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CHAPITRE III 
FONCTIONS COHTIHUES 

Un intervalle I de S est une partie de R qui vérifie la 
propriété suivante: V x^ x g € I, Ix^l <= I. L'ensemble I =10, 3[ 
est un intervalle de R car ai «j**** I- t*i**2* c [ 0,3 [ : 



[ H [ 



•S ** 



Par contre, l'ensemble I = [ 0,3 [ U [ 4,5] n'est pas un 
intervalle de R . Car x 1 = 1 et x g = ^ appartiennent à I mais 
]1,- [«n'est pas indu dans I (faire un schéma). 

Dans tous ce chapitre I désignera toujours un intervalle de K. 



1) Définition et pxê 

Définitions : Soient une fonction /: ï — * R et x^ e 2. 

- On dit que / est continue en x Q si lùh fCx) = fCx^>, 

c 

c'es-A-dire 

V £ > , 3 » > 0. V x e 2: |x -x^ | < r? + |/fx^-/Cx 3 1< *. 

- / est continue à. droite en x^ si lin fCx} = /^" x ^^» 

c'est-d-dtre ; 

V *>0, 3 7>>0. V x € 7: x <x<x * » «• [#» - f<X^<c. 

- / est continue à gauche en x Q si lim. fCx) = fCx^>$ 

c'est-à-dire : 



27 



i 



>€ETUUP 



xom 



Y«*V a r)>o, y x e ; . x _^ „ 

-/« <ttt* continue sur ! si .. * 

Point de 7. . * M£ ««"» en toi 



x+x 



S 2 



■in 



* ' * - «J 



(car I COB — __Y. | < ■ 

—"•»* >-o'ii«i-un..->oJr V ; eR) - 

■ l 

2xS£SMi ^^ •• f ^t contins on x ' , . , ' 

««««*« d gaucfM et à dFoiu * Mm* * *U« „ t 

MBfiû *i«U flû : Hé-ulte du f alt que : 

^*<*> = f( V « limtf(x) B 11b tU) = l/ ^ /i 

. >^ * **£ -***.v -' 

* P«t exprW u co„ tlnuiteen *.».■„■■% -" 

n tor »« de suites; 

n n c *« £e£îe ou* *j-:-, ?\ 



■•*• •«*. &y c 7 ":"? "- * n * 



n-»+ûO 



on 



( 



■ I ' * 

M, «»^ttl«« On u tlll8e lo "■ j 

— * u* ... lee u . lte8 dc /^- - — a qul 

Wtio», en prenant . m ■ , 8Ult « * les liBlte8 



. ; 



t • 



28 



. * . 



-€ETUUP 



xom 



RpmftrQ ue : Pour montrer qu'une fonction I n'est pa* continue en un 
point X o , il suffit de trouver une suite U^ qui converge ver B 
x , telle que U(« I) n ne converge pas vers fU >- 

. t ■ , cob j si x * 

Exercice : On pose f (x) » < 

V. 1 si x = 

Montrer que f n'est pas continue en 0. 

■ 

ExaEaaitifia : SùtmU-f,8 • ' ► <* continues en x ft e I . Alors les 

fonctions f ♦ g ! f« . f («i ■ (*„> " °> et l f l 8 ° nt continU " " U 
point x . 

t>».nn«tr>tlon : Elle réaulte des propriétés des limites des fonction» 

(voir chapitre 2). 

« 

proposition (continuité de la fonCtÎPn . composée) 

Soient f: I — V et g: V — ■ W I •« *' <**** 
Cnter-uaiies de R. 

Si / ©s-t continue en x Q e I et g continue en y Q = JS*q>% 
alors h - gof est continue en x Q . 



nfrmnnstration ; Soit £ > 0. On cherche f) > tel que : | x-x o | <7) + 

]h(x) - h(x o )| = |g(f(x)) - g(f(x o ))| < £. 

g est continue en y- = f(x Q ). Il existe donc fl ' > tel que ¥f*î» ! 

| y-y | < n' 4 |s(y) - *< v >l * £ ' 

f est continue en x . On peut donc associer I ce 7) ' > un nombre 

T)" > tel que V x -S I: [x-xj « V 4 I t(*î~*(* )| < • '- Par 
suite |g(f(x)) -g(f{x o )| < £ dès que | x-x o | < T) V< . On prend 7) ■•»*■ 



