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i
©
Ccojv^ <Ae&<^< —
N" d'ordre
741.
THÈSES
PRÉSENTÉES
A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS
POUR OBTENIR
LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES MATHÉMATIQUES,
Pae m. j. hadamard.
Ancien élève de l'Ecole Normale supérieure.
1'® THÈSE. — ESSAI SUR l'étude des ponctions données par leur développement
DE TaTLOR.
^ THÈSE. — Propositions données par la Faculté. •
Soutenues le 1892, devant la Commission d'examen.
MM. HERMITË, Président.
^,^.^^ 5 Examinateurs,
PICARD,
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Àugustins, 55.
1892
•AoJJ.-~^ ^.(o S"^.93,
^^'
^M^ôcolC
'<?
Ai iî 29 IC
■4CBR a KS^c0x.<.ilc<v6>
ACADÉMIETJE PARIS.
rrr^Cy^JUJ/ ,
FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS.
MM.
DOTEN DARBOUX, professeur. . .
PROFESSEURS HONORAIRES, j JJchIÏÏ^^^^
• [ DE LAGAZE-DUTHIERS.
Géométrie supérieure.
PROFESSEURS
PROFESSEURS ADJOINTS
SECRéTAIRIS
HERMITE
TROOST
FRIEDEL
G. BONNET
TISSERAND
LIPPMANN
HAUTEFEUILLE.
BOUTY
APPELL
DUGLAUX
\
BOUSSÏNESQ,
PICARD
POINCARÉ. ..
Yves DELAGE
BONNFER
DASTRE
DITTE
\ MUNIER-CIIAL.MAS
VVOLF
GFlATïN
JOLY
PHILÎPPON.
Zoologie, Anatomie, Physio-
logie comparée.
Algèbre supérieure.
Ghimie.
Chimie organique.
Astronomie.
Astronomie.
Physique.
Minéralogie.
Physique.
Mécanique rationnelle.
Ghimie biologique.
Mécanique physique et expé-
rimentale.
Calcul différentiel et Calcul
intégral.
Calcul des probabilités, Phy-
sique mathématique.
Zoologie, Anatomie, Physio-
logie comparée.
Botanique.
Physiologie.
Chimie.
Géologie.
Physique céleste.
Zoologie, Anatomie, Physio-
logie comparée.
Chimie.
18164 P.iRIS. — IMPAIMERIB GiUTHIER-VILL.4RS ET FILS, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 55.
\
MM. G. DARBOUX et J. TANNERY.
Hommage de reconnaissance.
J. HADAMARD.
PREMIÈRE THÈSE.
• ••• ^^ i t« •
ESSAI SUR UÉTUDE DES FONCTIONS
^•'^UTTT
PAR LE^R DËVELOPPEIQSNT DE TAYLOR.
.«• ^4
t t »
INTRODUCTION.
Le développement de Jaylor rend d'importants services aux pia-
thématiciens, en raison de sa grande généralité. Lui seul, en effet,
per.çnie;t de représenter une fonction analytique quelconque, à certains
cas .singuliers près.
Depuis les travaux d'Abel et de Gauchy, on sait qu'à toute fonction
régulière .dans un certain cercle correspond un 'développement de
Taylor, et réciproquement. C'est même ce développement que
M. Weierstrass, et, en France, M. Méray emploient pour définir la
fqnction.
;Un point a étant donné au hasard, on pourra, en général, former
une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de x-^a
et qui représentera notre fonction dans le voisinage du point a. Il
pourra y avoir exception pour certaines positions particulières du
point a. C'est à ces points particuliers que l'on donne le nom de
points singuliers.
On peut donc dire que se donner une fonction analytique non sin-
gulière au point x = o^ c'est se donner une, suite de coefficients a,,
H. , •
J. HADAMARD.
a., . . ., a,„, . . ., tels que la série ]^am^'" ne soit pas toujours diver-
gente. Cette série donnera la fonction dans l'intérieur de son cercle
de convergence, et d'ailleurs une fonction ainsi donnée est parfaite-
ment déterminée, si du moins, avec la valeur de la variable, on se
donne le chemin par lequel on y aboutit.
C'est, par exemple, sous cette forme que le théorème de Briot et
Bouquet fournit les intégrales d'un système d'équations différen-
tielles.
Mais, si ce mode de représentation est très utile pour démontrer
l'existence des intégrales, son emploi est très limité au point de vue de
l'étude de ces mêmes intégrales. Le développement de Taylor, en
effet, ne met pas en évidence les propriétés de la fonction représentée
et semble même les masquer complètement.
Cependant on connaît déjà des circonstances où ce développement
peut fournir de précieux renseignements difficiles à obtenir par d'au-
tres moyens. On sait, en effet, les remarquables propriétés arithmé-
tiques démontrées par Eisenstein et M. Tchebichcff sur les séries qui
représentent des fonctions algébriques ou exprimables par la combi-
naison de fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires en
nombre fini.
J'ai étudié la question à un point de vue différent, celui qu'indique
la théorie générale des fonctions, et d'après lequel le premier problème
qui se pose est la recherche des points singuliers. Ce problème est
d'ailleurs intimement lié à celui de la continuation de la fonction en
dehors du cercle de convergence.
Le développement de Taylor ne définit une fonction qu'à l'intérieur
d'un certain cercle, à savoir le plus petit qui ait pour centre l'origine
et qui passe par un ou plusieurs points singuliers. Si a désigne l'affixe
d'un point situé sur le rayon qui va de l'origine à un de ces points sin-
guliers, en ordonnant notre série, non plus suivant les puissances de x^
mais suivant celles de a; — a, le cercle de convergence de cette nou-
velle série sera compris entièrement dans l'ancien.
Il n'en sera pas de même si le rayon qui va de l'origine au point x = a
coupe la circonférence primitive en un point ordinaire, et, dans ce cas,
la nouvelle série permettra de calculer la fonction pour des valeurs
ESSAI SUR L^ÉTUDE DES FOTïGTIONS.
de X qui rendaient l'ancienne divergente. Si Ton veut étudier le pro-
longement de la fonction en dehors du cercle de convergence, il est
donc important de déterminer les points critiques situés sur ce cercle.
C'est cette détermination qui fait le principal objet du présent travail.
Il existe, à cet égard, une Note de M. Lecornu, insérée aux Comptes
rendus de V Académie des Sciences (*), D'après M. Lecornu, l'affixe
du point singulier est la limite vers laquelle tend le rapport de deux
coefficients consécutifs, lorsqu'on s'éloigne de plus en plus dans la sé-
rie. Malheureusement la démonstration donnée par l'auteur est dé-
fectueuse, et nous verrons qu'il y a de grandes réserves à faire sur le
théorème lui-même.
Quant à la méthode qui m'a servi dans cette recherche, les prin-
cipes sur lesquels elle repose sont ceux qu'a employés M. Darboux
dans son Mémoire bien connu : Sur l'approximation des fonctions
de grands nombres (^), dans un but inverse, il est vrai. Partant de
certaines séries dont les points singuliers sont connus, M. Darboux en
tire des conclusions relatives aux coefficients de ces séries. Mais le
principe fondamental du Mémoire, énoncé par son auteur de la façon
suivante : « La recherche de la partie principale des coefficients de la
» série dépend de la manière dont la fonction devient infinie sur le
» cercle de convergence », est celui-là même qui peut servir à l'étude
des points singuliers.
J'ai divisé ce travail en trois Parties :
Dans la première, après avoir introduit une notion préliminaire
indispensable pour la suite, je détermine d'une façon générale le rayon
de convergence. Les résultats obtenus conduisent immédiatement à
un critérium permettant de reconnaître dans certains cas la présence
d'un ou plusieurs points singuliers.
La deuxième Partie est consacrée à l'étude des discontinuités po-
laires. Lorsque la fonction n'a sur le cercle de convergence que de
telles discontinuités, on peut la prolonger analytiquement et la repré-
senter dans tout cercle où elle est méromorphe.
Dans la troisième Partie, je définis ce qu'on peut appeler V ordre
(*) Séance du 7 février 1887.
(*) Journal de Liouville, 3« série, t. ÏV.
M K\ \
J. HADAMARD.
dus, trbUvéî' les Jiôinls singuliers, et, dàhs \!àVà les cà'â, carcblêt la
fbnctioîi e& toiii poiiit ordinaire dii fcer'clé de cbtlVèrgeii'cfe i[* ).
iPtifeMlÈ^fe JPAîittiÈ.
1. InÔus aurons à nous foiill'er, dans ce qui va suiVré, §iir 'q'illéVcJti'è^s
principes simples relatifs aux suites infinies, et qiie je vais t'éôùlftèV
tout id^aborq.
Sôit fâ suite
OU «o> '^o • • •) "mj • • • désignent des nombres réels, mais quelconques
d^aîneurs.
11 peut arriver, comme premier cas, que cette suite renferme des
termes supérieurs a tout nombre donne ; ou encore, que tous les termes
aillent en augmentant Vridèlïnîment par Vâfeurs négatives.
Écartons pour le moment ces deux hypothèses. Nous Voyons qu'il y
aura lieu de répartir les nombres VèeTs, 'd'après leurs relations de
grandeur avec les quantités u^ d indice très grand, en deux catégories.
cer-
^ au
contraire, un nombre rJ appartiendra a la classe inférieure si notice
suite contient des termes de rang aussi éloigne qu'on vèùt,'èt qùi*'suf-
paâséntD.
i A est un nombre de la classe supérieure, il est clair que tous les
nombres àiipèrieûrs'à Aappartîéniient à la môme classe; pareillemient,
si le nombre B fait partie delà clas^semférièurè, ôn'peùt eh dire autant
de tous les nombres moindres aue jB.
(^) Plusieurs des résultats contenus dans le présent travail bnt été'commiroi-
qués à FAcadémie des Sciences (séances du 28 janvier 1^*8^ 'et' 3 u 'S Vvril 1^8*9).
ESSAI SUR L*É¥Ut)É DES FONCTIONS. 5
Or é'èèt hn fall bleft côttttU (fue, daiis ceà côftdîtlôtià, il exîrte un
norhbW l servant dé séparation eilt^e les deux dasses, éft sorte que Ift
première se compose des nombres plus grands que Z; la seconde^ d^s
nombres plus petits que / (* ). Pour déterminer ce nombre, on pourra,
par ekéniplé, cottiittéfacer p^r faine Jjrendre à un entier Uisérie des va-
leurs depuis — ob jusqu'à -^ 'ce. li arrivera un moment où cet entier
variable passera 4^ la blaêse inférieure dans la supérieure. Soient a^ «t
à| -h 1 1^ deuk tti^ttibres entiers <»nséÊUtifs qui appartienn^ôiit ainri i
dés lèàlég^'es différentes; On divisera rintervalitô (rt,>rt, 4- 1) en n
parties égaies et l'on trouvera deux nouveaux nombres «a? ^^a^ — >
difiPéraiit de - ^ettioni l'un ^^ un nofRbre 6. l'autre un nombre A. On
n
partage l'intervalle compris entre Ces deux nohibres fen n partie
égales; et poursuivant ainsi indéfiniment, on formera Une ^èrie d'in-
tervalles c'oihptîs les uns dans les autres et de plus en plus petits.
Ï3'après un tbéorènie coimïi, les nombres obtenus par ce procédé sont
lés valètilrè apptoc^ées d^^Ane même quantité, laquelle répond manifes-
tement à 'nôtre objèl;.
Cette quantité Z, telle que, potir toute valeur positive de e, î^ t
appartienne à là classe supérieure et / — e à la classe intérieure, sera
dite là 'limité supérieure de la suite (i) pour m infini^ ou simplement
la 'limité supérieicre (^ ).
Dans le cas précédemïn6n\ exclu, où une partie ^es termes de 'la
suite (i) augmenterait indéfiniment par valeurs positives, on bien
e'ncidrè lorSijùe tous iraient en au^èntant indéfiniment par valenrs
négà^tivés, rùne âe nos deux catégories di^arattrait et la définitioTi
(*) Les mois plus petits que, plus grands que n^excluent pas iciTégalité.
(*) On pourrait être tenté de prendre les mots limite supérieure dans le sens
qui leur est attribué en d^autres occasions (notamment lorsqu^on traite des fonc-
tidns d'une variable 'réelle) él qiïi est un peu différent àe celui-ci. En effet, il
faudrait alors ne ranger un nombre dans la classe supérieure que lorsqu'il est
plus gr^iid que tous les termes delà suite (i), et hoki pas seulement que les
'termefs d'îtftlfce'sutes^mhienférevé.
Nous serons donc obligé, lorsqu^on aurait à craindre une 'confusion, d'eûi-
^\t^ér\?i\6c\i\.ï6ïi*liniite sdpir'ieUtepôùr th V/i/7/u/quinie'peUt prêter à aucune
ambiguïté.
J. HADAMAHD.
précédente tomberait en défaut. La limite supérieure devrait être
regardée comme égale à -h x dans le premier cas, à — qo dans le
second.
2. e désignant toujours un nombre positif aussi petit qu'on veut, il
existe des quantités w,„, d'indice aussi élevé qu'on le voudra, com-
prises entre / e t^t / H- e, puisque, d'après la définition même de /, la
suite donnée contient des termes indéfiniment éloignés supérieurs à
/ - c, au lieu qu'à partir d'un certain rang elle n'en renferme plus de
supérieur i\ / -h 6. Donc on peuty dans la suite (i), trouver une suite
partirllr qui ait pour limite l. Bien entendu, il s'agit ici d'une limite,
absolument parlant, et non plus seulement d'une limite supérieure telle
que nous venons de la définir (*).
11 pmit même se trouver, comme cas particulier, que u,„ s'approche
indéfiniment de / pour toutes les valeurs de m suffisamment grandes.
11 en est ainsi, d'après la remarque précédente, lorsque, si petit que
soit c, rinégalité u^^ l — £ est vérifiée, à partir d'un certain rang,
pour toutes les valeurs de m et non pas seulement pour une infinité
d'entre elles. / devient alors pour la suite (i) une véritable limite, au
sens ordinaire du mol. Dans ce cas, il nous arrivera de dire que les
termes de lu suite {i) tendent régulièrement vers L Cette locution,
dont i\ lu rigue\ir on pourrait se pusser, aura l'avantage de bien mar-
(juer, sans uUongor le discours, lu différence qui existe entre ce cas
purtîoulier et le cas général.
Si lu suite donnée est à termes positifs, elle ne peut avoir o comme
limite suporieuiH> Si\ns tendre ivguliéixMuent vers cette limite. Car i/„,
est supérieur à ■ s, tjuel que soit m.
Nous ivmttiH|ueixms encore que la limite supérieure d'une suite n'est
^M I.A uotÙMi At limite ^upt^rieuiv que nous iniroduisons ici est en relatioo
*\eo l« théorie de* eusemldes.
i>u $«iil que M. i.^ulor dèlinit un r/t.«c*ifi/»/c litrnW dont fait partie toute quan-
tité «/ telle \|ue I ensemble |Mritnitif contienne une infinité de termes aussi voisins
quVu le veut de y.
l>«a« cette terminologie, notr« limite supèrieuoâ serait le plus grand élément
dtft Tensemble dèri\*é.
ESSAI SUR L ÉTUDK DES FONCTIONS. 7
pas altérée lorsqu'on augmente ou diminue les termes de quantités
infiniment petites pour m infini.
3. Au lieu de considérer des quantités m,„ dépendant d'un seul
indice, on peut introduire des quantités w^^i, ;„,,..., m ? où figurent j9 in-
dices indépendants /n<, /Wj, . . . , nip variables de o à H- qo, et définir
d'une façon tout analogue la limite supérieure de Ww„m„...,m pour
m, = mj = . . . =^ m^= 00. On formera, à cet effet, les deux classes
supérieure et inférieure d'après la règle suivante : un nombre A sera
rangé dans la première s'il est supérieur à toutes les quantités u dont
les indices m,, m^^ ..., nip dépassent tous un entier N convenable-
ment choisi ; un nombre B sera placé dans la seconde lorsqu'on pourra
trouver des u plus grands que B et dont les indices soient tous supé-
rieurs à tel entier qu'on voudra (*).
4. La notion de limite supérieure va nous permettre de déterminer
tout d'abord le rayon de convergence d'une série de Taylor, et de
résoudre ainsi d'une façon générale le problème traité par M. Le-
cornu (*) dans le cas où le rapport de deux coefficients consécutifs a
une limite.
Soit
(2) /(^) = «o-+-«i^-+"-- . -h a^nO?'" -I- . . .
une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x. Nous envi-
sagerons la suite à termes positifs
(3) |a,|, Iv/aa!, ..., y'^a„\
m )
(*) On sait {voir Gantor, Journal de Borchardt, t. 84, p. 242) que Ton peut
ramener le cas d^un ensemble à p indices au cas d^un ensemble à indice unique.
Il est à remarquer que cette assimilation ne s^applique pas dans la question
actuelle. La méthode de M. Gantor oblige effectivement à donner un rang élevé
à tout terme dans lequel un au moins des indices est très grand, au lieu que
nous ne devons considérer comme infiniment éloignés que les termes dans les-
quels tous les p indices auront de très grandes valeurs.
(*) Comptes rendus de L'Académie des Sciences, séance du 7 février 1887.
Si cette dereière mii^ QQUtknl (k? ts^rwje^ ^^gj^^nU^nl ^ndéfijûpne/it,
la série donnée n'est jamais convergenjp^ q^pllç ff}xe§gîlli^ Yi^^^Ugs.
Car il existera toujours des valeurs de m en nombre infini pour cha-
4)inie desquelies, | V^m| étant f)itts grand qu^ pLr» le teiwe copi^espon-
dant a„iX^ aura un module supérieur & i .
S. Ce cas doit donc être Wssé de côté, et bous devons supposer que
la suite (3) admet une limite supérieure /.
Dojinojis.a qp un module plus petit gue j.» ^oit -.- — Paf hypothèse,
f + ;^ appartient & la classe 'SupériewrepaF^Fapport à la ^ke/(3). Donc,
à partir d'un certaip rang, chaque auantité | a^ \ est plus petite que
/ -h - j et le module de yja^x"* est (et reste) inférieur à j — - > nombre
*fixe p^lus pefôt gue < , oe qui •montre ^ue la série "y^am^ o&t coftver-
gQntc.
