etusup

!'■

CHAPITRE IV
FONCTIONS DERIVABLES

Dana ce chapitre I et J désigneront toujours deux
intervalles de K.

1) DÈzXv&a. sHune toi, c t.i sm ■

Déf i nition : Sùijmt une /onction J-. l — , r &l x e ,.

■ On dit que / est dértvébU ou point x rt si l in /Ca °' /C V

xtx x - x
existe et finie. on note cette limite /'CxJ>.

. / SSL dite dêrivoble sur I si elle est dérivvble en tout
point de I.

Benaraue; :

i) Soit t «ne fonction dérivabl* en x . Posons
f(x)-f(x ) °

*<x) 2

x x " f ' (x û> 'P««

* x S* x ). Alors lim x c(x) = .Donc

f s'écrit sous la forme :

f(x) = f(x o ) ♦ ( X - « o J (f»( X<> ) + * (x)) .

ii) Si on pose x = x o + h , alors f(x o >=lim

f(x .h)-f(x o )
h

\

35

^ETUUP

xom

flxempj.es :

i) f(x) = ainx est dérivable en tout point x (

R :

• •• . •■ ■ ■ .

sin(x +h)-sin x fl 2cc-s(x 6 +^)sin - 2 coax o z

\0)

Donc ai» h

sin(x +h)-stnx o

= coa X o i flxj - C08 x o -

id) f{x) = x n , n € W*, est dérivable en tout x o € 0? et

f»(x ) = nx n ~ l . En effet:

o o

-

w. «■• n-1 n-2 n-1

f(x)-f(x ) x»-«" (x-x o )(x n + y ♦■■■^Q

li B . ■ lim !■ = lim

x*x x - x fl

x-»x o (x-x ) x-.x o

< * - *o >

x-*x

n-2

n-1. n-1 n-1

= lim {x n_1 + x .x""%...4x" -ta JC "+ x Q +..*+ x Q = n x o

n-1 n-1

?*K

n fois

■ '

Tntef-pgét&tion. géométrique :

Soient f une fonction dérivable au point x^ , M rt =(x ft , f ( X Q ) ) et

o o o

M = (x,f(x))

r î

f(x)-f(x o )
considérons le triangle M MA. On a — = tg ft

U .v A.

Lorsque x tend vers x , la droite M Q M tend vers la tangente T à

«» -

f(x)-f(x Q )

la courbe au point x . Donc lis» — = tg a (où a est

o x^x Q x -x

36

^ETUUP

xom

l'angle entre T et L droite M o A).( voir figure ).

Autrement dit f'( x )* i in f(x)-f( x )
droite T, tangente « la courbe^u pointV ,f(x )).

de la

Déf i n i tion :So*en£ une /onrtton /.- /

K et x d e /

■ / «t d£<* d*rivaM* a droite ou poCat x rt s£ u»

f<)0-fCx >

*XiSL* *< /<n4# , «fc ^^ Ma# l£|Uw

4 x - x

x*x o

* ' ** dt <* ****** <* 6*«t**« au potrw x^ si U|

extsr* s< /**<*. On note cette limite /*C X >

vv vv-

•■

-ï-i

a^r^ : ,i t B ... t pa8 dèrivable en avec

Vv et f . (0) . Par con8équent la courbe de ; 6 ^ auguleuae en

t

•

*d

■ .

37

>€ETUUP

.corn

- V

E xercice : Etudier la dérivâbilité de f (x) :

Jx +e si
V si

x>0
x<0

au point x = 0.
o

Proposition : Si f est dérivable en x Q alors f est continue en x Q .

•

-....-

Démonstration : f eut dérivable en x q . Donc :

f(x) = f{x û )+(x-x û )(f(x -)+«(x)) avec lin «(x) ■ 0. Parité

lim (f(x)-f( Xû )) = li^Kf'fx^+Élx)) = 0, c'est-à-dire

lim f(x)=f(x ). f est donc continue en x .
x-*x^ O v

■»vy,v

i -
, . - -

Remarque : La réciproque de cette proposition n'est pas vraie:
f(x)=|x| est continue en , mais elle n'est pas dérivable
au point 0.

•4 •

% i .

;

■ -■

».

Remarquer que la courbe de f est anguleuse au point (0.,O>>

-- •. M ' 4

\i ç

Proposition : Soient /.g ; I — * R deux /onctions dérivables en unr.

point x^€ î. Alors:

O f+$ est dérivable en x Q *t Cf^rCx^ rCx c W<xj>
ii> a/ est dérivable en x Q et t*fyCXQ>=cxf l Cx Q ) Ca € OO;
Ht) Cfgï est dérivable en x. et

Cfgl ' <x >/ ' Cx^gCx^+fCx^g » Cx ô > .

