STAT.
~
ENCYKLOPADIE
DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
MIT EINSCHLUSS IHRER A.NWENDUNGEN
DRITTER BA^D:
GEOMETRIE
ENCYKLOPlDIE
DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
MIT EINSCHLUSS IHRER ANWEKDUNGEN
DRITTER BAND IN DREI TEILEN
GEOMETRIE
BEDIGIEET VON
W. FR. MEYER UND H. MOHRMANN
IX KOXIGSBERG IS BASEL
ERSTER TEIL
ERSTE HALFTE
LEIPZIG
VEELAG UND DEUCE YON B. G. TEUBNEE
19071910
A.LLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DBS 0BEBSETZUNGSBECHTS, VORBEHA.LTEN
QA57
p
v.
MATH-
STAT.
LIBRARY
Vorrede zum dritten Bande,
Schon bei der urspriinglichen Disposition der Encyklopadie der
raathematischen Wissenschaften man vergleiche den einleitenden
Bericht von W. von Dyck im ersten Bande wurde der Geometric
innerhalb der reinen Mathematik der dritte Band zugewiesen.
Der Stoff zerlegte sich naturgemaB in drei Hauptteile.
Zum ersten Teile gehoren die Entwicklungen allgemeineren Cha-
rakters: die Grundlagen die Grundbegriffe und die uber die eukli-
dische Geometric hinausgehenden Geometrien . sodann die Diszi-
plinen der Analysis situs, der Gruppentheorie , der projektiven und
darstellenden Geometric nebst de^-T^-eorie der Polyeder; endlich die
zur formalen Beherrschung notwendigen oder niitzlichen Rechenmittel
(Koordinaten) und Rechnungsalgorithmen (Qiiaternionen, Ausdehnungs-
lehre u. a.). Demgegeniiber handelt der zweite Teil des dritten Bandes
von den algebraischen Gebilden (Kurven, Flachen, Komplexen, Kon-
gruenzen u. a.), wiihrend sich der dritte Teil mit der Differentialgeo-
metrie beschaftigt.
Dazu traten im Laufe der Zeit einige von selbst notwendig ge-
wordene Erganzungen. Leider mufite mit Riicksicht auf die gegenwar-
tigen mifilichen Zeitverhaltuisse auf eine Reihe weiter geplanter Ar-
tikel liber einzelne, in den letzten Jakrzehnten neu entstandene Gebiete
verzichtet werden, um den AbschluB des Ganzen nicht auf unbestimmte
Zeit zu verschieben.
Zunachst lag die Redaktion des Geometriebandes allein in Handen
von TF. Fr. Meyer. Im Janre 1915 wurde H. Mdhrmann als zweiter
Herausgeber gewonnen. Er iibernanm einen wesentliehen Teil der Ar
beit. Es wurde hier zu weit fiihren, festzustellen, wie sich seit 1915
die Herausgabe der einzelnen Artikel unter uns beide verteilt hat.
Dagegen mochten wir hier gleich erwahnen ; da6 einige Herren,
die nicht als Redakteure zeichnen, unsere Arbeit auBerordentlich unter-
stiitzt haben und so einen ganz bedeutenden Anteil an der Fertig-
stellung des Bandes gehabt haben. In erster Linie gebiihrt unser
Dank Herrn F. Klein. In zahlreichen Konferenzen hat er fur viele
Artikel genaue Einzeldispositionen entworfen und uns und die Be-
VI Yorrede zum dritten Bande.
arbeiter mit seinem erfalirenen Rate unterstiitzt. Mit groBer Tatkraft
und unermiidlicher Energie hat er immer wieder in schwierigen Lagen
belebend eingegriffen. Wir gedenken ferner mit Dank der stets
bereiten kritischen Mitarbeit von H. Burlihardt (f ) und M. Noether (f ).
Noch vor einem halben Jahrhundert, zur Zeit, als die Mathe-
matischen Annalen durch E. Clebsch und C. Neumann begriindet wur-
den, stand die Geometric in Deutschland in besonderem Ansehen und
das Interesse der meisten Mathematiker gehorte ihr. Durch Veroffent-
lichung bahnbrechender Arbeiten verschafften deutsche Gelehrte ihrem
Vaterlande eine fiihrende Stellung innerhalb dieser Disziplin. Zum
Belege mogen Nam en wie Clebsch, Graftmann, Hesse, Mobius, Pliicker,
v. Staudt, Steiner einerseits und Brill, Klein, Lindemann, M. Noether,
Schubert, Schwarz, Voss andererseits genannt sein, denenLie und Zeuthen,
obgleich Auslander, gerne zugerechnet werden konnen.
Um die Jahrhundertwende war die Sachlage ganz anders. Das
Interesse fur Geometric und deren EinfluB war in Deutschland un-
leugbar erheblich gesunken und dies, obwohl Namen wie Fiedler,
Harnack, Hilbert, Minkowski, Pasch, Reyc, Rohn, F. Schur, StdcJcel,
Staude, Study, R. Sturm dafur zeugen, daB in Deutscbland die ganze
Zeit hindurch geometrisch gearbeitet wurde. Aber es waren immer
nur einzelne; die Allgemeinheit nahm an ihren Ergebnissen immer
weniger Anteil. In dem folgenden Jahrzehnt wurde das Verhaltnis
nicht besser.
Seit zehn Jahren etwa zeigt sich in Deutschland , wenn auch
vorerst nur vereinzelt ; frisches Leben; doch setzte diese neue For-
schung an anderen Stellen ein als an denen, wo die alte Generation
arbeitete. Die Topologie sah sich durch das Emporkommen der
Mengenlehre vor neue Aufgaben gestellt. Die Relativitatstheorie
wirkte kraftig fordernd auf die mehrdimensionale Differentialgeometrie
ein. Damit verbunden war ein Ausbau des Vektor- und Tensorkal-
kiils. Aus Minkowskis Untersuchungen fiber konvexe Kurven und
Flachen erwuchs die affine Geometric. So darf man hoffen, daB das
Interesse an geometrischen Fragen wieder zunimnit.
Obwohl zwischen den Jahren 1865 1875 deutsche Gelehrte
die schonsten Moglichkeiten zur Weiterentwicklung der Geometric
schufen, wurden diese nicht in Deutschland, sondern in Italien mit
groBtem Erfolg aufgenommen und weiter verfolgt. So gelangte Italien
in wenigen Jahren zur fiihrenden Stellung auf alien Gebieten der
Geometric und hat diese Fiihrerrolle seitdem voll behauptet. Es wird
groBer Anstrengung und Miihe bediirfen, den Vorsprung ? den Italien
erlangt hat, auch nur teilweise einzuholen. Dieser iiberragenden Stellung
Vorrede zum dritten Bande. VII
Italiens hat man in Deutschland dadurcli Rechnung zu tragen ver-
sucht, daB man deutsche Ubersetzungen von einer groBeren Anzahl
italienischer Lehrbiicher herstellte. Aber noch mehr mochten wir hier
mit Dank hervorheben, daB sich mehrere hervorragende italienische
Gelehrte bereit gefunden haben, fur die Encyklopadie grundliche Re-
ferate iiber die verschiedensten geometrischen Gegenstande zu bear-
beiten. Nur so ist es moglich ge worden, daB der Band III einen
einigermaBen befriedigenden tlberblick iiber das Gesamtgebiet der
Geometric liefert, wodurch die Internationale Geltuug der Encyklo
padie aufrecht erhalten worden ist. Die Hauptbedeutung Italiens liegt
einerseits in der Fortentwicklung der algebraischen Geometric. Man
hat das geringe Interesse fiir algebraisch-geometrische Fragen in
Deutschland haufig damit entschuldigt, daB die Theorie der algebrai-
schen Funktionen mehrerer Variabeler trotz Picarch Untersuchungen
noch nicht soweit gefordert sei, daB sie sich ebenso wie die Theorie
der algebraischen Funktionen einer Variabelen mit Erfolg auf geo-
nietrische Probleme anwenden lasse. Man hat dabei kaum beachtet,
wie die Italiener die Ergebnisse Picards angewandt und fortentwickelt
haben. Em Hauptverdienst Italiens ist es andererseits, daB es die
mehrdimensionale Geometrie eigentlich erst geschaffen hat ? und mit
ihrer Hilfe zu einfachen Beweisen von Satzen der Geometrie des drei-
dimensionalen Raumes gelangt ist. Endlich sei auf die zahlreichen diffe-
rentialgeometrischen Arbeiten hingewiesen, die in Italien erschienen sind.
In Osterreich ist im Gegensatze zu Deutschland alle die Zeit hin-
durch das geometrische Interesse ziemlich lebhaft gewesen. Auch in
Holland und Skandinavien wurden die verschiedenen geometrischen
Disziplinen gepflegt. Vor alien Dingen aber hat in ueuerer Zeit in
Nordamerika die geometrische Forschung auf den verschiedensten Ge-
bieten schone Erfolge aufzuweisen. In Frankreich dagegen hat man
sich fast nur auf Differentialgeometrie beschrankt, und in England ist
seit den Tagen Cayleys kaum em groBerer Fortschritt erreicht worden.
Welches sind nun die Griinde des in Deutschland so auffalligen
Niederganges der Geometrie?
Da wirft man der Geometrie Mangel an Strenge vor. Angesehene
Vertreter der Analysis behaupten, daB seit der durch Descartes inaugu-
rierten neueren Entwicklung der Geometric/ insonderheit seit dem Uber-
handnehmen der algebraischen Untersuchungsrichtungen im vorigen
Jahrhundert, die strenge Folgerichtigkeit des Denkens irn Gegen
satze zu dem musterhaften Yerfahren bei Euldid wesentlich nach-
gelassen habe, daB die Formulierung und der Beweis der meisten
geometrischen Satze unvollstandig sei ? da sie die Giiltigkeitsgrenzen
VIII Vorrede zum dritten Bande.
der jeweiligen Behauptung nicht erkennen lassen, dafi sich endlich oft
gar nictit iibersehen lasse, welche von den Elena en ten eines vorliegen-
den zusammengesetzteii Gebildes reell sein sollen, und welche kom-
plex. Mit einem Worte, es sei die Unklarheit des Denkens, die die
an Strenge gewohnten Analytiker abstofie.
Es muB nun leider zugegeben werden, daB dies fiir viele geo-
metrische Arbeiten zutrifft. Aber zahlreiche andere Arbeiten erfullen
alle Anforderungen an Strenge. Man darf dabei unter ,,Strenge" nur
nicht das Festhalten an bestinimten Beweisformen, den Purismus der
Methode verstehen; dann allerdings wird man wenig befriedigt werden.
Denn gerade auf dem Wechsel der Mefchode, manchinal sogar inner-
halb eines einzelnen Beweises, beruht die Moglichkeit, kurze und ele
gante Beweise zu fiihren.
Da sind z. B. die Yertreter der sogenannten reinen Geometrie der
Lage 7 die den simultanen oder alternierenden Gebrauch analytischer
und synthetischer Methoden als storend, sogar als unwissenschaftlich
empfinden, und sich dafur der tadelnden Bezeichnung ,,methode mixte"
bedienen. Diesen ist die ;? reine" Lagengeonaetrie das Ideal einer ;; auto-
chthonen" Wissenschaft ; da sie in sich vollig konsequent sei und von
anderen mathematischen Disziplinen nichts zu entlehnen brauche.
Diese iibertriebene Wertschatzung ist aber kaum berechtigt. Die
vollige Verzichtleistung auf die Methoden der analytischen Geometric
erweist sich im Gegenteil als unnatiiiiich. Man hat vielmehr die pro-
jektive Geometrie so aufzubauen, daB ohne metrische Hilfsmittel der
Begriff des Wurfes und der projektiven Koordinaten entwickelt wird;
von da ab ist der Unterschied zwisehen analytischer und synthetischer
Bichtung nur ein unwesentlicher. Und die analytische Behandlung
empfiehlt sich bei vielen Aufgaben durch ihre Ktirze ganz von selbst.
Wenn man EuTdid wegen der Strenge und Reinheit seiner Me-
thode ruhmt, so vergifit man, dafi fiir die Entwicklung der antiken
Geometrie ein Eudoxos oder Archimedes viel wichtiger waren. Denn
nicht auf das Sammeln und Systematisieren uberkomniener Satze allein
kommt es an, sondern auf die Entdeckung neuer Tatsachen, wenn
auch die Methode der Darstellung vorerst noch nicht voll ausgereift
und geglattet ist.
Wichtiger fur den Riickgang der Geometrie scheinen uns folgende
Tatsachen zu sein. Das Einporkommen der Mengenlehre in ihren An-
wendungen auf die Punktmengen hat leider auf viele Mathematiker
lahmend gewirkt. Man ist zu angstlich geworden und traut den ein-
fachsten Schliissen nicht mehr. Besonders wird die Anschauung ver-
pont, und zwar nicht nur als Beweismittel, was verstandlich ware,
Vorrede zum dritten Bande. IX
sondern sogar als heuristisches Prinzip. Aber auch die Ubertreibung
der axiom atischen Methode hat ihre Gefahren. Wenn gewisse Axio-
matiker verlangen, da6 man sich unter den Gegenstanden, von denen
die Geometrie handelt, nicht idealisierte Dinge vorstellen, sondern
leere Begriffe, die nur irgendwie logisch verkniipft sind, denken soil,
so wird dies unbedingt auf die schopferische Freudigkeit hemmend
wirken. Wir wollen mit diesen Ausfuhrungen in keiner Weise die
Bedeutung der Mengenlehre und Axiomatik herabsetzen, aber doch
vor ihrer Uberschatzung warnen; denn, wenn man die Phantasie totet,
wird die Haupttriebfeder des geometrischen Fortscbrittes ausgeschaltet.
Fiir den modernen Geometer ist die Beherrschung groBer Teile
der Algebra und der Analysis uubedingt erforderlicb ? wenn er auf
seinem Gebiete mit Erfolg arbeiten will. Allein dies geniigt noch
nicht: er mu8 auBerdem u ber eine grofie Zabl spezifisch geometrischer
Kenntnisse verfiigen. Der Algebraiker und Analytiker dagegen kann
sehr wohl ohne Geometrie auskommen. - Bei dem Urnfang, den
Algebra und Analysis heute besitzen, kostet es scbon geniigend Muhe,
sich auf diesen Gebieten einigermaBen sicher zu bewegen und einen
umfassenden Uberblick zu gewinuen. Soil nun gar nocb die Geo
metrie hinzukonimen, so sind nur ganz weuige Geister fahig, sich
auch die hierfiir notigen Kenntnisse noch anzueignen. Dies diirfte
wohl der wichtigste Grund sein ; warum die Analysis gegenwartig so
bevorzugt wird.
Hierzu kommt schon bei dem einfachsten geometrischen Stoff
seine auBerordentlich groBe Vielseitigkeit. Ein und dasselbe geo-
metrische Gebilde kann auf die verschiedensten Arten erzeugt werden.
Je nach der betrachteten Erzeugungsart werden gewisse seiner Eigen-
schaften besonders hervortreten , und man muB daher fortgesetzt den
Standpunkt wechseln, wenn man sie alle voll erfassen will.
Zur Erlauterung diene als ein moglichst einfaches Beispiel der
Begriff eines Kegelschnittes in einer festen Ebene.
Da bieten sich zunachst die antiken, elementaren, maBgeometri-
schen Erklarungen dar: ebener Schnitt eines geraden (bzw. schiefen)
Kreiskegels, die Brennpunktsdefinition und die auf der Beziehuug
zwischen Brennpimkt und Direktrix beruhende, endlich in neuerer
Zeit die Erzeugung mit Hilfe von Kreisen.
Weit mannigfaltiger sind jedoch die lagengeometrischen Erkla
rungen, wo von vornherein gemafi der Dualitat zwischen Ordnungs-
und Klassengebilde zu unter scheiden ist.
Fur einen (nichtzerfallenden) Ordnungskegelschnitt hat man die
Erzeugung durch projektive Strahlenbiischel (oder allgemeiner als Tei]
X Vorrede zum dritten Bande.
einer Kurve hoherer Ordnung durch gewisse hohere Korrespondenzen),
die Bestimrnung durch fiinf Punkte auf Grund des Pascalschen Satzes,
die Mac-Laurinsche Erzeugung durch ein bewegliches Dreieck (bzw.
Polygon), als Ordnungskurve einer Korrelation, als Bild einer Ge-
radeii in einer quadratischen Transformation., und endlich, als die
allgemeinste, durch eine quadra tische Gleichung mit reellen Koeffi-
zienten zwischen Punktkoordinaten. Und jede dieser Erzeugungen
(mit Ausnahme der letzten) kann wiederum nach synthetischer oder
analytischer Methode vor sich gehen. Daneben stellen sich die kor-
respondierenden Klassengebilde.
Eine system atische Theorie erfordert den Nachweis der Gleich-
wertigkeit aller dieser Erklarungen, d. h. den Nachweis, daB sie sich
je ineiuander iiberfuhren lassen. Hierbei ist noch dem nullteiligen
Kegelschnitt (der nicht bei alien obigen Erzeugungen erscheint) be-
sondere Aufmerksamkeit zu schenken. Damit ist aber nur der erste und
verhaltnismaBig leichteste Schritt getan.
Denn nunmehr erwachst die weitere Aufgabe der Aufstellung und
sachgemaBen Klassifikation aller Ausartungen, die sich am iibersicht-
lichsten an die quadratische Gleichung zwischen Punkt- bzw. Linien-
koordinaten anknupfen. Weiterhin ist dann bei jeder Eigenschaft
eines ,,Kegelschnitts u genau anzugeben, bis zu welchem Grade der
,,Ausartung" dieselbe noch giiltig bleibt. Dabei ist zu beachten, daB
es der abzahlenden Geometric gelungen ist, die fruher bekannten
Ausartungen durch einige versteckter liegende zu vervollstandigen.
Es braucht kaum erwahnt zu werden, daB beim Fortschreiten zu
hoheren Gebilden, ebenen Kurven dritten und vierten Grades, Flachen
zweiten und dritten Grades, kubischen und biquadratischen Rauin-
kurven, linearen und quadratischen Komplexen usf., die Mannigfaltig-
keit der Entstehungsweisen und Ausartungen entsprechend zunimmt.
