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Full text of "etusup"

!'■ 



CHAPITRE IV 
FONCTIONS DERIVABLES 

Dana ce chapitre I et J désigneront toujours deux 
intervalles de K. 



1) DÈzXv&a. sHune toi, c t.i sm ■ 

Déf i nition : Sùijmt une /onction J-. l — , r &l x e ,. 

■ On dit que / est dértvébU ou point x rt si l in /Ca °' /C V 

xtx x - x 
existe et finie. on note cette limite /'CxJ>. 

. / SSL dite dêrivoble sur I si elle est dérivvble en tout 
point de I. 



Benaraue; : 



i) Soit t «ne fonction dérivabl* en x . Posons 
f(x)-f(x ) ° 

*<x) 2 



x x " f ' (x û> 'P«« 



* x S* x ). Alors lim x c(x) = .Donc 



f s'écrit sous la forme : 

f(x) = f(x o ) ♦ ( X - « o J (f»( X<> ) + * (x)) . 

ii) Si on pose x = x o + h , alors f(x o >=lim 



f(x .h)-f(x o ) 
h 



\ 



35 



^ETUUP 



xom 



flxempj.es : 



i) f(x) = ainx est dérivable en tout point x ( 



R : 



• •• . •■ ■ ■ . 



sin(x +h)-sin x fl 2cc-s(x 6 +^)sin - 2 coax o z 



\0) 



Donc ai» h 



sin(x +h)-stnx o 



= coa X o i flxj - C08 x o - 



id) f{x) = x n , n € W*, est dérivable en tout x o € 0? et 

f»(x ) = nx n ~ l . En effet: 

o o 

- 

w. «■• n-1 n-2 n-1 

f(x)-f(x ) x»-«" (x-x o )(x n + y ♦■■■^Q 

li B . ■ lim !■ = lim 



x*x x - x fl 



x-»x o (x-x ) x-.x o 



< * - *o > 



x-*x 



n-2 



n-1. n-1 n-1 



= lim {x n_1 + x .x""%...4x" -ta JC "+ x Q +..*+ x Q = n x o 



n-1 n-1 



?*K 



n fois 



■ ' 



Tntef-pgét&tion. géométrique : 

Soient f une fonction dérivable au point x^ , M rt =(x ft , f ( X Q ) ) et 



o o o 



M = (x,f(x)) 




r î 



f(x)-f(x o ) 
considérons le triangle M MA. On a — = tg ft 

U .v A. 



Lorsque x tend vers x , la droite M Q M tend vers la tangente T à 

«» - 

f(x)-f(x Q ) 

la courbe au point x . Donc lis» — = tg a (où a est 

o x^x Q x -x 



36 






^ETUUP 



xom 



l'angle entre T et L droite M o A).( voir figure ). 

Autrement dit f'( x )* i in f(x)-f( x ) 
droite T, tangente « la courbe^u pointV ,f(x )). 



de la 



Déf i n i tion :So*en£ une /onrtton /.- / 



K et x d e / 



■ / «t d£<* d*rivaM* a droite ou poCat x rt s£ u» 



f<)0-fCx > 



*XiSL* *< /<n4# , «fc ^^ Ma# l£|Uw 



4 x - x 

x*x o 



* ' ** dt <* ****** <* 6*«t**« au potrw x^ si U| 






extsr* s< /**<*. On note cette limite /*C X > 

vv vv- 



•■ 



-ï-i 



a^r^ : ,i t B ... t pa8 dèrivable en avec 

Vv et f . (0) . Par con8équent la courbe de ; 6 ^ auguleuae en 



t 



• 



*d 




■ . 






37 



>€ETUUP 



.corn 



- V 



E xercice : Etudier la dérivâbilité de f (x) : 



Jx +e si 
V si 



x>0 
x<0 



au point x = 0. 
o 



Proposition : Si f est dérivable en x Q alors f est continue en x Q . 



• 



-....- 



Démonstration : f eut dérivable en x q . Donc : 

f(x) = f{x û )+(x-x û )(f(x -)+«(x)) avec lin «(x) ■ 0. Parité 

lim (f(x)-f( Xû )) = li^Kf'fx^+Élx)) = 0, c'est-à-dire 

lim f(x)=f(x ). f est donc continue en x . 
x-*x^ O v 



■»vy,v 



i - 
, . - - 



Remarque : La réciproque de cette proposition n'est pas vraie: 
f(x)=|x| est continue en , mais elle n'est pas dérivable 
au point 0. 




•4 • 



% i . 






; 



■ -■ 



». 



Remarquer que la courbe de f est anguleuse au point (0.,O>> 



-- •. M ' 4 



\i ç 



Proposition : Soient /.g ; I — * R deux /onctions dérivables en unr. 

point x^€ î. Alors: 

O f+$ est dérivable en x Q *t Cf^rCx^ rCx c W<xj> 
ii> a/ est dérivable en x Q et t*fyCXQ>=cxf l Cx Q ) Ca € OO; 
Ht) Cfgï est dérivable en x. et 

Cfgl ' <x >/ ' Cx^gCx^+fCx^g » Cx ô > . 



