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ESSAI D'UNE RESTITUTION
DE
TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS
SUR LES QUANTITÉS IRRATIONNELLES.
EXTRAIT DU TOME XIV
DES MEMOIRES PRESENTES PAR DIVERS SAVANTS À L'ACADEMIE DES SCIENCES
DE L'INSTITUT IMPERIAL DE FRANCE.
V.
ESSAI D'UNE RESTITUTION
DE
TRAVAUX PERDUS D'APOLLONILS
SUR LES QUANTITÉS IRRATIONNELLES,
D'APRÈS DES INDICATIONS TIREES D'UN MANUSCRIT ARABE,
PAR M. F. WOEPCKE.
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PARIS.
IMPRIMERIE IMPÉRIALE.
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MONSIEUR ADOLPHE TRENDELENBURG,
SECRETAIRE PERPETUEL DE L'ACADEMIE ROYALE DES SCIENCES DE BERLIN,
PROFESSEDR DE PHILOSOPHIE
X L'UNIVERSITÉ ROYALE DE BERLIN, ETC.
HOMMAGE RESPECTUEUX DE L'AUTEUR.
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ESSAI D'UNE RESTITUTION
DE
TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS
SUR LES QUANTITÉS IRRATIONNELLES,
D'APRÈS DES INDICATIONS TIRÉES D'UN MANUSCRIT ARABE.
DES TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS SUR LES QUANTITES IRRATIONNELLES,
ET DU COMMENTAIRE GREC DU DIXIEME LIVRE D'EUCLIDE QUI EN CONTIENT LA NOTCIE.
S 1.
Ce que les mathématiques grecques ont produit de plus élevé
est représenté par trois noms, ceux d'Archimède, d'Apollonius et
de Diophante.
Mais tandis qu'Archimède brille par l'universalité de son gé-
nie, Diophante et Apollonius sont admirés surtout pour avoir
amené à un haut degré de perfection des branches spéciales des
mathématiques, celui-là l'algèbre indéterminée, celui-ci la géo-
métrie.
C'était, d'ailleurs, relativement à Apollonius, le jugement des
anciens eux-mêmes, qui l'appelaient le géomètre par excellence,
le Grand Géomètre ^ Aussi les ouvrages de cet illustre mathémati-
cien, soit ceux qui nous ont été conservés, soit ceux dont nous ne
' Voir le Commentaire du premier livre des Coniques par Eutocius, p. 9 de l'é-
dition d'Oxford des Coniques d'Apollonius.
^.
2 ESSAI D'UNE RESTITUTION
connaissons l'existence que par des citations, montrent, en effet,
que c'est la géométrie qu'il a cultivée de préférence.
Le plus important de ces ouvrages est son grand Traité des
Coniques. Les quatre premiers livres seuls de ce traité ont été
conservés dans l'original grec. Le cinquième, sixième et septième
livre, qui contiennent les découvertes les plus précieuses que nous
ait laissées la géométrie grecque , furent traduits en latin d'après
des traductions et des extraits arabes. Enfin, le huitième et der-
nier livre fut restitué par Halley, dans sa magnifique édition des
Coniques, publiée à Oxford, en 1710, d'après les indications don-
nées par Pappus^
Les ouvrages d'Apollonius intitulés : De la Section de raison ^, De
la Section de l'espace. De la Section déterminée. Des Contacts, Des
Inclinaisons^, Des Lieux plans, sur lesquels nous trouvons des no-
* Il paraît que le huitième livre avait péri de bonne heure, mais que cependant
les mathématiciens arabes, qui allèrent en Grèce rechercher les monuments de la
science grecque qui se perdaient dans la décadence du Bas-Empire, en trouvèrent
encore quelques propositions qu'ils eurent soin de joindre à leurs traductions des
sept premiers livres. C'est ce qui résulte du passage suivant du Qilâh Alfihnst, ms.
n° 4i36, ancien fonds arabe de la Bibliothèque impériale, t. II, fol. 1 1 1 v.
JLiCût ^^1 iOuUJt isiUil (j^ oUij t^jJl^ ^\jJl iji ^JJ os>bjÀ.^j^t
«Et les Banoû Moûçâ ont dit que le traité (des Coniques) consistait en huit li-
vre», dont il n'existe que sept et une partie du huitième. Les qualre premiers livres
furent traduits sous la direction de Ahmed Éen Moûçâ par Helâl Ben Abî Helâl Al-
. himçî , et les trois derniers par Thâbit Ben Korrah Alharrânî ; et ce qui s'y trouve
^ ^ "^ "T* . • . joi"t du huitième livre, ce sont quatre propositions. »
^ */ ,^ r r*'/^ ' Cet ouvrage d'Apollonius fut également traduit en latin par Halley, d'après une
**^ . traduction arabe découverte dans un manuscrit de la bibliothèque Bodléienne par
\ *^' N^ 'tl^^ C Ed. Bernard. (Voir Apollonii PergaRi De Sectione rationis libri duo, etc. opéra et studio
^ Edmundi Halley , Oxonii , 1 706 , in-S" , préface. ) > ■ n v >
Le traité des Inclinaisons est aussi cité par Marinus dans son Introduction aulxs
\ r Données d'Euclide. (Voir l'édition d'Oxford des Œuvres d'Euclide, p. 453.) Au même
TV S — \ -^ /-V> endroit, Marinus cite encore un autre ouvrage d'Apollonius, intitulé Traité um-
"■ l \7 verset.
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^
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. S
tices assez étendues chez Pappus\ traitent tous de sujets pure-
ment géométriques^. C'est aussi par la géométrie qu'Apollonius
résolut le problème des stations et des rétrogradations des planètes,
solution rapportée par Ptolémée^, et qui constitue, comme on
sait, une belle question de maxinmm. Les sujets de deux autres
ouvrages, l'un siu* le Dodécaèdre et l'Icosaèdre inscrits à une même
sphère mentionné par Hypsiclès'^, et l'autre sur la Vis d'Archimède
(Uept Tov KoyXiov) cité par Proclus^, ne furent traités sans doute
par Apollonius que géométriquement.
Cependant, si Apollonius était avant tout géomètre , il ne l'était
pourtant pas exclusivement. Un fragment du second livre des collec-
tions mathématiques de Pappus, découvert et publié par Wallis*^,
contient des extraits d'un ouvrage d'Apollonius, qui avait pour but
de faciliter le calcul de très-grands nombres; et les principes éta-
blis dans cet ouvrage paraissent avoir été mis en pratique par
Apollonius dans un autre ouvrage , cité par Eutocius '', et dans le-
quel il détermina le rapport de la circonférence au rayon du cercle
avec une plus grande précision que cela n'avait été fait par Archi-
mède. Ce sont donc là des travaux et des découvertes arithmé-
tiques qui ajoutent à la gloire du grand géomètre.
' Voir la préface du VIP livre des Collections mathématiques de Pappus, p. 2^0 et
suiv. de l'édition de Bologne, 1660, in-folio ; et p. i à XLiv de l'édition ci-dessus
citée de l'ouvrage De sectione rationis faite par Hallcy.
* Ces ouvrages d'Apollonius, les Coniques, et quelques autres traités d'Euclide,
d'Aristée et d'Ératosthènes , formaient, d'après Pappus, hc. cit., le Lieu résola ou
l'analyse géométrique des anciens. Cependant , il paraît qu'Apollonius avait écrit,
en outre, un traité spécial du Lieu résolu, qui est cité par Eutocius. (Voir l'édition
d'Oxford des Coniques d'Apollonius, p. 1 1, et comparer Wallis, Opéra, t. II, p, 274.)
' Voir Almaqeste, liv. XII, chap. i.
* Voir la prélace du XIV* livre des Eléments d'Euclide, édition d'Oxford, p. 43i.
^ Voir le II" livre du Commentaire du l" livre des Eléments d'Euclide, p. 29, 1. 20,
de l'édition de Bâle, i533, iu-fol.
*^ Pappi Alexandrini Fragmentum secundi libri malhematicœ collectionis , edidit Joh.
Wallis, Oxoniae, 1688, in-8''; et Johannis Wallis Opéra, Oxoniae, 1699, in-folio,
vol. III, p, 596-614.
' VoirArchimède, édit. d'Oxford, p. 216. Wallis {Opéra, t. III, p. 699, note e)
et après lui Halley (préface de son édition des Coniques, dernière page) paraissent
avoir été disposés à considérer ces deux ouvrages comme un seul et même ouvrage.
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ESSAI D'UNE RESTITUTION
S 2.
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Mais ce qui sans doute paraîtra digne d'attention, c'est que
dans la traduction arabe d'un commentaire grec sur le dixième
livre d'Euclide, commentaire dont le texte grec ne nous est pas
parvenu, je viens de trouver la preuve qu'Apollonius s'est occupé
aussi des quantités irrationnelles, et qu'il a apporté dans ses re-
cherches sur cette matière la puissance de génie qui caractérise
cet esprit éminent.
Euclide avait considéré trois espèces d'irrationnelles, produites
respectivement au moyen de la proportion, de l'addition et de la
soustraction. Il avait démontré que le premier de ces trois modes
de génération donne lieu à une infinité d'irrationnelles; mais, en
réalité, il ne s'était occupé que d'une seule irrationnelle produite
par ce moyen, et de douze autres, dont six étaient formées par
addition, et six par soustraction. On peut caractériser, en général,
ce nombre très-restreint d'irrationnelles, qui avait été l'objet des
travaux d'Euclide, comme irrationnelles binômes et du second degré.
Apollonius dépassa des limites aussi étroites et ouvrit à la théo-
rie des irrationnelles un nouvel et vaste horizon. Aux douze irra-
tionnelles formées au moyen de l'addition et de la soustraction,
il ajouta les innombrables espèces des irrationnelles polynômes, et
pour les irrationnelles formées au moyen de la proportion, il s'é-
leva à la conception des médiates supérieures, qui sont représentées
par la racine d'un degré quelconque d'un produit de certaines
puissances de deux rationnelles ou irrationnelles quelconques.
Ces nouvelles irrationnelles, dont le nombre était infiniment
de fois infini, furent appelées inordonnées, par opposition aux treize
irrationnelles d'Euclide, dont le nombre et la génération étaient
parfaitement définis, et que, pour cette raison, on désignait par
le nom d'irrationnelles ordonnées.
Les mots grecs qui correspondent à ces deux termes sont évi-
demment ôltolxtos et TBTCcyfxévos. Ce qui m'en donne la certitude ,
ce sont plusieurs passages de l'Introduction aux Données d'Eu-
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DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 5
clide par Marinus\ et principalement celui que je transcris ici.
Sa conformité avec les renseignements nouveaux que je tire du
manuscrit arabe est une preuve précieuse de leur authenticité.
OvTCt) Se è)(si xolÏ zspos t6 prj'vov xolI cikoyov t6 TeTCLyfxévov
Te holI ccTCiKTOv ' xoivcûvoxjvTai yoLp dXXïiXols 'csoXkcL'/ri ^ kolI Stevv-
voye Tov eiprjlJ'évov rpéirov. Oùok yàp tolvtol è^icroL^et aXXyjXa, ovS'
hepov Tou érépov èc/ll TjgepiXrjT^i^ov, rj yap en. Svo ôvofjiOLTWVy xai
OLi oijTos xaTeiXvfJ-^évai akoyot TezaLy\kévon [lév ehiv, ovKéii Se xai
pVTCci, Kcci ô Trjs SictpiéTpov TSpos rrjv 'usXevpoLv toO tst pcty^jvov.
« Voici quelle est la relation entre le rationnel et l'irrationnel
d'une part, et l'ordonné et l'inordonné de l'autre. Ils ont des points
communs sous beaucoup de rapports, tandis qu'ils diffèrent entre
eux de la manière qu'on vient de dire. Ils ne sont ni les équivalents
les uns des autres, ni compris les uns dans les autres, car la droite
de deux noms et les irrationnelles ainsi conçues sont ordonnées, mais
non pas rationnelles, de même que le rapport de la diagonale au
côté du carré , etc. »
S 3.
La source à laquelle j'ai puisé la connaissance de ces travaux
d'Apollonius, dont jusqu'à présent la trace même avait été perdue,
est, comme je viens de le dire, la traduction arabe d'un com-
mentaire grec sur le dixième livre d'Euclide.
Cette traduction, dont l'auteur est Aboù Othmân le Damascène^,
se trouve dans le ms. n" 962. 2 (supplément arabe de la Biblio-
thèque impériale), dont elle occupe vingt feuillets depuis fol. 2 3 v''
jusqu'à fol. 4 2 v°. La copie en a été faite par Ahmed Ben Moham-
med Ben Abd Aldjalîl Alsidjzî, excellent géomètre lui-même, et
dont j'ai fait connaître un ouvrage dans les extraits ajoutés à la
' Voir Euclide, édit. d'Oxford, p. 453 à ASg. Comparer Proclus, IIl' livre du
Commentaire du I" livre des Eléments d'Euclide, p. 60, 1. 7 en rem. et suiv. de l'édi-
tion de Bàle.