AUvConteaice^ siiio.us dorwiçwQs.è.a^^un module 73-^ plus grand que
ji comme nous savons que, pour une infinité de valeurs de m,'| a^] est
supérieur à (/— £)'", la série Iia„,x"^ aurait une infinité de termes plus
grands que 1 : ce serait upe série diyergente.
Donc le rayo.n de convergence de notre série est p = j-
Si, en particulier, le rapport ^^"ty > .tend vfiiiSiune linùte, |'\/a„ii awa
la même limite, qui sera bien par conséquent, ainsi que Tavait énoncé
M, Lecornu, l'inverse du rayon de convergence.
Au lieu de | "\|a„^ , nous aurions pu considérer ( ' ) l'expression
—Xi I fl« i, qui est le logarithinc de,lii|prcccdqnte. La limite supérieure
de cette nouvelle quantité, pour m infini, aurait donné le loga-
rithme de /.
(*) ^A<^m\ désigne, cpflan[|e.d'h^l)îludeK!el|)gaçilhnie népérien de \ a« |.
ESSAI SUR L ËTUDlfi DES FONCTIONS. JJ
6. Un cas important est celui <>ù la quantité / est nulle, et où^ par
suite, I v^l ^^^ ^^^^ ^9 ^^"^^ ^^^ nous TavonB remarqué au n^ 2.
En ce casf pour toute valeur attribuée à a?, notre série est conver-
gente; car (en désignant par k un nombre quelconque plus petîl
\^m I < -| — r> le terme gêné-
I ^ I
rai sera inférieur à /r"*, C^est-â-dire au terme général d'une série abso-
lument convergente.
La fonction /(x) est donc une fonction holomorphe dans toute
rétendue du plan.
7. Ainsi, lorsque notre limite supérieure est infinie, le développe-
ment donné ne définit aucune fonction. Lorsqu'elle est nulle, il définit
une fonction entière et permet de la calculer pour toute valeur de la
variable.
Au contraire, si la limite supérieure l est finie et différente de o, le
développement (2) définit une fonction / (x) , mais n'en fournit d'ex-
pression que pour les valeurs de x intérieures au cercle de convergence.
Le problème qui se pose actuellement est donc l'étude de cette fonction
en dehors du cercle ou sur le cercle, et tout d'abord la détermination
des points critiques situés sur la circonférence.
Dans les fonctions les plus simples, telles que __ > par exemple,
l'affixe du point singulier s'obtient en prenant la limite du rapport
— ^- On peut donc se demander s'il est possible d'énoncer ce résultat
sous forme de théorème général.
Pour discuter cette proposition, il est nécessaire d'en préciser la
signification. Prise dans son acception la plus étendue, elle voudrait
dire que pour toute série où le rapport — — a une limite, le point cor-
respondant est le seul point singulier situé sur le cercle de conver-
gence. Ainsi comprise, la proposition est manifestement fausse : elle
ne s'applique pas, par exemple, à la fonction
I — a^
L(, + a.)=2['-^-'^^]^'"-
La réciproque est également inexacte : ^^ peut être point singu*
H. a
TO J. RADAMARD.
lier unique d'une fonction représentée par la série (2), sans que le
rapi)ort ^-^ tende vers x^ , ainsi que nous en rencontrerons un exemple
dans la suite.
Au contraire, lorsque le rapport des coefficients consécutifs tend
vers une limite, le point qui a cette limite pour affixe paraît être, en
général, un point singulier. En tous cas, nous pouvons établir une
conclusion très voisine de celle-là.
8. Los résultats précédents nous fournissent en effet un premier
critérium permettant de reconnaître les points critiques.
Soit X = .i?o un point pris sur le cercle de convergence, et propo-
sons-nous de rechercher si ce point est ordinaire ou singulier.
Nous pouvons d'abord supposer o^o = i , car nous pourrions ramener
le cas général à celui-là par le changement de variable
(4) xz=x^y,
dans lequel, à la valeur x^ donnée à .r, correspondrait pour y la
valeur v = i .
Soit alors / un nombre réel compris entre o et i , auquel correspond
un point de Taxe réel {/ig* i). Le rayon de convergence de la série
Fig. I.
sera le rayon du plus grand cercle C décrit du point / comme centre
et où la fonction donnée /sera régulière.
ESSAI SUR l'ÉTTTDE DES FONCTIONS. Il
Si le point x = i est point ordinaire , notre fonction sera holo-
morphe dans un cercle c ayant pour centre ce point x = ij et qui
coupera le cercle primitif en deux points y et y', par conséquent aussi
dans un cercle de centre t et d'un rayon égal à la distance des deux
points / et y, laquelle est supérieure à i — /.
Si, au contraire, le point a: = i est un point critique, le cercle G
devra passer par ce point et avoir pour rayon i — /.
Reportons-nous maintenant aux résultats obtenus relativement au
rayon de convergence : nous voyons que la condition nécessaire et
suffisante pour que le point x = i soit singulier sera fournie par
rinégaUté.(*)
<«) r-^\ > (sr-
laquelle devra être vérifiée, si petit que l'on ait pris e, pour une infi-
nité de valeurs de m.
9. Mettons en évidence le module et l'argument de chaque coeffi-
cient a, autrement dit posons
L'inégalité (6) (élevée au carré) pourra s'écrire
gl^ -h '2(m -h \)tgmgm^i cos(a^^, - a,„) -h ...
h
( I - £)'" ;
*-0
>[
, + „„, + î=(Hiil),.+ ... + UU_,,.
les lettres C désignant, comme à l'ordinaire, des coefficients bino-
miaux.
(*) Il n'y a pas lieu d'écrire rinégalité
'-^ < [—t) '
car le rayon de coq vergence de la série (5) ne saurait être inférieur à i — t.
/
■ J
12 J. HÀDAMJiHD.
Cette forme donnée à Tinégalité (6) permet de trouver des cas
particuliers a§se;; étendus où elle est vérifiée.
Remarquons d'abord que la somme ^ ^4+* ^m *a-* ^^^ égale à
^am+A+r Ceci se reconnaît immédiatement en supposant que la fono-
tion / soit la fonction Le premier membre de l'égalité (6) de-
vient alors égal à --^ et, dans Tincgalité (6'), il faut faire g„^ =s i ,
a^n = G. On trouve alors
(7) (i ^tyim-hl) = I -H .•• -f- ^ 2^ ^nn-fi ^m+h-h ^- • • • '
ce qui donne la conclusion annoncée.
Supposons maintenant que g^ tende régulièrement (•) vers la.
limite i ; que, de plus, pour toutes les valeurs de p et de y suffisam-
ment grandes, la différence a^ — a^ soit inférieure en valeur absolue
à un angle fixe vp plus petit que - (l'égalité étant exclue). A partir
d'une certaine valeur de m, on aura (y) désignant un nombre aussi
petit qu'on veut)
gm>0 — '0 )'" 1 cos ( 0L,„^f, - - y.„,^f,) > cos ^ ;
d'où l'on déduit, en ayant égard à la formule (7), que le premier
membre de l'inégalité (6') est supérieur à cos'>J/ ^ _ ~'_\\t{m-^-\) ' ^^
racinejm'^™*^ sera donc (à un infiniment petit près) au moins égale à
_ __ — -) c'est-à-dire (si Ton a pris y] suffisamment petit) supérieur
à -> car — ' - a pour limite lorsque y] tend verso. L'iné»
galité (6') est donc vérifiée et le point :r = i est un point singulier.
1 0. Ce résultat subsisterait alors même que l'inégalité | a^ — a^ I <[ j»
(») Voirxi^i.
ESS\I SUR L'ÉTUDS DIS FONCTIONS. l3
cesserait d'être vraie pour les valeurs de /> et de 9 ne satisfaisant pas
à la condition
dans laquelle q est supposé, pour fixer les idées, plus grand que/>, et s
désigne un nombre positif fixe.
Pour le démontrer, remarquons' d'abord que, pour toutes les valeurs
de h inférieures à mSj les évaluations précédentes sont encore appli-
cables : le coefficient de t^ est plus grand que C^n^/^^^{l — yj)2w+/i cos^.
Soit n le plus petit entier supérieur à ms. A partir de la valeur
h =^ n^ nous ne savons plus si le coefficient de t^ est supérieur à l'ex-
pression précédente ; nous ne savons même plus s'il est positif; mais
en tout cas sa valeur absolue sera moindre que C2,„^^^^(i -f- r/)*^'""*'^
(où t{ désigne encore un nombre très petit), de sorte que le premier
membre de l'inégalité (6') sera supérieur à
(i-^)*"'
(8)
^"*Y |;,_^(,__^)Jt(m-hl)
h = n
Dans le dernier facteur du coefficient de t^, le second terme
cos^(i — y])^'""^^peut évidemment rentrer dans le premier ( 1 -h y)' )^"''^^,
moyennant un accroissement infiniment petit donné à y]'. Dans la série
qui forme la partie soustractive de l'expression (8), après cette simpli-
fication, le rapport d'un terme au précédent, égal à /( ih- yj') ^^ ' — ? ,
est moindre que ^(i -f- y)') — —-' ^ette quantité est plus petite que i,
si l'on a choisi l inférieur à r- ?--> et la série est éerale au pro-
(2 -1-5) (IH-T, ) ^ ^
duit d'un facteur fini 1 de module moindre que ^ 1 par
son premier terme C^'^^,,^,(* -^-T)')^'""*'"^''-
Or, si Ton applique au coefficient C"^,^^,, les formules bien con-
nues relatives à la fonction F pour de grandes valeurs de l'argu*
l4 ')• HADAMARD.
ment, on reconnaît que la racine m'**"* de ce premier terme tend vers
- (f "h Yi')^^*/% c'est-à-dire, puisque nous pouvons prendre /
2*5*
I — e
aussi petit que nous le désirons, vers une limite moindre que _ -
La partie soustractive de l'expression (8) est donc infiniment petite
par rapport au premier terme et ne modifie pas, par suile, les conclu-
sions établies plus haut.
Si le rapport -— ^ a pour limite l'unité, la racine m}^"^^ de ^,/i ^^^^
régulièrement vers i et la différence 8^^ am^^ — ol„^ tend verso. Nous
reconnaissons que le point j? = i est bien un point singulier si le pro- .
duit m8m reste toujours inférieur à un nombre fixe Q. En effet, s'il en
est ainsi, la dififérence a^— a^ sera moindre que ^ tant que le rapport
^— ^ ne dépassera pas % •
1 1 . Mais on peut encore s'affranchir d'une partie des restrictions
précédentes, car il n'est pas nécessaire que l'inégalité (6) soit vraie*
pour toutes les valeurs très grandes de m, mais seulement pour une
infinité d'entre elles. Il suffira donc que la série contienne, en nombre
infini, des suites interrompues de coefficients
• • • > } • • • >
satisfaisant aux conditions suivantes :
1° Les rapports — > — ,> —„ sont tous supérieurs à un nombre fixe s;
2° I \/'gfn I tend régulièrement vers i quand m augmente indéfini-
ment par des valeurs correspondant à des termes de ces suites ;
3*^ Sia^ et a^ sont deux coefficients pris dans une même suite, la dif-
férence a^— oLp est en valeur absolue moindre que ^.
A chacune de ces suites, à partir d'un certain rang, correspondra
une valeur de m pour laquelle l'inégalité (6') sera vérifiée.
ESSAI SUR L ÉTUDE DES FONCTIONS. l5
Si la troisième condition (a^ — a^) <] '\f était remplacée par la double
inégalité
(10) (y -_ p)0 - ^ < a,- a^ < (q - p)6 ^ '},
la fonction donnée admettrait le point singulier x = e~'^. Ce résultat
est équivalent au premier moyennant une transformation (4), effec-
tuée avec la valeur e"'^ pour .^o.
Sous cette forme, notre proposition se distingue de celles que nous
avons données précédemment en ce qu'elle peut, dans certains cas, dé-
celer la présence de plusieurs points singuliers. L'existence de suites (9)
correspondant à une certaine valeur de 6 n'est, en effet, nullement
incompatible avec l'existence de suites analogues, mais pour lesquelles
l'angle 6, qui figure dans les conditions (10), aurait des valeurs diffé-
rentes.
On pourrait même, par ce procédé, former des séries qui admet-
traient le cercle de convergence comme ligne singulière.
Supposons, par exemple, les nombres rationnels rangés en suite
linéaire, comme l'indique M. Gantor, et soit r^ celui qui occupe le
rang X. Nous considérons une série dans laquelle, pour toutes les
valeurs de m comprises entre (i 4- 5)^ et (i -h 5)^"*'*, le rapport -^^^
sera égal à e^'^''>. Nous aurons une infinité de suites pour lesquelles ce
rapport aura la même valeur, car les quantités e^'^^'i"^*^, e*'"^'*^"*"^^ . . .
sont toutes égales à e^*'^''^. Le point x = e""^'^'"-* est donc singulier, quel
que soit X, et par conséquent le cercle de rayon i est bien ici une
coupure.
12. Signalons encore un autre cas simple où l'on reconnaît que le
cercle de convergence est ligne singulière. Soit, par exemple, la
série (*),
(11) 1 -h hx''-h . . -h A^-r*""-!- . . .,
qui a été considérée par M. Weierstrass (^) et qui converge dans un
(*) c est un enlier positif et b un nombre quelconque.
(') Voir DU Bois-Rbymond, Journal de Borchardt, t. LXXIX, p. 3o.
l6 J. HADAMARD.
V
cercle de rayon p = limb '■" = i . Cette série n'est altérée que dans ses
ikirç
premiers termes par le changement de x en xe '^. ^ oix k el h sont deux
entiers arbitraires. Or la fonction correspondante admet nécessairement
sur le cercle de rayon î au moins un point singulier x ^x^* Elle aura
donc aussi une singularité en chacun des points
_ . "^
X -•— Xq C j
parmi lesquels on en pourra trouver qui approchent autant qu'on le
voudra d'un point quelconque pris sur le cercle.
Les mêmes raisonnements s'appliqueront toutes les fois que les in-
dices des termes non nuls et de plus en plus éloignés auront un commun
diviseur de plus en plus grand. En ce cas, le cercle de convergence sera
par conséquent une coupure, ainsi que Tavait démontré M. Lerch (*)
dans un cas particulier. M. Weierstrass (*) avait d'ailleurs» constaté ce
fait sur la série ( m ) .
15. La démonstration précédente offre cet inconvénient qu'elle fait
dépendre le résultat d'une question de divisibilité, en sorte qu'il sem*
blerait ne pas subsister nécessairement si, par exemple, on augmentait
ou diminuait d'une unité les exposants de quelques puissances de x
dans la série (ii).
Il n'en est rien, cependant, et l'on peut affirmer que la série
(où les c^ sont des entiers croissant») admet son cercle de coni>er^
gence comme ligne singulière , si le rapport J-'^^~ ^ est constam-
ment supérieur à un nombre fixe s.
Pour s'en convaincre, il suffît de donner à m, dans la formule (6'),
(*) Acla mathematica, t. X, p. 87.
(') Monatsherichte der kôniffL Acad. der Wiêsenàchaften zu Berlin, août
1880.
^^i-
ESSAI SUR L^ÉTUDK DES FONCTIONS, I7
la valeur -^^ oii u est un nombre fixe compris entre i et i -t- 5, et que
nous déterminerons ultérieurement (*). Au premier membre, le pre-
mier terme non nul est
et, d'après les formules déjà employées au n° 10, sa racine 2m*^™*' est,
pour une infinité de valeurs de (x, supérieure à /^_ w,!* *
Cette expression a son maximum pour u = et devient égale à
— -— • Quant aux termes suivants, ainsi qu'on l'a vu plus haut, ils n'in-
fluent pas sur le résultat, si l'on a choisi pour / une valeur satisfaisant
aux inégalités
La proposition est donc démontrée, caries raisonnements que nous
venons de faire ne seraient pas altérés si Ton effectuait la transforma-
tion (4) avec la valeur Xo = e'^, de sorte que notre fonction admet
pour point singulier le point x^ = e'^, quel que soit 6.
Bien entendu, le résultat précédent peut subsister, lors même que
le rapport -^^ ^ ne serait pas constamment supérieur à s. Il suffit
qu'il prenne deux valeurs consécutives supérieures à ^, et cela une
infinité de fois, les modules des coefficients correspondants tendant ré-
gulièrement vers I .
Nous bornerons ici ces remarques préliminaires et, dans les Chapi-
tres qui vont suivre, nous traiterons la question à un point de vue tout
différent.
Les points critiques susceptibles d'être reconnus à l'aide des propo-
sitions précédentes sont en effet (ainsi qu'il deviendra évident par la
y*
( * ) Si ~ n'est pas entier, il faudra prendre pour m l'entier le plus voisin
ce
u
H. 3
l8 •!. HADAMARD.
suite) d'espèces très diverses; au lieu que nous allons maintenant étu-
dier les singularités en les distinguant d'après leur nature et en com-
mençant par les plus simples, à savoir les singularités polaires.
DEUXIÈME PARTIE.
14. Si ta seule singularité située sur le cercle de com^ergence est
un pôle y simple ou multiple, Vajffixe de ce point est donné par la
limite du rapport — ^, comme on le voit en employant les expres-
sions indiquées par M. Darboux (•) pour les coefficients.
Par exemple, si la série (2), convergente dans le cercle de rayon p,
admet pour unique singularité sur ce cercle le pôle simple a? = a:, , le
A 6
coefficient a^ peut se mettre sous la forme — ^ — , "" j où h^ désigne
une quantité de module inférieur à i , £ un infiniment petit , et p' un
rayon supérieur à p. On voit alors immédiatement que le rapport
tend vers x^y et cela de telle façon que la différence soit, à partir
«m
«flU-
d'un certain rang, inférieure à ( -j~-- J ou à Ar*", Ar désignant un nombre
fixe plus petit que i .
Cette condition nécessaire est aussi suffisante.
En effet, pour écrire que le point x = x^ est pôle simple et d'ail-
leurs singularité unique sur le cercle de convergence, il suffit d'expri-
mer que, en multipliant la série (2)parf 1 — — ), on obtient une série
convergente dans un cercle de rayon plus étendu que le premier. Or,
en faisant cette multiplication, on trouve pour terme général
Le coefficient de ar*" devient donc plus petit que -(,» + £)
férence —^ est moindre que /r^.
tu
* si la dif-
(*) Mémoire sur l* approximation des fonctions de grands nombres^ p. i5.
ESSAI SUR L ETUDE DBS FONCTIONS. I9
15. Cherchons maintenant dans quels cas notre fonction a pour sin^
gularités, sur le cercle de convergence, plusieurs pôles simples ou
multiples.
