Google
This is a digital copy of a book thaï was prcscrvod for générations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's bocks discoverablc online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose légal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other maiginalia présent in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journcy from the
publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we hâve taken steps to
prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying.
We also ask that you:
+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use thèse files for
Personal, non-commercial purposes.
+ Refrain fivm automated querying Do nol send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine
translation, optical character récognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for thèse purposes and may be able to help.
+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each file is essential for informingpcoplcabout this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it légal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is légal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countiies. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any spécifie use of
any spécifie book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps rcaders
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of ihis book on the web
at |http: //books. google .com/l
Google
A propos de ce livre
Ceci est une copie numérique d'un ouvrage conservé depuis des générations dans les rayonnages d'une bibliothèque avant d'être numérisé avec
précaution par Google dans le cadre d'un projet visant à permettre aux internautes de découvrir l'ensemble du patrimoine littéraire mondial en
ligne.
Ce livre étant relativement ancien, il n'est plus protégé par la loi sur les droits d'auteur et appartient à présent au domaine public. L'expression
"appartenir au domaine public" signifie que le livre en question n'a jamais été soumis aux droits d'auteur ou que ses droits légaux sont arrivés à
expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombe dans le domaine public peuvent varier d'un pays à l'autre. Les livres libres de droit sont
autant de liens avec le passé. Ils sont les témoins de la richesse de notre histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine et sont
trop souvent difficilement accessibles au public.
Les notes de bas de page et autres annotations en maige du texte présentes dans le volume original sont reprises dans ce fichier, comme un souvenir
du long chemin parcouru par l'ouvrage depuis la maison d'édition en passant par la bibliothèque pour finalement se retrouver entre vos mains.
Consignes d'utilisation
Google est fier de travailler en partenariat avec des bibliothèques à la numérisation des ouvrages apparienani au domaine public et de les rendre
ainsi accessibles à tous. Ces livres sont en effet la propriété de tous et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine.
Il s'agit toutefois d'un projet coûteux. Par conséquent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources inépuisables, nous avons pris les
dispositions nécessaires afin de prévenir les éventuels abus auxquels pourraient se livrer des sites marchands tiers, notamment en instaurant des
contraintes techniques relatives aux requêtes automatisées.
Nous vous demandons également de:
+ Ne pas utiliser les fichiers à des fins commerciales Nous avons conçu le programme Google Recherche de Livres à l'usage des particuliers.
Nous vous demandons donc d'utiliser uniquement ces fichiers à des fins personnelles. Ils ne sauraient en effet être employés dans un
quelconque but commercial.
+ Ne pas procéder à des requêtes automatisées N'envoyez aucune requête automatisée quelle qu'elle soit au système Google. Si vous effectuez
des recherches concernant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractères ou tout autre domaine nécessitant de disposer
d'importantes quantités de texte, n'hésitez pas à nous contacter Nous encourageons pour la réalisation de ce type de travaux l'utilisation des
ouvrages et documents appartenant au domaine public et serions heureux de vous être utile.
+ Ne pas supprimer l'attribution Le filigrane Google contenu dans chaque fichier est indispensable pour informer les internautes de notre projet
et leur permettre d'accéder à davantage de documents par l'intermédiaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en
aucun cas.
+ Rester dans la légalité Quelle que soit l'utilisation que vous comptez faire des fichiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilité de
veiller à respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public américain, n'en déduisez pas pour autant qu'il en va de même dans
les autres pays. La durée légale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays à l'autre. Nous ne sommes donc pas en mesure de répertorier
les ouvrages dont l'utilisation est autorisée et ceux dont elle ne l'est pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afficher un livre sur Google
Recherche de Livres signifie que celui-ci peut être utilisé de quelque façon que ce soit dans le monde entier. La condamnation à laquelle vous
vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur peut être sévère.
A propos du service Google Recherche de Livres
En favorisant la recherche et l'accès à un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le français, Google souhaite
contribuer à promouvoir la diversité culturelle grâce à Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet
aux internautes de découvrir le patrimoine littéraire mondial, tout en aidant les auteurs et les éditeurs à élargir leur public. Vous pouvez effectuer
des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adresse fhttp: //book s .google . coïrïl
^1
y
y
\
•^'
J
sv.
/
*v
' V
.Ji^lf^
I
.1^
s
C/
m
*► 2X
if
\
^
ëS_J^
■• I*
f
> /
EXERCICES
DE CALCUL INTÉGRAL
'^
V «
EXERCICES
DE
CALCUL INTÉGRAL
SUR
DIVERS ORDRES DE TRANSCENDANTES
ET SUR LES QUADRATURES j
Par a. m. LE GErn)RE , Membre de FAcadémie royale des
Sciences et du Bureau des Lougitiides , de la Société royale de
Londres, etc.
TOME TROISIÈME.
PARIS,
l^m ^B COURCIERi IMPRIMEUR -LIBRAIRE POUR LES MATHÉMATIQUES,
rue da Jardinet > n* i9> quartier Saint- André-des-Arcs.
1816.
C?;^
\4^
I
\
fi
<m'9'
EXERCICES
DE CALCUL INTÉGRAL.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
}
Vi oxjs avons fait YOir dans tout !« cours de cet Ouvrage , et
principalement dans la première Partie y que la théorie des fonctions
elliptiques mérite d'être cultivée plus qu'elle ne Ta été jusqu'à pré-
sent^ non-seulement a cause des belles propriétés dont jouissent
ces fonctions et qui leur assignent un rang distingué dans l'analyse ,
mais k cause des applications nombreuses que cette théorie peut
recevoir y et qui contribueront au perfectionnement du Calcul inté-
gral y en donnant aux Géomètres les moyens de continuer leurs
recherches sur beaucoup de questions importantes^ sans être arrêtés
par cette espèce de barrière qu'ils n'osaient plus franchir quand ils
avaient dit que le problème était réduit aux quadratures.
Mais cette nouvelle branche d'analyse ne pourra rendre tous les
services qu'on peut attendre d'elle, que lorsqu'on aura construit
des Tables au moyen desquelles les fonctions elliptiques pourraient
être évaluées dans tous les cas avec un degré d'approximation coa^
venable y et sans exiger des calculs trop pénibles.