* Voir VVenrich , De Aactorum grœcorum versionibus et commentariis syriacis, arabi-
cisj armeniacis, persicis(jue , Lipsiae, 18A2, p. xxviii et p. 34; et Garlz, De Interpre-
tibus et explanatoribus Euclidis arabicis, Halse, i823, p. 17,
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V ^
6 ESSAI D'UNE RESTITUTION
fin de la traduction de l'algèbre d'Omar Alkhayyâmî^ Cette copie
fut terminée à Chîrâz, au mois de Djoumâdâ premier de l'an 358
de l'hégire (mars-avril 969 de notre ère)^.
^ L'Algèbre d'Omar Alkhay y âmî, publiée, traduite et accompagnée d'extraits de
manuscrits inédits; par F.Wœpcke; Paris, i85i, p. 1 17 et suiv.
* Une description de ce manuscrit, qui se trouve dans le catalogue manuscrit
du supplément arabe rédigé par M. Reinaud, était de nature à fixer l'attention des
personnes qui s'occupent de recherches sur l'histoire des mathématiques. Dans cette
note, M. Reinaud fait connaître les litres de six traités, occupant les quarante-deux
premiers feuillets du volume. Je crois faire une chose utile en donnant ci -après
une énumération détaillée de tous les traités et fragments de traités contenus dans
ce manuscrit. Cette énumération peut, je crois, offrir un véritable intérêt pour
l'histoire des mathématiques , tant à cause du nombre et de l'importance de ces
traités, qu'à cause de l'époque très - ancienne ejt bien constatée où les copies ren-
fermées dans ce volume ont été faites.
Voici, dans l'ordre du manuscrit, la liste exacte des titres de ces pièces :
1° (Verso du premier feuillet non numéroté et fol. 1 r° à 18 v°.)
Traité d'Ibrâhîm Ben Sinân sur la méthode de l'analyse et de la synthèse
dans les problèmes géométriques.
Copié par Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl, à Chîrâz, au mois
de rabîa second de l'an 358 (février-mars 969 de notre ère).
2° (Fol. 19 r' à ai t\)
Traité sur les centres de cercles qui se touchent, situés sur des lignes
(données) , d'après la méthode de l'analyse, parWîdjan Ben Wastam, connu
sous le nom d'Aboû Sahl Alkoûhî *.
(Collationné avec le manuscrit autographe J^»©^l .)
* 3" (Fol. 21 v°à 22 vM. 11.)
Traité d'Euclide sur le levier **.
' Une analyse succincte de ce traité a été donnée dans r^ij^fcre rf'Omar ^ifc/fayjâmf, p. 55, 1. 22 et
suiv. de la traduction française.
** Ce traité a été publié dans le Journal asiatiqut, ctkiçrde aeptembrfr-octobre 1 85 1 , p. a ao et suiv.
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DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. f I
>il est ici de la plus giande importance de connaître le nom et
l'époque de la vie de l'auteur de ce commentaire grec. Pour cette
4" (Fol. 33 \\ 1. 13 â»3 rM. G.)
Traité d'Arcliimède sur la pesanteur et la légèreté*.
5* (Fol. 23v'à3ir\) "^"'^
Premier liv,re du traité de B.los sur les quantités rationnelles et sourdes
dont il est fait mention dans le dixième livre de l'ouvrage d'Euclide sur les
Eléments, traduit par Aboù Olhmân, le Damascène.
i l_i^^i 45UI /d-wtltj iOlajii! -UàftiJI ^ jjjb c->ly^> (j^ J^iij AiUil
6" (Fol. 3i v"à Aav'.)
Second livre du Gimmen taire du dixième livre des Éléments d'Euclide.
(Date de la copie : Chîrâz, au mois de djoumâdà premier de l'an 358,
— "' mars-avril 969.) *'^ '■'-'
7» ^Fol. A3 r" à 47 V.)
Sur la signification du dixième livre (d'Euclide).
8° (Fol. 48 r-à 5ov».)
Traité sur la manière de mener deux lignes issues d'un point et renfer-
mant un angle donné, d'après la méthode de l'analyse, par Wîdjan Ben Was-
lam, connu sous le nom d'Aboû Salil Alkoûhî".
,.K-A-A_â^Jt ^'^jla^ iL^ySx^ ^-J^j (J"^ ^lâAJ (j^ (^jv^âl ^K*^^ <->U^b
(Collationné avec le manuscrit autographe.)
9* (Fol. 5i r°à 52 r'.) _gb
Sur l'objet et le contenu des Éléments d'Euclide. "^
10° (Fol. 52 v-à 53 v', 1. 10.)
Lettre d'Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl sur la solution d'un
Ce sont tes énoncés des propositions du I" livre et de la 1" proposition du II* livre du traité d'Archi-
mède , De lis quœ in humido vehuntur. (Voir Archimède , ddit. d'Oxford , p. 333 et suiv. ) ,
** Une analyse succinte de ce traité a été donnée dans l'Algèbre d'Omar Alkhayyâmi, p. 55, i. 7 en rem.
et suiv. de la traduction française. '*{^
8 >;!! ESSAI D'UNE RESTITUTION
raison, j'ai rassemblé plusieurs passages relatifs à cet auteur, ex-
traits de divers manuscrits arabes, et au moyen desquels je crois
problème, tiré de l'ouvrage de Yoûhanna Ben Yoûçouf , et relatif à la division
d'une ligne droite en deux parties égales, et révélation de l'erreur de Yoû-
hanna à ce sujet,
11° (Fol. 53 V, 1. iià55v\)
Traité d'Euclidesur la division (des figures planes)'.
12" (Fol. 56 r'.)
Fragment relatif à un sujet astronomique.
i3°. (Fol. 56 v'àôgrM. 17.)
.oJij Traité deThâbît (Ben Korrah) sur la retardation du mouvement dans la
jj : sphère des signes et sur son accélération suivant les points de l'excentrique
où se trouve le (corps en) mouvement.
ySjX\ ^j^ iiUiil (:^. l^ yy3 CS^I
i4° (Fol. ^grM. i8à6orM. 8.)
Fragment relatif à la théorie du mouvement de la lune.
(Date de la copie : Chîrâz, le dernier jeudi du mois de rabia second de
l'an 359 de l'hégire, 10 mars 970.)
15" (Fol. 6Qv"à 75 v".)
Traité d'Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah, le Sabéen, sur la composition
des rapports.
Ce traité est divisé en trois chapitres , qui occupent respectivement une
page et demie, treize pages et demie, et seize pages,
(Date de la copie : Chîrâz , à la fin du mois de djoumâdâ second de l'an Sôg ,
mai 970.)
16" (Fol. 76 r"à78 r".)
Lettre sur le calcul des racines sourdes , adressée par Mohammed Ben Abd
Alazîz Alhâchimî (^y^cil^l j-^î «X-** ^^ «X:^ ) à l'émir Aboùl Fadhl
' Djafar Ben Almoqtafî ( JJcXXl ç^ jJlxs»- J^miâ}] y3\).
* Une traduction de ce traité a été publiée dans le Journal osioti^ue , cahier de septembre-octobre 1 85 1 ,
p. 233 et suiv.
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. ^
pouvoir résoudre ces deux questions d'une manière assez satis-
faisante, quelque difTicile qu'il soit de restituer avec exactitude
17' (FoLySv-àSovM. 5.).
Lettre d'Alfadhl Ben Hâtim Alnaîrîzî sur l'azimut de ia Kiblah.
18" (Fol.SovM. Getsuiv.)
Additions à quelques propositions du dixième livre (d'Euclide) , existant en
langue grecque, et traduites par Nazhîf Ben Yaman , le médecin*.
jj iibj^l (J-* ju^j-Jl i «X^^ Itf <,.».Ala.m QdÇ fjj v-àaLîj A}sJij U I«Xjû
19» (Fol, 81 r" à 86 r».)
Fragment, manquant de commencement, relatif à la formation des triangles
rectangles en nombres rationnels ou entiers.
2o' (Fol. 86 v' à 92 V'.)
Lettre du chaïkh Aboû Djafar Mohammed Ben Alhoçaïn à Aboû Moham-
med Abdallah Ben Ali, le calculateur, sur la formation des triangles rectan-
gles ayant des côtés rationnels , et sur l'utilité qu'offre leur connaissance.
i ïLxjUDj ^iL-«iJ| kJx±ùX\ lljj^l iùiUJ! c^UaÂil >Uô) i ^*»é\Â
(Collationné avec le manuscrit autographe.)
21' (Fol. 93 v\)
Fragment relatif à un sujet astronomique.
aa' (Fol. 93 v" à 96 t\ 1. 8.)
Recelte d'une médecine universelle avec manière de s'en servir. — Au mi-
lieu de ce morceau, on trouve intercalées (fol. 9/4 v") les observations de quel-
ques conjonctions qui ont été citées et traduites par M. Caussin, dans son
Mémoire sur les tables d'ibn Yoûnis {Notices et extraits des manuscrits de la
Bibliothèque du Roi, t VII, p. 238).
aS" (Fol. 95 rM. 9 et suiv.)
Sur la manière de prendre les heures égales sur le dos de l'astrolabe.
* Ce sont deux démonstrations, l'une de la i" et l'autre de la 6* proposition du dixième livre d'Eu-
dide. La première est la première des deux démonstrations de la \" proposition qui se trouvent dans l'édi-
tion d'Oxford. La seconde n'est pas essentiellement différente de la i " des deux démonstrations de la
6* proposition qu'on trouve dans la même édition. (Comparer ci-après au n" 3i , et un passage dji Tdrtkh
Alhoqamâ rapporté par Casiri , 1. 1 , p. 3/io , col. a, 1. i i et suiv. et p. 34i ,1. aa et suiv.)
10 ESSAI D'UNE RESTITUTION
des noms grecs, autrement inconnus, d'après la transcription si
imparfaite des manuscrits arabes, et au milieu des leçons souvent
iW (Fol. 95 v" à 122 r'.)
Traité de Thâbit Ben Korrah sur la mesure des corps paraboliques.
A-Ajlsm c:>L<U(kasî RoAm^ «j ijA yj <i:i«oUl (aJUU) ^_^
(Date de la copie : Chîrâz, samedi 22 de rabîa premier de l'afi 358,
i3 février 969.)
25° (Fol. 122 v°à i3Av°, 1. i3.)
Traité de Thâbit Ben Korrah sur la mesure de la parabole.
,a.6° (Fol. i34 v», 1. a à i36 v», 1. A.)
Traité d'ibrâhîm Ben Sinân sur la mesure de la parabole.
(Date de la copie: Chîrâz, au mois d'ardabehicht de l'an 338 d'Yezde-
djird, avril-mai 969 de notre ère.)
2f (Fol. i36 v", 1. 5 à 137 T\) ,
Lettre d'Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl à Aboû AU Nazhîf Ben
Yaman, le médecin, sur la construction d'un triangle acutangle au moyen
de deux lignes droites inégales.
(Date de la copie : le jeudi, dî-bâder du mois d'abân de l'an 339 d'Yez-
dedjird, 27 octobre 970.)
28° (Fol. 137 v" à 139 r°.)
Lettre d'Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Àldjalil au chaïkh Aboùl Ho-
çaïn Mohammed Ben Abd Aldjalil sur les sections produites dans les para-
boloïdes et hyperboloïdes de révolution.
(Date de la copie : le lundi, râm-rôz du mois de bahmen de l'an 34o
d' Yezdedj ird, 12 février 972.)
29" (Fol. 139 v°à i4ov°.)
Mémoire d'Alalâ Ben Sahl sur les propriétés des trois sections (coniques).
J._4-*M 0j ^:i\j»ll ^!j.isJVwwt iCÂXxil t^Jlîî (jo'^jJ*- é
(Collationné avec le manuscrit autographe.)
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 11
fautives et contradictoires produites par la négligence des co-
pistes.
30" (Fol. i4i r'à i5ov*.)
Traité sur la construction de l'astrolabe appelé Almobthakh, d'après Aboû
Djafar Ahmed Ben Abdallah.
- 3r (Fol. i5i v" à i56vM. ii.)
Traité d'Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl sur les solutions de
divers problèmes que lui avaient proposés plusieurs géomètres de Chîrâz.
32» (Fol. i56 vM. 12, à i6o t\ 1. 4.)
Traité de Thâbit Ben Korrah sur (le théorème) que deux droites menées
de manière à renfermer (avec une troisième) moins de deux angles droits
se rencontrent.
[(Collationné avec le manuscrit autographe. Date de la copie : le mercredi,
37 du mois de rabîa second de l'an SBg, 9 mars 970.)
33° (Fol. 160 r", 1. 5 et suiv.)
Une construction de la trisectiop de l'angle.
34° (Fol. 161 r».) f.
Fragment relatif à la théorie des quantités irrationnelles, reproduisant,
A quelques légères modifications près, les propositions 7 et 8, et une partie
du corollaire de la proposition 9 du X* livre d'Euciide, telles qu'elles se
trouvent dans l'édition d'Oxford. Ce fragment paraît être la suite du n" 18.
35» (Fol. 161 v°.)
Problèmes intéressants et beaux sur les nombres.
36° (Fol. 16a r'à i64r°, 1. 12.)
