Skip to main content

Full text of "Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen"

See other formats


yXfJBK^ 
OPTH1 




ENCYKLOPADIE 



DER 



MATHEMATISCHEN 

WISSENSCHAFTEN 

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN 



DRITTER BAND: 

GEOMETRIE 



ENCYKLOPlDIE 

DER 

MATHEMATISCHEN 

WISSENSCHAFTEN 

MTT EINSCHLUSS IHRER 



DRITTER BAND IN DREI TEILEN 

GEOMETRIE 



REDIGIERT VON 



W. FR MEYEK UND S. MOHEMAISTN 

IN KONIGSBEEG IN BASEL 



DRITTER TEIL 



LEIPZIG 

VERLAO UND DRUCK YON B.G.TEUBNER 
19021927 



QA37 



STAT. 
UBftARY 



Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. 



D. Differentialgeometrie. 

I. 2. Anwendung der Differential- undlntegralrechmmgaufKurven 

und Flachen. Von H. v. MANGOLDT in Aachen (jetzt in Danzig). 

Einleitung. 

Seite 

1. Vorbemerkungen 4 

2. Zusammengehorige Annahmen und Bezeichnungen 4 

3. Gewohnliche und singulare Punkte 5 

I. Die einzelne Linie oder Flp-che. Grundbegriffe. 

4. Tangente, Normale, Tangentenebene usw 7 

5. Formeln fur Tangenten, Normalen und Tangentenebenen 10 

6. Aufgaben und Konstruktionen 12 

7. FuBpunktlinien und -flachen 15 

8. Asymptoten . . 16 

9. Beriihrung n ter Ordnung 18 

10. Ermittelung der Bogenlange einer Linie (Rektifikation) 20 

II. Algebraisch rektifizierbare Linien 23 

12. Minimalkurven 24 

13. Losucg der Gleichung dx* -f- dy* = ds* und iihnlicher Gleichungen ohne 
Anwendung von Integralzeichen 25 

14. Krihnmung ebener Linien 28 

15. Natiirliche Gleichung einer ebenen Linie 34 

16. Evoluten und Evolventen 35 

17. Konstruktionen von Krummungsmittelpunkten 36 

18. Deviation 40 

19. Gestalt einer Linie oder Flache in der Nahe eines singularen Punktes . 40 

20. Traktorien 45 

II. Scharen YOU Linien und Fliicheii. 

21. Einhiillende von Linien- und Fllichenscharen ... 46 

22. Brennlinien 59 

23. Trajektorien. Orthogonale Linien- und Fliichenscharen 53 

24. Isotherme Linien- und Flachenscharen 56 

III. Inhaltsberechnungen. 

25. Inhaltsberechnung ebener Fliichenstucke (Quadratur) 59 

26. Inhaltsberechnung gekriimmter Flachenstucke (Komplanation) 64 

27. Inhaltsberechnung in der nichteuklidischen Geometrie 67 

28. Eauminhaltsberechnung (Kubatur). . . 68 



VI Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. 

Seite 

IT. Die Linien im Baume. 

29. Schmiegungsebene, Kriimmungskreis , Haupt- und Binormale einer ge- 
wundenen Linie . 73 

30. Windung, Schmiegungskugel und Schmiegungsschraubenlinie einer ge- 
wundenen Linie . . ^ 

31. Formeln und Lehrsatze aus der Lehre von den gewundenen Linien . . 82 

32. Differentialinvarianten und natiirliche Gleichungen einer Linie im Raume 84 

33. Filar- und Plan-Evolventen und -Evoluten 87 

V. Anfangsgriinde der FlUehentheorie. 

34. FundamentalgroBen der Flachentheorie 88 

35. Satze von Meusnier und Euler, Hauptkriimmungen 93 

36. KrummungsmaB einer Flache 98 

37. Konjugierte Taugenten und Indikatrix 100 

38. Geometrische Bedeutung der Ableitungen dritter Ordnung der Koordi- 
naten in der Flachentheorie 103 

(Abgeschlossen im Mai 1902.) 

3. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. Von R. v. LILIEN- 
THAL in Munster i. W. 

I. Methoden yon Euler und Monge. Kriimnmngslinien, Hanpt- 
tangentenkurven, konjugierte Linien. 

1. Methode von Euler 107 

2. Methode von Monge .... 109 

3. Konjugierte Tangenten und Linien HO 

4. Allgemeine Parameter HI 

II. Weitere Methoden. 

5. Geradlinige Strahlensysteme 

6. Kriimmungstheorie der Eaumkurven 

7. Spharische Abbildung 11^ 

8. Binare Differentialformen. Dift erentialparameter . 

9. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 127 

10. Kinematische Gesichtspunkte 1^0 

III. Geodfttische Kriimmung. 

11. Historisches 

12. Definitionen und Ausdriicke fur die geodatische Kriimmung 

13. Satze fiber geodatische Kjiimmnng I 37 

IT. Geodiitische Linien. 

14. Geodatische und kiirzeste Linien 139 

15. Eigenschaften geodiitischer Linien 1*0 

16. Eeduzierte Lange eines geodatischen Kurvenbogens 1*6 

17. Verechiebbarkeit geodatischer Dreiecke 1^7 

18. Integration der Gleichung der geodatischen Linien 1*9 

Y. Isotherme Linien. 

19. Geometrische und physikalische Entstehungsart i63 

20. Eigenechaften isothermer Scharen 1&6 

VI. Parameterlinien. Fundamentalgleichungen. 

21. Parameter- und Koordinatenlinien .... 

22. Methode von GauB 158 



Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. VII 

Seite 

23. Methods -von Codazzi 169 

24. Methode von Darboux 160 

25. Willkiirliche Koordinatenlinien 160 

26. Methode von R. Lipschitz 164 

27. Methode von A. Ribaucour 164 

VII. Die allgemeine Flachenkurye. 

28. Methode von Laguerre. Geodatische Torsion 166 

29. Ableitungen nach Bogenlangen 167 

30. Methode von A. Enneper 168 

31. Weitere Begriffe 169 

32. Polkurve einer Flachenkurve und Kurven der normalen Segmente . . 170 

Till. KriimmungsmaBe. 

33. Das GauBsche KrummungsmaB und ibm verwandte KriimmungsmaBe . 171 

34. Das Casoratische KrummungsmaB und ihm verwandte KriimmungsmaBe 172 

IX. Weitere Satze iiber Kriimmungslinien, Haupttangentenkurven, 
konjugierte Linien. 

36. Krummungslinien 173 

36. Haupttangentenkurven 176 

37. Konjugierte Linien 178 

X. Weitere besondere Kurven. 

38. Geodatische Kreise 181 

39. Kurven, deren Schmiegungskugeln die Flache beriihren 181 

40. Aquidistante Kurvenscharen 182 

41. Meridian- und Parallel kurven 183 

42. Isotherm-konjugierte Systerne 183 

(Abgeschloaaen im August 1902.) 



4 Besondere transzendente Kurven. Von G. SCHEFFERS in 
Darmstadt (jetzt in Charlottenburg). 

1. Einleitung 186 

I. Kollkurveii. 

2. Allgemeines 188 

3. Trochoiden, ihre Scheitel- und Wendepunkte 188 

4. Verschiedene Arten der Erzeugung von Trochoiden 192 

6. Einteilung der Trochoiden, Epi- und Hypocykloiden 194 

6. Gemeine Cykloiden, Kreisevolventen und archimedische Spiralen . . . 195 

7. Rektifikation der Epi- und Hypocykloiden 197 

8. Naturliche Gleichung der Cykloiden, cykloidale Kurven 198 

9. Mit den Cykloiden zusammenhaugende Kurven, insbesondere Rhodoneen 199 

10. Rollkurven mit geradliniger Polbahn 201 

11. Kurven von Delaunay und Sturm 202 

12. Para- und Hypercykloiden 203 

II. TT-Kurven. 

13. Definition der TF-Kurven 204 

14. Zwei Arten von transzendenten ebenen W-Kurven 206 

15. Satze uber allgemeine TF"-Kurven der ersten Art 208 

16. Logarithmische Spiralen 210 



VIII Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. 

17. Orthogonale Trajektorien konzentrischer ahnlicher und ahnlich gelegener 
Ellipsen oder Hyperbeln 212 

18. Dreieckspotentialkurven und adiabatische Kurven 

19. Satze iiber TF-Kurven der zweiten Art 

20. TF-Kurven im Kaume, gemeine Schrauben linien 

III. Sinusspiralen und ihre Yerallgemeinerungen. 

21. Sinusspiralen OIR 

22. Abbildung der Geraden der Ebene als Sinusspiralen. 

23. Einige Eigenschaften der Sinusspiralen 219 

24. Eektifikation der Sinusspiralen 221 

25. Triangular- und tetraedral-syminetrische Kurven. . . 222 

26. Cesarosche, insbesondere Ribaucoursche Kurveu . 223 

27. Kettenlinien und Traktrizen o6 

IV. Transzendente Raumkurven. 

28. Charakteristische Eigenschaft der Bertrandschen Kurven . 230 

29. Endlicbe Gleichungen der Bertrandschen Kurven . . . 234 

30. Die Bertrandschen Kurven in der Fl achentheorie . . 236 

31. Kurven konstanter Krummung, Kurven konstanter Torsion und allge- 
meine Schraubenlinien 237 

32. Eigenschaften der allgemeinen Schraubenlinien [ 242 

33. Verallgemeinerungen der Bertrandschen Kurven 245 

34. Loxodromen 247 

35. Minima] kurven und Kurven der tetraedralen Komplexe .... 254 

36. Gemeinsame Eigenschaften einiger Kurvenfamilien . 259 

V. Sonstiges. 

37. Aufzahlung einiger nicht-besprochenen transzendenten Kurven .... 261 

38. Einteilung der ebenen transzendenten Kurven 264 

39. Register der erwahnten Kurven 266 

(AbgeschloBsen im Juni 1903.) 



5. Besondere Flachen. Von R. v. LILIENTHAL in Minister i. W. 

I. Geradlinige Flachen. 

1. Erklarungen 270 

2. Nichtabwickelbare Linienflachen 271 

3. Abwickelbare Linienflachen 275 

II. Weitere kinematisch definierbare Flachen. 

4. Zyklische Flachen v < 278 

5. Schraubenflachen 281 

6. Translationsflachen 284 

7. Spiralflachen 287 

III. Kriimmungsmittelpunktsflchen. 

8. Erklarungen 289 

9. Die eine Schale der Krurnmungemittelpunktsflache artet in eine Kurve 

aus 290 

10. Beide Schalen der Krummungsmittelpunktsflache arten in Kurven aus. 
Dupinsche Zykliden 290 

11. Die allgemeine Krummungsmittelpunktsflache 293 

12. Bestimmung einer Flache, fur welche eine Schale oder beide Schalen 

der Krummungsmittelpunktsflache vorgeschrieben sind 296 



Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. IX 

IV. Flachen mit ebenen Oder spharischeri Kriimmnngslinien. Seite 

13. Die Mongeschen Gesimsflachen 298 

14. Untersuchungen von Bonnet, Serret, Enneper, Rouquet 298 

15. Untersuchungen von Dini, Darboux 301 

16. Untersuchungen von Brioschi, Dini, Dobriner, Blutel, Darboux .... 303 

V. TVeingartensche Flachen. 

17. Die beiden Weingartenschen Siitze 306 

18. Weitere Satze 307 

VI. Minimalflachen. 

19. Historisches. Satze von Meusnier. Integral von Monge 307 

20. Die von Scherk, Catalan, Enneper gefundenen Minimalflachen .... 309 

21. Analytische Darstellungen der Minimalflachen von Weingarten, Enneper, 
WeierstraB, Riernann, Peterson, Beltrami 310 

22. Bestimmung eines Minimalflachenstucks bei gegebener Begrenzung . . 315 

23. Die einer Minimalfiiiche assoziierten Minimalflachen 317 

24. Methode von Darboux 319 

25. Bestimmung einer Minimalflache durch einen aualytischen Streifen . . 320 

26. Weitere besondere Minimalflachen ... 322 

27. Methode von Lie 324 

28. Die Goursatsche Transformation der Minimalkurven 327 

29. Einer Abwickelbaren eingeschriebene Minimalflachen ..... . . 328 

30. Methode von Ribaucour 330 

31. Satze von Schwarz, Weingarten, Dini 332 

Til. Flachen konstanter Kriimmung. 

32. Untersuchungen von Minding, Dini, Enneper, Beltrami, Hilbert . . . . 333 

33. Die Rotationsflachen konstanter Krummung und Linienelemente der 
pseudospharischen Flachen 335 

34. Die geodatischen Linien auf den Flachen konstanter Kriimmung . . . 338 

35. Transformationen und Haupttangentenkurven der Flachen konstanter 
Kriimmung 340 

VIII. Weitere besondere Flachen. 

36. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Hauptkrtimmungshalbmesser 344 

37. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Kriimmungslinien 346 

38. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Haupttangentenkurven und 
konjugierten Linien 348 

39. Flachen mit besonderen Eigenschaften der geodatischen Linien und 
geodatischen Kreise 350 

40. Imaginare Flachen 352 

(Abgeschlossen im August 1903.) 

6. Abbildnng und Abwickelung zweier Flachen aufeinander. 

Von A. Voss in Wiirzburg (jetzt in Miinchen). 

A. Eiuleitung. 

1. Vorbemerkungen . . 357 

2. Allgemeine Ubersicht iiber die Probleme der Abbildung und Abwicke 
lung (Isometric und Biegung) der Flachen 359 

B. Die Abbildung der Flachen. 

3. Die konforme oder winkeltreue Abbildung 364 

4. Besondere konforme Abbildungen 367 



Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. 

5. Yorteilhafteste konforme Abbildung 3gg 

6. Konforme Abbildung bei Raumen von mehr Dimensionen 370 

7. Die aquivalente oder flachentreue Abbildung 374 

8. Die Kartenkonstruktionen ana 

9. Die geodatische Abbildung 375 

10. Die projektive Abbildung 379 

11. Die spharische Abbildung 3gj 

12. Andere Abbildungen 3g3 

13. Die Strahlensysteme 300 

14. Abbildungen allgemeineren Charakters . , . 337 

C. Die Isometrie der Flachen. 

a) Allgemeine Probleme. 

15. Das Mindingsche Problem 339 

16. In sich isometrische Flachen 393 

17. Kongruenz zweier Flachen 394 

18. Das Boursche Problem 395 

19. Allgemeine Satze uber die isometrische Zuordnung zweier Flachen . ! 399 

b) Spezielle Probleme. 
1. Isometrische Untergruppen. 

20. Untergruppen, bedingte Biegungen 401 

21. Die Developpabelen 402 

22. Die Isometrie und Biegung der Regelflachen 403 

23. Die Biegung der Rotationsflachen . 405 

24. Isometric mit Erhaltung der Krummungslinien reap. Hauptkrummungs- 
radien 40g 

25. Isometrie mit Erhaltung konjugierter Systeme . 408 

26. Die Translationsflachen 409 

27. Die Minimalflachen ] 410 

2. Die Flachen konstanter von Null verschiedener Krummung. 

28. Die Flachen konstanten KrummungsmaBes 412 

29. Die Flachen konstanter negativer Krummung 414 

30. Die Flachen konstanter positiver Krummung 418 

3. Untersuchung vollstandiger isometrischer Gruppen. 

31. Vollstandige Systeme isometrischer Flachen 420 

D. Die inflnitesimale Isometrie. 

32. Infinitesimale Deformation und Isometrie der Flachen 426 

33. Das Problem der spharischen Abbildung 432 

34. Isometrische Fliichenpaare 435 

. Geometrische und mechanische Modelle zur Lehre yon der 
Abbildnug und Abwickelnng der FlEchen. 

35. Geometrische und mechanische Modelle 437 

(Abgeschlossen im August 1903., 

7. Bertihrungstransformationen. Von HEINRICH LIEBMANN in 
Miinchen (jetzt in Heidelberg). 

I. Grundlagen. 

1. Vorbemerkung , 442 

2. Ableitungen aus den Differentialgleichungen fur die charakteristischen 
Streifen. Die Klammerrelationen 443 



Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. XI 

Seite 

3. Die Beruhrungstransformationen bei Jacobi. Aequationes directrices . 444 

4. Kritik der Untersuchungen von Jacobi. Allgemeine Elementvereine . . 447 

5. Beweis der Klammerrelationen mit Hilfe der bilinearen Kovariante . . 448 

6. Die Untersuchungen von Sobering . . 453 

7. Die Beruhrungstransformationen als Umhullungstransformationen . . . 455 

8. Die charakteristischen Streifen 456 

9. Die infinitesimalen Beruhrungstransformationen 463 

10. Neuere Untersuchungen uber endliche Berdhrungstransformationen . . 466 

11. Spezielle Beriihrnngstransformationen und sicli anschlieBende Fragen. 

11. Fnfipunkttransformation, Apsidaltransformation usw 468 

12. Die Lieeche Geraden-Kugeltransformation 472 

13. Die orientierten Beruhrungstransformationen 476 

14. Weitere Beruhrungstransformationen 477 

15. Die Elemente hoherer Ordnung 482 

16. Backlundsche Transformationen und Backlundscher Satz 486 

III. Engels Methode fur die Invariantentheorie der Differentialgleichungen. 

17. Aufgaben und Methode 489 

18. Mongesche und Pfaffsche Gleichungen als Schnittbedingungen .... 490 

19. Ordnung von Kurvenscharen 493 

20. Systeme Pfaffscher Gleichungen 495 

21. Flachenscharen im E s , die in Kurvenscharen uberfiihrbar sind . . ; . 497 

22. Zwischenforinen von partiellen Differentialgleichungen 499 

(Abgeschlossen im Oktober 1914.) 

8. Geometrische Theorie der Differentialgleichungen. Von 
HEINRICH LIEBMANN in Miinchen (jetzt in Heidelberg). 

1. Vorbemerkung 504 

2. Die topographischen Kurven 504 

3. Die singularen Punkte von Xy Y= 507 

3 a. Asymptotische Darstellung von Integralen 511 

4. Differentialgleichungen erster Ordnung hohereu Grades 513 

5. Anzahlbeziehungen fur die Singularitaten 517 

6. Die Grenzzyklen (nach Poincare) 519 

7. Theorie der singularen Losungen von /"(#, y, y ) = 622 

8. Das Bertrandsche Problem 526 

9. Scharen von i-Kurven und 6r-Flachen 629 

10. Die Untersuchungen von Hadamard. Geodatische Felder 531 

11. i-Linien auf Ovaloiden (nach Poincare") 535 

12. Geodatische Linien auf Polyederflachen 531 

(Abgeschloasen im Oktober 1914.) 

9. Dreifach orthogouale Flachensysteme. Von E. SALKOWSKI 
in Hannover. 

Einleitang. 

1. Geschichtlicher Uberblick 542 

I. Der Dnpinsche Satz und die Lam^schen Gleichnngen. 

2 Der Dupinsche Satz 546 

3. Die Lame"8chen Gleichungen 548 

4. Die Inversion 553 

5. Die Paralleltransformation 554 

6. Die dreifach konjugierten Systeme 556 



XII Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. 

Seite 

II. Die Differentialgleichnng dritter Ordnnng. 

7. Die Bonnetsche Methode 550 

8. Die Darbouxsche Gleichung 553 

III. Besondere dreifach orthogonale Systeme. 

9. Die Bouquetsche Partikularlosung 565 

10. Ebenen und Kugeln 5 gg 

11. Flachen zweiter Ordnung 557 

12. Die Zyklidensysteme 5gg 

13. Lamesche Scharen von Rotationsflachen 569 

14. Isotb.ermfla.chen 569 

IV. Die zyklischen Systeine Ribancours. 

15. Die normalen Kreiskongruenzen 572 

16. Die zykliscben Linienkongruenzen 575 

17. Kugelkongruenzen 577 

18. Flachen, die das spharische Bild der Krummungslinien gemeinsam 
haben 579 

19. Die normalen Kreiekongruenzen und die Theorie der Biegung .... 580 

20. Besondere Kreiskongruenzeu 582 

21. Die zyklischen Systeme 583 

Y. Die Bianchischen Systeme. 

22. Die Bianchischen Systeme 586 

23. Die Weingartenschen Systeme 587 

23. Die Backlundsche Transformation 589 

24. Die Bianchischen Systeme und die Theorie der Biegung 590 

VI. Kinematische Fragestellungen. 

26. Die Lame schen Scharen, die aus kongruenten Flachen bestehen ... 591 

27. Die i -Systeme 595 

28. Die Guichardschen Systeme 597 

VII. Hilfsmittel der mehrdimensionalen Geometric. 

29. Die w-fach orthogonalen Systeme iin R n 598 

30. Die Guichardsche Theorie der Netze und Kongruenzen 600 

31. Die Guichardsche Theorie der dreifachen Flachensysteme 605 

(Abgeschlossen im April 1920."! 



10. Neuere Arbeiten der algebraischenlnvariantentheorie. Diffe- 
rentialinvarianten. Yon R. WEITZENBOCK in Graz (jetzt in 

Amsterdam). 

Erster Teil. 

a) Neuere Arbeiten der algebraischen Invariantentheorie. 

A. Invarianten der allgemeinen projektiven Gmppe. 

1. Einleitung 3 

2. Binare Formen. Allgemeines 4 

3. Binare Formen. Spezielles 6 

4. Allgemeine Formen 7 

5. Ternare Formen. Allgemeines ... 8 

6. Ternare Formen. Spezielles 9 

7. Spezielle w-are Formen, n ]> 3 . 10 



Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3 Teil. XIII 

Seite 

8. w-ar. Spezielles 11 

9. Differentia] gleichungen fur Komitanten 12 

10. Vollstandige Systeme 13 

11. Symbolische Methodeu. Fundamentalsatze 15 

12. Der Matrizenkalkul 16 

13. Die Komplexsymbolik 17 

14. Vergleich der Methoden 18 

B. Invarianten projektiver Untergruppen. 

15. Allgemeines . ... 19 

16. Seminvarianten. Schiebungsinvarianten 21 

17. Drehungsinvarianten (orthogonale Invarianten) 22 

18. Binaranalyse 23 

19. Vektor- und Tensoralgebra 25 

20. Bewegungsinvarianten 26 

21. Affine Invarianten 27 

22. Weitere Gruppen 28 

Zweiter Teil. 
b) Differentialinvarianten. 

A. Einleitung. 

1. Historisches 29 

2. Transformationen und deren Objekte 30 

3. Der Invariantenbegriff 31 

B. Differentialinvarianten spezieller Transfonnationsgruppen. 

4. Erweiterung einer Gruppe 32 

5. Differentialinvarianten einer Gruppe 34 

6. Vollstandige Invariantensysteme m ter Ordnung 35 

7. Differentialinvarianten unendlicher Gruppen 35 

8. Geometrische Differentialinvarianten 36 

9. Differentialinvarianten bei Differentialgleichungen 37 

C. Theorie der Differentialformen. 

10. Differentialformen, Tensoren 38 

11. Kogredienz und Kontragredienz 39 

12. Tensoralgebra 41 

13. Tensoranalysis 43 

14. Lineare Differentialformen 44 

15. Infinitesimale Transformationen . . 46 

16. Systeme von linearen Differentialformen 47 

17. Differentialinvarianten willkurlicher Funktionen 48 

18. Quadratische Differentialformen 50 

19. Kovariante Ableitungen 52 

20. Normalkoordinaten 53 

21. Der Krummungstensor 55 

22. Reduktionssatz, Aquivalenz 58 

23. Vollstandige Systeme 60 

24. Pascalsche Ausdrucke 61 

25. Differentialparameter 63 

26. Formale Methoden 65 

27. Spezielle Differentialformen 66 

28. Formale Variationsrechnung und Differentialinvarianten ...... 68 

(Abgeschloasen im Miirz 1921.) 



XIV Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. 

11. Differentialinvarianten in der Geometric. Riemannsche 
MaDnigfaltigkeiten nnd ihre Verallgemeinerungen. Von 
L. BERWALD in Prag. 

Seite 

1. Vorbemerkungen n~ 

A. Differentialiovarianten in der Geometric der wichtigsten end- 
lichen kontinuierlichen Transformationsgruppen. 

I. Allgemeines. 

2. Einordnung der Differentialgeometrie in die gruppentheoretische Auf- 
fassung der Geometric. Geometrische Differentialinvarianten ... 78 

3. Aquivalenzprobleme go 

II. Metrische Differentialgeometrie. 

4. Metrische Differentialgeometrie der Kurven 83 

5. Metrische Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und 
mehr Dimensionen gg 

III. Nichteaklidische Differentialgeometrie. 

6. Nichteuklidische Differentialgeometrie der Kurven 90 

7. Nichteuklidische Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei 

und mehr Dimensionen 92 

IV. Afflne Differentialgeometrie. 

8. Affine Differentialgeometrie der Kurven 95 

9. Affine Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und rnebr 
Dimensionen 99 

V. Projektive Differentialgeometrie. 

10. Projektive Differentialgeometrie der Kurven 105 

11. Die Methode von Wilczynski in der projektiven Differentialgeometrie 

der Flachen, Geradenkongruenzen und Kurvennetze 108 

12. Die Methode von Fubini in der projektiven Differentialgeometrie der 
Mannigfaltigkeiten von zwei und mehr Dimensionen 115 

VI. Differentialgeometrie weiterer Transfonnationsgruppen. 

13. Konforme Differentialgeometrie 118 

14. Sonstige Gruppen 121 

i 
B. Riemannsche Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. 

I. Einleitung. 

15. Vorbemerkung 121 

16. Geschichtlicher ftberblick 122 

16 a. Anwendung direkter Methoden 125 

II. Allgemeine Theorie der einzelnen Riemannsclien Mannigfaltigkeit. 

17. Begriff einer Eiemannschen Mannigfaltigkeit 126 

18. Geodatische und krumme Linien. Parallelismus in einer V n 129 

19. Der Kriimmungstensor und die aus ihm abgeleiteten GroBen 133 

20. Die Orthogonalsysteme von Kurvenkongruenzen in einer Riemannschen 
Mannigfaltigkeit 139 



Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. XV 

III. w-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten (l < m < ri), die 

in einer w-dimensionalen enthalten sind. Seite 

21. Die Grundgleichungen fiir eine V m in V n 145 

22. Krummungseigenschaften einer V n _^ in V n 148 

23. Krummungseigenschaften einer F OT (1 <[ w <| w 1) in F n 150 

24. Klasse einer V m 156 

25. w-fache Orthogonalsysteme in einer F M 157 

IV. Besondere Riemannsche Mannigfaltigkeiten. 

26. Mannigfaltigkeiten mit besonderen inneren Eigenschaften ohne Ruck- 
sicht auf eine umgebende Mannigfaltigkeit 158 

27. Mannigfaltigkeiten besonderen Verhaltens gegen eine umgebende Mannig 
faltigkeit 163 

V. Nenere Grundlegnng der Inflnitesimalgeometrie. 

28. Aufbau der reinen Infinitesimalgeometrie nach Weyl 169 

29. Gruppentheoretische Auffassung der Raummetrik 174 

30. Einordnung der projektiven und konformen Auffassung 176 

31. Weitere Untersuchungen 179 

(Abgeschlosaen im Oktober 1923.) 



tlbersiclit 

liber die im vorliegenden Bande III, 3. Teil zusammen- 
gefafiten Hefte nnd ihre Ausgabedaten. 



Heft 1. 
14. X. 1902. 



Heft 
20. IX. 


2/3. 
1903. 


5. 
6. 


Heft 
14. V. 


1915. 


f v. 

1 8- 


Heft 5. l 
8. II. 1921. 





Heft 6. I 
1. XI. 1922. 


10. 


Heft 7. 
15. X. 1927. 


11. 



D. Differentialgeometrie. 

2. v. MANGULDT: Anwendung der Differential- und Integral- 

rechnung auf Kurven und Flachen. 

v. LILIENTHAL: Die auf einer Fliiche gezogenen Kurven. 

SCHEFFERS: Besondere transzendente Kurven. 

v. LILIENTHAL: Besondere Flachen. 

Voss : Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf- 

einander. 

LIEBMANN : Beruhrungstransformationen. 

LIEBMANN: Geometrische Theorie der Differentialgleichungen. 

SALKOWSKI: Dreifach orthogonale Flachensysteme. 

WEITZENBOCK: Neuere Arbeiten der algebraischen Invarianten- 
theorie. Differentialinvarianten. 

BERWALD : Differentialinvarianten in der Geometric. Riemann- 
sche Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. 
Inhaltsverzeichnis zu Band III, 3. Teil. 
Register zu Band III, 3. Teil. 



HID 1,2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 1 



HID 1,2. AmVENDirNTG DER DIFFERENTIAL 

UJSTD lOTEGRALRECHNmre AUF KURVEN 

UD FLACHEK 

VON 
H. v. MANGOLDT 

IN AACHEN. 



In halts iibersicht. 

Einleitung. 

1. Vorbemerkungen. 

2. Zusammengehorige Annahmen und Bezeichnungen. 
8. Gewohnliche und singulare Punkte. 

I. Die einzelne Linie oder Flache. Grundbegriffe. 

4. Tangente, Normale, Tangentenebene u. s. w. 

5. Formeln fur Tangenten, Normalen und Tangentenebenen. 

6. Aufgaben und Konstruktionen. 

7. Fusspunktlinien und -Flachen. 

8. Asymptoten. 

9. Beriihrung n ier Ordnung. 

10. Ermittelung der Bogenlange einer Linie (Rektifikation). 

11. Algebraisch rektifizierbare Linien. 

12. Minimalkurven. 

13. Losung der Gleichung dx* -f dy* = ds* und ilhnlicher Gleichungen ohne 
Anwendung von Integralzeichen. 

14. Krummung ebener Linien. 

15. Naturliche Gleichung einer ebenen Linie. 

16. Evoluten und Evolventen. 

17. Konstruktionen von Krummungsmittelpunkten. 

18. Deviation. 

19. Gestalt einer Linie oder Flache in der Nahe eines singularen Punktes. 

20. Traktorien. 

II. Scharen yon Linien und Flachen. 

21. Einhullende von Linien- und Flachenscharen. 

22. Brennlinien. 

23. Trajektorien. Orthogonale Linien- und Flachenscharen. 

24. Isotherme Linien- und Flachenscharen. 

III. Inhaltsberechnungen. 

25. Inhaltsberechnung ebener Flachenstiicke (Quadratur). 

26. Inhaltsberechnung gekrummter Flachenstiicke (Komplanation). 

Encyklop. d. math. Wissensch. HI 3. 1 



2 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integvalrechnung. 

27. Inhaltsberechnung in der nichteuklidischen Geometrie. 

28. Rauminhaltsberechnung (Kubatur). 

IT. Die Linien im Ranme. 

29. Schmiegungsebene, Kriimmungskreis , Haupt- und Binormale einer gewun- 
denen Linie. 

30. Windung, Schmiegungskugel und Schmiegungsschraubenlinie eincr gewun- 
denen Linie. 

31. Formeln und Lehrsiltze aus der Lehre von den gewundenen Linien. 

32. Differentialinvarianten und naturliche Gleichungen einer Linie im Eaume. 

33. Filar- und Plan-Evolventen und -Evoluten. 

V. Anfangsgriimle der Flachentheorie. 

34. Fundamentalgrossen der Flachentheorie. 

35. Satze von Meusnier und Euler, Hauptkrummungen. 

36. Kriimmungsmass einer Flache. 

37. Konjugierte Tangenten und Indikatrix. 

38. Geometrische Bedeutung der Ableitungen drittor Ordnnng der Koordinaten 
in der Flachentheorie. 

Litteratur. 

Lehrbuclier. 

J. L. Lagrange, The"orie des fonctions analytiques, Paris 1797, 2. e"d. 1813 = 
Oeuvres 9, Paris 1881; Seconde partie. 

G. Monge, Application de Fanalyse a la geometrie, Paris 1807; 5. ed. par 
J. Liouville, Paris 1850. 

Ch. Dupin, De veloppements de geometrie, Paris 1813. 

A. L. Cauchy, Le9ons sur les applications du calcul infinitesimal a la geometrie, 
Paris, t. I, 1826; t. II, 1828. 

G. Salmon, Treatise on the higher plane curves, 1. ed. Dublin 1852; 3. ed. 1879. 
Deutsche Ausgabe: Analytische Geometrie der hoheren ebenen Kurven, von 
W. Fiedler, 2. Aufl. Leipzig 1882. Franz. Ausgabe von 0. Chemin, mit einem 
Anhang fiber singulare Punkte von G. Halphen, Paris 1884. 

0. Boklen, Analytische Geometrie des Raumes, Stuttgart 1861, 2. Aufl. 1884. 

F. Joachimsthal, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die all- 
gemeine Theorie der Flachen und der Linien doppelter Kriimmung, Leipzig 
1872; 3. Aufl., bearb. v. L. Natani, 1890. 

E. Hoppe, Lehrbuch der analytischen Geometrie. I. Teil, Lehrbuch der analy- 
tischen Kurventheorie, Leipzig 1880; II. Teil, Prinzipien der Flachentheorie, 
Leipzig 1876, 2. Aufl. 1890. 

G. Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Torino 1887. 

G. Darboux, Le9ons sur la theorie gen6"rale des surfaces, 4 Bande, Paris 1887 

bis 1896. 
J. Knoblauch, Einleitung in die allgemeine Theorie der krummen Flachen, 

Leipzig 1888. 
H. Stahl und V. Kommerell, Die Grundformeln der allgemeinen Flachentheorie, 

Leipzig 1893. 
E. Cesaro, Lezioni di geometria intrinseca, Neapel 1896. Deutsche Ausgabe: Vor- 

lesungen iiber natiirliche Geometrie, von G.Kmvalewski, Leipzig 1901. 



Litteratur. 3 

L. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, Pisa 1893, 2. ed. 1902 [erweiterte 
Ausgabe der autogr. Vorlesungen von 1886]. Deutsche Ausgabe, Vorlesungen 
uber Diiferentialgeometrie , von M. Lukat, Leipzig 1896 bis 1899. 

C. Burali-Forti, Introduction a la geome trie differentielle suivant la me thode 
de H.*Grassmann, Paris 1897. 

L. Raffy, Le9ons sur les application s geometriques de Tanalyse, Paris 1897. 

G. Micci, Lezioni sulla teoria delle superficie, Verona-Padova 1898. 

W. de Tannenberg, Le9ons nouvelles sur les applications geometriques du calcul 
diffe rentiel, Paris 1899. 

G. Scheffers, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometric. 

1. Bd., Einfiihrung in die Theorie der Kurven in der Ebene und im Raume, 
Leipzig 1901; 2. Bd., Einfiihrung in die Theorie der Flachen, Leipzig 1902. 

Ubrigens vergleiche man auch die Lehr- und Ubungsbucher der analy- 
tischen Geometrie, sowie der Analysis und der Infinitesimalrechnung (II A 2). 
Uber die letzteren hat G. Bdhlmann, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker- 
Vereinigung, 6, 1899, eine Ubersicht gegeben. 

Monographieen. 

W. Schell, Allgemeine Theorie der Kurven doppelter Kriimmung, Leipzig 1859; 

2. Aufl. 1898. 

P. Serret, Thdorie nouvelle geometrique et me canique des lignes a double cour- 

bure, Paris 1860. 

K. Peterson, Uber Kurven und Flachen, Leipzig 1868. 
A. Haas, Versuch einer Davstellung der Geschichte des Kriimmungsmasses, Diss. 

Tubingen, 1881. (Mit Vorsicht zu benutzen.) 
R. v. Lilienthal, Grundlagen einer Kriimmungslehre der Kurvenscharen, Leipzig 

1896. 

Bezeichnungen. 

Die aufeinanderfolgenden Ableitungen einer Funktion f(x) von einer Ver- 
iinderlichen werden der Reihe nach durch f (x), f"(x\ f "(x),... bezeichnet. 
Bei einer Funktion F (aj, y, z, . . .) von mehreren Veranderlichen dienen zur Be- 
zeichnung der partiellen Ableitungen erster Ordnung in Bezug auf x, y, z, . . . be- 
ziehentlich die Zeichen: 

F x (x,y,s,...)- t F v (x, y, z, ...); F,(x, y, z, ...);..., 
und zur Bezeichnung der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung die Zeichen : 

F M (x, If, ?,-..)- I F xy (x, y,z, . . .) 



F xz (x, y, *,...) = ^^; - . - F vv (x, y, z, . . .) = 

Wenn die Angabe der Arguinente nicht erforderlich ist, werden zur Bezeich 
nung der erwahnten Ableitungen kurz die Zeichen: 

f f" f" 
lil i l i 

F F F 

*- x i IM * 
F F F F 

J xx i -L xy i J xzi---i- l yy > 

angewendet. 



4 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

Einleitung. 

1. Vorbemerkungen. Die Worte Linie und Flaclie haben in der 
Litteratur bald einen weiteren, bald einen engeren Sinn. Naheres hier- 
uber ist in III B 1 a angegeben. Ebendaselbst ist gezeigt, dass eine 
Anwendung der Differential- und Integralrechmmg auf Geometrie nur 
bei geeigneter Einschrankung der Begriffe Linie und Flache moglich 
ist 1 ), und es sind ferner die Grunde angegeben, die es zulassig er- 
scheinen lassen, bei dieser Einschrankung so weit zu gehen, dass man 
die Darstellbarkeit mittels analytischer Funktionen fordert. Auf Grund 
dieser Ausfiihrungen sollen im Nachfolgenden die Worte Linie und 
Flache, wenn nicht das Gegenteil ausdriicklich angegeben wird, in 
ihrer engsten Bedeutung = reelle analytische Linie, bez. Flache ge- 
braucht werden. Ahnliches gilt von dem Worte Function (== reell- 
wertige analytische Funktion) und den ublichen Funktionszeichen 
f,<p,X,... F, *, *,.... 

Viele der im Nachfolgenden zu erklarenden Begriffe stammen 
bereits aus dem Altertum oder aus der Zeit der Erfindung der 
Infinitesimalrechnung, wahrend die heute iibliche scharfe Fassung 
ihrer Erklarungen erst in den letzten Jahrzehnten des 19. Jahr- 
hunderts in Aufnahme gekommen ist, nachdem die kritische Durch- 
forschung der Grundlagen der Differential- und Integralrechnung und 
der Bedingungen ihrer Anwendbarkeit zu genaueren Begriffsbestim- 
mungen genotigt hatte. 

2. Zusammengehorige Annahmen und Bezeichnungen. Im Nach 
folgenden wird durch die Ziffern I bis IV auf die folgenden in der 
Litteratur oft vorkommenden zusammengehorigen Annahmen und Be 
zeichnungen hingewiesen: 

I. Eine Linie I ist in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 
gegeben durch zwei [drei] Gleichungen: 



welche die Koordinaten x, y [, z\ eines veranderlichen Punktes P von 
I als Funktionen einer zwischen gewissen Grenzen unbeschrankt ver 
anderlichen reellen Hulfsveranderlichen t darstellen. t bedeutet einen 
speziellen Wert der letzteren und P den entsprechenden Punkt von Z; 
X Q , / [, # ] sind die Koordinaten dieses Punktes und # , y [ } ^ ]; 
XQ , y " [, 2 Q "]; x " } y "[, Z "]] die Werte, welche die Ableitungen 



1) Diese Erkenntnis hat sich erst in der zweiten Halfte des 19. Jahrhunderts 
entwickelt. Naheres II A 2, Nr. 4. 



1. Vorbemerkungen. 2. Annahmen u. Bezeichn. 3. Gew. u. sing. Punkte. 5 



t = t Q annehmen. 

II. Eine ebene Linie I ist in einem rechtwinkligen Koordinaten- 
system durch eine Gleichung 

F(x, y) = oder auch y = f(x) 

zwischen den Koordinaten x und y gegeben; x , y Q sind die Koordi- 
naten eines speziellen Punktes von I und y , y " die Werte, welche 

die Ableitungen ^| , ^ fur x = X annehmen. 

III. Eine Flache $ ist in einem rechtwinkligen raumlichen 
Koordinatensystem gegeben durch drei Gleichungen: 

x = y (u, v), y = %(u,v), z = il> (u, v), 

welche die Koordinaten x, y, z eines veranderlichen Punktes von $ 
als Funktionen von zwei reellen in einem zweifach ausgedehnten Be- 
reich unbeschrankt veranderlichen Hulfsveranderlichen u, v darstellen. 
Zur Abkiirzung ist 

tut, ^%v = A 5 ^^ - v ** = B 5 y u z, x u <p, = G 

gesetzt; W 0? v bedeuten ein Paar spezieller Werte der Veranderlichen 
u, v und x , y , 0? A , B , C sind die Werte, welche die eben er- 
klarten Funktionen von u und v fiir dieses spezielle Wertepaar an 
nehmen; P ist der Punkt mit den Koordinaten X Q , y Q , g . 

IY. Eine Flache $ ist in einem rechtwinkligen raumlichen 
Koordinatensystem durch eine Gleichung: 

F(x, y,*) = 

zwischen den Koordinaten x, y, z gegeben; X Q , y 0) 2 Q sind die Ko 
ordinaten eines speziellen Punktes P von ^". 

Sind A, B irgend zwei Punkte einer Geraden, bei welcher man 
eine positive und eine negative Richtung unterschieden hat, z. B. 
einer Axe eines Systems von Parallelkoordinaten, so soil AB= BA 
stets diejenige positive oder negative Zahl bedeuten, deren absoluter 
Wert die Lange der Strecke AB angiebt, und deren Vorzeichen -f- 
oder - - ist, je nachdem die Richtung von A gegen B mit der posi- 
tiven Richtung der betrachteten Geraden ubereinstimmt oder nicht. 

3. Gewohnlicae und singulare Punkte. Ein Punkt P einer 
auf ein ebenes [raumliches] System von Parallelkoordinaten x, y [, z] 
bezogenen Linie I heisst gewolmlicli 2 ), wenn man die Gesamtheit aller 



2) Vgl. z. B. C. Jordan, Cours d anal. 1, 1. Aufl. Paris 1882, p. 198, 202, 
209, 213, oder 2. Aufl. Paris 1893, p. 397 ff. 



6 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

in einer gewissen Nahe von P gelegenen Punkte von I durch zwei 
[drei] Gleichungen von der Form: 



so darstellen kann ; dass: 

1) dem Punkt P nur ein Wert * der Hiilfsveranderlichen t 
entspricht; 

2) die Funktionen <p(t\ %(f) [, #(*)] an der Stelle t den Charakter 
ganzer Funktionen haben; 

3) die Ableitungen <p (t ), z W[># (0] nicnt samtlich gleich 
Null sind 3 ). 

Fur Flachen wurde man unter Zugrundelegung der in Nr. 2, III 
angegebenen Darstellungsart eine Erklarung von ganz ahnlichem Wort- 
laut aufstellen konnen. Jedoch erreicht man hier sachlich genau das- 
selbe kiirzer durch folgende Erklarung: 

Ein einer Flache $ angehorender Punkt P mit den Koordinaten 
x o> 2/0? 2 o heisst gewohnlicli*}, wenn man die Gesamtheit aller in einer 
gewissen Nahe von P liegenden Punkte von $ durch eine Gleichung 
von der Form: 

F(x, y,e) = 

darstellen kann, welche so beschaffen ist, dass die Funktion F(x t y t e) 
an der Stelle X Q) y , Z Q den Charakter einer ganzen Funktion hat, 
und dass die Ableitungen F xt F y , F s daselbst nicht samtlich gleich 
Null sind. 

Ein nicht gewohnlicher Punkt einer Linie oder Flache heisst 
immer singular*}. Haufig werden aber ausserdem, wenigstens bei 

3) Wenn eine ebene Linie I durch eine Gleichung zwischen x und y und 
auf I ein Punkt P gegeben ist, welcher auf Grand der obigen Erklarung zu 
den gewohnlichen gehoren wiirde, so kann es vorkommen, dass durch P auch 
noch ,,hnaginare Zweige" von I hindurchgehen, und dass es deswegen unter 
Umstanden zweckmiissig ist, den Punkt P den singularen Punkten zuzuzahlen. 
Ahnliches gilt fiir Punkte auf gewundenen Linien sowie auf Flachen. 

4) In Art. 3 der Disquisitiones generales circa superficies curvas, Comm. 
Gott. 6 (1828) = Werke 4, Gottingen 1880, p. 222, nennt C. F. Gauss eine Flache 
in einem Punkte A stetig gekrammt, wenn die Richtungen aller von A nach 
den unendlich nahe benachbarten Punkten der Flache fiihrenden Geraden nur 
unendlich wenig von einer und de rselben durch A gehenden Ebene abweichen. 
Punkte, die dieser Erklarung nicht entsprechen, nennt er singular, aber der 
Ausdruck gewohnlicher Punkt findet sich bei ihm noch nicht. Auch Ch. Dupin 
spricht, Devel. de ge"om. p. 60, von singularen Punkten, hat aber fiir den Gegen- 
satz keine besondere Bezeichnung. 

5) Nach M. Cantor, Vorlesungen lib. Geschichte d. Math. 3, Leipzig 1898, 
p. 770, diirfte der Ausdruck ,,singularer Punkt" zum erstenrnal bei J. P. de Gua 



4. Tangcnte, Normale, Tangentenebene u. s. w. 7 

Linien, auch solehe gewohnliche Punkte, die irgend welche fur die 
gerade vorliegende Untersuchung wichtige Eigentumlichkeiten dar- 
bieten (z. B. Wendepunkte) als singulare Punkte bezeichnet 6 ). 

Eine Linie I [eine Flache $] heisst krumm in der Nahe eines 
ihrer Punkte, wenn es keine diesen Punkt enthaltende gerade Strecke 
[ebene Flache] giebt, deren Punkte samtlich zu I [$] gehorten. 

I. Die einzelne Linie oder Flache. Grundfoegriffe. 

4. Tangente, Normale, Tangentenebene u. s. w. Es sei P ein 

fester Punkt einer analytischen oder nicht analytischen, ebenen oder 
gewundenen Linie I und P t ein dem Punkte P benachbarter 7 ) Punkt 
von I. Wenn sich dann die Gerade PP 1 bei unbegrenzter Annahe- 
rung des Punktes P l an den Punkt P einer festen Grenzlage PT 
nahert, und zwar immer derselben, einerlei wie die erwahnte Annahe- 
rung erfolgt, so nennt man die Gerade PT die beriihrende Gerade 
oder die Tangente 8 } und jede durch PT hindurchgehende Ebene eine 
beriihrende Ebene oder Tangentenebene der Linie I im Punkte P und 



de Halves, Usage de 1 analyse de Descartes etc. Paris 1740, 2. Abschnitt vorkommen. 
Wenn eine Linie (Flache) sich selbst schneidet, so ist jeder Schnittpunkt auf 
Grund der obigen Erklarungen fur die Linie (Flache) als Ganzes ein singularer, 
wahrend er fur einen einzelnen durch ihn hindurchgehenden ,,Zweig" (,,Mantel") 
(III B 1 a) sehr wohl ein gewohnlicher sein kann. 

6) Vgl. W.Schell, Allgem. Theorie derKurven doppelter Krummung, 1. Aufl. 
p. 11, 2. Aufl. p. 15; G. Peano, Applicazioni, p. 65. 

7) Der Fall, dass ein vereinzelt liegender Punkt aus irgend welchen 
Grunden als zu einer Linie gehorig angesehen wird, was beispielsweise, wenn 
f(x) far x = x einen endlichen Sprung hat, zuweilen dadurch geschieht, dass 

man den Punkt x = * , y - ^^Mr^ der ,,Liide y = f(x) zu- 

rechnet, sei hier von der Betrachtung ausgeschlossen. 

8) Diese Erklarung des Begriffs Tangente ist erst nach Erfindung der In- 
finitesimalrechnung iiblich geworden. In fruheren Zeiten, denen der Begriff des 
Grenzubergangs fremd war, wurde die Tangente (unter Ausserachtlassung des 
Falls eines Wendepunktes) nach dem Vorgang von Euklid (Elemente, 3. Buch, 
Erklarung 2) als eine mit der Linie im Beruhrungspunkt zusammentreffende, sie 
aber daselbst nicht schneidende Gerade erklart. Die Eigenschaft der Tangente, 
sich der krummen Linie derart anzuschmiegen, dass durch den Beruhrungspunkt 
keine neue zwischen der Tangente und der Kurve liegende Gerade gezogen 
werden kann, erscheint bei den Alten (Euklid, Elemente, 3. Buch, Satz 16; 
Apollonius, Kegelschnitte, 1. Buch, Satz 32,35,36) lediglich als Lehrsatz, ist 
aber neuerdings zuerst wohl von J. L. Lagrange, Theorie des fonct. anal. sec. 
partie, chap. 1 u. 2 auch zur Erklarung benutzt worden, z. B. von E. Baltzer, 
Elemente der Mathematik 2, 2. Aufl. Leipzig 1867, 4. Buch, 3, Nr. 5. 



HI D 1, 2. H. v. Mangoldt, Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

P selbst den BeruhrungspunU dieser Tangente, bez, Tangentenebene. 
Ferner nennt man die in P auf der Tangente senkrecht stehende 
Ebene die Normalebene und jede in P auf der Tangente senkrecht 
stehende Gerade eine Normale von I im Punkte P. 1st I eben so 
versteht man unter der Normale schlechthin die in der Ebene von I 
enthaltene Normale. 

Wenn P ein gewohnlicher Punkt (Nr. 3) einer Linie I ist, so 
hat I in P immer eine Tangente, und wenn auf I in hinreichender 
Nahe von P irgend zwei verschiedene Punkte P 1? P 2 nac h Belieben 
angenommen und unabhangig von einander dem Punkte P unbegrenzt 
nahe geriickt werden, so nahert sich die Gerade P P 2 jedesmal un 
begrenzt der Tangente von I im Punkte P als fester Grenzlage. 

Eine ebene Linie I heisst zu einer andern in der gleichen Ebene 
liegenden Linie I parallel, wenn V als die Bahn angesehen werden 
kann, welche der eine Endpunkt einer Strecke von unveranderlicher 
Lange beschreibt, wahrend ihr zweiter Endpunkt die Linie I durchlauft, 
und sie selbst bestandig zu I normal bleibt (oder auch als die Bahn des 
Mittelpunktes eines Kreises, der auf I abrollt). Vgl. auch Nr. 33. 

Ist eine ebene Linie I einer andern parallel, so haben I und I 
in je zwei einander zugeordneten Punkten parallele Tangenten. Die 
Beziehung beider Linien ist daher eine gegenseitige. 

Ganz ebenso lasst sich der Sinn des Wortes parallel fur zwei 
Fldchen feststellen, nur dass an die Stelle des rollenden Kreises eine 
rollende Kugel tritt. 

Sind bei Beachtung gewisser Vorzeichenregeln s, s die Langen 
entsprechender Bogen von zwei parallelen ebenen Linien, h die Lange 
des zwischen ihnen enthaltenen Stiickes ihrer gemeinschaftlichen Nor- 
malen, <p die ganze Krummung (Nr. H) von s und J der Inhalt der 
von den beiden Linien und den gemeinschaftlichen Normalen in ihren 
Endpunkten begrenzten Figur, so gelten die Formeln 
s =s + h<p und J=$h(s-\- s ) 9 ). 

Die Erweiterung dieser Satze auf parallele Flachen hat J. Steiner 10 ) 
gegeben. 

Wenn eine ebene Linie I in einem Punkte P eine Tangente PT 
hat und in einer gewissen Nahe von P ganz auf der gleichen Seite 

9) Vgl. A. L. Crelle, Ann. de math. 12 (182122), p. 13 u. 17, sowie 
J. Steiner, J. f. Math. 21 (1840), p. 127 = Ges. Werke 2, Berlin 1882, p. 152 
153, und Berl. Ber. 1840, p. 114 = Ges. Werke 2, p. 173. 

10) /. Steiner, Berl. Ber. 1840, p. 117 = Ges. Werke 2, Berlin 1882, p. 176. 
Vgl. auch Nr. 26. 



4. Tangente, Normale, Tangentenebene u. s. w. 9 

von PT verlauft, so sagt man, em von P ausgehender nicht in die 
Gerade PT fallender Strahl PA weise nach der konkaven (konvexen) 
Seite von I, oder I sei im Punkte P nach der Richtung PA konkav 
(Iwnvex), wenn I in der Nahe von P auf der gleichen (entgegen- 
gesetzten) Seite von PT verliiuft wie PA. 

Im Fall Nr. 2, II ist I im Punkte P ,,nach oben", d. h. nach 
der mit der positiven Richtung der Ordinatenaxe ubereinstimmenden 
Richtung konkav (konvex), wenn y Q " positiv (negativ) ist. 

Ein gewohnlicher Punkt P einer ebenen Linie I heisst ein Wende- 
punkt, wenn sich in jeder Nahe von P sowohl solche Punkte von I 
finden, die auf der einen, als auch solche, die auf der andern Seite 
der Tangente von I in P liegen (vgl. Nr. 19). 

Ist eine ebene Linie l } welche in einem Punkte P eine Tan 
gente hat, auf ein rechtwinkliges ebenes Koordinatensystem bezogen, 
so heisst die trigonometrische Tangente des Winkels zwischen der 
Abscissenaxe und der erwahnten Tangente die Steigung von I in P . 
Im Fall Nr. 2, II ist diese Steigung gleich y . In der Technik be- 
zeichnet Steigung haufig den Sinus des erwahnten Winkels. Sind ferner 
T und N die Durchschnittspunkte der Abscissenaxe mit der Tangente 
und der Normale von I im Punkte P und F der Fusspunkt des von 
P auf die Abscissenaxe gefallten Lotes, so bezeichnet man als: 

Subtangente von, I in P die Zahl ~TF = % 
und als: y 

Subnormale von I in P die Zahl FN = y y . 
Endlich wird unter der Tangente bez. der Normale von I im Punkte 



P zuweilen auch die Lange der Strecke P T = %"J/1 -j- y Q 2 , bez. 
P N = y yi -f- y^ verstanden. 

Wenn eine ebene Linie I, welche in einem Punkte P eine Tan 
gente hat, auf ein System von Polarkoordinaten bezogen ist, etwa 
dadurch, dass der Leitstrahl p als Funktion der Abweichung <p ge- 
geben ist, und den Koordinatenanfang und T und ^V die Punkte 
bedeuten, in welchen die Tangente und die Normale von I in P die- 
jenige durch gehende Gerade schneiden, welche auf dem Leitstrahl 
OP senkrecht steht (positive Richtung derselben diejenige, welche 
aus der Richtung OP durch eine positive Drehung um einen rechten 
Winkel hervorgeht), so nennt man den Abstand: 



PoT = Qo "{/I + 9o 2 (d?) die Polartangente, 
P Q N = y Q 2 + i~\ die Polarnormale, 



10 III D 1, 2. II. v. Mangoldt. Anwendung dcr Diiferential- u. Integralrechnung. 
imd die Zahl: 



TO = o 2 (-? ) die Polarsubtangente, 

\(*Q 1 

ON= f-r^-i die Polarsubnormale 



von Z in P . Dabei bedeutet der Index iiberall, dass fur und <p 
die Koordinaten von P einzusetzen sind. 

Durch einen gewohnlichen Punkt P einer Flache $ lassen sich 
stets unendlich viele auf $ verlaufende Linien legen, von denen jede 
in P eine bestiramte und von denen der iibrigen verschiedene Tangente 
hat. Alle diese Tangenten liegen immer in ein und derselben Ebene 11 ). 
Diese Ebene heisst die beriihrende oder Tangentenebene von $ in P, 
der Punkt P selbst ihr Beruhrungspunkt und die auf ihr in P senk- 
recht stehende Gerade die Normale von $ im Punkte P. 

Man sagt femer, eine Gerade g beruJire eine Flache $, oder sei 
Tangente derselben in einem (gewohnlichen) Punkte P, wenn g durch 
P hindurchgeht und in der Tangentenebene von $ in P enthalten ist. 

Es sei I eine Linie oder eine Flache, P ein gewohnlicher Punkt 
derselben und L ein vergrossertes ahnliches Abbild von I, welches 
zu I in der Weise ahnlich gelegen ist, dass P den Ahnlichkeits- 
punkt bildet (III A 6). Wenn man dann das Vergrosserungsverhaltnis 
unbegrenzt wachsen lasst, so geht L in die Tangente bez. Tangenten 
ebene von I im Punkte P uber 12 ). 

5. Formeln fur Tangenten, Normalen und Tangentenebenen. 

Bei Zugrundelegung der in Nr. 2 angegebenen Annahmen und Be- 
zeichnungen gelten die folgenden Satze und Formeln, in welchen 
^ if[ ; ] jedesmal die Koordinaten eines veranderlichen Punktes der 
betrachteten Tangente, Tangentenebene, Normale oder Normalebene 
bedeuten 13 ): 

11) Diesen Satz diirfte zuerst Ch. Dupin, Devel. de geom., p. 7, ausdriick- 
lich ausgesprochen haben. In unvollstandiger Fassung kommt , er schon bei 
A. C. Clairaut, Recherches sur les courbes a double courbure, Paris 1731, p. 49, 
Nr. 81, und bei L. Euler, Introductio in analysin infinitorum 2, Lausannae 1748, 
p. 395, Nr. 147, vor. 

12) Vgl. G. Peano, Applicazioni, p. 305. 

13) Die Auffindung dieser Satze geht auf Leibnitz und Newton zuruck, die, 
nachdem Descartes die Darstellung krummer Linien durch Gleichungen gelehrt 
hatte, die Ermittelung der Tangente an eine durch ihre Gleichung bestimmtc 
Linie behandelten. Ausfuhrliche Sammlungen von Formeln finden sich in L. A. 
Sohncke s Sammlung von Aufgaben aus der Differential- und Integralrechnung, 
I. Toil, Halle 1830, 5. Aufl. hrsg. v. H. Amstein, 1885, Kap. 8, 22; ferner in 
0. Schloemilch, Ubungsbuch z. Stud, der hoh. Analysis, 1. Teil, Leipzig 1868, 



5. Formeln fur Tangenten, Normalen und Tangentenebenen. H 

I. Wenn der Wert t der einzige Wert der Hulfsveranderlichen t 
ist, welcher dem Punkt P entspricht, und die Funktionen <p(t), 
X (0 [; ^ (0] fur ^ = ^o samtlich den Charakter ganzer Funktionen 
haben, so hat I im Punkte P eine Tangente. 1st von den Zahlen 
V? 2/o [> V] wenigstens eine von Null verschieden, so wird die Tan 
gente dargestellt durch die Gleichungen: 



und die Normale [Normalebene] durch die Gleichung: 

V(i o) + 2/o 0? 2/o) [+ V( *o)] = 0. 

1st dagegen x = J/ [= g o~\ == > un ^ ^ n die kleinste ganze posi 
tive Zahl, welche die Eigenschaft hat, dass die Ableitungen x Q ( n \ 
y (n) [, 2 (n} ] nicht samtlich verschwinden, so hat die Tangente die 
Gleichungen: 

| = *o + ao (f *, ^ = y + yo (n) * [;^=^o + ^o (n) ^] (*= -00- + 00), 
wahrend die Normale [Normalebene] durch 

V n) (S - *o) + 2/o (n) (1? - 2/o) [+ ^o (w) ft - *o)l = 
dargestellt wird. 

n. Fiir das Vorhandensein einer Tangente von I im Punkte P ist 
hinreichend, dass wenigstens eine der Zahlen F x (x , ?/ ), F y (x , y Q } 
von Null verschieden sei. Ist diese Bedingung erfiillt, so ist die 
Gleichung der Tangente: 

F X( X Q, 2/o) (I - *o) + -^(^o, 2/o) (n 2/o) = 
und die der Normale: 

F y ( x *> 2/o) (I ^o) ^ K; 2/o) 0? 2/o) = - 

Hat die Gleichung von I die Form y = /"(#), so werden die Tangente 
und die Normale im Punkte P beziehentlich durch die Gleichungen: 

^ 2/o = 2/o ( o) 
und 

S ^o + ^/o C 1 ? y ) = 
dargestellt. 

HI. Damit P ein gewohnlicher Punkt von ^ s ei, ist hinreichend, 
dass wenigstens eine der Zahlen A Q , S , C von Null verschieden sei. 
Ist diese Bedingung erfiillt, so wird die Tangentenebene von $f in P 
durch die Gleichung: 

^ + P O (>J - y ) + c (g- o = o, 



4. Aufl. 1887, Kap. 4, sowie in W. Ldska, Sammlung von Formeln der rein. u. 
angew. Mathematik, Braunschweig 1888 1894, p. 479 ff. und 537; endlich in den 
Recueils d exercices . . . von F. Frenet, Paris 1873, und von F. Tisserand, 2. ed., 
augm. par P. Painleve, Paris 1896. 



12 HID 1,2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

und die Normale von $ i n PO durch die Gleichungen: 

i = z + ^ r, <rj = y + B T, = + (7 T (T = oo -f oo) 

dargestellt. 

IV. Vorausgesetzt, dass die Ableitungen F x , F y , F. an der Stelle 
* o> 2/o> ^o nicht samtlich verschwinden, wird die Tangentenebene von 
$ in P dargestellt durch die Gleichung: 

F x fa, y^ * ) (I #<>) + *i 0*o > y *o) C 7 ? 2/0) 

+ F s (X Q , y , * ) ( * ) = , 
und die Normale durch die Gleichungen: 



(T == oo -}- oo). 

6. Aufgaben und Konstruktionen. Diejenigen Geraden, welche 
eine gegebene Linie beriihren und durch einen gegebenen (eigentlichen 
oder unendlich fernen) Punkt hindurchgehen, konnen dadurch ge- 
funden werden/ dass man die Koordinaten der unbekannten Beriih- 
rungspunkte ermittelt, was durch Auflosung eines Systems von 
mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten geschehen kann. 
1st beispielsweise eine ebene Linie gegeben durch eine Gleichung 
F(x } y) = ; und soil die Gleichung einer Geraden gefunden werden, 
welche diese Linie beruhrt und durch den gegebenen Punkt | , ^ 
hindurchgeht, so kann man die Koordinaten x , y Q des Beriihrungs- 
punktes durch Auflosung des Systems: 

Ffa, 2/o) = 5 F* fa, 2/o) (lo *o) + F y fa, 2/o) (% - ^0) = 
ermitteln 14 ). Ahnliches gilt von andern Fallen der erwahnten Auf- 
gabe, sowie von der Bestimmung der durch einen gegebenen Punkt 
hindurchgehenden Normalen einer gegebenen Linie oder Flache und 
auch von der Bestimmung der gemeinsamen Tangenten oder Normalen 
zweier Linien und von verwandten Aufgaben. 

Die Aufgabe, an eine gegebene ebene Linie I in eineni gegebenen 
Punkte P die Tangente zu Jconstruieren , ist gleichbedeutend mit der 
andern, die Richtung derjenigen Geschwindigkeit v zu finden, mit 
welcher ein die Linie beschreibender Punkt durch P hindurchgeht. 
Eine Losung der erwahnten Aufgabe lasst sich daher in manchen 



14) Ein anderes, namentlich bei algebraischen Linien zur Anwendung kom- 
mendes Verfahren lauft darauf hinaus, das Verhaltnis der Konstanten a, (3 so 
zu bestimmen, dass von den die Gleichung F ( -\- at, TJ O -f $t] = befriedi- 
genden Werten von t zwei oder mehr zusammenf alien. Vgl. Ill C 2. 



6. Aufgaben und Konstruktionen. 13 

Fallen durch An wendung der f olgenden von M. Chasles 15 ) besonders hervor- 
gehobenen Regel finden: Man suche eine Erzeugungsweise von Z, bei 
welcher diese Linie als die Bahn eines Punktes P erscheint, der einer 
in der Ebene von I enthaltenen und in ihr sich bewegenden starren 
Figur $ angehort, und welche zugleich so beschaffen ist, dass man 
fur diejenige Lage von $, bei welcher P mit P zusammenfallt, den 
,,augenblicklichen Umdrehungsmittelpunkt" (IY 3, Nr. 8) M von $ 
finden kann. Ist dies gelungen, so erhalt man die gesuchte Tangente 
einfach dadurch, dass man auf M P Q in P ein Lot errichtet. 

Bin allgemeineres Losungsverfahren besteht darin, zwei Rich- 
tungen r lt r 2 von solcher Beschaffenheit aufzusuchen, dass man das 
Grossenverhaltnis : 

entweder der rechtwinkligen Projektionen von v auf ^ und r s , 

oder der beiden durch Zerlegung von v nach den Richtungen r : 

und r 2 entstehenden Seitengeschwindigkeiten 

angeben kann 16 ). In dem praktisch besonders haufigen Fall, dass r 
zu r 2 senkrecht ist, besteht zwischen den erwahnten Projektionen und 
Seitengeschwindigkeiten kein Unterschied. Ferner ist in dem Fall, 
dass das Grossenverhaltnis der Projektionen den Wert 1 hat, das der 
Seitengeschwindigkeiten ebenfalls gleich 1. Diese beiden Umstande 
haben dazu beigetragen, dass in der Litteratur die beiden eben unter- 
schiedenen Falle nicht immer gehorig auseinandergehalten worden sind. 

Wenn die Bewegung einer starren ebenen Figur $ in ihrer 
eigenen Ebene dadurch bestimmt ist, dass (Fig. 1) zwei derselben ange- 
horende Linien f f I beziehent- 
lich an zwei festen Linien 
<p, A entlang gleiten sollen, 

so kann man, unter der Yor- 

T~ 
aussetzung, dass fur irgend 

einen Augenblick die zu den 
beiden Beriihrungspunkten ge- 
horenden Krummungsmittel- 
punkte F, L, 0, A von f, I, 
<p, A gegeben sind, die ge- 
meinsame Tangente PT der 
,,Polbahn" und der ,,Polkurve" Fig. l. 

15) M. Chasles, Bull. Soc. Math. 16 (1878), p. 208 ff. (Die Arbeit war schon 
1829 der Societe philomathique vorgelegt worden.) Ebenda zahlreiche Anwen- 
dungen. Beispiele, darunter die ,,Fusspunktkurven", finden sich auch bei G. Peano, 
Applicazioni geometriche, p. 328, Nr. 17. 

16) Historische Angaben iiber dieses nach G. P. de Bolerval (16021675) be- 




14 III D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung tier Differential- u. Integralrechnung. 

(IV 3, Nr. 8, 9) in demjenigen Punkt P, wo sich der Pol zur 
gleichen Zeit befindet, durch die folgende zuerst von E. BobilUer 17 ) an- 
gegebene und spater von AronJiold 18 ) mid M. Grubler 19 ) aus andern 
Quellen abgeleitete Konstruktion finden: Man bringe O_F mit AL 
zum Durchschnitt in P und 0A mit FL zum Durchuitt in Q, ziehe 
PQ und darauf PT so, dass der Winkel OPT dem Winkel /\PQ 
an Grosse gleich, aber dem Sinne nach entgegengesetzt wird. 

Da eine oder zwei der Linien /) I, <p, 1, auch zu Punkten zu- 
sammenschrumpfen diirfen, umfasst diese Konstruktion auch solche 
Falle, wo ein Punkt von $ eine gegebene Linie bescnreiben oder 
eine zu $ gehorende Linie bestandig durch einen gegebenen Punkt 
gehen soil. 

Ein allgemeines Verfahren zur Konstruktion der Tangente an 
die Bahn des Schnittpunktes zweier Linien, die sich in einer Ebene 
in gegebener Weise bewegen und gleicbzeitig auch ihre Form stetig 
andern diirfen, ist von 0. Wiener 20 ), praktische Konstruktionen fur 
spezielle Falle, namentlich auch fur die Bahnen der Gelenkpunkte bei 
bewegten Gelenken, sind von L. Burmester 21 ) angegeben worden. 

Bei einer algebraischen Linie kann, wenn eine projektive Er- 
zeugungsart derselben gegeben ist, h aufig aus dieser eine Konstruk 
tion der Tangente abgeleitet werden. 

Eigentiimliche unter keine der erwahnten Methoden fallende 
Tangentenkonstruktionen finden sich bei Salmon-Fiedler 22 ) fur die 
Kettenlinie und bei J. Steiner 23 ) fur die allgemeine Lemniscate. 



nannte Verfahren finden sich in M. Cantor, Vorles. iib. Gesch. d. Math. 2, Leipzig 
1892 (2. Aufl. 1900), p. 800 814, sowie ini. Burmester, Lehrbuch der Kinematik 1, 
Leipzig 1888, p. 67, und in G. Koenigs, Le9ons de cinematique, Paris 1897, p. 90. 
Einfache Beispiele bieten die Kegelschnitte, wenn man fur r t und r s die Eich- 
tungen nach den Brennpunkten nimmt, und die verschiedenen Arten der Spiralen, 
wenn man r } mit der Richtung des Leitstrahls zusammenfallen lasst und r t 
senkrecht dazu wahlt. Weitere Beispiele in den genannten Werken, besonders 
zahlreich bei Burmester, p. 6782 u. 9192. Vgl. noch IV 3, Nf. 7. 

17) E. BobilUer, Cours de geometric (12 me e"d. 1870, p. 232). Eine andere 
Konstruktion giebt M. Chasles, J. de math. (1) 10 (1845), p. 206207. 

18) S. Aronhold, Verhandlungen des Vereins zur Beforderung des Gewerb- 
fleisses in Preussen, Jahrg. 51, Berlin 1872, p. 142 144. 

19) M. Grubler, Zeitschr. Math. Phys. 29 (1884), p. 310313. 

20) 0. Wiener, Lehrb. der darstellenden Geom. 1, Leipzig 1884, p. 270, Nr. 204. 

21) Lehrb. der Kinematik 1, Leipzig 1888, p. 5254, 8385 u. 8790. 

22) Salmon-Fiedler, Hoh. eb. Kurven, 2. Aufl. 1882, p. 377. 

23) J. Steiner, J. f. Math. 14 (1835), p. 80 = Ges. Werke 2, Berlin 1882, p. 19. 
Verallgerneinerungen dieser Konstruktion giebt A. Hurwilz, Math. Ann. 22 (1883), 
p. 230. 



7. Fusspunktlinien und -fliichen. 15 

7. Fusspunktlinien und -flachen. Die Gesamtheit der Fuss- 
punkte aller Lote, welche sich. von einem festen Punkt P auf die 
Tangenten einer Linie I oder auf die Beriihrungsebenen einer Flache ^ 
fallen lassen, heisst die Fusspunktlinie von I, bez. die Fusspunktflache 
von $ fur den Punkt P als Pol. 

Wenn man die Fusspunktlinie f einer ebenen Linie I fiir einen 
in deren Ebene liegenden Punkt P als Pol aus diesem letzteren als 
Ahnlichkeitspunkt im Verhaltnis 2 : 1 vergrossert, so erhalt man eine 
Linie /", die man auch als Rolllinie in einfacher Weise erzeugen 
kann. Denkt man sich namlich aus der Linie I durch Umklappen 
um eine ihrer Tangenten eine kongruente Linie I abgeleitet und 
dann diese letztere auf I abgerollt, so stimmt die Bahn, welche der 
zu P homologe Punkt hierbei beschreibt, mit f uberein 24 ). 

Wenn in einer Ebene eine Linie I, ein Pol P und ein beliebiger 
um P als Mittelpunkt beschriebener Kreis k gegeben sind, so sind 7 
wie A. Quetelet^} bemerkt hat, die Fusspunktlinie von I fiir P als 
Pol und die zu I in Bezug auf k polar-reziproke Linie zu einander 
invers in Bezug auf k. 

Die Rektifikation einiger besonderer Klassen von Fusspunktlinien 
durch elliptische Integrale hat W. Roberts 26 ) behandelt, der hierbei 
zur Unterscheidung von Fusspunktlinien verschiedener , und zwar so- 
wohl positiver wie negativer Ordnungen gefiihrt worden ist. Er nennt 
namlich, vorausgesetzt dass in einer Ebene eine Linie I und ein fester 
stets als Pol zu nehmender Punkt gegeben sind, die Fusspunktlinie 
der Fusspunktlinie von I die ziveite positive Fusspunktlinie von I u. s. f. 
und diejenige Linie, von welcher I die Fusspunktlinie ist, die erste 
negative Fusspunktlinie von I u. s. f. 27 ). 

24) Vgl. L. Burmester, Lehrb. der Kinematik 1, Leipzig 1888, p. 44, und 
G. Koenigs, Le9ons de cinematique, Paris 1897, p. 166 u. 259, woselbst eine An- 
wendung dieses Satzes zur Erzeugung der Fusspunktlinien einer Ellipse oder 
Hyperbel mittels eines ebenen Gelenkvierecks gegeben ist. 

25) A. Quetelet, Bruxelles Nouveaux Memoires 4 (1827), p. 104105. 

26) W. Roberts, J. de math. (1) 10 (1845), p. 177. Erganzungen sind in (1) 
12 (1847), p. 41 u. p. 447448, sowie in (1) 13 (1848), p. 179, zugefugt. 

27) Die gleichen Begriffe, jedoch ohne Einfukrung besonderer Namen fur 
dieselben, finden sich bereits bei C. Madaurin, Lond. Phil. Trans. 30 (1718), 
p. 803 ff. (abgekiirzte Ausgabe 6, London 1809, p. 357 ff.). Ebendaselbst ist fiir eine 
spezielle Folge von Fusspunktlinien gezeigt, wie die Rektifikation einer belie- 
bigen dieser Linien auf die der zweitfolgenden oder der zweitvorhergehenden 
Linie der gleichen Folge zuriickgefuhrt werden kann. W. Roberts hat, wie er 
Nouv. Ann. de math. (2) 3, Paris 1864, p. 8081, mitteilt, erst nachtraglich 
von dieser Abhandlung Kenntnis erkalten. Uber Fusspunktlinien und -Flachen 
mit gebrochener Ordnungszahl vgl. W. Roberts, Ann. di mat. (1) 4 (1861), p. 133. 



16 HID 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

Im Anschluss an diese Erweitemng des Begriffs hat T. A. Hirst 28 ) 
den soeben angegebenen Satz von Quetelet auf die vollstandigen Reihen 
der positiven und negativen Fusspunktlinien ausgedehnt, welche nach 
Annahme eines festen Poles P aus einer mit P in einer Ebene liegen- 
den Linie und ihrer reziproken Polaren in Bezug auf einen um P 
als Mittelpunkt beschriebenen Kreis abgeleitet werden konnen, und 
die entsprechenden Betrachtungen fiir den Raum durchgefiihrt. Hierauf 
hat er sodann eine Untersuchung der Beziehungen gegriindet, welche 
in einer Reihe aufeinanderfolgender Fusspunktflachen oder -Linien 
zwischen entsprechenden Flachen- oder Linienelementen und den 
Kriimmungen dieser Elemente bestehen. Er geht dabei aus von der 
Bemerkung, dass durch die Ausdehnung des Satzes von Quetelet auf 
den Raum der TJbergang von einer gegebenen Flache zu ihrer Fuss- 
punktflache in zwei Schritte zerlegt werde, namlich den Ubergang 
zur polar-reziproken und den Ubergang von dieser zu der inversen 
Flache, und dass ahnliches auch fiir ebene Linien gelte, entwickelt 
demgemass die erwahnten Beziehungen: 

a) fiir zwei beliebige polar-reziproke, 

b) fiir zwei beliebige inverse Gebilde, 

und gelangt schliesslich durch Verbindung der hierbei gewonnenen 
Ergebnisse zu den gesuchten Beziehungen. Weitere Untersuchungen 
von J. Steiner und T. A. Hirst iiber Fusspunktlinien und -flachen sind 
in Nr. 25, Fussn. 156 erwahnt. 

8. Asymptoten. Wenn ein ins TJnendliche sich erstreckender 
Zweig einer ebenen Linie in der Weise einer Geraden unbegrenzt 
nahe kommt, dass man nach Annahme eines beliebig schmalen, von 
zwei Parallelen begrenzten Streifens, welcher die fragliche Gerade als 
Mittellinie hat, stets eine Entfernung R angeben kann, so dass jeder 
Punkt des Zweiges, dessen Abstand vom Koordinatenanfang > R ist, 
im Innern jenes Streifens liegt, so nennt man die Gerade eine Asym 
ptote* 9 } des betrachteten Linienzweiges. ,.< 

Allgemeiner sagt man von zwei verschiedenen ins TJnendliche 
sich erstreckenden ebenen Linienzweigen, der eine nahere sich deni 
andern asymptotiscli, wenn man jedem beliebig kleinen Radius r einen 
Abstand jR in der Weise zuordnen kann, dass alle Punkte des einen 
Zweiges, deren Entfernung vom Koordinatenanfang >R ist, im Innern 



28) T. A. Hirst, Ann. di mat. (1) 2 (1859), p. 95 und 148, und Quart. J. of 
math. 3 (1860), p. 210. 

29) Begriff und Name finden sich schon bei Apollonim, Kegelschnitte, 
2. Buch. 



8. Asymptoten. 17 

derjenigen Flache liegen, welch e von einem Kreise vom Radius r 
iiberstrichen wird, wenn dessen Mittelpunkt den andern Linienzweig 
durchlauft 30 ). 

1st eine ebene Linie durch eine Gleichung F(x, y] = gegeben, 
so kann man zur Bestimmung ihrer Asymptoten nach A. Cauchy 3 ^ 
in der Weise vorgehen, dass man y = sx setzt und zunachst unter- 
sucht, ob eine der Wurzeln s der Gleichung F(x, sx) = sich bei 
unbegrenzt wachsendem x einem endlichen Grenzwert nahert. 1st dies 
der Fall und ist a der Grenzwert einer Wurzel s, so bat man weiter 
y = ax -j- t zu setzen und zu untersuchen, ob aucb eine Wurzel t 
der dann entstebenden Gleicbung F(x, ax -f- 1) fur x = oo einem 
endlichen Grenzwert zustrebt. Trifft aucb dieses zu und ist b ein 
solcber Grenzwert, so stellt die Gleichung y = ax -f- & eine Asymptote 
dar. Nur die etwa zur Ordinatenaxe parallelen Asymptoten ergeben 
sicb nicbt auf diesem Wege, konnen aber nachtraglich leicbt gefunden 
werden, wenn man im Vorangebenden x mit y vertauscbt. 

Ferner kann man zur Entscbeidung der Frage, ob eine gegebene 
ebene Linie Asymptoten bat, sowie zur Ermittelung der letzteren 
h aufig durcb Anwendung einer der folgenden Metboden gelangen: 

1) Man bildet die Ebene @ der gegebenen Linie I durch eine 
gebrochene lineare Substitution kollinear auf eine andere Ebene G 
ab, wobei der unendlicb fernen Geraden von @ eine eigentliche Gerade 
g von @ entspricht (III A 6) und betracbtet das Bild V der Linie I. 
Jedem Zweige von I , welcher die Gerade g scbneidet und im Schnitt- 
punkt eine von g verschiedene Tangente bat, entspricht ein Zweig 
von I, welcher sich ins Unendliche erstreckt und die der erwabnten 
Tangente entsprechende Gerade von ( als Asymptote bat 32 ). 

2) Man bildet die Ebene der gegebenen Linie I auf sich selbst 
durcb reziproke Eadien ab (III A 7) und betracbtet das Bild I von I: 
Jedern Zweige von I , welcher durcb den Mittelpunkt der Abbildung 
hindurcbgebt und daselbst einen Krummungskreis mit einem von Null 
verschiedenen (endlichen oder unendlichen) Radius hat, entspricht ein 

30) Diese Erweiterung des Begriffs durfte sich zuerst bei J. Stirling, Lineae 
tertii ordinis Neutonianae etc., Oxoniae 1717, p. 1, finden. Vergl. M. Cantor, Vorles. 
iib. Gesch. d. Math. 3, Leipzig 1898, p. 413. Jedoch kommt der Ausdruck ,,asympto- 
tische Parabeln" schon bei C. F. M. Dechales, Mundus mathematicus von 1674 
und 1690 vor. Vgl. M. Cantor, a. a. 0. p. 17. 

31) A. Cauchy, Le9ons sur les appl. 1, p. 5758. ftber die geschichtliche 
Entstehung dieses Verfahrens vgl. den Bericht von A. Brill u. M . Noeiher, Deutsche 
Math.-Ver. 3 (1892/93), p. 116149. 

32) Ausser den so sich ergebenden Asymptoten kann I nur noch solche 
Asymptoten haben, deren Bilder in ( zu g parallel laufen. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 2 



18 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

ins Unendliche verlanfender Zweig von I, welcher die dem erwahnten 
Kriimmungskreise entsprechende Gerade als Asymptote hat und um- 
gekehrt 32a ). 

Die Lehre von den Asymptoten der algebraischen Linien ist von 
L. Euler zy ) und besonders eingehend von J. Plucker u ] behandelt 
worden 35 ). 

Die obige Erklarung des Begriffs Asymptote" und die beschrie- 
benen Methoden lassen sich mit entsprecbeiiden Anderungen auf ge- 
wundene Linien ausdehnen. 

Wenn die Tangente eines ins Unendliche verlaufenden Linien- 
zweiges sich einer festen Grenzlage nahert, falls der Beriihrungspunkt 
ins Unendliche riickt, so bildet diese Grenzlage eine Asymptote des 
Linienzweiges. Auch hierauf kann ein Verfahren zur Ermitteluug 
der Asymptoten gegrundet werden 36 ). 

9. Beruhrung w ter Ordnung. Es seien I, V zwei ebene oder 
gewundene Linien, welche einen Punkt P , der fur jede von ihnen 
ein gewohnlicher Punkt ist, und ausserdem die Tangente in P mit- 
einander gemein haben. Ferner seien P, P zwei bewegliche beziehentlich 
auf 1,1 gelegene Punkte, welche sich beide auf der gleichen Seite 
der Normalebene in P befinden und dem Punkt P in der Weise 
unbegrenzt nahe riicken, dass die Abstande P P und P P stets gleich 
gross bleiben. Wenn dann n die Ordnungszahl bezeichnet, mit welcher 
der Winkel PP P unendlich klein wird, vorausgesetzt, dass P P = P P 
als unendlich kleine Grosse erster Ordnung gilt, so sagt man von den 
Linien 1,1 , dass sie in P eine Beruhrung n ier Ordnung oder auch 
eine (n -f~ ty-punktige Beruhrung haben 37 ). 

Man sagt ferner, eine Linie I habe mit einer Flache ^ in einem 
gemeinsamen Punkte P 07 der fiir beide ein gewohnlicher Punkt ist, 
eine Beruhrung w ter Ordnung, wenn es auf ^ durch P gehende Linien 



32*) Mittels dieser Methode untersucht Fr. Meyer die Asymptoten algc- 
braischer Kurven: Anwendungen der Topologie auf die Gestalten - algebraischer 
Kurven, Dissert. Miinchen 1878. 

33) Introductio in analysin infinite rum 2, Lausannae 1748, cap. VII XI. 

34) J. PlucJcer, Theorie der algebraischen Kurven, Bonn 1839, p. 14154. 
Vgl. auch Analyt. geom. Entwicklungen 2, Essen 1831, p. 159, Fussn.; System 
d. analyt. Geom., Berlin 1835, p. 132166, und J. de math. (1) 1 (1836), p. 229 = 
Ges. wiss. Abhandlungen 1, Leipzig 1895, p. 302. 

35) Vgl. auch Salmon -Fiedler, Hoh. Kurven, 2. Aufl., p. 5154, 60 61, 
143, 219232. 

36) Vgl. A. Cauchy, Le9ons sur les appl. 1, p. 62, und E. Hoppe, Anal. 
Geom. 1, p. 6264. 

37) A. Cauchy, Le9ons sur les appl. 1, p. 128 n. 367. 



9. Beruhrung n ier Ordnung. 19 

giebt, die dort mit I eine Beruhrung w ter Ordnung haben, aber keine, 
die mit I in P eine Beruhrung noch hoherer Ordnung hatte. 1st $ 
gegeben durch F(x,y,0) = und I durch x = ip(t), y = % (t), 
z == if) (t), ist t der zu P gehorende Wert von t und wenigstens eine 
der Ableitungen tp (t ), %(t ),il> (t ) von Null verschieden, so ist fiir 
das Stattfinden einer Beruhrung n iei Ordnung notwendig und hin- 
reichend, dass in der Entwicklung von F[tp(t), i(t), #($)] nach stei- 
genden Potenzen von (t t ) erst die Potenz (t t ) n + 1 e i nen von 
Null verschiedenen Koeffizienten erhalt. 

Sind endlich zwei Flachen $, $ gegeben, welche in einem 
gemeinsamen Punkte P, der fiir beide ein gewohnlicher Punkt ist, 
die gleiche Normale PN haben, so sagt man, die Ordnung ihrer Be 
ruhrung in P sei gleicli n, wenn unter den Linienpaaren, in welchen 
$, % von den durch PN gehenden Ebenen geschnitten werden, solche 
vorhanden sind, die in P eine Beruhrung w ter Ordnung haben, aber 
keines, welches in P eine Beruhrung niedrigerer Ordnung hat 38 ). 

Als Oskulation bezeichnet man jede Beruhrung von hoherer als 
der ersten Ordnung, einerlei, ob sie zwischen zwei Linien, einer Linie 
und einer Flache oder zwei Flachen stattfindet 39 ). 

Wenn zwei Flachen $, $ sich langs einer Linie I beriihren und 
durch eine Tangente von I eine Ebene gelegt wird, welche $ und $ 
schneidet, so haben die Schnittlinien im Beruhrungspunkt der Tangente 
nach Cli. Duping eine Beruhrung zweiter oder hoherer Ordnung. 

Bedingungen fiir eine Beriihrung n ieT Ordnung, sei es fiir Linien, 
sei es fur Flachen, haben Ch. Lupin* 1 ) und ausfiihrlicher A. Cauchy^) 
angegeben, der dabei auch die Frage erortert hat, wann eine ebene 

38) Ebenda p. 384. 

39) Von vielen franzosischen Mathematikern (vgl. Ch. Hermite, Cours d anal. 1, 
Paris 1873, p. Ill; C. Jordan, Cours d anal. 1, Paris, 1. ed. 1882, p. 225, 2. ed. 
1893, p. 423; E. Picard, Traite d anal. 1, Paris 1891, p. 323) und ebenso von 
E. Hoppe (Anal. Geom. 1, p. 54) wird das Wort Oskulation in einem etwas 
anderen Sinne gebraucht, welcher zuerst von Lagrange, Theorie des fonct. anal, 
seconde partie, Nr. 10, festgestellt sein du rfte und in einer von S. F. Lacroix 
gegebenen Erklarung (Traite du calcul diffe rentiel et du calcul integral, 2. ed., 
1, Paris 1810, p. 444) wiederkehrt Sie nennen namlich, falls eine Linie I und 
eine Schar dieselbe in ein und demselben Punkte P beriihrender Linien gegeben 
sind, diejenige Linie dieser Schar oskulierend, welche in P mit I eine Beruhrung 
moglichst holier Ordnung hat. 

40) Ch. Dupin, Devel. de geom., p. 36 u. 8386. Ebendaselbst sind Ver- 
allgemeinerungen angegeben fiir den Fall, dass g und g sich langs I von hoherer 
als der 1. Ordnung beruhren. 

41) Ebenda p. 11 u. 6768. 

42) A. Cauchy, Le9ons sur les appl. l e , 9% 10 e , 18 e , 21 e , 22 e Ie90n. 

2* 



20 HI D 1, 2. II. v. Mangoldt. Amvendnng tier Differential- u. Integralrechnung. 

Linie, welche eine andere beriihrt, von der einen Seite dieser letzteren 
auf die andere iibertritt. Untersuchungen iiber die Beriihrung zweier 
Flachen, nanientlich zweier Flachen zweiter oder einer Flache zweiter 
und einer dritter Ordnnng hat J. PlucJcer^ angestellt. Neuerdings 
hat E. Picard u ) die Theorie der Beriihrung eingehend behandelt. 

10. Ermittelung der Bogenlange einer Lime (Rektifikation). 
Fiir das Innere und die Grenzen eines encllichen Intervalls, dessen 
untere und obere Grenze bez. a und b heissen mogen, seien drei 
Funktionen 9>(0>z(0>^KO er klart, von denen zunachst nur die End- 
lichkeit und die Eindeutigkeit vorausgesetzt werden sollen, und durch 
die Gleichungen: 

= <P (0 ; y = i (0 ; * = ^ (0 

sei eine ,,Linie" I gegeben. (Fiir ebene Linien ist im nachfolgenden 
durchweg ^() = zu setzen.) Wenn dann A y P l} P 2 ,..., P n , B 
Punkte von I bedeuten, von denen der erste zu dem Wert a, der 
letzte zu dem Wert b und die mittleren bez. zu Werten ^ 17 ^>--->^ 
von t gehoren, die der Ungleichung: 

a <t<*s <<*< & 

geniigen, so sagt man von der gebrochenen Linie AP^P^ . . . P,,B } 
sie sei der Linie I eingcschriebcn, oder sie sei ein Sclmenpolyyon von 1. 45 ) 

Wenn ferner die Langen aller Sehnenpolygone von I eine end- 
liche obere Grenze (I A 3 ; Nr. 16; II A 1, Nr. 6) haben, so nennt man 
diese obere Grenze die Ldnge der Linie I. Andernfalls kommt der 
Linie I eine Lange nicht zu 46 ). 

Abweichend hiervon wird indessen oft einer in der angegebenen 
Weise erklarten Linie nur dann eine Liinge zugeschrieben, wenn die 
Lange der ihr eingeschriebenen gebrocheneu Linie bei unbegrenzter 
Verfeinerung der entsprechenden Teilung des Intervalls a ... I stets 
dem gleichen Grenzwert zustrebt, einerlei wie man bei dieser Ver 
feinerung verfahrt, und dann eben dieser Grenzwert als die Lange 
von I bezeichnet. 

Fiir das Vorhandensein einer Lange ist -- gleichgiiltig, welche 
Erklarung man zu Grunde legt - - stets erforderlich, dass in dem 
Intervall a ... b iiberall die Grenzwerte <p (t 0) und <p(t + fy - 
an den Grenzen a, b natiirlich nur cp (a -\- 0) und <p (b 0) - - vor- 



43) J. Pliicker, J. f. Math. 4 (1829), p. 349 = Ges. wiss. Abh. 1, Leipzig 1895, 
p. 103. Siehe auch die Bemerkungen von A. Schoenflies an letzterem Orte, p. 698. 

44) E. Picard, Traitd d anal. 1, Paris 1891, p. 318348. 

45) E. Study, Math. Ann. 47 (1896), p. 314. 

46) Vgl. z. B. G. Peano, Applicazioni geometriche, p. 161. 



10. Erniittelung dor Bogenlange einer Lime (Eektifikation). 21 

handen seien, und dass ahnliches auch von den Funktionen ^ (t) und 
^ (f) gelte. Wenn dies zutrifft und wenn ausserdem an Unstetigkeits- 
stellen der Punkt <p(t), %(t), fy(t) stets der geraden die Punkte 
?( ), *(* 0), *(* 0) und ptf + O), z(* + 0), tf(*+0) 
verbindenden Strecke angehort, so fiihren beide Erklarungsarten bei 
Beantwortung der Frage, ob der Linie I iiberhaupt eine Lange zu- 
kommt ; immer zu dem gleichen Ergebnis, und im Fall der Bejahung 
liefern sie auch beide den gleichen Wert der Lange. 1st dagegen 
die letzterwahnte Bedingung nicht erfullt, so kann auf Grand der 
ersten Erklarung noch eine Lange vorhanden sein, wahrend dies bei 
Anwenclung der zweiten nicht mehr der Fall ist. 

Eine dritte Erklarung hat H. MinkowsJei* 1 *), von der Bemerkung 
ausgehend, dass der Begriff des Volumens weniger Schwierigkeiten 
darbiete als der der Lange (und der der Oberflache), mit folgenden 
Worten vorgeschlagen: ,,Es sei C eine Kurve. Um jeden Punkt von 
C als Mittelpunkt denke man sich eine Kugel mit dem Radius r ab- 
gegrenzt, unter r eine feste positive Grosse verstanden. Die Menge 
aller derjenigen Punkte des Raumes, welche in das Innere oder die 
Begrenzung von wenigstens einer dieser Kugeln zu liegen kommen, 
definiert uns den Sereich der Entfernung <; r von der Kurve C. Es 
sei V(r) das Volumen dieses Bereiches (falls ihm ein bestimmtes 
Volumen zukommt), so kann der Grenzwert ~ fur ein nach Null ab- 

nehmendes r (falls dieser Grenzwert existiert), als die Lange der 
Kurve C eingefiihrt werden." 

Auf eine vierte Erklarung ist E. Schmidt^ durch die Bemerkung 
gefiihrt worden, dass der Begriif der Lange krummer Linien der un- 
mittelbaren Naturanschauung entspringe, indem ihn die Verbiegung 
gerader und die Streckung krummer linienformiger Gegenstande erzeuge. 
Er erklart zunachst ein ,,einfaches Kurvenstuck" als eine solche ganz 
im Endlichen liegende perfekte Punktmenge [I A 5, Nr. 11], welche 
sich auf die Gesamtheit der Punkte eines endlichen Geradenstiicks ein- 
schliesslich seiner beiden Begrenzungspunkte abbilden lasst (Abbildung 
= eindeutige, stetige und eindeutig umkehrbare Zuordnung) und fiihrt 
dann den Begriff der asphinktischen Abbildung durch folgende Erklarung 
ein: Ist die ganz im Endlicheu liegende perfekte, beliebig im Raum 
verteilte Punktmenge a so auf die ganz im Endlichen liegende per 
fekte, beliebig im Raum verteilte Punktmenge /3 abgebildet, dass /3 
kein Punktepaar enthalt, dessen Entfernung kleiner ist als die Ent- 

47) H. Mirikowski, Jahresber. d. Deutsch. Math.-Vereinigung 9 (1901), p. 115. 

48) E. Schmidt, Math. Ann. 55 (1901), p. 163. 



22 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

fernung des entsprechenden Punktepaares in a, so heisst a auf /3 
aspliinUiscli abgebildet. Endlich nennt er ein einfaches Kurvenstiick 
,,rektinzierbar", wenn es endliche Geradenstiicke giebt, auf welche sich 
das Kurvenstiick asphinktisch abbilden lasst, und erklart die Lange 
des Kurvenstiicks als die Lange des kleinsten jener Geradenstiicke. 

Geschichtliche Nachweise iiber die Entwicklung des Begriffs 
Lange hat 0. Stolz gegeben 49 ). 

Nachdem Z. Schee/fer 50 ) eingehende Untersuchungen dariiber an- 
gestellt hatte, wann bei einem durch eine Gleichung von der Form 
y = f(x) dargestellten Gebilde noch von einer Lange die Rede sein 
konne, haben C. Jordan 51 ) und E. Study 52 ) sowohl fur diesen als fur 
den allgemeinen Fall der Parameterdarstellung einer Linie neue und 
einfachere Formen der notwendigen und hinreichenden Bedingungen 
fiir das Vorhandensein einer Lange festgestellt. 

Wenn eine Linie I in der zu Anfang dieser Nr. angegebenen 
Weise erklart ist, und die Funktionen cp(t), %(t),tl>(t) in dem Inter- 
vail a ... b einschliesslich beider Grenzen differenzierbar und ihre 
Ableitungen daselbst stetig sind, so kommt der Linie I immer eine 
Lange L zu und diese wird gegeben durch die Formel: 



Hat man fiir jeden Punkt einer von singularen Punkten freien 
Linie I die positive Tangentenrichtung in irgend einer Weise (jedoch 
so, dass sie sich mit dem Beriihrungspunkt stetig iindert) festgelegt 
- z. B. im Fall Nr. 2, I als diejenige, deren Richtungscosinus bez. 
die gleichen Vorzeichen haben wie <p (t), %(t), ^ (0 so pnegt 
man auch der Lange eines Bogens von I, der von irgend zwei in 
bestimmter Rcihenfolye gegebenen Punkten A, B begrenzt wird, ein 
bestimmtes Vorzeichen beizulegen, indem man festsetzt, dass als Lange 
des Bogens AS diejenige positive oder negative Zahl bezeichnet werden 
soil, deren absoluter Wert die Lange im bisherigen Sinne angiebt, 

49) 0. Stolz, Math. Ann. 18 (1881), p. 267 ff. Von geschichtlichem Interesse 
ist auch E. H. Dirksen, Berl. Abh. 1833, p. 123 ff. , wo wohl zuerst, wenn auch 
unter spezielleren Voraussetzungen, als im Texte, die Lange des Bogens einer 
Raumkurve als Grenze eines einbeschriebeuen Sehnenpolygous nachgewiesen ist. 
Entsprechende Nachweise finden sich daselbst auch fur die Begriffe der Quadratur, 
Komplanation und Kubatur (Nrn. 25, 26, 28). 

50) L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884), p. 49 ff. (Auf p. 74 ist die Nr. 1 zu 
streichen.) 

51) C. Jordan, Cours d anal., 2. e"d., 1, Paris 1893, p. 100 ff. 

52) E Study, Math. Ann. 47 (1896), p. 312 ff. 



11. Algebraisch rektifizierbare Linien. 23 

und deren Vorzeichen -f- oder - - ist, je nachdem ein den Bogen 
von A nach B durchlaufender Punkt in der positiven oder negativen 
Tangentenrichtung fortsclireitet. 

Als ein Hulfsmittel fiir die Rektifikation mancher ebenen Linien 
giebt J. Steiner 53 ) den Satz an, dass jedes Stuck einer Fusspunktlinie 
einer ebenen Linie I ebenso lang ist, wie derjenige Bogen, welcher 
beim Abrollen des entsprechenden Stiickes von I auf einer festen 
Geraden von dem mit I fest verbundenen Pol der Fusspunktlinie be- 
schrieben wird. Tiber den Zusammenhang zwischen den Bogenlangen 
entsprechender Stiicke von parallelen Linien vgl. Nr. 4. 

Die Anwendungen, welche die Theorie der elliptischen Integrale 
und Funktionen bei der Langenberechnung krummer Linien gefunden 
hat, sind eingehend besprochen in A.Enneper, Elliptische Funktionen 54 ). 
In das gleiche Gebiet gehort eine dort nicht erwahnte Arbeit von 
E. v. LiUenthal 55 }. 

Zur angenaherten Berechnung von Bogenlangen ebener sowolil 
wie gewundener Linien hat J. Somo/f 56 ) die folgende Regel aufgestellt: 

,,Die Lange eines geniigend kleinen Bogens ist gleich vier Dritteln 
seiner Sehne, vermindert um den sechsten Teil der Summe, welche 
aus den beiden Projektionen dieser Sehne auf die an die Endpunkte 
des Bogens gefiihrten Tangenten gebildet ist>." 

11. Algebraisch rektifizierbare Linien. Eine Linie heisst alge- 
braisch reldifizierbar, wenn die Lange des zwischen einem festen 
Anfangs- und einem beweglichen Endpunkt enthaltenen Bogens der- 
selben eine algebraische Funktion der Koordinaten des Endpunktes 
ist. Nachdem G. Humbert} fiir die ebenen algebraischen Linien, 
welche algebraisch rektifizierbar sind, gezeigt hatte, dass zwischen 
der Lange s des Bogens einer solchen Linie und den Koordinaten 
x, y seines Endpunktes stets eine Gleichung von der Form: 



53) J. Steiner, J. f. Math. 21 (1840), p. 3536 = Ges. Werke 2, Berlin 1882, 
p. 101. Vgl. auch J. f. Math. 14 (1835), p. 89 = Ges. Werke 2, p. 28. Ein Be- 
weis steht in J. Bertrand, Traite de calc. diff. et de calc. int. 2, calcul inte 
gral, Paris 1870, p. 372. 

54) 2. Aufl. herausg. von F. Miiller, Halle 1890, p. 514552 u. 560564. 

55) R. v. Lilienfhal, Zur Theorie der Kurven, deren Bogenlange ein ellip- 
tisches Integral erster Art ist. Diss. Berlin 1882. 

56) J. Somoff, St. Petersbourg Bull. 15, p. 257 = Math. Ann. 4 (1871), p. 505. 

57) G. Humbert, J. de math. (4) 4 (1888), p. 133137. 



24 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung tier Differential- u. Integral rechnung. 

besteht, wo s eine Konstante und r erne rationale Funktion bedeutet, 
hat L. Kocnigsberger} unter Klarlegung der eigentlichen Quelle 
dieses Satzes Ausdehnungen desselben namentlich auch auf algebraische 
Raumkurven sowie auf transcendente ebene Linien gegeben. 

Eine ebene algebraische Linie ist dann und nur dann algebraisch 
rektifizierbar, wenn sie als Evolute zu einer algebraischen Linie gehort. 
Im Raume dagegen sind zwar die Filar-Evolventen (Nr. 33) jeder alge 
braisch rektifizierbaren algebraischen Raumkurve wieder algebraische 
Linien, aber umgekehrt ist, wie P. StacM*) gezeigt hat, eine Filar- 
Evolute einer algebraischen Raumkurve C nur dann wieder algebraisch 
(und dann auch stets algebraisch rektifizierbar), wenn der Sinus des 
Torsionswinkels (Nr. 30) von I algebraisch von den Koordinaten des 
Punktes abhangt, auf den er sich bezieht. 

Die allgemeinste Form der Gleichungen aller algebraisch rektifi 
zierbaren algebraischen Linien ergiebt sich aus der von G. Darboux 60 ) 
gefundenen Losung der Aufgabe (Nr. 13), auf die allgemeinste Weise, 
jedoch ohne Anwendung von Integralzeichen, vier Funktionen x, y, z, s 
einer Veranderlichen so zu bestimmen, dass sie die Gleichung 
dx 2 -j- dy* -f- dtp = ds 2 erfiillen, wenn man die willkurlichen Funk 
tionen, welche in den Ausdriicken fiir x, y, z, s auftreten, der Be- 
dingung unterwirft, algebraisch zu sein 61 ). Auf anderem Wege ist 
P. Stdckel 62 ) ebenfalls zur Bestimmung jener allgemeinsten Form 
gelangt. 

12. Minimalkurven. Wenn man sich nicht auf die alleinige 
Betrachtung reeller Gebilde beschrankt, so hat es einen Sinn, nach 
denjenigen Linien in der Ebene, bez. im Raume zu fragen, welche 
der Differentialgleichung : 

dx* + df = , bez. dx* -f dif + ^ 2 = 

genugen, auf denen also jedes beliebige Bogenstiick die Lange Null 
hat. Linien dieser Art heissen Minimalkurven} und, wenn sie durch 
lineare Gleichungen darstellbar sind, Minimalgerade. 

v 

58) L. Koenigsberger, Math. Ann. 32 (1888), p. 589. 

59) P. Stdckel, Math. Ann. 43 (1893), p. 171177, und 45 (1894), p. 341343. 

60) G. Darboux, J. de math. (4) 3 (1887), p. 314319. 

61) G. Darboux, J. de math. (4) 3 (1887), p. 314 u. 316. 

62) P. Stdckel, Math. Ann. 45 (1894), p. 341356. 

63) Nach S. Lie, Math. Ann. 14 (1879), p. 337, der mit Hiilfe des Begriffs 
der Minimalkurven die Lehre von den Minimalflachen in mancher Hinsicht ver- 
einfacht hat. Historische Angaben iiber das friihere Vorkommen des Begriffes 
macht S. Lie, Geom. der Beruhrungstransformationen, dargestellt von S. Lie 
und G. Scheffers, 1, Leipzig 1896, p. 433. Die Haupteigenschaften der Minimal- 



12. Minimalkurven. 13. Losung der Gleicliung dx* -\- dy* = ds*. 25 

Die ebenen Minimalkurven sind samtlich Gerade und fallen mit 
den durch die ;? unendlichfernen Kreispunkte" (III A 7) gehenden Geraden 
zusammen. Denn aus dx 2 + dy 2 = folgt dx + idy = oder 
x i iy Const. Im Raume giebt es dagegen ausser Minim algeraden 
(welche mit den den Kugelkreis" schneidenden Geraden iiberein- 
stimmen) auch nicht geradlinige Minimalkurven. Die Tangenten dieser 
letzteren sind samtlich Minimalgerade und ihre Schmiegungsebenen 
beruhren den Kugelkreis. Jede nicht geradlinige Minimalkurve kann 
daher als Riickkehrkante einer dem Kugelkreis umschriebenen ab- 
wickelbaren Flache angesehen werden, d. h. einer Flache, die von 
einer Schar imaginarer Ebenen: 



umhiillt wird, in deren Gleicliung A, JB> C, D beliebige, nur der Be- 
dingung : 



unterworfene Funktionen einer Hulfsveranderlichen bedeuten. 

13. Losung der Gleichung dx 2 -J- dy 2 ds 2 und ahnlicher 
Gleichungen ohne Anwendung von Integralzeichen. Die Diffe- 
rentialgleichung dx 2 -j- dy 2 -f- ds 2 = der Minimalkurven geht durch 
die Substitution z = is in 

dx 2 -f- dy 2 = ds 2 

fiber. Daher ist die Aufgabe, die Koordinaten x, y } eines verander- 
lichen Punktes einer Minimalkurve auf die allgemeinste Weise, jedoch 
ohne Anwendung von Integralzeichen, als Funktionen eines Para 
meters t darzustellen , gleichbedeutend mit der andern, auf die all 
gemeinste Weise und ebenfalls ohne Anwendung von Integralzeichen 
drei Funktionen x } y,s einer Veranderlichen t so zu bestimmen, dass 
sie der Gleichung dx 2 -\- dy 2 ds 2 geniigen. Diese letztere Aufgabe 
kann aber -- wenn man von der allereinfachsten einer geraden Linie 
entsprechenden Losung: 

x = at -f- &, 

y = ]/l a 2 1 -j- c, 
s = t, 
wo a, b, c Konstante bedeuten 64 ), absieht - - dadurch gelost werden, 



geraden und -kurven sind bei G. Scheffers, Einf. in die Theorie der Kurven, 
p. 67, 142 u. 335346, entwickelt. Vgl. auch S. Lie, Vorl. vib. kontinuierliche 
Gruppen, hrsg. v. G. Scheffers, Leipzig 1893, p. 694 709. 

64) Wenn man in dieser elementaren Losung die Konstanten a, &, c durch 
Funktionen von t ersetzt und dann verlangt, diese Funktionen ohne Anwendung 



26 III D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechuung. 

dass man x, y als die Koordinaten eines veranderlichen Punktes der 
Evolute einer durch zwei beliebige Gleichungen: 



gegebenen Linie I ansieht. Denn dann ergeben sich sowohl fiir x,y 
als fiir die Bogenlange s des von dem Punkte x, y beschriebenen 
Weges -- die sich ja von dem Kriimmungsradms von I nur urn eine 
Konstante unterscheiden kann (Nr. 16) - - Ausdriicke der verlangten 
Art, die aus den Funktionen g(t), li(f) und deren Ableitungen erster 
und zweiter Ordnung zusammengesetzt sind 65 ). Weil jede ebene 
krumme Linie als Evolute einer anderen angesehen werden kann, erhalt 
man so zugleich die allgemeinste Losung. 

Da man auch noch die Freiheit hat, den Parameter t durch eine 
beliebige Funktion eines neuen Parameters 6 zu ersetzen, so lasst 
sich die Anzahl der vorkommenden willkurlichen Funktionen ohne 
Einschrankung der Allgemeinheit auf eine ermassigen. Wahlt man 
als neue unabhangige Veranderliche den Winkel 9, welchen die Nor- 
male von I mit der Abscissenaxe bildet, so dass t als Funktion von 6 
durch die Gleichung: 

g (t)coaO + h (t)8wO= 
bestimmt wird, und setzt man sodann: 

- g(t) cos 9 h(f) sin 9 = rp(Q} 1 

so erhalt man fiir x, y, s die folgenden bereits von L. Eulcr 66 ) an- 
gegebenen allgemeinsten Ausdriicke: 

x = <p sin 9 -j- y" cos 9, 

y = y cos 9 -f- cp" sin 6, 

s = cp + y", 

in denen cp eine beliebige Funktion von 9 bezeichnet. 

Ersetzt man in den vorangehenden Formeln is durch z und lasst 
man zugleich fiir 9 und <p(0) beliebige komplexe Werte zu, so liefern 

vo ?LJ_ nte ^ ralzeicl :ien so zu bestimmen, dass die Gleichungen dx = adt, dy = 
I/I a*dt bestehen bleiben, so wird man auf die in den nachfolgenden Aus- 
fiihrungen des Textes besprochene allgemeine Losung gefiihrt. Vgl. S. F. Lacroix, 
Traite du calc. diff. et du calc. int., 2. 6d. 2, Paris 1814, p. 698700. 

65) Auf diesem Wege hat schon J. Newton in seiner Methodus fluxionum 
die Aufgabe gelost: ,,Invenire quotlibet Curvas quarum Longitude finita Aequa- 
tione possit exprimi". Vgl. J. Newtoni Opuscula mathematica 1, Lausannae 
& Genevae 1744, p. 178. 

66) Nach einer Angabe, welche G. Darboux, J. de math. (2) 18 (1873), 
p. 236237, ohne nahere Angabe der betreffenden Stelle niacht. 



13. Losung der Gleichung dx* -f- dy* = ds 2 . 27 

sie die allgemeinste von Integralzeichen freie Parameterdarstellung 
einer Minimalkurve. Durch die Substitution: 



wo f(r) eine willkiirliche Funktion des neuen Parameters r bedeutet, 
imd durch Vertauschung von y mit z ergiebt sich die von K. Weier- 
strass 61 ) benutzte Darstellung: 

x = (1 - r 2 ) f" W + 2r/" to - 2f(r\ 
y = i(l+ t 2 ) f 00 - 



der Minimalkurven. 

Auf dem umgekehrten Wege ist 6r. Darboux zum Ziel gelangt, 
indem er von der am Schluss der Nr. 12 gemachten Bemerkung aus- 
ging und daraus folgerte, dass man die allgemeinste Parameterdar 
stellung der (nicht geradlinigen) Minimalkurven erhalten konne, indem 
man zunachst irgend drei Funktionen A, B, C einer Veranderlichen t 
so annimmt, dass sie die Bedingung: 

^2 _|_ B 2 _|_ ^2 = 

erfiillen (wahrend jedoch ( ^- J -}- (-^-j -f~ (^- j von Null verschieden 

1st), und sodann, unter u eine vierte ganz willkiirliclie Funktion von t 
verstehend, x, y, 2 aus den Grleichungen : 



dA dB . dC . du 

-j-rX -\ -- j^lj -\ -- rr^ + -7T == 0, 

dt dt y dt dt 

. d*C d*u 



als Funktionen von t bestimmt 68 ). 

Die allgemeinere Aufgabe, ohne Anwendung von Integralzeichen 
auf die allgemeinste Weise vier Funktionen x, y, 2, s einer Verander 
lichen t so zu bestimmen, dass die Gleichung: 

dx 2 + df + dz* = ds 2 

besteht, und die entsprechende Aufgabe fiir einen Raum von beliebig 
vielen Dimensionen sind zuerst von J. A. Serret 6S } gelost worden. 

Ein auderes durch Wahrung der Symmetrie sich auszeichnendes 
Losungsverfahren, welches auch auf andere homogene Gleichungen 



67) K. Weierstrass, Berl. Monatsber. 1866, p. 619. 

68) G. Darboux, J. de math. (2) 18 (1873), p. 236237. 

69) J. A. Serret, J. de math. (1) 13 (1848), p. 353. 



28 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

zwiscben mehreren Differentialen ausgedehnt werden kann, hat G. Dar- 
loux angegeben. Dasselbe besteht in folgendem: Man wahle fiir a, /?, y 
nach Belieben irgend drei der Bedingung: 



f == 



unterworfene Funktionen von t, bilde die Determinanten : 



dp dy 
~dt ~dt 
d*f}d*y 
dt* dt* 



dy dec 
~dt ~dt 
d*y d*u 
di* dt* 



dee. dfl 
~d~t ~dt 



= v , 



und bestimme sodann, unter u eine beliebige Funktion von t ver- 
stehend, drei Funktionen a, I, c von t so, dass die Gleichungen: 

Aa -j- /t6 -f- vc = u, 



dt 



dt 



dt 



besteben. 

Dann sind: 



dt* 



db 
dp 



dc 



x = as -j- a, 

y = p s + 6, 

^ = ys -j- c 

vier Ausdriicke der verlangten Beschaffenheit 70 ). Durch zweckmassige 
Einfiihrung abkiirzender Bezeichnungen fiir drei aus den Ableitungen 
erster bis vierter Ordnung der Funktionen a, /3 7 y zusammengesetzte 
Determinanten ist es G. Darboux gelungen, die endgiiltigen Aus 
driicke fiir x, y, z, s durch die Funktionen a, /3 ; y f u und deren Ab 
leitungen in verhaltnismassig kurzer Form darzustellen 71 ). 

14. Kriimmung ebener Linien. Wenn P ein gfwohnlicher 
Punkt einer ebenen Linie I und diese letztere in der Nahe von P 
krumm ist, so schneiden sich die in P und einem von P verschie- 
denen Punkt Q der Linie I auf dieser errichteten Normalen in einem 



70) G. Darboux, J. de math (2) 18 (1873), p. 239240. Weitere Ausftih- 
rungen J. de math. (4) 3 (1887), p. 305. Dort wird auch der Ausnahmefall er- 
ortert, dass die Determinante aus den Funktionen >l, p, v und ihren Ableitungen 
1. und 2. Oidnung gleich Null ist, und gezeigt, dass derselbe auf die ent- 
sprechende Aufgabe fiir weniger Veranderliche fiihrt. 

71) G. Darboux, J. de math. (4) 3 (1887), p. 317319. 



14. Krummung ebener Linien. 29 

im Endlichen liegenden Punkte S, sobald der Abstand P Q miter 
einer gewissen Grenze liegt. 1st ferner bei Anwendung der in Nr. 2 
erklarten Bezeichnungen: 

im Fall I die Determinante x y " - y X Q ", 

im Fall II der Ausdruck F xx F y 2 2F xy F x F y + F yy F x * 

an der Stelle X Q , y Q , bezw. der Wert y Q " von Null verschieden, so 
nahert sich der Punkt S bei unbegrenzter Annaherung des Punktes Q 
an den Punkt P unbegrenzt einem festen im Endlichen liegenden 
Punkte M . 

Dieser Punkt M heisst der Krummung smittelpunkt, der Abstand 
der Punkte M 0) P heisst der Krummung sradius, der reziproke Wert 
des Kriimmungsradius heisst die Krummung und der mit dem Radius 
M Q P Q urn M als Mittelpunkt beschriebene Kreis heisst der Krum- 
mungskreis (Oskulationslweis) der Linie I im Punkte P . 72 ) 

Wenn dagegen in einem der soeben unterschiedenen Falle der 
Ausdruck, von welchem vorausgesetzt wurde, class er von Null ver- 
schieden sei ; den Wert Null hat, wahrend alle ubrigen Voraussetzungen 
bestehen bleiben, so entfernt sich der Punkt S ins Unendliche, wenn 
Q dem Punkt P unbegrenzt nahe riickt. Von einem eigentlichen 
Kriimmungsmittelpunkt und einem Krummungsradius kann dann nicht 
mehr die Rede sein. An die Stelle des Kriimmungskreises tritt die 
Tangente von I in P , und die Krummung ist gleich Null zu setzen. 

Wenn man durch drei von einander verschiedene Punkte P, Q, E 
von I einen Kreis ~k hindurchlegt und sodann die Punkte P, Q, E dem 
Punkte P unbegrenzt anniihert, so nahert sich der Kreis h unbegrenzt 
dem Kriimmungskreise von I in P , gleichgultig in welcher Weise 
die Annaherung der Punkte P, Q, E an P erfolgt 73 ). Der Kriim- 
mungskreis kann daher auch erklart werden als die Grenzlage des 
durch P und zwei unendlich nahe Nachbarpunkte gehenden Kreises, 
oder als die Grenzlage desjeuigen Kreises, welcher I in P beriihrt 
und durch einen unendlich nahen Nachbarpunkt geht, oder endlich 



72) Historisches iiber das erste Auftreten dieser Begriife bei Huygens, 
Leibniz und Newton findet sich in Haas, Versuch einer Darst. d. Gesch. d. 
Krgsm., p. 811, und M. Cantor, Vorles. ub. Gesch. d. Math. 3, Leipzig 1894/98, 
P- 134138 u. 1&9 ff. - - Uber die Ausdehnung des BegriflFs der Krummung 
auf singulare Punkte und fiber die Ermittelung der Kriimmungskreise der durch 
einen solchen Punkt gehenden Linienzweige vgl. L. Painvin, Ann. di mat. (2) 4 
(1870/71), p. 215. 

73) Die Hulfsmittel zum Beweise hat H. A. Sclwarz, Ann. di mat. (2) 
10 (1880/82), p. 129 = Ges. math. Abhandl. 2, Berlin 1890, p. 296 geliefert. 



30 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

als die Grenzlage desjenigen Kreises, welcher durch P geht und I 
in einem unendlich nahen Nachbarpunkt beriihrt. 

Der Kriimmungskreis von I in P hat in diesem Punkte mit I 
eine Beruhrung von der zweiten oder einer hoheren Ordnung und ist 
der einzige Kreis, dem diese Eigenschaft zukommt. Diejenigen Punkte 
einer Linie I, in welchen der Kriimmungskreis mit I eine Beriihruug 
von ltdherer als der zweiten Ordnung hat, heissen Sclieitel von I. 

Ist unter der Voraussetzung, dass zu P ein im Endlichen 
liegender Kriimnmngsmittelpunkt gehort, irgend ein durch P hin- 
durchgehender Kreis gegeben, dessen Mittelpunkt im Innern der Strecke 
M P oder auf ihrer Verlangerung iiber P hinaus liegt, so verlauft 
die Linie I in hinreichender Nahe von P ausserlialb dieses Kreises. 
Ist dagegen urn einen Mittelpunkt, welcher der Verlangerung von 
M Q P Q fiber M Q hinaus angehort, ein durch P gehender Kreis be- 
schrieben, so liegt I in hinreichender Nahe von P im Innern dieses 
Kreises. Der Krummungskreis von I in P bildet den Ubergang 
zwischen den beiden eben erwahnten Arten von Kreisen und ist im 
allgemeinen so beschaffen, dass sich auf I in jeder Nahe von P 
sowohl Punkte finden, welche ausserhalb, als auch Punkte, welche 
innerhalb des Krummungskreises liegen. 

Hat I in P die Krummung Nail, so liegt I in der Nahe von P 
ausserhalb eines jeden Kreises, welcher I in P beruhrt. 

Unter den im Anfang dieser Nummer gemachten Voraussetzungen 
und bei Anwendung der in Nr. 2 angegebenen Bezeichnungen ergeben 
sich fur die Koordinaten ^ , VJ Q des Mittelpunktes und das Quadrat des 
Radius p des zu P gehorenden Krummungskreises von I die folgenden 
Ausdriicke: 
(I) -<r yo / ( a? o / *+yo > ) 

So *"<) x > " _ . >~-r> , 
^o !/u ifo x o 

... i <*+3/o *) 
<o "o T^ ~ . " __ " > 



(II) 

I "^ xx J v ^ "* x / *" x ** ~~t~ -^ t ii -^ " 

- > x,y = x ot y a 

r F(F f +F*) -, 

iy y i 

I I* 7 J^ * 2 2* 1 J F -f- JF* I* 1 2 

" ^ * * ^ X . V = J? . U . 



x , y = a: , 2/ k) 



74) Andere Gestalten dieser Formel in L. A. Sohnclce s Samml. v. Aufg. 1, 
22, 4. Aufl., p. 147. Vereinfachungen der Ausdrucke fur , TJ O , ?0 * durch 
zweckniassige Wahl des Parameters giebt G. Scheffers, Einf. in die Theorie der 
Kurven, p. 30 31. 



14. Krummung ebener Linien. 31 



Po 2 = 



2) 3 



bezw. 

% =x y * (1 + , y * 8) 

11 ~ 

. i *- ~t~ y<> 

r /o yo ~l ~~7r* ) 



In Eisenbahnkurven pflegt man unter Voraussetzung einer den 
Umstanden angemessenen Fahrgeschwindigkeit zur Ausgleichung der 
Fliehkraft die aussere Schiene holier zu legen als die innere. Da 
aber die Hohe der ausseren Schiene keinen plotzlichen Sprung erleiden 
darf ; ist es nicht moglich, an eine geradlinige Strecke direkt eine 
kreisformige Kurve anzuschliessen. Man muss vielmehr zwischen beide 
ein Kurvenstiick einschalten, langs dessen die Krummung stetig von 
Null bis zu demjenigen Werte zunimmt, welcher dem anzuschliessenden 
Kreisbogen entspricht. Ein Kurvenstiick dieser Art kann man da- 
durch erhalten, dass man nach willkiirlicher Annahme eines oberhalb 
2 gelegenen konstanten Exponenten a und nach geeigneter Bestim- 
mung eines konstanten Koeffizienten a von der durch die Gleichung 
y = ax a dargestellten Linie ein im Nullpunkt beginnendes Stuck von 
geeigneter Grosse abschneidet 75 ). 

Hat man fur eine von singularen Punkten freie ebene Linie I die 
positive Tangentenrichtung festgelegt und zugleich in der Ebene von I 
einen bestimmten Drehungssinn als positiven angenommen 7 so pflegt 
man die positive Richtung der Normale durch die Bedingung festzu- 
stellen, sie solle aus der positiven Tangentenrichtung durch eine posi 
tive Drehung urn einen rechten Winkel hervorgehen. Nach solchen 
Festsetzungen legt man vielfach auch der Krummung und dem Kriim- 
mungsradiiis bestimmte Vorzeichen bei, indem man unter der Krummung 
von I in einem Punkte P diejenige positive oder negative Zahl ver- 
steht ; deren absoluter Wert die Krummung im bisherigen Sinne angiebt, 
wahrend ihr Vorzeichen -f oder - - ist ? je nachdem der Kriimmungs- 
mittelpunkt auf der positiven oder der negativen Normale liegt, und 

75) tiber das Abstecken und die praktische Ausfuhrung solcher Ubergangs- 
kurven vgl. F. E. Helmert, Die Ubergangskurven fiir Eisenbahngeleise, Aachen 
187-2; W. Jordan, Handbuch der Vermessungskunde 2, 5. Aufl. Stuttgart 1897, 
p. 748752; H. Oostinjer, Organ fiir die Fortschritte des Eisenbahnwesens, Neue 
Folge 34, Wiesbaden 1897, p. 178179, und A.Francke, ebendas. 36 (1899), 
p. 265268. 



32 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

sodann den Krummungsradius dem reziproken Wert der so erklarten 
Kriimmung gleichsetzt. 

Ferner ordnet man haufig jedera Punkt P von I denjenigen 
Punkt Q auf dem Umfang eines in der Ebene von I liegenden Kreises 
vom Radius 1 zu, in welchem der von Q nach dem Mittelpunkt des 
Kreises gehende Radius zu der positiven Normale von I in P parallel 
und gleichgerichtet ist (Abbildung auf den Einheitskreis durch parallck 
Narmalcn) -- mit der weiteren Festsetzung, dass bei Berechnung der 
Lange eines von Q durchlaufenen Weges jeder einzelne Teil desselben 
mit dem Vorzeichen -f- oder - - in Ansclilag gebracht werden soil, 
je nachdem er von Q im positiven oder negativen Drehungssinn be- 
scbrieben wird. Sind dann A, B irgend zwei Punkte von l t so nennt 
man die Lange des Weges, welchen Q durchlauft, wahrend P stetig 
von A zu B iibergeht, die ganze Kriimmung des Bogens AB, und den 
Quotienten, den man erhalt, indem man die ganze Kriimmung eines 
Bogens durch dessen (nach Nr. 10 mit einem bestimmten Vorzeichen 
versehene) Lange dividiert, die mittlere Kriimmung dieses Bogens 76 ). 

Riicken auf I zwei Punkte P lf P 2 einem festen Punkt P gleich- 
zeitig unbegrenzt nahe, so nahert sich die mittlere Kriimmung des 
Bogens P X P 2 unbegrenzt der - - nach dem obigen mit einem be 
stimmten Vorzeichen versehenen - - Kriimmung von I in P . 

Ist T die ganze Kriimmung des zwischen einem festen Anfangs- 
punkt A und einem beweglichen Endpunkt P enthaltenen Bogens 
von I, ferner s die Lange dieses Bogens, fc die Kriimmung und Q 
der Krummungsradius von I in P, so ist dem vorstehenden gemass 
immer : 

1 ._ ]f dr . 

/v -; 

t> as 

Und wenn im Fall Nr. 2, I die Richtung der wachsenden t als posi 
tive Tangentenrichtung gewahlt ist, so gilt ferner die Gleichung: 



wo der Wurzel ihr positiver Wert beizulegen ist. Dieser letzteren 



76) Diese Begriffe sind erst nach dem Erscheinen und durch den Einfluss 
von C. F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Comm. Gott. 6 
(1828) == Werke 4, p. 217 ff. in Gebrauch gekommen. Gauss selbst hat sie in 
dem ersten Entwurf dieser Abhandlung (1825), Werke 8, p. 408 ff. (vgl. auch 
p. 397 u. 398) vollstiindig entwickelt, sich aber dann bei deren endgiiltiger Ab- 
fassung auf die Erklarung der entsprechenden Begriffe f iir Flachen (Nr. 36) be- 
schrankt. 



14. Kritmmung ebener Linien. 



33 



Formel kann man, indem man t als die wahrend der Bewegung von P 
verfliessende Zeit auffasst, die Deutung geben: 

Kriimmung = Beschleunigung in der positiven Normalenrichtung 

Quadrat der Greschwindigkeit 

Unter dem zu einem Bogenelement ds einer Linie I gehorenden Km- 
tingenzwinM versteht man den spitzen Winkel zwischen den Tan- 
genten von I in den Endpunkten von ds. Wenn man jedoch der 
Kriimmung und der von einem festen Anfangspunkt an gemessenen 
Bogenlange s von I bestimmte Vorzeichen beilegt, so pflegt man auch 
die eben gegebene Erklarung scharfer zu fassen und den erwahnten 
Winkel erst dann als den ds entsprechenden Kontingenzwinkel von I 
zu bezeichnen, nachdem er mit demjenigen Vorzeichen versehen ist, 
welches ihn mit dem zu ds gehorenden Differential der ganzen Kriim 
mung des Bogens s in Ubereinstimmung bringt. 

Die Kriimmung k einer ebenen Linie ist eine Differentialinvariante 
(II A 6, Nr. 13) derselben gegeniiber alien Bewegungen in der Ebene 
Dasselbe gilt von den in Bezug auf die ganze Kriimmung r ge- 
nomrnenen Ableitungen ^ f ~ J "- Zugleich stellen die Funktione^n: 

k y ~ , - . . . 

an deren Stelle man auch: 

T, dk d*k 

> d7 > ri7*> ) 



ds 
oder: 



oder: 



nehmen konnte, insofern alle wesentlichcn Differentialinvarianten gegen 
iiber Bewegungen in der Ebene dar, als sich jede solche Differential 
mvariante als eine Funktion der Glieder einer beliebigen dieser Reihen 
darstellen lasst 77 ). 

Als KriimmungsscliwerpunU einer ebenen Linie I bezeichnet 
J.Steiner} denjenigen Punkt 7 welcher der Schwerpunkt von I wird, 
wenn man diese Linie so mit Masse belegt, dass deren Dichtigkeit 
iiberall der Kriimmung von I proportional wird. 

77) Vgl. G. Scheffers, Einfiihrung in die Theorie der Kurven, 8, p. 4250 
Uber Krvimmungsdifferentialinvarianten gegeniiber beliebigen projektiven, sowie 
allgememen Punkt- und Beriihrungstransformationen s. I B 2, Nr. 21, 22 

78) J. Steiner, J. f. Math. 21 (1840), p. 33 = Ges. Werk e 2, p 99- C Neu 
mann, Ann. di mat. (2) 1 (1867/68), p. 280; fur Flachen ebenda, p. 283^ 

Encyklop. d. math. Wissensch. IU 3. o 



34 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechmmg. 

15. Natiirliche Gleichung einer ebenen Linic. Wenn zwischen 
zwei reellen Veranderlichen s, Q erne Gleichung f(s, Q) = gegeben 
ist, durch welche Q fur ein den Wert s = enthaltendes Intervall 
als eine von Null verschiedene Funktion von s bestimmt wird, so 
kann man von einer ebenen Linie I fordern, sie solle von singularen 
Punkten frei und ausserdem so beschaffen sein, dass ihre von einem 
festen Anfangs- bis zu einem beweglichen Endpunkt P gemessene 
und in der einen Richtung positiv, in der andern negativ gerechnete 
Bogenlange mit s und ihr (gemass dem Vorangehenden als positiv oder 
negativ anzusehender) Kriimmungsradius in P mit Q ubereinstimmt. 
Durch diese Forderung wird die Gestalt von I bestimmt, wahrend die 
Lage unbestimmt bleibt. Eine Gleichung dieser Art heisst eine natiir- 
liche Gleichung (equazione intrinseca) der betreffenden Linie 79 ). 

Aus der naturlichen Gleichung f(s,o) = Q einer Linie kann man 
eine Parameterdarstellung derselben gewinnen, indem man zunachst 
eine Funktion T von s durch die Gleichung: 

*ds 



bestimmt, wobei die Integrationskonstante willkiirlich gewahlt werden 

kann, und sodann: 

f* C 

x = I cos r ds, y = / sin r ds 
" J J J 

setzt. 

Hat man aus der naturlichen Gleichung einer Linie I die Krum- 

mung 7c == als Funktion der Bogenlange s berechnet: 

Q 

so erhalt man, wenn r die ganze Kriimrnung des Bogens s bezeichnet, 
zunachst : 

79) Vgl. auch Nr. 32. Allgemeine Kegeln und zahlreiche Beispiele fiir 
die Ermittelung gestaltlicher Eigenschaften einer Linie aus ihrer naturlichen 
Gleichung giebt E. Cesaro, Geotn. intrinseca, p. 619, und aucli in den nachst- 
folgenden Kapiteln. Insbesondere wird die Ermittelung der etwa vorhandenen 
Spitzen, Wendepunkte, Asymptoten, asymptotischen Punkte und asymptotischen 
Kreise besprochen. Ferner werden einerseits die naturlichen Gleichungen vieler 
bekannter Linien entwickelt, die sich in rechtwinkligen oder Polarkoordinaten 
durch einfache Gleichungen darstellen lassen (Kegelschnitte, Cassinoide, Ketten- 
linie, Traktrix, Kreisevolvente , Cykloide u. a.) und andererseits die Gestalten 
solcher Linien untersucht, die durch natiirliche Gleichungen einfacher Art, z. B. 
eine quadratische Gleichung zwischen s und e , bestimmt sind. Auch die Auf- 
gabe, eine ebene Linie aus gegebenen Eigenschaften zu bestimmen, wird in 
einer grossen Zahl von Fallen durch Ermittelung der natiirlichen Gleichung 
gelost. 



15. Natiirliche Gleichung einer ebenen Lime. 16. Evoluten u. Evolventen. 35 

dk_ __ dk^ ds^ _ dk_ 1 g ( s ) 
dr ds dr ds T ~~ #(s) \ 

und kann aus dieser und der vorangehenden Gleichung durch Elimi 
nation von s eine Gleichuno-: 

O 

-(*) 

zwischen den beiden ersten Differentialinvarianten k und ^ 7 - ableiten 

dr 

Abweichend von der soeben gegebenen Erklarung nennt G. Scheffers 80 ) 
diese letztere Gleichung die natiirliche Gleichung von I, weil sie, 
sobald lc nicht konstant ist, ebenfalls die Gestalt von I bestimmt und 
dabei den Vorzug hat, sich nicht zu iindern, wenn der Anfangspunkt 
der Bogenlangen auf I verschoben wird. Eine Parameterdarstellung 
von I kann man aus ihr dadurch gewinnen, dass man aus der Glei 
chung J - = T, in welcher die Integrationskonstante beliebig ge- 
wahlt werden darf, k als Funktion von t berechnet und sodann: 



/cos 
- 



dr 
u * j K 

setzt. 

16. Evoluten und Evolventen. Die Gesamtheit aller zu den 
einzelnen Punkten einer ebenen Linie I gehorenden Krummungsmittel- 
punkte von I heisst die Kriimmungsmittelpunldslinie oder die Evolute 81 ) 
von 1. Wenn eine ebene Linie I von singularen Punkten frei und so 
beschaffen ist, dass zu jedem ihrer Punkte ein im Endlichen gelegener 
Krummungsmittelpunkt gehort, und verschiedenen Punkten von I auch 
verschiedene Krummungsmittelpunkte entsprechen, so stimmt die Nor- 
male von I in einem beliebigen Punkte P stets mit der Tangente der 
Evolute von I in dem zu P gehorenden Krummungsmittelpunkt iiberein. 
Sind ferner A, B irgend zwei Punkte von I, und hat das von ihnen 
begrenzte Stuck AB von I die Eigenschaft, dass der zu einem beweg- 
lichen Punkt P dieses Stiickes gehorende Krumnrangsradius von I 
bestandig zu- oder bestandig abnimmt, wenn P das Stiick AB, ohne 
umzukehren, durchlauft, so ist die Lange des zu AB gehorenden 
Stiickes der Evolute von I gleich der Differenz der Kriimmungsradien 
von I in den Punkten A und B. Das Stiick AB kann daher als die 
Bahn angesehen werden, welche von dem freien Endpunkt eines un- 

80) Einfiihrung in die Theorie der Kurven, p. 52. Vgl. auch p. 210211. 

81) Diese Bezeichnung stammt von Ch. Huygens; vgl. M. Cantor, Vorles. 
iib. Gesch. d. Math. 3, Leipzig 1898, p. 134. Eine Erweiterung des Begriffes 
wird in Nr. 33 angegeben. 



36 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Amvendung der Differential- u. Integralrechnung. 

ausdehnbaren und gespannt bleibenden Fadens bei der Aufwickelung 
dieses letzteren auf, oder bei seiner Abwickelung von der Evolute 
beschrieben wird. 

Wahrend zu einer gegebenen Linie nur eine Evolute gehort, giebt 
es umgekehrt, wenn eine krumme ebene Linie c gegeben ist, unend- 
lich viele verschiedene Linien, welche e als Evolute haben. Diese 
Linien heissen Evolventen von e. Sie sind alle einander parallel und 
entstehen aus e in der angegebenen Weise durch Auf- oder Abwicke 
lung eines Fadens. 

17. Konstruktionen von Krummungsmittelpunkten. Bei den 
,,cyklischen" Linien (solchen, die von einem mit einem Kreise fest ver- 
bundenen Punkte beim Abrollen dieses Kreises auf einem andern festen 

Kreise erzeugt werden konnen) besteht (IV 3, 
Nr. 9) die folgende zuerst von L. Euler^} in 
anderer Form abgeleitete, spater von Savary 83 ) 
in seinen Vorlesungen benutzte und daher 
als Savary sclie Gleichung bekannte Beziehung : 
In einer Ebene seien (Fig. 2) K ein fester 
Kreis, f der Mittelpunkt desselben, k ein 
beweglicher auf K rollender Kreis, P ein 
mit k fest verbundener Punkt, I die von P 
beschriebene Bahn, P ein beliebiger Punkt 
derselben, TT der zugehorige Krummungs- 
K mittelpunkt von I und.B , C beziehentlich die 
Punkte, mit welchen der Beriihrungspunkt 
beider Kreise und der Mittelpunkt von k 
im Augenblick des Durchgangs von P durch 
P zusammenfallen. Bezeichnet dann, nach 
willkiirlicher Festlegung der positiven Rich- 
tungen der B mit C Q und P verbindenden 
Geraden, i den Winkel zwischen diesen positiven Richtungen, so ist 
bei Beachtung der am Schluss der Nr. 2 angegebenen Vorzeichenregel: 




Fig. 2. 



/ l 1 \ . l l 8 4\ 

( - ) cos ^ = ----- == ) 



82) L. Ewler, Novi Comment. Acad. Petrop. 11 (1765), p. 207, Supplemen- 
tum: ,,De figura dentium rotarum". 

83) Vgl. J. de math. (1) 10 (1845), p. 205. 

84) Geometrische Herleitungen der Gleichung geben C. F. A. Leroy, Traite 
de geom. descriptive, 2. ed. Paris 1842, 7. eU 1865, livre 9, chap. 3; A. Transon, 
J. de math. (1) 10 (1845), p. 148 ff. und L. Bwmester, Lehrb. d. Kinematik, 1, 
Leipzig 1888, p. 125. 



17. Konstruktionen von Krummungsmittelpunkten. 37 

In Verbindung mit dieser Gleichung hat schon Savary 8y ) die folgende 
Konstruktion des Kriimmungsmittelpunktes TT angegeben: Man er- 
richte in, JB auf P B eine Senkrechte und bringe dieselbe mit P C 
zum Durchschnitt in S. Dann schneiden sich die Geraden rS und 
P B in dem gesuchten Kriinimungsmittelpunkt TT . 

Diese Konstruktion und die Savary sche Gleichung bleiben auch 
dann anwendbar, wenn in einer Ebene die Bewegung einer starren 
Figur $ durch das Abrollen einer beliebigen ,,Polkurve" p auf einer 
beliebigen festen ,,Polbahn" it bestimmt ist. Denn die Bahn irgend 
eines zu ^5 gehorenden Punktes P hat an jeder Stelle P den gleichen 
Kriimmungsmittelpunkt wie diejenige Bahn, die sich ergeben wiirde, 
wenn man die Linien p und jr in dem Augenbliek, wo P durch P 
hindurchgeht, durch ihre zu dem augenblicklichen Beriihrungspunkt 
gehorenden Kriimniungskreise ersetzte. 

Da der Kriimmungsmittelpunkt einer Linie stets mit demjenigen 
Punkt iibereinstimmt, in welchem die beweglich gedachte Normale 
ihre Hiillbahn beriihrt, so kann man zur Konstruktion des Kriimmungs 
mittelpunktes einer gegebenen Linie in einem gegebenen Punkte ferner 
die Hiilfsmittel anwenden, welche die Kinematik zur Auffindung des 
Beriihrungspunktes einer bewegten Geraden mit ihrer Hiillbahn dar- 
bietet (IV 3, Nr. 9). Hiilfsmittel dieser Art und mannigfache An- 
wendtmgen derselben zur Konstruktion von Krummungsmittelpunkten 
geben A. Mannheim 86 ) und L. Burmester 8T ). Noch ein anderes auf 
dem gleichen Grundgedanken beruhendes Konstruktionsverfahren, welches 
insbesondere bei den ,,cyklischen" Linien zum Ziel fiihrt, hat W. Hart- 
mann 88 } angegeben. 

Fur die Kegelschnitte gilt nach J. Sterner ^ der folgende Satz: 
Diejenige Parabel, welche die zu einein beliebigen Punkte P des Kegel- 
schnitts gehorende Tangente und Normale und ausserdem (bei der 
Ellipse oder Hyperbel) die beiden Hauptaxen beriihrt, beziehungsweise 
(bei der Parabel) die Axe zur Scheiteltangente hat, beriihrt die Nor 
male in dem zu P gehorenden Kriimmungsmittelpunkt. Hieraus kann 



85) Vgl. C. F. A. Leroy, a. a. 0. 

86) A. Mannheim, Nouv. Ann. (1) 16 (1857), p. 322 (Kegelschnitte); ebd. 18 
(1859), p. 371 (cyklische Linien), und Ann. di mat. (1) 1 (1858), p. 364. 

87) L. Burmester, Lehrb. d. Kinematik, 1, Leipzig 1888, p. 63 (Verfolgungs- 
kurven), p. 90, 9396 u. 141142 (cyklische Linien). 

88) W. Hartmann, Zeitschr. d. Vereins deutscher Ingenieure 37 (1893), 
p. 95. 

89) J. Steiner, Vorles. lib. synthet. Geom. 2, bearb. v. H. Schriiter, Leipzig 
1867, p. 214223. Vgl. auch A. Mannheim, Nouv. Ann. (1) 16 (1857), p. 328. 




38 III D 1, 2. H. v. MangoJdt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

man, wie C. Pelz 90 ) gezeigt hat, die vielen bekannten Konstruktionen 

fiir die Kriimmungsmittelpunkte der Kegelschnitte ableiten. 

1st in einer Ebene eine Linie A als die Hiillbahn einer bewegten 

starren Linie I erklart, so kann die Auffindung ihres Kriimmungs- 

mittelpunktes in einem gegebenen Punkte, 
wie wohl P. Serret 91 ) zuerst ausdriicklicli 
hervorgehoben hat, auf die gleiche Aufgabe 
fiir eine als Punktbahn gegebene Linie 
zuriickgefiihrt werden. 1st namlich (Fig. 3) 
P ein beliebiger Punkt von A und A der- 
jenige (mit I fest verbunden zu denkende) 
Punkt von I, welcher mit P in dem 
Augenblick zusammenfallt, wo I die Hiill- 
bahn A in P beriihrt, ist ferner M der zu 
A gehorende Kriimmungsmittelpunkt von I 
und m die Bahn von M, so stimmt der 
Kriimmungsmittelpunkt C von A in P 
iiberein mit dem Kriimmungsmittelpunkt 
von m in demjenigen Punkt, wo M sich 

in dem erwiihnten Augenblick befindet. 

Durch Verbindung dieses Satzes mit der Savary schen Gleichung 
und der Bobillier schen Konstruktion (Nr. 6) ergiebt sich eine ein- 
fache Losung 92 ) der folgenden Aufgabe: In einer Ebene (Fig. 4) sei 

die Bewegung einer starren 
Figur $ dadurch bestimmt, 
dass zwei zu ^ gehorende 
Linien/", I beziehentlich auf 
zwei festen Linien qp, A 
gleiten. Man soil fiir die 
Hiillbahn d einer dritten zu 
^ gehorenden , .Linie d den 
Kriimmungsmittelpunkt in 
einem gegebenen Punkte A 
unter der Voraussetzung 
konstruieren, dass fiir den 
Augenblick, wo d und d 
Fig. 4. einander in A beriihren, der 




90) C. Pelz, Prag. Ber. 1879, p. 205. 

91) P. Serret, Des methodes en geometric, Paris 1855, p. 83. 

92) Vgl. L. Burmester, Kinematik, 1, p. 100, oder A. Mannheim, J. c. polyt. 



17. Konstruktionen von Kriimmungsmittelpunkten. 39 

zu A gehorende Kriimmungsmittelpunkt D von d sowie die zu 
den Beriihrungspunkten von f mit <p und von I mit A gehorenden 
Krummungsmittelpunkte F, 0, L, /\ dieser vier Linien gegeben seien 93 ). 
Bestimmt man namlich den Schnittpunkt P der Geraden OF, AL, 
ferner den Schnittpunkt Q der Geraden OA, -Fi, und macht sodann 
den Winkel DPQ in gleichem Sinne gleich dem Winkel LPQ, so 
braucht man nur die Gerade FD bis zum Schnittpunkt Q mit der 
Geraden PQ zu ziehen und Q mit <J> zu verbinden. Dann ist der 
Schnittpunkt A der Geraden Q <$>, PD der gesuchte zu A gehorende 
Kriimmungsmittelpunkt von d. 94 ) 

Diese Aufgabe und ihre Losung konnen dadurch, dass man eine 
oder mehrere der Linien d, f, (p, I, A zu Punkten zusammenschrumpfen 
lasst, in mannigfaltiger Weise spezialisiert werden. 

Wie unter ahnlichen Voraussetzungen die zum augenblicklichen 
Pol gehorenden Kriimmungsmittelpunkte der Polkurve und der Pol- 
balm konstruiert werden konnen, hat M. GrilUer 95 ) gezeigt. 

Einen geeigneten Ausgangspunkt fur die Entwickelung von Kon 
struktionen des Kriimmungsradius Q einer Linie I bildet auch die 

Formel (vgl. Nr. 14): 

v* 

V == ~^> 

wo v die Geschwindigkeit und n die Normalbeschleunigung eines auf 
I bewegten Punktes P bedeutet. Auf diesem Wege hat Bresse 96 ) die 
Aufgabe unter Hinzufiigung von Beispielen eingehend behandelt und 
die Anwendbarkeit der obigen Formel nachgewiesen: 

1) fur den Fall, dass I als Bahn eines Punktes P einer in 
der Ebene von I sich bewegenden starren Figur gegeben ist und 



21, cah. 37 (1858), p. 185187. Die ersten Lb sungen der allgemeinen Aufgabe 
oder spezieller Falle derselben wurden von A. Transon, J. de math. (1) 10 (1845), 
p. 154155, Chasles, ibid. p. 206207, und Bolillier, Cours de ge om. (12. ed. 
1870, p. 232) gegeben. 

93) An Stelle des einen Paares zusammengehorender Kriimmungsmittel 
punkte konnte auch die zum augenblicklichen Pol gehorende Tangente der Pol- 
bahn gegeben sein. Vgl. Burmester, Kinematik 1, p. 99, oder A. Mannheim, 
a. a. 0. p. 187. 

94) Uber die quadratische Verwandtschaft, welche entsteht, wenn man 
durch diese Konstruktion jedem Punkt D einen Punkt A zuordnet vgl. A. Schoen- 
flies, Geometric der Bewegung, Leipzig 1886, p. 1222 (IV 3, Nr. 4). 

95) M. Grubler, Zeitschr. Math. Phys. 29 (1884), p. 212 und p. 382383. 

96) Ch. Bresse, J. e c. polyt. 20, cah. 35 (1853), p. 89. Weitere Beispiele giebt 
W. Schell, Theorie der Bewegung und der Krafte 1, 2. Aufl., Leipzig 1879, p. 465. 
Ebenda, p. 473, Angaben fiber neuere Litteratur. 



40 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

far irgend eine Lage von P die entsprechenden Lagen des ,,Poles" 
mid des ,,Wendepoles" (IV 3, Nr. 8) gefunden werden konnen; 

2) fur den Fall, dass man die Bewegung von P aus ein- 
facheren Bewegungen zusammensetzen und dann die Geschwindig- 
keit und die Beschleunigung von P nach den allgemeinen Regeln der 
Kinematik (IV 3, Nr. 10) als Resultierende der Geschwindigkeiten 
und Beschleunigungen jener einfacheren Bewegungen finden kann. 
Die Betrachtungen von Sresse hat H. Eesal* 1 } auf raumliche 
Systeme ausgedehnt. 

18. Deviation. Es sei P ein gewohnlicher Punkt einer Linie l t 
in welchem deren Krummung nicht gleich Null ist. Parallel zur Tan- 
gente von I in P sei eine Sehne gezogen, die zwei zu P benachbarte 
Punkte von I verbindet, und P mit dem Mittelpunkt dieser Sehne 
durch eine Gerade verbunden. 

Wenn dann die Sehne der Tangente imbegrenzt nahe riickt, so 
nahert sich die erwahnte Verbindungsgerade einer festen Grenzlage. 
A. Transon 98 ) hat diese Grenzlage die Deviationsaxe und den Winkel, 
welchen sie mit der Normale bildet, die Deviation von I im Punkte P 
genannt und zugleich analytische Ausdriicke fiir diese Deviation an- 
gegeben und gezeigt, wie man mit Hiilfe der Deviation erstens die- 
jenige Parabel, welche mit I in P eine Beriihrung dritter Ordnung 
und zweitens denjenigen Kegelschnitt, welcher mit I in P eine Beriih- 
rung vierter Ordnung hat, finden kann. 

19. Gestalt einer Linie oder Flache in der Nahe eines singu- 
laren Punktes. 

A. Ist P ein singularer Punkt einer ebenen Linie I und die 
letztere in der Nahe von P durch zwei Gleichungen: 



x = 



in der Weise darstellbar, dass jedern Punkte von I nur ein Wert von t 
entspricht, und dass <p(), %(t) fiir den zu P gehorenden Wert von t 
den Charakter ganzer Funktionen (II B 1, Nr. 7) haben, sa kann man, 
wie Halplien* 9 *) bemerkt hat, die Linie I in der Nahe von P immer 
als die Orthogonalprojektion einer gewundenen Linie I ansehen, auf 
welcher der P entsprechende Punkt ein gewohnlicher ist namlich 
derjenigen Linie, die durch die Gleichungen : 



97) H. Resal, J. ec. polyt. 21, cah. 37 (1858), p. 227 ff. 

98) A. Transon, J. de math. (1) 6 (1841), p. 191197. Vgl. auch Salmon- 
Fiedler, Hob. ebene Kurven, 2. Aufl., p. 468 f. 

99) G. Halphen, Par. Mem. prds. par div. sav. (2) 26 (1879), Nr. 2, p. 19 fi. 



18. Deviation. 19. Gestalt ciner Linie odev Flache etc. 41 



dargestellt wird. 

Durch geeignete Annahme der Koordinatenaxen - - namlich da- 
durch, dass man den Anfangspunkt nach P verlegt und die Tangente 
in P (Nr. 5) als Abscissenaxe nimmt - - und durch passende Wahl 
der Hiilfsveranderlichen t kann man ferner stets erreichen, dass dem 
Punkt P der Wert t = entspricht, und dass die Funktionen tp (t\ 
%(t) fur alle Werte von t, deren absoluter Betrag unter einer ge- 
wissen Grenze liegt, die Form haben: 



wobei ^(f), $ 8 (tf) konvergente und fiir t = nicht verschwindende 
Potenzreihen von t bezeichnen, und m und n ganze positive Zahlen 
bedeuten, welche die Ungleichung: 

m < n 
erfullen. Wenn dann: 

1) m ungerade, n gerade ist, so liegt I in der Nahe von P auf 
derselben Seite der Tangente und auf beiden Seiten der Normale. 
Eigentiimlichkeiten des Verlaufes treten erst bei der Betrachtung der 
Kriimmungsverhaltnisse (indem die Kriimmung gleich Null oder un- 
endlich gross wird) oder solcher Eigenschaften von I hervor, welche 
durcli die Beschaffenheit der Ableitungen von hoherer als der zweiten 
Ordnung der Funktionen g>(f), %(t) bedingt werden. Wenn: 

2) m und n ungerade sind, so liegt I auf beiden Seiten sowohl 
der Tangente als der Normale, hat also in der Nahe von P einen 
ahnlichen Verlauf wie in der Nahe eines Wendepunktes. Wenn: 

3) m gerade, n aber ungerade ist, so liegt I in der Nahe von P 
auf beiden Seiten der Tangente, aber nur auf einer Seite der Normale. 
Der Punkt P heisst in diesem Falle eine Spitse erster Art 10 ). Wenn 
endlich: 

4) m und n beide gerade sind, so liegt I in der Nahe von P 
sowohl auf derselben Seite der Tangente als auch auf derselben Seite 
der Normale. Der Punkt P heisst in diesem Fall eine Spitse zwciter 
Art oder eine Schndbelspitze. 

100) Geschichtliche Angaben iiber das erste Auftreten dieses Begriffes sowie 
desjenigen der Schnabelspitze machen M. Cantor, Vorles. ub. Geschichte der Math. 3, 
Leipzig 1898, p. 239, 770 f. u. 794796, sowie A. Brill u. M. Noether in ihrem 
Bericht, Deutsche Math.-Vereinig. Jahresber. 3 (1892/93), p. 125 if. u. 133 if. Eine 
durch zahlreiche Figuren unterstiitzte Aufzahlung der moglichen Singularitaten 
ebener Linien, welche zugleich auf die Eigentiimlichkeiten der Krummung fiiick- 
sicht nimmt, findet sich in Ch. Wiener, Lehrb. d. darst. Geom. 1, Leipzig 1884, 
p. 204208. 



42 HID 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

Die beiden erwahnten Arten von Spitzen werden auch als Euck- 
~kelirpunkte bezeichnet. Zur Unterscheidung der namlichen vier Falle 
fiilirt die Uberlegung, dass ein auf I stetig fortschreitender und durch 
P gehender Punkt im Augenblick des Durchgangs seine Bewegungs- 
richtung, und dass gleichzeitig die in ihm an I gelegte Tangente 
ihre Drehungsrichtung entweder beibehalten oder umkehren kann. 
Litteraturangaben finden sich in Fussn. 175. 

B. Wenn eine ebene Linie in der Nahe eines singularen Punktes 
P ; x , T/ O durch eine Gleichung F(x } y) = dargestellt werden kann, 
wo F(x,y) eine Funktion bedeutet, die an der Stelle x , ?/ den Cha- 
rakter einer ganzen Funktion hat, so nennt man den Punkt P einen 
Doppelpunld, dreifachen Punld, . . ., je nachdem die Entwickelung der 
Funktion F(x Q -\- , y Q -f- if) nach steigenden Potenzen von und ?? 
mit Gliedern zweiter, dritter, . . . Ordnung beginnt 101 ). Wenn ferner 
F(x Q , T/ O -}- 17) nicht fur jeden Wert von 77 gleich Null ist ; was ohne 
wesentliche Beschrankung der Allgemeinheit vorausgesetzt werden darf, 
und n den Exponenten des Anfangsgliedes in der Entwickelung dieser 
Funktion nach steigenden Potenzen von rj bezeichnet, so kann die 
Funktion F(x -f- I, y + *?)> w ^ e -^ Weiersfoass 102 ) gezeigt hat, immer 
in ein Produkt zerspalten werden von der Form: 

Df + / > i(i)T * + /" 2 (i)^- 2 + +/.)] G & ti> 

wo /^ (I), f 2 (|), ...,/" (|) Potenzreihen von | bedeuten, die keine kon- 
stanten Glieder enthalten und konvergieren, sobald j unterhalb einer 
gewissen Grenze liegt, wahrend G(%, if) eine fiir | == t] = nicht 
mehr verschwindende Funktion bedeutet. Die Gleichung: 

F(x + t, 2/o + ^) = 

kann daher, solange es sich nur um die Betrachtung solcher Werte- 
paare |, ^ handelt, die in einer hinreichend engen Umgebung der 
Nullstelle liegen, durch die Gleichung: 

rr + /i(8 if 1 + A(6^- 8 + + fn(& = o 

ersetzt werden, die in Bezug auf 77 nur von endlichem Grade ist. Des- 
wegen bleibt fur singulare Punkte der gegenwartig in Kede stehenden 
Art, auch wenn F(x,ij) transcendent ist, der von V. Puiseux 103 ) zu- 



101) Vgl. L. Euler, Introductio in analysin infinitorum 2, Lausannae 1748, 
p. 162163. 

102) K. Weierstrass, Einige auf die Theorie der analytischen Funktionen 
mehrerer Veranderlichen sich beziehende Satze, autographiert, Berlin 1879 == Ab- 
handlungen aus der Funktionenlehre, Berlin 1886, p. 105 = Math. Werke 2, Berlin 
1895, p. 135, Nr. 1. Vgl. auch II B 1, Nr. 45. 

103) V. Puiseux, J. de math. (1) 15 (1850), p. 384. Andere Beweise des 



19. Gestalt einer Linie oder Flache in der Nahe eines singularen Punktes. 43 

nachst nur fur singulars Punkte algebraischer Linien bewiesene Satz 
bestehen, dass die Gesamtheit aller in einer gewissen Nahe eines 
solchen Punktes gelegenen Punkte der Linie (einschliesslich der ima- 
ginaren Punkte) stets durch eine endliche Anzahl von Gleichungs- 
paaren von der Form 



dargestellt werden kann, in denen <p(t\ %() Potenzreihen bedeuten, 
die innerhalb eines gewissen Bereiches konvergieren und fur t = 
den Koordinaten des betrachteten singularen Punktes gleich werden. 
Ebenso kann auch ein Teil der Untersuchungen iiber die Ge 
stalt einer ebenen algebraischen Linie in der Nahe eines singularen 
Punktes 104 ) sowie iiber die Frage, ob und in welchem Sinne man 
eine verwickeltere Singularitat einer solchen Linie als gleichwertig 
mit mehreren einfacheren Singularitaten ansehen und wie man die- 
selbe durch Zusammenriicken einfacherer Singularitaten erzeugen 
konne 105 ), auf transcendente Linien iibertragen werden. 



gleichen Satzes oder andere Verfahrungsweisen zur Herstellung der in demselben 
erwahnten Reihenentwickelungen gaben M. Hamburger, Zeitschr. Math. Phys. 16 
(1871), p. 461; L. Koenigsberger, Ellipt. Funktionen 1, Leipzig 1874, p. 182; 
0. Stole, Math. Ann. 8 (1875), p. 415; M. Norther, Math. Ann. 9 (1876), p. 166, 
und 0. Biermann, Theorie der analyt. Funktionen, Leipzig 1887, p. 215 (nach 
Vorlesungen von K. Weierstrass); A. Brill, Munch. Ber. 21 (1891), p. 207, und 
K. Weierstrass, Math. Werke 4, Vorl. ub. d. Theorie der Abel sche-n Transcen- 
denten, bearb. v. G. Hettner u. J. Knoblauch, Berlin 1902, p. 19 32. Vgl. auch 
A. Brill u. M. Noether, Deutsche Math.-Vereinig. Jahresber. 3 (1892/93), p. 367 
402, u. H B 2, Nr. 2, 3. 

