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*o. 



v :* 



CHAPITRE II 



•i ï ' 



a -•'■• 



-:• 



FÛNCTIÛWS NUMERIQUES D'UKE V ARIABLE REELLE 



" sïïS'T ^u. «--. — • *- -«*■• si 



R 



/•• D 



-* K 



X » /CX> 

D est appelé domain* de définition de / 



i i 



£ : f(x) 
g(x) 



log (ltx 2 ) , » = ■ 



D = R' 



M 



On appelle graphe de f l'ensemble : - 

8 (fH(x,««))/ X6 D} , G(EKDxK, 
• DanB le Plan euclidien P rapporté à un repère cartésien 
(o.t^.o- représente cna.ue élément (M(x) - «« ~ • ^ 

l de ordonnés . * , - >U> ■ *« ^ *' ^'^ * ~ 

points est appelé représentation graphique de f. 




a) Wnnr.tionB EâirÊS fit impaire» : 

Soit D une partie de R symétrique par rapport à.l'origin. 0. 

c» est-à-dire X « D implique -x € D. Exemple: 
D = 1-Œ,M0[ , D = [-liH- 



16 



^ETIMJP 



.com 



Une fonction f; D c K * n? „„+ .m. , ^ 

u *- K » « est date paire si Vx«=D, 

f(-x) B f(x). 



f est dite i.paire si Vx CD, 



f(-x) =-f(x). 



II.:".:":- - — ■ pv «*» « »• <-».•«-.... — 



* l'origine 0. 



_^- . - ' w -* *. «»c impaires le 








> 



b) f onct i on ». Péri ri; , mr , 

Une fonction f : E » n? «.„♦ Ai ± , , .. 

—♦ K «t dite périodique s -il existe „„ 
n«br. r > tei ïue , ( „ T) =f(x) , „ , ' 

o Bb T vérifia „ t 1Iégftiité m aor8qu>ii eat * 

Période 4e f. 



~ 



toe B P i ff fl :' . f(x) = o 
T= 2n , 



o« * est «ne fonction périodique de périod, 



f(Xj = tgX est Périodique eur son do.aine de 
définition, de période T «=rr . 



17 



^ETlttJP 



xom 



si f est périodique de période T, on l'étudié sur un 
intervalle de longueur T, par exemple [0,T]-. 



"• 



1' 
















- 


■ 


■ ' 'i<TOi 3 


-* 
1 

* 








--. 


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K 


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, 


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' * I *t 










- 


- .■ . ; * 



,„ • .'-.5.-! 



Exercice : 

1) ai f(x+T) =f(x), alors f(x+nT) = f(x) V -n e JN . . ( 

2) On considère f(x) = x-E(x) . Montrer que f est périodique 
de période T = 1. Donner la représentation graphique de f. 

E(x) désigne la partie entière de x. (Par définition E(x) = k 
si x <= [k,k+l[ avec keZ ). \ 






-■ 



. . ... .._.. 



est 



tt 



c) Fonctions rappotoneg : 

soit f une fonction définie sur D à valeurs dans R. f 
dite monotone croissante sur D si : 

' Vx,y e D: x £ y entraine f (x) £ f(y). 

f est dite monotone -décroissante sur D si: 

V x,y € D: x S y entraine f(x) > f(y). J 
si les inégalités sont strictes, on dit que f est strictement 
croissante (resp. strictement décroissante). 

*■■ . f(x) = Yx est strictement croissante sur R :x<y entraîne 






g(x) = — est strictement croissante sur K_ , 



.' *• 



«fi 



\*\ 



.-•b 



18 



4ŒTIMJP 



.corn 



d) Fonction» bornées : 

Soit f : D c R ► R. 

f(D) = { f(x) / x € D } C R . 
f est dite najorée sur D ai l'ense.ble f(D) est majoré, 
c'est-à-dire il existe M « R tel que f(x> < M V x e D. f est dite 
minorée sur D si l'en.eable f(D) est «inorée, c'est-à-dire il 
existe » e R tel que f(x) > . V x « D. f est bornée si l'ense.ble 
f(D) est borné, c'est-à-dire 3 M > tel que |f(x)|<M V x « D. 

ËX^MP l e x 1) f(x) = alnx est bornée sur R car: 



-• 



I f(x) | < 1 V x e 7 . 
2 

2) g<x) " x * x* 1 est bornée aur [0,1[ car : 
«<x)| = |x +x+l| < l+l +1 =3 y x € [0,1[. 
Par contre g<x) n'est pas bornée sur K„ 



2) Limite d'une fonction : 

On va définir d'abord la notion de voisinage d'un point de R. 
Soit x o € R. Un ensemble V C R est dit un voisinage de x s'il 
existe a,b e R, a < b tels que x € ] a.b [ c V 



H— *-H 



Par exenple V = [0,1] est un voisinage de x o = | .11 suffit de 
prendre a = j et b = f . On a : 

De même V = [0,1] est un voisinage de | . (donner a et b qui 



19 



4ETUUP 



.corn 



conviennent) . 