Le traité d'Hypsiclès sur les ascensions , traduit par Ishàk Ben Honaïn et
revu par Thâbit Ben Konah.
12 ESSAI D'UNE RESTITUTION
i*' Ms. n° 9Ô2. 2, suppl. arabe, fol. 28 v°.
Titre du premier livre de ce commentaire :
s
37» (Fol. i64rM. i3à 170 vM. 11.)
Lettre d'Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah sur la figure de la section [al-
katha).
38° (Fol. 170 v°, 1. 12 à 180 v°, 1. 7.)
Traité d'Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah sur la manière de trouver des
nombres amiables d'après une méthode facile**.
'ây^M*^ AjlâKJLî :>t<X£^| ^j.^^\ «j éj^i 0j 0<^b (jM*^ ^\ 1^1 ^lliU
(Date de la copie : Chîrâz, à la fin du mois de khordâd de l'an 338 d'Yez-
dedjird, juin 969.)
39"" (Fol. 180 vM 8 à 181V', 1. 3.)
Fragment d'un commentaire d'Almâhâni sur le dixième livre d'Euclide.
4o» (Fol. 181 v°, l.kkib.)
Démonstration d'une proposition de géométrie.
Al" (Fol. 181 v°, 1. 16 à 187 v\ 1. 12.)
Exposé du calcul des apotomes et çl,es droites de deux noms.
(Date de la copie : Chîrâz, à la fin du mois de chabân de l'an 358 de
l'hégire, juillet 969.)
Aa" (Fol. 187 rM. i3 à 188 t\)
Discussion de la proposition que toute quantité continue est divisible à
l'infini.
43° (Fol. 188 v"ài9ir°.)
Traité d'Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah adressé à Ibn Wahab sur la
* Ce titre se trouve répété de la même manière dans la table placée à la fin du volume ; mais il serait
plus correct d'écrire ijSjSi , sans article.
** Une analyse de ce traité a été publiée dans le Journal asiatique, cahier d'octobre -novembre 1862 ,
p. ^30 et suiv.
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 13
manière de parvenir à trouver la construclion des problèmes géométri-
ques.
(Collationné avec le manuscrit autographe.)
M' (Fol. 191 v°.)
Fragment du Commentaire d'Eutocius sur la 2* proposition du second
livre de la sphère et du cylindre d'Archimède, traduit par Thâbit Ben Kor-
rah *.
45° (Fol. 192 v» à 195 r'.)
Trisection de l'angle rectiligne , par Thâbit Ben Korrah Alharrânî.
iyi /o c:a,jU' i^jumo iù^UMJC>« >«UMJi{ AÂÀju (jviasl Xc^jOLmJLI iù^lyl iUwJ»
46- (Fol. 195 V'' à 198 r».}
Traité d'Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl sur la mesure des
sphères au moyen des sphères.
47" (Fol. 198 v» à 199 r°.)
Sur la construction des deux moyennes proportionnelles par la méthode
de la géométrie fixe", par le chaïkh Aboù Djafar Mohammed Ben Alhoçaïn.
iL^M«X-À^{ (j-^>^ ij-* a.aamUa^ iuJl^Jw» ^^j\Ia^ (^j (jvjftà*. g|^,<^^î i
A8° (Fol. 199 v° à 2o3 \\)
Traité de Yoùhannâ Ben Yoùçouf Ben Alharth sur les quantités ration-
nelles et irrationnelles.
(Collationné avec le manuscrit autographe.)
* Comparer VAhjèhre d'Omar Alkhayyâmî , p. xiii de la préface, 2* note.
** Comparer, relativement à cette expression, l'Algèbre d'Omar Alkhayyâmî , p. 1 ao.
14 ESSAI D'UNE RESTITUTION
«Premier livre du traité d&B.loiS^y sur les quantités ration-
49° (Fol. 2o4 r'à 2i5 r°.)
Lettre du chaïkh Aboù Djafar Mohammed Ben Alhoçaïn à Abdallah Ben
Alî, le calculateur, sur la démonstration d'une certaine propriété des nom-
bres , suivie d'une lettre du même au même sur la construction des triangles
rectangles en nombres rationnels.
^5JL-%&ilî iUikJai l.ljj>iî iùfUJi
(CoUationné avec le manuscrit autographe.)
5o° (Fol. 2i5 v-à 216 v°.)
Table des traités contenus dans ce volume.
Dans cette table , les numéros qui précèdent sont classés dans l'ordre
t suivant :
1, 2 , 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 22, 23, 24, 2 5, 26, 27^ 28, a 9, 3o,
3i, 32, 19 (?), 20, i3, là, i5, 17, 16, 18, 35, 36, 37, 38, 39,
42 , A3 , M , 45 , 46 , 47, 48 , 49
La table est signée de la date du 1 1 moharram de l'an 667, 8 jan-
vier 1259 de notre ère.
51° (Fol. 217 r'à 219 y".)
Diverses propositions relatives à la théorie des quantités irrationnelles.
Le volume entier se compose de deux cent vingt feuillets, dont le premier non
numéroté. Le verso du folio 160 et le recto du folio 192 sont laissés en blanc. Plu-
sieurs parties du manuscrit ont été évidemment déplacées lorsqu'il a reçu sa reliure
actuelle. Les cent quatre-vingt-douze premiers feuillets du volume présentent une
seule et même écriture. Ainsi que l'attestent les postscriptum ci-dessus mentionnés,
cette partie a été écrite à Chîrâz, principalement pendant les années 969 et 970 de
notre ère , par le géomètre Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl Alsidjzî , qui
formait probablement ce recueil pour son propre usage. Depuis le folio 192 v" à
216 v°, on trouve une ou plutôt plusieurs écritures, di£férentes de celle de la pre-
mière partie du volume, mais qui, cependant, en quelques endroits, ressemblent
beaucoup à cette dernière écriture. Les trois derniers feuillets, 217 à 219, sont
d'une écriture complètement différente. On aura remarqué que plusieurs des copies
contenues dans ce volume ont été coUationnées avec les manuscrits autographes
des auteurs , ainsi qu'il résulte des notes finales que j'ai reproduites dans l'énumé-
ration ci-dessus. Cette circonstance ne peut qu'ajouter à la valeur du manuscrit.
M. Caussin, en citant les observations astronomiques mentionnées ci-dessus (n" 22),
ajoute que ce manuscrit a été rapporté d'Egypte par M, Reiche, un de ses anciens
disciples.
^ Je marque par un point les places des voyelles brèves qui ne sont pas exprimées
dans l'écriture ordinaire des manuscrits arabes.
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 15
nelle» et irrationnelles qui forment le sujet du dixième livre du
Traité d'Euclidc sur les Eléments. Traduit par Aboû Othmân le
Damascène. »
2° Même ms. fol. 3 1 v".
Titre du second livre de ce commentaire :
a Second livre du commentaire du dixième livre du Traité d'Eu-
clide sur les Eléments. »
3° Même ms. fol. 4^2 v**, à la fin du second livre:
« Fin du second livre, et fin du commentaire du dixième livre
du Traité d'Euclide. Traduit par Aboû Othmân le Damascène. »
4° Même ms. fol. 2 1 5 v°.
Titres du premier et du second livre répétés dans la table des
ouvrages contenus dans le manuscrit :
X-ajLaJI j(HJlI! 7 ^<xJLi>^! LjLiS^y* s^L*Jî jiUii <^ UJi
« l^.° Le premier livre du traité de B . los sur les quantités ra-
tionnelles et iirationnelles qui forment le sujet du dixième livre
du Traité d'Euclide. 5° Le second livre du commentaire du dixième
livre du Traité d'Euclide. »
5^ Ms. du Târîkh Allioqamâ. Suppl. arabe, n° 672, page 56
(à l'article Euclide).
U** — à-^ Xo*«i^>J> (jMy^ i}^j^ Sjjùi\jkJ\ ixilili ^jJ* c:aj|^
«M^
16 ESSAI D'UNE RESTITUTION
« J'ai vu un commentaire du dixième livre par un Grec ancien
nommé B . lis. »
Le même passage est reproduit par Casiri, t. I, p. 3^2 , de la
manière suivante :
{jtt^-JiSji^ SyMUlJi ^UII r/^ ^^^)j
« J'ai vu un commentaire du dixième livre par B . lis. »
6° Même ms. p. 76.
^jUJLjLo ^.xJlï! L^\jf(j% 5-M.LsJl i^Uli -x-w^ (4r*^^
<iB.n,s le Roûmî^ était versé dans la science des mathéma-
tiques, et possédait de vastes connaissances en géométrie. Il vécut
à Alexandrie, et son temps est postérieur au temps de Claude Pto-
lémée. De ses ouvrages (nous citons) le commentaire du traité de
Ptolémée sur le planisphère, traduit en arahe par Thâbit (Ben
Korrah); puis, le commentaire du dixième livre du Traité d'Euclide,
en deux livres. »
7" Ms. du Qitâh Alfihrist. Ancien fonds arabe, n" Ai36, t. II,
fol. 1 1 4 v°.
^ B .l.s le Roûmî. Ouvrages de cet auteur : Commentaire du
traité de Ptolémée sur le planisphère, traduit en arabe par Thâbit
(Ben Korrah). Commentaire du dixième livre d'Euclide, en deux li-
vres. M
^ Les auteurs arabes désignent par Roâmî un Grec du Bas-Empire,
•i^
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 17
En rapprochant entre elles les diverses leçons du nom en ques-
tion, présentées par tous ces passages, je suis disposé à croire que
ce nom était Valens, en grec BàA>75, ce qui, en arabe, devait se
transcrire par (jj*,jJb , ou aussi seulement par iJuJô ; car nous
trouvons, dans les écrits arabes, des exemples nombreux de ce
dernier mode de transcription, à commencer par le nom d'Eu-
clide (EvkXsîSïjs) même, qui n'est jamais rendu par y*o«>oJiJ>*i ,
mais toujours par ^j^i^X^Xi^i ou ^^jjii! . Il ne serait pas impos-
sible que ce Valens ne fût le même que l'astrologue Vettius Valens,
' sur lequel on trouve une notice assez étendue dans la Bibliothèque
grecque de Fabricius^
Relativement aux circonstances de la vie de notre commenta-
teur, le passage ci -dessus extrait du manuscrit du Târikh Alho-
qamâ est suffisamment explicite. Les expressions de ce passage
pourraient faire croire un moment qu'il se rapporte à Pappus,
dont le nom aurait été rendu en arabe par (j**^ , ce qui , par
l'inadvertance des copivStes, aurait été changé en (j**Jo. Mais dans
un passage du ms. 902. 2 suppl. arabe, où il est indubitable-
ment question de Pappus, le nom de ce géomètre est écrit ^jjL^,
ce qui suffit pour faire abandonner cette supposition, peu admis-
sible at^ssi sous d'autres rapports.
Quant au commentaire même, un examen sérieux de cet ou-
vrage met hors de toute question qu'il est d'origine grecque. Mal-
heureusement, les bornes de ce mémoire ne me permettent pas
d'en fournir les preuves en faisant connaître le contenu de ce com-
mentaire d'une manière plus détaillée; mais, du moins, j'en don-
nerai ci-dessous^ une analyse rapide, qu'on ne parcourra peut-être
pas sans intérêt.
11 est vrai que le premier livre de ce commentaire, rempli presque
entièrement de spéculations métaphysiques sur les quantités irra-
' Edition de Harles , Hambourg , 1796, vol. IV, p. i4A et suiv.
* Voir l'édition ci-dessus citée de V Algèbre d'Omar Alkhayyâmî , préface, p. Xni.
Voir SS 19 et 20.
3
##
18 ESSAI D'UNE RESTITUTION
tionnelles, ne peut intéresser que médiocrement les géomètres;
mais le second livre est d'une importance réelle pour l'histoire
des mathématiques, attendu qu'il contient plusieurs beaux théo-
rèmes, relatifs aux quantités irrationnelles, qu'on ne trouve pas
dans les Eléments d'Euclide , et qu'il traite cette théorie à un point
de vue plus général et plus élevé que ne le fait l'auteur des Elé-
ments.
On remarquera, sous ce rapport, les numéros 5 , 9 à i 2 , 1 4 et
1 5 de l'analyse du second livre de ce commentaire.
Enfin, ce qui mérite surtout de fixer l'attention des géomètres,
ce sont les notices sur les travaux perdus d'Apollonius, contenues
dans les passages dont on trouve ci-dessous le texte et la traduction.
Avant de passer à l'interprétation de ces passages, j'ai cru de-
voir faire connaître au lecteur, par un résumé succinct, le sujet
et le but du dixième livre d'Euclide, seul écrit grec sur les quan-
tités irrationnelles qu'on ait connu jusqu'à présent, et sans une
intelligence approfondie duquel il est impossible de comprendre le
sens et d'apprécier la portée des passages en question qui forment
le sujet du présent mémoire.
DES LIGNES IRRATIONNELLES TRAITEES PAR EUCLIDE.
S 4.
Les lignes irrationnelles traitées par Euclide sont au nombre
de treize.
Il les définit, les construit et en démontre les propriétés.