Il ne peut être question de réduire en Tables les fonctions de la
troisième espèce y puisqu'elles contiennent deux constantes arbi-
traires^ outre la variable principale, et qu'ainsi il faudrait que ces
Tables fussent à triple entrée y chose tout à fait inexécutable. Il
suffît d'avoir prouvé^ relativement à ces fonctions, i"*. que le cas
4es paramètres imaginaires se réduit toujours à celui des paramètres
4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
réels; a"", que les fonctions complètes de ce genre s'expriment tou-
jours par des fonctions de la première et de la seconde espèce ;
3^ qu'il y a une infinité de cas particuliers^ déterminables algébri-
quement^ où une semblable réduction peut avoir lieu ; 4''- qu'on peut
pareillement trouver une infinité de cas où une fonction donnée de
troisième espèce, est réductible indéfiniment à la première espèce ;
S*", enfin que dans tous les cas y la valeur aussi approchée qu'on
voudra de toute fonction de troisième espèce, peut être trouvée par
des séries régulières et toujours convergentes (*).
Toute la difficulté se réduit donc à construire des Tables qui
représentent les fonctions de première et de seconde espèces , cal-
culées pour un nombre déterminé de valeurs , tant du module c que
de Tamplitude (p j afin den pouvoir déduire par interpolation, les
valeurs des mêmes fonctions correspondantes à toutes valeurs don^
nées des quantités c et ç. Le calcul d'un pareil système de Tables,
et en général le perfectionnement des formules d'approximation,
sont l'objet des recherches suivantes, que nous allons indiquer
sommairement.
Dans le § I on donne les formules nécessaires pour calculer
jusqu'à i4 décimales , les logarithmes des fonctions complètes
Ë't?, F'^, et on explique la construction de la Table L Ce même
paragraphe contient quelques théorèmes nouveaux sur les fonctions
complètes , etsur 1 échelle des modules dont elles dépendent.
Le § Il offre deux méthodes générales et entièrement nouvelles
pour réduire en Table toute intégrale proposée de ta forme fud^.
Le § III contient l'application de ces méthodes aux fonction»
elliptiques E =/Adp , F = / ^. On a pris pour exemple la cons-
truction de la Table II qui se rapporte au modulé c = sin ^5^*.
Le § IV contient une autre méthode purement trigonométrique
pour construire les Tables des fonctions £ et F.
Dans le § V on donne des formules qui expriment d'une manière
très-simple les valeurs dess fonctions E(c,^), F(c,^), lorsque
l'amplitude (p n'excède pas une limite donnée.
(♦) Voyez première Partie , S XXIII, XXIV et XXV.
CONSTRCrctiON DES TABLES ELLIPTK^îtJES. ^
Dans le § YL on indique divers moyens d^ëtendre à un plus
grand nombre de cas Tusage ^es formules précédentes; mais les
calculs deviennent quelquefois plus longs que ceux qu'exige la
méthode générale d'approximation. On fait voir comment lea
formules de celle - ci peuvent être simplifiées dans un cas fort
étendu.
Enfin dans le § VII, on donne quelques développemens nouveaux
sur la méthode connue qui consiste à exprimer les fonctions F et E
par des séries ordonnées suivant les sinus des angles multiples de 2(p.
§ I. Zfu Calcul des Fondions complètes F*c^ E'c.
I . Nous avons déjà donné dans la première Partie y art. 82 et suiv.^
des formules pour simplifier le calcul des fonctions complètes y
lorsque le module est peu éloigné de Tune de ses limites ; nous
allons faire voir maintenant quels sont les moyens de faire ces calculs^
dans tous les cas y avec un degré d'approximation déterminé. Nous
supposerons en général qu'on veut calculer les logarithmes des
fonctions dont il s agit jusqu'à 14 décimales y parce que ce nombre
est celui que comportent les Tables les plus étendues qui aient été
publiées jusqu'à présent y savoir , Yjirithmetica Logarithmicade Briggs,
et la Trigonometria Britannica du même auteur. Les exemples que
nous apporterons dans cette hypothèse feront juger aisément des
simplifications dont les calculs sont susceptibles , lorsqu'on ne voudra
obtenir que dix ou un moindre nombre de décimales exactes.
On verra bientôt que les mêmes données qui servent à calculer
les fonctions F'c, E'c, servent aussi à calculer leurs complémens
F'& , £'^. C'est pourquoi nous ne considérerons que des valeurs de c
moindres que V^| ^ c'est-à-dire que nous supposerons toujours
Tangle du module plus petit que 4^*'. S'il était plus grand ^ on échan^
gérait entr'elles les quantités c tib y afin que e désignât toujours la
plus petite des deux.
Mais avant de nous occuper de ces approximations y nous croyons
devoir ajouter quelques théorèmes nouveaux à ceux que nous avons
donnés^ pag. 98 et suiv. de la première Partie y sur les fonctions
F'c, E'c, et leurs complémens F*i , E*ir
,-^
■t '
6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
2. ConsideFODS les deux suites correspondantes
I c'", £?", c', c^ c% c**, c*»* o,
o i'", A", A', by b% b^% *-« I.
D.'Uis la première on distingue deux parties ; l'une à compter de c
vers la droite , se compose des modules décroissans c, c% c*% c*^%.,.,
dont la limite est zéro; l'autre à compter de c vers la gauche y offre
la série des modules croissans c y c', c'', d^\. . • . dont la limite est
l'unité. Ces deux parties ne forment qu'une seule et même suite de
termes liés entr'eux par une seule et même loi qui consiste en ce
que $i X yj' sont deux termes consécutifs, on a a; = -~^, et réci-
proquement jr = T )//t ^ {• On peut donc en parlant d'un
terme quelconque de la série , former successivement tous les
autres termes , tant dans le $ens où la série est décroissante que
dans le sens contraire , la limite étant zéro dans le premier cas ,
et I dans le second.