Ein systematisch ausgebildetes Verfahreo, um beim Beweise geo-
metrischer Satze samtlichen in Betracht komnienden Ausartungen ge-
recht zu werden, besitzen wir nicht.
Bei einer Reihe einfacher grundlegender Satze, so des Desargues-
schen Satzes iiber zwei perspektive Dreiecke der Ebene, des Pascal-
schen Satzes u. a., gelingt es, eine dem jeweiligen Satze ubergeord-
nete Identitiit aufzustellen, aus der als spezielle Anwendung der frag-
liche Satz selbst zugleich mit seiner Umkehrung und seinen Giiltig-
keitsgrenzen unmittelbar herausspringt.
So erklart es sich denn auch, warum die Anzahl der individu-
ellen Eigenschaften eines einzelnen geometrischen Gebildes sehr viel
schwerer iibersehbar ist t als bei einem analytischen . und daB die
Yorrede zuin dritten Bande. XI
Geometrie zu einem guten Teile den Charakter einer Kunst annimmt,
daB sie oft fast die Natur einer organisch in sich verbundenen Wissen-
schaft abzustreifen droht.
Indessen wird dieser Gefahr durch das Kleinsche gruppentheore-
tische Programm von 1872 der Boden entzogen. Alle die scheinbar
so durch- und nebeneinander laufenden Erklarungen und Eigenschaften
werden durch den Begriff der Gruppe und ihrer charakteristischen
Invarianten zusammengehalten; demgegeniiber erscheinen die getrennten
sonstigen Betrachtungsweisen nur als auBerlich verschiedene Eiuklei-
dungen. So wird, um ein typisches Beispiel anzufiihren, die Elementar-
geometrie als Invariantentheorie der ,,Hauptgruppe" genau umgrenzt.
Die hiermit geschilderte Vielseitigkeit der Geometrie bildet fur
viele ein beinahe uniibersteigbares Hindernis. Aber fiir den wirk-
licheu Geometer liegt in ihr gerade der Reiz seiner Wissenschaft.
Der vorliegende Encyklopadieband bezweckt, nioglichst fiber alle
Zweige der geometrischen Forschung Auskunft zu geben. Wenn auch
einige Referate iiber kleinere Gebiete fortfallen mu6ten 7 so hoffen wir
doch immerhin durch ihn einen vollbefriedigenden Uberblick iiber die
gesamte Geometrie ermoglicht zu haben. Moge er vor alien Dingen
auch von dem Reichtum und der Schonheit der Geometrie sowie
ihrer befruchtenden Einwirkung auf die Analysis Zeugnis ablegen und
so der Geometrie neue Freunde und Verehrer erwerben.
Konigsberg i. Pr. und Basel, Ostern 1923.
IV. Fr. Meyer.
H. Mohrmann.
Inhaltsverzeiclmis zu Band III, 1. Teil, 1. Halfte.
A. Rein geometrische Theorien.
B. Grundlagen der Anwendnng yon Algebra und
Analysis anf die Geometrie.
1. Prinzipien der Geometrie. Von F. ENRIQUES in Bologna (jetzt
in RomX
Seite
1. Einleitung. Allgemeines, betreffend die mathematischen Untersuchungen
iiber die Prinzipien der Geometrie 6
I. Die elementare Eichtung.
2. Yorbemerkung 15
3. Punkt. Gerade und Ebene 16
4. Strecke, Winkel (der Begritf r zwischen a ) -22
5. Kongruenz und Bewegung 27
6. tTber die Reduktion der in den vorkergehenden Nummern betrachteten
fundamentalen Begriffe 32
7. Stetigkeit und Archimedieches Postulat 34
8. Das Parallelenpostulat 3y
9. Weitere Ausfiihrungen zur Parallelentheorie 44
10. Fliicheninhalt und Rauminhalt 47
11. Neue Entwicklungen zur Proportionentheorie im Sinne der Alten ... 52
12. SchluB der vorstehenden Untersuchung und Disposition der folgenden
Kapitel 56
II. Prinzipieii der Theorie des Kontiuuums.
13. Vorbemerkung 59
14. Die Linie 60
15. Flachen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dirnensiouen 63
16. Linien auf den Flachen 68
III. Prinzipien der projektlven Geometric.
17. Postulate in einem Raumstiick 70
18. Postulate fur den vollstandigen projektiven Raum 73
19. Projektive Koordinaten 74
20. Bemerkungen (iber die grundlegenden Satze der projektiven Geometrie 76
21. tiber die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der Begrandung der
projektiven Geometrie 81
XIV Inhaltsverzeichnis zu Band III, 1. Teil, 1. Halfte.
IT. Trojektive Metrik. Seite
22. Einordnung der gewohnlichen Metrik in die projektive Geometric ... 82
23. Allgemeine Mafibestimmung von Cayley und deren nicht-Euklidische
Auslegung von Klein . . . 85
24. VerschiedeneBemerkungenzudenprojektivenMetriken. MaBbestimmungen 91
V. Prinzipien der allgemeinen Metrik.
25. Vorbemerkung 94
A. Bogenelement (nebst endlicher Entfernung).
26. Geometrie auf krummen Flachen 95
27. Riemannsche Mafibestimmung in einer beliebig ausgedehnten Mannig-
faltigkeit 100
28. Homogene Mannigfaltigkeiten 101
29. Projektiver Character der Mannigfaltigkeiten konstanter Krummung . 102
30. Untersuchungen von De Tilly iiber den Ausdruck fur die endliche Ent
fernung 104
31. Geometrische Systerne von Minkowski-Hilbert 106
B. Bewegnngsgrnppe.
32. Postulate von H. v. Helmholtz 107
33. Untersuchungen von S. Lie 109
34. Untersuchungen von H. Poincare 110
35. Untersuchungen von D. Hilbert Ill
VI. Zusammenhangsverhaltnisse des unbegrenzten Raumes.
36. Rliume, die als Ganzes bewegt werden konnen 112
37. Zweidimensionale Gebilde von Clifford-Klein 114
38. Dreidimensionale Gebilde von Clifford- Klein 116
VII. Nicht-Archiinedische Geometrie.
39. Einleitung 117
40. Eindimensionales Kontinuum hoherer Art 117
41. Allgemeine Ansatze Veroneses 121
42. Nicht-Archimedische projektive Geometrie 122
43. Euklidische nicht-Archimedische Geometrie 124
44. Nicht-Archimedische Entwicklungen iiber die Parallelentheorie .... 126
(Abgeschlossen im Marz 1007.)
2. Die Begriffe ,,Linie 4< und ,,Flache u . Von H. v. MANGOLDT
in Danzig.
1. Notwendigkeit einer genauen Erklarung 130
2. Geschichtliche Entwickelung 131
3. Die analytische Linie 132
4. Zweige einer analytischen Linie 132
5. Einsiedler 134
6. Darstellung durch Gleichungen 135
7. Erweiterung des Begriffs Linie. Linie als ,,Bild einer Funktion" . . . 139
8. Linie als ,,Bahn eines Punktes". Der Jordan sche Satz 139
9. Linie als ,,Lange ohne Breite", oder als ,,Grenze einer Flache". . . . 143
10. Funktionsstreifen 147
11. Bevorzugung der analytischen Linien 148
12. Der Begriff Flache 149
(Abgeschlossen im September 1906.)
Inhaltsverzeichnis zu Band III, 1. Teil, 1. Halfte. XV
3. Analysis situs. You M. DEHN in Minister i. W. (jetzt in Frank
furt a. M. ) und P. HEEGAARD in Kopenhagen (jetzt in Chri
stian! a).
Seite
Einleitung 154
Grtmdlagen.
1. Definition von Punkt-, Linien- und Flachenkomplexen 156
2. Indikatrix 158
3. Interne Transformation und Homoomorphismus(ElementarverwandtBchai t) 159
4. Elementarmannigfaltigkeiten (Kreis und Kugel) 160
5. Ausdehnung auf n Dimensionen 161
6. Komplexe mit Singularitaten 163
7. Externe Transformation. Homotopie und Isotopie 164
8. Das Anschauungssubstrat 168
9. Einteilung der Analysis situs 169
10. Die Methode 170
A. Complexes.
1. Ubersicht 171
2. Liniensysteme (Streckenkomplexe) 171
3. Hohere Komplexe und die (komplektische) Eulersche Formel. (Bettische
Zahlen, Torsionskoeffizienten) 178
4. Benutzung von nektischen Methoden fiir die Theorie hb herer Komplexe 185
B. Nexus.
I. Nexus von Linien 188
II. Nexus von Flachen 189
1. Einleitung 189
2. Normalform 190
3. Lo sung des Hauptproblems 195
4. Anwendungen der Normalform 196
a) Beweis des Neumannscheu Axioms 196
b) Mobiussche Grundform fiir eine M^ 196
c) Minimalzahl von bedeckenden Elenientarflachenstiicken 196
d) Normalformen fiir geschiossene Flachen 197
5. Fortsetzung. Riickkenrschnitte und Querschnitte und die eigeutliche
Eulersche Formel 198
6. Zusammensetzung von Flachen 203
7. Aquivalenz von Kurven und Flachen 203
8. Analytisch-geometrische Entwicklungen 204
C. Connexus.
I. Homotopie 205
II. Isotopie 207
A. Kurven 207
1. Eine Kurve (Verkuotung) 207
2. Zwei und mehr Kurven (Verkettung) 213
B. Flachen und mehr-dimensionale Mannigfaltigkeiten 215
D. Mannigfaltigkeiten mit Singularitaten.
1. Allgemeine Probleme 216
2. Riemannsche Flachen 217
(Abgeschlossen im Januar 1907.)
XVI Inhaltsverzeichnis zu Band III, 1. Teil, 1. Halfte.
4 a. Gegensatz von synthetischer und analytischer Geometric
in seiner historischen Entwicklung im XIX. Jahrhundert.
Von G. FANO in Turin.
I. Allgemeine Bemerkungen. Fixierung des Themas:
Die Entwicklung der Geometric im 19. Jahrhundert, yon Monge
beginnend.
Seite
1 Charakteristische Merkmale der beiden Geometrieen 223
2. Weiteres uber die Grundbegriffe der analytischen Geometrie 224
3. Gegenseitige Beziehungen der beiden Geometrieen 228
4. Plan der folgenden Darstellung 229
5. Die Stellung von Monge 229
6. Die Nachfolger von Monge 230
II. Einsetzen der synthetischen Geometrie durch Poncelet,
Mobius, Steiner, Chasles.
7. Poncelet s ,,TraiW" 231
8. Mobius 234
9. Steiner 235
10. Weiterfiihrung des Steiner schen Progranims 236
11. Chasles 237
III. Entspreehende Entwicklung der analytischen Geometrie.
12. Mobius, Pliicker . 238
IV. ron Stautlt. Insbesondere Gebilde 2. Grades und Imaginar-
theorie mit Erweiterungen.
13. von Staudt 241
14. von Staudt s Imaginartheorie 242
15. Weitere Ausbildung der Imaginartheorie 243
16. Spatere Erweiterungen. Hyperalgebraische Gebilde und bikomplexe
Elemente 246
17. Entsprechende analytische Entwicklungen. Bikomplexe Zahlen. . . . 248
18. Direkte Untersuchung der hyperalgebraischen Gebilde. Beziehung zu
den Hermite schen Formen 250
V. Allgemeine Theorie der algebraischen Gebilde yon zwei und
drei Dimensionen.
19. Analytische Theorie der albgebraischen ebenen Kurven 253
20. Oberflachen im Raume 256
21. Raumkurven 257
22. Zusammenhang mit der linearen Invariantentheorie 258
23. GraBmann s lineale Erzeugung der Kurven und Flachen 259
24. Algebraisch-geometrische Theorieen. Cremona 261
25. Ansatz von H. Thieme 2(32
26. Aufstellung der rein synthetischen Kurventheorie durch E. Kotter. . . 264
27. Untersuchungen von R. De Paolis 265
VI. Melirdimensionale Algebraische Geometrie.
28. Ansatze zur analytischen Auffassung mehrdimensionaler Raunie . . . 267
29. Mehrdimensionale Raume veranlaBt durch Betrachtung beliebiger Raum-
elemente 268
30. Weitere Ausbildung der projektiven Auffassung 269
3m C i ,
jftt+~ *
Inhaltsveraeiclmi
xu Band III, 2. Teil, 1.
6 a. Grundeigeiiscliaften der algebraischen Flacheu. Vou
Gr. CASTELXTOVO in Rom und F. ENRIQUES in Bologna
(jetzt in Rom).
1. Flache n** r Ordnung; Anzahl der Bedingungen, welche man ihr auf-
erlegen kann 636
2. Schnitt einer Flache mit einer Geraden oder einer Ebene 637
3. Mehrfache Punkte 638
4. Singulare mehrfache Punkte 639
5. Durchschnitt zweier Flachen 641
6. Durchschnitt dreier Flachen 643
7. Anzahl der Punkte, welche die Schnittkurve zweier Flachen oder die
Schnittpunktsgruppe dreier Flachen bestimmen 643
8. Konstruktion von Flachen 645
9. Aquivalenz- und Postulationsformeln 647
10. Lineares FlachensYstem, definiert durch die Basiselemente 648
11. Polarflachen 649
12. Polaren eines Flachenpunktes 651
13. Der einer Flache umschriebene Kegel; Klasse und Hauptcharaktere
einer punkt-allgemeinen Flache 652
14. Reduktion der Klasse einer Flache durch Singularitaten derselben . . 654
15. Die reziproke Flache 655
16. Relationen zwiscben den charakteristischen Zahlen einer Flache . . . 657
17. Polarflachen eines variablen Punktes in bezug auf eine feste Flache;
Diskriminante der Flache 659
18. Jacobische Kovarianten von zwei oder mehreren Flachen 660
19. Beruhrungsprobleme 662
20. Hessesche und Steinersche Kovarianten 663
21. Das Problem der vierpunktigen Tangenten und die Kovariante von
Sahnon-Clebsch 665
22. Uber einige projektiv bemerkenswerte Flachen 666
23. Metrische Eigenscbaften einer Flache. Schnitt mit der unendlich fernen
Ebene; Asymptotenebenen 669
24. Diametralebenen oder -flachen ; Zentrum 670
25. Normalen. Flache der Kriimmungsmittelpunkte 671
26. Kreispunkte 672
27. Fokalkurve 672
28. Metrisch bemerkenswerte Flachen 673
(Abgeschlossen im Jahre 1908.)
6 b. Die algebraischen Flachen vom Gesichtspunkte der biratio-
nalen Transformationen ans. Von G. CASTELNUOVO in Rom
und F. ENRIQUES in Bologna (jetzt in Rom).
I. Birationale Trausforinationen und lineare ^Knryensysteme auf
einer Flache.
1. Birationale Transformationen 677
2. Fundamentalelemente . 677
3. Reduktion der Singularitaten 678
4. Ausgezeichnete Kurven 679
5. Einteilung der algebraischen Flachen in Klassen 680
6. Lineare Systeme von Kurven auf einer Flache 681
7. Transformation einer Flache hinsichtlich der gegebenen linearen Systeme 685
8. Yollstanojige lineare Systeme 687
9. Addition und Subtraktiou linearer Systeme 688
10. Adjungierte und subadjungierte Flachen 689
II. Die Theorie der Inrarianten.
11. Die Invariantentheorie nach M. Noether 690
12. Zu einem linearen System adjungierte Kurven 694
Encyklop. d math. WiBsenech. Ill S. b
XVIII Inhaltsverzeichnis zu Band III, 2. Teil, 1. Halfte
Seite
13. Die Theorie der Invarianten nach F. Enriques 697
14. tiber eiuige bemerkenswerte Ausdriicke numerischer Invarianten . . . 700
16. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei Flachen 702
III. Uber die Ansdehnung des Theorems von Riemann-Roch und
iiber die nicht- linear en kontinuierlichen Systenie von Kurven,
welche einer Flache angehoren.
16. Die charakteristische Schar eines linearen Systems 704
17. Ausdehnung des Theorems von Riemann-Roch 706
18. Kontinuierliche nicht-lineare Kurvensysteme 707
19. Die Mannigfaltigkeit von Picard, welche mit einer irregularen Flache
verkniipft sind 709
20. Flachen, welche ein irrationales Biischel von Kurven und Ungleichheit
zwischen p a und p y besitzen 710
21. Kurven und Systeme von aquivalenten Kurven auf einer Flache ... 711
22. Moduln einer Klasse von algebraischen Flachen 713
IV. Die Theorie der Flachen in Beziehung auf die Integrate,
welche niit den Flachen verknupft sind.
23. Integrale, welche mit einer Flache verknupft sind 714
24. Doppelintegrale erster Gattung 716
25. Klassifikation der einfachen Integrale 716
26. Einfache Integrale erster Gattung 718
27. Einfache Integrale zweiter Gattung 721
28. Die einfachen Integrale, welche mit einer Flache verknupft sind, und
die Irregularitat dieser Flache 723
29. Einfache Norrnaliutegrale 725
30. Abelsches Theorem auf den Flachen 726
31. Einfache Integrale dritter Gattung 727
32. ftber die Basis fur die Kurvensysteme einer Flache . . 728
33. Doppelintegrale zweiter Gattung . 731
V. tlber gewisse Familien bemerkenswerter Flachen und liber die
Elassifikation der algebraischen Flachen.
