etusup

CHAPITRE III
FONCTIONS COHTIHUES

Un intervalle I de S est une partie de R qui vérifie la
propriété suivante: V x^ x g € I, Ix^l <= I. L'ensemble I =10, 3[
est un intervalle de R car ai «j**** I- t*i**2* c [ 0,3 [ :

[ H [

•S **

Par contre, l'ensemble I = [ 0,3 [ U [ 4,5] n'est pas un
intervalle de R . Car x 1 = 1 et x g = ^ appartiennent à I mais
]1,- [«n'est pas indu dans I (faire un schéma).

Dans tous ce chapitre I désignera toujours un intervalle de K.

1) Définition et pxê

Définitions : Soient une fonction /: ï — * R et x^ e 2.

- On dit que / est continue en x Q si lùh fCx) = fCx^>,

c

c'es-A-dire

V £ > , 3 » > 0. V x e 2: |x -x^ | < r? + |/fx^-/Cx 3 1< *.

- / est continue à. droite en x^ si lin fCx} = /^" x ^^»

c'est-d-dtre ;

V *>0, 3 7>>0. V x € 7: x <x<x * » «• [#» - f<X^<c.

- / est continue à gauche en x Q si lim. fCx) = fCx^>$

c'est-à-dire :

27

i

>€ETUUP

xom

Y«*V a r)>o, y x e ; . x _^ „

-/« <ttt* continue sur ! si .. *

Point de 7. . * M£ ««"» en toi

x+x

S 2

■in

* ' * - «J

(car I COB — __Y. | < ■

—"•»* >-o'ii«i-un..->oJr V ; eR) -

■ l

2xS£SMi ^^ •• f ^t contins on x ' , . , '

««««*« d gaucfM et à dFoiu * Mm* * *U« „ t

MBfiû *i«U flû : Hé-ulte du f alt que :

^*<*> = f( V « limtf(x) B 11b tU) = l/ ^ /i

. >^ * **£ -***.v -'

* P«t exprW u co„ tlnuiteen *.».■„■■% -"

n tor »« de suites;

n n c *« £e£îe ou* *j-:-, ?\

■•*• •«*. &y c 7 ":"? "- * n *

n-»+ûO

on

(

■ I ' *

M, «»^ttl«« On u tlll8e lo "■ j

— * u* ... lee u . lte8 dc /^- - — a qul

Wtio», en prenant . m ■ , 8Ult « * les liBlte8

. ;

t •

28

. * .

-€ETUUP

xom

RpmftrQ ue : Pour montrer qu'une fonction I n'est pa* continue en un
point X o , il suffit de trouver une suite U^ qui converge ver B
x , telle que U(« I) n ne converge pas vers fU >-

. t ■ , cob j si x *

Exercice : On pose f (x) » <

V. 1 si x =

Montrer que f n'est pas continue en 0.

■

ExaEaaitifia : SùtmU-f,8 • ' ► <* continues en x ft e I . Alors les

fonctions f ♦ g ! f« . f («i ■ (*„> " °> et l f l 8 ° nt continU " " U
point x .

t>».nn«tr>tlon : Elle réaulte des propriétés des limites des fonction»

(voir chapitre 2).

«

proposition (continuité de la fonCtÎPn . composée)

Soient f: I — V et g: V — ■ W I •« *' <****
Cnter-uaiies de R.