La seconde série qui répond lerme à terme à la première , est
composée des modules complémentaires , ensorte que si c^ et i^ sont
deux termes correspondans dans les deux séries , on aura toujours
Au reste la série inférieure est formée suivant la même loi que
la série supérieure, avec cette seule différence qu'elle est croissante
dans le sens où l'autre est décroissante , et réciproquement. Nous
avons adopté le signe ^ pour indiquer la diminution des c; ainsi
on a c' < c , c*' < c% £?***** < c*»* , etc. De même nous avons adopté
le signe ' pour indiquer l'augmentation des c , de sorte qu'ion a
c'> c, c*' > c\ etc. Ces signes auront un effet contraire sur les
complémens ; ensorte qu'on aura b" ^ b ^ *•• > i% etc. , b' <,b ^
V <Cb\ etc.; et d'après cette observation, toutes les fois qu'il y
aura lieu d'échanger entr'elles les lettres c et ^, on devra en même
tetrips changer les signes ** en ' , et réciproquement.
3. Il résulte de la loi de nos deux suites^ que si jr et^ sont àenx
lermes consécutifs de la première ^ p çl q Içs deux tf^rmes çorres-»
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^
j)ondans de la seconde , on aura généralement xq =22 \/py ; ce qui
donne dans un sens et dans l'autre^ ces deux séries d'équations :
cft* = a /(c**) , C'A'* = 2 t/(c**A*) , c*'***^ = 2 \/((f'^b^) , etc. ,
V* = a/(c*'), c" A' = 2 v/(c' 4") ^ ^'"*" =2v/(c"4'''>, etc.
On remarque d'ailleurs dans celle-cî que l'éctiange des lettres cet 6^
peut se faire en même temqps que celui des signes "^ et ' ^ et qu'alors
l'une des deux séries se déduit de l'autre.
4. La fonction F'c peut s'exprimer de deux manières; l'une au
moyen des modules décroissans c , c% c''^ c^''% etc. ; lautre au moyen
des modules croissans c y c', é\ etc.
La première expression est ^ suivant l'art. 65^ F'c=:~K^ où
Ton a
•, fl|/c® flV^c®** ^y/e^ av/^o^*'*
I
1
C ^ c"* d''' * c"^
Mais les formules de l'article précédent donnent ^^— s: -^r ,
^*^^ = -^T^ ^ etc. ; ainsi on aura plus simplement
K = i/(y.ô^4^**i**'^.. etc.V
*
ou l'on se souviendra que la suite 4, ¥ , }f^ y i***, etc. converge
rapidement vers une limite égale à l'unité.
La seconde expression y d'après les formules des art. 4^ et 68 ,■
est F'^ = — log —, où f on a
et où l'on suppose ^ assez petit pour que 1 — c^ soit négligeable.
Egalant entr'elles les deux valeurs de F' c, on aura cette formule
générale
où l'on voit que la suite b''''*b''^b''bW . . . . doit être prolongée à
8 EXERCICES DE CALCtJL INTÉGRAL.
gauche > jusqu à un terme V qui ne diffère pas sensiblement dé
l'unitë, et à droite jusqu'à un terme V*^^ assez petit pour que
le suivant V^^ ou au moins son quarré, appartienne à Tordre de
^lécimales qu'on peut négliger.
Si on change b en c, on aura semblablement
r l/c • . . .
) = log^,
fonnule qai ne difiêre pas esseùtiellèment de la précédente \ elle
aappose que ( c'* )* est négligeable ainsi que i — c'.
5. Lorsque c := sin 45°^ on a trouvé (pag. 99^ première Partie)
- =: — log — j donc alors on a
En bornant Tapproximation à i4 décimales, on peut faire /x = 4
et p =:5 ^ ce qui donnera
^jOOOO
?=4S
et on aurait en même temps e^d'cf" == b^b^b''''''.
En faisant fji=:5 ^ y = 4> l'équation serait exacte jusqu'à la
a8"* décimale.
Lorsque c = sin i5% on a trouvé (pag. 102 )î^ == —log ^;
donc 9 dans ce cas ^ le tb lorème précédent donne
— »1
= 5. 4'*.
6. Si on considère les équations successives
b''c=s2]/(bel'), b'"à' = 2\/{b'ti"), b'^à" su 2\/ (b'-'c'^) , etc.,
et qu'on les continue jusqu'à ce que leur nombre soiit f( , le produit
de toutes ces équations donnera
( b'b"b'>^...ir) (cc'c*' . . . (/*-')= y y/(bb'b*' . . . bf^') . |/(fcV . . . c^) ,
d'où
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 9
d'où Ton tire^ en supposant i — ^ négligeable ,
changeant c en 6 et réciproquement, ce qui oblige d'échanger en
même temps les signes " et ', on aura
(«'cv^ ..<r~') (hb'b"...ir" ) = £.4'*^.
Multipliant ces deux équations entr'elles , il viendra
\ 7 )\ y^ ; = 4 .
Multipliant de même les deux équations du n*" 4 > ^t comparant lea
deux produits ^ on en tire ce théorème remarquable ^
-7 = —.log-4-.log -4-.
Ainsi c^ et b^ étant deux termes très-petits, pris dans les deux
suites générales à égales distances des termes moyens c ei b, la,
relation entre ces termes est telle que le produit de log ~ par
4 * ' 1 ^ ^ /f*
c^
log-T- est égal à 7.4'*. Cette équation n*esl qu'approchée; mais
Terreur diminuera de plus en plus à mesure que ft augmentera ,
et en général elle sera du même ordre que le quarré des quantités
Dans le cas de c = i = sin 4^% on a également c ^= ^^ ^ et
de là résulte log -^=: -.a'*, comme dans lart. 4-
c
7. On peut parvenir plus directement à Téqualion de l'article
précédent. En effet faisant
lo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
on a
FV = -.K = i^'log-^,
F'^ = -.K'= — log-^;
«
donc en multipliant ces équations y il viendra
8. On peut , pour plus de simplicité , supposer que c «st déjà
assez petit pour que i — ^ ou ^ c* soit négligeable. Alors l'équa-'
tion de l'art. 4 donnera
Cette formule offre le moyen d!exprimer directement le logarithme
d'un nombre quelconque par le rapport de la circonférence au dia-
mètre ^ savoir , en multipliant ce rapport tt par ^ i/f - dé^d^\ etc. jy
quantité qui se déduit du nombre donné ^ au moyen de quelques
extractions de racine quarrée.
g. Veut-on y par exemple y avoir l'expression de log 2 ^ on fera
3 := ^^ ayant soin de prendre m assez grand pour que les quan-
tités de Tordre c* ou (i)'""^ soient négligeables,
^ Ainsi en faisant 771.71= 10^ les. erreurs de la formule seront de
l'ordre (j)'"j on auradonc^.à.moins d'un 6000.0*".% la valeur de
log 3 par l'équation
,ologii = -Y/(— ^— ),
dans laquelle il feut substituer les valeurs c = ( ^ )% c' = ^^ = -^ ,
c" = ^ = ^, c'" = ^, c" =: ^.. On borne ceUe
suite à ç^^j parce que la différence i — c^ est beaucoup plus petite
que l'erreur de la formule.
