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Full text of "etusup"

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UNIVERSITE ABD EL MALEK ESSAADI 
Ecole Naijonal des Sciences Appliquées 

Tétouan 



Année universitaire 20 11/2012 
1"™ CP 



TD Physique 1 
(Compléments mathématiques) 



Exercice 1 



Dans la base cartésienne (O, ë x , ë , e z ) 9 on a ; 
V t = 2e x +ë y -2e : 

F 3 =-ë J +2ë y 

1- Calculer les produits scalaires : j7, . V 2 ■ V l . K 3 et P 2 . ^ 3 . En déduire les angles : 0, = ( P, , K 2 ) ; 

2 =(V X .F 3 ) et ^ =( ,/ 2 ,k 3 j 

2- Calculer tes produits vectoriels : y A y ; y A j? et y A j7 

3- Calculer les produits mixtes: (^ A K 2 ).K 3 ; (P 2 a F 3 ).F, ; 0% a K, ).F 2 
Kxercice 2 

Dans la base cartésienne (O, 6 9 B 9 é?. ), on a : 

p \ m ** M + 3ë y ~ ë z 

v 2 = 3ê x -2ê v + 2ê : 

2- Déterminer le vecteur unitaire û porté par le vecteur: c = K, + 2 V 2 

Kxercice 3 

Soit un vecteur (/(,)_$/ (,) w(r).où w(f)esl son vecteur unitaire. 

1 - Montrer que si y a un module constant, le vecteur dérivée dV_ lui est orthogonal. 

dt 

2- Montrer que d'une manière générale : p dV_ _ àV_ 

dt 'dt 
Exercice 4 

1- Exprimer la différentielle totale de la fonction suivante : fl[x, y, z) ■ x 2 + y 2 + z + xy.exp(z) 

2- Soient les fonctions de deux variables x et y: Rx,y) = cos( x 2 y) et g(x.y) = exp ( x 2 + 2y) 

- Calculer la différentielle totale de chaque fonction 

- Calculer les dérivées partielles d 2 f/dx 2 ,d 2 f/dxdy ; d 2 ftdydx. 

Exercice 5 



1- Un point M(x, y, z) est repéré par le rayon vecteur r = OM démodule:/- ■ yr 2 +y 2 +z 2 , 

calculer : grad r . grad (-) , gra^ (log r) 

r 

2- Soit U(x, y, z) = 3 x 2 y z 2 + 4 y 2 z x 3 un champ scalaire. 



Montrer que gradU au point M(l ,-U 2) est parallèle au plan Oyz 



Exercice 6 



En explicitant la relation dU = grad V . dl 

Donner l'expression du gradient en coordonnées cylindriques et en coordonnées sphériqu 



* ET m 



Exercice 7 

Soit U(x, y) - x 2 + y 2 + xy ; un champ scalaire, et dl le déplacement élémentaire dans la direction 
faisant l'angle avec Ox. 

1- Calculer en fonction de x, y et 0, la dérivée du . 

dl 

2- Déterminepcn dérivant par rapport à 0, la valeur 9o pour laquelle cette dérivée est maximale. 

3- Montrer que la direction ainsi définie est celle du vecteur gradient. 



Exercice S 

1- Calculer la divergence du rayon vecteur : r =xe* + ye y + ze- 

2- Calculer la divergence de y = — , faire le même calcul en appliquant la relation : 

r 



( t m 



div (f A) = A grad f + f div À 
Exercice 9r 

1- Calculer roi r et roi — , avec r = xe* + ye y + ze : 

2- Calculer rot  avec A =3 x 2 y ë x - 2yz* ë y + x 2 y ë. au point M (1, 2, 1). 
Déterminer les points de l'espace où roi A est nul 

Exercice 10 

En chaque point M(x ,y, z) de l 'espace, on définit un vecteur v par la relation v = w a r avec â = w k el 



_ 1 



F = OM = x i + y j + z k . Montrer que <y=- rotv 

Exercice 1 \ 

1 - Montrer que, dans le plan, on a, en tout point sauf à V origine, A ( Log r ) = 

2- Déduire de la relation de définition A V = div grad U l'expression du Laplacien en 
coordonnées cylindriques 

1 d 13 3^4 

On donne en coordonnées cvlândriques : div A = ( r A ) + ( A n ) + — - 

r ôr r r dû 9 Ôz 

Exercice 12 

On donne le vecteur^ = 4xy i - y 2 j + y z k . Calculer de deux façons différentes le flux de ce 
vecteur a travers la surface du cube délimité par x = 0, x = 1 ; y = 0, y = 1 ; z = 0, z = 1 

Exercice 13 



z = o,z=i ; /. i. 



■ Quel est l'angle solide sous lequel on voit, depuis 3e centre O d'une sphère, un élément dS de sa 
surface compris entre les méridiens <p et (p +■ dq> el les parallèles et + d6. 
En déduire l'angle solide sous lequel on voit, depuis O : 

1- L'espace compris entre deux méridiens cp et (p + d(j> 

2- L'espace compris entre deux parallèles 9 et +■ d8. 

Exercice 14 

1- Calculer l'angle solide Cl\ sous lequel on voit une face négative d'un disque depuis le point O] de son 
axe. 

2- Quelle est la valeur de l'angle solide Q2 sous lequel depuis un point O2 de son axe, on voit la face 
positive d'un disque. 



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