H"'.ri 



Par contre V = [0,1] n'est pas un voisinage de 1, car on ne 
peut pas. trouver a,b e R , a < b tel. que 1 € J a,b [ G [ 0,1 ]ï ' 



• 



V* 



HT 






m 71 .■:. t . >. v i ■!,-■ - ri» 

j; H j - - 



ff 



* 1 



; (a,- 



Définition : Soit f une Jonction définie dans un voisinage V de x*,. 

sauf . 7 peut être en x . On dit Que f admet l e K comme limite 

lorsque x tend vers x Con note lim fCx) = 12 si : 

o x •+ x 

V e > 0. H (j^> 0, V x € &Lla condition : 



l x * x rtt <"K m * ,ra ^ ntf 



/CX>-1 | < £ 



' 



Ut 



■f.t 



• ', 




^r^- 



*-*L 



«L 



.<■> 



Exemple : £(x) = 3x -4 ; lim f(x) = -1. En effet, soit £ >0\. 
Cherchons TU > tel que la condition dflc-| x -1 | <(j^ entraîne 

|f(x)+l| < £ . 

|f(x)+l| = |3x-4+l| = 3|x-l| < £ dès que|x-l| < % - On prend 



r- par exemple . Remarquons que tout nombre fe{/ tel que 
3 



< ?>{< - convient 



Proposition : Si f admet une limite au point x , alors cette 
limite est unique. 



:i- 



20 



^ETUUP 



xom 



r)«.on»tration : On suppose que U» *<*> = 1 et lij f(x) = V» 

Montrons que 1=1' 

Soit £ > un nombre quelconque. Ils existent ^> et \ > 
tels que ; o < |x-* | < Tîj entraine |f(x)-l| < £ 

et o < | x-x | < ïi z entraine |f(x)-l'| < £ ' 
Pour tout x vérifiant o < |x-x fl ] < tf = inf (^«D^li °a »! 
|l-l*| < |f (x)-l|+|f (x)-l'l < 2 + g * * * . 
1-1 r | < £ , V £ > , donc 1-1' ■ 0, c'est-à-dire 1 = 1*. 



Définition : (liait? A droite fit à g auche ) 

Soit / une fonction défini* dans un voisinage de Xq. on dit 
que f admet une l'imite l à droite au point Xq si : 

V c > . 3 n >0 \ V x: x Q < x < x + n * |/CX>~t| < *. 
/ admet une limite l à gauche au point x Q si: 

V £ >, 3 7) > 0. Vx ; x^- rï < x < x + | /Otf-i| < £■ 

Notation : lim + f(x) = 1 ; li»_f(x) = 1. 
fiXfiBEia ! Binx . . e 



{■ i nx . 
si x > 
f 
x si X < 







U» f(x)- li»^ 2 * = * î li«_i(x) = li»V = 
x+o x-*o x-»0 x-** 

On voit que la limite à gauche en est différente de la 



limite à droite en ce point 

' . - 



■.'•■ 



- 



21 



^ETUUP 



xom 



. ■ 



Proposition : Mm fCx) = l 4* lim.JCx) m Mm fCxï m l 

X4X X+X Q »Mg. v 

Démonstration • A faire à titre d'exercice . 

La fonction f de l'exemple ci-dessus n'admet pas limite en 0, 

car lim f(x) H lim f(x) - - 
x-»o x*o 

Proposition : < Opérations sur les limites 2 

Soient f et $ deux fonctions définies dans un voisinage de x.. 

On suppose çue Mm fCxJ= l et lim gCx) = l\ Alors : 

X-fX^ x+x. 



° &5 <f+*X>0 = Mm fCxO + Mm gCx>. 
x->x Q x*x Q x+x Q 



•'. :.- r . . 



? U. • % 






MO Mm a/Xri - X Mç/Cx* ' a € R> ■ 

** x ***0 

iv^ ai V m , lim c£>Cx> ■ i •■ -. . 

vP st / < *, alors Mm /Cx> < Mm tfTx) 

x-*x x+x ô 

Définition» (limites infinies) : 



Soit x e R. Par définition: .1 

. Mm/Cx^+rçsï V * Vo . 3 7) > tel 0U# 0<|x-x|<i»' 
o ■ •■ 

«■ntraïne /CxJ> > ,*. x 

. Mm/<Tx> = h*s£ y *>0 J . 3 M f K«'«l 0<|x-x |<r> 

entrains f<x}<-A. 



i. 



••■•'• : ■ ■ 



"x*?<» f(x) =1 (1 ^ R) si V c > 0, 3 A > tel que x ' *> A entraine 

f(x)-l| < £ . 

' x i ï-| (x) ll (UR|BiV£)0,3^0tel qil ax<.A 



22 

«ÉTIMJP 



xom 



entraine |f{x)-l| < s . 