Rien, certes, n'est plus beau ni plus parfait que l'ordre et le
parallélisme des hexades du dixième livre ; c'est là surtout que
brille de tout son éclat le génie profondément systématique de
l'auteur des Eléments. Mais, pour faire saisir au lecteur d'un seul
coup d'œil l'aperçu général de la théorie d'Euclide, nécessaire pour
l'intelligence des conjectures suivantes sur les travaux d'Apollo-
nius, je ne peux pas suivre la méthode purement et strictement
synthétique du géomètre ancien.
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 19
D'un côté, il sera indispensable de faire ressortir surtout la rai-
son déterminante du nombre des genres d'irrationnelles exposés.
D'un autre côté, lorsque Euclide détermine des couj)les de lignes
qui doivent servir ensuite à la construction des irrationnelles, et
qui jouissent de diverses propriétés, il faudra montrer comment
quelques-unes de ces propriétés découlent naturellement des au-
tres, tandis qu'Euclide se contente d'en démontrer la coexistence.
Car, généralement, deux quantités (et les lignes ne représentent
ici que des quantités) sont déterminées par deux conditions aux-
quelles elles doivent satisfaire. Si donc elles satisfont à plus de
deux conditions, l'esprit éprouve le besoin de distinguer les pro-
priétés essentielles d'avec les autres , et de se rendre compte de la
manière dont celles-ci se rattachent aux premières.
C'est pourquoi j'ai tâché de suivre une marche plus analytique
dans l'exposé que l'on trouve ci-après. Je me suis efforcé en même
temps d'y reproduire , dans le plus court espace possible , le contenu
essentiel du dixième livre d'Euclide. D'ailleurs, je fais observer
que je ne me propose pas tant de donner une analyse détaillée
de ce livre, que de faire connaître quels genres et quelles espèces
d'irrationnelles ont été traitées par Euclide, et quelles sont les
propriétés qu'il en a connues.
Avant d'entrer en matière, il faut que j'explique encore en
quelques mots l'usage qu'Euclide fait du mot rationnel, parce qu'il
donne à ce terme une signification plus large que nous ne faisons
aujourd'hui. C'est qu'il appelle rationnelles aussi les lignes dont les
carrés seulement sont rationnels, et qui s'expriment, en consé-
quence, par des racines carrées. La ligne rationnelle d'Euclide a
donc les deux formes m et s/m. Au contraire, comme selon les idées
des anciens on ne saurait former le carré d'un espace, la surface ra-
tionnelle est chez Euclide uniquement de la forme m, tandis que
\/m, comme expression d'un espace, désigne fespace médial, qui
est un espace irrationnel. Je me conformerai, dans ce qui suit, à
la terminologie d'Euclide, pour ne pas trop embrouiller les énon-
cés des définitions que je dois donner d'après lui. Toutes les fois
20 ESSAI D'UNE RESTITUTION
que j'emploierai le mot rationnel dans son acception moderne,
j'aurai soin d'en avertir le lecteur. Je fais observer encore que je
désignerai par m, m', n, n', p, q, etc., des quantités rationnelles
dans l'acception moderne de ce mot, et qui ne sont pas des carrés,
à moins que cela ne soit dit expressément.
I.
s 5..
Si deux droites commensurables en puissance seulement com-
prennent un rectangle rationnel, ces droites sont nécessairement
médiales; si elles comprennent un rectangle médial, elles peu-
vent être médiales ou rationnelles ^
Dans le premier cas , on aura
donc
x=\frv/m y = \J-j^ ^.
Dans le second cas, on aura
x^ :y^ =.m x . y = n \fn\
' D'un autre côté, si deux droites commensurables en puissance seulement sont
rationnelles, elles comprennent nécessairement un rectangle médial; si elles sont
médiales , elles peuvent comprendre un rectangle rationnel ou médial.
* La construction d'Euclide (X, 28) est ramenée à son expression algébrique
lorsqu'on pose les lignes a et jS de cette construction respectivement égales à sj p
et y/n , où l'une des deux quantités p, n, peut être un carré, et l'on trouve
'>■*' ■ y = \Jnp
P
c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules m = — . itu'.vî--
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 21
donc
Ces dernières formules représentent, en général, des quantités
médiales; mais, dans les cas de m = n\ ou de m =— , on cura
X
ou
X
n y =z\f^\
formules qui présentent l'expression générale ^ de deux quantités
rationnelles et commensurables en puissance.
Ceci donne lieu à trois cas :
1 ° Deux droites rationnelles commensurables en puissance seu-
lement et comprenant un rectangle médial :
La moyenne géométrique entre deux lignes de cette espèce est
la médiale;
Leur somme est la droite de deux noms;
Leur différence est Vapotome.
2° Deux droites médiales commensurables en puissance seule-
ment et comprenant un rectangle rationnel :
La somme de deux lignes de cette espèce est la première de
deux médiales;
* Ici, on posera dans la construction d'Euclide (X, 29) a=z\/q^ ^ = y'p , y r=
y^n^, où l'une des trois quantités q, p, n' peut être un carré , et l'on trouve
p —
c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules mz= — ei n:=\/q
p
* On peut encore poser n =-; alors on aura respectivement
y/p et y/n",
puis
n et y/n'.
se ESSAI D'UNE RESTITUTION
Leur différence est le premier apotome de la médiale.
3° Deux droites médiales commensurables en puissance seu-
lement et comprenant un rectangle médial :
La somme de deux lignes de cette espèce est la seconde de deux
médiales;
Leur différence est le second apotome de la médiale. •
IL
S 6.
Pour trouver deux droites dont la somme des carrés ainsi que
ie rectangle compris sous elles doivent satisfaire à certaines con-
diyons, posons
X* H- J* = S ^ ' y = ^ '
il suit
^ = V — --^— y = \ 1
Maintenant, si la somme des carrés doit être rationnelle et le
rectangle médial, on posera
S = m R = n\Jn
et l'on aura
x=\l ^— j = V ^ K
' Euclide (X, 3A) pose a§ = p, ^y = ^"^ (voir X, 3i ) , où </' -h r^ n'est
pas un carré, et trouve ensuite y 9^ ■+- ''*
AZ-i^H — — — j ,^?=\/
c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules m = p^, n = — , «'
2 (f'-^r'
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 23
Si la somme des carrés doit être médiale et le rectangle ra-
tionnel, on posera
S == m \Jrn R ==n;
et l'on aura
/m \./m! -+- 1/ ni" rn — 4 n' » /m v/m — v/rn" m! — 4 n* ,
x^y-j v_ y = \/-^ ^^ ^
Si la somme des carrés doit être médiale, et le rectangle médial
et incommensurable avec la somme des carrés, on posera
m
dm' Rz=n y//?.
011 m \Jm' et nyn* désignent des espaces incommensurables entre
eux, et Ton aura
x=\l j = V ^—
En formant le quotient — , on obtient
S"— 2m-^S\JS'— kR^
2 R'
P — 9
' Euclidë (X, 35) pose a|S =\/;, (p-^ y), jSy = — L 1 — (voir X, Sa), où
\/p{p-<i)^
l'une des deux quantités p, q, peut être un carré, et trouve ensuite
p—(f
c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules m = \fp , m' =p — q,n =
* Euclide (X, 36) pose (tp==\/JZ\ ^y = XÎZEÏiZ (voir X, 33) , où l'une des
y pm
trois quantités p , q , m', ou même m' et q simultanément, peuvent être de» carrés;
puis il trouve - , - ,v
c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules m = y^) n^±»5\ n!^&hi' (p — q).
24 ESSAI D'UNE RESTITUTION
ou, en désignant le quotient — par Q,
d'après les suppositions faites dans les cas considérés ci-dessus,
Q sera irrationnel et Q* rationnel (dans l'acception moderne de ce
terme), et, à moins que Q^ ne satisfasse à l'équation indéterminée
le quotient — sera irrationnel.
En général, x et y seront donc, dans les cas ci-dessus, deux
droites incommensurables en puissance, tandis que, dans le para^
graphe précédent, on considérait trois couples de droites commen-
surables en puissance.
De là trois autres combinaisons :
4° Deux droites incommensurables en puissance , dont la somme
des carrés est rationnelle , tandis que le rectangle compris sous elles
est médial :
La somme de deux lignes de cette espèce est la majeure;
Leur différence est la mineure.
5° Deux droites incommensurables en puissance , dont la somme
des carrés est médiale, tandis que le rectangle compris sous elles
est rationnel : s?^-'- «e =^
La somme de deux lignes de cette espèce est celle qui peut
une rationnelle et une médiale;
Leur différence est la droite qui fait avec une surface ration-
nelle un tout médial.
6° Deux droites incommensurables en puissance , dont la somme
des carrés est médiale, tandis que le rectangle compris sous elles
est également médial, mais incommensurable avec la somme de
leurs carrés :
La somme de deux lignes de cette espèce est celle qui peut
;^^_ . deux médiales;
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 25
Leur différence est la droite (/ai fait avec une surface médiale
an tout médial.
in.
s 7.
Si l'on a deux droites x, y, commensurables en puissance seu-
lement, de sorte que
a^ :y*z=n,
il s'ensuit
x'^ : (x^ — y^) = n : (n — i);
c'est-à-dire que le carré de x surpassera le carré de y du carré
d'une droite commensurable en puissance avec x; mais lorsque n
est de la forme — — , on voit aisément que le carré de x surpassera
le carré de y du carré d'une droite commensurable en longueur
avec x.
La droite de deux noms et Vapotome étant de la forme x dzy, où
X et y représentent deux droites rationnelles commensurables
en puissance seulement, on pourra donc, en supposant toujours
x'^y, distinguer deux cas
1° -r-:. = ^' o^ x:y=n:\/n' — i ,
2° — i = n ou X : y = yn : v/rë- — i .
Puis, comme x et y sont rationnels et commensurables en
puissance , et qu'on suppose x ^ y, on pourra distinguer, dans
chacun de ces deux cas, trois subdivisions, selon que x et y sont
respectivement de la forme
m et ym'
ou K/m et m'
\/m et yW.
ou
■^-
26 ESSAI D'UNE RESTITUTION
On obtient de cette manière :
dans le premier cas
. x = n
y = \/n'—
x= , y = m
n\Jm
S
dans le second cas
n y m! / r
m\/n—:
5° a; = ^ y=m
\/n— 1
6° a; = \//i y = y/n — 1.
En combinant les a^ et j de ces six numéros par addition et
par soustraction, on obtient respectivement la première, seconde,
troisième, quatrième, cinquième, sixième de deux noms, et le premier,
second, troisième, quatrième, cinquième, sixième apotome^.
' Substitutions à faire pour ramener à nos formules les constructions d'Euclide.
1° Prop. Ag- el = n,a^=f,y^ = q^.
Prop. 86. pYj = n, sh^=p^, zl = q^.
/ ^
La formule d'Euclide n ± V / «'
se ramène à la nôtre lorsqu'on pose p =^nq. " , ,
2* Prop. 5o. |r; = m', a/3 = ;^^ ^y = q^ .
Prop. 87. yr} = m\le^r^, sl=^q^.
m n
La formule d'Euclide — ' ± m
se ramène à la nôtre lorsqu'on pose 7=1.
3° Prop. 5i. a^ = n\ ^y = p\h = q,£^ r.
Prop. 88. jSy = n», |3S = p^ e = 9, a = r.
4M:t-
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS.
27
IV.
S 8.
Après avoir terminé les constructions précédentes, Euclide dé-
montre que les racines carrées des six droites de deux noms et
des six apotomes sont respectivement les six irrationnelles formées
par addition et les six irrationnelles formées par soustraction sui-
vant l'ordre , et réciproquement que ces douze irrationnelles ont
pour carrés les six droites de deux noms et les six apotomes sui-
vant l'ordre.
11 démontre, ensuite, que toute ligne commensurable à une
La formule d'Euclide '
\q V q y^F^rpV 9 V 9
se ramené a la notre lorsqu on pose p = i , = m
4° Prop. 52.
Prop. 89.
La formule d'Euciide
a.y = p, y§ = q, sl=-rn.
e|=p, |S=ç, ^Y)=^m.
m ± m
\ p-hq
se ramène à la nôlre lorsqu'on pose 9 = 1 , p -+- 1 = n.
5' Prop. 53. lr}^m\ ay = p, yf = q.
Prop. 90.
La formule d'Euclide
yrj = m', |e = p , |8 = q.
±m'
se ramène à la nôtre lorsqu'on pose 7 = 1 , p -+- 1 =^
6" Prop. 5A. OLy = j), y^=q, l = s, e = t
Prop. 91.
La formule d'Euclide
yh=^pj /3S = <3f, s = s, a = r.
se ramène à la nôtre lorsqu'on pose r= 1, q= i, s= 1, p-H 1 =n.
4.
..- **■
'/
28 ESSAI D'UNE RESTITUTION
des irrationnelles est une irrationnelle du même genre et de la
même espèce que la ligne à laquelle elle est commensurable , et
que les lignes irrationnelles proposées dans ce qui précède sont
toutes essentiellement différentes entre elles.
Suivent encore : une autre méthode de construction de ces ir-
rationnelles; puis quelques théorèmes énonçant diverses consé-
quences de la vérité mathématique que le produit de {\/^ -f-v/^)
en (ya — yb) est rationnel; enfin, la démonstration que la diago-
nale et le côté d'un carré sont incommensurables en longueur.