Le résultat donne en effet Ibg 2 = 0.693 i5o y ce qui est conforme
au degré de précision qu'on voulait obtenir.
C0]?rSTRUCT10N DES TABLES ELLIPTIQUES. 1 1
En faisant m = ao ^ on aurait un terme de plus à calculer y et o&
obtiendrait au moins dix décimales exactes.
10. Puisqu'on a F'c = - K et F*i= — log —, il est facile do
trouver la valeur du module c , tel qu'on ait F'fr = riS^c ; pour cela
on aura Téqualion ^ttfi.^^ =ïog 4r > ^"^ exprimée en logarithmes
c
des Tables y donne
log — s= I i/tmn.ir.
Cette équation déterminera directement c^^ si toutefois fi, est connu;
or (f^ étant connu ^ on en déduira aisément les modules précédens
^""* , c'*""^ , et enfin c , par la méthode de Tart. Sg.
^ Quant à la valeur de yc« ^ elle sera égale à 4 9 depuis e = sin 45^
jusqu'à c = sin ^6'' 34^ c'est-à-dire depuis n = i jusqu'à /»== i -^
à peu près.
Elle sera égale à 3 depuis c = sin 26"* 34' jusqu'à c = sin 3"* 1 1',
ou depuis nz=>\\ jusqu'à n = 3 f.
Enfin on aura /t = ^ depuis n =s s | jusqu'à n=5y^et/x=z
si on a /^ >> 5 ^.
Ces résultats sont fondés sur la limite jusqu'à laquelle il convien t
de prolonger la suite des modules c y <;% e''^ etc. y pour obtenir un
même nombre de décimales exactes que nous avons fixé à 1 4* Nous
allons Élire voir comment On détermine cette limite.
a
II. Si l'on est parvenu dans l'hypothèse dont il s'agit^ à un terme
b^ tel que — log^ ^oit moindre qu'une demi-unité décimale du
14* ordre , alors on pourra regarder log b^ comme nul ; et à plus
forte raison^ les termes suivans log b^^^y logi^"^^, etc. Ainsi
if*^^ sera le dernier des modules b dont il faut tenir compte.
La série des modules c, c**, c***, etc. comprend toujours tin terme
de plus : elle devra par conséquent être terminée au module ^. La
12 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
—^j . — ZT* ^* qu'ainsi le log
de bf* * est nécessaire pour composer la valeur de log c^.
Passé le terme c^, il n'y a pas lieu de considérer le suivant c^"^* ,
parce qu'on aura sans erreur sensible c/*"'"' = (î^)*> ^* qu'ainsi
la quantité — log — ne change pas en mettant ;i. + i à la place de/i.
Cela posé , il est facile de voir qu'on connaîtra les limites des
difTérens cas y en commençant par déterminer la valeur du module c
qui donne pour son complément log i = — ï ( lo )'"*^.
Le module supposé c étant extrêmement petit, on a d'une manière
suflisamment exacte b = i — j c* et log i =: — ^ "^^^ i ^^^^
c* = M(io)-*^ et ^=(io)-' v^M, ou
log c = 5.i8ii07&<r
Si on assimile c au sinus d^un arc , on trouvera que cet arc n'est
qu'une fraction de seconde et qu'on a c =sin o"o5i3.
Il faut maintenant partir de ce module très-petit pour former la
suite des modules croissans c, c^, c'^, c'", etc. ; c'est un calcul qu'on
pourra faire d'une manière suffisamment exacte pour notre objet ^
par une Table à sept décimales seulement.
On aura d'abord c' =5 \^ , ou simplement c'=2j/c, ce qur
donne log c' = G-SgiSSSg et c' = sin o' a' 40" 70.
Pour avoir c" je fais c' = tang*7fl, j'ai / tang^0=: 8.44^79^9 >
\ 6 = i*» 55' 55" 78, fl = 5' ii'5i"56; donc c"=sin S^ ii'5i"56 et
log £?"= 8.7464836.
Si on fait de nouveau c"=tang*^ 6', on aura /lang^ô'=9. 575341 8,
\ Ô' = i3^ 17' i8"84^ fl'=26*^34'37"68; donc c'"=;= sin 26^54' 57"68
et log c'" = 9 . 550698 1 . .
Soit enfin c"' = tang^j ô", on aura / tang 78 = 9.8255490 ,
i 6"= 55* 46' 40" i5, S"=67^55' 20" 5o; donc c'^=8in67» 55'ao"5o
et loge»' = 9. 9657898.
12. Il résulte des calculs précédens^ i"". que depuis c=8in67'' S5r
CONSTRUCTION DÈS TABLES ELLIPTIQUES. i5
)asqu a c=sin 26** 54', on devra se bornera calculer les quatre termes
b, b% b^, b^\ et les cinq c, c% c'% c-% &^' j
a**. Que depuis c = sin a6* 54' jusqu'à c =sîn 5* 1 1', on n'aura à
calculer que les trois termes *, *% ***% et les quatre c, c% c***, c*»***»;
5*. Que depuis c = sin 5** 1 1 ' jusqu'à c = sin o** 2' 4o"> îl suffira
de calculer les deux termes i, A% et les trois c, c% c**;
4^ Que depuis c = sin o"" 2i'4<>'' jusqu'à c=sino''o5i5, il suffira
de calculer le terme A, et les deux c , c**;
5"*. Enfin qu'au-dessous de c= sin o"o5i5 , on n'a besoin que du
seul terme c.
