zeit die Attraktion der gesamten Schicht von der beobachteten Schwer-
kraft abgezogen. Wird der Einfachheit halber das Terrain urn Q als
horizontal vorausgesetzt, so kann man diese Attraktion mit
3 H S
ausetzen, wo & m die mittlere Erddichte und & die Dichte der Massen-
schicht z\iischen Q und P bedeutet. Die vollstandige Korrekttou
wlirde also sein 28 ):
,. N 8/f/. 3
(14) 9,~9 9
Will man auf die Abweichung des Terrains von der Horizontali-
tat Rttcksicht nehmen, so muB man noch die Attraktion T der Masse,
die sich zwischen der horizontalen Bbene von Q und der wirklichen
Erdoberflache befindet oder dort fehit, in (14) rechts hinzufQgen. Man
hat dann:
C\A \ 2H (\ 3 9 \ i_ T
^~.^ =a= - i ---- 9 *^
T heiBt die Reduktion auf horixontales Terrain* 9 ).
Diese Reduktionsart der beobacuteton Schwerkraft stiit/t sich auf
ein Prinzip, dessen Richtigkeit die Erfahrung iin allgemeinen nicht
bestaJigt hat. namlicn, daB die Abweichungen des Geoids von einera
Ellipsoid ausschlieBlich der Wirkung der sichtbaren Storungstnassen
27) Diese Formel kann man ans (8) ableiten, vgl. Hetmert, H. G. 2, p. 98, 166.
28) Diese Reduktionsraethode 1st nach Todhunter (Hietorj, chapt. XII) zuerst
von P. Bouguer (La figure de la teire determmee etc. aux environs de 1 ^quatenr,
Paris 1749) angegeben. Die Formel (14) geht guwohnlich uuter dem Namen der
Th. Yown^schen Regel, dr. sie ohne Beweia in London Phil. Trans. 101) (1819),
p. 89 (Todhunter, HiBtory letztee Kapitel) gab. Vgl. auch P. S. Laplace, M&J.
c^l. 6, livre XI, 6.
29) It. G. Boscovich scheint zuerst 176f> an die Mdglichkeit einer sole-he n
Kompensation gedacht zu haben (vgl. Todhunter, History, 476). Wegen weiterer
Notizen betreffs einer aolchen Idee ygl. /. ./. Saigey, Petite physique du glob;
J. H. Pratt, London Phil. Tranr 161 (1871), p. 335; Clarke, Geodesy, p. 361;
H. Faye, Paris C. fi. 90 (1880), p. 1185; 102 (1886), p. 661 und 786; 112 (1891),
p. 9; Helmert, H. G. 2, p. 364368; Pucct, Fondamenti 2, cap. XII.
5. Beobachtnngen znr Beatimmung des Geoide. 137
zuzuschreiben Beien, also den Massen ttber dm Meeresniveau und dem
Massendefekt, der durch die geringere Dichte des Meerwassers im
Vergleich mit den oberflachlichen Erdschichten herrorgerufen wird.
In Wirklichkeit liegen die Dinge in der Mehrzahl der Falle so, dafi
irgend eine Ursache (Masaendefelrfce unter den Gebirgen und die er-
hohte Dichte der Massen, die den Meeresboden bilden) die Wirkung der
eichtbaren Storungsmassen zu kompensieren strebt, so dass wenigstens
auf kontinentalen Stationen rait grofterer Wfthrscheinlichkeit die nach
Forme! (14) oder (14 ) reduzierten Scbwerkraftswerte mehr TOE den
normalen (auf dem Ellipsoid) abweichen als die nach der einfachen
Formel (12) redu/ierten 80 ).
In jedem Falle ist es sicher, daft die iiach Formel (14) oder (14*)
reduzierte Schwerkraft sich nicht auf das wirkliche, sondern auf ein
tingiertes Geoid bezieht.
Hdmert 31 ) hat vorgeschlagen , hauptsachlich urn Konvergenz-
bedenken bei der Entwickelung des Poteatials nach Kugelfunktionen
zu beseitigen**), der wirklichen Massen verteilung der Oberflachen-
schichten der Erde eine fingierte Massen verteilung zu substituieren,
die dadurch erhalten wird, dafi man auf eine Flache S , parallel zum
(reoid in der Entfemung QjR (a Abplattung), alle Masse /wischen S
uud der Erdoberfliiche kondensiert. Hdmert beweist and das ist
von besouderer Wichtigkeit , daB bei dieser {Condensation die
Ni?eauflachen nicht merklich geiicdert werden 33 ).
Auch die Anderuugen der Schwerkraft bei der Kondensation sind
im allgemeineu ziemlich klein, wenigstens im Innern der Koutinente^),
80) J. L. (PAiembert (nacb Todhunter, History, 593) gibt den Ausdrnck
von 7 fiir verecbiedene Annahme iiher die Gestalt der Bergo. Erschopfende
Methoden und Formeln findet man bei Helmert, H. G. 2, Kap. 3. Vgl. aucb
R. . Sierneck, Mitt, milit.-geogr. Inst. Wien 11 (182), p. 214.
81) H. G. 2, Kap. Ill und IV
32) H. G. 2, p. 165.
3) V. R. Helmert. Die Schwerkraft im Hocbgebirge, Berlin 1890, p. 3S.
Bti kontinentalen Stationen kann man die Korrektion wegeu Hohe eint ach nach
Porniel (12) (wie in freier Luft) auafubren. JB. v. Stemeck (Mitt, rnilit.-geogr.
Inat. Wien 17 (1898), p. 109) bat auf Grand von 508 Scbwerkraftsuiessungen uacb
der Method * der kleiusten Quadrate gefunden:
yq g p *m. 0,3023 H
(ff in m und ff^ffp in Kinheiten der 6 tl! " Dezimale), was sehr na,he mit
Fonnel (12) iibewinstimmt; H. Faye, [Paris C. R. 90 (1880), p. 1185. 1462 1 nhnuit
MI. daB die ituBerou kontinentalen Erbebungeu uud mariuen Senkungen ohue Eiu-
fluQ auf die Scbwerkraft seien uud schlagt deabalb vcr, nur die Anziehung io-
iicrier Maaten, welche nicb iiber dais iuittlre Niveuu eiiier Gegeud rbebii, zu
138 VI i, 3. P. Pizzctti. Hohere Geodasie.
sie eind etwas erheblicher i ttr kieine Insebi und die Meereskiisten.
Die Kundensationsmetliode bat auBer dera schonenvahnten theoretischen
Vorteil uoch den, daB sic die Wirkung lediglich lokaler StoTungen
auf die beohachteteu Schwerkrai tswerte berabmindert. obne docb den
allgemeinen Gang der Niveauflache erheblicb zu indent* 4 ).
Wir iibergelien die Probleme imd Formeln, welcbe sicli auf den
Z.upummenliang zwischen den Sehwerkraftswerteu und der Dicbte der
Oberflaehenschiehten der Erde beziehen und verweisen dieserbalb avrf
VI i, 7.
6. Gcodatische Bestimmung des Geoids. Referenzellipsoid.
l>ie ini vorigen Paragrapben aulgezahlten Beobacbtnngsdaten genii gen,
um die Kichtung und die niumliebe Lage einer Anzabl von Vevfcikalea
oder Normalen /.urn Geoid festzulegeu, und diese 1-lllcbe kanja diuin
(vrenigstens fiir begreuzte Gebiete) mit der praktisch erreicbbaren An-
niiherung durch die beiden Bedingungen bestimnit werden, daB sie
erstens durch einen festeu Punkt gebt ( Mittelwasser eines gewissen
Pegels) und zweitens das System der beobachteteu Vertikalen ortbo-
goual scbneidet. Praktisch scblagt man zur Liigung des I*Tobienis
einen indirekten Weg ein, indein man znnacbst eirie eiulache Hypothene
uber die allgeraeine Gestalt des Geoids niaciit imd die Fliicke in dieser
vereiufachteu Geetalt als Keferenzllacbe fiir die geodatiscben Hech-
nungen zugTiinde legt. Indem man die Beobachtungen dieeer Flacbe
auzupassen versucbfc, ergeben sich dann die systeinatiscbeu Abwei
cbuugeu des gesuchteu Geoids vou der r\eferenzfiiicbe.
Als hervorragend geeiguet bat sich die Annahme uines Hotations-
ellipsoides, dessen Botationsachse uiit der Erdachse zusanimenfallt,
erwieseu, eine Annahme, zu der man vor alien Dingen auf Gruiid
bydrostatischer Erwaguiigen gefubrt wird. Auf Grund der geuanuten
Mypotbese "werden ~vvir dann im niichsten Abschnitt seben, wie man
die Konstanteri des Ellipsoids in der Weise bestimmen kann, daB
seine Normalen moglicbst wenig von den "beobaditeteu Vej-ti"kalen ab-
vreicbeu, und wie man. weuigstens fiir bestimmtf Gegenden der Enl-
obertlacbe, die Abweichuugen des Geoids voin Ellipsoid ermitteln
kann.
Wie die Schwevkraftsmessungen zur Kenntnis des Geoids ^ei-
trugen, gebt zur Gentige aus Nr. 4- hervor.
"beriicksiolitigen, uud "bei Inseletatioueii auf boher See uur die Masse <it-s Insel-
pfeilers \T\ Kechnung xu zieben.
34) Wegfcn der Reduktion der Schwerkrati uuf eiae gemeiiisame Niveau-
Hache vgl. uuch F. it. Heimert, Berlin Ear. 1902, p. 843; 1903, p. 650.
7. Lotabweichnngen. 139
7. Lotabweichungen. Eine geodatipehe Bestimmung der Gestalt
des Geoids kaun man n.ur in begrenzten Gebieten tier Krde ansffihren,
iiHinlich nur dort. wo es moglich ist, eine Anzahl von Punkten durch
geodatischfc Messungen zu verbinderi. Aber auch in dieser Beschriin
kxmg karin man das Problem nur durch sukzessive Annahermigeu
Ibsen. (Jin *icb die zur Tlerechnung der geographischen Positioner!
auf dem. Referenzellipsoid notigen Daten zu verschaffen, odcrr um die
Winkel, Langen und die beobachteten astronomiscben Illleniente auf
das Ellipsoid reduxierert %u Icormen, in uB wan in erster Auniiherung RlJip-
soid und Geoid identifi/ieren. Erst venn die Abtveichungen zvvischen
"beideu FlacVien niiherungsweise T^elmnnt sind, kann man die Be-
obaehtungsdaten mit groBerer Genauigkert auf das Ellipsoid redu-
-/aeren.
Wenn P (rnit der astron. Breite A UTid der astron. Lange 1} eiu
Punkt des Geoids ist und P seine Projcktion auf das Ellipsoid, so
bezeichnet man mit ,,totaler Lotrtbweichung" (deviation, attraction
locale)* 5 ) in P den Winkel ^, den die Yeriikale v in P rait der Nor-
malen n des Ellipsoides in P bildet; ellipsoidische Breite <f und
Lange w heiBen (entsprechend A und I) die Winlcei, welehe die KicKtnng
der Normalen n bestimmen. Die Difterenzen A <p . I o> netint
man. Lotabweich.unge.ri in Breite und Lange.
Bezeichnet man mit y den Winkel, den. die Ebene vP n mit dam
ellipsoid iscnen Meridian ran P macht (Azirmit der Abweichungsebene).
so hat man:
<ft> == co ~- <9sinj ; sec p.
Die Korrektionen 6A, 6t,. die man an dem astronomischen
Azirnut A und der Zenitdistanz Z eines xweiteo Punktes B anf dem
Geoid in bezug auf den Punkt P anbringen uinB, um die analogen
GroBen . t, fflr das Ellipsoid /,u erlialten, haben die Wrt,e 36 ):
35) Der Ausdruek ,. attraction locale" koninit daher, dasi man xuerst unH
lunge Zeit hrndurch der Ansicht war, da6 die Lotabweichungen hauptsiichlicb
dutch lokale U-nregelmaflisrkeiteu in der Erdkruste verursacbt wiirdn. Die ersteu
Studien iibcr Lotabweichuagen von dieseui Gesichtspunkt us ainrl von /*. Souyuer
und C. M. L, Condumine. (1730) in Pru und von N. Maskelyne (1775) in Schotc-
(Tod-hwrfter, History 1, 3G3, p. 724727) ausgefuhrt. Der erste, dcr ver-
<lati die Lotabweichungeu eber durch ausgfdhnt Kontinente oder Meere
hervorgerufen wcrdeti l<0nutea als durch einzelne Berge uxid daB sie deshalb
systHmatiscLcu Charakt;r habcn kounten, war R. G. llwnnch (1750), vgl. Tndhuvttr,
History, 1, 47r 47i>. In 18. .fatirhundert warden verachietlem: geodatische
Untrsuchtiugf,n znm Studium der LotatiweiclmngHn in dea Alpen ausjgefiihrt
140 VI i, 3. P. Pizeetti. HOhere Geodasie.
(17) A = <M = sin <jp dco @cotg sin (y a),
(18) -2T <S = cos.4 <Jqp sin.4 cosy 8&.
In (17) 1st das zweite Glied wegen der Kleinheit von cotg in*
allgemeinen zu veraachlassigen und man hat dann
(17 ) d^ sin? d<o,
was von P. S. Lafiace (Mec. eel. 2, livre III, 38) zuerat an-
gegeben 1st.
Beschrankt man sich auf die Genauigkeit, roit der (17 ) gilt, so
haben die Lotabweichungen auf die Messung der Horizontal winkei
keinen EinfluB.
8. Reduktion der beobaehteten Lotrichtnngen. Bei einer eud-
gGltigen Bestimmung yon Qeoidteilen inuB man noch eine andere
theoretische Korrektion berUcksichtigen. 1st A ein Beobachtungs-
P mkt, Av die Vertikale von A , ferner A der Punkt, in dem Ao
das (Jeoid triflft und A v die Vertikale in A , so raflBte man zur Be-
stimmung dee Geoids die Richtnng A v kennen, wahrend die astro-
nomischen Beobacbtungen nur Av liefern. Der Ricbtungsunterschied
zwischen beiden Geraden ist aber im allgemeinen nicbt zu vernach-
lassigen, wenn nicht die Hohe A A = H des Puuktes A iiber dem
Meeresniveau sebr klein ist.
Nimmt man die Meeresobei*fiacbe als Rotationsellipsoid an, so
fallt die Lange von A mit der von A zusammen, wahrend die Breite A
von A urn den Betrag ST ):
n A n m, <A
zn korrigieren ist, um die Breite A von A zu erhalten.
Aber bei einer hypothesenfreien Bestimmung des Geoids kann
man den Obergang von Av auf A v nicht in dieser Weise ausfuhren.
Das einzige nicht willkiirliche Mittel wird hier durch Schwerkrafts-
36) F. W. Basel, Astr Nachr. 14 (1837), p. 333: Y Villarceau, J de math.
(f) 18 (187), p. 398; helmert, H. G. 1, Kap. 12.
87) In dieser GeBtalt wird die Korrektion von Helmurt^ H. G. 2, p. 98 ge-
gebeo; auch C. F. Gauft hat sie bereits berecbnet, iodem er von der Ciairaut-
achon Formel:
Gauft setzt
XT
Al -= 1070" ~ sin 2.
a
Man tin let diesen Audruck in einem Hhefe an J. J. Baeyer, vgl. Astr. Nachr.
84 (1874), p. 1.
9. Bcasela Rotationscllipsoid. 141
messungen auf Grund von Formel (5) geliefert, aus der sich ergibt:
wo sich die Quotienten hr|j und \~-\ auf den Punkt A beziehen. Es
ist indessen zu bemerken, daB die eben angegebenen Formeln eine
stetige Anderung der zweiteu Ableitung von W zwischen A und A
und deshalb auch eine stetige Dichteanderung zwischen den genannten
Punkten zur Voraussetzung haben, was in Wirklichkeit im allgemeinen
nicht zutrifft. Der EinfluB unvorhergesehener Diehteanderungen kann
aber von derselben GroBenordnung Bein, wie die aus (18 ) resultieren-
den Werte von 8k, d/. 88 ) Die Formeln (18 ) werden am besten be-
nutzt, wenn man darauf verzichtet, die Gestalt der Meeresniveaufiache
direkt zu bestimmen und statt dessen eine hohere Niveauflache be
stimmen will, die ganzlich anfierhalb der festen Erdrinde verlauft.
Helmert} hat gezeigt, wie man kleine Flachenstiicke des Geoids
bestimmen kann, ohne daB dabei die Reduktion von Lange und Breite
auf das Meeresniveau nb tig wird. Statt dessen braucht man einen
Mittelwert g n der Schwerkraft langs des Lotabschnitts zwischen dem
Beobachtungsort uud dem Geoid.
9. Bessels Rotationsellipsoid. Wir werden als Referenztiache
das von F. W. Bessel 40 ) berechnete Rotationsellipsoid annehmen. dessen
Konstanten folgende Werte haben:
Halbe grofie Achse a = 6 377 397,16 m ,
kleine b = 6356078,96 m,
<? f^=i! = 0,006674372 , -^=- ft = 0,003342773 = ~
Q- Ci 7r^lO
Die Rechnungen von A. li. Clarke^} und die erstea Resultate
der Nordamerikanischen Graduiessung scheinen allerdings bewiesen zu
haben, daB es zweckmaBig ist, die groBe Halbachse des Bessefscheo.
Ellipsoides um 800 bis IKK) m und die Abplattuug um bis ihres
Wertes zu vergroBern. Aber audererseits ist zu bedenken, daB der
aus den Schwerkraftsmessungen abgeleitete Abplattungswert weit besser
rait dem Hessehchen als dem GVarfoschen Werte stimiut und daB
auch neuere europaische Triangulierungen sich besser dem
88) P. Pizeetti, Astr. Nachr. 188 (1806), p. 353: fcrner Helmert. Arch. Neerl
(2) 6 (1901), p. 442.
39) Berlin Ber. 1900, p. 964; 1901, p. 968.
40) Astr. Nacbr. 14 (1837), p. 383 und 19 (1842), p. t7.
41) Geodesy, p. 319; vgl. Nr. 50.
142 VTi. 3. P. Pizzcttt. Hohere GeodSsie.
Ellipsoids an/upassen scheinen 42 ). Nun geniigt fiir die praklisohen
Zwecke der Geodasie die Erset/ung des Geoids dutch das .Bewefeehe
^Ellipsoid vollkojnmen; fiir die theoretischen Studien soil e- alter HUT
als Referen/flache dienen. es hat, also nnr die Bedingung za erfullen.
daB seine Abweichungen ^om Greoid so klein sind. daB die sogenarmten
Ditterentialformeln auf sie angewandt werden konnen. Da das Besselr
sche Ellipsoid diese Bedingung eri iillt, kaim man stets auf dasselbe
Bezug nehmen 43 ).
Wenn man fur Naherungsrechnungen das Ellipsoid durch eine
Kugel ersetzen will, so kann man als Ttaudms:
= 6370.3 km
nehmen. Diese Kugel hat darni lois auf Glieder von der Ordnung
c* in R die folgendeu Grofien mit dem Bcsselschen Ellipsoid
gemeinsara: 1) den mittleren Kriimmungsradius der Fliiche (uiiter
Kriiuimuugsradius einer Fliiche in einem Punkte das BeziproTce der
<3t<y8schen Kriimmung verstauden), 2) den mittieren Halbiuesser (die
Mittelbiidung erfolgt in beiden Fallen Hurch Integratiou fiber die
Fliiche), 3) die Oberflache. 4) das Volumen* 4 ).
II. Redlinings- un<l Messungsinethoden.
A. Geodatische Redmimgen auf dem Rotationseliipsoid.
10. Fundamentalformeln (Fig. 1). Es seien a mid ft die heiden
Halbachsen des Botatiousellipsoids ( = OE - OF, b ~ OP), e die
numerische Exzentrizitat }/a 8 & 2 , o die Abpljittang - - , tp die
geoflraphifschf Breite eines Punkteg A (90 < A TIP), tp die yvo-
ztmiarische Breite (-^C AOF). r der Ka<liuavektor OA, r der Radius des
Parallelkreises (AH) durch den Pnnkt A und z die Entlernuug von
A von der Aquatorebeue. Es folgt dann ans elementareu Koruielii
der Difterentialgeoinefcrie* 5 ):
42) Literaturangahen zu den neueren Trianguliftmngen ia Nr. 53.
48) F. M. Helm&ri, Lotabweichungen 1, Berlin 1886, p. 3.
44) flelmcrt, H. G. 1, p. 6568.
45) Helmert, H. G. 1 gibt die numerisc hen Werte von log |/1 <." sia* <p
fiir die Werte y, von 10 /u 10 . Die volletimdiggfcen uuiuerisclien TabeHen findet
man bei T/t* Albrecht, Fonneln und Hillstatela fiir geographi8<;!ie Ortsbestim-
mungen, 3. Autt. , Leip/Jg 1894. Vgl. aucb W. Jordan, Math, und gecdiitische
Hilfstafeln, 9. Auti., Hanaover 1895.
10. "Fundamentalfonneln.
, a cos ft , . a>(\
r r cos cp , s r sin g> = ;
1/1 - *9in* <p 1/1 <
tg qp (1 e 8 ) tg <p,
und hieraus durch Reiheneniwicklung:
, . ^ w* . . w 8 . s.
tp fp = w. sin Jf OP sin 4<p -j sm o <jp
143
m
Tig l.
Nennt man reduzierte Breite deu durcb die Gleichnng 4 *):
tg M =*= tg qp |/1 e 2
definiei-ten Wjnkel M, so ist:
sn
sm
T wn
l _ 1/1 _ * .
= ist.
Die Haaptkrflmmiuigsradien in einem Punkte mit der Breite <p sind:
KrUuimungsradiug im Meridian: p = "^Iff
Querkr iiunnungsrad ins : N *** - .;
yi -tf siu^v
(0
46 A. M. Lcgendre, Analyse dH iriaugle ur la surface d un spheroido,
Paris Mdin. de I lnst. 7 (1800); C. Bremiker (Studieu ilber hohere Geodoeie, Berlin
(i it
1869) und T"ft.. ARtrecht 46 ) gebu die numerischen Werte vou log - 1 : -
^ui . ^y
144 VI i, 3. P. Pizzetti. HShere GeodBsie.
In einem Normalschnitt im Azimut a iet der Krammungsradius R a
gegeben durch 47 ):
1 * COB* tt> sin 1 cf 1 /. <* , \
-- =? -- TV + T^? COB * cos )
Der Meridiaubogen 6 zwischen den Breiten <jp, und 9, wird durch
das Integral:
a(l * 2 ) /(I
sn
dargestellt. Auf die bequemste Weise erhalt man das Integral, in-
dem man die Funktion unter dem Iiitegralzeicheu nach deni Kosinus
der Vielfachen von 2 9) entwickclt 4 *). Setzt man:
-}- y 2 ), ^ 2 y, ^= Ay (Amplitude des Bogens),
m (m 1) . . . (m r-f
>t
A r * w w r r 4- w, r+1 w r - t 8 -|- w 2 r+2 n r + 4 -f-
so ergibt si eh:
cos
I r = l
und speziell 4 *)
47) Helmsrt, H. G. 1, p. 68; BremtJfcer 46 ) gibt die numeriechen Werte von
log B u fiir die Worte von qp zwischcn 36 und 84 von Grad zu Grad und fSr
die Werte von a zwischen und 90 von Grad zu Grad. Vgl. auch Albrecht 46 ).
48) Der Gedanke einer aolchen Entwicklung stmnmt von A M. Legendre
(J. B. Delambre, Mdthodes analytiqueg pour la determination d un arc du m&i-
dien, pr^ced^es d un memoire sor le uieme eujet par J^egendre, Paris, An 7,
179899). Legtndre nimmt an, da 6 die Meridiankurve durch die folgeiide Glei-
chung zwischeu dem Radiuavektor r und der geozentriscben Breite ii> dar
gestellt sei:
r * K(l -j- m sin* V + / sin 4 ty).
Delaware (p. 72) gibt die Entwicklung fur den elliptischen Meridian; die Koeffi-
zientn werden nach Potenzen von e- entwickelt. L. Puissant (Traite de geo-
desie, Paris 1805, 5. Aufl. 1849) gibt die Entwicklung mit Koeffizienton, die nach
e *
Potenzen von $ fortschreiten. Die im Text gegebene fintwicklung stanuat
X *~~~
von F. W. Bessel (Abhandl. 3, p. 46).
49) Helmert schreibt den enten Faktor in der Geetalt: a(l n)(l n 1 ).
10. Fundamentalformeln. 145
* sn
wo
^ . 9 2 , 226 4 , 46 3
ao^i-f 7-" +-eT* "I ---- i 3n -g-w 3 ---,
15 . . 106 , 36 3 315 .
8 =-T n + 1F* + %^.-- fj**-"! i 866* +
ist.
Die nicht angegebenen Glieder sind von der Ordnung e 10 und
deshalb stets zu veruachlassigen. Aus (4) erhalt man:
*t -j- j
Meridianquadrant:
Lange des Meridiangrades unter der Breite q>\
oder bis auf GHeder der Ordnung ^*:
^ = G Q -f fa sin 1 sinV
Eine fiir kleine Meridianbogen ^hochstens 2) sebr passende Ent-
wickluug ist die von C. Gr. Andrae**)
(5) tf ( A q> -f- p cos 2
wo (> der Wert von (> filr die inittlere Breite ^> ist. In der an
gegebenen Entwicklung sind die Grofien von der Ordnung e z (Ay) 8 ,
e 9 (Ag>) 5 vernachlassigt.
Der Parallelkreisbogen zwiscben den Langengraden ci^ a, und
miter der Breite (p iat durcn:
( .) COS
li T
n / \
$ = r (, - O.)
sin 8
gegeben. Die Oberflache eines ellipsoidischen Trapezes zwischen den
Breiten und <p und den Langengraden <9 lt <o t ist 51 ):
50) Problemes de haute godesie, 4. cah., p. 3. Wenn nicht ausdriieklich
das Gregenteil bemerkt wird, sind die Wiukel immer im BogeotnaB oder a&aly-
tischem MaB zu zechnen.
61) VgL z. B. Helmcrt, H. G. 1, p. 61.
140 V1 1.8. P. Pizzetti. H&here GeodiUi*.
11. Normaleclmitte. Es eeien J(y,,Wj) und l?(<p, o) zwei
Ellipsoidpunkte: ~A~B sei dr Normalsclmitt in A, der durch JB geht,
und BA der Norrnalschnitt in B, der durcb ^t geht (reziproker Nor-
malschnitt). Das Azimut A. von AB in A ist dann durch die
Form el :
COP <p, g y (1 -- c*y) sin y t coa(ro ,)
(6) COtg ^ - (-,)
gegeben, wo
1 sin qp, V 1 f? sin- 1?
y =a > e: 1
to 9 ]/l e sin ^
ist. Wir nehmen nun auf der Normalen in B ein Segment
an , das so klein ist, dafi man die Grofien e* (-J . ~ , er-
nchlasigen kann. Nennt man dann A das Azitnut von B in bezug
auf A, so hat man annilhernd:
cotg A cotg A e 2 -- tg <p cos a t cosec (w ,).
1st die Entfernung s zwischen den Punkten A und B so klein, daB
das Prodnkt c 2 -- zu vernachiassigen ist, so folgt aws der vor-
stehenden Tormel 5 *):
(6 ) A A =* ~~ cos 2 v, sin 2 A ;
diese Gleichung gibt die E-et 1 ktion ernes beobachteten Azimuts wegen
der Hohft des Beobachtungsortes.
Theorem von Dalby. E* sei A das Aziraut des Norraaischnitts
AB in A und B das A /mint des Normulschnitts BA in B. Man
betrachte dann auf einer Kugcl vom Radius 1 das spharische JDrei-
eck P 1 A 1 B 1 , dessen Seiten P 1 A 1} PjBj resp. gleich ~ q?,, y <p
sind und dessen Winkel in 1\ gleich o co, isfc. Betrachtet man
daun die Bogen P 1l A l , P^B V als spharische Meridian? und sind A L , B l
die Azimute von B l beziiglich A t und von A l beziiglich JB, (in der-
selben Weise wie fur das Ellipsoid gereehnet), so hat man bis uuf
s
(irofien von der Ordnung et R (s = Aft):}
62) IT. James aud A. 7Z. darke, Orduauce trigouom. survey. Accotiut of
the observation^ and calculations of the principal triaugulatiou aud of the figure,
dimensions aud mean specific gravity of the earth as derived therefrom, London
1858, p. 281; Hdmert, H. G. 1, p. 190 gibt einen geiiaueren Ausdxucli tut A A .
Die genannte Heduktion ist schon von C F. Gaufi angewandt werden, vgl VVerke
9, p. 95 uud p. 320321 (Brief an Olbers voin 14. Mai 1826).
53) W. Roy, London I nil. Trans. BO (1790), p. 111. Dort ist der geoinetrisclie
der vou J. Dalby angegebenen Kormcl (7) mitgeteilt und gezeigt, wie ie
11. Normalachnitte. 147
(7) A - B = A l B t
oder niit grofierer Annaherung:
e i
A B = A 1 B l -f- -j sin (w wj sin* (<p <jPj) cos 4 qp sin g> 0;
wenn - ^ y qp gesetzt wird.
I
Die Ditf eren/ zwischen den beiden Seiten von (7) hetragt bis zu
Enlfernungen von 1200 km einige tausendstel Sekundeu; sie ist io>
allgemeineu /<u vernachlassigen.
Aus (6) uud dem analogen Ausdruck fiir B findet man durch
geeiguete Eutwicklungen:
, 1 -
, + /y, e^ __ _ _8_ .
2 2 1 e*(l coB ysiu o )
j i 1> ^^^
wrenn man n 1 - = <* setzt und mit den spharischeu Bogeu
A 1 J5, bezeichnet; 7\ ist eine kleine GroBe von der Ordnung & -^
ft
uiid e 6 . Die Formeln (7) ; (8) liefern das bequeoiste Mittel zur Be-
rechnung der reziproken Animate A, B } wenn die geographischen
Koordinaten der beideu Punkte gegeben sind. Die sphiirisehen Azi-
mute A, J5 t erhalt man mit Hilfe der Dehitnbr&H hwi Gleichnngeu
aus dem spbsirischen Dreieck P l A^B^. Es sei noch die Fonnel
fiir die Liinge K der Sehne AB hinzugefflgt 5 *):
(9) log K == log (2 R sin ^)
+ \M\ He* cos 4 -^ sin 2 2a -f e 2 (A^)* (cos 2 y 2 8m 2 a ) H ---- } ,
wo K der Kriimmungsradius des Normalschnittes in der Breite
<f, m = ?J--2 und im Azimut a ist. Die Furmeln (7), (8), (9) bilden
die Grundlage fur diejenigen geodatischen Rechnuugsmetboden, die
sich auf die Beuutzuug der Sehnen und der astronomischen Atiniute
stiitzen f>5 ).
zur Bercchnung der Langenditfereiix. dieueu karm, WPUH die astronomischen Azi-
mute und die Breiteii zweier Punkte gegebeii sind. Vgl. in dieser Hiueickt
J. L. TiarkS. Phil Mag. 4 (1828), p. 364. Gtenaue Beweise von (8) findet man
bei Hebnert, H. G. 1, p. 150 (dort wird c 6 noch berucksichtigt) und bei PMCCI.
Foudameuti 2, p. 178.
54) tielmert, H. G. 1, p. 144158.
56) Wegen weiterer Untersuchungen uber die Normalschmtt* vgl. J.J.Baeyer,
Das Messen auf der spharoidischen Erdoberflache, Berlin 1862 (Glcichung des
Nonnalschnittes in seiner ELeue, Achsen, Exrentrizitat), lireuuker * ) (Winkel dee
148 VI i,a. P. Piezetti. HOhere Geodftsie.
12. Geodatische Linien. Unter der geodatischen Linie zwischen
zwei Pnnkten A und B einer Fliiche versteht man die kiirzeste Ver-
bindungslinie auf der Flache zwischen den beiden Punkten. Es
seien nun J.(<p, o>), JS((jp -f d<p, <u -f- dcj) zwei unendlieh benach-
barte Punkte auf dem Rotationsellipsoid, r der Radius des Parallel-
kreises durch A, ferner ds die Lange und a das Azimut des Elementes
AB in A. A us elementaren ftberlegungen der Differentialgeometrie
folgt dann:
(9 ) $d<p == cos a ds, rdca = sin a. ds, tg a = ^r-
and. wenn raan mit r -f- rfr den Radius des Paralloikreises durch B
bezeichnet:
Aus den Differentialgleicbungen der geodatisehen Linien fiir eine be-
liebige Rotation sflache, deren Achse als /-Aclise eines Cartesischen
Koordinatensystems genommen wird, folgt:
dy dx ,
x -j 2 - -j- == konst.
a* * rfs
und hieraus
(11) r sin K = c (c Konstante),
wie ein Satz von Clairaut^ ausspricht.
Diflferentiiert man (1.1) und beachtet (10), so ergibt sich:
/4 tvv da sin q> flin a . dot
(12) -T- = - 2- - = SID q> -T-
rf r ^ ds
Die Relation rfa =- sin qp rfco gilt in Wirklichkeit fur eine geodatische
Linie auf einer behebigen Placbe 57 ), wenn die astronomische Bedeutung
von at, <f y a unrerandert bleibt.
Eliminiert man a aus (9 ) und (11), so bekommt man:
(13) rf
(das Zeichen -j- gilt, wenn im ersten oder vierten Quadranten
liegt).
Sehnendreiecks, Vbertragong der goographischeti Koordinaten veraittelst dr
Sohuon usw.).
56) Nach Todhunter, History 1, 160 kouuut dieae Funnel zum erstenmai
vor bei Clairaut, D^termin. gomtrique de 1* perpendiculairo a la miidinne
(Mem. Paris 1738). Der Gedanke, die geod&tiBchen Linien bei den geodatisehen
Rechmmgen zu benutzen, wurde auch von L. Euter aoagesprochen (Todkunter,
History, chapt. XV).
67) Vgl. Bessel M >
13. tybertragung der geographischen Koordinaten und da Asimnte. 149
Der Kriimmungsradius in einem Punkte einer geoditischen Lime
folgt aus (2). Eliminiert man a aus (2) und (11), BO folgt:
oder: Langs einer geodatisehen Linie andert sich ft. proportional
mit p (Satz von Ch. Giulermann)**}. Man erhalt endlich:
3 * sin 2 <p cos
2
1 *n*f>
IS. ftbertragung der geographwohen Koordinaten und ctea
Azimuts (Fig. 2). Gegeben aind die geographischen Koordinaten
Vi ) t yon ^ nn das Azimut
! und die Lange s der geo-
datischen Linie Alt: getucht
die geographischen Koordi
naten 9, w von S and das
A 7,iin nt der geodatischen Linie
AH m 1! (mit werde das
Aziniut der Verlangerung yon
A B iiber H hi nans bezeiobnet; das so^enannte reziproke Azimut zu
, ist a + 180*). Man lost da Problem, indem man (13) durch
Reihenentwicklnng integriert. Die folgende Methode stammt in ihrer
speziellen Form von JBess*? 59 ). Fiihrt man die durch die Glair Imogen:
(14 ) tgi^-V l-^tg*,
definierten redu%ierten Breiten eiii. so kaun man (11) die Qestalt
geben:
(15) cos u sin == cos u t sin t
und aus (13) wird:
(16)
cos Mj/coa u cot*^ cos*,
58) J. f. Math. 43 (1852), p. 284.
59 Die Methode Terdankt man im wesentlichea Leyendre **, der den Ge-
dsnken hatte. die geodatiacha Linie auf dem Ellipsoid mit der auf der Kugel
zu vergleichen. F. W. Bessel gab fur die mimemche Rechnung bequeme Formelu
(Abb. 3, p. 5). Hrlwert. H. 6. 1, p. 220 gibt die Formel (18 ) nach / uutgelwt.
Knc.Tklop. d. raU WUieaich. VI 1. U
150 VI i,3. P. Pietefti. Hahere GeodHsie.
Man betrachtet nun auf einer Kugel vom Radius 1 das Dreieck
P A B j dessen Seiten P A f P S resp. gleich -- #,, w sind
und dessen Winkel A, /> mit den Winkeln A, If des ellipsoidischen
Dreiecks ubereinstimmen (was wegen (15) moglich ist). Bezeichnet
man den Winkel bei P mit W, die Seite A B mit y, so geben die
Gleichungen (16), verglichen mit den entsprechenden Formeln fur die
Kugel:
(17) da = a y\^~~ & t ** u dy>
(1 8) da yi *-&&gt;** ud W.
Set/.t man
(19) cotg M = ctg MJ cos a, ,
so hat man
(20) sin M e gin M! sin (JW -f y) cosec Jtf
und erhalt. indem man hiermit cost! aus (17) eliminiert und mit Hilfe
der Entwicklung (3) integriert:
(2 M + y)
-f ft* sin 4 y cos (4 M -f- 2 y) -f
wo die /3 in folgender Weise zu berechnen sind. Man setz:
- e eiuM
A-i+i< 4+ (1 i 4 tg 4+..
y4. sse ttf^ -4- ti?* -4- -
i <> "ft o n^ i "S .> T^ >
und hat dann:
fi.
arc
Der Winkel y in (18 ) wird daun in Sekunden erhalten.
Die Formeln (14 ), (19), (19 ), (20 ), (18 ), (20), (14"), (15) dieneu
zur Bestimmung von qp und . Zur Berechnung der Lange sub-
stituieren wir naheruugsweise far (12) die folgeude Gleiehung:
do **> dW Y cos w x sin u r (l ~ -- e 2 COS M] cty,
die sich von (12) nur dureh Glieder der Ordnung c 8 unterscheidet 60 ).
60) Der auf dieae Weise bei der Bcrechnung von CD begangene Fehler ist
13. Obertragvmg der geograpbischen Koordinfttfn und dee Azimuts. 151
Indem man dann in analoger Weise vrie vorher integriert und setzt:
. F ^ 3iu "> I/ 3g * " p
1 &* J *MY 4-w r
* .. ( C08 g , . V ,
V** I /
erhalt man:
.., ^Bitl V. fiin a, , . a /ft m* i
w - ra, = W r --- j I ^ y -I- fa sin y COB (2JV -f
-f- /?, sin 2y cos (43f + 2y) H ---- }
Den Winkel W erhalt man aus dem spharischeu Dreieck
Bessd hat numerische Tabellen (ur die Logarithmeu von ft,, /3 t , /3 8 ,
/3 , /?/ gegeben, die nach den Argnmenten log tg E, log tg E fort-
schreitcn 61 ).
Da das Problem auf diese Weise auf die Auflosung eines spha-
rischeD Dreiecks zuriickgefulirt ist ? wird cs zweckmaBig sein. .-inige
der hierzu geeignetsten P^ormeln auzugeben.
Die Ddamkresphen Gleichungen liofevn:
Ji) siii ?LE 8 in co
co. (45 -f f) co, ^" - cos ^ cos (46 4-
- i A~n i *\ a W ft > /j-n i *i
sm (4o 4- Y I sin t , ^= sm -^ sin (4o 4- g
/*-o i M \ a W or. . /.. . . 4- y\
sin (4o -f J cos - == cos g * sin <45 -f ^ M
Nmch <rM/8" 2 ) fiihrt man die Berechnung von , a, M^ un be-
quemsten mit den Formeln HUB:
tg s = cos j tg y, tg W tg a, sin .s sec (w t -j- *),
tg i -. .in , sin y tg (u, -f s), sin T _ sin ( tg -|- sin ,
sin = tg i tg-y cos (a, -f s). w = MI -|_ _ tf ,
3= Oj -j- / t.
kieim-r ai> ., e"/ und deshalb kleioer !H 0",<Mon(7 filr erne geodittiache lanie,
OJ*
die einm&i um die ^aoie Erd? hemiugebt (7 = - w <>euaure Entwieklungen
siehe bei BMft:/ 6A ).
01) Vgl. auch Jttrecfet").
62) UnterauchuugOD fiber Gegeatkude der hiibereo Geod&aie, CMttiugen 1844,
p. 30 Werke 4, p. 269. Uooere Formeln uatrcfaeideo iicb in weaig von
den ^7au/5&chen. weil das Aziuut andera gerecbnet wird.
11*
152 VI i, 3. P. Piuetli. Hohere Geodasie.
Sind M I? u, W gegeben und sucht man a, ,, }>, so gebeu die
Gleichungen:
7 i-4- W M ~f- tt i y . a or, . If . u-{-H.
in -jpiin * 2 f =8m cog 1~ , cos-^-sm - 1 - sm -j-sm
y a. 4-a
tin ~ co -*-~ =*= cos sin ^-, cos -~ cos
"
~ - -, -~
7 : "."-
14. Fortaetnuag. Fall kleiner Bogen. Betraclrtet man q, a, a
ais Funktionen des Bogenci s und entwickelt diese Funktionen nach
Madaurin, so erhalt man mit Berflcksichtigung von (9), (10), (12):
, 4- ~ co a, ^ tg
*
sio 2y coa 8 , r rpj cos t sin 2 a, (I -f- & tg 8 y,) -{--,
PI *i
.^ . t |^ * tg qp, sin a, co,
1 JV, cos <jp, A r , * cos .-p,
mm
i I /~1 I tA 1. & \
-f- i-TjF-i sin . cos a, cos* a> -j- .
1 * z-tvr
Es sind dabei in dem Ausdruck t iir 9 und fiir o> Glieder unit
und .v 4 , in dem von a Glieder mil s z vernuchlassigt; p,, 2V t sind die
Werte von p, JV aus (1) fiir die Breite q> r **)
Gaufl**) hat mit Hilfe der kouforraen Abbildung, die wir in
Nr. 21 behandeln werden, Formeln fur die tTberti-agung der geo-
graphischen Koordinaten abgeleitet ; die die mitttere Breite und das
mUttert Azimut enthalten; au&erdem hat er noch eine direkte Ab-
leitung derselben Formeln gegeben. 0. Sdtreiber***) hat die Gauft-
chen Fonueln so abgeandert, daB alles indirekte Rechnen verniieden
wird.
03) Entwicklungen dieser Art sind von Legmdre gegebeu (Pri Mem.
. pour 1787 (1789), p. 853). Legendrt berucksicbtigt Glieder mit e *, e***. 9 s .
Die im Texte gegebeuen Entwickhingen sind genugend genau, so lauge a niciit
100 km ubenteigt. Fur weitere Anntlherungen ?gl. Helmert, H. 0. 1, p. 298,
wo die veruacblaasigten Glieder von der Ordnung e* 4 und ,s 8 ind, otler A V. Jet-
ilama (Gnida al calcolo delle coordinate geodetiche, Torino 1891), der trlieder
von der Ordnung <* 6 und * vernaohlasaigt.
64) Vgl. Zitat in Fufiuote 62, U. Abt.
64*} Recbuungavorachriften f. d. trig. Abt. d. Laudesanfnahme. Formelu
und Tafeln zur Berechnung der geographiacben Koordinaten aus Jen Ricbtuugeu
und Laugeii der Dreieckiseiten, Berlin 1878.
15. Besiimmong der Lange nnd des A/imuts. 153
hat das Problem dadureh gelost, dafi er die geodatische
Linie B F durch B senkrecht zum Meridian von A konstruiert, das
Dreieck BAF auf lost und die Breite von F berechnet. Zwei ein-
fache Entwickelungen geben die Differenzen zwischen den Koordinaten
von B und F. Die Andraesche Losung iat nicht wesentlich von
der verse Lieden. die rechtwinklige geodatische Koordinaten benutxt
(vgl. Nr. 23).
Die Losung von K. G. J. Jacobi stiitzt sich auf elliptische Funk-
tioneii 6 "). P. A. Hansen* 1 ) hat eine Methode angegeben, die sich
von der des vorigen Paragraphen nur dadurch unterscheidet, dafi er
als Anfangspunkt der Bogen auf dem Ellipsoid und der Kugel den
Pwnkt wahlt, in dem die geodatische Linie AB einen Meridian recht-
winklig schneidet.
Die Different der Auimute etj nennt man gewohnlich
Meridiankotwerycnt**).
15. Bestimmnng der Lange und des Aiimuts ernes geodatiaohen
Bogena aus den geographischen Koordinaten der Bndpunkte Das
vorstehende Problem, das die Umkehrung der in den vorhergehenden
Nummern behandelten Aufga^e 1st, lost man durch sukzessive An-
naherungen. Es moge auf die folgenden Losungen hingewiesen sein:
ffir Bogen von beliebiger Lange: 1. Umkehrung der Legendre-
Methode 6 ^) (ISfr. 13); 2. Losung von Hansen ) (benutxt
65) Vgl. Zitat in FuBnote 5<>, 2. cahier.
66) E. Lutherj Astr. Nachr. 41 (1855), p. 2*09 und 42 (1866), p. 337; J. f.
Math. 53 (1857), p. 34*; O. Winterhery, Antr. Nachr. 89 (1877), p. 108, 11H and
91 (1878), p. 113.
67) GeodiltiBcbe Untersuebungen. Leipzig 1865, Erster Abschnitt. Man Beh*
auch wegen der Ubertragung der geographischen Eoordinaten die Losung von
J. J. Baeyer" 6 \ der die (Jlcicliutig (13) transformiert, indwn er den Radius r
des ParalleJkreises als Variabele eiiifiibrt, dann nach Potenzen von <!* ontwickelt,
integriert und <p durcn snkzeasive A.unahenmg berochnet.
68) In dieaem Sinne wird der Ausclruck gewohnlich in den Lehrbffchern
gcbraucht; (Francoeur, Jordan, Pucci, Puissant uaw.). Gaufl legt ihm. einen
anderen Sinn bei In der konformen Abbildung der Hannove^chen Landea-
vennessung (vgl. Nr. 24) nennt er Meridiankonvergenz den Winkel, den der
Meridian in B mit der Parallelen inacht, die man. in B zu der den Anfaujfs-
meridian repraeeutierenden Geraden ziehen kann. Helmert (H. G. 1, p. 420) und
Clarke (Geodesy, p. 272) brauchen den genannten Ausdruck nur in dem Falle,
dafl die geodatische Linie AS den Meridian in A rechtvdnklig sohneidet. Die
bnchranktere Definition stimmt mit derjenigen von Gauft uberein, wenn man die
Abplattung der Erde vernachlassigt. Vgl. Jordan, Handbuch der Vermessiing*-
kuude 3, p. 46465.
69) Helmert, H. G. 1, p. 247.
154 VI i, 3. P. Pitzetti. Hohere Geodaaie.
die Reziehung zwischen der geodatischen Linie und den Normal-
schnitten); 3. Benutzung der elliptischen Funktionen 71 );
far Bogen von begrenzter Liinge: 1. Losuiig auf Gvund der kou-
formen Abbildung von Gun ft (vgl. Nr. 21); 2. Umkebnmg der Ent-
wicklungen von Lcgetulre (Nr. 14), indem als Anfangtspnnkt der
Mittelpunkt des Bogens angenommen wird 72 ); 3. Losung init Hilfe des
Theorems von J. Da/% 78 ). Durch Anwendnng des genannten Theorems
und unter Benutzung der Formel (27) der iiachsten Nummer kann
man die Differenz t berechnen. Mit Hilfe der Formel
tl , 4- | * W l i. * + "l
tg - 1 COtg -3-J. * tg - 1 tg _> ,
die man aus (15) ableitet, be kn mint man dann K und ,. 1st , be-
kannt ; so findet man nacb Nr. 18 ohne Schwierigkeit y und s;
4. Formeln von Ch. M. Schols u \ die die astronoinischen Azimute und
die Sehnen benutzen; 5. Formeln von W. Jordan 1 **). Wie bei der
Umkehrung der Legendre itussdachen Methode wird zunachst die in
Nr. 13 erwahnte Hilfskugel benutzt. Dann aber entwickelt Jordan
aus (18) den spharischen Laugenunterschied W in eine Reihe naeh
Foten/.en von o und ebenso aus (17) y in eiiie Reihe nach Potenzen
W i
von s. Durch EinfQhrung der Mittelbreite erhiilt man und ~ als
Funktionen der ellipsoidischen Langen- und Breitenunterscbiede. In
dem man nun zunachst W berechuet (das sich bei einem Breiten-
und Langenunterschied von je 10 unter Beschrankung auf die Glieder
bis zur 3. Ordnnrig noch bis auf etwa 0,001 genau ergibt), kann man
dann das Kugeldreieck AP1B auflosen. Die Winkel A und S siud
gleich den ellipsoidiachen Aziinuten; aus y wird s bercchnet; (>. Formeln
von Uelmert 1 *), die aus denen von Gaufi 98 ) abgeleitet sind, in denen
die mittlere Breite und das mittlere Aziinut auftreteu. Im (rO4/3schen
Nachlasse haben sich allgeniein fiir Rotatiousflaehen geltende Formeln
gefunden, aus denen sich die Hd-merteu\\e Umkehrnng sofort ergibt 7 **).
70) Vgl Zitat in Fufinote 67, 2. Abschnitt.
71) G. A Halphcn, Fonctions clliptiquea, 2* 4d., Paris 1888, p. 286; vgl.
auch G Cwcato, Venet. 1st. Atti (7) 8 (1898), p. 1087.
72) / Guarducci, Sopra due problem! di trigoaotnetria sferoidia, Torino
1882; Pucci, Fondamenti 2, p. 168.
73) H. Brunt, Astr. Nachr. 97 (1880), p. 7S; Pucci, Fondamenti 8, p. 177.
74 t Ch. M. Schols, Arch, neerland. 17 (1882), p. 101; Helmert, Zeitochr. f.
Vermess. 11 (1882), p. 555 und 689; Th. AlbrecM, Astr. Nachr. 96 (1880), p. 209.
74 a ) Zeitwhr. f. Verrness. 12 (1888), p. 65.
75) Lotabweichungen, Heft 1, Berlin 1880.
7ft ) Werke y, p. 89.
16. Geodatiflche Polarkoordinaten. 155
Die Hclmert&chen Formeln mogen schliefilich angegebeu werden.
da sie eine bequeme Losung des Problems liefern.
Wir bezeichnen das reziproke Azimnt von t mit a^, so
a, K 180. Setzt man danu:
t = , . 180, 2* l(t + t
w y i 4. ? / ,r
-
n Z cos 5, W - ]/ 1 <* sin* B,
so bekomnit man (iudem man als Einheit die 7. Dezimale des Loga-
rithmus nimmt)
log t = log ( M sec |) 4. [3j* 4- [6 1*,
log (a sin T) = log fnfl j) fcm* 4- [7}6 S ,
log (s cos T) log (ft [21 cos 4) + [o] f -f
Die Koeffizienten [ | haben die tblgenden Wert:
[6] - k- cos ^ [7] - ft -
l] ^r { COB 2 /? 4- e* sin* B(4 - 3 sin* B) } ,
log k 4,6287228 10.
16. O eodatisohe Polarkoordinatan. Wenn man die Pnnkte
einer Flilche auf ein System von orfchogonalea Koordinaten a, a be-
zieht und weun die Liuieri = konst. geodatische Linieii siud, so
kann man dem Linienelement die Gostalt geben:
(21 ) ds == Vdti- 4- G <lv* .
Dor Winkel 0, deu das Element ds mit der Lime = Tconst.,
naturlicb im Sinue wachsender a, bildet, ist durch die beiden Relations
definiert:
/" \ ft d > n t , r 7T <^ a
(21 ) cos it = -j- , sia = V ^ -j-
(1.9 rfl
Der geodatische Bogen s, der voii einem festen Punkte zu einem
beliebigen Punkte mit den Koordiuateti (S, geht, genilgt deu partiellen
DifiPerentialgleicbuugen :
/,?* 3s ,. ^^j
sin ^ = = 3- , cos $ = -3 . </# == 3 aof.
1 <; ^ <7
156 VI i. 8. P. PtaMftt. Hfihcre OeodSaie.
Dor Koeffifcient G ist mit der absoluten Kriimnnmg If der Flache
im Punkte (, fl) durch die Gleichung verbvmden 7 *):
(23) .
In der Geodasie ist speziell die Benntzung der yeodatisdtsn
PnlarbwrJi-natm von Vorteil. Nennt man den Winkel, den eioe
von dem fasten Puukte ausgehende geodatisehe Linie OA mit eiuer
testen Tlichtimg in der Tangentialebene vou madit, und tf den
Bogen OA. o ergibt sicb, wenu man beachtet, daB fiir -= aiich
uud -^ 1 ist r duntb Eatwickluwg nach Matbumn, in-
man "/G ls Furiktion von betrachtct, uud (23) beachtet:
/S|>ezie?) fur das Rotationseliipsoid wird [k = ^| :
ff 3 . <*g 4 ^m2,coB
"^A; " A .-Vofi-O^
wo <JP O die Breite von
Hdmgrt 1 ^) hat f2,H) intogriert mit Vertutchluxsigung von Grofien
der Ordnong <*\ er erlialt*.
/ntTA
(25)
yro
e l = e a sin 2<^ cos und e 9 2 > (sin* <p cos 1 <p cos 8 a).
ittigt man Grofieo von der Ordnung M ) , so hat man:
E. B. Chrittnffel) hat ]/G die ,,reduzierte Lange" des Bogen 6
getiautit und gexeigt, daft dicse Grude uugeindert bleibt, wenu man
die Endpunkto 0, A des Bogens vftrtauscht, indem man A als Aufsnga-
purkt. als ndpunkt annimint
76) C F. ^Tati^DiaquiiiitiooeB generaleH circa uprficiefl cnrvaa, GOttingon
18J8, Art. 19 Wrke 4, p. 217.
77) H. <?. 1, p. 278.
78) Cter di allgmojac Theorie des geodatisebeu Dreiecke, B0rlin Ahh. 18W
17. Vergleiclmng der geodatischen Linie mit einem Nonnalschnitt. 157
17. Vergleiohung der geod&tiechen Linie mit einem Normal-
schnitt. Es sei A ein Flfichenpunkt, 7?, uml 72, die HauptkriiniinnngB-
radien in A ivnd AJ$ eiu geodati seller Bogcn von der Lange tf, der in A
den Winkel a mit dem zuno Radian jR, gehorigen Nonnalschnitt bildet.
1st dfcnn JT, y, e ein rechiwinkliges Koordinatensy stein, dessen x- und
y Achse mit den Haupttftngenten in A zusammeofallen, so erhiilr man
fvir die Koordiiiaiea x, y, & des Punktes B, wenu man sie als Funk-
tionen von betrachtet, durch Entwicklung nach
a 9 cos a
x - a cos 1t B -j ,
**i *
wo h., der Krummungsradins der geodatischen Liaie in A ist. Nennt
man den Winkel, den der Normalschnitt AB init der z-Achse mai-ht,
A (in deinselben Si ime wie gezahlt) und beach tet, dfi dieser "Winkel
durch die Relation y = x tg A definiert ist, so folgt aus (26) bis auf
Glieder der Ortlunng tf 4 :
i 1
ein angenaberter Ausdruck ffir die Abweichung der gcodtitischen Linie
ini Punkte A von dem Normal pchnikl AB. Fiir das Rotationsellipsoid
ergibt sich speziell:
? s ff*
(27) A or = , cos 1 <p sin 2 A,
roan die GHeder *<y 2 und < 8 e* veniachlassigt.
Die starkste lineare Abweichung zwiscben Ijeiden Linien ist
annabernd :
f28) <J = TT- cos* r sin 2 A.
isysa-
Die Langendifferenz zwischen den Bogen s, n des Normalsehnittes
und der geodatischen Linie findet man durch Integration von (21),
79) Dicse Entwicklungen gehen unter dem Namen von .7". Weinyarten, der tie
1862 in einer Note zu einer Abhandlung von Baeyer 6 *) entwickelt hat. Dieselben
Entwicklnngen fiudet man aber echon in einer JTole TOU Y. A. Puisevx xu:
G. Monge, Application de I analyse a la geometrie, Ausgabe von J. I^ouoiUe,
Man findet sie anch bei E. F. Minding, J. f. Math. 44 (1852), p. 06
waren eie schon C. F. Gauft bekannt, Werke 9, p. 84 Wegen weiturer Glieder
der Reiheneutwicklung (20) vgl. Weingarten.
158 VI i, 8. P. Pizzctti. Hohere Geodiisie.
indem man dee durch do vermitteist (27) ausdruckt und fur l/7r
den angenaherten Wert (25) set/t; man erhalt:
e*<s*
(29) s d =*= jJQ^ cos 4 ijp sin 2 A cos s 4 +
Setzt man
tf = 100 km in (27), so folgt A < 0",014,
<y = 20 km in (28), o folgt d < 0,000042 m, s <s < 0,0024 tO~* m ,
1000 km in (29), so folgt s tf < 0,000075 in.
Die Different (27) zwischen dein Azimut des Normalschnitts and
der geodatischen Linie ist im allgnmeinen gegeniiber den Beobuchtung*
fehiern zu vernachlassigen; die Abweichung d* und die Differenz 8 tf
sind bei direkten Messungen immw zu vernachlassigen.
Der Ausdruck von A ffir Bogen vou beliebiger Lange ist
schon von Bessd t{1 } angegeben, der von seiner in Nr. 13 gegebeaen
spiiariscben Darfltellung und von dein in Nr. 1 1 angefiibrten Ausdruck
fur das Azimut des Normalschnitts ausgekt. Man erhiilt bis auf
Glieder der Ordnung c 4 :
e* / t * s\ o , e s / , * s\ .
A *== II cotg j cos- M, sm 2a ( tg j sin 2, sin ,
wo U L die reduzierte Breite von A ist.
0. (7. Andrae* 1 ) hat zum Vergleich der geodatischen Linie mit
dem Normalschnitt auch von Reihenentwicklungen der Cartesischen
Koordinaten Gebrauch gemacht, hat aber als j^Achse die Tangente
an die geodatieche Linie in A genorninen.
Ea folgt aus den Bechnungen von Andrac, duli mit derselbeu
AnuJilii i-img, mit der (27) gilt, der Winkel, den die geodatische Linie
A tf im hmk te A mit dem Normalnchnitt A B bildet, die Halt te von
demjenigen ist, den sie mit dem reziprnkeii Normalschnitt JiA bildet.
18. Das geod&tische Dreieok. Der Ausdruck (24) fiir \-<i (Nr.16)
zeigt, dafi ein begrenztes Stuck R einer Iliiche urn eiueu I uukt
herum, so lange die Glieder von der Ordnuug a 4 gegenUtar e veniitch-
liissigt wet-den kouneu, als ein Stuck einer Kugel aufgfafit werden
kann, deren Radius gieich dem geometrischen Mittel \ H l tt t der
Hauptkritmnmngsradien in ist. Fiir das Erdellipsoid kano mmi zu
dem Gebiet / die Umgegeud von (J bis /u einer Entfernung von
80) Abhaiidlgn. 3, p. 1 und vsi ; ibe auch Bwyer**) jKorrektiou in Attr.
Nacbr. (186S), p. 183].
81) Ygl. Andrae**), 1. cahier, p. 6ff.; liehe aocb J. De tierardini*, Toriuo
Mem. (2) 36 (1886;, p. 15 .
18. Das geodfttische Dreieck. 159
200 km rechnen. da der prozentuale Fehler von (25), hei der an-
e fi s 1
gegebenen Vernachlassigung, kleiner als -r-y der ^ , fiirtf = 200 km
1st. Innerkalb vines solctten Gebictes kann deshalb ein (jfnddtisc.hes
Dreieck nach den Formeln der spharischen Trigonometric berechnei
werden, indem man als Kugdradim das geotmtrische Mittd der Hanpt-
kriimmmifisradien im Zentrum des Gdrietes li nimmt oder allgemeiner
in eincm Pnnkte. der von den Ecken des Drciecks ni M tnehr als 200 km
entfernt ist.
Wir kominen jetzt zu weiteren Anniiherungen.
Oie verschiedenen Methoden zur nJibcrnngsweisen Auflosung eines
geodatischen Dreiecks lassen sich zum groBten Teil aus der schon er-
wahnten Abhandlung von Gate/8 76 ) ableiten. Gaufi 9 *) nimmt ein
System rechtwinkliger georliitischer Koordinaten (tf, K) an; die Linie
o = und die Linien = konst. sind geodatische, der Parameter a
mifit den Bogen der Liuie 6 = von einem willkttrlichen Anfangs-
punkte aus. Betrachtet man ein rechtwiukliges geodatisches Dreieck.
das die Punkte (0, 0) (0, a) (tf, a) zu Ecken und tf, s, a zu gegen-
iiberliegeiiden Seiten hat und nennt den Winkel (*, 0) 9, so entwickolt
Gnafj die G roBen s cos 0, s sin 0, s 9 in Reilum nach Potenzen von <y
und a, so dufi sie den Ditferentialgleichungen:
/or^\ n l ds 1 - a 1 a* s n (^ ^\ 8 , /^J\ 3
(30) s cos = -5^- , 5 sju 6 B -=- x , G [G - -*-) 4- (5-) ,
v " 2 SO 2|/6 l ^ a \ d \9*r-
die aus (^2) foJgen, geuflgen. Nimmt man |/6r in eine Reihe:
j/G-1 -f /X + />*+ ...4- %< |i4. i(7l tf+...4.A^+ ...
entwickelt an, so lassen sich die Eutwicklungskoeffizienten von
s cos 0, s sin und s* durch die f, y, It, - - ausdrucken. Gaufi be-
trachtet dann ein beliebiges geodatisches Dreieck als Sumine oder
Diiferenz zweier rechtwinkliger Dreiecke und bestiramt die Differenzen
zwischen den Winkeln A, B, C dieses Dreiecks und den Winkeln
A*, B*, C* ernes ebenen Dreiecks mit denselbeji Seiten; diese Diffe
renzen ergebeii sich als Funktionen der f, y, h, -. Elirainieii mau
drei dieser Koeffizienten durch Einfuhruug der Kriiinmungen k a , k kf k c
in den drei Ecken, die init dom Ausdruck von YG durch (23) zu-
sammenhangen, und vernachlassigt kleiue ftriiBen vierter Ordnung in
bezug auf die Seiten, so ergibt sich:
(31) A- ,|-
82) Die von una uiit , , a, 0, G bezeichneten GrOBen aennt G aw/8
*
160 VI i,8. P.Pitssetti. HChere tfeodtteie.
und analoge Ausdriicke fflr B *, C C*; S ist der Inhalt des
ebenen Dreiecks.
Hansen**} hat die Methode von Ganft weiter entwickelt, indem
er sich geodatiseher Polarkoordinaten bediente. Er erhalt die Diffe-
renzen zwischen den Winkeln des geodatiscben Dreiecks und denen
des spharischen Dreiecks mit denselben Seiteii bis avf Glieder rierter
Ordnttng eiiischlieBlich und wendet die Resultate vermittelst einer
sehr komplizierten Itechnung auf das Rotationseilipsoid an. indem er
Qlieder yon der Ordnnng e*s 6 , *s* vernachlassigt. Aber die Entwick-
lungen Hansens enthalten GroBen, die von der ftestalt z <f>(x,y)
der Flachengleichnng in Oartesiscben Koordinateu abhangen. vras die
Bechnung unnotig kompiiKiert, da die Beziebungeii xwiRchen den sechs
Stficken eines geodatisclien Dreiecks von der speziellen Gestalt, die
di Flache durcb Verbiegnng annehmeu kann. unabkangig sind und
nur von der Form des Linieneleineufa der Flache abhangen.
Unter Vermeidung dieser Koniplikation hat /. Weingarten**) in ein-
facher Weise fur eine beliebige Flache und bis auf Glieder vierter
Orduung einschliefilich die Differenzen A A* } B B* f C C*
ermittelt, indem er die Kn immungen und die Werte des DifferentiMl-
parameters urster Ordnuny von It (Infiektent) in den drei cken ein-
fiihrt. Er bat seine Formeln auch auf dae iioUitiouseilipsoid mit
deraelben Annahenmg wie Hansnn^) angewandt.
Auf einfachere Weise erhalt man den Vergleich zwischen den
Winkeln des geodatischen Dreiecks und denen eiues ebenen Dreiecks
mit denselben Seiten, wenu man Polarkoordinaten benutzt und nacb
6r- Darboux**) die Differentialgleichung:
82) O gj)% (ff)= 6
nacb der Methode der nnbestimmten Koeffixieuteu zu integrieren ver-
sucht, l)arbvur betrachtet das Dreieck, das den Koordinatenanfaugs-
punkt und die Punkte (o , cr ) (0, i zu Ecken uud ,<, a, e zu Seitn
bat und setzt auf Grand einfacber geometrischer Uberlegungen:
(33) s* -e <y* 4- a f 20 cos (a a ) tf 2 5 s sin 2 ( ) P,
wo P eine Entwicklung nach Potenzen von tf tt; a \*t, deren Koeffi-
83) Vgl. Zitat in Funutt> 67, III. Abscbnitt.
84) Anii. Nachr. 73 (1869), p. 66; 75 (1870), p. 91.
96) Kinen unahtifichen und iiumeriflchen Vergleich der Formelu von
und Weingartt-n findet man bei Hdtnert, H. 6. 1, p. 375 S86.
86) Le^one sur la th^orie generate de 8urtac8. Paris 1890, 3, livre VI,
chap. VIII
19. Auflosung des geodiitisehon Dreiecks. 161
zienten als Funktionen von , KQ vermittelst (32) zu bestimtnen sind.
Fftr G fuhrt man die Entwicklung (24) ein. Naeh Bestimmung der
ersten drei Grlieder von P und darch Vergleich von (33) rait dera
Kofiinussatz: s* = tf g 2 -f~ <* 9 *2o6 9 COB A* der cbenen Trigonometrie
findet man leicht die Differenz K A* oder Formel (31) von
Gaufi. Darbottx treibt dann die Annaherung bis zu den OroBen
vierter Ordnung einschliefilich, indem er die Krummungen in den
Seitenmitten einfiihrt.
Nennt man die Winkel des spharischen Dreiecks, das die gleichen
Seiten wie das geodatische hat und auf einer Kugel mit dem
Radius =. liegt ; wo k = (* + k b H- k e ), A , B , C , so hat man
yk
mit derselben Genanigkeit wie in (31):
nnd analog B B , G C . Bftschrankt man sich auf deu speziellen
Fall des Rotationsellipsoifls, so hat Bessel 81 ) ohne Beweis die Aus-
driicke fiir A A , usw. bis auf (xlieder 2 ^ 4 oder mifc entsprechender
Annaherung wie (34) gegeben.
Helwert 8 *} hat eine vollstiindige Eniwicklung der spharoidischen
Trigonometrie fiir den Fall des Rotationsellipsoides auf Orund der
Differentialformeln von E. B. Christoffel* 9 ) gegeben, welche die unendlich
kleinen Anderungen der Stiicke eines geodatischen Dreiecks bei einer
infinitesimalen Verlangerung oder Drehung einer Seite lietern. Fur
YG set^t Kdmwt die Entwicklung (25"). Die flelmerfache Methode
unterscheidet sich in ihren Grundlagen nicht von dur Han^enschen,
aber sie bietet im Vergleich mit dieser den Vorteil grofierer Einfach-
heit und iiberdies enthalten die in dem Ausdruck fiir }/Cr vernach-
lassigten Terrae samtlich e 2 als Faktor und sind deshalb sehr klein,
auch wenn die Dreiecksseiten ziemlich lang Bind 90 ).
19. Auflosung des geodatischen Dreiecks durch Reduction auf
das ebene Dreieck. Sph aroidiaoher Exxefi. Legendre* 1 ) verdankt
man die Idee, ?.ur Berechnung des spharischen Dreiecks das ebene
87) Astr. Nachr 1 -,1888), p. 86 = Abb. 3, p. 8
88) H. G. 1, Kap. VIII.
89) Cber die allgemeine Theorie des geodat. -Dreiecka, Berlin Abb. 18S.
90) Cber das Problem der geudiltischen Dreiecke vgl. auch: H. James and
A. E. Clarke 6 *), p. 240ff. ; J. /. Bafyer, Astr. Nachr. 61 (1864), p. 225; Helmert,
Zeitflcbr. f. Vermess. 18 (1889), p. 257.
91) Paris M&n. Acad. pour 1787 (1789), p. $5-2 oder auch Delambre **),
Note HI.
162 VI i, 3. P. Piztctti HSbcre Geodaaie.
Dreieck mit denselben Seiten zu benutzen. IjJr hat bewieecn, daB bis
auf Grb Beu vierter Ordnuiig die Differenzen A A*, usw. (A , 7? , C r
spharische, A*, *, C* ebene Wiiikftl) durcb die Formeln:
(36) A A* - B - 7?* C C* ^
gegeben sind, wo $ der Inbalt des ebenen Dreiecks und R der Kugel-
radius ist. Treibt man die Annaberung weiter, so erhalt man bis auf
GJieder secbster Orduung:
s
und analog fur # *, C C*. Hierau* und wit Hilfe von (34)
erbalt man bis auf Giieder mit 5* und e 2 * 4 , wenn
gesetzt wird w ):
(36) A-A -
Diese Anniiherung geiiugt in praxi immer.
Moistens ist es sogar sebon ausreicbend. das geodatische Dreieck
<lurch eiii sphariscbes zn ersetzen, indem man als KugoJ radius ^
annimmt und vom spbariscben Dreieck zum ebenen mit Uilfe der
eiufacbeu Formeln (35) ubergebt, Man vemachlassigt daun in den
Ausdriickeu fiir die Wiiikel Glieder mit s 4 und *$*, was bei Seiten
unter 127 km Laiige nicbt mebr als ,0(X)1 bezw. 0",0005 ausmacht 93 ).
Mit dieser Geuauigkeit wird der splaroidische Exzefi
A = A -f K 4- C 180
des geodatiscben Dreieckg in Sekunden durch die Formvl:
A ks
** ais - TT>
rc 1
gegeben und mau bat:
A *- A* *= B - B* C C* * .
Wir woilen die durcb diese einfachen Formelu erhalteflt An-
uaherang als iiblicke Annahentng hezeicbnen. Mit derseiben Genauig-
keit kauu man t flr k den Wert ^ tier Kriimmung unter der Breite <p 9
92) Bis auf die Bexeichnuiig stimmen diese Augdriicke mit Hetmert. ii. 0. 1,
p. 369, Formel (6) iibcrein.
93) Helmert, H G 1. p M a si.
20. Sebnen uad Normalschnitt* 163
des mitfteren Parallel* 4 ) des Dreiecks nebmen. Den ExzeB A
kann man durch folgende Formeln bereclinen:
* S b-csinA* _ c* sin ,4* sin B *
*" fAafcl" = ~ 89 A" arc 1" 2 9 2V sin (J* 4- B*) arc 1"
c* rin ^ sin (vt* -f- C*) _ y> (p ) (p 6) (p - c)
C* arc 1" pJVTarcl"
o j_ 5 _i_ e
wo p = ist. Man andert den Grad der Annaherung nicht,
wenc man in diesen Ausdriicken A*, B*, C* dnrch A, B, C ersetzt.
Soil A mit derjenigen Genauigkeit berechnet werden, die (36) ent-
sprieht, so ist zu setzen:
Sk /- . a* -4- 6* 4- c- ,\
A r. I 1 rfr : K I .
arcl \ 24 /
20. Sehnen und Normalsohnitte. Sowohl bei der tjbertragung
der Koordiuaten und d*s Azimuts wie bei der Autlosmig der geoda
tischen Dreiecke iat die Benutzung der geodntiscben Linien natfirlicb
uicht unumganglich notwendig. Mnn kann aucb die Sehnen oder
Normalschnitte benutzen. So lost Delambr<: n ) das Problem der Uber-
traguug der geograpbischen Koordinaten, wenn die Sehne uud das
astronomische Aziinut (oder Azimut des Normalschnitts) gegeben sind.
C Brcmiker**) lost dasselbe Problem rait grofierer Annaherung and be-
hundelt auch die Aufgabe ; die Lange der Sehne und das astrouomische
A/.imut zu hestimmen, wenu die geographischen Koordinaten der Gud-
punkte gegeben sind. Wir haben in Nr. 11 die auf dies Problem
beztiglichen Formeln von Helmert gegeben. Bremtf&r gibt auch Me-
thodeu zur Berechnung der Dreiecke mit Hilfe der Sehnendreieck^,
deren Winkel er aus deu Horizontalwinkeln berechuet. Helmeri* > hat
beuierkt. daB man bequem die Sehnm benutzen kann, obne die Winkel
zwischen den Sehnen in die Kechnung einzufiihren, da zwLschen den
Sehneu a, b , c uud den Horizontalwinkoln einfache Reiationeu von
94) VVeun die Seiten nichi linger aU 120 km siud, so hat ein Fchler von
Einheiteu der lunt teu Stelle det> Logarithmus auf A keinen gro&eren EiuSnfi
ais 0",OU16. Andereneita itt die Auderung von log ^ nicht groBer ala 0",00011,
Qj\
weun tp ich urn 1 iindert. Es geniigt deshalb, die Mittelbreite bis auf 10 genau
zu b*rechiien, aiu in --- eicher keiueu grOBeren Febler ala 0",0005 zu erhalten.
B
96) Vgl Zit&t iii 1 uBu 48, p. 77 f.
96) V 1. /itat in PuBu. 46, 6 u. f.
U7) H. G. 1, p. 105, 190. Wegen der Cbertragung der geographiachen
Koordinaten ituter Bnutzung der Sehnen vgl. ibid., p. 14); s interessieren be-
die Formeln t iir den Fall kleiner Entfernnngeu
164 VI 1,3. P. Piztetti, Hohere GeodaUie.
geniigender Annaherung bestehen. Es verdient in dieser Beziehung filr
den Fall eines ipharischen Dreiecks die Sinusformel von J. A. Gruncrt *)
erwahnt zu werdeu, die beziiglich der Seiten bis auf Glieder vierter
Ordnung aussehiieBlich genaa ist:
n : b :c = sin (A -- j-) : sin (S -- J : sin (C -- )
Hehnert 9 *) hat erne analogs Formel fur das Rolationsellipsoid
aufgestellt, indem er auch noch die kleinen Grofien vierter Ordnung
und die Exzentmitiit e bertieksichtigte.
Berechuungen aus der spharoidischeu Trigonometrie in ft Hilfe
der astronomischen Azimute und der Normalschnitte fmdet man bei
Jamas und Clarke 10 ). Die Normalschnitte ha ben indes den Nachteil,
filr jedcs Punktpaar doppelt vorhanden zu sein und weniger einfache
Rechnungen zu liefern als die geodatischen Linien.
21. Roduktion ellipsoidischer Figure a auf spharische dnrch
konforme Abbildung. flan ft 101 ) hat von den TIauptproblemen der
hoheren Oeodasie eine Anfioaung gegeben, die sich auf eiue konforme
Abbildnng des Rotationsellipsoids auf die Kugel stiitzt. Die Parallel-
kreise und Meridiane des Ellipsoids entsprecheu den Parallelkreisen
und Meridianen auf der Kugel nach den Formeln:
ii == a <D
V , /. V\ /1-f C08t \ . 7 v , .
tgT-H^T) (i-ecoB.) <>* Konstonte),
o ist die Lange, v das Komplement der Breite r* y>\ fttr einen
Ellipsoidpunkt ; J2 ; V sind die analogen GroBen fiir den entoprechenden
Kugelpunki Der lineare Modul odev das Verhaltnis zwischen einem
Linienelement auf der Kugel und dem eutsprechenden auf dem
Ellipsoid ist:
/nQ\ -R sin V(l " cos* v)
(OO) >M = .
a Bin r
wenn K den Kugelradius und a den Aquatorradius des Ellipsoids
bezeichuet. Die GroBen R, a, k sind so zu bestimmen, daB auf einem
ausgewahlten Parallel mit <ler Breite P (Normalbreite)
98) Aicb. Math. Fhya. 26 (1866), p. 197; beziiglich dee Sehnendreiecks vgl.
auch A Nagel, Zeitschr. Math. Phys. 1 (I860), p. 267.
y) H 6. 1, p. 197.
100) Ygl. Zitat in Fufin 62, p. 232 f
101) Vgl. Zitat iu FnQn. 62. In dieser Hinsicht siehe auch: K Hammer,
Zeitachr. f. Yermosg. 20 (1881), p. 609 a. 641.
21. Reduktiou ellipaoidiachei Figurea durch konforme Abbildung. 165
Bezeichnet man die P entsprecheude sphari&che Breite mit Q, so
la u ten die Bedingungen:
a cos P /-k -n
jK =*B - ~ a sin = sin P,
u cos # J/l e* sin* P
Aus den ersten dreien ergibt sich durch Elimination von a, P:
a /I e*
/ia " 1 >8inP
d. h. der Kugelradius ist dua geometrische Mittel der Hauptkrumnmngs-
radien unter der Breite P. Wenn man eine ellipsoidische Zone be-
trachtet, die nur wenig von dem Parallel abweicbt, iind mit s die
groBte Entfernung eines Zonenpunktes vom Parallel bezeicbuet, so
konnen die Ellipsoidbogen innerhalb jenes Gebietes den entsprechen-
den auf der Kugel mit einem relativen Pehler von der Ordnung
*
c 2 , gleichgesetzt werden. In dieser Annaherimg konnen daher die
ellipsoidischen Dreiecke als spharische aufgelost werden, was die Re-
sultate der Nr. 18 bestatigt.
Zur tfbertragung der geographischen Koordinaten von einem
Punkte A(v } w) nach eiuem anderen B(v t o ) bei gegebeneni geoda-
tischem Bogen AB s und Azimut t in A, verfahrt man so:
t) Man berechnet auf? (37) das dem ellipsoidischen v entsprechende
spharische F;
( \
F, pj und
dem eingeschlossenen Winkel t auf und berechnet dadurch das v ent-
sprechende F und die spharische Liingeudifferenz Q ;
f\
3) aus (37) leitet man v und <u ab. Bei dem Uber-
gang von den ellipsoidischen Breiten zu den spharischen ist es /weck-
maBig, an Stelle von (37) Reihenentwicklungen zu benutzen. Ist
P -}- P die Breite eines Ellipsoidpunktes und Q -\~ q die Breite des
entaprechenden Kugelpuiiktes, so findet man durch Entwicklung von (37):
2 C08*0
Durch Umkehrung der Reihe ergibt sioh:
Encyklop. d. math. Wuscmcb. VI 1.
166 VI i,3. P. Pizzctti. HShcre Geodasie.
wenn fur den Augenblick geset/t wird:
5 sin P, c cos P, h **~ yT~ e* } e sin P = sin 0.
fV<m/tf hat die Anuiiherung Boch weiter getrieben. Will man
s*
GroBen von der Ordnung e $ , wo s den Bogen bedeutet, beriick-
sich tiger. BO kann der Bogen A C l? auf der Kugel, der dein geo-
dafcischen Bogen A 7? auf dem Ellipsoid entspricht, iiicht mit dem
Bogen des groflten Kreises AC 1? idenfciftziert werden, und an den
Azimuteu der geodatischen Linie AB inuB man gewisse Korrektionen
il> lf i t anbringcu, uin die A/imute #, , </ des Bogens A C"& abzu-
leiten. Setzt man:
, , , <7 1 d log MI 1 d login
arc (AA--S, * - ^ ^ - - ^ {$-$ ,
so ergibt sich 10 *):
8
t l ^ ^ =- . ( A ? sin s 4- 2*j sin ,),
o
^ V == ^ 2 JQ ( *j sin , -f 2 A, SID ,),
bis auf GroBen der Ordnung e*a*. Mit derselben Annaherung erhalt
man fiir das Verbal tnis von S zum Bogen S =* A Cf ff 4 es groBfcen
Kreises:
L
I,
/TJ, w t sind die Werie von k, m iin Punkte A, A - 8 , w s im Punkte B.
Weitergeheude Formeln siud von 0. Schreiber entwickelt worden 10211 ).
22. Bechtwinklige geodatisohe oder Soldnersohe Koordinaten 103 ).
Von besonderem luteresse sowohl fiir theoretische Zwecke wie fiir die
praktische Geodasie ist die Bestimmung der Ellipsoidpnukte (lurch das
102) Rei dem Vergleich dieser FortuelQ mit denen vou Gauft beachte man,
<UC Gaufi dae Ay.imut von Siiden statt von Nordeu aue rechuet. J>ie von Gauft
S
mit L bezeichnete Grotte iut bei une
a
102 ) Die kon forme Doppelprqjektion usw., Berlin 1897.
103) In rier Karte von Fraukreich, die von C. F. Cassini de Thury und aftinem
Sobne anagetuhrt ist (vo)lendet 1816), Hind die ebeuen rechtwinkligen Koordioaten
^enau gleich den bier dufinierteu recbtwiukligcn geodatiscben Koordinaten, wobei
das Observatorium vou Paris aU Anfaugspuukt genouimen it. Der rationelle
Gebraucb dieuer Koordiuaten zu geodiitischeo Kechnungen wurde vou /. v, Soldner
1809 fiir die bayenecbe Landeaveraieasung eiugeffibxt (vgl. C. v. Or// uud C. M.
v. liiiufrnfeiini. Die Bayer. LandeavermesBung in ihrer wissentichaftlicbeu Grund-
22. Rechtwinklige geodatische oder Soldnersche Koordinaten. 167
folgende .System geodatischer Koordinaten. Fiir einen beliebigen Punkt
A (Fig. 3) ueniien wir die Lange der geodatischen Linie A A , die von
A senkrecht v,u einem Hauptmeridian gezogen ist,
y und den Bogen dieses Meridians zwisehen A
uud einein fester. Punkte (Anfangspunkt der
Koordinaten) X. Wir werden Y positiv voni ^
Meridian nach Ostfn und X positiv nach Norderi
reehnen.
Sind die geodatischen Polarkoordinaten des
Punktes A in bezug auf 0: s, a 1} so erhalt man
die Koordinaten X,, y, von A in der Ublieheii
Annnherung (Nr. 19) aus dem geodatischen Drei-
eck AA Oj*) lessen spharischer Ex/eB aus der
Gleichung:
., ** sin a t cos x,
* t = ^ ~ . T a
folgt (p,, NI sind die Werte von (;, N fur 0). "Man bekommt:
(40) X, = s cos (a, 2*), 1 1 = 5 sin ( ; <?).
Fiir die umgekehrte Uechnung hat man mit clerselben (icnauigkeit:
A
S COS 0. = X, ( I .. XT )
1 \ HP, ^v
Der Winkel des "Dreiecks A AO in A ist 90- a, -f- 3 f.
Es sei jetzt die Lange .9 des geodatischen Bogens A ft und iier
Winkel A!AB = M gegeben; gesucht sind die Koordiuaten X,, 1,
von II. Maclit man auf BK (Ordinate von B) BH = A A Y^
so bekommt. man aus dem, Viereck A A RU, wenn man den spharoi-
dischen F4xzeli in it E bezeichnet, in der iiblichen Anniiherung:
lage, MiincheD 1873) und tmabliiingig van ilun von J. Bohnenberyer bei der
wfirtteinbcrg . Laiidesverraessung (I>e coraputandis dimensionibus trigonoraetricie
etc. Tiibingen 1826, dcntsch bearbeitet von E. Hammer. Stuttgari J885).
104) Die hier betblgte Methode gtammt von G. Zachariae, Die geodatischen
Hauptpunkte und ihre Koordiuaten, Berlin 1878, uud voa N.Judanza**}. O.Sckreiber
hat Formeln fiir geodatische Koordiuaten im H. Tftile der Hanptdreiecke der
K. Preufi. Landeetriangulatiou, Berlin 1874, p 605 gegeben. Ihre Entwicklung
findefc sich bei W. Jordan und K, Steppes, Das deutsche Vermessungswesen,
Stuttgart 1882; Bd. 1, Hohere Geodasie und Topographic des deutsche.n Beichet
von W Jordan, p. 103. Vgi. fernet 0. Borsch, Anlcituug zur Berechnung geo-
dat. Koordinaten, Kassel 1886; W. Jordan, Zeitscbr. f. Veruiess. 20 (1891;, p. 213;
L. Kriiger, ibid. 26 (1897), p. 441.
12*
168 VI i, 3. P. Pizzetti. HShere Geodasie.
^ (A AH} = < (AHE] ^ 90 -f-
,
(AST) (A V) -~^-(AA) (E in Sekunden).
Aus dena Dreieck ^IRff findet man dann, wenn sein sphiiroidi-
echer Exzefi mit 3*! bezeichnei wird:
ssin -.. . .
auf
r sin (If- E - 2O -j-
Den Exzefi E kann man nach der Formel berechnen:
r- _ l^j^ 3Jn M
Q N arc 1"
Zur Auf(ihrung der umgekebrten Rechnung (gegeben X v Y l ,
gesuciit s ? Jf j setzen wir:
X 2 X t = AX, F 2 -- F t = AF
erhaiten dann:
F- -J
2 p A 7 arc 1"
s cMjtf Al r +-=i-(E + 2 l )AX,
s sin Jf A X arc 1"(E -f 2 O A F "^ EF, .
Auf direkterem Wege lost Hdmort m } die Probleme fiir die recht-
winkligen geodatiscben Koordinaten, iudeni er von den Different ial-
gleichungen (analog mit (21) in Nr. 16) 106 ):
^ 3 /-\ , <*/-
/ ^ wi \
(4-.) s cos a =
ausgeht, denen der geodatische Bogen s genflgt, der einen festen Punkt
^.(XjFJ rait einem beliebigeu Puukt (XY) verbindet; a ist der
Winkel, den das Element ds im Punkte / mit der Kurve F = kont.,
natiirlich ira Sinne der wacbsenden X, macht (RichtutigswinkeT), und
G der Koeffizient im Ausdruck fur das Linienelement:
GdX*.
lOfi) H. G. 1, p. 412420.
106) Diese Gleichungen wrhiilt mau am eimuehstou. auf geomctrischem Wege,
wenn man dea Satz berucksichtigt, da6 das eine End^ eiuos geodlltischon Bogens
von konttauter Langd, das um das andere Kude rotiert, eiuc /.urn Bogea solbst
rechtwinklige Linie erzeugt.
28. fJbertragting der geographiscaeu Koordinaten. 169
Indem man (42) nach der ^fethode der unbestimmten P\oeffizienten
integriert, erhSilt raan fur s cos a, s sin a Keihen nacli Potenzen von
X -- X v Y Yj. Durch Umkehrung der Reihen lassen sich X X t ,
F YI durch 5 und a ausririiek< i n. Die /Ze/werfcchen Formeln gehen
bis zu Gliedern mit s 5 und <?V einschlieBlich.
23. TTbertragung der geographischen Koordinaten vermittelst
reohtwinkliger geod atischer. Das in Nr. 13 und 14 behandelte Pro
blem kann raan auch mit Hulfe der mcht-
winkligen geodiitisohen Koordinaten Xjl^
des Punktea B in bezug auf A als Anfangg- p<
punkt loseuj denn nacb Berechnung von N. "*^J "^
XY kann man die Breite von F (Fig. 4).
des Fufipunktes der geod atischeii Linie, die
durch senkrecht zum Meridian von A
geht, finden und hierauf die geographischen
Koordinaten von jp nach B tibertragen.
Wir geben die Hdmerfedheo Formeln 107 ) Fig. 4.
nnter Bemitzung dr in der Figur auge-
g<beuen Bezeichnung<ui, wo BP der Meridiiin von B und BP die
durch B gehende Linie 7= konst ist. Der Winkel PBP t ist
die Mcridiankonvergmz /wiscben / and B (Nr. 13).
C< i. i
oetz.t ican:
u = 8 cos 12 , v = s sin ff ta ,
so bat man
log X =* log n -f- $ , ^_ 2 W 4
L s (Jf 0/342945 ...),
log r = log, i-^--^
-<Pi>- 8 Vp m arcl V " "T~\^~j ( ^ ^
(F (jp l in Sekunden),
sin(F ?,) sin 1? tg F tg ^ ^^^5 ;
107; H. G. 1, p. 456. Dort ist aber die X-Achse positiv nach Sudeu, die
Y-Achee positiv nach Westea und das Azimut von Siiden aus gerechnet. 0. Schrti-
ber (RecbmingsvorBchriften fiir die Tiigon. Abt. der Landesaufiiahme , Berlin
1878) hat das Problem dor spbaroidJKchen tJbertragung nach denuselbsn f rinxip
gelSst. Seine Formeln gind etw as weitlaufiger, Fcrmeiden aber indirektes Rechnen.
la den Albn cMau heu Tafcln* 6 ) findet man nunjerifiche Tabellen zum Gebrauch
der Schrtibernchwa Formeln.
170 VI 1.3. P. Pigzefti. Hohere GeodSsie.
q> lf F, <p z sind die Breiten von A, F, B\ a lf 1st die Langen different
zwischeu B und A, W der Wert von V l c* sin* y fiir die Breite
(f> l -f- "K-F <jpj) fin erster Annaherung tindet man .Faus: log^F qpj)"
= log u -f- *U>1 1 1; p m ist der Kriimmungsradins im Meridian uuter der
Breite \ (F + <p,) , TF der Wert von VT <r sin 2 ^ fur die Breite
F (JF , ) A r = a Den Winkel t findet man aus
yi ^sin F
der Fonnel:
tg t sin i/ tg .F
und das Azimut 21 von BA in 7* ist gegeben durch:
"V YW *
Die in diesen Formeln vernachlassigten GroBen sind von der
Ordnung s 5 und ^.s 4 in bpzug auf A , Y, von der Ordmmg ^.s 3 , e*s :>
bei F <p lf P 2 s 4 bei F <p 2 , f 2 s 5 hei ti I2 , ^s 3 und s 4 bei dem Azi-
mut 21 . Fiir s 300km siud diese Fehler kleiner als 0",0002 in
y, F, 0" ? OfX)4 in F ^. 0",0003 in <a ls und 0",014 in 2l (vgl.
Helwert, H. G 1. p. 452 4r>4).
54. Projektionen auf die Ebene. Wir habcn in Nr. 21 aus-
einandergesetzt, v\ r ie Gauft uiit Hiiife einer konformen Abbildung die
Probleme der spliaroidischen Trigonometric auf die der spharischen
zuriiekgefiihii nat. In analoger Weise (und mit groBereni Nutzeu fiir
die Anwendu ngen in der praktischen Geodiisie) kann man Projektionen
auf die Ebene benutzen, um die geodtitischen Rechnungen anf solehe
der ebenen Trigonoinetiie zuriickzufuhren 108 ). Es seien einige Haupt-
systeme dieser Projektionen genannt.
Projektion von Soldner. Die Cartesischen Koordinaten eines Punktes
der Ebene werden den rechtwinkligen geodatischen Koordinaten des
entsprechenden Punktes auf dem Ellipsoid gleich gemacbt 108 ).
Konfortne Kegclprojcktion 1 * } , bei der die Meridiane durch ein
Strahlenbiischel und die Parallelkroise durch konzentrische Kreise ab-
108) Kine vollstiindige Behandluag der ebenen Projektionen findet man bei
Jordan, HandbucU 3, p. 255291 und 404 487; Bemerkungen dazu von A. fiorsch
in Fortschr. der Mathom. 27 (189>), p. 785 Man sehe auch C F. Gaitft Werke 9,
p. 137 und vergleiche ira tibrig&it VI i, 4 (1{. Bourgeois).
109) Vgl. FuBuote 103.
110) Diese Projektion ist von t\ I when bei der mecklenburg. Landea-
yerme5ung benutzt, vgl- W.Jordan, GroBnerzog). Mecklenb Lftndesvenn., 5. Teil,
Schweiin 1895. Fiir die geodatischeu Rechnung<>n in der Aquatorgegend iat die
J/ifrAa*yrprujcktiou von Ch. A/. Schols vorgeschlagon und studicrt [Delft J. ec.
polyt. 1 (1885), p. 1].
24. Projektionen auf die Ebenft.
gebilclet werden. Entspricht dem Flachenpunkte <p, r<i ein Punkfc in
der Ebene mit den Polarkoordrnaten 7?, 0, so ist
WO
* _ * ( +-f) (Ja ft, * Konstaten).
Wenn man eine Erdzone mit der Mittelbreite <p abbilden will,
BO sind die passendsten Werte der KonstaoteD:
fv === Sill CPrt n ^^
<P 07 r sind die Werte von <Z>, r (Radius des Parallelkreises) ftir die
Breite vp n . Die Theorie dieser Projekfcion ist vollstiindig analog
der sphiirischen Abbildung von (7awy8 (Nr. 21j.
Konforme Projection von 6rawy6 m ), bei der der Hauptmeridian
durch eine Gerade dargeateUt wird und die Bogen dieses Meridians
den entsprechenden Strecken in der Ebene gleich sind (langentreue
Abbildung des Hauptmeridians). Setzt man:
so kann man das Linienelement der Flache in der Gestalt
ds =* rYdq* + da*
ansetzen und jede konforrne AWldung auf die Ebene wird durch eine
Relation der Form:
vermittelt. Wenn die X-Achse den Hauptmeridian darstellt, so muB
sich fittr 01 = die Gleichung X = a ergeben, wo ^ den Meridian-
bogen zwischen dem Aquator und der Breite tp bedeutet. Dies be-
stimmt die Gestalt der Funktion / uud fiir kleine Werte & erhaK
man durch Reihenntwicklung:
- ^ sin y cos" 9? (5 / 2 -f 9 iy ! ~h 4i? 4 )
2V cos 3 qp (1 t* -f- V) H ---- ,
111) Diese Projektion ist von Ganfi fur die Rechnungen der Hannoversclien
(rradmeBsung nod ihrer Fortsetzung uach Jever (1821 1 825) sowie fur die
Ilannoversche Landesvejrmessung (18281844) benutzt. Die Theorie it von
0. Schreiber aaseinandergesetzt, Theorie der Projektionsmethode in der Kannov.
Laaden verm ess ., Hannover 1866. Die in Gnuft NachlaB gefundenen Pormeln aind
Werke 9, p. 141 204 von L. Krugvr zusamaieugestellt; vgl. dazu auch den Brief-
wechscl rnit Schumacher, ibifL ; p. 805- 218.
172
VI i, 3. P. Pizxetti. HShere Geodasie.
wo zur Abkurxung:
i
gesetzt igt Urn die umgekehrten Fonneln binzuschreiben, bezeichuen
wir mit y t die Breite* des Parallelkreises, der vom Aquator den Ab-
stand X hat. Man hat dann mit derselben Genauigkeit:
wo Q I: N v ^j, ^ sich auf die Breite qpj beziehen. Das Verhaltnis
zwischen einem geodiitjschen Bogen AB s und der Strecke A H = S
(Fig. 6) in der Ebene, die die A uud B
eutsprechendea Ptmkte verbindet, ist bis
auf Grofien der Ordnung 6 2 s 3 und s*
Die Winkel, welche das ebene Bild AC S
der geodatischen Linie AB mit der Strecke
AS inacht, sind mit derselben Genauigkeifc:
Fig. 5.
Der Bogen A CB kehrt imraer die konkave Seite zur X-Achse, was
als Regel zur Bestimmung der Vorzeichen von <$,. d 8 dient. Die Or-
dinate Y l luacht mit dem Bild* des Parallels im Punkte ( A" } , Fj) einen
Wiukel:
Y
Y s
sn
-f
cos 2 y (1 -f-
-f*
dies sind die fundameutalen Formeln der konformen Projektion von
Gauft. Wegen weiterer Entwicklungen ygl. man Schreibcr ni } und
Jordan, Handbnch 3. In neuerer Zeit hat die GaufiBcbe Projektion
bei der Laudesyermessnng von Frankreich durch Ch. LaUemand Ver-
wendung gefunden; man beabsichtigt Frankreich in 7 Meridianstreifen
von je 2 Breite zu teilen 111 *).
In der Praxis hat sich die ,,konfonne Doppelprojektion", die von
0. Schreiber bei der preuflischen Landesaufnahrae eingeftthrt ist, als
!!!) Zeitschr. f. Veroiess. 28 (1899), p. 48, 138.
25. Basismesstingen. 178
sehr zweckmafiig erwiesen. Man erhalt sie durch 1) eine konforme
Abbilduiig des Ellipsoids auf die Kngel nach Gauft (Nr. 21) und 2)
eine konforme Abbildung der Kugel auf die Ebene, bei der ein Mittel-
meridian langentreu abgebildet wird mb ).
B. Landcs?ermessung.
25. Basismessungen. Urn die gegenseitige Lage von Punkten
auf der Erde zu bestimmen, mufi man wenigstens die Lunge einer
Strecke direkt messen ; eine solcbe gemessene Strecke nennt man Basis.
Die Einrichtung der Basis, d. h. der Linie AB, langs der die Trager
der MeBstangen aufgestellt werden, erfolgt durch Aufstellung eines
Alignementsfernrohrs (d. h. eines um eine horizontale Achse drehbaren
Fernrohrs) in einem Ende A, mit dessen Hilfe man auf dem Boden
die Punkte des Vertikalschnitts AlB festlegen kann; umgekehrt kann
man von B aus den Vertikalschnitt BA festlegen. Endlich kann
man aucb durch sukzessive Aufstellung des Instruments in Zwischen-
punkten P zwischen A und B diese Puakte P so bestimmen, daB
die Azimutdifferenzen zwischen den Vertikalschnitten PA, PB 180
betragen. Man erhalt in dieseui Falle die sog. Feldlinie n *} (courbe
d alignement), die als Ort der Puakte definiert werden kann, in denen
die Normalen von den Punkten der Geraden AB aus auf die Flache
diese schneiden. Eine solch<j Linie beriihrt die Normalschnitte AB
und BA in A und B reap. 113 ), und ihre Abweichungen von diesen
sind von derselben Ordnuug wie die xwischen den geodiitischen Linien
und den Normalschnitten (Nr. 17), d. h. in praxi vollig zu veri ach-
lassigen 114 ).
Bei dem Gosagten ist stillsc.hweigend vorausgeset/t, daB die Ein
richtung der Basislinie auf dem Ellipsoid erfolgt. In Wirklichkeit
geht sie aber auf der physischen Erdoberflache vor sich und die Ab-
weichung dieser vom Referenzellipsoid ist nicht zu vernachlassigen 115 ).
lll b ) 0. Schrciber, Die konforme Doppelprojektion der Trigonom. Abt. der
Kgl. PrenB. Landesaufnahme, Berlin 1897; Zeitsclir. 1 . Vermeag. 28 (1899), p. 491,
693; 29 (1900), p. 257, 289.
112) ftber die Feldlinie vgl. James und Clarke 6 *), p 237; Bremiker 46 ),
p. 6267; Helmet*, H. G. 1, p. 400.
113) tfber den Vergleich der Feldlinie mit den Normalschnitten vgl. Clarke,
Geodosy, p. 113116 und Pizzetti, (Horn, di mat. 21 (1882;, p. 1.
114) Fur eine Basii Ton 10 km Lange betragt die grSBte lineare Abweichung
zwischen den beiden Nortnalschnitten nicht mehr als 0,005 mm. wahrend mau bei
der Einfluchtung auch nait einoui shr guten Alignemeutsfernrohr eeitliche Ab-
> ciciiungen von mehrereu Millimetern fur eine Stangenlage kanm vermeideu kaoo.
115) Wegen der Reduction einer Baais auf eino gegebeue Niveauflache vgl.
174
VH, 3. P. fizzettt. Htfhere Geodaaie.
Es sei ANB (Fig. 6) die Basislinie: fallt man dann von A, B
Normalen auf das Ellipsoid bis .4 K, so % ist aus der gemeesenen
Ljiuge ANB die Liinge der
geodatischen Linie oder des
Vertikalschnitts A B abzu-
leiten. Der Winkel /wischen
den beiden Vertikalebenen
AA B f AAH (Nr. 11) ist
so klein, dafi sie, was die
Einrichtung und Messung der
Basis augeht, als identisoh
betrachtet werden kornien.
Mit dieser Annaherung kann
die Projektion P Q einer
Stangenlage PQ auf das El
lipsoid als ein Element von
A T? betrachtet werden. Die
beiden Normalen PF, QQ
bilden einen so kleinen Winkel
# 6 - miteinander, daB der Bogen
P Q mit dem Bogen des os-
kulierenden Kreises in P identifiziert werden kann. Aus dem Drei-
eck PCQ (C ist der Kriimmungsmittelpunkt von P auf A B} erhalt
man dann:
wo b = PQ, h die Hohe QQ der Stange Uber dem Ellipsoid und
i 90 <; VPQ ihre Neigung gegen den Horizont ist; R ist der
Kriimmungsradius von A B in P . Bis auf zu vernachlassigende
Grofien wird deshalb die Liinge von A B :
~
(44)
L =
Zbi*
Dr Ausdruck ^2lti a heifit Reduction auf den Hwizont n *) (die Nei
gung i wird an einer mit der MeBstange verbundenen Libelle ab-
Jdeltntrt, H. G. 1, p 4X7 und E J ttcci, Sulla teoria delle basw geodeticbe, Neapel
1880 Es ist mir nicht bekaunt, wann zum ersten Mai die Koduktion einer
Basis auf das Meeresniveau ausget iihrt ist. T,(.tcoittlaminc und Bonyuer haben
dieso Reduktiim bei dem Peruanischea Bogen angebracht (siebe Todhuntcr,
History, 358).
116) Diese Korrektion acheint zuerst von liouyuer bei der Haais von Quito
Ciugefiilirt zu fiein (Core, Geodesy, p. ?).
20. Basisapparatc. 175
gelesen) und -_- Reduction auf das Meeresniveau. Diese k?uin mit
geniigender Genauigkeit auch in dor Gestalt: TJ-~ geschrieben werden,
wo J?,, der Kriimmungsradius von A B in A " 1 ) nnd H m die mittlere
Hohe der Basis fiber dem Meere 118 ) ist, die durch ein geometrisches
Nivelleinent bestimrnt wird. Es ist nicht notwendig, dafi das Nivelle-
ment die Hohe jeder Stangenlage gibt, es geniigt das Mittel aus den
Hohen einer Auzahl passend verteilter Stangenlageu oder sogar der
Eiiden A, R Ein Fehler von 64 cm in H m wiirde rjrf von L aus-
machen.