L'avant- dernière proposition du dixième livre mérite encore
d'être particulièrement remarquée; en voici l'énoncé:
« H résulte d'une médiale une infinité d'irrationnelles, dont au-
cune n'est la même qu'aucune de celles qui la précèdent. »
Euclide prend ici la moyenne proportionnelle y entre une mé-
diale et une rationnelle, puis la moyenne S entre y et la même
rationnelle, et ainsi de suite. Les irrationnelles qu'il obtient
sont donc successivement de la forme yr\/m, \ r\/r\/m ,
\l r\/ r\/r\/m, etc. c'est-à-dire de la forme \n, \/p, yq, etc.
TEXTE DES PASSAGES DU MANUSCRIT ARABE RELATIFS AUX TRAVAUX PERDUS
D'APOLLONIUS SUR LES QUANTITES IRRATIONNELLES.
S 9.
I.
^«>yJLiji «^U^=3 (y% ïJu\jL^\ 'J^\jù,\ j (SjuJU) ^i (Fol. 23 \\)
s- ^
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 29
\c^jj ^Ls:^ (j*.LjJi 4>jj^l j^ JUi «-« ijl^ JUU ^^-Tg^jJi L^
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30 ESSAI D'UNE RESTITUTION
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DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. • 31
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32 • ESSAI D'UNE RESTITUTION
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III.
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3iv°.]
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 33
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34 ESSAI D'UNE RESTITUTION
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TRADUCTION DES PASSAGES DU MANOSCRIT ARABE RELATIFS AUr TRAVAUX- PERDUS
D'APOLLONIUS SUR LES QUANTITES IRRATIONNELLES.
I.
S 10.
« Le but du dixième livre du traité d'Euclide sur les Eléments
est l'examen des quantités commensurables et incommensurables,
rationnelles et irrationnelles.
« Cette théorie prit naissance dans l'école de Pythagore. Elle fut
considérablement développée par Théétète l'Athénien, qui fit
preuve, dans cette partie des mathématiques, et dans d'autres,
d'une sagacité qui lui a valu une juste admiration; En outre, il était
un des hommes les plus heureusement doués, et s'adonnait, avec
ufie noble ardeur, à la recherche des vérités contenues dans ces
sciences, comme Platon lui en donne le témoignage dans l'ou-
vrage qu'il intitula d'après son nom^ Quant aux distinctions exactes
des susdites quantités, et aux démonstrations rigoureuses des pro-
positions auxquelles cette théorie donne lieu, je crois qu'elles fu-
rent établies principalement par ce mathématicien; et, plus tard,
le grand ^ Apollonius, dont le génie atteignit au plus haut degré
de supériorité dans les mathématiques, ajouta à ces découvertes
d'admirables théories après bien des efforts et de travaux.
« Car Théétète avait distingué les puissances commensurables
en longueur d'avec les incommensurables^, et avait divisé les es-
' ^ Voir Platon, Théétète, page i43» E et suiv, de l^édition d'Etienne.
* Comparer le passage d'Eutocius, cité page i.
' C'est-à-dire qu'il avait distingué les surfaces planes suivant -que les côtés des
carrés auxquels elles sont égales (ou, d'après la terminologie des anciens, «suivant
"%
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. lia
pèces très-connues des lignes irrationnelles d'après les diiîérentes
médiélées, assignant la médiale à la géométrie, la droite de deux
noms à rarithmélique, et l'apotonie à rharmonie\ comme cela
est rapporté et raconté par Eudèmo le Péfipatéticien^.
« Quant à Euclide, il se proposa de donner des règles rigou-
reuses qu'il établit relativement à la commensurabilité et à l'in-
commensurabilité en général; il précisa les définitions et les dis-
tinctions des quantités rationnelles et irrationnelles, il exposa un
que les lignes, les longueurs qui peuvent ces surfaces») sont commensurables ou
incommensurables. — Comparer Théétète, p. \lxq, D et suiv.
' Dans le second livre de son commentaire (fol. 36 , reclo et suiv. du ms. arabe) ,
l'auteur donne à celle découverte de Théétète des développements ultérieurs, et dé-
montre que toutes les irrationnelles formées par addition peuvent être construites
au moyen de la pfoportion arithmétique , et toutes les irrationnelles formées par
soustraction au moyen de la proportion harmonique.
Quant à la médiale, on a vu ci-dessus (S 5) qu'elle est la moyenne géométrique
entre deux lignes rationnelles commensurables en puissance seulement.
Quant aux irrationnelles formées par addition , on sait que , si i est la moyenne
x-\-y
arithmétique entre x et y, on a i = . En donnant donc k x ai y successive-
ment les valeurs développées ci-dessus (SS 5 à 7), on obtient les irrationnelles for-
mées par addition.
Quant aux irrationnelles formées par soustraction, on sait que, si i est la moyenne
harmonique entre x et y, on a i = . En donnant à a; et j les valeurs ci-dessus ,
x-+-y
on aura au numérateur un espace rationnel ou médial , et au dénominateur succes-
sivement les différentes irrationnelles formées par addition. Or l'auteur démontre, ^
dans le second livre de son commentaire, un très-beau théorème, qui est la géné-
ralisation des propositions 1 13 à 1 15 du dixième livre d'Euclide, à savoir que, si un %^
espace rationnel ou médial est compris sous deux droites, dont l'une est une des
irrationnelles formées par addition, l'autre droite sera l'irrationnelle correspondante
formée par soustraction (voir ci-dessous, S 20, n" 11 et 12). Il en résulte que
2 a; y
notre ligne i = représentera successivement les irrationnelles formées par «^
soustraction , lorsqu'on donne successivement à a: et j les valeurs ci-dessus déve-
loppées. '♦
^ Voir Proclus, Commentaire du premier livre des Eléments d'Euclide, édition de
Bàle, i533, p. 35, 1. 7; p. 92 , 1. 1 1 ; p. 99, 1. 28. — Le Commentaire d'Eutocius,
p. aoA de l'édition d'Oxford des Œuvres d'Arckimède. — Fabricii Bibliollieca Grœca,
W édition, Hambourg, 1793, vol. 111, p. 464 et 492.
5. * ^# êfe*
J
4'^
JmM
36 ESSAI D'UNE RESTITUTION
grand nombre d'ordres des quantités irrationnelles, et, en dernier
lieu, il démontra clairement toute leur étendue ^
« Enfin , Apollonius distingua les espèces des irrationnelles or-
données, et découvrit la science des quantités appelées (irration-
nelles) inordonnées, dont il produisit un très-grand nombre par
des méthodes exactes. »
II.
s n,
n Apre* s'être occupé de l'examen et de la construction de la
ligne médiale, et après avoir consacré (aux sujets précédemment
mentionnés) une partie considérable (du dixième livre), Euclide
commence la discussion des lignes irrationnelles formées par com-
position et par division^, en faisant l'application de ses recherches
antérieures sur la commensurabilité et l'incommensurabilité; car
la commensurabilité et l'incommensurabilité existent aussi dans
les lignes formées par addition et par soustraction^.
« La droite de deux noms est la première des lignes formées
par addition, parce qu'elle est la ligne qui a le plus d'affinité avec
la ligne rationnelle; car elle est composée de deux lignes ration-
nelles commensurables en puissance. De même, l'apotome est la
première des lignes formées par soustraction, parce qu'on la
forme en retranchant d'une ligne rationnelle une ligne rationnelle,
' Par celte dernière observation, l'auteur fait allusion à la proposition 116 du
dixième livre.
* Telle est la signiilcation littérale des deux mots arabes employés dans le texte;
je me servirai dans ]a suite des termes addition et soustraction, pour éviler des
malentendus.
^ En efièt, on a vu ci-dessus (S§ 5 et 6) que les deux parties constitulives , a; et
y, de chaque irrationnelle sont commensurables ou incommensurables en puissance ;
en outre, les lignes irrationnelles elles-mêmes sont commensurables ou incommen-
surables enlre elles, selon qu'elles sont de même espèce ou d'espèces différentes
(voir Euclide, Eléments, X, propositions 67 à 71 et loA à 108).
m
':#'
■*'•
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 37
commensurable en pulssanceà la ligne entière. Car nous construi-
sons la ligne médiale en prenant un côté rationnel et une diago-
nale proposée \ et en trouvant la moyenne proportionnelle entre
ces deux lignes; nous construisons la droite de deux noms en
ajoutant le côté à la diagonale , et nous construisons l'apotome en
retranchant le côté de la diagonale.
« Il faut aussi qu'on sache que , non-seulement lorsqu'on joint en-
semble deux lignes rationnelles et commensuraLles en puissance,
on obtient la droite de deux noms, mais que trois ou quatre
lignes produisent d'une manière analogue la môme chose. Dans le
premier cas, on obtient la droite de trois noms, puisque la ligne
entière est irrationnelle; et, dans le second cas, on obtient la
droite de quatre noms, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. La dé-
monstration [de l'irratibnnalité] de la ligne composée de trois lignes
rationnelles et commensurables en puissance est exactement la
môme que la démonstration relative à la combinaison de deux
bgnes ^.
« Mais il faut recommencer encore et dire que nous pouvons,
non-seidement prendre une seule ligne moyenne entre deux lignes
commensurables en puissance, mais que nous pouvons en prendre
trois ou quatre, et ainsi de suite jusqu'à l'infini , puisque nous
' C'est-à-dire, en construisant un carré sur une diagonale qui est la ligne pro-
posée comme rationnelle (voir Euclide, Eléments, X, déf. 5), carré dont le côté
sera rationnel, mais commensurable en puissance seulement avec la diagonale (voir
ibid. prop. 117). De celte façon, on obtient deux droites rationnelles commensu-
rables en puissance seulement, c'est-à-dire les deux éléments nécessaires à la cons-
truction de la médiale, de la droite de deux noms, et de l'apotome (voir ci-dessus,
S 5).
Je fais observer que le mot arabe qui a été traduit par diagonale, signifie aussi
diamètre. Or, soit AB la droite proposée comme rationnelle, et prenons sur AB
la partie AC rationnelle et commensurable en puissance seulement kAB. Si l'on
décrit sur AB comme diamètre un demi-cercle, et si l'on élève au point C une per-
pendiculaire à AB qui coupe le demi-cercle en D, AD==\/AB.AC sera la médiale,
AB-\-AC la droite de deux noms, et BC=AB — AC l'apotome. Ce serait là une
autre manière d'interpréter les expressions un peu vagues du texte.
' Voir Euclide, Éléments, X, proposition 87, et ci-dessous, p. hi et 42-
I o
H^Y^i^
f
-|op+fi^7^(«f
^ j^'\<l^'\l«t~
~ e
-"7
P^>
7^t^V^
-' ^
'^-'^^
38 ESSAI D'UNE RESTITUTION
pouvons prendre entre deux lignes droites données quelconques
autant de lignes que nous voulons, en proportion continuel
« Et^, de même, dans les lignes formées par addition, nous pou-
vons , non-seidement construire la droite de deux noms , mais nous
pouvons aussi construire celle de trois noms^ ainsi que la première*
' Si , entre deux lignes données , A- et k' , on prend m moyennes proportionnelles ,
de sorte que :
fe : Zi = il : ij = ij : Z, = = i„_i • lm = L- k',
on trouve facilement qu'on a
et
l =1
l k' =1
k.
puis, en éliminant /„^, entre ces deux équations, on trouve
l =h . k'
ou
Lorsque A: et k' sont deux lignes rationnelles commensurables en puissance seu-
lement , h sera de la forme y^a"-*-^-". b" . — Relativement à la manière dont les an-
ciens trouvaient un nombre donné de moyennes proportionnelles entre deux droites
données, voyez Archimède, édition d'Oxford, p. iA4 et suiv.
^ Comme le passage qui commence ici doit servir de base à une partie des con-
jectures que j'aurai à faire par la suite sur la nature des quantités irrationnelles
traitées par Apollonius, et que, par conséquent, il m'importe de le faire connaître
au lecteur aussi exactement q'ie possible , j'en fais suivre ici une traduction latine
littérale :
« Ac simiiiter in iis quae fiunt per compositionem , non solum licet nobis efficere
« lineam ex binis tantum nominibus , sed etiam licet nobis efficere eam quae est ex
« ternis nominibus, et eam quae est ex ternis mediis, primam et secundam, et eam
« quae est ex ternis lineis rectis incommensurabilibus potentia , quarum una efficit
« cum unaquaque duarum (reliquarum) summam quadrati productam ex ambabus
« rationalem et rectangulum quod fit ex ambabus médium , ita ut évadai major
« composita ex ternis lineis. Et simili ratione evadit linea quae potest rationale ac
«médium (composita) ex ternis lineis, et eodem modo ea quae potest bina média. »
^ Voir ci-dessous, p. 4i et ^2.
* Voir ci-dessous, p. A 2 et 43.