34. Flachen, welche ein Biischel von rationalen Kurven enthalten .... 734
35. Doppelebenen von Clebsch-Noether 736
36. Die Rationalitat einer Flache als Folge der Existenz eines gewissen
Kurvensystems auf derselben 739
37. Rationalitat der ebenen Involutionen 740
38. Die rationalen und die Regelflachen nach den Werten des Geschlechts
und den Mehrgeschlechtern charakterisiert 742
39. Flachen, welche eine kontinuierliche Schar automorpher birationaler
Transformationen gestatten 744
40. Hyperelliptische Flachen . t 748
41. Flachen, welche eine unendliche diskontinuierliche Schar von auto-
morphen birationalen Transformationen gestatten 752
42. Flachen vom Geschlecht 1 753
43. Regulare Flachen vom Geschlecht und vom Doppelgeschlecht 1 . . 756
44. Flachen mit einer kanonischen odermehrkanonischen Kurve derOrdnung 757
45. Flachen vom linearen Geschlecht p w = 1 758
46. Uber die Klassifikation der algebraischen Flachen 759
VI. Einige Bemerkungen fiber die algebraischen Mannigfaltig-
keiten von drei Dimensionen.
47. tfber die Invarianten einer algebraischen Mannigfaltigkeit 7(U
48. Einige die rationalen Mannigfaltigkeiten betreff ende Fragen 767
(Abgesehlossen im Dezember 1914.)
Ubersicht
ttber die im yorliegenden Bande III, 2. Teil, 1. Halfte
zusanunengefafiten Hefte und ihre Ausgabedaten.
C. Algebraische Geometrie.
Ill 1903 1 DINGELDEY: Kegelschnitt und Kegelschnittsysteme.
Heft 2. | 2. STAUDE: Flachen 2. Ordnung und ihre Systeme unJ Durch-
1. VI. 1904. \ dringungskurven.
H f t 3 ( 3 Z EUTHEN: Abzahlende Methoden.
c VTTT i onc i 4 - BERZOLARI: Allgemeine Theorie der hoheren ebenen algebrai-
Ul. 1906 ^ gchen Kurven
Heft 4. f 5. KOHN u. LORIA: Spezielle ebene algebraische Kurven:
23. IV. 1909. \ a. KOHN: Ebene Kurven 3. und 4. Ordnung.
Heft 5. f b. LORIA: Spezielle ebene algebraische Kurven von hoherer
22. IV. 1915. | als der vierten Ordnung.
( 6 a. CASTELNUOVO u. ENRIQUES: Grundeigenschaften der algebra-
Heft 6. I ischen Flachen.
21. IX. 1915. j 6b. CASTELNUOVO u. ENRIQUES: Die algebraischen Flachen vom
Gesichtspunkte der birationalen Transformationen aus.
Ill A, B 1. PRIimPIEN DER GEOMETRIE.*)
VON
F. ENKIQUES
IN BOLOGNA.
Inhaltsiibersicht.
1. Einleitung. Allgemeines , betreffend die matheinatischen Untersuchungen
fiber die Prinzipien der Geometrie.
I. Die elementare Richtung.
2. Vorbemerkung.
3. Punkt, Gerade und Ebene.
4. Strecke, Winkel (der Begriff ,,zwischen u ).
5. Kongmenz und Bewegung.
6. Uber die Reduktion der in den vorhergehenden Nummern betrachteten funda-
mentalen Begriffe.
7. Stetigkeit und Archimedisches Postulat.
8. Das Parallelenpostulat.
9. Weitere Ausfuhrungen zur Parallelentheorie.
10. Flacheniuhalt und Rauminhalt.
11. Neue Entwicklungen zur Proportionentkeorie im Sinne der Alten.
12. SchluB der vorstehenden Untersuchung und Disposition der folgenden Kapitel.
II. Prinzipien der Theorie des Kontinuums.
13. Vorbemerkung.
14. Die Linie.
15. Flachen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen.
16. Linien auf den Flachen.
III. Prinzipien der projektiren Geometrie.
17. Postulate in einem Raumstiick.
18. Postulate fiir den vollstandigen projektiven Raum.
19. Projektive Koordinaten.
*) Da ich durch anderweitige Arbeit fiir die Encyklopadie stark in Anspruch
genommen war, ist die redaktionelle Bearbeitung des vorliegenden Artikels in
der Hauptsache von Herrn H. Fleischer (anfangs in Gottingen, spater in Konigs-
berg) besorgt worden. . W. Pr. Meyer.
Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 1. 1
2 III A B 1 . F. Enriques. Prinzipien der Geonietrie.
20. Bemerkungen iiber die grundlegenden S atze der projektiven Geometrie.
21. Uber die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der Begriindung der
projektiven Geometrie.
IT. Projektive Metrik.
22. Einordnung der gewohnlichen Metrik in die projektive Geometrie.
23. Allgemeine MaBbestimmung von Cayley und deren nicht - Euklidische Aus-
legung von Klein.
24. Verschiedene Bemerkungen zu den projektiven Metriken.
V. Prinzipien der allgemeinen Metrik.
25. Vorbemerkung.
A. Bogenelement (nebst endlicher Entfernnng).
26. Geometrie auf krummen Flachen usw.
27. Riemannsche MaBbestimmung in einer mehrfach ausgedehnten Mannig-
faltigkeit.
28. Homogene Mannigfaltigkeiten.
29. Projektiver Charakter der Mannigfaltigkeiten konstanter Kriimmung.
30. Untersuchungen von De Tilly iiber den Ausdmck fur die endliche Entfernung.
31. Geometrische Systeme von Minkoivski-Hilbert.
B. Bewegungsgruppe.
32. Postulate von H. v. Helniholtz.
33. Untersuchungen von S. Lie.
34. Untersuchungen von H. Poincare.
35. Untersuchungen von D. Hilbert.
VI. Zusammenhanggverhaltnisse des imfoegrenzten Raumes.
36. Raume, die als Ganzes bewegt werden konnen.
37. Zweidimensionale Gebilde von Cliff or d-Kkin.
38. Dreidimensionale Gebilde von Clifford - Klein.
VII. Nicht-Archimedische Geometrie.
39. Einleitung.
40. Eindimensionales Kontinuum hoherer Art.
41. Ideen Veroneses.
42. Nicht-Archimedische projektive Geometrie.
43. Euklidische und nicht-Archimedische Geometrie.
44. Nicht-Archimedische Entwicklungen iiber die Parallelentheorie.
Literatur*).
Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii. E codice Florentine recen-
suit, latine vertit notisque illustravit J. L. Heiberg. 3 Bde. Leipzig 1880/81.
*) In diesem Verzeichnis sind nur solche Werke und Abhandlungen auf-
genommen, auf die in dem Artikel ofter hingewiesen wird. Wegen der Literatur
u ber die Hilfsdisziplinen, z. B. Mengenlehre, Analysis situs, Differentialgeometrie,
projektive, darstellende Geometrie u. a. siehe die in den betreffenden Artikeln
Literatur. o
E. Beltrami, Saggio cli interpretazione della geometria non-euclidea, Giorn. di
mat. 6 (1868), p. 285.
Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante, Ann. di mat. (2) 2
(1868), p. 232.
Sulla teoria analitica della distanza, 1st. Lomb. Rend. (2) 5 (1872).
Un precursore italiano di Legendre e di Lobatsehewsky, Rom Line. Rend. (4)
5 1 (1889), p. 441.
Joh. Bolyai, Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens etc. in W. Bolyais
Tentamen Bd. 1, fur sich neu herausgegeben Leipzig 1903.
Wolfgang i Bolyai de Bolya Tentameu juventutem studiosam in elementa mathe-
seos purae elementaris ac sublimioris inethodo intuitive evidentiaque huic
propria introducendi, cum appendice triplici. 2 Bde. Maros Vasarhely 1832
und 1833; editio secunda, 2 Bde, Budapest 1897 und 1904 (,,Tentamen u ).
Einen Auszug aus diesem Werke bildet die Schrift: Kurzer GrundriB eines
Versuches . . ., Maros Vasarhely 1851.
A. Cayley, A Sixth Memoir on Quantics, Lond. Trans. 149 (1859), p. 61; wieder
abgedruckt: Coll. math. pap. 2, Cambridge 1889, p. 561.
A. Clebscli und F. Lindemann, Yoiiesungen fiber Geometrie 2 1 , Leipzig 1891.
W. K. Clifford, Lond. Math. Soc. Proc. 4 (1873), p. 381; 7 (1876), p. 67; wieder
abgedruekt: Math, pap., London 1882, Nr. 20 und 26; ferner Math. pap.
Nr. 41, 42, 44.
M. Dehn, Die Legendreschen Satze fiber die Winkelsumnie im Dreieck, Math.
Ann. 53 (1900), p. 404.
Uber den Rauminhalt, Math. Ann. 55 (1902), p. 465.
Edw. F. Dixon, The foundations of geometry, Cambridge 1891.
jP. Enriques, Conferenze di geometria, autogr. Vorlesungen, Bologna 1894/95.
Lezioni di geometria proiettiva, Bologna 1898 ; deutsche Ausgabe von H. Fleischer:
Vorlesungen iiber projektive Geometrie, Leipzig 1903.
Questioni riguardanti la geometria elementare, eine Samnilung von Aufsatzen
verschiedener Autoren, Bologna 1900 (,,Questioni u ).
F. Enriques e U. Amaldi, Element! di geometria, Bologna 1903; zweite Auflage
1905.
Euclid is elementa. Edidit J. L. Heiberg. 5 Bde. Leipzig 188388 (,,Elemente").
C. F. Gaufi, Werke Bd. 8, Leipzig 1900; vgl. auBerdem: Briefwechsel zwischen
Gaufi und Fr. W. Bessel, Leipzig 1880; Briefwechsel zwischen Gaufi und
W. Bolyai, hrsgeg. von F. Schmidt und P. Stackel, Leipzig 1899; Briefwechsel
zwischen Gaufi und H. C. Scliulimachtr , hrsgeg. von C. A. F. Peters, Altona
186065.
H. Grafimann, Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig 1844, zweite Auflage 1878;
wieder abgedruckt: Ges. math, und phys. Werke I 1, Leipzig 1894.
H. Grafimann, Geometrische Analyse, Leipzig 1847; wieder abgedruckt: Ges.
math, und phys. Werke I 1, Leipzig 1894.
angefiihrte Literatur. Da dieser Artikel seinem Inhalte nach im Herbst 1904 ab-
geschlossen wurde, so konnte spater erschienene Literatur nicht mehr beriick-
sichtigt werden ^so u. a. der 1906 erschienene Bericht von M. Simon iiber die
Entwicklung der Elementargeometrie im 19. Jahrhundert). Eine Ausnahme bilden
nur besondere Beitrage, die Herr Schoenflies der Redaktion zu Nr. 7 und Ab-
&chnitt VH (Stetigkeit, Xicht-Archimedische Geometrie) zur Verfiigung gestellt hat.
4 HI AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie.
H. v. Helmholtz, tJber die tatsachlichen Grundlagen der Geoinetrie, Heidelberg
Naturhist.-med. Verein Verhandl. 4 (1866), p. 197, abgedruckt: Wissensch.
Abhandl. 2, p. 610.
Uber die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegeu, Gott. Nachr. 1868,
p. 193, abgedruckt: Wissensch. Abhandl. 2, p. 618.
D. HUbert, Grundlagen der Geometrie (Festschrift zur Feier der Enthiillung des
GauB -Weber Denkmals in Gottingen, 1. Teil), Leipzig 1899; zweite Auflage
1903 (,,Gnmdlagen u ; zitiert wird die zweite Auflage).
tiber die gerade Linie als kiirzeste Verbindung zweier Punkte, Math. Ann. 46
(1895), p. 91; wieder abgedruckt: Grundlagen, zweite Auflage, p. 83.
Uber den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Drei-
eck, Lond. Math. Soc. Proc. 35 (1903), p. 50; wieder abgedruckt: Grundlagen,
zweite Auflage, p. 88.
Uber Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung, Araer. Math. Soc. Trans.
2 (1901), p. 87; wieder abgedruckt: Grundlagen, zweite Auflage, p. 162.
Uber die Grundlagen der Geometrie, Math. Ann. 56 (1902), p. 381; wieder
abgedruckt: Grundlagen, zweite Auflage, p. 121.
0. Holder, Die Axiome der Quantitat und die Lehre voin MaB, Leipzig Ber. 53
(1901), p. 1.
G. Ingrami, Elementi di geometria, Bologna 1899.
W. Killing, Die nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung,
Leipzig 1885 (,,Raumformen u ).
Einfiihrung in die Grundlagen der Geometrie, 2 Bde, Paderborn 1893 und
1898 ( Grundlagen").
F. Klein, Uber die sogenannte Mcht-Euklidische Geoinetrie, Gott. Nachr. 1871;
ausgefuhrt in Math. Ann. 4 (1871), p. 573; zweite Abhandlung Math. Ann. 6
(1873), p. 112; ferner 7 (1874), p. 531; dritte Abhandlung 37 (1890), p. 544.
Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometrische Forschungen. Pro-
gramm zum Eintritt in die philosophische Fakultat usw., Erlangen 1872;
wieder abgedruckt: Math. Ann. 43 (1893) (,,Erlanger Programm").
Uber den allgemeinen Funktionsbegriff und dessen Darstellung durch eine
willkurliche Kurve. Erlangen Berichte 1873, wieder abgedruckt: Math. Ann.
22 (1883), p. 249.
Nicht-Euklidische Geometrie I, II, autographierte Vorlesungen, Gottingen
(Leipzig) 1893.
Zur ersten Verteilung des Lobatschefskij-Preises. Gutachten betreffend den
dritten Baud der Theorie der Transformationsgruppen von *S. Lie, Kasan Phys.
math. Ges. 1897; wieder abgedruckt: Math. Ann. 50 (1898), p. 583 ( Gutachten").
Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie, eine Revision
der Prinzipien, autogr. Vorlesung, Gottingen 1901 (Leipzig 1902).
Edm. Laguerre, Sur la theorie des foyers, Nouv. Ann. 12 (1853), p. 57; wieder
abgedruckt: Oeuvres 2, p. 6.
J. H. Lambert, Theorie der Parallellinien, aufgesetzt 1766, veroffentlicht 1786 im
Leipziger Magazin fur die reine und angewandte Mathematik.
A. M. Legendre, Elements de geometrie, 1., 3., 9., 12. Auflage; alle diese Unter-
suchungen iiber die Parallelentheorie sind zusammengefaBt in: Reflexions sur
differentes manieres de demontrer la theorie des paralleles ou le theoreme
sur la somme des trois angles du triangle. Paris Mem. 12 (1833), p. 365.
Literatur. 5
,,Leibnizei\B Mathematische Schriftcn". herausgegeben von C. J. Gerhardt, I. Ab-
teilung, Briefwechsel, 4 Bde, Berlin 1849/50 nnd Halle 1855/59, II. Abteilung,
Abhandlungen, 3 Bde, Halle 18581863.
S. Lie, Theorie der Transformationsgnippen, 3. Abschnitt, Leipzig 1893 (,,Trans-
formationsgruppen").
Xik. lican. Lobatschefskij , Zwei geometrische Abhandlungen (im Original erschienen
1829 und 135), aus deni Russischen ubersetzt, mit Anmerkungen und einer
Biographic des Yerfassers von Fr.Engel. Zwei Teile, Leipzig 1898 und 1899.
In dem zweiten Teile befindet sich ein chronologisches Verzeichnis samtlicher
Schriften Lobatschefskijs.
It. de Paolis, Elementi di geometria, Torino 1884.
Pappi Alexandrini Mathematicae Collectiones a F. Commandino in latinum con-
versae et commentariis illustratae. Bononiae 1660.
M. Pasch, Vorlesungen uber neuere Geometric, Leipzig 1882 (,,Neuere Geometric").
G. Peano, Calcolo geometrico secondo PAusdehnungslehre di H. GraBmann,
Torino 1888.
I principii di geometria logicamcnte esposti, Torino 1889 (,,Principii u ).
Sui fondamenti della geometria, Riv. di mat. 4 (1894), p. 51 (,,Fondamenti u ).
M. Pieri, I principii della geometria di posizione composti in sistema logico-
deduttivo, Tor. Mem. (2) 48 (1898), p. 1.
Delia geometria elementare come sistema ipotetico - deduttivo , Tor. Mem. (2)
49 (1899), p. 173.
H. Poincare, Sur les hypotheses fondamentales de la ge ometrie, Paris Soc. M. Fr.
Bull. 15 (1887), p. 203.
La science et Thypothese, Paris ohne Jahr; deutsche Ausgabe von F. und
L. Lindemann: Wiseenschaft und Hypothese, Leipzig 1904.
Prodi Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentarii. Ex
recognitione G. Friedlein. Leipzig 1872 (,,Commentarii u ).
M. Rethy, Endlich gleiche Flachen, Math. Ann. 38 (1891), p. 405, und 42 (1893), p. 297.
S. Riemann, Uber die Hypothesen, welche der Geometric zu Grunde liegen,
Habilitationsvortrag von 1854, Gott. Abhdl. XIII (1868), p. 1 ; wieder abgedruckt:
Ges. Werke, 2. Aufl., Leipzig 1892, p. 272 (,,Habilitationsvortrag u ).
H. Sacclieri, Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo
stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia, Mediolani 1733.
A. Schoenflies, Uber die Moglichkeit einer projektiven Geometric bei transfiniter
(nicht-Archimedischer) MaBbestimniung. Deutsche M.-V. Jahresb. 15 (1906),
p. 26.
F. Schur, tiber die Deformation der Raume konstanten Riemannschen Kriim-
mungsmaBes, Math. Ann. 27 (1886), p. 163.
Uber den Zusammenhang der Raume konstanten Riemannschen Krummungs-
mafies mit den projektiven Raumen, Math. Ann. 27 (1886), p. 537.
Uber den Fundamentalsatz der projektiven Geometric, Math. Ann. 51 (1899),
p. 401.
Uber die Grundlagen der Geometric, Math. Ann. 55 (1902), p. 265.
M. Simon, Euklid und die sechs planimetrischen Biicher, Leipzig 1901 (,,Euklid u ).
P. Stdckel und Fr. En gel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf
Gaufi, Leipzig 1895.
Ch. v. Stawlt, Geometric der Lage, Xurnberg 1847; Beitrage zur Geometric der
Lage, 3 Hefte, Xurnberg 18561860.
6 III A B 1. F. Enriqiies. Prinzipien der Geometrie.
0. Stolz, Zur Geometrie der Alten, insbesondere liber ein Axiom des Archimedes.
Innsbr. Ber. 12 (1882), p. 74; wieder abgedruckt: Math. Ann. 22 (1883), p. 504.