26. Basisapparate 119 ). Bei den metallischen Basisapparaten, die
heutzutage fast ansscblieBlicb benutzt werden, mu8 man die Audermig
der Stangenlange mit der Temperatur beriicksiebtigen. Wird diese
direkt mit einem Quecksilbertbermometer gemessen ; so erhalt man die
Stangenliinge bei der Temperatur < durch die Formol:
b = b Q (l+pt),
wo 6 die Staugenlango bei und der Ausdelmungskoeffizient 1 * )
ist. Aher meistens verzichtet man auf die direkte Messung der Tem
peratur und stelit nach dem Prinzip des MetaUfhwmotncters von ftorda)
117) Der Krummungsradius in einem Pxmkte P von A B unterscheidet gicb
von /^ sehr nahe urn :
/ E\ 6 e*s . .
I j ] = - - si" 2 qp cos of
\ds/ 2 p
(NT. 12), wo .s>=arc(.4 P ). Fur s 10 km 1st diese Differenz kleiner ala
0,000016 K n , d. h. wenu man in dero letzten Gliede von (44) J? iur B setzt, go
begeht man einen proxentualen Fehler, der kleiner iat ala 0,000016 (oder kleiner
118) Genau gfmommen mu Ote man die H5he der Stangen \ibor dem Refe-
ren ellipsoid licnutzen, aber in erste.r Ann Aherung identitizieren wir dies mit
dem Geoid (Nr. 7).
119) Vgl. A Wtstyihal, -Zcitschi. f Instr. 6 (1885). p. 267, 383, 373, 420;
8 (1888), p. 189 und 337.
120) Das Thennometerquecksilber muB in m&rlichat dirckter Bcriibrung
uiit dem Stangenmetall aein. Deahalb bringt man in der Stange.noberflache
Hoblraurae an, die mit Quecksilber oder Eisenfeilspanen gefiillt werden; in dieae
tHiK lion die Therinonieterkugeln ein.
121) J. C. Borda, Experiences snr lea regies qui ont servi i la mesore des
banes (Anhang zu: Dclambre, Base du systeme m^trique etc., Paris 18061810).
Nenerdings sind Zweifel an der Genauigkeit der bimetallischen Apparate auf-
getaucht, weil die beiden Stangeu Terschiedene Triigheit gegenuber Temperatur-
anderungcn besitzen. Vgl. 0. Schrciber, Zeitchr. f. Vermess. 11 (1882), p. 1;
A. Ftsdicr, Astr. Nachr. 108 (1882), p. 33.
176 VI 1,8. P. ftzzettt. Hohere Geodasie.
den Apparat aus zwei Stangeu ?on verschiedenen Ausdehnungskoeffi-
zienten, die an einem Ende verbunden sind, her (Fig. 7). Die Laiige
b einer der beiden Stangen ist dann eine lineare Funktion der Dif-
ferenz A; der Langen beider (Angabe des Metallthermoraeters), deren
Konstanten durch Vergleich der Stangen rait einenu Prototyp bei ver
schiedenen Ternperaturen zu bestioamen sind.
a)
es
ft
Fig. 7. Fig. 8.
Man hat aucK Kompensati<tH8apjMirte konstruierr, bei denen zwei
Metallstangen mit verschiedenem Ausdehnungskoeffizienten so ver-
verbunden sind, daB zwei bestiramte Punkte eine von der Temperatur
unabluingige Entfernung besitzen. Die beiden benntzten Apparattypen
aind in Fig. 8 scliematisch dargestellt. Bei dera ersten (englischer
Apparut von Th. Colby} gehen die Querstilbe ace nud bdf (Fig. 8 a) in
Scharnierew und die Entfernungen ee und {If sind so gewsihlt, daB die
Strecke ef von der Temperatur unabhangig ist. In Fig. 8b (nord-
amerikanischer Apparat von C. A. Schott) sind ab und cd xwei gleich
lunge Stabe aus gleichem Material und fe em Stab aus anderem Material^
der mit den beiden ersten bei a und c resp. verbunden ist. Das
Verhaltnis ab : ac lattt sich so wahlen, daB die Entfernui)g bd kou-
staut ist.
Die Basismessung selbst wurde urspriinglich so ausgefiilirt, daB
die Stangnn unmittelbar aneinander geschoben wurden; die Liinge der
Slauge wurde dann durch die Entfernung der beideu Endflachen oder
Kanten deiiniert (Endmaft). Spater hat man diese Methode verbessert,
indem ein kleiner Zwischenraum zwiscben den Stangen gelassen wurde,
der mit Hilfe eines Keils (Besset) oder Fuhlhebels (F. G. W. Stnwe) oder
Schiebers (J. C. Borda) (slide-contact, linguetta) bestimmt wurde, wie
Fig. 9 zeigt. Neuerdings ist das dritte System noch durch Anbringung
von Feder und Sohraube verbessert worden.
Der erste, der Stricbe auf den MaBstabcn anbraclitc und ihre Liinge
durch Entferuung der Striche definiertc (titrickmafi), war R G. Bo-
scoiich 1M ) (Basis auf der Via Appia und bei Rimini, 1751). Er schob
claim die MaBstabe mit kleinem Zwischeuraum aneinander (Fig. 10) und
122) Vgl. A. Wettphal, Zeitsclir. f. Insrt. 5 (1885), p. 333.
26. Basisapparate.
177
bestimmte die Entfernung ab mit Hiilfe dcs Zirkels und einer ge-
teilten Skala. (r. B. Beccaria in Turin 185 ) (1774) und die Mailander
Astronomen (Basis von Somma, 1788) legten die MaBstabe so, wie es
Fig. 11 zeigt (Seitenkontakt). Bei .dem Apparate von Colby wurde
Fig. 9.
ebenfalls ein kleiner Zwischenraum zwischen 7/wrei aufeinanderfolgenden
Stangenlagen gelassen, der rait Hilfe eines Systems von zwei Mikro-
skopen mit vertikalen Achsen gemessen worde. Die Nachteile der
L
J
1
Fig. 10.
Fig. 11
direkten oder indirekten Berflhrung der Stangen werden am besten
vermieden bei dem modernen optischen System, das kurz folgendes ist
(Fig. 12): Eiue einzigz MeBstange tragt an jedem Ende eine Teilung,
Fig. 12.
auf die, wenn die Stange in der Basis liegt, awei Mikroskope mit
vertikalen Achsen gerichtet werden. Die Mikroskope werden fest auf
Boeken, die von denen fiir die Stange unabhangig sind, aufgestellt,
mid die mit t Hilfe der Stange ermittelte Entfernung ihrer Achsen
123) Ibid , p 336.
178 V1 1,3. P. Piezctti Hfthere Geodasie.
bildet ein Element 6 der Basis (Forniel (44)). Indem man dann das
Mikroskop c und die Stange im Sinne des Pfeils vorwarts bewegt,
mibt man von c aus ein neues Element der Basis usw iMit der Er-
findung dieser Methode sind die JNauieu J. Porro, F. /?. Ha filer, J. F.
d Aubuisson verknupt t; wem die Prioritat zukommt, ist nicht sicber 124 ).
Gescbichtlich sei noch bemerkt, dafi aut angs Holzstiibe, x. T. mit
metal] enen Einsiitzen beuutzt wui den; Cassini //. benutzte zum ersten
Mai eiserne Stabe 125 ). Wir lassen liier die Namen einer Auzahl von
Basisapparaten mit den zugehorigen Literatiirnachweiseii folgen (die
in Klammern beigesetzten Namen geben init den Apparaten ge-
messfne Baseu an): Apparat von J. Ramsdcn 1 * 6 } (Hunslow Heath in
England, 1784): Ibrda 7 ) (Meluu und Perpignan, 179899): G. von
} (Nih-nberg und Speyer, 1807 und 1819); Th C0% m )
nhl Aiidfl^lJ: J?6 > ,seZ 130 )(Konigsberg, 1834, und die meisten
deutsehen und italienischen, aufierdem belgiscbe, eine schwedische und
eiue dauische Basis); Struve*) (E.u Bland von 1827 an); J. Porro.
moditiziert von A. Seccfii 1 ) (Via Appia. 185455); Porro, modi-
tiziert von P. Hossard***) (Algier, 1854 67); C. Jba.nee, konstruiert
von #ra?fv m ) (Madrid, 1858); Preuft. geodat. Institut*}, dem vorigen
fast gleich, (Strehlen, 1879, Berlin, 1880, Bonn, 1892); Jbnnez verein-
facht 146 ) (Spanien, 1865-79, Schwciz, 188081): liepsold-Coni-
124) E. Hammer, ZeitscLr. f. Vermea*. 20 (1891). p 446; C Davito, Kiv. <ii
lopografia 9 (1696), p. 4t>.
1^5) A. Westptifd, Zeitschr. f. Inetr. 1885, p. 265.
126) W. Roy, London Phil. Trans. 15 <1785), p. 385.
127) Vgl, JMamlre ot Mechain in Fnfinote 121. *
128) C M. von Bautrnfeitid und (/. van Orfl\ Die JJayerische Laode-ffver-
mesBung, Miinchen 1878.
120) James and Clarke "), p. t OOtf.
laO) 7 r> . W. BesfeJ und J. J. Bueyer, Gradme^sung in OstpvenBen usw\. Berlin
1H3J5 (Bvssek Abhaiidlgn. 3).
131) F. G. W. Slruve, Arc dn meridieu de 25 20 entre le Dauul>c e la
mer glaciale mesur^ depuie 1816 jugqu eu 1850, sous la direction de Tenner,
Sclander, Hamtttn und F. G.W. Struve, St. Peterabourg 185760.
132) A. Secchi, Mieura della base trigonometrica della Via Appia, Rom 1858.
138) P. Hossard. Note svir la mesure des bases (iu L. Fntncowr, Geode sie,
4. ^d., Paris 1866).
134) C. Ibunez et Soavedra, Experiences faites avec Fappareil ^ laesurer les
bases appartenant a la commisBion de la, carte d Espagne (Trad action pai
A. Lausstdaf, Paris I860).
135) General bericht derEurop. Gradmeguug 1878 79. Vgl. auch F Kuh-
nen und It. Sctmmann, Die Neumesgung der Grundlinien bei Strehlen, Berlin und
Bono, Berlin 1897. in dieser Alihandluug findet man einen mteressanteu Ver
gleich zwischen den BasisHpparaten von Ittxsel und Brunner.
27. Winkel; ihra Tteduktion auf da* Ellippoid. 179
stock* 31 ) (Chicago, 1877): Schott 19 *) (Yolo und Los Angeles in K*U-
fornien); Eiwbeck) ,,Duplex (Salt-Lake, 1896V 40 ); Wottdward" 1 ) in
Eis (Helton, 1890).
Wir nennen endlich noch den Jtiderinschen Apparat 1 **), der zwei
Drahte von 25 m (oder 50 m) Lange, einen aus Phosphorbronze nd
einen aus Stahl, enthalt, die durch eine Federwage oder durch ein
System von Gewichten gespannt werden. Der Apparat 1st neuerdings
unter Verwendung von Nickelstahldruhten abgeandert worden und
scheint in dieser Form eine groBe Zukunft zu haben 14 *).
27. Winkcl; ihre Reduktion auf das Ellipsoid Auf die
Messung der Horizontahviiikel gehen ^vir hier nicht ein, sondern ver-
weisen, soweit ihre Dnrstellung tiberhaupt in den Rahtnen der Enoy-
klopadie gehort. auf den Artikel Ober ,,Niedere Qeodasie" (\ : I 1, I
(C. Pern he rtx)\ Es sei hier nur bemerkt, dafi die Kreisablesung
an den WinkelmeBinstruinenten bci den Aufgab^n der hoheren Geo-
dasie heuizutage immer mit Hilfe von Mikroskopen erfolgt 144 ).
1st an einem Beobacbtungsort A der Horizontal winkel 5M zwischen
B und C oder die Different der astronomiscben Aziraute von B
und C in be/.ug auf A gemessen (vgl. Nr. 5), so muB man daraus
den Winkel 31 zwischen den geodatischeu Linien AH uiid AC auf
336) Zeitscbr. f. Instr. 1865, p. 17J5. Vgl. auch C. Koppr, Der Baaisapparat
des Generals Ibanez und die Aarberger Basismesaung, Zurich 1881.
137) Jordan. Handbucb 3. p. 9093.
138) C. A. Schott, Description and construction of a now compensatiou
base- apparatus, R. C. G. S. 1882, App. 7. Vgl. anch Zeitchr. f. Inst. 1885, p. 315.
139) W. Kimbfck, The duplex base-apparatus etc., R. . G. S. 1397, A.pp. 11.
140) Dae Prinzip des Metal Ithennometers wird bier nicht auf die einxelne
Stangenlage, sondern auf die ganze Basis angewundt (wie in dem spater erwaiin-
ten Jarfmnacben Apparate); die Ditfereuz der Mesaungeii mit zwei Metallen dient
znr Elimination der Temperatur
141) S. Woodward, On the measurement of the Holton Base etc., B. C. G. S.
1892, App. 8, Teil 2.
142) E. Jtiderin, Sveuaka Akftd. 9 (1896), Anhang, p. 57; vgl. auch Int.
Erdui. 1898, p. 277. Wichtige Versucbe iiber die Verwendung von Nickelstah!-
drabt (Invar) x.ur Basismessung sind im Internationale!) Bureau ffir MaBe und
Gewichte in Breteuil gemacht. Vgl. R. Benoit et Ch. fatillautne , l>es nouveaux
appareils pour la inesure des bases geodesiqucs, Paris 1905. Dber neuere Ver-
eucho zur Basismessung vgl. auch Int. Erdua. 1903, I. T., p. 186: II T., p. 84, 90,
293; ferner A. L. Baldwin, B. C. G. S. 1901, App. Nr. 3.
14&) Um nicht zu sehr auf techniache Details bei Basismessungen einzugehen,
gprechen wir nicht weiter von der Einfluchtung, der Fixierung der Basisenden usw.
t^ber vide Einzelheiten findet man bei Kiihnen und Schumann lto ) Auskunft.
144) Nach Gore, (reodesy, p. 139 ist das Mikroskop zur Kreisablesung aura
ersten Male von J. Jtam^len (ungefahr 1787) benutzt.
180 VI i, 5. P. Piezetti. HChere Geodasie.
dem Ellipsoid berechnen 145 ). Die Punkte A, B, C sind die Schnj,tt-
punkte der Vertikalen von A , B , C mit dem Ellipsoid. Beriick-
eichtigt man die Fonneln (6 ) in Nr. 11 und (27) in Nr. 17, so
ergibt sich:
* - + i^fl A. "in 2M e - k, sin 2^ 6 }
(45 \
V f 1 o 1
8m
wenn A 6 , A e J ft , ^4 C die Hohen resp. die Azimute Ton B und C, s b , s e
die Entfernungen AB, AC bedeuten. Der zweite Teil dieser Kor-
rektion ist fast immer zu vernachlassigen, der erste wird nur dann merk-
lich, wenn die Meereshohe der Beobachtungspunkte 500 m iibersteigt 146 ).
28. Triangulation. Einen Punkt B rait einem anderen A geo-
datisch verbinden heifit: diejenigen geodatischen Messungen ausfahren,
die notwendig sind ; um aus den gegebenen Koordinaten von A
(ellipsoidische Lange und Breite) und der Meridianriohtung in A die
Koordinaten von B und die Meridianrichtung in B zu bestimmen. Um
die direkte Messung der Entfer-
uung A B zu umgehen, die nur fur
zehn bis zwanzig Kilometer prak-
tisch ausfuhrbar ist 147 ), hat WUle-
brord Sndlius van fimjen um 1615
die Methode der Triangtdation er-
funden und angewandt. Man wablt
bei dieser Methode in der Gegend
zwischen A und B eine Anzahl
Fig. is. wohl definierter Punkte C,D,E,...
(die wir der Einfachheit halber
auf dem Ellipsoid gelegen annehmen) und denkt sie sich durch geo-
datische Linien in der Weise verbunden, dafi sie eine Drewck&kettt
145) BezHglich der Reduction der beobachteteu Winkel auf das Ellipsoid
vgl. u. a. A. Sonderhcf, Arch. Math. Phys. (Grunerta Archiv) 61 (1870), p. 20
und 42.
146) Man muBte noch zweierlei berucksichtigen; 1. die Lotabweichung in
A oder die Abweichung der Ellipsoidnonnale von der Lotrichtung in A!\ 2. die
Tatsache, dafi die Vertikalen von A. und A nicht zuBammenfalleQ. Ka ist abet
in NT. 7 gezeigt, daB die Abweichung de.s Kllipsoids vora Geoid ohne merklicheu
Einflufl auf die Messung der Horizontal wink el ist; um so mehr ist der EinfluO
dr Vorschiedenheit der Vertikalen von A und A zu Ternachlassigeu.
147) Die liingste in neuerer Zeit gcmessene Banis ist 14,6 km lang (Madxi-
dojofl); im allgemeinen sind die Basislinieu nicht fiber 10 km laug. Nach Jordan,
Handbuch S, p. 103 ist die mittlere LRnge der gemesseneu Basislinien 6 km.
28. Triangulation. 181
bilden (Fig. 13). Man ruiBt nun eine Seite und eine geniigende Anzahl
von Winkeln, urn von dem Dreieck aus, dem die gemessene Seite
angekort, samtliche Dreiecke nacbeinander auflosen zu konnen; die
Punkte A, C, /), . . .. B sind dann geodiitisch unter sich verbunden.
Kann man in verschiedener Weise von A nach B ubergehen, BO
nennt man die Gesaratheit der Dreiecke ein Neta.
Bei der Auswabl der Dreieckspunkte spielen vor alien Dingen
praktiscbe Erwagungen, die sich auf die ortlichen Verhaltnisee be-
ziehen, eine Rolle; indesgen sind anch einige tbeoretiscbe Furderungoa
in bezug auf die beste Gestalt und Dimension der Dreieck? BO weit
als moglicb zu beriicksichtigen. Das Problem der besten Gestalt der
Dreiecke, d. h. derjenigen Gestalt, bei der die WinkelmeBfebler den
geringsten EinfluB auf die geodatische Verbindung haben, kann man
nirlit allgemein losen; man kaun nur in speziellen Fallen und in it
vielen Beschrankungen Losungen geben 148 ). Ohne hier auf detaillierte
Rechnuugen, die von geringer theoretiscber und praktischer Bedeutung
sind, einzugehen, bescbranken wir uns auf die Bemerkuiig, daB in
einem Dreieek, in dem eine Seite und zwei Winkel bekannt sind, der
EinfiuB der Winkelfehler auf die bei den andereu Seiten (relativ zu
diesen Seiten) ungefahr den Kotangenten der gemessenen Winkel
proportional ist. Ein kleiner Winkel bedeutet desbalb, wenn er zur
Seiteniibertragung notwendig ist, eine schwacbe Stelle in einem Netze
und ist durum in einem solchen Falle nioglichst zu vermeiden. Von
diesem Gesicntspunkt aus ist es vorteilbaft, sich nieht allzusehr von
der Gestalt gleichseitiger Dreiecke zu entfemen.
Was die GroBe der Dreiecke betrifft, so wurde es einerseits
zweckmafiig seiri, die Netze erster Ordnung aus moglichst wenigen
Dreiecken aufzubauen, dam it eiue moglicbst geriuge Zahl von beob-
achteten Winkeln in die Rechnung eingeht; aber andererseits muB
man beachten, daB der mittlere Fehler der Winkelmeasungen mit der
Entfernung der Dreieckspnnkte wachst. Speziell kommt hier die so-
genannte LaterfdrefraJction zur Geltung, d. b. die azimutale Ablenknng,
welche die Sehstrahlen durch die atmospharisehe Refraktion erleideu tw ).
F. Pfa/f 1 * 1 } in Erlangen hat wahrend eines Jahres eine Keihe
148) Rechnungeu dieser Art findet man bi Jordan, Handbuch 3, 19, SO
und Pucct, Fondamenti 2, cap. VII.
150) Hietoriache Notizen 8. bei A. Ftschfr, Der Eintiufi der Latenkefraktion
auf dae Messen von Horieontalwinkeln , Berlin 1882; Jordan, Handbucb S,
p. 185141.
161) A. Fischer 169 ) , die von C. M. von Bauemfeind (Ergebnisie aus Be-
obachiungea der terreetrischen Refraktion, 1. iCitteilung, Monchen 1880) acge-
ncjrklop. d. math WitMntob. VI I. IS
VI i, 3. P. Pizgetti. HChere Geodasie.
von Winkelmessungen ausgeftihrt, indem er die Horizontalwinkel
zwischen zwei in einer Entfernong von 11 und 19 km gelegenen
Pnnkteu und einer benachbarten Mire beobachtete; die gemessenen
Winkel anderu sich periodisch und die groBte Abweichung hetragt
reap. 19" and 18".
A. Fwfttr hat nach dem Beispiel von W. Struve 1 **) das Problem
der Anderung des EinrlusseH der Lateralrefraktion mit der Liinge der
Visuren praktisch dadurch zu losen versucht 158 ), daB er die Sdtlufl-
fehler der Dreiecke dcs ,,Rheinischen Netzos" mit der mittleren Liinge
der Dreiecksseiten verglich. Er kommt zu dem SchluB tM ), daB die
Entfernung des Objektes an sich nur geriugen KinrluB auf die Lateral
refraktion hat. Hiernaeh und nach anderen statistischeu Zusammen-
stellungen Fischers scheint der SchluB erlaubt, daB die langen Visier-
strahlen (tauger als 100 km) in bezng auf (renHuigkeit 165 ) keine
merklichen Nachteile habeti, wenn der Beobachter fur das Einsehneiden
giinstige Luft- and Beleuchtungsverhaltnisse wahlt.
29. Basisnetse oder Vergrdfierungsnetae. Das im vorsieheiulen
fiber die Gestalt der geodatisehen Dreiecke Gesagte gilt nicht fur die-
jenigen Netzteile, die zur VergroBerung der Basis bis ur Twinge der
gewohnlichen Dreiecksseiteu dienen. Da die Baseo selten langer als
1 km uud die Dreiecksseiten im allgemeinen langer als ."() km big /u
100 km hin sind, 8O moB zunachst ein Oreieekssystein mit wachseB-
den Seiten an die Basis aageschlossen werden. Der gewohnlichste
Typus der Basisnetze ist der rhonibisdw (Fig. 14 a). Nach
stellten Beobachtnngen haben nicht mit Bioheriieit einen EinflnB der Lateral
refraktion erkeunen laasen.
162) Astr. Nachr. 7 (1829), p. 8 J.
163) Eiue theoretischc Uaterauchung mu6 Bich immer mit der Amialime
begnugeu, daB die Atmosphiire aus homogenen, lurch regelmaBige Flachen
(etwa kouzentrische EHipeoide) getrennten Schichten bestehe Solche Unter-
Buohungen fiihreu zu uumerklicheu Reeultateu; vgl. <S oMi7*<.v 145 ); Helmert,
H. G. 2, p. 664665; Piezetti, Torino Ace. Atti 25 (1889), P- 101. hi Wirklichkeit
iat die Verteilung dev Luftschichten in der Nahe des Bodens weit davon entfernt,
eich (lurch eine iufacbe matbeoiatiBche Formel daretelleii zu lassen.
164) Fischer ), p. 40.
155) Der Grund, dafi der EinfluB dor Lateralrefraktion nicht Bobr mit der
Entfernong w^cbst, scheint darin zu liegen, daB die Gesichtslinien nach sehr
entferaten Objekteu meiatena boch fiber deal Boden hiuwegzieben und infolge-
desaen dutch gleichmaBig gelagerte Luftschichten hindurchgehen, welche aine
seitliche Verbcbiebung de Lichtstrahls nicht bewirken; vgl. auch W. Struwt,
Graclmessung in den Ostseeprovin/ea Rulilands 1, Dorpat 1831, p. 149; Jor
dan, JTaudbuch 1, p. 660.
156) Zeitschr. Math. Pbye. 13 C1868), p. 16S.
80. Berechnung einer TriaDgulation.
183
bekommt man in bezug auf Genauigkeit die gunstigste Entwieklung,
wenn die Diagonale jedes Rhombus ca. 1,5 nial so groB als die
des vorhergeheuden ist.
a)
Ein anderer Typus von
Baeisuet/en (Gitternetz,
Fig. 14 b) ist der, bei cem
die Basis vermittelst eines
Systems von annahernd
gleiehseitigen Breieeken
verliingert wird. Nach
Jordan t57 ) erfordert das
zweite System eine groflere
Arbeit an Winkelmessun-
gen, ist aber aucb genauer
als das rbombisciie.
Fig 14.
8(K Berechrnnig einer Triangnlation und der geographiaohen
Koordinaten der Dreieckspnnkte. Fflr eine erste angenaherto Be
rechnung eines Dreiecksnetzes kann man von alien Korrektionen ab-
sehen ir>8 J und die Dnieeke als ebene berechnen. Diese Rechnung
lietert angenaherte Werte der Dreiecksseiten. Setzt man daun, wie
es notwendig ist, die T3reite eines Dreieckspunktes und das Azimut
einer Dreiecksseite als bekannt vorau^ so kann man rohe Werte filr
die Breiten samtlicher Dreieckspunkte und die Aziraute der Seiten
ermitteln. Am einfachsten versohatft man sich eine angenaherte
graphische Darstellung des Netzes. Man bekommt so die notwendigen
Daten, urn die Korrektionsglieder und die spharoidischen Eizesse fur
die einzelnen Dreiecke berecbnen zn konnen.
Nachdem dies erledigt ist, kanu man zur Ausyieicfmng des Ndees
nttch dtt Methade der kleinstcn Quadrate (I D 2, J. Bauschinyer} iiber-
gehen, d. h. zur Berecbnung der im Sinne dieser Methode besteu Werte
der Winkel, die sich aus den Beobachtungen unter Beriicksichtigung
der geometrischeu Bedingungen des Netzes ergebeu. Davon wird im
tblgenden Paragraphen die Rede sein.
Sind die Dreiecksseiten definitiv berec-knet, so hat es keine
Schwierigkeit mehr, vom Punkte A aus. in dem die Koordinaten und
167) Handbnch 3, p. 121.
158) Solchc Korrektionen aiud z. B. durch die Fonnel (45) gegeben. Ferner
koramt die Keduktion dei gemeaBeneu Winkel auf <la Zentrum der Station orier
des SignaLi (Zenti ierang) iu Betracht, wegeu der wir auf die niedere Geodiiaie
verweiseii.
18*
184 VI i, J. P. Piszetti. Hohere Geodaaie.
das Azimut einer Seite bekannt siiid, die geographischen Koordinaten
(in bezug auf das Referenzellipsoid) der iibrigen Dreieckspuukte zu
berechueu. In der Tat, betrachtet man das Polygon ADEFB . . ,
(Fig. 13) desn Seiten samtlich Netzseiten aind, so kann man nach
den Methoden von Nr. 13 und 14 die Koordinaten yon D und das
Aziinnt von T)A in /> berecbnen; fiigt man zu diesem den Winkei
ADE (im Sinne der rechtslaufigen Drebuug von DA nach DE ge-
zahlt) hinzu, BO erbalt man das A/.imut von DE in D usw. Man
kaun BO die Koordinaten und das Azimat schrittweise tibertragen.
Wenn man nicbt die Koordinaten eines jeden Dreieckspunktes
gebraucht, kann man auch anders verabren. Wenn i. B. die Koor
dinaten yon 1) und E aicht berechuet zu werden brauchen, so kann
man die Dreieeke ADE, AEF auflosen, Seite AF und j DAF
berechnen und so direkt die geographischen Koordiuaten und das
Azimut von A nach F ubertrageu
Man kann auch auf das Polygon ADEF. . . die Metbodeii von
Nr. 22 aawenden und die Soldncrs<A\&n Koordinaten der verschiedenen
Dreieckspunkte bereehuen, mvt derenHilfe man d&un die geographischeu
Koordinaten ableitet.
il. Anngloiohong. Die Horizontalwitikelniesguugen, die auf
jeder Station ausgefiihrt sind. werden zunachst t Ur sich ausgeglichen
(StatuMswusfflricktmfi), d. h. es werden die plausibelsten Werte der
Winkei (oder Ricbtungen) f.rmittelt, wenn man die auf einer StatioD
ausgefUbrten Beobachtungen tiir sich betracbtet. Die so erhaltenen
Werte miisseu dann der Netzausgleictiung unterworfen werden, um die
Bcdingangsgleicbungen, welche die Winkei der verschiedenen Statiouen
verknilpfen, /u befriedigen. Die Ausgleichung geschiebt nach der
Metbode der vermittetnden Jleokichtungeti mit Bedinyunysgleichtingen IS9 ).
Uber die Ausgleichung selbst sei noch folgendes bemerkt:
ft) Statitmsausgleichung. Gegenwartig betracbtet man als beste
Metbode zur Erledigung einer geodatischen Station die Winkelmessuny
in alien Kombinationen 160 }, d. h. man mifit fiir sich saiutliche Winkei,
159) Das allgetneme Problem der vermittelndeu Beobachtungeu mit Be-
dingUDgugleichungen wurde in seineu Haupttcilen (mit Ausnahme der Berech-
nung des mittleren Fehlerfl) von Bessel 130 ) geliist Die Anwendungen auf die
GeodJUie wurden volUtandig von C. G. Andrae (Den Danske Gradmaaling 1,
Kopenhagon 1867) uud P. A Hanten [Leipzig Abhaudlgn. 13 (1865), p. 573 j
behandelt.
160) In die Praxis 1st diese Methode von General Schreiber eingetuhrt
worden, dem es auBerdem gelaug, die Winkei messungen BO ant verachiedeue
Kreisstande zu Terteilen, dafi dit* Mittel moglichst frei von Teiluagsfehlero dee
31. Ausgleiebung. 185
die zwei beliebig von der Station ausgehende Richtungen raiteinander
bilden Nennt man die Richtungen 1, 2 ; 3, . . >; s, so sind
(12) (13) . . . (Is) (23) (24) . . . (2s) (34) ... (3s) ... (s I, s)
/o __ 1\
die =-= - fur sich und mit gleicher Genauigkeit zu messenden
Winkel. Bezeichnet man mit ( M } den ausgeglichenen Wert des
Winkels zwischen den Richtungen 1 und t, so iat:
wobei
(rr)-0, (rl
iat.
Die Gewichtskoeffmenten sind:
Den mittleren Fehler der Gewichtseinheit kann man nach der
Formel:
" =
berechnen, wo v die Verbesserungen der -^ 5 - gemesBenen Winkel
sind.
Hansen nimmt an Stelle der Winkel die Richtungen 161 ) als Un-
bekannte an, d, h, die Winkel, welche die Gesichtslinien mit einer
willkiirlich fixierten Richtung auf jeder Station bilden. Nennt man
j 1 j, [2], . . ., [s] die ausgeglichenen Werte der Richtungen, so ist:
M - - 7 1 (*!) + (^)-f ----f-M}
und die Gewichtskoeffizienten sind:
Kreiees erhalten werden. Vgl. 0. Schreiber, Die Kgl. PreuBische Landestriangu-
lation, 2. Teil, Berlin 1874: Zeitschr. f. Venness. 7 (1878), p. 209 und 8 (1879),
p. 97. Er sagt, daB nach der Erfahrang die groBere Schnelligkeit, welche die
Methode der Beobachtung von Satzen btetet, illusoriech ist und daB bei
gleichei Miihe die Methode der Winkelbeobacbtungen genauer ist. V gl. auch
P. A. Hansen, Fortgesetzte geodat. Untersuchungen, Leipzig 1868 69; Jordan,
Handbuch 1, p. 259ff. ; N. Jadanza, Torino Ace. Atti 33 (1898), p. 883; mit Ver-
beKserung ibid. 34 (1899), p. 698: C. Bremiker, Astr. Nachr. 89 (1877), p. 66;
L. D. Bache, R. C. G. S. 1864, App. 33.
161) Wegen des Vergleiche von Winkel- und Richtungsmessungen s. auch
Jordan, Handbuch 1, p. 230 u. 276.
186 VI 1,3. P. Pizzetti. Hfihere Geodisie.
7, 0, 0, ...
o, 1, o, ...
Wenn man an Stelle der Winkelbeobachtungen die Methode der
SateleobacktuiMifn befolgt, so geht die Stationsausgleichung anders
vor sink. fiei einer beitiminten Stellung des Horizon talkreises
schneidet man nacheinander die Punkte 1, 2, . . ., s em und liest die
entsprechenden Kreisstellungen l lt i*, . . ., l t ab; man hat so einen
Beobachtungssatz erhalten. Bezeicbnet man mit k den Winkel, den
die Hichtung 1 mit der der Ablesuug entsprechenden Richtung
ruacht und mit X, Y, Z, . . die Wiukel, welehe die Richtungen
2, 3 ; 4. ... mit 1 bilden, so hat man die Fehlergleiohungen :
k /! = j, 1; -f- X Z 8 r 2 , fc -j- 1 / a v. A usw.
Jeder neue Satz mit einer neuen Limbusstellung gibt ein neues
System analoger Gleichungen, in denen an Stelle von I eine rieue
TJnbekauute V auftritt. So liefern r Satze sr Gleichungen (wenn
jeder Satz vollstandig ist, was im ullgemeineii nicht zutrifft) zwischeu
r -j- s 1 Unbekannten, aus denen man mit Hilfe der Nonual-
gleichungen die Werte X, Y } Z, . . . und die Gewichtskoef fizieuten
ableitet. Diese Methode stamint von B^ssel 1 **).
b) Netzuusj/leichuny. Wieviel Bedingungsgleiclmngen bestehen
zwischen den Elementen eines NetzesV Urn die relative Lage von n
F J unkten auf einer Flache zu bestimmen, muB man 2 H Stiicke
(Entfernungen oder Winkel, cine Eutlernuug niindestens) messen;
jedes weitere gemessene Stiick Ia8t sich als Fuuktion dieser 2n 3
Stiicke darstellen und liefert so eine Bedingungsgleichung. Siud li
Basislinien und M Wiukel in einem Net/ ron n Punkten gemesBen,
so ist die Anzahl der Bedingungsgleiehuugen deshalb:
(48) M + B 2n + 3.
Man teilt diese Bedingungsgleichungen in drei Kategorien 168 ) :
li>2) Gradmessung in OfltpretiBen, Abliandl. 8, p. 89. Wegen der Aus-
gleichnug von Satzen vgl. aach James aiid Clarke 6 *), p. 62; Cli. A. Vogler,
Zeitschr. f. Vermess. 14 (1886), p. 49; F R. Htlmert, ibid., p. 2C3.
H?3) Die Zalil der Polygon- und Seiten^leichungen ist von C. F. Gaufi
befltiuant: vgl. dip Brifffc an Gerling vom 6. Juni 1838 und 14. Nov. 1838,
Werke 9, p. 323; s. a. p. -297. Die bezuglichen Formeln vou Gauft Bind von
Cti, L. Gerlimg publi?iert und bewieaen in: Die Auegleichungsrechnungen der
praktiecLen Geometric, Hamburg 1843. Gaufi macht keiuen Unterschied zwisohen
31. Ausgloichuner 187
1. Winl dgleichiu f n(je.n\ diese sagen aus, daB die Winkelsumme
eines geodatischeii Polygons von r Seiten gleicb 2(jr 2jR ist, ver-
mehrt uin dtTi spharoidischen. ExzeB. 1st die Xabl der Stationen n
mid I die Zahl der von beiden Seiten beobacliteten Linien, so ist die
Zahl der Winkelgleichungen:
(49) I n -i-l.
2. Seitenylcichunfjeii. Um n Pvmkte miteinander zu verbindea,
muB man auBer einer direkten Langeutuessung die relativen Ricbtungeii
von *2n 3 Linien zwischen diesen Punk ten besiimruen: die Richtung
jeder anderen Linie, die z\vei von diesen Punk ten verbindet, ist darn
bentimnit. Wenn desbalb die Hichtungon von / Linien beachtet sind,
so hat matf
(50) / 2n 4-3
Bedingungsgleicbungen, die man Seitengleichungen nennb.
3. I>asi<$i/lcichiiHff(M 1 **). Da cine Basismessnng geniigt ; HO ergeben
sicb. wenn B Basislinien geinesseu sind:
(51) B 1
Bedingungsgleicbnngen, die Basisyleichunym beiBen.
Maa verifixiert leicbt, dafi die Surame von (49), (50), (51) gleich
(48) ist, da M = I -f I 11.
Die Aufstellung der Winkel- nud Basisgleiclmngen bietet keine
Scliwievigkeit. Bei den Seitengleichungen k;ujn man drei Typen
unterscheideD :
1. Viereck mit seimn beiden Diafjonalcn. Man hat (Fig. 15 a):
sin (GHA) sin (D VA) sin (ADS)
= sin (ACS) sin (ADC) sin (DBA).
Nennt man 7,, / 2 , . . ., 6 die beobachteten Werte der sechs in dor
vorstehenden Forinel auftretendeu Winkel und (1), (2), (3), . . ., (0)
die unbekannten Korrektionen (in Sekunden), so kann man Gleichung
den tvur von ciner und den von beiden Seiten beohachteten Tjinieu; Jordan,
Handbuch 1, gibt die Formeln mit Boriickeichtigung dieses Untcrsohiedep. Vgi.
auch James and Mnrke**), p. 2771 .: F. M. Htlrrwrt, Pio Ausgleiohungsjechaung
nsw., Leipzig 1872, p. 325; B. v. Prodzyn&ki, Asir Nacbr. 75 (1S69), p. St.
164") Um die Rechuungen nichi, KU koinpluioreu, geh(/ man bfti der A.;:3-
gleicbung eiues NetzcR gow5hnlich von ciner Basiw aus, o>me die Btsi&gleichiirjgen
zu bcracksicbtigen. Kin ) angenilhcrte Mothocle, DJTI do.itn deii GiundhnUm-
anschliisscn Reclinung zu trapcn, ist ange<jebon und WJgeiand| in : vl. Lorf>c/>
und 1,. Kriigcr, Die europ?:ischc La,ngcngra<ime"sb"i,!7 iu ?2 Grad Breit* 2, Bsrlin
1896, p. 2i~30.
188
VI i, 3. P. Piseetti. HOhere Geodftsie.
(52) (mit Vernachlascigung der Quadrate der Korrektinnen) schreiben:
(1)4\ + (2) A, + <B) A, - (4)A 4 - (6)A, - (6) A. + IP - 0,
wo
W log sin Jj -j- lg 8 n t ~f- lg 8 i ^3
log sin Z 4 log sin Z 5 log sin ? 6
let und A r die Andenmg von log sin l r bei der Anderung yon l r am
1" bedeutet. Sind in einem Viereck rait den Diagonalen je zwei
Wiukel an alien 4 Ecken gemessen, so kann man der Seiteugleichung
Fig. 16.
4 gleichberechtigte Formen geben. Ftir die Rechnung ist es am vor-
teilhaftesten, bei der Aufstellung der Seitengleichung diejenige Ecke
des Vierecks auazuzeichnen, der die groBte Dreiecksflacbe gegentiber
2. Geschlossenes von cinem Pwikie profixiertes Polygon (Zentral-
sygtem) (Fig. 15b). Mnn hat im System der Dreiecke OAI1,
OBC, . . ., OEA die Gleichuiig:
sin OBA sin OCB sin ODC sin OED sin OAE
sin BAO sin CBO sin DCO sin EDO sin AEO,
die man in ahnlicher Weise wie (52) transformiereii kann 165 ).
3. Aufier diesen beiden gewohnlichen Fiillen von Bedingungs-
gleichungen hat man noch einen weniger einfachen Fall, der bei der
Betrachtung eines Nettes, das sich urn tin geschlossenes Polygon hin-
ziekt (Fig. 16) (Kramsystem) iw ) } auftritt. Wir nennen ein Netz,
164*) G. Zachariae, Die geodatiaohen Hauptpunktt nsw., Berlin 1878, p. 152;
Jordan, Handbuch 1, p. 299; C. F. Oauft, Werkc 9, p. 246, 249, 326.
166) Bei dieaer und der Forme! ds vorhergehenden Falles nimmt man an,
daB die Wiukel bereite um /, des spharoidischen Exzesses korrigiert seieu.
Strengere Formeln, bei denen die Krummungsdifferenz in den drei Eckpunkten
det Dreiecks beriicksichtigt wird, eind von C. H. Kummel! gegeben [Astr. Nachr.
80 (1877), p. 49 j.
166) Die Bedingungsgleichnngen fur ein Kranzsystem sind bereita von
C. F. Gauft auigestellt, wie aut aeinem Nachlafi hervorgeht, Werke 9, p. SS9
SI. Ausgleichuug.
189
Fig. 16.
in dem nur Seitengleichungen des ersten oder zweiten Typus auf-
treten, ein gewohnlickes Netz. Deformiert man ein solches Netz in
der Weise, daB xwei auBere Drei-
eckspunkte mit zwei anderen zu-
sammenfallen, so entsteht ein
Kranzsystem. Die Zahl der
Linien ira deforraierten Netz ist
um 1 geringer als im urspriing-
lichen Netz, die Zahl der Drei-
eckspunkte urn 2. Erinnert man
sich an (48) und (50), so sieht
man, dafi im Kranzsystem, wenn
die Zahl der gemessenen Stiicke
unverandert bleibt, vier Bedin-
gungsgleichuugen mehr als im ge-
wohnlichen Netz auftreten; von
diesen sind drei Seitengleichungen und eine einc Winkelgleichung.
Die letzte bezieht sich auf die Winkelsurnme in dem inneren Polygon
ABODE. Um die anderen drei zu erhalten, stellt C. F. (ran fi
erstens die Bedingung auf, daB die Lange einer Netzseite, wenn
man durch das Netz hindurch rechnet, sich unverandert ergibt, und
zweitens die Bedingungen, daB die Koordiuaten eines Netzpunktes
denselben Wert erhalten, wenii man auf irgend einem von den Seiten
des Kranzsystems gebildeten Linienzuge zu ibm zuriickkel i t.
Beziiglich der Netzausgleichung ist noch der folgende Satz von
0. Schreiber erwahnenswert 167 ): Wenn in einem Dreiecksnetze mit
839 (B. a. die Bemerkungen von L. Kruger dazui. Der Publikationszeit
nach stammt die erste Methode zur Ausgleichung der Kranzsysteme von B. v. Prod-
zynski, Astr. Nachr. 71 (1868), p. 145. Ferner hat 0. Borsch, Astr. Nachr. 71
(1868), p. 26(5, eine Methode angegeben. Ein anderer Weg zur Behandlung des
Problems ist von O. Schreibcr eingeechlagen, derrechtwinklige geodatische Koordi-
uaton benutzte (Egl. PreufJ. Landestriangulation , Hauptdreiecke , 1. Teil. Berlin
1870). Vgl. auch L. Kriiger, Beitr^ge zur Berechnung ron Lotabweichungs-
aystemen, Potsdam 1898, p. 2930.
167) O. Schreiber, Zeitschr. f. Venness. 11 (1882), p. 129. Es aei n die
Zahl der Unbekannten und r die Zahl der Bedingungagleichungen. Das Theorem
von Schreiber lanft dann in Wirklichkeit auf die Beschrankung der Beobachtung
auf die n r nnumganglich notwendigen Unbekannten hinaus, d. h. auf die Ab-
schaffring der Ausgleichung. Aber es ist zu bemerken, daB zur Bestimmung
einer Funktion F die eine oder aiidere Wahl der zu messenden Unbekannten
keineswege gleichgiiltig ist. Wahlt man die n r Unbekaunten beliebig, was
auf I ] verschiedene Arten ino glich iat, eo wird der mittlere Fehler von F im
190 VI i,3. P. PizirtH. Hfihere rteodlsie.
Bedingtmgsgleichungen cine- Seite mit moglichst groBem Oewicht, bei
konstanter Surarae [j>] der Winkelmessungsgewichte p lt p.,,, . . . be-
stimmt werden soil, so ist unter den hierzu moglichen Verteilungen
der Gewichte p l} 2%, ... jedenfalls eine Verteilung, in weleher nur
so viele Gewichte p wirklieh vorkommen, als die Zahl der xnr Be-
stimmung jener einen Seite ummigiinglieh notigen Winkel betragt,
wahrend die flbrigen Gewichte p alle gleich Null zu set/en sind.
32. Ausgleichung nachvermittelndenBeobachtungen. Udmurt 1 **}
hat zur Ausgleichung einer Triangulation eine andere speziell fiir
groBe Netze zweckmafiige Methode angegeben. Er uimrat an, daB
mit Hilfe der unkorrigierten Triangulationsdaten provisorische VVerte
fQr die Langen und Breiten der Dreieckspunkte und die Aziumte d< i r
Dreiecksseiten berechnet seien, und fiihrt dunn die yerbesseruugen
dieser GroBen als Unhekannte ein.
Wenn die Euden / und /, eiues geodatischen Bogeus die iuh ni-
tesimalen Anderungen tt<fi if 6(f^. in Breite und 610^ Sa) k in Lange er-
leiden, so erfahrt das Azimut u ik der geodatischen Linie im Punkte
die Anderung 169 ):
I e* /dm\ . 1 .
sui a o<f i -yy T sin H 9y> k
ooi^
-f (4*4 dojj - w r-cs t ,j.
wo m ik die reduzierte Lange desBogens (tic) nach Christoff d (Nr. 16) ist.
Es sei nun |4 das provisorisch berechnete Azimut der Richtung
(ify im Punkte /, ferner u t der Orientierungsfehler der Beobachtuugen
einer Station (bei Beobachtungen niehrerer Siitze auf eintn- Station
allgeuieiuen betr3,cbtlicb groBer ein, als wenn man die Beobachtungeu auf siimt-
liche Unbekannte verteilt und auegleicht. tlber die Regeln fur eine geeignete
Answnhl, die praktisch /.u groBen Komplikatioueii fiihrt. vgl. Jordan, Handbuch 1,
\>. 144. Aber aurb unabhiiugig von dieer Scliwierigkeit ist zu beachteu, dafi
ein System von VViukelmesanngen iui allgemeinen nicht zur Beetimmuiig einer,
soiidern mehrer^f Funktionen dient. Eine i iir die Bestimumng eiuer Funktion
passende Wahl der Uubekanuten wird dann aber im allgeraeinen fiir die andoreu
Funktioiien ni lit pasecn. KB wird daher trotz des Satzea vou ScJtreibcr im all-
geuieinen die Messung iiberschussiger GroBen und uaohfolgende Ausgleichung
vou Nutzen fin Allgemeiuerellntersuchungen hieriiber tindet man bei //. Jiruns,
Cber eine Aulgal>e der A usgleichungsrecbniiog, Leipzig 18H6.
168) H O. i. p. 49u -512.
169) Helmirt, H. (J. 1, p. 282. Man erhiilt dieee Foruiel aus deu Differential-
foruieln von E. H. t hrwtuft fl (vgl. Ende vou Nr 18).
32. Ausgleichong nacb Termitteluden Beobachtungen. 191
1st fUr jeden Satz ein besonderes einzufflhren). Bezeichnet man
dann mit l ik den beobachteten Wert der Richtung (fjfe) und mit v tk
die plausibelste Verbesserung, so ergibt sich die Fehlergleichung:
(54) a ik 4- da ik = l ik -f u< -f v ik ,
in der man fiir 6a ik den Wert (53) zu substituieren hat. Diese und
aualoge Grleichungen fur die ftbrigen Richtungen der Station i und
fur die anderen Stationen werden nach der Methode der vermittelnden
Beobachtungen behandelt. 1st n die Zahl der Dreieckspunkte, ri die
Zahl der Stationen, so hat man:
ri 1 Unbekannte u und 2(n 1) Unbekannte dtp, <Jo, zusaramen
also n -f- 2 n 3 Unbekannte (da man auf der Ausgangsstation
dip = rfco = u = annehmen kann).
Jede gemeasene Basis lie tort cine Gleichung:
~
cos 9 A
A j
-f (do,. 6 Gj t ) - sin a ki j = ,
in der s ;i die mit den provisorischen Werten <p if <p k , >,, n k berechnete
Liinge des Bogens (ik) bedeutet. Die vorstehende Gleichung wird wegen
der geringen Messungsfehler der Baaismessungen nicht als Fehler
gleichung, soudem als Bedingungsgleichung (rechte Seite Null) be
handelt; die Basisniessungen werden also streng befriedigi
Nimmt man B Basislinien und R Richtungen als gemessen an
(und wie iiblich die Koordinaten und das astronomische Azimut in
einem Punkte als bekannt), so hat man R -f- 13 Gleichungen und folg-
lich
R + B (w -j-2 3)
Bedingungen, was mit (48) stimnit, da M R n ist 170 ).
170) Ausser deu bereite zitierteu Werkea vgl. fiber Nefczausgleichung noch:
A. M. Nell, Schh ifrmachers Mefchode dor Winkelauegleichung in einem Dreiecks-
net/e, Z. f. Vennese. 10 (1881), p. 1 und 109 (ehe die Normalgleichungeii ge-
bildet werden, werden BUS den Korrelatengleichungen soviel Korrelaten eliminiert
als Winkelgleichungen vorhanden sind); Z. f. Vermess. 12 (1883), p. 313; C. Ilinipt,
Astr. Nachr. 109 (1884), p. 7; P. Simon, Gewichtebestimmungen fur Seiteurer-
hultnisse uaw. Berlin 1889; L. Krtiger, Astr. Nachr. 133 (1893). p. 153; F. H. Helmert,
ibid. 134 (1894), p. 281 und in: Die Europaische Litngengradinessung in 52 Grad
Breite, Heft 1, Berlin 1893, p. 33 60; L. Kruger, Beitr age zur Berechnung von
Lotabweichungssygtenxen, Potsdam 1898; Cber die Ausgleichnng von bedingten
Beobachtungen in zwei Grruppen, Potsdam 1906; Zur Ausgleichung der Wider-
sprQche in den Wiukelbedinguugsgleichungen trigonometrisoher Neize, Pots
dam 1906.
192 VI i, 3. P. Pizzetti. Hfihere Geodasie.
33. Oenauigkeit der Basis- und Winkelmeasungen. Wir werden
hier einige summarische Notizen und Literaturnachweise iiber die
Geuauigkeit der Triangulationen geben.
Basismessiingen. Den zusammengesetzteu mittleren Fehler bei der
Messung einer Basis Ton der Lange I km kann man (lurch
B*I
darstellen, wo A der mittlere systematise}!* und B der mittlere zur
falliye Fehler (fiir 1 km) ist. Der mittlere Fehler A hangt haupt-
sachlich von den benutzten Instrumenten m ) und von den Mangeln
der Vergleichung der Stange mit dem NormalmaB ab. Urn B zu be-
stimmen, teile man die Basis in n Abschnitte von der Lange l lf 1 2 , . . ., l n
und messe jeden Abschnitt zweimal. Sind d l} d i} ..-,d n die Diffe-
renzen zwischen den Hin- und Riickmessungen, so kann man setzen 172 ):
2n
Der eigene Fehler der Basismessung ist aber imiiier viel kleiner
als der, der aus dem VergroBeruugsnetz entspringt (Nr. 29), so daB
es nach A. Ferrero) zweckmaBig ist, den mittleren Fehler der be-
rechneten Basis anzugeben, d h. der ersten Seite im Dreiecksnetz
erster Ordnung, die mit Hill e des VergroBerungsnetzes aus der ge-
messenen Basis abgeleitet ist. Der mittlere Fehler der berechneten
Basis liegt im allgemeinen zwischeu 55^5 und ^^ und ist vier- bis
fiinfmal so groB wie der mittlere Fehler der direkten Messung 174 ).
Winkdmessunyen. Eine erste Genauigkeitssehatzung fiir die
Winkelmessungen gewinut man aus den mittteren Fehlern der Stutiotw-
ausgleichungen. Dabei bleiben aber gewisse systematische Feliler (wie
z. B. Lateralrefraktion), die man durch Vergleich der auf den ver-
schiedenen Stationen gemessenen Winkel erhalt, verborgen. Deshalb
leitet man auf die einfachste Weise den mittleren Winkelfehler nach
der Jerrcroachen Formel 175 )
(A) m
ab, wo n die Zahl der Dreiecke, in denen alle drei Winkel gemessen
Bind, bedeutet und A x , A 2 , . . . A, ihre Scfdufifehler. Die Formel (A)
171) Bezfiglich der Fehler bei BaBiBmeseungen vgl. Kuhnen und Schumann 13 *).
172) S. z. B. Jordan, Handbuch 2, p. 55.
173) Intern. Erdm. 1892, Rapport BUT lee triangulationi, p. 7.
174) Intern. Erdm. 1898, Rapport sur les triangulations, p. XXVI XXXV;
1908, II. Tort, p. 2*4.
176) Intern. Erdm. 1887.
33. Genauigkeit der Basis- und Winkehnessungen. 193
berftcksicLtigt die Netzbedingungen nicht und ist deshalb nur ala
Naherungsformet aufzufassen; sie empfiehlt sich aber durch ihre Ein-
fachheit 176 ). L. Tfrwprer 176 *) hat sich init einem Vergleich der Formel (A)
und der aus der Ausgleichung heryorgehenden in folgenden Fallen be-
schaftigt:
a) Zentralsystem (vgl. Nr. 31) mit unabhangigen Winkelbeobach-
tungen der drei Winkel eines jeden Dreieclcs.
b) Zwei Zentralsysteme, die durcb zwei gemeinsame Dreiecke
zusainmenhangeu mit Winkelbeobachtungen.
c) Einfache Kette mit unabhangigen Ricbtungsbeobachtungen.
d) Falle a) und b) mit unabhangigen Richtungsbeobachtungen
von gleichem Gewicht.
e) Polygon, in dem die Richtungen aller Seiten. und Diagonaleu
beobachtefc sind (Richtungsbeobachtungen von gleichem Gewicht).
f) Doppelkette, die von einer Reihe vollstandiger Vierecke ge-
bildet ist.
Aus den beigebrachten Beispielen geht hervor, daB in den meisten
Fallen die Formel (A) einen zu kleinen mittleren Fehler liefert. Nur
im Falle e), wenn man nur die WinJcelyleich ungen beriicksichtigt,
fuhrt die Ausgleichung zu demselben Wert von m wie (A).
Man kann im Mittel m gleich 1" setzen. Die beste Bestimmung
des mittleren Winkelfehlers erliJilt man aus der gesaniten Ausgleichung
des Netzes und der Stationen 177 ); der auf diese Weise gefundene
mittlere Fehler ist im allgemeinen etwas grofier als aus Formel (A) folgt.
Gena-uigkeit der geodatischen Verbindivng. Ein Mittel zur SchJitzung
des Einflusses der Winkelfehler auf die geodatisehe Verbindimg be-
steht in dem Vergleich zweier direkt gemessener Basislinien, die durch
eine Triangulation verbunden sind. Sind b i} b t die geuiessenen Langen
der durch n Dreiecke verbundenen Basislinien und nennt man
A lt At, ...,4,,^,.^, ...,B n
geeignet gewahlte Winkel, so mufite man haben:
(55) log 6, log ft, = Jlog sin A r J^log sin B r .
Wir nennen nun die beobachtete Differenz zwischen den beiden
Seiten von (55), wobei A r , B r die aus der Netzausgleichung abgeleiteten
Werte sind, kurz MiiJstimmigkeit der beiden Basislinien. Diese kann
178) Vgl. die Tabelle der nach Formel (A) berechneten mittleren Fehler
fHr die veredbiedenen Triangulationen in Intern. Erdm. 1898, Ilapport sue les
triangulations, p. VI.
176) Zeitschr. Math. Phys. 47 (1902), p. 167.
177) Intern. Erdm. 1898, Rapport sur les triangulations, p. XIII.
194 VI i,3. P. Piezetti. HShere Geodasie.
1) von den Fehlern der BasismesBung selbst, 2) von den Fehlern in
den VergroBernngsnetzen und 3) von den Fehlern des Verbindungs-
netzes verursacht \verden. Im folgenden Bind einige Mifistimmig-
keiten von Basispaareu in Einheiten der siebenten Dezimale des Loga-
rithmus zusaininengestellt 17S ).
d M
Berlin Konigsberg 23 4- 32
Konigsberg Strehlen 23 + 35
Strehlen Caenstochau -j-
8 M
Ostende Lommel -|- 32 4- 46
Lommel-Bonn + 38 31
Bonn Gtittingen 12 4: 14
6 ist die beobacbtete MiBstimmigkeit und M die a priori aus den
mittleren Fehlern der berechneten Basisiinien gefundene mittlere MiB
stimmigkeit; in M gehen die Fehler des Verbindungsnetzes also nieht
ein. DaB ft groBtenteils kleiner als M herauskomint, ist wohl Zufall 179 );
aber es beweist doch, daB in den betrachteten Beispielen das Ver-
bindungsnetz die Ungenaaigkeit der geodatischen Verbindung kuum
vergroBert 18 ).
Es ist bis jetzt nicht nioglich, numerisch den Genauigkeitsgrad
einer geodatischen Verbindung anzugeben. Nur soviel kann man
sagen, daB 1) die Hauptfehlerquelle das Vergro Berungsnetz ist und
daB 2) der aus dem Verbindungsnetz herriihrende Fehler kleiner ist
als man ihn nach den aus der Netzausgleichuug resultieren<len mitt
leren Fehlern erwarten sollte 181 ). Diese Ausgleichung tragt deshalb
wahrscheinlich zur Elimination gewisser systematiacher Fehler bei,
deren Wirkung sich in den Widerspruchen der Bedingungsgleichungen
zeigt.
C. Huliciiimvisnuu:.
34. Trigonometrisohes Nivellement. Es mogen A und B
(Fig. 17) zwei Punkte der Erdoberflache sein, h a und h b ihre Hohen
fiber dem Referenzellipsoid. Die Differenz h b h a kann dann an-
naherungsweise mit Hilfe der Messung einer oder der beiden schein
baren Zenitdistanzen ^, ^ bestimmt werden. Die durch B geheude
Norraalebene in A moge die Ellipsoidoberflache langs A B schneiden;
17 v Ibid. Tableau II und HI. Man bemerke, daB 10 Einheiten der siebenten
Stelle dos Logarithmus ungofahr einem prozeutualeii Fehler von ^AQQQ enteprechen.
179) Ganz anders iet ee bei der ruseischeu Triangulation , wo M noch
nicht + 60 erreicht, w ahrend die beobachtete Mifistimmigkoit bis zu 2609 Ein
heiten geht.
180) Das folgt in anderer Weise auch aus den Rechnungen von Htlmert 17 ),
p. 244.
181) Intern. Eidm. 1898, Rapport eur leg iriangulations, Tableau III.
34. Trigonometries hs Nivellement.
195
bei dera gegenwartigen Problem kann man dann ohne merklichen
Fehler die Linie AS durch den Kreis-
bogen ersetzen, der sie in A oskuliert.
In der Tat, wenn der Radius dieses
Kreises J? 1st und s die Entfernung
Alt , so ist der Abstand dea Punktes
If voo dem genannten Kreise sebr
nahe gleich
d R
Setzt man fur die Ableitung --^- den
in Nr. 13 gegebenen Ausdruek, so er-
kennt man leicht, daB die genannte
Abweichung kleiner als 0,006 m ist,
fflr a = 50 km. Ist C der Krii inmungs-
mittelpunkt fur A } so kann man mit
derselben Annaherung die Normalen in
den Punkten des Bogens A I? sich in
C schneiden lassen. Den Gang des Visierstrahles zwischen A und
& berechnet man, indem man die atrnospharisehe Refraktion auf
Grund derselben Hypothese berflcksichtigt, die man in der Astronomic
gebraucht, d. b. man setzt voraus, daB die Atinosphare aus homo-
genen sphariscbeu Schichten mit dem Mittelpunkt C zusammengesetzt
sei. Ist i der Winkel, welchen der Visierstrahl in einem Punkte M
mit dem Radius CM bUdet, y der Winkel A CM, t der Radius CM
imd v der Brecbungsindex in M, so hat man:
vtsini = konst. (aua der Refraktionstheorie),
== tcotgi (nach den Formeln fur die Polarkoordinaten).
Wir setzen weiter
t dv _ (in ,
" "dt ~ n dl^ n
und bezeichnen mit dem Index 1 die GroBen, die sich auf den Ponkt A
beziehen. Betracbtet man dann t als Funktion von y, so findet man
mit Hilfe der Taylorscben Entwicklung
.(57)
F der Winkel ACS ist und r t CA.
196 VI i, 8. P, FiezetH. H&here Geodfciie.
Setzt man r v F**= s l = der horizontalen Entfernnng tM ) zwischen
A und B im Niveau dea Pnnkteg A gemessen, so wird:
** *. *i<5 fc gi -f cotg k 4- i
Yernachlassigt man hierin die Glieder dritter Ordnung und das
(meistens zu vernachlassigende) Glied
so reduz.inrt sich diese Entwicklung auf die eiufache Form
(58 ) Ji, - h a s, cotg (g t ^ sj) ,
oder auch, wenn man beachtet, daB ^ in praxi wenig verschieden
von 90 ist:
(58") h b -h a = ^cotgS, -f
Diese Formeln 188 ) werden gewohnlich bei dem trigonometriachen
Nnelloment gebraucht.
Man sieht leicht, daB man zu derselben Formel gelaugen wiirde,
wenri man den Yisierstrahl als geradlinig voraussetzt und die Zenitli-
distanz in A gleich ^ -\- - T, wenn man also annimmt, daft der
Lichtatrahl in A den Winkel ~ J 1 mit der Sehne AB bildefc.
Betrachtet man i als Funktion von / und entwickelt nach Taylor,
so ergibt sicb:
(59) 180 - ^ = ti -f F( Wl - 1) + y n. r, cotg^ + . . .
Wenn man in (58) die Glieder dritter Ordnung vernachlassigt,
was darauf hinausliiutt, dafi man die Kurve A B durch den Beriih-
rungskreis in A oder J5 ersetzt, so kann man auch in (59) die Glieder
mit f 12 vernachlassigen, und es ergibt sich
(60) n, r- 180 - St f + F,
182) Helmert (H. G. 2, p. 655) gibt die Entwicklnng bis zu den Gliedern
rierter Ordnung einsohl. Vergl. aueh: Pucci, Fondamenti, cap. VI.
183) Abgesehen von kleinen Unterechieden in der Form, findet man Formel (58")
bei Laplace, M^c. eel. 4, p. 279. Fur die GrOBe n, iet dort ihr Ausdruck alfl
Fonktion der meteorologischen Daten gesetzt. Dieaelbe Formel findet man in
alien und neuen Lehibiichern der Gcodasie, i. B. L. Puissant, Trait^ de ge ode gie 1,
chap. XX.
&5. Der Refraktionekoefhzient als Ftmktion d. atmOHpharischen Verhaltnissfi. 197
worn it gezeigt ist, daB nF in dieser Anraiherung die totale iie-
fraktion DEB ist. Die Grofie M (das Verhaltnis zwischen der to-
talen Refraktion und der WinkelgroBe des Erdbogens A K) nennt
man den Jtyraktionskoeffutienten.
Die Formel (60) zeigt, wie n t zu berechneu ist, wenn die beiden
fW/enseitiffen Zenitdistanzen x , ^ gemtsaen sind. In diesein Palie 184 )
kaim man indessen die NiveaudiflFerenz bequemer ohne die Berechnung
von n l erhalten. Denn setzt man -^ EAB = -^C ESA A, so er-
gibt sich aus dem Dreieck ACB:
2A - 180" + F
_ * _
s, tg -f A, tg"
i-tgytg-
Da der Refraktion skoeffizient mit den atmospharischen Vyr-
haltnissen sich andert, miissen die beiden gegenseitigeri Zenitdistanzon
gleichxeitig gemessen vrerden. Die aus deu klaasischen Arbeiteij iiber
Hohenmessung abgeleiteten Werte des Koefftzienten n sind 1 * 5 ):
(1736) P. L. M. de Maupertvis (Lapplaud) n = 0,1053
(1751) T. Mayer (Frankreich) 1250
(1792) J. B. J. Delambre (ebeuda) 1678
(182126) C. F. Gau$ (Hannover) 1306
(1831) F. G. W. Struve (lluss. Ostseeprovinzen) 1237
(1834) F. W. Bessd (Ostpreufien) 1370
(1849) J. J. Baeyer (Kustenvermessung) 1300
(1858) H James und A. R. Clarke (England) 1587
(187075) Preufiische Landesaufhahme _ 1180
~Mittel 0,1322
Wenn man die Annaherung, die Formel (60) entspricht, nicht filr
geniigend halt, so mu6 man die Glieder beriicksichtigen, die von den
Ableitungen n , n , . . . von abhangen. Man vergleiche in dieser
Beziehung die Arbeiten von Jordan und Hdwerl 1 * 6 ).
35. Der Befraktionskoefnaient als Fuiiktion der otmosphuri-
schen Verhaltnisse. Man verdankt J. J. Baeyer m ) den Gedanken, daB
184) J. B. J. Ddambre, M\5tliodes analytiquB, p. 98 ff.
185) Jordnn, iiandbuch 2, p. 509.
186) W. Jordan, Astr. Nachr. 88 (187tt), p. 99 oder Handbueh 2, p. 587.
187) Astr. Nachr. 14 (1837), p. 66; 17 (1840), p. 206; Trigouometrisches
Nivcllement zwischen Swineiuimde und Berlin, Berlin 1840; Petersb. M^m. Akad.
(7) S (I860), Nr. 5. In der letzten Abhaudluog gibt Baeyer die Resultate einer
Enoyklop. d. math. Wissenich. VI 1. 14
] 98 VI , 3- P- Wtt. HOhere Geodasic
die Refraktion urn Mittag kleiner ist als am Morgen und Abend, weil
urn Mittag die Abnahme der Temperatur mit der Hohe einc gro&ere
ist und darum die Verrainderung der Luftdichte bei wacbsender Hohe
einc geringere.
Baeyer setzt w=*afe, wo b der absolute Wert der Zeit, von
Mittag aus gerechnet, ist, der ale Bruch des halbtagip^n Sonnwiliogens
auszudriicken ist; a ist eine Konstante, der Baeyer auf Grund seiner
eigenen Beobachtungen den Wert 0,2132 gibt. Eine solche Formel
hat den Nachteil, dafi die Refraktion um Mittag Null wird; es ist in-
dessen irnmerhin das Verdienst von Baeyer, die Abbangigkeit des n
von der Tageszeit erkannt y.u haben.
Das Gesetz der Veranderang der atraosphtiriscben J.)ichte uiit
der Hohe iat bekannt. wenn zwiscben zweipu der vier GroBen fe>
(Dichte). p (jDruckj. & (Temperatnr) und t Hob* 1 ) fine empirische
oder hypothetische Relation angeuoiouien wird (uuBer derjenigen, welche
die Gesetze von Boyle und Gatf Lussfic liefern). Wird nun & als
bekannte Funktion von t ausgedrttckt und wird die eine der beideii
folgenden Beziehungen:
v \ =: c & , tJ 2 1 - 2c# , (c 0.000293) ,
die in der astronomischen Theorie gebraiicht werden, benutzt, so hat
man v und desbalb n alb Funktion von t und den meteorologischen
Daten ausgedriiokt.
Bawrnfeind***) hat zwischen dem Druck p uad der absoluten
Temperatur T 273 -}- It die Beziohung
r
angenommen, und fiir die Dichte die Formel
abgeleitet, wo die H6he h des Puuktes in der Weise zu berechnen
ist, dafi man im Meeresniveau /< (1 51 400 m hat. In geeigneterer
Weise hat sich Jwdan wv ), ohne eine willkiirliche Funnel fiir die
Konstitution der Atmosphare einzuftihren, damit beguiigt, n mit Hilfe
des Druckes, der Temperatur und der Warineabnahme auszudriicken,
lieobachtongaBerie von re/iproken ZenitdietftnEen fiir die venchiedeneu Tagea-
otunden wUchen Kupferkuhle nod Brocken \Entfernung 48 km, Nivoauuuter-
>chid 971 m).
188) C M. von BitUfrnfetnd, Att. Nachr. 67 (1866), p. 33. Krituche Notizen
znr Theorie von Haufrnfeind tindet man in He.linrrt, H. Q. 2, p. 687.
188) /.it v. 186, oder Handb. X, p. 536
86. Empirische Untersuchungen fiber den RefraktioiiBkoeffizienten 109
wobei er findet 190 )
(63) n
0,2325 A (?!) (1-29,39*),
wo B der Druck in mm ist, T die absolute Temperatur, x die Warme-
abnahme in Graden fiir 1m Hohe [im Mittel nach J.Hann m ) x =0,005 7],
36. Erapirieche Untcrsuchungen iiber den Refraktionakocffl-
zienten. AuBer den erwahnten Beobachtungeu von Baeyer sind die
Beobachtungen von Baiternfeind l<J *} in Bayern zu nennen zur Be-
stiinmur.g der taglichen Variation der Zenitdistanzen zwischen zwei
Punktpaaren Die von Baeyer beobachtete tagliche Periode hat sich
dabei gut bestatigt.
Hartl 193 } hat spater auf Grund der Beobachtungsresultate, die in
sechs Gegenden Deutschlands und der russischen Ostseeprovinzen ge-
funden sind, die folgende Tabelle fiber den Zusammenhang zwischen
dem Koeffizienten n und der Tageszeit b, letztere, wie schon erwahnt,
als Bruch des taglichen Sonnenbogeiis ausgedriickt, aufgestellt.
0,0
0,1
0,10
0,2
0,11
0,3
0,11
0,4
0,12
0,5
0,13
0,13
0,7
0,15
0,8
0,16
0,17
1,0
0,19
Nimmt man zwischen n und & eine Relation n = a + yb* an, so
bestimmt er die Werte von x und y fiir jedes der sechs Nivellements-
netze und erhalt im Mittl
n = 0,1041 -f- 0,0840 V.
Iiidem er dann in (63) die aus dieser Formel erhaltenen Werte
fflr n einfQhrt, sucht Hartt die den verschiedenen Tageszeiten ent-
sprechenden Werte der Warmeabnahme abzuleiteu und vergleicht sie
mit den aus den Luftballonbeobachtungen Glaishers folgenden Werten.
Der Vergleieh ist einigermaBen befriedigend.
Laplace (Mec. eel. 4, p. 279) bat /.urn eraten Mai den Refraktions-
k< eftizienten ftls Funktion der meteorologiichen Daten gegeben, indem er f5r die
Konstitution der Atmosphate dieselbe Formel anwandte, die von ihm auch zur
Berechnung der aetronomiBchen Refralction beuutzt worden war. Vgl. Frurnley
in der Beilage VII /.urn Generalbericht der Kurop. Gradmeaaung, 1883.
191) Handbnch der Klimatologie 1, p. 241, 2. Aufl., Stuttgart 1897.
192) Ergebniatse aus Beob. der terrestrischen Ketraktiou, Munchen . 8bH io.
Vgl. die DialniBftion dieeer Beobachtongen bei Jordan, Handb. 2, p. 689, und in
0. Eggert, Vergleichungeu der Ergebnieee des geometr. and trigonom. Nivelle-
meutH UHW., Dies. Berlin 1898.
19S) H. Haril, Mitt, mil.-geogr. Inatitat Wien 1888, p. 110-136 und in
der Zeitechr d. oaterreich. Geaellachaft far Meteorologie 16 (1881), p. 18. Sartl
hat aueh den mittieren Refraktionskoeffizienten mit dor mittleren Hdhe h dee
Visierstrahlei abet dein Meeresniveau in Beziehung za eetzen gesacht, vgl. Mitt.
lail.-geogr. Inatitut Wien 4 (1884), p. 15.
14*
200 VI i, 3. P. Pizzetti. Hohere Geodasie.
V. Reina und G. Occonetti 194 ) habeu zwischen Rom und Monte-Cavo
(Entfernung 30 km, Hohenunterschied 900 in) eine Beobaehtungsreihe
von gegenseitigen Zenitdistanzen an 11 Tagen ausgefiihrt, und haben
eine Tabelle fur den Zusammenhang zwischen n und 1) gegeben. Der
Grang der Zahlen ist regelmafiig, aber nicht symmetriseh zum Mittag
(n variiert am Nacbmittag weniger stark).
Reina hat auch vennittolet der Foraiel von Jordan die Werte
von n berecbnet, indem er die Warmeabnahme aus gleichzeitigeu
Thennometerbeobachtungen auf beiden Stationen bestimmte. Die be-
obachteten Koeffizienten n ergeben sich iin allgemeiuen kleiner als
die nach (63) berechneten; aber die Differenzen fibersteigeri (von
wenigen Ausnahmen abgesehfii) nicht 0,02, was als eine gute Be-
statigung der Jortfangchen Theorie angesehen werden katm.
AbschlieBend kanu man sagen, da8 der sogenannte Refraktions
koeffizient eine nicht gut bestimmte GroBe ist, und zwar aus zwei
Grfiuden: 1) weil er von der Schnelligkeit dev Warmeabnahme mit der
Hohe abhaugt. die sehr veranderlich ist mit der Tageszeit, mit der
Ortlichkeit and mit der Beschaffenheit des Bodens, ttber deu der
Visierstrahl bingeht, und 2) weil die Definition dieses Koeffizienten,
wenn man ihn als unabhangig von der Entfernung betrachtet, nur
in den Fallen gilt, in denen die Formel (58") als genugend genau
betrachtet werden kann 196 ).
Bei kleinen Entfernungen hat iibrigens die (JnBicherheit im Werte
von n wenig Einfiufi auf die Berechnung der HohendiiFerenz, wie aus
eifcer instruktiven Tabelle Jordans (Handbuch 2, p. 542) hervorgeht.
So andert sich bei einer Entfernung von 5 km, wenn n zwischen
0,10 und 0,16 variiert, die berechnete Hohendifterenz um nicht mehr
als 11 cm; bei einer Entfernung von 10 km betragt die entaprechende
Auderung 47 cm 196 ).
37. GaometrvacL.es Nivallament. Wenn man von der grofiereo
Prazision sowohl beziiglich der Instmmente als der Meosungen ab-
194) Mem. Soc. Ital. XL (3) 10 (18*6), p. 14; Rezension von Jordan in
Zeitschr. t . Verm. 26 (1897), p. 17. Siehe ferner A. Venturi und E. Soler, Prime
ricerche mil coeff. di refraseione in Sicilia, Palermo 1893; feruer A. Ventwi und
Loperfido in Riv. topog. e catasto 10 (1897), p. 10; C. A. Schott, R. C. G.
S. 26 (1883), App. Nr. 12.
195) Versuche, eine Beaiehung zwischen den Koeffizieuten n und der Ent
fernung der beiden Stationen aufzustelleu, aind von E. Pucci gemacht: Sulla
livellaz. trig., Firenze 1879; vgl. auch M. Dietze in Zeiteclu. f. Vermeu. 18
(1884), p. 246.
196) In demseiben Kap. von Jordan fmdet man auch auagedehnte Literatur-
naehweiae EU diesem Gegenatand.
87. Geometrisches Niyellement.
201
sieht, so unterscheidet sich die Beobachtungsmethode des geometri-
sohen Nivellements nicht in der hoheren und niederen Gcodasie. Wuf
werden mis deshalb darauf beschranken, den Umstand, der die Be-
rechnung des Prazisionsnirelleiiients von der der topographischen
Nivellements unterscheidet, zu behandeln, namlich die Beriicksichtigung
der Abweichung der NiveautiUchen vom Parallelismus 197 ).
Es mogen A and B
(Fig. 18) zwei Punkte der
Erdoberflache sein, S a und
S b die zugehorigen Nireau-
flachen und S die Nivean-
nulinaclu , auf die die Hi hen
bezogen werden. So lange
diese Flachen als parallel be
trachtet werden, hat die Defi
nition des Hofaeuunternchiedes
zwischen A und J5 keine
Schwierigkeit; aber wenn man
Fig. 18.
auf ihre Abweichung vom Pa-
rallelismus Rucksicht mount.
so ergibt sich die Hohen
differenz verschieden, je nachdem man aie defmiert 1) als das Stftck
197) Nach S. Giiniher (Handb. d. math. Geographic, Stuttgart 1890) yerdankt
man W. Fuchs (1843) den ersten Gedanken, den Nichtparallelumus der Niveau-
flachen bei der Bereehnung der Nivellements in Rechnung zu ziehen. Die An-
wendung der Potentialtheorie auf diesen Gegenstand wnrde zum ersten Male
(nach Bruns) von Th. Wand (Prinzipien der math Ph/aik und Potentialtheorie,
1871} angegeben. Th. Wittstein [Aatr. Nachr. 81 (1873), p. 292] und G. Zacharia*
[ibid 80 (1873), p. 305] berechneten, indem sie von einer ungeniigenden Vorausaetzung
fiber die Kriimmung der Lotlinien auegingen, die spharoidische orthometriache
Korrektion. Der letztere verbesserte dann die eigentlicbe Formel fibid. 82 (1873),
p. 73], indem er die Formel von Gfow/8 benutzte (vgl. FuBn. 31). Helmert [Aatr.
Nachr. 81 (1873), p. 297] fiihrte die ,,reduaierte Niveaudifferenz" ein (welche spater
von LaUemand .,dyniineche" genannt wurde), indem .er zeigte, dafl es bei dieen
Rechnungen zweckmaBiger sei, die Werte der Schwerkraft einauiVibreri angtatt
die Kriinimung der Lotlinien zu benntzen. J. J. Itaeytr [ibid. 84 (1874), p. 1]
handelt von den Wirkungen der Kriimmung der Lotlinien (nach Gauft) und der
lokalen Lotabweichungen auf die trigon. und geom. Nivellement*. Eine zu-
sammeufaaseude Darstellung der orthometrischen und dynamischen Tbeorie findet
man bei E. duber, Techn. Blatt. Prag 23 (1891), p. 86, 152. Ferner sei verwieaen
auf .R v Sterneck in den Mitt. miJ.-geogr. hist. Wien 8 (1888), p. 69; F. R. Hel
mert, Die Schwerkraft im Uochgebirge, Berlin 1890; C. M. Goitlicr in Paris
C. R. 106 (1887), p. 270; Cft. L. Durand-Claye , A. Pelletan et Ch. Lallcmand,
Lever del plans et nivellement, HI. partie par Ch. Laltemand, Paris 1889
202 VI i, 3. P. Pitzetti. Hflbere Geodasie.
A A der Vertikalen von A zwischen S a and 5 ft , oder 2) als das
Stuck BB der Vertikalen von B zwischen S a uud S b oder eudlicli
3) als die Differenz BB 9 AA+ zwischen den Hohen der Punkte
B and A in bezug auf die Flache S c . Es machi sich nocli eiue
andere Schwierigkeit hier geltend. Wenn man, um die Ideen zu
fixieren, die zweite Definition anuinnnt, d. h. die Niveaudifferenz
zwischeu A und B gleich HI? setzt, und man im Gelaude zwischen
A und B eine Reihe von Punkten P l . F 9 , . . ., P n einschaltet, die so
dicht liegen, dafi der Hohenunterschied zwischeii aufeinander folgenden
Punkten direkt mit einem Nivellierinstruinent bestimmt werden kann,
so ist die Suinme der sukzessiven Hohenunterschiede Se (zwischen
P l und A , PI und P, . . . . , B und. P,,) im allgemeineD nicht gleich
dem gesamten Unterschiede U B , wie man es in der niederen Geodasie
annimmt, uud diese Sunime wird sich auch verschieden ergeben. je
nach dem Wege AP 1 P s ...P n B t den das Nivellement einschlagt.
Koch mehr, weini man ein gcscblossenes Polygon AP V P^ . . . P,,A
betrachtet, no ist die Summe der Hohenunterschiede je zweier auf
einander folgender Pnnkte im allgenieinen nicht Null, sondern hat
einen nk Lt inimer zu vernachlassigenden Wert (theoretischcr Scklufi-
feJUer des Nivellementspolygous). Man hat zwei Wege, uui dieae
Schwierigkeit zu ubenvinden.
1) Die orthometrisctie Tlteotw. Man definiert als Hohenunterschied
zwischen A uud B das Stfick BJX der Vertikalen in B, das zwischen
B uud S f liegt, und sucht die Korrektion, die man an der Summe
der sukzessiven Hohenunterschiede zwischen den Punkten P s und A,
P a und P,, . . . B und P n anbringen muo; man ueuiit sie die ortho-
metrische Korrektion.
2. Die dynamische Theorie. Man sucht die Differenz zwischen
den Werten W b und W a des Erdpotentials (2) fiir S b und S, t zn er-
mitteln; diese Differenz, geteilt durch die mittlere Schwere G (file
45 Breite und im Meeresniveau) liefert den sogenannten dyuamischeu
Hohenunterschied zwischen B und A. Der augegebene Oedanken-
gaug stainmt von F. E. Helnurt). Das Verhalthis (W a Wj: G,
wo W u den Wert von W auf 5, bedeutet, nennt man dynuuiische
Kote des Punktes A. Die an der Sumuie der d - auzubringeude Kor
rektion, um die oben erwahute Differenz (W b JTJ: G zu erhalten ;
nennt man die dynamiache Korrektion*).
Es seieii (Fig. 19) M und N zwei aufeiuander folgende Punkte
198} Vgl. FuBn. 1&7.
199) Vgl das iu FuBii 197 (Ende derti.) ziiierte Werk vou Lallematid.
37. Geometriscbee Nivellement.
aoa
eincr Nivellementsschleife. Das Nivellierinstrument sei in der Linie
MR aufgestellt, in der Mitte zwigehen den Vertikalen MM l and
NNt und es seien z t ** MM^, a t = N N l die Lattenablesungen; es
sei ferner M^N t die durch das Zentrum des Fadennetzeg des Fern-
rohrs gehende Niveauflache; d^ = J/ t 3f 8 , rf a .Ni-ATj seien die De-
pressioneii dieger Niveauflache antcr dem Visierstrahl M l N l . Sind
Fig. 19.
dann W, W m , W n die Werte des Erdpotentials tit 3f f (und N 9 ),
M und N, fa und ^ 8 die Werte der Schwerebeschleuniguug in M.
und N und behandelt man die Abschnitte MM t und NN a als uu-
endlich klein, so ergibt sich
Die beiden Depressionen konueu als merklich gleich angegehen
werden" ), und man kann auch das Produkt der Depreasiou and der
Differenz ft #, vernachlaasigen, so dafi die vorhergehende Forme!
in die folgende flbergeht:
- IT.
^ *
/
Vernachlassigt man anch noch den zweiten Term der recliten
Seite* 1 ) und setzt
800) DaB dies Hypotheac allgemein zullisBig ist, ^oon das Nirellierinstru-
metit in der mittlereu Entfernung zwischen den Vertikalen von Af und JV auf-
gestellt wird, it von Helmert (H. G. 2, p. 508-611, 539) bemeaeu. Mit .lm
EinfluB der Differenz der beiden Deprcaatonen ih Folge der GesUlt der Niveau-
flaohen bechaftigt sich J. A. Oufamtau [Aatr. Naohr. 88 (1876), p. 22]. Mil lem
EinfluB der normalen Refnktiou beichaftigt aich LuUemnnd in dem in h uiiu 197
zitierten Werke, p. 396.
201) Vgl. Helmtrt, H. G. 2, p. 503. Setzt man ^*, + *,; 3 m, so liofert
die Gesaiutheit der Ausdriicke, die K^i -f ? i)(^ ft) enteprechea, zu einem
Nivellement, das sich uber eiuen ganzeu Meridianqnadranten entrockt, einen !ioi-
204 V1 1, 3. P. Piggetti. Hdhere Geodiiflie.
% (<*i + ft) 9, *i *a =* **>
so erhalt man
(64) W 9 -W m --y*i.
Wenn man mit tie den Abstand der beiden Punktc At N (Fig. 18),
in denen die durch M and N gehenden Niveaufliichen die Yertikale
von L> tretfen, be/eiehnet. so ergibt sicb naeb (64) und nach der
analogen Formel fttr AT W:
(66) d /-*%**,
y
wo g die mittlere Schwere fQr den Abschnitt M N bedeutet.
Die dyriamische nnd ortiiometriscbe Theorie grunden sich be-
zflglich auf die Formeln (64) und (65).
Orthometrischt Theorie. Nimmt man an, daft die Schwerkraft der
tbeoretiscben Formel tos )
(66) ?-= (7(1 /Jcos2^)(l ftfl) (* = -|, /I -=0,00266)
folgt, wo // di Meeresbohe imd i2 den mittleren Erdradius bedeutet,
so kann man das Verbaltnis 4 in (65) in folgender Weise schreiben:
1 0,00265 cos 2 q 6
wo <f, <p h die Breiten von JV und B bedeuten. Hieraus ergibt sich
mit geniigender Annahemng, wenn man die mittiere Breite zwischen
A and B mit tf> m bezeichnet, f8r die Niveaudifterenz (BH) der Aug-
druck:
(67) (JBtf).
WilJ man dann die Hobe ( HB ) = ft des Punktes B iiber 5
bftben, o imisa man zu (B&) die GrSBe H^ -f- (ffB^ (^-4 ) (vgl.
Fig. 18) hinzufugeu, welche nabeningsweise durcb
ausgedrfickt wird.
DieSumme (67) -f (68) gibt die gesuchteHoheftdes Puiiktes B,
dies ist in Kdrze das Veriahren von Hdtnert (H. 6. 2, p. 505).
Lallemand in deni (Fuftn. 197 ude) zitierten Werke, p. 366, gibt die
von 16 mm (die Schwereanderuog als normal vorausgenetzt.) Setzt man
{ (z l -}-*,)= 2 na, so wurde bei einer Meseung im Gebirge der enteprecheude
Beitrag . 3 zato sein, woon der Hfiheuunterfiuhied 8000 m bett>.
Vgl. Nr 4 und 5.
87. Geometrisches Niyellement. 205
Formel ein wenig verschieden 2 * 3 ):
T6
(69) H B = }
wo H und qp die Hohe und Breite irgend eines Punktes des Nivelle-
mentezuges sind 804 ).
Dynamische Theorie. Wir nennen &AB die schon definierte dyna-
inische Niveaudifferenz. Wir haben dann, indem wir auf kleine Niveau-
unterschiede dz die Differentialformel dW = gdz anwenden:
\ ) ff\
Die letzte Suinme ist die clynamische Korrektion, welche man
auf Grund von (66) in folgender Form schreiben kann:
n ^i -f % >
wo
B
1/1 = fij cosSytiz
A
and
/* Jt
rj s = ^/ Hd> oder angenahert 7/ 2 = (H A -|- HB) (H B H^)
A
(17, heifit dyn. Breiten-, rj 2 dyn. Hohenkorrektion).
Fall eines f/eschlossetten Polygons AP l P i ...P n A. Die linke
Seite von (70) ist 0, und man hat deshalb
(71)
Die letzte Summe (in welcher man fur G einen konstanten Wert #
setzen kann) ist der theoretische Schlitfifehler des Polygons. Nimmt
20:$) Das letzte Glied stellt die sogenannte ,,orthometri8che" Korrektion
dar (ein von C. M. Goulier eingefiihrter Name, siehe Zit. der Fufln. 197, Ende ders.).
204) Urn Gleichung (60) mit (67) und (68) KU vergleichen, mn8 man 1) in
der leteteren die Einheit an Stelle von (1 0,002 ft 5 COB 2^ setzen; 2) nahenwgs-
weise die Summe durch ein Integral ersetzen und 3) beachten, dafi J H si
durch partielle Integration
oder naherungaweise
n
= - \ /f /i (cOB2qp 6 - cos2q[> a ) -f- sin^ -f qp 6 )J(<jp fr qp)(Jlf
A
ist.
206 VI i, 3. P. Ptztftti. Hfihere Qeodaaie.
man den normalen Ausdruck (06) fQr die Schwere an und beachtet,
daB das von kll abhangende Glied in der Summe verschwindet, so
ergibt sich der folgende angenaherte Ausdruck fia- den SchluBfehler 105 ):
38. Binflufl dar Schwerestorungen auf Nivellementa. Wir
haben bisher die Schwerkraft unter der Voraussetzung berticksichtigt,
daB sie durch Formel (66) dargestellt sei, wobei indessen zu beachten
1st, daB die ScfiwerestorHw/rH einen nicht zu vernachlassigenden Ein-
fluB auf die Nivellements haben. Hd inert* * } hat eine Nivellements-
schleife in den Tiroler Alpen (Innsbruck, Brenner, Brixen, Bo/ru,
Innsbruck), langs der in 37 Puukteu von E. v. Sterneck die relative
Schwere bestimmt war, daraufhin geprUft und hat gefunden, daB der
wirkliche theoretische SchluBiehier auf Grund der beobachteteu
Schwerkraftswerte naeh Formel (71) berechnet 0,024m 207 ) betriigt,
wahrend der mifc der normaleii Schwere berechnete SchluBfehler
(spharoidischer SchluBfehler) 0,007 m betriigt. Der spharoidische
SchluBfehler kaiin also unter ITmstTindeu nur ein kleiner Bruchteil
dee wichtigen theoretischen SchluBfehlers sein. Der EinfluB der
wirklichen Schwereanderungen auf die Berechnung der Niveaudifte-
renzen 8 **) ist sehr schwer auszuwerten, besonders wenn es sich
um grofiere Niveaudifferenzeu handelt. In der Tat wiirde eine
solche Rechuung die Kenntnis der wirklichen Schwerewerte [g in
Formel (65)] in verschiedenen Pnnkten eines vertikalen Abschnitts im
Inneren der Erde erfordern und die Annahmen, die man in dieser
Hinsicht machen kann, eind immer etwas willkiirlich. s wird des-
halb, anch wenn langs der Nivellementslinien relative Schweremessungen
ausgef&hrt srnd, bei groBen Niveandifferenzen immerhin eine betriicht-
liche Unsicherheit bestehen bleiben 80 *).
206) Helmert, Die Schwerkraft im Hochgebirge, p. 20.
206) Ibid. p. 19 und Tafel II.
207) Der mittlere Fehier dieeea Ko*ultea vat von Hetnert zu _ 0,013 m aus-
gerechnet worden, iudem er die zufUlligen Fehier der Schwerkraftsmessungen
und die zufalligeu Anderungeu berficksichtigt, denen die Schwerkraft von Ort zu
Ort atiterworten int.
208, Eine tbeoretische Unterauchung iiber den EintiuB der Schwereandemngen
auf die Reaultale der Nivelleuaenia unter der Vorausgetzung, da8 diese Storungen
auf Qruud der A.ttraktioa der gichtbaren Massea sich berechnen la-.seu, iat von
Hdmert (H. G. 2, p. 6i7-538) angetellt.
209) Fur ein Nivellement von der Nordaee bis zum Adriatiachen Meere
durch die Alpen hindurcli findet Helmert (Die Schwerkraft im Hochgebirge,
p. 20 29), daB die Ditferenz zwischen der wirklichen und der spharoidiacben
89. Das Mittelwasser der Afeere und der Nullpunkt fur die H6hen. 207
39. Das Mittelwasser der Meere and der Nullpunkt fiir die
H<3hen. Die Hohen der Nivelleinentsbolzen beziehen sich in den ver-
schiedenen Lundern auf einen mehr oder weniger willkiirlich an-
genommenen Nullpunkt. Grofitonteils dient zu diesem /week das
Mittelwasser eines bestimmten Pegels. In seiner eiufachsten Gestalt
ist ein Pegel ein mit Skala versehener Apparat, der in jedem Augen-
blick die Hohe der Wasseroberflache fiber einem bestimmten Null
punkt angibt. Das Mittel uus den wahrend mehrerer Jahre stiind-
lich abgelesenen Werten der Wasserhohe kann, wenigatens fiir den
Zeitraum eines Jahrhunderts, als konstant angesehen warden. Die
auf ein solches Mittel bezogenen Hohen nennt man kurz Meeresh&hen.
Gehoren nun die Mittelwasser der verschiedenen Pegel alle der-
selben Niveauflache an, oder bestehen systematische Unterschiede
zwischen den Hohen der verschiedenen Meere? Die Ant wort auf diese
Frage hat praktische Wichtigkeit, insofern es sich um die Uber-
einstimuiung der Nivellements der verachiedenen Lander handelt, die
sich auf rerschiedene Pegel beziehen ; sie hat v auch theoretisehes
In t creese, insoferu mit ihr die Definition des Geoids verknflpft ist,
die wir in Nr. 2 augenomtnen haben.
Die Frage ist bis jetzt nicht gelost, und es haben sich, wenigstens
in bezug auf die europaischen Meere. in den letzten Jahren die An-
sicbten geandert. Bis 1890 schien es nach den Messungen, dab
zwischen dem Atlantischen Ozean und dem Mittelmeer, xwischen
diesem und der Nord- und Ostsee betrachtliche Niveauunterschiede
(bis zu 1,10 m) bestauden. Die wachsende Genauigkeit der Ni^elle-
uH-nts und die strengere Berechnung 910 ) und Ausgieichung der Resul-
tate hat diese Difierenzen zum Teil verschwiudpn lasseu, zum Teil
botriiehtlio.li vermindert.
Ch. Lalleniand* 11 ) (IS^Q) hat, indem er sich speziell aufdieResultate
der neuen fran/osischen Nirellements stGt/t, zuerst den Gedanken aua-
gesprochen, dafi die erwahnten Differenzen ihre Ursache zum grofiten
Teil in Beobachtungsfehlern haben. Wir geben aus der Lallemand-
schen Tabelle einige Zahlen an, wobei zu bemerken ist, dafi seine Daten
orthometriachen Korrektion hftchatens ein paar Zentiineter betrageu kauu. I a-
gegea tirdet er bei der Bestimmung der Hohe des Stilfner Jochs, iudein er eiue
spezielle Hypotlieae iiber die Schwereiinderung mit der HOhe eioffthrt, eine Ditfe-
renz von ca. 30 cm zwiachen der wirklichen uud der ephSxoidigchen Korrektion.
210) So wiirde z. B. die orthooietrische Korrektion den HShenunterHchied
zwisrheu den Nord- and Sudkiiaten vou Zentralearopa um 16 cm vermindero
(Verb, der Intern. Erdm. 1891, p. 150).
211) Revue acientitique 46 (18t>0), p. 16 uud lut. Brdm. 1890, p. 181187.
208
VI i, 3. P. Piztetti. Hhere Geodasie.
noch nicht die defmitiven waren: wir ftigen deshalb in der letzten
Kolumne die (lurch die Rechnungen des Zen tral bureaus der inter*
national en Krdmessnng, die wir gleich noch erwahnen trerden, ge-
lieferten Zahlen bei.
Mittlere MeercsHohe einiger Hafen in bezug auf Marseille (in cm):
Kach den alten
Beobacb tnngen :
Recbnung von
Lattemand
Rechnung dea
Zentralbureaus
Triest
42
2
8
Oette
11
3
3
Brest
110
7
13
Cherbourg
90
9
17
Amsterdam
Swinemiinde .
74
86
1
2
17
27
Auf Grand dieser Rechnangen sphcht Lalleniand den folgenden
Satz aus: ,,L ancienne hypothese de I uniformite de niveau dea mers,
primitivement admise d apres les lois de la mecanique des flnides, puis
abandonnee aur la foi de mesures inexactes, parait en voie de se re-
habiliter dans Tensemble et abstraction faite peut-etre de quelque
anomalie locale usia ).
Die schon erwahnten Resultate des Zentralbureaus 213 ), die auf der
Ausgleichung von 48 Polygonen in Zentral- und Westeuropa be-
mbeu, bestatigen im allgemeinen das Vorhergehende. Die erwahnteu
Differenzen verschwinden zwar nieht, aber aie warden von der Ord-
nung der Beobachtungsfehler. So findet man z. B. eine mittlere De
pression von 18 cm des Mittelmeeres und des Adriatischen Meeres
gegentiber der Nord- nnd Ostsee und dem Armelkanal, aber der
mittlere Fehler dieser Kiveaudifferenz ist 18 cm vor und 9 cm nach
der Ausgleichung 14 ).
Aufierdem fiihren verschiedene Recbnungen zu verschiedenen
Resultaten. Aus drei Ausgleichungen des Zentralbureaus und einer
von LaU^mand ergibt sich die Hohe der nordlichen Meere tibcr der
der sfidlichen:
212) Deraelbe Oedanke wurde (1890) von A von Kalmdr wenigstena in bezug
ttuf die enropaischen Meere ausgeaprochen (lot Erdm. 1890, p. 102108); vgi.
ferner Bmtquet de la Gryes Bericht in Int. Erdm. 1898, p. 363.
218) A. Borsch und / . Kuhnen, Vergleichuog der Mittelwadaer der Ostsee
and Nordgee UPW., Berlin 1891.
214) Helmert in Int. Erdm. 1891, p. 251. Neuere Bestatigungeu hat inau
in den Resultfcten der neuen franzfoiBchen Nivelleinents und der russiscben laugt
der OstBee (Int. Erdm. 1398, p. 163 164 und p. 412481). Vgl. ferner den
Artital von A. Borsch in Int. Srdm. 1892, p. 547.
40. Genauigkeit einer Nivellementsausgleichung. 209
I. Auagleichung 13.4 cm
II. 26,5 cm
III, 4,6 cm
LaVemand 2,0 ctn.
Diese Resultate sind zu verschieden, als daB man einem unter
ihnen genflgendes Vertrauen schenken kounte 315 ^.
Bedenkt man, mit welcher Uusicherheit die erwahnten Niveau-
differenzen sich ergeben, so verbietet jedenfalls nichts, sie als rein
lokale Erscheinungen aufzufassen, weil man Unterschiede von der-
selben GroBenordnung zwiseheu Pegeln derselben Kuste findet, die
nur wenig von einander entfernt siud (z. B. 22 era zwiseheu Ostende
und Boulogne, 29 cm zwischen Biarritz und Sables d Olonne, 13 cm
zwisehen Pola und Fiume 216 )).
Die Frage nach dera internationalen Nullpunkt far die Hohen,
die wir hier erwiihnen mttssen. obgleich sie von mehr technisehem
als theoretischem Charakter ist, ist um 1864 aufgeworfeu worden und
bis heute noch nicht definitiv enischieden 217 ).
40. Genauigkeit einer Nivellementsausgleichung. Wenn man,
wie es iiblich ist, ein Nivellement mit konstanter oder ung^fiihr kon-
stanter Zielweite ausfiihrt, so ist der mit tie re Pehler eines Hdhen-
unterschiedes der Quadratwurzel aus der Entfernung proportional 218 ):
(72) w- fV V7 A
Nimmt man L in km an, so nennt man ^ den mittleren Kilometer-
fehler eines einfachen Nivellements. Abgesehen von anderen Um-
standen hangt ft t von der Zielweite s ab. Wenn der mittlere Fehler M
einer einfachen Stationsbeobachtung (Riickblick Vorbli(^k) proportional
mit s angenommen wird, so ergibt sich t u x proportional mit Y7 und
daher hat man 219 )
(72 ) m == k
215) Ygl. Zit. der FuBn. 213, p. 89.
216) Int. Erdm. 1802, p. 551.
217) Eine zusammeufaasende Geschichte dieser Diskussionen findet man in
einem Artikel von Ch. Lallemand in Int. Erdm. 1893, p. 124. Vgl. auch den dies-
beziiglichen Meinungsauataudch in den Bitzungeu der Int. Erdin. 1891, p. 44, 94;
1892, p. 5357 und 118117.
218) Vgl. den Art. von 0. Borsch in der Zeitsch. f. Verm. 7 (1878), p. 456 und
495. Die Formel (72) wird moistens gebraucht. Indessen hat O. Horsch [Astr.
Nachr. 96 (1880), p. 33 und 81] vereucht, m als Fuuktion von L durch einon
komplizierteren Ausdruck darzustellen.
219) Jordan, Handb 2, p. 466 ff. 0. Bwsch (FuBn. 218, erste Zitat) hat anf
Qruud des PrazisionBuiTellements der Elbe uutexincht, welche der drei Formeln
210 VI i, 3. P. Pizzetti. HShere Geodfcwe.
Die Konstante /t x in Formel (72) kann man in der Weise be-
stimmen, dafi man die Nivellementslinie in mehrere Absehnitte ab-
teilt und die Hohenunterschiede jedes Abgchnitts bin und zuriick
misst. Sind l l} l t , / 3 , .../,, die Langen der verschiedenen Abschnitte,
dj , (L 2 , d % , . . . </ die Differenzen der Doppelmessungen, so kann man
/*! nach der Formel berechnen 826 ):
Der mittlere Kilometerfehler eiues Doppelnivellements ist dann
(74) ,-.
Hat man n gescblossene Polygone, von denen jedes doppelt
nivelliert ist, und sind w lt w t , . . . w n die SchluBfehler der Polygone,
so kann man ft in folgender Weise berechnen.
(76) -
wo ? t , ? 2 ,-../,, die Langen der verscbiedenen Polygone sind. Man
vergleiche in dem Bericht iiber das Prazisonsnivellement in Europa
von v. Kalmar**} die numerischen Werte von ft, ftir die Nivelluments
der verschiedenen Staaten; sie variieren etwa von 0,1 bis 5 mm.
Aus 48 Polygonen der erwahnten Vergleichung der Mittelwasser***)
ergibt sich (i aus den PolygonschluBfehlern zu 4,42 mm und aus der
allgemeinen Ausgleichung xu 4,48 mm. Fflr das nivellement general
de la France 25 ) (18971898) ist p = 2,45 mm.
Die Ausgleichnng eines Nivellementsnetzes kann auf zwei Alien
erfolgen :
(h konntant) am meiiten gseignet itl, die Beziehung zwischen M und g am-
zadrocken and hat >ich fiir die zweite der drei Formeln entechieden. Danaeh
wflrde sich m h^L ergeben, d. h. der mittlere Kilometerfehler wurde un-
abhangig von der Zielweite s sein. In Wirklichkeit hangt m stark von der
lokalen BodenbeBchaffenheit und andern Umstinden ab, die man theoretiaeh nicht
in Recbnung ziehen kann.
220) ./ J. Baeyer in Astr. Nachr. 86 (1875), p. 177. Allgemeinere Formeln
fur den Fall, dad die verschiedenen Ziige beliebig oft gemewen sind, gibt
O. BSrfch in seinem am Anf. der Fu8n. 218 zit. Aufsatz.
2J1) Int. Erdm. 195, n. T., p. 31 f.
222) ibid. p. 7676.
223) Bericht von Ch. Lallemand in Int. Erdm. 1898. Die Zahl 2,46 itt von
line mit Hilfe der Formel (76) berechnet anf Grund der Augaben der Koluni-
nen 2, 7 und 8 in der Tabelle p. 419 des genannten Berichteg.
