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CHAPITRE V
FORMULES DE TAYLOR

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Une fonction f qui eat 1 +~* ,*

- - ™ u: ^rrrvsr point *° '

avec , (x , f ^V <:Cû, + f,Uo,(X " X «» J + (X - X o , ^

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*>« une- fûn£tion g: { £ c/^ eonttn

c « continue sur la,bJ
" ***•*• sur Ja.W.tO**^, ,

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*********** = On v. .p pli<luer plu-ieura f

(n) *

n+l' U * 0n Prend c ■ c

n+l

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47

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Théorème : ilorjaulfi. fe T^oT-1 , ftHrwi^>

Soit f: Ml — R ^ec f Cr ° contins *** M* **

«MM* sur M. Mors £ **«*^fg Ifl^j Wl^

C'est la /ormuU <** Taylar- La*ran*e. Le <«™*

gj£g>* Jto*&M s'appelle "reste de lagrang*".' '

'* * '

pfiponstration : . n+1

On P0S e ï( X,=m»4 f U,^na,..^ ,B, (a.^rïï*l

OÙ A € K, ...,-.;: y" ''"•'

Par hypothèse g (n) est continue sur [a,b] et dérivable sur
]a,bl. De Plus g(a)= 0. On va choisir A de sorte que 8<b)= 0_,
c" es-à-dire : n+1 * .-^.

(«) glbWbl-HW^'H»)*.^ b (n+l)'. Al - 0t
Pour 1< p< n: ,

2

.«^(iw^w =3 f(P+1)( » )+ ^f^^w

(n-p)l f (a) + (^î^pT! A '•

On vérifie que g (P) (a) = 0, V p «= ( 1 n}. Donc

g(a) = g'(a) = ...=g^(a) = g(b)= 0. D'après le lemme précédent il
existe c € ]a,M tel que g (n+1) (c) = = f (n+1) (c> - A. D'où
A = f (n+lï (c). On remplace A par sa valeur dans (*) et on obtient
la formule désirée.

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.....

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48

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***U*lX* : Soit f: [atM __ R W,

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^•v——.»^ ...«,, 8ur [x ° iX] -

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I * '• *:

te nombre c do 1» * ,

L»fe«i '««ul. dépend de x o„

" « ^ pose x KX +h , # ,X ° aVeC »<•<».

° 2 ' C ° , + - + - f ( V*fnTïT !f tn+1 >(c,.
un * obtaent en gardant 1...

co- P ri 8 8trict« ent entre et x n! <«I>l f

(c) avec c

******* ■■ f(x,= . lnx , a

On a: ' - - V" °

„3 5 6

ain x = x - £- + i_ . x ° . ..

3! 5! + ëT <-»in C ). ( à vérif ier) ""

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J,l^A- ; )C '•' °" Vt U*>

« * «• [a b] — • t avec gCxJ>^Cx^'. . .'S <V"
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Soient /: t*»W » ■ . •* x <?

/*W existe. >»lors pour tout * e r*.W-' - .

" t&**x> -o . . *■■-*■ : - • •_ ;"; i .,..., î

x -: • • •...«.•••■••. •*' '■■ ' ,.

--On vérifie aue g(x)= g* (X )= 8 V

t lemme précédent^ im _ o .. ,,v

| o (x-x o >

t lim £(x)= 0. ... , . ■•

i x-»X_, •:

i»„r dans (*) et on obtient la formula
On remplace g par sa valeur dans l )

î * - ;* ' • "' '■•

du théorème- /( >., .

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4) zaxmuie fe Ma^axin^^ «. hvpothèseB du théore-T
0„ l'obtient en gardant les -en.es hypothèses

précédent et en prenant x = . On a 1 1- - -

x « « Wi>«ù ♦ — *•(*)+ * £ x > avec

lim £(x) = 0.

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