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 39
et la seconde^ de trois médiales; puis, la ligne composée de trois
droites incommensurables en puissance et telles que l'une d'elles
donne avec chacune des deux autres une somme des carrés ration-
nelle, tandis que le rectangle compris sous les deux lignes est médial,
de sorte qu'il en résulte une majeure composée de trois lignes^.
'='5'" "-</-, '=\l7T'
x^ : y = a x" : z' = ab y* : z* = b
* x* H-/' = a a;* -4- z» = 6 yzs=.\J c
Ou bien
aH-6 l/b — ay
-=Y/(t-«)î-c±.yy(iz:^)Vo .
jrz == y/c.
ai' -{- y*= a a;' -j- z* = 6 *7 = y^
/
Hl^yN^Vfc^/^.
ESSAI D'UNE RESTITUTION
<?
Et, d'une manière analogue, on obtient la droite qui peut une
<x/o
0<3O
0 /<
^=VFvt^ ^=V;-v/f^ -\Hînf
>0
?
•^^X ZL ■^' . médial. On pourrait aussi tirer de 3° et 4°
On obtient des formules tout à fait analogues à ces dernières, en remplaçant
xy = \Jc par xz = \Jc.
Si l'on voulait interpréter le texte de façon à y voir énoncé les équations sui-
vantes :
3° xy = \/c W xz = \Jd
ces conditions seraient incompatibles ; car, de i°, 2° et 3°, il suit, comme on vient
c , ce qui n'est pas un espace
xr^ [y^ — z^)=-c — d ou j' — 2* = -
c — d
}h J^
Irm
et l'on aurait en même temps
donc
ic^-^y =r a;
c — d
xr -\- z^ = a
a fa^
2 V à
ce qui n'est pas un espace rationnel.
'to
I Je-^ 7 -^l
1^
b
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fl 0 0 » o
•K _v
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 41
rationnelle et une m édi aie, composée de trois droites \ et de même
celle qui peut deux médiales^.
« Car, supposons trois lignes rationnelles commensurables en
puissance seulement. La ligne composée de deux de ces lignes, à
savoir la droite de deux noms, est irrationnelle, et, en consé-
quence, l'espace compris sous cette ligne et sous la ligne restante
est irrationnel , et, de même, le double de l'espace compris sous
ces deux lignes sera irrationnel. Donc, le carré de la ligne entière,
Si l'on déduit les expressions pour x, y, z des trois conditions
X* -'r y"^ = a ^y = y^ ^^ = V ^ »
_^^_±jEEFÎ^s[ZJÏIL^sj
a ± yV— 46 ai y' a' — 4 6
el (x -^- y -i- zY == a -+- 2 \ \/b -\-\/ c \ -\ \ 2 \/b~c -+■ c \ .
a ± y/a»— 4 b
*
Cette combinaison produit une ligne composée x -}-y -^ z dont le carré ne con-
tient plus des racines de racines, tandis que les combinaisons précédentes ont
l'inconvénient de conduire à des lignes dont le carré contient encore des racines d'ex-
pressions irrationnelles. C'est pourquoi je ne suis pas éloigné de croire que la com-
binaison a;* -h- j^ = a , xy =^ y't , a; z = \J c est réellement celle qui avait été adoptée
par Apollonius, dans sa généralisation des théories d'Euclide. Il est vrai que notre
texte s'oppose à cette supposition , parce qu'il parle expressément de « la somme
des carrés de l'une de ces lignes avec chacune des deux autres; » mais, dans ce qui
suit, j'aurai l'occasion de faire remarquer que l'auteur ne paraît pas avoir toujours
mis un très-grand soin à reproduire avec une exactitude rigoureuse les énoncés des
généralisations dont il donne ici une indication rapide. (Voir la deuxième note de
la page Aa et S 17.)
' x* -f- j* = \^ a x* -f- î* = \Jh X y= c
;--
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$ Id^ ^oO
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42 ESSAI D'UNE RESTITUTION
composée de trois lignes, est irrationnel, et, conséquemment, la
ligne est irrationnelle, et on l'appelle droite de trois noms^
- « Et, si l'on a quatre lignes commensurables en puissance , comme
nous l'avons dit, le procédé sera exactement le même; et on trai-
tera les lignes suivantes d'une manière analogue.
« Qu'on ait ensuite trois lignes médiales commensurables en
puissance , et dont l'une comprenne avec chacune des deux autres
un rectangle rationnel^; alors la droite composée des deux lignes
est irrationnelle et s'appelle la première de deux médiales; la ligne
restante est médiale , et l'espace compris sous ces deux lignes est
' [\fa-{-\Jh -Jr-\/c]^=^[\Ja-^\/h]^-^ 2 \\Ja-h\Jh\\Jc -\- c , où l'une des trois
quantités a, h, c peut être un carré. — Cette démonstration n'est pas tout à fait ri-
goureuse. Quant au terme a j \Ja ■+■ \Jh \\Jc , il est égal à la somme des deux espaces
médiaux \Jk ac -\- \//i bc, et, par une démonstration analogue à celle de la 27° pro-
position du X' livre d'Euclide, on prouvera que la somme de deux espaces mé-
diaux est irrationnelle. D'un autre côté, on a démontré (X, 87) que le carré
(t/^-l-i/ï)* est irrationnel. Mais il n'est pas généralement vrai que la somme de
deux espaces irrationnels soit irrationnelle. 11 reste donc à démontrer que la somme
formée des deux espaces irrationnels (i/^_|_i^)* et 2 ! v/a -+- \/6 | \/c 6t de l'es-
pace rationnel c, est irrationnelle.
^ Ces deux conditions sont incompatibles; car, supposons Irois lignes, x, y, z,
dont l'une, x, comprenne avec chacune des deux autres un rectangle rationnel;
on aura xy = m , xz = n\ donc j : z = m ; n ; c'est-à-dire , j et 2: ne seront plus
commensurables en puissance seulement, mais aussi en longueur. Il faut donc recti-
fier l'énoncé du texte de la manière suivante : « Qu'on ait trois lignes médiales ,
dont l'une soit commensurable avec les deux autres en puissance seulement, et
dont la même comprenne avec chacune des deux autres un rectangle rationnel, etc. »
On aura alors :
xy=h
s/a.
x:z=x:{py)=
P
X z =^x . (pj) = p b
donc
et
'=V/^ .=\/-i .=,Y^±
X -+-y -\- z)^ = [x -\- j)^ -^ 2 [x -{- y) z -{- z^.
Des trois termes de cette dernière somme, le premier est irrationnel (X, 38);
le second se compose de l'espace 2 x z qui est rationnel, et de l'espace 2 y z qui
Q
i
-y^ -f^î-
€>
y}
P-
ty
i
r
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. k'S
irrationnel. Conséquemment, le carré de la ligne entière est irra-
tionnel. Le reste des autres lignes se trouve dans les mêmes cir-
constances. Les lignes composées s'étendent donc jusqu'à l'infini
dans toutes les espèces formées au moyen de l'addition.
« De même, il n'est pas nécessaire que, dans les lignes irration-
nelles formées au moyen de la soustraction, nous nous bornions
à n'y faire qu'une seule soustraction, de manière à obtenir l'apo-
tome, ou le premier apotome de la médiale, ou le second apo-
tome de la médiale, ou la mineure^ ou la droite qui fait avec une
surface rationnelle un tout médial, ou celle qui fait avec une sur-
face médiale un tout médial; mais nous pourrons y effectuer deux
ou trois ou quatre soustractions.
« Lorsque nous faisons cela, nous démontrons, d'une manière
analogue à ce qui précède, que les lignes restantes sont irration-
nelles, et que chacime d'elles est une des lignes formées par sous-
traction. C'est-à-dire que, si d'une ligne rationnelle nous retran-
chons une autre ligne rationnelle commensurable à la ligne entière
en puissance , nous obtenons pour ligne restante un apotome ; et
si nous retranchons de cette ligne retranchée et rationnelle, qu'Eu-
clide appelle la congruente (-nypocrapiuio^otio-a), une autre ligne ra-
tionnelle qui lui est commensurable en puissance, nous obtenons,
comme partie restante, un apotome: de même que, si nous re-
tranchons de la ligne rationnelle et retranchée de cette ligne une
autre ligne qui lui est commensurable en puissance, le reste est
un apotome ^ Il en est de même pour la soustraction des autres
lignes.
est irrationnel; le troisième est le carré d'une ligne médiale, et, par conséquent,
irrationnel. On obtient en définitive
/ b ( I
x-^y-^-t = \/—::) a -+-(/> -i-i)M^-26(/)-i-i).
^ \/o.[ )
* C'est-à-dire que si l'on forme successivement les différences y/â — \/b ,y/t — \/c ,
y/c — \/d, etc., toutes ces expressions représenteront des apotomes. On se serait
attendu , sans doute , à voir l'auteur former et discuter les expressions suivantes :
(v/â— ^6)— V^, Kv/^ — v/6> — v/^l— v/d, etc.
6.
^^^
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o o
^ ^^l t>.y
kk ESSAI D'UNE RESTITUTION
V y ^' " ^ ^^^ donc alors impossible de s'arrêter, soit dans les lignes
bs'
u ^5 formées par addition, soit dans celles formées par soustraction;
CVp i-S^Çil '^^ D M S-K "^^^^ ^^ procède à l'infini, dans celles-là, en ajoutant, et dans
V / ) -/ celles-ci, en ôtant la ligne retranchée. Et, naturellement, l'infinité
^ \ 1 XTo ^^® quantités irrationnelles se manifeste par des procédés tels que
-^ les précédents, vu que la proportion continue ne s'arrête pas à
un nombre déterminé pour les médiales, que l'addition n'a pas de
fin pour les lignes formées par addition, et que la soustraction
n'arrive pas non plus à un terme quelconque. »
III.
S 12.
« Voici maintenant, en peu de mots, ce qu'il faut qu'on sache
au sujet de Mordre des irrationnelles.
« En premier lieu, Euclide nous a donné (la théorie de) celles
d'entre elles qui sont ordonnées et homogènes aux rationnelles ; car
les irrationnelles se divisent premièrement en inordonnées , c'est-à-
dire celles qui tiennent de la matière qu'on appelle corruptible,
et qui s'étendent à l'infini; et, secondement, en ordonnées, cpii
forment le sujet limité d'une science, et qui sont aux inordonnées
comme les rationnelles sont aux irrationnelles ordonnées. Or Eu-
clide s'occupa seulement des ordonnées qui sont homogènes aux
rationnelles, et qui ne s'en éloignent pas considérablement; en-
suite Apollonius s'occupa des inordonnées, entre lesquelles et les
rationnelles la distance est très-grande.
« En second lieu, il faut qu'on sache que les irrationnelles sont
produites de trois manières : au moyen de la proportionnalité, au
moyen de la composition (addition), ou au moyen de la division
(soustraction), et pas d'une autre manière du tout, hormis ces
trois manières; car les inordonnées ne sont dérivées des ordonnées
qu'au moyen de ces méthodes. Or Euclide n'a trouvé qu'une
seule ligne irrationnelle au moyen de la proportionnalité, six au
moyen de la composition, et six au moyen de la division; et à
ceci se borne le nombre entier des irrationnelles ordonnées. »
\>2>^
OA-,^v^ . , ^ -\
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 45
IV.
S 13.
« Nous avons aussi acquis une connaissance suffisante de ce que
le nombre des irrationnelles est grand, ou plutôt infini; c'est-à-
dire le nombre des irrationnelles formées par addition et par
soustraction, et de la ligne niédiale elle-même, ainsi que le dé-
montra Euclide, attendu qu'il énonça que de la ligne médiale il
résulte d'autres lignes irrationnelles infinies en nombre par rap-
port à fespècddes lignes précédemment décrites^; mais, si de la
ligne médiale on déduit mie infinité de lignes, que dira-t-on au
sujet de celles qu'on déduit des autres lignes irrationnelles suivant
Tordre ou en négligeant l'ordre ? Il est évident pour chacun qu'on
peut dire qu'il en résulte un nombre de lignes infiniment de fois
infini. »
ESSAI D'UNE RESTITUTION CONJECTURALE DES TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS
SUR LES QUANTITÉS IRRATIONNELLES.
I.
S 14.
Avant d'esquisser l'essai d'une restitution conjecturale des dé-
veloppements donnés par Apollonius à la théorie des quantités
irrationnelles, développements qui doivent avoir consisté essen-
tiellement dans une généralisation de la théorie d'Euclide, il sera
nécessaire de jeter encore un coup d'œil sur les traits généraux
et sur les points essentiels des constructions de ce dernier géo-
mètre.
' C'est-à-dire, il en résulte une infinité d'irrationnelles, dont aucune n'est de la
même espèce qu'aucune de celles qui la précèdent. [Eléments, X, 1 16.) — Toutes
ces lignes ont la forme de la médiale, ce sont des médiates d'ordres supérieurs.
Notre auteur peut donc dire avec raison que le nombre des médiates est infini,
aussi bien quo-celui des irrationnelles formées par addition et par soustraction.