38

^ETUUP

.corn

€ o t. ;

gCxJ

DémonBtr»t r ifr n :

i) et ii) sont faciles

Pour montrer iii ) et iv) il suffit de rei

larquer qui

■

f(x) 8 (x)- f(x o )g(x o > f(x)-f(x Q ) g(x)-g<x )

irr \ ^^ g(x) + f(x «> ) x-^r et

1 1

8(xJ g(x o ) g(x)- B ( Xû )

X " x o • ( * -* )- ( g(x")g(x o ) >'

Proposition : iBéxiaiad^ms Jonction compose)

Soi:ent /•' 7 — ' J •*•• J — ' R et x fl 6 I. un suppose que /
*5£ déWwxMe .« x et , cterivable au point X^ = /<xl>. <4ior S '
*=*<>/ *st deriuobie m x^ e£ f^op. <Xq> = g'C/C Xo> y. f C x^.

*

Démonstration -

Mx)-h(x o ) (80f)(x)-(80 f)(x ù ) f(«x)). f (f(x » f(x)-f(x )

*♦*« x - x o * % r^r ? ±*8 — m _ f< , x .

g(f(x))-g(f ^ )) f<x)-f{x. )

"" **x" f<x ) -f( x > • x-îx x~^X — (Car CC3 deux J-i-ites

8(X)-8<X ) f(x)-f(x )
existent) = li B ^__ li o

x * x o x " X o xi5 o x * x o * ( V' f (x o ) =

=g'(f(x )).f»( x ).(0n a posé X= f(x) . X = f(x )).

w x-tx A ô O '

o

39-

^ETtfiJP

.com

Ex emple : Etudiong la dérivabilité de h(x)= Isinxl sur K.

h(x) = (gof )(x) avec g(x) ■ |x| et f(x) ■'■In x. Soit x e (R . f est

dérivable en x et g est dérivable en y = sin x tel que y ^ ,

c'est-à-dire x P lu ti avec k ê 2. Par suite h -gof est dérivable

en tout x € K avec x P* k rc t k e Z .
o o

■ VatAl»--

-i

: Soit f(x) =/ cosx . Donner le domaine de définition D
de f et étudier la dérivabilité de f sur D. . .

Proposition '.Soient f: l ► J lift*- fônct ion bijective, ccntinve et

x g 1. Si j est dérivable en x Q et si f*<x^ * Û. alors f est

dérivable en y. = fCx^p.De plus :

- f'<x Q >

/•■

DéTnongtra.Uon. : Soit y e J. y = f(x) avec x € I

f" 1 (y)-f' 1 {y rt ) x - x rt

li» - = lim î-o— = 11m l -^ , AaiyUflt^

y " y o x,x «*>-*<**> x . x *<*>-*<V *'<*,)
o o *

-1 -1 x -ï x o

(y- — * y o 4 f" (y) ■ x — > f" (y )= x Q car f" e?t continue ) . '

Exemple ; f(x) = sin x , f: [ - £, 7] — » [-1,1 J,

(Arc sin x) " (f(x )) = — i . = —

f(xj f ec

1 1

cos x

o* "o i l-Bln x A Vl-f (x^)

car coa x o > û pour x^ € [-ji^î' D ' où <Arcsinx)*= l pour

* •"•- r 1 - x - ... j -

x e ] -1,1[

< - ; > - '"

■ . K ■

? • i - ' —

A -■*

40

>€ETlttJP

xom

Dérivées d'ordre supérieur :

Si f* est dérivable, on note par f" sa dérivée.

Si f M adaet à son tour une dérivée.on la note f et ainsi

de suite.

Pour n fi N , or. définit par récurrence f , dérivée d'ordre

n de f . de la façon suivante:

f <n> . [ f (n-D ,,. -•■ .-

(û) *

avec la convention f = f.

Une fonction f est dite indéfiniment dérivable si f n existe
pour tout n fi IN

Exemple ;f( x ) ■ 9in x est indéfiniment dérivable.
f* n *(x)=sin(x + n |) V n e W ( à vérifier par récurrence ). De
■ême (cos x) = cos (x+n— ) VnfiW.

Théorème (Formule dfi Leibniz):

Si / et g admettent des dérivées n au point x Q , alors fg

admet une dérivée n au point x .et ;

c/éV - £ o h f g avec C n - .