41. Ableitung der Kotutftnten des Krd ellipsoids. 211
1) Bs wien 1 , 2, . . . n die Seiten des Netzes iind es sei allgemein
(r) die dynamische Hohendifferenz der beiden Endpunkte von r,
wobei ein bestimrater Durchlaufungssinn als positiver von vornberein
festgesetzt wird. Dae geschlossene Polygon a, b, e, . . . /> gibt den
SchluBfehler
WW""(*)- H r ,
wo man fflr eine bestimmte Seite das Zeicben -f- oder zu nebmen
bat, je nacbdem die Seite, wenn das Polygon im Sinne a, 6, e, . . . p
durcblaufen wild, im positiven oder negativen Sinne durchlaufen wird.
Bezeicbnet man mit [], [6],.. . \J>] die an den beobacbteten Hohen-
unterschieden unzubringenden Korrektioneii, so ergibt sich die Be
dingungsgleiebung
[][fc]---[;>]-f ^-o.
Die Zahl dieser Gloichungcn ist gleicb der Anzabl der vonein-
ander unabhiingigen geschlosseuen Polygonu im Netz; das Gewicht jeder
Beobachtiing (r) ist umgekebrt proportional der Lange der Seite /-.
Ein solcbes System von Bedingungsgleicbungen kann entweder nach
der Melbode der bedingteu oder der vermittelndeu Beobacbtungen
behaudelt werden 824 ).
2) Die Ausgleichnng eines Nivellementanetzes kann aucii nach
der Methode der vermittdnden Beobadttungen erfolgen, olmq dub
man die Polygongleichungen benutzt. EB seien JP , t\,...F t{ die-
jenigen Netzpunkte, in denen mehr als zwei Seiten zusammenstofien
un d es sei H rt die beobacbtete Hobeudifferenz zwischen zwei Punkten
F r , F t , die direkt durch eine Nivellementslinie yerbunden sind. Be
zeicbnet man die Hobo des Punktes F r iiber dern Niveau des Punktes
> mit # r , so ergibt lich die Fehlergleichang
X r X t "r* "^ V rf
Wenn die Pnnkte F durch L Linien verbunden sind, so wird
man L Fehlergleichnngen der angegebenen Art haben, aus denen man
die plausibelsten Werte der x ableiten kann,
D. Erdniessung.
41. Ableitung der Konstanten des Erdellipsoids aus zwei
oder mehr Meridianbogen** 6 ). Wenn man von vornherein das tteoid
als Rotationsellipsoid anntmmt, so geniigen zwei Messungen von
224) Es ist die erate oder die zweite diesez Methoden ijassend. je oach-
dem die Anzahl der Pul;gone ^
Die elementarea Formeln far die Ableitang von a and e ana Erdbogen
212
VI i t S. P. Pizzetti. Hehere Geodasie.
Meridianbogen in verschiedenen Breiten theoretisch zur Bestimmung
der Konstauten a und c dieses Ellipsoids. Zur Berechnung des
Meridianbogens zwischen den beiden Endpunkten einer Triangulation ;
die ich liings ernes Meridians erstreekt, kann man in folgender
Weise verfahren. Ausgehend vom Punkte A
(Pigur 20), in welchem die astronomische Breite
und das Azimut als bekannt vorausgesetzt werden,
kann man durch Auflosung der Dreiecke ABM,
MFN, .... die Stiicke AM, MN, .... QH des
Meridianbogens berechnen. Legt man dann durch
den Endpuokt E des Nefczes die geodatische Linie
EX senkrecht zum Meridian von A und lost das
Dreieck REX auf^ so bekommt man den ganzen
Bogeu AX. 1st die Breite rp des Punktes E astro-
nomisch bestimmt; so erbalt man die des Punktes
X mit geniigender Annaberyng aus der Formel
1 S* tang 9?
9Px==9-j- YjVearcl v,
wo S = (EX) ist. Man hat so die Liinge eines
Meridianbogens zwischeu zwei Punkten von be-
Fig. 20. kannter Breite. Es ist dies die Methode yon
A. M. Legendre***).
Oder man verfahrt auf folgende Weise. Durch Berechnung der
Dreiecke ABC, ACD, ADE, . . . . bekoramt man die Lange s und
das Azimut , der geodatischen Linie, welche die Endpunkte der
Triangulation verbindet und aus diesen Elementen kann man leicht
den Meridianbogeu zwischen den Breitenkreisen von A und E erhaltea.
Damit diese Rechnung soweit ais moglich unabhangig von den be-
nutzteu provisorischen Werten von a und e ausfallt, ist es zweck-
mafiig, aueh in dem Endpankt E das astronomische Azimut eu be-
stimmen; die Lange des Meridianbogens a ist dann durch die Formel
von Bessd** 1 ) gegebeu:
(Meridian- und Parallelbogen) tindet man in: P. L. M. dr Maupetiuis, La figure
de la terre, Paris 1738, p. 127; E. G. Boxcorich, De litteraria expeditione per
pontificiam ditionem, 6, Bomae 1765; J. L. cTAlembert, Recherches sur different*
points da systeme da monde 2, Paris 1754. Wegeii der neueren Unterauchungen
und speziellou Wege der bis heute ausgeiuhrten numeriachen Recknungen vgl.
J. B- Listing, ttber onsere jetzige Eenntnis der Gr58e uad Figur der Erde,
GOttiogen 1872.
226) J B. J. Delaiabre, Methodes enalytiques etc., p. S.
227) JP. W. Bessel in Astr. Nachr. 14 (1837), p. 338; vgl. auch Helmcrt, H. G.,
42. Restimmung von a und e dutch Parailelkreisbogea. 213
/ie\ *eos f, . *9in 1 a r1 , * / -. n
(76) ,= _i 4- ^[l + a* cos (* + *)] +
wo ^ (*! -f a, 180), Aa =, ! 180 ist and ,, a 2
die reziproken Azimute des Bogens s bedeuten und q> lf g> 2 die Breiten
der Endpunkte.
Nach Berechnung von 6 kann man mit geniigender Genauigkeit
(wenn der Bogen nicht mehr als 2 Amplitude hat, vgl. Nr. 10)
schreiben:
(77) a am p(qp s yj arc I",
wo
fmfl a*\ 1
/rjo\ CH.1 B ; l / i \
< (O) p =" s- unu op =^ _ icp, -i 0ai
/l I*J\T 1 ^ a/
ist und die BreitendiSerenz in Sekunden auszudriicken ist.
Die Formeln (77) und (78) liefern eine Gleichimg zwischen a, e
und B j obachtungsgro8en. Weun man wie gewohnlicb mehr als zwei
Meridianbogen /.ur Verfugung hat, wird man die Methode der kleinsten
Quadrate in folgender Weise anwonden. Es seien <i , <? Niiherungs-
werte von a, e, niit denen der vorlauiige Wert (> von Q in Forme! (78)
berechnet ist. Wir setzen dann
a == a ft -f- <Ja, t?* = e^ -\- d(<? 8 )
und nennen v t , v s die Verbesserungen der astronoinischen Bedtimmung
von ipuip*. Die Formeln (77), (78) geben dann die Fehlergleichung:
8
! * i /i
7 "" ^ + V 1 ~T sm
in der die Glieder mit e 8 da, e*de 2M ) vernachlaasigt siud. Die Fehler-
gleichungen werden dann mit Hilfe der Bedingung [v 8 ] == Minimum
aufgolost.
42. Bestimmung von a und e daroh FarallelkreiBbogen. Wenn
die Triaugulatiou langs eines Parallelkreisbogens erfolgt i.st, uud wean
in deu Endpunkten ^1 und B die astro nomischen Azimute uud die
Langeiidifferenz Aa> beobachfcet ist, so kann man, unter G>N den
Parallelkreisbogen in der Mittelbreite <p = y "t T.i f zwischen den Me-
ridianen von A und B verstanderi, fur 6> die folgende Formel aufstellen:
1, p. 304308. Andere Methodea fur die Berechnung von e haben F. G. W.
ttnd J. J. Baeyer gegeben. Vgl. JV. Jadanza, Metodi per la misara di uu aro
di meridiano, Firenze 1831.
228} Geuauere Formeln tiudet mau in eiuom Aufaatz vou F. W. Beimel,
Abhdlg. 3, p. 41.
Kitoyklop. d. mth. Wiaaeu;h. VI 1. 15
214 VI i,3. P. Piixctti. Hfchere Geodaaie.
* / ,18 \
9 ACJ cos tp = -jy sin { 1 ^^ (1 sec 8 9 sin 2 ) J
Querkriimmungsradius fiir die Mittelbreite
wo $ die Lnge der geodatisehen Linie ^ K bedeutet uud die flbrigen
Bnchstaben dieselb Bedeutung haben beziiglich der Punkte A und 7?
wie in der vorigen Nr. Die Formel (80) gibt eine Beziehung zwischen
gemessenen Groflen und den Unbekannten a, e*. m )
4S. Stroke def Ellipsoids. Lotabweichvmgen. Das Problem,
aus einem System von Erdbogen die plausibelstert Werte von a und e
ab/ul^iten, hat an Wichtigkeit verloren, seitdein die Geodaten sich
uberzeugi haben, dafi die Hesultate der verschiedenen Gradmessungen
nicht uiit genugender Genauigkeit eiuem einzigen Ellipsoid angepafit
werden konnen. Gibt man eininal zu ; daB systematische Unterechiede
zwischeu dcin Geoid und dem Ellipsoid vorhanden sind, so hat die
AusgJeichuiig der Resultate yon unabhangigen Gradmessuugen keinen
anderen Zweck, als fiir a und e Mittelwerte a m und zwisehen den
f /* fit
Werten (o,, fj), (o t , c^), . . . . zu liefern, die sich auf die verschiedenen
Ellipsoide EI, E), . . . . beziehen, welche sich jeweils den verschiedenen
Gradmessungen am besten anpassen. Aber dies ist nicht gleichbe-
deutend mit der Bestimxnung eines Ellipsoids, das am besten den
gesarnten Gradmefisangen entspricht. Denn so lunge diese nicht unter*
einander verhunden sind, haben wir keine Kenntnis bezflglich der
Lag*-, welche die yerschiedenen Ellipsoidstficke lt E t , .... zuein-
adder haben, und deshalb habeii wir keine Garantie, dafi das mittlere
Ellipsoid (a m , e fn ) nicht nur bezflglich der Kriimmung seiner Teile,
sondern auch bezttglich seiner Lage zum Erdkorper sich samtlichen
stndierten Teilen des Geoids anpasse.
Da die Ermitteluug der absoluten Abweichungen des Geoids
von einem einzigen Ellipsoid bis jetzt nicht moglich ist, miisfeu wir
uns darauf besebranken , einzeln jede Erdgegeud /.u untersuchen, die
mit geodatisch und ustronomisch untereinander verbundenen Trian-
gulationeti Uberdeckt ist, indem wir die Dimensionen and die Lage
eines Ellipsoids ** ) zu bestimmt ii suchen, welches sich moglichst gut
den Daten dieser Triangulationen anpaBt, und die Abweichimgen er>
229) Siehe: N.Jadttnza in Torino Atti Accad. 19 <lftJ), p. 980;
dintl, Alcune formole per calcolare un arco di parailulu tenentre, Messin* 1890.
229 ) Schon zu Beginn (tea vorigen Jahrbuoderts besubaftigte eich W. Lumbton
mit der Bestimmuug eines lokalen Ellipsoidi, daa am beaten geeignet wJLre, die
Retaliate der englichen Mesaungen dazzuutelleu [An account of the measurement
of an arc of the meridian etc., Asiatic Researches 8 (1605), p. 187].
43. Stu cke dep Ellipsoids. Lotabweichungen. 215
mitteln, welche in der betreffenden Gegend das Geoid vom Ellipsoid
aufweist.
Die Bestimmung eines Ellipsoidstiickes verbindet sich unter diesem
Gesichtspnnkt mit der Bestimmung der Lotabweichungen 230 ) und eben-
so mit dem Problem der Ausgleichuug verschiedener, miteinander
verbundener Triangulationen. Wir wollen hier in Kiirze die Metbode
und die Formeln von Helmert angeben* 81 ). Es mogen i, k zwei
geoditisch miteinander verbundene Punkte sein. In bezug anf ein
vorlfiutiges Ellipsoid E$ (z. B. das Bessehche) mogen B t L { , fi k L^
angenommeiie Werte 88 *) fiir die geodatischen Langen und Breiten der
Punkte i und k sein. Indem man von diesen Daten ausgeht und die
Elements a, e des Ellipsoids E benutzt, berechnet man (Nr. 15") vor-
Isiufige. aber streng zu J^l/ o ^*^t gehorige Werte der Liinge S ik
und der Azimute T ik) T k{ der geodatischen Linie ilc 111 ihren Rnd-
puukten. Es seien dann weiter:
BdB, L + dL, T + dT, S + dS
die analogen Grofien fiir das gesncbte, sich am beaten anschlifBende
Ellipsoid E. Die Relationen zwischen den Diiferenzen dK, dL, dS,
dT erhalt man dann (abgesehen von kleinen OroBen 2. Ordnung),
indem man die Formeln, welche zur tfbertragung der geographischen
Koordinaten und des Azimutes dienen, difterentiiert und dabei die
Breite, die Lauge und das Anfangsazimut B n L if T ilt und die Grofrm
a und e als Veranderliche angieht 233 ).
Bezeichnet man mit a die Abplattung 1 Y\ e* und mit rf,
da die Korrektionen von a, a, wenn man vom Ellipsoid E n zu E
iibergeht, so ergeben sich Relationen folgender Art:
280) Der Gtadanke, die Lotabw. an den beiden Enden eines geodativcfaeu
Rogeni mit den wahnicheinlichaten Yerbessernngen der Konntanten a and e dea
Ellipsoids in Einklang zu briugeu, 1st von Hessel analytisch entwickelt, Aatr
Nachr. 14 (1837), p. 269, 8 und 9; vgl. auch C. G. Andrae, Problemea de
bant* geodesie, 3 e cah.
231) Lotabw. Heft 1, Berlin 1886 Wegen der weiteren Behandlung des
Problems vgl. Helmert, H. G. 1, p. 538562. Vgl. ferner: Die Europ. Langen-
gradmesBung in 62Grad UBW., Heft 1 und 2, 18 J3 96; L. Kriiger, Beitrilge zurBe-
rechnnng von Lotabweichungss\ steuien, Potsdam 1898: A. "Borsch und L. Kriiger,
Lotabweichungen, Heft 2, Berlin 1902; A. Borsch, Lotabweichungen, Heft 8,
Berlin 1906.
232) Diese vorlaufigen Werte konnen innerbalb gewisaer Grenzeu noch be-
liebig angenomraen werden; wenn sie sich iindern, andern aich S, f und die
Schlufiformeln (83) bleiben dieaelben.
283) Diese Beziehungen sind von Helmert in H. G. 1, p. 282294 ange-
geben, indem er die redutierte L8nge von E. B. Ckristotfel benutzte.
216 VI 1, 3. P. Pizsetti. Hohere Geodiisie.
- dB k
cos l^rilfc COB B k dL t 4- q^-B, -f q<*S, t 4-
-h <fc v
(81)
f r,d$ t + r 4 rfJ a -f r +r,<l.
Bezeichnen wir mit B , L , T die Koordinaten und die astro
nomisch beatimmten A&imute, mit dlf, dl , 8T die Fehler dieser
Beatimmungen; ferner mit !,, A,, ^, Jl t die Lotabweichungen ia Breite
and Lange der Punkte / resp. k, bezogen auf daa EUiptolid E u , so
haben wir
^ B; 4-
r,t -f rfTt* 7^-t -|- 8T ik A, tin A,
and drei andere von entsprechender Bauart ftir den Punkt k.
Wir iieunen dann S lk die Lange der Seite ik, die direkt durch
Triangulation gefunden 1st, d/* die eritsprechende Korrektion, so dafi
s; k + <ss; t *~s ik + ds ik .
Vermittelst dkser let/ten (Heiclmng uud (82) eliminieren wir
die tilij-dL, d l\ dS aus (81). Auf diese Weise kotnnien wir zu
den drei Gleichungen:
I* - ft B k + dff t H- , ( B, + * ig &) - p 8 A,
*-h *(#* ~ .* -f **) 4- iW* - y -I- **")
f P 5 * - 4- Mo,
A* =* Z<i Lk 4" "* * < 4~ ^^* ^Xf
-f q t (J; T- ft -f *# - fe) ~ ^ f A, -f q, (6% f
4- q 4 (^* - r,* -f *r rt ) 4- q s
-f r 8 (^;* - B<* -r- */*) -I- r 4 (r; t - f,* 4-
Fiir die Koeffizienten dieser Gleichungen gibt Helmert 5 3 *) die
folgenden Naberungswerte an.
234) Lotabweichungen, Heft 1, p. 10, 11, 13. Fur die Koefizienten mit
deu Indizee 1 bia 5 sind die veruachiasnigteu Grdfien ron der 4. Ordnung be iiglich
H
f uud , fiir die Koeffi^ieaten mit dcm Index 6 vou 3. Ordnuog.
44. Fortflotzung. Bestimmung der Loiabweichungen. 217
Setzt man
I-Isi Ij, b-J? B t , TT-J l-esin.B, JS~51i,
so wird:
W* (1 - O IT
*i w w* 8 l> % -- en^ am
< I
fllffl I
r "* ~ *i*B k <*B k (1 * "* # cos* J5T),
p t p 4 ain # q, = q 4 8in^ 1, r, r 4 si
, -. TT ^^ - r ^^"^ ac
^ "* a(l-)ol" *^7 a-arcl"
TT wnr V.
p, -= - 2b -f (3 b - Y sm B cos B arc 1") sin 1 B,
(^ = 1 Bin 2 B t cos If,, sec S t , r e q, & f rin e arc * *
m ist die reduzierte Lauge des Bogens ^ it uud zwar gilt mit
genQgeuder Anniiherung:
m A/S*. /rfm\ JtfS*
/rfm\
(rffi)
44. FortsetEong. Bestimmung der Lotabweiohnngen. Aus-
gleiohung. Es sei eine Gegend der Erde mit Trianguiationen tiber*
deckt, die in einem oder raehreren Punkten zuEammenhangen. Die
Trianguiationen s -u-n an nnabhangige Basismessungen angescMostien
iind jede fiir sich ausgeglichen 235 ). Betrachten wir zuniichst nur die
astronomischen Pnnkte. so wird es unter diesen einige geben, in denen
sowohl die Lange wie dag astronomische Azimut besfcimmt siud ; diese
neuaen wir Laplacesdie Pnnkte. In anderen Punkten wird anfier
der Breite entweder nur das Azimut oder nur die Lange bestimmt
sein. Wir gehen nun von eineni Zentralpunki aus rmd ziehen Poly-
gone, die durch die astronomischen Punkte hindurch- zu den ent-
28ft) Wir werden ntir TOrauBBetzen , dn8, wenn zwei Trianguiationen eine
Seite gemeinsatn haben, die Lange der Dreiecksaeiten derart ge&ndert wird, da6
ein event. Untertchied /wischen den beiden Werten der Seiten, die aus den beiden
Triangulatioiien erhalien sind, beseitigt wird. Vgl. Hetmert, Lotabw. i a.
218 VI i,8. P. Pizzetti. HOhere Geodasie.
fern ten Punkten hinfiihren. (Es kann vorkommen. daB ein und derselbe
Punkt mit dem Zentralputikt durch mehrere Polygonxiige verbunden
1st.) Filr jedc Polygoriseite schreiben wir dann die Gleichungen vom
Typus (83); es 1st klar, dati diese sic,h in der Weise kombinieren
lassen, daB man Gleiobnagen erhiilt, in deneii die , A irgend eines
Punktes k auftreten und solche fUr den Zentralpunkt I. 236 ) Die Lot-
abweichungen in Lange ergeben sicb fur die Laplateschen Puiikte
aus (83) auf /wei Arten, aber der Vergleich zwischen dem astrono-
mischen Azimut und dem aus der Triangulation abgeleiteteu ist fiir
Puiikte, die vom Zentralpunkt weit entfernt sind, bedeutend ungenauer,
uls der Vergleich der Langen. Es 1st deshalb zweckmaBig { wenigstens
fftr eiue erste Anniiherung), nur die Laiigen zur Bestinrmung der A
zu benutzen und sich der Azimute nur bei der Ausgleichung zu be-
dienen. Dies lauft darauf hi n HUB, daB man die Verbesserungen dL
der astro nomischen Langeu gleich Null setzt. Es bleiben dann (ab-
gesehen von den Verbesserungen dJT, welche oflfenbar nicht von den
entsprechenden getrennt werden konneo) in deji Gleichungen (83)
die Verbesserungen dS a und ST ik- Jede der Verbesserungen 8T
kann als Sum me zweier Verbesserungen f -f~ v ik betrachtet werden,
von denen die erste (die fiir alle \rorn Punkt* i ausgehenden Ricb-
tungeu die gleicbe iat) die Verbesserung der astronotnischen Orien-
tierung ist, wahrend die zweite die Verbesserung der geodatischen
Besiimuiung der Richtung ik ist. Die Ausgleichung kann man danu
auf Gnmd der Minimumsbedingung:
- Minimum
W 4. yj!L + V
m-5 ^ mf ^
ausffthren, vro m der mittlere Kilometerfeliler der geodatischen Be-
stimmung von S, m u der mittlere Fehler der astronomischen Azimut-
bestiinmung, m f der einer geodatischen Bichtungabestimmung ist.
Die Bedingu&gagleichungen konuen so in folgender Weise erhalten
werden :
1) fiir jeden /<<;>/a\seheu Puukt liefert die Elimination von A
zwischen der zweiten und dritten Relation (83) erne Gleichung (er-
weiterte Laplacesche Gleichung);
2) fiir jedes geschlossene Polygon, das sich ergibt, wenn zwei
Punkte , /r durch zwei verschiedene Polygonziige (irk), (isk) verbunden
smd, hat man drei Gleichungen , welche ausdriicken, daB die Werte
Jii ietii man ., 1 ; iu dea Gleicbuugen (83) bezQglich der Seite ik und
den anaiogen beziiglich der Seite li elimiaiert, hat man drei Gleichuogen zwichen
44. Fortsetzung. Beatimuiung der Lofcabweichungen 219
| t , x, t des Punktes k aus (83) sich in derselben Weise ergeben, vrenn
man (irk) oder wenn man (isjt) durchlauft, oder, was dasselbe ist: man
erhalt zwei Gleichungen, indem man die Identitat der Werte von | t , A A fflr
die beiden Wege aus den ersten beiden Gleichungen (83) ausdriickt.
Die dritte ergibt sieh aus deu Ijaplacescben Gleichungen fur die beiden
Wege. In Wirklichkeit ist diese Gleichung nichts anderes als die Poly
gon winkelgleichung (vgl. Netzausgleichung in Nr. 31) fiir das Polygon
(*rifes*)) 8S7 ). Wenn man deshalb A Laplaceaohe Punkte hat, die mit
einem Laplaceschen Zentralpunkt verbunden sind, und p geschlossene
Polygone, so ergeben sich im ganzen A -f- 3p Bedingungsgleiehungen.
Die praktischen Regeln fur die numerische Aufstellnag der Bedingungs-
gleichungen und fiir die Aimabme der mittleren Fehler m, m u , m f
konneu hier nicht anseinandergesetzt. werden; wir verweisen in dieser
Beziehung auf die genannten Arbeiten von Hehmrt und A. Borsch und
L. KriiQcr, wo zahlreiehe Beispiele zur Illustration der Theorie vorhanden
sind 23 "). Als Resultat der Ausgieichung ergeben sich schlieBlich die
Lotabweichungen der verschiedenen Punkte mit Ausnahme des Zentral-
punktes als lineare Funktionen (mit numeriscb bekannten Koeftizienten)
der GroBen:
>. if 11 .
Su ^. ^- ^ a
(vgl. Helmert, Lotabw., Heft 1, 31), wenii man absieht von den
Fehlern b tt\ 6 L der astronotuischen Langen- und Breitenbestitnnmng.
Setzfc man der Bequemlichkeit wegen i) t aiistelle von >L f cos B ir s
ergeben sich Beziehungen folgender Art:
(84)
* = <Si 4- b^ -f c ~ -f
lt = ili -f 4 9, -f tC ~ -f
wo a, />, . , a , b , . . . bekannte Zahlenwerte haben.
Will man ein Ellipsoid bestinirnen, das sich demjeuigeii Teile der
Erdoberflache, auf den sich die Triangulationen erstreckeu, auschlieBt,
so kann man ais Bedinguug uehinen 939 ):
(85) ( 4- i?) = Minim.,
237; Die sogenannte Laplacenche Gleichuag ist nichts andres als die Winkel
gleichung fur das Dreieck, welchet den Nordpol und die beiden Punkte i und k
zn Ecken hat.
238) Helmert, Lotabw., Heft 1, 2226; A. Bdrsch und L. Kriiger, Die
urop. Gradm. uw. Heft 2, Kap. 5, 4 8.
239) Es iat klar, dafi man dabei die verschiedene Genauigkeit, mit der |
und /) beutimmt sind, nicht bcrueksiehtigt. Dieae konnen uicht einfacb wie
220 VI i, 3. P. Pitzetti. Hflbere Geodftsie.
wodurch das Problem auf die Formeln der Methode der kleinsten
Quadrate zurtlckgefuhrt ist. Die Fehlergleichungen sind die Gleichungen
(84), zu denen man hinzufftgen raufi:
45. Fortsetzung. Angenaherte Besthnmnng von Geoid-
atiicken. Bestimmt man die Komponenten |, ?, der Lotabweichung
ftir eine grofie Zabl von Punkten, so kann man dadurch naherungs-
weiae eine Niveaufl&che in der betrachteten Gegend konstruieren. Wir
betrachten eine Reihe von Pmikten, die ungefahr langs einer geoda-
tischen Linie I liegen; ftir einen beliebigen Pnnkt derselben P f aeien
I,, 17, die Werte von ^, ly. Ipt ,. das Azimut von I in P f , so ist die
Komponente der Lotabweichuxig in der Richtung / und im Punkte
P,):
(86) y i \ t cos a t -f ij ( sin u t .
Nennsn wir H t , H k die Erhebungen des Geoids aber dem Ellipsoid
in den Pnnkten P p P t , so hat man rait genilgender Genanigkeit:
(87) ff k -S t
wo dl ein Element der Linie / ist. Die Integration kann man nahe-
rnngsweise durch mechaniscbe Quadrator austnhren, indem man die
Entfernungen I als Abszissen und die durch (86) gegebenen Werte y
als Ordinaten nimmt. Man muB natilrlich den Wert von //in einetn
Punkte kennen, oder a priori annehmen. Die Frage haugt mit der
Hrduktion der Sasisilinien auf das Meeresniveccu zusammen (Nr. S5).
Die Basislinien miiBten streng genominen auf das Referenzellipsoid
reduziert werden, wahrend wir sie auf das Meeresniveau rednzieren,
was darauf hinauslaut\ willkttrlicb in einem bestimmten Punkte des
TriangulationsgebietdJ H = zu setzen. Solauge man indessen iiur
begrenzte Gebiete der Erde betrachtet, interessiereu nur die relativen
Werte der H6hen, und es kann deahalb die Willkiir bei der Wabl
des Nnllpunktes fxlr die H5ben nicht ale ein Mangel der oben an-
gegebenen Methode angeseben werden.
Beobachtungtfehler behandelt werden ; die Forme! (86) mufi devhalb nur fftr den
Ansdmck einee konTentionellen Verffthrena angesehen werden, \ia> daejenige
Ellipsoid zu beotinimen, das sich io der betrachteten Qegend dem Geoid am
besten anchliefit.
240) Man findet diet leicbt auu den fintwicklungen in Nr. 7. Die Grandlage
tiir das analytivcbe Studinm dee Geoide wurde von Bessel geliefert (vgl. Zit. unter
Fufin. 228\
45. Fortsetznng. Angenaherte Bestimmung von Geoidstucken. 221
Wenn die Werte Ton H fur verschiedene Serien von Punkten in
verschiedenen Richtungen M1 ) bestimmt siud, so kann roan die Gestalt
und Lage des Geoids zum Ellipsoid in der betrachteten Gegend gra-
phisch nach topographischer Methode oder mit Hilfo von Niveau-
kurven (H = konst.), wie man sie in der niederen Geodasie xur Dar-
stellung der Hohenverhaltnisse benutzt, darstellen 842 ).
Man kann aucb analytische Hilfsmittel zur Bestimmung des
Geoids. wenigstens in der betrachteten Gegend, heranziehen. Setzt
man in einem Punkte P:
H - A, A, -f J* A. + B> V + 2 A A, A. + ^A w f + -,
wo A V , A ro die Breitn- mid Langendifferenzen zwischen dem Punkt P
nnd dem Zentralpunkte mit H sind, so ergibt sich mit geniigen-
der Genauigkeit:
(88)
(p, JV Hauptkrilmmungsradien in P) M8a ).
Wendet man diese Relation^n auf Punkte an, in den en |, y be-
stimmt sind, so konnen sie zur Bestimmung einer gewissen Zahl der
Koeffizienten A, B dienen. Man benatzt auch trigonometriscbe Ent-
wicklungen 848 ):
& ^o 4~ ^i eos x ~h ^2 cos 2.r -f- + a i s n * -f- ^ 8 2 x -)-,
wo
241) Es 1st natiirlich notwendig, daB eine Linie vorhanden ist, welche alle
anderen kreuzt, damit man alle H von einem einzigen Ausganggpunkte (H 0)
ab lei ten kann.
242) Alg Beispiel einer Bestimmnng von PronMen oder von ehenon Schnitten
deeGeoidB vgl. bei Jffflmert (H. O. 1, p. 5f>8) die Bestimmung eines Meridianprofiles
in der Harzgegend; ferner vl. Fnt. Erdm. 1888, p. 19 (und die beigngebene Karte).
Die topographische Darstellung dee Gooids iet von C. G. And roe (Problemes
de haute geodesic, 3 me cahier, p. 53) ffir die Gegend des Harzes und deg
Thflringer Waldes auf Grund der Lotstflrungen 5 und unter Annahme einer
willkiirlichen Hypotheee beziiglich der Werte ). langs eines Parallels versucht
worden. Pomerantzcff hat eine solche Darstellung fiir das Gebiet zwischen den
FKipsen Kara- und Srr-Darja in Zentralasien (iw den Br. 40 15 nnd 41 "16 und
d. L. 380 und 42 25 6stl. von Pulkowa) angegeben. Die Abhandlung Ton
Pomerantieff findet sich in russischer Sprache in den Deukschr. der Milit.-topogr.
Abteilg. des Generalstabe, St. Petersburg 1897, p. 76; em Ausxug aus ihr in:
Bull. astr. 14 (1897), p. 479. Beziiglich der Bestiiumung begreuzter Teile deti
vgl. Helmert, Zit. der Fufinote S9, ferner die Zitate /u Nr. 63.
242 e ) Beispiel hierzu James and Clarke* 1 ).
248) Bcttel, Zit. dex Fufin. 228, 10.
222 VI i, 8. P. Pizzetti. HOhere
-h *> { * si 2 y H ---- i
4- < sin 2y H ----
ist, und wo jc, y geeignet gewahlte Vielfache der A , A 0) sind. Aber im
allgemeinea ist zu erwnrten, daB diese analytiscben Hilfsmittel keine
besseren Resultate liefern als die oben erwiihnte topographische Me-
tbode. Die lokaien Geoidstorungen sind zu sehr mil den geologtschen
Oberfiachenverhaltaisseu der Erdkruste verkutipit, als daS man hoffen
konnte, daB sich die Anderungen von H in einer nur einigermafien
auBgedehnten Gegend geniigend durch eine einfache Forme] darstellea
lieBen.
A. J. Yron Villarceau* 4 ) hat vorgesehlagec , die Abweichungen
des Geoids vom Ellipsoid dureh eio doppeltes Ntvellenient, ein trigo-
ntuneti isc}u j s und ein geometrisches, zu bestimnien; das erste gibt die
Hohen der Puukte in bezug auf das Ellipsoid, das zweite in bezug auf
das Geoid. Die Mcthode hut augenblicklich gar keine praktiscke Bedeu-
tung wegen der grofien Ungenauigkeit der trigonometrischen Nivelle-
mentsergebnisse, die durch die Kefraktion verursacht wird. Aui5erdcni
ist zu bemerken, daB die in die Recbnung eingefttbrten Zenitdistanzen
auf das Ellipsoid und nicht auf das Geoid bezogen sind, und deshalb
ist an die beobachteten Zenitdistanzen die in Nr 7 angegebene Korrek-
tion anzubringen, \vozu bereits eine wenigstens angeuaherte Kenntnis
der Lotabweichnngen notwendig ist.
Von theoretischem Interesae ist aaeh die Methode von K. B.
Christoffel***) zar Bestimmung einer Flache, wenn die Hauptkriim-
mungsradien in jedem Punkte gegeben sind.
Yon den tbeoretischen Untersncbungen iiber das Geoid nennen
wir nocb das Theorem von Vtilarceau** 6 \ das die geometrische Be-
diugung ausdrdckt, der ein orthogonales Strahlensystero gentigen uauB;
in unaerer Bezeichnungsweise kann man es schreiben:
dot ?qp
Diese Bedingung mfibtf man beriicksichtigen, wenn man die , >/ nach
Potenzen von A , A w entwickeln wollte. Aber sie ist scbon mit ge-
niigender Annaheruug beriicksichtigt, wenn man bei der Bestimmung
der , r t die in Nr. 48, 44, angegeb^nen Methoden anwendet, oder
244) J. de math. 18 (1873;, p. 398.
246) J. f. Math. 04 (1864), p. 193; V. Reinn [Roin. Accad. Lincei (6) 2(1893),
p . 287] hat eine Methode zur Bestiiomung der Hauptkruiamungaradien aii-
gegeben.
246} Vgl. Fufinotn 244, p 412.
4ft. Die SchwerestortmgeD. 47. Anfange der geodatichen Messungen. 223
wenn man von einom analytiachen Auadruck fur ff, wie oben an
gegeben ist, ausgeht 847 ).
46. Die Schwerestdrungen und die Abweichungen zwischen
Geoid und Ellipsoid. Wie die Schwerkraftsmessungen, wenn sie
sidi auf die gauze Erdoborflache erstrecken, znr Bestimmung der Ab-
weichangeu H dienen konnen, baben wir schon in Nr. 4 bei Gelegen-
heit der Formel von Stokes erwahnt; aber eine solche Formel kann
augenblicklich iioch nicht mit Sicherheit angewandt werden. BeBtim-
mungen von H durch lokale Schweresfcorungon sind unmoglich, wenn
man nicht a priori Voraussetzungen fiber die geologiachen Verhalt-
nisae der Oberfliichenachichten der Erde umeht, da die Schwerefltorung
in jedem Punkte sowohl von dem lokalen Werie von H ala auch von
lokalen Unregehmifligkeiten in der Konstitution der Erdrinde ab-
hiingt 248 ). DaB dieae Unregelma,8igkeiten durchaus nicht zu vemach-
laaaigen siad, kann heutzutage ala sicher bewiesen angenommen wer-
t ten. ludeaaen sei in dieser Beziehung, was den Zusainmenhang
zwischen der Schwerkraft und der Erddichte betrifft, auf die Geo-
physik verwiesen
111. s u m in a rise IH> Eiitwickluugsgeschiehte der geodatischen
Kenntnisse.
47. Anfange der gaod&tischeu Mcssungea, bei denen die Erde
als Kugel botrachtot wird. Die Kugelgestalt der Erde wurde von
den alten Griechen (Aristoteles, Archimedes, Pythagoras} aua rein meta-
physischen Grflnden angenommen und vor ihnen noch von den
Chaldaern fvgl. Railly, Astron. ancienne). Der erate Versuch, den
Erdumfang wirklich auszuraesseu, ist, soweit wir sichere Nachrichten
haben, von Eratosttones aus Gyrene (geb. 276 v. Chr.) unternomraen
worden. Dieser bestirauite durch Meridianbeobachtungen der Sonne
den Breitenunterschied zwischen Alexandria und Syeoe in Agypten
zu 7 30 ; indem er dann die Entferuung der beiden Orte nach der
Marschdauer zu 5000 Stadien ermitteRp, fand er den Erdumfang
E= 2500000 Stadien. Posidonius (geb. 135 v. Chr.) leitete aus dem
Bogen Hhodus- Alexandria, desseu Breitendiffereuz er mit Hilfe der
247) Iteziiglii h der geodfttischen Recbnungen anf einer Oberflaehe, die aich
wenig vom Ellipsoid tmterscheidet, vgl. P. S. Laplace, M<?c. c^l. S, 8. Buch, 38;
Bessel*"); L. Puissant, Traite do g($od6sie; E F. Mitiding, J. f . Math. 44 (1852),
p. 6(>; James and Clarke, 0?dn. trigon. survey etc., p. 609 ff.; O. Bonnet, Ann. di
mat. 2 (1869). p. 46. 118, 180; E. Pucci, Ann. di mat (2) 14 (1886), p. 199.
248) Helmtrt, H. G. S, p. 261, Formel (10).
224 VI i, 8. P. Piezftti. H5here GeodSsie.
Hdhen von Kanopus bestitnmte, J5 = 2400000 Stadien ab. Das von
beiden benutzte Stadion ist sehr wahrscheinlich das olympische, dessen
Lange von Uckert zu 570 Pariser FuB M9 ) (entsprechcnd 185 m) be-
stimmt ist. Es wttrde deshalb nach Eratosthenes der Erdquadrant
sich zu 11562km, nach Foxidwiius zu 11100km ergeben. tTber
diese Messungen des Eratosthenes und des Posutftnius hat uns JT/eo-
mfes S5 ) Nachrichten hmterlasseu. Eine Messung eines Meridian-
bogens von 2 Grad mit Hilfe von Staben wurde von den Arabern
im Jahre 827 auf Befehl des Khalifen Almamun in der Ebene von
Sandjar in Mesopotamien ansgefiihrt. Das Messungsresultat ist in
arabischen Ellen angegeben. Setzt man eine Elle* 51 ) = 0,540 m, so
erhalt man den Erdquadranten Q - 11 016 km.
Von der Zeit der Griechen bis 1525 liegt keine Naehricht fiber
irgend eine in Europa ausgefQhrte Messuug vor* 58 ). In diesem Jahre
maB Fernel, ein franxo sischer Arzt, die Entfernuug Paris-Amiens, in-
dem er die Aneahl der Umluufe ernes Wagenrades zablte, und erhielt
Q 10011 km, wobei er die Britendiffernz durch Sonnenbeobaoh-
tungen bestimmte.
Die modemen geodittischon Operatiouen wurden von Willebrord
Sndlius (1580 1626) eingeleitet, der zum ersten Mai sich der Triangu-
laticn bediente 85 *). Er berechnete den Meridianbogen zwischen den
Breitenkreisen von Alkmaar und Bergen-op-Zoom in Holland (Ampli
tude ca. 1*11 ) durch eine Kette von 33 Dreiecken, indem er die
Winkel mit Hilfe eines geteilten Halbkreisea von ungefabr 3% FuB
Durchmeaser maB. Die Basis von ca. 1230m Lunge wurde zweimal
mit einer Kette und dann mit einem Holzstab gemessen; die Breiten
der beiden Endpunkte wurden mit einem Quadranten von 5% FuB
Durchmesser bestimrnt. Nacfadem Sndlius ein astronomisches Azimut
249) 7. Pofch, Breiteiigrdme8$angec , p. 2C. Vgl. darin anch deo An-
hang: Cber die francOsuche Stadienhypothese.
250) De motu circular! corpornm coeleatium, I^eipzig 1891, lib. I, cap. X.
Klevmede* apricht noeh von einer aoderen Messnug, die von Positioning ausgefuhrt
wurde t aber J. S. Partly (Aftaron. modcrne, p. 163) bezweifelt ihre Ecbtheit.
261) Die Lange der arabiscben Elle warde auf Grand hydrumetrucher
MeBsangen am Nil bei Kairo brotimmt (Jordan, fiandbuch 3, p. 4).
268 1 Besflglicb der A&schaunngen, die im Mittelaltt-r fiber die Gestftlt der
Erde Geltung batten, vgi. Builly, Astn.a. ncienne; Gore, Geodesy; ferner
G. Marinelli, La geografia e i padri dell* Chieaa, Boma 1882 (aus dem Italieni-
Bcheii flheruetzt, Leipzig 1884); S. Giinther, Studien zur Geachichte der matb. and
phya. Geographic, Halle 1877.
268) W. Snellius van IMjen, Eratoithenes Batavuc, sen de teirac ambitus
quantitate irera suacitatu. Lngduni Hatavorum 1617.
47. Anfange dor geodiitiichen Meaauugen. 225
in Leiden gemessen hatte, erhielt er die Lange des Meridianbogens,
iudem er eine Reihe von Dreiecksseiten auf den Meridian projizierte
and dabei wie in der Ebene rechnete. Die Messungen wurden 1622
von Snellius wiederholt, und die ueuen von Musschenbroek* 5 *) veroffent-
lichten Resultate ergaben Q =*= 10004 kin.
Es sind dann die beiden folgendeu Messungen zu erwahnen: Bogen
von London bis York, von R. Norwood direkt mit der Kette gemessen
(1635): Bogen bei Modena, iin Jahre 1645 von G. B.Riccioli und F, M.
GrimaMi ***) durch eine Triangulation gemessen. Die Amplitude des
Bogens wurde durch Beobachtung reziproker Zenitdistanzen erhalten,
eiue Methode, die zweifellos sehr bequein ware, wenn nicht die Un-
sicherheit der atmoaphanschen Refraktion die Resultate fast illusoriach
niachte 85 *).
Auf Betreiben Ludwigs XIV. beschilftigte si eh die franzosiBehe
Akademie in der zweiten Hajfte des 17. Jahrhunderts init dem Stu-
dium der Erdgestalt und beauftragte J. Picard, in Frankreicb den Bogen
zwischen Amiens und Malvoisine (36 km siidlich von Paris) zu messen.
Picarrf 237 ) bildete eine Kette von 13 Dreiecken, indem er von einer
Basis von 5622 Toisen ausging, die in der Nate dea Sfldendes ge-
inessen war. Eine Kontrollbasis von 3900 Toisen wurde bei Amiens 858 )
gemessen. Die. Breiten wurden in Afalvoisine, in Amiens und in
Sourdon (bei Amiens) bestimmt. Auf diese Weise wurden zwei Meridian-
bogen erhaiten: Malvoisine-Sourdon (Ampl. 112 ) und Malvoisine-
Amieus (123 ) ; aus denen im Mittel die L inge etnes Grades zu
57060 Toisen folgte.
Bei diesen Messungen wurden zum ersten Mai die Winkel mit
Hilfe eines Fernrohrs mit Fadenkreuz gemessen 259 ) und zum ersten Mai
264) Physicae, experimentalea et geometricae diesertatiouee, Leyden 1729.
266) F. X. ton Zacli, Corresp. astron. 2 (1818), p. 115.
266) .F. Maurolico echlagt 1543 vor, den Erddarchmesaer aug der Lcingo der
Tangente abzuleiten, die von einem Punkte in bekannter Hohe an die sichtbare
Erdkngel gezogen 1st; T. W. Wright (ungef. 1695) fiihrte in England eine Meaanng
aua, die gich auf eiue etwaa verschiedeue Methods grdr-det, indem er namlich
die Horizontaldepression einee Punktea von bekannter Hohe beobachtete (vgl.
(>. Zaiiuttt-Ktuitco, Sopra una vecchia a poco nota inisura del geiuidiametro ter-
restre, Turin 1894).
257) ./. Picard, La mesure de la terre, Paris 1671; sp&ter aufgenommen in:
Pria Mem. Acad. 1718 (1720), 2 partie, p. 1.
258) Mit V nrf lit achreibt mat) der pcruaniachen Expedition von 1736 das
Yerdienat zu, zum ergten Mai eine Kontrollbasis gemeason ?.\i haben.
269) Der Quadrant von Picard war in Wirklichkeit mit 2 Fernrohren ver-
sehen, von deneu das eine gegen das audere beweglich war wie bei d.eu spateren
von J. C. Burda,
226 VI 1,8. P. Pizzetti. HOhere Geodasie.
zur Messung der Grundlinien vier MaBstabe (i wduiaBe) bermtzt. Dem
spharischen ExzeB wurde keine Rechnnng getragen, indem die Dreiecke
uls eben behandelt wurden.
Die Fortsetzung der Pwwrfschen Messungeri durch ganz Frank-
reich von Dunkerque bis Collioure wurde nacheinander von J. D.
Cassini, J. Cassini (Sohn cles Vorhergehenden), Ph. de Ixihire, G. F.
Maraldi, C. A. Couplet und J. M. de Chaeettes von 1683 hie 1718 aus-
geftihrt und lieferte einen Meridian bogen von ungefahr %. ffio )
Es ergab eioh aus diesen Messungeri die folgende Lange t iir einen
Meridiangrad :
Ans dem Siidbogen . . . . 1 = 57 098 Toisen
aus dem Bogen Paris-Amiens 1 57 060
aus dem Nordbogen . . . . 1 56 960
Die Gradlangen schienen also nach Norden abzunehuien. Dies
veranlaBte die fiun/osischen Asironomeii /u der Annahine, daB die
Erde sich nacb den Polen zu verlangere. So wurde die Abplattung
der Erde durch die Kesultate uagenauer geodatisclier Beobachtungen
in Zweifel gezogen 261 ).
48. Fhysikalische Untereuchungen fiber die Gestalt der Erde- 62 ).
Wichtige Einwurfe gegen die Kugelgestalt der Erde waren schon vom
mechanischen Standpunkte aus erhoben worden. J. Richer beobaehtete
in Cayenne (5 nordl. Br.) im Jahre 1672, daB das Pendel einer Uhr,
welche YOU Fraukreich nach dort transportiert war, langsamer al in
Parig schwang und. daB es um 1% Pariser Linie verkiirzt werden
muBte, um normalen Gang zu erhalten; die Schwere nahm also init
der Breite ab 863 ). J. Ikwton und Ch. ffuygens behaupteten, daB die
260) J.Casfini, Traite de la grandeur de la terre et de sa figure, Paris
M&n. Acad. 1718 (1720), p. 1. Die Messungen warden von C. F. Cassini de Thury
und N. L. de Lacaille (1739 -40) wiederholt. Vgl. C. F. Cassini de Thury, Paris
M<hn. Acad. 1740 (1742), p. 276.
261) Nach Todhuntcr, History 76 encheint die Hypotheee des oertangtrtcn
rdsphS,roidg, aue Gradmessungen abgeleitet, zum ersten Male bei ) . Eifenschmidt,
Diatriba de fignra telluris, Strafiburg 1691. J. Cassini stellte dieee Hypotheee
auf in: De la figure de la terre, Paris Mem. Acad. 1713 (1739), p. 187. Auch
die Messungen von Parallelkreiebogon durch J. und C. F. Cassini (1738 35)
scbieuen die Verl&ngerung der Erde an den Polen zu bestatigen (Todhunter,
History 215, 224, 226).
262) Wir beschranken une daranf, einige mathematiach-physikalische Unter-
suehnngeu anKufuhren, die mit dem Problem der Erdgestalt in direkter Beziehung
stehen. Vgl. dazu: Trxihunttr , History und O. Zanotti- Bianco, II problem*
meccanieo della figura dell* terra, Turin 188085.
863) Bezdglicb weiterer Pendel beobachtuugen in jener Zeit vgl. Todhunter,
History 1, Kap. 8.
48. Physikalische Untersuchungen fiber die Gestalt der Erde 227
Zontrifugalkraft nicht geniige, um die beobaehtete Verminderuiig zu er-
kliiren und daB man deshaib der F.rde eine spharoidische Gestalt mit
Abplattung an den Polen zuschreiben intisse. In den Prop. 18 und
19 des dritten Baches der ,,Principia WW4 ) von Newton, die seine
Theorie der Erdgestalt auf Grund der allgeraeinen Anziehung ent-
halleu, stelit er sich die Aufgabe, /u berechnen, wieviel der flfissige
Teil der Erde am Aquator hoher sein mttsse als an den Polen, damit
die Meere im Gleichgewichte seien (Prop. 18). Von diesem Gesichts-
pnnkte aus denkt er sich zwei Kanale, welehe von der Oberflache
zum Erdmittelpunkt gehen, der eine langs eines Aquatorradius, der
andere langs einer polaren Halbachse, und stellt dann nnter der
Voraussetzung, <laB die Erde homogen sei und ellipsoidische Gestalt
babe, die Bediugung auf, dafi das Gesamtgewicht der beiden Kauale
dasaelbe sei. In moderrier SpracLe kaun man den (redankeugang
Newtons so wiedergeben: Die Anziehung eines homogenen Rotations-
ellipsoids von der Abplattung s auf das eine Elide der kleinen Achse
gteht tur Anziehung auf einen Aquatorpunkt^ ft ) in dern Verhaltnis
U ~i"~T - ) : ^ un< ^ deshaib verhalt sich die Sohwere am Pol zu der
am Aquator wie (l -}- y) : (l aio) WODe * 539 ^ as Verhaltuis zwi-
schen der Zentrifugalkraft and der Schwere am Aqaator ausdrilckt.
Wenn man sich den polaren und den aquatorialen Radius in die
gleiche Anzahl gleicher Teile zerlegt denkt, so ist das Verhaltnis der
Schwerkraft in zwei entsprechenden Punkten dasselbe, weil l"Qr zwei 5ihn-
liche homogene Ellipsoide die Anziehungen auf homologe Punkte sich
ivie die linearen Dimensionen verhalten uud weil aiidererseits die Zentri
fugalkraft der Eutferuuug vom Mittelpunkte proportional ist. Des
haib verhalten sich die totaleu Drucke der beiden Kanale auf ihren
Schnittpunkt wie (l -j- ~\ : (\ ~ | (1 -f- ). Damit dieses Ver
haltnis = 1 sei, muB ==.-== en. r sein* 6 *). In Prop. 20 be-
4 oV o*
rechnet Newton dae Gesetz fflr die Anderung der Schwerkraft vom
Pol zum Aquator unter der Bedingung, daft man gr = konst. habe,
Jii.4 Piop. 18 laatet: Axes plauetarum diametris quae ad eosdem axes
normaliier ducuntur ininores eaee. Prop, lit: Invenire proportionem axis planetae
ad diametros eiedem perpendiculareu.
265) EHe fetfheren Potenten von t auBr der ersten sind vernachlassigt.
266) Newton (Principia, liber III, prop. 20) behauptet zu unrecht, da6 die
Abplattung, wenu die Erddichte nach innen wacbse, grufier sein musae als iin
Palle einer bomogenen Erde. A. C. Warrant hat auf den Febler Me wtona aufmerk-
geiuacbt (De la figure de la tern- etc. Pane 1743, 2. Teil, 36 u. uO).
228 VI i, 3. P. Piezetti. HShere Geodasie.
weira g die Schwerkraft am Ende des Halbmessers r bedeutet. Aus
dieser Bedingung, die theoretisch imgeniigend ist, leitet er ein wenig-
stens bis auf GroBen zweiter Ordnung richtiges Resultat al>, namlich
g = g Q (1 -f s sin 8 <JP) , eine Naherungsformel, durch welche die
Schwerkraft unter der Ann ah me eines homogeuen Ellipsoides aus-
gedriickt ist. Ch. Huygens**" 1 ) faud unter der Voraussetzung, daB die
Au/iehungskraft nach dem Mittelpunkt der Erde gerichtet sei, die
A bplattung zu r=^ Er benutzt bei seinen tjberlegungen zwei Kanale,
von denen der erne aqnatorial, der andere beliebig gelegen ist, und
nimmt an, dafl die Anziehungskraffc konstant sei, bemcrkt aber dann,
dafi man zu deinselben Gesetze gelange, weun man aunalune, sie
andere sich dem Newtonach&a. Gesetze ]visj>recheud.
A, C. Claimut hat ge/eigt, dafi die Reclumng von Huygens darauf
hinausliel . , die Erdmasse im Mittelpunkt sich koiulensiert zu deukeu.
Newton hat a priori das Rotafcionsellipsoid als Gleichgewiehts-
figur angenonimen, J. Stirling* 9 *) dagegen ging lediglich von eiuer
homogenen rotierenden Flflssigkeitsmasse aus. Er stellte als Gleich-
gewichtsbedingung die Forderung auf, daB die Resultaute der An
ziehungskraft and der Zentrifugalkraft in Punkten der freien Ober-
flache normal zu ihr sich en miisse 2 * 9 ), und bewies so, duB in erster
Annaherung das abgepiattete Rotationsellipsoid in der Tat Gleich-
gewiehtsfigur sein kanii 270 ). Ferner bestimmte er das Yerfaaltnis
zwischen der Abplattung und der Winkelgeschwindigkeit.
C. Mac Lau rin" 1 ) konnte anf Grund seiner Entdeckungen
fiber die Anziehuug von Ellipsoidea die genaue Beziehung zwischen
der Exzentrizitat und der Rotationsgeschwindigkeit fiir eine homogene
rotierende Fliis^igkeitsmasse feststellen. T. Simpson* 1 *) zcigte dann,
dafi fiir jede gegebene Wiukelgeschwindigkeit nicht nur ein, sondern
zwei Rotationsellipsoide den Gleichgewichtsbedingungen genflgen 873 ).
267) Trttite de la lamiere avec un discours sur la cause de la pesanteur,
Leyden 1690.
266) On the figure of the earth and the variation of gravity on the aurface,
Lond. Phil. Trans. 89 (1736), p. 98.
269) Huygens hatte eben dieses Prinzip aufgestellt, /.og es aber dann vor,
die Methode drr Kanale zu beuutzen.
270) Clairaut bewies daaaclbe unabhM.ngig von Stirling, Lond. Phil. Trauo.
40 (1787), p. 19.
271) A treatise on fluxions etc , London 1742.
272) A mathematical dissertation on the figure of the earth, London 1748.
273) Dasselbe wurde von J. L. d Alembert bewiesen (Opnec. math. 46), der
in allgemeinerer Weiee zeigte, daB eina der beiden Ellipsoide mstabil ist. P. 8.
Laplace (Mec. c^l. liv. 3, chap 3) bewies, daft in Wiiklichkeit uicht me hi ahj
48. Physikalische Untersuchungen uher die Gestalt der Erde. 229
Clairaut 3 ) studierte aufier dera Fall eiues homogenen Plaueteo
auch den eines solchen, der aus festen, homogenen, von Kugel-
schalen wenig abweichenden Schichten von verschiedener Dichte
zusammengesetzt und von einer homogenen Fliissigkeit urngeben ist.
Ferner betrachtete er eineu fliissigen Planeteo, der von homogenen,
amiahernd spharischen Sehichten vou verschiedener Dichte gebildet
wirti. Fiir beide Fiille zeigte er, dafl das Ellipsoid Gleichgewichts-
figur sein kann und gab die Differentialgleiehung an, welche die
Anderung der Ell iptizi tilt der versehiedenen Schichten bestimmt, wenn
das Gesetz der Auderung der Dichte bekannt ist. la der Abhand-
lung ,,An inquiry concerning the figure of such planets etc." stellte er
zum ersten Male das berUhuite (7/amwfeche Theorem auf (vgL 4, 5
dieser Abhandhmg) 878 ).
A. M. Legendre*} zeigte durch Benutzung der von ihm erfuudenen
Koeffizienten P n (Kugelfunktionen), daB die einzige Gleichgewichtsfigur
fiir eine homogeue, um eine Achse rotierende Fliissigkeitsmasse das Rota
tionsellipsoid ist, wenn man anuiinmt, dafi die Oberflache wenig von einer
Kugel verschieden ist. Aber der Beweis von Legcndre aetzt a priori
voraus, d,-iB die Oberflache eine Rotationsflilche ist; diese willkiirliche
Beschrankung wurde von P. S. Laplace} aufgehobeu. Es ist indes zu
zweiRotationsellipsoide als Gleichgewicbtafiguten existieren kimnen und dafi diese
t
Ellipeoide reell sind, falls die GroBe t? = j - < 0,2246 ( = Win kelgeschwindigkeit,
p == Dichte, k Attraktionskonstante). SchlieBlich behauptcte K. G. J. Jacobi (Ann.
Pli.vs. Chem. 3H (1834), p. 229), dafi auch ein llip8oid urit diei uogleichen Achsen
Gleichgewichtafigur sein kann uud dafi die dritte Achse uud die Wiukelgeschw.
befitimmt ind, wenn man zwei Achaen willkiirlich aunimmt. /. Liouvillt (J. e*col.
jiolvt. 23 (1X34), p. 289) gab den Beweis datur and ( . O Meyer (J. f. Math. 24
(1842). p. 44) zeigte, dafi fiir jeden gegebenen Wert der Wiukelgeachwindigkeit
avifier den beiden bekaimten Uotationsellipaoiden ala Gleichgewichtsfigur ein
einzigee dreiachsiget) Ellipsoid exutiert, weun das YerhiUtuis f kleiuer ala 0,1871
int. 1m Falle der Mrde ist v = 0,0023 und die drei Achseu des Joco&t schen
EllipsoideB t-tehen im Verlialtnis 1:1,02:19,57, wobei die kleinste Achse die
Rotatioueai^iae ist. Vgl. auch Lioumlle, J. de math. 16 (1851), p. 241.
274) Thlorie d la figure de la terre etc., Paris 1743.
275) London Phil. Trans. 40 (173H), p. 277. In Wirklichkeit gibt der Satz
von Clairaut eiuo Hnziehung zwischen dem relativeu Anwachseii der Schwere
vom Aquiitor zum Pol, der wahreu Abplattung und derjenigeu Abplattung, welche
der Hjpothese eiuer homogenen Erde eutsprechen wiitde. Setzt man fiir die
letztere % des \ frhiiltuiHseb zwischen Schwerkraft und Zeutrifugalkraft, BO hat
man deu Satz von Clairaut in der bekanuten Form.
276) Paris Mem. Acad. 1784 (1787), p. 370. Nach Todhunter geht diese
Abhandlung der von Laplace vou 1782 voraus.
277) Paris Mem. Acad. 1782 (1785), p. 113; vgl. auch Me c. eel., t. 2, livr. 8,
Kncyklop. ti. math. WisaeuacU. VI 1. 16
230 VI i, 8. P. J azetti. Hdhere GeodUsie.
bmerken, daB die Rechnung von Leyendre sich nicht wie die von
Laplace auf Glieder beschrankt, welche die erste Potenz der Ab-
p laitiing enthalten. Ijegendre* 1 *) dehnte dann den Beweis aaf den
Fall eines festen Planeten aus, der aus homogeiien, iOinlithen Schichten
znciaminengesetzt 1st und auf den eines fliissigen, aus ellipsoidischen
Schichten aufgebauten Planeten. Laplace bewies in der Mec. eel. 879 ),
daft das Rotationsellipsoid in zwei Fallen Gleichgewichtsfigur ist:
1. fiir eiueu homogenen,
2. fiir einen iiussigeu, nicht homogenen Planeten, wenn die Dichte
von innen nnch auBen abnimmt uml die Fliichen gleicher Dichte
wenig von Kugeln sich unterscheiden m ).
49. Die wichtigsten geodatisohen Mossungeu bis 1860. Nach
dieser Abschweifung wenden wir uns jetzt dazu, die hauptsachlichsten
Gradmessungen aufzuzithleu.
Die Hesultate der franzo&iscuen Messun^en, die yon J. Cassini
von 1716 bis 1733 veroffeutlicht wurden, und die theoretischen Uuter-
suchungen von Newton teilten die wissenschaftliche Welt in xwei
Lager, von denen das eine fttr -in verlaugertes, das andere fiir ein
abgeplattetes Ellipsoid eintrat 281 ). Die Frage wurde auf Yeranlassung
der franzosischen Akademie durch eine geodiitiache Doppelexpedition
nach Peru und Lappland gelost. P. L. M. Mauiwtuis** 9 ), A. C. Clairaut
und andere ui alien in Lapplaud (1730 57) den Meridianbogen zwischen
Kittis und Tornea (Ampl. ca. 57,5 ), wiihrend P. Bouguer, C. M. de
la Qmdamine und L. God-in* 1 *) in der Gegend der heutigen Republik
Ecuador den Bogen zwischen Cotohesqui und Tarqui (Ampl. 3 T}
(1735 41). Wertvolle Fortschritte bei diesen Messungen waren:
chap. 4. Za deacolben Kesultaten im Falle einer rotiereudeu
gelangton auoh J. L. d Alembert und J. Ivory, ber auf unbefriedigeodem Wege
(vgl. Todhmder, History 75, 1422, 1480).
278) Paris Mew. Acad. 1789 (1795), p. 372.
279) Vol. 2, livre 3, chap. 4.
280) Fill den erston Fall gab Laplace aufter dem Beweiae mit Hilfe der
Kugelfunktioneu uoch eiuen andereit, wenig beiriedigenden, welcher dann von
/. Liouvilte nnd S. D. Poisson so umgeformt wurde, dafi er einwandfrei war
(J. de math. 2 (1837), p. 286).
281) Cber die Geechichte dieses Streitea vgl. Todhunter, History 1, cap.
3, 4, 7.
282) P. L. M. lUntipertttts , La figure de la terre determinee par les obser
vations au cerclo polaire, Ametetdam 1738.
283) P. Bouguer, La figure de la terre d^t. par les observ. aux environs de
IVquateur, Paris 1749; C. M. de La Condamiite, Mesure des trois premiers degr^s
du m^ridien dana rbemisph^ro austral, Paris 1751.
49. Die wichtigsten geodatischen Meeaungen bis I860.
derGebrauch von Mikrometern fftr die Ablesung der Kreisteilungen, eine
genauere Kenntnis der Sterapositionen und eine groBere Genauigkeit bei
den Basismessungen. Die beiden Expeditionen stellten die Abplattung
der Erde auBer Zweifel, obgleich der aus ihren Messungen abgeleitete
Abplattungswert 284 ) . ziemlich stark von dem wirklichen ab-
weicht.
Wir erwahnen dann in Italien ausgefiihrteMessungen, woJR. G. Hos-
comch und C. A. l^maire einen Bogen zwisohen Horn und Rimini 2 * 5 ^
(1751 53), G. B. Beeatria**) einen solcheu zwischen Mondovi und
Andrate (in der Niibe von Ivrea) (1762 64), mailiindisrhe Astro-
nomen in der Lombardei inaBen (1788). Spater wurden die Triangu-
lationen von Pieinont und der Lombardei zugleich mit den franzo-
sischen (1821 23) und denen des Kirchenstaates in Angriff genommen
und im Osten bis nach Dalmatien und iin Suden bis nach Genua
ausgeclehnt 287 ).
Ldcaitte* 88 ) niaB 1750 einon Meridianbogen von ca. 1 13 Ampl.
aui Kap der gutou Hoffnung (die Messung wurde erweitert und
revidiert von Maclear 1836 48). Ch. Mason uud J.Dixon***) maBen
in den Vereinigten Staaten von Nordamerika direkt (olme Triangu-
lierung) im Jahre 1764 einen Bogen von 1 29 iangs der Grenze
zwischen Maryland und Delaware. Eine systematische Auinahme der
Atlautischen Kiiste in den Vereinigten Staaten wurde 1816 von F. H.
Hassler begonnen.
1m Jahre 1700 scblug Talleyrand der geaetzgebenden Versamui-
lung vor, daB ein MaBstabprototyp - >(JO ) studiert wurde, welches aus tier
284) La Condamine, Zitat der vorigen FuSaote, p. 260.
285) C. A. Lemairc uud /?. G. Boscovich, De litterariae expeditione per |>oiiti-
(litinnem ad dimetiendos duos meridian! gradu^, Romae 1755.
286> Beccaria, Gradus Taurinensie, Aug. Taurinorum 1774.
287) </. Regyio, De meneione basis habita anno 1788 etc., Effem iiMtr. di
Milauo 1794; F. Carlmi, G, A. A. Plana nod Campari-a, Operations g^oddaiques
et astr. pour la mesure d un arc du parallele inoyen en Pieinont et Savoye,
Milan 1826. Wegen andorer italienischer Graduiesaungeu vgl. man v. Zach, Corr.
astr. 1 (1818), p. 17; 2 (1819\ p. 240.
288) N. L. dc Lacaille, Journal hietorique du voyage fait au Cap de Bonne
Esperance, Paris 1763; vgl. auch Paris Acad. Mem. pour 1751 (1756), p. 3D;
T. Maclear, Verification and extension of Lacaillea arc of the meridian at the
Cap of G H., London 186.
283) Loud. Phil. -Trans. 58 (1768), p. 270.
290) Der Gedanke, ala Einheit dea Liingenmaues einen aliquoten Teil des
Meridians xu beuntzen und der, das Selcundenpeudel als Prototyp /.u nehuieu,
von G. Mouton (160) augegangen stu sein (vgl. Gun . Geodesy , p. 47).
1G*
232 VI 1, P. Pizeetti. Hohere Godaie.
Lange des Sekundenpendels abzuleiten sei. Eine aus J. C. Borda, J. L.
Lagrange, P. S. Laplace, G. Monye und M.de Condorcet besfcehende Kommis-
sion beschaftigte sich mit dein Vorschlage und zog als Langeneinheit den
10000000***" Teil des Meridianquadranten vor m ), dessen Lange aus der
eines Meridiangrades unter 4ft Breite abgeleitet werden sollte m ). Sie
beaufbragte dann J. B. J, J)elambre und P. F. A, Mechain, einen Bogen
YOU ungefahr 9%, von Dilnkirchen bis Barcelona, zu messen. Umgebeu
von vielen Schwierigkeiten, die durch die franzctaische Revolution ver-
ursacht warden, ffthrten die beiden Astronomen von 1792 bis 1798 die
angegebene Messung aus 899 ), indem sie die Triangulationen auf zwei
Grundlinien aufbauten (Melon bei Paris und Perpignan). Sie benutzten
i iir die Basismessungeu den bi metallise hen Apparat von ,/. C. Borda and
fUr die Winkeimessuugen den Repetitionstheodoliten von E, Lewoir 894 ).
Die Kommibsion, welehe die Ergebnisse dieser Messung mit deneu
der peruanischen Expedition kombinierte, fand fQr die Abplattuug
den Wert ^ uu ^ setzte die Liinge des Meters zu 443,296 Pariser
Linien fest 2 * 6 ). Im Jahre 1803 wurde M&hain beauftragt, den fran-
zosischen Bogen bis zu den Baleareu zu verlangera. Diese Messuugeu
wurden dann von 1807 08 von J. B. Biot uitd I). F. J. Arago be-
rechnet, die auch zablreiche Schwerkraftsuiessungen in Spanien, Fraiik-
reich und Scbottiand ausftthrten 896 ).
In England waren bereits seit Mitte des Jahrhunderts Ver
messungsarbeiten unter General Roy im Gange, als 1783 C. F. Cassini
J. Picard konstruierte einige Jahro nachher (vgl. Gore, Geodesy, p. 58) ein S
dnnpendel, das or ,,rayon astronomiqTte u nannte and dessen 4. Teil er als Liingeu-
einheit vorschlug. J. Cassini (1718) empfahl als Langeneiuheit den 10 000 000* ten
Teil des Etdradius.
291) Paris Mem. Acad. pour 1786 (1798), p. 7; due Datum dee Berichtes 1st
in Wirklichkeit d 1. Mara 1791.
292) Der Meridiaiigrad uater 45 Breite unterscheidet aicb aehr wenig von
dera 90. Teiie des Qaadranten; die Differenz kaun auch mit einem augeu^herten
AbplattuugRwert genogend genaa berecbnet werden.
293) MecfiaiH tt Ddambre, Base du tt.ysteiuo metrique decimal ou mettore
de Tare du me*ridien comprid eutre leg paralleled de Dunkerque et Barcelona,
Paris 1H06 10. Es interessiert beaooderB in historischer Beziehoug der ,,diecourb
preliminaire".
294) Dei erete Tbeodolit mjt vollatiindigem Kreise 1st 1770 von J. JRamsden,
und der erste Itepetitiouutheodolit 1786 von ,/ C. Borda gebaut worden (Gore,
Geodesy, p. 189).
296) Zitat von FuBnote 294, p 94.
296) Biot et Arago, Recueil d observatioui! g^od^siques et astron. et phyn
etc., PariB 1821; vgl. ferner: L. Pumant, Paris Mem. Acad. 14 (1833), p. 1 (ver-
cffentlicht 1838).
49. Die wichtigsten geodatiechen Meesnngen bis 1860. 233
de Thury die geodatische Verbindung der beiden Observatorien von
Greenwich und Paris vorschlug, die von ihm 1787 90 ausgefiihrt
wurde 897 ). In den Jahren 1800 02 mafi W. Mudge. den Bogen von
Dunnose (50 37 n. Br.) bis Clifton (53 27 n. Br.). Die gesamte
Zwischentriangulation von Dnnnose bis Saxavord (Shetlands-Insela)
wurde unter der Leitung von H. James in der ersten Hiilfte des 19. Jahr-
hunderts wiederholt und die Result ate 1858 publiziert 898 ). Besonders
erwahnenswert sind die von den Englandern in Ostindien ausgefflhrten
Arbeiten; W.Lambto* von 18001823 und G. Everest von 18231842
beendigten den groBen Meridianbogen von 21, welcher vom Kap
Comorin bis zum Himalaya reicht. Danach wurde unter der Leitung
von Waugt und nach ihrn von J. T. Walker cine grofie Triangulation
langs vier Meridianen und drei Parallelkreisen ausgefuhrt. Die Haupt-
ketten der Triangulation batten eine Lange von ca. 17300 km 29 *).
In PreuBen wurde die Triangulation im Jahre 1805 begonnen.
Bin Parallelkreisbogen Seeberg-Dunkirchen wurde 1817 von F. F. K.
i\ Muffling berechnet; 1820 begann C. F. Gaufi die Verbindung von
Gottingen mit Altona (AmpL 2 1 ), wobei er das Heliotrop benutzte
und die Netze nach der Methode der kleinsten Quadrate ausglich 800 ).
Etwas vor Gaufl wurde eine Gradmessung von 1 32 Ausdehnung
von H, C. Schumacher 301 ) im Siiden Schleswig-Holsteins ausgeftihrt.
Gegen die Mitte des Jahrhunderts wurde die danische Triangnlation
von C. G. Andrae erweitert und berechnet 808 ). Im Jahre 1820 zeigte
J. M. Schwerd m } auf praktischem Wege dutch eine kleine Trianjju-
lation in der Pfalz bei Speier, wie man in asweckmaBiger Weise
kleine Grundlinien benutzen kann.
Im Jahre 1831 wurden von Sessel und Baeyer die klassisclien
Arbeiten in OstpreuBen begonnen 804 ). Bei ihnen wurde die Methode
der Richtungsmessung von F. G. W. Strum und der bekaunte Basis-
apparat von Bessel benutzt.
27) W. Roy, Lond Phil. Trans. 80 (1790), p. 111.
298) H. James and A. R. Clarke, Ordnance trig, survey etc., London 1858.
299) J. T. Walter, Acconnt of the operations of the great trigon. survey of
India, Dehra-Dun 187083, 19. Eine gate ttbereicht der Rosultate dieser
Arbeiten findet man in Walker, Loud. Phil. Trans. 186 (1896), p. 745.
300) Gaufi, Werke 9, p. 5.
301) F. Zachs Corresp. astr. 1 (1818), p. 266.
802) C. G. Andrae, Den Danske Gradmaaling, Kopenhagen 186778.
803) J M. Schiterd, Die kleine Speierer Basis usw., Speier 1822.
304) F. W. Bessel und ,/. J. Baeyrr, Gradmessung in OstpreuBen und ihre
Verbindung mit preuBischen uudruBsischen Dreiecksketten, Berlin 18S8 (
A)-h. 3).
234 V1 1, S. P. Piggetti. HOhere Geodesic.
Auf der skamlinarisehen Halbinsel wiederholte nnd erweitrte
J.Svariberff* *} im Jahre 1 801 die Triangulatiou von P. L.M.de Mnupcrhiis.
lu RuBland begannen systematische Verrnessungsarbeiten iin Jahre 1726
unter der Leitung von J. N. Ddisle, der vou Peter clem Grofien b -rufen
war. Der grofie russisch-skandinavische Bogen 806 ) von der Donau-
mttndung bis zum Eismeer (Hammerfest) von ea. 25 20 Ampl. wurde
von 1816 50 gemessen; zum groBten Teile unter der Leitung von
F. G. W. Struve und C. Tenntr, auf der norwegischen Seite uuter
Hansteen und Selander. Die Triangulation besteht aus 259 Dreiecken
und stilt/ 1 sich auf zehn Grundlinien. Iin Jab re 1860 wurde in
RuBland die Messung des grofien Parallelkreisbogens unter 52 Breite
begonnen. Bin Parallelkreisbogen in der Breite von 45 wurde 1811
von den Franzosen begonnen und in der Folge in it den Arbeiten in
Piemont und in der Lombardei verbundeu, so daB ein durchgehender
Bogen von der Mundung der Gironde bis nach Fiume entstand 307 ).
50. Die hauptaachliobHten Berechnungon der Konstanteu des
Erdellipsoids. J. S. Listing 30 *} hut die numeriselien Resultate der
hauptsachlichsten Berechnungeti der Konstanten ties Erdellipsoids, die
von 1 800 bis auf seine Zeit ausg-efuhrt waren, zusunnneiigestellt. Er gibt
die Resultate vou J. B. J. Delaware ) (1810), H. J. Walbeck (1819; die
Rechuung stiitzt sich auf die Methods der kleinsten Quadrate 810 )), J. K.
E. Schmidt (1830), G. B. Airy (1830;, F. W. Sessd (1841), G. Everest.
30B) Vgl. Gore, GeoJesy, p. 168.
30) F. G. W. Slruve, Arc du meridiou de L 6 20 entre le Daaule et la
Mcr glaciale mosur^ depuis 1816 jusqu on I8t .0 etc., St. INJtersbourg 1867 60.
307) Carlrin . Pinna UBW. siehe FuUnotc 287. Vgl. t erner: L. Puissant, Nou-
vclle doscription geomt trique do la France, Paris 1832
308) t)ber unnere jetzige Kenntuis der (restalt und GroBe der Erde,
Gottingen 1873.
309) Base du ayst-ine metrique 3, p. 135.
310) Mati kann nicht sagen, daB die Ucchuung von WuJbfd den ersteu
Verauch gebildet batte, die Gradmesauogen rationell zur Berechnung der Konstautea
des Erdellipsoids zn kombinieren. Jf?. G. Eoscovich hat scbon Ende 1760 (De
recentissimis graduum dimensionibus etc. in Philosophia recentior, Roniae 1760)
vorgegchlagen , die genannten Kunstanten unter folgenden Bedingungen zu be-
rcchuen: 1) die Suraiue der positiven Fehler iu den Lilngeri der gemesseneu
Grade soil gleicb der Summe der wyativen Fehler sein und 2) jede der beiden
Stmimen soil mOgliebst klein sein. P. 5. Laplace (Mec. c^l. 3, 40 u. 41) wendete
dasselbe Prinzip zur Berechnuug der Meridianellipse an. Was die Anwendung
der Methode der kleiusten Quadrate auf die Berechnung der Koustanten dea
Er*tellipBoids betrifft, so echeint der erste Versuch von A. M. Legendrf aus-
gegaugen zu sein, vgl. Nouvelles nic thodes pour la determination de 1 orbite
des cometuH, Paris 1806, p. 7(J.
50. Die hauptsacblichsten Berechnnngeii dor Konstantcti dea Erdellipsoid*. 235
(1847), H.James und A R.Clarke (1858). ttes*d beiiutzte den peru
anischen, den ersten und zweiten Meridian bogen in Ostindien, den fran-
zosischen, englischen, hannoverscheii. danischen, preu(5ischen, russischen
uud schwedisehen Bogen (Sum me dr Amplituden der Meridianbogoii
f SO i> 34 , Zahl der beobachteten Breiten 38). Jnwcx und Clarke be-
nutzten neun Meridianbogen: den englischen init 10 56 Ausdehnung
(mit Einschlufl der Verbmdung rnit Frankreich), den franzosisch-
spanisehen (von Formentera bis Ddnkircheii), den rnsisch sk.mdinn-
vischen, zwei indische Bogen, den peruanischen, den preuBischen, han-
iioverscben und daaischen (Summe der Amplitnden 7^5 36 , Anzakl
der astrouomiBcken Stationen 67). Bei einer ersten Redlining be*
nutzte Cfarke einen nicht dliptisthen Meridian 311 ), dessen Krthnmungs-
rudius als Funktiou der Breite if er durch die Formel 3W ) darstellte:
Bei einer zweiten Rechnung setzte er den Meridian elliptisch vor-
aus 811 ).
T. F. r. Sdmbert 314 ) hat 1859 zum ersten Male die Rechnuug
unter Voraussetzung einee dreiachsigen Ellipsoids ausgefiihrt; die Ab-
plattungen der beiden Hauptmeridiane ergnbeu sich zu 1 : 292,109
uud 1 : 302,004. Clarke bat 18fi<> die Rechnung ebentalls fiir em
dreiachsiges EllipBoid durchgeftthrt. Ph. Fischer leitete 18t>8 die Ab-
plattung nur aus Schwerkraftoinessungen ab und die grofie Acbae aus
dem englisch-franzosiscben Bogeu. Von neueren Rechnnngen auf
Grund der Hypothese des Rotationsellipsoides sind die von A. R
Clarke) (1880), A. Vonsdorff) (1890) und A. Skdanow) (1894)
/u nennen.
311) Schon JV. Hmcditeh hat 1^32 ia einer Note zor Oberet/ung dcr Mer.
eel. TOU Ltipluce (Boston 1882) die Bcreclmung eiuos uicht elliptiachen Meridians
versucht. M. O. r. Paucker (vgl. Helmert, H. G 1, p. 17, 18) fflhrto eine auaioi?
Hecbunng durch, indem er fur den Kriitnmungaradius die Formel
Q t= a . (i -j- sin* qp -\- ft stu* <j) -f- y sin" qp -f- S sin 8 q>)
anunahui.
312) Ordnance trigon. survey, p. 765.
313) Ibid., p. 771.
314 Petersb. M. : iu. Acad. 1 (1859), p. 82. Wegen theoretischer Reclmungen
bezviglich des dreiachsigen Ellipsoids vgl. auch Clarke, Geodesy, p. 805; A.8<md&
hof, Zeitscbr. Math. Phye. 17 (1872), p. 89, 177; H. J^JTC*, Paris 0. R. 76 (1*73).
p. 410, 700.
:;!>) Geodesy, p. 319.
316) Jahrb. d. Astrou. u Geopbys. 1 (1890).
317) Ibid. 5 1894).
236 VI i, 8. P. Pizietti. HShexe Geodesic.
E. JFer^oZa 818 ) hac 187476 ein RotationselKpsoid unter der Vor-
aussetzung bestirainl, dafi die Achse der tagliohtm Umdrehung dnrch
den Mittelpunkt des Ellipsoids gehe, aber nicht mit der Fignrenachse
zusammenfalle. Indessen verbessert die Einfiibrung einer solchon
Hypothese die t^bereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung
nicht weeentlich, und die mittleren Febler in der Bestimmung der
beiden Koordinaten, welche die Lage des Kotatiouspols beziiglich des
Pols der Figurenachse festlegen, sind so betrachtlich, dafi man eiue
wirklicbe Verschiedeuheit der beiden Achsen nicht als erwiesen an:
sehen kann 31 ).
Am meisten benntzt werden das Bessdsehe und das Clartu wh*
Ellipsoid yon 1880, deren Konstanten zum Vergleich hier nebeneinander
gestelit seien:
jftewrfscLee Ellipsoid Clark<*vhe Ellipuuid (1880)
Halbe grofie Achse G 877 397 m 6 378 180 m
Reziproke Abplattung 29<J,153 293,465
Meridianquadrant 10000856m 10001871m
51. Befltimmung der Abplattung aus Pendelmessungen. J<r. de
IdUcuide** ) leitete 1785 unter Benutzuug des Clairaut&ehen Theorems
die Abplattung aus den bis dahin bekauuteii Schwerkraftsmessungen zu
3 j0 ab. Aus einer Tabeile Ton W. flwrkness 9 * 1 ) leiten wir die folgen-
den AiiKclriicke i iir die Lange des Sekundenpendels (in Metern) ab,
die sich aus dec hauptsachlichsteu bis dahin bekannten Rechnungen
ergeben. Hin/ugefQgt sind die Werte der reztproken Abplattung ,
welche aus der Auwendung des Cfotratitschen Theorems folgen.
Laplan (1799) L 0,990631 -f 0,005637 sin ? ~ -= 336
Mathieu (1816) 0743 5466 317
Biat (1821) 0880 5340 305
Sabine (1825) 0977 5142 287
Saigey (1827) 1026 5072 282
Pontt foubint i,lH29) 0555 5679 341
Airy (1830) 1017 5087 283
Poissan (1833) 0941 6142 287
Unferdinger (1869) 0970 6186 291
Hdmert (1884) 0918 5262 297,8
318) Napoli Ace. sci. tie. mat. 6 (1876), n 10; 7 (1878), n" 7.
319) jfbid., p. 25 u. 26.
820) Paris M&n. Aod. poor 1785 (1788), p 1
321) The eolar parallax and its related couataute, VV ashing COB 1891, p. 8.
52. Benntzung einiger astronomiecher Daten mr Berechnnng uw. 237
Auf Grund von ungefahr 1400 Schwerkraftsmessungen gibt Helmert **)
in einer seiner neuesten Publikationen t ir die normale Seuwerkraft
die foigende Formel (in em) an:
y = 978,046 (1 -f- 0,005302 sin* <p 0,000007 sin* 9) ,
woraus tnit Hilfe der in Nr. 4 erwahnten Formeln, welche die Kugel-
funktionen vierter Ordnung berucksichtigen, tt = 1 : 298,3 folgt.
Iivanoff***) leitete aus den Resultaten von 3(X Schwerkrafts-
messungen fiir die Lange des Sekundenpeudels foigende Formel (in.
cm) ab:
I 99,0997 -f 0,6240 sin<p 0,0016 (* m y | sin 8 ^ ),
wo q> die geozentrische Breite bedeutet. Der eutsprechende Wert
von a ist 1 : 296,6. m )
52. Benutzung einiger afttronomiacher Daten znr Berechnung
der KonBtanten des Erdellipgoida. a) AMrihwi der Abplattung aus
der Hfondpa-rallaxe. Die Diiferenz zwischen den geozentrischen Posi-
tionen des Mondes, die sich aus der Mondtheorie ergeben, und den
an einem Erdorte beobachteten Positionen, oder mit anderen Worten
die Moudparallaxe in ilektaszen.sion und Deklination, sind einfache
Funktionen des Verhaltnisses der Mondentfernung zum aquatorialen
Radius a und der Exzentrizitat e. Solche Parallaxenbestimmungen
konnen deshalb zur Kenutiuy von e beitragon. Wir nennen in dieser
Beziehuug die Nam en: KMnnfredi**), P. JJouyuer***), Jvr dc Lalande** 1 ),
J. A.Euler***), A. Coffwdi 329 ). Laplace handelt davon ancb in dem 3. Buche
der Mec. eel. Indessen entspricht die Geuauigkeit der erwahnten Me-
tliode nicht den Anforderungen der moderuen Geodasie.
b) Ableitwifl der aquatorinlcn Halbachse a aus MessutHjcn der
Mondparallaxe und der fichu-trkraft. Zwischen der mittleren Schwere
y, dem inittleren Brdradius K, der mittleren aquatorialen Mond-
parallaxe p und der mittleren Winkelgeschwindigkeit to der Mond
328) Berlin Ber. 1901, p. 328. Der Koeffizient 0,000007 von sin* q> 1st
nicht ans den Schwerkraftsbeobachtungen abgeleitet, eondern von E. Witchert
and G. H. Darwin auf Grund epezieller Anuahmen alter die Dicbte dee Kr<l-
inneren berechnet.
B83) Bulletin A cad. St. Peterabourg 8 (1898), p. 919.
384) Zitat in PuBn. 328, p. 8.
325) M&n. Acad. Pane pour 1734 (178(1), p. 1.
326) Mem. Acad. Paris pour 1751 (1755), p. 64.
327) Mem. Acad. Paris pour 1752 (1756), p. 78.
328) Miinchen Abb, 5 (1763), p. 197.
329) Verona Mem di mat. Sue. Ital d (1792), p, 227.
238 VI i, 8. P. Pizsftti. HBhere Oeodaeie.
bewegung besteht naherungsweise folgende Beziehung 880 ) ( atis der
elennentaren Theorie der Planetenbewegung abgeleitet):
(A) X-9(l+ri~^*,
wo p das Verhaltnig zwischen Mond- und Erdmasse ist. J. H. TMinbcrt 9 * 1 }
knm auf den Gedanken, die Mondparallaxe vermittels dieser Formel
abzuleiten, iadem er 11 und g als bekannt roraussetzte, und Laplace
fiihrte die Rechnung aus (Mec. eel. 1). Helmert schlug vor, iudem er
an Stelle von (A) cine genauere Formel setzte, bei der die Exzen-
trizitat der Erd- und Mondbahn beriicksichtigt ist, umgekehrt die
aquatoriale Halbaebse a aus beobachteten Werten von g und p ab
zuleiten. Er fand w )
a = 6378 830, die Abplattung zu 1 : 290,1 5 vorausgesetzt.
a = 6381460, 1 : 28l,7G
c) Die Ungleichheiten der Mondbewegung in Jtrcite und Langr
sind a priori auszurechneu^ wenn der Ausdrock cles Erdpotenticds fQr
Punkte auBerhalb der Erde bekanjat ist. Wenn diese Ungleichheiten
beobachtet sind, so liefern sie deghalb ihrerseits ebenso wie die
Schwerkraftsmessuugeu ein Mittel zur Restirainung der Erdahplattung.
tlberdies ist diese Methode unabhiuigig 98 "; von jeder Hypotliese iiber
die Andenmg der Dichte im Innern der Erde. HelMert* * 4 ) leit^te
aus einer Diskussion der Hansenschen A.rbeiten die Abplattung zu
1 : 297,8 4- 2,2 ab.
d) Die Erscheiuungen der Praeessicm und Nutation sind, wie be-
reits erwahntj geeignet, numerische Daten fiJr die Berechnung ler
Abplattung zu liefern. Aber die theoretische Auswertung dieser Er-
scheiuung ertbrdert aufier der Keuntnis des Erdpotentials fur anfiere
Punkte auch die des Tragheitsradius der Erdmasse in bezug auf die
Ilotationsachse. Die Beuntzung der Prazession und Nutation zur Be
rechnung der Abplattung kann deshalb nicht ganxlich auf eine be-
sondere Hypotbese flber die innere Erddichte verzichten. Man kaun
indessen beweisen, dafi die beobachteten Werte der Prazession uod
330) Helmert, Hdhere Geodasie 8, p. 461.
381) Vgl. Seidel, Aatron. Nachr. 50 (1859), p. 281.
832) Helmert, flohere Geod. 2, p. 466.
383) Diese Unabhiingigkeit wurde TOD Stokes hervorghoben (On attractions
and on Clairaut * theorem, Cambridge 1819). Die Zitate der hauptsiichlichsten
Arbeiten, die sich auf die Berechimug der Moodungleichheiten hexiohen, tiudet
man in dem in Fufin 821 zit. Werke, p. 101.
334) Hobere Oeod. 2, p. 473.
53. Moderne geod&tische Arbeiten. Lotabweichnngen "J39
Nutation notwendig zu einer kleineren Abplattung als l /.^^ fiibron,
wenn man umiimmt, daB die Erddichte bestandig von der Oberflache
nach dem Mittelpunkte bin wiicbst *" :> ).
e) W. Harkness* 9 *) bemerkt. iudem er eine genaue Diskussion der
iiumerischeu Werte verschiedener terrestrischer und astronomischer
Konstanten vornahra, daB zwischen zwolf von ihnen sieben Bedingungs-
gleichungen aufgestellt werden konnen, die man beuutzen kann, um in
geeigueter Weise die beobachteten Werte nach der Methode der
kleinsten Quadrate zu verbessern. Unter diesen Koustanten befindet
sich die Abplattung, fiir welche aus der Rechmmg von Harfaifss der
Werfc von 1 : (300 -f 3) folgt.
53. Moderne geodatische Arbeiten. Lotabwetcbnngen. Im
Jahre 1861 publizierte J. J. Baeyer eine Abhandlung, welche den Zweck
verfolgfce, fur den Gedanken einer geodiitischm Vcremiijung der Staaten
Mitteleuropas Stimmung zu raacben. Er setzte den augenscheinlichen
Nutzen auseinander, den das Studiura der Kriiinmung des zentraien
Meridians von Europa baben wurde, und schlug daher vor, durch
Meridian- und Parallelkreisbogen eine Zone von 12 Lange tnit dem
Mittelineridian Berlin xmd den Parallelkreisen von Christiania und
Palermo als Grenzen geodiitiscb zu studieren. Baeyer brachte seine
Gedanken schliefilich in einem bestimmteu Vorscblag 337 ) zum Aua-
druck, den er dein preuBischen Kriegsministerium einreichte und der
von der preuBischen Regieraug durcb Kabinetsorder vom 20. Januar
1861 angenommen wurde. 15 Staaten traten der Vereinigung bei,
die ,,Mitteleuropaisdw Gradmessuwf genannt wurde; der erste General-
bericht wurde 1862 veroff entlicht, und 1864 faud die erste allgemeine
Konferenz statt. 1867 wurde der Name der Vereinigung in ,,Europ&ische
GradmessuHff" und schliefilich 1886 in ,,Internationafo Erdmcssung"
umgewandelt. Eine Erneuerung dieser Vereinigung mit teilweiser
Neuordnung fand 1895 statt; gegenwartig sind folgende Staaten an
885) Vgl. TisseratiJ, Me cauique eeleate 2, p. 224. Solche Untorsucbungen
verdankt man H. 1 oincare.
836) Vgl. Zitat der FuBnote 321, p. 121133. Die 12 der Rechnung von
Harkness zugrunde gelegten Konstanten sind: die imttlere Mond- uod Sonnen-
parailaxe, die Erdabplattung , das Verbii.ltniB der Erdmasae zu der der Sonne,
das Verhalttiis der Mondmasse zu der der Erde, die Mondgeschwiodigkeit, die
Aberrationskoustante , die vom Licht ^ebrauchte Zeits urn die mittlcre Entfemung
Sonne Erde zu durchlanfen (aus der Beobachtuag der Jupitertrabanten abge-
leitet), die Konstanten der Prazession uud Nutation, die beiden Uugleicbbeiten
der Mondbewegung.
387) Vgl.: Zur Entstebuugsgeschi elite der Europaischeu Gradmessuug (ini
Generalbericht der Mitteleurop. Gradmeasung 1862).
240 VI i, S. P. Pixzetti. Hflhere Geodacie.
ihr beteiligt: Argentinien, Belgien, Danemark, Deutschland, Fraukreich,
Griecheiiland, GroBbritantiien, Italien, Japan, Mexiko, Niederlande,
Norwegen, Osterreich, Ruruiinien, RuBland, Schweden, Schweiz, Por
tugal, Span ien, Uugarn, Vereinigte Staaten Ton Nordamerika. Die
Vereinigung verfolgt hauptsachlich folgende Ziele: darauf hinzuwirken,
dafi die geodatischen Arbeiten soweit als moglich nach ubereinstim-
menden Regeln auegefiihrt werden; die Resultate der einzelnen Ar
beiten in einer Hand zu sammelu, damit sie eiuer zusammenfassenden
Diskussion unterworfen werden konnen; apezielle Studien, welche die
Geodasie interessiereu, zu begttnstigen, und durch Vennittlung der
bestehenden Kommissionen sowie durch Anweisung der Mittel die-
jenigen Untersuchungen von allgemeinerein Interesse zu fdrdern, welche
die Mitarbeit verschiedener Staaten erfordern. Die wichtigste dieser
internationalen Untersuchungen ist augenblicklich die fiber die Ver-
anderlichkeit der Breite oder die Polhohenschwankungen. "Dber diesen
Gegenstand werden wir hier nieht sprechen, obgleich er von groBer
Bedeutung in der theoretischen Geodasie ist, weil in der Geophysik
davon die Rede sein wird.
Gegenwartig ist Europa fast ganz mit Triangulationen iiber-
deckt 33 *), die zum Teil ganzlich erueuert worden sind. AuBer dem
schon erwahnten grofien ruasisch - skandinavischeu Bogen und den in
Osterreich, Dalmatien und Ghechenland au^gefiihrten Arbeiten aaben
wir: den mitteleuropiiischen Bogen, der von den Lofoten bis aach Malta
in einer Ausdehnung von ca 33reicnt; den englisch-fraiizosisch-spanisch-
algerischen Bogen 838 ) von den Shetlands-luseln bis nach Laghouat in
Algier (ca. 21 AmpL); den Parallelkreisbogen in 52 Breite vom
atlantischen Ozean bis Orsk (Sibirieu); dcu Parallelkreisbogen in 47^ A
Breite vom Atlantischen Ozeau bis Astrachan. Das zusaramenhangende
Netz, das sich durch Italien, Frankreich, Span ien, Algier und Sizilien
hinzieht, umgibt fast den ganzen westlichen Teil des mittellandischeu
Meeres. Die Kussen und Schweden habeu auf Spitsbergen zwischen
76,7 und 81,7 Breite geodatische nnd astronomieche Arbeiten aus-
gefuhrt 340 ).
33#) Vgl. die Karte von Etaropa, welche dem Rapport stir les triangulations
in Intern. Krdoi. 1908, II. T., p. 292 beigegeben ist.
889} Die geodatisch-astronomieche Yerbindung von Spanieu mit Algier und
die von Malta mit Sizilien hat fur die europ&ischen Arbeiten eine besondere
Bedeutuug -wegen der ungewOnnlichen Lange der Sichten. Vgl. J. Pcrrier et
C. Ibatiez, Jonction geod^Hique et aetronomique de I Alge rie avec 1 Espagne, Paris
1880 und K. Comm. geod. italiana, Collegaaiento delle ieole Maltesi colla Sicilia,
Fireu/a 1902.
340) Int. Krdm. 1900, I. T., p. 169; 1908, II. T., p. 127.
&8. Moderoe good&tische Arbeiten. Lotabweichungen. 241
In den Vereinigten Staaten von Nordamerika haben wir haupt-
sachlich die Triangulation langa des 39. Parallels vom atlantischen
bis zum pazifischen Ozean 841 ) und den schiefen Bogen langs der at
lantischen Kttste von der Grenze Kanadas bis New Orleans 542 ). Man
oiifit dort auch einen zentralen Meridianbogen 348 ) Clangs 98 ostl. L.
von Greenwich), dessen Verlangerung durch Meiiko 344 ) bis zum pazi-
fischen Ozean ebenfalls in Angriff genommen ist. In Australien ist
seit langeren Jahren die Triangulation von Victoria vollendet und
die von New <9outh Wales so gut wie vollendet 845 ); in Japan ist die
Triaugulation der Hauptinsel vollstandig 34 *). Wichtige geodiitische
Arbeiten sind an der Westkiiste von Sumatra ausgeftihrt** 1 ). In
Siidafrika ist aufier den versehiedenen Dreiecksnetzen in der Kap-
koionie und dem benachbarten Deutsch-Siidwestafrika eine Triangu
lation lungs des Meridians in 30 ostl. L. im Oange, welche die Kap-
kolonie rait den hereitft bestehenden Netzen in Natal verbinden und
bis zum Tanganjika*See durchgehen soil 848 ). Man hoii t, in iiicht zu
ferner Zeit durch Rhodesien, der Ktlste des Tanganjika cntlang, durch
Uganda bis /urn Nil bin eine Dreieckskette legen zu konnen, die dann
vora Kap bis Kairo reichen wiirde. Der sogeuanute peruanische
Bogen wird mit 6 Amplitude neu geuiessen von der Nordgrenze
cuadors am pazifischen Ozean bis zur Nordgrenze Perus 849 ). Die
grofie Indische Triangulation 350 ) hat jetzt schou eine Au.sdehnung von
22 in Breite und 2o in Lange, und soil durch einen Meridian- und
eineu Parallelbogen in Biriua fortgesetzt werden.
Bezuglich der Schwerkraftsmessungen, von denen im Jahre 1903
etwa 1900, iiber ganz Europa und die Kflsten eines grofien Teils der
iibrigen ErdteQe verteilt, vorhantleu waren, verweisen wir auf die
A ScJiott, The trauscontiucntal triangul&tion and the American arc of
the parallel, Washington l .H)0 (R. C. (i. S., Special public. Nr. 4).
34-J) .1. Schott, The eastern oblique rc ui* the U. S. and OBCidating sphe
roid, WaHhingtoii 1902 (R, C. G. S., Special public. Nr. 7).
848) Int. Erdrn. 103, I. T., p. 185.
844) Int. Erdm. 1903, I. T., p. 141.
345) Int. Erdin. 1903, II. T., p. 248.
846) Ixit, Erdm. 1895, II. T., p. 287; 1900, L T., p. 215.
347) lut Erdm 1903, I. T., p. 155.
348) Vgl. die Karte in Int. Erdm. 1903, II. T., p. 292.
349; H. PoincarS, Ann. du Bur. d, longitudes 1901 und Int. Ei-dm. 1903,
II. T , p. 113.
350) /. T. Walker, London Phil. Trans. 186 (1895), p. 199; Int. Erdm. 1903,
II. T., p. 219, 228.
242 VI i, 3 - P- Pizzetti. H6here Geodaeie.
Berichte von Helmert und E. JBorrass 9tl \ Besondere Erwahnung ver-
dienen die Schwerkraftsniessungen auf dem atlantischen Ozean 358 ).
Die Schwerkraftsmessungen zusaminen mit astronomisch-geoda-
tischen Bestimmungen fuhren zu einem Abplaltungswert, der nur
wenig von dein Bessdschen verschieden ist, so daB von diesem Ge-
sichtspunkt aus das Besselsdie dem C7arA*eschen Ellipsoid vorzuziehen
ware. Die Frage nach dem best anscblieBenden Ellipsoid steht in-
desseu, wie bereits friiher (vgl. NT. 43) hervorgehoben 1st, nicht niehr
im Mittelpunkt des geodatischen Interests, weil man fcicht alle Grad-
messungen durch ein Ellipsoid befriedigend darzustellen vermag. Man
strebt vielmehr heute danach, die Kriimmungeverhaltuisse der Niveau-
flachen in den von den Gradmessungen bedeckten Gebieten zu er-
forschen, was durch Berechnung der Lotabweichungen gegen ein in
gewissen Grenzen willkiirlich zu wahlendes Referenzellipsoid geschieht.
Ein Verzeiebnis der bis 1887 bekannten Lotabweichungen gibt
Helmert in den Verhandlungeii der Internationalen Erdniessuug von
1887. Fortgesetzt is.t dasselbe 1889, 1892 und 1895 von Hdmert und
1898 und 1903 von A. Borsch. Wir mac hen in den folgenden FuB-
uoten einige Literatnrangaben beziiglich der Untersuchungeu fiber Lot-
abweicbnngen in den Laudern: Deutschland 358 ), Osterreich-Ungarn 3f>4 ),
Frankreich 855 ), GroBbritanniea 866 ), Italien 867 ), Schweiz 368 ), Englisch-
8M) Int. Erdm. 1000, II. T., p. 139; 103, U. T., p. lb.
362) Int. Erdm. 1903, II. T., p. 15 und 0. Htcker, BeKtiuimung der Schwer-
kraft auf dem atlantischen Ozean, sowie iu Uio de Janeiro, Liseabou und Madrid,
VerOffentl. d. preuB. Geod. Inst., Berlin 1903.
353) Int. Erdm. 1887, p. 16; 1898, p. 258; 1903, II. T., p. 400. Ferner die
VerOffentlichungen d. preoB. Geod. Inst.: Lotabv/eichungen, Het t 1, 1886; Heft 2,
1902; Polbohenbcstimmungen aus dem Jahre 1886 usw., 1889; Das Markis x ch-
Thiiringipche Dreieckanetz, 1889; Lotabweichungen in der Umgebung von Berlin,
1889; Bestimmuug der Polh5he und der Inteugitat der Schwerkraft auf 22 Sta-
tiunen usw., 1896; Bestimnmng von Azimuten im Harzgebirge, 1898; Bestimmung
der PolhShe und der Intensitat der Schwerkraft in der Nahe des Berliner Men-
diana, 1902. E. Hammer, Astronom. Niveilement durch Wiirttemberg usw.,
Stuttgart 1902.
864) Int. Erdm. 1908, II. T. , p. 404; Die Ergebnisse der Triangulieruug
des unlit. -geogr. Inst., Wien 1901/02; J. Netustihill, Mitt, milit.-geogr. inst. Wien,
21 (1902), p. 44
855) Int. Erdm. 1887, Beilage A, p. 14; 1898, p. 263; 1903, II. T., p. 411;
Memorial du dep&t ge"ndral de la guerre 12 (1902).
366) Int. Erdm. 1887, Beilage A, p 11.
357) Int. Erdm. 1887, Beilage A, p. 26; 1898, p. 262; 1908, H. T., p. 40,9;
P. L. Cattolica, Differenza di longitudine tra Livorno Geneva, Geneva 1899;
G. Citcato, Aatr. Nachr. 149 (1899), p. 386: V. Reina, Rend. Ace. Line. (6) 9 (1900),
p. 189; 10 (1901), p. 284, 346; 11 (1902), p. 431; V. Reina, Detenu, astron. di
53. Moderne geodiitische Arbeiten. Lotabweichtmgen. 213
Indien 359 ), Siidafrika 8 * ), Vereinigte Staaten von Nordamerika afi1 \ RuB-
land 362 ), Schweden 36 *), Norwegen 864 ), Daiiemark 365 ), Austral i en 3fifi ),
Java 367 ) und den Sandwich-Inseln 368 ).
!at,itd. e d azimut lungo il meridiano di Roma, Firenze 1908; A. /I teeo, Rend.
Ace, Line. (5) 1 (1898), p. 11; A. Riceo, T. Zona, G. Saijn, Mem. Soc. Spettro-
scopinti 28 (1809), p. 12; A. Vtnturi, Rend. Ace. Line. (5) 6 (1897;, p. 327; 4. Yen-
tttri, Azimut diMoute Alfano etc., Palermo 1892; R. P. Sirrneck, Mitt, milit.-geogr.
