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Full text of "Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen"

STAT. 



~ 



ENCYKLOPADIE 



DER 



MATHEMATISCHEN 

WISSENSCHAFTEN 

MIT EINSCHLUSS IHRER A.NWENDUNGEN 



DRITTER BA^D: 

GEOMETRIE 



ENCYKLOPlDIE 

DER 

MATHEMATISCHEN 

WISSENSCHAFTEN 

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWEKDUNGEN 



DRITTER BAND IN DREI TEILEN 

GEOMETRIE 



BEDIGIEET VON 

W. FR. MEYER UND H. MOHRMANN 

IX KOXIGSBERG IS BASEL 



ERSTER TEIL 
ERSTE HALFTE 



LEIPZIG 

VEELAG UND DEUCE YON B. G. TEUBNEE 
19071910 



A.LLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DBS 0BEBSETZUNGSBECHTS, VORBEHA.LTEN 



QA57 
p 

v. 



MATH- 
STAT. 

LIBRARY 



Vorrede zum dritten Bande, 



Schon bei der urspriinglichen Disposition der Encyklopadie der 
raathematischen Wissenschaften man vergleiche den einleitenden 
Bericht von W. von Dyck im ersten Bande wurde der Geometric 
innerhalb der reinen Mathematik der dritte Band zugewiesen. 

Der Stoff zerlegte sich naturgemaB in drei Hauptteile. 

Zum ersten Teile gehoren die Entwicklungen allgemeineren Cha- 
rakters: die Grundlagen die Grundbegriffe und die uber die eukli- 
dische Geometric hinausgehenden Geometrien . sodann die Diszi- 
plinen der Analysis situs, der Gruppentheorie , der projektiven und 
darstellenden Geometric nebst de^-T^-eorie der Polyeder; endlich die 
zur formalen Beherrschung notwendigen oder niitzlichen Rechenmittel 
(Koordinaten) und Rechnungsalgorithmen (Qiiaternionen, Ausdehnungs- 
lehre u. a.). Demgegeniiber handelt der zweite Teil des dritten Bandes 
von den algebraischen Gebilden (Kurven, Flachen, Komplexen, Kon- 
gruenzen u. a.), wiihrend sich der dritte Teil mit der Differentialgeo- 
metrie beschaftigt. 

Dazu traten im Laufe der Zeit einige von selbst notwendig ge- 
wordene Erganzungen. Leider mufite mit Riicksicht auf die gegenwar- 
tigen mifilichen Zeitverhaltuisse auf eine Reihe weiter geplanter Ar- 
tikel liber einzelne, in den letzten Jakrzehnten neu entstandene Gebiete 
verzichtet werden, um den AbschluB des Ganzen nicht auf unbestimmte 
Zeit zu verschieben. 

Zunachst lag die Redaktion des Geometriebandes allein in Handen 
von TF. Fr. Meyer. Im Janre 1915 wurde H. Mdhrmann als zweiter 
Herausgeber gewonnen. Er iibernanm einen wesentliehen Teil der Ar 
beit. Es wurde hier zu weit fiihren, festzustellen, wie sich seit 1915 
die Herausgabe der einzelnen Artikel unter uns beide verteilt hat. 

Dagegen mochten wir hier gleich erwahnen ; da6 einige Herren, 
die nicht als Redakteure zeichnen, unsere Arbeit auBerordentlich unter- 
stiitzt haben und so einen ganz bedeutenden Anteil an der Fertig- 
stellung des Bandes gehabt haben. In erster Linie gebiihrt unser 
Dank Herrn F. Klein. In zahlreichen Konferenzen hat er fur viele 
Artikel genaue Einzeldispositionen entworfen und uns und die Be- 



VI Yorrede zum dritten Bande. 

arbeiter mit seinem erfalirenen Rate unterstiitzt. Mit groBer Tatkraft 
und unermiidlicher Energie hat er immer wieder in schwierigen Lagen 
belebend eingegriffen. Wir gedenken ferner mit Dank der stets 
bereiten kritischen Mitarbeit von H. Burlihardt (f ) und M. Noether (f ). 

Noch vor einem halben Jahrhundert, zur Zeit, als die Mathe- 
matischen Annalen durch E. Clebsch und C. Neumann begriindet wur- 
den, stand die Geometric in Deutschland in besonderem Ansehen und 
das Interesse der meisten Mathematiker gehorte ihr. Durch Veroffent- 
lichung bahnbrechender Arbeiten verschafften deutsche Gelehrte ihrem 
Vaterlande eine fiihrende Stellung innerhalb dieser Disziplin. Zum 
Belege mogen Nam en wie Clebsch, Graftmann, Hesse, Mobius, Pliicker, 
v. Staudt, Steiner einerseits und Brill, Klein, Lindemann, M. Noether, 
Schubert, Schwarz, Voss andererseits genannt sein, denenLie und Zeuthen, 
obgleich Auslander, gerne zugerechnet werden konnen. 

Um die Jahrhundertwende war die Sachlage ganz anders. Das 
Interesse fur Geometric und deren EinfluB war in Deutschland un- 
leugbar erheblich gesunken und dies, obwohl Namen wie Fiedler, 
Harnack, Hilbert, Minkowski, Pasch, Reyc, Rohn, F. Schur, StdcJcel, 
Staude, Study, R. Sturm dafur zeugen, daB in Deutscbland die ganze 
Zeit hindurch geometrisch gearbeitet wurde. Aber es waren immer 
nur einzelne; die Allgemeinheit nahm an ihren Ergebnissen immer 
weniger Anteil. In dem folgenden Jahrzehnt wurde das Verhaltnis 
nicht besser. 

Seit zehn Jahren etwa zeigt sich in Deutschland , wenn auch 
vorerst nur vereinzelt ; frisches Leben; doch setzte diese neue For- 
schung an anderen Stellen ein als an denen, wo die alte Generation 
arbeitete. Die Topologie sah sich durch das Emporkommen der 
Mengenlehre vor neue Aufgaben gestellt. Die Relativitatstheorie 
wirkte kraftig fordernd auf die mehrdimensionale Differentialgeometrie 
ein. Damit verbunden war ein Ausbau des Vektor- und Tensorkal- 
kiils. Aus Minkowskis Untersuchungen fiber konvexe Kurven und 
Flachen erwuchs die affine Geometric. So darf man hoffen, daB das 
Interesse an geometrischen Fragen wieder zunimnit. 

Obwohl zwischen den Jahren 1865 1875 deutsche Gelehrte 
die schonsten Moglichkeiten zur Weiterentwicklung der Geometric 
schufen, wurden diese nicht in Deutschland, sondern in Italien mit 
groBtem Erfolg aufgenommen und weiter verfolgt. So gelangte Italien 
in wenigen Jahren zur fiihrenden Stellung auf alien Gebieten der 
Geometric und hat diese Fiihrerrolle seitdem voll behauptet. Es wird 
groBer Anstrengung und Miihe bediirfen, den Vorsprung ? den Italien 
erlangt hat, auch nur teilweise einzuholen. Dieser iiberragenden Stellung 



Vorrede zum dritten Bande. VII 

Italiens hat man in Deutschland dadurcli Rechnung zu tragen ver- 
sucht, daB man deutsche Ubersetzungen von einer groBeren Anzahl 
italienischer Lehrbiicher herstellte. Aber noch mehr mochten wir hier 
mit Dank hervorheben, daB sich mehrere hervorragende italienische 
Gelehrte bereit gefunden haben, fur die Encyklopadie grundliche Re- 
ferate iiber die verschiedensten geometrischen Gegenstande zu bear- 
beiten. Nur so ist es moglich ge worden, daB der Band III einen 
einigermaBen befriedigenden tlberblick iiber das Gesamtgebiet der 
Geometric liefert, wodurch die Internationale Geltuug der Encyklo 
padie aufrecht erhalten worden ist. Die Hauptbedeutung Italiens liegt 
einerseits in der Fortentwicklung der algebraischen Geometric. Man 
hat das geringe Interesse fiir algebraisch-geometrische Fragen in 
Deutschland haufig damit entschuldigt, daB die Theorie der algebrai- 
schen Funktionen mehrerer Variabeler trotz Picarch Untersuchungen 
noch nicht soweit gefordert sei, daB sie sich ebenso wie die Theorie 
der algebraischen Funktionen einer Variabelen mit Erfolg auf geo- 
nietrische Probleme anwenden lasse. Man hat dabei kaum beachtet, 
wie die Italiener die Ergebnisse Picards angewandt und fortentwickelt 
haben. Em Hauptverdienst Italiens ist es andererseits, daB es die 
mehrdimensionale Geometrie eigentlich erst geschaffen hat ? und mit 
ihrer Hilfe zu einfachen Beweisen von Satzen der Geometrie des drei- 
dimensionalen Raumes gelangt ist. Endlich sei auf die zahlreichen diffe- 
rentialgeometrischen Arbeiten hingewiesen, die in Italien erschienen sind. 

In Osterreich ist im Gegensatze zu Deutschland alle die Zeit hin- 
durch das geometrische Interesse ziemlich lebhaft gewesen. Auch in 
Holland und Skandinavien wurden die verschiedenen geometrischen 
Disziplinen gepflegt. Vor alien Dingen aber hat in ueuerer Zeit in 
Nordamerika die geometrische Forschung auf den verschiedensten Ge- 
bieten schone Erfolge aufzuweisen. In Frankreich dagegen hat man 
sich fast nur auf Differentialgeometrie beschrankt, und in England ist 
seit den Tagen Cayleys kaum em groBerer Fortschritt erreicht worden. 

Welches sind nun die Griinde des in Deutschland so auffalligen 
Niederganges der Geometrie? 

Da wirft man der Geometrie Mangel an Strenge vor. Angesehene 
Vertreter der Analysis behaupten, daB seit der durch Descartes inaugu- 
rierten neueren Entwicklung der Geometric/ insonderheit seit dem Uber- 
handnehmen der algebraischen Untersuchungsrichtungen im vorigen 
Jahrhundert, die strenge Folgerichtigkeit des Denkens irn Gegen 
satze zu dem musterhaften Yerfahren bei Euldid wesentlich nach- 
gelassen habe, daB die Formulierung und der Beweis der meisten 
geometrischen Satze unvollstandig sei ? da sie die Giiltigkeitsgrenzen 



VIII Vorrede zum dritten Bande. 

der jeweiligen Behauptung nicht erkennen lassen, dafi sich endlich oft 
gar nictit iibersehen lasse, welche von den Elena en ten eines vorliegen- 
den zusammengesetzteii Gebildes reell sein sollen, und welche kom- 
plex. Mit einem Worte, es sei die Unklarheit des Denkens, die die 
an Strenge gewohnten Analytiker abstofie. 

Es muB nun leider zugegeben werden, daB dies fiir viele geo- 
metrische Arbeiten zutrifft. Aber zahlreiche andere Arbeiten erfullen 
alle Anforderungen an Strenge. Man darf dabei unter ,,Strenge" nur 
nicht das Festhalten an bestinimten Beweisformen, den Purismus der 
Methode verstehen; dann allerdings wird man wenig befriedigt werden. 
Denn gerade auf dem Wechsel der Mefchode, manchinal sogar inner- 
halb eines einzelnen Beweises, beruht die Moglichkeit, kurze und ele 
gante Beweise zu fiihren. 

Da sind z. B. die Yertreter der sogenannten reinen Geometrie der 
Lage 7 die den simultanen oder alternierenden Gebrauch analytischer 
und synthetischer Methoden als storend, sogar als unwissenschaftlich 
empfinden, und sich dafur der tadelnden Bezeichnung ,,methode mixte" 
bedienen. Diesen ist die ;? reine" Lagengeonaetrie das Ideal einer ;; auto- 
chthonen" Wissenschaft ; da sie in sich vollig konsequent sei und von 
anderen mathematischen Disziplinen nichts zu entlehnen brauche. 

Diese iibertriebene Wertschatzung ist aber kaum berechtigt. Die 
vollige Verzichtleistung auf die Methoden der analytischen Geometric 
erweist sich im Gegenteil als unnatiiiiich. Man hat vielmehr die pro- 
jektive Geometrie so aufzubauen, daB ohne metrische Hilfsmittel der 
Begriff des Wurfes und der projektiven Koordinaten entwickelt wird; 
von da ab ist der Unterschied zwisehen analytischer und synthetischer 
Bichtung nur ein unwesentlicher. Und die analytische Behandlung 
empfiehlt sich bei vielen Aufgaben durch ihre Ktirze ganz von selbst. 

Wenn man EuTdid wegen der Strenge und Reinheit seiner Me- 
thode ruhmt, so vergifit man, dafi fiir die Entwicklung der antiken 
Geometrie ein Eudoxos oder Archimedes viel wichtiger waren. Denn 
nicht auf das Sammeln und Systematisieren uberkomniener Satze allein 
kommt es an, sondern auf die Entdeckung neuer Tatsachen, wenn 
auch die Methode der Darstellung vorerst noch nicht voll ausgereift 
und geglattet ist. 

Wichtiger fur den Riickgang der Geometrie scheinen uns folgende 
Tatsachen zu sein. Das Einporkommen der Mengenlehre in ihren An- 
wendungen auf die Punktmengen hat leider auf viele Mathematiker 
lahmend gewirkt. Man ist zu angstlich geworden und traut den ein- 
fachsten Schliissen nicht mehr. Besonders wird die Anschauung ver- 
pont, und zwar nicht nur als Beweismittel, was verstandlich ware, 



Vorrede zum dritten Bande. IX 

sondern sogar als heuristisches Prinzip. Aber auch die Ubertreibung 
der axiom atischen Methode hat ihre Gefahren. Wenn gewisse Axio- 
matiker verlangen, da6 man sich unter den Gegenstanden, von denen 
die Geometrie handelt, nicht idealisierte Dinge vorstellen, sondern 
leere Begriffe, die nur irgendwie logisch verkniipft sind, denken soil, 
so wird dies unbedingt auf die schopferische Freudigkeit hemmend 
wirken. Wir wollen mit diesen Ausfuhrungen in keiner Weise die 
Bedeutung der Mengenlehre und Axiomatik herabsetzen, aber doch 
vor ihrer Uberschatzung warnen; denn, wenn man die Phantasie totet, 
wird die Haupttriebfeder des geometrischen Fortscbrittes ausgeschaltet. 

Fiir den modernen Geometer ist die Beherrschung groBer Teile 
der Algebra und der Analysis uubedingt erforderlicb ? wenn er auf 
seinem Gebiete mit Erfolg arbeiten will. Allein dies geniigt noch 
nicht: er mu8 auBerdem u ber eine grofie Zabl spezifisch geometrischer 
Kenntnisse verfiigen. Der Algebraiker und Analytiker dagegen kann 
sehr wohl ohne Geometrie auskommen. - Bei dem Urnfang, den 
Algebra und Analysis heute besitzen, kostet es scbon geniigend Muhe, 
sich auf diesen Gebieten einigermaBen sicher zu bewegen und einen 
umfassenden Uberblick zu gewinuen. Soil nun gar nocb die Geo 
metrie hinzukonimen, so sind nur ganz weuige Geister fahig, sich 
auch die hierfiir notigen Kenntnisse noch anzueignen. Dies diirfte 
wohl der wichtigste Grund sein ; warum die Analysis gegenwartig so 
bevorzugt wird. 

Hierzu kommt schon bei dem einfachsten geometrischen Stoff 
seine auBerordentlich groBe Vielseitigkeit. Ein und dasselbe geo- 
metrische Gebilde kann auf die verschiedensten Arten erzeugt werden. 
Je nach der betrachteten Erzeugungsart werden gewisse seiner Eigen- 
schaften besonders hervortreten , und man muB daher fortgesetzt den 
Standpunkt wechseln, wenn man sie alle voll erfassen will. 

Zur Erlauterung diene als ein moglichst einfaches Beispiel der 
Begriff eines Kegelschnittes in einer festen Ebene. 

Da bieten sich zunachst die antiken, elementaren, maBgeometri- 
schen Erklarungen dar: ebener Schnitt eines geraden (bzw. schiefen) 
Kreiskegels, die Brennpunktsdefinition und die auf der Beziehuug 
zwischen Brennpimkt und Direktrix beruhende, endlich in neuerer 
Zeit die Erzeugung mit Hilfe von Kreisen. 

Weit mannigfaltiger sind jedoch die lagengeometrischen Erkla 
rungen, wo von vornherein gemafi der Dualitat zwischen Ordnungs- 
und Klassengebilde zu unter scheiden ist. 

Fur einen (nichtzerfallenden) Ordnungskegelschnitt hat man die 
Erzeugung durch projektive Strahlenbiischel (oder allgemeiner als Tei] 



X Vorrede zum dritten Bande. 

einer Kurve hoherer Ordnung durch gewisse hohere Korrespondenzen), 
die Bestimrnung durch fiinf Punkte auf Grund des Pascalschen Satzes, 
die Mac-Laurinsche Erzeugung durch ein bewegliches Dreieck (bzw. 
Polygon), als Ordnungskurve einer Korrelation, als Bild einer Ge- 
radeii in einer quadratischen Transformation., und endlich, als die 
allgemeinste, durch eine quadra tische Gleichung mit reellen Koeffi- 
zienten zwischen Punktkoordinaten. Und jede dieser Erzeugungen 
(mit Ausnahme der letzten) kann wiederum nach synthetischer oder 
analytischer Methode vor sich gehen. Daneben stellen sich die kor- 
respondierenden Klassengebilde. 

Eine system atische Theorie erfordert den Nachweis der Gleich- 
wertigkeit aller dieser Erklarungen, d. h. den Nachweis, daB sie sich 
je ineiuander iiberfuhren lassen. Hierbei ist noch dem nullteiligen 
Kegelschnitt (der nicht bei alien obigen Erzeugungen erscheint) be- 
sondere Aufmerksamkeit zu schenken. Damit ist aber nur der erste und 
verhaltnismaBig leichteste Schritt getan. 

Denn nunmehr erwachst die weitere Aufgabe der Aufstellung und 
sachgemaBen Klassifikation aller Ausartungen, die sich am iibersicht- 
lichsten an die quadratische Gleichung zwischen Punkt- bzw. Linien- 
koordinaten anknupfen. Weiterhin ist dann bei jeder Eigenschaft 
eines ,,Kegelschnitts u genau anzugeben, bis zu welchem Grade der 
,,Ausartung" dieselbe noch giiltig bleibt. Dabei ist zu beachten, daB 
es der abzahlenden Geometric gelungen ist, die fruher bekannten 
Ausartungen durch einige versteckter liegende zu vervollstandigen. 

Es braucht kaum erwahnt zu werden, daB beim Fortschreiten zu 
hoheren Gebilden, ebenen Kurven dritten und vierten Grades, Flachen 
zweiten und dritten Grades, kubischen und biquadratischen Rauin- 
kurven, linearen und quadratischen Komplexen usf., die Mannigfaltig- 
keit der Entstehungsweisen und Ausartungen entsprechend zunimmt. 

Ein systematisch ausgebildetes Verfahreo, um beim Beweise geo- 
metrischer Satze samtlichen in Betracht komnienden Ausartungen ge- 
recht zu werden, besitzen wir nicht. 

Bei einer Reihe einfacher grundlegender Satze, so des Desargues- 
schen Satzes iiber zwei perspektive Dreiecke der Ebene, des Pascal- 
schen Satzes u. a., gelingt es, eine dem jeweiligen Satze ubergeord- 
nete Identitiit aufzustellen, aus der als spezielle Anwendung der frag- 
liche Satz selbst zugleich mit seiner Umkehrung und seinen Giiltig- 
keitsgrenzen unmittelbar herausspringt. 

So erklart es sich denn auch, warum die Anzahl der individu- 
ellen Eigenschaften eines einzelnen geometrischen Gebildes sehr viel 
schwerer iibersehbar ist t als bei einem analytischen . und daB die 



Yorrede zuin dritten Bande. XI 

Geometrie zu einem guten Teile den Charakter einer Kunst annimmt, 
daB sie oft fast die Natur einer organisch in sich verbundenen Wissen- 
schaft abzustreifen droht. 

Indessen wird dieser Gefahr durch das Kleinsche gruppentheore- 
tische Programm von 1872 der Boden entzogen. Alle die scheinbar 
so durch- und nebeneinander laufenden Erklarungen und Eigenschaften 
werden durch den Begriff der Gruppe und ihrer charakteristischen 
Invarianten zusammengehalten; demgegeniiber erscheinen die getrennten 
sonstigen Betrachtungsweisen nur als auBerlich verschiedene Eiuklei- 
dungen. So wird, um ein typisches Beispiel anzufiihren, die Elementar- 
geometrie als Invariantentheorie der ,,Hauptgruppe" genau umgrenzt. 

Die hiermit geschilderte Vielseitigkeit der Geometrie bildet fur 
viele ein beinahe uniibersteigbares Hindernis. Aber fiir den wirk- 
licheu Geometer liegt in ihr gerade der Reiz seiner Wissenschaft. 

Der vorliegende Encyklopadieband bezweckt, nioglichst fiber alle 
Zweige der geometrischen Forschung Auskunft zu geben. Wenn auch 
einige Referate iiber kleinere Gebiete fortfallen mu6ten 7 so hoffen wir 
doch immerhin durch ihn einen vollbefriedigenden Uberblick iiber die 
gesamte Geometrie ermoglicht zu haben. Moge er vor alien Dingen 
auch von dem Reichtum und der Schonheit der Geometrie sowie 
ihrer befruchtenden Einwirkung auf die Analysis Zeugnis ablegen und 
so der Geometrie neue Freunde und Verehrer erwerben. 



Konigsberg i. Pr. und Basel, Ostern 1923. 



IV. Fr. Meyer. 
H. Mohrmann. 



Inhaltsverzeiclmis zu Band III, 1. Teil, 1. Halfte. 



A. Rein geometrische Theorien. 

B. Grundlagen der Anwendnng yon Algebra und 
Analysis anf die Geometrie. 

1. Prinzipien der Geometrie. Von F. ENRIQUES in Bologna (jetzt 
in RomX 

Seite 

1. Einleitung. Allgemeines, betreffend die mathematischen Untersuchungen 
iiber die Prinzipien der Geometrie 6 

I. Die elementare Eichtung. 

2. Yorbemerkung 15 

3. Punkt. Gerade und Ebene 16 

4. Strecke, Winkel (der Begritf r zwischen a ) -22 

5. Kongruenz und Bewegung 27 

6. tTber die Reduktion der in den vorkergehenden Nummern betrachteten 
fundamentalen Begriffe 32 

7. Stetigkeit und Archimedieches Postulat 34 

8. Das Parallelenpostulat 3y 

9. Weitere Ausfiihrungen zur Parallelentheorie 44 

10. Fliicheninhalt und Rauminhalt 47 

11. Neue Entwicklungen zur Proportionentheorie im Sinne der Alten ... 52 

12. SchluB der vorstehenden Untersuchung und Disposition der folgenden 
Kapitel 56 

II. Prinzipieii der Theorie des Kontiuuums. 

13. Vorbemerkung 59 

14. Die Linie 60 

15. Flachen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dirnensiouen 63 

16. Linien auf den Flachen 68 

III. Prinzipien der projektlven Geometric. 

17. Postulate in einem Raumstiick 70 

18. Postulate fur den vollstandigen projektiven Raum 73 

19. Projektive Koordinaten 74 

20. Bemerkungen (iber die grundlegenden Satze der projektiven Geometrie 76 

21. tiber die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der Begrandung der 
projektiven Geometrie 81 



XIV Inhaltsverzeichnis zu Band III, 1. Teil, 1. Halfte. 

IT. Trojektive Metrik. Seite 

22. Einordnung der gewohnlichen Metrik in die projektive Geometric ... 82 

23. Allgemeine Mafibestimmung von Cayley und deren nicht-Euklidische 
Auslegung von Klein . . . 85 

24. VerschiedeneBemerkungenzudenprojektivenMetriken. MaBbestimmungen 91 

V. Prinzipien der allgemeinen Metrik. 

25. Vorbemerkung 94 

A. Bogenelement (nebst endlicher Entfernung). 

26. Geometrie auf krummen Flachen 95 

27. Riemannsche Mafibestimmung in einer beliebig ausgedehnten Mannig- 
faltigkeit 100 

28. Homogene Mannigfaltigkeiten 101 

29. Projektiver Character der Mannigfaltigkeiten konstanter Krummung . 102 

30. Untersuchungen von De Tilly iiber den Ausdruck fur die endliche Ent 
fernung 104 

31. Geometrische Systerne von Minkowski-Hilbert 106 

B. Bewegnngsgrnppe. 

32. Postulate von H. v. Helmholtz 107 

33. Untersuchungen von S. Lie 109 

34. Untersuchungen von H. Poincare 110 

35. Untersuchungen von D. Hilbert Ill 

VI. Zusammenhangsverhaltnisse des unbegrenzten Raumes. 

36. Rliume, die als Ganzes bewegt werden konnen 112 

37. Zweidimensionale Gebilde von Clifford-Klein 114 

38. Dreidimensionale Gebilde von Clifford- Klein 116 

VII. Nicht-Archiinedische Geometrie. 

39. Einleitung 117 

40. Eindimensionales Kontinuum hoherer Art 117 

41. Allgemeine Ansatze Veroneses 121 

42. Nicht-Archimedische projektive Geometrie 122 

43. Euklidische nicht-Archimedische Geometrie 124 

44. Nicht-Archimedische Entwicklungen iiber die Parallelentheorie .... 126 

(Abgeschlossen im Marz 1007.) 



2. Die Begriffe ,,Linie 4< und ,,Flache u . Von H. v. MANGOLDT 
in Danzig. 

1. Notwendigkeit einer genauen Erklarung 130 

2. Geschichtliche Entwickelung 131 

3. Die analytische Linie 132 

4. Zweige einer analytischen Linie 132 

5. Einsiedler 134 

6. Darstellung durch Gleichungen 135 

7. Erweiterung des Begriffs Linie. Linie als ,,Bild einer Funktion" . . . 139 

8. Linie als ,,Bahn eines Punktes". Der Jordan sche Satz 139 

9. Linie als ,,Lange ohne Breite", oder als ,,Grenze einer Flache". . . . 143 

10. Funktionsstreifen 147 

11. Bevorzugung der analytischen Linien 148 

12. Der Begriff Flache 149 

(Abgeschlossen im September 1906.) 



Inhaltsverzeichnis zu Band III, 1. Teil, 1. Halfte. XV 

3. Analysis situs. You M. DEHN in Minister i. W. (jetzt in Frank 
furt a. M. ) und P. HEEGAARD in Kopenhagen (jetzt in Chri 
stian! a). 

Seite 

Einleitung 154 

Grtmdlagen. 

1. Definition von Punkt-, Linien- und Flachenkomplexen 156 

2. Indikatrix 158 

3. Interne Transformation und Homoomorphismus(ElementarverwandtBchai t) 159 

4. Elementarmannigfaltigkeiten (Kreis und Kugel) 160 

5. Ausdehnung auf n Dimensionen 161 

6. Komplexe mit Singularitaten 163 

7. Externe Transformation. Homotopie und Isotopie 164 

8. Das Anschauungssubstrat 168 

9. Einteilung der Analysis situs 169 

10. Die Methode 170 

A. Complexes. 

1. Ubersicht 171 

2. Liniensysteme (Streckenkomplexe) 171 

3. Hohere Komplexe und die (komplektische) Eulersche Formel. (Bettische 
Zahlen, Torsionskoeffizienten) 178 

4. Benutzung von nektischen Methoden fiir die Theorie hb herer Komplexe 185 

B. Nexus. 

I. Nexus von Linien 188 

II. Nexus von Flachen 189 

1. Einleitung 189 

2. Normalform 190 

3. Lo sung des Hauptproblems 195 

4. Anwendungen der Normalform 196 

a) Beweis des Neumannscheu Axioms 196 

b) Mobiussche Grundform fiir eine M^ 196 

c) Minimalzahl von bedeckenden Elenientarflachenstiicken 196 

d) Normalformen fiir geschiossene Flachen 197 

5. Fortsetzung. Riickkenrschnitte und Querschnitte und die eigeutliche 
Eulersche Formel 198 

6. Zusammensetzung von Flachen 203 

7. Aquivalenz von Kurven und Flachen 203 

8. Analytisch-geometrische Entwicklungen 204 

C. Connexus. 

I. Homotopie 205 

II. Isotopie 207 

A. Kurven 207 

1. Eine Kurve (Verkuotung) 207 

2. Zwei und mehr Kurven (Verkettung) 213 

B. Flachen und mehr-dimensionale Mannigfaltigkeiten 215 

D. Mannigfaltigkeiten mit Singularitaten. 

1. Allgemeine Probleme 216 

2. Riemannsche Flachen 217 

(Abgeschlossen im Januar 1907.) 



XVI Inhaltsverzeichnis zu Band III, 1. Teil, 1. Halfte. 

4 a. Gegensatz von synthetischer und analytischer Geometric 
in seiner historischen Entwicklung im XIX. Jahrhundert. 

Von G. FANO in Turin. 

I. Allgemeine Bemerkungen. Fixierung des Themas: 
Die Entwicklung der Geometric im 19. Jahrhundert, yon Monge 

beginnend. 

Seite 

1 Charakteristische Merkmale der beiden Geometrieen 223 

2. Weiteres uber die Grundbegriffe der analytischen Geometrie 224 

3. Gegenseitige Beziehungen der beiden Geometrieen 228 

4. Plan der folgenden Darstellung 229 

5. Die Stellung von Monge 229 

6. Die Nachfolger von Monge 230 

II. Einsetzen der synthetischen Geometrie durch Poncelet, 
Mobius, Steiner, Chasles. 

7. Poncelet s ,,TraiW" 231 

8. Mobius 234 

9. Steiner 235 

10. Weiterfiihrung des Steiner schen Progranims 236 

11. Chasles 237 

III. Entspreehende Entwicklung der analytischen Geometrie. 

12. Mobius, Pliicker . 238 



IV. ron Stautlt. Insbesondere Gebilde 2. Grades und Imaginar- 

theorie mit Erweiterungen. 

13. von Staudt 241 

14. von Staudt s Imaginartheorie 242 

15. Weitere Ausbildung der Imaginartheorie 243 

16. Spatere Erweiterungen. Hyperalgebraische Gebilde und bikomplexe 
Elemente 246 

17. Entsprechende analytische Entwicklungen. Bikomplexe Zahlen. . . . 248 

18. Direkte Untersuchung der hyperalgebraischen Gebilde. Beziehung zu 

den Hermite schen Formen 250 

V. Allgemeine Theorie der algebraischen Gebilde yon zwei und 

drei Dimensionen. 

19. Analytische Theorie der albgebraischen ebenen Kurven 253 

20. Oberflachen im Raume 256 

21. Raumkurven 257 

22. Zusammenhang mit der linearen Invariantentheorie 258 

23. GraBmann s lineale Erzeugung der Kurven und Flachen 259 

24. Algebraisch-geometrische Theorieen. Cremona 261 

25. Ansatz von H. Thieme 2(32 

26. Aufstellung der rein synthetischen Kurventheorie durch E. Kotter. . . 264 

27. Untersuchungen von R. De Paolis 265 

VI. Melirdimensionale Algebraische Geometrie. 

28. Ansatze zur analytischen Auffassung mehrdimensionaler Raunie . . . 267 

29. Mehrdimensionale Raume veranlaBt durch Betrachtung beliebiger Raum- 
elemente 268 

30. Weitere Ausbildung der projektiven Auffassung 269 



3m C i , 



jftt+~ * 

Inhaltsveraeiclmi 



xu Band III, 2. Teil, 1. 




6 a. Grundeigeiiscliaften der algebraischen Flacheu. Vou 
Gr. CASTELXTOVO in Rom und F. ENRIQUES in Bologna 
(jetzt in Rom). 

1. Flache n** r Ordnung; Anzahl der Bedingungen, welche man ihr auf- 
erlegen kann 636 

2. Schnitt einer Flache mit einer Geraden oder einer Ebene 637 

3. Mehrfache Punkte 638 

4. Singulare mehrfache Punkte 639 

5. Durchschnitt zweier Flachen 641 

6. Durchschnitt dreier Flachen 643 

7. Anzahl der Punkte, welche die Schnittkurve zweier Flachen oder die 
Schnittpunktsgruppe dreier Flachen bestimmen 643 

8. Konstruktion von Flachen 645 

9. Aquivalenz- und Postulationsformeln 647 

10. Lineares FlachensYstem, definiert durch die Basiselemente 648 

11. Polarflachen 649 

12. Polaren eines Flachenpunktes 651 

13. Der einer Flache umschriebene Kegel; Klasse und Hauptcharaktere 
einer punkt-allgemeinen Flache 652 

14. Reduktion der Klasse einer Flache durch Singularitaten derselben . . 654 

15. Die reziproke Flache 655 

16. Relationen zwiscben den charakteristischen Zahlen einer Flache . . . 657 

17. Polarflachen eines variablen Punktes in bezug auf eine feste Flache; 
Diskriminante der Flache 659 

18. Jacobische Kovarianten von zwei oder mehreren Flachen 660 

19. Beruhrungsprobleme 662 

20. Hessesche und Steinersche Kovarianten 663 

21. Das Problem der vierpunktigen Tangenten und die Kovariante von 
Sahnon-Clebsch 665 

22. Uber einige projektiv bemerkenswerte Flachen 666 

23. Metrische Eigenscbaften einer Flache. Schnitt mit der unendlich fernen 
Ebene; Asymptotenebenen 669 

24. Diametralebenen oder -flachen ; Zentrum 670 

25. Normalen. Flache der Kriimmungsmittelpunkte 671 

26. Kreispunkte 672 

27. Fokalkurve 672 

28. Metrisch bemerkenswerte Flachen 673 

(Abgeschlossen im Jahre 1908.) 

6 b. Die algebraischen Flachen vom Gesichtspunkte der biratio- 
nalen Transformationen ans. Von G. CASTELNUOVO in Rom 
und F. ENRIQUES in Bologna (jetzt in Rom). 
I. Birationale Trausforinationen und lineare ^Knryensysteme auf 

einer Flache. 

1. Birationale Transformationen 677 

2. Fundamentalelemente . 677 

3. Reduktion der Singularitaten 678 

4. Ausgezeichnete Kurven 679 

5. Einteilung der algebraischen Flachen in Klassen 680 

6. Lineare Systeme von Kurven auf einer Flache 681 

7. Transformation einer Flache hinsichtlich der gegebenen linearen Systeme 685 

8. Yollstanojige lineare Systeme 687 

9. Addition und Subtraktiou linearer Systeme 688 

10. Adjungierte und subadjungierte Flachen 689 

II. Die Theorie der Inrarianten. 

11. Die Invariantentheorie nach M. Noether 690 

12. Zu einem linearen System adjungierte Kurven 694 

Encyklop. d math. WiBsenech. Ill S. b 



XVIII Inhaltsverzeichnis zu Band III, 2. Teil, 1. Halfte 

Seite 

13. Die Theorie der Invarianten nach F. Enriques 697 

14. tiber eiuige bemerkenswerte Ausdriicke numerischer Invarianten . . . 700 
16. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei Flachen 702 

III. Uber die Ansdehnung des Theorems von Riemann-Roch und 

iiber die nicht- linear en kontinuierlichen Systenie von Kurven, 

welche einer Flache angehoren. 

16. Die charakteristische Schar eines linearen Systems 704 

17. Ausdehnung des Theorems von Riemann-Roch 706 

18. Kontinuierliche nicht-lineare Kurvensysteme 707 

19. Die Mannigfaltigkeit von Picard, welche mit einer irregularen Flache 
verkniipft sind 709 

20. Flachen, welche ein irrationales Biischel von Kurven und Ungleichheit 
zwischen p a und p y besitzen 710 

21. Kurven und Systeme von aquivalenten Kurven auf einer Flache ... 711 

22. Moduln einer Klasse von algebraischen Flachen 713 

IV. Die Theorie der Flachen in Beziehung auf die Integrate, 
welche niit den Flachen verknupft sind. 

23. Integrale, welche mit einer Flache verknupft sind 714 

24. Doppelintegrale erster Gattung 716 

25. Klassifikation der einfachen Integrale 716 

26. Einfache Integrale erster Gattung 718 

27. Einfache Integrale zweiter Gattung 721 

28. Die einfachen Integrale, welche mit einer Flache verknupft sind, und 

die Irregularitat dieser Flache 723 

29. Einfache Norrnaliutegrale 725 

30. Abelsches Theorem auf den Flachen 726 

31. Einfache Integrale dritter Gattung 727 

32. ftber die Basis fur die Kurvensysteme einer Flache . . 728 

33. Doppelintegrale zweiter Gattung . 731 

V. tlber gewisse Familien bemerkenswerter Flachen und liber die 
Elassifikation der algebraischen Flachen. 

34. Flachen, welche ein Biischel von rationalen Kurven enthalten .... 734 

35. Doppelebenen von Clebsch-Noether 736 

36. Die Rationalitat einer Flache als Folge der Existenz eines gewissen 
Kurvensystems auf derselben 739 

37. Rationalitat der ebenen Involutionen 740 

38. Die rationalen und die Regelflachen nach den Werten des Geschlechts 

und den Mehrgeschlechtern charakterisiert 742 

39. Flachen, welche eine kontinuierliche Schar automorpher birationaler 
Transformationen gestatten 744 

40. Hyperelliptische Flachen . t 748 

41. Flachen, welche eine unendliche diskontinuierliche Schar von auto- 
morphen birationalen Transformationen gestatten 752 

42. Flachen vom Geschlecht 1 753 

43. Regulare Flachen vom Geschlecht und vom Doppelgeschlecht 1 . . 756 

44. Flachen mit einer kanonischen odermehrkanonischen Kurve derOrdnung 757 

45. Flachen vom linearen Geschlecht p w = 1 758 

46. Uber die Klassifikation der algebraischen Flachen 759 



VI. Einige Bemerkungen fiber die algebraischen Mannigfaltig- 
keiten von drei Dimensionen. 

47. tfber die Invarianten einer algebraischen Mannigfaltigkeit 7(U 

48. Einige die rationalen Mannigfaltigkeiten betreff ende Fragen 767 

(Abgesehlossen im Dezember 1914.) 



Ubersicht 

ttber die im yorliegenden Bande III, 2. Teil, 1. Halfte 
zusanunengefafiten Hefte und ihre Ausgabedaten. 

C. Algebraische Geometrie. 
Ill 1903 1 DINGELDEY: Kegelschnitt und Kegelschnittsysteme. 

Heft 2. | 2. STAUDE: Flachen 2. Ordnung und ihre Systeme unJ Durch- 
1. VI. 1904. \ dringungskurven. 

H f t 3 ( 3 Z EUTHEN: Abzahlende Methoden. 

c VTTT i onc i 4 - BERZOLARI: Allgemeine Theorie der hoheren ebenen algebrai- 
Ul. 1906 ^ gchen Kurven 



Heft 4. f 5. KOHN u. LORIA: Spezielle ebene algebraische Kurven: 

23. IV. 1909. \ a. KOHN: Ebene Kurven 3. und 4. Ordnung. 

Heft 5. f b. LORIA: Spezielle ebene algebraische Kurven von hoherer 
22. IV. 1915. | als der vierten Ordnung. 

( 6 a. CASTELNUOVO u. ENRIQUES: Grundeigenschaften der algebra- 

Heft 6. I ischen Flachen. 

21. IX. 1915. j 6b. CASTELNUOVO u. ENRIQUES: Die algebraischen Flachen vom 
Gesichtspunkte der birationalen Transformationen aus. 



Ill A, B 1. PRIimPIEN DER GEOMETRIE.*) 

VON 



F. ENKIQUES 

IN BOLOGNA. 



Inhaltsiibersicht. 

1. Einleitung. Allgemeines , betreffend die matheinatischen Untersuchungen 
fiber die Prinzipien der Geometrie. 

I. Die elementare Richtung. 

2. Vorbemerkung. 

3. Punkt, Gerade und Ebene. 

4. Strecke, Winkel (der Begriff ,,zwischen u ). 

5. Kongmenz und Bewegung. 

6. Uber die Reduktion der in den vorhergehenden Nummern betrachteten funda- 
mentalen Begriffe. 

7. Stetigkeit und Archimedisches Postulat. 

8. Das Parallelenpostulat. 

9. Weitere Ausfuhrungen zur Parallelentheorie. 

10. Flacheniuhalt und Rauminhalt. 

11. Neue Entwicklungen zur Proportionentkeorie im Sinne der Alten. 

12. SchluB der vorstehenden Untersuchung und Disposition der folgenden Kapitel. 

II. Prinzipien der Theorie des Kontinuums. 

13. Vorbemerkung. 

14. Die Linie. 

15. Flachen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen. 

16. Linien auf den Flachen. 

III. Prinzipien der projektiren Geometrie. 

17. Postulate in einem Raumstiick. 

18. Postulate fiir den vollstandigen projektiven Raum. 

19. Projektive Koordinaten. 



*) Da ich durch anderweitige Arbeit fiir die Encyklopadie stark in Anspruch 
genommen war, ist die redaktionelle Bearbeitung des vorliegenden Artikels in 
der Hauptsache von Herrn H. Fleischer (anfangs in Gottingen, spater in Konigs- 
berg) besorgt worden. . W. Pr. Meyer. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 1. 1 



2 III A B 1 . F. Enriques. Prinzipien der Geonietrie. 

20. Bemerkungen iiber die grundlegenden S atze der projektiven Geometrie. 

21. Uber die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der Begriindung der 
projektiven Geometrie. 

IT. Projektive Metrik. 

22. Einordnung der gewohnlichen Metrik in die projektive Geometrie. 

23. Allgemeine MaBbestimmung von Cayley und deren nicht - Euklidische Aus- 
legung von Klein. 

24. Verschiedene Bemerkungen zu den projektiven Metriken. 

V. Prinzipien der allgemeinen Metrik. 

25. Vorbemerkung. 

A. Bogenelement (nebst endlicher Entfernnng). 

26. Geometrie auf krummen Flachen usw. 

27. Riemannsche MaBbestimmung in einer mehrfach ausgedehnten Mannig- 
faltigkeit. 

28. Homogene Mannigfaltigkeiten. 

29. Projektiver Charakter der Mannigfaltigkeiten konstanter Kriimmung. 

30. Untersuchungen von De Tilly iiber den Ausdmck fur die endliche Entfernung. 

31. Geometrische Systeme von Minkoivski-Hilbert. 

B. Bewegungsgruppe. 

32. Postulate von H. v. Helniholtz. 

33. Untersuchungen von S. Lie. 

34. Untersuchungen von H. Poincare. 

35. Untersuchungen von D. Hilbert. 

VI. Zusammenhanggverhaltnisse des imfoegrenzten Raumes. 

36. Raume, die als Ganzes bewegt werden konnen. 

37. Zweidimensionale Gebilde von Cliff or d-Kkin. 

38. Dreidimensionale Gebilde von Clifford - Klein. 

VII. Nicht-Archimedische Geometrie. 

39. Einleitung. 

40. Eindimensionales Kontinuum hoherer Art. 

41. Ideen Veroneses. 

42. Nicht-Archimedische projektive Geometrie. 

43. Euklidische und nicht-Archimedische Geometrie. 

44. Nicht-Archimedische Entwicklungen iiber die Parallelentheorie. 



Literatur*). 

Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii. E codice Florentine recen- 
suit, latine vertit notisque illustravit J. L. Heiberg. 3 Bde. Leipzig 1880/81. 



*) In diesem Verzeichnis sind nur solche Werke und Abhandlungen auf- 
genommen, auf die in dem Artikel ofter hingewiesen wird. Wegen der Literatur 
u ber die Hilfsdisziplinen, z. B. Mengenlehre, Analysis situs, Differentialgeometrie, 
projektive, darstellende Geometrie u. a. siehe die in den betreffenden Artikeln 



Literatur. o 

E. Beltrami, Saggio cli interpretazione della geometria non-euclidea, Giorn. di 
mat. 6 (1868), p. 285. 

Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante, Ann. di mat. (2) 2 
(1868), p. 232. 

Sulla teoria analitica della distanza, 1st. Lomb. Rend. (2) 5 (1872). 

Un precursore italiano di Legendre e di Lobatsehewsky, Rom Line. Rend. (4) 
5 1 (1889), p. 441. 

Joh. Bolyai, Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens etc. in W. Bolyais 

Tentamen Bd. 1, fur sich neu herausgegeben Leipzig 1903. 
Wolfgang i Bolyai de Bolya Tentameu juventutem studiosam in elementa mathe- 

seos purae elementaris ac sublimioris inethodo intuitive evidentiaque huic 

propria introducendi, cum appendice triplici. 2 Bde. Maros Vasarhely 1832 

und 1833; editio secunda, 2 Bde, Budapest 1897 und 1904 (,,Tentamen u ). 

Einen Auszug aus diesem Werke bildet die Schrift: Kurzer GrundriB eines 

Versuches . . ., Maros Vasarhely 1851. 
A. Cayley, A Sixth Memoir on Quantics, Lond. Trans. 149 (1859), p. 61; wieder 

abgedruckt: Coll. math. pap. 2, Cambridge 1889, p. 561. 

A. Clebscli und F. Lindemann, Yoiiesungen fiber Geometrie 2 1 , Leipzig 1891. 
W. K. Clifford, Lond. Math. Soc. Proc. 4 (1873), p. 381; 7 (1876), p. 67; wieder 

abgedruekt: Math, pap., London 1882, Nr. 20 und 26; ferner Math. pap. 

Nr. 41, 42, 44. 
M. Dehn, Die Legendreschen Satze fiber die Winkelsumnie im Dreieck, Math. 

Ann. 53 (1900), p. 404. 

Uber den Rauminhalt, Math. Ann. 55 (1902), p. 465. 

Edw. F. Dixon, The foundations of geometry, Cambridge 1891. 

jP. Enriques, Conferenze di geometria, autogr. Vorlesungen, Bologna 1894/95. 

Lezioni di geometria proiettiva, Bologna 1898 ; deutsche Ausgabe von H. Fleischer: 
Vorlesungen iiber projektive Geometrie, Leipzig 1903. 

Questioni riguardanti la geometria elementare, eine Samnilung von Aufsatzen 
verschiedener Autoren, Bologna 1900 (,,Questioni u ). 

F. Enriques e U. Amaldi, Element! di geometria, Bologna 1903; zweite Auflage 
1905. 

Euclid is elementa. Edidit J. L. Heiberg. 5 Bde. Leipzig 188388 (,,Elemente"). 

C. F. Gaufi, Werke Bd. 8, Leipzig 1900; vgl. auBerdem: Briefwechsel zwischen 
Gaufi und Fr. W. Bessel, Leipzig 1880; Briefwechsel zwischen Gaufi und 
W. Bolyai, hrsgeg. von F. Schmidt und P. Stackel, Leipzig 1899; Briefwechsel 
zwischen Gaufi und H. C. Scliulimachtr , hrsgeg. von C. A. F. Peters, Altona 
186065. 

H. Grafimann, Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig 1844, zweite Auflage 1878; 
wieder abgedruckt: Ges. math, und phys. Werke I 1, Leipzig 1894. 

H. Grafimann, Geometrische Analyse, Leipzig 1847; wieder abgedruckt: Ges. 
math, und phys. Werke I 1, Leipzig 1894. 

angefiihrte Literatur. Da dieser Artikel seinem Inhalte nach im Herbst 1904 ab- 
geschlossen wurde, so konnte spater erschienene Literatur nicht mehr beriick- 
sichtigt werden ^so u. a. der 1906 erschienene Bericht von M. Simon iiber die 
Entwicklung der Elementargeometrie im 19. Jahrhundert). Eine Ausnahme bilden 
nur besondere Beitrage, die Herr Schoenflies der Redaktion zu Nr. 7 und Ab- 
&chnitt VH (Stetigkeit, Xicht-Archimedische Geometrie) zur Verfiigung gestellt hat. 



4 HI AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

H. v. Helmholtz, tJber die tatsachlichen Grundlagen der Geoinetrie, Heidelberg 
Naturhist.-med. Verein Verhandl. 4 (1866), p. 197, abgedruckt: Wissensch. 
Abhandl. 2, p. 610. 

Uber die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegeu, Gott. Nachr. 1868, 
p. 193, abgedruckt: Wissensch. Abhandl. 2, p. 618. 

D. HUbert, Grundlagen der Geometrie (Festschrift zur Feier der Enthiillung des 
GauB -Weber Denkmals in Gottingen, 1. Teil), Leipzig 1899; zweite Auflage 
1903 (,,Gnmdlagen u ; zitiert wird die zweite Auflage). 

tiber die gerade Linie als kiirzeste Verbindung zweier Punkte, Math. Ann. 46 
(1895), p. 91; wieder abgedruckt: Grundlagen, zweite Auflage, p. 83. 

Uber den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Drei- 
eck, Lond. Math. Soc. Proc. 35 (1903), p. 50; wieder abgedruckt: Grundlagen, 
zweite Auflage, p. 88. 

Uber Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung, Araer. Math. Soc. Trans. 
2 (1901), p. 87; wieder abgedruckt: Grundlagen, zweite Auflage, p. 162. 

Uber die Grundlagen der Geometrie, Math. Ann. 56 (1902), p. 381; wieder 
abgedruckt: Grundlagen, zweite Auflage, p. 121. 

0. Holder, Die Axiome der Quantitat und die Lehre voin MaB, Leipzig Ber. 53 

(1901), p. 1. 

G. Ingrami, Elementi di geometria, Bologna 1899. 
W. Killing, Die nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung, 

Leipzig 1885 (,,Raumformen u ). 

Einfiihrung in die Grundlagen der Geometrie, 2 Bde, Paderborn 1893 und 
1898 ( Grundlagen"). 

F. Klein, Uber die sogenannte Mcht-Euklidische Geoinetrie, Gott. Nachr. 1871; 
ausgefuhrt in Math. Ann. 4 (1871), p. 573; zweite Abhandlung Math. Ann. 6 
(1873), p. 112; ferner 7 (1874), p. 531; dritte Abhandlung 37 (1890), p. 544. 

Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometrische Forschungen. Pro- 
gramm zum Eintritt in die philosophische Fakultat usw., Erlangen 1872; 
wieder abgedruckt: Math. Ann. 43 (1893) (,,Erlanger Programm"). 

Uber den allgemeinen Funktionsbegriff und dessen Darstellung durch eine 
willkurliche Kurve. Erlangen Berichte 1873, wieder abgedruckt: Math. Ann. 
22 (1883), p. 249. 

Nicht-Euklidische Geometrie I, II, autographierte Vorlesungen, Gottingen 
(Leipzig) 1893. 

Zur ersten Verteilung des Lobatschefskij-Preises. Gutachten betreffend den 
dritten Baud der Theorie der Transformationsgruppen von *S. Lie, Kasan Phys. 
math. Ges. 1897; wieder abgedruckt: Math. Ann. 50 (1898), p. 583 ( Gutachten"). 

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie, eine Revision 
der Prinzipien, autogr. Vorlesung, Gottingen 1901 (Leipzig 1902). 

Edm. Laguerre, Sur la theorie des foyers, Nouv. Ann. 12 (1853), p. 57; wieder 
abgedruckt: Oeuvres 2, p. 6. 

J. H. Lambert, Theorie der Parallellinien, aufgesetzt 1766, veroffentlicht 1786 im 
Leipziger Magazin fur die reine und angewandte Mathematik. 

A. M. Legendre, Elements de geometrie, 1., 3., 9., 12. Auflage; alle diese Unter- 
suchungen iiber die Parallelentheorie sind zusammengefaBt in: Reflexions sur 
differentes manieres de demontrer la theorie des paralleles ou le theoreme 
sur la somme des trois angles du triangle. Paris Mem. 12 (1833), p. 365. 



Literatur. 5 

,,Leibnizei\B Mathematische Schriftcn". herausgegeben von C. J. Gerhardt, I. Ab- 

teilung, Briefwechsel, 4 Bde, Berlin 1849/50 nnd Halle 1855/59, II. Abteilung, 

Abhandlungen, 3 Bde, Halle 18581863. 
S. Lie, Theorie der Transformationsgnippen, 3. Abschnitt, Leipzig 1893 (,,Trans- 

formationsgruppen"). 
Xik. lican. Lobatschefskij , Zwei geometrische Abhandlungen (im Original erschienen 

1829 und 135), aus deni Russischen ubersetzt, mit Anmerkungen und einer 

Biographic des Yerfassers von Fr.Engel. Zwei Teile, Leipzig 1898 und 1899. 

In dem zweiten Teile befindet sich ein chronologisches Verzeichnis samtlicher 

Schriften Lobatschefskijs. 

It. de Paolis, Elementi di geometria, Torino 1884. 
Pappi Alexandrini Mathematicae Collectiones a F. Commandino in latinum con- 

versae et commentariis illustratae. Bononiae 1660. 

M. Pasch, Vorlesungen uber neuere Geometric, Leipzig 1882 (,,Neuere Geometric"). 
G. Peano, Calcolo geometrico secondo PAusdehnungslehre di H. GraBmann, 

Torino 1888. 

I principii di geometria logicamcnte esposti, Torino 1889 (,,Principii u ). 

Sui fondamenti della geometria, Riv. di mat. 4 (1894), p. 51 (,,Fondamenti u ). 
M. Pieri, I principii della geometria di posizione composti in sistema logico- 

deduttivo, Tor. Mem. (2) 48 (1898), p. 1. 

Delia geometria elementare come sistema ipotetico - deduttivo , Tor. Mem. (2) 
49 (1899), p. 173. 

H. Poincare, Sur les hypotheses fondamentales de la ge ometrie, Paris Soc. M. Fr. 
Bull. 15 (1887), p. 203. 

La science et Thypothese, Paris ohne Jahr; deutsche Ausgabe von F. und 
L. Lindemann: Wiseenschaft und Hypothese, Leipzig 1904. 

Prodi Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentarii. Ex 

recognitione G. Friedlein. Leipzig 1872 (,,Commentarii u ). 

M. Rethy, Endlich gleiche Flachen, Math. Ann. 38 (1891), p. 405, und 42 (1893), p. 297. 
S. Riemann, Uber die Hypothesen, welche der Geometric zu Grunde liegen, 

Habilitationsvortrag von 1854, Gott. Abhdl. XIII (1868), p. 1 ; wieder abgedruckt: 

Ges. Werke, 2. Aufl., Leipzig 1892, p. 272 (,,Habilitationsvortrag u ). 
H. Sacclieri, Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo 

stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia, Mediolani 1733. 
A. Schoenflies, Uber die Moglichkeit einer projektiven Geometric bei transfiniter 

(nicht-Archimedischer) MaBbestimniung. Deutsche M.-V. Jahresb. 15 (1906), 

p. 26. 
F. Schur, tiber die Deformation der Raume konstanten Riemannschen Kriim- 

mungsmaBes, Math. Ann. 27 (1886), p. 163. 

Uber den Zusammenhang der Raume konstanten Riemannschen Krummungs- 
mafies mit den projektiven Raumen, Math. Ann. 27 (1886), p. 537. 

Uber den Fundamentalsatz der projektiven Geometric, Math. Ann. 51 (1899), 
p. 401. 

Uber die Grundlagen der Geometric, Math. Ann. 55 (1902), p. 265. 

M. Simon, Euklid und die sechs planimetrischen Biicher, Leipzig 1901 (,,Euklid u ). 
P. Stdckel und Fr. En gel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf 

Gaufi, Leipzig 1895. 
Ch. v. Stawlt, Geometric der Lage, Xurnberg 1847; Beitrage zur Geometric der 

Lage, 3 Hefte, Xurnberg 18561860. 



6 III A B 1. F. Enriqiies. Prinzipien der Geometrie. 

0. Stolz, Zur Geometrie der Alten, insbesondere liber ein Axiom des Archimedes. 
Innsbr. Ber. 12 (1882), p. 74; wieder abgedruckt: Math. Ann. 22 (1883), p. 504. 

F. Ad. Taurinus, Theorie der Parallellinien, Koln 1825; Geometriae prima elementa, 
Coloniae Agrippinae 1826. 

Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg 
1904, Leipzig 1905 (,,Heidelberger KongreB"). 

G. Veronese, Fondamenti di geometria, Padova 1891; deutsch von A. Schepp: 
Grundztige der Geometrie, Leipzig 1894 (,,Grundziige u ). 

G. Veronese, Elementi di geometria (tratt. con la collaborazione di P. Gazzaniga), 
Yerona-Padova 1897, neue Ausgabe 1900; Appendice agli elementi di geometria, 
Verona-Padova 1898. 

J. Wdllis, De postulate quinto et definitione quinta lib. 6. Euclidis disceptatio 
geometrica. Operum mathematicorum volumen alterum, Oxford 169,5, p. 665. 

H. G. Zeuihen, Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, Kopen- 
hagen 1896, im XVI. und XVII. Jahrhundert, Leipzig 1903. 

A. De Zolt, Principii della eguaglianza di poligoni (equivalenza di poligoni) prece- 
duto da alcuni cenni critici sulla teoria della equivalenza geometrica, Milano 
1881; Principii della eguaglianza di poligoni sferici, Milano 1883. 

Bibliographisclie Werke. 

It. Bonola, Bibliografia sui fondamenti della geometria non-euclidea, im Bolletino 
di bibliografia e storia delle scienze matematiche, seit 1899. 

Index operum ad geometriam absolutam spectantiurn in: loannis Bolyai in 
memoriam, Libellus post saec. quam lo. Bolyai de Bolya anno 1802 a. D. Clau- 
diopoli natus est ad celebrandam memoriam eius immortaleni . . . editus, 
Claudiopoli 1902 (Leipzig 1903); ein ziemlich vollstandiges Verzeichnis der 
Schriften uber nicht-Euklidische Geometrie. 

G. B. Hoisted, Bibliography of hyperspace and non-euclidian geometry. Am. J. 
1 (1878), p. 261, 384, 385; 2 (1879), p. 65. 

H. Schotten, Inhalt und Methode des planimetrischen Unterrichts. Eine ver- 
gleichende Planimetrie. 2 Bde. Leipzig 1890 und 1893. 

JS. Wolffmg, Mathematischer Biicherschatz , 1. Teil, Leipzig 1903; besonders 
Abt. 2: Philosophic der Mathematik, Abt. 139: Prinzipien der Geometrie, 
Abt. 140: Parallelentheorie, Abt. 141: Nicht-Euklidische Geometrie, Abt. 142: 
w-dimensionale Geometrie. 



1. Einleitung. Allgemeines , betreffend die mathematischen 
Untersuchungen iiber die Prinzipien der Geometrie. Die kritischen 
Untersuchungen iiber die Prinzipien der Geometrie sind mit deren 
systematischer Gestaltung als deduktive Wissenschaft verkniipft. 

Als Grundlage des hierbei von EuMid eingeschlagenen Verfahrens 
laBt sich folgendes erkennen J ) : 

1) Vgl. die kritische Ausgabe der Elemente Euklids von /. L. Heiberg, 
1, Leipzig 1883, und u. a. M. Simon, Euklid und die sechs planimetrischen 
Biicher, Leipzig 1901. 



1. Einleitung. Allgemeines. 7 

1) Die Definitiomn (OQOI), die jedoch im allgeineinen blofie Be- 
schreibungen sind und manchmal direkfc fundamentale Satze enthalten, 
wie z. B. die vierte Definition des fiinften Buches, in der sich das 
sogenannte Arclilmedische Postulat verbirgt. 

2) Die Axioms (xoival ZVVQIO.I) und die Postulate (ttttfyucta). 
tlber den Unterschied zwischen diesen grundlegenden Satzen ver- 
breitet sich Proclus 2 ), indem er die folgenden drei verschiedenen Auf- 
fassungen dieses Unterschieds anfuhrt: a) Die Postulate verhalten 
sich zu den Axiomen wie die Aufgaben zu den Satzen. Die Postu 
late behaupten die Moglichkeit einer Konstruktion, die auf andere als 
ausfiihrbar angenommene Konstruktionen nicht zuruckgefiihrt werden 
kann; die Axiome sprechen eine Eigenschaft aus, die ohne Beweis 
einer Figur beigelegt wird, deren Konstruierbarkeit bereits postuliert 
oder bewiesen ist. b) Die Axiome sprechen Eigenschaften aus, die 
jeder mathematischen GroBe zukommen, und gelten daher auch auBer- 
halb des Bereiches der Geometric; in den Postulate!) werden Eigen 
schaften betrachtet, die nur von rein geornetrischen Dingen ausgesagt 
werden konnen. c) Die Axiome gelten durch sich selbst (xa& aavra), 
d.h. auf Grand der Bedeutung der inihnen vorkommenden Ausdriicke; die 
Postulate ergeben sich nicht mit Notwendigkeit aus der Definition der in 
ihnen enthaltenen Ausdriicke. Dem dritten Standpunkte gegenuber hat 
die moderne Kritik gezeigt, dafi diejenigen Satze ? die man als Axiome 
betrachtete, Forderungen in sich enthalten, die erfiillt sein iniissen, und 
daher in gewissem Sinne auch als Postulate angesehen werden konnen 3 ). 

3) Unausgesprocliene Sdtsse, die durch direkte Bezugnahme auf die 
Anschauung ersetzt werden 7 z. B. iiber den Begriff 7 ,zwischen u , iiber 
?7 die Unendlichkeit der Geraden" usw. 

Fiir eine richtige Wertschatzung dieser Grundlagen des Euklidischen 
Werkes ist aber im Auge zu behalten, daB der Text unsicher ist und 
wohl manche der grundlegenden Satze spatere Zutaten sind. 

An diese Fassung der Prinzipien der Geometric kniipft nun eine 
lange kritische Arbeit an, die aus dem Altertum bis in unsere Tage 
hinein reicht und sich im besonderen mit dem Beweise des fiinften 
(Parallelen-)Postulats beschaftigt (vgl. Abschn. I dieses Referats, ins- 
besondere Nr. 8). 



2) Prodi Diadochi in prinium Euclidis elementornin librum commentarii. 
Ex rec. G. Friedlein, Leipzig 1873, p. 178. 

3) Vgl. G. Vailati, Heidelberger KongreB, p. 575, und H. G. Zeutlien, ebenda, 
p. 340. Wir werden in diesein Artikel die eigentlichen grundlegenden Satze der 
Geometrie, d. h. die Satze, welche die zwischen den Grundbegriffen der Geometrie 
angenommenen Beziehungen ausdriicken, als Postulate bezeichnen. 



8 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

Aber vor dein Beginn des verflossenen Jahrhunderts kam man 
uber den dogmatischen Gesichtspunkt der Euklidischen Geometrie nicht 
hinaus, der ubrigens auch von neueren Mathematikern, z. B. von 
Cayley, gebilligt worden 1st. 

Die Fortschritte in der Kritik des verflossenen Jahrhunderts gehen 
von zwei allgemeinen Ideen aus: 

I. Hinsichtlich des Objects der Geometrie kam man zu einer 
Unterscheidung zwischen 

1) dem gewohnlichen intuitiven Baume, dessen Grundeigenschaften 
gemafi der iiblichen Auffassung die Anschauung ergibt; 

2) dem physischen Baunie, dessen Grundeigenschaften die Erfalirung 
darbietet, und 

3) den dbstrakten Bciumen, d. h. allgemeinen Begriffen, die aus 
dem gewohnlichen Begriffe des (intuitiven) Raumes durch Abstraction 
oder Verallgemeinemng seiner Eigenschaften hervorgehen. 

Vor allem fiihrte die nicht-Euklidische Geometrie, die zwischen 
1815 und 1830 entstand (Gaufi, J. Bolyai, Lobatschefskij, vgl. Nr. 8) 
zu der Anerkennung der physischen Moglichkeit eines Raumes , der 
von dem gewohnlichen intuitiven Raume verschieden ist. Jedoch er- 
schien diese Moglichkeit, da ihr nur der Zweifel an der Gultigkeit 
des fiinften Euklidischen Postulats zugrunde lag, zunachst begrenzt, 
und die von diesem Postulate unabhangige Geometrie wurde daher als 
die einzig existierende (,,absolute") betrachtet. Diese Beschrankung in 
der Raumvorstellung wurde von B. Biemann aufgehoben, der in seinem 
1854 gehaltenen und 1867 veroffentlichten Habilitationsvortrag in all- 
gemeiner Weise von Hypothesen spricht, welche der Geometrie zu 
grunde liegen, die UnendliMeit der Geraden fallen laBt und iiberdies 
(wie Graflmann es schon vorher getan hatte) mehrere Dimensionen 
betrachtet (vgl. Nr. 8, 15, 27). In demselben Sinne hat dann wohl 
F. Klein sehr anregend gewirkt 4 ). 



4) Vgl. den folgenden Satz aus seinem Artikel: Uber die sogenannte nicht- 
Euklidische Geometrie, zweiter Aufsatz, 1872, Math. Ann. 6 (1873), p. 113: ,,Ahnliche 
Untersuchungen (wie uber das Parallelenaxiom) konnte und sollte man mit bezug 
auf alle anderen Voraussetzungen, die unseren geometrischen Vorstellungen zu 
grunde liegen, anstellen. Es ist die nicht-Euklidische Geometrie ein erster Schritt 
in einer Richtung, deren allgemeine Moglichkeit durch Riemanna Arbeit ,,Uber 
die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen" vorgezeichnet ist. Ein 
ahnlicher Schritt ist es, wenn man das Axiom von der unendlichen L ange der 
Geraden fallen laBt, wie ich dies in meinem vorigen Aufsatze im Anschlusse an 
die Arbeiten von Riemann und Helmholtz getan habe. Dann ist aufier der nicht- 
Euklidischen Geometrie im Sinne von Lobatschefskij, Bolyai oder, wie ich sie 
nenne, der hyperbolischen Geometrie, noch eine zweite Geometrie, die elliptieche, 



1. Einleitung. Allgemeines. 9 

Wenig spater als Riemann (1868) sprach H. Helmlwltz (jedenfalls 
mit unter dem Einflusse der englischen empiristischen Philosophic) die 
Meinung aus, daB der Wert der grundlegenden Satze der Geometrie in 
ihrer Eigenschaft, physische Tatsachen zu enthalten, bestehe, und dies 
fiihrte ihn zu neuen mathematischen Fragestellungen, die spater voll- 
standig beantwortet worden sind (vgl. Abschn. V B dieses Referats). 

Die auBerorclentliche Verbreitung und die Entwicklung der nicht- 
Euklidischen Theorien, die von verschiedenen Standpunkten aus von 
Battaglini, Hoiiel, Flye Ste. Marie, Mansion, De Tilly und in anderer 
Weise von Beltrami, Clifford, Klein, Lie, Poincare u. A. gefordert 
wurden, machten den Begriff der verschiedenen moglichen Geometrien 
popular und brachten die erwahnte Einschatzuug der Postulate im 
Yerhaltnis zum physisehen Raum in weiteren Kreisen zur Anuahme. 

Aber man konnte die neue Entwicklung nicht verstehen, wenn 
man nicht neben einer Geometrie, deren Objekt der Physik angehort, 
auch eine Geometrie betrachtete, die auf dem Wege der Abstraktion 
aus der intuitiven Vorstellung des gewohnlichen Raumes hohere 
Raume hervorgehen zu lassen bestrebt ist; von dieser Art ist z. B. 
der Raum der projektiven Geometrie, in der man von rein deskrip- 
tiven Begriffen 5 ) ausgeht und metrische Begriffe ausschlieBt, wie dies 
F. Klein im AnsehluB an das von Staudtsche System gelehii hat, 
und auch die nicht -Archimedischen Raume Veromses und Hilberts 
sind von dieser Art (vgl. Abschn. VII dieses Referats). 

Xun sind aus derartigen Konstruktionen verschiedene Rangord- 
nungen der geornetrischen Begriffe hervorgegangen, die deren psycho- 
logischen Inhalt beleuchten (Nr. 12) und iiber ihre Erwerbung Licht 
verbreiten 6 ). Und endlich entstand so auch (im Zusammenhange mit 
der formalen Entwicklung, die wir weiter unten beriihren werden) 
eine freiere Betrachtung der verschiedenen Geometrien, indem man, ab- 
gesehen von dem physikalischen oder psychologischen Objekt, ein 
System von Hypothesen betrachtete, dessen Konsequenzen man aus 
irgend einem matheinatischen Interesse verfolgte (wie z. B. in den 



moglicli; zwischen beiden bildet die gewohnliche, parabolische, Geometrie den 
tbergangsfall." 

5) D. h. Begriffen, die sich nur auf die Lage beziehen und daher pro 
jektiven Charakter haben. Dieses Wort ist in dem vorliegenden Artikel in An- 
lehnung an PonceUt gewahlt worden, um fiir lagengeometrische Beziehungen ein 
bequemes Adjektiv zu haben; Poncelet hat fiir diese Beziehungen neben des 
criptive (Traite des proprietes projectives des figures, introduction) auch graphi- 
que (Traite, chap. I, Nr. 6); wir haben dem ersten Ausdruck den Vorzug gegeben. 

6) Vgl. F. Enriques, Riv. filos. di Pavia 1901. 



10 III A B 1. F. Enriqiies. Prinzipien der Geometrie. 

letzten Entwicklungen der Hillertscheii Schule; vgl. Abschn. VII dieses 
Referats). 

Was die physikalische Bedeutung der Postulate betrifft, so liaben 
diese Konstruktionen, in Ubereinstinimung mit dem weniger schema- 
tischen Begriff der ,,Tatsache", der von der modernen wissenschaft- 
lichen Philosophie vertreten wird, zu einer Anderung des Urteils uber 
ihren empirischen Wert gefuhrt. 

F.Klein (Funktionsbegriff 1873; Math. Ann. 37; Gutachten) und 
H. Poincare (Soc. M. Fr. Bull. 15; Wissenschaft und Hypothese) sind 
bei verschiedenen philosophischen Richtungen dazu gekommen, die geo- 
metrischen Postulate als Satze anzusehen, die man mehr oder weniger 
willkurlich in die ungenauen Daten der Erfahrung hineinlegt, um eine 
zuverlassige Grundlage fur die weitergehende exakte Uberlegung zu haben. 

II. Hinsichtlich der logisclwn Form der geonietrischen Entwick- 
lung kam die moderne Kritik zu einem neuen Begriff der mafhe- 
matischen Strenge, der niit der kritischen Richtung, die vorher in der 
Analysis sich geltend gemacht hatte (Weierstrafl, Dedekind, G. Cantor, 
P. Du Bois-Reymond, Meray, Dini u. A.), zusammenhangt. 

Vor allem entdeckte man unausgesprochene Postulate, die bei 
dem Beweise von Satzen auf Grund der Anscliauung unwillkiirlicli 
benutzt wurden, z. B. das Postulat der Stetigkeit (Cantor-Dedeldnd}, 
das sogenannte Archimedische Postulat (auf das Stole wieder die Auf- 
merksamkeit gelenkt hat), die Postulate der Anordnung (Pascli), usw. 

Dann bemerkte man, daB eine Definition, ebenso wie ein Beweis, 
etwas durchaus Relatives ist, und daher zeigte sich die Notwendig- 
keit, die primitiven Begriffe, d. h. diejenigen, die man in einein vor- 
liegenden System nicht definieren will, die aber in den Definitionen 
logisch miteinander verkniipft sind, ausdriicklich als solche hinzu- 
stellen. Und da schliefilich die Postulate als Relationen zwischen 
diesen Begriffen erschienen, so wollte man den Postulaten eine solche 
Form geben, daB sie erkennbar bleiben, auch wenn man von der (bei 
der logischen Entwicklung nicht benutzten) Bedeutung, die man auf 
Grund der Anscliauung oder der Erfahrung den Begriffen selbst bei- 
legen kann, abstraliiert 

In diesem Sinne ist der Begriff der Strenge in den Vorlesungen 
iiber neuere Geometrie von M. Pascli (1881) durch die folgenden beiden 
Forderungen festgelegt worden: 

1) Es sind die primitiven Begriff e, durch welche alle iibrigen 
logisch definiert werden, ausdriicklich als solche hinzustellen. 

2) Es sind die fundamentalen Satze (Postulate), mit deren Hilfe 
die anderen (die ,,Satse") logisch bewiesen werden, ausdriicklich als 



1. Einleitung. Allgeinemes. 11 

logischc Beziehunyen zwischen deu primitiven Begriffen unabhangig 
von deren Bedeutung auszusprechen. 

Und diese Fordernngen werden bei PascJi erftillt; die Grundlage 
fur die logische Behandlung der Geometric liegt bei ihin durchaus 
in den Postulaten (wenn diese auch als das Produkt eines an die An- 
schauung ankniipfenden psychologischen Prozesses eingefuhrt werden). 

Diese Auffassung der Strenge ist seither iramer mehr zum Ge- 
meingut der geornetrischen Forschungen dieser Art geworden (vgl. 
z. B. Peano, Principii, 1889; Veronese, Fondainenti, 1891; Hilbert, Grund- 
lagen, 1898 usw.) 7 ). 

Ihr gemaB erscheinen vom abstrakten logischen Standpunkte aus 
die Postulate als willkiirliche Verabredungen, und die Gesamtheit der 
logischen Beziehungen, welche sie aussprechen, bildet eine Art im- 
pliciter Definition der primitiven Begriffe 8 ). 

Wie man von dieser Willkiir Gebrauch machen soil, das hangt 
von Werturteilen ab und lafit sich nicht wie eine wissenschaftliche 
Frage entscheiden, bei der es sich urn ein Urteil dariiber handelt, ob 
etwas wahr oder falsch ist. In der Tat haben die Peanosche und 
(besonders in ihren letzten Entwicklnngen) die Hilberfcche Schule, in- 
deni sie inimer mehr die abstrakte Seite der Darstellung ins Auge 
fafiten, die Willkiir in der Wahl der Postulate im weitesten Sinne ver- 
standen und sich damit immer mehr von der Auschauung entfernt: die 



7) Ubrigens wurde sie in Italien, wo Euklids Elemente durch Sannia und 
d Ovidio, Faifofer, De Paolis und andere schon vorher eine kritische Umarbeitung 
erfahren hatten, auch in den Schulbetrieb hineingetragen. Die neueren italieni- 
schen Lehrbucher, die bei verscliiedenen piidagogisclien Standpunkten die oben 
auseinandergesetzten Bedingungen der fomialen Strenge sich zu eigen machen, 
riihren von Veronese (Elementi di geometria [tratt. con la collaborazione di 
P. Gazzamga\ Yerona-Padova 1897, neue Ausgabe 1900; Appendice agli elementi 
di geometria, Verona-Padova 1898), Ingrami (Elementi di geometria, Bologna 
1899\ Enriqiies e Amdldi (Elementi di geometria, Bologna 1903, zweite Auflage 
1905) her. Vgl. auch das Sammehverk ,,Questioni u von Enriqiies (1900). 

8) Dieser weitere BegrifF der Definition fiiidet sich, wie G. Vacca (Riv. di 
mat. 1899, p. 185) bemerkt hat, schon bei /. Z>. Gergonne (Gerg. Ann. 9 (1818 19), 
p. 1). Es seien aus dem Gergonneschen Aufsatze zwei charakteristische Satze 
angefiihrt: ,,Wenn ein Satz ein Wort enthalt. dessen Bedeutung uns unbekannt 
ist, so kann durch die Aussage dieses Satzes die Bedeutung jenes Wortes uns 
offenbar werden" (p. 22). ,,Satze, die auf diese Weise den Sinn eines Wortes 
auf Grand der bekannten Bedeutung der in ihnen enthaltenen anderen Worte 
ergeben, konnten implicite Definitionen genannt werden, im Gegensatze zu den 
gewohnlichen Definitionen, die man explicite Definitionen nennen konnte . . .; so 
konnen auch oft zwei Satze, die zwei neue Worte mit bekannten Worten ver- 
kniipfen, deren Sinn bestimrnen . . ." (p. 23). 



12 HI A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

zuerst genannte, indem sie haupts achlich den Zweck verfolgte, das 
Urteil tiber einige logisch-formale Fragen zu vertiefen, die andere, ura 
Gegenstande von inathematiscbein Interesse, die mit Fragen de.r Ana 
lysis oder der Zahlentheorie usw. verkniipft sind, weiter zu verfolgen. 
Demgegeniiber strebt Veronese (Fondamenti) danach, das, was der 
Anschauung und der Erfahrnng gegeniiber in mehr eigentlichem Sinne 
als geometrisch zu betrachten ist, abzugrenzen, und Enriques (Questioni, 
Art. 1) sucht einige Vorschriften aufzustellen, denen die Postulate bin- 
sichtlich der primitiven Begriffe geniigen miissen, urn fur die An 
schauung als evident zu erscbeinen. 

Es ist zu erwahnen, daB die oben angefiibrten Forderungen der 
formal en Strenge in dem Zeichensystem der rnatbematiscben Logik 
(Leibniz, Peacock, De Morgan, Boole, H. G-rafimann, W. R. Hamilton, 
Ch. Peirce, Schroder, Peano, Frege) einen symbolischen Ausdruck gefunden 
baben. Dieser Symbolisinus, der von Peano (1889) zu einem System 
der mathematiscben Darstellung erboben worden ist, bat die Not- 
wendigkeit, primitive Begriffe anzunebmen, materiell fiiblbar gemacht, 
da jeder von diesen Begriffen durcb ein neues Zeiclien, das ibn repra- 
sentiert, eingefiibrt wird; daruber binaus bat er aucb zu einer scbarferen 
Kritik hinsichtlicb der Einfachheit und Unabhangigkeit der Postulate 
und primitiven Begriffe und der Vertraglichkeit der Postulate mit- 
einander Veranlassung gegeben 

Der Begriff der UnabhdngigJceit der Postulate, der zunacbst aus den 
Entwicklungen bervorging, welcbe die Versucbe, das fiinfte Euklidische 
Postulat zu beweisen, im negativen Sinne zum AbscbluB bracbten, 
bestebt in folgendem: es bandelt sicb urn die Entscbeidung der Frage, 
7 ,ob ein gegebener Satz von anderen, die als Voraussetzungen ange- 
nommen werden, logisch abhangt oder nicbt". 

Dabei ist folgendes zu beacbten: 

1) Es gibt erne geordnete Unabhangigkeit, in der jedes Postulat 
unabhangig von den vorbergebenden ist, und eine absolute Undbhangig- 
keit, die bei jeder Anordnung der Postulate bestebt. B. Levi (Torino 
Memorie 1904, p. 283) bat bemerkt, daB, wenn ein System von in be- 
kannter Ordnung unabbangigen Postulaten a,b,c,... gegeben ist, man 
immer ein anderes gleicbwertiges System bilden kann, das absolut im- 
abbangig ist (a; es besteht & immer dann, wenn a erfiillt ist; usw.). 

2) Die Unabhangigkeit der Postulate (a, 1), . . .) ist mit ihrer 
Zusammensetzung verknupft, d. b. es kann sein, daB man aus a zwar 
nicbt b berleiten kann, wohl aber einen Teil von &. Das Urteil fiber 
die Unabhangigkeit wird also um so klarer sein, je einfacher die 



1. Einleitung. Allgemeines. 13 

Aussagen der Postulate sind. Aber A. Padoa hat dem Referenten ge- 
zeigt, daB es durchaus einfache Aussagen auBer den Satzen von der 
Form ,,a ist nicht &" nicht gibt und daB es unmoglich ist, auf einer end- 
lichen Anzahl soldier Aussagen ein geometrisches System aufzubauen. 