Exemples :

( e sin x ) »1 C 9 (e ) (sin x)

■
" = C% x ) (S) (8inx) (<,) + C 1 (. x ) (2) (8inx) (1) t

S 9

C*(e X ) (l) (sinx) <2) +C^(e X ) (0) (sin) (S) =ie X 8inx+3e X cosx-3e X sinx-e X cosx
= 2 e (cosx - sinx).

41

^ETlttJP

xom

Exercice : Calculer (x 2 sinx ) " pour n > 3

(Remarquer que (x 2 ) (n) = pour n> 3 ).

■

2) Kxtrenuma d'une fonction dériva^l» :

janaiiian» : &i«U /•• ' yKit-Xe* I.On dit que i

admet un maximum relatif Cou local j au point x Q s'il existe r, >0
tel que fCx) < fCxJ V x e Jx^-fl. x^+ I) f.

De même / admet un minimum relatif Cou local) au point x Q
s'il existe r) > tel <*ue fCx> > fCxj> VxeJx^-T). x^f- -

Dans ies deux cas. on dit qve f admet un extremim relatif en

* '"' f^-yr,'

°' , ,,.* *J <<.,.,. I \ \ xf\ *»**<&:

- • .r*<-:"T -b

- | *

'■ :: :

I \ «

•"'^pxwnirf» 'dâ' : ïa'' figure correspond à vn mnxiTWh. relatif en x Q
et un minimum relatif en x.. Au point x £ on a un'maximxm absolu.

proposition : Si / est dérivable en x Q et admet un extremim. en ce
point, alors /*<X*> * °- * "**• ..

'• t.-

'• h-

Démonstration :

Supposons que f admet un maximum" relatif au point x _ . Alors

f(x) ^ f{x ) pour tout x dans un voisinage de x - Par suite

° f(x)-f(x V. ' f<x)-f(x ) v

f '(x )= lim — 5 et f (x ) = lia h? > i

d v o' x*x x - x g û x+x Q x - x

x>x o x<x

42

^ETUUP

.corn

iatlf * n ce point .

3Me£à ftfiî & Bail* :

Soit w* /onetu* /.- r- v,

Gr«phi que . ent le

f i8UPeJ . U *-«'. 4 l. courb . Mt horizontalé (yoir

--

£émon B f mi g .

r eat constante, f( c) - ft w

Supposons que f n'est pas co„ a t i " ° * fa ' bJ '

- ». — . ,...„: ; i~; : - --- - ...» _

J "* fU) OU ■»* «•)• Sinon f

C " "' c '«t-à-dlre c € ]a , br .
f admet un mini*u* relatif
Précédente entrais V («) = . " " '" 'T*" 1 " » dU »««*«*.

4ETIHIP

.corn

■•• ■

b) Soient x «x «s I avec x < x . On a :

12 12

f(x 2 )-f(x i ) = f»{c) (x 2 -x x ) > car f (c) > et x -x >

' ■ .

Remarque : Si I n'est pas un intervalle , on peut avoir f'=0 sur I

sans que f soit constante sur I. J

{-2sur]-<»,o[
+ 2aur]0 t+ *[ vérifie ■" I=l-a),O[U)0.4<0[

la proprité f» = 0, Pourtant elle n'est pas constante.

Terminons ce chapitre par une proposition qui est conséquence
du théorème des accroissements finis: -v •

L — "V-lTt • '—

Prppoa^tîon :JLRèfii£ ds l'Hôpital! .. . ••

Si f et g sont deux /onctions dérivables dans un voisinage de !,.,-,
a et mi Um ggg- = i existe, alors ji^,Uî^plî^> = ,; '< ' '""

• ._... - •* •-

h 2 2

ExfifflElÊ : Calculons lim *-°°* x . Ici a à 6. lrg»»-. f(x )-*«>) "

* ■" $\ 4 g(x)-g(û) avec ,: v

w \ :■* '"

S" f(x) = 1-cosx 2 et g(x) = x\ f et g sont dérivables dans un .
t voisinage de et lim f jj x) = lim i sinx I fo ^ rfl * «

x-*«5 g'(x) xiS 2 2 ~ 2* ^ a rè « le de

»fcA«**-.l ._*.— *-' ,. 1-COSX 1

l'hôpital entraine lim i^

X-»Û 4

X

2 * . . t-- ■.:,■,'-

f, .

i

' r.

46

^ETIMJP

xom

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Exercices!

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