104) Mit der Ermittelung der Gestalt einer algebraischen Linie in der Nahe 
eines singularen Punktes haben sich bereits J. Newton, J. P. de Gua de Halves, 
L. Euler, G. Cramer beschaftigt; vgl. M. Cantor, Vorles. ub. Gesch. d. Math. 3, 
Leipzig 1898, p. 102103, 770, 784, 810, u. A. Brill u. M. Noether, a. a. 0. p. 116 
149. Auch J. Plucker hat, Theorie d. alg. Kurven, Bonn 1839, p. 158179, 
eingehende Untersuchungen iiber die verschiedenen moglichen Gestalten einer 
algebraischen Linie in der Nahe eines einfachen Punktes, eines Doppelpunktes 
und eines dreifachen Punktes angestellt. Den Fall eines Doppelpunktes hat 
0. Stolz, Math. Ann. 8 (1875), p. 429 ff. vollstandig erledigt und zugleich gezeigt, 
welche verschiedenen Falle bei der Betrachtung eines i-fachen Punktes zu 
unterscheiden sind. 

105) Vgl. A. Cayley, Quart. J. of math. 7 (1866), p. 212 = Coll. math. pap. 5, 
p. 520 u. 619; 0. Stolz, Math. Ann. 8 (1875), p. 442 f.; M. Noether, Math. Ann. 9 
(1876), p. 166; H. G.Zeuthen, Math. Ann. 10 (1876), p. 210; G. Halphen, Paris Me - 
moires pres. par divers savants (2) 26 (1879), Nr. 2 ; A. Brill, Math. Ann. 16 (1880), 
p. 348. Fur ebene und raumliche Kurven sind die einschlagigen Fragen mit 
algebraischen Hiilfsmitteln, unter Berucksichtigung der Kealitatsverhaltnisse, von 
Fr. Meyer untersucht worden, Math. Ann. 38 (1891), p. 369; 43 (1893), p. 286; 
Monatsh. Math. Phys. 4 (1893), p. 229,331. 



44 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

C. Die Gestalt einer gewundenen Linie in der Nahe eines singu 
laren Punktes ist aus den Gestalten ihrer rechtwinkligen Projektionen 
auf geeignet gewahlte Ebenen zu erschliessen. Fiir den Fall, class 
eine Parameterdarstellung der betrachteten Linie gegeben ist, enthalt 
Fussn. 175 zu Nr. 29 nahere Angaben. 

D. Ist eine Flache $ durch eine Gleichimg 

F(x, y, z] = 

zwischen den Koordinaten x, y, z gegeben und sind x , y , die 
Koordinaten eines singularen Punktes P von $, welcher jedoch so 
beschaffen ist, dass die Funktion F(x, y, z] an der Stelle x , y 0} z^ 
den Charakter einer ganzen Funktion hat, so stimmt die Gestalt von ^ 
in der Nahe von P in erster Annaherung mit der Gestalt desjenigen 
algebraischen Kegels iiberein, dessen Gleichung man erhalt, indem 
man die Summe der Glieder niedrigster Dimension in der Entwicke- 
lung der Funktion F(x,y,z) nach Potenzen von x X Q , y y Q} 
z # gleich Null setzt 106 ). 

Sind in der eben erwahnten Entwickelung Glieder zweiter Dimen 
sion wirklich vorhanden, so heisst P ein Doppelpunkt (Knotenpunkf) 
von 5; und wenn sich die Summe der Glieder zweiter Dimension in 
zwei lineare Faktoren zerspalten lasst, so heisst P ein biplanarer 
oder ein uniplanarer Doppelpimld, je nachdem diese Faktoren, von einem 
konstanten Faktor abgesehen, verschieden oder einander gleich sind. 

Von der Gestalt der Flache in der Nahe eines solchen Punktes 
gewinnt man eine genauere Vorstellung erst durch die Betrachtung 
derjenigen der gegebenen Flache sich anschmiegenden algebraischen 
Flache dritter 107 ) oder hoherer Ordnung, deren Gleichung man erhalt, 
indem man zu den Gliedern zweiter Ordnung in der erwahnten Ent 
wickelung von F(x, y, 0) noch die Glieder dritter Ordnung und je 
nach den Umstanden auch noch Glieder hoherer Ordnung 108 ) hinzu- 

106) Wie C. W. M. Black, Havard Thesis 1901 = Amer. Ac. Arts Sci. Proc. 
37 (1902), p. 281, bewiesen hat, ist fur die einem singularen Punkt der in Rede 
stehenden Art benachbarten Flachenteile immer eine Parameterdarstellung durch 
eine endliche Anzahl von Gleichungssystemen moglich. Vgl. auch II B 1, Nr. 46, 
Fussn. 254, u. II B 2, Nr. 55. - - t)ber die Unterscheidung gewb hnlicher und 
spezieller x-facher Punkte einer algebraischen Flache und die Entstehung der 
letzteren aus den ersteren vgl. K.Eohn, Leipz. Ber. 36 (1884), p. 1. Modelle fiir 
die verschiedenen Typen konischer Knotenpunkte hat A. Sucharda angefertigt. 
Vgl. Deutsche Mathem.-Ver., Katalog math. u. math.-phys. Modelle, Apparate und 
Instrumente, hsg. v. W. Dyck, Miinchen 1892, Nr. 228, p. 299, sowie Verlag von 
Modellen fur d. hoh. math. Unterricht von L. Brill in Darmstadt, Nachtrag zur 
17. Serie, 1898, Nr. 7. 

107) Vgl. F. Klein, Math. Ann. 6 (1873), p. 556. 

108) Vgl. H. G. Zeuthen, Math. Ann. 9 (1876), p. 321. 



20. Traktorien. 45 

fiigt und die Summe gleicli Null setzt. Fur algebraische Flachen hat 
K. Eohn 109 ) eine vollstandige Aufzahlung der verschiedenen moglichen 
Gestalten in der Nahe eines biplanaren oder uniplanaren Knotens 
gegeben. 

20. Traktorien. Eine Linie I heisst eine Zuglinie (Traktorie, 
Traktrix} einer gegebenen Linie d (Direktrix), wenn jede Tangente 
von I die Linie d in einem Punkte trifft, der von dem Beriihrungs- 
punkt der Tangente einen gegebenen konstanten Abstand hat. 

Als Traktorie von Huygens bezeichnet man insbesondere die Zug 
linie einer Geraden. Bei geeigneter Wahl der Koordinatenaxen ist 
diese besondere Zuglinie darstellbar durch die Grleichung 110 ): 

_, I T/_2 rt.2 

, a-4-l/a y 1/9 9 

x = a-ig- *- -VO?--T, 

oder auch durch die Gleichungen : 

x = a [ig tg(-|- + |) sin 9?] , y = a cos <p, 

wo a das konstante Stuck der Tangente zwischen Beriihrungspunkt 
und Direktrix bedeutet. 

Die Traktorie von Huygens kann ferner auch erklart werden: 

A) als die orthogonale Trajektorie einer Schar kongruenter Kreise 
vom Radius a, deren Mittelpunkte auf der Direktrix liegen 111 ); 

B) als die Evolvente einer Kettenlinie 112 ). 

Zur Lehre von den Flachen konstanten negativen Krummungsmasses 
(III D 5) steht sie ; wie J. Liouville 113 ) bemerkt hat, dadurch in Be- 
ziehung, dass die eine der drei nach U. Dini 1U ) moglichen Formen, welche 
eine zu jener Familie gehorende Umdrehungsflache haben kann, durch 
die Umdrehung einer Huygens sehen Traktrix um ihre Direktrix entsteht. 
Die Bestimmung einer Zuglinie erfordert im allgemeinen die Inte 
gration einer gewohnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung 115 ). 



109) K. Eohn, Math. Ann. 22 (1883), p. 124. Angaben uber die gestalt- 
lichen Verhaltnisse in speziellen Fallen niacht auch H. G. ZeutTien, Math. Ann. 
10 (1876), p. 468 ff. Die verschiedenen Stellen der Schriften von A. Cayley, 
welche singulare Punkte von Kurven oder Flachen betreffen, sind in Coll. math, 
papers, Index, Cambridge 1898, p. 130, zusammengestellt. 

110) L. A. Sohncke s Samml. v. Aufgaben aus d. Diflf.- u. Int.-Rechn., hrsg. 
v. A. Amstein, 1 (4. Aufl.), Halle 1875, p. 207. 

111) Ebd. 2 (1877), p. 202. 

112) Ebd. 1, p. 208 oder Salmon- Fiedler, Hoh. eb. Kurven, 2. Aufl., p. 377. 

113) Note IV zu Monge, Application de 1 analyse, 5. ed., p. 597600. 

114) U. Dini, Giorn. di mat. 3 (1865), p. 241 ff. 

115) Naheres und geschichtliche Angaben enthalt der Artikel Tractoria des 
mathematischen Worterbuchs von G. S. Kliigel, 5 1 , Leipzig 1831, p. 78. 



46 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

II. Scharen von Linien und Flachen. 

21. Einhiillende von Linien- und Flachenscharen. Eine Mehr 
heit in ein- und derselben Ebene liegender Linien heisst eine einfach 
unendliche ebene Linienschar (Schar 1. Stufe, BuscheT), wenn sie sich 
durch eine Gleichung von der Form: 

(1) ]?(% y } fi = Q 

oder auch durch ein System von zwei Gleichungen von der Form: 

(2) 

in der Weise darstellen lasst, dass man jedesmal die DarsteUung einer der 
Mehrheit angehorenden Linie erhalt, wenn man in (1) beziehentlich (2) 
far den parameter" c irgend einen festen Wert einsetzt, der hochstens 
der Einschrankung unterliegt, einem gegebenen begrenzten Intervall 
anzugehoren, und nach und nach die Darstellungen aller der Mehr 
heit angehorenden Linien, und zwar im allgemeinen jede nur einmal, 
wenn man c dieses Intervall ganz durchlaufen lasst. 

Wenn ferner in einer Ebene eine Mehrheit von Linien in ahn- 
licher Weise wie eben gegeben ist, nur mit dem Unterschiede, dass 
bei ihrer analytischen Darstellung zwei unabhangig von einander ver- 
anderliche Parameter auftreten, und verschiedenen Wertsysteinen dieser 
Parameter im allgemeinen auch verschiedene Linien der gegebenen 
Mehrheit entsprechen, so gebraucht man zur Bezeichnung der Mehr 
heit den Ausdruck zwcifach unendliche ebene Linienschar (Schar 2. Stufe, 
Netz, Scharschar, Bundel) u. s. f.. 

Ahnliche Erklarungen gelten fur die Begriffe Schar von Eaum- 
kurven und Fldchenschar. Eine zweifach unendliche Schar von Raum- 
kurven wird nach dem Vorgang von J. Pliiclter haufig eine Kurven- 
kongruenz genannt. 

Zwei Gebilde einer Schar heissen benaclibart, wenn sie benach- 
barten Werten des oder der Parameter entsprechen. 

Wenn eine einfach unendliche ebene Linienschar so beschaffen 
ist, dass jede ihr angehorende Linie von einer hinreichend nahe be- 
nachbarten Linie der gleichen Schar in einem oder in mehreren Punkten 
geschnitten wird, welche sich bei unbegrenzter Annaherung der be- 
nachbarten an die urspriinglich betrachtete Linie festen Grenzlagen 
nahern, so nennt man die Gesarntheit aller dieser Grenzlagen die 
Einhiillende oder die Umhilllungslinie oder die Enveloppe 116 ) oder die 

116) Diese Bezeichnung ruhrt von G. Monge her (vgl. Application de 1 anal., 
5. eU, p. 30 f.). Der Begriff selbst ist alter. In manchen neueren Arbeiten (vgl. 









21. Einhiillende von Linien- und Flachenscharen. 47 

HiiUbalm der gegebenen Linienschar. Die letztere Bezeichnung ist 
namentlich dann gebrauchlich, wenn die gegebene Schar aus den ver- 
scliiedenen Lagen einer bewegten starren Linie besteht. 

Wenn eine ebene Linienschar durch eine Gleichung: 
(1) F(x,y,c) = 

zwischen den Koordinaten x } y und einem Parameter c gegeben ist, 
und die einem speziellen Wert c des Parameters c entsprechende 
Linie von der zu einem benachbarten Wert c -f- y dieses Parameters 
gehorenden Linie der Schar in einem Punkte geschnitten wird, welcher 
sich bei verschwindendem y unbegrenzt einer festen Grenzlage nahert, 
so erfiillen die Koordinaten x , y Q dieser Grenzlage stets die Gleichungen: 

F(X Q , y , C ) = Und F ( X U y*> C o) = " 

1st umgekehrt x Q ,y Q , C ein Wertsystem, welches die beiden vorstehen- 
den Gleichungen erfiillt, und fiir welches die Determinante: 

F F 

D= x 

F F 

I ex cy 

von Null verschieden ist, so haben die den Parametern c und C Q -f- y 
entsprechenden Linien der Schar (1) fiir jeden in einer gewissen Nahe 
von Null gelegenen Wert von y einen in der Nahe des Punktes x Q , y Q 
liegenden Schnittpunkt, welcher sich bei verschwindendem y dem 
Punkte x Q , y unbegrenzt annahert. 

Aus diesen beiden Satzen folgt: 

Man erhalt die Einhiillende einer Linienschar, welche durch eine 
Gleichung: 
(1) F(x,y,c) = 

zwischen den Koordinaten x, y und einem Parameter c gegeben ist ? 

indem man die Gleichung (1) init der aus ihr durch Differentiation 

nach c hervorgehenden Gleichung: 

(3) F c (x,y,c)=*0 

verbindet und aus beiden entweder c elirniniert, oder x und y als 

Funktionen des Parameters c berechnet 117 ). Dabei bediirfen jedoch 



II A 4 a, Nr. 22) wird der Begriff Enveloppe enger gefasst, indem dieses Wort 
nur zur Bezeichnung derjenigen Zweige der im Text erwahnten Gesamtheit be- 
nutzt wird, die ubrig bleiben, wenn man alle etwa dazugeho renden geome- 
trischen Orte von Spitzen und mehrfachen Punkten der Linien der urspriinglich 
betrachteten Schar ausscheidet (III D 8). 

117) Beispiele fiir die Anwendung dieses Satzes, Umformungen desselben 
fur den Fall, dass die betrachtete Linienschar in verwickelterer Weise gegeben 
ist, und eine Erweiterung des Begriffs der Einhullenden giebt Salmon- Fiedler, 



48 in D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

diejenigen die Gleichungen (1) uud (3) erfiillenden Wertsysteme x, y, c, 
fur welche die Determinante D gleich Null ist, einer besonderen Unter- 
suchung. Der hier erwahnte und andere Ausnahinefalle sind unter 
Angabe von Beispielen von G. Peano genauer erortert worden 118 ). 

Wenn fur ein die Gleichungen (1) und (3) erfiillendes Wert- 
systein x ot y Q , c der Veranderlichen x, y, c sowohl die Determinante 
D als die partielle Ableitung F cc von Null verschieden ist, so hat 
die Einhfillende der durch die Gleichung (1) dargestellten Linienschar 
im Punkte x , y eine bestimmte Tangente, und diese stimmt mit der 
Tangente der zu dem Parameterwert c gehorenden Linie der Schar 
im Punkte X Q) y Q iiberein. Hieraus folgt: Wenn eine Linienschar ein 
allgemeines Integral einer gewohnlichen DifFerentialgleichung 1. Ord- 
nung darstellt, so liefert die Einhiillende der Schar im allgemeinen 
eine ,,singulare Losung" der Differentialgleichung 119 ). 

Die Einhiillende einer ebenen Schar von geraden Linien hat im 
allgemeinen jede dieser Geraden zur Tangente 120 ). Die EinhiiUende 
aller Normalen einer ebenen Linie I stimmt mit der Evolute von I 
iiberein. 

In der Lehre von den Einlmllendm der Fldchenscharcn sind zwei 
verschiedene Arten von Einhiillenden zu unterscheiden, je nachdem 
man es mit einer einfach- oder mit einer zweifach unendlichen Flachen- 
schaf zu thun hat. 

Wenn eine einfach unendliche Flachenschar so beschaffen ist, 
dass jede ihr angehorende Flache von einer hinreichend nahe benach- 
barten Flache der Schar in einer Linie geschnitten wird, welche sich 
bei unbegrenzter Annaherung der benachbarten an die ursprimglich 
betrachtete Flache einer festen Grenzlage nahert, so versteht man 
unter der Einhulknden oder der Umhiittungsflache oder der Enveloppe 

Hohere ebene Kurven, 2. AufL, p. 8695. Unter der Voraussetzung, dass fur 
die Eingehullten eine Farameterdarstellung gegeben sei, hat 0. Biermann, Briinn, 
Festschr. der Techn. Hochschule 1899, die Lehre von den Einhiillenden der 
Linien- und Flachenscharen ausfuhrlich dargestellt. Der gleiche .Gegenstand ist 
von E. Czuber, Archiv Math. Phys. (3) 2 (1902), p. 113, auf anderem Wege be- 
handelt worden. 

118) G. Peano, Applicazioni geometriche, p. 311313 = Lezioni di ana- 
lisi 2, 378, p. 193195. 

119) Vgl. II A 4 a, Nr. 22. Eine eingehende, mit zahlreichen litterarischen 
Nachweisen verbundene Darstellung der Ausdehnung dieses Satzes auf Flachen 
scharen und partielle Differentialgleichungen geben S. Lie und G. Scheffers, Geo 
metric der Beruhrungstransformationen 1, Leipzig 1896, p. 482535. Vgl. auch 
II A 5, Nr. 33 und El D 7. 

120) Hiilfsmittel zur Konstruktion des Beriihrungspunktes giebt L. Bur- 
mester, Lehrb. d. Kinematik 1, Leipzig 1888, p. 6466, 8486, 9293. 



21. Einhullende von Linien- und Flachenscharen. 49 

der Schar die Gesamtheit der erwahnten Grenzlagen. Jede einzelne 
dieser letzteren heisst eine Charakteristik der Einhiillenden 121 ). 
Wenn eine Flachenschar durch eine Gleichung: 

(4) F(x, y, *, c) = 

zwischen den Koordinaten x } y, 2 und einem Parameter c gegeben ist 
und die einem speziellen Wert c von c entsprechende Flache von der 
zu einem benachbarten Wert C -f- y des Parameters gehorenden Flache 
der Schar in einer Linie geschnitten wird, welche sich bei verschwin- 
dendem y unbegrenzt einer festen Grenzlage nahert, so erfiillen die 
Koordinaten x 0) y Q , Z Q ernes jeden Punktes dieser Grenzlage die Glei- 
chungen: 

F(x Q , y^ g 0) c ) = und F e (x , y , Z QJ c ) = 0. 
Ist umgekehrt x , y , , c ein Wertsystem, welches die beiden 
vorstehenden Gleichungen erfiillt, und fur welches die Unterdetermi- 
nanten zweiten Grades der Matrix: 

F F F 

*- x *- y * f 

F F F 

^ ex cy c 

nicht samtlich gleich Null sind, so haben die den Parameterwerten c 
und c -J- y entsprechenden Flachen der Schar (4) fur jeden in einer 
gewissen Nahe von Null liegenden Wert von y eine Schnittlinie, 
welche sich bei verschwindendem y einer festen durch den Punkt 
x o> 2/oj e o hindurchgehenden Linie unbegrenzt annahert. 

Aus diesen beiden Satzen folgt: 

Man erhalt die Einhullende einer Flachenschar, welche durch eine 
Gleichung: 

(4) F(x, y, *, c) = 

zwischen den Koordiuaten x, y, z und einem Parameter c gegeben 
ist, indem man die Gleichung (4) mit der aus ihr durch Differentia 
tion nach c hervorgehenden Gleichung: 

(5) F e (x, y, 0, c) = 

verbindet und aus beiden c eliminiert 122 ). Dabei bediirfen jedoch die- 
jenigen, die Gleichungen (4) und (5) erfiillenden Wertsysteme x, y, z, c, 
fur welche die Unterdeterminanten der oben angegebenen Matrix samt 
lich gleich Null sind, einer besonderen Untersuchung. 

Wenn fur ein die Gleichungen (4), (5) erfiillendes Wertsystem 

121) Nach G. Monge, Application, 5. ed., p. 33. 

122) Der Fall, dass die Flachenschar in verwickelterer Weise gegeben ist, 
wird bei Salmon-Fiedler, Analytische Geometric des Rauraes 2, 3. Aufl. 1880, 
p. 270 ff. unter Behandlung von Beispielen erortert. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 4. 



50 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

x o> Voj z o, c o sowohl die Ableitung F cc als wenigstens eine der er- 
wahnten Unterdeterminanten von Null verschieden 1st, so hat die 
Einhiillende der Flachenschar (4) im Punkte x ot y , * eine bestimmte 
Tangentenebene und diese stimmt mit der Tangentenebene der zu dem 
Parameterwert c gehorenden Flache der Schar im namliehen Punkte 
iiberem. 

Kann man die Gleichungen (4), (5) und die Gleichung F ec = 
dadurch gleichzeitig befriedigen, dass man fur x, y, z passend ge- 
wahlte Funktionen <p(c), #(c), #(c) von c einsetzt, so stellen die drei 
Gleichungen : 

* = 9>(c), # = Jt(c), e = if>(c) 

im allgemeinen eine singulare Linie der die Schar (4) einhiillenden 
Flache dar. Diese singulare Linie heisst nach G. Monge m ) die Euck- 
kehrkante oder die Gratlinie der Einhiillenden der Schar (4). Sie ent- 
halt die Gesamtheit der Grenzlagen der Schnittpunkte unendlich nahe 
benachbarter Charakteristiken und wird im allgemeinen in jedem ihrer 
Punkte von einer Charakteristik beruhrt 124 ). 

Wenn eine zweifacli unendliche Flachenschar durch eine Gleichung: 
(6) F(x, y, z, c, c } = 

zwischen den Koordinaten x, y, z und zwei Parametern c, c gegeben 
ist, und die zu einem Paar spezieller Werte C Q , C Q der Parameter ge- 
horende Flache ^ von einer benachbarten, den Parameterwerten 
c o + 7) c d ~\~ 7 entsprechenden Flache geschnitten wird, so nahert 
sich die Schnittlinie im allgemeinen verschiedenen Grenzlagen, wenn 
y und y in verschiedenen Verhaltnissen zu einander gleichzeitig un 
endlich klein werden. Aber im allgemeinen giebt es auf ^ einen 
oder mehrere feste Punkte, durch welche alle diese Grenzlagen hin- 
durchgehen. Die Gesamtheit aller Punkte, welche sich so fur die 
einzelnen Flachen der Schar (6) ergeben, bildet im allgemeinen eine 
Flache, welche alle Flachen der gegebenen Schar beruhrt und die 
Einhiillende (Enveloppe) dieser Schar genannt wird. Pie Gleichung 
dieser Einhiillenden ergiebt sich im allgemeinen durch Elimination 
der Parameter c, c aus den drei Gleichungen: 

F=0, F c = 0, F c - = 0. 125 ) 

22. Brennlinien. Wenn in einer Ebene eine Linie I und eine 



123) G. Monge, Application, 5. ed., p. 34. 

124) Vgl. G. Peano, Applicazioni geometriche, p. 315. 

125) Vgl. G. Peano, Application: geometriche, p. 315318; E. Picard, 
Traite d anal. 1, Paris 1891, p. 291 292. 



22. Brennlinien.^ 51 

Schar S von Strahlen gegeben sind, welche I schneiden, so kann 
man sich: 

1) vorstellen, dass die zu S gehorenden Strahlen von I zuriick- 
geworfen (reflektiert) werden, und nennt dann die Einhiillende der 
zuriickgeworfenen Strahlen die katakaustische Linie oder die Kata- 
kaustik von I fur S als einfallende Strahlenschar; oder: 

2) annehmen, dass I die Trennungslinie zweier Grebiete bildet, 
welche verschiedene aber konstante optische Dichtigkeiten haben, und 
dass die zu S gehorenden Strahlen bei ihrem Durchgang durch I 
eine Brechung erleiden, bei welcher das Verhaltnis des Sinus des 
Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels einen vorgeschrie- 
benen konstanten Wert n hat. In diesem letzteren Falle nennt man 
die Einhiillende der an I gebrochenen Strahlen die diakaustische Linie 
oder die Diakaustik von I fur S als einfallende Strahlenschar und 
fur n als Brechungsexponent. 

Katakaustische und diakaustische Linien fasst man unter dem 
gemeinsamen Narnen kaustische Linien oder Brennlinien zusammen 126 ). 

In manchen Fallen erweisen sich verwickelte Brennlinien als 
Evoluten anderer sehr viel einfacherer Linien. Daher ist bei der Er- 
mittelung von Brennlinien ein Verfahren nicht ohne praktischen Wert, 
welches von A. Quetelet 1 } angegeben wurde, und darin besteht, dass 

126) Die Lehre von den Brennlinien hat A. Plana, Bruxelles Observ. Corresp., 
publ. par A. Quetelet, 7 (1832), p. 13 u. 85, eingehend behandelt. Eine Dar- 
stellung dieser Lehre mit zahlreichen Beispielen und Angaben uber die illtere 
Litteratur findet sich auch in G. S. Klugel, Math. Worterbuch 1, Leipzig 1803, 
Art. ,,Brennlinie", p. 344; ,,Catacaustica", p. 400; ,,Diacaustica", p. 752, und in 
den Supplementen hierzu, hrsg. v. J. A. Grunert, 1. Abt., Leipzig 1833, Art. 
,,Caustische Flachen und Linien u , p. 349. -- Uber den schon bei L. Malus, J. 
e"c. polyt., cah. 14 (1808), p. 5 u. 86, vorkommenden Begriff Brennfldche bei 
einem Strahlensystem im Eaume vgl. E. E. Kummer, J. f. Math. 57 (1860), p. 189, 
sowie IIIC 9 und HID 9. Fur Strahlen, die auf ein und derselben Flache $ 
senkrecht stehen, fallt dieser Begriff mit dem der Flache der Hauptkrumrnungs- 
mittelpunkte von % zusammen. 

Die fur die Beurteilung der Wirkungsweise centrierter dioptrischer Systeine 
wichtige Brennnache der urspriinglich von einem leuchtenden Punkt ausserhalb 
der Axe eines solchen Systems ausgegangenen und dann durch dasselbe ge 
brochenen Strahlen hat L. v. Seidel, Munch. Anz. 1857, und Berl. Monatsber. 
1862 , p. 695, bestimmt. Die Ableitung ihrer Gleichungen hat S. Finsterwalder, 
Munch. Abh. 17 (1892), p. 531, gegeben auf Grund von Formeln, die L. v. Seidel, 
Astron. Nachr. Bd. 43 (1856), p. 289, entwickelt hatte. 

127) A. Quetelet, Bruxelles Nouv. mem. 3 (1826), p. 89; 4 (1827), p. 81. 
D. Gergonne hat, Ann. de math. 16 (1826), p. 1 und 307, die Betrachtungen von 
Quetelet auf den Eaum ausgedehnt und dadurch bewiesen, dass Strahlen, welche 
urspriinglich die Eigenschaft hatten, auf ein und derselben Flache senkrecht 



52 III D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integvalrechnung. 

man die Bestimmung einer Brennlinie auf die der Einhiillenden einer 
Schar von Kreisen zuriickfiihrt. Dies geschieht, wenn es sich um eine 
Brennlinie durch Zuriickwerfung handelt, durch folgende Uberlegungen: 

1) Kennt man eine Linie I" , welche die an I zuriickgeworfenen 
Strahlen oder deren Verlangerungen senkrecht schneidet, so ist die 
Brennlinie nichts anderes als die Evolute von I". 

2) Kennt man eine Linie l } welche die einfallenden Strahlen oder 
deren Verlangerungen senkrecht schneidet, so kann man aus ihr, in- 
dem man jeden Punkt von I an derjenigen Tangente von I spiegelt, 
deren Beriihrungspunkt mit ihm auf dem gleichen einfallenden Strahle 
liegt, eine Linie I" ableiten, welche die zuriickgeworfenen Strahlen 
oder deren Verlangerungen senkrecht schneidet. Die gleiche Linie I" 
kann auch noch auf andere Weise gefunden werden. Beschreibt man 
namlich um jeden Punkt von I einen Kreis, welcher I bertthrt, so 
stimmt diejenige Linie, welche zusammen mit I die Einhullende dieser 
Schar von Kreisen bildet, mit I" (iberein. 

So gelangt man zu folgendem Satze: 

Die Katakaustik einer beliebigen ebenen Linie I fur eine Schar 
von Strahlen, welche auf einer gleichfalls beliebigen, mit I in einer 
Ebene liegenden Linie I senkrecht stehen, ist die Evolute des von I 
verschiedenen Zweiges der Einhullenden aller Kreise, deren Mittel- 
punkte auf I liegen, und welche I beruhren. 

Ahnliche Uberlegungen sind auch auf den Fall der Brechung an- 
wendbar und fiihren zu folgendem Ergebnis: 

Die Diakaustik einer beliebigen ebenen Linie I fur ein gegebenes 
Brechungsverhaltnis und fur eine Schar von Strahlen, welche auf 
einer gleichfalls beliebigen mit I in einer Ebene liegenden Linie I 
senkrecht stehen, ist die Evolute des einen Zweiges der Einhullenden 
aller Kreise, deren Mittelpunkte auf I liegen und deren Radien zu 
den Abstanden ihrer Mittelpunkte von I in dem konstanten Verhaltnis 
des Sinus des Brechungswinkels zum Sinus des Einfallswinkels stehen. 

Wenn die einfallenden Strahlen sich samtlich in einem Punkte P 
schneiden, so kann man fur die in den vorstehenden Satzen erwahnte 
Linie I einen beliebigen um P als Mittelpunkt beschriebenen Kreis 
nehmen, insbesondere auch den Kreis vom Eadius Null, d. h. den 
Punkt P selbst. 

Wenn dies letztere geschieht, so entsteht der im ersten der 



zu stehen, diese Eigenschaft auch nach jeder Zuriickwerfung an einer spiegeln- 
den Flliche, sowie nach jeder Brechung an der Trennungsnache zweier einfach 
brechenden homogenen Medien behalten. Vgl. auch G. Darboux, Le90ns sur la 
theorie ge"n. des surf. 2, p. 278 ff. 



23. Trajektorien. Orthogonale Linien- und Flachenscharen. 53 

obigen Satze erwahnte Zweig der Einhullenden aus der Fusspunkt- 
kurve von I fur den Punkt P als Pol dadurch, dass man diese Fuss- 
punktkurve von P als Ahnlichkeitspunkt aus im Verhaltnis 2 : 1 
vergrossert 128 ). 

Die Brennlinien des Kreises durch Zuriickwerfung und Brechung 
fiir den Fall, dass die einfallenden Strahlen von ein- und demselben 
eigentlichen oder unendlich fernen Punkte ausgehen, hat A. Cayley 129 } 
eingehend behandelt. Sorgfaltige Zeichnungen von Brennlinien haben 
F. Engel und K. Schellbach 13 ) veroffentlicht. 

23. Trajektorien. Orthogonale Linien- und Flachenscharen. 

Wenn eine ebene Linienschar gegeben ist, so kann es vorkommen, 
dass durch jeden Punkt eines zweifach ausgedehnten Bereiches mehrere 
Linien der Schar hindurchgehen, und dann ist es bei Einschrankung 
der Betrachtung auf diesen Bereich im allgemeinen unmoglich, eine 
Linie zu finden, welche mit jeder sie schneidenden Linie der Schar 
einen vorgeschriebenen unveranderlichen Winkel bildet. 

Ist dagegen eine ebene Linienschar so beschaffen, dass durch 
jeden Punkt eines zweifach ausgedehnten Bereiches eine und nur eine 
Linie der Schar hindurchgeht, was imnier der Fall ist, wenn die Schar 
durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten x, y und einem Para 
meter c gegeben ist, welche die besondere Form: 
(1) ^ (x, y) = c (^ eindeutige Funktion von x, y*) 

hat, so ist die erwahnte Forderung erfullbar, und dann heisst jede ihr 
geniigende Linie eine isogonale, und wenn der gegebene konstante 
Winkel ein rechter ist, eine Orthogonale Trajelctorie der gegebenen 
Linienschar. 

Eine Linienschar der zuerst betrachteten Art kann in mehrere 
Scharen von Zweigen aufgelost werden, welche die zuletzt angegebene 
Eigenschaft haben und bei welchen daher von Trajektorien die Rede 
sein kann. 

Ist die urspriingliche Linienschar durch eine Gleichung von der 
Form F(x, y, c] = gegeben, so geschieht dies einfach durch Auf- 
losung dieser Gleichung in Bezug auf den Parameter c. 



128) tiber die Erklarung der durch die Vergrosserung entstehenden Linie 
als Rolllinie vgl. Nr. 7. 

129) A. Gayley, Cambridge and Dublin math. J. 2 (1847), p. 128 = Coll. 
math, papers 1, Cambridge 1889, p. 273; Lond. Trans. 147 (1857), p. 273 u. 157 
(1867), p. 7 = Coll. math, papers 2, Cambridge 1889, p. 336, u. 5 (1892), p. 454. 

130) F. Engel und K. Schellbach, Darstellende Optik, nebst 21 Kupfertaf eln, 
Halle 1856. 



54 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

Die Gesamtheit aller isogonalen Trajektorien, welche die Linien 
einer gegebenen Schar: 

(1) ( X ,y) = c 

unter einem von einem rechten verschiedenen Winkel a schneiden, 
besteht aus zwei einfach unendlichen Scharen, deren Gleichungen sich 
durch Integration der Differentialgleichungen: 

$ x dy $ y dx = . 4- cos K Y&*~+~J ydx*~+~dy* 
oder auch: 

( x cos K + 3> y sin a) dx -f- (^ cos a + # x sin a) dy = 
ergeben. 

Die ortliogonalen Trajektorien einer ebenen Linienschar bilden cine 
einfach unendliche Schar, deren Gleichung, wenn die gegebene Schar 
durch (1) dargestellt ist, durch Integration der Differentialgleichung: 

x dy <& y dx = 

erhalten wird 131 ). Die Differentialgleichung der isogonalen oder der 
orthogonalen Trajektorien einer ebenen Linienschar kann hiernach 
auch dann angegeben werden, wenn die urspriingliche Linienschar 
selbst nicht durch eine entwickelte Gleichung, sondern durch eine 
Differentialgleichung von der Form: 

f(x, y}dx + g (x, y)dy = 
gegeben ist. 

Legt man durch ein und denselben Punkt P eines von einer 
ebenen Linienschar iiberdeckten Gebietes nach willkiirlicher Annahme 
beliebig vieler verschiedener Winkel mehrere isogonale Trajektorien, 
welche mit den Linien der Schar beziehentlich diese Winkel bilden, so 
haben ; wie E. Cesdro 1 ^ bemerkt hat, die zu P gehorenden Kriim- 
mungskreise aller dieser Trajektorien, wofern sie nicht samtlich zu 
geraden Linien ausarten, ausser P immer noch einen zweiten Punkt 
mit einander gemein, bilden also stets ein Biischel. 

Ist eine einfach unendliche Flachenschar gegeber; durch eine 
Gleichung: 

F(x, y, z) = c, 

wo c einen veranderlichen Parameter bedeutet, so giebt es immer eine 
zweifach unendliche Schar von Linien, welche die Flachen der ge- 



131) Angaben uber die altere Litteratur sowie Beispiele enthiilt G. S. 
Klugel s mathematisches Worterbuch 5 1 , Leipzig 1831, p. 92 ff. Weitere Bei 
spiele finden sich in 0. Schlomilch, tibungsbuch 2, Leipzig, 4. Aufl. 1900, 41. 

132) E. Cesaro, Geom. intrinseca, 1896, p. 115, deutsche Ausgabe p. 147 
148. Vgl. auch G. Scheffers, Leipz. Ber. 50 (1898), p. 276. 



23. Trajektorien. Orthogonale Linien- und Flachenscharen. 55 

gebenen Schar uberall rechtwinklig schneiden. Diese Linien heissen 
ortliogonale Trajektorien der gegebenen Fldchenschar. Ihre Gleichungen 
ergeben sich durch Integration des folgenden Systems von Differen- 

tialgleichungen: 

dx _ dy __ dz 

Fx Fy Fz 

1st umgekehrt eine zweifach unendliche Linienscbar im Raume durch 
drei Gleichungen 

(I) X = tp(t,U,v), y = %(t,U,v], 8 = ll>(t,U,v) 

in der Weise gegeben, dass jedem Paar spezieller Werte der Para 
meter u, v eine spezielle Linie der Schar und den verschiedenen Werten 
der Veranderlichen t jedesmal die einzelnen Punkte dieser Linie ent- 
sprechen, so konnen sich, wie E. Beltrami gezeigt hat 138 ), auf die 
Frage, ob eine oder mehrere Flachen (Orthogonalfldcheii) vorhanden 
sind, welche die Linien der gegebenen Schar uberall rechtwinklig 
schneiden, verschiedene Antworten ergeben. Setzt man namlich: 



und: 

A - T (W--?I\. u (dv_ _ar\i V 0T_._ 

jA ~ 2 \dv du)^ U \ct 3v) V \du 
so konnen drei Falle eintreten: 

1) A ist identisch gleich Null. Dann ist der Ausdruck: 



entweder selbst das vollstandige Differential einer Funktion <&(t, u, v) 
oder doch durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor in ein 
solches uberfiihrbar, und es giebt unendlich viele Orthogonalflachen, 
deren Gleichungen man erhalt, indem man t durch die Gleichung: 

(t, U,V) = C 

als eine Funktion der Veranderlichen u, v und des Parameters c er- 
klart und diese Funktion an die Stelle von t in die Gleichungen (I) 
einsetzt. 



133) E. Beltrami, Giorn. di mat. 2 (1864), p. 267268. Fur geradlinige 
Strahlensysteme hatte schon L. Malus, J. c. polyt. cah. 14 (1808), p. 8, die Be- 
dingung fiir das Vorhandensein einer Schar von Orthogonalflachen im wesent- 
lichen richtig erkannt. Wie E. E. Kummer, J. f. Math. 57 (1860), p. 189, nach- 
gewiesen, besteht diese Bedingung darin, dass erstens die ,,Brennflachen u des 
Strahlensystems reell sind, und dass zweitens die beiden Scharen abwickelbarer 
Flachen, zu welchen sich die Strahlen des Systems dann zusammenfassen lassen, 
einander uberall rechtwinklig schneiden. 



56 IH D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

2) A ist nicht identisch gleich Null, aber wenn man t durch die 
Gleichung A = als eine Funktion von u und v erklart, so erfiillt 
diese die Differentialgleiehung: 

Tdt + Udu -f Vdv = 

bei beliebigen Werten von u und v. Dann ist nur eine einzige Ortho- 
gonalflache vorhanden, deren Gleichungen sich ergeben, wenn man in 
die Gleichungen (I) fur t die durch die Gleichung A = erklarte 
Funktion von u und v einsetzt. 

3) Von den eben erwahnten beiden Fallen trifft keiner zu. Dann 
giebt es keine Orthogonalflache 134 ). 

Ist eine einfach unendliche Flachenschar gegeben, so giebt es 
immer unendlich viele verschiedene Flachenscharen (ortliogonale Fldclien- 
scharen}, deren Flachen die der gegebenen Schar uberall rechtwinklig 
schneiden. Aber unter diesen Flachenscharen finden sich im all- 
gemeinen keine zwei, deren Flachen einander ebenfalls uberall recht 
winklig schnitten 185 ). Fiir das Vorhandensein zweier solchen Scharen 
ist vielmehr, wenn die urspriinglich gegebene Flachenschar durch die 
Gleichung F(x, y,z) = c dargestellt wird, notwendig und hinreichend, 
dass die Funktion F eine gewisse partielle Differentialgleiehung dritter 
Ordnung erfulle. 

Wenn drei einfach unendliche Flachenscharen so beschaffen sind, 
dass jede Flache, welche irgend einer von ihnen angehort, die Flachen 
der anderen Scharen uberall rechtwinklig schneidet, so sagt man, dass 
sie ein dreifach orthogonales Fldchensystem (Orthogonalsysteni) bilden 136 ). 

24. Isotherme Linien- und Flachensoharen (III D 3 V, III D 5). 
Eine einfach unendliche Flachenschar F(x, y,z) = c heisst nach G.Lame 
isotherm 137 ), wenn der Quotient: 

134) Den Fall, dass die zweifach unendliche Linienschar im Raume durch 
zwei Differentialgleichungen von der Form: 

dx dy dz 

^ = ~~ T ~~ = ~z 

gegeben ist, wo X, Y, Z Funktionen von x, y, z bedeuten, sowie den Fall, dass 
sie durch zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten x, y, z und zwei Para- 
metern u, v bestimmt wird, hat G. Darboux, Le9ons sur la the or. gen. des 
surf. 2, p. 256 273, behandelt. Ebendaselbst wird die geomotrische Bedeutung 
der Bedingung fur das Vorhandensein einer Schar von Orthogonalflachen ein- 
gehend erortert. 

135) Dies ist zuerst von J. Bouquet, J. de math. (1) 11 (1846), p. 446 ff. an 
Beispielen nachgewiesen worden. 

136) Naheres uber die umfangreichen, der erwahnten Differentialgleiehung 
und den Orthogonalsystemen gewidmeten Untersuchungen siehe III D 6 a. 

137) Der Ausdruck isotherm wird von Lame zuerst in den Annales de 



24. Isotherme Linien- und Flachenscharen. 57 

F -4- F 4- F 

XX r yy I zz 

F * -4- F 2 -4- F T 

* x * y i * M 

eine Funktion von c allein 1st. 

1st diese Bedingung erfiillt, so kann man nach G. Lame ns ) die 
Flachenschar immer durch eine Gleichung V(x, y, 2) = c von solcher 
Beschaffenheit darstellen, dass die Funktion V die Differentialgleichung: 

V 4-V -4-V = 

xx \ yy I zz 

befriedigt. 1st namlich: 

F 4- F 4- F 

_^^!L_ ?Ll_i 
F*_LF*\F 

* x y i * 
und: 

so braucht man nur: 



F=p 



j-r, 

dF 



zu nehmen. Hierdurch wird die eingefiihrte Benennung gerechtfertigt, 
da die Flachen einer solchen Schar immer als Flachen gleicher Tempe- 
ratur in einem ungleichmassig erwarmten aber in stationarem Zustand 
befindlichen homogenen Korper angesehen werden konnen 139 ). Zugleich 
hangt hierdurch der Begriff einer isothermen Flachenschar mit dem 
Begriff des Newton schea Potentials und dem einer ,,harmonischen 
Funktion" (II A 7 b) zusammen. 

Jede Funktion V, welche zu einer isothermen Flachenschar in 
der angegebenen Beziehung steht, heisst ein thermometrischer uo ) (ther- 
mischer, isometrischer) Parameter der Flachenschar. 

Entsprechende Erklarungen und Satze gelten fiir einfach unend- 
liche ebene Linienscharen U1 ). 



Chimie et de Physique par Gay-Lussac et Arago 53, Paris 1833, p. 195, ge- 
braucht. 

138) G. Lame, Paris Mem. div. sav. 5 (1838), p. 174175 = J. de math. 
(1) 2 (1837), p. 147149, oder J. de math. (1) 5 (1840), p. 344, oder Le9ons sur 
les fonctions inverses etc., Paris 1857, p. 4 6, oder Le9ons sur les coordonnees 
curvilignes, Paris 1859, p. 31 32. 

139) Vgl. J. Fourier, Theorie analyt. de la chaleur, Paris 1822, art. 123 
== Oeuvres 1, p. 99101. 

140) G. Lame, Le9ons sur les fonctions inverses etc. Paris 1857, p. 2. 

141) Vgl. G. Lame, J. ec. polyt. 14, cah. 23, 1834, p. 240241. - S. Lie 
hat, Vorl. ub. Differentialgln. mit bek. inf. Transf., hsg. v. G. Scheffers, Leipzig 
1891, p. 156, die notwendige und hinreichende Bedingung dafu r angegeben, dass 
eine ebene Linienschar, welche durch eine Differentialgleichung von der Form: 

X (a?, y) dy Y(x, y] dx = 



58 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

Ist eine ebene Linienschar isotherm, so ist ihre Orthogonalschar 
stets ebenfalls isotherm. 

Eine auf einer krummen Flache liegende einfach unendliche 
Linienschar heisst isotherm, wenn sie als das konforme Abbild einer 
ebenen isothermen Linienschar angesehen werden kann. 

Wenn alle drei Scharen eines dreifach orthogonalen Flachen- 
systems isotherm sind, so ist das System, wie G. Lame bewiesen 
hat 142 ), entweder ein System konfokaler Flachen zweiten Grades, oder 
eine seiner Ausartungen, oder es besteht aus einer Schar paralleler 
Ebenen und zwei Scharen von Cylindern, deren Schnitte mit jeneu 
Ebenen beliebige isotherme, zu einander orthogonale Linienscharen sein 
konnen, oder aus einer Schar konzentrischer Kugeln und zwei Scharen 
von Kegeln, die ihre Spitzen in dem gemeinsamen Mittelpunkt jener 
Kugeln haben und dieselben in beliebigen 143 ) zu einander rechtwinkligen 
isothermen Linienscharen schneiden. 

Wenn zwei Linien a, b einer ebenen Linienschar <&(%, y) = c mit 
zwei Linien I, m der Orthogonalschar ein geschlossenes Viereck bilden, 
so kann man im allgemeinen vier bez. den Linien a, b, I, m unendlich 
nahe benachbarte Linien der betrachteten Scharen so bestimmen, dass 
an drei Ecken des erwahnten Vierecks unendlich kleine Quadrate 
entstehen. Dann ist aber das an der vierten Ecke entstehende un 
endlich kleine Viereck im allgemeinen kein Quadrat. Wenn jedoch 
auch an dieser vierten Ecke im allgemeinen jedesmal ein Quadrat 
entsteht, einerlei wie man das urspriingliche Viereck wahlt, so sagt 
man, die betrachtete Linienschar vermb ge zusammen mit ihrer Ortho 
gonalschar die Ebene in unendlich Heine Quadrate zu teilen. 

Damit dies eintrete, ist notwendig und hinreichend, dass der Quotient: 

xx < yy 

eine Funktion von c allein sei 144 ). Die Linienscharen, welche die in 

gegeben ist, isotherm sei. Zugleich hat er gezeigt, dass, falls djese Bedingung 
erfiillt ist, die Integration der Differentialgleichung nur Quadraturen verlangt. 

142) J. de math. (1) 8 (1843), p. 397. Vereinfachungen des Beweises sind 
angegeben von 0. Bonnet, J. e"c. polyt. 18, cah. 30 (1845), p. 141, und J. de 
math. (1) 14 (1849), p. 401. Vgl. auch G. Darboux, Le9ons sur la th. ge"n. des 
surf. 2, p. 399401. 

143) Vgl. hierzu die von 0. Bonnet, J. de math. (1) 14 (1849), p. 416, ge- 
gebene Berichtigung der von G. Lame, J. de math. (1) 8 (1843), p. 399, gemachten 
Angaben, in welchen von den Kegeln irrtiimlicherweise gefordert wird, dass sie 
vom 2. Grade seien. 

144) Einen Beweis kann man aus den von E. Beltrami, Gi. di mat. 2 (1864), 
p. 368, angestellten Betrachtungen ableiten. 



25. Inhaltsberechnung ebener FKichenstiicke (Quadratur). 59 

Rede stehende Eigenschaft haben, erweisen sich somit als iiberein- 
stimmend mit den isothermen ebenen Linienscharen. 

1st u(x, y) ein thermometrischer Parameter einer isothermen 
ebenen Linienschar, so erhalt man eine angenciherte Einteilung des von 
der Schar iiberdeckten Sereiches in Quadrate, wenn man eine Funktion 
v(x, y) so bestimmt, dass die Differentialgleichungen: 

= * Vy = U x 

bestehen, und sodann nach geeigneter Annahme zweier arithmetischen 
Reihen: 

u i} M 2 ,w s , ... und v lf v 9 ,v af ... 

von der gleichen Differenz diejenigen Linien einzeichnet, welche durch 
die Gleichungen: 

u(x f y) = u it v(x,y) = v x (/I, x = 1, 2, ) 

dargestellt werden. 

Eine Ausdehnung der vorangelienden Betrachtungen auf den 
Raum ist nur in sehr beschranktem Masse moglich. Eine Einteilung 
des Raumes in iinendlich Jdeine Wurfel kann namlich, wie J. Liouville 
bewiesen bat 145 ), nicbt anders hervorgebracht werden, als: 

A) durch drei Scharen paralleler Ebenen, welche sich paarweise 
rechtwinklig schneiden, und: 

B) durch drei Scharen von Kugeln, welche aus drei solchen Ebenen- 
scharen durch Abbildung vermittelst reziproker Radien entstehen. 



III. Inhaltstoerechnungen. 

25. Inhaltsberechnung ebener Flachenstiicke (Quadratur) 146 ). 
Wenn die Begrenzung eines endlichen ebenen Bereiches von einer 



145) J. Liouville in G. Monge, Appl. de Fanal., 5. ed. 1850, Note VI, 
p. 609616, nachdem er den Satz selbst ohne Beweis bereits J. de math. (1) 

13 (1848), p. 220, und J. de math. (1) 15 (1850), p. 103, ausgesprochen hatte. 
Aus anderen Quellen hat S. Lie, Math. Ann. 5 (1872), p. 145, und Geom. d. Be- 
nihrungstransformationen 1, Leipzig 1896, p. 419425, den gleichen Satz her- 
geleitet. Einen kurzen geometrischen Beweis gab A. Capelli, Ann. di mat. (2) 

14 (188687), p. 227, insbesondere p. 229230. Wegen der Ausdehnung auf einen 
Raum von mehr als drei Dimensionen, auf deren Moglichkeit schon J. Liou 
ville, J. de math. (1) 13 (1848), p. 220, hingewiesen hatte, vgl. S. Lie, Getting. 
Nachr. 1871, p. 191, u. Math. Ann. 5 (1872), p. 186. 

146) Vgl. hierzu I A 5, Nr. 15, III A 1, und E. H. DirJcsen, Berl. Abh. 1833, p. 123. 
(s. Fussn. 49), sowie P. Stole, Grundzuge der Diff.- u. Integralrechn. 3, Leipzig 
1899, insbesondere p. 60, 111, 200 if. -- Die Inhaltsermittelung durch Anwen- 
dung mechanischer Hulfsmittel (Planimeter) ist in II A 2, Nr. 5658 be- 



60 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

endlichen Anzahl gerader Strecken gebildet wird, so kann der Bereich 
iminer auf unzahlig viele verschiedene Weisen durch eine endliche 
Anzahl gerader Querschnitte so in Teile zerlegt werden, dass diese 
Teile passend aneinander gefiigt ein Rechteck decken, dessen eine 
Seite der Langeneinheit gleich ist. Wie F. Scliur 147 ) und 0. Eausen- 
bcrger 148 ) und auf anderern Wege W. Killing 149 ) bewiesen haben, be- 
halt die andere Seite dieses Rechtecks bei alien verschiedenen Zer- 
schneidungen und Wiederzusammenfiigungen ein und desselben Bereiches 
die gleiche Lange 150 ). 

Die Zahl, welche diese Lange misst, giebt an, wieviel Einheits- 
quadrate mit den Teilen des betrachteten Bereiches bedeckt werden 
konnen, und wird deshalb der Flachcninhalt dieses Bereiches genannt. 

Wenn zweitens ein endlicher ebener Bereich 33 in anderer Weise 
begrenzt, jedoch so beschaffen ist, dass die obere Grenze der 
Flacheninhalte aller eingeschlossenen Bereiche von der vorher betrach 
teten Art mit der unteren Grenze U der Inhalte aller einschliessenden 
Bereiche dieser Art zusammenfallt, so nennt man den gerneinsamen 
Wert der beiden erwahnten Grenzen den Fldcheninhalt des Bereiclies 33. 

Fallt endlich drittens die obere Grenze nicht mit der unteren 
Grenze U zusammen, so heisst der inncre und U der dussere Inhalt 
des Bereiches S3, aber ein Inhalt schlechthin kommt diesem Bereiche 
nicht mehr zu. (Vgl. I A 5, Nr. 15.) 

Wenn ein ebener Bereich S3 sich ins Unendliche erstreckt, aber 
der im Innern eines Kreises mit einem festen Mittelpunkt und einem 
veranderlichen Radius r enthaltene Teil des Bereiches fur jeden Wert 
von r einen bestimmten Inhalt hat und dieser letztere bei unbegrenzt 
wachsendern r einem endlichen Grenzwert zustrebt, so versteht man 
unter dem Inhalt des Bereiches S3 eben diesen Grenzwert. 

Ist S3 ein endlicher ebener Bereich, dem ein bestimmter Inhalt J 
zukommt, und ist nach Uberdeckung der Ebene von S3 mit irgend 
einem Netz gleich grosser Quadrate, deren Seitenlange A heissen moge, 



handelt. Vgl. hieruber auch W. Jordan, Handbuch der Verrnessungskunde 2, 
5. Aufl., Stuttgart 1897, p. 109130, und HID 11. 

147) F. Schur, Dorpat Naturf.-Ges. Ber. 10, 1892. 

148) 0. Bausenberger, Math. Ann. 43 (1893), p. 601. 

149) W. Killing, Einfuhrung in die Grundlagen der Geometrie 2, Pader- 
born 1898, p. 2231. 

150) Einen vom Archimedischen Axiom (I A 5, Nr. 18) unabhangigen Beweis 
dieses Satzes hat D. Hilbert gegeben, Festschrift zur Feier der Enthullung 
des Gauss -Weber-Denkmals in Gottingen, Leipzig 1899, p. 4049. Vgl. ferner 
L. Gerard, Bull, de math. spec. 1; Bull, de math, e le m. 1 et 2; Bull. Soc. math, 
de France 23 (1895), p. 268. 



25. Inhaltsberechnung ebener Flachenstiicke (Quadratur). 61 

n die Anzahl derjenigen Quadrate, welche man erhalt, weiin man alle 
ganz im Innern von 23 enthaltenen Quadrate beibehalt, und ausserdem 
beliebig viele von denjenigen, welche Punkte der Begrenzung von 23 
enthalten, so nahert sich das Produkt tfn bei verschwindendem A 
stets dem Grenzwert /. 

Hat ein ebener Bereich 23 einen bestimmten Inhalt J, so hat 
seine orthogonale Projektion auf eine beliebige zweite Ebene ebenfalls 
einen bestimmten Inhalt 7 und zwar, wenn a den spitzen Winkel zwischen 
beiden Ebenen bezeichnet, den Inhalt Jcosa. 

Wenn f(x) eine Funktion bezeichnet, welche auf einem endlichen 
Intervall mit der unteren Grenze a und der oberen Grenze l> inte- 
grierbar (II A 2, Nr. 31) und nirgends negativ ist, so kommt dem- 
jenigen Bereich, welcher in der Ebene eines rechtwinkligen Systems 
von Parallelkoordinaten (x, y) durch die Ungleichheiten: 

a^x^b, 0^tj^f(x) 
abgegrenzt wird, stets ein bestimmter Inhalt zu, und dieser wird 

6 

durch das Integral J"f(x) dx dargestellt. 

a 

1st in einem System ebener Polarkoordinaten (r, y) eine (analy- 
tische (II A 1, Nr. 12)) Linie I gegeben durch eine Gleichung r = f(cp), 
so wird der Inhalt J desjenigen Bereiches, welchen der Leitstrahl r 
iiberstreicht, wahrend die Abweichung q> stetig wachsend ein endliches 
Intervall a, ... ^ durchlauft, gegeben durch die Gleichung: 



Dabei sind, falls /3 a > 2x ist, die mehrfach iiberstrichenen Teile 
des Bereiches auch entsprechend oft bei der Inhaltsbestimmung in 
Anschlag zu bringen. 

Fiihrt man statt der Polarkoordinaten rechtwinklige Koordinaten 
x, y mit dem gleichen Anfang ein, so erhalt man, wenn x = g(f), 
y = Ji(f) die Gleichungen von I in dem rechtwinkligen System und 
a, 6 die den Werten a, /3 von cp entsprechenden Werte von t bezeichnen, 
vorausgesotzt, dass wachsenden Werten von cp auch wachsende Werte 
von t entsprechen, fur den Inhalt J den Ausdruck: 



o 

*J 



9(t) 
g (t) h (t) 



dessen Anwendbarkeit, wie aus dem Nachfolgenden hervorgehen wird, 
auch auf solche Falle ausgedehnt werden kann, in denen die ge- 
machten Voraussetzungen nicht mehr samtlich zutreffen. 



62 III D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

Die vorangehenden Regeln fiir die Inhaltsberechnung in Parallel- 
und Polarkoordinaten konnen als besondere Fiille des folgenden all- 
gemeinen Satzes 151 ) angesehen werden: 

Wenn eine Strecke P^P Z sich in der Ebene eines reclitwinkligen 
Koordinatensystems bewegt und die Koordinaten x l} y^ x z ,y. 2 ihrer 
Endpunkte als Funktionen ein- und derselben Hiilfsveranderlichen t 
gegeben sind ? so wird der Inhalt desjenigen Bereiches, welchen die 
Strecke P i P 2 uberstreicht, wahrend t ein Intervall a ...I) durchlauft, 
vorausgesetzt, dass die Strecke P t P 2 dabei nie mehr als einmal durch 
den gleichen Punkt geht, gegeben durch den absoluten Wert des 
Ausdrucks : 



dt. 



x^ y^ y y 
dt dt dt 



Wenn im Gebiet von zwei Veranderlichen u, v ein ganz im End- 
lichen liegender Bereich 33 gegeben ist, der einen bestimmten Flachen- 
inhalt hat ; wenn ferner fiir einen den Bereich S3 ganz im Innern 
enthaltenden grosseren Bereich S3 zwei Funktionen g(u, v), h(u, v) 
gegeben sind ; deren partielle Ableitungen erster Ordnung in S3 iiberall 



vorhanden und stetig sind und die Bedingung 



ffu 



> erfullen, 



9, 
und wenn endlich durch die Gleichungen x = g(u, v), y = h(u,v) je 

zwei verschiedenen Punkten des Bereiches S3 auch verschiedene Werte- 
paare x } y zugeordnet werden, so hat der dem Bereich 33 entsprechende 
Bereich im Gebiet der Veranderlichen x, y ebenfalls einen bestimmten 
Inhalt, und dieser wird durch das uber S3 zu erstreckende Integral: 



"- dudv 
9, \ 
dargestellt 152 ). 

Hat man in einer Ebene einen positiven und einen negativen 
Drehungssinn unterschieden, und ist fiir die Begrenzung ernes in dieser 
Ebene enthaltenen endlichen und einfach zusammenhaugenden (III A 4) 
von einer endlichen Anzahl analytischer Linien begrenzten Bereiches 
eine bestimmte Umlaufungsrichtung vorgeschrieben, so ist es hiiufig 
zweckmassig, nach dem Vorgang von A. F. Mobius 15S ) als Inlmlt 



151) Vgl. G. Peano, Applicazioni geometriche , p. 237 239, oder Lezioni 
di analisi 2, p. 224. 

152) Dieser Satz ist ein spezieller Fall der II A 2, Nr. 41 behandelten llegeln 
fiir die Transformation mehrfacher Integrale. 

153) A. F. Mobius, Der barycentr. Calcul, Leipzig 1827, 17, 18 = Ges. 



25. Inhaltsberechnung ebener Flachenstucke (Quadratur). 63 

des Bereiches diejenige positive oder negative Zahl zu bezeichnen, deren 
absoluter Wert die Anzahl der in dem Bereich enthaltenen Einheits- 
quadrate angiebt und deren Vorzeichen -f oder - - ist, je nachdem 
ein die Begrenzung in der vorgeschriebenen Richtung beschreibender 
Punkt das Innere im positiven oder negativen Sinne umlauft 154 ). 
Zugleich pflegt man, wenn eine in der betrachteten Ebene sich be- 
wegende Strecke, bei welcher man einen Anfangspunkt A und einen 
Endpunkt B unterschieden hat, einen festen Punkt iiberstreicht, eine 
Uberstreichung in positiver (d. h. wie bei einer positiven Drehung 
um A) und in negativer Richtung zu unterscheiden, und sodann als 
Inhalt der gesamten von AS bei einer endlichen Bewegung iiber- 
strichenen Flache die algebraische Summe derjenigen Zahlen anzusehen, 
welche man erhalt, wenn man die in der fruheren Weise erklarten 
Flacheninhalte der in positiver, bez. negativer Richtung iiberstrichenen 
Flachenstucke mit dem Vorzeichen -f , bez. - - versieht. 

Bei diesen Festsetzungen konnen mehrere der vorangehenden 
Satze durch ganzliche oder teilweise Aufhebung der ihre Giiltigkeit 
einschrankenden Voraussetzungen erweitert werden. Ferner gilt fol- 
gender Satz 155 ): Wenn in einer Ebene eine geschlossene Linie I 
gegeben und ein fester Punkt A nach Belieben angenommen ist, so 
ist der Inhalt J der Flache, die von der geraden Verbindungslinie des 
Punktes A mit einem auf I beweglichen Punkte B tiberstrichen wird, 

Werke 1, p. 39-41, und Leipz. Ber. 17 (1865), p. 42 = Ges. Werke 2, p. 485. 
Zum ersten Male diirften positive und negative Flacheninhalte in systematischer 
Weise unterschieden worden sein von L. F. Meister, Gott. Nov. Comin. 1 (1770), 
p. 144. 

154) Nimmt man zwischen drei in der Ebene eines rechtwinkligen Koordi- 
natensystems liegenden Punkten eine bestimmte Eeihenfolge P t , P 2 , P s an, 
wahlt sodann die dieser Iteihenfolge entsprechende Umlaufsrichtung des Drei- 
ecks Pj P 2 P 8 als positive und erklart hierauf den Inhalt / des Dreiecks gemass 
der obigen Festsetzung, so erreicht man den Vorteil, dass die Formel: 

1 
2 

1 X S 2/3 

in welcher x lt y l - x^y,; x z , y s bez. die Koordinaten der Punkte P t , P, , P 3 
bedeuten (vgl. B. Baltzer, Theorie u. Anwend. der Determinanten , Leipzig, 
4. Aufl., 1875, 15), ohne jede Ausnahme gilt. 

155) Vgl. A. F. Mobius, Der barycentr. Calcul, Leipzig 1827, 165, Anm. 
Ges. Werke 1, p. 200, und Leipz. Ber. 17 (1865), p. 43 == Ges. Werke 2, p. 486. 

- Dass auch Gauss die Unterscheidung positiver und negativer Flacheninhalte 
fur zweckmassig gehalten und den obigen Satz schon 1825 gekannt hat, geht 
aus Werke 8, p . 398 f hervor. 



64 m D 1, 2. II. v. Mcmgoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

wahrend S die Linie I einmal in vorgeschriebener Richtung durch- 
lauft, von der Lage des Punktes A unabhangig. 

Falls I sich nicht selbst schneidet, stinimt J rnit dem Inhalt des 
von I begrenzten endlichen Teiles der Ebene uberein. Und wenn I 
sich selbst schneidet, pflegt man als Erldarung festzusetzen, dass unter 
dem Inhalt der geschlossenen, in vorgeschriebener Eichtung zu le- 
schreibenden Linie I" eben der Wert J verstanden werden soil. 

Zahlreiche Satze fiber Beziehungen zwischen den Inhalten solcher 
ebener Bereiche, welche ganz oder teilweise von Linien begrenzt sind, 
die als Fusspunktlinien oder Rouletten (III D 4) erklart sind, und 
mannigfaltige Anwendungen dieser Satze auf die Inhaltsberechnung 
besonderer Bereiche hat J. Steiner angegeben 156 ). 

26. Inhaltsberechnung gekriimmter Plachenstiicke (Kompla- 
nation). Wenn im Gebiet von zwei Veranderlichen u, v fur einen 
endlichen Bereich S3, dem ein bestimmter von Null verschiedener Inhalt 
zukommt, drei ini Innern sowie auf der Begrenzung regulare analy- 
tische Funktionen <p(u f v), %(u,v), il>(u } v) eindeutig erklart sind, wenn 
ferner die Determinanten: 

ty w \ rp % 

= B, = C 

X v ^ v 

nicht sanitlich gleich Null sind, und durch die Gleichungen: 
x cp(u } v)f y %(u,v} } 2 = Ti>(u,v) 

ein dem Bereich S3 entsprechendes Flachenstiick ^ gegeben ist, so 
kann man eine ,,dem FldchcnstucJc $ eingeschriebene Polycderflache" 
folgendermassen bilden: Man nimmt in der Ebene der Veranderlichen 
u, v ein den Bereich S3 einfach, aber ganz iiberdeckendes Netz von 
Dreiecken an, behalt von diesen nur diejenigen bei, deren Eckpunkte 
sanitlich dem Bereich S3 angehoren 167 ), und verbindet jedesmal die- 



156) J. f. Math. 18 (1838), p. 278 und 369 = Ges. Werke 2, p. 65, und 
J. f. Math. 21 (1840), p. 33 und 101 = Ges. Werke 2, p. 99. Ausdehnungen 
auf den Raum hat T. A. Hirst, Lond. Trans. 153 (1863), p. 13, gegeben. (In 
franzosischer Sprache und teilweise mngearbeitet wieder abgedruckt J. f. Math. 62 
(1863), p. 246.) Vgl. ferner A. Amsler, tJb. d. Flacheninh. u. d. Vol. durch Bew. 
erz. Kurven u. Flachen u. iib. mech. Integrationen, Diss. Basel, Schaffhausen 1880, 
und IV 3, Nr. 22. 

157) Man konnte ohne wesentliche A nderung des Nachfolgenden ausser den 
hier erwahnten Dreiecken auch noch beliebig viele derjenigen am Eande von 93 
gelegenen Dreiecke beibehalten, welche mit clem Bereich 33 oder seiner Begren- 
xung wenigstens einen Punkt gemeinsam haben. Vgl. 0. Holder, Beitriige zur 
Potentialtheorie, Diss. Tub., Stuttgart 1882, p. 20 ff., woselbst auch die Frage 



26. Inhaltsberechnung gekriimmter Fliichenstucke (Komplanation). 65 

jenigen drei Punkte von ^, welche den Ecken eines der beibehaltenen 
Dreiecke entsprechen, durch ein ebenes Dreieck. 

Wenn man hierbei nach willkiirlicher Annahme eines konstanten 
Winkels a, der grosser als ----, aber kleiner als n 1st, die in der 

Ebene u, v anzunehmenden Dreiecke der Bedingung unterwirft, dass 
keiner der in ihnen vorkommenden Winkel grosser als co sein solle 158 ), 
und sodann das 93 bedeckende Dreiecksnetz in irgend einer Weise 
unbegrenzt verfeinert, jedoch so, dass alle Dreiecksseiten zuletzt un- 
endlich klein werden, so nahert sich die Summe der Flacheninhalte 
aller Dreiecke, aus welchen die in der angegebenen Weise dem Flachen- 
stiick $ eingeschriebene Polyedertiache zusammengesetzt ist, einem 
endlichen Grrenzwert J, welcher unabhangig davon ist, wie man bei 
der Verfeinerung des Dreiecksnetzes verfahrt, und auch dann keine 
Anderung erleidet, wenn man statt der urspriinglich gegebenen irgend 
eine andere den gleichen Voraussetzungen geniigende analytische Dar- 
stellung des Flachenstiicks ^ zu Grrunde legt. 

Dieser Grrenzwert J heisst der Inhalt des Flachenstiicks ^. Er 
wird durch das iiber !$ zu erstreckende Integral: 



oder auch durch: 

F* du dv 



dargestellt, wo zur Abkiirzung: 

V^Vu+lu+ t u, Z^VuVv + XuXv + ^u^, & = 9.* + X,* + 4>,* 
gesetzt ist. 

Wenn man ein in der angegebenen Weise gegebenes Flachenstiick 
in irgend einer Weise durch analytische Linien in eine endliche 
Anzahl von Teilen zerlegt, sodann diese Teile, nachdem man sie in 
irgend welche Lagen im Raume gebracht hat, senkrecht auf eine 
Ebene projiziert und durch Addition der Inhalte aller so erhaltenen 
Projektionen eine Summe $ bildet, so stellt der Inhalt J von ^ die 
obere Grrenze aller Werte dar, welche S fur alle moglichen Zerlegungen 
von ^ und alle moglichen Stellungen der einzelnen Teile zur Pro- 
jektionsebene annehmen kann 159 ). 

behandelt ist, wie weit sich die im vorangehenden gemachten Voraussetzungen 
auf ein geringeres Mass zurackfuhren lassen. 

158) Auf die Notwendigkeit dieser oder einer gleichwertigen Nebenbedingung 
haben 0. Holder, a.a.O. p. 29, G. Peano (vgl. Rom. Line. Rend. (4) 6 (1890), p. 55) 
und H. A. Schwarz, Ges. math. Abhandl. 2, Berlin 1890, p. 309311, oder Cours 
de M. Hermite, professe pendant le 2 e semestre 1881/82, second tirage, Paris 
1883, p. 35 36, aufmerksam gemacht. 

159) G. Peano hat diese Eigenschaft des Inhaltes zur Erklarung desselben 

Encyklop. d. math. Wissensch. ill 3. 5 



66 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

1m Anschluss an den in Nr. 10 erwahnten Vorschlag zur Er- 
klarung des Begriffs ,,Lange" bei einer Linie hat H. Minkowski 16 ) 
einen ahnlichen Vorschlag auch zur Erklarung des Begriffs ,,Inhalt" 
bei einer Flache mit folgenden Worten gemacht: ,,Es sei F eine 
Flache. Man konstruiere in entsprechender Weise (vgl. Nr. 10) den 

Bereich der Entfernung <^ r von F. Es sei V(r) das Volumen dieses 

V(r) 

Bereiches, so kann der Grenzwert von -- -- fiir ein nach Null ab- 

2r 

nehmendes r (vorausgesetzt, dass die Grosse V(r) sowie dieser Grenz 
wert existiert), als Oberflache der Flache F eingefiihrt werden." 

Zwischen den Inhalten einander entsprechender Elemente von 
zwei parallelen Flachen , $ besteht eine von J. Steiner 161 ) an- 
gegebene Beziehung. Wenn namlich d&, dtf, E i} R^, h die Zahlen 
bedeuten, welche sich bei Beachtung gewisser Vorzeichenregeln bez. 
fur die Jnhalte zweier einander entsprechenden Elemente von ^ und ^ 7 
die Hauptkriiinmungsradien (Nr. 35) von $ am Orte von d<5 und den 
Abstand der Flachen ^, ^ ergeben, so ist: 



Ist fiir ein endliches Intervall a ... & eine nirgends negative 
Funktion f(x) und durch die Gleichung y = f(x] eine Linie I ge- 
geben, so wird der Inhalt derjenigen Umdrehungsflache, welche durch 
die Umdrehung von I um die Abscissenaxe entsteht, gegeben durch 
den Ausdruck: 



b 



Durch Multiplikation mit i/l -j- \f (x]fdx und gleichzeitige Division 

a 

durch die namliche Zahl ergiebt sich hieraus die erste Guldin sche 162 ) 



benutzt. Vgl. Applicazioni geom. p. 164, und Eom. Line. Rend. (4) 6 (1890), p. 54, 
woselbst auch geschichtliche Mitteilungen iiber andere Arten der Erklarung ge 
geben sind. 

160) H. Minkowski, Deutsche Math.-Vereinig. Jahresber. 9 (1901), p. 115. 
Vgl. auch C. W. Borcliardt, J. de math. (1) 19 (1854), p. 369 = Ges. Werke, hrsg. 
v. G. Hettner, Berlin 1888, p. 67. 

161) J. Steiner, Berl. Mon.-Ber. 1840, p. 117 = Ges. Werke 2, p. 176. Ver- 
schiedene Folgerungen aus dieser Beziehung giebt C. W. Borchardt a. a. 0. 

162) So genannt wegen ihres Vorkommens in P. Guldin, Centrobaryca, 
Viennae, 1640, obwohl sie sich schon bei Pappus (Collect, hrsg. v. F. Hultsch, 2, 
Berlin 1877, p. 683) findet. G. Monge hat, Applic. de Tanalyse, 6. ed. par Liou- 
mlle, p. 333, die Guldin schen. Regeln auf den Fall ausgedehnt, dass die die er- 
zeugende Figur tragende Ebene auf einer beliebigen abwickelbaren Flache abrollt 



27. Inhaltsberechuung in der nichteuklidischen"Geometrie. 67 

Hegel: Der Inhalt einer Umdrehungsflache ist gleich der Lange ihres 
Meridians multipliziert mit der Bahn, welche der Schwerpunkt dieses 
Meridians bei einer Umdrehung um die Axe beschreibt. 

27. Inhaltsberechnung in der nichteuklidischen Geometrie 163 ). 
In der nichteuMidischen Geometrie gelten, vorausgesetzt, dass man als 
Mass des Winkels zwischen zwei einander schneidenden Geraden g, g 
die Zahl \ i log nat D ansieht, wo D das Doppelverhaltnis des Strahlen- 
paares g, g zu dem Paar der beiden vom Schnittpunkt der Geraden 
g f g an den ,,absoluten" Kegelschnitt ihrer Verbindungsebene gehen- 
den Tangenten bedeutet, die folgenden Erklarungen und Satze: 

Wenn ds und ds die nichteuklidisch gemessenen Langen zweier 
Seiten eines unendlich kleinen Dreiecks und a den ebenfalls nicht 
euklidisch gemessenen von ihnen eingeschlossenen Winkel bedeuten, 
so nennt man das Produkt % ds ds sin a (dessen Wert sich nur um 
eine unendlich kleine Grosse hoherer Ordnung andert, wenn man eine 
der Seiten ds, ds durch die dritte Seite des gleichen Dreiecks und 
zugleich a durch den neuen eingeschlossenen Winkel ersetzt) den 
Inhalt des unendlich kleinen Dreiecks. Ferner versteht man unter 
dem Inhalt eines ebenen Bereiches von endlichen Dimensionen die 
Summe der Inhalte seiner Elemente und erklart endlich den Inhalt 
eines gekrummten Flachenstiicks als Grenzwert des nichteuklidisch 
gemessenen Inhalts einer eingeschriebenen Polyederflache von der 
gleichen Beschaffenheit wie in der euklidischen Geometrie. 

Ist nach Einfuhrung irgend welcher Koordinaten u, v in einer 
Ebene oder auf einer krummen Flache (Nr. 34): 



das Quadrat des nichteuklidisch gemessenen Abstandes der Punkte 
mit den Koordinaten u, v und u -j- du, v -f- dv, so wird der Inhalt 

eines beliebigen Teiles der Ebene, beziehungsweise Flache, gegeben 

/^/" ____ 

durch das Integral IjyEG- F*dudv f erstreckt tiber den ent- 
sprechenden Bereich im Gebiet der Veranderlichen u, v. 

Ist K das Krummungsmass einer nichteuklidischen Massbestim- 
mung, A das Doppelverhaltnis zweier Punkte A, B zu den Schnitt- 
punkten ihrer geraden Verbindungslinie mit der ,,absoluten" Flache 

163) Vgl. J. Frischauf, Absolute Geom. nach J. Bolyai, Leipzig 1872, p. 69 
79; J. Frischauf, Elemente d. absol. Geom., Leipzig 1876, p. 90 98; F.Engel 
u. P. Stdckel, Urkunden zur Gesch. d. nichteukl. Geom. 1 , N. J. Lobatschefskij , 
Leipzig 1898, p. 3346, nebst Anmerkungen p. 265282, und F. Klein, Nicht- 
Euklidische Geom. 1, autogr.Vorl. Winter 188990, 2. Abdr. Gottingen 1893, p. 118 
125, sowielll Al. 

5* 



68 HI D 1, 2. H. v. Mdngoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

zweiteu Grades, uud hat man die Zahl - = log nat A als Mass des 

Abstandes der Punkte A, ~B angenommen, so wird der Inhalt eines 
Dreiecks niit den nichteuklidisch gemessenen Winkeln a, |3, y gegeben 
durch den Ausdruck: 



und der eines Kreises, dessen Radius nichteuklidisch gemessen die 
Lange r hat, durch: 



~K SU ~ 



Falls K negativ ist, hat bei den getroffenen Festsetzungen das Ein- 
heitsquadrat auf der w Grenzflache" den Inhalt Eins. 

28. Rauminhaltsberechnung (Kubatur). Eine Erklarung dafiir, 
was unter dem Rauminhalt eines endlichen, von einer endlichen An- 
zahl ebener Flachenstiicke begrenzten Teiles des Raumes zu ver- 
steheu sei, lasst sich nicht durch eine Erweiterung derjenigeu Er- 
klarung gewinnen, die im Anfang der Nr. 25 fur den Flacheninhalt 

O O / C-J 

eines endlichen, von einer endlichen Anzahl gerader Strecken be- 
grenzten ebenen Bereiches gegeben wurde. Denn, wie M. Delin 164 ) 
bewiesen hat, giebt es Falle (ein Beispiel bietet das regulare Tetraeder), 
in deneu es auf keine Weise moglich ist, einen raumlichen Bereich 
der bezeichneten Art durch eine endliche Anzahl ebener Querschnitte 
so in Teile zu zerlegen, dass man mit diesen Teilen durch andere 
Anordnung derselben ein iiber deni Quadrat der Langeneinheit als 
Grundflache stehendes rechtwinkliges Parallelepipedon genau ausfiillen 
konnte. Ferner ist es in vielen dieser Falle - - insbesondere beim 
regularen Tetraeder - - auch nicht moglich, den betrachteten Teil des 
Raumes und ein rechtwinkliges Parallelepipedon der bezeichneten Art 
durch Hinzufiigung einer endlichen Anzahl beziehentlich kongruenter 
Polyeder zu solchen Polyedern zu ergiinzen, die ihrersei^is in endlich 
viele beziehentlich kongruente Polyeder zerlegt werden konnten. Des- 
wegen liisst sich die Anwendung unendlicher Prozesse auch in den 
elementarsten Teilen der Lehre von den Rauniinhalten nicht ver- 
meiden. 

Von den vier Seitenflachen eines beliebigeu Tetraeders T denke 
man sich irgend eine als Grundflache angenommen und sodann den 
Rauni durch drei auf einander senkrechte Scharen paralleler Ebenen ; 



164) M. Dehn, Gott. Nachr. 1900, p. 345, und Math. Ann. 55 (1902), p. 465 
i III A 1). 



28. Rauminhaltsberechnung (Kubatur). 69 

von denen eine zu jener Grundflache parallel ist, in kongruente Wiirfel 
zerlegt, deren Kantenlange A heissen moge. Wenn dann n die Anzahl 
derjenigen Wiirfel bedeutet, welche man erhalt, wenn man alle ganz 
im Innern von T gelegenen Wiirfel beibehalt, und ausserdem beliebig 
viele von denen, welche Punkte der Begrenzung von T enthalten, so 
nahert sich das Produkt 7?n bei verschwindendem A einem end- 
lichen Grenzwert v, und zwar immer demselben, einerlei ob man die 
Anzahl n so klein oder so gross macht, als es bei gegebenem A 
moglich ist. Fur diesen Grenzwert erhalt man zunachst den Aus 
druck : 

Grundflache Hohe. 

O 

Dieser kann aber in einen andern, aus den sechs Kanten von T zu- 
sammengesetzten Ausdruck 165 ) umgewandelt werden, dessen Form zeigt, 
dass der Wert von v unabhangig davon ist, welche der vier Seiten- 
flachen von T man als Grundflache gewahlt hat. Weiter lasst sich 
zeigen, dass man auch die Forderung, eine der betrachteten Scharen 
paralleler Ebenen solle zu einer der Seitenflachen von T parallel sein, 
fallen lassen kann, ohne dass das Produkt 7?n aufhort, dem gleichen 
Grenzwert v zuzustreben. 

Der so erklarte Grenzwert v heisst das Volumen oder der Raum- 
irihalt des Tetraeders T. 

Sind x v} y v , z v fiir v = 1, 2, 3, 4 die Koordinaten der vier Ecken 
P 1} P 2 , P 3 , P 4 eines beliebigen Tetraeders T in Bezug auf ein recht- 
winkliges System OXYZ, so stellt der Ausdruck: 

I /y> ni A 

1 *! y\ % 



1 -^2 2/2 ^2 

1/y ni y 
^3 i/3 ^3 



das Volumen von T dar, versehen mit dem Vorzeichen -J- oder , 
je nachdem die Kanten PjPg, PI PS? P^P^ ebenso zu einander liegen, 
wie die positiven Richtungen OX, OY } OZ der Koordinatenaxen 
oder nicht 166 ). 

Dementsprechend ist es haufig zweckmassig, nach dem Vorgang 
von A. F. Mobius, unter dem Volumen eines Tetraeders, zwischen 



165) Vgl. G. Ed. Guhrauer, Joachim Jungius und sein Zeitalter, Stuttgart 
1850, p. 297, oder L. Euler, Petrop. Nov. comm. 4 (1758), p. 158, oder E. Baltzer, 
Elemente der Math. 2 (6. Aufl. 1883), Buch 6, 6, Ende von Nr. 14. 

166) Vgl. JR. Baltzer, Theorie und Anwenduug der Determinanten, Leipzig, 
4. Aufl. 1875, 15, woselbst sich auch historische Angaben finden. 



70 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

dessen Ecken erne bestimmte Reihenfolge festgesetzt ist, diejenige 
positive oder negative Zahl zu verstehen, deren absoluter Wert das 
Volumen in dem vorher erklarten Sinne angiebt, und deren Vorzeichen 
-f- oder - - ist, je nachdem die Strahlen, welche von der ersten nach 
der zweiten, dritten und vierten Ecke gehen, in einem zuvor fest- 
gelegten Sinne auf einander folgen oder nicht. 

A. F. Mobius hat gezeigt 167 ), dass und wie man diesen Begriif des 
Volumens zunachst auf beliebige ,,gewohnliche" und ,,aussergewohn- 
liche" Pyramiden und sodann auch auf beliebige ,,gewohnliche" und die- 
jenigen ,,aussergewohnlichen Polyeder" (III A 3) ausdehnen kann, welche 
das ,,Gesetz der entgegengesetzten Kanten" befriedigen, und dabei nach- 
gewiesen, dass sich das Volumen eines jeden solchen Polyeders als 
algebraische Summe der Volumina einer endlichen Anzahl von Pyra 
miden (oder auch Tetraedern) darstellen lasst, welche entweder der 
Bedingung unterworfen werden konnen, samtlich ein- und denselben 
willkurlich gewahlten Punkt als Spitze zu haben, oder der Bedingung, 
dass ihre Grundflachen samtlich in ein- und derselben Ebene liegen 
sollen, die zwar zu einer endlichen Anzahl gerader Linien nicht parallel 
sein, sonst aber ebenfalls nach Belieben angenommen werden darf. 

Zugleich hat Mobius unter Anfiihrung von Beispielen gezeigt, 
dass es aussergewohnliche Polyeder giebt, welche das Gesetz der ent 
gegengesetzten Kanten niclit befriedigen, und bei welchen daher von 
einem Volumen nicht mehr die Rede sein kann. 

Wenn die Begrenzung eines endlichen raumlichen Bereiches $ 
nicht aus einer endlichen Anzahl ebener Flachenstucke besteht, der 
Bereich jedoch so beschaffen ist, dass die obere Grenze der (positiv 
genommenen) Volumina aller eingeschlossenen gewohnlichen Polyeder 
mit der unteren Grenze U der Volumina aller umschliessenden ge 
wohnlichen Polyeder zusammenfallt, so nennt man den gemeinsamen 
Wert der beiden erwahnten Grenzen das Volumen oder den Raum- 
inhalt des Bereiches $. Andernfalls heisst das innere und U das 
tiussere Volumen von , aber ein Volumen schlechthin kommt dem 
Bereich $ nicht mehr zu. 

Wenn ein raumlicher Bereich sich ins Unendliche erstreckt, 
aber der im Innern einer Kugel mit einem festen Mittelpunkt und 
einem veranderlichen Radius r enthaltene Teil des Bereiches fur jeden 
Wert von r ein bestimmtes Volumen hat, und dieses letztere bei un- 
begrenzt wachsendem r einem endlichen Grenzwert zustrebt, so ver- 
steht man unter dem Volumen des Bereiches $ eben diesen Grenzwert. 



167) A. F. Mobius, Leipz. Ber. 17 (1865), p. 31 = Ges. Werke 2, p. 473. 



28. Rauminhaltsberechnung (Kubatur). 71 

Wenn in der XF-Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems 
OXYZ ein endlicher Bereicli 93 gegeben ist, welchem ein bestimmter 
Inhalt zukommt, und f(x, y) eine in diesem Bereiche einschliesslich 
seiner Begrenzung stetige und nirgends negative Funktion bedeutet, 
so hat der Korper, welcher von 93, dem durch die Begrenzung von 93 
gehenden zur Z-Axe parallelen Cylinder und der Flache a = f(x, y) 
begrenzt wird, ein bestimmtes Volumen, und dieses wird dargestellt 
durch das Integral: 

fff(x, y) dx dy, 

erstreckt uber den Bereich 93. 168 ) (Volumenberechnung oder Kubatur 
durch Zerlegung in Prismen.} 

Wenn im Gebiet von zwei Veranderlichen u, v fur einen zu- 
sammenhangenden endlichen Bereich 93, welchem ein bestimmter von 
Null verschiedener Flacheninhalt zukommt, drei sowohl im Innern als 
auf der Begrenzung regulare analytische Funktionen cp(u,v), %(u,v) y 
ty (u, v) 169 ) gegeben sind, wenn ferner die Determinante : 

<p x y 

<Pu % U ^ 
<P %, ^ 

im Innern und auf der Begrenzung von 93 iiberall von Null verschieden 
ist, und wenn endlich das durch die Gleichungen: 

x = y(u, v}, y = %(u, v), = ^(w, v) 

dargestellte, dem Bereich 93 entsprechende Flachenstiick ^ jeden vom 
Anfang des Koordinatensystems der x, y, z ausgehenden Strahl in 
hochstens einem Punkte schneidet, so hat der von $ und demjenigen 
durch den Rand von $ gehenden Kegel, dessen Spitze in liegt, 



168) Eine Erweiterung dieses Satzes stellt der folgende von G. F. Gauss 
(Comm. Gott. 2 (1813) = Werke 5 (1877), p. 6) angegebene Satz dar: 

Das Volumen eines Korpers wird durch ein jedes der drei fiber die ge- 
samte Oberflache desselben zu erstreckenden Integrate: 

Cxcosccds, Cy cos fids, J gcosyds 

dargestellt, in welchen ds das Element der Oberflache, x, y, z die Koordinaten 
dieses Elementes und a, (3, y die Winkel bedeuten, welche die nach aussen ge- 
richtete Normale der Oberflache am Orte von ds mit den positiven Richtungen 
der Koordinatenaxen bildet. 

169) Hinsichtlich der Funktionen % %, if> wiirde die Voraussetzung ge- 
niigen, dass ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung in einem den Bereich S3 
und dessen Begrenzung ganz im Innern enthaltenden grosseren Bereiche vor- 
handen und stetig sind. 



72 HE D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

begrenzte Korper ein bestimmtes Volumen und dieses wird durch den 
absoluten Wert des Ausdrucks: 

- g - j I Ddudv 

dargestellt, wobei das Doppelintegral fiber 95 zu erstrecken ist 170 ). 
(Volumenberechnung durch Zerlegung in Pyramiden.} 

Die Aufgabe, das Volumen eines gegebenen Korpers zu be- 
rechnen, lasst sich indessen haufig einfacher losen als durch Anwen 
dung der vorangehenden Satze. In vielen Fallen ist es namlich mog- 
lich, eine einfach unendliche Flachenschar, insbesondere eine Schar 
paralleler Ebenen, von solcher Beschaffenheit anzugeben, dass das 
Volumen der zwischen irgend zwei unendlich nahe benachbarten 
Flachen der Schar enthaltenen Schicht von ohne Schwierigkeit 
gefunden werden kann, und dann geniigt zur Berechnung des Volumens 
von eine eineige Integration. Eben deswegen gilt als praktische 
Regel fur die Volumenberechnung, zuerst zu versuchen, eine Flachen- 
schar von der angegebenen Beschaffenheit aufzufinden. (Volumen 
berechnung durch Zerlegung in SchicJiten.} 

Dieses Verfahren ist insbesondere auf Umdrehungskorper anwend- 
bar und fiihrt, wenn man die Schar der auf der Axe senkrechten 
Ebenen zur Zerschneidung benutzt, zu folgender Regel: 

Wenn fur ein endliches Intervall, dessen untere Grenze a und 
dessen obere Grenze & heissen moge, eine nirgends negative stetige 
Funktion f(x) gegeben ist, so wird das Volumen desjenigen Korpers, 
welcher durch die Umdrehung des durch die Ungleichheiten: 
a<x<.l, 0<2/<^/(V) 

abgegrenzten ebenen Bereiches um die Abscissenaxe entsteht, dar- 
gestellt durch den Ausdruck: 



Durch Multiplikation mit ff(x)dx und gleichzeitige Division durch 

_ a 

170) Dieser Satz ist mehrfacher Erweiterungen fahig. Insbesondere stellt 
der folgende von C.F.Gauss (Comm. Gott. 2 (1813) = Werke 5 (1877), p. 10) 
angegebene Satz eine solche Erweiterung dar: 

Das Volumen eines Korpers ist gleich dem dritten Teile des iiber die ge- 
samte Oberflache zu erstreckenden Integrals Cr cos ads, wo ds das Element der 
Oberflache, r den Abstand dieses Elementes vom Koordinatenanfang und K den 
Winkel bedeutet, welchen die nach aussen gerichtete Normale der Oberflache 
am Orte von ds mit der Richtung vom Koordinatenanfang gegen ds bildet. 



29. Schmiegungsebene, Eriimmungskreis, Haupt- und Binormale. 73 

die namliche Zahl ergiebt sicli liieraus die zweite Guldirfschc (vgl. 
Nr. 26) Regel: Das Volumen eines Umdrehungskorpers ist gleich dem 
Inhalt seines Meridianschnittes multipliziert mit der Bahn, welche der 
Schwerpunkt der Flache dieses Meridianschnittes bei der Umdrehung 
um die Axe besclireibt. 

Wenn ein zusammenhangender endlicher Bereich $. im Gebiet 
von drei Veranderlichen u, v, ^v, welchem ein bestimmtes Yolumen 
zukommt, und ein Bereich $ im Gebiet von drei anderen Verander 
lichen x, y, 2 durch drei Gleichungen: 

x = y(u,v,iv), y = i(u,v,w), = il> (u, v, w) , 

in denen y, %, i\i drei sowohl im Innern als auf der Begrenzung von 
$ regulare Funktionen bedeuten, gegenseitig eindeutig auf einander 
bezogen sind und die Funktionaldeterminante (I B 1 b, Nr. 

<P U <? <P 

hu Xv Ai 
^u ^ ^ 

in ^ nirgends verschwindet, so hat der Bereich ebenfalls ein be 
stimmtes Volumen und dieses wird dargestellt durch den absoluten 
Wert des iiber zu erstreckenden Integrals 171 ): 



I J J 



A du dv dw. 



Vorschriften zur Volumenberechnung in der nicliteuklidischen Geo 
metric finden sich bei J. Bolyai und N. J. Lobatscliefsky m ). Verein- 
fachungen derselben hat M. Simon 173 ) angegeben. 

IT. Die Linien im Baume. 

29. Schmiegungsebene, Krummungskreis , Haupt- und Binor 
male einer gewundenen Linie 174 ). Wenn eine Linie I in der Nahe 
eines Punktes P analytisch auf die in Nr. 2, I angegebene Weise 

171) Vgl. Fussn. 152. 

172) Vgl. J. Frischauf, Absolute Geom. nach J. Bolyai, Leipzig 1872, 
p. 7980, und Elemente d. absol. Geom., Leipzig 1876, p. 98100; N.J.Loba- 
tschefskij, J. f. Math. 17 (1837), p. 307320; F. Engel u. P. Stdckel, Urkunden zur 
Geschichte d. nichteukl. Geom. 1, N. J. Lobatschefskij, Leipzig 1898, p. 4664, 
nebst Anmerkungen, p. 282308. Einige kurze Bemerkungen stehen auch in 
C. F. Gauss, Werke 8, Gottingen 1900, p. 228229 und p. 232233. 

173) M. Simon, Math. Ann. 42 (1893), p. 471. 

174) Angaben iiber die altere Litteratur, welche sich auf die in dieser und 
der folgenden Nr. zu behandelnden Begriffe bezieht, macht B. de Saint-Venant, 
J. ec. polyt. 18, cah. 30 (1845), p. 12. 



74 ffl D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

so dargestellt werden kann, dass die Unterdeterminanten zweiten 
Grades der Matrix: 



nicht samtlich gleich Null sind 175 ), so haben die Normalebenen von I 
in irgend zwei verschiedenen, dem Punkte P hinreichend nabe be- 
nacbbarten Punkten P lf P 2 von I eine im Endlichen liegende Schnitt- 
linie, welcbe sich bei unbegrenzter Annaherung der Punkte P 1? P 2 an 
den Punkt P einer Grenzlage nahert, die von der Art dieser An 
naherung unabhangig ist und daher aucii als Scbnittlinie der Normal- 
ebene in P mit einer unendlich nahe benachbarten Normalebene er- 
klart werden kann. Diese Grenzlage heisst die Kriimmungsaxe (Polar- 
linie) von I im Punkte P . 

Ferner liegen irgend drei verschiedene Punkte P l} P 27 P 3 , welch e 
auf I in hinreichender Nabe von P nacb Belieben angenommen sind, 
niemals in gerader Linie und bestimmen daber eine Ebene. Aucb 
diese Ebene nahert sich bei unbegrenzter Annaherung der Punkte 
P 1? P 2 , P 3 an den Punkt P einer festen Grenzlage, welche, da sie 
von der Art der Annaherung unabhangig ist, auch als Grenzlage der 
Verbindungsebene das Punktes P mit zwei benachbarten Punkten 
von I, oder als Grenzlage der Verbindungsebene der Tangente von I 

175) Die Singularitaten , welche eintreten konnen, wenn diese Voraus- 
setzung nicht mehr erfullt ist, zerfallen nach G. K. Ch. v. Staudt, Geometric der 
Lage, Niirnberg 1847, p. 110118, und Ch. Wiener, Zeitschr. Math. Phys. 25 
(1880), p. 9597, in acht Arten. (Vgl. auch F. Klein, Anw. d. Diff.- u. Int.- 
Rechn. auf Geom., autogr. Vorl. 1901, Leipzig 1902, p. 437 ff.) Denkt man sich 
namlich einen liings I stetig fortschreitenden Punkt P durch P hindurchgehen, 
so kann im Augenblick des Durchgangs: 

1. der Punkt P seine Bewegungsrichtung, 

2. die Tangente von I in P ihre Drehungsrichtung in der Schmiegungs- 
ebene, 

3. die Schmiegungsebene von I in P ihre Drehungsrichtung um die Tangente 
entweder beibehalten oder umkehren. ttber die Darstellung dieser Singulari 
taten durch Modelle vgl. Ch. Wiener a. a. 0. und Lehrb. d. darst. Geom. 1, 
Leipzig 1884, p. 214217, sowie Deutsche Math.-Verein. , Katalog math, und 
math.-phys. Modelle, Apparate und Instrumente, hrsg. v. W. Dyck, Miinchen 
1892, Nr. 226, p. 298, und L. Brill, Katalog math. Modelle, Darmstadt 1892, 
Nr. 8289, p. 23 und 73. Perspektivische Zeichnungen und weitere Litteratur 
giebt W. Schell, Allg. Theorie d. Kurven dopp. Kriimmung, 2. Aufl., p. 1317 
und p. 39. Analytische Unterscheidungsmerkmale der erwahnten acht Arten 
von Singularitaten finden sich bei H. B. Fine, Amer. J. of math. 8 (1886), p. 156, 
0. Staude, ebd. 17 (1895), p. 359, und A. Meder, J. f. Math. 116 (1896), p. 50 
und 247. 



29. Schmiegungsebene, Kriimmungskreis, Haupt- und Binormale. 75 

in P mit einem zu P benachbarten Punkte von I erklart werden 
kann 176 ). Diese Grenzlage heisst die ScJimiegungsebene (Osliulations- 
ebene, Krilmmungsebene) von I in P . Sie wird, wenn |, TJ, die 
Koordinaten eines veranderlichen ihr angehorenden Punktes bedeuten, 
dargestellt durch die Grleichung: 



= 0. 



Ausser den soeben erklarten sind die folgenden, jedesmal durch den 
Zusatz ,,von I in P " zu vervollstandigenden Bezeichnungen in Gebrauch: 
Krilmmungs-, Schmiegungs- oder OshdationsTcreis fur denjenigen 
in der Schmiegungsebene liegenden und durch P gehenden Kreis, 
dessen Mittelpunkt auf der Krummungsaxe liegt. 

Derselbe bildet zugleich die Grenzlage des Kreises, welcher 
durch drei dem Punkte P benachbarte Punkte von I hindurch- 
geht, fiir den Fall, dass diese drei Nachbarpunkte dem Punkte 
P in irgend einer Weise unbegrenzt genahert werden. 
Krummungsmittelpunkt fiir den Mittelpunkt, Radius der ersten 
Krummung oder Krilmmungsradius fiir den Radius des Kriimmungs- 
kreises und (erste) Krummung fiir den reziproken Wert dieses Radius. 
Hauptnormale fiir diejenige Normale, welche in der Schmiegungs 
ebene liegt. 

Sie ist im allgemeinen nicht Tangente der Linie der Kriim- 
mungsmittelpunkte. Als ihre positive Richtung gilt die Rich- 
tung von P gegen den Mittelpunkt des zugehorigen Kriimmungs- 
kreises. 

Binormale 177 ) fiir diejenige Normale, welche auf der Schmiegungs 
ebene senkrecht steht. 

Sobald iiber die positive Richtung der Tangente eine Fest- 
setzung getroffen ist, gilt als positive Richtung der Binormale 
diejenige, welche so beschaffen ist, dass die positiven Rich- 
tungen der Tangente, Hauptnormale und Binormale ebenso zu 
einander liegen, wie die positiven Richtungen der Axen des- 
jenigen Koordinatensystems, auf welches I bezogen ist. 

Sowohl die Hauptnormalen als die Binormalen einer Linie I 
bilden im allgemeinen eine windschiefe Flache. 



176) Wegen der Beweise dieser Satze vgl. H. A. Schwars, Ann. di mat. (2) 
10 (1880/82), p. 129 = Ges. math. Abh. 2, Berlin 1890, p. 296. 

177) Diese Bezeichnung ist eingefuhrt von B. de Saint-Venant, J. ec. polyt. 18, 
cab.. 30 (1845), p. 17. 



76 III D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

Jede gewundene Linie ist die StriMonslinie (Ort des Fuss- 
punktes des gemeinsamen Lotes von irgend zwei unendlich nahe 
benachbarten Erzeugenden) der Flache ihrer Binormalen. Um- 
gekehrt kann eine windschiefe Flache dann und nur dann als 
Flache der Binormalen einer Linie angesehen werden, wenn 
ihre Striktionslinie die Erzeugenden senkrecht schneidet. 

Die von B. de Saint -Venant 1 ) behandelte Striktionslinie der 
Flache der Hauptnormalen fallt nicht rait der Linie der Kriim- 
mungsmittelpunkte zusammen. 

Rektifizierende Ebene 
fur die Verbindungsebene 
der Tangente mit der Bi- 
normale und 

Eektifizierende Ge- 
rade 119 ) fiir die Grenz- 
lage der Schnittlinie der 
rektifizierenden Ebene 
von I in P mit der zu 
einem unendlich nahe 
benachbarten Punkt von 
I gehorenden rektifizie 
renden Ebene. 

Sie steht senk 
recht auf den 

beiden Hauptnormalen von I in P und einem unendlich nahen 
Nachbarpunkte. 

Begleitendes Dreikant fiir das von der Tangente, der Haupt- und 
der Binormale gebildete Geradenkreuz. 

In welcher Weise I sich auf die Ebenen dieses Dreikants 
projiziert, zeigt Fig. 5. 

30. Windung, Schmiegungskugel und Schmiegiingsschrauben- 
linie einer gewundenen Linie. Eine gewundene Linie I heisst in 
einem Punkte P links oder rechts gewunden, je nachdeni fiir einen 
in P auf der Schmiegungsebene (gleichgiiltig auf welcher Seite) 




Fig. 5. 



178) a. a. 0. p. 2932 und p. 4448. 

179) Diese Bezeichnungen sind von Lancret, Paris Mem. 1, (1806), p. 420, 
deswegen eingefiihrt worden, weil die samtlichen rektifizierenden Geraden 
einer Linie I eine durch I gehende abwickelbare Flache (reJctifizierende Flache) 
bilden, welche die Eigenschaft hat, dass I bei der Abwickelung dieser Flache 
auf einer Ebene in eine Gerade iibergeht. 



30. Windung, Schmiegungskugel und Schmiegungsschraubenlinie. 77 

stehenden und gegen den Mittelpunkt des Kriimmungskreises blicken- 
den Beschauer ein auf I von links nach rechts durch P gehender 
Punkt ab- oder aufsteigend durch die Schmiegungsebene hindurch- 
geht 180 ). 

Wenn fur samtliche Punkte einer Linie I die im Anfang der 
Nr. 29 gemachte Voraussetzung erfiillt und die positive Tangenten- 
richtung festgelegt ist, so kann man einem beliebigen Punkt P von 
I drei Punkte T, H, B auf einer um einen festen Mittelpunkt M mit 
dem Radius Eins beschriebenen Kugel durch die Festsetzung zuordnen, 
dass die Richtungen von M gegen T, H, B beziehentlich mit den posi- 
tiven Richtungen der zu P gehorenden Tangente, Haupt- und Bi- 
normale von I ubereinstimmen sollen. Andert sich die positive Tan- 
gentenrichtung von I stetig mit der Lage des Beruhrungspunktes, 
was im Nachfolgenden durchweg vorausgesetzt werden soil, so ent- 
sprechen stetigen Bewegungen von P auf I auch stetige Verschie- 
bungen der Punkte T, H y B. Die Linien, welche von diesen Punkten 
beschrieben werden, wahrend P die Linie I durchlauft, heissen spha- 
rische Abbilder (III D 3, Nr. 7) von l } und zwar beziehentlich die 
spMrische Indikatrix der Tangenten, die sphdriscJie Indikatrix der 
Hauptnormalen und die spharische Indikatrix der Binormalen lS1 ^). 

Als positive Richtungen der von T und H beschriebenen Linien 
nimmt man gewohnlich diejenigen, in welchen sich T und H be- 
wegen, wenn P auf / in positivem Sinne fortschreitet. Dagegen 
pflegt man bei der von J5 beschriebenen Bahn nicht auf die Art der 
Bewegung des Punktes P, sondern darauf zu achten, in welchem 
Sinne die Strecke M IB bei gegebener Bewegung von B sich um die 
Strecke MT herumdreht 182 ), und bei der Berechnung der Lange eines 
von B in vorgeschriebener Richtung durchlaufenen Weges diejenigen 
Teile, fur welche jene Drehung im positiven Sinne (MH gegen MB) 
erfolgt, mit dem Vorzeichen -f~; ^ Q andern mit dem Vorzeichen - 
in Anschlag zu bringen. 

E. Hoppe hat vorgeschlagen 183 ), die unter Beachtung der vor- 

180) Dies entspricht dem Sprachgebrauch der Technik. Dagegen ge- 
brauchen die Botaniker und einige Mathematiker, z. B. G. Scheffers, Einf. in d. 
Theorie d. Kurven, p. 158 u. p. 200, die Worte links und rechts gewunden in 
umgekehrter Bedeutung. 

181) Vgl. G. Scheffers, Einf. in d. Theorie der Kurven, p. 240241. Eben- 
daselbst wird, p. 243 251 u. p. 350 352, angegeben, wie man bei gegebener 
spharischer Indikatrix der Tangenten oder der Haupt- oder der Binormalen eine 
Linie finden kann,, zu der diese Indikatrix geho rt. 

182) Vgl. A. Kneser, J. f. Math. 113 (1894), p. 9294. 

183) E. Hoppe, J. f. Math. 58 (1861), p. 374, und Anal. Geom. 1, p. 4951. 



78 HI D 1, 2. H. v. Manyotdt. Anwendung der Differential- u. Integralrechmmg. 

stehenden Bestimmungen und der in Nr. 10 angegebenen Vorzeichen- 
regel zu berechnenden Langen r, x, & der Bogen, welche von den 
Punkten T, H } ~B beschrieben werden, wenn P von einer festen An- 
fangslage ausgehend auf I einen Weg von der - - ebenfalls gemass 
Nr. 10 mit einem bestimmten Vorzeichen versehenen - Lange s 
zuriicklegt, beziehentlich als den zur Bogenlange s gehorenden Krtim- 
mungswinkel, Torsionsbogen und Torsionsivinkel von I zu bezeichnen. 

Menr gebrauchlich als diese Ausdriicke fur die drei Funktionen 

T } x, & von s sind gewisse Bezeichnungen ihrer Differentiale. 1st 

namlich ds ein Differential der Bogenlange s und sind dr, dx, d& 

die entsprechenden Differentiale der Funktionen r, x, &, so nennt man: 

dr den zu ds gehorenden Kontingenzwirikel , 

dx den zu ds gehorenden Winkel der ganzen Krummung und 

d& den zu ds gehorenden Windungs-, Schmiegungs- oder 

Flexionswinkel (zuweilen auch TorsionswinkeT) von I. 
Wenn ds positiv ist, so ist bis auf unendlich kleine Grossen 
hoherer Ordnung: 

dr gleich dem spitzen Winkel zwischen den Tangenten, 
dx gleich dem spitzen Winkel zwischen den Hauptnormalen, und 
d& gleich dem spitzen Winkel zwischen den Schmiegungs- 
ebenen (oder auch den Binormalen) von I in den End- 
punkten des Bogenelementes ds, 

wobei jedoch der zuletzt erwahnte Winkel mit dem Vorzeichen -f~ 
oder - - zn versehen ist, je nachdem ein langs I in der positiven 
Tangentenrichtung fortschreitender Punkt am Orte von ds die Schmie- 
gungsebene von I in dem gleichen Sinne durchdringt, wie dies die 
positive Richtung der Binormale (Nr. 29) thut, oder nicht 184 ). 

Der Differentialquotient * stimmt mit der Krummung J von I 
im Endpunkt des Bogens s iiberein. 

j <v 

Der Differentialquotient , heisst die zweite Krummung, Windung, 

CL S 

dv. 
Schmiegung, Flexion oder Torsion und der Differentialquotient -^ die 

ganze Krummung von I im Endpunkt des Bogens s. Die reziproken 
Werte dieser Differentialquotienten heissen beziehentlich der Eadius der 

184) Diese Festsetzung iiber das Vorzeichen ist von F. Frenet, These, Tou 
louse 1847 = 3. de math. (1) 17 (1852), p. 439, getroffen worden, doch weichen 
manche Verfasser von derselben ab. Die verschiedenen in der Litteratur vor- 
kommenden Bestimmungen des fraglichen Vorzeichens hat A. Kneser, 3. f. Math. 
113 (1894), p. 89, eingehend erortert. Vgl. auch 0. Staude, Amer. J. of math. 17 
(1895), p. 361 u. 372. 



30. Windung, Schmiegungskugel und Schmiegungsschraubenlinie. 79 

zweiten Kriimmung (Windungs-, Schmiegungs-, Flexions- oder Torsions- 
radius] 185 ) und der Radius der ganzen Kriimmung von I in dem be- 
zeichneten Punkte. 

Sind die Axen des Koordinatensy stems, auf welches I bezogen 
ist, so zu einander gelegen wie die Richtungen nach Westen, Siiden 
und oben (unten), so sind die Windung, der Windungsradius und 
der Windungswinkel von I in P auf Grund der obigen Festsetzungen 
positiv oder negativ (negativ oder positiv), je nachdem I in P rechts 
oder links gewunden ist, und umgekehrt 186 ). 

Wenn bei Anwendung der in Nr. 2, I angegebenen analytischen 
Darstellung einer Linie I die Determinante : 

X y Q Z 

i-Vrt tjf\ &f\ 



nicht gleich Null ist, so liegen irgend vier verschiedene auf I in hin- 
reichender Nahe von P nach Belieben angenommene Punkte niemals 
in einer Ebene und bestimmen daher eine Kugel mit endlichem 
Radius. Werden diese Nachbarpunkte in irgend einer Weise dem 
Punkte P unbegrenzt genahert, so nahert sich die durch sie hin- 



185) Eine ahnlich einfache geometrische Bedeutung wie dem Radius der 
ersten Kriimmung kommt dem Radius der zweiten Kriimmung nicht zu. Ein 
erster Versuch einer geometrischen Deutung findet sich in einer Abhandlung von 
Th. Olivier, J. ec. polyt. 15, cah. 24 (1835), p. 86. Spater hat B. de Saint-Venant, 
J. ec. polyt. 18, cah. 30 (1845), p. 4041 u. 5354, eine solche Deutung durch 
folgende Satze gegeben: 

I. Tragt man den zu P gehorenden Krummungsradius p der Linie I von 
P aus auf der Tangente ab gleichgtiltig nach welcher Seite legt sodann 
durch den erhaltenen Punkt Q eine Ebene senkrecht zur Tangente und bringt 
dieselbe mit der Tangentenfliiche von I zum Durchschnitt, so stimmt der Radius 
des zu Q geho renden Kru mmungskreises der Schnittlinie (dessen Mittelpunkt 
auf der rektifizierenden Geraden liegt) mit dem absoluten Wert des Windungs 
radius von I in P uberein. 

II. Schneidet man den (die Tangentenflache oskulierenden) Rotationskegel, 
welcher die rektifizierende Gerade von I in P zur Axe und die Tangente zur 
Erzeugenden hat, durch eine zur Axe senkrechte Ebene im Abstand Q O von der 
Spitze P , so ist der Radius des Schnittkreises gleich dem absoluten Wert des 
Windungsradius. Vgl. W. Schell, Allg. Theorie d. Kurven dopp. Krg., 2. AuflL, 
p. 31 35, wo eine ahnliche Deutung auch fiir den Radius der ganzen Kriim 
mung gegeben ist. 

186) Vgl. A. Kneser, J. f. Math. 113 (1894), p. 89. -- Einen Vorschlag, die 
Vorzeichen der ersten, zweiten und ganzen Kriimmung in anderer als der im 
Text beschriebenen Weise festzusetzen, macht R. v. Lilienihal, Math. Ann. 42 (1893), 
p. 502. 



80 HI D 1, 2. IT. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

durchgehende Kugel einer festen Grenzlage, welche von der Art der 
erwaknten Annaherung unabhangig ist 187 ) und daher noch in mannig- 
facher Weise auf andere Art (z. B. als Grenzlage der durch den 
Kriimmungskreis von I in P und einen unendlich nahen Nachbar- 
punkt von I gehenden Kugel) erklart werden kann. Diese Kugel 
heisst die oskulierende oder Schmiegungskugel von I in P . Ihr Mittel- 
punkt liegt auf der Krummungsaxe von I in P und stimmt iiberein 
mit der Grenzlage des Schnittpunktes dieser Krummungsaxe mit der 
Normalebene von I in einem zu P unendlich nahe benachbarten 
Punkte und auch allgemeiner mit der Grenzlage des Schnittpunktes 
der Normalebenen von I in drei beliebigen, dem Punkte P unendlich 
nahe benachbarten Punkten 188 ). 

Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Schmiegungskugeln 
einer Linie I heisst deren Poikurve. Dieselbe fallt mit der Gratlinie 
(III D 5) der abwickelbaren Flache der Krummungsaxen von I zusammen. 
Die Tangente und die Schmiegungsebene der Poikurve fallen beziehent- 
lich mit der Krummungsaxe und der Normalebene der urspninglichen 
Linie zusammen. Die Normalebene und die rektinzierende Ebene der 
Poikurve sind beziehentlich zur Schmiegungsebene und zur rektinzieren- 
den Ebene der urspriinglichen Linie parallel 189 ). 

Als Schmiegungsscliraubenlinie einer Linie I in einem Punkte P 
bezeichnet man diejenige durch P gehende gemeine Schraubenlinie 

187) Vgl. H.A.Schwarz, Ann. di inat. (2) 10 (1880/82), p. 129 = Ges. math. 
Abh. 2, Berlin 1890, p. 296. 

188) Denjenigen Kegel, welcher die Schmiegungskugel langs des Krvim- 
mungskreises beruhrt, hat W. Schell, Allg. Theorie d. Kurven dopp. Krg., 2. Aufl., 
p. 6770, den Schmiegungsrotatiomkegel von I in P genannt. Derselbe beriihrt 
/ in P mindestens von der dritten Ordnung. -- Einen zweiten zu / in enger 
Beziehung stehenden Rotationskegel hat schon B. de Saint -Venant, J. ec. polyt. 18, 
cah. 30 (1845), p. 4243, betrachtet, namlich denjenigen, der seine Spitze in P 
hat und die Tangentenfldche von I langs der zu P gehorenden Tangente oskuliert. 
Dieser Kegel entsteht durch Umdrehung der Tangente urn die rektinzierende 
Gerade. Vgl. auch W. Schell, Allg. Theorie d. Kurven dopp. Krg., 2. Aufl., p. 35, 
und G. Scheffers, Einf. in d. Theorie d. Kurven, p. 254257. Auf einen dritten, 
vom vorigen verschiedenen Kotationskegel hat G. Scheffers a. a. 0. p. 257260, 
aufmerksam gemacht, namlich denjenigen, der seine Spitze ebenfalls in P hat 
und dort mit I selbst eine Beruhrung mindestens von der dritten Ordnung eingeht. 

189) tiber die Beziehungen zwischen entsprechenden Elementen einer Linie 
und ihrer Poikurve und den Krummungen und Windungen beider Linien an 
den Orten dieser Elemente vgl. F. Frenet, J. de math. (1) 17 (1852), p. 443444, 
oder L. BiancU, Vorl. iiber Ditferentialgeom. , deutsch von M. Lukat, Leipzig 
1896, p. 25 f. -- Die Aufgabe, aus den Gleichungen der Poikurve die der ur 
spriinglichen Linie abzuleiten, hat E. Hoppe, J. f. Math. 58 (1861), p. 374, be- 
handelt. 



30. Windung, Schmiegungskugel und Schmiegungsschraubenlinie. 81 

(isogonale Trajektorie der Erzeugenden eines geraden Kreiscylinders, 
s. Ill D 4, Nr. 20), welche in diesem Punkte die gleiche Tangente, 
Krummungsaxe und Windung hat wie 1. Ihre Axe ist der rektifizie- 
renden Geraden parallel und fallt mit der Linie des kiirzesten Ab- 
standes der Hauptnormale in P von der nachstfolgenden Haupt- 
norniale zusammen 19 ). Da bei einer gemeinen Schraubenlinie der 
Mittelpunkt der Schmiegungskugel immer mit dem Krummungsmittel- 
punkt zusammenfallt, bei einer beliebigen gewundenen Linie dagegen 
iin allgemeinen nicht, so haben eine gewundene Linie und ihre 
Schmiegungsschraubenlinie im allgemeinen nur eine Beriihrung zweiter 
Ordnung 191 ). Ausser der Schmiegungsschraubenlinie giebt es im all 
gemeinen noch unendlich viele andere gemeine Schraubenlinien, die 
eine gegebene Linie I in einem gegebenen Punkte P von der zweiten 
Ordnung beriihren 192 ) ; aber eine gemeine Schraubenlinie, die mit I in 
P eine Beriihrung dritter oder hoherer Ordnung hatte, ist im all 
gemeinen nicht vorhanden. Wohl aber lasst sich immer eine Loxo- 
drome einer Rotationskegelflache angeben, welche I in P mindestens 
von der dritten Ordnung beriihrt und daher die koniscke Schmiegungs- 
loxodrome von I in P genannt wird 193 ), und ebenso ist es, wie 
Th. Olivier m ) bemerkt hat, auf mannigfach verschiedene Weise mog- 
lich, eine allgemeine Schraubenlinie (isogonale Trajektorie der Er 
zeugenden eines beliebigen Cylinders) so zu bestimmen, dass sie mit 
I in P eine Beriihrung mindestens dritter Ordnung hat. 

Dass, und wie man eine Raumkurve dritter Ordnung finden kann, 
die mit einer gegebenen Linie in einem gegebenen gewohnlichen 



190) Vgl. W.Schell, a. a. 0. p. 120121. Dieselbe Gerade ist zugleich die 
Axe der von E. Beltrami, Giorn. di mat. 5 (1867), p. 21 23, bestimmteri unend 
lich kleinen Schraubung, welche das begleitende Dreikant in eine benachbarte 
Lage uberfuhrt. 

191) Vgl. Th. Olivier, J. ec. polyt. 15, cah. 24 (1835), p. 68. Vorher, p. 62, 
wird der gleiche Satz damit begriindet, dass eine durch einen gegebenen Punkt 
P hindurchgehende gemeine Schraubenlinie nach Gestalt und Lage schon durch 
fiinf Konstante bestimmt ist, wahrend dafur, dass eine solche Schraubenlinie in 
P mit einer gegebenen Linie eine Beriihrung dritter Ordnung habe, die Er- 
fullung von sechs Bedingungen notwendig ist. 

192) Vgl. Th. Olivier, a. a. 0. p. 252262, und G. Scheffers, Einf. in d. 
Theorie der Kurven, p. 191197. An beiden Orten finden sich Angaben daruber, 
wie die fraglichen Schraubenlinien zu einander liegen. 

193) W. Schell, a. a. 0. p. 126127. 

194) Th. Olivier, a. a. 0. p. 64, 80 u. 8690. Dass die in dieser Abhand- 
lung als ,,developpantes des developpees de 1 helice circulaire" bezeichneten 
Linien allgemeine Schraubenlinien sind, hat Olivier noch nicht erkannt, doch 
folgt dies aus der in Fussn. 208 angefuhrten Arbeit von J. Bertrand. 

Encyklop. d. math. Wissensch. m 3. 6 



82 HI D 1, 2 H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

Punkte eine Beriihrung fiinfter Ordnung eingeht, hat W. E. Hamilton 195 ) 
auseinandergesetzt. 

31. Pormeln und Lehrsatze aus der Lehre von den gewun- 
denen Linien. Nach Festlegung der positiven Tangentenrichtung 
einer Linie I sei s deren gemass Nr. 10 als positiv oder negativ 
anzusehende Bogenlange von einem festen Anfangspunkte bis zu einem 
beweglichen Punkte P, fur welchen die zu Anfang der Nr. 29 an- 
gegebene Voraussetzung zutrifft, und es seien: 

x, y, z die Koordinaten des Punktes P, 

"17 Pi> Y\. die Richtungscosinus der positiven Richtung der Tangente, 
a a> & > Y* die Richtungscosinus der positiven Richtung der Haupt- 

normale (Nr. 29), 
tt 3>p3>7z die Richtungscosinus der positiven Richtung der Binormale 

(Nr. 29) von I in P, 

a, b, c die Richtungscosinus derjenigen Richtung der rektifizieren- 
den Geraden, welche mit der positiven Richtung der Bi 
normale einen spitzen Winkel bildet, 

Q, r, E* die Radien der ersten, zweiten und der ganzen Krummung, 

E der Radius der Schmiegungskugel von I in P und endlich 

dr, dx, d& beziehentlich der Kontingenzwinkel, der Winkel der gauzen 

Krummung und der Windungswinkel, welche dem Bogen- 

differential of 5 entsprechen; 

dann gelten die folgenden Formeln und Satze 196 ): 
I. Wenn : 



und der positive Wert von "j/J. 2 -J- B* -f C* = D gesetzt wird, so 

ist 197 ): 



ds ds s 



195) W. E. Hamilton, Elemente der Quaternionen, deutsch von P. Glan, 2, 
Leipzig 1884, p. 158 160. 

196) Ausfukrliche Zusammenstellungen von Formeln finden sich bei C. G. 
J. JacoU, J. f. Math. 14 (1835), p. 6062 = Ges. Werke 7, Berlin 1891, p. 1518 ; 
B. de Saint -Venant, J. ^c. polyt. 18, cah. 30 (1845), p. 64 72, und W.Ldska, Samml. 
v. Formeln d. rein. u. angew. Math., Braunschweig 18881894, p. 536553. - 
Wenn man die Bogenlange s als unabhangige Veranderliche nimrnt, treten bei 
vielen Formeln erhebliche Vereinfachungen ein. Vgl. G. Scheffers, Einf. in d. 
Theorie d. Kurven, p. 178 ff. u. p. 348 IF. Mit den Hulfsmitteln der Quaternionen- 
theorie hat W.R.Hamilton, Elem. d. Quaternionen, deutsch von P. Glan, 2, 
Leipzig 1884, die Lehre von den Raumkurven eingehend behandelt. 

197) Vgl. Lancret, an dem in Fussn. 179 a. 0. p. 429434. 



31. Formeln und Lehrsatze aiis der Lehre von den gewundenen Linien. 83 



_!_ d& 

r ds 



d 3 y 



_ Bdz Cdy _ Cdx Adz _ Ady Bdx 

&2 ~ ~~Dds > P* = Dds > ?* = ~Dds~ 

= - - 

Ferner ist: 

JC" = (IT -j- 

oder: 

1 1 i 1 
jR* 2 p 2 ~"~ "r 2 " 

und: 

d& . dr -, ...d 



c __ v \ v . i98\ 

II. Die Ableitungen der neun Richtungscosinus a^ , /3 X ; . . . 7 y 3 in 
Bezug auf s konnen durch diese neun Richtungscosinus selbst und die 
Radien Q und r der ersten und zweiten Krummung ausgedriickt 
werden mittelst der Formeln: 

ds Q } ds Q r ds r 

und der sechs iibrigen Gleichungen, welche hieraus durch Ver- 
tauschung von cc mit /3 und y entstehen (Frenet sche Formeln) 199 ). 

III. Die Koordinaten x, y, z des Punktes P sind mit den Koordi- 
naten , ^ 7 "t, des Mittelpunktes der zugehorigen Schmiegungskugel 
verbunden durch die Gleichungen 20 ) : 



198) Vgl. Lancret, a. a. 0. p. 430 431, und B.de Saint-Venant, a.a.O. p. 22 if. 
(u. p. 40 f.), wo auch die G-leichungen , sowie die Krummung und Windung der 
Gratlinie der rektifizierenden l^ldche ermittelt sind. Die Elemente dieser Grat- 
linie giebt auch G. Scheffcrs, Einf. in d. Theorie d. Kurven, p. 317 321 u. 354 if. 

199) Vgl. F. Frenet, These, Toulouse 1847, oder J. de math. (1) 17 (1852), 
p. 438440, und J. A. Serret, J. de math. (1) 16 (1851), p. 193. Wie G. Dar- 
loux, Le9ons sur la th. gen. des surf. 1, p. 9 10, gezeigt hat, kann man den 
Beweis der Frenet schen Formeln fast ohne Rechnung fu hren, wenn man sich 
vorstellt, dass das begleitende Dreikant an I entlang gleitet, und die Bewegung 
eines Dreikants mit fester Spitze, dessen Kanten bestandig zu denen des be- 
gleitenden Dreikants parallel bleiben, mit den Hulfsmitteln der Kinematik ver- 
folgt (IV 3, Nr. 21). Den gleichen Kunstgriff hatte schon E. J. Eouth, Quart. 
J. 7 (1866), p. 37, zur Losung von Aufgaben aus der Lehre von den Raum- 
kurven angewendet. Eine eingehende Darstellung der Bewegung des begleiten- 
den Dreikants findet sich bei W. Schell, Allg. Theorie d. Kurven dopp. Krg., 
2. Aufl., p. 136141. 

200) C. G, J. Jacobi, a. a. 0. p. 61, bez. 17, oder B. de Saint-Venant, a. a. 0. 
p. 33, oder F. Frenet, a. a. 0. p. 441442. 

6* 



84 HI D 1, 2. //. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralreclmung. 

fc do 

5 = ^ + (> 2 + r ds a s , 

y = y + 9& -f rj^/3 3 , 

i do 

= *-!- 9^2 + r^-y 3 , 

aus denen: 



folgt. 

32. Differentialinvarianten und natiirliche Gleichungen einer 
Lime im Raume. Wird eine Linie I ohne Anderung ihrer Gestalt 
irgendwie im Raume bewegt, so erleiden die Radien Q, r der ersten 
und zweiten Kriimmung keine Anderung und das gleiche gilt auch 
von den nach der Bogenlange s genommenen Ableitungen: 

d$ d*Q dr d*r 

ds* ds*>" >"ds 



Die Radien (>, r und alle ihre Ableitungen nach s sind demnach 
,,Differentialinvarianten" (II A 6, Nr. 13) von I gegeniiber alien Be- 
wegungen im. Raume und zugleich auch insofern die einzigen wesent- 
lichen Difl erentialinvarianten, als jede andere Dijfferentialiuvariante 
gegeniiber Bewegungen im Raume sich als eine Funktion der Grrossen: 

dQ d*o dr d*r 

Q ds> ~ds*> > r > ds ds*> 
darstellen lasst 201 ). 

Denkt man sich umgekehrt urspriinglich nicht eine Linie I, 
sondern irgend zwei Funktionen Q(S), r(s) gegeben, welche die 
Bedingungen g (s) > ; r(s)>0 erfiillen, so giebt es nach will- 
kiirlicher Festsetzung des positiven Drehungssinnes im Raume immer 
eine ihrer Gestalt nach vollig bestinimte Linie, deren Bogen 
lange bis auf eine Konstante mit s und deren Radien erster und 
zweiter Kriimmung beziehentlich mit Q(S), r(s) iibereinstimmen 202 ). 
Die Gleichungen, durch welche Q und r als Funktionen von s dar- 
gestellt werden, heissen deswegen die naturlichen Gleichungen der 
Linie 203 ). Hiervon abweichend bezeichnet jedoch G. Scheffers 204 ) als 



201) Vgl. S. Lie, Vorl. iiber kontinuierliche Gruppen, hrsg. v. G. Scheffers, 
Leipzig 1893, p. 674682, und G. Scheffers, Einf. in d. Theorie d. Kurven, p. 201 
208. 

202) Vgl. S. Lie, Vorl. fiber kontinuierliche Gruppen, hrsg. v. G. Scheffers, 
Leipzig 1893, p. 684694, sowie L. BiancM, Vorles. viber Differentialgeometrie, 
p. 1316, oder G. Scheffers, a. a. 0. p. 210219. 

203) Vgl. Nr. 15. - - Die Aufgabe, aus den naturlichen Gleichungen einer 



32. Differentialinvarianten and natiirliche Gleichungen einer Linie im Raume. 85 

natiirliche Gleichungen einer Linie im allgemeinen diejenigen beiden 
Gleichungen, welche die Differentialinvarianten niedrigster Ordnung 

p, -7- und r ruit einander verbinden, und in dem Ausnahmefall 
v ds 

p = Const, eben die Gleichung p = Const, zusammen mit derjenigen 
Gleichung, welche r mit -= verkniipft. 

1st eine Parameterdarstellung einer Linie gegeben, so hat man, 
wenn man p und r als Funktionen von s darstellen will, neben 
Differentiationen und Eliminationen auch eine Quadratur auszufiihren, 
wahrend die Aufstellung der beiden erwahnten Gleichungen zwischen 
den Differentialinvarianten niedrigster Ordnung nur Differentiationen 
uud Eliminationen erfordert. 

Nachdem fur eine Linie I die Winkel T, x, & (Nr. 30) und die 
neun Richtungscosinus K I} . . . y a (Nr. 31) als Funktionen der Bogen 
lange s dargestellt sind, denke man sich fur s eine neue Veranderliche s 
durch eine Gleichung s = f(s) eingefiihrt, in welcher f(s) eine zugleich 
mit s verschwindende und bei wachsendem s ebenfalls wachsende Funk- 
tion bedeutet, und durch T, je, #, 1? . . . y 3 diejenigen Funktionen von 
s bezeichnet, welche so aus T, %, -fr, Oj, . . . 7 3 entstehen. Dann giebt 
es immer eine ihrer Gestalt und Stellung nach (d. h. bis auf eine 
Parallelverschiebung) vollig bestimmte Linie I, fur welche s, T, x } #, 
"i ) Yz die gleiche Bedeutung haben wie s, T, j, #, ^ , . . . y 3 fur I. 
Von je zwei in dieser Beziehung zu einander stehenden Linien sagt 
JR. Hoppe 205 ), dass .sie sich nur durch die , } Dimensionen" unter- 
scheiden, aber in den ,,inneren Beziehungen" ubereinstimmen. Dem- 
gemass stellt er neben die Einteilung der Eigenschaften einer Linie 
in solche, die sich lediglich auf die Gestalt und solche, die sich auch 
auf die Lage beziehen, eine zweite, die vorige durchkreuzende, in 
Eigenschaften, die nur die inneren Beziehungen, und Eigenschaften, 
welche die Dimensionen betreffen. Zugleich empfiehlt er, bei der 
Losung von Aufgaben zuerst nur die inneren Beziehungen und dann, 
davon getrennt, die Dimensionen zu ermitteln. Dies kann dadurch 



Linie deren Gleichungen in rechtwinkligen Koordinaten zu finden, ist von 
R. Hoppe, J. f. Math. 60 (1862), p. 182, behandelt worden. S. Lie hat, Christiania 
Videnskabsselskabs Forh., 1882, Nr. 22, gezeigt, wie dieselbe auf die Integration 
einer Differentialgleichung vom Miccati schen Typus (II A 4 b, Nr. 8) zuruck- 
gefiihrt werden kann. Diese Zuruckfiihrung haben auch G. Darboux, Le9ons sur la 
theorie gen. des surf. 1, p. 1923, und G. Scheffers, a. a. 0. p. 211215, eingehend 
behandelt. 

204) a. a. 0. p. 210 f. 

205) Anal. Geom. 1, p. 61. 



86 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Amvendung der Differential- u. Integralrechnung. 

geschehen, dsss man die eben erwahnten natiirliclien Gleichungen 
durch ein anderes gleichwertiges System von zwei Gleichungen er- 
setzt, namlich erstens eine von s freie und daher zu den inneren 

Beziehungen gehorende Gleichung zwischen T und # allein die so- 

genannte spezifisclie Gleichung ) - - und zweitens eine die Bogen- 
lange s enthaltende Gleichung, welche die Dimensionen bestimmt. 

Nachdem V. Puiseux ) durch rein analy tische Betrachtungen gezeigt 
hatte, dass die gemeine Schraubenlinie die einziye (reelle) gewundene Linie 
1st, deren Kriimmung und Windung beide konstant sind (III D 4, Nr. 20), 
gab J. Bertrand m } einen geometrischen Beweis des gleichen Satzes, der 
zugleich ergab, dass jede Linie, fur welche das Verhaltnis der Krurn- 
mung zur Windung konstant ist, eine allgemeine Schraubenlinie (Nr. 30, 
Ende) sein musse. Wenig spater begriindete J. A. Serret 209 ) diesen 
letzteren Satz auf analytischem Wege und bestimmte zugleich alle 
Linien, fur welche die Windung 210 ) oder die Krummung einen kon- 
stanten Wert hat. Gleichzeitig fand J. Bertrand 211 ), dass, abgesehen 
von den gemeinen Schraubenlinien, einer gegebenen Linie I clann 
und nur dann eine zweite Linie I zugeordnet werden kann, welche 
die gleichen Hauptnormaleu hat, wenn zwischen der Krummung und 
Windung von I in einem beliebigen Punkte eine lineare Gleichung 
mit konstanten Koeffizienten besteht 212 ). Ist insbesondere die Krum 
mung von I konstant, die Windung dagegen nicht, so ist die Beziehung 
zwischen den Linien ?, l } wie schon G. Monge bemerkt hat 213 ), eine 
gegenseitige und jede von ihnen der Ort der Krummungsmittelpunkte 

206) Vgl. R.Hoppe, J. f. Math. 63 (1864), p. 122 ff. und Anal. Geom. 1, 
p. 53 u. p. 70 ff. An beiden Orten wird fiir verschiedene einfachere Falle die 
Aufgabe gelost, alle Linien von gegebener spezifischer Gleichung zu bestiinmen. 

207) J. de math. (1) 7 (1842), p. 6569. In ahnlicher Weise hat Puiseux 
den Fall, dass das Verhaltnis der Krummung zur Windung konstant ist, J. de 
math. (1) 16 (1851), p. 208 ff. behandelt. 

208) J. Bertrand, J. de math. (1) 13 (1848), p. 423 f. 

209) /. A. Serret, Brief an J. Liouville, abgedr. in Note 1, zu G. Monge, 
Applic. de 1 anal., 5. e"d. 1850, p. 562 ff. Vgl. auch J. de math. (1) 16 (1851), p. 197 ff. 

210) Weitere Litteratur fiber Linien konstanter Windung giebt G. Darboux, 
Le9ons sur la theorie gen. des surf. 4, p. 429. 

211) J. Bertrand, J. de math. (1) 15 (1850), p. 332 ff. Vgl. auch J.A. Serret, 
J. de math. (1) 16 (1851), p. 499, sowie eine von A. Mannheim, J. de math. (2) 
17 (1872), p. 406, gegebene geometrische Ableitung. Scheinbare Ausnahmefalle 
erortert G. Darboux, Le90ns sur la theorie gen. des surf. 1, p. 14 f. 

212) ttber die Gleichungen dieser Linien vgl. L. Bianchi, Vorl. iiber Diffe- 
rentialgeom., deutsch v. M. Lukat, Leipzig 1896, p. 3234. 

213) Vgl. G. Darboux, Le9ons sur la theorie g<5n. des surf. 1, p. 16-17, 
Anmerkung. 



33. Filar- und Plan-Evolventen und -Evoluten. 87 

der andern. Ein allgemeines Verfahren zur Bestimmung aller ge- 
wundenen Linien, bei denen die Radien Q, r der ersten und zweiten 
Krummung und die Bogenlange s durch eine beliebige Gleichung 
verkniipft sind, gab S. Lie* u ~), nachdem A. Enneper 215 ) mehrere von 
den bereits erwahnten verschiedene spezielle Falle erledigt hatte. Der 
Fall, dass die gegebene Gleichung zwischen Q, r und s die besondere 

Form = f(s) hat, ist von G. Pirondini 216 ) behandelt worden. 

33. Filar- und Plan-Evolventen und -Evoluten. Wird langs einer 
Linie I ein biegsamer aber nicht dehnbarer Faden aufgelegt und soclann 
von einem beliebigen Punkte der Linie an von dieser so abgewickelt, 
dass er stets gespannt bleibt, so dass in jedem Augenblick das ab- 
gewickelte geradlinige Fadenstiick in seinem einen Endpunkt die 
Linie I beriihrt, und dass seine Lange der Lange des abgewickelten 
Bogens gleichkommt, so beschreibt das freie Ende des Fadens eine 
sogenannte Filarevolvente von I. 

Umgekehrt heisst jede Linie, aus welcher I in der beschriebenen 
Weise als Evolvente abgeleitet werden kann, eine Filarevolute von I. 

Wie zuerst G. Monge 217 ) bemerkte, hat jede gegebene krumme 
Linie I unendlich viele verschiedene Evoluten, welche samtlich auf 
der abwickelbaren Flache der Krummungsaxen (PolarfldcJie) von I 
liegen und auf dieser yeodatische Linien (III D 3, IV) bilden. Die er- 
wahnte Flache wird deswegen auch als Evolutenflaclie von I bezeichnet. 

Die von ein und demselben Punkt einer Evolvente I an zwei 
verschiedene Evoluten gezogenen Tangenten bilden einen konstanten, 
d. h. von der Lage des Evolventenpunktes unabhangigen Winkel mit 
einander. Ist die Evolutenfiache @ von / gegeben, so kann man 
einen Punkt P mechanisch notigen, die Linie I zu beschreiben, indem 
man P mit swei uber @ sich frei hinspannenden Faden fest ver- 
bindet 218 ). 



214) S. Lie, Cbristiania Videnskabsselskabs Forh. 1882. Vgl. Fussn. 203. 

215) A. Enneper, Gott. Nachr. 1866, p. 134, und 1881, p. 291, sowie Math. 
Ann. 19 (1882), p. 72. 

216) G. Pirondini, J. f. Math. 109 (1892), p. 238. 

217) G. Monge, Paris Sav. etr. 10 (1785) und Applic. de 1 anal., XXVII. - 
tiber die Ermittelung der Evoluten einer gegebenen Linie und die Beziehungen 
zwischen den Kontingenz- nnd Schmiegungswinkeln beider Linien in eritsprechen- 
den Punkten vgl. auch Lancret, an dem in Fussn. 179 a. 0. p. 435 ff. und H. Molins, 
J. de math. (1) 8 (1843), p. 379. In erheblich einfacherer Weise haben G. Darloux, 
Lemons sur la th^orie gen. des surf. 1, p. 17 f. und P. Stackel, Math. Ann. 43 
(1893), p. 174176, die Lehre von den Filarevoluten behandelt. 

218) G. Monge, Applic. de 1 anal., XXVII, No. XXVIH. 



88 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

Wenn eine Linie I nicht eben 1st, so gehort weder ihre Pol 
kurve, noch die Linie ihrer Kriiminungsmittelpunkte zu den Filar- 
evoluten von 1. 219 ) 

Lasst man eine Ebene ohne Gleitung sich so an einer gewun- 
denen Linie I entlang bewegen, dass sie immer Schmiegungsebene 
derselben bleibt, so beschreibt jeder Punkt der Ebene eine sogenannte 
Planevolvente von I Fragt man umgekehrt nach einer Linie, aus 
welcher I in der beschriebenen Weise abgeleitet werden kann, so 
wird man, wie schon Lancret m ) bemerkte, auf die Polkurve von I 
gefiihrt. Diese Polkurve wird deswegen auch als die Planevolute von 
I bezeichnet. 

Zwei gewundene Linien werden vielfach parallel genannt, wenn 
sie als Planevolventen ein und derselben dritten Linie angesehen 
werden konnen. 



Y. Anfangsgriinde der Flachentheorie. 

34. Fundamentalgrossen der Flachentheorie. Die Lehre von 
den krummen Flachen wird in den aus dem 18. und dem Anfang 
des 19. Jahrhunderts stammenden Arbeiten von Euler, Monge, Dupin, 
Caucliy u. a. fast ausschliesslich auf die Voraussetzung gegriindet, 
dass die zu betrachtende Flache durch eine Gleichung zwiscben den 
Koordinaten x, y, z gegeben sei. Mit Vorliebe wird diese Gleichung 
in der besondern Form z = f(x, y) angenommen. Die Parameter- 
darstellung (III D 3, Nr. 4 und VI) einer Flache 1st, wenn auch vor- 
her nicht unbekannt, doch erst in Gebrauch gekommen, nachdem C. 
F. Gauss durch seine 1822 geschriebene Preisarbeit fiber die winkel- 
treue Abbildung zweier Flachen aufeinander 221 ) und durch seine 1827 
beendigten Disquisitiones generates circa superficies curvas 222 ) gezeigt 
hatte, welche Vorteile man von ihr namentlich dann ziehen kann, 
wenn man die Flachen nicht als Grenzen von Korpern, sondern als 
Korper, deren eine Dimension verschwindet, und zugleich als bieg- 
sam, aber nicht als dehnbar betrachtet. Zugleich mit der Parameter- 
darstellung ist die Benutzung einiger im Nachfolgenden zu erkliiren- 

219) Vgl. G. Monge, ebd. No. VIII, oder C. G. J. Jacoli, J. f. Math. 14 (1835), 
p. 58 f. = Ges. Werke 7, Berlin 1891, p. 13f. 

220) a. a. 0. p. 417. 

221) Astr. Abh., hrsg. v. Schumacher, Heft 3, 1825 = Werke 4, p. 189. 

222) Comm. Gott. 6 (1828) = Werke 4, p. 217. 

223) Auf eine Eeihe weiterer Hiilfsgrossen wird man gefiihrt, wenn man 
die moglichen Bewegungen eines rechtwinkligen Dreikants verfolgt, dessen Ecke 



34. Fundamentalgrossen der Flachentheorie. 89 

den Hulfsgrossen 223 ) iiblich geworden, deren Einfuhrung zur Ab- 
kiirzung der Formeln dient und fur die in der Litteratur verschiedene 
Bezeichnungen vorkonimen. 

Wenn man sich eine Flache in der Nr. 2, III angegebeneu Weise 
dargestellt denkt, so pflegt man als positive Richtung der Normale 
im Punkte (u, v) diejenige anzusehen, deren Richtungscosinus durch 
die Ausdrticke: 

"V" _ y _ -S y _ C 

A f > -* : ~ ~ji ; & - ~m 



gegeben werden, wo T den positiven Wert von j/Z^-f- J5 2 -f- C 2 be- 
zeichnet 224 ). 

Bei dieser Festsetzung folgen die Richtung der wachsenden u, 
die Richtung der wachsenden v und die positive Richtung der Nor- 
malen ebenso aufeinander wie die positiven Koordinatenrichtungen. 

Ferner pflegt man nach dem Vorgang von C. F. Gauss 225 ) zur 
Abkiirzung: 



sich auf der betrachteten Flache bewegt und von welchem eine Kante bestandig 
zur Flache senkrecht bleibt, wahrend eine zweite Kante mit den Parameterlinien 
der einen Schar einen (als Funktion der Parameter) gegebenen Winkel bildet. 
Ausfuhrliche Darstellungen dieses in den letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts 
ausgebildeten kinematisch-geometrischen Untersuchungsverfahrens der Flachen 
geben G.Darboux, Lecons sur la theorie gen. des surf. 1, p. 6673, und 2, p. 347 
401, und G.Scheffers, Einf. in die Theorie der Flachen, p. 310321. Auf Grund 
relativer Bewegung solcher zu Kurven auf Flachen gehorigen Darboux schen 
Dreikante hat A. Schonflies, Gott. Nachr. 1898, p. 71, eine Reihe der grund- 
legenden Formeln der Flachentheorie einfach abgeleitet. Vgl. auch III D 3, Nr. 10, 
24 u. 32, sowie IV 3, Nr. 1 u. 21. 

224) Bei imaginaren Flachen wiirde der Fall eintreten konnen, dass 
J. 2 -f B* -f C 2 identisch gleich Null ist. Im Nachfolgenden sollen jedoch alle 
imaginaren Flachen von der Betrachtung ausgeschlossen bleiben und ebenso 
auch alle Punkte reeller Flachen, fiir welche J. 2 -f B* -f- C 2 = ist, einerlei 
ob diese Gleichung in einer vorhandenen Singularitat oder lediglich in der ge- 
wahlten Darstellungsart ihren Grund hat. Ausnahmefalle wie die eben er- 
wahnteu finden sich bei G. Scheffers, Einf. in die Theorie der Flachen, vielfach 
eingehend erortert. Vgl. insbesondere p. 28 f., 113116, 228 f., 243 f., 248. 
Im Fall der Darstellung der Flache durch eine Gleichung F(x,y,z) = wahlt 
man als positive Richtung der Normale gewohnlich diejenige, deren Rich 
tungscosinus mit F x , F y , F, im Vorzeichen ubereinstimmen. Hiermit stimmt 
die von E. Bour, J. ec. polyt. 22, cah. 39 (1862), p. 18, getroffene Festsetzung 
iiberein, dass die positive Normale von der Flache aus in denjenigen Raumteil 
hineingehen solle, wo F(x, y, z) positiv ist. 

225) Disquisitiones gen. circa superf. curvas, Comm. Gott. 6 (1828), Art. 10, 
11 == Werke 4, Gott. 1880, p. 233, 235. Vgl. HID 3, Nr. 4 u. VI. 



90 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

zu setzen. Fiir diese Zahlen E, F, G ist die Bezeichnung Funda 
mentalgrossen erster Ordnung und fur die Zahlen: 

X <Puu + Y Xuu + Z ^au = L , 



durch R. Hoppe 226 ) die Bezeiclinung Fundamentalgrossen ztveiter Ord 
nung gebrauchlich geworden. Dementsprechend heissen die Differen- 
tialformen (III D 3, Nr. 4 und 8): 

ds 2 = Edu* + 2Fdudv -f Gdv* 
und: 

fJeS 

- = (dxdX -f dydY+dedZ) = Ldu 2 -f 2Mdudv + Ndv\ 

wo die (nach Nr. 35 als positiv oder negativ anzusehende) Kriim- 
mung des durch den Punkt (u, v) gehenden und durch das Ver- 
haltnis du : dv bestimniten Normalschnittes bedeutet, beziehentlich die 
erste und die ziveite Fundamentalform der Fldche. 

Abgesehen von unendlich kleinen Grossen hoherer Ordnung ist 
die erste Fundamentalform gleich dem Quadrat des Abstandes der 
Flachenpunkte (u, v) und (u -f- du, v -\- dv) und die zweite Funda 
mentalform gleich dem doppelten Abstand des Punktes (u -j- du } 
v -f- dv) von der Tangentenebene der Flache im Punkte (u, v), ver- 
sehen mit dem Vorzeichen -j- oder , je nachdem der Punkt (u-\-du, 
v -f- dv) auf der gleichen Seite dieser Tangentenebene liegt wie die 
positive Normale, oder nicht. 

Sowohl die Fundamentalgrossen erster als die zweiter Ordnung 
bleiben bei einer orthogonalen Transformation der Cartesischen Koordi- 
naten ungeandert. 

Mit Hiilfe der sechs Fundamentalgrossen lassen sich die par- 
tiellen Ableitungen erster Ordnung der Richtungscosinus X, Y 7 Z in 
einfacher Weise durch die partiellen Ableitungen erster Ordnung der 
Funktionen cp, %, ^ und umgekehrt diese letzteren durch die ersteren 
ausdriicken. Man hat namlich: 



226) Prinzipien der Flachentheorie, Leipzig 1876 (2. Aufl. 1890 als 2. Teil 
cles Lehrbuchs der analyt. Geometrie), p. 6. -- Die Einfuhrung der Zahlen L, 
M, N an Stelle der von Gauss benutzten Zahlen: 



cmpfiehlt sich deswegen, weil bei Einfuhrung neuer Parameter an Stelle von u 
und v die Transformationsformeln fur L, M, N einfacher werden als die fiir 
ti, D , D"; vgl. </. Knoblauch, J. f. Math. 103 (1888), p. 27 f. Ebendaselbst werden, 
p. 34, vier Fundamentalgrossen dritter Ordnung erklart. 



34. Fundamentalgrossen der Flachentheorie. 91 

dX__FM-GL dx.FL-EM dx 

,jx } du EG F* du ~~ EG F* "dv > 

dX = FN-GM dx_ FM-EN dx 
dv ~ EG F* "du EG F* "dv 

und 

dx_MFNE dX . ME LF dX 



(2) 



du LNM* du ~~ LNM* "dv > 
cx_ _ MG NF dX . MFLG dX 
dv LN M z ~ "~du ~~ ~LNM* Ih 
nebst acht ahnlichen Gleichungen, welche sich aus den vorstehenden 
durch gleichzeitige cyklische Vertauschung der Veranderlichen x y 2 
und X, F ; Z ergeben 227 ). 

Ferner konnen, wie schon Gauss 228 ) bemerkt hat, die partiellen 
Ableitungen sweiter Ordnung einer jeden der drei Koordinaten x, y, 2 
durch Ausdrucke dargestellt werden, welche die Form homogener 
linearer Funktionen der partiellen Ableitungen erster Ordnung der 
gleichen Koordinate und des zugehorigen Richtungscosinus der Flachen- 
normale haben, mit Koeffizienten, die bei einer orthogonalen Trans 
formation der Cartesischen Koordinaten ungeandert bleiben. Man hat 
namlich: 

dx . T _,. 



.?, EG U -FE 9 dx 

2T 2 d u 2T* "dv~ 



dx EG V -2FF V + FG U dx . 

du~^ ~2^~ "d^ + N X 

nebst sechs ahnlichen Gleichungen, die sich durch gleichzeitige 
cyklische Vertauschung der Veranderlichen x, y, g und X, Y, Z er 
geben. A. Foss 229 ) hat diese neun Gleichungen die partiellen Diffe- 
rentialgleicliungen der Flache genannt. 

Die sechs Fundamentalgrossen E, F, G, L, M, N sind durch 
die drei folgenden von einander unabhangigen partiellen Differential- 
gleichungen mit einander verbunden: 

227) Die Gleichungen (2) sind zuerst von J. Weingarten, J. f. Math. 59 
(1861), p. 382 f. angegeben worden. Aus ihnen ergeben sich die Gleichungen (1) 
durch Auflosung in Bezug auf d ~ , |^. Vgl. auch HID 3, Nr. 7. 

228) Disqu. gen. c. sup. curv. art. 11. Vgl. auch E. Hoppe, Prinzipien der 
Flachentheorie, 5, sowie III D 3, Nr. 9 u. 20. 

229) A. Voss, Math. Ann. 39 (1891), p. 184. Uber die Herleitung dieser 
Gleichungen vgl. R. Hoppe, a. a. 0. und G. Scheffers, Einf. in die Theorie der 
Flachen, p. 262 264. 



92 HID 1/2. H. v. Mangoldt. Anwehdung der Differential- u. Integralrechnung. 



F*} (LN- M^ -f 2 (EG - F) (E, 9 - 2F ue + G uu ) 
+ E[(2F U - E.) G e - GJ] + G [(2F. - GJ ^ - , 2 ] 
+ F(2F 9 E. + 2F U G + E,G U - U.G. - 41^.) = 0, 



2(EG F 2 ) (L v M u ) (LG 2MF + NE) E 

+ (MO NF~)E U + 2(NE MF) F u + (LF ME] G u = 0, 

2(EG F 2 ) (N u M 9 ) (LG - 2MF -f NE) G u 

+ (NFMG}E V + 2(L AfJ 1 )^ + (ME LF} G V =Q. 



Die erste dieser ,,Fundamentalgleichungen der FUichentheorie" findet 
sich in nur wenig anderer Form schon bei 0. J 1 . Gauss 23 ) und bringt 
den Satz zum Ausdruck, dass das Kriimmungsmass (Nr. 36) der 
Flache sich allein durch die Fundamentalgrossen E, F, G und dereu 
partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung ausdriicken lasst. 
Gleichungen, welche den beiden andern gleichwertig sind ; wurden von 
G. Mainardi 231 ) und D. Codazzi 232 ) aufgestellt weswegen diese Glei- 
chungen haufig als ,,Mainardi sche" oder n Codazz$sche Gleickutiyen" 
be/eichnet werden. Uber die mannigfachen Formen der partiellen 
Differentialgleichungen der Flachen und der Fundamentalgleichungen 
sowie iiber ihre geometrische und kinematische Bedeutung vgl. 
Ill D 3, VI 

Sind umgekehrt ein rechtwinkliges raumliches Koordinatensystem 
und in bestimmter Reihenfolge sechs reellwertige Funktionen E, F, G, 
L, M, N von zwei reellen Veranderlichen u, v gegeben, welche die 
drei vorstehenden Grleichungen und ausserdem die Bedingungen: 
E>0, G>0, EG F 2 >0 

befriedigen, so giebt es ; wie 0. Bonnet 5 ) gezeigt hat, immer eine 
bis auf die Lage im Raum eindeutig bestimmte Flache, die in Bezug 
auf das gegebene Koordinatensystem eine solche Parameterdarstellung: 

x = <p(u,v), y = y,(u, v), z = i>(u, v) 

gestattet, dass die Fundamentalgrossen erster und zweiter Ordnung 
beziehentlich mit den gegebenen Funktionen E, F, . . . , N iiberein- 



230) Disquisitiones gen. circa superf. curvas, Comm. Gott. 6 (1828), Art. 11 
= Werke 4, G6tt. 1880, p. 236. 

231) 1st. Lomb. Giorn. 9 (1857), p. 394395. 

232) Ann. di mat. (2) 2 (18681869), p. 273 f. Glgn. (58) und (59). 

233) J. <c. polyt. 25, cah. 42 (1867), p. 35. Vgl. auch E. Lipschitz, Berl. 
Ber. 1883, p. 541 ff. ; H. Stdhl und V. Kommerell, Grundformeln der Flachen- 
theorie, p. 3236, und G. Scheffers, Einf. in die Theorie der Flachen, p. 321 
341, sowie III D 3, Nr. 20. 



35. Satze von Meusnier und Euler, Hauptkriimmungen. 93 

stimmen 234 ). Da der von Bonnet herriihrende Beweis dieses Satzes 
zugleich einen Weg liefert, auf dem man die Funktionen y>, %, ty 
durch Auflosung von Systemen linearer partieller Differentialgleichimgen 
erster Ordnung 235 ) und Ausfiihrung von Quadraturen finden kann, so 
bietet sich zur Herleitung der Gleichungen einer durch Jeennzeichncnde 
Eigenschaften bestimmten Flache das folgende allgemeine und systema- 
tische Verfahren 6 ) dar: 

Man lege die Bedeutung der unabhangigen Parameter u, v in 
einer der Natur der Aufgabe angepassten Weise dadurch fest, dass 
man fur zwei der sechs Fundamentalgrossen bestimnite Funktionen 
von u und v annimmt oder auch zwei Gleichungen zwischen den 
Fundamentalgrossen und u, v festsetzt. Sodann driicke man die die 
Flache kennzeichnende Eigenschaft durch eine dritte Gleichung zwischen 
den Fundamentalgrossen aus, luge zu den erhaltenen Gleichungen die 
Fundamentalgleichungen hinzu, bestimme aus dena so entstehenden 
System von sechs Gleichungen die sechs Fundamentalgrossen und er- 
mittele endlich eine zugehorige Parameterdarstellung der gesuchten 
Flache auf dem von Bonnet angegebenen Wege. 

35. Satze von Meusnier und Euler, Hauptkriimmungen 
(III D 3 ; Nr. 1). Durch einen gewohnlichen Punkt P einer Flache $ 
denke man sich eine Tangente von ^ gezogen und durch diese zwei 
ebene Schnitte der Flache gelegt, von denen einer die Normale von ^ 
in P enthalt (Normalschnitt). Wenn dann cp den spitzen Winkel 
zwischen den Ebenen der beiden Schnitte und E und R beziehlich 
die zu P gehorenden Kriimmungsradien des Normalschnittes und des 
schiefen Schnittes von $ bedeuten, so besteht - - Sate von Meus 
nier 231 } -- die Gleichung: 

R = R cos (p. 

Hat man bei der in einem gewohnlichen Punkt P einer Flache $ 
errichteten Normale eine positive und eine negative Richtung unter- 

234) Wahlt man statt des ursprunglich gegebenen Koordinatensystems ein 
anderes, dessen Axen im umgekehrten Sinn aufeinander folgen, behalt jedoch 
die Funktionen E, F, . . . , N unverandert bei , so erhalt man als zugehorige 
Fiiiche diejenige, die aus der vorigen durch Spiegelung an einer Ebene her- 
vorgeht. 

235) Diese Auflosung lasst sich auf die nach einander vorzunehmenden 
Integrationen von zwei gewohnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung 
zuruckfuhren. Vgl. G. Scheff ers, a. a. 0. p. 322330. 

236) Vgl. H. Stahl u. V. Kommerell, Grundformeln der Flachentheorie, p. 36. 

237) Memoire sur la courbure des surfaces, Paris Mem. sav. etr. 10 (1785), 
p. 477 (lu a 1 academie le 14 et 21 Fevr. 1776). Eine Ausdehnung dieses Satzes 
auf singulare Punkte gab L. Painvin, J. f. Math. 72 (1870), p. 340344. 