Um zu beweisen. daB ein Satz a von anderen Satzen ?>, c, . . . 
unabhangig ist, ist zu zeigen, daB das Gegenteil von a mit ~b y c, . . . 
vertraglich ist. 

Diese Entscheidung iiber die Vertragliclikeit der Postulate wurde vor 
allem auf die Betrachtung der arithmetischen Relationen gegriindet, die 
die in Rede stehenden geonietrischen Annahnien ausdrucken. Man nahm 
die Satze der Arithmetik als logisch vertraglich an und suchte die 
logische Moglichkeit verschiedener Geometrien zu beweisen, indem 
man deren Gegenstand nicht mehr gemaB seiner gewohnlichen, phy- 
sischen oder anschauungsmassigen, Bedeutung auslegte, sondern in 
einem durchaus abstrakten Sinne. In dieser Weise als logische Wissen- 
schaft entwickelt, kam die Geometrie dazu, in einem allgemeineren 
Sinne als die Wissenschaft derjenigen Begriffe (der abstrakten jRaiimc] 
betrachtet zu werden, welche den geonietrischen Postulaten oder einem 
Teile von ihnen formal genugen. 

Eine Modification dieses Gedankenganges besteht darin, daB man 
eine erste Geometrie (z. B. die Euklidische Geometrie) als gegeben fund 
also jedenfalls als logisch zulassig) ansieht uud innerhalb derselben 
eine Interpretation der Annahnien irgend einer andern Geometrie sucht ; 
indem man deren Grundbegriffe durch solche Gebilde der ersten Geo 
metrie ersetzt, fiir welche die Postulate der zweiten Geometrie tat- 
sachlich zutreffen. Nun bildet die Vertraglichkeit der fundamentalen 
Satze derjenigen Geometrie, welche man als gegeben annimmt, oder 
die Vertraglichkeit derjenigen Satze , welche die elementaren Eigen- 
schaften der arithmetischen Operationen ausdrucken^ eine Annahnie, 
welche behauptet, man konne zu keinem Widerspruche gelangen, wie 
weit man auch die Konsequenzen jener fundamentalen Satze verfolgt. 

In die Erorterung der Bedeutung dieser Annahme (die mit Fragen 
der Erkenntnistheorie zusammenhangt) ist man in neuester Zeit auf 
matheniatischein Gebiete eingetreten. Und hier stehen zwei Stand- 
punkte einander gegeniiber. 

1) Ein empinstischer Standpunkt. 

Wenn man die Geometrie und die Arithmetik als etwas ausieht, 
das ein reelles, durch die Anscliauung oder die Erfalirung gegebenes 
Objekt hat, dann kann man die Veiiraglichkeit ihrer Postulate auf 
der Grundlage dai*tun, daB ,,das, was (physisch oder psychologisch) 
existiert, nicht sich selbst widersprechen kann". Dieser Standpunkt ist 



14 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

neuerdings in poleinischer Form von A. Padoa 9 ) eingenommen worden, 
der die moglichen Interpretationen eines Systems abstrakter Satze in 
allgemeinster Weise betrachtet und zu der Meinung kommt, daB kein 
Grund vorliegt, einer von diesen Interpretationen einen groBeren Wert 
als einer anderen beizulegen, mid insbesondere die der arithnietischen 
Interpretation traditionell beigelegte bevorzugte Stellung bestreitet. 

Hier ist zu bemerken, daB zwischen geometrischen und (im ele- 
mentaren Sinne) arithnietischen Erfahrungen folgender Unterschied 
besteht: die ersten beziehen sich auf Dinge, die in stetiger Weise 
variieren konnen, und haben daher immer notwendigerweise einen 
angenaherten Wert; die zweiten beziehen sich auf etwas, das nur in 
diskreter Weise variieren kann und haben daher (bis zu dem Punkte, 
bis zu dem sie heranreichen) einen exakten Wert. Wenn man daher 
die Erfahrung durch eine Annahme iiber das Resultat ihrer Wieder- 
holung vervollstandigt (die unserem Glauben an die Wirklichkeit 
zugrunde liegt), so kann man der Meinung sein, daB sie einen wirk- 
lichen Beweis fur die in der Arithmetik enthaltenen Tatsachen liefert, 
nicht aber fur die Geometrie. 

Aber wenii man nicht die Existenz psychologischer, sondern phy- 
sischer Objekte betrachtet, so ist noch zu untersuchen, ob die An 
nahme, daB ,,das, was existiert, nicht sich selbst widersprechen kann", 
berechtigt ist, da man mit ihr dem Prinzipe des Widerspruchs (dem 
Gesetze des logischeii Denkens) einen objektiven Wert erteilen wiirde. 

2) Ein logiscli-formaler Standpunkt, der die Vertraglichkeit der 
fundamentalen Satze der Geometrie auf die Vertraglichkeit der funda- 
mentalen Satze der Arithmetik zuriickfiihren will und einen logisclien 
Beweis dafiir liefern zu konnen behauptet, daB die Prinzipien der 
Arithmetik miteinander vertrdglich sind lQ ). 

Aber eine Erorterung iiber die Art und die Moglichkeit eines 
solchen Beweises geht iiber den Rahmen dieses Artikels hinaus. 

Die Untersuchungen iiber die Unabhangiglceit der primitiven Be- 
griffe sind aus der von der italienischen mathematisch-logischen Schule 
(G. Peano, M. Pieri, A. Padoa usw.) eingeschlagenen Richtung hervor- 
gegangen, die Zalil der bei dem logischen Auf ban der Geometrie ohne 
Definition angenomrnenen primitiven Begriffe in systematischer Weise 
zu beschranken (vgl. Nr. 6). 

Sind mehrere fundamentale Begriffe J., B, C y ... gegeben, so 
kann man fragen, ob einer von ihnen durch einige der iibrigen de 



fy L enseignement inathematique 5 (1903), p. 85. 
10) Vgl. D. Hilbert, Grundlagen, p. 18, und Heidelberger KongreB, p. 174. 



2. Vorbeinerkung. 15 

finiert werden kann (z. B. C mit Hilfe von A und B) oder ob er von 
ihnen unabhangig ist. Eine solche Frage hat so lange keineu Sinn, 
als man nicht sagt, welche Beziehungen zwischen den genannten Be- 
griffen postuliert werden. Nimmt man dagegen an, daB zwischen den 
Begriffen A, B, C (die wir in abstrakter Weise durch die ent- 
sprechenden Synibole dargestellt betrachten) gewisse logische Be- 
ziehungen bestehen, die durch ein gewisses System von Postulaten 
(a, &, c, . . .), die wir als gegeben ansehen, ausgedrfickt werden, 
eo wird man dartun konnen, daB C in dem System (a, &, c, . . .) 
von A, _Z? undbliangig ist, indeni man eine geeignete konkrete Inter 
pretation der Synibole A, J5 angibt, der zwei verscliiedene Interpre- 
tationen von C zugeordnet werden konnen, so daB ein bei der ersten 
Interpretation wahrer (und daher mit a, &, c, ... vertraglicher) Satz 
bei der zweiten Interpretation falsch ist (Padoa 11 )*). 

Was die Einteilung des folgenden Berichtes betrifft, so unter- 
scheiden wir die elementare Richtung von den hoheren Ansatzen, 
die entweder von der Theorie des Kontimmins oder der projektiven 
Geometrie oder der allgemeinen Idee einer MaBbestiinraimg (Bogen- 
element und Entfernung, Bewegungsgruppe) ausgehen. Die elemen- 
tare Richtung ist durch den umnittelbaren Vergleich der samtlichen uns 
gelaufigen geometrischen Begriffe charakterisiert, wahrend die anderen 
hoheren Richtungen (abgesehen von der Anwendung hoherer Unter- 
suchungsmittel und besonders der Analysis) einer Trennung der fun- 
damentalen Begriffe in einige Familien entsprechen, von denen jede 
einer breit entwickelten Geometrie zur Grundlage dient, der die 
anderen Begriffe untergeordnet werden. 

Xach der Darstellung dieser verschiedenen Richtungen berichtet 
der letzte Abschnitt iiber die neuen Entwicklungen, die durch Ab- 
straktion von dem gewohnlichen Begriffe des Kontinuums zur Kon- 
struktion der nicht-Archimedischen Geometrieen gefiihrt haben. 

I. Die elementare Richtung. 

2. Vorbemerkung. Elementare Darstellungen der Grundlagen 
der Geometrie finden sich rnehr oder minder in jedeni Lehrbuche der 
element-aren Geometrie. Wir verweisen wegen vieler Einzelheiten auf 
die beiden Artikel fiber Elementargeometrie. Hier handelt es sich nur 
um eine allgemeine tFbersicht fiber die hauptsachlichsten in prinzi- 
pieller Hinsicht unterschiedenen Ansatze. 



11) Congrfcs internat. de philos. Paris 1900, 3, p. 309. 



16 III A B 1. F.Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

Wir besprechen in dieser Hinsicht der Reihe nach die Begriffe 
Punkt, Gerade und Ebene, Strecke und Wirikel (den Begriff ,,zivischen"), 
Kongruens und Beivegung, die verschiedenen Forrnen des Stetigkeits- 
begriffes und die ParallelentJieorie. Als Erganzung schlieBt sich hieran 
eine Besprechung der im Sinne der alten Geometer behandelten Pro- 
portionenlehre und der LeJire vom Flacheninhalt. 

3. Punkt, Gerade und Ebene. Euldid (OQOI, a , /? ,/) beginnt: 
etinv, ov l**BQO$ ov&sv. 
ds iiqxos ankarss. 
ia ds etinv, o fiijxo? xccl jeJLdxog povov s%si. 

tJbersetzt : 

Ein Punkt ist etwas, dessen Teil nichts ist. 

Eine Lime ist eine Lange ohne Breite. 

Eine Flache ist etwas, was nur Lange und Breite hat. 

Und Euklid fugt hinzu 7 da6 die Grenzen der Linie Punkte und 
die Grenzen der Flache Linien sind. 

Er geht darauf so yor ; daB er unter den Linien und Flachen die 
Gerade und die Ebene charakterisiert, wie wir es bald sehen werden. 

Im AnschluB hieran gibt es zwei Wege, urn in die Elemente 
der Geometrie einzudringen: 

1. Man nimmt den Punkt als ersten fundamentalen Begriff an, 
der durch Abstraktion aus der Yorstellung eines sehr kleinen Korpers 
entstanden ist, und sucht dann durch Bewegung des Punktes die 
Linien, durch Bewegung der Linien die Flachen und durch Bewegung 
der Flachen die Korper (oder den Raum) zu erzeugen. 

2. Man geht von dem fundamentalen Begriffe des Korpers aus 
und fuhrt dann die Flachen als Grensen der Korper, die Linien als 
Grenzen der Flachen und die Punkte als Grenzen der Linien ein. 

Jedoch ist zu bemerken, daB man weder auf dem einen noch 
auf dem andern Wege zu wirklichen logischen Definitionen kommt, 
sondern nur zu Angaben und Beschreibungen von einer gewissen 
physisehen und psychologischen Bedeutung. 

Was den zweiten Weg betrifft, so kann man sagen, daB der Be 
griff der Gfrenee eines Korpers, einer Flache, einer Linie den Begriff 
der Flache, der Linie, des Punktes, den man defmieren will, bereits 
enthalt, wenn er nicht etwa alle diese Begriffe gleichzeitig und 
im besonderen einige Beziehungen zwischen ihnen enthalt, die schwer 
festzustellen sind. 

Der erste Weg scheint zwar nicht einen so deutlichen Zirkel- 
schluB zu enthalten, aber er erfordeii doch eine tiefgehende Unter- 



3. Puiikt, Gerade und Ebene. 17 

suchung, uin zu einer logischen Systematisierung der in Rede stehenden 
Begriffe zu fuhren. Und die groBe Schwierigkeit dieser Untersuchung 
hangt damit zusanimen, dafi die von uns auf induktivem Wege er- 
worbenen Begriffe der Linie und der Flache sich sozusagen in einer 
fortschreitenden Weiterbildung befinden, der wohl bezeichnete Grenzen 
sehwer zu setzen sind (vgl. Abschn. II dieses Referats und das Referat 
HI A, B 2, v. Mangoldt). 

Daher die Tendenz der modernen kritischen Elementargeometrie, 
den ,,Punkt" als ersten fundamentalen Begriff anzunehmen und nach- 
einander die einfachsten Linien und Flachen (die Gerade, die Ebene, . . .) 
einzufiihren, niit deren Hilfe man dann versucht, die allgenieinsten 
Begriffe der Linie und der Flache zu gewinnen. Geht man in dieser 
Orduung vor, so konnen die Linien- und Flacheneigenschaften der 
genannten besonderen Linien und Flachen mit der Leichtigkeit und 
Bestimmtheit, die der besondere Fall gestattet, ausgesprochen werden, 
wie wir es in Nr. 4 sehen werden. 

Bevor wir den Begriff ,,Puiikt" verlassen, wollen wir noch be- 
merken. dafi er definiert werden komite, indem man von den Be- 
griffen ^Korper" und ^Bewegung" ausgeht, wenn man namlich die Be- 
wegungen als Glieder einer Gruppe von Transformationen betrachtet ; 
denen man die Korper unterwirft (vgl. Abschn. V B dieses Referats). 
Dann entsprechen (nach Poincare) die Punkte gewissen ?? Untergruppen 
der Gruppe der Bewegungen" (den Gruppen der Rotationen um die 
Punkte des Raumes) und sie konnen als solche definiert werden. 
Diese Entwicklungsweise wiirde zwar etwas muhsam sein, aber aus 
zwei Griinden interessant: 

Erstens wiirden dabei die Postulate in einer Form ausgesprochen 
werden, die dem unmittelbaren Ergebnisse der physischen Erfahrungen 
am nachsten komrnt; 

zweitens kommt dabei zuni Vorscheiu, dafi der Begriff des 
Punktes, der der Existenz gewisser Untergruppen der Gruppe der 
Bewegungen entspricht, ein physisches Faktum voraussetzt. 

Gehen wir nun dazu fiber, die Definitionen der Geraden und der 
Ebene zu priifen. 

Die Begriffe Gerade und Ebene konnen entweder als primitive 
Begriffe angenommen oder aber mit Hilfe der Begriffe Kongruenz und 
Bewegung definiert werden. 

EuTdid definiert in seinen ,,Elementen" 12 ) die Gerade: ev&eia 
TOL$ <p 



12) /. L. Heibergsche Ausgabe, Leipzig 1883, 1, UQOI 

Eucyklop. d. math. Wisaensch. in 1. 



18 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geonietrie. 

Proclus 13 ) interpretiert diese Definition, indem er sagt, da6 die 
Gerade die Linie ist, deren Lange zwischen zwei Punkten mit deren 
Entfernung zusammenfallt, und dann konnte man sie an die sogleich 
zu nennende Archimedische Definition anschliefien. 

Allgemein iibersetzt man: ,,die Gerade ist diejenige Lime, welche 
zu ihren Punkten in gleicher Weise liegt", und interpretiert dies viel- 
fach als diejenige Linie, welche von jedem ihrer Punkte in zwei gleiche 
Teile geteilt wird 14 ). Aber diese Eigenschaft charakterisiert die Ge 
rade nicht, da sie auch der Schraubenlinie zukommt. 

W. Leibniz 1 *) hat die Gerade als die Linie betrachtet, welche die 
Ebene in zwei kongruente Teile teilt (und die Ebene als die Flache, 
welche den Ranm in zwei kongruente Teile teilt). 

Diese Vorstellungen von Euklid und Leibniz konnen zu einer 
logischen Formulierung der Prinzipien der Geometric fuhren, wenn 
man als primitive Begriffe die Begriffe Punkt und gleiclie Entfernung 
annimrnt und mit Hilfe eines geeigneten Systems von Postulaten die 
Symmetrie auf der Geraden, in der Ebene und irn Raume herstellt 16 ). 
Archimedes 11 ) hat die Gerade als die kiirzeste Linie zwischen zwei 
Punkten betrachtet, und dieser Begriff ist dann von A. M. Legendre 1 *) 
wieder aufgenomnien worden. Auch er kann zu einer logischen De 
finition der Geraden fiihren, wenn man als primitiven Begriff den der 
Entfernung zwischen zwei Punkten (oder genauer den Begriff gleicJier, 
grofierer oder Tdeinerer Entfernung bei zwei [als fest betrachteten] 
Punktepaaren) annimmt. Auf Grund eines geeigneten Systems von 
Postulaten kann man dann unter gewissen Bedingungen die Ldnge 
einer Linie und daher die Gerade als die Linie kleinster Lange zwi 
schen zwei Punkten definieren 19 ). 

Allgemeiner bekannt ist die auch von Leibniz 20 ) und anderen ge- 
brauchte und von M. Simon 21 ) im Proclus wiedergefundene Definition, 

13) Commentarii, p. 109. 

14) In bezug auf diese verschiedenen Interpretation en vgl. M . Simon, Euklid 
und die sechs planimetrischen Biicher, Leipzig 1901, p. 26; vgl. auch H. G. Zeuthen, 
Geschichte der Mathematik im Altertum, Kopenhagen 1896. 

15) , 9 Leibnizen& Mathematische Schriften u , herausgegeben von C. J. Gerhardt, 
erste Abteilung, 1, Berlin 1849, p. 196. 

16) Vgl. T. Broden, Pedagogiske Tidskrift, Halmstad 1890. 

17) USQL GrpaiQccs Y-ttl xvUvdgov, ^CC^KVO^LEVK K, opera I, p. 8; vgl. P. Du 
Bois-Reymond, Math. Ann. 15 (1879), p. 283. 

18) Elements de ge ometrie, 2. edit., Paris an VIII, p. 1. 

19) Vgl. J?. Bettazzi, Ann. di mat. (2) 20 (1892), p. 19. 

20) Mathematische Schriften, erste Abtheilung, 1, p. 196, und zweite Ab 
teilung, 1, p. 164. 

21) ,,Eiiklid", p. 26. 



3. Punkt, Gerade und Ebene. 19 

nach welcher die Gerade als die Lime betrachtet wird, die unbewegt 
bleibt, wenn man sie um zwei ihrer Punkte rotieren laBt. C. F. Gait ft 
bemerkt bei Gelegenheit (vgl. Werke 8, p. 196), dafi man sich dieser 
Eigenschaft gerade in der Praxis, wenn man die Operationen mit dem 
Theodolitben vornimmt, bedient, um festzustellen, ob eine Linie eine 
Gerade ist. 

Viele Mathernatiker (darunter H. Grafimann**j) haben die Gerade 
als diejenige Linie betrachtet, welche in jedem ihrer Ptmkte eine 
konstante Richtnng beibehalt. Soil diese Definition annehmbar sein, 
so niuB man als primitiven Begriff den der Riclitung annehrnen, und 
das kann z. B. in Beziehung auf zwei Punkte, unabhangig von. dem 
Begriffe der Geraden, geschehen. Diese Idee ist noch neuerdings von 
Ediv. F. Dixon 23 ) entwickelt worden. Sie hangt mit der anderen Grafi- 
manmchen. Idee zusammen, nach welcher die Geometric als ein geome- 
trisclies Eeclmen mit Streckeii oder, modern ausgedriickt, als eine Vektor- 
analysis dargestellt wird 24 ). Die Grundvorstellungen und -satze dieses 
geometrischen Rechnens hat kiirzlich G. Peano 2 ) analysiert. Weitere 
Untersuchungen fiber diesen Gegenstand haben G.Darboux 26 ), F.Siacci* 1 }, 
E. ScMmmack**), I. Sclmr-*\ G. Hamel 30 ) veroffentlicht, 

Eine bernerkenswertere Definition der Geraden und der Ebene 
ist die von W. Leibniz* 1 } erdachte und dann von Jdh. Bolyai 8 *) 
uud JV. Lobatschefskij**) wieder aufgenommene und entwickelte, die 
darin besteht, dafi man die Ebene als den Ort der Punkte betrachtet, 



22) Ygl. Ausdehnunglehre von 1844, Einleitung, Abschu. C, Ges. Werke I 1, 
p. 28 : ,,Die einfache Ausdehnungsform ist die Form , welche durch eine nach 
deinselben Gesetze erfolgende Andening des erzeugenden Elementes entateht"; 
p. 29: ,,In der Raumlehre ist die Gleichheit der Richtung das die einzelnen 
Anderungen umfassende Gesetz". 

23) The foundations of geometry, Cambridge 1891. 

24) Vgl. etwa den orientierenden Aufsatz von H. Grafimann: Kiirze Uber- 
sicht iiber das Wesen der Ausdehnungslehre, Arch. Math. Phys. 6 (1845), wieder 
abgedrackt: Ges. Werke I 1, p. 297 ff., insbesondere die Abschnitte HI und IV. 

25) Calcolo geonietrico secondo 1 Ausdehnungslehre di H. Graflmann , Torino 
1888. 

26) Bull. math. astr. 9 (1875), p. 281, abgedruckt als Note 1 in Despeyrous, 
Cours de Mecanique 1 (1884), p. 371. 

27) Napoli Rend. (3) 5 (1899), p. 34. 

28) Gottinger Nachrichten 1903, p. 34. 

29) Zeitschr. Math. Phys. 49 (1903), p. 352. 

30) Zeitschr. Math. Phys. 49 (1903), p. 362. 

31) Math. Schriften, zweite Abteilung, 1, p. 1(56. 

32) Vgl. W. Bolyai, Tentamen, editio secunda II, Budapest 1904, p. 8. 

33) N. J. Lobrt.tsclii fskij, Zwei geornetrisehe Abhandlungen , 1, p. 7 und 95. 



20 IIIABl. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

die von zwei gegebenen Punkten gleichen Abstand haben 34 ), und die 
Gerade als den Ort der Punkte, die von drei Punkten, deren gegen- 
seitige Eiitfernungen den bekannten, zwischen den Seiten eines Drei- 
ecks bestehenden Ungleichheiten geniigen, gleich weit entfernt sind, 
oder auch als den Ort der Beriihrungspunkte der Kugeln, die zwei 
gegebene Mittelpunkte liaben (vgl. auch Gr. Peano, FuBnote 60). Der 
Begriff der gleichen Entfcrnung von Punktepaaren tritt hier wieder als 
primitiv auf. 

Wenn die Ebene nicht gleichzeitig mit der Geraden oder vor ihr 
definiert wird, so kann man den Begriff der Ebene unmittelbar auf 
den der Geraden zuriickfiihren. 

Euklid definiert die Ebene: fatfae$o$ situpccvfid etinv, ijng &Z 
t<5ov ratg f qp eavrils sv&ehxis xsiTai, was man gewohiilich iibersetzt: 
eine Ebene ist eine Flache, die gleichrnaBig zu ihren Geraden liegt. 
Diese Definition enthalt sicher Uberfliissiges; in der Tat ist die Ebene 
schon definiert als diejenige Fliiche, welche die Gerade, die zwei be- 
liebige ihrer Punkte verbindet, ganz enthalt 5 diese Definition kann 
man bis auf Heron zuriickfiihren. 

C. F. 6rf/w/J 35 ) hob hervor, dafi diese Definition ein Postulat ent 
halt, da eine Gerade und ein auBerhalb derselben gelegener Punkt schon 
die Erzeugung der Ebene geben. Er hat vorgeschlagen, die Ebene 
als den Ort der in einem Punkte zu einer Achse errichteten Normalen 
zu definieren. Die gewohnliche Definition verwandelt sich dann in 
ein Theorem, mit dessen Beweis sich Gaufi in seinem Nachlasse be- 
schaftigt 36 ). 

Eine analoge tJberlegung hat F. Deahna* 1 ) ausgefiihrt. Er geht 
von einer Erzeugung der Ebene aus, die von der vorhergehenden 
wenig verschieden ist. Nachdem er zunachst die Begriffe der Geraden 
und der Kugel (mit Zugrundelegung des Begriffes der gleichen Ent- 
fernung) aufgestellt hat, ninimt er an, daft man die Kugel urn einen 
Durchmesser in der Weise bewegen kann, daB jeder Punkt eine ge- 
schlossene Linie (einen Kreis) beschreibt; unter diesen Kreisen gibt es 
einen, der die Kugel in zwei kongruente Teile teilt; die Geraden, 



34) Genau durch diesen Ansatz entstelit die Hesseache Normalform der 
Gleichung der Ebene. 

35) Brief an Bessel vom 27. Januar 1829 ; Werke 8, p. 200. 

36) Werke 8, p. 194. 

37) Demonstratio theoreniatis geometric! fundamentalis atque hucusque 
pro axiomate suniti: ,,esse superficiem planam u , Diss. Marburg 1837; vgl. 
W. Killing, Einfiihrung in die Grundlagen der Geometric^ Paderborn 1893 und 
1898, 2, p. 183. 



3. Punkt, Gerade und Ebene. 21 

welch e die Punkte dieses Kreises mit dem Mittelpunkte der Kugel 
verbinden, erzeugen eine Ebene. 

Neuerdings ist die Frage der Ebene von G. Veronese 58 ) einer neuen 
Priifung unterworfen worden. Dieser definiert, nachdem er einige ein- 
fache Postulate iiber die Gerade und die Kongruenz (vgl. Nr. 5) aus- 
gesprochen hat, (fiir den Euklidischen Fall) zwei Gerade als parallel, 
wenn sie in bezug auf einen Punkt entgegengesetzt (synanietrisch) 
sind, und flihrt das Postulat ein: ?? Zwei parallele Gerade sind in bezug 
auf den Mittelpunkt jeder Strecke, deren Endpunkte auf ihnen liegen, 
entgegengesetzt." Auf dieser Grundlage konstruiert er die Ebene 
mit Hilfe des Biischels der Geraden, die von einem auBerhalb gelege- 
nen Punkte A aus die Punkte einer Geraden a projizieren, wobei die 
durch A zu a gezogene Parallele hinzugefugt wird, und darauf beweist 
er, daB die so konstruierte Ebene die Gerade enthalt, die zwei be- 
liebige ihrer Punkte verbindet 39 ). 

Gerade, Linie und Ebene lassen sich auch gruppentheoretisch 
fas sen. 

Naclidein wir untersucht haben, wie die Begriffe Gerade und 
Ebe)ie mit Hilfe der Kongruenz und der Bewegung definiert werden 
konnen, wollen wir von der Idee sprechen, die Gerade oder die 
geradlinige Strecke und die Ebene oder die ebene Flaehe als fwnda- 
mentale, durch einige Gruppen von Postulaten charakterisierte Be 
griffe anzunehmen. 

Wenn man von dem Begriife der geradlinigen Strecke ausgeht, 
so kann man die Gerade definieren (Pascli, Neuere Geometric; Peano, 
Principii und Fondamenti), und ebenso kann man die unbegrenzte 
Ebene definieren, wenn man in geeigneter Weise die Eigenschaften 
einer ebeneu Flaehe postuliert, indem man also ein geeignetes Raum- 



38) Fondamenti di geometria, Padova 1891, deutsch von A. Schepp, Leipzig 
1894, Buch I, Xr. 19, II, Xr. 7, ausfuhrlicher in den Elementi. 

39) Veronese hat angedeuiet, wie man unabhangig von dem genannten 
Parallelenpostulat (das das Euklidische Parallelenpostulat und vielleicht etwas 
mehr enthalt) die Frage der Ebene unter der Lobatschefskijscheu Annahme be- 
handeln konne, und er hat auch den Riemannschen Fall, in welchem es keine 
Parallelen gibt (Nr. 8), n aher betrachtet. Aber in diesem Falle, in dem die voll- 
standige Ebene durch die Projektion der (geschlossenen) Geraden von einem 
auBern Punkte aus gegeben ist, wird der Satz von der Ebene von Veronese nur 
unter Zuhilfenahme einer weiteren Annahme bewiesen, in der der Begriff des 
unendlich groBen und des unendlich kleinen Gebietes auftritt. Der Autor driickt 
iibrigens die Meinung aus, daB diese Annahme in semeni Systeme iiberflussig 
sein umB. Aber diese Meinung bedarf noch der Rechtfertigung. 



22 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geoinetrie. 

stuck betrachtet: dagegen muB man, weim man von dem fundamen- 
talen Begriffe der Geraden ausgeht, einen anderen primitiven Begriff 
hinzunelimen ; um die Strecke zu definieren. 

Wir behalten uns vor, die Formulierung der Postulate, zu der 
man gelangt, wenn man den ersten Weg einschlagt, auseinander- 
zusetzen, wenn wir von den Prinzipien der projektiven Geometric 
sprechen werden (HI.), und wollen jetzt den anderen Weg durch- 
laufen, um zu zeigen, wie sicli dabei die Eigenschaften, die mit den Be- 
ziehungen der Lage oder des EinanderangeMrens (der ,,Verkniipfung" 
bei Hilbert, Grundlagen, p. 2) von Gerade und Ebene zusammenhangen, 
bis auf einen gewissen Punkt getrennt von den Linien- und Flachen- 
eigenscnaften (den Postulaten der Anordnung, der Teilung) ergeben. 

Die Postulate des Einanderangehb rens (der Verkniipfung) konnen 
wie folgt formuliert werden 40 ): 

I. Man setzt eine Klasse von Elementen, Punkte genannt, (deren 
Inbegriif Eaum genannt wird), als gegeben voraus und in ibr Unter- 
klassen (Gerade und Ebenen), die folgenden Postulaten genugen: 

1) Zwei Punkte gehoren einer und nur einer Geraden an. 

2) Drei Punkte, die nicht einer Geraden angehoren, gehoren einer 
und nur einer Ebene an. 

3) Die durch zwei Punkte einer Ebene bestimmte Gerade gebort 
der Ebene an. 

4) Zwei Ebenen, die einen Punkt gemeinsam haben, baben noch 
einen anderen Punkt (und also eine Gerade) gemeinsam. 

Diesen Postulaten von zunachst nur bypothetischer Form fiigt 
man die Existenzpostulate binzu, die die Existenz mehrerer verschie- 
dener Punkte und von Punkten aufterltalb einer Geraden oder einer 
Ebene bebaupten. Die Existenz einer unendlicben Zahl verschiedener 
Punkte, Geraden und Ebenen folgt danu aus den erst weiter unten 
unter II anzufiibrenden Postulaten der Anordnung. 

Es ist zu bemerken, daB das vierte Postulat die Dreidimensiona- 
litat des Raumes ausspricbt und auf Grund der in geeigneter Weise 
als Postulat ausgesprocbenen Eigenscbaft der Ebene, den Raum in 
zwei Teile zu teilen, bewiesen werden kann (vgl. Nr. 4). 

4. Strecke, Winkel (der Begriff ,,zwischen"). Wir geben nun 
dazu iiber, die Postulate zu untersucben, die die Linieneigenschaften 
der Geraden und die Fldclieneigenscliaften der Ebene ausdriicken 
(vgl. Absclin. II. Theorie des Kontinuums) und sicb auf die Begriffe 



40) Wir bezeichnen sie mit der Zifter I, weil wir spater weiter numerieren ; 
vgl. 4. 



4. Strecke, Winkel. 23 

,,zwischen", ,,naturliche Ordnung der Punkte einer Geraden", ,,Strecke", 
Strahl", ,,Seite der Ebene", ,,Winkel" beziehen. 

Bei Eiiklid und seinen Naehfolgern werden diese Begriffe noch 
nicht untersucht nnd Postulate, die sich auf sie beziehen, nicht for- 
muliert, aber solche Postulate sind notig, wenn man wunscht, da8 die 
geonietrische Betrachtung rein logisch und von dem Gegeustande der 
Ansehauung unabhangig ist. 

C. F. Gau ft hat schon friihzeitig darauf aufmerksam gemacht 41 ), 
dafi der Begriff ,,zwischen" einer strengen Formulierung bedarf. 
Andererseits hat Her bart benierkt, dafi der Begriff der Ordnung der 
Punkte einer Geraden der ganzen Geometric zugrunde liegt. Nun 
verfiigte die analytische Geometric durch ihre Vorseiclien immer iiber 
den Begriff snvischen. Dieses Prinzip der Zeichen hat dann A. F. 
Jlobius ( Barycentrischer Calcul) in die reine Geonietrie iibertragen, 
und auch H. Graflmann macht in seiner Ausdehnungslehre von 1844 
davon konsequenten Gebrauch. Jedoch verdanken wir eine Syste- 
matierung dieser Dinge, d. h. die Aufstellung eines Postulatensysterns 
zur Charakterisierung dieser Beziehungen erst ]\I. PascJi (Neuere 
Geometric, 1882), und derselbe Gegenstand ist dann in verschiedener 
Weise von G. Peano (Principii und Fondamenti), G. Veronese (Fonda- 
nienti), D. Hilbert (Gnindlagen) u. A. behandelt worden (vgl. Abschn. II. 
Theorie des Kontinuunis). 

Man kann zwei Arten, diese Untersuchung zu flihren, unter- 
scheiden, und zwar kniipfen diese gewissermafien an die erwahnten 
Bemerkungen von Gaufi und von Her bart an: es handelt sich namlich 
da-rum, ob man sich auf den Begriff der fertigen oder den der werdcn- 
den Figur bezieht. 

a. Die Liniemigemchaften der Geraden konnen der fertigen Figur 
gegenuber postuliert werden, wenn man von dem Begriffe ,,zwischen" 
oder ,,Zerlegung in Teile" ausgeht, und zwar in folgender Weise: 

II. 1) Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind und B zwischen 
A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A. 

2) Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt 
es stets wenigstens einen Punkt J5, der zwischen A und 
C liegt, und wenigstens einen Punkt Z), so dafi C zwischen 
A und D liegt. 

3) Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets 
einen und nur einen, der zwischen den beiden anderen 

liegt 42 ). 

41) Brief an W. Bolyai vom 6. Marz 1832, Werke 8, p. 222. 

42) Nach D. Hilbert, Gnindlagen, p. 4. 



24 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

Oder in folgender Weise: 

II . Jeder Punkt A der Geraden zerleyt die Gerade in zwei Klassen 
von Punkten (Teile), die man mit den Namen rechter Teil und linker 
Teil bezeichnen kann, in der Weise, daB: 

1) jeder von A verschiedene Punkt eineni der beiden Teile an- 
gehort; 

2) wenn A sich zur Linken (oder zur Rechten) von einem anderen 
Punkt B befindet, jeder Punkt zur Linken (oder zur Rechten) 
von A sich zur Linken (oder zur Rechten) von B befindet; 

3) wenn A sich zur Linken von B befindet, B sich zur Rechten 
von A befindet. 

Stellt man sich der iverdenden Figur gegeniiber, so hat man: 
II". Die Punkte der Geraden sind in zwei (naturlichen) Ordmingen, 
von denen die eine der anderen entgegengesetzt ist, in der Weise an- 
einander gereiht, dafi bei Betrachtung einer bestimmten Ordnung: 

1) wenn zwei Punkte A, B der Geraden gegeben sind, einer von 
ihnen, z. B. A, dem anderen, B, vorangeht, und alsdann B auf 
A folgt-, 

2) wenn drei Punkte A, B, C gegeben sind und A dem B und B 
dem C vorangeht, A dem C vorangeht; 

3) zwischen zwei Punkten A und B Zwischenpunkte (die dem einen 
vorangehen und auf den anderen folgen) existieren; 

4) kein erster (alien vorangehender) Punkt und auch kein letzter 
Punkt existiert. 

Auf Grand dieses Postulats laBt sich die Strecke mit den End-- 
punkten A und B auf der Geraden (die die Zwischenpunkte enthalt) 
definieren und der Beweis ihrer elementaren Eigenschaften fiihren. 

1). Gehen wir nun zu den Flacheneigenschaften der Ebene. 

Stellt man sich der fertigen Figur gegeniiber, so kann man die 
Zerlegung der Ebene in zwei Teile durch eine ihrer Geraden zu Grunde 
legen, deren fundamental Eigenschaft man (mit Pasch) durch das 
folgende Postulat ausdriickt, das wir in Anlehnung an die voran- 
gehenden Postulate II 1 3 mit II 4 bezeichnen: 

II. 4) Sind in einer Ebene drei Strecken AB,BC, CA gegeben, so 
hat eine Gerade (der Ebene), die mit einer von ihnen einen Punkt ge- 
ineinsam hat, auch mit einer der beiden anderen einen Punkt gemeinsam. 

Eben infolge dieses Postulats wird die Ebene durch eine ihrer 
Geraden, r, in zwei Teile (Seiten oder Halbebeneri) in der Weise ge- 
teilt, daB die Strecke, die zwei (nicht auf r liegende) auf derselben 
Seite von r befindliche Punkte verbindet, keinen Punkt mit r ge- 



4. Strecke, Winkel. 25 

meinsam hat, wahrend die Strecke, die zwei nicht auf derselben Seite 
von r befindliche Punkte verbindet, mit r einen Punkt gemeinsam hat, 
Man kann dieselben Eigenschaften einfiihren, wenn man die 
iverdende Figur betrachtet. Dies geschieht fiir die Euklidische Geo 
metric in einfacher Weise, indem man folgendes postuliert: 

1) das Euklidische Parallelenpostulat, 

2) daB, wenn zwei von einem Punkt ausgehende Geradenpaare 
von einer (zu keiner der vier Geraden parallelen) Transversalen in zwei 
sich trennenden Punktepaaren geschnitten werden, dasselbe fiir jede 
andere Transversale gilt, die nicht durch geht und keiner der vier 
Geraden parallel ist (vgl. Abschn. III). 

Das Pasc7*sche Postulat fiihrt sofort zur Definition der Winkel- 
felder, in die zwei sich schneidende Gerade die Ebene zerlegen, und 
der zugehorigen Winkel. 

Hier sei daran erinnert, daB die Frage, wie man den WinTcel de- 
finieren soil, zu manchen Erorterungen gefiihrt hat. 

EnJilid (o ()ot, Y{~) bezeichnet den WMel als die ,,Neigung" zweier 
sich schneidender Geraden, was offenbar eine Tautologie ist. Andere 
haben den Winkel als das ,,MaB einer Drehung" betrachtet. Das 
Wesentliche dessen, was hier vorliegt, besteht in der Existenz einer 
gewissen Invariants bei einem Paar sich schneidender Geraden gegen- 
iiber der Gruppe der Bewegungen. Der Begriff einer solchen In 
variante (der WinkelgroBe) ist fur die gewohnliche Theorie der Kon- 
gruenz offenbar ausreichend. 

Jedoch spielt der Winkel bei anderen Fragen eine hiervon ver- 
schiedene Rolle. Dies kann man vor allem behaupten, soweit es sich 
urn gewisse Yerhaltnisse der Lage, urn r Punkte inuerhalb eines Winkels" 
usw. handelt. Im Hinblick auf diese Beziehungen ist ein Winkel- 
begriff erwiinscht, der von dem Begriffe der Winkelkongruenz unab- 
hangig ist. Daher ist der Winkel (von Louis Bertrand 4 *)} als ein Teil 
der Ebene definiert worden, und zwar als ,,der Teil, der zwei, durch die 
Schenkel begrenzten Halbebenen gemeinsam ist (als ihre Interferenz)". 

G. Veronese^ bemerkt, daB die so definierte Figur (Winkelfeld 
oder -ausschnitt) der gewohnlichen Anschauung des Winkels, der als 
etwas Eindimensionales, als ein Teil des Strahlenbiischels, betrachtet 
wird, nicht entspricht. Darum schlagt er (in Anlehnung an das in 
der projektiven Geometric herrschende Prinzip der Dualitat) vor, den 



43) Developpement nouveau de la partie elementaire des ruatkematiques, 
2 vol., Geneve 1774. 

44) Grundziige, p. 307 f. und 695; Element!. 



26 III A B 1. jP. Enriques. Prinzipien der Geometric. 

Winkel als die Gesaintheit der zwisclien zwei Strahlen befindlichen 
Stralilen zu definieren. 

Wir wollen endlich noch hinzufiigen, daB man auf Grund des 
Paschschen Postulats alle Lagenverhaltnisse der polygonalen Figuren 
allgemein entwickeln und im besonderen die Flaclie eines Polygons" 
definieren kann. Veronese^) kommt zu diesen Entwicklungen auf 
rekurrente Weise, indem er zunachst das Dreieck (namlich die Flache 
des Dreiecks) als den Teil der Ebene, der zwei Winkeln gemeinsani 
ist, dann das konvexe Polygon als die Summe (Vereinigung) von Drei- 
ecken betrachtet; werden diese Entwicklungen an die genetische Kon- 
struktion der Ebene angekniipft, so treten sie bei ihni in Beziehung 
zu dem Begriffe der Parallelen (vgl. Nr. 8). Enriques und Arnoldi* 6 ) 
definieren das konvexe Polygon als ,,die Interferenz der Halbebenen, 
die die Eckpunkte enthalten und von den Seiten begrenzt sind" und 
leiten daraus die elementaren Eigenschaften der Lage her, indem sie 
das Paschsche Postulat direkt anwenden. 

Die beiden Teile, in die eine Ebene durch ein konvexes Polygon 
zerlegt wird, lassen sich ebenfalls durcli Vereinigung" und ^Interferenz" 
von Halbebenen definieren, und liieran anschlieBend leitet man dann die 
fundamentale Eigenschaft her, daB eine nicht durcli einen Eckpunkt des 
Polygons gehende, zwei Punkte verbindende Strecke den Umfang in 
einer geraden oder in einer ungeraden Zahl von Punkten trifft, je nach- 
dem die beiden genannten Punkte demselben Teile der Ebene angehoren 
oder nicht. Der innere Teil (die Flache des Polygons) scheint sich 
von dem auBeren Teile nur durch Beriicksichtigung der Unendlichkeit 
des zweiten unterscheiden zu lassen. 

c. Die oben untersuchten Begriffe der ebenen Geometric er- 
strecken sich auch auf den Eaum. 

Die Teile oder Seiten, in welche der Raurn durch eine Ebene 
zerlegt wird, lassen sich definieren, wenn man ein dem PascJtschen 
Postulat analoges Postulat annimmt, das die Aussage enthalt, daB 
,,der Raum drei Diniensionen hat", und zu beweisen erlaubt, daB 
,,zwei Ebenen, die einen Punkt gemeinsam haben, eine Gerade ge- 
meinsam haben". Wenn man dagegen diese Eigenschaft als Postulat 
annimmt (wie in Nr. 3), so folgt die Zerlegung des Raumes durch 
eine Ebene aus dem Pasc/^schen Postulat in bezug auf die Ebene. 

Der Begriff des Flachenwinkels ist dent des Winkels analog und 
gibt zu neuen Betrachtungen keinen AnlaB. 



45) Grandztige, p. 346 if. ; Elementi. 

46) Elementi di geometria, Bologna 1903, p. 98. 



5. Kongruenz und Bewegung. 27 

Die allgenieine Definition des Polyeclers (der polyedrischen Figur 
oder des geschlossenen Korpers) erfordert einige Aufmerksamkeit; im 
besonderen tritt hier eiue neue Scliwierigkeit in der Definition der 
polyedrischen Figur (unabhangig von dem Begriffe des Korpers) auf 
(vgl. Ill A, Bo, Delm-Hecyard, Analysis situs, und die spateren Referate 
fiber Polyeder). 

Wir schlieBen die Untersuchung dieser Begriffe mit der Be- 
nierkung ab, daB die Begriffe des Sinnes eines Winkels (oder 
einer Figur, einer Strecke usw.) in der Ebene und des Sinnes einer 
Sdtraiibenlinie im Raume (des Sinnes eines Flachenwinkels usw.) auf 
Grand des Paschseheu Postulats und des analogen Satzes fiir den 
Raum aufgestellt werden konnen, ohne daB andere primitive Anschau- 
ungen zu Hilfe zu nehmen sind; dieser Gegenstand ist in verschiedener 
Weise von G. Veronese und Enriques-Amaldi behandelt worden 47 ). 

5. Kongruenz und Bewegung. Hinsichtlich der Kongruenz oder 
geometrischen Gleichheit und der Bewegung (der starren Korper), 
die jene (im physischen Raume) zu verifizieren gestattet, gibt es zwei 
verschiedene Anschauungsweisen. 

Xach einigen bietet der Begriff der Bewegung, insofern durch 
eine Bewegung Figuren zur Deckung gebracht werden konnen, die 
Definition der Kongruenz dar. Nach anderen schlieBt der Begriff der 
geometrischen Bewegung, d. i. einer Lagenanderung ohne Deformation, 
bereits implicite den Begriff der Kongruenz ein. 

Wir wollen nicht von den Versuchen sprechen, die seit Eultlid 
gemacht worden sind, den Begriff der Bewegung aus den Prinzipien 
der Geometric zu verbannen. Wir wollen nur daran erinnern, daB in 
neuester Zeit H. v. HdmhoUs 4 *) behauptet hat, daB der Begriff der Be 
wegung (wenn man von der Zeit abstrahiert) die naturliche Grund- 
lage des Begriffes der Kongruenz ist (Abschn. V B), und daB aus 
diesem Gruiide spater J. Hoitel^) es als die Frucht einer Gedankenver- 
wirrung bezeichnet hat, die Bewegung aus den Elementen der Geo 
metric verbannen zu wollen. Auch Poincare (Wissenschaft und Hypo- 
these) betrachtet den Begriff der Bewegung als den eigentlichen 
Funclamentalbegriff der Geometric. Ebenso z. B. Ch. Mcmy). 

47) G. Veronese, Elementi di geometria; Enriques-Amaldi, Eleinenti di geo- 
raetria, p. 58. Vgl. auch den Artikel von U. Amaldi in Enriques. Questioni, 
und B. Levi, Per. di mat. (3) 1 (1904) p. 207. 

48) Wissensch. Abhandl. 2, p. 610 u. 618. 

49) Essai critique sur les principes fondamentaux de la geometric elenieu- 
taire, Paris 1883. 

50) Nouveaux elements de geometrie, Dijon 1874, 2. Auflage 1903. Meray 



28 HI A B 1. F. Enriqiies. Prinzipien der Geometrie. 

Aber auf mathematischem Gebiete konnen beide erw ahnte An- 
schauungsweisen als legitim verteidigt werden. Wenn man auch zu- 
gibt, daB in der psychologischen Entstehung der Begriff der Kon- 
gruenz ID der physischen Bewegung der starren Korper semen 
Ursprung hat, so kann man doch nicht leugnen, daB der entwickelte 
Geist des Mathematikers die beiden Begriffe der Kongruenz und der 
Bewegung in gleicher Weise enthalt, so daB jeder von ihnen (unab- 
hangig von deni andern) logisch als ein primitiver Begriff, der durch 
ein geeignetes System von Postulaten zu charakterisieren ist, an- 
genommen werden kann. Und vielleicht ist nicht ohne tiefere Priifung 
die Meinung von der Hand zu weisen, daB die Kongruenz, als eine 
pliysische Beziehung aufgefaBt, an und fur sich eine Bedeutung hat, 
unabhangig von der Bewegung der Korper. 

Neben den beiden oben erwahnten Anschauungsweisen niochte 
eine dritte (Veronese^ 1 ]) den Begriff der geometrischen Kongruenz mit 
demjenigen der logischen Identitat verkniipfen. Aber es ist schon, 
und wie uns scheint init Recht, von der Kritik hervorgehoben worden, 
daB diese Anschauungsweise sich auf eine falsche Auffassung des 
logischen Prinzips der Identitat stiitzt. 

Wir mochten nun hier, wo es sich um die elementare Richtung 
handelt, die Postulatensysteme kurz angegeben, mit deren Hilfe 
M. Pasch, G. Veronese und D. Hilbert die fundamentalen Eigenschaften 
der geometrischen Kongruenz logisch forinuliert haben, wahrend wir 
spater (Nr. 32 35) die Entwicklungen priifen wollen, nach welchen, 
entsprechend den Ideen von H. v. Helmlioltz, die Gesamtheit der Be- 
wegungen sich als eine Gnippe von Transformations charakteri 
sieren lafit. 

a. M. Pasch (Neuere Geometric) fiihrt, nachdem er die deskrip- 
tiven 52 ) Eigenschaften der Geraden und der Ebene in Postulaten, die den 
Postulaten I und II der Nrn. 3 und 4: Equivalent sind, formuliert hat, 
als logisch primitiven (wenn auch psychologisch durch die Erfahrung 
der Bewegung erworbenen) Begriff den Begriff der Kongruenz zivisclien 
zwei aus Pankten bestehenden geometrischen Figuren ein; diese Be 
ziehung wollen wir durch M =r^ M bezeichnen. 

Die Kongruenz wird als eine umkehrbar eindeutige Beziehung 
zwischen den Punkten der beiden Figuren aufgefaBt von folgender Art: 



geht von der Translation aus, um zum Begriffe des Parallelisinus zu gelangen 
(p. 21), und die Rotation fuhrt ihn zum BegrifFe der Orthogonalitat (p. 31). 

51) Grundziige, Teil I, Buch 1. 

52) Vgl. FuBnote 5. 



5. Kongruenz und Bewegung. 29 

Homologe Teile kongruenter Figuren sind kongruent. Figuren, 
die einer dritten kongruent sind, sind unter einander kongruent. 
Wenn zwei Figuren M und H kongruent sind (M = H ) und man 
fiigt zu M einen Punkt A hinzu, so kann man iniiner einen Punkt A 
in der Weise wahlen, daB die zusaniinengesetzten Figuren M -\- A 
und M + A kongruent sind (M + A = M + A). 

Fur die Gerade und die Ebene werden die fundamentalen Eigen- 
schaften der Kongruenz durch sieben Postulate ausgesprochen, deren 
Inhalt wir im folgenden angeben, indem wir Punkte mit den Buch- 
staben A, B, C, . . . bezeichnen. Die ersten fiinf dieser Postulate 
beziehen sich auf die Gerade,, die beiden ubrigen auf die Ebene. 

1) Die Figuren AS und BA sind kongruent. d. b. AB=BA. 

2) In der (ebenen) Figur ABC gibt es auf der Geraden AC in 
dem Teile, wo C liegt, einen bestimmten Punkt B , so daB AB =AB. 

3) Wenn ABC = AB C und C ein Punkt innerhalb der Strecke 
AB ist, so ist ein Punkt innerhalb der Strecke A B . 

J4) Wenn der Punkt C l sich innerhalb der Strecke AB befindet 
und man auf der Geraden AB in dem Teile, der A nicht enthalt, den 
Punkt C 2 in der Weise konstruiert, daB C t C 2 = AC^, darauf den 
Punkt C 3 in der Weise, das C 2 C 3 ^:= C 1 C 2J .. ., so erhalt man eine 
Strecke C n C n + l , die den Punkt B enthalt, 

5) Wenn in der Figur ABC AB=BC ist, so ist ABC^CBA. 

6) Wenn D, E } F drei nicht in gerader Linie liegende Punkte 
sind und AB^DE ist, so gibt es in einer gegebenen, durch AB 
gehenden Ebene g-ivei Punkte C von der Art, daB ABC = DEF. 

7) Wenn zwei nicht ebene Figuren A BCD und ABCE kon 
gruent sind, so fallt der Punkt E mit D zusammen. 

Die Annahme 4) enthalt das sogenannte Arcliimedisclie Posfafat, 
von dem wir weiter unten noch ausfiihrlicher handeln werden. 

b. Wenn auch dieses Pa^sche System logisch vollkommen ist, 
so bedeutet ihm gegeniiber das Postulatensystem von G. Veronese doch 
insofern einen Fortschritt, als es nicht den Begriff der Kongruenz 
zwischen irgend welch en zwei Figuren als priniitiv annimmt, sondem 
nur den Begriff der Kongjuens zweier Strecken. 

Es wird durch fiinf Postulate, deren Inhalt wir im foigenden an- 
geben 53 ), charakterisiert. 



53) Bei dieser Formulierung sind nicht nur die Fondamenti, sondern auch 
zum Teil die Elementi des genannten Verfassers berucksichtigt , jedoch wird 
hier das (in den Element! nicht euthaltene) allgemeine Postulatensystem, das von 
dem Parallelenpostulat absieht, vriedergegeben. 



30 HI A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

1) Die Kongruenz zwischen zwei Strecken ist eine umkehrbar 
eindeutige Beziehung zwischen deren Punkten, in der aufeinander- 
folgenden Punkten aufeinanderfolgende Punkte entsprechen und homo- 
loge Teilstrecken kongruent sind. 

2) Strecken, die einer dritten kongruent sind, sind unter einander 
kongruent. 

3) Ist auf einer Geraden eine Strecke AB gegeben und ein 
Punkt C, so gibt es auf der Geraden eine bestimmte Strecke CD, 
die AB kongruent ist und denselben Sinn hat. 

4) Ist auf einer Geraden eine Strecke AB gegeben, so gibt es 
auf ihr eine bestimmte Strecke AB { , die AB kongruent ist und den 
entgegengesetzten Sinn hat. 

5) Wenn zwei Gerade einen Punkt A gemeinsam haben, so ist 
jeder Strecke AB der einen eine Strecke AB der anderen (und eine 
Strecke AB" von entgegengesetztem Sinne) kongruent. 

Auf Grund dieser Postulate und der Postulate, die den primi- 
tiven Begriff der Geraden (die Ordnung ihrer Punkte, ihre Stetigkeit 
im Sinne der Nr. 7, ihre Bestimmung durch zivei Punkte) definieren, 
kann man irgend zwei Strecken mit einander vergleichen, indem man 
von grofieren und Jcleineren Strecken, von der Summe oder der Diffe 
rent zweier Strecken usw. spricht. Im librigen enthalten diese Postu 
late noch nicht das Archimedische Postulat, das man daher, wenn man 
es braucht, den vorhergehenden hinzufugen muB. 

Die Kongruenz irgend welcher zweier (aus Punkten zusammen- 
gesetzter) Figuren laBt sich darauf als eine Beziehung von der Art 
definieren, daB die durch homologe Punktepaare bestimrnten Strecken 
kongruent sind. 

Zum Studium der kongruenten Figuren flihrt G. Veronese schlieB- 
lich ein Postulat liber die inzidenten Geradenpaare (d.h. die Winkel) ein: 

6) Wenn AB, AC und A B, AC zwei Geradenpaare sind und 
die Strecken der Paare AB, AB-, AC, AC -, BC, BC kongruent 
sind, so sind die beiden genannten Geradenpaare kongruent. 

Und auBerdem benutzt er das Postulat: 

7) Wenn eine Seite eines Dreiecks unendlich klein wird, so wird 
die Differenz der beiden anderen Seiten auch unendlich klein. 

Wenn bei diesem Postulatensystein und seiner Entwicklung 
manches etwas koinpliziert erscheint, so hangt dies mit den beiden 
Forderungen zusammen, die der Verfasser sich gestellt hat, namlich 
1) die fundamental Eigenschaft der Ebene (vgl. Nr. 3) nicht als 
gegeben anzunehmen und 2) den Begriff der Kongruenz und im be- 



5. Kongruenz und Bewegung. 31 

sonderen der Winkelkongruenz allein auf den der Streckenkongruenz 
zuruckzufiihren. 

Die Bedeutung des letzten Postulats iiber die Stetigkeit der 
Ebene (die bei dem gewohnlichen Verfahren aus der Stetigkeit der 
Geraden folgt und hier als Zusatz zu ihr erscheint) laBt sich klar 
machen, wenn man die Konstruktionen der Ebene ohne den Begriif 
der Winkelkongruenz zu entwickeln sucht, wie es J. Mollerup (Math. 
Ann. 58 (1904), p. 479) macht. Bei dem Mollempschen Verfahren zeigt 
sich die Notwendigkeit, das Postulat aufzustellen, daB ,,man iiber einer 
gegebenen Geraden als Basis und auf einer Seite von ihr nur ein 
Dreieck konstruieren kann, dessen Seiten der Reihe nach denen eines 
gegebenen Dreiecks gleich sind". Nun laBt sich in dem Veronese- 
schen System dieser Satz auf Grund des angegebenen Postulats liber 
die Stetigkeit der Ebene beweisen 54 ). 

c. D. jQfZferi 88 ) hat, indem er die Postulate der Verkmipfung und 
der Anordnung (I, II der Nrn. 3 und 4) von einander getrennt halt 
und daher die fundamentale Eigenschaft der Ebene bereits als gegeben 
annimmt (I der Nr. 3), ein neues, sehr einfaches Postulaten system 
aufgestellt, in dem sowohl die Begriffe der Strecken- wie die der 
Winkelkongruenz als primitiv auftreten. 

Man betrachte die Strecken und die Winkel als unabhangig von 
ihrem Sinne (Nr. 4) definiert, dann lassen sich die genannten Postu 
late wie folgt wiedergeben (wobei wir uns in der Numerierung an I 
und II in den Nummern 3 und 4 anschliefien). 

y III. Es ist eine symmetrisclie Beziehung zwischen den Strecken 
und den Winkein t die mit den Namen Kongruenz bezeichnet wird, in 
folgender Weise gegeben: 

1) Jede Strecke, und ebenso jeder Winkel, ist sich selbst kongruent. 

2) Strecken, und ebenso Winkel, die einer (einem) dritten kon 
gruent sind, sind sich selbst kongruent 56 ). 

3) Auf einer Geraden und auf einer Seite eines gegebenen Punktes 
A kann man eine Strecke AB bestimmen, die einer gegebenen 
Strecke AB kongruent ist: 

AB f =AB. 



54) Vgl. auch A. Guarducci in F. Enriqiies, Question!. 

55) Grundlagen, p. 7. 

56) Diese beiden ersten Satze (die die mathematischen Logiker reflexive 
und transitive Satze nennen) wie auch die synimetrische Eigenschaft (wenn a = b 
ist, so ist b = a) bilden allgemein die formalen Eigenschaften jeder Beziehung, 
die sich als eine Gleichung betrachten 



32 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

4) Wenn B em Punkt der Strecke A C, B ein Punkt der Strecke A C 
ist, und wenn 

ist, so ist auch 

5) Ist in einer Ebene ein von einem Punkte ausgehender 
Strahl a gegeben, und wird ein durch die Grerade a gebildeter 
Teil der Ebene ins Auge gefaBt, so kann man in ihm einen 
Strahl & durch bestimmen, der mit a einen Winkel bildet, 
der einem gegebenen Winkel ab kongruent ist: 



6) Wenn b ein Strahl des Winkels ac, b ein Strahl des Winkels 
ac ist und wenn 

<: al = < a V, ^lc = -^ Vc 

ist ? so ist aucli 

<^ ac = <: ac. 

7) Wenn A, B, C; A , B , C zwei nicht in gerader Lime liegende 
Punkttripel sind und wenn 

= AB f , AC = A C f 



ist, so ist auch 

und 



(und daher auch BC = B C ). 

Diese Postulate enthalten noch nicht das Archimedische Postulat ; 
das also, sobald es notig ist, ansdriicklich hinzugefiigt werden mu6. 
Sie bilden die Grrundlage i iir die gewohnlichen Dreieckskongruenzsatze, 
auf denen die ganze Theorie der Kongruenz beruht. 

6. Uber die Reduktion der in den vorhergehenden Nummern 
betrachteten fundamentalen Begriffe. Bevor wir weitergehen, miissen 
wir eine Gruppe von Arbeiten erwahnen, die aus der mathematisch- 
logischen Schule von G. Peano bl ) hervorgegangen ist und (unter Bei- 
seitelassung jedes Interesses, das nicht rein logisch- formal ist) den 
Zweck verfolgt, die Zahl der in den vorhergehenden Nummern unter- 
suchten fundamentalen Begriffe zu beschranken und die Untersuchung 
der Postulate so weit als moglich zu treiben, indem diese in ihre 
Elemente zerlegt werden. 

57) Vgl. das Formulaire de mathematiques , Torino, seit 1904, mehrere 
Auflagen. 



0. Cber die Reduktion cler fundamentalen Begriffe. 33 

Vor allem iibersetzte 1889 G. Peano (Principii) mit Hilfe der 
Symbole der damals zu einem vollkommenen System ausgebildeten 
mathematischen Logik die auf die Begriffe ,,Punkt", ,,Strecke" (oder 
?J zwischen") und ,,ebene Flache" sich beziehenden deskriptiven Postulate 
von Paschj wobei er den Begriff der ebenen Flache auf den der 
Strecke zuruckfiihrte (vgl. Nr. 5): spater (Fondamenti) driickte er die 
Begriffe der Kongruenz durch die vorhergehenden und den Begriff der 
7? Bewegung" aus und aufierdem beschaftigte er sich damit (mit Hilfe 
verschiedener Interpretationen, vgl. die Einleitung), die Unabhangig- 
keit seiner Postulate zu beweisen. 

M. P/m 58 ) hat die ?; Strecke" mit Hilfe der Begriffe ,,Punkt" 
und ; ,Bewegung" defmiert und zu diesem Zwecke ein Postulatensystem 
entwickelt. 

M. Pieri oS ) und A. Padoa 59 ) haben vorgeschlagen, den Begriff der 
Bewegung durch den Begriff ; ,Paare aquidistanter Punkte" zu ersetzen, 
der sich wiederuin (indeni man eine Idee verfolgt, die in den ersten 
Euklidischen Satzen zum Vorschein komrnt und von Veronese ent 
wickelt worden ist) auf den Fall von Paaren mit einem gemeinsamen 
Punkte zuruckfuhren la-fit. 

G. Peano ) hat diese Entwicklungen zu den Definitionen der 
Geraden und der Ebene von Leibniz (Nr. 3) in Beziehung gesetzt 
(und andererseits zu seinen Postulaten fur die Vektorentheorie). 

Es ist jedoch zu bernerken, dafi eine vollstandige Formulierung 
der Postulate sich bis jetzt nur bei Pieri findet; diese Postulate sind 
aber, besonders weil die primitiven Begriffe der Anordnung unter- 
driickt werden sollten (d. h. die Linieneigenschaft der Geraden bei- 
seite bleiben sollte), sehr kompliziei*t geworden und haben jede Uber- 
sichtlichkeit und anschauliche Gewifiheit verloren: dieser Eigenschaft 
legt jedoch Pieri keinen Wert bei 61 ). 

In neuester Zeit hat B. Zm 62 ) ein Postulatensystem nur auf 
Grund der Begriffe ,,Punkt" und ,,aquidistante Paare" entwickelt, 
aber die Levischen Postulate dennieren nicht nur die gewohnliche 
(Euklidische und nicht-Euklidische) metrische Geometrie ; sondern ein 
allgemeineres geonietrisches System, von dem aus man mit Hilfe von 
Anordnungsbegriffen zur genannten metrischen Geometric gelangt. 



58) Torino Mem. (2) 49 (1899), p. 173. 

59) Ygl. im besonderen Congres des mathematiciens a Paris 1900, p. 353. 

60) Torino Atti 38 (1903), p. 6. 

61) Ygl. FuBnote 58. 

62) Torino Mem. 1904, p. 283, 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 1. 3 



34 IIIABl. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

Neben diesen Arbeiten ist die Abhandlung von B. Kagan 6 *) 
zu erwahnen, in der ein System von Definitionen und Postu- 
laten aufgestellt wird, die auf Grund der fundamentalen Begriffe 
Ptmkt, I>ewegimg (Transformation der Punkte) und Entf emung (die 
den Bewegungen gegeniiber als Invariante betrachtet wird) zur Cha- 
rakterisierung der Euklidischen Geometrie geeignet sind. Die Erit- 
wicklung in dieser! Abhandlung ist iibersichtlich und die Postulate 
sind einfach genug; jedoch wird diese Einfachheit durch die Annahme 
erreicht, daB die Entfernung oline weiteres durch eine Zahl dar- 
gestellt wird, und diese Annahme soil im besonderen die fundamen 
talen Begriffe der Anordnung ersetzen. 

In einem anderen Sinne, jedoch noch im AnschluB an denselben 
leitenden Gedanken der matheniatisch-logischen Schule, hat 0. Veblen 
(Amer. math. soc. Trans. 5 (1904), p. 343) ein System von sehr ein- 
fachen Postulaten aufgestellt, in denen der ?? Punkt" und 7? aufeinander- 
folgende, in gerader Linie befindliche Punkttripel" als primitive Be 
griffe erscheinen, und auf Grund dieser Postulate hat er auch die 
Kongruenz definieren wollen. Diese Definition griiudet sich jedoch 
auf die konventionelle Wahl einer gewissen Polaritat (vgl. unten 
Nr. 22, 24, die projektive Begriindung der Metrik), und scheint daher 
nur die Einftihrung eines neuen primitiven Begriifes zu niaskieren. 

7. Stetigkeit und Archimedisches Postulat. Die Untersuchung 
der Stetigkeitsbegriffe hat in unseren Tagen im Zusammenhang mit der 
Entwicklung der infinitesimalen Betrachtungen eine grofie Ausdehnung 
erfahren (vgl. Abschn. VII). Aber die ersten Anfange dieser Unter 
suchung kann man in einigen von den griechischen Geoinetern gepflegten 
Theorien feststellen: im besonderen in der Theorie der Proportionen, 
in der die mit dem Fall des inkommensurablen Verhaltnisses zu- 
sammenhangenden Schwierigkeiten gliicklich iiberwunden worden sind 
(EuJdid, Eleniente ; Buch 5), und in der Anwendung des sogenannten 
Exliaustionsverfalirens (Eleniente, Buch 10). Jedoch kornmt in beideii 
Fallen nur das von Stole so genannte Arcliimedisclie Postulat**) ins 
Spiel: 

^Sind zwei Strecken gegeben, so gibt es immer ein Vielfaches 
der kleineren, das groBer als die groBere ist." 

63) Deutsche M.-V. Jahresb. 11 (1902), p. 403. 

64) Vgl. Innsbruck Ber. 12 (1882), p. 75, wieder abgedruckt Math. Ann. 22 
(1883), p. 504. Der Name ,,Archimedisches Postulat" ist irrefuhrend. Stolz er- 
wahnt selbst (ebenda, p. 86), daB schon friihere Geometer, veimutlich bereits 
Eudoxus, diesen Grundsatz benutzten. Ygl. auch H. G. Zeuthen, Heidelberger 
KongreB, p. 541. 



7. Stetigkeit tmd Archiniedischee Postulat. 35 

Dieses Postulat verbirgt sich bei Euklid in der vierten Definition 
des fiinften Buches: 

Aoyov %iv agog UMLrjla usye&q Jbfyftfd^ a dvvccrai 



Auf Deutsch: 

Ein Verhaltnis zueinander haben GroBeu, welche vervielfaltigt 
einander iibertreffen konnen. 

Die Bedeutung des Archiinedischen Postulats kann man, wenn 
man die Vorstelluug ins Auge faBt, die wir heute von der Stetigkeit 
der Geraden haben, durch die Bemerkung dartun, daB man mit seiner 
Hilfe jeder Strecke eine rationale oder irrationale Zahl zuordnen kann. 
Denn auf Grund dieses Postulats kann man bei zwei GroBen der be- 
trachteten Art die Frage der Gleichheit oder Ungleichheit sofort 
entseheiden; man kann also mit diesen GroBen rechneu, und das Ver 
haltnis (Aoyos) zweier dieser GroBen ist dann, wenn eine der GroBen 
als Mafieinheit gewahlt wird, auf Grund der Euklidischen Theorie der 
Proportionen niclits anderes als eine Zahl, die MaBzahl einer der- 
artigen GroBe 65 ). Und aus diesem Postulat folgt ini besonderen auch, 
daB es fiir die in Betracht kommenden Entwicklungen ein aktual Un- 
endlichkleines nicht gibt (vgl. weiter unten p. 37). Aber es folgt aus 
ihm umgekehrt noch nicht, daB jeder irrationalen Zahl eine Strecke 
entspricht. 

Unser Stetigkeitsbegriff enthalt, insofern er auch diesen um- 
gekehrteu Satz in sich schlieBt, eine positive Existenzaussage, die bei 
den Griechen noch nicht vorgekommen zu sein scheint; eiuige be- 
riihmte Sophismen, wie z. B. das von Achill und der Schildkrote, 
scheinen das zu beweisen. So viel von dieser Existenzaussage notig 
war, erscheint implicite in den Euklidischen Elementen, wo die 
Grundtatsachen hinsichtlich des Schneidens von Gei-aden und Kreisen 
angenommen werden, und die auf diesen Tatsachen beruhenden Kon- 
stniktionen bilden fiir Euklid die eiiizige Art, die Existenz der Figuren 
zu beweisen 65 ). Vielleicht gibt es ini Euklidischen Texte nur eine 
einzige Ausnahme von dieser Regel, uamlich in dem Satze des fiinften 
Buches, wo die Existenz einer vierten Proportionalen zu drei GroBen 
vorausgesetzt wird, aber es handelt sich hier wohl um eine apokryphe 
Interpolation. 

Fiir den nioderueu Standpunkt entsteht das Postulat der Stetig 
keit der Geraden (und daher des Raumes), wie wir angedeutet haben, 

65) Vgl. 0. Holder, Leipzig Ber. 53 (1901), p. 1. 

65) Ygl. H. G. ZeutJien, Math. Ann. 47 (1896), p. 222. 



36 IIIABl. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

bei der Aufgabe die Zahlen georaetrisch darzustellen, die die Grund- 
lage der analytiscben Geometrie bildet. Mit der Formulierung dieses 
Postulats bat sicb C. Weierstrafi in seinen Vorlesungen beschaftigt; in 
anderer Weise ist das genannte Prinzip yon G. Cantor) und R. Dede- 
Mnd* 1 ) formuliert worden. 

Cantors Stetigkeitspostulat driickt sicb geometriscb folgender- 
maBen aus: 

1) Wenn es in einer geradlinigen Strecke OM zwei unbegrenzte 
Reihen von Strecken OA, OB, OC, . . . , OA , OB, 0(7, ... gibt, von 
denen die ersten wacbsen und die zweiten abnebmen in der Weise, 
daB die Strecken A A, BB , CC , . . . bestandig abnehmen und schlieB- 
lich jede gegebene Strecke unterscbreiten, 

so existiert ein Punkt .X der Strecke OM von der Bescbaffenbeit, 
daB OX groBer ist als alle Strecken der ersten Reibe und kleiner 
als alle Strecken der zweiten 68 ). 

Fiigt man dieses Postulat dem Archimediscben Postulat binzu, 
so kann man die Beziebung zwischen Strecken und Zablen, die aus 
dem Messen der Strecken bervorgebt, mnkebren und gelangt damit 
dazu, da6 ,,jeder irrationalen Zabl eine Strecke entspricht, deren MaB- 
zabl sie ist". Daber kann man sagen: Die Postulate von Archimedes 
und von Cantor entspreclten zusammen der cartesisclien Darstellung der 
Purikte der Geraden. 

Zu dem Archimediscben Postulat kann anstelle des Cantorschen 
Stetigkeitspostulats auch ein Postulat der VoUstdndigkeit binzutreten 
wie bei D. HUbert): 

Der Raum ist eine Mannigfaltigkeit von Elementen (Punkten), 
die durcb Hinzufiigen anderer Elemente nicbt so erweitert werden 
kann ; dafi aucb in der neuen Mannigfaltigkeit das System der der 
Geometrie zu Gruncle liegenden Postulate erfullt ist. 

Der geometriscbe Ausdruck der Weierstrafischen und Dedekind- 
scben Formulierungen fiibrt (im Gegensatze zu dem Cantorschen 
Stetigkeitspostulat) auf zwei Aussagen des Stetigkeitspostulats in 
deskriptiver Form: 

2) Wenn es in einer Strecke OM eine unbegrenzte Reibe auf- 



66) Math. Ann. 5 (1871), p. 128. 

67) Stetigkeit und irrationals Zahlen, Braunschweig 1872. 

68) Zu diesem Stetigkeitspostulate von G. Cantor bemerkt F. Klein, daB man 
vom physikalischen Standpunkte aus achon die Existenz solcher Punkte, denen 
eine rationale Abszisse mit grofiem Nenner zukommt, als Postulat ausdriicklich 
einfuhren muB. Gutachten, p. 18. 

69) Grundlagen, p. 16. 



7. Stetigkeit und Archimedisches Postulat. 37 

einanderfolgender Punkte A 9 B, C, . . . gibt, so existiert ein (Grenz-) 
Punkt von der Beschaffenheit, dafi in jede Umgebung von ihm ein 
Punkt der Reihe fallt (Weierstraff). 

2 ) Wenn die Strecke OM in zwei Klassen von Punkten geteilt 
ist in der Weise, daB, wenn der ersten Klasse angehort und M der 
zweiten, jeder Punkt von OM einer der beiden Klassen angehort und 
irgend ein Punkt der ersten Klasse sich innerhalb der Strecke befindet, 
die von mit jedem Punkte der zweiten Klasse gebildet wird, 

so existiert ein Punkt X (von dem man dann zeigt, daB er der 
einzige ist) von der Beschatfenheit, daB alle Punkte innerhalb der 
Strecke OX der ersten Klasse angehoren, wahrend alle Punkte inner 
halb X31 der zweiten angehoren (wobei die Moglichkeit, daB X mit 
oder rnit M zusaminenfallt, eingeschlossen ist (Dedekind)). 

Diese beiden Postulate sind einander unmittelbar aquivalent. 

Wenn man zusanmien mit ihnen die Postulate iiber die Kon- 
gruenz (III in Nr. 5) von Streckeu auf der Geraden als gegeben an- 
nirnnit, so kann man 

a) das Archiniedische Postulat beweisen 70 ), 

b) die Punkte der Geraden auf dem Zahlenkontinuum in um- 
kehrbar eindeutiger Weise darstellen. 

Also kann man sagen: 

Sind die Postulate iiber die Streckenkongruenz (III. 1, 2, 3, 4 in 
Nr. 5) gegeben, so ist das Postulat 2 (oder 2 ) dem Inbegriff der Stetig- 
keitspostidate von Cantor und Archimedes gleicliwertig. 

Nun entsteht die Frage, ,,ob das Archiniedische Postulat auch 
eine Folge der Postulate iiber die Streckenkongruenz und des oben 
fornmlierten Cantorsohen Stetigkeitspostulats ist". Auf diese Frage hat 
G. Veronese 1 ) eine negative Antwort gegeben und darnit also be- 
wiesen, daB das Cantorsebe Stetigkeitspostulat mit der Annahme einer 
(in bezug auf eine gegebene Einheit ) aktiwl imendlicli Ideinen Strecke 
vertraglich ist (vgl. nnten Abschn. VII, Nr. 40). 

Das geht am einfachsten aus folgender Betrachtung hervor 72 ): 

Es sei ein System unendlich vieler paralleler Geraden a, a , a", . . ., 
etwa von gleichem Abstand, gegeben, und man betrachte die Gesamt- 
heit ihrer Punkte als ein System von Punkten , das in der Weise 
geordnet ist, daB jeder Punkt B rechts von einem Punkte A als auf 

J 70) Stoh, Innsbruck Ber. 12 (1882), p. 75; vgl. FuBnote 64. Eine genaue 
Aufzahlung der hierzu notwendigeu und hinreichenden Voraussetzungen gab erst 
0. Holder, Leipzig Ber. 53 (1901), p. 1. 

71) Rom Lincei Mem. (4) 6 (1890), p. 603; Grundziige, Einleitung, 105. 

72) Veronese, Grundziige, Einleitung, p. 184, FuBnote. 



38 III A B 1. F.Enriqiies. Prinzipien tier Geometrie. 

ihn folgend betrachtet wird und jeder Punkt C Jioher als A auch als 
auf A folgend betrachtet wird. In diesem System (das man auch 
nach der anderen Seite fortgesetzt denken konnte) 1st die Strecke (die 

endliche Strecke AB oder die aus zwei Halb- 

<*" geraden oder auch noch aus mehreren Ge- 

I raden zusammengesetzte unendliche Strecke 

AC) definiert, und man kann auch in einer 

^ A. -H- m j. c | er Anschauung vertraglichen Weise 

von kongruenten Strecken sprechen; somit 

sind alle Postulate fiber die Streckenkongruenz wie auch die der An- 
ordnung erfiillt. Und es ist auch das Stetigkeitspostulat 1) (nicht 
das Stetigkeitspostulat 2) oder 2 )) erfullt, aber das Archimedische 
Postulat gilt fur unser System nicht. In der Tat ist irgend ein Viel- 
faches der (endlichen) Strecke AB immer kleiner als die aus zwei 
Halbgeraden zusammengesetzte (unendliche) Strecke AC. 

Man schlieBt also daraus, daB das ArcMmedischc Postulat von 
dem Cantorschen Stetigkeitspostulat undbhangig ist. 

Den Unterschied zwischen dem Cantor - DedeJtindschen und dem 
Veroneseschen StetigkeitsbegrifF kann man auch folgendermaBen for- 
mulieren ^. 

Werden alle Punkte einer Strecke OM. gemaB 2 ) in zwei Klassen 
M und M." geteilt, so sind folgende vier Falle moglich: 1) M hat 
einen letzten Punkt A , und M" einen ersten A" (es liegt ein Sprung 
vor); 2) M hat einen letzten Punkt A , M" keinen ersten; 3) M 
hat keinen letzten Punkt, M" einen ersten A"-, 4) weder hat M einen 
letzten, noch M" einen ersten Punkt (es liegt eine Lilcke vor). Die 
Dedekindsche Stetigkeit schlieBt nun sowohl Liicken wie Sprunge aus. 
Die Veronesesehv schlieBt Sprunge immer aus, Liicken aber nur unter 
gewissen Bedingungen. Bei dem Veroneseschen Kontinuum treten 
namlich Liicken wirklich auf, und zwar immer dann, wenn die in 1) 
genannten Strecken A A, BB , CC , . . . nicht jede gegebene Strecke 
des Systems unterschreiten, was moglich ist. 

Eine weitere Frage ist, ,,ob das Archimedische Postulat mit Hilfe 
aller Postulate des Einanderangehorens, der Anordnung und der Kon- 
gi*uenz (I., II., III. in den JSTrn. 3, 4, 5) bewiesen werden kann". 

Diese Frage ist zu verneinen (vgl. Abschn. VII). Doch wollen 
wir inzwischen (wenn nicht ausdrticklich das Gegenteil bemerkt wird) 
an dem Stetigkeitspostulat in der Weierstraflschen oder der Dedekindsclien 
Form festlialten, das wir aber (entgegen der von den genannten Autoren 

74) Schoenflies, Art. I A 5, Nr. 18,19, und Deutsche M.-V. Jahresb. 15 (1906), p. 26. 



8. Das Parallelenpostulat. 39 

festgehalteueu Darstellungsweise) anf rein deskriptive (vgl. FuBnote 5) 
imd im besouderen auf die durch die Postulatengruppe Nr. 5 III. be- 
stiinuiten Begrifie beziehen. 