F. Ad. Taurinus, Theorie der Parallellinien, Koln 1825; Geometriae prima elementa,
Coloniae Agrippinae 1826.
Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg
1904, Leipzig 1905 (,,Heidelberger KongreB").
G. Veronese, Fondamenti di geometria, Padova 1891; deutsch von A. Schepp:
Grundztige der Geometrie, Leipzig 1894 (,,Grundziige u ).
G. Veronese, Elementi di geometria (tratt. con la collaborazione di P. Gazzaniga),
Yerona-Padova 1897, neue Ausgabe 1900; Appendice agli elementi di geometria,
Verona-Padova 1898.
J. Wdllis, De postulate quinto et definitione quinta lib. 6. Euclidis disceptatio
geometrica. Operum mathematicorum volumen alterum, Oxford 169,5, p. 665.
H. G. Zeuihen, Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, Kopen-
hagen 1896, im XVI. und XVII. Jahrhundert, Leipzig 1903.
A. De Zolt, Principii della eguaglianza di poligoni (equivalenza di poligoni) prece-
duto da alcuni cenni critici sulla teoria della equivalenza geometrica, Milano
1881; Principii della eguaglianza di poligoni sferici, Milano 1883.
Bibliographisclie Werke.
It. Bonola, Bibliografia sui fondamenti della geometria non-euclidea, im Bolletino
di bibliografia e storia delle scienze matematiche, seit 1899.
Index operum ad geometriam absolutam spectantiurn in: loannis Bolyai in
memoriam, Libellus post saec. quam lo. Bolyai de Bolya anno 1802 a. D. Clau-
diopoli natus est ad celebrandam memoriam eius immortaleni . . . editus,
Claudiopoli 1902 (Leipzig 1903); ein ziemlich vollstandiges Verzeichnis der
Schriften uber nicht-Euklidische Geometrie.
G. B. Hoisted, Bibliography of hyperspace and non-euclidian geometry. Am. J.
1 (1878), p. 261, 384, 385; 2 (1879), p. 65.
H. Schotten, Inhalt und Methode des planimetrischen Unterrichts. Eine ver-
gleichende Planimetrie. 2 Bde. Leipzig 1890 und 1893.
JS. Wolffmg, Mathematischer Biicherschatz , 1. Teil, Leipzig 1903; besonders
Abt. 2: Philosophic der Mathematik, Abt. 139: Prinzipien der Geometrie,
Abt. 140: Parallelentheorie, Abt. 141: Nicht-Euklidische Geometrie, Abt. 142:
w-dimensionale Geometrie.
1. Einleitung. Allgemeines , betreffend die mathematischen
Untersuchungen iiber die Prinzipien der Geometrie. Die kritischen
Untersuchungen iiber die Prinzipien der Geometrie sind mit deren
systematischer Gestaltung als deduktive Wissenschaft verkniipft.
Als Grundlage des hierbei von EuMid eingeschlagenen Verfahrens
laBt sich folgendes erkennen J ) :
1) Vgl. die kritische Ausgabe der Elemente Euklids von /. L. Heiberg,
1, Leipzig 1883, und u. a. M. Simon, Euklid und die sechs planimetrischen
Biicher, Leipzig 1901.
1. Einleitung. Allgemeines. 7
1) Die Definitiomn (OQOI), die jedoch im allgeineinen blofie Be-
schreibungen sind und manchmal direkfc fundamentale Satze enthalten,
wie z. B. die vierte Definition des fiinften Buches, in der sich das
sogenannte Arclilmedische Postulat verbirgt.
2) Die Axioms (xoival ZVVQIO.I) und die Postulate (ttttfyucta).
tlber den Unterschied zwischen diesen grundlegenden Satzen ver-
breitet sich Proclus 2 ), indem er die folgenden drei verschiedenen Auf-
fassungen dieses Unterschieds anfuhrt: a) Die Postulate verhalten
sich zu den Axiomen wie die Aufgaben zu den Satzen. Die Postu
late behaupten die Moglichkeit einer Konstruktion, die auf andere als
ausfiihrbar angenommene Konstruktionen nicht zuruckgefiihrt werden
kann; die Axiome sprechen eine Eigenschaft aus, die ohne Beweis
einer Figur beigelegt wird, deren Konstruierbarkeit bereits postuliert
oder bewiesen ist. b) Die Axiome sprechen Eigenschaften aus, die
jeder mathematischen GroBe zukommen, und gelten daher auch auBer-
halb des Bereiches der Geometric; in den Postulate!) werden Eigen
schaften betrachtet, die nur von rein geornetrischen Dingen ausgesagt
werden konnen. c) Die Axiome gelten durch sich selbst (xa& aavra),
d.h. auf Grand der Bedeutung der inihnen vorkommenden Ausdriicke; die
Postulate ergeben sich nicht mit Notwendigkeit aus der Definition der in
ihnen enthaltenen Ausdriicke. Dem dritten Standpunkte gegenuber hat
die moderne Kritik gezeigt, dafi diejenigen Satze ? die man als Axiome
betrachtete, Forderungen in sich enthalten, die erfiillt sein iniissen, und
daher in gewissem Sinne auch als Postulate angesehen werden konnen 3 ).
3) Unausgesprocliene Sdtsse, die durch direkte Bezugnahme auf die
Anschauung ersetzt werden 7 z. B. iiber den Begriff 7 ,zwischen u , iiber
?7 die Unendlichkeit der Geraden" usw.
Fiir eine richtige Wertschatzung dieser Grundlagen des Euklidischen
Werkes ist aber im Auge zu behalten, daB der Text unsicher ist und
wohl manche der grundlegenden Satze spatere Zutaten sind.
An diese Fassung der Prinzipien der Geometric kniipft nun eine
lange kritische Arbeit an, die aus dem Altertum bis in unsere Tage
hinein reicht und sich im besonderen mit dem Beweise des fiinften
(Parallelen-)Postulats beschaftigt (vgl. Abschn. I dieses Referats, ins-
besondere Nr. 8).
2) Prodi Diadochi in prinium Euclidis elementornin librum commentarii.
Ex rec. G. Friedlein, Leipzig 1873, p. 178.
3) Vgl. G. Vailati, Heidelberger KongreB, p. 575, und H. G. Zeutlien, ebenda,
p. 340. Wir werden in diesein Artikel die eigentlichen grundlegenden Satze der
Geometrie, d. h. die Satze, welche die zwischen den Grundbegriffen der Geometrie
angenommenen Beziehungen ausdriicken, als Postulate bezeichnen.
8 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie.
Aber vor dein Beginn des verflossenen Jahrhunderts kam man
uber den dogmatischen Gesichtspunkt der Euklidischen Geometrie nicht
hinaus, der ubrigens auch von neueren Mathematikern, z. B. von
Cayley, gebilligt worden 1st.
Die Fortschritte in der Kritik des verflossenen Jahrhunderts gehen
von zwei allgemeinen Ideen aus:
I. Hinsichtlich des Objects der Geometrie kam man zu einer
Unterscheidung zwischen
1) dem gewohnlichen intuitiven Baume, dessen Grundeigenschaften
gemafi der iiblichen Auffassung die Anschauung ergibt;
2) dem physischen Baunie, dessen Grundeigenschaften die Erfalirung
darbietet, und
3) den dbstrakten Bciumen, d. h. allgemeinen Begriffen, die aus
dem gewohnlichen Begriffe des (intuitiven) Raumes durch Abstraction
oder Verallgemeinemng seiner Eigenschaften hervorgehen.
Vor allem fiihrte die nicht-Euklidische Geometrie, die zwischen
1815 und 1830 entstand (Gaufi, J. Bolyai, Lobatschefskij, vgl. Nr. 8)
zu der Anerkennung der physischen Moglichkeit eines Raumes , der
von dem gewohnlichen intuitiven Raume verschieden ist. Jedoch er-
schien diese Moglichkeit, da ihr nur der Zweifel an der Gultigkeit
des fiinften Euklidischen Postulats zugrunde lag, zunachst begrenzt,
und die von diesem Postulate unabhangige Geometrie wurde daher als
die einzig existierende (,,absolute") betrachtet. Diese Beschrankung in
der Raumvorstellung wurde von B. Biemann aufgehoben, der in seinem
1854 gehaltenen und 1867 veroffentlichten Habilitationsvortrag in all-
gemeiner Weise von Hypothesen spricht, welche der Geometrie zu
grunde liegen, die UnendliMeit der Geraden fallen laBt und iiberdies
(wie Graflmann es schon vorher getan hatte) mehrere Dimensionen
betrachtet (vgl. Nr. 8, 15, 27). In demselben Sinne hat dann wohl
F. Klein sehr anregend gewirkt 4 ).
4) Vgl. den folgenden Satz aus seinem Artikel: Uber die sogenannte nicht-
Euklidische Geometrie, zweiter Aufsatz, 1872, Math. Ann. 6 (1873), p. 113: ,,Ahnliche
Untersuchungen (wie uber das Parallelenaxiom) konnte und sollte man mit bezug
auf alle anderen Voraussetzungen, die unseren geometrischen Vorstellungen zu
grunde liegen, anstellen. Es ist die nicht-Euklidische Geometrie ein erster Schritt
in einer Richtung, deren allgemeine Moglichkeit durch Riemanna Arbeit ,,Uber
die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen" vorgezeichnet ist. Ein
ahnlicher Schritt ist es, wenn man das Axiom von der unendlichen L ange der
Geraden fallen laBt, wie ich dies in meinem vorigen Aufsatze im Anschlusse an
die Arbeiten von Riemann und Helmholtz getan habe. Dann ist aufier der nicht-
Euklidischen Geometrie im Sinne von Lobatschefskij, Bolyai oder, wie ich sie
nenne, der hyperbolischen Geometrie, noch eine zweite Geometrie, die elliptieche,
1. Einleitung. Allgemeines. 9
Wenig spater als Riemann (1868) sprach H. Helmlwltz (jedenfalls
mit unter dem Einflusse der englischen empiristischen Philosophic) die
Meinung aus, daB der Wert der grundlegenden Satze der Geometrie in
ihrer Eigenschaft, physische Tatsachen zu enthalten, bestehe, und dies
fiihrte ihn zu neuen mathematischen Fragestellungen, die spater voll-
standig beantwortet worden sind (vgl. Abschn. V B dieses Referats).
Die auBerorclentliche Verbreitung und die Entwicklung der nicht-
Euklidischen Theorien, die von verschiedenen Standpunkten aus von
Battaglini, Hoiiel, Flye Ste. Marie, Mansion, De Tilly und in anderer
Weise von Beltrami, Clifford, Klein, Lie, Poincare u. A. gefordert
wurden, machten den Begriff der verschiedenen moglichen Geometrien
popular und brachten die erwahnte Einschatzuug der Postulate im
Yerhaltnis zum physisehen Raum in weiteren Kreisen zur Anuahme.
Aber man konnte die neue Entwicklung nicht verstehen, wenn
man nicht neben einer Geometrie, deren Objekt der Physik angehort,
auch eine Geometrie betrachtete, die auf dem Wege der Abstraktion
aus der intuitiven Vorstellung des gewohnlichen Raumes hohere
Raume hervorgehen zu lassen bestrebt ist; von dieser Art ist z. B.
der Raum der projektiven Geometrie, in der man von rein deskrip-
tiven Begriffen 5 ) ausgeht und metrische Begriffe ausschlieBt, wie dies
F. Klein im AnsehluB an das von Staudtsche System gelehii hat,
und auch die nicht -Archimedischen Raume Veromses und Hilberts
sind von dieser Art (vgl. Abschn. VII dieses Referats).
Xun sind aus derartigen Konstruktionen verschiedene Rangord-
nungen der geornetrischen Begriffe hervorgegangen, die deren psycho-
logischen Inhalt beleuchten (Nr. 12) und iiber ihre Erwerbung Licht
verbreiten 6 ). Und endlich entstand so auch (im Zusammenhange mit
der formalen Entwicklung, die wir weiter unten beriihren werden)
eine freiere Betrachtung der verschiedenen Geometrien, indem man, ab-
gesehen von dem physikalischen oder psychologischen Objekt, ein
System von Hypothesen betrachtete, dessen Konsequenzen man aus
irgend einem matheinatischen Interesse verfolgte (wie z. B. in den
moglicli; zwischen beiden bildet die gewohnliche, parabolische, Geometrie den
tbergangsfall."
5) D. h. Begriffen, die sich nur auf die Lage beziehen und daher pro
jektiven Charakter haben. Dieses Wort ist in dem vorliegenden Artikel in An-
lehnung an PonceUt gewahlt worden, um fiir lagengeometrische Beziehungen ein
bequemes Adjektiv zu haben; Poncelet hat fiir diese Beziehungen neben des
criptive (Traite des proprietes projectives des figures, introduction) auch graphi-
que (Traite, chap. I, Nr. 6); wir haben dem ersten Ausdruck den Vorzug gegeben.
6) Vgl. F. Enriques, Riv. filos. di Pavia 1901.
10 III A B 1. F. Enriqiies. Prinzipien der Geometrie.
letzten Entwicklungen der Hillertscheii Schule; vgl. Abschn. VII dieses
Referats).
Was die physikalische Bedeutung der Postulate betrifft, so liaben
diese Konstruktionen, in Ubereinstinimung mit dem weniger schema-
tischen Begriff der ,,Tatsache", der von der modernen wissenschaft-
lichen Philosophie vertreten wird, zu einer Anderung des Urteils uber
ihren empirischen Wert gefuhrt.
F.Klein (Funktionsbegriff 1873; Math. Ann. 37; Gutachten) und
H. Poincare (Soc. M. Fr. Bull. 15; Wissenschaft und Hypothese) sind
bei verschiedenen philosophischen Richtungen dazu gekommen, die geo-
metrischen Postulate als Satze anzusehen, die man mehr oder weniger
willkurlich in die ungenauen Daten der Erfahrung hineinlegt, um eine
zuverlassige Grundlage fur die weitergehende exakte Uberlegung zu haben.
II. Hinsichtlich der logisclwn Form der geonietrischen Entwick-
lung kam die moderne Kritik zu einem neuen Begriff der mafhe-
matischen Strenge, der niit der kritischen Richtung, die vorher in der
Analysis sich geltend gemacht hatte (Weierstrafl, Dedekind, G. Cantor,
P. Du Bois-Reymond, Meray, Dini u. A.), zusammenhangt.
Vor allem entdeckte man unausgesprochene Postulate, die bei
dem Beweise von Satzen auf Grund der Anscliauung unwillkiirlicli
benutzt wurden, z. B. das Postulat der Stetigkeit (Cantor-Dedeldnd},
das sogenannte Archimedische Postulat (auf das Stole wieder die Auf-
merksamkeit gelenkt hat), die Postulate der Anordnung (Pascli), usw.
Dann bemerkte man, daB eine Definition, ebenso wie ein Beweis,
etwas durchaus Relatives ist, und daher zeigte sich die Notwendig-
keit, die primitiven Begriffe, d. h. diejenigen, die man in einein vor-
liegenden System nicht definieren will, die aber in den Definitionen
logisch miteinander verkniipft sind, ausdriicklich als solche hinzu-
stellen. Und da schliefilich die Postulate als Relationen zwischen
diesen Begriffen erschienen, so wollte man den Postulaten eine solche
Form geben, daB sie erkennbar bleiben, auch wenn man von der (bei
der logischen Entwicklung nicht benutzten) Bedeutung, die man auf
Grund der Anscliauung oder der Erfahrung den Begriffen selbst bei-
legen kann, abstraliiert
In diesem Sinne ist der Begriff der Strenge in den Vorlesungen
iiber neuere Geometrie von M. Pascli (1881) durch die folgenden beiden
Forderungen festgelegt worden:
1) Es sind die primitiven Begriff e, durch welche alle iibrigen
logisch definiert werden, ausdriicklich als solche hinzustellen.
2) Es sind die fundamentalen Satze (Postulate), mit deren Hilfe
die anderen (die ,,Satse") logisch bewiesen werden, ausdriicklich als
1. Einleitung. Allgeinemes. 11
logischc Beziehunyen zwischen deu primitiven Begriffen unabhangig
von deren Bedeutung auszusprechen.
Und diese Fordernngen werden bei PascJi erftillt; die Grundlage
fur die logische Behandlung der Geometric liegt bei ihin durchaus
in den Postulaten (wenn diese auch als das Produkt eines an die An-
schauung ankniipfenden psychologischen Prozesses eingefuhrt werden).
Diese Auffassung der Strenge ist seither iramer mehr zum Ge-
meingut der geornetrischen Forschungen dieser Art geworden (vgl.
z. B. Peano, Principii, 1889; Veronese, Fondainenti, 1891; Hilbert, Grund-
lagen, 1898 usw.) 7 ).
Ihr gemaB erscheinen vom abstrakten logischen Standpunkte aus
die Postulate als willkiirliche Verabredungen, und die Gesamtheit der
logischen Beziehungen, welche sie aussprechen, bildet eine Art im-
pliciter Definition der primitiven Begriffe 8 ).
Wie man von dieser Willkiir Gebrauch machen soil, das hangt
von Werturteilen ab und lafit sich nicht wie eine wissenschaftliche
Frage entscheiden, bei der es sich urn ein Urteil dariiber handelt, ob
etwas wahr oder falsch ist. In der Tat haben die Peanosche und
(besonders in ihren letzten Entwicklnngen) die Hilberfcche Schule, in-
deni sie inimer mehr die abstrakte Seite der Darstellung ins Auge
fafiten, die Willkiir in der Wahl der Postulate im weitesten Sinne ver-
standen und sich damit immer mehr von der Auschauung entfernt: die
7) Ubrigens wurde sie in Italien, wo Euklids Elemente durch Sannia und
d Ovidio, Faifofer, De Paolis und andere schon vorher eine kritische Umarbeitung
erfahren hatten, auch in den Schulbetrieb hineingetragen. Die neueren italieni-
schen Lehrbucher, die bei verscliiedenen piidagogisclien Standpunkten die oben
auseinandergesetzten Bedingungen der fomialen Strenge sich zu eigen machen,
riihren von Veronese (Elementi di geometria [tratt. con la collaborazione di
P. Gazzamga\ Yerona-Padova 1897, neue Ausgabe 1900; Appendice agli elementi
di geometria, Verona-Padova 1898), Ingrami (Elementi di geometria, Bologna
1899\ Enriqiies e Amdldi (Elementi di geometria, Bologna 1903, zweite Auflage
1905) her. Vgl. auch das Sammehverk ,,Questioni u von Enriqiies (1900).