Tel est le nombre des termes de la série des modules et de celle
de leurs coraplémens , qu'il sera nécessaire de calculer dans les
diflférens cas, pour obtenir i4 décimales exactes dans les logarithmes
des fonctions F'c, E'c, F'&, E'£. Nous allons faire voir maintenant
comment les calculs de ces modules peuvent être effectués de la
manière la plus facile.
Formation de P échelle des modules»
i5. Connaissant les logarithmes de c et £, il s'agit de trouver
ceux des termes suîyans c"* et b"". Pour cela, soit c^'sâri l'équation
b^c = 2v/(ic*) donnera x = ^*i ^ (i — jc*) , et en faisant ;?= l 9
la valeur de x développée en série régulière sera
Mais il importe de calculer directement log x ^ or la valeur
^^i^i±^:)jZi donne
ap
d'où Ton tire en intégrant,
logar — jog;» p ^ ^.p ^ -^. ^ ^—^,- etc.
Ces logarithmes sont hyperboliques ; pour les changer en loga-
rithmes vulgaires, il faut multiplier les parties algébriques par m;
i
Î4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
<r'est pourquoi faisant
P = nip^ — \ mp^ -I- ^ mp^ — etc.,
6q aura log ^ ou
log c** = log p — P et log i' = — 7 P ;
ainsi on connaîtra à la fois log d^ et log &**.
La même formule servira à calculer les termes c** et i**, au
moyen des deux précédens <;% &% et ainsi de suite j jusqu'à ce qu'on
ait formé l'échelle entière des modules dans les limites déterminées
par lart. la.
Nous remarquerons qu'en supposant toujours qu'on veuille obtenir
i4 décimales exactes^ la valeur de P ne comprendra jamais plus de
trois termes; on trouvera même que le troisième ne devient nécessaire
que lorsque c est peu éloigné de la limite sin 4^''; dans les autres
cas , il suffira des deux premiers termes mp^ — \ mp^y et souvent du
seul premier terme mp^.
i4- Si la première valeur du module c est donnée sous la forme
c = sin6^ et qu'en même temps l'angle 8 , ainsi que sa moitié^
se trouve directement et sans interpolation dans les Tables^ alors
on aura immédiatement les quatre modules c y b ^ c% 5% par les
formules
c = sin6, i = côs9, c* = tang*iÔ, 1^=:^^^^.
On calculera ensuite les termes c''**, 4*" en les déduisant des termes
précédens c% £% par les formules de l'article précédent. C'est ainsi
qu'on a procédé dans les calculs qui ont servi à former la Table gé-
nérale des fonctions E'c?, F'c dont nous parlerons bientôt.
i5. Si la valeur de c est donnée en nombres rationnels assez
sin^ples y il pourra être facile de trouver les valeurs logarithmiques
de' î , c% b"" au moyen des formules
et pour cet effet on emploiera la Table connue qui donne jusqu'à
i5 ou 20 décimales^ les logarithmes des nombres de i à i i6i , ou
même de i à 1 200. Les calculs seront encore plus faciles si la valeur
de b est. donnée immédiatement en nombres simples.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i ^
Si on ne connaît que log c ^ dont le double sera log c^y on cher-
chera daès une TaUe ordinaire à sept décimales , un nombre qui
approché de c* jusqu'à la sixième ou la septième décimale ; on
transformera ensuite cette valeur en fraction continue y afin d'obtenir
une fraction o.rdinaire exprimée en nombres assez simples qui
approche beaucoup de là valeur de c\ Cela posé. ^ on appliquera la
formule suivante qui sert k trouver fadlement Jbg ( i* -rf* A ) ou
log (i -^ A) > lorsqu'on connaît log A :
log A = log a + r,
log(i=±=A)=xlôgCirta)=fc:pf^(, + i|l)j
et pour faciliter le calcul de cette fornîule , on fera
et on aura
log(i±A) = log(i±ûi) dbR.
Par le moyen de log c*, on connaîtra donc log (i — c*), ou alog^;
ensuite il faudra trouver log (i+^) > ^^ <J^i se fera par l'application
de la même méthode. Enfin connaissant log ( i +^) 9 on aura immé-
diatement les logarithmes de c"" et i% par les formules
*• = ^»^*
16. Si on ne veut pas pousser l'approximation au-delà de dix
décimales , le calcul des premiers modules se fera sans difficulté par
les Tables de Ylacq ou de Wega , en faisant les interpolations
nécessaires^ et ayant égard aux secondes différences. On peut à cet
effet suivre deux méthodes différentes.
i"*. Etant donné log c ou log sin ^ on cherchera l'angle 9 avec tout
le degré d'exactitude que la Table comporte y c'est-à-dire en calcu-
lant les fractions de seconde jusqu'à la cinquième décimale au
moins; 8 étant connu ^ on aura par les interpolations ordinaires,
leslogarilhmes des quantités i^ c% i%savoir: ^=:cos6^ c^=tang'iô,
c
Ces calcula pourraient être faits de la même manière , lorsqu'il
i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL-
s'agira de trouver c'* et b"^; mais ils deviendraient plus compliques,
et les interpolations moins exactes à raison de la petitesse du nouvel
angle €. Il sera donc préférable alors de se servir de la méthode
de l'art. i5.
^•. Pour éviter les interpolations assez péqibles qu'exige la mé-
thode précédente y on peut opérer comme il suit.
L'angle 6 auquel répond / sin 0, tombe toujours entre deux angles
de la Table ^ qui né diffèrent entr'eux que de lo". Soit a celui des
deux qui est multiple de W, et soit
/sinG = Isina + r;
on déduira de là ,
/ cos fl = / cos et — r tang* * M H ^ f
/tangifl = /tangua 4.^ (i+^Mrtang-ct).
Ainsi on connaîtra les logarithmes de b et de c"*; ensuite on aura
celui de i^ par la formule h"" = iilS-îi.
Si l'on fait / cos 9 = / cos ât — R , / tang 56=/ tang ^ a + S ,
le calcul des corrections R et S deviendra fort simple par le moyen
suivant. Soit / =: r tang*â& , on aura
log R = log /•' + r' + r,
logS = log^ + i/;
Au reste il n'est point à craindre que les erreurs se multiplient dans
ces calculs, puisqu'on suppose toujours 8 ou ât < 4^*.