94 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

schieden, so versteht man unter der Kriimmung eines durch diese 
Normale gelegten ebenen Schnittes von ^ in P gewohnlich diejenige 
positive oder negative Zahl 7 deren absoluter Wert die Kriimmung der 
Schnittlinie im gewohnlichen Sinne angiebt, und deren Vorzeichen -f~ 
oder - - ist ; je nachdem die Richtung von P gegen den zugehorigen 
Kriimmungsmittelpunkt des Schnittes mit der positiven Richtung der 
Normale iibereinstimmt oder nicht. Bei dieser Festsetzung gelten 
ohne Ausnahme die folgenden Satze und Erklarungen: 

1. Legt man durch die in einem gewohnlichen Punkt P einer 
Flache $ errichtete Normale ein Ebenenbiischel, so haben die Schnitte, 
welche die Ebenen dieses Biischels niit $ bilden, entweder in P alle die 
gleiche Kriimmung -- und dann heisst P ein Kreis- oder Nabelpunkt 
(III D 3, Nr. 4) oder auch ein Punkt sphdrischer Kriimmung von $ - 
oder die Kriimmung in P erreicht fur einen und nur einen der erwahnten 
Schnitte ein Maximum und ebenso fur einen und nur einen ein Mi 
nimum. In diesem letzteren Falle stehen die Ebenen des Schnittes 
grosster und des Schnittes kleinster Kriimmung aufeinander senk- 
recht. Die Ebenen dieser Schnitte heissen die Hauptnormalebenen, 
die Schnitte selbst die Hauptschnitte, ihre Tangentenrichtungen in P 
die Hauptkriimmungsrichtungen 238 ) , die Kriimmungen der Hauptschnitte 
in P die Hauptkriimmungen, deren reziproke Werte die Hauptkrum- 
mungsradien und die zugehorigen Kriimmungsmittelpunkte die Haupt- 
Itriimmungsmittelpunkte von $ in P. Die Gresamtheit der letzteren wird 
als Kriimmungsmittelpunktsfldche von $ bezeichnet. Fur einen Nabel 
punkt sind die beiden Hauptkriimmungen dem gemeinsamen Wert 
der Kriimmung aller durch ihn hindurchgehenden Normalschnitte 
gleich zu setzen. 

2. Sind -~- und -p- die Hauptkriimmungen von $ in P und 

-ilj -itg V 

die zu P gehorende Kriimmung eines durch die Normale von in 
P gehenden ebenen Schnittes, welcher mit der Ebene des Haupt- 

schnittes von der Kriimmung -^- den Winkel y> bildet, so gilt Satz 
von Euler 239 ) -- die Gleichung: 

1 _ cos cp 2 - 

5 



9 



238) Die Tangenten der Hauptschnitte werden zuweilen als Haupttangenten 
von g in P bezeichnet. Eine andere Bedeutung, in der das Wort Haupt- 
tangente ebenfalls gebraucht wird, ist in Nr. 37 angegeben. 

239) L. Euler, Recherches sur la courbure des surfaces, Berlin Hist. 1C, 
1760. tiber die Veranschaulichung dieses Satzes vgl. G. ScJieffers, Einf. in die 
Theorie der Flachen, p. 144 150. 



86. Satze von Meusnier und Euler, Hauptkrunimungen. 95 

3. Sind ferner - und -7- die zu P gehorenden Kriimmungen 

irgend zweier durch P gehenden und aufeinander senkrecht stehenden 
Normalschnitte von $, so ist immer 240 ): 

1,1 _! , J_ 
P r 9 .RJ ES 

Der Ausdruck fa -f- -g-J wird vielfach die mittlere Krummung 241 ) 
der Flache in P genannt (III D 3, Nr. 5). 

4. Sind r, r die zu P gehorenden Kriimmungsradien zweier 
Normalschnitte von $, welche durch zwei konjugierte Tangenten 
(Nr. 37) von g in P gehen, und jR 17 R 2 wieder die Hauptkrummungs- 
radien von ^ i n P, so ist 242 ): 



5. Vorausgesetzt, dass die positive Richtung der Normale so 

wie in Nr. 34 bestimmt wird, sind die Hauptkrunimungen i-, 

-K l -a z 

mit den Fundamentalgrossen erster und zweiter Ordnung verbunden 
durch die Gleichungen (III D 3 ; Nr. 4) : 

!_ . 1 = EN 1FM+ GL 1 LN M* 

~ 



EG- F* > B^K 2 ~ 

Fiir das Vorhandensein eines Nabelpunktes ist notwendig und hin- 
reichend, dass: 

L^__M^ _N 

E ~~ F = ~~G 

sei 243 ). Ist diese Bedingung nicht erfiillt, so ergeben sich die den 

Hauptschnitten entsprechenden Werte des Verhaltnisses ~ aus der 
Gleichung 244 ): 

(EM FL} du* + (EN GL) du dv + (FN GM) dv 2 = 0. 

240) Ch. Dupin, Developpements, p. 108. 

241) Nach S. Germain, J. f. Math. 7 (1831), p. 1. Hinsichtlich der Be- 
deutung dieses Ausdrucks herrscht in der Litteratur keine Ubereinstimmung, 
indem bald die ganze, bald die halbe Summe der Hauptkriimmungen als mittlere 
Krummung bezeichnet wird. Uber die physikalische und die geometrische Be- 
deutung der mittleren Krummung vgl. G. Scheffers, Einf. in die Theorie der Flachen, 
p. 229235. 

242) Ch. Dupin, Developpements, p. 102. Vgl. Ill D 3, Nr. 3. 

243) Einen bei der Ableitung dieser Bedingung auftretenden , schon von 
Ch. Dupin, Devel. de geom., p. 129, bemerkten scheinbaren Widerspruch hat 
O. Bonnet, J. de math. (1) 16 (1851), p. 191, aufgeklart. 

244) Formeln, welche dieser und den vorangehenden Gleichungen bei 
anderen Arten der analytischen Darstellung einer Flache entsprechen, finden 
sich bei J. Knoblauch, Einf. in d. allg. Theorie d. kr. Fl., p. 4445 u. p. 8486. 



96 IIT D 1, 2. //. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

1st eine Flache $ au f die in Nr. 2, III erwahnte Weise gegeben und 
werden die Hauptkrummungsradien R lf R z von $ in dem zu den 
verauderlichen Parameterwerten u, v gehorenden Flachenpunkte P als 
Funktionen von u und v dargestellt, so kann die Funktionaldetermi- 
nante dieser Funktionen entweder von Null verschieden oder identisch 
gleich Null sein. Im ersten Falle kann man - - wenigstens wenn die 
Betrachtung auf em hinreichend kleines Stuck von ^ beschrankt wird 
auch umgekehrt u und v als Funktionen von R i und JR 2 ansehen, und 
wenn d^s und d 2 s zwei von P ausgehende, in die zugehorigen Haupt- 
krummungsrichtungen fallende Linienelemente von ^ bedeuten, so sind 
auch die nach den Hauptkrummungsrichtungen genommenen Ab- 

leitungen : 

3 -Rj 8 RI o -B 2 o -Rg 

8 1 s d s s d^s d t s 

als Funktionen von R^ und jR 2 darstellbar. 

Diejenigen vier Gleichungen, durch welche diese Ableitungen als 
Funktionen von E 1 und R 2 dargestellt werden, hat G. Scheffers^ 5 ) 
die natilrlichen Gleichungen der Flache genannt. 

Dagegen ist fiir den zweiten der oben unterschiedenen Falle, dass 
die erwahnte Funktionaldeterminante identisch gleich Null und daher 
einer der Hauptkriimmungsradien eine Funktion des andern ist 246 ), 
eine entsprechende Erklarung bisher nicht aufgestellt worden. 

Nimmt man auf einer Flache ^ in unendlicher Nahe eines gewohn- 
lichen Punktes A, der kein Nabelpunkt ist, einen zweiten Punkt B 
nach Belieben an, so schneiden sich die zu A und B gehorenden 
Normalen von $f i m allgemeinen nicht. Ihr kiirzester Abstand ist 
vielmehr, wenn der Abstand AB als eine unendlich kleine Grrosse 
erster Ordnung angesehen wird, im allgemeinen ebenfalls von der 
ersten Ordnung unendlich klein 247 ), und damit dieser kiirzeste Abstand 
von hoherer als der ersten Ordnung unendlich klein werde, ist not- 
wendig, aber auch hinreichend, dass der Punkt B dem Punkt A langs 
einer Linie genahert werde, die in A einen der beiden zu A ge 
horenden Hauptschnitte von $ beriihrt 218 ). Bei der Abbildung von $ 



246) G. Scheffers, Einf. in die Theorie der Flachen, p. 353. 

246) Naheres nebst Litteraturangaben bei G. Scheffers, a. a. 0. p. 354372. 
Vgl. auch III D 5 (Weingarten ache Flachen). 

247) Vgl. F. Joachimsthal, J. de math. (1) 13 (1848), p. 415 f. Wenn A kein 
parabolischer Punkt (Nr. 36) ist, so stimmt die Eichtung des erwiihnten kiirzesten 
Abstandes mit der zuAB konjugierten Richtung (Nr. 37) iiberein. Vgl. G. Scheffers, 
a. a. 0. p. 163. 

248) Vgl. G. Monge, Appl. de Tanal., XV, 5. eU, p. 124 ff. 



35. Satze von Meusnier und Euler, Hauptkrummungen. 97 

durch parallele Normalen auf die Einheitskugel (Nr. 36) werden daher 
diejenigen von A ausgehenden Linienelemente von $, welche in die 
Hauptschnitte fallen, und nur diese durch parallele Linienelemente der 
Kugelflache dargestellt. 

Genaueren Aufschluss fiber die gegenseitige Lage der zu den ver- 
schiedenen Punkten eines unendlich kleinen Flachenstiicks gehorenden 
Normalen hat J. Bertrand^ 9 ) durch die folgenden Satze gegeben: 

Wenn man in einem gewohnlichen Punkte A einer Flache $ die 
Normale AZ errichtet und sodann auf $ von A aus zwei zu einander 
senkrechte gleich lange und als uueridlich kleine Grossen erster Ord- 
nung anzusehende Linienelemente AS, AC abrnisst, so bildet die 
Normale von $ in B mit der Ebene ZAB den gleichen Winkel wie 
die Normale von g in C mit der Ebene ZAC (abgesehen von un 
endlich kleinen Grossen zweiter oder hoherer Ordnung). Und wenn 
dieser Winkel von Null verschieden 1st, so liegen die erwahnten Nor- 
nialen entweder beide im Innern, oder beide im Aussern des Ebenen- 
winkels BAC. Wenn ferner -^- und ^- die Hauptkrummungen von 

$ in A bedeuten und a. den Winkel bezeichnet, den die Richtung AB 
mit einem der Hauptschnitte von $ in A einschliesst, so wird der 
Winkel zwischen der Normale von $ in B und der Ebene ZAB 
gegeben durch den absoluten Wert des Ausdrucks: 



Zu einer noch anschaulicheren Vorstellung von der Gestalt des un 
endlich diinnen von einer Flachennormale und den ihr unendlich nahe 
benachbarten Normalen gebildeten Strahlenbiindels haben Betrach- 
tungen von Ch. Sturm ^^ und die umfassenderen Untersuchungen 
von W. E. Hamilton 25 ) und E. E. Kummer 251 ) iiber die geradlinigen 
Strahlensysteme gefiihrt: Man denke sich im Kriimmungsmittelpunkt 
eines jeden der beiden durch einen Flachenpunkt A gehenden Haupt 
schnitte auf der Ebene dieses Hauptschnittes ein Lot errichtet. 
Dann stimmt die Normale der Flache in einem zu -A benachbarten 
Punkt B stets mit derjenigen von B ausgehenden Geraden iiberein, 
welche die beiden eben erwahnten Lote schneidet 252 ) (abgesehen 

249) J. Bertrand, J. de math. (1) 9 (1844), p. 133. 

249 ft ) Ch. Sturm, Par. C. E. 20 (1845), p. 556558 u. 12391248. Deutsch: 
Ann. Phys. Chem. (3) 65 (1845), p. 116 u. 374. 

250) W. E. Hamilton, Dublin Transactions 16, Part 1 (1830). 

251) E. E. Rummer, J. f. Math. 57 (I860), p. 189, insbesondere p. 221223 
u. 226230. 

252) Vgl. auch A. F. Mobius, Leipz. Ber. 14 (1862), p. 1416 = Ges. 

Encyklop. d. math. Wissensch. in 3. 7 



98 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

von einem Richtungsunterschiede, welcher im Verhaltnis zum Abstand 
AB unendlich klein ist) (III D 3, Nr. 5). 

36. Kriimmungsmass einer Flache (III D 3, Nr. 7 und VIII). 
Nachdem auf einer Flache ^ ein einfach zusammenhangendes, von 
singularen Punkten freies Stiick <S abgegrenzt ist, dem ein bestimmter 
von Null verschiedener Inhalt zukommt, sei die positive Richtung der 
Normaleu fiir einen Punkt von @ nach Belieben und fiir alle iibrigeu 
Punkte dadurch festgelegt, dass einer stetigen Ortsanderung auf @ 
auch immer eine stetige Anderung der positiven Normalenrichtung 
entsprechen soil. Hierauf sei jedem Punkte P von @ derjenige Punkt 
Q einer Kugel vom Radius Eins zugeordnet, in welchem die nach 
aussen gerichtete Normale der Kugel der positiven Normale von ^ 
parallel und gleichgerichtet ist (Abbildung durch parallele Normalen 
auf die Einlieitskuyel). 

Wenn dann erstens die Beziehung zwischen @ und dem Bereich 
S der Punkte Q eine gegenseitig eindeutige ist, so hat auch @ 
einen bestimmten von Null verschiedenen Inhalt, und wenn ein be- 
weglicher Punkt die positive Normale eines Elementes von @ langs 
der Randlinie desselben in einem bestimmten Sinne umkreist, so uni- 
lauft sein Bildpunkt auf die nach aussen gerichtete Normale des 
entsprechenden Elementes entweder immer im gleichen oder imrner 
im entgegengesetzten Sinne. Man nennt in diesem ersten Palle nach 
C. F. Gauss 253 ) den Inhalt des Bereiches @ - - versehen mit dem Vor- 
zeichen -f~ oder , je nachdem die erwahnten Umlaufungsrichtungen 
iibereinstiminen oder nicht die ganze Kriimmung (Totalkriimmung) 
von @. 

Ist zweitens so beschaffen, dass sein Abbild auf der Kugel 
nicht wieder ein Flachenstiick, sondern eine Linie oder ein Punkt ist, so 
sagt man, die ganze Kriimmung von @ sei gleich Null. 

Besteht endlich drittens @ aus mehreren Teilen von solcher Be- 
schaffenheit, dass fur jeden von ihnen die Voraussetzung eines der 
vorangehenden Falle zutrifft, so versteht man unter der ganzen Krum- 
niung von @ die Summe der ganzen Kriimmungen dieser Teile. 

Wenn man um einen gewohnlichen Punkt P einer Flache $ ein 
Stiick dieser letzteren abgrenzt, welches keiner anderen Bedingung 
unterworfen ist, als der, einen bestimmten Inhalt zu haben, und sodann 

Werke 4, p. 586588, und 0. Boklen, Anal. Geom. d. Raumes, p. 1619. Per- 
spektivische Zeichnungen geben Ch. Sturm, Par. C. E. 20 (1845), p. 557 und 
G. Scheffers, Einf. in d. Theorie d. Flachen, p. 172. 

253) Disquis. gen. circa superf. curvas, Art. 6, Comm. Gott. 6 (1828) = 
Werke 4, p. 226 f. 



36. Kriimmungsm ass einer Flache. 99 

dieses Stuck um P in irgend einer Weise unbegrenzt zusammen- 
zieht, so nahert sich der Quotient, welcher entsteht, wenn man die 
ganze Kriimmung des Flachenstiicks durch dessen Inhalt dividiert, 
einem von der Art der Zusammenziehung uuabhangigen Grenzwert. 
C. F. Gauss, der in diesem Grenzwert zuerst denjenigen Begriff er- 
kannte, welcher bei Flachen dem fiir Linien schon langst festgestellten 
Begriff der Kriimmung entspricht, hat demselben den Namen Kriim- 
mungsmass der Flache in P gegeben 254 ) und nachgewiesen 255 ), dass 
dieses Krummungsmass mit dem Produkt der beiden Hauptkrum- 
mungen von $ in P iibereinstimmt 256 ). Zugleich hat Gauss 251 ) vier 
verschiedene analytische Ausdriicke des Krummungsmasses angegeben. 
Nach J. Sertrand und V. Puiseux 258 ) besteht fur das Krummungs- 



254) Ebd. Art. 6. Vgl. auch Werke 8, p. 381 u. 425. F. Casorati be- 
zeichnet es, Acta math. 14 (1890/91), p. 95, als einen Ubelstand, dass das 
Gauss sche Krummungsmass schon dann gleich Null wird, wenn nur eine der 
Hauptkriimmungen verschwindet, und 1st der Ansicht, dass es dem Sprach- 
gebrauch mehr entsprechen wiirde, als Krummungsmass eine Grosse zu be- 
zeichnen, die nur fiir die Ebene identisch gleich Null, fiir jede krumme Flache 
dagegen im allgemeinen von Null verschieden ist. Demgemass schlagt er vor, 
neben dem Gauss schen Krummungsmass K und der mittleren Kriimmung M 
die der gestellten Anforderung entsprechende Grosse: 



einzufuhren, die auch geometrisch in einfacher Weise erklart werden kann, und 
nur diese letztere als Krummungsmass schlechthin zu bezeichnen. M. d Ocagne 
hat, Cours de geom. descr. et de geom. inf. Paris 1896, p. 338, fiir dieselbe die 
Bezeichnung courbure moyenne quadratique vorgeschlagen. Vgl. auch III D 3, Nr. 34. 

255) Ebd. Art. 8, und Werke 8, p. 426 f. 

256) Dieser Satz findet sich schon fruher in zwei Arbeiten von OUnde 
Eodrigues: Corresp. sur 1 dc. polyt. 3 (1815), p. 162, und Paris Bull. Soc. Phil. 
1815, p. 34. 

257) Disquis. gen. circ. superf. curvas, Art. 7, 9, 10, 11. Den verwickeltsten 
dieser Ausdriicke hat J. Liouville, Par. C. R. 32 (1851), p. 533 = J. de math. (1) 
16 (1851), p. 130, auf die folgende unsymmetrische aber einfachere Form gebracht: 

-- 

T 



wo T = 

zu setzen ist. Das gleiche Ergebnis hat D. Chelini, Ann. mat. fis. 2 (1851), 
p. 296 ff. aus einer Formel von O. Sonnet (J. ec. polyt. 19, cah. 32 (1848), p. 54) 
abgeleitet, deren Wert und Bedeutung neuerdings von J. Knoblauch (Acta math. 
15 (1891), p. 250) hervorgehoben wurde. Ausdriicke des Kriimmungsmasses durch 
Determinanten haben B. Baltzer, Leipz. Ber. 18 (1866), p. 1, und G. v. Escherich, 
Arch. Math. Phys. 57 (1875), p. 385, gegeben. 

258) J. Bertrand, J. de math. (1) 13 (1848), p. 8082; V. Puiseux, ebd. 

7* 



100 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

mass K einer Flache $ in einem gewohnlichen Punkte P die Glei- 
chung: 



~ 3 r I -I 

K= lim 5 

n ,=o s 



wo I die Lange eines hinreichend kleinen geodatischen Kreises (III D 3, 
Nr. 36) vom Radius s bedeutet ; der auf $ urn P als Mittelpunkt be- 
schrieben ist, und I die Lange eines ebenen Kreises vom Radius s. 
Ahnlich ist nach 



wo J den Inhalt des erwahnten geodatischen und J den des ent- 
spreclienden ebenen Kreises bezeichnet 260 ). 

Scbneidet man durch eine um P als Mittelpunkt bescbriebene 
unendlich kleine Kugel in ^ eine Linie ein, so nahert sicb 261 ) der 
Quotient , wo p die Lange der eben erwiibnten Linie und p die 

unter Beobachtung gewisser Vorzeicbenregeln berechnete Lange ihres 
in der oben beschriebenen Weise gebildeten Abbildes auf der Ein- 
heitskugel bedeutet, der mittleren Krummung (Nr. 35) von in P 
als Grenzwert. 

Man sagt, ein gewohnlicher Punkt einer Flache sei ein ettiptischer 
oder ein liyperbolischer oder ein parabolischer Punkt, je nachdem das 
Kriimmungsmass der Flacbe in diesem Punkte positiv, negativ, oder 
gleich Null ist, und nennt die Flache selbst in jedem elliptischen 
Punkte positiv und in jedem hyperbolischen Punkte negativ gekrilmmt. 

37. Konjugierte Tangenten und Indikatrix 262 ). Es sei t eine 
Tangente einer Flache $ in einem elliptischen oder hyperbolischen 
Punkte P und I eine auf ^ verlaufende Linie, welche nur der Be- 
dingung unterworfen ist ; t in P zu beriihren, aber sonst willkiirlich 
gestaltet werden kann. Wenn dann ein beweglicher Punkt P x auf I 
dem Punkte P unbegrenzt genahert wird, so nahert sich die Schnitt- 
linie der Tangentenebenen von ^ in P und P t einer festen von der 
Gestalt der Linie I unabhangigen Grenzlage t lf welche ebenfalls $ in 

p 87 90. Beide Arbeiten sind, die erste fast, die zweite genau wortlich, wieder- 
gegeben in G. Monge, Appl. de 1 anal., 5. ed. von J. Liouville, Note IV, p. 583588. 
269) Diguet, J. de math. (1) 13 (1848), p. 83. 

260) Noch andere Arten der Erklarung des Kriiinmungsmasses oder seiner 
analytischen Darstellung envahnen E. Beltrami, Giorn. di mat. 3 (1865), p. 234, 
und A. Voss, Math. Ann. 39 (1891), p. 186; Munch. Ber. 22 (1892), p. 249251. 
C ber Erweiterungen des Begriffs vgl. I B 2, Nr. 21 ; III D 3, Nr. 8. 

261) Nach R. Sturm, Math. Ann. 21 (1883), p. 379. 

262) Vgl. auch III D 3, Nr. 3. 



37. Konjugierte Tangenten und Indikatrix. 101 

P beriihrt. Und wenn man aus der Tangente ^ in der gleichen 
Weise eine neue Tangente ableitet, so kommt man wieder zu der 
Tangente t zuriick. 

Je zwei Tangenten einer Flache, welche in der eben geschilderten 
gegenseitigen Beziehung zu einander stehen, heissen 263 ) Konjugierte 
Tangenten der Flache. 

Wird einem, keinen parabolischen Punkt enthaltenden Flachen- 
stiick $ langs einer Linie eine abwickelbare Flache umschrieben, so 
sind die Tangente an die Beriihrungslinie und die durch den Beriih- 
rungspunkt gehende Erzeugende der abwickelbaren Flache konjugierte 
Tangenten von ^. Insbesonclere sind, wenn eine Flache durch ein 
Strahlenbiindel beleuchtet wird, der beriihrende Lichtstrahl und die 
Tangente an die Schattengrenze konjugiert 264 ). 

Sind bei Anwendung der in Nr. 2, III angegebenen Darstellungs- 

art einer Flache -r^ und -j- 1 die beiden Werte des Verhaltnisses -,- 

dv l dv 2 dv 

welche zwei konjugierten Tangentenrichtungen entsprechen, so besteht 
die Gleichung (III D 3, Nr. 4): 

Ldu t du z -f- M(du 1 dv 2 -}- du z dv^) -J- Ndv t dv 2 = 0, 

wo Lj M, N die Fundamentalgrossen zweiter Ordnung der .Flache in 
dem betrachteten Punkte bedeuten. 

1st P ein parabolischer Punkt einer Flache $ un d t eine Tangente 
von $ in P, so kann es zunachst vorkommen, dass sich auf ^ e i ne 
t in P beruhrende Linie I finden lasst, langs deren die Tangenten- 
ebene von ^ dauernd mit der Tangentenebene von ^ in P iiberein- 
stimmt ; sodass von einer Schnittlinie der Tangentenebenen in P und 
einem auf I liegenden .Nachbarpunkte iiberhaupt nicht mehr die Rede 
sein kann. Ferner ist es moglich, dass man auf ^ mehrere ver- 
schiedene t in P beruhrende Linien l i} 1 2 , . . . von solcher Beschaffen- 
heit ziehen kann, dass die Schnittlinie der Tangentenebenen von $ 
in P und einem Nachbarpunkte Q sich verschiedenen Grenzlagen nahert, 
je nachdem der Punkt Q langs Z 1; oder 1%, oder ... an P herangeriickt 
wird, dass also fur jene Schnittlinie keine bestimmte Grenzlage vor- 
handen ist, die durch die Richtung von t allein bestimmt ware. 

Immerhin lasst sich der Begriff der konjugierten Tangenten 
wenigstens noch fur den Fall aufrecht erhalten, dass von den beiden 
Hauptkrummungen von $ in P nur eine gleich Null ist. Ist namlich 
in diesem Fall t t die den Hauptschnitt von der Krummung Null be- 



263) Nach Ch. Dupin, Devel. de gdom., p. 41 46 u. p. 91. 
264^1 Ebd. D. 44. 



264) Ebd. p. 44 



102 HI D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

riihrende und t irgend eine andere Tangente von $ in P, so wird 
durch die vorher erwahnte Konstruktion der Tangente t immer die 
Tangente t t zugeordnet, und man kann mit Ch. _Dw;pm 265 ) sagen, dass 
alle Tangenten von ^ in P der einen Tangente t t konjugiert seien. 

Die Gesamtheit aller Paare konjugierter Tangenten einer Flache 
in einem elliptischen (hyperbolischen) Punkte P stimmt iiberein mit 
der Gesamtheit aller Paare konjugierter Durchmesser (III C 1) einer be- 
stimmten Schar ahnlicher und ahnlich gelegener, in der Tangentenebene 
von $ enthaltener Ellipsen (Paare von konjugierten Hyperbeln), welche 
samtlich den Punkt P zum Mittelpunkt und die Tangenten an die 
Hauptschnitte von ^ in P zu Axen haben. Jedes einzelne Individuum 
dieser Schar von Ellipsen (Paaren konjugierter Hyperbeln) kann da- 
durch erzeugt werden, dass man auf jeder Tangente von ^ in P von 
P aus nach beiden Seiten hin eine Lange abtragt, welche der Quadrat- 
wurzel aus dem (stets positiv zu nehmenden) zu P gehorenden Kriim- 
mungsradius des durch die betreffende Tangente gehenden Normal- 
schnittes von $ proportional ist 266 ). Nach Ch. Dupin 267 ) heisst jede 
Ellipse oder Hyperbel, welche der in dieser Weise einem Punkt P 
einer Flache $f zugeordneten Schar angehort, eine Indikatrix von $ in P. 

Ist P ein elliptischer (hyperbolischer) Punkt einer Flache y, so 
giebt es immer ein und nur ein elliptisches (hyperbolisches) Para 
boloid (III C 4), dessen Scheitel mit P zusammenfallt, und welches 
in P mit $ eine Beriihrtmg zweiter oder hoherer Ordnung hat. 

Wird irgend ein ebener Schnitt dieses Paraboloides, dessen Ebene 
zur Tangentenebene von ^ in P parallel ist> orthogonal auf diese 
letztere projiziert, so entsteht immer eine Indikatrix von ^ in P, und 
umgekehrt kann jede solche Indikatrix in der beschriebenen Weise 
aus einem Schnitt des Paraboloides abgeleitet werden. 

Da die Schnitte, welche eine der Tangentenebene von $ in P 
unendlich nahe $ schneidende Parallelebene mit $ und dem er- 
wahnten Paraboloid bildet, in unendlich kleinem Abstande von P 
nur um Grossen von einander abweichen, die gegen jenen Abstand 
verschwinden, so kann man bei Vernachlassigung solcher Grossen sagen: 
Die Schnittlinie von $ mit einer Ebene der angegebenen Art ist ab- 
gesehen von einer unendlich kleinen Parallelverschiebung in der Rich- 
tung der zu P gehorenden Flachennormale eine Indikatrix von ^ in P- 

Ist P ein parabolischer Punkt einer Flache ^jf, in welchem jedoch 
nur einer der Hauptschnitte von ^ die Kriimmung Null hat, so tritt 
an die Stelle des Paraboloides derjenige parabolische Cylinder, welcher 



265) Ebd. p. 133. 266) Ebd. p. 55. 267) Ebd. p. 48. Vgl. auch p. 145147. 



38. Geometrische Bedeutung der Ableitungen dritter Ordnung. 103 

mit ^ in P eine Beriihrung zweiter oder hoherer Ordnung und dessen 
durch P gehender Querschnitt in P seinen Scheitel hat. Und an die 
Stelle der erwahnten Schar von Ellipsen, bezw. konjugierten Hyperbeln 
tritt die Schar derjenigen in der Tangentenebene von ^ in P ge- 
legenen Paare von parallelen Geraden, welche zu der den Haupt- 
schnitt von der Kriimmung Null beriihrenden Tangente von ^ in P 
parallel sind und dieselbe zur Mittellinie haben. 

Diejenigen beiden Tangenten einer Flache $ in einem hyper- 
bolischen Punkte P, welche Asymptoten einer (und damit auch jeder 
anderen) Indikatrix von $ in P sind, heissen Haupttangenten 268 ) oder 
Wende- oder Inflexionstangenten und die durch sie bestimmten Rich- 
tungen die asymptotischen Eichtungen von $ in P. - - Jede Wende- 
tangente einer Flache ist sich selbst konjugiert. Bei der Abbildung 
einer Flache ^ durch parallele Normalen auf die Einheitskugel ent- 
spricht jedem in eine Wendetangente fallenden Linienelement von $ 
ein dazu senkrechtes Linienelement auf der Kugelflache, und um- 
gekehrt fallt die Richtung eines Linienelementes von ^ m ^ einer 
Wendetangente zusammen, sobald das spharische Abbild des Elementes 
auf diesem senkrecht steht. 

Bei Anwendung der in Nr. 2, III angegebenen Darstellungsart 
einer Flache werden die den Wendetangenten entsprechenden Werte 
des Verhaltnisses -r- durch die Grleichung: 

Ldu 2 -f 2Mdudv -f Ndv 2 = 

bestimmt, wo L, M } N die Fundamentalgrossen zweiter Ordnung der 
Flache in dem betrachteten Punkte bedeuten. 

38. Geometrische Bedeutung der Ableitungen dritter Ordnung 
der Koordinaten in der riachentheorie. Wie schon A. Transon) 
bemerkt hat, giebt es unter den Normalschnitten einer Flache ^ in 
einem gewohnlichen Punkt P irn allgemeinen entweder drei oder nur 
einen einzigen, der mit seinem Krummungskreis in P eine Beriihrung 
dritter oder hoherer Ordnung eingeht 27 ). Fur das Eintreten des einen 



268) Nach A. Clebsch, J. f. Math. 67 (1867), p. 9. Eine andere Bedeutung 
des Wortes Haupttangente ist in Fussn. 238 angegeben. 

269) J. de math. (1) 6 (1841), p. 199. 

270) Zu dem gleichen Ergebnis ist /. Maillard de la Gournerie, J. de math. (1) 
20 (1855), p. 150, gelangt. Diejenige Grleichung, durch welche bei Anwendung 
der in Nr. 2, III angegebenen Darstellungsart einer Flache die jenen Normal 
schnitten entsprechenden Werte des Verhaltnisses -= bestimmt werden, hat 
J. Knoblauch, J. f. Math. 103 (1888), p. 3234, und Einl. in d. Theorie d. kr. Fl., 



104 III D 1, 2. H. v. Mangoldt. Anwendung der Differential- u. Integralrechnung. 

oder des anderen Falles, sowie die Lage derjenigen Normalschnitte, 
welchen die erwahnte Eigenschaft zukommt, sind neben den Werten 
der Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Koordinaten auch 
die der Ableitungen drifter Ordnung bestimmend. Gerade hierin be- 
steht ein Teil der geometrischen Bedeutung, welche diesen Ableitungen 
dritter Ordnung zukommt 271 ). 



p. 9294, aufgestellt. Formeln zur Berechnung der Winkel zwischen den Tan- 
genten der fraglichen Normalschnitte und der Tangente an eine Krummungs- 
linie gab v. Lilienthal, J. f. Math. 104 (1889), p. 343344. Hinsichtlich der 
schiefen von ihrem Kriimmungskreis hyperoskulierten Schnitte siehe III D 3, Nr. 13. 
271) Andere Aufgaben, deren Losungen erst durch die Ableitungen dritter 
Ordnung bestimmt werden, behandelt A. Mannheim, Par. C. E. 80 (1875), p. 541 
u. p. 619. 



Nachtrag. 
p. 2 unter ,,Lehrbiicher u fiige hinzu: 

L. Aoust, Analyse infinitesimal e des courbes tracees sur une surface 
quelconque, Paris 1869. 

L. Aoust, Analyse infinitesimale des courbes planes, Paris 1873. 

L. Aoust, Analyse infinitesimale des courbes dans 1 espace, Paris 1876. 

H. Resal, Exposition de la theorie des surfaces, Paris 1891. 
p. 87 zu Fussn. 214 fiige hinzu: 

Vgl. auch H. Molins, J. de math. (2) 19 (1874), p. 425. 
p. 89, Ende Ton Fussn. 223. Zwischen Nr. 24 und 32 schalte noch ein: 28. 
p. 91, Ende von Fussn. 228, und 

p. 92, Ende von Fussn. 233. Statt Nr. 20 lies: Nr. 22. 
p. 92, Z. 15 v. o. statt VI lies: Nr. 2127. 



(Abgeschlossen im Mai 1902.) 



Ill D 3. E. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 105 



III D 3. DIE AUF EESTER FLACHE GEZOGEIsTEN 

KURVEN. 

VON 
R. v. LILIENTHAL 

IN MUNSTEK I/W. 



Die Bearbeitung der Nrn. 16 und 17 verdankt der Verfasser Herrnlf. v. Mangoldt. 

Inhaltstibersicht. 

I. Kriimmungslinien. Haupttangentenkurven. Konjugierte Linien. 
Methoden yon Euler und Monge. 

1. Methode von Euler. 

2. Methode von Monge. 

3. Konjugierte Tangenten und Linien. 

4. Allgemeine Parameter. 

II. Weitere Methoden. 

5. Geradlinige Strahlensysteme. 

6. Krummungstheorie der Raumkurven. 

7. Spharisohe Abbildung. 

8. Binare Differ entialformen. Differentialparameter. 

9. Partielle DiflFerentialgleichungen zweiter Ordnung. 

10. Kinematische Gesichtspunkte. 

III. Geodatische Kriimmung. 

11. Historisches. 

12. Definitionen und Ausdriicke fur die geodatische Kriimmung. 

13. Satze iiber geodatische Kriimmung. 

IT. Geodatische Liuien. 

14. Geodatische und kiirzeste Linien. 

15. Eigenschaften geodatischer Linien. 

16. Eeduzierte Lange eines geodatischen Kurvenbogens. 

17. Verschiebbarkeit geodatischer Dreiecke. 

18. Integration der Gleichung der geodatischen Linien. 

V. Isotherme Linien. 

19. Geometrische und physikalische Entstehungsart. 

20. Eigenschaften isothermer Scharen. 

VI. Parameterlinien. Fundamentalgleichungen. 

21. Parameter- und Koordinatenlinien. 

22. Methode von Gauss. 



106 HI D 3. JR. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

23. Methode von Codazzi. 

24. Methode von Darboux. 

25. Willkiirliche Koordinatenlinien. 

26. Methode von Lipschit2. 

27. Methode von Eibaucour. 

VII. Die allgemeine FISchenkurve. 

28. Methode von Laguerre. Geodiitische Torsion. 

29. Ableitungen nach Bogenlangen. 

30. Methode von Enneper. 
81. Weitere Begriffe. 

32. Polkurve einer Fiachenkurve und Kurven der normalen Segmente. 

VIII. Kriimiminirsniassc. 

33. Das Gauss sche Kriimmungsmass und ihm verwandte Krummungsmasse. 

34. Das Casorati sche Kriimmungsmass und ihm verwandte Krummungsmasse. 

IX. Weitere Sat/e tiber Kriunmungslmien, Haupttangentenkurveii, 
konjugierte Liiiien. 

35. Krummungslinien. 

36. Haupttangentenkurven. 

37. Konjugierte Linien. 

X. Weitere besondere Kurven. 

38. Geodatische Kreise. 

39. Kurven, deren Schmiegungskugeln die Flache beruhren. 

40. Aquidistante Kurvenscharen. 

41. Meridian- und Parallelkurven. 

42. Isotherm-konjugierte Systeme. 



Litteratur. 

Bemerkung. Auf die im folgenden haufiger angefiihrten Werke: 
G. Darboux, Le9ons sur la thdorie g^n^rale des surfaces et les applications 

ge ome triques du calcul infinitesimal, Paris Bd. 1, 1887; Bd. 2, 1889; Bd. 3, 

1894; Bd. 4, 1896. 
L. Bianchi, Vorlesungen uber Differentialgeometrie. Deutsch von M. Lukat, 

Leipzig 1896/99 (im Original: Lezioni di geometria differenziale, Pisa 1893, 

2. Ed. 1902). 
J. Knoblauch, Einleitung in die allgemeine Theorie der krummen Flacben, 

Leipzig 1888, 

wird unter Bezeichnung ^Darboux 1, 2, 3, 4" ,,Bianchi", ,,Knoblauch" hin- 
gewiegen. 

Weitere Litteratur s. unter III D 1, 2. 



1. Methods von Euler. 107 

I. Methoden von Euler und Monge. Krummungslmien, Haupt- 
tangentenkurven, konjugierte Linien. 

1. Methode von Euler (vgl. Ill D 1, 2, Nr. 35). Den Ausgangs- 
punkt unserer Betrachtung der auf einer Flache gezogenen Kurven 
moge die in der Hist, de 1 Acad. de Berlin 16, 1767 (annee 1760) 
p. 119 erschienene Arbeit von Leonh. Euler, ,,Recherches sur la cour- 
bure des surfaces" bilden, obgleich eine geschichtliche Anordnung 
mit der Lehre von den kiirzesten Linien auf einer Flache beginnen 
miisste. Euler sucht sich von der Kriimmung einer Flache in der 
Umgebung eines reguliiren Punktes (P) dadurch ein Bild zu rnachen, 
dass er die zu (P) gehorenden Kriimmungshalbmesser der durch (P) 
gehenden Normals chnitte der Flache bestimmt. Die Berechnung des 
grossten und kleinsten Wertes jener Kriimmungsradien fiihrt ihn zu 
dem Satz, dass beide Werte zu solchen Radien gehoren, die in zu ein- 
ander senkrechten Normalschnitten liegen. Nennt man den grossten 
Krummungshalbmesser JR 1; den kleinsten J? 2 , so findet Euler fur einen 
beliebigen Krummungsradius Q die Gleichung: 

2 J!^ 

~ Rj. + It,, (E, BS) cos 2? > 

wo cp den Winkel bedeutet, den der p liefernde Normalschnitt mit 
dem R t liefernden bildet. Diese Gleichung fiihrt ihn zu einer ein- 
fachen Konstruktion von Q, indem er sie als die Polargleichung eines 
Kegelschnitts (III C 1) betrachtet 1 ). Ch. Duping gab jener Gleichung 

die Form: 

1 _ cos*qp , sin s g> 

7 = Hi ~^~ 

und folgerte, dass, wenn Q und $ zwei Krummungshalbmesser von 
zu einander senkrechten Normalschnitten sind, man hat: 

1 + 1- -J--4-1- 
e Q E, r ^ ; 

eine Bemerkung, die von J. Bdbinet*} dahin erweitert wurde, dass: 

1 (L J_ 1 J_ 1 1 \ = 1 /!_ I J_\ 

m \ Q Q r Q" Q (m-i)J ~ 2 Ui " " RJ } 

falls p, ^ , . . Q( m ~ V die Kriimmungsradien sind, welche zu m Normal 
schnitten gehoren, die miteinander gleiche Winkel bilden. 1st P der 



1) Ch. Dupin, Developpements de geom^trie, Paris 1813, p. 40. 

2) Developp., p. 109. Vgl. die Konstruktion von p bei Genty, Nouv. Ann. 
(3) 6 (1887) p. 24. 

3) Par. C. E. 25 (1847), p. 441. Vgl. A. Cauchy daselbst 26 (1848), p. 494 
und M. Chasles, p. 531. 



108 III D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

Kriimmungsmittelpunkt des zu <p = -- gehorenden Normalschnittes, 
sind ferner P 1 und P 2 die Kriimmungsmittelpunkte irgend zweier zu 
dem fraglichen Normalschnitt symmetrisch gelegener Normalschnitte, 
so sind PP und P^P^ harmonische Punktepaare 4 ). 

Die Grossen R 1 und R 2 sollen fortan die ^Hauptkrilmmungshalb- 
messer" der Flache fiir den Punkt (P) genannt werden, die zugehorigen 
Normalschnitte ,,Hauptnormalsctmitte" . Je nachdem das Produkt R 1 R 2 
positiv oder negativ ist, heisst die Flache im Punkte (P) ,,positiv" 
oder ,,negativ" gekriimmt. Fiir den Fall negativer Kriimmung fiihrt 
der Euler sche Satz auf zwei weitere ausgezeichnete Normalschnitte, 
nainlich auf die, welche in (P) die Kriimmung Null besitzen. Diese 
beiden Schnitte liegen symmetrisch zu den beiden Hauptnormalschnitten 

und bilden unter sich einen Winkel, dessen Kosinus gleich ^~4ij 

ist. Die in den fraglichen Schnitten liegenden Tangenten werden 
,,Haupttangenten" genannt (III D 1, 2, p. 94). Man kommt auf sie auch 
durch die Frage, wann eine Flache ganz auf einer Seite der Tangential- 
ebene liegt oder von letzterer geschnitten wird 5 ). Denkt man sich in 
alien Punkten eines Flachenteils die in den Hauptnormalschnitten 
liegenden Flachentangenten, so bilden sie gleichzeitig die Tangenten 
zweier sich senkrecht kreuzender Scharen von Fl achenkurven, die man 
, } Kriimmungslinicn" nennt. Ebenso sind die Haupttangenten zugleich 
die Tangenten zweier Kurvenscharen, die man ,,HaupUangenterikurven" 
oder ,,AsymptotenUnien" nennt. 

Die Eider scl&G Untersuchung der Kriimmung einer Flache mit 
Hiilfe von Normalschnitten wird vervollstandigt durch den Meusnier- 
schen Satz 6 ): Ein beliebiger Normalschnitt moge die Flachentangente 
(T) und die Kriimmung liefern. Legt man durch (T) einen zweiten 
Schnitt, der mit der Tangentialebene der Flache den von Null ver- 
schiedenen Winkel ^ bilde, so wird seine Krtimmung -r bestimmt 
durch die Gleichung: 



Es ist also Q die senkrechte Projektion von Q auf die Ebene des 



4) 0. Boklen, Analytische Geometric des Eaumes, Stuttgart, 1. Aufl. 1861, 
2.Aufl. 1884, p. 20. 

5) F. Joachimstlial, Anwendung der Diff.- und Int.-Rechnu-ag auf die allgem. 
Theorie der Flachen etc., 3. Aufl. hrsg. von L. Natani, Leipzig 1890, p. 57. 

6) Ch. Meusnier, Paris, Mem. sav. [etr.] 10(1785) [lu 1776], p. 477. Modelle 
von M. Schilling, Halle a/S., Nr. 264266, Nr. 76. 



1. Methode von Euler. 2. Methode von Monge. 109 

zweiten Schnittes. Der hier auszuschliessende Fall if> = wird 
spater in Nr. 36 behandelt. 

Aus dem Metisnier scheu. Satz folgt unmittelbar erne Bemerkung 
von P. HacheUc G& ). Tragt man auf den Normalen aller Schnitte, 
welche durch dieselbe in (P) beriihrende Flachentangente gehen, von (P) 
aus den Wert der Kriimmung des betreffenden Scnnittes auf, so liegen 
die Endpunkte der aufgetragenen Strecken - - centres inverses de 
courbure - - auf einer die Flachennormale schneidenden und zu der 
Ebene des durch die fragliche Tangente gelegten Normalschnitts senk- 
rechten Geraden. Zu jedem Normalschnitt gehort so eine derartige 
Gerade und die Gesamtheit dieser Geraden bildet ein Cylindroid (IV 2, 
Nr. 16) 6b ). Auf ein anderes Cylindroid fiihrt die folgende Betrach- 
tung. Unterwirft man die Kriimmungskreise der durch den Punkt (P) 
gehenden Normalschnitte einer solcheii Transformation mittelst rezi- 
proker radii vectores (III A 7), deren Pol im Punkte (P) liegt, so 
gehen die Kreise in Gerade fiber, die auf der Flachennormale senk- 
recht sind und ein Cylindroid bilden 6c ). 

Edm. Laguerre 7 ) bemerkte hinsichtlich der durch dieselbe Flachen- 
tangente gehenden Schnitte, dass, wenn man in jedem derselben die 
im Beriihrungspunkt der Tangente hyperoskulierende Parabel kon- 
struiert, die Brennpunkte dieser Parabeln auf einem Kreise liegen. 

2. Methode von Monge. G. Monge 8 } gelangt zur Gleichung der 
Hauptkriimmungsradien und Krummungslinien auf wesentlich andere 
Weise wie Euler. Er zeigt, dass eine Flachennormale von zwei un- 
endlich benachbarten Normalen geschnitten wird, d. h. der kiirzeste Ab- 
stand der Normale von den fraglichen benachbarten Normalen ist von 
hoherer als der ersten Ordnung unendlich klein. Die fraglichen Schnitt- 
punkte sind die von (P) verschiedenen Endpunkte von E l und I? 27 
wahrend die Fortschreitungsrichtungen, in denen man zu den frag 
lichen beiden Nachbarnormalen gelangt, in den Hauptnormalschnitten 
liegen. 

Nimrnt man die Gleichung der Flache in der Form g = f(x, y] und 

df 3f 8Y 

setzt wie ubhch: = Q-- , Q = j f = or~ \ > s == 



j or~ \ > z o~ 

cy ox cxoy 

so wird die Gleichung der Hauptkriimmungsradien: 



6 a ) G. Scheffers, Einfiihrung in die Theorie der Flachen, Leipzig 1902, p. 106. 
G b ) G. Scheffers 1. c. p. 148. 

6 C ) Salmon-Fiedler, Analytische Geometric des Eaumes, 2. Teil, 3. Aufl. 
Leipzig 1880, p. 560; G. Scheffers, Leipz. Ber. 1901, p. 1. 

7) Nouv. Annal. (2) 7 (1868), p. 137. 

8) Application d Anal., 5. Aufl., hrsg. v. J. Liouville, Paris 1850, 15. 



1 10 HI D 3. JR. v. Lilienthal. Die auf einer Flilche gezogenen Kurven. 



wahrend die Gleichung der Kriimmungslinien die Gestalt hat: 

dp (dy -{- q dz) = dq (dx -\- p dz) . 10 ) 

Von dieser Gleichung ausgehend kam 0. Rodrigues n ) zu dem Satze: 
; ,Bezeichnet man die Richtungskosinus der Flachennormalen mit X, Y, Z, 
so ist langs einer Kriimmungslinie: 

dx = gdX, dy = QdY, dz = qdZ, 

wo Q den zu der betreffenden Kriimmungslinie gehorendeu Haupt- 
krummungshalbmesser bedeutet." 

3. Konjugierte Tangenten und Linien. (Vgl. Ill D 1, 2, Nr. 37.) 
Zu weiterer Fruchtbarmachung des Euler schen Satzes gelangte Dupin 
durch die Ausgestaltung des Begriffs Konjugierte Tangenten. Langs 
einer Flachenkurve werden die Tangentialebenen der Flache von einer 
abwickelbaren Flache (III D 5, Nr. 3) eingehiillt. Zu einem Punkte (P) 
der Kurve gehort so die Tangente ( T) der Kurve und eine zweite Flachen- 
tangente (T \ die zugleich Erzeugende jener abwickelbaren Flache ist. 
(T } heisst konjugiert zu (T). Man findet leicht, dass auch (T) zu 
(T ) konjugiert ist, weshalb man von Jconjugierten Tangenten spricht. 

Mit Hilfe dieser Definition erhalt Dupin, wenn die Tangente (T) durch 

d w 

den Wert der Ableitung -~ festgelegt ist, als Gleichung der Pro- 

ct oc 

jektion von (J") auf die rri/-Ebene die folgende 12 ): 

f\ y , rdx + sdy __ ^ 
| x sdx -(- tdy 

f] tJ 

Den samtlichen Werten des Verhaltnisses -- entsprechen die samt- 

lichen durch (P) gehenden Flachentangenten (J); die zugehorigen 
konjugierten Tangenten fallen in eine zusammen oder bilden ein 
Biischel, je nachdem rt s 2 gleich Null oder von Null verschieden 
ist. Wir schliessen den ersten Fall aus und denken uns einen Punkt 
(P ), der sich so in der Tangentialebene bewegt, dass seine Bewegungs- 
richtung bestandig der konjugierten Tangente des radius vector (PP ) 
parallel ist. Man findet als Gleichung der Projektion des Ortes von 
(P ) auf die #2/-Ebene: 

r(-o;) 2 + 2s (| -x)(n - y) + *fo - y) 2 = C, 
wo C eine willkiirliche Konstante bedeutet. 



9) Monge a. a. 0. 15, Nr. 3. 10) Monge a. a. O. 15, Nr. 4. 

11) Corr^spondance sur 1 ec. polyt. 3 (1816), p. 1C2. 

12) Ddvelopp., p. 98. 



3. Konjugierte Tangenten und Linien. 4. Allgemeine Parameter. HI 

Dupin nennt, ohne den Wert der Konstanten G besonders zu 
bestimmen, die fur den Ort von (P ) gefundene Kurve die Indikatrix 
der Flache fiir den Punkt (P). Sie 1st eine Ellipse, wenn E 1 R 2 > 0, 
eine Hyperbel, wenn JR L R 2 < 0. Der Mittelpunkt der Indikatrix fallt 
mit (P) zusammen, ihre Hauptaxen liegen in den Hauptnormalschnitten 
und konjugierte Durchmesser liegen in konjugierten Flachentangenten. 
1st die Indikatrix eine Hyperbel, so fallen ihre Asymptoten mit den 
Haupttangenten der Flache zusammen, die letzteren beriihren die 
Flache in der zweiten Ordnung 13 ). Weiter zeigt Dupin folgende 
Satze: 

1) Sind Q und Q die Kriimmungshalbmesser zweier Normal- 
schnitte, die aus der Tangentialebene konjugierte Tangenten aus- 
schneiden, so ist: 

f + p -H+H. *) 

2) Die Kriimmungsradien der Normalschnitte besitzen Langen, 
die proportional sind den Quadraten der in diesen Schnitten liegenden 
Durchmesser der Indikatrix 15 ). 

3) Ist die Indikatrix eine Ellipse, so giebt es in dem Haupt- 
normalschnitt mit der kleinsten Krummung zwei vom betrachteten 
Flachenpunkt ausgehende und zur Flachennormale symmetrisch ge- 
legene Gerade derart, dass jedes Paar zu einander senkrechter und 
durch eine der beiden Geraden hindurchgehender Ebenen aus der 
Tangentialebene konjugierte Tangenten ausschneidet 16 ). Man erkennt 
leicht, dass diese Geraden die Asymptoten der zur Indikatrix ge- 
horenden Fokalhyperbel (III C 4) sind. 

4) Nennt man zwei einfach unendliche auf der Flache gelegene 
Kurvenscharen ,,konjugiert", wenn jede Einzelkurve der einen Schar 
von jeder Einzelkurve der anderen so geschnitten wird, dass im 
Schnittpunkt die betreffenden beiden Kurventangenten konjugiert sind, 
so bilden die Krummungslinien das einzige konjugierte Kurvensystem, 
in dem jede Kurve der einen Schar von jeder der anderen recht- 
winklig geschnitten wird 17 ), wahrend die Haupttangentenkurven sich 
selbst konjugiert sind. 

4. Allgemeine Parameter (III D 1, 2, Nr. 34). Die bis jetzt er- 
wahnten Untersuchungen sind unter der Annahme durchgefuhrt, dass 
die Flache durch eine Gleichung von der Form z = f(x f y} festgelegt 



13) De~v., p. 52. 14) Dev., p. 102. 

15) Dev., p. 151. Einen ahnlichen Satz zeigte A. Mannheim, Par. soc. 
math. Bull. 22 (1894), p. 219. 

16) Dev., p. 54. 17) Dev., p. 95. 



112 III D 3. E. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

sei. Geometrisch bedeutet diese Annahme eine solche Abbildungsart 
der Flache auf eine Ebene (E), bei welcher das Bild eines Punktes 
(P) durch senkrechte Projektion von (P) auf (E) erhalten wird. 
C. F. Gauss legte seinen TJntersuchungen 18 ) diejenige Bestimmungsart 
einer Flache zu Grunde, welche die rechtwinkligen Koordinaten x, y f z 
durch Funktionen zweier Parameter u und v gegeben denkt. Betrachtet 
man u und v als die Koordinaten der Punkte einer Bildebene, so 
bleibt hier die Abbildungsart ganz willkiirlich. Bei der fraglichen 
Bestimmungsart findet man unter Benutzung der Abkiirzungen: 



V 



- falls wie friiher die Richtungskosinus der Flachennormalen mit 
X, Y, Z bezeichnet werden - - als Gleichung der Hauptkriiinnmngs- 
radien : 

(a) (LN M^ (GL - 2FM + EN} Q + EG F 2 ^ 0, 
und als Gleichung der Krummungslinien: 

(b) (EM FL} du* + (EN GL} du dv + (FN GM} dv 2 = 0, 
wahrend der Krumrnungsradius des durch die Tangentialrichtung 
(dx, dy, dz] bestimrnten Normalschnittes durch die Gleichung: 

1 ZdxdX Ldu* + ZMdudv + Ndv* 



Edu* + 2Fdudv -f- Gdv* 

geliefert wird. Hinsichtlich der Gleichung (a) gelten folgende Satze: 
1) Verschwindet der Koeffizient von ^ fur jedes Wertsystem 
u, v, so ist die betreffende Flache die Einhiillende einer Ebenen- 
schar, also eine abwickelbare Flache 19 ) (III D 5, Nr. 3). Die Erzeugen- 
den einer solchen bilden sowohl das einzige vorhandene System der 
Haupttangentenkurven als eine Schar von Krummungslinien. Die andere 
Schar der Krummungslinien wird von den rechtwinkligen Durch- 
dringungskurven der Erzeugenden gebildet. Fur den, zu ihnen ge- 
horenden Hauptkrummungshalbmesser E x giebt es einen einfachen 
Ausdruck 20 ). Die durch den Flachenpunkt (P) gehende Erzeugende 

18) Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827. Comm. Gott. 6 
(1828) = Werke 4 (1873), p. 217. Deutsch herausgegeben in Ostwald s Klassikern 
Nr. 5 von A. Wangerin 1889. 

19) G. Monge, Appl., Fussn. 8), p. 591; F. Joachimsthal, Anwend. der Diif.- 
u. Integralrechn. auf die allgem. Theorie der Flilchen und der Linien doppelter 
Kriimmung, 3. Aufl. bearbeitet von L. Natani, Leipzig 1890, p. 254. 

20) A.Enneper, Zeitschr. Math. Phys. 18 (1873), p. 616; E. Picard, TraiW 
d Anal. 1, Paris 1891, p. 393. 



4. Allgemeine Parameter. 113 

trefife die Gratlinie (Riickkehrkante) der abwickelbaren Flache im 
Punkte (PQ). Ist I die Entfernung der Punkte P, P , und p der 
Radius der ersten, r der der zweiten Krummung der Gratlinie im 
Punkte (P ) (III D 1, 2, Nr. 29, 30), so hat man: 

ft = j-! . 

P 

2) Ist eine Wurzel der Gleichung konstant, die andere nicht, so 
ist die Flache die Einhullende einer Schar von Kugeln mit demselben 
Durchmesser, deren Mittelpunkte auf einer Kurve liegen, also eine 
Kanalflache (III D 5, Nr. 4). Sind beide Wurzeln der Gleichung konstant 
oder bestandig einander gleich, so besitzen sie stets ein und denselben 
festen Wert. Die Flache ist alsdann eine Kugel 21 ). 

3) Die Wurzeln der Gleichung sind stets reell 22 ). 

4) Als Bedingung fur die Gleichheit der Wurzeln findet man: 

T == M^ N 

Eine Flache besitzt daher im allgemeinen nur vereinzelte Punkte, fur 
die die beiden Hauptkrummungsradien einander gleich sind. Man 
nennt sie Ndbelpunkte, oder Kreispunkte (III D 1, 2, Nr. 35), weil die 
zugehorige Indikatrix ein Kreis ist. Fallen sie eine Linie aus, so heisst 
letztere ^KreispunUlinie 1 . G. Darboux zeigte 22a ), dass ein gewohn- 
licher Flachenpunkt ein Kreispunkt ist, wenn durch ihn mehr wie 
zehn Kreise gehen, die in ihm funf zusammenfallende Punkte mit 
der Flache gemein haben. 

5) Das Produkt lasst sich durch die Grossen E, F, G und 

1 ^2 

deren erste und zweite Ableitungen ausdracken 23 ) (III D 1, 2, Nr. 36). 
Hinsichtlich der Gleichung (b) gelten folgende Satze: 

1) Verschwinden ihre Koeffizienten identisch, so ist die betrachtete 
Flache eine Kugel oder eine Ebene. 

2) Die Gleichung liefert zwei reelle Werte fur das Verhaltnis -^- 

du 

3) Fur die Kreispunkte einer Flache wird die Gleichung illusorisch. 
Das Verhalten der Krummungslinien in der Umgebung eines Kreis- 
punktes ist Gegenstand zahlreicher Arbeiten geworden. Dupin 24 ) bildet, 
wenn A = die Gleichung der Krummungslinien ist, der Reihe nach 

die Gleichungen ==f^ + |^ = 0, C = |^ + |^^ = etc, 

du dv du du dv du 

21) J. Bertrand, J. de math. (1) 13 (1848), p. 73; 0. Bonnet ib. (2) 5 (1860), 
p. 192; B.Lipschitz, Berlin, Ber. 1882, p. 186; A. Enneper, Zeitschr. Math. Phys. 
9 (1864), p. 101. 22) ,,Knoblauch", p. 32. 

22 a ) Bull. math. astr. (2) 4 (1880), p. 380. 

23) Gauss, Disquis. 11. 24) Dev. p. 160 ff. 

Encyklop. d. math. Wisseasch. in 3. 8 



114 III D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

und betrachtet die erste, nicht identisch erfiillte dieser Gleichungen 
als Gleicliung der Kriimmungslinien im fragliclien Kreispunkt. Diese 
Gleichungen nehmen eine einfache Form an, wenn man den Kreis 
punkt zum Anfangspunkt eines Koordinatensy stems nimrnt, dessen 
#-Achse die Norrnale der Flache im Kreispunkt ist, wahrend z nacli 

Potenzen von x und y entwickelt wird. Bezeichnet man die Werte 

d 3 z d 8 z S 3 z d s z 

der dritten Ableitungen ? -,, an der betrachteten 

3) * * s 



Stelle mit a, /3, y ? d, so wird die Beziehung J5 = gleichlautend mit 
der folgenden: 



1st dieselbe nicht identisch befriedigt, so hat man es mit einem ge- 
wohnlichen Kreispunkt zu thuu. Hier kann nun bloss eine reelle 
Wurzel auftreten, wie beim Ellipsoid, oder es giebt drei solche, wo 
dann entweder alle drei Wurzeln zu Kriimmungslinieu gehoren oder 
nur zwei von ihnen. Dies letztere ist der Fall, wenn der Kreispunkt 
nicht vereinzelt auftritt, sondern einer Kreispunktslinie angehort. 
Die beiden Kriimmungslinien schneiden sich dann senkrecht 25 ). 

Zu den Dw^m schen Gleichungen gelangt S. D. Poisson 26 ) durch 
folgende Betrachtung. Man entwickle den kiirzesten Abstand der 
durch den Kreispunkt gehenden Flachennormalen von der durch einen 
benachbarten Punkt (x -j- li, y + 7t) gehenden nach Potenzen von k 
und li. Die Entwicklung beginne mit Gliedern m tor Ordnung, wo 
jetzt m > 2. Das Aggregat dieser Glieder gleich Null gesetzt, liefert 
die Gleichurig der Kriimmungslinien im betrachteten Kreispunkt. 
A. Cayley^ *} nimmt den Kreispunkt zum Anfangspunkt eines Koordi- 
natensystems, dessen x, 7/-Ebene die Tangentialebene der Flache ist 
und bricht die Entwicklung von nach Potenzen von x und y mit 
den Gliedern dritter Ordnung ab, sodass die Flache ersetzt wird durch 
eine im Kreispunkt beriihrende Flache dritter Ordnung (III C 6), die den 
Beriihrungspunkt ebenfalls als Kreispunkt besitzt. Weitere Methodeu 
findet man bei ,,Darboux" (4, p. 448). Vgl. II A 4 a, Nr. 31 u.Fussn. 122. 

Denken wir uns durch die Verhaltnisse ^ uud , zwei Flachen- 

ciu ou 

tangenten bestimmt, so sind sie konjugiert, falls (III D 1, 2, Nr. 37): 

Ldudu + M(dudv -f dvdu) + Ndvdv = 0. 
Diese Bedingung erhiilt, wenn man die beiden Tangenten durch die 

25) Cli. Bioche, Par. soc. math. Bull. 18 (1890), p. 95, woselbst die bezug- 
liclie Litteratur angegeben ist. 

26) J. f. Math. 8 (1832), p. 280. 

26") Phil. Mag. 26 (1863), p. 373, 441 = Coll. math, papers 5 (1892), p. 115. 



4. Allgerneine Parameter. 5. Geradlinige Strahlensysteme. 115 

Winkel 90 und ^ bestimmt ; die sie mit der zu JRj gehorenden Kriim- 
mungslinie bilden, die Gestalt: 

. sin qp sin i/> 

~~ 



Der Winkel ty 90 kann fur eine Flache von positiver Krummung 

nicht Null werden, muss also ein Minimum besitzen. Der entsprechende 

p 

Winkel 93 wird geliefert durch die Grleichung tg 2 90 ^~ Die frag- 

*% 

lichen Tangenten liegen also symmetrisch zu den Hauptnormalschnitten, 

und die durch sie hindurchgehenden Normalschnitte besitzen dieselbe 

2 
Krummung R ~- Auf das durch jene Tangenten bestimmte Linien- 

system machte zuerst Duping mit kurzen Worten aufmerksam und 
stellte es als den Haupttangentenkurven der negativ gekriimmten 
Flachen entsprechend hin. Ausfilhrlicher behandelte K. Peterson 28 ) 
und dann R. Hoppe den Gregenstand 29 ). Spater nannte E. Pucci das 
Doppelte jenes Winkels 90 den ; ,charakteristischen" Winkel und be- 
legte mit dem Namen ,,charakteristische" Linien solche, die mit den 
zu R i gehorenden Krummungslinien den Winkel 99 bilden 30 ). 

Die Kurven, welch e bei der GWss schen Bestimmungsart einer 
Flache konstanten Werten von u oder v entsprechen, sollen ,,Para- 
meterlinien" genannt werden. Sie bilden zwei einfach unendliche 
Scharen von Flachenkurven. Ist F = , so schneiden sich diese 
Scharen rechtwinklig; ist M= 0, so sind sie konjugiert; ist F= Jf==0, 
so fallen sie mit den Krummungslinien, ist L = N = 0, so fallen sie 
mit den Haupttangentenkurven zusammen, und ist L G N E M=0, 
so sind sie charakteristische Linien. 

II. Weitere Methoden. 

5. Geradlinige Strahlensysteme (vgl. Ill D 1, 2, Nr. 35). Die 
Untersuchungen des Systems der Nornialen einer Flache diirfte J.Ser- 
trand 31 ) begonnen haben, an dessen Arbeit 0. Bonnet 3 *) ankniipfte. 
Betrachten wir in einem Punkte (P) einer nicht abwickelbaren Flache 



27) Dev. p. 192. 

28) tiber Kurven und Flachen, Leipzig 1868, p. 35. 

29) Archiv Math. Phys. 69 (1883), p. 19. 

30) Rom, Line. R. 1 (1889 x ), p. 501; daselbst eine Arbeit von V. Reina fiber 
denselben Gegenstand p. 881. 

31) J. de math. (1) 9 (1844), p. 133. 

32) J. ec. polyt. 19 (1848), p. 1. Vgl. E.E.Kummer, J. f. Math. 57 (1860), p. 226 
u. A. Mannheim, J. de math. (2) 17 (1872), p. 109; Principes et Developpements 
de geometrie cinematique, Paris 1894, p. 270; 0. Eothig, J. f. Math. 85 (1878), p. 250. 



116 III D 3. JR. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

die Normale (JV) mitsamt der einfach unendlichen Mannigfaltigkeit 
der Nachbarnormalen. Unter den letzteren gibt es nach Nr. 2 zwei, 
die (JV) schneiden und zwar in den Endpunkten von R^ und E 2 . Ab- 
gesehen von diesen beiden besitzt jede Nachbarnormale einen kiirze- 
sten Abstand von (JV). Derselbe ist im allgemeinen eine unendlich kleine 
Grosse erster Ordnung, nur fiir die in den Hauptnormalscknitten ge- 
legenen Nachbarnormalen wird er von der dritten Ordnung uuendlich 
klein 33 ). Ein solcher kiirzester Abstand treffe die Normale (3T) im 
Punkte (P ) und die Abscisse von (P ) in Bezug auf (P) (Masszahl 
der Entfernung PP mit. Vorzeichen) sei r. Man hat dann, wenn die 
Nachbarnormale durch den Punkt (x -j- doc, y -\- dy, z -f- dz) gelegt ist: 

dxdX + dydY + dzdZ 
dX* + dY* + dZ* 

Die den einzelnen Nachbarnormalen von (N) entsprechenden Werte 
von r besitzen einen grossten und kleinsten Wert, und diese Werte 
fallen mit E 1 und J? 2 zusammen. Bezeichnet man mit a den Winkel, 
den der zu r gehorende kiirzeste Abstand mit der Tangente des zu 
jR 2 gehorenden Hauptnormalschnittes bildet, so ist (Hamilton sche 
Gleichung [IE D 1, 2, p. 97, Fussn. 250]): 

r = jR t cos 2 a -f #2 sin 2 o . M ) 
Bei einer negativ gekrummten Flache erhalt somit r auch den Wert 

T) 

Null. Da jetzt tg 2 o = ~ } so schneiden die entsprechenden Nach 
barnormalen die Haupttangenten. Langs einer Haupttangentenkurve 
fallen daher die Flachennormalen mit den Binormalen (HID 1,2, Nr.29) 
der Kurve zusammen. 

Mit Hulfe der Hamilton* schen Gleichung ergibt sich, dass die 
kiirzesten Abstande einer Flachennormalen von ihren Nachbarnormalen 
auf einem Cylindroid liegen. Die zu einem Punkt (P) einer Flache 
($) gehorenden Kriimmungsmittelpunkte der durch (P) gelegten ebenen 
Schnitte von (S) bilden eine Flache, die nach einer Drehung von der 
Grosse ^- urn die Flachennormale in das fragliche Cylindroid iiber- 

2 

geht, wenn man sie einer Transformation mittelst reziproker radii 
vectores unterwirft, deren Pol im Punkte (P) liegt und deren Modul 
gleich E t E 2 ist 34 *). 

Schneidet eine Nachbarnormale die Flachentangente (T), so ist 
ihr kiirzester Abstand von (JV) parallel der zu (T) konjugierten 
Flachentangente. 

33) J. Bouquet, J. de math. (1) 11 (1846), p. 125. 

34) ,,Knoblauch", p. 71; ,,Bianchi", p. 261. 
34*) Genty, Nouv. Ann. (3) 6 (1887), p. 27. 



5. Geradlinige Strahlensysteme. 117 

Wenn rp den Winkel bedeutet, den die Tangente (T) mit dem 
zu P x gehorenden Normalschnitt bildet, so besteht die Gleichung 35 ): 

-n -n E, sin 2 m 4- E, cos* op E.E* . 9 

r = -ft/to p g 8 r> 8 2^ = p ,p 8 = o sm* a. 

t Tt * eiriZm.L 7? z C os 2 q0 J? -j- Jf Q 



wo a den Winkel zwischen (T) und der konjugierten Tangente von 
(T) bezeichnet. Gehoren / und Q zu der auf (T) senkrechten Tan 
gente, so hat man: i i i i 

^ + 73 ^ B^ ~^~ B?i 
gehoren / und Q zur konjugierten Tangente von (T\ so ist: 

i _L JL a , J_ j_ JL L a = f 

r r " R t r J? 2 r Q 

Aus der ersten dieser Gleichungen folgt, dass die vom Flachenpunkt 
(P) verschiedenen Endpunkte der zu konjugierten Tangenten gehoren 
den Strecken r und r harmonisch liegen mit dem Punkt (P) 
und dem Krummungsmittelpunkt des zu cp == gehorenden Normal- 
schnitts 36 ). 

Lassen wir 90 mit der Halfte des charakteristischen Winkels zu- 
sammenfallen 7 so folgt: 



Der Ausdruck -^- -f- -=- fuhrt den Namen ,,mittlere Krummung" 

"1 -"2 

der Flache fiir den betrachteten Punkt (vgl. Ill D 1, 2, p. 95 u. 99). 

Eine andere hierher gehorende Art, um zu konjugierten Linien zu 
gelangen, ist die folgende. Man betrachte eine einfach unendliche Schar 
von Flachenkurven. Die Tangenten dieser Kurven bilden ein Strahlen- 
system (III D 9). Durch den Punkt (P) geht nun eine dem System 
angehorende Tangente (^), und die in ihr liegenden Brennpunkte 
werden von (P) und einem weiteren Punkte (P ) gebildet. Der in 
(P ) schneidende Strahl beriihre die Flache im Punkte mit den Ko- 
ordinaten x -}- dx, y -\- dy, z -j- dz. Dann liegt letzterer in der der 
Tangente (T) konjugierten Tangente. 

Wir konnen auch durch die Betrachtung der die Tangente (T) 
schneidenden Nachbarnormale zum Krummungsradius g des durch 
(T) gehenden Normalschnitts gelangen. Projiziert man namlich die 
fragliche Nachbarnormale senkrecht auf die durch (T) und die Flachen- 
normale (JV) gehende Ebene, so schneidet die Projektion die Normale 
(N) im Endpunkt von p. 37 ) 

35) F. JoacMmsfhal, J. de math. (1) 13 (1848), p. 415. 

36) Ib. p. 422. 

37) E. v. LilientJial, Math. Ann. 42 (1893), p. 506. 



118 III D 3. B. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

6. Krummungstheorie der Raumkurven. Die Untersuchung der 
Kriimmung einer Flache in der Nahe eines Punktes mit Hiilfe von 
Norrnalschnitten erfordert nur die Kenntnis der Berechnung des 
Kriimmimgsradius einer ebenen Kurve (III D 1, 2, Nr. 14). Denkt man 
sich aber auf der Flache durch den Punkt (P) eine beliebige Kurve 
gezogen und berechnet fiir diesen Punkt den Halbmesser ihrer ersten 
Kriimmung (III D I, 2, Nr. 29), so ergibt sich mit einem Schlage der 
Meusnier sche Satz und der Ausdruck des Kriirnmungshalbmessers Q 
des durch die Tangente der Kurve gelegten Normalschnitts. Man 

nennt die ^Normallirilmmung^ der Kurve im Punkte (P), den End- 

punkt von $ den ^Mittelpunk^ 1 der Normalkriimmung. Letzterer 
ergibt sich zugleich als Schnittpunkt der Flachennormale mit der 
Kriimmungsachse (III D 1, 2, Nr. 29) der Kurve. Die Normalkriim 
mung der Kurve ist auch gleich der Kriimmung der senkrechten Pro- 
jektion der Kurve auf die durch die Flachennormale und die Kurven- 
tangente gehende Ebene. 

Die Flachennormalen langs einer Flachenkurve bilden eine gerad- 
linige Flache, die A. MannJieim ,,Normalie" genannt hat (Fussn. 32). 
Ist dieselbe abwickelbar, so ist die Kurve eine Kriimmungslinie, fallt 
sie mit der von den Binormalen der Kurve gebildeten Flache zu- 
sammen, so hat man es mit einer Haupttangentenkurve zu thun. 

Legt man durch eine beliebige Raumkurve (III D 1, 2, Nr. 29 f.) 
eine geradlinige Flache , deren Erzeugende Normalen der Kurve sind, 
und bezeichnet man mit cp den Winkel, den die Erzeugenden der 
Flache mit den Hauptnormalen der Kurve bilden, mit s die Bogen- 
lange, mit die zweite Kriimmung der Kurve, so ist die fragliche 
Flache abwickelbar, wenn: 



Zwei derartige Flachen schneiden sich also unter konstantem 
Winkel. Daraus ergeben sich die Joachimsthal schen Satze 39 ): 

a) Liegt eine Kriimmungslinie in einer Ebene oder auf einer 
Kugel, so schneidet jene Ebene oder jene Kugel die Flache langs der 
Kriimmungslinie unter sich gleichbleibendem Winkel. 

b) Kann man eine Flache mit einer Ebene oder einer Kugel so 
schneiden, dass sich der Schnittwinkel langs der Schnittlinie nicht 
andert, so ist letztere eine Kriimmungslinie der Flache. 

Die Betrachtung der zweiten Kriimmung einer Flachenkurve 



38) ,,Darboux u 1 , p. 18. 39) J. f. Math. 30 (1846), p. 347. 



fi. Krtimmungstheorie der Raumkurven. 7. Spharische Abbildung. 119 

fiihrt fiir Asymptotenlinien zu einem einfachen Ergebnis. Hier gilt 
der Enneper ache Satz, dass das Quadrat jener Krummung gleich 



7. Spharische Abbildung (vgl. Ill D 1, 2, Nr. 36; III D 6 a, Nr. 11, 
33). Unter der ,,Eintieitskugel" verstehen wir die Kugel, welche mit dem 
Halbmesser 1 um den Koordinatenanfangspunkt beschrieben ist. Jedem 
regularen Punkt (P) einer Flache ordnen wir auf folgende Weise einen 
Punkt der Einheitskugel zu, den wir das ,,spMrische Bild" von (P) nennen. 
Der Punkt (P) teilt die durch ihn hindurchgehende Flachennormale in 
zwei Halbgerade. Man w ahle eine von diesen und bezeichne die Kosinus 
der Winkel, die sie mit den positiven Teilen der Koordinatenachsen bildet, 
mit X, Y, Z. Die fragliche Halbgerade nennt man den positiven Teil 
der Flachennormalen. Derjenige Halbmesser der Einheitskugel, der 
diesem positiven Teil der Normalen parallel ist, trifft die Einheits 
kugel in einem Punkte (Q), der das spliarisclie Bild von (P) heisst 41 ). 
Beschreibt (P) auf der Flache eine Kurve, so beschreibt (Q) auf der 
Einheitskugel das ,,spMrische Bild der FlcicJtenhirve". Die samtlichen 
durch (P) gehenden Flachenkurven, die in (P) ein und dieselbe Tan 
gente besitzen, haben spharische Bilder, die in (Q) ein und dieselbe 
Tangente besitzen. Letztere Tangente heisst das spharische Bild der 
ersteren. Hiermit ist zugleich das spharische Bild einer Halbtangente 
oder einer Tangentenrichtung festgelegt. Betrachten wir namlich eine 
durch (P) gehende Flachenkurve, indem wir u und v als Funktionen 
einer neuen Veranderlichen t ansehen, so bildet die den wachsenden 
Werten von t entsprechende Halbtangente mit den positiven Teilen 
der Koordinatenaxen Winkel, deren Kosinus durch die Ausdrucke: 

dx du , dx dv 



dv 



bestimmt werden, wo die Wurzel im Nenner positiv ist. Das spha 
rische Bild der fraglichen Halbtangente ist wieder eine Halbtangente 
und besitzt die Richtungskosinus: 

cX du , 8X dv 



I n ^W I I I 

wo die Wurzel ebenfalls positiv ist. 

40) A. Enneper, Gott. Nachr. 1870, p. 499. 

41) Gauss, Disquis. 4 u. 5. 



120 HI D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

1st die betrachtete Flache abwickelbar, so fallen die spharischen 
Bilder aller Flachenkurven in eine einzige Kurve auf der Einheits- 
kugel zusammen. Bei den nicht abwickelbaren Flachen besitzen die 
Punkte eines Flachenstucks spharische Bilder, die ein Kugelstuck aus- 
fiillen. Letzteres wird das spharische Bild des ersteren genannt. Sollen 
die Punkte des Flachenstucks den Punkten seines spharischen Bildes 
eindeutig entsprechen, so darf im ersteren keine Normalenrichtung 
zweimal vorkommen. 

Hinsichtlich der spharischen Bilder von Tangenten gelten fol- 
gende Satze: 

a) Die der Tangente (T) konjugierte Tangente (T } liegt senk- 
recht zu dem spharischen Bilde von (T). Ihre Richtungskosinus sind 
somit proportional den Grossen: 

YdZ - ZdY, ZdX XdZ, XdY - YdX. 
Da zu einander senkrechte konjugierte Tangenten zu Krummungs- 
linien gehoren, kann man die Gleichung der letzteren auch in die 

Form setzen: 

X dx dX 

Y dy dY =0. 
Z dz dZ 

Fur den Winkel zweier konjugierter Halbtangenten gilt der Satz, 
class die spharischen Bilder der Halbtangenten einen ihm gleichen 
Winkel bilden oder ihn zu zwei Rechten erganzen, je nachdem das 
Produkt R^RI negativ oder positiv ist 42 ). 

Die zur Tangente (T) senkrechte Flachentangente werde mit 
(TJ bezeichnet, die konjugierte der letzteren mit (Tf). Das spharische 
Bild von (T 7 /) ist parallel der Tangente (I 7 ) 43 ). Dieser Satz wurde 
zuerst von V. Dini fur die Haupttangenten ausgesprochen 44 ). 

b) Die Tangente eiuer Krummungslinie ist ihrem spharischen 
Bilde parallel und zwar ist eine Halbtangente einer Krummungslinie 
ihrem spharischen Bilde parallel oder entgegengesetzt gerichtet, je 
nachdem der zur Krummungslinie gehorende Hauptkrummungshalb- 
messer negativ oder positiv ist. 

c) Die Tangente einer Haupttangentenkurve steht senkrecht zu 
ihrem spharischen Bilde. 

Die Betrachtung des spharischen Bildes eines Flachenstucks fiihrte 
Gauss zu zwei wichtigen Begriffen. Das Flachenstiick ist hier so begrenzt 
zu denken, dass fur seine Punkte keine Normalenrichtung zweimal vor- 

42) V. Reina, Bom, Line. E. (4) 6 1 (1890), p. 205. Daselbst Litteratur. 

43) v. Lilienthal, Math. Ann. 42 (1893), p. 516. 

44) Ann. di Mat. (2) 4 (187071), p. 180. 



7. Spharische Abbildung. 121 

kommt. Den Flacheninhalt jenes spharischen Bildes nennt Gauss die 
curvatura integra ua; ) (Gesamfkrummung] (HID 1,2, Nr. 36) des Flachen- 
stiicks und belegt wenn wieder ($) das spharische Bild des Punktes 
(P) bedeutet - - das mit einem bestimmten Vorzeichen versehene 
Verhaltnis des den Punkt ($) umgebenden Kugelelements zu dem 
den Punkt (P) umgebenden Flachenelement mit dem Namen , } Krum- 
mungsmass" der Flache im Punkte (P) 45 ). Jenes Yorzeichen bestimmt 
Gauss mittelst einer infinitesimalen Betrachtung. Es seien (P ) und 
(P") zwei dem Punkte (P) unendlich benachbarte Punkte auf der 
Flache, ($ ) und ($") ihre spharischen Bilder. Lasst man nun einen 
beweglichen Punkt auf die eine oder die andere Weise das Dreieck 
PP P" durchlaufen, so wird sein spharisehes Bild das Dreieck QQ Q" 
entweder in demselben oder im entgegengesetzten Sinne durchlaufen. 
Im ersten Fall ist das Krummungsmass positiv, im zweiten als ne- 
gativ anzusehen. Man kann diese Zeiclienbestimmung leicht von der 
Benutzung unendlich kleiner Grossen befreien, indem man sie auf 
folgende Weise vollzieht. Dreht sich eine Halbtangente um den 
Punkt (P) ? so ist das Krummungsmass positiv oder negativ, je nach- 
dem sich das spharische Bild der Halbtangente in demselben oder 
im entgegengesetzten Sinne um den Punkt ($) dreht. Hiernach liefert 
der obige Satz iiber die spharischen Bilder der Halbtangenten der 
Kriimmungslimen sofort die fragliche Zeichenbestimmung, indem das 
Vorzeichen des Krummungsmasses mit dem des Produkts R^H^ iiber- 
einstimmen muss. Als Wert des Krummungsmasses findet Gauss den 
reziproken Wert des Produkts R 1 E 2 . M ~) 

Wir schliessen hieran die Erwahnung der Art und Weise, wie 
0. Bonnet* 1 } die grundlegenden Grleichungen fur eine nicht abwickel- 
bare Flache aufgestellt hat. Dabei wird ein Flachenpunkt (P) be 
stimmt gedacht durch sein spharisches Bild und den Abstand des 
Koordinatenanfangspunktes von der zu (P) gehorenden Tangential- 
ebene der Flache. Das spharische Bild von (P) wird festgelegt durch 
die geographische Lange und das Komplement der geographischen 
Breite, sodass seine Koordinaten die Form erhalten: 

X = sin 0- cos <p, Y sin -fr sin <p, Z = cos %. 

Sonnet setzt cp = x und fiihrt statt # die durch die Gleichung 
tg --- = e y bestimmte Veranderliche y ein. An Stelle des fraglichen 
Abstandes d wird die durch die Beziehung 

44 a ) Vgl. W. Boy, Uber die Curvatura Integra und die Topologie ge- 
schlossener Flachen, Inaug.-Diss. Gott. 1901 (III D 6 a, Nr. 11, 14). 
45) Disquisit. 6. 46) Disquisit. 8. 

47) J. de math. (2) 5 (I860), p. 153. 



122 III D 3. E. v. Lilienihal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 



festgelegte Grosse z verwertet. Jeder Wahl von als Funktion von 
x und y entspricht eine Flache, deren rechtwinklige Koordinaten 
|, tj } aus den Gleichungen: 

| cos x + r] sin x + i sin iy = 0, 

. . 8* 

g sin a? 17 cos x = fa> 

dz 
gcosty = ^ 

berechnet werden konnen. Setzt man nun: 



so nimmt die Gleichung der Kriimmungslinien die Form an: 

j_ u w <ty __ ! = Q 
w dx 



wahrend die Hauptkriimmungshalbmesser der Beziehung genugen: 

^2 _ ( M _|_ ^ cos ^ . 9 + (MM; v 2 ) cos 2 iy = 0. 
Verwendet man an Stelle der JJowM^ schen Veranderlichen a? und 
y die komplexen Veranderlichen a, /3 7 mit Hiilfe derer die Koordi 
naten der Punkte der Einheitskugel durch die Gleichungen: 



: 



dargestellt werden, und gibt der Gleichung der Tangentialebene die 

Gestalt: 

(1 __ a ft x -f i (1 + tt $ y + (a + ft e + I = 0, 

so erhalt die Gleichung der Kriimmungslinien die einfache Form: 

_ ^li ,7^2 = Q 48^ 

rt 



Wendet man die fur reelle Gebilde geltenden Benennungen auch 
auf imaginare Gebilde an, so kommt man mit Darboux zu folgender 
Auffassung: Die geradlinigen Erzeugenden der Einheitskugel sind die 
spharischen Bilder der Beruhrungskurven der Kegel, die von den 
Punkten des unendlich fernen imaginaren Kugelkreises (III A 7, III C 4) 
aus der Flache umschrieben sind. Die Winkelhalbierungslinien dieser 
Beruhrungskurven fallen mit den Kriimmungslinien zusammen 48 *). 

48) ,,Dar&OMtf 1 1, p. 245. Uber die Vcrwendung der Ebenenkoordinaten vgl. 
/ Weingarten, t)ber die Theorie der aufeinander abwickelbaren Fliichen, Berlin, 
Festschr. d. techn. Hochsch. 1884, p. 40; ,,Bianch? p. 189; F. Klein, Einleitung 
in die hohere Geometrie, autogr. Vorles. 1, Gottingen 1893, p. 261; ,,KnoWauch" 

p. 83. 

48) ,,Darboux" 1, p. 243; Scheffers, Einf. in die Theorie derFlachen, p. 215. 



7. Spharische Abbild. 8. Biniire Differentialformen. Differentialparameter. 123 

8. Binare Differentialformen. Differentialparameter. Die Grosse 
der Hauptkriimmungsradien einer Flache sowie die Lage ihrer Kriim- 
mungs- und Haupttangentenlinien kann von den Mitteln ; mit denen 
man analytisch-geometrisch eine Flache bestimmt, nicht abhangig 
sein. 1st daher eine Flache durch eine Gleichung von der Form: 
F (x, y, z) = gegeben, so ist in dem genannten Sinne die Wahl 
des Koordinatensy stems ohne Einfluss, sind aber die Koordinaten 
x, y, z als Funktionen der Veranderlichen u und v gegeben, so ist 
die Abbildungsart der Flache auf die (u, v)-Ebene ohne Einfluss. Im 
ersten Fall iiberzeugt man sich rechnerisch durch Einfiihrung eines 
neuen Koordinatensystems von der Richtigkeit der Behauptung, im 
zweiten Falle hat man an Stelle von u und v Funktionen zweier 
neuer Veranderlichen etwa u und v einzufuhren und die im Zahler 
und Nenner des Ausdrucks (Nr. 4) auftretenden quadratischen Diffe- 
rentialformen (III D 1, 2, Nr. 34): 

Edu? 4- 2Fdudv + G-dv* = A, 

Ldu* 4- ZMdudv 4- Ndv* = B 

zu transformieren. Hierbei erscheinen die Ausdriicke -= r 4- =- und 

j ^1 ^2 

P P als Simultaninvarianten von A und B, wahrend die quadratische 

Form von du und dv, deren Verschwinden die Gleichung der Krum- 
mungslinien liefert, sich als eine Simultankovariante von A und B her- 
ausstellt. Ausserdem ergibt sich das Krummungsmass jj-p als eine 
Differential^ variante von A^} (I B 2, Nr.22). 

Von besonderer Wichtigkeit fiir die Theorie der Flachenkurven 
war die Einfiihrung der Differentialparameter einer Funktion. G.Lame ***) 
zeigte ; dass, wenn die Funktionen F und 6r der drei rechtwinkligen 
Koordinaten x, y } z gegeben sind, die Ausdriicke: 



- - __ 

dx dx dy. dy ~~ dz dz > 



49) ,,Bianchi" p. 35. Ausser der dort angefuhrten Litteratur: ,,Knoblauch" 
p. 150 und G. Ricci, Lezioni sulla teoria delle superficie, Verona - Padova 1898, 
p. 36; J. Knoblauch, J. f. Math. 103 (1888), p. 25; E. Padova, Bologna Mem. (4) 
10 (1890), p. 745; G. Hessenberg, Inaug.-Diss. Berlin 1899 = Acta math. 23, p. 121; 
H. Masdike, Trans. Amer. Math. Soc. 1 (1900), p. 197. 

50) Le9ons sur les coordonnees curvilignes (Paris 1859), p. 6. Vgl. J. de 
math. (1) 2 (1837), p. 147; ibid. (1) 5 (1840), p. 313. Man bezeichnete urspriing- 
lich die Quadratwurzel aus A 1 F mit A t jP. 



124 HID 3. R. v . Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

sich durch Einfiihrung eines neuen Koordinatensystems nicht andern. 
Man nennt ^F den ersten, A 2 jP den zweiten Differentialparameter 
der Funktion F, hingegen VFG den Zwischenparameter, auch den 
gemischten Differentialparameter der Funktionen F und G. Fiir eine 
Funktion cp von u und v bezeichnet E. Beltrami hinsichtlieh einer 
Flache den Ausdruck: 



_ 

EG-F* 

als ersten Differentialparameter von qp; ferner, wenn 



den Ausdruck 52 ): 



-c 75 -- r 75 
ft "V CU 



_ . 

du dv 



YEG F* 

als zweiten Differentialparameter von <p, und endlich, wenn ^ eben- 
falls eine Funktion von u und v, den Ausdruck: 



_ , , G 

dv dv \du 2v dv du) "* du du 53 s 
EG F* 

als gemischten Differentialparameter von tp und ^. Diese drei Para 
meter haben die Eigenschaft ihren Wert nicht zu andern, wenn sie 
nach Einfiihrung neuer Veriinderlicher statt u und v mit Hiilfe der 
Koeffizienten der transformierten Form von A gebildet werden, so- 
dass z. B., falls man u und v als Funktionen von % und v t ansieht, 
und: 

Edu* + 2Fdudv 

ist, man auch hat: 

F 



Die Herleitung der Beltrami schen Differentialparameter aus den 
Lame schen hat v. Lilienthal in der Schrift ?> Grundlagen einer Kriim- 
mungslehre der Kurvenscharen", Leipzig 1896, p. 14 ff. dargestellt. Vgl. 
Math. Ann. 38 (1891), p. 441. 

Uber den allgemeinen Begriff eines Differentialparameters von 
Funktionen hinsichtlich einer quadratischen binareu Differentialform 

51) Giorn. di. mat. 2 (1864), p. 276. 52) Ibid., p. 358. 

53) Ibid. p. 358. Eine Darstellung der Haupteigenschaften der Differential- 
parameter von Beltrami findet man in Math. Ann. 1 (1869), p. 577. Vgl. G. Frattini, 
Giorn. di mat. 13 (1875), p. 161, und HID 6 a, Nr. 1, Fussn. 3. 



8. Binare Differentialforrnen. Differentialparameter. 125 

und die Abhangigkeit eines solchen Parameters von den hier be- 
trachteten sehe man Bdtrami, Giorn. di. mat. 2 (1864), p. 355, ferner die 
Darstellungen bei ff Bianchi" und ,,Knoblauch", sowie ,,Darboux" 3, p. 260; 
G. Frolenius, J. f. Math. 103 (1888), p. 25; J. Knoblauch, ibid. Ill 
(1893), p. 277, 329. 

Urn die von Seltrami 54 } gefundene Bedeutung des ersten Differen 
tialparameter s darzuthun, haben wir zunachst den Begriff der Ab 
leitung einer Funktion f(u, v) nach der Bogenlange einer Einzel- 
kurve sowohl einer Schar von Flachenkurven sowie der Orthogonal- 
schar zu erklaren 55 ). Sind die Koordinaten x, y, z einer Raumkurve 
als Funktionen von t gegeben, so kann man die Ableitung einer 
Funktion f(f) von t nach der Bogenlange s der Kurve berechnen, 
ohne die Bogenlange selbst durch Integration ermittelt zu haben, ver- 
moge der Beziehung: 

f (f) 



ds 



Betrachten wir nun eine durch eine Gleichung y (u, v) = const. 
gegebene Schar von Flachenkurven und sei f (u, v) eine Funktion von 
u und v. Langs einer Einzelkurve der Schar mogen u und v als 
Funktionen von t angesehen werden. Wir erhalten jetzt als Ableitung 
von f(u,v) nach der Bogenlange der betrachteten Kurve: 

<Wdud_f_ dv 
df(u, v) _ du dt + dv ~di 

ds 

Aber man hat: 
sodass: 



8cp du . d(p dv _ 
u ~ "" ~ = 



_ 

df(u,v) dudv dv d 



ds 



Im Besonderen werden die Richtungskosinus der Tangenten der 
Kurven tp = const.: 

dx d<p dx dq> 
dx flu dv dv du 



54) Giorn. di mat. 2 (1864), p. 276. 

55) E. Cesaro, Lezioni di geometria intrinseca, Neapel 1896, p. 107 u. 155; 
deutsche Ausgabe: Vorlesungen uber naturliche Geometrie, von G. KowalewsU 



126 III D 3. R.v. Lilienthal. Die auf einer Fliiche gezogenen Kurven. 

Langs einer Einzelkurve der Orthogonalschar mogen u und v als 
Funktionen von T angesehen werden, wahrend die Bogenlange der 
Kurve mit a bezeichnet sei. Da jetzt: 

^T (d x du i dxdv\ /dxdtp dxdtp\ 
^j \du dr dv dr) \du dv dv du) 
so ist: 

du dv TT ^9 I /" ^V 7? ^*P T? ^V 

dr dr dv du J dv du 

und es wird: 

&f ( -TTi G tp _, d tp\ df/ -p dtp , jp l 

df(u, v) ~du \ dv du) dv \ dv < 



Die Bildung der Ableitungen -r- und -^ erfordert, wie man sieht, 

nicht, dass die Kurvenschar cp = const, durch eine endliche Gleichung 
bestimmt sei. Ist sie durch eine Differentialgleichung von der Form 

t,du -\- t]dv = gegeben, so hat man nur ?p und - durch | und tj 

zu ersetzen r>G ). 

Ableitungen nach Bogenlangen sind vielfach benutzt worden, 
xuerst wohl von Lame (3. de math. (1) 5 (1840), p. 340), sodann von 
0. Bonnet* 1 ), dessen Methode E. Lamarle) und Ph. Gilbert) be 
nutzt haben, ferner von Cesdro in dem genannten Werk und von 
A. Foss 60 ). Aber man hat hier zu unterscheiden zwischen Quotienten 
unendlich kleiner Grossen und Ableitungen. Die Berechnung jener 
Quotienten erfolgt in den genannten Arbeiten unter der Annahme 
(p = u oder tp = v. Die allgemeineren hier definierten Ableitungen 
sind in der Z^ e schen Theorie der infinitesimalen Transformationen 
einbegriffen (II A 6, Nr. 4). 

Die vorige Gleichung liefert fur f = cp: 



da i- 

Diese Gleichung zeigt die von Beltrami angegebene Bedeutung des 
ersten Diiferentialparameters von q>, er ist das Quadrat der Ableitung 
von q> nach der Bogenlange der in (P) zur Kurve <p = const, senk- 

Leipzig 1901, p. 137, 198; v. Lilienthal , Grundlagen einer Kriimmungslehre der 
Kurvenscharen , Leipzig 1896, p. 11. 

56) v. Lilienthal, Math. Ann. 42 (1893), p. 508. 

67) J. e"c. polyt. 13 (1848), p. 32; J. de math. (2) 5 (1860), p. 165. 

58) Expos^ geometrique du calcul diff. et int., 3, Paris 1863, p. 458. 

59) Bruxelles Mem. 37 (1868), p. 1. 

60) Munch. Ber. 22 (1892), p. 273. 



8. Differentialparameter. 9. Partielle DiiFerentialgleichungen 2. Ordnung. 127 

rechten Kurve. Die fragliche Bedeutung ist in einer allgemeineren 
Eigenschaft von A 1 9? enthalten. Betrachten wir irgend eine Schar 
von Flachenkurven nebst ihrer Orthogonalsckar und bezeichnen mit 
^ und -j-- die Ableitungen von f nach der Bogenlange der ersten 
und zweiten Schar, so hat man stets 61 ): 



K. Peterson* 1 *) kommt auf den ersten Differentialparameter einer 
Funktion f(u, v) durch folgende Betrachtung. Man bezeichne mit w 
den Winkel der Parameterlinien u = const., v = const., mit a den 
Winkel der Linie <p = const, mit der Linie u = const. Man findet 

dann: 

df _ 1 I df sin cc . df sin (at a) 
ds sin at \ fi u ~i/Ji} fly ~\fG 

Andert sich nun , so wird -~- zu Null fiir tp = / und erreicht sein 

ct> s 

Maximum in der zur Kurve f = const, senkrechten Richtung. Das 
Quadrat dieses Maximums ist gleich & t f. 

Auf weitere Eigenschaften der Differentialparameter werden wir 
in Nr. 12 zuriickkommen. Hier finde noch folgende Benierkung Platz. 
Wird die Grleichung der orthogonalen Trajektorien der Kurven cp = const, 
in der Form ty (u, v) = const, angenommen, so hat man fiir die 
Differentiate der Koordinaten: 

-j _ dx dtp , dx dcp 

CljC ==: ^ :: I ~~. ^ . U. S. W. 

as I/A it, d<" - * 



Verwiesen sei auf die Darstellung bei }) Darboux? 3, p. 193. 

9. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Gauss 63 ) 
(III D 1, 2, Nr. 34) stellte fur die zweiten Ableitungen der Koordinaten 
einer Flache Ausdriicke auf, die linear und homogen sind in den ersten 
Ableitungen und den Richtungskosinus der Nornaalen. Wir konnen sie 
kurz so schreiben: 
d*x _ dx . d x \ T Y * 

a 2 ~ a "a^ ~T~ a & "T" 

c z x "dx . 



Sind die Parameterlinien konjugiert, so verschwindet Jtf, und die 

61) v. Lilienfhal , die untcr 55) zitierte Schrift p. 15; ibid. p. 16 die ent- 
sprechende Darstellung des zweiten Differentialparameters. Vgl. das zitierte 
Werk von Cesaro, im Original p. 165, deutsche Ausgabe p. 210. 

62) Tiber Kurven und Flachen, Leipzig 1868, p. 29. 

63) Disquisit. 11. 



128 HI D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

drei Koordinaten x, y, z sind partikulare Integrate einer Differential- 
gleichung von der Form: 



sind aber die Kurven v = const. Haupttangentenkurven, so ver- 
schwindet L, und x, y, z sind partikulare Integrale einer Differential- 
gleichung von der Form: 



, , , 

(2) 35- + m Q h w -5- == u. 

tt S 0M d 

In eine dieser Forrnen kann man aber die allgemeinere Differential- 
gleichung : 

cSJ + ^K + .B j 

Cp* Get Off 



( 3 ) x+ 

* 



stets transformieren 64 ). Die Gleichung ihrer Charakteristiken ist nam- 
lich (HA7c, Nr. 2): 

JL^^ 2 Bdadp + Cda 2 = 0. 

Zerfallt die linke Seite dieser Gleichung in zwei von einander ver- 
scliiedene Faktoren und fiihrt man deren Integrale u = y(a, (), 
v = ii>(a, /3) als neue Veranderliche ein ; so nimmt die Gleichung (3) 
die Gestalt (1) an; in entsprechender Weise findet sich die Gestalt (2), 
wenn die linke Seite der Gleicbung der Charakteristiken ein Quadrat 
ist. Man kann daher den Satz aussprechen: ,,Geniigen die drei Flachen- 
koordinaten einer Gleichung von der Form (3), so bestimmen die 
Charakteristiken der Gleichung entweder ein System konjugierter Linien 
oder eine Schar von Haupttangentenkurven." Denkt man sich x t y, 8 
als Funktionen von a und |8 gegeben und sucht eine Gleichung von 
der Form (3) zu bestimmen, der diese Funktionen gemigen, so gelingt, 
da die Anzahl der wesentlichen Koeffizienten in (3) gleich vier ist 
die Bestimmung erst durch Hinzunahme einer weiteren Funktion von, 
x, y, z, die als viertes partikulares Integral anzusehen ist. Auf diese 
Weise gehort zu jeder Funktion von x, y, z ein konjugiertes System 
auf der Flache. Nimmt man diese Funktion gleich z 2 + f + 2 2 , so 
erhalt man das System der Krummungslinien. 

Ein ahnliches Ergebnis findet sich fur die Richtungskosinus 
X, F, Z der Flachennormalen und den Abstand der entsprechen- 
den Tangentialebene vom Anfangspunkt der Koordinaten. Die Grossen 
X, Y, Z geniigen stets Differentialgleichungen von der Form: 

+-++ . ^+^+* tf+< -- 

G4) ,,Dar6<wz u 1, p. 133, p. 118, p. 240; vgl. auch p. 234. 



0. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 129 

Sind die Parameterlinien konjugiert oder besteht die Schar v = const, 
derselben aus Haupttangentenkurven, so geniigt die Grosse | = ZxX 
ebenfalls der ersten oder zweiten dieser Gleichungen. Man kann also 
hinsichtlich der Funktionen X, Y, Z, % einen entsprechenden Satz wie 
vorhin fur x, y, g aufstellen, wenn man nur statt (3) die allgemeinere 
Gleichun : 



benutzt. 

Setzen wir entsprechend der vorhin angewandten Bezeichnungs- 



weise: 



^t__, dx 

fin* "31 %.. T~ 



so ist im allgemeinen Fall der Zusammenhang zwischen den Grossen ^ 
und b ift ziemlich verwickelt, nur wenn die Parameterlinien aus Haupt 
tangentenkurven bestehen, finden sich einfache Beziehungen 65 ). Im 
Besonderen hat man hier: 



21 

21 



cu 



Somit ist 22 fjftt -f 21 ^ v ein vollstandiges Diflferential und ebenso 
& 22 ^ + & 21 ^.66) Sind die Grossen X, Y, Z als Funktionen von 
u und v gegeben und stellt sich der Ausdruck 6 22 du + b n dv als 
exaktes Differential heraus, so sind die Parameterlinien auf der Ein- 
heitskugel die spharischen Bilder der Haupttangentenkurven einer 
Flache, die sich mittels Quadraturen bestimmen lasst 67 ). 

Die Ausdriicke der ersten Ableitungen der Koordinaten durch 
die Grossen X, Y, Z sind mit Hulfe der Gleichungen: 



leicht zu finden (III D 1, 2, Nr.34). Fallen die Parameterlinien mit 
den Haupttangentenkurven zusammen, so erhalt man: 



dx = V 



65) ,,Biawhi" 64. 

66) C. Guicliard, Ann. 60. norm. (3) 6 (1889), p. 339; ,,Darboux" 4, p. 33. 

67) U. Dini, Ann. di mat. (2) 4 (187071), p. 183. 

Encyklop. d. math. Wissensch. m 3. 9 



130 HI D 3. E. v. LilicntJial Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 
Hieran kniipfte A. Lelieuvre folgende Bemerkung 68 ). Setzt man: 

VI = V 

so entsteht: 



Die Integrabilitatsbedingungen (II A 2, Nr. 43) der so fiir <te, <ty, dz 
gefundenen Differentialformen nebmen die Gestalt an: 



dudv dudv dudv 



d. h. die Grossen v sind partikulare Integrale einer Differential- 
gleicbung von der Form: 



Kennt man umgekehrt drei partikulare Integrale einer solchen 
Differentialgleichung, so kann man zunacbst die Ausdriicke: 



bilden und erbalt dann durcb Quadrature!! die Koordinaten einer 
Flacbe, auf der die Parameterlinien Haupttangentenkurven sind. 
E. Goursat 69 ) zeigte einen Weg, auf dem man von den LeHeuvre schen 
Formeb ausgebend die Koordinaten beliebig vieler Flachen als solcbe 
Funktionen der Parameter der Haupttangentenkurven darstellen kann, 
die kein Integratkmszeicben entbalten. 

10. Kinematische Gesichtspunkte (IV 3, Nr. 1, 1821). Wir 
haben bier zunacbst die geometriscb gebaltenen Ausfiihrungen von 
E. Lamarle) und A. Mannheim 11 } zu erwahnen, von denen die 
ersteren auf der Kinematik der Geraden, die letzteren auf der Kine- 
matik eines starren, vier Bedingungen unterworfenen Systems beruben. 
Eingebender woUen wir den Standpunkt von Beltrami 12 ) und Darboux 

darlegen. 

Wir denken uns eine einfacb unendliche Kurvenscbar (5) auf der 
Flacbe, die durch eine endliche Gleichung von der Form <p(u,v) = const. 
oder durcb eine Differentialgleicbung von der Form: 

68) Darboux, Bull. sc. math. (2) 12 (1888), p. 126; t ,BianchP 68; ,,Dor- 
loux" 4, p. 25. Vgl. die Anwendung auf infinit. Deformation von Flachen, I] D 6 a, 

Nr. 32. 

69) Par. soc. math. Bull. 24 (1896), p. 43. 

70) Das unter 58) zitierte Werk, p. 418. 

71) Cours de geometric descriptive, Paris 1886, p. 294 ff., woselbst zahl- 
reiche Litteraturangaben ; Principes et developments de g^om^trie cin^matique, 
Paris 1894, p. 141 ff. 

72) Giorn. di mat. 10 (1872), p. 109. 



10. Kinematische Gesichtspunkte. 131 

fi ( u t v ) du -f- fz (w, v) dv = 

festgelegt sei und betrachten ausserdem die Schar (27) ihrer senk- 
rechten Durchdringungskurven. Im Punkte (P) der Flache kreuzen 
sich zwei Einzelkurven beider Scharen und ihre Tangenten bilden 
mit der Flacbennormalen ein rechtwinkliges Dreikant. Die Richtungs- 
kosinus der drei Kanten sind in der unter Nr. 8 erklarten Bezeich- 
nungs weise : 

dx dy dz dx dy dz ~Y v 7 

~di> Js> rfs ~ds> de do > 

Diese Kanten uebmen wir zu Achsen eines neuen, beweglicben Koor- 
dinatensystems und nennen sie der Reihe nacb die x -, y -, /-Achse. 
Durchlauffc der Punkt (P) eine Flachenkurve, so bewegt sicb mit ibm 
das fraglicbe Dreikant und zwar kann fiir einen unendlich kleinen 
Zeitraum diese Bewegung aufgefasst werden 1) als eine Schraubung, 
d. b. Drehung um eine bestimmte Acbse und Fortschreitungsbewegung 
(Translation) parallel zu ibr (Seltrami scher Standpunkt), oder 2) als 
eine Fortscbreitungsbewegung in einer von (P) ausgebenden Tan- 
gentialricbtung der Flacbe und eine Drehung um eine durcb (P) 
gebende Achse (Darboux scher Standpunkt). Dabei ist bekanntlicb 
die unter 1) auftretende Scbraubungsacbse parallel der unter 2) ge- 
dacbten Drebungsacbse und die Grosse der Drebung ist in beiden Fallen 
dieselbe. Beltrami bestimmt die Ricbtungskosinus der Scbraubungs 
acbse im System der # -/-/-Koordinaten und zeigt fiir eine Verriickung 
des Punktes (P) in der # -Acbse, dass diese Verriickung auf einer 
Krummungslinie oder Haupttangentenkurve erfolgt, je nacbdem die 
Scbraubungsacbse zur x - oder zur i/ -Achse senkrecht ist. Zieht man 
aucb die iibrigen von Beltrami nicbt beriicksicbtigten YeiTiickungen 
des Dreikants in Betracbt, so erhalt man eine einfacb unendlicbe An- 
zabl von Scbraubungsacbsen, die ein Cylindroid bilden 73 ). Hier zeigt 
sich, dass die Verriickung des Punktes (P) stets in einer Kriimmungs- 
linie erfolgt, wenn die Schraubungsachse senkrecht zur Verriickungs- 
richtung liegt. Die entsprechenden Scbraubungen sind die einzigen, 
die sich auf blosse Drebungen beschranken. Erfolgt die Verriickung 
auf der zu E i (oder J? 2 ) gehorenden Kriimmungslmie, so trifft die ent- 
sprecbende Schraubungsachse den von (P) verschiedenen Endpunkt von 
jRj (oder jR 2 ). Die Verriickung erfolgt auf einer Haupttangenten 
kurve, wenn die Schraubungsachse senkrecht ist zu der auf der Ver- 
riickungsricbtung senkrecbten Flachentangente. 

Darboux bezieht ebenfalls die Fortschreitungs- und Drehungs- 

73) v, Lilienthal, Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 
11 (1902), p. 38. 



132 HI D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

bewegung auf das System der # -?/ -/- Achsen. Dabei werden die Kom- 
ponenten der Fortschreitung durch die Gleiehungen gegeben 74 ): 



und die Komponenten der Drehung durch die Gleichungen: 



dx ^ dx j , j 

-j d-r- = rdu -+ r.dv. 
da ds 

Die Grossen %du, v]du, pdu, qdu, rdu oder ^dv, rjidv, p^dv, 
q^dv, r^dv haben also die Bedeutung der Translations- und Rotations- 
komponenten bei einer auf einer Kurve v = const, oder u = const. 
vor sich gehenden Verriickung. Ein mit dem Dreikant fest ver- 
bundener Punkt, dessen Koordinaten hinsichtlich der drei Kanten 
x y , seien, erfahrt durch die unendlich kleine Bewegung des Drei- 
kants eine Verriickung ; deren Komponenten hinsichtlich der drei 
Kanten durch die Ausdriicke 



+ (qdu + q^dv}z (rdu -\- r^ 
-\- (r du -}- r^dv) x (pdu +p l dv)g, 
(pdu -\- Pidv) y (q du + 2i dv) x 

bestimmt werden. Die Gleichungen der bisher betracnteten Kurven- 
systeme auf einer Flache ergeben sich jetzt folgendermassen. Die der 
Tangente (dx, dy, dz] konjugierte Tangente ist die Schnittlinie der 
beiden x , /-Ebenen, die zu den Punkten (x, y, 0) und (x -\-dx,y + dy, 
z-\-dz] gehoren. Die Punkte der konjugierten Tangente miissen 
also Verruckungen erfahren, die in der zu (P) gehorenden # ,2/ -Ebene 

liegen, d. h.: 

(p du + q : dv) y (q du -}- q^dv) x = 

ist die Gleichung der konjugierten Tangente. Fallt letztere mit der 
durch die Verriickung von (P) bestimmten Tangente zusammen, so 
ist diese Verriickung auf einer Haupttangente erfolgt, d. h. 

(pdu+pidv)(ridu + viidv) (qdu + q^dv)(^du -j- ^dv) = 

ist die Gleichung der Haupttangentenkurven. 

Die Gleichung der Kriimmungslinien ergiebt sich hier von zwei 
Gesichtspunkten aus. Einmal bilden die /-Kanten langs einer 
Kriimmungslinie eine abwickelbare Flache. Bei einer Verriickung 



74) ,,Darboux" 2, p. 347 ff. 



10. Kinematische Gesichtspunkte. 11. Historisches iiber geodat. Kriimmung. 133 

von (P) auf einer Kriimmungslinie muss also ein Punkt der /-Kante 

in dieser Kante verschoben werden, fur ihn ist somit x = y = und : 

du -f- Ij dv -J- (g dw -f- ^ 0(0) / = 0, 

ydu -{-^dv (pdu -f- p^dvjz 0. 

Eliminiert man aus diesen Beziehungen /, so folgt die Gleichung 
der Krummungslinien, eliminiert man du und dv, so ergiebt sich die 
Gleichung der Hauptkriimmungshalbmesser. Zweitens kann man fragen, 
fiir welche Yerriickungen des Punktes (P) sich Punkte (x, y , 0*} finden, 
die in Ruhe bleiben. Als Bedingung des jetzt verlangten gleichzeitigen 
Verschwindens der Verriickungskomponenten erscheint ebenfalls die 
Gleichung der Kriimmungslinien. 

III. Oeodatische Kriimmung. 

11. Historisches. Die erste veroffentlichte Betrachtung des heut- 
zutage mit dem Namen ,,geoddtische Kriimmung einer Flaclienkurve" 
belegten Ausdrucks diirffce von F. Minding^ herriihren, der 1830 
den folgenden Satz aufstellte: ,,Langs der Kurven, die auf einer Flache 
bei kiirzestem Umfang ein Flachensttick von gegebenem Flacheninhalt 

begrenzen, andert sich die Grosse ^ nicht, wo R den Halbmesser 

der ersten Kriimmung der Kurve und i den Winkel bedeutet, den 
die Schmiegungsebene der Kurve mit der Tangentialebene der Flache 
einschliesst." Kurz darauf wies Minding} nach, dafs jener Ausdruck 
sich allein durch die Grossen E, F, G und ihre ersten Ableitungen so- 
wie durch die Differential du, dv, d*u, d?v darstellen lasst. Spater 
zeigte C%. Delaunay 11 ), dass die Frage nach den Flachenkurven, die 
bei gegebener Lange ein moglichst grosses Flachenstuck begrenzen, 

ebenfalls auf die Kurven fiihrt, fiir die der Ausdruck konstant 

v 

ist. 0. Bonnet 18 ^) nannte jenen Ausdruck die ,,geodatisclie Kriimmung" 
R. Liouville beschaftigt sich in der ersten und zweiten Note zur 
funften Auflage von Monge s Application d analyse a la geometric 
(Paris 1850) ausfuhrlich mit der geodatischen Krummung und ebenso 
J. Sertrand im Traite de calcul differentiel et integral, 1, Paris 1862, 
p. 736. Vgl. ,,Darboux" 3, p. 113. 



75) J. f. Math. 5 (1830), p. 297. Vgl. HID 6 a, Nr. 1, Fussn. 2. 

76) Ib. 6 (1830), p. 159. Vgl. HID 6 a, Nr. 2, 15. 

77) J. de math. (1) 8 (1843), p. 241. Vgl. E. Catalan, J. e c. polyt. 17 
(1843), p. 151; 0. Bonnet, ib. 19 (1848), p. 44; ,,Darboux" 3, p. 151. 

78) J. ec. polyt. 19 (1848), p. 43. 



134 in D 3. JR. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

In dem vor kurzem (1900) herausgegebenen Nachlass von Gauss 
findet sich p. 387 eine mit der Minding schen gleiche Definition der 
geodatischen Krummung, die Gauss ,,Seitenkrtimmung" nennt. Wir 
bezeichnen sie fiir den Augenblick mit Kg. Von der Seite 389 der 
Gauss schen Arbeit an ist aber unter ;; Seitenkriimmung" das iiber 
eine Flachenkurve hinerstreckte Integral jKgds zu verstehen, denn 
der von Gauss fiir das ^Differential der Seitenkriimmung" gefundene 
Ausdruck stimmt bis auf den Faktor ds mit dem von Minding fiir 

COS t 

g- gegebenen uberein. Es liegt daher die Vernmtung nahe, dass 

Gauss den Bonnefscben, weiter unten (Nr. 15) erwahnten, Satz iiber die 
curvatura integra eines von beliebigen Flachenkurven begrenzten 
Polygons schon gekannt hat. 

12. Dcfinitionen und Ausdriickc fur die geodatische Krum- 
mung. (Vgl. Nr. 15.) Auschauliche Definitionen der geodatischen 
Kriimmung sind die folgenden: 

1) Betrachten wir eine Flachenkurve und in ihr einen Punkt (P). 
Die zu (P) gehorende Kriimmungsachse (III D 1, 2, Nr. 29) der Kurve 
schneidet die zu (P) gehorende Tangentialebene der Flache im Mittel- 
punkte der zu (P) gehorenden geodatischen Krummung der Kurve; 
der Abstand des Mittelpunkts vom Punkte (P) heisst der Halbmesser 
der geodatischen Krummung. 

2) Es sei (Pj) ein zweiter Punkt der Kurve, (T ~) und (T/) seien 
diejenigen Normalen der Kurve in (P) und (Pj), die zugleich Flachen- 
tangenten sind. Die senkrechte Projektion von (7 1 /) auf die durch 
(T ) und die Sehne (PP X ) gelegte Ebene schneide (T) im Punkte (S). 
Lasst man nun den Punkt (PJ sich dem Punkte (P) immer mehr 
nahern, so riickt (S) in den Mittelpunkt der zu (P) gehorenden geo 
datischen Krummung der Kurve 79 ). 

3) Projiziert man die Flachenkurve senkrecht auf die zu (P) ge 
horende Tangentialebene der Flache, so ist die Kriimmung der Pro 
jektion gleich der geodatischen Krummung der Kurve. 

Ausdruoke fur die geodatische Krummung. Der oben gekenn- 
zeichnete Minding sche Ausdruck ist zu gross, um hier Platz zu 
finden 80 ); eine Vereinfachung des Ausdrucks stellt die Bonnet sche 
Formel dar. Ist 9) (u, v) = const, die Gleichung der betrachteten 

Flachenkurve, so besteht fiir ihre geodatische Krummung ^-, falls: 



79) E. v. Lilienthal, Math. Ann. 42 (1893), p. 506; ,,Darft(Mc" 3, p. 117. 

80) Vgl. Beltrami, Giorn. eli mat. 3 (1865), p. 86. 



12. Definitionen und Ausdrucke fiir die geodatische Kriimmung. 135 

r\\ T / Tl /v ty\ f\ T~f Cp C (p i /"/ [0 ^P\ 

r V v ^/ C % V \0 % / 

die Gleicbung 81 ) : 

1 1 Id dv ~ tdu , c__ cu dv_ I 

.. \ o .. n> flj 



Der Beltrami sche Ausdruck ist der folgende 82 ): 

4- 



J. Liouville fuhrte den Winkel (*) ein, den die betrachtete Flachen- 
kurve mit der Parameterlinie u = const. bildet 7 wobei die Parameter- 
linien als rechtwinklig angenommen werden. Sind K und K% die 
geodatischen Krummungshalbmesser der Linien v = const, und u = 

const., so ist: 

1 di , cos i , sin i 

B" = " "ds E^ ~K^ 

Diese Gleichung findet sich in der Note II p. 574 der Liouville schen 
Ausgabe von Mongers Application. Eine Erweiterung der Formel fiir 
beliebige Parameterlinien gab Liouville in den Par. C. R. 32 (1851), 
p. 533, wahrend im folgenden Bande der C. R. (1851), p. 89 Sonnet die 
Liouville schen Formeln aus seinen friiheren ableitet 83 ). An den Liou- 
wi Zfe schen Ausdruck bat G. Eicci S3a> ) eine Reihe von Folgerungen 
gekniipft, von denen wir bier die folgende bervorheben: Die geoda- 
tiscbe Kriimmung einer Scbar isogonaler Trajektorien der Parameter 
linien sei -^r, ibre Bogenlange s; fiir die Orthogonalschar der betrach- 

JtC 

teten Schar sei die geodatische Kriimmung -^- , die Bogenlange 6. 
Dann ist in ein und demselben Flacbenpunkt, wie man auch die erste 
Scbar wahlen moge, der Ausdruck: 



_ 

ds da 

konstant und wird von Eicci die Anisofhermie des Biischels der iso- 
gonalen Trajektorien der Parameterlinien genannt. 

Hat man es mit einer einzelnen Flachenkurve zu tbun, so sebe 
man ibre Koordinaten als Funktionen ibrer Bogenlange s an. Dann 

folgt: JL V/v^f_ 7 

E ~~ ^- \ ds ds 



81) Par. C. R. 42 (1856), p. 1137; J. de math. (2) 5 (1860), p. 166. 

82) Giorn. di mat. 3 (1865), p. 83. 

83) J. dc. polyt. 19 (1848), p. 43. 

83 ) Die unter 49) zitierten Lezioni, p. 214. 



136 HI D 3. E. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

1st aber die Kurve als Individuum einer Kurvenschar betrachtet, so 
kennt man damit auch die Schar der senkrechten Durchdringungs- 
kurven. Jetzt wird unter Benutzung der oben definierten Ableitungen 
nach Bogenlangen: 

__ "S^J dx_ d*x 

E ~~ ^-f ~da ~ds* 



d*x i i j d dx 

wo -j-j- soviel bedeutet wie - -= 
ds z ds ds 

Eiu anderer Weg, der zu ubersichtlichen Ausdriicken fur die 
geodatische Kriimmung fiihrt, 1st der folgende. Man nehme irgend 
zwei einfach unendliche Kurvenscharen auf der Flache, die sich unter 
dem Winkel <p schneiden niogen. Mit s und S 2 bezeichne man ibre 
Bogenlangen, mit <s l und <? 2 die ihrer orthogonalen Trajektorien. 
Setzt man nun: 

rlnr _ dx Q I dx Q dx Q , . dx , 

-d^ + 3^ = 3^ -Hjfij^i 

so sind 5j, $ 2 , /S x , /S 8 lineare Differentialformen von du und (?v, die 
die integrierenden Faktoren A 15 A 2 , A/, A 2 besitzen mogen. Bezeichnen 

wir nun mit -^- und -^- die geodatischen Kriimmungen der durch 
die Differentialgleichungen ^ 2 = und S 1 = festgelegten Kurven, 
mit --> und -^ die ihrer orthogonalen Trajektorien, so hat man 84 ): 

_L. - A I 0ff JiL J_. . d i oc _V_ 
J^ dffj sin 9 .flfj rf ffj ^Ogiay 

d * I. Id L 

^, = -= log . l 

b 



~v~ -j -r- , 

AJ ds l 3 sin qp ; 

Endlich lasst sich fiir die geodatische Kriimmung einer Kurve ein 
Ausdruck aufstellen, der dem Euler schen fiir die Normalkriimmung 
entspricht. Denken wir uns wieder das bewegliche System der 
x, y, ^ -Achsen. Jede unendlich kleine Verriickung des Anfangspunkts 
(P) dieses Systems bewirkt eine unendlich kleine Verriickung des 
Dreikants, die als eine Schraubenbewegung aufgefasst werden kann. 
Einer auf der zu R t (jR 2 ) gehorenden Krummungslinie 1 erfolgenden 
Verriickung des Punktes (P) entspricht, wie wir in Nr. 10 sahen, eine 
Schraubungsachse, die durch den Endpunkt von ^(R^) geht und die 
Tangente der zu E 2 (R l ) gehorenden Kriimmungslmie in einem Punkte 
schneidet, der mit (P t ) bez. (P 2 ) bezeichnet werden moge. Die durch 
(Pj) und (P 2 ) gehende Gerade enthalt die Mittelpunkte der geodati 
schen Kriimmungen -^ und ^ der Kurven, deren Tangenten mit der 
x- bez. ?/ -Achse zusammenfallen. Sie ist zugleich der Ort derjenigen 
84) v. Lilienthal, Math. Ann. 42 (1893), p. 514. 



12. Ausdrucke fiir d. geodat. Kriimmung. 13. Satze ub. d. geodat. Kriimmung. 137 

Punkte der Tangentialebene, die durch die Verriickungen des Dreikants 
senkrecht zur Tangentialebene verschoben werden. Bezeichnet man nun 
die mit geeignetem Vorzeichen versehenen Masszahlen der Strecken 
PP X und PP 2 mit l bez. Z 2 , so bestehen die Gleichungen 85 ): 

1 cos fp sin qp 1 sin qo . cos qp 

J^ = ~^~ ~V K* = ~T~ ~T~ 

Bonnet und Liouville wandten die geodatische Kriimmung zur Ver- 
einfachung der Darstellung des Gawss schen Kriimmungsmasses an. 
Werden die geodatischen Kriimmungen der Parameterlinien u = const., 
v = const, mit -??- und r=- bezeichnet und ist <p der Winkel, unter 

K u K * 

dem sich die Parameterlinien schneiden, so findet Liouville die Glei- 
chung 86 ): 



__ 

S^St du dv ~"~ cv 

13. Satze iiber die geodatische Krummung. 1) Hinsichtlich der 
durch einen Flachenpunkt gehenden ebenen Schnitte, die von ihrem 
Krummungskreis hyperoskuliert werden (Nr. 39, III D 1, 2, Nr. 38) - 
bei Ausschluss der Normalschnitte (Nr. 32) und des Tangentialschnitts 
- gab A. Eibaucour folgende Satze 87 ). Man bezeichne die geodatische 
Krummung eines solchen Schnitts mit T. Die in dem Schnitt liegende 
Plachentangente ist zugleich Tangente einer Flachenkurve von kon- 
stanter Normalkriimmung. Die geodatische Krummung dieser Kurve 
sei T r Dann ist 3T==2T 1 . Die Mittelpunkte der geodatischen 
Kriimmungen aller durch denselben Flachenpunkt (P) gehender hyper- 
oskulierter Schnitte liegen in der Tangentialebene auf einer Kurve 
dritter Ordnung, welche in (P) die beiden Kriimmungslinien beruhrt, 
und deren drei Inflexionspunkte auf der Geraden liegen, welche die 
geodatischen Kriimmungsmittelpunkte der Kriimmungslinien enthalt. 

2) In Betreff der oben erklarten Schraubungsachsen gilt der Satz, 
dass eine solche nur dann der Tangentialebene parallel ist, wenn sie 
zu der Tangente gehort, die zur Verbindungslinie der Mittelpunkte 

der geodatischen Krummungen -^- und -^- senkrecht ist. Hire Pro- 

"i ./i 2 

jektion auf die Tangentialebene f allt dann zusammen mit der der frag- 
lichen Tangente konjugierten Tangente. 

85) v. Lilienihal, Jahresb. der deutschen Mathem.-Ver. 11 (1902), p. 41. 

86) Par. C. E. 32 (1851), p. 533; J. e c. polyt. 19 (1848), p. 53; Par. C. E. 
33 (1851), p. 91. Vgl. Beltrami, Giorn. di mat. 3 (1865), p. 238, 240. 

87) Par. C. R. 80 (1875), p. 642. Vgl. ibid. A. Mannheim, p. 725; E. La- 
guerre, p. 822; A. Mannheim, ibid. 80 (1876), p. 554; E. Cosserat, Toulouse, Me m. 
(9) 7 (1895), p. 377. 



138 IIID3. JR. v. Lilienthal. Die auf einer Fl ache gezogenen Kurven. 

3) Hinsichtlich einer einfach unendlichen Schar von Flachen- 
kurven kann man nach dem Ort der Punkte fragen, in denen eine 
Einzelkurve der Schar von ihrer benachbarten die kiirzeste oder 
grosste Entfernung hat. Man nennt den fraglichen Ort die n Strik- 
tionslinic" der Schar. Nach F. BrioscM 8 *} leitete zuerst P. Maggi, 
sodann A. Bordoni^} die Gleichung der Striktionslinie her. Nehmen 
wir die Kurvenschar als die Schar der Parameterlinien v = const., 
so ist die Gleichung der Striktionslinie: 



E F ,_ 

CU OU OU 

Hier gilt der Beltrami sche Satz: Die Striktionslinie einer Kurven 
schar ist der Ort der Punkte, in denen die geodatische Kriimmung 
der Kurven der Orthogonalschar verschwindet 90 ). 

4) Besteht zwischen den geodatischen Kriimmungen -^ und -=~- 

Aj A s 

zweier Orthogonalscharen eine Gleichung, so sind die Verbindungs- 
linien der Mittelpunkte jener Krummungen dieNormalen einer Flache 91 ). 

5) Ein Satz fiber die geodatische Kriimmung des spharischen 
Bildes einer auf einer positiv gekriimmten Flache gezogenen Kurve 
ist von Sonnet aufgestellt 92 ). Mit ds sei das Bogenelement der Kurve, 

mit -? ihre geodatische Kriimmung, mit -~- und -^ seien die geoda 

tischen Krummungen der Kriimmungslinien bezeichnet, wahrend die 
Kurve die zu R l gehorende Kriimmungslinie unter dem Winkel a, 
schneiden moge. Das spharische Bild der Kurve besitze das Bogen 

element der, die geodatische Kriimmung -^- , und schneide das spha 

rische Bild der zu E l gehorenden Kriimmungslinie unter dem Winkel /3. 
Die geodatischen Kriimmungen der spharischen Bilder der Kriimmungs 

linien seien -&-? und -^--. Dann bestehen die Gleichungen: 
A t A 2 

ds-coscc da- cos |3 ds-sina __ da-sin |3 

~~KT~ EI ~^~ K I 

Mit Hiilfe derselben zeigt Bonnet, dass das iiber eine geschlossene 

ds 
von Ecken freie Flachenkurve hinerstreckte Integral von -^ gleich ist 

dem iiber das spharische Bild der Kurve erstreckten Integral von -^ 



88) Mailand, Ist. Lombardo Giorn. 9 (1856), p. 400. 

89) Mailand, Ist. Lombardo Mem. 5 (1866), p. 265. 

90) Beltrami, Giorn. di mat. 3 (1865), p. 231. 

91) Th. Caronet, Par. C. R. 115 (1892), p. 589. 

92) J. <c. polyt. 19 (1848), p. 127, 128. 



13. Satze fiber geodatische Krummung. 14. Geodatische und kurzeste Linien. 139 

Tiber das Verhalten der geodatischen Krummung gegeniiber Punkt- 
transformationen einer Fliiche siehe jR. Mehmke, Zeitschr. Math. Phys. 
37 (1892), p. 186, uber die Bestimmung von Flachenkurven mit vorge- 
schriebener geodatischer Krummung siehe } ,Darboux" 3, p. 144, iiber 
die geodatische Krummung der spharischen Bilder der Flachenkurven 
siehe v. Lilienthal, Math. Ann. 42 (1893), p. 522. 

IV. Geodatische Linien. 

14. Geodatische und kiirzeste Linien. Die Lehre von den geo 
datischen Linien entwickelte sich aus der 1687 von Joh. 1. Bernoulli 93 ) 
gestellten Aufgabe, zwischen zwei auf einer Flache gegebenen Punkten 
die ganz in der Flache liegende kurzeste Verbindung herzustellen, 
mit anderen Worten, die Gestalt eines zwischen den beiden Punkten 
auf der Flache gespannten Fadens zu ermitteln. Schon J. Bernoulli 
fand die wesentlichste Eigenschaft der kurzesten Linien, dass namlich 
in jedem ihrer Punkte ihre Schmiegungsebene zur Tangentialebene 
der Flache senkrecht steht. Zieht man aber auf einer Flache von 
einem Punkte (P) aus eine Linie mit der ebengenannten Eigenschaft, 
so zeigt schon das Beispiel der Kugel, dass auf der Linie ein Punkt 
(Pi) liegen kann von der Art, dass die Linie wohl die kurzeste Ver 
bindung von (P) mit den auf ihr zwischen (P) und (P 1 ) liegenden 
Punkten, nicht aber mit den liber (P A ) hinaus liegenden Punkten dar- 
stellt. Wir nennen daher geodatische Linie eine solche, deren Schmie 
gungsebene stets senkrecht zur Tangentialebene der Flache ist, deren 
geodatische Krummung also durchweg verschwindet. Hingegen werde 
eine von einem Fliichenpunkt (P) ausgehende geodatische Linie nur 
insoweit Mrzeste Linie genannt, als sie die kurzeste auf der Flache 
mogliche Verbindung zwischen (P) und den von ihr durchzogenen 
Punkten darstellt, falls nur solche Verbindungen beriicksichtigt werden, 
die der betrachteten geodatischen Linie hinreichend benachbart sind. 
Dass jede von einem Punkt ausgehende geodatische Linie innerhalb 
eines gewissen den Punkt umgebenden Bereichs zugleich kurzeste ist, 
zeigt Darboux (Le9ons 2, p. 408). C. Jacobi sprach ohne Beweis den 
Satz aus, dass auf einer negativ gekrummten Flache eine geodatische 
Linie nie aufhore, kurzeste zu sein. Beweise fiir diesen Satz gaben 
Bonnet 94 ), E. B. Christoffel 95 ), H. v. Mangoldt ge ). Bonnet zeigte 97 ), dass 

93) P. Stdckel, Bemerkungen zur Geschichte der geodatischen Linien, 
Leipz. Ber. 1893, p. 444. 

94) Par. C. E. 40 (1855), p. 1311 u. 41 (1855), p. 32. 

95) Berlin, Abhandl. 1868, p. 151. 96) J. f. Math. 91 (1881), p. 25. 
97) Par. C. E. 40 (1855), p. 1311; ,,Darboux" 3, p. 103. 



140 III D 3. B. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

wenn langs einer geodatischen Linie das Produkt der Hauptkrummungs- 
radien E l} E 2 positiv und kleiner wie a 2 1st, die Linie in einem die 
Grosse it a iibersteigenden Intervall nicht mehr eine kiirzeste Linie 
sein kann. 

v. Mangoldt unterscheidet (a. a. 0.) auf einer Flache Punkte erster 
und zweiter Art, je nachdem die samtlichen von dem Punkte aus- 
gehenden geodatischen Linien bestandig kiirzeste Linien bleiben oder 
nicht. Die Einhiillenden derjenigen von einem Punkt zweiter Art 
ausgehenden geodatischen Linien, die mit der Zeit aufhoren kiirzeste 
zu sein, sind von A. v. Braunmulil namentlich auf dem Ellipsoid 
untersucht 98 ). 

Fur eine durchweg positiv gekriimmte Flache zeigte H. v. Mangoldt 
a. a. 0., dass auf ihr Punkte erster Art nur vorkommen konnen, wenn 
ihre Gesamtkriimmung kleiner wie die halbe Einheitskugel ist; ferner, 
dass zutreffenden Falls diese Punkte entweder vereinzelt auftreten, wie 
auf dem elliptischen Paraboloid, oder einen endlichen Bereich auf der 
Flache ausfiillen, wahrend der iibrige Teil der Flache nur Punkte 
zweiter Art enthalt, wie es beim zweischaligen Hyperboloid stattfindet. 

Die Aufgabe, zwischen zwei gegebenen Flachenpunkten die kiirzeste 
ganz in der Flache liegende Verbindung aufzufinden 98a ), lasst unter 
Umstanden unendlich viele Losungen zu. Es kommt hier einmal auf 
den Typus der Verbindungslinie an, wobei diejenigen Verbindungs- 
linien als demselben Typus angehorend betrachtet werden, die durch 
stetige Deformation in einander iibergefuhrt werden konnen, und dann 
auf den Umstand, ob neben den kontinuierlichen auch diskontinuier- 
liche Losungen zugelassen werden 98b ). Die geodatischen Linien eines 
Cylinders, d. h. die isogonalen Trajektorien seiner Erzeugenden liefern 
hier das einfachste Beispiel. Dieselbe Eigenart wie die vorige hat 
die Aufgabe, die kiirzeste ganz in der Flache liegende Verbindung 
zwischen einem Punkt und einer geschlossenen Kurve aufzufinden 980 ), 
wo sich dann zeigt, dass diese Kurve von der fraglichen Verbindungs 
linie senkrecht getroffen wird. 

15. Eigenschaften geodatischer Linien. Bewegt sich ein Punkt 
ohne Reibung auf einer Flache, so beschreibt er eine geodatische Linie, 
wenn keine beschleunigende Kraft auf ihn wirkt, oder eine solche, 

98) Inaug.-Diss. Miinchen 1878 und Math. Ann. 14 (1878), p. 557 u. 20 
(1882), p. 557, auch Modellsammlung von M. Schilling, Halle a/S., Nr. 104108. 
Vgl. L. Kriiger, Inaug.-Dissert. Tubingen, Berlin 1883. 

98") ,,Darboux" 3, p. 86, 106; D.Hilbert, Jahresber. Math.-Ver. 8 (1900), p. 186. 

98 b ) A. Kneser, Lehrbuch der Variationsrechnung, Braunschweig 1900, p. 174. 

98) /. Hadamard, J. de math. (5) 3 (1897), p. 348. 



15. Eigenschaften geodatischer Linien. 141 

die eine von der Zeit freie Kraftefunktion U besitzt, fiir die A^ 
auf der Flache eine Funktion von U allein ist (A. Enneper, Gott. 
Nachr. 1869, p. 62). Im letzteren Fall gehort die Bahnkurve des 
Punktes zu den orthogonalen Trajektorien der Kurven U = const., 
welch letztere von A. de Saint- Germain Niveaulinien genannt werden 
(J. de math. (3) 2 (1876), p. 325. Vgl. P. StacM, Uber die Bewegung 
eines Punktes auf einer Flache. Inaug. Diss. Berlin 1885.) Es ordnen 
sich so die Untersuchungen fiber den Verlauf der geodatischen Linien 
den allgemeineren uber den Verlauf der Bahn eines bewegten Punktes 
unter. Fiir eine Flache von uberall positivem Kriimmungsmass zeigt 
J. Hadamard (J. de math. (5) 3 (1897), p. 331), dass auf ihr jede 
geschlossene geodatische Linie von jeder anderen geodatischen Linie 
unendlich oft geschnitten wird, falls man sich die letztere von einem 
Punkt durchlaufen denkt. Es konnen also geschlossene geodatische 
Linien, dei sich nicht schneiden, hier nicht auftreten. Fiir eine uberall 
negativ gekriimmte Flache zeigt Hadamard (J. de math. (5) 4 (1898), 
p. 27) unter weitgehenden Voraussetzungen iiber die Gestalt der Flache 
dass jedem Typus einer Verbindung zweier Punkte eine und nur eine 
geodatische Verbindung dieser Punkte entspricht; ferner, dass auch 
jedem Typus einer geschlossenen Kurve eine geschlossene geodatische 
Linie entspricht, wobei nur die Umringe um die sich ins Unendliche 
erstreckenden, aber einer bestimmten Richtung sich asymptotisch 
nahernden (rohrenformigen) Teile der Flache eine Ausnahme machen. 
So ist auf einer Flache von zweifachem Zusammenhang nur eine 
geschlossene geodatische Linie moglich. Ausser den geschlosseneu 
und den ins Unendliche verlaufenden geodatischen Linien werden von 
Hadamard noch solche unterschieden, die sich einer geschlossenen 
geodatischen Linie asymptotisch nahern oder die nach Annaherung 
an eine erste geschlossene geodatische Linie sich von ihr entfernen, 
um sich einer zweiten zu nahern u. s. f. Eine eingehende Unter- 
suchung des Verlaufs der geodatischen Linien auf den geradlinigen 
Flachen zweiter Ordnung gab J. Hadamard (Par. soc. math. Bull. 26 
(1898), p. 165). 

Aus dem Umstand, dass die Binormale einer geodatischen Linie 
senkrecht zur Flachentangente ist, ergibt sich die Differentialglei- 
chung der geodatischen Linien in der Form: 



X(dy tfz - dz d 2 y) + Y(dz d*x dx d*z) -f Z(dx d 2 y dy d*x) = 0. 

Sieht man hier x, y, z als Funktionen von u und v an und zudem 
langs einer geodatischen Linie v als eine Funktion von u, so folgt fiir v 
eine gewohnliche Diiferentialgleichung zweiter Ordnung von der Form: 



142 HI D 3. R. v. Lilienthal Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

v" = a + aj + a^v" 2 + 3 i> 3 , 9) 

d. h. v ist eine Funktion von u mit zwei Parametern. Es gibt daher auf 
einer Flache doppelt unendlich viele geodatische Linien. Eine einzelne 
ist durch die Forderung bestimmt, dass sie einen gegebenen Punkt 
in gegebener Eichtung durchziehen soil. Die geodatischen Linien, 
welche von ein und demselben Punkte (P) ausgehen oder ein und 
dieselbe Flachenkurve (L) senkrecht schneiden, bilden somit eine ein- 
fach unendliche Schar. In betreff solcher Scharen zeigte Gauss***), dass, 
wenn man von (P) oder von (L) aus auf den fraglichen geodatischen 
Linien sich gleiche Bogenliingen abgesteckt denkt, die Endpunkte 
dieser Bogen eine Kurve bilden, welche die Kurven der betrachteten 
Schar senkrecht schneidet. Durch diesen Satz wurde Gauss zur 
Einfuhrung der sogenannten geodatischen Polarkoordinaten gefiihrt, 
die sich folgendermassen festlegen lassen. Man nehme zu Parameter- 
linien die von einem beliebig gewahlten Punkte (P) ausgehenden 
geodatischen Linien (Polarradien) und ihre senkrechten Durch- 
dringungskurven (Polarlcreise ). Die von (P) aus gerechnete Bogenlange 
der geodatischen Linien nenne man p, den Winkel, den im Punkte (P) 
eine der geodatischen Linien mit einer bestimmten durch (P) gezogenen 
Flachentangente bildet, nenne man q. Fur diese Parameter nimmt 
das Quadrat des Linienelements der Flache die Form an: 

ds 2 = dp 2 -f- m 2 dq*, 

wo fur p = auch m = und ~ = 1 wird. Das Krummungs- 

mass wird durch den Ausdruck - - ~ geliefert, und die Gleichung 

der geodatischen Linien erhalt die Gestalt: 

dm , 
d = -8f d 9, 

wo -9- den Winkel bedeutet, unter dem die geodatische Linie die 
Parameterlinien q = const, schneidet 100 ). Mit Hiilfe der obigen Glei- 
chungsform der geodatischen Linien bewies Gauss fur ,ein auf einer 
Flache gelegenes aus geodatischen Linien gebildetes Dreieck (geo- 
datisches DreiecK) den Satz: Auf einer positiv gekriimmten Flache 
ist der Uberschuss der Winkelsumme eines geodatischen Dreiecks 
fiber 180, auf einer negativ gekriimmten Fliiche der Fehlbetrag der 

99) t)ber die Bedingung, unter der eine allgemeine Gleichung von dieser 
Form die Gleichung geodiitischer Linien ist, siehe E. Liouville, Par. C. R. 108 
(1889), p. 496. 

99 ft ) Disquisit. Nr. 15, 16. 

100) Disquisit. Nr. 19. 



16. Eigenschaften geodatischer Linien. 143 

Winkelsumme eines solchen Dreiecks an 180 gleich dem in Graden 
ausgedriickten Flacheninhalt des spharischen Bildes des Dreiecks 100a ). 
Bonnet verallgemeinerte den 6rUtss schen Satz dahin, dass auf einer 
positiv gekriimmten Flache die Gesamtkriimmung eines krummlinigen 
Dreiecks gleich ist dem Uberschuss seiner Winkelsumme liber zwei 
Rechte vermindert um das iiber die Begrenzung hinerstreckte Integral 
der geodatischen Kriimmung der Begrenzungslinie 101 ). Fur den Um- 
fang (/") und den Inhalt (J") eines Polarkreises gelten bei hinreichend 
kleinem Polarradius r die Bertrand schen Gleichungen 102 ) : 

nr * T 2 ytrt 

- ---- . J= nr* - ---- 



Neben dem System der geodatischen Polarkoordinaten betrachtet Gauss 
noch ein zweites System von Parameterlinien 103 ). Man ziehe nach 
Belieben die Kurve (L) auf der Flache, rechne ihre Bogenlange von 
einem willkurlich auf ihr festgelegten Punkte aus und bezeichne mit 
q eine irgendwie gewahlte Funktion dieser Bogenlange, mit p die von 
(Z/) aus gerechnete Bogenlange der zu (Z) senkrechten geodatischen 
Linien. Man kann beide Systeme von Parameterlinien durch die Aus- 
sage kennzeichnen, dass die Kurven q = const, geodatische Linien mit 
der Bogenlange p sind und von den Kurven p = const, senkrecht 
geschnitten werden. Den Zusammenhang dieser Parameter p, q mit 
den allgemeinen u und v stellen nach Gauss die Gleichungen dar: 



^P -tf8p\2q i-rjBp r 2p\dq 

75 -- f 5 I 5 = I -~ -- Or 5 I -x -- 

ov duj ov \ oi} cu/ cu 

Gauss benutzt dieselben zur Berechnung der Hypotenuse und der 
Winkel eines rechtwinkligen geodatischen Dreiecks mittelst Reihen- 
entwicklung. Die hierbei im 6rawss schen Text iiberlieferten Unrichtig- 
keiten sind in der deutschen Ausgabe der Disquisitiones von A. Wange- 
rm 104 ) aufgedeckt und beseitigt. 

Wenn die Kurven q const, eine Einhiillende besitzen ? werden 



100*) Disquisit. Nr. 20. Vgl. die Bemerkung bei ,,Darboux" 3, p. 138 uber 
nichtgeodiitische Linien, fiir die derselbe Satz gilt. 

101) J. e"c. polyt. 19 (1848), p. 131; 24 (1865), p. 214; vgl. ,,Darboux" 3, 
p. 126. G. Darboux, Ann. e"c. norm. (1) 1 (1870), p. 175; E. Beltrami, Ann. di 
mat. (2) 1 (1867), p. 361 = Opere Mat. 1, Mailand (1902), p. 349. Vgl. Ill D 6 a, 
Nr. 11, Fussn. 110. 

102) J. de math. (1)13 (1848), p. 82; Diguet ib. p. 86; vgl. G. Ossian Bonnet, 
Par. C. E. 97 (1883), p. 1360. 

103) Disquisit. Nr. 22. 

104) Ostwald s Klaasiker Nr. 5, 1889. Vgl. ,,Darloux" 3, p. 157. 



144 HI D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

die Kurven p const, auch die geodatischen Evolventen der Ein- 
hiillenden genannt. 

Eine fernere Eigenschaft der geodatischen Linien ist die fol- 
gende 105 ): Die Tangenten einer einfach unendlichen Schar von geo 
datischen Linien bilden das Normalensystem einer Schar von Parallel- 
flachen. Die Erzeugung der letzteren hat J. Weingarten in dem Satz 
veranschaulicht 106 ) : Spannt man iiber eine gegebene Flache senkrecht 
gegen eine willkurlich auf derselben gezeichnete Kurve eine Schar 
biegsamer Faden, denen man samtlich von den Punkten dieser Kurve 
an gleiche Lange gibt, so erzeugen die Endpunkte dieser Faden bei 
ihrer Abwicklung die allgemeinste Flache 7 fur welche die gegebene 
mit einer Schale der Flache der Hauptkrummungsmittelpunkte zu- 
sammenfallt. Bei dieser Abwicklung beschreibt jeder Endpunkt eines 
Fadens eine Krummungslinie der erzeugten Flache. Einen all- 
gemeineren Satz gab Beltrami m ): Wenn ein Normalensystem unter 
konstantem Winkel eine Flache schneidet, so sind die Flachenkurven, 
welche die Strahlen senkrecht durchdringen, die orthogonalen Trajek- 
torien einer Schar geodatischer Linien. - Wir konnen auch die 
Bogenlangen von zwei einfach unendlichen Scharen geodatischer Linien 
als Parameter u,v einfuhren, wo man nach Belieben jede der beiden 
Scharen als von einem festen Punkte ausgehend oder eine feste Kurve 
senkrecht schneidend betrachten kann. Die Parameterlinien u = const., 
v = const, sind dann die orthogonalen Trajektorien der beiden Scharen 
und werden , ; geodatische Parallelen" genannt. J. Weingarten 108 ) zeigte, 
dass das Quadrat des Linienelements hier die Form hat: 

, 2 du* -\- dv* -f- 2 cos w dudv 

sin* u 
sodass ; wenn: 



auch: 

as ~ j ""~" ~T~ 

M * 



OJ 



Man nennt die Kurven u-\-v const, und u v = const, geoddtische 
Ellipsen und Hyperbeln. Sie bilden den Ort der Punkte, fiir welche 
die Summe oder die Differenz der geodatischen Entfernungen von 



105) Bertrand, Traite 661, 662. 

106) J. f. Math. 62 (1863), p. 61. 

107) Giorn. di mat. 2 (1864), p. 298. Vgl. E. Lagmrre, Nouv. Ann. (2) 17 
(1878), p. 184. 

108) J. f. Math. 62 (1863), p. 166; vgl. Bonnet, J. ec. polyt. 25 (1867), p. 96. 



15. Eigenschaften geodatischer Linien. 145 

zwei festen Punkten oder zwei festen Kurven auf der Flache konstant 
ist. Auf diese Kurvenscharen, welche mit den konfokalen Kegel- 
schnitten der Ebene eine Reihe von Eigenschaften gemein haben, 
machte wohl zuerst 0. Boklen 109 ) aufmerksam und zwar in rein geo- 
metrischer Weise, spater E. Betti 110 ) , dessen analytisches Verfahren 
nicht einwandsfrei ist. In der erstgenannten Arbeit findet sich bereits 
der Satz, dass die Kriimmungslinien des Ellipsoids aus geodatischen 
Ellipsen und Hyperbeln bestehen, deren Brennpunkte Kreispunkte des 
Ellipsoids sind. Spater dehnte 0. Boklen m ) seine Betrachtungen 
auf weitere Flachenkurven aus, die durch einfache Beziehungen zwischen 
u und v erhalten werden, wie z. B. die geodatischen Lemniskaten. 

Liouville zeigte 112 ), dass sich nur auf den abwickelbaren Flachen 
zwei Scharen geodatischer Linien unter konstantem Winkel schneiden 
konnen (III D 5, Nr. 3). 

BeUrami 113 ) fiihrte den Begriff der geodatischen Krummung in 
folgender Weise auf den der geodatischen Linien zuriick. Man be- 
trachte eine Flachenkurve (L) und denke sich die zu ihr senkrechten 
geodatischen Linien. Durch den Punkt (P) von (L)] lege man eine 
Kurve (C\ welche die fraglichen geodatischen Linien so schneidet, dass 
ihre Tangenten denen der geodatischen Linien in den Schnittpunkten 
konjugiert sind. Der dem Punkte (P) auf (L) unendlich benachbarte 
Punkt werde mit (P ) bezeichnet. Die Kurve (0) schneide die durch 
(P ) gehende geodatische Linie (Gr) im Punkte (P"). Alsdann schneidet 
die zu (P") gehorende Tangente von (Gr) die durch (P) gehende und 
zu (L) senkrechte Flachentangente im Mittelpunkte der zu (P) ge- 
horenden geodatischen Krummung der Kurve (L). 

U. Dini 114 ) beantwortete die Frage, unter welchen Umstanden es 
moglich ist, auf einer Flache eine solche Linie (L) zu ziehen, dass, 
wenn man die geodatischen Linien betrachtet, die sie unter einem 
konstanten, aber von einem Rechten verschiedenen Winkel schneiden, 
und auf diesen Linien von (L) aus gleiche Bogenlangen abtragt, sich 
eine isogonale Trajektorie der geodatischen Linien ergibt. Derartige 
Linien (L) finden sich nur auf Rotationsflachen (III D 5, Nr. 4) und den 
auf solche abwickelbaren Flachen (III D 6 a, Nr. 23, 31). Langs einer 

109) Zeitschr. Math. Phys. 3 (1858), p. 257; Analytische Geometric des 
Eaumes, Stuttgart 1861, 2. Aufl. 1884, p. 74. 

110) Ann. di mat. (1) 3 (1860), p. 336. 

111) Zeitschr. Math. Phys. 26 (1881), p. 264. 

112) ,,Darboux" 2, p. 422. 

113) Giorn. di mat. 2 (1864), p. 17. 

114) Giorn. di mat. 3 (1865), p. 65. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 10 



146 HI D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flllche gezogenen Kurven. 

Linie (Z) andert sich das Kriimmungsmass der Flache nicht. 1st 
letzteres iiberhaupt konstant, so tritt eine besondere Bedingung hinzu. 

16. Reduzierte Lange eines geodatischen Kurvenbogens. Der 
oben erwahnte Ausdruck - - 75-5- fur das Kriinimungsmass x bei 

Anwendung geodatischer Polarkoordinaten hat E. B. Christoffel (Berlin 
Abb. 1868, p. 131) zur Einfuhrung des Begriffs reduzierte Lange eines 
geodatischen Kurvenbogens veranlasst. Nehmen wir an, dass auf einer 
Flache eine einzelne von einem gewohnlichen Punkt A ausgehende 
geodatische Linie gegeben sei. Dann kann man das Krummungsmass x 
der Flache langs der Linie als eine Funktion einer einzigen Verander- 
lichen, namlich der von A aus gerechneten Bogenlange v der Linie 
ansehen. Man betrachte nun die gewohnliche Differeutialgleichung 
zweiter Ordnung: 

d V i 

* + xp = 0. 



Diejenige Losung /* (V) unserer Gleichung, fur die jw- () 

( Ji i == 1 wird, nennt Christoffel die reduzierte Lange des Kurven- 
\ dv /=o 

bogens von der Lange v. Fur ein System geodatischer Polarkoordi 
naten fallt somit die reduzierte Lange jedes vom Punkte p = 
ausgehenden geodatischen Bogens mit dem zugehorigen Wert von m 
zusammen. 

Wie Christoffel bewiesen hat, bleibt die reduzierte Lange eines 
geodatischen Bogens ungeandert, wenn man Anfangs- und Endpunkt 
desselben vertauscht (a. a. 0. p. 139; A. Brill, Munch. Abh. (II Kl.) 14 
(1883), p. 117). 

Zahlt man auf einer geodatischen Linie von einem festen An- 
fangspunkte Abscissen und sind r l} i\ die Abscissen der Endpunkte 
eines Stiickes dieser Linie, so geniigt die reduzierte Lange m dieses 
Stuckes der Differentialgleichung: 

c*m dm dm 

AM _ .. . . _ T _^ _ _ _____ -. - I 

dr r dr^ dr v dr^ 

(Christoffel a. a. 0. p. 149 u. 166; Brill a. a. 0. p. 118). 

Hat man auf einer Flache ein System geodatischer Polarkoordi 
naten angenommen, so besteht fiir die reduzierte Lange m eines geo 
datischen Bogens, welcher den Anfangspunkt des Systems mit einem 
beliebigen, durch seine Koordinaten p, q bestimmten Punkt verbindet, 
unter der Voraussetzung, dass p eine gewisse Grenze nicht uber- 
schreitet, eine nach Potenzen von p fortschreitende konvergente Reihen- 
entwicklung von der Form: 



16. Reduzierte Lange. 17. Verschiebbarkeit geodatischer Dreiecke. 147 

=p ^p*+ q^ + Kp* + Sp 6 H , 

in welcher 3t das Kriimmungsmass der Flache im Anfangspunkt der 
geodatischen Polarkoordinaten bedeutet, und fur n > 3 der Koeffizient 
von p n jedesrnal eine homogene ganze rationale Funktion (n 3) ten 
Grades von sin q und cos q ist (,,Darboux" 3, p. 162). 

Christoffel hat die Frage erortert (Berlin Abh. 1868, p. 157 ff.), 
wie man nach Annahme eines beliebigen Systems krummliniger Ko- 
ordinaten auf einer Flache die reduzierte Lange eines auf dieser Flache 
verlaufenden geodatischen Bogens als Funktion der Koordinaten seiner 
beiden Endpunkte bestimmen konne. Ferner hat er gezeigt (a. a. 0. 
p. 144), wie man, wenn die reduzierte Lange einer durch die Koordi 
naten ihrer Endpunkte bestimmten geodatischen Linie als Funktion 
dieser Koordinaten bekannt ist ; die Winkel finden kann, welche die 
betrachtete geodatische Linie in ihren Endpunkten mit den Koordi- 
natenlinien bildet. Fiir Rotationsflachen zeigte Brill (Munch. Abh. 
2. Kl. 14 (1883), p. 132; vgl. M. Levy, Paris C. R. 86 (1878), p. 949) wie 
man die reduzierte Lange eines geodatischen Bogens finden kann, 
falls derselbe durch die Koordinaten seiner Endpunkte in einem aus 
den Meridianen und Parallelkreisen gebildeten krummlinigen Koordi- 
natensystem bestimmt ist. 

1 7. Verschiebbarkeit geodatischer Dreiecke. Es sei <S ein ein- 
fach zusammenhangendes, von singularen Punkten freies Flachenstiick 
von solcher Beschaffenheit, dass je zwei Punkte von (5 hochstens 
durch eine ganz in verlaufende geodatische Linie verbunden werden 
konnen. Dann sind die Seiten und Winkel eines auf @ liegenden 
geodatischen Dreiecks durch dessen Eckpunkte eindeutig bestimmt. 
Form ein fiir die Anderungen, welche die Elemente eines solchen 
Dreiecks bei gegebenen unendlich kleinen Verschiebungen der drei 
Ecken erleiden, haben Christoffel (a. a. 0. p. 133) und Brill (a. a. 0. 
p. 118) aufgestellt. Wenn (5 nicht auf eine Rotationsflache abwickel- 
bar ist, so ist es im allgemeinen unmoglich, die Ecken eines auf @ 
liegenden geodatischen Dreiecks stetig so zu verschieben, dass die 
Seitenlangen und die Winkel des Dreiecks keine Anderung erleiden. 
Fiir einzelne spezielle Dreiecke erscheint die Moglichkeit einer solchen 
Verschiebung nicht gerade ausgeschlossen, doch ist ein Beispiel eines 
solchen Falles bis jetzt nicht bekannt. 

Ist <2 auf eine Rotationsflache abwickelbar, deren Krummungs 
mass nicht konstant ist, so kann jedes im Innern von @ liegende 
geodatische Dreieck ohne Anderung seiner Seitenlangen und Winkel 
stetig verschoben werden, aber im allgemeinen nur auf eine einzige 

10* 



148 IIID3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

Weise, namlich so, dass sick die drei Eckpunkte auf den bei der 
Abwickelung in die Parallelkreise der Rotationsflache iibergehenden 
Linien bewegen. 

Hat endlich @ konstantes Kriimmungsmass, so ist jedes im Innern 
von @ liegende geodatische Dreieck ohne Anderung seiner sechs 
Elemente ebenso wie ein ebenes Dreieck in seiner Ebene in jeder 
beliebigen Weise beweglich. 