Nous serons tout pareillement conduits à multiplier la fonction
donnée /(x) par un polynôme
(12) (ep(x) =(i - ^yYi - ~Y'' ' = i-h a^'Ijc -h . . . + A^p^x^,
de degré jo, et à nous demander si le produit obtenu est une fonction
régulière dans un cercle de rayon supérieur à p.
16. Après la multiplication, les nouveaux coefficients seront donnés
par la formule
(i3)
b,„ = a„+p -h A'"a,„+„ ., -h . . . 4- A">a,„,
m+p
et devront satisfaire à l'inégalité
1^» ! <
I -ht
m
Considérons alors le déterminant symétrique d'ordre /> -f- 1 ,
^mp =
/n+l ^//i-»-2
• • • • • •
^mf
a • • •
a
m-^p
a.
m-hp-hi
.....
• • . .
^m-h'ip
que la formule (l'i) permet d'écrire
a
m
a
m-\-\
....
• •* .••••
a
m+p
• • • ^/ii-»-2/>-« ^
m+p
Sous cette dernière forme, les hypothèses faites sur les a et les b
aO i. HADAM\RD.
nous font voir immédiatement que D^^ doit être plus petit que
(I -4- eX"*
—-7 I > où £ a toujours la même signification que précédemment, à
savoir, un nombre que Ton peut supposer aussi petit qu'on le veut,
pourvu que Ton prenne m suffisamment grand.
La limite supérieure, pour m infini, de \ \ D^^^j est donc moindre
17. Réciproquement, supposons que, pour certaines valeurs de P,
la limite supérieure (pour m infini) de '\ \ D^p' soit moindre que -pijrt*
Soit p la plus petite de ces valeurs, et -^-7 la limite supérieure cor-
respondante. Par hypothèse, la limite supérieure de V|D^^^_,| est— •
Je dis, en premier lieu, que \ ^ D„^^, j tend régulièrement vers cette
limite. En d'autres termes (*), si petit que soit £, à partir d'un cer-
tain rang, chaque déterminant D„^^, a un module supérieur à
i^r-
Nous savons, en effet, quil existe une infinité de déterminants
I le" «1
^m.p • plus grands que les valeurs correspondantes de ( — —* - j ou
de a*" ^en posant a = — -;~j d'où —^ = ^"^tÊt )'
Si, à partir d'un certain rang, tous satisfont à cette condition, notre
conclusion est établie. Dans le cas contraire, on devra pouvoir trouver,
et cela aussi loin qu'on le voudra dans la série, un déterminant D^^^,
supérieur à «""•, précédé d'un déterminant D^^_, ^, moindre que »"••"•.
Or on a, quel que soit in,
(14) D^,^.D„ ,.,_, - d;;, ,., = D^_.„D«., ,.
Car les mineurs du déterminant D^_,^^ relatifs aux éléments a^_,,
a,^^^i, «»*i^,. qui occupent les angles de ce déterminant, sont res-
(*> Voir au n* 2,
y±
ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS.
31
pectivement
•^w-+-l,p-n '^m^p—K^ ^m-\,p'-\'i
et le mineur du second ordre obtenu par la suppression des deux
lignes et des deux colonnes extrêmes est ^m.p-^^ L'égalité (i4) n'est
donc que l'expression d'une identité bien connue relative aux déter-
minants.
Cette égalité (i4) fournit d'ailleurs, d'après ce que nous savons sur
l'ordre de grandeur des déterminants D,„^ et D,„^^_2, l'inégalité
(i4')
D,/n-i,/i-iD^ -i,/»-i — ^L,p-\ I < \^^ , — -ej
2 m
OÙ k est un nombre plus petit que i (*).
Donnons à m la valeur m^\ nous trouvons
D^^,,,^J>a-«-*(i-y^^'%
D
mr+-l,^— 1
^^m..p-l
>a(i — A-*"'.),
d'où résulte déjà que, pour m^ très grand, les quantités | D^^^j j j et
D
Wa-H, p—\
i^iwo, p-1
I_ e \'Wa-*-t
et a
I — s
I— le
seront respectivement supérieures à (a '^ l \
En général, nous allons démontrer que, si l'on a pris le nombre m^
suffisamment grand, on aura, pour toute valeur positive de l'entier /,
(i5)
D
m,-n\;?— i
>a(i — Ar="".)[i - Â-'"".-^']...[i — ^="». *-'-«>],
(•6)1 D„.,,,^. I > a"'.-(i - A»'".)' [i - A-»"".-"]'-' . . .[i - A»"".-'-)],
(•7)
"'VI I>m.+/.p-i I > a -^
Ces inégalités sont, en effet, vérifiées pour i = i . Supposons-les dé-
montrées pour une certaine valeur de i. Je vais faire voir qu'elles sub-
(') A: = (n-e
V^
22
J. HADAMARD.
sisteront pour la valeur suivante, et que Ton pourra écrire
(•5')
D
m,4-«-f-l,;>— 1
D
««•-»-*• /»— 1
> a(i — ^»"'.)[i - A^»'».^' j. . .[i - A*"».-«'J,
or)
V^iD^.^,^,,^_J>a-^— j^.
Pour cela, nous ferons m — m^ + / dans Finégalité (14)5 laquelle,
en tenant compte de la formule (17), nous donnera
D
>
D
mt-*-i,p—i
D
/w,-4-i— 1,;7— I
[i —k^<'^^^'>],
dont la multiplication membre à membre avec la formule (1 5) fournit
la formule (i 5').
Celle-ci, combinée avec (16), donne l'inégalité (16').
Quant à l'inégalité (17'), elle résulte de la précédente, pourvu que
Ton ait choisi pour rn^ une valeur suffisamment élevée ; car il vient
successivement
'm:.
-hi-hl,p—\
IHa-Hi-t-l
>(r - A*"'.)[i — P"'.^"J...[. - A»i"'.-^'i]
Il nous suffira donc que Pindice m^ satisfasse à la condition
I — Ar* ^ 2 — 6 '
ce qui est évidemment possible.
LMnégalité (17) est, dès lors, générale, et notre proposition préli-
minaire est démontrée.
18. Cela posé, déterminons les quantités A'»>, A^^', ..., A^^^ par
ESSAI SUR L*ÊTDDE DES FONCTIONS. 23
les équations
^m-hp ~T~ ^m ^m-^p'-h "^ ^m ^m+p—2 +•••+• A^^^ ^in-hp-h -f- . . . -h A^ Clf„ = O,
08) j ,
• >
^*W+2/>-l "f" A^, û5;|,^2/>-2 "J" "^ A^^ Ctf„^2p-i-h -f~ • . • "4- A„, Ctft.^p.-^ = O,
et posons
Les S pourront être considérés comme donnés par les équations
<^m ^m-^p "4- ... -h Ô^, a,^^ ,_;fc -+"••+■ ^m ^«+« = *^'
09) ; ;•; ;-^ •• '
^m ^m-^'lp- i.'^- . . . -f- O^^ ^m-hip-h '^ ' ' '~^ ^m ^m-i-p "f" 11 = O,
en introduisant la quantité auxiliaire
( 20^ il = Clm-i-2p "^" ^m ^fri-i-'2p—t 4" • • • "l~ A^^ €f,„^ p.
L'élimination des A entre les équations (i8) et (20) donne
^m,p-l
moyennant quoi les équations (19) fournissent
T\ih) r\ T\(Â)
(22) ô^~-— g :""^~~D î5 — : — :'
où D'** , _, désigne un déterminant d'ordre p — i formé avec les coef-
ficients a et moindre que f -^rr ) *
24 ^' HAOAMABD.
Comme on a les inégalités
■^.D-V<7^^
nD..^.'>i^
I — E
I £
celle formule (22) monlre que la limite supérieure de \ Jj i est au
plus égale à -f^-
La série V 0**', ayant son terme général de Tordre de ( A — e) , est
donc couTergente et son reste est aussi du même ordre.
A^ tend, par conséquent, lorsque m augmente indéfiniment, vers
une limite A*\ et cela de telle façon que la diiférence A*' — A^ reste
moindre en valeur absolue que ( 5 "•" ^ ) •
Il suffit alors d^écrire la première des équations (18) sous la forme
a__--h A • ««K».^, -=- . . — A^-a,„ = V< A* — A*^a_^- *
pour reconnaître que la quantité
est moindre que ( — ^ ) •
Uexistence d^un polynôme ^^ (12^ répondant à la question est donc
établie, et nous avons même le moyen de trouver ce polynôme. On
devra, d'après ce qui précède, résoudre les équations \^i8 ^ par rapport
aux A et chercher la limite des valeurs de AJ| ainsi obtenues, lors-
qu'on donne à m des valeurs de plus en plus grandes. LVrreur com-
mise en s'arrètant i un certain rang m sera comparable au iti*^"^ terme
d'une progression géométrique décroissante de raison f.-
9'
ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS.
25
Ainsi les singularités de notre /onction sur le cercle de rayon p
se réduisent à des pôles, en nombre égal à p (chaque pôle étant
compté avec son degré de multiplicité)^ et dont les affixes sont racines
d'une équation que nous savons former (*).
Ces pôles exceptés, la /onction est régulière dans le cercle de
rayon p'.
19. Pour rechercher si les singularités def(x) situées sur le cercle
de rayon p' sont aussi des pôles, il suffirait d'appliquer la méthode
précédente au produit /(a::) $^(07).
Mais on peut aussi opérer directement sur la fonction /(a:), ainsi
que nous allons le montrer.
Désignons, en général, par /p la limite supérieure de 'v^|D,„ p| et re-
marquons d'abord que le rapport -y^ est égal à p tant que P est moindre
que p et à p' lorsque P = p.
Pour P^/?, Ip est au plus égal à -^-Tpz^- Car le déterminant D,„ p
r r
peut s'écrire
(23) D,„,r =
a
m
a
m-hi
a
m-i-p- i
m
^m+i
a
m-hi
a
m+a
a
m-i-p
*m+i f>
m-h2
a
m-hP
a
m+P+I
^/n <-P+^— 1 ^rn-^V
m-hP—p
. b
m-^-V-p-^X
m+ip-p
Plus généralement, la formule (i3), résolue par rapport à a^^p et
appliquée plusieurs fois de suite, permet d'exprimer a^^pj ^m-hp-^-t^ • • •?
a^.p en fonction linéaire de a,„, a,n-i-\, -.-i cim+p-t ^^ des b.
Ces expressions, reportées dans la valeur de DJ^ p, lui donnent une
forme analogue à la forme (28) et sur laquelle on reconnaît que la li-
mite supérieure de s/\ Dj^^ | est au plus égale à
PqIP-P+I
P"?
(*) Le cas du p61e simple, précédemment éludié,^correspond à /? = i. Les dé-
terminants Df„,p~i ne sont autres que les coefficients a^ eux-mêmes.
Les raisonnements précédents subsistent, pourvu qu^on ait soin de remplacer
les déterminants D,„,p.-, et l^mip-t V^^ Tunité.
H. 4
*26 J. BADAMARD.
Noos noterons ce fait que la relation
lim
itesnp.VD^p!<— .^.1
peut être considérée comme exacte à partir de la valeur P = p — i .
Supposons maintenant que /p devienne moindre que ^^^y-t-x '* ^^ ^^
q la plus petite valeur de P pour laquelle cet abaissement se produise
• q jHiuvant être égal à/> — i ou plus grand ».
< >n peut aussi déGnir q comme la plus petite valeur de P pour la-
* juello le rapport y-^ devienne inférieur à — . - En particulier, on a
•p-i ?
oa
Si nous nous reportons alors à Tidentité ( i i ). dans laquelle nous
changerons p en y, nous voyons que la limite supérieure de
est plus petite que P .
Dès lors tous les raisonnements donnés au n** 17 peuxent se recom-
mencer en remplaçant p par y et — par/^.,, a étant supjMisé égal
à /,_, ( I — ^ i et Aà II — £')4 /î" "•
La conclusion à laquelle on aboutit est que \ l>^ ^ , lend régu-
lièrement vers la limite /^,.
20. Tout j^reillement, nous écrirons un syslénio de q équations
I <^^-^ -^ AJ ^7„.H^-. — ... — A,* a^^ * — K^ a^ = o.
iï^'\
» '
ESS.VI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 27
analogue au système (i8); et si nous posons
si*'=Ar,-Ar (A=.,2,...,y),
il viendra
^ >' ^m —- F) n
Mais ç' — 2 étant au moins égal à /? — i , la limite supérieure de
Vl'-^w,v-2l ^^^ ^^ P^^^ égale à -j-t^zjz\^ c'est-à-dire à /^_2. La racine
,yjième jç ^ma> g^j,^ doue moiudrc que V^— -h £, de sorte que A,Jf ' tend,
pour chaque valeur de A, vers une limite A'<*^
Pour trouver l'ordre de grandeur de la quantité
il est nécessaire de faire subir aux équations (i8') une transformation.
Nous avons vu, au numéro précédent, que les quantités a,^^;,,
^/ii+/>Mj •••? ^m+P sont liées a tï;„, Cùrn^-tj •••) ^m^p-ij ^rrii ^m-f n •*•?
6^+p_p, par un système Sp de P — ^ 4- 1 relations linéaires à coefficients
indépendants de m, système qui peut être résolu par rapport à a^^p^ . . . ,
^m+p comme par rapport à 6,„, . . ., b„^p_„. On peut donc, au lieu des
équations (i8'), écrire les suivantes
-•-««'«/«—»>
^m-^q-^p-k- 1 ^^ "/n ^'m-^q-^p ^^ • • •
-HB'„r'"6„.. + a>„,^+.
•• +am'«»«M — <
(25)
qui équivalent aux équations (18') moyennant les relations S^. On
passe des coefficients B et a aux A', et inversement, par une substitu-
tion linéaire S^ à coefficients indépendants de m.
I
3o i. HADAMARD.
la relation
pour effectuer des opérations analogues aux précédentes (* ) et calculer
un polynôme ^S^ tel que le produit /$^ soit holomorphe dans un cercle
de rayon plus grand que p". On démontrera, comme tout à l'heure,
qu'il ne peut exister aucun polynôme Ç" de degré moindre que r.
Notre fonction est donc méromorphe à l'intérieur d'un cercle de
rayon p^'^r -Ci- Elle admet dans ce cercle r pôles, à savoir p de mo-
if.
dule Pî S^ — /> de module p', r — q de module p".
On pourra continuer ainsi tant que l'on trouvera des valeurs de P
satisfaisant à l'inégalité
(27) -r<j^'
*p-i *p-î
et, par conséquent, on peut énoncer les conclusions suivantes :
Le rapport ^ ne va jamais en diminuant.
Si pour P = P^^^, ce rapport prend une valeur
supérieure à .'* "* > la fonction /(x) est méromorphe à l'intérieur
d'un cercle de rayon p^^^; elle y admet en tout V^^ pôles {chaque
pôle étant compté a^ec son degré de multiplicité).
(*) Nous avons utilisé, pour la transformation des déterminants DJiJ'p et des
équations (18'), les relations linéaires qui permettent d'exprimer les coefficients
cim-i-p^ • • • î ^/n+7 ^^ fonction de a^y . • . > dm-hp-i ^t des b.
Les relations analogues qu^il convient d^employer ici sont celles qui donnent
a,n^P en fonction linéaire de «;„, . . .,a^+p_t, 6,«, . . ., b,n^g^p-u c„n -- .,C;„^p_^_i
(Cm désignant un coefficient du produit /^'); et de même les substitutions des
opérations suivantes introduiraient ^,5, ... séries de coefficients.
Au reste, il faut remarquer que ces relations ne servent qu'à la démonstration.
Elles n'interviennent pas dans le calcul des polynômes ^Jl\
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 3l
Si Ton a
f{x) n'admet qu'un seul pôle x =^\ sur le cercle de rayon p^^^ et le
polynôme Ç^^-'*^ est égal au produit $^^^(1 — j\ Or, dans le poly-
nôme (S^^\ le coefficient de la plus haute puissance de x est lim '"'''^'| ,
et dans le polynôme $^^^*J, il est lim ,,^" '"'^'^ ■ L'affixe du pôle
unique est donc donnée par la formule
(28) i = lim ^}^^^^^!^ : -^!i^.^,
et les erreurs commises en s'arrêtant aux valeurs successives de m di-
minuent comme les termes d'une progression géométrique décroissante
ayant pour raison -[^[z^j^-
22. Si nous envisageons la suite des quantités /|, /27 • • • , /p, . • . ,
nous sommes conduits à distinguer les cas suivants ;
1° A partir d'un certain moment, /p devient nul. La fonction n'a
dans tout le plan qu'un nombre limité de pôles. Elle est égale au quo-
tient d'une fonction holomorphe par un polynôme entier.
2? Le rapport — tend vers o lorsque P augmente indéfiniment.
Notre fonction n'a que des pôles dans un cercle de rayon aussi grand
qu'on le veut. Elle est donc méromorphe dans tout le plan.
î\ous avons d'ailleurs tous les éléments nécessaires pour former la
fonction holomorphe ^{x) qui admet pour zéros les pôles de /(x),
avec le même ordre de multiplicité.
En premier lieu, les modules des pôles successifs sont les valeurs
de ~- Le genre de la fonction G (a;), s'il existe, sera un nombre y
tel que la série ^If /-- ) soit convergente.
Si ce nombre est égal à i, la fonction G(j;) sera la limite du produit
j
32 J. HADAMARD.
convergent
no-ë)
x, étant Taffixe du /i««"* pôle, et par conséquent la limite, pour X
infini, du polynôme
(iu
*^K->=n('-.sv
«=1
Si le nombre y est supérieur à i, on sait qu'il faudrait multiplier
chacun des facteurs ( i ) par r • ^ " • •
Or la somme T] ( ~ "*" ~î "^ • • * "•" "T^i ) <^onstitue les 7—1 pre-
n
■ = 1
miers termes du développement de V ( — *—^ ) = — log ^^ ( x ).
«=i
La fonction G (x) sera donc la limite, pour A infini, de Fexpression
où Qi(j^) désigne Fensemble des Y -- i premiers termes dans le déve-
loppement de j- logsT^ (x) suivant les puissances croissantes de x.
Si enfin il n'existait pas de genre fini, il faudrait calculer les
affixes des différents pôles et appliquer telle quelle la méthode de
M- Weierslrass.