8. Das Parallelenpostulat. Die fiinfte Forderung der Euklidi- 
schen Eleinente 75 ) behauptet: 

,,Kal tar sis 8vo sv&si as Ev&eta fyuttintovtia rag evrbs xal enl 
rd avTcc usQTj ycwfag dvo OQ&COV &U00O9ttg sioifj, exfta^ofievas 

71 KXflQOV 6VUXLXTSIV, B(f O. ^8QJ] slolv at T&V 



Auf Deutsch: 

? ,Zwei Gerade einer Ebene ; die mit einer dritten, und auf der- 
selben Seite von dieser, Winkel bilden, deren Summe kleiner als zwei 
Rechte ist. treffen sick, liinreichend verlangert." 

Dieses Postulat bildet die Grundlage der Parallelentheorie, von 
der die ersten 28 Satze des Eitklid unabhangig siud; es koninit der 
Behauptung gleich, dafi durch einen Punkt auBerhalb einer gegebenen 
Geraden nur eine Parallele zu dieser gezogen werden kann. 

Schon im Altertum wurden zahlreiche Versuche gemacht, das ge- 
nannte Postulat zu beseitigen, indem man es auf Grand der vorher- 
gehendeu Satze logiscli zu beweisen suchte 7G ). Es seien Claudius 
Ptolemans (87165 n. C.), Proklus (410485) und der Araber Nasir- 
Eddin (1201 1274) genannt. Bemerkenswert ist, dafi in den Ent- 
wicklungen des zuletzt Genannten das Parallelenpostulat iinplizite an- 
genonmien wird, indem Nasir-Eddin von einem Dreiecke ausgeht 7 
dessen Winkelsumme gleich zwei Rechten ist. 

Jolm Wallis 11 ) (1616 1703) hat in die Parallelentheorie einen 
neuen Gesichtspunkt hineingebracht. indem er bemerkte, daB das Eu- 
klidische Postulat durch ein anderes ersetzt werden kann, namlich 
durch dasjenige ? das behaoptet, daB zu einem gegebenen Dreiecke ein 
ahnliches von beliebiger GroBe existiert. In der Tat braucht man, 
um die dem Enklidischen Postulat entgegenstehenden Annahmen aus- 
zuschlieBen, nur die Existenz zweier ahnlicher und ungleicher Dreiecke 
anzunehmen. L. JV. Car-not 1 *) und P. S. Laplace) schlugen vor, an 
Stelle des Euklidischen Postnlats eben diese Annahine zu machen. 



75) Kritische Ausgabe von J. L. Heiberg, 1, Leipzig 1883. 

76) Die Geschichte dieser Untersucliungen bis auf N. Lobatschefskij und 
J. Bohjai fiudet man in dem Werke von P. Stackel uud Fr. Engel, Die Theorie 
der Parallellmien von Euklid bis auf Gaufi, Leipzig 1895. Vgl. a*ch den Artikel 
von E. Bonola in F. Enriques, Questioni. 

77) De postulate quinto et definitione quinta lib. 6. Euclidis disceptatio 
geometrica. Opemm matbernaticorum volumen alterum, Oxford 1693, p. 665. 



40 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

Giordano Vitale da Bitonto**) (16331711), der (wie mehrere 
Vorganger) parallele Gerade als ,,Gerade gleichen Abstands" betrachtete, 
hat bewiesen, dafi ,,wenn drei Punkte einer Geraden von einer anderen 
Geraden gleichen Abstand haben, die beiden Geraden durchweg gleichen 
Abstand von einander haben". 

Der Pater Girolamo Saccheri (16671733), der durch E. Bel- 
trami 81 ) in weiteren Ereisen nen bekannt geworden ist, hat in seinem 
Werke ,,Euclides ab omni naevo vindicatus . . ," 82 ) eine tiefe Kritik des 
Parallelenpostulats verfafit, indeni er sich einerseits an Nasir-Eddin, 
andererseits an Giordano Vitale anschloB. Er geht von folgendem Ge- 
sichtspunkte aus: Man nehme in einer Ebene eine Strecke AB an, 
errichte in ihren Endpunkten nach einer Seite hin die Normalen zu 
der Strecke nnd trage auf diesen zwei gleiche Strecken AC und BD 
ab; in dem Vierecke ABCD sind nach der Konstruktion zwei Winkel 
Rechte, und von den beiden andern Winkeln beweist man, da6 sie 
gleich sind; hinsichtlich ihrer Grofie kann man drei Annahmen machen, 
namlich daB sie spitze, rechte oder stumpfe Winkel sind. Saccheri 
beweist, dafi, wenn in einem Falle eine der drei Annahmen erfullt ist, 
sie immer erfullt ist. Die zweite Annahme ist dem Euklidischen 
Postulat gleichwertig, wahrend die erste und die dritte auf die nicht- 
Euklidischen Geometrien von Bolyai-Lobatscliefskij und Eiemann fuliren 
wiirden. Aber Saccheri will das Ungereinate dieser beiden Annahmen 
nachweisen; er schlieBt den Fall des stumpfen Winkels aus, indeni 
er sich auf die Unendlichkeit der Geraden stiitzt, und giaubt etwas 
Ungereimtes in dem asymptotischen Verhalten der Parallellinien zu 
finden, zu dem man unter der Annahme des spitzen Winkels gelangt. 

Johann Heinrich Lambert (1728 1777) hat sich in seiner ,,Theorie 
der Parallellinien" 83 ) auf einen Standpunkt gestellt, der dem des 
Saccheri sehr ahnlich ist. Insbesondere beinerkt Lambert, dafi bei 
Nichtannahme des Euklidischen Parallelenpostulats, da dann die Be- 
trachtung ahnlicher Figuren wegf allt, eine Art naturlicher oder absoluter 

78) Geometrie de position, Paris 1803, p. 481 FuBnote. 

79) Oeuvres 6, p. 472. 

80) Euclide restitute overo gli anticbi elementi geometrici ristaurati e faci- 
litati, Roma 1680, zweite Ausgabe 1686; vgl. JR. Rotiola, Boll, di bibliogr. e 
stor. delle mat. 1905. 

81) Un prescursore italiano di Legendre et di Lobatschewsky. Rom Line. 
Rend. (4) 5 1 (1889), p. 441. 

82) Euclides ab omni naevo vindicatus; sive conatus geometricus quo stabi- 
liuntur prima ipsa universae geometriae principia, Mediolani 1733. 

83) Aufgesetzt 1766, veroffentlicht 1786 im Magazin fur die reine und an- 
gewandte Mathematik. 



8. Das Parallelenpostulat. 41 

Hafieinheit existieren rnuB, und er findet, daB der Inhalt eines Drei 
ecks der Differenz zwischen der Winkelsuinrue und zwei rechten 
Winkeln gleich ist; endlich bemerkt er (hierin ein Vorlaufer von 
B. Eiemann\ daB die Annaliine des stuinpfen Winkels (vgl. oben) in 
der Geometric auf der Kugel erfullt wird und daB die Anuahnie des 
spitzen Winkels auf einer Kugel von iinaginarein Radius erfullt sein 
wiirde. 

Die Saccherischen und Lambertschen Ergebnisse umfassen den 
wesentlichen Teil dessen, was spater und unabhangig davon von den 
franzosischen Geometern und insbesondere \onAdricn JlfarieLegendre 8 *) 
wiedergefunden wurde, daB nanilich ,,das Euklidische Postulat der An- 
nahrne gleichwertig ist, daB die Sumine der Winkel eines (besondern) 
Dreiecks gleich zwei Rechten 1st, und daB diese Annahrne dann fur 
jedes Dreieck erfullt 1st" (wenigstens dann, wenu man alle Postulate 
I, II, III der Nr. 3 5 und das Archimedische Postulat als gegeben an- 
nimmt-, vgl. Nr. 44). 

Gaufi scheint der erste gewesen zu sein, der die Unbeweis- 
barkeit des Parallelenpostulats und daher die Moglichkeit einer all- 
gemeinen Geometric, die davon absieht, erfafit hat, und er hat selbst 
deren Grundlagen aufgestellt 85 ). 

In Beziehung zu Gaufi stehen F. K. SchiveiJcart 86 ) und F. Ad. 
Taut iiius sl ), die sich zwischen 1816 und 1826 mit dieser Frage be- 
schaftigt haben. Es ist bemerkenswert, daB Sclnceikart in Briefen 
und personlichen Mitteilungen die Uberzeugung klar ausgesprochen 
hat, daB ein geometrisches System moglich ist, in dem das Parallelen 
postulat nicht gilt. Taurimis hat bei der Entwickelung eines Ge- 
dankens, dessen Keim sich bei Lanibert findet, die Formeln der nicht- 
Euklidischen Trigonometrie erhalten und benierkt, daB diese ein sich 
nicht widersprechendes System bilden; gleichwohl halt er, irregefiihrt 
durch eine sophistische Interpretation der Konstanten (der Kriimmung), 
die in den genannten Formeln vorkommt, die Euklidische Geometric 
fiir allein im physischcn Raume giiltig. 

Nikolai Lobatschcfskij 9 *) war der erste, der, in seinen seit 1829 

84) Reflexions sur differentes manieres de demontrer la theorie des paralleles 
ou le theoreme sur la somme des trois angles du triangle, Paris Mem. 12 
(1833), p. 365. 

85) Jedenfalls von 1816 an; Vgl. Werke 8, p. 175 und 182. 

86) Stackd und Engel, Parallelentheorie, p. 243; Ganfi, Werke 8, p. 178. 

87) Theorie der Parallellinien, K6ln 1825; Geoinetriae prima elementa, Colo- 
niae Agrippinae, 1826. Vgl. Stackel und Engel, Parallellinien, p. 246, und Gcntfi, 
Werke 8, p. 186. 

88) Vgl. Fr. Engel f Nik. Iwan. Lobatschefskij, Zwei geonietrische Abhand- 



42 III A B 1. / . Enriques. Prinzipien der Geometric. 

veroifentlichten Abhandlungen, offentlich die Moglichkeit einer Geo 
metric, die von dem Euklidischen Postulat absieht, aussprach, und 
wenig spater (1832) veroffentlichte Johann Bolyai eine in dem- 
selben Sinne gehaltene Schrift 89 ). Die von diesen Geometern er- 
haltenen iibereinstimmenden Resultate wurden von Gauft in seinem 
Briefwechsel mit Bessel, W. Bolyai, Olbers und Schumacher bestatigt. 
Sie bilden ein Lehrgebaude, das mit den Namen imaginare Geometric, 
absolute Geometric, niclit-Euldidisclie Geometric, Pangeometrie, allgemeine 
Geometric bezeichnet wird. Von den ersten beiden Namen deutet der 
eine die Meinung, daB die neuen Theorien physisch unsiunig seien, 
der andere den Glauben an die absolute Geltung der geometrischen 
Postulate abgesehen vom Parallelenpostulate an; der von Gaufl ge- 
brauehte Name ;7 mcht-Euklidisehe Geometric" wird passend im eigent- 
liclien Sinne angewandt, wenn man das geometrische System betrachtet, 
das aus der Negation des Euklidischen Postulats hervorgeht, aber er 
wird oft im uneigentlichen Sinne gebraucht ; um die allgemeine Geo 
metric des Ra-umes, die den Euklidischen und den nicht-Euklidischen 
Fall in sich begreift ; zu bezeichnen. Wir werden den Namen nicht- 
Euklidische Geometric nur in seinem eigentlichen Sinne gebrauehen, 
indem wir fur das umfassendere geometrische System den Namen all 
gemeine Geometric annehmen. 

Die Solyaischen und Lobatschefskijsch.en Resultate, auf die oben 
hingedeutet wurde, erschopfen jedoch ? wie schon in der Einleitung 
erwalmt worden ist, nicht den ganzen Bereich der nicht-Euklidischen 
Geometric. Sie beruhen immer auf der Annahme, daB die Gerade 
eine offene Linie ist und also eine unendliche Lange hat. Man 
kann aber voraussetzen, daB die Gerade eine geschlossene Linie von 
endlicher Lange ist, und kommt dann zu einem anderen nicht-Eukli 
dischen geometrischen Systeme. Dieser Fall wurde erst von I?. Eiemann 
klar erfaBt (vgl. Nr. 19). .- 

Wir haben nun folgende Grundlage der allgemeinen Parallelen- 
theorie : 

lungen, 1. Teil: Die Ubersetzung, 2. Teil: Anmerkungen , Lobatschefskijs Leben 
und Schriften, Register, Leipzig 1898 und 1899. 

89) Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens usw. in W. Bolyais 
Tentamen 1, fur sich neu hrsgeg. Leipzig 1903. Vgl. die Publikationen 
von P. Stackel: Gau6, die beiden Bolyai und die nicht-Euklidische Geometrie, 
Math. Ann. 49 (1897), p. 149 (zusammen mit F. Engel); Die Entdeckung der 
nicht-Euklidischen Geometrie durch Joh. Bolyai, Ungar. Ber. 17 (1901), p. 1; 
Aus Joh. Bolyais Nachlafi, Untersuchungen aus der absoluten Geometrie, tin- 
gar. Ber. 18. (1902), p. 280. Joh. Bolyai hatte die Sache schon im Jahre 1823. 



8. Das Parallelenpostulat. 43 

Man nehme die fundainentalen Satze fiber die Gerade und die 
Ebene, fiber die Kongruenz und die Bewegung an, die in den Postu- 
latengruppen I. II, III der Nrn. 3, 4, 5 (unter Hinzufugung der 
Stetigkeit) enthalten sind, modifiziere jedoch die Postulate II in der 
Weise ; daB die Moglichkeit, daB die Gerade nicht eine offene, son- 
dem eine geschlossene Linie ist, vorbehalten bleibt. 

Man betrachte eine Gerade a und einen auBerhalb gelegenen 
Punkt A und konstruiere alle Geraden, die von A aus die Punkte 
von a projizieren; die Gmizyeraden dieses Bfischels heiBen, sofern sie 
existieren, die durch A zu a gezogenen Parallelen. 

Bei der Eiiklidischen- Annahme gibt es durch A eine ParalMe 
zu a\ aber noch zwei andere Annahnien sind niit den bereits an- 
genomnienen Postulaten vertraglich: durch A gehen zwei ParalMe 
zu a (die Bolyai-LobatschefsJiijsche Annahme): durch A geht Jceine 
P lrattelc zu a (die Biewannsche Annahme) 

Wenn man in bezug auf einen Punkt A und eine Gerade a eine 
der drei Annahmen macht, so gilt dieselbe Annahme auch fur irgend 
eine andere Gerade und irgend einen anderen auBerhalb gelegeneu 
Punkt. In jedem Falle kommt der Charakter des Parallelismus einer 
durch A gehenden Geraden b zu einer Geraden a der Geraden b auch 
fur jeden anderen ihrer Punkte zu ? und die Beziehung des Parallelis 
mus zweier Geraden 1st immer gegenseitig. 

Die drei geornetrischen Systeme, die aus den drei Annahmen von 
Bolyai-Lobatscliefsl ij, Enliid und Eiemann hervorgehen, bezeichnet 
man nach F. Klein durch die Namen JtyperboUsch, paraboliscli, ellip- 
tisch; siehe unten (Abschnitt III 7 Nr. 23) unter projektiver Geometrie. 
Sie konnen (wie bereits angedeutet worden ist) dadurch charakterisiert 
werden, daB man den Wert der Winkelsunime irgend eines gerad- 
linigen Dreiecks ins Auge faBt, der in den drei Fallen der Reihe 
nach kleiner als zwei rechte Wiukel, gleich zwei rechten Winkeln 
oder groBer als zwei rechte Winkel ist (vgl. Nr. 14). 

Anstelle des Pythagoraischen Satzes der Euklidischen Geometrie 
tritt eine allgemeinere Relation, die fur die Formeln der elliptischen 
und der hyperbolischen Trigonometrie die Grundlage bildet; die Eukli- 
dische oder parabolische Trigonometrie ist in dieser allgemeinen Trigo 
nometrie als Grenzfall enthalten^). Fur unendlich kleine Dreiecke 

90) Die Formeln der hyperbolischen Trigonometrie sind von /. Bolyai und 
JN . Lobatschefskij gegeben worden; die des elliptischen Falles sind die Formeln 
der sphariscken Trigonometrie (./. H. Lambert}, und man geht von den zweiten zu 
den ersten iiber, indem man den Radius der Kugel imaginar nimmt. 



44 IIIABl. F. Enriqiies. Prinzipien der Geoinetrie. 

sind die Forrneln der allgerneinen Trigonometric dieselben wie die der 
Euklidischen Trigononietrie 91 ). 

9. Weitere Ausfiihrungen zur Parallelentheorie. GemaB den 
Erorterungen der Einleitung zielien wir jetzt zwei Fragen in Er- 
wagung: 

a) wie man dazu gelangt, die logische Moglichkeit der nicht- 
Euklidischen Geometrie und also die Unabhangigkeit des Euklidischen 
Postulats von den vorhergehenden zu beweisen*, 

b) unter welchen einfachen, dem Euklidischen Postulate gleich- 
wertigen Formen die Anuahnie, die der gewohnlichen Parallelentheorie 
zugrunde liegt, ausgesprochen werden kann. 

ad a) N. Lobatscliefsldj hat gezeigt, da6 die Beziehungen der 
hyperbolischen Trigonometrie durch ein in sich widerspruchfreies 
System analytischer Fornieln wiedergegeben werden ? und daraus den 
ersten Beweis der logischen Moglichkeit der nicht-Euklidischen Geo 
metrie hergeleitet. 

Darauf kam man (Riemann, Beltrami) auf den Gedanken, eine wirk- 
liche Interpretation der nicht-Euklidischen Geometrie in der Geometrie 
auf den Flachen konstanter Krumnmng (vgl. Nr. 17) zu suchen, und 
daraus leitete man einen neuen Beweis der logischen Moglichkeit der 
nicht-Euklidischen Systeme der Ebene her. Leider reprasentiert eine 
solche Flache immer nur ein Stuck der Ebene. 

Noeh iiberzeugender ist die Interpretation, welche die nicht- 
Euklidische Geometrie nach 1<\ Klein in der zu einem beliebigen 
Kegelschnitt gehorigen Cayleyscheu MaBbestimmung findet (weil nam- 
lich dabei die ganee nicht-Euklidische Ebene zur Veranschaulichung 
kommt); hieriiber wird weiter unten, unter projektiver Geometrie 
(Nr. 23), naheres anzugeben sein. 

Durch die projektive Interpretation wird zugleich ein feiner 
Punkt klargestellt. Urspriinglich nahrn man (wie es schon Lanibert 
angedeutet hatte) zum Muster der elliptischen ebenen Geometrie die 
Geometric auf der Kugel, und da auf dieser zwei groBte (Gerade dar- 
stellende) Kreise sich irnrner in zwei Punkten schneiden, so betrach- 



91) Diese Benierkung hat als Grundlage fur einen IntegrationsprozeB ge- 
dient, durch den man die Form ein der allgemeinen Trigonometrie erhalt, indem 
man von denjenigen furunendlich kleine Dreiecke ausgeht. Vgl. C.Flye St.- Marie, 
Etudes analytiques sur la theorie des paralleles, Paris 1871; J. De La Vallee 
Poussin, Mathesis (2) 5 (1895), Suppl. 5, p. 6, und Brux. Soc. sc. (2) 19 B (1895), 
p. 17, und Gaitfi, Werke 8, p. 255. Hinsichtlich der Moglichkeit, die hyper- 
bolische Geometrie zu begriinden, ohne von der Stetigkeit Gebrauch zu machen, 
Tgl, Hilbert, Grundlagen, Anhang III, p. 107. 



9. Weitere Ausfuhrungen zur Parallelentheorie. 45 

tete man diese Eigenschaft als der elliptischen Geometrie der Ebene zu- 
kommend, in der da-rum das Postulat ,,Zwei Punkte bestimmen eine 
Gerade" eine Ausnahme erleiden miiBte. Diese Anschauungsweise 
wurde von F. Klein berichtigt, der bemerkte, daB, wenn man die 
nicht-Euklidische Geometric der Ebene in der Geometric auf einer 
Flache wiederspiegelt, zunachst nur die Geometric eines einfach zu- 
sanimenhangenden Gebietes der Ebene rnit der Geometrie eines ent- 
sprechenden Gebietes der Flache uberemstimmt und es nicht ohne 
weiteres erlaubt ist, das, was man von der Flache als Games be- 
trachtet aussagt, auf die Ebene anzuwenden (vgl. Xr. 17 und 36). 
Die Geometrie der vollstandigen elliptischen Ebene spiegelt sich nicht 
in der Geometrie auf der Kugel, sondern in der gewohnlichen Geometrie 
des Stralilcnliiindels wieder; das will sagen: wenn man die ,,Punkte" der 
Ebene durch die ,,Geraden" des Biindels und die Ausdriicke ,,Gerade" 
und ,,Entfernung" durch die Ausdriicke ,,Biisehel" und ,,Winkel" er- 
setzt, so gehen alle Satze der (elliptischen) Ebene, in denen die ellip- 
tische Geometrie gilt ? in die gewohnlichen Satze der Geometric des 
Biindels fiber , und umgekehrt. Dadurch wird auch klar, daB die 
elliptische Ebene (ebenso wie die projektive Ebene) eine sogenannte 
Doppelflache ( oder einseitige Flache) ist, d. h. durch eine Gerade nicht 
in zwei Stiicke zerlegt wird, denn auch das Strahlenbiindel wii-d durch 
eine Ebene nicht in zwei Stiicke zerlegt (vgl. Nr. 24 b). Man erkennt 
auf diese Weise die vollkommene Yertraglichkeit der die ebene Geo 
metrie betreffenden elliptischen Annahme mit den Postulaten der Ge- 
raden und der Kougruenz. 

Immerhin geniigen die oben angefiihrten Interpretationen noch 
nicht, um die Unabhangigkeit des Euklidischen Postulats von den 
voranstehenden Postulaten der Geometric des Eaitmes darzutun, weil 
sie die Moglichkeit nicht ausschliefien, daB das genannte Postulat 
(wie der Satz von den honiologen Dreiecken) durch Konstruktionen 
im Eaume. inclem man aus der Ebene herausgeht, bewiesen werden 
konnte. Es niuB also der Beweis der logischen Moglichkeit der nicht- 
Euklidischen Geometrie ini Rauine gegeben werden. Dieseu Beweis 
entnimmt man der Theorie der dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten 
konstanter Kriimmung (Nr. 19), oder auch wieder ini Sinne Kleim 
der im Raume auf eine Flache zweiten Grades zu griindenden Cayley- 
schen MaBbestimmung 92 ). Jeder dieser Wege bietet den Beweis der 

92) Hinsichtlich der Unabhangigkeit des Parallelenpostulats von den anderen 
in den Euklidischen ,,Elementen i vorher gemachten Annahmen vergleiche man 
die kritische Erorterung dieser Annahmen durch F. Lindemann bei A. Clebsch 
und F. Linfomann, Vorlesungen ilber Geometrie, 2 1 , Leipzig 1891, Abschn. 3. 



46 HI A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometric. 

Unabhangigkeit des Euklidisclien Postulats von den Postalaten, die 
sich auf das Einanderangehoren von Geraden mid Ebenen, auf die 
Kongruenz und die Stetigkeit beziehen, dar ? da man die logische Exi 
stent der dabei auftretenden Entwicklungen entweder durch die zu- 
gehorigen einander nicht widersprechenden analytischen Formeln oder 
dadurcb dartun kann, daB man die Moglichkeit der gewohnlichen 
Euklidiscben Geometrie (auf Grand der Anschauung) als gegeben an- 
nimmt (vgl. die Einleitung). 

In pbilosopbiscber Hinsicbt entstebt darauf die Frage, ob die 
nicbt-Euklidiscbe Geometrie aufier einer logischen Moglichkeit auch 
eine pliysisclie Mogliclikeit bilden kann. In dieser Hinsicbt ist za be- 
merken, daB nur die Erfabrung Richter sein kann; aber die zur Erit- 
scbeidung der Frage berbeigezogenen Messungen baben notwendiger- 
weise nur einen approximative!! Wert. Sie konnten also die Geltung 
der nicbt-Euklidiscben Geometrie beweisen, wenn das MaB der Winkel- 
summe eines Dreiecks einen durcb die Wabrnebniung einzuscbatzenden 
Wert unter oder fiber zwei Rechten ergabe. Umgekebrt aber wird es 
(bei dem approximative!! Cbarakter aller Messungen) nienials moglich 
sein ; die pbysiscbe Geltung der Euklidiscben Annabme exakt zu be- 
weisen. Wirkliche Winkelmessungen an geodatischen (Graufi) oder 
astronomiscben (Lobatscliefskij) Dreiecken baben nie eine Abweichung 
im bestimmten Sinne von 180 erkennen lassen 93 ). 

ad b) Wir zablen nun die bauptsachlicben Anuabmen aut 7 die 
dem Euklidiscben Postulat gleicbwertig sind ; wenn man alle An- 
nabnien fiber die Verknupfung (I in Nr. 3), die Anordnung (II in 
Nr. 4), die Kongruenz (III in Nr. 5) und die Stetigkeit macbt ? aber 
die Postulate II in Nr. 4 in der Weise modifiziert nimmt, daB sie 
nicbt die Unendlicbkeit der Geraden einscblieBen: 

1) Existenz einer einzigen Parallelen durcb einen Punkt zu einer 
gegebenen Geraden. 

2) Existenz zweier Geraden einer Ebene, die sich nicbt schneiden 
und uberall gleicb weit von einander entfernt sind. 

3) Existenz zweier abnlicber und nicht kongruenter Dreiecke 
(Wallis, Carnot, Laplace). 

4) Existenz eines Dreiecks, in dein die Winkelsumme gleicb zwei 
Recbten ist (Legemlre). 

5) Existenz von Dreiecken, deren Flacbe beliebig groB ist (Gaufi, 
Brief an W. Solyai vom 16. Dez. 1799, Werke 8, p. 159; vgl. Nr. 10), 



93) Vgl. F. Zollner, Wissenschaftliche Abhandlungen 1, p. 229. 



10. Flacheninhalt \md Rauminhalt. 47 

Nimmt man die Unendlichkeit der Geraden an, so kann das 
Euklidische Postulat durch die folgenden ersetzt werden: 

Durch einen in der Ebene eines spitzen Winkels und innerhalb 
desselben gelegenen Punkt kann man irnmer eine Gerade ziehen, die 
die beiden Schenkel des Winkels trifft (Legend-re). 

Drei nicht in gerader Linie liegende Punkte liegen immer auf 
eineni Kreise (J. Bolyai). 

Endlich lafit sich die Euklidische Geometric im Hiublick auf die 
Mechanik charakterisieren : 

Das Euklidische Postulat lafit sich auf das mechanische Postulat 
des Archimedes zuruckfuhren. wonach ,,wenn zwei gleiche und gleich- 
gerichtete Krafte an den Enden einer Strecke AB normal angebracht 
sind ; die (durch den Mittelpunkt von AB gehende) Resultante der 
Snmnie der Komponenten gleich ist". In den nicht-Euklidischen 
Fallen wiirde die Resultante erne andere Funktion der Komponenten 
sein 94 ). Uber die Beziehungen des Parallelenpostulats zu dem Archi- 
medischen Postulat vgl. Nr. 44. 

10. Flacheninhalt und Rauminhalt 95 ). Eiiklid behandelt die 
Flachen- und Rauminhalte 96 ) als Grofien sui generis, wobei er als 
Attribute des allgemeinen GroBenbegriffs folgende ganz allgeniein ge- 
haltene Axiome zu Grunde legt 97 ): 

1) Ta TCO CCVTCO i Ga xcd aXkrfioi$ t6i\v fact. 

2) Kcd sav iGoig fact arpo^rf^^, ru oA i<5x\v face. 

3) Kttl eav aicb faav faa dcpaiQS&fi, rd xara^fiTto^evd iGiiv face. 

4) Kal TU ecpccQ^o^ovra i^i 8Mr t Aa fact aMrfioig iGtlv. 

5) Kctl TO okov TOU USQOVS U6l6v \e6Tiv~\. 
Auf Deutsch: 

1) Was dernselben (dritten) gleich ist, ist einander gleich. 

2) Und wenn zu Gleichem Gleiches hinzugefiigt wird, so sind die 
Summen gleich. 

94) A. Genocchi, Torino Atti 12 (1877), p. 489; Torino Mem. 29 (1877); vgl. 
/. d Andrade, Le9ons de rnecanique physique, Paris 1898, notes, p. 355 ff. Die 
ersten Arbeiten iiber die Mechanik bei der nicht-Euklidischen Aunahme finden 
eich bei M. de Tilly, Etudes de me eanique abstraite, Brux. Memoires couronnes 
21 (1870); vgl. Bordeaux Memoires (2) 3 (1879), p. 1, besonders FuBn. zu Nr. 21; 
ferner E. Sobering, Gott. Nachr. 1870, p. 311, und 1873, p. 149; R. Lipscliiiz, 
J. f. Math. 74 (1872), p. 116; W. Killing, J. f. Math. 98 (1884), besonders p. 24 f. 

95) Es sei hier auf die ausfiihrliche Erorterung dieses Gegenstandes bei 
Enriques, Questioni (Artikel von U. Amdidi}, sowie bei Holder (FuBnote 65) hin 
ge wiesen. 

96) Elemente, Buch 1, 11, 12. 

97) Elemente, Buch 1. 



48 III A B 1. F.Enriques. Prinzipien der Geometric, 

3) Und wenn von Gleichem Gleiches hinweggenommen wird, so 
sind die Reste gleich. 

4) Und was sich zur Deckung bringen lafit, ist einander gleich. 

5) Und das Ganze ist gro Ber als sein Teil. 

A. Wir besprechen zunachst den Fall ebener Figuren. 

Die ersten vier dieser Axiome stellen zwei wesentlich verschie- 
dene Kriterien auf, um die Flachengleichheit ebener Figuren zu 
erkennen: a) ihre Zerlegbarkeit in kongruente Teile (Flachengleich- 
heit durch Summation 1, 2, 4), b) die Moglichkeit, zwei Figuren 
als Differenzen kongruenter Figuren aufzufassen (Flachengleichheit 
durch Subtraktion 3, 4). Yon diesen beiden Kriterien bringt 
Euklid in der Theorie der Flachengleichheit der ebenen Polygone 
bald den einen bald den anderen zur Anwendung, wahrend er auf 
Grund des fiinften Axioms irnstande ist, die umgekelirten Theoreine 
zu beweisen, in denen man aus der Flachengleichheit gewisser Poly- 
gone auf die Gleichheit von Strecken schlieBt. 

Diesen Gesichtspunkten a) und b) fiigt Euklid einen anderen 
hinzu ; der sich auf die stillschweigende Yoraussetzung griindet, daB, 
,,wenn zwei Flachen (oder Yolumina) ungleich sind, eine FlachengroBe 
(oder ein Yolumen) existiert, die, zu der einen von beiden (der kleineren) 
addiert, eine Summe gleich der anderen (der groBeren) ergibt", und 
diese Yoraussetzung liegt dem Exliaustionsverfaliren zugrunde, in dem 
die Gleichheit von Flachen- oder Rauminhalten indirekt bewiesen wird. 

In den von Euldid zur Erkennung der Gleichheit polygonaler Flachen 
angewandten Kriterien a) und b) ist etwas Uberflussiges enthalten, 
denn P. Gervien 98 ) hat bewiesen, daB ,,zwei flachengleiche ebene (oder 
spharische) Polygone immer durch Summation flachengleich sind". 

W. Botyai ") hatte dieselbe Bemerkung gemacht und wollte ftir 
irgendwelche Flachen den folgenden Satz beweisen: 

Die sich nicht deckenden Teile zweier sich zum Teil deckender 
kongruenter Figuren lassen sich in kongruente Teile zerlegen: 

aus dem sich der allgemeinere Satz ergeben wiirde: 

Wenn man von zwei kongruenteii Flachen kongruente Teile 
wegnimmt, so lassen sich die iibrig bleibenden Stiicke in kongruente 
Teile zerlegen; 

aber sein Beweis des ersten Satzes ist leider ungenugend. 



98) Zerschneidung jeder beliebigen Anzahl von gleichen geradlinigen Figuren 
in dieselben Stucke. Zerschneidung jeder beliebigen Menge verschieden ge- 
stalteter Figuren von gleichem Inhalt auf der Kugelflache in dieselben Stucke, 
J. f. Math. 10 (1833), p. 228, 235. 

99) Tentamen 1, 35. 



10. Flacheninhalt und Rauminhalt. 49 

J. M. C. DuJiamel m \ der die uns beschaftigende Frage in kritischer 
Absicht studierte, hat zum ersten Male die logische Notwendigkeit dar- 
getan, fur jede Klasse geometrischer GroBen die Begriffe Siimme, Teil, 
grower und Kleiner zu definieren. Er ist auf diese Weise zur Angabe 
eines neuen Weges fur die Entwicklung der Theorie der Flachen 
gleichheit gefiihrt worden, wobei dieser Begriff nicht mehr als eine 
nicht definierte, den Euklidischen Axiomen 1) ... 5) geniigende Be- 
ziehung erscheint. Die Flachengleichheit wird vielniehr ausdriicklich 
als Gleichheit durch Summation definiert, und diese Definition tritt 
an Stelle der Axiome 1), 2), 4). Duhamel entwickelt einige Gleich- 
heitssatze, indem er die Benutzung der Subtraktion und daher des 
Axioms 3) systematisch zu vermeiden sucht; ini besonderen hat er 
durch ein Yerfahren, in deui das Archimedische Postulat 101 ) auftritt, 
bewiesen, ,,daB zwei Parallelogramme von gleicher Grundlinie und 
Hohe flachengleich sind". 

Diese Entwicklungen warden von A. Faifofer m ) zu einer Theorie 
vervollstandigt, die sich ohne ein neues Axiom auf Definitionen auf- 
baut. Aber A. De Zolt 103 } hat hervorgehoben, daB bei dem Beweise 
der umgekehrten Satze, in denen von der Flachengleichheit auf die 
Gleichheit von Strecken geschlossen wird, iinrner das oben erwahnte 
fiinfte Axiom auffcritt, das, wenn man die Flachengleichheit durch 
Summation definiert, sich in folgendem Prinzipe ausspricht: 

7; Wenn ein Polygon in irgend einer Weise in Teile zerlegt wird ; 
so ist es, wenn man einen dieser Teile wegiaBt, nicht moglich, die 
iibrigen so anzuordnen, daB sie das Polygon vollstandig bedecken." 

Dieses Prinzip bildet, wenn man es als unmittelbar einleuchtend 
annimmt, ein Postulat, und E. De Paolis hat es auch in seinen Ele- 
menten ausdriicklich als solches ausgesprochen 104 ). Die italienischen 
Geometer pflegen es ausdriicklich das De Zoltsche Postulat zu nenuen. 

DaB dieses Postulat uberfliissig ist, d. h. daB dieser Satz aus 
der Gesamtheit aller in den vorstehenden Nunimern untersuchten An- 
nahmen folgt, ist leicht zu erkennen, wenn man die allgemeine 
modeme Auffassung des FlachenmaBes als der Grenze einer Summe 

100) Des methodes dans les sciences de raisonneinent, Paris 1865 68, 2, im 
besondern die Kapitel 1 und 5 und die Note uber die Flachengleichheit, p. 445. 

101) Die Benutzung dieses Axioms ist notig, wie D. Hilbert hervorgehoben 
hat (vgl. Nr. 43). 

102) Elementi di geometria. 

103) Principii della eguaglianza di poligoni (equivalenza di poligoni) prece- 
duti da alcuni cenni critici sulla teoria della equivalenza geometrica, Milano 1881 ; 
Principii della eguaglianza di poliedri e di poligoni sferici, Milano 1883. 

104) Elementi di geometria, Torino 1884, p. 281. 

Encyklop. d. math. Wiasensch. UL 1. 4 



50 III A B 1 . F. Enriques. Prinzipien der Geometric. 

von Quadraten zu Hilfe nimmt; in der Tat wird dann das De 
Prinzip zu einer Folge des fundamentalen Satzes fiber die Existenz 
des Integrals, wie dies W. Killing 105 ) (1885) hervorgehoben hat. 

Aber ein direkter und elementarer Beweis dieses Prinzips ist 
das erste Mai von F. Schur w6 ) (1892) geliefert worden, dann auf 
verschiedene Weise von 0. Ratisenberger 1 ) (1893), von G. Veronese) 
(1894/95), von L. Gerard 109 ) (1895) und von G. Laeeeri 1 ) (1895). 

Also ergibt sich als elemental* bewiesen: 

Die .Tlieorie der Gleichheit der ebenen Poly gone harm entivicltelt 
werden, tvenn man die Gleichheit als Zerlegbarkeit in kongruente Teile 
definiertj dhne daft den Postulaten des Einanderangelwrens , der Kon- 
gruens und der Anordnung (das Stetigkeits- oder das Archimedische 
Postulat inbegriffen) ein anderes hinzuzufiigen ist. 

Gehen wir nun zu den Flachen von Jcrummliniger Begrenzung iiber. 

Hier ist das fur den Vergleich der Polygone angenommene ele- 
mentare Kriterium nicht anwendbar, denn ein Satz von M. Rethy 111 ) 
stellt die Bedingungen auf, die erfullt sein miissen, damit zwei 
gleiche Flachen sich in eine endliche Zahl kongruenter Teile zer- 
legen lassen, und diese Bedingungen werden ira allgemeinen, z. B. bei 
einem Kreise und einem Quadrate von gleicheni Inhalt, nicht erfullt. 

Die allgemeine Theorie des Flacheninhalts erfordert also, daB 
man entweder auf das Exhaustionsverfahren zuriickgreift, das von 
den Alten zur Bestimmung der Flache des Kreises, des Parabel- 
abschnitts usw. angewandt worden ist 112 ), oder auf das moderne Ver- 
fahren der Integralrechnung (I A III, Pringsheim, Nr. 11). 

Jedoch gilt auch fiir Flachen von krummliniger Begrenzung das 



105) Nicht-Euklidische Raumformen, Leipzig 1885; naheres in der Einfiihrung 
in die Grundlagen der Geometric 2, Paderborn 1898, p. 24 f. 

106) Dorpat. Naturf. Ges. Ber. 1892. Erganzungen bei G. Biasi, Ancora sulla 
equivalenza dei poligoni (Riv. di mat. 9 (1899), p. 85). 

107) Das Grundproblem der Flachen- und Rauminhaltslehre,, Math. Ann. 42 
(1893), p. 275. 

108) Dimostrazione della proposizione fondamentale dell equivalenza delle 
figuri, Ist. Ven. Atti (7) 6 (189495). 

109) Sur le postulat relatif a 1 equivalence des poligones considere cornme 
corollaire du theoreme de Varignon, Paris Bull. Soc. math. 23 (1895), p. 268. 

110) Sulla teoria dell equivalenza geometrica, Riv. di mat. 1895, fasc. 3 4 
und 56. 

111) Endlich-gleiche Flachen, Ung. Ber. 1890, 16. Juni; Math. Ann. 38 (1891), 
p. 145. 

112) Eine kritische Entwicklung dieses Exhaustionsverfahrens bei den ele- 
mentarsten Flachenfragen findet sich in den Elementi di geometria von F. Enri 
ques und U. Amaldi, Bologna 1903, zweite Auflage 1905. 



10. Flacheninhalt nnd Rauminhalt. 51 

fur die Polygone erhaltene Resultat, das wir jetzt in folgender Weise 
aussprechen konnen: 

Die Postulate des Einanderangeliorens , der Kongruenz und der 
Anordnung (das Stetigkeits- oder das Archimedische Postulat inbe- 
griffen) liaben zur Folge, dap, wenn man die Gleichlieit als Zerlegbar- 
keit in eine endliclie oder unendliclie Zahl kongrmnter Teile defmiert, 
ebene Flaclieninlialte als eine Klasse von Gropen betraclitet werden konnen. 

B. Nun wenige Worte iiber den Rauminlialt. 

Euklid behandelt die Volumina in analoger Weise wie die 
Flachen als GroBen. Das schliefit eine Voraussetzung ein, die man 
durch das auf die Volumina ubertragene De Zoltsche Prinzip aus- 
driicken kann. Aber auch hier gelingt ein elementarer Beweis dieses 
Prinzips durch eine Erweiterung der oben angefiihrten Beweise fur 
die Ebene; diese Erweiterung ist von Rausenberger 1 1 } und Gerard m ) 
kurz angegeben worden und findet sich bei Veronese 108 ) in ihren 
Einzelheiten ausgefiihrt. 

Es folgt also, daB auch die Theorie der Gleichkeit im Raum sich 
auf der gewohnlichen Definition ohne Hinzufiigung ernes besondern 
Postulats aufbauen Ia6t 113 ). 

Aber wenn man die Gleichheit der Polyeder studiert, so tritt die 
neue Frage auf, ?; ob zwei Polyeder von gleichem Rauminhalt in eine 
endliche Zahl kongruenter Teile zerlegt werden konnen". Die frucht- 
losen Versuche, eine solche Zerlegung bei dem Tetraeder zu erhalten, 
und eine Bemerkung G. Sforzas lu ) lieBen erwarten, daB die Ant- 
wort auf diese Frage im allgenieinen negativ sein werde. Und dies 
ist neuerdings von M. Dehn llb ) bewieseii worden. 

Bevor wir diese Nummer schlieBen, wollen wir noch zwei 
Fragen beriihren. 

1) Das Verlialtnis der Theorie des Fldclieninlialts (und des Eaum- 
inlialts) zu dem Parallelenpostulat. 

Das Prinzip, daB man die Flachen- und Rauminhalte als GroBen 
betrachten kann, ist von deni Parallelenpostulat unabhangig, da es 
sich auch bei der nicht-Euklidischeu Annahme aufstellen lafit. Aber 
alle Satze iiber Flachengleichheit hangen direkt von der Annahme 
ab, die man fiber die Parallelen macht. Die von G-aufl, Botyai, Lobat- 

113) Vgl. auch S. 0. Schatunovsky, Uber den Rauminhalt der Polyeder, Math. 
Ann. 57 (1903), p. 496. 

114) Un osservazione sulF equivalenza dei poliedri per congnienza delle 
parti, Biv. di mat. 7 (1897), p. 105. Vgl. auch E. Bricard, Nouv. Ann. (3) 15 
(1896), p. 331. 

115) Math. Ann. 55 (1902), p. 465. 



52 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geoinetrie. 

schefskij entwickelte nicht-Euklidische Theorie des Flacheninhalts fiihrt 
zu der Erkenntnis, daB der Inhalt eines Dreiecks durch die Differenz 
zwischen seiner Winkelsumme und zwei Rechten (in der hyperbolischen 
Geometric als Defekt) gegeben ist, woraus z. B. die Existenz einer 
oberen Grenze fur den Inhalt eines Dreiecks folgt (Gaufl, Brief an 
Ch. L. Gerling vom 16. Marz 1819, Werke 8, p. 181 5 vgl. Nr. 9). In 
der elliptischen Geometrie wird es ein ExzeB. 

Hinsichtlich der den Rauminhalt betreffenden Probleme der nicht- 
Euklidischen Geometrie vergleiche man Lobatschefskij (FuBnote 88). 

2) VerMltnis der Theorie des Flacheninhalts zu dem ArcMmedi- 
schen Postulat. 

Bei dem oben skizzierten Aufbau der elementaren Theorie der 
Flachengleichheit und auch bei den gewohnlichen Entwicklungen der 
Integralrechnung wird das Archimedische Postulat gebraucht. Nun 
hat D. Hilbert 116 ) gezeigt, daB man ein MaB der polygonalen Flachen 
unabhangig von diesem Postulate erhalten kann; allerdings lassen sich 
dann zwei Polygone von gleichem Flacheninhalt nicht rnehr stets in 
eine endliche Zahl kongruenter Teile zerlegen (vgl. Nr. 43). 

11. Neue Entwicklungen zur Proportionentheorie im Sinne 
der Alten. Bei Euklid finden sich mehrere Satze, die zweinial be- 
wiesen werden, einmal mit Hilfe der Flachengleichheit, das andere Mai 
mit Hilfe seiner arithmetischen Theorie der Proportionen (wir nennen 
diese Theorie arithmetisch, weil der von EuTdid gebrauchte Begriff 
des Ad^og, wie wir schon bemerkten (Nr. 7), genau dem modernen Zahl- 
begriff entspricht). H. Gr. Zeuflien erblickt hierin den letzten Rest 
eines gewissen Kampfes, der zwischen diesen beiden Behandlungs- 
weisen der Aufgaben bestehen niuBte, bis in der arithmetischen Pro 
portionentheorie (von den unmittelbaren Vorgangern EukUds) die 
Schwierigkeiten iiberwunden waren, die mit dem Falle eines inkom- 
mensurablen Verh altnisses zusammenhangen. Im Anschlusse an Euldid 
erhielt dann die arithmetische Methode der Proportionen endgultig die 
Oberhand. 

Jedoch sind die Entwicklungen, welche darauf ausgehen, die 
Geometrie von den Betrachtungen des Zahlbegriflfes zu befreien, in 
unseren Tagen wieder aufgenonirnen worden, und es ist in der Tat 
gelungen, eine rein geometrische Theorie der Proportionen zwischen 
Strecken aufzustellen. 

Die Satze, die einer solchen Behandlungsart zu Grunde liegen 
konnen ; sind: 



116) Grundlagen, 20, 21. 



11. Neue Entwicklungen zur Proportionentheorie im Sinne der Alten. 53 

1) der Satz von Tliales: die Proportionality der Strecken, die 
auf den beiden Schenkeln eines Winkels von parallelen Geraden ab- 
gescbnitten werden: 

2) die Flachengleichheit zweier Dreiecke (oder Parallelograrnme), 
die einen Winkel gemeinsam haben und in denen die diesen Winkel 
einschliefienden Seiten umgekehrt proportional sind. 

Legt man den einen oder den anderen Satz einer Definition der 
Proportion zwischen Strecken zu Grunde, so driicken sich die funda- 
mentalen Eigenschaften der Propoi*tionen in Beliauptungen i iber den 
Parallelismus oder uber die Flaclmiyleicliheit aus, und diese miissen 
also direkt bewiesen werden, ohne daB der Begriff des Verhaltnisses 
und damit des Zahlbegriffes zu Hilfe genomnien wird. 

Beide liier angedeuteten Wege haben (was moderne Unter- 
suchungen angelit) ihren Ursprung in der Ausdehnungslehre von 
H. Grafimann 111 ), wo jedoch die Strecken nicht nur in ihrer GroBe, 
sondern auch in ihrer Richtung betrachtet werden. Insbesondere 
driickt sich die distributive Eigenschaft der Multiplikation bei der 
Graftmaimschen Reclaming sofort in der Identitat der beiden auf die 
Satze 1) und 2) gegriindeten Definitionen der Proportion aus. 

Eajola Pescarini 118 ) (1876) definiert die Proportion zwischen 
Strecken mit Hilfe des Satzes von Tliales in bezug auf einen ge- 
gebenen Winkel und leitet daraus geometrisch den Satz 2) ab ? indern 
er sich auf den 35. Satz des dritten Buches von Euklid fiber die Kreis- 
sehnen stiitzt, der dort mit Hilfe des Pytliagoraisdien Satzes bewiesen 
wird; es gelingt ihni auf diese Weise, die Definition der Proportion von 
dern besonderen Winkel, von dem er ausgegangen ist, frei zu inachen. 
Er entwickelt dann einen Beweis des Satzes, daB 7 ,Streckenpaare, die 
einem dritten proportional sind, unter sich proportional sind" (die 
transitive Eigenschaft der Gleichheit von Verhaltnissen) ; aber dieser 
Beweis ist von einer Einschrankung abhangig, die man vernieiden 
kann, wenn man einen Weg einschlagt, der neuerdings von G. Vailati 1 } 
angegeben worden ist. 

E. Hoppe) hat eine geonietrische Behandlung der Proportionen 
entwickelt, die ebenfalls von dem Satze von Tliales ausgeht, insofern 



117) Ausdehnungslehre von 1844, Nr. 75 78. 

118) Studio sulla proporzionalita grafica e sue applicazioni alia similitudine 
e alia omotetia, Xapoli 1876. 

119) Di un modo di riattaccare le teorie delle proporzioni tra segment! a 
quella dell equivalenza. Atti del II. Congresso dell associazione Mathesis, 
Livorno 1902. 

120) Rein geometrische Proportionslehre, Arch. Math. Phys. 62 (1878), p. 153. 



54 III A B 1. F. Enriques. Prinzipieu der Geometric. 

zwei Streckenpaare proportional genannt werden, wenn sie die Seiten 
gleichwinkliger Dreiecke bilden. Er beschaftigt sich vor allem mit 
dem Beweise, dafi die so defmierte Beziehung nicht von dem Winkel 
abhangt, der von den beiden Streckenpaaren gebildet wird, und ge- 
langt zu diesem Beweise durch Betrachtungen im Raume (die zu dem 
Desarguesschen Satze der Ebene fiber homothetiscke Dreiecke fiihren). 
Dann fiihrt er die Transitivitat der Gleichheit von Verhaltnissen auf 
denselben Satz zuriick, und anf die Transitivitat der Gleichheit der 
Richtungen (das Parallelenpostulat) den Satz von dem zusammen- 
gesetzten VerMUnisse (wenn a : b = c : d und ft : e = d : f, so ist 
a : e = c : f). 

Endlich nimmt er den Satz 2) als Definition an und leitet daraus 
im besonderen die Vertauschbarkeit der Mittelglieder in einer Pro 
portion ab 121 ). 

Bei dieser Hoppeschen Behandlungsweise gelingt es also bis auf 
diese Vertauschbarkeit der Mittelglieder, die Theorie der Proportionen 
aufzustellen , indem man sich auf die Eigenschaften der Parallelen 
stiitzt und die Benutzung der Flachengleichheit durch Betrachtungen 
im Raume ersetzt, aber schliefilich wird auch in ihr der Begriff der 
Flachengleichheit zu Hilfe genornmen, um die Vertauschbarkeit der 
Mittelglieder darzutun. 

Diese Eigentiimlichkeit tritt iibrigens bei dem allgemeineren 
Satz von dem unregelmaftigen VerMUnisse (wenn a : I = e : f und 
1) : c = d : e, so ist a : c = d : f) wieder auf. Dieser Satz kommt 
hier auf den folgenden zuriick: 

Wenn es auf den beiden Schenkeln eines Winkels zwei Punkt- 
tripel 1, 3 ? 5 und 2, 4, 6 gibt von der Art, daB die Geradenpaare 
12, 45 und 23, 56 parallel sind, dann sind auch die Geraden 34, 61 
parallel. 

Dieser Satz und ein auf Flachengleichheitsbetrachtungen gegriin- 
deter Beweis desselben findet sich schon in den Collectanea des 
Pappus) (daher wird er im folgenden kurz Pappussclier Sats genannt). 

Ein einfacher Beweis des Pa^wsschen Satzes, der sich auf die 
Gleichheit der Peripheriewinkel im Kreise griindet und daher von dem 



121) Hoppe faBt die Sache auch noch anders an, indem er von dem Satze 2) 
ausgeht. Vgl. auch G. Biasi, Corso di lezioni sulla teoria delle proporzioni, 
autographiert, Sassari 1882. 

122) Dieser Pappussche Satz bildet einen besondern Fall des Pascalschen 
Satzes von dem einem Kegelschnitte einbeschriebenen Sechseck, III C 1, Dingeldey, 
Nr. 18, und wird daher in der neueren Literatur oft kurzweg als PascctZscher 
Satz bezeichnet. 



11. Neue Entwicklungen zur Proportionentheorie mi Sinne der Alien. 55 

Begriffe des Flacheninhalts unabhangig 1st, scheint das erste Mai 
von K. Kwpffer 199 ) (1893) entwickelt worden zu sein; ein Beweis, 
der das Rotationshyperboloid zu Hilfe nimmt, 1st von F. 5c/mr 124 ) 
(1898) angegeben worden; audere Beweise in der Ebene sind von 
D. Hilbert 1 - 5 ) (1899) gefiihrt worden. Hilbert hat iiberhaupt die ganze 
geometrische Theorie der Proportionen zwischen Strecken neu auf- 
gebaut. 

Hieraus ergibt sich fur den Desarguesschen Satz der Ebene (Nr. 20 a) 
folgendes: Dieser Satz laBt sich bekanntlich auf Grund der Postulate 
des Einanderangehorens, der Anordnung und des Parallelenpostulats 
nur mit Hilfe rauinlicher Betrachtungen beweisen. Solche raumliche 
Betrachtungen sind nun in dem hier betrachteten Zusammenhange zur 
Aufstellung des Desarguesschen Satzes der Ebene uberfliissig, da ; wenn 
die Vertauschbarkeit der Mittelglieder gegeben ist, die transitive Eigen- 
schaft der Gleichheit von Verhaltnissen und der Satz von dem zu- 
sammengesetzten Verhaltnisse auf einander zuriickkominen und daher 
der Desarguessehe Satz auf die Transitivitat des Parallelismus (das 
Parallelenpostulat) zuruckkommt. 

Ein anderes wichtiges Resultat geht aus den Betrachtungen von 
F. Sckur und D. Hilbert hervor: 

Die in der Ebene auf die Eigenscliaften der Parallelen und der 
Konymenz gegriindete geometrisclie Theorie der Proportionen zivisclien 
Strecken ist von dem Archimedisclien Postulat unabMngig. 

Wir wollen hinzufiigen, daB die Behandlung der Theorie noch 
weiter vereinfacht worden ist und zwar durch folgende Arbeiten: 

F. Schur 126 ) hat bemerkt ; dafi es geniigt, den Pap2msschen Satz in 
einem einzigen Falle, z. B. fur das einem rechten Winkel einbeschrie- 
bene Sechseck ? zu beweisen , und hat einen einfachen Beweis fiir 
diesen Fall angegeben, der sich auf den Satz stiitzt, daB die Hohen 
eines Dreiecks durch einen Punkt gehen. 

J. MoUenq) 127 ) hat einen einfachen allgemeinen Beweis desselben 
Satzes erbracht. 

B. Levi 128 ) hat den Entwicklungen, die zur Aufstellung des 
besonderen Falles des Pappusscken Satzes notig sind, der der Vertausch 
barkeit der Mittelglieder entspricht, eine elementare Form gegeben. 



123) Dorp. Naturforscherges. Ber. 1893, p. 373 f. 

124) Math. Ann. 51 (1899), p. 401. 

125) Grundlagen, 14 und Kap. 6. 

126) Math. Ann. 57 (1903), p. 205. 

127) Math. Ann. 58 (1903/4), p. 479. 

128) Per. di mat. 6 (1903) Suppl., p. 114. 



56 III AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometric. 

Die Theorie der Proportionen, von der wir hier gesprochen 
haben, ist auf das engste mit den Fragen verkniipft, die sich auf den 
Fundamentalsatz der projektiven Geometrie beziehen, vgl. Nr. 20; in 
bezug auf den Pappusschen Satz in der nicht-Archimedischen Geo 
metrie siehe naheres in Nr. 42. 

12. Schlufi der vorstehenden Untersuchung und Disposition 
der folgenden Kapitel. Die obeu gegebene (und weiterhin bis zur 
Priifung der hauptsachlichen Konsequenzen durchgefuhrte) Unter- 
suchung der Begriffe und Postulate laBt drei Gruppen geometrischer 
Eigenschaften erkennen: 

1) Eigenschaften, die mit den Begriffen ,,zwischen", ,,Seite der 
Ebene", ,,Strecke", ,,Winkel" usw. zu tun haben (Linieneigenschaften 
der Geraden die auch die Stetigkeit umfassen und Flachen- 
eigeuschaften der Ebene); 

2) das Einanderangehoren von Punkten, Geraden und Ebenen; 

3) die Kongruenz. 

In der Elementargeometrie sind diese drei Arten von Eigen 
schaften miteinander innig verbunden; sie stehen dort in eineni Ver- 
haltnisse gegenseitiger Unterordnung, so dafi man die Eigenschaften 
der einen Gruppe nicht aussprechen kann, ohne sich, wenigstens zuni 
Teil, auf Eigenschaften einer anderen Gruppe zu beziehen. Aber 
die Entwicklung der geometrischen Wissenschaft fuhrte zu einer 
Scheidung. 

Man kann diesen Vorgang wohl verstehen, wenn man (wie zuerst 
F. Klein in seinem Erlanger Programm) die verschiedenen Forschungs- 
richtungen der Geometrie durch die ihnen zugehorigen Transformations- 
gruppen charakterisiert (IIIAB4b, Gruppentheoretische Klassifikation, 
Fano). 

Zur Elementargeometrie gehort eine Gruppe von Transformationen, 
die Gruppe der Bewegungen und Umlegungen nebst den Ahnlichkeits- 
transformationen, die von Klein sogenannte ? ,Hauptgruppe" m ) 7 die 
alle oben untersuchten Eigenschaften 1), 2), 3) gleichzeitig unver- 
andert laBt. 

Man kann aber anstelle der Bewegungen allgemeinere Trans- 
formationen betrachten, die nur einen Teil jener Eigenschaften unver- 
andert lassen; man erhalt dann Geometrien, die sich nur mit diesen 
invarianten Eigenschaften beschaftigen. Im besonderen entstehen auf 
diese Weise: 

a) Die projektive Geometrie (III A B 6, projektive Geometrie, Sclioen- 



129) Erlanger Programm. 



12. SchluB cler vorstehenden Untersuchung und Disposition usw. 57 

flies), die diejenigen Eigenschaften studiert, welche der Gruppe der 
Kollineationen gegeniiber invariant sind, d. h. die aus den Postulaten- 
gruppen I und II der Nrn. 3 und 4 unter Mithinzimahme der ge- 
wohnlichen Stetigkeit hervorgehenden Eigenschaften. 

b) Die TJieorie des Kontinuums (oder Analysis situs, IE A B 3, 
Delm-Heegaard), die diejenigen Eigenschaften betrachtet, welche be- 
liebigen stetigen Transforniationen gegeniiber invariant sind. Es sind 
dies die Eigenschaften der Gruppe I der !Nr. 3, die durch eine solche 
Behandlungsweise von den besonderen Eigenschaften der Geraden und 
der Ebene abgelost werden. 

Fiigen wir diesem eine andere Betrachtung hinzu 13 ). Wenn 
man eine Gruppe von Transforniationen des Raumes in bezug auf 
irgend ein besonderes Gebilde betrachtet (indem man von dem, was 
aufierhalb dieses Gebildcs ist, absieht), so nehmen die der Gruppe 
gegeniiber invarianten geometrischen Eigenschaften eine neue, weniger 
umfassende Bedeutung an, indem sie zu einer besonderen Geometric 
auf dem Gebilde fiihren. 

Man betrachte in diesem Sinne die Gruppe der Bewegungen, 
die der Elementargeometrie zugrunde liegt, im Hinblick auf eine 
Flache; auf diese Weise entsteht eine allgemeinere Art, die metrischen 
Beziehungen der Figuren auf einer Flache zu betrachten, welche die 
(differentiate MaB-) Geometric auf den Flaclien (in der die der Abwickel- 
barkeit gegeniiber invarianten Eigenschaften betrachtet werden, III D 6 a, 
Fo/T) bildet, von der man durch Yerallgemeinerung zu der Maflgeo- 
metrie auf den melirfacli ausgedelmten Mannigfaltigkeiteri (III D ; Stackel) 
und im besonderen aiif den Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen 
gelangt. Diese Geometric umfaBt die Eigenschaften der Kongruenz 
(3), die im Hinblick auf die elementaren Eigenschaften der Analysis 
situs (1), aber unabhangig von den Begriffen der Geraden und der 
Ebene definiert werden. 

Ein AbstraktionsprozeB, der sein Gegenstiick in der Erweiterung 
der urspriinglichen Transformationsgruppe findet, fiihrt also von der 
Elementargeometrie auf drei allgemeinere Zweige geometrischer TJnter- 
suchungen, die man in ihrem gegenseitigen Abhangigkeitsverhaltnis 
durch das folgende Schema darstellen kann: 

Theorie des Kontinuums (Analysis situs), 
(Projektive Geometric, 
lAllgenieine MaBgeometrie auf den Mannigfaltigkeiteu, 

Elementargeometrie. 



130) Vgl. F. Enriques, Conferenze di geometria Nr. 28, p. 124. 



58 III A B 1. F.Enriques. Prinzipien der Geometric. 

Die zu den genannten drei Zweigen gehorigen Eigenschaften 131 ) 
konnte man in folgender Weise mit drei Gruppen von Empfindungen 
verkniipfen: 

Eigenschaften, die mit dem allgemeinen Tast- und Muskelgefiihl 
zusammenhangen, 

Optische (deskriptive) Eigenschaften, 

Mechanische (metrische) Eigenschaften im Hinblick auf ein be- 
Bonderes, mit Bewegungsfahigkeit ausgeriistetes Tastorgan. 

Nun kann man das System der Geometrie in doppeltem Sinne 
durchlaufen: 

Entweder man beginnt mit der Elementargeometrie, erhebt sich 
dann auf der einen Seite zur projektiven Geometrie, auf der anderen 
Seite zur MaBgeometrie auf den Mannigfaltigkeiten und endet niit 
der Analysis situs. 

Oder man beginnt umgekehrt mit der Theorie des Kontinuums 
und steigt von da zur projektiven Geometrie oder zur MaBgeometrie 
auf den Mannigfaltigkeiten und endlich zur Elementargeometrie herab. 

Der Abstieg von der Analysis situs zur projektiven Geometrie 
wird dabei dadurch gegeben sein, daB man ein besonderes System 
von Kurven und Flachen (mit geeigneten Eigenschaften) gegeben 
denkt, die man als gerade Linien und Ebenen bezeichnet [Klein, 
im AnschluB an v. Staudt, Math. Ann. 6 (1872/73), p. 112, und Er- 
langer Programrn, p. 32]. 

Der Abstieg von der Analysis situs zur allgemeinen MaBgeometrie 
geschieht, indem man eine gewisse Mafioperation (das MaB einer 
Linie oder der Entfernung zweier Punkte usw.) mit bestimmten Eigen 
schaften gegeben denkt (Eiemann) oder indem man ein gewisses 
System von Linien und Flachen (z. B. geodatische Linien usw.) mit 
Bezugnahme auf die genannte MaBoperation als gegeben annimmt. 

Der Abstieg von der projektiven Geometrie zur Elementargeo 
metrie geschieht dadurch, daB man bei der MaBbestirnmung ein Ge- 
bilde zweiten Grades auszeichnet (Cayley, Klein). Wenn man ins- 
besondere zur Euklidischen MaBbestimmung kommen will, so bildet 
die affine Geometrie eine Zwischenstation (Moebius, Grafimanri). 



131) W. Fiedler und F. Klein haben zunachst diesen Unterschied zwischen 
deskriptiven und metrischen Eigenschaften bemerkt. Enriques hat ihn durch eine 
besondere Untersuchung der Daten der physiologischen Psychologic zu beweisen 
versucht und 1st dazu gefuhrt worden, die Eigenschaften der Theorie des Kon 
tinuums mit dem allgemeinen Tast- und Muskelgefiihl, der gemeinsamen Grund- 
lage der besonderen Empfindungen, zu verkniipfen; vgl. Art. 1 in den Question! 
und Rivista filosofica di Pavia 1901. 



13. Vorbemerkung. 59 

Der Abstieg von der allgeineinen MaBgeometrie der Mannig- 
faltigkeiten zur gewohnlichen oder auch nicht-Euklidischen Elementar- 
geometrie des Raurnes geschieht, indeni man der angenommenen MaB- 
operation besondere Bedingungen auferlegt (z. B. die Homogenitat 
und Isotropie des Raurues, den Charakter der Bewegungsgruppe 
Riemann, Beltrami, Schlafli, Lie, Schur, vgl. Abschn. Y B). 

In den folgenden Kapiteln w alien ivir den ziveiten Weg durcli- 
laufen, namlich sundclist von den Grundlagen der Analysis situs nan- 
deln, um dann auf der einen Seite durch die projektive Geometric, auf 
der anderen Seite durch die allgemeinen Mafibestimmungen zur Ele- 
mentargeometrie lierdbzusteigen. 



II. Priuzipien der Theorie des Kontinuums. 

13. Vorbemerkung. Die Prinzipien der Theorie des Kontinuums 
(vgl. Ill AB 3, Delm-HeegaanT) sind von geometrischer Seite nur erst 
zum Teil in Untersucliung gezogen worden 132 ). Aber andere Unter- 
suchungen dieser Art kniipfen an die analytischen Fragen der Dar- 
stellung der Linien und Flachen (vgl. Ill A B 2, v. Mangold?) und 
an die von G. Cantor begriindete Mengenlelire (I A 5, Sclwenflies) an, 
und Cantors neuere Arbeiten 133 ) erstrecken sich zum Teil direkt auf 
das Gebiet der geometrischen Prinzipien. Eine neue Wendung ist in 
cliese Untersuchungen durch die sogenannte nicht-Archimedische Geo- 
metrie hineingekonimen (Abschn. VII). 

Von den anderweitig erhaltenen Resultaten mu6 man sich folgende 
gegenwartig halten : 

1) die Moglichkeit, die Punkte einer Strecke (w) und eines 
Quadrates (x, y) umkehrbar eindeutig auf einander zu beziehen 
(Cantor), auch durch stetige, nicht eindeutig umkehrbare Funktionen 
(), y(u) (Peano) (vgl. Ill A B 2, v. Mangoldt, Nr. 8); 

2) die Unmoglichkeit, zwischen zwei Gebieten (x lf . . ., x n }, (2/ 1; ...,2/ m ) 
von verschiedener Dimensionenzahl (n ^ m) eine umkehrbar eindeutige 
stetige Beziehung herzustellen (wegen 1) und 2) vgl. I A 5 Nr. 2, 
Sclioenflies) , 

3) den Jordanschen Satz: Es sei eine gesclilossene Kurve 
x = <p(f), y = %(f) olmc melirfache Punkte, ico 9? und # endliche und 
stetige Funktionen sind, gegeben; dann serlegt sie die Ebene (xy) in ein 
inneres und in ein aufieres Gebiet (die Jordansclien Gebiete) von der 



132) Enriqiies, Palermo Rend. 12 (1898), p. 222, 

133) Math. Ann. 46 (1895), p. 481. 



60 III A B 1. F. JEnriques. Prinzipien der Geometrie. 

Art, daB ein stetiger Zug, der einen inneren und einen auBeren Punkt 
verbindet, die Kurve schneidet (vgl. Ill A, B 2, v. Mangoldt, Nr. 8); 

4) die UnterscJieidung swisclien analytischen und niclit-analytisclien 
ebenen Kurven lidngt niclit nur von der in der Ebene betrachteten Kurve 
ab, sondern auch von der Walil des Koordinatmsystems , auf das sie 
bezogen wird. 

Die Gesamtheit der analytischen Kurven der Ebene geniigt, 
wenn man die singularen Punkte ausschlieBt und nur ein endliches 
Gebiet betrachtet, in Ubereinstimmung mit dem, was uns die An- 
schauung bei dem Vergleicli der zusammen vorgestellten Linien lehrt, 
der fundamentalen Bedingung: 

Zwei Linien liaben nur eine endliclie Zalil von Punkten gemeinsam. 

Umgekehrt, wenn man die Geraden und die algebraischen Para- 
beln von der Ordnung 2, 3, . . . innerhalb eines endlichen Gebietes 
als gegeben betrachtet, so lafit sich beweisen, daB jede Linie, die im 
Hinblick auf sie der genannten Bedingung geniigen soil, in jedem 
Punkte eine Tangente (wenigstens zur Recnten und zur Linken) und 
daher eine oskulierende Parabel (von der Ordnung n = 2 7 3 7 . . .) 
hat; sie wird daher in cartesischen Koordinaten durch Funktionen 
dargestellt, die alle aufeinanderfolgenden Ableitungen (wenigstens zur 
Rechten und zur Linken) haben, und es scheint, daB diese Funktionen 
(in jedem geeignet begrenzten Bereiche) sich auch als analytisch 
werden ergeben rrmssen, wenn die gegebene Linie alle analytischen 
Linien ohne singulare Punkte in einer endlichen Zahl von Punkten 
schneiden soil. 

14. Die Linie. Der fundamentale Begriff in der Theorie des 
Kontinuums ist der der stetigen MannigfaltigJceit einer Dimension. 
Abstrakt genommen kann dieser Begriff mit dem Begriffe der Linie 
identifiziert werden, wenn man den Punkt der Linie als Element 
der Mannigfaltigkeit betrachtet und von den Beziehungen der Linie 
zu dem iibrigen Raume absieht und ebenso von irgend welchem 
(metrischen) Begriffe der Lange der Strecken (oder Bogen) der Linie. 
Es werden also nur diejenigen Eigenschaften der Linie in Betracht 
gezogen, welche mit der geometrischen Bestimmung der Linie durch 
die Bewegung eines Punktes verkniipft sind: die naturlichen Ordnungen 
der Punkte der Linie und ihre Stetigkeit, die Strecken (4 II ) usw. 

Will man die Eigenschaften, die eine Mannigfaltigkeit einer Di 
mension oder eine in dem oben genannten Sinne vom Standpunkte 
des Kontinuums aus betrachtete Linie charakterisieren, in ein logisches 
System bringen, so ist es zweckmaBig, sich zunachst auf einen be- 



14. Die Lime. 61 

stimmten Fall zu beziehen, indem man z. B. als Typus die doppel- 
pmiktfreien , offenen (d. h. nicht begrensteri) Linien nimmt und als 
elementare MannigfaltigJceiten i\ diejenigen bezeichnet, welche den er- 
wahnten Bedinguugen entsprechen. 

Man kann die fundamentalen Eigenscliaften einer v 1 formulieren, 
indem man die i\ entweder als icerdend oder als fertig vorUegend be- 
trachtet. Und man hat dann die in Nr. 4: ausgesprochenen Postu 
late fiir die Gerade und das Stetigkeitspostulat in der Weierstrafischen 
oder der Declekindschen Form (Nr. 7) auszusprechen. Diese Annahmen 
konnen in der Aussage zusammengefaBt werden, daB sie der v x zwei 
stetige und einander entgeyenyesetzte Ordnungen erteilen. 

Es entsteht nun die Frage, ;; ob diese Annahmen geniigen, um die 
Punkte der t\ auf das Kontinuurn der numerischen Variablen x oder 
auf die gewohnliche geradlinige Strecke (die Endpunkte ausgeschlossen) 
abzubilden", d. h. ob sie zur Einfiilmmg der Koordinaten geniigen. 

B. J&emafm* 84 ), bei dem der Begriff des Kontinuunis einer Di 
mension sich zum ersten Male in seiner ganzen Allgenieinheit findet, 
betrachtete dies als ohne weiteres einleuchtend ? insofern er die kon- 
tinuierliche Variation eines erzeugenden Elementes der v niit dem 
Verlaufe der Zeit in Yerbindung brachte. 

Man hat bald hervorgehoben ; daB in dieser Annahme ein Postulat 
enthalten ist 135 ). 

Die Formuliemng dieses Postulats ist leicht, wenn man in der v l 
die Vergleichbarkeit der Strecken (die Kongruenz) wenigstens fiir den 
Fall als gegeben annimnit ; daB die Strecken einen gemeinsanien End- 
punkt haben und auf entgegengesetzten Seiten von ihrn liegen. Sieht 
man aber von solchen Kongruenzbeziehungen ab, so geniigt es ? die 
Mogiichkeit vorauszusetzen, daB irgend ein Verfahren gestattet ? 

in der v erne abzalilbare Pmiktmenge G 211 konstruieren , so dafi 
jeder Punkt der v t ein G-renzpunld von G ist. 

Mit Hilfe dieses Postulats bestimmt G. Cantor 156 ) den Begriff 
der i\ in der Weise, daB sie auf das Zahlenkontinuum abbildbar ist. 

Wir bemerken dazu ; daB dieses Cantorsche Postulat innerhalb der 
v t eine ausgezeichnete Menge G einfiihrt; aber die Anschauung der 
an siclij abgesehen von dem Kongruenzbegriff, betrachteten i\ gibt uns 
iiber die Konstruktion dieser Menge nichts an. Daher halten wir den 
Begriff der v fur allgemeiner als den des Zahlenkontinuums (vgl. in 
der Tat die nicht-Archimedischen Theorien, Abschn. VII). 

134) Habilitationsvortrag I 2. 

135) Vgl. Klein, Math. Ann. 6 (1872/73), p. 132, 143, 144. 

136) Math. Ann. 46 (1895), p. 481. 



62 III A B 1. F. Enriqucs. Prinzipien der Geometrie. 

Wir werden spater sehen, dafi die Frage der Einfiihrung der 
Koordinaten in der i\ durch die Betrachtung der v 1 in einer Mannig- 
faltigkeit von zwei Dimensionen neues Licht erhalt. 

Den Begriff der begrmzten Mannigfaltigkeit einer Dimension oder 
der fur sich betrachteten linearen Strecke kann man nunmehr durch 
geringfugige Abanderungen der voraufgehenden Satze aufstellen, da 
man bemerkt, dafi aus einer linearen Strecke durch Entfernung der 
Endpurikte eine offene, nicht begrenzte Linie wird. 

Der allgemeinere Begriff einer Mannigfaltigkeit einer Dimension 
oder einer Linie 1 aBt sich auf die vorhergehenden zuriickfiihren, da 
man eine Linie im allgemeinen als die Vereinigung mehrerer Strecken 
betrachten kann, die an den Endpunkten in geeigneter Weise ver- 
bunden sind. 

Vereinigt man im besonderen die Endpunkte zweier Strecken, so 
erhalt man eine geschlossene Linie. 

Die Postulate, die in der Theorie des Kontinuums die Eigen- 
schaften der geschlossenen Linie F t charakterisieren, kann man bei 
Betrachtung der ^verdenden Figur direkt aufstellen, wenn man fol- 
gendes annimmt: 

Die Elemente einer geschlossenen V konnen in einer natiirlichen 
zyklischen Anordnung in dem einen oder dern andern Sinne vorgestellt 
werden, und zwar in folgender Weise: 

1) 1st irgend ein Element der V gegeben, so existiert eine 
natiirliche Ordnung der V lf die einen bestimmten Sinn und ein erstes 
Element A besitzt, in der 

a) von zwei Elementen S und C iminer das eine, z. B. J5, dem 
anderen, dem 0, vorangeht (und alsdann C auf B folgt), 

b) wenn B dern C vorangeht und C dem D vorangeht, inimer 
B dem D vorangeht, 

c) zwischen zwei Elementen B uud C unendlich viele Elemente 
existieren, 

d) kein letztes Element existiert. 

2) Die beiden natiirlichen Ordnungen der F 17 die dasselbe erste 
Element und entgegengesetzten Sinn haben, sind Umkehrungen von 
einander. 

3) Wenn drei Elemente P lf P 2 , P 3 in einer der natiirlichen Ord 
nungen auf einander folgen, so folgen in einer anderen Ordnung von 
demselben Sinn P 19 P 2 , P 3 oder P 2 , P 3 , P l oder P 3 , P 1? P 2 auf 
einander 137 ). 

137) Vgl. F. Enriques, 1st. Loinb. (2) 27 (1894), p. 550, und Vorlesungen iiber 
projektive Geometrie 1903, p. 23. 



15. Flachen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen. 63 

Diesen Postulaten ist noch das engere (das Cantorsche) Stetig- 
keitspostulat hinznzufiigen (Nr. 7). 

Bei Betrachtung der fertigen Figur konnen die Postulate fiir die 
geschlossene Linie aufgestellt werden, wenn man als primitiven Begriff 
den Begriff ,,sich trennender Paare" annimmt 138 ). Man postuliert dann: 

Vier Elemente der V 1 kann man nur in einer Weise in sich 
trennende Paare zerlegen. 

Wenn die Paare AB, CD und AC, BE sich trennen, so trennen 
sich auch die Paare CD, BE und AC, ED. 

Dann kann man die natiirliche Ordnung der F 1; die A zum 
ersten Elemente hat und in der zwei Elemente B und C auf einander 
folgen, definieren. 

Den genannten Postulaten iiber die sich trennenden Paare ist 
noch das Stetigkeitspostulat in einer geeigneten Form hinzuzufugen. 

Es sei noch bemerkt, daB ohne dieses Postulat die vorstehenden 
Postulate auch auf den Fall einer offenen Linie Anwendung finden 
konnten. 

15. Flachen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen. 
Wie die Linie als der Typus der Mannigfaltigkeit einer Dimension 
angesehen werden kann, so fiihren die Fldclie und der Rauni, abstrakt 
betrachtet, auf die Begriffe der Mannigfaltigkeiten ziceier und dreier 
Dimensionen, uud von diesen aus gelangt man durch Verallgememe- 
rung zu dem Begrifie der Mannigfaltigkeit von melireren (n) Dimen 
sionen. 

Es ist schwer zu sagen, wem in Wahrheit die Prioritat dieses all- 
gemeinen Gedankens zuzuschreiben ist, da es, noch bevor dieser Gedanke 
als eine Richtung geometrischer Forschung erscheint, z. B. bei Lagrange 
vorkonimt, daB die Mechanik mit einer Geometric von vier Dimensionen 
verglichen wird. Der fundamentale Gedanke, um den es sich hier 
handelt, besteht in einer Erweiterung des Begriffes der zweifachen 
oder dreifachen Ordnung, in welcher die Punkte einer Flache oder 
die Punkte des Raumes gedacht werden konnen, zu einer vielfaclien 
Ordnung. So kann man, wahrend die Punkte auf einer Linie geordnet 
sind, durch Bewegung der Linie eine Flache und durch Bewegung der 
Flache einen Korper oder den gesamten Raum erzeugen. 

Die Moglichkeit einer solchen Verallgemeinerung wurde z. B. von 
Herbart angedeutet, dessen philosophische Ansichten, wie bekannt, 



138) G. Vailati, Riv. di mat. 5 (1895), p. 75. Vgl. M. Fieri, Torino Atti 
30 (1895), p. 607, und 31 (1896), p. 381, 457; G.Vailati, Riv. di mat. 5 (1895), p. 183; 
A. Padoa, Riv. di mat. 6 (1896), p. 35; M. Pasch, Math. Ann. 48 (1896), p. 111. 



64 IIIABl. F.Enriques. Prinzipien der Geometric. 

einen starken EinfluB auf den Gedankengang Grrafimanns und Eie- 
manns ausgeiibt haben. In mathematischer Form finden wir den Be- 
griff der mehrdimensionalen Mannigfaltigkeit bereits im Jahre 1843 
bei A. Cayley vollig entwickelt vor 139 ). Wir finden dann, da6 H. Graft- 
mann 140 ) ini Jahre 1844 die Idee ernes allgemeineren Begriffes, der 
den des Raumes umfaBt, ausdriicklich ausgesprochen hat. Hierzu 
benutzt er eine Verallgemeinerung der Yektorensummierung, fur die 
das kommutative Gesetz gultig ist. Der so hergestellte Begriff der 
extensiven GroBe enthalt jedoch etwas mehr, als dem reinen Begriffe 
der Mannigfaltigkeit in der Theorie des Kontinuums zukommt. 