Bei einem geodatischen Dreieck, dessen Seitenlangen und Winkel 
unverandert bleiben sollen, erscheinen zunachst vier Falle denkbar; 
namlich, dass das Dreieck auf der dasselbe tragenden Flache entweder 
unbeweglich oder mit einem ; zwei oder drei Freiheitsgraden beweg 
lich ist. Dementsprechend hatte Christoffel (a. a. 0. p. 172) eine Ein- 
teilung aller Flachen in vier Gattungen vorgeschlagen, je nachdem 
fiir ein auf der Flache willkiirlich angenommenes geodatisches Dreieck 
im allgemeinen der erste, zweite, dritte oder vierte der erwahnten 
Falle eintritt. Zugleich hatte er gezeigt, dass diese vier Gattungen 
sich analytisch durch die Beschaffenheit einer gewissen, von sechs 
Veranderlichen abhangenden Determinante dritten Grades von einander 
unterscheiden wurden, indem fiir die.Flachen erster Gattung die Deter 
minante im allgemeinen von Null verschieden, fiir die Flachen zweiter 
Gattung dagegen die Determinante, aber nicht jede ihrer Unterdeter- 
minanten zweiten Grades, fiir die Flachen dritter Gattung jede Unter- 
determinante zweiten Grades, aber nicht jedes Element, und fiir die 
Flachen vierter Gattung auch jedes Element identisch gleich Null 
sein miisste. Die Flachen vierter Gattung fallen, wie bereits von 
Christoffel (a. a. 0. p. 174) gezeigt wurde, mit den Flachen konstanten 
Kriimmungsmasses (III D 5, Nr. 32) zusammen. Dasselbe gilt aber, 
wie v. Mangoldt (Freiburg i/B. naturf. Ges. 8 (1882) u. J. f. Math. 94 
(1883), p. 21) und J. Weingarten (Berl. Ber. 1882, p. 453) nachgewiesen 
haben, auch von den Flachen dritter Gattung, sodass diese besondere 
Gattung ausscheidet. Zugleich reichen die von Weingarten a. a. 0. 
erhaltenen Ergebnisse hin, um darzuthun, dass die Linien konstanten 
Kriimmungsmasses auf den Flachen zweiter Gattung geodatisch aquidi- 
stant (parallel) sein miissen. Den Beweis dafiir, dass diese Linien auch 
isotherm (Nr. 19) und daher die Flachen zweiter Gattung auf Rotations- 
flachen abwickelbar sind, hat v. Mangoldt (J. f. Math. 94 (1883), p. 36) 
erbracht. Dieser Beweis kann dadurch vereinfacht werden, dass man, 
nachdem durch synthetische Betrachtungen im Anschluss an die er- 
wahnte Arbeit von Weingarten festgestellt ist, dass die Linien konstanten 
Kriimmungsmasses geodatisch aquidistant (parallel) sein miissen, bei 
der weiter durchzufiihrenden Rechnung das Quadrat des Linienelements 



17. Verschiebbarkeit geod. Dreiecke. 18. Integration d. Gl. d. geod. Linien. 149 

der betrachteten Flache nicht in der Form: ds* = K (du 2 -f- dv 2 \ 
sondern in derjenigen Form annimmt, die den Flachen mit geodatisch 
aquidistanten Linien konstanten Krummungsmasses eigentiimlich 1st, 
namlich : 



wo fp(v) eine beliebige Funktion von v und f(u) eine nur der Be- 
dingung /"(w)>0 unterworfene, sonst ebenfalls beliebige Funktion 
von u bedeutet 114a ). 

18. Integration der Gleichung der geodatischen Linien. Hin- 
sichtlich der Integration der Gleichung der geodatischen Linien er- 
wahnen wir zuerst die Arbeiten von C.G.Jacobi. In einem Briefe an 
D.F.J.Arago teilte er mit, dass er die Differentialgleichung der geoda 
tischen Linien des Ellipsoids mittels Quadraturen integriert habe, die 
die Auswertung hyperelliptischer Integrale erfordern 115 ). Die von Jacobi 
im Wintersemester 1842 43 gehaltenen, 1866 von A. Clebsch heraus- 
gegebenen Vorlesungen iiber Dynamik enthalten p. 212 die nahere 
Ausfiihrung dieser Integration 116 ) und geben p. 176 den allgemeinen 
Satz, dass man von der Differentialgleichung der geodatischen Linien 

nur ein erstes Integral: 

dv , N 

35 9(S,) 

mit der wesentlichen willktirlichen Konstanten a, zu kennen braucht, 
um die Integration mittels Quadraturen ausfuhren zu konnen 117 ). 

Liouville zeigte in der Note III zu seiner Ausgabe von Mongers 
Application, auch J. de math. (1) 11 (1846), p. 345; ibid. (1) 12 (1847), 
p. 410, dass man die geodatischen Linien derjenigen Flachen, deren 
Linienelement sich durch eine Gleichung von der Form: 

ds* = (g>(M) + ^(v))(du* -f dv 2 } 

darstellen lasst, durch Quadraturen integrieren kann. Solche Flachen 
hat man spater Liouville sche Flachen genannt. Zu ihnen gehoren 
die abwickelbaren Flachen, die Rotationsflachen und die Flachen 
zweiten Grades. Eine geometrische Eigenschaft der geodatischen 

114 a ) ,,Darboux" 3, p. 191. 

115) Par. C. E. 8 (1839), p. 284; J. f. Math. 19 (1837), p. 309. 

116) Vgl. A. Minding, J. f. Math. 20 (1840), p. 323; M. Chasles, J. de math. 
(1) 11 (1846), p. 5, 105; F.Klein, Einleitung in die hohere Geom. 1 (1893), p. 50. 
C. Weierstrass, Berl. Ber. 1861, p. 988 = Math. Werke 1, Berlin 1894, p. 257. 
tiber die geodatischen Linien auf den Rotationsflachen zweiten Grades siehe 
G. H. Halphen, Traite des fonctions elliptiques 2, Paris 1888, chap. VI. 

117) Vgl. Bonnet, Paris, C. E. 42 (1856), p. 1137. E. Beltrami, Mailand 1st. 
Lomb. Eend . (2) 1 (1868), p. 708 = Opere mat. Mailand (1902), p. 366. 



150 III D 3. B. v. LilientJial. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

Linien auf den Rotationsflachen hatte bereits A. C. Clairaut 118 ) veroffent- 
licht. In jedem Punkt einer solchen schneiden sich ein Parallelkreis 
und ein Meridian. Das Produkt aus dem Halbmesser des Parallel- 
kreises und dem Sinus des Winkels, den die geodatische Linie mit dem 
Meridian bildet, bleibt langs einer solchen Linie ungeandert. F. Joachims- 
fhal zeigte 118a ), dass fur jeden Punkt einer geodatischen Linie des 
Ellipsoids das Produkt, dessen einer Faktor der Abstand des Mittel- 
punkts des Ellipsoids von der dem Punkt zugehorenden Tangential- 
ebene, dessen anderer Faktor der der Tangente der geodatischen Linie 
parallele Halbmesser des Ellipsoids ist, einen konstanten Wert besitzt, 
ein Satz, der ebenfalls fiir die Punkte einer Krummungslinie des Ellip 
soids gilt. Die von einem Kreispunkt des Ellipsoids (III C 4) aus- 
gehenden geodatischen Linien treffen sich im diametral gegeniiber- 
liegenden Kreispunkt, besitzen gleiche Lange und sind durch ellip- 
tische Funktionen darstellbar 119 ). Die Gleichung der geodatischen 
Linien auf den Liouville schen Flachen ist n9a ): 



/du r dv _ -, 

|/qp (u) a J yip (v) -f- a 



wo a und & willkurliche Konstanten bezeichnen. Bedeutet to den 
Winkel der von dem Punkt (u, v) ausgehenden geodatischen Linien 
mit der diesen Punkt durchziehenden Parameterlinie v = const., so 

hat man: 

a = cp (u) sin 2 to ip (v) cos 2 co . 

Es gehoren also zu einem Werth von a zwei von dem fraglichen 
Punkt ausgehende geodatische Linien, deren Tangenten symmetrisch 
zur Tangente der Kurve v const, liegen. Wir greifen durch Fest- 
setzung der Vorzeichen der in der Integralgleichung auftretenden 
Wurzeln eine dieser Tangenten heraus und fassen auf ihr den Punkt 
(A) ins Auge, in dem die Tangente diejenige Flache beruhrt, die mit 
der gegebenen zusammen die Krummungsmittelpunktsnache der das 
Tangentensystem der Kurven a = const, rechtwinklig, schneidenden 
Flachen bildet. Lasst man a sich stetig andern, so beschreibt der 
Punkt (A) eine allgemeine Strophoide, und umgekehrt hat man es ; 



118) Par. Hist. 1733 (Par. 1735), p. 409. Vgl. H. Eesal, Nouv. Ann. (3) 6 
(1887), p. 57. 

118) J. f. Math. 26 (1843), p. 158. Vgl. J. Liouvilk, J. de math. (1) 9 
(1844), p. 401; (1) 11 (1846), p. 21. 

119) ,,Dar&OMic" 3, p. 15; C. Jordan, Cours d anal. 3, Paris 1887, p. 497; 
Modelle von M. Schilling, Halle a/S., Nr. 103. M. Roberts, J. de math. (1) 15 
(1850), p. 275; E. Langenleck, Inaug.-Diss. Gottingen 1877. 

119 a ) ,,Darboux" 3, p. 9. Vgl. P. Stackel, Math. Ann. 35 (1889), p. 91. 



18. Integration der Gleichung der geodatischen Linien. 151 

wenn letzteres der Fall ist, mit einer Liouville schen. Flache zu tun 119b ). 
P. StacJcel zeigte, dass bei gewissen, sehr allgemeinen Bedingungen 
fur die Funktionen <p und ^ eine geodatische Linie auf einer Liou- 
ville schen Flache entweder geschlossen ist oder einen gewissen Be- 
reich auf der Flache iiberall dicht (IA5, Nr.ll) bedeckt 1190 ). So 
verlauft z. B. eine geodatische Linie auf einer Rotationsflache im all- 
ffemeinen innerhalb eines von zwei Parallelkreisen mit demselben 

O 

Halbmesser begrenzten Flachenteils; auf dem Ellipsoid verlauft eine 
nicht durch einen Kreispunkt gehende Geodatische in einem von 
zwei symmetrischen Krummungslinien begrenzten Flachenteil. 

Beltrami 12 ) folgerte aus der ersten der beiden oben verzeichneten 
Gauss schen Gleichungen einen Satz uber den ersten Differentialpara- 
meter einer Funktion <p(u,v). Eliminiert man namlich mit Hiilfe der 
Gleichung cp (u, v) = t eine der Veranderlichen u und v aus dem Aus- 
druck A X 9 und fallt dabei auch die andere fort, ist also A^ eine 
Funktion von t allein, so sind die Kurven cp const, auf der Flache 
die orthogonalen Trajektorien einer Schar geodatischer Linien. Im 
besonderen hat, wenn Aj cp = 1, die Grosse t die Bedeutung der Bogen- 
lange dieser geodatischen Linien. 

Die Losung der Gleichung Aj-9 1 = 1 reicht vollig hin, um die 
endliche Gleichung der geodatischen Linien ohne weitere Integration 
aufzustellen 121 ). Kennt man ein Integral ft = f(u,v,a) mit der wesent- 
lichen, also nicht bios additiven Konstanten a, so ist die endliche 

O Q, 

Gleichung der geodatischen Linien durch die Beziehung: ^ = & 7 wo 
& eine neue willkiirliche Konstante bedeutet, gegeben 122 ). Ein der- 
artiges Integral f(u, v, a) ist mit Hiilfe einer Quadratur bestimmbar 123 ), 

p o, 

wenn man eine weitere Funktion cp der vier Veranderlichen u, v,p = ^ , 

o o, 

q -- kennt von der Art, dass aus den Gleichungen cp = a und 

A 1 #= 1 sich Ausdriicke von p und q ergeben, welche die Differen- 
tialform pdu -f- q_dv als exaktes Dinerential hervorgehen lassen. Man 
erhalt dann durch Quadratur dieses Differentials # als Funktion von 
u, v, a und damit nach dem vorigen Satz die Gleichung der geoda 
tischen Linien. Die Bedingung, der die Funktion cp unterliegt, lasst 
sich dahin aussprechen, dass die Gleichung: 

119 b ) E. WalscTi, Par. C. R. 116(1893), p. 1435; Wien. Ber. 106 (1897), p. 323. 
Vgl. die allgemeinere Untersuchung von E. Wdlsch, Par. C. E. 125 (1897), p. 521. 
119 B ) Jahresber. der d. Math.-Ver. 9 (1901), p. 121. 

120) Giorn. di mat. 2 (1864), p. 277; Math. Ann. 1 (1869), p. 577. 

121) ,,Knoblauch" p. 157. 122) ,,Darboux" 2, p. 428; ,,Bianchi" p. 170. 
123) ,,Darboux" 3, p. 23. 



152 HI D 3. B. v. Lilienthal Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

dA t fr 29 _ g^fr 8<p 8\& d<p _ gA^ dg> _ 

du dp dp du dv dq cq ~dv ~ 

fur jedes Wertsystem u,v,p,q, das der Gleichung A^^ 1 geniigt, 
bestehen muss. Da die allgemeine Bestimmung der Funktion y bisher 
nicht gelungen ist, hat man umgekehrt gefragt, wie die Funktionen 
E, F, G bescbaffen sein miissen, damit eine Funktion <p von vor- 
geschriebener Form der Aufgabe geniige. Wir erwahnen die Satze: 
1) Hat <p die Form f 1 (u t v)p -f- f a (u,v)q, so ist die entsprechende 
Flache auf eine Umdrehungsflache abwickelbar. 2) Hat y die Form 
/i( l S)P > + /i(S)P + /a(<S) i so gehort die Flache zu den Liou- 
wWschen, falls man nur reelle Flachen beriicksichtigt m ). Diese quadra- 
tischen Integrale sind genauer von G. Konigs, G. Eicci und L. Eaffy 
untersucht 125 ). Wendet man symmetrische Parameter a, /3 an und 
setzt: ds 2 = hdadfi (Nr. 19), so kommt die Frage, ob sich ds* auf die 
LiouviUe sche Form bringen lasst, heraus auf das Vorhandensein einer 
Funktion A von a und einer Funktion B von /3, die der Gleichung 
geniigen : 

9 A ^^-l- * dA ^ 

4 - d 



Sind A! und J5 17 sowie A^ und R 2 zwei Losungspaare dieser 
Gleichung, so bilden auch die mit den willkiirlichen Konstanten a 
und 1) gebildeten Funktionen aA^ -f IA Z , a^ -f bS z ein Losungs- 
paar (,,Darboux" 2, p. 209). Letzteres wird als von den ersten Paaren 
abhangig betrachtet. Es handelt sich nun um die Anzahl der von- 
einander unabhangigen Losungspaare. Giebt es mehr wie drei qua- 
dratische Integrale, so sind genau fiinf solche vorhanden. Die Flache 
besitzt dann konstantes Kriimmungsmass und die allgemeinste Form 
des Quadrats ihres Linienelements ist: (p (a -f- /3) p (a (l))dadp } 
wo p die Weierstrass sche elliptische Funktion bedeutet. Sind drei 
unabhangige Integrale vorhanden, so hat man es mit einer auf eine 
Rotationsflache abwickelbaren Flache zu thun. Die Konigs sche Arbeit 

124) F. Massieu, Sur les integrates algdbriques des problemes de mdcani- 
que, Par. These 1861 ; E. Sour, J. ec. polyt. 22 (1862), p. 176, wo auch homogene 
Integrale dritten und vierten Grades betrachtet sind ; vgl. M. Levy, Par. C. R. 85 
(1877), p. 904, 938, 1009. 

125) G. Konigs, Par. sav. e tr. 31 (1894), Nr. 6; vgl. die Note von G. Konigs 
in ,,Darboux" 4, p. 368; G. Eicci, Rom, Line. Atti (5) 2 1 (1893), p. 73; vgl. 
G. Eicci, Lezioni sulla teoria delle superficie, Verona-Padova 1898, p. 253; 
L. Eaffy, Par. C. R. 108 (1889), p. 493; J. de math. (4) 10 (1894); p. 331; Par. 
soc. math. Bull. 22 (1894), p. 63, 84; ,,Darboux" 3, p. 23. Hinsichtlich der all- 
gemeinen rationalen Integrale vgl. M. Levy, Par. C. R. 85 (1877), p. 1065, 1150 
u. ,,Dar&OM.r u 3, p. 66; W. Anissimoff, Ann. dc. norm. (3) 18 (1901), p. 371. 



19. Geometrische und physikalische Entstehungsart der isothermen Linien. 153 

behandelt auch die Beziehung des Gegenstandes zu der S. Lie schen 
Untersucliung (Math. Ann. 20 (1882), p. 357) fiber die Flachen, auf denen 
die geodatischen Linien eine infinitesimale Transformation gestatten. 
Die geodatischen Linien auf den pseudospharischen Flachen werden 
in III D 5, Nr. 34 besprochen. 

V. Isotherme Union. 

19. Geometrisclie und physikalische Entstehungsart. Zu diesen 
Scharen gelangt man durch die Losung einer geometrischen und einer 
physikalischen Aufgabe. Die erstere lasst sich folgendermassen aus- 
sprechen: Die gegebene Flache soil wirikeltreu, d. h. so auf eine Ebene 
abgebildet werden, dass irgend zwei Kurven auf der Flache sich 
unter demselben Winkel schneiden, wie ihre Bilder in der Ebene. 
Man driickt dies auch in der Weise aus, dass man sagt, das Bild 
soil der Flache in den Mcinsten Teilen aJmlich sein oder die Ab- 
bildung soil eine konforme sein (III D 1, 2, Nr. 24; III D 6 a, Nr. 3 ff.). 
Nennen wir die rechtwinkligen Koordinaten der Punkte der Bildebene 
p und q und betrachten x, y, z als Funktionen von p und q, so erfordert 
die fragliche Abbildungsart, wenn: 



dq_ 

genommen wird, dass: 

E = G f , F = 

sei. Die Parameterlinien p = const., q = const, schneiden sich also 
senkrecht, und die unendlich kleinen Rechtecke, in die sie die Flache 
zerlegen, sind, wenn man die Differentiale dp und dq jedesmal als 
gleich betrachtet, Quadrate. Sonnet hat die fraglichen Linien iso- 
metrische Linien" genannt. Sind die Koordinaten einer Flache als 
Funktionen zweier Veranderlicher u und v gegeben, so hangt die 
Bestimmung der isothermen Linien von der Losung der Aufgabe ab, 
die Veranderlichen u und v so durch zwei neue Veranderliche p und q 
darzustellen, dass: 

Edu* + 2 Fdudv -f Gdv* = K(dp* + d<f). 

Die Grossen a=p-\-qi } fi p qi heissen die symmetrischen 
Parameter der Flache 126 ). Bei Anwendung derselben erhalt das Qua 
drat des Linienelements die Form: 



126) Diese Bezeichnung riihrt von E. Eour her; J. ^c. polyt. 22 (1862), p. 3. 



154 HI D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

und die Gleichung der geodatischen Linien wird: 
d*l djogj, dp _ a log it /d(M m 
da 2 da da 0/J UJ ; 

woraus hervorgeht, dass man die imaginaren Parameterlinien a = const., 
/3 = const. (Minimalkurven) als imaginare geodatische Linien anzu- 
sehen hat. 

Gauss 128 } schlug zur Losung der obigen Aufgaibe folgenden Weg 
ein. Man zerlege den Ausdruck Edu 2 -j- 2Fdudv -f- Gdv* in die 
beiden Faktoren: 

-f Hdv und YE du + ^rfw, 



Tr F+iVEG F* F 

wo: H=- , H<=- 

}/E YE 

Gelingt es nun, vier reelle Funktionen f , . . . , f^ von u und v 
zu finden derart ; dass: 

(/i + Yi) (V^^ + J?^) = df z + trf/;, 

so ist die Aufgabe als gelost zu betrachten. Nimmt man namlich 
f 3 = p, f = q und driickt u und v durch p und q aus, so wird: 

2 _ dp + dg , , _ 





Gauss nennt /i -f- if% den integrierenden Faktor der Differential- 
form yEdu -f- -ffrfv. Doch ist hier zu bemerken, dass die Bestimmung 
eines solchen Faktors fiir eine komplexe Differentialform nicht wie 
bei den reellen integrierenden Faktoren von einer partiellen Differen- 
tialgleichung erster Ordnung, sondern von einer solchen zweiter Ord- 
nung abhangt, was man am einfacbsten erkennt, wenn man f -\- ifa 
in die Form Qe V setzt. Es ergibt sich dann fiir Q die Differential- 
gleichung: 



Kennt man ein Integral dieser Differentialgleichung, so erhalt 
man tp durch eine Quadratur. Aus den fiir die Funktionen f\ . . . f 
geltenden Bedingungen folgert man leicht, dass sowohl f z wie /" 4 
Losungen der partiellen Differentialgleichung A 2 ^=0 sind. Kennt 
man umgekehrt eine Losung f dieser Gleichung, so lasst sich mit 
Hiilfe einer Quadratur eine zweite Losung g derselben Gleichung 
finden derart, dass die Kurvenscharen f= const., g = const, auf der 

127) S. Lie, Math. Ann. 20 (1882), p. 367. 

128) Werke 4, p. 193. 

129) Beltrami, Math. Ann. 1 (1869), p. 575; ,,Darboux u 3, p. 216; E. Lip- 
schitz, Bull. sci. math. (2) 16 (1892), p. 206. 



19. Geometrische und physikalische Entstehungsart der isothermen Linien. 155 

Flache rechtwinklig und isotherm sind 130 ). Mit dem Losungspaar 
f, g sind aber alle iibrigen Losungspaare gegeben; denn nimmt man 
eine beliebige Funktion F von f -j- gi und setzt: 



m n, 

so bilden m und n ebenfalls ein Losungspaar, und man hat stets: 

A! (m -f- ni) = 0. 

Ein anderer Weg, die quadratische Differentialform ds 2 in die 
Gestalt A (dp* -f- d(f) zu transformieren, ist von J. Weingarten ange- 
geben worden 131 ). 

Die physikalische Frage 131a ) ; welche auf die betrachteten Kurven 
fiihrt, ist die folgende. Man denke sich die Flache erwarmt und einen 
station aren Warmezustand hergestellt, bei dem sich also die Tem- 
peratur eines Punktes nicht mit der Zeit andert. Wie findet man 
die Linien auf der Flache, langs derer die Temperatur sich gleich- 
bleibt? Die Antwort ist diese. Bedeutet t = <p (u, v) die Temperatur, 
so muss die Funktion <p der Gleichung A 2 (p = geniigen. Nun 
wird aber die fragliche Kurvenschar nicht nur durch die Gleichung 
cp (u,v) = const., sondern durch jede Gleichung von der Form 
F (cp (u, v)) = const, festgelegt. Es fragt sich also, wann die durch 
eine Gleichung ty (u, v) = 6 bestimmte Kurvenschar isotherm ist und 
wie die zugehorige Funktion q> der thermometrische Parameter - 
berechnet wird. Die Losung ist die folgende 132 ). Man eliminiere mit 

Hiilfe der Gleichung ty (u, v) = 6 aus dem Ausdruck -.^ etwa u. 

Aj ty 

Fallt dann auch v fort, sodass -^- = (1(6}, so ist die Kurvenschar 

Aj ij) 

ijj = const, isotherm und ebenso die Schar ihrer orthogonalen 132a ) Tra- 
jektorien, sowie jede Schar ihrer isogonalen Trajektorien 132b ). Bringt 

man^(^) auf die Form -jf\, so wird <p = A I j.^- -{- B, wo A und J5 

Konstante bedeuten. Sind die Parameterlinien isotherm, so hat man 

dV . g 2 qp _ o 
* "> * 



130) Beltrami, Giorn. di mat. 2 (1864), p. 335; ,,Bianchi" p. 69. 

131) tiber die Theorie der auf einander abwickelbaren Flachen, Berlin 
1884, p. 21. 

131 *) Zuerst von G. Lame fiir Flachenscharen aufgeworfen (III D 1, 2, Nr. 24). 

132) Beltrami, Giorn. di mat. 2 (1864), p. 369. 
132 a ) Beltrami, Giorn. di mat. 2 (1864), p. 372. 
132 b ) Eicci, Lezioni, p. 205. 



156 III D 3. JR. v. Lilienihal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

20. Eigensohaften isothermer Scharen. Wir bezeichnen wie 
friiher mit s die Bogenlange der Kurven einer Schar, mit 6 die der 
Kurven der Orthogonalschar und setzen: 

Die geodatische Krummung der ersten Schar sei -=-, die der 

I 

zweiten ^-- Nach dem obigen sind entweder beide Scharen iso 
therm oder keine von beiden. Die Bedingung fur das erstere ist: 

d 1 d 1 

ds R t da ]R 

Diese Gleichung zeigt ein Mittel an, um zu erkennen, ob eine Schar 
isotherm ist, falls sie durch eine Differentialgleichung erster Ordnung 
bestimmt ist. Die fragliche Be/iehung findet sich bereits im wesent- 
lichen bei Sonnet 133 ). Die Differentialforrnen T und T besitzen, 
wenn obige Beziehung besteht, einen gememsamen integrierenden 
Faktor, der sich durch eine Quadratur bestimmen lasst 134 ). Hierin 
liegt der Lic sche Satz 135 ): Ist eine Isotherm enschar durch ihre Dif 
ferentialgleichung defmiert, so kann die Integration der letzteren durch 
zwei Quadraturen geleistet werden. Die in obiger Gleichung ausge- 
sprochene Eigenschaft isothermer Linien lasst unmittelbar erkennen, 
dass auf einer Kugel jedes aus Kreisen bestehende Orthogonalsystem 
isotherm ist. Ein solches System wird aus der Kugel von zwei 
Ebenenbiischeln ausgeschnitten, deren Axen reziproke Polaren (III C 4) 
der Kugel sind 136 ). 

Seltrami 131 ) zeigte, dass der Ort der Punkte, in denen sich zwei 
isotherme, nicht rechtwinklige Scharen unter konstantem Winkel 
schneiden, wieder eine isotherme Schar liefert. - Die Parameter- 
linien sind jedesmal isotherm, wenn das Quadrat des Linienelements 
die Liouville sche Form hat. U. Dim 138 ) wies nach, dass hier die Pa- 
rameterlinien zugleich ein System von geodatischen -Ellipsen und 



133) J. e c. polyt. 19 (1848), p. 47; vgl. ,,Darboux" 3, p. 154. 

134) v. Lilienthal, Grundlagen einer Kvtimmungslehre der Kurvenscharen, 
Leipzig 1896, p. 17. 

135) S. Lie, Vorlesungen iiber Different; algleichungen mit bekannten in- 
finitesimalen Transformationen , hrsg. von G. Scheffers, Leipzig 1891, p. 162; 
,,Bianchi" p. 73. 

136) Bonnet, J. e c. polyt. 20 (1853), p. 117; ,,Bianchi" p. 81; ,,Darloux" S, 
p. 155. 

137) Giorn. di mat. 2 (1864), p. 374. 

138) Ann. di mat. (2) 3 (186970), p. 270. 



20. Eigensch. isothermer Scharen. 21. Parameter- und Koordinatenlinien. 157 

Hyperbeln bilden, und umgekehrt, dass, wenn auf einer Flache ein 
derartiges System isotherm ist, die Flache zu den Liouville schen gehort. 

Darboux 139 ) stellte dem Dam schen Satz einen weiteren an die 
Seite. Kann man ein System orthogonaler Parameterlinien auf zwei- 
fache Weise als ein System geodatischer Ellipsen und Hyperbeln auf- 
fassen, so ist das auf unendlich viele Weisen moglich, d. h. es gibt 
unendlich viele Paare von Linien (Basislinieri) , fur welche der Ort 
der Punkte, deren geodatische Entfernungen von den Linien eines 
Paars konstante Summe oder Differenz besitzen, mit den Parameter 
linien zusammenfallt, und das Quadrat des Linienelements, bezogen 
auf die fraglichen Parameterlinien, hat dann die Liouville sche Form. 
Die zu einem Paar von Basislinien geodatisch parallelen Linien konnen 
hier stets als die geodatischen Evolventen (Nr. 15) gewisser unter Um- 
standen imaginarer Kurven betrachtet werden. 

tJber die Bedeutung der isothermen Scharen fur die Herstellung 
geographischer Karten (III D 6 a, Nr. 8; VI I 4) siehe ,,Darboux" 2, 
p. 153 u. G. Scheffers, Einfuhrung in die Theorie der Flachen, Leipzig 
1902, p. 43. 

VI. Parameterlinien. Fnndamentalgleichungen. 

21. Parameter- und Koordinatenlinien. Die Untersuchung der 
Krummungsverhaltnisse einer Flache hangt ab von einem irgendwie 
gewahlten System von zwei einfach unendlichen Kurvenscharen auf 
der Flache, die man fuglich als ,,Koordinatenlinien" bezeichnen kann. 
Sie spielen dieselbe Rolle, wie in der Ebene die zu den Koordinaten- 
axen parallelen Geraden; hier wie auf der Flache wird ein Punkt be- 
stimint durch die beiden sich in ihm schneidenden Koordinatenlinien. 
Sind die Koordinaten der Flachenpunkte als Funktionen zweier Ver- 
anderlicher u, v gegeben, so sind die Kurven u = const., v = const, 
die Parameterlinien (Nr. 4). Man kann aber auch die Flache iiberzieheu 
mit irgend einem System von Kurven, die durch endliche Gleichungen: 
cp (u } v) = const., ty (u, v) = const, oder durch Differentialgleichungen : 

/i ( u ) v ) d u ~h /2 ( u > v } dv = 0, g^ (u, v) du -j- g 2 (u, v} dv = 

gegeben sein konnen. Bezieht man die Punkte der Flache auf diese 
beiden Scharen, so sind letztere ^Koordinatenlinien 11 auf der Flache. 
Obgleich man theoretisch dadurch, dass man u und v durch cp und t/; 
ausgedriickt denkt, die Koordinatenlinien zu Parameterlinien machen 
kann, ist doch aus mehrfachen Grriinden, namentlich wegen der prak- 

139) ,,Darboux" 3, p. 19, 21. 



158 III D 3. E. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

tischen Schwierigkeit, die Ausdriicke von u und v durch cp und ty 
wirklich zu finden, die Untersclieidung von Koordinatenlinien und 
Parauieterlinien geboten. Wir wollen nun die wichtigeren Gesichts- 
punkte, von denen aus man die fraglichen Liniensysteme betrachtet 
hat, darlegen. 

22. Methode von Gauss. Hier fallen die Koordinatenlinien mit 
den Parameterlinien zusammen. Die zweiten Ableitungen der Koordi- 
naten (Nr. 9, III D 1, 2, Nr. 34) werden dargestellt durch die ersten 
und durch die Richtungskosinus X, Y, Z der Normalen. A. Voss 14 ) 
hat die in Rede stehenden Beziehungen die , ; Differentialgleichungen 
der Flache" genannt. Die Koeffizienten der Darstellungen hangen 
von den in Nr. 4 erklarten Grossen E, F, G, L, M, N ab, die 
man nach deni Vorgange von Hoppe , } Fundamentalgrosscn" nennt. 
Hinzuzunehnien sind die in HID 1,2, Nr. 34 angefiihrten Aus 
driicke der ersten Ableitungen von X, Y, Z, deren Koeffizienten 
in den Fundamentalgrossen rational sind. Die Integrabilitatsbedin- 

(} CC f) OC 

gungen der auf diese Weise erhaltenen Darstellungen von d ^- , d-^- t 

dX , . . . werden geliefert durch ein System von drei partiellen Diffe- 
rentialgleichungen zwischen den Fundamentalgrossen. Man nenut diese 
Gleichungen die ,,Fundamentalyleichungen" (III D 1, 2, Nr. 34). Eine 
derselben driickt das Kriimmungsmass p p- nur durch E, F, G und 

"1 -"2 

deren Ableitungen aus und ist von Gauss aufgestellt. Die beiden 
iibrigen sind in schwerfalliger Weise zuerst von G. Mainardi ul } 
hergeleitet und sp ater von anderen in einfachere Gestalt gebracht U2 ). 
Von Wichtigkeit ist hier der Bonnet sche Satz, dass, wenn man sechs 
Funktionen E, F } G, L, M, N kennt, die den Fundamentalgleichungen 
geniigen, hierdurch eine Flache bis auf ihre Lage im Raum und eine 
Spiegelung an einer Ebene bestimmt ist 143 ). 

Da die in Rede stehende Form der Fundamentalgleichungen 
ziemlich verwickelt ist und die geometrische Bedeutung dieser Gleich- 
unsen nicht ohne weiteres erkennen lasst, hat man- versucht, auf 

o 

verschiedene Arten jene Gleichungen zu vereinfachen. E. Sour 144 ) 

140) Math. Ann. 39 (1891), p. 184. 

141) Mailand, Ist. Lomb. Giorn. 9 (1856), p. 386. 

142) E. Hoppe, Prinzipien der Flachentheorie. Z welter Teil des Lehrbuchs 
der anal. Geom., Leipzig 1890, p. 8; ,,Knoblauch" p. 77. 

143) J. ec. polyt. 25 (1867), p. 31 ; E. Lipschitz, Berl. Ber. 1883, p. 541 ; vgl. 
H. Stahl u. V. Kommerell, Die Grundformeln der allgeineinen Flachentheorie, Leipzig 
1893, p. 32; ,,Bianchi" , p. 93; G. Scheffers, Einfuhrung in die Theorie der Flachen, 
Leipzig 1902, p. 321. Vgl. noch El D 6 a, Nr. 2, Fussn. 20 b . 

144) J. e c. polyt. 22 (1862), p. 1. 



22. Methode von Gauss. 23. Methode von Codazzi. 159 

nahm zu Parametern die Crawss schen geodatischen Polarkoordinaten. 
Fur den Fall, dass die Parameterlinien mit den Kriimmungslinien 
zusammenfallen, sind die Fundamentalgleichungen in den von G. Lame 1 * 5 ] 
fur dreifach orthogonale Flachensysteme entwickelten Fundamental 
gleichungen enthalten und von A. Enncper UG ~) direkt hergeleitet. 
Die beiden von der Grauss schen verschiedenen Fundamentalgleichungen 
sind von J. Knoblauch fur die Krihmnungslinien als Parameterlinien 
in eine Form gebracht, die nur geometrische Grossen und zwar die 
Hauptkriimmungsradien, die geodatischen Kriimmungsradien der Kriim- 
mungslinien und die vier Hauptkriimmungsradien der beiden Schalen 
der Kriimmungsmittelpunktsnache enthalt 147 ). 

23. Methode von Codazzi. Verschieden von der bisher be- 
trachteten uud geometrischer gehalten ist die D. Codazzi sche Ableitung 
der Fundamentalgleichungen 148 ). Hier werden die Parameterlinien als 
rechtwinklig vorausgesetzt und die Richtungskosinus ihrer Tangenten, 
sowie ihrer Haupt- und Binormalen eingel iihrt. Es lassen sich nun 
die auf die eine Parameterlinie bezogenen Richtungskosinus leicht mit 
Hiilfe der auf die andere bezogenen Richtungskosinus und die der 
Flachennormalen ausdriicken. Nimmt man noch die Frenefscken Formeln 
(HID 1,2, Nr. 31) hinzu, so ergeben sich fur die nach u und v 
genommenen zweiten Ableitungen der Richtungskosinus je zwei der 
Form nach verschiedene Ausdriicke. Ebenso finden sich fiir die ent- 
sprechenden zweiten Ableitungen der Koordinaten je zwei Ausdriicke. 
Man braucht nun bios die fraglichen auf die Koordinaten und die 
Tangenten der Parameterlinien beziiglichen Ausdriicke einander gleich- 
zusetzen, um die Fundamentalgleichungen zu erhalten. Durch Ein- 
fiihrung der beiden Hauptkriimmungsradien sowie des Winkels der 
Linien ?; = const, mit der zu R^ gehorenden Kriimmungslinie gibt 
Codazzi jenen Grleichungen eine zweite verhaltnismassig einfache Ge- 
stalt. 0. Bonnet u9 ) gab den CodaggPsdaffD. Formeln in ihrer ersten 
Gestalt einen Ausdruck, der die geometrische Bedeutung der auf- 
tretenden Funktionen benutzt. Die grosse Arbeit von Codazzi in den 
Ann. di mat. 150 ) gibt die Verallgemeinerung der Lame schen Grleich 
ungen fiir beliebige kmmmlinige Koordinaten im Raume und als be- 

145) Siehe Fussn. 50). 

146) Zeitschrift Math. Phys. 7 (1862), p. 89. 

147) Acta math. 15 (1891), p. 253; vgl. v. Lilientlial, Math. Ann. 38 (1891), 
p. 450. 

148) Paris, Mem. sav. [<5tr.] 27 (1882). Die Arbeit stammt aus dem Jahr 1859. 

149) Par. C. R. 57 (1863), p. 805. 

150) (2) 1 (1867), p. 293; (2) 2 (1868), p. 101, 269; (2) 4 (1870), p. 10. 



160 HI D 3. It. v. Lilienihal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

sonderen Fall die Fundamentalgleichungen fur beliebige Parameter- 
kurven. Man vergleiche die Anmerkung bei ,,Darboux" 2, p. 369. 

24. Methode von Darboux 151 ). Hier werden die Koordinaten- 
linien als rechtwiuklig angenommen. Ihre Tangenten bilden zusaminen 
mit der Flachennormalen ein bewegliches Dreikant. Als fundamental 
Grossen kommen nun in Betracht die Nr. 10 erklarten Grossen |, ^ 
i> ^i; P) <1> r ) PD 2i> r i> die man als die Komponenten der auf das 
bewegliche Dreikant bezogenen Translations- und Rotationsgeschwin- 
digkeit des Dreikants auffassen kann fur Verriickimgen auf der Linie 
v = const, oder u = const., falls man jedesmal die Veranderliche u 
oder v der Zeit gleich setzt. Die Fundamentalgleichungen werden 
gewonnen mit Hiilfe der Beziehungen, die zwischen den Ableitungen 
der Koeffizienten einer orthogonalen Substitution (III B 2) und den Koeffi- 
zienten selbst bestehen, und nehmen die einfache Form an: 



dr 



Hier lassen sich r und r durch die Koeffizienten des Quadrats des 
Linienelements und den Winkel der a; -Axe mit der Linie v = const. 
ausdriicken, ausserdem besteht zwischen diesem Winkel, den frag- 
lichen Koeffizienten und den Grossen p, p t , q } ^ eine in Hinsicht der 
letzteren lineare Gleichung. Es treten also im Ganzen in den Fun 
damentalgleichungen sieben Funktionen auf. 

25. Willkiirliche Koordinatenlinien. Lasst man die Koordi- 
natenlinien vollkommen willkiirlich, so vereinfachen sich die aus- 
zufuhrenden Rechnungen durch Verwendung der in (Nr. 8) erklarten 
Ableitungen nach den Bogenlangen der Koordinatenlinien und denen 
ihrer orthogonalen Trajektorien. Fur rechtwinklige und mit den 
Parameterlinien zusammenfallende Koordinatenlinien ist das Verfahren 
auf kinematischer Grundlage von E. Cesdro 152 ) auseinandergesetzt. 
Der allgemeine Fall ist von Ph. Gilbert 153 ) unter Benutzung der 
Bonnetschen BogendifiFerentiale der Koordinatenlinien erortert. Die 



161) ,,Darboux" 2, p. 363. 

152) Das unter 55) zitierte Buch ini Original p. 157, in der deutschen Aus- 
gabe p. 201. 

153) Siehe Fussn. 59). 



24. Methode von Darboux. 25. Willkiirliche Koordinatenlinien. 161 

einfachste und umfassendste Behandlung der Frage scheint die im 
folgenden gekennzeichnete zu sein 154 ). 

Die Bogenlangen der Koordinatenlinien mogen mit 6 t und (J 2 , 
die ihrer senkrechten Durchdringungskurven bez. mit 3 und tf 4 , der 
Winkel der Koordinatenlinien mit qp bezeichnet werden. Den wachsen- 
den Bogenlangen entsprechen die positiven Halbtangenten und letztere 
legt man zweckmassig so, dass die Tangenten der Kurven (tf 2 ) und (<J 3 ) 
sich durch positive Drehungen (< x) um die Flachennormale aus der 
Tangente der Kurve (0 t ) ergeben, die Tangente der Kurve ((7 4 ) durch 

negative Drehung (< n) aus der Tangente der Kurve (0 2 ). Ist nun p- die 

Normalkrummung der Kurve (ff a ), ^- ihre geodatische Kriimmung 

"a 

ist ferner: 

cos op sin op cos (p sin tp 

sowie: 

, df d df 

da^ //*/ d<y d*f 



so ergibt sich: 



d*x _ 1 dx | X d*x _ dx . -^ 
d*x dx , -^ d*x _ 1 dx . X 

,1 *> si ^ 2v-7y?i J /7/r^ ~K^ /I ft 7* 



Ein derartiges System, in dem aber n t und n 2 andere, in Nr. 31 zu 
besprechende Bedeutungen haben, ist zuerst von Foss 155 ) veroffentlicht. 
Die Grossen n t und n 2 lassen sich geometrisch auf folgende Art 
kennzeichnen. Man lege durch die geodatischen Kriimmungsmittel- 
punkte der Kurven (tfj und (0 3 ) eine Gerade (LJ. Die Tangente der 
Kurve (<? 4 ) moge die Gerade (L x ) in einem Punkte schneiden, dessen 
Abscisse hinsichtlich des betrachteten Flachenpunktes ^ sei. Ebenso 
lege man durch die geodatischen Krummungsmittelpunkte der Kurven 
(<? 2 ) und (a 4 ) eine Gerade (Z/ 2 ) und bezeichne mit 2 die Abscisse ihres 
Schnittpunkts mit der Tangente der Kurve (<? 3 ). Dann ist: 

JL JL. 

Hinsichtlich der Grosse m sei bemerkt: a) Sind -^ und -p-, die 

Normalkrummungen der Kurven, die den Winkel bez. den Neben- 
winkel der Kurven (<?,) und (^ 2 ) halbieren, so ist: 



154) v. Lilienthal, Math. Ann. 42 (1893), p. 511. 

155) Munch. Ber. 1892, p. 274. 

Encyklop, d. math. Wissensch. HI 3. 



162 HI D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

_ 1 + cosqp _ J_ / J_ , J_\ __ cosy 1 i J_ / J_ J_\ 
P " 2 \P, "" Pj P" ~ 2 U, " P,/ 

b) 1st <p t der Winkel zwischen der positiven Halbtangente der 
Kurve (tfj) und der ihr konjugierten, durch eine positive Drehung 
um die Flachennormale zu erbaltenden Halbtangente, so ist, falls die 
Kurve (o^) keine Haupttangentenkurve: 

sin (qp, qp) 

w = ~ . 

Pj sm qpj 

Bedeutet <p 2 den Winkel, um den die positive Halbtangente der 
Kurve (0 2 ) im negativen Sinne gedreht werden muss, damit sie mit 
ihrer konjugierten zusammenfalle, so hat man, falls die Kurve (0 2 ) 
keine Haupttangentenkurve: 

m = sin (y* 9) _ 
Pj sin qp 8 

c) Scbneiden die Kurven (tfj) und (<y g ) die zu J^ gehorende 
Kriimmungslinie unter den Winkeln a und /3, so ist: 

cos a cos 8 . sin a sin B 

m = p p 

^ -KS- 

Neben der geometrischen Bedeutung der betrachteten Grossen 
erwahnen wir die kinematische. Letztere lasst sicb zunacbst aus der 
Kinematik einer Geraden 156 ) herleiten. Geht die Tangente der Kurve 
(tfi) durch Translation des Beriihrungspunktes und Drehung um ihn 
in die ihr langs (aj benachbarte Tangente iiber, und bewegt sich der 
Beriihrungspunkt mit der Geschwindigkeit Eins, so gibt es eine 
Drehungsachse in der Normalebene der Kurve (tfj. Jetzt sind -^- und 

^- die Komponenten der Drehungsgeschwindigkeit bezogen auf die 
"i 

Flachennormale und die Tangente der Kurve (tf s ). Geht aber die Tan 
gente der Kurve (tfj in die ihr langs der Kurve (<? 2 ) benachbarte Lage 
iiber und bewegt sich wieder der Beriihrungspunkt mit der Geschwin 
digkeit Eins, so gibt es eine Drehungsachse in dem durch die Tangente 

f AJl 

der Kurve (0 2 ) gelegten Normalschnitt der Flache. Hier sind n t und ^-^ 
die Komponenten der Drehungsgeschwindigkeit, bezogen auf die 
Flachennormale und die Tangente der Kurve (<J 2 ). Entsprechende 
Satze gelten fur die Bewegungen der Tangente der Kurve (<J 2 ). 

Eine zweite kinematische Bedeutung gewinnen die betrachteten 
Grossen, wenn man die Koordinatenlinien als rechtwinklig voraus- 
setzt. Hier tritt die Kinematik eines festen Systems (IV 3, Nr. 21) 



156) E. Lamarle, Th^orie gom. des centres et axes instantane s de rotation, 
Bruxelles-Paris 1859. 



25. Willkurliche Koordinatenlinien. 163 

in ihre Rechte. Lassen wir die x -, y - } # -Kante eines beweglichen 
Dreikants mit der Tangente der Kurve (^ 1 ), der der Kurve (ff 2 ), und 
der Flachennormalen zusammenfallen, und geben der Translations- 
bewegung des Dreikants jedesmal die Geschwindigkeit Bins, so werden 
die Komponenten der Drehungsgeschwindigkeit bei einer unendlich 
kleinen Verriickung auf der Kurve (tfj gleicn: 

l l 
m > ~P~ > W> 

*! ""-I 

bei einer solchen auf der Kurve (0 2 ) gleich: 

l l 

pT> m , ---=- 

r \ A 2 

Es wurde oben bemerkt, dass die Ableitungen nacb Bogenlangen 
sich der Z^Vschen Theorie der infinitesimalen Transformationen (II A 6, 
Nr. 4) einordnen. Sowie in dieser Theorie der Ausdruck: 

A(Btfj) - B(A(f)) 

bei beliebig gewahlter Funktion f von grundlegender Bedeutung ist ; 
spielt hier der entsprechende Ausdruck: 

d*f d*f 

d c l d ff g d (> 2 d ffj 

eine wichtige Rolle. Nenmen wir: 



und sind Aj und A 2 integrierende Faktoren der Diflferentialformen 
und T 2; so besteht die Gleicbung: 

d*f d f _ dlog^ df d log *., df 



Zudem ist: 

d log ij OTJ cos cp -f- n t d log 1 2 w x -j- w 2 cos qp 

d ff s sin qp <Z ffj sin 9? 

Kann man A x gleich Eins nehmen, so ist T^ ein exaktes Differential; 
die Kurven T t = gestatten dann die infinitesimale Transformation dff lf 
d. h. sie sind dadurch entstanden, dass auf den Kurven T 2 = von 
einer willkurlich angenommenen aber nicht zu ihnen gehorenden Kurve 
aus gleiche Bogenlangen abgetragen sind. Dann gilt die rein geo- 
metrische Beziehung: 

n^ cos cp -f- n 2 = . 

Gestatten die Kurven T l die Transformation d& 1 und gestatten 
zugleich die Kurven T 2 = die Transformation d<5%, so verschwindet 
sowohl n wie w 2 . Jetzt liegt ein von Voss ; ,aquidistant" genanntes 
Kurvensystem vor, von dem in Nr. 40 die Rede sein wird, 

11* 



164 III D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

Die Fundamentalgleichungen kann man ebenfalls fiir willkiiiiich 
gelassene Koordinatenlinien aufstellen, doch empfiehlt es sich hier, zu 
Koordinatenlinien solche zu wahlen, die fiir die Kriimmung der Flache 
kennzeiclinend sind. Fur die Krummungslinien als Koordinatenlinien 

ergibt sich: 

,_!_ 



26. Methods von B. Lipschitz. Bezeichnend ist hier, dass die 
Parameterlinien durch ihre spharischen Bilder (Nr. 7) als bestimmt 
gedacht sind. Nimmt man letztere als von vornherein gegeben an, 
so stellen sich die Koordinaten der Flache als Integrale von exakten 
Differentialen dar. Die Integrabilitatsbedingungen der letzteren liefern 
dann die beiden von der (rawss schen verschiedenen Fundamental- 
gleichungen. 

Lipschitz} nimmt zu Koordinatenlinien die Krummungslinien, zu 
Parameterlinien die Kurven, deren spharische Bilder aus den Meri- 
dianen und Parallelkreisen der Einheitskugel bestehen. Die Lage der 
Krummungslinien wird bestimmt durch den sogenannten Stellungs- 
winkel, den die zum Hauptkrummungshalbmesser R l gehorenden 
Krummungslinien mit den Meridianen bilden. Der Fall, in dem die 
spharischen Bilder der Parameterlinien beliebig vorgeschrieben sind, 
ist von R. v. Lilienthal in entsprechender Weise behandelt 158 ). 

Darboux 1 * 9 ) wahlt zu Koordinatenlinien die Kurven, deren Tan- 
genten auf den willkiirlich zu wahlenden Parameterlinien der Einheits 
kugel senkrecht sind. Die sich so ergebenden Formeln sind als 
eine Erweiterung der Lelieuvre schen (Nr. 9) zu betrachten und von 
A. Foss 160 ) ausfiihrlicher untersucht. 

27. Methode von A. Bibaucour. Wir erwahnen endlich den Stand- 
punkt von A. Ribaucour 161 ), den er mit dem Namen ,,Perimorphie" 
belegt hat. Hier werden die Punkte einer Flache auf eine zweite, 



157) Berl. Ber. 1883, p. 169. 

158) Unters. zur allgem. Theorie der krummen Oberflachen u. geradlinigen 
Strahlensysteme, Bonn 1886, p. 8. 

159) ,,Darboux" 4, p. 42. 

160) Miinch. Ber. 1897, p. 229. 

161) fitude des ^lassoiides, Bruxelles M6m. 44 (1880), p. 4; J. de math. (4) 7 
(1891), p. 11. 



26. Meth. v. Lipschitz. 27. Meth. v. Eibaucour. 28. Meth. v. Laguerre. 165 

gegebene Flache, die ,,Bezugsflache" bezogen und auf letzterer wird 
ein orthogonales System von Parameterlinien angenommen. Die Ko- 
ordinaten (x, y, /) der ersteren stellen sich dar in der Form: 

dx dx 

c. dU dV 4,-r,- 



- 



Die Gleichungen fur die Grossen , 77, werden sehr verwickelt. 
Die Methode gewinnt erhohte Bedeutung fiir die Theorie der Strahlen- 
systeme (III D 9) und die Abbildung der Flachen aufeinander (III D 6 a, 
Nr. 13, 25). 

YII. Die allgemeine Flachenkurve. 

28. Methode von Laguerre. Geodatische Torsion. Will man 
die Krummungsverhaltnisse einer auf einer Flache gezogenen Kurve 
untersuchen, so hat man die Veranderlichen u und v als Funktionen 
einer neuen Veranderlichen zu betrachten und kann mm die Regeln 
der Kurventheorie (III D 1, 2, Nr. 31) anwenden, wobei die Gauss schen 
Formeln fiir die zweiten Ableitungen der Koordinaten zu benutzen sind. 
Allein dieser Weg fuhrt zu verwickelten und geometrisch undurchsich- 
tigen Ausdriicken. Man hat daher andere Wege eingeschlagen. Wir 
erwahnen zuerst das E. Laguerre sche Verfahren 162 ), das Darboux*) 
seinen Entwicklungen zu Grunde gelegt hat. - - Man denke sich wie 
oben auf der Flache ein bewegliches, rechtwinkliges Koordinatensystem 
eingefuhrt. Den Winkel, den die Tangente der betrachteten Flachen 
kurve mit der ic -Axe bildet, nenne man i, und o den Winkel 
zwischen der Hauptnormale der Kurve und der Flachennormale. 
Laguerre leitet unter Benutzung der Frenet schen Formeln folgende 



1 ,. i 



Beziehungen ab ; in denen - - die erste, die zweite Kriimmung der 
betrachteten Kurve, s ihre Bogenlange bedeutet: 



= smi(pdu -f- P\dv) cosi(qdu -f- 



ds cos co 
Q 

ds sin co T i 71 j 
= di -\- rdu -f- ^dv, 



_ 

Die erste dieser Gleichungen liefert die Normalkrummung, die zweite 
die geodatische Krummung der Kurve. Darboux zeigte 164 ), dass: 

162) Nouv. Ann. (2) 11 (1872), p. 60. 

163) ,,Darboux" 2, p. 347 ff. Im besonderen p. 354, 357. 

164) ,,Darboux" 2, p. 356. 



166 HID 3. R.v.Lilienihal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 



33 T- 

Die hier links stehende Ableitung muss verschwinden, wenn die be- 
trachtete Kurve eine Kriimmungslime ist, weil fur eine solche die 
Normalkriimmung ein Maximum oder Minimum ist, sodass jetzt die 
Gleichung: 

cos i (p du -f- P^dv} -f sin i (q du -f q^dv) = 

die Kriimmungslinien, die Gleichung: 

sin i (p du -{- Pi dv) cos i (q du -f- q i dv) = 
die Haupttangentenkurven, die Grleichung: 

di -\- r du -\- r^dv = 

die geodatischen Linien bestimmt. Die letzte Laguerre sdhe Gleichung 
zeigt, dass der Ausdruck - - mit der Normalkriimmung die 

Eigenschaft teilt, sich nicht zu andern ? wenn er fur verschiedene 
Kurven mit derselben Tangente gebildet wird. Nehmen wir unter 
diesen die geodatische Linie, so wird der fragliche Ausdruck gleich 
der zweiten Kriimmung derselben. Es handelt sich hier um den von 
Bonnet 1 **} mit dem Namen zweite geodatische Kriimmung belegten 
Begriff, den man heutzutage mit dem Namen geodatische Torsion be- 
legt. Von einem anderen Gesichtspunkte aus wurde die fragliche 
Torsion zuerst von J. Bertrand 166 } eingefuhrt und zwar folgender- 
massen. Mit (TV) bezeichne man die Flachennormale, mit (P ) einen 
dem Punkte (P) unendlich benachbarten Punkt der Flache. Die durch 
(P ) gehende Flachennormale bildet mit der Ebene (N, PP ) einen 
unendlich kleinen Winkel, der durch PP dividiert die geodatische 
Torsion liefert. Die geodatische Torsion einer Kriimmungslinie ist 
somit bestandig gleich Null, sodass, wenn eine Kriimmungslinie zu- 
gleich eine geodatische Linie ist, sie notwendig eben sein muss, und 
wenn eine geodatische Linie eben ist - - aber nicht gerade - - sie 
notwendig eine Kriimmungslinie sein muss. Weitere Ausdriicke fiir 
die geodatische Torsion sind: 

(EM FL] du*+ (EN GL) du dv + (FN G M} dv 9 161 , 



^TF* (E du 9 + 2 Fdu dv + G dv ) 
und: 



165) J. ec. polyt. 19 (1848), p. 16. 

166) J. de math. (1) 9 (1844), p. 134. 

167) ,,Knoblauch" p. 258. 



28. Methods v. Laguerre. Geod. Torsion. 29. Ableitungen nach Bogenlangen. 167 



. 

wo a den Winkel bedeutet, den die Tangente der Kurve mit dem 
zu R { gehorenden Hauptnormalschnitt bildet. Man kann diesem Aus- 
druck auch die Gestalt geben: 



Q 
wenn die Kriimmung desjenigen Normalschnittes ist, der zu dem 

Winkel a -f- r gehort. J. Knoblauch 169 ) findet, falls cp den Winkel 

zwischen der Tangente der Kurve und ihrem spharischen Bilde be- 
deutet, fiir die geodatische Torsion den Ausdruck: 



COSGJ. 



Konstruiert man in jedem Punkt einer Flachenkurve diejenige die 
Flache beriihrende Kugel, welche den zum Beriihrungspunkt ge 
horenden Kriimmungskreis (III D \, 2, Nr. 29) der Kurve enth alt, so 
schneiden sich nach G. Demartres 169a ) zwei unendlich benachbarte 
Kugeln unter einem Winkel, der durch das Bogenelement der Kurve 
dividiert, die geodatische Torsion der Kurve liefert. 

29. Ableitungen nach Bogenlangen. Ein zweiter Weg zur Unter- 
suchung der Krummungsverhaltnisse einer Flachenkurve besteht in der 
Benutzung der in Nr. 8 definierten Ableitungen nach Bogenlangen. 
Bezeichnen wir mit und die Normal- und geodatische Kriim- 

Pn 9, 

mung der Kurve, so wird die erste Krummung der Kurve durch die 
Gleichung festgelegt: 



Die Richtungskosinus der Hauptnormalen werden: 

/l dx X\ 
at - -j -- h ), u. s. w. 

V V?,^ *J 
und die Richtungskosinus der Binormalen: 

/ l v 1 dx\ 
pi A --- 3-1. u. s. w. 
V V^ *** ) 

Fur die zweite Kriimniung folgt: 

1 da .^ "V7 dX dx 
r ~~ ds ^J ds de 



168) E. Hour, J. ec. polyt. 22 (1862), p. 25; ,,JBiawc/w u p. 166; Bertrand 
a. a. 0. p. 134. 169) ,,Knoblauch" p. 261. 

169 a ) Bull. sci. math. (2) 21 (1897), p. 182. 



168 HI D 3. R. v. Lilienfhal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

30. Methode von A. Enneper. Ein dritter Weg endlich besteht 
darin, dass man die Ableitung nach der Bogenlange einer Kurven- 
schar nicht definiert mit Hiilfe der endlichen Gleichung oder der 
Differentialgleichung der Schar, sondern mit Hiilfe der Ableitungen 
nach den Bogenlangen zweier gegebener Scharen der Koordinaten- 
linien -- und dem Winkel, unter dem die erste Schar eine der beiden 
letzteren schneidet. Nehmen wir die Kriimmungslinien zu Koordinaten- 
linien und bezeichnen die Bogenlangen der zu E 1 und JR 2 gehorenden 
Kriimmungslinien mit s t und S 2 , so wird, wenn a den Winkel be- 
deutet, den die betrachteten Kurven mit den zu J? x gehorenden Kriim 
mungslinien bilden: 

dF(u,v) dF , . dF dF(u,v} dF , dF 

--*-- = cos cc -- -f sm K -7- , rr J = sin a -5- 4- cos a ~- 
as ds 1 ds% da ds^^ ds t 

Unter Benutzung dieses Verfahrens, das im wesentlichen von 
A. Enneper 110 } angewandt wurde, kommt man unmittelbar auf den 
Liouville schen Ausdruck der geodatischen Kriinimung, den Eulerschen 
der Normalkriimmung, und den Bertrand schen der geodatischen 
Torsion. 

31. Weitere Begriffe. Man hat noch verschiedene andere Be- 
griffe aufgestellt, um die Theorie der allgemeinen Flachenkurve zu 
bereichern; doch lassen sie sich ebenso wie die geodatische Torsion 
auf die einfacheren Begriffe der Normal- und geodatischen Kriim- 
mung, so wie der Abscisse (r) (Nr. 5) des kiirzesten Abstandes zweier 
benachbarter Normalen zuriickfiihren. 

Wir nennen zuerst die Flexion einer Flache langs einer Kurve. 
Mit diesem Nam en bezeichnet Ph. Gilbert 111 ) den Quotienten: 



Man hat hier: 



cos* a . sin 1 a 



. 
I 



wo a den Winkel der Kurve mit der zu E t gehorenden Kriiinmungs- 
linie bedeutet. 1st a der Winkel der konjugierten Kurve mit der- 
selben Kriimmungslinie, so wird: 

r^ = E^ sin 2 a -f- E 2 2 cos 2 a . 

Bezeichnet man mit - - die Flexion der konjugierten Kurve, so be- 
steht die Beziehung: 

170) Zeitschr. Math. Phys. 2 (1864), p. 100. 

171) Bruxelles, Mem. 37 (1868), p. 1. In ahnlicher Richtung wie die Gilbert sche 
bewegt sich die Arbeit von V.Reina, Rom, Line. R. (4) 6 1 (1890), p. 156 u. 205. 



30. Methode von Enneper. 31. Weitere Begriffe. 169 



ft ft 

Die geodatische Torsion ist gleich der Flexion multipliziert mit dem 
Kosinus des Winkels zwischen der Kurve und ihrer konjugierten. 
Wir erwahnen noch den Gilbert schen Satz 172 ): Die Flexionen einer 
Flache langs zweier beliebiger Richtungen verhalteri sich wie die 
Sinus der Winkel, die jede der Richtungen mit der konjugierten der 
anderen bildet. 

Ein Begriff, der sich auf zwei einfach unendliche Scharen von 
Flachenkurven bezieht, ist der von L. Aoust 113 } aufgestellte Begriff 
der Seitenkrummung (courbure incline e). Man fasse die beiden durch 
einen Flachenpunkt (P) gehenden Einzelkurven der Scharen ins Auge 
und nenne (P__) bez. (P 2 ) den (P) unendlich nahen Punkt auf der 
Kurve der ersten bez. zweiten Schar. Die Tangenten der durch (P) 
und (P 8 ) gehenden Kurven der ersten Schar bilden einen unendlich 
kleinen Winkel, der durch PP 2 dividiert die Seitenkrummung der 
Kurven der ersten Schar im Punkte (P) langs PP 2 liefert. Nach dem 
in Nr. 25 Gesagten hat deinnach die Seitenkriimmung den Wert: 

yo I o 

n -j- w 2 . 

Wir erwahnen endlich die von A. Voss eingefiihrten nach den 
Eichtungen der Koordinatenlinien gemessenen geoddtischen Krummungen 
der Koordinatenlinien - - wo jedes beliebige System von zwei ein 
fach unendlichen Kurvenscharen auf der Flache die Rolle der Ko 
ordinatenlinien spielen kann. Man erhalt die nach der Richtung 
der zweiten Koordinatenlinie gemessene geodatische Kriimmung der 
ersten auf folgende Weise. Durch (P x ) werde diejenige Normal- 
ebene der Flache gelegt, welche die Tangente der (PJ durchziehen- 
den Kurve der zweiten Schar enthalt. Diese Ebene schneidet die 
Tangente der durch (P) gehenden Kurve der zweiten Schar in einem 
Punkt, den Voss als den Mittelpunkt der fraglichen Kriimmung be- 
zeichnet 174 ). Fur diese Kriimmung selbst findet man den Ausdruck: 

jr + -jr-, und fur die entsprechende Kriimmung der zweiten 

! 4 



Koordinatenlinie den Ausdruck: ^JL?. _l_ _L. "sx 

K l &S 

172) Bruxelles, Mdm. 37 (1868), p. 13. 

173) Analyse infinit^simale des courbes tracees sui- une surface, Paris 1868; 
Par. C. R. 57 (1863), p. 217; Ann. di mat. (2) 2 (1869), p. 39. Gilbert nennt die 
Seitenkrummung Deviation. Vgl. Codazzi, dieselben Annali (2) 4 (1870), p. 16. 

174) Munch. Ber. 1892, p. 258; Math. Ann. 39 (1891), p. 200. 

175) v. Lilienthal, Math. Ann. 42 (1893), p. 516. 



1 70 III D 3. jR. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

Die in Rede stehenden Kriimmungen geniessen im Vergleich zu den 
mannigfaltigen, namentlich von Aoust betrachteten und nur durch das 
Verhaltnis zweier unendlich kleiner Grossen festgelegten Kriimmungen 
den Vorzug, dass sie einen geometrischen Mittelpunkt besitzen, der 
durch einen einfachen Grenziibergang zu erhalten ist. Will man diese 
Mittelpunkte auf Grund des in Nr. 25 iiber die Grossen t { und ^ 
Gesagten konstruieren, so hat man nur durch den Schnittpunkt der 
Geraden (j^) bez. (X 2 ) mit der Tangente der Kurve (tfj bez. (<? 3 ) eine 
Parallele zur Tangente der Kurve (tf 3 ) bez. (0 4 ) zu legen und sie zum 
Schnitt mit der Tangente der Kurve (c^) bez. (<? 2 ) zu bringen, urn in 
diesen Schnittpunkten die fraglichen Kriimmungsmittelpunkte zu er 
halten. 

32. Polkurve einer Flachenkurve und Kurven der normalen 
Segmente. Einer jeden Flachenkurve kann man in mannigfacher 
Weise andere Kurven zuordnen, so die Kurve der Mittelpunkte ihrer 
Normal- und geodatischen Kriimmung 175a ). Besondere Erwahnung ver- 
dient die von A. Enneper untersuchte Gratlinie (Riickkehrkante) der 
abwickelbaren Flache (III D 5, Nr. 3), welche die gegebene Flache 
langs der betrachteten Kurve (C) beriihrt. Ihre Tangente ist der Tan 
gente von (0) konjugiert, ihre Binormale ist parallel der Flachen- 
normalen. A. Schonflies 11 *) leitet mittels kinematischer Betracbtungen 

fiir die erste Kriimmung , die zweite - - und die Bogenlange s i der 

Pi r i 

Gratlinie die Beziehungen her: 

ds ds. . ds ds. ds ds. 

==^smop, ----^cosy, = - + d<P, 

wo (p den Winkel der fraglichen konjugierten Tangenten und - - die 

geodatische Torsion von (O) bedeutet. Die Entfernung eines Punktes 
(P) der Kurve (C) von dem zugehorigen Punkt der Gratlinie -- von 
0. BocJden 111 ) Polstrecke genannt - - fallt zusammen mit dem geo 
datischen Kriimmungsradius von (C) gemessen in der Richtung der 
konjugierten Kurve. Es lasst sich zeigen, dass das Verhaltnis der 
ersten Kriimmung der Gratlinie zur zweiten gleich ist der geodatischen 
Kriimmung des spharischen Bildes der Kurve (C}. Fasst man auf 
einer Flache ein System von zwei einfach unendlichcn Kurvenscharen 
ins Auge, so bilden die zu den Kurven jeder Schar gehorenden Grat- 

175) G. Gattorno, Giorn. di mat. 37 (1899), p. 41. 

176) Gott. Nachr. 1898, p. 74. Vgl. A. Enneper, ibid. 1869. p 207; Zeitschr. 
Math. Phys. 15 (1870), p. 283. 

177) J. f. Math. 96 (1884), p. 154; vgl. v.Lilienthal, Math. Ann. 31 (1888), p. 88. 



32. Polkurve einer Flachenkurve. 33. Das Gauss sche Krummungsmass. 171 

linien zwei neue Flachen. Voss zeigte, dass einem System konjugierter 
Scharen auf jeder der beiden Flachen ein konjugiertes Kurvensystem 
entspricht 178 ). 

Wir erwahnen noch die von Ch. Srisse Kurven der normalen 
Segments genannten Kurven. Man trage von einer Flachenkurve aus 
auf den Flachennormalen Langen auf ; die sich stetig andern. Sind 
P und P die zu den Bogenlangen s und s -f- As gehorenden Punkte 
der Kurve, L und L die von ihnen aus auf den zugehorigen Flachen 
normalen aufgetragenen Langen , T und T die Winkel, welche die 
Flachennormalen in P und P mit der Sehne PP bilden, so zeigte 
E. Laguerre irj8a: ), dass: 

TF-(L cosT+L cosl") = xAs 3 -f -i ~ As 4 + -, 

wo: 

-.- /sin co dw . cos co d$ sin A dL cos eo 
= \2^~ Js ~ 60* d~s SQT) ~~~ds 2g 

und die Grossen GJ, Q, r dieselbe Bedeutung besitzen wie in Nr. 28. 
Wenn also K langs der Kurve verschwindet, beginnt die betrachtete 
Reihenentwicklung mindestens mit Gliedern fiinfter Ordnung. In 
diesem Fall wird die von dem Endpunkt der Lange L beschriebene 
Linie als eine Kurve der normalen Segmente bezeichnet. Fur eine 
Haupttangentenkurve kann L nur gleich Null genommen werden. 
Fur jede andere Flachenkurve erhalt man unter Einfuhrung der 

Normalkrummung -~ die DijBFerentialgleichung: 

dL _ 1 dP . 2 (da> 1\ 

~L ~~ = T T ~ Y tg ra te ~ " 77 
Ftir die geodatischen Linien und die Kriimmungslinien ergibt sich: 

L = const YP. 

Ein konstantes L liefert die Differentialgleichung der von ihrem Kriim- 
mungskreis hyperoskulierten Normalschnitte (Nr. 13; III D 1, 2, Nr. 38). 

VIII. Kriimmungsmasse. 

33. Das Gauss sche Krummungsmass und ihm verwandte 
Kriimmungsmasse. Das Gauss sche Krummungsmass (Nr. 7) stellt einen 
Grenzwert dar, der ein wichtiges Kennzeichen der Flachenkrummung 
enthalt. Aber durch den Wert dieses Krummungsmasses ist die Flachen- 



178) Math. Ann. 39 (1891), p. 201. 

178*) Paris, Bull. Soc. Philomat. 7 (1870), p. 49; Ch. Brisse, Ann. e"c. norm. 
(2)3(1874), p. 144; E. Cosserat, Toulouse, M&n. (9) 7 (1895), p. 373. 



172 III D 3. .K. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

kriimmung nicht vollig bestimmt, und man hat auch die mittlere 
Krummung (Nr. 5) als das Kriimmungsmass ansehen wollen 178b ). Dem- 
gegeniiber 1st zu bemerken, dass es fur eine Flache iiberhaupt keinen 
Ausdruck geben kann, der dem fur die Krummung einer Kurve vollig 
entsprechend und zugleich erschopfend ware. Es lassen sich vielmehr 
von verschiedenen Gesichtspunkten aus fur die Flachenkriimmung 
mehr oder minder kennzeichnende Ausdriicke aufstellen, die ebenfalls 
als Grrenzwerte anzusehen sind. 

Wir erwahnen zunachst den dem Gauss sehen Kriimmungsmass 
entsprechenden Ausdruck, falls anstatt der Normalen der Flache die 
Tangenten einer einfach unendlichen Kurvenschar auf der Flache 
genommen werden. Hier bildet man die Flachenpunkte mittelst der 
den Tangenten parallelen Radien der Einheitskugel auf letztere ab 
und das Verhaltnis des Kugeloberflachenelements zum entsprechenden 
Element der Flache ist der fragliche Ausdruck. Fur eine Kurven 
schar, deren Einzelkurven die zu P x gehorenden Krummungslinien 
unter dem AVinkel <p schneiden, erhalt in den in Nr. 12 erklarten Be- 
zeichnungen der fragliche Ausdruck die Form 179 ): 

sin <p . cos (p 

I^ H " l^ } 

fur die Orthogonalschar aber die Form: 

. 



34. Das Casorati sche Kriimmungsmass und ihm verwandte 

Kriimmungsmasse. Wir erwahnen ferner das Casorati sche Kriim 
mungsmass 180 ). Man denke sich um einen regularen Flachenpunkt (P) 
in der Tangentialebene einen unendlich kleinen Kreis mit dem Halb- 
messer ds beschrieben. Jedem Radius dieses Kreises entspricht eine 
Nachbarnormale und wenn man den Winkel r, den eine solche mit 
der Normalen in (P) bildet, von (P) aus auf dem entsprechenden 
Radius auftragt, entsteht eine neue geschlossene FJache mit dem 
Flacheninhalt: 



wo a den Winkel des Radius mit einer festen Tangentialrichtung be- 



178 b ) Sophie Germain, J. f. Math. 7 (1831), p. 1. 

179) v. Lilienthal, Jahresbericht der deutschen Mathematiker - Vereinigung 
11 (1902), p. 43. 

180) Acta math. U (1890), p. 95. (Ill D 1, 2, Fussn. 254, p. 99.) 



34. Das Casorati sche Kriimmungsmass. 35. Kriimmungslinien. 173 

deutet. Casorati bezeichnet das Verhaltnis des letzten Flacheninhalts 
zum ersten als Kriimmungsmass und erhalt so den Ausdruck: 



Anstatt des Winkels T kann man den Winkel zweier zu den End- 
punkten von ds gehorender Tangenten einer Schar von Flachenkurven 
nehmen. Fiir die zu E v (jR 2 ) gehorenden Kriimmungslinien erhalt man 
so die Ausdriicke: 

1 ( J_ + J_ _i_ J_\ JL M _L J_ i M 

2 VKj 2 Jfg 2 " J^V 8 VKt* r -BT 2 l "*" -R a V 

wo unter ~?- und ^- die geodatischen Kriimmungen der Kriimmungs- 
"-i *i 

linien verstanden sind. - - Man kann aber auch statt r den Winkel 
nehmen,, den die konjugierten Tangenten der zu den Endpunkten von 
ds gehorenden Tangenten der Schar miteinander bilden. Fiir eine 
Schar ; deren konjugierte Tangenten unter einem konstanten Winkel 
die Kriimmungslinien schneiden, erhalt man den Ausdruck: 



Fur eine Schar, deren Einzelkurven selbst unter konstantem Winkel 
gegen die Kriimmungslinien geneigt sind, ergeben sich verschiedene 
Ausdriicke, je nachdem die Flache positiv oder negativ gekriimmt ist 181 ). 

IX. Weitere Satze iifoer Krummungslinieii, Haupttangenten- 
kurven und konjugierte Liuien. 

35. Kriimmungslinien. 1) Man betrachte in einer Ebene einen 
Punkt (0) und eine Kurve (C). Die Entfernung eines Punktes (P) der 
Kurve von (0) sei Q. Der Abstand des Punktes (0) von der zu (P) 
gehorenden Kurventangente sei co. Euler fand, dass der Ausdruck 

Q -jp den zu (P) gehorenden Kriimmungsradius der Kurve (III D 1, 2, 

Nr. 14) darstellt. Der entsprechende Satz fur eine Flache wurde 
von P. Serret gefunden 182 ). Hier ist eine Kriimmungslinie zu be- 
trachten, unter Q und o ist der Abstand eines festen Punktes von 
einem Punkte der Kriimmungslinie und der zugehorigen Tangential- 

ebene der Flache zu verstehen. Der Ausdruck p ~ wird dann gleich 

" dco 

dem der Kriimmungslinie zugehorenden Hauptkriimmungsradius. 



181) v. Lilienthal, Acta math. 16 (1892), p. 148. 

182) Par. C. E. 84 (1877), p. 543. 



174 IIID3. R.v.Lilienihal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

2) Es gibt zwei einfache Punkttransformationen, mit Hiilfe 
derer man aus einer gegebenen Flache eine zweite so herleiten kann, 
dass die Krummungslinien der letzteren denen der ersteren entsprecheu. 
Die erstere ist die sogenannte Dilatation (III B 2), d. h. IJbergang 
zu einer Parallelflache, die zweite ist die Transformation mittels 
reziproker radii vectores 183 ) (III A 7). Eine verwickeltere hierher ge- 
horende Transformation zeigte A. Ribaucour 184 ). Ein besonderer Fall 
derselben ist die Lagucrre sche Transformation durcb reziproke Rich- 
tungen 185 ) (III B 2). Wir weisen endlich auf die Lie sche Trans 
formation hin, welche Krummungslinien in Haupttangentenkurven iiber- 
fuhrt und umgekehrt 186 ) (III D 7). - - Eine Abbildung einer Flache 
auf eine feste Kugel, mittels welcher das System der Krummungs 
linien durch ein rechtwinkliges Kurvensystem abgebildet wird, zeigten 
Sonnet und Darboux 187 ). Man nehme eine Kugel, die sowohl die ge- 
gebene Flache wie die feste Kugel beriihrt und betrachte die Ber uh- 
rungspunkte als einander entsprechend. 

3) Wenn die gemeinsamen Tangentialebenen zweier Fliichen so 
wohl die eine wie die andere langs je einer Krummungslinie be- 
riihren, so ist die Entfernung je zweier Bertihrungspunkte in der 
selben Tangentialebene konstant. Beriihren die Tangentialebenen einer 
Flache langs einer Kriimmungslinie zugleich eine Kugel, so ist die 
Krummungslinie spharisch 188 ). Eine Krummungslinie, deren geod a- 
tische Kriimmung konstant ist, liegt auf einer Kugel, die die Flache 
senkrecht schneidet 189 ). 

4) Aus dem Euler schen Satz: = ~^ -j- ^- (Nr.l), folgt fur 

Q -KI -MS 

eine positiv gekriimmte Flache, wenn H t > _R 2 , dass stets JR t ^> (> ^ jR 2 - 
Bei einer negativ gekriimmten Flache moge R 1 > 0, R 2 < ange- 
nommen werden. Jetzt hat man fur ein positives Q die Ungleichung: 
RI ^ Q, fur ein negatives Q die Ungleichung: Q <, R%, sodass hier E^ 

183) ,,Darboux" 1, p. 208; ,,Bianchi" p. Ill; J. Weingarten, Inaug.-Diss. 
Berlin 1864, p. 13. 

184) Paris, C. R. 70 (1870), p. 330. 

185) Paris, C. E. 92 (1881), p. 71. Im selben Bande p. 286 eine weitere 
Transformation von Darboux. 

186) Math. Ann. 5 (1872), p. 177 ; Cyp. Stephanos, Paris, C. R. 92 (1881), p. 1195. 
Vgl. die Darstellung bei ,,Darboux" 1, p. 230, 249; 4, p. 171 und F.Klein, Ein- 
leitung in die hohere Geometric 1, p. 217 ft . 

187) Bonnet, Paris, C. R. 37 (1853), p. 529 ; Darboux, Paris, C. R. 94 (1882), p. 158. 
Vgl. IIID6a, Nr.ll, Fussn. 106. 

188) Beltrami, Giorn. di mat. 2 (1864), p. 305. 

189) Cesaro, Lezioni di Geom. intrins., p. 173, deutsche Ausgabe p. 222; 
U.Dini, Soc. it. Sci. Mem. (3) 2 (1869), p. 135; ,,Darboux" 3, p. 121. 122. 



35. Krummungslinien. 175 

ein Minimum, jf? 2 ein Maximum ist. Die beiden aussersten Werte 
von Q gehoren nun ausschliesslich zu den Hauptnormalschnitten, jeder 
andere zulassige Wert von $ gehort zu zwei Normalschnitten, die 
symmetrisch zu den Hauptnormalschnitten (Nr. 1) liegen. Diese Ver- 
haltnisse finden einen bezeichnenden Ausdruck in dem Verhalten der 
die Flache in dem betrachteten Punkt (P) beruhrenden Kugeln. 
Nehmen wir den fraglichen Punkt zum Anfangspunkt eines Koordi- 
natensy stems , dessen ^-Axe mit der Flachennormalen zusammenfallt, 
wahrend die x- und /-Axe von den Tangenten der zu E und E 2 
gehorenden Krummungslinien gebildet werden, so erhalt die Flachen- 
gleichung fiir hinreichend kleine Werte von x und y die Gestalt: 

iC^ 7/^ 

8 = 2-^r H~ 2~jfiT + Glieder hoherer Ordnung. 

Betrachten wir nun eine Kugel mit dem Halbmesser (r), welche 
die Flache in (P) beruhrt. Dann besitzt die senkrechte Projektion 
der Schnittkurve von Flache und Kugel auf die Tangentialebene die 
Gleichung: 

= Y (^ ~ 7 ) x * + Y (^ " 7") y 2 + Glieder hoherer Ordnung. 
Hiernach ist (P) ein isolierter Punkt der Schnittkurve, wenn r keinem 
der zulassigen Werte von Q gleich ist. Er ist eine Spitze der Schnitt 
kurve, wenn r mit E 1 oder fi z zusammenfallt. Er ist endlich ein 
Doppelpunkt der Schnittkurve, wenn r einen der sonstigen zulassigen 
Werte von ^besitzt. Die beiden durch den Doppelpunkt gehenden 
Tangenten der Schnittkurve liegen in den Normalschnitten mit der 
gleichen Krummung Die mit J? x und jR 2 als Radien beschriebenen 

Kugeln sind demnach die einzigen des betrachteten Kugelbiischels, 
die die Flache noch in einem benachbarten und zwar auf der einen 
oder anderen Kriimmungslinie gelegenen Punkte beriihren, sie bilden 
ein Analogon zu den Haupttangenten (Nr. 1), die ebenfalls eine Be- 
riihrung zweiter Ordnung mit der Flache besitzen 190 ). 

5) J. A. Serret 190a ) bemerkte bei der Untersuchung der Frage, 
unter welchen Umstanden eine durch eine Gleichung von der Form: 

9>iC) H- 9>a(y) + 9>sM = const. 

dargestellte Flachenschar einem dreifach orthogonalen Flachensystem 
angehort, dass man die Krummungslinien der durch die Gleichungen 

190) F. Klein, Einleitung in die hohere Geometrie 1, p. 222. Vgl. die Dar- 
boux sche Untersuchung uber oskulierende Flachen zweiter Ordnung, Bull. math, 
astr. (2) 4 (1880), p. 356. 

190*) J. de math. (1) 12 (1847), p. 241. Vgl. IIIDGb. 



176 III D 3. R. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

xyz = const, und xy = const, z dargestellten Flachen bestimmen konne. 
Eine Fortfiihrung dieser Untersuchungen mit Anfiihrung zahlreicher 
Einzelfalle gab Darboux (Par. C. R. 84 (1877), p. 383) und bestimmte 
ferner die Krtimmungslinien der durch die Gleichungsform : 

x m y n zv = const, 
dargestellten Flachen 190b ). 

36. Haupttangentenkurven. 1) Sie gehen durch projektive 
Transformation und durch Transformation inittelst reziproker radii 
vectores wieder in Haupttangentenkurven iiber 191 ). 

2) Die Normalkriimmung der orthogonalen Trajektorien der Haupt 
tangentenkurven ist gleich der inittleren Kriimmung (Nr. 5) der Flache. 

3) Eine ebene oder geodatische Haupttangentenkurve ist stets 
eine gerade Linie 192 ). 

4) Schliessen wir den Fall einer geraden Haupttangentenkurve 
aus und betrachten den durch den Punkt (P) einer negativ ge- 
krummten Flache gelegten Tangentialschnitt. J. M. de la Gournerie 19S ) 
zeigte, dass die beiden Zweige dieses Schnitts von den durch (P) 
gehenden Haupttangentenkurven im allgemeinen nur in der ersten 
Ordnung beriihrt werden. Beltrami 194 ) fiigte den Satz hinzu, dass 
der Halbmesser der ersten Krummung der beriihrenden Haupttan 
gentenkurve zwei Drittel des Kriimmungshalbmessers des Schnitts 
betragt. Dies veranlasste Bonnet 195 ) zur Betrachtung einer beliebigen 
Kurve, die in einem Punkt eine Haupttangentenkurve so beruhrt, 
dass ihre Schmiegungsebene mit der Tangentialebene der Flache zu- 
sammenfaHt. Bezeichnet man die erste und zweite Kriimniung der 

fraglichen Kurve im betrachteten Punkt mit und , mit die 

9 t Qo 

erste Krummung der beriihrenden Haupttangentenkurve, so findet 
Bonnet: 



woraus 



sich der Beltrami sche Satz fur = ergibt. Weiter teilt 



190 b ) Ann. ec. norm. (2) 7 (1878), p. 227 und Le9ons 1, p. 196. ttber die 
Bestimmung von Kriimmungslinien siehe ferner A. Ribaucour, Par. C. R. 74 (1872), 
p. 1489, 1570; Th. Caronnet, Par. soc. math. Bull. 20 (1892), p. 91. 

191) E. Picard, Traite d anal. 1, Paris 1891, p. 408. Vgl. HID 6 a, Nr. 10. 

192) A. Enneper, G6tt. Nachr. 1870, p. 499. 

193) J. de math. (2) 3 (1858), p. 73. 

194) Nouv. Annal. (2) 4 (1865) p. 258. 195) ibid. p. 267. 



36. Haupttangentenkurven. 177 

Bonnet eine Gleichung mit, welche die Grosse durch R 1 und R% und 

deren Ableitungen nach den Bogenlangen der Kriimmungslinien aus- 
driickt. Einen Beweis der Bonnet 1 schen Formeln findet man bei 
,,Darboux" 2, p. 396. Vgl. Ch. Brisse, J. ec. polyt. cah. 53 (1883), 
p. 217, 233. 

5) Die Gleiehungen, welche die geodatischen Krummungen der 
Haupttangentenkurven und ihrer orthogonalen Trajektorien mit den 
Normal- und geodatischen Krummungen der Kriimmungslinien ver- 
binden, hat v. Lilienthal in den Math. Ann. 42 (1893), p. 520 auf- 
gestellt. 

6) G. Koenigs zeigte 196 ), dass, wenn die Haupttangentenkurven 
von einem beliebigen Punkt aus auf eine Ebene projiziert werden, die 
Projektionskurven ein sogenanntes System mit gleichen Laplace 1 schen 
( } ,Darboux" 2, p. 23) Invarianten bilden, d. h. die Koordinaten der 
Punkte der Projektionskurven, betrachtet als Funktionen der Parameter 
u und v, geniigen einer Differentialgleichung von der Form: 

i ft \ A 

f\ o i i* 75 r u TS 

fj U fj V rim. tlun 

a a j> 
in welcher 



du 

da db 

^- = ^ 

U VV 



7) Hinsichtlich der Bestimmung der Haupttangentenkurven gab 
Darboux de* Satz (Bull. math. astr. 1 (1870), p. 355; Le9ons 1, p. 142, 
daselbst Litteratur), dass man die Differentialgleichung der fraglichen 
Kurven auf den durch die Gleichungen: 

x = A (u a) m (v a) n , y = B (u &) w (v &) n , 

= C (u c} m (v c} n 

dargestellten Flachen durch Quadraturen integrieren kann. Dasselbe 
gilt fur die von V. Jamet (Ann. ec. norm. (3) 4 (1887), suppl., p. 50) 
betrachteten Flachen, die durch eine Gleichung von der Form: 

f 1 (L,M) = f 2 (N > P) 

gegeben werden, wo fa und /" 2 homogene ganze Funktionen vom selben 
Grade, und L, M, N } P lineare ganze Funktionen der Koordinaten be- 
deuten. Der Beweis vereinfacht sich durch die E. Picard sche Be- 
merkung (Traite d Anal, Paris 1891, p. 408), dass die fraglichen 

Flachen zu den durch die Gleichungsform: xf(~-\ F(z) dargestellten 

gehoren, deren Haupttangentenkurven leicht mittelst Quadraturen er- 
mittelt werden konnen. Die Bestimmung der Haupttangentenkurven, 

196) Par. C. .R. 114 (1892), p. 65; vgl. ibid. p. 728 u. ,,Darboux" 4, p. 33. 
Vgl. HI D 6 a, Nr. 10. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 12 



178 III D 3. It. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

Krummungslinien und Minimalkurven (III D 1, 2, Nr. 12) durch Quadra- 
turen ist moglich bei den von F. Klein und S. Lie betrachteten 
Fl achen, die bei gewissen projektiven infinitesimalen Transformationen 
invariant bleiben, namentlich bei den Fl achen mit der Gleichungsform: 

Y_ 
z = x a f[ y 



den Schraubenflachen und den Spiralflachen 196 *). (Ill D 5 ; Nr. 5,7; 
III D 6 a, Nr. 10.) 

37. Konjugierte Linien. 1) Leitet man aus eiuer gegebenen 
Flache durcli eine projektive Transformation oder durch die Trans 
formation mittels reziproker Radien eine zweite Flache her, so gehen 
konjugierte Kurvenscharen in eben solche iiber 197 ). 

2) Ribauconr scher Satz. Man denke sich die Flachenpunkte als 
Mittelpunkte von Kugeln, deren Halbmesser sich stetig iindern. Die 
zum Punkt (P) gehorende Kugel wird von den ihr unendlich benach- 
barten in zwei Punkten (P , P") geschnitten, deren Verbindungslinic (L) 
auf der zu (P) gehorenden Tangeutialebene senkrecht steht und die 
zu (P) gehorende Beruhrungssehne (corde de contact] genannt wird. 
Diese Sehnen erzeugen ein Strahlensystem. Die durch (L) gehenden 
Brennebenen des Systems stehen auf jener Tangentialebene senkrecht. 
Fallt man von (P) aus Lote auf diese Ebene, so erh alt man konju 
gierte Tangenten 198 ). Wenn y den Winkel des Radius PP mit der 
Flachennormalen und E den Radius der Kugel bedeutet, besteht die 
Gleichung: sin 2 / = A^. 199 ) Darboux stellte diesem Satz den fol- 
genden an die Seite: Die in (P ) und (P") beriihrenden Tangential- 
ebenen der fraglichen Kugel schneiden sich in einer Geraden (LJ, die 
in der zu (P) gehorenden Tangentialebene der Flache liegt. Die 
Geraden (jy erzeugen ein Strahlensystem. Verbindet man (P) mit 
den in (L t ) liegenden Brennpunkten dieses Systems, so erhalt man 
ebenfalls konjugierte Tangenten 200 ). 

3) Zwei beliebige Raumkurven besitzen eine doppelt unendliche 
Schar von Sehnen, die je einen Punkt der einen Kurve mit je einem 
Punkt der anderen verbinden. Denkt man sich jede dieser Sehnen 

196*) Lie-Scheffers, Vorl. iiber Differentialgleichungen mit bekannten in 
finitesimalen Transformationen, Leipzig 1891, p. 254261. Daselbst Litteratur. 
Siehe auch die hierher gehorende flachentheoretische Anwendung allgemeiner 
JLie scher Siitze uber die Integration von Differentialgleichungen erster Ordnung 
in dem genannten Werk, p. 169187. 

197) ,,Darboux" 1, p. 118. 

198) J. de math. (4) 7 (1891), p. 47. Die Arbeit stammt aus dem Jahre 1876. 

199) ,,Darboux" 3, p. 360. 200) ,,Dar&cwa;" 2, p. 325. 



37. Konjugierte Linien. 179 

im Schnittverhaltnis A geteilt, so bilden die Teilpunkte auf alien 
Sehnen, die von em- und demselben Kurvenpunkte ausgehen, eine 
Kurve. Zu den Punkten jeder der beiden Kurven gehort so je eine 
einfach unendliche Kurvenschar. Beide Scharen liegen auf derselben 
Flache und sind konjugiert 200a ). 

4) K. Peterson} zeigt, wie jeder festen Richtung des Raumes 
auf einer gegebenen Flache ein System konjugierter Linien entspricht. 
Man betrachte die jener Richtung parallelen Geraden als Lichtstrahlen, 
die von einer unendlich fernen Lichtquelle ausgehen (s. auch III D 1, 2, 
Nr. 37). Ein auf der Flache stehender Beobachter wirft auf die 
Tangentialebene einen Schatten von bestimmter Grosse und Rich 
tung. Bewegt er sich so, dass er immer der Richtung seines Schattens 
folgt, so beschreibt er eine Schattenlinie, hingegen eine Lichtlinie, 
wenn wahrend seiner Bewegung die Grosse des Schattens sich nicht 
andert. Langs einer Lichtlinie (in der darstellenden Geometric (III A 6) 
Isophote) 201a ) fallen die Strahlen unter sich gleichbleibendem Winkel 
ein, beleuchten also die Flache gleich stark. Schattenlinien und 
Lichtlinien sind konjugiert. - Ein Satz von 0. Boklen 202 ) ordnet 
auch jeder festen Geraden ein konjugiertes System auf einer Flache 
zu. Die eine Schar wird von den Ebenen des Buschels, dessen 
Axe die Gerade ist, aus der Flache ausgeschnitten, die andere besteht 
aus den Beruhrungskurven der Tangentialkegel 7 die von den Punkten 
der Geraden aus an die Flache gelegt sind. 

5) Mit einem System konjugierter Kurvenscharen hangt der von 
Voss aufgestellte Begriff der ,,Parameterkrummung" zusammen 208 ) 
(I B 2, Nr. 21). Betrachten wir ein beliebiges System von Para- 
meterlinien u = const., v= const. Den Wertsystemen u,v- u-\- AM,V; 
u,v-{-&V : u -f- AM, v -\- Av entsprechen vier Punkte auf der Flache, P, 
P i} P 2 , P 3 , die wir als die Eckpunkte eines Tetraeders auffassen, 
dessen Inhalt mit T bezeichnet werde. Ordnet man die Punkte einer 
der beiden, sich im Punkte (P) kreuzenden, Parameterlinien den 
Punkten der anderen zu, indem man etwa setzt: 



und lasst A nach Null hin abnehmen, so wird T, falls die Parameter- 

200*) A. Eibaucour, Bruxelles, Mem. 44 (1880); Etude des elassoides, p. 16. 

201) tiber Kurven und Flachen, Leipzig 1868, p. 22. 

201 a ) L. Burmester, Theorie und Darstellung der Beleuchtung gesetz- 
massig gestalteter Flachen, Leipzig 1875. 

202) Analytische Geom. des Raumes, Stuttgart, 2. Aufl. 1884, p. 69; vgl. 
,,Darboux u 1, p. 112. 

203) Math. Ann. 39 (1891), p. 179. 

12* 



180 HI D 3. E. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

linien nicht konjugiert sind, von der vierten Ordnung, anderenfalls 
von der sechsten Ordnung unendlich klein. Dividieren wir daher T 
durch das Quadrat der Bogenlange PP 3 und das Quadrat des Flachen 
inhalts des Vierecks PP^P^P Z , so erhalten wir fiir konjugierte Pa- 
rameterlinien einen endlichen Grenzwert. Das 72-fache dieses Grenz- 
wertes nennt Voss die ? ,Parameterkrummung" der Flache nach der Rich- 
tung du : dv, bezogen auf das Grunde gelegte konjugierte System. 1st 
fur dieses: 

* Tj^ X _L Tf ^ 

~ *~ l ~> 



so erhalt die Parameterkrummung den Ausdruck: 



}/EG F* (Edu* + 2 Fdu dv + G dv*) 

Hinsichtlich der Parameterkrummung gelten ahnliche Satze wie fiir 
die Normalkrummung. In zwei zu einander senkrechten Normal- 
schnitten erreicht sie ihren grossten und kleinsten Wert, ebenso be- 
sitzt sie im allgemeinen in zwei Normalschnitten den Wert Null. 
Die beiden Grossen ^--BB^ und ^--BB^ - : die Invarianten 

obiger Differentialgleichung - - sind, wie Voss zeigt, den projektiven 
Transformationen der Flache gegeniiber absolute Invarianten. Auch 
das dualistische Analogon der Parameterkrummung bei Anwenduug 
von Ebenenkoordinaten ist von Voss definiert. Sind die Invarianten 
einander gleich, so f allt bis auf einen nur vom Wertsystem u, v ab- 
hangenden Faktor die Parameterkrummung mit der Normalkriimmung 
zusammen. 

Eine andere notwendige und hinreichende Eigenschaft konjugierter 
Scharen mit gleichen Invarianten leitet Darboux} in Erweiterung 
eines Jfo n^s schen Satzes iiber ebene Kurvenscharen her. Sie lasst 
sich so aussprechen: Konstruiert man langs zweier sich in einem 
Punkte (P) schneidender Kurven der Scharen die die Flache beriihren- 
den, abwickelbaren Flachen und fasst man auf den Gratlinien dieser 
Flachen die beiden dem Punkte (P) entsprechenden Punkte sowie 
jedesmal zwei diesen benachbarte Punkte ins Auge, so liegen die be- 
trachteten sechs Punkte auf einem Kegelschnitt. Auch das dualistische 
Analogon dieses Satzes wird von Darboux mitgeteilt. 



204) ,,Darboux" 4, p. 34; G.Konigs, Par. C. E. 114 (1892), p. 55. 



37. Konjugierte Linien. 38. Geodatische Kreise. 39. Schmiegungskugeln. 181 

X. Weitere foesondere Kurven. 

38. Geodatische Kreise. Obgleicli man vielfach mit dem Namen 
geodatische Kreise die Kurven belegt (Nr. 15), welche die von einem Punkt 
ausgehenden geodatischen Linien senkrecht schneiden (Bianchi sche 
Bezeichnung), wollen wir hier unter einem geodatischen Kreis eine 
Kurve verstehen, deren geodatische Kriimmung sich langs ihrer nicht 
andert (Darboux sche> Bezeichnung). Wickelt man die abwickelbare 
Flache, die die gegebene Flache langs eines geodatischen Kreises 
beriihrt, auf eine Ebene ab, so geht der geodatische Kreis in einen 
wirklichen Kreis fiber 205 ). - - F. Minding 206 ) bemerkte, dass ein auf 
einer Flache gespannter Faden von gegebener Lange, auf den eine 
konstante, zu ihm und der Flachennormale senkrechte Kraft wirkt, die 
Gestalt eines geodatischen Kreises besitzt. Besteht ein Orthogonal- 
system aus geodatischen Kreisen, so ist es isotherm. Nimmt man die 
Kurven eines solchen Systems zu Parameterlinien, so erhalt das Quadrat 
des Linienelements die Form: 

2 _ du*-\-dv* 207 , 

~ I/ (10 + *()] ^ 

S. Lie beStimmte die Form des Quadrats des Linienelements der 
Flachen, deren geodatische Kreise eine infinitesimale Beruhrungstrans- 
formation (III D 6 a, Nr.9; III D 7) gestatten. (S. Lie u. G.Scheffers, 
Geometrie der Beriihrungstransformationen, Leipzig 1896, p. 133 ff.) 

Darboux wandte die Jacobi sche Methode der Integration der 
Differentialgleichung der geodatischen Linien auf die Gleichung der 
geodatischen Kreise an und fuhrte die Bestimmung dieser Kreise fur 
die Rotationsflachen auf Quadraturen, fiir die Spiralflachen (III D 5, 
Nr. 7) auf die Integration einer gewohnlichen Diiferentialgleichung 
erster Ordnung zuriick (Par. C. R. 96 (1883), p. 54; ,,Darboux" 3, p. 152). 

39. Kurven, deren Schmiegungskugeln die Flache beriihren. 

Die Differentialgleichung dieser Kurven - - ,,D"-Linien - - wurde von 
Darboux (Par. C. R. 73 (1871), p. 732) aufgestellt und integriert fiir die 
Flachen zweiten Grades und die Cykliden(III C 6) 208 ). A.Ribaucour zeigte, 
dass jede Schmiegungsebene einer ,,Z)"-Linie aus der Flache eine Kurve 



205) J. Steiner, Par. C. R. 12 (1841), p. 479; J. f. Math. 24 (1842), p. 150 = 
Werke 2, Berlin 1882, p. 177. 

206) J. f. Math. 86 (1879), p. 279. 

207) ,,Darloux" 3, p. 154; ,,Bianchi" p. 176. 

208) Vgl. A. Enneper, Gottinger Nachr. 1871, p. 577; A. Pell, Amer. Math. 
Soc. Trans. 1 (1900), p. 315. 



182 IIID3. E. v. Lilienthal. Die auf einer Flache gezogenen Kurven. 

ausschneidet, die im zugehorigen Flachenpunkt von ihrem Krummungs- 
kreis hyperoskuliert wird (Par. C. R. 80 (1875), p. 642). Die samt- 
lichen derartigen zu einem Flachenpunkt gehorenden Kreise liegen nach 
Darlonx auf einer Flache zehnter Ordnung (Bull. math. astr. (2) 4 (1880), 
p. 376). Yon dem Umstand ausgehend, dass die Differentialgleichung 
der ,,D"-Linien vom zweiten Grade ist, entwickelte E. Cosserat durch 
Betrachtung homogener Integrale eine ahnliche Integrationstheorie 
dieser Gleichung, wie eine solche fur die Gleichung der geodatischen 
Linien gilt (Toulouse Mem. (9) 7 (1895), p. 366; Paris C. R. 121 (1895), 
p. 43). 

40. Aquidistante Kurvenscharen. Mit diesem Nam en belegte 
Foss 209 ) diejenigen Kurvenscharen, die zu Parameterlinien genommen 
die Form: 

du? -f- dv 2 -f- 2dudvcoscp 

des Quadrats des Linienelements hervorbringen. Die Parameter u, v 
haben also die Bedeutung der Bogenlangen der Parameterlinien. Die 
Koordinaten der Flache sind die Integrale des Systems: 



dudv 



dydz dydz dzdx dzdx dxdy dxdy 
dudv dvdu dudv dvdu dudv dvdu 

woraus unmittelbar folgt, dass auf einer Translationsflache (III D 5, 
Nr. 6), d. h. auf einer Flache, deren Koordinaten durch die Gleichungen 

dargestellt sind, die Parameterlinien stets aquidistant ausfallen. Voss 
leitet fiir die Totalkriimmung eines Vierecks auf der Flache, das von 
zwei Kurven der einen und zwei Kurven der anderen Schar eines 
aquidistanten Systems begrenzt wird, den Ausdruck her: 2# A B 
C D, wo A, B, C, D die Winkel des Vierecks sind. Die Aufsuchung 
der aquidistanten Systeme fallt zusammen mit der Tschcbyscheff sehen 
Aufgabe der Bekleidung einer Flache 210 ). Wir sahen friiher (Nr. 25), 
dass fiir ein aquidistantes System die Gleichungen bestehen: 
cosqp sinqp ~ cosqp sinqp ,-. 

Dies bedeutet geometrisch, dass die Tangenten der Kurven v = const. 
(u = const.) senkrecht sind zu den Verbindungslinien der geodatischen 
Kriimmungsmittelpunkte der Kurven u const, (v = const.) und 

209) Math. Ann. 19 (1881), p. 1. Katalog math.-phys. Modelle, Apparate 
und Instrumente, hrsg. v. W. v. Dyck, Miinchen 1892, p. 16. 

210) ,,Darboux" 3, p. 133, 206. Vgl. IE D 6 a, Nr. 12. 



40. Aquidist. Kurvenscharen. 41. Parallelkurven. 42. Konjug. Systeme. 183 

ihrer orthogonalen Trajektorien 211 ) --- und kinematisch, dass die Tan- 
gente einer Kurve v = const, (u = const.) in ihre langs der Kurve 
u = const, (v = const.) benachbarte Lage durch eine Dreliung um die 
Tangente der Kurve u const, (v = const.) und Fortschreitung langs 
dieser Tangente ubergeht. 

41. Meridian- und Parallelkurven. Bewegt sich ein Punkt (P) 
einer Flache so, dass sein spharisches Bild einen Meridian beschreibt, 
so heisst seine Bahn eine Meridiankurve der Flache , beschreibt sein 
spharisches Bild einen Parallelkreis, so heisst seine Bahn eine Pa- 
rallelkurve der Flache. Orientiert man die Einheitskugel so, dass sich 
die Meridiane in der #-Axe schneiden und nennt ; wie iiblich (III A 6), die 
zur 0-Axe senkrechten Schnitte der Flache Niveaulinien (die orthogo 
nalen Trajektorien derselben heissen Linien grb ssten Falls), so be- 
steheii nach Sonnet die Satze 212 ): 1st eine geodatische Linie zugleich 
Meridiankurve, so schneidet sie die Niveaulinien unter gleichen Winkeln. 
Schneidet eine geodatische Linie die Niveaulinien unter gleichen 
Winkeln, so ist sie eine Meridiankurve. Schneidet eine Meridiankurve 
die Niveaulinien unter gleichen Winkeln, so ist sie eine geodatische 

Linie. 

** 

42. Isotherm -konjugierte Systeme. Isotherm -konjugiert wird 
nach Bianchi ein Kurvensystem genannt, wenn: 

L = N, M=0. 

Derartige Systeme siud nur auf positiv gekriimmten Flachen vor- 
handen, und man kann fur sie ahnliche Form ein aufstellen, wie die 
Lelieuvre schen fur Haupttangentenkurven 213 ). Auf die fraglichen 
Systeme machte zuerst Voss aufmerksam 214 ), der auch zeigte, dass es 
auf einer negativ gekriimmten Flache unzahlig viele Kurvensysteme 
giebt, fur die: L = N, M = 0. Ebenso wies Voss die Bedeutung 
der fraglichen Systeme fur eine projektive Umformung der Flache nach. 

211) v. Lilienthal, Grundlagen einer Krummungslehre der Kurvenscharen, 
Leipzig 1896, p. 40. 

212) J. de math. (2) 5 (1860), p. 168. Vgl. A. Enneper, Getting. Abh. 1882, p. 3. 

213) ,,iancft" p. 135 ff. 

214) Math. Ann. 39 (1891), p. 197. Vgl. HID 6 a, Nr. 10, Fussn. 96; Nr. 33, 
Fussn. 339. 



(Abgeschlossen im August 1902.) 



Ill D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 185 



HID 4. BESONDERE TRANSCENDENTS 
KURVEK 

VON 
G. SCHEFFERS 

IN DARMSTADT. 



Inhaltslibersicht. 

1. Einleitung. 

I. Rollkurven. 

2. Allgemeines. 

3. Trochoiden, ihre Scheitel- und Wendepunkte. 

4. Verschiedene^Arten der Erzeugung von Trochoiden. 

5. Einteilung der Trochoiden, Epi- und Hypocykloiden. 

0. Gemeine Cykloiden, Kreisevolventen und archimedische Spiralen. 

7. Rektifikation der Epi- und Hypocykloiden. 

8. Naturliche Gleichung der Cykloiden, cykloidale Kurven. 

9. Mit den Cykloiden zusammenhangencle Kurven, insbesondere Ehodoneen. 

10. Rollkurven mit geradliniger Polbahn. 

11. Kurven von Delaunay und Sturm. 

12. Para- und Hypercykloiden. 

II. W- Kurven. 

13. Definition der W- Kurven. 

14. Zwei Arten von transcendenten ebenen IT- Kurven. 

15. Satze iiber allgemeine W- Kurven der ersten Art. 

16. Logarithmische Spiralen. 

17. Orthogonale Trajektorien konzentrischer ahnlicher und ahnlich gelegener 
Ellipsen oder Hyperbeln. 

18. Dreieckspotentialkurven und adiabatische Kurven. 

19. Satze iiber W- Kurven der zweiten Art. 

20. W- Kurven im Raume, gemeine Schraubenlinien. 

III. Sinusspiralen und ihre Verallgemeinerungen. 

21. Sinusspiralen. 

22. Abbildung der Geraden der Ebene als Sinusspiralen. 

23. Einige Eigenschaften der Sinusspiralen. 

24. Rektifikation der Sinusspiralen. 

25. Triangular- und tetraedral-symmetrische Kurven. 

26. Cesdro sche, insbesondere Ribaucour sche Kurven. 

27. Kettenlinien und Traktricen. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 13 



186 III D 4. G.Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

IT. Transcendente Raumkurven. 

28. Charakteristische Eigenschaft der Bertrand schen Kurven. 

29. Endliche Gleichungen der Bertrand schen Kurven. 

30. Die Bertrand schen Kurven in der FHichentheorie. 

31. Kurven konstanter Kriimmung, Kurven konstanter Torsion und allgemeine 
Schraubenlinien. 

32. Eigenschaften der allgemeinen Schraubenlinien. 

33. Verallgemeinerungen der Bertrand schen Kurven. 

34. Loxodromen. 

35. Mininmlkurven und Kurven der tetraedralen Komplexe. 

36. Gemeinsame Eigenschaften einiger Kurvenfamilien. 

V. Sonstiges. 

37. Aufzahlung einiger nicht-besprochenen transcendenten Kurven. 

38. Einteilung der ebenen transcendenten Kurven. 

39. Register der erwahnten Kurven. 



Litteratur. 

Lehrbiicher. 

P. Serret, Theorie nouvelle geometrique et mecanique des lignes a double cour- 
bure, Paris 1860. (Auch als These, Paris 1859, mit derselben Paginierung, 
aber ohne Vorwort, Inhaltsverzeichnis und Anhang erschienen.) 
L. Aoust, Analyse infinitesimale des courbes planes, Paris 1873. 
- Analyse infinitesimale des courbes dans 1 espace, Paris 1876. 

F. Cesaro, Vorlesungen fiber naturliche Geometric, deutsch von G. Kowaleivski, 
Leipzig 1901 (tJbersetzung von: E. Cesaro, Lezioni di geometria intrinseca, 
Neapel 1896). 

G. Loria, Spezielle algebraische und transcendente Kurven der Ebene, Theorie 
und Geschichte, deutsch von F. Schiitte, Leipzig 1902*). 

Ausserdem viel zerstreutes Material in den Lehr- und Ubungsbiichern der 
analytischen Geometrie, der Differential- und Integralrechnung (II A 2) und der 
Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Kurven und Fl achen 
(III D 1, 2). 

Die Zeitschriftenlitteratur findet man in den Anmerkungen, daselbst auch 
einige Monographien iiber spezielle transcendente Kurven. 

r 

1. Einleitung. Eine Kurve in der Ebene, deren Gleichung in 
rechtwinkligen Koordinaten x, y nictit auf eine algebraische Form ge- 
bracht werden kann, heisst transcendent. Die Gesamtheit aller der- 

*) Dem Entgegenkommen des Herrn Verf assers verdankten wir die Einsicht 
in dies Werk, mit dessen Reichhaltigkeit wir in Bezug auf die ebenen Kurven 
absolut nicht in Wettbewerb treten konnen, schon wahrend seines Druckes. Be- 
zuglich der dlteren Geschichte der ebenen transcendenten Kurven verweisen wir 
grundsatzlich auf dies Buch, neben dem man M. Cantor, Vorlesungen uber Ge 
schichte der Mathematik 1, Leipzig 2. Aufl. 1894; 2, 2. Aufl. 1900; 3, 2. Aufl. 
1901, zu Rate ziehen moge. 



1. Einleitung. 187 

jenigen Punkttransformationen der Ebene, die jede algebraische Kurve 
wieder in eine algebraische Kurve verwandeln, ist die Gruppe aller 
algebraiscJien Transformationen der Ebene [II A 6 ? Nr. 1, 19]. Daher 
gilt die Definition der transcendenten Kurven nicht nur fur rechtwinklige 
Koordinaten x } y, sondern iiberhaupt fiir solche Punktkoordinaten , t), 
die durch zwei in x, y, ; ty algebraische Gleichungen definiert werden, 
und ebenso fur solche homogene Punktkoordinaten x , X 2 , x s , deren 
Verhaltnisse zusammen mit x, y zwei algebraischen Gleichungen ge- 
n(igen ; wie z. B. fiir allgemeine projektive Koordinaten [III B 2], wiihrend 
dagegen z. B. bei Benutzung von Polarkoordinaten der analytische 
Unterschied zwischen algebraischen und transcendenten Kurven ver- 
schwindet. Wendet man die Gruppe aller algebraischen Transforma 
tionen der Ebene auf die Gesamtheit aller ebenen Kurven an, so bilden 
die algebraischen Kurven fur sich eine invariante Mannigfaltigkeit, 
ebenso die transcendenten. 

Leibnis nannte insbesondere diejenigen Kurven inter scendent, deren 
Gleichungen durch Nullsetzen von Polynonien in x } y mit irrationalen 
Exponenten hervorgehen x ). Fur die Raumkurven gilt Entsprechendes. 

Wahrend fiir die algebraischen Kurven natiirliche Einteilungen 
(nach Ordnung, Klasse u. s. w.) vorhanden sind, fehlen sie bei den 
transcendenten Kurven. Dabei verdanken manche dieser Kurven ihr 
Bekanntsein dem Zufall. Die Benennung der transcendenten Kurven 
ist daher misslich, ebenso die Aufgabe, aus der grossen Zahl der 
transcendenten Kurven eine Auswahl zu treffen. Wollten wir alle 
einigermassen bekannten transcendenten Kurven erwahnen, so konnten 
wir bei dem knappen Raume nicht viel mehr als eine Sammlung von 
Definitionen geben. Da aber G. Loria in dem oben erwahnten Buche 
eine griindliche Zusammen stellung der bisherigen Arbeiten iiber ebene 
transcendente Kurven bietet, erscheint es uns richtig, nur gewisse 
Klassen solcher Kurven ausfiihrlicher zu besprechen 2 ), namlich erstens 
Rollkurven (darunter die Cykloiden, Kreisevolventen und archimedischen 
Spiralen), zweitens die W- Kurven (darunter die logarithmischen Kurven 
und logarithmischen Spiralen, zu denen im Raume die gemeinen 
Schraubenlinien treten), drittens die Sinusspiralen und ihre Verallgemeine- 
rungen (darunter die Kettenlinien und Traktricen). Unter diese drei 
Rubriken namlich lassen sich wohl ziemlich alle wichtigeren ebenen 
transcendenten Kurven einreihen. Der vierte Abschnitt ist transcen- 

1) Vgl. L. Euler, Introductio in analysin infinitorura 2, Lausannae 1748, 
p. 285, wo das Beispiel y = ay 2 besprochen wird. 

2) Zum Teil ausfuhrlicher als G. Loria, zum grossereu Teil aber weniger 
ausfiihrlich als dieser. 

13* 



188 III D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

denten Raumkurven gewidmet (Bertrand sche Kurven, allgemeine 
Schraubenlinien, Loxodromen, Minimalkurven, tetraedrale Kurven), 
wahrend wir im fiinften Abschnitt mehrere nicht behandelte Kurven 
citieren und fiber Versuche zur Einteilung der transcendenten ebenen 
Kurven berichten. 

Solche Familien transcendenter ebener Kurven, deren Gleichungen 
nocb willkiirliche Funktionen enthalten, beriicksiclitigen wir niclit, 
ebenso wenig Kurven, die nur zur Darstellung transcendenter Funk 
tionen dienen sollen. Yon den transcendenten Raumkurven betrachten 
wir nur solche, die unabhangig von Flachen definiert werden konnen. 

Zeiclmungen von ebenen transcendenten Kurven bietet das Z/on a sche 
Bucli in grosserer Anzalil. 

I. Rollkurven. 

2. Allgemeines. Die Bahnkurven der Punkte einer ebenen Figur, 
die sicb stetig in ihrer Ebene bewegt, heissen Eollkurven (Eouletten), 
weil die Bewegung nach III D 1, 2, Nr. 17 und IV 3, Nr. 8 durch Rollen 
einer mit der Figur starr verbundenen Polkurve auf einer in der 
Ebene festen Polbalm erzeugt werden kann. An den angegebenen 
Stellen ist schon bemerkt, dass die Tangenten der Rollkurven in 
jedem Momente der Bewegung senkrecht zu den Geraden sind, die 
die bescnreibenden Punkte mit dem momentanen Drelipol, d. b. dem 
Beriihrungspunkt von Polbabn und Polkurve, verbinden; ferner, dass 
die Aufgabe, die Kriimmungsmittelpunkte der Rollkurven zu finden, 
auf die Aufgabe zuriickkommt, sie fur den Fall zu finden, dass Kreis 
auf Kreis rollt. 

G. Ph. de la Hire 3 ) zeigte zuerst, dass jede ebene Kurve als Roll- 
kurve erzeugt werden kann. Wir beschranken uns auf solche Problerne 
der Bewegung, durch die man zu besonders wichtigen transcendenten 
Kurven gefiihrt wurde. 

3. Trochoiden, ihre Scheitel und Wendepunkte. , Die Polbalm 
und die Polkurve seien Kreise. Dann heissen die Rollkurven Tro 
choiden*) und zwar Epi- oder Hypotrochoiden , je nachdem der rollende 
Kreis ausserhalb oder innerhalb des festen liegt 5 ) 6 ). Algebraisch ist 

3) Traite des roulettes, Paris Me m. 1706 [1707]. E. Catalan, Nouv. Ann. 
Math. (1) 15 (1856), p. 102108, bewies uberdies, dass man dabei die Polbahn 
beliebig in der Ebene der Kurve annehmen darf. 

4) Trochoide (Rad- oder Scheibenlinie) nannte P. de Roberval die genieine 
Cykloide (s. Nr. 6); vgl. G. Loria, Spezielle Kurven, p. 461. 

5) Geschichtlicb.es bei G. Loria, Spezielle Kurven, p. 479481, Huton de la 
Goupilliere, L lnterm^diaire des math. 5 (1898), p. 234, 235, E. Wiilffing, ebenda, 



3. Trochoiden, ihre Scheitel und Wendepunkte. 189 

eine Trochoide nur dann, wenn das Verhaltnis der Radien beider 
Kreise rational ist (ausserdem in dem trivialen Fall, dass der be- 
schreibende Punkt die Mitte des rollenden Kreises ist). 

Es sei: C Mitte, R Radius des festen Kreises, M Mitte, r Radius 
des rollenden Kreises. Dabei sei R stets >0, dagegen *^0, je nach- 
dem M und C auf derselben oder auf verschiedenen Seiten des 
momentanen Drehpols 0, des Beriihrungspunktes beider Kreise, liegen. 
Der beschreibende Punkt P habe von M den Abstand a > 0, je 
nachdem r > ist. Der Kriimmungsmittelpunkt K von P liegt auf 
OP und ist nach III D 1, 2, Nr. 1 7, zu konstruieren. Liegt P insbeson- 
dere auf dem Umfang des rollenden Kreises, so liegt K auf der 
Polaren von P hinsichtlich des festen Kreises 7 ). P beschreibt 
momentan einen Wendepunlct, wenn er auf demjenigen Kreis ( Wende- 
kreis) liegt, der in den festen Kreis beriihrt und dessen Radius 
gleich Rr:2(R r } ist 8 ), wobei das Vorzeichen anzeigt, ob die 
Mitte des Wendekreises auf derselben oder auf der andern Seite von 
liegt wie C. Ferner beschreibt P momentan einen Scheitel (vgl. 
Ill D 1, 2, p. 30), wenn P entweder auf der Centralen CM liegt (Haupt- 
sclicitel] oder auf dem Kreis (Sclieitelkreis*)) liegt, der in den festen 
Kreis beriihrt und den Radius 3 Rr : (4 R 2r) hat, wobei das Vor 
zeichen dieselbe Bedeutung wie vorhin hat (NebenscheiteT). Jede 
Trochoide hat Hauptscheitel, jede transcendente unendlich viele. Sie 
liegen auf zwei koncentrischen Kreisen um (7, zwischen denen die 
Trochoide periodisch verlauft. Nur im Fall, wo P auf dem Umfang 
des Kreises (r) liegt, arten die auf dem einen dieser beiden koncen 
trischen Kreise liegenden Scheitel in Riickkehrpunkte aus, die auf dem 



p. 235238; ebenda 6 (1899), p. 1112; Bibliotheca math. (3) 2 (1901), p. 235 
259. Die Epicykloiden (siehe Nr. 5), die gewiss im Altertum schon bekannt 
waren (vgl. die Epicykeln des Ptolemaischen Weltsystems) , kommen in einem 
speziellen Fall bei A. Diirer 1525 vor, dann bei Desargues, DC la Hire, wo sie 
auch so genannt werden, Euler u. s. w. 

6) Rotiert ein Punkt P gleichformig um einen Punkt U, der seinerseits 
gleichformig um einen festen Punkt C rotiert, so beschreibt er eine Trochoide. 
Siehe G. J. Verdam, Arch. Math. Phys. (1) 11 (1848), p. 1820. Vgl. Nr. 4. 

7) W. Zehme, Elementare und analytische Behandlung der verschiedenen 
Cykloiden, Iserlohn und Elberfeld 1854, insbes. p. 16. 

8) Siehe IV 3, p. 211, Fussnote 88, ausserdem: Ch. Brcsse, J. e c. pol. cah. 35 
(1853), p. 89115, insbes. p. 99. 

9) Der Scheitelkreis und die Centrale CM bilden zusammen eine durch die 
imaginaren Kreispunkte gehende Kurve dritter Ordnung. Diese Kurve fur den 
Fall beliebiger Polkurven bei L.Burmester, Civiling. 23 (1877), p. 227250, insbes. 
p. 241. Vgl. auch IV 3, Nr. 8. 



190 



III D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 



Umfang cles festen Kreises liegen und deren Tangenten Radien des 
festen Kreises sind. Die von C nach den Hauptscheiteln gehenden 
Geraden sind Symmetriegeraden der Trochoide (s. Fig. I) 10 ). Nicht 




.Fig- 1- 

alle Trochoiden haben Nebenscheitel. Insbesondere giebt es Trochoiden, 
bei denen zwei Nebenscheitel in einen Hauptscheitel zusammenfallen, 
sodass der Kriimmungskreis dort sechspunktig beriihrt. 

10) Hierin sind die Wendepunkte mit W, die Hauptscheitel mit 5, die 
Nebenscheitel mit S bezeichnet. Zugleich ist angegeben, wie man zu einem 



3. Trochoiden, ihre Scheitel und Wendepunkte. 



Die Bewegung werde von der Anfangslage (M , P , ) aus vor- 
genommen, bei der P auf der Centralen CM Q liegt und zwar in der- 
jenigen der beiden moglichen Stellen, die naher bei ist, sodass 
5f P und M Q Q denselben Sinn haben. Beim Abrollen sei <jp bezw. 
T/> der zum abgerollten Bogen des Kreises (K) bezw. (r) gehorige 




Fig. 2. 



Fig. 3. 



Centriwinkel, gemessen mit Vorzeichen unter Riicksicht auf den posi- 
tiven Drehsinn der Ebene. Stets ist (vgl. Fig. 2 fur r > 0, wobei 
il> < 0, und Pig. 3 fur r < 0, wobei $ > ist): 

73 

Rep = rip oder ^ = - g>. 



Ist die Ebene die komplexe Zahlenebene 11 ), C der Nullpunkt, C0 
die positive reelle Axe, so gehort zur Mitte M die Zahl (R r) e i( f. 
Die Richtung von M P geht im Fall r > durch die Drehung cp -f- ^, 
im Falle r < durch die Drehung cp -f- ^ it aus der Richtung C 
hervor, sodass, da a > mit r > ist, in jedem Falle zu P die Zahl 



e if ? 



oder 

(1) 



iy = (E r) 



1 R 

<P 



beliebigen Punkt (P 2 ) den Krummungsnrittelpunkt (K%) findet und wie sich diese 
Konstruktion modifiziert, wenn der Kurvenpunkt (P s ) auf der zugehorigen Cen 
tralen (CM S ) gelegen ist (s. HID 1,2, Nr. 17). Dabei ist nur noch zu sagen, dass 
in O s , M s , P s Lote zur Centralen CP S gezogen werden, wahrend die andere Ge- 
rade durch O s beliebig ist. 

11) Die komplexe Zahlenebene (vgl. I A 4, p. 155) benutzt E. Frangoise, Atti 
Istituto Venet. (4) 1 (1872), p. 430436, F. Morley, Amer. J. of math. 16 (1894), 
p. 188204, und F. Schilling, Zeitschr. Math. Phys. 44 (1899), p. 214227. 



192 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

gehort. Also sind: 

n* 7? 

x = (R r) cos cp -f- a cos qp, 

y = (R r) sin cp -\- a sin cp 

/ \ / T I if T 



(2) 



die Gleichungen der Trochoide, ausgedriickt mittels des Parameters <JD. 

4. Verschiedene Arten der Erzeugung von Trochoiden. Aus (1) 
folgt die eigentlich schon von G. J. Verdam 1848, vgl. Anm. 6, be- 
merkte, alsdann ausdriicklich von G. Bellermann 12 ) angegebene Art 
der Erzeugung: 

Bewegt sich ein Gelenkparallelogramm so, dass eine Ecke C fest 
bleibt, wahrend sich die beiden anliegenden Seiten CU und CV nait 
konstanten Winkelgeschwindigkeiten a und ft um C drehen, so be- 
schreibt die vierte Ecke P eine allgemeine Trochoide [IV 3, Nr. 23, 
24]. 1st namlich CU = u, CV v und liegen u und v zu Anfang 
ttber einander auf der positiven reellen Axe, so liegt P zur Zeit t 
an der Stelle, die die Zahl 
(3) x -\- iy = ue iat -f- we /" 

darstellt. Setzt man t proportional <p, so lasst sich diese Gleichung 
mit (1) leicht identifizieren 13 ). 

Aber dies ist auf ewd Aften moglich: Entweder giebt man R, 
r, a die aus 



folgenden Werte R 1} r lf a oder die aus 

12) Epicykloiden und Hypocykloiden, Jenenser Diss., Berlin 1867. G. Beller 
mann betrachtet auch die durch Addition von analogen Gliedern zu den Gliedern 
in (1) hervorgehenden CyTdoiden hoherer Ordnung, die dann von C. Eichler, 
Hamburg math. Ges. Mitt. 2, 2 (Festschrift 1890), p. 92105, durch gegliederte 
Polygone erzeugt worden sind, wobei die komplexe Zahlenebene benutzt wird. 
Vgl. auch L. Eaabe, J. f. Math. 1 (1826), p. 289301, wo die Hypothese des 
Ptolemaischen Weltsystems (Epicykeln) untersucht wird. 

13) E. Eckardt, Zeitschr. Math. Phys. 15 (1870), p. 129134, erzeugt die 
Epi- und Hypocykloiden (s. Nr. 5), indem er zwei Punkte auf einem Kreis mit 
verschiedenen konstanten Geschwindigkeiten rotieren lasst. Die Verbindende 
beider Punkte umhiillt, wie analytisch gezeigt wird, die Kurve, der Beriihrungs- 
punkt teilt die Verbindende im Verhaltnis der Geschwindigkeiten. Dieselbe Er 
zeugung dann synthetisch bei L. Kiepert, Zeitschr. Math. Phys. 17 (1872), p. 129 
146; fur Trochoiden verallgemeinert bei E. Eckardt, a. a. 0., ferner ebenda 
18 (1873), p. 319323. Siehe auch J. Wolstenholme , Lond. Math. Soc. Proc. 4 
(April 1873), p. 321327, der daraus die nachher zu besprechende doppelte Er 
zeugung der Epi- und Hypocykloiden durch Eollen ableitet. 



4. Verschiedene Arten der Erzeugung von Trochoiden. 



193 



folgenden Werte R 2 , r%, a 2 . Jede Trochoidc kann also auf zwei Arten 
durch Abrollen eines Krcises auf einem festen Kreise erzeugt werden u )- 




Fig. 4. 



Fig. 5. 



Kenut man die eine Art der Erzeugung, also etwa R , r l} a lf so 
liefern diese Formeln die Bestimmungsstucke der andern, namlich: 

(4) E ~ E r = (E r ) = jR a a = R r 

Diese Formeln geben sofort auch die Koustruktion der zweiten Er 
zeugung (s. Fig. 4 und 5). Bei beiden Erzeugungen haben die festen 
Kreise dieselbe Mitte C. Man kann zeigen, dass es sonst keine Er 
zeugung der Trochoide durch Rollen eines Kreises auf einem festen 
Kreise giebt 15 ). 

14) Die doppelte Erzeugung der Epi- und Hypocykloiden (also, vgl. Nr. 5, fur 
i =r x , 2 2 ) bemerkten schon De la Hire und Euler; vgl. G.Loria, Spezielle 
Kurven, p. 483. Der Satz fiber die doppelte Erzeugung der Trochoiden uberhaupt bei 
S.H. Gildemeister, De lineis curvis epicycloidibus et hypocycloidibus, Diss. Marburg 
1866; G. Bellermann, a. a. 0. 1867; Fouret, Nouv. Ann. (2) 8 (1869), p. 162 
168; T. Eittershaus, Verhandl. des Ver. zur Beforder. d. Gewerbfl. in Preussen 53 
(1874), p. 269300, insbes. Anm. auf p. 272, 273; Proctor, A treatise on the 
cycloid and all forms of cycloidal curves, London 1878, p. 154157; A. Victor, 
Zeitschr. Math. Phys. 25 (1880), p. 263271; Chr. Wiener, ebenda 26 (1881), 
p. 257263; F. Morleij und F. Schilling, vgl. Anm. 11. Morley stellt deshalb 
die Erzeugung der Trochoiden durch Grelenkparallelogramme an die Spitze, weil 
sie eindeutig ist, wahrend die beiden Erzeugungen der Trochoiden als Eoll- 
kurven mit einander gleichberechtigt sind. Vgl. IV 3, Nr. 23. 

15) Modelle der Trochoiden, die die doppelte Erzeugung zeigen, hat 
L. Burmester, Katalog math. Modelle, Munchen 1892, p. 335, und F. Schilling 
(Verlag von M. Schilling, Halle a. S., vgl. auch die in Anm. 11 angegebene 
Arbeit) hergestellt. 



194 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

5. Einteilung der Trochoiden, Epi- und Hypocykloiden. Liegt 
P bei der Erzeugung (R^ , r , a x ) im Innern des rollenden Kreises (r t \ 
sodass a : r t < 1 ist, so liegt P bei der andern Erzeugung (_R 2 , r 2 , 2 ) 
ausserhalb des rollenden Kreises (r 2 ), da dann 2 : r 2 > 1 ist. Diese 
verschiedenen Lagen von P darf man daher zur Einteilung der Tro 
choiden nicht benutzen. Durchlauft P bei der einen Erzeugung eine 
Epitrochoide, d. h. ist r t < und also auch a < oder r t > R 1 und 
also auch a^ > 0, so ist r 2 > R 2 bezw. r 2 < 0, d. h. auch bei der zweiten 
Erzeugungsart ist die Kurve Epitrochoide zu nennen (vgl. Fig. 5). Die 
Einteilung in Epi- und Hypotrochoiden Neibt daher bei der zweiten Er 
zeugung erhalten. Ist im Fall der Epitrochoide r < 0, d. h. liegt der 
feste Kreis (JR 1 ) nicht im Innern des rollenden Kreises (rj, so ist 
r 2 > JR 2 , d. h. der feste Kreis (U 2 ) liegt innerhalb des rollenden Kreises 
(r 2 ), 16 ) was Fig. 5 bestatigt. 

Liegen bei der einen Erzeugung der beschreibende Punkt P und 
die Mitte C des festen Kreises (EJ beide innerhalb oder beide ausser 
halb des rollenden Kreises, so gilt dasselbe von der zweiten Art der 
Erzeugung, und die Kurven heissen dann ihrer Grestalt wegen ver- 
schlungene Trochoiden. Im andern Fall heissen sie geschweifte Tro 
choiden 17 ). 

Liegt P bei der ersten Erzeugung auf dem Umfang des rollen 
den Kreises (r t ), d. h. ist ^ = r v so ist auch 2 r a , d. h. P liegt 
auch auf dem Umfang des zweiten rollenden Kreises. Dann heisst die 
Bahn von P eine CyJdoide. In diesem Falle ist der feste Kreis bei 
beiden Erzeugungen derselbe und r^ -\- r 2 = R i = R%, also: Teilt 
man den Durchmesser AB eines festen Kreises durch einen Punkt P, 
konstruiert dann iiber jeden Teil PA und PB als Durchmesser einen 
Kreis und denkt sich P mit dem einen oder andern Kreis fest ver- 
bunden, so beschreibt P beim Abrollen des betreffenden Kreises auf 
dem festen Kreise beide Male dieselbe Oyldoide. Die Cykloiden heissen 
wieder Epi- oder Hypocykloiden, je nachdem der rollende Kreis ausser- 



16) Es ist deshalb unlogisch, in dem Falle, wo der rollende Kreis den 
festen Kreis einschliesst, die Bahnkurven der Punkte des Umfanges des rollenden 
Kreises PericyUoiden zu nennen, wie es z.B. H. Wcissenborn in der Monographic: 
Die cyklischen Kurven methodisch und mit besonderer Rucksicht auf Konstruk- 
tionen u. s. w., Eisenach 1856, p. 2, 3, thut. Doch beachte man seine Rechtfertigung 
in seiner Fussnote zu p. 3. Andere Autoren geben ebenfalls den Kurven mannig- 
fache Beinamen, die hiiufig durch die zweite Erzeugung in ihr Gegenteil ver- 
wandelt werden. 

17) So bei Chr. Wiener a. a. 0., p. 263. F. Schilling a. a. 0., p. 222, sagt gc- 
streckt statt geschweift. 



5. Einteilung der Trochoiden. 6. Cykloiden, Kreisevolventen, archiiu. Spiralen. 195 



halb oder innerhalb des festen liegt. 1st also P ausserer oder innerer 
Teilpunkt von AID, so ist die Rollkurve von P eine Epi- bezw. Hypo- 
cykloide (s. Fig. 6 und 7) 18 ). 





Fig. 6. 



Fig. 7. 



6. Gemeine Cykloiden, Kreisevolventen und archimedische 
Spiralen. RolU ein Kreis (r) auf einer Geraden (R = oo) ab, so 
haben die Rollkurven keine zweite Er- 
zeugung durch Rollen von Kreis oder 
Gerade auf Kreis oder Grerade. Die 
Rollkurven der Punkte, die auf dem 
Umfange des rollenden Kreises liegen, 
heissen dann gemeine Cykloiden 19 ) , die 
iibrigen Rollkurven verschlungene oder 
gescliiveifte Cykloiden 20 ), je nachdem der 
beschreibende Punkt ausserhalb oder 
innerhalb des rollenden Kreises liegt. 
Da jetzt E = oo zu setzen ist ; gelten 
die Formeln (2) nicht mehr. Ist die 
#-Axe die feste Polbahn, r der Radius 




Fig. 8. 



des rollenden Kreises, a der Abstand des beschreibenden Punktes P 
von der Mitte M von (r), wo jetzt r und a beide positiv sein sollen, so 
werde die Anfangslage (M 0) P , ) so gewahlt, dass der Drehpol 
der Anfangspunkt des Axenkreuzes ist, M auf der positiven ?/-Axe 
liegt und P die Ordinate r a hat. Ist der zum Centriwinkel tl> 
gehorige Bogen des Kreises (r) abgerollt, so sei ty positiv gerechnet, 



18) Die Trochoiden heissen bei manchen Autoren auch verallgemeinerte 
Cykloiden oder cyklische Kurven u. dgl., ja auch schlechtweg Cykloiden. 

19) Beziiglich der alteren Geschichte der gerneinen Cykloiden siehe G. Loria, 
Spezielle Kurven, p. 460462. Ihr Name riihrt von G. Galilei her, 

20) Auch verldngerte und verktirzte Cykloiden. 



Ill D 4. G. Scheffers. Besondere transcendents Kurven. 

wenn das Abrollen auf der positiven z-Axe stattfindet. Dann hat P 
die Koordinaten (s. Fig. 8) 21 ): 

x = ril> a sin # , y = r a cos # . 

Dies sind die mittels des Parameters ausgedriickten Gleichuugen 
der verschlungenen Cykloide fur a > r, der gemeinen fiir a = r, der 
geschweiften fiir a < r. Fiir die gemeine Cykloide giebt 4, = 2xrk 
(k erne ganze Zahl) die Eiiclikelirpunlde, fiir die sonstigen Kurven giebt 
= xrk die Hauptsclieitel, die auf zwei Parallelen zur x-Axe liegen. 
Der Punkt P ist ein Wendepunkt seiner Bahn, wenn er auf den 
Wendekreis zu liegen kommt, d. h. auf den Kreis vom Radius 1 r, 
der innerhalb des rollenden Kreises liegt mid ihn im momentanen 
Drehpol beriihrt. Er wird dagegen ein Ndxmscheitel, wenn er auf 
den ebenso liegenden Kreis vom Radius -r riickt 22 ). 

Edit eine Gerade (r = oo) auf einem festen Kreise (E) db, so be- 
schreiben ihre Punkte eigentlicU Evolventen [III D 1, 2, Nr. 16] des festen 
Kreises, die sonstigen mit ihr fest verbundenen Punkte versctilungene oder 
gesctiweifte Kreisevolventen, je nachdem sie auf derselben Seite der Geraden 
liegen wie die Mitte C des festen Kreises oder nicht. Auf die analytische 
Darstellung, die dann aucb nicht mehr die Form (2) hat, gehen wir 




Fig. 9. 

nicht ein. Insbesondere beschreiben diejenigen Punkte, die mit der 
Geraden fest verbunden sind, auf derselben Seite von ihr wie C liegen 
und den Abstand E von ihr haben, archimedische Spirakn 23 ). Jeder 

21) In dieser Figur ist zugleich die Konstruktion des Kriimmungsmittel- 
punktes K bezw. K fiir die Punkte P bezw. P angegeben. 

22) Scheitel- und Wendekreisradius gehen aus den in Nr. 3 angegebenen 
lladien fur E = oo hervor. Der Scheitelkreis ist z. B. bei Chr. Wiener, Lehr- 
buch der darstellenden Geometric 2, Leipzig 1887, p. 357 erwahnt. 

23) Al. Cl. Clairaut, Paris Mem. 1740 [1742]. 



7. Rektifikation der Epi- und Hypocykloiden. 197 

solche Punkt riickt narnlich im Laufe der Bewegung einmal in die 
Mitte C. Nehmen wir diese Lage zur Anfangslage und benutzen die 
Polarkoordinaten r, 6 mit dem Pol 0, sodass die Anfangslage der 
Greraden die Tangente des festen Kreises im Punkte (r = R, = -ye) 

ist, so beschreibt der zu Anfang in C liegende Punkt P die Kurve 
(s. Fig. 9 24 )): 

r = .R0 (E = const.), 

und dies ist die Definitionsgleichung der archimedischen Spiralen 25 ). 

7. Rektifikation der Epi- und Hypocykloiden. Wahrend die 
Rektifikation [III D 1, 2, Nr. 10] der Trochoiden im allgemeinen auf 
elliptische Integrale fiihrt, ist sie im Fall der Cykloiden (a = r) 
elementar. Nach (2), Nr. 3, sind: 

24) Hierin ist wieder die Konstruktion des Krummungsmittelpunktes K 
fur P angegeben. P hat seinen Kriimmungsmittelpunkt K in der Mitte von P . 

- Hier sei noch angemerkt, dass die Spirale von Sturm oder Nonvich, deren 
Kriimmungsradius gleich ihrem Radiusvektor ist, eine Evolvente einer Kreis- 
evolvente ist, vgl. G. Loria, Spezielle Kurven, p. 532, 533. Diese Spirale hat 
iibrigens eine charakteristische Eigenschaft, die bei Loria nicht erwahnt zu sein 
scheint: Ihre Bogenliinge stimmt mit der Bogenlange ihrer Fusspunktkurve 
uberein, wenn der Anfangspunkt der Pol der Fusspunkttransformation ist. 
J. Sylvester nennt die hoheren eigentlichen Kreisevolventen CyTcloden (Lond. 
math. Soc. Proc. 2 (1869), p. 137160). 

25) Geschichtliches fiber die archimedischen Spiralen bei G. Loria, Spezielle 
Kurven, p. 426433. Ihre Entdeckung wird Archimedes zugeschrieben. Alle 
archimedischen Spiralen sind einander ahnlich. (Dasselbe gilt von alien eigent 
lichen Kreisevolventen.) Jede archimedische Spirale hat zwei von C ausgehende 
symmetrische Zweige, siehe L. Euler, Introductio in analysin infinitorum 1, 
Lausannae 1748, tab. 27, fig. 109, und 2, p. 301302. Archimedes selbst hat die 
Tangente bestimmt und die Quadratur ausgefuhrt. Ihre Rektifikation wurde von 
Cavalieri, St. Vincentius, Roberval, Pascal und Fermat geleistet, namlich auf die 
der Parabel y z == 2 Ex zuruckgefuhrt. Mit der archimedischen Spirale ist die 
Neoide identisch (vgl. F. Stegmann, Archiv Math. Phys. (1) 8 (1846), p. 53, 54), 
denn die Gleichung der Neoide: r = a0-f& kann durch andere Wahl des An- 
fangsstrahls auf die Form r = a8 gebracht werden. Wenn man also alle Radien- 
vektoren der archimedischen Spirale urn dasselbe Stuck verlangert, so ergiebt 
sich eine kongruente, aber gedrehte archimedische Spirale. Der Kriimmungs 
mittelpunkt wurde mittels der projektiven Geometric von TF. Rulf, ebenda (2) 11 
(1892), p. 197199, abgeleitet. Eine Minimaleigenschaft der Kurve bei E. JaniscJi, 
ebenda (2) 9 (1890), p. 445448. Wahlt man namlich in der Ebene drei feste 
Punkte TTj, JT 2 , V und zwei feste Geraden ^ und jr 2 durch T^ bezw. 7T 2 , so geht die 
Fusspunktkurve C einer Kurve r, die 1^ und JT 2 zu Punkten und t und ^ da- 
selbst zu Tangenten hat, durch die Fusspunkte P l und P 2 der Lote von V auf 
TTj und 7r 2 , wenn V der Pol der Fusspunkttransformation ist. Fur eine Kurve r 
der bezeichneten Art ist nun die von C, F, 1 und ?r 2 begrenzte Flache ein 
Minimum, wenn C eine archimedische Spirale ist, die V zum Pol hat. 



198 HI D 4. G. Sclieffers. Besondere transcendente Kurven. 



(6) 



N r R 
x = (R r) cos cp -\- r cos qp 

/ T> \ f R 

y = (R ?) sin cp -\- r sm qp 



die Gleichungen der Cykloide. Hieraus folgt fiir das Bogenelement ds: 

ID 

ds = + 2 (R r) sin <)p d<p , 

also, wenn die Bogenlange s von qp = an gerechnet wird: 

r) 



Wird R<p = + rye gesetzt, so ergiebt sich die Lange eines halben 
Cykloidenbogens, namlich vorn Riickkehrpunkt (90 = 0) bis zum n ach- 
sten Hauptscheitel. Daher ist die Lange eines Bogens zwischen zwei 
aufeinanderfolgenden Riickkehrpunkten 26 ) 

, 8r ,p_ v 

Rollt ein Kreis vom absolut gemessenen Radius r einmal auf der 
einen, das andere Mai auf der andern Seite des festen Kreises (R) 
ab, indem von solchen Lagen ausgegangen wird, in denen beide 
rollende Kreise einander beruhren und alsdann dieser Beruhrungs- 
punkt als beschreibender Punkt gewahlt wird, so ergeben sich zwei 
Cykloiden, die gemeinsame Ruckkehrpunkte haben. Dabei ist die 
Summe der Bogen beider zwischen zwei aufeinanderfolgenden Riick- 
kehrpunkten gleich 16 r, also von R unabhangig 27 ). 

8. Natiirliche Gleichung der Cykloiden, cykloidale Kurven. 
Das Quadrat des Krummungsradius Q der Cykloide (6), ausgedruckt 
durch die von einem Hauptscheitel an gerechnete Bogenlange s, hat 
den Wert: 

(7) p 2 = -^2fZTB)" L 1 " ~ 16r*(JZ r) 2 S J 

Die Cykloiden haben also eine natiirliche Gleichung (vgl. Ill D 1, 2, 
Nr. 15) von der Form 28 ): 

(8) TTa ~T "TTs ==: *! 



26) De la Hire, Paris Mem. 9 (1694), p. 234 u. 239. Niiheres fiber die 
Rektifikation und Quadratur der Trochoiden uberhaupt bei G. Eichler, vgl. 
Anm. 12, und G. Loria, Spezielle Kurven, p. 466, 467, 469-471, 475477,489, 
490. Ebenso dort naheres iiber diejenigen algebraisclien Cykloiden, die beson- 
deres Interesse haben. 

27) E. Hennig, J. f. Math. 65 (1866), p. 5261, bemerkt, dass diese Unab- 
hiingigkeit von der Polbahn auch dann statthat, wenn die Polbahn eine be- 
liebige Kurve ist. 

28) L. Aoust, Analyse infinitesimale des courbes planes, Paris 1873, p. 9 



8. Natiirl. Gleich. d. Cykloiden. 9. Mit ihnen zusammenhangende Kurven. 199 
wo: 



R* > (2r .R)~ 

ist. Umgekehrt: Die natiirliche Gleichung (8) stellt eine Epi- oder 
Hypocykloide dar, bei der die Radien der Kreise sind: 

f-ir\\ Ti mn * mn 

~ * * r== > 



wobei m mit demjenigen Vorzeichen zu wahlen ist, fiir das E > 
wird, und wobei wieder die doppelte Erzeugung hervortritt, da n 
durch n ersetzt werden kann. 

Die Kurven dagegen, deren natiirliche Gleichung ist: 



wo die Konstanten A und S nicht beide positiv sind, lassen sich 
niclii durch Abrollen eiues reellen Kreises auf einem reellen Kreis 
erzeugen. E. Cesdro 29 ) nennt sie cyldoidale Kurven, insbesondere Pseudo- 
cyJdoiden 80 ), wenn A -f- B = ist. Unter ihnen sind reette Kurven 
vorhanden, die also als Cykloiden aufgefasst werden konnen, bei denen 
der eine oder beide Kreise imaginar sind. Von E. Wolffing ist die 
Frage nach alien derartigen Kurven methodisch behandelt worden 31 ). 
Auf zwei spezielle, die Paracykloide und HyperajTdoide von E. de 
Saussure, kommen wir in Nr. 12 zuriick. 

9. Mit den Cykloiden zusammenhangende Kurven, insbes. 
Rhodoneen. Beschreibt P eine Cykloide, d. h. liegt P auf dem Um- 
fang des Kreises (r), der auf dem festen Kreise (E) rollt, so liegt 

29) E. Cesaro, Natiirliche Geometrie, p. 58, wo er die Gleichung (11), in- 
dem er den Anfangspunkt der Bogenlange beliebig w ahlt, so schreibt: 

g* = s 2 +2|?s + y. 

Ist insbesondere (3 2 = ay, so ist die Zuruckfuhrung auf die Form (11) nicht mehr 
moglich. Dann gehen die logariihmischen Spiralen (s. Nr. 16) hervor. Ist a = 0, 
so ist die Kurve eine eigentliche Kreisevolvente (Nr. 6). 

30) Ebenda p. 10, 11. 

31) Wenn bei einer stetigen ebenen Bewegung zwei Punkte reelle Bahnen 
beschreiben, so beschreiben alle mit ihnen starr verbundenen reellen Punkte 
reelle Bahnen, auch ist dann der Drehpol stets reell, daher auch Polbahn und 
Polkurve. Sind diese beiden nicht reell, so kann der Fall eintreten, dass gerade 
und nur ein Punkt eine reelle Bahn beschreibt. Bei E. Wolffing, Zeitschr. Math. 
Phys. 44 (1899), p. 139166, findet man auch Geschichtliches iiber das fruhere 
Auftreten solcher Kurven, deren Charakter als Trochoiden man nicht erkannte, 
bei Euler u. A. Siehe auch G. Loria, Spezielle Kurven, p. 504 508, wo noch 
eine der Mechanik entstammende spezielle cykloidale Curve, die Ephelix von 
F. Roth (Repertorium d. Phys. 23 (1887)), p. 1, 457, 553, erwahnt wird. 



200 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

der Krumrnungsmittelpunkt K von P auf einem Kreise, der den festen 
Kreis ebenfalls im momentanen Drehpol beriihrt und den Radius 

Er 



2r B 

hat, wobei das Vorzeichen dieselbe Bedeutung wie oben (in Nr. 3) 
hat. Konstruieren wir den zum festen Kreis (R) konzentrischen 
Kreis (R f ), der den Kreis (/) ebenfalls beruhrt, dessen Radius also ist: 



so ist, abgesehen vom Vorzeichen: 

r:R = r:R. 

Rollt der Kreis (r) auf dem Kreis (R) ab, so rollt zugleich der Kreis 
(/) ohne Gleiten auf dem Kreis (R f ) ab, woraus der Satz von 
Jac. Bernoulli und De la Hire 82 ) folgt, dass die Evolute einer Epi- oder 
Hijpocyldoide eine ihr ahnliche Kurve ist, wobei jedoch entsprechende 
Punkte nicht homolog sind. Fur allgemeine Trochoiden gilt aber kein 
analoger Satz 33 ). Die Evolute einer gemeinen Cykloide insbesondere 
ist eine mit der Cykloide kongruente Kurve. In diesem Falle wird 
der Kriimmungsradms vom momentanen Drehpol halbiert 34 ). 

Die FusspunUkwrven [HID 1,2, Nr. 7] der Cyldoiden} in Bezug 
auf die Mitte C des festen Kreises haben in Polarkoordinaten r, B Glei- 

chungen von der Form: 

l a cos&0; 

solche Kurven heissen Rhodoneen 36 }. Auch unter den Trochoiden 

32) Jac. I Bernoulli, Acta Enid. 1692, p. 291 f.; De la Hire, Paris Me"m. 9 
(1694), p. 221294, insb. p. 265. 

33) Ihre Evoluten wurden von S. H. Gildemeister , a. a. 0., G. Bellermann, 
a. a. 0. (siehe Fussnote 14), und Chr. Wiener, Zeitschr. Math. Phys. 27 (1882), 
p. 129 139, untersucht. 

34) Jede ebene Kurve, deren Krummungsradius von einer festen Geraden 
halbiert wird, ist eine gemeine Cykloide. Man sehe z. B. E. Cesaro, Natiirl. 
Geometric, p. 26. 

35) Siehe G. Bellavitis, Ann. fis. mat. 3 (1852), p. 508516; E.Eckardt, 
Zeitschr. Math. Phys. 15 (1870), p. 129134, insbes. p. 132, und L. Kiepert, 
ebenda 17 (1872), p. 129146, insbes. p. 143. Hier wird ihre Eektifikation und 
Quadratur ausgefuhrt. Fusspunktkurven mit allgemeiner gewahltem Pol bei 
W. M. Hicks, Mess, of Math. (2) 6 (1876), p. 9496. 

36) Die Rhodoneen (Roserikwrven , Rosaces) riihren von G. Grandi her, es 
wurden hauptsachlich nur algebraische betrachtet. Vgl. G. Loria, Spezielle 
Kurven, p. 297306. Die Bahn eines Punktes, der langs einer Geraden um 
einen ihrer Punkte schwingt, wahrend die Gerade um letzteren Punkt gleich- 
massig rotiert, ist eine Rhodonee. Siehe E. Auth, Marburger Diss. 1866. Aus 
den Rhodoneen gehen vermoge Transformation durch reziproke Radien die Ahren- 
kurven oder Cotes schen Spiralen hervor, siehe G. Loria, Spezielle Kurven, p. 305. 



10. Rollkurven mit geradliniger Polbahn. 201 

selbst sind Rhodoneen vorhanden, namlich diejenigen Trochoiden, bei 
denen a = (E--r) 1st, die also durch die Mitte des festen 
Kreises gehen. In der That 37 ), im Fall a = E - r hat die Kurve (2), 
Nr. 3, in Polarkoordinaten r. die Gleichun^- 

O 



im Falle a = r E die Gleichuno-: 



10. Rollkurven mit geradliniger Polbahn. Rollt eine Kurve 
auf einer Geraden ab, so gestalten sich die Formeln nach einer Be- 
merkung von E. de Saussure} besonders bequern, wenn man fur die 
roUende Polkurve die natiirlichen Koordinaten, d. h. Bogenlange s 
und Krummungsradius 0, fur die RoUkurven dagegen rechtwinldige 
Koordinaten x, y benutzt, wobei die geradlinige Polbahn die a;- Axe 
und zu Anfang der Bewegung (fur s = 0) der Drehpol der Anfangs- 
punkt sei. 1st namlich das Bogenstiick s der Polkurve: 

9 = <p(s) 

auf der rr-Axe abgerollt, und wird das Abrollen urn das Element ds 
weiter fortgesetzt, sodass weiterhin um den Kontingenzwinkel ds : Q 
der Polkurve gedreht wird, so andern sich die Koordinaten x, y eines 
mit der Polkurve fest verbundenen Punktes um Elernente dx, dy, 
fiir die sich aus einer Figur sofort ergiebt: 

(12) 



y s x p 

1st die Polkurve Q = <p(s) gegeben, so folgt hieraus: 
d(xiy) i 

_-_ 



37) Dass jede Rhodonee eine Trochoide 1st, bewies L. Ridolfi, Di alcuni 
usi delle epicicloidi e di uno strumento per la loro descrizione e specialmente 
per quella dell ellisse, Florenz 1844, p. 11. Vgl. G. Loria, Spezielle Kurven, 
p. 495. Spatere Arbeiten uber Rhodoneen : H. Durege, Zeitschr. Math. Phys. 9 
(1864), p. 209217; A. Himstedt, Progr. Progymnasium Lobau (W.-Pr.) 1888; 
A. Aubry, J. de math. spec. (4) 2 (1893), p. 172178. 

38) Auf die sonstigen Kurven, die mit den Trochoiden zusammenhangen, 
wie z. B. ihre Polarkurven hinsichtlich des festen Kreises, gehen wir nicht ein, 
ebenso wenig auf die Bedeutung der Trochoiden, insbesondere Cykloiden, fiir 
die Mechanik und als Brennkurven. Man vgl. hieruber E. Wolffing, Bibliot heca 
math. (3) 2 (1901), p. 235259. 

39) Amer. J. of math. 17 (1895), p. 269272. Eine andere Behandlung des 
Problems bei A. Demoulin, Bruxelles Mem. cour. 45, 7 mars 1891. 

Encyklop. d. math. Wissensch. HI 3. 14 



202 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

d. h. die Rollkurven ergeben sich durch Integration einer linearen 
Differentialgleichung 1. Ordnung, also durch Quadraturen (vgl. II A4b, 
Nr. 22). Ist dagegen eine Rollkurve y = f(x) gegeben, so liefert (12): 



die erste Formel giebt s, darauf die zweite p als Funktion von x. 
Es geht also die natiirliche Gleichung der Polkurve durch Elimination 
hervor. Wir betrachten in Nr. 11 und 12 einige besondere Falle. 

11. Kurven von Delaunay und Sturm. Rollt eine Ellipse oder 
Hyperbel auf einer Geraden, so beschreiben ihre Brennpunkte Kurven, 
die Dclaunay sche Kurven heissen 40 ). Ch. Delaunay* 1 } hat naralich be- 
wiesen [III D 5, Nr. 36]: Urn die Meridiankurve einer Rotationsflache 
konstanter mittlerer Krummung 1:2 a zu finden, lasse man eine Ellipse 
oder Hyperbel, deren Hauptaxe gleich 2 a ist, auf der Geraden rollen. 
Jeder ihrer Brennpunkte beschreibt die gesuchte Kurve. Durch Um- 
drehen der Kurve um die Gerade geht die gewiinschte Rotationsflache 
hervor. Wegen des bekannten Satzes iiber die Hauptkriimmungsradien 
einer Rotationsflache [III D 5, Nr. 4] bedeutet dies, dass bei einer De 
launay schen Kurve die Summe der reziproken Werte des Krummungs- 
radius und der Ms zur Axe gemessenen Normalen Constant (gleich 1 : a) 
ist. 0. Bonnet 42 ) fugte hinzu: Rollt eine Parabel auf der Geraden ab, so 
beschreibt ihr Brennpunkt die Kettenlinie (s. Nr. 27); die zugehorige 
Flache ist das Katenoid. In der That ist bei der Kettenlinie der Kriim- 
mungsradius entgegengesetzt gleich der Normalen, gemessen bis zur 
Axe. Ch. Sturm 4 " 3 ) untersuchte die Rollkurve der Mitte eines Kegel- 
schnittes beim Abrollen auf der Geraden und bemerkte, dass sie im 
Fall der gleichseitigen Hyperbel eine spezielle elastisclic Linie (s. Nr. 37) 
ist 44 ). S. Spitzer 45 ) zeigte, dass die Bogenlange der Delaunay schen Kurve 
bei einmaligem Abrollen einer Ellipse gleich dem Umfang des Kreises 
ist, der die grosse Axe der Ellipse zum Durchmesser hat. Die Roll 
kurven beliebiger mit dem abrollenden Kegelschnitt fest verbundener 

40) Nach einem Vorschlag von P. Mansion, siehe E. Habich, Mathesis 6 
(1886), p. 103 106. Sie heissen auch elliptisclie bezw. hyperbolischc Kettenlinien. 

41) J. de math. (1) 6 (1841), p. 309315. Unter mittlerer Kriimmung ver- 
steht dabei Delaunay die halbe Summe der beiden Hauptkriimmungen [III D 1, 2, 
Nr. 35.] 

42) Ebenda (1) 9 (1844), p. 97112, insbes. p. 104. 

43) Ebenda (1) 6 (1841), p. 315320, insbes. p. 318, 319. 

44) Siehe auch H. Brocard, Nouv. Ann. (2) 9 (1870), p. 432, und Moret- 
Blanc, ebenda (2) 12 (1873), p. 451453. 

46) Archiv Math. Phys. (1) 48 (1868), p. 235238. 



11. Kurven von Delaunay und Sturm. 12. Para- und Hypercykloiden. 203 

Punkte wurden tells speziell, teils allgernein von inehreren unter- 
sucht 46 ) 47 ). 

12. Para- und Hypercykloiden. Es rolle eine Polkurve auf 
der Geraden (#-Axe) ab. Dabei beschreibe ein mit ihr fest ver- 
bundener Punkt eine Gerade: 

y = ax -j- a. 