Dans ces différents cas, on peut d'ailleurs obtenir le développement
tavlorien de Gcx).
La fonction G (x\ est en effet la limite de fonctions holomorphes
G ' X = a* -f- a/ X -i- ... — a^^x^ — . . . ,
où les coefficients a^ peuvent être considérés comme donnés par la
formule
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 33
C désignant un contour fermé décrit autour de l'origine et que nous
pourrons supposer, pour fixer les idées, intérieur au cercle de conver-
gence primitif.
Sur ce contour, G^^\z) tend uniformément vers sa limite G(z)
quand X augmente indéfiniment et par conséquent, dans les mêmes
conditions, a^ a pour limite a^.
La fonction G(x) étant ainsi calculée, le produit f(x)G(oc) sera
une fonction F (a?) holomorphe dans tout le plan, et dont la multipli-
cation des séries /et G nous fournira d'ailleurs le développement; de
sorte que nous aurons l'expression de la série donnée sous forme du
quotient de deux fonctions entières
3® Le rapport y-^ reste invariable à partir d'une certaine valeur
P^^^ f(x) est alors le quotient par un polynôme 9f^^ d'une fonction
régulière dans un cercle de rayon p^^^ , mais présentant sur ce cercle
des singularités autres que des pôles. C'est à l'étude de cette dernière
fonction (dont on peut avoir le développement de Taylor) qu'est ra-
menée l'étude de la proposée.
4** Enfin, il peut arriver que le rapport j^ tende vers une limite
P différente de o, de sorte que les rayons p^^^ tendent vers R. La
fonction /, méromorphe dans chacun des cercles p^^^, admet une infi-
nité de pôles dans le voisinage du cercle de rayon R.
Nous pourrons chercher à former une fonction G(x) qui admette
pour zéros les pôles de /(a:), en appliquant la méthode de MM. Weier-
strass et Mittag-Leffler.
Nous prendrons d'abord une suite de nombres positifs a^^^ qui ten-
dent ( * ) vers o ; puis une suite de quantités positives t^'^ telles que la
série Se^^^ soit convergente. Si Vî^(a;) désigne alors le polynôme qui a
(^) Les pôles étant ici distribués en nombre infini dans le cercle de rayon R
et non point dans tout le plan, nous sommes obligés de modifier légèrement la
méthode de M. Weierstrass, qui laisse les quantités a finies.
H. 5
CÏ4 J- HADAMARD.
pour racines les afftxes des pôles situés sur le cerde de rayon f^^\ amtre-
menl dit le quotient
-, -logV^^'(.r) sera développable en série uniformément convergente
dans le cercle de rayon p<^ — ol^^\ et Ton pourra en retrancher un poly-
nôme Q^-{j^) tel que la différence t- log V ' (x) — Q'^^ (x) soit, à Tin-
térieur de ce cercle, moindre que v^ .
D'ailleurs c*^ — a^ tend vers R, puisque a^ tend vers o; et, par
suite, un point quelconque x pris à Tintérieur du cercle de rayon R
sera, à partir d'une certaine valeur de X, intérieur à tous les cercles
de rayons p^ — a^'. H en résulte que la série
^[^•«^^^'"(-^^-Q'H
sera convergente à Tintérieur du cercle de rayon R et que nous pour-
rons prendre pour notre fonction G(x) le produit
G est donc une limite de fonctions holomorphes G^* ( or ), obtenues en
prenant de plus en plus de facteurs dans le produit infini (29). On
démontrera d'ailleurs, ainsi qu'il a été expliqué pour le cas où -—
tend vers o, que chaque coefficient de G( j ^ est la Rmite, pourX in-
fini, du coefficient de même rang dans G ' ^r*. et l'on pourra ainsi
développer G en série.
La multiplication des fonctions y et G fournira une fonction F
holomorphe ôcfalemenl dans le cercle de rayon R. L'étude de la fonc-
tion donnée est donc ramenée à celle de deux fonctions F et G, holo-
morphes dans le cercle R, mais présentant sur ce cercle des singularités
non polaires, et dont on peut obtenir les développements, /"sera donnée
par le quotient de ces deux fonctions.
KSSAl^SUR l'ÉTUCE DES FONCTIONS. 35
^. Si
(3o) ^(^) = Co -f- C, 07 -h . . . -h G,„a;"* H- . . .
désigne une fonction régulière à Tintérieur d'un certain cercle et ne
s'annulant pas à l'origine, de sorte que C^ est différent de o, les ré-
sultats précédents nous fournissent une méthode pour calculer les zéros
de ^{x) à l'intérieur de ce cercle; car les zéros de ^(x) sont les pôles
de la fonction
(2') /(^)= ^) =ao-ha,x-f- ... -^a,„af' -h ...
C'est à cette manière de procéder que revient, au fond, la formule
de Bernoulli, qui donne la racine de plus petit module comme limite
du rapport de deux coefficients consécutifs dans le développement
de la dérivée logarithmique. Il suffit, en effet, pour obtenir cette
formule, d'appliquer à la dérivée logarithmique la proposition du
n« 14.
M. Runge (*) a généralisé la formule de Bernoulli en obtenant
sous une forme analogue la v*®"* racine d'un polynôme (en suppo-
sant les racines rangées par ordre de module croissant). Les mé-
thodes données dans les Chapitres précédents conduisent à des résultats
équivalents, mais applicables à une fonction quelconque dans tout
cercle où elle est régulière. En supposant calculés les coefficients
^0, . . . , «m? . . • de 7 r~x' la racine de rang P^^^, si elle est seule de son
module, sera donnée par la formule (28). Si plusieurs racines ont le
même module, on les obtiendra ensemble «omine racistes d'une équa-
tion algébrique formée en égalant à o le quotient de deux polynômes $
consécutifs.
Le calcul des coefficients a^ et des déterminants D,„.^ à l'aide des
coefficients C de la fonction donnée peut d'ailleurs se faire de la faço»
suivante.
En développant, suivant les puissances croissantes de ar, le produit
(*) Acta tnalhemalica, l VI,. p. 3i6.
36
J. HADAMARD.
fi^x) Yk x), qui est égal à i , nous aurons, pour délenniner les coeffi-
cients a^ les équations
(3i)
1 = tf.C.,
O ^=: a,C, -r ÛT, C,,
..... ..............
De ces équations nous tirerons
(32)
a. =
I
' r
• c.
C^ o o
C, C« o
o
o
o
C.
C,
i^C^-'
24. Pour calculer les déterminants D^^^, nous utiliserons les for-
mules (20) et ( 2 1 ).
Dans ces formules, on suppose que la fonction /( x) a été multipliée
par un polynôme
i-H A^ X -I- . . . -t- K^ x'
tel que le produit
V I -»- A^ X H- . . . H- A4 x' » A -r ) =
I -h KX
Klx^
i^x)
manque des termes en x" ~', x*^**'' a*"^*^* , et la quantité
(2i;
H
D
«.^
D,.,-.
est égale au coefficient de x* '*'.
Nous égalerons donc le produit /"( x ) V a^
I -r A^ X -i- . . . -f- A^ x'. en faisant
. non plus à i , mais à
^m^p ~ ^m^p*x = • • - = <^m^^p-x = ^- ^m^^p = H,
ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS.
3?
et nous aurons les équations
1 =Coao,
o = C^, d^
(33)
o — ^tn^p^u
^o^/«+^-n
-t-C,a;
m+p-i '
^ — Cl|„_^.2p_4 ÛJ^
o = C
(-1 I
/>-*-« ^m+p-i
HCa.
Nous n'avons pas écrit les équations obtenues par la comparaison
des coefficients de a?, a;*, ..., a?^, car elles ne serviraient qu'à don-
ner la valeur des paramètres auxiliaires A[l\ A|^', ..., A^'^ Les
m -hp-h 1 équations-restantes donnent
(34)
H=:
^0 *^fn,p—\
en posant
(35) E,„,^==
c c
C
/IH-/>— 4
'iTH-p
'm-k-2p
*p-k-{
O O
c. c,
o
o
o
G,
G,
'/►4-1
Ainsi la quantité ^"^"••J?
(-0 ' E
ne change pas quand on aug-
m,p
mente ou diminue p d'une unité, m restant le même. Or, pour/) = o,
38 J. ilADAMABD.
elle est égale à p^j, > d'après la formule (32). On a donc
(36) D«.,= (-.)
"•-— ^,-' E„.
Qm-^t/^-t-l
Telle est l'expression de D„^^, qu'il suffira de reporter dans la for-
mule (28) pour calculer la racine Ç.
25. Au lieu de considérer la limite supérieure de \ |amN pour dé-
terminer le rayon de convergence, il revient au même, ainsi que nous
Pavons déjà remarcjué (n** 5), de chercher la limite supérieure de
m
La recherche des discontinuités polaires situées sur le cercle de con-
vergence peul, dès lors, être regardée comme un cas particulier du
problème suivant, que nous allons traiter et dont la solution nous
sera utile plus tard :
Etant données la série
{^i) /{^^ = a, -H «,x-i- ...-h ûr,„.r"-h...
et une /onction positix^e
qui aus:niente constamment et indéfiniment avec m, mais de telle
façon que --\-z r~ f^f^de vers i , soit &> la limite supérieure pour m
tn/tm, de — rrr—
Exprimer qu**n multipliant la série ( 2^ par un polynôme de
de£[ré p conirenablement choisi
ii2> ^r^=i-- A' X — A*jr*- ...-h Af j\
on peut diminuer ta râleur de ceiie limite supérieure, c'est-à-dire
> t
ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS.
39
qu'en opérant sur la noui^lte série
/{x)(e(x)=^b^x'-^p
L\b
comme sur la première et formant la limite supérieure de ' '"'
on trouvera une quantité o)' plus petite que û>.
Afin de simplifier récriture, nous conviendrons de représenter indis-
tinctement par la lettre 6 divers nombres de module inférieur à i , et
par la lettre e différents nombres infiniment petits pour m infini. Nous
pourrons écrire, avec cette nouvelle notation,
(37)
bm=a,,^^-h A^*^a,,^^_, + ...-+- A(^)a,,. = 6M-'-^
Dans cette égalité, remplaçons m successiveiûent par m©, m^^ . . .,
m^, où m^^ /Wi, .... /w^ sont/? -1- i entiers tous très grands. \ous au-
rons
^m^-i-p "+• ^ ^m^+p—i
A("a„. = 6Mr',
^mp-+-y> "T" -^ ^in^-hp—i
A-pfa„ =eMï-*-'.
Nous consïdéreron» maintenant le déterminant d'ordre p + i
(38)
a
m^
a
a
mf¥-\
m.
^ntp-hi
a
m^-i-p
<^m
f-^P
Chaque colonne de ce déterminant correspond, comme on le voit, à
l'un des indices /Wq, m^, . . ., m^. Le mineur relatif à l'élément a^^^^
pris dans la colonne correspondant à l'indice m/, étant désigné par la
notation ... . ? la formule (37) montre que notre déterminant peut
se mettre sous la forme
rnt
m.
Ô{p,/J) ^^P'
/)o J. HADAMARD.
FI y aura donc au moins une valeur de i pour laquelle on aura
A^^> I <p
et, par conséquent,
d(hp)
^(p)
\'à{\p)\
mf^',
d'où hi conclusion suivante :
St\ pour chaque déterminant A;,f^^ ..^ , on prend la plus petite
des quantitf^H ,- ., L
Ê,'P)
» la limite supérieure, pour m^^ . . ., m^
infinis {n^ 3) rfa résultat ainsi obtenu {^) devra être plus petite
que (0, au plus é^ale à eu'.
SB» Réciproquement, supposons que cette condition soit vérifiée
pour une certaine valeur de />, et que Ton arrive, en suivant la marche
indiquée ci-dessus, ti une limite supérieure moindre que o). Nous
pouvons admettre que cette valeur de/> est la plus petite pour laquelle
il en soit ainsi, el que par conséquent il existe des déterminants
•XT*/ .m^ ^ ^ indices tous aussi élevés qtfon le veut, tels que chacun
des quotients -j^.;;-, n ^^^'^ supérieur à MJ•■"^ Pour abréger, nous
donnen>ns à ces déterminants le nom de déternîinanis principaux.
Ainsi, Ion a. pour un déterminant prtncipaK
\r-^'
M
7, t = o, ï , 2 p — i\.
(M Now? <NM^5i<téï\NT>s t<Niî5 )<^ quMietil* ^- AI] lutt de nous eu tenir,
CiNWm^ WAtre rM^AnTt^menl rj^tis l'iniîijufiiu a cer\ poar lesqoel- le nombre t
^M ^^M ^ p. Il est ^Méir q.ie Ift c^i>c]osïf»Ti iicmnee dans le t^xte ^ubsi^te a for--
ESSAI SUR L*ÉTUDB DES FONCTIONS. 4^
Au lieu du déterminant A^^~*^, nous introduirons un déterminant (£>,
défini de la façon suivante :
Au-dessous du déterminant A^^~'^ écrivons la ligne a„,.^^, . . . , a,„ _,+p.
Nous formons ainsi un tableau rectangulaire
(39)
«m, 5
• • • •
«-»,-. ;
^/rt.+lJ
• • ■ •
^/w^,-»-i ;
-. . . . . ,
• • ■ ft
•
^w«-»-p-n
• • ■ «
^nif^i-^p—t î
^rn,-¥-pJ
• • • A
^mj^t+p-
(D sera le plus grand déterminant déduit de ce tableau rectangulaire
par la suppression d'une des lignes, soit la ligne de rang h.
Le nombre h ne pouvant avoir que j9 -h i valeurs, il est clair qu'on
po.urra toujours trouver des déterminants principaux à indices aug-
mentant tous indéfiniment, et pour lesquels h ait la même valeur. Pro-
visoirement, nous ne nous occuperons que de déterminants principaux
choisis de cette façon, c'est-à-dire pour lesquels h aura une valeur
déterminée, la même pour tous.
Le mineur de (lu relatif à l'élément a„.^f,y pris dans la colonne cor-
respondant à l'indice /W/, sera encore désigné par la notation ^ . , .
Le déterminant (© jouira de la même propriété que le détermi-
nant A^^*\ et Ton aura aussi
(4o) -j^-^-^= iM|*-'(i = o, ...,/> -i; ^=o, 1,2, ...,A- i,A-f I, ...,/))
Considérons, en effet, l'un des mineurs , . , » que nous pouvons
supposer différent de o, sans quoi le quotient correspondant serait
infini, ce qui est une manière de vérifier l'inégalité (4^). Nous pouvons
déterminer des paramètres Xy (j prenant toutes les valeurs de o à
H. .6
42 J. HADAMARD.
/>, les valeurs h et /Ir exceptées) par les^ — i équations
• • • • )
• «■•■■«•.•••••«a. « a«
et, si Q désigne le quotient ^ , ., » on aura
(42) 2^^^'"'-/ = Q?
mais d'autre part, (© étant différent de o, on peut déterminer les coef-
ficients ao , a 5 a^ _ 4 , 0L^^^ , .,.. oip par les p équations
^m,-».A = *0^/«, "•~*l^/n,+! •••"'"^A l^//t,-A-| -H3C^_^,a,„ .^_^, "^~ • • • ■+"^^^m,-»-/,s
(43)! 1"
• »
et même, à cause des hypothèses faites sur le déterminant (©, tous les
coefficients a seront plus petits que i en valeur absolue. Le coefficient
a^ est d'ailleurs différent de o, sans quoi le déterminant Sff^*^ serait
nul ; en sorte que nous pouvons résoudre les équations (43) par rapport
» ^m.^pj ^m,-^py "> ^"«r-^/» respectivement. Ces valeurs, transportées
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 4^
dans les équations (4 1) ^'' (4^), donnent les relations
/
(44)
(^o«mo -^ H-i «i«.+i -h ... -h (Ap_ia^^^^_, = o,
•••
Les coefficients (x^ et [X;^, ayant respectivement pour valeurs
sont liés par la relation
(45') [A* + a^t [Xyi = - i;
d'où résulte que l'un au moins de ces coefficients [k,^ et (jl^ est supérieur
à ^, puisque a^ est plus petit que i . Or les deux quotients r^A(p-i)-i et
[à(hh)\
féiMp-^n ' égaux respectivement, d'après les équations (44)) ^— et — >
sont supérieurs à M**"*. lien est donc de même pour Q, ainsi que nous
l'avions annoncé.
27. Gela posé, au tableau rectangulaire (Sg), adjoignons une der-
nière colonne composée des éléments
^1»-) ^m-+,î • • M ^
m,,) ^m^^.,î • • M ^mp^/i
>«--f-n )
m désignant un indice très grand, mais plus petit que chacun des indices
mo, . . . , m«_, . Nous obtenons un déterminant A^fJ,^^ _ , Par hypothèse,
44 J* HADAM.VKD.
ce déterminant contient un mineur ., .-rr tel que le quotient p — , , ;" ,
soit plus petit que Mf'^.
Si d'abord i est égal à />, on peut supposer, d'après la manière dont
nous avons formé le déterminant ûO, que le mineur en question n'est
autre que cD.
Supposons maintenant que i soit différent de p. On peut d'abord
prendre k = h; car, si k est différent de A, l'identité bien connue entre
les mineurs d'un déterminant nous donne
(D
d^'P' d^^P^
d^^P'
â(i,k) d(p,k) ô(i,h)
égalité dans laquelle les remarques précédentes permettent de rem-
P^^^^" ^ ' ' àî^rry àUj^) i-^spectivement par ^.-^^ Mf- , 0.), ^-^
ce qui conduit à
[Ci>— €'
à^^p^
>
y ^ja>-u>'^j>
â^P^
à(ijr)
(i-e).
Nous pouvons donc substituer le mineur tt^-tt au mineur ^, . ,^ •
Mais au mineur ., . , , on peut substituer le déterminant cD. En
effet, l élément a^ peut se mettre sous la forme 6M^^, et Ton peut
écrire sous cette même forme les coefficients ct^ ^x^ -- -} ci„ ^ ^ k cause
des hypothèses faites sur la fonction ç (m). Le déterminant ^ . . étant
égal à
a.
—7 a.
a
>n--4-A-»-l
d(/,/i-hi) '"''
il existe au moins un indice J tel que
a
/n„+nî
à(i,p) '"i''^^
âi^
àihj)
diS>
d\^p'
soit moindre que
M""*"*. Or (D est supérieur à -rp— rrM" S On a donc
cô;>
1^1
^^At''^ IM«-^
à{iJi)\M^^
-z'
î'
ESSAI SUR L ETUDK DES FONCTIONS.