Formules pour le calcul des quatre fonctions F*c,E*c,F*b,E*i.
17. Nous partons toujours de l'hypothèse que l'on veut avoir
le3 logarithmes de ces quatre fonctions, approchés jusqu'à la qua-
torzième décimale; d'ailleurs on peut toujours supposer c •< sin 45^.
Cela posé, nous commencerons par le cas qui exige les plus longs
calculs , celui où le module c est compris entre sin 45* et sin 26* 54';
filors l'échelle des modules doit être prolongée jusqu'aux termes
CONSTRUCiriON DES TABLES ELLIPTIQUES. 17
jMo ^ ^o»«o ^ inclusivement. Les autres cas seront susceptibles de
diverses simplifications à mesure que le module c deviendra plus
petit.
Les valeurs de F'<? y E'c se trouvent d abord immédiatement par
les formules
E'c = LF'c , L = ^ (i — i <f*tr— \ d'^o'^c'^).
Pour simplifier le calcul du coefficient L , j'observe que les deux
termes ï-c'V" (i +î c"") peuvent se réduire à un seul ; car on
a d'une manière suffisamment exacte » i + • o*^ = V^( i + f^ )
= v/(^^^?-)» ^'^^ ^^^^ c^'é, 2^^ = -^. Donc
"" >oo
V/A'
Ainsi faisant r=5 c*«c'*.^j — , on aura
Lorsque c est donné sous la forme sin j et que Tangle ainsi
que 4 6 9 se trouve immédiatement dans les Tables ^ on a plus
simplement
i- = cos^^9.
Tout se réduit donc a trouver log ( 1 — r) , ce que Ton fera par
la formula log (1 — r)= — mr — 5 wir* — j /w/^, dont il sufGra de
calculer trois termes au plus.
Le premier terme mr de cette valeur peut être calculé avec une
précision suffisante par des Tables à dix décimales; car il ne peut
avoir au plus que dix chiffres significatifs : et quand même il y
aurait une erreur d'une ou de deux unités sur le dixième chifTre
significatif, qui sera au rang delà quatorzième décimale , cette erreur
sera confondue avec celles dont les autres logarithmes sont suscep-
tibles ; car en poussant l'approximalioa jusqu'à la quatorzième déci-r
5
X
i8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
maie ^ on ne peut prétendre qu<9 la quatorzième décipaale sera
toujours exacte.
i8. Venons maintenant au calcul des fonctions complémentaire»
F'i, E'&. Les formules des art. 68 et 78 de la première Partie
donnent , après avoir échangé entr'elles les lettres b et c ^ et en
supposant /u = 4
E«4 = LT^b + ^,.
On voit d'abord qu'on a exactement K' = K, et qu'ainsi R' est déjà
connu ; ensuite pour changer les logarithmes compris dans ces for-
mules en logarithmes vulgaires ^ soit A s=: -^ log -é^} ce logarithme
tiré immédiatement de la série des knodules ^ sera un logarithme
vulgaire ^ et on en conclura
F'i = KM*.
Pour calculer E'£ , il faut connaître le coefficient U; or les formules
des articles cités , donnent ^ après les permutations convenables ^
: L' = o. - c» [v'c- + ^{^ + v/(2g:) + e.c.].
■ Mais on a 1 — i = cy/c*, i + i = -— • , c* — cb\/c^ = e^c^f
' donc
L' = cv^é-- cVibd'ir)- c s/(^^^^ - etc.
^ Celte suite est fort convergente , mais on peut lui donner une forme
plus commode; en effet on a les équations
y/^bd") == \ b^c^ d'où résultent v/(i^'c***) = J b^c\/(f%
etc. ctCr
donc
L' = c |/c* — ^ c*l^ /c"* — i c'c"'*** ^^^ — 4 c Vc«*^**>^ i/c**«' — etc.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 19
Pour rendre cette expression toat à Êtit rationnelle, on substituer*
les valeurs »^c* ace - (i+^O , V^ ^* "" ( "^"f^**) ^ c^^* J ^* ^^ obseiv
vant qu'on a i* = . ^ , i** = i^ ,^ , etc., il viendra enfin
L' = - (,4-c*») **-.ic*c* (i — t?*») _ic*cv(i-— {?•••) — elc.
ou
L' = 5^ c* + ^ c*c» + ^ €?Véî- 4. î^ ^•(^•©••c— 4- etc.
Comparant cette expression avec celle du coefficient L qui sert à
déterminer E'c^ on trouve exactement L^= i — L.
Ce résultat aurait pu se déduire directement de notre théorème
sur les fonctions complémentaires y savoir^
car en substituant dans cette équation les valeurs F*i? = ~K^
E*c t= LF'c , E'* =i LT'* + g, du trouvé imttiédiateâieul
L' = I — L ;
ainsi on a une nouvelle vérification du théorème dont il s'agit.
ig. Il suffit^ pour Tappro^imation que nous voulons obtenir ^ de
prendre
L'= ic*(i +i£?* + ^c'c** + ^c*c«'c*''*);
mais ces quatre termes seraient peu tK>mmodes pour le calcul loga-
rithmique , et on va voir qu^ils peuvent être réduits à deux.
En e£Fel soit j-=:.i +ïC*+^cV*-f-8 c*^**^", f observe d'abord
qu'où a I -f- £?*»*c=^î^ j donc i + ^^ c* (i -^-c**) = i + v/^*% et
La seconde partie de cette valeur se réduit à un seul terme ^ parce
qu'on a avec une exactitude suffisante y
. V/(i ^.:- ) = )/(-^) = ^( b"' »/*- ) i
il en résulte
1 „ i c**'
ao EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Mais on a
et celle valeur se réduit ultérieurement à -yr . -rr » donc si on
fait i+»/c-=C, on aura C* = ^.A"==K-.^„ et C=K^(^)'.