Die natiirliche Gleichung der Polkurve geht dann aus (13) in der 

Form: 

Q as a = 

hervor, die zeigt, dass die Polkurve eine logarithmische Spirale (s. Nr. 16), 
insbesondere fur a = ein Kreis, ist 47a ). 

Soil dagegen ein Punkt beim Abrollen der Polkurve auf der 
Geraden (a? -Axe) einen Kegelschnitt beschreiben 48 ), der die Gerade 
zur Axe hat, sodass 

46) Z. B. von H. Brocard, Nouv. Corresp. de math. 3 (1877), p. 6 13, 
3340; A. V. Lane, Amer. J. of math. 8 (1886), p. 132137; H. Ekama, Archiv 
Math. Phys. (2) 8 (1890), p. 388441. 

47) Man kann auch die Kurve suchen, die eine mit der abrollenden 
Polbahn fest verbundene Kurve umhiillt, z. B. wenn ein Kreis auf einem Kreis 
abrollt, so umhiillt auch jeder Durchmesser eine Cykloide, nach M. Chasles, 
Aper9u historique etc., Briissel 1837, 2. Aufl. Paris 1875, p. 69. 1st die Pol 
kurve eine Parabel, so umhiillt ihre Leitlinie eine Kettenlinie (Nr. 27), siehe 
z. B. E. Cesaro, Natiirliche Geom., p. 94. Ferner: Eollt eine Epi- oder Hypo- 
cykloide auf der Geraden ab, so beschreibt die mit ihr fest verbunden ge- 
dachte Mitte des urspriinglich festen Kreises eine Ellipse (das Abrollen ist 
hier eine Art von Hin- und Herpendeln auf beiden Seiten einer Strecke); die 
Ellipse wird im Fall der Kreisevolvente (Nr. 6) zur Parabel. Vgl. 0. Boklen, 
Archiv Math. Phys. (1) 37 (1861), p. 118123, insbes. p. 121; E. Cesaro, Natiirl. 
Geom., p. 84, 85. Die Bahnkurve des Pols einer auf einer Geraden rollenden 
Sinusspirale (s. Nr. 21) wurde von 0. Bonnet, J. de math. (1) 9 (1844), p. 97112, 
insbes. p. 103, untersucht. Sie ist eine Bibaucour sche Kurve (s. Nr. 26). Vgl. 
auch A. Mannheim, Paris Soc. math. Bull. 4 (1876), p. 158, 159; A. Bibaucour, 
Etude des elasso ides ou surfaces a courbure moyenne nulle, Bruxelles Mem. cour. 
in 4, 1881, insbes. p. 158; J. McMdhon, Educ. Times 50 (1889), p. 169, 170; A. De- 
moulin, Bruxelles Me m. cour. in 8, 44 (7 mars 1891); E. Cesaro, Natiirl. Geom., p. 85, 
E. Wolffing, Biblioth. math. (3) 2 (1901), p. 235259. Rollt eine Bibaucour sche 
Kurve auf einer Geraden ab, so umhiillt ihre Direktrix wieder eine Eibaucour- 
sche Kurve, vgl. E. Cesaro, Natiirl. Geom., p. 84. Die Kurve, auf der eine Hy- 
perbel abrollen muss, damit ihre Mitte eine Gerade beschreibe, ist die Sprung- 
seilkurve (courbe a sauter), namlich die Kurve eines schweren homogenen 
unausdehnbaren, aber biegsamen Fadens, der um eine horizontale Axe mit fest- 
gehaltenen Enden rotiert. Siehe P. Appell et E. Lacour, Principes de la theorie 
des fonctions elliptiques, Paris 1897, p. 188, u. G. Loria, Spezielle Kurven, p. 513. 

47 a ) Siehe z. B. E. Catalan, Anm. 3. 

48) B. de Saussure, Anm. 39. 

14* 



204 III D 4. G. Sclieffers. Besondere transcendente Kurven. 

& i fi _-. 
a "" ~ 

die Gleichung der Rollkurve 1st, so folgt aus (13) fiir die Polkurve 
die natiirliche Gleichung: 



s * _i_ *! /* - py 

T"" (5 " V a )> 



die zeigt, dass die Polkurve eine cyldoidale Kurve (s. Nr. 8) ist, 
indern hier a . s 

o (a p) a 9 P(a P) 

2 2 r -^ 



die Grossen (9) sind, sodass nach (10): 



I/a 2 y a (y/J y a) 

die Radien der erzeugenden Kreise sind. Nur wenn a>0, /3 > 7 
die Rollkurve also eine Ellipse ist, ist die Polkurve eine Cykloide, 
die durch Rollen eines reellen Kreises auf einem reellen Kreis 
entsteht. 

Ist a > 0, /3 < 0, d. h. die Rollkurve eine Hyperbel und die Pol 
bahn ihre grosse Axe, so ist r imaginar. Die somit auf imaginarem 
Wege als Cykloide erzeugbare reelle Polkurve heisst nach E. de Saussure 
eine ParacyUoide. Im Falle a < 0, /3 > dagegen nennt er die Polkurve 
HypercyUoide; in diesem Fall ist die Rollkurve eine Hyperbel uud 
die Polbahn ihre Nebenaxe und E und r werden imaginar. 

Ist die Rollkurve eine Parabel und die Polbahn ihre Axe, so ist 
die Polkurve eine Krdsevolvente^}. Vgl. Anm. 29. 

II. TF-Kurven. 

13. Definition der W- Kurven. F. Klein und S. Lie haben 
1870/71 in gemeinsamen Arbeiten 50 ) eine Familie von im allgeineinen 

49) Wir nennen noch einige Arbeiten fiber das Abrollen transcendente r 
Kurven: Abrollen von Cykloiden auf Cykloiden bei G. Bellermann, Berlin Konig- 
stadt. Realschule Jubil.- Schrift 1882, p. 215240; A. Mannheim, Paris Soc. 
math. Bull. 4 (1876), p. 158, 159; Abrollen von Sinusspiralen oder Ribaucour- 
schen Kurven auf Sinusspiralen bei Hdton de la Goupilliere, Nouv. Ann. (2) 15 
(1876), p. 97108, insbes. p. 103; A. Mannheim, a. a. 0.; E. Cesaro, Natfirl. 
Geoin., p. 95. Ferner fiber Abrollen von Kegelschnitten auf Kegelschnitten bei 
A. Miquel, J. de math. (1) 3 (1838), p. 202208; E. Hartmann,Progr. Kassel 1876; 
H. Ekama, Archiv Math. Phys. (2) 8 (1890), p. 388441. Endlich sei noch er- 
w ahnt: E. Habich a. a. 0.; E. Cesaro a. a. 0. p. 86, 91. 

50) Surune certaine famille de courbes et de surfaces, Paris, C.R.70 (18 70), p. 1222 
1226, 12751279 ; Uber diejenigen ebenen Kurven, welche durch ein geschlossenes 
System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transform ationen 



13. Definition der TF- Kurven. 205 

transcendenten Kurven untersucht, die zwar gelegentlich schon fruher 
vorkamen 51 ), bei denen aber der innereGrund fiir ihre merkwiirdigenEigen- 
schaften erst durch die Genannten aufgedeckt wurde. Zur Definition 
gehen wir von einer infinitesimalen projcUiven Transformation der 
Ebene aus [II A 0, Nr. 4]. Sie erzeugt, unendlich oft ausgefuhrt, eine 
in Lie s Sinne kontinuierliche eingliedrige projeMive Gruppe (3^ [II A 6, 
Nr. 2]. Ubt man alle Transformationen der Gruppe auf irgend einen 
Punkt aus, so beschreibt er eine BahnJmrve der Gruppe . Diese 
Bahnkurven sind die W-Kurvcn der Ebene. Die Definition der W- 
Kurven im Eaum ist analog. Auf diese Kurven kommen wir in Nr. 20 
kurz zuriick. Jeder Punkt einer TF- Kurve hat dieselbe Kurve zur 
Babnkurve, sodass zur Gruppe (^ in der Ebene oo 1 TF-Kurveu gehoren. 
Jede dieser W- Kurven bleibt invariant bei alien Transformationen der 
Gruppe ! [II A 6, Nr. 12]. 

Sind x lt X 2 , x s homogene Punktkoordinaten und erteilt die infi- 
nitesimale Transformation der Gruppe x ihnen die Inkremente: 

(14) dx { = (a^Xi + a i2 x 2 + a is ^) 3t (i == 1, 2, 3), 

wobei dt etwa das Zeitelement vorstellt, in deru die Transformation 
vor sich geht ; so ist langs jeder W- Kurve der Gruppe : 

(15) _ dx i ._ dx s dx s 

a ll x 1 + a 12 2 + a ls x & a^ l x l -f a^x s + a Z3 x s ~ a slXl + a^x^ +H~K~ S 

Jede Integralkurve dieses Systems ist eine W- Kurve der Gruppe 
1 . Fuhrt man nicht-homogene Koordinaten: 



ein ; so kommt statt (15): 



^ zl 

Dies ist die allgemeine Form einer JacoU schen gewdhnliclien Di/feren- 
tialgleichung 1. Ordnung ). Die W- Kurven sind also die Integral- 
kurven derartiger Differentialgleichungen. 

Fiinrt man auf die Ebene eine beliebige projektive Transformation 
aus, d. h. bildet man sie perspektiv auf eine Ebene ab [III A 5, 6], 

in sich iibergehen, Math. Ann. 4 (1871), p. 5084. Eine elementare Behand- 
lung der ebenen W- Kurven bei S. Lie, Vorlesungen fiber kontinuierliche 
Gruppen u. s. w., bearb. von G. Sclieffers, Leipzig 1893, p. 6882. Sie heissen 
dort selbstprqjcktive Kurven, doch hat sich diese Bezeichnung nicht eingeburgert. 
Uber den Namen TT-Kurven siehe Anm. 58. 

51) So bei C. G. J.JacoU, J. f. Math. 24 (1842), p. 1 4 = Werke 4, p. 257 
262; A. Clebsch und P. Gordan, Math. Ann. 1 (1869), p. 359400, insbes. p. 389. 
Nach G. Loria auch bei G. Battaglini, Napoli Atti 2 (1865). 

52) Siehe Jacobi a. a. 0. Vgl. auch IIA4b, p. 240. 



206 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

so gehen die TF-Kurven einer Gruppe ^ in die W- Kurven derjenigen 
Gruppe iiber, die aus ^ durch Ausiibung jener Transformation her- 
vorgeht. Will man also typische Formen fur die W- Kurven finden, 
so darf man dabei beliebig von projektiven Koordinatenanderungen 
Gebrauch machen. 

14. Zwei Arten von transcendenten ebenen W- Kurven. Jede in- 
fmitesimale projektive Transformation der Ebene sowie die von ihr er- 
zeugte Gruppe (5^ lasst gewisse Punkte und Geraden in Ruhe. Es giebt 
fiinf Moglichkeiten 53 ). Bei zweien bleiben unendlich viele Geraden 
einzeln in Ruhe, die daher dann die W- Kurven sind. Bei einer er- 
zeugt die infmitesimale Transformation eine eingliedrige Gruppe 
derenBahnkurven-BTe^eZsc/miftesind 54 ). Transcendente W- Kurven konnen 
sich daher nur in den beiden iibrigen Fallen ergeben. Diese sind: 

Erster Fall: Bei j bleiben die Ecken und Seiten eines (nicht 
ausgearteten) Dreiecks A und sonst keine Punkte und Geraden in Ruhe. 

Zweiter Fall: Bei ^ bleiben nur zwei Punkte und nur zwei Ge 
raden in Ruhe, die Verbindende der beiden Punkte ist die eine Ge- 
rade, der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der eine Punkt. 

Dementsprechend giebt es zwei Arten von transcendenten ebenen 
W-Kurven. Die der zweiten Art lassen sich durch einen Grenziibergang 
aus denen der ersten Art ableiten. 

Wird im ersten Fall das invariante Dreieck A als Koordinaten- 
dreieck angenommen, so hat die Transformation (14) die Form: 

(17) dx 1 == a^dt, dx 2 = a 2 x 2 dt, dx 3 = a 3 x 3 dt 

KH=o, 2 + o, 3 4=o), 

sodass statt (15) kommt: 

dx l dx% __ dx s 



Setzen wir alle drei Bruche gleich dt, so giebt Integration die Glei- 
chungen der W- Kurven der ersten Art, ausgedruokt mittels eines 
Parameters t: 
(18) ^ == const. e a i , x 2 = const, e^, x 3 = const. e n > ( 

oder nicht-homogen nach (16): 



Alle W- Kurven einer Gruppe t der ersten Art konnen daher durch 



53) Siehe z. B. Lie- Scheffers, a. a. 0. p. 6167. Vgl. H. B. Newson, Kansas 
Quart. 6 (1897), p. 63; 7 (1898), p. 125; 8 (1899), p. 43; 9 (1900), p. 65. 
64) Ebenda p. 70. 



. Zwei Arten von transcendenten ebenen TF- Kurven. 207 



eine geeignete projektive Transformation der Ebene in die oo 1 

scendenten Iwheren Pardbeln^}: 

(19 ) y = const. x m 

tibergefiihrt werden. Hierin ist die Konstante m fur die Gruppe (3^ 

charakteristisch, dagegen der konstante Faktor willkiirlich. 

Im zweiten Fall seien (0, 1, 0) und (1, 0, 0) die invarianten Punkte 
und x 2 = und x 3 = die invarianten Geraden. Alsdann liisst sich 
die infinitesimale projektive Transformation (14) auf die Form bringen: 

(20) dx l = (x 1 +x 3 )dt, dx z = 2x 2 dt, Sx 3 = x 3 dt, 
sodass statt (15) kommt: 

dx l dx% dx s 

Integration giebt die TF- Kurven der zweiten Art, ausgedriickt mittels 
eines Parameters t: 

(21) ai = (ei + ft,0 c > X 2 = c 2 e 2e , x z = c z e ( (c 1; %, c 3 = const.), 
oder nicht-homogen, nach (16): 

(22) y = const, e*. 

Alle TF-Kurven einer Gruppe (^ der zweiten Art lassen sich also 

durch eine geeignete projektive Transformation der Ebene in die oo 1 

logariihmischen Kurven (22) oder: 

(22 ) x = log y -f- const. 

iiberfuhren 56 ). 

Hierbei und bei den W- Kurven der ersten Art ist aber anzu- 
merken, dass man dabei eventuell imagindrer projektiver Transfor- 
mationen bedarf. 

Die attgemeinste Darstellung beider Arten von W- Kurven in nicht- 
homogenen Koordinaten x, y ergiebt sich aus (19) und (22 ) ; wenn 
man statt x und y linear gebrochene Funktionen von x und y mit 
gleichen Nennern einfuhrt: 



55) Nach der Leibniz 1 ^schen Terininologie, siehe Nr. 1. 

56) Die allgemeine logarithmische Kurve oder Logistica: 

, i x 

y = b log , 

wo der Logarithmus eine beliebige Basis haben kann, geht durch Affinitat aus 
y = log nat. x hervor und ist daher eine TF"-Kurve. Leibniz u. a. haben sie auch 
Exponentialkurve genannt. Siehe Geschichtliches bei G. Loria, Spezielle Kurven, 
p. 542. Daselbst auch Eigenschaften der Kurve. Auch die ebenda p. 516 518 
als Debeaune sclie Kurven bezeichneten Kurven gehoren zu den obigen TF-Kurven. 



208 



III D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 



wo also die Summe der Exponcnten gleich Null ist, und: 



(22") 



y 4- 



7 lo g 



= const. 




Fig. 10. 



Ubrigens sind unter den Kurven (19") auch algebraische eritbalten, 
so auch die oben erwahnten Geraden und Kegelsclmitte. Die Glei- 
cbungen (19"), (22") stellen daher iiberhaupt alle algebraischcn und 
transcendenten W- Kurven der Ebene dar. 

Der Ubergang zu homogenen Koordinaten liegt auf der Hand. 
15. Satze iiber allgemeine W- Kurven der ersten Art. Wie 
man durch Anwendung gruppentbeoretischer Begriffe Eigenscbaften 

den W- Kurven ableiten kann, sei nach 
F. Klein und 8. Lie fur die "FT- Kurven erster 
Art kurz erlautert. Dabei vgl. Fig. 10. 

Zu den oo 1 W- Kurven einer Gruppe 
! der ersten Art gehort ein invariantes 
Dreieck ABC oder A. Es giebt aber oo 2 
projektive Transform ationen ; die die Ecken 
und Seiten von A invariant lassen. Sie 
bilden eine zweigliedrige Gruppe 2 von 
vertauschbaren [II A 6, Nr. 6] Transforma- 
tionen, in der x als Untergruppe enthalten 
ist. In @ 2 giebt es eine Transformation, die einen beliebigen Punkt in 
einen beliebigen anderen Punkt iiberfiihrt, vorausgesetzt, dass die 
Punkte nicbt auf den Seiten von A liegen. Das dazu Dualistiscbe 
gilt von den Geraden. Hieraus fliessen die folgenden Satze, die des 
spateren wegen nummeriert seien: 

[1] Eine TF-Kurve der ersten Art kann nur in den Eckpunkten 
von A singulare Punkte baben, und nur die Seiten von A konnen singu- 
lare Tangenten sein 56a ). [2] Fiihrt man eine projektive Transformation, 
die die Ecken und Seiten von A in Rube lasst, auf die W- Kurven 
einer zu A geborigen Gruppe &^ aus, so werden diese Kurven nur 
unter einander vertauscbt. [3] Fur alle W- Kurven einer Gruppe x 
ist das Doppelverhaltnis aus einem Kurvenpunkt und den Sclmitt- 
punkten seiner Tangente mit den Seiten von A dasselbe; dies Doppel 
verhaltnis ist gleich dem der Tangente mit den Strahlen, die den 
Beruhrungspunkt mit den Ecken von A verbinden 57 ) 58 ). [4] Kon- 

56 a) DieKlassifikation der singuliiren Stellen der durch Diiferentialgleichungcn 
deBnierten Kurven bei H. Poincare, J. de math. (3) 7 (1881), p. 375422 [II A 4 a, 
Nr. 29], ist der Theorie der TF-Kurven entnommen. 

57) Sind x l , x s , x s homogene Funktkoordinaten und w 15 w g , u s zugeLorige 
homogene Linienkoordinaten, sodass ^u { x f = aussagt, dass der Punkt 



15. Satze iiber allgemeine IF- Kurven der ersten Art. 209 

struiert man in jedem Punkt P einer TF- Kurve von (^ die Gerade, 
die mit den Strahlen, die P mit den Ecken von A verbinden, ein 
konstantes Doppelverhaltmis bilden, so umhullen die oo 1 Geraden eine 
TF- Kurve derselben Gruppe (S^. [5] Konstruiert man auf jeder Tan- 
gente einer TF-Kurve von (^ den Punkt, der mit den Schnittpunkten 
der Tangente mit A ein konstantes Doppelverhaltnis bildet, so ist 
der Ort dieser Punkte eine TF~- Kurve derselben Gruppe t . [6] Zieht 
man von irgend einem Punkt Tangenten an alle TF- Kurven von lt 
so ist der Ort der Beriihrungspunkte ein Kegelschnitt, der durch den 
Punkt und die Ecken A, B, C von A geht 59 ). [7] Schneidet man 
alle TF- Kurven durch eine Gerade und konstruiert in jedem Schnitt- 
punkt die Tangente, so umhiillen die Tangenten einen Kegelschnitt, 
der die Gerade und die Seiten von A beriihrt. [8] Kennt man das 
Dreieck A und zwei Punkte einer IF- Kurve, so kann man unendlich 
viele Punkte derselben Kurve durch lineare Konstruktion finden, ebenso 
aus zwei bekannten Tangenten unendlich viele. [9] Ist das Dreieck 
A reell, so gehen die reellen TF- Kurven einer zugehorigen Gruppe 
! durch zwei Ecken von A, in denen sie die Seiten beriihren, die 
in der dritten Ecke zusammenlaufen. Sie meiden dagegen die dritte 
Ecke und die gegeniiberliegende Seite. (Vgl. Fig. 10.) 

F. Klein und 8. Lie haben noch viele weitergehende Methoden 
zur Behandlung der TF- Kurven angegeben. Urn dies anzudeuten, 
wahlen wir A als das Dreieck der x- t y-Axe und unendlich fernen 
Geraden. Alsdann werden die Transformationen 

x = ax n , y = ly n 
betrachtet, die wieder die TF-Kurven einer zugehorigen Gruppe x 

(x 1 : x a : x s ) auf der Geraden (^ : u 2 : u s ) liegt, so werden durch die Gruppe 2 
auch MJ, w g , u s linear homogen transformiert. Diese zweigliedrige Gruppe hat 
in x l , a; 2 , x s und in u^ M 2 , u s eine von nullter Ordnung homogene Invariante, 
das obige Doppelverhaltnis. 

58) Wegen der Invarianz dieses Doppelverhaltnisses oder Wurfes (nach 
v. Staudfs Terminologie) heissen die Kurven TF-Kurven (franzosisch courbes F). 
G. Halphen hat sie in seiner Etude sur les points singuliers des courbes alge- 
briques, Anhang zu Salmon, Traite de ge om. anal., traduit p. Chemin, Paris 1884, 
anharmonische Kurven, G. Fouret in den Par. C. R. 78 (1874), p. 169397, 
spirales equiharmoniques genannt. Letzterer findet solche Eigenschaften der 
W- Kurven, die schon Klein und Lie gefunden haben, von neuem. 

59) Hieraus hat F. Jamet, Ann. ec. norm. (3) 4, supple m. (1887), p. 378, 
insbes. p. 21, 22, einen Satz abgeleitet: Der Kegelschnitt, der eine W- Kurve 
erster Art beruhrt und durch die Ecken des Dreiecks A geht, hat im Beriih 
rungspunkte doppelt so grosse Kriimmung wie die W- Kurve. G. Fouret be- 
hauptet in den Par. C. R. 110 (1890), p. 778781, insbes. p. 781, diesen Satz 
schon 1875 im Paris Soc. math. Bull, bewiesen zu haben. 



210 III D 4. G. Scheffcrs. Besondere transcendente Kurven. 

in TF-Kurven derselben Gruppe uberfiihren 60 ). Fiihrt man ferner auf 
eine beliebige Kurve, die Twine TF 1 Kurve ist, und gleichzeitig auf 
einen beliebigen Punkt alle oo 2 Transformationen der Gruppe 2 aus, 
so erhalt man eine Zuordnung zwischen alien oo 2 Punkten und se- 

" Q 

wissen oc 2 Kurven der Ebene, d. h. eine Beriihrungstrans formation. 
Sie vertauscht alle W- Kurven einer Gruppe ^ 1 untereinander, u. s. w. 61 ). 
Bei passender Wahl des Dreiecks A geben die W- Kurven der 
ersten Art verschiedene wichtige Familien von transcendenten Kurven, 
die wir in Nr. 16, 17 besprechen. 

16. Logarithmische Spiralen. Zwei Ecken von A seien die 
iinaginaren Kreispunkte, die dritte der reelle Punkt 0. Dann folgt 
aus Satz [3]: Alle W- Kurven einer Gruppe ^ 1 durchsetzen die von 
ausgehenden Strahlen unter demselben Winkel a. Wird als 
Pol von Polarkoordinaten r, 6 gewahlt, so ist also fur die Kurven: 

1 dx 

- :JTT = ctff a , 
r dd 

d. h. 

logr = ctga 6 -f- const, oder r = const. e ctg e . 

Diese Kurven heissen logaritTimiscTie 
Spiralen* *} mit dem Pol und dem 
Steigwinkel K. Der Pol ist ihr 
einziger reeller singularer, namlich 
asymptotischer Punkt im Endlichen 
(s. Fig. 11). Die Transformationen 
der Gruppe ($ 2 sind jetzt alle 
Ahnlichkeitstransformationen [I A 4, 
Nr. 6 ; III A 5] , die fest lassen. 
Da , in ($ 9 enthalten ist, so folgt: 

Hi Cf "1 1 12 / 

Jede logarithmische Spirale ist sich 




60) In der Annalenarbeit p. 70 u. f. Sind zwei der invarianten Funkte 
die imaginaren Kreispunkte, so sind diese Abbildungen konform. Insbesondere 
ist darin die Transformation durch reziproke Radien [in A 7] enthalten. 

61) Wahlt man als die Kurve eine Gerade, so erhalt man dnalistische 
Transformationen, die das Dreieck A invariant lassen. Es folgt dann: Die 
reziproke Polare [III C 1, Nr.19] einer W- Kurve hinsichtlich eines Kegelschnittes, 
die A zum Polardreieck hat, ist eine W- Kurve derselben Gruppe (Annalen 
arbeit p. 77), insbes. (vgl. Nr. 16): Die logarithmische Spirale ist ihre eigene 
reziproke Polare hinsichtlich jeder gleichseitigen Hyperbel, deren Mitte ihr Pol 
ist und die sie irgendwo beriihrt. 

62) Beziiglich der Geschichte der logarithmischen Spiralen siehe G. Loria, 
Spezielle Kurven, p. 448454. Descartes, Torricelli, Varignon (von dem der 
Name herriihrt) und Jacob I Bernoulli sind besonders zu nennen. 



16. Logarithmische Spiralen. 211 

selbst ahnlich, indem man zwei beliebige ihrer Punkte als homolog setzen 
kann. Nach [2] folgt ferner: Alle logarithmischen Spiralen mit dem- 
selben Pol und demselben Steigwinkel a sind einander ahnlich, d. h. 
nach dem vorigen kongruent. Aus Satz [4] folgt, wenn man das Doppel- 
verhaltnis harmonisch wahlt: Die Evolute einer logarithmischen Spirale ist 
eine logarithmische Spirale mit demselben Pol und demselben Steig 
winkel 63 ). Allgemeiner: Die Geraden n, die von den Punkten einer loga 
rithmischen Spirale ausgehen und mit den jeweiligen Tangenten einen kon- 
stanten Winkel bilden, umhiillen eine logarithmische Spirale mit demselben 
Pol und demselben Steigwinkel. Aus Satz [5] folgt: Die Fusspunkt- 
kurve einer logarithmischen Spirale ist, wenn der Pol der Kurve auch 
der Pol der Fusspunkttransformation ist, eine logarithmische Spirale 
mit demselben Pol und demselben Steigwinkel. Dasselbe gilt, wenn 
man statt der Lote Geraden unter konstanter Neigung von nach 
den Tangenten zieht. Aus Satz [6] folgt: Zieht man von einem Punkte 
P die Tangenten an alle Windungen eine logarithmischen Spirale (und 
an alle logarithmische Spiralen mit demselben Pol und demselben 
Steigwinkel), so ist der Ort der Beriihrungspunkte ein Kreis, der 
durch P und den Pol geht. Aus Satz [7] folgt: Konstruiert man in 
alien Schnittpunkten einer Geraden g mit einer logarithmischen Spi 
rale -(und mit alien logarithmischen Spiralen mit demselben Pol und 
demselben Steigwinkel) die Tangenten, so umhiillen die Tangenten eine 
Parabel, die g beriihrt und den Pol zum Brennpunkt hat. Aus Satz [8] 
folgt eine Konstruktion von beliebig vielen Punkten einer logarith 
mischen Spirale, sobald man deren zwei und den Pol kennt. Die Kon 
struktion geht auch sofort daraus hervor, dass jede logarithmische 
Spirale sich selbst auf unendlich viele Arten ahnlich. ist. Analoges 
gilt, wenn man ausser dem Pol zwei Tangenten kennt, von der Kon 
struktion weiterer Tangenten. 

Aus dem oben aus [6] abgeleiteten Satz folgt, wenn man von 
einem Punkte P der logarithmischen Spirale die Tangente an die 
Evolute (als logarithmische Spirale mit demselben Pol und demselben 
Steigwinkel) zieht, dass der Krummungsmittelpunkt K von P im 
Schnittpunkt der Normalen mit der Geraden liegt, die in auf OP 
senkrecht steht. Hieraus folgt sofort die Rektifikation der Evolute, 



63) Dass die Evolute wieder eine logarithmische Spirale ist, ebenso die 
Antevolute, die man erh alt, wenn man jeden Krummungsmittelpunkt an dem 
zugehorigen Kurvenpunkt spiegelt, dass ferner die Brennkurve einer logarith 
mischen Spirale bei Beleuchtung vom Pol aus und zwar bei Reflexion oder 
Refraktion wieder eine logarithmische Spirale ist, fand Jacob I Bernoulli, Acta 
Erud. 1792. Er nannte die Kurve daher eine spira mirabilis. 



212 HI D 4. G. Scheffers. Besonderc transcendente Kurven. 

d. h. einer beliebigen logarithmischen Spirale: Der Bogen der loga- 
rithmiscben Spirale vom Pol bis zu einem Punkte P ist gleich 
der Strecke, die das in auf OP errichtete Lot auf der Tangente 
abschneidet, sodass Q = s ctg a. oder, bei beliebiger Walil der Anfangs- 
steUe (s = 0): 

AQ + Bs + C=0 

die natiirliche Glciclmng der logarithmischen Spiralcn ist. 

Aus den in Nr. 15 zuni Schluss gegebenen Andeutimgen folgt 
aucli der Satz, dass die Transformation durch reziproke Radien mit 
als Pol jede logaritbmische Spirale, die zum Pol hat, in eine von 
derselben Steigung und mit demselben Pol ; aber von entgegengesetzter 
Windung, verwandelt. Docb ist dies auch direkt sofort zu sehen 64 ). 

17. Orthogonale Trajektorien konzentrischer ahnlicher und 
ahnlich gelegener Ellipsen oder Hyperbeln. Das Dreieck A sei das 
der Koordinatenaxen und der unendlich fernen Geraden. Nach Satz [3], 
Nr. 15, steht dann die Tangente des Winkels, den die Tangente der 
TF- Kurve in einem Punkte P mit der x -Axe bildet, zu der Tangente 
des Winkels, den der Radiusvektor OP mit der #-Axe bildet, in 
einem konstanten Vernaltnis. Die orthogonalen Trajektorien [III D 1, 2, 
Nr. 23] der TF-Kurven einer Gruppe (^ haben daher dann die Ejgen- 

scliaft: 

y dy _ 

(/ i 

x dx 



64) Beziiglich des Anteils, den F. Klein und S. Lie einzeln an ihren ge- 
meinsamen Arbeiten (iber TF-Kurven haben, sei bemerkt, dass, als Lie sich mit 
den oo 3 projektiven Transformationen beschaftigte, die ein Tetraeder invariant 
lassen, Klein ihn darauf aufmerksam machte, dass es Kurven giebt, die bei 
jenen Transformationen nur oo 2 Lagen annehmen, indem er ihm dies auch ana- 
lytisch durch Integrieren der betreifenden Differentialgleichungen zeigte. Dies war 
Lie damals ganz neu, hatte er diese Kurven doch auch in seiner Arbeit uber die 
Reziprozitatsverhiiltnisse des Beye schen Komplexes, Gottinger> Nachr. 1870, 
p. 53 66, iibersehen. Er erkannte aber sofort, welche ausgezeichncten Eigen- 
schaften diese Kurven haben mussten. Von ihm ru hrt die allgemeine Auf- 
stellung der in den Abhandlungen entwickelten Methoden und geometrischen 
Verwandtschaften her. Klein dagegen gebiihrt die genaue Diskussion der ein- 
zelnen Falle, ferner die Aufdeckung der Beziehung zur Invariantentheorie der 
binaren Formen [I B 2] (,jede im Sinne der neueren Geometric kovariante Kurve 
einer Kurve W ist eine Kurve W desselben Systems", Annalenarbeit p. 63), sowie 
der Zusammenhang mit der Metrik, namentlich die Entdeckung, dass die vielen 
merkwiirdigen Eigenschaften der logarithmischen Spiralen nur ein Ausfluss aus 
der allgemeinen Theorie sind. Das Operieren mit projektiven Transformationen 
und Gruppen war Klein und Lie gleichmiissig vertraut. Vgl. auch M. Noether, 
Math. Ann. 53 (1900), p. 141, insbes. p. 8. 



17. Trajektorien v. Ellipsen u. Hyperbeln. 18. Dreieckspotentialkurven. 213 

wo die Konstante c fur die Gruppe (^ charakteristisch ist. Sie sind 
also die Kurven: 

?/ 2 = cx 2 -f- const. 

Die W- Kurven einer Gruppe x sind somit jetzt die orthogonalen 
Trajektorien einer Schar von oo 1 konzentrischen, ahnlichen und ahn- 
lich gelegenen Ellipsen oder Hyperbeln 65 ). Die Gleichungen der 
Kurven haben die in (19 ), Nr. 14, angegebene Form. Die inter- 
scendenten hoheren Parabeln: 

y = const. x m 

sind mithin die orthogonalen Trajektorien von oo 1 konzentrischen ; 
ahnlichen und ahnlich gelegenen Ellipsen oder Hyperbeln. 

18. Dreieckspotentialkurven und adiabatische Kurven. Sind 
1 1} 1 2) 1 3 die Seitenlangen eines Dreiecks A und x lt x it x B die barycen- 
trischen Koordinaten eines Punktes P in-Bezug auf das Dreieck, so 
nennt G. de Longchamps) die Kurven, fiir die x lf x a , x s derselben 
Potenz der Seiten l lf 1 2 , 1 3 proportional sind, Dreieckspotentiollmrven. 
Ihre Gleichungen sind, ausgedruckt mittels eines Parameters t: 

x i = Q^, X 2 = 9l 2 t , oc s ==Ql z f . 
Wird 



gesetzt, so giebt die Elimination von Q und t: 

a x a 2 or 3 -4 

tA/1 i/ O iX/Q J. . 

1 

wobei 

% + K 2 + <* 3 = 

ist. Diese Kurven sind also nach (19"), Nr. 14, unter den W- 
Kurven der ersten Art enthalten. Sie gehen durch mehrere merk- 
wiirdige Punkte des Dreiecks A. 

Auch die adidbatisclien Kurven der Thermodynamik pv n = const. 
ordnen sich der Form (19 ) unter 67 ). 

19. Satze iiber W- Kurven der zweiten Art. Analog den in 
Nr. 15 angegebenen Betrachtungen lassen sich solche fiir W- Kurven 
der zweiten Art anstellen (s. Fig. 12). Es giebt zwar oe 3 projektive 
Transformationen, die dieselben beiden Punkte und beiden Ge- 

65) G. Scheffers in Lie-Scheffers, a. a. 0. p. 78. 

66) Mathesis 6 (1886), p. 246-248. Siehe auch G. Loria, Spezielle Kurven 
p. 556. 

67) Ihr Name soil herruhren von M. Rankine, A manual of the steam 
engine and other prime movers, London u. Glasgow, 1859. Vgl. G. Zeuner, 
Grundziige der mechanischen Wiirmetheorie, 2. Aufl., Leipzig 1877, p. 80 u. 13o! 
Sie heissen auch polytropische Kurven. 



214 



III D 4. G. Sclieffers. Besondere transcendente Kurven. 




raden (vgl. Nr. 14) wie die Gruppe , einer Schar von TT-Kurven 
der zweiten Art invariant lassen, aber unter ihnen giebt es wieder 

oo 2 , die unter einander vertauschbar sind 
und eine zweigliedrige Gruppe 2 bilden, 
die (3^ als Untergruppe enthiilt. Die 
Transformationen der Gruppe 2 vertauscben 
alle oo 1 W- Kurven einer Gruppe , unter 
einander. Doch gehen wir bierauf nicbt 
naher ein und bemerken nur folgendes: 
Analog dem Satze [3], Nr. 15, gilt hier 
ein Satz, nur tritt an die Stelle des Doppel- 
verhaltnisses ein anderer nicht so einfacher 
Ausdruck 68 ). In dem besonderen Fall, dass 
die ar-Axe die eine, die unendlich feme Gerade die andere invariante 
Gerade und die unendlich fernen Punkte beider Axeu die invarianten 
Punkte sind, d. h. fiir die logaritlimisclicn Kurven (22) in Nr. 14: 

y = const, f? 

ist jener Ausdruck die Subtangente. Die Konstanz der Subtangente 69 ) 
dieser logaritbmiscben Kurven ist also nur ein spezieller Fall eines all- 
gemeinen Satzes. Analog dem in Nr. 17 angegebenen Satze gilt noch 
der Satz: Die orthogonalm TrajcUorien von oo 1 kongrucnten Parabeln 
mit dersclben Axe sind W- Kurven der zweiten Art 70 ). 

20. TF-Zurven im Raume, gemeine Schraubenlinien. Auch im 
Raume sind die W- Kurven die Bahnkurven einer eingliedrigen pro- 
jektiven Gruppe r Hier ist die Anzahl der verschiedenen Moglich- 
keiten dreizehn (s. Anm. 53). Beschranken wir uns auf den Fall, 
dass die Gruppe (5^ die Ecken und Ebenen eines nicht ausgearteten 
Tetraeders in Ruhe lasst, so lauten die Gleichungen der oo 2 W- Kurven 
einer Gruppe 1; wenn das Tetraeder als Koordinatentetraeder gewahlt 
wird, analog (18), Nr. 14, so 71 ): 



= const. e ait x = const, 



= const, e 1 , x = const. 



68) Wie fruher, vgl. die Anm. 57, hat die Gruppe 2 , ausgedehnt auch auf 
die Linienkoordinaten, eine in x^ a; 8 , x s und u lt u^ ^^ s von nullter Ordnung 
homogene Invariante, die eben den fraglichen Ausdruck darstellt. 

69) Nach G. Loria hat lorricelli diesen Satz zuerst ausgesprochen und 
G. Grandi ihn bewiesen. Siehe G. Loria, Spezielle Kurven, p. 543. 

70) Nach G. Scheffers in Lie-Scheffers, a. a. 0. p. 80. 

71) Siehe z. B. S. Lie, Geometric d. Beriihrungstransformationen 1, bearb. v. 
Scheffers, Leipzig 1896, p. 334. Gestattet eine Kurve der Ebene oder des Raumes 
mehr wie eine infinitesimale projektive Transformation, d. h. ist sie in doppelter 



19. Satze fiber TF-Kurven der zweiten Art. 20. TF-Kurven im Eaume. 215 

Das Doppelverhaltnis der vier Punkte, in denen die Tangente einer 
TF-Kurve die Ebenen des Tetraeders trifft, ist offenbar konstant. Da- 
her werden uns diese Kurven in Nr. 35 abermals begegnen. 

Erwahnt sei hier nur noch der wichtigste spezielle Fall: Ist die 
infinitesimale Transformation der Gruppe x eine unendlich kleine 
Schraubung [IV 2, Nr. 11; IV 3, Nrr. 18, 19], etwa urn die *-Axe: 



(q = const.), 
so sind die zugehorigen oo 2 W- Kurven die gemeinen Schraubenlinien: 

x = x Q cost y smt, y = x sin t + y cos t, z = qt , 
die samtlich die #-Axe zur Axe und die gleiche Hohe 2nq eines Schrauben- 
umganges haben. Fiir die gemeinen Schraubenlinien kann man daher 
Satze analog denen von Nr. 15 aufstellen, Satze, die der projektiven 
Geometric angehoren, obgleich die Kurven transcendent sind 72 ). 

Nach V.Pmseux) lassen sich die gemeinen Schraubenlinien als 
diejenigen Kurven definieren, bei denen Kriimmung und Torsion kon 
stant ist [III D 1, 2, Nrr. 29, 30, 32]. Aber J. Lyon u ) hat gezeigt, dass 
es ausserdem gewisse imaginare Kurven dritter Ordnung giebt, die die- 
selbe Eigenschaft haben. Die gemeinen Schraubenlinien konnen auch 
als die geodatischen Kurven der Rotationscylinder [III D 3, Nr. 14] odd- 
sis die Loxodromen der Rotationscylinder (Nr. 34) definiert werden. 
Letztere Definition versagt jedoch auf Cylindern von Minimalgeraden 75 ). 

Noch einige andere Kurven, die wir spater besprechen, sind raum- 
liche Tf-Kurven, namlich die spharischen Loxodromen und die cylindro- 
konischen Schraubenlinien (Nr. 34). 

Weise als W-Kurve aufzufassen, so ist sie algebraisch, namlich eine Gerade, 
em Kegelschnitt oder eine Raunikurve 3. Ordnung. Siehe z. B. S. Lie, Theorie 
der Transformationsgruppen, 3. Abschnitt, bearb. v. Engel, Leipzig 1893, p. 187. 

72) Die Tangenten einer gemeinen Schraubenlinie gehoren einem linearen 
Komplexe [HI C 9] an, dessen Axe die des zugehorigen Cylinders ist. Die Schmie- 
gungsebene eines Punktes der Kurve ist die dem Punkte vermoge des Komplexes 
zugeordnete Ebene. Nach J. PliicTcer, Neue Geometrie des Raumes, b<*g von F Klein 
l.Abt, Leipzig 1868, p. 59-61, folgen hieraus viele Eigenschaften der gemeinen 
Schraubenlinie ohne weiteres, so die von Th. Reye, Zeitschr. Math. Phys. 15 
(1870), p. 6466, angegebene. Vgl. auch die zweite Note von F. Klein und 
8. Lie in den C. E. 70 (1870), p. 1275-1279, bezuglich der Eigenschaften der 
raumlichen TF-Kurven. 

73) J. de math. (1) 7 (1842), p. 65-69. Synthetischer Beweis desselben 
batzes bei J. Bertrand, ebenda 13 (1848), p. 423424. 

74) Grenoble Ann. de 1 Enseignement sup. 2 (1890). Auch als These Paris 
(Vom Verf. nicht eingesehen.) 

75) Vgl. G. Scheffers, Einfiihrung in die Theorie der Kurven Leipzig 1901 
p. 283 u. f. 



216 III D 4. G. Scheffers. Besondere transcendents Kurven. 

III. Sinusspiralen und ihre Yerallgemeineruiigeii. 

21. Sinusspiralen. Die Kurven, die in Polarkoordinaten r, 
Gleichungen von der Form 

(23) r w = a n sin nB 

haben, heissen Sinusspiralen 16 ). Sie sind ausserordentlich oft 77 ) der 

76) Diese Bezeichung, franz. spirales sinusoides, hat Baton de la Goupilliere 
eingefvihrt. Vgl. J. e c. polyt. 38 (1861), p. 15-112, insbes. p. 90. Wahrschein- 
lich schon in seiner These, Paris 1857. 

77) Einen Begriff hiervon giebt die folgende noch keineswegs vollstiindige 
Aufzlihlung von Arbeiten, in denen die Sinusspiralen vorkommen: C. Madaurin, 
Treatise on fluxions 1, Edinburg 1740, Kap. 11, prop. 34, in der Ausgabe 
London 1801 p. 328332, auch schon (nach H. de la Goupilliere} in den Phil. 
Trans. 1718, Nr.356; G. C. diFagnano, Produzioni matematiche 2, Pesarol750, p.375 
412; ferner bei Euler, L Hospital und Riccati. In neuerer Zeit: G.Lame, J. de 
math. (1) 1 (1836), p. 7787; A. Serret, J. de math. (1) 7 (1842), p. 114119, 
ebenda 8 (1843), p. 495501; 0. Bonnet, ebenda 9 (1844), p. 97112; W. Roberts, 
ebenda 10 (1845), p. 177193; ebenda 12(1847), p. 445448; ebenda 13 (1848), 
p. 209 220; J. Liouville, ebenda p. 220; W. Roberts, ebenda 15 (1850), p. 209 
214; A.WincTtler, J. f. Math. 50 (1855), p. 34 (vgl. hierzu G. Loria, Spezielle 
Kurven, p. 401); Hdton de la Goupilliere, These, Paris 1857; J. e c. polyt. 38 
(1861), p. 15112; E. Beltrami, Ann. di mat. (1) 4 (1861), p. 102-108; B. Torto- 
lini, Zeitschr. Math. Phys. 6 (1861), p. 209213; Allegret, Nouv. Ann. (2) 9 
(1870), p. 3032; F. Unferdinger, Archiv Math. Phys. (1) 51 (1870), p. 7293; 
J. F. Moulton, Educ. Times 15 (1871), p. 81; Allegret, Nouv. Ann. (2) 11 (1872) , 
p. 162 167; Ann. ec. norm. (2) 2 (1873), p. 149 200; L. Aoust, Anal, infin. des 
courbes planes, Paris 1873, p. 141; G. Darboux, Sur une classe remarquable de 
courbes etc., Paris 1873 (Auszug in den Par. C. E. 68 (1869), p. 1311); Hdton 
de la Goupilliere, Nouv. Ann. (2) 15 (1876), p. 97108; A. Mannheim, Paris 
Soc. math. Bull. 4 (1876), p. 158, 159 (citiert hierbei Archer Hirst); G. Holzmuller, 
J. f. Math. 83 (1877), p. 3842; B. Niewenglowski, Par. C. R. 84 (1877), p. 765 
768; H. Resal, J. de math. (3) 6 (1880), p. 115128; A. Ribaucour, Etude 
des elassoi des ou surfaces a courbure moyenne nulle, Bruxelles Mem. cour. 
44, 1881; G. Holzmuller, Zeitschr. Math. Phys. 26 (1881), p. 231256, Einfuh- 
rung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften und der konformen Abbil- 
dungen, Leipzig 1882, 9. Kap.; E. M. Laquiere, Nouv. Ann. (3) 2 (1883), p. 118 
129; A. Bassani, Giorn. di mat. 24 (1886), p. 2343; DuChatenet, Nouv. Ann. 
(3) 5 (1886), p. 233- 237; H. Brocard, ebenda p. 397398; V. Jamet, Ann. de 1 e c. 
norm. (3) 4 (1887), suppl. p. 378; E. Cesaro, Nouv. Ann. (3) 7 (1888), p. 171 
190; V. Jamet, Paris Soc. math. Bull. 16 (1888), p. 132135; A. de Saint- 
Germain, Recueil d exercices sur la mdcanique rationnelle, 2. eU Paris 1889, 
p. 155 156; Lord M Laren, Edinb. Proc. Roy. Soc. 17 (1889), p. 281297; 
J. McMahon, Educ. Times 50 (1889), p. 169170; A. Demoulin, Sur une trans 
formation geoine trique , Bruxelles Mem. 44, 7 mars 1891; G. Fouret, Paris Soc. 
math. Bull. 20 (1892), p. 6064; R. Godefroy, J. e c. polyt. 62 (1892), p. 3746; 
Paris Soc. math. Bull. 21 (1893), p. 2025; J. M. Iversen, Nyt Tidsskrift for 



21. Sinusspiralen. 22. Abbildung d. Geraden d. Ebene als Sinusspiralen. 217 

Gegenstand von Einzeluntersuchungen gewesen, namentlich die alge- 
braischen, d. h. diejenigen, bei denen der Index n rational ist. Viele 
dieser Untersuchungen gelten jedoch ohne weiteres auch fiir irratio- 
nales n. Der Pol der Polarkoordinaten ist im Endlichen der einzige 
singulare Punkt der Kurve mit unbestimmter Tangente [III D 1 ; 2 ; 
Nr- 19]. Durch Drehung der Kurve um ihren Pol nimmt ihre Glei- 
chung die Form an: 

r = a n sin n (6 a). 

Durch ahnliche Vergrosserung oder Verkleinerung von aus andert 
sich nur a. Es giebt also oo 2 Sinusspiralen mit demselben Pol und 
demselben Index. Sie sind alle einander ahnlich, und der Pol ist bei 
alien ein homologer Punkt [III A 6]. Allerdings machen wir hierbei 
zwischen reellen und imaginaren Ahnlichkeitstransformationen keinen 
Unterschied 78 ). 

22. Abbildung der Geraden der Ebene als Sinusspiralen. Der 

innere Grund fiir viele merkwiirdige Eigenschaften der Sinusspiralen 
liegt in einem Satze von C. Maclaurin, der bei W. Roberts 79 ) wieder- 
kehrt. Sind r 07 6 Q und r, 6 Polarkoordinaten in zwei zusammenliegen- 
den Ebenen, so stellen die Gleichungen: 

(24) r = r "S 6 = m0 

bei gegebenem rationalen oder irrationalen m eine Punkttransforma- 
tion dar, die Conform ist [II B 1 7 Nrr. 5, 18]. Denn in rechtwinkligen 
Koordinaten X ,y bezw. x, y kann (24) so geschrieben werden 80 ): 

(25) x + iy = (X Q + iy ). 

Bei irrationalem m diirfte (24) wohl die einfachste transcendents kon- 
forme Abbildung der Ebene vorstellen. Sie fiihrt nun nach Maclaurin 



Math. 4 (1893), p. 5967; H. JEkama, Arcbiv Math. Phys. (2) 12 (1894), p. 23 
36; E. Barisien, Nouv. Ann. (3) 14 (1895), p. 233244; G. Scheffers, Leipz. 
Ber. 1898, p. 261 294; B. C. Archibald, Diss. Strassburg 1900; JE. Cesaro, Nati ir- 
liche Geometrie 1901, p. 54 u. f.; G. Loria, Bibl. math. (3) 2 (1901), p. 392440, 
insb. p. 396; Spezielle Kurven, 1902, p. 367, 391 403, 614, 675, 732. 

Viele von diesen Arbeiten behandeln allerdings nur algebraisclie Sinus 
spiralen. Ausserdern giebt es noch viele Untersuchungen fiber einzelne Sinus 
spiralen, die wir nicht citiert haben. 

78) Unter den algebraischen Sinusspiralen sind viele besonders bemerkens- 
werte Kurven enthalten, so der Kreis (n = 1), die Lemniskate (n = 2), die Kar- 
dioide (n = ), die Parabel (n = - |), die Gerade (n = 1), die gleichseitige 
Hyperbel (n = 2) u. s. w. Siehe Haton de la Goupilliere, a. a. 0. 1876, p. 97, 98. 

79) Fussn. 77, 1740 bez. 1848. 

80) J. Liouville, Fussn. 77, 1848; vgl. auch G. Holzmuller, Isog. Verwandt- 
schaften, Leipzig 1882, p. 166171. 

Encyklop. d. math. Wissenach. Ill 3. 15 



218 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendentc Kurven. 

die Geraden der Ebene (r , ) in Sinusspiralen der Ebene (r, 0) iiber. 
In Polarkoordinaten r , 6 ist namlich 

r cos (0 a) = p 

die Gleichung einer allgemein gewahlten Geraden, bei der p den Ab- 
stand vom Anfangspunkt und a, seinen Winkel mit dem Anfangs- 
strahl bedeutet. Fiihren wir auf die Gerade die Transformation (24) 
aus, so geht sie in die Kurve: 

- /0 \ 

r w cos ( a } = p, 

\m / 

d. h., wenn - - 1 : m = n gesetzt wird, in die Sinusspirale: 

r n = sin (n6 4- a ^-} 
P \ 2/ 

iiber. Hieraus folgt: Alle oo 2 Geraden der Ebene gehen vermoge der 
konformen Abbildung (24) in alle oo 2 Sinusspiralen mit demselben 
Pol und demselben Index n = 1 : m iiber. Nach den S. Lie- 
schen Theorien kann man hieraus metliodisch die Eigenschaften der 
Sinusspiralen ableiten: Da die Schar aller oo 2 Geraden der Ebene 
oo 8 Punkttransformationen, namlich die allgemeine projektive Gruppe 
[II A 6, Nr. 20], gestattet, so gehen alle oo 2 Sinusspiralen mit demselben 
Pol und demselben Index vermoge einer achtgliedrigen Gruppe von Punkt 
transformationen in einander iiber. Jede einzelne bleibt bei einer sechs- 
gliedrigen Gruppe invariant. Doch ist der hierdurch angedeutete 
Weg bisher nicht eingeschlagen worden. 

Giebt man in (24) dern Exponenten m beliebige konstante Werte, 
so liegt in (24) eine eingliedrige Gruppe von konformen Punkttrans- 
formationen vor, die unter anderen die Transformation durch reziproke 
Radien entnalt. Die Aufeinanderfolge der zu den Exponenten m und /* 
gehorigen Transformationen (24) ist der Transformation (24) mit dem 
Exponenten nip Equivalent. Daraus folgt, wenn n=--l:ni, 
also - - 1 : nip = n : p gesetzt wird: Die Sinusspiralen mit gemein- 
samem Pol und vom Index n gehen vermoge der konformen Ab 
bildung 

r = <, = f*0 

in die Sinusspiralen mit gemeinsamem Pol und vom Index n : p 
iiber 81 ). Insbesondere geht jede Sinusspirale vom Index n vermoge 
einer Transformation durch reziproke Radien, deren Pol der Pol der 
Kurve ist, in eine Sinusspirale vom Index n iiber. 

Fiihrt man die Gesamtheit aller oo 1 konformen Transformationen 



81) E. Cesaro, Fussn. 77, 1888, p. 188; 1901, p. 65. 



23. Einige Eigenschaften der Sinusspiralen. 219 

(24), angefangen von der identischen r = r , = 6 , auf eine Gerade 
aus, so geht diese Gerade stetig in die Gestalten oiler Sinusspiralen 
von beliebigen Indices iiber. 

Betrachtet man eine Schar von parallelen Geraden und dreht sie 
um } so bilden die neuen Geraden mit den alten einen konstanten 
Winkel. Daraus folgt, wenn die konforme Abbildung (24) ausgeiibt 
wird: Dreht man alle oo 1 Sinusspiralen 

l n = const, sin n 6 

um den gleichen Winkel um den Pol, so schneiden die neuen Sinusspiralen 
die alten unter einem konstanten Winkel. Uberhaupt alle oo 2 Sinus 
spiralen mit demselben Pol und demselben Index n konnen de- 
finiert werden als diejenigen Kurven, die die soeben angegebenen oo 1 
Sinusspiralen unter konstanten Winkeln durchsetzen. In jedem Punkte 
P der Ebene bilden die Kriimmungskreise der hindurchgehenden 
ex) 1 Sinusspiralen ein Biischel, nach einem allgenieineren Satze von 
E. Cesdro^}. Daraus kann man schliessen 83 ): Die oo 2 Sinusspiralen 
mit dem Pol und dern Index n und die oo 2 Sinusspiralen mit dem 
selben Pol und dem Index n liegen so, dass alle Kriimmungs 
kreise der durch einen Punkt P gehenden Sinusspiralen der ersten 
Schar einen zweiten Punkt Q gemein haben und hier. zugleich die 
Kriimmungskreise aller durch Q gehenden Sinusspiralen der zweiten 
Schar sind. Dabei liegen P und Q auf einem Strahl durch und 
zwar ist: 

OP: OQ = (n !):( + 1). 

23. Einige Eigenschaften der Sinusspiralen. Aus der konformen 
Abbildung folgt, was auch durch Rechnung sofort zu bestiitigen ist, 
dass bei der Sinusspirale (23) vom Index n der Winkel T des Radius- 
vektors und der Tangente den Wert t = n6 hat, sodass 

^(* + 0) = n + ! 

d u 

ist, d. h. beim Fortschreiten auf der Sinusspirale ist das Verhaltnis 
aus der Winkelgeschwindigkeit der Drehung der Tangente und der 
Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Radiusvektors konstant, nani- 
lich gleich (n -f- 1) : 1. Umgekehrt: Eine Kurve, bei der dies Ver 
haltnis den konstanten Wert (n -j- 1) : 1 hat, ist eine Sinusspirale 
vom Index n, die den Anfangspunkt der Radienvektoren zum Pol 
hat 84 ). Aus der bekannten Konstruktion der Tangente der Fuss- 



82) Natiirliche Geometrie, p. 148, vgl. auch III D 1, 2, Nr. 23. 
88) G. Sckeffers, Fussn. 77, 1898, p. 292. 

84) Deshalb nennt Laguiere, Fussn. 77, 1883, p. 121 die Sinusspiralen courbes 

15* 



220 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

punktkurve [HID 1,2, Nr. 7] folgt hieraus: Die FusspunMmrve einer 
Sinusspirale ist, wenn ihr Pol als Pol der Fusspunktransformation ge- 
nommen wird, eine Sinusspirale mit demselben Pol und dem Index 
n : (n -}- 1). Allgemein: Die A te FussmmMcurve ist eine Sinusspirale vorn 
Index n : (kn -j- 1). Dies gilt auch fiir negatives k, ja auch fiir ge- 
brochenes oder irrationales 7r, wenn man die stetige Gruppe von Fusspunkt- 
transformationen mit dem Pole benutzt, die S. Lie eingefiihrt hat 85 ). 
Ist ds das zum Zuwachs dd der Amplitude gehorige Bogen- 
elernent der Sinusspirale (23), so ist: 

ds _ r a n 

dO smn9 r^" 1 

Der zugehorige Kontingenzwinkel ist gleich (n-\-l)d0, also der 
Krummungsradius : 

ds _ r o^_ 

~ (n + 1) dd (n -f 1) sin nO ( w _|_ iw"- 1 

Die Projektion von Q auf den Radiusvektor hat daher die Lange: 

p sin n = . 

Die Projection des Krummungsradius auf den Eadiusveldor verMU sich 
also zum Radiusvektor ivie 1 : (n -f- 1). 8G ) Der Ort der Projektionen 
der Kriimmungsmittelpunkte auf die zugehorigen Radienvektoren ist 
daher eine der urspriinglichen Sinusspirale ahnliche Sinusspirale. 

Umgekehrt: Steht bei einer ebenen Kurve die Projektion des 
Krummungsradius auf den Radiusvektor zu diesem in einem kon- 
stanten Verhaltnis 1 : (n -f- 1), so ist die Kurve eine Sinusspirale vom 
Index n, die den Anfangspunkt der Radienvektoren zum Pol hat. 
Oder: Dann und nur dann, wenn die Kurve eine Sinusspirale vom 
Index n ist, schneidet der Kriimmungskreis eines Kurvenpunktes auf 
dem zugehorigen Radiusvektor eine Strecke ab, die zum Radiusvektor 
in dem konstanten Verhaltnis 2 : (n -j- 1) steht. 

Anscheinend liegt fiir n ==- eine Ausnahme vor, denn die Kurve, 
bei der die Projektion des Krummungsmittelpunktes auf dem Radius 
vektor im Pole liegt, ist nach Nr. 16 eine loyarithmischc Spirale. 



spirales a inflexion proportionelle. A. Ribamour, Fussn. 77, 1881, nennt sie da- 
gegen Lame sche Kurven (vgl. G. Lame, a. a. 0. 1836). Allegret, a. a. 0. 1873, 
p. 167, nennt sie orthogenides. G. Holzmuller, J. f. M. 83 (1887), p. 40, nennt 
sie Hyperbeln hoherer Ordnung. E. Cesiiro, Natiirl. Geom. p. 63, findet den 
Namen Sinusspiralen doppelt unzutreffend. 

85) Siehe Lie- Scheffers , Geometric der Beruhrungstransformationen 1, Leipzig 
1896, p. 65. 

86) A. Serret, Fussn. 77, 1842, p. 118. 



24. Rektifikation der Sinusspiralen. 221 

Aler die logarithmischen Spiralen sind thatsachlick als Sinusspiralen 
vom Index aufzufassen. Da namlich die Sinusspirale (23) nach 
Drehung und ahnlicher Vergrosserung wieder eine wird, so liegt in: 

sin (nQ -f a) 



/_r_\ _ 
\a / 



sn a 

eine Sinusspirale vor; doch giebt diese Gleichung fur n = eine 
Identitat. Aber es ist: 



/ r \ 

lim V/ 



r \ n sin (nQ -\- a) 



d. h. fiir n = gent die logarithmische Spirale hervor 87 ): 



- = cta- 6. 



Der obige Satz iiber die Sinusspiralen kann auch so ausge- 
sprochen werden: Es ist fiir die Sinusspiralen charakteristisch, dass 
der Kriimmungsradius Q zu demjenigen Abschnitt v der Normalen, 
der vom Kurvenpunkt P und dem Lote p zu OP in begrenzt wird, 
ein konstantes Verhaltnis 1 : (n -f- 1) hat 88 ). 

24. Rektifikation der Sinusspiralen. Aus (26) und (23) ergiebt 
sich fiir die Bogenlange s der Sinusspirale: 



/" 1 n 

= a I (sinfl0) n dO. 



A. Serret hat den Bogen innerhalb gewisser Grenzen durch Enler sche 
Integrale zweiter Gattung [II A 3, Nr. 12 a] ausgedriickt 89 ). Er be- 
nutzt die Gleichung der Sinusspirale in der Form: 
(26) x n = 



die aus (23) durch Drehung um ~ hervorgeht. Hier kommt: 

/I n 
(c,osn6)~"~dd. 

Wird & = nO als Veranderliche eingefiihrt, so kommt: 



a , 

S = I (cos 
n J \ 
o 



1-n 



87) Allegret, Fussn. 77, 1872, p. 163. 

88) Bei reellen Kurven giebt das positive oder negative Vorzeichen des 
Verhaltnisses 1 : (w -f- 1) an, ob p und v auf derselben Seite oder auf verschie- 
denen Seiten des Kurvenpunktes P liegen. 

89) Serret, Fussn. 77, 1842, p. 118. Es ist dies einer der Hauptgriinde, 
weshalb sich so viele Mathematiker mit den Sinusspiralen beschaftigt haben. 



222 HI D 4. 6r. Scheffers. Besondere transcendentc Kurven. 






als Ldnge des Bogens von 6 = bis 6 = Dies aber lasst sich 

/ 

so schreiben: 



__ 

o * ^i 

- 

\nj 

Haton de la Gmipilliere* } hat die zwischen = und = ge- 
legene Fldclie durch r-Funktionen ausgedriickt. 

25. Triangular- und tetraedral-symmetriscke Kurven. Die 
Sinusspiralen sind ein Grenzfall einer allgemeineren von J. de la Gour- 
nerie 1865/66 untersuchten Klasse von Kurven 91 ). Betrachtet man 
z. B. die Sinusspirale in der Form : 

l n cosn6 = k, 
so liisst sich dafiir schreiben: 

(re* )* -f (re~ e ) n = 2k 
oder in rechtwinkligen Koordinaten 92 ): 

(x + iyj 1 + (x iy) n = 2 k. 

Diese Gleichung ordnet sich aber der allgemeinen Gleichung 
unter: 



in der x lt X 2 , x. A homogene Punktkoordinaten sind. Man braucht nam- 
lich nur zwei Ecken des Koordinatendreiecks in die imaginaren Kreis- 
punkte zu verlegen. Die Kurven (27) heissen nach J. de la Gournerie 
triangular - symmetrische Kurven. Sie sind ein Grenzfall von Raum- 
kurven, die er tciraedral-symmetrische Kurven nennt und - - im Falle 
homogener Punktkoordinaten oc 1} x 9 , X 3 , x im Raume als Schnitt- 
kurven zweier tetraedral-symmetrisclien Fldclicn: 



90) Fussn. 77, 1876, p. 105; spater auch G. Loria, siehe Spezielle Kurven, 
p. 305. 

91) Recherches sur les surfaces reglees tetraedrales , Paris 1867. Hierin 
sind die drei Abhandlungen vereinigt, die 1865 und 1866 in dem Eecueil des 
Savants etrangers veroffentlicht worden waren. 

92) In dieserForm traten die Sinusspiralen bei E. Bcltrami, Fussn. 77, 1861, 
auf, als er die Scharen von oo 1 ebenen Kurven suchte, die, um einen festen 
Punkt der Ebene gedreht, stets die urspriinglichen Kurven unter einem fur alle 
Kurven konstanten Winkel schneiden sollten. Vgl. Nr. 22. Siehe aucli V. Jamet, 
a. a. 0. 1888, p. 133; G. Fouret, a. a. 0. 1892, p. 62. 



25. Dreieckskurven. 26. Cesaro sche und Eibaucour schB Kurven. 223 

definiert. (Fur \ = \ & 3 = oo geht hieraus x = und also (27) 
als Grenzfall hervor.) Doch sind diese Kurven im wesentlichen nur 
fur den Fall, dass n eine rationale Zahl ist, also wenn sie algebraisch 
sind, betrachtet worden. Wir erwahnen deshalb nur einen Satz von 
V. Jamet 95 \ der auch fur die transcendenten Kurven gilt, und zwar 
beschranken wir uns dabei auf die triangular - symmetrisehen Kurven: 
Konstruiert man den Kegelschnitt, der die Kurve (27) in einem ihrer 
Punkte beriihrt und durch die Ecken des Koordinatendreiecks gelit, so 
steht der Krummungsradius des Kegelschnitts zu dem der Kurve an 
der gemeinsamen Stelle im Verhaltnis (1 n) : 2. Im Raume giebt 
es einen analogen Satz, in dem eine Kurve dritter Ordnung an die 
Stelle des Kegelschnittes tritt 94 ). 

Die triangular -symmetrisehen Kurven (27) gehen aus den Ge- 

raden der Ebene: 

a 1 oc 1 -J- a%x 2 -f~ a s x s == 

mittels der Transformationen von der Form: 

/yi ft /yi fl /v> ft /y> ft /y CL1 __^ = ft /y ft 

hervor " " " " " 

26. Cesaro sche, insbesondere Ribaucour sche Kurven. Die Sinus- 
spiralen gehoren fernerhin einer anderen grosseren Kurvenfamilie an, 
die besonders von E. Cesaro 9 *} untersucht und deshalb nach ihm be- 
nannt worden ist 96 ). Es sind dies diejenigen ebenen Kurven, die in 
Bezug auf einen festen Kreis k (die Direldrix) die Eigenschaft haben, 
dass ihr Krummungsradius Q demjenigen 
Abschnitt v = PN der Normalen pro 
portional ist, der vom Kurvenpunkte P 
einerseits und von der Polaren p, die P 
hinsichtlich des Kreises 7c hat, anderer- 
seits begrenzt wird. (Fig. 13.) Das kon- 
stante Verhaltnis sei rnit 1 : (n -j- 1) be- 
zeichnet, und zwar soil bei reellen Kurven 
das Vorzeichen des Verhaltnisses angeben, 
ob p und v auf derselben oder auf ver- 
schiedenen Seiten von P liegen. Die 
Mitte des Kreises Jc heisst der Pol der Fig. 13. 




93) Fussn. 77, 1887, p. 19. 

94) Fussn. 77, 1887, p. 32. 

95) Nouv. Ann. (3) 7 (1888), p. 171190; ebenda 9 (1890), p. 143157; 
ebenda 13 (1894), p. 102106; Natiirliche Geometrie, p. 5466. 

96) Nach Vorschlag von E. Wolffmg, Biblioth. math. (3) 1 (1900), p. 142 
159, insbes. p. 146 Anm. 



224 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurvcn. 

Kurve, die Zahl n ihr Index. 1st der Kreis insbesondere der Punkt 
selbst, so ist die Polare p das in auf OP zu errichtende Lot, die 
Kurve also in der That nach Nr. 23, Schluss, eine Sinusspirale vom 
Index n. 

E. Cesdro zeigte, dass der von ausgehende Radiusvektor OP 
der Cesaro schen Kurve den Kriimmungsradius der Evolute in dem 
konstanten Verhaltnis (w -j- l):2w teilt und dass diese Eigenschaft 
als Definition der Kurve benutzt werdenkann 97 ). DieKreise ferner, deren 
Durchmesser die Strecken v sind, d. h. also die Kreise, die die Ce- 
saro sche Kurve beriihren und den Direktrixkreis U senkrecht schneiden, 
umhiillen ausser der Cesaro schen Kurve eine zweite Kurve, deren 
Punkte P die Stellen sind, in denen die Polaren p der Punkte P 
die Radienvektoren OP treffen. Da dann OP OP = JR 2 ist, wenn 
H der Radius der Direktrix ist, so ist die Kurve (P ) zur Cesaro schen 
Kurve (P) hinsichtlich des Kreises A; invers. 

Die natiirliche Gleichung der Cesaro schen Kurven vom Index n hat 
nach E. Cesdro* 8 ) die Form: 



(28) 




ii -f 1 



wo s die Bogenlange, c eine willkurliche Konstante bedeutet. 

Unter den Cesaro schen Kurven sind viele bekannte Kurven ent- 
halten. So gehoren zum Index 1 die Kreise, zum Index - - 2 alle 
Kegelschnitte, zum Index diejenigen Kurven, bei denen der Kriim- 
mungsmittelpunkt eines Kurvenpunktes P der Schnittpunkt seiner 
Normalen mit der Polaren p von P hinsichtlich des Kreises ft ist. 
In diesem Fall n = nimmt die natiirliche Gleichung die Form an 99 ): 



die die cyldoidalen Kurven, insbesondere die Cykloiden, die Kreis- 
evolventen und die logarithmischen Spiralen defmiert (siehe Nr. 8 und 
Anm. 29, vgl. auch Nr. 3 und Anm. 7). 

Im Falle E = geht aus (28) die natiirliche Gleichung der Sinus- 
spiralen vom Index n hervor lw ): 

97) Fussn. 77, 1894, p. 104; Natiirl. Geometric, p. 54. 

98) Naturliche Geometrie, p. 56. 

99) Ebenda p. 58. Siehe auch a. a. 0. 1888, p. 175178, wobei Memiesson, 
Mathesis, question 461 (1885), fur eine Eigenschaft dieser Kurven citiert wird. 
Auch E. Cesaro, Mathesis 7 (1887), p. 2538. 

100) E. Cesaro, Natiirl. Geometrie, p. 61. 



26. Cesaro sche und Ribaucour seine Kurven. 225 

n + 1 / d$ 




(29) 



Ein anderer Grenzfall ist der, dass die Konstante c in (28) nach 
Null oder Unendlich konvergiert, indem zugleich der Radius R des 
Direktrixkreises nach Unendlich strebt. Denn es bleibt die natiir- 



liche Gleichung (28) nach E. Cesdro endlich, wenn man c n-1 und R 
unbegrenzt wachsen lasst und dabei festsetzt: 



wo a eine endliche Konstante sei. Alsdann geht aus (28) die natiir- 
liche Gleichung hervor: 

(30) s = n+i 




(r 



die also fur diejenigen Cesaro schen Kurven gilt, bei denen der 
Direktrixkreis in eine Gerade y ausgeartet ist. Alsdann ist die Polare 
P von P diejenige Parallele zu g, die auf der andern Seite von g 
wie P, aber in demselben Abstand liegt. Mithin sind diese Kurven 
durch die Eigenschaft charakterisiert, dass das Verhaltnis aus dem 

Kriimniungsradius Q zu demjenigen Abschnitt v der Normalen. der 

A 

eiuerseits vom Kurvenpunkte P und andererseits von der festen Ge- 
raden g begrenzt wird, den konstanten Wert 2:(n-\- 1) hat- Diese 
Kurven hat man Ribaucour sche Kurven genannt, obgleich sie schon 
vor A. Ribaucour betrachtet worden sind 101 ) 



10 2\ 



101) Mit Recht heben E. Wolffing, Biblioth. math. (3) 1 (1900), p. 142 
159, insbes. p. 146, Anm., und G. Loria, Spezielle Kurven, p. 522, hervor, dass 
der Name: Eibaucour sche Kurven nicht der richtige ist. Einige Litteratur iiber 
diese Kurven, zum Teil den genannten Schriften entnoinmen, sei hier zusammen- 
gestellt: P. Varignon, Paris Mem. 1710, p. 161; Joh. I Bernoulli, Brief an 
Leibniz 1716 (Leibniz ed. Gerhardt 3, p. 958), auch Opera 2, p. 290291, 
L. Euler, Petropol. Comment. 10 (1747), p. 164180; A. Farcy, Nouv. Ann. (1) 
3 (1844), p. 528 533 (doch nur fur einen speziellen Fall); Parve, De curvis funi- 
cularibus, Diss. Groningen 1847, p. 8889; A. MiMer, Bestimmung der Kurven 
u. s. w., Diss. Jena 1867; Weerih, Uber eine Klasse von Kurven u. s. w., Progr. 
Celle 1874; E. Dubois, Nouv. Corresp. math. 6 (1880); H. Eesal, J. de math. (3) 
6 (1880), p. 115128; J. Hammond und G. Heppel, Educat. Times 34 (1881), 
p. 72, 73; A. Ribaucour, Etude des elassoi des ou surfaces a courbure moyenne 



226 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendents Kurven. 

Wahlt man insbesondere der Index n der Ribaucour schen Kurven 
gleich Null, so gehen die Kurven hervor, bei denen der Kriimmungs- 
radius von der bis zu einer festen Geraden g gehenden Normalen 
halbiert wird. Es sincl dies die yemeinen Cyldoidcn (vgl. Nr. 9). 1st 
== 1, so ergeben sich die Kreise, deren Mitten auf der festen Ge 
raden liegen, ist n = 2, so gehen die Parabeln hervor, die die feste 
Gerade zur Leitlinie haben. Fur n = 3 ergeben sich diejenigen 
Kurven, bei denen der Krummungsradius entgegengesetzt gleich dem 
Normalenabschnitt, gerechnet bis zu einer festen Geraden #, ist. 
Von diesen Kurven, den Kettenlinien, werden wir sogleich sprechen. 
Vorher sei noch bemerkt, dass A. Bibaucour die Ribaucour schen 

Kurven, bei denen das Verhaltnis (:-== 2: (w -f- 1) em e ganze Zahl 

ist, in vier Familien eingeteilt hat, deren Typen die vier soeben ge- 
nannten Kurven sind, und die er daher Kurven von cykloidischer, 
cirkularer, parabolischer und katenoidischer Art nennt 103 ) 104 ). 

27. Kettenlinien und Traktricen. Die Ribaucour schen Kurven 
vom Index n = 3, d. h. diejenigen Kurven, bei denen der Krum 
mungsradius entgegengesetzt gleich demjenigen Abschnitt der Nor 
malen ist, der von dem Kurvenpunkte und einer festen Geraden be- 
grenzt wird, sind die Gleichgewichtskurven, deren Gestalt ein unend- 
lich diinner, durchaus biegsamer homogener Faden unter dem Einfluss 

nulle, Bruxelles Mem. cour. in 4, 44 (1881), insbes. Kap. XIV; E. Cesaro, Nouv. 
Ann. (3) 7 (1888), p. 171190, insbes. p. 178181 ; Natiirliche Geometrie, p. 54 u. f. ; 
G. Loria, Spezielle Kurven, p. 521 530. 

102) E. Cesaro hat die Kurven mit der natiirlichen Gleichung: 

dg 




Q\ 

a) - 



die die Gleichungen (29) und (30) als spezielle Fiille umfasst, in mehreren 
Arbeiten studiert: Nouv. Ann. (3) 9 (1890), p. 143157; El .-progreso matema- 
tico 2 (1892), p. 212214 (vgl. Fortschr. d. Math. 24, p. 708); Nouv. Ann. (3) 
13 (1894), p. 102106; ebenda 19 (1900), p. 489494; Natiirliche Geometrie, 
p. 76, 77. 

103) A. Ribaucour, a. a. 0. p. 161164. Naheres iiber die Eibaucour schen 
Kurven findet man bei G. Loria, Spezielle Kurven, p. 521 530. 

104) Nach E. Cesaro, Nouv. Ann. (3) 13 (1894), p. 102106, insbes. p. 104, 
haben nur die Evoluten der Ribaucour schen Kurven die Eigenschaft, dass Hire 
Bogenlange als Potenz der Abscisse, multipliziert mit einer Konstanten, 
(s = ao?") ausdriickbar ist. Die Kurven, die durch diese letztere Eigenschaft 
charakterisiert sind, warden friiher von C. Nies, Progr. Kealgym. Darmstadt 1886, 
und Rich. Miiller, I rogr. Kgl. Eealsch. Berlin 1889, untersucht, aber ohne dass 
die Identitat mit den Evoluten der Ribaucour schen Kurven bemerkt wurde. 



27. Kettenlinien und Traktricen. 



227 



der Schwere allein annimmt, und heissen dalier Kettenlinien 10 * 1 ). 1st 
die feste Gerade (Leitlinie oder Direktrix) die #-Axe, so hat der 
Kriimmungsmittelpunkt eine i/-Koordinate, die doppelt so gross als die 
2/-Koordinate des Kurvenpunktes sein muss, so class sich, wenn der 
Strich die Differentiation nach der Bogenlange s ausdriickt, ergiebt: 

^ 2 

y + ^r = 2y 
y 

oder x* = yy". Da x 2 + 7/ 2 = 1 1st, folgt hieraus: 

*yy[_ __ i 

ds 
also 

f = S 2 _|_ 2bs + a 2 . 

Bei passender Wahl der Anfangsstelle der Bogenlange darf einfacher 
y = l/s 2 -j- a 2 gesetzt werden. Dann ist x = yT^- 7/ 2 leicht zu be- 
rechnen, sodass x = a log (s + }/s 2 + a 2 ) + const, kommt. Wird die 
2/-Axe durch denjenigen Punkt der Kurve gelegt, in clem die Tangente 
der Leitlinie parallel ist, so kommt: 

s-f 



(31) 



x = a log 



daraus durch Elimination von s: 

(32) y = 

Alle Kettenlinien sind einander ahnlich und von parabelartiger 
Gestalt (s. Fig. 14). Ist die ?/-Axe die Vertikale und zwar positiv 
nach oben, so stellt (32) 
die Gleichgewichtsfigur des 
hangenden Fadens dar. Da- 
bei ist die Bogenlange s vom 
tiefsten Punkte der Kurve aus 
gerechnet. Da die Ketten- 
linie eine Ribaucour sche 
Kurve vom Index n = 3 
ist, so ist aus (30) in Nr. 26 
ihre natiirliche Gleichung so- 
fort abzuleiten. Noch beque- 
mer geht sie hervor, wenn 
man bedenkt, dass der Kriim- 

105) Jacob I Bernoulli, Acta Eruditorum, Mai 1690, auch Opera 1, p. 246, 
stellte die Frage nach der Gleichgewichtsform des Fadens, die Galilei fur eine 
Parabel gehalten hatte. Huygens, Leibniz und Joli. Bernoulli gaben die Antwort. 
Geschichtliches siehe bei G. Loria, Spezielle Kurven, p. 574, 575, und IV C, Abschn. HI. 




Fig. 14. 



228 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

rnungsradius der bis zur a; -Axe gemessenen Normalen v entgegengesetzt 
gleich ist. Es 1st: 

^y. = - 

dx a 
also folgt als natiirliche Gleichung: 



Die Flache, die zwischen der Kettenlinie, der Leitlinie, der Ordinate 
des tiefsten Punktes und der zum Bogen s gehorigen Ordinate liegt, 
ist gleich as. 106 ) Tragt man auf der Tangente eines Kurvenpunktes 
(s) und zwar in der Richtung uach dem tiefsten Punkte hin die Bogen- 
lange s auf, so ist diese Strecke eine Kathete eines rechtwinkligen 
Dreiecks, dessen Hypotenuse y ist und desseu andere Kathete nach 
(31) die konstante Lange a hat. Demnach ist diejenige Evolvente 
[III D 1, 2, Nr. 16] der Kettenlinie, die im tiefsten Punkte der Kurve 
beginnt, eine Kurve, der en Tangente, gemessen bis zur x-Axe, eine kon 
stante Lange a hat, eine sogenannte Traktrix 101 }. 

106) Sonstige Eigenschaften der Kettenlinie (Seilkurve, Segelkurve, Velaria) 
siehe bei G. Loria, Spezielle Kurven, p. 576 578. Unter Kettenlinie gleichen 
Widerstandes (auch Longitudinalc genannt) versteht man die Gleichgewichtslage 
eines Fadens unter Einwirkung der Schwere, wenn die Spannung iiberall der 
Dicke des Fadens proportional ist. Sie wurde von G. Coriolis, J. de math. (1) 
1 (1836), p. 75, 76, bestimmt. Ihre Gleichung ist: 

y_ 

e a cos = 1. 

a 
Ihre natiirliche Gleichung ist: 

-yV + Vi 

siehe E. Cesaro, Natiirliche Geometrie, p. 5; auch T. Cifarelli, Giorn. di mat. 36 
(1898), p. 183, 184. Indem man die Ordinaten der Kettenlinie nach konstantem 
Verhiiltnis vergrossert oder verkleinert, kommt man zu den Geivolbelinien , vgl. 
0. Schlomilch, Ubungsbuch z. Stud, der hoh. Analysis, 1., 3. Au$., Leipzig 1878, 
p. 101; da sie symmetrisch zur i/-Axe unter Umstanden zwei r eelle Stellen mit 
Maximalkriimmung (Scheitel) haben, so werden sie dann auch Kettcnlinien mit 
zwei Nasen genannt. G. Loria, Spezielle Kurven, p. 579, citiert hierfiir T. Ale 
xander und A. W. Thomson, Dublin Trans. 29, part. 3, 1888. Die noch allgemei- 
neren Kurven: 

X X 

y = ae c -\- be c 

heissen nach F. Heinzerling, Zeitschr. f. Bauwesen, 19, 1869, p. 90110, insb. 
p. 97, Klinoidcn. Eine Verallgemeinerung der naturlichen Gleichung der Ketten- 
linien fiihrte zu den Pseudokatenarien, siehe E. Cesaro, Natiirliche Geometrie, p. 17. 
Sie sind Evolventen von Pseudotraktricen genannten Kurven, ebenda p. 18, 36. 

107) Geschichtliches iiber die Traktrix (Zuglinie) siehe bei G. Loria, Spezielle 
Kurven, p. 562573. Sie wurde zuerst von Leibniz als die Kurve bestimmt, 



27. Kettenlinien uncl Traktricen. 229 

Die Traktrix hat also zur Evolute die Kettenlinie. Der zum 
Punkte (x, y) der Kettenlinie (31) gehorige Punkt der Traktrix hat 
die rechtwinkligen Koordinaten: 

= x asinr, \) = acosT, 

wenn r der Winkel der Tangente der Kettenlinie mit der Leitlinie, 
also tg T = s : a ist. Aus (31) folgt demnach als Gleichung der 
Traktrix: 



Die Traktrix hat die Leitlinie der Kettenlinie (die -Axe), die auch 
die Leitlinie der Traktrix heisst, zur Asymptote [III D 1, 2, Nr. 8]. Die 
Ableitung der Traktrix aus der Kettenlinie zeigt, dass in dem zum Punkte 
(s) der Kettenlinie gehorigen Punkte (j, tj) der Traktrix der Krummungs- 
radius der Traktrix gleich s ist, wahrend das Stuck der Normalen 
der Traktrix, das vom Punkte (j, t)) und der Leitlinie begrenzt wird, 
auf der andern Seite liegt und absolut gemessen die Lange a 2 : s hat. 
Demnach ist bei der Traktrix das Produkt aus dem Kruminungs- 
radius und der Normalen v, wenn diese bis zur Leitlinie gemessen 
wird, gleich -- a 2 , wenn wie fruher das negative Vorzeichen andeutet, 
dass Q und v auf verschiedenen Seiten des Kurvenpunktes liegen. 
Diese Eigenschaft: 

Q v = const. 

kommt einer ausgedehnteren Familie von Kurven zu, deren Umdrehung 
um die Leitlinie die Rotationsflachen konstanter positiver oder nega- 
tiver Krummung liefert, je nachdem die Konstante positiv oder negativ 
ist 108 ). Diese Kurven entsprechen einander paarweis: Ist bei einer 

die ein materieller Punkt in der Ebene beschreibt, wenn er durch einen un- 
ausdehnbaren Faden von einem Punkte fortgezogen wird, der eine Gerade (die 
Leitlinie) beschreibt [IV, lib]. Ersetzt man die Gerade durch eine andere Kurve, 
so erhalt man eine sogenannte Traktorie. Der Ort der Punkte, durch die man 
die Tangenten a der Traktrix nach konstantem Verhaltnis teilen kann, heisst Syn- 
traktrix nach einem Vorschlag von J. Sylvester, vgl. Salmon -Fiedler, Anal. Geom. 
d. hoh. ebenen Kurven, 2. Aufl., Leipzig 1882, p. 378; M. d Ocagne, Nouv. Annales 
(3) 10 (1891), p. 8290, insbes. p. 84, 85. Sonstige Verallgemeinerungen der 
Traktrix, namentlich die Traktrix complicata, sind bei G. Loria, Spezielle Kurven, 
p. 566574, besprochen. -- Eollt eine hyperlolische Spirale (Nr. 37) auf einer 
Geraden ab, so beschreibt ihr asymptotischer Punkt eine Traktrix, siehe A. De- 
moulin, Bruxelles Mem. in 8, 44, 7 mars 1891. 

108) Sie wurden von F. Minding, 3. f. Math. 19 (1839), p. 370387, insbes. 
p. 379, 380, fur negative Werte der Konstante, allgemein von J. Liouville in der 
Note 4 zur 5. Auflage von Mongers Application de 1 Analyse a la Geometric, 
Paris 1850, p. 583600, bestimmt. Uber ihre flachentheoretische Anwendung 



230 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

Kurve QV = a 2 , so giebt es eine Kurve, bei der QV = a 2 ist und 
die jene bestandig unter rechtem Winkel schneidet, wie man sie auch 
liings der Leitlinie verschieben mag 109 ). Insbesondere ist die Traktrix 
mit der konstanten Tangentenlange a die orthogonale Trajektorie der- 
jenigen Kreise voin Radius a, die ihre Mitten auf der Leitlinie haben 110 ). 



IT. Transcendente Raumkurven 111 ). 

28. Charakteristische Eigenschaft der Bertrand schen Kurven. 
B. de Saint -Vcnant 11 ^ warf 1844 die Frage auf, ob es auf der Flache, 
die von den Hauptnormalen einer Kurve gebildet wird, eine zweite 
Linie geben kann, deren Hauptnormalen dieselben Geraden sind, sowie 
damit zusammenhangeude Fragen [III D 1,2, Nr. 32; III D 5, Nr. 2]. 
Die erste Antwort gab J. Bertrand 1850 113 ); nach ihm kann man die 
geradlinigen Flachen in vier Klassen teilen, je nachdem auf einer solchen 
Fliiche keine, eine, zwei oder unendlich viele Kurven liegen, deren 
Hauptnormalen die Erzeugenden der Flache sind. Die letzte Klasse 
besteht aus den gemeinen Schraubenflachen; und hier sind die be- 
treffenden Kurven als orthogonale Trajektorien der Erzeugenden sarnt- 
lich gemeine Scliraubenlinien (Nr. 20, vgl. auch Nr. 31). Von Interesse 
ist somit nur noch die dritte Fliichenklasse, zu der die Kurvenpare 
mit gemeinsamen Hauptnormalen gehoren. Diese Paare heissen Ber- 
trand sche Kurven. 

Es seien x, y, z die rechtwinkligen Punktkoordinaten eines Punktea 
einer Kurve, s die zugehorige Bogenlange, 1 : Q die Kriimmung, 1 : T 
die Torsion. Ferner seien a i} /3 1; ft bezw. 2 , /3 2 , y 2 ^ezw. 3 , /3 8 , y 3 die 



sielie E. Sour, J. ec. pol. 39 (1862), p. 1148, dazu Zeichnungen auf Tafel III. 
Diskussion der Kurven mit Zeichnungen z. B. bei G. Scheffers, Einfuhrung in die 
Theorie der Kurven, Leipzig 1901, p. 96 105. Siehe auch E. Cesaro, Natiirliche 
Geometric, p. 3032, sowie HID 5, Nr. 33; III D 6 a, Nr. 28. Die in den Lehr- 
brtchern der darstellenden Geometrie auftretende Kurve, als die sich ein Kreis 
eines schiefen Kreiscylinders beim Abwickeln auf die Ebene darstellt, gehort 
auch zu denjenigen Kurven, bei denen QV = const, ist, obwohl dies unseres 
Wissens nirgends erwahnt wird. 

109) G. Scheffers, Leipz. Ber. 1900, p. 18, insbes. p. 35. 

110) J. Liouville, Fussn. 108, p. 599. 

111) Einige Raumkurven wurden schon im Anschluss an ebene Kurven in 
Nr. 20 (raumliche IF- Kurven, insbesondere gemeine Schraubenlinien) und Nr. 25 
(tetraedral-symmetrische Kurven) besprochen. 

112) Memoire sur les lignes courbes non planes, pres. a TAc. 1844, J. ^c. 
polyt. 30, (1845) p. 1 76, insbesondere p. 48 Anm. 

113) J. de math. (1) 15, p. 332250. Ein kleiner Irrtum auf p. 340 wurde 
von J. Th. Graves berichtigt, vgl. A. H. Curtis, ebenda (2) 1 (1856), p. 229. 



28. Charakteristische Eigenschaft cler JBertrand schen Kurven. 231 

Richtungskosinus der Tangente bezw. Haupt- bezw. Binormale 1U ). Bine 
zweite Kurve, die auf der Flache der Hauptnormalen der Kurve (x, 
y, z) verlauft, ergiebt sich allgemein, wenn eine von der Bogenlange s 
abhangige Lange m auf der Hauptnormalen der ersten Kurve abge- 
tragen wird, als Ort der Endpunkte mit den Koordinaten: 

(33) x = x + K 2 m, y=y-\- fam, 2=2 + y 9 m. 

Die auf , die zweite Kurve beziiglichen Grossen seien wie die auf die 
erste Kurve beziiglichen Grossen, jedoch iiberstrichen , bezeichnet. 
Sollen beide Kurven dieselben Hauptnormalen haben und ist 6 der 
Winkel der Tangenten zusammengehoriger Punkte (x } y, z) und (x, y, 2} 
beider Kurven, so kann man 

(34) ! = ! cos -f cc s sin 6, cc. 2 = sa 2 , a s = s ( x sin 6 3 cos 8) 
ansetzen, wo s einen der nachher noch auszuwahlenden Werte + 1 
hat. Analog driicken sich die /5 durch die /J und die y durch die y 
aus. Aus: 



cos = 



folgt durch Differentiation nach s, da die Bogenlange s ebenso wie 
m eine Funktion von s sein wird, vermoge der Frenet schen Formeln 
(IIID1,2 ; Nr. 31): 



sin e == 



oder nach (34) einfach: 



d. h. <?er TTmM 6 der Tangenten entsprediender Punkte sweier Bertmnd- 
scher Kurven ist Constant 115 ). Es ist also auch der Winkel ent- 
sprechender Binormalen oder Schmiegungsebenen konstant n6 ). Aus 
(33) folgt durch Differentiation nach s, wenn man wieder die Frenet- 
schen Formeln benutzt: 



dm 



114) Hier und spater benutzen wir im wesentlichen die in III D 1, 2; 
Nrr. 30, 31 angewandten Festsetzungen und Bezeichnungen. 

115) Satz von A. H. Curtis, Fussn. 113, p. 224. 

116) Die Relationen (34) und die Folgerung: = const, gelten auch, wenn 
zwei Kurven so punktweise auf einander bezogen sind, dass sie in entsprechen- 
den Punkten parallele Hauptnormalen haben. Ferner ergiebt sich dann, dass 
das Verhaltnis aus Krummung und Torsion bei der einen Kurve eine linear <JQ- 
brochene Funktion des entsprechenden Verhaltnisses bei der andern Kurve mit 
konstanten Koeffizienten ist; siehe L. Aoust, Analyse infinitesimale des courbes 
dans 1 espace, Paris 1876, p. 368375. 



232 HI D 4. G. Schcffers. Besondere transcendents Kurven. 

dazu zwei analoge Formeln. Multipliziert man sie der Reihe uach 
mit 17 /3 1; y x bezw. a 2 , /3 2 , j> 2 bezw. a 3 , /3 3 , y 3 und addiert sie jedes- 
mal, so kommt im Hinblick auf (34): 

/O -N n ds m dm . n ds m 

(3o) cos = 1 , = -j , sin 6 -y- = -= 

ds Q rfs ds T 



Die zweite Gleichung lehrt: Zwei isusammengehorige Bertrand sche 
Kurven schneiden auf ihrcn gemeinsamen Hauptnormalen eine Strecke 
von konstanter Lange m ab 111 ). Hiernach und wegen der Konstanz 
von sind langs beider Kurven die aus Tangente, Haupt- und Bi- 
normale bestehenden begleitenden Dreikante je zweier entsprechender 
Punkte starr miteinander verbunden. Die erste und dritte Gleichung 
(35) geben durch einander dividiert: 
/op\ s i n _|_ cos ^ sin 

( OD ) "T" 7fT~ 

Q T m 

Dies giebt den Satz von J. Bcrtrand: Zivei Kurven haben dann und 
nur dann gemeinsame Hauptnormalen, wenn zwischen der Krummung 
und Torsion der einen Kurve eine lineare Relation mit honstanten 
Koeffizienten besteht. Die Umkehrung ist namlich leicht zu beweisen. 
Bertrand hat den Satz a. a. 0. synthetisch bewiesen, J. A. Serret 116 ) 
gab den ersten analytischen Beweis. Mit den Bertrand schen Kurven 
hat sich seitdem eine Reihe von Mathematikern beschaftigt, die ver- 
schiedenartige Beweise des Satzes gebracht haben 119 ). 

117) Triigt man auf den Hauptnormalen einer Kurve eine konstante Strecke 
ab und hat die Kurve der Endpunkte die Eigenschaft, dass ihre Schmiegungs- 
ebene mit der entsprechenden Schmiegungsebene der Urkurve einen konstanten 
Winkel bildet, so sind beide Kurven Bertrand sche Kurven. Siehe B. Niewen- 
glvwski, Paris C. R. 85 (1877), p. 394396. 

118) J. de math. (1) 16 (1851), p. 499, 500. 

119) Wir konnen noch folgende Stellen ausser den schon erwahnten nennen: 
W Schell, Allgemeine Theorie der Kurven doppelter Krummung, Leipzig 1859, 
p. 7480 (2. Aufl. 1898, p. 108115); P. Serret, The orie ntfiiv. geom. et mec. 
des Hgnes a double courbure, Paris 1860, p. 109117; E. Laguerre, Bull, sciences 
math. astr. 2 (1871), p. 279 282; A. Mannheim, J. de math. (2) 17 (1872), p. 406 
417; L. Aoust, Fussn. 116, 1876, p. 378381; A. Mannheim, Paris C. R. 85 
(1877), p. 212216; J. A. Serret, ebenda, p. 307, 308; A. Fais, Bologna Rend. 
1877/78, p. 25, 26; Bologna Mem. 8 (1878), p. 609624; A. Mannheim, Paris 
C. R. 86 (1878), p. 12541256; Proc. Lond. math. Soc. 16 (1884/85), p. 273 
276; G. Darboux, Le9ons sur la the orie gener. des surfaces, 1. partie, Paris 1887, 
p. 1315, 44, 45; 3. partie, Paris 1894, p. 313,314; A. Pellet, Paris C. R. 106 
(1888), p. 654; Ch. Bioche, ebenda, p. 829, 830; E. Picard, Traite d anal. 1, 
Paris 1891, p. 368371; V. Eouquet, Toulouse Mem. (9) 4 (1892), p. 241264; 
E. Cesaro, Rivista di mat. 2 (1892), p. 153159; Mathesis (2) 4 (1894), p. 265 
268; H. Molins, Toulouse Mem. (9) 6 (1894), p. 394420; A. Mannheim, Prin- 



28. Charakteristische Eigenschaft der Sertrand schen Kurven. 233 

Da die Beziehung zwischen zwei zusammengehorigen Bertrand- 
schen Kurven durchaus umkehrbar ist ; gibt jede richtige Forinel eine 
neue, wenn man die nicht iiberstrichenen Buchstaben mit den iiber- 
strichenen vertauscht, aber, wie (33) und (34) zeigen, m durch sm 
und durch sB ersetzt. So gibt die dritte Formel (35): 



/rrr\ 

( 37 ) 

sodass aus beiden folgt: 

(38) A._L-_^ 1.1__/^Y 

T T ~ * > T T~~ (ds) 

Das Produkt der Torsionen entsprechender Punkte ist also Constant, wie 
W. Schell 120 ) zuerst fand, wahrend das Verhaltnis der Torsionen um- 
gekehrt proportional dem Verhaltnis der Quadrate der Bogenelemente 
ist. Beide Kurven haben an enfcsprechenden Stellen zngleich positive 
oder zugleich negative Torsionen. Aus der ersten Formel (35) zieben 
wir ebenso: 



ds 
cos 

sodass folt: 



cos 0-^ = 1 -- 

OS ) 



Sind P t P einander entsprechende Punkte beider Kurven, K und K 
ihre Krummungsmittelpunkte, so folgt hieraus, dass das Doppelver- 
haltnis (PPKK) = 1 : cos 2 0, also konstant ist, wie A. Mann 
heim 121 ) fand. 

Aus (36) folgt durch Vertauschen beider Kurven noch: 
sing . cos 6 _ sin 6 



2* m 



cipes et developpements de gometrie cinematique, Paris 1894, p. 364379, 532 
544; L. Bianchi, Vorlesungen iiber Differentialgeometrie, deutsch von Lukat, 
Leipzig 1899, p. 3134, 231; W. de Tannenberg, I^ons nouvelles sur les appli 
cations geometriques du calcul differential, Paris 1899, p. 89,90; E. Cesar o, Vor 
lesungen fiber naturliche Geometrie, deutsch von Kowalewski, Leipzig 1901, p. 186 
189. Die von mehreren Autoren zitierte Arbeit von Voizot, J. de math. (1) 
15 (1850), p. 481486, handelt nur von Kurven konstanter Krummung. 

120) Fussn. 119, 1859, p. 78 (1898, p. 110). Dagegen hat W. Schell in der 
1. Aufl. statt der 2. Formel (38) .eine falsche Formel. Vgl. noch Schell, Archiv 
Math. Phys. 5 (1903), p. 4. 

121) Siehe Fussn. 119, 1872, p. 413. Bei W. Schell, a. a. 0., 2. Aufl., p. Ill, 
ein Rechenfehler. Auch bei L.Aoust, a. a. 0. p. 381, ein Irrtum. Jenes Doppel- 
verhaltnis kann nie harmonisch sein, vielmehr liegen im Fall reeller Kurven 
entweder K und K zwischen P und ~P oder beide ausserhalb PP, wie Schell 
richtig bemerkt. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 16 



234 HI D 4. G. Scheff ers. Besondere transcendente Kurven. 

Aus den aufgestellten Relationen leitet man z. B. ab: 

1 /sin 2 cos 2 0\ 1 1 . -/I 1 \ 

- = I- -1. ~ = ~ sm 2 [ -- f- - -), 

e \ i e / T ^ \m ^ m/ 

woraus leicht eine von L.Aoust} angegebene Konstruktion folgt. Ent- 
fernt man mit Hiilfe von (36), so kommt: 



2 m 2 + T 2 ( e m) 2 
Da die Kriimmung positiv sein muss (vgl. Ill D 1, 2, Nr. 29), so ist 

s = + 1, je nachdem m ^ /. , 

ist. Weiterhin hat A. Mannheim*) gezeigt, wie man die Schmiegungs- 
kugel der zweiten Bertrand schen Kurve konstruieren kann, sobald 
man die der ersten kennt, auch hat er einen von A. Demoulin 12 *) nur 
fur Kurven konstanter Torsion ausgesprochenen Satz auf die Bertrand- 
schen Kurven verallgemeinert 125 ). 

29. Endliche Gleichungen der Bertrand schen Kurven. Zu 
ihrer Bestimmung geht man von der spharischen Indikatrix der Bi- 
normalen der zugeordneten zweiten Bertrand schen Kurve aus, d. h. 
(nach III D 1, 2, Nr. 30) von derjenigen Kurve, die sich auf der Eiii- 
heitskugel um den Anfangspunkt ergiebt, wenn man durch den An- 
fangspunkt die Parallelen zu diesen Binormalen legt und sie mit der 
Kugel zum Schnitte bringt. Wahlt man diese Indikatrix und ebenso 
die lineare Relation (36), d. h. die Konstanten m und 0, ganz beliebig, 
so gibt es stets zugehorige Bertrand sche Kurven. 

Es seien namlich u, v, w die Punktkoordinaten und <5 die Bogen- 
lange der Indikatrix, sodass also u, v, w solche sonst beliebige Funk- 
tionen von (5 bedeuten sollen, die den beiden Bedingungen 
(40) M 2 +; 2 +tt; 2 =l, w 2 +; 2 +w 2 = 1 

geniigen, wobei der Strich die Differentiation nach 6 andeutet. Da 



122) Fussn. 119, p. 380. 

123) Fussn. 119, in den Proceed. 1884/85. 

124) Paris soc. math. Bull. 20 (1892), p. 4346. 

125) In den zitierten Principes et de"v., 1894, p. 374, namlich: Bewegt sich 
ein aus drei rechtwinkligen Geraden bestehendes Dreikant so langs einer Ber 
trand schen Kurve, dass die Geraden bestandig in die Tangente, Haupt- und 
Binonnale fallen, so ist der Ort der Axen derjenigen unendlich kleinen Schrau- 
bungen, die das Dreikant aus einer Lage in die unendlich benachbarte Lage 
uberfuhren (vgl. in D 1, 2, Nr. 31, Anm. 199), relativ zu diesem Dreikant ein 
Pliicker sches Konoid [III C 9]. -- Eine andere Eigenschaft der Bertrand schen 
Kurven bei E. Cesaro, a. a. 0. 1894, p. 265268, und 1901, p. 188, 189. 



29. Endliche Gleichungen cler Bertrand schen Kurven. 235 

u, v, w zugleich die Richtungscosinus 3 , /3 3 , y 3 der Binormale der 
zweiten Bertrand schen Kurve sein sollen, so gibt (34): 

(41} ! KI Sin ^ ~ KS C S = M; & sin P3 COS = V > 

ft sin % cos = f w. 

Das Bogenelement dtf ist gleich dem Winkel ds : T unendlich benach- 
barter Binormalen, sodass (37) gibt: 

(42} -- s * n 

ds " m 

Werden die Formeln (41) mit Rucksicht hierauf nach s unter Be- 
nutzung der Frenet schen Formeln (III D 1,2, Nr. 31) differenziert, so 
kommt wegen (36) einfacli: 

a 2 = eu , /3 2 == sv, y 2 = sw . 
Aus a l0 r 2 + fap 3 + yi j/ 2 = folgt daher: 

M i + A + ^>i = 0, 
wahrend (41) nach Multiplikation mit u lt ft, ^ und Addition gibt: 

ucti + v/3 x + wyi = sin 0. 
Da ausserdem: 

1 2 +/V } +JY J =i 

ist, so zieht man aus den drei letzten Formeln: 

#! = sin 6 - u + cos (vw wt? ) 

und analoge Werte fur ft und ft. Aus (41) lassen sich alsdann auch 
K s> As; 7s berechnen, wahrend scaon a^= EU u. s. w. gefunden war. 
Da die Determinante 

K & J>3 = + 1 

sein muss, folgt mit Rucksicht auf (40), dass in dem Wert von ^ 
das obere Vorzeichen gilt. Wegen (42) ist ferner fur den Punkt (x, 
y, z) der gesuchten ersten Bertrand schen Kurve: 
dx dx da a.m 



Analog gehen die Ableitungen von y und e nach a hervor, sodass folgt: 
x = smj ud& -f m ctg J (vw r W) d<5, 



= s mj vd<5 + m ctg OJ(wu uw) d<s, (e = + 1) 



(43) 

2 = smj wd6-\-m ctg 9J (uv vu) de. 

Man kann umgekehrt zeigen: Sobald u, v, w drei solche Funktionen 
von 6 sind, die den beiden Gleichungen (40) genugen, und m und 6 

16* 



236 HI D 4. G. Sclieffers. Besondere transcendente Kurven. 

irgend zwei Konstante bedeuten, sind dies die endlichen Gleichungen 
einer Bertrand schen Kurve, ausgedriickt mittels des Parameters tf, 
und zwar besteht bei dieser Bertrand schen Kurve die lineare Re 
lation (36). 

Die Formeln (43) hat G. Darboux} gegeben. Dagegen schliesst 
L. BiancJii 121 } so: Kann man zwei Kurven punktweis so auf einander 
beziehen, dass ihre entsprechenden Bogenelemente einander gleich und 
ihre entsprechenden Hauptnormalen einander parallel sind 128 ), so ist die 
Kriimmung der einen Kurve eine ganze lineare Fimktion von Krum- 
mung und Torsion der andern. Hat also die eine Kurve konstante 
Krumrnung, so ist die andere eine Bertrand sche Kurve. Hiernach 
lasst sich die Bestinimung der endlichen Gleichungen einer Bertrand- 
schen Kurve auf die der endlichen Gleichungen einer Kurve Itonstanter 
Kriimmung [III D 1, 2, Nr. 32] zuriickfiihren. Die direkte Bestinimung 
der letzteren ist einfach (vgl. Anna. 140 zu Nr. 31). 

30. Die Bertrand schen Kurven in der Flachentlieorie. E. La 
guerre 129 ) stellte 1871 den Satz auf: Verbiegt man ein einschaliges 
Rotationshyperboloid so, dass die eine Schar von Geraden geradlinig 
bleibt [HID 6 a, Nrr. 22, 23], so geht der Kehlkreis in eine Ber 
trand sche Kurve iiber. Dass der Satz auch umgekehrt gilt, deutete 
Laguerre kurz an. Astor*) bemerkte alsdann, dass man die geoda- 
tischen Linien gewisser geradliniger Flachen durch Quadraturen be- 
stimmen kann. A. Pellet 131 } hob hervor, dass die Striktionslinie einer 
solchen Flache eine Bertrand sche Kurve ist. CJi. Bioche 13 * ) endlich 
zeigte, dass die fraglichen Flachen gerade diejenigen sind, die in dena 
Laguerre schen Satze auftreten, und gab der Umkehrung des Satzes 
von Laguerre diese prazise Form: Liegen zwei zusammengehorige 
Bertrand sche Kurven vor und legt man durch jeden Punkt der einen 
diejenige Gerade, die zur Binormalen der andern in dem zugeordneten 
Punkte parallel ist, so bilden die konstruierten Geraden eine Flache, 
die sich so zu einem einschaligen Hyperboloid verbiegen lasst, dass 
ihre Geraden geradlinig bleiben. Nach (43) sind daher: 



126) Le9ons, 1. parti e (1887), p. 45. 

127) Differentialgeoinetrie, p. 3234. 

128) Dies ist eine Weiterfiihrung von Betrachtungen , die von L. Aoust 
herriihren, vgl. Anm. 116. 

129) Fussn. 119, p. 281. 

130) Assoc. pour 1 avanc. des sc. (Toulouse) 1887, p. 1. 

131) Fussn. 119, 1888. 

132) Fussn. 119, 1888. Siehe auch G. Darboux, Le9ons, 3. partie, p. 313, 
314; L. Bianchi, Differentialgeometrie, p. 231. 



30. Bertrand sche Kurven in d. Flachentheorie. 31. K. konst. Kriimmung. 237 

x = m I ud<5 -f- m ctg 6 I (yw wv } d<5 -f- ut, 
y = smj vd(5 -j- m ckg6j (wu uw} d<5 -f- vr, 

2 = emjwdti -\- m ctg0 / (uv f -- vu } d<5 -f- wr 
die Gleichungen einer allgemeinen derartigen Flache, ausgedriickt 
mittels zweier Parameter 6 und T, sobald die Funktionen u, v, w von 
6 allein den beiden Bedingungen (40) geniigen, wahrend m und 
Konstanten sind und e + 1 ist. 

V. Bouquet 133 } stellte sich das Problem, diejenige Minimalflache 
zu finden, die eine gegebene Bertrand sche Kurve zur Haupttangenten- 
kurve hat. Er erkannte, dass sie der Ort der Mitten derjenigen Mi- 
nimalkurve ist, die man erhalt, wenn man durch die Punkte einer 
Bertrand schen Kurve die Parallelen zu den Binormalen der zugeho- 
rigen Kurve in entsprecnenden Punkten zieht also wie bei Bioctie - 
und auf ihnen die konstante Lange + mi : sin abtragt, vorausgesetzt 
naturlich, dass die gegebene Bertrand scne Kurve der linearen Relation 
(36) gentigt. 

31. Kurven konstanter Kriimmung, Kurven konstanter Torsion 
und allgemeine Schraubenlinien. Zu den linearen Relationen zwischen 
Kriimmung 1 : Q und Torsion 1 : T gehoren insbesondere die Gleichungen 
1 : Q = const, und 1 : T const. Demnach gehoren die Kurven kon 
stanter Krummung und die Kurven konstanter Torsion zu den Bertrand- 
schen Kurven. 

Hat eine Kurve 134 ) die Jconstante Krummung 1 : Q, so ist in der 
linearen Relation (36) 

cos = 0, Q = m 

zu setzen. Letzteres sagt aus, dass die zugehorige zweite Bertrand- 
sche Kurve der Ort der Krummungsmittelpunkte ist, ersteres, dass die 
Tangente und Binormale der zugehorigen Kurve bezw. der Binormale 
und Tangente der Kurve konstanter Krummung in entsprechenden 
Punkten parallel ist 135 ). Alls (39) folgt p = cp = sw. Naturlich muss 
= -f-l sein, da ^>0 ist. Also ergiebt sich der schon G. Monge} 

133) Fussn. 119, 1892. 

134) E. Cesdro, Natiirl. Geom. 1901, p. 182, nennt die Kurven konstanter 
Krummung windschiefe Kreise. 

135) Uber Kurven mit solchen ,,reziproken u begleitenden Dreikanten siehe 
L.Aoust, Analyse infinitesimale des courbes dans 1 espace, Paris 1876, p. 376 378. 

136) Paris Mem. pour 1784, p. 536 u. f., wahrend man sonst ofters Bou 
quet (mit welcher Arbeit?) dafiir citiert findet. Die Art, wie Monge die end- 
lichen Gleichungen der Kurven konstanter Krummung dort bestimmt, ist jedoch 
falsch. Vgl. G. Darboux, Le90ns, 1. partie, p. 17 Anm. 



238 HI D 4. G. Schcffers. Besondere transcendente Kurven. 

bekanute Satz: Der Ort der Krummungsmittelpunkte einer Kurve 
konstanter Kriimmung ist erne Kurve von derselben konstanten Kriim- 
mung, d. h. fiir sie ist der Ort der Kriimmungsmittelpunkte wieder 
die urspriingliche Kurve, denn dies erhellt sowohl aus der Umkehr- 
barkeit der Beziehung zwischen zwei Bertrand schen Kurven als auch 
aus der zweiten Formel (34), da s = -f- 1 ist. Aus der in III D 1, 2, 
Nr. 31, angegebenen Formel fiir den Radius E der Schmiegungskugel 
folgt sofort: Der Ort der Krummungsmittelpunkte einer Kurve fallt 
dann und nur dann rnit dem Ort der Schmiegungskugelmittelpunkte, 
d. h. mit der Gratlinie der Polarflache zusammen, wenn die Kurve 
selbst konstante Kriimmung hat 137 ). - - Breitet man die Tangenten- 
flache einer Kurve konstanter Kriimmung ohne Dehnung auf die Ebene 
aus, so geht die Kurve in einen Kreis iiber, weil sich die Kriimmung 
dabei nicht andert. Um also eine Kurve konstanter Kriimmung mecha- 
nisch zu erzeugen, legt man zwei vollig biegsame unausdehnbare ebene 
Blatter aufeinander, befestigt sie langs eines Kreises aneinander und 
entfernt das Innere des Kreises, auch zieht man einen Schnitt vom 
Aussenrand nach dem Innern. Biegt man nun die Blatter auseinander, 
so geht der Kreis in eine Kurve konstanter Kriimmung iiber 138 ) 139 ). 
Die endlichen Gleichungen 140 ) einer Kurve konstanter Kriimmung l:p 
sind, sobald die Kriimmung nicht gleich Null ist, nach (43), da 
cos 6 = 0, m = Q und s = -f- 1 ist: 

x = Q jud<5, y = QJ vdcs, z = Q jwda, 
wo M, v, w solche Funktionen von (f bedeuten, die den beiden Be- 



137) In Ankniipfung hieran sei das Aoust sche Problem erwahnt: Eine 
Kurve zu finden, bei der die Gratlinie der Polarflache der Gratlinie der Polar 
flache wieder der Urkurve kongruent ist. Vgl. L. Aoust, Paris soc. math. Bull. 
7 (1878/79), p. 143 154; Referat B. Hoppe s dariiber in den ,Fortschr. d. Math. 
11 (1881), p. 550552, und Archiv Math. Phys. (1) 66 (1881), p. 386 396; (2) 2 
(1885), p. 129137. 

138) Vgl. W. Schell, Fussn. 119, 1859, p. 18; 1898, p. 104, 105. 

139) Die Satze iiber Bertrand sche Kurven gelten mit entsprechender 
Spezialisierung (cos d = 0, m = Q) auch fiir die Kurven konstanter Kriimmung. 
So liefert die erste Formel (38) in Nr. 28 den speziellen Satz: TT = p 2 fiir 
Kurven konstanter Kriimmung. Dieser Spezialsatz kommt schon bei /. Bertrand, 
J. de math. (1) 15 (1850), p. 350 vor. Voizot, ebenda, p. 481486, reklamiert 
ihn fiir sich. 

140) Sie wurden direkt von 0. Bonnet, J. e c. polyt. 32 (1848), p. 1146, 
insbesondere p. 123, aufgestellt. Siehe auch J. A. Serret in Liouville s Note I zu 
Monge, Application de Fanalyse a la geometric, 5. Aufl., Paris 1850, p. 566, 567, 
und im J. de math. (1) 16 (1851), p. 193207. 



31. Kurven konstanter Torsion. 239 

dingungen (40) geniigen. 1st jedoch die Krummung gleich Null, so 
1st die Kurve eine gerade Linie 141 ). 

Die Kurven konstanter Torsion 1 : T wurden zuerst von J.A.Serret U2 ) 
betrachtet, der auch ihre endlichen Gleichungen aufstellte. Sie gehoren 
als GrenafaU zu den Bertrand schen Kurven, indem in der linearen 
Relation (36), Nr. 28, sowohl sin 6 = als auch m = zu setzen ist, 
doch so, dass beim Grenziibergang die Relation einen Sinn behalt, 
d. h. tg 6 : m von Null verschieden bleibt und die konstante Torsion 
1 : T darstellt. Die Formeln (43) liefern alsdann, sobald die Torsion 
nicht gleich Null ist, die endlichen Gleichungen: 

x = TJ(vw wv )d<3, y = T j(wu uw }d<5, 

z = T I (uv vu }da } 
* 
wo u, v, w solche Funktionen von <5 bedeuten, die den Gleichungen 

(40) geniigen. Durch eine leichte Abandoning gehen hieraus die 
Formeln J. A. Serret s hervor 143 ). Da m = ist, so fallt die zu einer 
Kurve konstanter Torsion zugehorige Bertrand sche Kurve mit ihr 
selbst zusammen. Man kann die Tangentenflache einer beliebigen 
Raumkurve so verbiegen, dass sie dabei in die Tangentenflache einer 
Kurve konstanter Torsion iibergeht 144 ). Die Kurven von der Torsion 
Null sind die ebenen Kurven. - - Auf einer Flache konstanter Krum 
mung haben die Haupttangentenkurven, wie aus einem noch all- 
gemeineren Satze von E. Seltrami uv ) folgt, konstante Torsion, und 
zwar haben die beiden Scharen entgegengesetzt gleiche Torsion [III D 5, 
Nr. 35]. Ferner findet man nach G. Darboux ue ) diejenigen Flachen, 
die auf ein Rotationsparaboloid abwickelbar sind [III D 6 a, Nr. 31], 

141) Noch seien zu den Kurven konstanter Krummung erwahnt: P. Adam, 
Nouv. Ann. (3) 10 (1891), p. 142152, und 0. Venske, Behandlung einiger Auf- 
gaben der Variationsrechnung, welche sich auf Raumkurven konstanter erster 
Krummung beziehen, Gott. Dissert. 1891. 

142) In der in Anm. 140 erwahnten Note p. 565, 566. 

143) Siehe G. Darboux, Le9ons, 1. partie, p. 42, 43. 

144) Vgl. W. Schell, a. a. 0., 1898, p. 38. 

145) E. Beltrami spricht den in Frage stehenden Satz im Giorn. di mat. 
4 (1866), p. 123 127, insbes. p. 127, in allem wesentlichen aus, sodass ihm die 
Prioritat vor A. Enneper, Gottinger Nachr. 1870, p. 493 510, gebiihrt, den man 
sonst stets bei diesem Satze nennt. Vgl. hierzu G. Loria, Bibl. math. (3) 2 
(1901), p. 392440, insbes. p. 401, 402. 

146) Le9ons, 3. partie, 1894, p. 373. In der 1. partie, 1887, p. 4246, 
werden die Kurven konstanter Torsion besprochen, insbesondere auch die, deren 
spharische Indikatrix der Tangenten ein spharischer Kegelschnitt ist. In der 
4. partie, 1896, ist die Note IV, p 423 432, wesentlich den Kurven konstanter 
Torsion gewidmet. Siehe auch 3. partie, p. 314. 



240 III D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

durch Verwendung solcher Flachen, die durch Schiebung einer Kurve 
konstanter Torsion langs einer Kurve von der entgegengesetzt gleichen 
Torsion entstehen 147 ). 

Die Annahme m = cx> in der linearen Relation (36), Nr. 28, giebt 
einen anderen Grenzfall von Bertrand schen Kurven, namlich diejenigen 
Kurven, lei denen das Verhdltnis aus Krilmmung und Torsion Constant 
ist. Bei einer solchen Kurve ist die zugeordnete Bertrand sche Kurve 
unendlich fern. Ist das konstante Verhaltnis 



so geben die 1. und 3. Frenet sche Formel [III D 1, 2, Nr. 31], durch 
einander dividiert: 

! -f- c 3 = const., fa -}- c/3 3 = const., ft -J- cy 3 = const. 

Multipliziert man diese Gleichungen mit e^, fa, ft und addiert sie, 
so kommt: 

const. ! -|- const, fa -j- const, ft 1 . 

Legt man durch jeden Kurvenpunkt eine Gerade parallel derjenigen 
Richtung, deren Kosinus den hierin auftretenden Konstanten propor 
tional sind, so folgt, dass die Kurve diese Geraden unter einem kon- 
stanten Winkel schneidet. Die Geraden aber bilden einen Cylinder. 
Demnach sind die Kurven, bei denen das Verhdltnis aus Kriimmung 
und Torsion Constant ist, Schraubenlinien, namlich Kurven, die alle Er- 
zeugenden eines Cylinders unter konstantem Winkel durclisetzen. Die 
Umkehrung dieses Satzes, dass namlich bei den Schraubenlinien das 
Verhaltnis aus Krummung und Torsion konstant ist, war schon von 
Lancret 148 ) 1802 ausgesprochen worden, und man schreibt jenen Satz 
J. Bertrand 1 ^) zu, der ihn allerdings 1848, und zwar auf synthetischem 



147) Zur Litteratur uber Kurven konstanter Torsion, von denen auch die 
Arbeiten uber Bertrand sche Kurven gelegentlich handeln, fiennen wir ausser- 
dem: P. Serret, Theorie nouvelle geometrique et mecanique des lignes a double 
courbure, Paris 1860, p. 38, 39; E. Hoppe, J. f. Math. 60 (1862), p. 182187, 
insbesondere p. 185; A. Fais, Bol. Mem. (4) 1 (1880), p. 6797; G. Konigs, 
Toul. Ann. 1 (1887), E p. 18; J. Lyon, These, Paris 1890 (auch Grenoble Ann. 
2 (1890), p. 353); M. Fouche, Ann. ec. norm. (3) 7 (1890), p. 335344; A. De- 
moulin, Par. soc. math. Bull. 20 (1892), p. 4346 (vgl. Anm. 125); E. Fabry, 
Ann. ec. norm. (3) 9 (1892), p. 177196; H.Molins, Toulouse Mdm. (9) 5 (1893), 
p. 588603; E. Cosserat, Paris C. R. 120 (1895), p. 12521254; E. Cesaro, Nattirl. 
Geometric, Leipzig 1901, p. 185. Ein grosser Teil dieser Arbeiten beschaftigt 
sich ausschliesslich mit algebraischen Kurven konstanter Torsion. 

148) Mem. sur les courbes a double courbure, Par. Mem. [etr.] 1, 1802 (1805). 

149) J. de math. (1) 13 (1848), p. 423, 424. 



31. Allgemeine Schraubenlinien. 241 

Wege, bewies. Doch 1st er schon von B. de Saint-Venant 150 } 1844 
ausgesprochen und analytisch bewiesen worden. 

Zahlreiche teils synthetische, teils analytische Beweise dieser Satze 
finden sich bei spateren Autoren 151 ). Natiirlich konnen die Schrauben 
linien auch als die Kurven Jconstanter Neigung gegen eine Ebene defi- 
niert werden. Wickelt man den Cylinder einer Schraubenlinie auf 
eine Ebene ab, so geht die Kurve in eine Gerade fiber. Daher konnen 
die Schraubenlinien auch als die geodatischen Linien der Cylinder 
[III D 3, Nr. 14] definiert werden, ja diese Definition ist die umfassen- 
dere, da die andere auf Cylindern von Minimalgeraden versagt, obgleich 
bei den geodatischen Linien solcher Cylinder das Verh altnis aus Krum- 
mung und Torsion den konstanten Wert + i hat 152 ) [III D 1, 2, Nr. 32]. 

Eine besondere Klasse von Schraubenlimen bilden die Minimal- 
Icurven (vgl. Ill D 1, 2, Nr. 12, sowie unten Nr. 35), denn bei ihnen ist 

dz , . 

-= + i. 



Jede Minimalkurve ist also eine Schraubenlinie auf demjenigen Cy 
linder, durch den sie auf die #/-Ebene projiziert wird. Da die Minimal 
kurve bei Drehungen stets eine Minimalkurve bleibt, so folgt: Jede 
Minimalkurve ist Schraubenlinie auf alien Cylindern, auf denen die 

150) Auch Verf. hat dies in seiner Einf. in d. Th. d. Kurven, Leipzig 1901, 
p. 224 ubersehen. Es sei daher bemerkt, dass De Saint-Venant in seinem Mem. 
sur les lignes courbes non planes, pres. a 1 Ac. 1844, J. ec. polyt. 30 (1845), 
p. 176, den Winkel dH konsekutiver rektifizierender Geraden einer Kurve auf 
p. 26 als Funktion des Verhaltnisses von Kriimmung und Torsion, multipliziert 
mit dem Differential dieses Verhaltnisses, bestimmt. Auf p. 25 hat er den 
Winkel H der rektifizierenden Geraden und Tangente ebenfalls durch jenes 
Verhaltnis ausgedriickt. Aus beiden Formeln ergiebt sich der Satz so selbst- 
verstandlich, dass sich De Saint-Venant auf p. 26 damit begniigt, ihn mit 
wenigen Worten auszusprechen. -- Ubrigens gilt der Satz nur mit einer ge- 
wissen Einschrankung: Wenn namlich der senkrechte Querschnitt des Cylinders 
einen Wendepunkt hat, so geht die Schraubenlinie beim Uberschreiten der zu- 
gehorigen Mantellinie aus einer rechtsgewundenen in eine linksgewundene oder 
umgekehrt iiber, d. h. die Torsion wechselt ihr Vorzeichen, wahrend doch ihre 
Krummung wie immer positiv bleibt. Das konstante Verhaltnis von Krummung 
und Torsion wechselt also dann das Vorzeichen. An der Ubergangsstelle selbst 
ist Krummung und Torsion gleich Null. 

151) So in fast alien iiber Raumkurven handelnden Lehrbiichern. Ausserdem 
sei noch erwahnt: J. A. Serret in Liouville s Note I zu Monge s Application, 
1850, p. 562564, und im J. de math. (1) 16 (1851), insbes. p. 197,198; V. Pui- 
seux, ebenda, p. 208211; L.Natani, Math. Worterbuch, 6, Berlin 1867, p. 417; 
H. G. Zeufhen, Tidsskrift f. Math. (3) 5 (1875), p. 182, 183. 

152) G.Scheffers, Einfiihr. in d. Theorie d. Kurven, Leipzig 1901, p. 224, 
284289. 



242 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendents Kurven. 

Kurve liegt 1 }. Ausserdem haben nur die Geraden diese Eigen- 
schaft. 

Eine andere besondere Klasse von Schraubenlinien bilden die 
gemeinen Schraubenlinien (siehe Nr. 20). Sie spielen auch als Bertrand- 
sclie Kurven eine besondere Roller Da bei ihnen Kriimmung und 
Torsion konstant ist, so giebt es unendlich viele lineare Relationen 
zwischen Kriimmung und Torsion. Auf der Flache der Hauptnormalen 
einer gemeinen Schraubenlinie ; d. h. auf einer gemeinen Schraubenfldche 
[III D 5, Nr. 5], liegen also unendlich viele Kurven mit denselben Haupt 
normalen, namlich diejenigen Schraubenlinien, in denen die Flache 
durch Rotationscylinder um die Schraubenaxe geschnitten wird. Vgl. die 
in Nr. 28 eingangs erwahnte vierte Klasse von geradlinigen Flachen. 

32. Eigenschaften der allgemeinen Schraubenlinien 154 ). Um 
die Gleichungen einer Schraubenlinie aufzustellen, deren Cylinder nicht 
aus Minimalgeraden besteht 155 ), wahlen wir die -Axe parallel zur 
Cylinderrichtung. Der in der rey-Ebene liegende senkrechte Quer- 
schnitt des Cylinders, die Grundkurve, sei mittels ihrer Bogenlange a 
gegeben : 

x = x(0), y=y(e), 



(44) x 

ist, wenn hier wie nachher der Strich die Differentiation nach 6 an- 
deutet. Ist & der konstante Winkel, den die Tangente der Schrauben- 
linie mit der positiven 2-Axe bildet, und ist s die Bogenlange der 
Schraubenlinie, so ist fur den Punkt (x, y, z) der Kurve dz:ds = cos 0. 
Da dx* -f- dy 2 -|- dz 2 = ds 2 ist, so folgt nach (44), dass d6:ds = $in6 
ist, wenn s und 6 in demselben Sinn positiv genommen werden. 

Also ist 

a 

= 



wenn beide Bogenlangen z.B. von derjenigen Stelle aus ge,messen werden, 

153) Vgl. S. Lie in Lie-Scheffers, Geom. d. Beriihrungstransformationen, 1, 
Leipzig 1896, p. 430, wo es allerdings nur implicite gesagt wird; ferner 
G. Scheffers, a. a. 0. p. 345. Auf diejenigen Minimalkurven, die auf Eotations- 
cylindern Schraubenlinien sind, kommen wir in Nr. 35 zuriick. 

154) Sie werden in den meisten Lehrbuchern iiber Raumkurven und u ber 
darstellende Geometrie behandelt; wir nennen nur nocb, weil darin einige be 
sondere Fragen erortert werden, die Stellen: P. Serret, Theorie nouv. ge om. et 
mec. des lignes, Paris 1860, p. 39, 40, 53, 100108, 140142; L. Aoust, Analyse 
inf. des courbes dans 1 esp., Paris 1876, p. 220 278; E. Cesaro, Natiirl. Geom., 
Leipzig 1901 , p. 183. Ausserdem kommen die zu Nr. 31 citierten Arbeiten in 
Betracbt. 

155) Dieser Ausnahmefall bei G. Scheffers, a. a. 0. p. 286 289. 



32. Eigenschaften der allgemeinen Schraubenlinien. 243 

an der die Schraubenlinie die Grundkurve trifft. Ferner ist dz = ctg 6 d0, 

sodass 

(45) x = x(<f), y = y(G} y z = ctg 0-0 

die endlichen Gleichungen der Schraubenlinie sind, wobei x und y nur 
an die Relation (44) gebunden sind. Wird angenommen, dass die 
Grundkurve in solchem Sinne positiv durchlaufen wird, dass ihre po 
sitive Tangente und ihre nach dem Krummungsmittelpunkt gerichtete 
(Haupt-)Normale wie die positive x- und ?/-Axe zueinander orientiert 
sind, sodass der Krummungsradius 

1 

p = , 

yx"* + y"* 

der Grundkurve positiv gerechnet wird, so sind die Richtungskosinus 
der Tangente, Haupt- und Binormale der Schraubenlinie (45) diese: 
e^ = x sin 6, fa = y sin 6, y t = cos 6] 

cc 2 = Qx" ) Ps=W> 72 = ; 

K S = gy" cos 6, /3 3 = p#" cos 0, y 3 = sin0, 
wahrend 



__ 

v sin 2 6 > sin 6 cos 

ihr Kriimmungs- bezw. Torsionsradius ist und also das konstante Ver- 
haltnis von Krummung und Torsion gleich tg ist. 

Die TangentenfldcJie der Schraubenlinie ist, ausgedriickt mittels 
und eines zweiten Parameters t: 

l = x-{-x sin r, ty y -f y sin r, j== z + cos T; 
sie schneidet die a??/-Ebene in der Evolvente (vgl. Ill D 1, 2, Nr. 16): 
(46) s = x x <r, \) = y y <t t 5 = 

der Grundkurve. Die Tangentenflache ist diejenige abwickelbare Flache, 
die von dieser Evolvente unter dem konstanten Winkel -- auf- 

2 

steigt, d. h. eine Boschungsflache. Umgekehrt: Die Gratlinie jeder 
Boschungsflache ist eine Schraubenlinie, und zwar auf demjenigen Cy 
linder, dessen Grundlinie die Evolute der ebenen Grundlinie der 
Boschungsflache ist 156 ). Die Evolvente (46) hat, als Baumkurve auf- 

156) Da eine Minimdlkurve nach Nr. 31 auf jeder Cylinderflache, die man 
durch sie legen kann, eine Schraubenlinie ist, so folgt: Die Projektion einer 
Minimalkurve auf eine beliebige Ebene ist die Evolute derjenigen Kurve, in der 
die Tangenten der Minimalkurve die Ebene treffen. Die Schnittkurven der 
Tangentenflache einer Minimalkurve init einer beliebigen Schar von parallelen 
Ebenen projizieren sich auf eine dieser Ebenen als Parallelkurven. Vgl. S. Lie 
in Lie-Scheffers, a. a. 0. p. 430, 431. 



244 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

gefasst, unendlich viele Evoluten, fur die sie Filarevolvente ist (nach 
III D 1, 2, Nr. 33). Zu ihnen gehort die betrachtete Schraubenlinie. Da 
aber (46) frei von 6 ist, so folgt: Alle Filarevoluten einer ebenen Kurve 
sind Schraubenlinien auf demjenigen Cylinder, der fiber der eigent- 
lichen ebenen Evolute der Kurve senkrecht errichtet werden kann. 
Umgekehrt: Ist eine Filarevolvente einer Kurve eben, so ist die Kurve 
eine Schraubenlinie 157 ). 

Die Hauptnormalen einer Schraubenlinie sind Normalen ihres 
Cylinders. Umgekehrt: Sind die Hauptnormalen einer Kurve einer 
festen Ebene parallel, so ist die Kurve eine Schraubenlinie 158 ). Die 
Striktionslinie der Fliiche der Hauptnormalen hat zur Projektion auf 
die Ebene der Grundkurve die Evolute der Grundkurve. 

Die Kriimmung der Schraubenlinie steht in einem konstanten 
Verhaltnis zur Kriimmung der Grundkurve. Analoges gilt von den 
Bogenlangen. 

Die Binormalen der Schraubenlinie sind von konstanter Neigung 
gegen die #?/-Ebene, woraus nach HI D 1, 2, Nr. 29, 33 folgt: Die Grat- 
linie der Polarflache einer Schraubenlinie ist wieder eine Schraubenlinie. 

Die rektifizierende Flache der Schraubenlinie ist ihr Cylinder (vgl. 
Ill D 1, 2, Nr. 29, Anm. 179). Der Rotationskegel, der seine Spitze in 
einem Punkte der Schraubenlinie hat und der die Tangentenflache der 
Kurve langs der Tangente dieses Punktes oskuliert (siehe III D 1, 2, 
Nr. 30, Anm. 188), hat konstante Offnung; dasselbe gilt von dem Ro- 
tationskegel, der seine Spitze in einem Punkte der Schraubenlinie hat 
und dort die Kurve in dritter Ordnung beriihrt. Umgekehrt: Hat 
einer dieser Kegel konstante Offnung, so ist die Kurve eine 
Schraubenlinie. 

Ausser den splidrisclien Schraubenlinien } die von P. Serret und 
E. Cesdro} untersucht wurden, sind die auf Rotationscylindern ge- 



_r 

157) Die Kurven, die auf der Tangentenflache einer Schraubenlinie ver- 
laufen und die Tangenten unter konstantem Winkel schneiden, sind Schrauben- 
linien, deren Schmiegungsebenen zur Tangentenflache der Urkurve konstante 
Neigung haben. Siehe P. Serret, The orie nouv. des lignes a double courb., 
Paris 1860, p. 140143; L. Aoust, Analyse inf. d. courbes dans 1 esp., Paris 1876, 
p. 258, 259. 

158) J.Bertrand, J. de math. (1) 15 (1850), p. 343. G. Pirondini, Giorn. 
di mat. 23 (1885), p. 222229, und E. Cesaro, ebenda 24 (1886), p. 4648, be- 
stimmen diejenigen Schraubenlinien, deren Hauptnormalen eine feste Gerade 
treffen. 

159) P. Serret, Theorie ge om. et me c. des lignes etc., Paris 1860: Jede 
Schraubenlinie, die auf einer Kugel liegt, ist eine spharische Evolvente eines 
Kreises der Kugel (p. 39). Eollt ein grosster Kreis der Kugel, ohne die Kugel zu 



33. Verallgemeinerungen der Bertrand achen Kurven. 245 

legenen gemeinen Sclirauberilinien , die in Nr. 20 besprochen wurden, 
und die cylindro-konischen Schraubenlinien , auf die wir in Nr. 34 zu- 
riickkominen, besonders zu beachten. 

33. Verallgemeinertingen der Bertrand schen Kurven. Die 

Bertrand schen Kurven sind nacli Nr. 28 durch eine lineare Relation 
zwischen Kriimmung und Torsion charakterisiert; hieraus ergiebt sich 
eine naheliegende Verallgemeinerung, indem man irgend eine Relation 
zwischen Kriimmung und Torsion festsetzt. Aber da bei jeder Kurve 
eine Relation zwischen beiden besteht, so wiirde dies keine beson- 
deren, sondern allgemeine Kurven liefern. Wohl aber ergiebt sich 
das Problem, die Kurven mit vorgeschriebener Relation 160 ) zu be- 
stimmen. 

Giebt man jener Relation spezielle Formen, so ergeben sich spe- 
zielle Arten von Kurven. Zu solchen ; die als Verallgemeinerungen 
der Bertrand schen Kurven aufgefasst werden konnen, gelangt A. De- 
mowZm 161 ) so: Er sucht, ausgehend von einer Eigenschaft 162 ) ; die den 
Bertrand schen Kurven zukomnit, diejenigen Kurven, bei denen sich 



verlassen, auf einem kleinen Kreis der Kugel ab, sodass seine Punkte spharische 
Cykloiden besclireiben, so iimhiillt er noch einen zweiten dem kleinen Kreis 
diametral gegenuberliegenden kongruenten Kreis der Kugel. Da der grosse Kreis 
bestiindig normal zu den Bewegungsrichtungen seiner Punkte ist, so folgt, dass 
der zweite kleine Kreis die spharische Evolute jener Cykloiden ist. Daher sind 
jene Cykloiden spharische Schraubenlinien (p. 53). Nach P. Serret kommen diese 
Cykloiden als rektifizierbar, aber ohne als Schraubenlinien erkannt worden zu 
sein, schon bei Jacob I Bernoulli und Clairaut (Paris Mem. 1732) vor. E. Cesaro, 
Nouv. Ann. (3) 5 (1886), p. 127142, insbes. p. 130, 131, zeigt, dass die sphii- 
rischen Schraubenlinien bei Abwickelung ihrer Tangentenflachen auf die Ebene 
in Epi- oder Hypocykloiden ubergehen. 

160) Ein analoges Problem ergiebt sich, wenn die Relation etwa noch die 
Bogenlange oder den Radius der Schmiegungskugel oder drgl. enthalt. Wegen 
dieser Probleme vergleiche: E. Hoppe, J. f. Math. 60 (1862), p. 182 187, und 
63 (1864), p. 122140; H. Molins, J. de math. (2) 19 (1874), p. 425451; L. Aoust, 
Analyse inf. des courbes dans 1 esp., Paris 1876, an vielen Stellen; JR. Hoppe, 
Lehrbuch d. anal. Geom., 1, Leipzig (1880), an vielen Stellen; Archiv Math. Phys. 
(1)65(1880), p. 287 305; S. Lie, Christiania Videnskabs-Selskabet Forhandlinger 
1882, Nr. 10; H. Molins, Toulouse Me m. 5 (1883), p. 175 199; E. Hoppe, Arch. 
Math. Phys. (2) 2 (1885), p. 269273; E. Goursat, Toulouse Ann. 1 (1887) C, 
p. 1 26; G. Darboux, Le90ns, l.partie, Paris 1887, livre 1; E. Hoppe, Fortschr. 
d. Math. 19 (1890), p. 751753; JR. Hoppe, Archiv Math. Phys. (2) 8 (1890), 
p. 335,336, und 9 (1890), p. 43 52; G. Scheffers, Leipz. Ber. 1900, p. 58; und 
Einfuhrung in d. Th. d. Kurven, Leipzig 1901, 2. Abschn. 13, 14; G. Piron- 
dini, J. f. M. 109 (1892), p. 238260. 

161) Paris soc. math. Bull. 21 (1893), p. 813. 

162) Vgl. Anm. 125. 



246 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

die Axe der unendlich kleinen Schraubung, die das begleitende Drei- 
kant von Tangente, Haupt- und Binormale in das unendlich benach- 
barte uberfuhrt (vgl. El D 1, 2, Nr. 31, Anm. 199), in Bezug auf das 
Dreikant selbst wahrend des Fortschreitens liings der Kurve so andert 
dass sie ein Pliicker scJies Konoid beschreibt. Jene Axe ist zugleich 
die Axe derjenigen gemeinen Schraubenlinie, die die Kurve an der 
betrachteten Stelle in zweiter Ordnung beriihrt und dieselbe Torsion 
wie die Kurve dort bat (siebe IE D 1, 2, Nr. 30). Eire Gleicbungen 
sind, bezogen auf das von jenem Dreikant gebildete Koordinatensystem: 

(47) -=,*! - * T * 

x g > y p*-f T* 

wenn Q und T Kriimmungs- und Torsionsradius bedeuten. Diese 
Schraubenaxe schneidet die Bauptnormale (jetzt ?/-Axe) rechtwinklig. 
Nun ist aber die allgemeine Gleichung eines Plucker schen Konoids, 
dessen Geraden die /-Axe treffen, diese: 

Axz -f Bx* + C* 2 -f Dy (x 2 -f 2 ) = 0, 
sodass das Einsetzen der Werte (47) giebt: 



Bei den gesucbten Kurven besteht daber eine solche quadratische Re 
lation zwischen Kriimmung und Torsion. Die Annabme B=Q giebt 
wieder die Bertrand scben Kurven. Diejenigen Kurven, bei denen 
A = ist, hat Dcmoulin besonders untersucht. Sie werden uns so- 
gleich noch einmal begegnen 163 ). 

Man kann die Bertrand schen Kurven noch in anderer Weise ver- 
allgemeinern : Da bei zwei Bertrand schen Kurven die Verbindende 
zusammengehoriger Punkte als gemeinsame Eauptnormale hinsichtlich 
der beiden aus Tangente, Baupt- und Binormale bestehenden Drei- 
kante der Punkte dieselbe Lage hat, so kann man mit A. Demoulm l64: ) 
allgemeiner fragen, bei welchen Kurvenpaaren mit eiriander zugeord- 
neten Punkten die Verbindende entsprechender Punkte iiberhaupt hin 
sichtlich jedes der beiden Dreikante eine feste Lage hat. Besonders ist 
der Fall untersucht worden, dass die Verbindende dabei in einer der drei 

163) Spezialfalle von (48) kommen auch sonst vor, namentlich der Fall 

^ + fl = const - 

bei A. Mannheim, Paris C. R. 86 (1878), p. 12541256; Principes et dev. de 
ge"om., Paris 1894, p. 535, 537; G. Scheffers, Theorie der Kurven, Leipzig 1901, 
p. 252, 253, wo ihre endlichen Gleichungen gegeben werden. 

164) Paris C. R. 116 (1893), p. 246249. 



34. Loxodromen. 247 

Ebenen des ersten Dreikants liegt. 1st die Verbindende eine Normale 
der ersten und die Binormale der zweiten Kurve, so kommt man wieder 
zu denjenigen Kurven, die der Relation (48) im Falle A = ge- 
niigen. 

E. Cfesaro 165 ) behandelte die Frage nach denjenigen Kurven, bei 
denen eine mit dem begleitenden Dreikant fest verbundene Gerade 
eine abwickelbare Flache erzeugt [III D 5, Nr. 3]. Dies trifft zunachst 
stets em, wenn die Gerade in der rektificierenden Ebene liegt und 
der Tangente parallel ist, ausserdem nur dann noch fiir andere Ge- 
raden, wenn die Kurve einer Gleichung von der Form 



geniigt, die (48) als speziellen Fall umfasst. 

Auf mehrere andere Kurvenarten, die durch besondere Relationen 
charakterisiert sind, gehen wir nicht naher ein 166 ). 

34. Loxodromen. Die allgemeinen Schraubenlinien kann man 
nach Nr. 31 als diejenigen Kurven definieren, die eine Schar von 
parallelen Ebenen, namlieh die Ebenen senkrecht zur Cylinderrichtung, 
unter konstantem Winkel schneiden. Da eine solche Ebenenschar durch 
eine unendlich feme Gerade bestimmt ist ; so gehoren die Schrauben 
linien als Spezialfalle zu den Loxodromen. Dies sind namlich diejenigen 
Kurven, die ein Buschel von Ebenen unter konstantem Winkel scfmeiden. 

Eigentlich pflegt man die Loxodromen allerdings anders zu 
definieren, namlich als diejenigen Kurven, die auf Rotationsflachen 
die Meridiankurven oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Breiten- 
kreise unter konstantem Winkel schneiden 167 ). Da jedoch die Tan- 

165) Natiirliche Geometric, 1901, p. 189192. 

166) Ist dr der Winkel unendlich benachbarter Tangenten und d& der 
Winkel unendlich benachbarter Binormalen in den Endpunkten eines Bogen- 
elementes ds, so kann man mit JR. Hoppe (vgl. Ill D 1, 2, Nr. 30) den Krummungs- 
winkel r Jdr und den Torsionswinkel & =Cd& einfiihren. Die Kurven, bei 
denen eine der Relationen: 

1 T 2 -fr 8 T 2 

T 2 -f &* = const., tg - 0- == tf , = const., -- \- == 1 

besteht, sind von R. Hoppe, J. f. Math. 60 (1862), p. 185, 186, und 63 (1864), 
p. 131, 132, betrachtet worden. L. Aoust, Analyse inf. des courbes dans 1 esp., 
Paris 1876, p. 126, nennt die Kurven, bei denen r 2 -f * = const, ist, courbes 
cyklides. Zu ihnen gehoren die Filarevolventen zweiter Ordnung der ebenen 
Kurven. Siehe p. 246 daselbst. 

167) Urspriinglich verstand man unter Loxodromen nur die Kurven konstan- 
ten Kurses auf der Erdkugel; die Verallgemeinerung auf eine Rotationsflache 
lag jedoch wegen der Abweichung der Erdoberflache von der Kugelgestalt nahe. 



248 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendents Kurven. 

genten der Breitenkreise Normalen der Meridianebenen sind, so folgt, 
dass solche Kurven auch die Meridiane&ewew unter konstantem Winkel 
schneiden. Umgekehrt: Schneidet eine Kurve ein Biischel von Ebenen 
unter konstantem Winkel und liisst man sie um die Axe des Biischels 
rotieren, so erzeugt sie eine Rotationsflache, auf der sie alle Meridian- 
kurven unter konstantem Winkel durchsetzt. 

Die zuerst gegebene Definition der Loxodromen ist jedoch vor- 
zuziehen, weil sie von den Rotationsflachen undbhangig ist, sodass die 
Loxodromen schon in der eigentlichen Kurventheorie eine selbstandige 
Bedeutung haben 168 ). Da die logarithmischen Spiralen in der Ebene 
(Nr. 16) die Geraden eines Strahlenbiischels unter konstantem Winkel 
schneiden, so folgt, dass die Loxodromen als eine Vcrallgemeinerung der 
logarithmischen Spiralen auf den Eaum aufzufassen sind. In der Ebene 
gehen aus den logarithmischen Spiralen vermoge Transformation durch 
reziproke Radien diejenigen Kurven hervor, die ein Kreisbiischel unter 
konstantem Winkel treffen, im Raume aus den Loxodromen diejenigen 
Kurven, die ein Kugelbiischel unter konstantem Winkel treffen, ins- 
besondere aus den Schraubenlinien diejenigen Kurven, bei denen sich 
der gemeinsame Kreis des Biischels auf einen Punkt (eigentlich auf 
ein imaginares Geradenpaar) reduziert. 

Liegt die Axe der Loxodromen, d. h. die Axe des zugehorigen 
Ebenenbiischels, im Endlichen und ist sie keine Minimalgerade 169 ), so 
kann sie als #-Axe gewahlt werden. Ist der konstante Winkel, 
den die Loxodrome mit den Ebenen durch die #-Axe bilden soil, 
so ist 

//tn\ x dy ydx 

(49) - == sm 



diejenige totale DifFerentialgleichung, deren Integralkurven die zur 
#-Axe und zum Winkel gehorigen Loxodromen sind. Zur Integra 
tion fiihrt man statt x und y den Abstand r des Punktes (x, y, z) von 

168) Wir konnen keine iiltere Stelle angeben, wo die Loxodromen in dieser 
Weise definiert wiiren. Sehr nahe kommt dieser von den Rotationsflachen un- 
abhangigen Definition L. Aoust, J. de math. (1) 11 (1846), p. 184192 (insbes. 
p. 186), indem er hervorhebt, dass gewisse Eigenschaften der Loxodromen von 
der Gestalt der Flache unabhangig sind. Obige Definition bei G. Scheffers, 
Leipziger Ber. 1902, p. 363370. 

169) Ist sie eine Minimalgerade, so giebt es dennoch zugehorige reelle 
Loxodromen, deren Bestimmung nur eine Quadratur verlangt. Sie liegen auf 
Kegeln, deren Querschnitte logarithmische Spiralen sind. Doch hat man diese 
Kurven bisher nicht betrachtet. Sie sind natiirlich auch hinsichtlich der kon- 
jugiert imaginaren Minimalgerade Loxodromen, geho ren daher zu den Doppel- 
loxodromen, von denen weiter unten die Eede ist. 



34. Loxodromen. 249 

der -Axe und den Winkel 6 em, den r mit der #?/-Ebene bildet, 
sodass kommt: 

rdO = sin s Ydx* -f- rW -f dz\ 
Wahlt man z irgendwie als Funktion von r: 

*-/w, 

so liegt nur noch eine gewohnliche Differentialgleichung in r und 6 
vor, die durch Quadratur integrierbar ist: 

(50) = tg ejy\ +YW ~ + const. 

Ist 6 die hierdurch bestimmte Funktion von r, so sind: 

(51) x = r cos 6, y = r sin 6, z = f(r) 

die endlichen Gleichungen der Loxodromen, ausgedriickt mittels des Para 
meters r, wobei f(i) eine beliebig zu wahlende Funktion von r ist 170 ). 

Bindet man 6 nicht vermoge (50) an r, betrachtet man vielmehr 
r und 6 als unabhangige Veranderliche, so sind die Gleichungen (51) 
die einer Rotationsflache, deren Axe die z -Axe ist und deren Meridian 
durch die Wahl der Funktion z = f(x) bestimmt wird. Insbesondere 
also haben wir zugleich diejenigen Loxodromen gefunden, die auf einer 
gegebenen Rotationsflache um die ,0-Axe liegen und mit den Meridian- 
kurven der Flache den Winkel e bilden. Die Loxodromen einer Ro 
tationsflache sind augenscheinlich rektifizierbar, sobald die Meridian- 
kurve rektifizierbar ist, da die Bogen beider in entsprechenden Stiicken 
einander proportional sind 171 ). 

Die altesten Untersuchungen fiber Loxodromen betreffen die der 
Kugel (Erdkugel) wegen ihres nautischen Interesses 172 ). Diese Kurven 
konstanten Kurses oder spharischen Loxodromen haben die Pole der 
Kugel zu asymptotischen Punkten. Projiziert man die Kugel von einem 
der Pole aus auf die Aquatorebene (stereograph isch) [III A 2; HID 6 a, 

170) G. Sclieffers a. a. 0. zeigt, class man die endlichen Gleichungen einer 
allgemeinen Loxodrome durch Differentiation und Elimination allein (ohne Qua 
dratur) aufstellen kann. 

171) tiber Analogien zwischen den Loxodromen einer Rotationsflache und 
den Geraden der Ebene vgl. L. Aoust Fussn. 168, und P. Serret, Theorie de lignes a 
double courb., Paris 1860, p. 124, 125. Nach Serret gilt der Satz: Verandert 
sich ein aus Loxodromen gebildetes Dreieck auf einer Rotationsflache so, dass 
die Seiten dabei Loxodromen bleiben und zwei von ihnen durch feste Punkte 
gehen und dass ausserdem die Ecken ihre zugehorigen Breitenkreise nicht ver- 
lassen, so geht auch die dritte Seite durch einen festen Punkt. 

172) Zur alteren Geschichte siehe S. Guniher, Studien zur Geschichte d. 
math, und physik. Geographic, 6. Heft, Halle 1879, p. 333407, woriiber man 
bei H. Brocard, Bull, sciences math. (2) 3, 1. partie (1879), p. 329339, ein Referat 
findet. 

Encyklop. d. math. Wiasensch. Ill 3. 17 



250 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendents Kurven. 

Nr. 4], so gehen die Meridiane in Geraden und die spharischen Loxo 
dromen, weil die Kugel dabei konform abgebildet wird, in logarith- 
mische Spiralen fiber. Dies bemerkte zuerst E.Halley 113 }. Projiziert 
man sie von einer andern Stelle aus stereographisch, so gehen die spha- 
rischen Loxodromen in die oben erwahnten Kurven uber, die ein Biischel 
von Kreisen unter konstantem Winkel schneiden 174 ). G. Mercator 1 ) 
gab 1569 auf seiner beruhmten Seekarte eine solche konforme Abbildung 
der Kugel, bei der sich ihre Loxodromen als Geraden darstellen. 1st I 
bezw. ft die geographische Lange bezw. Breite eines Punktes der Kugel 
vom Radius Eins, so hat dabei der Bildpunkt die rechtwinkligen 
Koordinaten 17G ) : 



Liegt ein linear -er Komplex [III C 9, III D 9] vor und ist die -Axe 
seine Axe, sodass etwa 

(52) xdy ydx = tg s dz 

fur die Richtungen (dx :dy: dz} derjenigen Geraden des Komplexes gilt, 
die durch den Punkt (x, y, z) gehen, so liegen auf einer Kugel vom 
Radius Eins, deren Mitte auf der Komplexaxe gelegen ist, wie auf 
jeder Flache oo 1 Kurven, die in jedern Punkte eine der hindurch- 
gehenden Komplexgeraden beruhren, und diese Kurven sind nach 
J. Pliicker 111 ) Loxodromen, die den Winkel s mit den Ebenen durch 
die Axe des Komplexes bilden. In der That zieht die Gleichung (52) 
zusammen init: 

# 2 H~ 2/ 2 + ( 2 a Y = 1> x & x + ydy -f- (z a) dz = 
die Gleichung (49) nach sich. 

173) Lond. Trans, fiir 169597, 18, p. 202. 

174) G. Holzmuller, Zeitschr. Math. Phys. 16 (1871), p. 269289, insbeson- 
dere p. 279 u. f., nennt diese Kurven logarithmische Doppelspiralen. 

175) G. Kremer, genannt Mercator, machte iiber die Konstruktion seiner 
Karte keine erschopfenden Mitteilungen. Den mathematischen Ausdruck gab 
H. Bond 1645, den Beweis Halley a. a. 0. Vgl. N. Herz, Lehrbuch der Land- 
kartenprojektionen, Leipzig 1885, p. 114, und die ausfuhrlichen Angaben bei 
A. Breusing, Das Verebnen der Kugeloberflache fiir Gradnetzentwiirfe, Leipzig 
1892, p. 3148. 

176) Durch ahnliche Vergrosserung erhalt man hieraus die allgemeinste 
konforme Abbildung der Kugel, bei der die Loxodromen in Geraden iibergehen, 
durch projektive Transformation die allgemeinste Abbildung der Kugel u ber- 
haupt, bei der die Loxodromen in Geraden iibergehen. Die allgemeinste Ab 
bildung der Kugel, bei der die Loxodromen in Kreise iibergehen, wurde von 
G. Scheffers, Leipz. Ber. 1898, p. 261294, insbes. p. 273, 274 bestimmt. 

177) Neue Geometrie des Uaumes, hrsg. von F. Klein, 1. Abt. Leipzig 
1868, p. 61 Anm. 



34. Loxodromen. 251 

Betrachtet man ferner diejenige eingliedrige projektive Gruppe 
des Raumes, die von einer infinitesimalen projektiven Transformation 
erzeugt wird [II A 6, Nr. 4], bei der x, y, g die Inkremente 

= (y sin s -\-xz cos s)St, 3y = ( x sin s -\-yz cos s^dt, 



* = ( l)cosdt 

erfahren, so erkennt man, dass die Fortschreitungsrichtmigen (dx:dy:dti) 
der Punkte (x, y, 2) der Kugel 

^ 2 + y* + z* = i 

die Kugel beriihren, weil diese Kugelgleichung und die Gleicliungen 
(53) die Gleichung 

xdx -f ydy + zde = 

nach sich ziehen. Da infolge dieser Gleichungen die Defmitions- 
gleichung (49) der Loxodromen erfiillt ist, so folgt: Bei der vorliegen- 
den Gruppe durchlaufen die Punkte jener Kugel Bahnkurven, die auf 
der Kugel liegen und Loxodromen sind, deren Axe die #-Axe ist. 
Demnach sind die spharischen Loxodromen W-Kurven (vgl. Nr. 20). 
Dies haben F. Klein und S. Z/e 178 ) bemerkt. 

Ausser den spharischen Loxodromen 179 ) sind insbesondere die auf 
Rotationsflachen 2. 0. und auf einzelnen Rotationsflachen 4. 0., namlich 
solchen, die durch Drehung einer Parabel oder eines Kreises entstehen, 
rechnerisch verfolgt worden; auf die von einzelnen Autoren behan- 
delte Frage nach denjenigen Rotationsflachen, die durch besondere 
Eigenschaften ihrer Loxodromen charakterisiert sind, gehen wir 
nicht ein 180 ). 

178) Paris C. R. 70 (1870), p. 1224. Man kann hinzufugen: Von den 
sonstigen Bahnkurven jener eingliedrigen Gruppe sind nur noch die in den 
Ebenen z = + 1 gelegenen Kurven Loxodromen hinsichtlich der ^-Axe, namlich 
logarithmische Spiralen, deren asymptotische Punkte auf der 0-Axe liegen. 

179) Ihre geodatische Kriimmung [III D 3, Nr. 12] und ihre Torsion bei 
P. Serret, Theorie des lignes a double courb., Paris 1860, p. 47, 48. Vgl. auch 
p. 56. tiber die spharischen Loxodromen vgl. auch G. Scheffers, Leipz. Ber. 
1902, p. 365. 