45
et cette inégalité, comparée à l'hypothèse
A'" I <
nous donne
d'où, a fortiori y
Mf^S
0)— to'— 6
(46)
M?
< W^,
puisque nous avons supposé m,- plus grand que /n^, et par suite M,
plus grand que M^.
bn un mot, on peut toujours supposer que le mmeur ^ . , n est
autre que (D.
Si nous envisageons le système des paramètres a^, a<, ..., a^,.,,
tt/i^, , . . ., a^, définis par les équations (43), cette inégalité (46) montre
que, pour tout indice n plus petit que chacun des entiers m^, ...,
rUf^^ , on a
(47)
28. Soit, à présent, un second déterminant principal AJ,^"']^ „ ^,
les indices n^^ /^^, ..., /^^_^ étant tous très grands, mais cependant
inférieurs aux indices /Wo, . . ., rrio^. . A ce déterminant Aif"^' « cor-
respond un déterminant (©' se déduisant du nouveau déterminant
A^/^'^ comme co se déduisait de l'ancien, en faisant intervenir un in-
dice h que nous supposerons être le même dans les deux cas, conformé-
ment à ce qui a été dit plus haut. On peut, avec cette nouvelle série
d'indices, former un système d'équations analogues aux équations (43)
«n.-HA
ao««.
^ * ^/'o-«-l
-^O^A-l<^«aW/-l
r
(43')
<^/».-.,+A —
^««>-,
^^^n,.,^^
^^^/lp-,-K7»'
46 J. HADAMÀRD.
Si maintenant, dans l'équation ('17), nous remplaçons n successi-
vement par /i^, /i, ^^p-it nous obtenons /> nouvelles équations
que le système (43') permet de mettre sous la forme
(48) \ ,
-^^'^A-i— ^>i-i>^«p .-^*-t-^-(^A^» — ^A^^^^/.p-.-^+|-»"••■
Résolvons ces équations par rapport à o'^ — x, , a. — a, a^ — a^ :
en ayant égard aux relations
nous voyons que, si /lo est le plus petit des entiers z*^, . . . , /i^>«,, on a,
pour chaque valeur de X,
(49; ^)- *).= \
Cette conclusion a été établie en supposant que tous les n sont plus
petits que chacun des m. Mais elle subsiste pour tout système de va-
leurs suffisamment grandes des m et des n. Car on peut prendre un
déterminant principal auxiliaire formé avec des indices plus grands à
la fois que les m et (jue les n. Si a^, . . . , 0L\_^, a"^^,, . . . , a^ désignant
les quantités analogues aux a et aux a' calculées à Taide de ce nouveau
déterminant principal, Téquation (49)? ayant lieu pour les différences
a> — a> d'une part et a{ — a^ d'autre part, est aussi vérifiée par
il en résulte que ax tend vers une limite quand les indices m^
mp_^ augmentent tous indéfiniment sans que le déterminant
cesse d'être un déterminant principal.
ESSAI SUR L ÉTUDE DES FONCTIONS. 4?
La limite de ax étant désignée par — A^^ '^, on a, pour n très grand,
la relation
(5o) A^^'^a, 4- Af/'-'V/,., , ^ . . . -H K^'^a^^p + a,^, = 6 iN^^'^S
car la quantité N***'"*"^, étant supérieure à
d'après la formule (47)? ^st aussi supérieure à sa limite.
On en conclut tout d'abord que A^®^ n'est pas nul, sans quoi, en
raisonnant sur la formule (5o) comme nous avons raisonné au n" 25
sur la formule (37), on démontrerait pour le déterminant A^^~*^ une
conclusion analogue à celle que nous y avons établie pour le détermi-
nant A^^\ ce qui serait contraire à nos hypothèses. Le rapport — =—
tend donc vers une limite finie et différente de o, et, par conséquent,
la relation (46) subsiste en y remplaçant cD par A^f"*^ Comme toutes
les propriétés précédentes découlent de cette relation combinée avec
la formule (4o)? oi^ P^tit substituer, dans les considérations que nous
venons de développer, le déterminant A^^~*^ au déterminant (D , et sup-
poser h=^ p. Dans ces conditions, la relation (5o) devient
K^p^a, 4- K^^''a„^, -^ . . . -+- A^*Ja„^^, -h a„^p = N^^'^S
Cette relation n'étant autre que la relation (37), nous avons dé-
montré que la condition nécessaire trouvée au n" 25 est aussi suf-
fisante.
Pour obtenir les coefficients A, on voit qu'il faut choisir des déter-
minants principaux à indices de plus en plus élevés et résoudre les
équations (43) correspondantes.
Nous nous étions bornés aux déterminants principaux pour lesquels
l'indice h avait la même valeur ; mais cette restriction n'a plus de
raison d'être, puisque nous avons vu qu'on peut toujours supposer
h = P'
En prenant comme valeurs approchées les quantités a calculées
à l'aide d'un déterminant principal quelconque, on commet sur
4«
HADAMARD.
chaque coefficient une erreur moindre qne «.^_^_, , si m^ est le plus
petit des indices qui servent à former le déterminant principal.
Dans le cas où le nombre p est égal à i , les déterminants A ^~' se
réduisent aux coefficients a^ eux-mêmes. Si Ton écrit le polynôme 9
sous la forme 9 = î — - - on voit que x* est la limite de — ^-, mais en
se bornant aux valeurs principales de a^^^ c'est-à-dire à celles pour
lesquelles le rapport .-^ est très voisin de ci>. Si Ton ne prenait pas
cette précaution, on pourrait ne plus arriver au résultat cherché,
ainsi que uouf le constaterons sur un exemple.
Dans le cas simple par lequel nous avons commencé et qui corres-
pond à ITîypothèse si'/w ♦ = e", cette difficulté ne se présentait pas ;
nous avons \u que tom* les déterminants X'^*- à indices consécutifs
étaient des déterminants principaux.
29. Les paramètres a et z peuvent s'exprimer par des quotients de
déterminants. On a déjà, en effet,
Q=r
di
— 1
V-k
dAP->>
A^-*> d{Lk)
et la résolulion d<^ équati<»fi< { 43 j donne la valeur de a^.
Ces expressions, reportées dans Tégalité (45), donnent une relation
qui peut s'énoncer, d'une façon générale, sous la forme suivante :
Soit donné un tableau rectangulaire
rSn
I
a,.
K.
«î-
br.
a,.
*..
^p^\* '^p->-l
\
p^\ •
comprenant p colonnes et /? -)- i lignes. En supprimant la première
ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS
49
ligne, on forme un déterminant d'ordre /> :
^2,3 =
a»
a.
C/>> • • • C>n
O3 ... £3
a
lHr\
I
p-¥\
En supprimant la seconde ligne, on forme de même le déterminant
A,.,=
a.
a.
a
a
/>-*-«
b, .
.. /,
b, .
.. /,
b, .
.. l.
■ • • •
/H-i
OÙ nous avons interverti les lignes de façon que le déterminant A,,|
se déduise du déterminant ^2,3 par une permutation circulaire effec-
tuée entre les lignes première, seconde et troisième du tableau (5r).
Enfin la suppression de la troisième ligne fournit pareillement le dé-
terminant
A...=
a.
a.»
a.
h,
h..
a
p+i
/
/M-«
Supprimons maintenant la deuxième et la troisième ligne, en même
temps que la première colonne; puis la troisième et la première ligne;
puis les deux premières ; nous obtenons les trois déterminants d'ordre
p-x
ô. =
b,
c,
* . • 1/ »
• •
9 •
> • • I A
• * . • •
V'.
• «
^p-^i
H.
5o
J. HADAMARD
^
0.
b.
c.
r
Cela posé, on aura
p-i-i
l
AH-l
/
p+\
A^.a S, -h Aj., §2 -h A,,2 s, = o.
Ce fait peut se ramener à un autre bien connu, en mettant à gauche
du tableau (5i) une colonne formée tout entière de zéros, à l'excep-
tion du troisième élément qui sera égal à i. On obtient ainsi un déter-
minant
o
a,
6.
o
a^
K
I
«.
K
o
«4
■ •
o a
p^\
l
/H-l
égal à A|.2. Les mineurs relatifs aux deux premiers éléments nuls sont
respectivement Aa,, et A,,,, tandis que les mineurs correspondant aux
éléments a, et a^ sont S^ et — S,. Entre ces quatre mineurs existe
bien la relation
car la suppression des deux premières lignes et des deux premières
colonnes donne le déterminant S3.
30. On peut étendre la relation précédente à une substitution cir-
culaire de n -h I lettres, n étant un entier quelconque au plus égal à p.
Dans ce cas, il faudra, pour former le déterminant A, supprimer la
/i -h 1 •**""' ligne, et, [pour obtenir le déterminant S, supprimer les n
9 >
ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS.
5f
premières lignes en même temps que les /^ — i premières colonnes du
tableau (5i). La somme des valeurs que prend le produit AS, lors-
qu'on permute circulairement les n-h i premières lignes du tableau
(5i), est encore nulle si n est pair. Lorsque n est impair, il faut, pour
obtenir une somme nulle, faire précéder les termes alternativement du
signe -h et du signe — . En un mot, dans tous les cas, on multipliera
chaque valeur par -f- 1 ou par — i suivant que la substitution qui a
servi à l'obtenir appartient ou non au groupe alterné, et la somme
^n,p —
a
a. y
a
n
^^ li-^^l
a
p^\
L/ a • • • '/ I
• • « C'o
• • ■ m %
... /„
• • • l^ff^'t
« ■ • • . - .
• • ■ ' p-* I
(->)
[*//
+ (-')"
a
n — ui-1- »
a
//-+-!
a.
a
.i—ti
^n-¥1
a.,
«;M
Ci ,1 _!. .|
a
fH-\
sera identiquement nulle.
/I-f-l
«-+-2
h
p-^S
^/>+<
*«— lH-2
''«— pi-+-s
^/l-f-1
'*/l— JX-+ 1
'/I— |A^-f
• •
^71 + 2
^11+2
hn 2
• • • • •
• • • • ■ *
• ■ • ■
/
/>-<
/,
/
•//-f-2
/
p+i
A.
''/M 2
"/V^ I
/
/'• '
52
J. HADAHARD.
Toat d^abord ceci a lieu pour /i = 2, ainsi que nous venons de le voir.
Pour p=^ n. le déterminant i se réduit à un seul élément, et il vient
*ri.
/.
*.i
• /^. — ( - I • •
^a^.
«.
/
/.
a
m
/.
n.
I
a
/. /,-.- =
/.
/.
(I.
a
/..^, /... .
Par conséquent, si Ton ^eut démontrer notre proposition pour cer-
taines valeurs de n et de /?, on peut la supposer établie, d'une pari
pour les sommes S,.^,, d'autre part pour les sommes S,_,,^_|.
Or la somm^ 5,^^ est une fonction linéaire et homogène de a
a, est multipl
b,
m •
îé par la somme
h
p^i
/!,-.
/l..
« -2
P'i
I
A-^l
>.
— ( — I
b. .
h
« ■^
I V.
• « • • •
h.
''» t
• m n •
/. .
/,.!
/
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 53
qui est précisément une somme S„.,,^«, ; et il en est de même pour
Considérons maintenant un élément a dont l'indice soit supérieur à
n-hi, soit a^^i par exemple. Pour avoir le coefficient de a^,+,, il
faudra supprimer la dernière ligne et la première colonne dans le dé-
terminant A et dans ses transformés. La dernière ligne du tableau
(5i) continuera à être représentée par les éléments h^,^^ . . . . , /^,^ , qui
figurent dans le déterminant S. On pourra développer encore par rap-
port à ces derniers éléments et Ton trouvera, pour le coefficient de
chacun d'eux, une somme S,,,^_,.
Ces différents coefficients pouvant être supposés nuls, ainsi qu'il a
été remarqué précédemment, il en est de même pour S;,^^, comme
nous voulions le démontrer.
On pourrait même aller plus loin et, au lieu d'opérer simplement la
substitution circulaire précédente, effectuer successivement toutes les
substitutions d'un groupe de degré n -h i contenant cette substitution.
La somme des valeurs du produit Ao, précédées chacune du signe -h
ou du signe — , suivant que la substitution correspondante serait ou
non alternée, s'annulerait toujours. Car, si F désigne le groupe formé
par les puissances de notre substitution circulaire, on sait que les
substitutions du groupe donné seront données par un tableau de la
forme
F T r T r T F
où i, T,, ..., T;._, désignent r substitutions. Or, en appliquant à
notre produit AS les substitutions T|F, on obtient la transformée de
S;,,^par la substitution T (multipliée par -\- i ou - i suivant que T,
est alternée ou non), et ainsi des autres. Ces différentes transformées
étant nulles, puisque l'égalité S^^^ — o est une identité, notre conclu-
sion est établie. Par exemple, la somm^ considérée sera nulle pour
tout groupe transitif de degré premier, car un pareil groupe contient
toujours une substitution circulaire.
Enfin, au lieu du déterminant S, on peut considérer un déterminant
A' obtenu, non plus en supprimant n— i colonnes du tableau (5i),
mais en lui laissant toutes ses colonnes et lui ajoutant n — i lignes
composées d'éléments arbitraires. Car ce déterminant est égal à une
54 •>• HADAM\RD.
somme de déterminants S multipliés par des coefficients qui ne dépen-
dent que des lignes ajoutées et, par suite, les conclusions obtenues
pour le produit AS s'appliquent au produit AA,.
TROISIEME PARTIE.
31. Dans cette troisième Partie, nous considérerons une série dont
nous supposerons le rayon de convergence ramené à Tunité par la
transformation (4)? et nous rechercherons comment la nature des
singularités est liée à Tordre de grandeur des coefficients. C'est la
marche qu'a suivie M. Darboux, dans le Mémoire précédemment cité
Sur l'approximation des fondions de très grands nombres , en
supposant d'abord que la fonction considérée admette, autour de
chaque point singulier a?©, une partie principale de laïorme — _ — r^>
où a désigne un nombre compris entre o et i . Il a étendu les résultats
obtenus au cas de a quelconque, en partant des relations qui existent
entre les coefficients d'une série et ceux des séries dérivées.
Pour appliquer des considérations analogues à des fonctions aussi
générales que possible, nous utiliserons la notion de dérivée généra-
lisée, telle que l'a présentée Riemann dans son Mémoire intitulé Ver-
sucheiner allgemeinen Auffa^ssung der Intégration und Differen-
tiation (*).
Conformément aux conclusions de ce Mémoire (^), a étant un
nombre quelconque, positif ou négatif, entier ou fractionnaire, mais
auquel nous ne donnerons cependant que des valeurs réelles, nous
désignerons par le symbole D^/(x) une fonction définie de la façon
suivante :
I ^ Pour a = o
(52) \X.f{x)=f{x).
(*) RiEXANN, Œuvres complètes,, Ed, Weber et Dedekind, p. 33i-344*
{') Riemann introduit dans l'expression de D*/(a?) certains polynômes arbi-
traires que nous supprimons ici, parce qu'ils sont inutiles pour notre objet.
.. 55
ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS.
2® Si a est négatif, on prendra
(53) \Mf{x) = ^^'_^j\x-z)-^-^f{z)dz,
Fintégration étant effectuée suivant un chemin rectiligne et /le dési-
gnant un nombre tel que la fonction donnée soit régulière entre k eix.
Dans l'étude actuelle, toutes les fonctions que nous considérerons étant
régulières autour de Torigine, nous prendrons /r = o.
Au reste, il convient de remarquer que les intégrales
C\x~z)-^ \f{z)dz et f {x~zY^-\f{z)dz
se comportent de la même façon au point de vue des singularités (*),
ce qui est pour nous le plus important.
(*) Soient, en effet, J et J' les deux intégrales en question, prises pour un
point ordinaire x de la fonction. Joignons {Jig. 2) les points k el k' par un che-
min quelconque ne passant pas par le pointa? et ne coupant aucune des droites kx
etk'x. Enfin, du point^comme centre, décrivons entre ces deux mêmes droites un
petit arc de cercle mm'. Nous formons ainsi un contour kmm' k' k le long duquel
l'intégrale de (x— z)~^-^/(z)dz sera nulle si les points A", k'yX ont été pris
intérieurs au cercle de convergence. L'intégrale suivant mm' étant infiiiiment
petite avec le rayon du cercle, on voit que la différence entre les intégrales J
M'
el J' est égale à l'intégrale / (.r — v)-^'*/( -3) /^3, laquelle est holomorphe,
excepté sur le chemin kk' .
50 J. HADAMARD.
3° Si a est positif, E désignaat le plus petit entier qui comprend a,
on calculera, d'happés les formules (32) ou (53) la fonction Dj."*^/(x),
et Ton en prendra la dérivée d'ordre E à la façon ordinaire.
Si/(x) est développée en série de la forme
(2) /(x) = a. -H «, X -h . . . -h a^Ji'"* H- . . .,
il est facile d^obtenîr le développement de D^/{x). Il suffit de partir
des formules données par Riemann (' ) pour la valeur de Ti^x^'. Nous
écrirons de préférence le résultat obtenu sous la forme
(54) .'•'l>y(x)=2«'»r
•A/ •
( w H- I — a )
in=0
32. La formule qui donne D^x*" a été trouvée par Riemann en
eflectuant dans l'intégrale
la transformation z = tx^ ce qui donne
D>'" = f— -"-j jf"' (1 - /)—' rdt,
et il est à remarquer que, dans l'intégrale qui figure au second
membre, on donne à (i — /)"** sa valeur réelle et positive; car
c'est seulement à cette condition que cette intégrale est égale à
Tim H- I) r(-.a)
V{ m -h I — Gt)
Si nous opérons la même transformation dans la formule (53), dans
rhypothèsc /r = o, nous trouvons
(55) x-Dlf^x).-. ^--f\i- f)- \f\U')d(.
On voit que cette nouvelle formule (5 >) a l'avantage de donner
(•) Loc, cit., p. 343.
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 5'J
pour ir*D*/(a?) une valeur parfaitement déterminée, puis(|ue(i — /) *"*
devra recevoir sa détermination réelle et positive.
35, Si nous posons a? = e^ et que nous formions le symbole D en
considérant / comme fonction de y^ nous obtenons une nouvelle ex-
pression, que nous désignons par la notation (Dî/(.^).