Inst. Wien. 11 (1892), p. 212
358) Int. Krdm. 1887, Beiiage A, p. 26; 1895, U. T., p. 181; 1898, p. 260;
1903, II. T., p. 406; J. Messemcbmitt, Dan Schweiscerisclie Dreiei-ksnetz 6 (1894), 8
(1898), 9 (1901), Zurich; A. Beck, Astr Nacbr. 159 (190"- ), p. 138; 163 (1903\
p. 190.
359) Int. Erdm. 1892, p. 51fi; 189*, p. 273; 1903, p. 415; J. T. Walker,
London Phil. Trans. 186 (1895), p. 770; S. G. Burrnrd, The attraction of the
Hyxualay.1 M. upon the plnmbliue. Dehra-Dun 1901.
360) Int. Erdni. 1895, II. T, p. 18>*: 1898, p. 270; D. Gill, Report of the
geud. survey of South-Africa, 1, Capetown 1896, 2, Capetown 1901.
361) Int. Erdm. l*S7, Beilage A, p. 38; 1895, II. T.. p. 185; 1903, I. T.,
p. 208; II. T., p. 424; (Jh. A. Schoft, R. C. G S. 1*69, p. 113 and FuBn. 341 u. 342).
362) Int. Erdm. 1887, Beilage A. p. 35; 1893, p. 183: 1895, H. T., p. 184;
1898, p. 266; 1903, H. T., p. 412; A . G. Schiceiser , Moacou Hull. Soc. Nat. 87
(1864), p. 96; J. A. Iwerottow , Mem. Topogr. Abt. d. Geueralstabs, Petersburg 61
(1894), p. 324; Lcbedeff, ibid. 48 (1896), p. 1; Pomemntzeff, ibid. 54 i;i897), p. 75;
Venukoff, Paris C. R. 123 (1896), p. 40.
363) Int. Erdm. 1892, p. 620; 1898, p. 263; P. G. Rosen, Die astr.-geodilt
Arbeiten der Topogr. Abt des Schwed. Generitlstabes, 2, Stockholm 1908.
364) Int. Erdm. 1896, II. T., p. 183 u. 184.
365) Int. Erdm. 1887, p. 17, 27; 1903, II. T., p 412; Deu Danske Gradmaa-
ling 3 (1878), 4 (186), Kopenhagen.
366) Int. Erdm. 1903, II. T., p. 419; T. F. Furbr, The trigon. eunrey of
New Sonth Wales, Sydney 1898.
367) Int. Erdm. 1908, II. T., p. 421; J. A. C. Oudemant, Die Triangulation
von Java, Haag 1900. *
368) Tut. Erdm. 1896, II. T., p. 186; E. D. Prcaton, R. C. G. 8. 1888, app. 14;
1893, app. 12.
(Abgeschlotmen im April 1906.)
VI i, 4. JS. Bourgeois-Ph. Furtwanghr. Kartographie. 245
VI i, 4. KARTOGRAPHIE.
VON
E. BOUBGEOIS UND PH. FURTWANGLEB
IN PARIS IS AACHEN.
Inhaltstibersicht.
1. Einleitung.
2. Problemstellung. Allgemeine Analyse der Verzerrungen.
3. Perspektiven.
4. Konische Abbildungen oder Kegelprojektionen*) nnd ihre Grenzfiille.
blick und Einteilung.
5. Azimutale Abbildungen.
6. Zylindrisohe Abbildungen.
a) Flachentreue zylindrische Abbildungen.
b) Winkeltreue zylindrische Abbildungen.
c) Mittabstandstreue zylindrische Abbildungen.
7. Koniache Abbildungen.
a) Flachentreue konische Abbildungen.
b) Winkeltreue koniecbe Abbildungen.
o) Mittabstandstreue konische Abbildungen.
8. Uneehte Kegelprojektionen nebst Grenzfallen.
a) Die JBownesche Projektion.
b) Die Sanson-FlainsteedBcha Projektion.
c) Flacbentreue Projektionen , bei denen die Parallelkreise durch ein
System von parallelen Geraden- abgebildet werden.
d) Die Planisphare von Att&w und verwaudte Entwiirfe.
Polykonische Projektionen.
Polyederprojektion. GradabteilungHkarten.
Kreisnetze.
Projoktion mit geringater Langonverzerrung nach Tissot.
Allgemeines iiber die winkeltreuen Abbildungen. Projektionen von Tsche-
byschoff, Peirce und August.
*) Das Wort ,,Projektiou" wird in der Kartographie nicht nur in dem in
dcr projektiven Geometric \iblichen engeren Sinne gebraueht, soudern steht auch
allgemein fur Abbilduug. Da dieser Sprachgebrauch eingebxirgert ist, ist im
folgeuden nebeu dem Worte ,,Abbildung" aid gleichbedeutend die Bezeichrinng
,,Projektion" benutzt.
JBnoyklop. d. matb. Wijeuch. VI 1. 17
246 VI i, 4. 2?. Bourgeois-Ph. Furtwangkr. Kartograpbie.
14. Allgemeines fiber die flachentrouen Abbildungen
15. Darstellung der Hohouve.rhaltnisge.
16. Kartometrie.
17. Entwicklung des etaatlichen Kartenwesens im 19. Jahrhundert.
Literatur.
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K. Zoppritz-A. Bludau, Leitfaden der Kartenentwurfslehre, 2. Aufl.; I. Teil:
Die Projektionelehre, Leipzig 1899; II. Teil: Kartographie und Kartometrie,
Leipzig 1908. (Zoppritz - Bludau 1, 2.)
H. Zondfrvan, Allgemeine Kartenkunde, Leipzig 1901.
AuBerdem existieren noeh zahlreiche populare zuni Teil sehr oberflachliche
Darstellungen der Kartographie; ferner nnden sich Abrisse der Kartenentwurfs-
Jehre in vielen Lehrbiicheru der Geodaeie, Astronomie, Geographie und Mathe-
matik (z. B, 0. Schlomilch, Handbuch der Mathematik, 2. Aufl. herausg. von
K Henke und E. Hcger, Leipzig 1904, Bd. 3; 0. Kriimwd und M. Eckert, Geo-
graphisches Praktikum, Leipzig 1908), sowie in Atlanten (z. B. H. Wagner,
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Stuttgart 1887 (Tissot- Hammer).
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JET. Wiechel, Theorie und Darstellung der Beleuchtung von nicht geaetzmaBig ge-
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Wegen der allgemeinen Abbildungslehre, sei auf die Lehrbiicher der Flachen-
theorie und Differentialgeometrie verwiesen, von denen genannt aeien:
G. Darboux, Le9ons sur la theorie ge ne rale dea surfaces, 3, 4, Paris 1894, 1896.
L. Bianchi, Vorlesungen fiber Differentialgeometrie, deutsch von M. Lukat,
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schienen.)
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H. Wagner, Leitfaden durch den Entwicklungsgang der Seekarten, Bremen 1896.
H. Wauwermans, Hietoire de 1 ^cole cartographique Beige et Anvertoifte du
XVI. siecle, 2 vol., Bruxelles 1895.
JR. Wolf, Handbuch der Astronomic usw., 2 Bde., Ziirich 189093.
W. Wolkenhauer, Leitfaden zur Geschichte der Eartographie in tabellarischer
Darstellung, Breslau 1895.
Daa Geographische Jahrbuch bringt zusammenfassende Eeferate uber Earto
graphie, die bisher von folgenden Autoren verfafit sind:
S. Giinther, Die Fortschritte der Eartenprojektionslehre, Geogr. Jahrb. 9 (1882),
p. 407; 10 (1883), p. 323; 12 (1888), p. 1; 14 (189091), p. 185.
E. Hammer, Die Fortechritte der Eartenprojektionslehre, der Eartenzeichnnng und
der Eartenmessung, ibid. 17 (1894), p. 41; 19 (1896\ p. 1; 20 (1897), p. 426;
24 (1901), p. 3.
H. Haack, Die Fortschritte der Eartenprojektionslehre, Eartenzeichnung und
-Vervielfaltigung, sowie der Eartenmessung, ibid. 26 (1903), p. 369; 89 (1908),
p. 321.
Endlich sei auf die Mitteilungen des k. k. militargeographischen Inftituts in
Wien (seit 1881) hingewiesen.
Darchgehende Bezeichnnngen.
?> geographische Breite,
1 geographische Lange,
9 = 90 <p Poldistanz,
K Azimut,
Ji Eriimmungshalbmesser im Meridian,
r Eriimmungsbalbmesser im Parallel,
x, y rechtwinklige Koordinaten in der Eartenebene,
e, i|> Polarkoordinaten in der Eartenebene,
a, b Maximum, Minimum des Langonverhaltnisses in einem Punkte,
h L angeuverhaltnis im Meridian,
k Langenverhaltnis im Parallel,
S Flachenverhaltnis,
2wgr56te Winkelverzerrung in einem Punkte.
Verzeichnis der erwflhiiten Karteiiprojektionen.
Orthographische Pr., p. 266.
Zentral- oder gnomonische Pr., p. 266.
Stereographs Bche Projektion, p. 257 = winkeltreue Azimutalprojektion, p. 262.
250 VI i, 4. R. Bourgcois-Ph. Furtwdngler. Kartographie.
Flachentreue Azimutalprojektion von Lambert, p. 262.
Mittabstandstreue (aquidistante) Azimutalpr. (Postel, richtiger Mercator), p. 264.
G. B. Airy* projection by balance of errors, p. 266.
A. Brewings vennittelnde Azimutalprojektion, p. 265.
Abbildung dines schmalen Kugelstreifens nach F. J. Miiller, p. 266, FuBn. 40.
Flachentreue Zylinderprojektion mit langentreuem Haaptkreis (Aquator) von
Lambert, p. 267.
Flachentxeue Zylinderprojektion mit kleinster Winkelverzerrung von Tissot, p. 267.
Winkeltreue Zylinderpr. oder Mercatorpr., p. 267.
Quadratische Plattkarte, p. 269.
Cassini-Soldnersche Projektion. p. 269.
Rechteckige Plattkarte, p. 269.
Lamberts flachentreue Kegelprojektion, p. 271.
Flachentreue Kegelprojektion mit geringster Winkelverzerrung, p. 271.
Albers Kegelrumpfprojektion, p. 271.
Kegelrumpfprojektion mit kleinster Winkelverzerrung von Tissot, p. 272.
Lambert-Gaufiache konforme Kegelprojektion (Boolea Proj.), p. 273.
Konforme Kegelprojektion mit kleiueter Flachenverzerrung, p. 273.
Gewohnliche (einfache, wahre) Kegelprojektion von Ptolemtius, p. 274.
Ue I Isle* Kegelprojektion, p. 275.
Vereinfachte Kegelprojektion (Mercators Kegelproj.), p. 275, FuBn. 57.
jBownesche Projektion, p. 275.
Satison-Flamsteedache Projektion, p. 278.
Stab-Werncrsche Projektion, p 279, FuBn. 66.
Projektion von Collignon, p. 279.
Projektion von K. B. Mollweide (homalograph. Proj.), p. 280.
Eckert flachentreues Trapeznetz und Kreisringnetz, p. 279, FuBn. 69 und p. 280,
FuBn. 72.
Planisphitre von Aitow, p. 280.
Flachentreue Planiephare von Hammer, p. 280.
Gewohnliche polykonische Proj. (amerikanische polyk. Pr.), p. 281.
Rechtschnittige polykonische Proj. (dea englischen War Office), p. 231.
PreuBiache Polyederprojektion (projezione naturale), p. 282.
Winkeltreue Kreianetze von Lagrange (Lambert), p. 283.
Projektion von Nicolosi (Globularpr., englische Pr.), p. 284, FuBn. 88.
JVeJfeche Projektion, p. 284, FuBn. 88.
Kreisnet.z von A. J. van der Grinten, p. 284, FuBn. 88.
Projektion mit geringster Langenverzerrung von Tissot, p. 285.
Tissota kompensative Kegelproj ektiou, p. 286.
Quiucuucialprojektion von C. S. Peirce, p. 289.
Konforme Projektion von August, p. 289.
Konforme Projektion von P. L. Ischebyschoff, p. 289.
1. Einleitung. Da die Erdoberflache keine abwickelbare Flacbe
ist, kaun man sie nur in der Weise auf eine Ebene oder ein Stfick
einer Ebeae abbilden, dafi man mehr oder weniger die Entfernungen,
die GroBen der Flachen, der Winkel usw. anderfc 1 ). Je nacb den Be-
1) DaB eine Kugel nicht in den kleinsten Teilen kongruent auf eine Ebene
1. Eiiileitung. 251
diirfnissen, welche die Karte befriedigen soil, wird m;m der Erhaltung
oder wenigstens der geringsten Anderung dieser oder jener GroBe bei
der Abbildung den Vorzug geben, z. B. der Erhaltung der Winkel
oder Erhaltung der Flachen. In anderen Fallen wird man versuchen,
fiir die Bilder der Meridiane und Parallelkreise moglichst einfache
Kurven, z. B. Gerade oder Kreise, zu erhalten.
Die Diskussion der Bedingungen, die in den verschiedeneu Fallen
zu berttckeichtigen sind, die Aufsuchung der Wege, auf denen man
das gewiinschte Resultat erhalten kann und endlich die Herstellung
des Liniensystems, das das Kartennetz liefert, bilden denjenigen Zweig
der mathematischen Geographic, den man als Kartenprojektionslehre be-
zeichnet. Zur Kartographie im weiteren Sinne rechnet man noch die
Darstellung der Hohenverhaltnisse, die Wiedergabe der ,,Situation"
(FluBnetze, Wegenetze usw.) und im weitesten Sinne auch die Lehre
von der technischen Herstellung und Vervielfaltigung der Karten. Von
diesen Dingen wird hier aber, da die mathematischen Gesichtspunkte
dabei zuriicktreten, nur teilweise und kurz die Rede sein.
Bei der Herstellung des Kartennetzes macht es einen wesentlichen
Unterschied, ob der MaBstab der Karte grofi oder kleiu ist 2 ). Unter
dem MaBstab versteht man, allgemein zu reden, das Verhaltnis der
Lange eines Linienelemeutes im Original zur Lange seines Bildes 8 )
(LangenverhdUnis oder linearer ModuC). Ist dies Verhaltnis groB
(etwa groBer als gooboo)> so ^ ann man au ^ Q ^ Giai handlichen Blatte nur
ein relativ kleines Stiick der Erdoberflache abbilden. Dies Stuck kann
man aber praktisch als eben betrachten., so daB in diesem Falle das
Kartenblatt ein innerhalb der Grenzen der Zeichen- und Messungs-
genauigkeit vollig getreues Abbild der Wirklichkeit darstellt. Erst
wenn der MaBstab kleiner ist, so dafi man ein groBeres Stuck der
Erdoberflache auf einem Blatte abbilden kann, spielen die Verzerrungen
abgebildet werden kann, hat wohl zuerat L. Euler bewiesen, vgl. Petrop. Acad.
Acta 1777, L, p. 107132, speziell 9.
2) Nach dem MaBstab pflegt man die Karten in topographische Karten
(Mafiatab groBer als etwa 1 : 500 000) und geographische Karten (MaBstab kleiner
als etwa 1:500000) einzuteilen, wobei man die beiden Abteilungen noch wieder
in Unterahteilungen zerlegt. Neuerdinga teilt man auch in Spezial- und General-
karten ein.
8) Daa genannte Verhaltnis iindert sich in der Karte im allgemeinen von
Punkt zu Punkt und ist auch in den verschiedenen Eichtungen in einem Karten-
pnukte im allgemeinen verschieden. Um diesem Umstaude Bechnuug zu tragen,
definiert man als MaBstab genauer das Lilngenverhiiltnis in oinem bestimmten
Punkt (gew5hnlich in dem Mittelpunkt der Karte) uud in bestimrnter Richfcung
(z. B. im Meridian;.
252 VI i, 4. R. Bourgeois-Ph. Furtwangkr. Kartographie.
auf der Karte eine Bolle. Ira folgenden wird daher hauptsachlich
von diesen Karten kleineren MaBstabes zu reden sein.
Um bei den folgenden Auseinandersetzungen den MaBstab nicht
immer mitftihren zu raiissen, wollen wir annehmen, daB die Erdober-
tiiiche zunachst auf eine ahnliche Flache (Globus), die in dem ge-
wunechten MaBstabe verkleinerl ist, abgebildet sei, und daB nun diese
Globusflache im MaBstab 1 : 1 auf die Ebene abgebildet werden soil.
Es sei endlich daran erinnert, daB man auch auBerhalb der Karto
graphie in der Geodasie fur Zwecke der Rechnung, besonders zur Er-
leichterung der Ausgleiehung geodatiseher Messungen, Abbildungen
der Erdoberflache benutzt. Wegen dieser Abbildungen, an die im all-
gemeinen scharfere Anforderungen bezilglich der zulassigen Verzerrungen
zu stelleu sind, vergleiche man VI i, 3, Hohere Geodasie (P. Piezettf),
Nr. 21, 22 und 24 und VIi, 1, Niedere Geodasie (C. Reinhert*},
Nr. 8c, 8d.
Auf die geschichtliche Entwicklung der Kartographie 4 ), soweit
sie sich nicht aus den Literaturangaben des Textes ergibt, soil hier
nicht naher eingegangen werden Es sei nur kurz erwahnt, daB man
gewShnlich drei Epochen zu unterscheiden pflegt. Die alteste, in der
von der Kartographie als Wissenschaft noch kaum die Rede sein kaiin,
reicht bis Mercator. Die zweite Epoche beginnt mit dem Auftreten
Mercators (1569) und hat in ihm, der als Begriinder der wissenschaft-
lichen Kartographie zu gelten hat, zugleich ihren Hauptvertreter. Die
neueste Epoche kann durch die Namen J. H. Lambert (1772) und
A Tissot (1881) gekennzeichnet werden. Ihr Charakteristikum ist,
daB die Verzerrungen auf der Karte in eingehender Weise studiert
und zur Beurteilung der Kartenentwiirfe herangezogen werden.
2. Problematellung. Allgemeine Analyse der Verzerrungen 5 ).
Das Bild eines beliebigen Punktes M der Erdoberflache fi ), der auf
4) Vielc der in der LiteraturiiberBicht genannten Lelirbucher beriicksichtigen
auch die geschichtliche Entwicklung der Kartographie, am ausfuhrlichsten wohl
das Lehrbuch von M. Fiorini.
5) A. Tissot, Memoire sur la repreBentation des Burfaces et lea projections
des cartes ge"ograpb.iques , Paris 1881; dcutsche Bearbeitung mit Zusatzen von
E. Hammer, Stuttgart 1887; Paris C. R. 49 (1859), p. 673. Vgl. auch J. Frischauf,
Die Abbilduugslehre und deren Anwendung auf Kartographie und Geodasie,
Leipzig 1905.
6) Die Erdobei-fTacbe wird als Rotationsellipsoid (meistens mit den von
F, W. Bessel bereclmeten Diiaenaioncn) angenomiuen, desecn Rotationsacbse mit
der Achso der taglichen Unudrehung znsammenfallt. Fur die Zwecke der Karto
graphie geniigt es fast immer, an Stelle dee Ellipsoids eino Kugel za. setzen,
man den Kugelradius so wablt, daB die Krummnag der Kugel rait der
2. Problemstellung. Allgemeine Analyse der Verzerrnngen. 253
dieser durch seine Poldistauz d, auf dem durch M gehenden Meridian
gemessen. und durch den Winkel A, den dieser Meridian mit einem
Anfangsmeridian bildet, bestimmt ist, moge in der Karte auf zwei recht-
winklige Achsen OX und OY durch einen beliebigen Anfangspunkt
bezogen werden. Die ebenen rechtwinkligen Koordinateii x, y sind
dann Funktionen der Koordiuaten auf der Flache d, A, die so zu be-
stimmen 8ind, daB die Karte gewisse vorgeschriebene Eigenschaften
erhalt.
Sind die genannten Funktionen 7 ):
so gilt fur die Umgebung von M und ftir die seines Bildpunktes M
das Differentialsystem:
wobei die partiellen Ableitungen fur die Stelle M zu nehmen sind.
Die Umgebung des Punktes M ist daher auf die seines Bildpunktes
M affm bezogen. Wenn man also um M auf der Flache einen un-
endlichkleinen Kreis mit dem Radius dr beschreibt, so geht dieser im
Bilde in eine Ellipse iiber, die als Verzerrungsellipse bezeichnet werden
moge. Werden ihre Halbachsen adr und bdr genannt ; so sind die
beiden Zahlen a, & charakteristisch fur die Verzerrung an der Stelle
Jf ; a und b reprasentieren den Maximal- und Minimalwert des Langen-
verhaltnisses im Punkte M .
Fur die Anwendungen sind am wichtigsten die Abbildungen, bei
denen die Winkel erhalten werden (winkeltreu) und diejenigen, bei
denen die Flacheninhalte beliebiger Figuren ungeandert bleiben (flachen-
treu) 8 ).
Kriimmting des Ellipsoids in einem mittleren Punkte des abzubildenden Flachen-
stiickes iibereinstimmt. tJber die Beriicksichtigung der Abplattung vgl. anch
E. Hammer, Zur Abbildung des Erdellipsoids, Stuttgart 1891 ; ferner Zeitechr. f.
Schulgeogr. 21 (1900;>, p. 161.
7) Die Funktionen f, F mvissen, damit die folgendea Betrachtungen durch-
gefiihrt werden konnen, gewisse Eigenschaften haben, \vie Stetigkeit, Differentier-
barkeit, Unabh2,ugigkeit voneinander (Funktionaldeterminante nicht identisch
Null), usw. Vou diesen Eigenscbaften braucht bier uicht weiter die Rede zu
sein, da fur die praktisch benufczten Abbildungen nur einfache Funktionen in
Betracht konunen, die die notwendigen Eigenschaften sicher haben.
8) tTber die allgemeine Theorie der winkeltreuen und flachentreuen Abbil
dungen vgl. Nr. 13 und 14.
254 VI i, 4. It. Bourgeois-Ph. Furtwdngler. Kartographie.
Die toinJceltreuen Abbildungen 9 ) sind durch die Gleichurig
a == b oder =- = 1
o
charakterisiert. Die Verzerrungsellipse wird zu einem Kreis. Das
Langenverhaltnis ist fiir alle von M ausgehenden Richtungen dasselbe,
das Bild ist dem Original in den kleinsten Teilen iihnlich (konforra),
Daraus folgt dann die Erhaltung der Winkel 10 ). Verbindet man auf
der Karte die Punkte mit gleichem Langenverhaltnis, so erhalt man
die Aquideformaten, die am anschaulichsten fiber die Verzermngen der
Karte orientieren.
Flachentreue 11 ) tritfc ein, wenn die Bedingung
o6 = l
erfiillt ist. Denn S ab gibt das Flachenverhaltnis an, d. h. das
Verhaltnis des lulialts eines unendlichkleinen Flachenstiicks um M
zu dem seines Bildes.
Es seien noch einige allgemeine Formeln angegeben. Bezeichnet
7^ den Krummungshalbmesser des Meridians in M und r den Radius
des durch M gehenden Parallelkreises, so sind die Linienelemente im
Meridian und Parallel resp. lidd und rdl., wahrend die Linienelemente
des Bildes von Meridian und Parallel in der Karte resp. den Wert
haben:
Das Langenverhaltnis (linearer Modul) im Meridian h und im Parallel k
ist daher gegeben durch:
Das FlacfienverliaUnis ist durch die Formel:
/RS , _. 1 rdy dx dx
W "1FU*IT""I?
bestimmt. Bedeutet ferner 9" einen der beiden Winkel zwischen den
9) Bezeicbnungen fur diese Abbildongen sind: winkeltreu (Breusing), kon-
form (Gnu ft), autogonal (Ti?sot\ isogonal, orthomorph.
10) Die Winkeltreue der Abbildung kann fiir einzelne Stellen, wo das
Langenverhaltnis Null oder unendlich wird, verloren gehen (Unstetigkeitspunkte,
Verzweigungspunkte) .
11) Anetatt der Bezeicbnurtg flaxibentreu (Breusing) benutzt man auch aqui-
valent, isomer (Ijambert), authalique (Tissot).
3. Perspektiven. 255
Bildern von Meridian und Parallel, so gilt:
dy dxd]i
ax
IX 38 J ~ 36 d*
Da zwei beliebigen aufeinander senkrechten Durchmessern des
kleinen Kreises urn M konjugierte Durchmesser der zugehorigen Ver-
zerrungsellipse entsprechen, so sind auch die Bilder der Linienelemente
von Meridian und Parallelkreis konjugierte Durchmesser und man hat
daher nach einem bekannten Theorem 1 *) fiber diese die Gleichung:
a * 4. 52 = /i 2 -f P.
Zur Bestimmung von a und b hat man noch die Gleichung
a& = S
hinzuzufiigen, wobei der Wert von S aus (5) zu entnehmen ist.
1st 2o die groBte Winkelverzerrung an der Stelle M , d. h. die
grofite DiflTerenz zwischen einem Winkel, der von zwei von M aua-
gehenden Linienelementen gebildet wird, und seinem Bilde, so gilt:
a b a 6
(7) sin GJ a= r-;- , tg o = :==
\ t a + 6 } 2]/a&
Mit Hilfe der vorstehenden Formeln kann man die Verzerrungen
jeder gegebenen Abbildung an einer beliebigen Stelle berechnen 18 ).
Es ist nicht moglich und auch nicht notwendig, alle je er-
sonnenen Kartenprojektionen hier durchzusprechen ; wir miissen uns
vielmehr darauf beschranken, die praktisch wichtigeren durchzugehen
und ihre wesentlichen Eigenschaften zu erortern.
3. Perspektiven. Wir beginnen mit der Erorterung der Per-
epektiven, da bei ihnen die geometrischen Verhaltnisse der Anschauung
am unmittelbarsten zuganglich sind; praktisch sind die Perspektiven
auBer etwa der winkeltreuen nur von geringer Bedeutung 14 ).
Wahlt man einen beliebigen Punkt A des Raumes als Augen-
punkt, zieht von ihm aus Sehstrahlen nach alien Punkten des ab-
zubildenden Flacheustucks und bringt diese mit einer beliebigen nicht
durch A gehenden Ebene, der Bildebene, zum Schnitt, so entsteht ein
perspektivisches Abbild des gegebenen Flachenstiicks. Die Senkrechte
vom Augenpunkt auf die Bildebene soil Achse der Perspektive heiBen.
12) Vgl. IHC 1, Kegelschnitte und Kegelachnittsysteme (F. Dingddey], Nr. 17.
13) Bei Tissot und noch erganzt bei Tissot- Hammer findet man die Ver-
zerrungeelemente aller irgendwie in Betracht kommenden Abbildungen in zahl-
reichen Tabellen eusammengestellt.
14) Vgl. Tissot- Hammer, p. 120, und Hammer, Kartenprojektionen, Ab-
schnitt IV, besonders p. 60.
256 VI i, 4. E. Bourgeois-Ph. Furtwdngkr. Kartographie.
Ein perspektivisches Bild der Meridiane und Parallelkreise fallt
am einfachsten aus, wenn man den Augenpunkt auf der Erdachse
und die Bildebene senkrecht zur Erdachse annimmt. Eine solche
Perepektive soil eine Perspektive in normaler Lage oder kurz normale
Perspektive heifien. Die verschiedenen normalen Perspektiven unter-
gcheiden sich nur durch die Lage des Augenpunktes; die Bildebene
kann beliebig parallel mit sich verschoben werden, weil das uur den
MaBstab der Zeichnung andert.
Das allgemeine Bild einer normalen Perspektive ist demnach
folgendes: Die Meridiane werden als ein System von Geraden ab-
gebildet, die sich samtlich in einem Punkte, dem Mittelpunkt der
Karte (Bild eines der Erdpole), unter denselben Winkeln wie in Wirk-
lichkeit schneiden; die Parallelkreise bilden auf der Karte ein System
konzentrischer Kreise um den Kartenmittelpunkt 15 ).
Die verschiedenen normalen Perspektiven unterscheiden sich dann
durch das Gesetz, nach dem die Radien der Parallelkreisbilder Q von
der geographischen Breite <p oder ihrem Kompleuient, der Poldistanz d,
abbangen (Halbmessergesetz).
Es seien hier nur drei Perspektiven 16 ) erwahnt:
a) Die orthographische Projektion. Der Augenpunkt liegt im Un-
cndlichen, das Halbmessergesetz lautet 17 ):
(8) Q = sin 9.
Die Verzerrungen sind charakterisieii durch die Formeln 18 ):
*
(9) a 1, b = cos tf, sin ra == tg 2 ~- , S cos d.
Eine Halbkugel wird auf einen Kreis abgebildet.
b) Die Zcntral- oder gnomonische Projektion. Augenpunkt ist der
Kugelmittelpunkt, Bildebene difc Tangentialebene im Nord- oder Siidpol,
Halbmessergesetz:
Verzerrungen:
(11) a = sec 2 d, & "== sec d, sina) = tg 8 --, S = sec 3
16) Es sei aber darauf aufmeiksam gernacht, daB nicht jcdes derartige Netz
eine Perspektive ist, vgl. Nr. 5.
16) Die perspektivischen Projektionen waren boreits den Griechen bekannt.
17) Der Kugelxadius wird gleich 1 angenommen.
18) Wegen der Bezeichnungen vgl. Nr. 2. Die orthographische Projektion
wird fiir Mondkarten benutzt.
8. Perspektiven. 257
Es vvird eine Halbkugel auf die unendliche Ebene abgebildet. Die
Zentralprojektion hat die ausgezeichnete Eigenschaft, dafi jeder groBte
Kugelkreis als Gerade abgebildet wird. Sie kaun deshalb als Zwischen-
glied clienen, um Stiicke groBter Kugelkreise punktweise auf Karten
in anderen Projektionen zu konstruieren 19 ). Darin berubt aucb ihre
Bedeutung in der Nautik fiir das ,,Segeln im groBten Kreise". Zur
kartograpbischen Darstellung selbst eignet sie sich wegen der starken
Verzerrungen nicht; nur bei einigen neueren Seekarten hat man sie
verwendet.
c) Die stereographische Projektion (winkeltreue Perspektive). Augen-
punkt im Nord- oder Siidpol, Halbmessergesetz:
(12) e = 2tg|-,
wenn auf den Aquator projiziert wird. Es wird die Vollkugel auf die
unendliche Ebene abgebildet 20 ).
Auf die besonderen Eigenschaften und die Verzerrungen der
letzten Projektion soil hier nicht eingegangen werden, da sie uns
sp ater von einem allgemeineren Gesichtspunkte aus noch einraal be-
gegnen wird (vgl. Nr. 5). Dagegen ist hier auf den Umstand auf-
merksam zu machen, daB man aus einer normalen Perspektive un-
endlich viele andere ableiten kami. indem man einfach entweder bei
festgehaltener Achse der Perspektive die Kugel um ihren Mittelpunkt
dreht oder, was auf dasselbe hinauslauft, bei festgehaltener Kugel die
Achse der Perspektive um den Kugelmittelpunkt dreht. Nehmen wir
die letzte Vorstellungsweise an, so erhalten wir, wenn die Achse in
die Aquatorebene wandert, eine transversale Perspektive. Liegt die
Achse beliebig schief zur Aquatorebene, so soil die Perspektive eine
schiefachsiye heiBen. Die Achse der Perspektive soil also in jedem
Falle (lurch den Kugelmittelpunkt gehen, da andere Perspektiven ganz
wertlos sein Aviirden. Da der ubergang von den normalen Perspek
tiven zu den transverealen imd schiefachsigen, wie oben angegeben,
durch Drehung der Kngel um ihren Mittelpunkt geschehen kanu, so
kann man die transversalen und schicfuchsigen Netzentwiirfe aus den
normalen zeichnerisch nach denselben Mothoden herleiten, die in der
darstellenden Geometric bei den Drohungen der Korpor benutzt werden.
19) Vgl. z. B. Thoukt, Bull. soc. de g^ogr. (G) 8 (1874), p. 171.
20) Selbstverstandlich kann man praktisch wegen Anwachsena der Ver-
zerrengen nicht weseiitlich iibcr die Abbildung eiuer Halbkugel in stereo-
graphischer Projektion binausgeben, cbonso wie man uriter b) nur einen Teil der
Halbkugel abbilden kann,
258 VT i, 4. 2?. Bourgeois- Ph. Furtwangler. Kartographie.
Die Unterscbeidung in normale, transversale und schiefacbsige
Netze 21 ) ist nicbt auf die Perspektivan besehrankt, sondern laBt sich
fast bei alien spater zu besprechenden Projektionen durcbfiihren, da
es sich dabei nur urn eine einfacbe Koordinatentransformation auf der
Kugel haDdelt. Urn dies in bequemer Weise zum Ausdruck zu bringen
und um die drei genannten Kategorien gemeinsam bezeichnen zu
konnen, wollen wir uns auf der Kugel ein Hilfsnetz konstruiert
deukeu. Wir bezeicbnen die beiden Punkte, die an Stelle von Nord-
und Siidpol treten, als Hauptpunkte und die durch sie hindurcb-
gehenden GroBkreise als Hauptkreise. Ferner denken wir uns alle
Kreise auf der Kugel gezeicbnet, deren Ebene zur Verbindungslinie
der Hauptpunkte senkrecht steht; sie mogen als Horizontalkreise be-
zeichnet werden, weil sie den Hauptpunktshorizonten parallel laufen.
Dies Liniensystem entspricht fur die trans versalen und scbiefachsigen
Entwiirfe genau dem System der Meridiane und Parallelkreise fflr den
normalen Entwurf und zwar entsprechen die Hauptkreise den Meri-
dianen, die Horizontalkreise den Parallelkreisen. Die auf dies Linien
system beziiglichen Koordinaten, namlich Hauptpunktsabstand d und
Azimut des Hauptkreises , d. b. Winkel zwischen einem beliebigen
Hauptkreis und dem festen Hauptkreis, der durcb Nord- und Siidpol
geht (also zugleicb ein Meridian ist) werden als agimutale Koordinaten
bezeichnet. E. Hammer**) bat fur verschiedene runde Hauptpunkts-
breiten Tabellen zur Verwandlung der geographiscben Koordinaten in
azimutale berecbnet und damit rechnerisch die Hilfsmittel gescliaffen,
um bequem von einem normalen Netzentwurf zum transversalen oder
einem beliebigen scbiefacbsigen iiberzugeben.
21) Statt der Bezeichntmg normal, transversal (querachsig), schiefachsig, die
im Text im AnechluB an Lambert und Tissot- Hammer gebraucht ist, sind aucb
die Bezeichnungsweisen: Aquatorialprojektion, Meridianprojektion, Horizontal -
projektion (die Lage der Bildebene wird durch den Namen bezeichnet), oder
polstandige, aquatorstandige , zwischenstandige Projektionen, oder aber: Polar-
projektion, Aquatorialprojektion , Horizon talprojektion im Gebrauch. Die letzte
Bezeichnungsweise ist inkonsequent. Projektionen in transversaler Lage sind
besonders von J. H. Lambert vorgeschlagen , aber auch schon vor ihm benutzt
worden, z. B. von C. F. Cassini, vgl. Nr. 6c. Die Benutzung nichtnormaler Ab-
bildungen vor Lambert steht aber vereinzelt da, die oben angegebene Betrach-
tungsweise in konaequenter Durchfiihrung ist durchaus Eigentum Lamberts.
22) t^her die geograpbisch wichtigsteu Eartenprojektionen, Stuttgart 1889;
am Schlufi dieses Werkes Tafeln zur Verwandlung von geographischen Koordi
naten in azimutale fur die Hauptpunktabreiten 0, 15, 20, 25, 30, 36, 40,
45, 60, 65", 60, 76. Vgl. auch bei Lambert, Land- und Himmelscharten, die
Tafeln zum 97.
4. Konische Abbildungen oder Kegelprojektionen und ihre Grenzfalle. 269
4. Konische Abbildungen oder Kegelprojektionen und ihre
Grenzfalle. tiberblick und Einteilung. Fast alle praktisch wichtigen
Projektionen lassen sich in die Kategorie der Kegelprojektionen ein-
reihen oder wenigstens als einfache Abarten derselben charakterisieren.
Wir haben uns deshalb jetzt ausfiihrlich mit diesen zu beschaftigen.
Wahrend die Erdoberflache keine abwickelbare Flache 1st, waren
doch einfache krumme Fiachen bekannt, denen diese Eigenschaft
zukain, namlich Kegel und Zylinder. Es lag daher nahe, diese
Fiachen ala Zwischenglieder bei der Herstellung der Abbildung zu
benutzen. Um das Netz einer Kegelprojektion in normaler Lage zu
erhalten, denke man sich um die Erdkugel einen Kegel gelegt, dessen
Achse mit der Erdachse zusammenfallt, und der die Erdoberflache in
einem bestimmten Parallelkreise berilhrt. Um jetzt die Meridiane
auf den Kegel zu iibertragen, denke man sich einfach ihre Ebenen
bis zum Schnitt mit dem Kegel verlangert. Schneidet man dann den
Kegel langs einer Seitenlinie auf und wickelt ihn in die Ebene ab,
so erscheint als Bild der Meridiane ein System gerader Linien, die
sich samtlich. in einem Punkte schneiden. 1st der Offnungswinkel des
Kegels n 2ix, so schlieBen die Bilder zweier Meridiane mit der
Langendifferenz A den Winkel n A ein. Um auch die Parallelkreise
auf den Kegel zu ubertragen, konnte man etwa ihre Ebeneu bis zum
Schnitt mit dem Kegel verlangern oder sie von einem Punkt der
Kegelachse aus auf den Kegelmantel projizieren. Dadurch wiirden
sich indessen keine guten Projektionen ergeben. Es sollen deshalb
die Vorschriften fur die Zeichnung der Parallelkreisbilder weniger
spezialisiert werden; es soil nur vorgeschrieben werden, dafi die
Parallelkreise als konzentrische Kreise abgebildet werden, deren Mittel-
punkt im Schnittpnnkt der Meridianbilder liegt. Uber die Badieu
dieser Kreise wird dagegen zunachst nichts bestimmt.
Was hier fur Kegelprojektionen in normaler Lage ausgefiihrt
ist, gilt auch f(ir solche in beliebiger Lage, wenn man Meridiane
und Parallelkreise durch Haupt- und Horizontalkreise ersetzt. Wir
konnen daher die Kegelprojektionen in folgender Weise definieren,
wobei der vermittelnde Kegel selbst gar nicht mehr erwahnt zu werden
braucht:
Eine Kegelprojektion (in normaler Lage) ist cine Projection, bei
der die Bauptkreise (Meridiane) als ein System von Geraden abgebttdet
werden, die sich samtlich in einem Punkte schneiden, und ewar derart,
daft die BUder zweier ffaupfkreisc (Meridiane), die in Wirklichkeit den
Winkel A einschliefien, in der Karte den Winkel n A miteinander bilden,
wo n eine feste Zahl ist. Die Bilder der Horizontalkreise (Parallelkreise)
260 VI i, 4. K. Bourgeois-Ph. Fwtwangler. Kartographie.
sind Jconeentrische Kreise mii dem Mittclpunkt im Schnittpwikt der
Haupikreis-(Meridian-)bHder zy }. (Fig. 3, p. 270.)
Das in Klammern Beigefflgte bezieht sich iramer auf die normalen
Kegelprojektionen. Die Zahl n wird kleiner oder hochstens gleich 1
genoinmen, weil anderenfalls tjberdeckungen in der Ebene eintreten
wfirden. Als Grenzf alle kommen die Werte n und n 1 in Be-
tracht.
Rfickt die Kegelspitze auf der Achse ins Unendliche, so geht der
Kegel in einen Zylinder fiber, wir erhalten mit n = die Zylinder-
jprojektionen. Bei diesen werden die Hauptkreise (Meridiane), die mit
gleichen Winkeln aufeinander folgen, als ein System von aquidistanten
Parallelen abgebildet, wahrend die Horizontal-(Parallel) -kreise durch
ein System von parallelen Geraden, das zu dem ersten System senk-
recht verlauft, dargestellt werden.
Ruckt die Kegelspitze auf die Erdkugel, so geht der Kegel in
eine Ebene iiber, und wir erhalten mit n = 1 die sogenannten azimu-
talen Projektionen. Bei ihnen besteht das Netz (ahnlich wie friiher
bei den Perspektiven) aus einem System von Geraden, die sich als
Bilder der Hauptkreise (Meridiane) unter denselben Winkeln schneiden
wie diese in Wirklichkeit. Die Horizontalkreise (Parallelkreise) werden
als konzentrische Kreise urn den Kartenmittelpunkt abgebildet, wobei
aber zuniichst die Halbmesser dieser Kreise im Gegensatz zu den
Perspektiven ganz willkiirlich sind 2 *). Die Projektionen heifien azi-
mutale, weil bei ihnen das Azirnut irgend einer vom Kartenmittel
punkt ausgehenden Richtung erbalten bleibt.
In den folgenden Nummern sollen nun die Kegelprojektionen
23) Wie aua dieser Definition hervorgeht, sind die Netze der Kegelprojek
tionen in normaler Luge, da eie aus Geraden und Kreisen besteben, theoretiach
einfach zu konstruieren. Praktisch ist dieser Vorteil allerdings fast bedeutungs-
los, denn einerseits liegt der Schnittpunkt der Meridianbilder, der zugleich
Mittelpuukt der Parallelkreisbilder ist, moistens nicht auf der Karte, und anderer-
seits eind die Eadien der zu zeichnenden Kreiae so groB, daB selbst der Sfcangen-
zirkel meistens nicht ausreicht. In praxi werden desiialb fast alle Kartennetze
in der Weise konstruiert, daB man rechtwinklige Koordinaten der Netzschuitt-
punkte berechnet (eventuell mit Benutzung besonderer Hilfstafelu) und die Pankte
selbst durch Absetzen der recbtwinkligen Koordinaten bestimmt. Die Netzlinien
erhalt man dann durch geeignete Verbindung dieser Punkte (eventuell unter
Benutzung von Kurvenlinealen). Zum Auftragen der Koordinaten kann man sich
auch der von den Landmessern gebrauchten Instrumente (Koordinatoineter) be-
dienen; vgl. VI i, 1, Niedere Geodasie (C. Reinhertz), p. 56, FuBn. 79.
24) Es ist also keineewegd jede azimutale Projektion eine Perspektive.
s gibt z. B. koine flachentreue Perspektive, wohl aber eine flachentreue Azimutal-
projektion, vgl. Nr. 5.
5. Azimutale Abbildungen. 261
eiugehender besprochen werden, wobei wir mit den Grenzf alien als
den einfacheren beginnen.
5. Azimutale Abbildungen 25 ). Es sei zunacht die Definition der
Azirautalprojektionen in einem besonderen Satze ausgesprochen, wobei
wieder das auf die normale Lage Bezugliche in Klammern beigefiigt ist.
Eine Projection heiftt eine AzimwtulprojeUion (in normaler I^age),
wenn die Hauptkreise (Meridians) als ein System von geraden Linlen
abgebildct werden, die sick in einem Punkte, dem Kartenmittelpunlde,
so schneiden, daft in diesem Punkte die Karte winkeltreu ist, und wenn
ferner die llorizontalkreise (Parollelkreise) durch honzentrische Kreise
um den Kartenvnittelpunkt abgebildet werden. (Fig. 1.)
Die Punkte der Ebene werden
hier am einfachsten durch Polar-
koordinaten (Q, ^) bestimmt, indem
man den Kartenmittelpunkt als An-
faogspunkt und das Bild des Haupt-
kreises mit dem Azimut Null (Null-
meridian bei normaler Lage) als
Polarachse wahlt. v> ist dann bei
alien Azimutalprojektionen gleich
, dem Azimut des entsprechenden
Hauptkreises (Winkel des Meridians
mit dem NuUmeridian), und ( > ist Fig j Lamberts flachentrcue Azimutal-
eine Funktion allein von d, dem projektion in normaler Lage.
spharisclien Abstand vom Haupt-
punkt (Poldistanz\ so daB die Azimutalprojektionen durch die beiden
Gleich ungen charakterisiert sind:
(13) *-, ^ -/().
Die verschiedenen Azimntalprojektionen ucterscheiden sich durch die
verschiedenen Funktionen f(d), das Halbmcssergesete**).
Die Achsen der Verzerrungsellipse liegen bei alien Azimutal
projektionen und bei alien Kegelprqjektionen iiberhaupt, vvie aus Sym
metriegrunden f olgt, in den Richtungen der Haupt- u:nd Horizontal-
kreise (Meridiane und Parallelkreise), so daB die Verzerrungen einfach
zu berechnen sind.
26) Angaben iiber Atlaskarten in dieeen Projektionen bei Zoppritz-Bludan
1, p. 38, 43, 48, 68.
26) G. B. Airy hat bereits ffir eine Anzahl von azimutalen Projektioneu
Halbtnessertafelti berechnet und auch die Verzerrungen angegeben, vgl. Phil.
Mag. 22 (1861), p. 416.
Encyklop. d. math. Wiasensch. VI 1. 18
262 VI i, 4. R. Bowrgeois-Ph. Fwrtwdngler. Kartographie.
Unter den Projektionen sind, wie bereits friiher betont ist, die
fllichentreuen und winkeltreuen die wichtigsten. Flacbentreue und
Winkeltrene zugleieh ist nicht erreicbbar, da das Bestehen beider
Eigenscbaften Eongruenz in den kleinsten Teilen bedingen wflrde.
Ftir die meisten geographischen Zwecke iibertreffen die flacbentreuen
Projektionen die winkeltreuen nocb an Bedentung; im folgenden sind
deshalb in jeder Kategorie immer die flacbentreuen vorangestellt,
dann folgen die winkeltreuen und schliefilich die Projektionen mit
keiner von diesen beidcn Eigenscbaften, die man wobl als vermittelnde
bezeicbnet. Bei den Azimutalprojektionen ist iibrigens bei gegebener
Hauptpunktslage durcb die Forderung der Flachentreue oder Winkel-
treue die Abbildung eindeutig bestimmt.
Lamberts flachentreue Azimutalprojektion^} (Fig. 1).
B
(14) Halbmessergesetz: p 2sin ,
8 d 1 cos 1
(15) Verzerrungen: a sec -=-, b == cos -^ t sin <a = v-, S 1 .
l-j-COS y
Bei der Abbildung einer Halbkugel gebt die Winkelverzerruug
am Rande bis zu 89, wahrend die Halbacbsen der Verzerrungsellipse
dort die Werte 1,4 dr und 0,7 dr haben. Bildet man nur eine 30-
Kalotte ab, so bleibt die Winkelverzerrung unter 4 und die Langen-
verzerrung unter 4%. Unter den flacbentreuen Abbildungen einer
Halbkugel bat die azimutale die ausgezeicbnete Eigenscbaft, die maxi-
inale Winkelverzernmg zu einem Minimum zu machen 28 ).
Winkdtrreue Aeimwtalprojektion} (stereograpbiscbe Pr.).
*
(16) Halbmessergesetz: (>= == 2tgY>
A
(17) Verzerrungen: a~b*= sec 2 ----- , o == 0, S = sec 4
27) Lambert, Land- und Himmelscharten, p. 183, 104. Lambert entwickelt
die Fonneln fur norznale und transversale Lage und gibt fur den letzten Fall
eine Abbildung der Erde in zwei Halbkugeln. Rechnungen i iir das Netz einer
Karte von Afrika in der genannten Projektion hat E. Hammer durchgefBbrt,
vgl. Peterm. Mitt. 1894, p. 113.
28) Tissot- Hammer, p. 73. Wegen dieser gunetigen Eigenschaft, die zu
der Flachentreue noch hinzutritt, kommt diese sehr brauchbare Lambertsche
Projektion, die lange Zeit wenig beachtet war, in den Atlanten mehr in Auf-
nahme. Die genannte Eigenscbaft gilt auch far Kalotten. Man vgl. auch
Chr. M. Schols, Arch. ne"erl. 20 (1885), p. 388.
29) Die stereographische Projektion (Name TOO Agwllon 1613) iat von
Hippcreh (160125 v. Chr.) zur Abbildung der Himmelskugel benutzt; es win!
ihm abex ecbwerlicb die Winkeltreue der Abbildung bekannt geweeen aein.
6. Azimutale Abbildungen. 263
Hat der Hauptpunkt die Breite <JP O und Lange und legt man die
Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems in der Ebene so, dab
der Anfangspunkt das Bild des flauptpunktes ist und dafi die a?-Achse
nach Norden, die y-Achse ostlich gerichtet ist, so lauten die Formeln
fiir die rechtwinkligen Koordinaten:
*
cos <p sin g> sin <p cos qp cos X
I -j- cos qp u cos qp cos i -j- sin p 9 sin g>
-
cos <r sin .1
1 -f- cos 9 cos g> cos A + sin q? sin cp
Die stereograpbische Projektion ist uns bereits friiher unter den
Perspektivea begegnet. Sie besitzt auBer der Wiukeltreue noch die
ausgezeiehnete Eigenscbaft, daB das Bild ernes jeden Kugelkreises
wieder ein Kreis wird 30 ). Infolge dieser Eigenechaft ist sie auch bei
schiefachsiger Lage in einfacber Weise rait Zirkel und Lineal geo-
raetrisch zu konstruieren 31 ). Man kann sie desbalb als Zwiscbenglied
benutzen, um irgend eine andere a/imutale Projektion in beliebiger
Lage heraistellen. Man bedient sick dazu am zweckmaBigsten der
von E. Hammer angegebenen Haibmesserstabe 82 ); das sind Stabe ; auf
denen filr einen gewablten Mafistab die Halbmesser der Parallelkreise
irgend einer Azimutalprojektion in normaler Lage von G:rad za Grad
oder in anderen Intervallen abgetragen sind. Da man diese Stabe
benutzen kann, um von irgend einer gezeichnet vorliegenden Azimu
talprojektion zu einer beliebigen anderen mit der gleichen Hauptpunkts-
breite tiberzugehen, soil ihre Verwendung gleich in dieser Weise hier
auseinandergesetzt werden. Es liege die Azimutalprojektion P l gezeicbnet
vor, und man soil von ikr zur Azimutalprojektion P 8 mit derselben
Hauptpunktsbreite iibergehen. Man nimmt zu diesem Zweck zunachst
den zu Pj gehorigen Haibmesserstab und mifit mit ihm die Entfernung
des Punktes A, den man iibertragen will, vom Kartenmittelpunkt.
30) Bei der oben augenominenen Lage des Hauptpunktes sind die Glei-
chungen der Meridianbilder:
(a: -\- tg qp )* -f (y + 86C 9o eot ff ^) s ^ sec * <Po cosec l
und der Parallelkreisbilder:
_jL?.__.y . v3= / COB JL__V-
sin qp -J- sin q>} \sin 9 P -}- ain qp/
31) Das iat z. JtJ. mit Hilfc der Methoden mOglich, die in dex darstellcnden
Geometric bei der Darstellung der Drehung der KSrper angewandt werden.
32) Hammer, Kartenprojektionen, p 68; vgl. auch A. H- Clarke, Artikel
Geography (mathematical) in Encycl. Brit. Edinb. 1879, vol. X, p. 204. Das Prinsdp
der Konsfcraktion riilirt von J. 3. Lambert hor, Land- and HiumtclBcharten,
p. 177; vgl. ferner Cwttpont, Bull. BOG. ge ogr. (6) 13 (1877), p. 163 ; (6) 16
(1878), p. 5.
18*
26i VI i, 4. R. Bourgeots-Ph. Furtwartgler. Kartographie.
Betragt diese etwa 0, so niramt man jetzt den zur Projektion P 2
gehorigen Halbmesserstab, legt ihn in der Bichtung vom Kartenmittel-
punkt nach A an und sticht die Entfernung cf* ab. Der so erhaltene
Punkt ist der dem Punkte A in der neuen Projektion entsprechende
Punkt.
Das Flachenverhaltnis entfernt sich bei der stereographischen
Projektion bereits in geringem Abstand vom Kartenmittelpunkt be-
trachtlich von 1; es betrligt z. B. im Abstand 30 bereits 1,149 und
am Eande eines Halbkugelbildes 4. Man wendet deshalb heute die
friiher ofter benutzte stereographische Projektion 33 ), auBer bei Stern-
harten, nur noch wenig an.
Vermittelnde azimutalc Projektionen. Hier hat haupisachlich die
sogenannte mittabstandstreue (aquidistante) Azimutalprojektion^ Be-
deutung, bei der die Abstande vom Kartenmittelpunkt erhalten bleiben.
Sie ist dementsprechend charakterisiert durch:
(1.9) Halbmessergesetz : Q = d ,
(20) Verzerruugen: a = -, 6 - 1, sin o , 8 =
Beziiglich der Flachen- und Winkelverzerrungen steht sie zwischen
der fliichen- und winkeltreuen Azimutalprojektion, wie folgende kleine
Zusammenstellung lehrt, welche die Verzerungen fur Punkte mit 30
Abstand vom Kartenmittelpunkt gibt:
flachentreu
wiukeltreu
mittabstandstreu
a
I
1,H9
1,047
2o>
3 58
2 39
Unter alien Abbildungen der Halbkugel hat die mittabstandstreue
Azimutalprojektion die ausgezeichnete Eigenschaft, die grofite Langen-
verzerrung zu einem Minimum zu machen 35 ).
33) Man hat haufig die ostliche und westlicbe Halbkugel in trausversaler
stereographischer Projektion abgebildet.
34) Die Projektion iet vielfach als Postclscher Entwurf bezeicbnet, weil sie
nach den Angaben von d Arezac znerst von dem Franzoaen G. Postel (1581) an-
gewandt sein sollte; indcssen hat bereits G. Mercator (1669) die Projektion in
normaler Lage fur Polarkarten benutzt. In allgemeiner Lage hat sie Lambert
(1772) zuerst vorgeschlagen, Land- und Himmelscharten, p. 179. In geodiitischer
Beziehung sei erwahnt, daB fur die Rechnungen der VermesBung von Corsica
eine schiefachsige mitteabstandstreue Azimntalprojektion (Coordonees azimutales)
benutzt ist; vgl. P. Hatt, Ann. Hydrogr. 1886; Paris C. R. 115 (1890), p. 459:
Des coordonne"es rectangulaires, Paris 1893.
35) Tissot-Hanuner, p. 74.
6. Zylindrische Abbildungen. 265
Brwahnt sei noch 6r. B. Airys projection by balance of errors" 36 ).
Airy beurteilt die Gate einer Projektion nach dem Mittelwert des
Ausdrucks :
(21) (a l) 2 -f(6 I) 2
Er bestimmt dann bei der azimutalen Abbildung einer Kugelkalotte
dae Halbmessergesetz so, daB das Integral:
iiber das abzubildende Flachenstiick erstreckt, ein Minimum wird.
Es ergibt sich dann fur eine Kalotte mit dem spharischen Halb-
inesser A 87 ):
(22) Q = 2 { tg - cotg 8 - g - Ign sec -- -f cotg - - Ign sec - - )
A. Sreusing 36 ) hat, um zu einer vermittelnden Projektion zu ge-
langen, fur die Halbmesser der Horizontalkreise einfach das geome-
trische Mittel aus den Halbmessern der flachen- und winkeltreuen
Projektion gewiihlt, die Abbildung stiinmt uahe mifc der Airyschen
iiberein.
6. Zylindrische Abbildungen 89 ). Es sei wieder die Definition
dieser Abbildungen an die Spitze gestellt, wie sie sich aus den geo-
metrischen tJberlegungen von Nr. 4 ergibt. Definition: Eine Abbildung
soil zylindriscli (in normaler Lage) heifien, wenn die Haupikreise (Me-
ridiane) als ein System dquidistanter Parallelen abgebildet werden, wakrend
die Bilder der Horizontalkreise (Parallelkreise) gerade Linien sind, die
jenes System senkrecht durchsdineiden. (Fig. 2.)
Nimmt man das geradlinige Bild des Grundkreises, d. h. des-
jenigen Horizontalkreises, der zugleich ein KugelgroBkreis ist, also im
normalen Falle des Aquators, als /-Achse und das Bild des Haupt-
kreises mit dem Azimut Null als #-Achse eines rechtwinkligen Ko-
36) Phil. Mag. (4) 22 (1861\ p. 414; vgl. auch Herz, p. 206221 und Hamtner,
Kartenproj., Abschn. VII. Das Prinzip ist auch auf nichtazimutale Abbildungen,
z. B. zylindrische, anwendbar.
37) Das von Airy angegebene Kesultat ist nicht korrekt; es iat verbessert
von H. James and A. E. Clarice, Phil. Mag. (4) 23 (1862), p. 308.
38) Das Verebnen der Kugeloberflache, Leipzig 1892, p. 18.
39) Von den zylindrischen Abbildungen ist bei weitem am haufigsten die
Mcrcatorprojcktion benutzt, die man iu alien Atlanten findet. In transversaler
und besouders in schiefachsiger Lage sind die zylindrischen Abbildungen wenig
angewandt. Mit ihnen hat sich E. Hammer eingehender beschaftigt, rgl. Karten-
projektionen, p. 119 und Zeitschr. f. wies. Geogr. 6 (1884), p. 1. Angaben Ober
Karten in Zylinderprojektion findet man bei Zoppritz-ljludau 1, p. 137, 141, 146-
266
VI i, 4. E. Bourgeois- Ph. Furtwangltr. Kartographie.
ordinatensystems, so sind die zylindrischen Abbildungen durch die
Gleichungen charakterisiert:
(23) x = f(8) , y = CK (c Konstante) ,
wo wie frflher das Azimut und $ den Hauptpunktsabstarid bedeutet.
Bei noroialer Lage tritt an
Stelle von a die Lange A
und an Stelle von d das
Komplement der geographi-
schen Breite 90 (p. Die
Achsen der Verzerrungs-
ellip.se fallen in die Kich-
tung der Haupt- und Hori-
zontalkreisbilder; die Lan-
genverhaltnisse in diesen
Richtungen sind resp.
Fig. 2. J,o6er*8 flichentreue Zylinder-
projektion in normaler Lage.
(24) \f(d)\ und
Die zylindrischen Abbildungen eignen sich besonders fur schmale
Zonen, die langs eines Grofikreises verlaufen 40 ).
a) FlacketitrefAe gylindrische Abbildungen. Damit die zylindriscbe
Abbildung flacheutreu wird, ist nach dem VorBtehenden die Funktion
f(S] so zu bestimmen, daft
=-i
wird. Daraus folgt
wobei die Integrationskonstaute gemaft der Annabme fiber die Lage
der y-Achse gleich Null gesetzt ist. Die flachentreaen zylindrischen
Abbildungen sind also durch die Grleichungen :
(26)
MM 4
ca.
40) Einen aaderen Yorschlag zur Abbildung ernes schmalen Streifens eiuet
Rotationsflache , der liluga einer gegen die Meridiane genugend geueigten Geo-
datischen verlaaft, hat F. J. Mtiller gemacht, vgl. Siiddentsche Technikerzeitung
1906, p. 613 und Zeitschr. d. Bayer. Geom. -Ver. 10 (1906), p. 217 (Bemerkungen
dazu von E. Hammer ibid. 11 (1907), p. 229). Die Geodatiscke wird langentreu
-.Us Gerade abgebildet, die Meridiane werden ebenfalla lilngontreu ale Gerade
abgebildet, die derart gegen das Bild der Gcodatischen orieutiert werden, dafi
dio Winkel zwiachen den Meridianen und der Geodatigcheu erhalteu bleiben.
Dieae Abbildungsart erbalt zwar die Orthogonalitat zwischen Meridianen und
Parallelkreisen, iet aber wedar winkel- nocb fliicheutreu.
6. Zyliudrisehe Abbildoiigea. 267
gegeben. tfber die Konstanii c kann man verfJigen, um noch eine
weitere Bediugung zu erfullen.
Setzt man c == 1 y so wird der Grundkreis langentreu abgebildet.
Man erhalt so bei normaler Lage Lamberts flachentreue zylindrisctie
Abbildung mit langentreuem Aquator^ (Fig. 2), die durch folgende
Formeln charakterisiert 1st:
(27) x = sin <p, y*= A,
(28)
Bildet man eine Zone, die sich 15 nordlich und sfldlich vom Aquator
erstreckt, in der angegebenen Weise ab, so liegt der grofite Winkel-
fehler unterhalb 4 und der grofite Langenfehler unterhalb 4%.
Sollen zwei Parallelkreise mit den Breiten <p und <p langen
treu abgebildet werden, so ist c = cos tp Q zu setzen. Soil flir eine
Zone zwischen zwei Parallelkreisen mit den Breiten <p und g>" die
flachentreue zylindriscbe Abbildung mit kleinster Winkelverzerrung
gefunden werden 48 ), so hat man, wenn die Zone ganz auf einer Seite
deg Aquators liegt:
(29) c "I/cos g> cos q>"
zu setzen. Es wird dann, wie aus (24) folgt:
j, cos 9* I. *
" m y?^7 "*
und auf den beiden Grenzparallelkreisen :
/oi\ i /OOB <p . 9>"+ V A v" V
(31) a = I/ ^-r, , sin CD ===== tg - tg ~-~~?~.
v Y cos * 2 e 2
Es wird also bei dieser Wahl des c die Winkelverzerrung auf dea beiden
Grenzparallelkreisen gleich und ein Maximum. Erstreckt sich die Zone
zu beiden Seite n dea Aquators, so hat man die Form ein auf den groficren
Zonenteil, der auf einer Seite des Aquators liegt, aiizuwonden.
Bei Benutzung dieser Projektion kann man eine Zone, die zu
beiden Seiten des Aquators ttber 20 hinausgeht, abbilden, ehe die
oben genannten Fehler auftreten.
b) Winkettreue zylindrische Abbildung. (Mercatorproyektion)**). Soil
die zylindrische Abbildung winkeltreu sein, so ist nach (24) die Be-
41) Die Projektion ist von J. H. Lambert sowohl in normaler wie in trans-
veraaler Lage angegeben, vgl. Land- und HimmelBCharten, p. 181.
42) Tissot-Hammer, p. 100.
43) Mercator vero flFentlichte 1569 in dieser Projektion in normaler Ln-ge ei
Weltkarte, ohne anzugeben, wie er die Parallelkreisabstandc p:efanden
268 VI i, 4. R. Bowgeois-Ph. Furtwdngler Kartographie.
diugung zu erfullen:
(32) /- ,
Man erhalt daraus:
(33) x = c Ign cotg - , y = ccc.
Da beide Koordinaten den Faktor c enthalten, so folgt, daB es, ab-
gesehen vom MaBstab, bei gegebener Lage der Zylinderachse nur
eine winkeltreue zylindrische Abbildung gibt.
In normaler Lage ist die winkeltreue zylindrische Abbildung, bei
der der Aquator langentreu abgebildet wird, durch folgende Fonneln
charakterisiert:
(34) # = lgntgy+ g; y =- i, a = &
In dieser Lage wird sie speziell als Mercatorprojektion bezeichnet,
weil sie zuerst von Mercator 44 ) (G. Kremer) angegeben wurde. Sie
eignet sich besonders, wozu sie auch ersonnen wurde, als Netz fftr
Seekarten, weil sie winkeltreu ist und weil die Loxodromen, die Linien
gleichen Kurses, als gerade Linien abgebildet werden. Spater ist sie
vielfach in Atlanten fur Weltkarten beuutzt worden, wo besser flachen-
treue Abbildungen am Platze gewesen waren.
Das Langenverhaltuis wachst wie secg>, also in boheren Breiten
schnell; am Pol geht die Winkeltreue verloren. Um bequem Langen-
messungen auf einer in Mercatorprojektion gezeichneten Karte vor-
nehmen zu konnen, ist es zweckmaBig, wenn in einer besonderen
Figur die ,,MaBstabe fiir die vergro Berten (wachsenden) Breiten" an
gegeben sind, so daB man aus ihr sofort entnehmen kann, wie lang
irgend eine Entfernung in den verschiedenen Breiten ist.
In transversaler Lage ist die wiukeltreue Zylinderprojektion von
J. H. Lambert**} vorgeschlagen 46 ).
E. Wright hat dann 1699 einen Niiherungsausdruck und H. Bond 1645 den
strengen Ausdruck fiir die Abst2,nde der Parallelkreisbilder angegeben. Man er-
Lalt den Naherungsaufldruck fiiraj^^d), wenn man das Integral Jcosecddi
durch eine endliche Summe approximiert. Karteu in Mercatorprojektion werden
auch als ,,Seekarten lt oder ,,reduzierte Karten" bezeichuet.
44) Historisches iiber Mercator (gest. 1594), den ,,Reformator der Karto
graphie", bei A. Brcusing, Gerhard Kremer, genannt Mercator, der deutsche Geo-
graph, Duisburg 1878.
46) Land- und Himmelacharten, p. 170.
46) Zu geodatischen Zwecken ist diese Projektion von C. F. Guufi bei der
Hannoverschen Gradmessung benutzt (unter Berucksicbtigung der Elliptizitat der
Erdmeridiane). Sie wird daher auch wohl konforme Projektion von Gauju, und die
entsprechenden Koordinaten werden kurz konforme Koordinaten genannt. tjber
7. Konische Abbildnngen. 269
BiJdet man erne Zone, die sich 15 zu beiden Seiten eines GroB-
kreises erstreckt, in der vorstehenden Weise ab, so betragt der maxi-
male Langenfehler etwa 3,5% und deninach die maximale Flachen-
verzerrung rund 7/ .
c) Mittabstandstreue zylindrische Abbildungen (Platfkarten)^).
Wahlt man die Bilder der ParaJlelkreise als ein System aquidistanter
Parallelen, so erhalt man die mittabstandstreuen zylindrischen Ab-
bildungen.
Fiir normale Lage ergibt sich dann, wenn man den Aquator
langentreu abbildet 48 ):
(35) x tp, y = A; A 1, k = sec,(p.
Diese Projektion vrird als quadratische Plattkarte bezeichnet; in
transversaler Lage entsteht die Cassini-Soldnersche Projektion 49 ).
Sollen zwei Parallelkreise in den Breiten + 9>o langentreu ab-
gebildet werden, so entsteht die rechteekige Plattkarte, die in normaler
Lage durch die Beziehungen:
(36) x = y, y Acosgy, h = 1, k = -^
charakterisiert ist.
7. Konische Abbildungen /0 ). Beziigiich der Definition der ko-
nischen Abbildungen sei auf Nr. 4 verwiesen. (Fig. 3).
die anzuwendenden Formeln vgl. VI i, 3 Nr. 24, p. 171, HShere Geodftaie (P. Piz-
zctti) und VI i, 1 Nr. 8d, Niedere Geodasie (C. Meinherts). In schiefachsiger Lage
ist die genannte Projektiou von M. Rosenmund bei der schweizerischen Landes-
vermessung eingefiihrt, vgl. M. Rosen mund, Die Anderung des Projektionssyateins
der Bchweizeriachen liandesvermeesung, Bern 1903.
47) Als Erfinder der Plattkarten gilt Marinus (100 n. Chr.). Er benutzte
rechteekige Plattkarten, die quadratische Plattkarte tritt nach H. Wagner erst
viel spater auf, vgl Lehrbuch der Geographic, 1, Hannover 1903, p. 196.
48) Man kann die Formeln fur die rechtwinkligen Eoordinaten erhalten,
wenn man die entsprechenden Formeln fur die flachen- oder winkeltreuen Ab
bildungen in Reihen nach Potenzen von g> entwickelt und die Eutwicklungen
mit dem orsten Gliede abbricht. EB folgt daraus, dafi dieee Projektionen fur
kleine Werte 9 merklich iibereinstimmen.
49") Zuerst von C. I Cassini bei der 1746 begonnenen Carte de France be-
nutzt. /. v. Soldner hat dann die Entwicklungen vervollstandigt und die Ko-
ordinaten bei der Bayerischen Landesvermessung eingefuhrt (1809). Heute werden
diese Eoordinaten viell ach fur die Zwecke des K a tasters benutzt. Nilheres
hieriiber und iiber die Theorie dieser Koordinaten in VI i, 1 Nr. 8c, Niedere
Geodasie (C. Reinhertz) und VI i, 3 Nr. 22, HShere Geodasie (P. Pizzetti).
50) Kegelprojektionen in normaler Lage sind haufig angewandt; zur Be-
nutzung auderer Lagen, bei denen man sich mehr dem abzubildenden Gebiet an-
passen kann, ist man erst neuerdings ubergegangen. Durchgefflhrte Beispiele
nichtnormaler Kegelprojektiouen findet man bei K. Ziippritz, Zeitechr. Gee.Erdk.
270
VI i, 4. B. Bourgeois-Ph. Furtw&ngler. Kartographie.
Fiihrt man in der Kartenebene Polar koordinaten (o, VO ein, deren
Anfangspunkt im Schnittpunkt der Meridian bilder bei normaler Lage
der Kegelachse liegt, so ist eine konische Abbildung in normaler
Lage durch die Formeln charakterisiert:
wo n eine Konstante bedeutet. Der einfachen Ausdrucksweise wegen
wollen wir im folgenden nor-
male Lage der Abbildung vor-
aussetzen, was nach den frflhe-
ren Ausfiihrungen keine Ein-
schrankung bedeutet. Es ist
dann das Langeuverhaltnis im
Meridian:
(38) A = )
und im Parallel:
(39) * =
Pig. 8. Lambert* flachentreue Kegel- a ) FUichentreue konische Ab-
projektion in normaler Lage. ,.,, TX ., . , . ,
bildunyen. Damit eine konische
Abbildung flachentreu wird, muB die Differentialgleichung:
ert iillt sein. Diese liefert f&r Q, wenn man die Integrationskonstante
mit C bezeichnet:
\ J Y * = \ n
Setzt man (7=1, so wird:
(42) 9 -**p..
In diesera Falle wird der Pol durch einen Punkt auf der Karte ab-
gebildet, wahrend, wenn C von 1 vorschieden 1st, das Bild des Poles
ein Kreis ist. Die letzten Abbildungen bezeichuet man wohl als
Kegdrumpfprojektionen.
Nehmen wir zunachst (7=1 an, so bleibt noch n verfugbar. Soil
eiu Mittelparallel d des abzubildenden Gebietes langentreu abgebildet
werden, so hat man zu setzen:
/4^ rta * 2 8m */*
n
cos 1
Berlin 19 (1884), p. 22; 24 (1889), p. 222; 27 (1892), p. 221: Hammer, Kartenpro-
jektionen, p, 88, 188. Augaben iiber ausgefiilirte Karten in Kegelprojektion bei
1, T> 90, 94, 99. 105, 118.
7. Koniscbe Abbildungen. 271
Man erhalt dann Lamberts fl&chentreue famische Abbildung* 1 ) (Fig. 3),
deren maximale Winkelverzerrung 2ro mit Hilfe der Formel:
(44) tg Hh tg -~ tg -~
zu berechnen ist. Ist etwa d = 40 (Mittelbreite -j- 50) und erstreckt
sich die abzubildende Zone 20 nordlich und siidlich vom Mittelparallel,
so geht die maximale Winkelverzerrung nordlich bis zu 5,4, siidlieh
bis zu 9,3, wahrend der starkste Langenfehler nordlich nicht ganz 5%
und siidlich etwa 8% betragt Man erkennt aus dieser ungleich-
mafiigen Verteilung der Verzerrungen bereits, dafi bezuglich der
Winkelverzerrungen noch nicht das Gflustigste erreicht ist.
Soil die maximale Winkelverzerrung fiir eine bestimmte Zone
zwischen den Parallelkreisen 8 und 8" ein Minimum werden 58 ), so hat
man sie anf den Grenzparallelkreisen gleich zu machen. Man hat dann
/Af -. 9 9" 2sind/2
(45) n = cos -5- cos , o = - _.=
* * 1 / 9 9"
K c03 Y c08 y
zu setzen; die maximale Winkelverzerrung 2 a an den Grenzen be-
rechnet sich nach der Forme! :
/A*\ i O "" O t
Bildet man die oben genannte Zone in der angegebenen Weise ab, so
geht die maximale Winkelverzerrung bis 7,4 und der Langenfehler
bis6V,%.
Noch gunstiger lassen sich die Verzerrungsverhaltnisse gestalten,
wenn man nicht C 1 macht, also eine Kegelrumpfprqjektion wahlt.
Man kann dann zwei Parallelkreise S und ^ langentreu abbilden
(Albers Kegelrumpfprojektion), wenn man setzt:
(47 ) = cos ^- cos ^^ = (cos d -f cos * t ) ,
(48) Q ==*yQ p * -f ~ sin 8 y , wo
(49) ,,-An.in
den Halbmesser des Kreises bedeutet, der den Pol abbildet 58 ).
51) Die Projektion ist in norinaler Lage zuerat von J. H. Lambert angegeben,
Laud- und Hiramelscbarten, p. 186.
62) Ttesot-Hammer, p. 139. K. Zoppritz hat dieae Projektion in transver-
aaler Lage ii ir Afrika rorgeschlagen und eingehend bebandelt, vgl. Zeitacb. Ges.
Erdk. Berlin 19 (1884), p. 22 ; 2fi (1891), p. 145.
58) Zuerst von H 0. Albers angegeben, v. Zachs Monatl. Correspond, f Erd-
272 VI i, 4. A . Bourgeois-Ph. Furtwangkr. Kartographie.
Soil nun eine gegebene Zone zwischen den Parallelkreisen <$
und d" flacbentreu mit kleinstcr Winkelverzerrung durch eine Kegel-
rumpfprojektion abgebildct werden 54 ), so hat man
/-f\\ d"-f <>
(oO) n ===== cos | -
zu setzen; das Maximum H des Langenverhaltnisses h im Meridian
wird dann:
Die beiden Parallelkreise # und 8 lt die langentreu abgebildet werden,
liegen zwischen d und d" und ergeben sich aus den Gleichungen:
(52) ^ T-^ir cos^^ = nJ?.
Hat man d und d^ berechnet, so geben die Formeln (47), (48), (49) p.
Die maximale Winkelverzerrung ftir den ganzen Kartenbereich 2Q
ist durch die Formel:
(53)
gegeben, hangt also nur von der Different (d" d ) ab.
Die Poldistanzen S sind von dem Pol ab zu zahlen, fiir den
<r-h<r <180 ist.
Halbiert der Aquator die gegebene Zone, so erhalt man die in
Nr. 6b erwuhnte flachentreue zylindrische Abbildung mit kleinster
Winkelverzerrung. Ist d = 0, handelt es sich also um Abbildung
einer Kalotte, so wird wicder C = 1, und man kommt auf die oben
erwahnte flachentreue Kegelprojektion mit kleinster Winkelverzerrung
Gleichzeitig ergibt sich, daB die groBten Verzerrungen der flachen-
treuen Kegelrumpfprojektion, die die Zone zwischen den Parallel
kreisen # und 6" mit kleinster Winkelverzerrung abbildet, gleich sind
den Verzerrungen, welche bei der flachentreuen Kegelprojektion mit
kleinster Winkelverzerrung der Kalotte vom spharischen Halbmesser
(d"3 f ) entstehen.
Wendet man die flachentreue Kegelrumpfprojektion mit kleinster
Winkelverzerrung auf die oben genannte Zone zwischen 30 und 70
n. Br. an, BO geht die Winkelverzerrung nur bis 3,6 und der starkste
Langenfehler betragt rund 3%- Die Fehler gehen also gegenflber der
und Himmelskimde 11, p. 97 und 12, p. 450, Gotba 1805. Durchgeffihrte Be-
rechuuugen bei K. Zoppritz, Zeitachr. Ges. Erdk. Berlin 24 (1889), p. 222; 27
(1892), p. 221.
54) Tistot- Hammer, p. 148.
7. Konische Abbildungen. 273
oben erwahnten Kegelprojektion mit kleinster Winkelverzerrung auf
die Halfte hinunter.
b) WinJcellreue Itonisdw Abbildungen. Una winkeltreue konische
Abbilduugeu zu erhaltcn, hat man nach (38), (39) die Differentiai-
gleichung:
,-.. d 9
( 54 ) f
zu integrieren, aus der
(55) 0=
folgt; p a , die Integrationskonstante, bedeutet geometrisch den Radius
des Kreises, der den Aquator (d = 90) abbildet. Anderungen der
Konstanten Q a haben nur auf den MaBstab EinfluB. Der Wert d
entspricht einem Verzweigungspunkt, in dem die Abbildung nicht
mehr winkeltreu ist.
Soil auf den Kegel, der im Parallelkreis d beriihrt, abgebildet
werden, so hat man
$ N 00(i
tg Y
(56) n = cos ^ , 9 = tg d
zu setzen. Die entstehende Abbildung wird als
Iconforme Kegelprojektion 5 *) bezeichnet. Ihre Verzerrungen sind ge-
geben durch:
Soil eine gegebene Zone zwischen den Parallelkreisen d und d"
so abgebildet werden, daB die FJachenverzerrung ein Minimum wird,
so muB das Liingenverhaltnis a auf beiden Grenzparallelkreisen gleich
werden. Man hat demnach zu setzen:
Ign sin ft" Ign sin $
(58) -^ - p-
l gn tg . _ - lgu tg
w 6
Man kann im letzten Falle die Projektion ebenfalls (abgesehen vom
56) Lambert, Land- und Himmelscharten, p. 137; C. F. Gaufi, Allgemeine
Auflosung der Aufgabe usw., p. 16. Die Projektion ist vielfach auf rusaischen
Karten angewandt; vgl. ?.. B. Bull. soc. de geogr. (5) 4 1,1862), p. 185. In Mecklen
burg bedieut man sich bei der LandesvermesBung einer konfonnen Kegelprojektion,
vgl. VI i,3, HShere Geodasie (P. Pizzetti), Nr. 24. In England wird die obige
Projektion bei Berticksichtigung der Erdabplattung als Boolee Proj. bezeichnet.
274 VI i, 4. JR. Bourgeoig-Ph. Furtwangkr. Kartographie.
MaBstab) als Abbildung auf einen Bertthrungskegel auffassen, indem
man d so bestimmt, daB die beiden Werte ffir n aus (58) und (56)
gleich werden.
Bildet man die friiher schon betrachtete Zone zwischen 30 und
70 n. Br. winkeltreu auf den Beriihrungskegel in 50 n. Br. ab, so
wird das Langenverhaltnis in 30, 50 und 70 n. Br. resp. 1,056,
1,000, 1,078. Es 1st in der ganzen Earte grofier als 1 ; durch geeignete
Wahl des Mafistabes kann man es daher erreichen, daB der starkste
Langenfehler unter 4% bleibt. Will man das Minimum der Langen-
und Flachenverzerruflg erzielen, so muB man nach (58) n = 0,783
setzen, was dem Werte <? 38,5 entspricht. Es wird dann das
Langenverhaltnis auf den beiden Grenzparallelkreisen gleich und zwar
gleich 1,065, wenn man es in 51,5 n. Br. gleich 1,000 nimmt. Der
Langen- und Flachenfehler wird also kleiner, als wenn man den
Mittelparallel der Zone langentreu abbildet.
c) Mittabstandslrem Jconische Abbildttngen. Wahlt man die Ab-
stande der Parallelkreisbilder gleich dem spharischen Abstand der
Parallelkreise, so entstehen die mittabstandstreuen konischen Ab-
bildungen. Diese sind durch die Formeln:
(59) $ = nl, g = /3 -j- d
charakterisiert, wo und ft Konstante sind. Die Meridiane werden
also langentreu abgebildet.
Bildet man auf den Kegel ab, der im Parallelkreis d beruhrt
(llingentreue Abbildung eines Mittelparallels), so hat man zu setzen:
(60) = co8* , p = tgd (<J d).
Man erhalt in diesem Falle die gewohidiche Kegelprojektion} , die
folgende Verzerrungen aufweist:
_ Bin<y ft (8
sin*
(61)
fc / *. \ -- ;
sin tf (* d) cos * 6 -{- Bin d
Der Pol wird stets als Kreis abgebildet.
Da in (59) zwei Konstanten verfflgbar sind, kann man zwei Parallel
kreise langentreu abbilden. Sind dies die Parallelkreise 3 1 , d 2 (d 8 > d t )
56) Andere Bezeichmmgen : Einfache odor wahre odor iiquidistante Kegel-
piojektion. Die Abbildung wird auch nach Ptolemaw (130 n. Chr), der sie zu-
erst benutzt haben eoll, ab Ptokmdische Kegelprojektion bezeichnet; vgl. N. Here,
Lehrbnch der Landkartenprojektionen, Leipzig 1886, p. 93.
8. Unechte Kegelprojektionen nebgt Grenzfallen. 275
nnd setzt man e * "**-, d * , so hat man zu nehmen:
(62) n
Es ergibt sich dann J. N. de V Isles Kegelprojektion 61 ), wenn man die
Parallelkreise rf, und &&gt; so wiihlt, dafi sie yon den Randern and der
Mitte der abzubildenden Zone gleich weit abstehen. L. Eider hat
untersucht, wie d 1 und d y zu w ahlen sind, um eine gegebene Zone
mit minim aler Langenverzerrung abzubilden, und seine Untersuchnng
auf eine Karte des russischen Reiches angewandt 58 ).
8. Unechte Kegelprojektioneu nebst Grenzfallen. Einige haufig
benutzte Projektionen sind am einfachsten als Abarten der echten
Kegelprojektionen zu beschreiben, Unter ihnen ist an erster Stelle
a) Die Bonnesche Projection**) (Proj. des Depot de la Guerre
oder der Carte de France) 60 ) zu nenuen, bei der die Bilder der Parallel
kreise wie bei der einfachen mittabstandstreuen Kegelprojektion ge-
zeichnet werden. Der mittlere Meridian wird langentreu als gerade
Linie abgebildet, auf der der gemeinsame Mittelpunkt S der Parallel-
kreisbiider liegt. (Fig. 4.)
1st C der Schnittpunkt des mittleren Parallels mit dem mittleren
Meridian, so gilt:
(63) CS = Ecotg(p ,
wo <p die Breite des mittleren Parallels auf dem Ellipsoid und E den
Kriimmungsradius des Meridians in C bezeichnet. Die tibrigen Meri-
67) In dieser Projektion verOffentlichte zuerst J. N. de I Isle 1745 eine Karte
von Ru Bland. Die Abbildungaart ist falschlich M creator zngeBchrieben, vgl.
H. Wagner, Lehrbuch der Geographie, 7. Anfl. Hannover 1903, p. 205. Der
Irrtum 1st dadurch entatanden, daB Mercator, nm die Schwierigkeit der Meridian-
zeichnung bei der gewShnlichen Kegelprojektion, -wenn der Schnittpnnkt der
Meridiane auBerhalb dea Kartenblattes liegt, zu beseitigen, zwei Parallelkreise
langentreu einteilte und entsprechende Teilpunkto geradlinig verband. Die Lage
d.er beiden Parallelkreise wahlte er analog wie De I Isle. Die so entstehende
Projektion, die keine ecbte Kegelprojektion mehr ist, veil die Meridianbilder
sich nicht in einem Punkte schneiden und die Winkel zwischen Meridian- and
Parallelkreisbildern nicht uberall Rechte sind, wird wohl als ,,vereinfachtef c oder
,,modifizierte" Kegelprojektion bezeichnet (auch Mercators Kegelprojektion) und
ist haufiger benutzt.
68) Petrop. Acad. Acta 1757, 1, p. 143; Tgl. auch V. Witkowski, Izv. Rnaak.
G. ObS6 36 (1900), p. 467.
69) Die Projektion heifit nach B. Bonne (1752); eie wird aucb nach Mercator
genannt, der sie schon angewandt hat.
60) Die Nainen riihren daher, weil die topographiache Karte von Frankreich
(18181878) in 1:80000 die geuannte Projektion benutzt.
276
VI i, 4. R. Bourgeois- Pli. Furtwangler. Kartographie.
diane werden punktweise konstruiert, indem man die Parallelkreis-
bogen mit ihren wahren Langen auftragt (langentreue Abbildung der
Parallelkreise). Die Meridianbilder schneiden sich
genUgend fortgesetzt in einem Punkte P des
Mittelmeridians, so daB CP gleich dem ent-
sprechenden Bogen auf der Kugel oder dem Ellip
soid ist. Aus der Beschreibung der Projektion
geht ohne weiteres hervor, daB sie flachentreu
ist 61 ). Winkeltreue ist nur auf dem mittleren
Meridian und Parallel vorhanden; je weiter man
sich von ihnen entfernt, urn so starker werden
die Winkelanderungen. Der Winkel zwischen dem
Meridian- und Parallelkreisbild in einem beliebigen
Punkte M der Karte ist leicht anzugeben. Be-
zeichnet & die Differenz dieses Winkels gegeu einen Rechten, <p die
Breite des Zentralpunktes C, A die Lange von M in bezug auf den
mittleren Meridian, d die Lange des Bogens CJ und a den Radius
des Meridians, wobei dieser ohne merklichen Fehler als kreisformig
angenoinmen werden kann, so gilt:
Fig. 4.
(64)
tg = A sin (<jp -f --)
a cotg (p,,
Mit Hilfe des Winkels & lassen sich die Verzerrungen in folgender
Weise charakterisieren :
(65)
Der Wert von
* = sec
ft=l, tga>--itg0, 8=1.
wird fur d Null und bleibt immer sehr klein,
so lange A nnd den Betrag von 9 bis 10 nicht Uberschreiten. wie
es bei der Karte von Frankreich der Fall ist. Das Maximum von &
an den Randern der Karte von Frankreich betragt nur 18 . Infolge
dieser geringen Winkelanderungen sind auch die Langenfehler nicht
betrachtlich, so daB man bei Gebieten von der Grrb Be Frankreichs eine
Karte in Z?wwe3cher Projektion mit grofier Annaherung als ein ge-
treues Bild der Wirklichkeit ansehen kann.
Fiir die Karte von Frankreich ist der Parallelkreis 50 als mitt-
61) Die Flachentreue der Bonneechen Projektion scheint erat spSter erkannt
zu eein; vgl. K. B. Mollu>eide t v. Zac/ieMonatl. Corresp. f. Erd- und Himmelakunde
13 (1806), p. 144 und H C. Albert, ibid. 11 (1805), p. Ill; in Frankreich war dieae
Eigenschaft wohl schon vorher bekaunt
8. Unechte Kegelprojektionen nebst Grenzfallen.
277
lerer Parallel und der Meridian von Paris als Hauptmeridian gewiihlt 62 ).
Berechnet man uuter dieser Annahrae den Radius SC Jt cotg 50.
so erhiilt man fur den MaBstab 1 : 80000 ungef ahr 50 m. Es ist klar,
dafi man Kreise mit solchen Radien nicht kontinuierlich ziehen kann.
Man berechnet desbalb fur eine Anzahl geeignet verteilter Schnifct-
punkte der Meridian- und Parallelkreisbilder rechtwinklige Koordinaten
und verbindet diese Punkte dann geradlinig. Die Rechnung ist in
der Weise durchgefiihrt, daB zwischen benachbarten Scbnittpunkten
je 0,1 Abstand in Liinge und Breite liegt.
JSimmt man (Fig. 5) als Koordinatenanfang den Zentralpunkt C,
als 2/-Achse den Hauptmeridian und
als #-Achse die zuin Hauptrneridijin
senkrechte Tangente des Parallel kreises
in C, so erhalt man fur die recht-
winkligen Koordinaten eines Karten-
punktes M die Werte:
M Q x = A sin v,
MP = y = J^ cotg q) Q A cos v, wo
A = 11 cotg qp d
der Radius SM 1st. Ferner bedeuteu:
rp Q und R resp. die Breite von C und
den Kriimmungsradius des Meridians
in 6 ; d ist der Bogen Cq und v der
Winkel CSM. Man erhalt den letzteren aus der Formel:
R .
V = -r ACOS<jp,
in der qp ; A und It resp. die Breite und Lange von M und den
Kriimmungsradius des Meridians in M bedeuten. Man kann auf diesem
Wege die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes, dessen geo-
graphischo Koordiimten aus der Triangulation bekannt sind, berechnen.
Man fiilirt indessen diese Rechnung fur die geodatischen Punkte nicht
durch, sondern veriahrt, was bequemer ist, in folgender Weise. .Man
berechnet direkt die rechtwirikJigen Koordinaten der Schnittpunkte
der Meridian- und Parallelkreisbilder von Grad zu Grad und interpoliert
dann streng die Werte dieser Koordinateu von Zehntel zu Zelmtel-
5 -
62) Bei dieser Wahl Vietriigt die grSfite Winlcelverzerruug 18 , die grofito
Langenverzerrung y sgo . Nach A. Tissot (vgl, Tissvt- Hammer, p. H7) waren dieso
Werte anf 10,5 und Y fl50 hinuutergegangea, \ve. om 46,6 ale Breite dea raitilecen
Parallels angenommen ware.
Knoyklop. d. math. Wia^ouscb, VI 1 19
278 VI i, 4. JR. Bourgeois- Ph. Furtwangler. Kartographie.
grad. Man erhalt auf diese Weise Tafeln, die fur Frankreich von
Plessis berechnet sind. tTbertragt man nun die Koordinaten auf das
Kartenblatt und verbindet die erhaltenen Punkte geradlinig, so erhalt
man ein praktisch geniigend genaues Gradnetz.
Die Jfowwesche Projektion bat lange Zeit eine dominierende Stellung
eingenommen, bis sie zuerst von A. Tissot auf Grund seiner Unter-
suchungen fiber die Verzerrungen und spater yon anderen (speziell
von K. Zoppritz) abfallig kritisiert wurde 68 ). Fur groBe Gebiete ist die
genannte Projektion wegen der stark anwachsenden Winkelanderungen
zweifellos ungeeignet. Beztiglich ihrer Verwendbarkeit fur kleinere
Gebiete herrscht nicht vollige Ubereinstiramung. Vom praktischen
Gesichtspunkte aus, bei dem die Fehler innerhalb gewisser Grenzen
als irrelevant betrachtet werden, lafit sich nicht viel gegen ihre Be-
nutzung einwenden, allerdings auch nichts Besonderes zu ihren Gunsten
anfiihren. Fflr kleinere Gebiete ist die Wahl der Projektionsart iiber-
haupt von geringerer Bedeutung oder, was vielleicht richtiger gesagt
ist, f&r kleinere Gebiete stimmen eine ganze Anzahl von Projektionen
bei der praktisch erreichbaren Genauigkeit der Kartenherstellung iiber-
ein. 64 ). Stellt man sich auf den Strandpxinkt, unter sonst gleichwertigen
Verhaltnissen stets die Projektion mit den kleineren Verzernmgen zu
wahlen, auch wenn die Verzernmgen praktisch nicht in Betracht
kommen, so ist die Bonneache Projektion auch ffir kleinere Gebiete
im aUgemeinen zu verwerfen.
b) Die Sanson-Flamsieedscke Pmjektion, LaSt man bei der Bonne-
schen Projektion den Kegel in einen Zylinder Ubergehen, so erhalt
man als Grenzfall die Sanson-Flamstccdsvhe Projektion 65 ). Diese Pro-
63) Vgl. TisnolrHammer, p. 37, 41, 44, 45; E. Rammer., Leop. N. A. 71 (1898)
Nr. 9; Hammer, Kartenprojekfcionen, p. 108; Zoppritz-Blitdau 1, p. 168, 158, 169.
A. Blwiau hat zum Vergleicfe die Karte Asiens in 1 : 40 Mill in JSowncBcher und
fiiichentrnvier Azimutalprojektion aaf demseTben Blatt eatworfen, ygl. Zeitachr,
Gea. Erdk. Berlin 26 (1890).
64) Sebr instruktiv ist in diesor Bezifthung eine Tafel bei M. Roscnmmid,
Die Anderung dee Projektioussyetecxs der schweizerischen Landesvcrrnessuug,
Bern 1908, auf der 5 vorschiedeno Gradnetze fib: die Schweiz entworfeu sind,
uamlich in winkeltreuer nonnaler Ivegelprojektion, in J?o>ssech6r Projektion, in
winkeltrcaer transversaler und schielacbsiger Zylinderprojektion und in stereo-
graphischer Projoktion. Dabei ist zu beacbten, daB die Abweichungen der
tibrigen Projektionen gegenuber der Kegelprojektion 500-faeh ubertrieben sincl.
66) Die Projektion findet sicb bereits in Mercators Atlas (1606) bei einer
Katie von Stidamerika und ist darum richtiger als Mercatcr- 8ansonBQh& Projektion
su bezeichnen. N. Sanson hat sic dann 1660 syiitematigch fur Erdteil- und
Landerkazien benutzt, J. Flamsited IIM fir die Karteu seines Atlas coeleetie.
Seit dieser Zeit hat die Projektion iieben der J3o7iwcschen die Atlaaten beberrscht
8. Unechte Kegelprojektionen nebet Grenxfallen. 279
jektion 1st daher ebenfalls flachentreu; die Meridianbilder sind Sinus-
knrven (sinusoidcde Pr.), wie sicb aus den folgenden Gleichungen fur
das Bild ernes Meridians mit der Langendifferenz A gegen den Mittel-
meridian ergibt (Erdradius 1):
(66) y = 9> o?== A cos 9.
Die Abplattung kann man berucksichtigen, indem man den Mittel-
meridian entsprechend den wachsenden Breitengraden auf dem El
lipsoid einteilt 66 ).
c) Flachentrcue Projektionen, bei denen die ParaUelkreise durch
tin System von parallelen Geraden abgebildet werden. Ebenso wie die
Sansonsche Projektion haben eine ganze Anzahl auderer Projektionen
von den ecnt zylindrischen Abbildungen die Eigenscbaft ubernommen,
die ParaUelkreise durch ein System yon parallelen Geraden abzu-
bilden 67 ). Unter diesen sind besonders die flachentreuen Entwiirfe zu
nennen, die man offenbar immer noch in beliebiger Anzabl herstellen
kann. Bildet man namlich znnachst die ParaUelkreise durch ein System
paralleler Geraden ab, deren Abstande ein beliebiges Gesetz befolgen,
zieht dann eine Gerade oder eine beliebige Kurve als Bild des mitt-
leren Meridians durch sie bindurch, so sind nunmehr erst durch die
Forderung der Flachentreue die Bilder aller ftbrigen Meridiane fest-
gelegt. Man kann auf dem angegebenen Wege offenbar nicht nur
eine Halbkugel, sondern auch die ganze Erdoberflache in einer Karte
darstellen.
Unter den hierhergehorigen Projektionen kann man mehrere
Gruppen unterscheiden:
1) Die Meridiane sind gerade Linien; hierhin gehort die von
E. Collignon**) 1865 angegebene Projektion, bei der die Halbkugel
flachentreu auf ein Quadrat abgebildet wird 69 ).
(besonders fiir Karten von Afrika, Siidamerika, u. a.). tJber ibre Benutzung gilt
dasselbe, was oben fur die Bonne&che Projektion ausgefuhrt wurde.
66) Ein zweiter Urenzfall der .Bonneechen Pr., die Stab-Wemerache Pr.,
ergibt sicb, wenn man den Kegel zur Ebene werdea laflt, also die Parallelkreia-
bilder wie bei der mittabstandstrenen azimutalen Pr. in normaler Lage zeichnet.
Diese Projektion, die 1514 von J, Werner nach den Angaben von J. Stab aus-
gefiibrfc wurde, ist die erste flacbentreu (allerdings wohl unabsichtiich) hergestellte
Abbildung. Sie hat uie gr^Bere Bedeutung erlangt.
<37) Vgl. Tissot-Hammer, p. 105119.
68) J. ec. polytecbn. 24 (1865), p. 73.
69) In dieae Kategorie gehort anch Eckerta Trapeznetz, bei dem die Erd
oberflache anf ein Doppeltrapez abgebildet wird, BO daB die eineni Pol ent-
sprechende Strecke gleicli der balbeu Aquatoriange wird. Vgl. M. Eckert,
Peterm. Mitt. 1906, p. 97.
19*
280 VI i, 4. jR. Bowgeois-Ph. Fitrtwdngler. Kartographie.
2) Die Meridiane sind Elliytsen; wird speziell die Halbkugel auf
einen Kreis flachentreu abgebildet, so erhalt man die von K. B. Mott-
weide) 1805 angegebene Projektion, die spater unter dem Namen
, ; homalographisehe Projektion" von J. Babinei empfohlen wurde und
seitdem fur Halbkugel- und Erdkarten ofters angewaadt ist 71 ).
3) Die Meridiane sind Sinuskurven. Diese Gruppe von Projek
tionen wird durch die Formeln dargestellt:
(67 ) y = ny, x = cosqp.
Fiir n = 1 erhalt man die oben besprochene Sansonache Projektion;
der Wert
* " - ,
-1/
1 4
macht die maximale Winkelverzerrung zu einem Minimum 72 ).
LaBt man die Bedingung der Flachentreue fallen, so steigt die
Anzahl der Moglichkeiten noch; die betreftenden Abbildungen haben
aber geringere Bedeutung 7S ).
d) Die PlanispMre von Aitow} und verwandie Entwiirfe^ ). Als
Modifikation ernes azimutalen Entwurfes sei noch die Planisphare von
Aiiow erwahnt. Aitow hat, um ein Bild der Vollkugel u erhalten,
das Bild einer Halbkugel in mittabstandstreuer transversaler Azimutal
projektion in der Weise verandert, daB er alle in bezug auf den Aquator
genommenen Ordinaten auf die Halfte verkleinerte und die Bezifferung
der Meridianbilder verdoppelte (Ausfiihrung zweier affiner Trans-
formationen in bezug auf die beiden durch den Karteumittelpunkt
gehenden Symmetrielinien als Achsen). Die Vollkugel wird dann auf
eine Ellipse mit dem Achsen verhaltnis 2:1 abgebildet.
Das Verfahren ist auch auf andere Projektionen anwendbar, zer-
stort aber im allgenieinen die Eigenschaften der nrspriinglichen Pro
jektion, nur Fiachentreue bleibt erhalten. Wendet man die angegebene
70) v. Zachs Monatl. Corresp. 12 (1806), p. 162.
71) Die Parallelkreisabstande sind fu r je 0,5 Abstand voii ./. Bourdin be-
rechnet, vgl. die Tabelle Lei Germain, Traite des projections, p. 321.
72) Tissot- Hammer, p. 113. Ein anderes Net/ mit krommlinigen Meridianen
iat Eckerts Kreisringnetz, bei dem die einem Po). entsprechtmde Strecke ebenso
wie boi detn in Fufin. 69 erwiihnten Trapeznetz gleich der halben Aquatorlange
genommen ist; vgl. Zitat in FuSa. 69.
73) Verschiedene Projektionen dieser Art sind bei Tissot- Hammer, p. 114,
genaunt und bezuglich ihrer Verzerrungen untersucht. Hietoiifich sind die trapex-
maschigen Karten von Interesse, die schon frvih ais Abanderungen der Platt-
karten benutzt eind.
74) Nouv. Geogr. 1892, p. 89.
9. Polykonische Projektionen. 281
Transformation auf die flachentreue Aziinutalprojektion in transversaler
Lage an, so ergibt sich die flachentreue Planisphare von Hammer}.
9. Folykonische Projektionen. Die polykonischen Abbildungen
konnen als Erweiterungen der echtkonischen Abbildungen aufgefaBt
werden. Wahrend bei diesen auf einen einzigen Kegel abgebildet
wird, den man dann auf die Ebene abwickelt, wird bei den poly-
kouischen Abbildungen auf ein ganzes System von Kegeln abgebildet
und zwar wird auf jeden Kegel, ween wir uns auf die normale Lage
beschranken, ein Streifen zwischen zwei Parallelkreisen abgebildet.
Damit bei der Abwicklung dieser Streifen keine Liickeu entstehen,
niiissen die Streifen unendlichschmal und die Kegel stetig veriinderlich
angenommen werden. Man definiert die polykonischen Abbildungen
am einfachsten durch die Forderung, daB die Parallelkreise durch ein
System von Kreisen abgebildet werden, deren Mittelpunkte auf einer
geraden Linie liegen. A. Tissot) hat auf Grund dieser Definition
einige allgemeine Klassen der polykonischen Entwiirfe, speziell der
fiachentreuen und winkeltreuen, aufgesucht. Praktisch verwendet sind
bisher nur zwei polykonische Abbildungen, die weder flachen- noch
winkeltreu sind, namlich
a) die gewohnliche polykonische Projection 1 1 ) (amerikanische poly
konische Pr., Pr. der Coast Survey) und
b) die rechtschnittige polykonisdie Projection des engtischen War
Office).
Bei der gewohnlichen polykonischen Projektion wird zunachst
der Mittelmeridian geradlinig abgebildet und iangentreu eingeteilt; die
Parallelkreise werden dann mit den Halbmessern cotg^j gezogen und
zur Abbildung der iibrigen Meridiane Iangentreu eingeteilt. Die
Winkel zwischen Parallel und Meridian sind nur auf dem Mittel
meridian Rechte. Um diese durchgangig zu rechten Winkeln zu
machen, verzichtet das englische War Office bei seiner Projektion auf
langentreue Einteilung der Parallelkreise. Es wird nur der Aquator
75) E. Hammer, Peterra. Mitt. 1892, Heft 4; vgl. auch M. Fiorini, Mem. Soe,
Geogr. Itai. 5(1895), p. 31.
76) Tissot- Hammer, p. 156.
77) Die Projektion wird bei der amerikamsehen Kustenvermesuung (Coast
survey office) benutzt. Tafeln zur leichteren Konstruktion des Netzes bei J. E.
Hilgerd, Pteport of the Superintend. Coast surrey 1859, Appendix 33, p. 328; Pro
jection tables of the U. S. Navy, Washington 18(59; JR. 8. Woodward, Smithsonian
Geographical Tables, Washington 1894.
78) H. James, Journ. Eoy. Geogr. Soc. 30 (1860), p. 106.
282 "VI i, 4- -B- Bourgeois-Ph Furtwangler. Kartographie.
langentreu eingeteilt, und die Meridiane werden dann als orthogonale
Trajektorien des Systems der Parailelkreisbilder abgebildet.
Soil eine polykonische Projektion flachentreu und rechtschnittig
sein, so mnB sie zu den echtkonisehen Projektionen gehoren.