■ 
Bxgrgjge : Donner la définition des limites suivantes: 

Le théorème suivant va nous permettre de donner le lien entre 
les limites sur les suites et les limites sur les fonctions: 

Théorème/ : Soient /.- Ia t b7 — > R et x e ta t bl. Les assert ions 

o 
suivantes sont équivalentes: 

O Um fCx) = l. 

x * x 
ta Quelle que soit la suite Cx^^* x^e la t b] t x K x^ t si 

* -» x rt alors fCx ) --♦ i 
nu n n 

._ Bfiaaxaue : Pour montrer que la limite d'une fonction f n'existe 
pas en un point X(> , il suffit donc de tr^ïv^r une suite <xj_ 
lui converge vers x telle que (f(x )) est divergente. 



n n 



•■ .s 



ExexGiss : Montrer que lim cos ± n'existe pas (considérer pour 



celn la suite x = - — ), 

n Znn 



3) Fonçtâyna équivale nts : 

Deux fonctions f et g sont dites équivalentes quand x tend 
vers x o s'il existe une fonction h définie dans un voisinage V de 



x o teIle ^ ue: 



f<x) = g(x) h(x) V 



x € V et Ijm h(x) = 1 



On écrit alors f ~ g (x , ou bien f 

° <V 



', 



23 



4ET1HJP 



xom 



Si g * dans un voisinage de x , sauf peut être en x , la définition' 

- * f < x > i 
précédente est équivalente à l^m J^j " *• 

o ■•.-,. 

a) sinx ~ x (0) 
n 



b) a„ x" + . ' *" *+....+ .% ~ a n * ( - » »» V '•' 



2x 8 ♦ x 7 * 1 ~ 2x 8 (*- »> 



Position i Le relation / ~ * < x o ) «£ ^ région 
tf'é^i valence, Cc'est-û-dire ré/lixivé. symétrique et transitive. 



Exercise Montrer que si li» fU) =1. 1 * <*> » vec x " °> alors J* 

* ( V ■ 



Position : Si f~é Cx Q > *« ** j&L** 3 = l ***** &$**> H ' 

- 

Par suite , pour chercher la limite d'une fonction f, on peut 
remplacer f par une fonction équivalente. 



- 



/ . f A 



Propositjpn : Si / ~ f t *t g - e t : alors f*~tj*i 6t g (\) T t 

sinx x , 

mmBia ' x > ** X (U Y X ' G V tgx = ^ôsx " ï (0) 



2 Z x m ,x ,2 



2) 1-coax *- |- (0) , car l-cosx=2 sin - ~ o) 2 (- ) -. 



- ■> i. 



t.' ' 



24 

^ETUUP 



.corn 



- 



Remarque : Si f - f i* x > et S ~ ««C 3 ^)» on n>B * pas en «entrai 

f+g " t ♦ g (x Q ). En effet: 

2 3 2 4 

x + x •*• x + x (0) 

2 2 

-x — x (0) 

mais (x + x )- x = x n'est pas éqivalente à (x + x ) -x = x 



Exercice : En utilisant les équivalences, calculer : 

3/3 3/*3 

sir. x + x - . >> 

lin ' > O 

x-> o x tgx 

■1 

4) Eoiiie. principale iiiin infiniment petit : 

Définition : On dit que f est un infiniment petit quand x tend vers 
x si lim f(x) = 0. 

O x -*x 


EXBPPle : f(x) ■ log (l*x) est un infiniment petit quand x -> , car 
lim log (1+x) = log 1=0. 

PropoBition Soit f un infiniment petit quand x ■+ y . Si 
/^2 ^ a< - x ' x Q' > < - a ^°^ alors a et n sont déterminés de manière 

unique par /. aCx-x^ n est appelée partie principale de /. 
/ est dite un infiniment petit d'ordre n. 

m 

E xemp l e : f(x) = 1 - cosx est un infiniment petit quand x -» 

x 2 x* 

d ordre 2. Sa partie principale est — ,1 -cosx - — . 

(*Ci * m j j n=2). 

g(x) = log (1+x) est un infiniment petit quand x -* o d'ordre 1. 
Sa partie principale est x. 

Log(X+x) ^ ,x . (a = 1, n = 1) 



25 



-€ETUUP 



xom 



■ 



Puisse 1W. de f(x) = tm coax e3t 8upérieur à c&iui ^ 

«(x) - lo 8(1+x) , f tend plu8 vltft ^^ o ^ ^ fonction g ^ 

X "T | . 

Les formules suivantes sont à retenir : . 

e — 1 — v 
(o) x 

a " 1 (o) x lo * a < a > o) 
(1+x) -1^ ÛXï fl . e R< 



- ■ 



a =i V -;,. ., ,. x 



2 



:T 1+x-X ~ 

(o ) 2 






■ . 



,i •• r r , 



A;t. 






•■-; • 






£ 



26 






- * 



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t. • "• - , 



4ETIHJP 



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ProgrammationO 



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^* i-, V eu Algèbre 2 

Coursin « sî 

| S Résumés S gg f f | 



.2" Analyse ç Diapo u ^ £ 



^ w f — • r-(D 



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Exercices! 



^ ^ Contrôles Continus ^ ^ 

Langues mtu^S ti 

Thermodynamique -^ # ^ S 

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Chimie Orqanique 2 

Q 

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