L'intégrale (53) devient dans ces conditions
Nous supposerons la fonction /privée de son terme constant, autre-
ment dit s'annulant à l'origine. L'intégrale précédente deviendra dès
lors finie pour k = o. En y posant s = IXy nous pourrons écrire, pour
les valeurs négatives de a,
(.57) cDî/(.) = i^ jf (l J)— /('-) r
Dans tous les cas, le développement en série de (ôî/(x) sera le
suivant
m=0
Pour a négatif, ce développement résulte de la formule connue
r{^r"-"^='-^
)
D'ailleurs, le développement de ^^^ = x/'(x) se déduit bien de
celui de /(a?) en multipliant le coefficient de af^ par /w, d'où Ton con-
dut que le développement de ./^ J s'obtient en multipliant le coeffi-
cient de x"^ par m^. Le développement (58) est donc général.
De ce développement résulte que si / est développable en série
autour de l'origine, on a toujours
(oîdo.?./(a-) = (DrV(-^o-
H. 8
58 i. hadavàrd.
Nous remarquerons aussi qu^il n^existe qu'une seule fonction ^ de-
veioppalile en série de Maclaurin et telle que (ôîç(a7) =/(ir) : c'est
la fonction
5i. Les développements (54) et (58) sont absolument convergenls
«•Il même temps. Nous remarquerons, en effet, que le rapport des coef-
ficients correspondants a pour limite i .
Pour a entier et positif, ceci se reconnaît immédiatement, car la
quantité :^j--^ -j— . se réduit à un polynôme entier en a//, de
ilegré a.
Pour les valeurs de a non entières et positives, il suffît d'utiliser la
valeur asymptotique de r(//i) pour m très grand; on trouve ainsi
(i 4- t) — ^ ^ = er^ — ^^ ^ ï—
= <r\m + .)« (i + — ^— )""*"".
Le dernier facteur a pour limite e* et détruit ainsi le premier lorsque
m devient infîni, de sorte qu'il reste bien
r(mH-i) ^, .
—-^ ^ = m*(i 4- g).
55. l-ics expressions (55) et (57) conduisent à envisager les opé-
rations 3f-iy^^f(^x) et Gblf{x) comme des cas particuliers de la
transformation
(59) <f(x)=f\(l)/(tx)dt,
la({uellc présente, au point de vue qui nous occupe actuellement, des
propriétés intéressantes ( * ). -^
(*) M. PiNCHBRLE {Acta mathematîca , l. X, p. i53-i82) a étudié la transforma-
tîon ¥{x) =^J^{y)k{œ,y)dy. Mais il ne s'est pas placé au même point de v le
ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 5c^
Convenons d'abord, pour fixer les idées, que Tintégrale soit prise
suivant Taxe réel. Dans ce cas, la fonction V(/) peut n'être définie
que pour les valeurs réelles de / comprises entre o et i. Il faudra seu-
lement que l'intégrale / | V (/) | dt ait une valeur finie M. Même, dans
t/o
le cas où / s'annule pour ^ = o, il suffira que l'intégrale / | t^(t) \ dt
»
soit finie.
Donnons à x une valeur telle que la fonction donnée /soit régulière
au point correspondant; que, de plus, la droite qui joint ce point à
l'origine ne passe par aucun point singulier de/. Je dis que la nouvelle
fonction (p sera régulière en ce point.
L'intégrale (Sg) donnera tout d'abord pour ç une valeur finie et
déterminée. Si maintenant nous donnons à a; un accroissement A,
nous trouvons
ç(a7 -h h) - 9.x = r V(/) [f{tx -I- th) — /(te)l dt.
Or on peut obtenir une expression de la quantité /(te -t- th) — /(te)
de la façon suivante. On a
' f'{z)ds.
tx
La fonction f{z) est, d'ailleurs, uniformément continue dans un
triangle ayant pour sommet l'origine et comprenant le point x à son
intérieur {fig* 3), de sorte que l'on peut, pour toute valeur de z si-
tuée sur la droite qui joint le point te au point te 4- //*, remplacer
/'(z)paT/'(tx)'h 6£, où 6 est de module plus petit que i et e un
nombre que nous pouvons supposer aussi petit que nous le voulons,
que nous. Il considère cette expression n comme un algorithme appliqué au
sujet variable <p(/) et dont les propriétés essentielles dépendent de la fonction
A{jr^y) ». C^est précisément, comme on le voit, Tinverse de ce qui est fait dans
le texte.
Go J- UADAMARD.
si h est assez voisin de o, et cela indépendamment de la valeur donnée
k t. Dans ces conditions, on a
/(te -h th) -f{tx) = th[f(tx) -h Ôe],
d'où
ç(^ H» h) - ^{x) = h\ f\Y(t)/Xfx)dt^^eM] .
La fonction 9 a donc bien une dérivée et est, par suite, holomorphe
au point considéré.
Fiç. 3.
Les seules singularités de la fonction o sont donc des coupures
rectilig:nes tracées suivant les prolongements des droites qui joignent
l'origine aux différents points singuliers de la fonction/.
36. Mais ces coupures elles-mêmes ne sont en général qu'appa-
rentes et dues à la façon trop restreinte dont nous avons défini l'ex-
pression o, en exigeant que Tintégration fût effectuée le long du che-
min recliligne. C^est un fait bien connu que les choses se passent tout
autrement lorsqu'on conserve à la fonction toute sa généralité en lais-
sant le chemin d'intégration indéterminé.
Soient tracées, par exemple, du point x = o au point x = 1 , deux
lignes quelconques situées de part et d'autre de l'axe réel (y?^. 4)? de
façon à former un fuseau F. Supposons que la fonction V(/) soit ho-
lomorphe à Tintérieur de ce fuseau; supposons, de plus, que les pro-
duits /V(/) et (i — /) V(/) tendent vers o lorsque la variable t s'ap-
proche, par des chemins intérieurs au fuseau, de la valeur o pour le
premier et de la valeur i pour le second, et cela de façon que Finté-
grale / |V(/);|rf/|, prise le long d'une ligne rectifiable quelconque
ESS.U SUR l'étude DES FONCTIONS. 6l
intérieure au fuseau, soit finie (* ). Même, si l'on se borne à considérer
les fonctions/, qui s'annulent pour x = o, il suffira que ces propriétés
appartiennent à la fonction /V(/), c'est-à-dire que les produits /* V(/),
Fig. 4.
/V(i — /) tendent vers o avec t et que l'intégrale / |/V(/)||rf/| ait
une valeur finie.
Sur la ligne (o, x) comme base {fig* 4) décrivons un fuseau F'
semblable à F. Il peut arriver que ce fuseau F' ne renferme aucun
point singulier de la fonction donnée. En ce cas, nous voyons d'abord
que les intégrales (Sg) prises suivant deux chemins différents (] et C,
à l'intérieur du fuseau F sont égales. Il suffit, pour s'en rendre compte,
de décrire, des points o et i comme centres, deux petits arcs de cercle
coupant les chemins C et C,, Tun aux points /? et p,, l'autre aux points
q al q^. L'intégrale de la fonction V(/)/(to) le long du contour fermé
pqq\PiP étant nulle, la différence des intégrales {pq) et (/?, y,)est
égale à la différence des intégrales {pp^) et (qqi)^ lesquelles tendent
vers o avec les rayons des cercles, à cause des hypothèses faites sur la
fonction V.
Nous pourrons donc considérer exclusivement l'intégrale prise sui-
(*) Ceci arrivera, par exemple, toutes les fois que la fonction V sera, aux en-
virons de l'origine, plus petite que — et, aux environs du point tz=:i, plus pe-
lile que -r^> Texposant a étant plus petit que i. Du reste, il faut remarquer
que le mol finie signifîe ici : finie pour chaque intégrale. Il n'est pas nécessaire
(|u*ily ait une limite supérieure commune à toutes.
62 J. HADAMARD.
vant lé chemin rectiligne, et les raisonnements donnés ci-dessus s'ap-
])liqueront sans modification.
Supposons maintenant que x soit toujours TaÛixc d'un point ordi-
naire pour la fonction /(x), mais que le fuseau F' renferme des points
singuliers de cette fonction.
Si la fonction / n'a que des points singuliers formant une suite
ponctuelle, on pourra, à l'intérieur du fuseau F', tracer un fuseau
F'^ {fig- 5) compris entre deux lignes allant du point o au point .r, et
ne renfermant pas de point singulier. Soit F, le fuseau intérieur au
fuseau F et qui correspond au fuseau F'^. Nous prendrons l'intégrale
(59), non plus suivant le chemin rectiligne, mais suivant uo chemin C
intérieur au fuseau F, et nous pourrons refaire les raisonnements
précédents en désignant, cette fois, par M l'intégrale / I V(/) | |rf/ 1 (ou,
si / s'annule avec a?, l'intégrale / |/V(/)| |rf/|). La fonction repré-
sentée par rintégrale (Sg) prise le long du chemin C est donc holo-
morphe autour du point considéré.
Ainsi, d'après notre nouvelle définition, la fonction ç devient en
général multiforme, puisque sa valeur dépend du fuseau F', ; mais elle
n'a plus d'autres points singuliers que ceux de la fonction/.
. 37. Lorsque / est une fonction régulière à l'intérieur d'un certain
cercle, si l'on ne considère que les points singuliers situés sur ce cercle,
il est évidemment indifférent de considérer la fonction dans sa défini-
tion restreinte, ou, au contraire, dans toute sa généralité.
Dans ces conditions, le développement de ç est lié à celui de/ par
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 63
des relations particulièrement simples. Il est clair, en effet, que le
coefficient de a;"' dans le développement de ç s'obtiendra en multipliant
le coefficient correspondant a,„ de /par la quantité
(60) e„ = f\(t)
rdt.
On peut donc former, et cela d'une infinité de manières, des suites
de nombres par lesquels on peut multiplier les coefficients successifs
d'une série sans changer ses points singuliers.
Soit, par exemple,
V«=5^[î,i,(L0-'-,^W(«'0']^
nous trouverons
3,« = ; = — sin(Lm),
et, comme on peut, sans modifier les singularités, remplacer /(a:) par
xf\x)^ nous pourrons prendre
(Gf) • ^m = sin(Lm).
38. Cette valeur de a^ va nous servir à démontrer un fait annoncé
dans la première Partie (n** 7), à savoir que la série (2) peut admettre
pour point singulier unique sur le cercle de convergence le point x\^
sans que le rapport — *— tende vers J7o- En effet, puisque la transfou-
mation précédente conserve les points singuliers, nous aurons manifes-
tement fourni la démonstration demandée si nous établissons que le
rapport ^J^""^' ne tend pas vers la limite i lorsque m augmente indéfi-
niment.
Nous considérerons, à cet effet, le résidu minimum de Lm par rap-
port à 21:, c'est-à-dire que nous poserons
k étant un entier et '>{/ étant compris entre — 1: et -i- ir.
Il est facile de constater que ce résidu vp pourra s'approcher autant
G4 J- HADAMARD.
qu'on voudra d'un angle quelconque a. Car, si l'on prend k suffisam-
ment grand, les quantités e**^"^*, e**^"*"*^*, dont la différence est égale
au produit du nombre fixe e"^ — c" par le nombre très grand c^'^y
comprendront certainement un nombre entier, et même autant de
noml)res entiers qu'on le voudra.
En particulier, prenons a == o et soient m et m -h i les deux entiers
consécutifs qui comprennent le nombre e**^. Les valeurs de L m et de
L(m + i) Seront respectivement de la forme ^**"-^ ou ^>^*^-*"^, et par
suite leurs sinus seront de signes contraires. La formule (Oi) donnera
donc pour le rapport ^^^^^ une valeur négative».
Ci
Envisageons maintenant le rapport ^'""^* - D'après ce que nous sa-
vons sur L(m -t- i) et h(m -+- 2), les sinus de ces deux quantités se-
ront sensiblement égîiux à L(/7^ -f- 1) — 2Atc et L(/n -+- 2) — ^kn. Or
la quantité L ^^^ peut se remplacer elle-même, à un infiniment petit
d ordre supérieur près, par — jjpj^ ' ? et, de même, a L ^^.^ on peut
substituer — jjp^^ i . Le rapport ~^^ est donc infiniment peu différenl
ni -4— 2 — — c^^^ . . . ^
d^ ïkn* quantité évidemment supérieure à 2. De même, ^^r^
. 3
sera supérieur à e, et ainsi de suite. Au contraire, ^ " pourra se
remplacer par ,^^_ — -— t> qui est plus petit que -, et l'on pourrait
opérer d'une façon analogue pour 7
/w-l
o
Ainsi nous voyons que ce rapport ^^^^* peut prendre, et cela aussi
loin (ju'on voudra dans la série, des valeurs plus grandes que 2 — e, ou
plus petites que --+-£, ou même négatives. Il est donc établi que ce
rapport ne tend pas vers l'unité.
Si, par exemple, on part de la fonction = Sa;", on en déduira
par notre transformation la fonction
((i2) 2s'nL(/n)a-™,
mzrl
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 65
laquelle admettra pour point singulier unique le point rr = i , sans que
le rapport de deux coefficients consécutifs ait pour limite Tunité.
On pourrait, il est vrai, objecter que la transformation (Sg), tout
en n'introduisant aucun point singulier, peut avoir fait disparaître
ceux qui existaient auparavant. Mais ici nous sommes assuré du con-
traire par la considération du cercle de convergence. Il résulte, en
effet, de ce qui précède que sin Lw a une infinité de valeurs voisines
de i . Le rayon de convergence de la série (G2) est donc égal à l'unité,
et, par suite, la fonction qu'elle représente possède sur le cercle de
rayon i un point singulier, lequel ne peut être, comme nous le savons,
que le point .r = i .
39. Nous introduirons encore une notion prélijiliûdrc relative,
celle-ci, aux fonctions continues et voisine de la notion connue de fonc-
tion à variation limitée.
Nous dirons qu'une fonction continue, réelle ou imaginaire, de la
variable réelle x est à écart fini dans un intervalle (a, &), lorsque les
intégrales /i icos/io: /(a;) rfd:; ci n j sin fix /(x) dx ^ prises entre des
limites quelconques intérieures à l'intervalle (a, 6), restent finies et
moindres en valeur absolue qu'une quantité fixe I lorsque n augmente
indéfiniment. Cette quantité I sera dite Vécart de la fonction dans l'in-
tervalle (a, b).
Une fonction à écart fini reste à écart fini lorsqu'on effectue un chan-
gement de variable tel que a; = Xa;'-t- [x. Car cette transformation
change les intégrales précédentes en d'autres qui en dépendent par
des relations linéaires à coefficients finis.
Une fonction à variation limitée est nécessairement à écart fini. En
particulier, une fonction est toujours à écart fini lorsqu'elle a une
dérivée finie. En effet, soient a', b' deux nombres compris dans l'inter-
valle (a, b). Pour évaluer l'intégrale
^ ^i/
Jf n cos nx/(x)dx = f /(x)d(sinnx)j
nous décomposerons l'intervalle (a', 6') en intervalles partiels dont
chacun (les deux extrêmes exceptés) aille de — à ^"^ • Dans cha-
H. û
G6 J. HADAMARD.
cun de ces intervalles, nous pourrons remplacer / par |ji;^ 4- 6S^, le
nombre (X;^ étant le minimum de /dans Tintervalle considéré, ô^ son
oscillation, une quantité variable comprise entre o et i. L'intégrale
prise dans Tintervalle partiel se décompose donc en deux, dont Tune
est nulle et l'autre plus petite en valeur absolue que 8^. Pour les inter-
valles extrêmes, le minimum [x est infiniment voisin de f(a') ou
de /(&'); l'oscillation S est infiniment petite, de sorte que l'intégrale
est infiniment voisine de /(a)sinna ou de /(b')sinnb\ Notre inté-
grale totale est donc moindre en valeur absolue que
i;s*+i/(«)i+i/(/o:
et reste Iauiu sM'a foîîctioti tfôùnèé'c&t i, variation limitée.
On pourrait rechercher si l'inverse a nécessairement lieu, auquel
cas la notion que nous introduisons se confondrait avec celle de fonc-
tion à variation limitée. En tout cas, elle est distincte de la notion de
fonction continue, ce que nous constaterons sur la série (i i) (i*** Partie,
n° 12). M. Weierstrass a démontré que si, dans cette série, on fait
X = e'^, la partie réelle de l'expression ainsi obtenue est une fonction
continue, mais non à variation limitée, de l'argument G. Nous recon-
naîtrons plus loin que cette fonction n'est pas non plus à écart fini.
En multipliant une fonction / à écart fini par une fonction con-
tinue ^, qui varie toujours dans le même sens, on obtient encore une
fonction à écart fini, et le nouvel écart est égal à l'ancien, multiplié
par deux fois la plus grande valeur absolue que prenne le multiplica-
teur. C'est ce que l'on reconnaît en appliquant à l'intégrale
"/+/
cos nxdx
le second théorème de la moyenne. Si la fonction j/ a un nombre fini
de maxima et de minima, on obtiendra le nouvel écart en multipliant
l'ancien par la plus grande valeur absolue de ^ et par le nombre des
maxima et minima.
Une fonction est à écart fini pour une valeur de la variable, si Ton
peut trouver un intervalle comprenant cette valeur et dans lequel la
fonction soit à écart fini.
ESSAI SUR L^ÉTUDE DES FONCTIONS. 67
Lorsqu'une fonction n'est pas à écart fini dans un intervalle (a, 6),
c'est qu'il existe dans cet intervalle une ou plusieurs valeurs de x pour
lesquelles la fonction n'est pas à écart fini. Ceci se voit à la manière
ordinaire, en décomposant l'intervalle (a, i) en parties de plus en
plus petites, de façorrà former une double série de nombres tendant
vers une limite commune.
Enfin, la notion d'écart se définit sans difficulté pour les fonctions
de variable imaginaire. L'écart d'une fonction le long d'une portion de
courbe donnée, de longueur /, sera l'écart de la même fonction consi-
dérée comme fonction de l'arc de cette courbe compté à partir de
l'une des extrémités de la portion donnée et variant de o à /.
iO. Cela posé, nous considérerons, ainsi que nous nous le sommes
proposé, une fonction définie par la série (2), dont nous supposerons
le rayon de convergence réduit à l'unité, et nous démontrerons tout
d'abord la proposition suivante :
Si la série^a,„^ former par les cocjjficients de la série (2), est
absolument convergente, et de telle façon que mhmaj„ tende vers o,
la fonction f(^x) sera finie, continue et à écart fini sur le cercle de
convergence.