In einer durchaus allgemeinen Weise wird der Begriff der Mannig 
faltigkeit von mehreren Dimensionen von 1$. Eiemann 141 ) mit Hilfe 
einer rekurrenten genetisclien Definition aufgestellt. Eiemann betracntet 
eine Mannigfaltigkeit v n von n Dimensionen als eine Klasse von Ele 
na enten, die sich in unendlich viele Mannigfaltigkeiten v n _ 1 von n 1 
Dimensionen derart verteilen lassen, daB deren Gesaratheit als eine 
Mannigfaltigkeit von einer Dimension betrachtet werden kann, so daB 
jedes Element der v n einer v n _ 1 angehort. 

Nimmt man den einfachsten Fall, so wird eine Mannigfaltigkeit 
von zwei Dimensionen als durch unendlich viele Mannigfaltigkeiten 
von einer Dimension erzeugt erscheinen, deren Gesamtheit eine Mannig 
faltigkeit von einer Dimension bildet. Diese Definition entspricht 
genau der oben erwahnten Tatsache ; daB eine Flache (d. h. eine 
Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen, deren Elemente Punkte sind) 
als durch die Bewegung einer Linie erzeugt betrachtet werden kann 
in der Weise, daB die Aufeinanderfolge der erzeugenden Linien eine 
Mannigfaltigkeit von einer Dimension bildet, deren Elemente Linien 
sind 5 dadurch werden die Punkte der Flache, so zu sagen, in eine 
doppelte Ordnung gebracht. 

Nehmen wir z. B. eine einfach zusammenliangende, offenej d. i. nicht 
~begrenzte Flactie, die wir als Typus derjenigen betrachten, die wir 
elementare Mannigfaltigkeiten von zwei Dimensionen nennen und mit 
v 2 bezeichnen wollen. 

Die Erzeugung der Flache, von der Eiemann ausgeht, fiihrt dazu, 
auf ihr ein Btischel erzeugender Linien und ein Biischel von Leitlinien, 
die von den Punkten der erzeugenden beweglichen Linie beschrieben 
werden, zu betrachten. Daher wird man die Definition einer v 2 im 

139) Cambr. math. Journ. 4 (1845), p. 119, abgedruckt: Coll. math. pap. 1, p. 55. 

140) Die lineale Ausdehnungslehre , Leipzig 1844, 2. Aufl. 1878; vgl. Ges. 
math, und phys. Werke, hrsgeg. von Fr. Engel, Leipzig I 1 , 1894. 

141) Habitations vortrag I 3. 



15. Flachen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen. 65 

Hinblick auf swei erzeugende Buscliel elementarer MannigfaltigJieiten v 
von einer Dimension in der Weise festsetzen konnen, da8 

1) ein Element der v 2 einer i\ jedes Biischels angehort (Eigen- 
schaft des Biischels)] 

2) eine v l des einen Biischels und eine des anderen ein und nur 
cm Element gemeinsani haben; 

3) wenn mehrere i\ eines Biischels gegeben sind, diejenigen 
Elemente von ihnen, die zwei i\ des anderen Biischels angehoren, auf 
diesen in gleicher Weise geordnet sind. 

Man kann sagen, claB die beiden Biischel, die den Bedingungen 
1), 2), 3) geniigen (wenn man das Netz oder das System der beiden 
Biischel betrachtet), zu einer netzformigen Verteilung der Elemente 
der # 2 fiihren, im Hinblick auf welche die Begriffe Umgebung, Grenz- 
pimJctj umkehrbar eindeutige stetige Beziehung zwischen zwei v 2 , eine 
stetige v auf der t? 2 usw. definiert sind (vgl. Nr. 14). 

Auf diesen Grundlagen, von der gegebenen Erzeugung ausgehencl, 
kann man eine Theorie der v* entwickeln, in der die elementaren 
Eigenschaften der Zerlegung der v% in Teile durch eine auf ihr als 
existierend vorausgesetzte stetige i\ bewiesen werden. 

Aber es handelt sich hier um eine hypothetische Theorie, da kein 
Mittel vorhanden zu sein scheint, um auBer den zweierlei i\ des ge 
gebenen Netzes andere stetige v 1 auf der v 2 zu konstruieren, so lange 
wenigstens, als man nicht annimmt, daB die gegebenen erzeugenden v^ auf 
das Zahlenkontinuum bezogen werden konnen, indem man das Canjpr- 
sche Postulat von der Existenz einer ausgezeichneten Teilmenge (vgl. 
HI A B 2, v. Mangoldt, Nr. 8, 9) fur sie gelten lafit (Nr. 14). Fiigt 
man diese Amiahme hinzu, so wiirde man ofi^enbar auf der v, 2 Koor- 
dinaten einfuhren, d. h. die # 2 in umkehrbar eindeutiger Weise auf 
eine Zahlenmannigfaltigkeit (re, y) abbilden konnen. 

Aber man kann, ohne das eben erwahnte Cantorscke Postulat zu 
benutzen, einen anderen Weg zur Einfiihrung der Koordinaten ein- 
schlagen. 

Da eine Mannigfaltigkeit t? 2 nach dem allgemeinen Begriffe, den 
wir uns von ihr bilden, verschiedene Erzeugungsweisen gestattet, so 
wird man darauf gefiihrt, sich zu fragen, ob nicht die Annahme der 
Existenz zweier verschiedener Erzeugungsweisen genugt, um auf die 
Moglichkeit unendlich vieler solcher Erzeugungsweisen zu schlieBen. 
Und auf diese, in geeigneter Weise prazisierte Frage erhalt man eine 
bejahende Antwort. 

So wird man fur die v% darauf gefiihrt, den oben ausgesprochenen 
drei Satzen das Postulat hinzuzufugen: 

Encyklop d. math. Wissensch, III 1. 5 



66 III AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

4) Es existiert auf einer v 2 em drittes Biischel von auf der- 
selben v 2 stetigen v 19 die die v t der beiden erzeugenden Buschel je 
eiumal schneiden. 

1st dies gescJiehen, so Jcann man die elementare Mannigfaltig keit 
von zwei Dimensionen v 2 der Zahlenmannigfaltigkeit (x,y) in umkehrbar 
eindeutiger stetiger Weise zuordnen u2 ). 

Um von hier aus zu einer geeigneten Definition der v 2 zu kommen, 
ist nur noch ein Schritt notig. 

Die fur eine v 2 im Hinblick auf eine besondere netzformige 
Verteilung der Elemente aufgestellten Begriffe der Umgebung und daher 
des Grenzpunktes usw. sind in der Tat von dieser Verteilung unab- 
hangig, da sie dem Begriffe der v 2 selbst angehoren. Wenn man sich 
ein Netz urspriinglich gegeben denkt, so kann man auf Grund dieser 
Unabhangigkeit jedes andere Netz mit Riicksicht auf das erste de- 
finieren; aber wenn man nur die v 2 gegeben denkt, so erscheint 
diese Unabhangigkeit als eine Beziehung zwischen zwei netzformigen 
Verteilungen ihrer Elemente, und diese Beziehung bildet eineii Teil 
der Bedingungen, die zur Definition der v 2 dienen konnen. 

Man kann daher eine genetische Definition der v 2 durch die fol- 
genden sie charakterisierenden Postulate aufstellen: 

a) Die Elemente einer v 2 konnen in einer netzformigen Ver 
teilung (die den Forderungen 1), 2), 3) geniigt) angeordnet werden. 

b) Wenn es zwei netzformige Verteilungen der Elemente der v 2 
gibt und (3 eine Umgebung eines Elementes S bei einer dieser Ver 
teilungen ist, so existiert immer eine Umgebung von S bei der 
anderen Verteilung, die in a enthalten ist. 

c) Es existieren auf v 2 zwei Netze ; die eines der beiden er 
zeugenden Buschel gerneinsain haben, und wobei die ^ der beiden 
anderen Buschel sich je in einem Elemente schneiden. 

Diese Entwicklungen lassen sich leicht auf die Mannigfaltig keiten 
von n > 2 Dimensionen ubertragen; fiir die (den v<> analogen) elemen- 
taren Mannigfaltigkeiten v n muB man von einer Erzeugung ausgehen, 
die auf n erzeugende Buschel von Mannigfaltigkeiten v n _ 1 fiihrt. 
Auf weiteres brauchen wir nicht einzugehen ? da neue Schwierigkeiten 
nicht auftreten. 

Kehren wir zu dern BegriflPe der v 2 zuriick ; um uns zu fragen, 
ob er nicht im Hinblick auf die fertig vorUcgende Mannigfaltigkeit 
definiert werden kann ? indem man namlich die Eigenschaften, die 
mit dem Begriffe der Umgebung eines Elementes auf der Mannig- 



142) Vgl. Enriques, Palermo Rend. 1? (1898), p. 222. 



15. Flachen tmd Mauzrigfaltigkeiten niehrerer DirnenBionen. 67 

faltigkeit zusammenhangen, charakterisiert, ohne durch deu Begriff 
der Umgebung in bezug auf eiue netzformige Verteilung (der spater 
von dieser durch das obige Postulat unabhangig gernacht worden 1st) 
hindurch zu gehen. 

Diesem Zwecke dienen die folgenden Postulate, niit deren Hilfe 
D. Hilbert 143 ) eine Definition der v 2 gegeben hat, indem er sich auf die 
abstrakt betrachtete Ebene bezieht: 

,,Die Ebene ist ein System von Dingen, welche Punkte heifien. 
Jeder Punkt A bestiinmt gewisse Teilsysteme von Punkten, zu denen 
er selbst gehort imd welche Unigebungen des Punktes A heifien. 

,,Die Punkte einer Umgebung lassen sich stets umkehrbar ein- 
deutig auf die Punkte eines gewissen Jordanschen. Gebietes in der 
Zahlenebene abbilden. Das Jordansche Gebiet wird ein Bild jener 
Umgebung genannt. 

,,Jedes in einem Bilde enthaltene Jordansche Gebiet, innerhalb 
dessen der Punkt A liegt, ist wiederum ein Bild einer Umgebung 
von A. Liegen verschiedene Bilder einer Umgebung vor, so ist die 
dadurch vermittelte, umkehrbar eindeutige Transformation der be- 
treffenden Jordanschen Gebiete auf einander stetig. 

; ,Ist B irgend ein Punkt in einer Umgebung von A, so ist diese 
Umgebung auch zugleich eine Umgebung von 13. 

,,Zu irgend zwei Umgebungen eines Punktes A gibt es stets eine 
solche Umgebung des Punktes A y die beiden Unigebungen gemein- 
sam ist. 

,,Wenn A und B irgend zwei Punkte unserer Ebene sind, so gibt 
es stets eine Umgebung von A, die zugleich den Punkt B enthalt." 

In bezug auf diese Formulierung bernerken wir, daB in ihr als 
primitive!*, nicht definierter Begriff nicht nur der Begriff der Um- 
gebuny, sondern auch der einer getvissen Abbildimy der Umgebung 
auf ein Jordamches Gebiet, die ihr Bild genannt wird, auftritt. 
Das schliefit eine Vorsclirift iiber die Walil zwischen den unendlich 
vielen (stetigen und unstetigen) Beziehungen ein, die sich zwischen 
jenen beiden Mannigfaltigkeiten von zwei Dimensionen aufstellen 
lassen. Nun hat Hifbert eine solche Vorschrift nicht gegeben, sondern 
(neben anderen Bedingungen) die Forderung aufgestellt, daB zwei Jordan- 
sche Gebiete, die in seineni Sinne Bilder derselben Umgebung sind, in 
stetiger Beziehung zu einander stehen solleu. Aber eine solche Fordening 
laBt nicht erkennen, ob ein einzelnes auf die Umgebung umkehrbar 
eindeutig bezogenes Jordanaches Gebiet ein Bild von ihr ist oder nicht^ 



143) Gott. Nachr. 1902, p. 233; Grimdlagen, p. 122 FuBnot^e. 

5* 



68 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

wenn nicht ein besonderes Bild irgendwie als schon gegeben an- 
genommen wird. Aber diese letzte Annahme (durch welche in der 
Uingebung die netzformige Verteilung x = const., y const, an- 
gegeben ware) wiirde uns tatsachlich auf die oben angegebene Definition 
der v 2 bei Betrachtung der iverdenden Mannigfaltigkeit zuriickfiihren. 

Wir wollen nun ini allgemeinen von den irgendwie zusammen- 
lidngenden Mannigfaltiglteiten von zwei Dimensionen sprechen. 

Vor allem sind zur Definition des Begriffes der durch eine Linie 
begrenzten elementaren Mannigfaltigkeit oder Flache F" 2 nur wenige 
und geringfiigige Abanderungen dessen notig/ was fiber die offene 
Mannigfaltigkeit v. 2 gesagt worden ist. 

Den allgemeineren Begriff der Mannigfaltigkeit oder Flache von 
zivei Dimensionen und im besonderen den Begriff der geschlossenen 
Flache ohne Rander kann man aufstellen, indem man durch geeignetes 
Aufeinanderlegen von Strecken der Begrenzungslinie eine endliche 
Anzahl von v 2 vereinigt; man muB dabei hinterher von der besonderen 
Erzeugungsart absehen und also durch ein geeignetes Postulat die Be- 
ziehungen zwischen zwei verschiedenen Einteikmgen der Mannigfaltig 
keit F 2 ausdriicken. 

Die hier sich darbietende Untersuchung ist bisher als eine Frage 
der Prinzipien nicht behandelt worden; man suchte im besonderen 
nach der Definition des Geschlechts , des Zusammenlianges usw. der 
Mannigfaltigkeit. 

Wir wollen uns auf die Bemerkung beschranken, daB bei dieseni 
Gedankengange als innere Eigenschaft einer Mannigfaltigkeit von zwei 
Dimensionen oder einer Flache die Eigenschaft erscheint ; die bei den 
Flachen des gewohnlichen Raumes durch die Worte einseitig und 
zweiseitig bezeichnet wird (Umkehrbarkeit und Nichtumkehrbarkeit des 
Drehungssinnes um einen Punkt; vgl. Klein, Math. Ann. 9 (1876), 
p. 479.) 

Uber diese Betrachtungen und ihre Ausdehnung auf inehrere 
Dimensionen vgl. Ill A B 3 Delm-Heegaard. 

16. Linien auf den Flachen. Die Untersuchungen iiber den 
Begriff der Linie auf einer Flache oder auf einer Mannigfaltigkeit von 
mehreren Dimensionen (und allgemeiner fiber den Begriff der stetigen 
Mannigfaltigkeit innerhalb einer anderen Mannigfaltigkeit) lassen sich 
vor allem an diejenigen Untersuchungen G. Cantors in der Mengen- 
lehre ankniipfen, in denen er eine stetige Menge als per f eld und zu- 
sammenhdngend 1 ^) definiert hat. 

144) Vgl. den Artikel I A 5 Mengenlehre, Schoenflies, Nr. 13, 16. 



16. Linien auf den Flachen. 69 

Beschranken wir uns auf den Fall einer elementaren (vgl. Nr. 14) 
Linie auf eiaer Flache, so erhalten wir eine geeignete Definition, wenn 
wir fordern 145 ): 

1) die Existenz einer (und damit auch einer zweiten, entgegen- 
gesetzten) stetigen Ordnung innerlialb der Linie; 

2) daB, wenn ein Punkt A der Linie und eine Umgebung 6 von 
A auf der Fldclie gegeben ist, immer eine den Punkt A enthaltende 
Strecke der Linie existiert, die ganz in (5 enthalten ist. 

Von diesen beiden Bedingungen bezieht sich die erste auf die 
inneren Eigenschaften der Linie als einer v lt die zweite auf ihre 
ait/fere Eigenschaft (in bezug auf die Flache), dureh welche die innere 
Stetigkeit der Linie die Bedeutung der Stetigkeit auf der Flache an- 
nimmt. Die rationalen Punkte einer Strecke und die irratioualen 
Punkte einer anderen ihr parallelen Strecke in der Ebene konnen als 
Ganzes so angeordnet werden, da6 zwar die erste Bedingung erfiillt 
ist, diese Menge aber der zweiten Bedingung nicht geniigt. 

Man wird auch bemerken, da6 nach der Cantorschen Ausdrucks- 
weise 146 ) die Forderung 2) aussagt, da6 die Linie eine in sich diclite 
Menge ist, und daB die Forderuug 1) der inneren Stetigkeit dein 
hinzufiigt, daB diese Menge cibgesclilossen ist, so daB also beide Forde- 
rungen zusammen aussagen, daB die Menge perfekt ist; aufierdem ver- 
langt die innere Ordnung nach der Forderung 1), daB es zwischen 
zwei Punkten der Linie immer ein Intervall gibt, und dies schliefit 
die aus rnehreren unzusainmenhangenden stetigen Teilen gebildeten 
Mengen aus. 

In analoger Weise wie die elernentare stetige Linie wird man 
die gesclilossene stetige Linie (ohne Doppelpunkte) auf einer Fldclie 
dennieren konnen, und fur diese Linien wird auf einer einfach zu- 
sammenhangenden Flache der Jordansche Satz 147 ) (Nr. 13) bestehen 
und, wie Schonflies gezeigt hat, auch seine Umkehrung (vgl. Ill AB 2, 
v. Mangoldt, Nr. 8). 

Bei weiteren Untersuchungen fiber die Zerlegung der Flache durch 
Linien handelt es sich um die Frage, inwieweit diese Linien zu 
einem besonderen Linien- (oder Koordinaten-)system auf der Flache 



145) Vgl. F. Enriqiies, Conferenze di geometria 1894 95, p. 45 und Palermo 
Rend. 12 (1898), p. 222. 

146) Math. Ann. 21 (1883), p. 545, abgedruckt: Acta math. 7 (1885), p. 105. 

147) Er konnte nach der Meimmg des Referenten auf Grund der hier an- 
genommenen Definition bewiesen werden, und damit wurde gezeigt sein, daB er 
von einer besonderen Wahl der Koordinaten nicht abhangt. 



70 IIIABl. F.Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

in Beziehung stehen. Hieriiber verweisen wir auf das fur die Linien 
in der Ebene Gesagte (Nr. 15). 

Wenn also irn folgenden (z. B. wenn von den Maflbestimmungen 
Eiemanns die Rede 1st) analytisclie Linien in einer Flache (oder in 
einer Mannigfaltigkeit) betrachtet werden, so soil das heiBen, da8 
man sicli auf der Flaciie eine Familie von Linien gegeben denkt, die 
infolge der Wahl eines bestimniten Koordinatensy stems von Parainetern, 
die auf unendlich verschiedene Weise gewahlt werden konnen, analy tisch 
abhangt. 

III. Prinzipien der projektiven Geometric. 

17. Postulate in einem Baumstiick. Die 7 ,Geometrie der Lage" 
von v. Staudtj in der die deskriptiven (vgl. FuBnote 5) Eigenschaften 
der Figuren systematisch studiert werden, wiihrend die metrischen Be- 
griffe beiseite bleiben, muB als die Grundlage der Untersuchungen 
iiber die Prinzipien der projektiven Geometrie betrachtet werden. 

Die Kritik dieser Prinzipien wurde durch F. Klein 148 ) eroffnet, 
der insbesondere die Unabhangigkeit der genannten Geometrie von 
dem Parallelenpostulat dargetan hat, indem er u. a. bemerkte, da8 es 
geniigt, alle Konstruktionen der projektiven Geometrie nur in einem 
begrenzten Raumstiicke auszufuhren. 

Die Postulate der projektiven Geometrie in einem begrenzten 
Raumstiicke sind dann von M . Pasch 149 ) in streng logischer Fassung 
aufgestellt worden. 

Sind die Betrachtungen anfangs nur fur ein in geeigneter Weise 
begrenztes Raumsttick (z. B. fur das Innere eines Tetraeders oder einer 
zusammenh angenden Flache) entwickelt worden, so kann man die Gerade 
aus einer (geradlinigen) linearen Strecke ; die sich nach der einen oder 
der anderen Seite verlangern laBt^ hervorgehen lassen. Die charakte- 
ristischen Eigenschaften dieser Strecken, in der Fassung, die durch 
die Betrachtung der fertigen Figur gegeben wird (Nr. 4), wobei in- 
deB die Stetigkeit noch ausgeschlossen bleibt, und an zweiter Stelle 
die Eigenschaft, daB ;? zwei Punkte eine geradlinige Strecke be- 
stimmen", bilden den Inhalt der ersten acht Grundsatze von M. Pasch. 
Auf diese Postulate von der Geraden folgen vier Postulate von der 
Ebene (oder besser von der ebenen Flache), die sich auf folgende Eigen 
schaften beziehen: Bestimmung der Ebene durch drei nicht in einer 



148) Gott. Nachr. 1871, p. 419; wieder abgedruckt Math. Ann. 4 (1871), 
p. 573; ferner Math. Ann. 6 (1873), p. 112; 7 (1874), p. 531; 17 (1880), p. 52. 

149) Neuere Geometrie ; vgl. G. Peano, Principii. 



17. Postulate in einein Raumstuck. 71 

Geraden liegende Punkte; ihre Eigenschaft, die geradlinige Strecke 
zu enthalten, die zwei beliebige ihrer Punkte verbindet; zwei Ebenen, 
die einen Punkt gemeinsam haben, haben wenigstens noch einen 
anderen Punkt gemeinsam; eine Gerade, die in der Ebene eines 
Dreiecks ABC liegt und eine seiner Strecken, Seiten, trifft, trifft 
noch eine andere dieser Strecken (diese Eigenschaft sagt im wesent- 
lichen aus, daB ,,die Gerade die Ebene in zwei Teile zerlegt", und setzt 
also fest, daB die Ebene eine Flache ist, auf der die Gerade eine 
Linie ist (vgl. Nr. 8). 150 ) 

In den genannten Postulaten erscheinen die Begriffe der gerad- 
linigen Strecke und der ebenen Flache als primitiv (einpirisch ge- 
geben). 

150) Diese Postulate sind ubrigens den Postulaten I der Xr. 8 und II der 
Nr. 4 gleichwertig. Wenn man ihnen das Dedekindscke Stetigkeitspostulat in 
der oben (Nr. 7) angegebenen deskriptiven Form hinzufugt, so erhalt man das 
vollstandige System der deskriptiven Postulate fur ein Raumstuck. 

SchlieBt man sich der von G. Peano (Riv. di mat. 4 (1894), p. 51) vor- 
geschlagenen Reduktion des Begriffes der Ebene an, so konnen die genannten 
Postulate, abgesehen von der Stetigkeit, wie folgt formuliert werden: 

1. Es gibt unbegrenzt viele Elemente, die wir Punkte nennen. 

2. Irgend zwei von einander verschiedene Punkte bestimmen eindeutig eine 
Klasse von unbegrenzt vielen Punkten, der sie selbst angehoren und die Strecke 
genannt wird. Irgend zwei Punkte einer Strecke bestimmen eine andere Strecke, 
deren Punkte der ersten angehoren. 

3. Jede Strecke AB bestimmt zwei andere Klassen von Punkten, ihre Ver 
langerungen uber B resp. A hinaus, derart daB jeder Punkt der ersten resp. 
zweiten Klasse mit A resp. B eine Strecke bestimmt, der B resp. A angehort. 
Ist C ein Punkt der Strecke AB, so fallt die Verlangerung von CB uber B 
hinaus mit derjenigen von AB uber B hinaus zusammen und die Verlangerung 
von A C iiber C hinaus besteht aus der Strecke C B und ihrer Verlangerung uber 
B hinaus. 

4. Es gibt keinen Punkt, der beiden Verlangerungen einer Strecke gleich- 
zeitig angehort. 

Erste Definition: Eine Gerade besteht aus den Punkten einer Strecke 
und ihren beiden Verlangerungen. 

5. AuBerhalb jeder Geraden gibt es Punkte. 

6. Wenn A } B, C drei nicht in einer Geraden liegende Punkte sind und D 
ein Punkt der Strecke BC, ferner E ein Punkt der Strecke AD ist, dann exi- 
stiert ein der Strecke AB angehoriger Punkt F derart, daB E auf der Strecke 
CF liegt. 

7. Wenn A, B } C drei nicht in gerader Linie liegende Punkte sind, D ein 
Punkt der Strecke BC und F ein Punkt der Strecke AB ist, dann existiert ein 
Punkt, der den Strecken AD und CF gemeinsam ist. 

Zweite Definition: Die Klasse der Punkte derjenigen Strecken resp. Geraden, 
welche drei nicht in einer Geraden liegende Punkte mit den Punkten der durcb 
die beiden anderen bestimmten Strecke verbinden, heifit Dreieck resp. Ebene. 



72 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

Das durcli die erwahnten Satze definierte Raumstiick kann durch 
Einfiihrung der uneigenfliclien oder idealen Punkte zum vollen pro- 
jektiven Raum erweitert werden; dieser Gedanke erscheint als eine 
natiirliche Erweiterung der Idee, die unendlich fernen PunJcte als die 
gemeinsamen Punkte zweier Parallelen zu betrachten 151 ). 

Zu dieser Einfiihrung der uneigentlichen Punkte gelangt man, 
indem man den Begriff des 7 ,Strahlenbiindels" verallgemeinert. Wenn 
man ,,komplanar" zwei Gerade nennt, die in einer Ebene liegen, so 
beweist man (Pasch), daB, ,,wenn a, ~b zwei komplanare Gerade 
sind, die also einer Ebene a b angehoren, und wenn c, d zwei andere 
Gerade sind, von denen jede mit den a, I komplanar ist, die 
genannten Geraden c, d selbst komplanar sind", und zwar unab- 
hangig von der Existenz eines (in dem begrenzten Raurnstiicke 
gelegenen) gemeinsamen Punktes der Geraden a, b. Auf diesen Urn- 
stand grundet sich der erweiterte Begriff des Biindels, als einer Gesamt- 
heit von Geraden, die zu je zweien komplanar sind und nicht samtlich 
in einer und derselben Ebene liegen: des eigentlichen Biindels, wenn 
die genannten Geraden samtlich durch einen (eigentlichen) Punkt gehen, 
des uneigentlichen im entgegengesetzten Falle. Und hieraus entspringt 
dem urspriinglich begrenzten Raumgebiet gegenuber der Begriff des 
uneigentlichen oder idealen Punktes und dann weiter der der uneigent 
lichen Geraden und der der uneigentlichen Ebene. 

Die Einfiihrung der uneigentlichen Elernente hat zur Folge, daB 
es fur die Satze, die sich auf die Bestimmung von Geraden und 
Ebenen durch Punkte und auf ihre gegenseitigen Schnitte beziehen, 
eine Ausnahme nicht mehr gibt; andererseits modifiziert sie unsere 
Vorstellung von dem Zusammenhange der Geraden, die nach der 
Erweiterung durch die uneigentlichen Punkte nicht mehr wie eine 
offene, sondern wie eine geschlossene Linie erscheint. So wird unsere 
gewohnliche Raumanschauung modinziert, und im Gegensatz zu dem 
Begriffe des gewohnlichen Eaumes erh alt man den Begriff, den wir 
mit dem Namen vollstdndiger projektiver Raum bezeichnen wollen. 

151) G. Battaglini, Napoli Rend. 1867 oder Nouv. ann. (2) 7, p. 202, 265, 
hat bereits bemerkt, daB in der Lobatschefskijachen Geometrie die unendlich fernen 
Punkte der Geraden als durch ein ideales Gebiet hindurch verbunden betrachtet 
werden; F. Klein, Math. Ann. 6 (1872), p. 130, bemerkt, dafi die idealen Punkte 
durch Strahlenbiindel gegeben sind, und diese Bemerkung erscheint wieder bei 
G. Battaglini, Giorn. di mat. 12 (1874), p. 300. Die vollstandige Theorie der 
idealen Punkte iet sp ater von M. Pasch entwickelt worden, FuSn. 149 ; vgl. auch 
V. Reyes y Prosper, Math. Ann. 32 (1888), p. 157; M. Pasch, Math. Ann. 32 (1888), 
p. 159; F. Schur, Math. Ann. 39 (1891), p. 113; E. Bonola, Giorn. di mat, 38 
(1900), p. 105. 



18. Postulate fur den vollstandigen projektiven Raum. 73 

18. Postulate fiir den vollstandigen projektiven Baum. Zu 
dem Begriffe des projektiven Raumes kaiin man auch durch einen 
AbstraktionsprozeB von der durch das Auge vermittelten sinnlichen 
Anschauung her gelangen. Indem wir iiber eiiiige Schwierigkeiten, 
die mit einer solchen psychologischen Konstruktion zusammenhangen, 
hinweggehen, wollen wir zusehen, wie sich das Problem, die elemen- 
taren Postulate, die den projektiven Raum charakterisieren, anzugeben, 
darstellt, wenn dessen Begriff als in dem Kopfe des Mathernatikers 
ausgebildet vorausgesetzt wird 152 ). 

Hier gibt es wesentlich zwei Gruppen von Postulaten: 

a) Die Postulate, die sicli auf die Bcstimmung von Geraden mid 
Ebenm imd auf Hire gegenseitigen Sclmitte ~bezielien (Postulate des Ein- 
anderangehorens). 

Vor allem: zwei Pnnkte bestimmen eine, Gerade (eine Gesamtheit 
von Punkten), die auch durch irgend zwei ihrer Punkte bestimnit ist. 

Die (vollstandige) Ebene kann durch Projection der Punkte einer 
Geraden von einern auBerhalb gelegenen Punkte aus erzeu-gt werden. 

Es muB dann das fundamentale Postulat von der Ebene gegeben 
werden, das M. Fieri in der folgenden einfachsten Form annimmt: 
Wenn A, B, C drei nicht in einer Geraden liegende Punkte sind, so 
haben die Gerade, die durch A und einen Punkt von BC bestimrnt 
ist, und die Gerade, die durch B und einen Punkt von AC bestimmt 
ist, einen Punkt gemeinsam (vgl. FuBnote 150). 

Daraus folgt die Eigenschaft der vollstandigen Ebene (in dem 
projektiven Raume), die durch zwei ihrer Punkte bestimmte (voll 
standige) Gerade zu enthalten, und die Eigenschaft, daB ,,zwei Gerade 
der Ebene immer einen Punkt gemeinsam haben". 

Wie die Ebene durch Projektion der Geraden erzeugt wird, so 
kann der projektive Raum durch Projektion der Ebene erzeugt 
werden. Hier wird man dann ferner (wenn man zur gewohnlichen 
projektiven Geornetrie kornmen will) postulieren, daB auf diese Weise 
die Gesamtheit aller Punkte erschopft wird, indem man annimmt, daB 
.,eine Gerade und eine Ebene immer einen Punkt gemeinsam haben". 
Dieses Postulat entspricht dein anderen der Nr. 17, nach welchem (in 
dem dort betrachteten Raumstiicke) zwei Ebenen, die einen Punkt 
gemeinsam haben, noch einen anderen Punkt gemeinsam haben. Es 



152) Diesem Gedankengange gehoren an die Arbeiten von: F. Amodeo, 
Torino Atti 26 (1891), p. 741; G. Fano, Giorn. di mat, 30 (1892), p. 106; F. Enrigues, 
FuBn. 130; M. Pieri, Torino Atti 30 (1895), p. 607; 31 (1896), p. 381, 457; 32 (1897), 
p. 343; 1st. Lomb. Rend. (2) 31 (1898), p. 780, zusammengefafit in Torino Mem. 
(2) 48 (1898), p. 1. Vgl. auch H. Thienw, Progr. Oberrealschule Posen 1900. 



74 III A B 1. F. Enriqiies. Prinzipien der Geometrie. 

hat die Bestimmung, die Dimensionenzahl des Raumes auf drei zu 
beschranken. Wenn man von diesem Postulate absieht, so erzeuge 
man durch Projektion einer Ebene von einem auBeren Punkte aus 
einen projektiven Eaum von drei Dimensionen $ 3 ; dann kann man, im 
Gegensatze zu dem eben erwahnten Postulate , annehmen, da6 aufier- 
halb dieses Raumes noch ein Punkt existiert: wenn man S 9 von 

/ o 

diesem Punkte aus projiziert, so erzeugt man einen projektweft Eaum 
von vier Dimensionen $ 4 usw. 

Diese rekurrente Erzeugung der projektiven Eaume von n Dimen 
sionen S n ist von G. Veronese (III C 9, Segre, Mehrdimensionale Raume) 
entwickelt worden. Fiigt man fur den S n (wie fur den S s ) die Postu 
late hinzu, die sich auf die Linieneigenschaften der Geraden und auf 
die Flacheneigenschaften der Ebene beziehen (diese Postulate werden 
wir gleich erwahnen), so erscheint der S n als eine besondere Mannig- 
faltigkeit von n Dimensionen, deren charakteristische Eigenschaft durch 
das in geeigneter Weise zu modifizierende Postulat von der Ebene 
ausgedriickt ist. 

b) Die Postulate, die sich auf die Linieneigenschaften der Geraden 
und auf die FldcJieneigenschaften der Ebene beziehen. 

Die Gerade des projektiven Raumes ist eine geschlossene Linie, 
d. h. ihre Punkte sind in einer cyldischen Anordnung vorhanden 
(vgl. Nr. 15). 

Die Eigenschaft der Ebene, eine Flache zu sein, in welcher die 
Geraden Linien sind, kanu man (wenn man die werdende Figur be- 
trachtet) ausdriicken, indem man den projeldiven Character der cykli- 
schen Anordnung der Punkte der Geraden postuliert 153 ). Es folgt 
aus diesem Postulate in Verbindung mit dem anderen, daB ,,zwei 
Gerade einer Ebene immer einen Punkt gemeinsam haben", daB die 
projektive Ebene eine Flache mit einem Sinne ist (L. Sclilafli bei 
Klein, Math. Ann. 7 (1874), p. 550; vgl. Nr. 15, 23). Hierbei sei 
bemerkt, daB der hierin liegende Unterschied zwischen der gewohn- 
lichen metrischen Ebene und der projektiven Ebene irn Raum kein 
Analogon hat: in dem dreidimensionalen projektiven Raume gibt es 
immer ewei ineinander nicht iiberfulirbare Schraubensinne. 

19. Projektive Koordinaten. Auf Grund der Postulate der Nr. 17 
oder der gleichwertigen der Nr. 18 kann man die Punkte des pro 
jektiven Raumes durch die Yerhaltnisse von vier homogenen Koor 
dinaten (sogenannten projektiven Koordinaten) in der Weise darstellen, 
daB die Ebenen durch lineare Gleichungen dargestellt werden. 

153) Vgl. Enriqiies, Vorlesungen iiber projektive Geometrie, p. 24. 



19. Projektive Koordinaten. 75 

In dem gewohnlichen (Euklidischen, oder auch nicht-Euklidischen ) 
Raume kann man ein System von projektiven Koordinaten aufstellen, 
wenn man ein fundamentales Tetraeder und einen Einheitspunkt an- 
ninimt und die Projektionen dieses Einheitspunktes auf jede Kante de^ 
Tetraeders von der gegeniiberliegenden Kante aus betrachtet; in der- 
selben Weise betrachtet man die analogen Projektionen eines willkfir- 
lichen Punktes P des Ramnes; auf jeder Kante erhalt man dann vier 
Punkte (zwei Eckpunkte des Tetraeders und die Projektionen des Ein 
heitspunktes und des Punktes P), und diese fiihren auf ein gewisses 
Doppelverhaltnis; die so erhaltenen Doppelverhaltnisse liefern gerade 
die wechselseitigen Verhaltnisse der projektiven Koordinaten des 
Punktes P. 154 ) 

Genau dieselbe Konstruktion wird man zu dem gleichen Zwecke 
in dem projektiven Raurne ausfuhren, wobei man nur das Doppel- 
verhaltnis oder, wie v. Staudt sagt, den Wurf von vier Punkten einer 
Geraden als Zahl in deskriptiver Weise definieren wird, d. h. in der 
Weise, daB man von dem Begriffe der Sireckeulange absieht, der in 
der reinen projektiven Geometrie ohne Bedeutung ist. 

Diese deskriptive Definition des Doppelverhaltnisses ist von 
v. Staudt 1 * 6 ) gegeben worden im AnschluB an die von ihm eingefu hrte, 
spater von J. Liiroth 15tr ) erweiterte Rechnung mit Puuktquadrupeln 
oder Wurfen; diese Definition umfaBt, wenn man noch den Begriff der 
Involution einfiihrt, auch den Fall komplexer Punkte. 

Fur den Fall reeller Punkte kann man eine deskriptive Definition 
des Doppelverhaltnisses, das ein Punkt P einer Geraden mit drei ge- 
gebenen Punkten A, B, C bildet, geben, die sich auf das gewohnliche 
MeBverfahren reduziert, wenn man den Punkt C als den unendlich 
fernen Punkt der Geraden betrachtet; die Punkte P, fiir welche das 
Doppelverhaltnis (ABCP) einen rationalen Wert hat (Punkte, die 



154) Zu diesem (rnoglichst allgeineinen) Systerne projektiver Koordinaten ist 
A. F. Mobius in dem Buche ,,Der barycentrische Calcul u (1827) gelangt, indem 
er die Verhaltnisse seiner barycentrischen Koordinaten zu denen eines festen 
Punktes (des Einheitspunktes) betrachtete und auch bemerkte, daB diese Ver 
haltnisse sich durch Doppelverhaltnisse ausdriicken lassen; vgl. im iibrigen 
W. Fiedler, Zurich Vierteljahrschr. 15 (1871), p. 152, und ,,Die darstellende Geo 
metrie , Leipzig, drei Aufl. 1871, 1875, 1885. tJber die Einfuhmng des Doppel 
verhaltnisses in die nicht-Euklidische Geometrie vgl. Klein, Math. Ann. 6 
(1873), p. 129. 

155) Beitrage zur Geometrie der Lage, Niirnberg 1856, Heft 2, p. 261. Vgl. 
W. Hamilton, Elements of quaternions, London 1866, p. 24, 62; W. Fiedler, 
FuBn. 154. 

156) Math. Ann. 8 (1875), p. 145. 



76 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

dem (lurch A, B, C bestimmten JiarmoniscJten Systeme oder Netze an- 
gehoren), erhalt man durch wiederholte Konstruktion der vierten har- 
momschen Punkte in einer durch den genannten Wert bestimmten 
Weise ; wahrend man zu den Punkten, fiir welche das Doppelverhaltnis 
irrational ist, durch einen GrenzprozeB gelangt 157 ). v. Staudt hat dies 
alles auch auf imaginare Elemente ausgedehnt (vgl. Ill AB 6, Schoenflies). 

20. Bemerktmgen iiber die grundlegenden Satze der projek- 
tiven Geometrie. Mit Hilfe des in Nr. 17 oder in Nr. 18 dargelegten 
Postulatensystems kann man die projektive Geometric vollstandig be- 
griinden (vgl. Ill A B 6, Projektive Geometrie, Schoenflies). Hinsicht- 
lich der Beziehungen, in denen ihre Hauptsatze zu den genannten 
Postulaten stehen, miissen wir einige Bemerkungen machen. 

a) Uber den Desarguesschen Satz (Satz von den homologen 
Dreiecken). 

Dieser Satz ist zuerst von v. Staudt bei bloBer Benutzung der 
Postulate des Einanderangehorens durch raumliche Betrachtungen be- 
wiesen worden. 

F. Klein hat zuerst 158 ) darauf aufmerksam gemacht, daB es nicht 
anders geht, indem er zeigte, daB der genannte Desarguessche Satz 
sich nicht beweisen laBt, wenn man sich allein auf die Postulate 
der projektiven Geometric eines ebenen Gebietes stiitzt, da sonst 
folgen wurde, daB, wenn auf irgend einer Flache ein Liniensystein 
von der Art gegeben ist, daB durch zwei Punkte immer eine Linie 
geht, die Linien des Systems bei Einfiihrung geeigneter krurnmliniger 
Koordinaten sich durch lineare Gleichungen darstellen lassen wiirden, 
wahrend dies z. B. fur die geodatischen Linien einer Flache mit 
variabler Krummung nach Seltrami nicht moglich ist 359 ). 

Neuerdings hat D. Hilbert 16 ) in elementarer Weise eine konven- 
tionelle Geometrie der G-esamtebene begriindet, in der der Desarguessche 
Satz nicht gilt, wohl aber die projektiven Postulate. (Dagegen kann 
man bei Benutzung der Kongruenzpostulate und des Parallelenpostulats 

157) Vgl. z. B. R. De Paolis, Rom Line. Mem. 1888/89. Hinsichtlich der Be- 
ziehungen, in denen die Einfiihrung der projektiven Koordinaten zu der Bestim- 
mung der Projektivitat zwischen zwei abstrakten projektiven Baumen steht, vgl. 
F. Enriques, Lezioni di geonietria proiettiva, Bologna 1898, Appendice, deutsche 
Ausgabe von JET. Fleischer, Leipzig 1903, Anhang, und Palermo Rend. 12 (1898), 
p. 222. 

158) Math. Ann. 6 (1873), p. 112. 

159) E. Beltrami, Ann. di mat. (1) 7 (1865), p. 185 (HID 5, v. Lilienthal, 
Nr. 34, und HID 6 a, Vofi, Nr. 9). 

160) Grundlagen Nr. 3. Uber die nicht-Desarguessche Geometrie vgl. auch 
F. E. Moulton, Am. Soc. Trans. 3 (1902), p. 192. 



20. Bemerkungen uber die grundlegenden Satze der projektiven Geometrie. 77 

den Desarguesschen Satz in der Ebene, d. h. ohne raumliche Konstruk- 
tionen zu Hilfe zu nehmen, beweisen. Vgl. auch Nr. 11.) 

D. Hilbert hat auch bemerkt, daB umgekehrt der Desarguessche 
Satz in der Ebene die Anwendung der Postulate des Raumes beim 
Beweise der der projektiven Geometrie der Ebene zukommenden 
Eigenschaften vollstandig ersetzt 16i ). 

b) Uber die Trennung der konjugierten Punkte einer harmonischen 
Gruppe. 

Dieser Satz ist von v. Staudt in einer nicht rein deskriptiven Weise 
bewiesen worden, indem er den Begriff der nietrisch aufgefaBten Jiarper- 
liclien Ecke (deren Kanten Halbgerade sind) einfuhrte. Der Beweis 
von M. Pasch 162 ) zeigt eine Liicke, weil er die Moglichkeit nicht 
ausschlieBt, daB der zu drei Punkten gehorige vierte harmonische 
Punkt mit einem dieser Punkte zusammenfallt, so daB G. Fano 165 ) 
geglaubt hat, daB hier ein neues Postulat eingeftihrt warden miisse. 

Dagegen hat der von F. Enriques (FuBnote 137) gegebene Beweis 
des Satzes klargestellt, daB dieser Satz sich aus den oben ausgespro- 
chenen deskriptiven Postulaten allein herleiten la Bt, da er sich wesent- 
lich auf die Ordnungen der Punkte der Geraden und auf deren pro 
jektiven Charakter (ohne daB die Stetigkeit notig ware) stiitzt. 

c) Uber v. Staudts Fundamentalsatz der Projektivitat. 

Durch das Stadium der Beziehung zwischen den Punkten zweier 
Ebenen, in der jeder Geraden eine Gerade entspricht (Kollineation), 
wurde v. Staudt dazu gefiihrt, die ; ,Projektivitat" zwischen Geraden 
(oder Gebilden erster Stufe) als eine umkehrbar eindeutige Beziehung 
zu definieren, bei der die harmonischen Gruppen erhalten bleiben 164 ). 
Die Konstniktion der Projektivitat durch Projizieren und Schneiden 
hangt dann von dem fundamentalen Satze ab: ,,Die Projektivitat zweier 
Grundgebilde erster Stufe ist durch drei Paare homologer Elemente 
bestimmt", den v. Staudt auf den Fall einer Projektivitat mit drei 
Doppelpunkten auf einer Punktreihe zuriickfuhrt. Es ist wichtig her- 
vorzuheben, daB die Bedeutung dieses Satzes wesentlich mit der von 
v. Staudt gewahlten Definition der Projektivitat zusammenhangt. Wenn 
man statt der v. Sfaudt&chen Definition die Definition Poncelets nimmt: 



161) Die Benutzung von projektiven Raumen S n fur n ^> 3 beim Beweise 
von Eigenschaften des Raumes S s fuhrt zu keinem Resultate, das man nicht schon 
aus den Postulaten der projektiven Geometrie des S a selbst ableiten konnte; vgl. 
C. Segre, Riv. di mat. 1 (1891), p. 42. 

162) Xeuere Geometrie, p. 85. 

163) Giorn. di mat. 30 (1892), p. 106. 

164) Geometrie der Lage, Niirnberg 1847, y. 



78 III AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geoinetrie. 

, 7 Projektiv sind zwei Gerade ; die durch Projizieren und Schneiden auf 
einander bezogen sind" 165 ), so bildet die Bestimmung der Projektivit at 
durch drei Paare liomologer Punkte einen fundamentalen Sats nur in 
eingeschranJctem Sinne, der weniger ausdriickt als der v. Staudtsche Satz, 
insofern man auf ihn allein die Theorie der Kollineation zwischen 
Ebenen und Raumen nicht begriinden kanu. 

Der deskriptive Beweis, den v. Staudt von seinem Satze gegeben 
hat, zeigt eine Liicke, auf die C. Weierstrafi in seinen Vorlesungen auf- 
merksam gemacht hat 166 ). Diese wurde auf verschiedene Weise aus- 
gefiillt, indem man die Stetigkeit der Geraden oder etwas, was davon 
abhangt, zu Hilfe nahm. 

Klein 167 ), Luroth und Zeuthen haben, indem sie den von 
v. Staudt eingeschlagenen Weg, die projektive Beziehung als gegeben 
vorauszusetzen, verlieBen, gezeigt, wie diese mit Hilfe von drei 
Paaren vorgeschriebener hoinologer Punkte in bestimmter Weise kon- 
struiert werden kann, und zwar, indem man von der Punktreihe 
ausgeht, die durch drei Punkte einer Geraden vermoge immer neuer 
Konstruktion des vierten harmonischen Punktes erzeugt wird. Klein 
griindet seinen Beweis auf die Wiederholung der harmonischen Kon 
struktion fur die Grenzpunkte der Reihe; Luroth und Zeuthen ver- 
schieben die Anwendung der Stetigkeit, indem sie zeigen, wie die 
Punkte der harmonischen Reihe in jede Strecke eindringen. Die von 
ihnen angedeutete Konstruktion wird klarer, wenn einer der drei 
fundamentalen Punkte sich im Unendlichen befindet; alsdann wird 
die harmonische Reihe von Abszissenwerten, die Luroth und Zeuthen 
benutzen, eine dyadische Beihe, d. h. eine Reihe von Briichen, deren 
Nenner Potenzen von 2 sind, und es zeigt sich, daB von dieser 
Reihe sich in jeder Strecke Punkte befinden, sofern man das Archi- 
medische Postulat annimmt. Dieses Postulat betrachtete man damals 
noch als selbstverstandlich; in der Tat ist es als Postulat erst etwas 
spater wieder in Diskussion gezogen worden (von Stolz; vgl. FuB- 



165) Diese Definition ist von L. Cremona, Elementi di geoinetria proiettiva, 
Roma 1873, deutsch von E. Trautvetter, Stuttgart 1882, p. 7, und von J. Thomae, 
Ebene geometrische Gebilde, Halle 1873, p. 12, wieder aufgenommen worden. 
In alteren Darstellungen , auch hervorragender Autoren, wird projektive Be 
ziehung einstufiger Grundgebilde vielfach mit eindeutiger Beziehung verwechselt. 

166) C. Weierstrafi hat auch einen genetischen (aber nicht deskriptiven) 
Beweis des im engeren (Ponceletsch&ii) Sinne verstandenen Satzes gegeben, der, 
von E. Kotter und H. A. Schwarz wieder hergestellt, sich in C. Weierstrafi, Math. 
Werke 3, p. 161 befindet. 

167) Math. Ann. 7 (1874), p. 531; Luroth und Zeuthen ebendort 535; vgl. 
auch Math. Ann. 37 (1890), p. 544, insbesondere p. 565 f. 



20. Bemerkungen iibcr die grundlegenden Satze der projektiven Geometric. 79 

note 64) 168 ). Man erhalt so einen gewisserrnaBen metrischen Beweis 
des fundamental en Satzes, der iibrigens bei Pasch (FuBnote 149) vor- 
kommt. 

Darboux 169 ) hat sich wieder der v. Stoudtschen Vorstellung ge- 
nahert, gibt jedoch der Frage eine analytische Wendung. Indem er 
die projektive Bezieliung zwischen zwei Geraden iui v. Staudtsckeu 
Sinne als gegeben annimmt, zeigt er, daB diese geordnet (und also 
stetig) ist, und fiinrt dann die Frage auf die Funktionalgleichung 
f(x -f- y) = f(x) -\- f(y) zuriick, deren stetige Losung f(x) = ax ist. 
(Siehe auch II A 11, Pinclierlc, Funktionenoperationen Nr. 27). 

F. Sclmr 17 ), der den Zahlbegriff vernieidet, iiberwindet die fun- 
damentale Schwierigkeit des v. Stmtdtschen Beweises, indem er als 
Postulat annimmt, daB, wenn zwei Punkte sich auf der Geraden in 
entgegengesetztern Sinn bewegen, es einen Punkt gibt, in dern sie 
sich begegnen. 

F. Ennques m ) leitet den genannten Satz direkt aus dem in der 
Dedekindschen Form (deskriptiv) angenommenen Postulate der Stetig- 
keit her. 

In alien den oben angedeuteten Beweisen stiitzt man sich also auf 
die in deskriptiver oder metrischer Weise ausgesprochene Stetigkeit 
der Geraden oder wenigstens auf die Moglichkeit, die Gerade als in 
einer stetigen Mannigfaltigkeit von Elementen enthalten zu betrachten, 
worin das Archiniedische Postulat mit einbegriffen ist. 

Die Untersuchung, ob man von dieser Voraussetzung, sofern man 
Projektivitat durch wiederholte Projektion erklart, absehen kann, hat 
auf einige Entwickluugen der nicht-Archimedischen projektiven Geo- 
rnetrie gefiihrt, durch die die Frage der Beziehungen zwischen den 
grundlegenden Satzen der projektiven Geometrie neu beleuchtet worden 
ist (vgl. Nr. 42). 

d) Besielmng des Fundamentalsatzes sum Mobiusscheit Nets. Wir 



168) F. Klein (Fricke-Khin, Modulfunktionen 1, Leipzig 1890, p. 239 f., und 
Klein, Nicht-Euklidische Geometrie 1, p. 315 ff.) bemerkt, da6 die auf einem Kegel- 
gchnitte konstruierte harmonische Reihe auf das engste mit der in der Theorie 
der elliptischen Modulfunktionen vorkommenden Dreiecksfigur zusammenhangt; 
man erkennt alsdann intuitiv die Stetigkeit der Reihe, indem man sieht, daB 
sich hier Dreiecke von beliebiger Kleinheit darbieten (vgl. II B 4, Fricke, Auto- 
morphe Funktionen). 

169) Math. Ann. 17 (1880), p. 155. 

170) Math. Ann. 18 (1881), p. 252; vgl. Tlwmae, Analytische Geometrie der 
Ebene, und Tli. Reye, Die Geometrie der Lage, 4. Aufl. 1. Abt., 1898. 

171) 1st. Lomb. (FuBn. 137) und Lezioni (FuBn. 153). Vgl. L. Balser, Math. 
Ann. 55 (1901). p. 143. 



80 III A B 1. F. Emiques. Prinzipien der Geometric. 

haben gesagt, daB die (v. Staudtscho) Definition der Projektivitat 
zwischen Geraden aus der Betrachtung der Kollineation zwischen 
Ebenen und Raumen hervorgeht. Aus dem Fundamentalsatze folgt, 
daB diese Kollineation in der Ebene durch vier, im Raume durch 
fiinf Paare entsprechender Punkte bestimuit ist. 

Nun ist dieser Folgesatz seinerseits dem genannten Fundamental 
satze gleichwertig, und es ist bemerkenswert, daB er mit Hilfe der 
Konstruktion der Mobiussehen Netze bewiesen werden kann. Be- 
trachtet man z. B. die Ebene, so ergibt sich, daB vier unabhangige 
Punkte A y B, Cj I) durch lineale Operationen zu einem System von 
Punkten fuhren (dessen Koordinaten zu denen von A, J5, 0, D, wenn 
man diese Punkte als die Grundpunkte (0, 0, 1), (0, 1, 0), fl, 0, 0), 
(1, 1, 1) annimmt, rational sind); die Koordinaten dieses Systems (das 
ein Mb biusscJies Nets genannt wird) bedecken auf Grund des Stetig- 
keitspostulats die ganze Ebene (da infolge des Stetigkeitspostulats 
jeder Punkt der Ebene, der dem genannten System [dem Mobiusschen 
Netz] nicht angehort, als Grenzpunkt des Systems bestimmt ist und 
also eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Punkten der 
Ebene und den rationalen und irrationalen Koordinaten entsteht). 
Aus dieser Konstruktion leitet Mobius, indem er sie als stetig vor- 
aussetzt, die Bestimmung der Kollineation ab. Wenn man in einer 
Kollineation zwischen zwei Ebenen vier Paare unabh angiger Punkte 
sich entsprechen laBt ; so miissen die in honiologer Weise konstruierten 
Punkte der durch die beiden Punktquadrupel definierten ISTetze ebenso 
wie ihre Grenzpunkte sich entsprechen, und daher ist die Kollineation 
bestimmt. 

Man bemerke, daB die Annahme der Stetigkeit derjenigen Be 
ziehung (Kollineation), in welcher jeder Geraden einer Ebene eine 
Gerade entspricht, auf Grund der Stetigkeit der Geraden bewiesen 
werden kann, wie aus dem von v. Staudt angegebenen Verfahren 
hervorgeht. 

e) Besieknmg des Fundamentalsafaes zur Lehre von den Proportioned,. 
Die Beziehungen des Fundamentalsatzes der Projektivitat zur Pro- 
portionentheorie gehen aus den folgenden beiden Bemerkungen hervor. 

Auf Grund der gewohnlichen (arithmetischen) Theorie der Pro- 
portionen zwischen Strecken kann man ein System von projektiven 
(insbesondere auch cartesischen) Koordinaten einfuhren, vgl. Nr. 19. 

Der im engeren (Ponceletschen) Sinne verstandene Fundamental- 
satz der Projektivitat wird mit Hilfe der Invarianz des Doppelverhalt- 
nisses bei Projektionen und Schnitten bewiesen, und diese folgt leicht 
aus der gewohnlichen Proportionentheorie. 



21. Uber die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der Begriindung usw. 81 

Wie sich die Frage gestaltet, wenn man von der Stetigkeit ab- 
sieht, daruber vergleiche man den Abschnitt VII. 

21. tiber die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der 
Begrundung der projektiven Geometrie. Setzen wir nur die funda- 
mentalen Begriffe ,,Punkt" und ,,Verbindungslinie zweier Punkte" und 
die Postulatengruppe a) (Nr. 18), die sich auf diese Begriffe bezieht, 
als gegeben voraus, wie weit kann man dann in der Begrundung der 
projektiven Geometrie gehen? 

Mit dieser Frage hangt eine Forschungsrichtung zusanimen, in 
der die Punkte nicht als von vornJterein gegeben, sondern von einigen 
gegebenen Punkten aus durch lineale Operationen Jconstruiert be- 
trachtet werden, so daB man also eine projektive Geometrie besonderer 
Pwiktsysteme erhalt. 

Jene wenigen Annahmen erfordern, daB in unserem Raume oder 
fundanientalen .System wenigstens vier, nicht in einer Ebene liegende 
Punkte und auBerdem ein Punkt auBerhalb der durch drei dieser 
Punkte bestimmten ]bene gegeben sind, so daB auf der Verbin- 
dungslinie irgendwelcher zweier Punkte wenigstens ein anderer Punkt 
konstruiert werden kann. So weit ist alles wie sonst. Aber es ergibt 
sich nicht , daB der zu drei Punkten A, B, C einer Geraden gehorige 
vierte harmonische Punkt (vgl. oben bei Pasch, Nr. 20 b) von C ver- 
schieden ist ; sofern man nicht anniinmt, daB dies wenigstens in einem 
Falle eintritt, und noch weniger kann man (auch wenn die genannte 
Voraussetzung eingefuhi*t sein sollte) erkennen, daB das auf der Ge 
raden von A, B, C aus konstruierte harmonische System unendlich viele 
Punkte enthalt. Es gibt in der Tat Konfigurationen von einer end- 
lichen Zahl von Punkten, die fur sich allein genomrnen den Postu- 
laten a) (Nr. 18) der projektiven Geometrie genugen 172 ). 

Fiihrt man dagegen das Postulat ein, daB die Punkte der Ge 
raden in einer cyklischen Anordnung von projektivem Charakter vor- 
handen sind, so bciceist man, daB es auf der Geraden und in jeder 
ihrer Strecken unendlich viele Punkte gibt 173 ), und es gelten danii 
auch alle Eigenschaften der harmonischen Gruppen hinsichtlich der 
Trennung der Paare, und ebenso diejenigen des harmonischen 
Systems 174 ). 



172) G. Fano, Fu6n. 152. Analoge Konfigurationen werden von E. H. Moore, 
Am. Journ. 18 (1896), p. 264 betrachtet. Vgl. auch G. Hessenberg, Arch. Math. 
Phys. (3) 6 (1903), p. 123. 

173) Vgl. Fano-Enriques, Palermo Rend. 9 (1895), p. 79. 

174) Das oben angedeutete deskriptive Konstruktionsverfahien fuhrt zu dem 
schon erwahnten MobiusscJien Netze, wenn man mit linealen Operationen von 

Encyklop. d. math. Wiaseasch. mi. G 



82 III AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometric. 

Was die Annahme der mit projektivein Charakter verselienen 
cyklischen Anordnung in der Theorie der harmonischen Gfruppen und 
Systeme bedeutet, ist durch M. Pieri 115 ) klargestellt worden, der bei 
dem Untemehmen, die Zahl der primitiven Begriffe zu beschranken 
(vgl. Nr. 6), im wesentlichen fand, daB man den Begriff der natiir- 
lichen Anordnung aufgeben kann, wenn man folgendes postuliert: 

1) der zu drei Punkten A, B, C vierte harmonische Punkt ist 
von diesen verschieden (das Fanosche Postulat; vgl. Nr. 20); 

2) wenn man die dreifache Art betrachtet, in der eine Gerade 
durch vier Punkte A, B, C, D in zwei Paare von Teilen geteilt wird, 
so existiert fur zwei dieser Zusammenfassungen in zwei Paare ein 
gemeinsames harmonisches Paar, aber nicht fiir die dritte; 

3) wenn A, B, C, D, E fiinf in gerader Linie liegende Punkte 
sind und zu den Paaren AC, BD und AC, DE harmonische Paare 
existieren, so existiert auch zu den Paaren AC, BE ein harmonisches 
Paar; 

4) wenn A, B, C, D, E fiinf in gerader Linie liegende Punkte 
sind, die der Reihe angehoren, die man, ausgehend von den Punkten 
A, B, C, durch fortgesetzte Konstruktion des vierten harmonischen 
Punktes erhalten hat, so kann man einen Punkt X so bestimmen, 
daB fiir die Paare AX, DE kein harmonisches Paar existiert. 

Die Stetigkeit fiihrt dann auf eine neue Eigenschaft, die Pieri in 
einem engeren Sinne postuliert, indem er namlich nur die quadra- 
tischen Irrationalitaten einfiihrt, von denen die elementare Theorie 
der Projektivitat in Grebilden erster Stufe Gebrauch macht. 



IT. Projektive Metrik. 

22. Einordnung der gewohnlichen Metrik in die projektive 
Geometrie (III AB 4 a, Synthetische und analytische Geometric, Fano). 
Den Euklidischen Raum kann man als einen projektiven Raum be- 
trachten, wofern man seinen (eigentlichen) Punkten die un&igentlwhen 
PimJcte hinzufiigt, die die uneigenfliche oder unendlich feme Ebem 
bilden (Nr. 9). Dann kann man, indem man in der unendlich fernen 
Ebene einen besonderen imaginaren Kegelschnitt, den Kugelkreis, ge- 



funf unabh^ngigen Punkten des Raumes ausgeht. Innerhalb dieses ISTetzes gilt 
der v. Staudtsche Satz als Folge des Desarguesechen Satzes, und der v. Staudtsche 
Satz erstreckt sich auf den Eaum, wenn man voraussetzt, da6 jeder Raumpunkt 
ein Grenzpunkt des im Raume zu konstruierenden Mobiusschen Netzes ist, was 
eine Folge des Stetigkeitspostulats ist. 

175) Torino Mem. (2) 48 (1898), p. 1 und besonders Torino Atti 39 (1904), p. 313. 



22. Einordnung der gewohnlichen Metrik in die projektive Geometrie. 83 

geben denkt, die metrischen Eigenschaften als in die deskriptiven Eigen- 
schaften eingeordnet betrachten. 

Die Herleitung metrischer Eigenschaften aus den deskriptiven im 
Hinblick auf die unendlich fernen Punkte komnit schon bei Poncelet 116 ) 
vor (der librigens gewohnlich in uingekehrter Weise vorgeht). 

Poncelet (ibidem 1, Nr. 94 und 593) hat bereits metrische Be- 
ziehungen als deskriptive Beziehungen zu den Kreispunkten der Ebene 
oder zu dem Kugelkreise des Raumes betrachtet, aber nicht den Aus- 
druck der Entfernung und des Winkels. Dann haben die franzosischen 
Geometer und insbesondere Cliasles die Kreispunkte und den Kugel- 
kreis vielfach als Hilfsniittel beini Beweise gebraucht, indem sie z. B. 
die Orthogonalitat zweier Geraden als die harmonische Trennung ihrer 
unendlich fernen Punkte durch die Kreispunkte interpretierten. La- 
guerre llT ) (1853) hat bemerkt, dafi ein Satz, der einen Winkel ent- 
halt, durch Projektion verallgenieinert wird, indeni anstelle des 
Winkels der mit multiplizierte Logarithmus des Doppelverhalt- 
nisses zweier Geraden zu den durch die beiden Kreispunkte gehenden 
Geraden (den Minimalgeraden oder isotropen Geraden) tritt ( dies ist 
bei ihm keine Definition des Winkels, weil ihm [auBer der r. Standt- 
schen Einfiihrung des Imaginaren] die v. Stoudtsche Definition des 
Doppelverhaltnisses als einer durch eine projektive Konstruktion fest- 
gelegten Zahl fehlt). 

A. Cayley 118 ) hat (1859) die allgemeinen Ausdriicke der Ent 
fernung und des Winkels als Invarianten in bezug auf den Kugel- 
kreis betrachtet und dieselben Invarianten in bezug auf irgend einen 
Kegelschnitt aufgeschrieben, den er dann als absoluten Kegelschnitt, als 
jydas Absolut^ 1 , bezeichnet, ohne jedoch in eine Diskussion in bezug auf 
die Einzelheiten einzutreten, die sich je nach der Realitat (Nicht-Realitat) 
des Kegelschnitts ergeben. Cayley verfahrt durchaus analytisch; er 
beginnt mit den homogenen Variablen und den Invarianten von 
Formen bei linearer Substitution, spricht danu von der Bedeutung 
derselben fiir die projektiven Beziehungen innerhalb der Euklidischen 
Geometrie und interpretiert seine allgemeinen Formeln als solche, 
die sich auf den absoluten Kegelschnitt in der unendlich fernen 
Ebene beziehen. Er betrachtet ferner die Ausartung des absoluten 

176) Traite des propriet^s prqjectives des figures. Paris 1821. 

177) Sur la theorie des foyers, Nouv. Ann. 12 (1853), p. 57; Oeuvres 2, p. 6; 
vgl. H. Faure, ebenda 18 (1859), p. 381. 

178) A. Sixth Memoir on Quantics, Lond. Trans. 149 (1859), oder Coll. math, 
papers 2, p. 561; vgl. im besondern die Nummern 209 229, und A Memoir on 
abstract geometry, Lond. Trans. 160 (1870) oder Coll. math, papers 6, p. 456. 



84 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

Kegelschnitts in ein Punktepaar, auf die er den Fall der Euklidi- 
schen Metrik einer beliebig irn Endlichen gelegenen Ebene zuruekfiihrt. 

Wir wollen jedoch zusehen, wie man die systematische Ein- 
ordnung der gewohnlichen metrischen Geometrie in die projektive auf 
geometrische Weise erhalt. 

Diese Einordnung stiitzt sich auf die folgenden Tatsachen, die 
sich auf die Gebilde erster, zweiter und dritter Stufe beziehen : 179 ) 

a) Gebilde erster Stufe. 

Der Begriff der Kongruenz zwischen Strecken auf derselben Ge 
raden stellt sich dar als eine Beziehung in einer ProjeJctivitdt mit 
doppelt zahlendem unendlicli fernem Doppelpmikt. 

In dem (ei gent lichen) Strahlen- und l&benen-Buschd erscheint die 
Kongruenz der Winkel als die Beziehung in einer Projektivitat, die 
die vom Trdger des Biischels nach den Kreispunkten laufenden Geraden 
zu Doppelgeraden hat, d. h. die Involution der rechten Winkel in sich 
selbst transformiert. 

&) Gebilde zweiter Stufe. 

In der Ebene wird aus dem Begriffe der Ahnliclikeit (Kongruenz 
der Winkel und Proportionality der Strecken) die Beziehung in einer 
Projektivitat, die die Kreispunkte (d. h. die Doppelpunkte der [absoluten] 
Involution, in der die unendlich fernen Punkte orthogonaler Geraden 
sich entsprechen) fest Iciftt. 

Die Kongruenz zweier Strecken lafit sich daher deskriptiv mit Hilfe 
der (zu der unendlich fernen Geraden und den Kreispunkten auf ihr 
bereits in Beziehung gesetzten) Begriffe des Parallelismus und der 
Orthogonalitat definieren; in der Tat sind nur folgende zwei Regeln 
zu beachten: 

a) Zwei kongruente Strecken, die einen Endpunkt gemeinsam 
haben, sind an einander stofiende Seiten eines Parallellogramms mit 
zu einander rechtwinkligen Diagonalen. 

/3) Zwei parallele kongruente Strecken sind gegeniiberliegende 
Seiten eines Parallelogramms. 

Und mit Hilfe dieser beiden Falle kann man irgend welche zwei 
Strecken mit einander vergleichen. 

In dem (eigentlichen) Biindel erscheint die Kongruenz als eine 
Projektivitat, die die zwischen zu einander normalen Geraden und 
Ebenen bestehende (orthogonale) Polaritdt in sich selbst transformiert. 

c) Gebilde dritter Stufe, 

Im Eaume kann man die Ahnlichkeit (Kongruenz der Winkel 

179) Vgl. z. B. F. Klein, Nicht - Euklidiscke Geometrie, und F. Enriques, 
Vorlesungen iiber projektive Geometrie. 



23. Allgeineine MaBbestimumng von Cayley- Klein, 85 

und Proportionalitat der Strecken) als cine Projektivitcit definieren, die 
den Kugelkreis, d. h. den Fundamentalkegelsehnitt der absoluten Pola- 
ritat der unendlich ferneii Ebene (des Schnittes der orthogonalen 
Polaritat irgend eines Biindels), in sich selbst transformiert. 

Die Konyruenz von Strecken kann man deskriptiv z. B. wie in 
der Ebene definieren, indem man auf den Fall paralleler Strecken oder 
solcher mit einern gemeinsamen Endpunkte zuriickgeht (oder auch 
indem man sich auf die Tatsache stutzt, daB die raumlichen Kon- 
gruenzen Kollineationen sind, die im allgemeinen keine eigentlichen 
Doppelpunkte haben). 

Nun erscheinen alle Kongruenzsatze der gewohnlichen metrischen 
Geometric als Zusatze zu den Satzen der projektiven Geometric. 

Um zur analytisclien Darstellung zu kommen, gehe man von 
einem System projektiver Koordinaten aus, indem man als fun 
damental ein Tetraeder nimmt, von dem drei (in der uneigentlichen 
Ebene x = gelegene) Eckpunkte ein konjugiertes Dreieck in bezug 
auf den absoluten Kegelschnitt bilden. In der Ebene x = gibt es 
ein bestinimtes Viereck mit den Diagonalpunkten (0010) (0100) (1000), 
dessen gegeniiberliegende Seiten in bezug auf den absoluten Kegel 
schnitt konjugiert sind. Nimmt man den Punkt (1110) in einem der 
Eckpunkte des genannten Vierecks an (der auf diese Weise in der 
unendlich fernen Ebene die Projektion des Einheitspunktes von dem 
eigentlichen Eckpunkte des Fundamentaltetraeders aus wird), so nimmt 
die Gleichung des absoluten Kegelschnittes die Form an: 

*i +*, +V= (*4~0). 

Zur Bestimniung des Winkels zweier Geraden braucht man dann 
nur ihre Richtungen, d. h. ihre unendlich fernen Punkte 

zu kennen. Der Ausdruck fiir den Wbikel ist dann: 



^ 



^ y l +^ 2 y, -f *> y, -(^ y, -f ^ 
Die Entfernung zweier Punkte kann man durch die Formel: 



ausdriicken, wo A eine Konstante ist, die von der Wahl des Einheitspunktes 
abhangt, den man auf der Geraden x l = X 2 = x s willkiirlich annehmen 
kann (vgl. FuBnote 183). Beide Ausdriicke sind Invarianten in bezug 
auf die vorstehende Gleichung des absoluten Kegelschnittes. 

23. Allgemeine Mafibestimmung von Cayley und deren nicht- 
Euklidische Auslegung von Klein. Aus dem Gesagten geht hervor, 
daB man in jedem projektiven Raunie eine konventionette Metrik auf- 



86 III A B 1. F. Enriqiies. Prinzipien der Geometrie. 

stellen kann ; die mit der gewohnlichen Metrik begrifflich iibereinstimmt, 
wenn man festsetzt, daB eine Ebene des Raumes als uneigentlich und 
ein Kegelschnitt x-^-\- #2 2 ~f~ ^3 2= ^ n i nr a ^ s Absolut betrachtet werden 
soil. Es entsteht dann der Gedanke, dieses System von Konventionen 
zu verallgemeinern, indem man eine neue, der projektiven Geometrie 
eingeordnete Metrik definiert, welche irgend ein Gebilde zweiten 
Grades als absolutes Gebilde zugrunde legt. 

Auf diese Weise entsteht Cayleys allgemeine projektive Mafi- 
bestimmung 18 ). 

Und nun ist das Wichtige, daB diese allgemeine projektive MaB- 
bestimmung die verschiedenen Arten der nicht-EuMidischen Geometrie 
ebenso einschliefit wie insbesondere die gewohnliche EuMidische Geometrie. 
Dies trat teilweise bereits in den Arbeiten yon Beltrami lsl ) und dann 
vollstandig in denjenigen von Klein 182 ) hervor. Zu dem Zwecke waren 
die verschiedenen Falle der Realitat des absoluten Gebildes zu disku- 
tieren und gleichzeitig war in die Formel fur die Entfernung zweier 
Punkte ein Faktor k aufzunehmen, der je nachdem reell oder rein 
imaginar gewahlt wird. Gleichzeitig entwickelte Klein die grund- 
legende Bedeutung der in Rede stehenden Beziehung, indem er auf 
v. Sfoudts Begriindung der projektiven Geometrie und des Rechnens 
mit Wiirfen zuriickging und diese von der durch v. Staudt noch fest- 
gehaltenen Abhangigkeit vom Euklidischen Parallelenpostulat befreite. 
Das Eestiltat ist, daft die verschiedenen Arten der niclit- Euklidisclien 
Geometrie ebenso auf projektiver Basis aufgebaut sind, wie nach Nr. 19 
die Euklidische Geometrie. 

Klein defmiert die Cayley$che MaBbestimniung in den ver 
schiedenen Gebilden folgendermafien : 

a) Gebilde erster Stufe. Man nehme zwei (reelle oder konjugiert 
imaginare) Elemente P, Q an ; die das absolute Paar bilden ; und es sei 

cz<* = 



die Gleichung dieses Paares. 

Das Intervall (Entfernung oder Winkel) zweier Elemente A : (x), 
JS ^ (y) wird durch die Formel 



180) FuBn. 178; vgl. auch G. Battaglini, Napoli Rend. 3 (1867) oder Nouv. 
Ann. (2) 7, p. 209, 265; G. Salmon und W. Fiedler, Analytische Geometrie der 
Kegelschnitte , Leipzig, fiinf Auflagen, von der zweiten Aufllage 1867 an; funfte 
Aufl. 1888, 2, Kap. 20; F. Lindemann bei A. Clebsch und F. Lindemann, Geo 
metrie 2 1 , 1891, Abschn. 3. 

181) Giorn. di mat. 6 (1868), p. 285 und Ann. di mat. (2) 2 (1868), p. 232. 

182) Gott. Nachr. 1871, p. 419; Math. Ann. 4 (1871/72), p. 573. 



23. Allgemeine MaBbestirninung von Cayley- Klein. 87 

AB = k log (ABPQ) = k (xy] = k log 



Slxy ^xy - &** &yy 

definiert, wo Q xy die Polarform 



und k einen konstanten Faktor bedeutet. 

Man erhalt zwei verschiedene allgemeine MaBbestimmungen: die 
elliptisclie und die hyperbolische, die dein negativen und dem positiven 
Zeichen der Diskriminante von . entsprechen. 

Im elliptischen Falle, in dem man den Faktor k rein imaginar 

nimmt. ist das Intervall zweier Eleniente immer reell, und fur k = 

2? 

wird es gegeben durch 

cos K= -^ L , 



so daB man eine Metrik gleich der gewohnlichen Metrik des Biischels 
(im Euklidischen Falle, wie in den nicht-Euklidischen Fallen) erhalt. 
Das ganze Gebilde hat eine endliche Lange, die fur die naturliche 

MaBeinheit (jt = -^7t betragt 183 ). 

Im hyperbolischen Falle ; in welchem man das k reell nirnmt, 
wird das Intervall zweier Elemente nur dann reell sein, wenn die 
beiden Elerneiite das absolute Paar PQ nicht trennen. wahrend das 
Intervall der beiden Eleniente P, Q von jedem anderen Elemente aus als 
unendlich erscheinen wird. Wenn man daher eine der beiden Strecken 
PQ als aus eigentlichen Elementen gebildet betrachtet und das andere 
(das als uneigentlich oder ideal fur die metrische Anschauung an- 
gesehen wird) ausschlieBt, so erhalt man eine Metrik ; die mit 
der der Punktreihe in der Bolyai-LobatschefskijscheiL Geometric zu- 
sammenfallt. 

Man erhalt eine spezielle oder pardbolisclie MaBbestinimung, wenn 
P, Q zusammenfallen. 

Dann hat die Formel, die das Intervall AB definiert , keinen un- 
mittelbaren Sinn mehr; man kann jedoch AB durch einen Grenz- 
prozeB definieren, indein man P ? Q als sich unbegrenzt nahernd be 
trachtet und k umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der 



183) Cayky hat in der Tat nur diese Cosinusformel. Die bei Klein auf- 
tretende Fonnel mit dem Logarithmus bildet zugleich die Briicke zu der obeu 
erwahnten Angabe Laguerres iiber den gewohnlichen Winkel. Das Wesentliche 
bei Klein aber besteht in der Einfiigung der frei zu wahlenden Konstanten k 
(fiir die Laguerre und implicite Cayley ausschlieBlich den Wert . haben). 



88 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometric. 

Diskrirninante von SI setzt. Alsdann laBt sich der Ausdruck fiir das 
Intervall auf die Differenz zweier Doppelverhaltnisse zuriickfuhren, 
wobei zwei Hilfselemente C, D auftreten, so da6 die Forinel folgende 
wird: 

IB = (CDBP) (CDAP) . 

Das Intervall AB erscheint hier nur bis auf einen konstanten Faktor 
(die willkiirliche Wahl der MaBeinheit) bestimmt. 

Dieser Fall entspricht der gewohnlichen Metrik der Punktreihe 
in der Euklidischen Geometric. Die Nam en dliptisch, hyperbolisch, 
parabolisch sind dabei in bekannter Analogic zu dem Verhalten von 
Ellipse, Hyperbel, Parabel der gewohnlichen unendlich fernen Geraden 
gegeniiber derart gewahlt, da6 sie die Falle imaginarer, reetter und 
zusammenfallender Grundpunkte bezeichnen. 

Als 7; Bewegungen" der Grundgebilde in sich erscheinen im ellipti- 
schen und hyperbolischen Falle kurzweg diejenigen projektiven Urn- 
formungen derselben, welche das absolute Paar fest lassen. 

Wir wollen schlieBlich bemerken, daB die Cayleysehe Ma6- 
bestinimung in den Gebilden erster Stufe die allgemeinste Erweite- 
rung der gewohnlichen Metrik der Punktreihe und des Biischels er- 
gibt ? wenn man die folgenden Eigenschaften aufrecht erhalten will: 

das Intervall zweier Elemente bleibt bei oo 1 reellen Projektivi- 
taten (den Bewegungen) ungeandert; 

es besitzt auBerdem die additive Eigenschaft (AB = AC -\- CB) . 

b) Gebilde ztveiter Stufe. Wir fassen der Einfachheit wegen den 
Fall des ebenen Punldsystems ins Auge. 

1st & xx = die Gleichung des absoluten Kegelschnitts in Punkt- 
koordinaten ? <& uu = seine Gleichung in Linienkoordinaten, so setzt 
man die Entfernung zweier Punkte wie vorhin 



xy 

andererseits den Winkel zweier Geraden 

A,. m = k 



_ 

^uv 

unter jfc eine zweite Konstante verstanden, der man einen beliebigen 
Wert erteilen kann. 

Man fiihrt nun die Beschrankung ein ? daB die MaBbestimmung 

im Biischel immer elliptisch sein soil (worauf man k = -^ setzt , um 

die Ubereinstimmung mit der gewohnlichen Winkelmessung herbei- 
zufiihren). Es bleibc^n die drei Falle, daB der absolute Kegelschnitt 



23. Allgeineine MaBbestimniung von Caylcy-Klein. 89 

entweder imaginar ist (elliptisclier Fall), 

oder reell ist, daB man aber nur die Punkte seines Inneni be- 
trachtet (hyperbolischer Fall), 

oder endlich in ein imaginares Punktepaar ausgeartet ist; man 
betrachtet ausschlieBlich diejenigen Punkte (als Biischelpunkte), die 
nicht auf der reellen Verbindungsgeradeu des absoluten Punktepaares 
liegen (parabolisclier Fall). 

Im ersten Falle ist k rein imaginar zu nehnien, ini zweiten reell, 
im dritten unendlich groB. Difjenige Grofie, welche man in der 
Theorie des Bogenelementes als Kriimmungsmafi einer Mafibestimmung 
bezeichnet (s. u. Nr. 24), ist in den vorliegenden Fallen -^ 

Im elliptischen Falle erscheinen alle Geraden geschlossen und 
von endlicher Lange wie die Strahlenbiischel, und die Ebene hat nur 
einen endlichen Inhalt. Es entspricht dies der Riemanmchen An- 
nahme, bei der es keine Paralleleu gibt (Nr. 8). Das Krummungs- 

niafi ist -positiv. Die MaBbestimuiung fallt fiir A = mit der ge- 
\v6hnlichen MaBbestinimung des Btindels zusammen. 