46 ESSAI D'UNE RESTITUTION
Comme d'un côté les noms donnés par Euclide aux différentes
espèces d'irrationnelles sont en partie d'une longueur gênante, et
que, d'un autre côté, les remarques que j'aurai à faire porteront
toujours à la fois sur l'espèce formée par addition et sur l'espèce
correspondante formée par soustraction, je désignerai, dans la
suite, les irrationnelles construites dans les propositions 87 et 7^,
38 et 76, 89 et 76, 4o et 77, 4i et 78, 4^2 et 79 du X^ livre,
respectivement comme la l'^^ 2% 3% 4% 5% 6® irrationnelle d'Eu-
clide.
Pour toutes ces lignes, le but constant des démonstrations
d'Euclide est de prouver que chacune d'elles peut un espace qui
n'est ni rationnel, ni médial. Or l'espace que peut la ligne a; :±zy,
c'est l'expression
x^ -\- y* dz 2 xy = S ± 2 R,
si nous désignons par S la somme des carrés des deux éléments
de la ligne, et par R le rectangle compris sous eux;
donc
X dtiyz= y/5±2~fî .
Euclide ne définit d'une manière positive que deux genres d'es-
paces, l'espace rationnel et l'espace médial. Ces deux genres d'es-
paces donnent lieu à quatre combinaisons pour la nature de la
somme S àz 2 R:
1** S rationnel et R rationnel ;
2° S rationnel et R médial ;
3° S médial et R rationnel ;
4^** S médial et jR médial.
La première combinaison doit être rejetée, parce qu'elle ren-
drait la somme S zh 2 R rationnelle ; et la quatrième doit être as-
sujettie à la condition que SetR soient incommensurables, parce
que sans cela la somme S dz 2 R serait médiale.
On exclut les cas inadmissibles par une seule condition géné-
rale , en demandant que SetR soient incommensurable» entre eux.
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. «7
De cette manière , on aura
x' -f- j' = a ary = \Jh
3
_. /a-t-v/a»— 4 6 , 4 U — sf^
ce qui est la 4" irrationnelle d'Euclide.
2** X» -H / =^ y/a xy = b
^±j=V^^ — ^1 ± V^^ — 1 '
ce qui est la 5^ irrationnelle d'Euclide.
^-1- ^v/â-f-v/a-4 6 _^ /^â-v/a-4i_
ce qui est la 6^ irrationnelle d^Euclide.
Les combinaisons possibles sous les circonstances données étant
ainsi épuisées, on se demande naturellement d'où viennent main-
tenant les trois premières irrationnelles d'Euclide.
Or celles-ci ne sont, en effet, que des cas particuliers des trois
dernières, spécifiés par la condition que les deux éléments x et
y doivent être commensurables en puissance, ce qui est compa-
tible avec la condition que les espaces S Qi R soient incommen-
surables; car de
on tire H
[x^ H-/) '.ocy:=[m -\-n) : yJrm^.
' Naturellement, l'inverse n'a pas lieu. De [x^ H- y*) : xy = i/m on lire a^ i^^aa
j — . Dans les trois cas généraux [x^ -t-J'*)* sera une quantité rationnelle,
mais y* sera irrationnel (dans l'acception moderrte de ce terme). Au contraire, dans
les trois cas particuliers où y est une droite rationnelle ou médiale (S 5), y* est
eEFecliveraent rationnel (dans l'acception moderne de ce terme).
48 ESSAI D'UNE RESTITUTION
Aussi nous avions remarqué ci-dessus (S 6) que la commensu-
rabilité en puissance des éléments x ety est cette exception à leur
incommensurabilité , qui a lieu dans le cas particulier où l'expres-
sion Q* — 4 Q^ est le carré d'une quantité rationnelle. Or, Q n'é-
tant autre chose que le quotient —^ de — = —, il suit effec-
) .
Nous n'avons donc qu'à faire (a;* -h J*) : xy == [m ~{- n) : \/mn,
pour dériver des trois dernières irrationnelles d'Euclide les trois
premières suivant l'ordre.
Pour cela, nous posons,
1° a = m-h- n b ■=mn;
ces valeurs, substituées dans l'expression de la à^ irrationnelle,
donnent
X d- y:= \frn rt \Jn;
ce qiii est la ij* irrationnelle d'Euclide.
2** a-=[m-\-nfmn b = mn;
ces valeurs, substituées dans l'expression de la 5^ irrationnelle,
donnent
X àzy=: y m \/mn dz \n K/mn;
ce qui est la 2^ irrationnelle d'Euclide.
3° a = m-hn b =
m-i- n
ces valeurs, substituées dans l'expression de la 6^ irrationnelle,
donnent
m
X zh y = sj =b i/ " ;
ce qui est la 3^ irrationnelle d'Euclide.
-lij>
DE TRAVAUX! PE>i\DU S DA'POLLOMUS. 4ft]
IL
Voici' ruaintenaint les' définitions et la disciïssion des irration- ^
nelles généralisées que je suppose avoir formé le sujet des tra-
vaux d'Apollonius.
1° La somme de n droites rationnelles commensarables en puissance
seulement, et comprenant deux à deux un rectangle médial :
\7a-{-\/b^-h\/c~\-\/d-^- .....
L'espace qme peut cette ligne ^ la forme suivante :
a-^b-h-c^-dlp'\f'!^':4:
-f- 2 |y/a6 -}- y/ac -+- y/ôrf-f- . . . -f-y/ôc -f- y/6rf-+- . . .-f-y/crf
2"^ La somme de n droites médiales, dont l'une est commensurable
avec toutes les autres en puissance seulement, et dont la même com-
prend avec chacune des autres un rectangle rationnel: ^
. / 7= /7F - foc* fâë
yaWm -f- W— -h \/l= -h' V-7= -^ ;
-f- ^ yf \/^ V y/m . V 0n
L'espace que peut cette ligne a la forme suivante :
-^ \m-h{b-hc-hd-j- Y\-h2a{b-hc-h-d-^ ).
3° La somme de n droites médiales commensarables en puissance
seulement, et comprenant deux à deux un rectangle médial :
V/a \Jm -+- sjb \Jm -+- sjc sJrH -+- \Jd\Jm -\-
L'espace qjie peut cette ligne a la forme suivante,î^~^=^~
j a -I- 6 H- c -\-Â -i- . . , . . -H .
+ 2 (sjâb+sjâc+yjâd-]-. .'.'^\fbc-^\fbd+ . . . +\/cd-\- . . . ) j \Jm.
>«
% ^
#
50 - ESSAI D'UNE RESTITUTION
On voit que cette ligne n'est autre chose que la première irra-
tionnelle généralisée multipliée par^m, en sorte que la première est
ce cas particulier de la troisième qui a lieu lorsque m est le carré
w^ * ou le carré du carré d'une quantité rationnelle. C'est ce que nous
avions déjà remarqué ci-dessus (§ 5), car on a
■#.
sâ ^
et, dans le cas de m = n\ ou de m = — , mn' sera le carré d'une
quantité rationnelle.
Ix^ La somme de n droites dont l'une est incommensurable avec toutes
H les autres, et dont la même donne, avec une des autres, une somme
f.. des carrés rationnelle, et comprend avec chacune des autres un rectangle
» médiat: v\/-f ju /- bsjw-;
ce
a
a s
sj a^ — Ixh ^ a ± y' a' — 4 6
û. ± \/ a' — kh
^^ L'esjpacè que peut cette ligne a la forme suivante i'^*^'' "^ ^ ^'
] ,
A*
a dsz y'- a" — 4 6
v/6 -f- v/ç -h \/d
5° La somme de n droites dont l'une est incommensurable avec toutes
les, autres j, et dont la même d^nne, avec une dév autres, une somme des
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 51
carrés médiate , et comprend avec chacune des autres un rectangle ra-
tionnel :
a'-t-(3* = Y/â, oi^ = b,ay==c,OLS=d,, , . ^ . . .
QL-{-^-hy -\-S-+- =
^ 1 ' i AT -f- » /« /. hi '
2 c
. / Td^ ~
-f- V-7= — -f-
L'espace que peut cette ligne a la forme vsuivante :
2 \b-i-c-\-d-\- , . . \-h\/â-\-
-h— — )o.blc-^-d-i- )-^[c-\-d-h )M.
6° La somme, de n droites dont Fane est incommensurable avec
toutes les autres, et dont la même donne, avec une des autres, une
somme des carrés médiate, et comprend avec chacune des autres un
rectangle médiat:
a'-h|S» = y^, a^ = )Jb, ay = \/c, aS=\/d,
QL-^-^-h-y-hS-h =
. I 7~d
-f- Vt= — -+- — v
L'espace que peut cette ligne est de la forme
y/â-h-2 \\fb-\'\Jc-^\/d.r\- I H-
7-
%
* m
r
■# *
52 ESSAI D'UNE RESTITUTION
Gomme ci-dessus, les trois premières irrationnelles sont des
cas particuliers des trois dernières, ce qu'on démontre au moyen
des mêmes substitutions.
Lorsque dans 4° on a
a = m-{- n b = mn,
on obtiendra i -
~ ~ T
Lorsque dans 5° on a
a := [m -}- nY mn b = mn ,
on obtiendra
Oi~h^-{-y-h-S-+- . =\/m \/mn-hJ-^-^J~^-{
' V m t/mn V m v/mn
V m y/mn
i/mn V m y i
m y mn
^^^ Lorsque dans 6° on a
\<i. ,w i.-
a = m -{- n
on obtiendra
"+ V^\A^ -t- V?V^
m -4-n
m -\- n.
io\ uf Oi) fao 9flsil 9il90 ÎJJ'
S 16. ^ J^
Je vais maintenant faire suivre encore une autre" conjecture sur
les formes de la 4^ 5^ et 6^ irre^tionneile généralisées, mais qui,
cependant, me paraît moins probable. \ |\
■*
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 53
l\° La somme de n droites incommensurables , dont l'une comprend,
avec une des autres, un rectangle médial, et donne avec chacune des
autres une somme des carrés rationnelle.
a'-{-^'=^a,a^=\/b, a'-{-y'==c, a'-^S» = d,
fa±T/^^TÏ , . / a zt Ja'—XT ^ / a ± v/a'— aÏ
=v — — — »-v« — — ^v« — -, — >-
+Y/7irïi^^+
L'espace que peut cette ligne a la forme suivante :
a-\-c-]-d-^ — [n — 2) ^ i-2^b-\-
-1-2 \)JcÇ>—<p'-h\/d(p — (f>'-+-
-hyjac — (a-\-c)(p-h(p' -+- \Jad — (a -+- d) <p -h Ç>' -h . . .
-i-\/cd--{c-hd)(p-h<p'-^ -h j,
ou
5° La somme de n droites incommensurables , dont l'une comprend,
avec une des autres, un rectangle rationnel, et donne avec chacune des
autres une somme des carrés médiale.
a»-t-(3^ = y/â,a^=:6,a»-f-y« = y/c,a»-f-^=y/3,
aH-|3-i-y-h^-h —
54 ESSAI D'UNE RESTITUTION
L'espace que peut cette ligne a la forme suivante :
^+^c^-v/S-^^ -(n-2) ^l±^lEB^2b-^
4-\/Y/a^-(y^ + y^)x+x'-»-V/v/«t^-(\/«+V^)x + X*+---
-+- V/v/c5 — {\/c-h\Jd) X -4- X^ H- -+- t'
où X = ^±V/F^^ et pe^_(;-è^)±Vf^-
6° La somme de n droites incommensurables, dont l'une comprend,
avec une des autres, un rectangle mèdial, et donne avec chacune des
autres une somme des carrés médiate.
a -H |3 -f- y -I- ^ -+- =
L'espace que peut cette ligne a la forme suivante :
\/â-+-V^-f-V^-i- — (w — 2)X^^-^-^— ^-f- 2 \Jh-\-
-f-2 \sj\jc-^ — -^' +- V/\/Sif— ^^-4-
-|-\/y/^— (y^-t-Y/S)^-|-;f/^-H H- |,
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 55
Voici ,, enfin ♦ une troisième combinaison que je considérerais
comme la plus probable de toutes, si elle s'accordait parfaitement)
avec la lettre du passage ci-dessus (p. 695 et 696) relatif à la
majeure composée de trois éléments. On demandera qu'il soit
OL'~i-^'-hy'-hS'-h =i4,
a^ = B, ay=zC, a.Sz=D,
et, si l'on pose
j?»_4_C»-f-/)*H- ^=(T,
on aura
^ . 2 ' > A±\J A^ — lia ^ A±\J A* — \a
,=/
A±\/ A^— k <t'
La ligne aH-fS-j-y-H-^H- représentera successive-
ment la 4^, 5^, 6*^, irrationnelle, selon qu'on donne à A, B, C,
D, les valeurs a, ub, k/c, \/d, ... ou y/a, b, c, d,. . . ou
\/a, v/6,\/c,\/5, Puis, dans les cas particuliers où l'on aura
respectivement a = m -\- n et cr = mn, ou a = [m -4- n)*. mn
mw)', OU a =zm-{-n et cr = , les trois dernières irra-
' m -f-n
tionnelles se transformeront dans les trois premières suivant
l'ordre.
S 17.