Les deux premières parties se voient immédiatement, la série (2)
étant, dans les conditions de l'énoncé, uniformément convergente à
rintérieur du cercle de convergence et sur ce cercle.
Pour démontrer la troisième, nous désignerons par 6 l'argument de
la variable x qui décrit le cercle de rayon i, et, au lieu des intégrales
Jc^ ' r
cosnô/(^'^)rf6, n\ sin/iO/(r''^)rfO, nous considérerons, ce qui
•X •-• a
revient évidemment au même, les expressions n f e'*'^ f (e'^) dh ,
n I e~"^^f(e'^)dO. La série (2) étant uniformément convergente,
nous pouvons remplacer / par son développement et intégrer terme
à terme. On trouvera ainsi, pour la première intégrale, la valeur
2 — '±-^ a„\e^"'^"''^ - e^'"^"^% quantité plus petite que 2S, si S dé-
ms.0
IP -^■^^■^^■■^^•ilBI
68 J. HADAMARD.
signe la somme de la série V[a^|. La seconde intégrale prendra la
forme 2 — —- a^le^'"""^'^ — ^f'"~"''*], où il faudra seulement, si n est
/A 4-0
un entier, remplacer le terme correspondant km = n par na„(oL — ^).
Ayant choisi un nombre fixe k plus petit que i et un nombre fixe K
plus grand que i , nous diviserons les termes de la série en cinq parties.
La première partie comprendra tous les termes dont le rang est
moindre que Av*. Pour chacun de ces termes, la quantité est, en
valeur absolue, moindre que -^tt' de sorte que la somme partielle
ainsi obtenue a un module inférieur à > •
Tout pareillement, une seconde partie sera formée des termes à
indices plus grands que K/i. La quantité — -- étant alors constam-
ment moindre que ^i^r^ ' ^^^^^ seconde partie sera inférieure à |t .
\ous isolerons, pour en former un troisième groupe, les deux
termes dont les indices Hq et n^-h i comprennent le nombre //, ou le
terme de rang n^ si n est entier. Dans ce dernier cas, le terme corres-
pondant de notre intégrale, étant égal k na^{oL — p), est très petit si //
est très grand. Il en est de même dans la première hypothèse; car le
nombre n — /^o, par exemple, est plus petit que i, et, d'autre part,
comme on peut évidemment, sans changer les expressions que nous
avons à considérer, augmenter a ou ^ de 2 A::, la différence a — ^ peut
être supposée inférieure à iz en valeur absolue. La quantité
.^(/'o-'O/p __ ,,(".-")'« =^ 2«A'""'^sin (^o'-^)(«-^ )
aura son module moindre que {n - n^){cL - P), ce qui, en multipliant
par ^^> donne un produit moindre que na„^((x. — P), et Ton arri-
verait à une conclusion analogue pour le terme de rang n^-i- i .
Enfin, le quatrième groupe comprendra tout ce qui est intermédiaire
entre le premier et le troisième; et le cinquième, les termes intermé-
diaires entre le troisième groupe et le deuxième. Les parties de nos
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 6<)
intégrales correspondant à ces deux groupes tendront vers o lorsque n
augmentera indéfiniment. Soit, en effet, a\\e plus grand coefficient qui
fasse partie de l'un de ces groupes. Ce groupe donnera dans l'intégrale
une partie moindre que na\ ( i H h . . . H- -)> où v désigne le nombre
des termes du groupe, lequel est, ainsi que X, dans un rapport fini
avec n. Or la quantité entre parenthèses est, comme Ton sait, de l'ordre
de Lv, et, par suite, le produit tend verso; car nous avons supposé,
en commençant, que XLX.ax était nul pour A infini. La seconde inté-
grale / e '"^/(e^^)d^ est donc finie comme la première et notre pro-
position est établie.
Nous obtenons, en outre, une expression de l'écart. Cet écart est
de la forme /Ir, S -h Ar^ ^a, où /t, et /c.^ sont des nombres finis, [x désignant
la plus grande valeur de mhm\a,n\-
Réciproquement, si la fonction f est finie, continue et à écart fini
sur le cercle de convergence, la série formée par ses coefficients
sera absolument convergente, ou si elle ne Vest pas, elle le devien-
dra lorsqu'on remplacera f{x) par (ô;^*/(x), le nombre t étant po-
sitif, mais aussi petit qu'on le voudra, et la convergence ayant lieu
de telle façon que mhmam tende vers o.
Pour démontrer cette réciproque, nous aurons recours aux expres-
sions des coefficients sous forme d'intégrales définies
l'intégrale étant prise suivant un cercle intérieur au cercle de conv(;r-
gence.
Tout d'abord, puisque la fonction donnée est finie et continue et
par suite, comme on sait, uniformément continue à l'intérieur du
cercle de convergence et sur ce cercle, on peut prendre l'intégrale sur
le cercle même, la différence des intégrales prises sur les circonfé-
rences de rayons i et i £ étant infiniment petite avec £. On a ainsi
JO i. HADAMAnn.
Or cette intégrale, si nous supposons la fonction à écart fini, est au
plus de Tordre de — • Si nous la multiplions par— ^> ce qui revient a
remplacer /{x) par ûO^*/(^), elle deviendra le terme général d'une
série absolument convergente dans les conditions indiquées.
Si Ton considère, par exemple, la série
(ij) I -hbaf-h ... -hb''af''-h
. . .,
dont il a été question précédemment, on voit que, si | 6c| > i, le mo-
dule de a,n ne devient pas constamment plus petit que — » puisque,
pour m r= c^, on a ma,„ = {bcy. La fonction représentée par cette sé-
rie n'est donc pas à écart fini sur le cercle de convergence. Elle ne
l'est même sur aucun arc de ce cercle, sans quoi nous pourrions rai-
sonner comme au n° 12 (première Partie) et montrer qu'elle serait
également à écart fini sur tous les arcs se déduisant du premier par
des rotations successives d'angle-;^*» lesquels, si petit que soit l'arc
donné, recouvriront par leur ensemble la circonférence entière si h a
été pris suffisamment grand.
De ceci nous pouvons également conclure que la fonction considé-
rée, pour I 6c I > I, est à variation illimitée sur tout arc de cette cir-
conférence, allant ainsi un peu plus loin que M. Weierstrass, le(|uel
n'avait établi le fait que pour | Z^c j > i H -"•
41. Des théorèmes précédents résulte que si /est finie, continue et
à écart fini sur le cercle de convergence, il on est de même de toutes
les fonctions (î)"^*/ (où a > o).
Nous nommerons ordre de la fonction sur un arc du cercle de con-
vergence le plus petit ( ' ) nombre (o tel que c0^***/(ip) soit, sur cet arc,
fini, continu et à écart fini, ou le plus grand nombre tel que cO^*^/(.r)
ne remplisse point ces conditions; en un mot, un nombre tel que
(0~^~®/(cr) soit fini, continu et à écart fini, quel que soit le nombre
(*) Ce mot est pris dans son sens algébrique; il n^est pas relatif à la valeur
absolue.
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 71
positif e, mais que l'une de ces propriétés fasse défaut à <C>^"'*'*/(^)-
Le nopibre (o sera ainsi défini dans tous les cas ; il pourra se faire qu'il
soit égal à ± oo.
La somme de deux fonctions d'ordre (o est d'ordre au plus égal à a>;
la somme de deux fonctions, l'une d'ordre co, l'autre d'ordre moindre,
est nécessairement d'ordre (o.
Si maintenant nous faisons intervenir les théorèmes que nous ve-
nons de démontrer, nous arrivons à cette nouvelle définition de l'ordre :
U ordre d' une fonction f le long de son cercle de convergence est
égal à la limite supérieure y pour m infini^ de | '" > augmentée
d^une unité.
Soit, en effet, a> — i cette limite supérieure. On aura, à partir
d'une valeur de m suffisamment grande,
e ,
\a,^\<im ,
et, par suite, la fonction cô^'**~^/( J?) satisfera aux conditions du n® 40.
Au contraire, il existera une infinité de termes tels que le coeffi-
cient a,n soit supérieur à m***"*^*. La fonction cD~"^^/(:r) ne peut donc
pas être finie, continue et à écart fini sur le cercle.
42. De la même façon que nous avons défini l'ordre sur un arc du
cercle, nous pouvons définir l'ordre en un point Xq de ce cercle : ce
sera un nombre a> tel que ®^***"~^/(-^) soit fini, continu et à écart fini
autour du point Xo, mais non (ô^***"^'/(x').
Les seuls points pour lesquels il y ait lieu de considérer r ordre
sont les points singuliers; en un point ordinaire l'ordre est manifes-
tement égal à — 00.
A la définition précédente on peut évidemment substituer celle-ci :
une fonction sera d'ordre co au point Xq s'il existe un arc comprenant
ce point et sur lequel la fonction soit d'ordre o).
Une fonction d'ordre co sur un arc quelconque présente sur cet arc
au moins un point d'ordre co, ainsi qu'on le reconnaît encore par le
procédé qui consiste à diviser l'arc en parties de plus en plus petites.
^2 J. HADAMARD.
La réciproque (*) étant évidemment vraie, on peut énoncer la propo-
sition suivante :
II ordre d^une fonction sur un arc du cercle de convergence est
égal au plus grand des ordres qu'elle prend aux différents points
de cet arCy
à laquelle nous ajouterons :
Si une fonction présente aux empirons de x^^ une infinité de points
oii l'ordre soit infiniment t)oisin de (o, son ordre au point x^ est au
moins égal à w.
iMvfin la liaison entre les ordres d'une fonction sur le cercle et sur
ses différentes parties est encore montrée par le théorème suivant :
■
Une fonction d'ordre w sur un arc déterminé et en ses points
extrêmes peut être remplacée par une somme de dewc fonction^y
dont l'unf est d'ordre égal à (m ou dépassant o) d'aussi peu qu'on
le t)eut sur le cercle entier^ et l'autre est holomorphe en tous les
points de l'arc considéré.
Envisageons, en effet, la fonction (p = (t>i""~^/(^), qui est finie, con-
tinue et h, écart fini sur l'arc donné. Par les deux extrémités de cet arc
faisons passer une circonférence quelconque acb (fig- 6); puis, avec
Torigine comme centre, décrivons un arc de cercle gd^ h de rayon i — r^
(où Y) désigne un nombre positif infiniment petit). Les deux arcs de
cercle, qui se coupent aux points g et /i, délimitent une aire T où la
fonction ç est holomorphe et où l'on peut lui appliquer la méthode de
M. Appell. On aura ainsi
où
et
(*) C'est-à-dire qu\ine fonction qui présente sur un arc un point d'ordre w
est, sur cet arc, d'ordre au moins égal à w.
ESSAI SUR l'ÉTCDE des FONCTIONS. ■j'i
Mais dans ces égalités nous pouvons maintenant supposer que le
cercle gd,h ae soit autre que le cercle de rayon i lui-même; car si
nous faisons tendre ï) vers o, les intégrales o, et ç, varieront continû-
ment, puisque 9 est continue.
Fig. 6.
La fonction ç, est alors développable on série de la forme ïX„a/", où
X„ est donné par la formule
x.= ji-jf^iii.!rf.-,
laquelle montre immédiatement, puisque ç(i) est à écart lini, (pie le
module de X,„ est plus petit que — > le nombre k étant fixe. D'ailleurs,
Oj est aussi développable en série de Maclaurin, puisque c'est la difTé-
rence de deux fonctions développablcs.
Formons maintenant les fonctions/, = {0^*'9, el/i= n-^"*'?, dont
la somme doimera la fonction y. La première est d'ordre tu + £ au plus
sur le cercle entier, puisque le coeflicient du terme en .r'", à savoir
Xm/H**", est plus petit que Am**^"'. La seconde/^ est bolomorplie sur
l'arc donné. Le lliéorème est donc démontré.
Il semble que le raisonnement précédent n'établisse pas la régularité
de /a aux points a et b, extrémités de l'arc donné. Mais nous avons
déjà remarqué que la fonction y, qui est d'ordre au plus égal à m au
point a, est nécessairement du même ordre sur un petit arc aa' contigu
au point a. En opérant de même pour l'extrémité b et portant à la
suite de l'arc ab un petit arc bb', on pourra refaire la démonstration
en partant de l'arc a'b', ce qui supprime toute difficulté.
I). 10
74 J» HADAMARD,
43. Nous avons défini l'ordre en considérant (Sb'^^ f{x). Mais à
cette expression on peut tout aussi bien substituer x'^Y)'^^ f{T)j
d'après ce que nous avons remarqué au n° 55.
Cette dernière fonction nous sera plus commode pour l'étude que
nous allons entreprendre maintenant, et qui consiste à rechercher com-
ment Tordre d'une fonction au point Xq est lié à son ordre de gran-
deur autour de ce point. Mais cette étude ne sera pas également facile
dans tous les cas.
Si, en efl'et, on suppose, par exemple, que notre fonction soit une
A
somme de termes de la forme r=> où les a sont positifs, l'ordre
au point x^ sera nécessairement le plus grand des nombres a.
Il n'en sera pas de même dans les cas où l'ordre sera négatif et où
notre fonction sera une somme de puissances positives de x — x^. Car
alors il peut se faire que le terme de moindre degré en x — x^^ soit un
terme holomorphe qui n'aurait aucune influence sur l'ordre. Par
exemple, la fonction X{x — Xq) -h B(a7 — Xq Y n'est pas d'ordre — i ,
mais bien d'ordre — \. Aussi nos propositions fondamentales seront-
elles établies exclusivement pour les ordres positifs, ce qui ne nous
empêchera pas d'étendre leurs principales conséquences aux ordres
quelconques.
En premier lieu, si la fonction f a, sur un arc déterminé et à srs
extrémités, un oindre inférieur au nombre positif oi^ et que Von dé-
crive y avec un rayon voisin de l^ unité y un arc de cercle limité aux
mêmes rayons que le premier {fig- 7) :
i" Le produit (i — p)*^/(p^'^) tend vers o, et cela uniformément,
quel que soit l'argument 0, pourvu que le rayon correspondant
coupe l'arc donné;
2** Si I désigne l'écart sur l'arc de cercle de rayon p, le produit
(^i — p)***I tend aussi vers o.
Supposons d'abord la fonction d'ordre moindre que co sur le cercle
entier. Le quotient —^în tend vers o pour m augmentant indéfiniment.
www
Si nous désignons par C" le coefficient de x'" dans le développement
de r^> nous pourrons dire» encon^ que le quotient p^, tend vers o.
1
1 '
ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS.
75
m
W-1
Car la quantité G;^ = ^^^ ^t!1X^^) ^^^ comparable à ~^, ainsi
qu'on l'a vu au n^ 5a. Si donc £ est un nombre donné aussi petit qu'on
le veut, on a, à partir d'une certaine valeur m^ de /?i,
««i<-;g^
On peut admettre que cette inégalité est vérifiée aussi pour les va-
leurs de m inférieures à /Wo, sauf à ajouter un polynôme (j?(a;) de de-
gré m©. La fonction / sera donc constamment plus petite que
: 2 ?"G
(1)
m
<S{x)\.
D'ailleurs V p^G^ étant égal à . _ .^ > il viendra
(i-pri/(x)i<i-4-(.-prifi.
Qr le second membre de cette inégalité peut être rendu moindre que e
pour p suffisamment voisin de i .
Quant à l'écart I de la fonction sur le cercle de rayon p, nous avons
vu précédemment (n*^ 40) qu'il est égal à à, S -h k^ [x, en appelant S la
série formée par les modules des termes de la série (2), et (jl la plus
grande valeur du produit /wL/n | a;„|p"'. On peut appliquer au premier
terme S le raisonnement précédent, et l'on voit que le produit (i — p)'**S
tend vers o .
■ ■ ■— J
^6 J. HADAMARD.
Pour avoir une limite supérieure de (jlj nous pourrons d'abord nous
borner à considérer les valeurs de m supérieures à un entier déterminé
quelconque; car, pour m fini, le produit mLm|a,„[p'"(i — p)" tend
évidemment vers o. Or, pour m suffisamment grand, le module de a,„
est moindre que -= > en appelant o>' un nombre plus petit que co,
mais plus grand que Tordre de la fonction donnée. Si nous rempla-
çons p par î — Y], nous voyons que nous avons à considérer la plus
grande valeur de la quantité (i — Y))"*//i*''V,*** et à rechercher ce que de-
vient ce maximum lorsque yj tend vers o.
Kn écrivant que la quantité en question s'accroît par le changement
de m en m-hi, nous trouvons que m doit être plus petit que
!— j Si m^ désigne le plus petit entier supérieur à cette limite,
(r^,)-
nous voyons que notre expression croît jusqu'à m = /?io et décroît en-
suite. Le maximum a donc lieu pour m = fn^. D'ailleurs, m^ peut être
remplacé par —, à une erreur près qui reste finie pour rj infiniment
petit, et, par suite, ne peut altérer que dîins un rapport fini le produit
qui nous occupe. Ce dernier prend alors la forme
(,-r.r(^') rr.
Le premier fiicteur a pour limite r**'; le produit des deux autres tend
vei*s o. La seconde partie de notre théorème est donc aussi établie.
Nous avons, il est vrai, supposé quc/{x) est d'ordre moindre que (o
sur le cercle entier; mais on ramène le cas général à celui-là en ajou-
tant une fonction holomorphe sur Tare donné (n** 42).
Si la quantité \^_[ > au lieu de tendre vers o, avait une hmite quel-
conque A, le raisonnement donné plus haut conduirait à ce résultat,
que le produit /{^x){^\ — .r'i" aurait pour limite A (') toutes les fois
l^M Ce ihéorème» pour le cas des séries réelles, a élé établi par M. .Vppell
yCompif^s rendus </c* i'Académie des Sciences, t. LWWII; 1878).
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 77
que X tendrait vers i par des valeurs telles que le rapport ' — — — - reste
fini, ou, autrement dit, que la droite joignant le point variable au
point d'affixe i fasse un angle fini avec la tangente au cercle de con-
vergence en ce dernier point. Pour co = i , et en posant f{x) = ^ — .
ce fait revient au théorème connu (*) :
Si la série (2) est convergente en un point x^ du cercle et a pour
somme A, sa valeur a pour limite A, lorsq.ue x se rapproche de .x\,
par des chemins faisant un angle fini avec le cercle.