Im hyperbolischen Falle sind alle Geraden offen und von unend- 
licher Lange, und es gibt durch einen Punkt zu einer Geraden zwei 
Parallele. Das Kriimmungsmafl ist neyatir. Dies entspricht der 
Bolyai-LobatschefskijscheR Annahme. 

Ini parabolischen Falle (der als Ubergangsfall der beiden anderen 
anzusehen ist) hat man die Verhaltnisse der EuMidischen Metrik; 
speziell ist die Verbindungsgerade des absoluten Punktepaares die 
,,unendlich feme Gerade" der gewohnlichen Geometrie. Das Kriim- 
mungsmafi ist Null. 

Ubrigens kann man zur bequemen Beherrschung der For- 
meln etwa 



nehmen, wobei a ]> auf den hyperbolischen Fall, a < auf den 
elliptischen Fall, a = auf den parabolischen Fall fuhrt. Im para 
bolischen Falle muB man dann, ehe man zur Grenze a = iibergeht, 
A = - setzen, unter c eine endliche GroBe verstanden. 

y a 

c) Gebilde dritter Stufe. Indem wir den Fall niehrfach aus- 
gedehnter Mannigfaltigkeiten (in deneu man tibrigens ganz ent- 
sprechend operieren wiirde) beiseite lassen, bezeichnen wir das Ge 
bilde dritter Stufe kurzweg als Raum (Punktraum oder Ebenenraum). 
An Stelle des absoluten Kegelschnitts, den wir gerade betrachteten, 



90 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

tritt jetzt eine absolute Fldclie ziveiten Grades. Die Formeln und auch 
die Spezialdiskussion derselben bleibt dabei ganz ahnlich wie vorhin, 
sobald wir nur die Bedingung einfuhren, daB die MaBbestimmung im 
Ebenenbuschel auf alle Falle elliptisch sein soil. 

Man erhalt wieder drei Falle, die als elliptiscti, hyperbolisch und 
parabolisch bezeichnet werden und den Annahmen von Riemann, 
Bolyai-Lobatschefskij und Euklid entsprechen: 

Im elliptischen Falle ist die absolute Flache iinaginar. 

Im hyperbolischen Falle ist sie reell und nicht geradlinig; fur 
die metrischen Konstruktionen kommen nur die Punkte ihres Inneren 
in Betracht. 

Iin parabolischen Falle ist die absolute Flache in einen imagi- 
naren Kegelschnitt ausgeartet, dessen Ebene die Rolle der sogenannten 
unendlich fernen Ebene ubernimmt. 

Im elliptischen Falle gibt es im gewohnlichen Sinne naturlich 
keine Parallelen. Es verdient aber hervorgehoben zu werden, daB W. K. 
Clifford die gewohnliche Definition der Parallelen so erweitert hat, 
daB wieder durch einen Raumpunkt zu einer gegebenen Geraden zwei 
? ,Parallele" konstruiert werden konnen, die aber zu der gegebenen 
Geraden windschief sind. Es fuhrt dies zu besonders beachtenswerteu 
Entwicklungen 184 ). 

Als ?7 Bewegungen" in der Ebene und im Raum erscheinen in den 
nicht - Euklidischen Fallen diejenigen Kollineationen ; welche das ab 
solute Gebilde fest lassen. 

Haben wir so von der projektiven Geometrie beginnend unter 
Annahme je eines geeigneten absoluten Gebildes vom zweiten Grade 
die dreierlei in Betracht komrnenden Falle der MaBgeometrie kon 
struiert, so kann man auch die umgekehrte Aufgabe behandeln ; von 
einer beliebigen der drei MaBgeometrien beginnend die projektive 
Geometrie aufzubauen. Bei der elliptischen Geometrie geht dies ohne 
weiteres, bei der parabolischen hat man in bekannter Weise die un 
endlich fernen Punkte als Punkte einer 7; uneigentlichen" Ebene zu 
adjungieren. Bei der hyperbolischen Geometrie hat man nicht nur 
die unendlich fernen Punkte hinzuzunehmen (die eine ,,uneigentliche" 
Flache zweiten Grades, eben die absolute Flache bilden werden), 
sondern auch die ,,idealen" Punkte, in denen solche gerade Linien 
einer beliebigen Ebene, welche sich weder im Endlichen schneiden 
noch parallel sind, zusammenlaufen. 



184) Vgl. Clifford, Lond. Math. Soc. Proc. 1871, 1874, 1876 (Math. pap. Nr. 20, 
26, 41, 42, 44), sowie F. Klein, Math. Ann. 37 (1890), p. 544. 



24. Verschiedene Bernerkungen zu den projektiven Mafibestimmungen. 91 

Man kann cliese ganzen Betrachtungen dahin erweitern, daB man 
den Fall irgend einer absoluten Flache zweiten Grades betrachtet, d. h. 
indem man von der Bedingung, daB die Metrik im Biischel elliptiscli 
sein soil, absieht. Cayleys projektive MaBbestimmung liefert so Geo- 
metrien m ), die im Gegensatz zu der gewohnlichen allgemeinen Metrik 
auf (reelle) Gerade von der Lange Null, auf Winkel von uuendlicher 
GroBe, auf nicht kongruente Gerade usw. fuhren. 

24. Verschiedene Bemerkungen zu den projektiven Maft- 
bestimmungen. An die projektiven MaBbestimmungen schlieBen sieh 
einige Bemerkungen an: 

a) fiber die tangierende panibolisclie MaBbestimmung. 

1st ein Punkt A des hyperbolischen oder elliptischen Raumes ge- 
geben, so kann man eine parabolische Metrik betrachten, die sich 
von der Metrik, die zu der Umgebung von A gehort, um unendlich 
kleine GroBen hoherer Ordnung unterscheidet; diese zu der gegebenen 
tangierende MaBbestimmung erhalt man, wenn man den Kegelschnitt, 
der als Schnitt der absoluten Flache zweiten Grades init der Polar- 
ebene von A entsteht, zum absoluten Kegelschnitt nimmt und iibri- 
gens die Langeneinheit zweckmaBig wahlt 186 ). 

Als MaB fur den Unterschied zwischen der tangierenden MaB 
bestimmung und der im Raume gegebenen Metrik kann man eben den 
Ausdruck j^z nehmeu, den wir in Nr. 23 als das Kriimmungsmafi 
bezeichneten. Es ergibt sich hier also eine anschauliche Interpretation 
dieser GroBe. 

b) fiber die Ziisammenhanysi erMUnisse des metrischen Rautnes. 

In dem hyperbolischen und dem parabolischen Falle ist die Ge 
rade eine offene Linie. Die Ebene ist eine einfacli zusammenhangende 
Flache (die durch eine geschlossene Linie immer in zwei Teile ge- 
teilt wird) und ziveiseitig, d. h. (Nr. 15) von der Art, daB auf ihr um 
einen Punkt zwei entgegengesetzte Drehungssinne zu unterscheiden 
sind, die durch Yerschiebung des Punktes fiber die Flache bin nicht 
in einander iibergefiihrt werden konnen; die beiden genannten Sinne 
sind die beiden Sinne, in deneu die Punkte des Kegelschnittes oder 
der Grenzgeraden, die das Absolute bilden, geniaB den Grundsatzen 
der projektiven Geometric angeordnet werden konnen. 

Im elliptischen Falle ist die Gerade eine geschlossene Linie, und 
die Ebene (die projektive Ebene in ihrer Gesamtheit) wird erst durch 
eine Zerschneidung langs zweien unbegrenzten Geraden in Stiicke zer- 



185) Vgl. Poincare, Paris Bull. soc. math, de France 15 (1887), p. 203. 

186) F. Klein, Math. Ann. 4 (1871), p. 573. 



92 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

legt. Zugleich 1st sie einseitig, d. h. von der Beschaffenheit, dafi sick 
auf ihr nicht ruehr zwei in einander nicht uberfiihrbare Drehungssinne 
urn einen Punkt unterscheiden lassen. Diese Bemerkung 187 ) kann 
man verifizieren, indein man beinerkt, daB das gewohnliche Strahlen- 
biindel ein genaues Abbild der elliptischen Ebene darstellt; hierdurch 
erklart sich die Schwierigkeit, die elliptische Ebene sich anschaulich 
vorzustellen. 

Die genannten Unterschiede im Zusammenhange der Ebene treten 
deutlich hervor, wenn man die durch Projektion von einem Punkte A 
aus erhaltene Abbildung einer nicht - geradlinigen Flache zweiten 
Grades auf eine nicht durch A gehende Ebene betrachtet. Auf dieser 
Ebene erscheint als UmriB der Abbildung ein Kegelschnitt, der reell, 
imaginar oder in ein imaginares Punktepaar (mit reeller Verbindungs- 
linie) ausgeartet ist, je nachdem A aufierhalb, innerhalb oder auf der 
Flache zweiten Grades angenommen ist. Auf dicsen Kegelschnitt yr dnde 
man mm innerhalb der Bildehene in der seithcr besprochenen Weise 
eine Cayleysclie Mafibestimmung und iibertraye diese ruckwarts durch 
die Projektion auf die Flache zweiten Grades. Als Ort der unendlich 
fernen Punkte wird dabei auf der Flache zweiten Grades deren 
Schnitt mit der Polarebene a des Punktes A erscheinen. Liegt A 
aufierhalb der Flache zweiten Grades, so ist dies ein reeller Kegel- 
schnitt, liegt er auf der Flache, ein bloBer Punkt, liegt er innerhalb, 
so ist es eine imaginare Kurve. 

Als Bild der hyperbolischen Ebene erscheint so eine (einfach 
zusammenh angende) Kalotte der Flache zweiten Grades, als Bild der 
parabolischen Ebene die mit einer punktformigen Offnung versehene 
Flache zweiten Grades (was im Sinne der Analysis situs [III AB 3, 
Abschn. D, Nr. 2] ebenfalls eine einfach zusammenhangende Flache ist). 
Als Bild der elliptischen Ebene aber erscheint die Gesamtfldche ziveiten 
Grades, nur daft die Besiehung zivischen ihr und der Ebene wvei-ein- 
deutig ist: jedesmal geben zwei mit A auf derselben Projektiousgeraden 
liegende Punkte der Flache einen und denselben Punkt der Bildebene. 
Dies wird besonders deutlich, wenn man als Flache zweiten Grades 
die Kugel, als Punkt A den Mittelpunkt derselben wahlt; die MaB- 
geometrie, welche man von der Ebene auf die Kugel iibertragt, ist 
dann nichts anderes als die gewohnliche MaBbestimmung der spha- 
rischen Geometrie 188 ). Jetzt schneiden sich zwei geodatische Linien in 
zwei diametral liegenden Punkten; urngekehrt gehen durch zwei solche 
Punkte unendlich viele solche Linien hindurch (vgl. obeu Nr. 9). 

187) Vgl. F. Klein, Nicht-Euklidische Geometrie 1 (1893), p. 98. 

188) Vgl. F. Klein, Erlanger Programm Note VI, p. 46. 



24. Yerschiedene Bemerkungen zu den projektiven MaBbestiinmungen. 93 

Ubrigens ist die auf diese Weise auf der Flache zweiten Grades 
erhaltene MaBbestiminung auch an sich bemerkenswert. Man wahle 
als Flache zweiten Grades der Einfachheit halber wieder die Kugel, 
als Ebene K die Aquatorebene. als Punkt A also den unendlich ferneu 
Punkt der Polachse. Dann iibertragt sich die hyperbolische Geo 
metric, welche man in der Aquatorebene auf den Aquator als ab- 
soluten Kegelschnitt griinden kann, in der Art auf die Kugel, daB 
die geraden Linien durch Halbkreise ersetzt sind, die auf der Aquator 
ebene senkrecht stehen, die nickt-Euklidischen Winkel aber, welche 
die Geraden mit einander bilden, durch die gewohnlichen Winkel, 
welche die Halbkreise auf der Kugel mit einander einschlieBen. 
SchlieBlich mag man die Kugel von einem beliebigen Aquatorpunkte 
aus mitsamt der auf ihr konstruierten MaBbestimmung stereographisch 
projizieren. Dann hat man in der neuen Projektionsebene als Bild 
des Aquators, des Tragers der unendlichen Werte der hyperbolischen 
MaBbestimmung, eine gerade Linie. Die geraden Linien der hyper 
bolischen MaBbestimmung sind durch die Halbkreise ersetzt, welche 
zu diesen geraden Linien normal stehen, die Winkel der hyper 
bolischen Ebene aber durch die gewohnlichen Winkel, unter denen 
sich diese Halbkreise im Sinne der Euklidischen Geometric schneiden. 
Dies ist dasjeniyc Bild der liyperbolisclien Geometric, mit dem Poincarc 
bei seinen bekannten funktionentheoretisclien Unlersnclnmgen geu b hnlich 
arbeitet. Man kann bei drei Dimensionen ein ganz entsprechendes 
Abbild konstruieren 189 ). 

c) Uber das Gesetz der Dualitaf. 

Das in der projektiven Geometric giiltige Gesetz der Dualitat gilt 
auch noch fiir die metrischen Eigenschaften in der elliptischen Geo- 
metrie, in der das Absolute (Nr. 22) in bezug auf die Punkte und 
Ebenen in symmetrischer Weise angenoinmen ist. Insofern ist die 
elliptische Geometric die schonste von alien (Clifford). In der hyper 
bolischen und parabolischen Geometrie liegt die Sache anders. In der 
hyperbolischen Geometric steht dem AusschluB der uneigentlichen, in 
bezug auf die absolute Flache zweiten Grades auBeren Punkte nicht der 
AusschluB der schneidenden Ebenen, wie es das Gesetz der Dualitat 
erfordern wurde, sondern vielmehr der der auBeren Ebenen gegeniiber. 
In der parabolischen Geometrie ist das Absolute selbst, das als 
Klassenkurve (-flache) einmal und als Ordnungskurve (-flache) zweimal 
ausgeartet ist, zu sich selbst nicht korrelativ. 



189) Poincare, Acta math. 1 (1882), p. 1. Siehe auch Fricl e-Klein, Auto- 
morphe Funktionen 1. 



94 III A B 1. F. Enriques. Prinzipieu der Geometrie. 

d) fiber die Postulate der metrisch-projektiven Geometrie. 

Welche rnetrischen Begriffe und welche vou ihnen handelnden 
Postulate mufi man den Begriffen und Postulaten der projektiven Geo 
metrie hinzufiigen, um die allgemeine metrisclie Geometric zu begriinden? 

Auf diese Frage erhalt man zwei einfache Antworten im Hin- 
blick auf das in Nr. 22 Gesagte: 

Um die allgemeine metrische Geometrie zu begriinden, hat man den 
deskriptiven Begriffen und Postulaten nur den (als primitiven metrischen 
Begriff betrachteten) Begriff der Orthogonalitat von Ebenen Innzuzufugen, 
deren fundamental Eigenscliaften man postuliert. 

In der Tat kann man auf Grand dieser Eigenscliaften die ortho- 
gonalen Ebenen als in einer raumlichen Polaritat konjugiert betrachten, 
und diese Polaritat defmiert die absolute Flache zweiten Grades 190 ). 

Man braucht dann nur das Parallelenpostulat in einer der drei 
Formen hinzufugen, um die drei Falle der allgemeinen Metrik von 
einander zu unterscheiden. 

Man kann sich auch so ausdriicken: 

Um die allgemeine metrische Geometrie zu begrunden, hat man den 
deskriptiven Begriffen und Postulaten nur den (metrisch primitiven) Begriff 
der Bewegungen, als Glieder einer Gruppe projektiver Transformationen 
betrachtet, deren fundamental Eigenschaften postuliert werden mussen, 
hinsusufugen (Nr. 23). 

Die Eigenschaften, welche die Gruppe der Beweguugen als projek- 
tive Gruppe einer Flache zweiten Grades charakterisieren, konnen auf 
verschiedene Weise ausgesprochen werden, z. B. indem man der Tat- 
sache Rechnung tragt, da6 die genannte Gruppe die kleinste projektive 
Gruppe ist, die auf die Punkte, die Geraden und die Ebenen transitiv 
wirkt (Killing). 



T. Prinzipien der allgemeineii Metrik. 

25. Vorbemerkimg. Den allgemeinen Untersuchungen iiber die 
Metrik der Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen liegt 
entweder der Begriff der Entf ernung oder der der Beivegung zugrunde. 
Dementsprechend trennen sich diese Untersuchungen nach zwei Haupt- 
richtungen. Die erste Art der Betrachtung (welche von dem Be 
griffe der Entfernung ausgeht) knupft zumeist an den Ausdruck fur 
die Entfernung zweier unendlich benachbarter Punkte (das sogenannte 

190) Vgl. die zusainmenhangende Darstellung bei JSnrigues, Vorlesungen 
iiber projektive Geometrie, p. 179ff. 



25. Vorbemerkung. 26. Geometric auf krummen Fliichen. 95 

Bogemlement) an; es gibt aber aueh Arbeiten, die mit dem Ausdrucke 
fur den endlichen Abstand zweier Punkte beginnen. Man setzt dabei 
selbstverstandlich die Mannigfaltigkeit als Zahlenmaunigfaltigkeit vor- 
aus. Die zweite Betrachtungsart kniipft in entsprechender Weise an 
die Ideen der Gruppentheorie an. Hiernach ist die irn folgenden ein- 
zuhaltende Haupteinteilung gegeben. 

A, Bogenelement (nebst endlicher Entfernung). 

26. Geometrie auf krummen Flachen. Man geht von der- 
jenigen Erweiterung des Begriffes der Entfernung zweier Punkte auf 
der Geraden aus, die in dem Begriffe der Entfernung zweier Punkte 
auf einer Linie oder der Ldnge eines Liniensegmentes oder Bogens ent- 
halten ist; diese Lange hangt (wenn die notwendigen Bedingungen 
der Stetigkeit und Derivierbarkeit, die wir immer stillschweigend als 
erfullt annebmen wollen, vorausgesetzt werden) in stetiger und deri- 
vierbarer Weise von den Endpunkten des Bogens und der Gestalt der 
Linie ab und besitzt die additive Eigenscliaft, infolge deren sie durcli 
den Ausdruck des Bogenelementes 



ds = dx 2 + df + 



der Linie x = x(t), y = y(f), z = z() definiert ist. 

Die angegebene Formel liefert far das Linienelement auf einer 
Flaclie (III D 1, 2, v. Mangoldt, Nr. 34, und III D 3, v. Lilimtlial, Nr. 4, 8) 

X = $(UV), y = y(uv), Z = *(U V), 

d. h. fiir die Entfernung zweier unendlich benacbbarter Punkte der 

Flaclie 

(M, ), (u -\- diij v + dv) 

den folgenden Ausdruck: 



ds = yEdu* + 2Fdudv + Gdv*, 
wo 

Dann fiihrt die Betrachtung der geodatischen Linien unter der 
Voraussetzung, daB zwei Punkte der Flaclie auf dem betrachteten 
Flachenstiicke nur eine geodatische Linie bestimmen, zu der Defini 
tion der Entfernung irgend welcher zweier Pmikte (^v^j (^2^2) wf 
der Fldche. 

Die MaBgeometrie, die man so auf einer Flache erhalt, ist wesent- 
lich auf geniigend kleine, einem beschrankten Teile (u, v) der Zahlen- 



96 1U AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geoinetrie. 

ebene entsprechende Flachenteile beschrankt, d. h. sie kann in diesem 
Sinne eine differentiate MaBgeometrie genannt werclen. 

Hier ist der Begriff der auf einander dbwickelbaren oder besser 
isometriscJien Flachen (deren Linienelemente ds, ds durch dieselben 
Formeln gegeben sind), fur welche dieselbe differentials Maftgeometrie 
gilt (III D 6 a, Vop, Nr. 2, 34), fundamental. 

So erhalt man eine genaue Abbildung der gewohnlichen differen- 
tialen MaBgeometrie der Ebene in der Geometric auf den auf die Ebene 
dbwickelbaren Flachen usw. 

Es muB jedoch gleich hier ausdriicklich bemerkt werden, daB ; 
wenn zwei analytisch definierte und in ihrer ganzen Ausdehnung be- 
trachtete Flachen gegeben sind, die Tatsache, daB auf ihnen dieselbe 
differentiale MaBgeometrie gilt, nicht die Konsequenz nach sich zieht, 
daB die MaBgeometrie auf einer von ihnen, als Games betrachtet, 
ihre genaue Abbildung in der MaBgeometrie der anderen findet; hier 
kommen vielmehr noch die Zusammenhangs verbal tnisse der beiden 
Flachen in Betracht (Abschn. VI); so ist z. B. die MaBgeometrie auf 
dem Kreiszylinder von der auf der Euklidischen Gesamtebene ver- 
schieden (Nr. 37). 

Ferner riihrt von Riemann der Gedanke her, beim Studium eines 
gegebenen ds 2 von jeder besonderen Form einer zugehorigen Fl ache des 
E s abzusehen und die dbstrdkte Mannigfaltigkeit (it, v) zu betrachten, 
fiir welche das Gesetz der Entfernung zwischen zwei unendlich be- 
nachbarten Punkten durch die Formel 



v + Gdv 2 (E=*E(uv), F= F(uv), G = G(uv)) 

definiert wird. Die Kriimmung einer Flache, oder genauer das von 
Gatift sogenannte Kriimmimgsmaft k (III D 1, 2, Nr. 36, und III D 3, 
Nr. 33) der Flache in einem beliebigen Punkte, d. h. das reziproke 
Produkt der zum Flachenpunkte gehorigen Hauptkrummungsradien, 
ist bekanntlich bei beliebiger Abwickelung der Flache (Verbiegung 
der Flache ohne Dehnung) eine Invariante. Dementsprechend driickt 
sich dasselbe durch die im Ausdrucke fiir ds* auftretenden Koeffi- 
zienten j&, F, G und deren nach u, v genommene DiiFerentialquotienten 
aus; die konkrete Gestalt, welche die betrachtete Flache im Raume 
hat, fallt ganz weg. Bei der abstrakten Mannigfaltigkeit u, v verliert 
der Ausdruck ,,Kriimmung a an sich jede anschauliche Bedeutung; 
man hat nunmehr eine aus E, F, G und ihren nach u t v genommenen 
Differentialquotienten zusammengesetzte Differ entialinvariante (welche 
ungeandert bleibt, wenn man in ds* fiir u, v irgend zwei andere Ver- 
anderliche einsetzt). Trotzdem hat man fiir diese Invariante die Be- 



26. Geometric auf krummen Flachen. 97 

nennung Kriimmungsmafl beibehalten; man spricht dann aber, um 
MiBverstandnisse zu vermeiden, besser nicht vom KriiinmungsruaB der 
(abstrakten) Mannigfaltigkeit (w, v), sondern vom KriimmungsmaB der 
fiir diese Mannigfaltigkeit gegebenen MaBbestimmung. In diesem 
iibertragenen Sinne haben wir bereits in der vorigen Nuininer von 
deni KriimmungsmaB der hyperbolischen, elliptischen and parabolischen 
Ebeue gesprochen. 

Wir wollen uns jetzt umgekehrt die Aufgabe stellen, in der dif 
ferent ialen MaBgeometrie einer Flache des gewohnlichen Raumes die 
genaue Abbildung der , ? allgemeinen", speziell der nieht-Euklidischen 
MaBgeometrie der Ebene (vgl. p. 42) zu suchen. Wir miissen dann 
vor allem diejenigen Flachen suchen, welche man (wie die Ebene) frei 
auf sich selbst so bewegen (oder abwickeln) kaun, daB ein beliebiger 
Punkt der Flache in irgend einen anderen beliebigen Punkt gebracht 
wird. Diese Flachen haben notwendig konstante Kriimmung; und um 
gekehrt geht aus einem Satze von Minding 1 * 1 ) hervor, daB jede 
Flache von konstanter Kriinimung in der erforderlichen Weise (nam- 
lich oo 3 -fach) frei auf sich selbst bewegt werden kann (III D 5, 
v. Lilienthal, Nr. 33). 

Man rnoge jetzt die Flachen konstanter Krfiniinung nach dem 
Werte k ihrer Kriimmung unterscheiden ; man erhalt: 

a) Fur & = die geineinen abwickelbaren Flachen, deren diffe 
rentiate MaBgeometrie derjenigen der gewohnlichen Euklidischen ebenen 
Geometric gleich 1st. 

b) Fiir & > die auf eine Kugel abwickelbaren Flachen, deren 
differentiate MaBgeometrie derjenigen der elliptischen ebenen Geometrie 
vorn KrummungsmaBe A 1 gleich ist (vgl. Nr. 2 3 a) und besonders die 
FuBnote 183). 

c) Fiir 7i < die sogenannten pseudospharischen Flachen 9 deren 
differentiate MaBgeometrie derjenigen der hyperbolischen ebenen Geo 
metrie vom KriimmungsmaBe k gleich ist. 

Diese Gleichheit geht in der Tat aus den trigonometrischen 
Formeln hervor, die von Minding fiir die auf der Flache gezogenen 
geodatischen Dreiecke aufgestellt worden sind. 

Jedoch hat Minding selbst diese Formeln nicht in Beziehung zur 
nicht - Euklidischen Geometrie gesetzt; er hatte auch wohl von den 
kurz vorher veroffentlichten Lobatschefskijschen Arbeiten keine Kenntnis. 

Die betreffende Benierkung findet sich jedoch in dem Habilitations- 
vortrag von Riemann angedeutet und wurde kurz nach dem Erscheinen 

191) J. f. Math. 19 (1839), p. 378, und 20 (1840), p. 324. 

Encyklcp. d. math. Wissensch. Ill 1. 7 



98 III A A 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometric. 

derselben (1866) unabhangig davon von Beltrami 192 ) ausdrucklich ent- 
wickelt. 

Der Beltramischeii Arbeit liegt die von demselben Verfasser 19S ) 
erkannte Tatsache zugrunde, dafi bei den Flachen konstanter Krtim- 
niung nnd nur bei ihnen die geodatischen Linien durch lineare Glei- 
ehungen dargestellt werden konnen (vgl. Nr. 20). Diese Bemerkung fiihrt 
darauf, eine umkehrbar eindentige Beziehung zwischen den Punkten der 
abstrakten Flache oder elementaren Mannigfaltigkeit (u, v) von kon 
stanter negativer Kriimmung und dem innerhalb eines (Grenz-)Kreises 
enthaltenen Gebiete einer gewohnlichen Ebene aufzustellen, wobei 
man eine Abbildung erhalt, in der den geodatischen Linien der Flache 
die Sehnen des Grenzkreises entsprechen. Die MaBbestimmung auf 
der Flache ist dabei nichts anderes, als die anf den Kreis als ab- 
soluten Kegelschnitt zu grundende Cayleysche MaBbestimmung , vrie 
Beltrami auch ausdriicklich hervorhebt. 

Eine andere Art Abbildung der hyperbolischen Geometric auf 
eine gewohnliche Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, 
namlich eine konforme, haben wir bereits betrachtet ? indem wir die 
hyperbolische Geometric zunachst auf die von dem Aquator begrenzte 
halbe Kugel iibertrugen und diese dann stereographisch auf eine Ebene 
projizierten (Nr. 24). 

Wahlt man dabei als Pol der Projektion den Mittelpunkt der 
Kugel, so kommt man auf die schon bei Eiemann vorkommende Form 
des Bogenelements (vgl. p. 101): 



wo Jc das KriimmungsmaB der Flache ist. 

Wahlt man dagegen den Pol (wie wir vorhin taten) auf dem 
Aquator selbst, so kommt: 



oder ; wenn k = ^ gesetzt wird (III D 5, v. Lilienthal, Nr. 33, und 

u 

III D 6 a, Vofi, Nr. 28), fur x = v, y = Ee *, 

2w 

ds* = du 2 + 6* - dv 2 . 
Interpretieren wir in diesen Formeln #, y oder u, v als gewohn- 



192) Giorn. di mat. 4 (1866), 

193) Ann. di mat. (1) 7 (1866), p. 185; Opere 1, p. 262. 



26. Geometrie anf krummen Flachen. 



99 



liche cartesische Koordinaten in einer Hilfsebene, so wird in dieser 
die MaBgeometrie der hyperbolischen Gesamtebene eine abstrakte Inter 
pretation finden. 

Letzteres ist bei den Flachen konstanter negativer Krumnmng, 
die man als Beispiele konstruiert hat, zunachst nicht der Fall. Denn 
diese werden alle von singularen Kurven oder Punkten derart be- 
grenzt, da6 auf ihnen nur ein Stuck der hyperbolischen Ebene seine 
Abbildung findet. Man vergleiche z. B. die von Minding bestimniten 
Rotationsflachen. 

Es entsteht die Frage, ob man iiberhaupt eine pseudospliarisclie 
Fldche des geicolmlklien Euklidischen Eaumes konstruieren kann, die 
das vollstdndige Abbild der abstra~kten Mannigfaltigkeit (n, v), d. li. der 
gesamten hyperbolischen Ebene darbietet. 

D. Hilbert 19 *) hat bewiesen, da6 keine regulare analytische Flache, 
die dieser Forderung geniigt, existiert. Auf jeder solchen Flache treten 
namlich singulare Kurven oder Punkte auf. Derselbe SchluB gilt hin- 
sichtlich der nidit analytischen Flachen , die von G. Lufkemeyer 19 ) 
und E. Holmgren 196 ) betrachtet worden sind. 

Bemerkungen , analog den obigen, mu6 man auch niacheu, so- 
weit die Geometrie der in ihrer ganzen Ausdehnung betrachteten 
Flachen konstanter positiver Kriimmung in Betracht kommt. Wir 
haben bereits bemerkt (Nr. 24), dafi die spharische Geometrie sozusagen 
ein fibervollstandiges Abbild der Geometrie der elliptischen Ebene gibt. 
Nicht die Kugel, sondern das Strahlenbiindel bietet eine zweidimen- 
sionale abstrakte Mannigfaltigkeit dar, die ein genaues Abbild der 
elliptischen Ebene ist. Andererseits zeigt man, dafi die Kugel hn ge- 
ivolmliclien Eiiklidisclien Raume die einsige gesclilossene Fladie kon 
stanter positiver Kriimmung ist. Dieser Satz ist, was analytische 
Flachen angeht, neuerdings von W. Liebmann bewiesen worden 197 ), 
wahrend G. Lufkemeyer 198 ) und E. Holmgren} dargetan haben, da8 
Flachen konstanter positiver Krummung in der Tat immer analy- 

194) Am. Math. Soc. Trans. 2 (1901), p. 87; Grundlagen, Anhang V, p. 162. 

195) Diss. Gottingen 1902. 

196) Paris C. R. 134 (1902), p. 140. Die Idee der nicht analytischen regu- 
laren Flachen geht auf Chr. Wiener zuriick, der in seinen Vorlesungen uber 
darstellende Geometrie nicht-geradlinige abwickelbare Flachen, die als Grenze 
eines Polyeders erhalten werden, in Betracht gezogen hat; vgl. Lehrbuch der 
darstellenden Geometrie 2, Leipzig 1887, p. 29. 

197) Gott. Nachr. 1899, p. 44; Math. Ann. 53 (1900), p. 81; 54 ^1901), p. 505; 
vgl. J>. Hilbert, Grundlagen, p. 172. 

198) Diss. Gottingen 1902, p. 163. 

199) Math. Ann. 57 (1903), p. 409. 

7* 



100 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

tisch sind (wenigstens wenn sie stetige Ableitungeii bis zur dritten 
Ordnung haben). 

27. Biemannscke Mafibestimmuiig in einer beliebig auagedehnten 
Mannigfaltigkeit. Die Ideen, die wir im Hinblick auf die MaB- 
geometrie auf einer Flache oder vielmehr auf einer abstrakten zwei- 
dimensionalen Mannigfaltigkeit entwickelt haben, finden ihre nattir- 
liche Erweiterung in der MaBgeometrie der mehrfach ausgedehnten 
Mannigfaltigkeiten, deren Prinzipien Riemann in seinem Habilitations- 
vortrag entwickelt hat. 

Geht man von einer elementaren Mannigfaltigkeit v z oder v n 
von 3 oder mehr Dimensionen aus ? in der ein Koordinatensystem 
x it x z> - - v x n ( y gl- Nr. 1^) a ^ s gegeben vorausgesetzt wird, so kann man 
eine Mafibestimmung in der Mannigfaltigkeit aufstellen und dann auf 
ihr eine differentiate MaBgeometrie defmieren, indem man als Ausdruck 
fur die Entfernung zweier unendlich benachbarter Punkte nimmt: 



ds = a ik dx i dx k , 

wo ^a ik dx i dx k eine wesentlich positive quadratische Form bezeichnet. 
Dieses Prinzip (das spater von H. v. Helwiholts der verallgemeinerte 
Pythagoraische Satz genannt vvurde) bietet sich als das einfachste 
dar, wenn man die MaBbegriffe in einer v n ^(x 1 ,x 2) - , x n ) durch 
Definition der Ldnge einer Linie x t = x i (f) festsetzen will, die in 
einem von Null verschiedenen Intervalle durch stetige und derivier- 
bare Funktionen in der Weise dargestellt wird ; daB sie: 

a) einen wesentlich positiven Wert hat ; 

b) stetig und derivierbar von den Endpunkten und von der Gre- 
stalt der Linie abhangt, 

c) die additive Eigenschaft besitzt (vgl. Nr. 23). 

Auf Grund dieser Bedingungen erhalt man die Funktion, die die 
Lange einer Linie darstellt, durch Integration des Linienelementes ds, 
und der Ausdruck von ds hangt nur von den Koordinaten x i9 x i -f- dx i 
zweier unendlich benachbarter Punkte ab. 

Der Ausdruck fur ds darf jedenfalls keine lineare Funktion der 
x i} dx i sein, weil er dann infolge der Stetigkeit negative Werte annehmen 
miiBte ? wenn man eine Linie um einen Punkt stetig so weit variieren 
laBt, bis sie wieder mit sich selbst zusammenfallt, und damit ihren Sinn 
umkehrt. Dagegen ist ds 2 , ds^ und iiberhaupt jede von ds 2 eindeutig ab- 
hangende Funktion als Grundlage fur die Bildung eines Ausdruckes fur 
das Linienelement zulassig. Wenn man nun voraussetzt, daB ds 2 so 
weit derivierbar sein soil, als fiir die Entwicklung der Maclaurinschen 
Reihe bis zum dritten Grliede notig ist ; und unendlich klein von der 



28. Homogene MannigfaHigkeiten. 101 

zweiten Ordnimg in den Differentialen dx { , so erhalt man gerade 200 ^ 

ds* = ^a ik dx i dx k . 

Macht man dagegen irgencl welche andere Annahme hinsichtlich 
der Derivierbarkeit von ds 2 im Anfangspunkte, so kann man auf 
andere und hohere Art eine MaBbestimmung in unserer Mannigfaltig- 
keit festsetzen, indem man z. B. als Ausdruck fur ds* eine wesentlich 
positive Form vierten Grades in den dx { annimmt, die sich nicht auf 
ein vollkommenes Quadrat reduziert. Die Moglichkeit solcher Falle 
ist bereits von B. Riemann hervorgehoben worden, der daun aber 
seine Betrachtungen auf den einfachsten und wichtigsten Fall ein- 
geschrankt hat, in dein der verallgemeinerte Pythagoraische Satz gelten 
soil 201 ). 

Wie bei den Flachen, so kann man aucli bei den Mannigfaltig- 
keiten v n , in denen eine Mafibestiminung durch den Ausdruck fiir ds 9 
definiert ist, die yeodatisclien Linien oder Linien kleinster Lange be- 
trachten, von denen jede in geeignet begrenzten Gebieten durch zwei 
Pimkte vollig bestimmt ist. Ist auf diese Weise der Begriff der Ent- 
fernung zwischen zwei Punkten festgelegt, so kann man an ihn an- 
kniipfend die Begriffe des Winftels 202 ) und des Rauminhalts 203 ) definieren. 

28. Homogene Mannigfaltigkeiten. B. Riemann beschaftigt sich 
im besondern mit den Mannigfaltigkeiten v 3 oder v n9 die, wie der ge- 
wohnliche Ranm, liomogen erscheinen, d. h. sich in sich bewegen 
lassen. 

Dieser Begriif wird in folgender Weise naher bezeichnet. 

Unter den Linien elementen (dx^ 9 die von einem Punkte PEE (#,.) 
der Mannigfaltigkeit ausgehen, betrachte man diejenigen, die ein von P 
ausgehendes Flaclienelement bilden, namlich diejenigen, die von zwei 
gegebeuen Linienelementen linear abhangen: 

dx. = K - d l x i + a d^x { ; 

die zu diesen Elementen gehorenden, von P ausgehenden geodatischen 
Linien bilden das ? was man (nach F. Sclmr) eine yeodatisclie Fldche 
durch P nennt. 

B. Riemann betrachtet nun eine Mannigfaltigkeit als homogen, 
wenn es moglich ist ? sie derart in sich selbst zu bewegen, dafi man 
einen Punkt P nnd ein durch ihn gehendes Flaclienelement mit irgend 
einem beliebigen Punkte P und einem von P ausgehenden beliebigen 

200) Vgl. F. Enrigues, Conferenze di geometria, autogr. Vorl., p. 58. 

201) Habilitationsvortrag II 1. 

202) Vgl. F. Enriqiies, Conferenze di geonietria, autogr. Vorl., p. 65. 
203) T. Levi-Civita, 1st, Ven. Atti (7) 4 (1894), p. 1765, insbeeondere 19. 



102 HI A B 1. F. Enriqites. Prinzipien der Geometrie. 

Flachenelemente zur Deckung bringt. Aus dieser Bedingung folgt ohne 
weiteres, daB alle von irgend welchen zwei Punkten ausgehenden geo- 
datischen Flachen dieselbe (verallgemeinerte Gauftsche) Krummung k 
haben, und dies driickt man aus ? indem man sagt, daB die Mannig 
faltigkeit eine konstante Krummung hat. 

J5. Eiemann hat fiir die Mannigfaltigkeiten von konstanter Kriim 
mung k allgemein als Ausdruck fiir das Quadrat des Linienelementes 
angegeben : 

ds 2 == ^i H r ( x n 



Die differentiate Maftgeometrie einer Mannigfaltigkeit v 3 von kon 
stanter Krummung k wird fur k = gleich derjenigen der (parabolisclim) 
Geometrie des gewb hnlichen Euklidisclien Eaumes, fiir k < gleich der 
jenigen der liyperbolisclien Geometrie, fiir k >> gleich derjenigen der 
elliptisclien Geometrie. 

In diesem Zusammenhange hat Eiemann zuerst auf die elliptische 
Geometrie aufmerksam gemacht. Seine Angabe iiber die Form, auf 
welche sich das Linienelement einer Mannigfaltigkeit von konstanter 
Krummung bringen lafit, ist spater durch Rechnungen von E. Chri- 
stoffel m ] und E. LipscMtz) als richtig erwiesen worden 206 ). 

Endlich hat S.Lie 201 ) als Folge eines von ihm bewiesenen Gruppen- 
satzes ausgesprochen ; daB eine metrische Mannigfaltigkeit eine konstante 
Krummung hat, wenn es moglich ist, sie so in sich selbst zu bewegen, 
daft die Linienelemente irgend eines festgehaltenen Punktes in all- 
gemeinster Weise (mit der grofiten Anzahl von Parametern) transfor- 
miert werden, und er hat auf diese Weise die Eiemannsche Bedingung 
fur die Homogenitat einer Mannigfaltigkeit vereinfacht. 

"29. Projektiver Charakter der Mannigfaltigkeiten konstanter 
Krummung. Weitere Studien von Beltrami 2QS ) und L. Schlafli m ) 
beziehen sich auf den projektiven Charakter der Mannigfaltigkeiten 
von konstanter Krummung. 

In einer Mannigfaltigkeit von konstanter Kriimmung lassen sich 
die geodatischen Linien durch lineare Grleichungen darstellen (Beltrami) 5 
daher gilt in den Mannigfaltigkeiten von konstanter Krummung, wenn 



204) J. f. Math. 70 186D), p. 46, 241. 

205) J. f. Math. 70 (1869), p. 71, und 72 (1870), p. 1. 

206) Vgl. L. Bianchi, Rom Line. Rend. (5) 7 2 (1898), p. 147. 

207) Transformationsgruppen 3, p. 353 355. 

208) Ann. di mat. (2) 5 (1872), p. 178. 

209) Ann. di mat. (2) 5 (1872), p. 194. 



29. Projektiver Charakter der Mauuigfaltigkeiten konstanter Kriimmung. 103 

die geodatischen Linien als Gerade betrachtet iverden, im differentialen 
Sinne die projektive Geometric. Umgekehrt (Scldafli): Eine Mannig- 
faltigkeit, in der eine differentiale Mafigeometrie definiert ist y innerlwlb 
tvelcher, tvenn man die geodatisclien Linien als Gerade betrachtet, die 
projektive Geometric gilt, ist eine Mannigfaltigkeit von konstanter 
Kriimmung. 

Und es kann auch die Maftbestimmung einer Mannigfaltigkeit von 
konstanter Kriimmung immer als eine Cayleyselie projektive Maftbestim- 
mung in bezug auf eine absolute Flciche zwtiten Grades betrachtet werden. 
Umgekehrt fillirt die in einem projeldiven Raume in bezug auf eine 
absolute Flaclie ziceiten Grades aufgestellte Mafibestimmung auf einen 
quadratisclien Ausdruck fur das Quadrat ds 2 des LinienelementeSj ivo- 
nacli der Raum wie eine Manniyfaltigkeit von konstanter Kriimmung 
(in der die Geradeu geod atische Linien sind) ersdieint* 10 ). 

Der Vergleich zwischen den Mamiigfaltigkeiten von konstanter 
Kriimmung mid den nietrisch-projektiven Raumen wird vollkommen, 
wenn man sich die Mannigfaltigkeit, in - der die Metrik in differen- 
tialeni Sinne, d. h. fur geeignet begrenzte Gebiete definiert ist, in der 
Weise Yervollstandigt denkt, da6 zwei Punkte immer eine und nur 
eine geodatische Linie bestimmen. Eine solche Vervollstandigung ist 
fiir die abstrakten Eleuieutarmannigfaltigkeiten durch die Betrachtung 
der idealen Punkte (Nr. 17) inimer nioglich, aber es konnten auch 
andere und weniger einfache Yervollstandigungen in Betracht gezogen 
werden, die dann zu anderen Folgerungen AnlaB geben. 

An den projektiven Charakter der Mamiigfaltigkeiten von kon 
stanter Kruuimiuig kniipft endlich eine Untersuchung von F. Schur 211 ) 
an. Schur benaerkt, daB dieser projektive Charakter von der fundamen- 
taleu Eigenschaft der geodatischen Flache abhangt, je oo 2 geodatische 
Linien des Raumes zu enthalten (fundamentale Eigenschaft der Ebene; 
vgl. Nr. 2\ und beweist dann die folgenden Satze: 

Wenn in einer metrisclien Mannigfaltigkeit von drei oder mehr 
Dimensionen die von einem Punkte P ausgehenden geodatisclien Fldclien 
je cxr geodatische Linien des Raumes enthalten, so hat die Mannig 
faltigkeit in bezug auf alle von P ausgehenden Flachenelemente eine 
konstai i te Kriim mung. 

Wenn die angegebene Eigenschaft alien von zwei Punkien P und 
P ausc/elmiden geodatischen Fldchen yukommt, so kommt sic alien geo- 

210) Vgl. E. BeUrami, FuBnote 206, und F. Klein, Erlanger Prograinm. 

211) Math. Ann. 27 (1886), p. 537. Vgl. auch L. Bianclii, Rom Line. Rend. 
(5) II 1 (1902), p. 265. Hinsichtlich eines geometrischen Beweises derselben 
Resultate vgl. F. Enriqiws, Bologna Atti 1902. 



104 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

datisclien Flaclien uberliaupt zu, und die Mannigfaltigkeit ist von kon- 
stanter Krummung. 

So erh alt das Problem der metrischen Mannigfaltigkeiten kon- 
stanter Krummung, sozusagen in seine projektiven Elemente zerlegt, 
die einfachste Losung. 

Die Untersuchungen von F. Schur schlieBen auch die Existeriz 
von Mannigfaltigkeiten von drei oder mehr Diinensionen aus, die uni 
jeden Punkt eine konstante, aber von Punkt zu Punkt eine verander- 
liche Kriimmung haben. 

30. Untersuchungen von De Tilly iiber den Ausdruck fur 
die endliche Entfernung. Dem Riemanmchen Ansatz, der die MaB- 
geometrie durch den Ausdruck fur die elementare Entfernung zwischen 
zwei unendlich benachbarten Punkten zu charakterisieren sucht, steht 
der andere gegenuber, der direkt den Ausdruck fur die endliche Ent 
fernung zwischen zwei wesentlich verschiedenen Punkten herleiten will. 
So geschieht es in den allerdings nicht durchgefuhrten Untersuchungen 
von J.M.De Tilly 212 ). 

Man betrachte den Raum als eine dreidimensionale Mannigfaltig- 
keit, in der ein Koordinatensystem x, y, z festgesetzt ist. Sind zwei 
Punkte 1 = (x^e^j 2 = (x^y^ gegeben ; so wird ihre Entfernung 
(12) durch eine symmetrische Funktion 



ausgedruckt ; die vor allem den folgenden Forderungen geniigt: 

a) die Entfernung zweier Punkte variiert mit ihnen in stetiger 
Weise und wird nur dann Null, wenn die beiden Punkte zusammen- 
fallen ; 

b) sind mehrere Punkte 1, 2, 3, 4, und ein Punkt 2 gegeben, 
der von 1 ebensoweit entfernt ist wie 2, so gibt es Punkte 2 , 3 , 4 , 
von solcher Lage ? dafi die Entfernungen zwischen je zwei Punkten der 
zweiten Gruppe denen zwischen den homologen Punkten der ersten 
gleich sind. 

Diese zweite Bedingung (die im wesentlichen die Beweglichkeit 
der Figuren einfuhrt ? vgl. H. v. Helmholtz, Nr. 32) ist eine funktionale 
Bedingung, der die Entfernungsfunktion geniigen niufi. 

Betrachtet man zwei Gruppen von funf Punkten 12345, 12 3 4 5 , 
so folgt aus den Gleichungen 



212) Bordeaux Memoires (2) 3 (1879), p. 1; BruxeUes Memoires couronnes 
in 8, 47 (1892/93). 



30. Cntersuchungen v. De Tilly u. d. Ausdruck f. d. endliche Entfernung. 105 

f (12) = (120 (13) - (13 ) (14) = (14 ) 
(1) (15)- (15 ) (23) = (2 3 ) (24) = (2 4 ) 

I (25) = (2 5 ) (34) - (3 4 ) (35) = (S S 1 ) 

unter geeigneten Einschrankungen ideutisch: 

(45) = (4 5 / ). 

Daher muB zwischen den zehn zwischen je zwei von funf 
Punkten vorhandenen Entfernungen eine charakteristische Relation, 
genannt die Eclat-ion der fiinf Piirikte, bestehen, deren Form von der 
betrachteten Gruppe von fiinf Punkten unabhangig sein muB (Be 
dingung der Homogenitdt des Raurnes). 

Diese Relation inoge durch 
(1 2 3 4 5) = $ { (12) (13) (14) (15) (23) (24) (25) (34) (35) (45) } = 

dargestellt sein. 

Die Bedingung der Homogenitat verwandelt sich dann in die 
folgende Bedingung (die Bedingung der seeks Pwikte), der die Funk- 
tion iff geniigen muB: 

Die drei Relatianm 

(12345) = 0, (12346) = 0, (12356) = 

(die, welches auch die Form von # sei, durch die Wahl von (46) 
und (56), nachdem (16) (26) (36) unter passenden Einschrankungen 
beliebig gegeben worden sind, erfiillt werden konnen) milssen die drei 
folgenden nacli sich ziehen-. 

(12456) = 0, (13456) = 0, (23456) = 0. 

Nun haben die Untersuchungen, die fiir die Euklidisclie Geometric 
J. B. Lagrange, B. N. Carnot und A. Cayley und fiir die nicht-Euklidische 
Geometric E. Seller ing und P. Mansion- 1 6 } iiber die Relation der funf 
Punkte angestellt haben, zu zwei besonderen Ausdriicken fiir die 
Funktion iff = (1 2 3 4 5) in Determinantenform gefiihrt. Aus diesen 
folgt umgekehrt der Ausdruck fiir die Entfernung in der Euklidischen 
und in der nicht-Euklidischen Geometrie, wenn man eine dritte Be 
dingung c) beriicksichtigt, die die additive Eigenschaft der Ent 
fernung auf der Geraden ausdriickt. 

Es miiBte aber bewiesen werden, daB die durch ^ bestinimten 
Ausdriicke fiir die Entfernung wenigstens unter geeigneten Realitats- 
bedingungen die einzigen moglichen Losungen der vorliegenden Auf- 
gabe sind. Die wenig strengen Betrachtungen De Tillys geniigen nicht, 

213) Schering, Gott. Nachr. 1870, p. 317; 1873, p. 13 und 149; Mansion, 
Bnixelles Soc. Ann. 13 A (1889), p. 57; K A (1891), p. 8; 16 A (1892), p. 51. 



106 HI AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

um die Existenz anderer Losungen auszuschliefien, und H. F. Blicli- 
feldt" 1 *) hat iiberdies Ausdriicke moglicher Beziehungen zwischen den 
Entfernungen erhalten, die in denen De Tillys nicht enthalten sind. 

31. Greometrische Systeme von Minkowski-Hilbert. Gewisse 
Untersuchungen von H. Minkowski und D. Hilbert finden hier ihren 
Platz, insofern sie, von der Betrachtung des Ausdrucks fur die end- 
liche Entfernung zwischen zwei Punkten ausgehend, zu allgemeineren 
geometrischen Systemen fuhren, die die gewohnliche, Euklidische und 
nicht-Euklidische, Metrik umfassen. 

Es seien x, y, z gewohnliche Parallelkoordinaten des Raumes. 

H. MinJiOivski 215 ) nimmt als Ausdruck fiir die Entfernung zwischen 
zwei Punkten (^ 1 y 1 s 1 \ (^2/2^2) eme homogene (im allgemeinen trans- 
cendente) Funktion erst en Grades der Differenzen x l X 2 , y l y% , 



an ? die er keiner anderen Beschrankung unterwirft als der ; dafi sie ; 
einer Konstanten gleichgesetzt, eine nicht konkave Flache darstellt. Er 
erhalt so eine konventionelle Ma6geometrie ; die mit der projektiven 
Geometrie vertrdglich ist in dem Sinne, da6 die Geraden die Linien 
kleinster Lange sind 5 diese Geometrie schlieBt als besonderen Fall 
die gewohnliche Euklidische Geometrie ein. Bei Mirikowski gibt es im 
allgemeinen nur oo 3 Bewegungen ; namlich die c 3 Parallelverschie- 
bungen des Raumes. 

D. Hilbert) hat das vorstehende System verallgemeinert, indem 
er sich die umgekehrte Auf gabe stellte: alle moglichen metrischen 
Geometrien des Raumes zu bestimmen, in denen die Geraden Mrzeste 
Linien sind und aufierdem eine unendliche Lange liaben. 

Die Ant wort 1st, dafi man solclie metrischen Geometrien in dem 
projektiven Eaume immer so herstellen kann, daft man als absolute 
Flache eine geschlossene nicht Iconkave Flache und als Ausdruck fiir 
die Entfernung sweier (eigentliclier) Punkte A, B in ihr den Ausdruck 

c log (ABMN) 

nimmt, wo M, N die Schnittpunkte der Geraden AB mit der ab- 
soluten Flache sind und c eine Konstante bezeichnet. 

Das HilbertBche System wird ersichtlich zur hyperbolischen MaB- 
bestimrnung, wenn man als absolute Flache eine reelle nicht-geradlinige 
Flache zweiten Grades nimmt. Andererseits umfafit es als Grenzfall 



214) Am. Math. Soc. Trans. 3 (1902), p. 467. 

215) Geometrie der Zahlen, Leipzig 1896, 1. 

216) Math. Ann. 46 (1895), p. 91. 



32. Postulate von H. v. Helmholtz. 107 

(wenn namlich die absolute Flache in die unendlich feme Ebene 
ausartet) das Minkowskische System. In der allgemeinen Hilbert- 
schen Metrik gibt es keine Bewegungen. 

Das Hilbcrtsche geometriscbe System kann selbst wieder in 
mebrfacber Weise verallgemeinert werden, wenn man einige der Be- 
dingungen fallen lafit, denen die Funktion der Entfernung zwisehen 
zwei Punkten geniigen muB, urn diejenigen Eigenschaften zu besitzen, 
welche wir gemaB der Anschauung ihr zugestehen, wenn man z. B. 
annimmt, daB sie nicht in bezug auf beide Punkte symmetrisch oder 
nicht durch sie in eindeutiger Weise bestinimt ist 217 ). 

B, Bewegungsgruppe. 

32. Postulate von H. v. Helmholtz. Die Forscbungsrichtung, die 
die Geometrie des physischen Raumes durch. die Eigenschaften der 
Bewegtmgcn, als Punkttransformationen in eineni Raumstiick betrachtet, 
zu cbarakterisieren sucbt, ist von Fr. Ueberweg* 16 ) und von H.v.Helm- 
holtz* 19 ) angebahnt worden. Spater bat F. Klein ), indem er den 
fundanientalen Charakter der Bewegungen, eine Gruppe zu bilden, her- 
vorhob, das Problem in eine scharfere Form gebracht, indem er es 
als eine Gruppenfrage aussprach; diese Frage wurde von verscbiedenen 
Gesicbtspunkten aus von S. Lie und aucb zuni Teil, unabbangig da- 
von ; von H. Poincare bebandelt und gelost. 

Die Postulate, die Helmlioltz der Geometrie zugrimde legt ; sind 
die folgenden: 

I. Uber die Stetigkeit und die Dimensioned des Raumes. 

Das Postulat, wonacli der Raum als eine Zablenmannigfaltigkeit v n 
von n Dimensionen, wo n = 3 ist, angesehen werden kann (vgl. Nr. 15). 
Die Bedingung w=3 kann wie bei Lie (vgl. unten) erst hinterher ein- 
gefiibi*t werden, nacbdem die Postulate der Bewegung allgemein fiir 
den S n ausgesprocben worden sind. 

II. Uber die Existenz betveylicher starrer Korper. 

Zwiscben den 2n Koordinaten eines einem starren Korper an- 
geborenden Punktepaares findet eine Gleichung 



217) Vgl. hierzu G. Hamel, Uber die Geoinetrien, in denen die Geraden 
die kiirzesten sind, Diss. Gottingen 1901, und Math. Ann. 57 (1903), p. 231. 

218) Arch. f. Philologie und Padagogik 17 (1851). 

219) Yerhdl. d. naturkist. ined. Vereins zu Heidelberg 4 (1866) (Wissensch. 
Abhandl. 2, p. 610) und Gott. Nachr. 1868, p. 193 (Wissensch. Abhandl. 2, p. 618). 

220) Erlanger Programm und Math. Ann. 6 (1873), p. 116. 



108 III A B 1. F Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

statt, die fur jedes Paar Jfoncjruenter } d. h. durch eine Bewegung zur 
Deckung zu bringender Punkte dieselbe ist. 

III. fiber die Freiheit der Bewegung. 

Der erste Punkt eines starren Systems ist durehaus beweglich. 
Wenn er festgebalten wird, so findet fiir den zweiten Punkt eine 
Gleichung statt; wenn noch ein zweiter Punkt festgehalteu wird, so 
muB ein dritter Punkt zwei Gleichungen genligen usw. Im ganzen 

43, ()-i \ \\ 

muB man n Punkte festhalten, d. n. - 2 Bedingungen geben, um 

in dem Raume von n Dimensionen die Lage jedes Punktes fest- 
znlegen. 

IV. fiber den Zusammenhang mvischen Drelmng und Identitdt 
(Postulat der Monodromie). 

Es wird angenommen, daB im Raume von n Dimensionen eine 
vollstandige Drehung um n 1 feste Punkte allgemeiner Lage einen 
starren Korper identisch mit sicb selbst zur Deckung bringt, d. h. 
dafi die unter diesen Bedingungen von einem Punkte beschriebene 
(Kreis-)Linie geschlossen ist. 

HelmJwltz glaubt zu beweisen, daB die genannten vier Postulate 
von einander unabhangig sind und zur vollstandigen Charakterisierung 
der allgemeinen, Euklidischen oder nicht-Euklidischen, Geometric des 
Raumes ausreichen 7 indem er tatsachlich zuletzt zu dein Biemannschen 
Ausdruck fur das Quadrat des Linienelements gelangt. 

Aber gegen die HdmhoU*8chm Beweise riclitet sich die Kritik 
von S. Lie 221 ) ? insbesondere der Einwand ? daB HelmhoUz entsprechend 
den um einen festen Punkt stattfindenden Drehungen lineare Glei- 
cbungen zwischen den von dem Punkte auslaufenden ersten Differen- 
tialen der Koordinaten anschreibt (was zu speziell ist) 222 ). 

AuBerdein ist das zur Begriindung der ebenen Geometrie (n == 2) 
allerdings notige Postulat der Monodromie fiir den Fall des Raumes 
(n == 3 oder n > 3) iiberfliissig. Dies wurde nocli vor Lie von De Tilly 
(FuBn. 212) verfochten und spiiter von F.Klein***) durch Betrachtungen 
intuitiven Charakters erlautert. 

Imnierhin konnen die HelmJtoltzschQii Resultate als richtig an- 
geseben werden ; soweit es sicli um die Moglichkeit handelt, die all- 



221) Transformationsgruppen 8, p. 437. 

222) Es ware moglich, daB es innerhalb der Gruppe Bewegungen um 
gibt, welclie die von ausgehenden ersten Differentiale ungeandert lassen und 
erst auf die zweiten Differentiale wirken, usw. 

223) Math. Ann. 37 (1890), p. 544, genauer in Hohere Geometrie 2, autogr. 
Vorlesungen, Leipzig 1893. 



33. Untersuchungen von S. Lie. 109 

geineine MaBgeometrie des Raumes auf den ersten drei Posfculaten 
aufzubauen, wofern diese Postulate als fur alle Punkte eines Raum- 
stiickes gultig verstanden werden 224 ). 

33. Untersuchungen von S. Lie 225 ). Lie bringt das Helmholts- 
sclie Problem in eine aiidere Form und kommt dabei zu zwei neuen 
Losungen. 

Es wird vor alleni ebenso wie bei Helmholtz ausdriicklich an- 
genommen, daB der Raum eine Mannigfaltigkeit V B ist, in der man 
Koordinaten einfuhren kann. 

Die Bewegungen des Raumes erscheinen, insoweit sie zusammen- 
setzbar und umkehrbar sind. als Glieder einer Gruppe von Punkt- 
transformationen; diese Annahnie tritt an Stelle derjenigen, die Helm- 
lioltz mit dem Begriff der Kongruenz verbindet, namlieh,, daB die Kon- 
gruenz eine gegenseitige Beziehung ist und daB zwei Figuren, die 
einer dritten koDgruent sind. unter einander kongruent sind. 

Nun kommt die Aufgabe, ein Postulatensystem anzugeben, das 
der allgemeinen MaBgeometrie zur Grundlage dienen konnte, darauf 
hinaus, die Bewegungsgruppen der Euklidischen oder nicbt-Euklidi- 
schen Geometrien durch allgemeine Eigenschaften zu charakterisieren 
und sie dadurch von alien moglichen Transformationsgruppen einer v 3 
zu unterscheiden. 

Das kann man durch Anuahmen, die sich. auf die unendlick kleine 
Umgebung jedes Punktes bezielien, oder durch Postulate in einem end- 
lichen Gebiete erreichen (wobei also die sogleich [unter VI] zu be- 
handelnden Zusammenhangsverhaltnisse des unbegrenzten Raumes zu- 
iiachst aufier Betracht bleiben). 

Die Resultate von /S. Lie sind folgeude: 

a) Wir stellen folgende Definition voran: Eine Transformations- 
gruppe in einer ^ 3 fiihrt zur freien Beweglichkeit im Unmdlichkleinen 
um jeden Punkt P, wenn bei festgehaltenem P es noch moglich ist, 
durch Transformationen der Gruppe ein zu P gehorendes Linien- 
element p in irgend ein anderes auch zu P gehorendes Linien- 
element p und ein zu p gehorendes Flachenelenient n in irgend ein 
zu p gehorendes Flachenelenient n zu bringen. 

Dann ergibt sich, daB die Gruppen der Euklidischen oder nielit- 
EMidisclien Bewegungen des als eine Zahlemnannigfaltigkeit Vi = 



224) S. Lie, Transformationsgruppen 3. 

225) Leipzig Ber. 1886, p. 337; Transformationsgruppen, Abteil. 5 und be- 
sonders p. 471, 498. 



110 III AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

betrachteten Eaumes vollstandig durch die Eigensdiaft charakterisiert 
sind, daft sie reell, transitiv und durch unendlich Ideine Transforma- 
tionen erzeugbar sind, sotvie die freie Betveglichkeit im Unendlichkleinen 
um jeden festgehaltenen Punkt moglich machen. 

Dieser SchluB erstreckt sich in analoger Weise auf den Fall der 
Bewegungsgruppen in Raumen von n > 3 Dimensionen; aber fiir 
n = 2 muB man das Helmholtzsvhe Postulat der Monodromie hinzu- 
fugen, um andere Gruppentypen, die mit der Annahme der Beweg- 
lichkeit im Unendlichkleinen vertraglich sind ? auszuscheiden. 

b) Betrachtet man dagegen die Eigenschaften der Bewegungen 
in einem endlichen einfacli zusammenhangenden Gebiete, so kommt 
man zu dem Ergebnis: 

Die allgemeine Maftgeometrie des Eaumes kann, soweit em be- 
grenztes Eaumstuck in Betracht Jcommt, auf folgende Postulate gegriindet 
werden : 

1) Der Eaum ist eine Zahlenmannigfaltigkeit von drei Dimen 
sionen (v s ). 

2) Die Betvegungen bilden eine reelle Transformationsgruppe, die 
durch unendlich Heine Transformations erseugt tvird. 

3) Wenn man einen Punkt (y-fy^y^) von allgemeiner Lage fest- 
haHtj so geniigen die Punkte, in die ein anderer Punkt (x^x^x^) durch 
eine Bewegung gebracht tverden kann, einer G-leichung 



die eine durch (x^x^x^), aber nicht durch (^/i 2/ 2 2/3) hindurchgeJiende 
Fldche darstellt. 

4) Um den Punkt (2/1 2/2 2/3) kann man ein dreidimensionales 
Eatimstiick von der Beschaff enheit abgrenzen, daft, tvenn der Punkt 
(2/1 2/2 2/3) festgehalten wird, jeder andere Punkt (x Q x 2 x s ) des ge- 
nannten Eaumstuckes durch eine stetige Bewegung in irgend einen 
anderen Punkt gebracht tverden kann, der der Grleichung 5i = geniigt. 

34. Untersuchungen von H. Poincare. Unabhangig von Lie 
(dessen erste Arbeit (FuBnote 225) voni 25. Okt. 1886 nerstammt) hat 
sich H. Poincare 2 ) die Aufgabe gestellt, auf gruppentheoretischem 
Wege diejenigen Geornetrien der Ebene zu charakterisieren, bei denen 
ein quadratisches] Gebilde im Sinne der projektiven Geometrie zu- 
grunde liegt (vgl. Nr. 23). Er gelangt zu folgendem Postulatensystem : 



226) Paris Bull. Soc. math, de France 15 (1887), p. 203; vgl. 8. Lie, Trans- 
formationsgruppen 3, p. 437, 2. FuBnote. 



35. Untersuchungen von D. Hilbert. HI 

1) Die Fbem ist eine Mannigfdltigkett von zwei Dimensioned. 

2) Die Beivegungen bilden in der Ebene eine reelle Transformations^ 
gruppe, die dnrcli unendlicli Ideine Transformationen erzeugt wird, und 
von drei Parametern abliangt. 

3) Wenn in der Ebene zwei Punkte einer Figur festgelialten icerden, 
so ist die Figur selbst unbeweglicli. 

Dieses dritte Postulat tritt an Stelle des Helmholtzschen Postu- 
lats der Monodromie. Es ist so gefafit, dafi von den betrachteten 
Punk ten der Ebene aus nioglicherweise noch reelle Tangenten an das 
absolute quadratische Gebilde laufen konnen. Sollen allein die drei 
Falle der elliptischen, hyperbolischen und parabolischen Mafibestim- 
mung iibrig bleiben, so wird man beispielsweise yerlangen, da6 alle 
von eineni Punkte auslaufenden Geraden kongruent sein sollen. 

35. Untersuchungen von D. Hilbert. Bei der Klassifikation der 
Transforniationsgruppen beschranken sich sowohl Lie wie Pohicare 
auf Transform at ionen, die durch analytisclie Funktionen, oder wenig- 
stens auf solche, die durch derivierbare Funktionen dargestellt werden; 
diese Annahnie gehort zu der Erzeugung der Gruppen durch unend- 
lich kleine Transformationen , soferu man diese, wie Lie in seiner 
Gruppentheorie , analytisch darstellt. Dabei kommt aber nicht zum 
Vorschein, ob diese Beschrankungen Annahmen enthalten ; die den 
Postulaten der Geometric, die man charakterisieren will, hiozuzufiigen 
sind 227 ). Das Problem, festzustellen, welche Annahmen in diesen Be 
schrankungen enthalten sind, ist von D. Hilbert 223 } aufgenonimen 
worden, der nach Vorausschickung der Annahnien, welche die Ebene 
als eine Zahlenmannigfaltigkeit von zwei Dimensionen charakterisieren, 
zeigt, dafi die Gruppen Euklidisclier und niclit-Euklidisclier Betvegungen 
der Ebene unter alien Gruppen stetiger umkekrba/r eindeutiger Trans- 
formationen durch die folgenden drei Postulate clmralderisiert werden: 

I. die Beii egungen bilden eine Gmppe; 

n. die Beivegungen, die einen Punkt fest lassen, bringen irgend 
einen anderen Pmikt in unendlicli viele verscliiedene Lagen; 

III. die Beicegungen bilden ein abgeschlossenes System (im Cantor- 
schen Sinne), d. h. wenn es z. B. Bewegungen gibt, durch welche Punkt- 
tripel in beliebiger Nahe des Punkttripels ABC in beliebige Nahe 



227) In der ersten, FuBnote 225, zitierten Arbeit p. 342 wirft S. Lie die 
Frage auf, wie die Transforniationsgruppen, die die Euklidische und die nicht- 
Euklidische Geometric definieren, zu charakterisieren sind, wenn man den analy- 
tischen Charakter der in Betracht kommenden Funktionen fallen lafit. 

228) Grundlagen, Anhang 4, p. 121. 



112 HI AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geoinetrie. 

des Punkttripels A B C iibergefiihrt werden konnen, so gibt es 
stets auch erne solche Bewegung, durch welche das Punkttripel ABC 
genau in das Punkttripel A B C iibergeht. 

Wenn es aucli auf den ersten Blick sonderbar erscheint, daB 
allein diese Bedingungen geniigen sollen, um die Gruppe der Be- 
wegungen unter alien moglichen Gruppen ebener Transformationen 
zu charakterisieren (besonclers weil nicht gefordert wird, daB es nur 
oo 1 Bewegungen geben soil, die einen Punkt fest lassen), so ist doch 
zu beaehten, daB die Bedingung III bewirkt, daB alle Gruppen (z. B. 
die projektive oder die konforme) ausgeschlossen werden, die aus- 
geartete (und also nicht eindeutig umkehrbare) Transformationen als 
Grenzfalle besitzen. 



VI. Zusammeiihangsverhaltnisse des unbegrenzten Raumes. 

36. R aume, die als Ganzes bewegt werden konnen. Die bis- 
her erwahnten Untersuchungen fiber die Grundlagen der MaBgeometrie 
gehen mehr oder minder bewuBt von dem philosophischen Prinzipe 
aus, als Postulate Satze aufzustellen, die in einem den Sinnen zugang- 
lichen Gebiete des physischen Raumes durch die Erfahrung gegeben 
werden. Hiermit sind aber noch nicht die Eigenschaften des Gresamt- 
raumes festgelegt. Vielmehr bedarf es hierzu noch besonderer Unter- 
suchuugen ? welche sich als Erganzungen an alle vorher gehenden 
Untersuchungen anschlieBen 229 ). 

Nehmen wir als gegeben an, daB die Schliisse, auf welche die 
Erfahrung hinsichtlich der Geoinetrie in einein das Feld unserer Be- 
obachtungen bildenden Raumstiicke fuhrt, iiber die Grenzen der ge- 
nannten Beobachtungen hinaus auf eine geeignete Umgebung irgend 
eines Punktes ausgedehnt werden konnen. Der Gesamtraum wird dann 
als eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit F 3 von konstanter Krum- 
niung ohne singulare Punkte erscheinen, so daB die Geometric in der 
Umgebung jedes seiner Punkte die gewohnliche allgemeine (Euklidische 
oder nicht-Euklidische) Metrik sein wird. Ein geeignetes Gebiet der 
F 3 um irgend einen Punkt wird sich auf ein entsprechendes Gebiet 
eines metrisch-projektiven Raumes S 3 kongruent abbilden lassen. Aber 
man wird darum doch nicht behaupten konnen, daB die so her- 
gestellte Abbildung sich auf die F 3 und den 8 S in ihrer Vollstandig- 
Jceit erstreckt, so daB die Geometric der F 3 als Ganzes betrachtet von 



229) F. Klein, Math. Ann. 37 (1890), p. 544. 



36. Frei bewegliche Ritume. 113 

der Geometrie des gesamten Raumes S 3 verschieden sein kann, genau 
wie die Geometrien zweier Flachen im ganzen betrachtet verschieden 
sein konnen, auch wenn die genannten Flachen im differentialen Sinne 
auf einander abwickelbar sind (Nr. 9). 

So kann es infolge der Zusammenhangsverhaltnisse der Ge- 
samt-F s sich ereignen, da6 es zwar fiir jedes einfach zusanirnen- 
hangende Stuck der V s in jeder Urngebung der F 3 oo 6 Bewegungen 
gibt, daB aber die gesamte F 3 sich nicht mit gleicher Freiheit be- 
wegen kann. Eine analoge Tatsache tritt bereits bei der Flache eines 
Kreiszylinders auf, die in differentialem Sinne auf die Ebene abwickel 
bar ist: ein einfach zusanirnenhangendes Stiick der Zylinderflache 
lafit sich auf dieser um einen beliebig festgehaltenen Punkt herum 
auf co 1 Weisen bewegen, aber die Gesaintflache nicht mehr; man 
kann sie nicht mehr in sich verbiegen, sobald einer ihrer Punkte 
festgehalten wird. 

Nehrnen wir an, daB die Mannigfaltigkeit V s von konstauter 
Krummung als Ganzes sich auf oo 6 Weisen (wie es fiir jedes Stiick 
von ihr der Fall ist) bewegen kaun. Wird man dann die F 3 in 
ihrer ganzen Ausdehnung als einen nietrisch-projektiven Raum S s 
betrachten konnen? 

Die Antwort ist in einem allbekannten Falle negativ. 

In der Tat, betrachten wir die Mannigfaltigkeit, welche spharischer 
Raum genannt wird, d. h. die dreidiinensionale Mannigfaltigkeit, 
deren Elemente (Punkte) durch diejenigen Werte der vier Koordinaten 
%i> x z> %3> x gegeben sind, die der Relation 

x* + xf + x* + ^ = r 3 

geniigen. 

Es gibt oo 6 Bewegungen, die diesen spharischen Raum in seiner 
Gesamtheit in sich iiberfiihren. Trotzdem ist derselbe mit dem 
elliptischen Raume nicht identisch. In der Tat bestinimen zwei Punkte 
dieses Rauines nicht mehr irnmer eine einzige geodatische Linie 
(Gerade), weil jede geodatische Linie gleichzeitig mit einem Punkte 
(^i^OjaJ auch dessen GegenpunM ( a ly a 2 , a 3 , aj enthalt. 
Der spharische Raum ist vielmehr aus dem elliptischen Raume durch 
eine Beziehung (2, 1) abgeleitet (genau wie die gewohnliche Kugel 
aus der elliptischen Ebene oder dem Strahlenbiindel). 

Hiemann selbst scheint in dieser Sache keine Meinung geauBert 
zu haben. Jedenfalls war man langere Zeit hindurch allgemein der 
Ansicht, daB die spharische Geometrie die einzige ist, die mit der 
Annahme einer konstanten positiven Krummung vertraglich ist, und 

Encyklop. d. math. Wissensch. ITEl, 8 



114 III AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

daB dalier in einer Mannigfaltigkeit von solcher Krummung ohne 
singul are Punkte als Ganzes betrachtet zwei geodatische Linien sich 
immer in zwei (entgegengesetzten) Punkten treffen iniissen. DaB dies 
eine irrttimliche Meinung ist, wurde, wie bereits oben (Nr. 9) hervor- 
gehoben, zuerst von F. Klein 28 ) (1871 73) gezeigt. Spater wurde 
der elliptische Raum im Gegensatze zum spharischen Raume oder 
neben ihm ausdrticklich von 8. Newcomb 1 ) (1877) und W. Killing) 
(187980) betrachtet. 

Kehren wir nun zu der vorher gestellten Frage zuriick, so kann 
man antworten 233 ): 

Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit von konstanter Krummung k, 
die als Ganges betrachtet, wie in jedem ihrer Teile, oo 6 Bewegungen in 
sich selbst zulaflt, kann betrachtet iverden als 

1) ein hyperbolischer Eaum (k < 0), 

2) ein parabolischer Eaum (k = 0), 

3) ein elliptischer Eaum (k > 0) , 

4) ein spMrischer Eaum (k > 0) . 

6r. Veronese 23 *) hat in seinen Fondamenti den spharischen Raum 
neben dem elliptischen Raume durch ein besonderes Postulatensystern 
eingefiihrt. Er nimmt zu diesem Zwecke an, daB der Satz: 77 zwei 
Punkte bestimmen eine Gerade" fur besondere Punktepaare einer Ge- 
raden eine Ausnahme erleidet, daB diese Besonderheit sich auf alle 
kongruenten Paare auf der Geraden erstreckt, und daB endlich ein 
Punkt einer Geraden und ein Punkt auBerhalb derselben irnrner nur 
eine Verbindungsgerade besitzen. 

37. Zweidimensionale Gebilde von Clifford-Klein. Lassen wir 
jetzt die Bedingung fallen, daB unsere Mannigfaltigkeit V von kon- 
stanter Krummung als Ganzes betrachtet sich auf oo 6 Weisen be- 
wegen kann. 

Es werden sich dann andere raumliche Gebilde finden, die in der 
Umgebung jedes Punktes wie ein Stuck des metrisch - projektiven 
Raumes betrachtet werden konnen, aber von einem solchen Raume 
sich infolge ihrer Zusammenhangseigenschaften wesentlich unter- 



230) Math. Ann. 4, p. 604 FuBnote; 6, p. 125. 

231) J. f. Math. 83, p. 293. 

232) J. f. Math. 86, p. 72; 89, p. 265. 

233) TF. Killing, Gmndlagen 1, p. 313. 

234) Fondamenti, p. 435. 

235) Math. Ann. 39 (1891), p. 257. 



37. Zweidimensionale Gebilde von Clifford-Klein. llf> 



scheiden; es sind die Gebilde, die nach einem Vorschlage von 
( h ff ord-Kleiusche Gebilde genannt werden. 

Betrachten wir eine F 2 von der konstanten Kriimmung Null. 
Jedes einfach zusammenhangende Stuck derselben wird sich iso- 
metrisch ein-eindeutig auf ein entsprechendes Stiick der Euklidischen 
Ebene abbilden lassen. Soil aber die Gesamt-F 2 in dieser Weise auf 
die Euklidische Ebene abgebildet werden, so wird man sie vorher 
moglicherweise zweckmaBig zerschneiden rniissen. Als Bild erscheint 
dann ein Teil der Enklidiscben Ebene, dessen Bander paanveise Con 
gruent und entsprechend dieser Kongruens susatnmengclieftet sind (die 
jeweils zusamniengehorigen Rander liefeni auf der F 2 die beiden Ufer 
eines der bei der Zerschneidung benutzten Schnitte). 

Ein erstes Beispiel wird durch einen geschlossenen Zylinder (den 
man sich der Einfachheit halber als Rotationszylinder denken magi 
dargeboten. Zerschneidet man den Zylinder langs einer Erzeugenden, 
so kann man ihn ein-eindeutig auf den zwischen zwei Parallellinieu 
enthaltenen Teil der Euklidischen Ebene abbilden. Urngekehrt kann 
man einen solchen Streifen der Euklidischen Ebeue, indem man 
gegeniiberstehende Randpunkte als zusammengehorig ansieht, als ein 
vollstandiges Bild des Kreiszylinders ansehen 286 ). 

Ein zweites Beispiel erhalt man, wenn man sich in der Euklidi 
schen Ebene ein Parallelogramm abgegrenzt und die korrespondierenden 
Punkte gegeniiberstehender Seiten als zusammengehorig denkt. Auf 
dieses Beispiel wurde W. K. Clifford seinerzeit bei den Untersuchungen 
iiber den elliptischen Raum gefiihrt 237 ). Er fand namlich, daB man in 
diesem geradlinige Flachen zweiten Grades konstruieren kann, welche 
(im Sinne der elliptischen MaBbestinimung) von der Kriimmung Null 
und trotzdem von endlichern Gesamtinhalte sind; diese Flachen zweiten 
Grades lieBen sich in der geschilderten Weise auf ein Parallelogramm 
der Euklidischen Ebene ein-eindeutig isonietrisch abbilden. (Es sind 
dies diejenigen F 2 , welche die imaginare absolute F 2 in einem Vier- 
seit gerader Linien schneiden.) Von hier aus entwickelte dann Klein 
die allgemeine hier exponierte Theorie. 

Sowohl der Zylinder wie die Cliffardsche Flache konnen sich, 
als Ganzes betrachtet, nur in oo 2 Weisen auf sich selbst bewegen. 



236) Vgl. F. Klein, Math. Ann. 37 (1890), p. 544, und Nicht-Euklidiscbe 
Geometrie 2. 

237) Math. pap. Nr. 20 (Lond. Math. Soc. Proc. 4 (1873), p. 381, Nr. 26 ebenda 
(1876), p. 67, sowie Nr. 41 (1874), 42 (1876), 44 (1876). Vgl. F. Klein, FuBn. 236, 
und L. Biancht, Torino Atti 30 (1895), p. 743; Ann. di mat. (2) 24 (1896), p. 93. 