29 



-€ETUUP 



.corn 






Exercice :Etudier la continuité de f(x) = E(x), puis la continuité 
de h(x) = E(Vx ), où E(x) désigne la partie entière de X, 



B&X continuité^ : Soit t une fonction définie et 
continue sur I\ { x }. Si lim f(x> ■-!, 1 «s R, alors la fonction f 



définie sur I par f(x) 



J-f(x) B 
= l 1 " 



f(x) Bixfil \{x } 


„ _ _ est continue 





sur I et coïncide avec f sur 1\ (x^). On l'appelle prolongement 



par continuité de f au point x . 

o 



■ ■ -. -i 



Exemple : Soitf:R 

.,» V. x 



R 



.- , sinx 

~x — eSt P rolon 6eable par continuité 

sinx s m * 

«*■*** - t sx x e K 

au point x = car. lim ^±fii = x, f(x) a J .- x 



Exercice Montrer que les fonctions f(x) ■ ain - et g(x) = 
ne sont pas prolongeâmes par continuité au point 0. 
Terminons ce paragraphe avec le théorème fondamentale suivant: 



cos - 

X 



Th^oremg - Toute fonction f continue sur un tntervalle fermé [a t b] 
est bornée et attetnt sa borne supérieure et inférieure 
c'est-à-dire ËX^Xg m la , b 7 tels çue: Sup fCx) = f< x ,> et 
Inf fCxl = /(x ) {voir t* gurel xafa.W î 



x e la,b) 



■ 



JcM 




■'.,30 



^ETlkUP 



.corn 



Par définition: 



: Sup f(x) = Sup { f(x> / x e («,M1 



x e ta.b] 

lut f(x) = inf { f(x) / * e ta.bl ) 



x e 



[a.bl 



* ;" : '' 



I 



•?■ 






.1.. . 



• 



-.« » 



fixempl e; 



1) Soit f: [0.1 1 -• R 
x — * f(x) 



- si x € ] 0,1 I 

x = 



v û si 



f n'eit pas borné sur [O.U 
f n'est pas continue en . 



2) f: [ 0,! IM&* ' e8t COntinUB ^"^ 

8ur , 0,l[,»ais - b.rne supérieure ,ui est 1. nombre 2. n'est pas 

atteint en un point de [ 0,1 [. Elle »t atteint en ^ = 1. 

L'intervalle [ 0,1 [ n'est pas fermé . 




-. 



i 



.1 \i- ' 



31 



^ETlttJP 



.corn 



2) Théorème des valeurs intermédiaires-C onséquences ; 



. : j 



»*i 






Théorème : X des valeyrs intermédiaires 1 

Soient vne fonction f: la t bl — ► R continue «•£ a tin nombre 
compris strictement entre f(cû et /Cb) . Alors il extste C € 3a t b[ 
tel que a = /<?£>. 

Exemple : 1) Montrons que l'équation x t x * 1 = a dnet une 

racine réelle comprise entre -1 et 1 . On considère : 

f: [-1,1 ] , R 

* — ► f{x) = x t x + i ' ****$**&: 

f est continue sur [ -1,1 ];f(-l) = (-1)" 1 < et f(l)= 3>0. 
On a f(-l) < < f(l) . Donc est une valeur intermédiaire. 



D'après le théorème précédent il existe Ce ] -1,1 [ tel 



* 



que 



.111 



f(C)= 0, c'èst-à-dire C + c + 1 = 0. C est la racine cherchée. 



• ... ... :-* 



2) soit g: [ -3,3 ] 

x 



] > Rf 2 "si x-et ] 0,3 ^ -, 

— ÏJÊC£)«4'1 ai x =,0 

v-. [-2 si x € [ -3,0"["* - h' 



' '"- :-» • 



g n'est pas continue en O. 

g ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires 

car g(-3) < < g<_3), nais g(c) * V c e J -3,3 [ 

* J 

» 

Exerc i ce : Soit f: [a,b] ► R continue telle que f(a).f(b) < 0. 

Montrer qu'il existe c e ]a*b[ tel que f(c) = 0. 



i ■. 