44. Inversement, si les quantités (i — p)***/(?<?'^) ^t (i — p)^I res-
tent finies et moindres qu!une quantité A lorsque Von fait tendre p
vers l'unité, variant entre a et p, la fonction est d'ordre au plus
égal à co sur Varc a^ {fig^ 7).
Pour le démontrer, on désignera par co" un nombre supérieur d'aussi
peu qu'on voudra à o), et l'on considérera la quantité
(63) ^'D7-/(^) = FR) X'(^ - fr-V(t^)dt.
D'après les hypothèses actuelles, t étant différent de i, le module
A
de f(x) est moindre que 7-37775 ' qiielle que soit la valeur de x d'ar-
gument compris entre a et [3, et de module inférieur ou même' égal
à I . Il en résulte que l'intégrale précédente est finie et même unifor-
mément finie, c'est-à-dire que l'intégrale ^ / (i — t)^''~*f(tx)dt
tend uniformément vers sa limite quand T tend vers 1. Or, pour T
différent de i , cette dernière intégrale est une fonction finie et con-
tinue de X dans les limites de variation précédentes. On peut, dès lors,
refaire le raisonnement qu'on emploie à propos des séries uniformé-
ment convergentes (^) et conclure que ces propriétés de continuité
subsistent pour T = i .
(*) Voir Stoltz, Allgemeine Arithmetik, t. II,
(*) Au reste, on pourrait considérer cette intégrale comme une série, en la par-
78 J. HADAMARD.
L'écart de la fonction (63) sur l'arc a^ se trouve en considérant
l'expression
Etant donnée la manière dont / devient infini aux environs du cercle
de convergence, cette expression définit une intégrale double; nous
pouvons donc renverser l'ordre des intégrations et écrire
Or rintégrale qui multiplie dt{\ — t)^'-^ est inférieure à I, écart de
la fonction /sur le cercle de rayon /, et, par conséquent, moindre que
-— — r^jj ce qui donne, pour l'intégrale finale, une valeur moindre que
r(w'^)(ta''-a))
Nous arrivons donc à cette conclusion que la fonction x^^' Yi'^^ f(^x)
est finie, continue et à écart fini sur l'arc a^, et cela quand on choisit
le nombre co" supérieur d'aussi peu qu'on le veut à (o ; ce qui montre
que /est bien d'ordre au plus égal à co sur Tare a^.
45. Nous obtenons ainsi, comme on le voit, une nouvelle définition
de l'ordre, du moins lorsque ce nombre est positif. Ce sera le plus
petit nombre (o tel que les quantités (i — p)^/(p<^^) et (i — p)**I res-
tent finies quand p tend vers l'unité.
Multiplions maintenant la fonction / par une fonction ^ qui reste
finie et continue dans le secteur qui a pour base l'arc a^ (fiff' ?)? ^^
dont les parties réelle et imaginaire aient chacune un nombre fini de
maxima et de minima tant sur l'arc a^ que sur les arcs correspondants
des cercles concentriques et intérieurs. Le produit (i — p)***/(p^'^)
restera fini après cette multiplication s'il l'était avant, et il en sera de
lageant en intégrales partielles prises entre les limites o et |, { et |, f et J, etc.
On reconnaît facilement que la série formée par ces intégrales partielles est uni-
formément convergente.
ESSAI SUR L ÉTUDE DES FONCTIONS. 79
même du produit (i — ?)***!; car nous savons (n° 39) que Técart sera
multiplie simplement par le plus grand module de la fonction ']f dans
Tintervalle considéré et par un nombre fini. L'ordre de /ne sera donc
pas augmenté.
Il en sera encore de même si l'on multiplie la fonction / par
L(ar — o^o), la quantité x^^ désignant l'affixe d'un point situé sur le
cercle de convergence; car les produits (i — û)*^/et(i — p)^! seront
multipliés par L(i — p), lequel est moindre que toute puissance posi-
tive de — ^> quelque petit que soit l'exposant.
46. Ceci nous donne tout d'abord la détermination de l'ordre dans
les cas les plus usuels.
En premier lieu, pour toute valeur négative de r, l'ordre de (x — x^y
est évidemment égal à — r au point x„. Il en sera de même, d'après
les remarques précédentes, pour les fonctions
(x - XoX'l^ (^ — XoY^h^(x - o^o),
où ']f est une fonction satisfaisant aux conditions indiquées ci-dessus et
h un entier quelconque. Du moins l'ordre de ces fonctions sera au plus
égal à — r. Mais il faut remarquer que Tordre de (x — x^yh^(x — x^)
ne saurait être moindre que — r (n** 45).
Envisageons maintenant, pour une valeur positives de r, la fonction
(x — x^y<Èh(x -— Xo), où a\est un polynôme (*). Si r est un entier
et que ^S se réduise à une constante, la fonction est holomorphe.
Dans le cas contraire, la dérivée de cette fonction sera de la forme
(x — Xo)''~*^JP,, et, en général, la dérivée d'ordre E sera de la forme
Çx — x^y^^^f^. Cette dernière expression, si E a été choisi supérieur
à r, est de l'ordre E — r, puisqu'elle rentre dans celles qui viennent
d'être étudiées. Il en résulte que la fonction donnée est de l'ordre — r.
Or le cas qui se présente le plus fréquemment est celui où la fonc-
tion non holomorphe au point x^ se présente autour de ce point sous
(') L'ejtpression fjp pourrait d'ailleurs contenir des puissances négatives de
L{ûc — Xq) sans que nous ayons à modifier la suite de nos raisonnements.
Ko J. lUDAMARD.
hi ïoviur
où 1rs ri Honl (l<»s nombres (juolcon((iics, positifs ou négatifs, les A, des
entiers posilifs et les 'j»/ (l(\s fonctions régulières. On voit alors que
Tordre de la première [uirtic est égal au plus petit des nombres r.
eluingé de signe», en (»xeeptant ceux pour lesquels Ç, se réduit à une
constante, /v étant un entier positif.
(^)uanl à la second<» [)artie, elle ne modifie en aucune façon Tordre,
parce cpu» la fonction ('' — ./'oX''^''^'' ^^^ d'ordre au plus égal à
•" /'/ — ''/• ^''**<*t résulte du tiiéorème suivant :
•17. On nr saurait augmenter V ordre d^une fonction sur un arc
ifuelvonque en la multipliant par une fonction holomorphe en tous
les points de cet arc.
On est même assuré que Vordre n^a changé en aucune façon , si
ta fonction multiplicatrice ne s*annule en aucun point de l'arec.
Vax premier lieu, une fonction holomorphe jouissant de toutes les
propriétés <pie nous avons indiquées pour les fonctions •>};, nous savons
dejii que si Tordiv de lu fonction donnée est positif, il ne pourra pas
éti^' augmenté par la multiplication. De plus le même raisonnement
prtMue tpie si Tordiv était plus petit qu*un nombi*e positif quelconque
il ne peut de\onir plus grand que ce même nombre. En particulier, s'il
était négatif ou nul, il ne peut devenir positif.
Soit nuiinteuaut une fonction d'onlre négatif — r sur Tare a^, que
Ton nudtiplie j^ir une fonction ^ ivguliérele long du même arc: soitE
le phis polit ontior supérieur à r, do sorte que la dérivéo E**^ de i est
d\n\liv jH^silif K — r. La formule do Loihnitz nous donne pour la dô-
riN IV l\**^^ du pnHlnil/^ une somme do tonnes de la forme DJ^"*/. D* i
nudiiplios j^ir dos i^HMlîcionls numoriquos. Or, jH>ur A- différent de o.
Kl doriNoo 1^^'"*/' est d*onlr\* négîilif ou nuK el reste telle après ia
mulliplicatiou |Mr iVrr* d^apnî^s la romartpio qui vient dVlre faîte,
l^naul à DÎ/\ il a |HHir ortlrt* le nombrv E — r, lequel est pi>sitif«
ot, |Kir suito^ n'o>l |ms augmoulo |Mr la multiplication. La dérivoo
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 8l
giéine de/^ est donc bien au plus d'ordre E — r, de sorte que/^ lui-
même ne peut être d'ordre supérieur à — r.
La seconde partie du théorème résulte de la première ; car, si ^ ne
s'annule pas sur l'arc donné, les deux fonctions ^ et/ sont toutes deux
holomorphes le long de cet arc, de sorte que Tordre ne peut être ni
augmenté ni diminué.
Enfin, nous énoncerons encore, dans le même ordre d'idées, une
dernière proposition :
Quand on multiplie entre elles deux fonctions d* ordre positifs
l'ordre du produit est au plus égal à la somme des ordres des fac-
teurs.
Soient o) et co' les deux ordres, que nous supposerons d'abord pris
sur le cercle de convergence entier; e un nombre positif très petit. Les
coefficients de af^ dans les deux séries seront, à partir d'un certain
rang, plus petits respectivement que G*^^ et Gjf,'"^* (n° 45). Supposons
les coefficients moindres que les limites précédentes pour toutes les
valeurs de /n, ce que l'on peut faire en retranchant des deux séries des
polynômes $ et ^^ convenablement choisis.
La formule de multiplication des séries ne contient que les signes -h
et X , à l'exclusion de tout signe — . Le coefficient de cxf^ dans la série
produit est donc moindre que le coefficient de x^ dans le produit
(i_l)a>-He (1— -^yST^e' c'est-à-dire que G^-^"^'\ Quant aux parties
complémentaires provenant des polynômes $ et $', elles sont d'ordres
(I) et (o' au plus.
Si les ordres o) et co' sont ceux des fonctions données sur une partie
seulement du cercle, on les transformera en fonctions d'ordres infé-
rieurs à 0) -h £ et o)' -h £ sur le cercle entier par la soustraction de fonc-
tions régulières (n** 40). Ces dernières à leur tour, en vertu du théo-
rème précédent, ne donnent dans la multiplication que des produits
partiels d'ordres co et co' au plus. Le produit total est donc d'ordre
moindre que w -t- co'-i- 2e. Notre théorème est par suite démontré,
puisque £ peut être pris aussi petit qu'on le veut.
48. Les théorèmes précédents vont nous permettre de calculer la
H. 1 1
tSo
J. HADAMARD.
valeur rfr la fonction donner en un point ordinaire du cercle de
comergence, pourvu toutefois que Tordre sur ce cercle soit un nombre
fini.
Soit, on elTet, to col ordro supposé positif (*); soit x^ un point ordi-
naire du cercle où la fonction ait la valeur A, de sorte qu'elle puisse se
melti^e sous la forme
^ dôsijî^nant une fonction régulière autour du point x^.
Prenons un nombre a>' plus grand que to et multiplions / par
r-jy = 2^ x*^ —• En tout point du cercle autre que x^ Tordre
restera invariable, en vertu du n" i7. Au point x^^ Tordre sera
donné par le terme ^ , et sera, par suite, plus grand que ci>.
Donc la partie principale des coefficients de — r-^^ provient de ce
tonne '■ ;j. > de sorte que le rapport des coefficients correspondants
f \
dans les développements de = — r-^ et de ^ ^ a pour limite
l'unilo. Il en résulte
■^=1
Il est clair que le second membre pourrait s'écrire sous forme d'une
série, de sorte qu'on a la proposition suivante :
Thkorkmk. — 5/ la série ^2 > est d^ordre Jini xur /#* cercle de cow-
i>»#'iffvi(v\ on peut former une série de polynômes qui com-erge et
représente ia fonction, non seulement à rintèrieurdu cercle^ mais
encore en tout point non singulier de la circonfêrenc**.
V*> Si welail nei:alif, il vU^rviii être ivmplacè par o dan< le> rai<OD Déments qui
5ui^enl,
OD
I —
m = l
-I)
ESSAI SUR l'Étude des fonctions. 83
Soit, par exemple, /{x') = • En prenant co' = 2, on trouve
(i -h '2X -t-3a?^ . .-h^/^/;"*-' ).
Si o) est plus petit que i , on peut prendre co' = i et la formule (65)
devient
A = lim(ao -h a^Xo -h . . . -h «^'n')-
Notre méthode revient donc ici à la sommation directe de la série
et nous retrouvons le théorème connu : La série de Taylor est conver-
gente sur le cercle tant que la fonction ne présente sur ce cercle que
des points singuliers d'ordre inférieur à i .
Si Ton veut trouver le second terme du développement de /autour
du point 370, on commencera par retrancher A, après quoi on divisera
I — ) 5 mais par ( i — — ) , et ainsi de suite.
Cette méthode peut, d'ailleurs, s'étendre à certains points singuliers :
tout d'abord ceux (d'ordre nécessairement négatif) où/ est de la
forme (64), la fonction ^ satisfaisant aux conditions énumérées au
n^ 45. Supposons ensuite qu'en un point singulier notre fonction
puisse se mettre sous la forme \^~^/n ^^ ft ^st d'ordre
moindre que a. Il suffira de diviser par ( 1 — V ) " ï-»^ terme/, don-
nera (n° 47) un résultat d'ordre inférieur à co' et, comme sur le reste
du cercle la fonction n'est que de l'ordre (o, on obtiendra A par une
formule analogue à la formule (65), mais où figurent au numérateur
les quantités GJJ,'"* au lieu des quantités G^,'.
49. Recherchons maintenant s'il est possible d'abaisser Tordre de
notre fonction en la multipliant par le binôme i — ~ .
Cette multiplication ne pouvant changer l'ordre qu'au point x^
(n** 47), ce point doit être un point singulier. Ce doit être un point
isolé sur le cercle, ou du moins, s'il y a des points critiques infiniment
voisins, leur ordre doit être moindre que celui de x^ et en différer
34 J. HADAMAKI).
d'une quantité finie; car l'ordre en un point voisin de x^ ne peut être
altéré par la multiplication, et s'il est infiniment voisin de w, l'ordre
au point x^ ne peut être moindre que co (n^ 42).
D'autre part, il est clair que la multiplication par i diminuera
d'une unité l'ordre au point x^ toutes les fois que / pourra se déve-
lopper autour de x^j comme nous l'avons indiqué au n^ 46, en une
somme de termes de la forme
Il resterait à trouver une condition nécessaire et suffisante. En tout
cas, on peut dire que si cette propriété a lieu pour/(x'), elle a lieu
aussi pour toutes les fonctions x*D*/(x).
En effet, premièrement ceci est vrai pour a = i , car on a
sC-F.)/''>=-'4:'-c-.i;)/w,
ce qui montre que si ( i — -- j /{x) es>t d'ordre moindre que /{x),
de même ( i — ^j/\x) sera d'ordre moindre que /{x) et inverse-
ment. De proche en proche, la conclusion s'étend à toutes les valeurs
entières et positives de a.
D'ailleurs, pour 3t négatif, l'intégrale / (^i — / ) * \f{ tx) I i — ]dt
peut s'écrire
(66) - f (i -/) «/(^/x)///-h( I--) \\\^i)-^-'fi^(x)iU.
V
Sidonc/(x)l i — - j est d'ordre moindre que Tordre co de/(a:K
l'expression (66) est d'ordre moindre que (o -f- a et, comme il en est
de même de son premier terme, il en est aussi de même du second.
Inversement si, f\,x^ étant d'ordre co, la fonction ( i )x'D^/( x)
est d'ordre moindre que to -^- a, le produit de/(»r) par i — ~ sera
d'ordre moindre que to.
ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 85
Étant démontrée pour a négatif et pour a positif et entier, notre?
proposition est générale.
50. Quoiqu'il en soit, supposons que, /(a?) étant d'ordre co, tous
les points singuliers d'ordre (o appartiennent à la classe que nous venons
de considérer.
On abaissera l'ordre de tous ces points et, par suite, l'ordre de la
fonction sur le cercle en multipliant notre fonction par le polynôme
*
\ •'^•0/ ■ \ -'V-i/
Lm
qui a pour racines les affixes de ces points singuliers.
Dès lors la recherche de ces points singuliers est ramenée à un pro-
blème que nous avons traité dans la deuxième Partie (n*** 2,i et sui-
vants). La fonction M, qui figure dans l'énoncé du n** 25, est ici égale
à m. D'après les conclusions auxquelles nous sommes parvenu en
cet endroit , // faudra former avec p H- i indices m^, m^^ . . . , nip
un déterminant A^S|^ ,„ , considérer la plus petite des quantités
et rechercher la limite supérieure du quotient ainsi
obtenu pour m^, . . ., m^ infinis. Si l'on fait cette opération pour
/? = 1 , 2 , . . . , /a première valeur dep qui donnera un résultat moindre
que (0 — 1 sera égale au nombre des points singuliers d'ordre (o.
On trouvera, d'ailleurs, ces points eux-mêmes, ainsi qu'il a été indiqué
au n« 28.
Si l'on a p = I , l'affixe Xq du point singulier sera, comme nous
l'avons vu, la limite du rapport — '-^y mais en ne prenant que les va-
leurs principales de a^.
Si cependant, autour du point x^, la fonction pouvait se remplacer
par — — — -y augmenté d'une fonction d'ordre moindre que co,*le
rapport '- tendrait régulièrement vers x^. Mais il n'en est pasnéces-
sairement ainsi. Nous en avons vu un exemple dans la fonction
(G'2) VsinL/nx'",
86
1 '
J. H\DAM\RD. — ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS.
qui admet pour point singulier unique le point x = i. Ce point ap-
partient bien d'ailleurs à la classe qui a été considérée au numéro
précédent; car, si Ton multiplie la fonction par i — a?, le coefficient
de x'^ deviendra
sinLm — sinL(m —- 1) = 2cos - lj\m(m — t)] sin - L [ i -h _— );
le dernier facteur est de Tordre de — » alors que les autres donnent un
produit plus petit que 2. Après la multiplication par i — a?, la fonc-
tion (C2) est donc devenue d'ordre o, tandis qu'elle était d'ordre i
auparavant. Malgré cela, nous avons constaté que le rapport -^ ne
tendait pas vers Tunité.
/«-hl
Vu et approuvé :
Paris, le 20 janvier 1892,
Le Doyen dr la Faculté,
G. DARBOUX.
Vu et permis d'imprimer :
Paris, le 11 janvier 1892.
Le Vice-Rbgteur de l'Académie de Paris,
GRÉARD.
SECONDE THÈSE.
PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ.
Résolution algébrique des équations. — Théorèmes d'Abel et de
Galois.
Vu et permis d'imprimer :
Paris, le 22 janvier 1892.
Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,
GRÉARD.
Vu et approuvé :
Paris, le 20 janvier 1892,
Le Doyen,
G. DARBOUX
x8l64 PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS, QUAI DES GRAXDS-AUGUSTINS, 55
>
L
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