8* 



116 HI AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometric. 

Nun kann man auf Grand der voraufgeschickten Voraussetzungen 
beweisen : 

Eine Euklidisclie sweidimensionale, unbegrenzte, zweiseitige Mannig- 
faltigJceit F 2 ohne singulars Punkte und Doppellinien lafit sich vollstdndig 
auf die Euklidiselie Ebene oder auf einen Kreiszylinder oder auf die 
Cliff or dsche Fldclie abtvickeln 238 ). 

Es gibt einen anderen hierher gehb rigen Typus einer Mannigfaltig- 
keit F 2 unter den einseitigen Flachen; diese F 2 1st in ein-zweideutiger 
Weise auf eine Cliffordsche Flache abzubilden 239 ). 

Hinsichtlich der Typen einer Mannigfaltigkeit F 2 von konstanter 
positiver oder negativer Krumrnung gelangt man entsprechend zu 
folgenden Ergebnissen 24 ) : 

Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit von konstanter positiver 
Krilmmung Iciftt sich immer in umltelirbar eindeutiger Weise entiveder 
auf die elliptische Ebene oder auf die Kugel abwickeln. 

Dagegen: Es gibt unendlicli viele unbegrenzte zweidimensionale 
Mannigfaltiglmten von konstanter negativer Krilmmung und ohne sin 
gular e Punkte und Doppellinien, die niclit als Ganzes in oo 3 Weisen in 
sich selbst bewegt werden honnen. Hire Sestimmung fiihrt auf Zer- 
legungen der hyperbolischen Ebene in kongruente Polygone, die der Zer- 
legung der Euldidisclien Ebene in Parallelstreifen und Parallelogramme 
analog sind. 

Der ganze Gegenstand hangt auf das Innigste mit denjenigen 
geometrischen Fragen zusammen, welche man in der Funktionen- 
theorie komplexer Variablen bei der Untersuchung der periodischen 
und der allgemeinen linear - automorphen Funktionen studiert (II B 3, 
Harlmess, und II B 4, 



38. Dreidimensionale Gebilde von Clifford-Klein. Wir gehen 
zu den dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten F 3 iiber. Hier bieten 
sich in analoger Weise Eaumformen von Clifford-Klein dar, d. h. un 
begrenzte F 3 ohne singulare Punkte , die sich nicht als Ganzes in 
oo 6 Weisen in sich selbst bewegen lassen, wie ein beliebig einfach 
zusammenhangender Teil von ihnen. 

Mit den verschiedenen Fallen, die es bei den Euklidischen F s 



238) F. Klein, FuBn. 236; W. Killing, Math. Ann. 39 (1891), p. 257, und 
Grundlagen 1, p. 325. 

239) F. Klein, FuBn. 236. 

240) F. Klein, FuBn. 236; vgl. W. Killing, 1, p. 325 ff. 

241) Vgl. etwa Poincare, Acta math. 1, p. 1, oder die zusammenfassende 
Darstellung bei R. Fricke und F. Klein, Automorphe Funktionen 1. 



39. Einleittmg. 40. Eindimensionales Kontinuum hoherer Art. 117 

(von der Krumrnung Null) gibt, beschaftigt sicli W. Killing (Grund- 
lagen). 

Die Bestimmung der hyperbolischen Raumformen (von konstanter 
negativer Krummung) fuhrt zu den Zerlegungen des hyperbolischen 
Ecmmes in kongrnente Polyeder (die ebenfalls in der Theorie der 
automorphen Funktionen in Betracht gezogen werden). 

Endlich Idftt sich eine dreidimmsionale elliptisclie Raumfonn als 
Games enticeder auf den elliptisclien oder auf den splidrisclien Raum in 
der Weise abicickeln, daft jedem Hirer Punkte in diesem Raume eine 
gewisse ganze Anzalil p von (liomologen) Punkten entspriclit, ico zwei 
liomologe Punkte durcli eine sogenannte Schiebung von der Lange 

oder zur Deckung gebraclit werden Jconnen. 

Dieses letzte Resultat erstreckt sich auf alle elliptischen Rauui- 
fonnen von ungerader Dimensionenzahl n. 



TIL Niclit-Arcliimedisclie Geoinetrie. 

39. Einleitung. In den vorhergehenden Abschnitten ist, abge- 
sehen von den Nummern 7, 10, 11 und dem Kapitel II, iminer die 
geicohnliclie Stetigkeit vorausgesetzt worden. Nun sind, wie wir schon 
wiederholt bemerkt haben, in neuerer Zeit Untersuchungen angestellt 
worden, wie weit diese Voraussetzung fiir die Entwicklung der 
Geometric notig ist und wie weit sie aus andern Postulaten folgt. 
Diese Untersuchungen beziehen sich hauptsachlich auf denjenigen 
Teil der Stetigkeit, der durch das sogenannte ArcMmedisclie Postulat 
(Nr. 7) dargestellt wird, und haben zur Begriindung einer niclit- 
Arcliimedisclien Geometric gefiihrt, in der ein Kontinuum von Jwherer 
Art betrachtet wird. 

40. Eindimensionales Kontinuum hoherer Art. Die Frage des 
Archimedischen Postulats erscheint mit einer anderen verkniipft, die 
in der schopferischen Periode der Infinitesimalanalysis auftritt: das 
Archimedische Postulat verneinen heiBt so viel wie die Moglichkeit 
einer im Yerhaltnis zur MaBeinheit aktual unendlicli kleinm (oder 
nnendlicli grofieii) Strecke (Nr. 7), und daher auch einer solchen Zalil, 
zugeben. 

GroBen dieser Art sind bei speziellen geometrischen Problenien 
schon friihzeitig in der Mathematik aufgetreten; ein besonders lehr- 
reiches Beispiel liefert der Kontingenzicinkel , d. h. der Winkel, den 
eine Kurve und ihre Tangente oder zwei sich beriihrende Kurven 



118 HI AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

bilden. Die GroBe dieses Kontingenzwinkels hat im 16. und 17. Jahr- 
hundert die Mathematiker lebhaft beschaftigt 242 ). 

Euldid spriclit iinplizite die Meinung aus, daB der Winkel, den 
ein Kreis mit seiner Tangente bildet, kleiner ist als jeder geradlinige 
Winkel, und Proldus interpretiert dies in dem Sinne, daB dieser 
Winkel Null ist. 

Der Kontingenzwinkel wird als solcher spater (1220) von Jordcmus 
in Betracht gezogen, von deui die Bezeichnung ,,angulus contingentiae" 
herriihrt, und von Campanus (Ende des 13. Jahrhunderts), der unter 
anderm bemerkt, daB der Kontingenzwinkel und der von zwei Geraden 
gebildete Winkel niclit GroBen derselben Art sind. Derselbe Gedanke 
kehrt bei Candalla (1502 1594) wieder. Demgegeniiber spricht 
Peletarius (1557) die Meinung aus, daB der Kontingenzwinkel Null 
ist, und gegen diesen wendet sich Clavius (1574 und spater) , indein 
er die Ansicht verteidigt, daB es toricht ist, den Kontingenzwinkel als 
Null zu betrachten und diese Meinung dein JEuMid unterzuschieben, 
sondern daB dieser Winkel im Verhaltnis zum geradlinigen Winkel 
als unendlich klein anzusenen ist (, ? gerade wie die Ameise im Ver 
haltnis zum Menschen"), dabei jedoch als eine GroBe ; die geteilt und 
vervielfaltigt werden kann. Damit trat diese Frage in den Ge- 
dankenkreis ein, aus dem die Infinitesimalrechnung hervorging, und 
die hervorragendsten Mathematiker der Zeit hatten sich mit ihr aus- 
einanderzusetzen. An Peletarius schlossen sich u. a. an: Comman- 
dinus, Vieta, Galilei, Wattis, Jakob Bernoulli; an Clavius: Hobbes, 
Leibniz, Newton. 

Aus dem Auf ban der gcwb hnlichen Analysis hat nun den Begriff 
des aktual Unendlichkleinen (and UnendlichgroBen) die inoderne Kritik 
entfernt, indem sie zeigte, daB hierzu nur die Betrachtung von 
GroBen erforderlich ist, die dem Archirnedischen Postulat geniigen. 
Aber das aktual Unendlichkleine (und UnendlichgroBe) tritt in der 
modernen Mathematik bei gewissen anderen Gattungen von Aufgaben 
auf, z. B.: 

1) bei dem Vergleich der rnehr oder weniger raschen Art, in 
der die Funktionen variierend einer Grenze zustreben (Ordnungen des 
Unendliclien von Du Bois - Beymond , vgl. I A 3 Nr. 19 und I A 5 
Nr. 17); 

2) in der Mengenlehre (vgl. I A 3 Nr. 14 und I A 5 Nr. 3), wo 



242) Ygl. G. Vivanti, II concetto d infinitesimo, Giorn. d. mat. (2) 7 und 8, 
fiir sich herausgegeben Napoli 1901; M. Simon, ,,Euklid u , p. 9, 8790; M. Cantor, 
Gesch. d. Math., an vielen Stellen. 



40. Eindimensionales Kontiuuum hoherer Art. 119 

das aktual Unendliche in der Konstruktion der transfmiten Zahlen 
Cantors emeu ersten arithmetischen Ausdruck fand. 

Bei dieser Erweiterung des gewohnlichen Zahlengebietes hat 
Cantor von vornherein die Eigenschaft postuliert, daB die Zahlen eine 
WOklgGOrdaefa Meuge bilden, d. h. eine solche, in deren Untergruppeu 
von Elementen sich stets eiu erstes Element befmdet ^das kleiner als 
alle an deren ist). Und daruni hat er die formalen Eigenscliaften der 
gewohnlichen arithmetischen Operationen opfern miissen, die also 
fiir seine transfiniten Zahlen nicht mehr sarntlich gelten. Daraus 
folgt, daB die Cantorschen Zahlen ein nicht -Archimedisches System 
nicht bilden, indem ein solches, in abstraktem Sinne genommen, 
als eine ,,Gerade" betrachtet werden kann, in der die gewohnlichen 
Kongruenzpostulate erflillt sind. Dagegeu ist G. Veronese^) bei 
einer geonietrischen Untersuchung der fiir die Gerade geltenden 
Postulate zu der Erkenntnis der Moglichkeit einer nicht -Archi- 
medischen Geometric gelangt, die alien Postulaten der Anordnung 
und der Kongruenz genugt, bei der aber die Stetigkeit nur in dem 
engeren (Cantorschen) Sinne gilt (vgl. Nr. 7). Und von hier aus ist 
er zur Konstruktion eines Systems nickt- Arclnn^edisclier Zalilen ge- 
kommen, fiir das die formalen Eigenschaften des arithmetischen 
Algorithmus bestehen. T. Levi-Civita-^) hat dann diese Kon- 
strnktion ihres geonietrischen Gewandes entkleidet und ein System 
nicht - Archimedischer Zahlen aufgestellt , die er monosemii ge- 
naunt hat und die noch allgemeinere Zahlen als die Yeroneseschen 
darstellen. 

D. HUbert-**) ist auf einem anderen Wege zu einem speziellen 
nicht-Archiniedischen Zahlensysteni gelangt. Er betrachtet eineu Korper 
v>m Funk&men 5i (t\ die man erhalt, wenn man t den vier rationalen 
Operationen und der Operation ]/l + o 2 unterwirft; dabei soil 03 eine 
Funktion bedeuten ? die verrnoge jener fiinf Operationen bereits ent- 
standen ist. In dieseni Korper werden die Summe, das Produkt usw. 
wie gewohnlich definiert, also in der Weise, daB die formalen Eigen 
schaften der arithmetischen Zahlenoperationen erfiillt sind. Die Un- 
gleiclilmi zweier Funktionen a, b von &(f) kann man dann definieren, 
indem man 

a > b 

nennt, wenn a b fiir ein geniigend groBes t positiv ist. Dann 



243) Fondainenti, im besondern pg. 257 und 262. 

244) Veneto Istit. Atti (7) 4 (1893), p. 1765. 

245) Gnmdlagen, p. 22. 



120 in A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometric. 

konneu die genannten Funktionen als die Zalilen eines speziellen 
nicht-ArcJiimedischen Systems betrachtet werden. 

Die Beziehungen zwischen diesen und den Veroneseschen Zalilen 
sind von A. Bindoni^*) studiert worden, und die verscliiedene Ricli- 
tung der beiden Forscher, die sich hierbei ergibt, ist bemerkenswert: 
Veronese richtet seinen Blick im allgemeinen auf besonders aus- 
gedehnte Systeme von Elementen, die gewissen Eigenschaften ge- 
niigen, Hilbert auf gewisse spezielle Systeme 247 ). 



246) Rom Lincei Rend. (5) II 2 (1902), p. 205. 

247) Die arithmetische Eigenart und die Tragweite der von Veronese ein- 
gefiihrten transfiniten Zahlen ist kiirzlich von Schoenflies*} eingehend unter- 
sucht worden, und zwar wesentlich auf Grund eines von Holder 70 ) ausgesprochenen 
Resultats. 

Die einfachsten Veroneseschen Zahlen sind solche, die mit der endlichen 
Einheit 1 und einer transfiniten (unendlich kleinen) Einheit j\ gebildet sind; fur 
jede endliche Zahl N besteht also entgegen dem Archimedischen Postulat 
die Ungleichheit Nr\ < 1. Sind dann A und B gewohnliche (Archirnedische) 
Zahlenkoeffizienten, so stellt 

A + B n 

die allgemeinste deraffcige transfinite Zahl dar. Von ihnen hat Holder gezeigt, 
daB die Veronesesche Stetigkeitsforderung (vgl. Nr. 7) nur dem Koeffizienten B, 
aber nicht dern A eine Bedingung auferlegt; es ist die, daB die fur B zulassigen 
Zahlen selber die Dedekindsche Stetigkeit besitzen. 

Dies gilt analog fiir jedes System transfiniter Zahlen, das mit einer end- 
lichen Zahl geordneter unendlich groBer resp. unendlich kleiner Einheiten ge 
bildet ist, insbesondere fur diejenigen, deren Individuen sich in der Form 

4X + A it _ l( o< u - 1 + . -f A l to 4- A Q + a in H r arf 

darstellen lassen, wo ft und v ganze positive Zahlen sind und irnmer fur jedes 
endliche N 

to ; ->JVco ; -~ 1 und i<Nlf~* 

ist. Die Veronesesche Stetigkeit legt hier nur dem letzten Koeffizienten a v eine 
Bedingung auf, und zwar die oben erwahnte, wahrend die Wertmenge jedes 
anderen Koeffizienten a t und jedes Koeffizienten A { beliebig, ja auch endlich 
sein kann. 

Diejenigen transfiniten Zahlen, die dem Veroneseschen Begriff des Konti- 
nuums entsprechen, sind mit unendlich vielen Einheiten dieser Art gebildet (vgl. 
I A 5 Nr. 17); genauer entsprochen enthalten sie unendlich viele Potenzen von rj, 
aber nicht von co **). Ihren Koeffizienten legt die Veronesesche Stetigkeit iiber- 



*) Jahresb. d. D. M.-V. 15 (1906), p. 26. 

**) Diese Einschriinkung ist fur Veroneses Zahlen wesentlich. In seinen 
Tondamenti hatte Veronese bei der Behandlung eines Beispiels mit solchen 
Zahlen gerechnet, in denen auch unendlich viele Potenzen von eo auftreten 
(Grundzuge, p. 217). Fiir sie versagen die gewohnlichen Rechnungsgesetze. Dies 



41. Allgemeine Ansatze Veronese*. 121 

41. Allgemeine Ansatze Veroneses. Veronese hat sich nicht dar- 
auf beschrankt, die Moglichkeit eines eindimensionalen nicht -Archi- 
medischen Kontinuunis darzutun, sondern sich die allgemeiiie Kon- 
straktion einer mehrdimensionalen nicht -Archimedischen Geometric 
zum Ziele gesetzt. Die leitende Idee seiner Forschungen scheint fol- 
gende zu sein. Der geivohnliclie Raum geniigt einer gewissen Gesamt- 
heit von Eigenschaften, auf Grund deren er dnrch aufeinanderfolgende 
Projektionen einer Geraden von einem aufterhalb dieser gegebenen 
Punkte aus konstruiert werden kann; in gleicher Weise lassen sich 
auf der Geraden (auf der die Beziehungen der Anordnung und der 
Kongruenz gegeben sind), wenn man von gewissen Reihen gegebener 
Punkte ausgeht, mit Hilfe des CVwforschen Postulats Grenzpunkte 
lionstnderen. Veronese untersucht nun, wie weit die Annahmen dieser 
Konstruktion mit der Existenz anderer Punkte aufierlialb jener nach 
und nach konstruierten vertraglich sind, und gelangt so zu einein 
allgemehien Ranme von unendlich vielen Diinensionen und unendlich 
vielen geradlinigen Einheiten, der das ausgedehnteste Gebilde 1st, 
innerhalb dessen die genannten Konstruktionen immer moglich sind. 

Veronese hat zwei geometrische Systeme konstruiert: 



Jiaupt keine Bedingung auf. Dabei wird zunachst davon abgesehen, dass die 
Zahlen irgend welchen Rechnungsregeln geniigen, oder irgend welchen Korper 
bilden sollen. 

Dasselbe gilt fur die oben erwahnten analog gebauten allgeuieineren Zahlen 
von Levi-Civita (nionosemii), bei denen die Exponenten yon oo und TJ irgend eine 
Reihe abnehmender resp. zunehnaender Zahlen bilden. 

Fur die eben betrachteten \ 7 eroneseschen Zahlen, die das Kontinuuin dar- 
stellen sollen, lassen sich die vier rationalen Operationen den fur sie charakte- 
ristischen elementaren Gesetzen (die Definitionen stinimen mit derjenigen fur 
Potenzreihen iiberein) geinass definieren, und zwar erfordert die Ausfuhrbarkeit 
der Division die Existenz auch solcher Zahlen, die unendlich viele Potenzen von 
?; enthalten. Geht man von den Zahlen zu einein Korper uber, so ergebeu sich 
auch noch Bedingungen fur die Koeffizienten A und .. Einen rationalen Korper, 
in deni durchgehends die Veronesesche Stetigkeit herrscht, erhalt man ins- 
besondere auch dann schon, wenn man samtliche Koeffizienten A i und a rational 
annimmt. Dies gilt in analoger Weise auch fiir die noch allgemeineren Zahlen 
Veroneses, bei denen die Exponenten der Potenzen von at resp. r\ eine wohl- 
geordnete Menge zweit^r Machtigkeit bilden, und ebenso fiir die analogen Zahlen 
von Levi-Civita (Beitrag von Schoenflies). 



ist der Inhalt eines von Schoenflies erhobenen Einwandes [Rom Line. Rend. (5) 
6 2 (1897), p. 362]. Veronese und Lem-Civita haben spater darauf hingewiesen, 
da6 Veroneses Ideen diese von ihm selbst benutzten Zahlen ausschlieBen [Rom 
Line. Rend. (5) 7 : (1898), p. 79, 91, 113], womit der Einwand von ScJtoenflies 
hinfallig wird. 



122 HI A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

1) ein System, in clem die Gerade erne offene Linie ist und 
durch einen Punkt unendlich viele Parallele zu einer gegebenen Ge- 
raden gehen; 

2) ein System, in dem, ahnlich wie bei Biemann, die Gerade 
eine geschlossene Linie ist. 

Und er hat besonders die Eigenschaften des zweiten Systems 
entwickelt, in dem Sinne , daB er die geometrischen Tatsachen hin- 
sichtlich der verschiedenen Einheiten in einer, wie man sagen konnte, 
unendlich anndhernden Weise betrachtet. So bemerkt er, daB in 
diesem System die Geometrie in der unendlich Ideinen Umgehmg eines 
Punktes (mit unendlich grofier Anndhenmg) Euklidisch ist. 

42. Nicht-Archimedische projektive Geometrie. Veronese hat 
sich dahin ausgesprochen, daB in seinem Raum, oder in denijenigen, 
welcher durch die Zahlen Levi-Civitas analytisch definiert werden 
kann ; die projektive Geometrie Geltung hat. 248 ) 

Aber auch von einer anderen Seite ist man zu einer nicht-Archi- 
medischen projektiven Geometrie gefiihrt worden, namlich durch die 
Untersuchungen, die zum Ziele hatten, beim geometrischen Beweise 
des im engeren (Ponceletschen) Sinne verstandenen Fundamentalsatzes 
der Projektivitat die Voraussetzungen einzuschranken (vgl. Nr. 22). 

Vor allem hat H. Wiener*^), indem er die Affinitat und die 
Ahnlichkeit zu Hilfe nahm, bewiesen, daB der in diesem Sinne ver- 
standene Satz der Projektivitat sich aus den Satzen von Desargues und 



248) Da Veronese^ Zahlen die rationalen Operationen gestatten, so tritft 
dies unmittelbar zu, solange man im rationalen Gebiet bleibt. Sobald man 
jedoch das rationale Gebiet verlaBt, reichen die Yeroneseachen Zahlen, trotz der 
ihnen innewolmenden Stetigkeit, nicht mehr zur Darstellung der Punkte aus; 
dies ist sogar selbst dann nicht mehr der Fall, wenn man fur die Koeffizienten 
A. und a f samtliche Zahlenwerte zulafit. Der innere Grund ist der, daB bei der 
Veroneseschen Stetigkeit, ina Gegensatz zu der De dekindschen, Lucken auftreten, 
denen eine ZahlengroBe des stetigen Systems nicht entspricht (Nr. 7); sie ist in 
dieser Hinsicht sozusagen enger als die Dedekindsche. So kann z. B. schon die 
Bestimmung der Doppelpunkte inzidenter projektiver Punktreihen, also auch der 
Schnittpunkte einer (7 2 mit einer Geraden, illusorisch werden. Soil also Veronese^ 
Behauptung, daB seine Zahlen die projektive Geometrie gestatten, so realisiert 
werden, daB auch andere als rationale Aufgaben losbar sind, so muB man das 
Zahlengebiet durch Einfiihrung neuer Einheiten, namlich gebrochener Potenzen 
von eo und 73, so erweitern, daB die entsprechenden nicht-rationalen Operationen 
ausfiihrbar werden. Dies gibt in jedem Falle noch Bedingungen fiir die Ex- 
ponenten derjenigen Potenzen von & und TJ, aus denen die Zahlen des Korpers 
sich auf bauen. Das Niihere bei Schoenflies, FuBnote 248. (Beitrag von Schoenflies.) 

249) Leipzig Ber. 1891, p. 669; D. Math.-V. 1 (1892), p. 45; 3 (1894), p. 70. 



42. Nicht-Archimedische projektive Geometric. 123 

Pappus herleiten laBt, ohne daB man die gewdhnlichen Stetigkeits- 
begriffe einzufiihren braucht (Nr. 7), und dies ist spater in einfacher 
projektiver Weise von F. $c/wr 250 ) unter alleiniger Benutzung der 
Postulate des Einanderangehorens bewiesen worden. 

Zeuthen 2 " r ) hat den Gesichtspunkt aufgestellt, den genannten 
Satz (ohne Einfiihrung der gewohnlichen Stetigkeitspostulate) auf die 
fundamental Eigenschaft der doppelten Reihe Erzeugender des Hyper- 
boloids zurtickzufiihren. Darauf hat F. Sckur**), ankniipfend an eine 
Dandelimche Idee 253 ), aus dieser Eigenschaft des Hyperboloids den 
Pappusscheii Satz und aus diesem, wie gesagt, den Satz der Pro- 
jektivitat hergeleitet. Schur bernerkt, daB nur ein besonderes Hyper- 
boloid zu existieren braucht, und hebt hervor, daB die Kongruenz- 
postulate ohne weiteres auf das Rotationshyperboloid fiihren. 

HHbert hat die Beweismittel fur den Pappusscheii Satz unter 
Festhaltung der Kongruenzpostulate noch welter eingeschrankt, indem 
er in der Ebene bleibt, d. h. von den Postulaten des Einanderan 
gehorens nur diejenigen benutzt, welche sich auf die Ebene beziehen. 

Als Resultat dieser Untei-suchungen haben wir also: 

Der im engeren (Ponceletsclien) Sinne verstandene Satz der Pro- 
jektivitat laflt sich betceisen, wenn man den projektiven Postulaten der 
ebenen Geometric die Postulate der Kongruenz und das Parallelenaxiom 
hinzufiigt, ohne von der Stetiykeit und dem Arcliimedisclien Postulat Ge- 
brauch su maclien. 

Eine von dem Archiniedischen Postulate unabhangige analytisclte 
Behandlung der projektiven Geometric kniipft an: 

1) an die neuen Entwicklungen liber die Theorie der Proportionen 
(Nr. 11), deren Zusammenhang mit dem im engeren Sinne verstandenen 
Satze der Projektivitat in deni Ponceletscheu , auf die projektive In- 
varianz des Doppelverhaltnisses gegriindeten Beweise erscheint; 

2) an die Einfiihrung der Koordinaten ohne Benutzung eines 
MaBes, also an die v. SStendShdia Rechnung mit Wiirfen und an die 
Hankelschen und ScJturschen Entwicklungen uber die Rechnung mit 
Strecken in der projektiven Geometric. 

Hilbert hat, indem er von einer auf den Dcsarguesschen Satz 



250) Math. Ann. 51 (1894), p. 401; vgl. auch ebenda 55 (1901), p. 265, und 
L. Balser, Math. Ann. 55 (1901), p. 243. 

251) Paris C. R. 1897, p. 638, 859; 1898, p. 213. 

252) Vgl. FuBnote 230. 

253) Gergonne Ann. 15 (1825), p. 387, besonders p. 390 f. (vgl. IE C l t 
Dingeldey, Nr. 5). 



124 HI AB 1. F. Enriques. Prinzipien der Geometrie. 

gegriindeten Streckenreclmung ausging, die Rolle des PappusscJien 
Satzes dahin aufgeklart, daB dieser der Kommutativitat der Mtdtipli- 
Jcation gleichwertig ist. 

Aber arithmetisch laBt sich ein System nicht-Archimedischer 
Zahlen definieren, fiir welche diese Eigenschaft nieht bestelit ; daher 
zieht Hilbert folgenden SchluB: 

Der Pappussche Satz laflt sicli niclit beweisen, wenn man nur die 
projektiven Postulate des Eaumes zu Hilfe nimmt, aber die Stetigkeit 
und die Kongruenz niclit benutzt. 

Es gibt demnach ein abstraktes nicht - Pappussches , oder, wie 
Hilbert sagt ; nicht-Pascalsches geometrisches System, in dem die 
fundamentalen Eigenschaften der Anordnung und des Einanderange- 
horens erfullt sind. 

Was die Beziehungen zwischen den Kongruenzpostulaten und 
dem Satze der Projektivitat betrifft ? so scheint die Bedeutung dessen, 
was durch die Kongruenzpostulate hier hinzugefiigt vvird, folgende 
zu sein: 

Wenn man nach einer endlichen Anzahl von Projektionen und 
Schnitten von den Punkten einer Geraden oder einer Ebene zu den 
Punkten derselben Geraden oder derselben Ebene zuriickkehrt, so 
entsteht in diesem Gebilde eine Projektivitat. Nun sagt der Fun da 
rn entalsatz aus, daB sich die Reihe dieser Projektivitaten in eine 
Gruppe rnit einer endlichen Zahl (drei) von Parametern zusammen- 
schlieBt. Dieses SichzusammenschlieBen der genannten Reihe in eine 
solche Gruppe scheint nun eine Folge davon zu sein, daB man mit 
den Kongruenzpostulaten bereits annirnnit, daB die Reihe eine ge- 
wisse geschlossene Untergruppe mit nur einem Parameter enthalt. 

Andererseits geht B. Levi 254 ) davon aus ? daB die Kongruenzpostulate 
in der nicht-Euklidischen Geometrie uns eine Polaritat in der Ebene 
erkennen lassen, wahrend wir in der Euklidischen Geometrie auf jeden 
Fall eine (orthogonale) Polaritat irn Biindel haben. Also: Der Satz der 
Projektivitat in der Ebene oder im Biindel lafit sich ohne Benutzung 
der Stetigkeitspostulate beweisen, wenn man den deskriptiven Postu- 
laten des Raumes die Existenz einer Polaritat innerhalb des gegebenen 
Gebildes zweiter Stufe hinzufiigt. 

43. Euklidische nicht-Archimedische Greometrie. Die Hilbert- 
schen Funktionalzahlen (Nr. 40) konnen als die Koordinaten der 
7? Punkte" eines nicht-Archimedischen Raumes betrachtet werden, in 



254) Torino Meinorie 1904, p. 283. 



43. Euklidische nicht-Archiinedische Geoinetrie. 125 

dem alle Postulate des Einanderangehorens, der Anordmuig und der 
Kongruenz und das Parallelenpostulat gelten. Auf diese Weise erhalt 
man eiu einfaches Beispiel einer euldidischen nicht-Archimedischen 
Geometric. 

Hllbert hat die grundlegenden Satze dieser Geometric naher be- 
trachtet in ihren Beziehungen: 

1) zum Flacheninhalt. Wie in Nr. 10 gesagt worden 1st, kann 
man ein FlachenmaB unabhangig von dem Arcbimedischen Postulat 
erhalten, sofern man Polygons als inhaltsgleich erklart, niclit blofi, 
wenn sie Summen hongruenter Polygons, sondern auch, wenn sie be- 
liebige Aggregate kongruenter Polygone sind. 

2) zu den grundlegenden Satzen der Mafigeometrie in der 
Ebene 255 ). 

Das Postulat III 7 der Nr. 5 bezieht sich auf die direkte und 
die inverse Kongruenz der Dreiecke, in denen zwei Seiten und der 
eingeschlossene Winkel einander kongruent sind, wobei die Sinnes- 
gleichheit oder -ungleichheit der beiden kongruenten Winkel nicht 
unterschieden wird (direkte und inverse Kongruenz); die Recbt- 
fertigung dieses Postulats liegt also in einer ideellen Erfahrung, fill- 
die im Falle der inversen Kongruenz eine Umklappung der Figur, 
also das Herausgeben aus der Ebene notig 1st. Bleibt man in der 
Ebene , so kanu man die Kongruenz der beiden Dreiecke nur dann 
erkennen, wenn sie gleicben Sinn haben, und dann ersetzt man 
das Postulat III 7 durcb ein Postulat iiber die im engeren Sinne ver- 
standene Kongruenz von Dreiecken. 

Also: 

Man nelime y indem man sich auf Beziehungen von Figuren in der 
Ebene besckroHkt, die geivohnlichen Postulate des Einanderangehorens 
und der Parallden, der Anordnung und der Kongruenz (vgl. I, II, III 
der Nrn. 3, 4, 5) an und schrdnke im besondern die der Kongruenz 
in dei" Weise ein, daft man nur das Postulat uber die im engeren Sinne 
verstandem Kongruenz von Dreiecken gelten la fit: dann kann man das 
Kongruenzpostulat im weiteren Sinne betveisen, ivenn man hinzunimmt: 

a) das Archimedische Postulat, 

b) das folgende Postulat der Nachbarschaft : 

1st irgend eine Strecke AB vorgelegt, so gibt es stets ein 
Dreieck, in dessen Innerem keine zu AS kongruente Strecke sicb 
finden lafit. 



255) London Math. Soc. Proc. 35 (1903), p. 50; Grundlagen. Anhang II. 



126 III A B 1. F. Enriques. Prinzipien der Geornetrie. 

Aber wenn man das Arcliimedisclie Postulat weglafit, so laftt sick 
der Satz iiber die im weiteren Sinne verstandene Kongmenz von Drei- 
ecken nicht beweisen. 

In der Tat gibt es ein geometrisclies System, in dem die ge- 
nannten Postulate gelten, aber nicht die Kongruenz der Basiswinkel 
im gleiclisclienldigen Dreieck. In diesem System , das Hilbert nicht- 
Pytliagoraiscli nennt, findet folgeudes statt: 

a) man kann die geometrische Theorie der Proportionen be- 
griinden ; 

b) man kann beweisen, dafi die Summe der Quadrate iiber den 
Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks durch Subtraktion flachen- 
gleich ist dem Quadrate iiber der Hypotenuse (Satz des Pythagoras), 
aber daraus folgt nicht die bekannte Relation zwischen den Katheten 
und der Hypotenuse dieses Dreiecks, weil das De Zolfaehe Prinzip, 
das der gewohnlichen Messung des Flacheninhalts zugrunde liegt, 
nicht gilt (Nr. 10); 

c) es gilt nicht der Satz, daB die Summe zweier Seiten eines 
Dreiecks gro Ber ist als die dritte. 

Nimmt man aber das De Zoltsche Prinzip hinzu, so kann man 
den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen 
Dreieck beweisen 256 ). 

Diese Resultate klaren iiber die Beziehungen der grundlegenden 
Satze der ebenen (im Sinne der Alten konstruierten) MaBgeometrie 
zur Anschauung des dreidimensionalen Raumes auf, ebenso wie das 
Resultat der Nr. 20 iiber den Desarguessehen Satz die Bedeutung des 
dreidimensionalen Raumes fur die Begriindung der projektiven Geo 
metric darlegt. 

44. Nicht-Archimedische Entwicklungen iiber die Parallelen- 
theorie. Die Beziehungen des Archimedischen Postulats zur Theorie 
der Parallelen sind imter zwei verschiedenen Gesichtspunkten klar- 
gestellt word en: 

1) mit Hilfe der nicht-Archimedischen Begriindung der hyper- 
bolischen Geometric (Dehn, Schur, Hilbert)^ 

2) init Hilfe der nicht-Archimedischen Entwicklungen hinsicht- 
lich der Satze von Saccheri (oder von Legendre), d. h. durch die Kon- 
struktion der Systeme von M. Dehn. 



Das ging schon implizite aus der Arbeit von A. Bonnesen, Nyd Tid- 
skrift for Mathematik, 11 B (1900), p. 25 hervor. 



44. Xicht-Arehimedische Entwicklungen iiber die Parallelentheorie. 127 

In der Begriindung der Parallelentheorie von Bolyai-Lobatscliefskij 
wird inehrfach von dem Stetigkeitspostulat in der gewohnlichen Dede- 
kindschen Form und auch von deni Archimedischen Postulat (das in 
dem Dedekindschen enthalten ist) Gebrauch gemacht. 

Die Stetigkeit wird zunachst zu Hilfe genonimen, um die 
Existenz der Parallelen (durch einen Punkt zu einer gegebenen Ge- 
raden) darzutun, insofern ja die Parallelen als Grensgerade, die die 
schneidenden von den nicht-schneidenden Geraden trennen, defmiert 
werden. 

Man nehme diese Existenz als besonderes Postulat an und fuge 
sie den auf die Ebene beschrankten Postulaten I, II, III der Nrn. 3, 
4, 5 hinzu; dann kann man, wie es D. Hilbert sehr einfach gemacht 
hat * 57 ), die Bolyai-Lobatechefskijsche Theorie entwickeln, ohne von der 
Stetigkeit oder dem Archimedischen Postulat Gebrauch zu inachen. Es 
sei dazu bemerkt 258 ), daB die Moglichkeit dieser Begriindung als in 
der Begriindung der nicht- Archimedischen projektiven Geometric ein- 
geschlossen betrachtet werden kann, da mit der Annahme der Existenz 
der Parallelen in der Ebene der Grenzkegelschnitt der eigentlichen 
Punkte gegeben wird ; in bezug auf welchen die Metrik im Sinne von 
Cayley -Klein definiert ist (Nr. 22). 

Nun hat F. Schur 2bg ) folgendes bewieseu: 

Die Existenz von Geraden in der Bolyai-Lobatscliefsliijschen Ebene, 
die sicli auf dem Fundamentalgebilde schneiden, kann innerlialb der 
Ebene olme Benutsung der Stetigkeit oder des Arcliimedisclien Postulate 
bewiesen tcerden, tvenn man den geicolmliclien Postulaten des Einander- 
angeliorens, der Anordnung und der Kongruens das Postulat liinzufugtj 
daft ein Kreis und erne Gerade, die van seinem Mitielpunkte um weniger 
als der Radius entfemt ist y zwei Punkte gemeinsam Italten (das Grund- 
postulat der Euklidischen Konstruktionen). 

Das ScJiursche Resultat wird durch den Umstand benierkens- 
wert,, daB es in gewissem Sinne umkehrbar ist: 

Die Existenz von Geraden in der Bolyai-Lobatscliefskijselien Ebene, 
die sicli auf dem Fundamentalgebilde sclmeiden, bildet, icenn die ge- 
nannten Postulate des EinanderangelidrenSj der Anordnung und der 
Kongruenz (I, II, III der Nrn. 3, 4, 5) erfiillt sind, eine Annahme, die 



257) Math. Ann. 57 (1903), p. 137150; Grundlagen, p. 107120. Vgl. 
H. Liebmann, Math. Ann. 59 (1904), p. 110128. 

258) Ygl. F. Schwr, Math. Ann. 59 (1904), p. 314. 

259) Math. Ann. 55 (1900), p. 314320. 



128 III A B 1. JP. Enriqiies. Prinzipien der Geometrie. 

das Postulat iiber die Schnittpunkte einer Geraden und eines Kreises 
enthdlt. 

Man betrachte in der Tat die projektive Metrik in bezug auf 
den Grenzkegelschnitt der eigentlichen Punkte. Sind die Schnitt 
punkte dieses Kegelschnitts mit einer eigentlichen Geraden gegeben, 
so kann man die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden 
bestimmen, die von dem Mittelpunkte um weniger als der Radius 
entfernt ist. 

Ubrigens ist von D. Hilbert m ) durch eine Untersuchung der 
Konstruktionen , die man mit dem Streckeniibertrager oder noch ein- 
facher mit dem Einheitsiibertrager ausfiihren kann, bewiesen worden, 
daB das Postulat iiber die Schnittpunkte eines Kreises und einer 
Geraden nicht aus den Postulaten I, II, III der Nrn. 3, 4, 5 folgt. 

Nun zu den Beziehungeii zwischen den $acc&mschen Satzen von der 
Winkelsumme eines Dreiecks und den Annahmen iiber die Parallelen! 

M. Delm 261 ) hat auf Grund der Postulate des Einanderangehb rens, 
der Anordnung 262 ) und der Kongmenz und ohne Benutzung des Archi- 
medischen Postulats bewiesen, daft die Summe s der Winkel in jedem 
Dreieck grofter als zivei Eechte, gleich zwei Eechten oder kleiner als 
zivei Eechte ist, wenn dies fur ein besonderes Dreieck zutrifft. 

Wird nun das Archimedische Postulat nicht benutzt, so fiihrt das 
Eintreten des ersten Falles (s > 2 E) nicht notwendig dazu, daft die 
Gerade eine geschlossene Linie ist und alle Geraden der Ebene schneidende 
sind; und beim Eintreten des zweiten Falles (s = 2E) kann man dann 
das Euklidische Postulat von der emzigen Parallelen nicht beiveisen; 
nur das Eintreten des dritten Falles (s < 2E) fiihrt (wie in der ge- 
wohnlichen hyperbolischen Geometrie) auf die Existenz tmendlich vieler 
Geraden durch einen Punkt der Ebene, die eine gegebene Gerade nicht 
schneiden. 

Diese Resultate sind von Dehn durch die Konstruktion neuer 
geeigneter nicht- Archimedischer geometrischer Systeme erhalten worden: 

der (nicht - Legendreschen nach seiner Benennung, besser wohl) 
nicht- Saccherischen Geometrie, wo s > 2E ist und durch einen Punkt 
der Ebene unendlich viele Gerade gehen, die eine gegebene Gerade 
nicht schneiden (oder, wie er sagt, ihr parallel sind) 263 ) ; 



260) Grundlagen, p. 73. 

261) Math. Ann. 53 (1900), p. 404. 

262) Diese werden, wo es n6tig ist, so modifiziert, dafi die gerade Linie 
gesehlossen sein kann. 

263) Dieses System ware irn Zusaramenhang mit dem zweiten Veroneseschen 
Gebilde (Nr. 41) zu studieren. 



44. Nicht-Archimedische Entwicklungen uber die Parallelentheorie. 129 

der semi-EuJclidiscJien Geometrie, wo s = 2E ist und es auch 
imendlich viele Gerade gibt, die eine gegebene Gerade nicht schneiden. 
Diese Resultate sind in folgendem Schema zusammengefaBt: 



Die Winkcl-ll 
Humme im 
Dreieck ist: 


Durch einen Punkt gibt es zu 

keine eine 
nicht Schneidende nicht Schneidende 


einer Geraden: 

unendlich viele 

nicht Schneidende 


>2B 


Elliptische Geometrie Unmoglich 


Nicht-Saccherische Geometrie 


= 2jR 


Unmoglich 


Euklidische Geometrie i Semi-Euklidische Geometrie 


<*R 


Unmoglich 


Unmoglich 


Hyperbolische Geometrie 
1 



(Abgeschlossen im Marz 1907.) 



Encyklop. d. math. Wissensch. in 1. 



130 III A B 2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie u und ,,Flache". 



IIIAB2. DIE BEGRIFFE ,,LINIE" UND ,,FLACHE". 

VON 



H. v. MANGOLDT 

IN DANZIG. 



Inhaltstibersicht. 

1. Notwendigkeit einer genauen Erklarung. 

2. Geschichtliche Entwickelung. 

3. Die analytische Linie. 

4. Zweige einer analytischen Linie. 

5. Einsiedler. 

6. Darstellung durch Gleichungen. 

7. Erweiterungen des Begriffs Linie. Linie als ,,Bild einer Funktion". 

8. Linie als ,,Bahn eines Punktes u . Der Jordan sche Satz. 

9. Linie als ,,Liinge ohne Breite", oder als ,,Grenze einer Flaehe". 

10. Funktionsstreifen. 

11. Bevorzugung der analytischen Linien. 

12. Der Begriff Flache. 

1. Notwendigkeit einer genauen Erklarung. In den Lehr- 
biichern der Geometrie und der Analysis und in den allgemeinen 
sowie den mathematischen Worterbiichern wird der Begriff Linie in 
der Regel entweder gar nicht, oder hochstens als 77 Lange ohne Breite" J ) ? 
oder ?; Grenze einer Flache" 2 ), oder ; ,Bahn eines Punktes" 3 ) erklart. 
Ja man begegnet sogar der Ansicht, daB er ein Grundbegriff sei, der 
sich nicht weiter erkl aren lasse 4 ). 



1) Euklid, Elemente, 1. Buch, Erkl. 2. 

2) Ebd. Erkl. 6. 

3) Prodi Diadochi Coinm. ex rec. G. Friedlein, Leipzig 1873, p. 97; Pappi 
Alexandrini collectionis quae supersunt ed. F. Hultsch, 2, Berlin 1877, p. 662. 

4) Z. B. in Diderot und D Alembert, Encyclopedic ou Dictionnaire rai- 
sonn . . . Nouv. ed. 9, Geneve 1777, p. 758, und hieraus wiederholt in G, S. 
Klugel, Mathematisches Worterbuch 3, Leipzig 1808, p. 162. Bis zu einem ge- 
wissen Grade wird diese Auffassung auch von F. Enriques, Lezioni di geometria 
descrittiva, Bologna 1902, p. 167, verteidigt. 



2. Geschichtliche Entwickelung. 131 

1m Gegensatz hierzu tritt in neueren Untersuchungen iiber die 
Grundlagen der Geonietrie (Pasch, Peatw, Hilbert, Schur, vgl. Ill AB 1, 
Nr. 3, Enriques) das Bestreben hervor, nur den Punkt, die gerade 
Strecke und die ebene Flache als Grundbegriffe anzusehen, die nicht 
anders als durch den Hinweis auf geeignete Gegenstande der Anschau- 
ung erklart werden konnen, bei alien anderen geometrischen Begriffen 
dagegen eine den Formen der Aristotelischen Logik entsprecbende Er 
klarung zu fordern. Dies ist namentlicb bei den Begriffen ,,Linie" und 
;? Flache" berechtigt, weil man denselben sowohl einen engeren als 
einen weiteren Umfang beilegen kauri, und weil viele Satze der 
Geonietrie nur dann ausnabmslos giiltig sind, wenn man jene Be- 
griffe in binreichend enger Bedeutung nimmt 5 ). Aucb wurde man, 
wie F. Enriques a. a. O. 4 ) hervorhebt, wenn man die Begriffe Linie 
und Flache als durch die Anschauung gegeben ansehen wollte, in 
solchen Fallen auf Scbwierigkeiten geraten, wo eine Linie oder Flacbe 
rein matbematiscb durch eine geometriscbe Erzeugung oder rnit Hilfe 
analytiscber Fornieln erklart ist, denn man wlirde dann eine Erorte- 
rung der Frage nicbt vermeiden konnen, ob und wie weit die Er- 
gebnisse der Anscbauung mit den aus der matbematiscben Erklarung 
fliefienden Folgerungen ubereinstimmen. 

2. Geschichtliche Entwickelung. Bei der Feststellung der Be 
deutung des Allgemeinbegriffs Linie (^Kurve) ist das Altertum iiber 
die zu Anfang der vorangebenden Nr. erwahnten volkstiinilicben Er- 
klarungen nicbt binausgegangen. Der erste Versuch einer scbarferen 
Begriffsbestimmung diirfte sicb in der Geometric 6 ) von H. Descartes 
vorfinden, wo zu Anfang des zweiten Bucbes die Frage eiugebend 
erortert wird, icdclie Li men in die Geometric aufzunehmen seien. 
Descartes gelangt dabei zu dem Ergebnis, daB es sicb einpfehle, in 
der Geometric den Begriff Linie auf diejenigen Gebilde zu beschranken, 
die gegenwartig als alyebraisclie Linien bezeicbnet werden. Aber diese 
Ansicht bat wenig Anklang gefunden. Insbesondere bat G-. Leibniz 
die von Descartes gegebene Begriffsfeststellung mebrfach als zu eng 

5) Ein Hinweis darauf, daB der BegriflF Flache einer genaueren Erklarung 
bediirfe, sowie auf die einer solchen entgegenstehenden Schwierigkeiten findet 
sich schon bei Cli.Dupin, Developpements de geom., Paris 1813, p. 59. 

6) Zuerst 1637 erschienen als dritter Abschnitt eines ohne Angabe des Ver- 
fassers gedruckten Werkes rait dem Titel: Discours de la methode pour bien 
conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences plus la dioptrique, les 
meteores et la geometric qui sont des essais de cette methode, a Leyde 1637 = 
Oeuvres de Descartes 6, Paris 1902, p. 367. Lateinische Ausgabe: ,,Geometria 
a Renato Des Cartes anno 1637 gallice edita etc." (ed. Franciscus a Schooteri), 
Amsterdam 1659. Deutsch von L. Schlesinger, Berlin 1894. 

9* 



132 HI A B 2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie" und ,,Flache". 

bekampft 7 ) und betont, dass auch transzendente Linien wie die Cykloide 
und ahnliche als gleichbereehtigt mit den algebraischen anzusehen 
seien. Gleichwohl 1st die Geometric von Descartes dadurch, daB sie 
die Anwendung der Rechnung auf die Geometric , den Gebrauch von 
Koordinatensystemen und die Darstellung von Linien durch Glei- 
chungen lehrte, auf die spatere Entwicklung von bestimmendem 
EinfluB gewesen. Durch sie kam der Begriff 7 ,Linie" in die engste 
Verbindung mit dem Begriff ,,Funktion" 8 ) und hat sodann an der in 
II A 1, Pringslieim, Nrr. 1 5 ; 912 geschilderten Entwicklung dieses 
letzteren teilgenommen 9 ). 

3. Die analytische Linie. Im engsten Sinne ist das Wort Linie 
(Kurve) gegenwartig gleichbedeutend mit analytische Linie. Dieser 
letztere Begriff beruht auf dem von K. Weierstrafi entwickelten Be 
griff eines monogenen analytischen Gebildes erster Stufe im Gebiet 
von zwei oder drei Veranderlichen (II B 1, Osgood, Nr. 13,47) und 
deckt sich mit diesem vollstandig, sobald man das Imaginare als durch- 
aus gleichbereehtigt mit dem Reellen ansieht. 

Wenn man dagegen das Reelle bevorzugt, so zieht man nur 
solche monogene analytische Gebilde erster Stufe in Betracht, bei 
denen eine dem Gebilde angehorende Stelle sich stetig so andern 
kann, daB ihre Koordinaten dauernd reell bleiben, und versteht dann 
unter einer reellen analytischen Linie die Gesaintheit aller Stellen eines 
solchen Gebildes, deren Koordinaten samtlich reell sind. 

Durch die Schaffung des Begriffs analytische Linie hat K. Weier- 
straft die schon im 18. Jahrhundert aufgetretene Frage zur Ent- 
scheidung gebracht, wie weit und unter welchen Voraussetzungen mit 
dem Begriff Linie die Vorstellung eines einheitlichen in alien semen 
Teilen von dem gleichen Gesetz beherrschten Ganzen zu verbinden sei. 

Eine analytische Linie heiBt eben oder geivunden (doppelt ge- 
kriimmi), je nachdem sie in einer (reellen oder imaginaren) Ebene 
enthalten ist ; oder nicht. 

4:. Zweige einer analytischen Linie 10 ). Gehort ein reeller oder 
imaginarer, im Endlichen liegender oder unendlich ferner Punkt mit 



7) Gr. Leibniz, Acta Enid. Lips. an. 1684, 1686, 1693 = Ges. Werke, hrsg. 
v. G.H.Perts, 3. Folge, Mathematik, 5. Bd. Halle 1858, p. 124, 229, 295. Ygl. 
auch p. 290 und 7. Bd. Halle 1863, p. 213. 

8) Diese Verbindung wird beispielsweise von L. Euler, Introductio in ana- 
lysin infinitorum 2, Lausannae 1748, p. 5 6, besonders betont. 

9) Vgl. hierzu den Bericht von A. Brill und M. Noether, Deutsche Math.- 
-Yereimg. Jahresber. 3 (1892/93), p. 114 ff. 

10) Vgl. A. Brill u. M. Noether, a, a. 0. p. 379 f. 



4. Zweige einer analytischen Linie. 133 

den Koordiuaten x , # [, ^ ] einem analytischen Gebilde erster Stufe 
im Gebiet von zwei [drei] Veranderlichen an, so bildet er den Mittel- 
punkt 11 ) wenigstens ernes Elementes dieses Gebildes (II B 1, Nr. 13,47). 
Aber es kann auch vorkomnien, da6 es mehrere, ja sogar unendlich 
viele 12 ) Elemente des Gebildes gibt, deren Mittelpunkte sarntlich die 
Koordinaten x , y Q [, ] haben. AuBerdern ist es moglich, dafi eine 
Grenzstelle (II B 1, p. 40 u. 110) des Gebildes ebenfalls die Koordinaten 
XQJ y Q [, ZQ\ hat, odor daB aus noch anderen Griinden nicht alle in 
der Nahe der Stelle # , v/ [, ] liegenden Stellen des Gebildes durch 
diejenigeu Elemente ersehopft werden, die in x OJ y Q [, ] ihren 
Mittelpunkt haben 13 ). Die Gesamtheit aller Punkte einer analytischen 



11) Wenn ein ,,Element" des Gebildes durch zwei [drei] Gleichungen 



gegeben ist, wo g>(t), #(*)[, tp(0] Potenzreihen bedeuten, welche von Null ver- 
schiedene Konvergenzradien haben und auch negative Potenzen von t in end- 
licher Anzahl enthalten konnen, so wird hier als ,,Mittelpunkt des Elementes" 
diejenige Stelle bezeiehnet, deren Koordinaten sich aus den erwahnten Glei 
chungen fur t = ergeben. 

12) Beispiel: Nimmtman a. reell und irrational, so stellen die Gleichungen: 

x = cos [(a -f- 1) f] cos , 

y = sin [id -f- 1) t] sin t , 

wo t eine vollig unbeschrankte kompleie Veranderliche bedeutet, eine analy- 
tische Linie dar, die unendlich oft durch den Nullpunkt geht, namlich fur t = 

2 It ** 5T 

4- j+ 1 . -.... Da diesen Werten von t lauter verschiedene Werte des 

K K 

Difterentialquotienten - entsprechen, so ist die Stelle (0, 0) Mittelpunkt von 

( i( 

uneDdlich vielen verschiedenen Elementen des Gebildes. 

13) Beispiele: I. Man unterwerfe die komplexe Veranderliche x zumichst 
der Bedingung: x\ < 1, und setze: 



mit der Bestimmung, class die Wurzel fur x = in -\-\ iibergehen und dass 1 2 
den reellen und I (l -f- V 1 ,r 2 ) den Hauptwert des Logarithmus bedeuten soil. 
Dann ist die Funktion y an der Stelle x = analytisch und nimmt daselbst 

den Wert -y- an. Fuhrt man nunmehr die Veranderliche x von aus auf 

einem den Punkt -|- 1 oder den Punkt 1 einmal unischlieBenden Wege wieder 
unendlich nahe zu zuriick, wobei die Wurzel jetzt deru Grenzwert 1 zu- 

strebt. so nahert sich y wieder dem Grenzwert -y- , aber die Stelle x = 0, 

y = - bildet jetzt eine Grenzstelle des durch das urspriinglich betrachtete 
2/2 

Funktionseleinent erklailen analytischen Gebildes. 



134 HI A B 2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie" und ,,Flache". 

Linie ? deren Koordinaten beziehentlich in der Nahe gegebener fester 
Werte liegen, kann dalier unter Umstanden von verwickelter Be- 
schaffenheit sein. Um derartige Verhaltnisse und namentlieh auch 
die Art, wie eine Linie nach dem Unendlichen verlauft, leichter iiber- 
sehen zu konnen, denkt man sich eine analytische Linie haufig in 
mehrere Ziveige zerlegt, d. h. zusammenhangende Teile, fiir deren 
gegenseitige Abgrenzung folgendes als Regel gilt: Falls ein und der- 
selbe Punkt P gleichzeitig Mittelpunkt mehrerer Elemente einer 
analytischen Linie ist, so sind von den in der Nahe von P liegenden 
Punkten der Linie diejenigen, welche ein und demselben jener Ele 
mente angehoren, stets dem gleichen Zweige, dagegen solche Punkte, 
die in verschiedenen Elementen liegen, verschiedenen Zweigen zu- 
zurechnen 14 ). Im iibrigen werden die Grenzen der einzelnen Zweige 
meistens unbestimmt gelassen. 

5. Einsiedler. Wenn man eine reelle analytische Linie I durch 
Hinzunahme der imaginaren Stellen des entsprechenden analytischen 
Grebildes erweitert, so kann es vorkommen, daB ein reeller Punkt P 
von I den Mittelpunkt von Elementen des erweiterten Gebildes bildet, 
die keinen andern in der Nahe von P liegenden reellen Punkt ent- 
halten 15 ). In einein solchen Fall nennt man den Punkt P einen Ein- 



II. (Vgl. F. Klein, Anw. d. Diff.- u. Integrals auf Geom., autogr. Vorl. 
Sommer 1901, Leipzig 1902, p. 239, u. A. Schoenflies, Math. Ann. 58 (1904), p. 216.) 
Ein beliebiger Punkt einer Epicykloide ist immer Mittelpankt nur eines einzigen 
oder hochstens zweier Elemente der Epicykloide. Wenn aber die Epicykloide so 
bestimmt ist, daB die Radien des festen und des rollenden Kreises ein irrationales 
Verhaltnis haben, und daB dahcr die reellen Ziige der Epicykloide einen Kreis- 
ring fiberall dicht bedecken, so liegen in jeder Nahe eines beliebigen Epicykloiden- 
punktes P stets noch andere Punkte, die zwar der Epicykloide, aber keinem 
Element derselben angehoren, welches in P seinen Mittelpunkt hat. 

14) Bei der Betrachtung einer reellen analytischen Linie wird das Wort 
Zweig zuweilen in etwas anderer Bedeutung gebraucht, namlich zur Bezeich- 
nung eines Teiles der Linie, der durch stetige Bewegung eines Punktes so er- 
zeugt werden kann, daB kein Stuck desselben mehrfach beschrieben wird. Vgl. 
z. B. Encyclopaedia Britannica, 9. ed., Edinburg 1875 ff., American reprint, Phila 
delphia 1894, Art. Curve. Bei dieser Erklarung kann es vorkommen, daB ein 
Zweig sich selbst schneidet, wahrend dies bei der im Text gegebenen Erklarung 
nicht mb glich ist. Ferner dient bei der Betrachtung einer reellen ebenen ana 
lytischen Linie das Wort Zweig manchmal auch zur Bezeichnung eines solchen 
Teiles, langs dessen die eine Koordinate eine eindeutige Funktion der andereu 
ist. Vgl. L. Hoffmann, Math. Worterbuch 2, Berlin 1859, p. 164. 

15) Beispiel: Versteht man unter a, b beliebige reelle der Bedingung 
a < /> geniigende Zahlen, so hat der der Linie / 2 (x a) 2 (x ft) = an- 
gehorende Punkt x = a, y = die erwahnte Eigenschaft. 



6. Darstellimg durch Gleichungen. 135 

siedler 16 ) (isolierten oder der Linie Jconjugierien Pimkt 17 )). Damit, daB 
ein Punkt P einer Linie / als Einsiedler bezeichnet wird, ist indessen 
nicht immer gesagt, daB er vollig vereinzelt liege. Aufier den durch 
ihn hindurchgehenden imaginaren Zweigen kann es namlich noch 
einen oder mehrere andere reelle Zweige von I geben, die ebenfalls 
durch P gehen und auf denen daher in jeder Nahe von P andere 
zu I gehorende reelle Punkte vorhanden sind 18 ). 

6. Darstellung durch Gleichungen. Es seien # , y Q [, ] die 
Koordinaten eines inneren Punktes P eines Zweiges einer analv- 
tischen Linie und t eine auf eine gewisse Umgebung des Xullpunktes 
zu beschrankende Hilfsveranderliche (Parameter). Danu ist es, wie 
aus dem Begriff einer analytischen Linie und der in Nr. 4 gegebenen 
Erklarung eines Zweiges einer solchen folgt, immer auf mannigfaltig 
verschiedene Weisen moglich, zwei [drei] Gleichungen von der Form: 



(1) 



wo $&(), s $ 2 (0 [t ^Psft>] fur ^ = ^ verschwindende, in der erwahnten 
Umgebung konvergente Potenzreihen von t bedeuten ; so zu bestirnmen, 
daB man aus diesen Gleichungen fiir jeden Wert von t die Koordi 
naten x, y[ 9 z] eines dem betrachteten Zweige angehorenden Punktes 
erhalt und zugleich die Koordinaten eines jeden dieser Punkte, der 
in einer gewissen Nahe von P liegt, ein und nur einnial bekonimt ; 
wenn man t die erwahnte Umgebung des Nullpunktes ganz durch- 
laufen laBt (Parameterdarstellung eines Elementes einer aimlytlsclicn 
Linie. Handelt es sich um ein Element eines reellen Zweiges 7 so 
konuen der Parameter t und die Koeffizienten der Reihen s ^ 1 (#), 
%(0[^s(0] ^ er Bedingung unterworfen werden, reell zu sein). 

Von je zwei verschiedenen dieser Darstellungen kann die eine in 
die andere dadurch ubergefuhrt werden, dass man fur den bei der 



16) Ein solcher Einsiedler tritt schon bei G. Cramer, Introduction a Tana- 
lyse des lignes courbes algebriques, Cleneve 1750, p. 449, in eineni Beispiel auf. 

17) J. Pliicker, Anal.-geom. Entwickelungen 2, Essen 1831, p. 267 u. 292; 
oder System der anal. Geom., Berlin 1835, p. 196 und an mehreren anderen 
Stellen. Vgl. auch G. Salmon, Anal. Geom. d. hoh. eb. Kurven, deutsch von 
W. Fiedler, Leipzig 1873, p. 28; 2. Aufl. 1882, p. 33. 

18) /. Plucker, Theorie der algebr. Kurven, Bonn 1839, p. 172. 

19) Falls # , y [, ] nicht s amtlich endliche Werte haben, sind hier wie 

ublich unter x (3O, y cx> [, z <x>] beziehentlich die Ausdriicke , L 1 
. x y L z J 

zu verstehen. 



136 III A B 2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie u und ,,Flache". 

einen Darstellung benutzten Parameter t eine passend gewahlte Funk- 
tion f(r) des bei der anderen benutzten Parameters T einsetzt, die fiir 
T = analytisch ist und den Bedingungen: /*(()) = 0; /"(O) =(= 
geniigt (II B 1, Nr.ll). 

Setzt man jedoch, naehdem man ein Element einer analytischen 
Linie in der eben beschriebenen Weise durch zwei [drei] Gleichungen 
von der Form (1) dargestellt hat, fiir t eine Funktion q>(x) em, die 
for T = analytisch ist und daselbst verschwindet, aber der Be- 
dingung g? (0) -f* Q nicht mehr geniigt , so erhalt man eine Dar 
stellung des betrachteten Elementes, die jeden Punkt desselben ; der 
in einer gewissen Nahe des Mittelpunktes liegt, aber von diesein ver- 
schieden ist, mehrmals liefert. Darstellungen dieser Art werden von 
L. Eaffy^} als uneigentliche Darstellungen bezeichnet. Umgekehrt 
liefern je zwei [drei] Gleichungen von der Form (1), vorausgesetzt, 
daB die rechten Seiten nicht alle identisch gleicli Null sind, eine 
eigentliche oder uneigentliche Darstellung eines Elementes einer ana 
lytischen Linie. 

Tiber die Parameterdarstellung einer analytischen Linie im yansen 
vgl. H B 1, Nr. 28. 

Wenn eine ebene analytische Linie als analytisches Gebilde erster 
Stufe im Gebiet von zwei Veranderlichen x, y erklart ist, und irgend 
ein Element dieses Gebildes ins Auge gefafit wird, so ist es immer 
auf mannigfaltig verschiedene Weisen moglich, fur eine gewisse Um- 
gebung des Mittelpunktes 11 ) dieses Elementes eine dort analytische 
Funktion F(x, y) so zu bestimmen, daB sie fur die dem betrach 
teten Element angehorenden Punkte, aber auch nur fiir diese ver- 
schwindet, und daB daher die Gleichung F(x, y) = in der Nahe 
des Mittelpunktes zur analytischen Darstellung des Elementes dienen 
kann. 

Ist umgekehrt im Gebiet von zwei Veranderlichen x, y fiir die 
Urngebung einer festen Stelle (# 07 / ) eine dort analytische, im all- 
geineinen von Null verschiedene, aber an der Stelle (# , y ) selbst 
verschwindende Funktion F(x, y) erklart, so bildet die Gesamtheit 
aller Wertepaare x 9 y, welche in einer gewissen Nahe der Stelle (# , / ) 
liegen und die Gleichung F (x, y) = erfiillen, entweder ein Element 
einer analytischen Linie, oder sie besteht aus einer cndlichm Anzahl 
solcher Elemente, die entweder verschiedenen Zweigen ein und der- 
selben Linie oder auch verschiedenen Linien angehoren konnen (II B 1, 
Nr. 4446; III D 1, 2, Nr. 19). 

20) L. Raffy, Lemons sur les applications geometriques de 1 analyse, Paris 
1897, p. 34 u. 6. 



6. Darstellung durch Gleichungen. 137 

Ferner 1st es in vielen Fallen, wo iin Gebiet von zwei Verander- 
lichen eine analytische Lime gegeben ist, moglich, eine eindeutige 
analytische Funktion F(x, y) so zu bestimmen, daB die Linie sich 
mit der Gesamtheit aller die Gleichung F(x-, y) = befriedigeuden 
Wertepaare x, y vollstandig deckt und daB daher die Linie im ganzen 
durch diese Gleichung eine geeignete Darstellung findet. 

Eine Umkehrung dieser Behauptung ist nicht ohne weiteres zu- 
lassig. Denn ist eine eindeutige analytische Funktion F(x, y) ge 
geben, so sind auBer dem Fall, daB die Gleichung F(x-, y) = eine 
analytische Linie darstellt, noch audere moglich, z. B. daB diese 
Gleichung eine iiberhaupt nicht erfullbare Forderung ausdriickt 21 ), 
oder daB sie mehrere verschiedene analytische Linien darstellt 22 ), 
oder daB die Gesamtheit der die Gleichung erfiillenden Wertepaare x, y 
von einer analytischen Linie nur einen Teil umfaBt, ohne sie vollig 
zu erschopfen 23 ). 

Ahnlich kann, wenn im Gebiet von drei Veranderlichen x, y, z 
ein aualytisches Gebilde erster Stufe gegeben ist, ein beliebiges Ele 
ment desselben in der Nahe seines Mittelpunktes n ) stets in mannig- 
faltig verschiedener Weise durch zwei Gleichungen: 
f(x, y, ^) = 0; g(x, y, z) = 

dargestellt werden, wo / und g zwei in der Umgebung jenes Mittel 
punktes analytische Funktionen bedeuten. 

Wenn umgekehrt zwei Funktionen f(x, y, z), g(x, y, z) gegeben 
sind, die in der Umgebung einer Stelle (x , f/ , ^ ) analytisch und im 
allgemeinen von Null verschieden sind, aber an dieser Stelle selbst 
beide verschwinden, und wenn ferner von den Deterniinanten zweiten 
Grades der Matrix 

f, f. II 
X 9 y 9, il 
wenigstens eine an der Stelle (X Q , y$, ) von Null verschieden ist, so 

21) Beispiel: ^^ ^ = 0, wo g(x, y) eine ganze rationale Funktion be- 
deutet. 

22) Beispiele: Eine reduzible algebraische Gleichung kann eine endliche 
Anzahl verschiedener Linien darstellen, wiihrend die Gleichung sin [g(x, y}] = 0, 
wo 9( x i y} einz ganze rationale Funktion bedeutet, unendlich viele verschiedene 
Linien darstellt, namlich g(x, y) = kit (k 0, +1, 2, . . .). 

23) Beispiel: Sei <p(x) eine fur das Innere des Einheitskreises erklarte 
analytische Funktion, deren Argument diesen Kreis als naturliche Grenze hat. 
Dann umfaBt die Gesamtheit der die Gleichung g? (y) <p (x) = erfiillenden 
Wertepaare von der Geradeu y = x nur denjenigen Teil, fiir welchen 

= x<l ist. 



138 III A B 2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie" und ,,Flache u . 

bildet die Gesamtheit ($ aller Wertsysteme x, y, z, welche einer ge- 
wissen Umgebung der Stelle (# 0? / 07 ) angehoren und die Gleichungen : 

f(x, y, z) = 0; g(x, y, z) = 

gleichzeitig befriedigen, einen einzigen Zweig einer analytischen Linie. 
Sind dagegen die erwahnten Determinant en an der Stelle (X Q , y Q , ) 
samtlich gleich Null, so kommt es darauf an, ob die Funktionen f, g 
einen an der Stelle (X Q , y Q , # ) analytischen und daselbst verschwinden- 
den gemeinschaftliclien Teiler haben, oder nicht. 1st ein solcher 
Teiler nicht vorhanden, so besteht ($ aus einer endlichen Anzahl von 
Linienzweigen, die ein und derselben oder auch verschiedenen analy 
tischen Linien angehoren konnen. Haben dagegen die Funktionen 
f(x, y, z), g(Xj y, z) einen gemeinschaftlichen Teiler der beschriebenen 
Art, so setzt sich aus einer endlichen Anzahl von Linienzweigen 
und FlacJienstucJcen zusammen. Dabei ist wenigstens ein Flachenstiick 
immer vorhanden, wahrend Linienzweige, die nicht auf diesem liegen, 
auch fehlen konnen 24 ). 

Eine ahnliche Darstellung wie im kleinen ist haufig auch im 
grossen zulassig. Ist namlich im Gebiet von drei Veranderlichen 
x, y, z eine analytische Linie I gegeben, so ist es in vielen Fallen 
moglich, zwei eindeutige analytische Funktionen f(x y y, z), g (x, y, z) 
so zu bestimmen, da6 die Linie I genau mit der Gesamtheit aller die 
Gleichungen 

f( Xj y, z) = 0; g (x, y, z) = 

gleichzeitig befriedigenden Wertsysteme x, y, z zusammenfallt und daher 
durch diese beiden Gleichungen im ganzen dargestellt werden kann. 

Aber auch hier ist wie bei ebenen Linien eine Umkehrung nicht 
ohne weiteres zulassig. Besondere Erwahnung verdient namentlich 
der Umstand, daB auch in dem Fall, wo f(x, y, z) und g(x y y, z) 
von einander verschiedene irreduzibele ganze rationale Funktionen 
bedeuten, die Schnittlinie der Flachen 

24) Hilfsmittel zum Beweise dieser Behauptungen finden sich in K.Weier- 
strafi, Einige auf die Theorie der analytischen Funktionen mehrerer Verander 
lichen sich beziehende Satze, autogr. Berlin o. J. (1879 erschienen) = Abhand- 
lungen aus der Funktionenlehre, Berlin 1886, p. 105 = Math. Werke 2, Berlin 
1895, p. 135, und in C. W. M. Black, Havard Thesis 1901 = Amer. Ac. Arts Sci. 
Proc. 37 (1902), p. 281. Vgl. auch II B 1, FuBn. 250 u. 254. Die allgemeinere 
Frage nach der Beschaffenheit der Gesamtheit aller derjenigen Stellen innerhalb 
eines gegebenen Bereiches T im Gebiet von beliebig vielen Veranderlichen, an 
welchen eine endliche Anzahl gegebener in T analytischer Funktionen gleich 
zeitig gleich Null werden, ist von 0. Bhimenthal, Math. Ann. 57 (1903), p. 356, 
behandelt worden. 



7. Erweiterungen des Begriffs Linie. 8. Linie als ,,Bahn eines Punktes 1 . 139 

f(x, y, z) = und g(x, y, z) = 
in mehrere verschiedene analytische Linien zerfallen kann. 

Die allgerueinen Eigenschaften der analytischen Linien und Flachen 
und die zu deren Darstelhmg dienenden Hilfsbegriffe wie Tangente, 
Beruhrungsebene, Bogenlange, Schmiegungsebene, Kriimmung u. s. w. 
kommen in III D 1, 2, v. Mangoldt, zur Besprechung. 

7. Erweiterungen des Begriffs Linie. Linie als ,,Bild einer 
Funktion". Naheliegende Erweiterungen des bisher erklarten Be- 
griffes einer analytischen Linie bestehen darin, daB man 

a) ein analytisches Gebilde erster Stufe im Gebiet von inehr als 
drei Veranderlichen als eine analytische Linie in eineni Rauni von 
mehr als drei Diinensionen bezeichnet; 

b) eine endliche oder auch abzahlbar unendliche Menge analy- 
tischer Linien oder Linienstucke aus irgend welchen Griinden zu 
eineni Ganzen vereinigt, z. B. weil sie zusanimengenommen die voll- 
standige Begrenzung eines Flachenstucks bilden, oder die Anfangs- 
lage einer schwingenden Saite kennzeichnen, und dann dieses Ganze 
eine Linie nennt 25 ). 

Andere Erweiterungen beziehen sich auf den Fall, daB nur reelle 
Pimkte in Betracht gezogen werden. 

Unter dieser Voraussetzung wircl zunachst bei manchen Unter- 
suchungen 26 ) das Wort Linie lediglich als Abkiirzung fiir 7? geome- 
trisches Bild eiuer reellwertigen Funktion einer reellen Veranderlichen 
in einem ebenen rechtwinkligen Koordinatensystem" gebraucht, ohne 
daB dabei jedoch hinsichtlich der dem Argument oder der Funktion 
etwa aufzuerlegenden Einschrankungen eine allgemein angenommene 
IFbereinkunft bestande. Auch dariiber, welche Punkte an Unstetig- 
keitsstellen der Funktion zur Linie zu rechnen sind ? finden sich ver- 
schiedene Festsetzungen 2T ). 

8. Linie als ,,Bahn eines Punktes". Der Jordansche Satz. Ferner 
hat die volkstiimliche Erklarung einer Linie als Bahn eines Punktes 
dazu gefiihrt, ein Linienstiick ganz allgemein als die Gesamtheit aller 
Pimkte zu erklaren, deren Koordinaten x, y, z in eineni rechtwink 
ligen System sich ergeben, wenn man drei reelle in ein und dem- 
selben Intervall stetige Funktionen q>(f), %(t), ty(t) einer reellen Yer- 



25) Derartige Linien werden schon von L. Eider, Introductio in analysin 
inf. 2, Lausannae 1748, p. 6, erwahnt und als curvae discontinuae seu mixtae 
et irregulares bezeichnet. 

26) Z. B. von P. du Bois-Peymond, Math. Ann. 15 (1879), p. 283; O.Stolz, 
Math. Ann. 18 (1881), p. 268; L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884/85), p. 49. 

27) Vgl. L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884/85), p. 51, Amnerkimg. 



140 HI A B 2. //. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie" und ,,Flache". 

iinderliclien t willkmiicli anniinmt, jedoch so, daB niclit alle drei kon- 
stant sind, sodann 



setzt und die Veranderliche t das erwahnte Intervall ganz durchlaufen 
lasst. A. Hunvitz 28 ) hat dieser Erklarung fur den Fall, daB die Ver 
anderliche t auf ein endliches Intervall eingeschrankt 1st, aber mit 
beiden Grenzen desselben zusainmenfallen darf, die folgende Fassung 
gegeben: ,,Eine abgeschlossene Punktmenge wird ein stetiger Kurven- 
bogen genannt, wenn sie das stetige Bild einer geradlinigen Strecke ist." 

Hierbei fallen indessen, wenn man von den Funktionen cp(i), %(t) 
if>(f) nichts welter als die Stetigkeit fordert, unter den Begriff ebene 
Linie auch solche Punktmengen, die alle Punkte eines zweifach aus- 
gedehnten Flachenstiicks, z. B. der Flache eines Quadrates en thai ten 29 ). 

Diese Mogllchkelt wird jedoch ausgeschlossen, wenn man mit 
C. Jordan 30 ) und E. Study 31 ) das Vorhandensein mehrfacher Punkte 
ausschlieBt, also eine ganz ini Endlichen liegende Punktmenge erst 
dann ein einfaches Kurvenstuck nennt, wenn sich ihre Punkte den 
Punkten einer endlichen Strecke, der ihre Endpunkte zugerechnet 
werden, nicht nur stetig, sondern auch eindeutig umkehrbar zuordnen 
lassen, und dabei nur die eine Ausnahine gestattet, daB der End- 
punkt der Kurve wieder mit dem Anfangspunkt zusainmenfallen darf 
(geschlossene Kurve). 

Eine so erklarte und der angegebenen Bedingung geniigende ge 
schlossene ebene Linie teilt, wie C. Jordan**) gezeigt hat, die Ebene 
stets in zivei getrennte Kontinua, ein inneres und ein ausseres. (Uber 
eine wesentliche Erganzung dieses Satzes vgl. Nr. 9.) 

Aber in anderer Hinsicht kann eine solche Linie wesentliche Ver- 
schiedenheiten von den analytischen Linien aufweisen, indem namlich 



28) A, Hurwitz, Verhandl. d. ersten intern. Math.-Kongr. in Zurich, Leipzig 
1898, p. 102. Ygl. I A 5, Schoenflies, Nr. 11. 

29) Dies wurde zuerst von G. Peano, Math. Ann. 36 (1890), p. 157, nach- 
gewiesen. Geometrische Erlauterungen gaben D. Hilbert, Math. Ann. 38 (1891), 
p. 459; A. Schoenflies, Jahresber, d. Deutsch. Math.-Vereinigung 8, 2 (1900), p. 121 
125; E. H. Moore, Trans, of the american math. soc. 1 (1900), p, 72, und 
F. Klein, Anwendung derDiff.- u. Int.-Rechnung anf Geom., autogr. Vorl. Sommer 
1901, Leipzig 1902, p. 238 ff. 

30) C. Jordan, Cours d analyse, 2. ed. 1, Paris 1893, p. 91. 

31) E. Study, Math. Ann. 47 (1896), p. 314. 

32) C. Jordan, Cours d analyse, 2. ed. 1, Paris 1893, p. 9199. Vgl. auch 
A, Schoenflies, Gott. Nachr. 1896, p. 79, u. Math. Ann. 62 (1906), p. 286, sowie 
W. F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie , Leipzig 1906, p. 120 141. 
Uber die Umkehrung des Jordanschen Satzes vgl. Nr. 9. 



8. Lmie als ,,Bahn eines Punktes". 



141 



eine Taugente in keinern Punkte mehr vorhanden zu sein braucht 
und der Begriff Bogenlange ganzlich hinfallig werden kann. (Vgl. 
II A 1, Pringsheim, Nr. 10, 11 , und II A2 7 Voss, Nr. 4.) Ferner ist, 
wie W. F. Osgood) an einem Beispiel nachgewiesen hat 7 bei einer 
geschlossenen ebenen Linie der in Rede stehenden Art der Fall mog- 
lich, daB das ganz im Endlichen liegende von ihr umschlossene innere 
Kontinuum keinen bestimrnten Flacheninhalt mehr hat. 

Zu anderen Beispielen solcher nichtanalytischen 
die sich in vieler Hinsicht durch fiber- . 
aus sonderbare Eigenschaften aus- 
zeichnen, hatte schon fruher die Lehre 
von den automorphen Funktionen ge- 
fuhrt 34 ). Diese Beispiele sind ebenso 
wie das von Osgood angegebene nament- 
lich auch deswegen bernerkenswert, 
weil es sich bei ihnen um nichtanaly- 
tische Linien handelt, die ohne jede 
Benutzung arithmetischer Operationen 
rein geomctrisch erklart werden konnen. 
Besonders eingehend haben P. Fricke 
und F. Klein diejenige hierher gehorende 
Linie untersucht 35 ), welche zwei Kon- 
tinua voneinauder scheidet^ die sich in 
folgender Weise ergeben: Man nehme 
(Fig. 1) in einer Ebene vier einander, 




Fig. l. 



A* 



3? 



von denen jeder zwei andere, 



ausschliessende Kreise k ly 

aber nur diese, berfihrt, so an, daB ein sie alle recbtwinklig scbnei- 

dender Ej-eis nicbt vorhanden ist, fasse sodann die beiden Kreisbogen- 

vierecke P, P ins Auge, in welche der von den Scheiben der vier 

Kreise nicht bedeckte Teil der Ebene zerfallt, und recline zum einen 

Kontinuum 



33) W. F. Osgood, Trans, of the american math. soc. 4 (1903), p. 107. 

34) Diese nichtanalytischen Linien wnrden zuerst von F. Klein bemerkt, 
der H. Poincare brieflich darauf aufmerksam machte. Der betreffende Brief 
wird von Poincare, Paris C. R. 92 (1881), p. 1486, erwahnt, doch sind dort nur 
wenige Zeilen aus demselben abgedruckt. Vgl. ferner H. Poincare, Acta math. 
3 (1883), p. 7880, und E. Fricke u. F.Klein, Vorles. iib. d. Theorie d. auto- 
morphen Funktionen 1, Leipzig 1897, p. 131134. Vgl. n B 4, Fricke. 