38 



^ETUUP 



.corn 



€ o t. ; 

gCxJ 



DémonBtr»t r ifr n : 



i) et ii) sont faciles 

Pour montrer iii ) et iv) il suffit de rei 



larquer qui 



■ 



f(x) 8 (x)- f(x o )g(x o > f(x)-f(x Q ) g(x)-g<x ) 

irr \ ^^ g(x) + f(x «> ) x-^r et 

1 1 



8(xJ g(x o ) g(x)- B ( Xû ) 

X " x o • ( * -* )- ( g(x")g(x o ) >' 

Proposition : iBéxiaiad^ms Jonction compose) 

Soi:ent /•' 7 — ' J •*•• J — ' R et x fl 6 I. un suppose que / 
*5£ déWwxMe .« x et , cterivable au point X^ = /<xl>. <4ior S ' 
*=*<>/ *st deriuobie m x^ e£ f^op. <Xq> = g'C/C Xo> y. f C x^. 

* 

Démonstration - 

Mx)-h(x o ) (80f)(x)-(80 f)(x ù ) f(«x)). f (f(x » f(x)-f(x ) 

*♦*« x - x o * % r^r ? ±*8 — m _ f< , x . 

g(f(x))-g(f ^ )) f<x)-f{x. ) 

"" **x" f<x ) -f( x > • x-îx x~^X — (Car CC3 deux J-i-ites 

8(X)-8<X ) f(x)-f(x ) 
existent) = li B ^__ li o 

x * x o x " X o xi5 o x * x o * ( V' f (x o ) = 

=g'(f(x )).f»( x ).(0n a posé X= f(x) . X = f(x )). 

w x-tx A ô O ' 

o 



39- 

^ETtfiJP 

.com 



Ex emple : Etudiong la dérivabilité de h(x)= Isinxl sur K. 



h(x) = (gof )(x) avec g(x) ■ |x| et f(x) ■'■In x. Soit x e (R . f est 

dérivable en x et g est dérivable en y = sin x tel que y ^ , 


c'est-à-dire x P lu ti avec k ê 2. Par suite h -gof est dérivable 

en tout x € K avec x P* k rc t k e Z . 
o o 



■ VatAl»-- 



-i 



: Soit f(x) =/ cosx . Donner le domaine de définition D 
de f et étudier la dérivabilité de f sur D. . . 



Proposition '.Soient f: l ► J lift*- fônct ion bijective, ccntinve et 

x g 1. Si j est dérivable en x Q et si f*<x^ * Û. alors f est 

dérivable en y. = fCx^p.De plus : 



- f'<x Q > 



/•■ 



DéTnongtra.Uon. : Soit y e J. y = f(x) avec x € I 

f" 1 (y)-f' 1 {y rt ) x - x rt 

li» - = lim î-o— = 11m l -^ , AaiyUflt^ 

y " y o x,x «*>-*<**> x . x *<*>-*<V *'<*,) 
o o * 

-1 -1 x -ï x o 

(y- — * y o 4 f" (y) ■ x — > f" (y )= x Q car f" e?t continue ) . ' 



Exemple ; f(x) = sin x , f: [ - £, 7] — » [-1,1 J, 



(Arc sin x) " (f(x )) = — i . = — 

f(xj f ec 



1 1 



cos x 



o* "o i l-Bln x A Vl-f (x^) 

car coa x o > û pour x^ € [-ji^î' D ' où <Arcsinx)*= l pour 

* •"•- r 1 - x - ... j - 

x e ] -1,1[ 



< - ; > - '" 



■ . K ■ 



? • i - ' — 



A -■* 



40 



>€ETlttJP 



xom 



Dérivées d'ordre supérieur : 

Si f* est dérivable, on note par f" sa dérivée. 

Si f M adaet à son tour une dérivée.on la note f et ainsi 

de suite. 

Pour n fi N , or. définit par récurrence f , dérivée d'ordre 

n de f . de la façon suivante: 

f <n> . [ f (n-D ,,. -•■ .- 

(û) * 

avec la convention f = f. 

Une fonction f est dite indéfiniment dérivable si f n existe 
pour tout n fi IN 



Exemple ;f( x ) ■ 9in x est indéfiniment dérivable. 
f* n *(x)=sin(x + n |) V n e W ( à vérifier par récurrence ). De 
■ême (cos x) = cos (x+n— ) VnfiW. 

Théorème (Formule dfi Leibniz): 

Si / et g admettent des dérivées n au point x Q , alors fg 

admet une dérivée n au point x .et ; 

c/éV - £ o h f g avec C n - . 