10. Polyederprojektion 79 ). Gradabteilungskarten. Will man ein
groBeres Gebiet (z. B. Deutschland oder Frankreicli) in groBeui MaB-
stabe (etwa ^f m bis ^ m } darstellen, so reicbt dazu ein handliches
Kartenblatt nicht aus, man inuB vielmehr die ganze Karte in mehrere
Blatter zerschneiden. Man kann dann die Forderung aufstellen, daB
die Gesamtheit der Blatter sieh so zusammenlegen laBt, daB sie Itickenlos
einen ebenen Bereich iiberdeckeu und daB die anfiere Grenze des ab-
gebildeten Gebiets als geschlossene Kurve stetig abgebildet wird, m.
a. W. daB man sich die einzelnen Blatter durch Zerscnneiden eines
groBen Blattea entstanden denken kann. Die Erfiillung dieser Forde
rung bat praktisch keine erheblicbe Bedeutung 80 ), man ist deshalb
dazu iibergegangen, sie ganz fallen zu lassen und jedes einzelne Blatt
als eine selbstandige Karte aufzufassen 81 ). Das auf dem einzelnen
Blatt abzubildende Gebiet ist dann so klein, daB es praktisch als eben
betracbtet werden kann; das Kartenblatt kann deshalb in diesein Falle
praktisch als ein grundrifigetreues Abbild der Wirklichkeit angesehen
werden. Als Grenzen eines Kartenblattes pflegt man Meridiane und
Parallelkreise mit runder Bezifferung zu wahlen (Gradabteilungskarten);
so bilden z. B. bei der Karte des Deutschen Reichs, der von Frank-
reich und Osterreich-Ungarn in 1 : 100000 je acht Blatter ein Gradfeld,
und zwar in der Weise, duB jedes Blatt in Hohe 15 Minuten geo-
graphischer Breite und in der Breite 30 Minuten geographischer Lange
79) Diese Projektion ist zuerst syBtematiech vom Kgl. PreuB. topograph.
Bureau benutzt und wird deshalb ale PreuBische Polyederprojektion bezeichnet.
80) Die genaue Zusammenlegbarkeit wiirde von Vorteil sein, wenn es mog-
lich ware, aus einer Karte groBen MaBstabea einfach durch Verkleinern eine
solche kleinen MaBstabes herzustellen. Das ist aber unmoglich, weil der ,,Inhalt"
einer Karte kleinen Mafiatabes notwendig ein geringerer ist als der einer Karte
groBen MaBstabes; es muB deshalb bei der Heretellung der ersten ,,generalisiert"
werden, was einfaches mechanischea Verkleinern ausschlieBt. Auch fur Messungen
auf der Karte ist Zuaammenlegbarkeit nicht von erheblicher Bedeutung. Denn
eine kleine Anzahl von Blattem (etwa 4 oder 9) laasen sich in jedem Falle prak
tisch genau zusammenlegeu ; bei Measungen uber eine groBere Anzahl von Slattern
hinweg wachst aber auch die Messungsungenauigkeit.
81) Dies geechieht z. B. bei der Karte des Deutschen Reiches in 1:100000,
der Carte de la France, dresse e par le service vicinal in 1:100000, der Spezial-
karte der Osterreich-Ungarischen Monarchic in 1:75000, der Garta del Regno
d ltalia in 1:100000, der Mapa de Espana in 1:50000 u. a.
II. Kreisnetze. 283
umfaJBt. Um das Netz fur ein Blatt zu erhalten, entnimmt man die
Langen der Meridian- und Parajlelkreisstiicke, welche die Blattgrenzen
bilden, aus Tabellen 82 ), verkleinert sie in dem angenommenen MaBstab
und konstruiert dann ein geradliniges gieiehschenkliges Trapez aus
diesen Stiicken. Alle ttbrigen Meridian- und Parallelkreisbilder werden
dann ebenfaUs geradlinig eingetragen, indem man die Grenzen in
gleiche Teile teilt.
Obwohl es, wie aue dem Vorstehenden hervorgeht, praktisch irre
levant ist, in welcher Projektion man sich das einzelne Kartenblatt
gezeichnet denkt, weil die Verzermngen von der Ordnung der Zeichen*
ungenauigkeit sind, kaim man sich doch etwa vorstellen, daB <Ler *b-
zubildenden Flache ein Polyeder entsprechend den einzelnen Karten
blattern einbesohrieben sei und daB die einzelnen Gebiete orthogonal
auf die Polyederflachen projiziert werden. Aus dieser Vorstellungs-
weise ist der Name Polyederprojektion entstanden. Zweckmafiiger ist
es noch, das einzelne Blatt als echte Kegelprqjektion aufzufassen 88 ),
weil sich dann die Blatter einer Zone luckenlos zusammenlegen lassen,
wahrend die Zonen gegeneinander klaffen.
Die in dieser Nummer geschilderte Methode, das Kartennetz fur
Karten groBen MaBstabes zu entwerfen, hat ; wie noch einmal zu-
sammenfassend gesagt sei, den praktisch bedeutungsloeen Nachteil,
dafi sich die einzelnen Blatter nieht liickenlos zu einem groBen Blatte
zusammenlegen lassen, sie hat dagegen den erheblichen Vorteil, daB
die Verzerrungen auf alien Blattern praktisch zu Null werden, wahrend
bei einer genau zusammenlegbaren Karte die Verzerrungen af den
einzelnen Blattern ungleich und ffir eine Anzahl von Blatteru {im
allgemeinen die Randblatter) betraehtlich werden.
11. Kreinnetze. Unter Kreisnetzen sind, wie der Name sagt,
solche Kartennetze zu verstehen, bei denen samtliche Mendiane uad
Parallelkreise durch Kreise abgebildet werden. J. H. Latnbert^) hat
sich bereits mit der Aufgabe beschaftigt, alle winkeUreuen Kreignetze
82) H. Wagner, Geogr. Jahrb. 3 (1870), p. XXXTTT. Diesen, wie fiberhaupt
den moisten Tabellen fur kartographische Z wecke liegen die Dimensioneu dea
JBewefschen Erdellipaoids zugrunde. Vgl. VI i, 8 Hohere Geodasie (P. Pizzetti),
Nr. 9.
83) Bei den MeBtiachblattera in 1:26000 der Freofiischen Landeaaufnahme
wird die Krammung der Parallelkreiebilder bei der Eintragang der trigono-
raetrischcji Punkte berucksichtigt, die GrenslLnien selbst werden gezade aus-
gezogen; vgl. Tnetniktioa fiar die Topographen der topogr. Abteilung der K. Preufi.
Landesaufnahiae, Heft I, Berlin Id 70.
84) Land- uad Himmelecbarten, p. 148 = Ostwalds Kiass. d. exakt. Wisa.
Nr. fA, p 81.
284 VI i, 4. R. Bourgeois- Ph. Furtwangler. Kartographie.
aufzusuchen. Er hat diese aucli bestimmt, aber seine Entwicklungen
sind nicht gentigend streng und allgemein. Eingehender und von
allgemeineren Gesichtspunkten aus hat sich dann J. L. de Lagrange**)
rait der Aufgabe beschaftigt und eine beliebige Rotationsflache winkel-
treu BO auf die Ebene abgebildet, daB den Meridianen und Paralle]-
kreisen Kreise entsprechen.
Man kann zunachst die Aufgabe stellen, alle rechtschnittigeu
Kreisnetze zu bestimmen. Stellt man noch die Bedingung, daB jedew,
Punkt der Kugel ein bestimmter Punkt der Ebene entsprechen soil,
so werden die Meridiane durch eine Kreisschar abgebildet, deren
Kreise samtlich darch zwei feste Punkte, die Bilder der Erdpole,
gehen. Die orthogonalen Trajektorien dieser Kreisschar, die Bilder
der Parallelkreise, sind dann wieder Kreise, deren Mittelpunkte auf
der Verbindungslinie der Polbiider liegen. Urn unter diesen Kreis-
netzen die winkeltreuen zu bekommen, hat man dafiir zu sorgen, daB
die Langenverhaltniase im Meridian und Parallel gleich werden. Ale
spezielle Falle ergeben sich die stereographische und die Mercator-
projektion. Lagrange hat vorgeschlagen, die beiden verfiigbaren Kon-
stanten in den besprochenen winkeltreuen Kreisnetzen so zu bestimnien,
daB die Ableitung des Langenverhaltnisses nach geographischer Lange
und Breite im Mittelpunkt der Karte verschwindet, damit das Langen-
verhaltnis sich vom Mittelpunkt der Karte aus moglichst langsain andert.
Eine zweite Serie von rechtschnittigen und daraus von winkel
treuen Kreisnetzen erhalt man, wenn man umgekehrt die erste Kreis
schar durch die beiden festen Punkte den Parallelkreisen und die
orthogonalen Trajektorien den Meridianen entsprechen laBt.
D. A. Grave hat alle flachentreuen Kreisnetze ermittelt 86 ).
A. Tissot 6T ) hat noch andere rechtschnittige und auch schief-
schnittige Kreisnetze, ferner Netze mit Kreismeridianen betrachtet 88 ).
85) Mem. Acad. Berlin 1779, p. 161210 = Osttcalds Klass. d. exakt. Wiss.
Nr. 55; vgl. auch 0. Bonnet, 3. de math. (1) 17 (1852), p. 301 (Paris These d astr.).
86) fjber die Grundaufgaben der mathematischen Theorie der Karten-
projektion, Petersburg 1896 (roasisch); J. de math. (5) 2 (1896), p. 317; I e"tergb.
Acad. Sci. Bull. 1894, p. 73
87) Tissot-Hawmcr, p. 165-189.
88) Zu den Kreisnetzen gehort anch die Projektion von Nicolosi (auch
(rlobularprojektian oder englische Pr. genamit), in der dieser eine Reihe von
Karten (Rom 1660) herausgab. Aquator und Nullmeridian werdeu langentreu
als flerade abgebildet; die Parallelkreisbildcr sind Kreise, die den Grenzmeridiau
in gleiche Teile teileii. Eine Abanderung dieser Projektion ist von NeU vor
geschlagen: Vorechlag zu einer neueu Chartenprojekiion, Heidelberg 1882: vgl.
auch Deles, Mitt. Vcr. Erdk. Leipzig 1882, p. 19. Bei dem Nellxchev Kreisnete
12. Projektion mit geringster Langenverzerrung nach Tissot. 285
12. Projektion mit geringster Langenverzerrung nach Tissot. 89 ).
Um eine der besonderen Gestalt eines Landes sich anpassende Pro
jektion mit moglichst geringen Verzerrungen zu erhalten, kann man
bei nicht zu groBen Landern (etwa von der GroBe Frankreichs) nach
Tissot auf folgende Weise verfahren. Man bestimme die Lage eines
beliebigen Punktes (tp, A) eines Landes in bezug auf einen geeignet
gewahlten Nullpunkt <JP O , A (fiber die Wahl desselben wird sp ater
naheres angegeben) durch den Meridianbogen ^
s und Parallelkreisbogen t (Fig. 6), wobei als
Langeneinheit der Aquatorialhalbmesser der Erde \
gilt; s und t sind dann kleine GroBen (etwa \g
klelner als Y 10 ), die als GroBen 1. Ordnung gelten
soHen. Tissot setzt nun fur die rechtwinkligen - -^ *f ^ __ - **
Koordiuaten x, y des Biidpunktes von (<p, A) p^g 6
ganze rationale Funktionen 3. Grades in s und t
an, die er so zu bestimmen sueht, daB die Abbildung moglichst giinstig
wird. Es wird fe^tgesetzt, daB die y-Achse Tangente an das Bild
des Nullraeridians im Nullpunkte wird; ferner wird verlangt, daB die
Abweichungen der Langeuverhaltnisse h und 7c im Meridian und
Parallel von 1 von zweiter Ordnung werden, und daB die Differenz
7i k und die Abweichung des Winkels zwischen Meridian und Parallel-
kreis von jr/2 von dritter Ordnung werden. (Es ist nicht moglich,
gleichzeitig 1 h und 1 k klein von dritter Ordnuug zu machen.)
Bei Erfullung dieser Forderungen ergibt sich:
* = + v- ^ 2 -f- 4 s3 - Ss *t + Cs? -f * t*,
(68) r
wo A, B, C drei verfiigbare Konstanten bedeuteu, zwischeii denen aber
die Beziehung:
2 (A + C ) cos 2 g) = cos 2<p
bestehen muB. (p ist die Breite des zu wahlenden Nullpunktes, fiber
die ebenfalls noch verffigt werden kann; r und r sind die Halbmesser
der Parallelkreise unter den Breiten qp und <p . Die Langenverzerrung
ist dann in alien Richtungen fur einen bestimmten Punkt bis auf
liegen die Kreiso genavi in der Mitte zwischen dea entsprechenden Kieisen der
Globularprojektion und der stereographischen Projektion in trans versaler Lage.
Karten in dieser Projektion findet man in dem method. Sclmlatlas von Sydou:-
Wagn&r, z. B. Blatt 6. Erwahnt sei endlich das Kreisnetz von A. J. van der
Grinten, Peterm. Mitt. 1904, p. 165 und Aicer. J. sci. 19 (1906), p. 867.
89) Tissoi- Hammer, p. 2345.
286 VI i, 4. E. Boturgeois-Ph. FurtwangUr. Kartographie.
GroBen dritter Ordnung gleich groB und hat den Wert:
(69) e = As* 2Bst -f ( A)t*.
Die Konstanten A, B und die Lage des Nullpunktes sollen nun nach
Tissot so bestiinmt werden, daB der groBte Wert von e im Bereich
der Karte im Minimum wird.
Die Linien gleicher Verzerrung sind, wie aus (69) folgt, je nach
der Wahl von A und B Ellipsen, Hyperbeln oder Paare von par-
allelen Geraden; praktischkommen meist bei Erfiillung der vorstehenden
Forderung nur Ellipsen in Betracht. Tissot hat ein mechanisches
Verfahren angegeben, ura in einfacher Weise die verfiigbaren GroBen
zu ermitteln. Man stelle sich Ellipsen mit verschiedenen Achsen-
verhaltnissen, etwa ftir die Werte 0; 7 1; 0, 2; . . .; 1, dar und verschaffe
sich von jeder Sorte eine Anzahl ahnlicher Ellipsen von verschiedener
GroBe. Man zeichnet nun eine Hilfskarte des abzubildenden Landes und
sucht zuerst von jeder Sorte Ellipsen diejenige kleinste aus, die bei
geeigneter Lage das Land gerade iiberdeckt. Unter diesen Deckellipsen
wahlt man dann diejenige, fur die der den Achsenwinkel halbierende
Durchmesser den kleinsten Wert hat. Der Mittelpunkt dieser Ellipse,
wenn sie das abzubildende Land deckt, bestimmt dann den Nullpunkt, die
Lage und GroBe ihrer Achsen die verfiigbaren Konstanten. Ein ana-
loges Verfahren ware auch mit Hyperbeln und Paaren paralleler Ge
raden anzustelleu; es ist aber in praxi von vornherein meistens zu
iibersehen, daB dieae Kurven zu schlechteren Resultaten als die El
lipsen ftihren.
Ist das abzubildende Land ungefahr symmetrisch zu einem Meri
dian oder Parallel, so vereinfachen sich die angegebenen Formeln; man
hat dann bei dem beschriebenen mechanischen Verfahren die groBe
Achse der Ellipse senkrecht zu der Symmetrielinie des Landes zu
stellen. Ergibt sich auBerdem aus den Versuchen noch der Wert
von A nahe bei Null oder Y 2 , so gibt man A geiiau diese Werte und
erhalt dann sehr einfache Formeln. Der letzte Fall (A == Y 8 ) liefert
eine echte Kegelprojektion 90 ).
Analoge Entwicklungen lassen sich auch fur die Abbildung
90) ^Compensative Kegelprojektion von Tissot, vg). Paris C. E. 61 (1860),
p. 964. Ein Beiepiel ihrer Anwendung ist die ffbersichtskarte von Osterreich-
Ungarn in 1:900000 dea milit.-geogr. Institute. J. Frischauf gibt an, daB man
die genannte Projektion erhalt, wenn man in den Formeln fur Lamberts kon-
forme Kegelprojektion die auftretenden Funktionen in Potenzreihen bis zu den
Gliodern 8. Ordnung entwickelt, Dabei ist aber vorauszusetzen, daS bei der
konformen Kegolprojektion der Patallelkreis S , in dem der Kegel beruhrt
(ygl. Nr. 7b), richtig gewahlt wird.
18. Allgemeines fiber die winkeltreuen Abbildungen. 287
schmaler Zouen zwischen Parallel krei sen oder schmaler Kugelzweiecke
durchfuhren.
Uin einen Vergleich der hier geschilderten Abbildungsart mit der
SonneBchen Projektion zu geben, sei angefuhrt, daB bei der Carte de
Prance in Bonnescher Projektion die groBte Winkelveranderung 18
und die groBte Langenverzerrung 3 g betragt; bei einer geeignet ge~
wablten Projektion von der Art der in dieser Nurnmer beschriebenen
wtirden die entsprechenden Verzerrungen 25" und ^ sein. Bildet
man Spanien in Bonncscher Projektion ab, so sind die maximal en
Verzerrungen 12 fiir die Winkel und 0,0018 fur die L angen; fftr
Tissots kompensative Kegelprojektion warden die entsprechenden Ver
zerrungen 4" und 0,0013 betragen.
IB. Allgemeines fiber die winkeltreuen Abbildungen. Pro-
jektionen von Tschobyschoff, Feiroe und August. Die allgemeine
Lehre von den winkeltreuen Abbildungen spielt in der Funktionen-
theorie und bei vielen Anwendungen physikalischer Natur eine wichtige
Rolle und wird deshalb an anderen Stellen der Encyklopadie ausfiihr-
lichbehandelt 91 ); hier soil deshalb nur kurz auf sie eingegangen werden.
Historisch sei zunachst bemerkt, daB J. H. Lambert 9 *) sich zuerst
mit der allgemeinen Aufgabe beschaftigt hat, die Kugel winkeltreu
auf die Ebene abzubilden. Er leitet die zugehorige Differential-
gleichung ab, findet mit ihrer Hilfe auBer schon bekannten (stereo-
graphische und Mercator- Projektion) einige neue winkeltreue Pro-
jektionsarten, gibt aber keine allgemeine Losung der Aufgabe. J.L.de
Lagrange**} hat dann allgemein die Aufgabe gelost, eine beliebige
Rotationsflache konform auf die Ebene abzubilden oder, was auf das-
selbe hinauslauft, zwei beliebige Rotationsflachen konform auf ein-
ander abzubilden; endlich hat C. F. 6r<xw/3 94 ) die allgemeine konforme
Abbildung einer beliebigen Flache auf eine andere beliebige Flache
bestimmt.
Urn eine beliebige Rotationsflache konform auf die Ebene abzu
bilden, ist es zweckmaBig, an Stelle der Breite <p oder ihres Kom-
91) Vgl. HE 1 Allgemeine Theorio der analytischen Fnnktionen, Nr. 5, 21 u. f.
(W. F. Osgood).
92) Land- und Himmelecharten, Abschnitt IV bis VII.
98) Sur la construction des cartes geographiques, Berlin M^ua. Acad. 1779,
p. 161.
94) Allgemeine AuflSeung der Aufgabe: Die Teile einer gegebenen Flache
auf einer anderen gegebenen Flache so abzubilden, daB die Abbildung dem Ab-
gebildeten in den kleinsten Teilen ahnlich wird, Astron. Abh., heraueg. von
H. C. Schumacher, 3. Heft, Altona 1826, p. 5.
288 VI i, 4. R. Bourgeois- Ph. Furtwangkr. Kartographie.
plements 8 f d. h. des Winkels der Flachennormalen mit der Rotations-
achse, erne neue Veranderliche durch die Gleielmng 95 ):
?
J
wo jR und r die Kriimmungsradien im Meridian und Paralleikreis be-
deuten, einzufiihren. Durch die Kurvenseliaren i; = konst. und A konst.
wird dann die Rotationsflache in unendiiclikleine Quadrate zerlegt, so
daB es zur Herstellung einer konformen Abbildung genugt, in der
Ebene zwei Kurvenscharen zu zeichnen, die die Ebene ebenfalls in
unendlichkleine Quadrate einteilen, und diese Kurvenscharen den Kurven
| konst. und A = konst. auf der Rotationsflache entsprechen zu
lassen. Geometrisch bedeutet | die Langendifi erenz der Schnittpunkte
einer Loxodrome mit Aquator und Paralleikreis tp, die den Winkel
zwischen Meridian und Parallel halbiert.
Sind nun x und y rechtwinklige Koordinaten in der Ebene, so
lauten die Bedingungen fiir winkeltreue Abbildung:
dx dy dx _ _3y
~n~~ di> ci~ ~ di
oder durch Elimination von y
Diese Gleichungen sind entsprechend dem oben entwickelten allgemeinen
Gedankengange vollstandig unabhiingig von der speziellen Gestalt der
Meridiane der Rotationsflache.
Die allgemeine Losuug dieser Gleichung wird durch
gegeben, wo / und f\ willkiirliche Funktionen der beigesetzten kom-
plexen Arguments sind. Soil x reell werden, so miissen f und f\ kon-
jugierte Funktionen sein. Der zugehorige Wert y ist:
1
Das Langenverhaltnis in einem beliebigen Punkte wird:
2 ,
In der angegebenen allgemeinen Losung sind natfirlich die friiher be-
trachteten wiukeltreuen Abbildungen als spezielie Falle enthalten; so
96) Tissot- Hammer, p. 96 und p. 198.
18. Allgemeines uber die winkeltreuen Abbildungen. 289
ergibt sich z. B. fur die Mercatorprojektion
Man kann die Verfiigbarkeit iiber die Funktion f benutzen, am
vorgeschriebene Bedingungen dureh die Abbildung zu erftillen. Man
kann z. B. verlangen, da6 eine beliebige Kurvenschar der Ebene das
Bild der Meridiane oder Parallelkreise sei, ohne die Zuordnung der
einzelnen Kurven der Schar festzulegen. Die Abbildung lafit sich
dann stets so gestalten, dafi sie winkeltreu wird.
Fiir ein abgeplattetes Rotationsellipsoid, dessen Meridianellipse
die numerische Exzentrizitat e besitzt, ergibt sich, wenn Grlieder mit e*
vernachlassigt werden:
= Ign cotg -y e 2 cos d .
Fiir die Erde ist e 2 0,0068; man erkennt daraus, da8 man bei unseren
Abbildungen die Erde als spharisch betrachten kann.
Im AnschluB an die allgemeinen Entwicklungen seien einige frtiher
noch nicht erwahnte winkeltreae Abbildungen kurz genannt, die
Projektionen von P. L. Tschebyschoff, yon C. S. Peirce* 6 } (Quincuncial-
projection} und die Projektion von A. August 9 *) (epizykloidische Pr.\
Tschebyschoff 9 *} bestimmt die in der allgemeinen Lb sung auftretende
willkiirliche Funktion so, dafi die Langenverzerrung in dem abzubil-
denden Gebiet ein Minimum wird. Peirce benutzt zur Darstellung der
rechtwinkligen Koordinaten in der Ebene elliptische Funktionen. Ein
Vorzug seiner Abbildung ist, dafi bei Abbildung der Vollkugel nur
6,6% der Kugeloberflache mit einem Langenverhaltnis grofier als 2
abgebildet werden, wahrend der entsprechende Flachenteil bei der
Mercatorprojektion und besonders bei der stereographischen erheblich
grofier ist. August bildet die gesamte Kugelflache auf das Innere
einer Epizykloide ab, die durch Rollen eines Kreises vom Halbmesser %
auf einem solchen vom Halbmesser 1 entsteht.
96) Amer. Jouru. Math. 2 (1879), p. 394. Angewandt bei Th. von Oppoher,
Syzjgientafeln fiir den Mood, Leipzig 1881. Vgl. aueh Pierpont, Amer. Joiurn
Math. 18 (1896), p. 145; G. Holzmuller, Zeitbchr. f. lateinloao Schulen 7 (1896),
p. 332; Siebeck, J. f. Math. 57 (1860), p. 359.
97) Zeitschr. Ges. Erdk. 9 (1874), p. 1.
98) Petersb. Acad. sci. bull. 14 (1866), p. 257 Oeuvres 1, p. 231. Tsclteby-
schoff untersucht auch, welche Geetalt ein Land haben niuB, damit die winkel-
treue.ti Kreisnetze von Lagrange (Nr. 11) die beste Abbildung liefern. Man vgl. ferner
JD. A. Grave, tJ ber die trmndaiuf-^aben der mathematiscben Theorie der Karten-
projektion, Petersburg 1896, Abschnitt IV (russibch); C. It. ass. fran^. avauc. sci.,
Caen 1894 und Carthage 1896. A, Markoff, Petersb. Acad. sci. Bull. 1895, p. 177,
290 VI i, 4 - -R- Bourgeois-Ph. Furtwangkr. Kartographie.
14. Allgemeines uber die flftchentreuen Abbildtmgen"V Um
eine beliebige Rotationsflache auf die Ebene flachentreu abzubilden,
ist es zweckmafiig, an Stelle von <jp die Veranderliche:
einzufiihren. Die Flache wird dann durch die Kurvenscharen konst.
und I = konst. in flachengleiche Parallelogramme zerlegt. Zieht man
nun in der Ebene zwei Kurvenscharen, die diese ebenfal.ls in flachen
gleiche Parallelogramme zerlegen, und ordnet diese Kurvenscharen
denen auf der Flache zu, so erh alt man eine flachentreue Abbildung
der Rotationsflache auf die Ebene. Die geometrische Bedeutung von
ist dadurch festgelegt, dafi 2 der Flacheninhalt der Zone zwischen
Aquator und dem Parallelkreis <p ist. Fiir das abgeplattete Rotations-
ellipsoid ergibt sich, wenn Glieder mit e 4 vernachlassigt werden und
die grofie Halbachse ale Langeneinheit genonimen wird:
[l ~ (2 + cos 29)] sin
Die Bedingung fQr die Flachentreue lautet mit Benutzung von an-
statt tp:
<hc dy _ fix dy_ _ ,
dl Ji ai at""
die wieder wie die entsprechenden Gleichungen der vorigen Numiner
vollsindig unabhangig von der speziellen Gesfcalt der Meridiane der
gegebenen Rotationsflache ist. Durch Aufsuchung von Losungen der
vorstehenden partiellen DifFerentialgleichung, die vorgeschriebenen Be-
dingungen gendgen, kann man die entsprechenden flachenfcreuen Ab-
bildungen erhalteii 100 ). A. Korkin m ) hat die Aufgabe behandelt, alle
flachentreuen Abbildungen der Kugel auf die Ebene zu finden, bei
denen zwei gegebenen orthogonalen Kurvenscharen auf der Kugel zwei
orthogonale Kurvenscharen der Ebene entsprechen.
15. Darstellung der Hohenverhaltnlsse. Die Einzeichnung der
; ,Situation u in das Kartennetz liefert zunachst nur ein Bild der Pro-
beschaftigt aich mit der Aufgabe, wie man die ,,ganstig8te u Abbildung erhalten
kaun, wenn man auf Winkeltreue verzichtet.-
99) Vgl. Tissot-Hamwer, p. 96 und p. 210.
100) A. Tistot hat einige solcher Bedingungen, die man vorechreiben kann,
erOrtet, vgl. Tissot- Hammer, p. 211.
101) Math. Ann. 36 (1890), p. 688; vgl. ferner L. Bianchi, Ace. Line. RoncL
(4) 6 1 (1890), p. 226; Hollander, ttber flachentrene Abb., Progr. Gymn. Mul-
heim a/H, 1891.
15. Darstellung der HObenverhaltnieae. 291
jektion der wirklichen Erdoberflache auf diejenige Niveauflache, die
als Referenzellipsoid gewahlt ist (BesselBches Erdellipsoid). Die Hohen
lassen sich nur indirekt wiedergeben, am prazisesten, aber wenig an-
schaulich durch Verzeichnung des Isohypsen, d. h. der Kurven, die
Punkte gleicher Hohe verbinden, und Angabe der Hb henlage jeder
solchen Isohypse durch eine beigesetzte Zahl. Diese Darstellung ist
nur auf Karten groBen MaBstabes zweckmaBig, auf denen man die Iso
hypsen in Stufen von 20m anzugeben pflegt; eventuell werden noch
Zwiscbenstuf en (meistens von 5 m) durch schwachere Linien bezeichnet.
Fur manche Zwecke ist die Erkennung der Steigung des Gelandes,
des Boschungswinkels, wichtiger als die absolute Hohenlage. Dazu
kann man ebenfalls die Isohypsen benntzen, denn diese werden sich
um so mehr zusammendrangen, je steiler das Gelando ist. Durch
Measung des Abstandes benachbarter Isohypsen kann man, da ihre
Hohendifferenz bekannt ist, den Boscbungswinkel bestimmen, wozu
man sich am bequemsten eines dem KartenmaBstab angepaBten
BoschungsmaBstabes 102 ) bedient.
Um die Hohenverhaltnisse anschaulicher zu maclien, bedient man
sich der Schraffen oder Bergstriche, die zuerst von J. G. LeJimann m )
in systematischer Anordnung vorgeschlagen sind. Es werden zwischen
je zwei benachbarten Isohypsen senkrecht zu ihnen, also in der
Richtung starksten Gefalles, Striche gezogen, deren Stiirke mit der
GroBe des Neigungswinkels wachst; praktisch genugt eine Anzahl
von etwa 12 Strichstarken. Lehmann hat sich vorgestellt, dafi das
Gelande von oben beleuchtet werde, und die Starke der Striche der
Beleuchtung entsprechend gewahlt , so daB die weniger beleuchteten
Flachen auch auf der Karte weniger hell erscheinen. Es sind eine
Anzahl verschiedener Strichskalen im Gebrauch. Um die miihsame
Herstellimg dej" Bergstriche zu umgehen, hat man die Steigung aucli
dadurch kenntlich gemacht, daB man die zu schattierenden Flachen
gleichmaBig dunkler oder heller anlegt (Tuschmanier, Schurninerung);
dabei geht aber die Mogliehkeit, die Richtung starksten Gefalles zu
erkennen, verloren, wenn nicht gleichzeitig Isohypsen gezeichnet sind.
Von der geschilderten Darstellung in senkrechter Beleuchtung ist
die Darstellung in schrager Beleuchtung zu unterscheiden. Man stellt
siich vor, daB Licht schief in bestimmter Richtung einfallt (z. B. mit
45 Neigung aus NW) und legt die Flachen heller oder dunkler an,
102) B. Schulae. Das militajrische Aufnehmen, Leipzig a, Berlin 1903, p. 176.
108) Dartll\mg einer neuen Theotie aur Bezeichnong der schiefen Flachen
im Grundrifi oder der Sifcuationszeichnung der Berge, Leipzig 1799.
292 VI i, 4. P. Bourgeois- Ph. Furtwangler. Kattographie.
je nachdem sie niehr oder weaiger beleuchtet werden. Die eindeutige
Beziehimg der Flachenhelligkeit zur Neigung geht dabei natiirlich
verloren, denn die Helligkeit hangt sowohl von der Neigung wie vom
Azimut des Flachenstiickes ab, die Darstellung wird aber plastischer.
Aus diesem Grunde hat et> keinen groBen Wert, die Helligkeit der
Flache in der Karte genau der pro Flacheneinheit einfallenden Licht-
menge proportional zu rnachen; man wird vielmehr moistens, indem
man mir das Prinzip im allgemeineri icnehalt, die Schattierung in freierer
Weise so wahlen, daB die plastische Wirkung moglichst groB wird.
Auch zur Darstelluug der absoluten Hohenlage hat man die
verschiedeiie Abtonung der Flachen benutzt, indem man dabei nach
dem Grundsatz ,Je holier, desto dunkler" oder auch naeh dem gerade
eutgegengesetzten ; ,je tiefer, desto dunkler" verfuhr. Endlich hat man
auch zu diesem Zweck die Verwendung von Farben herangezogen,
die dann im wesentlichen nur die Bedeutung von Signature!! haben.
Naher auf alle die&e Dinge einzugehen, verbietet der Zweck dieser
Encyklopadie 10 *).
16. Kartometrie 105 ). Als Messungsobjekte kommen bei Karten
im wesentlichen Winkel, Langen und Flachen in Betracht
Direkte Messmig von Horizontalwinkeln mit Hilfe des Trans-
porteurs kommt im allgerneinen nur bei Karten gi-oBen MaBstabes in
Frage: bei Karten kleinen MaBstabes eteht hindernd im Wege, daB
die GroBkreisbilder, deren Tangenten in der Karte den zu messenden
Winkel bestiminen, meistens keine Geraden sind. Selbstverstandlich
wird man nur winkeltreue Karten zu solchen Messuugen benutzen
Wichtiger sind die Langen- und Flachenmessungen. Der ein-
fachste Fall der Langenmessung liegt vor, wenn die kurzeste Ent-
fernung zweier gegebener Punkte bestimmt werden soil. Hat man
erne Karte groBen MaBstabs zur Verfugung oder werden die groBten
Kugelkreise auf der Karte durch Gerade oder wenigstens so schwach
104) Bezuglich der Litoratur seien noch folgende Angaben gemacht: H.
Wiechel, Theorie und Daratellung der Beleuchtuug von nicht gesetzmaBig ge-
bildeten Flachen mit Rucksicht auf die Bergzeichiiung, Civilingenieur 24 (1878),
p. 385; K. Peucker, Schattenplastik und Farbeuplastik, Wien 1898; Mitt, geogr,
Ges. Wien 1899, H. 7 und 8; 1900, H. 1, 2, 9, 10; 1904, p. 280, 367; Geogr.
Zeitschr. 7 (1901). p. 22; 8 (1902), p. 66. Eine zusammenfaasende Darsteilung
findet man bei Zoppritz-Bludau 2, IY. Abechnitt.
105) Vgl. den Bericht von E. Hammer in Geograph. Jahrb. 24 (190T^, p. 64
und von H.Baack, ibid. 26 (1903), p. 417 und 29 (1906), p. 404; ferner Zopprils-
Bludau 2, V. Abschnitt uud Kriimmd-Eckert, Geographiechee Praktiltum, Leipzig
1908, IV. Teil.
1C. Kartometrie. 293
gekriimmte Linien abgebildet, daB sie praktisch als Gerade angesehen
werden konnen, so kann die Messang auf der Karte einfach init dem
Zirkel oder MaBstablineal erfolgen. Bei Karten kleineren MaBstabs
ist zuerst das Bild des groBten Kugelkreises einzuzeichnen, wozu man
sich /.weckmiiBig der Vermittlung der Zentralprojektion 106 ) bedient, da
in dieser alle GroBkreise durch Gerade abgebildet werden. Die Messung
selbst 1st in diesem Falle mit den unten angegebenen Hilfsmitteln,
die zur Messung unregelmaBiger Linien dienen, auszufiihren; auBerdem
ist die Langenverzerrung der Karte zu beriicksichtigen, was am eiii-
facbsten bei winkeltreuen Abbildungen geschehen kann, da bei diesen
die Langenverzerrung in einem Punkte in alien Richtungen dieselbe
ist. Zeichnet man daher eine Anzahl Linien gleicber Langenverzer
rung in die Karte, so kann man mit ihrer Hilfe leicht schatzungsweise
die an der Messung anzubringende Korrektion ermitteln.
Sind die Langen unregelmaBiger Linien (FluBlaufe, Kiisten usw.)
auf der Karte zu inessen, so bedient man sich des Teilzirkels oder
besonderer Instrumente, Kurvimeter oder Kartometer genanut. Bei
diesen rollt entweder eine Rolle direkt fiber die zu messende Kurve
hin oder es wird die Bewegung eines Fahrstiftes in geeigneter Weise
durch Rollen registriert. Es sind eine ganze Anzahl von diesen In-
strumenten konstruiert, hier sei nur auf eins der neueren, das Karto
meter von Flei-schhaucr, hingewiesen 107 ). Die Messungen geben auf
Karten kleineren MaBstabs zu kleine Resultate, was eine Folge der
bei diesen Karten notwendigen Generalisierung ist.
Um Fldchenmessungen ohne instrumentelle Hilfsmittel durehzu-
fiihren, kann man in folgeuder Weise verfahren. Man verdichtet das
Gradnetz in geeignetem MaBe, zahlt die Felder jeder einzelnen Zone
zwischen benachbarten Parallelkreisen ab, indem man die Flache der
nicht vollen Felder prozentual abschatzt, und entnimmt den Flachen-
inhalt eines einzelnen Feldes aus zu diesem Zweck hergestellten Ta-
bellen. Man ist bei dieser Messungsweise, der Feldermethode, un-
abhangig vom MaBstab und von der speziellen Abbildungsart der
Karte; es bleibt nur eine kleine Unsicherheit bei der Abschatzung
der Flache der Randfelder. Will man instrumentelle Hilfsmittel an-
wenden, so benutzt man dieselben Instrumente, die auch sonst zur
Flachenmessung 108 ) dienen (Parallelennetz, Planimeter).
106) Vgl. Nr. 8, p. 267.
107) Vgl. E. Hammer, Zeitschr. f. lastr. 1889, p. 130, wo auoh Notizen zu
verschiedenen anderen Kurvenmessern gegobon Bind.
108) Vgl. VI i, 1, Niedere Geodasie. p. 62 (C. Eeinhfrtz).
EitoylOop. d. mat!-. WiBencob. VI 1. 20
294 VI i, 4. JR. Bourgeois-Ph. Furtwdngler. Kartographie.
Es ist in jedem Falle zweckmaBig, die Messung, sei es Langen-
oder Flachenmessung, relativ zu gestalten, d. h. das Verhaltnis der zu
messenden Lange oder Flache mit einer bekannten Lange oder Flache
der Karte zu ermitteln. Man wird dadurch unabhangig von den
Konstanten der benutzten Instrumente, vom Papiereingang der Karte
und in hohem Grade auch von der auf der Karte benutzten Projektion.
17. Entwicklung des staatlichen Kartenwesens ixn 10. Jahr-
hundert 109 ). Am Anfang des 19. Jahrhunderts standen alle europa-
ischcn Nationen beziiglich der praktischen Kartographie unter dera
EinfluB von Frankreich, das seit 50 Jahren auf diesem Gebiete eine
beherrschende Stellung eingenommen hatte, einerseits durch Inangriff-
nahme der Karte von Cassini in 1:86400, bei der die Projektion
gleichen Namens 110 ) benutzt wurde, andererseits durch die Arbeiten
der Ingenieurgeographen, die, den Napoleonischen Heeren folgend,
das linke Rheinufer, einen betrachtlichen Teil des rechten Ufera und
speziell Bayern, ferner ganz Norditalien aufnahmen, indem sie sich
der Projektion von Bonne 111 ) oder Cassira 110 ) bedienten. Endlich
begann Frankreich 1818 seine ,,Carte d Etat Major" in 1 : 80000, fttr
die man ebenfalls die Projektion von Bonne benutzte. Es ist daher
nicht uberraschend, daB die meisten europaischen Staaten, als sie in
der auf 1815 folgenden Friedenszeit ihrerseits die Aufnahme ihrer
Tenitorien unternahmen, wobei sie oft die von den franzosischen
Ingenieurgeographen ausgefUhrten Arbeiten verwerten konnten, zum
grofiten Teil eine der beiden franzosischen Projektiouen anwandten.
So kniipfte in Preufien der General v. Muffling bei der Karte in
1 : 25000 an die Arbeiten des franzosischen Generals Trancliot in der
Rheinprovinz an; in Bayern benutzte man die Arbeiten des alten
topographischen Bureaus, indem man fur die topographischen Karten
die J5onsche Projektion anwaudte, wahrend man sich fur das Kataster
der Soldnerachen Koordinaten entsprechend der Projektion von Cassini
bediente. Ebenso verfuhr man im GroBherzogtum Baden (Bonnesche Pr.)
und in Osterreich, wo man von 1810 ab eine Karte in 1 : 144000 in
CassiniBcher Projektion begann und wo man 1822 eine tibersichts-
karte in 1:864000 in jBowwescher Projektion herausgab. Italien, das
von 1796 bis 1815 von den Franzosen besetzt war, und wo Napoleon
seit 1797 ein dem Pariser entsprechendes Bureau des ,,Depot de la
109) Man vgl. die in der Literaturuberaicht unter Historisches angefuhrten
Werke von W. Stovenhagen, die jedoch nicht immer ganz znverlassig sind.
110) Vgl. Nr. 6c.
111) Vgl. Nr. 8.
17. Entwicklung des staatlicben Kartenwesens ira 19. Jahrhundert. 295
Guerre" eingerichtet hatte, publizierte naturlicb seine Earten unter
Benutzung der wahrend dieser Periode ausgefiihrten Arbeiten in Bonne-
scher oder Cassinischer Projektion. Endlich nahm RoBland 1822
ebenfalls die Bonncsche Projektion fur alle kartographischen Arbeiten
des Generalstabs an.
Erst als Gauft seit 1822 fur die Karte von Hannover eine winkel-
treue Abbildung benutzte, machte sich die Tendenz geltend, die
.Bonnesche Projektion zu verlassen uud sie durch winkeltreue Ab-
bildungen oder die preufiische Polyederprojektion l12 ) zu ersetzon. Fiir
die Eatasteraufnahmen groBen MaBstabes ging die allgemeine Tendenz
dahin, Systeme rechtwinkliger Eoordinaten nach Art der Soldnerachen
anzunehmen 113 ). Zur Verringerung der Verzerrungen benutzte man
fiir ein Land mehrere Systeme, die entweder nach Verwaltungsbezirken
oder nach geographischen Zonen gewahlt wnrden.
Die meisten Staaten haben seit einem Vierteljahrhundert die Her-
stellung neuer Karten unternommen. In Fratikreich begann der ,,Service
Geographique de 1 ArmeV die Arbeiten fur eine neue Karte in 1 : 50000
in Polyederprojektion, von der 9 Blatter der Umgebung von Paris
schon verdffentlicht sind. AuBerdein hat das Finanzministerium die
Erneuerung des Eatasters angeordnet, wobei rechtwinklige Koordinaten-
system e benutzt werden, deren Achsen je fiir Zonen von zwei Zen-
tesimalgraden gelten.
In Deutschland haben die Bundesstaaten die llerstellur;g der ,,Karte
dea Deutschen Reichs" in 1 : 100000 in Polyederprojektion unter
nommen (Generalstabskarte). Die einzelnen Blatter umfassen 30 Mi-
nuten in Lange and 15 in Breite; die Lange wird vom Meridian der
Insel Ferro gezahlt (31 3 4 ,25 westlich von der Sternwarte Berlin).
AuSerdem geben die einzelnen Staaten MeBtischblatter heraus, PreuBen
im MaBstab 1 : 25 000. Fiir die Publikation der Katastervermessungen
werden Soldnerache Eoordinatensysteme benutzt, deren Acheen nach
Verwaltungsbezirken gewahlt sind; nur Mecklenburg benutzt eine kon-
forme Eegelprojektion lu ).
Osterreich-Unyarn hat seit 1873 eine Earte in 1 : 75000 (,,Spezial-
karte der osterreichisch-ungarischen Monarchic") ebenfalls in Polyeder
projektion herausgegeben, deren einzelne Blatter dieselbe Erstreckung
haben wie die der deutschen Generalstabskarte. Das Eataster bedient
sich der Soldnerschen. Eoordinaten, mit Ausnahme der Provinzen Bos-
nien und Herzegowiria, wo erne Polyederprojektion angewandt wird.
112) Vgl. Nr. 10.
113) Vgl. Nr. 6c.
114) VgL Ni. 7b.
20
296 VI i, 4. JR. Bourgeois- Pk. Furtwangler. Kartographie.
In Italien benutzt man ebenfalls fur die Karte des Konigreichs
Italien (Carta del Regno d ltalia) in 1 : 100000 eine Polyederprojektion;
die einzelnen Blatter umfassen 30 Minuteu in Lange und 20 in Breite.
Jedem Biatte entsprechen 4 Blatter in 1 : 50000 und 16 Blatter in
1 : 25000. Das italienische Kataster benutzt rechtwinklige Koordi-
naten, wobei die Achsen nach Stadtbezirken oder Gruppen von solchen
wechseln.
England hat seit langein fur seine beiden Kartenwerke 7 ,one-inch
map" und ,,six-inch map" die Soldner&che Projektion angewandt. Fiir
das letzte Kartenwerk sind 19 Koordinatensysteme angenommen.
In Rufiland wurde fiir die Karte von 1847 die Bonnesche Pro
jektion benutzt. Seit 1886 sind die Arbeiten fur neue topographische
Karten, die in Polyederprojektion publiziert werden, ini Gange.
Die Coast and Geodetic Survey der Vereinigten Staateti von Nord-
ametvha benutzt fflr ihre Arbeiten eine polykonische Projektion 115 ).
Die Sclnveiz endlich hat eine schiefachsige winkeltreue Zylinder-
projektion 116 ) angenommen.
115) Vgl. Nr. 9 a.
116) Vgl. Nr.Gb.
(Abgeschloeaen im Januar 1909.)
Vi i, 5. H. MeUlau. Nautik. 297
VI 1,5. NAUTIK.
VON
H. MELDAU
IN BREMEN.
Inhaltsiibersicht.
A. Tcrrestrische .Navigation, ^
1. Einleitung:
a) Allgemeines, Begienzung des Gebietes.
b) Erklarangen.
2. Bestimmung des Knrees:
a) KompaS.
b) Beschickuug des Kompafikurees zum wahren Kurs
3. Messung der Distanz.
4. Loxodromische Scbiffahrt:
a) Fundamentalgleicbungen der Besteckrecbnung.
b) Aufgaben der Besteckrechnung, recbnerische LSsung.
5. Die loxodromische Karte:
a) Graphiscbe Ldsung der Aufgaben der Besteckrechnung im Netz der
Seekarte.
b) Inhalt der Seekarte.
6. Zuverlassigkeit der Besteckrechnung.
7. Orthodromische Schiffahrt:
a) Allgemeines.
b) Rechnerische Losungen.
c) Graphische Losungen.
8. Kiistenschiffahrt:
a) Allgemeines.
b) Richtungsbestimmungen.
c) Abstandflbestimmungen.
d) Horizontalwinkel.
e) Lohmgeii, W. Thomsons Lotmaschine.
f) Yerbindungen zweier Standlinien zur Bestimmung des Schiffsortee.
B. Der Kompafi an Bord eiserner Sehiffe*
9. Historische Einleitxing:
a) Pbasen der Problem stellung.
b) Phaseu der LQsungsversuche.
298 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
c) Airys Eompensationsvorechlage.
d) Streit um die Kompensation.
e) Ausgang des Streites.
10. Magnetische Eigenschaften des Schiffseiaens, KompaBort:
a) Fester Schiffaiuagnetismus.
b) Halbfeeter Schiffsmagnetisinus.
c) Fluch tiger Schiffsmagnetisuaus
d) Wahi des Kompafiortes.
11* Beobachtungsmethoden :
a) Zu bestimmende Grosaen.
b) Ermittelung der Deviation.
c) Deviationskurven.
12. Hilfsinstrumente:
a) Mesaung der horizontalen Feldstarke.
b) Typeu von Deflektoren.
c) Messuug der vertikaleu Feldstarke; Vertikalkraftwage.
13. Deviation boi aufrechtexn Schiff:
a) Ailgemeines.
b) Die Pot ssonschen Gleichimgen.
c) Deviationsfonueln.
d) Bestimmung der Kocftizienteu.
e) Ailgemeines uber die Koeffizienten.
14. Deviation bei geneigtem Schiff:
a) Der Krangungsfebler und Home Bestandteile.
b) Bestimmang des Krangungskoeffizienten.
15. Anderungen der Deviation:
a) Audernngeu mit der Breite.
b) Andernngen durch halbfesten Magnetiamus.
c) Deviationsstorungen.
16. Genaaigkeit:
a) Bei uumittolbarer Beobachtnng.
b) Ermittolung der Deviation aua Richtkraftmessungea.
o) Berechnang aas den Koeffizienten.
17. Graphische Darstellungen der Feldstarke:
a) Allgemeines, Zweck der Darateilungen.
b) Darsteiluugcn mit feetliegendem Meridian.
c) Dwatellungen mit feetliegertder Langsschiffslinie.
d) Dromoskope.
1 .8. Kompase und KonipaBrosen :
a) Geschichtliches.
b) Nadelanordnung.
c) Magnetisches Moment dea Rosensystems, Nadelinduktion.
d) EinBtellungsvermdgen.
e) Ruhe der Kompafiroae.
f) Trockenkompaase.
g) Fluidkompaaae.
19. Eompeneation der KompaBse:
a) Aufgabe der Kompeusation.
b) Kompanaat).on8mittel.
Literatur. 299
c) Reihenfolge der Kompensationen.
d) Ausfdhruog der Kompensa* ion.
e) Hindernisse vollkommener i-Iompensation.
f) KompaBsysteme mit besonderen Kompensationsvorrichtungen.
20. Kompasse mit Doppelrosen:
a) Zwei Rosen.
b) Zwei Rosen und ein Deflektor.
21. Bestimmang des Meridians durch die Inklinationsnadel.
22. Fernubertragung von KompaBaugaben.
23. Ersatz des magnetischen Kompasses durch Kreiselapparate :
a) Gyroskope zur Festhaltung einer an ihnen eingestellten Richtung.
b) Kreiselapparate mit eigener Richtkraft.
Literatur.
A. Terrestrisehe .Navigation.
Die Lehrbiichar der Navigation, von denen eine Rcihe in VI 2, 3, Geo-
graphische Ortsbestimmung, nautische Astronomie (C. W. Wirtz\ p. 82, 83, 161, 162
genanut sind. Wegen vorliegender Neuanflagen seien wiederholt:
F. BoUe, Neuea Handbuch der Schiffahrteknnde, Hamburg 1905.
A. Brcuxinga Steuermannskunst. Neu bearbeitet von C. Schilling, 0. Fukt and
H. Meldau. Leipzig 1909.
Lfhrbnch der Navigation. Herausgegeben vom ReichBmarinearut, Berlin 1906.
J. B. (fuilhuumon, Elements de cosmograpbie et de navigation, 4. ed. , Paris-
Nancy 1906.
Ferner seien genannt:
A. Brewing, Das Verebnen der Kugeloberflache fur Gradnetzentwiirfe, Leipzig
1892.
P. Constan t Cours d astronomie et de navigation, Paris 1904.
P. Constan, Tables grapbiquea, Paris 1906.
J. A. Clrunert, Loxodromische Trigonometrie, Leipzig 1849.
M E. Guyou, Manuel des instruments nautiques, Paris 1899, 2. ed. 1907.
G Lecointe, La navigation astronomique et la navigation eatimoe, Paris 1897.
G. W. Littlehales , Tne development of great circle sailing, Washington 1889,
2 nd ed. 1899.
F. Paugger, Lehrbuch des terrestrischen Teiles der Nautik, 2. Aufl., Triest 1874.
A. Both, Lehrbnch der terrestrischen Navigation, Fiume 1896.
A. Stupar, Lebrbuch der terrestrischen Navigation, Fiume 1905.
B. Der KompaA an Bord eisemer Schiffe.
I. Lehrbucher:
Admiralty Manual for the deviations of the compass. Originally edited in 1862
by F. J. Evans and Archibald Smith. 7. ed. London 1901. [Adm. Man.
Die Zitate sind nach der 7. Auflage gegeben.]
Elementary Manual etc. Ed. by IS. W. Creak, London 1908.
Der Kompati an Bord. Herausgegeben von der Direktioa der Deutachen See-
warte, 2. Aufi., Hamburg 1906.
300 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
Handbuch der nautischen Instrument*, Berlin 1890.
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des corupas., 3. e"d., Paris 1902.
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A. Racic, Anhang zu H. Florians Theorie usw., Pola 1892.
E. Rottok, Die Deviationstheorie und ihre Anwendung in dev Praxis, 2. Aufl.,
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C. Schilling, 0. Fulst und H. Meldau , Der Kompali an Bord eiserner Schiffe
(Sonderabtlruck aus Breusings Steuermaunskunst, 7. Aufl.), Leipzig 1904.
/. Th. Totvson, Practical information on the deviation of the compass, London
1899.
Auftardem Darstellungen in den Lehrbuchern der terrestrischen Navigation,
insbeaondere in:
J^ehrbuch der Navigation. Herausgegeben vom Reichsmarineamt, Berlin 1906.
A. Stupar, Lebjbuch der terreetrischen Navigation, Fiume 1905.
Ferner seien angefiihrt:
F. Bidlinymaier in Neumayers Anleitung zu wiss. Beobachtungeu auf Beisen,
Bd. I. Hannover 1906.
F. Bidlingmaier in Deutsche Siidpolarexpedition V. Erdmagnetigmus, 1.
II. Von historiech bedeutungsvolleu Monographten seien hervorgehoben :
S. D. Poisson, Meinoire sur les deviations de la boussole, produitea par le fer
dee vaisseaux, Paris Mem. de 1 Iust. 16, 1838.
G. B. Airy, Account of experiments in iron-built ships, instituted for the purpose
of discovering a correction for the deviation of the compass produced by the
iron of the ships. London Phil. Trans. 1839 I.
Discussion of the observed deviations of the compass etc. London Phil.
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Archibald Smith, Beitrage in Subine, Contributions to terrestrial magnetism^.
London Phil. Trans. 1843, 1844, 1846.
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F. J. Evans, On the magnetic character of the armour-plated ships etc., London
Phil. Trans. 1866.
Die wichtigsten der bis 1866 erschienenen Abhandlungen sind vom Navy
Department in Washington gesammelt und in zwei B anden (Washington 1867
und 1869) in Neudrucken herausgegeben.
Ferner seien erwahnt:
W. Thomson, On the perturbations of the compass, produced by the rolling of
the ships, London Phil. Mag. 48 (1874).
C. Koldewey, t)ber die Veriinderung dee Magnetismus in eiserneu Schiffen, Archiv
d. S., Hamburg 1880.
K. W. Creak, On the mariners compass in modern vessels of war, Journ. Un. Serv.
InBt. 33 (1889).
F. Bidlingmaier, Der DoppelkompaB, seine Theorie und Praxis (Sonderabdr. aus
,,Deutsche Siidpolar-Expedition 19011908, Bd. V. Erdroagnetismus I."), Berlin
1907.
Die ubrige Literatur, fur deren VerOffentlichung besonders die Zeitschriften
Phil. Trans. Roy. Soc. of London [London Phil. Trans.],
Journal United Service Institution [J. Un. Serv. Inst.],
Trans, of the Institution of Naval Architects [Nav. Arch. Trans.],
Annalen der Hydrographie, Hamburg [Ann. d. Hydr.j,
Mariue-Rundschau, Berlin [Marine-R.],
Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte, Hamburg [Archiv d. S.],
Mitteilungen aus dem Gebiete des Seewesens, Pola [Mitt.],
Revue maritime, Paris [Rev. mar.],
Rivista marittima, Rom [Riv. inarilt j,
in Frage konamen, ist, eoweit darauf bezug zu nehmen war, in den Fufinoten
namhaft gemacht.
Ein ziemlich ausffihrliches Literaturverzeichnis fiber Kompasse und Deviation
findet sich in ,,Kompa6 an Bord", 2. Aufl., Hamburg 1906, p. 165171, sowie in
F. Corbara, Trattato USTV., Genova 1907.
A. Terrestrische Navigation.
1. Einleitung. a) Allgemeines. Begrensung des Gebides. Aufgabe
der Navigation ist die moglichst schnelie und sichere Fiihrung des
Schiffes an seinen Bestimmungsort. Sie erfordert auBer dem rein
seemannischen Konnen und der Anwendung des SeestraBenrechtes die
stete Verfolgung der Koordinaten des Schiflsortes und die Festleguiig 1 )
1) Hierbei hat in vielen Fallen die maritime MeUorologie al Hilfswissen-
schaft eiazutreteu.
302 VI i, 5. H. Mddau. Nautik.
und Innehaltung der gfinstigsten zum Bestimmungsorte fiihrenden
Route.
Sofern man sich zur Losung der Aufgabe nichtastronomischer
Hilfsmittel bedient, spricht man von terrestrischer Navigation. Diese
findet ihre Erganzung in der astr&nomischen Navigation, wie sie ihrer-
seits eine notwendige Erganzung dieser ist.
Die astronoruische Navigation ist als v nautisehe Astronomie" in
Band VI 2, 3, Nr. 3849 behandelt.
Im folgenden soil eine kurze Darstellung der Beobachtungs- und
Eechnungsmethoden der terrestrischen Navigation gegeben werden. In
iliren Bereich fallt auch die magnetische Einwirkung des eisernen
Schiffskorpers auf den KompaB. Umfang und Inhalt berechtigen zu
einer Behandlung dieses Stotfes in einem besonderen Kapitel.
b) Erkldrungen. Innerhalb des von der terrestrischen Navigation
innezuhaltenden Genauigkeitsbereiches ist es gestattet, das Erdspharoid
als Eugel zu betrachten, deren Radius gleich dem arithmetischen
Mittel aus dem Polar- und dem Aquatorialradius (E 6 366 700 m)
genommen werden darf. Als WegemaB benuizt man die Seemeile,
d. i. die Lange der Minute eines grofiten Kreises dieser Kugel. Sie
ist gleich 1852 m. 9 )
AuBer den Koordinaten eines Punktes auf der Erdoberflache, der
Breite (tp) und der Lange (A), sind die Begriffe Breitenunterschied
(6 =B y 9 ^j) und Lcmgenunterschied (I == Aj AJ zweier Orte von
Bedeutung. Unter Abiveitung (a) versteht man zunachst 8 ) die Anzahl
der in einem Parallel kreisbogeu enthaltenen Seemeilen. Der wahre
Kurs (ct) ist der zwischen dem Ortsmeridian und der Fortschreitungs-
richtung des SchifFes liegende Winkel. Linien konstanten Kurses wer
den Loxodromen genannt. Das Segeln 4 ) in Loxodromen hat fur das
Sehiff den grofien Vorteil praktischer Einfachheit. Man fafit die bier
in Betraeht kommenden Aufgaben unter dem Namen Besteefarecknung
zusammen. Neben der loxodromischen Schiffahrt ist mil der Zunabme
des Dampferverkehrs im Laufe des 19. Jahrhunderts das Segeln im
grofiten Kre ise (s. Nr. 7) als besonderer Zweig der t3rrestrischen Navi-
2) Andere Detinitionen der Seemeile sind: die mittlere Meridianminute, die
auf 45 geographischer Breite gemeeaene Minute der Erdmeridianellipse, die
Minute eines grSfiten Kreises einer mit dem Erdsph iroid inhaltgleichen Kugel,
die Aquatorminute. Hietoriflchea and Wertangaben darubei a. K. v. Pott, Mitt.
84 (1906), p. 769.
8) Der Begriff wird in Nr. a erwtitert.
4) Das Wort ,,Segeln u ist nautisch gloichbedeutcnd mit ,,Fahren 11 , wird
also auch von Dampfern gebraucht.
2. Beatirtsmuug des Kurses. 303
gation ausgebildet. Praktisch ist man aber auch beim Fahren im
grofiten Kreise nach Festlegung des ,,orthodromischen" Bogens darauf
angewiesen, eine Annaherung an ihn auf einer Anzahl von Loxo-
dromenbogen zu erstreben.
Die fur die Besteckrechnung im Rahmen der terrestrischen Navi
gation zu beobachtenden Bestimmungsstiicke sind der Kurs und die
Distanz.
2. Bestimmung des Kurses. a) Kompafi. Der in Ib) definierte
wahre Kurs ist aus dem Kompafifawse abzuleiten.
Der SchiffskompaB unterscheidet sich von den am Lande gebrauch-
lichen Kompassen vornehmlich dadurch, dafi die die Kreisteilung dea
Horizontes 6 ) tragende Scheibe mit der oder den Magnetnadeln fest ver-
bunden ist. Der so entstehende Korper, die Kompafirose, ist in den
cardanisch aufgehangten KoinpaBkessel eingeschlossen. In der Mitte
der Rose ist ein mit einer Edelsteinkappe versehenes Hiitchen be-
festigt. Mit ihm rubt sie auf einer Pintle, die in der Mitte des
Kessels und zwar mit ihrer Spitze im Schnittpunkte der Achsen der
cardanischen Aufhangung angeordnet ist. Ein an der Innenwand des
Kessels in der Kielrichtung angebrachter Steuerstrich laBt den ge-
steuerten Kurs an der Rosenteilung ablesen 8 ).
b) Beschickuny des Kompafikurscs zmn wahren Kurs. An Bord
holzerner Schiffe zeigt der Nordstrich der Rose die Richtung des
magnetischen Meridians an. Man liest an der Rosenteilung un-
mittelbar den magnetischen oder mifiwcisenden Kurs ab. Mit Hilfe
der magnetischen Deklination (nautisch Miflweisuny, auch reine oder
Ortsmifiweisung genannt) leitet man aus ihm den rechtweisenden Kurs,
<\. h. den Winkel der Kiellinie gegen den Erdmeridian ab 7 ).
An Bord eiserner Schiffe oder holzerner Schifte mit erheblichen
Mengen eiserner Ausrustungsgegenstande oder Ladungsteile kommt
zum erdmaguetischen das schiflfsmagnetische Feld, zu .der Deklination
die Deviation (Ablenkung) hinzu 8 ). Die Suinme beider ist als Ge-
samtmiBweisung an den Kompafikurs anzubringen, um den recht
weisenden Kurs zu erhalten 9 ).
6) Neben der Gradteilung zeigen die moisten heutigen KompaBrosen noch
die alte Strichrose (32 durch fortgeaetzte Winkelhalbierungen entstandene Rich-
tungen). Die Eichtungen N, 0, S, W werden Hauptatriche, die Bichtuugen NO,
SO, SW, NW Hauptzwischenstriche genannt.
6) Die von der Kompa&rose zn erfiillenden magnetischen und mechaniachen
Bedingungen eind in Nr. 18 behandelt.
7) Abgesehen von einem Kollimationsfehler der Rose und unfcer der Vor-
aussetsung, daB die Verbindungslinie Pinne-Steuerstrich der Kiellinie parallel ist.
8) Der Schiifsmagnefcisrnus iet in Nr. 928 beliaadelt.
304 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
Die Fortschreitungsrichtung des Schiffes fallt bei seitlichem Winde
uicht init der Richtung des Kieles zusammen. Der Winkel zwischen
diesen Richtungen wird Abtrift genannt. Zur Bestimmung ihrer
GroBe ist man auf die Schatzung des Winkels zwischen der Langs-
schiffsrichtung und der Richtung des Kielwassers angewiesen. Man
gibt der Abtrift den Namen oder W } je uachdem der ,,behaltene
Kurs" rechts oder links yom gesteuerten liegt, und vereinigt sie dann
mit der GesaintmiBweisung. Durch Anbringung der so erhaltenen
Gesamtberichtigung an den KompaBkurs erhalt man den wahren Kurs.
3. Messung der Distanz. Unter der Fahrt des Schiffes versteht
man die Anzahl der in einer Stunde zuriickgelegten Seemeilen 10 ). Bei
Anwesenheit von Strb mungen hat man die Fahrt durch das Wasser
zu unterscheiden von der Fahrt iiber den Gnind.
Die zur Bestimmung der Fahrt benutzten Apparate werden Loggen
genaunt; die altesten von ihnen sind die Handhggc und die Ritge-
lungsloyge. Fur jede Seemeile, die das Schiff in der Stunde zuriick-
legt, legt es in der Sekunde 1852 in : 3GOO 0,514 m zuriick. Diese
Strecke heiBt Selcundetiknotenlange oder Meridiantertie. Bei der Hand-
logge wird die in einer bestimmten Sekundenzahl t zuriickgelegte
Anzahl von Meridiantertien gezahlt, bei der Riegelungslogge wird be-
stimmt, wieviel Sekunden das Schiff zum Zuriicklegen einer bestimmten
Anzahl von Meridiantertien gebraucht. Die Messung der Strecke er-
folgt bei der Handlogge durch eine auslaufende Leine, deren Ende
an einem zum aufrechten Schwimmen im Wasser hergerichteten Brett,
dem Loggescheit, befestigt ist. Die Feststellung der Sekundenzahl t
(15* oder 30*) erfblgt durch eine Sanduhr, das Loggeglas. Urn die
Fahrt unmittelbar ablesen zu koimen, ist die Leiae in bestimmte, der
Laufdauer des Glases entsprechende n Knotenlangen", d. h. Strecken von
t 0,514 m Lange eingeteilt u ).
Bei der Riegelungslogge bestimmt man nach einer Sekundenuhr
die Zeit, die ein vorn am Schiff iiber Bord geworfener schwimmender
Korper zum Zurucklegen einer Anzahl auf der Riegelung des Schiffes
abgemessener Meridiantertien gebraucht. Die Riegelungslogge liefert
9) Pie VerS,nderlichkeit der Deviation notigt dazu, wenn Gestirne sichtbar
sind, die Gesamtmifiweieung unter Btetiger astronomischer Kontrolle zu halteu,
BO daB zu solcben Zeiten die Bestimmung des Kurses eigentlich astronomisch
gesohiebt und der Kompafi nur ale iibertragendes Hilfpinstroment dient.
10) Eine Gescbwindigkeit vou n Seemeiien iu der Stunde bezeichnet man
als eine Fahrt von n Knoten.
11) Wegen des Nacbscbleppens des Loggoscbeites verkurzt man bei der
Handlogge die Sekundenknotenlilnge auf 0,5 m.
8. Messung der Distanz. 305
bei kleinen Werten der Fahrt (2 4 Kuoten) genauere Ergebnisse
als die Handlogge, Fiir grofie Gesehwindigkeiten ist sie nicht an-
wendbar.
Die Patentlogge besteht in einer sehr steilgangigen Schraube, die
vom Schiffe im Wasser nachgeschleppt und so in Umdrehung versetzt
wird. Die Anzahl der gemachten Umdrehungen wird durch ein rait
der Schraube Terbundenes oder an Deck aufgestelltes Ziihlwerk regi-
striert 12 ). Diese Loggen lassen die gesamte zuriickgelegte Distanz
ablesen, mittelbar erlauben sie auch die Bestimmung der jeweiligen
Fahrt. Sie versagen bei kleinen Werten der Fahrt, ihre Angaben
werden unzuverlassig bei bewegter See.
Im Mittel hat man bei alien drei genannten Loggeapparaten
mit einer Unsicherheit von etwa 5% der Distanz zu rechnen. Bei
leichtem Wind und ruhigem Wasser wird die Unsicherheit etwas
geringer, bei starkem Wind und bewegter See wird sie groBer.
Bei den hoheu Werten der Fahrt, wie sie moderne Passagier-
dampfer und Kriegsschiffe entwickeln, versagen die bisher genannten
Loggeapparate. Diese Fahrzeuge haben in der Umdrehungszahl des
Propellers ein MaB fur die Fahrt, das an Genauigkeit den Angaben
der genannten Loggen etwa gleichkommt 18 ).
Zur genauen Bestimmung der Fahrt, etwa bei Probefahrten, zur
Priifung von Loggeapparaten, Ermittlung von Korrektionsfaktoren und
Feststellung des funktionalen Zusammenhanges zwischen Fahrt und
Tourenzahl des Propellers hat man kein anderes Mittel als das Durch-
laufen einer bekannten Strecke, wobei man durch Hin- und Zuruck-
laufen den EinfluB einer etwaigen Stromung zu eliminieren hat.
Im iibrigen kann die Fahrt fiber den Grand nur in sehr flachem
Wasser (und bei Werten unter 5 Seemeilen stundlich) ermittelt wer
den, indem man ahnlich wie bei der Handlogge verfahrt, statt des
12) Einen Fahrtraesser in Gestalt eines nachgeschleppten Fliigelrades nach
Art der Anemometerscbalenkreuze hat G. .E. Fleuriais angegeben. Bei dem
Fahrtmeaser von Clarfa wird der Wasserdruck auf ein nachgescblepptes Logge-
echeit an einem au Bord aufgestellten Manometer abgelesen. Der Fahrtmesser
von Strangmeyer (Handb. d. naut. Instr., p. 396) will die Fahrt a us dem Druck
des Wasaers gegen eine am Bng des Schiffes angebrachte Offnung vermittels
eines Manometers bestimmen.
13) Bei ruhiger See und nicht zu frischem Wind soil diese Methodc die
genauesten Ergebnisse liefern. Naherea viber die Auggestaltung der auf den an-
gefuhrten Prinzipien beruhenden Loggeapparate s. E. Kohlschiitter, Deutsche
Mechanikerzeitung 1906, p. 9. Weiterea uber die VerwendungsmOglichkeit der
verschiedenen Loggen und die mit verscbiedenen Arten von Patentloggen er-
reichten Genauigkeiten 8. Marine-R. 20 (1909), p. 483.
306 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
Loggescheites jedoch ein schweres, schnell auf den Grund sinkendes
Lot verwendet.
4. Loxodromische Schiffahrt. a) Fundamentcdglewhungen der
Besteckrechnung. Unter Benutzung der in Nr. Ib angegebenen Bezeich-
nung ist die Different] algleichung der Loxodrome
cosy.cU ^ t
dtp
Ihre Integration gibt
- A = tg log nat tg(-J -f I),
wo A die Lange des Punktes ist, in welcher der Aquator von der
Loxodrome geschnitten wird. Indem man statt des Halbmessers die
Minute als Einheit einftihrt, bezeicbnet man den Wert
- 3437,75 . log nat tg (f -f f )
als vergroflerte Preite von <p u ). Es ist dann in Langenminuten
A ^ =tg- 0>.
Sind tp l} >L X die Koordinaten des ,,Abfahrtsortes" A und <p if A,
die des ,,Bestimmungsortes" B, so folgt durch Integration des Bogen-
difterentials der Loxodrome
dD = l?V5p4-cos 8 y^ Kdq> l -f- cos 8 <f> ~
als Wert der zwischen A und B liegenden Distane
COB a
oder, indem man unter 6 = y s qp t die Anzahl der in dein Meridian-
bogen enthalteuen Minuten oder Seemeilen versteht,
D = b sec a.
14) Die Werte vou $ sind in den nautischen Tafelsammlungen fflr jede
einzelne oder fiir jede zehnte Minute von qp angegeben. t)ber den Zusammen-
hang von * mit den Hyperbelfunktionen siehe etwa F. Schicht, Mitt. 36 (1907),
p. 1192 u. 1200.
Einige Tafeln (B. B. ./. A. D. Jet. sen, Nantiske Tal teller, Kopenhageu 1902)
geben die far die Abplattung der Erde berichtigten Werte
* = A log nat tg ( -f- -x.
L \ ft
wo A der A qua tor radius, die Exzentrizitat der Meridianellipse ist; vgl. etwa
N. Here, Landkartenprojektionen, Leipzig 1885, p. 117. Die Loxodxome auf dem
Erdspharoid behandelt J. A. Grunert, Loxodromisohe Trigonometric, Leipzig 1849.
4. Loxodromiache Schiffahrt
807
Die Rechnung nach den Formeln
b = D cos a, I = Aj A t = (0, ^ i tg
bezeichnet man als Eechnung nach vergrofierter Breite 1 * 1 ).
Das ebene rechtwinklige Dreieck mit den Eatheten # 8 d\ und I
und dem Kurswinkel a wird vergrofiertes Kursdreieck
genannt (s. Figur 1).
Ein zweites Verfahren zur Berechnung des Langen -
unterschiedes geht aus yon einer genaherten Aus-
wertung des Integrals in dem Werte
Man setzt
~
cos
= I) sin a sec (ep
^^
wo
T
und # eine von <p m und 6 abhangige Korrektion dieser ,,Mittelbreite"
ist. Indeni man unter Verallgemeinerung des Begriffes der Abweitung
a = D sin a
setzt und ftir Distanzen, wie sie in der taglichen Schiffsrechmmg yor-
kommen, x == annimmt, erhalt man die Formeln
6 == D cos a; a = D sin a, I = a sec
wo
Die Recbnung nach diesen Formeln bezeichnet man als Rechnung
nach Mitielbreite.
Das ebene rechtwinklige Dreieck niit den Seiten D, b, a und
dem Kurswinkel a wird wahres Kursdreieck 1 **) genannt (a. Figur 1).
Der nur in hohen Breiten und bei grofien Breiten- und Langen-
unterschieden bemerkbar werdende der Rechnung nach Mittelbreite
15) Die Entwicklung dieser Methode geht zuruck auf G. Mercator, deaaen
Weltkarte ,,ad usum navigantium" 1669 in Duisburg erschien. Die eraten Tafeln
der vergrofierten Breite riihren von Ed. Wright her, dessen Buch: Certain errora
in navigation, London 1599, reformatorisch wirkte. Der Wert des Integral ist
zuerst von Henry Bond 1645 angegeben (vgl. A. Breusing, Gradnetzentwurfe). S.
auch VI 1,4, Kartographie, E. Bourgeois und Ph. Furtwangler, Nr. 6b.
16") Die Figur auf der Erdoberflache zwischen dem Loxodromenbogen AB,
dem durch A gelegten Meridian und dem durch B gelegten Breitenparallel wird
zweckmiiBig als loxodromisches Dreieck bezeichnet.
308 VI i, 5. //. MeUau. Nautik.
anhaftende Fehler 16 ) kann vevmieden werden durch Anbringung der
(nie negativen) Korrektion x au <p m , die axis
zu berechuen ist. Ihre Werte finden sich in mehreren nautischen
Tafelsarumlungen fiir die Argumente <p m und b angegeben.
b) Aufgaben der Besteckrechnung, rcchnerische Losung. Von den
sechs GroBen tp 1} <jp 2 , Ji i} ).%, und D mtissen vier gegeben sein. Von
praktischer Bedeutung sind nur die beiden 17 ) Aufgaben:
I. Gegeben g> lf Z t , cc, D: gesucht <p. 2 , A 2 ,
II. Gegeben qp l7 JL lf <p a , A 2 ; gesucht a, D.
Bei der Losung der Aufgabe I nach vergroBerter Breite findet
man mit a und D zunachst aus dem wahren Kursdreieck ft. 18 ) Nach
Bestimmung von qp 2 und Ennittlung von l und (P 2 folgt aus deni ver-
grofierten Kursdreieck I = (0 2 C& t )tga und damit J1 2 . Das Ver-
fahren ist exakfc, es versagt aber fur Kurswinkel in der Nahe von 90,
weil fiir a == 90 der Langenunterschied I den Wert oo annimmt.
Bei der Losung der Aufgabe I nach Mittelbreite findet man mit a
und D zunachst b und a 18 ), daraus <p 2 , <p m und I a sec<p r/l . Das
Verfahren ist approximativ, doch genugt es ; ausgenommen auf sehr
hohen Breiten, stets fur die vom Schiffe im Laufe eines Tages ge-
segelten Distanzen.
Sind vom Schiffe nacheinander verschiedene Kurse gesteuert, so
pflegt man, statt die Schiffsorte bei den einzelnen Kursanderungen der
Reihe nach auseiuander abzuleiten, die Abweitungen ebenso wie die
Breitenunterschiede algebraisch zu addieren oder, wie man sagt, die
Kurse zu koppeln. Dieses Verfahren ist kein exaktes 19 ), weil bei
ihm in verschiedenen Breiten gutgemachte Abweitungen gegeneinander
16) Der Fehler in Z, gegeben durch
wJlchst mit D und qp m . Firr gegebene Werte dieser GrSBen erreicht er ein
Maximum for a = 35 16 . Ist D<360Sm., <p m <Z.60 , so ist fiir diesen ungiin-
stigsten Wert des a der Fehler kleiner als 1 ; vgl. G. Lecointe, Lit. A, p. 11.
17) In fruherer Zeit, als die Bestimmung der Lange erhebliche Schwierig-
keit machte, batten auch die beiden Aufgaben: aus qp t , /l^, qp s , a die Stflcke
1 2 , J) und aus qp lt l t , qp,, D die Stiicke i,, a zu finden, praktisches Interesse.
18) Man bedient eich dazu der in den nautischen Tafeln gegebenen ,,Grad-
und Strichtafeln", die mit den Argumenten und D die Katbeten der recht-
winkligen Dreiecke unmittelbar geben.
19) Fehlerabschatzung a. etwa F. Paugger, Terr. Nav., p. 218.
5. Die loxodromieche Karte. 309
aufgerechnet werden und ferner, well die ,,Mittelbreite" gefalscht
werden kann, zuinal wenn in den ersten Kursen hauptsachlich die
Breite, in den letzten hauptsachlich die Lange verandert wurde oder
umgekehrt. Es stellt jedoch eine erhebliche Vereinfachung der Rech-
nung dar und genugt, ausgenommen auf hohen Breiten, fur die wahrend
eines Tages abgelaufenen Distanzen.
Zur Losung der Aufgabe II nach vergroBerter Breite berechnet
man nach Ennittelung von ^ und & s den Kiirswinkel im vergrofierten
Kursdreieck. Die Distanz ist dann im wahren Kursdreieck zu be-
stimmen. Das Verfahren ist exakt; es versagt aber fur Kurswinkel
in der Nahe von 90, weil fur = 90 die Distanz D den Wert 0:0
annimmt.
Bei der Losung der Aufgabe II nach Mittelbreite findet man mit
rp m = $ ((ft -f- <p 2 ) aus ^ zunachst a==?secg> m und bestimmt dann
Kurswinkel uud Distanz aus dem wahren Kursdreieck. Das Yerfahren
ist approximativ, fur die Ermittelung groBer Distanzen bei erheblichen
Breitenunterschieden ist es nicht anwendbar.
5. Die loxodromische Karte. a) Graphische Losmig der Auf-
gaben der Besteckrechnung im Nets der Seekarte. Die an eine Seekarte
zu stellenden Forderungen sind vornehmlich:
1. sie nmB eine winkeltreue (konforme) Abbildung sein,
2. die Loxodrome muB als gerade Linie erecheinen.
Diese Porderungen lassen sich dadurch und nur dadurch erfullen,
daB man in einem rechtwinkligen, den Aquator und den Nullmeridian
darstellenden Koordinatensystem
x == cA, y c^>
setzt.
Der lineare MaBstab der so konstruierten nach Mercator benannten
Karte 20 ) wachst proportional sec <p. Die Karte laBt sich daher nicht
bis zum Pol ausdehnen.
Das exakte Verfahren zur Losung der Aufgaben der Besteck
rechnung auf der Mercatorschen Karte besteht in der tfbersetzung
der in der vorigen Nummer (4b) behandelten Losungen nach ver-
20) 6. Mercator 1569. Noch lange nach diesem Zeitpunkt benntzten die See-
fab rcr eogeuannte platte Karten, in deneu
x = c , y = c qp sec tp m
gesetzt war, wo qp m die Mittelbreite dee dargestellten Gebietes bedeutet (vgl.
A. Brcusing, Verebnea der Kugeloberflache , p. 40, 41, wo ein Irrtnm botr. der
Gestalt der Loxodrome auf der platten Karte zu verbessern ist). Man vgl. auch
VI. 1, 4, Kartographie (E. Bourgeois und Ph. Furtwangler), Nr. 6b.
d math. Wi**euscb. VI 1. 21
310 VI i, 5. H. Metdau. Nautik.
grofierter Breite ins Graphische, wobei man sich zur Zeichnung des
wahren Kursdreiecks des Aquator-, d. h. des LangenmaBstabes bedient.
Wenn es sich um die im Laufe eines Tages vom Schiffe abge-
laufenen Distanzen handelt, so geniigt statt des exakten ein Nahe-
rungs verfahren. Eine Seerneile in der Karte ist gleich der in gleicher
Breite gelegenen vergroBerten Breitenminute. Zur naherungsweisen
Messung einer Distanz kann man daher eine Breitenminute oder besser
eine Anzahl soldier in der Hohe der Mittelbreite abgreifen und diese
Strecke unmittelbar als MaBstab fur die Hypotenuse des vergroBerten
Kursdreiecks benutzen 21 ). Fur Kurswinkel in der Nahe von 90 ist
man auf dieses Verfahren beschrankt.
b) Inhalt der Seekarte. Uber den in Nr. 5 a behandelten Zweck hin-
aus hat die Seekarte die Aufgabe, dem Schiffsfuhrer alle Handhaben
zur Feststellung des Schiftsortes relativ zum Land und alle fur die
Wahl des Kurses aus der Konfiguration des Landes folgenden Momente
zur Anschauung zu bringen. Sie hat deshalb eine genaue Darstellung
der physikalischen Verhaltnisse des Meeres und eine Abbildung des
Landes zu geben, soweit diese fur die Schiffahrt wichtig und vei-wert-
bar ist. Insbesondere hat sie AufschluB zu geben iiber die Wasser-
tiefe, die Bodenbeschaffenheit, Untiefen, Riffe und Klippen, Stromungen,
kiinstliche Hilfsmittel der Schiffahrt, Leuchtfeuer, andere Landmarken
und schwimmende Seezeichen.
AuBerdem zeigeu die Seekarten an mehreren Stellen Bilder der
KompaBrose in miBweisender und rechtweisender Lage.
6. Zuverl^ssigkeit der Besteckrechnung. Die Zuverlassigkeit
des durch die Besteckrechnung ermittelten Schiffsortes wird beschrankt:
1. durch Fehler der bei der Rechnung benutzten ,,wahren" Kurse.
2. durch Fehler in den geloggten Distanzen ;
3. durch unbekannte Stromversetzungen,
4. dadurch, daB dem Rechnungsverfahren nach Mittelbreite und
dem Koppeln der Kurse Fehler anhaften.
1. Kursfehler entstehen durch ungenaues Steuern und durch Un-
genauigkeiten in den Berichtigungen, durch die der wahre Kurs aus
dem KompaBkurs abgeleitet wird (Nr. 2). Man kann annehmen, daB
auf einem Dampfer auch bei sorgfaltiger Kurskontrolle der wahre
Kurs 2 bis 3 nach jedor Seite urisicher ist, so daB damit gerechnet
werden muB, daB nach Zurucldegung von 100 Seemeileu das Schiff
4 bis 5 Sm. rechts oder links vom berechneten Orte stehen kann.
21) Sollte bei Loaung der Aufgabe I die Mittelbreite zunachst sehr falsch
geschatzt eein, so ist das Verfahren zu wiederholen.
7. Orthodromische Schiffahrt. 311
2. Nach den in Nr. 3 fiber die Genauigkeit der Loggeapparate
gemachten Angaben 1st nach Zurucklegung von 100 Sm. auch in der
Kursrichtung auf eine Unsicherheit von etwa 5 Sm. zu rechnen.
Segelschiffe sind im allgeuieinen, besonders hinsichtlich der Kurs-
fehler, ungiinstiger gestellt als Dampfer.
3. Es gibt zwar von den meisten Meeresteilen Stromkarten, aus
denen man den fur die Dauer der Segelung geltenden Strom ent-
nehmen konnte, um ihn an die gesteuerten Kurse anzukoppeln. Die
in den Karten enthaltenen Angaben sind jedoch uur als allgemeine
Mittelwerte anzusehen, von denen erhebliche Abweichungen stattfinden
konnen. Man verzichtet deshalb in der Praxis darauf, eine so un-
sichere GroBe wie den Strom in die Rechnung mit aufzunehmen, be-
rechnet vielmehr den SchifFsort zunachst auf Grund der gesegelten
Distanzen allein, um dann schatzungsweise 32 ) die mutmuBHche Wir-
kung des Stromes in Riicksicht zu ziehen.
4. Gegenuber den unter 1. bis 3. angegebenen Fehlern fallen die
unter 4. genannten Ungenauigkeiten der Rechnung nicht ins Gewicht.
7. Orthodromische Schiffahrt. a) Allgemeines. Das ,,Segeln im
groBten Kreise", mit dem sich schon die Lehrbiicher der Navigation
im 16. Jahrhundert beschaftigten 8S ), ist zunachst durch die Einfuhrung
der Mercatorkarte ganz in den Hintergrund gedrangt worden. Erst
seit der Mitte des 19. Jahrhunderts kommt es zumal fiir den Dampfer-
verkehr 24 ) immer mehr in Aufnahme.
Die Wegersparnis auf dem orthodromischen im Gegensatz zum
loxodromischen Bogen wird erheblich, wenn der Abfahrtsort A und
der Bestimmungsort B auf hoheren gieichnamigen Breiten liegen und
wenn sie zugleich einen groBen Langenunterschied haben 85 ).
Die Losung der Aufgabe erheischt die Ermittelung der zwischen
A und B liegenden Distanz, die Niederlegung des Bogens in die
22) Entsprechendes lindot Anwendung im Falle der Aufgabe: Bestimmung
dea von A nach B fuhrenden Kurses unter Beriicksichtigung einer an Ort und
Stelle laufenden Stromung, deren LOsung im ubrigen auf der Hand liegt.
23) tfbrigens lag ein wesentliches Hinderuis fiir das Einhalteu eiues grdfiten
Kreises zu jener Zeit in dem Mangel der Langenbestimmung.
24) Fiir das Segelachiff nangt die Wahl der einzusclilagenden Route in
erater Linie von den auf ihr zu erwartenden Windverhaltniasen ab ; unter Uin-
standen hat die Riicksicht auf die mSglichste Annaherung an den grSBten Kreis
unter verechiedenen Routen den Ausschlag zu geben.
26) Z. B. San Franzisko Jedo 242 Sm. oder 5,4%; Kap Horn Kap dor
guten Hoffnung 202 Sm. oder 5,5%. Bei ungleichnamigen Breiten iat die
Wegeraparnis in alien praktiachen Fallen nicht nennenswert, z. B. Valpa
raiso Nagaaaki 82 Sm. oder 0,8%.
21*
312 VI i, 6. H. Meldau. Nautik.
Seekarte und die Berechnung des Kurswinkels, unter dem jeder Meridian
zu schneiden ist.
Es sind eine grofie Reihe von Versuchen gemacht, durch Bereit-
stellung besonderer Hilfsmittel dem Segeln im gro Bten Kreise eine
dem Fahren in der Loxodrome nahekommende Einfachheit zu sichern.
Die wichtigsten der vorgeschlagenen Methoden seien im folgenden
angedeutet 26 ).
b) Rechnerische Losungen. Die nachstliegende Losung besteht in
der Auflosung des zwischen A, B und dem Pol P liegenden sphari-
schen Dreiecks, ftbergang zum ,,Scheitel" >$ (<? , A ) oder zum Aquator-
schnittpunkt S (<JP O = 0, A ) und Berechnung der Breiten, in denen
beliebige Meridiane geschnitten werden, und der zugehorigen Kurse
durch Auflosung rechtwinkliger Dreiecke.
Oder man kann, ausgehend von der Gleichung der Orthodrome
auf der Kugel, die unter Benutzung der soeben angegebenen Bezeich-
nung lautet 87 )
tg 9 tg 9> sin (^ <*o);
zunachst die Konstanten <p , /. unter Zuhilfenahme der aus den Be-
dingungsgleichungen
% Vi = tg qp sin (^ A )
% 9 = *g 9 sin (A 8 A )
folgenden Beziehung:
sin *
ermitteln und mit der Auflosung rechtwiukliger Dreiecke fortfahren.
Handelt es sich nur um die Niederlegung des grofiten Kreis-
bogens in die Mercatorkarte, so kann man nach G. Zescevich die
Breite <p . , in der der Meridian A = % (Aj -f- A 8 ) geschnitten wird,
finden nach
j i _ 5
*g <P^ = y sin (<)PI + %) sec ^~2~ sec 9i sec 9>
und in derselben Weise mit der Halbierung des Langenunterschiedes
fortfahren 88 ).
26) Eine ausfiihrliclie Ubereicht gibt das Buch von G. W. Littkhaks (a. Lit.).
27) Auf der Mercatorkarte lautet die Gleichung der Orthodrome
28) Das Yerfahreu lafit sich leicht fur die Berechnuug dee Schnittpunktes
mit irgendeinem Meridian verallgemeinern.
7. Orthodromische Schiffahrt. 313
Den rechnerischen Losuugen schlieBen sich diejenigen an, die
unter Verzicht auf grofie Genauigkeit zur Auflosung der Dreiecke
Tafeln, insbesondere die zur Bestimmung des Azimutes zusammen-
gestellten Tafeln 89 ), benutzen. Zunachst sei auf die in der modernen
Navigation viel gebrauchten, besonders durch E. Perrin eingefiihrten
sogenannten J. ; .B,C-Tafeln hingewiesen 30 ). Sie beruhen auf der Formel
C = A + B,
wo C = cot a sec qp; A = tg <p cot ; B -f- tg d coaec t.
Hierin bedeuten tp und d die Komplemente zweier Seiten eines spha-
rischen Dreiecks, t den zwischen diesen Seiten liegenden und a den
der Seite 90 d gegenftberliegenden Winkel. Das zwischen den
Punkten A, B und dem Pol liegende Dreieck kann auch durch Zer-
legung in rechtwinklige Dreiecke aufgelost werden. Gradtafeln recht-
winkliger spharischer Dreiecke enthalten die nautischen Tafeln von
H. Raper, sowie die Spezialtafeln von J. Randermann**). Die Auf
losung der rechtwinkligen spharischen Dreiecke kann auch durch
Nomogramine erfolgen 31 *).
Alle grofiten Kreise konnen erhalten werden durch Langen-
verschiebung eines Systems solcher Kreise mit einem gemeinsaraen
Aquatordurchmesser. Ein solches ,,orthodromisches System" kann
durch Tabulierung oder durch geeignete Projektion zum Gebrauch
bereitgestellt werden 32 ).
c) Graphische Losungen. Die fur das orthodromische Segeln vor-
geschlagenen graphischen Methoden geben entweder graphische Hilfs-
mittel zur Auflosung spharischer Dreiecke, oder sie beruhen auf
zweckentsprechenden Kartenentwfirfen, in vielen Fallen geht beides
ineinander fiber. W. Chauvenet verwendet zur genaherten Auflosung
spharischer Dreiecke stereographische Projektionen 88 ). Das Verfahren
ist fiir den vorliegenden Zweck verschiedentlich modifiziert worden.
29) Vgl. VI 2, 3 Nr. 46.
SO) Vgl. z. B. S. T. S. Lecky, General utility tables, London 1897, oder die
entsprechenden Tafeln in irgeudeiner neueren nautischen Tafelsammluug.
31) Bremerhaven 1898.
31 ) Siehe etwa Proc. United States Nav. Inst. 34 (1908) p. 633.
32) Dieaen Weg verfolgte mau besonders in den 50 er Jahren (J. T. Towson,
London 1850, A. H. Deichmann, Neue Tafeln usw. Hannover 1856, u. a.).
33) Eine ,,Me8karte zur AuflSsung sphariacher Dreiecke", beatehend aus
zwei urn ihie Mittelpunkte gegeneinander drehbaven stereographiachen Aquatorial-
projektionea, (vgl. VI i, 4, Nr. 3), voii denen die eine auf transparent^ Material
gedruckt iet. hat E.Koihlschutter, Berlin 1905, herausgegeben. Eino stereographische
Projok<ion des spharischen Koordiuatennetaes in groBem MaBstab ist von G. W,
314 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
Von Interesse ist eine von dem Kapitan Weir angegebene, von
H. Maurer* *} eingehend behandelte graphische Darstellung, der die
am SchluB von Nr. 7 b angefuhrte Gleichung zugrunde liegt. Setzt man
in der Gleichung
cot a sec cp tg tp cot t -f- tg d cosec t,
wo <p, d die Breiten, t den Langenunterschied des Abfahrtsortes A
und des Bestimmungsortes B und cc den Kurswinkel bedeuten,
tg9cos = y, tgd = /,
sec <p sin t = x, == x f
so geht sie iiber in die Gleichung der Geraden
X X
Fur konstantes t liegt der Punkt (x, y) auf einer Hyperbel mit den
Halbachsen sin t und cos t, fur konstantes tp auf einer Ellipse mit den
Halbachsen sec (f und tg (p. Die Gesamtheit dieser (konfokalen) El-
lipsen und Hyperbeln gibt eine winkeltreue Abbildung 85 ) des recht-
winkligen spharischen Koordinatensystems. Die Verbindungslinie ernes
Punktes (x, y) mit dem auf der y-Achse liegenden Punkt (x f y ) liefert
den Kurswinkel a.
Von eigentlichen Karten sind fur die Zwecke des Segelns im
grofiten Kreise besonders solche in stereographisclter**) und solche in
gnomonischer 37 ) Projektion vorgeschlagen. Wahrend die ersteren,
obgleich der Kurswinkel auf ihnen in nattirlicher Grofie erscheint,
sich keinen Eingang in die Praxis haben erobern konneii, sind die
letzteren von einer gewissen praktischen Bedeutung geworden. Die
umfassendste Sammlung solcher gnomonischer Karten ist vom Hydro-
graphischen Amte in Washington herausgegeben. Die Kartenblatter
selbst enthalten Hilfsmittel zur Messung von Distanzen und Be-
stimmang von Kursen 88 ).
Littkhaks, Philadelphia 1906, herausgegeben. Sie umfafit 368 Tafeln und ent-
spricht einem Kugeldurchmesser von 12 FuB. Sie soil nicht nur zur Losung der
bier in Frage stehenden Aufgabe, eondern auch zur astronomischen OrtsbeBtim-
mung gebraucht werden.
34) Ann. d. Hydr. 33 (1905), p. 125.
35) Die Abbildung leidet an zu gtarken Verzemingen, urn praktisch brauchbar
zu sein. Naheres iiber sie in der in Fufinote 34 zitierten Abhandlung von
H. Maurer.
36) F. Paugger, Terr. Naut.; R. A. Proctor, Great Circle Sailing, London 1888.
87) H. Godfray hat schon im Jabre 1868 fur die euglische Marine eolche
Ka.rten herauagegeben, G. Hilleret im Jahre 1879 solche fur die fran/osische Marine.
38) Die Distanz wird uta den Berahrungapunkt gedreht, bis sie rait einem
8. Kustenecbiffahrt. 315
Fur kleinere Distanzen laBt sieh der orthodroraische Bogen in
der Merkatorkarte angenahert a!s Parabelbogen einzeiehnen 88 *).
8. Kiistenschiffahrt. a) AUgemeines. Solange das Schiff sich
in der Nahe der Kuste befindet, erfolgt die Ortsbestimmung mit Hilfe
von Peilungen, Abstandsbestimmungen und Winkelmessungen im An-
schluB an gesichtete Kustenpunkte. Als Instrumente kommen dabei
hauptsachlich die Logge, der Kompafi, die Peilscheibe und der Sextant
in Anwendung. 1st das Land wegen zu groBer Entfernung oder wegen
unsichtigen Wetters nicht zu sehen, so ist man auf den Gebrauch
des Lotes angewiesen.
Jede Beobachtung bestimmt im allgemeiuen eine Standlinie fiir
das Schiff. Die so bestimmten Standlinien nennt man terrestrische
im Gegensatz zu den astronomischen (VI 2, 3, Nr. 40). Der Schiffsort
wird erhalten durch den Schnitt zweier Standlinien. Bei gleicher
Zuverlassigkeit der Standlinien ist der Schnittpunkt um so genauer
bestimmt, je naher der Schnittwinkel einem Rechten kommt.
Der einzelnen Standlinie kommt in manchen Fallen eine Be-
deutnng zu als Grenzlinie zur Vermeidung von Gefahren.
An die Aufgabe der Ortsbestimmung schlieBt sich die der Wahl
des zum Bestimmungsort fuhrenden Weges. Neben tunlichster Weg-
kurzung muB die absolute Sicherheit des Schiffes hierbei maBgebend
sein. Fur die Wahl des einzuschlagenden Kurses sind auBerdem die
Art der Fortbewegungsmittel des Fahrzeuges Segel oder Maschinen-
kraft sowie die Mogliehkeit stetiger Kurskontrolle mitbestimmend.
Wahrend ein Dampfer von Feuerschiff zu Feuerschiff steuert und
Landvorspriinge in wenigen Seemeilen Abstand passiert, hat ein Segel-
schiff stets einen gehorigen Seeraum zwischen sich und der Kiiste
zu lassen.
Wenn Nebel oder unsichtiges Wetter das Sichten von Kiisten-
punkten vereiteln, so ist man auf Lotungen oder auf die von Feuer-
schiffen oder Leuchtturmen abgegebenen Schallsignale angewieeen.
Die Beurteilung der Richtung, aus der ein in der Luft erregter Schall
kommt, leidet unter groBer Unsicherheit. Mit Vorteil hat man in den
letzten Jahren Unterwasserschallsignale eingefuhrt. Wenn das Schiff
an beiden Seiten seines Buges mit Mikrophonen wie mit zwei Ohren
Meridian zusammenfallt. Die Kurse warden an einem ,,great circle course dia
gram" abgelesen, das in der nach y = tg 9 geteilten y-Achse und der mit der
Teilnng nach <p versehenen, t = 20 entsprechenden Hyperbel des oben be-
Bchriebenen Weirschen Diagrainmes bestebt. Das bei gegebenem y> zu t = 20 *
gehOrende 8 entnimmt man der gnomonischen Karte.
38) S. Ana d. Hydr. 36 (1908), p. 497
316 VI i,5. H. Meldau. Nautik.
ausgeriistet ist, so kann man die Richtung der Schallquelle auf etwa
10 geuau dadurch feststellen, daB man das vSchiff dreht, bis beide
Mikrophone gleich laut ansprechen. Die Entfernuug darf bis zu
10 Seemeilen betragen 39 ).
Der Nutzen, den Schiffe im Nebel aus der Wellentelegraphie
ziehen konneu. ist beschrankt, da die Bestimmung der Richtung, in
der das Wellenzentrum liegt, bisher uninoglich ist.
b) Richtungsbestimmungen. Das wichtigste Hilfsmittel der Kiisten-
Bchift alirt sind Richtungsbeatimmungen oder ,,Peilungen". Man macht
sie mit dem KompaB unter Benutzung einer auf den Kompafideckel
aufgesetzten Visiereinrichtung. Aus dieser KompaBpeilung erhalt man
unter Berucksichtigung der fiir den gesteuerten Kurs geltenden Ab-
lenkung die mifiweisende Peilung. Jede Peilung liefert in der Karte als
Standlinie eine Gerade 40 ). Unter norrnalen Verhaltnissen hat man auf
eine Unsicherheit von 1,5 in der Peilung zu rechnen 41 ). Die daraus
folgende Unsicherheit im Schiffsort wiichst proportional der Ent-
fernung des gepeilten Objekts.
Haufig benutzt man zur Anstellung der Peilungen Peilscheiben,
die mit ihrer Nullinie entweder in der Kielrichtung oder im wahren
Meridian nach dem gesteuerten rechtweisenden Kurs oder im mag-
netischen Meridian auf Grand einer bekannten magnetischen Richtung
orientiert werden (s. Stupor, Terr. Nav., p. 60).
c) Abstandsbestinmungen. Zur Bestimmung der Entfernung stehen
an Bord folgende Methoden zur Verfugung.
) Nur bei geringen Entfernungen und richtiger Beurteilung des
Zustandes der Luft sowie bei grofier Ubung gewahrt die Schatsung
der Entfernung geniigende Genauigkeit.
/3) Eine Entfernungsbestimmung durch die Schallgeschwindigkeit
isfc nur gelegentlich ausffihrbar. Bei ruhiger Luft gewahrt sie unter
lltnstanden einen wiinschenswerten Anhalt. Bei Nebel gibt zuweilen
das Echo eine wertvolle Warnung dadurch, daB es die Nahe des ver-
hiillten Landes oder eines Eisberges anzeigt.
39) S. z. B. Deutsche Mechanikerzeituiig 11)08, p. 29; Marine Ruudachau
18, 1 (1907), p. 41 ; Ann. d. Hydr. 36 (1907), p. 9.
40) Streng genommen entspricht der Peilung uicht eine Gerade der Seekarte,
sondern ein orthodromiacher Bogen. Die Abweichung dieses Bogens von der
Loxodrome ist bei den in Betracht kommenden Entfernungen gering, z. B. ist
der Unterachied der loxodromischen und der wahren Bichtung fur zwei Orte,
die auf dein Breitenparallel von 53 voneinander 10 Sm. entfernt liegen,
etwa 6,6 .
41) Den EinfluB der Neigung des Peilapparates untersucht H Mawer,
Ann. d. Hydr 35 (1907), p. 275.
8. Kustenachiffahrt 317
y) Hohenwinkd. Erscheint ein Objekt von h Metern Hohe unter
einem Hohenwinkel von n Minuten 42 ), so ist, sofern die terrestrische
Refraktion vernachlassigt werden darf,
E - --T - - Seemeilen oder nahe ^ ~ Seeineilen.
Befindet sicli in der Nahe von Untiefen ein geeignetes Objekt von
bekannter Hohe, so kann man einen Grenzwert des Hohenwinkels
angeben, der bei der Annaherung nicht iiberschritten werden darf
(vertikaler Gefahrwinkel).
d) Leuchtfeuer in der Kimm. Aus den Dimensionen der Erde
ergibt sich als Halbniesser des Erleuchtungskreises eines H Meter
hohen Leuchtfeuers ohne Beriicksichtigung der Strahlenbrecliung
E = 1,927 y S Seemeilen.
Die terrestrische Refraktion bewirkt, da6 der Halbmesser des tatsach-
lichen Erleuchtungskreiees von diesem Werte abweicht. In den nau-
tischen Tafeln sind gewohnlich Tabellen angegeben, in denen eine Ver-
groflerung des Wertes um Via seines Betrages angenommen 43 ), also
E = 2,075 YH Seemeilen
gesetzt ist. Da die analoge Forrnel Anwendung findet auf die Sicht-
weite eines in einer Hohe von h Metern befindlichen Auges, so wird
die Entfernung eines in der Kimm gesehenen Leuchtfeuers
E = 2,075 (VH+ I/A) Seemeilen
gesetzt. In der Praxis verfahrt man wohl so, dafi man durch Ver-
auderung der Augesbohe das Feuer in die Kimm bringt. Die An
wendung ist auf die Nachtzeit beschrankt. Es war langst bekannt,
dafi die Zuverlassigkeit dieser Abstandsbestimmung bei ungewohnlichem
Zustande der Atmosphare sehr gering ist. Durch die Untersuchungen
von K. Kofi und Graf Thun-Hohenstein ist festgestellt, dafi die Re-
fraktiou in den unteren Schichten der Atmosphare stark vom Tem-
peraturunterschied von Wasser und Luft abhangig ist 44 ). Wichtige
42) Die Winkelmessung wird mit dem Seitanten, dem Objektivmikromefcer
von F. Schaub oder dem micrometre a double reflexion von G. E. Fleuriais
ausgefvihrt, vgl. Eoth } Stupor, Guyou (Lit.).