35) E. Fricke, Math. Ann. 44 (1894), p. 580587; E. Fricke u. F. Klein, 
Vorles. iib. d. Theorie d. automorphen Funktionen 1, Leipzig 1897, p. 411 428, 
und F. Klein, Anwendung der Diff.- u. Int.-Rechnung auf Geom., autogr. Vorl. 
Sommer 1901, Leipzig 1902, p. 298 ff., wo manche Beweise anders gefafit sind. 



142 HI A B 2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie" und ,,Fliiche". 

erstens alle Punkte von P mit Ausnahme der Eeken, 

zweitens die Punkte der Bereiche, welche aus P durch symme- 

trische Wiederholung an den Kreisen Jc 19 7r 2 , & 3 , & 4 entstehen, 

wieder niit Ausnahme der Eeken, 
drittens die Punkte aller Bereiche, welche aus dem so erweiterten 

Bereiche durch abermalige symmetrische Wiederholung desselben 

an seinen Seiten hervorgehen, 

und so fort, und leite das andere Kontinuum in gleicher Weise aus 
dem anderen Kreisbogenviereck P ab 36 ). 

Will man den zunachst als stetiges und eindeutig umkehrbares 
Bild einer geraden Strecke erklarten Begriff eines einfachen Kurven- 
stiicks mit dem eines Stiickes einer reellen analytischen Linie in 
bessere Ubereinstimmung bringen, so bedarf es weiterer Einschran- 
kungen. Man kann etwa zunachst das Vorhandensein einer bestimmten 
Bogenlange (III D 1, 2, v. Mangoldt, Nr. 10), dann das einer Tangente 
in jedem Punkte, dann stetige Drehung der Tangente bei stetigem 
Fortschreiten des Beriihrungspunktes, dann das Vorhandensein eines 
Krummungskreises fordern u. s. w., oder noch andere Bedingungen 
aufstellen, wie z. B. dafi Ecken, Spitzen und andere singulare Punkte 
und bei beliebiger Wahl des Koordinatensystems auch hochste und 
tiefste Punkte nur in endlicher Anzahl vorhanden sein sollen ; daB 
das Kurvenstiick mit einer Geraden, einem Kreis, oder anderen ele- 
mentaren Linien stets nur eine endliche Anzahl von Punkten gemein 
haben soil 37 ), und so fort. Aber wie weit man hierbei gehen und 
welche Form man den einzufiihrenden Einschrankungen geben soil, 
dariiber besteht keine allgemein angenoinmene tJbereinkunft 38 ). Bei- 
spielsweise nennt W. F. Osgood 39 ) ein ebenes Kurvenstiick der hier in 



36) Der Beweis, dass die so rein geometrisch erklarte ,,Grenzkurve u wirk- 
lich als stetiges und eindeutig umkehrbares Bild einer geraden Strecke an- 
gesehen werden kann, findet sich bei R. Fricke u. F. Klein, Vorles. iib. d. Theorie 
d. automorphen Funktionen 1, Leipzig 1897, p. 420, und bei F. Klein, Anwen- 
dung der Diff.- u. Int.-Rechnung auf Geoin., autogr. Vorl. Sonimer 1901, Leipzig 
1902, p. 316 f. 

37) Vgl. 0. Stolz, Vorl. iib. allgemeine Arithrnetik 1, Leipzig 1885, p. 19 
194, und II A 1, Pringsheim, Nr. 11. 

38) Dementsprechend sagt E. Study, Math. Ann. 47 (1896), p. 315, ,,daft 
wir einen allgemein annehmbaren Kurvenbegriff zur Zeit iiberhaupt nicht be- 
sitzen", und macht aufmerksam auf die Unterschiede der Betrachtungen in der 
analytischen Geometric, wo auch von imaginaren Kurven geredet wird, bei 
Eandwertaufgaben und bei Integrationswegen auf Riemannschen Flachen. 

39) W. F. Osgood, Trans, of the american math. soc. 1 (1900), p. 310, und 
II B 1, Osgood, p. 9 Anmerkung. 



9. Lime als ,,Litnge ohne Breite" oder als ,,Grenze einer Flache". 143 

Rede stehenden Art regular, wenn dasselbe in jedem Punkt erne Tan- 
gente hat, die sich bei stetiger Bewegung des Beriihrungspunktes 
ebenfalls stetig dreht, wahrend F. Klein 40 ) fordert, dafi das Kurven- 
stiick durch zwei Gleichungen: x = <p(i), y = %(f) darstellbar sein 
solle, wo 9>(i), %(f) Funktionen bedeuten, die in einem Interval! von be- 
grenzter Schwankung und eine endliche Anzahl von Malen differen- 
zierbar sind. Abermals anders hat A. Kneser^) die zu stellenden 
Bedingungen gefafit. Er versteht namlich unter einem ,,nirgends 
singularen ebenen Bogen" eine ; ,im Sinne der projektiven Anschauung 
stetige von Doppelpunkten und Doppeltangenten freie Punktreihe mit 
uberall eindeutig bestimmter und stetig variierender Tangente, fur 
welche die folgenden v. Sfawttseheoi Satze gelten: 

I. Durchlauft der Punkt T den Bogen in bestimmter Richtung 
und ist t seine jedesmalige Tangente, so andert der Schnittpunkt (gt) 
der Tangente mit einer festen Geraden g die Richtung seiner Be 
wegung langs dieser in den und nur den Lagen der Elemente t und 
T y in welchen die Gerade durch T geht, ohne mit t identisch zu 
werden. 

II. Die Verbindungslinie FT andert , wenn F em fester Punkt 
ist, den Sinn ihrer Drehung in den und nur den Lagen der Elemente 
t und Tj in welchen F auf t liegt, ohne mit T zusarnrnenzufallen." 

In ahnlicher Weise legt er 42 ) die Grundeigenschaften eines ,,nirgends 
singularen Raumkurvenbogens" durch eine Kette von vier Satzen fest 
und kniipft dann an diese Erklarungen eine Untersuchung daruber r 
welche allgemeinen Satze fiber die gestaltlichen Verhaltnisse nirgends 
singularer Bogen auf sie gegriindet werden konnen 43 ). 

9. Linie als ,,Lange ohne Breite", oder als ,,Grenze einer Flache", 
Die Begriffsfeststellungen der Mengenlehre rnachen es nioglich ; die 
schon von Euklid gegebene Erklarung einer Linie als ? ,Lange ohne 
Breite" von den ihr anhaftenden Unbestimmtheiten zu befreien. Bei 
Beschrankung auf die Ebene kann dies dadurch geschehen, dafi man 
eine Linie als eine perfekte zusammmliangende Pmiktmenge ohne innere u ) 
Punlite erklart 45 ). Vgl. I A 5, Sclwenflies, Nr. 16. 



40) F. Klein, Anwendung d. Diff.- u. Integralr. auf Geoni., autogr. VorL 
Sommer 1901, Leipzig 1902, p. 255. 

41) A. Kneser, Math. Ann. 34 (1889), p. 205. 

42) a. a. 0. p. 209. 

43) Eine Fortsetzung dieser Untersuchungen findet sich Math. Ann. 41 
(1893), p. 349. 

44) Das helfit: Wenn P ein Punkt der Menge ist, so sollen niemals alle 
Pnnkte der Ebene, welche in einer gewiseen Xahe von P liegen, ebenfalls zur 



144 HI A B 2. II. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie u und ,,Flache 1 . 

Aber gegen diese Erklarung 1st cler Einwand zu erheben, daB 
sie insofern zu weit 1st, als sie auch solche Gebilde umfaBt, die nicht 
als stetige und eindeutig umkeiirbare Bilder einer geraden Strecke 
oder eines Kreises angesehen werden konnen. Zwei einfache Beispiele 
solcher Punktmengen erhalt man, wie aus einem welter unten zu er- 
wahnenden Satze hervorgeht, in folgender Weise: 

A. Indem man die Gesamtheit aller Punkte, welche dem Umfang 
eines Kreises angehoren, um die Gesamtheit aller auf einem bestimmten 
Radius $t dieses Kreises liegenden Punkte vermehrt. 

B. Indem man der ,,Kurve" y = sin zunachst das zwischen den 

tC 

Punkten mit den Ordinaten 1 und -f- 1 entbaltene Stiick der 
Ordinatenachse nebst seinen Endpunkten zurechnet, sodann auf der 
Kurve einen Puukt A mit negativer und einen Punkt B mit positiver 
Abszisse nach Belieben annimmt und die zu erklarende Punktmenge 
aus dem zwischen A und B enthaltenen Stiick (3 der Kurve und 
einem beliebigen von B nach A laufenden Streckenzuge bestehen 1 aBt, 
der aus einer endlichen Anzahl gerader Strecken zusammengesetzt ist 
und weder @ noch sich selbst schneidet. Vgl. I A 5 ; Nr. 16, 
FuBn. 90. 

Bei jedem dieser beiden Beispiele wird die Ebene zwar durch 
die erklarte Punktmenge in zwei Kontinua, ein inneres 3 und ein 
aufieres 51 geschieden, aber es zeigen sich dabei folgende Eigentum- 
lichkeiten: 

I. Bei dem Beispiel (A) sind die Punkte von $t mit Ausnahme 
des auf den Kreisumfang liegenden Endpunktes zwar Grenzpunkte 
des inneren Kontinuums 3, aber nicht gemeinsame Grenzpunkte von 
S und 21 

II. Bei dem Beispiel (B) ist es nicht moglich von einem Punkte 
der Menge, welch er im Innern des auf der Ordinatenachse enthaltenen 
Stiickes liegt, nach einem Punkte von S eine aus einer endlichen 
Anzahl gerader Strecken bestehende gebrochene Linie zu ziehen, 
welche, abgesehen von ihrein Anfangspunkte, ganz im Innern von 3 
verliefe. 

Der Ubelstand, daB man zunachst zu einem zu weiten Begriff 
gelangt, zeigt sich ebenfalls, wenn man versucht, der volkstiimlichen 



Menge gehoren. Durch den Zusatz ,,ohne innere Punkte" soil lediglich die 
Moglichkeit ausgeschlossen werden, daB die Punktmenge alle Punkte eines zwei- 
fach ausgedehnten Ebenenstiickes enthalt. 

45) In wenig abweichender Fassung findet sich diese Erklarung bei H. Burk- 
hardt, Einf. in d. Theorie d. anal. Funktionen, Leipzig 1897, p. 75, X. 



9. Linie als ,,Lange ohne Breite" oder als ,,Grenze einer Flache". 145 

Erklarung einer Linie als Grenze einer Flache" eine scharfere Fassung 
zu geben, und etwa eine ebene Linie als ,,Grenze eines ebenen Kon- 
tinuums" (II B 1, Nr. 1), oder als Teil einer solchen erklart. Denn, 
wie die neuere Entwicklung der Mengenlehre (I A 5) gezeigt hat, liegt 
hinsichtlich der Begrenzung eines ebenen Kontinuums eine solche Fiille 
verschiedener Moglichkeiten vor, dafi dann unter den Begriff Linie 
auch solche Punktmengen fallen wiirden, die den Vorstellungen, die 
man in der Sprache des gewohnlichen Lebens mit dem Wort Linie 
verbindet, in keiner Weise mehr entsprechen 46 ). Insbesondere kann 
nach W. F. Osgood**) die Grenze eines ganz im Endlichen liegenden 
ebenen Kontinuums einen von Null verschiedenen aufieren Inhalt 
(III D 1, 2, Nr. 25) haben. 

Selbst der Begriff der gemeinsamen Grenze eines ganz im End- 
lichen liegenden inneren und eines dasselbe umschliefienden aufieren 
Kontinuums wurde, wie das oben unter (B) angefuhrte Beispiel zeigt, 
Gebilde umfassen, deren Zurechnung zu den ? ,geschlossenen Linien" 
nicht ohne weiteres allgemeiner Anerkennung begegnen diirfte. 

A. Sckoe*flie8* T ) hat die Frage untersucht, in welcher Weise die 
eben erwahnten zu weiten Begriffe eingeschrankt werden miissen, um 
mit dem von C. Jordan (Nr. 8) aufgestellten Begriff einer geschlossenen 
Linie zur Deckung zu kommen. Er erklart zunachst 48 ) einen 7 ,ein- 



46) Beispiele giebt F. Klein, Anw. d. Diff.- u. Integralr. auf Geoin., autogr. 
Vorl. Sommer 1901, Leipzig 1902, p. 235. Besonders bemerkenswert ist unter 
den dort angefiihrten das folgende zuerst von W. F. Osgood, Trans, of the ame- 
rican math. soc. 1 (1900), p. 311, betrachtete Beispiel: Man nehme auf der Ab- 
szissenachse eines rechtwinkligen Koordinatensystems eine perfekte aber nirgends 
dichte Punktmenge nach Belieben an, z. B. nach G. Cantor, Math. Ann. 21 (1883), 
p. 590, die Gesamtheit aller Punkte, deren Abszissen in der Forme! 

a- _ L _i_ ??_ j L f _i_ . . . 

" 3 ^ 3 2 ^ ^ 3 V 

enthalten sind, wo die Koeffizienten c v nach Belieben die beiden Werte und 2 
anzunehmen haben und die Reihe sowohl aus einer endlichen wie aus einer un- 
endlichen Anzahl von Gliedern bestehen kann (andere Beispiele und Litteratur- 
angaben bei A. Schoenflies, Jahresber. d. Deutschen Math.-Yer. 8, 2 (1900), 
p. 101 f. u. I A 5, Nr. 13, FuBn. 58). Nun fuhre man durch jeden dieser Punkte 
in die obere Halbebene senkrecht zur Abszissenaxe einen geraden Einschnitt 
von beliebiger Lange, etwa der Lange Eins, und lasse das Kontinuum, dessen 
Begrenzung betrachtet werden soil, aus alien inneren Punkten der so geschnittenen 
oberen Halbebene bestehen. 

47) A. Schoenflies, Gott. Nachr. 1902, p. 185, und 1904, p. 514, sowie Math. 
Ann. 58 (1904), p. 195, 59 (1904), p. 129, und 62 (1906), p. 286. 

48) Math. Ann. 58 (1904), p. 202; 59 (1904), p. 131, und Gott. Nachr. 1904, 
p. 516. 

Encyklop. d. math. Wisseusch. HI 1. 10 



146 III A B 2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie" und ,,Flache". 

fachen Weg" als einen zusammenhangenden sich selbst nicht kreuzen- 
den Streckenzug, welcher entweder nur aus einer endlichen Zahl von 
Strecken besteht, oder aber, falls er unendlich viele Strecken enthalt, 
so beschaffen ist, daB seine Ecken nur einen einzigen Haufungspunkt 
haben. Er nennt ferner 49 ) einen auf der Grenze ernes Kontinuums 
3ft liegenden Punkt t ,,erreichbar fur 9ft", wenn man einen, also auch 
jeden Punkt von $1 mit t durch einen einfachen Weg verbinden kann, 
der, abgesehen von t selbst, ganz im Innern von 3ft liegt. 

Dieser Begriff der Erreichbarkeit ftihrt nun zu den gesuchten 
Einschrankungen. Der Jordansche Satz kann namlich erganzt werden 
durch den Zusatz 50 ), daB samtliche Punkte einer ,,Jbr^<m-Kurve" imnier 
sowohl fiir das innere wie fur das auBere Kontinuum erreichbar sind 
- wodureh fiir solche Kurven die bei den obigen Beispielen (A) und 
(B) hervorgehobenen Eigentiimlichkeiten ausgeschlossen werden 
und der so vervollstandigte Jordansche Satz erweist sich auch als urn- 
kehrbar 51 ): Wenn eine ganz im Endlichen liegende perfekte zusammen- 
hangende ebene Punktmenge die gemeinsame Grenze zweier getrennten 
Kontinua bildet und alle ihre Punkte fiir beide Kontinua erreichbar 
sind, so laBt sie sich umkehrbar eindeutig und stetig auf den Kreis 
abbilden. 

Fiir den Begriff der gemeinsamen Grenze ernes im Endlichen 
liegenden inneren und eines davon getrennten aufieren Kontinuums 
bildet soinit die beiderseitige Erreichbarkeit samtlicher Punkte die 
notwendige und hinreichende Bediugung der Ubereinstimmung mit 
dem Begriff der ,,Jbnfcm-Kurve". 

Im AnschluB an diese Ergebnisse nennt A. SchoeMflies 52 ) eine im 
Endlichen liegende perfekte zusammenhangende Punktmenge eine 
(eigenfliclie) geschlossene Kurve, sobald sie die gemeinsame Grenze 
zweier getrennten Kontinua bildet, und eine einfache geschlossene Kurve, 
falls sie auBerdem die Eigenschaft hat, daB jeder ihrer Punkte fiir 
beide Kontinua erreichbar ist. Ferner bezeichnet er jede zusammen 
hangende Teilmenge einer geschlossenen, beziehungsweise einer ein 
fachen geschlossenen Kurve als einen (eigentliclien) Kurvenbogen, be 
ziehungsweise einen einfachen Kurvenbogen. In den so erklarten 
Begriffen der emfachen geschlossenen Kurve und des einfachen Kurven- 



49) Gott. Nachr. 1904, p. 517, und Math. Ann. 62 (1906), p. 296. 

50) Gott. Nachr. 1904, p. 520, und Math. Ann. 62 (1906), p. 316. 

51) Gott. Nachr. 1902, p. 186, Math. Ann. 58 (1904), p. 230, und 59 (1904), 
p. 310. Vgl. auch F. Eiesz, Math. Ann. 59 (1904), p. 409. 

52) Math. Ann. 58 (1904), p. 216; 59 (1904), p. 147; 62 (1906), p. 305; Gott. 
Nachr. 1904, p. 516517. 



10. Funktiousstreifen. 147 

bogeus erkennt er naturgemaBe Verallgeineinerungen der Begriffe des 
Polygons und der Strecke, well sie sich mit diesen im Sinne der 
Analysis situs als gleichwertig erweisen. 

10. Funktionsstreifen. Ein Punkt kann pltysikaliscli nicht anders 
festgelegt werden, als durch Angabe eines moglichst kleinen Raum- 
teiles (etwa der Kreuzungsstelle zweier feinen in eine Metallplatte ein- 
gerissenen Striche), desseu Diniensionen sich jedoeh niemals vollig 
zuni Verschwinden bringen lassen. Eine Lange, die als Abstand 
zweier in dieser Weise festgelegten Punkte erklart ist, kann daher 
iinmer nar bis auf eine Grosse von der Ordnung der Dimensionen 
der zur Festlegung der Endpunkte dieneuden Raumteile bestimrnt 
sein. Ahnlich laBt sich in anderen Fallen zeigen, daB der Zahlen- 
wert einer extensiven GroBe auch durch die sorgfaltigste Erklarung 
niemals genau, sondern immer nur naherungsweise festgestellt werden 
kann. Xoch viel groBer sind die Unsicherheiten, die den Ergebnissen 
wirklich ausgefiihrter Messungen anhaften 53a ). Daher fiihrt die Be- 
obachtung eines in der Natur gegebenen Abhangigkeitsverhaltnisses 
niemals zu der scharfen Erklamng einer mathematischen Funktion. 
Um diesen Umstanden Rechnuug zu tragen, hat F. Klein**) den Be- 
griff des Funldionsstreifens eingefiihrt: Nach willkiirlicher Anuahme 
einer in eineni endlichen Interval! a . . . b stetigen Fanktion f(x) und 
einer im Verhaltnis zur Lange dieses Intervalls kleinen positiven Kon- 
stanten faBt er in einer Ebene die Gesarutheit aller Punkte ins 
Auge, deren Koordinaten x, y in einem rechtwinkligen System die 
U ngleichungen : 

a < x < b, f(x) 8<ij< f(x) + B 

erfiillen. und versteht nun unter einem Fmiktionsstreifen eineu zwei- 
fach ausgedehnten ebenen Bereich, der sich naherungsweise niit einer 
Gesauitheit der eben beschriebenen Art deckt, jedoeh mit dem Unter- 
schiede. daB man sich die Rander des Streifens nicht als scharf be- 
stimmt, sondern gewissermafien als verwaschen vorzustellen hat. 

Mit diesern Begriff des Funktionsstreifens deckt sich vielfach der 
Sinn, in welcheru das Wort Linie im praktischen Leben und in den- 
jenigen Teilen der Matheinatik gebraucht wird, die F. Klein **) als 
, 7 Approximationsmathematik" der .,Prazisionsmatheniatik" gegenuber- 
stellt, und die Frage, wann eine Linie als anscliaulicli zu bezeichnen 



53) F. Klein, Erlanger Ber. 1873 = Math. Ann. 22 (1883), p. 249. 
53 a ) Vgl. z. B. K. Nitz, Zeitschr. Math. Phys. 53 (1906), p. 1. 

54) F. Klein, Anw. d. Diff.- u. Integralr. auf Geom., autogr. Vorl. Somrner 
1901, Leipzig 1902, p. 12. 

10* 



148 HI A B 2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie" und ,,Flache". 

sei, ist nach F. Klein**) im Gegensatz zu anderen namentlich von 
A. Kopcke 56 ) hieriiber entwickelten Ansichten dahin zu beantworten, 
da6 einen Gegenstand der Anschauung und Beobachtung iiberhaupt 
nur die Funktionsstreifen bilden konnen, wahrend die mathematischen 
Linien der Prazisionsmathematik, und zwar die analytischen eben- 
sowohl wie die nicht analytischen, nienials anschaulicli, ja nicht ein- 
mal vorstellbar sind. 

Hiernach konnen Anschauung und Erfahrung uns imrner nur 
iiber Eigenschaften von Funktionsstreifen belehren, aber nicht fiber 
solche von Linien der Prazisionsmathernatik. Die Frage, wie weit 
sich die Ergebnisse der Anschauung auf die genauen mathematischen 
Linien iibertragen lassen, bedarf daher in jedern einzelnen Falle einer 
besonderen Priifung. Es kann vorkoinmen, daB bei dem weiter- 
gehenden AbstraktionsprozeB, der zu den letzteren Linien fuhrt, 
wesentliche Eigenschaften der Funktionsstreifen 7 wie z. B. das Vor- 
handensein einer naherungsweise bestimmten Tangente und Bogen- 
lange, verloren gehen, und dadurch erklaren sich die Widerspriiche ; 
die zuweilen zwischen den Ergebnissen der Anschauung und denen 
der Prazisionsmathematik obzuwalten scheinen. 

11. Bevorzugung der analytischen Linien. Wenn fur ein end- 
liches Intervall ein beliebig schmaler Funktionsstreifen gegeben ist, 
so ist es nach K. Weierstrafl 57 ) immer rnoglich, eine reellwertige 
analytische ; ja sogar eine ganze rationale Funktion g(x) von solcher 
Beschaffenheit zu finden, dass die Linie y = g (x) in dern betrachteten 
Intervall ganz im Innern des gegebenen Streifens verlauft. Auch die 
weitere Forderung, daB die Steigung und Kruminung der Linie 
y = g (x) und die Steigung und Krmnmung des gegebenen Streifens 
innerhalb der Grenzen, zwischen denen die letzteren iiberhaupt be- 
stimmt sind ; in dem gegebenen Intervall iiberall mit einander iiber- 
einstimmen sollen, wiirde sich erfiillen lassen 58 ). Aus diesen Griinden 
und in dem Bestreben, moglichst einfache Bilder der durch die Natur 
gegebenen Abhangigkeiten zu gewinnen, also mit Rlicksicht auf die 

55) a. a, 0. p. 19, 3941, 228. Ebenda, p. 4, 34, 41 weitere Litteratur- 
angaben. 

56) A. Kopcke, Math. Ann. 29 (1887), p. 136140. Weitere Begriindung 
und Nachtrage Math. Ann. 34 (1889), p. 161; 35 (1890), p. 104, und Hamburg 
math. Ges. Mitteilungen 3 (18911900), p. 376. 

57) K. Weierstraft, Berl. Sitzungsber. 1885, p. 633 u. 789 = Math. Werke 3, 
Berlin 1903, p. 1. 

58) Angaben iiber ein hierzu anwendbares Verfahren niacht F. Klein, Anw. 
d. Diff.- u. Integrals auf Geom., autogr. Yorl. Sommer 1901, Leipzig 1902, 
p. 103107. 



12. Der Begriff Flache. 149 

,,0konomie des Denkens", hat man sich bisher bei den Anwendungen 
der Mathematik auf die alleinige Benutzung analytischer Linien be- 
schrankt. Jedoch erscheint die Frage, ob eine Heranziehung nicht- 
analytischer Linien in den Anwendungsgebieten der Mathematik irgend 
welcben Vorteil zu bringen vermag, noch nicbt vollig geklart 59 ). 

12. Der Begriff Flache. Mit ahnlichen Unbestimmtheiten wie 
der Begriff Linie ist der Begriff Flaclie behaftet. Im engsten Sinne 
bezeichnet er eine analytische Flache, wahrend er bei weiterer Uru- 
grenzung noch andere Gebilde urnfaBt, deren Erklarungen sich aus 
den verschiedenen Erklarungen des Begriffs Linie durch geeignete 
Ausdehnung ergeben. Jedoch haben nichtanalytische Flachen bisher 
in der Mathematik kaum eine Rolle gespielt. 

Unter einer analytiscJien Flache versteht man, solange man das 
Imaginare als durchaus gleichberechtigt niit dem Reellen ansieht, ein 
nionogenes analytisches Gebilde zweiter Stufe im Gebiet von drei 
Veranderlichen (II B 1, Nr. 47). Bevorzugt man dagegen das Reelle, 
so zieht man iiberhaupt nur solche monogene Gebilde zweiter Stufe 
in Betracht, welche Stellen mit reellen Koordinaten von solcher Be- 
weglichkeit enthalten, daB zwei ihrer Koordinaten unabhangig von- 
einander alle Werte innerhalb zweier geeignet gewahlten Intervalle 
annehnien konnen, und versteht dann unter einer reellen analytiscJien 
Flaclie die Gesamtheit aller Stellen eines solchen Gebildes, deren 
Koordinaten samtlich reell sind. 

Ein einzelnes Element einer analytischen Flache kann gegeben 
werden 60 ) 



59) Vgl. Gutachten d. philos. Fakultat der Georg-Augusts Univers. zu 
Gottingen, betr. die J5eeA e-Preisaufgabe fur 1901, Gott. Nachr. 1901, Geschaftl. 
Mitteil. p. 40 = Math. Ann. 55 (1902), p. 143. Vgl. femer die Ausfuhrungen 
von W. F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie 1, Leipzig 1906, p. 8995, und 
von E. Borel, Ann. ec. norm. sup. (3) 12 (1895), p. 47 50, und das von dein- 
selben Paris C. R. 121 (1895), p. 933 gegebene und auch von J. Hadamard, La 
serie de Taylor et son prolongement analytique, Paris 1901, p. 95, besprochene 
Beispiel einer linearen partiellen Differentialgleichung mit reellwertigen analy 
tischen Koeffizienten, welche eine zwar beliebig oft diiferenzierbare aber nirgends 
analytische Losung hat. Einige der Schwierigkeiten, welche in der Mechanik 
eintreten wurden, wenn man annehnien wollte, daB die Koordinaten eines be- 
wegtea Punktes auch nichtanalytische Funktionen der Zeit sein konnen, sind 
von P. Appell u. Janaud, Paris C. R. 93 (1881), p. 1005, und etwas ausfuhrlicher 
von Javuiud-, Archiv Math. Phys. 67 (1882), p. 160, besprochen worden. 

60) Vgl. H B 1, Nr. 47. Durch Anwendung des in Fufin. 19) erwahnten 
Kunstgriffes wurden sich die im Text nachstfolgenden Satze und Erklarungen, 
die unmittelbar BUT fiir im Endlichen liegende Flachenelemente gelten, auf un- 
endlich feme Elemente ausdehnen laseen. 



150 III A B 2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie" und ,,Flache". 

a) (lurch eine Gleichung, welche eine Koordinate 7 etwa e y in einer 
gewissen Umgebung einer festen Stelle (a? , / ) als eine dort analytische 
Funktion der beiden anderen Koordinaten x, y darstellt; 

b) als die Gesamtheit aller Stellen, deren Koordinaten x, y, z in 
einer gewissen Umgebung einer festen Stelle (X QJ / , ) liegen und 
eine Gleichung von der Form F (x, y y z) = erfiillen, wo F(x, y, z) 
eine an der Stelle (# , y Q , ) analytische und dort verschwindende 
Funktion bedeutet, die in dem II B 1, Nr. 45 erklarten Sinne irredu- 
zibel ist. Sind bei dieser Art der Darstellung eines Flachenelementes 
die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion F(x Q , y Q , # ) 
an der Stelle (# 07 y Q , # ) nicnt sarntlicn gleich Null, so heiBt das 
Flachenelement geivolmlich oder regular, sonst singular (vgl. Ill D 1, 2, 
Nr. 3). 

Ferner ist es in mannigfaltig verscliiedener Weise moglich, ein 
gewohnliches Element einer analytischen Flache durch drei Gleichungen 
von der Form 

(A) x = y(u, v], y = %(u, v), s == ^(w, v) 

darzustellen, wo u, v in der Nahe der Stelle (0, 0) unbeschrankt ver- 
anderliche Hilfsverandeiiiclie (Parameter) und 9, #, ^ Funktionen 
bedeuten, die an der Stelle (0, 0) analytisch sind und die Eigenschaft 
haben, daB die Determinanten der Matrix 



(B) 



<Pu In 



an der Stelle (0, 0) nicht alle gleich Null sind. Hierbei ist bei Ein 
schrankung der Veranderlichen u, v auf eine hinreichend enge Uni 
gebung der Stelle (0, 0) die Beziehung zwischen den Punkten dieser 
Umgebung und den entsprechenden Punkten der Flache gegenseitig 
eindeutig (eigentliche Parameterdarstellung eines Flachenelementes* 1 )). 

61) Fiir die Oberflache einer um einen beliebigen Mittelpunkt (a, 6, c) mit 
einem beliebigen Radius r beschriebenen Kugel ergibt sich eine derartige Dar 
stellung, namlich die Darstellung durch die Gleichungen 

cc = a -|- r sin u cos v , 

/u = o n \ 
11 = It 4- r sin u sin v . I 

\V = 27T/ 

z = c -f- f cosw, 

ganz von selbst durch die Einfiihrung riiumlicher Polarkoordinaten, die schon 
von J. L. Lagranye, Berlin Nouv. Me m. 1773, p. 127 = Oeuvres 3, Paris 1869, 
p. 626, als ,,une des transformations les plus utiles et les plus ordinaires" be- 
zeichnet wird. Die Oberflache eines dreiachsigen Ellipsoides mit den Halbachsen 
a, I, c haben J. Ivory, Lond. Trans. 1809, p. 350, und C. F. Gaufi, Comm. Gott. 2 
(1813), p. 17 = Werke 5, Gottingen 1877, p. 16, durch die Gleichungen 



12. Der Begriff Flache. 151 

In iihnlicher Weise laBt sieh, wie C. W. M. Black 62 ) gezeigt hat, 
ein singulares Element einer analytischen Flache stets (lurch eine 
tudliche Anzahl von Gleichungssystemen der Form (A) darstellen, von 
denen jedoch ein jedes so beschaffen 1st, daB die Determinanten der 
Matrix (Bi zwar nicht alle identisch gleich Null sind, wohl aber an 
der Stelle (0, 0) samtlich verschwinden. 

Setzt man umgekekrt drei Gleichungen von der Form (A) will- 
ktirlich an, uud ist an der Stelle (0, 0) wenigstens eine der Deter 
minanten der Matrix (B) von Null verschieden, so stellen diese Glei 
chungen ein gewohiiliches Element einer analytischen Flache vollstandig 
dar. Sind dagegen die erwahnten Determinanten an der Stelle (0, 0) 
samtlich gleich Null, ohne jedoch identisch zu verschwinden , so sind 
verschiedene Falle moglich, und zwar jedenfalls die folgenden: 

1) Die Gleichungen stellen ein Element einer Flache vollstandig 
dar, jedoch so, daB im allgemeinen ein und demselben Punkt des 
Flacheneleinentes mehrere Wertepaare u, v entsprechen (uneigentlicft-e 
Parameter dar stell uny). Vgl. Nr. 6. 

2) Die Grleichungen stellen nur einen Teil ernes (singularen) 
Flachenelementes dar. 

In vielen Fallen lafit sich eine analytische Flache als die Ge- 
samtheit aller Stellen auffassen, an denen eine eindeutige analytische 
Funktion F(x, y, z) gleich Null wird ? und dann im ganzen durch 
die Gleichung F(x, y, z) = darstellen. Aber eine Umkehrung dieses 
Satzes ist ebenso wie die des entsprechenden Satzes fur Linien (Nr. 6) 
und aus ahnlichen Griindeu nicht ohne weiteres zulassig. 

Zur besseren Ubersicht iiber die gestaltlichen Verhaltnisse denkt 
man sich eine analytische Flache haufig in mehrere Blatter, Sclialen 
oder Mantel zerlegt, d. h. zusammenhangende Teile ? fur deren gegen- 
seitige Abgrenzung folgendes als Regel gilt: Falls ein und derselbe 
Punkt P gleichzeitig Mittelpunkt inehrerer Elemente einer Flache 
ist, so sind von den in der Nahe von P liegenden Punkten der 
Flache diejenigen. welche .ein und demselben jener Elemente an- 



x = a cos u , 

y b sin u cos v , 

z = c sin u sin v 

dargestellt. Allgerneiner ist die Parameterdarstellung ernes Flachenelementes 
indessen erst durch Gaufi in Gebrauch gekommen. Vgl. Ill D 1, 2, Nr. 34. 

62) C. W M. Black, Harvard Thesis 1901 = Amer. Ac. Arts Sci. Proc, 37 
(1902), p. 281. Vgl. auch IIBl, Nr. 46, sowie E. Geek, Uber die singularen 
Punkte algebraischer Flachen, Diss. Tubingen 1900, und Math.-naturw. Mit- 
teilungen des math.-naturw. Vereins in Wiirttemberg (2) 6 (1904), p. 65. 



152 HIAB2. H. v. Mangoldt. Die Begriffe ,,Linie" und ,,Flache". 

gehoren, stets dem gleichen Blatt ; dagegen solche Punkte, die in ver- 
schiedenen Elementen liegen, verschiedenen Blattern zuzurechnen. Im 
iibrigen werden die Grenzen der einzelnen Blatter meistens unbestirnmt 
gelassen. Vgl. Nr. 4, Ende. 

Bei der Betrachtung reeller Flachen, die in mehrere getrennte 
oder doch nur in einzelnen Punkten oder Linien miteinander zu- 
sammenhangende Teile zerfallen, wird indessen das Wort Blatt, Schale 
oder Mantel auch haufig zur Bezeichmmg eines einzelnen dieser Teile 
gebraucht ; so da6 liier ein und dasselbe Blatt sich selbst schneiden kann. 

In naher Verwandtschaft rait dem Begriff Flache steht der Begriff 
einer unendlich diinnen , ; Haut", welche gewisse Arten von Gestalts- 
veranderungen zulaBt, ohne indessen die Uberfiihrung in jede beliebige 
Form zu gestatten. Hinsichtlich der Beweglichkeit einer solchen Haut 
lassen sich mannigfach verschiedene Annahmen machen: Man kann 
z. B. mit C. F. Gauft 63 ) voraussetzen, da6 die Haut zwar biegsam, 
aber weder dehnbar noch faltbar sei, und das Augennierk auf die 
dann moglicnen Formanderungen und die bei diesen erhalten bleiben- 
den Eigenschaften der Haut richten (IIID6a,C, Vofi), oder aber 
annehmen, dafi die Haut aufier Biegungen auch noch gewisse Arten 
von Dehnungen zulasse, z. B. alle diejenigen, aber auch nur diejenigen, 
welche winkeltreue Abbilder der urspriinglichen Gestalt liefern, oder 
solche Dehnungen, bei denen gegebene Scharen von geodatischen Linien 
der urspriinglichen Gestalt dauernd geodatische Linien bleiben. Man 
kann endlich auch Faltungen zulassen. Die Herstellung von ;; Ge- 
flechten" und ? ,Netzen", welche Haute der erwahnten und anderer 
Arten naherungsweise darstellen, hat S. Finsterwalder 64 ) behandelt. 
Vgl. Ill D 6 a, Nr. 35. 



63) C. F. Gaufi, Disquisitiones gen. circa superf. curvas, Cornm. Gott. 6 
(1828), Art. 13 = Werke 4, Gottingen 1880, p. 237. 

64) S. Finsterwalder, Deutsche Math. -Vereinig. Jahresber. 6 2 (1899), p. 45. 



(Abgeschlossen im September 1906.) 



M. Delin. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 153 



IIIAB3. ANALYSIS SITUS. 

VON 
M. DEHN UND P. HEEGAAKD*) 

IN MUNSTER I/W. IN VEDBAEK B/KOPEXHAGEN. 



Inhaltstibersicht. 

Historische Einleitung. 

Gmndlagen. 

1. Definition von Punkt-, Linien- und Flachensystemen und der ein- und zwei- 
dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 

2. Indikatrix. 

3. Interne Transformation und Homoomorphisnius (Elementarverwandtschaft), 
(Aquivalenz). 

4. Elementarmannigfaltigkeiten (Kreis und Kugel). 

5. Ausdehnung auf n Dimensionen. 

6. Komplexe mit Singularitaten. 

7. Externe Transformation Homotopie und Isotopie. 

8. Das Anschauungssubstrat. 

9. Einteilung der Analysis situs. 
10. Die Methode. 

A. Complexes. 

1. Ubersicht. 

2. Liniensysterne. 

3. Hohere Komplexe und die (komplektische) Eulereche Formel. (Bettische 
Zahlen, Torsionskoeffizienten.) 

4. Benutzung von nektischen Methoden fur die Theorie hoherer Komplexe. 

B. Nexus. 

I. Nexus von Linien. 
II N exits von Flachen. 

1. Einleitung. 

2. Normalform. 

3. Losung des Hauptproblems. 



*) Von den beiden Verfassern hat Heegaard die literarischen Vorarbeiten 
zum Axtikel geliefert und iibrigens an der Ausarbeitung wesentlichen Anteil ge- 
nommen; verantwortlich fur die endgultige Fassung des Artikels ist Dehn. 



154 M. Delm. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

4. Anwendungen cler Normalform. 

a) Beweis des Neumannschen Axioms. 

b) MobiwsBche Grundform fur eine Flache. 

c) Minimalzahl von bedeckenden Elementarflachenstucken. 

d) Normalformen fiir geschlossene Flachen. 

5. Riickkehrschnitte und Querschnitte und die eigentliche Eulerache Fonnel. 

6. Zusammensetzung von Flachen. 

7. Aquivalenz von Kurven auf Flachen. 

8. Analytisch-geometrische Entwicklungen. 

C. Connexus. 
I. Homotopie. 

II. Isotopie. 

A. Kurven. 

1. Eine Kurve (Verknotung). 

2. Mehrere Kurven (Verkettung). 

B. Flachen und mehrdiniensionale Mannigfaltigkeiten. 

D. Mannigfaltigkeiten mit Singularitaten. 

1. Allgemeine Probleme. 

2. Bfaftoffffttche Flachen. 



Einleitung. In zusammenhangender Form hat sich wohl zuerst 
Listing 1 ) mit der heutzutage mit dem Namen Analysis situs bezeich- 
neten Disziplin beschaftigt. Er schlagt fur sie den Namen Topologie 
vor und versteht darunter 2 ) eine ,,kalkulatorische Bearbeitung der 
modalen Seite der Geometric", die Lehre von den Gesetzen des Zu- 
sammenhangs, der gegenseitigen Lage und der Aufeinanderfolge von 
Punkten, Linien, Flachen, Korpern und ihren Teilen oder ihren Aggre- 
gaten im Raunie, abgesehen von den Mafi- und GroBenverhaltnissen. 



1) J. B. Listing, Vorstudien zur Topologie (Gottinger Studien 1847); als 
Buch Gottingen 1848. 

2) 1. c. p. 2 6. Listing zieht die Bezeichnung Topologie (1. c. p. 6) dein 
von Leibniz, De Analysi situs, L. math. Schriften, her. v. Gerhardt 2.Abt., 1 (1858), 
p. 178, vorgeschlagenen Namen Analysis situs oder G-eometria situs vor. Vielfach 
1st eine AuBerung von Leibniz in einem Briefe an Huygens, Chr. Huygens, 
Oeuvres compl. 8 (Correspond. 1676 1684), Nr. 2192 ff., so gedeutet worden, als 
ob sie die erste Idee der Analysis situs enthielte. Die AuBerung lautet: . . . je, 
croy qu il nous faut encore une autre Analyse proprement geometrique ou line- 
aire, qui nous exprime directement situm, comme I Algebre exprime magnitu- 
dinem." Jedoch denkt Leibniz hier vielmehr an einen geometrischen Algorithmus, 
der fur einzelne geometrische Probleme eher eine genuine Ldsungsmethode liefert, 
als die Methode der gewohnlichen analytischen Geometrie. 



Einleitimg. 155 

Wesentlich in derseiben Weise wircl die Analysis situs definiert 
von Eiemann^}. Indem Klein*) die Idee der Gruppe und die Auf- 
fassung des Raumes als Zahlenmannigfaltigkeit zu Grunde legt, ge- 
langt er zu einer praguanten Zusammenfassung der Listingschen De- 
finitionen, die man etwa so fonnulieren kann: die Aufgabe der Analysis 
situs besteht in der Aufstellung aller derjenigen Eigenschaften raum- 
licher Gebilde, die sich invariant verhalten gegenuber der Gruppe 
aller stetigen Transformationen des Raumes. 

Als die erste Untersuchung auf diesem so defmierten Gebiet der 
Analysis situs oder Topologie kann man wohl die von L. Eider*) 1736 
angestellte bezeichnen, die sich mit dem Konigsberger Briickenproblem 
beschaftigt. Es handelt sich dabei um die Frage, ob es moglieh sei, 
die 7 Briicken bei Konigsberg iiber den Pregel hinter einander, jede 
immer nur einnial zu passieren. Schon viel friiher war von Descartes 6 ) 
ohne Beweis ein Satz iiber die Winkelsummen der Seitenflachen eines 
Polyeders aufgestellt worden, der Equivalent ist mit der \onEider 1 ) 1752 
aufgestellten Beziehung zwischen den Anzahlen der Begrenzungsgebilde 
eines Polyeders (,,Eidersche Polyederformel") , welche ein fur die Ana 
lysis situs fmulamentalcs Resultat entJiaU. Von spiiteren Untersuchungen 
sind vielleicht die Abhandlungen von Eider und weitere daran sich 
anschlieBende iiber den Rosselsprung zu nennen (I G 1, AJirens, Nr. 3). 

Ein neues Element kaui in die Analysis situs durch die Gauftsche 8 ) 
Entdeckung von dem Zusammenhaug zwischen einem gewissen Doppel- 
integral und den Umschlingungen zweier geschlossener Linien. Es war 
damit der erste Anfang gemacht zu der spater vor alleni durch die 
von W. Dyck (J ) benutzte Kroneckersche Charakteristikentheorie erfolg- 
reichen Anwendung der hoheren Analysis in unserem Gebiet. 

Das Erscheinen von Listings 77 Yorstudien zur Topologie" (1847) 
bezeichnet den Zeitpunkt, nach welchem die Analysis situs als eine 
selbstandige matheniatische Disziplin hervortritt. Doch erst die Hie- 
motMtachen Untersuchungen und seine Verweiiung derseiben fiir die 
Funktionentheorie lenkten die allgemeine Aufmerksamkeit der Mathe- 
matiker auf die Analvsis situs. 



3) J. f. Math. 54 (1857), p. 105 = Werke p. 84. 

4) Erlanger Prograrnm 1872. 

5) Petrop. Comment. 8 (1741), p. 128. Vgl. I G 1, Ahrem, Nr. 7. 

6) Oeuvres inedites de Descartes par Foucher de Careil Paris (1860), 2 
p. 214, vgl. Paris C. R. 50 (1860), p. 774 u. Berlin Monatsb. (1861), p. 1043. 

7) Petrop. Novi Comm. 4 (175253), p. 109. 

8) Gaufi, Werke 5, p. 605. 

9) Math. Ann. 32 (1888), p. 457 ff., 37 (1890), p. 273 ff., Miinchen Ber. 25 
(1895), p. 261, 447. Vgl. I B 3 a, Bunge, Nr. 7. 



156 M. Dehn. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

Weitere Arbeitsgebiete sind den Forschungen in unserer Disziplin 
gewonnen 1) durch die Arbeiten von JBetti und die in neuere Zeit 
fallenden Arbeiten von Poincare (vor allem Ausdehnung auf vieldimen- 
sionale Raume), 2) durch die Arbeiten insbesondere der englischen 
Schule, z. B. reprasentiert durch Tait, die die Verknotung der Rauin- 
kurven und die Komplexe verschiedener Grundgebilde ( 7 ,Baume" 7 
;? Graphen") behandeln. 

Orundlagen.*) 

1. Definition von Punkt-, Linien- und Flachenkomplexen. Seien 
PQ, P ", . . ., P ft eine erste endliche Reihe von Elementen, die wir 
Punkte nennen und deren Gesamtheit {P , P " ; . . ., P "} wir als 
PunMcomplex C bezeichnen. Wir bestimmen nun, daB je zwei dieser 
Punkte, etwa P * und P * ? eine beliebige Anzahl von neuen Dingen 
(P *, P *)S (^V? ^V) 2 ? erzeugen konnen, die wir als Strecken oder 
Linienstucke und mit dem Buchstaben S 1 bezeichnen. Wir nennen 
ferner P und P k Eckpunkte der von ihnen erzeugten Strecken. Es 
sei nun S^, S^ , . . ., S^* 1 ein solches von den Punkten P , P " ? . . . ? 
P a erzeugtes System von Strecken, daB zu ihrer Erzeugung alle Punkte 
notig sind (anders ausgedriickt, daB jeder Punkt in diesen Strecken 
mindestens einmal vorkommt), dann nennen wir die Gesamtheit 

{P ,P ",...,P .; S, , S,", . . ., S^} 

einen Streckenkomplex , ein Liniensystem oder einen eindimensionalen 
Komplex C v w ) Wir wollen folgende charakteristische, unterscheidende 
Merkmale fur Streckenkomplexe aufstellen: Ein C heifit susammen- 
Mngend, wenn fiir je zwei Punkte Pj, P k eine Gruppe von Strecken 
von der Art: 

(p., Po O 1 , (P.s P ") 2 , -, (-PC S P.7 

im Q enthalten ist. Man sagt: diese Gruppe von Strecken oder dieser 
Streckensug verbindet P Z mit P *. Jeder C l besteht aus einer Anzahl 



*) Fur die anschaulichen Grundlagen der abstrakten Entwicklungen der 
ersten 7 Paragraphen vgl. 8. 

10) Der Name Komplex ist von Listing eingefuhrt, Census rauml. Kompl., 
Gott. 1862 , p. 3 ff. Listing braucht fiir diesen Komplex den Ausdruck Linear- 
komplexion (Vorstudien, p. 59), von F. Lippich ist der Name Liniensystem ein 
gefuhrt (Wien Ber. 69 s (1874), p. 92). C. Jordan sagt assemblage (J. f. Math. 70 
(1869), p. 185), W. Alirens schlagt Linearcontinuum vor (Math. Spiele, Leipzig 1901, 
p. 103); W. K. Clifford und J.J.Sylvester, die die Liniensysteme in der Invarianten- 
theorie verwerten (s. I B 2, Nr. 12, 239242), (und nach ihnen Bentlieimer, 
A. B. Kempe, J. Petersen (gebrauchen den Namen Graph. 



Grundlagen. 1. Definition von Punkt-, Linien- und Flachenkoinplexen. 157 

von zusainmenhangenden C r Im Folgenden wollen wir, wenn nichts 
anderes bestimmt wird, einen Linienkomplex stets als zusammen- 
hangend voraussetzen. Als Kreis n t wird ein Komplex bezeiehnet 
von der Art: 

/P1P2 pi p A TH. /plp2\/p2p3\ fj>l T> l\\ 

i * > *o .** ? x o 7 v-*- o i * o /> v-*-o ? * /> * v \ / 1 



Einen Q, der keine solchen Komplexe enthalt, bezeichnet man als 
Baum 11 ). 1st ein C t entweder ein TTj oder entsteht aus einem solchen 
durch Weglassung einer Strecke, so wollen wir inn als eindimensionale 
Mannigfaltigkeit und mit dem Zeichen M^ bezeichnen. 

Wir bestimmen ferner, daB jeder Kreis Jflj eine beliebige Anzahl 
von neuen Dingen (I^) 1 , (n^)-, . . . erzeugen kann ? die wir als Fldclien- 
stiicke und mit dem Buchstaben 2 bezeichnen. Es sei nun [S z f 5 2 ", 
. . ., S ai1 } ein solches von den Punkten und Strecken des Komplexes 
C erzeugtes System von Flachenstficken, daB zu ihrer Erzeugtmg alle 
Strecken notig sind (das ist nur moglich, wenn der Q keine Briicken 
oder Eckpunkte enthalt) ? dann nennen wir die Gesamtheit 

{ P , P ! , . . ., P "; 8, , S^, ..., & ,.; S t \ S/, . . ., S^- } 

eiuen Flachenkomplex oder einen zweidimensionalen Komplex 2 . In 
einem C 2 , bei dem jede Strecke gerade zu zwei Flachenstiicken ge- 
hort ; zerfallen alle Flachen, die durch einen Punkt P des Komplexes 
gehen, in zyklisch geordnete Gruppen. In jeder derselben hat jede 
Flache mit der in der Gruppe vorangehenden und mit der nachfolgen- 
den Flache je eine an P ; ,angeheftete" Strecke gemeinsam. Bilden 
die Flachen fiir jeden Punkt des Komplexes nur eine Gruppe, so 
wollen wir den Komplex als gesclilossene Flache bezeichnen. Entfernt 
man aus einem solchen Komplexe einige Flachen, etwa $ 2 , . . ., $/, 
die keine Punkte mit einander gemeinsam haben ; so bezeichnen wir 
den iibrig bleibenden C 2 als berandete Fldclie mit den Randkurven T7/, 
. . ., IZ 1 r , wo S 2 * = (n^) ist. Eine geschlossene oder berandete Flache 
bezeichnen wir als zweidimensionale Mannigfaltigkeit und mit dem 
Zeichen Jf 2 . Einen Kreis T^ eines Komplexes M 2 , der die einzige 
Randkurve einer Mannigfaltigkeit ist, deren Teilfliichen samtlich Teil- 
flachen von 3> sind, nennen wir liomolog null, in Zeichen P^ O. 12 ) 



11) S. Naheres Coniplexus, p. 174 ff. 

12) Begriff und Bezeichnung ist von H. Poincare eingefuhrt (J. ec. polyt. (2) 
1 (1895), p. 18). Fur die weitere Ausfuhrung und Erweiterung des Begriffs siehe 
Complexus, p. 179 ff. 



158 M. Dehn. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard, 

2. Indikatrix 13 ). Bezeiclinen wir den einen Eckpimkt einer Strecke 
als Anfangs-, den anderen als Endpunkt, so geben wir der Strecke 
einen bestimmten (Durchlaufungs-)Sinn, eine IndikcArix, was wir in der 
Schreibweise (P , P ") durcli das Voranstellen des Anfangspunktes 
ausdriicken konnen. Wir konnen jeder Strecke einer M l eine solche 
Indikatrix geben, daB jeder Punkt derselben, an den zwei Strecken 
stoBen, Anfangspunkt fiir die eine und Endpunkt fiir die andere ist. 
Dies kann auf zwei Weisen geschehen. Die eine erhalten wir aus 
der anderen, indem wir fiir alle Strecken die entgegengesetete Indikatrix 
wahlen, d. i. Anfangs- und Endpunkt mit einander vertauschen. Ein 
Flachenstiick, bei dem alle Strecken des erzeugenden Kreises in der 
obigen Weise mit einer Indikatrix versehen sind, wollen wir selbst 
als mit einer Indikatrix begabt bezeicnnen. Wir nennen die beiden so 
moglichen Bezeichnungsweisen die beiden verschiedenen, einander ent- 
gegengesetzten Indikatricen des Flachenstiickes. Konnen wir bei einer 
Jf g alien Teilflachenstiicken solche Indikatricen geben, daB jede Strecke, 
die nicht auf einer Randkurve Hegt, also an zwei Teilflachen stoBt, 
von der einen derselben infolge der Indikatrixbestimmung eine Indi 
katrix erhalt, die der von der anderen erhaltenen entgegengesetzt ist r 
so soil die Flache zweiseitig heiBen, andernfalls einseitig l \ u ). Die be- 
treffende Indikatrixbestimmung fiir eine zweiseitige M.~> kann wieder 
auf zwei verschiedene Weisen geschehen. Wir baben den Satz: Ist 
ein Teil einer M 2 einseitig, so ist sie selbst einseitig. Die einfaehste 
von einer Kurve berandete einseitige Flache hat das Koniplexschema : 

f p 1 p 2 p 3 p 4. Of 1,2 Of 2,3 O 3,4 O 4, 1 Of 1, 3 .Of 4,1. 

I -M) 9 > -M) J *Q ? 1 > 1 ; i 9 1 9 1 1 5 
^ g (l, 2), (2, 3), (3,4), (4, 1)^ g (l, 2), (2,4), (4, 8), (3, 1) J 



13 u. 14) Gewohnlich wird Ein- und Zweiseitigkeit definiert mit Hilfe der 
Auffassung der M t als einer im dreidim. Raume ausgebreiteten Mannigfaltigkeit : 
Nimmt man ein ,,Lot" auf die Flaclie mit bestimrnter Riclituug und laBt es sich 
auf einer zweiseitigen Flache beliebig bewegen, so wird es bei Riickkehr zum 
Anfangspunkt auch iirnner wieder die Anfangsrichtung besitzen, was bei ein- 
seitigen Flachen nicht der Fall ist. Uber die daran sich anschlieBende analy- 
tische Unterscheidung von Ein- und Zweiseitigkeit vgl. z. B. Poincare (J. ec. 
polyt. (2) 1 (1895), p. 25). Klein (Math. Ann. 7 (1871) p. 478) hat darauf hin- 
gewiesen, daB die Ein- resp. Zweiseitigkeit nicht vom umgebenden Raume ab- 
hangt, vielmehr eine innere Eigenschaft der Flache ist. Klein fiihrt zur Unter- 
suchung dieser Eigenschaft statt des sich bewegenden Lotes eine sich bewegende 
unendlich kleine Kurve mit Umlaufssinn (Indicatrix) ein. Die obige Definition 
stellt eine Ubertragung der Kleinschen Definition ins Diskontinuierliche dar und 
ist im AnschluB an A. F. MoUus gegeben, der zuerst (1858) Werke 2, p. 519, 
vgl. p. 484 die Existenz einseitiger Flachen erkannt hat. Vgl. ferner Listing, 
Census (1862), p. 13; L. Schlafli, J. f. Math. 76 (1873), p. 152 und G. Weiclihold, 
Diss. Leipzig 1883 = Zeitschr. Math. Phys. 28 (1883), p, 321. 



Gmndlagen. 3. Interne Transformation und Homoomorphismus. 159 
WO 

S^* fur (P <; P *) und S 9 MW... fib- (S^\ S^ . . .) 
steht. Diese Flacbe heiBt Mobiussches Blatt. 

3. Interne Transformation und Homoomorphismus (Elementar- 
verwandtschaft) 15 ). Zwei Streckenkomplexe C/ und C" heifien elementar- 
verivandt oder homoomorph, 1) wenn sie nach einer eventuellen Ab- 
anderung der Bezeichuungsweise der erzeugenden Punkte sich als 
identiscb herausstellen, 2) wenn dasselbe der Fall 1st nach vorher- 
gehender, beliebig oft wiederholter (interner) Transformation einzelner 
Strecken nacb dern Scberna: ) Einfuhrung eines neuen Punktes Q Q , 
p) Ersatz der Strecke (P <, P Q k \ durcb zwei Strecken (P ; Q Q ) und 

(Co, P l ). 

Zwei Flaclienkomplexe C 2 und Cg" lieifien elementarverwandt oder 
homdomorph, 1) wenn sie sicb nach einer eventuellen Abanderung der 
Bezeichnungsweise der Elemente als identisch herausstellen, 2) wenn 
dasselbe der Fall ist a) nach vorhergehender interner Transformation 
der C 2 und C 2 " erzeugenden Streckenkomplexe, b) nach vorhergehender ; 
beliebig oft wiederholter (interner) Transformation einzelner Teilflachen- 
stiicke nach folgendem Schema: a) Einfuhrung einer neuen Strecke 
("P , P *) = T lf wo P f und P * erzeugende Punkte eines ein Flachen- 
stiick ^ erzeugenden Kreises 11^ sind: /3) Ersatz von S 9 durch zwei 
Flachenstiicke (T 19 M l f ) und (T 19 M^\ wo M^ und Jtf/ die beiden 
von P * und P/ begrenzten Mannigfaltigkeiten sind, die zusammen II l 
bilden. 

Es gelten die gi*undlegendeu Satze: Sind zwei Komplexe mit eineni 
dritten homoomorph, dann sind sie auch mit einander homoomorph. 
Ist von zwei homoornorphen Komplexen der eine eine Mannig- 
faltigkeit, dann ist es auch der andere. Zwei hornoomorphe ]\L 2 sind 
entweder beide einseitig oder beide zweiseitig. Zwei hornoomorphe M 2 
haben die gleiche Anzahl Randkurven. -- Jede geschlossene M 2 (resp. 
jeder Kreis) kann mit sich in der Weise als homoomorph nachgewiesen 
werden ; dafi bei der betreffenden Beziehuug der M. 2 (des Kreises) auf 
sich selbst sich zwei ganz beliebige Punkte derselben entsprechen; 



15) Der Begriffsbildung irn Text kornnit am nachsten die Mobiusscke De 
finition der Elementarverwandtschaft u [Werke, 2, p. 433 (1863)]. Indem er 
die Zerlegung in unendlich kleine Teile benutzt, vermeidet er die apodiktische 
Einfiihrting der ,,Flaclienstiicke u . Es ist jedoch zu beachten, da6 zwei unendlich 
wenig ausgedehnte, gleichdimensionale Gebilde von mehr als 2 Dimensionen im 
Sinne der Anal, situs nicht aquivalent zu sein brauchen (vgl. Grundlagen Nr. 5). 
Auch ist natiirlich die Definition modernen Anspriichen an Strenge nicht ganz 
gewachsen (vgl. hierzu die Artikel in A B 1 und 2 von Enriques und v. Mangoldt\ 



160 M. Delm. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

und umgekehrt: hat ein C 2 (ein CJ diese Eigenschaft und verliert sie 
auch nicht durch irgend eine interne Transformation, so ist er eine 
geschlossene M 2 (ein Kreis), d. i. die geschlossene M 2 resp. die Kreise 
sind die homogenen C 2 resp. C v 

Aus dem Begriif der homoomorphen Beziehung einer Mannig- 
faltigkeit auf sich selbst entspringt auch der Begriff der Aquivalenz. 
Zwei Komplexe auf einer Mannigfaltigkeit heifien aquivalent, wenn sie 
eventuell nach interner Transformation durch eine homoomorphe Be 
ziehung der Mannigfaltigkeit auf sich selbst in einander ubergehen. 
Wir haben die Satze: Irgend zwei ungeschlossene M^ auf einer Mannig 
faltigkeit, die keinen Punkt mit der eventuellen Berandung der Mannig 
faltigkeit gemeinsam haben, sind aquivalent. Irgend zwei Randkurven 
auf einer M 2 sind aquivalent (s. Nexus Nr. 7). Der Begriff der Aqui 
valenz ist von besonderer Bedeutung bei der Konstruktion von mehr- 
dimensionalen Mannigfaltigkeiten (s. Grundlagen Nr. 5). 

Grelegentlich wollen wir dem Namen ,,Mannigfaltigkeit", die wir, 
im bisherigen Sinne verstanden ^Mannigfaltigkeit im engeren Sinne" 
nennen wollen, eine erweiterte Bedeutung geben: Mit Mannigfaltigkeit 
im weiteren Sinne bezeichnen wir: die gegebene Mannigfaltigkeit oder 
irgend eine aus ihr durch interne Transformationen entstehende Mannig 
faltigkeit. Also z. B.: Ein Kreis auf einer Mannigfaltigkeit Jf 2 im weiteren 
Sinn bedeutet einen geschlossenen Streckenzug auf dieser selbst resp. 
auf einer aus ihr durch interne Transformation entstehenden M 2 usw. 
In dem Abschnitte: Complexus hat mit Ausnahme des letzten Para- 
graphen das Wort Mannigfaltigkeit stets die urspriingliche Bedeutung, 
in dem Abschnitte Connexus und ^Mannigfaltigkeiten mit Singular itaten" 
die zweite Bedeutung. Im iibrigen ist allemal, wo es nicht ausdriick- 
lich hervorgehoben ist, die Bedeutung, die man an der betreffenden 
Stelle dem Worte beilegen muB, unmittelbar einleuchtend. 

4. Blementarmannigfaltigkeiten, Kreis und Kugel. Die Mannig 
faltigkeit {Po 1 , P 2 ; (^o 1 ? ^o 2 )} un( ^ J e( ^ e m ^ ^ r homoomorphe M 1 
bezeichnen wir als eindimensionale Elementarmannigfaltiglieit, Strecken 
zug oder kurz als Strecke mit dem Zeichen E. Die Mannigfaltigkeit 

I pi p 2. fpl P 2\1 /pi p 2\2. //pi p 2\1 /p2 pl\N21 
^ * ^ * * " (* *) (* * ) 



und jede mit ihr homoomorphe M 2 bezeichnen wir als zweidimensio- 
nale Elementarmannigfaltigkeit, Elemmtarflachenstuck, oder kurz als 
Flachenstiick und mit dem Zeichen E 2 . Die (geschlossene) J/ 2 : 

f p 1 p 2. Of 1 O 2. /.Cf 1 .Of 2\1 /Ofl .Qf2\21 

| -r , -r , Oj , O A , (&i> &i ) > (Pi i ^i ; / 
(wo S = (Po 1 ; ^o 2 )* gesetzt ist) und jede mit ihr homoomorphe M^ 



"Grundlagen. 5. Ausdeknung auf >2 Dirnensionen. 161 

bezeichnen wir als Kugelfldclie oder zweidimensiondle Splicire und mit 
dem Zeichen 77 2 . 

Wir liaben dann die Satze: Jede M ist entweder ein Kreis oder 
eine E 1 . Jeder Kreis einer E 2 ist die Randkurve eines Elementar- 
flachenstuckes, das ein Teil der E% ist. Ein Teil dieses Satzes ist 
Equivalent mit dem Satze: Auf einer J? 2 ist jeder Kreis homolog null. 
E. 2 und 77 2 sind zweiseitige M 2 . Auf einer 77 2 ist jeder Kreis 
honiolog null. -Tede 77 2 wird durch eine n in zwei E* zerlegt. 

5. Ausdehnung auf n Dimensionen 16 ). Die Erzeugung von 
hb heren Komplexen C. A und weiter C n aus den Flachenkomplexen kann 
auf verschiedene Weise vor sich gehen, je nachdem man zu dem Auf- 
bau der C 3 beliebige geschlossene M 2 , oder nur zweiseitige oder end- 
licit nur Kugelflacheu benutzen will. Im folgendeu soil die dritte 
Methode benutzt werden, weil sie die einfachste und anschaulichste 
ist, und weil die anderen doch nur scheinbar allgenieiner sind. 

Wir bestimmen, da6 jede Kugelflache 77 2 eine beliebige Anzahl 
von neuen Dingen (J7 2 ) 1; (-#2)2? erzeugen kann, die wir als drei- 
dimensiomle Rawnst&cke und mit den Buchstaben S B bezeichnen. Es 
sei nun {S 3 l , 5 3 2 , . . ., S 3 a > } ein solches von den Punkten, Strecken 
und Flachenstiickes des Kornplexes C 2 erzeugtes System von $ 8 , daB 
zu ihrer Erzeugung alle Flachenstiicke notig sind (das erfordert be- 
sondere Eigenschaften fur den (7 2 ), dann nennen wir die Gesamtheit: 

f pi p2 pa,. 01 Cf 2 Of a, . O 1 Of 2 Of a 2 . Of 1 Of 2 Of a, I 

t*t > *> "f *tl 1 f 1 > V 1 1 2 > 2 7 > 2 1 3 9 8 > 9 3 J 

eirien Raum~komplex oder dreidimensionalen Komplex C B . 

Um aus dem C 3 durch Spezialisierung die M 3 zu bekommen, sind 
wieder vei*schiedene Wege moglich. Wir wollen die Spezialisierung so 
vornehmen, daB die entstehenden M 3 homogen sind (s. Nr. 3). Ein C 3 ist 
erne geschlossene dreidhnemionakMannigfaltigkeit, wenn dreiBedingungen 
erfiillt sind: 1) Jede S. 2 gehort zu zwei S s . Dann ordnen sich an jeder S l 
alle S 3 zu ,,Gruppen" (s. Nr. 1); 2) alle S s an einer S l bilden nur eine 
Gruppe. Bezeichnen wir dann die S lt S 3 , 5 3; die durch einen bestimmten 



16) Uber ti-dimensionale Gebilde s. vor alleni Complexns Nr. 3 u. 4. Diese 
Theorie ist besonders gefordert von B. Eiemann, Werke 2. Aufl., p. 474; E. Beiti, 
Ann. di mat. (2) 4 (1871), p. 140; V. Eberliardt, Math. Ann. 36 1890), p. 121; 
W. Dyck, Math. Ann. 37 (1890), p. 273; Poincare, s. FuBn. 4. Die Ausdehnung 
auf uber 2 Dimensionen hat ihre Bedeutung: 1) weil mehrdimensionale Gebilde 
ganz eigenartige und zum Teil sehr verborgene Eigenchaften aufweisen, 2) weil 
eine Eeihe von topologischen Problemen, die nicht viber den dreidimensionalen 
Raum herauszugehen scheinen, zu ihrer Losung polydimensionale Betrachtungen 
erfordern (z. B. Knotenprobleme), 3) weil der Verlauf algebraischer Flachen voll- 
standig nur durch vierdimensionale Mannigfaltigkeiten dargestellt werden kanii. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 1. 11 



162 M. DeJm. IIIAB3. Analysis situs. P. Heegaard. 

Punkt des Komplexes gehen, als Pseudopunkte, Pseudostrecken und 
Pseudoflachenstucke, so bilden diese Elements vermoge der Bedingungen 
1) und 2) einen oder mehrere Komplexe, von denen wir jeden ent- 
sprechend als eine geschlossene Pseudoflache bezeichnen diirfen. Wir 
wahlen dann als dritte Bedingung: 3) An jedem Punkt soil es nur 
eine solche Pseudoflache geben, und zwar soil diese eine Kugelflache 
sein 17 ). Jetzt wird die folgende Fassung dieser drei Bedingungen ver- 
standlich sein: An jeder Flache soil der C 3 sich wie ein Punktepaar, 
an jeder Strecke wie ein Kreis, an jedem Punkt wie eine Kugelflache 
verhalten. Die zweite Bedingung enthalt die erste, die dritte die erste 
und zweite. 

Eine berandete M s kann dann wie folgt erklart werden: Bei einer 
berandeten M 3 unterscheiden wir innere Punkte, Linien und Flachen- 
stiicke von Randpunkten, -linien resp. -flachenstiicken. An den inne- 
ren Flachen verhalt sich die berandete M 3 wie ein Punktepaar, an den 
Randflachen wie ein Punkt (d. i. es hangt an den Randflachen je nur 
ein Raumstiick), an den inneren Strecken wie ein Kreis, an den Rand- 
strecken wie ein Streckenzug, an den inneren Punkten wie eine Kugel, 
an den Randpunkten wie ein Elementarflaehenstiick. Es gelten dann 
die Satze: An jeder Randstrecke hangen zwei Randflachen, von jedem 
Randpunkte aus gehen Randstrecken, die sich zu einer Gruppe zu- 
eammenordnen. Alle Strecken auf einer Randflache, alle Punkte auf 
einer Randstrecke sind Randstrecken resp. Randpunkte. Daraus folgt 
dann: Alle Randelemente sind auf eine Reihe von geschlossenen Fla 
chen verteilt. Ferner: Durch Hinzufiigen von Raumstiicken kann jede 
berandete M$ zu einer geschlossenen M 3 gemacht werden. Die ein- 
fachste berandete M s liefert das Raumstuck zusammen mit seiner Be- 
grenzung. 

Da die Kugelflache (s. Nr. 4) zweiseitig ist, so konnen wir jetzt auch 
einem S B zwei verschiedene Indikatricen geben, indern wir auf zwei 
Weisen den Flachenstiicken der erzeugenden Kugelflache zusammen- 
gehorige Indikatricen verleihen konnen. Wir nennen dann, weiter ver- 
allgemeinernd, eine M 3 zweiseitig, wenn wir jeder seiner S s eine solche 
Indikatrix geben konnen, dafi ein $ 27 das an zwei $ 3 stofit, von dem 
einen derselben infolge dieser Indikatrixbestimmung die umgekehrte 
Indikatrix erhalt wie von der anderen; ist das nicht moglich, so 
nennen wir die M B einseitig. 

Zwei C 3 heifien elementarverwandt oder homoomorph, 1) wenn sie 



17) Ein Beispiel, bei dem die dritte Bedingung nicht erfullt ist, s. p. 183, 
ferner Heegaard, Diss. Kopenhagen, 1898, p. 87. 



Grundlagen. 6. Komplexe mit Singularity ten. 163 

sich nach einer eventuellen Abandoning der Bezeicbnungsweise der 
Elemeute als identisch herausstellen; 2) wenn dasselbe der Fall ist 
a) nach einer internen Transformation des erzeugeuden C 2 , b) nach 
beliebig oft wiederholter internet- Transformation einzelner S 3 nach 
folgendem Schema: ) Einfiihrung eines neuen Flachenstiicks T 2 = (U^\ 
wo T7/ ein Kreis einer ein Raumstiick S 3 erzeugenden Kugelflache 77 2 
ist, /5) Ersatz von S 3 durch zwei Raumstiicke (T 2 , J 2 ) und T 2 , .E 2 "), 
wo E% und E 2 " die beiden von TI^ begrenzten E% sind, die zusammen 
77 2 bilden (s. Nr. 4). Wir konnen jetzt die Begriffe der Homologie, 
Aquivalenz sowie den Begriff der ,,Mannigfaltigkeit im weiteren Sinne" 
unmittelbar auch fiir dreidimensionale Mannigfaltigkeiten aufstellen. 
Die Mannigfaltigkeit 

JP O , P 2 ; $ , 67; os/, s^y, ov, s, 1 ) 1 ; W, 5, 2 ) 1 , W, s^)i 

(wo S^= (Po 1 , P 2 ) gesetzt ist) und jede ihre homoonioi-phe J\1 B heifit 
dreidimensionale Elementarmanmyfaltiylieit oder Elemcntarraumsttick E 5 . 
Die ( geschlossene) J/ 3 : 

{Po 1 , P 2 ; ss, 8S; s,\ s^ (S 2 \ s,*y, (S 2 \ s^\ 

(wo SJ = (P S P 2 V" und S 2 = (SS, S^ ) 1 gesetzt ist) und jede mit 
ihr homoomorphe M 5 bezeichnen wir als dreidimensionale Sphare und 
mit dem Zeichen 77 3 . 

Von wichtigen Satzen, die sich aus dem Vorhergehenden ergeben, 
erwahnen wir unter Beiseitelassung einer Reihe genauer Analoga zu 
den in Nr. 3 und 4 aufgeftihrten die folgenden: Jede geschlossene 
Flache eines E s ist die Randflache eines Teiles des E 3t oder, mit 
analoger Bezeichnung wie in Nr. 1 : Jede geschlossene Flache eines E s 
ist homolog null. Jede geschlossene Flache eines E 3 ist zweiseitig. 

Nun haben wir alle Mittel in der Hand, um ganz analog weiter 
zu den (7 4 und den M nnd iveiter zu den C n und M n aufzusteiyen, 
worauf deshalb nicht weiter eingegangen zu werden braucht. 

6. Komplexe mit Singularitaten. Es sei vorgelegt ein Komplex 
C nJ der auf einen anderen Komplex C n abgebildet werden soil. Diese 
Abbildung moge nun aber nicht ein-eindeutig sein, sondern es soil 
einer ganzen Reihe von Punkten P/, . . . , P V , wenn keine der Strecken, 
Flachenstiicke usw. des C n zwei dieser Punkte enthalt, ein einziger 
Punkt des C n entsprechen diirfen; es soil ferner einer Reihe von Strecken, 
deren erzeugende Punkte dieselben beiden Bildpunkte haben, wenn 
nur kein Flachenstuck, Raumstiick usw. des C n zwei Strecken dieser 
Reihe enthalt, eine einzige Strecke des C n entsprechen. So fortfahrend 
erhalten wir eine Abbildung von C n in C n f bei der jedem P oder S k 
des C H ein C resp. S k des C n entspricht, aber mehreren P oder S k 

11* 



164 M. Delm. HIAB3. Analysis situs. P. Heegaard. 

derselbe Punkt resp. dasselbe Raumstuck. Jedes Element von C n 
aber ist das Bild von mindestens einem Element von C . Wir nennen 

71 

nun C n ? aufgefaftt als das Abbild eines bestimmten C n , einen n-dimen- 
sionalen Komplex mit Singularitaten (mehrfachen Punkten, Sfcrecken 
usw.) and geben ihm die Bezeichnung C n (0 n ). Es kann ein solcher 
Komplex als das Bild von beliebig vielen verscliiedenen Komplexen 
aufgefafit werden. Ist das Original von C n eine Mannigfaltigkeit M nJ 
so nennen wir C n (M n ) eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Sin 
gularitdten. 

Sprechen wir von zwei (resp. &) Punkten, Strecken usw. des C n ((7 W ) ; 
oder von Elementarmannigfaltigkeiten und Spharen der verschiedenen 
Dimensionen usw. des C n (C n \ so sincl damit die Bilder von zwei (jfc) 
Punkten, Strecken usw. des C n , resp. die Bilder von Elementarmannig 
faltigkeiten und Spharen usw. des C n gemeint. Unter intern er Trans 
formation des C n \C n ) soil das Abbild einer internen Transformation des 
C n verstanden werden. C n l (C n ) und C n 3 (C n 2 ) sind dann und nur dann 
homoomorph, wenn C n und (7 n 2 homoomorph sind. Endlich erklaren 
wir C7 n ((7 B ) und jeden mit ihm hoinoomorphen Bildkomplex homoo- 
morph mit C n und jeden mit C n homoomorphen Komplex. Die 
Wichtigkeit dieser Einfuhrung geht schon aus den Satzen hervor: 
Jeder C n kann abgebildet werden auf einen Teil einer E n \ jeder C n 
kann so auf einen Teil C n einer E n + l abgebildet werden, daB C n ((7 n ) 
keine mehrfachen w-dimensionalen Raumstiicke enthalt. Eine solche 
Abbildung wird auch wohl eine Projection des C n auf die E n+1 ge- 
nannt. Unumganglich notig aber ist diese Einfiihrung fur die Ent- 
wicklungen der folgenden Nummer. 

7. Externe Transformation. Homotopie und Isotopie. Sei (^ (CJ 
ein Streckenkomplex mit (oder ohne) Singularitaten auf einer Mannig 
faltigkeit M n (n > 1) (d i. jedes der Elemente von C{ (CJ ist konsti- 
tuierendes Element der M n ). Angenommen nun ? man konnte jedem 
Punkte Pj desselben einen ebenfalls der M n angehorigeu Punkt Qj zu- 
ordnen, ferner jeder Strecke (P Z , P k J = SJ eine Strecke (Qj, Q k ) l = T l 
von M nJ so ist der neue Komplex jedenfalls auch ein Abbild von 
Cj_ und wir bezeichnen ihn deshalb mit C " (CJ. Wir nehmen nun 
ferner an ; man konnte je zwei Punkte P Z und QJ so durch eine 
Strecke U^ der M n verbinden, dafi zu jedem geschlossenen Kreis 
{$17 Ui k > TI, U^\ sich eine von ihm begrenzte Elementarmannigfaltig- 
keit der M n finden laBt, so sagen wir: C^(C^) und C^ (C^) gehen ineinan- 
der durch externe Transformation auf der M n iiber. Sei ferner C a (0 8 ) ein 
Flachenkomplex mit (oder ohne) Singularitaten auf einer Elementar- 
mannigfaltigkeit M n (n > 2). Angenommen nun ; wir konnten jedem 



Grundlagen. 7. Externe Transformation. Homotopie und Isotopie. 165 

Punkte Pj dieses Komplexes einen Punkt Qj y einer Verbindungsstrecke 
SJ zweier Punkte eine Verbindungsstrecke TJ der entsprechenden 
Punkte, jedem Flachenstuck 5 2 7< ein von den entsprechenden Elemen- 
ten erzeugtes Flachenstuck T 2 h zuordnen, so 1st der neue Komplex 
jedenfalls auch ein Abbild von C 2 und darf also mit C 2 " (C%) bezeich- 
net werden. Angenomrnen nun femer, daB zwei entsprechende Punkte 
P i und Q { durch eine Strecke U^ verbunden werden konnten, daB es 
ferner fur jeden geschlossenen Kreis {SJ, U-f, TJ, U^} ein der M n 
angehoriges, von ihm begrenztes Elementarflachenstiick EJ und end- 
lich zu jeder der von zwei entsprechenden Flachen T 2 A und S 2 h und 
den zu ihren Begrenzungsstrecken gehorenden E 2 l gebildeten Sphare 
ein Elenientarraumstuck E B h der M n gabe, so sagen wir: C/(C 2 ) und 
C 9 " (C 2 ) entstelien aus einander durch externe Transformation. So fort- 
fahrend konnen wir die externe Transformation eines auf einer M n 
liegenden C n - ni (C n _ m ) definieren. Wir stellen ferner die Definition auf: 

Gehen zwei Kornplexc eventuett nach vorJiergeJwiden internen 
Trans for mationen aus einander durch eine Reihe von externen Trans- 
format ionen liervor, so nennen ivir sie homotop 18 ). 

Wir haben die Satze: Zwei homotope Komplexe sind homoomorph. 
Zu jedem Komplex kann man einen homotopen niit vorgegebener 
Lage der Punkte finder). Begrenzen in einer M n alle geschlossenen 
Kreise Elementarflachenstucke, so kann man zu jedem der M n ange- 
horigen Komplex (von weniger als n Dimensionen) einen ihm homo 
topen mit vorgeschriebener Lage der Strecken finden usw. Es ergibt 
sich so der grundlegende Satz: 

Ziv e i h o m o o m orphe, einem E H a ng e h o rige n m -dimen- 
sionale Komplexe mit (oder oline) Singularitdten sind ho 
motop. 