Gela posé ^ la valeur de jr devient
•/«oo 3
ce
Cl le second terme se réduit à ^'Tt^ (A*****)*; donc enfin on aura
Par ces transformations non*seuIement la valeur de L' est réduite a
deux termes ^ mais le second de ces termea reste toujours très-petit
par rapport au premier; j'observe d'ailleurs que le facteur (&**•• )*^
très-peu différent de Tunilé , peut être omis sans qu'il en résulte
une erreur d^ine unité décimale du quatorzième ordre sur le log>
de U y et encore moins sur celui de E'^.
ao. Cela posé> le calcul de E'i se fera par les formulea^
Nous avons fait voir d^ailleurs comment du log. connu de A on
déduit log (i -f-A) ; ces formules jointes à. celles que nous avons-
déjà trouvées, savoir.
F4 = KMA, i = -nslog:i
,^«3 h-
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ai
sont ce que lanalyse parait offrir de plus simple pour calculer
jusqu'à la quatorzième décimale, les logarithmes des quatre fonc-*
lions F'c^ E'i?, F'i, E'^, dans le premier cas de Tart. 12, c'est-à-
dire lorsque le module c est compris entre sin 4^'* et sin 2&* 34^
21. Ces formules se simplifieront encore lorsqu'on voudra obtenir
une moins grande approximation, ou lorsque c sera plus petit
que sin 26'' 54', parce qu'alors il y aura moins de termes à calculer
dans la série des modules.
Ainsi depuis c = sin 26'' 34' jusqu'à c = sin 3* 11', ou depuis
c = 0.447 jusqu'à c=:o.o558, on pourra faire i*** = i , et prendre
c"^"" pour le dernier terme de la suite des modules , ce qui donnera
Ces formules conviennent au second cas de l'art. la.
22. Le troisième cas à considérer est celui où c est compris entre
sîn 3* II' et sin a' 40", c'est-à-dire entre o,o558 et 0.000776. Alors^
on pourra faire 4'* = 1 , et prendre c*' pour le dernier terme de la
série des modules; on aura donc pour déterminer F'€? et E'cr, les»
formules
Dans la dernière^ le facteur 1 -— -j c'*c** qu'on peut représenter
par {b'^'^Yy ne peut produire au phis que deux unités dansr le qua-
torzième ordre de décimales ; car la limite supérieure de c est dé-
terminée par la condition que log &** n'est que d'une demi-unité de
cet ordre* Ainsi , peu après cette limite , on pourra négliger tout à
fait ce facteur , et faire E'c = r^ j. ce qui s'accorde atec la formula
du n"" 85 , première Partie ; mais elle est réduite ici à une expres-
sion encore plus simple.
Dans le même cas,, les fonctions Y'b y^'b se calculent par les^
éà ÉtÈftCÏCÉS DÉ CALCUL INTÉGRAL.
formulés
et on remarquera que le facteur i — ^ ne peut donner au plus
qu'une unité défeimale du onsiètne brdre : ainsi il devra être né-^
gligé si on se borne à dix décimale^; alors on aurait simplement
E'i = K C ^ "^ • ^"^* ^'^) > ^® V^^ 8*accorde avec les formules des
art. 79 et 8a ; mais cette nouvelle expression est encore la plus simple.
a3. Ces formules sont déjà réduites à un tel degré de simplicité,
qu'il serait presqu'inutile de faire mention des , deux derniers cas
de l'art. la; l'un où l'on peut faire A*=s t , K=s -ij, hz=:jl^
= /- + x/t; l'autre où l'on peut fiaiire A=i,K = i, A ==log -.
Il ne reste plus qu'à faire voir dans quelques exemples y l'appli--
cation des formules précédentes; nous commencerons par le cas où
il faut apporter le plus de précision dans les' calculs , mais qui offre
plusieurs moyens de vérification; et pour mieux juger de l'exaclitude
des. formules j nous ne négligerons les décimales qu'au*delà du
quinzième ordre.
Exemple I. c= sin 4^*.
24. On aura c* a= tang* aa" { = ( ^/a — 1 )' , 6" = a t/~> ce qui
donne d'abord les logarithmes suivâns ,
Cyb... 9.84943 5ooai 68010
tangaa*|... 9.6i7aa 43^46 ôatSy. . .i*. .. 9.99351 1809a 4aii5
c^ 9.a5444 86395 34274.
Pour trouver les termes suivans c** et i**, on calculeîra par la
méthode de l'art. i3 , d'abord ;?, ensuite les différens termes qui
composent P, et que nous désignerons ici par 1) , a) , 5).
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. a^
4 c« 8.93541 86356 60293
(iC)»... 7.86685 73675 2o586
hP 9.9955 1 1809a 4^115
p 7.87552 54580 78475
m.
1
•
2)
T
5)
• •
• •
• •
• *
• •
« •
• •
5.74665 09161 Bj
9^63778451 1 5 OOr
5.58445 52^74 57
5.74665 0916
0,17609 la Sg
1.30717 74
5.74665 09
0.54678 7
7T4006T5*
D*après les logarithmes trouvés des trois parties de la valeur de P y
le premier terme 1 ) se trouve par des Tables à dix décimales ,
0.00002 4^545 649^5; mais comme on pourrait craindre^ dan^
ce cas y que la quatorzième décimale oe f&t pas exacte ^ et encore
moins la quinzièiQe , voici le moyen 4'obftenir une plus grand»
précision.
* «
25. 11 s'agit de trouver le nombre A d'après son logarithme
5.38445 52274 57 ; je trouve dans les Tables qu'en faisant. ..*
a == 0.00002 4^5^ on a
log a s=z 5.58435 54i4i 87
logA == 5 > 5844 5 52274 57
r =?: 8 i8i35 ao
ce qui donne log A=Iog û-{-r| donc AssoeW**, A«^-a==:a(tf^-^i)i
\ ' D 4 ' lao 16 /
et enfin ^
Voici le calcul de cette formole :
r. 5.9128a ^o\G&
a 5.58455 54141
M o. 56221 56887
ï/-. 409067
ïV Mr». . . 6
A— -a... 1.65943 493^ A — <t = 0.00000 00045 649^
Ot. . 0.0000a 425
A 5=: O^0€K>O2 4^945 64929
ae^ (e* — e ' )
a4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL;
On voit que la formule pourra y dans des cas semblables , être
réduite aux deux premiers termes^ de sorte qu'on aura log(A — a)
= IÇaMr) + ir , et l'usage en sera extrêmement facile; d ailleurs
il suffit de calculer Ipg (A — a) avec sept décimales y pour en tirer
la valeur de A exacte jusqu'à la quinzième décimale.