8) Dieser weitere BegrifF der Definition fiiidet sich, wie G. Vacca (Riv. di
mat. 1899, p. 185) bemerkt hat, schon bei /. Z>. Gergonne (Gerg. Ann. 9 (1818 19),
p. 1). Es seien aus dem Gergonneschen Aufsatze zwei charakteristische Satze
angefiihrt: ,,Wenn ein Satz ein Wort enthalt. dessen Bedeutung uns unbekannt
ist, so kann durch die Aussage dieses Satzes die Bedeutung jenes Wortes uns
offenbar werden" (p. 22). ,,Satze, die auf diese Weise den Sinn eines Wortes
auf Grand der bekannten Bedeutung der in ihnen enthaltenen anderen Worte
ergeben, konnten implicite Definitionen genannt werden, im Gegensatze zu den
gewohnlichen Definitionen, die man explicite Definitionen nennen konnte . . .; so
konnen auch oft zwei Satze, die zwei neue Worte mit bekannten Worten ver-
kniipfen, deren Sinn bestimrnen . . ." (p. 23).
12 HI A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie.
zuerst genannte, indem sie haupts achlich den Zweck verfolgte, das
Urteil tiber einige logisch-formale Fragen zu vertiefen, die andere, ura
Gegenstande von inathematiscbein Interesse, die mit Fragen de.r Ana
lysis oder der Zahlentheorie usw. verkniipft sind, weiter zu verfolgen.
Demgegeniiber strebt Veronese (Fondamenti) danach, das, was der
Anschauung und der Erfahrnng gegeniiber in mehr eigentlichem Sinne
als geometrisch zu betrachten ist, abzugrenzen, und Enriques (Questioni,
Art. 1) sucht einige Vorschriften aufzustellen, denen die Postulate bin-
sichtlich der primitiven Begriffe geniigen miissen, urn fur die An
schauung als evident zu erscbeinen.
Es ist zu erwahnen, daB die oben angefiibrten Forderungen der
formal en Strenge in dem Zeichensystem der rnatbematiscben Logik
(Leibniz, Peacock, De Morgan, Boole, H. G-rafimann, W. R. Hamilton,
Ch. Peirce, Schroder, Peano, Frege) einen symbolischen Ausdruck gefunden
baben. Dieser Symbolisinus, der von Peano (1889) zu einem System
der mathematiscben Darstellung erboben worden ist, bat die Not-
wendigkeit, primitive Begriffe anzunebmen, materiell fiiblbar gemacht,
da jeder von diesen Begriffen durcb ein neues Zeiclien, das ibn repra-
sentiert, eingefiibrt wird; daruber binaus bat er aucb zu einer scbarferen
Kritik hinsichtlicb der Einfachheit und Unabhangigkeit der Postulate
und primitiven Begriffe und der Vertraglichkeit der Postulate mit-
einander Veranlassung gegeben
Der Begriff der UnabhdngigJceit der Postulate, der zunacbst aus den
Entwicklungen bervorging, welcbe die Versucbe, das fiinfte Euklidische
Postulat zu beweisen, im negativen Sinne zum AbscbluB bracbten,
bestebt in folgendem: es bandelt sicb urn die Entscbeidung der Frage,
7 ,ob ein gegebener Satz von anderen, die als Voraussetzungen ange-
nommen werden, logisch abhangt oder nicbt".
Dabei ist folgendes zu beacbten:
1) Es gibt erne geordnete Unabhangigkeit, in der jedes Postulat
unabhangig von den vorbergebenden ist, und eine absolute Undbhangig-
keit, die bei jeder Anordnung der Postulate bestebt. B. Levi (Torino
Memorie 1904, p. 283) bat bemerkt, daB, wenn ein System von in be-
kannter Ordnung unabbangigen Postulaten a,b,c,... gegeben ist, man
immer ein anderes gleicbwertiges System bilden kann, das absolut im-
abbangig ist (a; es besteht & immer dann, wenn a erfiillt ist; usw.).
2) Die Unabhangigkeit der Postulate (a, 1), . . .) ist mit ihrer
Zusammensetzung verknupft, d. b. es kann sein, daB man aus a zwar
nicbt b berleiten kann, wohl aber einen Teil von &. Das Urteil fiber
die Unabhangigkeit wird also um so klarer sein, je einfacher die
1. Einleitung. Allgemeines. 13
Aussagen der Postulate sind. Aber A. Padoa hat dem Referenten ge-
zeigt, daB es durchaus einfache Aussagen auBer den Satzen von der
Form ,,a ist nicht &" nicht gibt und daB es unmoglich ist, auf einer end-
lichen Anzahl soldier Aussagen ein geometrisches System aufzubauen.
Um zu beweisen. daB ein Satz a von anderen Satzen ?>, c, . . .
unabhangig ist, ist zu zeigen, daB das Gegenteil von a mit ~b y c, . . .
vertraglich ist.
Diese Entscheidung iiber die Vertragliclikeit der Postulate wurde vor
allem auf die Betrachtung der arithmetischen Relationen gegriindet, die
die in Rede stehenden geonietrischen Annahnien ausdrucken. Man nahm
die Satze der Arithmetik als logisch vertraglich an und suchte die
logische Moglichkeit verschiedener Geometrien zu beweisen, indem
man deren Gegenstand nicht mehr gemaB seiner gewohnlichen, phy-
sischen oder anschauungsmassigen, Bedeutung auslegte, sondern in
einem durchaus abstrakten Sinne. In dieser Weise als logische Wissen-
schaft entwickelt, kam die Geometrie dazu, in einem allgemeineren
Sinne als die Wissenschaft derjenigen Begriffe (der abstrakten jRaiimc]
betrachtet zu werden, welche den geonietrischen Postulaten oder einem
Teile von ihnen formal genugen.
Eine Modification dieses Gedankenganges besteht darin, daB man
eine erste Geometrie (z. B. die Euklidische Geometrie) als gegeben fund
also jedenfalls als logisch zulassig) ansieht uud innerhalb derselben
eine Interpretation der Annahnien irgend einer andern Geometrie sucht ;
indem man deren Grundbegriffe durch solche Gebilde der ersten Geo
metrie ersetzt, fiir welche die Postulate der zweiten Geometrie tat-
sachlich zutreffen. Nun bildet die Vertraglichkeit der fundamentalen
Satze derjenigen Geometrie, welche man als gegeben annimmt, oder
die Vertraglichkeit derjenigen Satze , welche die elementaren Eigen-
schaften der arithmetischen Operationen ausdrucken^ eine Annahnie,
welche behauptet, man konne zu keinem Widerspruche gelangen, wie
weit man auch die Konsequenzen jener fundamentalen Satze verfolgt.
In die Erorterung der Bedeutung dieser Annahme (die mit Fragen
der Erkenntnistheorie zusammenhangt) ist man in neuester Zeit auf
matheniatischein Gebiete eingetreten. Und hier stehen zwei Stand-
punkte einander gegeniiber.
1) Ein empinstischer Standpunkt.
Wenn man die Geometrie und die Arithmetik als etwas ausieht,
das ein reelles, durch die Anscliauung oder die Erfalirung gegebenes
Objekt hat, dann kann man die Veiiraglichkeit ihrer Postulate auf
der Grundlage dai*tun, daB ,,das, was (physisch oder psychologisch)
existiert, nicht sich selbst widersprechen kann". Dieser Standpunkt ist
14 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie.
neuerdings in poleinischer Form von A. Padoa 9 ) eingenommen worden,
der die moglichen Interpretationen eines Systems abstrakter Satze in
allgemeinster Weise betrachtet und zu der Meinung kommt, daB kein
Grund vorliegt, einer von diesen Interpretationen einen groBeren Wert
als einer anderen beizulegen, mid insbesondere die der arithnietischen
Interpretation traditionell beigelegte bevorzugte Stellung bestreitet.
Hier ist zu bemerken, daB zwischen geometrischen und (im ele-
mentaren Sinne) arithnietischen Erfahrungen folgender Unterschied
besteht: die ersten beziehen sich auf Dinge, die in stetiger Weise
variieren konnen, und haben daher immer notwendigerweise einen
angenaherten Wert; die zweiten beziehen sich auf etwas, das nur in
diskreter Weise variieren kann und haben daher (bis zu dem Punkte,
bis zu dem sie heranreichen) einen exakten Wert. Wenn man daher
die Erfahrung durch eine Annahme iiber das Resultat ihrer Wieder-
holung vervollstandigt (die unserem Glauben an die Wirklichkeit
zugrunde liegt), so kann man der Meinung sein, daB sie einen wirk-
lichen Beweis fur die in der Arithmetik enthaltenen Tatsachen liefert,
nicht aber fur die Geometrie.
Aber wenii man nicht die Existenz psychologischer, sondern phy-
sischer Objekte betrachtet, so ist noch zu untersuchen, ob die An
nahme, daB ,,das, was existiert, nicht sich selbst widersprechen kann",
berechtigt ist, da man mit ihr dem Prinzipe des Widerspruchs (dem
Gesetze des logischeii Denkens) einen objektiven Wert erteilen wiirde.
2) Ein logiscli-formaler Standpunkt, der die Vertraglichkeit der
fundamentalen Satze der Geometrie auf die Vertraglichkeit der funda-
mentalen Satze der Arithmetik zuriickfiihren will und einen logisclien
Beweis dafiir liefern zu konnen behauptet, daB die Prinzipien der
Arithmetik miteinander vertrdglich sind lQ ).
Aber eine Erorterung iiber die Art und die Moglichkeit eines
solchen Beweises geht iiber den Rahmen dieses Artikels hinaus.
Die Untersuchungen iiber die Unabhangiglceit der primitiven Be-
griffe sind aus der von der italienischen mathematisch-logischen Schule
(G. Peano, M. Pieri, A. Padoa usw.) eingeschlagenen Richtung hervor-
gegangen, die Zalil der bei dem logischen Auf ban der Geometrie ohne
Definition angenomrnenen primitiven Begriffe in systematischer Weise
zu beschranken (vgl. Nr. 6).
Sind mehrere fundamentale Begriffe J., B, C y ... gegeben, so
kann man fragen, ob einer von ihnen durch einige der iibrigen de
fy L enseignement inathematique 5 (1903), p. 85.
10) Vgl. D. Hilbert, Grundlagen, p. 18, und Heidelberger KongreB, p. 174.
2. Vorbeinerkung. 15
finiert werden kann (z. B. C mit Hilfe von A und B) oder ob er von
ihnen unabhangig ist. Eine solche Frage hat so lange keineu Sinn,
als man nicht sagt, welche Beziehungen zwischen den genannten Be-
griffen postuliert werden. Nimmt man dagegen an, daB zwischen den
Begriffen A, B, C (die wir in abstrakter Weise durch die ent-
sprechenden Synibole dargestellt betrachten) gewisse logische Be-
ziehungen bestehen, die durch ein gewisses System von Postulaten
(a, &, c, . . .), die wir als gegeben ansehen, ausgedrfickt werden,
eo wird man dartun konnen, daB C in dem System (a, &, c, . . .)
von A, _Z? undbliangig ist, indeni man eine geeignete konkrete Inter
pretation der Synibole A, J5 angibt, der zwei verscliiedene Interpre-
tationen von C zugeordnet werden konnen, so daB ein bei der ersten
Interpretation wahrer (und daher mit a, &, c, ... vertraglicher) Satz
bei der zweiten Interpretation falsch ist (Padoa 11 )*).
Was die Einteilung des folgenden Berichtes betrifft, so unter-
scheiden wir die elementare Richtung von den hoheren Ansatzen,
die entweder von der Theorie des Kontimmins oder der projektiven
Geometrie oder der allgemeinen Idee einer MaBbestiinraimg (Bogen-
element und Entfernung, Bewegungsgruppe) ausgehen. Die elemen-
tare Richtung ist durch den umnittelbaren Vergleich der samtlichen uns
gelaufigen geometrischen Begriffe charakterisiert, wahrend die anderen
hoheren Richtungen (abgesehen von der Anwendung hoherer Unter-
suchungsmittel und besonders der Analysis) einer Trennung der fun-
damentalen Begriffe in einige Familien entsprechen, von denen jede
einer breit entwickelten Geometrie zur Grundlage dient, der die
anderen Begriffe untergeordnet werden.
Xach der Darstellung dieser verschiedenen Richtungen berichtet
der letzte Abschnitt iiber die neuen Entwicklungen, die durch Ab-
straktion von dem gewohnlichen Begriffe des Kontinuums zur Kon-
struktion der nicht-Archimedischen Geometrieen gefiihrt haben.
I. Die elementare Richtung.
2. Vorbemerkung. Elementare Darstellungen der Grundlagen
der Geometrie finden sich rnehr oder minder in jedeni Lehrbuche der
element-aren Geometrie. Wir verweisen wegen vieler Einzelheiten auf
die beiden Artikel fiber Elementargeometrie. Hier handelt es sich nur
um eine allgemeine tFbersicht fiber die hauptsachlichsten in prinzi-
pieller Hinsicht unterschiedenen Ansatze.
11) Congrfcs internat. de philos. Paris 1900, 3, p. 309.
16 III A B 1. F.Enriques. Prinzipien der Geometrie.
Wir besprechen in dieser Hinsicht der Reihe nach die Begriffe
Punkt, Gerade und Ebene, Strecke und Wirikel (den Begriff ,,zivischen"),
Kongruens und Beivegung, die verschiedenen Forrnen des Stetigkeits-
begriffes und die ParallelentJieorie. Als Erganzung schlieBt sich hieran
eine Besprechung der im Sinne der alten Geometer behandelten Pro-
portionenlehre und der LeJire vom Flacheninhalt.
3. Punkt, Gerade und Ebene. Euldid (OQOI, a , /? ,/) beginnt:
etinv, ov l**BQO$ ov&sv.
ds iiqxos ankarss.
ia ds etinv, o fiijxo? xccl jeJLdxog povov s%si.
tJbersetzt :
Ein Punkt ist etwas, dessen Teil nichts ist.
Eine Lime ist eine Lange ohne Breite.
Eine Flache ist etwas, was nur Lange und Breite hat.
Und Euklid fugt hinzu 7 da6 die Grenzen der Linie Punkte und
die Grenzen der Flache Linien sind.
Er geht darauf so yor ; daB er unter den Linien und Flachen die
Gerade und die Ebene charakterisiert, wie wir es bald sehen werden.
Im AnschluB hieran gibt es zwei Wege, urn in die Elemente
der Geometrie einzudringen:
1. Man nimmt den Punkt als ersten fundamentalen Begriff an,
der durch Abstraktion aus der Yorstellung eines sehr kleinen Korpers
entstanden ist, und sucht dann durch Bewegung des Punktes die
Linien, durch Bewegung der Linien die Flachen und durch Bewegung
der Flachen die Korper (oder den Raum) zu erzeugen.
2. Man geht von dem fundamentalen Begriffe des Korpers aus
und fuhrt dann die Flachen als Grensen der Korper, die Linien als
Grenzen der Flachen und die Punkte als Grenzen der Linien ein.
Jedoch ist zu bemerken, daB man weder auf dem einen noch
auf dem andern Wege zu wirklichen logischen Definitionen kommt,
sondern nur zu Angaben und Beschreibungen von einer gewissen
physisehen und psychologischen Bedeutung.
Was den zweiten Weg betrifft, so kann man sagen, daB der Be
griff der Gfrenee eines Korpers, einer Flache, einer Linie den Begriff
der Flache, der Linie, des Punktes, den man defmieren will, bereits
enthalt, wenn er nicht etwa alle diese Begriffe gleichzeitig und
im besonderen einige Beziehungen zwischen ihnen enthalt, die schwer
festzustellen sind.
Der erste Weg scheint zwar nicht einen so deutlichen Zirkel-
schluB zu enthalten, aber er erfordeii doch eine tiefgehende Unter-
3. Puiikt, Gerade und Ebene. 17
suchung, uin zu einer logischen Systematisierung der in Rede stehenden
Begriffe zu fuhren. Und die groBe Schwierigkeit dieser Untersuchung
hangt damit zusanimen, dafi die von uns auf induktivem Wege er-
worbenen Begriffe der Linie und der Flache sich sozusagen in einer
fortschreitenden Weiterbildung befinden, der wohl bezeichnete Grenzen
sehwer zu setzen sind (vgl. Abschn. II dieses Referats und das Referat
HI A, B 2, v. Mangoldt).
Daher die Tendenz der modernen kritischen Elementargeometrie,
den ,,Punkt" als ersten fundamentalen Begriff anzunehmen und nach-
einander die einfachsten Linien und Flachen (die Gerade, die Ebene, . . .)
einzufiihren, niit deren Hilfe man dann versucht, die allgenieinsten
Begriffe der Linie und der Flache zu gewinnen. Geht man in dieser
Orduung vor, so konnen die Linien- und Flacheneigenschaften der
genannten besonderen Linien und Flachen mit der Leichtigkeit und
Bestimmtheit, die der besondere Fall gestattet, ausgesprochen werden,
wie wir es in Nr. 4 sehen werden.
Bevor wir den Begriff ,,Puiikt" verlassen, wollen wir noch be-
merken. dafi er definiert werden komite, indem man von den Be-
griffen ^Korper" und ^Bewegung" ausgeht, wenn man namlich die Be-
wegungen als Glieder einer Gruppe von Transformationen betrachtet ;
denen man die Korper unterwirft (vgl. Abschn. V B dieses Referats).