Die externen Transf or mationen der geschlossenen Mannigfaltic/keiten 
lassen sich noch aus spezielleren, einfacheren Transforrnationen zu- 
sammensetzen, die wir EUmentartramformationen nennen wollen: Es 
moge E n _ m auf einer geschlossenen Mannigfaltigkeit C n _ m (M n _ m ) auf 
einer M n liegen und mit E n m zusammen die Begrenzung einer E n _ m+l 
auf M n bilden, dann ersetzen wir in C H _ m (M n _ Wl ) die E m _ n durch 



18) Der Begriff der Homotopie im E s ist der am haufigsteu der Analysis 
situs zugmnde gelegte Begriff und wird haufig mit: ,,A%uivalenz im Sinne der 
Analysis situs" bezeiehnet. Zwei auf einer Flache homotope Kurven nennt 
Jordan, J. d. math. 2 (11), (1866), p. 100 ineinander reduzibel. Zwei im E n 
homotope Komplexe nennt Poineare (J. ec. pol. (2) 1 (1895), p. 1) ,,homeo- 
morphe". Wegen des Bestehens des .,Fundamentalsatzes u (s. im Text) ist diese 
Bezeichnung irn Einklang mit der im Text vorgeschlagenen. 



166 M. Dehn, III A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

E nm und nennen das eine Elementartransformation der C n _ m (M n _ m ) 
auf der M n . 

Wir haben den Satz: Jede Elementartransformation 1st eine externe 
Transformation, und: jede externe Transformation von geschlossenen 
Mannigfaltigkeiten laBt sich aus Elementartransformationen zusammen- 
setzen. 

1st in der obigen Bezeichnung kein innerer Punkt weder von 
E n m noch von der von E m _ n und Enm begrenzten E n _ m+l ein 
Punkt der (singularitatenfreien geschlossenen) M n _ m , so wollen wir 
die Transformation eine spezielle externe Transformation nennen, und 
zwei einer M n angehorende M n _ m , die aus einander nach eventuell 
vorhergegangener interner Transformationen durch spezielle externe 
Transformationen hervorgehen, isotop nennen. 

Wir haben den Satz: Zwei homoomorphe M$ n _ m auf einer E 2n 
sind isotop (dagegen gibt es z. B. im E s homoomorphe geschlossene 
Flachen resp. Kurven, die nicht isotop sind: verschieden geschlungene 
Kreisschlauche resp. Kurven). Hier ist auch die Betrachtung von 
mehreren nicht zusammenhangenden Mannigfaltigkeiten von Bedeutung : 
Haben wir zwei Mannigfaltigkeiten M n _ m und M n _ m ohne gemein- 
same Punkte, die durch spezielle externe Transformation iibergehen 
in M n m und M n m 9 so nennen wir die Gesamtlieit [M n _ mJ M n _ m \ 
speziell extern transformiert in die Gesamfheit {M n m , M r n m}j wenn 
(in der obigen Bezeichnungsweise) kein Punkt weder von E n m resp. 
En-m noch von der von E m _ n resp. E m _ n und E m - n resp-^^-n be 
grenzten E n _ m+1 resp. E n _ m+ ^ ein Punkt von M n _ m oder M n _ m resp. 
M n _ m oder M n _ m ist. Die analoge Definition gilt fiir spezielle 
externe Transformation einer Gresamtheit von beliebig vielen Mannig 
faltigkeiten ohne gemeinsame Punkte. Zwei Gesamtheiten von ge 
schlossenen Mannigfaltigkeiten sind isotop, wenn sie mittels interner 
und spezieller externer Transformationen aus einander hervorgehen. 

Jetzt sind wir im Stande, die extern en Transformationen von 
w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten auf ^-dimensionalen Mannigfaltig 
keiten M n , d. i. von Domanen zu erklaren. Die einzelnen eine Do- 
mane (mit oder ohne Singularitaten) konstituierenden Raumstiicke 
werden begrenzt durch singularitatenfreie Spharen II n _ l . Transfor- 
mieren wir den die Domane konstituierenden Komplex extern, so 
zwar, da6 dabei die exteraen Transformationen der einzelnen U n _ l 
sich aus speziellen externen Transformationen zusammensetzen lassen, 
so nennen wir diese Operation eine (allgemeine) externe Transformation 
der entsprechenden Domanen. Konnen zwei Domanen nach eventuell 
internen Transformationen durch externe Transformationen in einander 



Grundlagen. 7. Externe Transformation. Homotopie und Isotopie. 167 



iibergefiihrt werden. so nenneu wir sie homotop. Im Gregensatz von 
Mannigfaltigkeiten von relativ niedrigeren Dimensionen sind zwei, einer 
Elementarinannigfaltigkeit zugehorende, liomoomorplie Domanen mit 
Singularitaten nicltt aUemal homotop. (Einfachstes Beispiel: Die zwei 
Domanen auf dem Streckenzug PJPJPf mit den Strecken P l P * 
resp. P 1 P ^ P 2 P 3 , P 3 P 2 sind homoomorph aber niclit homotop. 
Dasselbe gilt von den beiden Domanen einer E 2 , die durch die 
Fig. 1 angedeutet sind. Zwei sinyularitatenfreie Domanen sind dann 
und nur dann homotop, wenn die Systeme ihrer Berandungen 





Fig. i. 



homotop sind. Es sei eine Doniane und erne externe Trans 
formation derselben gegeben. Dann kann man fur jede inteme Trans 
formation jene externe Transformation so zu einer der neuen Domane 
,,erweitern a , daB dabei die alten Elemente in der urspriinglichen Weise 
transformiert werden. Die speziellen extern-en Transformationen ran 
(singular itatenfreienj Domanen erhalt man so: Eine externe Trans 
formation heiBt dann spezi-ell, wenn man zu jedem Paare von kon- 
stituierenden Raumstiicken Sn m und S n , nach event, interner Trans 
formation ein sie beide enthaltendes Elementarraumstiick E n finden 
kann, dessen Begrenzung bei der betreffenden (event. gemiiB der internen 
Transformation erweiterten) Transformation speziell transformiert wird. 
Zwei aus einander durch spezidle externe Transformafame* entsteJiende 
Domanen heiften isotop. Endlich: Zwei beliebige (singular itdtenfreie) 
Komplexe sind isotopj wenn sie entsprecliende Komplexe in isotopen 
Domanen sind 1 **). 

Wir bemerken die Satze: Sind zwei C m auf einer M lt die ein Teil 
einer M n ist, isotop, so sind sie es auch auf der M n . Zwei honioornorphe 
C 1 auf einem jB 4 sind isotop (d. i. im speziellen: die Knoten sind in 



18*) Zwei im E n isotope Koinplexe sind ineinander iiberfuhrbar durch stetige 
Transformationen des zugehorigen n-dimensionalen Raumes; vgl. Nr. 8 und 10. 



1 68 M. Dehn. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

vier Dimensionen auflosbar 18b ). Zwei isotope Kreise auf einer M n (n > 2) 
sind entsprechende Gebilde in isotopen Ringraumen. 

Gelegentlich 1st es von Bedeutung, auch den Indikatrixbegriff mit 
bei der Hoinotopie und Isotopie zu benutzen. Wir definieren: zwei 
(zweiseitige) Mannigfaltigkeiten M t l und Mf mit gegebenen Indikatricen 
sind miteinander homotop resp. isotop, wenn bei den betreffenden 
externen Transformationen gleichzeitig die Indikatrixbestimmungen in 
einander iibergefiihrt werden. Es gilt der Satz: Die einzige Flache, 
deren samtliche geschlossenen Kurven auch mit Umlaufssinn einander 
isotop sind, ist die Kugel. (Anf einem Elementarnachenstiick sind 
je zwei Kurven bios ohne Ansehen des Umlaufssinns isotop.) 

8. Das Anschauungssubstrat. Dasjenige, was der im vorhergehen- 
den entwickelten Theorie allein Wert verleihen kann, ist das An- 
schauungssubstrat, fur das wir iui folgenden diejenigen Eigenschaften 
axiomatisch aufstellen wollen, die die Grundlegung dieser Theorie, 
soweit sie ein anschauliches Substrat hat, ermoglichen. 

I. Existentialaxiome. 

1) Es gibt beliebig viele Punkte. 

2) Linienstiicke (Streeken), Flachen- und Raumstiicke sind Punkt- 
mengen. 

3) Zu je zwei Punkten gibt es beliebig viele von diesen Punkten 
begrenzte Linienstiicke (Strecken), die sonst keine gemein- 
samen Punkte haben. 

4) Zu je zwei Linienstiicken mit gemeinsamen Grenzpunkten, 
sonst aber ohne gemeinsame Punkte, gibt es beliebig viele von 
diesen zwei Linien begrenzte Flachenstiicke ohne sonstige ge 
meinsame Punkte. 

5) Zu je zwei Flachenstiicken, die durch dieselben beiden Linien 
begrenzt werden und ohne sonstige gemeinsame Punkte, gibt 
es ein und nur ein von ihnen begrenztes Raumstuck. 

II. Zerlegungsaxiome. 

a) 1) Jedes Linienstiick mit den Grenzpunkten P und P " ist 
gleich der Gesamtheit von zwei Linienstiicken mit einem 
gemeinsamen Punkt $ , die durch die Punkte P und Q 
resp. durch und P " begrenzt werden. 



18 b ) Klein, Math. Ann. 9 (1876), p. 478. Beispiele bei R. Hoppe, Arch. Math. 
Phys. 64 (1879), p. 224; H. Durege, Wien Ber. 82 2 (1880), p. 135; Hoppe, Arch. 
Math. Phys. 65 (1880), p. 423; vgl. auch V. Schlegel, Zeitschr. Math. Phys. 28 
(1883), p. 105; F. Zollner, Wiss. Abh. 1 (1878), p. 272; 0. Simony, Gemeinf. 
LOsung . . ., Wien (3. Aufl.) 1881, p. 38 ff. 



Grundlagen. 9. Einteilung der Analysis situs. 169 

2) Jedes Flachenstuck mit den Grenzstrecken 5/ und / ist 
gleich der Gesamtheit von zwei Flachenstiicken, die bios 
eine Strecke T l gemeinsam haben, und von $/ und T l resp. 
von T l und $/ begrenzt werden. 

3) Jedes Raumstiick mit den Grenzflachen S 2 and S 2 " ist gleich 
der Gesamtheit von zwei Raumstticken, die bios eine Flache 
T 2 gemeinsam haben, und von S 2 und T 2 resp. T 2 und S%" 
begrenzt werden. 

b) Gegeben sei irgendwie eine endliche Anzahl von Punkten, 
Strecken, Flachen und Raumstiicken. Dann kann man ein 
Raumstiick S 3 so linden, dafi jedes einzelne dieser Elemente 
ein inneres Element einer aus S s durch Zerlegung nach 
[U a) 1), 2), 3)] entstehenden E" 3 ist. Man kann fur die Ele 
mente eine solche E 3 finden, wenn zwei Linien des gegebenen 
Systems nur eine endliche Anzabl von isolierten Punkten, zwei 
Flachen eine endliche Anzahl von isolierten Punkten und 
Strecken, zwei Raumstiicke nur eine endliche Anzahl von iso 
lierten Punkten, Strecken und Flachen gemeinsam haben. 
Hiernach sind zwei Iwmoom&rplie, im Raum ausgebreitete Kom- 
plexe anschaulich als analog ziisammensetzbar oder iiberdeckbar zu be- 
trachten. Eine interne Transformation eines Koniplexes entspricht 
hier einer Zerlegung desselben. 
III. Deformationsaxiom. 

Zwei auf einer Linie, Flache oder raumlichen Domane gelegene 
Komplexe sind dann und nur dann in einander mit resp. ohne Selbst- 
durchdringung stetig deform ierltar, wenn sie homotop resp. isotop sind. 
Dieses Axiom ist die Zusammenfassung einer groBen Reihe von 
einzelnen Aussagen, z. B.: Begrenzen zwei Linien ein Flachenstiick, 
BO sind sie auf diesem in einander stetig deformierbar. Ferner: Zwei 
in einander ohne Selbstdurchdringung im Raume deformierbare Kom 
plexe konnen so mit raumlichen Domanen umgeben werden, da6 diese 
Domanen in einander stetig deformierbar sind, wobei die beiden Koni- 
plexe in einander iibergehen. Der Fundamentalsatz (Nr. 7) iiber den Zu- 
gammenhang zwischen Homotopie und Homoomorphie kann jetzt so 
ausgesprochen werden: 

Z-wei gleiclisusammenset2l)are Flachen sind (mit Durch- 
dringung) in einander stetig deformierbar. 

9. Einteilung der Analysis situs. Alle diejenigen Eigenschaften 
topologisch definierter Gebilde, bei denen weder interne noch externe 
Transformation in Betracht kommt, fassen wir unter dem Xamen 



170 M. Delm. HIAB3. Analysis situs. P. Heegaard, 

Complexus 1Sc ) zusammen. In ihrer Anwendung auf geometrisehe Gebilde 
sind bios die Existentialaxiome und die ersten drei Zerlegungs- 
axiome, soweit mit ihrer Hilfe auf die Existenz gewisser Kom- 
plexe geschlossen werden kann, notig. Alle die Eigenschaften, fur 
welche die interne, aber nicht die externe Transformation eingefiihrt 
werden miissen, d. i. die bei internen Transformationen invariant bleiben- 
den Eigenschaften topologischer Gebilde, gehoren der Theorie des 
Nexus (Zusammenhang) an. Hier sind zur geometrischen Deutung 
alle Zerlegungsaxiome von Noten. Die Invarianten fiir interne und 
externe Transformationen gehoren der Theorie des Connexus (,,relativer" 
Zusammenhang, Zusarnmenhang von Mannigfaltigkeiten auf anderen 
Mannigfaltigkeiten) an. Hier miissen zur raumlichen Deutung auch die 
Deformationsaxiome gebraucht werden. Endlich, fiir sich wollen wir 
im folgenden die Theorie der Mannigfaltigkeiten mit Singularitdten 
behandeln, die je nach verschiedenen Gesichtspunkten der Complexus- 
oder der Connexustheorie zugerechnet werden kann. 

10. Die Methode. Durch die Entwicklungen der ersten sieben 
Nummern dieses Abschnittes ist die Analysis situs dargestellt als ein durch 
seine anschauliche Bedeutung ausgezeiclmeter Teil der Kombinatorih. Das ist 
schon fiir die Widerspruchslosigkeit der in Nr. 8 aufgestellten Axiome 
von grofier Bedeutung. In der nun folgenden Darstellung des bisher 
in der Analysis situs Erreichten wird dieser Standpunkt nicht immer 
streng eingehalten; es werden vielmehi* haufig mit Hilfe der Anschauung 
wichtige Schliisse gezogen: Die Anschauung ist nicht nur der MaB- 
stab fiir die Bedeutung der einzelnen Resultate, sondern sie ist auch 
der beste Fiihrer in der Entdeckung neuer Satze und ihrer Beweise. 
Aber in jedem einzelnen dieser Falle kann man ohne Schwierigkeit 
sehen, daB die in Betracht kommenden Schliisse auch allein mit Hilfe 
der vorangehenden abstrakten Entwicklungen gemacht werden konnen, 
wie denn iiberhaupt alle speziellen tJberlegungeu. die zu irgend einer 
Zeit auf unserem Gebiet angestellt worden sind, als natiirliches Funda 
ment unsere obigen Definitionen haben, wahrend die oft an die Spitze 
gestellte Theorie der stetigen Raumdeformationen (s. Einleitung) wesent- 



18) Bei der Definition von C 3 und hoheren Komplexen haben wir (Nr. 5) den 
Begriff der JT 2 , 7T S usw. benutzt, den wir mit Hilfe der Einfuhrung der internen 
Transformationen begriindet haben. Eine rein komplektische Definition der IT 8 
wird uns durch den Umstand geliefert, daB eine geschlossene M a dann und nur 
dann eine IT 2 ist, wenn auf ihr jeder Kreis begrenzt; und Entsprechendes gilt 
fur JT 3 usw. Dies sind auch die einzigen Eigenschaften von U 2 usw., die im 
Abschnitt Complexus vorkommen. 



A. Complexus. 1. tJbersicht. 2* Liniensysteme. 171 

lich nur einen rein dogmatischeu Zweck zu erfiillen hat. Die Ana 
lysis situs ist eben der primitivste AbscJnritt der Geometric, wo der 
Grenzbegriff noch nirgeudwo von Bedeutung ist. 

A. Complexus. 

1. Ubersicht. Die Untersuchungen, die fur diesen Teil charak- 
teristisch sind, treten klar hervor bei der Theorie der Liniensysteme 
(Nr. 2), die in voller Allgemeinheit studiert sind. Bei dem Studiuni 
hoherer Komplexe dagegen werden zumeist Eigenschaften, die eigent- 
lich der reinen Theorie des Complexus angehoren, mit Untersuchungen 
nektischen Charakters verniischt entwickelt, und zwar aus dem Grunde, 
weil beinahe nur die spezielle Koniplexgattung der Mannigfaltigkeiten 
untersucht wird. Hierher gehort vor allem die Ableitung der gewohn- 
lichen und erweiterten (komplektischen) Eulerschen Formel fur zwei- 
und mehrdirnensionale Mannigfaltigkeiten. 

2. Liniensysteme (Streckenkomplexe). (cr Anzahl der Punkte, a t 
Anzahl der Linien der als zusammenhangend vorausgesetzten Systeme.) 
Ein Punkt des Systems, auch Knotenpunkt genannt^ heiBt von der Multi- 
plizitat A , wenn A Linien in dem Punkt zusamrnenstoBen. Ftir einen 
Endpmikt ist A* = 1. Wenn k ^ 3, nennt man den betreffenden Punkt 
auch einen Kreuzungspunkt (/,* 2) ter Ordnung 19 ). Etwas anders 
wie in diesern Artikel (Grundlagen Nr. 1) wird bei Jordan 20 ) und bei 
G. Brunei 21 ) ein gegebener C durch Symbole dargestellt, und zwar bei 
dem ersteren durch die Form JjiX* #,-#*, wo x l - x i - x k - x ao die 
Punkte sind und a ik die Zahl, die angibt, wie oft x i mit x k verbunden 
ist, bei Brunei durch die Determinante dieser Form. 

Von grundlegender Bedeutung fur die Theorie des C\ sind die 
beiden Begriffe, die von Listing zuerst betrachtet und mit dein Namen 
Cyldose und Dialyse bezeichnet wurden 22 ). Eine Cyklose ist ein ge- 
schlossener Kreis, die Dialyse besteht in der Zerstorung dieses Kreises 
durch Wegnahme einer Strecke. 

Durch Wegnahme von 

i = i o + * 
passend gewahlter Linien wird der Komplex in einen Baum (a. Fig. 2) 

19) Ahrens, Math. Ann. 49 (1897), p. 312. Bei Listing (Census rauml. Kompl., 
p. 29) fc-ziigiger Ausgang. 

20) 3. f. Math. 70 (1869), p. 185. 

21) Bordeaux, Extr. proc. verb. 189293, p. IX; Bordeaux Mem. (4) 5 (1895), 
p. 165. 

22) Census 7 ff . 



172 M.Delm. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

verwandelt, d. i. in einen C ohne Kreise, der also, wenn ,,innere" 
Linien vorhanden sind, durch die Fortnahme einer solchen zerfallt 28 ). 
|tt 1 heifit bei Listing die cyklomatisclie Ordnungssalil^). Fiir singulare 

Komplexe auf einer 77 2 mit keinen anderen 
Singularitaten als q Doppelpunkten, d. i. 
zusammenfallenden Knotenpunkten von 
der Multiplizitat 2 (nach Listing Traver- 
sen) gibt Listing die Formel fiir ft: 25 ) 

wenn m die Anzahl der ,,Felder" ist, in 
2 - die die U 2 von dem Komplexe eingeteilt 

wird, wo ein Feld eine von Komplex- 

strecken begrenzte E 2 ist, in der kein Punkt und keine Strecke des 
Komplexes liegt. 

Bedeutet v k die Anzahl der Knotenpunkte von der Multiplizitat k, 
so ist: 




o= 
also: 



wo 2(y) ^ e Summe der Ordnungen aller Knotenpunkte bedeutet 26 ). 
Geben wir jeder Strecke 8^ eines Q einen bestimmten Sinn, dann 
verstehen wir unter der Kongrumz* 1 ) 

ti^^Sf, 

wo s i gleich + 1, 1 oder Null sein kann, dafi, wenn man den 
Kreis U^ in bestimmter Richtung durchlauft, die Strecke S { 1 9 wo e i == 
ist, iiberhaupt nicht, diejenige, fiir die s = -f- 1 resp. 1 ist, in dem 
gegebenen resp. in einem dem gegebenen entgegengesetzten Sinne 
durchlaufen wird. Dann besteht folgender Satz: Fiir jeden C 1 gibt 
es gerade ^ linear von einander unabhangige solche Aggregate. Also: 
jeder Kreis ist ,,linear auszudriicken" durch ein Fundamentalsystem 
von ittj Kreisen. Der Beweis hierfiir folgt leicht mit Hilfe des Satzes: 



23) G. Kirchhoff, Pogg. Ann. 72 (1847), p. 498 ff.; Listing, Census (1862), 21; 
Jordan, J. f. Math. 70 (1869), p. 185; Ahrens, Math. Ann. 49 (1897), p. 315. 
Naheres s. Anm. 47. 

24) Census 21. 

25) Census 22, Formel (3). 

26) Ahrens, Fussn. 23, p. 3i2 u. 315. 

27) Diese Methode ist von Poincare, Palermo Rend. 13 (1899), p. 285 ein- 
gefuhrt worden. 






A. Complexus. 2. Liniensysteine. 173 

Gibt es fur ein System linearer Forinen it x und nicht weniger Variable, 
von denen in jedem linearen Aggregat jener Formen mindestens 
eine vorkommt, so sind geracle a 1 Formen des Systems von einander 
unabhangig. Man hat dann nur noch zu beriicksichtigen, dafi jede 
von null yerschiedene lineare Verbindung obiger Aggregate Strecken 
enthalt, die zusammen einen Kreis bilden. Jedes Fundamentalsystem 
bestimmt Kornbinationen von ^ ,,nicht zerstiickelnden Linien": eine 
,,Gruppe von a x Linien", in der Weise, dafi jede der Linien einem und 
nur einem der a^ Kreise des Fundamentalsystems angehort, und um- 
gekehrt: zu jeder Gruppe gibt es Fundamentalsysteme 28 ). Es kann 
hochstens 2-" 1 Kreise geben 29 ). 

Es hat ein besonderes Interesse, wenn sich unter den Kreisen 
eines Liniensystenis solche finden, icelche alle Pimkte enthalten, 
jeden nur einnial. Die Frage, ob solche existieren, und dann 
in welcher Zahl, laBt sich nicht durch bloBe Angabe der Ordnungs- 
zahlen der Punkte bestinimen. Brunei ***) setzt die Ldsung in Ver 
bindung mit der Berechnung der fruher 31 ) besprochenen Determinant e. 
Die Losung verschiedener mathematisclier Spiel-e**) laBt sich auf die 
Aufstellung solcher Kreise reduzieren. Vgl. I G 1, Ahrens, Nr. 3 und 7. 

Eine ahnliche Frage 1st die nach der Minimalzalil ron Ziigen, in 
icelclien alle Linien des Systems je einmal durclilaufen iverden Jconnen. 
Ein n Zug" ist in unserer Bezeichnungsweise eine M L rait Singularitaten. 
Zu dieser Frage wurde Eider 38 ) durch das ?? Konigsberger Brucken- 
problem" (s. Einleitung) gefiihrt. Ist die Zahl der Knotenpunkte von 
ungerader Multiplizitat 7 die fiir jeden Komplex immer gerade ist, etwa 
2p, dann ist die kleinste Zahl von Ziigen gleich p. Ist p = 0, dann 

28) Ahrens 1. c. p. 315. 

29) Ahr&is 1. c. p. 317. 

30) Anm. 21. 31) S. 171. 

32) Ygl. E. Lucas, Re cr. math., Paris 188294, 4, p. 221. Beispiele: 1) W. E. 
Hamilton, Dodekaederspiel; Lucas, Recr. math. 2, p. 201 ff. : Ahrens, Math. Spiele, 
p. 327 ff.; eine ahnliche Aufgabe Brunei, Bordeaux Extr. proc. verb. 189394 
(Mem. (4) 5, 1895, p. 165), p. XXVIIL 2) Der Rosselsprung (Lucas 4, p. 205; 
Ahrens, p. 165; vgl. Brunei, Bordeaux Extr. proc. verb. 189293 (Mem. (4) 4, 1894, 
p. 273), p. IX u. p. LIII ; Bordeaux Mem. (4) 5 (1895), p. 165. 3) Das spater zu nennende 
Problem des Taitsclien Graplies ist jedenfalls losbar, wenn das hier besprochene 
Problem gelost werclen kann; vgl. M. de Polignac, Bull. soc. math, de Fr. 27 
(1899), p. 142. Ahnliche Amvendungen von Liniensystemen liegen vor z. B. bei 
Problemen vensrandschaftlicher Beziehungen (Litt.: Ahrens, 1. c. p. 78); vgl. Brunei, 
Bordeaux Extr. proc. verb. 189293 (Mem. (4) 4, 1894, p. 273), p. XXV; ein anderes 
Problem Brunei, ebenda, 189394, p. XIV. 

33) Petrop. Comrn. 8 (1741), p. 128 ff.: vgl. Lutas, Recr. math. 1, p. 21 ff. 
s. p. 222; Ahrens, Math. Spiele, p. 317. 



174 M. Dehn. El A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

kann man die saintlichen Linien in einem gescMossenen Zuge durch- 
laufen. Dieser von Euler bewiesene Satz wurde spater wiedergegeben 
oder wiedergefunden von Th. Clausen 8 *), Listing 3 *), C. Hierholzer* 6 ), 
M. de Polignac 31 ), Jul. Petersen) und 0. Steinert 39 ). Nacli einer Be- 
merkung von C. A. Laisant^) kommt die Losung des Dominoproblems 
auf eine Anwendung dieses Satzes heraus. Verwandt mit deni Satz 
ist die Aufgabe, den Weg durch ein Labyrinth zu nnden 41 ), und die 
Aufgabe der sogenannten Schmugglerreise* 2 ). Die Fragestellungen von 
A. Tlme^) und E. Steinitz^} gehen in derselben Richtung. 

Wenn ein Zug durch einen Knotenpunkt hochstens einrnal hin- 
durchlaufen darf, wird die Minimalzahl der Zuge im allgemeinen 
gro Ber. Sie hangt allein von den Ordnungszahlen der Knotenpunkte 
ab und ist sehr einfach zu bestimmen 45 ). 

Jordan^) nennt zwei Liniensysteme A und A einander gleich 
(paretts), wenn sie in unserer Ausdrucksweise ohne interne Transfor 
mation einander homoomorph sind, d. i. wenn sie sich nur durch die 
Bezeichnungsweise unterscheiden, und behandelt die Frage, ob und 
eventuell wie oft ein Liniensystem mit sich selbst gleich sein kann. 

Die Liniensysteme von der cyklomatischen Ordnungszahl (ein 
fach zusammenhangende) sind die Btiume 47 ). Fur einen Baum ist also 

i = 1. 

34) Astr. Nachr. 21 (1844), p. 216. 

35) Vorstudien, p. 59 ff. 

36) Math. Ann. 6 (1873), p. 30. 

37) Bull. Soc. math, de Fr. 8 (1880), p. 121 (nur fiir Baume ausgesprochen), 
wiedergegeben in Lucas, Recr. math. (Paris, 2. ed., 1891) 1, p. 51 ff. 

38) Acta math. 15 (1891), p. 196 u. p. 210 (nur fur regulare Liniensysteme 
ausgesprochen). 

39) Arch. Math. Phys. (2) 13 (1895), p. 220. 

40) Lucas, Recr. math. 2, p. 229 (Note 1) u. 4, p. 126; Alirens, Math. Spiele, 
p. 373. Da auch die Bestimmung von der Anzahl von Losungen durchgefuhrt 
von G. Tarry, Ass. fr. Nancy 2 (1886), p. 49. Vgl. auch Brunei, Bord. Proc. 
verb. 189596, p. 62. 

41) Cli. Wiener, Math. Ann. 6 (1873), p. 29 ; Lucas, Recr. math. 1, p. 45 (Losung von 
Tremeaux) ; Tarry, Nouv. Ann. (3) 14 (1895), p. 187 ; vgl. Ahrens, Math. Spiele, p. 321 ff. 

42) Lucas, R6cr. math. 1, p. 38. 

43) Tidskr. f. Math. (5) 3 (1885), p. 102. 

44) Monatsh. Math. Phys. 8 (1897), p. 293. 

45) F. Lippich, Wien Ber. 69 2 (1874), p. 95. 

46) J. f. Math. 70 (1869), p. 185. 

47) A. Cayley nennt sie trees, C. Jordan assemblages d continuite simple, M. de 
Polignac arbres, ramifications, arborescenses. Vor allein hat sich Cayley mit den 
Baumen beschat tigt : Phil. mag. 13 (1857), p. 172 = Papers 3, p. 242 (urn eine 
Reihe Differentiationsprozesse zu veranschaulichen) ; Phil. mag. 18 (1859), p. 374 



A. Coniplexue. 2. Liniensysteme. 175 

Die meisten Untersuchungen bezwecken die Aufzahlung von Baurnen, 
welche gegebenen Bedingungen geniigen, z. B. gegebene Anzahlen von 
Linien, freien Endpunkten usw. habeu. Diese Aufzahlungen werden ver- 
schieden, je naclidem man sich den Baum als einen Wurzelbaum 48 )> 
von einem bestimmten Knotenpunkt entspringend, denkt oder nicht. 

Diese Untersuchungen sind in der organischen Chemie von Bedeu- 
tung bei der Bestimmung der Anzahl von isomeren Verbindungen 49 ). 

Jordan 50 ) hat bewiesen, da6 ein Baum immer eine Mitte - - ent- 
weder einen zentralen Knotenpunkt, Zentnim, oder eine zentrale Achse 
besitzt mit folgenderEigenschaft: im erstenFalle ist dieZahl von Linien, 
welche in jedem von dem zentralen Knotenpunkte entspringenden par- 
tiellen Baum enthalten sind, < -^ ; im zweiten Falle, der nur moglich 
ist, wenn die Anzahl der Linien ungerade ist, teilt jeder Endpunkt der 
Achse (Bizentntm) den Baum in zwei Baume mit resp. * - und 

^ Linien. Von jedem anderen Knotenpunkte entspringt in beiden 

Fallen ein partieller Baum mit niehr als *-7p - Linien. 

Ini Gegensatz zu dieser Jordansvhen Mitte (etwa Mitte der ge- 
samten .,Masse" Centre of magnitude or of number") definiert 

= Papers 4, p. 112; Phil. mag. 47 (1874), p. 444 = Papers 9, p. 202; Rep. Brit, 
Ass. 1875, p. 257 = Papers 9, p. 427; Phil. mag. (5) 3 (1877), p. 34 = Papers 9, 
p. 544; Educ. Times 27 (1877), p. 81 = Papers 10, p. 598; Am. J. of math. 4 
(1881), p. 266 = Papers 11, p. 365; J. Hopkins Circular 1882, p. 202 = Papers 
10, p. 401; Quart. J. of math. 23 (1889), p. 376 = Papers 13, p. 26; vgl. auch 
Phil. Trans. 158 (1868), p. 141 = Papers 6, p. 260. Mit Bauinen beschaftigen 
sich auch: Listing, Census (1862), 27; Jordan, J. f. Math. 70 (1869), p. 186; 
Sylvester, Educ. Times 30 (1878), p. 52; S. Tebay, Educ. Times 30 (1878), p. 81: 
faPoUgnac, Bull. soc. math, de France 8 (1880), p. 120; ibid. 9 (1881), p. 30: Brunei, 
Bord. Extr. proc. verb. 189293 (Mem. (4) 4, 1894, p. 273), p. 18 u. p. 25; ibid. 
189394 (Mem. (4) 5, p. 165), p. 14, 39 u. 44; Proc, verb. 189495, p. 8; 
P. A. Mac Mahon, Phil. mag. (5) 40 (1895), p. 153. Vgl. auch die Darstellungen: 
Lucas, Recr. math. (2. ed.) 1 (1891), p. 51 und Ahreiis, Math. Spiele (1901), p. 304 ff. 

48) Cayley, Phil. mag. 13 (1857), p. 172 = Papers 3, p. 242. 

49) Cayley, Phil. mag. 47 (1874), p. 444 = Papers 9, p. 202; Rep. Brit. Ass. 
1875, p. 257 = Papers 9, p. 427 (Refer, in Ber. deutsch. chem. Ges. 8 (1875), 
p. 1056); Phil. mag. (5) 3 (1877), p. 34 = Papers 9, p. 544; Brunei, Bordeaux 
Extr. proc. verb. 189293 (Mem. (4) 4, 1894, p. 273), p. 18; ibid. 189394 (Mem. 
(4) 5, 1895, p. 165), p. 39; Bordeaux Proc. verb. 1894 95, p. 8; H. Delannoy, Assoc, 
fran9. Caen 2 (1894), p. 102; Phil. mag. (5) 40 (1895), p. 153. Auszug: L intenned. 
1 (1894), p. 72; Paris. Bull. soc. chim. (3) 11 (1894), p. 239; Ber. deutsch. chem. 
Ges. 27 (1894), p. 725. Vgl. V 6, Chemische Atoniistik, Hinrichsen, Mamlock und 
Study, Nr. 36, 37 und bes. 46. 

50) J. f. Math. 70 (1869), p. 186; vgl. Cayley, Educ, Times 27 (1877), p. 81 
= Papers 10, p. 598. 



176 M. Delm. Ill A B 3. Analysis situs. P. Hcegaard. 

Sylvester 51 ) eine Mitte (Zentrum oder Achse) der linear en Ausdehnung 
(,,centre and bicentre of length? ), indem er den Abstand zweier Knoten- 
punkte durch die Zahl der zwischenliegenden Linien mifit. Wenn der 
grofite Abstand zweier Endpunkte 2n ist, hat das Liniensystem ein 
Sylvestersches Zentnim, von welchem gerechnet die Entfernungen der 
Endpunkte < n sind; ist sie dagegen 2n -\- 1, so hat das Linien 
system eine Sylverstersclie Achse, von deren Endpunkten (Bicentra) die 
Knotenpunkte des Liniensystemes hochstens um n entfernt sind. Fur 
alle anderen Knotenpunkte gibt es einen Knotenpunkt, welcher von 
ihm eine gro Bere Entfernung als n hat. Jordan konstruiert a. a. 0. 
noch eine andere Art von Mitte, die, wie man leicht sieht, gerade die Syl- 
vestersche Mitte ist. Entfernt man namlich von einem Baum alle 
,,auBeren" Strecken, so entsteht wieder ein Baum, entfernen wir von 
diesem wieder alle aufieren Strecken und fahren so fort, so bekommt 
man zum SchluB entweder eine einzelne Strecke (Sylvestersche Achse) 
oder lauter auBere Strecken mit einem gemeinsamen Punkt (Sylvester 
sches Zentrum). 

Die Minimalanzahl von Z tigen, mit welcher ein Baum gezeich- 
net werden kann, ist nach dein Eulerschen Satz 52 ) die Halfte der An- 
zahl von Knotenpunkten ungerader Ordnung. Fiir diese Zahl gibt 
de Polignac 5 *) verschiedene Ausdrficke an. Sie ist z. B. gleich 



>r rfc -f in , 1 s ^i rk i 

2 1 - Til - ( a - !) =2 L"" 

wo k die Multiplizitat eines Knotenpunktes bedeutet, [a] (nach 
Werke 2, p. 5) die groBte ganze Zahl, die in a enthalten ist, bedeutet 
und wo die Summationen fiber alle Knotenpunkte erstreckt sind. 

Ganz wie galvanische Elemente entweder in Reihen oder parallel 
verbunden werden konnen, kann man auch Kette -------- 

Linien in ,,Ketten" oder ,,Joche" zusammen- Joch ^^ 

fugen. Die speziellen Liniensysteme, welche durch sukzessives ,,Zu- 
sammenketten" und ,,Zusammenjochen" entstehen, nennt Cayley Jocii- 
kette (yoke -chain) und P. A. Mac Motion* 4 ) zeigt, daB ihre Bildung 
eng mit denen von Baumen verkniipft ist. 

51) Vgl. Cayley, Rep. Brit. Ass. 1875, p. 259 = Papers 9, p. 428; Educ. 
Times 27 (1877), p. 81 = Papers 10, p. 598; Am. J. of math. 4 (1881), p. 266 = 
Papers 11, p. 365; de Polignac, Bull. soc. math, de Fr. 9 (1881), p. 39; Brunei, 
Bord. Extr. proc. verb. 189394, p. 29. 

52) s. Anm. 33. 

53) Bull. soc. math, de Fr. 8 (1880), p. 120 ff.; ibid. 9 (1881), p. 34 ff.; vgl 
Lucas, Eecr. math. (2 ed.) 1, p. 51. 

54) Lond. Proc. math. soc. 22 (1894), p. 330. 



A. Complexus. 2. Liniensysteme. 177 

Bei An wenching von Liniensystemen in der Invariantentheorie 55 ) 
sind insbesondere die regnlaren Grapken**) von Bedeutung, in deren 
Knotenpunkten iiberall dieselbe Anzahl g von Linien zusammenlaufen, 
g ist der Grad des Graphes, wird die Ordnung genannt. Wenn 
man den Graph durch Uberlagerung von regularen Graphen von der- 
selben Ordnung aber von niedrigerem Grade herstellen kann, ist er 
jserlegbar, sonst primitiv. Jul. Petersen 51 ) hat folgende Satze bewiesen: 
Jeder Graph geraden Grades laBt sich in Graphen zweiten Grades 
zerlegen, und zwar im allgemeinen auf verschiedene Weisen. Dagegen 
gibt es primitive Graphen von jedem unyeradm Grade. Von den 
Untersuchungen iiber Primitivitat in diesem Falle ist besonders her- 
vorzuheben, claB ein primitiver Graph von drittem Grade wenigstens 
drei Blatter haben rnuB, wo ein Blatt ein Teil des Graphes ist, welcher 
nur durch eine Linie (eine Briicke) mit den iibrigen Teilen des Graphes 
zusammenhangt. Ein Graph vom dritten Grade ohne Blatter laBt sich 
in einen Graph ersten und einen Graph zweiten Grades zerlegen. 

Der Satz von P. G. Tait bs ), daB ein solcher Graph sich immer 
in drei vom ersten Grade zerlegen laBt ; ist wenigstens nicht im all 
gemeinen richtig 59 ). Ob er fur Graphen ; welche auf einer ge- 
schlossenen Flache vom Geschlechte p = gezeichnet sind, gilt, muB 
vorlaufig dahinstehen; bisher ist kein befriedigender Beweis daftir gefuhrt. 

Dasselbe ist der Fall, trotz vieler Miine 60 ), fur das damit in 
Yerbindung stehende 61 ) Kartenfarbenproblern, unter den Mathematikern 

55) Vgl. Anin. 10. 

56) Bei Brunei reseaux reguliers genannt; Bord. Proc. verb. 1894 95, p. 3. 

57) Jul Petersen, Acta math. 15 (1891), p. 193 ff. 

58) Edinb. Trans. 29 (1880), p. 657; Listings Topology, Phil. mag. (5) 17 
(1884), p. 30. 

59) Jul Petersen, L interme d. 5 (1898), p. 225. 

60) Das Problem wird behandelt bei Tait, Edinb. Proc. 10 (1880), p. 501 
und p. 729; Edinb. Trans. 29 (1880), p. 657; Cayley, Proc. R. Geogr. Soc. 1 (1879), 
p. 259 = Pap. 11, p. 7; A. B. Kempe, Am. J. of math. 2 (1879), p. 193; Nature 20 
(1879), p. 275; 21 (1880), p. 399; Brunei, Bordeaux Extr. proc. verb. 188889 
[Me m. (3) 5], p. 89; P.J.Heawood, Quart, J. 24 (1890), p. 332; ibid. 29 (1898), 
p. 270; P. Wernicke, Am. math. soc. Bull. (2) 4 (1897), p. 4. In L intermediaire als 
Antwort auf die Fragen Nr. 51 (1, 1894, p. 20), Nr. 360 (1, p. 213) und Nr. 425 (2, 
1895, p. 8): 1, p. 192 (Delannoy, Ramsey}; 2, p. 232 (Delannoy, H. Brocard)-, 2, 
p. 270 (E. BoreT); 2, p. 395- (Delannoy, C. Juel): 3, 1896, p. 179 (Ch. J. de la 
Vallee-Pomsiri} , 3, p. 225 (Delannoy); 5, 1898, p. 225 und 6, 1899, p. 36 (Jul 
Petersen}; de Polignac, BulL soc. math, de Fr. 27 (1899), p. 142; Wemickes Beweis 
(Math. Ann. 58 (1901), p. 413) ist nicht ausreichend. Ygl. auch Lucas, Recr. 
math. 4, p. 168 [= Revue scientif. (3) 32 (1883), p. 11]. 

61) Tait 1. c.; vgl. auch Ahrens, Math. Spiele; Lucas, Recr. math. 4, p. 193; 
Jul Petersen, L intermed. 6 (1899), p. 37. 

Encyklop. d. math. Wisaensch. in 1. 12 



178 M. Delm. HIAB3. Analysis situs. P. Heegaard, 

zuerst von F. Guthrie und C. de Morgan^) beriihrt. Das Problem 
kommt darauf hinaus, folgenden Satz zu beweisen: Vier Farben ge- 
niigen, um die Gebiete einer Landkarte so zu farben, daB iiberall 
zwei aneinander (langs Linien) grenzende Gebiete verschiedene Farben 
liaben 60 ). DaB vier Farben notwendig sind, gent schon hervor aus 
dem Satze von Mobius (oder H. A. Weiske), daB auf einer der Kugel 
homoomorphen Flache vier Nachbargebiete (spatia confinia) existieren 63 ), 
d. i. vier Gebiete, von denen jedes Gebiet mit jedem anderen eine 
Grenzstrecke gemeinsam hat. Eine obere Grenze fur die Anzahl der 
notigen Farben ist leicht zu finden, sie ist = 5 fur die Kugel , = 7 
fur die Torusflache. Da auf dieser aber sieben Nachbargebiete 
existieren 63 ), so ist fur diese Flache das Kartenfarbenproblem gelost 64 ). 

Brunel eb ) berechnet die Werte, welche a lf cc und der Grad 
eines regularen Graphes annehmen konnen fur ^ gleich 1 bis 8, oline 
doch zu untersuchen, ob es Graphen gibt, welche jedes Wertsystem 
realisieren. 

Jul. Peterson**) beweist mittels der Theorie der regularen Graphen 
die Unlosbarkeit des sogenannten ,,Euler8eheia Problems der 36 Offi- 



ziere" 67% 



3. Hohere Komplexe und die (komplektische) Eulersche Formel. 
(Bettische Zahlen, Torsionskoeffizienten.) Die allgemeine Theorie der 
hoheren Komplexe, also zunachst der Flachenkomplexe oder -systeme, ist 
lange nicht so ausgebildet wie die der Liniensysteme. Zunachst entsteht 
die Frage nach den Eigenschaften derjenigen Linienkomplexe , die 
JFlachensystemen von besonderen Eigenschaften zugrunde liegen konnen. 
Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daB aus einem C 



62) Edinb. Proc. 10 (1880), p. 727. 

63) R. Baltzer, Leipzig Ber. 1885, p. 1. Die Theorie der Nachbargebiete und 
Nachbarpunkte auf Flachen von willkurlichem Geschlechte behandelt L. Heffter, 
Math. Ann. 38 (1891), p. 477; ibid. 49 (1897), p. 101; ibid. 50 (1897), p. 261 und 
setzt die Untersuchungen mit Tripelsystemen (I A 2, Netto, Nr. 10) in Verbindung. 
Im Eaume gibt es keine obere Grenze der Gebiete; vgl. F. Guthrie, Edinb. Proc. 10 
(1880), p. 727 und P. Stackel, Zeitschr. Math. Phys. 42 (1897), p. 275; selbst 
die Beschrankung auf konvexe Gebiete andert hieran nichts, H. Tietze, Monatsh. 
Math. Phys. 16 (1905). 

64) P. J. Heawood, Quart. J. 24 (1890), p. 332. 

65) Bordeaux Proc. verb. 189495, p. 3. 

66) Annuaire des math., Paris 190102, p. 413. 

67) Euler, Vlissingen Verhandl. 9 (1782), p. 85 == Comm. arithm. coll. 2, 
p. 302; vgl. auch L intermed. 2, 1895, p. 17; 2, p. 79; 3, 1896, p. 17; 3, p. 90; 
5, 1898, p. 83; 5, p. 176; 5, p. 252; 6, 1899, p. 251; 6, p. 273; 7, 1900, p. 14; 7, 
p. 311, und Ahrens, Math. Spiele, p. 248 ff. 



A. Complexes. 3. Hohere Komplexe und die Eulersche Fonnel. 179 

(lurch Hinzufiigung von Flachenstiicken ein C 2 werden kann, ist die, 
daB jede Strecke des C x zu mindestens einem geschlossenen Kreise 
gehort. Uber Eigenschaften von solchen C lf die einer zweiseitigen 
M 2 angehoren, siehe weiter unten. Im iibrigen ist die Theorie gerade 
so weit entwickelt worden. urn die Eulersche Formel und damit zu- 
sammenhangende Problenie zu erledigen. 

Homologie 68 ): Es sei gegeben ein im allgenieinen nicht singula- 
ritatenfreies System von ziceiseitigen Mannigfaltigkeiten C 2 ( { 3/ 2 } ) auf 
einem C n , deren Berandungen ebenfalls ganz oder teilweise singular 
sein konnen. Diese Berandungen mogen sich aus den geschlossenen 
Kreisen T^ 1 , 11^, . . ., II f zusammensetzen, die einzelne Punkte ge- 
meinsam haben diirfen. Geben wir dann alien konstituierenden Flachen 
stiicken von C 2 ({Jf 2 }) einen solchen Urnlaufssinn, dafi jede Strecke 
von den zwei in ihr zusammenstoBenden Flachen entgegengesetzte 
Richtungen erhalt, dann werden auch die Strecken von C nt die die 
Berandung von C 2 ({M 2 }) bilden, ein oder mehrere Male in gleichem 
oder verschiedenem Sinne durchlaufen werden, je nach den verschie- 
denen Flachenstiicken des C f ({Jtfj}), deren gemeinsame (singulare) 
Kanten sie sind. Wird eine Kante -mal in dem einen Sinne, /3- 
mal in dem auderen Sinne durchlaufen, so sagen wir, sie wird ( /3)- 
mal im ersten Sinne oder (/J )-mal im zweiten Sinne durchlaufen 
Ist aber a = /3, so sagen wir, die Strecke wird Nullmal durchlaufen. 
Wir geben nun JZj 1 , 11^, . . . einen beliebig bestirnmten Durchlaufungs- 
sinn. Werden dann bei der obigen Umlaufsbestirnmung alle Strecken 
von n^ 1 i/j-mal, alle Strecken von 11^ 2 v 2 -mal, alle Strecken von 
n^ v n -mal im gegebenen Sinne durchlaufen, so sagen wir: Die Kreise 
/Ij 1 , TIj -,..., n^ 9 v ly resp. v 2 , . . ., resp. v n -mal im gegebenen Sinne 
durclilaufen, begrenzen C 2 ( { M 2 } ). Oder auch kurz: U^. JJj 2 , . . ., U.^ 
begrenzen zusammen einen Teil des C n . Oder endlich 



ist homvlog null, in Zeichen: 

Vl /V + v, TV + + ". n " ^0. 
1st v 1 /Z 1 1 + Vg/Zj 2 oo 0, so sagen wir v 1 JJ 1 1 ist homolog v^H^. 

Mit Hilfe des Begiiffes der Kongruenz (siehe oben p. 172) konnen 
wir die Definition der Homologie kiirzer so fassen: Es sei n e * irgend 
ein Kreis, der eines der konstituierenden Flachenstiicke des C n be- 
grenzt, und es mb ge die Kongruenz bestehen: 



68) S. Poincare, J. ec. polyt. (2) 1 (1895), p. 18; Palermo Rend. 13 (1899). 
p. 285 ff. 

12* 



180 .M . Dehn. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 



dann besteht auch die Homologie: 



Denn in der Tat: Wegen der Kongruenz begrenzen im oben definierten 
Sinne I^ 1 , TL*, . . ., U^, v t - resp. v 2 -, . . . resp. v n -mal gezahlt, das System 
von Mannigfaltigkeiten, das aus den ^-fach gezahlten, von den 77/ 
begrenzten Flachenstiicken besteht. Umgekehrt folgt aus der Homo 
logie 

Vl /V + v iM ----- h"."i"^0, 

wie sofort einleuchtend ist, eine Kongruenz von der Form 

, JV + VV H ----- h V.BI" =2t> t nj. 

Es gilt nun ftir Kreissysteme auf zweiseitigen Jf 2 der cnarakteri- 
stiscbe Satz: Haben in der Kongruenz 



die Koeffizienten der linken Seite einen gemeinsainen Faktor 7 so 
haben denselben auch die Koeffizienten der rechten Seite gemein- 
sam. Hieraus folgt dann weiter: Eine auf einer zweiseitigen M^ 
giiltige Homologie darf man durch einen gemeinsamen Faktor der 
Koeffizienten dividieren 69 ). Der Beweis fur den ersten Satz wird 
ganz einfach so gefiihrt: Wir setzen voraus, daB die Kreise /!/ alle 
voneinander linear unabhangig sind. Dann fehlt auf der rechten 
Seite, wegen der vorausgesetzten Zweiseitigkeit des M 2f mindestens 
einer der konstituierenden Kreise. Denn nach Definition der Zwei 
seitigkeit ist ein konstituierender Kreis der Summe aller iibrigen kon- 
gruent. Nehmen wir an, etwa ^ ware durch Q, den gemeinsamen 
Faktor aller v k , nicht teilbar, so folgt leicht durch Betrachtung der an 
TI e 1 anschliefienden II e *, daB kein ^ durch Q teilbar ist und daB deswegen 
auf beiden Seiten jedes 7ZJ77 * angrenzen miissen. Das ist aber un- 
moglich. Denn dann miifite an jeder Seite eines n e l ein II e * an 
grenzen und die II ^ die ganze Flache erfiillen, was ja nicht der 
Fall ist. 

Sei nun P 1 1 die Maximalansalil von zusammen nicht beyrenzen- 

den Kreisen auf einer zweiseitigen geschlossenen M 2 , so ist ^ = cc 2 

- 1 + Pj_ 1 nach obigem die Anzahl der Kreise eines Fundamen- 

69) Bei Poincare gleicli in der Verallgemeinerung fur n Dimensionen mifc 
Hilfe der Theorie der Torsionskoeffizienten bewiesen (s. p. 184). Der Textbeweis 
laBt sicli unrnittelbar verallgemeinern. 



A. Complexus. 3. Hohere Komplexe und die Eulersche Formel. 181 

talsysterns fiir den der M 2 zugrimde liegenden C 1 . Es ist aber nach 
Complexus Nr. 2 

i = i o + ! 
Wir haben also: 



das ist die enveiterte komplektisclie Eulersche Formel. Fiir erne Kugel 
ist also (wie ubrigens anders leichter zu zeigen): 

o + 2 i = 2. 

Das ist die gewdhnliche Enlersclie (Pol yeder-)Formel 1(ii ). Es ergibt sich 
noch der Satz: Zu irgend P l 1 n nicht begrenzenden Kreisen 
existieren stets n weitere mit den ersten zusamrnen nicht begrenzende 
Kreise. 

Gewisse fundament-ale Betrachtungen bei der Theorie der C t 
konnen in der Theorie der C 2 wiederholt werden: Wir geben jeder 
Flache SJ einen bestimmten Sinn (Indikatrix) (siehe Grundlagen Nr. 2). 
Dann bedeutet die Kongruenz 

MI =2*iS* ( i = oder -f 1 oder -- 1) 

daB 7 wenn man der zweiseitigen Flache M 2 eine bestimmte Indikatrix 
erteilt, die Flachenstiicke S^ wenn s. = ist, nicht auf M% liegen, 
diejeuigen fur die f . == -f- 1 0( ^ er 1 ^ s ^ durch die Indikatrix bestini- 
mung fiir M 9 eine niit der gegebenen iibereinstimniende resp. nicht 
iibereinstinimende Indikatrix erhalten. Fiir jede C. 2 gibt es 4 a 2 linear 
voneinander unabhangige solche Aggregate. Also jede geschlossene 
zweiseitige Flache des C 2 ist kongruent mit eineni lineareu Aggregat 
von ^ Flachen, die ein Fimdamentalsystem von gesclilossenen Flaclien 
bildeD. Jedes solche System bestimmt wieder Konibinationen von ^ 2 
nicht zerstiickelnden Flachen von der Eigenschaft, dafi nach Weg- 
nahme der // 2 Flachen in dem C 2 keine geschlossene zweiseitige Flache 
mehr vorkommt, so daB der C 2 in einen Flaclmibaum verwandelt ist. 
Ebenso wie oben laBt sich zeigen, daB fiir den C 9 , der eine zwei 
seitige 3f 3 bildet, die Zahl u 2 = 3 1 -f- P 2 1 ist, wo P 2 1 
die Maximalansalil der (einfach oder mehrfach gezahlt) zusammen 
nicht begrenzenden zweiseitigen Flachen auf der J/ 3 ist. Betrachten 
wir den die M B bildenden C 1} so haben wir jetzt, da nach Fortnahme 
von t u 2 Flachenstiicken keine geschlossene zweiseitige Flache mehr iibrig 
bleibt, 2 t u 2 voneinander linear unabhangige II ^ und folglich. ist, 



70) Dieser rein der Komplexustheorie entsprinsfende Beweis der (komplek- 
tiscben^i Eulerschen Formel riilirt im Aveeentliclien von Poinearc her, Palermo 
Rend. 13 (1899), 3. Betreffs des Zusatzes ,,komplektisch u s. Anm. 98. 



182 M. Dehn. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

da durch die Fortnahme der 4 u 2 Flachenstiicke keine Kante wegge- 
f alien sein kann, fur diesen C t die Zahl ^ = 2 ^ 2 -f- P t 1, wenn 
P! 1 die Maximalanzahl der zusammen auf M 3 nicht begrenzenden 
Kreise von Cj_ ist. Nun ist aber wieder fi t = ct^ cc -f- 1 und so 
erhalten wir die Beziehung: 



Einer Verallgemeinerung auf w Diniensionen steht nichts ini Wege, 
so daB fiir die Ansahlen der Teilmannigfaltigkeiten einer zweiseitigen 
M n die Beziehung gilt: 

% - i H ----- K- 1)X 



wenn P A dem Obigen entsprechend definiert ist. Dies ist die erweiterte 
(komplektische) Eulersche Formel fiir n Dimensionen. 11 ) P 1? P 2 , . . ., 
P 7l _ 1 heiBen die Bettischen Zalilen der Mannigfaltigkeit -M B . 72 ) Um 
fiir einseitige M n die analoge Formel zu erhalten , braucht man nur 
auf der rechten Seite der obigen Grleichung die Zahl ( 1)" fort- 
zulassen. 

Wie aus dieser Art der Ableitung hervorgeht, gilt diese Formel 
aueh fiir Komplexe C nJ welche bios die Forderung erfullen, daB ein 



71) S. Poincare a. a. 0.; vgl. auch die folg. Anm. Fiir eine Sphare fiir die 
(nach ,,Grnindlagen" Nr. 5) alle Zahlen P t , . . ., P n - l gleich 1 sind, ergibt sich 

^o-^ + -"(-l) w ^ = ( > 

oder = 2, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Uber die Literatur zu diesem 
Satze. der sich viel leichter mit Hilfe des Begriffes des Homoomoi-phismus reap, der 
internen Transformation ableiten lafit, vgl. Complexus Nr. 4 und Nexus II Nr. 1 
und Anm 99.] 

72) Diese Bezeichnung ruhrt von Poincare her: J. ec. polyt. (2) 1 1895, p. 19. 
Betti selbst definiert die Zahlen anders, indem er namlich den Zusatz, daB die 
begrenzenden Mannigfaltigkeiten einfach oder mehrfach gezahlt werden diirfen, 
nicht macht. Die so definierten Zahlen sind von denen Poincares im allgemeinen 
verschieden, und es gilt fiir sie die obige Formel nicht mehr. Hierauf hat 
Heegaard,, Forstudier . . ., Dissert. Kopenhagen 1898, p. 87 ff. aufmerksam gemacht, 
was Poincare Palermo Rend. 13 (1899), p. 1 ff. weiter ausfiihrt. Dieselbe Definition wie 
Betti gibt Eiemann in seinem Fragment iiber An. sit. Werke 2. AufL, p. 479. Es ist 
nicht unmoglich, da6 die Arbeiten von Betti und Riemann nicht unabhangig 
voneinander entstanden sind (jRiemanns Aufenthalt in Italien, vgl. E. Werke, 
2. Aufl., p. 555 f.). Vgl. A. Tonelli, Rom Line. Atti (2) 2 (1875), p. 594; E. Bar- 
tolotti, Rom Line. Rend. (4) 5 2 (1889), p. 229; Tonelli , Rom Line. Rend. (4) 6 l 
(1890), p. 139. Ferner K Picard et G. Simart, Th. d. f. d. 2 variables, Paris, 1 
(1897), p. 27 ff. Der Beweis, den Poincare fiir die Formel im J. ec. polyt. ge- 
geben hat, ist, wie Heegaard 1. c. bemerkt hat, unrichtig, ebenfalls wegen Nicht- 
beachtung der beiden verschiedenen Definitionen der .Zte^ schen Zahlen. 



A. Complexus. 3. Hohere Komplexe und die Eulersche Formel. 
konstituierendes Rauinstiick S_ t zu zwei und uur zu zwei konsti- 

74 1 

tuierenden S n gehort, d. i. fiir uuhomogene Komplexe (siehe Grund- 
lagen Nr. 5), so z. B. fiir Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen, bei 
denen die Unigebung nicht jedes Punktes sich wie eine Kugel ver- 
halt, sondern bei denen Punkte etwa mit ringflachenformigen Uni- 
gebungen existiereu. (Beispiel: Eine Mannigfaltigkeit bestehe aus 
zwei Raumstiicken mit zwei gemeinsamen Flachenstiicken (d. i. einein 
Torus) und den Pyramiden mit gemeinsamer Spitze, deren Basen die 
anderen die beiden Raumstiicke begrenzenden Flachenstiicke sind.) 
Eine andere Art von Beispielen liefern C 2 , die geschlossene J/ 2 mit 
singulareu Punkten (Selbstberiihrungspunkten) darstellen. Nennt man 
a n die Anzahl der S n eines C n , zwischen deren Berandungen keine 
Kongruenz besteht (a n = CC H resp. == a n 1 fiir ein- resp. zweiseitige 
M n \ dann ist folgende Verallgemeinenmg der ~kompleldisclmi Eiderschen 
Formel fiir eimn ~beliebigen Komplex C n giiltig: 



Nur fiir gewohnliche (homogene) geschlossene Mannigfaltigkeiten 
dagegen gelten die folgenden Beziehungen zwischen den GroBen, die 
wir kombinierte Anzalilen 1 6 ) nennen wollen: Unter a ik (M n ) verstehen 
wir, wenn i ^> A; ist, die Anzahl der M n konstituierenden Mannigfaltig 
keiten / ter Dimension, jede so oft gezahlt, als sie von Mannigfaltigkeiten 
A: ter Dimension begrenzt wird, wenn i < k die Anzahl der M n konsti 
tuierenden Mannigfaltigkeiten / ter Dimension, jede so oft gezahlt, als die 
Anzahl der Mannigfaltigkeiten A; ter Dimension angibt. zn deren Be- 
grenzung sie gehort. Allgemein ist a^ k = a k ^ und 1)0 = 2^, fiir 
jede (geschlossene) M n (n > I)2 j0 = 2 1? fiir jede Jf n (w> 2) : o^ -f- ^3,3 
== 8)1 + 2 3 , ferner fur jede M 2 : 0>1 = a 0j27 fiir jede 3/ 3 : 2)3 = 2 2 , 

i,8 = "1,2? o,i + o,s = o,2 + 2a o; diese Formel folgt, weil die 
Umgebung jedes Punktes sich wie eine Kugel verhalt. Aus diesen 
Formeln folgt fiir eine geschlossene M 3 der Satz: 

o a i + a -2 "3 = ? 
woraus nach dem Obigen folgt: 

A = -Pj> 

ein fundanientaler Satz, der zuerst von Poincare richtig ausgesprochen 
und bewiesen wurde 74 ). Allgemein ergibt sich fiir jede ungerade 



73) Von Poincare, J. ec. polyt. (2) 1 (1895), 17, eingefiihrt. 

74) Der Satz mirde zuerst von Betti 1. c. ausgesprochen, ist aber unrichtig 
fiir seine Definition der Bettischen Zahlen. Poincare s Beweis im J. ec. polyt. ist 



184 M. Dehn. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

Anzahl von Dimensionen die Formel: 

o a i + K 2 a n = V, 

woraus nach clem Obigen fur zweiseitige Mannigfaltigkeiten 
P 1 -P t + P t -P t P._, = 

folgt. Bei einseitigen Mannigfaltigkeiten ist das Aggregat auf der 
linken Seite gleich 1. Fur inanche Zwecke ist es praktisch, kompli- 
ziertere Anzahlen einzufuhren, die von drei und mehr Argumenten 
abhangen 75 ). 

Poincare hat noch eine ganz andere Art von GroBen eingefulirt, 
die Mannigfaltigkeiten (von mehr als zwei Dimensionen) charakte- 
risieren, namlich die Torsionskoeffizienten). Wir erweitern die De 
finition von Hornologien fiir mehrdimensionale zweiseitige Mannigfal 
tigkeiten und es sei etwa: 

k2v t n, ~o, (*>i), 

und 7v die kleinste Zahl, die diese Homologie erfiillt (es darf also 
z. B. nicht ^vjl^ selbst ^ sein), dann wird & ein g-dimensionaler 
Torsionskoeffizient der Mannigfaltigkeit M n genannt. Den Namen 
rechtfertigt Poincare, indem er nachweist, daB Mannigfaltigkeiten mit 
Torsionskoeffizienten (oder kurz mit Torsion) notwendigerweise ein- 
seitige Mannigfaltigkeiten enthalten miissen. Doch ist dieser Grand 
nicht recht zwingend, da umgekehrt M n ohne Torsion, z. B. eine E, 
sogar geschlossene einseitige Gebilde enthalten konnen. Geschlossene 
einseitige M n _ 1 wird allerdings bios eine M n mit Torsion besitzen 
konnen. (Poincare beweist ubrigens nur die Existenz ungeschlossener 
einseitiger Gebilde 77 ).) Sehr wichtig ist die analytische Methode zur 



unzureiclaend (s. Anm. 72), stichlialtig dagegen in den Palermo Rend. 3 (1899). Das- 
eelbe gilt von dem Beweise bei Picard-Simart 1. c. p. 44 ff. Der Beweis im Text 
iet eine Kombination der Poincareachen Betrachtungen in den beiden Arbeiten, 
die nur fiir M 5 zum Ziele fuhrt. Ygl. Complexus Nr. 4. 

75) S. M. Dehn, Math. Ann. 61 (1906), p. 561. 

76) Lond. Math. Soc. 32 (1900), p. 281 if. 

77) Beispiele von Mannigfaltigkeiten mit Torsion bei Poincare, J. ec. polyt. 
(2) 1895, p. 52; Heegaard, Forstudier; Poincare, Palermo Rend. 13, p. 287 f. Die den 
Beispielen zugrunde gelegten M s sind alle homoomorph mit dem projektiven 
dreidimensionalen Raurn oder, was dasselbe ist, mit dem Kugelraum, dessen 
Oberflache zentral auf sich selbst bezogen ist, d. i. der zweiseitigen dreidimen 
sionalen Erweiterung des geschlossenen Mobiusschen Bandes (s. Connexus II B). 
Eine einfache Zusammensetzung dieser Mannigfaltigkeit aus Raumstiicken erhalt 
man in einer Mannigfaltigkeit, die aus 4 Hexaedern (Wurfeln), 12 Vierecken, 16 
Strecken (den Kanten und Korperdiagonalen eines Wiirfels) und 8 Punkten besteht. 



A. 4. Benutzung von nektischeu Methoden fiir die Theorie hoherer Komplexe. 185 

Bestimmung der Torsionskoeffizienten 78 ). Man gibt jedern Rauinstiick 
S* +1 und S q k eine bestimmte Indikatrix. Dann setzt man f ik = 0, 
wenn Sf nicht auf S* g + 1 liegt, gleich -f- 1 oder -- 1, wenn S q k auf 
S q+1 liegt und durcli die Indikatrix des letzteren eine niit ihrer 
eigenen iibereinstimmende resp. ihr entgegengesetzte Indikatrix be- 
stimmt wird. Man macht sich aus den f ik eine Tabelle T q + lf niit 
9+1 Linien und a q Kolonuen, in der s ik in der ** en Linie und & ten 
Kolonne zu stehen kommt. Die Tabelle kann durcli Addition und 
Subtraktion einzelner Kolonnen oder Linien, ferner durcli Vertauschung 
mit gleichseitigern Zeichenwechsel in eine solche ubergefuhrt \verden, 
in der alle Elemente null sind mit Ausnahme der Elemente, fiir die 
i = k ist. Diese sind, wenn sie von null, -f- 1 und - - 1 verschieden 
sind, die Torsionskoeffizienten der betreffenden Mannigfaltigkeit. Solclie 
Tabellen sind auch sonst sehr praktisch, z. B. zur Entscheidung der 
Frage, ob eine vorliegende Mannigfaltigkeit em- oder zweiseitig ist. 

4. Benutzung von nektischen Methoden fiir die Theorie 
hoherer Komplexe. Da die Zusammenhangstheorie (nexus) fur mehr 
als zwei Dimensionen bisher nur unvollkonimen entwickelt ist, anderer- 
seits die bisberigen Resultate derselben in engstem Zusammenbange 
mit dem Vorbergehenden stehen, sollen diese gieicb an dieser Stelle 
auseinandergesetzt werden. Da bei jedem einzelnen der Prozesse, die 
eine interne Transformation (siehe Grundlagen Nr. 5) zusammensetzen, 
jedesmal gleichzeitig zwei aufeinanderfolgende Anzahlen einer M n je 
um Eins verniehrt werden, so ergibt sich der Satz, dafi fur zwei 
liomoomorplie M n die alternierende Summe der Anzalilen a { gleich sein 
mufi. Diese Summe entspricht nach Dyck) der Kroneckerschen 
Charakteristik eines die Mannigfaltigkeit darstellenden Funktionen- 
systems (siehe auch Nexus Nr. 8). Man iiberzeugt sich ferner leicht, 
daB die Maximalanzahl nicht begrenzender Kurven, Flachen usw. 
durch eine interne Transformation ungeandert bleibt. Wir er- 
halten so den Satz: Zwei homoomorphe M n haben gleiche Bettiacht 
Zahlen (s. Nr. 3), die iibrigens auch Zusammenlianyszahlen genannt 
werden. Speziell erhalten wir hierdurch das Resultat, daB die Zu- 
sammenhangszahlen far eine Mannigfaltigkeit iin engeren Sinne (redu- 
zierte Bettische Zahlen nach Poincare) gleich den Zusammenhangs- 
zahlen fiir eine Mannigfaltigkeit im weiteren Sinne (siehe Grundlagen 
Nr. 4) sind. Dadurch gewinnen die Satze des vorigen Abschnittes 
eine tiefere Bedeutung. Ganz dasselbe, was hier fiber die Zusammen- 

78) Poincare, Lond. Math. Soc. 32 (1900), p. 281 ff. 

79) Math. Ann. 37 (1890), p. 273 ff. 



186 M. Dehn. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

hangszahlen gesagt ist, gilt auch fur die Torsionskoeffizienten, infolge 
des ebenfalls leicht zu beweisenden Satzes, daB zwei homoomorphe 
Mannigfaltigkeiteii gleicke Torsionskoeffizienten liaben. Nach Poin 
care 8Q ) gibt es zu jeder Mannigfaltigkeit M n eine homoomorphe zu 
ihr reziprolte M n von der Art, daB jedein Punkt von M n ein S n von 
M H , jedein S n _ m von M n ein S m von M n , endlich jedem S n von M n 
ein Punkt von M n in der Weise zugeordiiet werden kann, daB, wenn 
auf M n ein S { zur Begrenzung eines S k gehort, das S k entsprechende 
S n -k au ^ -M-n zur Begrenzung des entsprechenden S n _ { gehort. Es 
laBt sich dann zeigen, daB die Maximalanzalil der nicht begrenzenden 
II k auf M n gleich der Maximalanzahl der nicht begrenzenden TI n _ k 
auf M n ist, woraus nach dem Obigen, weil M n und M n homoo- 
morph sind, fiir jede geschlossene zweiseitige Mannigfaltigkeit Jf s der 
wichtige Satz folgt: 

P 81\ 

k = *n-k ) 

Ebenso folgt, daB die ^-dimensionalen Torsionskoeffizienten mit den 
(n 1 q) - dimensionalen Torsionskoeffizienten ubereinstimmen 82 ) 
mftssen und daB eine zweiseitige M n keine (n l)-dimensionale 
Torsion haben kann 83 ), was gleichbedeutend mit dem Satz ist, der 
fiir M 2 oben bereits abgeleitet ist und auch direkt verallgemeinert 
werden kann: Homologien, die auf zweiseitigen M n zwischen n 1-di- 
mensionalen Mannigfaltigkeiten bestehen, konnen durch einen alien 
Koeffizienten gemeinsamen Faktor dividiert werden. 

Die Vermutung 84 ), daB eine M nt ohne Torsion, deren samt- 
liche Zusamnienhangszahlen gleich 1 sind, einer Hypersphare homoo- 
morph ist, hat Poincare durch ein Beispiel als irrig nachgewiesen 85 ), 
das in folgende Form gebracht werden kann. Man nehme zwei 
von Doppelringflachen r und r begrenzte Raume R und jff und 
stelle aus ihnen einen geschlossenen Raum dadurch her, daB man die 
Oberflachen r und / in folgender Weise aufeinander bezieht: Seien 
Cj_ und 2 resp. C r und C 2 zwei zusammen nicht begrenzende Kreise 
der Ringflache r resp. /, die je ein Flachenstiick des betreffenden Ring- 



80) Palermo Rend. 13 (1899), p. 314 ff. 

81) Dieser Satz ist die Verallgemeinerung des Satzes, daB fiir eine Jf 3 
P x = P 2 ist; fur den Beweis gilt dasselbe wie fur den Beweis des letzteren (s. 
Anm. 75). Der Beweis im Text ist der von Poincare in Palermo Rend. 13, 8 
und Lond. Math. Soc. 32 (1900), 5, p. 295. 

82) Poincare, Lond. Math. Soc. a. a. 0. p. 302. 

83) Poincare, a. a. 0. p. 307. 

84) Poincare, a. a. 0. p. 308. 

85) Palermo Rend. 18 (1904), p. 45. 



A. 4. Benutzung von nektiscben Methoden fur die Theorie hoherer Koinplexe. 187 

raumes begrenzen (also auf dieseni homolog null sind) (siehe Figur 3). 
Seien femer 1^ und F 2 zwei Kurven auf r, von denen F x in it C 
einen und mit 2 keinen Pnnkt, und F 2 mit C keinen und mit C 2 
einen Punkt gemeinsam hat. Encllich seien Z^ und D 2 zwei sich 
nicht schneidende Kurven auf r, die bei geeigneter Wahl des Durch- 
laufungssinus von C lf C 2 , Fj und F 2 die Homologie 

(i) 

und 

(2) D t _ 

befriedigen (siehe Figur 3). Da man wegen der Ersetzbarkeit von 




Fig. 3. 



Hornologien durch Kongruenzen (siehe Seite 179) dieselben mit ganzen 
Zahlen multiplizieren und voneinander abziehen kann, so folgen aus 
diesen Homologien die weiteren: 

(3) r, + 2 A - A + Ci c, ~ o . . . 

und 

(4) r s -3A + 2A-C 1 + 2G ,~0... 

Da das System [D 19 D 2 } Equivalent (siehe Grundlagen Nr. 3 und Nexus 
Nr. 7) ist mit dem System { C t , (7 2 } , so kann man die Ringfl achen r 
und / so homoomorph auf einander beziehen ; dafi D l und D 27 C t und 
<7 2 entsprechen. Erklart man nun iiberhaupt sich so entsprechende 
Elemente von r und r als identisch, so erhalt man einen geschlossenen 
Raum ? ohne Torsion, dessen ^e^ sche Zahlen = 1 sind. Denn: Jede der 
M B angehorige Kurve begrenzt und zwar einmal genonimen. Denn in 
JR begrenzen C l und C 2 , in R D und D 2; und folglich nach (3) und (4) 



188 M. Dchn. Ill A B 3. Analysis situs. P. Heegaard. 

aucli FJ und JT 2? well jede einem Aggregat von begrenzenden Kurven 
homologe Kurve selbst begrenzt. Jede andere Kurve aber 1st homolog 
mit einem linearen Aggregat von C 19 C 2 , F x und T 2 . Also ist die M s 
ohne Torsion und es ist P t = 1. Also auch P 2 = 1 (siehe p. 183). 
Aber diese M 3 ist nicht mit einer Hyperkugel homoomorph. Derm: 
Zerlegt man eine Hyperkugel irgendwie in zwei Doppelringraume, R 
und E mit der gemeinsamen Begrenzungsflache r, dann sind die in 
R begrenzenden Kurven von r in der obigen Bezeichnung homolog mit 
C 1} C 2 oder C L + 2 , und die in R f begrenzenden mit F ly JT 2 oder 
ri -f- -Tg, wo ? w i e oben JTj C^ in einem und C 2 in keinem Punkt, und 
F 2 (?! in keinem und C 2 in einem Punkt schneidet. Das ist aber far 
die oben konstruierte J\I 3 nicht der Fall. 

Die Losung des Hauptprobleuis in der Zusammenhangstheorie, 
namlich notwendige und hinreichende Bedingungen fur den Homoo- 
morphisnius zweier M n aufzustellen, ist fiir mehr als zwei Dimen- 
sionen leider nicht gelungen. Das liegt vor allem daran ? daB es bis- 
her nicht gelungen ist, Normalformen fiir M n (n > 2) (siehe Nexus 
Nr. 3) aufzustelleii 85 *) 86 ). 

B. Nexus. 

I. Nexus von Linien. 

Hier ist die ganze Theorie erschopft in dem Satze: Jede ein- 
dimensionale Mannigfaltigkeit ist entweder mit einer Strecke oder 
mit einem aus zwei Strecken bestehenden Kreise honioomorph 87 ). 

Doch sollen hierher, wegen der spateren Verallgemeinerung, noch 
gerechnet werden gewisse Betrachtungen analytisch-geometrischer 
Natur, die von Dyck ss ) herriihren. DycJc bestimmt eine Charakteristik 
K fur ein System { M } von eindimensionalen Maimigfaltigkeiten ? die 



85 a ) Hierauf weist Dyck, Math. Ann. 37 (1890), p. 306 bin. Vgl. bei Heegaard, 
Dissert. Kopenhagen 1898, den Versuch, das Verfahren zur Herstellung von Normal 
formen von M t fiir dreidimensionale Mannigfaltigkeiten zu erweitern^ p. 43 ff. 

86) tiber weitere polydimensionale Untersuchungen s. Nexus Nr. 8, Connexus I 
und II B; vgl. ferner: P. Werniclie, Uber die An. sit. mehrdimensionaler Raurne, 
Gottingen 1904 (Dissert.). Scbon Mobius, Leipzig Ber. 15 (1863), p. 18 = Werke 2 
(1886), p. 436, bat sicb mit 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, namlicb mit 
den von Ring- und Kugelflachen begrenzten Teilen eines E s bescbaftigt. Sein 
Hauptresultat ist, da6 alle von je einer Ring- und einer Kugelflacbe begrenzten 
Raumteile einander elementarverwandt sind. Seine Behauptung, da6 alle von 
je zwei Ringflacben begrenzte Ko rper elementarverwandt sind, ist, wie leicht 
einzuseben, unricbtig. 

87) S. F. Mobius, Leipzig Ber. 15 (1863), p. 18 = Werke 2 (1886), p. 435. 

88) Leipzig Ber. 13 (1886), p. 53; Math. Ann. 32 (1888), p. 465 ff. 



B. Nexus II. 1. Einleitung. 189 

gleich der Anzahl der ungeschlossenen Linien dieses Systems ist. 
Mit Hilfe der Kronecl erschen Charakteristikentlieorie [I B 3 a, Runge, 
Nr. 7] bestimmt er zunachst die Charakteristik desjenigen { M } , welcher 
von den ,,innerhalb" eiuer Kurve ty(x, y) = liegenden Teilen der 
Geraden y = ?/ a 89 ) gebildet wird. Dann wird anstatt der Geraden 
eine beliebige Kurve (p(x 7 y) = genommen 90 ). Durch stetige Um- 
formung laBt er die gegebene { M^ } aus einer { M l } mit bekanntem 
K entstenen. Es andert sicli K fur solche Lagen der sich defor- 
mierenden {3^}, bei denen die Kurven ^ = und qp = sick be- 
ruhren. Durch Untersuchung des Einflusses, den die verschiedenen 
Arteii von Beriihrungspunkten auf die Anderung von K haben, er- 
gibt sich K d. i. also: die Anzahl der Stiicke von (p = 0, die inner- 
halb 4 = liegen, als die Kroneckersche Charakteristik des Funk- 
tionensystems 91 ) 

<p = 0, iff = und A = 0, 

wo A die Funktionaldeterminante von <p und ^ bedeutet. 

II. Nexus von Flachen. 

1. Einleitung. Das Hauptproblem unserer Theorie ist die Auf- 
stelluny der notivencligen und liinreiclienden Bedingunyen fur den Homoo- 
morpliismus zweier gegebemr Flachen, M 2 und M 2 . 92 ) Die Losung ist 
die folgende: 



89) Leipzig Ber. 1. c., p. 62 und Leipzig Ber. 14 (1887), p. 40. 

90) Math. Ann. 32 (1888), p. 466 ff. 

91) L. Kronecker, Berlin Monatsber. 1878, p. 145. 

92) Der wesentliche Kern dieses Problems ist zuerst von Riemann behandelt 
worden (Diss. Gott. (1851) Nr. 6 = Werke (2. Aufi.), p. 9 und J. f. Math. 54 
(1857), p. 105 = Werke (2. Aufl.), p. 91) und zwar nach zwei verachiedenen 
Methoden, namlich erstens mit Hilfe der Theorie der Querschnitte (Diss.) und 
z