180) Ausser den genannten Arbeiten erwahnen wir noch folgende Schriften, 
die iiber allgemeine oder spezielle Loxodromen handeln: E. W. Grebe, Archiv 
Math. Phys. (1) 2 (1842), p. 127132; J. B. Boyman, Archiv Math. Phys. (1) 
7 (1846), p. 337348; 13 (1849), p. 375377; J. A. Grunert, Loxodrornische 
Trigonometrie, Leipzig 1849; A. Tissot , Nouv. ann. (1) 11 (1852), p. 454457; 
J. A. Grunert, Archiv Math. Phys. (1) 21 (1853), p. 304314; W. Plagemann, 
ebenda (1) 32 (1859), p. 167; P. Serret, Fussn. 179, ausserdem p. 4, 39, 101 
108,124,125; A. Enneper, Gott. Nachr. 1869, p. 459475; Zeitschr. Math. Phys. 
15 (1870), p. 466475; A. Laisant, Nouv. ann. (2) 13 (1874), p. 573575; L. Aoust, 
Analyse inf. des courbes dans 1 esp., Paris 1876, p. 163, 164, 180183, 193, 209, 259, 

17* 



252 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

Man kann fragen, welche Kurven in doppelter Weise als Loxo- 
dromen aufgefasst werden konnen, doch scheint man diese Doppel- 
loxodromen, zu denen also zwei Axen gehoren, nicht allgeuiein unter- 
sucht zu haben. 1st die eine Axe unendlich fern, so ftihrt das Problem 
zu denjenigen Loxodromen, die zugleicli Schraubenlinien sind. Wenn 
dabei die im Endlichen gelegene Axe die unendlich feme Axe senk- 
recht kreuzt, so kommt man zu den Loxodromen des Eotationskegds. 
Sie sind namlich. zugleich Schraubenlinien auf solchen Cylindern, die 
der Kegelaxe parallel laufen und deren senkrechte Querschnitte loga- 
rithmische Spiralen liefern, deren asymptotische Punkte auf der Kegel 
axe liegen. Sie heissen cylindro-konische Schraubenlinien. Bei der 
Abwickelung ihrer Kegel gehen sie in logarithmische Spiralen iiber. 
Dass sie eine Reihe merkwiirdiger Eigenschaften haben 181 ), weshalb 
sie sehr haufig betrachtet worden sind 182 ), hat seinen Grand darin, 
dass oSe 188 ) Bahnkurven einer gewissen eingliedrigen projektiven Gruppe 
solche Kurven sind, dass sie also zu den W- Kurven (Nr. 20) ge 
horen 184 ). Diese eingliedrige Gruppe geht aus einer solchen infini- 

260; C.Dina, Giorn. di mat. 19 (1881), p. 298310, insb. p. 309; F. Joachims- 
thai, Anwendung d. Diff.- u. Int.-R. auf d. allg. Theorie d. Flachen, 1. Aufl., 
Leipzig 1872, p. 83, 84 (3. Aufl. 1890, p. 147, 148); A. Enneper, Math. Ann. 19 
(1882), p. 7283; H Molins, Toulouse Mem. (8) 7 (1885), p. 293322; E. Cesaro, 
Nouv. Ann. (3) 5 (1886), p. 127142, insbesondere p. 135137; J. Tesaf, Prag 
Berichte 1886, p. 347360; F. August, Zeitschr. Math. Phys. 33 (1888), p. 154 
166; G. Pirondini, Giorn. di mat. 27 (1889), p. 168223, insb. p. 181; Ann. 
di mat. (2) 18 (1890), p. 165212, insbes. p. 173, 202; A. Puchta, Monatshefte 
Math. Phys. 1 (1890), p. 443450; H. Resal, Expos, de la theorie des surfaces, 
Paris 1891, p. 143147; Paris C. R. 114 (1892), p. 147152; F. Cesaro, Nat. 
Geom., Leipzig 1901, p. 181184. 

181) P. Serret, Fussn. 179, p. 101, charakterisiert sie als Schraubenlinien, bei 
denen der Krummungsradius eine lineare Funktion der Bogenlauge ist. Die 
Striktionslinie der Flache ihrer Hauptnormalen, ferner der Ort ihrer Kriimmungs- 
mittelpunkte und drittens die Gratlinie ihrer Polarflache sind ebenfalls cylindro- 
konische Schraubenlinien, deren Kegel dieselbe Axe und Sprtze wie der Kegel 
der Urkurve haben, siehe ebenda p. 105. 

182) Von ihnen handelt ein grosser Teil der angegebenen Arbeiten. 

183) Sie unterscheiden sich hierdurch wesentlich von den p. 251 erwiihuten 
W- Kurven. Denn von den Bahnkurven der daselbst angegebenen Gruppe sind 
nur gewisse als Loxodromen aufzufassen, namlich die auf einer Kugel gelegenen 
(abgesehen von ebenen Kurven). Vgl. Anm. 178. Die ausgezeichneten Eigen- 
schaften der spharischen Loxodromen sind daher, wie man sagen kann, auf ihre 
Kugel beschrankt, betreffen also spharische Konstruktionen, denen man sie unter- 
werfen kann, wilhrend man bei den cylindro-konischen Schraubenlinien zur Ent- 
wickelung ihrer Eigenschaften als W- Kurven den ganzen Raum zur Verfiigung hat. 

184) Siehe Lie-Scheffers , Vorl. iiber Differentialgleichungen , Leipzig 1901, 
p. 244. 



34. Loxodromen. 253 

tesimalen Transformation hervor, die dem Raume eine unendlich kleine 
Rotation um eine Axe (s-Axe) verbunden mit einer unendlich 
kleinen ahnlichen Vergrosserung von einem Punkte der Axe (Anfangs- 
punkt) aus erteilt, bei der also x, y, z Inkremente erhalten von der 
Form : 

8x = (ay + bx) 8t, 8y = (ax + by) dt, bz = Iz8t, 

wobei also, wenn r, 6 Polarkoordinaten in der ?/-Ebene bedeuten (so- 
dass x = r cos 6, y = r sin 6 ist): 



Die Bahnkurven der Gruppe sind namlich gegeben durch: 



6 - b 

- * 

r == const. e a , z = const. e a 



Dass sie cylindro-konische Schraubenlinien sind, folgt daraus, dass die 
Gruppe konform ist, jeden Rotationskegel, dessen Spitze der Anfangs- 
punkt und dessen Axe die -Axe ist, in sich iiberftihrt und ebenso 
jeden solchen Cylinder parallel der -Axe, dessen Querschnitt in der 
?/-Ebene eine gewisse logarithmische Spirale mit dem Anfangspunkt 
als asymptotischem Punkte ist 185 ). Bin Grenzfall der cylindro-koni- 
schen Schraubenlinien sind die gemeinen Schraubenlinien (Nr. 20). 

Eine Verallgemeinerung der cylindro-konischen Schraubenlinieu 
sind diejenigen Kurven auf einem allgemeinen Kegel, die alle Mantel- 
linien desselben unter konstantem Winkel durchsetzen 186 ). Sie konnen 

185) Deshalb und well die Gruppe jede Gerade in eine Gerade uberfuhrt, 
sind die in Anm. 181 angegebenen Satze eine unmittelbare Folge davon, dass die 
cylindro-konischen Schraubenlinien W- Kurven sind. 

186) E Cesaro giebt ihnen den leicht irrefuhrenden Namen: konische 
Schraubenlinien (Naturl. Geom. p. 181). P. Serret, Theorie nouv. etc., p. 102, 103, 
und E. Cesaro, Nat. Geom., p. 184, haben den falschen Satz, dass diejenigen 
unter diesen Kurven, die zugleich Schraubenlinien im gewohnlichen Sinne sind, 
cylindro-konische Schraubenlinien seien. Vielmehr liegen auf jeder Flache 2. 0. 
die durch Rotation eines Kegelschnittes um seine Hauptaxe entsteht, Kurven, 
die einerseits die von einem Brennpunkt ausgehenden Eadienvektoren unter 
konstantem Winkel schneiden und andererseits mit der Richtung der Rotations- 
axe einen konstanten Winkel bilden. Diese Kurven schneiden zugleich die 
von dem anderen Brennpunkt ausgehenden Radienvektoren unter konstantem 
Winkel. Sie gehoren also in doppelter Weise zu den im Text genannten Kurven 
und sind Schraubenlinien. Da der Cylinder der Schraubenlinien als Kegel auf- 
gefasst werden kann , sind dies also Kurven, die zugleich auf drei Kegeln liegen 
und die Mantellinien jedes dieser drei Kegel unter einem konstanten Winkel 
schneiden. 1st die Rotationsflache 2. 0. ein Rotationskegel, so kommt man zu 
cylindro-konischen Schraubenlinien. Siehe G. Pirondini, J. f. Math. 118 (1897), 
p. 6173; G. Scheffers, Leipz. Ber. 1902, p. 369, 370. Nach E. Cesaro lasst sich 



254 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

auch als diejenigen Kurven definiert werden, die eine Schar von kon- 
zentrischen Kugeln unter konstantern Winkel durchsetzen, also ein ge- 
wisses Kugelbiischel, weshalb sie sich den friiher erwahnten Kurven 
unterordnen, die aus Loxodromen durch Transformation durch rezi- 
proke Radien hervorgehen, freilich nur, wenn man auch imaginare 
Transformationen gestattet. 

35. Minimalkurven und Kurven der tetraedralen Komplexe. 
Die imaginaren Kurven von der Lange Null, die sogen. Minimalkurven, 
die durch die totale Differentialgleichung: 



definiert sind, wurden schon in III D 1, 2, Nrr. 12, 13, allgemein be- 
sprochen, sodass nur die Erwahnung einiger Einzelheiten notig ist 187 ). 
Da man bei einer Minimalkurve von Bogenlange, Kriimmung und 
Torsion nicht sprechen kann, so haben sie gegeniiber alien Bewegungen 
des Raumes andere Differentialinvarianten als die sonstigen Kurven 
(vgl. Ill D 1, 2, Nr. 14). Sind wie in III D 1, 2, Nr. 13: 

x =(! - T*)f to + 2tr(t) - 2/Xt), 
y = (1 + * 2 )f (*) - 2*rf M 
8 = 



(54) 



die endlichen Gleichungen einer Minimalkurve, so ist 

(55) (l-t 2 )j + ;(l + t 2 )t) + 2T S = -4/Xt) 

die Gleichung ihrer Schmiegungsebene im Punkte (r), und ihre Tan- 
gente im Punkte (r) erfullt ausserdem die durch Differentiation nach 
r hieraus hervorgehende Gleichung: 

(56) ri iv\)^ = 2f(r). 

Sie ist eine Minimalgerade. In dem Punkt, in dem sie den unendlich 
fernen imaginaren Kugelkreis [III C 4] trifft, beriihrfc die Schmiegungs- 



dies verallgemeinern, indem an die Stelle der Rotationsflache 2. 0. die Fliiche 
tritt, die durch Drehung eines Cartesischen Ovals [El C 3] urn die Gerade seiner 
drei Brennpunkte hervorgeht. Siehe Napoli Rend. 1903, fasc. 3, p. 117. 

187) Zur Geschichte der Minimalkurven vgl. P. Stackel, Leipziger Berichte 
1902, p. 101108, wo viele Stellen erwahnt werden, an denen die Formeln iiber 
Minimalkurven auftreten. Mit diesen Gebilden, als Kurven aufgefasst, hat erst 
S. Lie synthetisch und analytisch operiert, z. B. in den Paris. C. R. 71 (1870), 
p. 579583, und vielen seiner spateren Arbeiten. Es sei angemerkt, dass 
J. Bertrand in seinem Traite" de calcul diffe rentiel et de calcul integral, 1, Paris 
1864, p. 657, zwar das Wort Minimalkurve (ligne minima) hat, darunter aber 
eine geodatische Linie versteht. 



35. Minimalkurven und Kurven der tetraedralen Komplexe. 255 

ebene (55) den Kugelkreis. Der Beriihrungspunkt ist durch die Angabe 
von T allein festgelegt, die Schmiegungsebene (55) durch die Angabe 
von r und f und endlich die Tangente nach (55), (56) durch die Angabe 
von r, f, f. Demnach kann mit 8. Lie lS8 ) r als Koordinate der oo 1 
Punkte des Kugelkreises, konnen ferner T, f als Koordinaten der oo 2 
Tangentialebenen des Kugelkreises, endlich T, f, f als Koordinaten der 
oo 3 Tangenten aller Minimalkurven, d. h. als Koordinaten der Minimal- 
geraden aufgefasst werden. Da bei einer Bewegung jede Tangential- 
ebene des Kugelkreises in eine ebensolche iibergeht [IV 3, Nr. 1], 
so gehort zur Gruppe aller Bewegungen des Raumes eine Gruppe in 
den Veranderlichen r und f. 189 ) Sie besteht aus oo 6 Transformationen, 
und ihre Differentialinvarianten niedrigster Ordnung sind 190 ): 

5 - f,,, s , 

-r 1 dJ 5 4s f" f 18 f" f f -\- 15 f 

6 yj 771 dr j//-" 9 

wahrend 



6 dJ 5 j _ dJ^ dJ 

~ ~ = ~ ~ 



ihre iibrigen Differentialinvarianten sind. Die niedrigste, J 6 , ist nach 
G. Sclieffers gleich dem achtfachen reziproken Wert des Radius des- 
jenigen Rotationscylinders, der die Minimalkurve an der betrachteten 
Stelle vierpunktig beriihrt. 

Zwei Minimalkurven, die keine Geraden sind, sind nach 8. Lie 1 } 
miteinander kongruent, wenn entweder bei beiden dieselbe Relation 
zwischen J" 5 und J 6 besteht oder wenn bei beiden J 5 denselben kon- 
stanten Wert hat. Eine besondere Rolle spielen demnach -- wie die 
gemeinen Schraubenlinien in der Schar aller Iibrigen Kurven die- 
jenigen Minimalkurven, bei denen J 5 konstant ist. Ist zunachst J 5 = 0, 
so handelt es sich urn alle diejenigen oo 5 Kurven 3. 0., die Minimal 
kurven sind. Ist dagegen J b gleich einer von Null verschiedenen Kon- 
stante c, so liegen solche Minimalkurven vor, die alle mit einer 
kongruent sind, die sich so darstellen lasst: 

Q Q Q 

x= cost, y = -- sint, z = ~- t, 
woraus hervorgeht, dass diese Kurven auf Rotationscylindern vom 

188) Siehe Lie-Scheffers, Vorlesungen iiber kontinuierliche Gruppen, Leipzig 
1893, p. 696, 697. 

189) S. Lie, Leipziger Berichte 1893, p. 370378, insbes. vgl. hierzu p. 377 
unten. 

190) S. Lie in Lie-Scheffers a. a. 0. p. 702. 

191) Ebeiida p. 704. 



256 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendentc Kurven. 

Radius 8 : c liegen, und dass sie bei der Abwickelung ihrer Cylinder 
in Geraden iibergehen, weshalb sie als Minimalschraulenlinien auf 
Botationscylindern) zu bezeichnen sind. Wir bemerkten schon in 
Nr. 31, dass iiberhaupt jede Minimalkurve als Schraubenlinie auf- 
gefasst werden kann. 

Die Minimalkurven sind definierbar als diejenigen Kurven, deren 
Tangenten einem gewissen Linienkomplex zweiten Grades angehoren, 
namlich dem Komplex aller Minimalgeraden, d. h. aller Geraden, die 
den Kugelkreis treffen. (Vgl. Ill C 9; III D 1, 2, Nr. 12.) 

Liegt iiberhaupt irgend ein Linienkomplex vor, so kann man die 
jenigen Kurven betrachten, deren Tangenten samtlich dem Kornplex 
angehoren. Sie heissen nach J. Pliicker 1 * 9 ) Komplexkurven [III C 9]. 
Hire allgemeine Besprechung gehort nicht hierher; wir erwahnen nur 
einen besonderen Fall, der in naher Beziehung zu den Minimalkurven 
steht und in dem sich die Komplexkurven geometrisch sehr einfach 
definieren lassen. 

Es giebt oo 3 Geraden, die ein gegebenes Tetraeder in einem ge- 
gebenen Doppelverhaltnis A schneiden. Der von ihnen gebildete Kom 
plex heisst ein tetraedraler Komplex 194 ). Die zugehorigen Kurven 
sind also diejenigen Kurven, deren Tangenten ein gegebenes Tetraeder 
in einem gegebenen Doppelverhaltnis A schneidcn m ). Durch projektive 
Transformation gehen die zu einem Tetraeder gehorigen Kurven mit 
dem Doppelverhaltnis A in diejenigen Kurven fiber , die zu dem 
transformierten Tetraeder und zu demselben Doppelverhaltnis A ge- 
horen. Insbesondere kann man das Tetraeder durch eine projektive 
Transformation, die ja das Doppelverhaltnis ungeandert lasst, in das 
der drei Koordinatenebenen und der unendlich fernen Ebene iiber- 



192) Ebenda p. 707. 

193) Neue Geometrie des Raumes u. s. w., 1. Abt., hrsg. von F. Klein, Leipzig 
1868, p. 61, 158, 193. 

194) Er wurde zuerst von /. Binet, J. de Fee. pol. 16 (1813), p. 4167, als 
der Inbegriff aller Tragheitsaxen eines festen Korpers betrachtet [IV 3, Nr. 5]. 
M. Chasles, Th. Reye und S. Lie fanden spater andere Definitionen dieses Kom- 
plexes. Insbesondere riihrt die im Text gegebene aus einem Satze von H. Mutter, 
Math. Ann. 1 (1869), p. 407 423, insb. p. 414, in Verbindung mit einem Satze von 
K. G. Chr. v. Staudt, Beitrage zur Geom. d. Lage, 1, Nurnberg 1856, p. 21, her. 
Vgl. die geschichtlichen Anmerkungen in Lie-Scheff ers, Geom. d. Beriihrungstrans- 
formationen, 1, Leipzig 1896, p. 320326. 

195) Allgemein wurden diese Kurven namentlich von S. Lie untersucht, 
vgl. Gottinger Nachr. 1870, p. 53 66, sowie viele spatere Arbeiten, zusammen- 
gefasst in Lie- Scheffers, Geom. d. Beriihrungstransformationen, p. 326 u. f., wo 
man auch die Litteratur findet. 



35. Minimalkurven und Kurven der tetraedralen Komplexe. 257 

fiihren. 1st alsdann (x, y, e) ein Punkt einer zugehorigen Kurve, so 
sind die Inkremente dx, dy, dz an die Bedingung gekniipft: 

(57) ( xdg ~ zdx ^ d y A 

(yds zdy) dx 

Man bemerkt, dass jede Gleiehung von der symmetrischen Form: 
(58) (b c)xdydz -\- (c a)ydzdx -(- (a fyzdxdy = 
auf die Form (57) gebracht werden kann, indem hier von den drei 
Konstanten a, &, c nur eine wesentlich ist. Es kommt eben nur auf 
den Wert 



an, der das zugehorige Doppel verbal tnis angiebt. Die endlichen 
Gleicbungen der durch (58) definierten Kurven eines tetraedralen 
Komplexes findet man so: Ist langs einer Kurve zunachst der Ausdruck 

dx ^ dy 
x y 

nicbt konstant, so kann ein langs der Kurve veranderlicher Parameter 

t durch: 

dx dy 1 1 

x y ~~ a -f- t b + t 

definiert werden. Alsdann giebt (58): 

dx dy ^ dz 1 1 1 

x y z a-}-t b-\-t c^-t 

Ist also f (f) eine beliebig gewahlte Funktion von t, so sind: 



x , , 

die endlichen Gleichungen einer Kurve des tetraedralen Komplexes 196 }. 
Wenn aber jener Ausdruck langs der Kurve konstant ist, so sind 
langs der Kurve nach (58) alle Verbaltnisse 

dx ^ dy ^ dz 
x y z 

konstant, sodass man setzen darf: 

dx dy dz _ 1 < 1 1 
x y z u * y 

wenn a, /3, y drei Konstanten sind, die wegen (58) an die Relation 
(60) (6 c )a + (c a) ft + (a % = 

gebunden sind. Alsdann aber ergiebt sich sofort, dass die gesuchten 
Kurven so dargestellt werden konnen: 

x a =At, yP=Bt, 0r=Ct, 
196) S. Lie, z. B. in der Geom. d. Bertrf. 1, p. 327. 



258 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendents Kurven. 

wo A, B, C beliebige Konstanten sind. Diese Kurven treten also 2U 
den Kurven (59) Mnzu. Dabei sind , /3, y nur an die Relation (60) 
gebunden. Diese Kurven sind diejenigen Kurven des tetraedralen 
Komplexes, die eine infinitesimale projektive Transformation gestatten, 
bei der das Tetraeder invariant bleibt. Sie sind daher W- Kurven 
(vgl. Nr. 20) m ). 

Setzt man in (59) insbesondere 198 ): 



wo n eine Konstante bedeutet, so gehen die besonderen Kurven des 
tetraedralen Komplexes hervor: 

x n const, (a -f- ), y n = const, (b -f- f), z n = const, (c -\- ). 
Eliminiert man den Parameter t } so kommt man zu zwei Gleichungen 
von der Form: 



G^ + A = 0, A,x" + B 2 y + C,* + D 2 = 0, 

deren Koeffizienten konstant sind. Alsdann also sind die Kurven nach 
Nr. 25 tetraedral-symmetriscJie Kurven m }. 

Zwischen den Minimalkurven und den Kurven eines tetraedralen 
Komplexes besteht, wie gesagt, ein Zusammenliang: Bildet man nam- 
lich nach S. Lie~) den Raum (x, y, z) der tetraedralen Kurven (59) 
auf einen andern Raum (5, ^, 5) vermoge der Gleichungen: 

I = log x, i) = log y, = log z 

logarithmiscli ab, so geht die Differentialgleichung (58) fiber in: 
(61) (l) c)d\)d% + (c a)d%dic-}- (a fydd\) = 0. 

Die Kurven, die dieser Gleichung geniigen, haben uberall Fortschrei- 
tungsrichtungen (d:dty:d%), die den Mantellinien des Kegels zweiter 
Ordnung: 

(b c}^ + (c a)M + (a l)M = 

parallel sind. Da es oo 3 Geraden giebt, die den Mantellinien parallel 
sind, so sind die Kurven die Komplexkurven dcsjenigen Linienkomplexes, 
der aus alien Geraden bestelit, die die unendlicli feme Ebene in den 



197) Fussn. 196, p. 328. In seiner in Anm. 64 genannten Arbeit von 1870 
hatte S. Lie diese Kurven noch nicht bemerkt. 

198) A. a. 0. p. 332, 333. 

199) Dass die Tangenten tetraedral-symmetrischer Kurven das Tetraeder in 
einem konstanten Doppelverhaltnis schneiden, hatte /. de la Gournerie, siche 
Anm. 91, selbst schon erkannt. 

200) Geom. d. Beriihrungstranformationen p. 356. Schon friiher, z. B. Archiv 
for Math, og Naturv. 4 (1880), p. 477506. 



36. Gemeinsame Eigenschaften einiger Kurvenfamilien. 259 

Punkten eines Kegelsclmittcs treffen. Durch eine lineare Transformation 
lasst sicli weiterhin dieser Kegelschnitt in den Kugelhreis iiberfiihren. 

Also folgt: Vermoge einer logarithmisclien und darauf erfolgen- 
den linearen Abbildung gehen die tetraedralen Kurven, die zu einem 
gegebenen Tetraeder und zu einem gegebenen Doppelverhaltnis gehoren, 
in die Minimalkurven iiber. 

Hiernach lassen sich mithin auch die endlichen Gleichungen (59) 
ebenso wie die endlichen Gleichungen der Minimalkurven (vgl. HID 1,2, 
Nr. 13) von Integralzeichen befreien. In der That, setzt man: 

f == F "({] 

(a + f)(b + f)(c + t) 

so gehen die Grleichungen (59) iiber in: 

2F(t) - (b + c + 2t)F (t) + (b + t)(c + t)F"(t) 
X = 6 



i)(a + t)F"(t) 

y = e > 

2F(0 - (a + b + Zt)t"(t) + (a + t)(b + t)F"(t) 

z = e 

Unter den tetraedralen Kurven sind iibrigens wichtige alge- 
braische Kurven enthalten, auf die wir aber hier nicht einzugehen 
haben. 

36. Gemeinsame Eigenschaften einiger Kurvenfamilien. Die 

Schraubenlinien, die den Winkel 6 mit der positiven : Axe bilden 
(Nr. 32), sind durch die Gleichung: 

dz 

= cos 
oder: y~dx*+ dy*+ de* 



(62) dx* + df tg 2 ddz z = 

definiert, die Loxodromen, die den Winkel s mit den Ebenen durch 
die ^-Axe bilden, durch die Gleichung (49) in Nr. 34 oder: 

(63) (xdy ydx} 2 sin 2 e (x 2 + f] (dx* + df + dz*) = 0, 
die Minimalkurven (Nr. 35) durch die Gleichung: 

(64) <te 2 +fy 8 +d* 2 =0 

und die Kurven des tetraedralen Komplexes durch die Gleichung (58) 
in Nr. 35: 

(65) (6 c]xdydz -f- (c a)ydzdx -\- (a fyzdxdy = 0. 

Diese vier Gleichungen ordnen sich der gemeinsarnen Form 
unter 201 ): 

201) Auch die in Nr. 34 zum Schluss erwahnten Kurven, die mit den von 
einem festen Punkte ausgehenden Radienvektoren einen konstanten Winkel bilden, 



260 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

(66) Q (x, y, 2, dx, dy, dz) = 0, 

die in dx, dy, dz homogen sein soil. Eine solclie totale Differential- 
gleichung heisst nach S.Lie 202 } eine Monge sche Gleickung [II A 5, Nr.32]. 
Sie ordnet jedem Punkte (x, y, z] einen Kegel von Fortschreitungs- 
richtungen (dx : dy : dz] der hindurchgehenden Integralkurven zu, der 
im Falle der vier angegebenen Familien von Kurven insbesondere vom 
2. Grade ist. Sehen wir von den Minimalkurven ab, so konnen wir 
langs einer Integralkurve x, y, z als Funktionen der Bogenlange s 
auffassen. Sincl dann wie friiher a 1} fa, y^ K%, fa, jy, 3 , fa, y 3 die 
Richtungskosinus der Tangente, Haupt- und Binormale, 1 : Q und 1 : T 
Kriimmung und Torsion einer Integralkurve im Punkte (x, y, z), so 
ist nach (66): 

Q(x, y, z, a lt fa, y x ) = 0. 

Differentiation nach s liefert vermoge der Frenet schen Formeln (III 
Dl, 2, Nr.31): 



1st (j, t), j) der Kriimmungsmittelpunkt des betrachteten Kurven- 
punktes, sodass 

j = aj-f paj! , 9 = # + 008, S = ^-fpr2 
und 

p 2 =(j-^) 2 +(t)-i/) 2 +( S -0) 2 

ist, so folgt hieraus durch Elimination von Q, 2 , fa, y%: 

(Q, ai + Q y ft + Q,^) { (E - ^) 2 + (9 - 2/) 2 + (S - ^) 2 } 

+ Q tti (j - *) + Q A ft - If) + yt 6 - *) - 0. 

Wegen der Form dieser Gleichung hinsichtlich , ty, $ liest man aus 
ihr den Satz von S. Lie 203 ) ab: 

Diejenigen KrumnmngsmittelpunJcte Qc, ty, 5), ^ie ^w emem bestimmten 
Punkte (x, y, z) und zu alien denjenigen Integralkurven durch diesen 
Punkt gehoren, die daselbst eine gemeinsame Tangente (a^ , fa , y t ) liaben, 
licgen auf einem Kreise, dessen Ebene natiirlich zu der gemeinsamen 
Tangente senkrecht ist und der durch den betrachteten Punkt (x, y, z) geht. 

ordnen sich durch ihre analytische Definitionsgleichung der Form (66) untcr, wie 
iiberhaupt die Kurven, die ein Biischel von Kugeln unter konstantem Winkel 
schneiden. 

202) Geom. d. Bertrf. p. 249. 

203) Leipziger Berichte 1898, p. 1, 2, wo er diesen Satz als eine Ausdeh- 
nung des Meusnier schen Satzes fur Kurven auf Flachen (vgl. Ill D 1, 2, Nr. 35; 
III D 3, Nr. 1) bezeichnet. Angedeutet schon in den Leipziger Berichten 1896, 
p. 412 Anm. 



37. Aufzahlung einiger nieht besprochenen transcendent en Kurven. 261 

Insbesondere gilt dieser Satz fiir alle Loxodromen, die die Ebenen 
eines Biischels unter demselben Wmkel schneiden, ferner fur alle 
Sdiraubenlinien , die gleiche Neigung gegen eine feste Ebene haben, 
und fur alle Kurven eines tetraedralen Komplexes. 

Die Schmiegungsebene eines Punktes (x, y, z) ist nach S. .Lie 204 ) 
nur dann stets die Tangentialebene des zugeordneten Kegels von Fort- 
schreitungsrichtungen langs der Tangente der Integralkurve, wenn die 
Monge sche Gleichung (66) die speziellere Form 

(yde zdy, zdx xdz, xdy ydx, dx, dy, dz) = 

hat. Alsdann hat sie insbesondere oo 3 geradlinige Integralkurven, 
d. h. dann handelt es sich um Komplexkurven (vgl. Nr. 35). Diesem 
Fall ordnen sich die Minimalkurven und die Kurven eines tetraedralen 
Komplexes unter 205 ). 

Y. Sonstiges. 

37. Aufzahlung einiger nicht-besprochenen transcendenten 
Zurven. Aus dem Altertum stammt die Quadratrix des Dinostratus 

(y = x ctg -- - j ; angewandt zur Quadratur des Kreises. Zu demselben 

Zweck sind auch andere Quadratrixkurven ersonnen worden 206 ). Dazu 
gehort die Tschirnhaus sche Quadratrix, die affin ist zur Sinuslinie 
y = sin x, die Ozanam sche Kurve, die affin ist zur Kurve y = sin 2 x y 
und die von C. Falkenburg 201 ) als Kochleoide bezeichnete Kurve, deren 
Gleichung in Polarkoordinaten r, ist: r 6 = const, sin 6, die aber 
schon aus alterer Zeit stammt. Die Sinuslinie und die Kochleoide 
lassen sich durch Projektion gemeiner Schraubenlinien (Nr. 20) er- 
zeugen wie auch die Cykloiden mit gerader Polbahn (Nr. 6). Die 
Bedeutung der Sinuslinie sowie der durch Superposition mehrerer 

204) Geom. d. Bertrf. p. 305. 

205) Fiir Komplexkurven ist von S. Lie, Christiania Videnskabs-Selskabet 
Forhandlinger 1883, p. 20, ein falscher Satz betr. ihre Torsion ausgesprochen 
und in Lie - Scheffers a. a. 0. mit fehlerhaftern Beweise p. 308 wiedergegeben 
worden. Denselben falschen Satz findet man auch bei A. Demoulin, Paris C. R. 
115 (1892), p. 282, und Memoire sur 1 application d une methode vectorielle, 
Briissel u. Paris 1894, p. 57. Jedoch erkannte Demoulin in den Pariser C. R. 124 
(1897), p. 1077, den Fehler. Vgl. auch K. Zindler, Monatsh. Math. Phys. 11 
(1900), p. 30 Anm. 

206) Siehe G. Loria, Spezielle Kurven, p. 410 41G. Wir fugen zu soinen 
Citaten hinzu: G. Fouret, Nouv. Ann. (3) 5 (1886), p. 3943. 

207) Zu G. Loria s Citaten sei noch hinzugefugt: A. Bentheim, Nieuw Ar- 
chiv voor wiskunde, 10 (1883), p. 7680. 



262 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

Sinuslinien in verschiedenem Massstab entstehenden Schivingunyskurven 
fur die Theorie der Elasticitat ist bekannt 208 ). 

Auch. der Name Spirale starnmt aus dem Altertum (Loria, Spezielle 
Kurven, p. 441, Nr. 188, fiihrt ihn auf Plato zuriick.) Er lasst sicli 
kaum mathematisch streng definieren 209 ). Auch die Erkllirungen bei 
G. Loria: Kurven, deren geeignetste analytische Darstellung man bei 
Anwendung von Polarkoordinaten r, erhalt, und bei E. Pascal: 
Kurven, die sicli in unendlich vielen Windungen, von denen jede fol- 
gende entweder innerhalb oder ausserhalb der vorhergehenden liegt, 
um einen Punkt drehen, sind nur Notbehelfe 21 ). Herkommlicb 
nennt man unter den Spiralen ausser den archimedischen (Nr. 6), 
den logarithrnischen (Nr. 16) und den Sinusspiralen (Nr. 21 24) 
noch die parabolischen oder Format schen Spiralen 2U ) (r 2 = a 2 0), die 
hyperbolisdien Spiralen (r = a : 0) und die reziproken parabolischen 
Spiralen oder Litui (r 2 = a 2 : 0). Allgemein nennt G. Loria 212 ) die 
Kurven i n = a n 6 Spiralen hoheren Grades. W. Eulf 2n ] spricht von 
algebraischen Spiralen, ohne ausdriicklich zu sagen, dass er darunter 
diejenigen transcendenten Kurven verstebt, die durch eine algebraische 
Gleichung zwischen r und 6 definiert werden konnen 214 ) 215 ). 

Betrachtungen der Mechanik [IV lib] fuhrten zu den Brachi- 
stoclironen (Kurven kiirzester Fallzeit) und Tautochronen (Kurven mit 
von der Wegelange unabhangiger Fallzeit), die unter den einfachsten 
Voraussetzungen gemeine Cykloiden (Nr. 6) sind 216 ). Ebenso ent- 
springen der Mechanik [IV C, Abschn. Ill] die elastischen Kurven, die 
sich jedoch niclit durch endliche geschlossene Gleichungen mittels der 
elementaren transcendentenu Funktionen, sondern nur durch Differen- 
tialgleichungen [III D 8] definieren lassen 217 ) 218 ). 

208) Der englische Maler W. Hogarth machte die Sinuslinie als Wellenlinie 
zur Grundlage seiner asthetischen Untersuchungen in dem Buche: Analysis of 
beauty, 1753. 

209) Siehe Hoffmann-Natani, Mathem. Worterbuch 6, Berlin 1867, p. 524. 

210) G. Loria, Spezielle Kurven, p. 442, vgl. auch p. 596; E. Pascal, Re- 
pertorium der hoheren Mathematik, deutsch von Schepp, 2, Leipzig 1902, p. 544. 

211) E. Weyer, thber die parabolische Spirale, Kiel und Leipzig 1894. 

212) G. Loria, Spezielle Kurven, p. 434441. 

213) Monatshefte Math. Phys. 3 (1892), p. 211216. 

214) Siehe G. Loria, Spezielle Kurven, p. 441 448. 

215) W. Bulf zeigte Fussn. 213, wie man den Krummungsradius einer Spirale 
bestimmen kann, sobald man den Krummungsradius derjenigen Spirale kennt, 
deren Eadienvektoren die Polarsubnormalen der urspriinglichen Spirale sind. 

216) Vgl. die Lehrbucher der Mechanik, ferner wegen der Verallgemeine- 
rungen C. H. Miiller, Uber barytrope und tautobaryde Kurven, Diss. Marburg 1880. 

217) Siehe G. Loria, Spezielle Kurven, p. 582585. 



37. Aufzahlung einiger nicht besprochenen transcendenten Kurven. 263 

Es wiirde zu weit fiihren, wollten wir solche Kurven be- 
sprechen, die durch gewisse Operationen aus bekannten Kurven 
hervorgehen und die G. Loria abgeleitete Kurven nennt, wie z. B. die 
Fusspunkfkurven und die Inversen bekannter Kurven, ferner Kurven 
die beim Gleiten eines starren Winkels langs einer Kurve entstehen, 
die schiefen Evoluten einer Kurve u. s. w. Derartige ebene Kurven 
hat namentlich L. Aoust in seiner Analyse des courbes planes, 1873, 
systematise!! betrachtet, alsdann auch G. Loria. Zwischen verschie- 
denen der so hervorgehenden Kurvenarten bestehen besondere Be- 
ziehungen. Ein enger Zusammenhang 219 ) besteht z. B. zwischen den 
Scliwerpuntdskurven und Verfolgungskurven}. Die Betrachtung der 
Brennkurven oder kaustischen Kurven, die durch Eefraktion oder Re 
flexion entstehen, fiihrte vielfach zu den schon von uns voro-efiihrten 
ebenen Kurven 221 ). 

Weiterhin nennen wir noch die Antiloga von K. Chr. Fr. Krause 222 ). 
dargestellt durch die Gleichung sr = a, wenn s die Bogenlange, T der 
Tangentenwinkel ist, und die von Krause und A. Peters untersuchte 
Kurve 223 ), bei der s 2 = a 2 t ist und die spater von E. Cesdro^} als 
Klothoide bezeichnet und durch die natiirliche Gleichung SQ = const, 
(p = Kriimmungsradius) dargestellt wurde 225 ). 

Ferner sind diejenigen Untersuchungen erwahnenswert, die sich 
auf Kurven beziehen, die gewissen unter ihren liolieren Evoluten ahnlich 

218) Bei F. Klein und A. Sommerfeld, Uber die Theorie des Kreisels, 
Leipzig 1898, p. 440, treten elliptische Kurven 2. Art auf, die eine grosse Klasse 
unter sich verwandter transcendenter Kurven bilden, die in geometrischer Hin- 
sicht und mit Rucksicht auf ihre Anwendungen allgemein studiert zu werden 
verdienen, wozu die Verfasser auffordern. 

219) Nach E. Cesaro, Nouv. ann. (3) 2 (1883), p. 8589; ebenda 5 (1886), 
p. 6583; Natiirliche Geometric, p. 97 110. 

220) Siehe G. Loria, Spezielle Kurven, p. 607614. Zu diesen Kurven ge- 
hort die Hundekurve, die Bahn des seinem Herren nachlaufenden Hundes bei 
Voraussetzung konstanter Geschwindigkeiten von Herr und Hund. Sie ist, weun 
die Bahn des Herren gerade ist, im allgemeinen interscendent [Nr. 1] (im beson- 
deren algebraisch), dagegen transcendent, wenn die Geschwindigkeiten von Hen- 
und Hund gleich gross sind. 

221) Siehe G. Loria, Spezielle Kurven, p. 662672. 

^ 222) Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere scientificae 
specimina quinque prima, hrg. v. H. Schroder, Miinchen 1835 (vom Verf. nicht 
eingesehen). 

223) Z. B. bei A. Peters, Neue Kurvenlehre, Dresden 1835, p. 173, 174. 

224) Nouv. ann. (3) 5 (1886), p. 511-520; Natiirliche Geometric, p. 15. 

225) Sie ist ein Spezialfall der Kurven, bei denen Q = as ist Zu 
diesen Kurven gehort auch die Kreisevolvente (Nr. 6). Vgl. G. Pirondini, Giorn 
di mat. 30 (1892), p. 326-343, und G. Loria, Spezielle Kurven p 457-460 



264 HI D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 

oder Congruent sind m }. Zu ihnen gehoren die logarithmischen Spiralen 
(nach Nr. 16) und die Cykloiden (nach Nr. 9). 

Stillschweigend haben wir uns auf solche Kurven beschrankt, in 
deren Gleichungen nur im allgemeinen endliche, stetige und differen- 
zierbare Funktionen auftreten. Die ausserordentlichen Kurven, bei 
denen diese Voraussetzungen nicnt samtlich erfullt sind ; haben ibren 
Plat/ in der Funktionentheorie [II A 1, Nr. 9 ff.]. 

38. Einteilung der ebenen transcendenten Kurven. Die 

Gleichungen der ebenen transcendenten Kurven in Cartesischen oder 
projektiven Koordinaten sind so verschiedenartig ; dass aus ihnen 
keiu Einteilungsprinzip hervorgeht. Man konnte vermuten, dass erne 
bessere Ubersichtlichkeit entspringe, wenn natiirliche Bestiminungs- 
stiicke, wie Bogenlange s und Kriimmungsradius p, eingeftihrt wiirden. 
Aber dann zeigt es sich, dass die interessanteren transcendenten Kurven 
durchaus nicht immer den einfacheren Gleichungen in s und Q ent- 
sprechen. Ygl. z. B. die vielen natiirlichen Gleichungen in E. Cesdro s 
Natiirlicher Geometrie. Eine bessere Ubersicht als die Darstellung 
in x, y gewahrt allerdings die Darstellung in s und p, wie man 
z. B. an den cykloidalen Kurven (Nr. 8) sieht. Ein besonderer Wert 
der Darstellung in natiirlichen Koordinaten ist, dass sie gestattet, 
systematisch die Identitat von Kurven nachzuweisen, die aus verschie- 
denen Definitionen hervorgegangen sind, da zwei ebene Kurven dann 
und nur dann kongruent sind, wenn bei beiden zwischen ihren Dif- 
ferentialinvarianten gegeniiber alien Bewegungen (vgl. Ill D 1, 2, Nr. 1 4) 
dieselben Relationen bestehen. Ein klassisches Beispiel hierfiir gab 
E. Cesdro, vgl. Anm. 104. 

Einen ernstlichen Versuch, zu einer rationellen Einteilung der 
ebenen transcendenten Kurven zu gelangen, macht G. Loria). Er 
betrachtet namlich nach G. Fouret 228 ) und Clebsch-Lindemann} eine 
Diiferentialgleichung erster Ordnung in x, y, die in x, y, y alge- 
braisch ist: 

ffa y> y } = - 

Sie sei insbesondere in y vom ^ Grade. Durch jeden Punkt der 
Ebene gehen dann von den oo 1 algebraischen oder transceudeuten 



226) V. Puiseux, J. de math. (1) 9 (1844), p. 377399; G. Pirondini, Nouv. 
arm. (3) 5 (1886), p. 460480; G. Loria, Spezielle Kurven, p. 622626. 

227) Le curve panalgebriche, Prague Soc. Me m. 1901, Nr. 36, 1902, und: 
Spezielle Kurven, p. 407, 408, 724730. 

228) Paris soc. math. Bull. 2 (1874), p. 7283. 

229) Vorlesungen iiber Geometrie 1, Leipzig 1876, p. 962978. 



38. Einteilung der ebenen transcendenten Kurven. 265 

Integralkurven deren ^. Setzt man y = ax -f- b, y = a und ist die 
hervorgehende Gleichung: 

f(x, ax -\-b, a) = 

bei gegebenem a und b vom v tm Grade in x, so heisst dies, dass es 
unter den oo 1 Integralkurven deren v giebt, die eine beliebige Gerade 
y = ax -f- b beriihren. Alsdann liegen die Beruhrungspunkte der von 
irgend einem Punkte an alle Integralkurven gezogenen Tangenten 
auf einer algebraischen Kurve von der Ordnung ^ -f v, die als 
ji-fachen Punkt hat. Entsprechend hiillen diejenigen Tangenten, die 
in alien Schnittpunkten irgend einer Geraden g mit den Integral 
kurven konstruiert werden konnen, eine algebraische Kurve von der 
Klasse ^ -j- v ein, die die Gerade g als v-fache Tangente hat. Um- 
gekehrt, wenn eine ebene transcendente Kurve so beschaffen ist, dass 
die Beruhrungspunkte aller von einem beliebigen Punkte der Ebene 
ausgehenden Tangenten an sie auf einer algebraischen Kurve (/*-[- v) ter 
Ordnung liegen, oder wenn sie so beschaffen ist, dass diejenigen ihrer 
Tangenten, die man in ihren Schnittpunkten mit einer beliebigen Ge 
raden g der Ebene konstruieren kann, eine algebraische Kurve (a -j- v) ter 
Klasse umhiillen, so ist die Kurve eine Integralkurve einer in x, y, y 
algebraischen Differentialgleichung f(x,y,y } = Q, nach G.Fouret m ). 
Alle transcendenten Kurven von dieser Art nennt G. Loria 
pan-algebraisch. Er zeigt, dass eine grosse Anzahl von transcen 
denten Kurven, darunter viele wichtige, deshalb, weil sich ihre 
geometrischen Definitionen durch algebraische Differentialgleichungen 
1. Ordnung ausdriicken lassen, panalgebraisch sind, und bestimmt fur 
sie die Cliarakteristiken ^ und v 231 ). Man muss namlich beachten, 
dass die Zahlen /* und v nach den angegebenen Satzen von G. Fouret 
auch dann bestimmbar sind, wenn nicht die Differentialgleichung 
einer Schar von oo 1 panalgebraischen Kurven vorliegt, sondern nur 
eine solche Kurve gegeben ist, da die Zahl der von einem Punkte an 
die Kurve gehenden Tangenten unendlich gross ist. Die ebenen W- 
Kurven (Nr. 18) lassen sich als die einfachsten panalgebraischen 
Kurven definieren, namlich als diejenigen, bei denen ^ = v = 1 ist. 
Bei den allgemeinen Trochoiden (Nr. 3) ist ^ = 2, v = 6, bei den 
spezielleren ist v unter Umstanden kleiner. Fiir die Kettenlinien und 
Traktricen (Nr. 27) ist t u = v = 2, fur die Kurven von Delaunay 
und Sturm (Nr. 11) ist ft == 2, v = 4 u.s. w. Die allgemeinen Sinus- 

230) Paris Bull. soc. math. 2 (1874), p. 96100, insbes. p. 97. 

231) In der vorhin erwahnten Abhandlung. Auch in G. Loria, Spezielle 
Kurven, sind jedesmal bei den einzelnen Kurven die Charakteristiken bestimmt. 

Encyklop. d. math. Wissenach. Ill 3. 



266 



III D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 



spiralen (Nr. 21) und die sie umfassenden allgemeinen Cesaro schen 
Kurven (Nr. 26) sind allerdings niclii panalgebraisch. 

Durch die Ordnung nach den Charakteristiken wird aber wenig- 
stens fiir die ausgedehnte Familie der panalgebraischen transcendenten 
Kurven eine rationelle Einteilung gewonnen. 

39. Register der erwahnten Kurven. Nachstehend geben wir 
ein Verzeichnis aller im Yorhergehenden genannten Kurven mit der 
Angabe derjenigen Nummern, in denen sie vorkornmen. 1st von einer 
Kurve nur in den Fussnoten einer Nummer die Rede, so ist dies 
durch Einklammern der Zahl angedeutet. Kurve oder Kurven ist 
mit K. abgekiirzt. 

Elastische K. 11, 37 
Elliptische Kettenlinien (11) 
Elliptische K. 2. Art (37) 
Ephelix (8) 
Epicykeln (3) 

Epicykloiden (3), (4), 7, (11), (33) 
Epitrochoiden 3, 5 
Evoluten der Cykloiden 9 

- d. logarith. Spiralen 16 
d. Ribaucour schen K. (26) 

- d. Trochoiden (9) 
Evolvente einer Kreisevolvente (6) 
Exponentialk. (14) 

Fermat sche Spirale 37 
Filarevoluten ebener K. 32 
Filarevolventen 2. 0. von ebenen K. (33) 
Fusspunktk. 37 

- der Cykloiden 9 

- der logarith. Spiralen 16 

- der Sinusspiralen 23 

Gemeine Cykloiden ft, (9), 26, 37 

- Schraubenlinien 20, 28, 31, 32, 34, 37 
, die Minimalk. sind, 35 

Geodatische K. der Cylinder 31 

Gewolbelinien (27) 

Gratlinie einer BSschungsflache 32 

Hundek. 37 

Hyperbeln hQherer Ordnung (23) 

Hyperbolische Kettenlinien (11) 

- Spirale (27), 37 
Hypercykloiden 8, 12 
Hypocykloiden (4), 5, 7, (11) 
Hypotrochoiden 3, 6 



Abgeleitete K. 37 
Adiabatische K. 18 
Ahrenk. (9) 
Algebraische Cykloiden (7) 

- Sinusspiralen (21) 

- Spiralen 37 

W- Kurven 14, (20) 
Anharmonische K. (15) 
Antevolute d. logarith. Spirale (16) 
Antiloga 37 

Aoust sche K. (31) 
Archimedische Spirale 6, 37 
Ausserordentliche K. 37 

Bertrand sche K. 2831 

verallgemeinert 33 
Brachistochronen 37 
Brennk. (9), 37 

- d. logarith. Spiralen (16) 

Cesaro sche K. 26, 38 

verallgemeinert (26) 
Cotes sche Spirale (9) 
Courbes cyclides (34) 
Cyklische K. (5) 
Cykloidale K. 8, 12, 26 
Cykloiden 5, 7, 8, 9, (11), 12, 26 

hoherer Ordnung (4) 
Cykloden (6) 

Cylindrokonische Schraubenlinien 20, 
3-2, 34 

Debeaune sche K. (14) 
Delaunay sche K. 11, 37 
Doppelloxodromen 34 
Dreieckspotentialk. 18 



89. Register der erwahnten Kurven. 



267 



Integralk. einer Jacobi schenDifferential- 

gleichung 13 
Integralk. einer Monge schen Gleichung 

36 
Interscendente K. 1 

- Parabeln 14, 17 
Inverse K. 37 

Kaustische K. 37 
Kettenlinien 11, 26, 27, 38 

elliptisch od. hyperbolisch (11) 

- gleichen Widerstands (27) 

- mit zwei Nasen (27) 
Klinoiden (27) 
Klothoide 37 
Kochleoide 37 
Komplexk. 35, 36 
Konische Scbraubenlinien 34 
Kreisevolvente 6, (8), (11), 12, 26, (37) 
K., deren Bogenlange einer Potenz der 

Abscisse proport. ist, (26) 
, die alle Kreise od. Ebenen od. Kugeln 
eines Buschels od. die Mantellinien 
eines Kegels unter konstantem Winkel 
schneiden, 34, 36 

- eines Koinplexes 1. Grades (20), 34 

- 2. Grades 35, 36 

eines tetraedralen Komplexes 20, 35, 36 
, die hoheren Evoluten ahnlich sind, 37 

- konstanter Kriimmung (28), 29, 31 

- konstanter Kriimmung und Torsion 20 

- konstanten Kurses 34 

- konstanter Neigung 31 

- konstanter Summe der Quadrate von 
Kriimmung und Torsion (33) 

- konstanter Torsion 28, 31 

- konstanten Verhaltnisses von Kriim 
mung und Torsion 31 

- kiirzester Fallzeit 37 

mit geg. Relation zwischen Kriimmung, 
Torsion, Bogenlange u. dgl. 33 

- mit konstantem Produkt von Kriim- 
mungsradius u. Normale 27 

- mit konstantem Verhaltnis von Kriim- 
mungsradius u. Normale 23, 26 

- mit linearer Relation zwischen Kriim 
mung und Torsion 28 

- mit von der Wegelange unabhangiger 
Fallzeit 37 



Kurvenpaare mit gemeinsamen Haupt- 
normalen 28 

- mit parallelen Hauptnormalen (28), 29 
- mit reziproken begleitenden Drei- 

kanten (31) 

Lame sche K. (23) 

Lituus 37 

Logarithnrische Doppelspiralen (34) 

K. 14, 19 

- Spiralen (8), 12, (15), 16, 23, 26, 34, 37 
Logistica (14) 

Longitudinale (27) 
Loxodromen 34, 36 

- des Rotationscylinders 20 

Meridiank. d. Rotationsflachen konstan 
ter Kriimmung 27 

- konstanter mittlerer Kriimmung 11 
Minimalk. 31, (32), 35, 36 
Minimalschraubenlinien 35 

Neoide (6) 
Norwich s Spirale (6) 

Orthoge nides (23) 

Orthogonale Trajektorien von Ellipsen 
oder Hyperbeln 17 

- von Kreisen 27 

- von Parabeln 19 
Ozanam sche K. 37 

Panalgebraische K. 38 
Parabeln, hohere, 14, 17 
Parabolische Spirale 37 
Paracykloiden 8, 12 
Parallelk. (32) 
Pericykloiden (5) 
Polark. der Cykloiden (9) 
Polytropische K. (18) 
Pseudocykloiden 8 
Pseudokatenarien (27) 
Pseudotraktricen (27) 

Quadratrixk. 37 

Keziproke parabolische Spirale 37, 
Ribaucour sche K. (11), (12), 26 

- vom Index 3: 26, 27 

18* 



268 



III D 4. G. Scheffers. Besondere transcendente Kurven. 



Ehodoneen 9 
Rollk. 2, (12) 

- mit gerader Polbahn 10, 11, 12 
Rosaces oder Rosenk. (9) 
Rouletten 2 

Schiefe Evoluten 37 

Schraubenlinien allgemein 31, 32, 36 

Schwerpunktk. 37 

Schwingungsk. 37 

Segelk. (27) 

Seilk. (27) 

Selbstprojektive K. (13) 

Sinuslinie 37 

Sinusspiralen (11), (12), 21, 26, 37, 38 

vom Index Null 23 
Spharische Cykloiden (32) 

- Kreisevolventen (32) 

Loxodromen 20, 34 

Schraubenlinien 32 
Spiralen allgemein 37 

Spirales a inflexion proportionelle (23) 

e*quiharmoniques (15) 

- sinuso ides (21) 
Spirale von Cotes (9) 



Spirale von Sturm oder Norwich (6) 
Sprungseilk. (11) 
Sturm ache K. 11, 38 
Syntraktrix (27) 

Tautochronen 37 

Tetraedral-symmetrische K. 26, 35 

Traktorie (27) 

Tractrix complicata (27) 

Traktricen 27, 38 

Transcendente K. allgemein 1, 38 

Triangular-symmetrische K. 25 

Trochoiden allgemein 35, 7, (8), 9, 38 

Velaria (27) 
Verfolgungk. 37 

JF-Kurven eben 1319, 38 

- und von 1. Art 14, 16 

- und von 2. Art 14, 19 

- im Raume 13, (16), 20, 34, 35 
Wellenlinie (37) 
Windschiefer Kreis (31) 

Zuglinie (27) 



(Abgeschlossen im Juni 1903.) 



Ill D 5. It. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 269 



HID 5. BESONDERE FLACHEK 

VON 
B. v. LILIENTHAL 

IN MUNSTER I/W. 



Inhaltsiibersicht. 

I. Geradlinige Flachen. 

1. Erklarungen. 

2. Nichtabwickelbare Linienflachen. 

3. Abwickelbare Linienflachen. 

II. Weitere kinematisch deflnierbare Flachen. 

4. Cyklische Flachen. 

5. Schraubenflachen. 

6. Translationsflachen. 

7. Spiralflachen. 

III. Kriimmungsmittelpunktsflachen. 

8. Erklarungen. 

9. Die eine Schale der Krummungsmittelpunktsflache artet in eine Kurve aus. 

10. Beide Scbalen der Krummungsmittelpunktsflache arten in Kurven aus. 
Dupirische Cykliden. 

11. Die allgemeine Krummungsmittelpunktsflache. 

12. Bestimmung einer Flache, fur welche eine Schale oder beide Schalen der 
Krummungsmittelpunktsflache vorgeschrieben sind. 

IT. Flachen mit ebenen oder spharischen Kriinimungslinien. 

13. Die Mange 1 schen Gesimsflachen. 

14. Untersuchungen von Sonnet, Serret, Enneper, Eouquet. 

15. Untersuchungen von Dini, Darboux. 

16. Untersuchungen von Brioschi, Dini, Dobriner, Blutel, Darboux. 

V. Weingarten sche Flachen. 

17. Die beiden Weingarteri 1 schen Satze. 

18. Weitere Satze. 

VI. Minimalflachen. 

19. Historisches. Satze von Meusnier. Integral von Monge. 

20. Die von Scherk, Catalan, Enneper gefundenen Minimalflachen. 

21. Analytische Darstellungen der Minimalflachen von Weingarten , Enneper, 
Weierstrass, Biemann, Peterson, Beltrami. 



270 HI D 5. E. v. Lilienthal Besondere Flachen. 

22. Bestimmung eines Minimalflachenstiicks bei gegebener Begrenzung. 

23. Die einer Minimalflache assoziierten Minimalflachen. 

24. Methode von Darboux. 

25. Bestimmung einer Minimalflache durch einen analytischen Streifen. 

26. Weitere besondere Minimalflachen. 

27. Methode von Lie. 

28. Die Goursat sche Transformation der Minimalkurven. 

29. Einer Abwickelbaren eingeschriebene Minimalflachen. 

30. Methode von Ribaucour. 

31. Satze von Schwarz, Weingarten, Dini. 

VII. Flachen konstanter Kriimmung. 

32. Untersuchungen von Minding, Dini, Enneper, Beltrami, Hilbert. 

33. Die Kotationsflachen konstanter Krummung und Linienelemente der pseudo- 
spharischen Flachen. 

34. Die geodatischen Linien auf den Flachen konstanter Krummung. 

35. Transformationen und Haupttangentenkurven der Flachen konstanter Krum 
mung. 

VIII. Weitere besondere Flachen. 

36. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Hauptkriimmungshalbmesser. 

37. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Krummungslinien. 

38. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Haupttangentenkurven und kon- 
jugierten Linien. 

39. Flachen mit besonderen Eigenschaften der geodatischen Linien und geoda 
tischen Kreise. 

40. Imaginare Flachen. 

Litteratur. 

Bemerkung. Auf die im folgenden haufiger angefuhrten Werke: 

G. Darboux, Le9ons sur la theorie ge ne rale des surfaces et les applications 
geome"triques du calcul infinitesimal. 1, Paris 1887; 2, 1889; 3, 1894; 4, 1896; 

L. Bianchi, Vorlesungen uber Differentialgeometrie. Deutsch von M. Lukat, 
Leipzig 1896/99 (im Original: Lezioni di geonietria diiferenziale. Pisa 1893, 
2. Ed. 1902), 

wird unter der Bezeichnung ,,Darboux" 1, 2, 3, 4; ,,Bianchi" hingewiesen. 
Weitere Litteratur siehe unter III D 1, 2, p. 2. 



I. Geradlinige Flachen. 

1. Erklarungen. Eine Flache, die durch Bewegung einer Ge- 
raden erzeugt werden kann, nennt man eine geradlinige Flache (Linien- 
flache, Rcgdflache, ivindscliiefe Flache). Fur den Fall, dass die er- 
zeugende Gerade stets Tangente em und derselben Kurve ist, heisst 
die geradlinige Flache abivickelbar , weil sie alsdann auf eine Ebene 
abgewickelt werden kann (III D 6 a, Nrr. 3, 21). Lasst man eine durch 



1. Erklarungen. 2. Nichtabwickelbare Linienflachen. 271 

eiuen festen Punkt gehende Gerade sich so bewegen, dass sie der er- 
zeugenden Geraden einer Linienflache stets parallel 1st, so erhalt man 
den Leitkegel (JRichtungskegel) der Linienflache, der bei den Zylinder- 
flachen durch eine Gerade vertreten wird, der aber auch, wie bei 
der gewohnlichen Schraubenflache (Nr. 5), eine Ebene, die Leitebene, 
sein kann. Besitzt eine Linienflache eine Leitebene, und treffen ihre 
Erzeugenden ein und dieselbe feste Gerade, so wird sie eine Konoid- 
flache genannt. Die geradlinigen Flachen mit einer Leitebene sind 
ausfuhrlich untersucht von E. Catalan 1 }, der auch im besonderen die 
gewohnliche Schraubenflache und ihre geodatischen Linien behandelte. 

o O 

Die um den Mittelpunkt des Leitkegels mit dem Halbmesser Eins 
beschriebene Kugel schneidet aus dem Leitkegel die splidrische Indi- 
katrix der Linienflache aus. Nehmen wir als Koordinaten der Punkte 
einer Linienflache: 



wo x o> 2/o> Z Q I Px) Pyi Pz ~~ ^ e Richtungskosinus der Erzeugenden - 
Funktionen von v allein bedeuten, so haben wir es mit einer ab- 
wickelbaren Flache zu thun, wenn 



Die Aufstellung der partiellen Differentialgleichung der gerad 
linigen Flachen und ihrer Arten bildet ein Hauptziel der Application 
d Analyse a la Geometric von G. Monge (fiinfte Aufl. besorgt von 
J". Liouville, Paris 1850). Vgl. J". A. Serret, Lehrbuch der Diff.- und 
Integralrechnung, deutsch von A. Harnack 1, Leipzig 1884, p. 486 ff.; 
2. Aufl., von G. Bohlmann, 1, 1897, p. 471 ff. Uber die Bedingung, 
unter der eine gegebene, nicht abwickelbare, Flache geradlinig ist, 
vgl. E. Cosserat, Toulouse Mem. (9) 7 (1895), p. 373. 

2. Nichtabwickelbare Linienflaclien. Wir erwahnen zunachst 
Satze von M. Chasles 2 ). Die Tangentialebenen der Flache langs einer 
Erzeugenden bilden ein Ebenenbiischel, dessen Ebenen den Punkten 
der Erzeugenden, in denen sie die Flache beriihren, projektiv zuge- 
ordnet sind. Der Satz, dass die Normalen einer Linienflache langs 
einer Erzeugenden ein hyperbolisches Paraboloid bilden, diirfte auf 



1) J. &j. polyt. 17 (1843), p. 121. Vgl. Ch. Bioche, Bull, sciences math. (2) 
16 (1892), p. 159. 

2) J. de math. (1) 2 (1837), p. 413; Correspond, math, et phys. 11 (1839), 
p. 52. Vgl. die ausfiihrliche Untersuchung auf kinematischer Grundlage von 
E. Lamarle, Theorie geometrique des centres et axes instantane s de rotation, 
Bruielles-Paris (1859), p. 67 ff. 



272 HI D 5. R. v. Lilienthal Besondere Fliichen. 

P. Hachette zuruckzufiihren sein 2a ). Jede Ebene des Buschels beriihrt 
in einem Punkte P die Flache und steht in einem Punkte P auf ihr 
senkrecht. Legt man drei Ebenen durch eine Erzeugende, so bilden die 
sechs Punkte, in denen Beruhrung und Senkrechtstehen stattfindet, eine 
Involution. Das Produkt p der Entfernungen der Punkte P und P von 
einem festen Punkte der Erzeugenden andert sich nicht, wie auch 
der Punkt P in der Erzeugenden gewahlt sein mag, es ist also eine 
Funktion von v allein. Der Punkt heisst der MittelpunU (Zentral- 
punkf) der Erzeugenden. Er ist der Ort des Punktes P , falls P 
im Unendlichen liegt, und er ist gleichzeitig der in der Erzeugenden 
liegende Endpunkt ihres kiirzesten Abstandes von der benachbarten 
Erzeugenden. Der Ort der Punkte wird die Grat- oder Strik- 
tionslinie, auch Kehllinie der Flache genannt. Die Tangenten der Grat- 
linie sind senkrecht zu den entsprechenden Tangenten der spharischen 
Indikatrix. Die Koordinaten der Gratlinie ergeben sich aus den Koordi- 
naten der Flache, wenn man u durch die Funktion w ersetzt, die 
durch die Gleichung 



bestimmt wird 2b ). Bezeichnen wir mit t/> den Winkel, den die im 
Punkte (w) einer Erzeugenden beruhrende Tangentialebene mit der 
im Punkte (zt ) derselben Erzeugenden beruhrenden bildet, so ist: 



wo /3 nur von v abhangt. Man nennt /3 den Verteihingsparameter 
(Distributionsparameter). Das oben mit p bezeichnete Produkt hat 
den Wert /3 2 . Fur ft selbst findet sich die Gleichung 3 ): 



Nennt man q> den Winkel, unter dem die betrachtete Erzeugende die 
Gratlinie schneidet, ferner s die Bogenlange der Striktionslinie, tf die 
Bogenlange der spharischen Indikatrix, so ist auch: 

ds 



2) J. f. Math. 8 (1832), p. 358. Vgl. E. Duporcq, Nouv. Ann. (3) 17 
(1898), p. 111. 

2 b ) Uber die Bestimmung einer geradlinigen Flache mit vorgeschriebener 
Gratlinie vgl. R. Hoppe, Arch. Math. Phys. (2) 11 (1892), p. 345. 

3) ,,Darboux", 3, p. 302. 



2. Niehtabwickelbare Linienflachen. 273 

Fiir das G-auss sche Krummungsmass (HI D 1, 2, Nr. 36) der Flache erhalt 
man den Ausdruck: /?2 



(( - ^o) 2 + n 2 

In den Punkten der Gratlinie ist also das Quadrat des Verteilungs- 
parameters gleich dem absoluten Wert des Produkts der Hauptkriim- 
mungshalbmesser. 

Die durch die Punkte der Gratlinie senkrecht zu den daselbst 
schneidenden Brzeugenden der Flache gezogenen Flachentangenten 
bilden die konjugierte Flache der Linienflache. Ihre Gratlinie fallt 
mit der der gegebenen zusammen 4 ). Bezeichnet man den Winkel 
zweier benachbarter Erzeugenden der gegebenen Flache mit do, den 
Winkel der entsprechenden Erzeugenden der konjugierteu Flache mit 
dco , so ist das Verhaltnis -= gleich der geodatischen Kriimmung 

(III D 3, Nr. 12) der spharischen Indikatrix der gegebenen Flache im 
entsprechenden Punkt 5 ). 

G. Pirondini**) zeigte, dass langs der Striktionslinie einer ge- 
radlinigen Flache die Erzeugenden der Flache, ihre Normalen und 
die Erzeugenden ihrer konjugierten Flache bezw. parallel sind den 
Tangenten, den Haupt- und Binormalen einer Kurve. Die Hinzunahme 
dieser Kurve ist haufig von Vorteil, so in dem von R. Hoppe 5 ^ be- 
handelten Falle, in welchem die Gratlinie zugleich Krummungslinie 
der Linienflache ist. 

Eine ausfiihrliche Erorterung der auf einer Linienflache gezogenen 
Kurven findet man in dem angefuhrten Werke von P. Serret^). Her- 
vorzuheben sind Satze uber Haupttangentenkurven 7 ) (III D 3, Nr. 1). 
Die eine Schar dieser Linien wird von den Erzeugenden der Flache 
gebildet. Hinsichtlich der anderen kann man mit J. Bertrand*} fragen, 

4) Paul Serret , Theorie nouvelle g^om^trique et m^canique des lignes a 
double courbure, Paris 1860, p. 144, 

5) P. Serret, a. a. 0. p. 146. 

5*) Giorn. di mat. 23 (1885), p. 296; E. Hoppe, Arch. Math. Phys. (2) 11 
(1892), p. 218. 

5 b ) Arch. Math. Phys. (2) 15 (1897), p. 251. Vgl. E. Cesaro, Nouv. Ann. 
(3) 8 (1889), p. 445; Ch. Bioche, Par. soc. math. Bull. 19 (1891), p. 42. 

6) p. 143 S. 

7) Ygl. A. Clebsch, J. f. Math. 68 (1868), p. 151; A. Voss, Math. Ann. 12 
(1877), p. 485; K Picard, Paris, C. R. 84 (1877), p. 229; E. Hoppe, Arch. Math. 
Phys. (1) 60 (1877), p. 276; G. H. Halphen, Par. soc. math. Bull. 6 (1878), p. 7; 
G. Koenigs, Paris, C. E. 106 (1888), p. 51; E.Ciani, Giorn. di mat. 27 (1889), 
p. 233, wo die durch eine Raumkurve bestimmten geradlinigen Flachen unter- 
sucht sind. 

8) J. de math. (1) 15 (1850), p. 332. Vgl. im selben Bande p. 481 die 



274 in D 5. E. v. Lilienthal Besondere Fliichen. 

ob sich in ihr Einzelkurven finden, die die Erzeugenden senkrecht 
schneiden. Die Erzeugenden sind dann die Hauptnormalen einer solchen 
Haupttangentenkurve (III D 4, Nr. 28). Hier sind folgende Falle mog- 
lich: 1) Es findet sich keine solche Haupttangentenkurve. 2) Es findet 
sich nur eine solche. Alsdann geht die Riccati sche Differentialglei- 
chung (II A 4 b, Nr. 8), welche im allgemeinen die Haupttangenten- 
kurven bestimmt, in eine lineare iiber und ist durch Quadraturen 
integrierbar 9 ). 3) Es finden sich zwei. Dann besteht zwischen der 
ersten und zweiten Krummung jeder derselben eine lineare Be- 
ziehung 10 ). 4) Sarnmtliche Einzelkurven der Schar sind orthogonale 
Durchdringungskurven der Erzeugenden. Hier besitzt jede der frag- 
lichen Haupttangentenkurven konstante erste und zweite Krummung 
und ist somit eine Schraubenlinie (III D 1,2, Nr.32; III D 4, Nr. 20). 
Die entsprecheude Flache ist die gewohnliche Schraubenflache n ) (Nr. 5). 

Aus dem Umstand, dass die Bestimmung der nicht geraden Haupt 
tangentenkurven einer Linienflache von einer Riccati schen Differential- 
gleichung abbangt, folgert P. Serret 12 }, dass die fraglichen Kurven 
aus je zwei Erzeugenden projektive Punktreihen ausschneiden 13 ). Be 
sitzt die betrachtete Linienflache eine Leitebene, so teilen die frag 
lichen Kurven je zwei Erzeugende in proportionale Abschnitte u ). 
Wenn die Gratlinie einer geradlinigen Flache zugleich eine Haupt 
tangentenkurve derselben ist, so ist die Tangente der spharischen 
Indikatrix der Flache parallel der Binorrnalen der Gratlinie. Zugleich 
sind hier die Verteilungsparameter der Flache und ihrer konjugierten 
einander gleich 15 ). 

0. Sonnet fand den Satz 16 ), dass, wenn eine auf einer Linien 
flache gezogene Kurve von den drei Eigenschaften eine geodatisehe 
Linie zu sein - - eine isogonale Trajektorie der Erzeugenden zu sein 
die Gratlinie zu sein - - zwei besitzt, sie auch die dritte besitzt. 



Arbeit von Voizot, und im selben Journal (2) 1 (1856), p. 228 eine Arbeit von 
A. H. Cwrtis. 

9) Vgl. E. Bow, J. 6c. polyt. 22 (1862), p. 48. 
10) Serret, a. a. 0. p. 109. 11) Serret, a. a. 0. p. 170. 

12) a. a. 0. p. 169; vgl. A. Demoulin, Mathesis (2) 9 (1899), p. 159. 

13) t)ber die allgemeinen Kurven mit dieser Eigenschaft vgl. Ch. Bioche, 
Bull. sci. math. (2) 12 (1888), p. 290; Toulouse Ann. 3 (1889), p. 1; iiber die 
geradlinigen Flachen, auf denen die Krummungslinien die fragliche Eigenschaft 
besitzen vgl. Ch. Bioche, Par. soc. math. Bull. 16 (1888), p. 119. 

14) Serret, a. a. 0. p. 167. Vgl. A. Enneper, Gott. Nachr. (1870), p. 501; 
(1871), p. 2. 

15) Serret, a. a. 0. p. 150; E. Catalan, Bull. soc. philomath. (1848), p. 68. 

16) J. 6c. polyt. 19 (1848), p. 71. 



3. Abwickelbare Linienflachen. 275 

Die Flachen, auf denen die Gratlinie eine geodatische Linie ist und 
zugleich die Erzeugenden unter konstantem Winkel schneidet, werden 
erhalten, wenn man durch die Punkte einer Raurnkurve Gerade zieht, 
die in den rektifizierenden Ebenen (III D 1, 2, Nr. 29) der Raumkurve 
liegen und mit der Kurve einen konstanten Winkel bilden 17 ). 

Hinsichtlick der Krummungslinieu bemerkte P. Serret 18 ), dass es 
in jeder Schar von solchen im allgemeinen vier Einzelkurven gibt, 
welche die Erzeugenden unter konstantem Winkel schneiden. Die 
einzige Linienflache, bei der alle Kriimmungslinien diese Eigenschaft 
haben, ist die gewohnliche Schraubenflache; die einzige geradlinige 
Flache mit lauter ebenen Kriimmungslinien ist das einschalige Rota- 
tionshyperboloid 19 ). 

Aus einer Arbeit von U. Dini 20 } erwahnen wir den Satz: Sind 
die Erzeugenden einer Liniennache langs ihrer Gratlinie die Tangenten 
eines Zylinders, so ist die Flache entweder abwickelbar oder ihr Leit- 
kegel ist ein Kreiskegel. In derselben Arbeit sind weitere Eigen- 
schaften von Linienflachen mit einem Kreisleitkegel mitgeteilt. - 
S.Lie*} und E. Picard n ) betrachteten die Linienflachen, deren 
Erzeugende einem linearen Komplex (III C 9) angehoren. In zwei 
Punkten einer Erzeugenden ist die Tangentialebene einer solchen Flache 
zugleich die dem Beriihrungspunkte hinsichtlich des Komplexes kon- 
jugierte Ebene. Der Ort jener Punkte auf der Flache wird von zwei 
Haupttangentenkurven gebildet. 

Satze uber geradlinige Flachen mit Liouville schem Linienelement 
(HID 3, Nr. 18) finden sich bei G. Demartres, Par. C. R. 110 (1890), 
p. 329; besondere konjugierte Kurvensysteme (III D 3, Nr. 3) auf ge- 
radlinigen Flachen behandelt A.Voss, Math. Ann. 39 (1891), p. 214, 215. 

3. Abwickelbare Linienflachen. (Vgl. HID 3, Nr.4, p. 112.) Die 
Erzeugenden einer abwickelbaren Flache sind die Tangenten ihrer 
Gratlinie. Bezeichnet man die Koordinaten der Punkte der letzteren 
mit x , y Q , Z Q) mit v ihre von einem festen Punkte an gerechnete 
Bogenlange, so stellen die Gleichungen: 



die fragliche Abwickelbare in der Art dar, dass die Kurven u = const. 

17) Serret, a. a. 0. p. 149, 150. 18) a. a. 0. p. 159. 

19) U. Dini, Ann. di mat. (2) 1 (186768), p. 146 und ebenda (2) 4 
(187071), p. 201. 

20) Giorn. di mat. 3 (1865), p. 281. 20 ) Math. Ann. 5 (1872), p. 179. 

21) Paris, C. R. 84 (1877), p. 229 und Ann. 6c. norm. (2) 6 (1877), p. 331. 
Vgl. Ch. Bioche, Par. soc. math. Bull. 19 (1891), p. 39. 



276 HI D 5. JR. v. Lilienthal Besondere Flachen. 

die senkrechten Durchdringungskurven der Erzeugenden (y == const.) 
sind sla ). Die den wachsenden bez. abnehmenden Werten der Bogen 
lange v entsprechenden Halbtangenten der Gratlinie bilden den Teil 
der Flache, fur welchen u v positiv bez. negativ ist. Die auf dem 
ersten oder zweiten dieser Teile liegenden Kurven u = const, werden 
durch die Bewegung des einen der beiden Endpunkte eines auf die 
Gratlinie gelegten Fadens erhalten, wenn der Faden so abgewickelt 
wird, dass beim Fortschreiten seines Beriihrungspunktes auf der Grat 
linie sich die zu letzterem gehorende Bogenlange verkleinert oder 
vergrossert. Sie sind also die Filarevolventen der Gratlinie 21b ) (III D 1, 2, 
Nr. 33). Andererseits bilden sie die eine Schar der Kriimmungslinien 
der Flache ; wahrend die andere von den Erzeugenden gebildet wird. 
Hier gilt der Satz 21c ), dass die Polarflachen (Ort der Krummungs- 
achsen, III D 1, 2, Nr. 29) der Kurven u = const, in eine einzige Flache 
zusammenfallen, die die Rolle der Krummungsmittelpunktsflache (Nr.8) 
der Abwickelbaren spielt 21d ) und mit der rektifizierenden Flache der 
Gratlinie, d. h. der Einhiillenden ihrer rektifizierenden Ebenen (III D 1, 2, 
Nr. 29) identisch ist. 

Sowohl die Bestimmung der geodatischen Linien 22 ) (III D 3, Nr. 14) 
einer Abwickelbaren wie die Bestimmung der isogonalen Trajektorien 
ihrer Erzeugenden 23 ) fiihrt auf die Integration einer linearen Differential- 
gleichung. Schneidet eine Geodatische die zur Bogenlange v gehorende 
Erzeugende unter dem Winkel <p , so schneidet sie die zur Bogenlange v 

V 

gehorende Erzeugende unter dem Winkel (p = I - - -}- <p , wo die 

V 

erste Kriimmung der Gratlinie bezeichnet. Dabei ist tg (p gleich dem 

21*) Fiii- die Anwendung von Ebenenkoordinaten vgl. L. Painvin, Par. 
C. R. 71 (1870), p. 217. 

21 b ) E. Beltrami, Ann. di mat. (1) 4 (1861), p. 276; E. Combescure, J. f. 
Math. 62 (1863), p. 174. 

21) H. Molins, J. de math. (2) 4 (1859), p. 347. 

21<>) G. Monge, Paris Mm. sav. [e"tr.] 10 (1785) (lu 1776), p. 546. 

22) F. Minding, J. f. Math. 20 (1840), p. 223; H. Molins, J. de math. (1) 
12 (1847), p. 394; L. Aoust, Analyse infinite s, des courbes trace es sur une surf, 
quelc., Paris (1869), p. 189; A. Enneper, Zeitschr. Math. Phys. 18 (1873), p. 615. 
Eine zusammenfassende Darstellung gab A. Puchta, Wien. Ber. 97Ha (1888), 
p. 1269. Vgl. ,,Bianchi", p. 171; ,,Darloux" 3, p. 220. Eine charakteristische 
Eigenschaft der fraglichen Linien zeigte H. v. Mangoldt, Math. Ann. 18 (1881), 
p. 604. t)ber algebraische Geodatische und Kriimmungslinien auf abwickelbaren 
Flachen vgl. P. Stackel, Math. Ann. 43 (1893), p. 171; 45 (1894), p. 341. 

23) H Molins , J. de math. (1) 8 (1843), p. 132; vgl. E. Combescure, J. f. 
Math. 62 (1863), p. 174. 



3. Abwickelbare Linienflachen. 277 

Verhaltnis der ersten zur zweiten Kriimmung der Geodatischen. Die 
samtlichen Geodatischen, welche eine Erzeugende unter demselben 
Winkel schneiden, schneiden jede Erzeugende unter ein und demselben 
Winkel; ihre orthogonalen Trajektorien sind wieder geodatische Linien 
der Abwickelbaren, und jede Geodatische der letzteren ist eine iso- 
gonale Trtljektorie einer derartigen Schar. - - Die Aufgabe, durch 
eine gegebene Kurve eine abwickelbare Flache so zu legen, dass die 
Kurve auf ihr ein geodatischer Kreis (III D 3, Nr. 38) mit gegebener 
geodatischer Kriimmung wird, ist von H. Molins 24 ) gelost und von 
W. ScJiell^} ausfiihrlich behandelt worden. - - Bei P. Serret 26 ) finden 
sich die Satze: 

1) Wenn die Erzeugenden einer abwickelbaren Flache eine feste 
Kugel unter konstantem Winkel treffen, so ist ihre Gratlinie eine geo 
datische Linie des Kegels, der vom Kugelmittelpunkt aus durch diese 
Gratlinie gelegt ist. 

2) Besitzt eine abwickelbare Flache eine ebene Kriimmungslinie, 
so ist ihre Gratlinie eine geodatische Linie des Zyliuders, der durch 
die Gratlinie hindurchgeht und auf der Ebene der Kriimmungslinie 
senkrecht ist. 

3) Besitzt eine abwickelbare Flache eine spharische Kriimmungs 
linie, so ist ihre Gratlinie eine geodatische Linie des Kegels, der vom 
Mittelpunkt der Tragerkugel aus durch die Gratlinie gelegt ist. 

Hinsichtlich der geodatischen Linien auf einem Kegel bemerkt 
G. Pirondini^\ dass die Schmiegungsebenen einer jeden konstanten 
Abstand von der Spitze des Kegels besitzen, und dass das Verhaltnis 
der ersten zur zweiten Kriimmung einer solchen Linie eine lineare 
Funktion der Bogenlange ist. Beide Satze sind urnkehrbar. 

In einer grossen Arbeit iiber die Umhiillungsflachen von Ebenen- 
und Kugelscharen 28 ) betrachtet G. Pirondini den Schnitt einer Tan- 
gentialebene einer abwickelbaren Flache rnit der Flache selbst. Dieser 
Schnitt beriihrt die Gratlinie der abwickelbaren Flache in einem Punkt, 
und in ihm ist das Verhaltnis des Kriimmungshalbmessers des 
Schnitts zum Halbmesser der ersten Kriimmung der Gratlinie gleich 
f. 29 ) Ferner wird die Aufgabe gelost ; durch eine gegebene Kurve eine 

24) J. de math. (2) 1 (1856), p. 265. 

25) Allgem. Theorie der Kurven doppelter Krurninung. 2. Aufl. Leipzig 1898, 
p. 142. 

26) a. a. 0. p. 89. Den Satz 2) gibt 0. Bonnet, J. e c. polyt. 20 (1853), p. 170. 
S. auch Schett, Archiv Math. Phys. (3) 5 (1903), p. 4. 

27) Giorn. di mat. 26 (1888), p. 105, 115. Vgl. X. Antomari, Par. soc. math. 
Bull. 17 (1889), p. 118. 

28) Bologna, Mem. (4) 9 (1889), p. 641. 29) ibid. p. 644. 



278 HI D 5. E. v. Lilienfhal. Besondere Flachen. 

Abwickelbare so zu legeu, dass die Kurve durch Abwickelung der 
Flache auf eine Ebene in eine gegebene ebene Kurve ubergeht 80 ). 
Auch die Frage, unter welchen Bedingungeu eine mit dem Dreikant 
der Tangente, Haupt- und Binormale einer Kurve (III D 1, 2, Nr. 29) 
festverbundene Gerade eine abwickelbare Flache beschreibt, ist von 
Pirondini behandelt 31 ), und im besonderen ist der Fall untersucht, in 
dem die Gerade einer Kante des Dreikants parallel ist. Die Parallel- 
flache einer Abwickelbaren wurde von Pirondini^, die zwei gegebenen 
Flachen umschriebene Abwickelbare von A. Enneper untersucht 88 ). 

II. Weitere kiiiematisch definierfoare Flachen. 

i 
4. Cyklische Flachen. Unter einer cyklischen Flache versteht 

man eine solche, auf der eine einfach unendliche Anzahl von Kreisen 
liegt. Fur die analytisch-geometrische Behandlung der cyklischen 
Flachen ist die Methode von E. Laguerre von Wichtigkeit, bei der 
ein Kreis als Durchschnitt zweier isotroper Kegel erscheint 34 ). Die 
erste differentialgeometrische Untersuchung dieser Flachen diirfte 
A. Enneper gegeben haben, der zunachst den Satz aufstellte 35 ) : 
Schneiden sich auf einer cyklischen Flache je zwei unendlich benach- 
barte Kreise in zwei Punkten, so ist die Flache die Einhiillende einer 
einfach unendlichen Schar von Kugeln und umgekehrt. Fallen die 
Schnittpunkte in einen Punkt zusammen, so beriihrt in ihm der er- 
zeugende Kreis die Schnittpunktskurve. Jetzt ist entweder die Ebene 
des Kreises zugleich die Schmiegungsebene der Schnittpunktskurve 
oder sie enthalt die Tangente der Mittelpunktskurve der erzeugenden 
Kreise. 

Die Einhullenden einer einfach unendlichen Kugelschar bilden eine 
Hauptklasse unserer Flachen 36 ) (vgl. Ill D 3, Nr. 4, p. 113). Hier bilden 
die erzeugenden Kreise die eine Schar der Krummungslinien; langs jedes 
erzeugenden Kreises bilden die Normalen der Fl&che einen Kegel, 
dessen Spitze ($) auf der Mittelpunktskurve ((7) der Kugeln liegt, 



30) ibid. p. 647. 31) ibid. p. 645. 

32) Ann. di mat. (2) 19 (189192), p. 247. 

33) Gott. Nachr. 1869, p. 207. 

34) Paris, Bull. Soc. Philomat. 7 (1870), p. 95, 209 (III C 4). 

35) Gott. Nachr. 1866, p. 243 und ausfuhrlich: Zeitschr. Math. Phys. 14 
(1869), p. 393. 

36) G. Monge, Application d Analyse a la Geom., 5. Auflage, besorgt von 
J. Liouville, Paris 1850, p. 238, 369; A.Eibaucour, Paris, Bull. Soc. Philomat. 5 
(1868), p. 30. Vgl. L. Lecornu, J. ec. polyt. Cah. 53 (1883), p. 135; A. Pirondini, 
Bologna, Mem. (4) 9 (1889), p. 672. 



4. Cyklische Flachen. 279 

und die Entfernung dieser Spitze von den Punkten des betrachteten 
Kreises ist gleich dem zu dem letzteren gehorenden Hauptkriimmungs 
halbmesser der Flache (vgl. Nr. 9). Die Endpunkte der zur zweiten 
Schar der Kriimmungslinien gehorenden Hauptkriimmungshalbmesser 
bilden langs des betrachteten Kreises einen Kegelschnitt, der aus 
obigem Kegel durch erne zur Schmiegungsebene der Kurve (C) im 
Punkte ($) senkrechte Ebene ausgeschnitten wird. Wenn zwei unter 
den nicht kreisforrnigen Kriimmungslinien eben sind, so sind es samt- 
liche, und ihre Ebenen gehen durch eine Gerade. Diesen Ein- 
hiillenden hat Enneper noch eine besondere Arbeit gewidmet 37 ) und 
gezeigt, dass die Kriimmungslinien dieser Flachen nur dann isotherm 
(III D 3, Nr. 19) sein konnen, wenn die Mittelpunktskurve der Kugeln 
eben ist ? ferner, dass bei konstautem Kugelhalbmesser nur der 
Kreiswulst (torus) isotherme Kriimmungslinien besitzt 38 ). Die Be- 
stimmung der fraglichen Flachen mit isothermen Kriimmungslinien 
wird von Enneper auf eine Quadratur zuriickgefiihrt, wenn der Kriim- 
mungshalbrnesser der Mittelpunktskurve der Kugeln als Funktion des 
Radius der Kugeln bekannt ist 39 ), auch werden besondere Falle be- 
handelt. Die Einhiillende einer Schar von Kugeln mit demselben 
Halbmesser wird Eohrenflacne (Kanalfldche) genannt 39a ). 

Im allgenieinen schneiden sich zwei unendlich benachbarte er- 
zeugende Kreise nicht ; und man kann dann nach dem Ort der Punkte 
der Erzeugenden fragen, in denen ihre Entfernung von den Puukten 
des benachbarten Kreises ein Maximum oder Minimum besitzt 40 ). 
(Striktionslinie im Fall des Minimums, Elongationslinie im Fall des 
Maximums.) Die Bestimmung dieser Linien fiihrt Enneper auf den 
Satz, dass es irn allgemeinen vier derartige Linien auf einer cyklischen 
Flache gibt, und auf bemerkenswerte Eigenschaften dieser Linien in 
besonderen Fallen. - - Erwahnt sei noch die Enneper sche Berechnung 
der Hauptkriimmungshalbmesser einer cyklischen Flache 41 ). 

Eine von der Enneper schen verschiedene 7 mit Hiilfe der kinema- 
tischen Methode durchgefiihrte und an geometrischen Ergebnissen 
reichere Vntersuchung der cyklischen Flachen gab G. Demartres^). 
Wir erwahnen die Satze ; dass im allgemeinen auf jedem erzeugenden 

37) Gott. Nachr. 1873, p. 217. 

38) ibid. p. 225. 39) ibid. p. 229. 

39 a ) Das unter 36) zitierte Werk von Monge p. 36; S. Lie, Math. Ann. 5 
(1872), p. 179. 

40) Zeitschr. Math. Phys. 14/1869), p . 411- vg i. Q. j) ema rtres, Ann. 6c. 
norm. (3) 2 (1885), p. 151. 41) ibid. p. 402. 

42) Ann. c. norm. (3) 2 (1886), p. 123; vgl. ,,Darl>Oux" 4, p. 493. 



280 HI D 5. E. v. Lilienthal Besondere Flachen. 

Kreis zwei Punkte vorhanden sind, in denen er von einer Krummungs- 
linie, und zwei weitere Punkte, in denen er von einer Haupttangenten- 
kurve beriihrt wird 43 ). Die Ebenen zweier unendlich benachbarter 
Kreise (6r) und (6r ) schneiden sich in der Charakteristik der Ebene 
von (G). Projiziert man (6r ) senkrecht auf die Ebene von (6r), so 
liat die Projektion mit dem Kreis (6r) eine Sehne gemein, deren 
Durchschnitt mit der Charakteristik im Punkte (P) gelegen sei. Jede 
in der Ebene von (G) durcli (P) gelegte Gerade (L) sclineidet den 
Kreis (G) in zwei Punkten, die als konjugiert bezeichnet werden sollen. 
Nun gilt der Satz, dass die Tarigentialebenen einer cyklischen Flache 
in zwei konjugierten Punkten eines erzeugenden Kreises sich in einer 
Geraden schneiden, die ein einschaliges Hyperboloid beschreibt, wenn 
sich (.L) um (P) dreht 44 ). Die Normalen der Flache langs eines er 
zeugenden Kreises treffen einen Kegelschnitfc 44 ), der in zwei Gerade 
ausartet, wenn der Kreis (Gr ) init dem Kreis (6r) einen Punkt gemein 
hat 45 ). Irgend vier orthogonale Trajektorien der erzeugenden Kreise 
schneiden jeden dieser Kreise in vier Punkten mit konstantern Doppel- 
verhaltnis 46 ). 

Die Frage nach den cyklischen Flachen, auf denen die ortho- 
gonalen Trajektorien der erzeugenden Kreise geodatische Linien sind, 
fiihrt auf die Rotationsflachen und diejenigen Flachen, bei denen die 
Mittelpunktskurve der Kreise konstante Torsion (III D 1, 2, Nr. 30) 
besitzt, wahrend die Ebenen der Kreise mit den Schmiegungsebenen 
dieser Kurve zusamnienfallen, und der Halbmesser der Kreise dem 
Torsionshalbmesser dieser Kurve gleich ist 47 ). Hier schneiden zwei 
Kreise auf einer orthogonalen Trajektorie einen Bogen aus, der die- 
selbe Lange besitzt wie das entsprechende Bogenstiick der Mittel 
punktskurve der Kreise 48 ), und es gilt der Satz von S. Z^ e 48a ), dass 
die Torsion der orthogonalen Trajektorien konstant und gleich der 
Torsion der Mittelpunktskurve ist. 

Demartres belegt mit dem Namen isocyklische Fla che eine solche, 
bei der die erzeugenden Kreise isotherm sind, und findet im Besonderen, 
dass ausser den Rotationsflachen uud Kanalflachen diejenigen Einhullenden 
einer Kugelschar, deren Kriiminungslinien isotherm sind, durch die Eigen- 
schaft gekennzeichnet werden, dass, wie schon Enneper fand, die Mittel 
punktskurve eben ist, und die Kugeln selbst eine feste Kugel senk- 



43) Die in 42) zitierten Ann. p. 135. 44) ibid. p. 137. 45) ibid. p. 142. 

46) ibid. p. 150; E. Picard, Ann. ec. norm. (2) 6 (1877), p. 362. Vgl. 
A. Demoulin, Bull. sci. math. (2) 22 (1898), p. 174. 

47) Die in 42) zitierten Ann. p. 162. 48) ibid. p. 155. 
48 ) Arch. Math, og Naturv. 5 (1881), p. 332 



5. Schraubenflachen. 281 

recht schneiden, deren Mittelpunkt in der Ebeue jener Mittelpunkts 
kurve liegt 49 ). 

In einer weiteren Arbeit bestimmt Demartres die allgemeinen 
isocyklischen Fliichen 50 ). Wenn die Ebene des erzeugenden Kreises 
stets Normalebene seiner Mittelpunktskurve 1st, so sind die erzeu 
genden Kreise nur dann isotherm, wenn die Mittelpunktskurve eine 
logarithmische Spirale (III D 4, Nr. 16), der Radius proportional dem 
Bogen derselben, gemessen vom Pol ab, ist. Die orthogonalen Trajek- 
torien der Kreise sind Schraubenlinien 51 ). Ausser den Einhiillenden 
einer Kugelschar sind nur diejenigen cyklischen Flachen, deren er- 
zeugende Kreise in parallelen Ebenen liegen, durch die Eigenschaft 
ausgezeichnet, dass die Tangentialebenen langs eines erzeugenden 
Kreises einen Kegel umhullen 52 ). 

A. Lelieuvre fand, dass die Bestimmung der Kriimmungslinien 
einer cyklischen Flache auf eine Eiccati sche Gleichung oder auf 
Quadraturen fiihrt, falls die Kriinimungslinien der Flache konstant 
gegen die erzeugenden Kreise geneigt sind 53 ). 

Tiber Flachen, auf denen zwei Scharen von Kreisen liegen, vgl. 
G. Koenigs, Par. C. R. 109 (1889), p. 364. 

Zu den Einhullenden einer Kugelschar gehoren die Eotations- 
flachen 53aj ). Hier werden die Kriimmungslinien von den erzeugenden 
Kreisen den Parallelen - - und den die Rotationsachse enthaltenden 
ebenen Schnitten - - den Meridianen - - gebildet. Letztere sind zu- 
gleich geodatische Linien. Jede Normale triift die Rotationsachse. 
Dieser Treffpunkt sowie der zum Ausgangspunkt der Norrnalen ge- 
horende Kriiinmungsmittelpunkt des Meridians fallt mit je einem 
Mittelpunkt der zum Ausgangspunkt der Normale gehorenden Haupt- 
normalkrummungen zusammen. 

5. Schraubenflachen. Eine Scliraubenflddie entsteht durch 
Schraubung einer gegebenen Kurve um eine gegebene Gerade, d. h. 
durch Drehung der Kurve um die Gerade und Parallelverschiebung 
der Kurve langs der Geraden um eine Strecke, die proportional dem 
Drehungswinkel ist 54 ). Die Proportionalitatskonstante wird der Para 
meter der Schraubenflache genannt. Man kann die Schraubenflachen 

49) Die in 42) zitierten Ann., p. 176. 

50) Ann. ec. norm. (3) 4 (1887), p. 146. 

51) G. Pirondini, Bologna, Mem. (4) 9 (1889), p. 678. 

52) A. Boulanger, Nouv. Ann. (3) 11 (1892), p. 159. 

53) Paris, C. R. 118 (1894), p. 697. 

63 a ) Das unter 36) zitierte Werk von Monge p. 17. 

54) ,,Darbouoc" 1, p. 89 (IV 3, Nrr.18 21). 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 19 



282 HI D 5. R. v. Lilienthal Besondere Flachen. 

auch kennzeichnen als die bei den infinitesimalen Schraubungstrans- 
formationen des Raumes invarianten Flachen 55 ). Nehmen wir die 
Gerade zur -Achse, und sind x = v cos a, y = v sin a, Z Q die als 
Funktionen von v gedachten Koordinaten der Punkte der gegebenen 
Kurve, so sind fur <p als Drehungswinkel und g als Parameter die 
Gleichungen der allgemeinen Schraubenflache diese: 

x = v cos (a -f~ <p) = #o cos 9 2/o s ^ n Vt 
y = v sin (a -j- 90) = ?/ cos <p -|- # sin 95, 

* = *o + 09>- 
Fiihren wir a -f- 9? als neue Veranderliehe u ein, so folgt: 

(A) x = v cos u, y = v sin u, z = gu -\- f(v) 

oder auch: 

e = g arctg 

Unter den Schraubenflachen ist die gewolmliche oder flachgangige 
- von .ff. -4. Scliwarz Meusnier sche genannte (Nr. 19) ausgezeichnet, 
die durch Schraubung einer die Drehungsachse senkrecht schneidenden 
Geraden entsteht. Man kann sie auch als geradlinige Schraubenflache 
mit einer Leitebene ansehen. Hier ist f(v) = 0, wahrend bei einer 
Rotationsflache g = 0. Hingewiesen sei auf die Eohrenschraubenflache, 
die die Emhiillende einer Schar von Kugeln mit konstantem Halb- 
messer ist, deren Mittelpunkte sich auf einer Schraubenlinie befinden. 
Sie wurde von TIi. Kucn untersucht und modelliert ; wobei die Kriim- 
mungslinien zur Anschauung gebracht sind 56 ). 

Eine Ubersicht iiber die Eigenschaften der Schraubenflachen 
nebst Anfiihrung zahlreicher Einzelfalle gab M. HecKhoff**). 

Bei der Darstellung (A) werden die Fundamentalgrossen (III D 1, 2, 
Nr. 34) der Flache Funktionen von v allein, woraus sich ergibt, dass die 
orthogonalen Trajektorien der Schraubenlinien v = const, geodatische 
Linien sind, und dass die Bestimmung der Krummungslinien, Haupt- 
tangentenkurven und Minimalkurven nur Quadraturen erfordert 58 ). 
Auch die Bestimmung der geodatischen Linien der Schraubenflachen 
erfordert nur Quadraturen 58a ). Es gilt aber auch umgekehrt der Satz, 
dass, wenn die Fundamentalgrossen einer Flache nur Funktionen des einen 



55) Lie-Scheffers, Vorl. viber Differentialgleichungen mit bekannten infini 
tesimalen Transformationen, Leipzig 1891, p. 237, 246. 

56) Modelle von M. Schilling, Halle a/S., Nr. 124. 

57) Die Schraubenflachen, Bonn 1894. 

58) Das unter 55) zitierte Werk p. 260. 

68 ) Das unter 22) zitierte Werk von L. Aoust, p. 187; S. Lie, Math. Ann. 
4 (1871), p. 84; 5 (1872), p. 204; G.Pirondini, Giorn. di mat. 22 (1884), p. 289. 



5. Schraubenflachen. 283 

der beiden zur Darstellung der Flache angewandten Parameters sind, 
die Flache notwendig eine Schraubenflache ist. Beweise fiir diesen 
Satz gaben A. Enneper 69 *) und P. Stcickel 60 }. 

L. Sianchi 6r ) zeigt, dass jede Schale der Krummungsmittelpunkts- 
flache (Nr. 8) einer Schraubenflache wieder eine solche mit derselben 
Achse und demselben Parameter ist, wie sie der Ausgangsflaehe eignen. 
Betrachtet man diejenige Schar der geodatischen Linien einer Schrauben 
flache, die aus den orthogonalen Trajektorien der von den Punkten 
der erzeugenden Kurve beschriebenen Schraubenlinien besteht, so sind 
ihre Tangenten die Normalen einer Schar paralleler Flachen, die von 
Biancki Evolventen genannt werden 7 wahrend die Flache, die mit der 
gegebenen zusammen die vollstandige Kriimmungsmittelpunktsflache 
jener Evolventen bildet, als Erganzungsflache bezeichnet wird. Letz- 
tere sowie jede Evolvente ist eine Schraubenflache, welche dieselbe 
Achse und denselben Parameter besitzt, wie die Ausgangsflache 62 ). Die 
Erganzungsflache einer geradlinigen Schraubenflache ist wieder gerad- 
linig 63 ). Die beiden Schalen der Kriimmungsmittelpunktsflache einer 
gewohnlichen Schraubenflache mit den Gleichungen x = v cos u } 
y = v cos u, 2 = gu konnen durch Schraubung je einer der beiden 
durch die Gleichungen: 

+ gz + xy = 0, f x 2 = g z 

bestimmten Raumkurven vierter Ordnung erzeugt werden, die im un- 
endlich fernen Punkt der Schraubungsachse einen Doppelpunkt be- 
sitzen 64 ). Der Ort der geodatischen Kruinrnungsmittelpunkte einer 
Schar von Krummungslinien einer Schraubenflache ist wieder eine 
Schraubenflache 65 ). Betrachtet man die Schraubenflache ($ x ), die der 
Ort ist der Mittelpunkte der ersten Kriimmung der von den Punkten 
der erzeugenden Kurven einer Schraubenflache (S) beschriebenen 
Schraubenlinien", und schneidet man (/S) und (Sj) durch eine zur 
Schraubungsachse senkrechte und sie im Punkte (P) treffende Ebene, 
so ergibt sich die Schnittkurve von (S^ aus der von (S) durch eine 
Transformation mittelst reziproker radii vectores, deren Pol im Punkte 
(P) liegt, und die den Kreis mit dem Halbmesser^ ungeandert lasst 66 ). 
Cr. Pirondini G1 ~) bezeichnet mit h den kiirzesten Abstand, mit i 
den Winkel zweier Geraden (L) und (JB). Fiihrt nun (L) um (E) 



59) Gott. Nachr. 1870, p. 335. 60) Leipz. Ber. 1898, p. 1. 

61) Giorn. di mat. 17 (1879), p. 12. 

62) ibid. p. 13. 63) ibid. p. 17. 

64) ibid. p. 18. 65) ibid. p. 27. 66) ibid. p. 35. 

67) Nouv. Ann. (3) 6 (1887), p. 87. 

19* 



284 HI D 5. B. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

als Achse eine Schraubenbewegung mit dem Parameter g aus, so ent- 
steht eine abwickelbare Flache, wenn <7 = /icotg; wenn g hkgi, 
erhalt man die Flache der Binormalen der von Punkten der Geraden 
(L) beschriebenen Schraubenlinien. Ferner bestimmte 68 ) Pirondini 
die Schraubenflachen, bei denen die erzeugende Kurve stets Haupt- 
tangentenkurve der Flache, oder 69 ) isogonale Trajektorie der von den 
Punkten der Kurve beschriebenen Schraubenlinien bleibt. In einer 
friiheren Arbeit G9a ) findet Pirondini die Kurven, die bei der betrach- 
teten Schraubung stets geodatische Linien der erzeugten Flache bleiben. 
Unter ihnen sind die durch die Gleichungen: 

x = f(a) cos a, y = f(cc) sin a, z = - If 2 (a) da 

dargestellten Kurven die einzigen, die bei der betrachteten Schraubung 
zugleich orthogonale Trajektorien der von ihren Punkten beschriebenen 
Schraubenlinien bleiben 70 ). Langs einer Geodatischen gilt die als Ver- 
allgemeinerung des Clairaut schen Satzes (III D 3, Nr. 18, p. 150) anzu- 
sehende Gleichung: 

]/# 2 -f- E 2 sin i = const., 

wo i den Winkel bedeutet, unter dem die Geodatische die ortho- 
gonalen Trajektorien der Schraubenlinien schneidet, und R den senk- 
rechten Abstand des betrachteten Punktes von der Schraubungs- 
achse 70a ). Auf der gewohnlichen Schraubenflache liegt eine unend- 
liche Anzahl von Schraubenlinien, die die geraden Erzeugenden nicht 
senkrecht schneiden und sich auf Kreiszylindern befinden, welche die 
Achse der gegebenen Schraubenflache enthalten 71 ). 

E. Picard zeigte 72 ), dass die Schraubenflachen die einzigen Flachen 
sind, deren Normalen einem linearen Komplex angehoren. 

6. Translationsflachen. (Vgl. Ill D 6 a, Nr. 26.) Mit diesem 
Namen belegte S. Lie diejenigen Flachen, die sich durch Gleichungen 
von der Form: ,- 

= /iW + ^iW, y = ft W + ? 2 W, = / > 8 M + <PsW 
darstellen lassen 73 ). Betrachtet man neben dem festen Koordinaten- 



68) ibid. p. 90. 69) ibid. p. 95. 

69 a ) Giorn di mat. 22 (1884), p. 283. 

70) ibid. p. 287; Nouv. Ann. (3) 6 (1887), p. 96. 
70 a ) Giorn. di mat. 22 (1884), p. 286. 

71) Nouv. Ann. (3) 6 (1887), p. 94. 

72) Ann. dc. norm. (2) 6. (1877), p. 360. 

73) Siehe die zusammenfassende Darstellung von S. Lie in Leipz. Ber. 44 
(1892), p. 448 und 559, sowie G. Scheffers, Einfiihrung in die Theorie der Flachen, 



6. Translationsflachen. 285 

system ein bewegliches (jj, rj, g), dessen Achsen denen des festen parallel 
sind, so entsteht die Flache sowohl durch Bewegung der Kurve mit 
den Gleichungen 

% = <Pi 0); n = 9> 2 ( v ), = 9s ( v \ 

wenn der Anfangspunkt des beweglichen Systems die Kurve mit 
den Gleichungen: 

x =fi M, y = f a (u), a = /g (u) 

durchlauft, als durch Bewegung der Kurve mit den Gleichungen: 
=== /i ( w ) u - s - w -; wenn der Anfangspunkt des beweglichen Systems 
die Kurve mit den Gleichungen: x = ^ (w) u. s. w. durchlauft 74 ). 
Sind w und v zwei zulassige Werte von u und v, denen der Punkt 
(P ) entspricht, so hat fur diesen Punkt als Anfangspunkt des |, 77, g- 
Systems die Kurve u = u die Gleichungen: 

i = 9iW <PiK), i7 = %W 9> 2 K)> & = % W % K)- 
Durchlauft (P ) die Kurve v = v 0; so entsteht ebenfalls die betrach- 
tete Flache. Sie kann also durch Entlanggleiten jeder Parameterlinie 
der einen Schar langs jeder Parameterlinie der anderen Schar erzeugt 
werden. Als geometrische Grundeigenschaft 75 ) unserer Flachen ist 
die zu betrachten, dass sie den Ort der Mittelpunkte aller Sehnen 
bildet, welche die Punkte der beiden Kurven -- Grundkurven mit 
den Gleichungen: 



verbinden. Die Parameterlinien unserer Flachen sind konjugiert 76 ) und 
bilden ein aquidistantes System 77 ) [III D 3, Nr.40]. Lassen sich die 
Punkte der beiden Grundkurven zu zweien so einander zuordnen 7 dass in 
entsprechenden Punkten die Tangenten der Kurven parallel sind 7 so 
besitzen die Parameterlinien der Translationsflache eine gemeinsame 
Einhiillende, und diese ist eine Haupttangentenkurve der Flache 78 ). 

Leipzig 1902, p. 188. Vor Lie wurden die Translationsflachen betrachtet von 
Monge in dem unter 36) zitierten Werk p. Ill, und von K. Peterson, der sie 
Verschiebungsfldchen nennt. (Uber Kurven und Flachen, Leipzig 1868, p. 68.) 
Die ersten Arbeiten von Lie iiber die fraglichen Flachen finden sich im Arch. 
for Math, og Naturv. 2 (1877) p. 157 und in den Math. Annal. 14 (1879) p. 331. 

74) ,,Darboux" 1, p. 98. 

75) Lie a. a. 0. p. 449. 76) ibid. p. 449. 

77) ,,Darboux" 1, p. 99. 

78) Lie a. a. 0. p. 451. Lie-Scheffers, Geometric der Beriihrungstrans- 
formationen, Leipzig 1896, p. 362. 



286 in D 5. E. v. Lilienthal Besondere Flachen. 

Sind die Punkte der Grundkurven so einander zugeordnet, dass die 
Annahme u = v jedesmal auf Tangenten fiihrt, die sicli schneiden, so 
ist die Translationsflache in eine Abwickelbare eingeschrieben, deren 
Tangentialebenen parallel sind den durch den Koordinatenanfangs- 
punkt gehenden Tangentialebenen der Translationsflache mit den 
Gleichungen: 

= /i W <PI ( v \ y = f* M 9>a 0)> * = & W % O)- 79 ) 

Jede Translationsflache ist eine Integralflache einer partiellen 
Differentialgleichung (II A 5j Nr. 43) von der Form: 

E(p, q) r + S(p, q) s + T(p, q) t = 0, 

jedoch ist nicht umgekehrt jede Integralflache einer solchen Gleichung 
eine Translationsflache 80 ). Man kommt auf die fragliche Differential- 
gleichung auch durch die Aufgabe, alle Flachen zu bestimmen, die 
dem Komplex der eine gegebene, in der unendlich fernen Ebene 
liegende, Kurve schneidenden Geraden konjugiert sind und kann hier 
die Gleichungen der gesuchten Flachen, die entweder Abwickelbare 
oder Translationsflachen sind, ohne Integration bestimmen 81 ). 

Von den Flachen, die in mehrfacher Weise als Translationsflachen 
betrachtet werden konnen, hat Lie zuerst solche bestimnit, die un 
endlich viele Translationserzeugungen gestatten 82 ). Treffen fur jeden 
Punkt einer Flache die beiden Haupttangenten die unendlich ferae 
Ebene in zwei Punkten, die hinsichtlich eines in dieser Ebene liegen- 
den Kegelschnitts konjugiert sind, so hat man es mit einer Trans 
lationsflache zu tun. Ist der Kegelschnitt im besondern der imaginare 
Kugelkreis, so ergibt sich eine Minimalflache (VI). Sollen jene Punkte 
hinsichtlich unendlich vieler Kegelschnitte in jener Ebene konjugiert 
sein, so miissen die Kegelschnitte em Biischel bilden. Falls die vier 
Grundpunkte des Biischels getrennt liegen, erh alt man die Gleichungs- 
form: 
(a) Ae mx + Be** -f Ce m2 + D = 0. 

Von den in den iibrigen Fallen auftretenden Flachen erwahnen wir 
die gewohnliche Schraubenflache, die ScherVsche Minimalflache (Nr. 20) 
und die Cayley sche Linienflache (III C 6). 

Die Flachen mit vierfacher Translationserzeugung bestimmte Lie 



79) Lie a. a. 0. p. 454. 80) Lie a. a. 0. p. 455. 

81) Lie-Scheffers, Geom. der Beruhrungstransf., p. 376, 381. 

82) Arch. Math, og Naturv. 3 (1878), p. 477. Vgl. E. Kummer, Inaug.- 
Dissert., Leipzig 1894 (mit Abbildungen der ScherVschen und Cayley schen Flache); 
Lie-Scheffers, Geom. der Beruhrungstransf., p. 364, 410. 



7. Spiralflijchen. 287 

auf zwei Wegen 83 ), von denen der spatere 83a ) das AbeTsche Theorem 
(II B 2, Nr. 41 f.) zu Hilfe nimmt. Hier findet sich namentlich die 
Gleichungsform : 

(b) Ae*+* -f B& + -f C<?+y -f Le* + M & + Ne* = 0. 

Die durch die Gleichungen (a) und (b) gekennzeichneten Flachen ge- 
horen zu denjenigen Translationsflachen, die sich durch logarithmische 
Abbildung aus den von F.Klein und S. Lie ssb ] betrachteten, durch 
vertauschbare projektive Transformationen in sich selbst iibergehenden, 
Flachen -- , f W- Flachen" herleiten lassen 830 ). 

Lie zeigt in Erweiterung seiner spater (Nr. 27) zu besprechen- 
den Untersuchungen iiber Minimalflachen, dass es eine diskrete An- 
zahl von Translationsflachen nait Grundkurven, deren Tangential- 
richtungen eine und dieselbe irreduzible (I B 1 b ; Nr. 5) Gleichung 

f(dx, dy, dz) = 

befriedigen ; gibt ? die einer gegebenen Abwickelbaren langs einer ge- 
gebenen Kurve eingeschrieben werden konnen 84 ). Diese Flachen 
werden durch Quadraturen gefunden. Weiter untersucht Lie die Auf- 
gabe ; eine derartige algebraische Translationsflache in eine algebraische 
Abwickelbare einzuschreiben 85 ) und lost das Problem fiir die Gleichungs 
form der Flache: 2 = f(x) -f- 9^(^)- 86 ) 

7. Spiralflachen. Die fraglichen Flachen sind zuerst betrachtet 
von K. Peterson* 1 *), der sie als Flachen hinstellt, , ; die wir nur in 
einer anderen Stellung zu betrachten haben, um sie bei ungeanderter 
Form in anderem Massstabe zu haben". Von diesem Gesichtspunkt 
aus erscheinen die fraglichen Flachen als die Integralflachen der 
partiellen pifferentialgleichung: 

cf I y\ 8f I x\ df 

-di ( x ~ I r) + -jy (y + T) + -A z = 

und besitzen die endliche Gleichung: 

83) Der erste Arch. Math, og Naturv. 7 (1882), p. 155. 

83 a ) Par. C. R. 114 (1892), p. 334; Leipz. Ber. 48 (1896), p. 141. Vgl. 
G. Wiegner, Inaug.-Dissert. , Leipzig 1893 (mit Abbildungen von Modellen); 
Lie-Scheffers, Geom. der Beriihrungstransf. p. 404, 407. 

83 b ) Par. C. R. 70 (1870), p. 1222, 1275; Math. Ann. 4 (1871), p. 83; Lie- 
Engel, Theorie der Transformationsgruppen 3 (1893), p. 193. Vgl. S. Lie, Arch. 
Math, og Naturv. 3 (1878), p. 490. 

83 c ) Lie-Sclieffers, Geom. der Beriihrungstransf., p. 356. 

84) Leipz. Ber. 44 (1892), p. 459. 85) ibid. p. 461, 468. 

86) ibid. p. 559; Arch. Math, og Naturv. 4 (1879), p. 334. 

87) tiber Kurven und Flachen, Leipzig 1868, p. 75. Vgl. P. Stdckel, Leipz. 
Ber. 1898, p. 15. 



288 HI D 5. B. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

log z = k arctg -| -f f (log }/z 2 + f k arctg 

fur k als willkurliche Konstante und f als willkiirliclie Funktion. 

M. Levy ss ) kommt auf die Spiralflachen, indem er eine ebene 
Kurve betrachtet, die sich um eine in ihrer Ebene gelegene Gerade 
dreht und sich dabei so andert, dass sie sich stets ahnlich bleibt hin- 
sichtlich eines auf der Geraden gelegenen Punktes. So erhalt er ? 
wenn die Gerade mit der -Achse zusainmenfallt, die Gleichung: 



n arctg = ( 

fur n als Konstante und <p als willkurliche Funktion. 

Bei S. Lie treten die Spiralflachen als Flachen auf, die bei einer 
infinites! malen Spiraltransformation des Raumes, d. h. einer solchen, 
die aus einer Drehung um eine Achse und einer Ahnlichkeitsformation 
von einem Punkt der Achse aus zusammengesetzt ist, invariant bleiben 89 ). 
Bei G. Darboux fiihrt die Rotation mit der konstanten Winkelgeschwin- 
digkeit r und die gleichzeitige Ahnlichkeitstransformation mit dem 
konstanten Modul h einer Kurve, deren Koordinaten x = r Q cos o , 
y Q = r Q sin o> , 2 sind, auf die Flachengleichungen: 

x = r e? li cos (co -f- r O> V = r u eht s ^ n (^o 4~ *"0? z z ^i 
wo t als veranderlich aufzufassen ist 90 ). P. Stdckel gibt bei der Be- 
antwortung der Frage, unter welchen Umstanden die allgemeine ana- 
lytische Spiralflache reell ist, oder algebraisch ist, der Gleichung 
unserer Flachen die Form: 

) 




fiir SI als willkurliche Funktion 91 ). 

Auch der folgende Weg fuhrt auf die Spiralflachen. Gegeben 
sei eine Kurve, ein Punkt (P) und eine ihn enthaltende Gerade (L). 
Man lasse nun jeden Punkt der Kurve eine isogonale Trajektorie der 
Erzeugenden desjenigen den Punkt enthaltenden Kreiskegels beschreiben, 
dessen Achse die Gerade (L\ dessen Mittelpunkt der Punkt (P) ist, 
jedoch so, dass der radius vector der senkrechten Projektion jedes 
Kurvenpunktes auf eine zu (L) senkrechte Ebene sich mit konstanter 

88) Paris, C. R. 87 (1878), p. 288. 

89) Lie-Sclieffers, Vorl. iiber Differentialgleichungen mit bekannten infini- 
tesimalen Transformationen, Leipzig 1891, p. 243, 260, woselbst Litteratur; Lie- 
Scheffers, Geometric der Beruhrungstransformationen, Leipzig 1896, p. 162. 

90) ,,Darl>oux" 1, p. 108. 

91) Leipz. Ber. 1898, p. 17. 



8. Erklarungen. 289 

Winkelgeschwindigkeit um (Z) bewegt. Eine weitere Erzeugung der 
Spiralflachen gab A. Demoulin 9la: ). 

Nehmen wir in den Darboux schen Gleichungen die Grossen r , ra , Z Q 
als Funktionen der Veranderlichen -9-, so erhalt das Quadrat des Linien- 
elements der Flache die Form: 

ds 2 = # ht (Ad? + 2Bdtd& -f Cdtf), 

wo A, B, C nur von & abhangen 92 ). Daher ist es durch eine Quadratur 
moglich, die orthogonalen Trajektorien der auf der Flache liegenden 
Kegelloxodromen (III D 4, Nr. 34) # = const, zu bestimmen, und 
durch eine weitere Quadratur den Ausdruck 

ds* = e* v (du* -f U 2 dv*} 

zu erhalten, wo U nur von u abhangt. Mit Hiilfe ahnlicher Eigen- 
schaften der Fundamentalgrossen zweiter Ordnung zeigt man den 
auch aus der allgemeinen Theorie der infinitesimalen Transformationen 
(II A 6) sich ergebenden Satz, dass die Kriimmungslinien, die Haupt- 
tangeutenkurven und die Minimalkurven einer Spiralflache sich durch 
Quadraturen bestimmen lassen 93 ). Die Auffindung der geodatischen 
Linien der Spiralflachen fuhrte S. Lie 93 *} und spater G.Darboux auf 
die Integration einer Differentialgleichung erster Ordnung zuriick 94 ); die 
Bestimmung des Linienelements derjenigen Spiralflachen, auf denen 
die Kurven, langs welcher sich das Gauss sche Kriimmungsmass der 
Flache nicht andert, geodatisch parallel sind, hat L. Raffy ausgefiihrt 95 ). 

v III. Krummungsmittelpimktsflachen. 

8. Erklarungen. Den Ort der Mittelpunkte der Hauptnormal- 
krummungen einer Plache pflegt man die Kriimmungsmittelpunktsflache 
oder Zentraflache oder Evolute der gegebenen Flache zu nennen. Da 
ein Flachenpunkt zwei Hauptkrummungsmittelpunkte bestimnit, muss 
die Kriimmungsmittelpunktsflache aus zwei Schalen bestehen. Die- 
selben bilden den Orfc der Gratlinien der abwickelbaren Normalen- 
flachen, welche durch die Einzelkurven der beiden Scharen der Kriim- 
mungslinien der gegebenen Flache gehen. Die Normalen der Aus- 
gangsflache beriihren somit die Krummungsmittelpunktsflache, d. h. mit 
anderen Worten, die letztere ist die Brennflache (Nr. 30; III D 6 a, Nr. 13) 
des Norm alensy stems der ersteren. Bezeichnen wir die beiden Haupt- 

91 a ) Par. soc. math. Bull. 23 (1895), p. 203. 

92) ,,Darloux" 1, p. 109, 3, p. 73. 

93) Das erste unter 89) zitierte Werk, p. 261. 

93 a ) Math. Ann. 5 (1872), p. 204. 94) ,,Darloux" 3, p. 83. 

95) Par. soc. math. Bull. 20 (1892), p. 22. 



290 III D 5. R. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

kriimmungshalbmesser der gegebenen Flache mit R t und R 2 , die 
Richtungskosinus ihrer Normalen mit X, Y, Z, so ist die zu R L 
gehorende Schale durch die Gleichungen: 



die zu R 2 gehorende durch die Grleichungen: 

x"-. = x + R^X, y"- = tj + R 2 Y, z" = e -f R 2 Z 
gegeben 96 ). Hier tritt nun zunachst die Frage auf, unter welchen 
Umstanden eine Schale der Kriimmungsmittelpunktsflache in eine 
Kurve ausartet. 

9. Die eine Schale der Krummungsmittelpunktsflache artet in 
eine Kurve aus. Artet eine Schale der Krummungsmittelpunktsflache 
in eine Kurve aus, so ist die Normalkrummung jeder Einzelkurve in 
der zugehorigen Schar von Kriimmungslinien der Ausgangsflache kon- 
stant. Diese Kriimmungslinien sind Kreise. Die Ausgangsflache ist 
die Einhiillende einer Schar von Kugeln, deren Mittelpunkte auf einer 
Kurve liegen (Nr. 4). Bezeichnet s die Bogenlange dieser Kurve, und 
ist R eine beliebig gewahlte Funktion von s, so trage man auf jeder 

Tangente der Kurve vom Beriihrungspunkte aus die Strecke R ~ 

ds 
ab und wahle den erhaltenen Endpunkt der Strecke zum Mittelpunkte 

eines Kreises, dessen Ebene senkrecht zur Strecke, dessen Radius 
gleich Ryl KjJ ist. Die fraglichen Kreise bilden eine Flache, 

fur welche die eine Schale der Krummungsmittelpunktsflache durch 
die gewahlte Kurve vertreten wird 97 ). Hierher gehoren die von 
S. Finsterwalder modellierten Flachen , auf denen die zweite Schar 
der Kriimmungslinien aus spharischen Kurven besteht 98 ). 

10. Beide Schalen der Rrummungsmittelpunktsflache arten in 
Kurven aus. Dupin sche Cyklide. Besonderes Interesse beansprucht 
der Fall, in dem beide Schalen der Krummungsmittelpunktsflache in 
Kurven ausarten. Ch. Duping zeigte mittels geomeirischer Betrach- 

96) Die Kriimmungsmittelpunktsflachen durften zuerst von G. Monge be- 
trachtet sein; s. das unter 36) zitierte Werk p. 134. Die hier p. 137 befindliche 
Behauptung, dass der Schnittlinie der beiden Schalen einer Krummungsmittel 
punktsflache auf der Ausgangsflache eine Kreispunktslinie entspricht, ist von 
E. E. Kummer berichtigt, Berlin. Monatsber. 1862, p. 426. Uber die allgemeine 
Theorie der Krummungsmittelpunktsflachen vgl. ,,Darboux" 3, p. 334, ,,Bianchi", 
p. 234; v. Lilienthal, Math. Ann. 30 (1887), p. 1 und 38 (1891), p. 450. 

97) G. Monge hat dieser Flache und im besonderen ihrer Differential- 
gleichtmg die Kapitel 22 und 26 der Application gewidmet. 

98) Modelle von M. Schilling, Halle a/S., Nr. 8688. 

99) Applications de Geometric et de Mecanique, Paris 1822, p. 200. 



9. Ausartung in eine Kurve. 10. Beide Schalen arten in Kurven aus. 291 

tungen ; dass hier die Ausgangsflache die Einhiillende einer Scliar von 
Kugeln ist, die samtlich drei feste Kugeln beriihren, ferner, dass die 
fraglichen beiden Kurven zwei Fokalkegelschnitte sind, d. h. solehe, 
von denen jeder der Ort der Spitzen aller Kreiskegel ist, die durch 
den anderen gehen (III C 4). Man hat die in Rede stehende Flache 
die Dupin sche Cyldide genannt 100 ). 

Unter ihren Formen ist die einfachste der sogenannte ,,Kreis- 
wulst", d. h. die Umdrehungsnache eines Kreises um eine in seiner 
Ebene gelegene Achse 101 ). 

J. Liouville bewies 102 ) mit Hiilfe der Eigenschaften der Trans 
formation durch reziproke Radien, dass die Krummungslinien der 
Dupin schen Cyklide aus lauter Kreisen bestehen. Es mogen die drei 
festen Kugeln sich in den beiden Punkten P^ und P 2 schneiden. 
Macht man den ersteren zum Pol einer solchen Transformation , so 
gehen jene Kugeln in drei Ebenen fiber, und die Cyklide wird in 
einen Kreiskegel umgewandelt, dessen Spitze der dem Punkte P 2 ent- 
sprechende Punkt ist. 

A. Mannheim zeigte 103 ), dass man eine Dupin sche Cyklide durch 
die Transformation mittels reziproker Radien in einen Kreiswulst 
verwandeln kann, wenn der Pol der Transformation auf einem die 
drei festen Kugeln senkrecht schneidenden Kreise liegt, dessen Ebene 
die Mittelpunkte der drei Kugeln enthalt. Aus den Eigenschaften 
des Kreiswulstes leitet Mannheim solehe der Cyklide her und findet 
u. a., dass die beiden auf der Flache liegenden Kreisscharen von zwei 
Ebenenbtischeln ausgeschnitten werden, deren Achsen zu einander senk 
recht sind. - - Die samtlichen Dupin schen Cykliden, deren Normalen 
durch dieselben beiden Fokalkegelschnitte gehen, bilden eine Schar 
von Parallelflachen. Eine anschauliche Erzeugung der fraglichen 
Cykliden gab W. Roberts 10 *). Er betrachtet zunachst eine besondere 



100) Modelle von M. Schilling, Halle a/S. , Nr. 7985, modelliert von 
P. Vogel, E.E.Kummer und S. Finsterwalder. Vgl. E. Liebheit, Inaug.- Dissert. 
Halle a/S. 1886; F.Klein, Einleitung in die hohere Geom., autogr. Vorl. 1, 
Gottingen 1893, p. 111. 

101) Vgl. die Artikel von Godart, Nombel, Dyrion, G. Gerono in Nouv. 
Ann. (2) 4 (1865). Die fragliche Flache wird von E. Greve spirische Oberfldche 
genannt, Inaug. Dissert. Gottingen (1875), wo die Schnitte der Flache mit 
Ebenen untersucht sind. 

102) J. de math. (1) 12 (1847), p. 282. 

103) Nouv. Ann. (1) 19 (1860), p. 67. Vgl. G. Darboux, Sur une classe 
remarquable etc., Paris 1873, p. 242. 

104) Paris, C. R. 53 (1861), p. 799. Vgl. die Laguerre sche Erzeugung der 
Cyklide, Par. Soc. Philomat. Bull. 7 (1870), p. 209. 



292 HI D 5. E. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

Cyklide. Man nehme in einer Ebene (E) zwei sich schneidende 
Kreise K und K 2 mit demselben Halbmesser (V) und den Mittel- 
punkten C, und C 2 . Vom Mittelpunkt, der Strecke C,C 2 aus ziehe 
man eine Gerade (L), welche J^ und JT 8 in den auf derselben Seite 
der Strecke C^ gelegenen Punkten P 1 und P 2 schneiden moge. 
Uber der Strecke P 1 P 9 als Durchmesser beschreibe man den 
Kreis K, dessen Ebene senkrecht zur Ebene der Kreise K i} K 2 ist. 
Der Ort der Kreise K fur alle Richtungen der Geraden (L) ist die 
fragliche Cyklide. Die Darstellung der Koordinaten dieser Flache mit 
Hiilfe der beiden Hauptkriimmungshalbmesser als Parametern ist von 
Strebor gegeben 105 ). Die von den Normaien der Flache getroffene 
Fokalellipse wird im betrachteten Fall von dem Schnittpunkt (M) 
der Geraden QP, und (7 2 P 2 beschrieben. Um eine Parallelflache 
unserer Flache zu erhalten, trage man von P t und P 3 aus nach (Jf ) 
hin eine willkurlich gewahlte Strecke h ab. Gelangt man so zu den 
Punkten P/ und P 2 und beschreibt fiber P/P/ als Durchmesser wie 
vorhin eiiien zur Ebene der Kreise K lf K 2 senkrechten Kreis, so ist 
der Ort des letzteren die verlangte Flache. Die Punkte P/ und P 2 
bewegen sich auf Kreisen jK"/ und K 2 , die mit r -f h und r h als 
Radien um die Punkte P i und P 2 beschrieben sind. Die Beinerkung, 
dass die Linie P/P 2 stets durch einen Ahnlichkeitspunkt der Kreise 
KI und K 2 geht 7 fiihrt zu der folgenden von A. Cayley m ] und 
E. Catalan 101 } angegebenen Erzeugung der ZtopWschen Cyklide. Man 
nehme in derselben Ebene zwei Kreise und lege durch einen Ahn 
lichkeitspunkt derselben eine Gerade, die den einen Kreis im Punkte 
PI, den anderen im Punkte P 2 schneide, wobei die Punkte P/ und 
P 2 so gewahlt werden mussen, dass in ihnen die Kreistangenten nicht 
parallel sind. Der iiber P/P/ als Durchmesser beschriebene und 
senkrecht zur Ebene der Grundkreise stehende Kreis erzeugt die ver 
langte Flache. Sie ist von der vierten Ordnung. Ersetzt man den 
zweiten der beiden Kreise durch eine Gerade (L), so geht der innere 
Ahnlichkeitspunkt in den Punkt (0) iiber , in dem die vom Mittel 
punkt des ersten Kreises aus auf die Gerade (L) gefallte Senkrechte 
diesen Kreis schneidet. Jede durch (0) gelegte Gerade trifft den 
Kreis in einem Punkt P x und die Gerade (L} in einem Punkt P 2 . 
Der fiber der Strecke P X P 2 als Durchmesser beschriebene, senkrecht 
zur Zeichenebene stehende, Kreis erzeugt eine Flache dritter Ordnung, 

105) Nouv. Ann. (2) 1 (1862), p. 170; (2) 4 (1865), p. 169. Strebor ist Pseu 
donym fur W. Roberts. 

106) Quarterly Journ. of Math. 12 (1873), p. 148 = Papers 9, p. 64. 

107) Nouv. Corresp. Math. 6 (1880), p. 439. 



11. Die allgemeine Krurnmungsmittelpunktsflache. 293 

die sogenannte parabolische CyUide, deren Krummungsmittelpunksflache 
durch zwei Fokalparabeln vertreten wird 108 ). Je nachdem bei der 
Cayley sch&a. Konstruktion der eine Kreis innerhalb oder ausserhalb 
des anderen liegt, oder den letzteren schneidet, hat man es mit der 
Ring-, der Spindel- oder der Horncyldide zu thun. Ebenso ergibt sich 
die parabolische HorncyUide oder die parabolische Spindelcyldide, je nach- 
dem die Gerade (L) den zu Grande gelegten Kreis schneidet oder 
nicht. Die unter 10 ) zitierten Modelle bringen diese Falle zur An- 
schauung. 

In einer Arbeit von J. C. Maxwell 1 ) befindet sich die folgende 
Konstruktion der Dwpm schen Cyklide. Man stelle eine Ellipse durch 
die Gleichungen dar: 

x l = a cos a, y^ = ]/a 2 e 2 sin K, e t = 0, 
dann sind die Gleichungen ihrer Fokalhyperbel: 



1st P ein^Punkt der Ellipse, Q ein Punkt der Hyperbel, so hat 
die Strecke PQ die Masszahl ^ e cos a. Bezeichnet x eine Kon- 

COS i3 

stante, und tragt man auf PQ von P aus die Strecke PE = x ecosa 
oder von Q aus die Strecke ^~ x ab ; so beschreibt der Punkt E 

eine Dupin sche Cyklide. Letztere erscheint hier als Einhiillende jeder 
der beiden durch die Gleichungen: 

(x - xtf + (y- y,Y + z* 



(x - x^ + f + ( 8 - ^ - ( - J 
dargestellten Kugelscharen 110 ). 

11. Allgemeine Krummungsmittelpunktsnache. Sehen wir von 
dem Fall ab, in dem die betrachtete Schale der Krummungsmittel 
punktsnache in eine Kurve ausartet, so gelten die folgenden allgemeinen 
Satze, bei deren Mitteilung wir die Krummungslinien der Ausgangs- 
flache in eine erste, zu E 1 gehorende und eine eweite, zu E 2 geltorende 
Schar teilen und die durch die erste Schar bestimmte Schale der 
Krummungsmittelpunktsnache ins Auge fassen. 1) Die Normalen der 
Schale sind den Tangenten der ersten Schar von Krummungslinien 
der Ausgangsflache parallel. Infolge dessen scheinen sich die beiden 
Schalen einer Krummungsmittelpunktsnache ; von einem Punkt einer 

108) A. Cayley, 106 ) Papers 9, p. 73. 

109) Quarterly Journ. of Math. 34 (1867) = Papers 2, p. 144. 

110) ,,Darl>oux" 2, p. 268. Dupin, De veloppements, p. 18. 



294 HI D 5. R. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

gemeinsamen Tangente aus gesehen, senkrecht zu schneiden U1 ). 
2) Den Kriimmungslinien der ersten Schar auf der Ausgangsflache ent 
sprechen auf der Schale der Krumnmngsmittelpunktsflache geodatische 
Linien 112 ), deren Tangenten die Normalen der Ausgangsflache sind. Den 
Krummungslinien der zweiten Schar entsprechen auf der Schale die 
jenen geodatischen Linien konjugierten Kurven, und ihre Tangenten 113 ) 
sind die Krumrnungsachsen [III D 1, 2, p. 74] der Krummungslinien der 
ersten Schar auf der Ausgangsflache. 3) Die orthogonalen Trajektorien 
jener geodatischen Linien entsprechen den Kurven R t = const, auf 
der Ausgangsflache 114 ). Die geodatische Kriimmung dieser orthogo 
nalen Trajektorien ist -~ : p-- 115 ) Der geodatische Kriimmungsmittel- 

i ., JA/-I 

punkt ist also der dem betrachteten Punkt auf der ersten Schale ent- 
sprechende Punkt der zweiten Schale. Bei den abwickelbaren Flachen 
besteht die Krummungsinittelpunktsflache nur aus einer Schale, die 
wiederum abwickelbar ist. Hier sind die fraglichen Trajektorien geo 
datische Linien. 4) Es sei P der betrachtete Punkt der Ausgangs 
flache, Si die betrachtete Schale, und auf ihr M l der P entsprechende 
Punkt. Die Krummungsach.se der P durchziehenden Krummungslinie 

der zweiten Schar schneidet die zu M gehorende Normale von S 1 

(It \ 
1 - - ~ j ist, wo 

K 2 den geodatischen Kriimmungsradius der gedachten Krummungs 
linie bedeutet. Bestimmt man die Kurve, langs derer S l von dem 
Zylinder beruhrt wird, dessen Erzeugende parallel der Normalen 
der Ausgangsflache in P sind, und projiziert diese Kurve senkrecht 
auf die in P beriihrende Tangentialebene, so erweist sich jener Ab- 
stand als dem Krummungshalbmesser der Projektionskurve in P 
gleich 116 ). 5) Die Flache S besitzt ihrerseits eine Kriimmungsmittel- 
punktsflache, deren beide Schalen mit $/ und S/ bezeichnet seien. 
Die durch M^ gehende Normale von ^ beruhre S t in M^ und $/ 
in MI . Die zweite Schale der Krummungsmittelp unktsflache der 
Ausgangsflache werde mit S a , der auf ihr dem Punkte P entsprechende 
Punkt mit M 2 bezeichnet. Ihre durch M z gehende Normale wird 
von den in Jf 1 / und Mj" beriihrenden Tangentialebenen der Flachen 



111) Das unter 36) zitierte Werk von G. Monge, p. 136. 

112) ibid. p. 137. 113) A. Mannheim, Paris, C. R. 74 (1872), p. 460. 

114) J. Weingarten, J. f. Math. 69 (1861), p. 382. 

115) U. Vim, Firenze, Soc. it. Sc. Mem. (2) 2 (1869), p. 12. Vgl. ,,Bianchi", 
p. 239. 

116) A. Mannheim, Paris, C. E. 79 (1874), p. 1328. Vgl. G. H. Halphen, 
ibid. 80 (1875), p. 116. 



11. Die allgemeine Krummungsmittelpunktsflacke. 295 

Si und Si in zwei Punkten N 2 und N 2 " geschnitten. Eine die 
Ausgangsflache im Punkte P und zwar in der zweiten Ordnung be- 
riihrende Flache besitzt eine Kriimniungsmittelpunktsflache, deren 
Schalen die Flachen S t und S 2 in den Punkten MI und M 2 in der 
ersten Ordnung beruhren, sodass fur sie die Strecken M^M^ , M V M" 
neue Langen, und die Geraden M^ N 2 und Mf N 2 " neue Lagen er- 
halten. A. Mannheim 111 ) zeigte synthetisch und nach ihm A. Bibau- 
cour 118 ) analytisch, dass fiir alle die Ausgangsflache in P in der 
zweiten Ordnung beriihrenden Flachen die Geraden M^ N 2 und Ttf/ JV/ , 
sowie die analog zu erhaltenden Geraden M 2 N und M^ N^ auf 
einem Paraboloid - - dem sogenannten Paraboloid der acht Geraden 
- liegen, welchem ausserdem die Normalen der Flachen ^ und S 2 
in MI und M 2 und die dem Punkte entsprechenden Kriimmungsachsen 
der Krummungslinien der Ausgangsflache angehoren. Bezeichnen K 
und K 2 die geodatischen Kriimmungsradien dieser Krumniungslinien, 
und betrachtet man P als den Anfangspunkt eines Koordinatensystems 7 
dessen w-Achse mit der Tangente der zu E 1} dessen v-Achse mit der 
Tangente der zu B% gehorenden Kruinmungslinie ; und dessen w-Achse 
mit der Normalen der Ausgangsflache zusammenfallt, so erhalt die 
Gleichung jenes Paraboloids die Form: 



- w 



Sie zeigt, dass auch die Yerbindungslinie der geodatischen Kriim- 
mungsmittelpunkte der Krummungslinien der Ausgangsflache auf 
dem Paraboloid liegt 119 ). Eine andere, von kinematischen Gesichts- 
punkten ausgehende Herleitung des fraglichen Paraboloids gab Mann 
heim in dem Werk ;? Principes et developpements de geometric cine- 
matique", p. 224. (Vgl. E. v. Lilienthal, Jahresb. der deutschen Matheni.- 
Ver. 11 (1902), p. 44.) 

Des weiteren sind anzufiihren die Bibaucour schen Siitze 120 ): 
1) Damit sich die Krummungslinien auf beiden Schalen der Krum- 
mungsmittelpunktsflache entsprechen, muss E J? 2 konstant sein. 
E. Beltrami 121 ) zeigte, dass ; wenn man diese Konstante mit k be- 
zeichnet, hier beide Schalen dasselbe konstante Kriimmungsmass ~ 

K 

besitzen. 2) Sollen auf beiden Schalen die Krummungslinien je einem 

konjugierten System auf der Ausgangsflache entsprechen, so muss - 

* 
konstant sein. 3) Sollen konjugierten Systemen auf der einen Schale 

117) Paris, C. E. 74 (1872), p. 458. 118) ibid. p. 1399. 

119) A. Mannheim, Paris, C. R. 84 (1877), p. 646. 

120) Paris, C. R. 74 (1872), p. 1399. 121) Giorn. di Mat. 3 (1865), p. 40. 



296 m D 5. E, v. Lilienthal Besondere Flachen. 

stets konjugierte Systeme auf der anderen entsprechen, so muss 
zwischen R^ und JR 2 eine Relation bestehen (Nr. 17). Insbesondere 
entsprechen sich alsdann auf beiden Schalen die Haupttangentenkurven, 
und, falls das Produkt R 1 R 2 konstant ist, entsprechen diesen Haupt- 
tangentenkurven auf der Ausgangsflache ebenfalls Haupttangentenkurven. 
Sind y und if> die Winkel, welche zwei durch einen Punkt der 
Ausgangsflache gehende Tangenten mit der zu R { gehorenden Kriim- 
mungslinie bilden, so entsprechen ihnen, falls zwischen R^_ und R 2 eine 
Relation besteht ; auf beiden Schalen der Krummungsmittelpunkts- 
flache konjugierte Tangenten, wenn: 



Diese Gleichung riihrt von A. Mannheim her, der aus ihr auch Folge- 
rungen fiir die einfacheren Gestalten der zwischen R l und R 2 bestehenden 
Gleichung ableitete 122 ). Wird letztere in der Form JR 2 =/(_R 1 ) angenom- 

men, so erhalt das Kriimmungsmass x t der zu R 1 gehorenden Schale den 

_ f f-p \ 
Wert j^ -- ^\i un d das Krummungsmass x 2 der anderen Schale den 

(- K i -Mi) 

7 sodass sich der G.H.Halphen sche Satz ergibt 123 ): 



f IT* \(-R ~ 
/ k*hJ (**! - 

1 



12. Bestimnmng einer Flache, fiir die eine oder beide Schalen 
der Krummungsmittelpunktsflache vorgeschrieben sind. Die Losung 
der Frage nach denjenigen Flachen, fiir welche eine Schale (&J ihrer 
Krummungsmittelpunktsflache vorgeschrieben ist, kommt hinaus auf die 
Auffindung einer einfach unendlichen Schar von geodatischen Linien 
auf (/Sj) und derjenigen Schar von Parallelflachen, deren Normalen mit 
den Tangenten jener geodatischen Linien zusammenfallen 124 ). Zwei hier- 
hergehorende Aufgaben, bei denen die Flache (Sj) abwickelbar ist, oder 
eine Kugel vorstellt, sind von Gr. Monge gelost 125 ). Ist (S^ abwickelbar, 
so nennt Monge die Ausgangsflache eine surface moulure generale 1 ^*) 
[Nr. 1 3 ; III D 6 a, Nr. 24]. Wir fiihren zwei Erzeugungsarten derselben an. 



122) Paris, C. R. 84 (1877), p. 934. 

123) Par. soc. math. Bull. 4 (1876), p. 94. 

124) Siehe die Arbeiten von E. Hoppe und F. August, Arch. Math. Phys. 68 
(1882), p. 256 und 315. 

125) Applic. 25 u. 18. Vgl. A. Enneper, Gott. Nachr. (1871), p. 227 und 
(1872), p. 577. 

125*) G. Monge, J. ec. polyt. 6 (1806), p. 1; L. Eaffy, Le90ns sur les applic. 
gornetr. de 1 analyse, Paris 1897, p. 163; L. Eaffy, Par. soc. math. Bull. 19 
(1891), p. 54. 



12. Bestimmung einer Flache mit gegebener E volute. 297 

1) Man zeichne in einer Ebene eine beliebige Kurve (c) und lasse die 
Ebene auf (SJ rollen, ohne zu gleiten. Die Kurve (e) beschreibt dann 
eine Flache (5), deren Krummungsmittelpunktsnache aus (SJ und der 
Flache ( 2 ) besteht, die durch die Evolute von (c) erzeugt wird. Die 
Kurve (c) ist in jeder ihrer Lagen Kriimmungs^ und geodatische 
Linie von (8). 2) Man nehme in einer Ebene ein rechtwinkliges 
Koordinatensystem (u, w-Achse) und eine beliebige Kurve (c) mit der 
Gleichung v = f( u }. Bewegt sich nun die Ebene so, dass die M -Achse 
auf eine Raumkurve aufgewickelt wird, indem ihr geradliniger Teil 
stets Tangente dieser Kurve bleibt, wahrend die v-Achse stets der 
Binormale der Kurve parallel bleibt, so beschreibt (c) eine Flache der 
verlangten Art. Man erhalt die Gleichungen der Flache in der Form: 
x = x o "f ( u s) cos K + f(u) cos A, 
y 2/o + ( u s) cos j8 -f- f(u) cos ^, 
z #0 + ( u s) cos y -f~ f( u ) cos v, 

wo X Q , y Qf Z Q die Koordinaten der Raumkurve bedeuten, s ihre Bogen- 
lange vorstellt, und cos a, cos ft, cos r bez. cos I, cos p, cos v die 
Richtungskosinus der Tangente bez. Binormale der Raumkurve be- 
zeichnen 125b ). - - Eine weitere bemerkenswerte Erzeugungsart der be- 
trachteten Flachen gab G. Pirondini}. Wir erwahnen eine hierher 
gehorende, von J. Bind} gefundene Flache. Man nehme an Stelle 

der Kurve (c) die in Polarkoordinaten durch die Gleichung r = e m 
festgelegte logarithmische Spirale, bei der die Konstante m durch die 

Gleichung m m = e** l) ~* bestimmt ist, fur K als ganze, positive Zahl. 
Die fragliche Spirale erzeugt eine Flache, welche die Eigentiimlichkeit 
darbietet, dass sie mit der Schale (5 8 ) ihrer Krummungsmittelpunkts 
nache zusammenfallt. 

Die Flachen, bei denen eine Schale der Krummungsmittelpunkts 
nache eine Kugel ist, haben die Eigenschaft, dass die andere Schale 
ein Kegel ist, dessen Spitze sich im Mittelpunkt der Kugel befindet. 
Sie werden durch die Bewegung einer Kreisevolvente (III D 4, Nr. 6) 
erzeugt, deren Ebene so auf einem Kegel rollt, dass der Mittelpunkt 
des Kreises stets mit der Spitze des Kegels zusammenfallt 128 ). 

125 b ) G. Pirondini, J. de math. (5) 3 (1897), p. 403. 

126) Giorn. di mat. 30 (1892), p. 188. 

127) J. de math. (1) 6 (1841), p. 61. 

128) G. Monge, J. ec. polyt. 4 (an 10 = 1801), p. 28. Vgl. J. Vdlyi, Arch 
Math. Phys. 68 (1882), p. 217; V. de Tannenberg, Le 9 . nouv. sur les applic 
geom. du calc. diff., Paris 1899, p. 165. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 20 



:?;is III D 6. E.v.LilientJial. Besondere Flachen. 

Zwei gegebene Flachen konnen nur dann die beiden Schalen 
einer Krummungsmittelpunktsnache sein, wenn das System ihrer ge- 
meinsamen Tangenten ein Normalensystem ist. Der Umstand, dass, 
von einem beliebigen Punkt des Raumes aus gesehen, die Umrisse 
zweier konfokaler Flachen zweiter Ordnung (III C 4), aber verschie- 
dener Art, sich rechtwinklig zu schneiden scheinen, fiihrte M.Clmsles} 
auf die Bemerkung, dass zwei solclie Flachen die Schalen einer Kriim- 
mungsmittelpunktsflache sind. 

IV. Flachen mit efoenen oder spharischen Kriimraungslinieii. 

13. Die Monge schen Gesimsflachen. Die umfangreiche Litte- 
ratur 129a ) liber Flachen mit ebenen oder spharischen Krummungslinien 
nimmt ihren Ausgang in der von Monge beantworteteu Frage nach 
denjenigen Flachen, bei denen die Einzelkurven eiuer Schar von 
Krummungslinien in parallelen Ebenen liegen 13 ) (III D 6 a, Nr. 24). 
Diese Flachen, von Monge surfaces mmdures (Gesimsflachen) genannt, 
entstehen auf folgende Weise. Man zeichne in einer Tangentialebene 
eines Zylinders eine Kurve (c) und lasse die Ebene auf dern Zylinder 
rollen, ohne zu gleiten. Die Kurve (c) erzeugt die verlangte Flache 
und ist in jeder ihrer Lagen eine Krummungslinie derselben, wahrend 
ihre Punkte die Krummungslinien in parallelen Ebenen beschreiben. 
Die fraglichen Flachen sind durch das Vorhandensein einer Kreispunkts- 
linie (III D 3, Nr. 4) ausgezeichnet 131 ). 

14. Untersuclmngen von Bonnet, Serret, Enneper, Rouquet. 
Im Jahre 1853 veroifentlichte 0. Bonnet*} seine grosse Arbeit uber 



129) Aper9u historique, Paris 1875, 2. Aufl., p. 392. Die weitere analytische 
Ausfuhrung siehe bei /. Liouvitte, J. cle math. (1) 16 (1851), p. 6; Chasles das- 
selbe Journal (2) 5 (1860), p. 442; Enneper, Gott. Nachr. (1871), p. 310; F. Eudio, 
Dissert. Berlin (1880) und J. f. Math. 95 (1883), p. 240; H. E. G. Opitz , Studie 
iiber die Eudio schen Fliichen, Wissensch. Beilage zum Jahresber. des Konig- 
stadtischen Realgymnasiums zu Berlin (1901). Vgl. namentlich ,,Darboux" 2, 
chap. 14. 

129*) Vgl. die Litteraturubersicht bei Salmon- Fiedler, Anal. Geoin. des 
Eaumes 2, dritte Aufl., Leipzig 1880, Anmerk. 21, p. XXIX. 

130) Applic. 17. Vgl. Serret-Harnack, Lehrbuch der Diff.- u. Int.-Rechn. 2 2 , 
p. 319, Leipzig 1885. Das Monge sche Integrationsverfahren wurde von O.Eo- 
drigues, Corresp. sur 1 Ecole polyt. 3 (1814), p. 169 vereinfacht. Geometrisch be- 
handelt J. Bertrand die fraglichen Flachen im J. de math. (1) 13 (1848), p. 76. 
Vgl. E. Bour, J. c. polyt. 22 (1862), p. 85. 

131) Serret-Harnack, a. a. 0. 1, p. 480 (2. Aufl. p. 467). 

132) J. 6c. polyt. 20 (1853), p. 117. Vgl. die vorangegangenen Mitteilungen 
in Paris, C. E. 36 (1853), p. 81 u. 219. 



13. Die Monge schen Gesimsflachen. 14. Untersuchungen v. Bonnet u. A. 299 

Flachen mit ebenen oder spharischen Kriimmungslinien. Hier handelt 
es sich zunachst um die nicht abwickelbaren Flachen, deren samtliche 
Kriiminungslinien eben sind 132a ). Nach einem Satz von F. Joachimsthal 
(III D 3, Nr. 6, p. 118) bilden die Normalen einer Flache langs einer ebenen 
Kriimnmngslinie mit der Ebene derselben einen konstanten Winkel. Das 
spharische Bild einer solchen Linie ist somit ein Kreis, und man steht 
vor der Aufgabe, das allgemeinste aus Kreisen bestehende Orthogonal- 
system auf einer Kugel zu bestimmen. 0. Sonnet findet auf miihsame 
Weise die heute leicht ableitbare Thatsache ; dass die fraglichen Kreis- 
scharen durcli zwei Ebenenbiiscliel ausgeschnitten werden, deren Achsen 
reziproke Polaren der Kugel sind 133 ). Da diese Polaren auf einander 
senkrecht stehen, miissen die Ebenen der Kriimmungslinien die Tan- 
gentialebenen zweier Zylinder sein, deren Erzeugende sich senkrecht 
kreuzen 134 ). Sonnet leitet fur die fraglichen Flachen eine parti elle 
Differentialgleichung zweiter Ordnung ab 134a ) und integriert sie sowohl 
mit Hiilfe einer geometrischen Erwagung, als mit Anwendung des 
Monge schen Verfahrens. Die dem Resultat gegebene geometrische 
Deutung ist nicht anschaulich. 

An zweiter Stelle werden von Sonnet analytisch die Flachen be- 
handelt, von denen nur vorausgesetzt wird, dass sie ein System ebener 
Kriimmungslinien besitzen. Es ergeben sich zwei geometrlsch wichtige 
Falle. 1) Gehen die Ebenen der fraglichen Kriimmungslinien alle 
durch dieselbe Gerade, so liegen die Kriimmungslinien des anderen 
Systems auf Kugeln, welche die Flache senkrecht schneiden, wahrend 
ihre Mittelpunkte in jener Geraden liegen. Die Halbmesser dieser 
Kugeln sind die - - langs jeder Einzelkurve konstanten - - geoda- 
tischen Kriimmungsradien der letztgenannten Kriimmungslinien. Sonnet 
leitet die endlichen Gleichungen der Flache her (p. 199), die F. Joachims- 
thai bereits friiher gefunden hatte 135 ). Die Flache ist ausfiihiiich be- 
handelt von P. V. Eouquet 1 ). 2) Umhiillen die Ebenen (p. 201) der 

132 a ) Die einzige abAvickelbare Flache mit ebenen Kriimmungslinien ist 
die Tangentenflache der gewohnlichen Schraubenlinie. H. Resal, Exposition de 
la the orie des surfaces, Paris 1891, p. 62. 

133) Vgl. P. Serret, Theorie des courbes, p. 177. 134) ibid. p. 137. 

134 a ) Vgl. S. Lie, Math. Ann. 4 (1872), p. 224; H. Eesal in dem unter 132 a ) 
zitierten Werk, p. 45. 

135) J. f. Math. 23 (1842), p. 350. Daselbst sind die Gleichungen ohne Be- 
weis veroffentlicht, die Herleitung siehe im selben Journal 54 (1857), p. 183. 
Vgl. ,,Darboux" 1, p. 112; S. Lie, Math. Ann. 5 (1872), p. 222; L. Eaffy, Par. 
soc. math. Bull. 24 (1896), p. 52. Eine besondere hierher gehorende Flachenart 
bei G. Scheffers, Leipz. Ber. 1902, p. 366. 

136) fitude ge ometrique des surfaces, dont les lignes de courbure d un 
systems sont planes, These Toulouse 1882, p. 142. 

20* 



300 HI D 5. S. v. Lilienihal. Besondere Flachen. 

Kriiramungslinien der ersten Schar einen Kegel und sclineiden sie die 
Flache unter einem Winkel, dessen Kosinus proportional ist dem 
Kosinus des Winkels, den sie mit einer festen Ebene bilden, so liegen 
die Kriimmungslinien der zweiten Schar auf Kugeln, deren Mittel- 
punkte sich in einer Geraden befinden. - - Im dritten Teil (p. 235) 
seiner Arbeit behandelt Sonnet die Flachen, bei denen eine Schar der 
Kriimmungslinien aus ebenen, die andere aus spharischen Kurven be- 
steht. Die Kugela, auf denen die letzteren liegen, konnen 1) kon- 
zentrisch sein. Dann kommt man auf die von Monge 137 ) betrachteten 
Flachen, bei denen die eine Schale der Kriimmungsmittelpunktsflache 
ein Kegel ist; 2) konnen die Mittelpunkte der fraglichen Kugeln 
auf einer Greraden liegen. Hier kommt man auf die vorhin mit- 
geteilten beiden Falle; 3) konnen die Mittelpunkte der Kugeln eine 
gekriimmte, ebene Kurve bilden. Dann treten Kanalflachen (Nr. 4) auf 
mit ebener Leitkurve. - - Weiterhin (p. 248) werden die Flachen mit 
lauter spharischen Kriimmungslinien betrachtet und gezeigt, dass sie 
entweder mit den friiher erhaltenen zusammenfallen oder sich durch 
eine Transformation rnittelst reziproker Radien aus ihnen herleiten 
lassen. Im vierten Teil seiner Arbeit behandelt Bonnet die Flachen, 
von denen nur angenommen wird, dass eine Schar ihrer Kriimmungs 
linien aus spMrischen Kurven bestehe und erledigt die beiden Sonder- 
falle, in denen die Tragerkugeln konzentrisch sind, oder die Flache 
rechtwinklig schneiden 138 ). 

Nach den ersten Veroffentlichungen Sonnet s behandelte J. A. 
Serret 139 } ebenfalls die Flachen mit ebenen oder spharischen Kriim 
mungslinien und zwar nach einer Methode, welche die Zuhiilfenahme 
der spharischen Abbildung nicht verlangt und die von Sonnet im 
dritten Teil seiner Arbeit ebenfalls benutzt wurde. Eine Verein- 
fachung der Bonnet schen und Serret schen Rechnungen erzielte 
A. Cayley 14 ) durch einen Ansatz, der die Unterschei4ung von ebenen 
und spharischen Kriimmungslinien unnb tig macht. - - Wahrend in den 
erwahnten Arbeiten die Gleichung der zu bestimmenden Flachen stets 
in der Form e = f(x,y) gedacht wird, fasst A. Enneper U1 ) in zwei 



137) Applic. 24. Vgl. U. Dini, Firenze, Soc. it. Sc. Mem. (3) 2 (1869), 
p. 140; G. Pirondini, Giorn. di mat. 26 (1888), p. 352. 

138) Vgl. M. Picart, Paris, C. R. 46 (1858), p. 356; S. Lie, Math. Ann. 5 
(1872), p. 227. 

139) J. de math. (1) 18 (1853), p. 113. 

140) Amer. J. of math. 11 (1889), p. 71, 293 = Papers 12, p. 601. Daselbst 
Litteratur. 

141) Gott. Abh. 23 (1878), 26 (1880). 



15. Untersuchungen von Dini, Darboux. 301 

grossen Abhandlungen von vornherein die Koordinaten der gesuchten 
Flachen als Funktionen von zwei Veranderlichen auf imd benutzt als 
Grundlage die Theorie der Raumkurven, wodurch statt partieller Diffe- 
rentialgleichungen gewohnliche auftreten. Dabei wird die Frage nach 
den Flachen, bei denen nur eine Schar der Kriimmungslinien als aus 
spharischen Kurven bestehend angenommen wird, allgemein gelost. 
Anlasslich einer Arbeit von H. Dobriner uy ) fiber dieselbe Frage ver- 
6 ffentlichte Enneper einen Auszug aus seinen Abhandlnngen 143 ). 

Hinsichtlich der Flachen mit nur ebenen Krfimmungslinien, von 
denen die eine Schar aus Kreisen besteht, gilt der M. Picart sche 
Satz 144 ), dass sie die Einhiillenden einer Schar von Kugeln sind, 
deren Mittelpunkte sich in einer ebenen Kurve befinden, wahrend sich 
ihre Halbmesser proportional dem senkrechten Abstand des jeweiligen 
Mittelpunkts von einer festen, in der Ebene der Kurve gelegenen Ge- 
raden andern. In letzterer schneiden sich die Ebenen der zweiten 
Schar der Kriimmungslinien. 

Die erwahnte Studie von Eouquet iiber Flachen mit einem System 
ebener Kriimmungslinien enthalt zahlreiche Einzelheiten fiber den 
Gegenstand. Als von allgemeinerem Interesse heben wir den folgenden 
Umstand hervor. Wickelt man die von den Ebenen der Krfimmunes- 

D 

linien beriihrte Flache auf eine Ebene ab, so gehen die Kriimmungs 
linien in eine ebene Kurvenschar fiber. Langs jeder Einzelkurve der- 
selben liegen die Krfimmungsmittelpunkte der orthogonalen Trajek- 
torien der Schar in einer Geraden. Nimmt man die Gleichung der 
Schar in der Form f(x, y, a) = 0, so genfigt die Funktion f einer 
Beziehung von der Gestalt 145 ): 



Dabei ist tp^(a)x -f- ^ 2 ( a )^ + %( a ) = die Gleichung der eben er- 
wahnten Geraden. Die Schnittpunkte der Einzelkurven der Schar mit 
dieser Geraden, sowie ihre isotropen Tangenten (Nr. 30) bilden somit 
die Einhiillende der Schar. 