Dann entsprechen (nach Poincare) die Punkte gewissen ?? Untergruppen
der Gruppe der Bewegungen" (den Gruppen der Rotationen um die
Punkte des Raumes) und sie konnen als solche definiert werden.
Diese Entwicklungsweise wiirde zwar etwas muhsam sein, aber aus
zwei Griinden interessant:
Erstens wiirden dabei die Postulate in einer Form ausgesprochen
werden, die dem unmittelbaren Ergebnisse der physischen Erfahrungen
am nachsten komrnt;
zweitens kommt dabei zuni Vorscheiu, dafi der Begriff des
Punktes, der der Existenz gewisser Untergruppen der Gruppe der
Bewegungen entspricht, ein physisches Faktum voraussetzt.
Gehen wir nun dazu fiber, die Definitionen der Geraden und der
Ebene zu priifen.
Die Begriffe Gerade und Ebene konnen entweder als primitive
Begriffe angenommen oder aber mit Hilfe der Begriffe Kongruenz und
Bewegung definiert werden.
EuTdid definiert in seinen ,,Elementen" 12 ) die Gerade: ev&eia
TOL$ <p
12) /. L. Heibergsche Ausgabe, Leipzig 1883, 1, UQOI
Eucyklop. d. math. Wisaensch. in 1.
18 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geonietrie.
Proclus 13 ) interpretiert diese Definition, indem er sagt, da6 die
Gerade die Linie ist, deren Lange zwischen zwei Punkten mit deren
Entfernung zusammenfallt, und dann konnte man sie an die sogleich
zu nennende Archimedische Definition anschliefien.
Allgemein iibersetzt man: ,,die Gerade ist diejenige Lime, welche
zu ihren Punkten in gleicher Weise liegt", und interpretiert dies viel-
fach als diejenige Linie, welche von jedem ihrer Punkte in zwei gleiche
Teile geteilt wird 14 ). Aber diese Eigenschaft charakterisiert die Ge
rade nicht, da sie auch der Schraubenlinie zukommt.
W. Leibniz 1 *) hat die Gerade als die Linie betrachtet, welche die
Ebene in zwei kongruente Teile teilt (und die Ebene als die Flache,
welche den Ranm in zwei kongruente Teile teilt).
Diese Vorstellungen von Euklid und Leibniz konnen zu einer
logischen Formulierung der Prinzipien der Geometric fuhren, wenn
man als primitive Begriffe die Begriffe Punkt und gleiclie Entfernung
annimrnt und mit Hilfe eines geeigneten Systems von Postulaten die
Symmetrie auf der Geraden, in der Ebene und irn Raume herstellt 16 ).
Archimedes 11 ) hat die Gerade als die kiirzeste Linie zwischen zwei
Punkten betrachtet, und dieser Begriff ist dann von A. M. Legendre 1 *)
wieder aufgenomnien worden. Auch er kann zu einer logischen De
finition der Geraden fiihren, wenn man als primitiven Begriff den der
Entfernung zwischen zwei Punkten (oder genauer den Begriff gleicJier,
grofierer oder Tdeinerer Entfernung bei zwei [als fest betrachteten]
Punktepaaren) annimmt. Auf Grund eines geeigneten Systems von
Postulaten kann man dann unter gewissen Bedingungen die Ldnge
einer Linie und daher die Gerade als die Linie kleinster Lange zwi
schen zwei Punkten definieren 19 ).
Allgemeiner bekannt ist die auch von Leibniz 20 ) und anderen ge-
brauchte und von M. Simon 21 ) im Proclus wiedergefundene Definition,
13) Commentarii, p. 109.
14) In bezug auf diese verschiedenen Interpretation en vgl. M . Simon, Euklid
und die sechs planimetrischen Biicher, Leipzig 1901, p. 26; vgl. auch H. G. Zeuthen,
Geschichte der Mathematik im Altertum, Kopenhagen 1896.
15) , 9 Leibnizen& Mathematische Schriften u , herausgegeben von C. J. Gerhardt,
erste Abteilung, 1, Berlin 1849, p. 196.
16) Vgl. T. Broden, Pedagogiske Tidskrift, Halmstad 1890.
17) USQL GrpaiQccs Y-ttl xvUvdgov, ^CC^KVO^LEVK K, opera I, p. 8; vgl. P. Du
Bois-Reymond, Math. Ann. 15 (1879), p. 283.
18) Elements de ge ometrie, 2. edit., Paris an VIII, p. 1.
19) Vgl. J?. Bettazzi, Ann. di mat. (2) 20 (1892), p. 19.
20) Mathematische Schriften, erste Abtheilung, 1, p. 196, und zweite Ab
teilung, 1, p. 164.
21) ,,Eiiklid", p. 26.
3. Punkt, Gerade und Ebene. 19
nach welcher die Gerade als die Lime betrachtet wird, die unbewegt
bleibt, wenn man sie um zwei ihrer Punkte rotieren laBt. C. F. Gait ft
bemerkt bei Gelegenheit (vgl. Werke 8, p. 196), dafi man sich dieser
Eigenschaft gerade in der Praxis, wenn man die Operationen mit dem
Theodolitben vornimmt, bedient, um festzustellen, ob eine Linie eine
Gerade ist.
Viele Mathernatiker (darunter H. Grafimann**j) haben die Gerade
als diejenige Linie betrachtet, welche in jedem ihrer Ptmkte eine
konstante Richtnng beibehalt. Soil diese Definition annehmbar sein,
so niuB man als primitiven Begriff den der Riclitung annehrnen, und
das kann z. B. in Beziehung auf zwei Punkte, unabhangig von. dem
Begriffe der Geraden, geschehen. Diese Idee ist noch neuerdings von
Ediv. F. Dixon 23 ) entwickelt worden. Sie hangt mit der anderen Grafi-
manmchen. Idee zusammen, nach welcher die Geometric als ein geome-
trisclies Eeclmen mit Streckeii oder, modern ausgedriickt, als eine Vektor-
analysis dargestellt wird 24 ). Die Grundvorstellungen und -satze dieses
geometrischen Rechnens hat kiirzlich G. Peano 2 ) analysiert. Weitere
Untersuchungen fiber diesen Gegenstand haben G.Darboux 26 ), F.Siacci* 1 },
E. ScMmmack**), I. Sclmr-*\ G. Hamel 30 ) veroffentlicht,
Eine bernerkenswertere Definition der Geraden und der Ebene
ist die von W. Leibniz* 1 } erdachte und dann von Jdh. Bolyai 8 *)
uud JV. Lobatschefskij**) wieder aufgenommene und entwickelte, die
darin besteht, dafi man die Ebene als den Ort der Punkte betrachtet,
22) Ygl. Ausdehnunglehre von 1844, Einleitung, Abschu. C, Ges. Werke I 1,
p. 28 : ,,Die einfache Ausdehnungsform ist die Form , welche durch eine nach
deinselben Gesetze erfolgende Andening des erzeugenden Elementes entateht";
p. 29: ,,In der Raumlehre ist die Gleichheit der Richtung das die einzelnen
Anderungen umfassende Gesetz".
23) The foundations of geometry, Cambridge 1891.
24) Vgl. etwa den orientierenden Aufsatz von H. Grafimann: Kiirze Uber-
sicht iiber das Wesen der Ausdehnungslehre, Arch. Math. Phys. 6 (1845), wieder
abgedrackt: Ges. Werke I 1, p. 297 ff., insbesondere die Abschnitte HI und IV.
25) Calcolo geonietrico secondo 1 Ausdehnungslehre di H. Graflmann , Torino
1888.
26) Bull. math. astr. 9 (1875), p. 281, abgedruckt als Note 1 in Despeyrous,
Cours de Mecanique 1 (1884), p. 371.
27) Napoli Rend. (3) 5 (1899), p. 34.
28) Gottinger Nachrichten 1903, p. 34.
29) Zeitschr. Math. Phys. 49 (1903), p. 352.
30) Zeitschr. Math. Phys. 49 (1903), p. 362.
31) Math. Schriften, zweite Abteilung, 1, p. 1(56.
32) Vgl. W. Bolyai, Tentamen, editio secunda II, Budapest 1904, p. 8.
33) N. J. Lobrt.tsclii fskij, Zwei geornetrisehe Abhandlungen , 1, p. 7 und 95.
20 IIIABl. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie.
die von zwei gegebenen Punkten gleichen Abstand haben 34 ), und die
Gerade als den Ort der Punkte, die von drei Punkten, deren gegen-
seitige Eiitfernungen den bekannten, zwischen den Seiten eines Drei-
ecks bestehenden Ungleichheiten geniigen, gleich weit entfernt sind,
oder auch als den Ort der Beriihrungspunkte der Kugeln, die zwei
gegebene Mittelpunkte liaben (vgl. auch Gr. Peano, FuBnote 60). Der
Begriff der gleichen Entfcrnung von Punktepaaren tritt hier wieder als
primitiv auf.
Wenn die Ebene nicht gleichzeitig mit der Geraden oder vor ihr
definiert wird, so kann man den Begriff der Ebene unmittelbar auf
den der Geraden zuriickfiihren.
Euklid definiert die Ebene: fatfae$o$ situpccvfid etinv, ijng &Z
t<5ov ratg f qp eavrils sv&ehxis xsiTai, was man gewohiilich iibersetzt:
eine Ebene ist eine Flache, die gleichrnaBig zu ihren Geraden liegt.
Diese Definition enthalt sicher Uberfliissiges; in der Tat ist die Ebene
schon definiert als diejenige Fliiche, welche die Gerade, die zwei be-
liebige ihrer Punkte verbindet, ganz enthalt 5 diese Definition kann
man bis auf Heron zuriickfiihren.
C. F. 6rf/w/J 35 ) hob hervor, dafi diese Definition ein Postulat ent
halt, da eine Gerade und ein auBerhalb derselben gelegener Punkt schon
die Erzeugung der Ebene geben. Er hat vorgeschlagen, die Ebene
als den Ort der in einem Punkte zu einer Achse errichteten Normalen
zu definieren. Die gewohnliche Definition verwandelt sich dann in
ein Theorem, mit dessen Beweis sich Gaufi in seinem Nachlasse be-
schaftigt 36 ).
Eine analoge tJberlegung hat F. Deahna* 1 ) ausgefiihrt. Er geht
von einer Erzeugung der Ebene aus, die von der vorhergehenden
wenig verschieden ist. Nachdem er zunachst die Begriffe der Geraden
und der Kugel (mit Zugrundelegung des Begriffes der gleichen Ent-
fernung) aufgestellt hat, ninimt er an, daft man die Kugel urn einen
Durchmesser in der Weise bewegen kann, daB jeder Punkt eine ge-
schlossene Linie (einen Kreis) beschreibt; unter diesen Kreisen gibt es
einen, der die Kugel in zwei kongruente Teile teilt; die Geraden,
34) Genau durch diesen Ansatz entstelit die Hesseache Normalform der
Gleichung der Ebene.
35) Brief an Bessel vom 27. Januar 1829 ; Werke 8, p. 200.
36) Werke 8, p. 194.
37) Demonstratio theoreniatis geometric! fundamentalis atque hucusque
pro axiomate suniti: ,,esse superficiem planam u , Diss. Marburg 1837; vgl.
W. Killing, Einfiihrung in die Grundlagen der Geometric^ Paderborn 1893 und
1898, 2, p. 183.
3. Punkt, Gerade und Ebene. 21
welch e die Punkte dieses Kreises mit dem Mittelpunkte der Kugel
verbinden, erzeugen eine Ebene.
Neuerdings ist die Frage der Ebene von G. Veronese 58 ) einer neuen
Priifung unterworfen worden. Dieser definiert, nachdem er einige ein-
fache Postulate iiber die Gerade und die Kongruenz (vgl. Nr. 5) aus-
gesprochen hat, (fiir den Euklidischen Fall) zwei Gerade als parallel,
wenn sie in bezug auf einen Punkt entgegengesetzt (synanietrisch)
sind, und flihrt das Postulat ein: ?? Zwei parallele Gerade sind in bezug
auf den Mittelpunkt jeder Strecke, deren Endpunkte auf ihnen liegen,
entgegengesetzt." Auf dieser Grundlage konstruiert er die Ebene
mit Hilfe des Biischels der Geraden, die von einem auBerhalb gelege-
nen Punkte A aus die Punkte einer Geraden a projizieren, wobei die
durch A zu a gezogene Parallele hinzugefugt wird, und darauf beweist
er, daB die so konstruierte Ebene die Gerade enthalt, die zwei be-
liebige ihrer Punkte verbindet 39 ).
Gerade, Linie und Ebene lassen sich auch gruppentheoretisch
fas sen.
Naclidein wir untersucht haben, wie die Begriffe Gerade und
Ebe)ie mit Hilfe der Kongruenz und der Bewegung definiert werden
konnen, wollen wir von der Idee sprechen, die Gerade oder die
geradlinige Strecke und die Ebene oder die ebene Flaehe als fwnda-
mentale, durch einige Gruppen von Postulaten charakterisierte Be
griffe anzunehmen.
Wenn man von dem Begriife der geradlinigen Strecke ausgeht,
so kann man die Gerade definieren (Pascli, Neuere Geometric; Peano,
Principii und Fondamenti), und ebenso kann man die unbegrenzte
Ebene definieren, wenn man in geeigneter Weise die Eigenschaften
einer ebeneu Flaehe postuliert, indem man also ein geeignetes Raum-
38) Fondamenti di geometria, Padova 1891, deutsch von A. Schepp, Leipzig
1894, Buch I, Xr. 19, II, Xr. 7, ausfuhrlicher in den Elementi.
39) Veronese hat angedeuiet, wie man unabhangig von dem genannten
Parallelenpostulat (das das Euklidische Parallelenpostulat und vielleicht etwas
mehr enthalt) die Frage der Ebene unter der Lobatschefskijscheu Annahme be-
handeln konne, und er hat auch den Riemannschen Fall, in welchem es keine
Parallelen gibt (Nr. 8), n aher betrachtet. Aber in diesem Falle, in dem die voll-
standige Ebene durch die Projektion der (geschlossenen) Geraden von einem
auBern Punkte aus gegeben ist, wird der Satz von der Ebene von Veronese nur
unter Zuhilfenahme einer weiteren Annahme bewiesen, in der der Begriff des
unendlich groBen und des unendlich kleinen Gebietes auftritt. Der Autor driickt
iibrigens die Meinung aus, daB diese Annahme in semeni Systeme iiberflussig
sein umB. Aber diese Meinung bedarf noch der Rechtfertigung.
22 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geoinetrie.
stuck betrachtet: dagegen muB man, weim man von dem fundamen-
talen Begriffe der Geraden ausgeht, einen anderen primitiven Begriff
hinzunelimen ; um die Strecke zu definieren.
Wir behalten uns vor, die Formulierung der Postulate, zu der
man gelangt, wenn man den ersten Weg einschlagt, auseinander-
zusetzen, wenn wir von den Prinzipien der projektiven Geometric
sprechen werden (HI.), und wollen jetzt den anderen Weg durch-
laufen, um zu zeigen, wie sicli dabei die Eigenschaften, die mit den Be-
ziehungen der Lage oder des EinanderangeMrens (der ,,Verkniipfung"
bei Hilbert, Grundlagen, p. 2) von Gerade und Ebene zusammenhangen,
bis auf einen gewissen Punkt getrennt von den Linien- und Flachen-
eigenscnaften (den Postulaten der Anordnung, der Teilung) ergeben.
Die Postulate des Einanderangehb rens (der Verkniipfung) konnen
wie folgt formuliert werden 40 ):
I. Man setzt eine Klasse von Elementen, Punkte genannt, (deren
Inbegriif Eaum genannt wird), als gegeben voraus und in ibr Unter-
klassen (Gerade und Ebenen), die folgenden Postulaten genugen:
1) Zwei Punkte gehoren einer und nur einer Geraden an.
2) Drei Punkte, die nicht einer Geraden angehoren, gehoren einer
und nur einer Ebene an.
3) Die durch zwei Punkte einer Ebene bestimmte Gerade gebort
der Ebene an.
4) Zwei Ebenen, die einen Punkt gemeinsam haben, baben noch
einen anderen Punkt (und also eine Gerade) gemeinsam.
Diesen Postulaten von zunachst nur bypothetischer Form fiigt
man die Existenzpostulate binzu, die die Existenz mehrerer verschie-
dener Punkte und von Punkten aufterltalb einer Geraden oder einer
Ebene bebaupten. Die Existenz einer unendlicben Zahl verschiedener
Punkte, Geraden und Ebenen folgt danu aus den erst weiter unten
unter II anzufiibrenden Postulaten der Anordnung.
Es ist zu bemerken, daB das vierte Postulat die Dreidimensiona-
litat des Raumes ausspricbt und auf Grund der in geeigneter Weise
als Postulat ausgesprocbenen Eigenscbaft der Ebene, den Raum in
zwei Teile zu teilen, bewiesen werden kann (vgl. Nr. 4).
4. Strecke, Winkel (der Begriff ,,zwischen"). Wir geben nun
dazu iiber, die Postulate zu untersucben, die die Linieneigenschaften
der Geraden und die Fldclieneigenscliaften der Ebene ausdriicken
(vgl. Absclin. II. Theorie des Kontinuums) und sicb auf die Begriffe
40) Wir bezeichnen sie mit der Zifter I, weil wir spater weiter numerieren ;
vgl. 4.
4. Strecke, Winkel. 23
,,zwischen", ,,naturliche Ordnung der Punkte einer Geraden", ,,Strecke",
Strahl", ,,Seite der Ebene", ,,Winkel" beziehen.
Bei Eiiklid und seinen Naehfolgern werden diese Begriffe noch
nicht untersucht nnd Postulate, die sich auf sie beziehen, nicht for-
muliert, aber solche Postulate sind notig, wenn man wunscht, da8 die
geonietrische Betrachtung rein logisch und von dem Gegeustande der
Ansehauung unabhangig ist.
C. F. Gau ft hat schon friihzeitig darauf aufmerksam gemacht 41 ),
dafi der Begriff ,,zwischen" einer strengen Formulierung bedarf.