Exemples : 

( e sin x ) »1 C 9 (e ) (sin x) 

■ 
" = C% x ) (S) (8inx) (<,) + C 1 (. x ) (2) (8inx) (1) t 

S 9 

C*(e X ) (l) (sinx) <2) +C^(e X ) (0) (sin) (S) =ie X 8inx+3e X cosx-3e X sinx-e X cosx 
= 2 e (cosx - sinx). 



41 



^ETlttJP 



xom 



Exercice : Calculer (x 2 sinx ) " pour n > 3 

(Remarquer que (x 2 ) (n) = pour n> 3 ). 

■ 

2) Kxtrenuma d'une fonction dériva^l» : 

janaiiian» : &i«U /•• ' yKit-Xe* I.On dit que i 

admet un maximum relatif Cou local j au point x Q s'il existe r, >0 
tel que fCx) < fCxJ V x e Jx^-fl. x^+ I) f. 

De même / admet un minimum relatif Cou local) au point x Q 
s'il existe r) > tel <*ue fCx> > fCxj> VxeJx^-T). x^f- - 

Dans ies deux cas. on dit qve f admet un extremim relatif en 



* '"' f^-yr,' 



°' , ,,.* *J <<.,.,. I \ \ xf\ *»**<&: 



- • .r*<-:"T -b 




- | * 



'■ :: : 



I \ « 

•"'^pxwnirf» 'dâ' : ïa'' figure correspond à vn mnxiTWh. relatif en x Q 
et un minimum relatif en x.. Au point x £ on a un'maximxm absolu. 

proposition : Si / est dérivable en x Q et admet un extremim. en ce 
point, alors /*<X*> * °- * "**• .. 



'• t.- 



'• h- 



Démonstration : 

Supposons que f admet un maximum" relatif au point x _ . Alors 

f(x) ^ f{x ) pour tout x dans un voisinage de x - Par suite 

° f(x)-f(x V. ' f<x)-f(x ) v 

f '(x )= lim — 5 et f (x ) = lia h? > i 

d v o' x*x x - x g û x+x Q x - x 

x>x o x<x 



42 



^ETUUP 



.corn 



iatlf * n ce point . 

3Me£à ftfiî & Bail* : 

Soit w* /onetu* /.- r- v, 

Gr«phi que . ent le 

f i8UPeJ . U *-«'. 4 l. courb . Mt horizontalé (yoir 






-- 






£émon B f mi g . 

r eat constante, f( c) - ft w 

Supposons que f n'est pas co„ a t i " ° * fa ' bJ ' 

- ». — . ,...„: ; i~; : - --- - ...» _ 

J "* fU) OU ■»* «•)• Sinon f 

C " "' c '«t-à-dlre c € ]a , br . 
f admet un mini*u* relatif 
Précédente entrais V («) = . " " '" 'T*" 1 " » dU »««*«*. 






4ETIHIP 



.corn 



■•• ■ 



b) Soient x «x «s I avec x < x . On a : 

12 12 

f(x 2 )-f(x i ) = f»{c) (x 2 -x x ) > car f (c) > et x -x > 



' ■ . 



Remarque : Si I n'est pas un intervalle , on peut avoir f'=0 sur I 

sans que f soit constante sur I. J 

{-2sur]-<»,o[ 
+ 2aur]0 t+ *[ vérifie ■" I=l-a),O[U)0.4<0[ 

la proprité f» = 0, Pourtant elle n'est pas constante. 

Terminons ce chapitre par une proposition qui est conséquence 
du théorème des accroissements finis: -v • 






L — "V-lTt • '— 



Prppoa^tîon :JLRèfii£ ds l'Hôpital! .. . •• 

Si f et g sont deux /onctions dérivables dans un voisinage de !,.,-, 
a et mi Um ggg- = i existe, alors ji^,Uî^plî^> = ,; '< ' '"" 

• ._... - •* •- 

h 2 2 

ExfifflElÊ : Calculons lim *-°°* x . Ici a à 6. lrg»»-. f(x )-*«>) " 

* ■" $\ 4 g(x)-g(û) avec ,: v 

w \ :■* '" 

S" f(x) = 1-cosx 2 et g(x) = x\ f et g sont dérivables dans un . 
t voisinage de et lim f jj x) = lim i sinx I fo ^ rfl * « 

x-*«5 g'(x) xiS 2 2 ~ 2* ^ a rè « le de 



»fcA«**-.l ._*.— *-' ,. 1-COSX 1 



l'hôpital entraine lim i^ 

X-»Û 4 



X 



2 * . . t-- ■.:,■,'- 



f, . 






i 



' r. 



46 



^ETIMJP 



xom 



eu ï 



ProgrammationO 



cr 



^* i-, V eu Algèbre 2 

Coursin « sî 

| S Résumés S gg f f | 



.2" Analyse ç Diapo u ^ £ 



^ w f — • r-(D 



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Exercices! 



^ ^ Contrôles Continus ^ ^ 

Langues mtu^S ti 

Thermodynamique -^ # ^ S 

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Chimie Orqanique 2 

Q 

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