Quant aux irrationnelles d'Apollonius, formées au moyen de la
soustraction, elles ne peuvent avoir été que : ou bien, d'après notre
texte , des lignes de la forme a — 13 , jS — y, y — S, etc. ; ou bien ,
ce qui paraît plus probable, des lignes de la forme
({{o^-P)-y)-S)-
OÙ a, p, y, s, ... . représentent les expressions développées dans
ce qui précède.
56 ^''' ESSAI D'UNE. RESTITUTION
Si certaines expressions de notre texte pouvaient induire quel-
que lecteur à croire que les conditions générales pour la forma-
tion des lignes a — |3, jS — y, y — §, etc., étaient les suivantes
OL' -h ^' = A oi^ = A,
etc.,
où A, B, C, . . . Al, Bi, Cl . . . sont de la forme m ou y m; je
fais observer qu'on ne peut satisfaire à ces conditions que dans
des cas particuliers, attendu qu'il y a plus de conditions à rem-
plir que de lignes à déterminer.
III.
S 18.
Les généralisations des paragraphes précédents se rapportant
au nombre des termes; on y remplace les irrationnelles binômes
^ d'Euclide par des irrationnelles polynômes.
Il reste maintenant une autre généralisation à faire, qui con-
cerne le degré des irrationnelles, attendu qu'on peut désigner en
général les irrationnelles traitées par Euclide, même celles dis-
cutées dans la proposition 116 du X^ livre, comme irrationnelles
du second degré.
Mais si l'on voulait appliquer cette généralisation aux irration-
nelles polynômes considérées dans les paragraphes précédents,
on obtiendrait, pour les conditions qui servent à déterminer les
éléments de ces irrationnelles, des systèmes d'équations du troi-
sième degré ou de degrés supérieurs à plusieurs inconnues^; et,
comme tout ce à quoi les mathématiques grecques se sont élevées
* En outre, cette généralisation présupposerait la connaissance du développe-
ment de l'expression lei-^^-+-y-+-h-\ )", et ce développement ne présenterait
plus d'une manière simple et naturelle les conditions qui doivent servir à la déter-
mination des éléments a , |S , y, 8
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 57
en fait de résolutions d'équations supérieures se borne, d'après
nos connaissances actuelles, à la construction géométrique de
quelques cas particuliers d'équations du troisième et du quatrième
degré, il n'y a pas lieu de croire que la construction d'irrationnelles
polynômes de degrés supérieurs ait été tentée par Apollonius.
Mais les anciens possédaient des procédés pour trouver méca-
niquement la racine de l'équation binôme d'un degré quelconque,
ou, ce qui revient au même, pour trouver un nombre donné de
moyennes proportionnelles entre deux droites données ; et il ré-
sulte de ce que rapporte notre auteur, qu'ils n'ont pas manqué
d'en profiter pour considérer des irrationnelles de degrés supé-
rieurs.
Nous avons vu ci-dessus (p. 696) que ces irrationnelles étaient
de la forme
Or, comme on peut varier à l'infini les valeurs des deux nombres
entiers (!x et r, et comme pour les deux éléments yl et iî on peut
prendre, soit deux rationnelles, soit une rationnelle et une des
innombrables irrationnelles, considérées sous leur forme générale
dans les paragraphes précédents, soit deux quelconques de ces
irrationnelles, soit enfin les irrationnelles qui résultent de ces
substitutions mêmes, on voit que notre auteur est parfaitement en
droit de dire que le nombre des irrationnelles qu'on peut cons-
truire d'après les indications précédemment données par lui, est
« infiniment de fois infini. »
ANALYSE DU COMMENTAIRE DE VALENS SUR LE DIXIEME LIVRE
DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE,
PREMIER LITRE.
S 19.
1 . Esquisse historique du développement successif de la théorie
8
58 ESSAI D'UNE RESTITUTION
des quantités irrationnelles chez les Grecs ^ — Fol. 23 V
du manuscrit arabe.
2. Du fini et de l'infini comme principes de la commensurabi-
lité et de l'incommensurabilité. — Fol. 2 3 v** à 24 r°.
3. Aperçu de l'arrangement des propositions du dixième livre.
— Fol. 24 r° à 24 v°.
4. Différence du rapport de deux quantités finies en général,
d'avec celui de deux quantités commensurables , et celui
de deux quantités rationnelles. — Fol. 2l\. V^ k 2 0 v".
5. De la triade comme principe des quantités irrationnelles. —
Fol. 2 5 v°.
6. Examen comparé de la théorie de Théétète et de celle d'Eu-
clide sur les quantités commensurables en longueur et en
puissance , ou en puissance seulement. — Fol. 2 5 v° à 2 6 V.
7. De l'existence réelle des quantités incommensurables dans
les choses matérielles. — Fol. 26 v°.
8. Des principes métaphysiques (Dieu et la matière) de la com-
mensurabilité et de l'incommensurabilité. — Fol. 26 v° à
27 r°.
9. Que les lignes rationnelles existent par convention et non pas
naturellement. Qu'il existe des lignes rationnelles commen-
surables en longueur et cependant incommensurables en
longueur à la ligne proposée comme rationnelle. — - Foi. 2 7
r° à 2 8 r°.
1 o. Différence des opinions de Platon et d'Euclide sur la défini-
tion des lignes rationnelles. Classification des lignes ration-
nelles. — Fol. 28 r° à 28 V.
1 1 . De l'espace médial et de la ligne médiale. — Fol. 28 v° à
29 r**.
12. Des irrationnelles formées par addition et par soustraction,
et des développements dont la théorie d'Euclide est sus-
ceptible 2. — Fol. 29 r° à 3o r''.
' Voir ci-dessus , p. 34 et suiv.
' Voir ci-dessus, p. 36 et suiv.
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 59
i3. Division du dixième livre en treize sections, et indication
sommaire du contenu de cljacune de ces sections. — Fol.
3o r** à 3 I r".
SECOND LIVRE.
S 20.
1. De l'ordre des irrationnelles ^ — De la relation qui existe
entre les irrationnelles et les espaces qu elles peuvent. —
Fol. 3 1 v°.
2 . De la nature d'un rectangle compris sous deux droites , selon
que ces droites sont rationnelles ou irrationnelles, et com-
mensurables en longueur, ou en puissance, ou incommen-
surables. — Fol. 3 1 v° à 3 2 r°.
3. Des irrationnelles formées par addition. Examen des diffé-
rents cas que présente la composition de deux droites,
selon que ces droites sont commensurables en longueur,
ou en puissance, ou incommensurables, et selon que, dans
chacun des deux derniers cas, la somme de leurs carrés est
rationnelle, et le rectangle compris sous elles médial, ou
la somme des carrés médiale et le rectangle rationnel, ou
la somme des carrés et le rectangle tous les deux médiaux.
— Foi. 32 r°à33r°.
4 Pourquoi Euclide, dans le cas où les deux éléments sont
commensurables en puissance, les désigne, suivant leur
espèce, comme rationnels ou médiaux, tandis qu'il ne le
fait pas lorsque les deux éléments sont incommensurables.
— Fol. 33 r°.
5. Théorème. Lorsque deux lignes sont commensurables en
puissance, et que la somme de leurs carrés est rationnelle
ou médiale, les deux lignes seront rationnelles ou mé-
diales; si elles sont incommensurables, la même chose
Voir ci-dessus, p. l\lx,
8.
#*
60 ESSAI D'UNE RESTITUTION
n'aura plus lieu \ Démonstration de ce théorème. —
Fol. 33 v« à 34 r°.
6. Des irrationnelles formées par soustraction. Leur affinité avec
les irrationnelles formées par addition. — Fol. 3A r*'.
7 . Comme les irrationnelles formées par addition tiennent leurs
noms de la composition des espaces qu'elles peuvent, de
même, les irrationnelles formées par soustraction tiennent
les leurs de la division (soustraction) des mêmes espaces^.
Examen des six cas analogues à ceux du n** 3. Génération
des irrationnelles formées par soustraction au moyen de
deux espaces donnés. — Fol. 34 r° à 35 r".
8. Génération des irrationnelles formées par addition ou par
soustraction, au moyen d'un espace rationnel et d'un es-
pace médial, ou de deux espaces médiaux' qu'on combine
par addition ou par soustraction , et dont le plus petit ^ est
compris sous deux lignes, soit commensurables, soit in-
commensurables en puissance, et qui, ensemble, peuvent
le plus grand*. Cela donne lieu à douze cas, correspondant
aux douze irrationnelles. — Fol. 35 r° à 36 r°.
' Posons X : y = r , a;* -h y* = 5 ; on aura
—\Ji^ 'sl^
Lorsque a? et y sont commensurables en puissance, r* est rationnel dans l'accep-
tion moderne de ce terme, et, comme la ligne qui peut un espace rationnel ou
médial est elle-même rationnelle ou médiale, a; et j seront, en même temps que
s, rationnels ou médiaux. Lorsque, au contraire, a; et j sont incommensuredjles en
puissance, r* sera iri'ationnel, et, par conséquent, x ci y seront des lignes irra-
tionnelles.
* Si le carré d'une irrationnelle formée par addition s'exprime par S -+- 2 jR ^
celui de l'irrationnelle correspondante formée par soustraction s'exprime par
S— 2/î.
^ 2 JR; car on a toujours a;^ -t- j^ > 2 xy.
* Telles sont les expressions employées à plusieurs reprises dans le texte; pour
parler plus exactement , il faut dire que la somme des carrés des deux droites qui
comprennent la moitié de l'espace mineur est égale à l'espace majeur.
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 61
9. De la relation qui existe entre les trois genres d'irrationnelles
et les trois genres de proportions. Génération de la médiale
au moyen de la proportion géométrique , et des irration-
nelles formées par addition au moyen de la proportion
arithmétique. — Fol. 36 r'^à 36 v".
10. Génération des irrationnelles formées par soustraction, au
moyen de la proportion harmonique ^ — Fol. 36 v° à 3 7 V*.
1 I . Théorème. Lorsqu'un espace rationnel est compris sous deux
droites, dont l'une est une des irrationnelles formées par
addition, l'autre droite sera l'irrationnelle correspondante
formée par soustraction. Démonstration de ce théorème.
— Fol. 37 v° à 38 v°.
1 2. Démonstration du même théorème pour un espace médial ^.
Fol. 38 v«.
' Voir ci-dessus, p. 35.
* En posant
E
x-hj
on aura
E
X V =
af—f
«■+''= (73:7)' f'^^*'
Tant que E est un espace rationnel ou médial, et que x-^y représente une des
E?
/ E y
irrationnelles formées par addition , 1 — • I = — -
\x — j / [x ■
sera un
facteur rationnel, dans l'acception moderne de ce terme. La somme et le rapport
des carrés des deux éléments constitutifs , ainsi que le produit de ces deux éléments ,
c'est-à-dire les expressions qui, comme nous l'avons vu ci-dessus (SS 5 et 6), dé-
cident de la nature de l'irrationnelle composée de ces deux éléments , ne change-
ront donc pas de nature, lorsque de a; et j on passe à S et >;. En conséquence.
$ — r] sera une irrationnelle de la même espèce que x — y; c . 9 . /. d.
62 ESSAI DUNE RESTITUTION
i3. Des six droites de deux noms et des six apotomes; et des
relations qui existent entre les six droites de deux noms
et les six irrationnelles formées par addition d'un côté, et
entre les six apotomes et les six irrationnelles formées par
soustraction de l'autre côté. — Fol. Sg r° à 89 v°.
ik- Théorème. Le carré d'une quelconque des six irrationnelles
formées par addition, appliqué à une médiale, fait une
largeur qui est la première ou la seconde de deux mé-
diales. Démonstration de ce théorème. — Fol. 89 v** à
4i r°.
i5. Théorème. Le carré d'une quelconque des six irrationnelles
formées par soustraction, appliqué à une médiale, fait une
largeur qui est le premier ou le second apotome de la
médiale. Démonstration de ce théorème ^ — Fol. 4^1 r*^
à [\i r°.
16. Remarque sur l'application du carré de la médiale aux irra-
tionnelles formées par addition et par soustraction (voir
n*' 12); et sur l'application des carrés des irrationnelles for-
* En posant
on aura
[x^yY
== H±v
>
Sjm
v = -
2xjr
e:v' =
[x'-^f
{2xyY
T
.,:_ (-'
-t-/) • (2
xj)
\/m
Il résulte de ces formules que , tant que x et y représentent les deux éléments
constitutifs d'une des douze irrationnelles formées par addition et par soustraction,
$ et j; sont deux médiales commensurables en puissance seulement, et comprenant
un rectangle rationnel ou médial. Conséquemment, ^ ± v représentera toujours,
soit une première ou une seconde de deux médiales , soit un premier ou un second
apotome de la médiale (voir S 5) c . q ./• d.
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 63
mées par addition aux irrationnelles formées par soustrac-
tion , et réciproquement. L'auteur dit que la discussion des
largeurs produites par ces dernières applications donne lieu
à une foule de propositions et de théorèmes. — Coup
d'oeil jeté sur l'inflnité des irrationnelles ^ — En se servant
des théories exposées, on peut s'occuper du problème sui-
vant : « Une rationnelle ou une médiale et une irrationnelle
étant données, trouver la moyenne ou la troisième propor-
tionnelle. » — Fol. ^2 V**.
Voir p. 45.
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