4ETIHJP 



.corn 



Théorème : I dfi la fonction réciproque 1 

Soit /: la.b] M une fonction continue. strictement 

croissante . Alors f est une application bijective de [a.bï sur 
[ f<al t f<by] et admet une fonction réciproque f ' de tfC<ù>JCb)l 
sur Ca t b2 qui est continue et strictement croissante. 

Remarque : On a un énoncé analogue avec f continue strictement 
décroissante , quitte à prendre [f<b),f(a>] au lieu de 
[f(a),f(b)]. 



Démonstration du. théorème : 

Montrons que f: [a,b] • tf(a), *<*>)] est bijective . 

. f est injective: Soient **, x g e [a.bj tels que ffx^)»f (Xg] 
alors x = x -Sinon x > x , ce qui entraine flx^) > *< x 2 * car * 
est strictement croissante. Impossible ! ... . 

.. f est aurjective : f([a,b]) ■ [ f(a), f(b>] . ^ ^ 

x € ta.bj * a < x < b + f(a) < f(x) < f(b) 4 
f(x) € (f(a),f(b)) -» f([a,b]) S [f<a),f(b)]. Inversement si 
y e [f(a), f(b)]i d'après le théorème des valeurs intermédiaires 
il existe c e [a,b] tel que y = f(c). Par suite y £ f([a,b]) 
c'est-à-dire [f(a),f<b>] c f([a>b]). 

. f : [ f(a), f(b)j » l»|b] est strictement croissante. 

En effet, soient Z,, Z_ e [f(a),f(b)l tels que Z. < Z..' Alors 

f" 1 (Z 1 ) < f' 1 (Z 2 ), sinon f f*«) & * (8j) f P * r SU±te 

f [ f (Zj) ] > f [ f" 1 {Z z ) J(car f est croissante), 
c'est-à-dire Z« ^ Z„ . Impossible . 



_ £ Z^ ■ Impossi 



La démonstration, de f continue sera admise- 



33 



^« 



€ETUUP 



xom 



BKttl, - La fonction f : [ lf,|_ j^R „, ^^ ^.^ 

croissante Donc f est bijective de [^,|j vera [8i „ ( . g ^^ = 

-1-1,1 ].Sa fonction réciproque f" 1 est natée Arcai „ . " 
t : [-1.13._t ». «j 



-1 

* (x) = Arc sin x. 



Péfinjt.jftn : Soit f; 2 -> JR 

Xp ml est dit un point fixe de f si fCx J> = x 

Par exemple x û= 1 est un point fixe de f(x) = x * + x _ x j J 
f(D = 1. ''■ #i'ii : w.- ;.r 4 V 



■*"«,» i* 



•', *<\t . , **v* . ..- 



PritechM : lia Eoint iiig j. 

Sott me fomton /: [a , b} __> , û>fc; ^^ ^ ^ 

«ui» th point Xfl . fa lW t,i gu,- /f y. a j, . • 

c NMm e*i a ^ 4 d£r « ^ w eou ^ ^ rencon£re 

droite y=x; 



■- ■■ j 



Mffionptrati^n : Soit g: [ a ,b] — > o? 

x > r(x) = f(x) . x 

8 est continue sur ïa.bj. .:» 

Si f (a, . a ou f( b ) ■ „ le point fix . 8era Qu x 

Supposons f(a, , . ., , (b) ^ f(a) > & ^ < O b o 

valeurs d M8 [.,„,. p „ 8uite g(b) < Q < ^ 

x « ]a,b[ tel oue «(, ft) . c c'est-à-dire f(x , 

Effiles : Montrer que la fonction f( x ) = COB x 2L- ° ' 

osx ad "iot un point fixe 
appartenant à [-1,1]. «rixe 



34 

^ETlttJP 



xom 



eu ï 



ProgrammationO 



cr 



^* i-, V eu Algèbre 2 

Coursin « sî 

| S Résumés S gg f f | 



.2" Analyse ç Diapo u ^ £ 



^ w f — • r-(D 



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Exercices! 



^ ^ Contrôles Continus ^ ^ 

Langues mtu^S ti 

Thermodynamique -^ # ^ S 

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Chimie Orqanique 2 

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