Si / ©s-t continue en x Q e I et g continue en y Q = JS*q>%
alors h - gof est continue en x Q .

nfrmnnstration ; Soit £ > 0. On cherche f) > tel que : | x-x o | <7) +

]h(x) - h(x o )| = |g(f(x)) - g(f(x o ))| < £.

g est continue en y- = f(x Q ). Il existe donc fl ' > tel que ¥f*î» !

| y-y | < n' 4 |s(y) - *< v >l * £ '

f est continue en x . On peut donc associer I ce 7) ' > un nombre

T)" > tel que V x -S I: [x-xj « V 4 I t(*î~*(* )| < • '- Par
suite |g(f(x)) -g(f{x o )| < £ dès que | x-x o | < T) V< . On prend 7) ■•»*■

29

-€ETUUP

.corn

Exercice :Etudier la continuité de f(x) = E(x), puis la continuité
de h(x) = E(Vx ), où E(x) désigne la partie entière de X,

B&X continuité^ : Soit t une fonction définie et
continue sur I\ { x }. Si lim f(x> ■-!, 1 «s R, alors la fonction f

définie sur I par f(x)

J-f(x) B
= l 1 "

f(x) Bixfil \{x }

„ _ _ est continue

sur I et coïncide avec f sur 1\ (x^). On l'appelle prolongement

par continuité de f au point x .

o

■ ■ -. -i

Exemple : Soitf:R

.,» V. x

R

.- , sinx

~x — eSt P rolon 6eable par continuité

sinx s m *

«*■*** - t sx x e K

au point x = car. lim ^±fii = x, f(x) a J .- x

Exercice Montrer que les fonctions f(x) ■ ain - et g(x) =
ne sont pas prolongeâmes par continuité au point 0.
Terminons ce paragraphe avec le théorème fondamentale suivant:

cos -

X

Th^oremg - Toute fonction f continue sur un tntervalle fermé [a t b]
est bornée et attetnt sa borne supérieure et inférieure
c'est-à-dire ËX^Xg m la , b 7 tels çue: Sup fCx) = f< x ,> et
Inf fCxl = /(x ) {voir t* gurel xafa.W î

x e la,b)

■

JcM

■'.,30

^ETlkUP

.corn

Par définition:

: Sup f(x) = Sup { f(x> / x e («,M1

x e ta.b]

lut f(x) = inf { f(x) / * e ta.bl )

x e

[a.bl

* ;" : ''

I

•?■

.1.. .

•

-.« »

fixempl e;

1) Soit f: [0.1 1 -• R
x — * f(x)

- si x € ] 0,1 I

x =

v û si

f n'eit pas borné sur [O.U
f n'est pas continue en .

2) f: [ 0,! IM&* ' e8t COntinUB ^"^

8ur , 0,l[,»ais - b.rne supérieure ,ui est 1. nombre 2. n'est pas

atteint en un point de [ 0,1 [. Elle »t atteint en ^ = 1.

L'intervalle [ 0,1 [ n'est pas fermé .

-.

i

.1 \i- '

31

^ETlttJP

.corn

2) Théorème des valeurs intermédiaires-C onséquences ;

. : j

»*i

Théorème : X des valeyrs intermédiaires 1

Soient vne fonction f: la t bl — ► R continue «•£ a tin nombre
compris strictement entre f(cû et /Cb) . Alors il extste C € 3a t b[
tel que a = /<?£>.

Exemple : 1) Montrons que l'équation x t x * 1 = a dnet une

racine réelle comprise entre -1 et 1 . On considère :

f: [-1,1 ] , R

* — ► f{x) = x t x + i ' ****$**&:

f est continue sur [ -1,1 ];f(-l) = (-1)" 1 < et f(l)= 3>0.
On a f(-l) < < f(l) . Donc est une valeur intermédiaire.

D'après le théorème précédent il existe Ce ] -1,1 [ tel

*

que

.111

f(C)= 0, c'èst-à-dire C + c + 1 = 0. C est la racine cherchée.

• ... ... :-*

2) soit g: [ -3,3 ]

x

] > Rf 2 "si x-et ] 0,3 ^ -,

— ÏJÊC£)«4'1 ai x =,0

v-. [-2 si x € [ -3,0"["* - h'

' '"- :-» •

g n'est pas continue en O.

g ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires

car g(-3) < < g<_3), nais g(c) * V c e J -3,3 [

* J

»

Exerc i ce : Soit f: [a,b] ► R continue telle que f(a).f(b) < 0.