15. Untersuchungen von Dini, Darboux. Die Frage nach den 
Flachen mit lauter ebenen Krfimmungslinien - - sofern nicht die 
Ebenen einer Schar von solchen Linien parallel sind - - behandelt 
U. Dini u6 } nach folgender Methode. Da die spharischen Bilder der 

142) J. f. Math. 94 (1883), p. 116. 143) ibid. p. 329. 

144) Nouv. arm. (2) 4 (1865), p. 99. Vgl. P. Serret, Theorie des courbes, 
p. 264 ; Eouquet, These, 1S6 ), p. 20. 145) ibid. p. 91 und 104. 

146) Firenze, Soc. it. Sc. Mem. (3) I 2 (1868), p. 71. 



302 HI D 5. E. v. Lilienihal. Besondere Flachen. 

Kriimmungslinien auf der Einheitskugel ein aus geodatischen Kreisen 
[III D 3, Nr. 38] bestehendes Orthogonalsystem bilden, kann man dem 
Quadrat des Linienelements der Einheitskugel hier die Form geben: 



(u -f #) 2 

Mit Hiilfe der Fundamentalgleichungen findet Dini die Darstellungen: 
E 1 == U V U (u + v), R 2 = UV + V (u -f v}, 

U -\- V U -\- V y U -}- V 

wo die Funktionen U... U s nur von u, die Funktionen V...V S nur 
von v abhangen. Es zeigt sich, dass die Funktionen U t , U 2 , U 3 
bezw. V 1} V 2 , V 3 die Form haben: 



mu + n + a Yhu* + h u + A", ^v + v + /3 y^v 2 -f /b w + fc". 

Die Koordinaten der Flache ergeben sich aus der Integration der voll- 
standigen Differentiale : 

dx R, -. du JL -5- dv , etc. 

1 cu * dv 

Aus den Dmi schen Formeln folgt leicht, dass auch der Ausdruck: 
Xx -4- Yu -4- Zz von der Form - ~ sein muss. Dies fuhrt 

9 U -}- V 

auf eine Untersuchung von G. Darboux U1 \ bei der die zu bestimmen- 
den Flachen als die Schar ihrer Tangentialebenen einhullend be- 
trachtet werden. Darboux leitet zunachst den folgenden Satz ab: 
Geniigen die Funktionen A^, A%, A 3 , A des Parameters a und die 
Funktionen S 1} B 2 , B 3) B des Parameters ^ der Beziehung: 

(A, + A) 2 + (^ + ^ + (A + # 3 ) 2 = (A + Erf, 
so werden die Tangentialebenen der fraglichen Flachen durch die 
Gleichung 

(A, +BJx+ (A, + B^y + (A, + B s }z =,A + B 

dargestellt, wo A wiederum nur von a, B nur von /3 abhangt. Die 
Bestimmung der Funktionen A 1 ..A 4 ^ } B^ . . J5 4 fiihrt auf die Dupin scb.e 
Cyklide (Nr. 10), und so wird folgende Erzeugung obiger Flachen 
gefunden: Man nehme zwei einfach unendliche Scharen von Kugeln, 
deren Mittelpunkte auf zwei Fokalkegelschnitten liegen, wahrend sich 
ihre Radien nach einem beliebigen Gesetz andern. Die Radikalebenen 
je zweier Einzelkugeln, die nicht derselben Schar angehoren, werden 
von einer der gesuchten Flachen eingehiillt. 



147) ,,Darboux" 1, p. 127; 4, p. 180. 



16. Untersuchungen von Brioschi, Dini, Dobriner, Blutel, Darboux. 303 

Die oben skizzierte Methode benutzt Dini auch zur Bestimmung 
der Flachen, auf denen nur eine Schar der Krummungslinien als eben 
angenommen wird. Es kommt hier alles darauf an, das Quadrat des 
Linienelements der Einheitskugel aufzufinden, falls die eine Schar der 
als orthogonal vorausgesetzten Parameterlinien- aus Kreisen besteht. 
Dies fiihrt auf eine Riccati sche Differentialgleichung 148 ). Nach Inte 
gration derselben ergeben sich die Werte von E t und R% und weiter 
die von x, y, 2 durch Quadraturen. Jene Bestimmung des Linear- 
elements der Einheitskugel fiihrte Dini in einer spateren Arbeit 149 ) 
weiter aus uud betrachtete im besonderen den Fall, in dem die Ebenen 
der Krummungslinien mit einer Geraden denselben Winkel bilden. - 
Erwahnt sei noch eine Arbeit von G. Pirondini 15 ) iiber Flachen mit 
einer Schar ebener Kriimmungslinien, sowie die Untersuchung von 
Darboux fiber das Verhaltnis der Flachen mit ebenen und spharischen 
Krummungslinien zu den isotropen, abwickelbaren Flachen 151 ) (Nr. 40). 
Besonders hingewiesen sei ferner auf die in Ebenenkoordinaten durch- 
gefiihrte Darboux sche Bestimmung der Flachen mit einer Schar ebener 
Kriimmungslinien 152 ). Diese Methode fiihrt auch fiir Flachen mit einer 
Schar spharischer Krummungslinien zum Ziel mit Hiilfe der Be- 
merkung, dass die Tangentialebenen einer Flache langs einer sphari 
schen Kriimmungslinie eine Kugel beriihren, die mit der Tragerkugel 
der Kriimmungslinie konzentrisch ist 153 ). 

16. Untersuchungen von Brioschi, Dini, Dobriner, Blutel, 
Darboux. F. Brioschi fand folgende Eigenschaft spharischer Kriim 
mungslinien 154 ). Fallen die Parameterlinien u == const., v = const. 

mit den Krummungslinien zusammen, und ist r= die Normal-, -^ die 

#1 K i 

geodatische Kriimmung der spharischen Kurven v = const., so hat man : 

1 1 , cotg V 

K^ r sin V "" M 1 > 

wo r den Halbmesser der Tragerkugel, V den Winkel bedeutet, den 
dieser Halbmesser mit der Flachennormalen bildet. .Dm* 155 ) be- 
trachtet die Koordinaten X, Y } Z der Einheitskugel so als Funktionen 
von u und v, dass das Quadrat des Linienelements die Form hat: 
= E du 2 -f G dv\ Die Gleichungen: 



148) Firenze, Soc. it. Sc. Mem. (3) 2 (1869), p. 23. 

149) Pisa, Ann. delle Universita Toscane 11 (1869). 

150) Giorn. di mat. 22 (1884), p. 118. 

151) ,,Darloux" 4, p. 203, 254. 152) ,,Darloux" 4, p. 200. 

153) ,,Varboux" 4, p. 240. 154) Ann. mat. fis. 8 (1857), p. 301. 

155) Firenze, Soc. it. Sc. Mem. (3) 2 (1869), p. 135. 



304 HI D 5. R. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 



in denen F 17 V 9 , V 3} r, V Funktionen von v allein bedeuten, stellen 
nun, falls: 

dV dV dV 



erne Flache dar, fur die 1) X, Y, Z die Richtungskosinus der Normalen 
sind, 2) w, v die Parameter der Kriimmungslinien bedeuten, 3) die 
Kurven v = const, auf Kugeln liegen, deren Mittelpunkte die Koordi- 
naten F 1; F 2 , F 3 besitzen. 

Hinsichtlich der Flachen mit einer Schar spharischer Kriimmungs 
linien bemerkt H. Dobriner 156 ), dass es zu jeder von ihnen noch un- 
endlich viele andere mit derselben Eigenschaft gibt, die rnit ihr das 
spharische Bild der Kriimmungslinien gemein haben, und dass unter 
diesen auch solche vorhanden sind, bei denen die Tragerkugeln der 
Kriimmungslinien alle durch einen Punkt geben. Betracbten wir 
zwei solche Flachen, so besitzen die Mittelpunktskurven der beiden 
Scharen der Kugeln, auf denen ihre spharischen Kriimmungslinien 
liegen, in entsprechenden Punkten C und C parallele Tangenten. 
E. Blutel 157 ) fand, dass die abwickelbaren Normalenflachen langs zweier 
sich entsprechender Kriimmungslinien auf beiden Flachen durch eine 
Ahnlichkeitstransformation aus einander hervorgehen. Die durch sich 
entsprechende Punkte jener Mittelpunktskurven gelegten Geraden er- 
zeugen eine abwickelbare Flache, deren Gratlinie von der Geraden 
CC im Punkte C beruhrt werde. Dann ist C der Pol jener Trans 
formation, und das Ahnlichkeitsverhaltnis ist gleich dem Verhaltnis 
der Strecke CC zu CC . Auf Grund dieser Satze lasst sich schliessen, 
dass die Flachen mit einer Schar spharischer Kriimmungslinien aus 
denen mit einer Schar ebener erhalten werden, wenn man letztere der 
Transformation mittelst reziproker Radien unterwirft und zu den so 
gewonnenen Flachen diejenigen bestiinmt, die sowohl mit ihnen das 
spharische Bild der Kriimmungslinien gemein haben, als mit einer 
Schar spharischer Kriimmungslinien ausgestattet sind 158 ). 

Hingewiesen sei noch auf die Behandlung des Problems der 
ebenen und spharischen Kriimmungslinien bei E. Wdlsch, Festschrift 
der technischen Hochschule Briinn 1899, wo die Koordinaten eines 



156) J. f. Math. 94 (1883), p. 118, 125. 

157) Paris, C. B. 116 (1893), p. 249. 158) ,,Darboux" 4, p. 246. 



17. Die beiden Weingarten schen Satze. 305 

Punktes der fraglichen Flachen als explizite Funktionen zweier Para 
meter ausgedriickt werden, sowie auf eine besondere Art hierher- 
gehorender Flachen bei G. Sclieffers, Leipz. Ber. 1902, p. 367. 

V. Weingarten sche Flachen. 

17. Die beiden Weingarten sche Satze. Auf die Eigenschaften 
der Flachen ; bei denen der eine Hauptkriimmungshalbmesser eine 
Funktion des anderen ist, wies zuerst J. Weingarten hin ; weshalb man 
heute jene Flachen Weingarten sche oder kurz W-Fldchen 158a ) nennt. (Vgl. 
auch HID 6 a, Nr.31.) Jede Umdrehungs- und jede Schraubenflache 
ist eine TF"- Flache. Die kennzeichnende geometrische Eigenschaft der 
W- Flachen besteht darin, dass die Kurvenscharen E = const. , J? 2 = const. 
zusammenf alien, sodass es nicht moglich ist, die Grossen R 1 und jR 2 zu 
Parametern zu wahlen. - - Die zu E i gehorenden Kriimmungslinien 
mogen als Kurven v = const, in Rechnung gesetzt werden. Nehmen 
wir ausser diesen die Kurven E^ = const, zu Parameterlinien, so nimmt 
nach Weingarten 159 ) das Quadrat des Linienelements der zu E^ ge 
horenden Schale der Krummungsmittelpunktsflache die Gestalt an: 



ds 2 = (dRJ* + e ^^ dv\ 

Danach sind die Krummungsmittelpunktsflachen aller Flachen , bei 
denen R 2 dieselbe Funktion von 1\ ist, auf einander und im beson- 
deren auf eine unter ihnen befindliche Rotationsflache abwickelbar 160 ). 
Umgekehrt lasst sich mit Hiilfe jeder auf eine Umdrehungsflache ab- 
wickelbaren Flache eine Tf-Fliiche finden. Es bilden namlich die 
Tangenten derjenigen geoc^ schen Linien der ersten Flache, die bei 
der Abwicklung in die Meridiane der Umdrehungsflache iibergehen, 
das Normalensystem einer Parallelschar von W- Flachen 161 ). _ Ein 
zweiter Satz 162 ) bezieht sich auf den Zusammenhang der W- Flachen 
mit einer gewissen Form des Quadrats des Linienelements der Ein- 
heitskugel. Sind die Koordinaten X, Y, Z der letzteren in der Art 
als Funktionen der unabhangigen Veranderlichen u und v ausgedruckt, 



so nehme man: # = -4, $ (-# ) == STT^ Alsdann stellen die Aus- 

j .. i % V (X) 

drucke: 

158") Man verwechsle diese nicht mit den Klein- Lie schen TT-Flachen (Nr. 6). 

159) J. f. Math. 59 (1861), p. 382. 

160) Vgl. ,,Biandti, p. 246 u. 248. 

161) ,,I)arT)oux" 3, p. 328. 162) J. f. Math. 62 (1863), p. 160. 



306 III D 5. E. v. Lilienthal Besondere Flachen. 

dM -f (&(*)-& (*)) cte , etc, 



= -- f { 



die Koordinaten einer Flache dar, fiir welche die Kurven u = const., 
v = const. Kriiinmungslinien sind, die Grossen X, Y, Z die Bedeutung 
der Richtungskosinus der Normalen besitzen, und die Hauptkriimmungs- 
halbmesser durch --&(x) und - (x) + x (x) gegeben werden, 
sodass zwischen diesen die durch Elimination von x zu erhaltende Be- 
ziehung besteht. Das Quadrat des Linienelements der zu E 1 = #(x) 
gehorenden Schale der Kriimmungsmittelpunktsnache nimmt dabei die 
Form an: 



Die Voraussetzung &(x) = x -\- a fiihrt auf die Rohrenflachen 162 *) 
(Nr. 4), die Voraussetzung &(x) == y auf die Minimalflachen (Nr. 19 ff.), 

el h. Flachen, bei denen E + JR 2 = - Zu diesen Fallen fiigte Wein- 
yarten noch einen dritten hinzu, indem er nachwies, dass die Vor 
aussetzung (x) = | (arc sin x -f x]/l x 2 ) auf die Flachen mit der 
Eigenschaft: 



fiihrt 163 ), Darloux fand die folgende Erzeugung dieser Flachen. Man 
betrachte zwei Kurven mit absolut gleichen, aber dem Vorzeichen 
nach entgegengesetzten Torsionen. 1st P ein beliebiger Punkt der 
einen, P^ ein beliebiger Punkt der anderen Kurve, so ist der Ort des 
Mittelpunkts (M) der Strecke PPj eine Translationsflache (Nr. 6). 
Zieht man durch jeden Punkt M dieser Flache eine Gerade, die der 
Schnittlinie der Schmiegungsebenen der ^gebenen Kurven in P und 
P L parallel ist, so bilden diese Gerade/f das Normalensystem der 
fraglichen Tf-Flache 164 ). 

U. Dm* 165 ) griindet seinen Beweis des letzten Weingarten schen 
Satzes auf die Fundarnentalgleichungen, wie sie fiir ( den Fall gelten, 
dass die Kriimmungslinien mit den Parameterlinien zusammenfallen. 
Dabei ergibt sich, dass auch das Quadrat des Linienelements der 
TT-Flache selbst die Form enthalt: 

du* . dv* 



wo mm - = 



162 a ) Vgl. G. Scheffers, Einfiihrung in die Theorie der Flachen, Leipzig 
1902, p. 357. 

163) Vgl. ,,Bianchi", p. 251. 164) ,,Darloux 3, p. 372. 

165) Firenze, Soc. it. Sc. Mem. (3) 1. Teil 2 (1868), p. 51. 



18. Weitere Satze. 19. Historisches. Satze v. Meusnier. Integral v. Monge. 307 

Aus der letzteren Form des Linienelements kann man #ber auf 
eine Tf-Flache nur dann schliessen, wenn zugleich das Krummuugs- 
mass der Flache den Wert #(&)(#$) h& Qi)) besitzt. 

18. Weitere Satze. Die TP- Flachen mit lauter ebenen Krum- 
mungslinien betrachtet Dini 165 ) p. 70. Er zeigt, dass die Flachen mit 
der Eigenschaft E 1 E 2 = const, oder ~ -j- ~ = const. (^ 0), nur wenn 

-Oj -fl 2 

sie Rotationsflachen sind, lauter ebene Krummungslinien besitzen konnen. 
Die W- Flachen mit nur einer Schar ebener Krummungslinien be- 
handelt Dini in einer weiteren Arbeit 166 ), doch ist das Ergebnis 
nicht einfach. S. Lie 167 ) und spater Weingarten 168 ) zeigten auf ver- 
schiedenen Wegen, dass sich die Krummungslinien der W- Flachen 
durch Quadraturen bestimmen lassen. 

Beltrami 16 *) und Dim* 170 ) fanden, dass die einzigen geradlinigen 
TF-Flachen die geradlinigen Schraubenflachen sind 171 ). Uber parallele 
TF-Flachen handelt eine Arbeit von H. Thompson, Americ. J. of Math. 
24 (1902), p. 303. L. Eaffy zeigte, dass die Schraubenflachen die 
einzigen W- Flachen sind, auf denen jede Kurve E^ = const, mit den 
Krummungslinien einen konstanten Winkel bildet (Par. soc. math. 
Bull. 25 (1897), p. 124). 

Hinsichtlich der hyperoskulierten Normalschnitte (III D 1, 2 Nr. 38), 
die durch einen Punkt einer TF-Flache gelegt werden konnen, gilt der 
Satz, dass es drei derartige Schnitte. oder nur einen solchen gibt ie 

il 7? 

nachdem -^ negativ oder positiv ist. Die notwendige und hinreichende 
Bedingung dafur, dass im ersten Fall die Schnitte gegen einander gleich 

geneigt sind, besteht in der Unveranderlichkeit des Ausdrucks + -- 

-fij R s 

(III D 1, 2, Nr. 35), d. h. nur die Flachen mit konstanter mittlerer 
Kriimmung (Nr. 36) besitzen die fragliche Eigenschaft 172 ). 

YI. Minimalflachen. 

19. Historisches. Satze von Meusnier. Integral von Monge. 
Ausfuhrliche Darstellungen der geschichtlichen Entwicklung der Lehre 

166) Pisa, Ann. 11 (1869) Teil 2, p. 42. 

167) Arcniv math, og naturv. 4 (1879), pag. 507; Bull. sci. math. (2) 4 (1880), 
p. 301. 

168) J. f. Math. 103 (1888), p. 184. 

169) Ann. di mat. 7 (1865), p. 148. 170) ibid. p. 208. 

171) ,,Darboux" 3, p. 314. 

172) It. v. Lilienthal, J. f. Math. 104 (1889), p. 343. Der letzte Satz bei 
A. Eibaucour, Paris, Bull. Soc. Philomat. 7 (1879), p. 112. 



308 HI D 5. E. v. Lilienttial. Besondere Fliichen. 

von den Minimalfl achen gaben E. Seltrami 173 ), B. Riemann -K. Hatten- 
dorff}, H. A. Sehwarz*), G. Darboux m ). Die Lehre von den 
Minimalflachen (vgl. auch III D 6 a, Nr. 27) beginnt mit der J. L. 
Lagrange schen 1 ) Aufstellung der Differentialgleichung der Fl ache, 
die bei gegebener Begrenzung den kleinsten Flacheninhalt besitzt. 
Betrachtet man z als eine Funktion von x und y, so findet Lagrange 
zwischen den ersten Ableitungen p, q und den zweiten r, s, t von z 
die Beziehung: 



- p - 4- -==== = 





oder: 



Aus der ersten dieser Gleichungen folgt, dass, wenn X 7 Y, Z 
die Richtungskosiuus der Normalen der Minimalflache bedeuten, der 
Ausdruck - - Ydx -f- Xdy das Differential einer Funktion (etwa r) 
von x und y ist. Dies besagt aber 7 dass die mit den Richtungs- 
kosinus Y", X, ^ durch die Punkte der a;?/-Ebene gelegten Ge- 
raden ein Normalensystem bilden, und r kann als die auf den Strahlen 
des Systems zu messende Entfernung der Punkte einer das Normalen 
system senkrecht durchsetzenden Flache von den Punkten der 
#7/-Ebene betrachtet werden. 

Ch. Meusnier 177 ) zeigte, dass diese Differentialgleicbung das Ver- 
scbwinden der Summe der beiden Hauptkrummungshalbmesser der 
Flache nach sich zieht. Obgleich nun eine Flache mit der Eigenschaft 
E l -{- E 2 = keineswegs in ihrer ganzen Ausdehnung auch jene 
Minimaleigenschaft besitzen muss, hat man doch fur diese Flachen 
- um die es sich im folgenden handelt den Namen Minimalflachen 
beibehalten. Der von A. Eibaucoar (Nr. 30) benutzte Name Elassoid 



173) Bologna, Mem. (2) 7 (1868), p. 3. 

174) Posthume Abhandlung von B. Biemann, bearbeiitet von K. Hatten- 
dorff, Gottinger Abhandlungen 13 (1867). 

174 a ) J. f. Math. 80 (1875), p. 280; Gesammelte math. AbhndJgn. 1, Berlin 
1890, p. 168. 

175) ,,Darboux" 1, livre IH. 

176) Miscellanea Taurinensia 2 (1760/61) = Oeuvres 1, p. 335. Uber diese 
Frage der Variationsrechnung (II A 8) vgl. B. Riemann, Gesammelte math. Werke 
hrsg. von H. Weber, Leipzig 1876, p. 287; H. A. Schwarz, Gesammelte math. Ab- 
hndlgn. 1, Berlin 1890, p. 223, 270; G. Scheffers, Einfuhrung in die Theorie der 
Flachen, Leipzig 1902, p. 231. Fur die Anwendung der 0. Bonnefschen Methode 
vgl. H. Ee sal das unter 132") zitierte Werk p. 123; fur die Anwendung der 
Grassmann schen Methode vgl. H. Grassmann, Inaug. Dissert. Halle a/S. 1893, p. 84. 

177) Paris, Mem. say. [e tr.] 10 (1785) (lu 1776), p. 504. 



20. Die von Scherk, Catalan, Enneper gefundenen Minimalflachen. 309 

ist nicht gebrauchlich geworden. Meusnier fand, dass jede gerad- 
linige Minimalflache mit einer Leitebene eine gewohnliche Schrauben- 
flache, und jede Rotations-Minimalflache die Umdrehungsflache der 
Kettenlinie (Catenoid}} ist (1. c. p. 507, 508). G. Mange} und 
A. Legendre 180 } stellten, der erste unter Benutzung seiner Theorie der 
Charakteristiken (II A 5 ; Nr. 43), der zweite unter Anwendung der nach 
ihm benannten Transformation (ib.) als allgemeine Losung obiger 
Differentialgleichung die Ausdriicke auf 181 ): 



Hier bedeuten a und /3 zwei Parameter, <p() und ^(/3) willkiihrliche 
Funktionen. 

Da der Ausdruck fiir g } falls a und /3 reelle Veranderliche be 
deuten, rein imaginar wird, so musste der geometrische Wert der 
Monge scheji Integration dunkel bleiben, bis die Lehre von den Funk 
tionen einer komplexen Veranderlichen geniigend ausgebildet war. Es 
wiirde hier v\ weit fiihren, auf die Versuche einzugehen, die nament- 
lich von H. F. Scherk 182 ), E. Bjorling 183 ), E. Catalan 184 ), 0. Bonnet 185 ) 
unternommen wurden, um die im Monge schen Integral auftretende 
Schwierigkeit zu iiberwinden. Wir erwahnen nur die bei dieser Ge- 
legenheit gefundenen Minimalflachen selbst. 

20. Die von Scherk, Catalan, Enneper gefundenen Minimal 
flachen. Scherk zeigte, dass die Gleichung: 

_ cosy 



COS X 



eine Minimalflache darstellt und fand ausserdem die Gleichung der 

178) M. Schilling, Halle a/S., Modelle von G.Herting, Nr. 220223. Uber 
die Kettenlinie vgl. G. Loria, Spezielle algebr. u. transscend. ebene Kurven, 
deutsch von F. ScMtte, Leipzig. 1902, p. 574 (IIID4, Nr. 27). 

179) Applic. 20. 

180) Paris, Me m. sav. [6tr.] (1789) (lu 1787), p. 309; ibid., p. 314 Ausdrucke 
fur x, y, z ohne Quadrataren. 

181) Vgl. Serret-Harnack, Lehrb. der Diff.- u. Integr.- Rechnung 2, zweite 
Halfte (1885), p. 321; A. Enneper, Zeitschr. Math. Phys. 7 (1862), p. 15. 

182) Lipsia, Societatis Jablonovianae nova Acta 4 Fasc. 2 (1831); J. f. Math. 
13 (1835), p. 185. 

183) Archiv Math. Phys. 4 (1843), p. 301. 

184) J. e c. polyt. 21 (1858), p. 129. 

185) Par., C. R. 37 (1853), p. 531; 40 (1855), p. 1108 und ausfuhrlich J. de 
math. (2) 5 (1860), p. 222. 



310 HI D 5. B.v.LilientJidl. Besondere Flachen. 

Minimalflachen, die zugleich Schraubenflachen 185a ) sind. Auf die erstere 
Flache kam A. Ennepcr 186 ) bei der Beantwortung der Frage nach solchen 
Minimalflachen ; die cine Schar ebener Meridiankurven (HID 3, Nr. 41) 
besitzen, und auf die ScbraubenfUichen bei der Frage nach Minimal- 
flachen, die eine Schar geodatischer Meridiankurven besitzen 187 ) 
Catalan**) fand die Minimalnache, deren Gleichung sich durch Eli 
mination von # aus den Beziehungen ergibt: 

(x 9) cos & = (y 1) sin & , 
2 2 cos # + 4y(l ~ cos Q) -- 4(1 ~ cos #) 2 = 0. 
Dieselben stellen fiir jeden bestimmten Wert von & eine Parabel dar ; 
deren Ebene auf der #7/-Ebene senkrecht ist, und deren Scheitel bei 
sich anderndem 9- die Cykloide (III D 4, Nr. 6) mit den Gleichungen 
x = 0- sin <fr ; y = 1 cos ft durchlauft. 1st C der Mittelpunkt des 
Rollkreises, und CP der zum zugehorigen Cykloidenpunkt fiihrende Halb- 
messer, so werden die Radien CP von einer neuen Cykloide eingehilllt, 
die den Radius CP im Punkte mit den Koordinaten x = \ (2 ft sin 2^) ; 
y -\-(l cos 2-9-) beriihrt. Durch diesen Punkt geht die Direktrix 
der zu & gehorenden Parabel. Die Flache ist enthalten unter den 
von Enneper 189 ) bestimmten Minimalflachen, die eine Schar von Pa- 
rabeln und eine Schar ebener Meridiankurven besitzen. Diese Flachen 
entstehen durch geometrische Zusammensetzung (vgl. Nr. 31) der 
Catalan schen Flache und der Schraubenflache, wobei die Punkte der 
Parabeln und die der Erzeugenden der Schraubenflache einander zu- 
geordnet sind. 

21. Analytische Darstellungen der Minimaljaachen von Wein- 
garten, Enneper, Weierstrass, Riemarm, Peterson, Beltrami. Die 

Weingarterische Darstellung der Minimalflachen 189a ) wurde bereits 
in Nr. 17 erwahnt. Die fiir Minimalflachen geltende Bedingung 
-9-(A ) = Y ergibt fiir das Quadrat des Linienelementes des sphari- 
schen Bildes dieser Flachen die Form 7^ Jeder konformen 

185 ) Vgl. M. Falchi, Giorn. di mat. 34 (1896), pag. 89. 

186) Gott. Abh. 29 (1882), p. 41. Ausfuhrlich wird die Scherk aehe Mini- 
malflache behandelt von G. Scheffers in dem iin Zitat 176) genannten Werke 
p. 252. Vgl. E. Kummer, Inaug. Dissert. Leipzig 1894. 

187) Gott. Abh. 29 (1882), p. 68. 

188) Zitat 184), p. 160 und Paris, C. R. 41 (1855), p. 1019. Modell von 
Laine, bei M. Schilling, Halle a/S., Nr. 225. 

189) Gott. Abh. 29 (1882), p. 49. Modell von Tallqvist, bei M. Schilling, 
Halle a/S., Nr. 226. 

189) J. f. Math. 62 (1863), p. 164; vgl. E. Beltrami, die unter 20 ) zitierte 
Arbeit, p. 59. 



21. Analytische Darstellungen der Minimalflachen. 31 1 

Abbildung der Kugel auf die Ebene (III D 6a ; Nrr. 11,33) entspricht 
somit eine durch die Weingarten schen Formeln darstellbare Minimalflache. 
A. Enneper*) geht von den drei Fundamentalgleichungen aus, 
wie sie unter der Annahme gelten, class die Parameterlinien mit den 
Krummungslinien zusammenfallen (III D 3 7 Nr. 9) ; und findet fur die 
Koordinaten der Punkte der Minimalflachen die Gleichunen: 



Hier sind p und q konjugiert komplexe Veranderliche, wahrend g>(p) 
und il>(q) in den Formen &(p) -f iV?(p), (q)iW(q) angenommen 
werden, wo und ^ fiir reelle Werte von p reell sein sollen. Die 
Krummungslinien fallen mit den Kurven p -f- q = const, und p q 
= const, zusammen. Einfache Voraussetzungen hinsichtlicli der Funk- 
tion cp(p) fiihren Enneper einerseits zu einer algebraischen Minimal 
flache neunter Ordnung 191 ), andererseits zum Nachweis, dass die 
von Scherk gefundenen Schraubenflachen zugleich die allgemeinsten 
Schraubenflachen mit der Eigenschaft E 1 -j- E 2 = sind 192 ). 

K Weierstrass 193 ) fasst auf einer Minimalflache ein beliebiges 
isothermes Kurvensystem (III D 3, Nr. 19) ins Auge, dessen Parameter 
mit p und q bezeichnet werden. Es ergeben sich die Gleichungen: 
^4_^_ Fyid y^ Wz , d*z 

dp^ ^dq 1 cp*^"df- u ap + a? = > 

und so folgt der Satz, dass x, y, z die reellen Teile dreier analytischer 
Funktionen f, g, h der komplexen Veranderlichen u =p -f qi sind, wo- 
bei die Funktionen f f g, h der Bedingung unterliegen: 



Diese Gleichung lost Weierstrass, unter G und H zwei willkurliche 
Funktionen verstehend, in folgender Weise auf: 



190) Zeitschr. Math. Phys. 9 (1864), p. 107. 

191) Zitat 190), p. 108. M. Schilling, Halle a/S., Modell von G. Herting, Nr. 224. 

192) Zitat 190), p. 110. Vgl. ,,Darboua^ 1, p. 276; ,,Bianchi", p. 273; E. La- 
marle, J. de math. (2) 4 (1859), p. 241. 

193) Berlin. Monatsberichte 1866, p. 612. Vgl. auch HI D 6 a, Nr. 21. 

194) Vgl. Lacroix, Traite du calcul diff. et int. 2, Paris 1814, 2. Aufl, 
p. 627; ,,Darl>oux" 1, p. 274. 



312 III D 5. R v. Lilienthal Besondere Flachen. 

Das betrachtete Kurvensystem vermittelt die konforme Abbildung 
(II B 1, Nrr. 5, 18) eines gehorig begrenzten Stiickes der Minirualflache 
auf ein Stuck (E) der_p, g-Ebene. Bezeichnen wir rait JP O , q dieKoordi- 
naten eines beliebig innerhalb des letzteren gewahlten Punktes, rnit 
X , y Q) Z Q die Koordinaten des entsprechenden Punktes der Minimal- 
flache und setzen w = p Q -f- q Q i , so eutsteht: 

) IP(u))du, 



2 (w) -f H\u}} du , z = Z Q + m2G(u) H(u) du . 

o 

Das Zeiclieu 9t bedeutet, dass der reelle Teil des jeweiligen Inte 
grals in Rechnung gesetzt werden soil. Die Grb sse ~~ = s besitzt 

folgende geometrische Bedeutung. Werden die Richtungskosinus der 
Normalen der Minimalnache mit X, Y, Z bezeichnet, so projiziere 
man den dem Punkt (x, y, z] der Minimalflache entspreclienden Punkt 
(X, Y, Z) der Einheitskugel voni Punkte x 0, y = ; 0=1 der- 
selben aus auf die Ebene = 0. Wird dadurch der Punkt x = x , 
y y erhalten, so ist s = x -f- y i. Fiihrt man an Stelle der un- 
abhangigen Veranderlichen u die Veranderliche s ein und setzt: 
ds, so ergibt sich 195 ): 



x = R1 s 2 ) %(s)ds, y = fti (1 + 5 2 ) % (s) ds , 



Um x } y, z ohne Verwendung von Integralzeichen darzustellen, be- 
zeichnet Weierstrass mit F(s) eine Funktion, deren dritte Ableitung 
$(s) ist und erhalt: 

x = { (1 s 2 ) F"(s) + 2s F (s) 2F(s) } , 

y = ffl{ t -(i + J)F"(s) 



Hiermit ist gezeigt ; dass zu jeder analytischen Funktion eine Minimal 
flache gehort und umgekehrt. Ferner bewies Weierstrass den umkehr- 
baren Satz, dass zu jeder algebraischen Funktion F(s) auch eiue 
algebraische Minimalflache gehort. Die zweiten Weierstrass schen Aus- 
driicke gehen aus den Enneper schen hervor, wenn PJ ]/2$(s)ds 
genommen, und die Umkehrungsfunktion dieses Integrals mit <)p(jp) be- 

195) Vgl. die Arbeiten von L. Kiepert, J. f. Math. 81 (1876), p. 337 und 
85 (1878), p. 171; J. Weingarten, Zeitschr. Math. Phys. 3 (1868), p. 43. 



21. Analytische Darstellungen der Minimalflachen. 313 

zeichnet wird. Daher erhalt man bei der Weierstrass schen Darstellung 
die Gleichungen der Kriimmungslmien, wenn man den reellen und den 

imaginaren Bestandteil des Integrals J ]/2 : (sj ds je einer Konstanten 
gleich setzt 196 ). 

Dass iiberhaupt die Kriimmungslinien und ebenso die Haupt- 
tangentenkurven einer Minimalflache sich durch Quadraturen bestimmen 
lassen ; zeigte zuerst M. Roberts 197 ) und dann 0. Bonnet 198 ). Auch 
die Darstellung der Minimalflachen in Ebenenkoordinaten 198a ) ist von 
Weierstrass in der genannten Arbeit ausgefuhrt. Eine eingehende 
Behandlung der Theorie der Minimalflachen in diesen Koordinaten 
findet man bei ,,Darboux" I, p. 296 ff. Daselbst (p. 303) sind auch 
die Veranderungen untersucht, welche die Funktion g(s) und die 
entsprechende bei Anwendung von Ebenenkoordinaten auftretende 
Funktion erleidet, falls man die Minimalflache aus einer Lage irgend- 
wie in eine neue Lage bringt 198b ). 

Neben der Weierstrass schen Darstellung der Koordinaten einer 
Minimalflache erwahnen wir die B. Riemann sche 199 ) (1860/61). 

Hier wird um den Koordinatenanfangspunkt eine Kugel mit dein 
Halbmesser Eins beschrieben, und die spharischen Bilder (HID 3, Nr. 7) 
der Punkte der Minimalflache werden vom Punkte (x 1, y = 0, 
= 0) aus auf die im Punkte (x=l, y = 0, = 0) beriihrende Tan- 
gentialebene der Kugel projiziert. In dieser Ebene legt B. Riemann 
durch ihren Beruhrungspunkt mit der Kugel die y - und s -Achse 
bezw. parallel der y- und ^-Achse und ordnet jenem Projektionspunkte 
die komplexe Zahl r] = y -\-e i zu. Wird in der Gleichung der 
Minimalflache x als eine Funktion von y und z betrachtet, so ist nach 
dem Obigen die Differentialform Zdy -j- Ydg gleich dem Differential 
einer Funktion von y und z, die mit j bezeichnet wird. Es zeigt 
sich, dass die Funktion x -J- i J = 2 U nur von r t abhangt, und weiter, 
dass die Funktion 

A/T d~lT 

u = I I/ i -JT- - a log T? 
J Y d log rj 

durch eine Drehung des x-y-z-$ystems um seinen Anfangspunkt nicht 
beeinflusst wird. Mit Hilfe dieser Funktion u driickt Riemann die 
Koordinaten der Punkte der Minimalflache durch die Gleichungen aus: 

196) Vgl. ,,BiancU", p. 358; ,,Dartoux" 1, p. 312. 

197) J. de math. (1) 11 (1846), p. 300. 

198) ibid. (2) 5 (1860), p. 228. 

198 a ) Vgl. J. Franz, Arch. Math. Phys. 55 (1873), p. 111. 
198 b ) Vgl. die unter 20 ) zitierte Arbeit von E. Beltrami, p. 63. 

199) Die unter 176 ) zitierten gesammelten Werke p. 292. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 21 



314 III D 5. R. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 



e = 



Nach einer Spiegelung der Flache an der Ebene x = stimrnen die 
Riemanriscken Formeln mit den zweiten Weierstrass schen bis auf die 

Bezeichnung der Achsen iiberein, wenn rj == s , S( s ) == M^~) gesetzt 

wird. Ist u die komplex konjugierte von u, so werden hier die 
Kriimmungslinien durch die Gleichung u + * u const., die Haupt- 
tangentenlinien durch die Gleichung u + u = const, bestimmt. Das 
in dem Ausdruck fiir x auftretende Integral ist gleich C/"; ebenso 
mogen die in den Ausdriicken fiir y und z auftretenden Integrate 
mit V und W bezeichnet werden. Riemann zeigt, dass durch die 
Gleichungen fiir x, y und z die Minimalflache auf jede der die kom- 
plexen Grossen U, V, W geometrisch darstellenden Ebenen konform 
abgebildet wird, und, dass der Inhalt eines Minimalflachenstiicks gleich 
ist der halben Summe der Inhalte seiner Bilder in diesen Ebenen 199a ). 
K. Peterson 199b ) findet im Verlauf von Untersuchungen iiber die 
Biegung der Flachen fiir die Koordinaten einer Minimalflache eine 
Darstellung, die einen willkiirlichen Parameter a enthalt, iiamlich: 
if* \ If* \ I (* \ 

wo f(l) eine Funktion der komplexen Veranderlichen I ist. Die den 
einzelnen Werten von a entsprechenden Minimalflachen bilden eine 
Schar assoziierter Minimalflachen (Nr. 23). Die Peterson sche Dar 
stellung gebt in die zweite Weierstrass sche iiber vermoge der Sub 
stitution: 

E. Beltrami 20 ) geht aus von dem Umstand, dass fiir die zweiteu 
Differentialparameter (HI D 3, Nr. 8, p. 124) der Koortlinaten einer be- 
liebigen Flache die Gleichungen gelten: 

199") Bei Riemann, 176 ) p. 291 steht irrtiimlich ,,doppelte" Summe statt 
,,halbe u ; richtig bei H. A. Schwarz in den unter 174ft ) zitierten ges. Abhandlg. 
p. 177, 178, wo auch der Riemann sche Ausdruck fiir den Inhalt eines Minimal- 
ilachenstiicks eine geometrische Veranschaulichung findet. 

199 b ) t)ber Kurven und Flachen, Leipzig 1868, p. 67. Herrn P. Stdckel ver- 
dankt der Verfasser die Mitteilung, dass sich die obigen Formeln schon in einer 
russisch geschriebenen Arbeit Peterson s aus dem Jahre 1866 befinden. Vgl. die 
Mitteilungen iiber Peterson von P. Stdckel, Biblioth. Mathein. (3) 2 (1901), p. 128. 

200) Bologna, Mem. (2) 7 (1868), p. 3. 



22. Bestimmung eines Minimalflachenstticks bei gegebener Begrenzung. 315 



Hieraus folgt, dass eine Minimalflache von jeder Schar paralleler 
Ebenen in isothermen Linien geschnitten wird. Sind u und v die 
Parameter zweier zu einander senkrechter Isothermenscharen auf einer 
Minimalflache, und setzt man u -f- vi = w, so folgt wie vorhin, dass 
x, y, z die reellen Teile dreier Funktionen <p, 4>, % yon w sind, die 
der Beziehung: 



geniigen. Diese Gleichung wird nun in abnlicher Weise befriedigt, 
wie Lagrange die Gleichung ds 2 = (fa: 2 -f- dy* ohne Integralzeichen 
loste (HID 1, 2, Nr. 13; vgl. die Entwicklungen und historischen An- 
gaben bei P. StacM, Leipz. Ber. 1902, p. 101). So erhalt Beltrami, 
unter f eine willkurliche Funktion verstehend: 



df 



= sm 



d*/ 1 



cos 



= cos 



Fiir die Richtungskosinus der Normalen der Minimalflache ergeben 
sich die Gleichungen: 



cos u 



Z=ig hyp. v . 



cos hyp. v cos hyp. v } 

Die Kurven u = const, auf der Einheitskugel sind somit die durch 
die #-Achse gehenden Meridiane, die Kurven v = const, die zuge- 
horigen Parallelkreise. Der Ubergang von den dritten Weierstrass- 
schen Formeln zu den BeUrami schen vollzieht sich mit Hiilfe der 
Substitutionen: 



s = ie 



201 s ) 



22. Bestimmung einer Minimalflache bei gegebener Begrenzung. 

(Vgl. Nr. 24). Von Bedeutung ist die Aufgabe, eine Minimalflache 
durch eine vorgeschriebene Begrenzung zu legen. Obgleich J. A. 
Serret 202 ) und 0. Bonnet 203 ) sich schon mit der Aufgabe beschaftigt 
hatten, Minim alflachen zu bestimmen, auf denen gegebene Gerade 
liegen, wurde die Aufgabe bei vollstandiger geradliniger Begrenzung 

201) tfber die Weierstrass sche und Beltramfsche Darstellung der Minimal- 
flachen vgl. S. Pincherle, Giorn. di mat. 14 (1876), p. 75. 

202) Paris, C. R. 40 (1855), p. 1078. 

203) J. de Math. (2) 5 (1860), p. 245. 

21* 



316 III D 5. B. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

der Flache erst von Riemann lls ) und Weierstrass 2M } auf das analy- 
tische Problem der konforrnen Abbildung eines ebenen Flachenstiickes 
auf em zweites zuruckgefiihrt (II B 1, Nr. 18). 

Bereits Sonnet 203 } fand, dass in den nach ihm benannten Ver- 
iinderlichen (III D 3, Nr. 7, p. 121) das Quadrat des Linienelements einer 
Minimalflache die Gestalt besitzt: 

ds* = (v* + w*) (dx* + dy*), 

wahrend das entsprechende Linienelement der Einheitskugel durch die 
Gleichung: 



cos 



gegeben ist. Daraus folgt 1) dass die Meridiane und Parallelen (HID 3, 
Nr. 41) auf den Minimalflachen nicht nur, wie schon Minding w5 ) zeigte, 
ein orthogonales, sondern auch ein isothermes System bilden; 2) dass 
die Minimalflachen durch die Gauss sche Abbildungsart (III D 6 a, Nrr. 11, 
33) konform auf die Einheitskugel abgebildet werden. Die letztere Eigen- 
schaft kornmt, wie E. B. Christoffel 20G ) nachwies, wenn man von dem 
trivialen Fall der Kugel absieht, ausschliesslich den Minimalnachen zu. 
Ferner stellte Sonnet 207 ) den Satz auf, dass auch die Kriinimungslinien 
einer Minimalflache isotherm sind, woraus sich dann ergibt, dass die 
Haupttangentenkurven ebenfalls isotherm sind, da sie, wie Ch. Duping 
zeigte, den Winkel der Kriimmungslinien halbieren 209 ). Denkt man 
sich nun ein regulares Stuck einer Minimalflache zuerst durch paral- 
lele Normalen auf die Einheitskugel abgebildet und das hier ge- 
wonnene Stuck durch stereographische Projektion auf die s-Ebene 
abgebildet, so moge der Ebenenteil T erhalten werden. Wird das- 
selbe Stuck der Flache konform auf die jo-Ebene abgebildet, so moge 
der Ebenenteil T 2 erhalten werden. Bine Weierstrass sche Funktion 
$ (s) vermittelt die konforme Abbildung von T 2 auf T v Ist umgekehrt 
die Gestalt von T 2 und T 1} so wie die konforme Abbildung von T 2 auf 
T l bekannt, so ergibt sich $(s), und damit sind die Koordinaten der 
Minimalflache durch Quadraturen zu erhalten. Die Art der Begrenzung 
von T l und T 2 ist bekannt in dem von Eiemann und Weierstrass be- 
trachteten Falle der geradlinigen Begrenzung des Minimalflachenstucks. 



204) Berlin, Monatsberichte (1866), p. 855. 

205) J. f. Math. 44 (1852), p. 71. 

206) J. f. Math. 67 (1867), p. 218; ,,Darboux" 1, p. 309. 

207) Paris, C. R. 37 (1853), p. 529. 

208) Developpements, p. 187 (III D 3, Nr. 3). 

209) Vgl. die Beweisftihrung bei H. A. Schwarz, Abhandl. 1, p. 172 u. 
U. Dini, Ann. di mat. (2) 4 (187071), p. 185. 



23. Die einer Minimalfliiche assoziierten Minimalflachen. 317 

Eine auf einer Flache gelegene Gerade ist stets eine Haupttangenten- 
kurve derselben, ihr spharisches Bild der Bogen eines grossten Kreises, 
dessen Ebene senkrecht zur Geraden ist. Das durch stereographische 
Projektion (III D 6 a, Nr. 4) erhaltene Bild eines Kugelkreises in der 
s-Ebene ist geradlinig oder kreisformig. Ebenso ist das Bild einer 
auf der Minimalflaclie liegenden Geraden in der |)-Ebene wieder eine 

Gerade, die unter dem Winkel - - oder - - gegen die reelle Achse 

geneigt ist. Man steht also vor der Aufgabe, ein von Kreisbogen 
begrenztes Vieleck auf ein geradliniges Vieleck konform so abzubilden, 
dass die Begrenzungen sich entsprechen. Der Fall, in dem die Be- 
grenzung der Minimalflache aus vier paarweise einander gegeniiber- 
liegenden Kanten eines regelmassigen Tetraeders gebildet wird, ist 
ausfiihrlich von H. A. Schwartz 210 } und A. Schorndorf 2u ) bebandelt. 
Sclitvarz verallgemeinerte die Art der Begrenzung der Minimalflaclie 
zur sogenannten } ,Schwarz schen. Kette", indem er neben geradlinigen 
Stiicken Ebenen hinzunalim, gegen welche die Minimalflaclie senk- 
reclit geneigt sein soil 212 ). Das in einer solchen Ebene liegende 
Begrenzungsstiick ist dann eine geodatische Kriimmungslinie der 
Minimalflache, besitzt also als spharisches Bild den Bogen eines 
grossten Kreises. Den besonderen Fall zweier von einem Punkt aus- 
gehender Strecken und einer Ebene als Scliwarz sclie Kette behandelte 
E. K. Neovius 213 ). Die Annahme, dass die Minimalflache gegen die 
auftretenden Ebenen nicht senkrecht, aber konstant geneigt sei, unter- 
suchte Cr. Tem ws 214 ). 

23. Die einer Minimalflaclie assoziierten Minimalflachen. Be vor 

wir auf ein zweites Verfahren zur Losung der in Rede stehenden 
Aufgabe iibergehen, ist der Begriff der einer Minimalflache assoziierten 
Minimalflachen zu erlautern. Ersetzt man in der zweiten Weierstrass- 
schen Darstellung der Koordinaten einer Minimalflache die Funktion 
%(s) durch e ia i$(s), wo a eine reelle Konstante bedeutet, so erhalt 

210) Abhandl. 1, p. 6; Preisschrift Akad. Berlin 1867. 

211) Preisschrift philos. Fak. Gottingen 1868. Man vgl. die Darstellung bei 
,,Bianchi", p. 382 und ,,Darboux", p. 424. Dazu A. Schonflies, Paris, C. R. 112 
(1891), p. 478 u. 515. 

212) Abhandl. 1, p. 130. Einen weiteren besonderen Fall behandelt die 
Inaug.-Dissert. von F. Bohnert, Gottingen 1888. 

213) Helsingfors Akadem. Abhandl. 1883. Eine Arbeit desselben Ver- 
fassers in den Helsingfors Soc. Sc. Fenn. Acta 1888, p. 1 erortert Singulari- 
t aten, die im Innern und auf der Begrenzung eines geradlinig begrenzten 
Minimalnachenstficks auftreten konnen. 

214) Marburg, Inaug.-Dissert. 1888. 



318 III D 5. E. v. Lttienthal. Besondere Flachen. 

man eine Minimalflache, die der urspriinglichen assoziiert heisst 215 ). 
Hier gelten die Satze: 

1) In entsprechenden, d. h. zu demselben Wert von s gehorenden 
Punkten der Minimalflache und einer assoziierten Flache sind die 
Normalen der Flache parallel (III D 6 a, Nr. 12). 

2) Die Kriimmungslinien der associierten Flache bilden mit den 
Kriimmungslinien der urspriinglichen Flache den Winkel ---, ihre 

2 

geodatische Kriimmung ist gleich der geodatischen Kriimmung der- 
jenigen Kurven auf der urspriinglichen Flache, welche die Kriimmungs 
linien unter dem Winkel - - schneiden. 

2 

3) Entsprechende Linienelemente beider Flachen bilden mit ein- 
ander den Winkel a. 

4) Die Assoziierte ist eine Biegungsflache der urspriinglichen 
Flache (III D 6 a, Nr.27). 

5) Die Punkte der Minimalflache beschreiben wahrend der 
Biegungen, die zu den assoziierten Flachen fiihren, eine aus lauter 
Ellipsen bestehende doppelt unendliche Kurvenschar. Nimmt man 
den Winkel K gleich - , so nennt man die entsprechende assoziierte 
die adjungierte Flache. Sie ist wohl der Form nach, aber nicht hin- 
sichtlich ihrer Lage im Raume vollig bestimmt 216 ). Bonnet wies zuerst 
auf die adjungierte Flache hin unter Aufstellung des Satzes ?1? ), dass 
die Haupttangentenkurven der Adjungierten den Kriimmungslinien der 
urspriinglichen Flache entsprechen. Hinsichtlich der Biegung, durch 
die eine Minimalflache in ihre adjungierte iibergeht, zeigte Bianchi 218 ), 
dass jede geodatische Linie in der Weise gebogen wird, dass die erste 
bezw. zweite Kriimmung (III D 1, 2, Nrr. 29, 30) der gebogenen Kurve 
gleich ist der zweiten bezw. ersten Kriimmung der urspriinglichen 
Kurve. Wir erwahnen noch die Darboux scheii Satze 219 ): Sind zwei 
Flachen in der Weise auf einander abwickelbar, dass entsprechende 
Linienelemente einen konstanten Winkel mit einander bilden, so sind 
sie assoziierte Minimalflachen (III D 6 a, Nr. 27). Ist jener Winkel 
gleich einem Rechten, so hat man es mit einer Minimalflache und ihrer 
adjungierten zu thun. 

Die einer Minimalflache assoziierten Flachen brauchen der Gestalt 
nach nicht von ihr verschieden zu sein. So sind z. B. die auf eine 
Rotationsflache abwickelbaren Minimalflachen dadurch gekennzeichnet, 

215) K. Peterson, tiber Kurven u. Flacheu, Leipzig 1868, p. 67; Schwarz, 
Abhandl. 1, p. 175. 

216) ,,Darboux" 1, p. 323. 217) Par., C. R. 1853, p. 532. 

218) Giorn. di mat. 22 (1884), p. 374. 219) ,,~Darl>oux" 1, p. 331. 



24. Methode von Darboux. 319 

dass die Funktion g(s) den Ausdruck Cs* besitzt (HID 6 a, Nr. 27). 
Aus diesem Umstande folgt 220 ), dass, wenn ;< von -2 verschieden, 
die assoziierten Flachen durch Drehung um eine Gerade aus der ur- 
sprunglichen hervorgehen. Zu den fraglichen Flachen gehort auch die 
von Enneper 221 ) gefundene, bei der K gleich Null ist. 

24. Methode von Darboux. Das oben erwahnte zweite Ver- 
fahren zur Bestimmung eines Minimalflachenstuckcs, dessen Begrenzung 
in der Form einer Schwarz schen Kette gegeben ist, hat Darboux 
angegeben 222 ). Es beruht auf der Anwendung der ersten Weierstrass- 
schen Darstellung (Nr. 21) der Minimalflachen, die in der Gestalt: 

x = fti(G(t? H(t)*)dt, y = 



benutzt wird. Ist: 

* & . 

<* = 



die DifFerentialgleichung, der G(f) und H(f) als partikulare Integrale 
geniigen, so wird durch jedes Paar von einander unabhangiger parti- 
kularer Losungen derselben eine Minimalflache bestimmt, und die 
samtlichen so erhaltenen Minimalflachen betrachtet Darboux als zur 
selben Familie gehorig. Die einer Minimalflache assoziierten Flachen, 
also auch ihre adjungierte Flache, gehoren mit ihr in dieselbe Familie. 
Denkt man sich das fragliche Minimalflachenstiick derart auf die 
^-Ebene abgebildet, dass den inneren Punkten des Stiickes die Werte 
von t mit positivem imaginaren Teil, den Punkten der Begrenzung 
die reellen t- Werte entsprechen, so gelingt die Bestimmung von p und 
# 223 ) bis auf die Festlegung numerischer Konstanten mit Hulfe der 
Bemerkung, dass die Begrenzung der adjungierten Flache ebenfalls 
aus einer Schwarz schen Kette besteht, deren Ebenen den Strecken 
und deren Strecken den Ebenen der ersten Kette entsprechen. Die 
Funktionen p und q sind in der ganzen -Ebene eindeutig, und reell 
fur reelle Werte von t. Der Gesamtheit der letzteren entspricht auf 
jeder zur fraglicheu Familie gehorenden Minimalflache eine Begrenzungs- 
linie, von der sich zeigen lasst 224 ), dass sie aus ebenen Krummungs- 
linien, die aber nicht geodatisch zu sein brauchen, und aus Haupt- 
tangentenkurven besteht, die nicht geradlinig zu sein brauchen, 
namlich auch auf einem beliebigen Zylinder gezogene Schrauben- 



220) ,,Bianchi", p. 373, 374. 221) Gott. Abh. 29 (1882), p. 73. 

222) ,,Darboux" 1, p. 456. 

223) ,,Darboux" 1, p. 472. 224) ibid. p. 475. 



320 in D 5. R. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

linien sein konnen. Das spharische Bild einer solchen Begrenzung 
besteht aus Bogen von kleinen Kreisen. Man hat daher zwei solche 
partikulare Integrals aufzufinden, die eine Begrenzung liefern, welche 
1) nur aus geodatischen Kriimmungslinien und geradlinigen Haupt- 
tangentenkurven besteht und 2) mit der gegebenen Sc/war/schen 
Kette zusammenfallt. 1st umgekehrt eine Differentialgleichung zweiter 
Ordnung von obiger Form mit bestimmbarer Grruppe 224a ) (IIA4b, 
Nr. 18) gegeben, so kann man nach den mit ihr vertraglichen Be- 
grenzungen von Minimalnachenstucken fragen. Darboux hat von diesem 
Gesichtspunkte aus namentlich die Differentialgleichung der hypergeo- 
metrischen Reihe (I A 3, Nr. 55; II B 7) untersucht 225 ). 

Hinsichtlich der Bestimmung einer Minimalflache mittels vor- 
geschriebener Begrenzung ist noch der von Eicmann} betrachtete 
Fall zu erwahnen, in dem die Begrenzung aus zwei parallelen Kreisen 
besteht. Hier gelangt Biemann durch die Annahme zum Ziel, dass 
die den Kreisen parallelen Ebenen die Minimalflache ebenfalls in 
Kreisen schneiden. (Vgl. Nr. 26). 

25. Bestimmung einer Minimalflache durch einen analytischen 
Streifen. Anstatt durch eine vorgeschriebene Begrenzung, lasst sich 
eine Minimalflache, wie schon Bjorling 183 ) und Sonnet 221 ) erkannten, 
auch durch die Forderung bestimmen, dass sie eine gegebene Kurve 
enthalten und langs der Kurve vorgeschriebene Normalen besitzen soil. 
Dabei miissen die Koordinaten der Kurve und die Richtungskosinus 
der Normalen als analytische Funktionen einer Veranderlichen gegeben 
sein, sodass sie auch fur komplexe Werte dieser Veranderlichen be- 
stimmt sind. Man driickt daher die in Rede stehende Forderung auch 
so aus, dass man sagt, die Minimalflache solle durch einen gegebenen 
analytischen Streifen hindurchgelegt werden 228 ). Betrachten wir die 
Koordinaten der gegebenen Kurve (x , y Q , # ) und die gegebenen 
Richtungskosinus der Normalen (X , Y" , Z ) als Funktionen von t, 
so erhalt man fiir die Koordinaten x, y, z der verlangten Minimal 
flache nach Schwartz Z2g ) die Gleichungen: 



y = 91 

Y dx 
wo in den rechtsstehenden Klammern der Veranderlichen t komplexe 

224) C. Jordan, Cours d Analyse 3, zweite Aufl., Paris 1896, p. 193. 
225) ibid. p. 478. 226) Werke, p. 311. 

227) Paris, C. E. 40 (1855), p. 1107. 228) ,,Bianchi", p. 378. 

229) Abhandl. 1, p. 179. 



25. Bestimmungsart einer Minimalflache. 321 

Werte beizulegen sind. Schivarz kniipft an diese Formeln die Folge- 
rungen: 

1) Jede auf einer Minimalflache gelegene Gerade ist eine Sym- 
metrieachse der Flache. 

2) Schneidet eine Ebene eine Minimalflache iiberall senkrecht, 
so ist sie eine Symmetrieebene der Flache 230 ). 

Nach dem Vorigen ist eine Minimalflache durch die Forderung 
bestimmt, dass eine gegebene Kurve eine auf ihr liegende geoda- 
tische Linie oder eine Haupttangentenkurve sein soil. Im ersteren 
Fall ist langs der Kurve ihre Hauptnormale, im zweiten ihre Bi- 
normale zugleich Normale der Flache. Mit der Berechnung der Minimal 
flache, die eine gegebene ebene Linie als geodatische Linie besitzen 
soil, beschaftigt sich die Inaug.-Dissertation von L. Henneberg 231 ) ? 
und zwar wird hier von dem oben erklarten Abbildungsverfahren 
Gebrauch gemacht. Henneberg untersucht die Minimalflachen, bei 
denen eine Ellipse oder Hyperbel als geodatische Linie auftritt, 
ebenso die betrefienden adjungierten Flachen. Die Minimalflache, 
fur welche eine Parabel eine geodatische Linie 232 ) ist, fallt mit 
der oben erwahnten Catalan schen Minimalflache zusammen. Auch 
die Minimalflachen, fiir welche die Evolute eines Kegelschnittes 
eine geodatische Linie ist, sind von Henneberg a. a. 0. berechnet. 
Man vergleiche zu der in Rede stehenden Frage die Preisarbeit von 
A. Ribaucour 233 ), wo auch die Falle, in denen eine Epi- oder Hypo- 
cykloide oder eine Ribaucour sche Kurve als geodatische Linie einer 
Minimalflache betrachtet wird, erortert werden. Fiir die Lemniskate 
(III C 3) wurde unsere Aufgabe von 0. v. Lichtenfels^ u \ fiir die Cykloide 
von 0. NiewenglowsJd 235 ) behandelt. Auf Scharen von Minimalflachen, 
die durch elliptische Integrale darstellbar sind, und bei denen Kurven 
mit konstanter erster Kriimmung als Haupttangentenkurven auftreten, 
hat JR. v. Lilientlial aufmerksam gemacht 236 ). 



230) ,,Bianchi", p. 379. 231) Heidelberg 1875. 

232) Vgl. A. Herzog, Bestimmung einiger spezieller Minimalflachen, Zurich, 
Naturf. Ges. Viert.-Schrift 1875. 

233) Etude des elassoides, Bruxelles Mem. cour. in 4, 44(1880), 110, 123. 
Unter einer Eibaucour schen Kurve versteht man eine ebene Kurve, bei der die auf 
den Kurvennormalen gemessenen Entfernungen der Kurvenpunkte von den Punkten 
einer festen, in der Ebene der Kurve liegenden, Geraden in konstantem Ver- 
haltnis zu den entsprechenden Krurnmungshalbmessern der Kurve stehen. Vgl. 
G. Loria, das unter 178) zitierte Werk, p. 521 (III D 4, Nr. 26). 

234) Wien, Berichte (1886), p. 41. 

235) Nouv. Ann. (3) 7 (1888), p. 391. 

236) Inaug.-Dissertation Berlin 1882; J. f. Math. 93 (1882), p. 248. 



322 HI D 5. R v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

26. Weitere besondere Minimalflachen. Von weiteren beson- 
deren Arten von Minimalflachen fiihren wir an: 

1) Die geradlinigen Minimalflachen. E.Catalan zeigte 237 ), dass 
die einzigen derartigen Minimalflachen die gewohnlichen Schrauben- 
flachen sind. Wohl den einfachsten Beweis dieses Satzes gab Sclmarz 9 }. 
(Vgl. Nr. 40.) 

2) Unter den Flachen mit einer Schar von Kriimmungslinien in 
parallelen Ebenen ist nur das Catenoid (Nr. 1 9) eine Minimalfl ache 239 ). 
Man erkennt leicht, dass, wenn eine Schar von Kriimmungslinien einer 
Minimalflache aus ebenen Kurven besteht, auch die andere aus solchen 
bestehen muss, sodass die spharischen Bilder der Kriimmungslinien 
von zwei Ebenenbiischeln aus der Einheitskugel ausgeschnitten werden, 
deren Achsen reziproke Polaren der Kugel sind (Nr. 14). Fur den 
Fall der allgemeinen Lage dieser Polaren wurden die fraglichen Mini 
malflachen von Bonnet** ) bestimmt. Nimjnt man aber zwei zu ein- 
ander senkrechte Tangenten der Kugel zu den Achsen jener Ebenen- 
biischel, so ergibt sich die oben (Nr. 21) erwahnte, von Enneper ge- 
fundene Flache neunter Ordnung und sechster Klasse. Die Funktion 
$(s) ist hier einer reellen Konstanten gleich 241 ). Darboux zeigte, dass 
die fragliche Flache die Schar der Ebenen einhiillt, welche durch 
die Mittelpunkte der die Punkte einer Parabel mit den Punkteu ihrer 
Fokalparabel (III C 4) verbindenden Strecken senkrecht zu den Strecken 
gelegt werden konnen 242 ). Bibaucour fand, dass die Enneper sche Flache 
die erste negative Fusspunktskurve (III D 1, 2, Nr. 7) einer Parabel 
hinsichtlich ihres Brennpunkts als geodatische Linie besitzt 243 ). Die 
Minimalflachen mit einem System spharischer Kriimmungslinien unter- 
suchte H. Dobriner 24i ). 

3) Bei den Minimalflachen, die zu gleich Schraubenflachen sind, 
hat man 244a ): 



237) J. de math. (1) 7 (1842), p. 203. Vgl. das unter m ) zitiorte Werk 
von G. Scheffers, p. 242. 

238) Abhandl. 1, p. 181. 

239) Bonnet, J. de math. (2) 5 (1860), p. 223. 

240) Paris, C. R. 41 (1855), p. 1057 und ausfuhrliche Herleitung J. de math. 
(2) 5 (1860), p. 238; ,,Bianclii", p. 371. Vgl. A. Demoulin, Bruxelles Mem. cour. 
58 (1899). 

241) Schwarz, Abhandl. 1, p. 184; ,,Darboux" 1, p. 369. 

242) ibid. p. 318. 243) fitude sur les eUassoides 114. 
244) Acta math. 10 (1887), p. 145. 

244 ) ,,Bianchi", p 374. 



26. Besondere Minimalflachen. 323 

wo a und a reelle Konstanten bedeuten. Fiir die Minimalflachen, die 
zugleich Spiralflachen (Nr. 7) sind, ist 245 ): 



4) Cyklische und weitere Minimalflachen. Die Frage nach den 
Minimalflachen, auf denen eine Schar von Kreisen liegt, ist von 
Enneper gelost worden 246 ). Die Ebenen der Kreise konnen hier nur 
parallel sein. Langs jedes Kreises wird die Flache von einem Kegel 
zweiten Grades beriihrt, und diese Kegel sind koncyklisch, d. h. sie 
werden von denselben beiden Scharen von Ebenen in Kreisen ge- 
schnitten. Die Funktion $(s) hat hier die Gestalt: 

C 



s "|/(s cotg s) s (s -f- tg s) 

wo C und reelle Konstante bedeuten 247 ). - - Die Minimalflachen, 
welche iiberhaupt von einer Schar koncyklischer Kegel zweiten Grades 
beriihrt werden, sind von H. A. Sclitvarz bestimmt worden 248 ). Hier 
gilt zunachst der Satz: Jede Minimalflache, die von einem Kegel 
zweiten Grades langs der Schnittlinie desselben mit einer durch seinen 
Mittelpunkt hindurchgehenden Kugel beriihrt wird, wird von einer 
einfach unendlichen Schar koncyklischer Kegel zweiten Grades ein- 
gehiillt; ferner der folgende: Wenn eine Minimalflache einen Kegel 
oder Zylinder zweiten Grades langs eines Kreisschnitts beriihrt, so 
enthalt sie auch eine Schar von Kreisen in parallelen Ebeuen. Schwarz 
schloss an diese Untersuchungen eine solche iiber die transcendenten 
Minimalflachen, auf denen eine Schar algebraischer Kurven liegt 249 ), 
und bestimmte die fraglichen Flachen fur einen ausgedehnten Fall. 
Eine besondere von Scliwarz bei dieser Gelegenheit gefundene Flache, 
auf der eine Schar von Raumkurven vierter Ordnung liegt, ist genauer 
untersucht von W. Thienemann (Inaug.-Dissert. Giessen 1890). Weitere 
Falle sind behandelt von E. v. Lilienthal (J. f. Math. 99 (1886), p. 188) und 
E. G-otting (Inaug.-Dissert. Gottingen 1887). M. Peclie (Inaug.-Dissert. 
Gottingen 1891) bestimmte die Minimalflachen, auf denen eine Schar 
von Parabeln liegt, und zeigte (Wissensch. Beilage Prog. Oberrealsch. 
Breslau 1903), dass auf einer Minimalflache keine Schar von Hyperbeln 



245) ,,Darl>oux" 1, p. 307. 

246) Zeitschr. Math. Phys. 14 (1869), p. 403; Gott. Nachr. 1866, p. 243. 
Vgl. X. Stouft, Toulouse Ann. 6 (1892), p. 5; G. Juga, Math. Ann. 52 (1899), 
p. 167. 

247) Schwarz, Abhandl. 1, p. 187. 

248) ibid. p. 190. Vgl. E. Blutel, Ann. ec. norm. (3) 7 (1890), p. 203. 

249) Abhandl. 1, p. 205; vgl. ibid. p. 330, 331. 



324 ni D 5. E. v. Lilientlial. Besondere Flachen. 

liegen kann. Dasselbe gilt nach einer Notiz von H. A. Schivarz (Berlin. 
Ber. 22. Januar 1903) von einer Schar von Ellipsen. 

5) J. Weingarten bestimmte die Minimalflachen, deren Gleichung 
sich in der Gestalt: 

* = 



darstellen lasst 250 ), und zeigte, dass die Schwarz schen Minimalflachen 
mit dieser Eigenschaft 251 ) die samtlichen derartigen Flachen umfassen. 

27. Methode von Lie. Hinsichtlich des weiteren Ausbaues der 
allgemeinen Theorie der Minimalflachen sind zunachst zu erwahnen 
die Arbeiten von S. Lie. Unter Ubertragung der fiir reelle geome- 
trische Gebilde geltenden Benennungen auf rein analytische Gebilde 
werden die Gleichungen 252 ): 



auch dann als die Gleichungen einer Kurve betrachtet, wenn A, B, C 
komplexe Funktionen einer komplexen Veranderlichen sind. Nimmt 
man: 



wo die Funktionen a Q . . . q fur reelle Werte von t reell sein sollen, 
so sind 

x = OO (T) - ia^r), y = 6 (r) il^r), z = CO (T) ^(T) 
die Gleichungen der der ersteren konjugierten Kurve. Eine Zuord- 
nung der Punkte beider Kurven zu einander besteht in der Herstellung 
einer Beziehung zwischen t und T, wodurch r als eine Funktion der 
Veranderlichen t oder ihrer komplex konjugierten erscheint. Die 
Gleichungen: 



bestimmen eine Flaclie, und zwar eine Translationsfldche (Nr. 6). 
Von Wichtigkeit ist hier die Auffassung der Flache als des Ortes der 
Mittelpunkte aller Sehnen, die je einen Punkt der durch: 



gegebenen Kurve mit je einem Punkt der durch: 



bestimmten Kurve verbinden. Wir belegen die fraglichen beiden 
Kurven mit dem Namen Grundkurven und erhalten eine Minimal- 



250) GOtt. Nachr. 1887, p. 28. 251) Abhandl. 1, p. 137. 

252) Math. Ann. 14 (1878), p. 332; Arch. Math, og Naturv. 3 (1878), p. 170. 
Vgl. F Klein, Einleitung in die htfhere Geom. , autogr. Vorl. 1. Gottingen 1893, 
p. 369. 



27. Methode von Lie. 325 

flache, wenn die Grundkurven Linien von der Ldnge Null, oder, wie 
man auch sagt, Minimallinien oder Linien mit isotropen Tangenten 2 3 } 
sind (III D 1, 2, Nr. 12; III D 4 ; Nr. 35), d. h. wenn die Funktionen 
A (), . . . C 1 (T) den Bedingungen geniigen : 

A(tf + B (ty + <r(0 2 = o, A W 2 + B/W + c/M = o. 

Dann sind auch die Parameterlinien t = const., T = const, auf der 
Flache Minimallinien, und umgekehrt kann nach Nr. 21 jede Minimal- 
flache als durch Translation einer Minimallinie entstanden angesehen 
werden. Die so bestimmte Minirnalflache besitzt eine doppelt imend- 
liche Anzahl reeller Punkte, wenn eine der beiden Grundkurven durch 
eine reelle Parallelverschiebung in die konjugierte der anderen iibergeht. 
Die bei S. Lie auftretende Minimalflache, bei der die beiden Grund 
kurven in eine zusammenfallen, ist eine Doppelflache 25S ) (III A 4), 
sodass hier: 



B(r), e = C(t) + C(*). 
Die Flache besitzt jetzt nur eine Schar von Parameterlinien und ist 
der Ort der Mittelpunkte der Sehnen der einen vorhandenen Grund- 
kurve, die nun selbst auf der Flache liegt und von der Schar der Para- 
meterlinen eingehiillt wird. Bezeichnen wir mit A (f), B Q (t), C (f) 
die konjugierten Funktionen von A(f), B(t), C(f), mit t den zu t 
konjugierten Wert, so ist die Doppelflache reell, wenn sich r so als 
Funktion /"( ) -- von t bestimmen lasst, dass: 
A(f(t }}==A,(t ) + a, B(f(t ))==B (t } + 1>, C(f(t )) = C (0 + c, 
wo a, &, c reelle Konstante bedeuten. Es gehort so zu jedem Wert 
von t ein reeller Punkt der Flache. Zu dem Werte ^ = f(t } von t 
gehort ein zweiter Punkt der Flache, dessen Koordinaten x 1} y if ^ 
seien. Dann hat man: 

x 1 = x + 2a, y 1 = y + 2b, ^ = z + 2c. 

Legt man eine positive Richtung der Flachennormalen fest, so zeigt 
sich, dass in den Punkten (x, y, e) und (x lf y 1} sj diese positiven 
Richtungen parallel, aber entgegengesetzt sind. 

252 a ) P. Stdckel, Leipz. Ber. 1902, p. 101. 

253) Math. Ann. 14 (1878), p. 346. Die ibid. p. 347 angegebene Bedingung 
fur die Reellitat einer Doppelflache ist ungenau. Von den auf der Flache ge- 
legenen Minimalkurven t = const., r = const, lasst sich nur sagen, dass eine jede 
derselben in ihre konjugierte durch eine Parallelverschiebung iibergeht, deren 
Komponenten reelle Teile besitzen, die in der ganzen Flache konstant sind, 
wiihrend die rein imaginaren Teile von dem die Einzelkurve bestimmenden 
Parameterwert abhiingen. Vgl. die Darstellung bei ,,Darboux" 1, p. 348; 
G, Scheffers, Einfuhrung in die Theorie der Flachen, Leipzig 1902, p. 258. 



326 HI D 5. R. v. Lilienthal. Besondere Fliichen. 

Bei der zweiten Weierstmss schen Darstellung einer Minimalflache 
(Nr.21) gilt allgemein der Satz, dass, wenn ^(s) die konjugierte Funktiou 

von ?? (s) bezeichnet, die beiden Funktionen $t(s) und S? ( \ 

s 4 01 \ s/ 

stets dieselbe Minimalflache liefern 254 ). Hier besteht eine notwendige 
Bedingung fiir eine reelle Doppelflache in der Gleichung: 

sw--4s,( M- 

s 4 U1 V s/ 

Betrachtet man eine Minimalflache als umhtillt von der Ebenenschar 
mit der Gleichung: 

(1 u*)x + i(l + u^y + 2uz + 2f(u) = 0, 
so besteht die entsprechende Bedingung in der Gleichung: 
^M = _ uf (_ M 

U ! \ u) 

wo f t die konjugierte Funktion von f bezeichnet 255 ). 

Sind die Grossen a, &, c nicht samtlich gleich Null, so liegt eine 
periodische Doppelflache vor. Als Beispiel einer solchen fiihren wir 
die gewohnliche Schraubenflache an (Nr. 5). Ninimt man hier fur die 
Grundkurve, unter m eine reelle Konstante verstehend: 



mit 



2 ~W 2 v J 2 

und setzt r = t -f- x f so wird: 



imcosi 

m 



die Flache geht also durch eine Verschiebung mit den Komponenten 
a = 0> & = ; c = m^; in sich selbst iiber. Die Veranderliche t ist 
hier mit der Weierstrass schen Veranderlichen s durch die Gleichuug 
verbunden: 

s = ie", 
und ausserdem hat man: 



- ~? = " r Si - 



Sind die Grossen a, b, c samtlich gleich Null, so hat man es mit 
einer einseitigen Flache zu thun 255a ). Hier gehort zu den Werten t 
und t t ein und derselbe Punkt, und die zu t gehorende positive 
Normalenrichtung ist entgegengesetzt parallel der zu ^ gehorenden. 



254) ,,Darboux" 1, p. 295. 255) ,,Darboux" 1, p. 354. 

256") tiber die Eutdeckung der einseitigen Fliichen siebe P.Stdckel, Math. 
Ann. 52 (1899), p. 598 (IE A 4). 



28. Die Goursat sche Transformation der Minimalkurven. 327 

Als Beispiele von einseitigen Flachen fiihren wir an die von Henne- 
lerg* 31 ) berechneten Minimalflachen, bei denen die Evolute eines Kegel- 
schnitts als ebene geodatische Linie auftritt. Der besonders interessante 
Fall, in dem die Evolute der Parabel zur geodatischen Linie ge- 
nommen wird, ist ausfuhrlich von C. Schilling 256 ) untersucht. Die frag- 
liche Flache ist von der fiinften Klasse und funfzehnten Ordnung. 
Die Gleichungen ihrer Grundkurve lassen sich so schreiben: 

(1-sV _ *(1 + s 2 ) 3 _3(l + s 4 ) 

8 * > y - s s , * - ^i , 

und man hat: 



die Substitution s = zeigt, dass hier die Grundkurve mit ihrer 
konjugierten zusammenfallt. Den von Darboux aufgestellten Fall 257 ): 



wo ft ungerade, hat J. Vivanti untersucht 258 ). 

Auf Grand der Bemerkung, dass die einer Miiiimalflache langs 
einer Minimallinie umschriebene abwickelbare Flache ein Zylinder ist, 
dessen Erzeugende durch einen Punkt des unendlich fernen imagi- 
naren Kugelkreises gehen, gelingt Lie die Bestimmung der Klasse 
einer algebraischen Minimalflache; im besonderen ist fiinf die nied- 
rigste Klassenzahl 259 ). Kornplizierter sind die ganz der Theorie der 
algebraischeu Flachen angehorenden Untersuchungen Lie s fiber die 
Ordnung einer algebraischen Minimalflache 260 ). 

28. Die Goursat sche Transformation der Minimalkurven (III D 6 a, 

Nr. 12). Von den Transformationen, vermoge derer eine Minimal- 
kurve wieder in eine Minimalkurve iibergeht, fiihrt die von E. Goursat 261 ) 
betrachtete zu neuen Minimalflachen, die aus einer gegebenen mit 
bekannten Grundkurven ableitbar sind. Es handelt sich um eine 
imaginare Rotation um eine reelle Achse. Nimmt man letztere zur 
0-Achse, und fuhrt die Transformation den Punkt (X, Y, Z) der Ein- 
heitskugel in den Punkt (X l , F x , ZJ derselben fiber, so ist: 

256) Getting. Inaug.-Dissert. 1882. 

257) ,,Darboux" 1, p. 364. 

258) Zeitschr. Math. Phys. 33 (1888), p. 137. 

259) Vgl. Henneberg, Ann. di mat. (2) 9 (187879), p. 54; R. Sturm, J. f. 
Math. 105 (1889), p. 117; E. Glaser, Tiibingen, Inaug.-Dissert. 1891. 

260) Vgl. ,,Darboux" 1, Chap. 7; H. Richmond, Math. Ann. 54 (1900), 
p. 323. 261) Acta math. 11 (1888), p. 135; vgl. ibid. p. 257. 



328 HI D 5. R. v. Lilienihal. Besondere Flachen. 



i z i z l 

wo x eine reelle positive Konstante bedeutet. Sind x, y, z die Ko- 
ordinaten der gegebenen, x , y Q , z die ihrer adjungierten Minimal 
flache, so sind die Koordinaten der dieser Transformation entsprechen- 
den Minimalflache : 

l-fx 2 x 2 1 l-fx* . x 2 1 

/v> - / nt ni . fit 1 / 



2x 2 * < * - 2x 2* 



.._.. ly 

~ 



Durch diese Gleichungen wird die Fljiche (x } y, 0) auf die Flache 
(x , y , ^) konform abgebildet. Zwei sich entsprechende Punkte beider 
Flachen liegen in derselben zur zy-Ebene parallelen Ebene, und die 
in diesen Punkten beriihrenden und zugleich dieser Ebene angehoren- 
den beiden Tangenten der Flachen sind parallel. Die Abbildung fiihrt 
Kriimmungslmien in Kriimmungslinien, Haupttangentenkurven in Haupt- 
tangentenkurven iiber; ferner werden ebene Krurnrnungslinien in eben- 
solche, und Haupttangentenkurven, die zugleich Schraubenlinien sind, 
auch in ebensolche iibergefu hrt. Wenn x sich andert, wahrend x, y, #; 
x Q j y , fest bleiben, beschreibt der Punkt (x if y 1 , ^) einen Zweig 
einer Hyperbel, deren Mittelpunkt sich in der #-Achse befindet. 

29. Einer Abwickelbaren eingeschriebene Minimalflachen. In 

einer weiteren Arbeit iiber Minimalflachen 262 ) stellt sich Lie die Aufgabe, 
zu untersuchen, ob in eine gegebene algebraische abwickelbare Flache 
algebraische Minimalflachen eingeschrieben werden konnen, und wie 
sie bejahenden Falls zu konstruieren seien. Hinsichtlich der Zylinder- 
flachen gilt der im wesentlichen von Hennebcrg 3 ) gefundene Satz, 
dass man in einen algebraischen Zylinder nur dann eine algebraische 
Minimalflache einschreiben kann, wenn der Normalquerschnitt des 
Zylinders die Evolute einer algebraischen Kurve ist 264 ). Lie erledigt 
die gestellte Aufgabe fur einen Kegel und fur eine algebraische Ab 
wickelbare, hinsichtlich derer man bereits eine eingeschriebene alge 
braische Minimalflache kennt. Die Losung kommt in letzter Linie 
auf die ohne Zuhulfenahme von Integrationen bewirkte Auffindung 
von Minimallinien hinaus 265 ). Der von Lie benutzte Weg ist im 
wesentlichen der folgende. Die Koordinaten der Punkte einer Raurn- 
kurve seien X , y , Z Q , ferner seien a, /3, y; a, I, c; A, p, v die Winkel, 



262) Math. Ann. 15 (1879), p. 465. Vgl. S. Lie, Arch. Math, og Naturv. 3 
(1878), p. 166, 224, 340. 

263) Dissertation, p. 47. 

264) Vgl. Lie, a. a. 0. p. 466, 473; ,,Darboux" 1, p. 406. 
266) ,,Darboux" 1, p. 417. 



29. Einer Abwickelbaren eingeschriebene Minimalflachen. 329 

die ihre Tangente, Hauptnormale und Binormale mit den Achsen bildet, 
y und r seien die Halbmesser ihrer ersten und zweiten Kriinimung. 
Bestimmt man nun die Gratlinie (Nr. 2) der Abwickelbaren, die der 
Kurve und dem uuendlich fernen imaginaren Kugelkreis umschrieben 
ist, so ist sie offenbar eine Minimallinie und ihre Koordinaten sind: 

u = X Q -f- Q cos a + IQ cos A, u. s. w. 

Mit Hiilfe der Schwarz schen Formeln sieht man, dass die zugehorige 
Minimalflache den Ort der Kriimmungsachsen (III D 1, 2, Nr. 29) der 
( x o> 2/o> %) (bei Lie Evolute der Kurve) in den Mittelpunkten der Kurve 
ersten Krummung der Kurve beriihrt. Dieser Mittelpunktslinie ent- 
spricht auf der adjungierten Flache eine Linie auf einem Kegel, 
dessen Erzeugende den Binormalen der Kurve (x Q , y , ) parallel sind, 
wahrend die Entfernung des deni Punkte (x , y , e Q ) entsprechenden 
Punktes dieser Linie von der Kegelspitze gleich Q ist. Liegt um- 
gekehrt der Kegel vor, so liefert jede Kurve (x , y Q , ), deren Bi 
normalen den Erzeugenden des Kegels parallel sind, eine Funktion $ 
und damit eine Kurve auf dem Kegel so, dass die langs derselben 
beriihrende Minimalflache ohne Integration bestimmbar ist. Dabei 
wird diese Flache, falls der Kegel und die Kurve (x ot y Q) g Q ) alge- 
braisch sind, ebenfalls algebraisch. Lie zeigt, dass jede algebraische 
Minimalflache in eine vierfache Mannigfaltigkeit von Evoluten alge- 
braischer Raumkurven eingeschrieben ist, jedoch eine dreifache der- 
artige Mannigfaltigkeit von Evoluten je langs einer Mittelpunktslinie 
beriihrt. 

Die in Rede stehende 7^ e sche Aufgabe ist von Darboux all- 
gemein gelost. Fiir einen Zylinder, dessen Normalschnitt die Evo 
lute (S) einer algebraischen Kurve ist, ergibt sich folgende Losung 266 ). 
Man ordne den Punkten P von (S) die Punkte Q einer zweiten Kurve, 
die ebenfalls die Evolute einer algebraischen Kurve sein muss, mittelst 
des Parallelismus der Tangenten zu. Tragt man nun von den Punkten 
P aus auf den Erzeugenden des Zylinders die zu den entsprechenden 
Punkten Q gehorenden und negativ genommenen Bogenlangen der 
zweiten Kurve auf, so ergibt sich die allgemeinste Kurve, langs derer 

der Zylinder von einer algebraischen Minimalflache beriihrt wird. 

Fiir eine von einem Zylinder verschiedene algebraische Abwickelbare 
lasst sich die Losung so aussprechen. Es mogen die Koordinaten 
der Gratlinie mit x 0) y 0} # bezeichnet und die sonstigen obigen Be- 
nennungen beibehalten werden. Sind nun x lt y if ^ die Koordinaten 

266) ibid. p. 407. 
Encyklop. d. math. Wissemch. Ill 3 22 



330 HI D 5. 1?. v. LilientJial Besondere Flachen. 

einer algebraischen Kurve, deren Tangente im Punkte (x 1} y l} ^) der 
Binormalen der Gratlinie im Punkte (x , y Q , # ) parallel ist ; und deren 
Bogenlange mit 6 bezeichnet sei, so trage man vom Punkte X Q , y Q} S Q 
aus auf der Tangente der Gratlinie die Strecke r r^ a fy wodurch 

man die allgemeiuste Kurve, langs derer die Abwickelbare von einer 
algebraischen Minimalflache beriihrt wird, erhalt. Die Gleichungen 
der letzteren sind: 

cv, ( d(<s4-r) ./ d(a-\-r) \) 

X=ytlx Q -\-r cos a * (^ -f- r cos A -f- r - J - cos a) L u. s. w. 

Die Grosse r-^-- hat folgende geometrische Bedeutung. Man trage 
ct s 

auf den Tangenten der Kurve (x if y^ %) die entsprechenden Werte r 
auf und lege durch die so erhaltenen Punkte (P) Ebenen, die zu den 
Tangenten senkrecht sind. Diese Ebenen umhiillen eine Abwickel 
bare (A), deren Erzeugende den Erzeugenden der urspriinglich ge- 
gebenen Abwickelbaren parallel liegen. Jene Grosse ist der senk- 
rechte Abstand des Punktes (P) von der ihm entsprechenden Er 
zeugenden der Flache (J.) 267 ). 

30. Methode von Ribaucour. Einen weiteren wesentlichen Bei- 
trag zur Theorie der Minimalfl achen stellt die Preisarbeit von A. Ei- 
laucour aus dem Jahre 1880 dar 268 ). Hier wird, wie in den Unter- 
suchungen von Lie, die sogenannte imaginare Geometric in aus- 
gedehnter Weise benutzt, aber zudem die Theorie der Strahlensysteme 
(III C 9; III D 6 a, Nr. 13; III D 9) mit der Lehre von den Minimal- 
flachen in Verbindung gebracht. Eibaucour gibt zuuachst einen Satz 
tiber das harmonische Strahlensystem, dessen Geraden je zwei solche 
Punkte zweier Minimalfliichen treffen, in denen die Tangentialebenen 
der Flachen parallel sind. Teilt man die zwischen beiden Flachen 
liegenden Strecken auf diesen Geraden sarntlich in demselben Verhaltnis, 
so erhalt man wiederum eine Minimalflache 269 ). Sodann werden die Be- 
ziehungen der Minimalfliichen zu den isoiropen Strahlensystemen dar- 
gethan. Auf letztere kommt Eibaucour folgendermassen. Man beziehe 
irgendwie die Punkte (A) einer Flache auf die Punkte (B) einer zweiten 
Flache, sodass einem (A) nur ein (#) entspricht, und lege dann durch 
die Punkte A, B gerade Linien. In dem erhaltenen Strahleusystem ent- 



267) ,,Darboux" 1, p. 415. 

268) Etude des elassoides, Bruxelles M^m. cour. in 4, 44 (1880). 

269) tfber das betreffende Strahlensystem fur zwei adjungierte Minimal- 
flachen vgl. E. v. Lilienthal, Untersuchungen zur allgem. Theorie der krummen 
Oberfl. u. geradl. Strahlensysteme, Bonn 1886, p. 88. 



30. Methode von Eibaucour. 331 

spricht jeder Kurve auf der ersten Flache eine geradlinige Flache, Ele- 
mentarfldcJie. Man kann nun eine durch (A) gehende Kurve (O) auf der 
ersten Flache aufsuchen derart, dass die Tangentialebenen der ent- 
sprechenden Elementarflache in den Punkten (A) und (B) zu einander 
senkrecht sind. Im allgemeinen finden sich auf der ersten Flache 
zwei Scharen von Kurven (C). Es konnen aber auch unendlich viele 
solcher Scharen vorhanden sein. Liegt dann nicht ein Nornialen- 
system vor, so heisst das betreffende Strahlensystem isotrop. Es hat 
die kennzeichnende Eigenschaft, dass die kurzesten Abstande eines 
Strahls von seinen benachbarten Strahlen samtlich durch denselben 
Punkt, den Mittelpunkt des Strahls, gehen, sodass die Gleichung zur 
Bestimniung der Grenzpunkte der kurzesten Abstande illusorisch wird. 
Ferner werden die Brennflachen von zwei konjugierten, isotropen, d. h. 
den unendlich fernen imaginaren Kugelkreis enthaltenden Abwickel- 
baren gebildet. Es besteht nun der Satz: Legt man durch die Mittel- 
punkte der Strahlen zu den Strahlen senkrechte Ebenen, so um- 
hiillen sie stets eine Mmimalflache 27 ). - Die isotropen Strahlen- 
systeme hangen innig mit den isothermen Kurvenscharen auf der 
Einheitskugel zusammen. Hat man namlich das Quadrat des Linien- 
elements der letzteren auf die Form gebracht: tf(du* -\- dv*\ so fasse 
man eine Schar der Parameterlinien ins Auge und trage auf den 
Tangenten der Einzelkurven vom Beriihrungspunkte aus die Strecke I 
auf. Durch die so erhaltenen Punkte lege man Gerade, die denjenigen 
Kugelradien parallel sind, welche in den entsprechenden Beruhrungs- 
punkten enden. Es ergibt sich ein isotropes Strahlensystem. Ebenso 
erzeugt eine Gerade ein solches System, wenn die Endpunkte einer 
in ihr gelegenen Strecke von unveranderlicher Lange zwei auf ein 
ander abwickelbare Flachen beschreiben. Verschiebt man ein isotropes 
Strahlensystem parallel zu sich selbst und nimmt mit jedem Strahl 
in der neuen Lage eine Drehung von der Grosse \ - um den ent 
sprechenden Strahl in der urspriinglichen Lage vor ; so entsteht ein 
neues isotropes System, dessen Mittelebenen dieselbe Flache um- 
hiillen, wie die des alten Systems. Die beiden Brennflachen eines 
isotropen Systems schneiden sich in einer reellen Kurve. Die zu- 
gehorige Minimalflache beriihrt den Ort der Krummungsachsen der 
letzteren langs der Kurve der Mittelpunkte ihrer ersten Krummung. 
Ersetzt man in der obigen Konstruktion die isotherm e Schar durch 
samtliche Scharen ihrer isogonalen Trajektorien, so ergeben sich iso- 

270) ,,Bianchi p. 273. Vgl. Darboux, Paris, C. R. 104 (1887), p. 728; 
,,Darloux" 1, p. 419. J. Weingarten, GOtt. Nachr. 1890, p. 320. 

22* 



332 UI D 5. JR. v. Lilienthal Besondere Flachen. 

trope Strahlensysteme, welche die assoziierten Flachen der der ur- 
spriinglichen Schar entsprechenden Minimalflache liefern, und iin 
besonderen entspricht der Schar der orthogonalen Trajektorien die 
adjungierte Flache. Ribaucour legt auch die Transformationen dar, 
denen ein isotropes System mit der zugehorigen Minimalflache (S) 
unterworfen werden muss, damit man zu solchen System en gelange, 
die die zu (S) associierten Flachen liefern. 

31. Satze von Schwarz, "Weingarten, Dini. 

1) Bezieht man mehrere Flachen (x v , y v , #,,) so auf einander, 
dass in entsprechenden Punkten die Normalen der Flachen parallel 
sind, so nennt man, wenn die Grossen m v als konstant angesehen 
werden, die Ausdriicke 



die Koordinaten der aus den gegebenen gusammengesetzten Flache. 
Ihre Normale ist parallel der Normalenrichtung in den entsprechen 
den Punkten der Flachen (x v , y v , 2^). Fur die Minimalflachen besteht 
der Satz, dass jede aus lauter Minimalflachen zusammengesetzte Flache 
wieder eine Minimalflache ist 271 ). 

2) Bestimmt man die Punkte einer Minimalflache durch ihren 
Abstand q voni Koordinatenanfangspunkt und durch den senkrechten 
Abstand p der zugehorigen Tangentialebenen von demselben Punkt - 
wobei, falls man das Katenoid nimmt, der Koordinatenanfangspunkt 
nicht auf der Rotationsachse liegen darf - - und bezeichnet man mit 
X, T, Z die Richtungskosinus der Normal en der Minimalflache, so 
sind die Ausdriicke 272 ): 

x dp -f- qXdq, ydp-\-qYdq f dp -\-qZdq 

exakte Differentiale. Ihre Integrale |, ^, sind die Koordinaten einer 
Flache, bei der das Quadrat des Linienelements durch die Gleichung: 



ds* = a + (da* + dp} 

dargestellt werden kann, also die Liouvitte sche Form besitzt (III D 3, 
Nr. 18). Umgekehrt ist jede Flache rnit diesem Linienelement auf die 
geschilderte Art aus einer Minimalflache ableitbar. 

3) Wenn zwischen den ersten partiellen Ableitungen einer Potential- 
funktion (II A 7 b, Nr. 1) eine nicht lineare Gleichung besteht, so 
kann man diese Ableitungen als die Koordinaten der Punkte einer 



271) H. A. Schwarz, Abhandl. 1, p. 174. 

272) J. Weingarten, Gott. Xachr. 1887, p. 28. 



31. Satze von Schwarz u. A. 32. Untersuchungen von Minding u. A. 333 

Flache auffassen. J. Weingarten zeigte in einer Untersu chung iiber 
gewisse Pliissigkeitsbewegungen (IV 16, Nr. If., Anm. 50), dass die 
fragliche Flache stets eine Minimalflache ist 272a ). 

4) Die Flachen mit der Eigenschaft E { -f- E. 2 = const. (> 0), 
d. h. die Parallelflachen der Minimalflachen, wurden von Dim mit 
Benutzung der Sonnet schen Veranderlichen (III D 3, Nr. 7) unter- 
sucht und die hierhergehorenden Schraubenflachen bestimmt 273 ). 

5) Dim 274 ) betrachtete die Eigenschaften eines Flachenpaares mit 
den Gleichungen: 

*i = /iO,y)> **=f*(x, y)> 

wenn: 

*! + ie 9 = f(x + iy). 

Allgemeiner kann man nach den Eigenschaften zweier Flachen fragen 275 ), 
bei denen die Koordinaten der einen die reellen, die Koordinaten der 
anderen die durch i dividierten imaginaren Teile dreier analytischer 
Funktionen einer komplexen Veranderlichen sind. In entsprechenden 
Punkten sind die Normalen parallel, die Krummungsmasse gleich und 
stets negativ; entsprechende Stiicke haben denselben Flacheninhalt, 
und die Winkel der Parameterlinien in entsprechenden Punkten sind 
supplemental-. 

VII. Flachen von konstanter Krummung. 

32. Untersuchungen von Minding, Dini, Enneper, Beltrami, 
Hilbert. Die Flachen, deren 6rawss sches Kriimmungsmass (III D 1, 2, 
Nr. 865 III D 3, Nrr. 7, 33) konstant ist, pflegt man Flachen von kon 
stanter Kriimmung zu nennen 276 ). Die ersten Untersuchungen iiber sie 
riihren von F. Minding her. Er fand 277 ), dass die orthogonalen Tra- 
jektorien der von einem Punkt ausgehenden geodatischen Linien einer 
solchen Flache geodatische Kreise, also Kurven mit konstanter geo- 
datischer Krumnmng sind (III D 3, Nr. 38). Man kann diesen Satz leicht 
zu dem umkehrbaren Satze erganzen, dass auf einer Flache von kon 
stanter Kriimmung die orthogonalen Trajektorien einer Schar von solchen 
geodatischen Linien, die einen geodatischen Kreis senkrecht schneiden, 

272 a ) ibid. 1890, p. 318; vgl. G. Frobenius, ibid. 1891, p. 323. 

273) Ann. di mat. 7 (1865), p. 5. 

274) Giorn. di mat. 3 (1865), p. 78. 

275) E. v. Lilienihal, J. f. Math. 98 (1885), p. 131. 

276) Die Litteratur uber die fraglichen Flachen bis 1896 findet sich an- 
gefuhrt in der Dissertation von F. Busse, Gottingen 1896. Vgl. auch III D 6 a, 
Nrr. 2830. 

277) J. f. Math. 6 (1830), p. 161. 



334 HI D 5. E. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

samtlich geodatische Kreise sind und eine Isothermenschar (III D 3, 
Nr. 19) bilden 278 ). Minding zeigte ausserdem, dass alle Flachen mit 
demselben konstanten Kriimmungsmass auf einander und auf sich 
selbst abwickelbar sind 279 ), ferner, dass fur ein geodatisch.es Dreieck 
auf einer Flache von positiver konstanter Kriimmung die Formelu 
der spharischen Trigonometrie gelten, und fiir eine Flache von nega- 
tiver konstanter Kriimmung ahnliche Formeln, in denen an die Stelle 
trigonometrischer Funktionen hyperbolische treten 280 ). Endlich ver- 
dankt man Minding die erste Auffindung von Flachen konstauter 
Kriimmung, die weder abwickelbar noch spharisch sind, namlich die 
Bestirnmung der hierher gehb renden Schraubenfliichen 281 ). Minding 
transformiert die Differentialgleichung der Flachen mit dem konstanten 
Krummungsmass x, namlich: 

&*&_ /_8^\*_ /j , /0\> , /0\ 

dx*dy* \dxdy) \ \dx) \dy) 
durch die Substitution x = r cos #, y = r sin i(j und betrachtet nun 
-f^- als konstant und gleich h. Dann ergibt sich: 



wo a eine Integrationskonstante bedeutet. Unabhangig von Minding 
fand U. Dini die Schraubenflachen von konstanter negativer Kriim 
mung und zeigte, dass sich unter ihnen eine befindet, deren Profil 
eine Tractrix (III D 4, Nr. 27) (siehe Nr. 33) ist 282 ); er behandelte ferner 
eingehend die Rotationsflachen von konstanter Kriimmung 283 ). Die 
Flachen mit konstanter Kriimmung und ebenen Kriimmungslinien be- 
rechnete Enneper*). Die hierher gehorenden Flachen mit positivem 



278) ,,Darboux", 3, p. 388; ,,Bianchi", p. 426. 

279) J. f. Math. 19 (1839), p. 378; J. Liouville, Note IV zu Gr. Monge, 
Applic.,, Paris (1850), p. 598; Z). Codazzi, Ann. mat. fis. f 8 (1857), p. 346; 
Beltrami, Giorn. di mat. 6 (1868), p. 311. 

280) J. f. Math. 20 (1840), p. 324; Codazzi, a. a. 0. p. 353; ,,Bianchi", 
p. 431; v. Escherich, Wien. Berichte (69) 2 (1874), p. 497. Vgl. C. F. Gauss, 
Werke 8, p. 264. 

281) J. f. Math. 19 (1839), p. 376. 

282) Paris, C. R. 60 (1865), p. 340; Ann. di mat. 7 (1865), p. 28; Firenze, 
Soc. it. Sc. Mem. (3) a (186970), p. 43; ,,Bianchi", p. 468; M. Schilling, 
Halle a/S., Modell von P. Vogel, Nr. 211. 

283) Giorn. di mat. 3 (1865), p. 241. 

284) Go tt. Nachr. 1868, p. 258; 1876, p. 599; vgl. ,,Bianchi", p. 470; 
,,Darboiix" 3, p. 447; M. Schilling, Halle a/S., Modelle von Th. Kuen, Nr. 206, 
207; Bianchi, Ann. di mat. (2) 13 (1885), p. 202; Th. Kuen, Munch. Ber. 14 
(1884), p. 194. 



33. Die Rotationsflachen von konstanter Kriimmung. 335 

Kriimmungsmass warden von A. BockhoU 28 *), die mit negativem Kriim- 
mungsmass von E. Lenz^} eingehend untersucht. Es gilt hier der 
Enneper sche Satz, dass die Ebenen der Kriimnmngslinien alle durch 
eine Gerade gehen, wahrend die Kriimmungslinien der anderen Schar 
auf Kugeln liegen, die die Flache senkrecht schneiden, und deren 
Mittelpunkte sich auf jener Geraden befinden 287 ). Die Flachen von 
konstanter Kriimmung mit einer Schar spharischer Kriimmungslinien 
behandelte Enneper ebenfalls a. a. 0., und spater H. Dobriner 288 ). Hier 
liegen die Mittelpunkte der Tragerkugeln auf einer Geraden. - - Einen 
Zusammenhang zwischen den Umdrehungsflachen mit positivem und 
denen mit negativem konstantem Kriimmungsmass zeigte ~Beltrami m ) 
auf Grand des folgenden Satzes: Erteilt man einer Rotationsflache 
alle Translationen langs der Rotationsachse und betraehtet eine die 
samtlichen Einzelflachen (A) der so erhaltenen Schar senkrecht schnei- 
dende Rotationsflache (B\ so fallt jeder Parallelkreis der letzteren 
mit je einem Parallelkreis auf einer Flache (A) zusammen, und langs 
dieses Kreises ist das Kriimmungsmass der Flache (B) gleich dem 
mit dem entgegengesetzten Yorzeichen versehenen Kriimmungsmass 
der Flache (A). Besitzt also die letztere Flache das konstante Kriim 
mungsmass K, so besitzt jede Flache (_B) das konstante Kriimmungs 
mass K. 1st (A) eine Kugel, so wird (5) die Rotationsflache der 
Tractrix. 

Hinsichtlich der Flachen von konstantem positivem Kriimmungs 
mass mit Ausnahme der Kugel erwahnen wir den D. Hilbert schen 
Satz 289a ), nach welchem, wenn man die Hauptkriimmungshalbmesser 
der Flache ftir die Punkte im Innern und auf der Begrenzung eines 
singularitenfreien, regularen Bereichs betraehtet, fiir keinen Punkt im 
Innern des Bereichs ein Maximum des einen oder ein Minimum des 
anderen Halbmessers erreicht wird. 

33. Die Botationsflachen von konstanter Krtimmung und 
Linienelemente der pseudospharisclien Flachen. Zu den Rotations 
flachen von konstanter Kriimmung gelangt man auf verschiedenen 
Wegen. Man kann die ebenen Kurven aufsuchen, bei denen das Pro- 
dukt aus dem zu einem beliebigen Kurvenpunkt (P) gehorenden 
Kriimmungshalbmesser und der auf der Kurvennormalen gemessenen 



285) Gott. Diss. 1878. 286) Gott. Diss. 1879. 

287) ,,Darboux u , 3, p. 457. 288) Acta math. 9 (1886), p. 73. 

289) Ann. di mat. 6 (1864), p. 272. Vgl. G. Scheffers, Einfiihrung in die 
Theorie der Flachen, Leipzig 1902, p. 123. 

289 ) Amer. Math. Soc. Transact. 2 (1901), p. 97. 



336 HI D 5. E. v. Lilienthal Besondere Flachen. 

Entfernung des Punktes (P) von einer festen Geraden einen konstanten 
Wert besitzt (III D 4, Nr. 27). Dieser Weg wurde von U. Dini in der 
unter 283 ) zitierten Arbeit eingeschlagen 29 ). Ferner kann man, von 
dem Gauss schen Ausdruck fiir das Kriimmungsmass einer Flache aus- 
gehend, eine Form des Linienelementes unserer Flachen aufsuchen 
und nun die Rotationsflachen mit demselben Linienelement bestirnmen. 
Diesen Weg benutzten J. Li ouville 291 ) , D. Codazzi 291a ), E.Bour 1 *}. 
Die Meridiankurve der fraglichen Rotationsflachen ergibt sich aus 
dem oben angefiihrten Minding schen Ausdrnck fiir h = 0. Zu einem 
Wert von x gehoreu, den verschiedenen Werten von a entsprechend, 
unendlich viele Rotationsflachen , und je nach der Art des auf- 
tretenden elliptischen Integrals ergeben sich bei veranderlichem x im 
Ganzen sechs Typen von Flachen. Fiir ein positives x findet man 
ausser der Kugel den sogenannten Spindeltypus 292 ) , bei dem die 
Meridiankurve die Rotationsachse schneidet, und den Wulsttypus 292a ), 
bei dem jene Kurve die Rotationsachse nicht schneidet. Fiir ein nega 
tives K ergibt sich zunachst die Pseudosphare , auch pseudospJidriscke 
Rotationsflache vom pa/rdbolischen Typus genannt 293 ). Sie entsteht 
durch Umdrehung der Tractrix genannten Kurve urn ihre Asymptote. 
Diese Kurve hat die Eigenschaft, dass auf jeder ihrer Tangenten das 
zwischen dem Beriihrungspunkt und der Asymptote gelegene Stuck 
konstant ist. Versteht man unter qp den Winkel der Tangente der 
Tractrix mit der Asymptote, so wird die Pseudosphare, falls wir die 
Asymptote zur #-Achse wahlen und die Halbmesser der Parallelkreise 
mit r bezeichnen, durch die Gleichungen gegeben: 

r == E sin <p , z = E (log tg -~ -f- cos <p j . 

Ausser der Pseudosphare tritt hier noch die Rotationsflache vom 
elliptischen 2m& ) und die vom hyperbolischen Typus 293b ) auf. 

290) Vgl. G. Scheffers, Einfuhrung in die Theorie der Kurven, Leipzig 1901, 
p. 98; Einfuhrung in die Theorie der Flachen, Leipzig 1902, p. 123. 

291) Fiinfte Auflage von G. Monge, Applic., p. 597, Note 4. 
291") Ann. mat. fis. 8 (1857), p. 846. 

291") J. e c. polyt. 22 (1862), p. 85. 

292) M. Schilling, Halle a/S., Modell von P. Vogel, Nr. 200. 
292 a ) ibid. Modell von P. Vogel, Nr. 201. 

293) Ausfuhrliche Bchandlung der Traktrix und ihrer Rotationsflache bei 
E. Beltrami, Ann. di mat. 6 (1864), p. 273; Giorn. di mat. 10 (1872), p. 147; vgl. 
,,Darloux u 3, p. 394; ,,Bianchi", p. 191; M. Schilling, Halle a/S., Modell von 
/. Bacharach, Nr. 208 ; G. Loria, das unter 178) zitierte Werk, p. 562 (III D 4, Nr. 27). 

293 a ) ,,Bianchi", p. 192; M. Schilling, Halle a. S., Modell von J. Bacharach, 
Nr. 208. 

293 b ) ,,Bianchi", p. 193 ; M. Schilling, Halle a/S., Modell von W. Dyd; Nr. 209. 



33. Die Rotationsflachen von konstanter Kriimmung. 337 

Hinsichtlich der Linienelemente 294 ) der pseudospharischen Flachen 
mit dem Kriiminungsmass ~- erwahnen wir zunachst den hyper- 
bolischen Typus. Betrachtet man auf einer der fraglichen Flachen 
eine Schar geodatischer Linien, die eine geodatische Linie (L) senk- 
recht schneiden, und nennt v die Bogenlange von (L) und u die von 
(L) aus gerechnete Bogenlange jener geodatischen Linien, so er- 
gibt sich: 



Wahlt man als Parameterlinien die von einem Punkt (P) aus- 
gehenden geodatischen Linien nebst ihren orthogonalen Trajektorien 
und bezeichnet mit u die von (P) aus gerechnete Bogenlange der 
Geodatischen, mit v den Winkel, den ihre Tangenten in (P) mit 
einer festen, durch (P) gehenden Flachentangente bilden, so erhalt 
man das Linienelement vom elliptisclien Typus mit der Gleichung: 



ds 2 = du* + E 2 sin 2 hyp.^- dv\ 



- 

-Lli 

Nimmt man endlich zu Parameterlinien die, eine Kurve mit der 
konstanten geodatischen Kriimmung -^ senkrecht schneidenden, geo 
datischen Linien samt ihren orthogonalen Trajektorien, so ergibt 
sich bei entsprechender Bezeiclmung wie im ersten Fall der para- 
bolische Typus mit der Gleichung: 



-f- e*dv 2 . 

Die aufgestellten Formen des Linienelements geben Aufschluss fiber die 
geodatische Krummung der in diesen drei Fallen auftretenden Kurven 
M = const. Die fragliche Kriimmung - - absolut genommen ist 
im hyperbolischen Fall stets kleiner als -*, , die entsprechenden Kurven 
nennt man geodatische Kreise mit imagindren MittelpunUen. Im ellip- 
tischen Fall ist die fragliche Krummung stets grosser als Man 
spricht hier von geodatischen Kreisen mit im Endliclien liegenden 
Mittelpunkten. Im parabolischen Fall wird die fragliche Krummung 
gleich ^- Die entsprechenden Kurven heissen hier Grewskreise oder 
auch geodatische Kreise mit unendlich fernen MittelpunUen. 

Fiir eine Flache von konstanter Kriimmung und nur fiir eine 
solche lassen sich die Parameter so wahlen, dass die endliche Gleichung 
der geodatischen Kreise die Form: ( a) 2 -f- (v 6) a = r 2 erhalt 294a ). 

294) ,,Bianchi", p. 187, 189. 

294-) S. Lie, Arch. Math, og Naturv. 9 (1884), p. 40; Lie-Scheffers, Geom. 
der Beriihrungstransf., p. 149. 



338 HI D 5. J?. v. Lilienihdl. Besondere Flachen. 

34. Die geodatischen Linien auf den Flachen konstanter 
Krummung. Die Integration der Diiferentialgleichung der geodatischen 
Linien einer Flache von konstanter Kriiminung wurde von J. Wein- 
garten auf die Auffindung einer Punktion zuruckgefuhrt, die einer 
gewohnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung und einer mit 
ihr vertraglichen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung ge- 
niigt 295 ). Beltrami zeigte 296 ), dass die Flachen von konstanter Krum- 
niung die einzigen Flachen sind, auf denen sich die Parameterlinien 
so wahlen lassen, dass die endliche Gleichung der geodatischen Linien 
die Form mu -J- nv -\~ I erhalt, wo die Grossen m, n, I willkiir- 
liche Konstanten sind, d. h. mit anderen Worten: nur fur die Flachen 
von konstanter Kriimniung gibt es eine solche Abbildung auf eine 
Ebene, bei der die geodatischen Linien durch gerade Linien abgebildet 
werden (III D 6 a, Nr. 9). 

Die Bestirninung der geodatischen Linien einer pseudospharischen 
Flache, fiir die das Quadrat des Linienelements bereits auf die Form 



d u * _|_ e Rdv* gebracht ist, fiihrt auf eine lineare Differentialgleichung 
und ergibt 297 ): 

I/ _^ 
v = E V c e R + c 

Um aber das Quadrat des Linienelements auf die fragliche Form zu 
bringen, hat man eine totale 2978 ) Riccati sche Gleichimg zu inte- 
grieren 298 ). Es ist daher auf einfach unendlich viele Arten moglich, 
jene Form herzustellen, und zwar werden diese Arten aus einer ein- 
zigen, bekannten, durch die Substitution bestimmt 299 ): 

(i-) 



v=- 5-, e 



wo a eine willkiirliche Konstante ist. 



295) J. f. Math. 94 (1883), p. 181; 95 (1883), p. 325. In der ersten dieser 
Arbeiten wird gezeigt, dass das Quadrat des Linienelements einer Flache mit 

du dv j 

dem konstanten Kriimmungsmass k auf die Form -j , gebracht werden 



kann, die ihrerseits eine lineare, gebrochene Transformation in sich selbst zulasst. 

296) Ann. di mat. (1) 7 (1865), p. 185. Vgl. B. Liouville, Amer. J. of math. 
10 (1888), p. 283; ,,Darboux u 3, p. 41. 

297) ,,Bianchi", p. 419. 

297") G. Scheffers, das unter 253) zitierte Werk, p. 330. 

298) A. Backlund, Lunds Universitets Arsskrift 19 (1882-83), p. 26 ; ,,Bianchi", 
p. 438; ,,Dartoux" 3, p. 222. 299) ,,Darboux" 3, p. 413. 



34. Die geodatischen Liuien auf den Flachen konstanter Krummung. 339 

Die endliche Gleichung der geodatischen Linien der weiter unten 
erwahnten Bianclti schen Erganzungsflache der Pseudosphare hat A. 
Wangerin gefunden 299a ). 

Hinsichtlich der geodatischen Linien einer pseudospharischen 
Flache ist ferner zu erwahnen eine Untersuchung von jBeltrami 30 ), 
die auf der vorhin erwahnten Abbildung der geodatischen Linien 
durch gerade Linien beruht. Betrachtet man auf einer pseudospha 
rischen Flache eine geodatische Linie (L) und einen Punkt (P), so 
gehen durch (P) gerade zwei geodatische Linien g und g 2 , deren 
Schnittpunkte mit (Z) als unendlich fern betrachtet werden miissen. 
Zieht man jetzt auf der Flache durch (P) eine geodatische Linie g 3 , 
die (L) senkrecht schneidet ; so bilden in (P) die Linien g 1 und g 2 
mit g s denselben Winkel a, den man den Parallelitdtsivinkel nennt. 
Je nachdem eine von (P) ausgehende geodatische Linie mit g s eiuen 
Winkel bildet, der kleiner oder grosser als a ist, schneidet sie die 
Linie (L) oder sie schneidet (L) nicht. Dabei ist die Bogenlange d 
der Linie g z , von (P) bis zu (L) gerechnet, mit dem Winkel a durch 
die Beziehung verbunden 301 ): 

6 
, a -p 

cotg = e R . 

Die Tangenten jeder der oben (Nr. 33) betrachteten Scharen von 
geodatischen Linien einer pseudospharischen Flache miissen das Nor- 
malensystem einer TT-Flache (Nr. 17) bilden, weil sie bei der Ab- 
wicklung der Flache auf eine Rotationsfliiche in die Meridiane der 
letzteren iibergehen (III D 6 a, Nr. 31). Beltrami bestimmte die Be- 
ziehungen, welche in jedem Fall zwischen den Hauptkrummungsradien 
E 1 und B% der W- Flache bestehen 302 ). Fur die Flachen mit dem 
positiven Krummungsmass ^ ergibt sich: 



wo c eine Konstante bedeutet. Fiir die pseudospharischen Flachen 
folgt im parabolischen Fall: 

-"1 -- -^2 == -^ ) 

im elliptischen : 



JLW 

im hyperbolischen: 

R t R 2 == R cotg hyp. j^ 

Jti 

299*) Festschrift, Halle a/S. 1894, p. 200. 

300) Giorn. di mat. 6 (1868), p. 284. 301) ,,Bianchi", p. 428. 

302) Giorn. di mat. 3 (1865), p. 34. 



340 III D 5. It. v. Lilientlial. Besondere Flachen. 

Die Flache konstanter Krummung ist hier jedesmal die eine Schale 
der Krummungsmittelpunktsnache der TF- Flache. Die jedesmal auf- 
tretende zweite Schale - - Erganmngsflaclie - - wurde fiir die pseudo- 
spharischen Flachen von BiancM betrachtet 303 ). Hier findet sich, dass 
die Erganzungsflache jedesmal auf eine Rotationsflache abwickelbar 
ist. Im parabolischen Fall ist diese Rotationsflache die Umdrehungs- 
flache der Tractrix. Im elliptischen bez. hyperbolischen Fall wird die 
Meridiankurve durch die Gleichungen: 




cos 



= E ( log tg 



cos 



dargestellt, wo jc eine Konstante bedeutet. Man nennt diese Meridian- 
kurve die verkurzte oder verldngerte Traktrix. 

35. Transformationen und Haupttangentenkurven der Flachen 
konstanter Krummung. Die Differentialgleichung der Flachen kon 
stanter Krummung zu integrieren, ist noch nicht gelungen 304 ). Doch 
lasst sich zeigen, dass eine solche Flache durch die Forderung be- 
stimmt ist, dass eine gegebene Kurve auf ihr liegen, und die Flache 
langs derselben eine vorgeschriebene Tangentialebene besitzen soil, die 
aber nicht mit der Schmiegungsebene der Kurve zusammenfallen darf. 
Soil aber eine gegebene Kurve Haupttangentenkurve einer pseudo- 
spharischen Flache sein, so muss sie eine konstante zweite Krummung 
besitzen. Hier findet sich, dass eine Flache rnit dem Kriimmungsmass 

-- eindeutig bestimmt ist, wenn zwei von demselben Punkt aus- 

l 1 

gehende Kurven, die 1) die konstanten Torsionen - und --^r he- 

sitzen und 2) in jenem Punkte dieselbe Schmiegungsebene, aber ver- 
schiedene Tangenten besitzen, die Haupttangentenkurven der Flache 
sein sollen 305 ). - - Angesichts der Schwierigkeiten , die, sich der Auf- 
findung des allgemeinen Integrals der Differentialgleichung unserer 
Flachen entgegenstellen, hat man mit Erfolg versucht, Methoden zu 
entwickeln, mit Hiilfe derer man aus einer gegebenen Flache kon 
stanter Krummung andere derartige ableiten kann, und zwar haben 
sich bis vor kurzem mit einer Ausnahme diese Transformations- 



303) Math. Ann. 16 (1880), p. 577; ,,Bianchi", p. 253. Vgl. G. Bolke, Inaug r 
Dissert. Halle a/S. 1901. 

304) Vgl. J. A. Serrct, J. de Math. (1) 13 (1848), p. 361; 0. Sonnet, J. do 
math. (2) 5 (1860), p. 256; /. Weingarten, J. f. Math. 62 (1863), p. 172; C. Guichard, 
Ann. c. norm. (3) 7 (1890), p. 233; S. Lie, Arch. Math. ogNaturv. 5 (1881), p. 518. 

305) Bianchi, Roma Line. Eend. (6) 3 (1894), p. 143; ,,Bianchi", p. 446. 



35. Transfonnationen u. Haupttangentenkurven d. Flachen konst. Kriimmung. 341 

methoden ausschliesslich auf pseudopharische Flachen bezogen. Wir 
erwahnen zuniichst einen Satz von A. Eibaucour*). Beschreibt man 
in den Tangentialebenen einer Flache. deren Krumumngsmass den 

_ 4 

konstanten Wert -^ besitzt, um die Beriihrungspunkte Kreise mit 
dem Halbmesser E, so sind sie die orthogonalen Trajektorien einer 
Flachenschar, die einem dreifach orthogonalen Flachen system angehort 
und in der jede Einzelflache wieder das konstante Krummungsmass 
- -gs besitzt (III D 6 a, Nr. 29). Eine nicht wesentlich von dieser 
Transformation verschiedene Transformation liefert der Bianchi sche 
Satz 307 ): 1st das Quadrat des Linienelements einer pseudospharischen 
Flache (x, y, i) mit dem Krummungsmass =^ auf die Form gebracht: 

2u 

du 2 -f- e R dv 2 , so sind: 



-*- * - 



die Koordinaten der Punkte einer pseudospharischen Flache mit deniselben 
Kriimmungsmass. So gehort zu jeder pseudospharischen Flache eine ein- 
fach unendliche Anzahl solcher abgeleiteter Flachen; ihre orthogonalen 
Trajektorien sind die im Ribancour schen Satze auftretenden Kreise. 
Lie bemerkte, dass man auf den abgeleiteten Flachen die geodatischen 
Linien durch Quadrature!! bestimmen kann, falls man diese Linien 
auf der urspriinglichen Flache kennt 308 ). Diese Quadraturen sind aus- 
fiihrlich untersucht von Darboux 309 ). - - Eine weitere Transformation 
riihrt von A. Bacldund her 310 ). Sie wurde zuerst in der folgenden, 
rein analytischen Form veroffentlicht. Sind x, y, z die Koordinaten 
einer Flache, ist ausserdem d ~ = p, d ~ = q U nd beziehen sich die ent- 

sprechenden mit einem Strich versehenen Buchstaben auf eine zweite 

Flache ; so sei: 

(x x)p + (y - y) q - (/ - *) = 0, 
(x - x)p + (y y)q f (/ s} = 0, 



qq __ 

^ + (y r y? + (/ - ^ - 2 = o, 



306) Paris, C. R. 70 (1870), p. 330; ,,Dartoutf<, 3, p. 426. 

307) Giorn. di mat. 17 (1879), p. 39; Math. Ann. 16 (1880), p. 577. Uber 
die BiancMsche Transformation vgl. die Arbeiten von 8. Lie, Archiv Math og 
Naturv. 4 (1879), p. 507; 5 (1881), p. 282, 350. 

308) Bull. sci. math. (2) 4 (1880), p. 302 ; Arch. Math, og Naturv. 5 (1881), p. 518. 

309) Paris, C. R. 97 (1883), p. 848, 892, 946; auch Ann. ec norm 3 (7) 
(1890), p. 9; ,,Darl)oux <, 3, p. 422. 

310) Lunds Universitets Arsskrift 19 (1882-83), p. 7. Vgl. hierzu ,,Darboux" 3, 



342 HI D 5. J?. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

wo a und K Konstante bedeuten. Diese Transformation fiihrt eine 

_ l _i_ 7f 2 
Flache mit dem Kriimmungsmass - ^ --- in eine einfach unendliche 

Oi 

Anzahl von Flachen mit demselben Kriimmungsmass iiber und fallt fiir 
K = mit der Bianchi scheii Transformation zusammen. Ausserdem 
fiihrt sie Krummungslinien und Haupttangeutenkurven in ebensolche 
iiber und die letzteren so, dass die Lange des transformierten Kurven- 
bogens gleich der des urspriinglicheu ist. Der geometrische Inhalt 
des Backlund schen Satzes besteht darin, dass die beiden Schalen der 
Brennflache eines Strahlensy stems, in dem sowohl die Entfernung der 
Brennpunkte auf jedeni Strahl, als der Winkel zwischen den beiden 
durch einen Strahl gehenden Brennebenen konstant ist, pseudospharische 
Flachen mit demselben Kruinmungsniass sind 311 ). Man nennt derartige 
Strahlensysteme ,,pseudospMrische" Strahlensysterne 812 ). 

Bei der geometrischen Formulierung der Backlimd schen Trans 
formation spielen die Eigenschaften der Haupttangentenkurven einer 
pseudospharischen Flache eine wesentliche Rolle 313 ). Dmi 314 ) und 
Enneper 315 ) zeigten, dass das Quadrat des Linienelementes einer 
solchen Flache fur die Haupttangentenkurven als Parameterlinien die 

Form erhalt: 

ds* = du 2 -f- 2 cos o> du dv -f- cfa 2 , 

wo to der Grleichung geniigt: 



= sin 03. 



2 =- 
cu dv 

In einem krummlinigen, auf der Flache gezeichneten Viereck, dessen 
Seiten Haupttangentenkurven sind, haben demnach die gegeniiber- 
liegenden Seiten gleiche Langen und der Flacheninhalt des Vierecks 
ist gleich der Summe seiner Winkel vermindert um 2. D. HUbert 31 **) 
folgerte aus der letzten Gleichung, dass es eine singularitatenfreie und 
uberall regular analytische pseudospharische Flache nicht gibt; G. Liitke- 
meyer, dass eine pseudospharische Flache nicht analytisch zu sein 
braucht 315b ). 

chap. 12, und iiber die im Text nicht erwahnte JDzVsche Transformation ,,Dar- 
boux" 3, p. 381; ,,Bianchi", p. 459 (III D 6 a, Nr. 29). 

311) C. Guichard, Ann. e"c. norm. (3) 7 (1890), p. 250; E. Genty, Paris soc. 
math. Bull. 22 (1894), p. 106. 

312) ,,Bianchi", p. 282. 313) ,,Bianchi", p. 129. 
314) Ann. di mat. (2) 4 (187071), p. 184. 

316) Gott. Nachr. 1870, p. 496. Vgl. S. Lie, Arch. Math, og Naturv. 4 (1879), 
p. 345. 

315*) Amer. Math. Soc. Transact. 2 (1901), p. 87 (DID 6 a, Nr. 14). 

315 b ) Inaug.- Dissert. Gottingen 1902; ibid. p. 18 der Nachweis, dass eine 
Flache von positiver konstanter Krummung stets analytisch ist. 



35. Transformationen u. Haupttangentenkurven d. Flachen konst. Krummung. 343 

Nimmt man auf der Einheitskugel die spharischen Bilder der 
Haupttangentenkurven zu Parameterlinien (III D 6 a, NY. 33), so wird 
das Quadrat des Linienelements der Kugel durch den Ausdruck gegeben: 

jji (dii? - - 2 cos co du dv -\- dv 2 ), 

sodass die spharischen Bilder der Haupttangentenkurven dieselben 
Eigenschaften haben, wie die Kurven selbst. S. Lie zeigte 316 ), dass 
die Haupttangentenkurven einer pseudospharischen Flache sich durch 
Quadraturen bestimmen lassen. - Betrachtet man das Tangenten- 
system einer Kurvenschar auf einer pseudospharischen Flache, in dem 
der Winkel jeder Tangente mit der durch den Beriihrungspunkt 
gehenden, zu E^ gehorenden, Krummungslinie mit GJ I bezeichnet wird, 
und verlangt, dass es ein pseudospharisches Strahlensystem mit der 
konstanten Entfernung E cos a der Brennpunkte sei, so zeigt sich, dass 
2^ der Winkel der Haupttangenten auf der zweiten Schale der 
Brennflache ist. Es geniigt daher 1 derselben Diiferentialgleichung wie 
03, wird aber durch erne Riccati sche Gleichung bestimmt, sodass c^ 
ausser 6 noch eine willkurliche Konstante enthalt. Bianchi) zeigte, 
dass, wenn man aus einer pseudospharischen Flache durch zwei zu 
den Konstanten ^ und a 2 gehorende Backlund sche Transformationen 
zwei neue pseudospharische Flachen /S x und S 2 herleitet, sich dieselbe 
Flache ergibt, sei es, dass man mit S i die zu tf 2 , oder mit , die zu 
(? a gehorende Transformation ausfuhrt. Kennt man samtliche oo 2 zu 
einer pseudospharischen Flache gehorenden Backlund schen Trans 
formationen, so erfordert die Bestimmung dieser Transformationen 
fur die abgeleiteten Flachen nur Differentiationen und abgebraische 
Rechnungen, zudem lassen sich die Gleichungeu der geodatischen 
Linien auf den abgeleiteten Flachen ohne Integration in endlicher 
Form angeben 318 ). 

Hinsichtlich der Flachen rnit dem positiven Krummungsmass ~- 
bemerkt 0. Bonnet), dass zu jeder von ihnen zwei im Abstande + E 
befindliche Parallelflachen gehoren, deren mittlere Krummung + ist. 
Umgekehrt besitzt jede Flache von konstanter mittlerer Krummung unter 
ihren Parallelflachen auch eine solche von konstanter positiver Kriini- 
mung (III D 6 a, Nr. 30). Es lassen sich aber, wie Bonnet 32 ) zeigte, die 
Flachen mit konstanter mittlerer Krummung so biegen, dass die Haupt- 

316) Bull. sei. math. (2) 4 (1880), p. 304; Arch. Math, og Naturv. 4 (1879), 
P- 345 - 317) Roma, Line. Rend. (5) 1 (1892 2 ), p. 3. 

318) ,,Bianchi", p. 465. 319) Nouv. aim (1) 2 (1853), p. 437 

320) J. C . polyt. 25 (1867), p. 77; } ,Darboux 3, p. 384. 



344 HI D 5. R. v. Lilienthal. Besoiidere Flachen. 

kriimruungsradien ungeandert bleiben. Damit ist eine Transformation 
der Flachen mit konstanter positiver Kriimmung gegeben. Eine zweite 
Transformation stellte J. H. Hazzidalds auf 321 ). Bei ihr entsprechen 
den geodatischen Linien der urspriinglichen Flache auf der transfor- 
mierten Flache Schattenlinien bei parallel einfallenden Lichtstrahlen 
(III A 6). In neuester Zeit ist es auf Grund eines Guichard schen^ 
Satzes gelungen, fur unsere Flachen eine ahnliche Transformations- 
theorie zu entwickeln, wie sie fiir die pseudospharischen Flachen be- 
steht 323 ). Man denke sich eine durch das Normalensystem einer Flache 
($) mit der konstanten Kriimmung - hindurchgelegte Flache (27) 

und betrachte die Normalen als fest mit 27 verbunden, so dass sie 
bei einer Biegung von 27 ihre Lagen gegen die zugehorigen Flachen- 
elemente nicht andern. Es ist auf oo 3 Arten moglich, die Flache 27 
so zu wahlen, dass sie 1) auf ein verlangertes Rotationsellipsoid mit 
der grossen Achse 2R, oder auf ein zweischaliges Rotationshyperboloid 
mit der Hauptachse 2 E abwickelbar ist, und dass 2) jene Strahlen bei 
den Verbiegungen von 27 die Normalen einer Flache von der Kriim 
mung -pj bleiben. Reflektiert man nun die Normalen von ($) an 

jFC 

einer Flache 27 und fasst auf den reflektierten Strahlen die Punkte 
(P) ins Auge, die hinsichtlich der Tangentialebenen von 27 symrne- 
trisch zu den eutsprechenden Punkten von (S^) liegen, so bilden die 

Punkte (P) eine Flache mit der Kriimmung v, 27 deren Normalen die 
reflektierten Strahlen sind. 

VIII. Weitere foesoiidere Flachen. 

36. riacken mit besonderen Eigenschaften der Hauptkriim- 
mungshalbmesser. a) Flachen mit konstanter mittlerer Kriimmung 324 ). 
Die Kruminungslinien dieser Flachen sind isotherm 325 ), ihre Minimal- 
kurven lassen sich durch Quadraturen bestiinmen 325 ^). Die Meridian- 
kurve der Rotationsflachen mit der konstanten mittleren Kriimmung -^ 
wird von einem Brennpunkt einer Ellipse oder Hyperbel, deren grosse 
Achse bezw. Hauptachse gleich E ist, beschrieben, falls die betreffende 

321) J. f. Math. 88 (1879), p. 68. 

322) Paris, C. R. 128 (1899), p. 232. 

323) Bianchi, Ann. <li mat. (3 a ) 3 (1899), p. 185; ,,Bianchi" f p. 641. Vgl. 
Darboux, Ann. ec. norm. (3) 16 (1899), p. 465. 

324) Vgl. M. Chini, Giorn. di mat. 27 (1889), p. 107. 

325) 0. Sonnet, J. ec. polyt. 25 (1867), p. 77; ,,Darloux", 2, p. 245; 3, p. 383. 
326 n ; S. Lie, die unter 167) zitierten Arbeiten. 



36. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Hauptkriimmungshalbmesser. 345 

Kurve auf einer Geraden rollt ohne zu gleiten; diese Gerade ist zur 
Rotationsachse zu nehmen. Fur R=oo hat man eine Parabel rollen 
zu lassen, wo dann ihr Brennpunkt eine Kettenlinie beschreibt 326 ). 
Im Anschluss an diesen Delaunay schen Satz zeigte M. Sturm 321 ^), 
dass sich dieselbe Meridiankurve ergibt ; wenn man die Rotations- 
flache aufsucht, die bei gegebenem Volumen die kleinste Oberflache 
besitzt. Darboux} gab den folgenden Satz: Wenn zwei im Ab- 
stand li von einander parallele Flachen die Strecken zwischen den 
Mittelpunkten ihrer Hauptnormalkriimmungen auf jeder Normale har- 
monisch teilen, so besitzen sie beide dieselbe konstante mittlere 
Krummung -=- 

ftf 

b) Appett sche Flachen. P. Appell 529 ) betrachtete die Flachen, bei 
denen die senkrechte Projektion eines festen Punktes auf jede Normale 
den Mittelpunkt der Strecke zwischen den Endpunkten der Hauptkrurn- 
mungshalbmesser trifft, d. h. der Abstand des festen Punktes von der 

7? I 7? 

Tangentialebene gleich ^ - ist. Zu jeder Funktion einer komplexen 

Veranderlichen gehort eine derartige Flache. Jedes unendlich diinne 
Normalenbiindel einer solchen Flache schneidet aus einer festen Kugel 
beim Eintritt und beim Austritt gleiche unendlich kleine Flachenteil- 
chen aus. Fa-lit der feste Punkt mit dem Koordinatenanfangspunkt (0) 
zusammen, und ist (P) ein Punkt einer Minimalnache, so konstruiere 
man eine Ebene (E), die parallel der in (P) beruhrenden Tangen 
tialebene der Minimalflache liegt, und deren Abstand von (0) gleich 
dem Abstand des Punktes (P) von der #?/-Ebene ist. Durchlauft (P) 
die Minimalflache , so werden die Ebenen (E) von einer AppelVschen 
Flache eingehiillt. Auch die Beziehung dieser Flachen zu den von 
Bonnet 3 ) aus einer Minimalflache abgeleiteten, bei welchen die 
Mittelpunkte der Normalen in einer Ebene liegen, ist von Appell dar- 
gethan. E. Goursat^} und E. Baroni 2 ) untersuchten die Flachen, 

bei denen der Abstand des festen Punktes von den Tangentialebenen 

, . -, JB, -I- JR 9 . . 
proportional ^ - ist. 



326) Ch. Delaunay, J. de math. (1) 6 (1841), p. 309; Paris, C. R. 13 (1841), p. 84. 

327) J. de math. (1) 6 (1841), p. 315; M. Schilling, Halle a/S., Modelle 
von A. v. Braunmuhl, Nr. 217 220. Vgl. die Dissertationen von G. Hermann, 
Gottingen 1887 und W.Howe, Berlin 1887, wo sich auch weitere historische An- 
gaben finden (IE D 4, Nr. 11.) 328) Ann. e c. norm. (3) 16 (1899), p. 467. 

329) American Journ. of math. 10 (1888), p 175. 

330) Paris, C. R. 42 (1856), p. 486; ,,jDarl)Oux" 1, p. 255. 

331) American Joum. of math. 10 (1888), p. 187. 

332) Giorn. di mat. 28 (1890), p. 349. 

Encyklop. d. math. Wissensch. TTT 3. 23 



346 HI D 5. E. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

c) Bianchi sche Flachen 333 ). Sie sind gefunden auf Grund einer 
Methode, die Weingarten veroffentlicht hat 334 ). Hier haben die Kugeln, 
welche iiber den Strecken zwischen den Endpunkten von R^ und jR 2 
als Durchmesser beschrieben sind, die Eigenschaft entweder eine feste 
Kugel senkrecht zu schneiden (hyperbolischer Fall) oder eine feste 
Kugel in einem grossten Kreis zu schneiden (elliptischer Fall) oder 
durch einen festen Punkt zu gehen (parabolischer Fall). In den 
beiden letzten Fallen haben die Flachen mit den pseudosphiirischen 
Flachen das spharische Bild der Kriimmungslinien gemein; im hyper- 
bolischen Fall ebenfalls da, wo die senkrechte Projektion des Mittel- 
punkts der festen Kugel auf die Normalen der Flache zwischen die 
Eiidpunkte von E und R 2 fallt, sonst hat die Flache mit denen von 
konstanter positiver Kriimmung das spharische Bild der Krummungs- 
linien gemein. 

d) DeMontcheuil 33 **} bestimmte die Flachen mit der Eigenschaft: 



wo u und U L solche komplexe Parameter sind, mit Hiilfe derer die 
Richtungskosinus der Flachennormalen die Formen erhalten: 

_ M + MI V- i U i~ U 7 _ UU i ~ 1 

A - UUl -f 1 > l UUl + 1 > U Ul + l 

Gibt man der Gleichung der Tangentialebene die Form: 

(u -}- u^)x -\- i (M! u) y + (*M! --l) + ^0, 
so geniigt hier | der Bedingung: 

-J ^i- =0 

aw 2 a^ 2 " 

und fiir das Normalensystem der fraglichen Flachen lasst sich eiue 
geometrische Erzeugungsart angeben. 

37. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Krummungs- 
linien. a) Isotherme Flachen 334b ). Mit diesem Namen b elegt man neuer- 



333) Ann. di mat. (2) 24 (1896), p. 347. 

334) Paris, C. E. 112 (1891), p. 607; 116 (1893), p. 493. 

334") Par. soc. math. Bull. 26 (1898), p. 103; 27 (1899), p. 114. 

334 b ) Vgl. die Inaug.- Dissert, von H. Willgrod, Gottigen 1883, in der die 
isothermen TT-Flachen bestimmt werden, und der Satz bewiesen wird, dass die 
Transformation mittelst reziproker radii vectores isotherme Flachen in eben- 
solche iiberfuhrt. ,,Darl)OUx" 2, chap. 11, wo gezeigt wird, dass die fiinf penta- 
spharischen Koordinaten (III A 7) einer isothermen Flache, als Funktionen der 
Parameter der Kriimmungslinien betrachtet, eiuer linearen partiellen Differential- 
gleichung zweiter Ordnung mit gleichen Invarianten (II A 5, Nr.53) geniigen. Vgl. 
ferner: Lie-Scheff ers , Vorl. iiber Differentialgleichungen, Leipzig 1891, p. 178. 



37. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Kriimmungslinien. 347 

dings die Flachen mit isothermen Kriimmungslinien. Weingarten 335 ) 
sprach die Bedingung fur die fragliche Eigenschaft einer Flache so 
aus: 1st die Flache durch eine Grleichung von der Form q>(x, y, 2} = 
gegeben, so muss der Ausdruck: 

-1 __ | g(gL_gi) //y -L. dfa + g) jv _i_ g (?i + ft) -j * \ 

(ft - e*) 2 I 0* " FjT ~^ dZ ~ d * ft I 

das Totaldifferential einer Funktion des Orts in der Flache sein; sind 
aber die Koordinaten der Flache als Funktionen der Parameter u und v 
der Krummungslinien gegeben, so muss der Ausdruck: 



ein exaktes Differential sein. Andere Formen dieser Bedingung stellten 
J. Knoblauch} und G. Frobenius 331 ) auf. Darboux 338 ) betrachtete 
isotherme Flachen mit einer Schar ebener Krummungslinien und fand, 
dass die Ebenen der letzteren einen Kegel umhiillen. Den Fall, dass 
der Kegel in einen Zylinder ausartet, untersuchte P. Adam}. Der 
fragliche Umstand findet bei den hierher gehorenden Flachen von kon- 
stanter mittlerer Krummung statt 340 ). Hingewiesen sei auf eine Arbeit 
von A. Thybaut 3 * 1 ), in der unter anderem gezeigt wird, dass die beiden 
Schalen einer Flache, die eine doppelt unendliche Schar von Kugeln 
umhullt, stets isotherm sind, wenn die auf jeder Kugel liegenden 
Beriihrungspunkte mit der Einhiillenden harmonisch sind zu den 
Brennpunkten der durch die Beriihrungspunkte gelegten Strahlen. 

b) Guichard-Bianchi sche Flachen. C. Guichard 3 * 2 ) betrachtete 
die Flachen, bei denen in jedem Punkt die senkrechten Abstande der 
beiden Hauptnormalebenen von einem festen Punkt ein konstantes 

Tiber die Integration der Differentialgleichung der isothermen Flachen vgl. 
R. Eothe, Inaug.-Dissert. Berlin 1897, wo sich weitere Litteraturangaben finden. 

335) Berlin, Sitzungsberichte (1883), p. 1163. 

336) J. f. Math. 103 (1888), p. 40. 

337) ibid. 110 (1892), p. 34. 

338) Bull. sci. math. (2) 7 (1883), p. 257; Paris, C. R. 96 (1883), p. 1202 
1294; ,,Darboux" 4, p. 235. 

339) Ann. ec. norm. (3) 10 (1893), p. 319. 

340) Vgl. M. Voretzsch, Gottingen, Inaug.-Dissert. 1883. 

341) Paris, C. R. 131 (1900), p. 932. Auf eine weitere besondere Art iso- 
thermer Flachen machte L. Raffy aufmerksam: ibid. 128 (1899) p. 285. Isotherme 
Flachen, die mit der Biegung eines Paraboloids in Verbindung stehen, behan- 
delte A. Thybaut, Ann. dc. norm. (3) 14 (1897), p. 45 (IHD 6 a, Nrr. 13, 31) ; solche, 
die mit dem Rollen einer Flache zweiter Ordnung auf einer Abwickelbaren in 
Verbindung stehen, G. Darboux, ibid. p. 497 (HID 6 a, Nr. 18). 

342) Paris, C. R. 116 (1893), p. 487. 

23* 



348 HI D 5. R. v. Lilienthal. Besondere Flaclien. 

Verhaltnis haben und gab eine Transformation dieser Flachen, die 
wieder zu solchen fiihrt. Siancld us ~) zeigte, dass diese Flachen zu 
den friiher von ihm untersuchten 344 ) gehoren, auf denen ein doppelt 
unendliches System von isogonalen Trajektorien der Kriimmungslmien 
vorhanden ist ; welches die Flache in infmitesimale aquivalente Paral- 
lelogramme teilt. Beschreibt man um den festen Punkt eine Kugel 
und konstruiert alle Kreise, welche die Kugel und eine feste Flache 
mit der fraglichen Eigenschaft senkrecht schneiden, so sind sie die 
orthogonalen Trajektorien einer Flachenschar, die aus lauter Flachen 
mit derselben Eigenschaft besteht. Ebenso geht jede Flache mit 
dieser Eigenschaft durch eine Inversion von dem festen Punkt als Pol 
aus in eine ebensolche iiber. 

c) Hypercyklische Flachen. Mit dieser Benennung belegt^ awc/w 345 ) 
die Flachen mit einer Schar von Kriimmungslinien, deren erste Kriim- 
mung konstant ist. Zu einer jeden solchen Flache gehort eine zweite 
mit derselben Eigenschaft. Sie ist der Ort der Mittelpunkte der 
ersten Kriimmung der fraglichen Kriimmungslinien. Man kann hier 
eine der Backlund schen ganz ahnliche Transformationstheorie ent- 
wickeln. Dasselbe gilt von den von E. Nannei 546 ) untersuchten 
Flachen, bei denen die erste Kriimmung der Kriimmungslinien einer 
Schar nur langs jeder Einzelkurve als konstant vorausgesetzt wird. 

d) Die Flachen mit einem System kongruenter Kriimmungslinien 
untersuchte J. N. Hassidakis 9 "). Wenn hier die erzeugenden Kurven 
doppelt gekriimmt sind, bleiben auch die von den Flachennormalen 
beriihrten Evoluten der Erzeugenden kongruent, und man hat es mit 
Schraubenflachen zu tun. 

e) Eine Untersuchung fiber die Flachen, bei denen in jedem Punkte 
die beiden, die Tangenten der Kriimmungslmien enthaltenden, Norinal- 
ebenen in Bezug auf eine Flache zweiter Ordnung konjugiert sind, 
findet sich bei ,,Darboux" 2, chap. 14. 

38. Flachen mit besonderen Eigenschaften der Haupttangenten- 
kurven und konjugierten Linien. a) Bianchi^ 8 ) betrachtete die 
Flachen, auf denen die Haupttangentenkurven der einen Schar kon- 
stante Torsion besitzen. Die fraglichen Linien werden dann durch 



343) Roma, Line. Rend. (5) 3* (1894), p. 77. 

344) Ann. di mat. (2) 18 (1890), p. 349. 345) ibid. (2) 13 (1885), p. 222. 

346) Giorn. di mat. 26 (1888), p. 201. 

347) J. f. Math. 98 (1885), p. 49. Vgl. M. Bricard, Paris, C. R. 130 (1900), 
p. 475 und A. Demoulin, ibid. p. 823. 

348) Roma Line. Rend. (4) 6 1 (1890), p. 352 u. Ann. di mat. (2) 18 (1890), 
p. 340. 



38, Besondere Haupttangentenkurven. 349 

die Haupttangentenkurven der anderen Schar in proportionale Bogen 
geteilt, und dieselbe Eigenschaft besitzen die spharischen Bilder der 
Haupttangentenkurven. Mittels einer der Backlund scheTi ahnlichen 
Transformation lassen sich aus jeder der fraglichen Flachen andere 
herleiten, auf denen die Kurven der einen Schar der Haupttangenten 
kurven dieselbe konstante Torsion und dieselbe Bogenlange besitzen, 
wie die entsprechenden Haupttangentenkurven der urspriinglichen 
Flache. 

b) Die Flachen, auf denen cine Schar von Haupttangentenkurven 
aus Schraubenlinien besteht, die auf parallelen Zylindern liegen, be- 
stimmte Dm* 349 ). Die orthogonalen Trajektorien der Haupttangenten 
kurven liegen in Ebenen, die zur Achse der Schraubenlinien senk- 
recht sind. 

c) P. Stackel 350 ) betrachtete die Flachen, die durch die Haupt 
tangentenkurven in unendlich kleine Rhomben mit konstanten Winkeln 

geteilt werden (III D 6 a, Nr. 30). Hier ist das Verhaltnis ~ 2 - kon- 

M l 

stant. Ist es gleich - - 1, so ergeben sich die Minimalflachen; ist es 
von 1 verschieden, so gehen die zu ein und demselben Winkel der 
Haupttangentenkurven gehorenden Flachen alle aus einer einzigen 
durch eine Ahnlichkeitstransformation hervor, und letztere ist eine 
Rotationsflache. 

d) Die von S. Lie behandelte Frage nach den Flachen, deren 
Haupttangentenkurven linearen Komplexen angehoren, wird erortert 
in der Inaug.-Dissertation von A. Peter (Leipzig 1895), woselbst sich 
weitere Litteraturangaben finden 350a ). 

e) K. Peterson nennt eine auf einer Flache liegende Kurve zylin- 
drisch oder konisch, wenn die Flache langs der Kurve von einem 
Zylinder oder einem Kegel beriihrt wird. Die Flachen, auf denen es 
zwei konjugierte Scharen zylindrischer Kurven gibt, fallen mit den 
Translationsflachen zusammen (Nr. 6). Fur die Koordinaten der Punkte 
der Flachen, auf denen es zwei konjugierte Scharen konischer Kurven 
gibt, erh alt Peterson die Darstellung 351 ) : 

x = ^ + & 7/ = ^+ X* = ^3 + % s 

~ J ~ ~ 



349) Ann. di mat. (2) 4 (187071), p. 190. 

350) Leipzig, Berichte 1896, p. 491; ibid. 1898, p. 10. 

350") Vgl. Lie-Scheffers, Geom. der Beriihrungstransf., p. 369. 

351) tiber Kurven und Flachen, Leipzig 1868, p. 27; vgl. A. Voss, Math. 
Ann. 39 (1891), p. 205. Daselbst p. 207, 214 weitere konjugierte Systeme; solche, 
die aus ebenen Kurven bestehen, bei ,,Darboux" 1, p. 123. 



350 HI D 5. E. v. Lilienthal Besondere Flachen. 

wo ^ . . . ^ 3 Funktionen von u allein, % . . . ^ g Funktionen von v allein 
bedeuten. 

f) L. Eaffy bestimmte die Flachen, deren Koordinaten sich durch 
die Gleichungen: 



darstellen lassen, wahrend die Kurven u = const., v = const, kon- 
jugiert sind, und zeigte, dass die Bestimmung der Haupttangenten- 
kurven dieser Flachen nur Quadraturen erfordert b51a ). Diejenigen unter 
diesen Flachen, bei denen die Tangenten der Parameterlinien ein und 
demselben tetraedralen Komplex (III D 4, Nr : 35) angehoren, dessen 
Fundamentaltetraeder aus den Koordinatenebenen und der unendlich 
fernen Ebene besteht, sind, wie A. Demoulin zeigte 351b ), die einzigen 
Flachen, auf denen ein konjugiertes Kurvensystem mit der fraglichen 
Eigenschaft seiner Tangenten vorhanden ist. 

g) L. JRaffy bestiramte die Flachen, auf denen die von den 
Ebenen eines Biischels ausgeschnittenen Kurven mit ihren kon- 
jugierten Kurven ein System mit gleichen Invarianten bilden 351c ) 
(II A 5, Nr. 53; III D 3, Nr. 37). 

39. Flachen mit besonderen Eigenschaften der geodatischen 
Linien und geodatischen Kreise. a) A. Foss 8614 ) bemerkte bei den 
Flachen mit einem System konjugierter geodatischer Linien die Eigen 
schaft, dass die spharischen Bilder dieser Kurven mit denen der 
Haupttangentenkurven der pseudospharischen Flachen iibereinstimmen 
(HID 6 a, Nr. 25). C. Guichard 352 } wurde zu den fraglichen Flachen 
auf folgende Art gefiihrt: Das Tangentensystem der zu R^ gehorenden 
Krummungslinien auf einer Flache ($) besitzt als zweite Schale der 
Brennflache eine Flache (S^), die der Ort der Mittelpunkte der geo 
datischen Krummungen der zu _R 2 gehorenden Krummungslinien ist. 
Den Krummungslinien auf (5) entsprechen auf (SJ stets konjugierte 
Kurven. Falls diese sich aber rechtwinklig schneiden , entspricht den 
Krummungslinien von ($) auf der zu R 1 gehorenden Schale der 
Krummungsmittelpunktsnache von (S) ein System konjugierter, geo 
datischer Linien. 



351 a ) Par. soc. math. Bull. 24 (1896), p. 2. 

351 b ) ibid. 25 (1897), p. 83. 351 C ) ibid. 24 (1896), p. 54. 

351 d ) Munchen, Berichte 1888, p. 95; Math. Ann. 39 (1891), p. 253. Vgl. 
A. Razzaboni, Bologna, Mem. (4) 9 (1888), p. 765, wo gezeigt wird, dass die ge- 
wohnliche Schraubenflache die einzige hierher gehorende Minimalflache ist. 
,,Darboux" 4, p. 103, 105; ,,Bianchi", p. 284; C. Guichard, Paris, C. R. 110 
(1890), p. 995. 

352) Ann. <$c. norm. (3) 7 (1890), p. 231. 



39. Besondere geodatische Linien. 351 

b) Betrachtet man in einem dreifach orthogonalen Flachensystem 
(IIID 1, 2, Nr. 23; IHD6b), bei dem die eine Schar aus Flachen 
mit demselben konstanten negativen Kriimmungsmass besteht, die- 
jenigen orthogonalen Trajektorien dieser Schar, welche eine Haupt- 
tangentenkurve einer Einzelflache treffen, so schneidet die von ihnen 
gebildete Flache ($) auch die anderen Flachen der Schar in Haupt- 
tangentenkurven ; ($) besitzt somit eine Schar geodatischer Linien 
von konstanter Torsion. C. Fibbi 3 ) untersuchte die Flachen mit 
einem System geodatischer Linien, deren Torsionen nur von Kurve 
zu Kurve sich andern, und weiter diejenigen unter ihnen, bei denen 
die orthogonalen Trajektorien der geodatischen Linien entweder Kreise 
mit demselben Radius sind oder konstante erste Kriimmung besitzen. 
In beiden Fallen treten ahnliche Transformationen, wie die Back- 
luncTsche auf. 

c) Uber Flachen mit einem System kongruenter geodatischer 
Linien oder kongruenter Haupttangentenkurven vgl. eine Arbeit von 
J. N. HazzidaMs 35 ^. 

d) Sind die Koordinaten der Punkte einer Flache als Funktionen der 
Parameter u und v gegeben, so versteht man unter einer linearen Schar 
von geodatischen Linien eine solche, die durch gerade, parallele Linien 
in der u } w-Ebene abgebildet wird, deren Grleichung sich also in der 
Form: au -f- bv = const, darstellt. G. Finsterwalder 355 ) zeigte, dass 
eine Flache, auf der vier wesentlich verschiedene derartige Scharen 
vorkommen, notwendig konstantes Kriimmungsmass besitzen muss. 
Auf den Rotationsflachen gibt es drei solche Scharen. Die Frage 
nach der Form des Quadrats des Linienelements der Flachen, auf 
denen drei lineare Scharen vorkommen, behandelten F. AhP 5s ) und 
P. Stackel^ 1 }. Es zeigt sich, dass hier auch eine solche Form auf- 
treten kann, die fur eine Spiralflache (Nr. 7) kennzeichnend ist. 

e) Die Frage nach denjenigen Flachen, deren samtliche geodatische 
Linien geschlossen sind, scheint bisher nur fur die Rotationsflachen 
beantwortet zu sein 357a ). G. Darboux entwickelte in dem Lehrbuche 
von M. Despeyrous 358 ) eine Methode zur Auffindung von derartigen 
Rotationsflachen. Auf Grund derselben fand J. Tannery 3 *) die Rota- 
tionsflache mit der Gleicbung: 



353) Pisa Ann. 5 (1888), p. 79. 354) J. f. Math. 95 (1883), p. 120. 

355) Deutsch. Math. -Vereinig. Jahresber. 6 (1899), p. 50. 

356) Inaug.-Diss. Kiel 1901. 357) Math. Ann. 56 (1902), p. 502. 
357 a ) Vgl. P. Stdckel, Deutsche Math.-Ver. Jahresber. 9 (1901), p. 128. 
358) Cours de Mecanique 2, Paris 1887, p. 467. Vgl. ,,Darl>oux" 2, p. 454; 

3, p. 6. 359) Bull. sci. math. (2) 16 (1892), p. 190. 



352 HI D 5. P. v. Lilienthal. Besondere Flachen. 

16a 2 (x 2 + */ 2 ) = s 2 (2 a 2 \ 

deren geodatische Linien nicht nur samtlich geschlossen, sondern auch 
algebraisch sind. 0. Zoll 36 ) behandelte ausfiihrlich die Flachen mit 
einer Schar geschlossener geodatischer Linien und fand eine singulari- 
tatenfreie Rotationsflache mit lauter geschlossen en geodatischen Linien. 

f) (vgl. Ill D 3, Nr. 38). Von 0. Bonnet wurden die Flachen 
bestimmt, auf denen die Krummungslinien aus geodatischen Kreisen 
bestehen 361 ). Man hat es hier mit den Einhullenden einer Schar von 
Kugeln zu tun, die durch zwei feste reelle oder imaginar konjugierte 
Punkte gehen. A. Ribaucour 362 ) leitete das Bonnet sche Ergebnis auf 
geometrischem Wege her. Nach ,,Darboux" 3, p. 121 bestehen die 
fraglichen Flachen aus den Rotationsflachen, den Kegeln, den Zy- 
lindern und den aus diesen Flachen durch Inversion sich ergebenden 
Flachen. A. Voss zeigte, dass, wenn auf einer Flache zwei Kurven- 
scharen liegen, von denen jede aus geodatischen Kreisen von gleicher 
geodatischer Krummung besteht, und die sich zudem unter kon- 
stantem Winkel schneiden, die Flache ein konstantes negatives Kriim- 
mungsmass besitzt 363 ). Die Frage nach den Flachen mit isogonalen 
Systemen von geodatischen Kreisen wurde von F. Probst 364 ) eingehend 
behandelt. Wir erwahnen den Satz, dass eine Flache mit mehr als 
zwei Orthogonalsystemen von geodatischen Kreisen unendlich viele 
solcher Systeme und damit konstantes Kriimmungsmass besitzt. 

40. Imaginare Flachen. Beschrankt man sich nicht auf reelle 
Flachen , sondern lasst auch imaginare Flachen zu, so erhalten die 
Satze der Flachentheorie mannigfache Erweiterungen, die analytisch 
von Interesse sind, und von G. Sclieffers (Einfiihrung in die Theorie 
der Flachen, Leipzig 1902) systematisch beriicksichtigt werden. Der 
zuerst behandelte Fall 365 ) trat bei der von G. Monge untersuchten 
Frage nach den Flachen auf, bei denen in jedem Punkt die beiden 
Hauptkrummungshalbmesser gleich sind. Ausser der Kugel ergeben 
sich imaginare Flachen mit nur einer Schar von Krummungslinien, 
Flachen, bei denen also die beiden quadratischen Fundamentalformen 
einen gemeinsamen Faktor besitzen (III D 6 a, Nr. 2). Eine derartige 
Flache von konstantem Kriimmungsmass wurde von J. A. Serret be- 



360) Inaug.- Dissert, u. Preisschrift, Gottingen 1901 (HID 6 a, Nr. 14). 

361) J. e c. polyt. 25 (1867), p. 133. 

362) Bull. soc. philom. 6 (1869), p. 1; 7 (1870), p. 24; vgl. P. Adam, Par. 
soc. math. Bull. 22 (1894), p. 110. 

363) Munch. Ber. 22 (1892), p. 268. 

364) Inaug.-Dissert. Wurzburg 1893. 

365) Monge, Application d Analyse a la Geom., 5 te Aufl. Paris 1850, p. 196. 



40. Imaginare Flachen. 353 

merkt 866 ). Eingehend untersucht wurden die fraglichen Flachen von 
P. Stackel 367 ) und G. Scheffers 368 ). Der erstere zeigte, dass die Kriim- 
mungslinien dieser Flachen aus Minimalgeraden bestehen 369 ), der 
letztere, dass liings jeder solchen Geraden das Krummungsmass der 
Flache konstant ist. Stackel fand, dass die Flache iiberhaupt kon- 
stantes Kriimmungsmass besitzt, wenn der Ort der Hauptkrummungs- 
mittelpunkte eine Minimalkurve ist. Fiir diesen Fall wurden die 
Koordinaten der Punkte der Flache von Sclieffers mittelst dreier 
Quadrature^ von Stackel durch von Integralen freie Ausdriicke dar- 
gestellt. 