43) Vgl. VI 2, 3, Fufiuote 286.
44) Vgl. VI 2, 3, Nr. 88; K. Kofi, Mitt. 29 (1901), p. 919; Stupar, Terr.
Nav. (Lit. A). An neuerer Literatur zu der Frage der Kimmtiefe sei genannt:
H. Meyer, Ann. d. Hydr. 34 (1906), p. 438; E. Moll, Marine Rundschau 181 (1907),
p. 197; Engel, Marine Rundschau 191 (1908), p. 227; Ann. d. Hydr. 37 (1909),
p 180
318 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
Folgerungen aus den JBTo/Sschen Beobachtungen auch hinsichtlich der
Berechnung der Entfernung der scheinbaren Kimm hat E. Kohlschutter
gezogen. Sie beziehen sich insbesondere auf die Bahn der Licht-
strahlen in den unteren Schichten der Atmosphare. Die von Kohl
schutter angeregten beztiglichen planmaBigen Untersuchungen barren
noch der AusfQhrung.
e) Unter derselben Unsicherheit wie die Bestimmung der Ent
fernung der scheinbaren Kimm leidet die Abstandsbestimmung durch
Messung des Hohenwinkels eines Objekts, dessen Fu6 von der Kimm
verdeckt ist.
) Aufier den genannten Methoden sind an Bord von Kriegs-
schiffen besondere Distanzmesser* 6 ) im Gebrauch; sie dienen jedoch
in erster Linie artillerist! schen Zwecken 46 ).
d) Der Horizontalwinkel zwischen zwei Objekten liefert als Stand-
linie den Kreisbogen, der diesen Winkel als Peripheriewinkel faBt.
AuBer zur Ortsbestimmung ist diese Standlinie wertvoll als Grenz-
linie zur Vermeidung von Gefahren. Sind Sandbanke oder Klippen
einer Ktiste vorgelagert, auf der zwei geeignete Peilobjekte in Sicht
sind, so zeichnet man in der Karte einen durch die Objekte gehenden
und die samtlichen Untiefen einschlieBenden Kreisbogen. Der diesem
Kreisbogen entsprechende Peripheriewinkel wird als ,,Gefahrwinkel"
am Sextanten eingestellt. Solange vom Schiffe gesehen der Winkel
zwischen den Objekten kleiner ist, befindet man sich frei von den
Untiefen.
e) Lotungen, W. Thomsons Lotmctschine. Eine Lotung gibt als
Standlinie die ihr entsprechende Linie gleicher Wassertiefe. Diese
,,Tiefengleichen" sind in den Seekarten far je 5 oder je 10 m Wasser
tiefe ausgezogen. Die Tiefenangaben der Karten beziehen sich ge-
wohnlich auf das mittlere Niedrigwasser bei Springzeit. Zu anderen
Zeiten gemachte Lotungen sind auf diese Zeit zu beschicken. AuBer
der Wassertiefe gibt haufig auch die Bodenbeschaffenheit AufschluB
fiber den Schiffsort, weshalb man sich bei jedem Lotwurf gleichzeitig
mittels einer in den * Boden des Bleilotes eingelassenen Talgmasse
auch eine Bodenprobe verschafft. Die Wassertiefe wird entweder un-
mittelbar an der Lotleine gemessen oder, da dieses Verfahren nur bei
sehr langsamer Fahrt moglich ist, nach W. Thomson aus dem am
46) Z. B. Stereo-Telemeter, haupteachlich ausgebildet von C. Zeift in Jena,
und der Dietanzmeeser von Barr und Stroud, eiehe z. B. Stupar, p. 204.
46) Fast ausschliefilich artilleristischen Zwecken dient auch die sogenannte
Horizontmethode , bei der man den Winkel mifit ^wiacben der Kimn: iind dem
(schwiinmenden) Objekt, dessen Entfernnng gesucht ist.
8. Kustenschiffahrt. 319
Meeresgrunde herrschenden Wasserdruck bestimmt. Zu dem Zweck
wird mit dem an einem dttnnen Stalildralit hangenden Lot eine etwa
600 mm lange unten offene und oben geschlossene Glasrohre init
hinabgegeben. Die Rohre 1st innen mit einem Belag von chrom-
saurem Silber versehen. Dieser rote Belag wird durch das ein-
dringende Salzwasser entfarbt, so daB nach dem Heraufholen der
Rohre die Wassertiefe nach dem Mariotteschen Gesetz bestimmt oder
an einem Mafistabe abgelesen werden kann.
Ein Tiefenanzeiger von Massey miflt die Wassertiefe durch die
Umdrehungszahl einer Schraube, die in fester Verbindung mit dem
Lot hinunterfallt.
Unter dem Namen Tiefenmelder (submarine sentry) Bind Drachen-
apparate vereinzelt im Gebrauch, die, auf eine bestimmte Tiefe ein-
gestellt, vom Schiffe nachgeechleppt werden. Wenn sie den Grund
beriihren, so zeigen sie dies dadurch an, dafi sie infolge der Aus-
losung eines Hakens an die Oberflache kommen 47 ).
Wichtiger noch als fur die Ortsbestimmung sind die Lotungen
als oft einziges Mittel zur Erkennung unmittelbar drohender Gefahr.
f ) Verbindungen zweier Standlinien zur Scstimmung des Schiffsortes.
Von den mannigfachen Verbindungen zweier Standlinien zur Bestim-
mung des Schiffsortes seien besouders die folgenden erwahnt.
Als Kreuspeilung bezeichnet man die Positionsbestimmung durch
Peilung zweier Punkte A und B. Fur die zweite Peilung kann dabei
die Messung des Horizontalwinkels zwischen A und J5 eintreten,
was besonders zu empfehlen ist, wenn dieser Winkel klein ist.
Die Horizontalwinkelmessung kann mit einer Abstandsbestimmung,
etwa durch Hohenwinkelmessung, kombiniert werden.
Als Doppelwirikelmessung oder Aufgdbe der vier Punkte bezeichuet
man die Ortsbestimmung durch Messung von zwei Horizontalwinkeln 48 )
(Snellius-Potltenot, geodatisch Riickwartseinschneiden, vgl. VI i, 1,
Nr. lOb).
Das wichtigste Hilfsmittel zur Fiihrung eines Schiffes, zumal
eines Dampfers langs einer Kfiste, sind unausgesetzte Doppelpeilungen.
47) Betreffs der inannigfaltigen Ausgestaltung, die die Lotapparate auf
Grund der genanuten Prinzipien erfahren haben, s. den Bericht Ton E. Kohlschfitter^
Deutsche Mechaniker-Zeitung 1906, p. 21, sowie die Berichte in der Marine Rund
schau 19 (1908), p. 1409; 20 (1909), p. 53 und 61.
48) Zur Bchnellen Auffindung dee Schiffsortea Bind ,,Doppeltxan8porteure"
im Gebrauch. Diese sind mehrfach BO ausgestaltet worden, dafi die Winkel un
mittelbar am Transporteur eingestellt werden kOnnen. Vgl. E. KoMschutter,
Deutsche Mechaniker-Zeitung 1906, p. 20 und Eoth, p. 235; Stupar, p. 222.
320 VI i, 6. H. Meldau. Nautik.
Darunter versteht man die zwefonalige Peilung desselben Objektes bei
bekannter zwischenliegender Versegelung. Beispielsweise peilt man
jedes aufkommende Leuchtfeuer, sobald es 45 von vorn und wenn
es querab erscheint. Dann 1st der Passierabstand gleich der inzwischen
zuriickgelegten Distan/. Neben dieser einfachsten als ,,Vierstrich-
peilung" bekannten Regel leisten noch eine Reihe anderer einfacher
Falle von Doppelpeilungen fiir die sichere Ftthrung des Sclriffes gute
Dienste 49 ).
B. Der Kompaft an Bord eiserner Schiffe.
9. HistoriKche Einleitung. a) Phasen der Problemstellung. Das
Problem der Ablenkung oder Deviation des Kompasses an Bord der
Schiffe ist ein neuzeitliches. Im Anfange des neunzehnten Jahrhunderts
zuerst auftretend, hat es mit der zunehmenden Verwendung des Eisens
als Schiffbaurnaterial und mit den erhohten Anforderungen an den
ozeanischen Verkehr von Jahrzehnt zu Jahrzehnt an Bedeutung ge-
wonnen.
Die Entwicklung der Problemstellung ist durch die folgenden
Etappen gekennzeiehnet. Im ersten Drittel des neunzehnten Jahr-
hunderts hat noch das alte Holzschiff die Alleinherrschaft, nur werden
auf ihm von Jahr zu Jahr mehr eiserne Ausriistungsgegenstande ein-
gefiihrt. In den dreiBiger Jahren tritt in der Handelsmarine neben
das holzerne das eiserne Schiff. Vom Jahre 1859 an geht auch die
Kriegsmarine, die bis dahin zum Teil mit Rucksicht auf den KompaB
dem holzernen Schiffsrumpf treugeblieben war, plotzlich und mit
grofier Energie zum Bau eiserner Panzerschiffe iiber. Die Eisen-
massen dieser Schiffe werden in der weiteren Entwicklung immer
machtiger, die Kompasse selbst werden zum Teil unter Panzerschutz
gestellt, wodurch die Anforderungen an die Konstruktion dieses In-
strumentes und die Schwierigkeiten seines Gebrauches stetig wachsen.
b) PJiasen der Losungsversuche. Der Entwicklung der Problem
stellung parallel gehen die Losungsversuche. Auch in den ange-
wandten Losungsmethoden sind verschiedene Phasen erkennbar.
Das Problem wird in den Kreis wissenschaffclicher Behandlung
geriickt durch M. Flinders 60 ). In der von den Arbeiten Flinders be-
49) Biehe die Lehrbiicher der Navigation. Cber die Aufgaben der Kiisten-
schiffahrt handelt K. von Pott, tftjer moderue terrestrische Nautik, Mitt. 34
(1906), p. 418.
60) Flinders, Kapitan eines cnglisciien Kriegsschiffes, leitete 18011803
Vermessungsarbeiten an den Iviisten Austraiieus, wobei or die ersten Beobach-
tun^en ftber Ablenkung machte , London Phil. Trans 1806, p. 186 und M. Flin-
9. Historische Einleitung. 321
herrschten ersten Periode, bis 1820, beschrankt man sich im wesent-
lichen auf eine experimentelle Peststellung der Erscheinungen und
sueht durcli empirische Formeln die Ablenkung als Funktion des
Kurswinkels und der magnetisclien Breite darzustellen. Da auf Holz-
schiffen permanenter Magnetismus fast ganz aufier Spiel bleibt, die
Verteilung des Eisens und der Aufstellungsort des Kompasses auf
solchen Schiffen aber im wesentlichen ubereinstimmte, so durfte man
von dieser Art der Losung iimnerhin Erfolg erhoffen.
Mit den Jahren 1819 1820 beginnen die Versuche, die beob-
achteten Erscheinungen auf ihre magnetischen Ursachen zuriick-
zufiihren 51 ). Besonders kommen hier eine Abhandlung von Th. Young**)
und Experimentaluntersuehungen von P. Barlow**) in Frage.
Die Untersuchungsmethode von Young und Barlow ist die des
Studiums von Spezialfallen, insbesondere sucht man die an Bord ge-
fundenen Ablenkungen als von einer mittschifis vor dem Kompafi
gedachten, der erdmagnetischen Induktion uaterworfenen Eisenkugel
ausgehend darzustellen. Die aus diesen Untersuchungen hervor-
gegangenen Vorschlage zur Berechnung der Deviation, zu ihrer ex-
perimentellen Bestimmung niittels einer zeitweilig vor dem KompaB
angebrachten Weicheisenkugel und zur ^Compensation der Ablenkung
konnen heute nur noch historisches Interesse beanspruchen 5 *).
Das Fundament der heutigen Theorie des Schiffsmagnetismus ist
von S. I). Poisson**) gelegt, dem es 18,38 gelang, einen allgemeinen
Ansatz fur die Losung des Problems zu. finden. Wahrend die direkte
Berechnung der magnetischen Wirkung gegebener Eisenmassen auf
den KompaB auBer in den einfachsten Fallen 66 ) groBe und im allge-
ders, A voyage to terra australis, London 1814, 2. Eine Daretellung und Bear-
beitung der Flindersschen Boobaehtungeu gibt G. D. E. Weyer, Ann. d. Hydr. 16
(1888), p. 82.
51) Die Anregung ging beeondera von den Erfahrungen aus, die man auf
den Keiaeit von /. Ross und Edw. Parry zur Erforschung einer nordwestlichen
Durchfahrt und auf Walfiachfabrern in hohen magnetischen Breiten gemae.ht
batte. S. London Phil. Trans. 1819, p. 112 u. p. 96.
52) Quart. Journ. Sci. 9 (1820), p. 372.
63) Essay on magn. attractions, London 1820.
54) Eine Darstelluug dieses Entwickluugsstadiums, dessen Ergebnisse bis
iiber die Mitte des Jahrhunderts hinaus fiir Holzschiffe eine gewisse praktische
Bedeutung behalten, gibt H. Meldau, Ann. d. Hydr. 83 (1905), p. 411.
66) Me"m. de 1 Inntitut 16 (1838), p. 479. Der Hauptgedanke findet sich
Bchon am Schluese der zweiten der beiden Abhandlungen xiber die Theorie dea
Magnetismua, die Poisson 1824 der Akademie vorlegte (Mem. de 1 Inatitut 6 (1826),
p. 533). Er wird dort aber nur zur Abzahlung der fiir das Verachwinden der
Deviation notigen Bediagungen benut/.t.
322 VI i, 6. H. Meldau. Naufcik.
gemeinen uniiberwindliche Schwierigkeiten bietet, faBte Poisson den
Gedanken, daB die Form der allgemeinen Gleichungen, welche diese
Wirkung darstellen, nicht von der Gestalt, der Lage oder der Induk-
tionsfahigkeit des Eisens abhangt, sondem sich unraittelbar aus ein-
fachen physikalischen tJberlegungen ableiten lafit. Diese Gleichungen
(s. Nr. 13b) enthalten eine Anzahl von der Koniiguration und der
magnetischen Beschaffenheit des Schiffseisens abhangiger Konstanten,
die aber ohne Kenntnis dieser Besonderheiten aus den Wirkungen in
verscbiedenen Lagen des Schiffes experimentell gefunden werden
konnen 57 ).
Die von Poisson aus den Grundgleichungen abgeleiteteii Aus-
driicke zur Berechnung der Deviation sind noch wenig durcbsichtig.
Die Ausgestaltung der Deviationstheorie auf Grund der Poissonschen
Gleichungen ist durch A. Smith 68 } geschehen. Ihre endgultige Form
hat die Theorie in der ersten Auflage des Admiralty Manual im
Jahre 1862 erhalten, als nach dem Bau der ersten Panzerschifle die
groBen auf ihnen beobachteten magnetischen Storungen zum Ge-
brauche von exakten an Stelle von Naherungsfonneln notigten 59 ).
c) Airys Kompettsationsvorschlage. Fur die eisernen Schiffe ; deren
Zahl und GroBe in der Handelsmarme von der Mitte der dreiBiger
Jahre an stetig zunahm, sind zunachst von der Entwicklung der
Poissonschen Gleichungen ganz unabhangige Bestrebungen maBgebend,
namlich die Versuche, durch kunstliche Mittel den KompaB wieder
fehlerfrei zu machen. Diese Versuche gingen aus von G. B. Airy und
griindeten sich auf Untersuchungen an den ersten eisemen See-
schiffen ,,Rainbow" und ^Ironsides" 60 ). Als hervorstechendstes Re-
56) Die der Rechnung zug&nglichen Falle der magnetischen Wirkung in-
dividueller WeicheisenmaaBen hat A. Smith 1865 behandelt (s. London Phil. Traus.
155 (1865), p. 804).
67) Poissons Interesse ist bei diesen Untersuchungen vorwiegend der erd-
magnetischen Forschung zugewandt, und zwar verfolgt er den Plan, die De-
klination und daneben die in die Gleichungen eingeheude Inklination aus den
an Bord vou Schiffen angeatellten Deklinationsbeobachtungen abzuleiten, nach-
dem filr das Schiff gewisee Konstanten durch Beobachtungen im Heimatshafen
ermittelt sind.
58) Auch fur die Weiterentwicklung der Theorie iat zunachst das erd-
magnetische Interesse die Haupttriebfeder. Sie findet sich in Beitragen von
A. Smith zu Ed. Sdbine, Contrib. to terr. magn., zum Zwecke der Reduktion der
auf den Schiffen ,,Erebus" und ,,Terror" gemachten magnetischen Beobachtungen,
London Phil. Trans. 1848, p. 147; 1844, p. 116; 1846, p. 347.
69) Vgl. Nav. Arch. Trans. 8 (1862).
60) London Phil. Trana. 1889, p. 186.
9. Historische Einleitung. 323
sultat hatten diese Untersuchungen das Vorhandensein ernes enormen
Betrages von permanentem Magnetismus im eisernen Schiffskorper er-
geben 61 ).
Die Theorie, deren sich Airy zur Auffindung geeigneter Kom-
pensationsvorrichtungen bedient, zerspaltet zum ersten Male die Ab-
lenkung in zwei Tcile 63 ). Den einen bezeichnet Airy als polare, den
anderen als quadrantale Deviation. Die Ursachen der polaren Ab-
lenkung sind 1) der permanente Schiffsmagnetismus und 2) die durch
erdmagnetische Vertikalinduktion in den Weicheisenmassen erzeugten,
wahrend der Drehung des Schiffes unveranderlichen Pole, Die Ur
sachen der Quadrantaldeviation sind die durch erdmagnetische Hori-
zontalinduktion in den Weicheisenmassen erzeugten, wahrend der
Drehung des Schiffes veranderlichen Pole. Hinzu kommt noch eine
bei seitlicher Neigung des Schiffes auftretende Zusatzablenkung, der
Krangungsfehler.
Der Umstand, da6 an Bord der von ihm untersuchten Schiffe
die quadrantale Ablenkung nur einen geringen Betrag aufwies, ver-
anlaBte Airy, dem induzierten Magnetismus iiberhaupt nur eine ge-
ringe Bedeutung fur eiserne Schiffe beizumessen und sich zur Kom-
pensation der polaren Deviation auf permanente Magnete zu beschranken.
Zur Kompensation der Quadrantaldeviation sind nach Airy seitlich
vom KompaB in der Hohe der Magnetnadeln Massen weichen Eisens
anzubringen.
Fiir die Kompensation des Krangungsfehlers gibt Airy eineu vor
dem KompaB senkrecht zum Deck in der Hohe der Nadeln zu be-
festigenden Magnet an 68 ).
d) Streit um die Kompensation. tFber den richtigen Weg, den
KompaB an Bord der Eisenschiffe gebrauchsfahig zu erhalten, ist
61) Permanenter Magnetismus war zuerst 1835 konstatiert; London Phil.
Trans. 1836, 2, p. 267.
62) Airy gent nicht von den Poiesonschen Gleichungen axis. Er sagt dar-
uber: Ich wurde gern die Berecbnuug nach Poissons Theorie gemacht haben. . .
Die Schwierigkeiten der Anwendung dieser Theorie auf verwickeltere Falle sind
groB, vielleicht unviberwindlich. 1 Die von Airy entwickelte Theorie von der
er sich selbst von vornherein nur qualitativ richtige Resultate verspricht
nimnit jedes Eiseuteilchen als in der Inklinationsrichtung proportional der
erdmagnetiscben Kraft polarisiert an, ohne die gegenseitige Beeinfluasung der
Teilchen ?,u berucksichtigen.
63) Diese Kompensationsvorrichirong ist nicht in Aufnahme gekommen.
Noch 1860 sagt Airy, die Krangungsdeviation sei noch nicht auf einfache Ge-
setze znrfickgefiihrt, ihre Kompensation sei die einzige, die wirkliche Schwierig-
keit darbiete (Nav. Arch. Trans. 1 (1860), p. 107) Diese Lflcke ist 1862 durch
A. Smith ausgefiillt (1. Aufl. des Adm. Man.).
324 VI i, b. H. Meldau. Nautik.
zwei Jahrzehnte lang gestritten worden. Auf der einen Seite forderte
man unter Verabscheuung jedes Eingriffes in die Wirksamkeit der
naturlichen schiffsmagnetischen Krafte: sorgfaltige Auswahl des
KornpaBortes, Beobaclitung ui)d Tabulierung der Fehler und Na-
vigierung nach diesen Tabellen. Gegen die Kompensation fuhrte
man besonders an, daB sie den Schiffsfuhrer in triigerische Sicher-
heit wiege, daB sie die Deviationsanderung bei Veranderung der
Vertikalkraft unberiicksiciitigt lasse, und daB sie eine wirkliche Er-
kenntnis der magnetischen Storungen vereitle. Airy hingegen be-
zeichnet das System, das Scliiff nach Ablenkungstafeln zu fiihren,
wegen der leicbt moglichen Irrtumer als ein gefahrliches; es schutze
auBerdem in keiner Weise vor den Wirkungen etwaiger Anderungen
im ,,subpermanenten" Magnetismus, im Gegenteil verschleiere es nur
diese Wirkungen durch die bei Breitenanderungen wegen der Ande-
mngen der Horizontalintensitat eintretenden Deviationsanderungen.
So babe es mit einem ,,gratuitous error" zu rechnen, von dem ein
kompensierter KompaB vollig frei sei 6 *).
Beiden Systemen gegeniiber vertrat W. Scoresby die Anscbauung,
daB der Magnetismus eines eisernen Schiffes durchaus uustabil sei
und durch jede Erschfltterung des Scniffes in der See verandert
werde 65 ). Scoresby gebiihrt das Verdienst, die Frage 1854 vor das
Forum der British Association gebracht und dadurch Veranlassung
zur Bildung des Liverpool Compass Committee gegeben zu haben,
Durch die systematischen Arbeiten dieser Kommission in den Jahren
1854 1861 wurden die physikalischen Grundlagen des Problems hin-
reichend geklart 66 ), so daB von da ab eine einheitliche Behandlung
der Frage eintreten konnte.
e) Ausgang des Streites. Es erwies sich, daB die Kompensation
besonders wegen des durch sie gleichzeitig erzielten Ausgleiches
der Richtkrafte ntitzlich und haufig notwendig 1st, daB sie aber
nicht ihr ursprungliches Ziel der Annullierung der KompaBfehler er-
reichen kann. Ihre Aufgabe ist lediglich, die Ablenkung fur alle be-
64) London Phil. Trans. 146 (1866), p. 79.
66) W. Scoresby, British ABB. Rep. 1847, 1864; Mag. Invest. 2, 1862; The
compass in iron ships, London 1864. Scoresby seinerseits empfahl als einzige
Bettung einen hoch an einem holzernen Mast angebrachten KornpaS; aus kiue-
tiichen Grunden sind jedoch hoch angebrachte Kompasse durchaus nicht zu
empfehlen (B. 18 e und FuBnote 137).
66) First and second reports from the Liverpool Compass-Committee, London
1857. Third report . . ., London 1862. Einen interessanten Bericht hierflber
geben A. Smith und F. Evans, Brit. Ass. Rep. 1862.
10. Magnetische Eigensehai ten des Schiffseisens. KompaBort. 325
fahrenen Breiten in bequeme Grenzen einzuschlieBen und daneben die
Richtkrafte auf den verschiedenen Kursen auszugleichen. Die iibrig
bleibende Deviation iet zu beobachten und rechnungsmaBig wie die
eines unkompensierten Kompasses zu behandeln.
Der exakten Anwendung der Airyschen Koinpensationsmitfcel
stellten sich noch erne Reihe von Hindernissen in den Weg, her-
riihrend eineraeits von der im Vergleich zur Entfernung der Magnete
und Weicheisenmassen nicht zu vernachliissigenden Nadellange, anderer-
seits von der Nadelinduktion zwischen den Weicheisenraassen und
dem Magnetsystem der KonipaBrose. Diese Schwierigkeiten sind einer-
seits durch die Untersuchungen von A. Smith und F. Evans fiber den
EinfluB der Nadellange und die nach den Ergebnissen dieser Unter
suchungen konstruierten Mehrnadelsysteme (s. Nr. 18b), andererseits
durch die Anwendung von KompaBrosen mit auBerordentlich geringeni
magnetischen Moment iiberwunden worden (s. Nr. 18c).
10. Maguetische Eigensohaften dee Sehiffsoiseus. KompaBort.
a) Fester Schiffsmagnetismus. Der feste Schiffsmagnetismus ruhrt aus
der Bauperiode des Schifies her. Wahrend das Schiff zu dieser Zeit
der erdmagnetischen Induktion ausgesetzt ist, wird die Entstehung
von festem Magnetismus durch die intensiven Erschiitterungen der
Nietarbeit begiinstigt. Ein Teil des so erworbenen Magnetismus bleibt
stets im Schiff erhalten.
Die Lage der ,,magnetischen Achse" des Schiffes ist vom Baukurse
abhangig 67 ), sie fallt annahernd in die Ebene, die beim Ban im
magnetischen Meridian lag. Auf modernen Schiffen, insbesondere auf
Kriegsschiffen, macht sich oft der EinfluB einzelner in der Nahe des
Kompasses befindlicher Eisenmassen in emem solchen Grade bemerk-
bar, daB der Baukurs in den magnetischen Kraften am KompaBort
nicht mehr erkennbar ist, so daB man von einer ; ,magnetischen Achse"
des Schiffes nicht wohl mehr sprechen kann (s. Nr. 10 d). Eine be-
deutende Reduktion des aufgenomnaenen Magnetismus tritt bei der
ersten Anderung der Lage des Schiffes nach dem Stapellaufe ein 68 ).
Nach langerer oder kiirzerer Zeit, je nach den Kursen, auf denen das
67) Zuerst yeraratet ist dies von Edw. J. Johnson (London Phil. Trana.
1836, p. 285); Airy hat lange den Gedanken einer Abhangigkeit dee magne
tischen Charakters eines SchifFes von der Richtung und der Temperatur, welche
die zum Ban verwendeten Eisenplatten beim Walzen batten, verfolgt, London
Phil. Trans. 1839, p. 212; Nav. Arch. Trans. 1862; London Phil. Trans. 162(1862),
p. 273.
68) Deviationuandertmgen von 1020 in wenigen Tagen sind nichtw Un-
gewShnliches.
Kucyklop. d. math. Wiicnich. V ! 1. 22
326 VI i, 6. H. Meldau. Nautik.
Schiff uachher liegt und je nach den Erschiitteruugen , denen es auf
ihnen ausgesetzt ist, bildet sich allmahlich ein nahezu stationarer Zu-
stand im Baumagnetismus des Schiffes heraus. In der Regel ist der
ProzeB der Abschtittelung des ,,halbfesten" Magnetismus bei einem in
Fahrt befindlichen Schiffe nach Jahresfrist praktisch beendet 69 ).
Es sei noch folgendes hinzugefiigt. Der beste Baukurs ist der
magnetische Meridian. Anf diesem Kurse entstehen nur Langsschiffs-
krafte, wahrend bei 0- oder W-Kurs neben Querschiffs- such Langs-
sehitfskrafte entstehen. Der Querschiffsmagnetismus erweist sich als
erheblich variabler als der Langsschiffsmagnetismus, dadurch wird die
Gesamtkraft am Kompafiort nach Grb Be und Richtung veranderlich.
Nach dem Stapellauf ist das Schiff womoglich in die dem Bau-
kurse entgegengesetzte Richtung zu legen und hat in dieser Lage
seine weitere Ausriistimg zu empfangen. Dadurch wird die Absehutte-
lung von halbfestem Magnetismus, sofern dieser auf Horizontalinduktion
beruht, sehr beschleunigt und in die Bauzeit hineinverlegt 70 ). Zu
einer Reduktion des durch Vertikalinduktion entstaiidenen Baumagne
tismus ist erst bei einer etwaigen Fahrt des Schiffes in siidmagne-
tische Breiten Veranlassung gegeben.
b) Hcdbfester Schi/fsmagnetismus. Wenn das Schiff langere Zeit
ein und denselben Kurs ateuert, oder weim es langere Zeit im Hafen
beim Loschen und Laden in derselben Richtung liegt, so setzt sich
dabei im Schiffe neuer Magnetismus fest, dessen Verteilung in erster
Linie vom gesteuerten Kurse ; dessen Betrag von der Lange der Zeit,
die das Schiff auf dem Kurse lag, von den Erschfltterungen , denen
es ausgesetzt war, von den erdmagnetischen Elementen des Schiffs-
ortes und in hohem Grade von den magnetischen Eigenschaften der
zum Bau verwendeten Eisen- oder Stahlsorte abhangt.
69) Beispiel: C. Koldewcy, Ann. Hydr. 26 (1897), p. 22. Bemerkenswerte
Anderung der Deviation des Regelkompasxses des Dampfes ,,Phoenicia u wahrend
des ersteu Fahrtjahres.
70) Siehe z. B. London Phil. Trans. 150 (I860); J. Un. Serv. Inst. 9 (1865).
Ann. d. Hydr. 1906, p. 495. Nfthere Ausfiihrungen fiber BaumagnetismuB s. ,,Schiff-
bau" 9 (1907), p. 14. Die vollige Demagnetisierung oder Depolarisierung der
Eisenschiife ist mehrfach versucht worden, znersi in England von K. Hopkins
an dem Kriegeochiffe ,,Northumberland" (J. Un. Serv. Inst. 1866). Zurackgewieseii
wird das Verfahren, soweit es in einer Bearbeitung dee Schiffsrumpfes mit Elek-
tronaagneten bestand, durch F. Evans (London Phil. Trans. 168 (1868), p. 487
und J. Un. Serv. Inst. 1872). Interessante Versuche eind spater in Osterreich von
/. Peichl gemacht (Geschicbte der Entwicklung des magnetischen Charaktera 8.
M. Kriegsschiffe und Entwurf eines ana derselben abgeleiteten Depolarieierungs-
verfahrens, Pola 1876).
10. Magnetische Eigenachaften des Schiffsoisens. Kompafiort.
c) Fliichtiger Schift smagnetismus. Zum Teil iat das zian Bau
von Schiffen verwandte Eisen als ntagnetisch weich zu bezeichnen,
d. h. als Eisen, dessen Magnetisierung sich momentan mit der magne-
tisierenden Ursache andert, und dessen Magnetisierungsriehtung an
jeder Stelle mit der dort vorhandenen Feldrichtung zusammenfalit.
d) Wahl des Kompafiortes. Bei gegebeneu Eisenmassen des
Schiffes sind die magnetischen Verhaltnisse, unter denen der KompaB
zu arbeiten hat, in hohem Grade von dem Orte abhangig, den man
dem Instrumente anweist. Das Streben nmB dahin gehen, den KompaB
auBerbalb des Bereiches der Wirkung individueller Eisenmassen zu
stellen, so daB das Schiff magnetisch nur als Ganzes am KompaBorte
wirkt. An Bord der modernen Kriegsschiffe ist die Erfiillung dieser
Forderung meist nichfc niehr erreichbar 71 ).
Da man bei den Kompassen, die als Steuer- oder Manoverkompasse
dienen sollen, in der Wahl des Platzes durch die Rueksicht auf den
Dienst meist an magnetisch weniger giirisi/ige Ortlichkeiten gebunden
ist, so atellt man aufier diesen einen ,,Normal"- oder ,,IiegelkompaB"
an einem moglichst gfinstigen Platze, unter alien Umstanden in der
Symmetrieebene des Schiffes, auf. Dieser KompaB ist fur die Navi
gation maBgebend ; neben ihm sind die (ibrigen Kompasse nur als
Ubertragungsinstrumente anzusehen.
Das wirksamste Mittel zur Vermeidung ungiinstiger magnetischer
Verhaltnisse besitzt man in der Verwendung von Gelbinetall oder
schwach magnetisierbaren Stahllegierungen, insbesondere von Nickel-
stahlen 72 ), in der nachsten Umgebung des in Aussicht genommenen
KompaBortes. Die Kaiserliche Marine verwendet seit mehreren Jahren
mit gutem Erfolg zu diesem Zweck 23prozentigen Niekelstahl 7a *).
71) S. z. B. E. W. Creak, J. Un. Scrv. last. 33 (1889), p. 949.
72) Die Frage der magnetischeu Permeabiiit&t der Nickelstahle ist noch
nicht genvigcnd gcklart. Nach den Untersuchnngen von Oh. Ed. Gwllaunic,
F. Osmond und G. Tammann (B. Zeitschr. f. anorg. Ghemie 46 (1905), p. 206, wo
weitere Literaturangaben, 60 (1908), p. 416, Zeitschr. f. phys. Chemie 65 1 (1908),
p. 73) zeigen Nickelstahle von etwa 6 bis 36 Gewichtaprozeuten Nickel irrever
sible Umwandhmgen derart, dafi eie ihre Permeabilitat beim Erhitzen bei Tena-
peraturen von 760 460 verlieren und beim Abktihlen diese erst bei erheblich
niedrigeren Temperatureu wiedererlangen. Letztere Temperatur soil bei 20 bia
30 prozentigen Schinelzen teilweise zwischen 100 und liegen. Fur techniach
hergestellte Nickelstahle, wie sie beiin Schiffbau Verwendung finden, ergaben von
der Physikalisch-Techniachen Eeichsanstalt gemachte und bis zur Temperatur
von 40 gehende Untersuchungen keine wesentliche Anderung des in der
Regel zwiechen 1,0 und 1,1 liegenderi Wertea von p mit der Temperatnr.
72*) Anch auf den nencren Pasaagierdampfern dea Norddeutschen Lloyd,
bei deneu der Kompafi im Interesse dea Dienstes in eiuem geschloeeenen Brflckeu -
22*
328 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
11. Beobachtungsmethoden 73 ). a) Zu bestimmende Grofien. Das
durch die schiffsmagnetisclien Kriifte am KompaBorte erzeugte Magnet-
feld iiberlagert sich dem erdmagnetischen.
Far den KompaB 1st unmittelbar nur die liorizontale Komponente
des entstehenden Gesamtfeldes von Bedeutung, und zwar interessiert
in erster Lime der Winkel, den diese Koinponente mit dem mague-
tischen Meridian bildet, in zweiter Linie auch ihre GroBe, die in den
Lehrbuchern meist als , 7 Richtkraft" bezeiehnet wird 73 *). Sie soil iin
folgeuden ,,horizontale Feldstarke" genannt werden. Die Vertikal-
kompouente des Gesamtfeldes bei aufrecht liegendem Schiff ist von
Interesse, weil ihr schiffsmagnetischer Bestandteil bei der Neigung
des Sehiffes eine horizontale Komponente liefert.
b) Ermittelung der Deviationen. Man findet die Deviation, indem
man mit einer um den Mittelpnnkt des Kompafideckels drehbaren
Visiervorrichtuug die KompaBpeilung eines geeigneten Objektes be-
stiinmt 7 *) und diese KompaBpeilong mit der magnetischen Peilung
vergleicht 75 ). ZaMt man die Ablenkungen und die Peilungen von
Nord aus reckts herum, so ist
d = K ,
weun 8 die Ablenkung der Rose, a die magnetische Peilung und
die zugehorige KompaBpeilung eines Objektes bezeichnen.
hanse steht, ist fur die Wande des Hauses, soweit sie nicht aus Holz beatehen,
hochprozentiger Nickeletahl oder Messing verwandt. Von beeouderem Intereeee
ist der neuerliche Versuch, die tnagnetiechen Verhaltniase des Kompa8ortes da-
diirch zu verbessern, daB die ganze mittlere Sektion des Bruckenhauses auf
2 3 in Breite HUH nichtmaguetischem Me tall hergestellt wird. Man hofft so
eine naturliche Kompensation der Querschiffsinduktiou zu erzielen.
73) Der Inhalt des TexteB bezieht eich auf navigatorische Beobachtungen.
ttber magnetische Beobachtuugen an Bord fur erdmagnetisch-wissenschaftliche
Zwecke eiehe inabesondere Fr. Bidlingmaier , Deutsche Sudpolar-Expedition,
V. Erdmagnetismns I, Kap. 3 und 4.
Methoden, wie sie /. Ripoll, Rev. mar. 176 (1907), p. 613 als methodes nou-
velles et precises enipfiehlt, verfetilen ihr Ziel schon deshalb, weil sie den an
Bord vorliegenden Beobachtungsbedingungen durchaus nicht angepa^t Bind.
73 ) Andererseits wird unter Richtkraft der Wert des Produktes aus Feld-
starke und magnetischem Moment des Nadelsystems der Eompafirose verstaaden.
E. Eottok und das Lehrbuch der Navigation (Lit. B) bezeichnen -dieses Produkt
ale ,,Richtraoment u .
74) Ygl. Nr. 8b.
75) Magnetische Azimute nennt man die vom magnetiechen Meridian aus
gezahlten im Gegenaatz zu den vom Nord- oder Sudpunkt des Eompaaaeu aus
gezahlten jfiromp/8azimuten. Ebenso spricht mail von magnetiscfan und Kompafi-
knnea.
11. Beobachtungsmethoden. 329
Handelt es sich urn eine vollstiindige Deviationsbestimmung, so
ist das Schiff womoglich zweiinal, reclits und links, herumzudreheu,
und es sind dabei die Ablenkungen etwa von 10 zu 10 des
Drehungswinkels zu ermitteln. Als anzuvisierendes oder ,,Peil"-Ob-
jekt verwendet man in diesem Falle entweder einen in einiger Ent-
fernung am Lande in eisenfreier Umgebung aufgestellten KompaB, an
dem gleichzeitig ein zweiter Beobachter das magnetische Azimut der
Verbindungslinie der beiden Kompasse feststellt, oder ein entferntes
terrestrisches Objekt oder zwei terrestrische Objekte in dem Augen-
blicke, wo sie sich init dem Kompasse in gerader Linie befinden 76 ).
Die magnetische Richtung entnimmt man in diesen Fallen der Karte.
AuBer Sicht des Landes ist man auf das Peilen von Gestirnen
angewiesen 77 ). Aus dem berechneten wahren Azimut findet man in
diesem Falle zunachst die ? ,Gesamtmifiweisung" 7 aus der man durch
Subtraktion der erdmagnetischen Deklination die Ablenkung erhalt.
Bis auf ihr konstantes Glied (s. Nr. 13 c p. 337) laBt sich die
Ablenkung ohne Kenntnis des magnetischen Azimutes des Peilobjektes
finden. Man berechnet, am besten nacb Rechts- und Linksdrehung,
zunachst die relativen Deviationen gegen ein angenommenes ungefahres
magnetisches Azimut und verschiebt sodann die Deviationskurve ge-
gebenenfalls unter Beriicksichtigung des von friiher bekannten kon-
stanten Gliedes der Ablenkung 78 ).
c) JDcviationskurven. Das bei einer vollstandigeu Deviations
bestimmung erhaltene Beobachtungsmaierial wird in den rueisteu
Fallen zweckinaBig zunachst graphisch verarbeitet. Die Darsteliung
der Ableukung durch eine Kurve gewahrt nicht allein die flblichen
Vorteile eines bequemen Fehlerausgleicbes, eines bequeinen Einschaltens
und eines tjberblickes fiber den Gesamtverlauf der Deviation, sie
bietet auch das einfachste Mittel, um aus den fur die KompaBkurse
beobachteten Ablenkungen die fiir die magnetischen Kurse geltenden
zu fiuden.
76) Bei gegenuberiiegenden Pcilobjekten wird dieser Augeablick durch ein
Sauernfeindaches Prismenkreuz festgcstellt (Ann. d. Hydr. 4 (1876), p. 384). Da
Deckpeilungen in mancher Beziehung Vorteile bielen, so hat z. B. die Kaiser-
licbe Marine in Kiel und Wilhelmsbaven besondere Vorkohrangon dazu in Ge-
gtalt von Deviationsbaken getroffen, die in Deckung mit bcstimmten Kirchtflrmen
oder einer besonderen Zentralbake bekannte magnctische Ricbtungen ergeben.
77) Auch in Sicht des Landes sind haufig Peilungon VOTI Gestirnen das
bequemste Hilfsmittel.
78) Szigydrtfi-Florian, Mitt. 13 (1885), p. 461; H (188S), p. 605: 21 (1893),
p. 24: A. Stupor, Terr. Nav., p. 70.
330
VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
Die Kreisteilung der KorapaBrose sei in eine geradlinige Achse
ausgestreckt. Tr agt man die den Kompafikursen entsprechenden Ab-
lenkungen miter irgsndeinem Winkel zur Achse auf und verbindet
die Endpunkte der aufgeiragenen Strecken mit dera Punkte der Teilung,
der dem magnetisehen Kurse entspricht 79 ), so sind alle diese Linien
parallel. In der Figur 2 sind die den Kompafikursen entspreehenden
Ablenkungen senkrecht zur Achse im Mafistabe der Rosenteilung auf-
getragen, K ist der Kompafikurs, M der zugehorige magnetische Kurs.
Um die zu M gehorige Ablenkung zu finden, hat man also ML
unter 135 zur Achse zu ziehen, dann ist LK die zugehorige Ab-
lenkung.
AT
\
K
L
/
/
M
f
mm
Fig. 2.
Fig. 3.
Im Napierschen Diagramm} werden die den Kompafikursen ent
sprechenden Ablenkungen unter 60 im Hafistabe der Rosenteilung
aufgetragen; dann sind die Linien LM (s. Fig. 3) unter 120 zur
Achse geneigt, und statt LK kann man LM als die zu M gehorige
Ablenkung ansehen.
12. Eilfsinstrumente. a) Messung der horwontakn Fddstarkc.
Die Ermittelung der Feldstarke hat nicht nur Bedeutung fur die Be-
urteilung der Gtite des Kompafiortes,, es konneu aus dem Verhaltnis
der Feldstarken auf den verschiedenen Knrsen auch die Deviations-
koeffizienten gefunden werden, wodurch die Moglichkeit einer Regu-
79) Bezeichnet f den magnetischen , f den Eompafikurs, so ist nach der
im Anfang von Nr. lib getrofienen Festsetzung
* f r Oder f = g +<y.
80) Angegeben um 1860 vom Ingenieur R. J. Napier. Napiereche und
lechtwinklige Netae zum Einzeichnen von Deviationekurven aind im Handel er-
hSltlich. Es sei noch venviesen auf Riv. maritt. 1906. p. 471 ; D. naut. Zeitschr.
Hausa 41 (1S04), p. 166, sovn e auf die FuBnote 95).
12. .Tilfsinatramente. 331
lierung des Kompasses auch lei Nebel und unsicbtigem Wetter ge-
geben 1st.
Man bedient sich der Schwingungs- oder Ablenkungsmethode.
Im ersten Falle ist der KompaB za entferuen und eine fur diese Be-
obachtungen geeignete einfache Horizontalnadel an den vom Nadel-
system der Rose eingenommenen Ort zu bringen 81 ). Ablenkungsbeob-
achtungen fiihrt man unmittelbar an der Rose des Kompasses selbst
aus unter Benutzung eines geeigneten Deflectors 8 *).
Alle Deflektoren bestehen aus einem Magnetsystem, das zentrisch
zur Rose auf den KompaBdeckel aufgesetzt wird, und dessen Moment
durch Veranderung des Polabstandes oder durch Veranderung der Bnt-
fernung der Pole von dem Nadelsystem der Rose variabel gemacht ist.
Das System ist urn die zentrale Achse des KompaBkessels dreh-
bar und wird entweder in bestimmtem Winkel CD zur ursprunglichen
Nordrichtung der Rose oder in bestimmtem Winkel zu der um a ab-
gelenkten Rose gehalten.
Die zu bestimmende Feldstarke H ist gegeben durch
jy, _ sin (to a) Q
sin a
wo D die Intensitat des Deflektorfeldes am Rosenorte ist. Man mifit
entweder bei konstantera o> die Intensitat H durch das D, das zur
Hervorbringung eines bestimmten a erforderlich ist, oder bei kon-
stantem D durch die erzeugte Ablenkung a. Immer ist, um kleine
Fehler im gesteuerten Kurse 83 ) unschadlich zu machen, der Ab-
lenkuugswinkel a moglichst gleich 90 zu machen 84 ).
b) Typen von Deflektoren. Der Deflektor von W. Thomson he-
si tzt zwei oben scherenartig verbundene Magnetpaare, deren untere
81) Der Yorschlag einer Kompafiregulierung durch Schwingungsbeobach-
tungen der KompaBrose selbst wird Ann. d. Hydr. 31 (1903), p. 402 diskutiert.
Erfahmngen betr. Schwingungsbeobachtungen niit der Horizontalnadel auf See a.
F. Bidlingmaier, Ann. d. Hydr. 36 (1908), p. 461, u. D. Sudpolarexp. V, 4.
82) Die Einfuhrung eines derartigen magnetischen Hilfsinptriimentes fur
die Losung der an Bord auftretenden Kompa&aufgaben wird schon in den ier-
ziger Jahien versucbt: London Phil. Trane. 1846, p. 347 ; Ed. Sabine, Direetiona
for the use of a small apparatus, London 1849. In Aufnahme gekominen
Bind die Deflektoren nach dem Vorgehen des franzSsischen Marineoffiziers
E. Fournier, B. Deviations des compas, Paris 1873. Dieses Buch ist wegen
seiner eigenartigen , von der ublichen abweichenden Darstellung anch sonst be-
merkenewert.
83) Dieser Kurs wird wakrend der Beobachtung an einem anderen Kom-
passe festgehrJten.
84) Beim Gebrauche eines Deflektors ist dae in den Futtnoteu 87 und 158
Gesagte zu beachten.
332
VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
\
b>
ungleiehnamige Pole durch eine Schraube mit Rechts- und Links
gewinde gegeneinander verschoben werden konnen. Der Polabstand
ist an eiuer geteilten Schiene ablesbar. Nach der von Thomson
ernpfohlenen Beobachtungsmethode inacht man a = 90 und ( a)
= 78 8 / 4 = 7 KompaBstrichen 85 ). Ist diese ,,Normalablenkung" (s.
Fig. 4 a) erreicht, so ist H innerhalb 2% gleich D.
Die Anwendung des Deflektors von Coll&ngue veranschaulicht die
Figur 4b. Ein Horizontalmagnet wird mittels einer Schraube der Rose
so genahert, daB die Richtung von D der
von H entgegengesetzt ist und zwar so
weit, bis D H wird. Labiles Gleich-
gewicht wird vermieden, indem durch eineu
kleinen Hilfsmagnet ein schwaches Feld
senkrecht zu H und D erzeugt wird 86 ).
Der Universaldeflektor von C. Clausen
besitzt zwei vertikal stehende Magnete mit
ungleiclmamigen Polen der Rose zugekehrt.
Der Abstaiid der Magnete kann durch eine
Schraube mit Rechts- und Linksgewinde variiert werden. Bei der
von Clausen empfohlenen Anwendung macht man ra = 135 und
D = |/2 H. Am eisenfreien Orte wird so die Rose um 90 ab-
gelenkt und steht wieder unter einer Feldstarke gleich H (s. Fig. 4c).
Die Koeffizienteubestimmung mit Hilfe des Deflektors gestaltet sich
dadurch besonders einfach (s. Nr. 13d).
Da der Bestimmung der am Rosenorte ausgeiibten Feldstarke
nach absolutem Mafi aus den Dimensionen des Apparates und dem
Moment der Deflektormagnete praktische Schwierigkeiten entgegen-
steben 87 ), so begnugt man sich mit einer empirischen Teilung der
Skale am eisenfreien Orte nach Einheiten der Horizontalintensitat
eines Basisortes. Der Deflektor wird dadurch dem KompaB individuell.
Universaldeflektoren besitzen eine Teilung nach willkiirlichen Ein-
heiteu. Es entfallt dann die Bestimmung von A (s. Nr. 13 c); auBer-
dem hat man beim Arbeiten mit variablem Ablenkungswinkel, um
Fig. 4.
85) Dieser Wiukcl ist statt des rechten gewahlt, um die Richtkraft nicht
gleich Null werden zu lassen.
86) Vgl. .11. de Coligny, Note sur le d^flecteur de Coliongue, Ecvue mar.
160 (1904), p. 290.
87) Die Mfiglichkeit einea Deflektors nach absolutem Ma6 erSrtert M. Jac-
yuemier, Rev. mar. 103 (1889), p. 144. Dort wird die Anbringung einer Galvaiio-
metorrolle oberhaib des Kompasses zur Benutzung fiir Riclitkraftmefisungen in
Vordchlag gebraeht.
13. Deviation bei aufrechtern ScLiff. 333
dem Deflektor die 7 ,Normalemstellung" zu geben, vorbereitonde Beob-
achtungen auf zwei entgegengesetzfcen Kursen zu machen 88 ).
Die Messuug der Feldstarke am KompaBort durch Kompasse mit
zwei Rosen wird in Nr. 20 a behandelt.
c) Messung der vert ikalcn Feldstarke (Vertikalkraftwagc). Man
miBt die Vertikalintensitat ara KompaBorte entweder durch Schwin-
gungsbeobachtungen einer Vertikalnadel oder durch eine Vertikalkraft-
wage. Eiue solche ist zuerst von W. Thomson angegeben. Die
Thomsonsche Vertikalkraftwage besteht im wesentlichen aus einer In-
klinationsnadel, die, bei der Beobachtung im magnetischen Meridian
orientiert, durch ein auf der einen Nadelhalfte verschiebbares Ge-
wichtchen zum Gleichgewicht in horizontaler Lage gebracht wird.
Der Abstand dee Gewichtes von der Drehachse ist der zu raessendeu
Vertikalkraft proportional. Das Instrument dient insbesondere dazu,
zu konstatieren, wann durch die Verschiebung des vertikal zum Deck
angebrachten Kraugungsmagueten eiu beabsichtigter Wert der Vertikal-
intensitat erreicht ist (s. Nr. 19 b) am SchluB).
Eiu ahnliches Instrument ist vou J. Peichl angegeben sa ).
13. Deviation bei aufrechtom Schiff. a) Allgemeines. Es ist
zweckmaBig, zunachst vorauszusetzen, dafi das Nadelsystem der KompaB-
rose unendlich klein sei im Vergleich zur Entfernung der nachsten
Eiseninassen, und daB es keine Induktion auf diese Eisenmassen aus-
iibt 90 ). Die Deviationstheorie reduziert sich dann auf die Bestimmung
der im KompaBmittelpunkt vorhandenen Feldstarke nach ihrer Rich-
tung und GroBe. Die gesamte Feldstarke ist die Resultante der erd-
magnetischen und der schiffsinagnetisehen Komponente. Letztere ist
bei gegebenem Schiff und gegebenem KompaBort nach Richtung und
GroBe in erster Linie vom gesteuerten Kurse, von einer etwaigen
Neigung des Schiffes und von den magnetischen Elementen des SchifiFs-
ortes abhangig.
Die Theorie hat zunachst die Annahme zu machen, daB das
Schiffseisen teils als permanent magnetisches, teils als weiches Eisen
in dem in Nr. 10 a) und 10 c) angegebenen Sinne angesehen werden
88) Als Literatur fiber Deflektoren aei nocli angefiibrt: W. Thomson, Pop.
Lect. 3, p. 322; A. Gareis, Mitt. 25 (1897), p. 9; Mitt. 27 (1899), p. 904;
H. Meldau, Ann. d. Hydr. 2B (1900), p. 217; A. de Coligny, Rev. mar. 160 (1904),
p 290; llottok, Deviatiou; Lehrb. d. A r av., tu-sg. v. Reichsmarineaint; A. Stupar,
Terr. Nav.
89) S. PeichJ, Patent Balance, Fiume 1899.
90) Die dein Nadelsysteni mit Riicksicbt auf diese \ orauaseteung xu gebende
Gestalt wird in Nr. 18t>) und Nr. 18 c) erortert.
334 VI i, 5. II. Mddau. Nautik,
darf. Dem halbfesten Magnetifiittus (Nr. 10 b)) wird dann in der Weise
Rechnung zu tragen sein, daB man die aus der Theorie abgeleiteten
Koeffizienten als veranderlich ansieht. Man kann dann versuchen,
diese Veranderungea auf bestimmte Gesetze zuriickzufiihren (Nr. 15b)).
b) Die Prissonschen Gleichungcn. S. I). Poisson macht die Voraus-
setzung, daB die Koinponenten des induzierten gcliiffsmagnetischen
Feldes lineare ganze Funktionen der Komponenteu des induzierenden
erdmagnetischen Feldes sind.
Liegt das Schiff aufrecht auf horizontalem Kiel und bezeichnen
X , Y , Z die Komponenten der gesamten,
X, Y, Z die Komponenten der erdmagnetischen,
Pj Q, It die Komponenten der dem festen Schiffsmagnetis-
mus entsprechenden Feldstarke in einem System,
dessen X-Aehse langschiifs nach vorn, dessen
F-Achse querschiffs nach rechts (Steuerbord), und
dessen Z-Achse senkrecht zum Deck nach unten
verlaufen, so ist 91 )
cZ+P,
fZ+ Q,
= Z -f gX + hY+kZ + R.
Die neun vom ,,weichen Eisen" des Schiffes abhangigen Kon-
stanten a, . . ., k kann man sioh anschaulich durch neun parallel den
Koordinatenachsen angeordnete diinue Eisenstangen hervorgebracht
den ken, wie in Fig. 5 ausgefiihrt ist. Die den Koeffizienten in der
Figur beigesetzten Vorzeichen -j- und gebeu an, ob die Wirkung
der betreffenden Anordnung einen Zuwachs oder eine Verminderung
der zugehorigen Feldkomponente herbeifiihrt. So zeigt z. B. Fig. 5 a,
daB eine langsschiffs liegende Eisenstange, wenn sie am KompaBort
nnterbrochen ist, eine VergroBerung, wenn sie ununterbrochen durch-
geht, eine Verminderung der Komponente X nach sich zieht.
c) Deviationsformeln. Bezeichnet H die Horizontalkomponente
des Gesamtfeldes, H die des Erdfeldes, den magnetischen Kurs
(Nr. 2b), die Inklination und d die Ablenkung, so folgt aus den
91) Die Formeln aind der allgemeine Ausdrack einer Affinitat (vgl. Nr. 17 a)).
Eine Prvifung der Powsowschen Deviationstheorie an Bordbeobachtungen hat
G. D. E. Weyer, Ann d. Hydr. 17 (1889), p. 316 veranstaltet. Die Beobachtungen
iiber den Verlauf der Magnetieierungsfunktion bei schwachem indu/ierenden
Feld haben bei verscbiedenen Eisensorten erheblich abweichende Besultate ge-
^eben. Siehe auch P. Engel (Litt. B), p. 12. 18.
IB. Deviation bei aufrechtem Schiff.
ersten beiden Pomowschen GHeichungen
-jj sin 8 ^ \- (c tg 6 -f- jf ) sin ^ -{" (/" % ^
a 2 \ A// \
335
cos
cos a - 1 + -
cos
+ ^) cos g
sin 2.
sn
L
o
1*0.
+d
-cL
-d
-7.
-S"
AA
-^7i
-Ti,-
-fc
Fig. 5.
Der erste Ausdruck ist die nach magnetisch Ost gerichtete, der
zweite die Meridiankomponente des horizontalen Gesamtfeldes. Be-
336 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
zeichnet A den Mittelwert der let/teren auf einer Reihe aquidistanter
Kurse, so ist
Dividiert mau beiderseits durcli A, driickt also die Feldstiirken in
IH als Einheit aus, so folgfc durch Division der beiden Komponenten
- - _ _
1 H- 33 cos ( sinT 4. $ cos 2f @ sin 2 jf
Hierin ist
Die Formel (I) stellt d als Funktion des tnagnetischen Kurses ^
dar. In der Anwendung ist es erwiinscht, die Ablenkung als Funktion
des Kompafikurses g = ^ d zu hnben 92 ). Es ist
(la) sin S = SI cos tf -f- S3 sin -f- ( cos -f- sin (2^ + d)
+ CM* (!?+*)
Setzt man
(II) J = ^4 -f 5 sin g 7 + C cos ^ -f D sin 2^ + E cos 2^
+ ^ sin 3 + G cos 3 -f JJsin 4^ + K cos 4^,
so ist ; in BogenmaB ausgedriickt, bis auf GroBen vierter Ordnung 93 ):
2
s
. _
24 8
_ ffa re 51* o
== _ - :: 4- ____ U/5D - _|_ JL
I 14 8 8
Der Zneammeiihaner zwiscben und f ist cxakt dutch die Formel
(1 +"t) cos : -f "( - 6) sin f-f "
^". Garbich, Mitt. 5 (1877), p. 569. Vgl. auch .". JFl>urw*>r, Deviations des compaa,
Patis 1873, J. Ilipoll, Rev. mar. 17(5 (1908), p. 10 u. f.
93) Mau betrachtet dabei 93, G, 2) als kleiuo Gfofion crster, 2( und 6 als
solche xweitcr Orduuog. Geschloesene Aupdrticke fiir die Koeftizienten A, D, / 7
gibt /. Ripott, Kev. mar. 176 (1908), p. 821. Es ist
. of 35 G 4- St
^ - arctg , 1) =: T -^ , )J; Y . ^ ^ t Vf F
aleo tg ^L , 3> -= /> + -Ktg 4, 6- = E - D tg A.
13. Deviation bei aufrechtem Schiff. 337
Praktisch ist es von grofiter Wichtigkeifc, die Ablenkung, wenn
sie groBer sein sollte, durch Kompensation so zu reduzieren, daB sie
auf keinem Kurse den Wert von 20 iiberschreitet. In praktisch vor-
kommenden Fallen (A und E klein, D kleiner als 5) kann man sich
dann bei der zu erstrebenden Genauigkeit von 0,5 anf die fiinf Glieder
beschranken
(IH) d = A -f B sin + Ccos + D sin 2% + E cos 2 ,
wo $, A, B, C, D, E im GradmaB ausgedriickt sein mogen. Fiir den
tfbergang zu der Forinel (I) hat man dann die Ausdriicke zu be-
nutzen :
U = sin A, = sin D, = sin E,
!j
Man nennt JL die konstante, J5 sin g -j- C cos ^ die halbkreisige
(semizirkulare) und D sin 2 -{- j& cos 2^ die viertelkreisige (quadran-
tale) Ablenkung.
Von einigen Autoren 93 *) werden unter B und G die Maximal-
deviationen verstanden, die durch die Langs- und Querschiffskraft bei
unveranderter mittlerer Ricntkraft (IH] erzeugt wiirden, so daB
sin B = S3, sin C = (
gesetzt ist. Die so definierten B und C stehen in engerer Beziehung
zu den erzeugenden Kraften als die durch die Formeln II a gegebenen,
durch die die Deviation nach Forrael II am genauesten dargestellt
wird. Die erwahnte abweicheude Definition ist vorteilhaft, wenn man
die Koeffizienten in erster Linie fur die Zwecke der Kompensation
gebraucht (s. FuBnote 158).
d) Bestimmu ng der Koeffizienten. Nach der Formel (I) sind fiinf
Deviationsbeobachtungen auf verschiedenen Kursen notwendig und
hinreichend, um die Deviation bei aufrecht liegeudem Schiff als
Funktion des Kurses fur einen gegebenen Ort der Erde darzustellen.
Es rnuB noch die Bestimmung der Feldsfcarke auf irgeudeinem Kurse
hinzukommen, um A zu finden und dainit die magnetischen Verhalt-
nisse des KompaBortes fiir das aufrecht liegende Schiff ganz zu cha-
rakterisieren. Es ist
_ H COB S
H 1 -f- 95 cos f (i sin f + 3) cos 2 & ein
98 ) Z. B. F. Lauffer, A. Stupar. Vgl. F. Lauffer, Ermittlung der Devia-
tiouakonstanten auf graphiscbem Wege, Mitt. 33 (1905), p. 223 und die an-
schlieBeiide Poiemik, Ann. d. Hydr. 33 (1906), p. 471; 34 (1908), p. 182.
338 VI i, 6. H. Meldau. Nautik.
Zur Erzieluug gesicherter Resultate vervielfaeht man, vor allem
bei der Hauptregulierung der Kompasse, das Beobachtungsmaterial.
Man beobachtet die Ablenkung auf alien 32 KompaBstrichen oder auf
den 16 geraden oder den 8 Hauptstrichen oder etwa von 10 zu 10
und berechnet aus ihnen nach der Methode der kleinsten Quadrate zu-
nachst die Koeffixienten der Formel (III), von denen man dann zu den
Koeffizienten der exakten Formel (I) iibergehen kann. Den Koeffi-
zienteri I fitidet man als Mittel der auf n aquidistanten magnetiechen
Knrsen beobachteten Feldstarken nach der Formel
Den grdfiten Schwierigkeiten begegnet man bei der Bestimmung
des Koeffizienten A, da in denselben nicbt nur aile konstanten Fehler
in den Beobaehtuags- und RechnungsgroBen, sondern auch Wirkungen
des halbfesten Magnetismus eingehen 94 ) (s. Nr. 16 b am SchluB).
Wenn das Schiff in Dienst ist, so handelt es sich haufig darum,
einen oder mehrere Koeffizienten aus einer inoglichst geringen Zahl
von Beobachtungen neu zu bestimmen. Beeonders kommt hier die
Neubestimmung der Koeffizienten B und C in Frage. Unter Um-
standen wird man setzen miissen
Jj=;J r $ o oder 7?=-^; C=-f S n oder (7 = ^,
wo d die Ablenkung auf Ost-, d w die auf West-Kurs usw. bezeichnen.
Von konstanten Fehlern der Deviationsbestimmung wird man frei
durch
Oft empfiehlt es sich, statt der Koeffizienten selbst ihre Anderungen
A.B und AC gegen den an einer Basisstation beobachteten Wert fest-
zustellen durch Vergleich der neuen mit der fruher auf den Haupt
strichen gefuudenen Ablenkung 96 *).
94) Aua diesem Grunde ist es schwer, Fehler in den Isogonenkarten durch
die an Bord eiaerner Scbiffe erhaltenen Beobachtungen nachzuweisen. (Iher
magnetiacho Beobachtungeu an Bord fur wiasenachaftliche Zwecke aiehe den
Aufsatz von F . Bidlingmaier in G. von Newnayers Anleitung zu wiss. Beob.
auf Reisen, 3. Auil., p. 468.
95) Die so bestimmten Eoeffizienten weichen von den durch harnioniache
Analyse aua einer grolieren Anzahl von Beobachtungen abgeleiteten um die
Koeffizienten F und ~f G der Formel (II) ab, wfthrend die auf den Haupt-
zwischenstrichen allein beobachteten Werte von B und C von jenen um -f F
und G abweichen.
96 a ) Stellt man A8 JB ain J -f dC coa ^ als Radius vector zum Winkel
f in einem Polarkoordinatensystem dar, so liegt der Endpunkt auf einem Kreiae.
18. Deviation bei aufrechtom Schiff. 339
Sollte die GroBe der Deviationen die Anwendung der Formel (III)
verbieten, so hatte man 51, $8, (, >, ( unmittelbar zu bestimmen und
zwar naeh Naherungsformeln, die man aus der Formel (la) ableitet 90 ).
Die Koeffizienten konnen, mit Ausnahme der Konstanten 1, auch
ohne Deviationsbestimmungen, z. B. bei Nebel, aus Feidstarkenmcssungen
bestimmt werden. Von praktischer Bedeutung ist die Bestimmung
der GroBen Z, S3, S, 3) durch Messung der Horizontalkrafte H auf
den vier Hauptkursen. Es ist, wenn cos # 1 gesetzt werden darf 97 ) ;
- 3)
Die Bestimmung des @ wiirde Beobachtungen auf den vier Haupt-
zwischenstrichen NO, SO, SW und NW erfordern.
Fiir die Bestimmung eines oder einer Gruppe von Koeffizienten
aus Deviationsbeobaehtungen und Ricntkraftmessungen auf wenigen
Kursen leisten graphische Darstellungen (s. Nr. 17) gute Dienste. Die
wichtigsten dieser Aufgabeii sind in FuBnote 125 angefuhrt.
e) Allyemeines tiber die Koeffizienten. Nach den Ubergangs-
formeln (Ilia) gilt, allgemein gesprochen, von den Koeffizienten der
Naherungsformel (III) dasselbe, wie von deuen der exakten Formel (I) 98 ).
Die Koeffizienten 51, (, 2) und A sind unabhangig von den erd-
magnetischen Elementen.
SI utid ( sind als von unsymmetrischen Eisenanordnungen her-
riihrend fur mittschiffs aufgestelJte Kompasse fast stets versch wind end.
In A gent ein etwaiger Kollimationsfehler der Rose ein.
Durch Inversion geht dieser Kreia in eine Gerade uber. Hat man durch Beob-
achtung einige Punkte dieser, der J/ord!schen Geraden, gefunden, so ist ea leicut,
die Deviationsandenmgen auf den ubrigen Kursen mit Hilfe der Figur abzuleiten,
s. P. Engel (Lit. B), p. 64. Ein nomographischea Diagramm, durch welches die
Ermittelung von B und C auf das Ziehen einer geraden Linie reduziert \rird,
ist von E. Stiick angegeben; vgl. Ann. d. Hjdr. 37 (1909), p. 133 und Marino R.
20 (1909), p. 492.
96) Zusammenetellungen der in jedem Falle geeignetestcn Formeln s. Adm.
Man., p. 119, 162.
97) Dabei mutt vorausgeeetzt werden, dafl keine Nadelinduktion in den zur
Kompenaation angebrachteu Weicheisenmaasen atattfindet. Findet eine solche
statt, so sind die D-Kompensatoren bei der Beobachtung zn entfemen, oder ea
ist die Skale des Kompensators (s. Nr. 19 f.) auf Null zu stellen.
98) Eine Ausnahme tindet statt fur die Koeffizienten A und ft, insofern
in ,1 auBer magnetischen Wirkaugen der Kollimationsfehier der Rose und
andere konstante Fehler eingeben. Dieae Frage beleuchtet N. Garbich, Mitt. 4
(1876), p. 40.
340 VI i, 5. H. Metdau. Nautik.
Der Hauptkoefifizient <& der Quadrantaideviatiou stelit in engem
Zusammenbang mit A, der ,,mittleren Feldstarke nach magnetisch
Nord" in Einheiten von H. Es ist
~ _ 1 a e . __ 1 , -j-
** Tvnf 1 A = * "T" 2
1 4. a = A(l -f 2)). 1 -f e == A(l 3D).
Fast ausnahmslos haben a und e an Bord negative Werte (s. Fig. 5),
und e ist dem absoluten Betrage nach erheblich groBer als a, so dafi
ein positiver Wert von S) und ein I < 1 resultiert. Auf Kauffahrtei-
schiffen ist D im Mittel etwa 4, A im Mittel 0,8 bis 0,9; auf Kriegs-
schiffen, besonders in geschiitzten Stellungen, wachst D nicht selten
auf 10 bis 20 an, wahrend gleiclizeitig A auf 0,4 bis 0,3 sinkt").
F. J. Evam und A. Smith haben auf englischen Panzerschiffen
festgestellt, daB 2) im Laufe der Zeit etwas abnimmt, wahrend A
wachsfc, was auf eine mit Verringerung der Induktionsfahigkeit ver-
bundene Anderung der molekularen Struktur des Schiifseisens hin-
deutet 100 ).
Die Koeffizienten S3 und S bestehen jeder aus zwei Teilen, von
denen der eine
vom festen Schiffsmagnetismus, der andere
58 2 = -[- c tg bzw. 8 = \ f tg
von der Wirkung der Vertikalinduktion herruhrt.
SSi und S x hangen bei gunstigem KompaBort aufs engste mit
dem Baukurse zusammen (s. Nr. 10 a). Als ungiinstig erweist sich
der KompaBort meist dann, wenn der Baukurs nicht mehr an den
Werten von 33 und erkennbar ist. TJnter Umstanden ubertrifFt in
99) Zur Illustration aeien die auf dem englischen Panzerkreuzer ,,0rlando"
gefundenen Werte angefuhrt (J. Un. Serv. Inst. 33 (1889), p. 949): Normalkompafi:
X = 0,762; Bruckenkompafi : I = 0,616, D = -f 4,9; Kommandotunn : "k ~ 0,212,
D =4. 16.2; vorderer Torpedoraum: A = 0,660, D = -f 18,9; Dampfsteuer-
apparat hinten: 1 = 0,720, D == + 25,6.
100) F. J. Evans and A. Smith, On the magnetic character of the armour-
plated ships of the Royal Navy, London Phil. Trans. 155 (1865), p. 286. Eine
Abnahme des Wertes von 3) ist auch an Bord der ,,GauB" auf der Deutschen
Sudpolar-Expedition festgestellt; Deutsche Siidpolar-Ezpeditiou V, Erdmagnetie-
mus I, p. 256. tJber die Erfahrungen der Deutschen Seewarte in dieaem Punkte
B. C. Koldewey> Archiv d. S. 2 (1879). Eine Abhangigkeit dee fiir D gefundenen
Wertes von der zur Drehung des Schiffes verwendeten Zeit hat weder von
noch von der Deutechen Seewarte konstatiert werden konnen.
14. Deviation bei geneigtem Schiff. 341
diesem Falle die Horizontalkomponente der schiffsmagnetischen Kraft
den Wert der erdmagnetischen Horizontalintensitat.
93 a ist fur Kompasse, die im vorderen Teile des Fahrzeuges auf
der Kommandobrucke aufgestellt sind, durchweg auf nordmagnetischer
Breite uegativ, herriihrend von den hinter dem Kompasse befindlichen
Eisemuassen . die oben einen Siidpol haben. Zur Charakterisierung
der GroBenordnung sei fur solche Kompasse auf Handelsdampfern als
Mittelwert c 0,1 angegeben.
( 2 ist gewohnlich, weil es unsymmetrisches vertikales Eisen
voraussetzt, versckwindend.
14. Deviation bei geneigtem Schiff. a) Der Krangungsfehler und
seine Bestandteile. Es kommen hier besonders die seitlichen Neigungen
des Schiffes in Betracht, da sie viel bedeutendere Betrage annehmen
als die Langsneigung 101 ). Ist das Schiff seitlich um einen Winkel i
gegen die Horizontale geneigt, so treten in den Pomonschen Glei-
chungen an Stelle von a, &,..., k, P, Q, Ji Kombinationen dieser GrroBen
in Verbindung mit trigonometrischen Funktionen des Neigungswinkels i
auf 102 ). Die Deviation 108 ) andert sich um den Krangungsfehler , der
bei Besehrankung auf die erste Potenz von i durch den Ausdruck
dargestellt werden kann 104 )
**-*-TF-*-X -i-cosr-^-t-cosgr
= AJ i i - cos % -f- E i cos 2 % .
Hierin ist
eZ _. kZ+R If,
x- ~i H -\ jfif- 3 y \\.
101) Die durch eine La^ngsueigucg des Schiffes erzeugte Deviation behandeln
H. Maurer, Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 130 und L. H. Chandler, U. S. Nav. Inat.
Proc. 34 (1908), p. 1269. Durch die Langsneigung werden Z, 33, 3) am starksten
beeinfiuBt, wahrend bei einer Krangung 81, K, @ die gro Bten Anderungen erleiden.
Die Kompenaation fiir die Langsneigung wird gleichzeitig mit der fur die Eraugung
erreicht.
102) Bei hinzutretender Langsneigung auch des entsprechenden Winkels
dieser Langsneigung.
103) Bei Beschriinkung auf die erste Potenz von i iat Z, = 1, und in der
Formel I (Nr. 13 c) iat zu setzen
, ,
2)^3) und (,.= @-
Die genauen Ausdriicke fur die veranderten Koeffizienten findet man im Adm. Man.
104) A. Smith 1862, s. Adm. Man.
Encyklop. d. math. Wiotenach. VI 1. 23
342 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
Durch die Seitenneigung wird also eine semizirkulare Deviation
und entsprechend der entstehenden Symmetriestorung, zunachst eine
konstante Deviation A t und eine quadrantale Deviation I f cos2
erzeugt.
Bei gfinstigem KompaBort erreicht das von c abhangige Glied,
da c im Mittel 4: 0,1 ist, auf 0- und W-Kurs Werte von 6 fUr jeden
Grad der Krangung. Die GroBenordnung von g fttr solche KompaB-
orte ist etwa durch die Grenzen und 0,2 gegeben. Der Koeffizient g
ist im allgemeinen positiv fur Kompasse auf dem Achterdeck, negativ
fiir Kompasse auf der Kommandobrucke 105 ).
Der wichtigste Bestandteil des Krangungsfehlers ist das semi
zirkulare Glied %i cos . Der erste der fiir den Krangungskoeffi-
sienten x 106 ) angegebenen Ausdriicke lafit die Hauptursaclien des
Krangungsfehlers erkennen: einerseits geben die senkrecht zum Deck
wirkenden Krafte JcZ und R bei der Neigung des Schiffes horizontale
Komponenten, andererseits werden die vorher horizontalen Eisenmassen
vom e-Typus der Vertikalinduktion ausgesetzt.
Fur frei aufgestellte Kompasse auf Schiffen, die in Europa gebaut
sind, wird JR durchgehends positiv gefanden. Auch Jc ist fiir solche
Kompasse positiv, etwa von der GroBenordnung -f- 0,05, e dagegen
negativ, etwa von der GroBenordnung 0,15 bis 0,20. Auf nord-
magnetischer Breite wirken daher alie drei Bestandteile zusammen, %
positiv zu machen, entsprechend einer Anziehung des N-Endes der
Nadel nach der erhohten Schiffsseite. Die entgegengesetzten Vor-
zeichen fiir R und Tt ergeben sich fur Kompasse in Kommando-
turmen oder im Zwischendeck auf Kriegsschiffen 107 ) oder fiir solche
in den Briickenhausern der groBen modernen Passagierdampfer, falls
die Wande dieser Hauser aus Eisen hergestellt sind 108 ).
Die Veranderung des i mit der magnetischen Breite, die Trennung
106) Bei groBen Werten der schiffamagnetisclien Konstanten, d. h. bei un-
gunstigen magnetischen Vorhaltnissen des KompaBortes, werden auch S3 und %
durch die Krangung beeinfluBt, s. Adm. Man., App. 1 und das Beispiel eines
Kommandotunnkompasses, ib. p. 76.
106) Krangungen nach der Steuerbord- (rechten) Schiffsseite werden ala
poaitiv gezahlt; daher ist ^ der Krangungskoeffiziient nach der erhShten Schiffs
seite. Iin Adm. Man. iat # = J gesetzt.
107) Fu> den KommandoturmkompaB des ,,0rlando" (s. FuBn. 99) z. B. wurde
gefunden ^ = 0,657, R = 0,318 Einheiten der Vertikalkraft in Greenwich.
Der KompaB hatte in King George s Sound bei 10 Krangung 66 Krangunga-
deviation, J. Un. Serv. Inst. 33 (1889), p. 949.
108) S. H. Meldau, Zur Frage der KompaBaufstellung in eisernen Ruder-
hausem, Gott. Phys. Zeitscbr. 5 (1904), p. 42.
14. Deviation bei geneigtem Schiff.
343
seiner Bestandteile, sobald Beobachtungen in erheblich verschiedenen
Breiten vorliegen, sowie die Vorausberechnung far neue Breiten erhell*-
aus dem zweiten der fiir i angegebenen Ausdrucke 1W ).
b) Bestimmung des Krangunyskoeffizienten. Sind Deviations-
beobachtungen bei aufrechter und geneigter Lage deB Schiffes in der
Nahe der Kurse N oder S erhaltlich und darf man die von c und g
abhangigen Glieder A i und E f vernaehlassigen, so findet man
* ~ tcoaf
Man kanu den Krangungskoeffizienten bei aufrechter Lage des Schiffes
berechnen, wenn man die w mittlere Vertikalkraft ft am KompaBort"
gemessen hat. Nach der dritten Poissonschen Gleichung ist die Ver
tikalkraft Z auf dem magnetischen Kurse , ausgedrflckt in Z als
Einheit,
g
cos c
Z Z r tg0 " tg0
indent man den Mittelwert fi von Z : Z gemafi der Grleichung
r s-sm
einfiihrt. Unter Benutzuug dieses Wertes nimmt der in Nr. 14 a ge-
gebene Ausdruck fiir # die Form an
---"7"
r- *-!--%-
Zur Bestimmung von /, sind die Vertikal-
krafte auf mindestens drei magnetischen Kursen
zu messen. Wenn h = ist, so kann man
sich auf zwei Kurse beschranken oder auf 0-
oder TF-Kurs allein beobachten. Liegen mehr
Beobachtungen vor, so ermittelt man p and g
Fig. 6.
109) Aus den in der FuBnota 103 angefuhrten Formeln ergibt aich die M6g-
C Q
lichkeit, neben y ohne Breitenanderung des Schiffes zu bestimmen,
wenn man in der Lage ist, das Schiff bei zwei verschiedenen Ei&nguogswinkeln
i und t" zu drehen und 2t t -, @ t -, 21^., (^ zu ermitteln. Es ist damn
X i ;? * "" K *< T <)
Der ubergrofie EicfluB kleinor Beobachtungsfehler auf das Besultat und die Koat-
epieligkeit verbieton die Anwendung dieser Methode in der Praxis (vgl. F. Laufftr,
Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 307).
23*
344 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
zweckmaBig durch ein graphisches Verfahren (A. Collet (Lit. B), siehe
Fig. 6). Bei aquidistanter Verteilung der Kurse hat man
15. Andemngen der Deviation, a) Andemngen mit der Breite.
Die Anderung mit der magnetischen Breite beschrankt sich 110 ) auf die
Koeffizienten der Semizirkulardeviation und zwar sind die vom festen
Magnetismus herruhrenden SBj und (^ umgekehrt proportional der
Horizontalintensitat, wahrend die von der Vertikaiinduktion erzeugten
$8 2 und ( 2 sich andern wie die Tangente der Inklination.
Da ( 2 gewohnlich verschwindend klein ist, so handelt es sieh he-
sonders um Anderungen des 93 2 . Diese sind oft stark fiihlbar. So be-
/
deutet der fiir -j- angegebene Mittelwert ( 0,1) beispielsweise fiir
eine Reise von der deutsehen Nordseekiiste nach der Siidkiiste An-
straliens eine Anderung in B von 28 nach der positiven Seite.
Sobald zwei Beobachtungen in erheblich verschiedenen Breiten
vorliegen, ist eine Trennung der Bestandteile des 23 moglich 111 ).
Man hat
{( tf + 8 ^) - I (H* -f H
A Hig6
p
T
Die Natur der Aufgabe 1 aBt eine graphische Losung am Platze er-
scheinen. Es ist
$# = -4- c Z
*J *-* A f A -/ .
Man setze SB JET = F und stelle die Gerade
r-f+fz
in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar (J5. Perrin, s. Fig. 7).
Der Figur liegen die foigeuden an Bord des franzosischen Kreuzers
,,Annamite <f gemachten Beobaehtungen zugnmde 112 ):
110) Votatxsgeeetzt, daB in der Nahe des Eompasses keine Eisenmaasen
TOrhanden eind, die eine merklicho. Induktion durch das Nadelsystein der KompaB-
rose erfahren (vgl. Nr. 18c am Schlufi).
111) Theoretisch kann die Trennung auch in derselbeu Breite ausgefiihrt
werden, wenn das Schiff zweimal mit verschiedenen Graden von seitlichur Neigung
gedreht wiirde (s. Fufinote 109 und vgl. F. BidHnymaier in dem in FuBnote 94
geuannten Aufsatz, p. 477).
112) Nach M. E. GuwoM^ Manuel des instr. naut., Paris 1899, p. 122.
15. Aiiderungen der Deviation.
345
Kap Korso . . .
Messina
Suez
Bab el Mandeb
Singapore . . .
Halong
B
4,8
- 4,0
+ 1,3
+ V
-flO ; 8
+ 2,6
H 2,26 G.E.
2,50
3,00
3,46
3,80
3,65
Z = -f 3,75 G. E.
+ 2,52
+ 0,31
0,95
+ 2,12
Ftir 33 ist, entsprecheud der erreichbaren Genauigkeit, B= 57,3 $8
eingesetzt. Aus der Pigur entnimmt man far Z die Ordinate
= 1 die Ordinate 57,3 + - = 19,4,
Y-3JT
Q Sin. rapore
RapKarso
57,3 ~ = 30,9, far
so daB 57,3 ~ = 11,5 gefunden wird.
Die Figur erlaubt nachher, fur jedes Z den Wert des Koeffizienten
zu entnehmen, um daraus beim Feblen
direkter Beobachtungen die entspre-
chende Deviation zu berechnen.
Es sei aber darauf aufuierksam ge-
macht, daB die Zuverlassigkeit der er-
rechneten Deviation auf vielen Schiffen
durch die Wirkungen des halbfesten
Magnetismus leicht stark beeintrachtigt
wird 118 ).
b) Anderungen durch halbfesten Mag
netismus. Der halbfeste Magnetismus igt
von so mannigfachen Ursacben abhangig
(a. Nr. lOb), daB der rechnungsmaBigen Verfolgung seiner Wirkungen
groBe Scbwierigkeiten entgegenstehen. Die von ibm hervorgerufenen
Deviations- und Richtkraftanderangen sind um so groBer, je un-
giiustiger der EompaBort ist; sie sind deshalb in erster Linie aus-
schlaggebend bei der Beurteilung der Beschaffenheit eines EompaB-
ortes.
Der halbfeste Magnetismus macht sich ablenkend besonders nach
Kursanderungen geltend und zwar aus ersicbtlichen Grttnden immer
derart, daB bei Kursiinderung nach rechts -westliche, bei Kursanderung
nach links ostliche Ablenkang erzeugt wird, die allmahlich in
der Regel innerhalb von etwa 24 Stunden wieder verschwindet.
113) AUB Beobachtiuagsreihen an Bord dos franzOsiachen Kreuzers JJubourdieu
(B6v. mar. 122 (1894), p. 3u2) z. B. ergab sich, da fiir die Kompasse dieses
c P
Schiffes als kolistant angeaehen werden konnte, wahrend -j- erheblichen, zu-
>veilea sprnnghaften Anderungen ausgesetzt war (vgl. Nr. 10 b und 15 c, aiehe
aucb. FuBnote 122).
346 VI i, 6. H. Meldatt. Nautik.
Insofern der auf einem Kurse aufgenommene Magnetismus fasten
Charakter annimmt, verandert er die Koeffizienten S3 und ( in leicht
zu iibersehendem Sinne. C. Koldewey hat versucht, diese Anderung
auch zahlenmaig zu berucksichtigen, indem er den in Nr. 13 b bei
der Formel (I) angegebenen Ausdriieken fur S3 und ( die Glieder hin-
zufiigte
j- sec B eos p , -f- -y sec 8 i n t p -
Hierin bedeutet den in den letzten 24 Stun den gesteuerten Ears und
v und v zwei durch Beobachtung festzustellende Konstanten 114 ). Sind
verscbiedene Kurse gesteuert, so soil man fiir p den Gesamtkurs der
letzten zurilckgelegten 200 Seemeilen nehnien.
Die Koeffizienten v und v werden stets positiv gefunden und
zwar ist allgemein t/>t>. Zur Charakterisierung der GroBenordnung
seien als Mittelwerte fiir Normalkompasse angefiihrt v -f- 0,02,
t> SB -f- 0,03. 115 ) Der erstere Wert z. B. bedeutet, daB bei einem
24 Stunden oder langer daaernden Liegen auf N-Kurs in unserer Breite
die Ablenkung auf 0- odter W-Kurs um etwa 3 geiindert wird.
Bei der Koeffizientefibestimniuug macht sich der halbfeste Magne
tismus in der Weise bemerkbar, daB sich fiir A und E, wenn diese
Koeffizienten tatsachltch = sind, nicht verschwindende, sondern
positive oder negative Werte im Betrage von 1 2 ergeben, je
nachdem das Schiff links oder rechts herumgedreht ist 116 ). Dieser
Fehler ist nnter dem Nameii ,,erreur Gaussin" bekannt.
c) Deviationsstorungen. Unter diesem Namen seien alle ihrer
Natur nach rechnerisch nicht zu verfolgenden Deviationsanderungen
zusammengefaBt. Hierher gehoren zunachst die Anderungen mit der
Temperatur des Schiffseisens. M. Morier hat ein Zariickweichen des
Nordendes der Nadel von der durch die Sonne bestrahlten Schiffs-
seite festgeetellt 117 ). Dampfer haben ihre Deviationsbestimmungen
bei geheiztou Kesseln und vorgewarmter Maschine arizustelleu.
Zu den Deviationsstorungen sind ferner etwaige Einwirkungen
etektrischer Kraft- und lAchtavAagen an Bord zu rechnen. Hierher ge-
114) Eine Ableitnng fur diese Ausdrucke findet sich in dem Sanunelwerke
,,Aue dem Archiv der DeutscHeu Seewarte", 2 (1879) und in ,,Eompafi an Bord",
p. 129.
116) Archiv der Seswarte 2 (1879).
116) t[ = -f- s l-r -- II; 8 =* 3) , wo s ein kleiner, ,,wahrscheinlich von der
Schnelligkeit der Drehung abhangiger Winkel" ist, Adm. Man., p. Ill ; B. JV. Garbich,
Mitt. 3 (1876), p. 177.
117) EevvK 1 . *r,r 10S, (1889), Bericbt in Ann. d. Hyolr. 18 (1890), p. 101.
16. Genauigkeit. 347
horen einmal direkte magnetische Einwirkuugen von Dynamos, Elektro-
motoren, Scheinwerfern usw v andererseits Ablenkungen durch Gleich-
stromkabel. Wenn ein solcbes Xabel in der Nahe des Eompasses
liegt, und das Sehiff als Ruekleiter benutzt wird, so sind aufier der
moraentan eintretenden Storung noch solche vorhanden, die nach dem
Einschalten allmahlich anschwellen und nach dem Ausschalten erst
allmahlich wieder verschwinden 118 ). Die Sicherheit des Schiffes verlangt
gebieterisch gehorige Entfernung der genannten Maschinen vom
KorepaB und die Zusammenlegung von Hin- und Riickleitung bei
Verwendung von Gleichstrom m ).
Als Deviationsstorungen seien endlich Bewegungen in der Nahe
des Eompasses befindlicher Eisenmassen, wie Krane, Geschiitze,
Geschutztiirnie 12 ) usw., ferner ungewohniiche Erschutterungen beim
SchieBen 121 ), bei Grundberuhrungen und Kollisionen, und Verande-
rungen des magnetischen Zustandes des Schiffes bei Blitzgchlagen 181 *)
gen aunt.
16. Genauigkeit. a) Bei unmiUelbarer Beobachtung. Mit Rftcksicht
auf die ubrigen Fehler der Besteekrechnung (s. Nr. 6) ist als er-
strebenswerte Genauigkeit 122 ) fiir den rechtweisenden Kurs des Schiffes
der ganze Grad zu bezeichnen. Diese Grenze ist im allgemeinen immer
erreichbar, wenn Gestirne sichtbar sind, durch deren Peilung die
118) Vgl. Ann. d. Hydr. 34 (1906), p. 247 und 344. Einiges Material gibt
J. Krauft, Ann. d. Hydr. 35 (1907) p. 214.
119) Die Eompensation elektriscber St3rangen ist wob! ausimhrasweise
versucht, B. Ann. d. Hydr. 17 (1889), p. 461. Von W. Thornton empfohlene Vor-
KichtamaBregeln g. Mitt. 17 (1889), p. 570.
120) Eine Eompensation dieser Storungen let nach den in der Marine-Bund-
echan (1901), p. 1228 mitgeteilteu Erfahrnngen untunlicb.
121) Z. B. wurde auf den Scbiffen der Brandenburgklasse durch das ScbieBen
aue den vorderen Turmgeschutzen die Magnetisierung des Turmes und seiner
Umgebnng so geandert, dafi sich die Deviation der EommandoturmkompasBO
bis zu 14 anderte (Rottok, Deviationstheorie, p. 126).
121 *) Beispiele s. z. B. Ann. d. Hydr. 36 (1908), p. 34 u. p. 85.
122) tjber die an Bord eines fiir erduiagnetische Beobacbtungen bestimmten
Fabrzeugs erreicbbare Genauigkeit s. Deutsche Sudpolar-Expedition, V. Erd-
magnetismus I., Eap. 3. Daeelbst Vergleich der Scbiffskonstanten und ibrer Ge
nauigkeit auf der Expedition des ,,Challenger", der , , Gazelle" und des ,,Gau6".
Die unkontrollierbaren Scbwankungen in den magnetiscben Eigenschafteu des
SchiffseisenB brachten auf dem ^Gaufi" eine Ungenauigkeit in den Eorrektionen
hervor, die in vielen Fallen grofier war, als diejenige der Bordbeobacbtungen.
Das Carnegie Institut in Washington bat sich neuerdtngs fur erdmagnetische
Beobacbtimgen ein fact eisenfreies Sehiff herstellen laasen; vgl. Year-Book 7
(1908), y>. 1Q7.
348 VI i, 5. H. Meldau. Nantik.
GesamtmiBweisung 122a ) des Kompasses festgestellt werden kann. Fiir
die Genauigkeit der Peilung selbst mu8 insbesondere 123 ) die Hori-
zontaiitat des Peilapparates m ) vorausgesetzt werden.
In die aus der Gesamtmifiweisung abgeleitete Ablenkung gehen
noch die Fehler der Deklination ein. Die vorhandeneu Isogonen-
karten diirfen im allgememen innerhalb der befahrenen Meeresteile
als auf einen Grad zuverlassig angesehen werden, gelegentlich kommen
grofiere Abweichungen vor.
1st wegen bedeckten Himmels die direkte Bestimmung der De
viation ffir den gesteuerten Kurs unmoglich , so haben sich Schiffe,
die in festen Routen beschaftigt sind, hinraichendes Alter des Schiffes
vorausgesetzt, in erster Linie an die an Ort mid Stelle auf friiheren
Reisen erhaltenen Beobachtungen zu halten.
b) Ermittduny der Deviation aus Richikraftmessiingen. Die Devia
tion auf einem gesteuerten Kurse kann auch gefunden werden, indem
man auf gewissen anderen Kursen die Richtkraft miBt und zwar ist
zur Erzielung einer hinreichenden Genauigkeit im allgemeinen eine
voile Drehung des Schiffes mit Beobachtungen auf den vier Haupt-
strichen erforderlich. Die Methode setzt also voraus, dafi das Schiff
ftir eine gewisse Zeit lediglich in den Dienst der Deviationsbestimmung
gestellt wird (s. auch Nr. 20 a am SehluB).
c) Berechnung aus den Koeffi&ienten. Die Koeffizieiaten konnen
an Ort und Stelle durch Beobachtung gefunden, oder sie konnen aus
fruher an anderen Orten ermittelten schiffsmagnetischen Konstanten
errechnet sein.
Auf die Fehler der aus einer geringen Anzahl von Beobachtungen
gefundenen Koefh zientenwerte ist schon oben (Nr. 13d) hingewiesen.
Die Genauigkeit der aus den schiffsmagnetischen Konstanten ermittelten
Koeffizienten ist in hohem Grade von der magnetischen Beschaffenheit
des KompaBortes abhangig.
Einen t}herblick fiber die unter giinstigsten Verhaltnissen zu er-
reichende Genauigkeit gewahren die an Bord der Valdivia" wahrend
der deutschen Tiefsee-Expedition 1 898/99 gemachten Beobachtungen 134 *).
122*) Vgl. Nr. lib. Von der Erorternng der Zuverlassigkeit der iibrigen dort
aufgezahlten BeobachtungBmethoden sei hier abgeaehen.
123) AuBerdem mufl der Steuerstrich oder die Nullinie der Peilscheibe, wenn
eine solche gebraucht wird, geuau langsachiiBFs orientiert sein.
124) ftber Peilfehler bei geneigfcem Peilapparat s. H. Maurer, Ann. d.
Hydr. 35 (1907), p. 275.
124*) Ann. d. Hydr. 30 (1902), p. 299. Der KornpaB war auf eiiiem bolzernen
Deckshaviae, 6,5 in iiber dein Deck aufgestellt. Fiir den unkompensierten Kompafi
17. Grapliische Darstellungen der Feldatarke. 349
Das Schiff wurde wahrend der Dauer der Expedition 23mal zum
Zweck der Deviationsbestimmung gedreht, wobei man jedesmal die
Deviation auf den 32 KompaUstriclteu beobachtete. Aus diesen Be-
obachtungswerten ermittelte man die Koeffizienten und berechnete
aus ihnen die Ablenkung zuriick, Der mittlere Fehler eiuer Beobach-
tung ergab sich zu 0,59 , der wahrscheinlicbe zu 0,38.
Aus den 23 Beobaclitungsreihen fand man, daB die Koeffizienten
B und C, durch die Form el
B = -f 1,7 tg 8,9 ~ 0,4 sec cos t p ,
C= 0,1 tg 6 2,8 -| -f- 0,8 sec 6 cos ^
dargestellt, als wahrscheinlichen Fehler einer Bestimmung 0,44 bzw
0,48 lieferten.
17. Graphische Darstellungen. der Poldstarke. a) Allyumcines.
Zweck, der Darstellungen. Eine graphische Behandlung ist der Natur
und dem Genauigkeitsbediirfnis der Deviation stheorie durchaus ange-
inessen. Sie ist besonders da am Platze, wo ein Uberblick aber die
Deviationen und Feldstarken erwunscht ist ; sowie bei der Losung be-
stimmter Aufgaben, z. B. der Bestimmung der % SB, <, 5), @, k aus
Beobachtungen auf einer kleinen Auzahl von Kursen 125 ).
Der voni Endpunkte des Vektors T = yX* + ~Y*~+Z* der erd-
magnetischen Kraft urn den KompaBmittelpunkt bescbriebene Raum
wird durch die Poissonscken Gleichungen (s. Nr. 13 b) affin bezogen
auf den Raum der X Y Z 126 }. Fur einen gegebenen Ort der Erde
war auf der Elbe 23 = 4,5, C = 11. Letzterer Koeffizient wurde kom-
pensiert. Zur Kompensation von D waren Weicheisenzylindor angebracht. Das
Schiff war 12 Jahre alt.
125) Es seien die Aufgaben geiiannt: Bestiiumung von 93 und S aus be-
obachteter Deviation und Feldutarke auf einem Kurse bei bekannten Werten der
SI, 2), 6, J.. Bei bekannten 21, (5, 2) die Werte 95 und (S zu finden aus den
Deviationen auf zwei Kursen. Unter der Annahme 21 = (5 = die Werte von
S3, G, 3), I zu fmden aus den Deviationen und Feldstiirken auf zwei Kursen.
Bndlich S[, $J, \, 3), (, I zu finden aua den Deviationen und Feldstarken auf
drei Kursen. Die L8sung dieser Aufgaben mit Hilfe des ,,Dygogranims I" (siehe
Nr. 17 b) nndet man in Adm. Man.; Auwondungen z. B. bei S, W. B. Diehl
(Litt. B, I); vgl. auch M. E. Guyou (Litt. B, I). Eine grapbische Behandlung
der Pomowschen Gleichungen gibt /. Ripott, Rev. mar. 176 (1908), p. 29 u. f.
126) Hierauf griindet L. Ravier eine geometrisch-perapektivisehe Behand
lung des Problems, Rev. mar. 153 (1902), p. 592. In Osterreich aind graphische
Methoden neuerdings von F. Lauffer in den Vordergrund geriickt, s. Mitt. 32
(1904 1 ), p. 877; 33 (1905), p. 223; Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 306, sowie die zu-
sanimenfassende Monographic F. Lauffer, GraphiscJie Losung der Deviatiows-
problemc, Pola 1908.
350
VI i, 6. H. Meldau. Nautik.
bewegt sich der Endpunkt von XYZ bei irgendwelchen Drehungen
des Schiffes um seine durch die KompaBmitte gelegten Hauptachsen
auf einer Kugel um den KompaBmittelpunkt, der Endpunkt von X Y 2?
auf einem Ellipsoid mit dem Mittelpunkt PQR. Das Diagramm der
Horizontalkomponente der Feldstarke bei aufrecht auf horizontalem
Kiel liegendem Schiff wird erhalten durch Projektion der Kurve
Z= F Const, auf die XY-Ebene. Die Projektion ist eine Ellipse
mit dem Mittelpunkte P -j- c V, Q + fV.
Das so erhaltene Diagramm kann nach E. Guyou (Lit. B) auf-
gelost werden in drei Vektoren mit den Komponenten:
im magn. Meridian ON oder im
(l -f- ^2~") -Ef = MI Winkel zu der Langsschiffs-
richtung OX.
senkrecht dazu nach rechts,
I.
H=
a
HI.
P -j- c V
Q -f- /"F
A #93
A JETS
a e
H
langsschiffs oder langs OX,
querschiffs nach rechts,
im Winkel -f zu OX,
senkrecht dazu nach rechts.
/ngn.Jfard
West
Dabei kann man entweder H oder, wenn
A unbekannt ist, iH als Langeneinheit wahlen.
Durch verschiedene Anordnung der Sum-
mierung der Vektoren und je nach der Wahl
der festliegenden Bezugsachsen erhalt man Dia-
gramme verschiedener Art, von denen die wich-
tigsten die folgenden sind.
b) Darstellungen mit festtiegendem Meridian.
Wenn man den magnetischen Meridian ON
als Hauptachse wahlt, so erhalt man die Devia
tion und die Feldstarke als Funktion des
magnetischen Kurses. Die Summation 127 )
.1 -f- III -f- II ergibt eine als Dygogramm I
bezeichnete Pascahche Schneckenlinie 128 ).
127) In diesen scbematischen Bezeichnungen soil der festliegende Yektor
onterstrichen werden.
128) Diese von dem rassischen Marineoffizier Golongue hercuhrende Kon-
Btruktion weiet gegenuber der ursprungbch von A. Smith gewablten ^-f- II -f III)
erhebliche Vorteile af. Die Eigensehaften dioser Dygogramme (Dynamo-GoBio-
gramme) sind vornehrulich von den beiden Genannten ontersuclit. Aucb A. Caifley
17. Graphisotio Darstellungen der Foidstiirke
351
Die Figur 8 zeigt eine Konstruktion dieser Kurve aus gegebenen
Werten der Koeffizienten. Nachdera der dein magnetischen Kurse N
entsprechende Punkt C konstruiert 1st, findet man den ,,Pol des Dygo-
gramms" Q durch Verlangerung von CE bis zur Peripherie des urn
A mit A H J/jD 2 -f- 6 s beschriebenen ,,Grundkreises". Legt man an
QC in Q den magnetischen Kurs an und tragt vom zweiten Schnitt-
punkte dieser Linie mit dem Grundkreise die Strecke AHy>8* -f" *
ab, so erhalt man den Kurvenpunkt R, und es 1st P OE = tf und
jr>
OH ijj. Der Figur 8 liegen die folgenden Werte zugrunde:
EB = 93 = + 0,380
SC 6 = -f 0,260
PA = St
AD = 5)
-f- 0,060
+ 0,200
4- 0,080.
Dieselben Werte sind den Figuren 9 und 10 zugrunde gelegt.
Eine von Q unabhangige Konstruktion des Kurveupunktes It ist
in der Figur 9 angegeben.
Bei Breitenandemngen hat man nach Neubestim-
mung von S3 und ( die neue Lage von Q auf dem
Grundkreise 7.u bestimmen.
Die Summierung II -f- j[ -f- III gibt ein aus zwei
Kreisen bestehendes Diagramm, das gegendber dem
vorigen nur den Nachteil geringerer tJbersichtlich-
keit hat.
c) Darstellungen mit festtiegetider Langsschiffslinie.
Wenn man die Langsschiffsrichtung OX als Haupt-
achse wahlt, so erhalt man den Kompafikurs und die
Feldstarke als Funktion des magnetischen Eurses. Am zweckmafiigsten
diirfte die Summierung n -}- I -f- HI sein (s. Fig. 10). Der Winkel
der Verbindungslinie von mit einem Punkte der Ellipse gegen
OX gibt den Kompafikurs, ihre Lange die Feldstarke an. Zur Losung
der in der FuBnote 125) bezeichneten Aufgaben leistet ein Verfahren
der Variation der Koeffizienten gute Dienste. Sind zu lt ^ die
Kompafikurse ^ , % gegeben, so bewegt sich bei Variation eines der
Koeffizienten %, 2), @ der Punkt auf einer Geraden 188 *).
hat fiich mit ihnen beschaftigt: 8. Ged&chtnisschrift von W. Thomson nui A.Smith,
London Proc. 22 (1874).
128 ) Bei gleichzeitigor Variation zweier Koeffizienten, etwa von 5) und (5,
beechreibt eine affine Ebene. Vgl. die in FuBnote 126 zitierte Monographic
vort F. Lauffer.
352
VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
Bei Breitenanderaiigen andert aich nur die Lage von .
Die Summierung III -j- II -f- I ergibt ein aus zwei Kreisen be-
bestehendes Diagramm m ).
d) Dromosfcope. Als Dromoskope bezeichnet man Apparate zur
znechanischen Nachahmung der Abhangigkeit der Deviation von
und . Die Konstruktion geht
meistens aus von dem in Nr. 17 c
erwahnten aua zwei Kreisen be-
stehenden Diagramm. Die Koeffi-
zienten S3 und ( werden an Schlit-
ten, die parallel zur X- und F-Achse
bewegt werden kb nnen, eingestellt.
Der Quadrantaldeviation wird durch
ein Raderwerk mit epizyklischer
Bewegung Rechnung getragen 130 ).
18. Kompasse und Kompafi-
rosen. a) Gescfiichtliches. Das
19. Jahrhundert hat die KompaB -
rose in der primitiven Form iiber-
kommen, in der sie seit Jahrhun-
derten der Schiffahrt gedieut hatte,
namlich ala einfache Scheibe mit
einer darunter befestigten, zur Aufnahme des Hiitchens in der Mitte
durchbohrton Magnetnadel.
Die schwierigeren Verhaltnisse, unter denen der KompaB an Bord
der eisernen Sehiffe arbeiten gollte, haben Verbesserungen der kineti-
schen wie der magnetischen Eigenschaften des Inetrumentes bedingt.