Montrer qu'il existe c e ]a*b[ tel que f(c) = 0.

i ■.

4ETIHJP

.corn

Théorème : I dfi la fonction réciproque 1

Soit /: la.b] M une fonction continue. strictement

croissante . Alors f est une application bijective de [a.bï sur
[ f<al t f<by] et admet une fonction réciproque f ' de tfC<ù>JCb)l
sur Ca t b2 qui est continue et strictement croissante.

Remarque : On a un énoncé analogue avec f continue strictement
décroissante , quitte à prendre [f<b),f(a>] au lieu de
[f(a),f(b)].

Démonstration du. théorème :

Montrons que f: [a,b] • tf(a), *<*>)] est bijective .

. f est injective: Soient **, x g e [a.bj tels que ffx^)»f (Xg]
alors x = x -Sinon x > x , ce qui entraine flx^) > *< x 2 * car *
est strictement croissante. Impossible ! ... .

.. f est aurjective : f([a,b]) ■ [ f(a), f(b>] . ^ ^

x € ta.bj * a < x < b + f(a) < f(x) < f(b) 4
f(x) € (f(a),f(b)) -» f([a,b]) S [f<a),f(b)]. Inversement si
y e [f(a), f(b)]i d'après le théorème des valeurs intermédiaires
il existe c e [a,b] tel que y = f(c). Par suite y £ f([a,b])
c'est-à-dire [f(a),f<b>] c f([a>b]).

. f : [ f(a), f(b)j » l»|b] est strictement croissante.

En effet, soient Z,, Z_ e [f(a),f(b)l tels que Z. < Z..' Alors

f" 1 (Z 1 ) < f' 1 (Z 2 ), sinon f f*«) & * (8j) f P * r SU±te

f [ f (Zj) ] > f [ f" 1 {Z z ) J(car f est croissante),
c'est-à-dire Z« ^ Z„ . Impossible .

_ £ Z^ ■ Impossi

La démonstration, de f continue sera admise-

33

^«

€ETUUP

xom

BKttl, - La fonction f : [ lf,|_ j^R „, ^^ ^.^

croissante Donc f est bijective de [^,|j vera [8i „ ( . g ^^ =

-1-1,1 ].Sa fonction réciproque f" 1 est natée Arcai „ . "
t : [-1.13._t ». «j

-1

* (x) = Arc sin x.

Péfinjt.jftn : Soit f; 2 -> JR

Xp ml est dit un point fixe de f si fCx J> = x

Par exemple x û= 1 est un point fixe de f(x) = x * + x _ x j J
f(D = 1. ''■ #i'ii : w.- ;.r 4 V

■*"«,» i*

•', *<\t . , **v* . ..-

PritechM : lia Eoint iiig j.

Sott me fomton /: [a , b} __> , û>fc; ^^ ^ ^

«ui» th point Xfl . fa lW t,i gu,- /f y. a j, . •

c NMm e*i a ^ 4 d£r « ^ w eou ^ ^ rencon£re

droite y=x;

■- ■■ j

Mffionptrati^n : Soit g: [ a ,b] — > o?

x > r(x) = f(x) . x

8 est continue sur ïa.bj. .:»

Si f (a, . a ou f( b ) ■ „ le point fix . 8era Qu x

Supposons f(a, , . ., , (b) ^ f(a) > & ^ < O b o

valeurs d M8 [.,„,. p „ 8uite g(b) < Q < ^

x « ]a,b[ tel oue «(, ft) . c c'est-à-dire f(x ,

Effiles : Montrer que la fonction f( x ) = COB x 2L- ° '

osx ad "iot un point fixe
appartenant à [-1,1]. «rixe

34

^ETlttJP

xom

eu ï

ProgrammationO

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^* i-, V eu Algèbre 2

Coursin « sî

| S Résumés S gg f f |

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Exercices!

^ ^ Contrôles Continus ^ ^

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