Andererseits hat Her bart benierkt, dafi der Begriff der Ordnung der
Punkte einer Geraden der ganzen Geometric zugrunde liegt. Nun
verfiigte die analytische Geometric durch ihre Vorseiclien immer iiber
den Begriff snvischen. Dieses Prinzip der Zeichen hat dann A. F.
Jlobius ( Barycentrischer Calcul) in die reine Geonietrie iibertragen,
und auch H. Graflmann macht in seiner Ausdehnungslehre von 1844
davon konsequenten Gebrauch. Jedoch verdanken wir eine Syste-
matierung dieser Dinge, d. h. die Aufstellung eines Postulatensysterns
zur Charakterisierung dieser Beziehungen erst ]\I. PascJi (Neuere
Geometric, 1882), und derselbe Gegenstand ist dann in verschiedener
Weise von G. Peano (Principii und Fondamenti), G. Veronese (Fonda-
nienti), D. Hilbert (Gnindlagen) u. A. behandelt worden (vgl. Abschn. II.
Theorie des Kontinuunis).
Man kann zwei Arten, diese Untersuchung zu flihren, unter-
scheiden, und zwar kniipfen diese gewissermafien an die erwahnten
Bemerkungen von Gaufi und von Her bart an: es handelt sich namlich
da-rum, ob man sich auf den Begriff der fertigen oder den der werdcn-
den Figur bezieht.
a. Die Liniemigemchaften der Geraden konnen der fertigen Figur
gegenuber postuliert werden, wenn man von dem Begriffe ,,zwischen"
oder ,,Zerlegung in Teile" ausgeht, und zwar in folgender Weise:
II. 1) Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind und B zwischen
A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A.
2) Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt
es stets wenigstens einen Punkt J5, der zwischen A und
C liegt, und wenigstens einen Punkt Z), so dafi C zwischen
A und D liegt.
3) Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets
einen und nur einen, der zwischen den beiden anderen
liegt 42 ).
41) Brief an W. Bolyai vom 6. Marz 1832, Werke 8, p. 222.
42) Nach D. Hilbert, Gnindlagen, p. 4.
24 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie.
Oder in folgender Weise:
II . Jeder Punkt A der Geraden zerleyt die Gerade in zwei Klassen
von Punkten (Teile), die man mit den Namen rechter Teil und linker
Teil bezeichnen kann, in der Weise, daB:
1) jeder von A verschiedene Punkt eineni der beiden Teile an-
gehort;
2) wenn A sich zur Linken (oder zur Rechten) von einem anderen
Punkt B befindet, jeder Punkt zur Linken (oder zur Rechten)
von A sich zur Linken (oder zur Rechten) von B befindet;
3) wenn A sich zur Linken von B befindet, B sich zur Rechten
von A befindet.
Stellt man sich der iverdenden Figur gegeniiber, so hat man:
II". Die Punkte der Geraden sind in zwei (naturlichen) Ordmingen,
von denen die eine der anderen entgegengesetzt ist, in der Weise an-
einander gereiht, dafi bei Betrachtung einer bestimmten Ordnung:
1) wenn zwei Punkte A, B der Geraden gegeben sind, einer von
ihnen, z. B. A, dem anderen, B, vorangeht, und alsdann B auf
A folgt-,
2) wenn drei Punkte A, B, C gegeben sind und A dem B und B
dem C vorangeht, A dem C vorangeht;
3) zwischen zwei Punkten A und B Zwischenpunkte (die dem einen
vorangehen und auf den anderen folgen) existieren;
4) kein erster (alien vorangehender) Punkt und auch kein letzter
Punkt existiert.
Auf Grand dieses Postulats laBt sich die Strecke mit den End--
punkten A und B auf der Geraden (die die Zwischenpunkte enthalt)
definieren und der Beweis ihrer elementaren Eigenschaften fiihren.
1). Gehen wir nun zu den Flacheneigenschaften der Ebene.
Stellt man sich der fertigen Figur gegeniiber, so kann man die
Zerlegung der Ebene in zwei Teile durch eine ihrer Geraden zu Grunde
legen, deren fundamental Eigenschaft man (mit Pasch) durch das
folgende Postulat ausdriickt, das wir in Anlehnung an die voran-
gehenden Postulate II 1 3 mit II 4 bezeichnen:
II. 4) Sind in einer Ebene drei Strecken AB,BC, CA gegeben, so
hat eine Gerade (der Ebene), die mit einer von ihnen einen Punkt ge-
ineinsam hat, auch mit einer der beiden anderen einen Punkt gemeinsam.
Eben infolge dieses Postulats wird die Ebene durch eine ihrer
Geraden, r, in zwei Teile (Seiten oder Halbebeneri) in der Weise ge-
teilt, daB die Strecke, die zwei (nicht auf r liegende) auf derselben
Seite von r befindliche Punkte verbindet, keinen Punkt mit r ge-
4. Strecke, Winkel. 25
meinsam hat, wahrend die Strecke, die zwei nicht auf derselben Seite
von r befindliche Punkte verbindet, mit r einen Punkt gemeinsam hat,
Man kann dieselben Eigenschaften einfiihren, wenn man die
iverdende Figur betrachtet. Dies geschieht fiir die Euklidische Geo
metric in einfacher Weise, indem man folgendes postuliert:
1) das Euklidische Parallelenpostulat,
2) daB, wenn zwei von einem Punkt ausgehende Geradenpaare
von einer (zu keiner der vier Geraden parallelen) Transversalen in zwei
sich trennenden Punktepaaren geschnitten werden, dasselbe fiir jede
andere Transversale gilt, die nicht durch geht und keiner der vier
Geraden parallel ist (vgl. Abschn. III).
Das Pasc7*sche Postulat fiihrt sofort zur Definition der Winkel-
felder, in die zwei sich schneidende Gerade die Ebene zerlegen, und
der zugehorigen Winkel.
Hier sei daran erinnert, daB die Frage, wie man den WinTcel de-
finieren soil, zu manchen Erorterungen gefiihrt hat.
EnJilid (o ()ot, Y{~) bezeichnet den WMel als die ,,Neigung" zweier
sich schneidender Geraden, was offenbar eine Tautologie ist. Andere
haben den Winkel als das ,,MaB einer Drehung" betrachtet. Das
Wesentliche dessen, was hier vorliegt, besteht in der Existenz einer
gewissen Invariants bei einem Paar sich schneidender Geraden gegen-
iiber der Gruppe der Bewegungen. Der Begriff einer solchen In
variante (der WinkelgroBe) ist fur die gewohnliche Theorie der Kon-
gruenz offenbar ausreichend.
Jedoch spielt der Winkel bei anderen Fragen eine hiervon ver-
schiedene Rolle. Dies kann man vor allem behaupten, soweit es sich
urn gewisse Yerhaltnisse der Lage, urn r Punkte inuerhalb eines Winkels"
usw. handelt. Im Hinblick auf diese Beziehungen ist ein Winkel-
begriff erwiinscht, der von dem Begriffe der Winkelkongruenz unab-
hangig ist. Daher ist der Winkel (von Louis Bertrand 4 *)} als ein Teil
der Ebene definiert worden, und zwar als ,,der Teil, der zwei, durch die
Schenkel begrenzten Halbebenen gemeinsam ist (als ihre Interferenz)".
G. Veronese^ bemerkt, daB die so definierte Figur (Winkelfeld
oder -ausschnitt) der gewohnlichen Anschauung des Winkels, der als
etwas Eindimensionales, als ein Teil des Strahlenbiischels, betrachtet
wird, nicht entspricht. Darum schlagt er (in Anlehnung an das in
der projektiven Geometric herrschende Prinzip der Dualitat) vor, den
43) Developpement nouveau de la partie elementaire des ruatkematiques,
2 vol., Geneve 1774.
44) Grundziige, p. 307 f. und 695; Element!.
26 III A B 1. jP. Enriques. Prinzipien der Geometric.
Winkel als die Gesaintheit der zwisclien zwei Strahlen befindlichen
Stralilen zu definieren.
Wir wollen endlich noch hinzufiigen, daB man auf Grund des
Paschschen Postulats alle Lagenverhaltnisse der polygonalen Figuren
allgemein entwickeln und im besonderen die Flaclie eines Polygons"
definieren kann. Veronese^) kommt zu diesen Entwicklungen auf
rekurrente Weise, indem er zunachst das Dreieck (namlich die Flache
des Dreiecks) als den Teil der Ebene, der zwei Winkeln gemeinsani
ist, dann das konvexe Polygon als die Summe (Vereinigung) von Drei-
ecken betrachtet; werden diese Entwicklungen an die genetische Kon-
struktion der Ebene angekniipft, so treten sie bei ihni in Beziehung
zu dem Begriffe der Parallelen (vgl. Nr. 8). Enriques und Arnoldi* 6 )
definieren das konvexe Polygon als ,,die Interferenz der Halbebenen,
die die Eckpunkte enthalten und von den Seiten begrenzt sind" und
leiten daraus die elementaren Eigenschaften der Lage her, indem sie
das Paschsche Postulat direkt anwenden.
Die beiden Teile, in die eine Ebene durch ein konvexes Polygon
zerlegt wird, lassen sich ebenfalls durcli Vereinigung" und ^Interferenz"
von Halbebenen definieren, und liieran anschlieBend leitet man dann die
fundamentale Eigenschaft her, daB eine nicht durcli einen Eckpunkt des
Polygons gehende, zwei Punkte verbindende Strecke den Umfang in
einer geraden oder in einer ungeraden Zahl von Punkten trifft, je nach-
dem die beiden genannten Punkte demselben Teile der Ebene angehoren
oder nicht. Der innere Teil (die Flache des Polygons) scheint sich
von dem auBeren Teile nur durch Beriicksichtigung der Unendlichkeit
des zweiten unterscheiden zu lassen.
c. Die oben untersuchten Begriffe der ebenen Geometric er-
strecken sich auch auf den Eaum.
Die Teile oder Seiten, in welche der Raurn durch eine Ebene
zerlegt wird, lassen sich definieren, wenn man ein dem PascJtschen
Postulat analoges Postulat annimmt, das die Aussage enthalt, daB
,,der Raum drei Diniensionen hat", und zu beweisen erlaubt, daB
,,zwei Ebenen, die einen Punkt gemeinsam haben, eine Gerade ge-
meinsam haben". Wenn man dagegen diese Eigenschaft als Postulat
annimmt (wie in Nr. 3), so folgt die Zerlegung des Raumes durch
eine Ebene aus dem Pasc/^schen Postulat in bezug auf die Ebene.
Der Begriff des Flachenwinkels ist dent des Winkels analog und
gibt zu neuen Betrachtungen keinen AnlaB.
45) Grandztige, p. 346 if. ; Elementi.
46) Elementi di geometria, Bologna 1903, p. 98.
5. Kongruenz und Bewegung. 27
Die allgenieine Definition des Polyeclers (der polyedrischen Figur
oder des geschlossenen Korpers) erfordert einige Aufmerksamkeit; im
besonderen tritt hier eiue neue Scliwierigkeit in der Definition der
polyedrischen Figur (unabhangig von dem Begriffe des Korpers) auf
(vgl. Ill A, Bo, Delm-Hecyard, Analysis situs, und die spateren Referate
fiber Polyeder).
Wir schlieBen die Untersuchung dieser Begriffe mit der Be-
nierkung ab, daB die Begriffe des Sinnes eines Winkels (oder
einer Figur, einer Strecke usw.) in der Ebene und des Sinnes einer
Sdtraiibenlinie im Raume (des Sinnes eines Flachenwinkels usw.) auf
Grand des Paschseheu Postulats und des analogen Satzes fiir den
Raum aufgestellt werden konnen, ohne daB andere primitive Anschau-
ungen zu Hilfe zu nehmen sind; dieser Gegenstand ist in verschiedener
Weise von G. Veronese und Enriques-Amaldi behandelt worden 47 ).
5. Kongruenz und Bewegung. Hinsichtlich der Kongruenz oder
geometrischen Gleichheit und der Bewegung (der starren Korper),
die jene (im physischen Raume) zu verifizieren gestattet, gibt es zwei
verschiedene Anschauungsweisen.
Xach einigen bietet der Begriff der Bewegung, insofern durch
eine Bewegung Figuren zur Deckung gebracht werden konnen, die
Definition der Kongruenz dar. Nach anderen schlieBt der Begriff der
geometrischen Bewegung, d. i. einer Lagenanderung ohne Deformation,
bereits implicite den Begriff der Kongruenz ein.
Wir wollen nicht von den Versuchen sprechen, die seit Eultlid
gemacht worden sind, den Begriff der Bewegung aus den Prinzipien
der Geometric zu verbannen. Wir wollen nur daran erinnern, daB in
neuester Zeit H. v. HdmhoUs 4 *) behauptet hat, daB der Begriff der Be
wegung (wenn man von der Zeit abstrahiert) die naturliche Grund-
lage des Begriffes der Kongruenz ist (Abschn. V B), und daB aus
diesem Gruiide spater J. Hoitel^) es als die Frucht einer Gedankenver-
wirrung bezeichnet hat, die Bewegung aus den Elementen der Geo
metric verbannen zu wollen. Auch Poincare (Wissenschaft und Hypo-
these) betrachtet den Begriff der Bewegung als den eigentlichen
Funclamentalbegriff der Geometric. Ebenso z. B. Ch. Mcmy).
47) G. Veronese, Elementi di geometria; Enriques-Amaldi, Eleinenti di geo-
raetria, p. 58. Vgl. auch den Artikel von U. Amaldi in Enriques. Questioni,
und B. Levi, Per. di mat. (3) 1 (1904) p. 207.
48) Wissensch. Abhandl. 2, p. 610 u. 618.
49) Essai critique sur les principes fondamentaux de la geometric elenieu-
taire, Paris 1883.
50) Nouveaux elements de geometrie, Dijon 1874, 2. Auflage 1903. Meray
28 HI A B 1. F. Enriqiies. Prinzipien der Geometrie.
Aber auf mathematischem Gebiete konnen beide erw ahnte An-
schauungsweisen als legitim verteidigt werden. Wenn man auch zu-
gibt, daB in der psychologischen Entstehung der Begriff der Kon-
gruenz ID der physischen Bewegung der starren Korper semen
Ursprung hat, so kann man doch nicht leugnen, daB der entwickelte
Geist des Mathematikers die beiden Begriffe der Kongruenz und der
Bewegung in gleicher Weise enthalt, so daB jeder von ihnen (unab-
hangig von deni andern) logisch als ein primitiver Begriff, der durch
ein geeignetes System von Postulaten zu charakterisieren ist, an-
genommen werden kann. Und vielleicht ist nicht ohne tiefere Priifung
die Meinung von der Hand zu weisen, daB die Kongruenz, als eine
pliysische Beziehung aufgefaBt, an und fur sich eine Bedeutung hat,
unabhangig von der Bewegung der Korper.
Neben den beiden oben erwahnten Anschauungsweisen niochte
eine dritte (Veronese^ 1 ]) den Begriff der geometrischen Kongruenz mit
demjenigen der logischen Identitat verkniipfen. Aber es ist schon,
und wie uns scheint init Recht, von der Kritik hervorgehoben worden,
daB diese Anschauungsweise sich auf eine falsche Auffassung des
logischen Prinzips der Identitat stiitzt.
Wir mochten nun hier, wo es sich um die elementare Richtung
handelt, die Postulatensysteme kurz angegeben, mit deren Hilfe
M. Pasch, G. Veronese und D. Hilbert die fundamentalen Eigenschaften
der geometrischen Kongruenz logisch forinuliert haben, wahrend wir
spater (Nr. 32 35) die Entwicklungen priifen wollen, nach welchen,
entsprechend den Ideen von H. v. Helmlioltz, die Gesamtheit der Be-
wegungen sich als eine Gnippe von Transformations charakteri
sieren lafit.
a. M. Pasch (Neuere Geometric) fiihrt, nachdem er die deskrip-
tiven 52 ) Eigenschaften der Geraden und der Ebene in Postulaten, die den
Postulaten I und II der Nrn. 3 und 4: Equivalent sind, formuliert hat,
als logisch primitiven (wenn auch psychologisch durch die Erfahrung
der Bewegung erworbenen) Begriff den Begriff der Kongruenz zivisclien
zwei aus Pankten bestehenden geometrischen Figuren ein; diese Be
ziehung wollen wir durch M =r^ M bezeichnen.
Die Kongruenz wird als eine umkehrbar eindeutige Beziehung
zwischen den Punkten der beiden Figuren aufgefaBt von folgender Art:
geht von der Translation aus, um zum Begriffe des Parallelisinus zu gelangen
(p. 21), und die Rotation fuhrt ihn zum BegrifFe der Orthogonalitat (p. 31).
51) Grundziige, Teil I, Buch 1.
52) Vgl. FuBnote 5.
5. Kongruenz und Bewegung. 29
Homologe Teile kongruenter Figuren sind kongruent. Figuren,
die einer dritten kongruent sind, sind unter einander kongruent.
Wenn zwei Figuren M und H kongruent sind (M = H ) und man
fiigt zu M einen Punkt A hinzu, so kann man iniiner einen Punkt A
in der Weise wahlen, daB die zusaniinengesetzten Figuren M -\- A
und M + A kongruent sind (M + A = M + A).
Fur die Gerade und die Ebene werden die fundamentalen Eigen-
schaften der Kongruenz durch sieben Postulate ausgesprochen, deren
Inhalt wir im folgenden angeben, indem wir Punkte mit den Buch-
staben A, B, C, . . . bezeichnen. Die ersten fiinf dieser Postulate
beziehen sich auf die Gerade,, die beiden ubrigen auf die Ebene.
1) Die Figuren AS und BA sind kongruent. d. b. AB=BA.
2) In der (ebenen) Figur ABC gibt es auf der Geraden AC in
dem Teile, wo C liegt, einen bestimmten Punkt B , so daB AB =AB.
3) Wenn ABC = AB C und C ein Punkt innerhalb der Strecke
AB ist, so ist ein Punkt innerhalb der Strecke A B .