An zweiter Stelle erwahnen wir die Tangentenflachen der Minimal- 
kurven. Sie werden von G. Darboux 37 ) zuerst developpables focales, 
spater developpables isotropes, von G. Scheffers Minimaldeveloppable ge- 
nannt (III D 6 a, Nr. 2). Wir sind ihnen in Nr. 15, 29, 30 bereits 
begegnet. Die Determinate EG F 2 ist hier stets Null, wahrend 
keine Fundamentalgrossen zweiter Ordnung auftreten 371 ). 

Endlich sei die algebraische imaginare Flache erwahnt, die sich 
aus der Cayley schen Linienflache (Nr. 6, Anm. 83) durch eine lineare, 
imaginare Koordinatentransformation ergibt. Sie tritt zuerst bei S. Lie 
auf als Minimalflache dritter Klasse 372 ), sodann als Minimalflache mit 
unendlich vielen Translationserzeugungen 373 ) (Nrr. 6, 2 7). Eibaucour 374 ) 
fand, dass die Frage nach den geradlinigen Minimalflachen ausser auf 
die gewohnliche Schraubenflache noch auf eine imaginare Flache fiihrt, 
deren Linienelement er bestimmt. Diese Flache fallt nach den Unter- 
suchungen von A. Demoulin 375 ) mit der Lie schen. Flache zusammen, 
sie erscheint hier als Hauptnormalenflache einer kubischen Rautnkurve. 
(Vgl. die ausfiihrliche Darstellung von G. Scheffers 376 ). 

366) J. de math. (1) 13 (1848), p. 361. 

367) Leipz. Ber. 1896, p. 478; 1902, p. 108. 

368) Einfiihrung in die Theorie der Flachen, p. 114, 228, 229. 

369) Vgl. ,,Darboux" 3, p. 295. 

370) Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriques et 
la theorie des imaginaires, Paris 1873, p. 9. 

371) G. Scheffers, Einfiihrung in die Theorie der Flachen, p. 29, 107; Lie- 
Scheffers, Geom. der Beruhrungstransf., p. 429, 432. 

372) Math. Ann. 14 (1878), p. 353. 

373) Arch. Math, og Naturv. 3 (1878), p. 488. 

374) Die unter 268) zitierte Arbeit, p. 72. 

375) Bruxelles Mem. cour. in 4, 58 (1899). 

376) Einfiihrung in die Theorie der Flachen, p. 242 (III D 4, Nr. 20). 



(Abgeschlossen im August 1903.) 



354 HI D 5. E. v. Lilienihal. Besondere Flachen. 



Nachtrag zu HI D 3. 
p. 109, Fussn. 6 C ), statt 1901 lies: 1900. 

p. 124, Z. 11, statt f lies: | 
du ou 

p. 133, Z. 27, hinter ,,Ausdruck" lies: auf J. Liouville s Vorschlag (Mange, Applic. 

Note I, p. 568). 

Z. 28, statt R. Liouville lies: J. Liouville. 
p. 155, Fussn. 130), vgl. J. Liouville, J. de math. (1) 11 (1846), p. 362; Note II in 

Monge, Applic. p. 569; ,,I)arboux" 1, p. 148. 
p. 168, Fussn. 170), statt 2 lies: 9. 

p. 174, Fussn. 183). Wohl zuerst bei J. Liouville, J. de math. (1) 12 (1847), p. 281. 
p. 176, Z. 7 9, lies: Sie gehen durch projektive Transformation 191 ) und durch 

Transformation mittels reziproker Polaren (,,Darl)oux? 1, p. 137) wieder 

in Haupttangentenkurven iiber. 

Fussn. 191), statt 408 lies: 406. 
p. 178, Z. 10, statt Eadien lies: Polaren. 
p. 181, Fussn. 207). Vor ,,Darboux" lies: 0. Bonnet, J. ec. polyt. 25 (1867), p. 132. 



Ill D 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 355 



HID 6 a. ABBILDIJNG TOTO ABWICKELUNG 
ZWEIER FLACKED AIIP EINAOTDER. 

VON 
A. VOSS 



IN WURZBUKG. 



Inhaltsiibersicht. 

A. Einleitung. 

1. Vorbemerkungen. 

2. Allgemeine Ubersicht uber die Probleme der Abbildung und Abwickelung 
(Isometrie und Biegung) der Flachen. 

B. Die Abbildung der Flachen. 

3. Die konforme oder winkeltreue Abbildung. 

4. Besondere konforme Abbildungen. 

5. Vorteilhafteste konforme Abbildung. 

6. Konforme Abbildung bei Raumen von mehr Dimensioned. 

7. Die aquivalente oder flachentreue Abbildung. 

8. Die Kartenkonstruktionen. 

9. Die geodatische Abbildung. 

10. Die projektive Abbildung. 

11. Die spharische Abbildung. 

12. Andere Abbildungen. 

13. Die Strahlensysteme. 

14. Abbildungen allgemeineren Charakters. 

C. Die Isometrie der Flachen. 

a. Allgemeine Probleme. 

15. Das Minding sclae Problem. 

16. In sich isometrische Flachen. 

17. Kongruenz zweier Flachen. 

18. Das .Bow sclie Problem. 

19. Allgemeine Satze u ber die isometrische Zuordnung zweier Flachen. 

1). Spezielle Probleme. 
1) Isometrische Untergruppen. 

20. Untergruppen, bedingte Biegungen. 

21. Die Developpabelen. 

22. Die Isometrie und Biegung der Regelflachen. 



356 III D 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flilchen auf einander. 

23. Die Biegung der Rotationsflachen. 

24. Isometrie mit Erhaltung der Kriimmungslinien resp. Hauptkriimmungsradien. 

25. Isometrie mit Erhaltung konjugierter Systeme. 

26. Die Translationsflachen. 

27. Die Minimalflachen. 

2) Die Flachen konstanter Kriimmung. 

28. Die Flachen konstanter Kriimmung. 

29. Die Flachen konstanter negativer Kriimmung. 

30. Die Flachen konstanter positiver Kriimmung. 

3) Vollstandige isometrische Gruppen. 

31. Weingarten s vollstandige Flachenklassen. 

D. Die infinitesimale Isometrie. 

32. Infinitesimale Deformation und Isometrie der Flachen. 

33. Das Problem der sphiirischen Abbildung. 

34. Isometrische Flachenpaare. 

E. Geometrische und mechanisehe Modellc zur Lehre von der Abbildung 
und Abwickelung der Flachen. 

35. Geometrische und mechanisehe Modelle. 



Litteratur. 

E. Bellrami, Eicerche di analisi applicata, Giorn. di mat. 2, p. 267, 297, 331, 355 
(1864); 3, p. 15, 33, 82, 228, 311 (1865); Opere 1, Milano 1902, p. 107. 

- Sulla teoria generale dei parametri differenziali, Bologna Mem. (2) 8, p. 549 
(1868). 

L. Bianchi, Lezioni di Geometria infinitesimale, Pisa 1894; deutsch von M. Lukat, 
Vorlesungen u ber Differentialgeometrie , Leipzig 1899, zitiert mit Bianchi; 
ed. 2, vol. 1, Pisa 1902. 

0. Bonnet, Memoire sur la theorie generale des surfaces, J. ec. polyt. cah. 32 
(1848), p. 1. 

- Memoire sur la theorie des surfaces applicables a une surface donnee (1860), 
J. ec. polyt. cah. 41 (1865), p. 209; deuxieme partie cah. 42 (1867), p. 1. 

E. Bour (1860), The orie de la deformation des surfaces, J. ec. polyt. cah. 39 

(1862), p. 1. 
Ch. Brisse, Exposition analytique de la theorie des surfaces, Ann. ec. normale 

(2) 3 (1874), p. 87; J. dc. polyt. cah. 53 (1883), p. 213. 
E. Cesaro, Lezioni di geometria intrinseca, Napoli 1896, deutsch von G. Kowalewski, 

Leipzig 1901. 
D. Codazzi (1859), Memoire relatif a 1 application ,des surfaces les unes sur les 

autres, Paris Mem. pre"s. par divers savants, 27, Nr. 6 (1872). 
G.Darboux, Lecons sur la theorie gene rale des surfaces, Paris, 4 Bde (1887 1896), 

zitiert mit Darboux, Lemons. 
C. F. Gauss (1822), Allgemeine Auflosung der Aufgabe: Die Teile einer gegebenen 

Flache auf einer anderen gegebenen Flache so abzubilden, dass die Abbil- 



1. Vorbemerkungen. 357 

dung dem abgebildeten in den kleinsten Teilen ahnlich wird, Astronom. Ab- 
handlungen von H. Schumacher 3, Altona 1825, Werke 4, p. 189; Ostwald s 
Klassiker, Nr. 55. 

C.F.Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827, Gott. Comm. 
rec. 6 (1828); Werke 4, p. 217; Ostwald s Klassiker Nr. 5; zitiert mit Gauss, 
disquisitiones. 

- Untersuchungen iiber einige Gegenstande der hoheren Geodasie, Go ttinger 
Abhandl. 2 (1844); Werke 4, p. 259. 

- Nachlass, Werke 8, p. 365450; insbes. Neue allgemeine Untersuchungen 
iiber die krummen Flachen (1825), p. 408. 

G. Holzmuller, Einfiihrung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften und 
der konformen Abbildungen, Leipzig 1892. 

E. Hoppe, Prinzipien der Flachentheorie, Leipzig 1876; 2. Aufl. Leipzig 1890. 

F. Joachimsthal, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die all 
gemeine Theorie der Flachen und der Linien doppelter Krurnmung, Leipzig, 
1852; 3. Aufl. bearbeitet von L. Natani, 1890. 

J. Knoblauch, Einfiihrung in die Theorie der krummen Flachen, Leipzig 1888. 
J. L. Lagrange, Sur la construction des cartes gdographiques, Berlin Nouv. me m. 

1779; Oeuvres compl. 4, p. 637 u. 665; Ostwald s Klassiker Nr. 55. 
S. Lie und G. Scheffers, Vorlesungen iiber die Geometric der Beriihrungstrans- 

fonnationen 1, Leipzig 1896; zitiert mit Lie-Scheffers 1. 

G. Monge, Applications de Panalyse a la geome trie, Paris 1795; 4. ed. Paris 1807; 
5. e d. (par J. Liouville) Paris 1850; zitiert mit Monge, applications. 

K. Peterson, Uber Kurven und Flachen, Leipzig und Moskau 1868; zitiert init 

Peterson. 
A. Eibaucour (1876), Memoire sur la th^orie ge nerale des surfaces courbes, J. de 

math. (4) 7 (1891), p. 1. 

- Etude des elassoides, ou surfaces a courbure moyenne nulle, Bruxelles Me"m. 
cour. in 4, 44 (1882), p. 1. 

G. Eicci, Lezioni sulla teoria delle superficie, Verona -Padova 1898; zitiert mit 

Eicci. 
G. Scheffers, Einfiihrung in die Theorie der Kurven in der Ebene und im Raum, 

Leipzig 1901; zitiert mit Scheffers 1. 

- Einfiihrung in die Theorie der Flachen, Leipzig 1902; zitiert mit Scheffers 2. 
H. Stahl und V. Kommerell, Die Grundformeln der allgemeineu Flachentheorie, 

Leipzig 1893; zitiert mit Stahl- Kommerell. 
A. Tissot, Memoirs sur la representation des surfaces, Paris 1881; zitiert mit Tissot. 



A. Einleitung. 

1. Vorbemerkungen. Es soil im folgenden der Versuch gemacht 
werden, erne zusammenfassende Ubersicht iiber die Lehre von der Ab- 
bildung und Abwickelung der krummen Flachen auf einander zu 
geben. In der geschichtlichen Entwickelung dieser Probleme lassen sich 
folgende hinsichtlich ihres allgemeinen Charakters wohl unterschiedene 
Perioden bezeichnen. 



358 HI D 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

Erste Periode. Die Zeit bis auf Joh. I Bernoulli s (1698), Jac. 
I Bernoulli s (1728), A.Clairaufa (1731), L.Euler s (1777), J.L. La- 
grange s (1779) und G. Mange s (1785) Arbeiten: Behandlung einzelner 
Fragen der Abbildung und Abwickelung; erste Einfiihrung der krumm- 
linigen Koordinaten u, v. 1 ^) 

Zweite Periode. Das Erscheinen der Gauss scken. 2 ) Preisarbeit 
fiber konforme Abbildung (1822) und die Disquisitiones generales 
circa superficies curvas (1827), sowie die Arbeiten von F. Minding 
(von 1830 an), dann von E. Bour, 0. Bonnet und D. Codazzi infolge 
der Preisaufgabe der Pariser Akademie fur 1860 nebst J. Weingarten s 
ersten Untersuchungen fiber die TF-Flachen (1861, 1863). 

Dritte Periode. E. Beltrami s Lehre von den Differentialpara- 
metern 3 ) (1864), die durch B. Riemann s Habilitationsvorlesung (1854) 
angeregte Untersuchung der Transformation der quadratiscJien Differen- 
tialausdrucke und ihrer Invarianten (E. B. Christoffel (1869) und E.Lip- 
schitz (1870)), sowie die sich daran schliessenden Arbeiten iiber Flachen 
konstanter Krummung 4 ). 

Die gegenwartige Periode, welche die allgemeine Erledigung der in 

1) tlber die von den genannten Mathematikern behandelten Probleme siehe 
die reichhaltigen Angaben Ton P. Stackel, Bemerkungen zur Geschichte der geo- 
datischen Linien, Leipz. Ber. 45 (1893), p. 444, sowie Nr. 21. Nach Stackel (Biblio- 
theca math. (3) 2 (1901), p. 122) hat iibrigens achon Euler 1766 (Opera postuma 1, 
Petropol. 1862, p. 494) unter Zugrundelegung der Parameter M, v und der Fun- 
damentalgrossen erster Ordnung das allgemeine Problem der Abwickelung einer 
Flache auf eine gegebeue gestellt, ohne es allerdings weiter zu behandeln. 

2) Wesentlich neu ist bei Gauss der Begriff und die Eigenschaftcn des 
Krummungsmasses Tc, die allgemeine Verwendung der Parameter u,v insbesondere 
fur die Theorie der geoddtischen Linien (wiihrend Layrange 1779 nur das karto- 
graphische Problem so behandelt hatte), endlich die Erkenntnis der Fundamental- 
grossen erster Ordnung in ihrer Beziehung zu den inneren Eigenschaften der 
Flachen. Nach Stackel (Leipz. Ber. 45, p. 465) hat bereits 0. Bodrigues (Corre- 
spondance sur Fecole polytechnique 3 (1815), p. 162) die Beziehung des Produktes 
der Hauptkriimmungsradien einer Flache zur spharischen Abbildung ihres Fliichen- 
elementes in einer speziellen Form gekannt. F. Minding, dem man auch die 
Einfuhrung der geoddtischen Krummung (III D 3, Nr. 11,12) und ihrer Invarianz 
verdankt, behandelt im Crawss schen Sinne zuerst die Biegung gewisser Flachen. 

3) Beltrami s Differentialparameter (I B 2, Nr. 22; HID 3, Nr. 8) erster und 
zweiter Ordnung treten schon in Minding s (1838) und 0. Bonnet s (1860) Arbeiten 
auf. Riemann s Arbeit u ber die Hypothesen, welche der Geometric zu Grunde 
liegen (Werke, p. 254), ist erst 1868 (Gottinger Abh. 13) veroffentlicht; man 
vergleiche auch die Commentatio mathematica von 1861 (Riemann, Werke, p. 370 
und Fussn. 150). 

4) Wegen der mit diesen Untersuchungen in engster Beziehung stehenden 
Ausbildung der nicht-euklidischen Geometric, die hier nicht beriicksichtigt wer- 
den kann, vgl. man IIIAl. 



2. Allgemeine ftbersicht der Flachen. 359 

den friiheren aufgeworfenen Fragen anstrebt, 1st in geometrischer Hin- 
sicht durch die Yerwendung des Marmigfaltigkeitsbegriffs, der Theorie 
der Beriihrungstransformationen von S. Lie (seit 1870), der Strahlen- 
sy stern e (beginnend mit A. Ribaucour s Arbeiten 1870), in methodischer 
Beziehung durch die Einfiihrung kinematischer Gesichtspunkte (E.La- 
guerre 1872, G. Darboux, Le9ons sur la theorie generale des surfaces 
vgl. Ill D 1, 2, Nr. 10; III D 3, Nr. 10) und die freieste Verwendung 
des allgemeinen Koordinatenbegriffs, sowie durch die Einfuhrung der 
kovarianten DifFerentialprozesse (G. Eicci, seit 1888) gekennzeichnet. 
Eine auch nur einigermassen vollstdndige Darlegung dieser letz- 
teren auf den vereinigten Arbeiten der deutschen, franzosischen und 
italienischen Mathematiker beruhenden Periode kann schon wegen der 
ausserordentlichen Vielseitigkeit der in ihr zur Verwendung kommenden 
Gesichtspunkte hier nicht erwartet werden. Die Darstellung muss 
sich vielmehr mit der Hervorhebung einzelner besonders wichtig er- 
scheinender Forsch.ungsrichtungen begniigen, um so mehr, da sich die- 
selben gegenwartig in lebhaftester Entwickelung befinden. 

2. Allgemeine Ubersicht iiber die Aufgaben der Abbildung 
und Abwickelung. Zwei Flachen F und F heissen aufeinander ab- 
gebildet 5 ), wenn jedem Punkte P(xyz) von F ein Punkt P O^i^i) 
von F nach einem gewissen Gesetze eindeutig umkehrbar zugeordnet ist. 
Unter Beschrankung auf sietige Zuordnungen werden dabei, sobald es 
sich nicht nur um Untersuchungen aus dem Gebiet der Analysis situs 
(III A 4) handelt, xyz und x^y^ in der Umgebung von P und P 
als Funktionen der unabhiingigen Parameter u, v mit stetigen par- 
tiellen Differentialquotienten nach diesen Variabeln in dem Umfange, 
wie dieselben gebraucht werden, oder auch wohl als (regulare) ana- 
lytische Funktionen der u } v vorausgesetzt. Desgleichen ist auch an- 
zunehmen, dass von den drei Funktionaldeterminanten 



i> n 

v/ \u vj 



(x y\ fy 
vj \u 

mindestens eine von Null verschieden ist. 

Da jede Verwandtschaft durch Funktionen mit stetigen ersten 
Differentialquotienten im Unendlichkleinen projektiv ist 6 ), so bilden 



5) So C. F. Gauss 1822 in den Astronom. Abh. von II. C. Schumacher, 
1825, p. 1. 

6) Dies hat wohl zuerst allgemein A. Tissot bemerkt, sur les cartes geo- 
graphiques, Paris, C. R. 49 (1859), p. 673; Nouvelles ann. de math. (2) 17, 1878, 
dann im Memoire sur la representation des surfaces, Paris 1881. Nach Tissot 
besteht die Zuordnung hinreichend kleiner korrespondierender Bereiche von P 



360 HI D 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

die korrespondierenden Tangenten von P und P projektive Biischel; 
da in zwei solchen reetten Biischeln entweder unendlich viele ent- 
sprechende Rechtwinkelpaare oder ein einziges enthalten sind (III A 5), 
hat man Tissot s Satz, dass entweder einem einzigen Orthogonalsystem, 
den Hauptkurven von F, auch ein solches von F entspricht, oder dass 
dies fur jedes Orthogonalsystein auf F der Fall ist. Bezeichnet man 
die Fundamentalgrb ssen erster Ordnung (III D 1, 2, Nr. 34) von F und 
F durch E, F, G; E , F , G , 7 ) so muss im letzteren Fall wegen der 
Orthogonalitatsbedingung der Kurvenelemente du, dv, du, dv: 

Edudu + F(dudv + dvdu) + Gdvdv = 

die Bedingung 

E:F:G = E :F :G 

bestehen, d. h. die Abbildung ist eine konforme (II B 1, Nr. 5), die korre 
spondierenden Tangentenbiischel sind entweder direkt oder invers kon- 
gruent 8 ). 

Erst Lie*) bemerkte, dass Tissot s Satz aus der Beziehung ent- 
springt, in der die Bilder der Minimal- oder Nullkurven (III D 1 ; 2, 

und P in geeigneter ahnlicher Vergrb sserung und senkrechter Projektion des 
einen auf das andere, vgl. z. B. Scheffers 2, p. 90. Der Satz selbst ist ubrigens 
eine unmittelbare Folge von der vorausgesetzten Existenz der stetigen partiellen 
Differentialquotienten der Koordinaten nach den u, v, und in Bezug auf spezielle 
Fragen (Kreisverwandtschaft (III A 7)) schon von Mobius gekannt. 
7) Die Differentialgleichung der Hauptkurven ist : 

u* du dv dv* 
E F O 



E F G 



= 0, 



die Grosse T = -\- ~^EG F* nach dem obigen stets von Null verschieden 
mit Ausnahme der Minimaldeveloppabelen (HID 5, Nrr. 15, 29, 30, 40) (siehe Dar- 
l>oux, Le9ons 1, p. 148). Auch giebt es fiir jeden Punkt zwei reelle oder imagi- 
nare Richtungen, fur die das Langenverhliltnis ds ; ds gleich Eins ist (auto- 
mekoische oder langentreueKurven, Tissot,p. 130; Aequideformatcn bei E. Hammer, 
Die geographisch wichtigsten Kartenprojektionen, Stuttgart 1889, p. 23. 

8) Bis auf Grossen von hoherer als erster Ordnung; vgl. A.Voss, Uber kon- 
fonne Abbildung, Math. Ann. 46 (1895), p. 133. 

9) S. Lie, Math. Ann. 20 (1882), p. 419 Fussn. 1; in analytischer Darstellung 
bei P. Stdckel, Math. Ann. 44 (1894), p. 555. Die Bezeichnung Minimalkurven 
stammt von Lie, Math. Ann. 14 (1878), p. 337; sie wurden ubrigens schon von 
Bonnet und Bour (1860), sodann namentlich von A. Eibaiicour, seit 1870 be- 
standig bei flachentheoretischen Untersuchungen angewandt (III D 4, Nr. 35). 
Lie hat uberhaupt zuerst mit Nachdruck auf die allgemeine Bedeutung imagi- 
narer Beziehungen in der Differentialgeometrie hingewiesen; vgl. indes P. Stdckel, 
Beitrage zur Flachentheorie, Leipz. Ber. 48 (1896), p. 478, sowie Sclieffers Lehr- 
biicher 1, 2, welche zum ersten Male in systematischer Weise die imaginaren 
Gebilde und die durch sie bedingten Ausnahmefalle berucksichtigen. 



2. Allgemeine fibersicht der Flachen. 361 

Nr. 12) von F zu denen der Nullkurven von F stehen. Denn die 
Abbildung der Involution orthogonaler Tangentenpaare bei P liefert 
eine Involution bei P, deren Doppelelemente die Bilder der Tangenten 
der Minimalkurven von F sind. Und nun sind drei Falle moslich. 

O 

Fallen diese Doppelelemente nicht mit den Tangenten der Minimal 
kurven bei P zusammeu, so giebt es ein gemeinsames harmonisches 
Paar zu den Doppelelementen beider Involutionen bei. P ; dieses bildet 
die Tangenten der Tissot schen Hauptkurven. Entsprechen aber die 
Minimalkurven von F denen von F, so fallen die Doppelelemente 
beider Involutionen zusammen; man hat die konforme Abbildung. Bei 
der reellen Abbildung reeller Flachen sind keine anderen Falle mog- 
lich; bei imaginarer Beziehung konnen aber die beiden Involutionen 
bei P auch in einem Doppelelement koinzidieren: das gemeinsame 
Orthogonalsystem reduziert sich dann auf dieses ausgeartete, auf sich 
selbst senkrechte System der Minimalkurven 10 ). 

Der Bedeutung der Difierentialgleichung der Nullkurven auf F 
und F 

Edu* -f 2Fdudv -f- Gdu* = 

E du* -f 2Fdudv + G du 2 = 

zufolge verallgemeinert Stdckel 11 ) Lie s Betrachtung durch die An- 
nahme von zwei beliebigen Gleichungen: 

Adu* -\-2Bdudv -f- C dv* = 



Jede derselben bestimmt, falls die Discriminanten der Formen (1) 
nicht verschwinden, ein Tangentenpaar von F und F . Entsprechen 
nun bei der Abbildung diese Paare sich nicht, so existiert fur die- 
selbe ein, durch die Jacobi sche Determinante der Formen bestimmtes, 
gemeinsames harmonisches Tangentenpaar, welches bei reellen Flachen 
und reeller Beziehung sicher reell ist, wenn nur eine der Formen definit 
ist (III D 3, Nr. 8). Wenn aber beide Tangenten eines Paares den beiden 
andern entsprechen (A : B : C = A : B : C \ so sind unendlich viele 
solcher Paare vorhanden; endlich ist auch noch der Lie sche Fall 
moglich, dass nur eine Tangente des einen Paares einer des an dern 
entspricht (die Gleichungen (1) haben einen gemeinsamen Faktor, 
dessen Quadrat die Jacobi sche Form ist). Bedeuten daher jetzt 
L, M, N\ L f , M , N die Fundamentalgrbssen zweiter Ordnung von F 
und F (III D 1, 2, Nr. 34), also die Gleichungen (1) die HaupUangenten- 

10) Einige Autoren bezeicbnen diese Beziehung als halbkonforme Abbildung. 

11) P. Stdckel, fiber Abbildungen, Math. Ann. 44 (1894), p. 556. 
Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 8. 24 



362 HID 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

htrven (HID 1,2, Nr.35; HID 3, Nr. 1) der Flachen, so folgt der Satz 
von K. Peterson 1 *), dass ,,im allgemeinen" bei jeder reellen Abbildung 
ein einziges gemeinsames, nach Dupin koujugiertes System konjugierter 
Kurven 13 ) (III D 1, 2, Nr. 37; III D 3, Nr. 3, 37) vorhanden ist, falls 
nicht beide Haupttangenten sich gegenseitig entsprechen 14 ). Im letztern 
Falle heisst die Abbildung nach Stdckel konjunktiv; jedem konjugierten 
Systeme von F entspricht ein solches von F . 15 ) 
1st der Modulus m der Jconformen Beziehung 

(2) Edu* + 2Fdudv -f Gdv* = m*(Edu* -f- 2F dudv -f G dv*) 

Constant, so hat man eine dhnliche Abbildung; fur m = 1 entsteht die 
direkt oder invers kongruente Zuordnung. Nach Gauss bezeichnet 
man den Fall m = \ als eine Abtvickelung 16 ) (explicatio, application, 
applicazione). Allerdings lassen sich dann die Punkte von F so auf 
F beziehen, dass die Winkel und Langengrossen der Figuren dabei 
erhalten bleiben. Von einer Abwickelung aber lasst sich streng ge- 
nommen nur dann reden, wenn eine stetige Biegungsdeformation, wie 
z. B. bei den , y abwickelbaren" Flachen (Nr. 21) (Developpdbelen , surfaces 
developpables, superficie sviluppabile), Eotationsflcichen (Nr. 23), Eegel- 
(Nr. 22) und Minimalftachen (Nr. 27) etc. bekaunt ist, durch den jene 
Ausbreitung realisiert wird 17 ). Da die Lehre von den ,,auf einander 



12) K. Peterson, p. 37. Dies System heisst dort die Basis der Abbildung; 
spater bei A. Ribaucour, Paris, C. R. 108 (1891), p. 324; vgl. Darboux, Leqous 4, 
p. 120; verallgemeinert bei A. Petot, Sur les systemes conjugue es et les couples 
de surfaces applicables, Paris, C. R. 115 (1892), p. 1250. Vgl. auch Nr. 25. 

13) Ch. Dupin, Developpements de geome trie, Paris 1813, p. 44, 91. 

14) Der Ausnahmefall ist hier nicht beriicksichtigt, vgl. Scheffers 2, p. 286. 
Das System ist sicher reell, wenn eine der Flachen positiv gekrummt ist. 

15) P. Stackel, Math. Ann. 34 (1889), p. 538; Peterson, p. 40, nennt die Be 
ziehung L : M : N = L : M : N Konjunktion. Zwei konform und konjunktiv 
auf einander bezogene Flachen sind nach Stdckel im allgemeinen uhnlich, falls 
sie nicht einer bestimmten Klasse von Flachen angehoren (Stcickel, Math. Ann. 
44 (1896), p. 560; Leipz. Ber. 48 (1896), p. 489. Zu derselben gehoren ausser 
der Kugel und den Minimalflachen (III D 5, Nr. 19 ff.) noch gewisse C-Flachen, 
so z. B. diejenigen, die durch ihre Haupttangentenkurven in Rhomben mit kon- 
stantem von ?r/2 verschiedenem Winkel geteilt werden (III D 5, Nr. 88) ; es sind 
dies nach Stdckel (Leipz. Ber. 50 (1898), p. 10) Rotations fluchen, die oo s konforrn 
konjunktive Abbildungen in sich gestatten (Leipz. Ber. 48, p. 497). 

16) Das Wort ,,explicare" in dieser Bedeutung schon bei L. Euler, de soli- 
dis, quorum superficiem in planum explicare licet, Petrop. Nov. Comm. 16 
(1772), p. 3. 

17) Schon Peterson (p. 42) spricht nicht von einer Abwickelung oder Biegung 
der Flachen, sondern definiert Biegung als Zuordnung mit Erhaltung der Langen- 
elemente. Angemessener ist es vielleicht, diesen Ausdruck auf die von Biegungs- 



2. Allgemeine tJbersicht der Flachen. 363 

abwickelbaren Flachen" zuntichst sich mit dieser Frage nicht beschaftigt, 
soil der Fall m = \ als Isometrie der ~beiden Flachen, und zwei ,,auf 
einander abwickelbare" Flachen (surfaces applicables) als zu einander 
isometrische, kurz als isometrische Flachen 18 ) bezeichnet, der Fall einer 
kontinuierlichen von Biegungsparametern abhangigen isometrischen De 
formation aber Biegung genannt werden. - - tJbrigens lasst sicli jede 
Flache auf jeder zu ihr isometrischen durch ,,rollende" Bewegung ,,ab- 
wiilzen", d. h. durch ein gleichsam typographisches Verfahren auf die- 
selbe ,,ubertragen". 

Alle Flachen mit demselben 

ds* = Edu 2 -f 2Fdudv + Gdv 9 

bilden eine vollstdndige Gruppe (nach Weingarten Klasse) isometrischer 
Flachen (Nr. 31). Das wesentlich durch Gams Disquisitiones angeregte 
Problem der ,,biegsamen unausdehnsamen Flaclwri ist allerdings schon 
friiher auf dem Boden der Mechanik erwachsen 19 ). Eine rein geo- 
metrische Basis erhalt die Isometrie aber erst durch den (rawss schen 
Begriff 20 ) der nur von den E, F, G abhangigen inneren*) (intrin- 
sequen) Eigenschaften der Flachen. Ihnen stehen die ausseren (ex- 
trinsequen), d. h. bis auf die absolute Lage im Raume bestimmten 
gegenuber, welche nach Bonnet s Satz 20b ) iiber die durch die Funda- 
mentalgrossen erster und zweiter Ordnung vermittelte bis auf Kon- 
gruenz und Symmetrie eindeutige Bestimmung einer Flache (III D 1, 2, 
Nr. 34) in den Fundamentalgrossen zweiter Ordnung L, M, N ihren 
Ausdruck finden. 

Die konforme Beziehung kann man iibrigens durch die Forderung 
(3) A du* + 2Bdudv + Cdv 2 = A d u 2 + 2 B du dv + C dv 2 
verallgemeinern, in der A, B, C irgend welche aus den u, v- E, F, Gr; 

parametern stetig abhangenden Zuordnungen zu beschranken; ahnlich auch neuer- 
dings Bianchi, p. 180; Scheffers 2, p. 274. 

18) So A. Voss, Munch. Ber. 1892, p. 247; Math. Ann. 46 (1896), p. 97. 
A. Pellet (Paris, C. R. 124 (1897), p. 1337) nennt isometrische Flachen allerdings 
solche, deren Krummungslinien ein ,,isometrisches" (dasselbe ist eine Verallge- 
meinerung des isothermen (III D 3, Nr. 19)) System bilden. 

19) P. StdcM, Bemerkungen zur Geschichte der geodatischen Linien, Leipz 
Ber. 45 (1893), p. 455. 

20) Gauss, Disquisitiones art. 13. 

20 a ) Es handelt sich iibrigens hier nur urn die ,,inneren" Eigenschaften in 
Riicksichtauf die Isometrie, nicht um solche im Sinne der Analysis situs (III A 4); 
vgl. F. Klein, Uber den Zusammenhang der Flachen, Math. Ann. 8 (1876), p. 478; 
W. Dyck, Beitrage zur Analysis situs, Math. Ann. 32 (1888), p. 474. 

20 b ) Nach Stuckel (Biblioth. math. (3) 2, p. 124) findet sich dieser wichtige 
Satz schon 1853 in einer nicht veroffentlichten Arbeit von K. Peterson. 

24* 



364 HI D 6 a. A. Foss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

L, M y N und deren Derivierten gebildete Formen, insbesondere Diffe- 
rentialinvarianten (II A 6, Nr. 13) einer bestimmten Gruppe von Trans- 
fonnationen, A, B , C die entsprechend gebildeten fur F sind. Von 
diesen allgemeinen Abbildungen sind ausser den oben erwahnten kon- 
junktiven und den dquivalenten oder flachentreuen (Nr. 6): 

Tdudv = kT du dv, 

bisher erst wenige untersucht; selbstverstandlich lassen sich diese 
Fragen auf beliebige Jwhere Differentialformen (IB 2, Nr. 22, Anm. 347), 
insbesondere auch auf das Entsprechen einfacher oder mehrfacher 
Scharen von durch Differentialgleichungen definierten Kurvensystemen 
(so z. B. die geodatischen Abbildungen Nr. 9) erweitern. Andere Ab- 
bildungsprinzipe werden dadurcli gewonnen, dass man die Normalen, 
Tangenten etc. voii Kurvensystemen auf F und F einander zuordnet. 
Eine besonders fruchtbare Quelle fur dieselben liegt aber in der durch 
A.Ribaucour 1870 begonnenen, namentlich von C. Gruichard, E. Cosserat 
und L. Bianchi fortgesetzten Betrachtung der Strahlensysteme, welche 
von den Verbindungslinien der Punkte P, P gebildet werden, und 
deren Beziehungen zu den Flachen F, F (Nr. 13; III D 5, Nr. 30). 

Es sollen im folgenden zuerst die HauptproUeme der Abbildung, 
dann die der Isometrie dargelegt werden. Bei manchen derselben hat 
man iibrigens zwei Probleme, A und B, zu unterscheiden. A besteht 
in der Bestimmung solcher (analytischer) Funktionen der Koordinaten, 
durch welche die vorgeschriebene Zuordnung bewirkt wird. Enthalt 
die allgemeine Losung von A willktirliche Funktionen, so besteht das 
Problem B in der Zuordnung berandeter Flachenstiicke F und F , 
wobei noch AusnaJimestellen im Innern oder auf dem Rande, oder auch 
fiir den letzteren weitergehende Randbedingungen vorgeschrieben sein 
konnen. B ist naturgemass funktionentheoretischer Art (II B 1, Nr. 5) 
und kann hier nur in seinem umnittelbaren Zusammenhang mit der 
Infinitesimalgeometrie kurz erwahnt werden. r , 

B. Die Abbildung der FlSichen. 

3. Die konforme Abbildung (III D 3, Nr. 19). Man bezeichnet 
die konforme 21 ) Abbildung E : F : G = E : F : G f , welche in der Pro- 
portionalitat der korrespondierenden Langenelemente ds = mds und 
der daraus vermoge der Formel fiir den Cosinus des Neigungswinkels 
zweier Richtungen d, d 

21) Bezeichnung von Gauss in den Untersnchungen iiber Gegenstande d. 
boheren Geodasie, Gott. Abh. 1844 = Werke 4, p. 262, auch Gott. gel. Anz. 1843 
= Werke 4, p. 348. 



3. Die konforme Abbildung. 
ds 8s cos 6 = Edu du + F(du dv + dv du) + Gdv dv 
folgenden Erhaltung der Winkel 22 ) zwischen ds, ds besteht, auch als 
winkeltreue 22 ) oder in den kleinsten Teilen ahnliche 23 ), geographische 24 ) 
oder graphische 25 ), isogonale 26 ) (isogonische), autogonale 27 ), ortho- 
morphische (orthomorphic projection) 28 ), etc. 

Da zwei auf ein und dieselbe dritte konform bezogene Flachen 
auch zu einander konform sind, kommt das Problem fiir zwei belie- 
bige Flachen auf das der konformen Abbildung einer Flache auf die 
Ebene zuriick 29 ). 

Aber auch hier geniigt die Kenntnis einer einzigen Abbildung in 
Verbindung mit alien konformen Abbildungen der Ebene auf eine 
andere Ebene. Nach Gauss 30 ) und Jacobi**) zerfallt die Aufgabe, 
alle konformen Abbildungen einer Flache auf die Ebene zu finden 
in die zwei folgenden. Da namlich jedes Isothermensystem (III D 3, 
Nr. 19) bei der konformen Abbildung isotherm bleibt, so hat man 
zunachst irgend eine Transformation zu bestimmen, welche 

Edu? + ZFdudv + Gdv 2 = V(*V -f dv*} = V^^A 
bewirkt, wobei unter u ly v 1 rechtwinklige Koordinaten der Ebene ver- 
standen werden, d. h. irgend einen der beiden komplex konjugierten inte- 
grierenden Faktoren x, ^ , der beiden Differentialausdriicke (III D 3, Nr. 19) 

22) So A. Breusing (zweiter deutscher Geographentag , Halle 1882). 

23) Gauss, Werke 4, p. 194. 

24) Trace geographique, so J. Lioumlle, p. 601 Note V in den Applications 
von Monge; so namentlich die italienischen Mathematiker, wohl mit Darloux, 
Legons 1, p. 153 zur Unterscheidung von dem funktionentheoretischen Problem 
der representation conforme (II B 1, Nrr. 5, 18). 

25) Peterson, p. 41. 

26) F. Siebeck, J. f. Math. 54 (1858), p. 221. 

27) Tissot, p. 75. 

28) A. Cayley, J. f. Math. 107 (1892), p. 262 und manche englische Mathe 
matiker. 

29) Diese Eeduktion findet bei alien ahnlichen Fragen, z. B. der aquivalenten 
Abbildung etc. statt. 

30) Gauss, Werke 4, p. 196; 8, p. 370. Wahrscheinlich hat Gauss die all- 
gemeine Aufgabe der konformen Abbildung schon vor 1816 gestellt. Auch hier 
zeigt sich, wie Gauss in charakteristischer Weise (ebenso wie d Alembert, La- 
grange, Laplace} seine allgemeinen Untersuchungen an Fragen ankniipfte , die 
eine unmittelbare praktische Verwendung gestatten. 

31) C. G. J. Jacobii, Berl. Monatsber. 1849 = Werke 2, p. 62; J f Math 
59 (1861), p. 74 = Werke 2, p. 401. Die Einfuhrung der komple xen Grossen 
mdes schon bei Lagrange, Berlin, Nouveaux mem. 1779 = Oeuvres comol 4 
p. 643. 



366 HID 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 






zu suchen, sodann aber alle Losungen der Gleichungen: 
zu bestimmen. Dies geschieht durch die Gleichungen 32 ): 



in denen man rechter Hand auch a und f$ noch vertauschen kann. 
Die allgemeine Losung wird daher gegeben durch: 

Ii _ 7-7 / | \ 
ul-iv 2 = Fi(u[-ivJ 

wobei F und F { willkiirliche Funktionen ihrer komplexen Argumente 
sind, iibrigens rechtsstehend i durch -- i ersetzt werden darf. Fiir 
den Fall reeller Transformation miissen dann F und F komplex kon- 
jugierte Funktionen ihres Argumentes sein. Der Multiplikator 



geniigt dabei der Beltrami schen Differentialgleichung 33 ) (III D 3, Nr. 19) : 

A 2 (logA) = k, 
wobei unter k das Krummungsmass der Flache verstanden wird. 

Nimrnt man in (1) F und F als komplex konjugierte Funk 
tionen, so wird: 



i -j- ivj) , 
und jede dieser Funktionen geniigt der partiellen Differentialgleichung: 

A - ** + ** - 

*O " "^ 9 I ~^ 9 - " 

du* dv* r , 

Nach Beltrami ergeben sich alle konformen Abbildungen auf die Ebene 
mit den rechtwinkligen Koordinaten u 1} v l vermoge der partiellen 
Differentialgleichung : 

32) So J. Liouville, J. de math. 11 (1846), p. 362, auch Note II der Appli 
cations von Monge, p. 573; vgl. auch Darboux, Le9ons 1, p. 148. Das im Texte 
gewahlte Zeichen entspricht der direkten Ahnlichkeit. 

33) E. Beltrami, Giorn. di mat. 2 (1864); Math. Ann. 1 (1869), p. 579; vgl. 
/. Knoblauch, Flachentheorie, p. 175; E. Lipschitz, Bull. sci. math. (2) 16 (1892), 
p. 207. tiber die Beziehung zwischen den Krummungsmassen konform aufeinander 
abgebildeter Flachen vgl. G. Souslow, Paris, C. R. 126 (1898), p. 30. 

33*) 3d bedeutet den reellen Bestandteil des betreffenden Ausdruckes. 



4. Besondere konforme Abbildungen. 357 




Denn in der That wird fiir jede reelle Losung derselben, falls 



gesetzt wird, 

Edu 2 + 2Fdu dv + Gdv* = ^(du^ + dv*) . 33b ) 

4. Besondere konforme Abbildungen. Die konforme Eigenschaft 
der stereographiscJien Abbildung der Kugel^) und der Merkator schen 
Projektion 35 ) ist seit langer Zeit bekannt (VI 4). 

Lambert 36 } leitete zuerst diese und andere konforme Abbildungen 
aus der Forderung der Erhaltung der Winkel, d. h. der Ahnlichkeit 
in den kleinsten Teilen her. Lagrange 37 ) gab die allgemeine kon 
forme Abbildung der Rotations flaclien. Aber erst bei Gauss findet 
sich die bei Lagrange 31a ) nur angedeutete konforme Abbildung lelie- 
biger Flachen, verbunden mit der Erkenntnis, dass das Problem nur 
von der Proportionality der Fundamentalgrossen erster Ordnung ab- 
hangt. 

Das schon von Lag-range geloste Problem der konformen Trans- 
formationen der Ebene, bei denen Kreise in Kreise iibergehen 38 ), lost 

33 b ) Vgl. z. B. Bianchi, p. 69. 

34) Die Erhaltung der Kreise bei der stereographischen Projektion der 
Kugel (diese Bezeichnung zuerst bei Fr. Aguillon, opticorum libri 6, Antwerpeu 
1613) kannte schon Hipparch; die daraus folgende Erhaltung der Winkel scheint 
(nach Lagrange, Oeuvres compl. 4, p. 639) spater wieder in Vergessenheit ge- 
raten zu sein. 

35) G. Kramer, 15121594 (genannt Merkator, der deutsche Geograph, 
A. Brewing, Duisburg 1869), vollendete 1569 die erste nach seiner Methode 
entworfene Weltkarte. 

36) J. H. Lambert, Beitriige zurn Gebrauch der Mathematik und deren An- 
wendungen, Berlin 3 (1772), p. 185199; Ostwald s Klassiker Nr. 54. 

37) /. L. Lagrange, Oeuvres compl. 4, p. 637; second me"m. daselbst p. 665. 
Lagrange zeigt, dass die Aufgabe vollig bestimmt ist, wenn das Bild eines Me 
ridians punktweise vorgeschriebene Gestalt in der Ebene haben soil (Erste 
Losung eines Problems ), p. 647. 

37 a ) Lagrange, Oeuvr. compl. 4, p. 665. 

38) Vgl. Darboux> Le9ons 1, p. 167. 



368 HID 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Fl achen auf einander. 

Lie 39 ) auf synthetischem Wege ; davon ausgehend, dass Translationen 
T, Ahnlichkeitstransformationen (Rotationen) A und Transformationen 
durch reziproke Radien E konforme Transformationen sind, welche 
Kreise in Kreise iiberfiihren. Eine jede konforme 40 ) Transformation 
C der Ebene, welche Kreise in Kreise verwandelt, kann symbolisch 
durch 

C=EART 

ausgedriickt werden. Hiernach giebt es oo 6 konforme Transformationen 
dieser Art, deren analytischer Ausdruck nach Lagrange 

, az 4- b 
* 

cz -f- d 

mit drei komplexen Konstanten ist. 

Von der Miihtt* 1 ) hat Lagrange s Untersuchungen in der Art weiter 
gefuhrt, dass auch Abbildungen betrachtet werden, bei denen parallele 
Geraden in Kegelsclmitte iibergehen. Die von Gauss nur besprochene 
Abbildung der Mittelpunktsflachen zweiten Grades erledigte Jacobi* 2 ) 
durch die Einfiihrung der elliptischen Koordinaten; das bei Jacobi 
nicht behandelte Paraboloid ist von Hoppe^ hinzugefugt (III C 4). 

Die konforme Abbildung von Ebenen auf Ebenen, grosstenteils 
unter Beschrankung auf Problem A vermoge der Beziehung zwischen 
den komplexen Variabeln 0, z der beiden Ebenen sind nach Siebeck s 
Vorgange 44 ) ausfiihrlich durch Holzmuller^ dargelegt worden. 

In Betreff des Problems B der konformen Abbildung sei hier 



39) Lie-Scheffers 1, p. 6 und 415. Vgl. die historischen Bemerkungen da- 
selbst, p. 423 uber das Prinzip der reziproken Radien (III C 7) und dessen Ver- 
wendung fur geometrische Zwecke seit G. Bellavitis (1836). 

40) Nach Lie (Lie-Scheffers 1, p. 416) ist u brigens j ede Punkttransformation 
der Ebene, welche Kreise in Kreise verwandelt, auch Jconform, vgl. auch p. 422. 

41) K. v. d. Muhll, Uber Abbildung von Ebenen auf jEbenen, J. f. Math. 
69 (1868), p. 264. Konforme Abbildungen, bei denen Kurven einer gegebenen 
Schar in Kurven mit konstanter Langenvergrosseruug ubergehen, bestimmt 
P. Pizzetti, Eoma Lincei Eend. (4) 1, p. 599 u. 628. 

42) C. G. J. Jacobi, Berl. Monatsber. 1839, p. 64; J. f. Math. 19 (1839); 
p. 311; vgl. die vor der Veroffentlichung von Jacobi s Arbeit, J. f. Math. 59 (1861) 
p. 74, entstandene Preisschrift von E. Schering, Uber die konforme Abbildung 
des Ellipsoids auf der Ebene, Gottingen 1858. 

43) B. Hoppe, Math. Ann. 2 (1869), p. 504. 

44) F. H. Siebeck, J. f. Math. 55 (1858), p. 221; 57 (1860), p. 359; 59, 
(1861), p. 173. 

45) G. Holzmiiller, Einfuhrung in die Theorie der isogonalen Verwandt- 
schaften und der konformen Abbildungen, Leipzig 1892; daselbst auch reich- 
haltige Litteratur; uber letztere vgl. auch H. Amstein, Diss. Zurich 1872. 



5. Vorteilhafteste konforme Abbildung. 369 

nur Riemann s* 6 ) grundlegender Satz erwahnt: Jedes ebene einfach 
zusammenhangende Flachenstiick F kann nur auf eine Art konform 
so auf eine Kreisflache K abgebildet werden, dass ein Punkt im 
Innern von F dem Mittelpunkt von K und ein Randpunkt von F 
einem Randpunkt von K entsprechen soil; hinsichtlich der weiteren 
funktionentheoretischen Untersuchungen ist auf II B 1, Nr. 5, p. 19 23 
zu verweisen. 

5. Vorteilhafteste konforme Abbildung. Schon Gauss* 1 ) stellte 
sich 1843 die Frage nach moglichst vorteilhaften konformen Abbil- 
dungen. Er defmiert sie fiir die Abbildung der Kugel resp. des 
Spharoids auf die Ebene dadurch, dass der Ahnlichkeitsmodul m fiir 
die gegebene Breite A gleich Eins, fiir benachbarte K aber zu (A A ) 3 
proportional werden soil, und hat die betrefi enden Formeln vollig 
ausgefiihrt. 

H. Weber 4 " 8 ) definiert als Felder des Ortes auf der ebenen Flache 
bei der Abbildung eines beliebigen Flachenstiicks den Quotienten 



beim Fortschreiten auf irgend einer vom Punkte ausgehenden Kurve 
und gelangt so zu dem Begriffe des Gesamtfelilers F vermoge der 
Gleichung: 

F da = fdmlogf} , 

J J & \m / ? 

46) B. Eiemann, Diss. Gottingen 1851 = Werke (1876), p. 40. Erste Durch- 
fuhrung fur die Abbildung des Quadrats und Dreiecks, der Ellipse etc. auf den 
Kreis bei H. A. Schivarz, 1864; Uber einige Abbildungsaufgaben, J. f. Math. 70 
(1869), p. 105 = Ges. Abb. 2, p. 65; des allgemeinen Polygons bei E.B.Chri- 
stoffel, sul problema delle temperature stazionarie e la rappresentazione di una 
data superficie, Ann. di mat. (2) 1 (1867), p. 89; vgl. Darboux, Le9<ms 1, p. 176; 
von durcb Kreisbogen begrenzten Polygonen bei Schwarz, J. f. Math. 70, p. 115, 
von durch algebraische Kurven begrenzten Flachenstucken durch F. Lindemann, 
Miinch. Ber. 1894, p. 403; insbesondere fur von Bogen konfokaler Kegelschnitte be- 
grenzte Polygone, derselbe, Miinch. Ber. 1895, p. 219 ; 1896, p. 401 ; endlich A. Gottler, 
konforme Abbildung eines von konzentrischen gleichseitigen Kegelschnitten oder 
gewissen Kurven n ter Ordnung begrenzten Flachenstiickes , Diss. Miinchen 1897; 
N. Perry, Das Problem der konformen Abbildung fur eine spezielle Kurve von 
der Ordnung 3n, Diss. Miinchen 1901; sodann Miinch. Ber. 1902, p. 43. 

47) Gauss, Gott. Abh. 1844 = "Werke 4, p. 261; vgl. indess Werke 4, 
p. 209. Bei Lagrange, Oeuvres compl. 4, p. 637 werden diese Fragen nur ganz 
allgemein beruhrt. Vgl. auch P. Tschebyscheff, Oeuvres 1, p. 233 f. (1856); A. A. 
Marltoff, tiber die giinstigste Abbildung eines Teils einer Rotationsoberflache 
auf die Ebene, Petersb. Bull. 52 (1895), p. 77; Eeferat von M. Sintzow in den 
Fortschritten der Math. 26, p. 772, Berlin 1898. 

48) H. Weber, tiber ein Prinzip der Abbildung der Teile der Erdoberflache, 
J. f. Math. 67 (1867), p. 229. 



370 HI D 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

wo dc3 das Flachenelement bedeutet; die Abbildung ist eindeutig be- 
stimmt, wenn F ein Minimum werden soil und die Bilder zweier 
Orte gegeben sind, aber die Losung dieses Problems hangt von der 
einer linearen partiellen Differentialgleichung 4. Ordnung ab. 

Eisenlolir^} definiert als Fehler an einer Stelle den Maximal- 
betrag der geodatischen Krummung (III D 3, Nr. 12) der Abbildung 
der geodatischen Linien der Flache; das ahnlich wie bei Weber kon- 
struierte Fehlerintegral fiihrt auf ein einfacheres Minimumproblem, 
dessen unmittelbare Verwendung fur praktische Fragen bisher nicht 
vollig durchgefiihrt ist. 

6. Konforme Abbildungen bei mehr Dimensionen. Die kon- 
formen Punkttransformationen des euldidisclien Baumes von n Dimen 
sionen werden allgemein durch die Gleichung 



ausgedruckt. Liouville} bewies zuerst analytisch den wichtigen Satz, 
(vgl. HID 1, 2, Nr.24) dass fur n = 3 alle konformen Transforrnationen 
in der Ahnlichkeit (Spiegelung) und der Abbildung durch reziproke 
Radii vectores bestehen. Synthetische Untersuchungen iiber diesen 
Satz sind erst spater entstanden 51 ). 

.Lie 52 ) bestimmte schon 1871 nach synthetischen Gesichtspunkten 



49) A. Eiserilohr, J. f. Math. 72 (1876), p. 143; vgl. auch Ztschr. d. Gesellsch. 
f. Erdkunde, Berlin 10, p. 305 und E. B. Christoffel, t^ber die Bestimmung der 
Gestalt einer krummen Flache durch lokale Messungen auf derselben, J. f. Math. 
64 (1864), p. 193. 

50) Liouville, J. de math. 12 (1847), p. 265, dann Note VI der Applications 
von Monge, Extension au cas des trois dimensions de la question du trace geo- 
graphique, ib. p. 609. Analytische Beweise fiir die bereits von Liouville ver- 
mutete Ausdehnung des Satzes auf n Variabele bei E. Beez, Ztschr. Math. 
Physik 20 (1875), p. 252 und Darboux, Ann. ec. norm. (2) 7 (1878), p. 282. 

51) Die synthetischen Beweise fiir n = 3 von L. Bianchi Giorn. di mat. 
17 (1879), p. 40, und A. Capelli, Sulla limitata possibilita di trasformazioni con- 
formi nello spazio, Ann. di mat. (2) 1 (1885), p. 227, der wie Lie (Nr. 4) schon die 
allgemeine Transformation aus spezielleren zusammensetzt, beruhen zum Teil 
noch auf beschrankenden Voraussetzungen; vgl. auch E. Goursat, sur les sub 
stitutions regulieres de 1 espace, Ann. ec. Norm. (3) 6 (1889), p. 1. Bei A. Gia- 
comini (Giorn. di mat. (2) 4 (1897)), p. 125 wird der Satz auf das Dupin sche Theo 
rem (IIID6b) zuruckgefiihrt. 

52) Lie, G6tt. Nachrichten 1871, p. 191 u. 535. Vgl. F. Klein, Einleitung 
in die hohere Geometric, autograph. Vorlesungen, Gottingen 1892/93, p. 378 ff. ; 
desgl. Darboux s Darstellung, sur les transformations conformes de 1 espace a 
trois dimensions, Archiv Math. Phys. (3) 1 (1901), p. 34. Auf die allgemeine in- 
variantentheoretische Behandlung (I B 2, Nr. 22) der Transformation der Differen- 



6. Konforrne Abbildung. 7. Die iiquivalente oder flachentreue Abbildung. 371 

alle konformen Punkttransformationen der w-fachen Mannigfaltigkeit. 
Eine vollstandige synthetische Ausfiihrung fur n = 3 findet sich in 
seiner Geometrie der Beriihrungstransformationen p. 419; man ver- 
gleiche die in Nr. 4 gegebene symbolische Formel C = RART, welche 
den Liouville scJien Satz fur n = 3 enthalt. 

Es sei hier iiberhaupt auf die Bedeutung der Beruhrungstrans 
formationen fiir ahnliche Probleme der Geometric, wie z. B. das der 
Kriimmungslinien in Haupttangentenkurven, etc. verwiesen 53 ) (III D 8). 

7. Aquivalente oder flachentreue Abbildungen. Zwei Flachen 
sind dquivalent oder fldcJientreu 5i ) auf einander abgebildet, wenn die 
Inhalte korrespondirender Flachenstiicke in konstantem Verhaltnisse 
stehen (dasselbe kann iibrigens ohne Beschrankung [durch Ah.nlip.ri- 
lichkeitstransformation] gleich Eins angenommen werden); d. h. wenn 
die Parameter u, v der Flache F r solche Funktionen der Parameter 
u, v sind, dass die Gleichung 

8u dv 8u dv _ T 
8u dv ~dv 8u T 
erfiillt ist 55 ). 

Das Problem kommt auch hier auf das der Abbildung einer 
Flache auf die Ebene zuriick. Man hat daher erstens die recht- 
winkligen Koordinaten x, y der Ebene so von den Parametern u, v 
der Flache abhangig zu machen, dass 

/-j^ fa dy_ dx_ 8y_ __ ^ 

du dv dv du 

wird, und zweitens alle aquivalenten Abbildungen der Ebene x, y auf 
eine zweite mit den rechtwinkligen Koordinaten u } v vermoge der 
Gleichung: 



tialausdriicke nach E. B. Christoffel (J. f. Math. 70 (1869), p. 46) wird die Frage 
von E. Cotton, Paris, C. R. 125 (1896), p. 225 u. 127 (1898), p. 349 zuriickgefuhrt. 

53) Vgl. namentlich die Darstellung bei Darboux, Le9ons 2, p. 219, 314 ff.; 
4, p. 172 F. ; Lie-Scheffers, p. 649 ff. 

54) Bezeichnung von A. Breusing und E. Hammer; representation autha- 
lique bei Tissot, p. 75, isomer bei Lambert 1772. M. Fiorini, le projezioni delle 
carte geografiche, Bologna 1881; le projezioni quantitative ed equivalenti nella 
cartografia, Rom 1887 unterscheidet noch die quantitativen Abbildungen von 
den aquivalenten, bei denen der Modul gleich Eins ist. 

55) Lambert behandelt bereits mehrere flachentreue Abbildungen, Beitrage 
(Fussn. 64), p. 181. Neuere Arbeiten von Fr. Schellhammer , Zeitschr. Math. 
Physik 23 (1878), p. 68; A. Korkine, sur les cartes geographiques , Math. Ann. 
35 (1889), p. 588; vgl. das Referat von F. August, Fortschritte d. Math. 22, p. 830; 
E. Hollander, Diss. Halle 1891, auch Programm Gymn. Miihlheim a. Ruhr, 
Nr. 447 (1891). 



372 HI D 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 



._ _ _ -. 

dudv ~ dv!hi~ 



zu suchen. Wahrend nun die Gleichung (1) naturgemass auf grossere 
Schwierigkeiten fiihrt (in einfacher Weise gelingt die Losung z. B. 
fur diejenigen Flachen, bei denen T von der Form U- V ist 56 ), lasst 
sich die Gleichung (2) nach Grave &T ) vollstandig durch die nach x 
und y aufzulosenden Relationen 



in denen & irgend eine Funktion von u, x bedeutet, fiir die 



_ 

du fix 

nicht Null ist, resp. in dem hierdurch nicht beriicksichtigten Aus- 
nahmefall, wo den Geraden u = const, die Geraden x = const, ent- 
sprechen, durch 

x = g>(u) 



losen, wobei 93, ^ willkiirliche Funktionen von u sind. 

Andere hierher gehorige Probleme entstehen durch die Verbin- 
dung mit dem Tissof schen Satze (Nr. 2). Man kann z. B. verlangen, dass 
dem System der Tissof schen Hauptkurven der einen Ebene (Nr. 2) 
ein orthogonales System von vorgeschriebenem Charakter entspreche. 
Ist das letztere insbesondere von den Parallelen zu den Axen eines 
rechtwinkligen Systemes x, y gebildet, so hat man das System der 
beiden Gleichungen: 

dx By dx dy _ 1 

du dv dv du ~ 

dx_dx_ ,dy_dy_ =Q 

du dv du dv r t 

d. h. Tissofs Problem der rektanguldren Abbildung. Zur Bestimmung 
von y ergiebt sich, wenn die Differentialquotienten nach u, v durch 
p, q, r, s } t bezeichnet w.erden, durch Elimination von x die Gleichung: 

O 2 - <Z 2 ) (?-*) + pqs = 0, 
die durch Beriihrungstransformation auf die Laplace sche Gleichung 58 ) 

56) E. Hollander, Diss., p. 6 (Fussn. 55). 

57) D. A. Grave, sur la construction des cartes geographiques, J. de Math. 
(5) 1 (1896), p. 317; vgl. auch Scheffers 1, p. 123. Siehe indes die Notiz bei 
Gauss, Werke 8, p. 373. 

58) P. G. Laplace, Paris Hist., anne e 1773, p. 341. 



8. Die Kartenkonstruktionen. 373 



= z 



reduziert wird 59 ). In ganz allgemeiner Weise giebt Darboux) mit 
Hilfe der Differentialparameter die partielle Differentialgleichung, ver- 
moge der eine gegebene Flache in der soeben bezeichneten Weise 
aquivalent auf die Ebene abgebildet wird. 

In Analogie zu den Untersuchungen Lagrange a bestimmt Grave 51 ) 
aUe aquivalenten Abbildungen, bei denen ein rechtwinkliges Parallel- 
koordinatensystem der Ebene in Systeme von Kreisen (Geraden) 
iibergeht. 

Untersuchungen Tiber flachentreue Abbildungen bei vorgeschriebener 
Begrenzung (Problem B) finden sich bereits bei SchelUtammer 62 ) (Ab- 
bildung des Polygons auf ein Dreieck, schliesslich auch beliebiger 
Konturen auf den Kreis). 

Flachentreue Abbildungen im Eaume haben nur einen sehr be- 
schrankten Charakter; sie reduzieren sich auf die Ahnlichkeit 63 ). 

8. Die Kartenkonstruktionen. Die Konstruktion geographischer 
Karten auf Grand der in den Nr. 37 besprochenen Abbildungsarten 
kann hier nur im allgemeinen behandelt werden 64 ) (VI 4). 

59) Hollander, Diss. p. 14; zu derselben Gleichung gelangt auch A. Korkine 
(Fussn. 55). Uber die Losung der Laplace schen Gleichung vgl. S. D. Poisson, 
Theprie de la chaleur, 1835, p. 146; desgl. J. ec. polyt. cah. 19 (1823), p. 215, 
sowie die umfassende Darstellung bei Darboux, Lemons 2, p. 23 ff. (II A 5, Nr.53)! 

60) Darboux, Le9ons 3, p. 206. Der spezielle Fall der Abbildung der 
Kugel in seiner Beziehung zu den Flachen konstanter Kriimmung ist von 
L. Bianchi, sopra una classe di rappresentazioni equivalent! della sfera sul 
piano, Roma Lincei Rend. (4) 6 (1890), p. 226 durchgefuhrt. 

61) D. A. Grave, J. de math. (5) 1 (1896), p. 317; es ergeben sich dabei elf, 
im wesentlichen sechs verschiedene Typen (p. 359). 

62) Schellhammer, a. a. 0. (Fussn. 55), p. 81. 

63) A. Razzaboni, Sulle rappresentazioni dello spazio sopra se stesso che 
conservano le aree delle superficie correspondent!, Bologna Rend. 1889/90, p. 21; 
fiber Flachen, die mit parallelen Tangentenebenen flachentreu aufeinander be- 
zogen sind, siehe C. Guichard, Par. C. R. 136 (1903), p. 151. 

64) Die Theorie der Abbildung und Abwickelung der Flachen hat sich 
fiberhaupt aus dem geographischen Problem entwickelt und hat auch bis in die 
neueste Zeit immer wieder an dasselbe angekniipft. Zur Litteratur vergleiche 
man: /. H. Lambert, Beytrage zum Gebrauche der Mathematik, 3, Berlin 
1772; Lagrange, sur la construction des cartes geographiques, Oeuvres compl. 4; 

. Tissot, Me"moire sur la repre sentation des surfaces, Paris 1881, deutsche 
Bearbeitung von E. Hammer, Stuttgart 1887; A. Germain, traite des cartes geo 
graphiques, Paris 1866; Th. Craig, A treatise on projection, Washington 1882; 
K. Zoppritz, Leitfaden der Kartenentwurfslehre, Leipzig 1884, 2. Auflage von 
A. Bludau, Leipzig 1899; E. Hammer, Uber die geographisch wichtigsten Karten- 



374 III D 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

Betrachtet man als wesentlichste Elementc einer auf die Ebene 
abzubildenden Flache die Winkel, Flachen und Langengrossen der 
auf ihr gezeichneten Figuren, so wird man derjenigen Darstellung 
den Vorzug geben, welche die wahren Verhaltnisse derselben in einem 
gewissen gegebenen Bereiche am genauesten wiedergiebt. 

Bei der winkeltreuen Abbildung findet zwar infinitesimale Ahn- 
lichkeit statt, die endlichen Langen- und Flachengrossen werden aber 
sebr erhebliche Yerzerrungen aufweisen konnen, und die in Nr. 5 be- 
sprochenen vorteilhaftesten konformen Abbildungen haben bisber in 
der Praxis weniger Beriicksichtigung erfabren. 

Allgemeine flaclientreue Abbildungen dagegen sind viel zu will- 
kiirlich und werden nur dann verwendbar, wenn sie sich mit der 
Forderung der Ldngentreue fiir cbarakteristiscbe Kurvensysteme ver- 
binden. Aus diesen Gesichtspunkten entspringt eine grosse Zanl von 
Ka/rtenentwwrfen } deren prinzipielle Nomeuklatur trotz der systemati- 
scben Bezeichnungen Tissofs 66 ) und neuerer Kartographen wie Hammer 
und Zoppritz noch immer nicht einbeitlicb resp. iibersichtlich festge- 
setzt erscheint. 

Unter Hinweis auf die in den Fussnoten angegebene neuere 
Litteratur sei hier nur die Untersuchung von Tissot 66 ) iiber die Ver- 
zerrung der Winkel, Flachen und Langengrossen und ihre gleich- 
massige Verwendung bei der Konstruktion ehier Karte hervorge- 
hoben. 

Grundlegend ist dabei der Tissot ache Satz (Nr. 2). Das Bild 
eines unendlich kleinen um P init dem Radius r auf der Flache be- 
scbriebenen Kreises ist daher eine ortbogonale Projektion derselben, 

projektionen, Stuttgart 1889; N. Herz , Lehrbuch der Landkartenprojektionen, 
Leipzig 1885; A. Breusing, das Verebnen der Kugeloberflache, Leipzig 1892; 
M. Fiorini, Le projezioni della cartografia, Bologna 1881; le projezioni quanti 
tative ed equivalent! della cartografia, Roma 1887; M. Fioriyi, Erd- und Him- 
melsgloben, ihre Geschichte und Konstruktion, frei bearbeitet ven S. Gunther, 
Leipzig 1895. Man vergleiche ferner die historischen Notizen von S. Gunther, 
Ceograph. Jahrbuch 9, p. 405; 12, p. 1; 14, p. 183; E. Hammer, ibid. 14, p. 4; 
sowie das schon erwahnte Werk von E. Hammer, Stuttgart 1887, p. 88; ferner 
Eug. Gelcich, Geschichte der flachentreuen Projektionen, Ztschr. d. Gesellsch. f. Erd- 
kunde, 21, p. 285 (Berlin 1886); d Avezac, Coup d oeil historique sur les pro 
jections des cartes, Paris societe de geographic Bull. (6) 5 (1863), p. 351. - 
Erste Weltkarte in stereographischer Projection 1512; erste flachentreue Pro 
jektion 1514 nach Joh. Stdben von J. Werner (Annotationes Joan. Verneri, Nvirn- 
berg 1514). 

65) Tissot s Nomenklatur im Memoire, Paris 1881, p. 129. 

66) Vgl. Tissot-Hammer 64), p. 121; die mathem. Theorie der Abbildung 
d. Rotation sflachen daselbst, p. 284 ft . 



9. Die geodatische Abbildung. 375 

d. h. eine Ellipse rait den Axen ra, rb. 1st 2<o die grosste Ver- 
anderung, welche fiir den Winkel zweier von P ausgehenden Tan- 
gen tenrichtungen eintritt, und n das Verhaltuis korrespondierender in 
finites imaler Flachenstiicke, so ist: 
a 6 



bei konformer Abbildung ist a = b, bei aquivalenter ab = 1. Die 
Langenverzerrung der Hauptrichtungen ist a, b (dies sind zugleich die 
Extremwerte), die Flachenverzerrung ist 6; bei flachentreuer Ab 
bildung fallen die dann immer reellcn automekoischen Kurven mit den 
Richtungen der extremalen Winkelverzerrung zusammen. Mit Riick- 
sicnt hierauf konstruierte Tissot 61 ^) seine Compensative Projektion eines 
nach alien "Richtungen um einen Nullpunkt ausgedehnten Bereiches 
auf einer Rotationsflache. Entsprechen den Axen der rechtwinkligen 
Koordinaten x, y der Ebene der Nullmeridian und Nullbreitenkreis, 
ist cp die Breite, r der Halbmesser des zugehorigen Breitenkreises ? 
sind ferner cp Q , r Q die Werte von (p, r fiir den Nullpunkt, s der Bogen 
des Meridians zwischen den Breitenkreisen cp^ und cp } endlich t der 
Bogen des Breitenkreises vom Nullmeridian aus gezahlt, so besitzen 
alle Projektionsarten, welche durch die Gleichungen 

x = s --^ t 2 ~ s 3 - BsH Cst 2 1 3 



gegeben sind, unter der Bedingung 

2 (A -f- C) cos 2 qp = cos 2cp Q 

Winkelverzerrungen von dritter, Langenverzerrungen von zweiter Ord- 
nung in Bezug auf s, t. Durch ein graphisches Verfahren lassen sich 
die Konstanten schliesslich so wahlen, dass diese Abweichungen den 
moglichst kleinen Betrag fiir ein gegebenes, allerdings innerhalb ge- 
wisser Grenzen liegendes endliches Grebiet erhalten. - - Im Vergleich 
zu Lagrange s, im allgemeinen auch von Gauss und anderen spater 
festgehaltenen Standpunkte, la plus grande perfection d une carte 
geographique doit consister dans la moindre alteration des distances 
(Oeuvres compl. 4, p. 637), erscheint Tissot s Verfahren als ein wesent- 
licher Fortschritt. 

9. Die geodatisclie Abbildung, representation geodesique, rap- 
presentazione geodetica. Beltrami 68 ^ stellte zuerst die Aufgabe, alle 

67) Siehe Tissot-Hammer 64), p. 30 ff. 

68) E. Eeltrami, Riportare i punti di una superficie sopra un piano in 



376 niD6a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

Flachen zu finden, die sich auf die Ebene so abbilden lassen, dass wie 
bei der Zentralprojektion der Kugel, den geodatischen Linien die 
Geraden entsprechen. Es sind dies die Flaclien konstanter Krummung\ 
und aus einer Abbildung dieser Art gehen bei einer gegebenen Flache 
nach A. F. Mobius alle anderen durch Kollineation der Ebene hervor. 
Das gleichfalls von Beltrami} gestellte Problem der Flachen, 
die mit Erbaltung der geodatischen Linien auf einander bezogen 
werden konnen, ohne zu einander isometrisch oder ahnlich zu sein, 
loste Dm* 71 ) fiir reelle Abbildungen und reelle Flachen. mit Be- 
nutzurig des Tissof schen Satzes (Nr. 2). Zwei Flaclien F und F 
stehen nur da nn in Dini scher Beziehung, wenn ihre Langenelemente 
die Liouville sche Form (III D 3, Nr. 18) 72 ): 



v~~u\u v 

haben, aber zu jeder Flache F gehoren noch oo 1 Flachen F , weil, 
ohne Anderung von U V, U durch U -f- h, V durch V -f h ersetzt 
werden konnen. 

Ohne Beschrankung auf das Reelle loste Lie) das Problem und 
fand ausser den Liouville 1 schen Flachen die des Langenelementes 74 ) 



wo nun bei notwendig imaginarer Beziehung nur die eine Schar der 
Minimalkurven auf beiden Flachen sich entspricht. 



modo che le Knee geodetiche vengano rappresentate da linee rette, Ann. di mat. 
(1) 7 (1886), p. 185; Opere 1, p. 262; in vereinfachter Form bei Dini (siehe Fuss- 
note 71) und Darboux, Le9ons 3, p. 40. 

69) Beltrami, ibid., p. 189, 203 (IE D 5, Nr. 34). 

70) ibid., p. 204. 

71) U. Dini, Sopra un problema che si presenta nella teoria generale delle 
rappresentazione geografiche, Ann. di mat. (2) 8 (1869), p. 269; vgl. Darboux, 
Leyons, p. 42, auch Scheffers, 2 p. 424; Bianchi, p. 434; zwei auf einander geo- 
datisch abbildbare Flachen sind daher ,,im allgemeinen" zu einunder ahnlich. 

72) J. Liouville, J. de math. 11 (1846), p. 345. Die beiden den Forrnen von 
ds^.ds^ entsprechenden Flachen konnen auch isometrisch sein; vgl. E. Liouville, 
Paris, C. E. 108 (1889), p. 335. L. Eaffy nennt die Flachen mit Liouville schem 
Langenelement surfaces liarmoniques, Paris soc. math. Bull. 22 (1894), p. 63. 

73) Lie, Universities -Programm Christiania 1879; Math. Ann. 20 (1882), 
p. 419; Leipz. Berichte 1889, p. 155; Lie-Scheffers I, p. 166. Vgl. auch die Dar- 
stellung bei Darboux, Lemons 3, p. 63ff. ; desgl. G. Konigs, Toulouse Ann. 6 
(1892), p. 1. 

74) tiber die Beziehung der speziellen Flilchenklasse der Spiralfldchen 
(III D 5, Nr. 7) ds* = e 2u f(u -f v) dudv zur Dmi schen und iie schen Abbildung, 
vgl. Lie, Math. Ann. 20, p. 390, 431; Lie-Scheffers 1, p. 162. 



9. Die geodatische Abbilcluug. 377 

Wesentlich verallgemeinert hat das Dini sche Problem Fr. Busse} 
durch die Forderung, dass jeder geodatischen Linie von F ein geo 
datischer Kreis von F entsprechen soil 76 ). Das System der nach Dini 
gebildeten Gleichungen lasst sich auch hier unter Voraussetzung der 
Minim alkurven von F integrieren; in ausgezeichneter Weise tritt dabei 
die tjSchtmrz sche Derivierte" hervor 77 ). Natiirlich gehoren zu diesen 
Flachenpaaren F und F je zwei solche, welche der Dm^ schen Aufgabe 
entsprechen. Die Bedingungen der allgemeineren Busse schen Frage sind 
dagegen nur dann erfullt, wenn F zu einer ivillkiirlictien Rotations- 
fldclie isometrisch ist. Und alsdann muss die Flache F konform auf 
eine Flache F Q , welche mit F in Dini 1 scher Beziehung steht ? so ab- 
gebildet sein, dass jeder geodatischen Linie von F ein geodatischer 
Kreis von F entspricht; dabei ist auch F selbst isometrisch zu einer 
Rotationsflache 78 ). Und bei den Flachen F und F } und nur bei 
diesen, entspricht auch jedem geodatischen Kreise wieder ein solcher 79 ). 
Ist insbesondere jP von konstanter Krummung, so kann auf dieselbe 
jede andere Flache konstanter Krummung (und nur eine solche) kon 
form so abgebildet werden, dass jeder geodatischen Linie von F ein 
geodatischer Kreis von F entspricht 80 ). 

Die soeben beriihrte Frage nach den Flachen ; bei denen jedem 
geodatischen Kreise wieder ein solcher entspricht, ist iibrigens weit 
fruher von Lie behandelt, der zu denselben Resultaten gelangte 81 ); 
diese Frage lasst sich ubrigens noch dahin erweitern, dass nur das 
Entsprechen von oo 2 geodatischen Kreisen verlangt wird 82 ). 

75) Fr. Busse, Uber diejenige punktweise eindeutige Beziehung zweier 
Flachenstiicke auf einander, bei welcher jeder geodatischen Linie der einen eine 
Linie konstanter geodatischer Kriinimung der andern entspricht, Berlin, Ber. 
1896, p. 651. 

76) So nach Darboux s Bezeichnung der Kurven konstanter geodatischer 
Krummung (III D 3, Nr. 38) (Kurven kurzesten Umrings bei Minding, J. f. Math. 6 
(1830), p. 159), in den Le9ons 3, p. 151, im Gegensatz zu den geodatischen 
Kreisen von Gauss (III D 3, Nr. 15). 

77) Siehe H. A. Schwarz, tFber einige Abbildungsaufgaben, J. f. Math. 70 
(1869), p. 116 = Ges. Abh. 2, p. 65; Busse 75), p. 653 (I B 2, Nr. 20). 

78) Busse, ibid. p. 659. 

79) Busse, ibid. p. 660. 

80) Busse, ibid. p. 663. 

81) Lie, Archiv for Math, og Naturv. 9 (1884), p. 62; vollstandige Durch- 
fuhrung, ebenfalls mit Benutzung der Schwarz schen Derivierten in Lie-Scheffers 1 
(1893), p. 165). Es sei hier zugleich hingewiesen auf die Bedeutung der Lie- 
schen Untersuchungeu uber Beriihrungstransformationen der Schar der geodati 
schen Kreise, die bereits 1884 begonnen, ebenda p. 133 behandelt werden (III D 8). 

82) Fr. Busse, Dissertation Berlin 1896/97, tTber eine spezielle konforme 
Abbildung der Flachen konstanten Krumrnungsmaasses auf die Ebene, p. 7. 

Encyklop. d. math. Wissensch. Ill 3. 25 



378 HID 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Fl achen auf einander. 

Eine andere Verallgemeinerung des Beltrami schen Problems be- 
steht in der Forderung, dass den oo 2 geodatischen Linien der einen 
Flache iiberliaupt Kurven einer bestimmten Grattung auf einer andern 
entsprechen sollen. So sind die Flachen konstanter Kriimmung auch 
die einzigen, welche konform so auf die Ebene abgebildet werden 
konnen, dass den geodatischen Linien Kreise (resp. Gerade) der Ebene 
entsprechen 83 ) (III D 5, Nr. 34). 

In Bezug auf die JDwi schen Satze aber ergeben sich noch weitere 
Fragen, die aufs engste mit der Lehre von der Abbildung zusammen- 
hangen. 

1st das Langenelement 

ds 2 = Edu 2 -f SFdudv + Gdv* 

iiberhaupt in die Liouville sche Form transformierbar, so muss die 
partielle Differentialgleichung der geodatischen Linien (III D 3, Nr. 16): 



fl 

(1) A0 = 

ein homogenes Integral von der Form 

( 2 ) X + 2U + 1 - const. 



haben 84 ). Ein besonderes Interesse gewinnen diejenigen Flachen, 
deren ds 2 auf niehrfache Art die Form von Liouville annehmen kann, 
die also auf einen grosseren Umfang von Flachen geodatisch abbildbar 
sind, wie im allgemeinen Falle. Nach Darboux^} ist jede Flache, 
deren ds* auf zwei verschiedene Arten jene Form annehmen kann, 
auf oo 1 verschiedene Weisen so transformierbar und so ergiebt sich 
das von Darboux 86 } gestellte Problem, das Langenelement dieser sur 
faces doublement harmoniques (L.Eaffy)} zu bestimmen. Diese 
schwierige Frage, die in Zusammenhang mit Lie s bereits 1882 be- 

83) Busse, Dissertation, p. 9; ein allgemeinerer Satz bei Lie-Scheffers, p. 160. 

84) Darboux, Le9ons 3, p. 331. Nach Darboux ist des Langenelement ds 
auf die Liouville sche Form reduzierbar, wenn die Formen (1), (2) des Textes 

keinen gemeinsamen linearen Faktor a + (3 -^- haben ; im Ausnahmefalle ist 

ds* von der Form Lie s: (u -\- V] du dv (s. p. 374). 

85) Darboux, Lemons 2, p. 209; 3, p. 34. 

86) Darboux, Lemons 2, p. 218. Vollstandig behandelt G. Eicci, Lezioni 
p. 253 ff. diese Frage. Auf den Flachen konstanter Kriimmung existieren oo 4 
Kurvensysteme von Liouville schem Charakter (Eicci, p. 256); auf den zu Rotations- 
flachen isometrischen konnen unter gewissen Bedingungen oo 8 Systems vor- 
handen sein (p. 263); auf einer allgemeinen Flache kSnnen sich unter gewissen 
Uinstanden oo 1 ergeben, 



10. Die projektive Abbildung. 379 

gonnenen Untersuchungen fiber geodatische Linien steht 87 ), ist von 
Kbnigs und Eaffy beantwortet worden 88 ). 

L. Bianchi*} weist neuerdings auf eine Beziehung der geodati- 
schen Abbildung zur Isometrie der Flachen hin. Auf einer Flache F 
bilden die Kurven Ldu* + 2Mdudv -f Ndu* = 0, falls L, M, N alle 
Wertsysteme der Fundamentalgrossen zweiter Ordnung sind, die den 
CodaetfBchea. Gleichungen (III D 1, 2, Nr. 34; III D 3, Nr. 23) des zu 
F gehorigen ds 2 entsprechen, ein System potentieller Haupttangenten- 
kurven. Sollen nun zwei Flachen F und 0> so aufeinander abgebildet 
sein, dass alle potentiellen Haupttangentenkurven von F denen von # 
entsprechen, so muss fiir ihre Fundamentalgrossen L, M, JV; A, M, N, 
die Beziehung bestehen: 

L:M:N= A:M:N; 

notwendig ist dazu, dass F und DM sche Flachenpaare sind ; und 
man hat unter diesen diejenigen besonderen Paare auszuwahlen, auf 
denen sich zugleich die geodatischen Kurven und konjugierten Systeme 
entsprechen. 

10. Die projektive oder kollineare Abbildung 89 ). Diese Ab- 
bildungen konnen hier nur insoweit betrachtet werden, als dabei fur 
die Flachentheorie eigentiimliche Probleme hervortreten. Die einzige 
Conform perspective Abbildung ist die durch Ahnlichkeit oder reziproke 
Radii vectores 90 ). Bei der Kollineation der Ebene besteht das 
System der Tissot sch&n. Hauptkurven (Nr. 2) aus konfokalen Kegel- 
schnitten 91 ) (HI C 1, Nr. 65). Insbesondere hat Scheffers**) die Ver- 
zerrungsgesetze der Figuren bei der ebenen Kollineation synthetisch be- 

87) Lie, Untersuchungen iiber geodatische Kurven, Math Ann 20 (1882) 
p. 357. 

88) G. Konigs, Re sumd d un m^moire sur les lignes ge ode siques, Toulouse, 
Ann. 6 (1892), p. 1 ; Mdmoire sur les lignes g^od^siques, Paris M^m. savants etr. 31 
(1894), Nr. 6; sodann L. Eaffy, Recherches sur les surfaces harmoniques r^sum^ 
Bull. soc. math. 22 (1894), p. 63 und 84 ; Determination des dldments doubles 
harmoniques, J. de math. (4) 10 (1894), p. 331; vgl. auch die in Fussnote 86 er- 
wahnte Arbeit von G. Ricci (1898). 

88 ) L. BiancU, Sopra un problema della teoria della deformazione delle 
superficie, Roma Lincei, Rend. (5) 9 (1902), p. 265. 

89) Siehe Nr. 2. 

90) So z. B. E. Hoppe, Archiv Math. Phys. (2) 4 (1886), p. 328. 

91) Siehe J. Liouville, J. de math. 9 (1846), p. 346. 

92) G. Sche/fers, Verzerrung bei projektiver Abbildung ebener Figuren 
Leipz. Ber. 44 (1892), p. 162. Analogs Untersuchungen fur den Raum scheinen 
noch mcht ausfiihrlicher behandelt zu sein. Vgl. indes F. BicMot, J f. Math 
70 (1869), p. 137, 146. 



25 : 



380 HID 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

handelt. Es giebt zwei Systeme konfokaler Parabeln, deren Kon- 
tingenzwinkel bei der Abbildung (bis auf Grossen hoherer Ordnung) 
ungeandert bleiben, und je zwei Tangenten ein und derselben Parabel 
behalten vermoge der Kollineation ungeanderten Neigungswinkel. 
Umgekehrt sind die Liouville schen konfokalen Kegelschnitte die Kurven 
der grossten Verzerrung der Kontingenzwinkel, in deren Tangenten zu- 
gleich die grosste Langenverzerrung stattfmdet, wahrend die auto- 
mekoischen Kurven transcendent sind. 

Sodann sei Lie s Problem 93 ) der Flaclien, die kontinuirliche projek- 
tive Transformationsgruppen in sicli gestatten, erwahnt. Wenn eine 
Flache mehr als oo 2 Transformationen dieser Art besitzt, so ist sie 
eine Regelflacne (eine Flache zweiten Grades lasst sogar oo 6 zu); die 
Flachen 94 ) mit oo 2 solchen Transformationen ergeben sieben, teils 
algebraische, teils transcendente Typen; endlich giebt es noch 10 Typen 
von Flachen mit oo 1 Transformationen. Hieran schliesst sich das 
von Lie schon 1872 in Angriff genommene Problem der Bestimmung 
der Translationsflachen, die in mehrfacher Weise durch Translation 
einer Kurve erzeugt werden konnen 95 ) (III D 5, Nr. 6). 

Andere Fragen betreffen die Erlialtung gewisser Kurvengattungen 
auf den Flachen bei projektiver Umformung. Invariant sind z. B. 
die Haupttangentenkurven (III D 3, Nr. 36), allgemeiner die kon- 
jugierten Systeme (Nr. 2) 96 ) (III D 3, Nr. 37); man vergleiche dainit 

93) Lie, Bestimmung aller Flachen, die eine kontinuirliche Schar projektiver 
Transformationen enthalten. Erste Mitteilung von 1869; vollstandige Durch- 
fiihrung in Band 3 der Theorie der Transformationsgruppen, Leipz. 1893, p. 180 
und den Leipz. Ber. 46 (1895), p. 209; weniger vollstandig bei F. Enriques, Le 
superficie con infinite projezioni projettivi in se stesse, Veneto Istit. Atti (7) 4 
(1893), p. 1590; (7) 5 (1894), p. 638. Vgl. auch die Untersuchungen von G.Fano, 
Ronia Line. Rend. (5) 4 (1895), p. 119; (5) 8 (1899), p. 562, sowie weitergehende 
Betrachtungen von G. Castelnuovo und F. Enriques, Paris, C. R. 121 (1895), 
p. 242; P. Painleve, ibid., p. 318. ttber die Klein- Lie schen W- Flachen s. 
Ill D 5, Nr. 6. 

94) Lie, Leipz. Ber. ibid., p. 218235; bemerkenswerte Untergruppe daselbst, 
p. 247 mit oo* vertauscJibaren Transformationen. 

95) Lie, Christiania Verhandl. 1872, p. 27; Archiv f. Math, og Natur- 
vidensk. 7; sodann: Die Theorie der Translationsflachen und das Abel sche 
Theorem, Paris, C. R. 114, p. 277 (1892); Leipz. Ber. 48 (1896), p. 141; 49 (1895), 
p. 181; vgl. Lie-Scheffers 1, p. 398. 

96) Die sogenannte zweite Differential form der Flachentheorie (III D 1, 2, 

Nr.34; HID 3, Nr.8) 

Ldu* -f 2 Mdudv + Ndv* 

ist uberhaupt in Bezug auf solche Transformationen invariant derart, dass die 
L, M, N nur einen gemeinsamen Faktor bei denselben erhalten; vgl. A. Voss, 
Zur Theorie der Kriimmung der Flachen, Math. Ann. 39 (1891), p. 189; ins- 



11. Die spharische Abbildung. 33 ]_ 

wieder die Invarianz der Krummungslinien bei der Transformation 
durch reziproke Radien (IIID 3, Nr. 35), resp. die Zie schen Beruhrungs- 
transformationen, welche Krummungslinien in Haupttangentenkurven 
verwandeln (III D 8) etc. Bei der Projektion yon Flachen auf eine Ebene 
ergiebt sich der Satz von Konigs^) (III D 3, Nr.36): die Projektion 
der Haupttangentenkurven bildet ein Kurvensystem gleicher Invarianten 
der betreffenden Zqpfoce schen Differentialgleichung. Auch hier scheint 
die Kollineation im Raume, namentlich in ihren Beziehungen zu 
metrischen Grossen, weniger vollstandig untersucht zu sein 98 ). 

11. Die spharische Abbildung (III D 3, Nr. 7). Bei Gauss ") 
spharischer Abbildung gehort zu jedem Punkte P der aber als nicht 
developpabel vorausgesetzten Flache F der Punkt p der Einheitskugel, 
in dem die letztere von dem durch ihr Zentrum parallel zur positiven 
Flachennonnale von P gezogenen Halbstrahle getroffen wird 100 ); die 
Abbildung hat dabei gleichen oder entgegengesetzten Sinn in Bezug 
auf die Punkte P und p, je nachdem die Kriimmung von F daselbst 
elliptisch oder hyperbolisch ist, falls man die Flache von ihrer positiven 
Seite, die Kugel von aussen betrachtet 101 ). Fur Punkte mit hyper- 
bolischer oder elliptischer Kriimmung ist die Abbildung immer eine 
umkehflwr eindeutige. Eine Mehrdeutigkeit tritt fur die Umgebung 
parabolischer Flachenpunkte auf, die ausfuhrlicher zuerst von Hilbert 
insbesondere aber von W. Boy in Riicksicht auf ihre verschiedenen 
Gattungen untersucht sind 102 ). Zugleich entspricht jeder Tangente 
PP auf F die Tangente pp der Kugel, welche zur konjugierten 
Richtung von PP senkrecU steht 103 ); ist also PP insbesondere eine 

besondere auch Bianchi s isotherm konjugierte Systeme M=0 L = N (Bianchi 
p. 136) (III D 3, Nr. 42). 

97) G. Kanigs, Paris, C. R. 114 (1892), p. 55; vgl. Darloux, Logons 4, p. 33. 

98) Vgl. A. Voss, Math. Ann. 39 (1891), p. 179; hinsichtlich der Trans 
formation des Kriimmungsmaasses und anderer invarianter Gebilde siehe auch 
R. Mehmke, Zeitschr. Math. Phys. 36 (1891), p. 212; 37 (1892), p. 186; a Vivanti 
(ibid. 37, p. 1). 

99) Gauss, Disquisitiones art. 6, vgl. indessen Fussn. 2. 

100) Die Punkte P, p besitzen daher bei jeder Beleuchtung durch parallels 
Strahlen gleiche Helligkeit. 

101) Diese Vorzeichenunterscheidung schon bei Gauss; insbes. Werke 8, 
p. 425. Vgl. S. Finsterwalder , Mechanische Beziehungen bei der Flachendefor- 
mation, Deutsch. Math. -Verein. Jahresber. 6 (1899), p. 60; /. Hadamard, J. de 
math. (5) 3 (1897), p. 352; auch Scheffers 2, p. 210. 

102) Vgl. Finsterwalder, Fussn. 101; W. Boy, ttber die Curvatura integra 
und die Topologie geschlossener Flachen, Diss. Gottingen 1901, p. 18. 

103) Darloux, Le9ons 1, p. 201; Bianchi, p. 118. 



382 HI D 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

der Haupttangenten, so wird pp senkrecht zu PP , 104 ) und konjugierte 
Kurvensysteme von F bilden sich daher rnit ungeandertem Sinus ihres 
Koordinatenwinkels <o auf die Kugel ab 105 ). Fiir die Tangenten der 
Kriimmungslinien von F und nur fur diese wird endlich pp \\ PP . 
Bezeichnet man die Richtungscosinus der Normalen, d. h. die Koor- 
dinaten des Punktes p, durch X, Y, Z, so erhalt man fiir das Langen- 
element dtf der Kugel die Gleichung: 

da* = edit? -f 2fdudv -f- gdv 2 , 
wobei : 

e = (EM 2 2FLM -f GL 2 ) = hL kE 



f= JL (EMN F(LN+ 

g = ~ (EN 2 2FMN + GM*} = hN kG, 

falls k das Kriimmungsmass und h die mittlere Kriimmung (III D 1, 2, 

Nr. 35): 



7,- JL J_ J_ _ 

= E l E, ~ 

bedeutet. 

Und hieraus folgert man wieder den Bonnet schen Satz 10R ) ; dass die 
Kriimmungslinien (F = 0, M = 0) sich bei jeder Flache in ein Ortho- 
gonalsystem auf der Kugel abbilden (III D 3, Nr. 35), und dass von 
dem trivialen FaUe der Kugel selbst (III D 3, Nr. 4), wo E:F:G 
= L : M : N, abgesehen die spharische Abbildung der Minimalflachen 
(und nur dieser) zugleich eine konforme ist 107 ) (III D 5, Nr. 21). 

Von Wichtigkeit ist bei der spharischen Abbildung der Flachen der 
von Gauss in Analogic zum Kriimmungsmass der Kurven gewonnene 
Begriff des Kriimmungsmasses k 108 ) : 

104) Dieser Satz von der rechtwinkligen Drehung der Bilder der Haupt- 
tangenten wohl zuerst bei U. Dini, Ann. di mat. (2) 4, p. 180 (1870/71). 

105) Nach Bianchi, p. 120 geht bei elliptischcr Kriimmung to in n to iiber; 
bei hyperbolischer Kriimmung bleibt to ungeandert. 

106) 0. Sonnet, Paris, C. R. 37, p. 529 (1853). 

107) 0. Bonnet, Sur 1 emploi d un nouveau systeme de variables dans 1 dtude 
des proprie te s des surfaces courbes, J. de math. (2) 5, p. 227 (1860). Ebenda 
auch der iibrigens aus den im Texte angegebenen Werten der e, f, g folgende 
Satz, dass die Minimalkurven auf der Kugel den zu den Minimalkurven auf der 
Flache konjugierten Kurven entsprechen. 

108) Vgl. Fussn. 2 und HID 1,2, Nr. 36; HI D 3, Nrr. 33, 34. Wegen der 
oft namentlich von Nichtmathematikern -- beanstandeten Bezeichnung als 
Kriimmungsmass der Flache vgl. Gauss eigene Worte iu den Gott. gel. Anz. 
1827, Werke 4, p. 343: ,,t)brigens liegt weniger an den Benennungen selbst als 
daran, dass ihre Einfiihrung durch priignante Satze gerechtfertigt wird." 



12. Andere Abbildungen. 383 

k = lim \-~\ fur Ao = 0, 

wo Ao und Ara korrespondierende Flachenstiicke von F und der 
Einheitskugel bezeichnen, nebst der Curvatura integra: 



welche in Erweiterung von Gauss Satz fiber die Curvatura der geo- 
datischen Dreiecke 109 ) durch Sonnet mit Hiilfe des Green schen Satzes 
(IIA7b, Nr. 12) durch ein fiber die Kontur von F erstrecktes 
Randintegral ausgedriickt wird 110 ) (III D 3, Nr. 15). 

tiber die Probleme der spharischen Abbildung siehe Nr. 33. 

12. Andere Abbildungen. Da die Lehre von der Abbildung 
der Flachen schliesslich vollig mit der von den eindeutigen Trans- 
formationen derselben zusammenfallt, muss sich die folgende Dar- 
stellung auf einige besonders interessante Falle von Abbildungen 
beschranken. 

Zu diesen gehort das bereits von Tschebyscheff gestellte 111 ), sp ater 
von Foss 112 ) behandelte Problem des habillement des surfaces (III D 3 
Nr. 40). Ein aus etwa rechtwinkligen Maschen vollig biegsamer un- 
ausdehnbarer Faden gebildetes ^kontinuierliches Gewebe" kann man 
im allgemeinen immer auf unendlich viele Arten auf einer krummen 
Flache (allerdings nur innerhalb gewisser Grenzen) ausbreiten, ent- 
sprechend den unendlich vielen Arten, auf die das Langenelement ds z 
auf die Form 

ds 2 = du* + dv* -f 2fdudv 

gebracht werden kann. Zwei der einfachsten Beispiele dieser Art 
geben die Translationsfldchen (deren erzeugende Kurven ein solches 
Gewebe bilden), sowie die Flachen negativer konstanter Kriimmung 
deren Haupttangentenkurven ein solches Netz bilden 113 ) ; wahrend das 

109) Gauss, Disquisitiones art. 20. Seinem Vorzeichen nach wird k durch 
LN M* 



EG-F* 

110) 0. Bonnet, J. ec. polyt. cab. 41 (1865), p. 21fi. In anderer Weise 
driickt W. Boy (Diss. Gottingen 1901) K durch ein iiber die spharische Abbildung 
der Kontur von F auf die Kugel genommenes Integral aus. 

111) Tschebycheff, Sur la coupe des vetements, Assoc. fran9_ Congres de 
Paris 1878. Bei Darboux, Le90ns 3, p. 206 die partielle Diflferentialgleichung 
des Problems mit Hiilfe der Differentialparameter. 

112) A. Voss, tiber ein Prinzip der Abbildung krummer Oberflachen, Math. 
Ann. 19 (1881), p. 1; Deutsche Math.-Verein., Katalog, Munchen 1892, p. 16. 

113) Andere Beispiele bei Foss, Katalog, ibid., p. 20 S. Vgl. auch Servant, 
Sur 1 habillage des surfaces, Par. C. R. 135 (1902), p. 575. 



384 HID 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

Problem, auf der Kugel alle Systems dieser Art zu finden, mit der 
Bestimmung der Flachen konstanter Krurnmimg = 1 zusammenfallt 114 ). 
Das Christoffel sche Problem 115 ) der Flachen, die durch parallele 
Normalen konform auf einander bezogen sind, liefert abgesehen von 
ahnlichen und gewisseu imaginaren Flachen die Minimalflachen (HID 5, 
Nr. 22) und die Klasse derjenigen Flachen, die durch ihre Krummungs 
linien konform auf einander bezogen sind. Es sind dies die isofhermen 
Flachen Hours 116 ) (IIID5, Nr. 37), und zu jeder solchen Flache mit 
dem Langenelement 



gehort auch wirklich eine zweite: 

ds 2 = y (du* + dv 2 ), 

die in der angegebenen Weise der ersteren zugeordnet ist. Darboux 111 ) 
hat neuerdings Qiristoffel s Satz so erweitert, dass vermoge einer 
Enveloppenbeziehung von Kugeln jeder isothermen Flache unendlich 
viele andere entsprechen. 

Die fur die konforme Abbildung in der Ebene bekannte Eigen- 
schaft, dass korrespondierende Langenelemente einen nur vom Orte, 
nicht von der Richtung derselben abhangigen Winkel mit einander 
bilden, lasst sich nur in beschrankter Weise auf die Beziehungen 
zwischen zwei krummen Flachen iibertragen. Soil iiberhaupt fiir zwei 
Flachen x, y, z\ x v y v ^ die Beziehung 

dxdx + dydy -\- dzdz = Kdsds 

bestehen (A ist Funktion von u, v), so ist die Bezielmng konform, 
wenn nicht A = ist, d. h. korrespondierende Elemente einen rechten 
Winkel mit einander bilden 118 ). Eine solche konforme Beziehung 

114) J. Weingarten, Zur Theorie der Oberflachen, J. f. Math. 62 (1863), p. 172. 

115) E. B. Christoffel, Cber eine allgemeine Eigenschaft der Minimums- 
flachen, J. f. Math. 67 (1867), p. 218; vgl. Darboux, Lemons 2, j>. 239; desgl. 1, 
p. 326. 

116) E. Bour, Sur la deformation des surfaces, J. ec. polyt. cah. 39, p. 118. 
Man beachte iibrigens, dass die Fundamentalgrossen E, G der auf ihre Kriim- 
mungslinien bezogenen Flache nicht als willkurliche Funktionen von u, v an- 
genommen werden konnen, sondern einer verwickelten Bedingung, die z. B. von 
E.Combescure, Paris, C. R. 74 (1872), p. 1514 aufgestellt wird, genugen. Uber 
die Oberflachen mit isometrischen Krummungslinien vgl. man ausser der in der 
Dissertation von H. Willgrod, Gottingen 1883 erwahnten Litteratur auch /. Wein 
garten, t)ber die Oberflachen, die durch ihre Krummungslinien in Quadrate geteilt 
werden konnen, Berl. Ber. 1883, p. 1163. 

117) Darboux, Sur les surfaces isothermiques, Ann. ec. norm. (3) 6 (1899), 
491, insbes. p. 503. 

118) Man erkennt leicht durch Anwendung des Ttsso^schen Koordinaten- 



13. Die Strahlensysteme. 335 

findet aber nur dann wirklich statt, wenn die beiden Flachen Minimal- 
flachen sind. Denn nun miissen, wie Darboux 119 ) zeigt, die Gleichungen 

d*i* + dy* + dei* = Ids* 
dxdxt + dydy t -f dsd^ = ^idsds l = vds* 

erfiillt sein- aus ilmen folgt, dass die Flachen Minimalfldchen sind, 
deren Tangentenebenen in korrespondierenden Punkten parallel laufen. 
Und umgekehrt sind zwei Uliebige Minimalfliichen stets in der ge- 
wiinschten Beziehung, wenn man auf ihnen die Punkte mit parallelen 
Tangentenebenen einander zuordnet (III D 5, Nr. 23). Von Goursat ist 
das Mathel sche) Problem noch erweitert. Flachen mit entsprechen- 
den Scharen paralleler Ebenen sind durch parallele Tangenten der ent- 
sprechenden Schnittkurven konform auf einander abgebildet, wenn diese 
Flachen entweder zwei ,,derivierte" Mmimalflachen oder zwei Rota- 
tionsflachen sind 12 ). 

13. Die Strahlensysteme (III D 3, Nr. 5). In den vorigen 
Nummern sind meist besonders wichtige PunlMmnsformationen erwahnt. 
Die Zahl der Abbildungen wird weit grosser, wenn man auch noch 
die mannigfachen Beziehungen beachtet, die durch Bcruhrungstrans- 
formationen, insbesondere aber durch die Strahlensysteme vermittelt 
werden. Da die neueren Fortschritte in der Theorie der Abbildung 
hauptsachlich auf diesem Gebiete liegen, erscheint eine kurze Dar- 
stellung der letzteren hier notwendig. 

Bei einem Strahlensystem m ), einer Kongruens, d.h. einem (reellen) 
kontinuierlichen System von zweifach unendlich vielen Geraden, giebt es zu 
jedem Strahle g zwei benachbarte, deren kiirzeste Abstande d und d z 
von g durch die Minimumseigenschaft ausgezeichnet sind; die stets 
reellen Fusspunkte G lt G 2 dieser Abstande d lf d z sind die Grenzpunkte 
auf g, und die Ebenen d i g f d 2 g stehen auf einander senkrecht. Der 
systems, bei dem F und F auf beiden Flachen Null sind, dass 



, 

abgesehen von dem Ausnahmefalle I = (iiber denselben vergleiche man Nr. 32) 
sein muss. 

119) Bei Darboux wird ubrigens konforme Beziehung der Flachen nebst 
der Bedingung for die Winkel korrespondierender Elemente vorausgesetzt; Darboux, 
Le9ons 1, p. 329; vgl. auch G. Mathefs, J. de math. (2) 8 (1863), p. 313 u. 323, 
Arbeit, in der zum erstenmale die betreffenden Fragen gestellt waren. 

120) E. Goursat, Acta math. 11 (1888), p. 135. Eine Minimalflache bleibt 
bis auf ihre absolute Lage ungeandert, bei reeller Rotation ihrer Minimalkurven, 
sie geht dagegen bei imaginarer Rotation derselben in eine derivierte Minimal 
flache iiber, ibid. p. 144, vgl. auch III D 5, Nr. 28. 

121) E. E. Kummer, Allgemeine Theorie der geradlinigen Strahlensysteme 
J. f. Math. 57 (1860), p. 189; vgl. R. Hamilton, Theory of systems of rays, Dublin 
Trans. 15 (1828), p. 69; 16 (1830) (III D 9). 



386 HI D 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickehmg zweier Flachen auf einander. 

Mittelpunkt M von G 1 und G 2 bildet die Mittelflache} der Kon- 
gruenz. Zu jeder Geraden g giebt es ferner zwei benachbarte g lf g 
welche sie in den Brennpunkten F 1} F 2 , deren Mittelpunkt wieder M 
ist, schneiden; sie bilden die durch g gehenden Dcveloppabelen der 
Kongruenz und die Ebenen E, = (gg t \ E 2 = (gg^ sind die Srenn- 
ebenen; die Brennflachc # ist der Ort der Punkte F v F 2 und gleich- 
zeitig die Enveloppe der Ebenen E l} E 2 , aber E 1 beriihrt # in F 2 , 
E 2 in F v Durch diese Zuordnung von F^ und F 2 sind die beiden 
Mantel der Brennflache, die hier als verschiedene krumme Flachen 
angesehen werden, auf einander dbgebildet nz \ und beim Fortschreiten 
im Kongruenzstrahl im Punkte F t gehort die zum Strahle 2^F 2 kon- 
jugierte Eichtung von cP im Punkte F 2 . 

Die Kongruenz besteht aus den Haupttangenten einer Flache ; 
wenn die Brennpunkte zusammenfallen ; sie heisst eine isotrope lu ), 
wenn die Grenzpurikte zusammenfallen; die Brennebenen sind dann 
isotrope Ebenen, weil sie den imaginaren Kreis im Unendlichen beriihren; 
die Enveloppe der Mittelebenen ist eine Minimalflachc 125 ) (III D 5 7 Nr. 30). 
Die Kongruenz ist eine Normale oder Normalenliongruenz , wenn ihre 
Strahlen Normalen eines (Parallel-)Flachensy stems sind; d. h. wenn die 
Brennebenen auf einander serikrecht stehen (Brenn- und Grenzpunkte zu- 
sammenrucken) 126 ); sie heisst harmoniscJi zu einer Flache F, wenn ihre 
Developpabeln auf F ein konjugiertes System ausschneiden, und eine 
harmonische Normalenkongmenz heisst eine Dw^m sche 127 ). 

Sind zwei Flachen F und F 1 punktweise so auf einander bezogen, 
dass korrespondierende Tangenten zu einander senkrecht stehen (vgl. 
Nr. 32), so entsprechen sie sich durch Orthogonalitat der Langen- 
elemente (Moutartfsche Zuordnung) 128 ). Die durch die Punkte von F t 



122,) Kummer, ibid. p. 207; surface moyenne bei Ribaucour, 6tude des 
elasso ides on surfaces de courbure moyenne constante, Bruxellee Me"m. couronnees 
in 4, 44 (1882), p. 2. Die Enveloppe der senkrecht /,u g durch M gehenden 
Mittelebenen ist die enveloppe e moyenne. 

123) Peterson (t)ber Kurven und Flachen, p. 40) nennt diese Beziehung 
KonjunJction; die dort in Aussicht geatellte Theorie derselben ist leider nicht 
erschienen. 

124) Eibaucour, fitude p. 21, 31, 119. 

125) Fussn. 2; Kibaucour ibid; Bianchi, p. 273. 

126) Vgl. Kummer, J. f. Math. 57, p. 227; die Bedingung fur die Brenn 
ebenen schon bei J. Bertrand, J. de math. 9 (1844), p. 133. 

127) Eibaucour, ibid. p. 3. 

128) Moutard, Paris soc. philom. Bull. 1869, p. 45; vgl. Eibaucour, Etude 
p. 37. Die isotropen Kongruenzen sind diejenigen Eibaucour schen , deren er- 
zeugende Flache eine Kugel ist, Bianchi, p. 305. 



14. Abbildungen allgemeineren Charakters. 387 

parallel zu den korrespondierenden Normalen gezogenen Geraden bilden 
eine Ribaucour sche Kongruenz, deren erzeugende Flache F, deren 
Mittelflache F^ ist. Ihre Developpabelen entsprechen den Haupt- 
tangenten von F und schneiden die Mittelflache F in einem kon- 
jugierten System gleicher Invarianten 129 ). Und umgekehrt ist nach 
Guichard} jede Kongruenz 7 deren Developpabele die Mittelflache in 
einem konjugierten System schneiden, eine Ribaucour sche. 

Bei einer Guichard scheu 131 } Kongruenz schneiden die Develop 
pabelen auf den beiden Brennmanteln die Krummungslinien aus; die 
spharischen Bilder der Developpabelen sind zugleich die der Haupt- 
tangentenkurven einer Flache negativer konstanter Kriimnmng. Bei 
einer Weingartenschen Kongruenz 132 ) entspechen sich die Haupttan- 
gentenkurven auf den beiden Brennmanteln; einen besonderen Fall 
bilden die Kongruenzen von Thybaut 133 }. 

Eine cyldische Kongruenz 134 ) wird gebildet von den Axen der 
Kreise, die ein cyklisches System bilden, d. h. em System von oo 1 
Orthogonalflachen besitzen. 

Auf die allgemdnen von oo 2 Kurven gebildeten Kongruenzen} lassen 
sich manche dieser Vorstellungen iibertragen; indessen beschranken 
sich die Anwendungen auf Fragen der Abbildung bis jetzt grossten- 
teils auf die geradlinigen Kongruenzen. 

14. Abbildungen allgemeineren Charakters. Von noch all- 
gemeinerer Art sind gewisse Abbildungsprozesse, die durch Fragen 
der Greodasie veranlasst werden. So zeigt Christoffel 136 }, dass ein 



129) Ein konjugiertes System auf einer Flache hat gleiche Invarianten, 
wenn die Koordinaten a;, y, z der Gleichung 

a 2 = aj. d_ d_A j_ 

dudv dv du 8u dv 
genugen (III D 3, Nr. 36). 

130) C. Guichard, Ann. ec. norm. (3) 6 (1889), p. 333; Bianchi, p. 303. 

131) Bianchi, Sopra alcune nuove classi di superficie, Ann. di mat. (2) 18 
(1890), p. 308; Bianchi, p. 284. 

132) Bianchi, p. 315. 

133) A. Thybaut, Sur la ddformation du paraboloide, Ann. ec. norm. (3) 14 
1897, p. 71 ; die beiden Brennmantel sind Minimalflachen, deren Haupttangenten- 
kurven sich entsprechen; vgl. Bianchi, Roma Lincei, Rend. (5) 8 (1899), p. 15. 

134) Bianchi, Ann. di mat. (2) 18 (1890), p. 314; Bianchi p. 346. 

135) Man vergleiche Darboux, Le90ns 2, p. 1 ff, sowie Lie s Untersuchungen, 
tiber Komplexe, Math. Ann. 5 (1872), p. 145 (HID 9). 

136) E. B. Christoffel, 3. f. Math. 64 (1864), p. 193; bei /. Weingarten, 
Festschrift der technischen Hochschule Berlin 1884, p. 43 wird an Stelle von 
E l -f -Bj der Abstand der Tangentenebene der Flache vom Anfang eingefuhrt. 



388 HID 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

Flachenstiick F seiner Gestalt nach vollkommen bestimmt ist, wenn 
man unter der Voraussetzung eindeutiger Beziehung und gewisser 
Stetigkeitsbedingungen seine spharische Abbildung und fiir jeden Punkt 
derselben die Summe der Hauptkriimmungsradien von F kennt; man 
kann also auch aus einer endlichen Anzahl der spharischen Koordinaten 
X, Y, Z und der zugehorigen Grosse R -j- J? 2 die Gestalt von F 
durch Interpolation naherungsweise bestimmen. 

Von einer sehr allgemeinen Fragestellung geht auch Luroih 15 " 1 } 
aus. Zwei Flachenstiicke F, F sind derart auf einander stetig bezogen, 
dass bei entsprechenden Punkten P, P, denen die sogenannten Lot- 
linien a, a zugeordnet sind, zu Ebenenbiischeln durch a projektiv 
entsprechende durch a gehoren. Der Charakter dieser Abbildung ist 
notwendig erne Projektivitcit des Raumes, welche in die Ahnlichkeit 
iibergeht, wenn man fur die Ebenenbiischel Kongruenz verlangt. 

Der allgemeinste Fall eindeutig stetiger Albildung*) findet endlich 
in der Lehre von den Biemann schen Flachen, d. h. in der Analysis situs 
(III A 4) ausgedehnte Verwendung. Hier sei nur der Satz von C. Jordan 138 ) 
erwahnt: Zwei zweiseitige stetig deformierbare Flachen sind punktweise 
auf einander abbildbar, wenn die Anzahl ihrer Randkurven und die 
Maximalzahl der einander nicht schneidenden und die Flachen nicht 
in getrennte Stiicke zerlegenden Riickkehrschnitte die gleiche ist. 

Auf die wichtigen, ebenfalls in dieses Gebiet gehorigen Unter- 
suchungen Hadamard s 1 } iiber die Eigenschaften der spharischen 
Abbildung singularitatenfreier Flachenstiicke, denen sich die von 
Hilbert 14 ), W. Soy und 0. Zoll ul ) anschliessen, kann hier nur hin- 
gewiesen werden. 



tiber einen ahnlichen Satz fiir Ovaloide vgl. H. Liebmann, Gott. Nachr. 1897- 
p. 134. 

137) J. Lmoth, Zeitschr. f. Vermessungswesen, 19 (1890), p. 353; in verall- 
gemeinerter Form Miinch. Ber. 1892, p. 27; in weiterer geometrischer Durch- 
fiihrung: Studien iiber geodatische Abbildung, Math. Ann. 51 (1899), p. 161. 

137 ) Auf die AbUldungen der algebraischen Flachen auf einander, insbe- 
sondere auf die Ebene kann hier nicht eingegangen werden, da diese Fragen 
nicht der Infinitesimalgeometrie angehoren (III C 10). 

138) C. Jordan, Sur la deformation des surfaces, J. de math. (2) 11 (1866), 
p. 105. Der Satz gilt iibrigens auch fiir zwei einseitige Flachen, vgl. W. Dyck, 
Beitrage zur Analysis situs I, Math. Ann. 32 (1888), p. 488. 

139) J. Hadamard, Sur certaines proprie te s des trajectoires en dynamique, 
J. d. math. (5) 3 (1897), p. 331; les surfaces a courbures opposes et leurs lignes 
geoddsiques, ibid. (5) 4 (1898), p. 27 (IED 3, Nr. 15). 

140) D. Hilbert, t)ber Flachen konstanter G^awss scher Kriimmung, Amer. 
math. soc. Trans. 2 (1901); p. 87 (HID 5, Nrr. 32, 35). 

141) 0. Zoll, tiber Flachen mit Scharen von geschlossenen geodatischen 



15. Das Minding sche Problem. 



C. Die Isometrie der Flachen. 

a) Allgemeine Probleme. 

15. Das Minding sche Problem. Nach Nr. 2 besteht die Frage 
nach der Isometrie zweier Flachen F und F 1} deren Koordinaten x,y,8 , 
x i> y\> #1 als Funktionen der Parameter u, v- u lf v gegeben sind, in 
der Untersuchung, wann 

d Sl * = E t du^ -f- 2 FI d Ul dv, + G t dv^, 
dadurch, dass u v v, in geeigneter Weise mit Hiilfe zweier Gleiehungen 



==^(u, v) 
von u, v abhangig gemacht werden, in 

ds 2 = Edu* + 2Fdudv + G-dv* 

transformiert werden kann, wobei nun die vermoge (1) einander zu- 
geordneten Stellen beider Flachen einander isometrisch entsprechen. 
Nach F. Minding 1 * 2 ) ist dazu nicht erforderlich, etwa samtliche zu 
F isometrische Flachen zu ermitteln, unter denen sich dann auch F t 
befinden miisste, sondern die Bestimmung einer solchen Transformation 
kann durcli Differentiation und Elimination allein erhalten werden, so 
lange nicht oo 1 oder oo 3 solche Zuordnungen vorhanden sind 143 ). 

Aus der Gleichheit der Krummungsmaasse 144 ) Tc und k t in ent- 
sprechenden Punkten von F und F t folgt sofort die notwendige Be- 
ziehung : 

(2) Jfc-^. 

Ist nun erstens k = \ = const., so zeigt Minding durch Einfuhrung 
geodatischer Polarkoordinaten (HID 3, Nr. 15), dass beide Flachen wirk- 
lich isometrisch auf einander bezogen werden konnen 145 ). Der Beweis 

Linien, Preisschrift Gottingen 1901 (HI D 5, Nr. 39) ; W. Boy, Uber die Curva- 
tura Integra und die Topologie geschlossener Flachen, Diss. Gottingen 1901- 
hei-vorgehoben sei bier die Abbildung der projektiven Ebene auf eine einseitige 
geschlossene singularitatenfreie Flache, p. 46 (III A 1,5; HID 3, Nr. 7). 

142) E. F. A. Minding, Wie sich entscheiden lasst, ob zwei gegebene 
krumme Flachen auf einander abwickelbar sind, J. f Math 19 (1839) p 370 

143) ibid. p. 387. 

144) Dies ist Gauss ,,Theorema egregium", Disquisitiones art. 12. 

145) ibid. p. 374; vgl. Darboux, Lemons 3, p. 219. Und zwei Flachen von 
gleichem konstanten Kriimmungsmaass lassen sich immer auf oo s Arten einander 
so zuordnen, dass zwei beliebige Punkte P, P und zwei beliebige Tangenten- 
nchtungen in diesen sich entsprechen. Hierzu ist die vollstandige Kenntniss 
der geodatischen Linien der betrefFenden Flachen erforderlich, was fur k = Jo =0 



390 HID 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

beruht einfach darauf, dass fiir ein Koordinatensystem, gebildet von 
den von einem beliebigen Punkte P auslaufenden geodatischen Linien 
mit der Lange u und den von einem beliebigen Azimuth aus gezalilten 
Richtungswinkeln v ihrer Tangenten in P das Langenelement einer 
Flache k = + 1, die Form 

ds* = du* + F(u)dv* 

annimmt, wo F(ii) eine von jener Stelle und der Wahl des Azimuths 
unabhdngige Funktion ist. 

Sind zweitens k und \ Funktionen von u, V] u v v lf so entwickelt 
Minding aus (2) die Gleichung: 

Gin* __ E 1 n 1 i 2F 1 m l n^ -f- G l t t * 
~ ~~ 



wobei 

dk = m du -\- n dv 

dk v = m^ du -f- n dv 1 

gesetzt ist. Ist nun (3) eine Idettftiat***), so lassen sich F und F l 
vermoge der Losung einer Differentialgleichung auf einander isome- 
trisch beziehen; im andern Falle liefern dagegen die Gleichungen (2), 
(3) zwei von einander unabhangigc Relationen, welche gestatten zu 
entscheiden, ob eine endliche Zahl von Zuordnungen vorhanden ist, 
oder iiberhaupt eine Isometrie nicht stattfindet 147 ). 

Unabhangig von Minding hat dann Sonnet UB ) die Bedingungen 
der Isometrie geometrisch entwickelt. Er geht davon aus, dass nach 
Gauss Theorem die Kurven Jconstanten Krummungsmasses auf F und 



nur Quadrature!! , fur k = const, die Losung je einer Eiccatfschen Gleichung 
(II A4b, Nr. 8) verlangt; vgl. Darboux, Le9ons 3, p. 223; J. Weingarten, (Jber die 
Eigenschaften des Linienelementes der Flachen von konstanter Kriimmung, J. f. 
Math. 94 (1883), p. 181; 95 (1884), p. 325. Vereinfachungen treten ein, wenn 
man auf der betreffenden Flache schon gewisse Kurvensysteme kennt. Sind 
insbesondere die Minimalkurven der Flache konstanter Kriimmung bekannt, so 
erfordert nach Lie (Archiv for Math, og Naturv. 4 (1879), p. 363) die Ermitte- 
lung der geodatischen Linien nur noch Quadraturen, wahrend nach Darboux, 
Le9ons 1, p. 62 (vgl. auch L. Raffy, Paris, C. R. 126 (1898), p. 1852) die isome- 
trische Zuordnung sogar ohne weitere Integration ausgefiihrt werden kann. 

146) d. h. entweder an und fiir sich oder vermoge der Gleichung (2) des 
Textes; man vgl. Liouville in den Applications von Monge Note 4, p. 692; 5, 
p. 600. 

147) Minding, J. f. Math. 19, p. 387. 

148) 0. Bonnet, Mem. sur la the"orie generale des surfaces, J. 6c. polyt. 
cah. 32 (1848), p. 1, namentlich p. 83 fF.; Bonnet zitiert dabei nur Minding a 
Arbeit 20^) iiber die Deformation der Regelfltichen von 1838. 



15. Das Minding sche Problem. 391 

F 1 sich entsprechen miissen, und reproduziert, Minding s Verfahren 149 ) ; 
aber so, dass alle Gleichungen desselben eine durchsichtige geometrische 
Bedeutung erfahren; seine Formeln entspreclien dabei genau den durch 
Belt-ram? s Differentialparameter (III D 3, Nr. 8) gelieferten 15 ). 

Die auf der Betrachtung dieser invarianten FunMonen des Ldngen- 
elementes beruhende Form der Darstellung ist bei Darboux 151 ) etwa 
folgende. 

Sind, - - abgesehen von dem Falle k = ^ = const. 
g>(u,v) und ^(u^Vj) 
il>(u,v) und ^(X,^) 

zwei von einander unabMngige invariante Funktionen der Langen- 
elemente von F und F 1} welche demnach fiir den FaU der Isometrie 
in korrespondierenden Punkten gleichen Wert haben miissen, so er- 
geben sich aus den notwendigen Grleichungen 

(4) 9> = 9Pi5 # = #1 

M!, ! als Funktionen der u, v. Sind nun iiberdies die Gleichungen 



vermoge (4) erfullt, so si/jrf jP und F t isometrisch. Insbesondere kann 
man auch if> = A (95) setzen, wenn A(qp) von 9? unabhangig ist. 

Wahlt man daher 99 = k, und ist A(^) unabhangig von A, so 
sind die Flachen F uud JPj dann und nur dann isometrisch, wenn die 
zwei Gfleichungen 



eine Folge der als vertraglich vorausgesetzten Gleichungen 

149) 0. Sonnet (1860), M&n. sur la th^orie des surfaces applicables sur une 
surface donn^e, J. e"c. polyt. cah. 41 (1866), p. 208. 

150) Zugleich ergiebt sich die LSsung der Minding schen Differential- 
gleichung, welche bei oo 1 Isometrieen auftritt, nach Bonnet, Fussn. 149, p. 229 
durch Quadratur. tJbrigens findet sich der Differentialparameter A (k) sc hon bei 
Gauss, Disquisitiones art. 20; A() und A 2 (&) bei Minding (1839); bei Bonnet 
p. 222 ff. 

151) Darboux, Lemons 3, p. 223; vgl. J. Weingarten, J. f. Math. 94 (1883), 
p. 183; (SitoW and Kommerell, p. 109; in etwas anderer Anordnung bei G. A. Nitsche, 
Uber das Problem der Biegung und der spharischen Abbildung von Oberflachen 
Diss. Leipzig 1898; desgl. auch Bianclii, p. 183, sowie Liouville in den applications, 
p. 592. Kennt man auf beiden Flachen schon die Miniinalkurven , so kann die 
Frage naturlich einfacher entschieden werden, vgl. Scheffers 2, p. 277, 



392 III D 6a. A. Voss. Abbildung und Abwickeluag zweier Flachen auf einander. 



(6) k = \, A^^ 
sind. 

1st aber A (A) niclit unabhangig von I , 152 ) also A (ft) = f(1c) } so 
widersprechen sich die Grleichungen (6), falls niclit auch A x (AJ = f(k^) 
ist. 1st jedoch diese Bedingung erfiillt, so tritt die ebenfalls not- 
wendige Gleichung 

(7) A 2 (A-) = A 21 (^) 

hinzu. Sind diese Differentialparameter (7) von k, A\ unabhangig, so 
sind die Flachen zu einander isometrisch, wenn die den Gleichungen (5) 
entsprechenden Bedingungen erfiillt sind, die sich naeh Darboux, 
Le9ons 3, p. 226 auf eine reduzieren. Ist aber A 2 (A) = #(A) und zu- 
gleich A 21 (A\) = #(^i)> so existieren oo 1 durch eine Quadratur be- 
stimmte Zuordnungen, F und F^ sind beide zu derselben Rotations- 
fldche isometrisch. 

Seinem analytischen Charakter nach gehort das Minding sche 
Problem zu der Lehre von der Transformation der quadratischen 
Differentialausdriicke, welche durch Riemanris Arbeiten eingeleitet 
wurde 153 ), wahrend insbesondere Cliristoffel 1 ^) die Moglichkeit nach- 
wies ? auch fur n Variabele das genannte Problem im allgemeinen auf 
Differentiations- und Eliminationsprozesse zu reduzieren. 



152) Ist A(&) = f(K) und f(k) nicht Null, so sind die Kurven konstanten 
Krummungsmasses geodatisch parallel (III D 3, Nr. 15). Der leicht zu erganzende 
Fall A (A) = 0, wo die Kurven Minimalkurven sind, und also auch A 8 (A;) = ist, 
scheint bisher nicht berucksichtigt zu sein, und ist auch im Texte ausgeschlossen. 
In diesem Falle versagt auch das Kriterium (Bianchi, p. 185; Darboux, Le9ons 3, 
p. 229), nach welchem eine Flache isometrisch zu einer Rotationsflache ist, wenn 
A (&) und A s (k) Funktionen von k allein sind. Dass Jc k^ im allgemeinen nicht 
A(fc) = A^ftJ etc. nach sich zieht, belegen P. Stackel und A. Wangerin durch 
Beispiele, Leipz. Ber. 45 (1893), p. 163 und 170; so z. B. haben alle Flachen des 
Linienelementes 2 

ds* = du? + U* (a + & / ^ j dv* ,.< 

in korrespondierenden Punkten gleiches k, ohne doch fur beliebige a, b isome 
trisch zu sein. 

153) B. Riemann, Fussn. 3. 

154) JR. Lipschitz, Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Funk 
tionen von n Differentialen, J. f. Math. 70 (1869), p. 71; 71 (1870), p. 214, 288; 
72 (1871), p. 1; E. B. Christoffel, ftber die Transformation der homogenen 
Differentialausdriicke zweiten Grades, J. f. Math. 70 (1869), p. 46; A. Voss, Zur 
Theorie der Transformation quadratischer Differentialausdriicke , Math. Ann. 4G 
(1880), p. 129 u. 571; G. Ricci, Sui parametri e gli invariant! delle forme quadra- 
tiche differenziali, Ann. di mat. (2) 14 (1886), p. 1; Lezioni, p. 105; Bianchi, p. 34. 
Fur das bintire Gebiet insbesondere vgl. Weingarten, Festschrift der technischen 
Hochschule Berlin 1884 (I B 2, Nr. 22). 



16. In sich isometrisclie Flachen. 393 

In Riicksicht auf die Vorstellungen der Flachentheorie nennt man 
nun bei zwei unabhangigen Variabeln u, v eine Biegungsinvariante 16 **) 
jede Funktion des Ortes auf der Flache, welche bei Einfiihrung neuer 
Variablen absolute Invarianteneigenschaft besitzt, d. h. durch denselben 
Prozess in den u, v wie in den u lf ^ definiert ist. Enthalt dieselbe 
nur die E, F, G und ihre Derivierten bis zur Ordnung n, so heisst 
sie eine G-auss sche Invariante (einfachstes Beispiel fiir n = 2 ist k 
selbst 156 ); enthalt sie noch willkiirliche Funktionen g? 7 ^, welche bei 
der Transformation ihren Wert nicht andern, so heisst sie eine 
Bettrami sche Invariante (Beltrami s Differentialparameter) 157 ) ; so z. B. 
A <p, A 2 g>, A(qp, $). Enthalt sie dagegen die Differentialquotienten 
du d*u . . 

dv> dv* > so neisst sie eine Minding sche Invariante 158 ); ihr ein 
fachstes Beispiel ist die geodatisdie Kriimmung (III D 3, Nr. 12) einer 
auf der Flache gezogenen Kurve. Die allgemeinste Invariante endlich 
setzt sich aus den drei angegebenen Klassen zusammen, und die 
inneren Eigenschaften der Flachen finden ihren vollstandigen Aus- 
druck durch die systematische Untersuchung derselben. 

16. riachen mit diskreten Isometrieen in sich. Es kann vor- 
kommen, dass die Gleichungen (4) und (5), von denen im allgemeinen 
die isometrische Beziehung zweier Flachen F und F t nach Nr. 15 
abhangt, mehrere Auflosungen nach u lf ^ gestatten; F ist dann in 
mehrfacher Weise zu F isometrisch, besitzt also Isometrieen in sicli. 
Ob eine Flache eines gegebenen Langenelementes ds 2 iiberhaupt in 
sich isometrisch ist, kann natiirlich vermoge der Betrachtungen in 
Nr. 15 entschieden werden, indem man samtliche Losungen der be- 
treffenden Gleichungen (4), (5), abgesehen von der identischen u = u v 
v = v v aufsucht 158a ). In vielen Fallen wird schon durch die Beschaffen- 

155) Weingarten, J. f. Math. 94-(1883), p. 182; ganz allgemein bei K. Zorawski, 
Uber Biegungsinvarianten, Acta math. 16 (1891), p. 1. 

156) Gauss, Disquisitiones art. 11; J. Liouville, J. de math. 16 (1851), p. 131; 
symrnetrischer Ausdruck fiir k in der Festschrift von Weingarten, p. 8 fF. Es giebt 
(Zorawski, Acta math. 16, p. 31) nur eine Gauss sclae Invariante von der zweiten 
oder dritten Ordnung ; fur n > 3 aber n 1 solche. 

157) E. Beltrami, Giorn. di mat. 2 (1864), p. 355; 3 (1865), p. 89, 260 etc.; 
vgl. Darboux, Le9ons 3, p. 203; Bianchi, p. fehlt. 

158) F. Minding, J. f. Math. 5 (1829), p. 303; 6 (1830), p. 159. Es existiert 
eine Minding sche Invariante fiir jede Ordnung der Differentialquotienten von u 
nach v, mit Ausnahme des Falles n = 3, wo zwei solche vorhanden sind (Zorawski, 
Acta math. 16, p. 41). 

158 a ) Man kann auch direkt an geometrische Verhaltnisse anschliessen. 
Entsprechende Stellen konnen falls das Kriimmungsmass nicht konstant ist 
Encyklop. d. math. Wisseusch. Ill 3. 26 



394 HID 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

heit der Form Edu* -f- 2Fdudv -f- Grdv 2 zu entscheiden sein ; ob 
einfacke Transformationen dieser Art moglich sind 158b ). Eine allgemeine 
Behandlung in dem Sinne, dass fur lestimmte Flachenldassen die Be- 
dingungen aufgesucht werden, unter denen dieselben auch ausser der 
Identitat Isometrieen in sich besitzen, scheint bisher nicht erfolgt zu 
sein. Nur die Minimal flachen, bei denen vermoge der Weierstrass- 
schen Darstellung (HID 5, Nr.21) durch Funktionen einer einzigen kom- 
plexen Variabeln die Betrachtungen der Substitutionstheorie sich un- 
mittelbar anwenden lassen, sind nach dieser Ricbtung bin vollstandig 
auf ibren gruppentbeoretiscben Cbarakter untersucht 159 ). 

17. Die Kongruenz der Flachen. Eine ebenso vollstandige 
Theorie der ausseren Eigenscbaften einer Flache, wie sie nach der 
Scblussbemerkung der Nr. 15 auf Grand der ersten Differentialform 
fur die inneren moglich ist, ist systematise^ in Bezug auf die zweite 
Differentialform Ldu 2 -j- 2Mdudv -f- Ndv* bisber nicbt durcbgefiihrt. 
Das zuerst von Lie gestellte Problem der Kongruenz} besteht nacb 
Bonnets Fundamentalsatz 20b ) in der Untersuchung, wann sicb auf zwei 
Flacben, die willkiirlich durcb Gleicbungen gegeben sind, solcbe Para 
meter u, v\ M I; v l einfiihren lassen, dass ibre seeks Fundainentalgrossen 
identisck werden (III D 1 ; 2, Nr. 34 ; III D 3, Nr. 22). Notwendig ist dazu, 
dass fiir die beiden etwa auf ibre Kriimmungslinien bezogenen Flachen 
die Gleichungen 
(1) E t - JB/, . = 1, 2, 






YE 



stattfinden; dieselben sind auch binreicbend, denn die Fundaniental- 
grossen werden identisch, sobald vermoge der durch (1) bewirkten 



- nur auf den Kurven konstauten Krumrnungsmaasses liegen und auch nur da, 
wo die geodatische Krummung und die geodatischen Abstaixde dieser Kurven 
von den benachbarten denselben Wert annehmen. Bei periodischen Flachen 
sind naturlich diese Bedingungen von selbst erfullt. 

158 b ) So z. B. bei den aus den Binormalen einer Kurve gebildeten Regel- 
flachen; beachtenswert ist auch das Beispiel bei F. AM, Untersuchungen iiber 
geodatische Linien, Diss. Kiel, 1901, p. 50. 

159) L. Sinigaglia, Sulle superficie ad area minima applicabili su se stesse, 
Giorn. di mat. 36 (1898), p. 172; 37 (1899), p. 171; vgl. auch L. Lecornu, Acta 
math. 10 (1887), p. 201. 

160) Lie, Zur Invariantentheorie der Gruppe der Bewegungen, Leipz. Ber. 
48 (1896), p. 466; Vorlesungen fiber die Theorie der kontinuierlichen Gruppen, 
bearbeitet von G. Scheffers, Leipz. 1893, p. 710ff. ; vgl. auch Sclieffers, 2, p. 341, 
der Kongruenz und Symmetric unterscheidet. 



17. Kongruenz zweier Flachen. 18. Das Bour sche Problem. 395 

Abhangigkeit der w 1? v, von den u, v die vier Gleichungen (2) be- 
stehen 161 ). 

18. Das Bour sche Problem. Das zweite Hauptproblem erfordert 
* Bestimmung aller zu einer Flache isometrischen Flachen, aUgemeiner 
aller Flachen eines gegeb&nen Langenelementes : 

ds 2 = Edu* -f 2Fdudv -j- Gdv\ 

Abgesehen von speziellen Losungen desselben 162 ) ist dasselbe zuerst 
durch Sour, Sonnet und Codazzi in Angriff genommen 16S ). 

Setzt man mit Sour das Langenelement ds* in der Form 
voraus (III D 3, Nr. 19), so sind die Gleichungen 



zu losen. Durch die Annahme 

$ z dx . dx 

d^=V> d^^W* 6 , ^ = ^cos^ 

5?""-* af == ^ sin 0, fj ^Bin^ 

erhalt man fur s die Bour scbe Differentialgleicnung^} mit der singu- 
laren Losung pq = A. 165 ) Bei seiner zwetten Methode 166 ) benutzt Sour 
orthogonal-geodatische Koordinaten (IHD3, Nr.15) und findet ein 
System von achtzehn Gleichungen zur Bestimmung der Richtungs- 
cosmus eines mit diesem Koordinatensystem fest verbundenen recht- 
wmkhgen Trieders, als deren Integrabilitatsbedingungen nun die 
Sour-Codazzi schen Gleichungen auftreten, durch deren Integration 
uberhaupt die Losung zu erfolgen hat. 

161) In dem besonderen Falle der Weingarten schen Flachen W (HID 5 
NT. 17), bei denen eine Beziehung zwischen ^ und E 2 besteht, ist diese Be- 
trachtung etwas zu modifizieren; vgl. Lie, ibid. p. 714; Scheffers, 2, p 367- die 
Entscheidung erfolgt iibrigens auch hier durch Differentiation und Elimination 

162) So von Minding, Uber die Biegung krummer Flachen, J. f Math 18 
(1838), p. 297 u. 365; desgl. 20 (1840), p. 171. 

163) Siehe die Angaben im Litteraturverzeichnis. Gauss hat iibrigens nicht 
nur das allgemeine Problem (vgl. Fussn. 1) bereits gestellt, sondern auch zu er- 
ledigen gesucht; Nachlass, Werke 8, p. 447. 

164) Sour, J. ec. polyt. cah. 39, p. 13; in etwas anderer Form bei Sonnet 
cah. 42 (1867), p. 2. 165) Siehe Fussn. 168. 

166) Sour, ibid. p. 17. Sour s dritte, iibrigens nicht viel weiter reichende 

lethode p 123, besteht in der Ermittelung allgemeinerer Losungen aus solchen 

mit wiltohchen Konstanten mit Hulfe der Lagrange s^ Enveloppenbildung 



396 HID 6 a. A.Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Fliichen auf einander. 

JDmi 167 ) gab zuerst die JSowr sche Differentialgleiclmng unter Vor- 
aussetzung eines allgemeinen Langenelementes. In ubersichtlicherer 
Form wird dieselbe von Dar baux durch Benutzung einer in neuerer 
Zeit vielfach angewandten Transformation entwiekelt, der 168 ) in der 
Gleichung 

dz* + dy* = Edu? -f 2Fdudv -f Gdv* dx 2 



das Kriimmungsmass der rechten Seite gleich Null setzt und so die 
Fundamentalgleichung 

(2) A 22 ( = (1 A(*))fc 

erhalt; jeder reellen Losung derselben, bei der A(#) < 1 ist, entspricht 
auch eine reelle Flache des gegebenen Elementes, die dann mit Hulfe 
von Quadraturen gefunden werden kann 169 ). 

Die Gleichung (2), auf welche (abgesehen von durch Beruhrungs- 
transformationen erfolgenden Umformungen) jede andere Behandlung 
des Problems fiihrt, die an die drei auf der spharisclten Allilduny 
beruhenden Codazzischen Fundamentalgleichungen (HID 1,2, Nr. 34; 
III D 3, Nr.7) fur die L, M, N m ) anknupft, ist von der Monge-Ampere- 
schen Form (II A 5, Nr. 43): 

(rt s *) + AT + 2Bs + Ct + D = 0; 

167) TJ.Dini, Giorn. di mat. 2 (1864), p. 282. Bow s zweite Methode ist da- 
gegen von JR. Lipschitz (Berlin, Monatsber. 1882, p. 1077; 1883, p. 169 u. 641) unter 
Voraussetzung des allgemeinen Langenelementes vollstandig durchgefiihrt worden. 

168) So schon 1872 im Memoire sur une classe remarquable de courbes et 
de surfaces, 2. ed. Paris 1896, p. 17 und 182; vgl. Darboux, Le9ons 3, p. 250. 
Dabei zeigt sich auch der Grand fur das Auftreten von Bour s singularer Losung: 
verschwindet die Diskriminante von (1), so wird die Form (1) ein Quadrat, was 
naturlich auszuschliessen ist; iibrigens ist die Gleichung A(a;) = l die bekannte 
partielle Differentialgleichung der geodatischen Liuien (III D,3, Nr. 18). 

Die Gleichung (2) des Textes (uber die Bedeutung der Abkurzungen siehe 
die Darstellung bei Darboux und Bianchi, p. 203) war iibrigens, wie Weingarten 
(Festschrift, p. 2) bemerkt, durch Gauss, Disquisitiones art. 11 schon vollig vor- 
bereitet. Eine andere elegante Form der allgemeinen Gleichung (2) entwickelt 
mit Hulfe der Differentialparameter Darboux, Lesons 3, p. 259. 

169) Die Gleichung hat also einen grosseren Umfang, wie das gestellte 
Problem. Wahrend nun Darboux dies als unwesentlich betrachtet, sucht Wein 
garten in seiner Festschrift die beiden Falle, in denen das gegebene ds* entweder 
gleich dz* + dy* + dx* oder gleich dz* + dy* dx* wird (letzteres ist eben fur 
A(#) > 1 der Fall), zu sondern. 

170) Hat man iibrigens aus den drei Coda,m schen Gleichungen die L, M, 
N bestimmt, so erfordert die Ermittelung der x, y, z in Funktion der, u, v nur 
noch die Losung einer unbeschrankt integrabelen totalen jf?iccafo"schen Gleichung 



18. Das Bour sche Problem. 397 

ihre Charakteristiken sind die Haupttangenkurven der Flache. Sie 
kann aber nach L. Baffy in ), der direkt an die fur das Krummungs- 
mass und die mittlere Kriimmung (die beiden simultanen absoluten 
Invarianten der Formen Edu 2 -f- 2Fdudv -f Gdu* und Ldu 2 -J- 
2Mdudv + Ndv^ (IB2 ; Nr.22; III D 3, Nr.8) aus den Codazzi- 
schen Gleichungen folgenden Relationen anschliesst, und Combescure m ), 
der sich kinematischer Betrachtungen bedient, durch eine lineare 
Differentialgleichung vertreten werden. 

Auf die Gleichung (2) lassen sich die Integrationsmethoden der 
Monge- Ampere schen Charakteristikentheorie nicht zur Anwendung 
bringen, da dieselbe keine Zwischenintegrale besitzt. Weingarten 1 } 
hat daher eine neue Fundamentalgleichung entwickelt, welche nicht 
wie die friiheren auf der spharischen Abbildung der Flachennormalen, 
sondern auf der der anderen beiden in der Tangentenebene liegenden 
Axen eines mit der Flache verbundenen rechtwinkligen Trieders be- 
ruht. Wesentlich ist bei dieser Untersuchung die Verwendung einer 
durch Quadratur zu erreichenden, durch invariante Eigenschaften und 
rationale Adjunktion eines orthogonalen Trieders ausgezeichnete, mit 
der curvatura integra zusammenhangenden Form des Langenelementes 
(reduzierte Form von Weingarten) 174 ). Diese neue Gleichung ist da- 
durch ausgezeichnet, dass sie - - wenn iiberhaupt - - immer zwei 
Zwischenintegrale zulasst, und dann nach bekannten Methoden inte- 
griert werden kann (II A 5, Nr. 44 f.). Dieser bemerkenswerte Fall 
ist freilich nur fur die Flachen des Langenelementes 



mit zwei unabhangigen Variabeln (IIA4b, Nr.8); vgl. die Darstellung bei 
Scheffers 2, p. 331 if.; Bianchi, p. 93. 

171) L. Raffy, Paris soc. math. Bull. 25 (1897), p. 1; vgl. auch Paris, C. R. 
114 (1892), p. 1407. 

172) E. Combescure, Paris, C. R. 105 (1887), p. 434. 

173) Weingarten, Sur la deformation des surfaces, Acta math. 20, p. 159. 
Vgl. G. Eicci, Delia equazione fondamentale di Weingarten, Veneto Istit. Atti (7) 
8 (1897), p. 1230. 

174) Weingarten, ibid. p. 166 S. Eigentlich entwickelt W. zwei Formen 
der Fundamentalgleichung, je nachdem das System der X- oder Y"-Axen des 
erwahnten Trieders spharisch abgebildet wird; er zeigt auch (Note zur Theorie 
der Deformation der Flachen, Acta math. 22 (1899), p. 193) dass ein von G. Hessen- 
berg, Uber die Invarianten linearer und quadratischer binarer Differentialformen 
und ihre Anwendung auf die Deformation der Flachen, Diss. Berlin 1898/99, 
Acta math. 23 (1900), p. 121 bemerkter Ausnahmefall, wo diese Abbildung sich 
auf eine Kurve reduziert, nicht gleichzeitig fur beide Systeme X und Y ein- 
treffen kann. 



398 HI D 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Flachen auf einander. 

erfiillt, bei der I, m Konstanten sind; sie lasst sich aber auch noch 
in anderen Fallen durch die Laplace sche Metbode integrieren (II A 5, 
Nr. 53) und erweist sich so iiberhaupt als die gemeinsame Quelle, 
aus der alle bisber erzielten Resultate (vgl. Nr. 31) iiber vollstandige 
Gruppen der Isometric hergeleitet werden konnen. 

Darboux hat die weitere Untersuchung der Fundamentalgleichung 
wesentlich in kinematisch geometriscber Hinsicht entwickelt 175 ). Jede 
Bewegung eines ebenen Systems A in seiner Ebene E besteht be- 
kanntlich darin, dass eine mit A festverbundene Kurve 2?, der Ort 
der momentanen Rotationscentra in A, auf einer festen Kurve von E 
(dem Ort der momentanen Centra in E) abrollt (IV 3, Nr. 8). Die 
momentane Bewegung eines Systems im Raume ist freilich keine Rota 
tion, sondern eine Schraubenbewegung, sie kann aber in zwei Rota- 
tionen um zu einander senkrechte, im allgemeinen windschiefe Axen 
zerlegt werden (IV 2, Nr. 12; IV 3, Nr. 18). Schneiden sich diese letz- 
teren, so existiert ein momentanes Centrum 176 ), und die Bewegung be 
steht darin, dass eine mit dem raumlichen Systeme A fest ver- 
bundene Flache Z 1 auf einer festen Flache S sich abwalzt 177 ), d. h. so, 
dass die zu einander isometrischen Flachen Z 1 und S in der gemein- 
samen Tangentialebene mit ihren Flachenelementen mit einander zur 
Deckung kommen. Hiervon ausgehend, kann man sich die Aufgabe 
stellen, zu einer gegebenen Flache S alle zu ihr isometrischen da- 
durch zu ermitteln, dass man alle korrespondierenden Bewegungen 
dieser Art, d. h. alle Flachen S bestimmt. Dabei ergiebt sich wieder 
das System der CWai schen Gleichungen, die damit zugleich eine 
kinematische Deutung erfahren. Auf die weitere Ausfiihrung, die Dar 
boux 178 ) diesen Anschauungen gegeben hat, mit denen sich insbeson- 
dere eine eigentumliche kinematisch -geometrische Analyse von Wein- 
garten s Arbeit verbindet 179 ), kann hier nur hingewiesen werden. 



175) Eine andere, von L. Raffy (Paris soc. math. Bull. 22 (1884), p. 119) ver- 
folgte Methode, die sich der Haupttangentenkurven bedient, benutzt Darboux, 
Le9ons 3, p. 290. 

176) So P. Schonemann, J. f. Math. 90 (1881), p. 44; siehe die Litteratur 
bei Darboux, Le9ons 1, p. 68. 

177) Siehe A. Eibaucour, Paris C. E. 70 (1870), p. 330. 

178) Darboux, Le9ons 4, p. 116 ff. In noch allgemeinerer Form hat E. Com- 
bescure die zugleich rollende und gleitende Bewegung einer Flache Z auf einer 
anderen S untersucht, Sur le deplacement tangentiel de deux surfaces, Ann. ^c. 
norm. (3) 5 (1888), p. 49; es ergeben sich dabei auch bisher nicht behandelte 
Probleme der Kinematik (IV 3, Nr. 27). 

179) Siehe Darboux, Le9ons 4, p. 308352. 



19. Allgemeine Satze iiber die isometrische Zuordnung zweier Flachen. 399 

19. Allgemeine Satze iiber die isometrische Zuordnung und 
Biegung der Flachen. Halt man auf der Flache F eine Kurve C 
fest, so muss auf jeder Flache F , welche zu F so isometrisch ist, 
dass die Punkte von C einander zugeordnet sind, sowohl die absolute 
als auch die geodatische Kriimmung von C ungeandert bleiben. 
Daraus geht hervor, dass F entweder langs C dieselbe oder eine in 
Bezug auf die Schmiegungsebene von C zur Tangentenebene von F 
symmetrisclie Tangentenebene haben muss, falls nicht die Schmiegungs 
ebene von C mit ihrer Tangentialebene auf F zusammenfallt. Und 
so folgt, dass eine stetige Biegung von F urn C unmoglich ist, falls 
nicht C Haupttangentenkurve von F ist (Nr. 32). Dies ergiebt sich 
iibrigens auch daraus, dass diese letztere zu den Charakteristiken der 
Fundamentalgleichung gehort 18 ). 

Soil C dagegen auf einer isometrischen Flache F eine punkt- 
weise vorgeschriebene Gestalt C annehmen, so ist das noch auf zwei 
Arten moglich, wenn die absolute Kriimmung von C in jedem Punkte 
grosser ist, als die geodatische von C im entsprechenden Punkte 181 ). 
Sind aber diese beiden Krummungsgrossen gleich, so muss C" Haupt 
tangentenkurve auf F werden: in diesem letzterem Fall ist iibrigens 
nach Enneper s Satz 182 ) iiber die Torsion der Haupttangentenkurven 
die Gestalt von C" an sich schon vollig bestimmt, und es giebt dann 
unendlich viele zu F isometrische Flachen durch C , da nun eine 
stetige Biegung urn C noch moglich ist. 183 ). - - Eine Flache lasst 
sich auf unendlich viele Arten einer isometrischen derart zuordnen, dass 
eine auf F gegebene Kurve C Kriimmungslinie von F wird, etc. 184 ). 

180) Darboux, Lemons 3, p. 252. Daher nennt /. H. Jellett, dem man die 
ersten Untersucliungen iiber die mfinitesimale Biegungsdeformation der Flachen 
verdankt, On the properties of inextensible surfaces, Dublin Trans. 22 (1854), 
p. 359 die Haupttangentenkurven Curves of flexure; Faltungslinien (linee di 
piegamento) bei Bianchi, Lezioni, p. 199. Bin Flachenstiick positiver Krum- 
mung kann also uberhaupt nicht gebogen werden, wenn irgend ein Kurrenstu ck 
auf demselben festgehalten wird. Hinsichtlich der Eigenschaften der Haupt 
tangentenkurven in Bezug auf stetige Biegung vergleiche man Weingarten, J. f. 
Math. 100 (1887), p. 306. 

181) So Bianchi, p. 205 in weiterer Ausfuhrung von Darboux Untersuchungen 
Le90ns 3, p. 279. 

182) A. Enneper, Math. Ann. 2 (1869), p. 596. Nach Bianchi, p. 127 sind 
die Torsionen der beiden durch einen Flachenpunkt gehenden Haupttangenten 
kurven stets absolut gleich I/ , aber von entgegengesetztem Zeichen. 

183) Vgl. Bianchi p. 212; in weiterer Ausfuhrung an einem speziellen Bei- 
spiel Weingarten scher Flachen A. Eazzaboni, Sulla flessione dell evoluta del 



400 HI D 6 a. A. Voss. Abbildung und Abwickelung zweier Fliichen auf einander. 

Wir bemerken Bonnet s Satz 185 ): Zwei uicht developpabele isome- 
trische Flachen F und F sind kongruent oder symmetrisch, wenn 
die eine Schar der Haupttangentenkurven von F der einen von F 
zugeordnet 1st; er ergiebt sich fast unmittelbar aus den Codazzi schen 
Gleichungen in Verbindung mit Bonnet s Fundamentalsatz. Eine Aus- 
nahme machen nur die Regelflachen] sie sind einer stetigen Biegung 
urn ihre erzeugenden Geraden fahig. Und zwei Regelflachen E und 
E sind auch nur dann zu einander isometrisch, wenn ihre Erzeugen 
den sich entsprechen, falls nicht jede derselben zu einer Flache zweiten 
Grades Q isometrisch ist, und die Erzeugenden von E und E den 
beiden verschiedenen Systemen der Erzeugenden von Q zugeordnet sind 186 ). 

Dass eine uberall konvexe gescMossene Flache F nicht gebogen 
werden kann, schloss auf Grund des entsprechenden Cauchy 1 schen 
Falles iiber konvexe geschlossene Polyeder 187 ) schon Lagrange nach 
Cauchy s Angabe 188 ). Auch Minding fuhrt den Satz als selbstver- 
standlich an 189 ). Erst Jellett 190 ) zeigte mittelst der Methoden der 
Variationsrechnung, sich auf unendlich kleine ; ,Biegungsdeformationen" 
beschrankend, dass eine uberall konvexe geschlossene Flache ilber- 
haupt keine infinitesimale ; ,Biegung" zulasst. 

In scharferer Weise hat neuerdings Liebmann m ] diese Be- 

catenoide, Giorn. di mat. 28 (1890), p. 154 und B. Colo, Ann. di mat. (2) 21 
(1893), p. 195. 

184) Darboux, Le9ons 3, p. 289; Bianchi, p. 213. 

185) 0. Bonnet, J. e"c. polyt. cah. 41 (1860), p. 210; ibid. cab.. 42 (1867), 
p. 27 fordert er noch die Zuordnung beider Systeme der Haupttangentenkurven; 
in der Addition von 1867, p. 36 der allgemeine Satz. 

186) Dieser besondere Fall bei Bonnet, J. ec. polyt. cah. 42, p. 52; in nicht 
richtiger Form wird das Theorem iiber die Deformation der Regelflachen in 
Paris C. R. 57 (1863), p. 811 ausgesprochen. Den Fall, dass die Erzeugenden 
einer R bei der Deformation krummlinige geodatische Kurven von R werden, 
bemerkte schon Minding, Uber die Biegung krummer Flachn, J. f. Math. 18 
(1838), p. 365. Vgl. auch die Darstellung bei Darboux, Le9ons 3, p. 235, 287. 

187) A. L. Cauchy, J. e"c. polyt. cah. 16 (1813), p. 87. Euklid erklart be- 
kanntlich Polyeder mit kongruenten Seitenflachen von derselben Anordnung fur 
kongruent oder symmetrisch (in A 3). Einseitige geschlossene Polyeder konnen 
sehr wohl deformierbar sein; ein charakteristisches Beispiel ist R. Bricard s 
Octaedre articule", J. de math. (5) 3 (1897), p. 113. 

188) Cauchy, Paris, C. R. 21 (1845), p. 564. Nach Stdckel, Bibl. math. (3) 
2 (1900), p. 122 ist der Satz von Euler schon weit friiher behauptet. 

189) F. Minding, J. f. Math. 18 (1838), p. 366. 

190) /. H. Jellett, Dublin Trans. 22 (1854), p. 375; vgl. auch L. Lecornu, 
J. ec. polyt. cah. 48 (1848), p. 1: Sur Tdquilibre des surfaces flexibles et in- 
extensibles. 

191) H. Liebmann, GOtt. Nachr. 1899, p. 44; Habilitationsschrift, Leipzig 



20. Untergruppen, bedingte Biegungen. 401 

trachtungsweise fur Ovaloide, d. h. geschlossene singularitatenfreie, 
einfach zusammenhangende analytische Flachen mit durchweg von 
Null verschiedenem positiven Krummungsmass durchgefiihrt. 

Durch die Unmoglichkeit unendlich kleiner Biegungsdeformationen 
wird indess keineswegs die Frage beantwortet, ob nicht zu einem 
Ovaloid isometrische Flachen iiberhaupt moglich sind. Fiir die Kugel 
entscheidet dies der Satz von Jellett und Liebmann: Das einzige 
Ovaloid konstanter mittlerer Krummung ist die Kugel 192 ). 

b. Spezielle Probleme. 

20. TTntergruppen, bedingte Biegungen. Es sind bereits in 
Nr. 18, der historischen Entwickelung vorgreifend, die verschiedenen 
Wege geschildert worden, durch welche man gesucht hat, eine all- 
gemeine Losung des Bour schen Problems wenigstens in gewissen 
Fallen vollstandig zu erreichen. Die nachsten Fortschritte in der 
Lehre von der Isometrie beruhten indessen nicht auf einer Fort- 



1899; Math. Ann. 53 (1900), p. 81, in vereinfachter Form Math. Ann. 54 (1901), 
p. 505. Erfahrt der Punkt x, y, z des Ovaloids die infinitesimalen Verschie- 
bungen a; -f- s|, y -^ sr j, z -\- eg so wird ein Punkt (a, &, c) im Innern 
von F, dessen Verbindungslinien mit den Punkten von F bei der Deformation 
von F invariabel verbunden bleiben, nach dieser Deformation die Koordinaten 
-f- fee, &-f-f(5, c -f- sy erhalten. Die relativen Verschiebungskoordinaten 
a, ^, y reprasentieren die Polflache; diese liegt ganz im Endlichen und hat 
trotzdem iiberall ein negatives Krtimmungsmass , was einen Widerspruch ent- 
halt. Einen auf anderen Grundlagen beruhenden Beweis giebt Z). Hilbert, Uber 
Flachen konstanten Gauss schen Kriimmungsmasses , Amer. math. soc. Trans. 2, 
(1901), p. 87; vgl. auch H. MinkowsU, Go tt. Nachr. 1897, p. 198. Neuerdings 
zeigt Liebmann auch, dass infinitesimale Deformationen geschlossener nicht 
iiberall konvexer Flachen unter gewissen Umstanden unmoglich sind: tJber die 
Verbiegung der geschlossenen Ringflache, Gott. Nachr. 1901, p. 39, und er- 
streckt die Untersuchung auf konvexe Zonen von Rotationsflachen (Leipz. Ber. 
55 (1901), p. 15) zugleich mit dem Nachweis, dass ,,regulare" Isometrieen, d. h. 
solche, bei denen die Koordinaten der transformierten Punkte im ganzen Biegungs- 
gebiet^ Potenzreihen des Biegungsparameters sind, auf Bewegungen hinauslaufen. 

Ubrigens ist auch ein einfach zusammenhangendes singularitatenfreies 
Flachenstiick von konstanter positiver Kriimmung immer ein Stuck einer Kugel- 
flache, sobald dessen spharisches Bild einen grossten Kreis vo llig in sich enthalt 
(Liebmann, Leipz. Ber. 52 (1900