Die an eine KompaBrose zu stellenden Anforderungen sind: 1. ge-
niigendes Einstellungsvermogen, 2. Ruhe trotz der Bewegungen des
129) Das bis zur 6. Auflage (1893) im Admiralty Manual enthaltene, ala
,,EllipBe und Kreis" bezeiehnete Diagramm beruhte auf einer Summierung von
H zu II und dem ganzen durch Horizontalinduktion entstehenden Felde. A. Smith
hatte OB fur den Fall 51 6 auf ein solches von zwei Kreisen reduziert.
Erst W. Thomson zeigt (London Proc. 22 (1874)), dafi diese Reduktion allgemein
a-f
moglich 1st dadurch, daB man das Feld
H in der Richtung ON und das
Feld
H senkrocht zu N aus dem schiffsmagnetischen Felde berausnimmt
und mit H vereinigt. Auf diese Weiee erhalt man I -f- II -\- III.
130) Solche Dromoskope sind besonders in Osterreich (F. Paugger und
N. Garbich) und Frankieicb (E, Fournier) konetruiert worden; vgl. E. Geleich,
Zeitschr. f. Inetr. 3 (1838), p, 346; Kcrilles-Callock, Rev. mar. 101 (1889), p. 456.
18. Kompasee und Eompafiroaen.
353
Schiffes, 3. geeignete Konstruktion des Magnetsystems mit Riicksicht
auf die Nahe der Kompensationamittel.
Bis zum Jahre 1860 geht das Interesse lediglich auf die Erfiillung
der ersten und zweiten Forderung, seit dieser Zeit liegt der Nacli-
druck mehr auf der zweiten und dritten.
Zur Erzielung einer ruhigen Rose hat zuerst (1813) F. Croiv den
KompaBkessel rait verdunntem Alkohol angefiillt: Fiir diese Fluidkom-
passe, die sich seitdem neben den Trocltenkompassen entwickelt haben,
sind wesentlich audere inechanische und magnetische Eigenschaften
maBgebend wie fiir jene; gemeinsam sind beiden nur die Forderungen
hinsichtlich der geometrisehen Gestalt des Nadelsystems.
b) Naddanordnung. Der Eompafi zeigt die Richtung des nach
den Poissonschen Gleiohungen fiir seine Mitte berechneten Horizontal-
feldes nur dann an, wenn dieses Feld als innerhalb der Nadellange
homogen anzusehec 1st, d. h. wenn die Nadel als unendlich klein im
Vergleich zur Entferuung der nachstgelegenen Magnetpole betrachtet
werden darf. Das Erfulltsein dieser Bedingung ist in Frage gestellt,
wenn Magnete uud Weicbeisenmassen zur Korapensation in der Nahe
des Kompasses angebracht werden. Der EinfluB der Nadellange auBert
sich dann im Auftreten sextantcder und oktantdler Deviationen. Solche
Stomngsglieder des regularen Deviationsverlaufs sind zuerst (1860) an
den Kompassen des in der Geschichte des Eisenschiffbaues beriihmten
?? Great Eastern" beobachtet. Von A. Smith und F. Evans wurde im
AnschluB an diese Beobachtungen folgendes festgestellt 131 ): Die Nahe
fester Magnetpole gibt zu sextantalen, die Nahe der durch Horizontal-
induktion in Weicheisenmassen erregten Pole zu oktantalen Storungen
Veranlassung. Durch geeignete Nadelanordnungen konnen die Sto
rungen vermieden werden. Die einfachste dieser
Nadelanordnungen erhalt man, indem man zwei
Nadeln von gleichem magnetischen Moment parallel
der Nord-Sudlinie so anbringt, daB sich die Pole im
Winkelabstand von 30 von dieser Linie befinden
(s. Fig. 11).
Fiir n Nadelpaare findet man, wenn m das
Moment eines Paares, 21 der Polabstand jeder Nadel
und s ihre Entfernung von der Nord-Siidlinie der
Rose ist, daB
Fig. 11.
131) London Phil. Trans. 161 (1861), p. 161.
364 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
sein mufi. Fur Nadelanordnungen wie die in der Figur 12 darge-
stellte (s. Nr. 18f am SchluB) ergibt sich die allgemeinere Bedingung
j?m(l*+ 36 s 3s 8 ) = 0.
i
Beziiglich der Frage der Nadelanordnung
bei Vorhandensein von Nadeiinduktion ist fest-
gestellt: Die Nadelanordnung mit den Polen im
Winkelabstand von 30 zur Nord-Siidlinie bringt
auch bei Vorhandensein von Nadeiinduktion das
Hauptglied oktantaler Storungen zuin Verschwin-
den. Es bleibt jedoch unabhangig von der
Gestalt des D-Korrektors (s. Nr. 19 b) noch ein
Restglied oktantaler Stoning, das linear mit dem magnetischen Moment
der Rose wachst. Gleichzeitig tritt eine zwolftelkreisige Ablenkung
auf 133 ).
c) Magnetisches Moment des Rosensystems, Nadeiinduktion. Wenn
die Rose die nach den Poissowschen Grleichungen berechuete Feldrich-
tung anzeigen soil, so darf sie ferner nicht ihrerseits Pole in irgend-
welchen Eisenmassen der Umgebung induzieren. Eine ,,Nadelinduktion"
ist nicht zu befiirchten in den Eisenmassen des Schiffes, wohl aber
kann sie leicht eintreten, wenu seitlich vom KompaB Quadrantalkor-
rektoren oder vor oder hinter dem EompaB eine ,,Flindersstange" (siehe
Nr. 19 b) angebracht ist. Denn man muB diese Weicheisenkorper inner-
halb weniger Dezimeter vom KompaBmittelpunkt anbringen, um ihre
Dimensionen nicht gar zu sehr anschwellen zu lassen. Die zur Ver-
meidung der Nadeiinduktion notige starke Reduktion des magnetischen
Momentes ist gelungen bei Trockenroseu (s. Nr. 18 f), sie ist ausge-
schlossen bei den Rosen der Fluidkompasse (s. Nr. 18 g).
Die Folge der Nadeiinduktion ist in erster Linie eine quadrantal
mit dem Kompaflknrs sich andernde Ablenkung 133 ). Sie ist fur Eisen-
132) H. Meldau,, Ann. d. Hydr. 36 (1907), p. 17. tfber einige frflhere, den
Gegenstand betreifende Arbeiten ebenda. Die Untersacbung von Nadelsystemen
auf Freisein von oktantalen StSrungen erfolgt bequem am Lande durch zwei
reohtwinklig zu einander gestellte Eorrektorpaare. Es annullieren sich dann die
quadrantalen Teile der Drehmomente, wiihreml etwa vorbandene oktantale Teile
sich addieren, also leicbt erkennbar werden. Entsprechendes gilt von sechstel-
kreisigen und hOheren Sto rungen bei geeigneter Anordnung mebrerer Korrek-
toren; vgl. H. Meldau, Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 20; 36 (1908), p. 72 u. 263.
Em Verfahren zur Ermittelung an Bord zu erwartender St&rungsglieder aua
Landbeobachtungeu empfieblt H. Maurer, Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 544; vgl
auch Ann. d. Hydr. 36 (1908), p. 72 u. 128
133) Versuche einer Theorie der Nadeiinduktion s. Eiv. della marina roer-
18. Kompasse und Kompafkosen. 355
niassen, die seitwarts vom KompaB oder vor oder hinter ihm befestigt
sind, von der Form D sin 2 *, und zwar entsteht dnrch die seitlich
angebrachten D-Korrektoren ein I) von negativem, durch die vor
oder hinter dem KompaB angebrachte Flindersstange ein solches von
positivem Vorzeichen. In letzterera Falle wiirde das natiirliehe D des
Schiffes durch die Nadelinduktion erhoht werden, was zu vermeiden
ist. Die kompensatorische Wirkung der D-Korrektoren wird durch
eine vorhandene Nadelinduktion erhoht, weshalb diese bei verschie-
denen KompaBsystemen absichtlich herangezogen wird (s. Nr. 19 f).
Nachteilig ist dabei, dafi die auf Nadelinduktion beruhende Wirkung
sich umgekehrt proportional H andert, so daB auch die Quadrantal-
deviation nicht niehr unabhangig von der magnetischen Breite ist.
Bei fehlerhafter Nadelanordnung veranlafit die Nadelinduktion
auBer der Quadrantaldeviation oft recht unangenehme Storungen ok-
tantalen oder noch hoheren Charakters 184 ).
d) Einstellungsvermogen. Bei Trockenkompassen ist das Einstel-
lungsvermogen proportional MB. : e G, wo M das magnetische Moment
der Rose, H die horizontale Feldstarke, G das Gewicht der Rose und
s einen von der Beschaffenheit von Pinne und Hiitchen abhangigen
Reibungsfaktor bezeichnet. Dieser ist durch sorgfaltige Konstruktion
der Aufhangevorrichtung moglichst klein zu mat-hen, wobei zu be-
rficksichtigen ist, daB die Pinne um so spitzer angeschliffen sein darf,
je geringer das Gewicht der Rose ist, ohne daB man bei den Er-
schiitterungen des Schiffes ein Einbohren der Spitze in das Hiitchen
beftirchten mufi.
Bei den modernen leichten Trockenrosen ist es keineswegs die
Aufgabe, M moglichst groB zu machen, die Einstellungsfahigkeit muB
nur hinreichend sein, um bei einer Feldstarke von beililufig 1, 8 G. E.
[mm * mg2" sec" 1 ] eine Einstellurig auf 0,1 bis 0,2 zu gewahr-
leisten 135 ).
cantile 1888; Ann. d. Hydr. 34 (1906), p. 81; Ann. d. Hydr. 36 (1907), p. 22;
F. Corbara (Lit. B.) p. 314; daran anknupfend L. Tonta, Riv. maritt. 41,3 (1908),
p. 35; eineu allgemeinen Ansatz auf Grund dei Potentialtheorie gibt L. Dunoycr,
Paris C. R. 147 (1908), p. 834 and in der in Fufinote 169 geuannten Dissertation
t)ber die Verteilung der Richtkraft bei Anwesenheit von Nadelinduktion H. Meldau
und L. Tonta., Riv. maritt. 41,4 (1908), p. 501.
134) Experimentelle Untersuchungen daniber und Beispiele aus der Praxia
s. H. Melduu, Ann. d. Hydr. 32 (1904), p. 161.
136) Die bei den fniher gebraucblichen schwereren Rosen gestellte Auf-
gabe, den Quotienten M : G mGglichst groB zu macben, bat ibre Bedeutung heute
verloren. Es ist bei den heutigen Rosen, auch denjenigen der Trockenkompagse,
nicbt ecbwer, etwa durcb Verwendung langerer Nadeln oder von Nadeln in Form
356 VI i, 5. H. MeMau. Nantik.
Fur die Rosen der Fluidkompasse sind grofie Werte des magne-
(r 3. JL "A
40 bis 100 Mill. G. E. [mm^ mg 2 sec" 1 ]) zur
Sicherung einer geniigenden Einstellungsfiihigkeit unumganglich 136 ).
Die wesentliehste Verbesserung dieses KompaBtyps ist durch die An-
bringung eines Schwimmers ia Gestalt einer lufteriullten Metallkapsel
im Mittelpunkte der Rose erreicht. Dadurch ist die Mb glichkeit ge-
geben, das Gewicht der Rose bis auf wenige Gramm von der Pinne
abzuheben, und deshalb beliebig starke Magnetsysteine zu verwenden.
An Aufstellungsorten mit kleinem Werte der mittleren Feldstarke,
an denen Fluidkompasse aus anderen Griinden (s. Nr. 18g) am Platze
sind, wird die Rose durch die Fliissigkeit bei Drehungen des Schiffes
leicbt mitgeschleppt. Dieses Mitschleppen der Rose kann nach den
in unserer Kriegsmarine gemachten Erfahrungen durch einen weiten
Zwischenraum zwischen Kesselwand und Rosenrand sehr herabgedriickt
werden (s. Figur 14).
e) Ruhe der Kompafirose. Die Ruhe der KompaBrose wird an
Bord der Schiffe durch mechaniscbe und durch inagnetisehe Uraachen
beeintrachtigt. Die Erschiitterungen des Schiffskb rpers durch den
Seegang, die Maschine und die Schraube konnen zu exzentrischen
StoBen der Pinne auf den Rosenkorper Veranlassung geben. Ferner
weicht bei den RoJlbewegungen des Schiffes, infolge der wechselnden
horizontalen Beschleunigungen die Richtung der scheinbaren Schwer-
kraft, in die sich der KompaBkessel und die Rosenachse bei Vernach-
lassigung ihrer Eigenschwingungen jeweils angenahert einstellen, perio-
disch von der wahren Richtung der Schwerkraft ab, so daB die erd-
magnetische Vertikalkraft periodisch Komponenten in der Rosenebene
ergibt 137 ). An Bord der eisernen Schiffe sind die den Krangungsfehler
erzeugenden Krafte weitere Ursachen zum Unruhigwerden der Rose.
von Hohlzylindern (s. Eottok, Marine-Rundschau 13 (1902), p. 1209) M und M : G
zu steigern. Bei ruhig liegendein Schiff erreicht man dadurch einen Vorteil, beim
Schlingern oder bei Erscbiitterungen wird die Roae jedoch unruhig. Die alte An-
schauuTig, daB durch ein grofies magnetisches Moment die Ruhe der Rose erhOht
wiirde , ist von W. Thomson ale falsch , ihr Gegenteil als richtig erkannt worden
(s. Pop. Lect. 3, p. 289).
136) Die hochsten Werte des inagnetischen Momentes erreicht man in
Elektromagnetkompassen. Vgl. Ann. d. Hydr. 35 (1907), p. 553, Brit. Patent
Engineer 103 (1907), p. 538.
137) W. Thomson, On the perturbations of the compas produced by the
rolling of the ship, Phil. Mag. 48 (1874). Unter der Annahme eiaer durch
i=s*J-Bwnt dargestollten Rollbewegung ergibt eich als Winkel zwischen der
scheinbaren und der wahren Richtung der Schwerkiaft augenahert k = -=- *, wo
18. Kompasse und KompaBrosen. 357
t
Die aus der Rollbewegung hervorgehenden Storungen sind fiir
die Ruhe der Rose um so verhangnisvoller, je mehr die Schwingungs-
dauer der Rose mit der des Schiffes ubereinstimmt.
Von den vielen Versuchen, die zur Erzielung einer ruhigen Kom-
paBrose im Laufe des 19. Jahrhunderts gemacht worden sind, muBten
sich zunaehst alle diejenigen als verfehlt erweisen, die durch Ver-
grofierung der Reibung die lebhaften Bewegungen der Rose ziigeln
wollten.
Bin wirklicher Fortschritt wurde erst durch die ,,Normalrose der
britischen Admiralitat" in den vierziger Jahren erzielt, bei der statt
der bisher ublichen einzigen Nadel zwei Nadeln zur Verwendnng kamen,
deren Enden einen Winkelabstand von 30 von der Nord-Siidlinie
batten 137 *). Zweck dieser Anordnung, die sich spater auch in mag-
netischer Hinsicht als sehr giinstig erwies (s. Nr. 18b), war, das Trag-
heitsellipsoid zu einem Rotationsellipsoid zu machen. Diese Norinal-
rosen mit einem Gewicht von 100 bis 150 Gramm 188 ) und einem
magnetischen Moment von 30 bis 40 Mill. G. E. sind bis in die neun-
ziger Jahre im Gebrauch gewesen.
Eine vollige Umwalzung in der Konstruktion der Trockenrosen
wurde in den siebenziger Jahren herbeigefuhrt, als W. Thomson das
Problem physikalisch durcharbeitete. Ausgehend von der Forderung,
daB die Nadel und ihr magnetisches Moment im Interesse einer voll-
kommenen Kompensation so klein wie moglich zu machen sei 139 ),
wurde W. Thomson durch seine Untersuchung flber das kinetische
Gleichgewicht der Rose auf rollendem Schiff 14 ) zu der tfberzeugung
h die Hohe des Eompasses fiber der Rollachee des Schiffes und I die Liicge des
mit der Rollbewegung isochronen Pendels ist. Der dadurch erzengte ,,Feiiler des
kinetischen Gleichgewichts" ist durch J x = k tang 6 cos gegeben, wo 6 die
Inklination und den magnetischen Kurs bedeuten. Thomson, selbst hat ver-
sucht, ihn an Bord seiner Yacht miter Benutzung einer kleinen Nadel von nur
zwei Sekunden Schwingungsdauer experimentell festzustellen. Der Fehler erwiee
sich als so bedentend, ,,dafi es sehr schwer war, genaue Beobachtongen anzu-
stellen, sobald die See nicht ungewohnlich ruhig war".
137 *) Neben den Zweinadelrosen waren vielfach auch Viernadelrosen im
Gebrauch, deren Enden im Winkelabstand von 15 bezw. 45 von der Nordsiid-
linie lagen.
138) Bei schwerem Wetter benutzte man besonders schwere ,,Sturmrosen"
oder belastete die gewOhnliche Rose mit einem schweren Ring von geringem
Durchmesser.
139) In der Gedachtnisschrift auf A, Smith (London Proc. 22 (1874)), die
ihn auf das Problem hinfuhrte, spricht Thomson die Ansicht ana: The Chinese
compass or needle unloaded with compass-card is undoubtedly the compass of
the future.
Encyklop. d. math. Wiench. VI 1. 24
VI i, 5. H. MeUaw. Nautik.
gefiihrt, daB nur eine Rose mit einer groBen, die Periode der Roll-
bewegung des Schiffes tibertreffenden Schwingungsdauer an Bord brauch-
bar sein wiirde. Damit war erkannt, daB fiir die Ruhe der Rose nicht
ein grofies, sondern im Gegenteil ein Jdeines magnetisches Moment,
und nicht eine groBe Masse, soudern ein im Verhaltnis zum magne-
tischen Moment groBes Tragheitsmoment erstrebt werden miisse. Auf
Grund dieser Erkenntnis gelang es W. Thomson nach dreijahrigen
mannigfachen Versuchen im Laboratorium und auf See, eine Rose mit
vorziiglichen Seeeigenschaften und hinreichend kleinen Nadeln zur Er-
moglichung einer vollkommenen Kompensation herzustellen 141 ).
Fig. 13.
f) Trockenliompasse. Die Thomsonsche Rose ist fiir alle seit ihrer
Einfiihrong (1876) konstruierten KompaBrosen vorbildlich gewesen.
Der Rosenkorper ist im wesentliehen aus Seidenf aden aufgebaut (siehe
Fig. 13). Von einer kleinen Alnminiumscheibe, die iiber das mit der
Edelsteinkappe versehene Hiitchen gestreift wird, sind 32 Seidenf aden
nach dem auBeren Aluminiumring gespannt. An diesen Ring ist das
aus leichter Pausleinewand verfertigte Rosenblatt geklebt; der mittlere
Teil ist zur Reduktion des Gewichtes herausgeschnitten. Das Magnet-
system besteht aus acht vergoldeten, 5 8 cm langen Nadeln, die durch
Seidenfaden unter sich und mit dem Ringe verbunden sind. Die Rose
ruht auf einer fein angeschliffenen Iridiumspitze. Zur Charakterisierung
140) Phil. Mag. 48 (1874). Hier gelangt Thomson zu dem SchluB: ... no
admisRiblo degree of viscous resistance can make the rolling error small enough
for practical convenience, unless also the period of the compass is longer than
that of any considerable rolling. Probably a period of 15 30 seconds (such aa
an ordinary compass has) may be found necessary for general use at sea, and
it becomes an important practical question, how is this best to be obtained
with the smallness of the compass needles necessary for a thoroughly satisfac
tory application of the eystem of magnetic correctors by which Airy proposed
to cause the compass in an iron ship to point correct magnetic courses.
141) Nature 18 (1878).
IS. Kompa&se uud Kompa&rosen. 359
der neuen Rose gegeniiber den alten seien folgende Zahlen als Mittel-
werte angefiihrt.
Normalrose Thomsonsche Rose
Durchmesser 200 mm 250 mm
Gewicht a 120 g 13 g
Lange der langsten Nadel 200 ram 80 mm
Magnetisches Moment M 36 Mill, G. E. 2,1 Mill. G. E.
Tragheitsmoment T 500 Mill. G. E. 130 Mill. G. E.
M:G 0,3 0,16
T:G 4,2 10,0
Schwingungsdauer 18* 38*.
Wegen des geringen magnetischen Momentes ist die Dampfung
bei der Thomsonsehen Rose durch Foucaultache Strome in den Kessel-
wandungen unmerklich, die Dampfung beruht lediglich auf Luft-
reibung 148 ).
Von den Nachahmungen der Thomsomchen Rose ist die von
HecheJmann in Hamburg bemerkenswert. Bei ihr sind die Magnet-
nadeln zur VergroBerung des Tragbeitsmomentes unler dem Eande des
Rosenblattes mit Seidenfaden parallel der Nord-Siidlinie aufgehangt.
g) Fluidkompasse. Der Gebrauch yon Fluidkompassen ist ge-
boten auf Schiffen uud an Aufstellungsorten mit starken Erschfit-
terungen 148 ), zuweilen auch durch die Riicksicht auf die ^Compensation
(s. Nr. 19 e).
Den Erschutterungen gegeniiber yerhalt sich der Kessel, die
Fliissigkeit und die Rose des Fluidkompasses gleichsam als Gauzes.
Der Kessel des Fluidkompasses ist, urn der Volumanderung der
Fliissigkeit bei Temperaturschwankungen Rechmmg zu tragen, mit
einem elastischen Boden, Metallbalgen oder Lvvftkammern zu versehen.
Die Figur 14 yeranschaulicht das neueste Modell (1903) des in
der Kaiserlichen Marine emgefiihrten Fluidkompasses. Die Rose von
196 mm Durchmesser mit dem Schwimmer S und den beiden Magnet-
systemeu m (innerhalb des Schwimmers) und m (aufierhalb des Schwim-
142) Neuerdinga hat man Versuche gemacht, die Dampfung dadurch zu er-
hoberi, daC maa unter der Rose einen winzigen Fluidkompafi mit cinex Rose
YOU auBerst gcringem Moment anbringt. Diese Rose wird von der Hauptroae
um 180 gedreht; bei geeigneter "Wabl der Schwingungezeiten soil der erstrebte
Erfolg erreicht werden, s. z. B. F. Corbara, Lit. B, p. 268. Die Ersetznng der
einfachen T/iowwonacben Rose durch ein System von zwei Rosen hat immerhin
eiwaa Bedenkliches. Das Urteil von L. Tonta, Riv. maritt. 86 c (1908), p. 83,
Member erecheint vollig berechtigt.
143) Z. B. Torpedobooten und Zerst6rern.
24*
360
VI i, 5. H. Mcldau. Nautik.
mers) ruht mit dem Saphirhutchen li auf der Pinne p in dera zur
Verminderung des Nachschleppens sehr erweiterten Kessel. Die Ab-
lesung erfolgt an dem Steuerstrich . Die Luftkamraer I ist mit
einem EinlaBventil und einem AuslaBventil verseheri. Die Beleuchtung
erfolgt durch die im Boden des Kessels angeordneten Gliihiampen u.
Fig. 14.
Ein Nachteil der gewohnlichen Fluidkompasse ist der, dafi Pinne
und Hutehen schwer zuganglich, sind und dass die Rose nicht arretiert
werden kann. Zur Vermeidung dieses tfbelstandes verwendet Dubsky
eine Rose 1 * 4 ), deren Auftrieb das Gewicht iibersteigt. Die Pinne ist
in einer mit Metallfassung versehenen Offnung in der Mitte des Deckel-
glases nach unten gerichtet eingeschraubt. So sind die Pinne und
das in eine zentrale Vertiefung des Schwimmers hineingelegte Hiit
chen leicht zuganglich. Die Arretierung geschieht durch Entfernung
der Pinne 145 ).
Der Auftrieb der Rose von Fluidkonipassen ist Schwankungen
mit den Volumanderungen der Flfissigkeit unterworfen, die urn so
grofier sind, je hoher der Alkoholgehalt der Flussigkeit ist 146 ), und auf
die bei der Konstruktion des Kompasses Rucksicht zu nehmen ist 147 ).
144) Sie ist in Anwendung bei dem in der osterreichischen Kriegs- \wA
Handelsmarine verbreiteten Peichksken. KompaB (a. 19f.).
146) Eine andere sinnreiche Einrichtung dieser Art ist an dem neuen Mo-
dell des Magnaghischen Kompaeees (s. Nr. 19 f) getroffen, s. Eiv.maritt. 38,4
(1905), oder Referat in Aun. d. Hydr. 34 (1906), p. 27.
14G) Ein geringcr Alkobolgehalt bringt die Gefahr dos Gefrierens der Flussig
keit rait sich.
19. Kompensation der Kompasse. 361
19. Kompensation der Kompasse. a) Aufgdbe der Kompensa
Als Hauptzweck der Kompensation ist schon in Nr. 9e und 13 c
der durch sie bewirkte Ausgleich der Richtkrafte und die Anwendbar-
keit der Naherungsformel
8*=A + B&in+CcoB? + D sin 2 -f E cos 2^
hingestellt. Es sei hinj&ugefugt: GroBe Ablenkungen sind mit dem
Kurswinkel stark veranderlich, bei Kursanderungen tauschen sie das
Urteil iiber die wahre Winkelbewegung des Schiffes und geben AnlaB
zum Unruhigwerden der Rose. GroBe Ablenkungen sind fast stets
grofien Andemngen mit der magnetischen Breite unterworfen Indem
sich diese Andemngen zu denen durch balbfesten Magnetismus addieren,
verschleiern sie den EinfluB des letzteren. Die Kompensation des
Krangungsfehlers isfc unumganglich mit Riicksicht auf die Ruhe
der Rose.
V) Kompensationsmittel. Die Kompensation ist nach Moglichkeit
so einzurichten, daB sie fiir alle magnetischen Breiten ausreicht. Diese
Forderung setzt voraus, daB sie durch adaquate Mittel geschieht, d. h.
daB pennanenter Schiffsmagnetismus durch permanente Magnete, mo-
mentan induzierter Magnetismus durch Weicheisenmassen des ent-
sprechenden Typs aufgehoben wird, die auBerhalb des Bereiches merk-
licher Nadelinduktion angebracht sind. Die zur vollkommenen Kom
pensation anzuwendenden Mittel ergeben sich ohne weiteres aus den
in Nr, 13 c bei der Formel I angegebenen Werten der Koeffizienten.
Man beschrankt sich gewohnlich auf die folgenden:
Zur Kompensation des 2) = y - bringt man seit warts vom
KompaB in der Hohe des Magnetsystems der Rose jederseits eine
Wdcheisenmasse vom Typus -f- e an 148 ) (s. Fig. 5e, p. 335). Dadurch
wird gleichzeitig A verandert, und zwar in den meisten Fallen ver-
groBert 149 ). Ein etwa vorhandenes kann zugleich mit % kompensiert
147) Vgl. L. Tonta, Riv. maritt. 36,4 (1903), p. 332 und A. Santi, Eiv maritt.
38,4 (.1905), p. 95.
148) Meist verwendet man eiserne Hohlkugeln oder querachiffs liegende
Zylinder. Diese K8rper fiihren gleichzeitig ein a ein. Die fiir Kugelkorrek-
toren gultigen Verhaltnisae behandeln L. Jeanniot, Rev. mar. 154 (1902), p. 1194,
H. Meldau, Ann. d. Hydr. 33 (1906), p. 171. Die kompensatorische Wirkung der
KugeLn ist nahezu unabhangig vom Werte der Magnetisierungsfunktion und ge-
gebeu durch
(f) .
wo p der Kugelhalbmesser, r die Entfernung vom Rosenmittelpunkt ist.
149) Fiir Kugelkorrektoren findet eine VergroBerung oder Verringerong des
362 VI i, 6. H. Meldau. Nautik.
werden, indem man die Weicheisenkorper um einen Winkel
l @
tj.***TF
aus der Querschiffsrichtung herausdreht und sie auf den Wert
-_|_~@2 einstellt.
Die Koinpensation der Koeffizienten der Semizirkiilardeviation
erfordert fur Schiffe, die ihre magnetische Breite stark Jindern,
Magnete und Vertikalstangen aus weichem Eisen.
Die gesonderte Eompensation der beideri Eomponenteu des
festen Schiffsmagnetismus durch Langs- und Querschiffsmagnete ist
ihrer gemeinschaftlichen Aufhebung durch einen einzigen Magneten
im ,,Steuerbordwinkel" K = arctg ~- vorzuziehen. Man ordnet die
Langsschiffsmagnete so an, daB ihre Mitte sich in einer durch den
KompaB gelegten QuerschiflPsebene, die Querschiffsmagnete so, daB
sich ihre Mitte in einer durch den KompaB gelegten Liingsschiffs-
ebene befinden.
Zur Koinpensation des c (f ist meist verschwindend) ist vor oder
hinter dem KompaB eine Weicheisenstange yon geeigneter Lange an-
znbringen. Nach W. Tfwmson verwendet man fiir diese schon von
Flinders (s. Nr. 9b) angegebene Kompensationsvorrichtung Eisen-
zylinder von 8 cm Durchmesser. Die ,,Fliudersstange" wird in einer
Messiughiilse untergebracht ; sie besteht aus einzelnen Stiicken von 5
bis 20 cm Lange. Indem man die unteren Stiicke durch Holzklotze
ersetzt, vermag man die Wirkung der Stange zu variieren.
Zur Vermeidung vertikaler Kraffce bringt man die Flindersstange
so an, daB ein Zwolftel ihrer Lange tiber der Rosenebene hervorragt.
Die Stange ist aufierhalb des Bereiches merklicher Nadelinduktion
anzubringen (s. Nr. 18c).
Die vollige Aufhebung des Krangungsfehlers wurde nach den in
Nr. 14 a angegebenen Formeln fiinf verschiedene Vorrichtungen er-
fordern. Von diesen wird die c-Kompensation bereits durch die Flinders
stange geleistet. Eine Kompensation des g und eine gesonderte Kom-
pensation des k sind nicht Gblich.
Zur Annullierung des Krangungskoeffizienten
, ^\, /i
~ e
i fitatt, je nachdem |/35* -j- * ^ i war ? ^- E- Guyou, Manuel des instr. iiaut.
Paris 1899, p. 97.
19. Kompersation der Kompasse. 363
verandert man durch einen unter der KompaBmitte senkreeht zum
Deck befestigten Magnet die raittlere Vertikalkraft p (s. Nr. 14b)
derart, dafi
g-j-^ l^O also ji=l-f-e=;,(l $))
wird.
Sind D-Korrektoren vom -f- e-Typus vorhanden, so kompensieren
diese den mit der Breite stark veranderlichen Teil T^^ ^ r a ^ e
magnetischen Breiten fast vollstandig, indem sie die Querschiffs-
induktion gleich der riel kleineren Langsschiffsinduktion machen. Es
muB dann
^ = 1 -f- a = A (1 + $>)
gemacht werden, wo I und S) die urspriinglichen Werte dieser
Grofien bedeuten 150 ).
c) Beihenfolge der Kompensationen. Die Anbringung der Weich-
eisenmassen hat tunlichst vor der Anbringung der Magnete zu er-
folgen. Die D-Korrektoren kompensieren, soweit ihre Wirkung auf
erdmagnetischer Induktion bemht, an Bord dasselbe Z), das sie an
einem eisenfreien Orte am Lande erzeugen 151 ). Ihre Grofie und Ent-
fernung kann deshalb nach Beobachtung des D aus vorher festgestellten
Tabellen entnommen werden.
Die Anbringung der Flindersstange kann zunachst nur schatzungs-
weise nach den auf ahnlichen Schiffen gemachten Erfahrungen ge-
schehen. Die Berichtigung erfordert Beobachtungen in Gegenden
mit erheblich veranderter Vertikalkraft. Am einfachsten geschieht
sie, indem man am magnetischen Aquator SSj = j-g durch die Langs-
schiffsmagnete beseitigt und nach der Ruckkehr in hohere Breiten
das jetzt erscheinende S3 8 4- tg durch Veranderung der Flinders
stange aufhebt.
Nach Anbringung der Weicheisenrnassen ist der Krangurigs-
magnet einzustellen, und endlich sind die Langs- und Querschiffs-
magnete zu verlegen.
d) Ausfuhrung der Kompensation. Die Kompensation des S3, S
und 55 wird ausgefiihrt, indetn man mittels der Kompensationsvor-
richtungen entweder die Ablenkungen auf bestimmten Kursen zum
Verschwinden bringt oder die EicMkrdfte auf bestimmten Kursen aus-
gleidit.
150) Die fur KugelkorreMoren gfiltigen \ 7 erhaltnisse s. Ann. d. Hydr. 33
(1905), p. 171.
151) Adm. Man.. App. 4.
364 VI i, 5. H. Mcldau. Nautik.
Bei dem ersten Verfahren kompensiert man S8 am einfachsten
auf 0- oder FT-Kurs, auf N- oder $-Kurs, wahrend man die Kom-
pensation dee 3) auf den Kurseu NO, SO, SW, NW kontrolliert.
Bei dem zweiten Verfahren hat man durch Ausgleich der Richt-
krafte auf N- und $-Kurs vermittels der Langsschiffsmagnete das S3,
und durch Ausgleich der Richtkrafte auf 0- und Tf-Kurs vermittela
der Querschiffsmagnete das aufeuheben. Die Rektifikation der
Quadrantaldeviation erzielt man dadurch, da8 man mittels der D-Kor-
rektoren den Wert der Richtkraft auf 0- und TF-Kurs dem auf N-
und $-Kurs beobachteten gleichmacht 153 ).
Fur die Richtkraftmessungen bedient man sich meist der Ab-
lenkungsmethode, indem man einen der in Nr. 12 beschriebenen De-
fle ktoren zur Anwendung bring!
Bei der Ausfuhrung der Kompensation ist stets gehorige Rtick-
sicht auf mutmaBlich vorhandenen halbfesten Magnetismus zu nehmen.
Hat z. B. auf der Reise das Schiff lange Zeit auf ein und demselben
Kurse gelegen, so darf man nicht unmittelbar nach einer Kursande-
rung kompensieren, das Schiff rnuB zunachst einige Zeit, wenn moglich
24 Stunden, auf dem zur Kompensation erforderlichen Kurse liegen.
Der Krangungsfehler kann bei aufrecht liegendem Schiffe kom
pensiert werden. Man hat den Krangungsmagneten so einzustellen,
daB der in Nr. 19 b am SchluB angegebene Wert der Vertikalkraft
erreicht ist, was man durch Schwingungsbeobachtungen an einer
Vertikalnadel oder mittels der Tliomsonscheu Vertikalkraftwage
(s. Nr. 12c) konstatiert. Zur Vermeidung eines Einflusses des Koef-
h zienten g (s. Nr. 14 b und Fig. 5g, p. 335) hat man dabei das Schiff
auf inagnetisch 0- oder TF-Kurs zu legen.
e) Hindernisse vollkommener Kompensation. Einer fiir alle Breiten
giiltigen Kompensation der Hauptfehler des Kompasses standen lange
Zeit die Induktionswirkungen des Nadelsystems auf die zur Kompen-
eation anzubringenden Weicheisenmassen im Wege. Dieses Hiuder-
nis ist durch die Konstruktion der Thomsonschen. Rose beseitigt
worden.
Man kommt jedoch nicht iramer mit der Tfwmsonschen oder
einer der ihr nachgebildeten leichten Trockenrosen aus. An manchen
magnetisch ungiinstigen oder starken Erschiitterungen ausgesetzten
KonipaBorten bewahrt nur der FluidkompaB die notige Ruhe. In
152) s. Mitt. 27 (1899), p. 904 und Ann. d. Hydr. 33 (1906), p. 171. Bei
dicser Eompeaaation muB vorausgesetzt worden, daB zwiachen der Rose, und dem
Quadrantalkorrektor keine Nadelinduktion gtattfindet. Bei Fluidkompassea ist
aus diesoiu Grundo der Gebrauch des Defloktors beachrankt, vgl. Eottok, p. 176.
19. Eompensation der Kompasse. 365
Panzertiirmen entstehen auBerdeui wesentliche Schwierigkeiten da-
durch, daB bei den groBen Werteu des I) der Raum fur die An-
bringung geniigend groBer Kugeln schlechterdings fehlt. Perner
wurden an solchen Orten, da an ihneri gewohnlieh ein groBer negativer
Wert des k vorhanden ist, die D-Kugeln den Krangungsfehler in hochst
ungiinstiger Weise beeinflussen 163 ).
Die KompaBsysteme von Peichl, Magnaghi und Flvrian kompen-
sieren die Quadrantaldeviation zum groBen Teil oder ausschlieBlich
durch Nadelinduktion.
f) Kompafisysteme mit besonderen Kompensationsvorrichtungen.
Der Peichhche D-Korrektor 154 ) und Intensitatsmultiplikator besteht
aus zwei Scheiben mit 32 bis 48 radial verlaufenden Weicheisen-
staben von 1 qcm Querschnitt und 5,5 bis 9,5 cm Lange. Die aufieren
Enden der Stabe liegen auf einem Kreise, die inneren auf EUipsen.
Die Stabsysteme kounen durch ein Zahnradgetriebe gegeneinander ver-
stellt werden und zwar von der Koinzidenz beider groBen Achsen mit
der Langsschiflfelinie bis 45 nach jeder Seite. In letzterer Stellung ist
die kompensatorische Wirkung verschwindend, es wird lediglich eine
Erhohung der Feldstarke durch die erdmaguetische Induktion in den
Staben erzielt. Bei anderen Stellungen der groBen Achsen resultiert
eine dem Kosinus des zwischen den Achsen liegenden Winkels pro-
portionale quadrantale Kompensationswirkung. Ihr Betrag ist an
einer Skale ablesbar. Zur Auf hebung ernes etwa vorhandenen @ kann
das ganze System um einen entsprechenden Winkel nach rechts oder
links verstellt werdeu. Der Apparat erlaubt in unseren Breiten
Werte des D bis zu 30 aufzuheben.
Der Korrektor ist innerhalb des Cardanringes angebracht, er er-
fordert eine eigene Krangungskompensation, die gebildet wird durch
einen kleinen senkrecht unter dem Kessel befestigten Beruhigungs-
magnet, der ffir jede Breite leicht empirisch eingestellt werden kann 155 ).
153) Vgl. Nr. 14 a. Siehe J. Un. Serv. Inst. 38 (1889), p. 949 und L.Jean-
niot, Revue mar. 164 (1902), p. 1194. Um die Anbringung groBer Eisen-
masaen zur Seite des KompasBes zu vermeiden, haben A. Smith und F. Evans
(London Phil. Trans. (1861)) die Nebeneinanderstellung von zwei Kompassen
einpfohlen. Die Rosen erzeugen dann durch ihre Wirkung aufeinander ein
negatives D. Der Vorschlag hat keine Annahine gefunden. Neuerdings hat
H. Maurer die Kompeusation der Quadrautaldeviation durch kleine KompasBe
zur Seite des Hauptkompasaes erortert (Ann. d. Hydr. 36 (1907), p. 644).
164) Mitt. 1875, p. 614; 1877, p. 41; 1879, p. 655. Jetzige Form s. bei
A. Racic oder Stupar.
155) Dem Peichlachfin KompaiJ nachgebildet ist der sog. Kompensationa-
366 VI i, 6. H. Meldau. Nautik.
Bei dem in der italienischen Kriegsmarine eingefdhrten KornpaB-
system von Magnaghi ist beiderseits am Kessel des Fluidkompasses
auf einer Konsole horizontal liegend ein Weicheisenring befestigt.
Die Wirkung beruht zu etwa drei Vierteln auf Nadelinduktion und
zu einem Viertel auf erdrnagnetischer Induktion 156 ).
Ganz auf Nadelinduktion beruht der vonH.Florian 1 ***) angewandte
Quadrantalkorrektor, der aus einem etwa 10 cm langen Weieheisen-
stabe besteht, der querschiffs unter dem Kessel des Fluidkompasses
in groBerer oder geringerer Entfernung von der Rosenebene fest-
gesetzt werden kann.
Die drei erwahnten KompaBsysteme weichen dadurch von der
theoretisch geforderten Anordnung der Kompensationsvorrichtungen
jib, daB sie die Quadrantalkorrektoren, sowie Magnete fiir den Rest
der Semizirkulardeviation am Eompafi nelbst, inncrhalb des Cardan-
ringes anbringen 157 ). Sie erzielen dadurch die Moglichkeit, Skalen
zum Ablesen des in einer bestimmten Breite kompensierten Betrages
anbringen zu konnen 158 ).
20. Kompasao mit Doppelrosen. a) Zwei Rosen. Der Gedanke,
die Ablenkung mit Hilfe von zwei vertikal tibereinander befindlichen
Magnetnadeln oder KompaBrosen zu bestimmen, ist zuerst von dem
englischen Kapitan W. Walker verfolgt worden 159 ). Walker glaubte,
von irrtumlichen Vorstellungen ausgehend, die Ablenkung durch eine
iiber der Rose des Eompasses angebrachte ,,Indikatornadel" anzeigen
lassen zu konnen. Angeregt durch Walkers Bemiihung entwickelte
F. Stamkart die Theorie eines Kompasses mit zwei flbereinander an-
kompaB der Dentechen Kriegsmarine (s. Lehrb. der Navigation, her. vom Reichs-
marineamt, 1, p. 73).
166) J. Ricci, Eiv. maritt. 36,3 (1908), p. 10 und A. Santi, Eiv. maritt.
38,4 (1905), p. 96.
156 ) Beschreibung des .Fton ankompaasee Mitt. 25 (1897), p. 827 und bei
Stupar, Terr. Nav.
157) GrOBere Betrage von B und G werden durch gewohnliche LangBschiffs-
und QuerschifiFsmagnete beseitigt. Die Anbringung des (7-Korrektors innerhalb
des Cardauringes hat zur Folge, daB bei der Krangung des Schiffes das N-Ende
der Eose nach der Seite gezogeu wird, an der der S-Pol des OKorrektors liegt.
Die Abweichung ist unerheblich, solange die nachzukompeusierende Eestdeviation
10 nicht fiberechreitet (a. Gareis, Mitt. 16 (1888), p. 464).
158) Bei Verwendung dieser EompafisjBteme geht das Bestreben im allge-
nieinen dahin, die Deviation durch Nachstellen der Korrektoren auf Null zn
halten. Dabei verwendet man mit Vorteil graphische Moth o don, s. Lauffer, Mitt.
33 (1905), p. 22. 5 und Ann. d. Hydr. 3* (1896), p. 82.
169) W. Walker, The magnetisme of ships a.ud the mariners compass,
London 1853.
20. Kompasse mit Doppelrosen. 867
geordneten Rosen zur Bestimmung der Horizontalintensitat am KompnB-
orte 160 ), gab wertvolle Ideen fur die praktische Ausfuhrung des In-
strumentes und erorterte seine Anwendung fur die Navigation 161 ).
Neuerdings hat F.Bidlingmaier die Theorie des ,,Doppelkoinpasses"
weiter durehgebildet und die praktische Ausfuhrung eines seetiichtigen
Instrumentes unter Verwendung der raodernen KompaBrosen ge-
fdrdert 162 ).
Bidlingmaier zeigt, daB es unzulassig ist, die Theorie der beiden
Eosen mit je einem Magnet auf den Begriff der , ; Poldistanz" auf-
zubauen. Die Diskussion des Drehmomentes, das zwei Rosen mit
beliebiger Nadelanordnung aufeinander ausuben, fiihrt zur Bestimmung
der zweckmaBigsten Form der Rosen. Es zeigt sich, daB man die
relative Horizontalintensitat aus dem ? ,Spreizungswinkel" fy der beiden
Rosen mittels der einfachen Beziehungen finden kann:
J3" cos -^ p
]ff~ cos^i/
wo C ein Korrektionsfaktor ist, der sich durch passende Wahl des Rosen-
systems nahe auf 1 reduzieren 1 aBt. Fttr Thomsonrosen z. B. ist C prak-
tisch = 1 zu setzen. Inhomogenitaten des Feldes am Orte der beiden
Rosen konnen durch Umschlagen der Rosen erkannt und eliminiert
werden. Nach dem mitgeteilten Beobachtungsmaterial erlaubt der
Apparat selbst bei unganstigem Wetter die Horizontalintensitat an
Bord mit einem mittleren Fehler zu bestimmen, der durchschnittlich
kleiner als ein Promille bleibt. Die Erprobung fiir die praktische
Navigation, insbesondere fur die Aufgabe der Ermittelung der Deviation
fur den gesteuerten Kurs aus Richtkraftmessungen auf zwei Kursen,
die nur etwa 5 bis 6 rechts und links von diesem Kurse liegen, ist
noch nicht abgeschlossen 168 *)
b) Zwei Rosen und ein Deflektor. E. Bissan hat zwei kleine
Nadeln vertikal iibereinander in einer Entfernung angeordnet, in der
sie sich nicht gegenseitig beeinflusseu. Das erdniagnetische Feld
160) Theorie van het Intensiteita-Kompass , Verb, der Koninkl. Akad. van
Wetenschappen 7, Amsterdam 1859.
161) Arch. Neerlarulaises 11 (1876), eine Abb. und zwei kleinere Mit-
teihmgen. Gegenuber der Stamkartscben Arbeit stellt die Bebandlung der
WalkerBchen Idee von E. Diibois (La deviation etc. Paris, etwa 1862) einen Riick-
Bchritt dar.
162) Deutscbe Siidpoiarexpedition 1901-1908. V. Erdmagnetismus I. Da-
selbst ein kritischer Bericht uber die zitierten Arbeiten. D. R. P. 190824.
162 ) tJber Erprobungen des Verfahrens am Land imd an Bord S. M. S.
,,Muncben" berichtet H. Maurer, Ann. d. Hydr. 86 (1908), p. 262. Die Kurs-
anderong niuS laiudestens 10 bis 26 uach jeder Seite betragen
368 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
gibt fur beide Nadeln gleiche Komponenten. Die Komponenten des
schiffsmagnetischen Feldes werden nach ihrer Richtung parallel, nach
ihrer GroBe verschieden fiir die beiden Nadeln vorausgesetzt. Durch
ein Magnetsystem, das fiir beide Nadeln gleiche Komponenten gibt,
werden die Nadeln in gleiche Richtung gebracht. Diese Richtung
stimmt uberein init der Richtung der gesamten schiffsmagnetischen
Kraft. Wenn auBerdem die Intensitat des Deflektorfeldes am Orte der
Nadeln bekannt ist, so ergibt sich auch die RichtuDg des magneti-
schen Meridians 168 ).
21. Bestimiuung des Meridians durch die Inklinationsnadel.
Der Peichkche KontrollkoinpaB 164 ) fiihrt den folgenden Gedanken aus.
Eine im festen Winkel zur Kielrichtung schwingende Inklinations
nadel uimmt, abgesehen von den auf Horizontalinduktion beruhenden
schiffsmagnetischen Kraften, bei der Drehung des Schiffes die kleinste
Neigung an, wenn ihre Schwingungsebene in den magnetischen Meri
dian f Silt. Berucksichtigt man die durch Horizontalinduktion in den
Eisenmassen vom p-Typus bewirkte seniizirkulare Anderung der
Vertikalkraft und ferner den fur alle Breiten unveranderlichen
Quadrantalfehler sowie eine etwaige konstante Ablenkung, so hat
man in der Feststellung der kleinsten Neigung ein Mittel zur Auf-
findung des magnetischeu Meridians 165 ).
Die Schwierigkeiten, mit denen Inklinationsbeobachtungen an
Bord verbunden sind, haben der allgemeineren Einfiihrung dieses
Kompasses im Wege gestanden.
22. Fernfibertragung von Kompafiangaben. Die Moglichkeit,
die Angaben eines an giinstiger Stelle aufgestellten Kompasses an
die Kommando- und Steuerstellen zu iibertragen, wiirde zumal fur
Kriegsschiffe von grofier Bedeutung sein. Von den zahlreichen vor-
geschlagenen Methoden haben sich bisher optische und elektrische
Ubertragungen als verwendbar gezeigt. Bei den optischen wird ein
reelles Bild der grell beleuchteten Mutterrose am Orte des Tochter-
kompasses entworfen.
Bei der elektrischen Ubertragung muB die Eiastellung der Tochter-
rose unabhangig von der Vorgeschichte nur durch die momentane
Lage der Mutterrose bestimmt sein ? und es darf keine merkliche
163) Paris 0. R. 97 (1883), p. 710 und 107 (1888), p. 16.
164) Mitt. 1881, Heft 4, 6; 1882, Heft 14 und J. Peichl, Theorie des
Kontrol-Koinpasses , Wien 1882. Beschreibung auch im Haudb. der naut. Instr.
166) Statt dor kleinaten Neigung werden ,,korrespondierendc Neigungen"
zu beiden Seiten der kloinsten beobachtet.
22. Ferniibertragung von KompaBangaben. 369
ftbertragungstragheit stattfinden. Die letztere Forderung tritt der
Verwendung des Selens entgegen. Von der Mutterrose darf keine
oder nur eine aufiersfc- geringe mechanische Arbeit verlangt werden.
Die elektrischen Ubertragungen sehen am Ort der Tochter-
rose ein mit dem Schiff fest verbundenes Magnetfeld vor yon
solcher Starke, dafi das Erd- und Schiffsfeld dagegen verschwinden.
Mit der Tochterrose verbunden sind zwei zueinander senkrechte Sfcrom-
spulen angeordnet, durch die Strome proportional sin bzw. cos ^
gesandt werden. Die Stromverteilung fallt dem MutterkompaB zu.
Am besten bewahrt haben sich die Systeme von S. Freese 166 ) und
Einthoven 1 * 1 }. Ersteres stellt in einem Widerstande ein Potential-
gefalle her und nimmt von ihm den Strom durch zwei rechtwinklig
gegeneinander an der Rose befestigte Kontakte 168 ) ab. Einthoven
verwendet zwei hintereinander gesohaltete Wheatstonesche Briieken;
die mittleren Zweige dieser Briicken werden durch Stanniolstreifen
gebildet, die in vier Quadranten unter der Rose angeordnet sind.
Die Rose tragt einen Ausschnitt, durch den Warmestrahlen von einer
iiber dem KompaBdeckel angeordneten Gliihlampe hiudureh treten
konnen. Die dadurch bedingte Widerstandsvermehrung in den Qua
dranten gibt Veranlassung zu Potentialdifferenzen, aus denen geeignete
Strome fur die Tochterrose resultieren.
Ein anderer Vorschlag zur Ubertragung von Kompafiangaben
geht dahin, die Phasenverschiebung zweier mehrphasiger Induktoren,
von denen der eine im horizontalen Erdfeld, der andere in einem ge-
eigneten mit dem Schiff verbundenen Feld rotiert, an der Stelle des
Tochterkompasses sichtbar zu machen 169 ).
23. Ersatz des magnetischen Kompasses durch Kreiselapparate.
a) Gyroskope zur FesthaUung einer an ihnen einycstellten Richtung.
Die groBen Schwierigkeiten, denen der Grebrauch des magnetischen
Kompasses zumal an Bord der Kriegsschiffe begegnet, haben in den
letzten Jahren zu Bestrebungen gefiihrt, Gyroskope als Richtungs-
166) Neufeldt & Kuhnke, Kiel.
167) Siemens & Halske, Berlin.
168) Die urspriirxgliclien Qnecksilberkontakte sind neuerdings durch Eoll-
Bcheibenkontakte ersetzt.
169) H, Th. Simon, Plays. Zeitschr. 5 (1904), p. 686; ferner Taudin-Chabot,
Verb. d. Ges. d. Naturf. u. Arzte III (1905), p. 14 und D.R.P. 176764 (Kl. 42 c).
Vgl. aucli L.Dunoyer, Paris C R. 145 (1907), p. 1142 u. 1323. Nach der Druck-
legung dieses Artikelb erscbiei): L. Dunoytr, Etudes sur les compae de marine
et leurs icethodea de compensation. Un noiiveau compaa electromagnetique.
Tbese Paris 1909.
370 VI i, 5. H. Meldau. Nautik.
zeiger fftr den Bordgebrauch auszugestalten. So hat man versucht,
Kreisel mit drei Freiheitsgraden zur Festhaltung einer Vertikalebene
an Bord zu benutzen. Die Hauptschwierigkeiten bestehen in einer
exakten Zentrierung und Ausbalancierung des cardanisch aufgehangten
Kreisels, sowie in der Beseitigung des Einflusses der Reibungskrafte,
die z. B. bei der Drehung des Kreiseltragers entstehen. Die Relatir-
bewegung gegen die Erde wird am einfaehsten vermieden durch Lage-
rung der Kreiselachse parallel zur Erdachse. Doch ist wegen der
in dieser Lage auftretenden ungleichen Beanspruchung der Lager und
den aus dieser entstehenden Reibungsstorungen vielfach der horizon-
talen Lage der Kreiselachse der Vorzug gegeben. Es entsteht dann
die Aufgabe, die Relativbewegung gegen die Erde aufouheben. Man
hat ihre Losuiig versucht 170 ), indem man dem Kreisel eine geeignete Pra
zession erteilte, entweder durch Anbringung von kleinen, der Breite ent-
spreehenden Ubergewichten in der Verlangerung der Kreiselachse, oder
durch erne geringe Versenkung des Schwerpunktes unter den Carda-
nischen Punkt. Diese Kompensation wird leicht durch die aus Reibungs-
kraften an den Aufhangeachsen resultierende Prazession gestort. Da
aufierdem die fur die Erzeugung der Prazession anzuwendende Kraft
von der Tourenzahl abhangig ist, so muB die Antriebskraft des Kreisels
konstant erhalten werden; bei elektrischem Antrieb ist man daher
abhangig von der Konstanz der Stromspannung.
b) Kreisdapparate mit eigener Richflcraft. Im Jahre 1852 wies
L. Foucault darauf hin, daB fiir die Achse eines Kreisels, wenn man
sie zwingt, in einer horizontalen Ebene zu ble.iben, eine Richtkraft
nach den Nord-Siid-Punkten des Horizontes resultiert 171 ). Nach einigeu
friiheren Versuchen 172 ) ist die Ausfuhrung dieses Gedankens fiir die
Konstruktion eines bordbrauchbaren Kompasses neuerdings mit den
Hilfsmitteln der modernen Technik in Angriiff genommen. Wegen
des Fehlens einer festen horizontalen Ebene ist man ffir den Bord
gebrauch darauf angewiesen, der Kreiselachse eine groBe Stabilitat in
der Horizontalebene zu verleihen. Eine solche Sfcabilitat kann etwa
erreicht werden, indem man den in eine Grlasglocke eiugeschlossenen
170) Einzelheiten s. in einer Eeihe von Patentschriften der Klaaae 42 c dea
Kaiserlichon Pateutamtes.
171) Vgl. IV 7, Die Mechanik der einfachaten physikalischen Apparate und
Versucbsanordnungen (Ph. Fwrtwimgler} , Nr. 42 44; ferner IV 6, Elementare
Dynamik der Punktsysteme und starren KQrper (P. Stfakel), Nr. 43 b, c, d und
Klein-Sommerfeld, tlber die Theorie des Kreieela, Heft 3, Leipzig 1903, p. 731759.
172) E. Ditboia, Paris G. R. 98 (1884), p. 227; W. Thomson, Nature 30 (1884),
p. 524.
23. Ersatz des magnetiachen Kom passes durch Kreiselapparate. 371
Rotationsapparat in geeigneter Weise als Schwinimkorper in einer
Fliissigkeit anordnet 178 ). Bezeichnet & das Tragheitsmoment des
Rotationskorpers, o seine Winkelgeschwindigkeit, ra die Winkelge
schwindigkeit der Erdrotation, y die Breite und a den Ausschlag der
Kreiselachse aus dem Meridian, so ist die Richtkraft
K = oo cos (p sin a.
Als Schwingungsdauer ergibt sich
T = ^-
1/w cosg>
wo C das Tragheitsmomeut des Apparates urn die vertikale Achse,
g die Schwerebeschleunigung, m die Masse des Schwimmkorpers und
a die metazentrische Hohe bedeuten. Das Tragheitsmomenfc erscheint
vergroBert um einen mit der Ricbtkraft selbst wacbsenden Betrag.
Bei geniigender Ricbtkraft wird die Scbwingungsdauer recht groB.
Neuerdings ist es H. Anschutz-Kaempfe gelungen, auf Grand des
jFoMomfrscben Gedankens einen bordbraucbbaren Kreisel berzustellen 174 ).
Der etwa 6 kg scbwere Kreisel ist in Quecksilber scbwimmend an-
geordnet und macbt ungefabr 20000 Umdrehungen in der Minute;
die Schwingungsdauer betragt etwa 70 Minuten. Wesentlich fur den
Anschutzsckeii Kreisel ist eine Dampfungsvorricbtung. Eine solche
ist fur ein Schiffsinstrument wegen der mannigfacben durcb die Be-
wegung des Schiffes entstebenden Bewegungsimpulse durcbaus notig.
Die Dampfung hat obne VergroBerung der Reibung zu geschehen.
Anschute erreicht sie, indem er den durch den Kreisel selbst erzeugten
Luftstrom ein entsprechendes Drehinoment auf die Kreiselachse aus-
iiben laBt. Zur Auslosung dieses Drehmomentes ist ein Pendel vor-
gesebeu, dessen relative Verschiebung gegeniiber der Kreiselachse bei
deren Elevation den Luftstrom in geeigneter Weise leitet. Die Dam
pfung wird so stark gewahlt, daB die Kreiselachse nach zwei Schwin-
gungen zur Rube kommt. Die Elevationen der Kreiselachse konnen
an einer Libelle abgelesen werden; da mit einer borizontalen Be wegung
der Bjreiselacbse stets auch eine Elevation verbunden ist, so kann
durch die Libelle festgestellt werden, ob die Kreiselachse in horizon-
taler Bewegung ist oder nicht.
Die Dampfung ist dem Ausschlag der Kreiselachse aus der Hori-
zontalebene proportional. Da die Ruhelage des ungedampften Kreisels
173) 0. Martienssen, Phys. Zeitschi. 7 (1906), p. 585.
174) Jahrbuoh der. Schiffbautechniacben Gesellschaft 1909, p. 352 und
M. Schulcr, ibid., p. 661.
372 VI i, 6, H. Mddau. Nautik,
zwar im Meridian, aber, ausgenommen auf dem Aquator, nicht in der
Horizontalebene liegt, so wirkt in dieser Stellung noch das von dem
Luftstrom ausgetibte Drehmoment auf die Kreiselachse und treibt sie
aus dem Meridian heraus. Die Gleichgewichtslage, die sich in den
befalirenen Breiten nur einige Grade vom Meridian entfernt, wird er-
reicht, wenn das vom Luftstrom auf die Kreiselachse ausgeiibte Dreh
moment dem von der Erdrotation herriihrenden Drehmoment, das die
Kreiselachse in den Meridian zurttckzudrehen sucht, das Gleichgewicht
halt.
Eine Abweichung aus dem Meridian von derselben GroBenordmmg
wird von einer Nord-Siidkomponente der SchifFsgeschwindigkeit ver-
ursacht, weil die Drehungsachse fur die Bewegung irgend eines mit
dem Schiff fest verbundenen Punktes nicht mehr die Erdachse ist,
sondern eine etwas von ihr abweichende Linie.
Zu ballistischen Ausschlagen des Kompasses geben Beschleuni-
gungen und Beschleunigungsanderungen der Schiflfsbewegung sowie
Kursanderungen Veranlassung.
Um diese und andere Storungen in mafiigen Grenzen zu halten
und echnell auszugleichen, ist neben hoher Tourenzahl eine lange
Schwingungsdauer und kraftige Dampfung fiir den Kreiselkompafi
notwendig.
(Abgeechloeeen im Juli 1909 )
B. GEOPHYSIK.
Unuyklop. <i. math. Wisfonscb. VI 1, B.
VI i, 6. BEWEGIHSTG DER HYDROSPHARE.
VON
SIR G. H. DARWIN UND S. S. HOUGH
IN CAMBRIDGE IN CAP8TADT.
Inhaltstibersicht.
Literatur,
Einieituog.
A. Historisches.
1. Historisches von G. H. Darwin.
B. Dynaiuische Theorie von 8. S. Hough.
2. Fluterzeugendes Potential.
3. Gleichgewichtstheorie der Gezeiten.
4. Entwicklung des fluterzeugenden Potentials.
5. Korrektion der Gleichgewichtstheorie wegen der gegenseitigen Anziehung
der Wassermassen.
6. Korrektion wegen der Verteilung von Land und Wasser.
7. Dynamieche Theorie. Fundamental gleichungen.
8. Die Kontitniitatsgleichung.
9. Bedingung f flr die freie Oberflache.
10. Gezeiten in Eanalen.
11. Die Laplace sche Differentialgleichung fur die Gezeiten.
12. Gezeiten von langer Periode. Losung durch Potenzreihenentwicklung.
18. Gezeiten von langer Periode. Loaung durch Kugelfanktionen.
14. Tagliche Gezeiten. Losung von Laplace.
15. Halbtagige Gezeiten. Losung von Laplace.
16. Transformation der Gleichuugen von Laplace.
17. Li-sung in allgemeinen Kugelfuuktionen.
(Der Rest des Artikels ist von G. H. Darwin.)
C. Praktische Anwendungen.
18. Beobachtung der Gezeiten.
19. Seiches und Vibrationen der Seen and des Meeres.
20. Flnterzeugende Kraffce.
21. Lotablenkongen.
22. Methoden zur Diskussiou der wirklichen Ozeantideu.
23. Hannonisehe Analyse.
4 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphere.
24. Meteorologieche Tiden, Obertiden iind kouibinierte Tideu oder Seicht-
wassertideu.
25. Die Resultate der harmonischen Analyse.
26. Numerische harmoniache Analyse.
27. Erklarutig einiger gebrauchlicher Ausdriicke; Nullpunkte.
28. Synthetische Methode fflr die halbtiigigen Gezeiten
20. Synthetische Methode fiir die taglichen Gezeiten
80. Reduktian der Beobachtungen ton Hoch- und Niedrigvs aaser.
81. Gezeitenvorhereage. Methoden zur Aut stellung \on Gezeitentafeln.
32. Fehler der Gezeitentafeln.
33. Karten gleicher Gezeiten.
34. Gezeitenstromungen, Stiirmer.
35. Gezeiten in Seen imd Meeresbuchten.
D.
3(J. Bestiuimung der Mondmasse mit Hilfe der Gezeiteu.
37. Elastische Tiden und die Steifigkeit der Erde
38. Gezeiten der Atnioephare.
88. PraKecsion und Nutation.
40. Breitentiden oder JEidersche Tiden.
E. Fhitreibimi? nnd spekulative Astronomic.
41. Gescbichtliches.
42. Allgemeine Betrachtiing der b lutreibung.
43. Die Gezeiten eiuea ziihen Spkiiroids
44. Die Natur des Problems der Gezeitonreibung uud seine Einteiluag.
46. Problem, vreim die Mondbahn kreififormig, aber geneigt gegen die Ekliptik ist.
46. Problem, wenn die Mondknoten oazillieren oder ungleiclji orrnig umlaufen
47. Problem, wenn die Bahn exvcentrisch, aber nicht geneigt it.
48. Analytische Losung fiir xwei KSrper.
4i). Eine Spekulatiou u ber Zeit und Art der Entstebung des Monde.}.
50. Gezeitenreibung bei Vorbandensein mehrerer Satelliten
51. Verwandte Probleme.
Literatur.
(Einzelne Abbandlwngen sind ini Text aufgefiihrt.)
G. E. Airy, Tides and waves, Encyclop. Metropol., London 1845, p. 24i * [Airy, Tides].
A. W. Bnird, Manual of Tidal Observation, London 188G [Baird, Manual).
A. Ti. Basset, Hydrodynamics 2, p. 199, Cambridge 1888.
J). Bernoulli, Traite" BUT le flux et reflux de la mer, Receuii des pieces, qui out
remporte le prix, Paris Acad. sci., 4 (1741); wiedcrabgedruokt im H. Bd. von
1. Newton, Principia, Ausgabe von Lcsuew und Jacquier.
G. H. Darwin, Tides, Encyclopaedia Britannica, 9. ed., 23 (1880), p. 353, und
ein Artikel in den Ergitnzungsbanden [Darwin. Encyclop. Brit.J.
Scientific Papers, Cambridge 1907. vol. 1, Oceanic Tides and Lunar disturbance
of gravity; vol. 2, Tidal friction (xmter der Presse)
J. Eccles, S. Gr Burrurd, St. G. C. Gore, E. Roberts, Details of the tidal observa
tions .... from 1872 to 1892, and .... methods of reduction. Great Tri
gonometrical Survey of India 10, Dehra-Dun 1901.
Einleitung. 5
TF. Ferrel i Tidal Researches, App. to Report of U. S. Coast and Geod. Survey,
Washington 1874 [Ferrel, Tidal Researches].
S. Gunther, Handbuch der Geophysik 2, p. 456480, Stuttgart 1899.
B. A. Harris, Manual of tides, Appendices to Rep. of U. S. Coast and Geod.
Survey, Washington; Part 1, 1897, p. 320; Part 2, 1897, p. 472; Part 3, 1894,
p. 123; Part. 4 A, 1902, p. 637; Part. 6, 1908, p. 239 [Harris, Manual 1, 2, 3,4, 6].
H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge 1906, p. 236; deutech Leipzig 1907.
P. S. Laplace, Des oscillations de la mer et de 1 atmosphere, Me"c. eel, liv. 3;
Dee oscillations dee fluidesqui recouvrent les planetes, ibid. liv. 13; Recherchea
sur quelques points du systeme du monde, Oeuvres 9, p. 187.
M. Ltvy, Le9ons sur la the orie des marges, premiere partie, Paris 1896.
/. Newton, Principia, lib, 1, prop. 66, corr. 19; lib. 3, prop. 24, 36, 37.
W. Thomson and P. O. Tait, Natural Philosophy, Cambridge 1883, vol. 1, pt. 2,
798 [Thomson and Tait, Nat. Phil.].
Populare Werke:
Lord Kelvin (W. Thomson), Lectures and Addresses 3, p. 139, London 1891.
G. H. Darwin, Tides and kindred phenomena in the eolar system, London 1902,
Boston 1899; deutsch Leipzig 1902; ungarisch Budapest 1904; italienisch
Turin 1906 [Darwin, Tides].
Eine vollstandige Bibliographic bis 1881 findet man in Bd. 2 von
J. C. Houzeau et A. Lancaster, Bibliographic gene r&le de I astronomie, Bruielles
188289.
Einleitung. Die Problems der physikalischen Astronomie kann
man in drei Klassen teilen. In der ersten Klasse, welche die Theorie
der Mond- und Planetenbewegung umfaBt, werden die Himmelskorper
als Massenpunkte behandelt; in den Theorien der Prazession, Geodasie
und Gravitation, welche die zweite Klasse bilden, werden sie als starre
Korper betrachtet; die dritte Klasse endlich beschaftigt sich mit den
Relativbewegungen der Teile, aus denen ein jeder dieser Korper zu-
sammengesetzt ist. Zu dieser letzten Klasse gehort die Theorie der
Figur der Planeten, bei der man annimmt, dafi die inneren Schichten
gleicher Dichte sich im hydrostatischen Gleichgewicht befinden; ferner
gehort dazu die Theorie der Gezeiten, bei der die Relativbewegungen
der Teile des elastischen oder plastischen Planetenkerns und die Os-
zillationen der aufgelagerten Ozeane von Wasser und Luft betrachtet
werden.
Da die Gezeitenbewegungen des Kerns sicher sehr klein sind
und die Reaktion der oszillierenden Atmosphare auf den darunter-
liegenden Ozean aufierst geringfiigig ist, so wird der bei weitem
grofite Teil unserer Diskussion von den Bewegungen eines Ozeans
handeln, welcher auf einem starren Kern ohne dariiberliegende Luft-
schicht gelagert ist 1 ). Dieses vereinfachte Problem erfordert noch
1) Das Gleichgewicht und die Oszillationen eines ganzlich flilssigeu Pla-
6 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
erne weitere Gliederung, je nachdem man annimmt, daB die sich be-
wegenden Teilchen frei von innerer Ileibung oder Viskositat sind,
oder dafi sie diesem EinfluB unterworfen sind.
Der Artikel ist nach folgendem Plan verfafit. Nach einigen
wenigen Worten liber die Geschichte des Gegenstandes, Abschnitt A,
werden die Oszillationen eines reibungslosen Ozeans im Abschnitt B
behandelt; im Abschnitt C betrachten wir dann die praktischen An-
wendungen ailer Art auf die irdischen Ozeane 2 ), in Abschnitt D
werden verschiedenartige Fragen diskutiert, und endlich beschaftigeu
wir uns im Abschnitt B mit dem EinfluB des Reibungswiderstandes
auf die Gezeiten und mit den verschiedenen Problemen der spekula-
tiven Astronomie, zu welchen dieser Widerstand Veranlassung gibt.
Innerhalb des uns zur Verftigung stehenden Raumes ist es un-
moglich 7 auf die Einzelheiten der Methoden und der Resultate eines
so ausgedehnten Gegenstandes einzugehen. Wir haben uns aber be-
strebt, unseren Uberblick iiber die Theorie der Gezeiten so zu ge-
stalten, daB er den Leser befahigt, einige Einsicht in die Materie zu
gewinnen, und ihn mit den verschiedenen Autoren bekannt macht,
welche die einzelnen Zweige unseres Gebietes bearbeitet haben.
Die Literaturnachweise des Artikels bilden keine vollstandige Biblio
graphic des Gegenstandes; es sei deshalb erganzend auf das in der
Literaturiibersicht genannte Handbuch der Geophysik von S. Gunther
hingewiesen, wo der Leser viele hier nicht erwahnte Abhandlungen
angegeben findet.
A. Historisehes 3 ).
1. Hiatorisohea. Obwohl J. Kepler und Cr. Galiki sich beide
mit der Natur und dem Ursprung der Gezeiten besehaftigten, so war
aeteu sind von H. Poincare, G. H. Darwin und G. H. Bryan betrachtet worden.
Vgl. H. Poincare, Acta math. 7 (1885), p. 269 und London Phil. Trans. 198 A (1902),
p. 333; G. H. Darwin, ibid. 178 A (1887), p. 242; ibid. 198 A (1902), p. 301;
G. H. Bryan, ibid. 180 A (1889), p. 187. Vgl. auch J. H. Jeans, ibid. 200 A
(1902), p. 67; A. Liapounoff, Toulouae Ann. 1904 (t)bersetzung einer russ.
Abhandl. von 1884); Pdtersb. Acad. Bull. 17 (1905); ibid. M&n. 1906.
2) Es ist kein Versuch gemacht worden, die Reaultate, welche sich auf die
einzelnen Hafen beziehen, auch nur BU skizzieren. t)ber diesen sehr ausgedehnten
Literaturzweig ko nnte nur sehr unvollstandig referiert werden, er ist deshalb
ganz aufier Betracht gelassen. Unter den Schriften, welche sich auf ihn beziehen,
mogen u. a. genannt werden die von J. P. van der Stok, Kon. Inst. Ingenieurs,
Afd. Nederlandsch- India, The Reports of the Indian Survey, of the U. S. Coast
Survey, of the Canadian Department of Marine and Fisheries und Harris, Manual 4 A.
3) Der vollstandigste Abrifi der Geachichte, der inir bekannt ist, ist in
Harris, Manual 1, chap. V VIII enthalten. Der Leser mag aber auch Ihomson,
1. Historiaches. 7
es doch erst I. Newton, der 1687 fur alle spateren Untersuchungen
den Grand legte, indem er die Gravitationstheorie auf den Gegenstand
anwandte. 1738 schrieb die Pariser Akademie einen Preis fiir die
Theorie der Gezeiten aus. Verschiedene bemerkenswerte Arbeiten
wurden eingeliefert, aber die einzige, welche eine so erhebliche
Bedeutung fur den Gegenstand hat, daB sie unsere Aufmerksamkeit
hier erfordert, war die von D. Bernoulli. Seine Arbeit enthielt eine
vollstandige Entwicklung der Gleichgewichtstheorie, die unten erklart
werden wird.
Die Theorie befand sieh noch in ihrem Kindheitsstadium, als
P. S. Laplace sie 1774 aufnahm. Er faBte das Problem, wie es Newton
vor ihm getan hatte. als ein wesentlich dynamisches auf, und ihm
gelang es nicht nur, die Schwingungen eines die ganze Erde be-
deckenden Ozeans zu ennitteln, sondern er zeigte auch, wie Theorie
und Beobachtung bei der Diskussion der Gezeiten an irgend einem
Erdorte zu kombinieren sind.
In der ersten H alfte des 19. Jahrhunderts lieferten J. W. Lubbock,
W. Wliewdl und G. . Airy wichtige Beitrage zu dem Gegenstand,
indem sie die Methoden der Verwertung von Beobachtungen ver-
besserten, eine groBe Zahl von Beobachtungsdaten sammelten und
gruppierten, indem sie ferner Gezeitentafeln fiir viele Hafen an-
fertigten, die Besonderheiten der Gezeiten in Kanalen und FluB-
miindungen diskutierten, Flutkarten konstruierten uud verschiedene
andere Punkte studierteri.
Da die Untersuchungen dieser Forscher gezeigt batten, daB die
bisher benutzteu matheaiafcischen Methoden fur die zu losenden
Probleme nicht ganz geeignet waren, so schlug Sir W. Thomson
(Lord Kelvin) 1870 einen neuen Weg in der mathematischen Be-
handlung durch Einfiihrung der harmonischen Analyse eiu, wie
spater erklart werden wird. Diese Methode hat bestandig steigenden
Beifall gefunden und kann jetzt als ein intemationales System mit
einer allgemein angenonimenen Bezeichnungsweise angesehen werden.
Unsere Kenntnis der Gezeiten auf der Erde ist vielmal groBer
als die von P. S. Laplace. Aber es ist nicht zu viel behauptet,
weun man sagt, daB wir uns erst im Beginn einer allgemeinen Ge-
zeitenbeobachtung befinden, und es mogen noch manche Generationen
vergehen, ehe man mit absoluter Sieherheit so weite Verallgemeine-
Popular Lectures und Darwin, Tides zu Bate ziehen. Vgl. ferner R. Almagia,
Ace. Line. Rend. 6 (1905), p. 877; Riv. geogr. italiana, X XI (1903/04), p. 2;
G. Magrini, italienische tJbersetzung von Darwin, Tides, p. 366,
$ VI i, 6. G. H. Darwin- 8. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
rungen aussprechen kann, wie es die Natur der Gezeitenwellen im
offeneu Ozean erfordert.
Es ist. ein schlagender Beweis sowohl fiir die Bedeutung von
Laplace als auch fiir die Schwierigkeit des Problems, dafi von 1774
bis 1897 durchaus kein Fortschrifct in der allgemeinen Diskussion der
Gezeiten eines den ganzeri Planeten bedeckenden Ozeans gemacht
wurde. Wir sind augenscheinlich auch so weit wie je von der
Losung entfernt, wenn der Ozean durch Landmassen wiilkiirlicher
Gestalt, wie es die Kontinente sind, unterbrochen angenommen wird.
Die Namen vieler ForscLer, die wichtige Beitrage geliefert
haben, werden unten erwahnt werden. Aber unter ihnen alien steht
Newton an erster Stelle, und nach ihm miissen wir Laplace nennen.
Wie originell auch immer eine zukiinftige Arbeit sein mag, so scheint
es doch, daB sie durchaus auf dem basieren muB ? was diese beiden
Manner geschrieben haben.
B. Dynamische Theorie.
2. Fluterzeugendes Potential. Die auf den Ozean wirkenden
Krafte, die von der Anziehung irgend eines storenden Korpers, z. B.
des Mondes, herriihren. konnen am besten durch eine Potentialfunktion
dargestellt werden. Das Gravitationspotential des Mondes in einem
Punkte P ist m/R, wo m die Mondmasse in Gravitation seinheiten
und jR die Entfernung des Punktes P vom Mondschwerpunkte M be-
deuten.
Die Krafte, die zu diesem Potential gehoren, sind sowohl bei der
Erhaltung der Bewegung der Erde als Ganzes als auch bei der Er-
zeugung der Gezeiten wirksam. Um denjenigen Teil des Gesamtpoten-
tials zu erhalten, welcher bei der Erzeugung der Gezeiten wirksam
ist, miissen wir vom Mondpotential eine Funktion abziehen, deren
Diflferentialquotienten in einem Punkt die Beschleunigungskomponenten
des Erdschwerpunktes E angeben.
Wenn wir mit r den Radiusvektor des Mondes von E aus und
mit x die Projektion von EP auf EM, von der Erde zurn Monde hin
gemessen, bezeichnen, so ist die Beschleunigung des Erdschwerpunktes,
die von der Mondanziehung herriihrt, gleich j, und die abzuziehende
Funktion ist .- Wenn z die geozentrische Zenitdistanz des Mondes
fiir den Beobachtungsort P, d. h. den Winkel PEM, und g den
geozentrischen Radiusvektor von P bezeichnet, so haben wir
^ as Q* -f- r* 2pr cos z, und x = p cos e.
3. Gleichgewichtstheorie der Gezeiten. 9
Der Ausdruck fiir F, das fluterzeugende Potential, ist daher gegeben
dnrch
m m (t cos z
V =
2(ir cos z) /* r
Entwickelt man nach Potenzeu von g/r } der Mondparallaxe, und
unterdrilckt ein konstantes Glied m/r, so haben wir
V = ~ ( 8 A cos 2 - V.) + f ( 6 / cos 3 * - / cos ) +
Da die Mondparallaxe nur 1 / 6Q betragt, geniigt das erste Glied
fiir alle praktischen Anwendungen. Wir konnen daher setzen:
Zu einem entsprechenden Potential werden die Krafte Veran-
lassung geben, die yon einem anderen storenden Korper herriihren.
Es ist indessen klar, daB man nur zwei zu betrachten braucht, nam-
lich die Sonne wegen ihrer grofien Masse und den Mond wegen
seiner geringen Entfernung.
3. Gleichgewichtstheorie der Gezeiten. Das GStezeitenproblem
ist ein wesentlich dynamisches und wurde so auch von Newton auf-
gefnfit. Aber unsere Aufmerksamkeit ist natiirlich mehr auf die Ge-
staltsanderungen des Ozeans in Augenblicken, die durch betrachtliche
Zeitintervalle getrennt sind, gerichtet 7 als auf den Bewegungszustand
in irgend einem Moment. Diese Auffassung war es, welche wahr-
scheinlich D, Bernoulli zu der Hypothese fohrte, daB die Gestalt des
Ozeans in jedem Augenblicke unter der Wirkung der gerade zu be-
trachtenden storenden Krafte sich im Gleichgewicht befinde. Dieser
Annahme entsprechend muB die Meeresoberflache eine Niveauflache
des Kraftfeldes sein, das von der Gravitation, der Zentrifugalkraft
und der die Gezeiten er/eugenden Kraft herruhrt. Wenn U das
Potential der Gravitation und Zentrifugalkraft, V das fluterzeugende
Potential bedeutet, so muB U -\- V an der Oberflache konstant sein.
Wenn g der Wert der Schwerkraft an der Erdoberflache ist und die
Hohe des Punktes, auf welchen sich U bezieht, ttber der Erdober
flache, so ist klar, daB U naherungsweise gleich einer Konstanten
vermindert um g% ist. Daraus folgt, daB dieBeziehung f/-j- F==Konst.
geschrieben werden kann:
(2) $ = ~ + Konst.
y
Die Konstante in (2) ist durch die Bedingung zu bestimmen,
daB das Volumen des Ozeans konstant bleibt. Analytisch ausgedriiekt
10 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
gibt dies:
(3) //^S = 0,
wo dS ein Oberflachenelement 1st und die Integration sich iiber den
ozeaniachen Teil der Erde erstreckt. Wenn der Ozean die gesamte
Erdkugel bedeckt und wenn a den mittleren Erdradius bezeichnet,
so erhalten wir aus (1) und (2):
Da diese Funktion von g eine Kugelfunktion ist, so ist die Be-
dingung (3) offenbar erfullt.
Da die Gleichgewichtsflut, wie sie durch (4) gegeben ist, pro
portional dem storenden Potential ist, so ist es in alien Fallen be-
quem, die storenden Krafte durch. die Gleichgewiclitsflut zu charakte-
risieren, welche sie hervorrufen wiirden.
Wenn die Dichte des Ozeans geringer als die des Planeten ist,
90 befindet sich ein den ganzen Kern bedeckender Ozean im stabilen
Gleichgewicht fur alle moglichen Deformationen. Wenn aber der
Kern leichter als der Ozean ist, so wird er im Ozean schwimmen,
wobei ein Teil seiner Oberflache trocken ist. Das Problem, die
Oberflachengestalt in dem letzteren Falle zu bestimmen, selbst wenn
von Rotation und aufieren Storungen abgesehen wird, ist allgemein
nicht gelost 4 ).
4. Entwicklung des fluterzeugenden Potentials. Der Ans
el ruck (4) fur die Gleichgewichtsflut zeigt, da8 die Oberfiache ein
verlangertes Rotationsellipsoid ist mit der groBen Symmetrieachse
zum Monde hin gerichtet, und da die Erde rotiert, mufi die Wasser-
hohe in irgend eineui auf der Erde fiiierten Punkte periodischen
Schwankungen unterworfen sein.
Wir werden spater in Nr. 20 und Nr. 23 sehen, daB - $ (cos 2 z ^-1
durch die Lange und Breite des Beobachtungsortes und durch die
astronomischen Koordinaten des Mondes ausgedriickt werden kann.
Wenn diese Grofien eingefuhrt sind, so lafit sich das Storungspotential
als die Summe einer unendlichen Reihe von Gliedern ausdriicken, von
denen jedes aus einer allgemeinen Kugelfunktion der Breite and Lange
besteht, multipliziert mit einer einfachen harmonischen Funktion
der Zeit.
Wenn wir unsere Betrachtungen auf das einzige Glied von V
4) W, Thomson and P. G. Tait, Nat. Phil., 816; G. H. Darwin, Ency-
clop. Brit., 19.
6. Korrektion d. Gleichgewichtstheorie weg d. gegens. Anzieh. d. Wassermassen. _
beschriinken, welches in (1) gegeben 1st, so werden diese Reihen-
glieder Kugelfunktionen zweiter Ordnung sein und zwar von folgen-
den drei Arten 4 *):
1) Einfache Kugelfunktionen mit einem Zeitfaktor von langer
Periode; die kurzeste Periode betriigt 14 Tage.
2) Zugeordnete Kugelfunktionen mit dem Nebenindex 1 (tesseral
harmonics of unit rank) mit einem Zeitfaktor von ungefahr taglicher
Periode.
3) Zugeordnete Kugelfunktionen mit dem Nebenindex 2 (tesseral
harmonics of rank two) mit einem Zeitfaktor von ungefahr taglicher
Periode.
Wenn dann fi den Sinus der Breite und tp die Lange bezeichnet,
so wird ein typisches Glied des fluterzeugenden Potentials lauten:
(5) yn P. OO ( + *)>
wo P K (^) die einfache Kugelfunktion von der Ordnung n ist und
* d*P
P n = (l-V)lf --J5.
dfi
In den Fallen, auf welche wir unsere Betrachtungen beschranken, ist
n = 2, s 0, 1, 2 respektive, fur die drei oben angegebenen Arten
von Kugelfunktionen; >l ist klein oder annahernd gleich o oder 2w,
wo o die Winkelgeschwindigkeit der taglichen Erddrehung bedeutet.
5. Korrektion der (Heichgewichtstheorie wogen der gegen-
seitigen Anziehung der Wassermasseu. Wir wollen annehmen, daB
das Wasser die ganze Erde bedeckt und daB das fluterzeugende
Potential aus einem einzigen Gliede besteht:
(5) F-y/P. Wcos^ + sy),
wo n nicht not wen dig gleich 2 ist. Wir konnen auch annehmen,
daB die korrigierte Gleichgewichtstide proportional V und daher
durch eine Kugelfunktion derselben Ordnung und mit demselben
Nebenindex ausdriickbar ist. Wenn d die Wasserdichte, <? die mittlere
Erddichte bedeutet, haben wir g = 4 / 8 3T(?a, und man kann annehmen,
daB der Ozean die Erdoberflache mit der Oberflachendichte gd be-
decke. Aus der Theorie der Kugelfunktionen ergibt sich das aufiere
und innere Potential einer solchen Schicht zu
L_ a
(2n-f l)p w + 1
4*) Zux Terminologie vgl. n A 10, Theorie der Kugelfunktionen uaw.
(A. Wangeriri).
VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
An der Oberflache, wo Q ~ a, nehmen die beiden Ausdriicke
denselben Wert. namlich ,-^r-. an- Wenn man diesen Ausdruck
{a M y- 1 J
als Teil des Storungspotentials ansieht, so wird (2):
, 3 fff d i T7 - T7-
?C *T" 75~~4TiS r V Konst.
Es ist ersichtlich, daB die Wirkung des Zusatzgliedes die ist, die
(Q V
1 75 T~JY ) zu vergrofiern. In dem
Falle der Kugelfunktion zweiter Ordnung ist n = 2. AuBerdem
wissen wir, daB die mittlere Erddichte ungefahr 5 J / 8 mal so groB
ist wie die des Wassers. Daraus folgt der VergroBerungsfaktor zu
1 _ 66
~T~ ~ 49
~6^l T /~
6. Korrektion wegen der Verteilung von Land und Wasser.
Wenn das Storungspotential wie in (5) nur ein einziges Glied ent-
halt, haben wir, wie in (2):
Die Bedingung fur die Konstanz des Ozeanvolumens ist die,
daB , fiber den Ozean integriert, verschwinden muB. Dies ermoglicht
uns, C durch gewisse bestimmte Integrale auszudrucken.
Wenn wir namlich mit SI die GroBe der Oberflache des Ozeans
bezeichnen und
f* (* /*/
A I I P* (ii) cos (59?) dS , B = I I P 1 (a) sin (sop ) dS
*.s \s */ 1/
setzen, wo die Integrale fiber die Oberflache des Ozeans zu erstrecken
sind, so konnen wir durch Elimination von C die Gleichung (6) in
der Geetalt schreiben:
Fiir irgend eine gegebene Verteilung des Wassers auf dem Pla-
neten konnen die Integrale ii, A, B durch mechanische Quadratur
ausgewertet werden. Es scheint, dafi fiir die irdischen Ozeane die
Korrekturen unbedeutend sind 6 ).
Das Reaultat (7) zeigt, daB in der verbesserten Theorie die
5) G. H. Darwin und H. H. Turner, London Roy. Soc. Proc. 40 (1886), p. 303;
Harris, Manual 2.
7. Dynamische Theorie. Fundamentalgleichungeii. 13
Phase der Gezeiten und die Phase der die Gezeiten erzeugenden
Krafte nicht mehr iibereinstimmen.
H. Poincare hat gezeigt, wie die Wirkung der gegenseitigen An-
ziehuiig der Wassermassen in die verbesserte Theorie eingeschlossen
werden kann; seine Resultate sind aber zu kompliziert, um nach ihnen
numerisch rechnen zu konnen. Er behauptet indessen, dafi fur eine
gewisse Verteilung von Land und Wasser die Korrektion wegen dieser
Anziehung so bedeutend werden kann, daB (7) auch nicht einmal
mehr naherungsweise richtig 1st 6 ).
7. Dynamische Theorie. Fundamentalgleiohungen. Wir gehen
jetzt zur Bildang der Bewegungsgleichungen iiber, die auf den Ozean
anwendbar sind.
Es mogen Q der Radiusvektor und V 2 yf # die Breite eines
Punktes in bezug auf das Erdzentrum resp. die Rotationsachse sein,
ff> die Lange in bezug auf einen Anfangsmeridian , der auf der Erde
festliegt und daher mit der Wmkelgesehwindigkeit o> rotiert. w, u, v
seieii die relativen Geschwindigkeitskomponenten des Wassers in den
Richtungen des Radius vektors, der abnehmenden Breite und der
Lange; V sei das Potential des Kraftfeldes, dem die Flussigkeit
unterworfen ist. Man setze endlich
V == V W<5-f- Vs 63 *? 2 si^O 1 -f- const.,
wo p der 13ruck iin Punkte p, ft, <p und d die Dichte des Wassers ist.
Die allgemeinen Bewegungsgleichungen der Fliissigkeit in bezug
auf die genannten Aclisen sind von Poincare mit Vernachlassigung
der Quadrate und Produkte der relativen Geschwindigkeitskompo
nenten in eine Form gebraeht worden 7 ). der man leicht folgende
Gestalt geben kann:
(8)
io .
-r 2 oo v sin
ot
cos &
ot
; : -f- 2(0 (w sin d 4- u cos d-) -= -
c t Q am * d <f
Da das Wasser auf eine diinne, nahezu sphiirische Schicht be-
sehrankt ist, so wird aich Q riienials bedeutend von a unterscheiden;
und da die Gestalt immer nahezu spharisch bleiben wird, wird w
klein gegen u und v sein. Wir konnen daher $ in den beidcn
6) J. de math. (5) 2 (1896), p. 7.
7) Acta math. 7 (1885), p. 356.
24 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
letzten Gleichungen von (8) dureh a ersetzen. Ferner diirfen wir #
als merklich unabhangig von Q betrachten, da wegen der geringen
Tiefe die Anderungen von ty mit g nur dann bedeutend werden
konnen. wenn -~ von hoherer GroBenordmrai? als ^_ und
-.
asm & dtp
ist. Die erste der Gleichungen laBt erkennen, daB dies nicht der
Fall sein wird, wenn die Schwingungen uicht von solcher Schnellig-
keifc sind, daB das Glied -^- von Einfiufi wird. Wir nehmen an, daB
die Gezeitenoszillationen diesen Charakter nicht haben. Dann konnen
wir die erste Gleichung weglassen und ty } u, v als merklich von
demselben Werte in alien Punkten derselben Lotlinie ansehen.
8. Die Kontinuitatsgleichung. Die Aufstellung dieser Gleichuug,
welehe die Konstanz des Ozeanvolumens ausdriickt, wird wesentlich
durch die Tatsache erleichtert, daB die horizontalen Gescliwindig-
keiten in alien Punkten derselben Lotlinie als gleich betrachtet
werden konnen. Bedeutet h die Tiefe des ungestorten Ozeans, so er-
halten wir durch Beriicksichtigung der Verhaltnisse beim Eintritt des
Wassers in einen kleinen rechteckigen Raura, der durch konstante
Werte von #, ft -f- 8ft, y y <p -f- 8cp gekennzeichnet ist, die Konti-
nuitatsgleichung in der Gestalt:
!~ /)
= ahu sin &d(p I aliu sin &d g> 4- SO- j^ (ahu sin
4- ahv
woraus folgt:
4- ahvdft ahvd ~f tip ~ (a* c
9. Bedingnng fiir die freie Oberfiache. Da der Druck an der
Oberflache Null oder konstant sein muB, muB ^ V a> 2 (> 8 sin 8 &
an der Oberflache konstant sein. Bezeichnen wir jetzt GroBen, die sich
auf die ungestorte Oberflache beziehen, durch eckige B^lammern und
o
Differentation nach der Normalen der ungestorfcen Oberflache mit ---,
so ergibt sich:
.j y __ 1 ^* 8 i n a # _|_ ^ _ 4, _ v f o> sin 8 & Konst.
Bedeutet fercer V 9 den ungestorten Wert von V , v das Storungs-
potential und v das Potential, das der Fliissigkeitsschicht zwischen
10. Gezeiten in Kanalen. 15
der ungestorten and der wirkliehen Oberflache entspricht, so ist
r-F. + + .
Da die Referenzflache eine moglichst freie Oberflache ist, wenn
keine storende Kraft vorhanden ist, ist
und
[F + V 2 oy 8in2 #] = Konst -
Vernachlassigt man daher die Quadrate der kleinen von der Stoning
abhangenden Grofien, so reduziert sich die Bedingung auf
(10) 4> = v gt, -f v -f Konst.
Da wir es in Zukunft nur mit Oberflachenwerten zu tun haben
werden, so konnen wir die eckigen Klammern als nicht weiter notig
weglassen,
10. Gezeiten in Kanalen- Ist % die Neigung der Richtung
eines schmalen Kanales von der Breite ft gegen den Meridian in
irgend einem Punkte seiner Lange und U die borizontale Greschwindig-
keit in der Kanalricntung, so ist u Uco$%, v = (7sin.
Wenn wir jetzt die zweite und dritte Gleichung in (8) mit
und sin % resp, multiplizieren und addieren, so erbalten wir
wo s die Entfernung ist, gemessen langs des Kanals von irgend einem
Fixpunkte in ihm aus. Die Kontinuitatsgleicbung lautet jetzt:
Eliminieren wir aus ihr U f eo haben wirr
+ .
und indem wir weiter ij> durch (10) eliminieren, erhalt die Grleichung
die Form:
Diese Gleichung kann leicht iritegriert werden, wenn v als Funk-
tion von s und t gegebeu ist.
Wenn der Kanal die endliche Lange I besitzt, so inufi v durch
eine Fourierscke Reihe each den Sinus und Kosinus der Vielfachen
von =- ausdruckbar sein; die Koeffizienten dieser R,eihe sind einfache
harmonische Funktionen der Zeit. In dieser Weise stellt sich v als
16 VI i, 6. G. H. Darwin-8. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
die Summe von Gliedern vom Typus
dar, wo r cine positive oder negative ganze Zahl ist. Nimmt man,
was sich rechtfertigen lafit, ein einziges Glied dieser Form und zwar
das in it dem Kosinus, so haben wir:
i ,,
W -^JT*-* -?- Ah cos
was als Losung ergibt:
A
~ ~~ ^jT\ "I ~v c
Um eiiie allgemeinere Losung zu erhalten, kann man die beiden
weiteren Grlieder hinzufugen:
Fiir einen in sich zuriicklaufenden Kanal miissen B und C im
allgemeinen Null sein ; ist der Kanal begrenzt, so mussen B, C, f v 2
so bestimmt werden, daB fiir alle Werte von t die Geschwindigkeit
an den Enden Null wird.
Eine ausfiihrliche Entwicklung der Theorie der Gezeiteu in.
Kanalen ist von G. B. Airy) gegeben worden. Die von ihm be-
handelteu Probleme werden alle durch eine geeignete Entwicklung
der Funktion v gelost, so daB sie die Anwendung der hier skizzierten
Methode gestatten.
11. Die Laplace sohe Differentialgleichung fiir die G-ezeiten.
Wir ersetzen die trigonometrischen Funktionen durch Exponential-
funktionen und betrachten ein einzelnes Glied von der Form
dessen reeller und imaginarer Teil dem reellen und imaginaren Teil
des Storungspotentials entspricht.
Wenn wir voraussetzen, daB jede der GroBen u } v, 4 > proportional
^(it+itp) j s ^ 8O g enen { |i e Gleichungen (8) und (9) iiber in:
iitt 2ov cos d- = - - ^- ,
a o9
, . _ isii>
(11) * 1/iV p &(QU COS v === T- ,
1 ( b \ . , i
A = " ~A 1 7r H (*** S1 ^ ^ "T" ^shv 1 .
8) Airy, Tides.
12. Gezeiten von langer Periode. LOeung durch Potenzreihenenfrwicklung. j7
Setzen wir cos 9- p, D = (1 ( u 2 ) j-, ff = -- und sub-
stituieren aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte, so er-
halten wir:
(12) a 2 (1 - p*) t = (D +
Wir wollen jetzt gewisse wichtige Spezialfalle untersuchen, aut
die wir am Ende von Nr. 4 bereits hinwiesen.
12. Gezeiten von langer Periode. Losung durch Potenz-
reihenentwioklung. Fiir diese und fur die folgenden Losungen gilt
die Ozeantiefe als konstant. Fur die Gezeiten von langer Periode ist
<j = 0; setzt man noch A/2 63 = f, so reduziert sich die Qleicbung (12) auf
(13)
Wir setzen nun
wo die. Koeffizienten JBj , B s usw. unbestimmt sind. Multipliziert man
(14) mit /" 2 ft* und integriert, so entsteht
(16) * = K+ %B^^ + ^(B 3 f* - BJ ^ + V 6 (B,f* - BJ n* -f .
Indem wir andererseits aus (14) in (13) substituieren, erhalten wir:
(16)
Bezeichnen wir dann das Storungspotential mit a (ft 2 V 8 ) und
vernacnlassigen die gegenseitige Anziehung der Wassermassen, so gibt
(10) die Gleichung
^ = -^^H-(ft 2 -V 8 )-
Ersetzen wir ty, durch ihre Beihenentwicklungen und setzen die
Koeffizienten gleicher Potenzen von ^ einander gleicb, so finden wir
(17)
und allgemein:
B _ s = 0.,
wobei /3 = T- ist und zur Abkiirzung (n) fur 7 XT
if " Jt> (TV p X i
Auf den ersten Blick erkennt man, dafi durch die Gleichungen
(17) B lt B 3 , BS, ... als Funktionen von K und bestiinmt werden.
Die GroBe a ist eine der gegebenen Daten des Problems, K aber
ist eine willkiirliche Konstante, zu deren Bestimmung die Einfiihrung
irgend einer anderen Bedingung als der bis jetzt betrachteten not-
wendig erscheint. Die angenommene Losung ist symmetrisch zum
Encyklop. d. matb. Witsengch. VI 1, S. 2
18 VI i, 6. G. H. Dwwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphere.
Aquator und es wiirde desbalb, wenn der Ozean durch Parallelkreise
begrenzt ist, die ebenfalls symmetrisch zum Aquator sind, die ver-
langte Bedingung durch die Tatsache geliefert werden, dafi keine
Stromung durch diese Grenzen stattfinden kann.
Vorausgesetzt, daB die so hergeleitete Losung eine wahre Losung
des Problems ist, mussen die Reihen (14), (15), (16) eine reelle physi-
kaiische Bedeutung haben und daher konvergent fiir alle Werte von
^ sein, welche zu Punkten zwischen den Grenzen geho ren. Fur
Punkte auBerhalb der Grenzen brauchen die Reihen nicht notwendig
zu konvergieren. Wenn sich deshalb der Ozean gerade bis zu den
Polen erstreckt, mussen die in Frago stehenden Reihen ftir alle
Werte von 1 <. it <T -f- 1 konvergieren. Die Reihe
"^ + ^ + B, + **
muB daher eine konvergente Reihe sein, was nur moglich ist, wenn
(18) lim^ m+1 -0.
m=ee
Die Gleichung (17) in Verbindung mit der Bedingung (18) dient zur
Bestimmung der Konstanten K, wie wir jetzt zeigen wollen 9 ).
Aus (17) leiten wir ab:
Wenn wir voraussetzen, dafi B im + l = (m > 1), erhalten wir durch
schrittweise Ausffihrung
^ 2w _ a 1 ~ (2n)Y 1 1 ~ (2n +
woraus beim Ubergang zur Grenze, wenn m unendlich groB wird,
Tn
mit Hilfe von (18) folgt: -~^- = N K} wo N den unendlichen
"a* s
Kettenbruch bedeutet:
_
(Sn) /*/ 1 1 - (In -f 2)YV "" i 1 - ( +
9) Die Gviltigkeit des entsprechenden Verfahreus fur die FSlle der halb-
tagigen und tftglichen Gezeiten wurde von G. B. Airy bestritten, Tides und
Phil. Mag. (4) 60 (1875), p. 277. Er wurde von W. Ferrel (Phil. Mag. (6) (1876),
p. 182; Aetr. Joum. (9) (1889), p. 41; 10 (1890), p. 121: Smithsonian Misoell
Collections Nr. 843) unterstfltzt. Aber Sir W. Thomson (Phil. Mag. (4) 60 (1876),
p. 227, 279, 888) wies die Korrektheit des in Frage stehenden Verfahrens nach,
das auf Laplace znruckgeht; hente iut es allgemeiu anerkannt. Ygl. auch
Lord Rayleigh, Phil. Mag. (6) 5 (1908), p. 136, eine fur den Gegenstand von
Nr. 87 wichtige Abhandlung.
18. Gezeiten von longer Periode. Losung durch Kugelfunktionen. jf<?
Mit dieser Bezeichnung schreiben sich die Gleichungen (17)
= *-vi A a ^ -j,p / 8 J , -g- = - - JV 8 , usw.
Daraus folgt fur (16)
(19) t~-%^r$^:z^^
Das Problem besteht hiernaeh in der Auswertung der Ketten-
brflche N l} N 9) usw. Mit den numerischen Daten, die den wirklichen
Bedingungen auf der Erde entsprechen, konvergieren diese Ketten-
brtiche und die Reihen (19) sehr schnelL Wegen nurnerischer Bei-
spiele verweisen wir auf die Arbeiten von G. H. Darwin 1 } und
H. Lamb 11 }.
13. Gezeiten von 1 anger Period e- Lbsung duroh Kugel-
funktionen. Der Gebrauch der Kugelfunktionen gestattet uns nicht
allein die Wirkung der gegenseitigen Anziehung der Wassermassen ein-
zuschlieBen, sondern fflhrt auch zu schneller konvergieren den Reihen.
Wir setzen
wo P w (/*) die einfache Kugelfunktion von der Ordnung n bezeichnet.
Dann ist das Potential des Ozeans durch.
gegeben, wo 8 die Dichte des Wassers, 6 die mittlere Erddichte
bedentet.
Da t^ = fft }- v -\- Konst, hat man
(20) r.-y.-a.C,, wo
Setzen wir andererseits die eben fur ^, , v t v aiigenommenen Aus-
drficke in (13) ein ; so wird
I /o n
> (2n-t-l)(2n-f-3) dp
2 dP., 1 d.
(2n 1) (2w -f 1) dp,
10) Encycl. Britenn., 9 th ed., 23 (1880), p. 363 oder London Royal Soc.
Proc. 41 (1886), p. 337342.
11) Hydrodynamics, 216.
2*
20 VI i, 6. (r. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
wobei kerne willkiirliche Integrationskonstante notig ist, weil beide
Seiten fur ft Hh 1 verschwinden.