J4) Wenn der Punkt C l sich innerhalb der Strecke AB befindet
und man auf der Geraden AB in dem Teile, der A nicht enthalt, den
Punkt C 2 in der Weise konstruiert, daB C t C 2 = AC^, darauf den
Punkt C 3 in der Weise, das C 2 C 3 ^:= C 1 C 2J .. ., so erhalt man eine
Strecke C n C n + l , die den Punkt B enthalt,
5) Wenn in der Figur ABC AB=BC ist, so ist ABC^CBA.
6) Wenn D, E } F drei nicht in gerader Linie liegende Punkte
sind und AB^DE ist, so gibt es in einer gegebenen, durch AB
gehenden Ebene g-ivei Punkte C von der Art, daB ABC = DEF.
7) Wenn zwei nicht ebene Figuren A BCD und ABCE kon
gruent sind, so fallt der Punkt E mit D zusammen.
Die Annahme 4) enthalt das sogenannte Arcliimedisclie Posfafat,
von dem wir weiter unten noch ausfiihrlicher handeln werden.
b. Wenn auch dieses Pa^sche System logisch vollkommen ist,
so bedeutet ihm gegeniiber das Postulatensystem von G. Veronese doch
insofern einen Fortschritt, als es nicht den Begriff der Kongruenz
zwischen irgend welch en zwei Figuren als priniitiv annimmt, sondem
nur den Begriff der Kongjuens zweier Strecken.
Es wird durch fiinf Postulate, deren Inhalt wir im foigenden an-
geben 53 ), charakterisiert.
53) Bei dieser Formulierung sind nicht nur die Fondamenti, sondern auch
zum Teil die Elementi des genannten Verfassers berucksichtigt , jedoch wird
hier das (in den Element! nicht euthaltene) allgemeine Postulatensystem, das von
dem Parallelenpostulat absieht, vriedergegeben.
30 HI A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie.
1) Die Kongruenz zwischen zwei Strecken ist eine umkehrbar
eindeutige Beziehung zwischen deren Punkten, in der aufeinander-
folgenden Punkten aufeinanderfolgende Punkte entsprechen und homo-
loge Teilstrecken kongruent sind.
2) Strecken, die einer dritten kongruent sind, sind unter einander
kongruent.
3) Ist auf einer Geraden eine Strecke AB gegeben und ein
Punkt C, so gibt es auf der Geraden eine bestimmte Strecke CD,
die AB kongruent ist und denselben Sinn hat.
4) Ist auf einer Geraden eine Strecke AB gegeben, so gibt es
auf ihr eine bestimmte Strecke AB { , die AB kongruent ist und den
entgegengesetzten Sinn hat.
5) Wenn zwei Gerade einen Punkt A gemeinsam haben, so ist
jeder Strecke AB der einen eine Strecke AB der anderen (und eine
Strecke AB" von entgegengesetztem Sinne) kongruent.
Auf Grund dieser Postulate und der Postulate, die den primi-
tiven Begriff der Geraden (die Ordnung ihrer Punkte, ihre Stetigkeit
im Sinne der Nr. 7, ihre Bestimmung durch zivei Punkte) definieren,
kann man irgend zwei Strecken mit einander vergleichen, indem man
von grofieren und Jcleineren Strecken, von der Summe oder der Diffe
rent zweier Strecken usw. spricht. Im librigen enthalten diese Postu
late noch nicht das Archimedische Postulat, das man daher, wenn man
es braucht, den vorhergehenden hinzufugen muB.
Die Kongruenz irgend welcher zweier (aus Punkten zusammen-
gesetzter) Figuren laBt sich darauf als eine Beziehung von der Art
definieren, daB die durch homologe Punktepaare bestimrnten Strecken
kongruent sind.
Zum Studium der kongruenten Figuren flihrt G. Veronese schlieB-
lich ein Postulat liber die inzidenten Geradenpaare (d.h. die Winkel) ein:
6) Wenn AB, AC und A B, AC zwei Geradenpaare sind und
die Strecken der Paare AB, AB-, AC, AC -, BC, BC kongruent
sind, so sind die beiden genannten Geradenpaare kongruent.
Und auBerdem benutzt er das Postulat:
7) Wenn eine Seite eines Dreiecks unendlich klein wird, so wird
die Differenz der beiden anderen Seiten auch unendlich klein.
Wenn bei diesem Postulatensystein und seiner Entwicklung
manches etwas koinpliziert erscheint, so hangt dies mit den beiden
Forderungen zusammen, die der Verfasser sich gestellt hat, namlich
1) die fundamental Eigenschaft der Ebene (vgl. Nr. 3) nicht als
gegeben anzunehmen und 2) den Begriff der Kongruenz und im be-
5. Kongruenz und Bewegung. 31
sonderen der Winkelkongruenz allein auf den der Streckenkongruenz
zuruckzufiihren.
Die Bedeutung des letzten Postulats iiber die Stetigkeit der
Ebene (die bei dem gewohnlichen Verfahren aus der Stetigkeit der
Geraden folgt und hier als Zusatz zu ihr erscheint) laBt sich klar
machen, wenn man die Konstruktionen der Ebene ohne den Begriif
der Winkelkongruenz zu entwickeln sucht, wie es J. Mollerup (Math.
Ann. 58 (1904), p. 479) macht. Bei dem Mollempschen Verfahren zeigt
sich die Notwendigkeit, das Postulat aufzustellen, daB ,,man iiber einer
gegebenen Geraden als Basis und auf einer Seite von ihr nur ein
Dreieck konstruieren kann, dessen Seiten der Reihe nach denen eines
gegebenen Dreiecks gleich sind". Nun laBt sich in dem Veronese-
schen System dieser Satz auf Grund des angegebenen Postulats liber
die Stetigkeit der Ebene beweisen 54 ).
c. D. jQfZferi 88 ) hat, indem er die Postulate der Verkmipfung und
der Anordnung (I, II der Nrn. 3 und 4) von einander getrennt halt
und daher die fundamentale Eigenschaft der Ebene bereits als gegeben
annimmt (I der Nr. 3), ein neues, sehr einfaches Postulaten system
aufgestellt, in dem sowohl die Begriffe der Strecken- wie die der
Winkelkongruenz als primitiv auftreten.
Man betrachte die Strecken und die Winkel als unabhangig von
ihrem Sinne (Nr. 4) definiert, dann lassen sich die genannten Postu
late wie folgt wiedergeben (wobei wir uns in der Numerierung an I
und II in den Nummern 3 und 4 anschliefien).
y III. Es ist eine symmetrisclie Beziehung zwischen den Strecken
und den Winkein t die mit den Namen Kongruenz bezeichnet wird, in
folgender Weise gegeben:
1) Jede Strecke, und ebenso jeder Winkel, ist sich selbst kongruent.
2) Strecken, und ebenso Winkel, die einer (einem) dritten kon
gruent sind, sind sich selbst kongruent 56 ).
3) Auf einer Geraden und auf einer Seite eines gegebenen Punktes
A kann man eine Strecke AB bestimmen, die einer gegebenen
Strecke AB kongruent ist:
AB f =AB.
54) Vgl. auch A. Guarducci in F. Enriqiies, Question!.
55) Grundlagen, p. 7.
56) Diese beiden ersten Satze (die die mathematischen Logiker reflexive
und transitive Satze nennen) wie auch die synimetrische Eigenschaft (wenn a = b
ist, so ist b = a) bilden allgemein die formalen Eigenschaften jeder Beziehung,
die sich als eine Gleichung betrachten
32 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie.
4) Wenn B em Punkt der Strecke A C, B ein Punkt der Strecke A C
ist, und wenn
ist, so ist auch
5) Ist in einer Ebene ein von einem Punkte ausgehender
Strahl a gegeben, und wird ein durch die Grerade a gebildeter
Teil der Ebene ins Auge gefaBt, so kann man in ihm einen
Strahl & durch bestimmen, der mit a einen Winkel bildet,
der einem gegebenen Winkel ab kongruent ist:
6) Wenn b ein Strahl des Winkels ac, b ein Strahl des Winkels
ac ist und wenn
<: al = < a V, ^lc = -^ Vc
ist ? so ist aucli
<^ ac = <: ac.
7) Wenn A, B, C; A , B , C zwei nicht in gerader Lime liegende
Punkttripel sind und wenn
= AB f , AC = A C f
ist, so ist auch
und
(und daher auch BC = B C ).
Diese Postulate enthalten noch nicht das Archimedische Postulat ;
das also, sobald es notig ist, ansdriicklich hinzugefiigt werden mu6.
Sie bilden die Grrundlage i iir die gewohnlichen Dreieckskongruenzsatze,
auf denen die ganze Theorie der Kongruenz beruht.
6. Uber die Reduktion der in den vorhergehenden Nummern
betrachteten fundamentalen Begriffe. Bevor wir weitergehen, miissen
wir eine Gruppe von Arbeiten erwahnen, die aus der mathematisch-
logischen Schule von G. Peano bl ) hervorgegangen ist und (unter Bei-
seitelassung jedes Interesses, das nicht rein logisch- formal ist) den
Zweck verfolgt, die Zahl der in den vorhergehenden Nummern unter-
suchten fundamentalen Begriffe zu beschranken und die Untersuchung
der Postulate so weit als moglich zu treiben, indem diese in ihre
Elemente zerlegt werden.
57) Vgl. das Formulaire de mathematiques , Torino, seit 1904, mehrere
Auflagen.
0. Cber die Reduktion cler fundamentalen Begriffe. 33
Vor allem iibersetzte 1889 G. Peano (Principii) mit Hilfe der
Symbole der damals zu einem vollkommenen System ausgebildeten
mathematischen Logik die auf die Begriffe ,,Punkt", ,,Strecke" (oder
?J zwischen") und ,,ebene Flache" sich beziehenden deskriptiven Postulate
von Paschj wobei er den Begriff der ebenen Flache auf den der
Strecke zuruckfiihrte (vgl. Nr. 5): spater (Fondamenti) driickte er die
Begriffe der Kongruenz durch die vorhergehenden und den Begriff der
7? Bewegung" aus und aufierdem beschaftigte er sich damit (mit Hilfe
verschiedener Interpretationen, vgl. die Einleitung), die Unabhangig-
keit seiner Postulate zu beweisen.
M. P/m 58 ) hat die ?; Strecke" mit Hilfe der Begriffe ,,Punkt"
und ; ,Bewegung" defmiert und zu diesem Zwecke ein Postulatensystem
entwickelt.
M. Pieri oS ) und A. Padoa 59 ) haben vorgeschlagen, den Begriff der
Bewegung durch den Begriff ; ,Paare aquidistanter Punkte" zu ersetzen,
der sich wiederuin (indeni man eine Idee verfolgt, die in den ersten
Euklidischen Satzen zum Vorschein komrnt und von Veronese ent
wickelt worden ist) auf den Fall von Paaren mit einem gemeinsamen
Punkte zuruckfuhren la-fit.
G. Peano ) hat diese Entwicklungen zu den Definitionen der
Geraden und der Ebene von Leibniz (Nr. 3) in Beziehung gesetzt
(und andererseits zu seinen Postulaten fur die Vektorentheorie).
Es ist jedoch zu bernerken, dafi eine vollstandige Formulierung
der Postulate sich bis jetzt nur bei Pieri findet; diese Postulate sind
aber, besonders weil die primitiven Begriffe der Anordnung unter-
driickt werden sollten (d. h. die Linieneigenschaft der Geraden bei-
seite bleiben sollte), sehr kompliziei*t geworden und haben jede Uber-
sichtlichkeit und anschauliche Gewifiheit verloren: dieser Eigenschaft
legt jedoch Pieri keinen Wert bei 61 ).
In neuester Zeit hat B. Zm 62 ) ein Postulatensystem nur auf
Grund der Begriffe ,,Punkt" und ,,aquidistante Paare" entwickelt,
aber die Levischen Postulate dennieren nicht nur die gewohnliche
(Euklidische und nicht-Euklidische) metrische Geometrie ; sondern ein
allgemeineres geonietrisches System, von dem aus man mit Hilfe von
Anordnungsbegriffen zur genannten metrischen Geometric gelangt.
58) Torino Mem. (2) 49 (1899), p. 173.
59) Ygl. im besonderen Congres des mathematiciens a Paris 1900, p. 353.
60) Torino Atti 38 (1903), p. 6.
61) Ygl. FuBnote 58.
62) Torino Mem. 1904, p. 283,
Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 1. 3
34 IIIABl. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie.
Neben diesen Arbeiten ist die Abhandlung von B. Kagan 6 *)
zu erwahnen, in der ein System von Definitionen und Postu-
laten aufgestellt wird, die auf Grund der fundamentalen Begriffe
Ptmkt, I>ewegimg (Transformation der Punkte) und Entf emung (die
den Bewegungen gegeniiber als Invariante betrachtet wird) zur Cha-
rakterisierung der Euklidischen Geometrie geeignet sind. Die Erit-
wicklung in dieser! Abhandlung ist iibersichtlich und die Postulate
sind einfach genug; jedoch wird diese Einfachheit durch die Annahme
erreicht, daB die Entfernung oline weiteres durch eine Zahl dar-
gestellt wird, und diese Annahme soil im besonderen die fundamen
talen Begriffe der Anordnung ersetzen.
In einem anderen Sinne, jedoch noch im AnschluB an denselben
leitenden Gedanken der matheniatisch-logischen Schule, hat 0. Veblen
(Amer. math. soc. Trans. 5 (1904), p. 343) ein System von sehr ein-
fachen Postulaten aufgestellt, in denen der ?? Punkt" und 7? aufeinander-
folgende, in gerader Linie befindliche Punkttripel" als primitive Be
griffe erscheinen, und auf Grund dieser Postulate hat er auch die
Kongruenz definieren wollen. Diese Definition griiudet sich jedoch
auf die konventionelle Wahl einer gewissen Polaritat (vgl. unten
Nr. 22, 24, die projektive Begriindung der Metrik), und scheint daher
nur die Einftihrung eines neuen primitiven Begriifes zu niaskieren.
7. Stetigkeit und Archimedisches Postulat. Die Untersuchung
der Stetigkeitsbegriffe hat in unseren Tagen im Zusammenhang mit der
Entwicklung der infinitesimalen Betrachtungen eine grofie Ausdehnung
erfahren (vgl. Abschn. VII). Aber die ersten Anfange dieser Unter
suchung kann man in einigen von den griechischen Geoinetern gepflegten
Theorien feststellen: im besonderen in der Theorie der Proportionen,
in der die mit dem Fall des inkommensurablen Verhaltnisses zu-
sammenhangenden Schwierigkeiten gliicklich iiberwunden worden sind
(EuJdid, Eleniente ; Buch 5), und in der Anwendung des sogenannten
Exliaustionsverfalirens (Eleniente, Buch 10). Jedoch kornmt in beideii
Fallen nur das von Stole so genannte Arcliimedisclie Postulat**) ins
Spiel:
^Sind zwei Strecken gegeben, so gibt es immer ein Vielfaches
der kleineren, das groBer als die groBere ist."
63) Deutsche M.-V. Jahresb. 11 (1902), p. 403.
64) Vgl. Innsbruck Ber. 12 (1882), p. 75, wieder abgedruckt Math. Ann. 22
(1883), p. 504. Der Name ,,Archimedisches Postulat" ist irrefuhrend. Stolz er-
wahnt selbst (ebenda, p. 86), daB schon friihere Geometer, veimutlich bereits
Eudoxus, diesen Grundsatz benutzten. Ygl. auch H. G. Zeuthen, Heidelberger
KongreB, p. 541.
7. Stetigkeit tmd Archiniedischee Postulat. 35
Dieses Postulat verbirgt sich bei Euklid in der vierten Definition
des fiinften Buches:
Aoyov %iv agog UMLrjla usye&q Jbfyftfd^ a dvvccrai
Auf Deutsch:
Ein Verhaltnis zueinander haben GroBeu, welche vervielfaltigt
einander iibertreffen konnen.
Die Bedeutung des Archiinedischen Postulats kann man, wenn
man die Vorstelluug ins Auge faBt, die wir heute von der Stetigkeit
der Geraden haben, durch die Bemerkung dartun, daB man mit seiner
Hilfe jeder Strecke eine rationale oder irrationale Zahl zuordnen kann.
Denn auf Grund dieses Postulats kann man bei zwei GroBen der be-
trachteten Art die Frage der Gleichheit oder Ungleichheit sofort
entseheiden; man kann also mit diesen GroBen rechneu, und das Ver
haltnis (Aoyos) zweier dieser GroBen ist dann, wenn eine der GroBen
als Mafieinheit gewahlt wird, auf Grund der Euklidischen Theorie der
Proportionen niclits anderes als eine Zahl, die MaBzahl einer der-
artigen GroBe 65 ). Und aus diesem Postulat folgt ini besonderen auch,
daB es fiir die in Betracht kommenden Entwicklungen ein aktual Un-
endlichkleines nicht gibt (vgl. weiter unten p. 37). Aber es folgt aus
ihm umgekehrt noch nicht, daB jeder irrationalen Zahl eine Strecke
entspricht.
Unser Stetigkeitsbegriff enthalt, insofern er auch diesen um-
gekehrteu Satz in sich schlieBt, eine positive Existenzaussage, die bei
den Griechen noch nicht vorgekommen zu sein scheint; eiuige be-
riihmte Sophismen, wie z. B. das von Achill und der Schildkrote,
scheinen das zu beweisen. So viel von dieser Existenzaussage notig
war, erscheint implicite in den Euklidischen Elementen, wo die
Grundtatsachen hinsichtlich des Schneidens von Gei-aden und Kreisen
angenommen werden, und die auf diesen Tatsachen beruhenden Kon-
stniktionen bilden fiir Euklid die eiiizige Art, die Existenz der Figuren
zu beweisen 65 ). Vielleicht gibt es ini Euklidischen Texte nur eine
einzige Ausnahme von dieser Regel, uamlich in dem Satze des fiinften
Buches, wo die Existenz einer vierten Proportionalen zu drei GroBen
vorausgesetzt wird, aber es handelt sich hier wohl 