Wir nehmen jetzt die Tiefe der See uberall gleich an und
setzen auf beiden Seiten obiger Gleichung die Koeffizienten jeder
Kugelfuriktion einander gleich. Beachtet man, daB 0_i 0, <7
ist, so erhalt man:
C n~ 2 Cn + % hv
(9n ZriiWsfwT^IT^ ^n^n I , Q^riT a\ ("2*?, _LTfiT ~
WO
-i/- ===
w(w -f- !) ( 2w l)(2w-f- 3 )
Abgesehen davon, daB y n auf der rechten Seite vorkommt, zeigen
diese Gleichungen ahnliche charakteristische Eigenschaften wie die
in Nr. 12 diskutierten Reihen.
Wir bezeichnen jetzt mit ff n , K n bzw. die Kettenbriiche
i l
(23)
von denen der erstere endlich bleibt, wahrend der letztere ins Un-
endliche geht. Ersetzen wir alsdann y n durch Null, so erhalten wir
(2n + 1) (2 n -f 3)* (2 n + ft
(2 3) (2n l) 8 (2n + 1)
A,
i j
ZL
7*. a
i j
(2n
3)(2n l) 1 (2n+l)
(2- -f 1) (2 n -f 3) s (2 n -f 6)
* n
1) (g
(24)
Fiir die letzte dieser Gleicbungen gilt die Bedingung, daB C ver-
schwindet, was notwendig ist, damit die Reihe fur g bis zu den
Polen konvergiert.
Ist eine von den GroBen y, etwa y r , von Null verschieden, so
gilt die erste der Gleichungen (24), wenn n <r und die zvveite, wenn
n > r. Substituieren wir die Verhaltnisse C r _ t /C rl C r+t /C r in die
Gleichung, welche y r enthalt, so erhalten wir:
r W .1 L r -f- K r +}}
eine Gleichung, welche zur Bestimmung von C r mit Hilfe bekannter
GroBen dient.
Alle GroBen (7, deren Indizes sich von r um eine ungerade
ganze Zahl unterscheideo, sind Null; es konnen deshalb die Verhalt-
14. Tagliche Gezeiten. Losung von Laplace. 21
nisse der iibrigbleibenden C zu C r durch (24) gefunden werden.
Daraus leiten wir fiir die Fluthohe, die einem einzelnen .Gliede
y n P n ((t) in dem Storungspotential entspricht, den Ausdruck ab:
hy n
(m ft ^ ^
Die Gezeiten werden unendlich groB, weun die Periode der storenden
Kraft so beschaffen ist, daB
f26"i Ff - J I Jf rr=
Die Perioden, welche diese Bedingung erfflllen, sind angenscheinlich
die der ,,freien" Schwingungen. Wegen einer praktischen Methode,
die Gleichung (26) zu loeen und die Perioden der freien Schwingungen
zu bestimmen, zugleich mit numerischen Anwendungen der Formeln
(25), verweisen wir auf 8. S. Hough 1 *).
14. Tagliche Gezeiten. L&sung von Laplace. Fiir die tag-
lichen Gezeiten nehmen wir an, daB:
und weiter nach dem Vorgange von Laplace, daB A streng gleich o>
sei. Zur Darstellung von if> und sind dann die folgenden Aus-
driicke geeignet:
Die Bedingungsgleichung (10) gibt, wie zuvor,
V-y* 1 -^ 1 ,
wahrend die Gleichung (12) sich reduziert auf:
1st nun die Tiefe des Ozeans als Funktion der Breite durch die Be-
ziehung h == a. -f- /3/t s gegeben, so wird
und deshalb
Das Steigen und Fallen der freien Oberflache verschwindet, wenn
= , d. h. wenn die Tiefe des Wassers uberall gleich ist. In
12) London Phil. Trans. 189 (1897), p. 201.
22 VI ii 6 - " # Danoin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
anderen Fallen, wo die Tiefe durch die Formel a -\- ftp* dargestellt
werden kann, wird die Tide ,,direkt" oder ,,umgekehrt" sein, je nach-
dem die Tiefe an den Polen groBer oder geringer als am Aquator ist.
15. Halbtagige Gezeiteu. I>5sung von Laplace. Fur die halb-
tagigen Grezeiten nehmen wir A 2<o, s = 2, tf 2 und erhalten
mit konstantem h aus (12):
d 2 / d 2t
Diese Gleichung reduziert sich auf:
(29) (i-. -
Aus (10) erhalteu wir aber, unter Vernacblassigung der gegenseitigen
Anziehung der Wasserteilchen:
^== g$ + v;
daher lafit sich (28) auch schreiben:
Setzen wir v = |/1 u 8 j so wird aus (30):
(31) v\l - V ) ^ - v g ~ (8 - 2*
wo @ 2 2 (1 ft 8 ) die H6he der Gleichgewichtstide darstellt, welche
zu dem Storungspotential v gehort.
Ffir einen Ozean, der die gauze Erde bedeckt, uehmen wir:
(32) * = B Q v* -f B^ -f B^ H ----- h BUI** ** H ---- -
Indem man diesen Wert von y> in (31) einsetzt und die Koeffizienten
gleicber Potenzen von v auf beiden Seiten gleichsetzt, erhalt man:
(33)
und allgemein:
2j (2j -f 6) B ij+ , - 2j (2j + 3) 5 2 , + 8 -f ftB^ 0.
Da ^ fur v 1 endlicfe bleiben muB, mnB 5 = sein. Bezeichnen
wir mit Nj den Kettenbruch:
ft | _ _W$J+. ty0__\ ( 2 J H~ 2 )( 2 ^ + 8 )PI rl f
mr* T
__ _ __ _ _
8; : "(a7"+") " !(2j-f 2)(2j-f 6) | (2; -f- 4) (Sj -f ~7)
so folgt wie in Nr. 12 :
16. Transformation der Gleichungen von Laplace. 23
und allgemein
Setzen wir diese Koeffizienten in (32) ein und bestiinrnen so #,
so erhalten wir
(OQ:) g - - Uj (V -f- ! T" 1 8 I" 1 2 3
Numerische Anwendungen dieser Formel gab Laplace 1 *}. Die Methode
ist von Lord Kelvin 1 **) auf den Fall ausgedehnt worden, wo der
Ozean durch Parallelkreise begrenzt und das Gesetz der Tiefen-
anderung komplizierter ist. Eine Diskussion der Gleiehung (31) mit
bibliograpnischen Notizen findet man in einer Abhandlung von
G. H. Ling").
16. Transformation der Gleichungen von Laplace. Um eine
allgemeine Losung unseres Problemes zu erhalten, beginnen wir mit
gewissen vorlaufigen Transformatiorien der Gleichungen (12). Wir
definieren einen neuen Operator A durch
(35) A ~D T -^ t = ^.(D* **) ,
d(i 1 ft* 1 ft* ^
so dafi
/gg\ A" 1 (1 u. 8 )
ist.
Die Beziehung zwischen den Operatoren D, A lautet:
(37) (D 6ft) (D + 6ft) (s 2 <?V) = (1 f* 2 ) (A + 6) ,
wo, wie zuvor, 6 - - ist.
Wir wollen jetzt eine Hilfsfunktion *P" einfiihreu, definiert durch:
(38) 7-i-r/Y ,T(^>-
\ / A-/n*n* Is* if*n*\ \
Die Gleichung (12) gibt dann:
(39) (D -f 6ft) (W ft) = (l ft*)$ -h AjL ^ 5
eliminiert man aus dieser Gleichung <> mit Hilfe von (38), so geht
sie fiber in:
/ -r\ .^ \ / ~f) | \ / jjj t\ /Tl *<^^1 ^f*
und weiter, kraft (37), in:
13) M6c. cfl., livre IV, chap. I = Oeuvres compl. 2, p. 211.
13) Phil. Mag. (4) 50 (1876), p. 388.
14) Ann. of math. 10 (189596), p. 95.
24: VI t, 6. G. H. Dancin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
oder
(A + *)?F- A (00 H- ~{(1 - 0)g}.
Durch Anwendung des Operators A" 1 erhalten wir mit Hilfe von (36)
(40) (1 4. e A- 4 ) V [0 + D A- *] g ;
wenden wir dann auf diese Gleichung die Operation D an, so ent-
steht mit Rucksicht auf (35):
(D 4- aDA- 1 )!? D(00
Kombinieren wir die letzte Gleichung mit (39), so erhalten wir:
(41) tf(DA-*-0)y--<f0g + a*" 1 * OT*
Multipliziert man andererseits die Gleichung (38) mit (s* ^ 2 /* 2 )
wendet den Operator J9 + ^f*- an > so fiadet man:
4-
oder mit Hilfe von (39) und (37):
(A - *) * - (/ -f tf-rt S -
Endlich leiten wir durch Kombination dieser Gleichung mit (41) ab:
(42) A. A ^ = s 8 (1 4- * A- x ) 5 - * (/t 4-
Die Gleichungen (40) und (42), welche an die Stelle von (12) und
(38) treten, haben den Vorteil, dafi sie, auf eine der in Frage stehen-
den Funktionen angewandt. neue Funktionen von ganz ahnlichem
Charakter wie die ursprftnglichen erzeugen.
17. LbBuiig in allgemeineii Xugelfunktionen (spherical sur
face harmonics). Die Funktion P n ((i) ist eine Losung von:
Mit der neuen Bezeichnung kann diese Gleichung geschrieben werden
oder
A~ a P* = ~ P*
* n(n-}-l)
Daraus folgt mit Hilfe bekannter Eigenschaften der Kugelfonktionen:
fAA\
(44)
17. L6sung in allgemeinen Kugelfunktionen. 25
Wir machen jetzt die Ansatze:
Setzen wir diese Werte in (40) und (42) ein und fiihren die vor-
kommenden Operationen mit Hilfe von (43) und (44) aus, so er-
halten wir:
"
"l
n(2n+l)
TV f( M + 2 ) ( n + 1) p^
"L (n + l)(2n+l) - r "+ ! "
n(2n+l) "
M
Setzt man die Koeffizienten entsprechender Funktionen auf den bei-
den Seiten dieser Gleichungen einander gleich und ersetzt 6 durch
2ws .i . -i
- , so ergibt sicn:
(46)
Aus der Gleichung (10) folgt aber wie friiher,
n = r n 9M y
daher entsteht aus (46)
a? , (n+l)(n-g) ,., r
2n -i ^-i L4
M
Wenn alle GroBen y" n aufier einer Null sind, kann man durch (45)
und (47) das Verhaltnis yon irgend zwei aufeinander folgenden Reihen-
gliedern: C*, D +i, C+ 2, -, durch einen endlichen oder unendlichen
26 VI i, 6. G. H. Dai-win- S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
Kettenbruch ausdrueken, der nur aus bekannten Daten des Problems
zusammengesetzt 1st. Die Gleichung, welche y* n enthalt, kann dann
dazu dienen, jeden dieser unbekannten Koeffizienten durch j>* aus-
zudriicken. Das Verfahren ist bereits in Nr. 13 auseinandergesetzt
worden.
Betreffs numerischer Anwendungen auf die Hauptkomponenten
einer Tide und die Bestimumng der Perioden freier Schwingungen
vgl. einen Aufsatz von S. 8. Hough 15 ).
C. Praktische Anwendungen.
18. Beobachtung der Gezeiten. Ein Pegel 1 *) ist ein Instrument,
welches automatisch eine zusammenhangende Flutkurve aufzeichnet, an
der man die Wasserhohen fur jeden Zeitpunkt ablesen kann. In Wirklich-
keit besteht aber ein groBer Teil der Flutdaten nur aus Beobachtungen
der Zeiten und Hohen von Hoch- und Niedrigwasser, die direkt mit
dem Auge abgelesen sind 17 ). Den Seeleuten geniigt die Kenntnis
dieser Zeiten und Hohen, und deshalb wurden diese Erseheinungen
fruher allgemein als Gegenstand der Beobachtung gewahlt. Man hat
indessen erkannt, dafi die Tabulienmg stiindlicher Hohen, die von
einer Plutkurve abgelesen sind, viel befriedigendere Daten fur die zur
Bestimmung der Gezeitengesetze notigen Reduktionen liefert.
Die Auswahl des Platzes fur einen Pegel ist nicht leicht. Denn
die Kurve, die an ein em scheinbar gut gewahlten Platz registriert
ist, kann manche kleinen Unregelmafiigkeiten aufweiseu, welche nicht
von der wahren Flut herriihren; eine Gezeitenkurve soil aber so glatt
als rnoglich sein 18 ).
Ch. Lallemand hat 1896 ein Buch ,,Nivellement de precision"
geschrieben, in dem er sein ,,Medimaremetre" beschreibt 18 *). Der
15) London Phil. Trans. 191 A (1898), p. 139.
16) tJber Pegel vgl. Art. ,,Hydrography" in (British) Admiralty Scient.
Manual, Loud. 1886. Beschreibungen von verschiedenen Pegeln findet man bei
Baird, Manual; W. Thomson, Civ. Eng. 66 (1881), p. 10 und Popular Lectures 3,
p. 170; Harris, Manual 2, App. 9; einen Druckpegel beschreibt W. U. Moore in den
Official Papers of H.j Brit. M. Admiralty, 1898; A. Mensing von der Kaiser-
lich deutschen Marine hat sich einen pneumatischeii Pegel (Nr. 94007) und
einen StrSmungsmesser (Nr. 102874) patentieren lassen; eine Kommission soil
iiber sie gunstig berichtet haben.
17) ttber die VorsichtemaBregeln, die angewandt werden miissen, vgl. den
Art. ,,Tides u in (Brit.) Adm. Sci. Man. Die Beobachtung wird noch kompliziert
durch ,,Seiches" und ,,Vibrationen", woriiber man Nr. 19 vergleiche.
18) t)ber die Platzfrage vgl. Baird, Manual, p. 8.
18*) Paris 1896; vgl. auch Eiv. Topog. e Catasto 9 (1896).
19. Seiches und Vibrationea der Seen und des Meeres. 27
Zweck dieses Instmments ist, die Tidenbewegungen zu beseitigen und
auf diese Weise ohne miihsaine Reduktion von Tidenbeobachtungen
die Hohe des Mittelwassers zu bestimmen. Bemerkungen tiber die
Benutzung des Instruments findet man in den zahlreichen Berichten
Lattemands fur die Konferenzen der Int. Erdmessung.
19. Seiches und Vibrationeu der Seen und des Meeres. Die
UnregelmaBigkeiten einer Flutkurve entstehen durch gewisse sekun-
dare Wellen, welche abgeschlossene Wassermassen in Bewegung setzen 19 ).
Unsere Kenntnis dieser Wellen verdankeu wir besonders den Arbeiten
von F. A. Forel* ) aus Lausanne; die Wellen von langerer Periode
sind deshalb allgemein unter dem Genfer Namen ,,Seiches" bekannt.
Seiches sind Oszillationen des Wassers eines ganzen Beckens urn ge-
wisse Knotenlinien. Im Genfer See sind einige Oszillationen longi
tudinal, mit einem, zwei oder mehr Knoten, andere sind transversal.
Die Periode der einknotigen longitudinalen Seiche umfafit die* doppelte
Zeit, die von einer langen Welle beansprucht wird, um die Seelange
zu durchschreiten. Die Seiches beginnen gewb hnlich plotzlich mit
maximaler Amplitude und horen dann nach und nach auf in un-
gefahr 6 Stunden. Sie entstehen gewohnlich durch lokale Ver-
19) Diese sekuadaren Wellen sind bisweilen ,,periodische Gezeiten" genannt
worden (Nature 69 (1899), im Index unter ,,Periodic Tides"); aber der Name ist
eehr ungeeignet.
20) F. A. Ford, Le Leman 2, Lausanne 1895, Der Autor fafit hier seine
eigenen Abhandlungen zusammen, die er zwiachen 1873 und 1885 in Bull. Soc.
Vaud. Sci. Nat., Arch. sci. phys. nat. , Schweiz. Nafcurf Gesellsch., Ann. chim.
phys. und Assoc. fr. av. sci. (Montpellier) veroffentlicht hat. Forel berichtet
iiber die Beobachtungen und Theorien von Fatio de Duillier, Hist, de Geneve 2
(1730), p. 463; J. Jallabert, Paris Acad. Roy. Sci. 1742, p. 26; H. Sauss-ure,
Voyages dans les Alpes, Neuchatel 1779, p. 12; G. B. E. Vaucher, Geneve Soc.
Phys. 6 (1804), p. 36; D. Milne, Edinb. Roy. Soc. 1 (183244), p. 457; B Studer,
Lehrbuch der phys. Greogr. 6, p. 78; C. 0. Meyer, Physik der Schweiz, 1864,
p. 863; D. f. J. Arago, Oeuvres compl. 9 (1867), p. 580; E. Fame, Recherches
ge"ol. 1 (1867), p. 12. Ein popularer ftberblick iiber Forela Arbeiten findet sich
bei Darwin, Tides, Kap. 2; auch in dem Artikel ,,Tides", Encycl. Brit. 1902.
Vgl. ferner Ph. Plantamottr, Arch. sci. phys. nat. 1 (1879), p. 336; G. B. Airy,
London Phil. Trans. 169 (1878), p. 123; H. C. Russell, Ann. Address. Roy. Soc.
N. S. Wales 1885, wieder abgedruckt in Nature 32 (1886), p. 232; A. Endros,
Seiches auf dem Chiemsee, Diss., Trauustein 1903 u. a. Von besonderer theoretischer
Wichtigkeit ist die Arbeit von G. Chrystal, Edinb. Roy. Soc. Trans. 41 (1906),
p. 599; ibid. 45 (1906), p. 361; ferner G. Chryetal und E. Madagan-Wedderburn,
ibid. 41 (1905), p. 823; P. White und W. Watson, Edinb. Roy. Soc Proc. 24
(1905/06), p. 142; K. H&nda, T. Terada und D. Isitani, Phil. Mag. (6) 15 (1908),
p. 88; dieselben Autbren und Y. Yoshida, On secondary undulations of oceanic
tides, Tokyo Journ. College Sci., 24 (1908).
28 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphere.
anderungen des atmospharischen Druckes, durcb das Aufhoren eines
Windes, der einige Zeit hindurch vorwiegend geweht hat, und durch
kleine Erdbeben. F. A. Forel hat noch andere weniger plausible oder
sicher weniger haufige Ursachen angegeberi.
Das Wasser der Seen wird auch noch durch andere Schwingungen
von so kurzen Perioden in Bewegung gesetzt, dafi sie keine Seiches
sein konnen, bei denen sich ja der ganze See als ein einziges System
bewegt. F. A. Ford nennt sie Vibrationen" und schatzt ihre Perioden
auf 20 Sekunden bis 2 Minuten. Sie scheinen wenigstens zum Teil
durch Wind verursacht zu werden, aber sie konnen anch durch Dampf-
bote entstehen. Die Vibrationen bestehen, wie man beobachten kann,
mit vollstandiger RegelmaBigkeit und abnehmender Amplitude mehrere
Stunden hindurch.
F. N. Denison vermutet, dafi die Vibrationen durch die Anderungen
des Lufldruckes hervorgerufen werden, die sich mit einiger An-
naherung an RegelmaBigkeit einstellen, wenn ein starker Wind weht.
Er bringt diese Druckanderung mit der Instabilitat in Zusammenhang,
welche nach H. v. Helmholtz existiert, wenn. eine Fliissigkeitsschicht
iiber eine andere streicht. Die Atmosphare ist nicht vollstandig in,
adiabatischem Gleichgewicht, und es ist gewohnlich ein plotzlicher
Wechsel in der von W. v. Bezold sogenannten n potentiellen Tem-
peratur" 80 *) an der Trennungsflache zweier Luftschichten vorhanden,
wenn sich die untere gegen die obere bewegt. Die beiden Luftschichten
sind dann vom mechanischen Standpunkte aus betrachtet zwei ver-
schiedene Fliissigkeiten. Helmholtz hat die Lange der Wellen, welche
an der Trennungsflache entstehen mfissen, berecbnet. Denison hat
in ausgedehnter Weise die geringen Barometerschwankungen bei
stiirmischem Wetter mit den gleichzeitigeu Vibrationen der kana-
dischen Seen und Meeresanne verglichen. Er glaubt bewiesen zu
haben, daB die beiden Erscheinungeu zusammenhangen 21 ).
20. Flutersseugende Krafte. Es ist schon in Nr. 2 ge/eigt, daB
das Potential der fluterzeugenden Kraft des Mondes geschrieben wer
den kann:
20*) Berlin Ber. 1888, p. 1189 = Gee. Abh., Braunschweig 1906, p. 128.
21) H. v. HehnhoUz, Berlin Ber. 1889, p. 761 ; F. N. Denison, Proc. Canad. Inet.
1897, p. 28, 66; 1898, p. 134; Canadian Engineer, Oktober und November 1897;
Toronto Astr. Phyu. Soc. 1897, p. 1; Brit. ASBOC. (Dover) 1899, p. 666; (Glasgow)
1901, p. 677. ftber einige sehr bemerkenewerte sekundare Schwankungen vgl.
W. Ben Dawson, Trans. Roy. Soc. of Canada 6 (1899/1900), p. 23. Eine all-
gemeine ftbersicht dee Gegenstandes gibt Darwin, Tides.
21. Lotablenkungen. 29
wo m die Masse und r der Radius vektor des Mondes, Q der Radius-
vektor des Punktes, dessren Potential gleich F, und z der Winkel
zwischen r und Q ist.
Da es nur notwendig ist, das Potential an der Erdoberflache zu
betrachten, und da die geringe Elliptizitat der Erdgestalt unwesent-
lich ist, so konnen wir Q durch a, den mittleren Erdradius, ersetzen.
Wenn zu einer gegebenen Zeit h der Greenwicher Stundenwinkel
und d die Deklination des Mondes ist; wenn ferner mit A die nord-
liche Breite und mit I die westliche Lange des Beobachtungsortes
bezeichnet wird, so fuhrt die obige Forrnel zu:
_
- 4r s -
8V
Die westliche Komponente der fluterzeugenden Kraft ist --
die nordliche ~^- Die Verhaltnisse dieser Komponenten zur Schwer-
kraft geben die scheinbaren Lotstorungen. Die Komponenten selbst
sind periodisch mit Ausnahme eines kleinen konstanten Teiles der
nordliehen Komponente, der eine geringe dauernde Elliptizitat der
Erdgestalt verursacht 23 ).
Unter der Wirkung dieser Krafte beschreibt ein Pendel simultan
zwei Ellipsen, die eine in der Zeit eines halben, die andere in der
Zeit eines ganzen Mondtages. Das Zentrum, um welches diese Ellipsen
beschrieben werden, oszilliert ebenfalls langsam von Nord nach Sud
mit einer sehr kleinen Amplitude und einer 14tagigen Periode.
Diese drei Bewegungen entsprechen Laplaces Gezeiten der bzw.
dritten, zweiten und ersten Art, iiber die in Nr. 4 berichtet wurde.
Der mittlere Wert des Koeffizienten 8 /2^(~) , wo M die Erdmasse
bedeutet, betragt 0/ 0174.
21. Lotablenkungen. Wenn es moglich ware, die wirklichen
Anderungen der Gleichgewichtslage eines Pendels zu messen, so wtlrde
ein Vergleich der so erhaltenen Resultate mit den aus obigen Formeln
abgeleiteten uns angeben, wie weit die feste Erde den fluterzeugenden
Kraften nachgibt.
Ein Bericht fiber die verschiedenen Versucbe, die Lotableukungen
zu messen, fiillt auBerhalb des Zweckes des Artikels; wir mttssen uns
daher auf wenige Worte iiber den Gegenstand beschranken.
Die frtiheren Versuche ftthrten oft, obwohl sie fehlschlugen , zu
22) Vgl. G. H. Darwin, London Astr. Soc. Monthly Not. 1899, p. 119.
SO VI ii 6 - G- H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
interessanten nebenher gewonnenen Resultaten 28 ). Von einem ge-
wissen Erfolg gekront waren erst die Beobachtungen von E. v. Rebeur-
Paschwite, der das Horizontalpendel **) benutzte und gleichzeitig ver-
vollkommnete. Seine Untersuchungen wurden von jR. Ehlert, I. T.
Kortazzi und anderen fortgesetzt 24 *). Kiirzlich erreichte 0. Heeker
weit besser iibereinstimmende Resultate, indem er Beobachtungsreiheu
mit zwei Horizontalpendeln, die in zwei um 90 voneinander ver-
schiedenen Azimuten in einem tiefen Bnmnen aufgestellt waren,
langere Zeit hindurch fortsetzte 241 *). Paschmtz, Etderi und Kortazzi
schlossen, dafi die Pendeloszillationen etwa Y 2 bis 8 / 3 des theoretischen
Betrages der Amplitude besitzen, die einer vollig starren Erde ent-
sprechen wiirde. ffeckers Beobachtungen zeigten, daB der Bruchteil
fast genau % ist. Ich glaube, dafi dies Resultat der Wahrheit sehr
nahe kommt, sodafi es scheint, daB die wirkliche Steifigkeit der Erde
ungefahr ebenso grofi ist, als wenn sie aus Stahl bestunde* 40 ).
Eine der Schwierigkeiten, die sich der Durchfiihrung der ge-
nannten Beobachtungen, wenigstene fur Stationen, die nahe an der
Seekuste liegen, entgegenstellen , beruht auf der Tatsache, daB das
23) G. H. Darwin und H. Darwin, Brit. Ass. Reports 1881, p. 93; 1882,
p. 96.
24) F. Zollner schrieb drei Abbandlungen uber das Instrument und seiuo
Geflchichte in Ann. Phys. Chem. 160 (1873), p. 181, 184, 140 = Leipzig Ber. 21
(1869), p. 281; 23 (1871), p. 479; 24 (1872), p. 188; dieeen Aufsatzen folgte einer
von A. SafaHk, B6hm. Ges. 1872 = Ann. Phye. Chem. 150 (1878), p. 150.
F. Zollner schreibt die Prioritat A. Perrot zu (Paris C. B. 65 (1862), p. 728j,
aber denselben Gedanken scheint vorher J. Grttithuisen gehabt zu haben (Neue
Analekten UBW., Munchen 1832, 1, Teil 1). Einen Berieht iiber die (zweifellos
falBchen) Beobachtungen von L, Hengler nndet man im Polytechn. Journal 43
(1832), p. 81. Eine wertvolle Bibliographie iiber das Horizontalpendel gibt
E. Paschwits, Leop. N. A. 60 (1892), p. 1, Ein vollstandiges Verzeichnis der
eigenen Arbeiten von Paschwitz ist in einem Nekrolog enthalten, Beitr. z. Geo-
phygik 2 (1896), p. 16. Seine wichtigsten Abhandlungen sind die oben genanunte
und Beitr. z. Geophysik 2 (1896), p. 211. Eine ttbersicht dieser Untersuchungen
bis 1893 (er starb 1896) ist enthalten in Brit. As. Rep. (Nottingham) 1893,
p. 309. Es ist besonders wichtig, zu verfolgen, wie er dazu kam, einige in
friiheren Abhandlungeu rertretne Anschauungen zu modifizieren.
24") JB. Ehlert, Beitr. z. Geophysik 3 (1896), p. 131; /. T. Kortazzi, Isvestia
Rusak. Aetron. Obsbchestva 4 (1896), p. 24 und 6 (1896), p. 301. Dort findet sich
eine sehr wertvolle Reihe von Beobachtungen, und es ist zu bedauern, dafi die
Arbeit (soviet ich weifi) in keine der westlichen Sprachen iibersetzt ist. Eine
allgemeine t)bewicht des Gegenstandes gibt Darwin, Tides, 2. ed.
24 b ) 0. Heeker, VerSftentl. d. K. Preufi. Geodat Inst., Neue Folge Nr. 32,
Potsdam 1907.
24 C ) Vgl. Nr. 87, p. 61.
22. Methoden zur Diskussion der wirklicben Ozeantiden 31
wechselnde Gewicht der ozeanischen Wassermassen Beweguugen der
Erdrinde hervorrufen mufi * 5 ). Diese Wirkung scheint tatsachlich durch
A. d Abbadie dicht am Meere beobachtet zu sein 26 ), und theoretische
Uberlegungen lassen es als moglich erscheinen, daB sie auch noch in
gro Berer Entfernung von der Kiiste 27 ) bemerkbar werden konneu.
Eine andere Schwierigkeit entsteht infolge einer bedeutenden
taglichen Oszillation des Pendels, die iiberall beobachtet wurde. Diese
Oszillation ist unzweifelhaft theriniseh, aber es ist ungewiB, inwieweit
sie eine nur lokale oder eine allgemeine Erseheimmg ist, welche die
ganze vom Sonnenlicht beschienene Hemisphere beeinfluBt. R. Ehlert
neigt der letzteren Ansicht zu 28 ).
22. Methoden zur Diskussion der wirklichen Ozeantiden.
Laplace zeigte als erster, wie Theorie und Beobachtung zu kombi-
nieren sind 29 ). Seine Diskussiori beruht auf dem Prinzipe der er-
zwungenen Sehwingungen, das folgendermaBen zu formulieren ist:
Die Schwingungen eines Eorpersystems, bei dem die Wirkung des
Anfangssustandes der Bewegung durch Reibung vernichtet ist, haben
die yleidien Perioden wie die auf das System wirkenden Krafte.
Hieraus folgt, daB, wenn die See durch eine periodische Kraft
erregt ist, die durch den Kosinus eines mit der Zeit gleichformig
wachsenden Winkels, multipliziert mit einem Koeffizienten, ausgedriickt
werden kann, daraus eine Partialtide resultiert, die ebenfalls durch
den Kosinus eines in derselben Weise wachsenden Winkels aus-
driickbar iet; nur die Phase und der Koeffizient werden von den ent-
sprechenden Groflen in der Gleichgewichtstheorie verschieden und nur
durch Beobachtung bestimmbar seiri. Durch die Theorie wird also
nur das Anwachsen des Winkels bestimmt.
Wenn die Gezeitenkrafte, die von der Sonne und dem Monde
herrijhren, durch eine Reihe solcher Glieder ausgedriickt werden, so
werden auch die Schwankungen des Meeres durch eine Reihe von
Partialfluten darstellbar sein, die unbekannte Amplituden und Phasen,
26) G. H. Darwin, Brit. ABE. Rep. 1882, p. 106; zum Teil neu abgedruckt in
Phil. Mag. 1897, p. 177.
26) Bruxelles Ann. Soc. Sci. 6* (1881), p. 37; vgl. auch F. Omori, Earthquake
Inveatig. Committee Nr. 21, 1905, p. 6; Bull. Imp. Earthqu. Inv. Com. 1907,
p. 167.
27) Vgl. aber E. Paschwitz, Beitrage zur Geophysik 2 (1896), p. 882, der
nachdriicklich darauf hinweist, daB die theoretischen Voraussetzungen, in Europa
wenigstena, nicht anwendbar sind.
28) Beitr. z. Geopbysik 3 (1896), p. 131.
29) Me"c. C<?1. 4, chap. 3, 4.
3% VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydroaphare.
aber bekannte Perioden besitzen 30 ). In tJbereinatiminung mit dem
Prinzipe der Superposition kleiner Bewegungen kann man diese
Partialtiden addiren, urn die gesamte Tide am Beobachtungsorte zu
erhalten.
Der Vergleich zwisehen Gezeitentheorie und Beobaclitung ist
auf zwei Arten ausgefiihrt word en, die man als die ,,synthetische"
und die ,,analytische" bezeichnen kann. Die beiden Methoden unter-
scheiden sich nur dureh die Vollstandigkeit, mit der die fluterzeugen-
den Kraffce in eine Gestalt gebracbt sind, auf die das Prinzip dm- er-
zwungenen Schwingungen unmittelbar anwendbar ist.
Die halbtagige Periodizitat der Gezeiten mit der schwaehen Ande-
rung von Spring- und Nippflut legt die Wahl mathematischer Formeln
von ahnlicher Einfachheit nahe; dieser Gedanke leitete auch I. Newton,
D. Bernoulli, C. Madaurin, P. 8. Laplace, W. Whewell und G. B. Airy.
An Orten, wo nur eine geringe tagliche Ungleichheit vornanden ist,
lassen sich die Gezeiten mit einigermaBen geniigender Genauigkeit
durch eine einzige harmonische Funktion darstellen. Die Amplitude
dieser Funktion variiert dann langsam und periodisch, ihr Argument
wachst nicht vollstandig gleichmaflig, sondern die Geschwindigkeit
des Zuwachses schwankt langsam um einen Mittelwert. Wo jedoch
die tagliche Ungleichheit bedeutend ist, wie im pazih schen und indi-
schen Ozean, verliert die formale Einfachheit der synthetischen
Methode ihren scheinbaren VorteiL
Wir haben in Nr. 20 den Ausdruck fflr das Mondpotential in
einer fiir die synthetische Methode geeigneten Form gegeben. Die
drei Glieder dieses Ausdruckes sind annahernd harmonische Funktionen
der Zeit, und ihre Koeffizienten oszillieren oflfenbar langsam um
Mittelwerte. Ein ahnlicher Ausdruck wiirde das Sonnenpotential
darstellen. Die mathematische Basis der synthetischen Methode be-
steht in der Zusammensetzung solcher Formeln. Die halbtagigen
Glieder des Mond- und Sonnenpotentials konnen in eins zusammen-
gezogen werden, und eine ahnliche Zusammenziehung kann fur die
taglichen und langsam variierenden Glieder ausgefiihrt werden. Der
Vergleich der Beobachtungeu in irgend einem Hafen mit einem solchen
analytischen Ausdruck hat oenselben indessen immer als ungeniigend
erwiesen, so daB viele Korrektionen notig waren.
Ein wichtiger neuer Weg zur Behandlung der Gezeiten wurde
30) Laplace echreibfc die Gezeitenkrafte einer Zahl von fingierten Satelliten
zu. Diese werden geuauer angegeben von Gr. H.Darwin, London Phil. Trans.
170 (1879), p. 466.
23. IJarmonische Analyse. 55
von* Sir W. Thomson eingeschlagen, der die harmoriisehe Analyse ein-
fuhrte, bei der jedes Glied eirie genaue harmonisehe Funktion der
Zeit 1st 81 ). Hier gelangt das Prinzip der erzwungenen Schwiugungen
zur strengen anstatt angenaherten Anwendung.
Da dieses Prinzip die Basis jeder praktischen Behandlung des
Problems bildet,, so scheint es zweckmafiig, zuerst diese Metliode zu
betrachten, bei welcher es in seiner logischeren Form zur Anwendung
komrnt, und die weniger befriedigende Methode filr eine spatere Be-
trachtung zuriickzustellen. Wenn wir diesen Weg einsciilagen, kehren
wir die geschichtliehe Entwicklung um und betrachten die ueuere
Methode vor der alteren.
23. Harmonische Analyse 33 ). Der Ausdruck f(ir das Mond-
potentia] in Nr. 20 enthalt (k 1), den Stuiidenwinkel des Mondes.
Da die Mondparallaxe ist, so war seine Steliuug durch semen
Stundenwinkel, seine Deklination urid seine Parallaxe bestimmt. Der
Beobachtungsort auf der Erde war durch die Breite festgelegt. Man
kann aber auch den Mondort durch seine mittlere Lange, die Langen
seines Perigaums und Knotens, die Scliiefe der Ekliptik, die Neigung
und Exzentrizitat seiner Bahn angebeu. Wenn diese Bestimmungs-
art gewahlt wird, so fuhrt jeder der drei Bestandteile unseres
fruheren Ausdrucks zu einer sclmell konvergierenden unendlichen
Reihe, deren Glieder samtlich aus einer einfachen harmonischen
Funktion der Zeit, multipliziert mit einer Konstanten, bestehen. Man
hat es aber nicht fur notig gefunden, den Prozefi niit demselben
Grade logischer Vollstandigkeit durchzufiihren wie bei der Mond-
und Planetentheorie. Es geniigt in der Tat, erne Entwicklung
aufzustellen, die nur dann vollstandig streng sein wiirde, wenn der
Knoten und die Ebene der Mondbahn im Raume absolut fest lagen.
O
Infolge der Bewegung von Knoten und Bahnebene sind die Koeffi-
31) G. B. Airy und nach ihm E. Chazallon [Paris C. K. 42 (1 856), p. 966] stellten
das Steigen und Fallen der Tide an eineia einzigen Tage dutch eine Fouriersche
Reihe dar; aber dieses Verfahren kann niclit als ein wirklicher Vorlaufer der
analytischen Methode angosehen werden. Vgl. Airy, Tides und P. Hatt, Ph^no-
menea des marees, Paris 1885.
82) Dieser Abschnitt griindet sioh auf einen der Brit. Ass. Rep. (Southport)
1883 von G. H. Darwin und ,/. (7. Adams erstatteten Bericht. Im weseutlichen
dieselbe Entwicklung findet sich bei C. Borgen, Ann. d. Hydrographie 12 (1884),
p. 305, 387, 438, 499, 558, 615, 664 und P. Hatt in Ann. liydrograph. 1893,
(ohne viel Einzelheiten) und Explication des rnarees, Paris; R.A.Harris, Manual 2;
J. Ecdes, Great trig, survey of India 16, Dehra Dun 1901; vgl. auch W. Ferret,
Tidal researches, Rep. U. S. Coast Survey 1874. Sir W. Thorntons Original-
abhandlungen finden sich in den Brit. Ass. Rep. 1868, 1870, 1871, 1872, 1876, 1878.
Kncyklop. d. math. Wuaensch. VI 1, S. 3
34 VI i, 6. G. H. Dartvin-S. S. Hough. Bewegnng der Hydrosphare.
zienten in der Entwicklung des Potentials nicht streng konstant,
sondern fiihren langsam kleine Schwingungen um Mittelwerte aus;
ferner erfordern die Argumeute der harmonischen Funktionen der
Zeit kleine und sich langsam andernde Korrektionen fur ihre Phasen.
So gelangen wir zu folgender Annahme: Das Potential ist durch.
eine Reihe mit zeitweilig konstanten Koeffizienten ausdriickbar. Diese
Koefn zienten sind rait einfachen harmonischen Funktionen multipli-
ziert, die zeitweilig konstanter Korrektionen ihrer Phasen bediirfen.
Das Prinzip der erzwungenen Schwingungen berechtigt uns dann zu
dem SchluB, daB jedes Glied der Reihe einer Partialflut von unbekannter
Amplitude und Phase entspricht.
Wenn die Gleichgewichtstheorie so vollstandig entwickelt ist,
kann Amplitude und Phase jeder Partialtide genau bestimmt und
daher die Amplitude der entsprechenden wirklichen Flut in irgend
einem Hafen dadurch erhalten werden, dafi man die Gleichgewichts-
amplitude mit einem nur durch Beobachtung zu ermittelnden Faktor
multipliziert. In ahnlicher Weise laBt sich die Phase der wirklichen
Flut ableiten aus der Gleichgewichtsphase durch Anbringung einer
konstanten, ebenfalls durch Beobachtung zu bestimmenden Verbesse-
rung. Aufgabe der harmonischen Analyse ist es dann, diesen Faktor
und diese Phasenkorrektion fur jede Partialtide zu bestimmen. Wir
werden spater auseinandersetzen, wie sich die praktische Verwirk-
lichung dieses Gedankenganges gestaltet; aber augenblicklich werden
wir in der Betrachtung der Resultate der Gleiehgewichtstheorie fort-
fahren, die wir uns in der angegebenen Weise entwickelt denken.
Nach der jetzt allgemein angenommenen Bezeichnungsweise ist y
die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation, ?, ??, , (yfj, del^v^ r/Atog)
sind die mittleren Bewegungen des Mondes, der Sonne und des Mond-
perigaums. Die ,,Geschwindigkeit" einer Partialtide ist der Differential-
quotient des Argumentes der einfachen harmonischen Funktion nach
der Zeit; alle Geschwindigkeiten sind Funktionen von y, <J, fj t W. Eine
Nomenklatur fur die verschiedenen Partialtiden erweist sich als eine
praktische Notwendigkeit. Man hat beliebig gewahlte Anfangsbuch-
staben zu ihrer Bezeichnung benutzt 88 ) In einigen wenigen Fallen,
fiir welche keine Anfangsbuchstaben vorgesehen sind, ist es zweck-
33) Die Haupttiden fiir Mond und Sonne eind bzw. init M, S bezeichnet.
Die elliptischen Mondtiden L, N (verbunden mit M) entsprechen den Tiden JZ,
T (verbunden mit S) fiir die Sonne. Die eint&gige Mondtide entspricht der
eintagigen Sonnentide P. Die analytischen AuBdriicke fiir die Evektionstiden
X,, v sind eng verwandt mit denen for die elliptischen Tiden L, N. Die Varia-
tionstide (* hat eine ahnliche Verwandtschaft mit M. Sa, Ssa, Mm, Mf, MSf
28. Hannonische Analyse. S6
mafiig, die Tide durch ihre Geschwindigkeit zu bezeichnen; z. B. mag
die monatliche Evektionstide durch tf-j- o? 2y gekennzeichnet werden.
In dem mathematischen Ausdruck ffir die Tide ist die Einfiihrung
der mittleren Langen naturlicher als die der Geschwindigkeiten. Wir
schreiben deshalb s, h, p fur die mittlere Lange des Mondes, der
Sonne und des Mondperigaums; t fur den mittleren Stundenwinkel
der Sonne am Beobachtungsorte. Das Argument irgend einer Partialtide
wird dann eine Funktion von t, s, h, j).
In den folgenden Tabellen kommen noch verschiedene Bezeich-
nungen vor, die wir jetzt erklaren miissen.
Die Schiefe der Ekliptik heifit G>, die des Aquators gegen die
Mondbahn ist I. I ist offenbar eine Funktion von N, der Lange
des Mondknotens, und schwankt um den Mittelwert o. Die Neigung
der Mondbahn zur Ekliptik ist i. Die Exzentrizitaten der Mond- und
Sonnenbahn seien e und e ly das Verhaltnis der mittleren Bewegung
der Sonne zu der des Mondes m.
Wenn m die Mondmasse und c seine mittlere Entfernung be-
deuten, wenn ferner r = % -^- gesetzt wird, so mifit r die Intensitat
C
der fluterzeugenden Kraft des Mondes. Wenn m if c l} r^ die ent-
sprechenden GroBen fiir die Sonne sind ? so ist klar, da6 -- ( 0,46035)
der Faktor ist, mit Hilfe dessen man Sonnen- und Mondgezeiten auf
ein gemeinsames MaB bringen kann.
Man wird bemerken, daB die Argumente in den folgenden Tabellen
| und v enthalten; diese Buchstaben bedeuten die Lange in der Mond
bahn und die Rektaszension des absteigenden Knotens des Aquators
in der Mondbahn und sind Funktionen von N. Die Funktionen von
| und v, welche in den Argumenten auftreten, sind jene kleinen
Phasenkorrektionen, welche notig sind, um den Lagenwechsel des
Mondknotens in Biicksicht zu ziehen. Es hat sich als hiureichend
herausgestellt, konstante Werte fflr | und v anzunehmen, die ein
ganzes Jahr lang anwendbar sind.
Wir wollen jetzt die Resultate der Anwendung der Gleich-
gewiehtstheorie in Form von Tabellen geben. Der allgemeine Aus
druck fur die Gleichgewichtsflut lautet:
h = 2 ,,allgem. Koeffiz." X ,,Koeffiz." X cos , ? Argument".
bezeichnen bzw. die jahrliche und die halbjahrliche Sonnentide (Solar annual
and solar semiannual), die monatliche (lunar monthly) und die halbmonatliche
(lunar fortnightly) Mondtide sowie die 14tagige Mond-Sonnentide (luni-solar
fortnightly). Fur die Wahl der meisten anderen Anfangsbuchstaben scheinen
keine ersichtlichen Grunde vorzuliegen.
8*
i, 6, G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphiire.
4. Mond-Tideii.
1. Halbtagige Tiden.
Allgemeiner Koeffizient: % -^ -5- cos 2 A.
Name
^Q
6
QQ
Argument
Koeffizient
a* -1-2 (h v}
Haupt-Mondtd.
\
l/ /< f> / x>-^\ />n3^ I/ 7" 9 (a ^
,- v * % ) ^^"-* s V Sy
Mond-Sonnentd.
(Mondteii)
*
l /,(l -f- %e*) % sin*/
GroBere cllip-
tische Td.
*
Vs V e cos4 V g J 2 (5 4) (s p)
Kleinere ellip-
tische Td.
*
V Yi c cos4 Vs i 2(s b) -f- (* p} -j- f
Ellipt. Td.
2. Ordnung
V. "/i e s cos 4 y, I 2 (s 6) 2 (s p)
GroBere
Evektionstd.
V
11 . 105/ me Cog 4 i/ r 2(S ^) + (* p)
/4 / 1 i v/vo J. . ., .
"T" {ft ~~ 5 )
Kleinete
Evektionstd.
1
/s- As 511 3 A- _2(/i_ S )4-
Variationstd.
,
1 / .48, jj^ i COS 4 ^ I 2 (i ) -t- 2 f ft S^l
2. Eintagige Tiden.
Allgemeiner Koeffizient: 3 / 2 TF sin 2 A.
o
Name
g
Koeffizient
ATgU
OQ
4-(A-
Mondtd.
Mond-Sonnentd. i &
(Mondteii) l
Grofiore ellip-
tische Td.
Kleinere ellip-
tische Td.
(l-Y^VAsinlcos Y,!
-2(,-i)4-%*
^
(1 4- s / 2 e*) y, sin Jcos/
-Yt"
1
_ 2 ( S -^)-(5_)4-y *
Geschw.
y -\- U t
Diese Tide, die eigentUch aus zweien mit den Geachw.
y o -f- Z9 und y c 85 zusammengesetzt ist, hat kom-
plizieftere Koeffizienten und Argumente.
% e l /t 8 ^ n -^ COB
23. Harinonische Analyse.
3. Tiden von langer Periode.
37
AUgemeiner Koeffizient: 3 / 2 ~ ~ (V 8 % sin 2 A) .
Name
1
I
OD
Koeffizient
-
Argument
Anderung des j
Mittelwasaers j
/i 4. / />*wi/
\ L T~ ft e ) \ /
des ver&nderlichen Teilee
Monatliche Td.
Mm
Wff**
(.-,)
Monatliche
Evektionstd.
. %mc( A-v, S u,/)
( ^) + 2(s K)
Monatliche
Variationstd.
M~^
Sii,
UtiLgige
Tide
Mf
(1 -%)/, m /
{t D
B. Sonnen-Tiden.
1. Halbtagige Tiden.
AUgemeiner Koeffizient:
irr r cos 2 A.
Jz c
Name
r
o
1
Koeffizient
Argument
Haupt-Sonnentd.
^
Vl ^-(1-%OCOBV,
SI
Mondtd.
(Sonnenteil)
^
VV (i + V,-! 1 ) 1 /,-^ 1 -.
2t + 2fc
Grofiere ellip-
tische Td.
T
Vi^-V^,co8^/ 8 a,
2*- (fc-J>)
Kieinere ellip-
tische Td.
yA y.^coi % ID
T
* + (*- A) + *
38 VI i, 6. Gr. H. Darwin-S. S. Houyh. Bewegung der Hydrosphare.
2. Eintagige Tiden.
Allgemeiner Koeffizient: % -^
9 .
Name
1
Koeffizient
Argument
Sonnentd.
.
P
* -(!-
!
/ e i *) V 8 ^ n cos s y t ca
t h -\- y,
Mond-Sonnentd.
(Sonnenteil)
*
% e t *) y, sin CD cos a)
<+.-/,
3. Tide von langer Periode.
Wl a*
Allgemeiner Koeffizient: 3 / 2 -^p -,- (V, 3 / 8 sin 8 A).
* M f. 3 \ a /
Name
1
>>
DD
Koeffizient
Argument
Halbjahrliche
Td.
Ssa
(l-%i V/,8in s fi>
T
2ft
Anmerkung: Die Tide L sollte mit sich verbunden eine andere von der
Geschwindigkeit 2y a -f- ffl enthalten; dadurch wurden aber die Koeffizienten
und Argumente komplizierter. Die Koeffizienten aller Evektions- und Variations-
tiden sollten die vollen Werte der betreffenden Ungleichheiten enthalten; sie
enthalten oben nur die ersteu Glieder der wirklichen Beihen. Die Sonnen- und
Mondtiden K fallen zusammen. Cbcr Ssa B. Nr. 24.
Die wirkliche Flut ist ableitbar aus der Gleichgewichtsflut, in-
dem man jeden ,,Koeffizienten" mit eineni der Beobachtung ent-
nommenen Paktor k multipliziert und von dem ^Argument" einen
ebenso gewonnenen Winkel x subtrahiert.
Die numerischen Werte der EoeMzienten in irgend einer der
drei Gruppen der Gezeiten geben die relative Wichtigkeit der ein-
zelnen Glieder an, aber sie geben keinen Aufschlufi fiber die relative
Wichtigkeit der Tiden, die zu verschiedenen Gruppen gehoren.
24. Meteorologisohe Ticlen, Obertiden und kombinierte Tiden
oder Seichtwasser-Tiden 38 *). Jede Tide, deren Periode geiiau ein Viel-
faches oder ein Teil eines mittleren Sonnentages oder eines tropischen
33 ) Harris, Manual 6.
25. Bio Resultate der harmonischen Analyse. 39
Jahres ist, wird durch die meteorologischen Verhaltnisse beeinfluBt
und ist daher offenbar mit einiger Unsicherheit behaftet. .
Wenn eine Welle in seichtem Wasser fortschreitet, so entfernt
sich ihre Gestalt betrachtlich von der der Sinuskurve. Eine Ent wick-
lung nach Fourier ffir die Form der Welle enthalt Glieder von der
doppelten und dreifachen Sehwingungszahl der urspriinglichen Welle.
Solche Glieder kann man Obertiden nennen in Analogie mit Helm-
holtz Obertonen in der Akustik. Es ist aus diesem Grunde gebrauch-
lich, die Tiden M^ M 6 , $ 4 , S 6 mit den bzw. Geschwindigkeiten
4(y tf), Q(y ff), 4(y rf), 6(y 1?) einzufiihren. Die Ober
tiden sind in anderen Fallen im allgemeinen zu vernachlassigen (oder
sind wenigstens vernachlassigt worden).
Wenn die H6hen zweier gleichzeitigen Wellen nicht geringe
Bruchteile der Wassertiefe sind, so entstehen Kombinationswellen,
deren Schwingungszahlen die Summe oder Differenz zweier fundamen-
talen Wellen sind. Die Haupttiden dieser Art sind: MS, Msf mit
den Geschwindigkeiten 2(y 0) 2(y 17), herrtihrend von M a und
S if die letztere von diesen ist auch eine astronomische Tide; ferner
28M mit der Geschwindigkeit 2y-|-2<y 4iy, herkommend von $ 4
und MI] (i, herstammend von S t und M, mit derselben Geschwindig
keit wie die Variationstide 2y 4<y-f-2i?. Es mag auch noch die
Tide Jf s erwahnt werden mit der Geschwindigkeit 3(y tf), die von
demjenigen Gliede in dem Mondpotential herriihrt, das die vierte
Potenz der Mondparallaxe enthalt und das wir in Nr. 2 vernach-
lassigten.
In der harmonischen Analyse werden gewohnlich die folgenden
Tiden ausgewertet: M a , M^ M^, S 8 , S 4 , K 9) N, L, v, p, 2SM, MS,
K lf 0, P, Q, J, Sa, Ssa.
Die Tiden M lt Mm, Mf, MSf werden auch bestimmt, haben
aber im allgemeinen nur theoretisches Interesse.
25. Die Kesultate der harmonischen Analyse. Wir betrachten
nur eine einzige Partialtide als typisch fur alle.
In tJbereinstimmung mit der in Nr. 23 gegebenen Tabelle kann
die Tide M 3 ausgedruckt werden durch:
V. (1 - V 8 ) os* V,
In diesem Ausdrucke ist k m der Koeffizient, mit dem die halbe
Hubhohe der Gleichgewichtsflut zu multiplizieren ist, um die wirk-
lich halbe Hubhohe zu erhalten; x m ist die Phasenkorrektion. Die
beiden GroBen Jc m und v. m lassen sich nur durch Beobachtung be-
stimmen.
40 VI i, 6 G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
Wenn wir schreiben:
S m - * ~< cosU : % (1 - % e") cos* (% ) cos* (V, t),
FW = 2 (* -f- & s), M W = 2 (v I) ,
so wivd der obige Ausdruck zu /" m r n} cos(F, n -j- u m *) ^m De "
steht aus zwei Faktoren, von denen der eine aus astronomischen
Daten ableitbare Konstanten enthalt, wahrend der andere, 7i; m , eine
nur durch Beobachtung zu ermittelride Konstante darstellt. Daher
kann H m als eine der Tide M z und dem Beobachtungsorte eigentiim-
liche Konstante^ die nur durch Beobachtung ableitbar ist, angesehen
werden. Wenn die Tidenkonstanten H m) x m bekannt sind, so lafit
sich die durch J/ 2 hervorgerufene Wasserhohe fur irgend eine ver-
gangene oder zukiinftige Zeit berechnen. f m ist der Faktor und u m
die Phasenanderang, die notig sind, um die augenblickliche Lage des
Mondknotens zu beriicksichtigen 34 ).
Ihre Werte andern sich langsam, und es ist ublich, mittlere
Jahreswerte anzimehmen.
Jede Tide hat ihr besonderes f und u. Das u jeder Tide ist
derjenige Teil des ? ,Argumentes", welcher v und | enthalt. Daher ist
in den reinen Sonnentiden S if T, P der Wert u gleich Null und f
offenbar gleich der Einheit,
Die Tiden J5T 8 , K erfordern eine besondere Betrachtung, da sie
gememsam von Mond und Sonne herriihren. Die Tiden L und M l
miissen aus anderen Griinden auch fur sich untersucht werden.
Die Theorie der Wellen in seichfcem Wasser zeigt, daB fur die
zweite und dritte Obertide f das Quadrat und der Kubus des funda-
mentalen / ist, u das Doppelte und Dreifache des fundamentalen u.
Fiir zusammeiigesetzte Tiden ist f das Produkt, u die Summe oder
Differenz seiner Kompouenten.
Als Endresultat der harmonischen Analyse erhalten wir H und x
fiir jede Tide. Wenu danu A Q die Hohe des mittleren Meeresniveaus
iiber irgend einem NuUpunkt an der Kiiste bedeutet, ist die Seehohe
zu irgend einer zukunftigen oder vergangenen Zeit ausdriickbar durch
Es wird sich unten als notig herausstellen, die verschiedenen H,
x besonders zu bezeichnen. Das soil durch Anhaugung des Anfarigs-
buchstabens der Tide als Index geschehen. So bezieht sich z. B. H m ,
34) Vgl. die Tabellen bei Baird, Manual, und Harris, Manual 2.
26. Numerische harmonische AnaljBe. 4-
x m aaf die Tide M 3 . Fur die Tiden JT 2 , J5T t ist diese Bezeichnungs-
weise nicht passend, wir schreiben deshalb T", x" bzw. H } x in
diesen Fallen.
26. Numerische harmonische Analyse. Der zwolfte oder vier-
undzwanzigste Teil der Periode irgend einer halb- oder eintagigen
Tide kann als eine Stunde einer speziellen, der betreffenden Tide
eigentiiinlichen, Zeit bezeiehnet werden. Wir konnten die Hohen der
Gezeitenkurve immer genau nach Verlauf je einer speziellen Tidestunde
messen; aber es geniigt zur Durchf aiming der Rechnung, wenn die
Wasserhohen je nach Verlauf einer genauen Stunde mittlerer Sonnen-
zeit von der Kurve abgelesen werden. Diese Annaherung gibt in
Wirklichkeit die mittlere Wasserhohe wahrend einer mittieren Sonnen-
stunde, deren Mitte auf eine genaue Tidestunde failt.
Wenn die mittieren Sonnenstundenhohen so gruppiert werden,
wie sie zwischen die 24 Stundeu einer speziellen Tidenzeit fallen, er-
halten wir durch Summation 24 Hohen, die zu den 24 Stunden
jener speziellen Tidenzeit gehoren. Jede Stunde irgend einer anderen
Tidenzeit wird unterschiedslos auf alle Stunden dieser Zeit fallen,
und so werden alle Partialtiden auBer der gerade betrachteten aus
dem mittieren Resultat yerschwinden. Die 24 Stundenhohen der
speziellen Tidenzeit lassen sich dann durch folgende Fouriersche Reihe
darstellen :
A Q -\- E l cos (nt Q -f 12j cos (2nt 2 ) + JR 3 cos (3nt ,) -\ ,
2 Tt
wo der spezielle Tidetag ist Wenn die Tide, die wir untersuchen,
eine tagliche ist, so werden jR 2 , R^ usw. eehr klein gegen .R^ ist sie
halbtagig, so sind R l} R$ usw. sehr klein gegen J? 2 und so fort. Es
ist in der Tat geniigend, nur das spezielle R und auszuwerten, das
zu der theoretischen Partialtide gehort.
Um den Umstand zu beriicksichtigen, daB die Berechnungsmethode
der Wasaerhohen in Wirklichkeit das Mittel der Wasserhohen, ge-
nommen iiber das Zeitintervall eine halbe Stuude vor bis eine halbe
Stunde nach der genauen Stunde der speziellen Tidfcnzeit, gibt, muB
man die halbe Hubhohe R mit einem geeigneten Vergrofierungsfaktor
multiplizieren; dadurch moge sie in R f iibergehen. Dann ist die in
Rede stehende Partialfcide durch fIlcon(V-}-u x) ausdriickbar, wo
H=~ ist.
Wenn F den Wert des ,,Argumentes" im Augenblicke des Be-
ginns der Beobachtungen bezeiehnet, so haben wir oftenbar
F -j- w x =- g, oder x = + V + u.
42 VI i, 6. G. JET. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
In dieser Weise werden die beiden Tidenkonstanten H, v, durch
numerische Rechnung gefunden.
Die Klassifikation oder Gruppierung der stiindlichen Hohen des
mittleren Sonnentages ist in verschiedener Weise ausgefiihrt worden.
Bei der in Indien benutzten Methode miissen alle Beobachtungen in
eine Reihe von Tabellen iibertragen werden 85 ).
C. Borgen gebraucht eine Anzahl Blatter Pauspapier, die mit
starken schraglaufenden Leitlinien versehen sind. Legt man diese
Blatter auf die tabulierten Beobachtungen, so zeigen die Leitlinien
die Zahlen an, die zu Mittelwerten zu vereinigen sind. Die U. S.
Coast Survey gelangt zu demselben Resultate mit Hilfe von durch-
lochten Kartons.
6r. H. Darwin hat eine Methode angegeben, bei der die zu jedem
Tage gehorigen Beobachtungen als ein Ganzes behandelt werden 86 ).
Jede dieser Methoden scheint ihre eigenen Vor- und Nachteile zu
habeu.
C. Borgen hat noch eine ganzlich andere Reduktionsmethode an
gegeben, bei der die Zahl der Additionen betrachtlich vermindert ist 87 ).
Das Verfahren ist sehr geistreich, hat aber, soviel ich weifi, nicht den
verdienten Anklang gefunden.
Die harmonischen Tidenkonstanten konnen auch aus Beobach
tungen von Hoch- und Niedrigwasser abgeleitet werden 88 ). Jede
solche Beobachtung ist zwei Beobachtungen einer einzelnen Hohe
gleichwertig, so daB in Wirklichkeit annahernd 8 (7gf) Bedingungen
pro Tag durch den analytischen Ausdruck fflr die Tide zu erfiillen
sind. Aber diese Bedingungen sind fiir die in Rede stehende Aus-
wertung nicht zweckmaBig, und es ist moglieh, dafi die wirksaraste
Methode, die Konstanten aus den Beobachtungen zu ermitteln, die
ist, eine empirische Flutkurve auf Grund der zu den beobachteten
Zeiteu eintretenden Maxima und Minima und der abgelesenen Hohen
zu konstruieren.
35) Ea finden eich gewiese kleine Versehen in den (von E. Roberts fiir die
indische Kegierung aufgestellten) Tabellen, aber sie geben zu keinem wesent-
lichen Irrtum AnlaB. Vgl. G. H. Darwin, London Eoy. Soc. Proc. 62 (1893), p. 346.
36) Harris, Manual 2, chap. V; G. H. Darwin, London Roy. Soc. Proc.
62 (1893), p. 846. ttber die Beduktion einer kurzen Beobachtungsreihe siehe
G. H. Darwin, British Admiralty Scientific Manual 1886 oder Rollet de I Isle,
A.nn. hydrograph. 2 (1896), deuxieme section, p. 196.
37) Ann. der Hydrographie 1894, p. 219, 266, 296.
38) G. H. Darwin, London Eoy. Soc. Proc. 48 (1890), p. 278; Harris, Manual
3, chap. III.
26. Numerische karmonische Analyse. 43
Wir haben bisher nur iiber die halb- und ganztagigen Gezeiten
gesprochen, Die Gezeiten von langerer Periode lassen sich offenbar
aus den taglichen mittleren Wasserhohen ableiten. Diese taglichen
Mittel miissen so gruppiert werden, daB sie die Amplituden und
Phasen der Tiden Sa, Ssa, Mm, Mf, Msf ergeben. Da diese Tiden
im allgemeinen sehr klein sind, so ist es notwendig, Korrektionen an-
zubringen, urn die taglichen Mittel von den Resten der groBen halb-
und ganztagigen Tiden frei zn machen. Dieser ProzeB wird , 7 Klarung
der taglichen Mittel" genannt. Der Leser mag wegen Details die ver-
schiedenen in FuBnote 32 angegebenen Publikationen nachsehen.
Wenn eine Funktion h durch eine Reihe harmonischer Glieder
dargestellt ist und ein Paar dieser Glieder A cosnt + B sinnt lautet,
2 it
it
wenn ferner T ein Vielf aches der Periode - ist, so wird
Auf diese Weise kann man durch eine Maschine, die diese Inte-
grationen ausfuhrt, A und B bestimmen. Bei der Reduktion der Flut-
beobachtungen nehmen wir fiir h die Wasserhohe zu irgend einer
Zeit wahrend des Intervalls T und fiir n die Geschwindigkeit irgend
einer der Partialtiden. Man hat versucht, zur Reduktion der Gezeiten-
beobachtungen den Integraphen von James Thomson 59 } zu benutzen.
Eine Maschine zur Gezeitenreduktion (jetzt im South Kensington
Museum) wurde wirklich mit betrachtlichem Kostenaufwande unter
Lord Kdvins Leitung gebaut. Sie war zur Auswertung der Tiden
M it $ 2 , K, 0, P und des mittleren Wasserniveaus A bestimmt, ist
aber niemals benutzt worden, da man Grund zu der Annahme hatte,
daB die Reduktionen teurer und weniger befriedigend ausfallen wfirden,
als bei der Anwendung des numerischen Rechenprozesses.
Es liegt nicht in der Absicht dieses Artikels, die Gezeiten in
einzelnen Hafen zu diskutieren* ).
39) London Roy. Soc. Proc. 24 (1876), p. 262; Thomson and Tait, Nat. Phil.
I 1 , p. 488; Inst. Civ. Eng. 66 (1881), p. 10
40) Ich kann kein vollstandigeB Verzeichnis der Literatur geben, wo die
harmouiscben Eonatauten fiir verschiedene Orte zu fin den sind; es mogen
folgende Zitate genugen: Great Trig. Survey of India 16, Dehra Dun 1901
(Sammlung der indischen Resultate bis 1902); fteports of the U. S. Coast Survey;
Harris, Manual 4 A; P. Hatt, VerSffentlichungen des frauzosischeu Service hydro-
graphique; /. P. van der Stok, K. Instit. van Ingenieura, Afd. Ned. Indie und
Amsterdam Ak. Wet.; A. Wijkander, K. Sv. Vet. Ak. 15 (1899). Eine Sammlung
44 VI i, 6. G. H. Darwin-S, S. Sough. Bewegung der Hydrosphtlre.
27. Erklarimg einiger gebrauchlicher Ausdriicke; Nullpunkte.
Wir haben bereits am Ende von Nr. 25 angegeben, da8 die halbe
Hubhohe und Phasenverzogerung fiir die verschiedenen Tiden durch
an die Buchstaben H, x gesetzte Indizes bezeichnet warden.
Die mittlere Hohendifferenz bei Springflut zwischen Hoch- und
Niedrigwasser wird Springtidenhub genannt und ist gleich %(H m -f- jff f ).
Der Nipptidenhub ist gleich 2(H m .H,); er ist gewohnlich der dritte
Teil dee Springtidenhubs. Die Hohe zwischen der M&rke des mittleren
Hochwassers bei Nippflut und der des mittleren Niedrigwassers bei
Springflut heifit ,,neap rise" und ist gleich 2H m . Der mittlere Zeit-
unterschied zwischen Voll- oder Neumond und der nachsten Spring
flut heiBt ,,das Alter der Gezeit": es ist gleich -^** ~" *"! und betragt
I (a tj;
gewohnlich ca. 36 Stunden. Das Zeitintervall, das zwischen dem
oberen oder unteren Meridiandurchgang des Mondes und Hochwasser
verflieBt, heifit ,,das Intervall" oder ,,Mondflutmtervall". Beide, das
Intervall und die Hohe der Tide, sind einer ,,14tagigen Ungleichheit"
unterworfen. Das Intervall bei Voll- oder Neumond heiBt ,,Hafenzeit"
(Hafenetablissement) oder ,,gewohnliche Hafenzeit". Das Intervall
bei Springflut wird verbesserte oder mittlere Hafenzeit genannt. Man
kann die letztere aus der ersteren bestimnien, wenn das Alter der Tide
bekannt ist.
Die Franzoeen nennen eine GroBe, welche gleich H m -f- R t zu
sein scheint, ,,Einheit der Hohe" und definieren irgend eine andere
Ungleichheit durch einen Koeffizienten 41 ).
Die Praxis der britischen Admiralitat besteht darin, Lotungen
und Gezeitentabellen auf das w mittlere Springniedrigwasser" zu be-
ziehen. Die Lage dieses Niveaus (Kartenniveau) laBt keine exakte
wissenschaftliche Definition zu; die Unsicherheit kann da betrachtlich
werden, wo eine groBe eintagige Tide vorhanden ist. Wenn indessen
das genannte Kartenniveau einmal in bezug auf eine feste Landmarke
fixiert ist, so kann es ebenso gut wie jedes andere als Nullpunkt
dienen.
Ein spezielies Niedrigwasserniveau ist fiir die neuen Stationen
der Indischen Vermessung angenommen; es heifit ,,Indische Niedrig-
von Resultaten aua verschiedeaen Quelleu gibt G. H. Darwin tmd A. W. Baird,
London Eoy. Soc. Proe. 39 (1886) , p. 136 und G. H. Darwin, ibid. 45 (1888),
p. 656; T. Wright, ibid. 71 (1902), p. 91.
41) P. Halt, Pbenomfenes dea marges, Paris 1886, p. 161.
28. Synthetische Methode fur die halbtagiger. Gezeiten. 45
wassermarke" und ist definiert durch H m -j- H s -f- H -j- // unter
mittleren] Seeniveau. Ein seiches Niveau wird im allgemeirien nicht
sehr von dem oben erwahnten verschieden sein und ist niedrig ge-
nug, um alle negativen Ghofien aus den Gezeitentabellen auszuschlieBen.
Ein wertvolles Verzeichnis von Nullpunkten ist von J. N. Shool-
bred gegeben; weiteres fiber den Gegenstand findet man in einem
Bericht von J. J. A. Bouquet de la
28. Synthetische Methode fiir die halbtagigen Gezeiten 42 ). Wir
konnten in der Weise vorgehen, daB wir die Form des Potentials, wie
sie in Nr. 20 gegeben wurde, entwickeln, aber es ist befriedigender,
von der harmonischen Entwicklung auszugehen. Die mittlere Sonnen-
zeit und Mondlange miissen durch den Stundenwinkel ty, die Rektas-
zension a und die Dekliriation d ersetzt werden. AuBerdem ist noch
P, das Verhaltnie der Mondparallaxe zu seiner mittleren Parallaxe,
und ^/ als eine solche konstante Deklination einzufiihren, daB cos 2 ^/
der mittlere Wert von cos 2 d ist. Die Resultate konnen ferner etwas
kiirzer geschrieben werden, wenn wir noch folgende Bezeichnungen
einfiihren: 8 fiir die Monddeklination zu einer Zeit, die um das
;; Alter der Deklinationsungleichheit". namlich um - . dem Zeit-
A
punkte t vorausgeht, und P fiir den Wert von P zu einer Zeit, die
X __ X
urn das ;? Alter der parallaktischen Ungleichheit", d. h. um -^-~~ , vor
t liegt. Diese beiden ? ,Alter" unterscheiden sich im allgemeinen
nicht viel von dem friiher als ,,Aiter der Tide" eingeiuhrten Aus-
druck: ^-^
2(c~Tj)
Der einem Symbol angehangte Index 1 soil andeuten, daB die
GrroBe sich auf die Sonne bezieht; in diesem Falle konnen die ver-
schiedenen ,,Alter" als verschwindend betrachtet werden.
Bei der vorliegenden Methode ist es notig, die K%- und ^-Tiden
in ihren Mond-.und Sonnenteil zu spalten; die beiden Teile verhalten
sich zueinander wie 683:317.
Der folgende Augdruck ist dann mit der harmonischen Entwick
lung gleichbedeutend:
41*) J. N. Shoolbred, Brit. Ass. Rep. 1879, p. 220; J. J. A. Bouquet de la
Grye, Yexhandl. d. Allgem. Konf. d. Intern. Brdm. 1898.
42) Diese Nummer basiert auf G. H. Darwin, Brit. ABB. Hep. 1885, p. 86.
Vgl. eine von C. Borgen angegebenc Verbesserung in Ann. der Hydrogr. 17
(1889), p. 46.
46 VI i, 6. G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydroephare.
* =
-f- - - -rj - 0,683 H" cos (2^ x") [Deklination })]
1
+ COS O COS 4-j * f\ f\ 4 p TT// /r^ //\ I~T"V 11 I / \T
---T^ L 0,3.1 7 J7 cos (2^ x ) [Deklmation ]
1
a2fl d* r 0,683 JEf"
iu*^, dtLcosfx" X OT )
sin2<* dSr 0,683 H " , 1 . /0 . x
-- - - - - -", *g ^i sin (2* x,J
J wy
[Deklinationsanderung })]
n If, COS K,
-
cos
4. Hn
2
cos (x ?rt n ) COB(XI *
[Anderung der Parallaxe J)] f
wo einen Hilfswinkel bedeutet, der definiert ist durch:
, _ H n sin x JT, sin x,
lf n COB X M H\ COS Xj
Der obige Ausdruck ist in mancher Hinsicht eine nahere
Approximation als die Formel, aus der er abgeleitet ist, da die
Stundenwinkel, Deklinationen und Parallaxen alle Mond- und Sonnen-
ungleichheiten enthalten.
Die hergeleitete Formel kann oflfenbar auch. in der Form ge-
schrieben werden:
p) -j- .MJ cos 2(V>! Pi)
und der Leser wird leicht erkennen, welche Werte M, M l} p, ^
haben miissen.
In der Gleichgewichtstheorie ist jedes H dem entsprechenden
Gliede in der harmouischen Entwicklung des Potentials proportional,
und diese Proportionality ist wirklich annahernd bei Tiden von nahe-
zu gleicher Geschwindigkeit vorlianden.
Wenn das genannte Gesetz fiir die reinen Sonnentiden JR, S f T
und die Sonuentide K 2 als richtig angenommen wird, so haben wir:
Eine ahnliche Syntbese kann filr M eigentlicb nicht ausgefiihrt
werden, weil die ein/elnen Mondtiden sich in ihren Gescnwindigkeiten
betracbtlich voneinander unterscheiden. Die folgende partielle Synthese
28. Synthetische Methode fur die halbtagigen Gezeiten. 47
liefert aber ganz gute Resultate 43 ):
H? -- 68S H "
2 P - * + c - --- > 683
lf
Mit welchem Grade von Genauigkeit auch immer M, p, M l
ausgedriickt sein mogen, die schlieBliche halbtagige Synthese wird da-
durch bewirkt, dafi man setzt:
A 2 = JETcos 2(t/>
wo
H = z -f Jf x 2 --
und
f 9 / m ^ - M i 8in2 ( g "i iULzJ^L.
~ AT + X cos2( t +ft ft)
Da (a t^), der Untersehied zwischen Mond- und Sonnenrektas-
zension, seine Periode in einem Monat durchlauft, und da das Inter-
vail nach dem Meridiandurchgang 44 ) des Mondes bis zum Hochwasser
durch den Wert von <p bestimmt wird, so folgt, da6 die ,,H6he" H
und das ,,Intervall" V 14tagigen oder halbraonatlichen Ungleichheiten"
unterworfen sind.
Da Springflut eintritt, wenn a t ===== ^ ^ 1st, und da die
Mittelwerte von a a x und ^ ^ gieich s It, bzw. Vs( x * K m)
sind, so folgt, dafi das mittlere Intervall von Voll- oder Neumond bis
zur Springflut gieich -* ~~ ist. Der Zusammenhang der Gezeiten mit
Voll- und Neumond fallt so in die Augen, daB man die Fiktion an-
genommen hat, die Gezeiten entstiinden bei diesen Mondstellungen
und gebrauchten eine gewisee Zeit, um den Beobachtungsort zu er-
reichen.
Deshalb wird auch ^*~ x ~ das ..Alter der Gezeit" genannt. Das
2(<f Tj)
durchschnittliche ,,Alter" der Gezeit diirfte, wie schon angegebeu, un-
gefahr 36 Stunden betragen. In entsprechendem Sinne reden wir von
,,den Altern der Deklinatione- und parallaktischen Ungleichheiten".
Bei der Aufstellung einer Gezeitentabelle ist es nicht praktisch
K j zu gebrauchen, das sich auf die unbekannte Zeit des Hoch-
48) Diese Formeln haben in einem Muster zu einer Ge/eitentabelle An-
wendung gefunden, Admir. Scientific Manual 1886.
44) J. W. Lvibbock, W, Whewell und andere sind der Ansicht, da6 die
Formeln sicb. der Wirklichkeit enger anschlieBeu, wenn jedes Hochwaeser auf
den zweiten, dritten oder gar vierten vorhergehenden Meridiandurchgang anstatt
auf den ersten bezogen wird.
48 VI i, 6- G. H. Darwin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
wassers bezieht. Wir ersetzen a c^ durch A , die Differenz der
Rektaszensionen in dem Augenblicke des Meridiandurcbganges des
Mondes, und Bchreiben also:
Mit roher Annaherung. bei der
dec dcc }
gesetzt sind, kann man schreiberi:
Diese Naberungsformel kann man bei der Berecbnung der 14tagigen
Ungleicbbeit von Hohe und Interval! benutzen. *
Wir setzten oben voraus, daB die Korrektionen wegen Deklination
und Parallaxe an den Mond- und Sonnentiden vor ihrer Synthese an-
gebracht sind; indessen kann eine Tabelle der 14tagigen Ungleich-
heit auf die tnittleren Werte H m und H t basiert werden und die
Korrektionen kounen biuterher angebracht werden. Das ist aiicn das
gewo bnlich zur Anwendung komraende Verfabren, das aber trotz des
Vorzugs der allgemeineren Verwendung weniger genau ist.
29. Synthetisohe Methode fiir die t aglichen Gezeiten. Nimmt
man an, daii der Anteil des Mondes an K l in demselben Verbal tnis
zu stebt wie in der Gleicbgewicbtstheorie, und der Anteil der
Soone in abnlicber Beziebung zu P, so liiBt sicb zeigen, daB die ge-
sainte eintagige Tide durcb:
sin 2^ ,,, . ,\ TT- 1/ci sin 2d. ,
.- . r cos ( v 4- x } 4- H n 1/2 . a -- cos
am 2 ^j P r sin 2 J t
4-
ausgedruckt wird, wo d , ty Deklination bzw. Stundenwinkel eines
fingierten Mondes bezeichnen. der dem wirkliohen Monde in seiner
Babn in einem Abstande gleicb Y 2 (x ) folgt. Wenn die obige
Annabme nicbt richtig ist, so tritt noch ein anderes Glied binzu.
Die Synthese dieser bei den eintagigen Tiden kann in derselben Weise
wie bei den halbtagigen ausgefiihrt werden.
Eine andere Art der Synthese mit einern Beispiel ibrer Be-
nutzung bei der Berecbuung einer Gezeitentabelle findet sich in den
Brit. Ass. Rep. 1885 und im Admiralty Manual 1886.
Man wird sich vielleicbt nicht wunderri, da6 die Bebandlung der
eintagigen Gezeiten nach der syntbetischen Methode nicht sehr voll-
standig durchgefuhrt ist, wenn man bedenkt, daB die tagliche Un-
80. Reduktion der Beobachtungen von Hoch- und Niedrigwasser. 49
gleichheit im nordatlantisehen Ozean kaum bemerkbar ist. Iin Jahre
1836 schrieb W. Whewell (London Phil. Trans. 1836, p. 131):
,,The existence of such an inequality (i. e. the diurnal) in the
heights of high water has often been noticed by seamen and other
observers, . . . But its reality has only recently been confirmed by
regular and measured observations, and its laws have never been
correctly laid down. . . . This inequality had never been obtained in
numbers till the recent discussion of the Liverpool tides."
Diese Stelle zeigt aufs deutlichste, wie sehr unsere Kenntnisse
seit der Zeit Whewelh zugenommen haben.
80. Reduktion der Beobaohtungen von Hoch- und Niedrig-
wasser. Da alle alteren Beobachtungen von dieser Art waren, so
muB diese Nummer bis zu einem gewissen Grade historisch sein.
Die Beobachtungen, welche Laplace behandelte, bezogen sich
fast ausschliefilich auf den Hafen von Brest. Er hatte vollstandige
Beobachtungen von 1711 bis 1716 und weiter von 1807 bis 1822 zu
seiner Verfiigung. Das Verfahren, das er zur Bestimmung der nume-
rischen Werte der verschiedenen Ungleichheiten benutzte, bestand
darin, dafi er Beobachtungen auswahlte, die bei gewissen Stellungen
von Mond und Sonne gemacht waren.
J. W. Lubbock machte einen wichtigen Fortschritt, iiidem er alle
Beobachtungen in die Reduktion einschloB. Sein Verfahren 45 ) be
stand in der Bildung von Beobachtungsgruppen, die den verschiedenen
zu korrigierenden Elementen entsprechen. Der grofiere Teil seiner
Arbeit bezieht sich auf englische Hafen, speziell auf London und
Liverpool* 6 ).
W. Whewetl 4 " 1 } lieferte wichtige Beitrage zur Lehre von den Ge-
45) Eine Skizze desselben findet man bei G. B. Airy in dem Artikel
,,Tides and waves" *der Encycl. metrop., London 1846.
46) J. W. Lubbock, London Phil. Trans. 1831, p. 379 (Gezeiten von London);
1832, p. 61 (Gezeiten von London); 1833, p. 19; 1834, p. 143; 1836, p. 276
(Liverpool); 1836, p. 67 (Liverpool); 1836, p. 217 (London). Ferner (von ge-
ringerer Bedeutung): Phil. Mag. (2) 9 (1831), p. 383; (3) 7 (1836), p. 467; (3) 11
(1837), p. 196; Brit. ABB. Rep. 1831/82, p. 189; 1836, p. 285. Die beste Zu-
sammenstellung seiner Tbeorie findet man in seiner beaonders gedruckten Schrift:
An elementary treatise of the tides, London 1839.
47) WheweUe Abhandlungen sind folgende: London Phil. Trans. 1833, p. 147
(Linien gleicher Gezeiten, vgl. Nr. 88); 1884, p. 16 (Gezeiten von London); 1836,
p. 83 (Linien gleicher Gezeiten fur England 1 , vgl. Nr. 88); 1836, p. 1 (Gezeiten
von Liverpool); 1836, p. 131 (erste Berechnung der taglichen Ungleichheit fur
Lhrerpool); 1836, p. 289 (Linien gleicher Gezeiten); 1837, p. 75 (tagliche Ungleich
heit fur Liverpool und Singapore); 1837, p. 227 (tagliche Ungleichheit; mifi-
Enoyklop. d. math. WUaenieh. VI 1, B. 4
50 VI i, 6. G. H. Darwin-8. S. Hough. Bewegung der Hydvosphare.
zeiten, indem er die Theorie auf Grund der numerischen Resultate
LubbockB diskutierte und sie den Zwecken der Voraussage anpafite. Er
war es auch, der zuerst ausgiebigen Gebrauch von Kurven der vierzehn-
tagigen lingleiehheiten in Zeit und Hohe machte, sowohl zur Reduktion
der Beobachtungen wie urn die Resultate zur Gezeitenvorhersage zu be-
nutzen. Seine Methoden bilden die Grundlage, auf welcher Reduk-
tionen dieser Art auch jetzt noch beruhen.
Diese Behandlung der Gezeiten ist in mancher Hinsicht genauer
als die durch harmonische Analyse, da sie verschiedene kleine lokale
Eigentiimlicbkeiten einbegreift, welche bei der harmonischen Analyse
nur -durcli die Hinzunahme einer Zahl kleiner Glieder dargestellt
werden konnen. Nichtsdestoweniger sind die Vorteile der harmonischen
Analyse ira allgemeinen so grofi, da6 sie die eben erwahnten bei
weitem aufwiegen. G. J?. Airy* 8 } diskutierte die Methoden von La
place, Luhbock und Whewell.
Die harmonischen Konstanten lassen sich ebenfalls aus Gezeiten-
beobachtuugen von Hoch- und Niedrigwasser durch geeignete rechne-
rische Hilfsmittel ableiten 49 ). Aber diese Beobachtungsart ist nicht
gut zur Auswertung der harmonischen Konstanten geeignet; die Be-
rechnung derselben ist notwendigerweise kompliziert, wenn geniigend
genaue Resultate erhalten werden sollen.
31. Gezeiteuvorliersage. Methoden zur Aufstellung von Gezeiteu-
tafeln. Bis zur Zeit der Einfuhrung der harmonischen Analyse
wurde die Vorhersage in bezug auf den Meridiandurchgang des Mondes
ausgefiihrt, indeni das Intervall nach dem Durchgang und die Hohe
aus Kurveu oder Tafeln der vierzehntiigigen Ungleichheiten abgeleitet
wurden. Hinterher brachte man Korrektionen sowohl wegen der
Wirkungen der Deklination und Parallaxe von Mond und Sonne als
auch wegen der taglichen Ungleichheit 60 ) an. An Orten, wo die tagliche
luugener Yersucb, Linieii gleicher Qezeiteu fur diose Klasse von Gezeiten zu
konstruieren) ; 1838, p. 231 (Behandluug einer kurzen Beihe von Beobachtungen);
1839, p. 151 ((iezeiten von Plymouth); 1889, p, 1(58 (indische Qezeiten auf Grund
sehr uiivollkommener Beobachtungen); 1840, p. 161 (Gezeiten von Petropavlovak) :
1840, p. 255 (Steigeu und Fallen der Gezeit ernes jeden Tagea); 1848, p. 1 (Ge
zeiten des pafcifiechen Ozeans); 1860, p. 227 (euglische Gezeiten). Vgl. auch:
Brit. ABB. Kep. 5 (1837), p. 286; 6 (1838), p. 102; 7 (1839), p. 19; 8 (1840), p. 18;
9 (1841), p. 486; ,10 (1842), p. 30; Phil. Mag. (8) 17 (1840), p. 321; African
Quarterly 1836, p. 367 (Gezeiten vom Kap der guten Hoff mmg).
48) Encyclop. metropol., Artikel Tides and waves.
49) G. H. Darwin, London Roy. Soc. Proc. 48 (1891), p. 278 und 52 (1898),
p. 388; J?. A. Harris, Manual 8, p, 149.
50) Wegen einer Zusammenstellung der empkiechen Methoden der Gezeiten-
31. Gezeitenvorhersage. Methoden zur Aufstellung von Gezeitentafeln. 51
Ungleichheit sehr groB ist, wird diese Methode sehr miihsam, bleibt
aber noch brauchbar, wenn nur erne genugende Anzahl von Kurven
gezeichnet ist 51 ).
Die alteren Methoden befriedigen fiir solche Orte, wo die tag-
liche Tide klein ist, und viele Gezeitentafeln werden noch in dieser
Weise berechnet. Aber der Gebraueh der harmonischen Analyse
kommt bestandig mehr in Aufnahme. Man hat daher Methoden zur
Berechnung der Vorhersagen direkt aus den harmonischen Kon-
stanten notig.
Der beschrankte Raum erlaubt es uns nicht, einen Bericht fiber
die verschiedenen Methoden zu geben, die zur numerischen Vorher-
sage erdacht sind, indessen findet man unten 52 ) einige Arbeiten fiber
diesen Gegenstand angegeben.
Um die groBe mit dem Verfahren verbundene Rechenarbeit zu
vermindern, sind Instrumente erfunden worden, um eine Flutkurve
aufzuzeichnen und auf diesem Wege die Vorhersage zu leisten.
Das bei den wichtigsten Gezeitenvorhersageapparaten zur Ver-
wendung kommende mechanische Prinzip ist einfach. Eine Anzahl
sich bewegender Rollen ffihrt harmonische Oazillationen aus, die in
Phase und Amplitude die einzelnen harmonischen Tiden darstellen.
tlber alle diese Rollen lauft eine Saite, an deren Ende ein Bleistift
befestigt ist. Der Stift nimmt alle die verschiedenen harmonischen
Bewegungen auf und schreibt sie auf eine Trommel, welche mit alien
Rollen durch geeignete Raderwerke in Verbindung steht 68 ).
Sir W. Thomson scheint der erste gewesen zu sein, der die An-
wendung dieses Prinzips zur Flutvorhersage 1872 angegeben hat;
das erste Instrument dieser Art wurde ungefahr 1876 gebaut und
befindet sich jetzt im South Kensington Museum. Das zweite Instru
ment war von J5. Roberts fflr die indische Regierung bestimmt. Es
summiert 20 Teilfluten und ist seit vielen Jahren in London (National
vorhersage siehe W. Whewell, History of inductive sciences 2, 1873, p. 248: einen
AuBzug gibt G. H. Darwin, Tides, p. 80.
51) G. H. Darwin, London Phil. Trans. 182 A (1891), p. 159.
62) C. Borgen, Ann. der Hydrograph. 1889, p. 1, 43, 89, 131; E. A. Harris,
Manual 3, p. 183 ; G. H, Darwin, Admiralty Manual 1886, p. 72 ; Tides, p. 200
und London Phil. Trans. 182 A (1891), p. 159.
63) Dieses mecbanische Prinzip ist von F. Bashforih angegeben, der
eine Abhandlung vor der Brit, Assoc. (Cambridge) im Jalire 1845 mit dein Titel
las: ,,A description of a machine for finding the numerical roots of equations
and tracing a variety of useful curves". Der Autor lie/5 lithographierte Kopien
der Abhandlung in extenso zirkulieren. Den gleichen Gedanken hatte auch un-
abhangig von ihm W. H. Russell, London Roy. Soc. Proc. 18 (1869), p. 72.
4*
Q2 VI i, 6. G. H. Darioin-S. S Hough. Bewegung der Hydrosphare.
Physical Laboratory) zur Vorbereitung der indischen Gezeitentafeln in
Gebraueh 54 ). Die Regierungen von Frankreieh und den Vereinigten
Staaten haben Instrument* von ahnlichem Charakter konstruiert.
Bin Gezeitenvorhersager von einem anderen Typus wurde von
W. Ferrel erftmden und mit Erfolg in den Vereinigten Staaten ge-
brancht. Er bestiinmt nur die Maxima und Minima der Summe
einer Anzabl von liarmonischen Gliedern, ohne die vollstandige Kurve
zu zeichnen 55 ).
Wenn eine gute Gezeitenta belle fiir irgend einen Ort aufgestellt
ist, so kann man oft die Gezeiten in einem Nachbarhafen voraus-
sagen, gestiitzt auf die Vorhersage fur den ersten Hafen. Die ge-
wohnlichste Regel ist die. zu alien Vorhersagen eine konstante
Zeit zu addieren oder zu subtrahieren und die Hohen fiber und unter
dem mittleren Seeniveau mit einem konstanten Faktor zu multipli-
zieren. Die Anwemiung emer solchen einfachen Regel gibt oft sehr
fehlerhafte Vorhersagen. W. B. Dawson} hat diese Methode in aus-
gedehnter Weise angewandt, urn Vorhersagen far die kanadischen Ge-
wasser zu gewinnen, tmd gezeigt, wie Verbesserungen^ die rait der
Stellung des Mondes variieren, vorteiihafterweise angebracht werden
konnen.
82. Fehler der Gezeiteutafeln. Wenn nicht die Unsicherheit
der meteorologischen Elemente vorhanden ware, so konnten ohne
Zweifel Gezeitentafeln konstruiert werden, die jeden gewiinschten Grad
von Genauigkeit erreichten. Unter den wirklichen Verhaltnissen
hangt der Fehlerbetrag von der Lange der Beobachtungsreibe ab, aue
der die Gezeitenkonstanten gefonden wurden, von dem Grade der An
naherung des harmonischen Ansdrucke fur die Gezeiten und von dem
Betrag der von Wind und Barometerschwankung herrJihrenden Un
sicherheit. In FluBmtindungen wird die Gezeitenwelle moistens unter
dem Einflufi des seichten Wassers stark deformiert, so dafi man, um
zu einer genauen Daretellung der Tide zu kornineu, notwendiger-
weise eine Anzahl Obertiden einfiihren mufl, die sonst zu vernach-
64) E. Roberts, London Roy. Soc. Proc. 29 (1879), p. 198; W. Thomson, The
Engineer 1879, 19, Dez.; Inst. Civ. Eng. 66 (1881), p. 16 (entbalt zugleich Br-
Orterungeii fiber die Prioritat); Thomson and Tait, Nat. Phil. I 1 , p. 479; vgl.
auch Sir W. Thomson, Popular lectures 2, p. 186.
66) W. Ferrel, .U. S. Coast Survey Report 1883, App. 10, p. 263. Eineu
kurzen Bericht fiber das Instrument gebea Harris, Manual 3, p. 181 und Darwin,
Tides, p. 218.
66) Survey of tides -and* currents in Canadian waters, besondera fur 1902.
Siebe auch: Harris, Manual 8, chap. V.
82. Fehler der Gezeitentafelu. 55
lassigen sind. So sind in solchen Flufimiindungen selbst die Vorher-
sagen, die auf 20 hannonischen Tiden basieren, betrachtlichen Fehlern
unterworfen. Eg hat sich indessen die Moglichkeit herausgesteilt,
solche Vorhersagen durch empirische Korrektionen zu verbessern, die
yon der Zeit des Meridiaudurchganges des Mondes sowie von seiner
Parallaxe und Deklination abhangen B7 ). Diese Verbesserungen konnten
natiirlich auch durch eine geniigend weite Durchfuhrung der harmoni-
schen Analyse geliefert werden, aber die zur Berechnung eiuer Ge-
zeitentafel notige Rechenarbeit wurde dadurch so wachsen, dafi dieser
Weg praktisch unmoglich ist.
Unter diesen Umstanden Bcheint es zweeklos, ein Beispiel der
wirklichen Fehler, die man in irgend einem Hafen beobachtefc hat, zu
Man hat mit wechselndem Erfolg versucht, Barometerstand und
Wind zu den Fehlern der Gezeitenvorhersage in Beziehung zu setzen.
P. Daussy tand, daB die See auf den atmospharischen Druck wie ein
Barometer reagiert und dafi Anderungen des Barometerstandes gegen
den mittleren umgekehrte Anderungen der WasserhShe im Verhaltnis
1:14,7 entsprechen 59 ). Eine Korrektionstabelle der Flutvorhersagen,
die auf diesen Resultaten basiert, wird in dem Annuaire des uiarees
der franzosischen Regierung gegeben.
J. W. Lubbock und G. B. Airy gaben ebenfalls Resultate iiber
die Wirkung von Wind und Barometerstand. Zwischen ihren Schliiseen
und denen von Daussy besteht ein grof5er Unterschied 80 ).
Vielleicht die vollstandigste Untersuchung fiber diesen Gegen-
stand wurde von Sir J. Ross ausgefiihrt, als seine Schiffe ,,Enter-
prize" und ,,Investigator" im Jahre 1848 unter 71 nordlicher Breite
und 91 westlicher Lange eingefroren waren. Die Abwesenheit voti
Wellenbewegungen bei dem Steigen und Fallen der Eisschicht ge-
wahrte gunstige Versuchsbedingungen wahrend des langen arktischen
Winters. Er land, daU der Faktor fast genau derselbe wie das Ver-
67) E. Eoberts, Great Trigon. Survey of India, 16, Dehra Dun 1901, chap. VIE.
58) Viele Vergleiche zwiechen Vorhersage und Beobachtung findet naan in
den Reports of the U. S. Coast Survey und in den Reports of the Survey of
India. Beispiele von wirklichen Resultaten sind auch gegeben in Darwin,
Tideg, chap. XIV.
69) Conn, dee tempe pour 1884, p. 85.
60) London Phil. Trans. 1887, p. 97; G.B.Airy (Tides, 678) gibt an, daB
P. Daussy nnd J. W. Lubbock in der Meinung fibereinfltimmen, dafi der Wind
keine Wirkung ausube, nnd verweiet auf London Phil. Trans. 1882, p. 61. Aber
offenbar anderten diese Beobachter ihre Ansicht.
54 VI i, 6. G. II. Dancin-S. S. Hough. Bewegung der Hydrosphare.
haltnis des spezifischen Gewichtes des Seewassers zu dem des Queck-
silbers, namlich 1 : 13,2 ist. Ich glaube, daB dieser Wert am besten
anzanehraen ist, wenn fiber das Gesetz, dem die Tiden in den be-
treffenden Hafen gehorchen, nichts bestiinintes bekannt ist 61 ).
W. N. Greenwood hat cine viel ausfiihrlichere Korrektion anzu-
bringen versucht, die ganz erfolgreich gewesen zu sein scheint,
wenigstens fiir Glasson Dock, Lancaster 68 ). Er behauptet, daB diese
Korrektion wirklich die Wirkung sowohl vom Wind als auch vom
Luftdrack umfaBt.
33. Karten gieicher Q-eaeiten. Die Bewegung einer fort-
schreitenden Gezeitenwelle in Zeit und Raum kann graphisch durch
eine Kurvenschar dargestellt werden, die durch die Orte hindurchgeht,
in denen das mittlere Hochwasser bei Springflut um 12,1,2,.., 11 Uhr
Greenwicher Zeit eintritt. Diese Linien gieicher Gezeiten steilen dem
Auge den Lauf der halbtagigen Gezeitenwelle dar. Eine ahnliche
Karte wiirde ftir die eintagige Welle notig sein, aber das Material
ist hier selbst fiir eine vorlaufige Skizze zu sparlich 68 ).
Springflut ist als Epoche gewahlt, weil Mond- und Sonnentiden
dann dieselbe Phase haben, und weil die zusammengesetzte Tide
dann fast genau so wirken muB wie eine rein harmonische halb-
tagige Tide.
Bei der Deutung einer Karte dieser Art wird tatsachlich voraus-
gesetzt, daB die Flutwelle eine einzige und eine fortschreitende sei.
Denn wenn in irgend einem teilweise abgesehlossenen Teile des
Ozeans die Beweguug in der Oszillation um feste Knotenlinien be-
steht, BO wtirden die Linien gieicher Gezeiten zur Darstellung unge-
niigend sein. Es ist wahrscheinlich, dafl in vielen Fallen die Gezeiten
61) London Phil. Trans. 144 (1854), p. 286. /. Koss zitiert Lubbock, der
geinerseita Daussy zitiert, und schliefit, daB Daussy fur Brest das Verhaltnie
1 : 16, /. W. Lubbock fur London 1 : 10 land. Mir ist nicht klar, wie er zu
dieeen Schlusseu kommt.
62) W. N. Greenwood, 6. Sitsung der Shipmasters Society of London, 1894,
Abhandlung 30. Einen kurzen Abrifi findet man in London Quart. Journ. E.
Meteorolog. Soc. 12 (1886), p. 283. Vgl. auch eine wichtige Abhandlung von
F. L. Ortt [Nature 66 (1897), p. 80], der den Gegenstand sorgfaltig unterracht
hat und weitere Literaturangabeu luacht. Er scheint auch die Aufsatze in der
Tijdachr. Eon. Inet. Ingenieur 1896/97, p. 117 und Ann. d. Hydr. 26 (1897), p. 200
verfaBt zu haben. Ferner sehe man F Bubendey, Zentralblatt d. Bauverw. 1895,
p. 72; H. Mohn, Norske Nordhavs Expedition, 1887; H. Hermann, Marine-Rund-
Bchau 1897, p. 798; 8. Gtiniher, Handbuch der Geophysik 2, p. 466.
68) W. Whwdl, London Pnil. Trans. 1887, p. 227.
38. Karten gleicher Gezeiten. 55
teilweise aus stehenden Wellen dieser Art und teilweise aus eiuer
fortschreitenden Welle bestehen, so daB die Methode der Linien
gleicher Gezeiten nicht vollstandig versagt, wohl aber betrachtlich
irrefiihrt 64 ). Die gleiche Schwierigkeit stellt sich ein, wenn zwei
fortschreitende Wellensysteme vorhanden sind, die einander kreuzen.
Nur in schmalen Meeren und nahe der Kiiste konnen wir die
Gezeitenwellen mit Sicherheit als fortschreitende bezeichnen, so daB
nur in diesem Falle die Interpretation der Linien gleicher Gezeiten
zweifellos ist.
Im Jahre 1807 diskutierte Th. Young den Lauf der Gezeiten-
welle rund um die Erde und skizzierte die Linien gleicher Gezeiten
rings um England; er beriicksichtigte aber nicht die Verandenmg
der Wellen im seichten Wasser 65 ). Der Gegenstand ruhte dann, bis
W. Whewell ihn 1830 wieder in Angriff nahm. Er sammelte Daten
aus alien Teilen der Welt und regte mit Hilfe der britischen Admira-
litat spezielle Beobachtungen in 666 Orten in Europa, Amerika und
Afrika an. Die Zusammenbringung dieses enormen Materials wiirde
all ein geniigen, um ihn in die erste Reihe der Forscher uber die Ge
zeiten zu stellen, und seine Schlflsse scheinen mir mehr Beachtung
zu verdienen, als ihnen von einigen spateren Autoren zugestanden
worden ist.
Whewell a Resultate sind in 2 Karten enthalten. Die erste von
ihnen bezieht sich auf die gesamte Erde, nur der pazifische Ozean
ist fast ganz leer 68 ), und die Linien fttr den indischen Ozean sind
etwas maugelhaft. Die zweite Karte bezieht sich auf die England
einschliefienden Meere saint der Nordsee; sie kann als wesentlich
genau betrachtet werden, und es ist seither wenig entdeckt, um sie
zu verbessern 67 ). Diese Karten konnen besser in G. S. Airy a ,,Tides
and waves" als in ihrem Original eingesehen werden, da Airy Ver-
besserungen anbrachte, die Whewell selbst in seinen spateren Ver-
64) Von E. A. Harris ist ein Versuch gemacht worden (Manual 4 A), den
Ozean in Gebiete zu toilen, in denen die Scbwingungen nicht fortschxeitende
eind. Wir halten indea die von ihm versuchte Ldsung nicht fur ausreichend.
Vgl. G. H. Darwin, Nature 66 (1902), p. 444; S. S. Hough und E. A. Harris,
ibid. 73 (1906/6), p. 228, 388.
65) Th. Young, Lectures on Nat. Phil., Auegabe von 1846, 1, p. 444, und
2, Karte 38.
66) C. BGrgen sucht die pazifischen Gezeiten, soweit sie bekannt sind, aus
der Betrachtung zweier uebeneinander bestehender Wellenzuge zu erklaren.
Siehe Segelhandbuch fur den stillen Ozean, Kap. XIH, p. 363.
67) Vgl. indessen C. Borgen, Ann. d. Hydrograph. 26 (.1898), p. 414 und
Segelhandbuch der Sudkfiste Irlands.
.50 VI i, 6. G. H. Danvin-S. 8. Hough. Bewegnag der Hydrosphare.
offentlichungen angegebeu hatte 68 ). Whewell betrachtet die atlantische
Tide als eine von Stiden her fortschreitende Welle. Airy macht aber
geltend, daB das atlantische Bassin groB genug sei, um seine eigenen
Tiden zu erzeugen und daB diese stehende Wellen waren. Er leugnet
das Vorhandensein einer fortschreitenden Welle nicht, halt aber Whe-
wdls Linien gleicher Gezeiten im atlantischen Ozean fur illusorisch
und ist der Ansicht, daB wir ihre Bedeutung vorlaufig fiberhaupt
noch nicht erkennen konnen.
W. Ferrd, weitergehend als Airy, behauptet, daB die atlantischen
Gezeiten kaum beeinflufit werden wurden, wenn eine Barre durch
den Ozean hindurch zwischen Afrika und Sudamerika aufgerichtet
wiirde. Er halt die atlantische Tide fur eine stehende, von Ost nach
West schwingende Welle 69 ).
C. Borgen gibt nicht zu, daB die angenommene sudliche Barre
ohne EinfluB sein wiirde, aber er leugnet auch nicht, daB Schwin-
gungen, transversal zuni Ozean, gleichzeitig mit der von Sud nach
Nord fortschreitenden Welle bestehen. Aus Rechnungen bezuglich
der Linien gleicher Gezeiten, wenn zwei fortschreitende Wellensysteme
sich kreuzen, schlieBt er, daB das wesentlichste Schwingungssystem
im atlantischen Ozean eine von Stiden her fortschreitende Welle sei.
Er unterstiitzt so Whewetts Ansicht in ihren Hauptztigen, und ich
zogere nicht die Meinung auszusprechen, daB Whewells groBem Werke
in den letzten Jahren keine geniigende Beachtung zu teil wurde 70 ).
Zu den neueren Arbeiten gehdren zwei Abhandlungen von
M. S. W. Jefferson iiber die Gezeiten an den Kflsten von Kanada und
den Vereinigten Staaten. Der Autor verzeichnet die Linien gleicher
Gezeiten an diesen K listen genauer als es Whtwell getan hat und
verweist auf Aufsatze in den Reports of the U. S. Coast Survey 71 ).
Die indische Vermessung ha 