26. Nous venons de trouver la valeur du premier terme i) de P ;
les termes 2) et 3) s'obtiennent sans difficulté par leurs logarithmes :
ainsi on en conclura
i)«.. o. 00002 4^343 64929
a) — ao aSSii
5) + aSa
P =: o.ooooa 4^325 36670 -^P.*.. o.ooooi 21162 68335
p.... 7.87332 54580 78473 *•• 9-99998 78837 5i665
€••... 7.87330 12255 4i8o3.
Connaissant c"*"* et &*% on se servira de la même méthode pour en
déduire c'*'''' et i*''^ ; mais la quantité P se réduisant à son premier
terme mp*, le calcul se simplifie beaucoup.
^c*'.... 7.57227 12298 7782a p^ 0.28910 9i5
(^^••)\.. 5.14454 24597 55644 m 9.63778 431
1:*-... I 2n6a 68335 p 9.93689 346
p 5. 1445^ 45760 23979
P...... . 84507 ^P.... 0.00000000004^254
^•^* 5.14455 45759 59472 A^-%.. 9.99999 99999 57746
Il ne reste plus qu'à calculer le terme (f**^y ce qui se fera simplement
par la formule o'*"'» = ( i c?*-)* ji^,.
ic••^.. 4.8435a 45802 75491
9.68704 91605 50982
- 4^354
c'**'.... 9.68704 91605 93236
27. Ayant formé ainsi l'échelle entière des modules, nous cal-
culerons
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. a5
Cillerons d'abord K et Y'Cy comme il suit :
1
....... o. i5o5i 49978 31990
b"" 9-9935i 18093 42ii3
*^-..--- 9-99998.78837 3i665
*"'•••• 9-99999 999 99 577^6
K* 0.14401 46907 635i4
K..... 0.07300 73453 81767
{"X.... 9.1 9611 98770 3 oi55
F'<?.... o.a68ia 7323^^ 11910
Pour calculer ensuite E'^, on commencera par former le logarithme
de r qu'il suffit ordinairement d'exprimer avec dix décimales^ mais
que pour pins de sûreté on peut porter jusqu'à douze ; ensuite on
en déduira les différens termes de log( i — r) que nous désignerons
à l'ordinaire par 1 ) > ^) > 5) ,
c** 8.46889 73686 485 r 6.o4ii7 16176 7a
ià^ 7.67337 13398 778 m 9.63778 45ii5 00
1 : !/*••. . • 30390 671 1) 5.67896 58a88 7a
!/*••• ■— âii 7 r. . . . . 5.74014 i5
r 6.o4ii7 16176 7a a) 1.41909 75
fr. 6.86608 o
5) 7.38417 7
La valeur du premier terme i) se trouve par les Tables à dix
décimales, 0.00004 77480 7077 ; pour la déterminer avec plus de
certitude^ et jusqu'à la quinzième décimale^ on fera usage du moyen
indiqué art. a5.
Soit a = 0.00004 776, on aura
log a = 5.67897 33769 30
log A = 5.67896 68388 73
r =5 1 76470 48 log A = log a — r.
r 6.a4430 4o64i log (a — A) = log (aMr) — {r
M 0.36331 66887 a — A = 0.00000 00019 ^9^33
a 6.67897 33769 a = o.oooo4 776
^r. ....... — 87735 A =s 0.00004 77480 70768
a — A.,.. 1.38538 43563 4
:jÇ lïXERCICES de calcul intégral.
On Toit combien la première détermination de A^ par les Tables à
dix décimales^ était approchée, et on en conclura que l'usage de ces
Tables sera toujours suffisant dans les cas ordinaires, lorsqu'on ne
veut pas obtenir plus de quatorze décimales..
Les deux autres termes 2) et 3) de la. valeur de log ( i — /*) > se
trouvent sans difficulté par leurs logarithmes, et on en déduit le
résultat suivant pour log E'c.
i),.. o.oooo4 77480 70768 F'^... 0.26812 72224 11910
26 24807 pi
K^
a). . .
5)...
• • •
192
9-86246 i5836 83782
o.i3o58 86060 96692'
4 77606. 96767
.oooo4 jj5q6 96767
E'c... o.i3o64 08663 99926
28. On peut vérifier la valeur trouvée pour E'c par l'équation
des fonctions complémentaires qui devient dans ce cas ^'^^=::2FE — ^F*,.
et d'où résulte E
1 +KF
aR
( I 4- A) , en faisant A = RF :
K.... 0.07200 75463 81767
F.... 0.26812 72224 11910
A.... 6.34oi3 46677 93667
D'après^ cette valeur de log A , on trouve aisément une fraction
exprimée en nombres peu considérables qui approche beaucoup
de A; cette fraction est =^ := a* Prenant son logarithme avec
quinze décimales , ainsi que celui de i + ^^ = -=-^ , et appliquant
la formule de l'art. i5^ on trouve ce qui suit :
871... 2 ,94001 81660 07663 1269.... 3«io346 1622094706
598. •. 2.69988 30720 73688 598.... 3.69988 50720 73688
i-^a... 0.60367 86600 21017
i) — 3636 65364
i+A... 0.60367 81964.46663
2K 0.37303 73410 46738
E'c o. i3o54 08653 99926
a o.54oi3 60829 53976
A . . , . 46677 93667
r = — 6i5i 4o3o8
log A = log a-^ r
CONSTRirCTIDN DES TABLES ELLIPTIQUES.
r 5.7119a 55533
i-f-£Z.... o.5o357 855oo
1^ 5.ao834 69833
a o. 54oi3 50829
ii^ — 808
(1).. . .... 3.5^848 19854
Où Toii que la valeur trouvée pour log E'c s'accorde jusqu'à la
quinzième décimale avec celle que nous avions déjà trouvée ^ ce
qui confirme pleinement tous ces calculs.
Il n'y a pas lieu de calculer dans cet exemple les valeurs des
fonctions F'é, E'^^ puisqu'elles sont les mêmes que celles de F'c
et E'c; mais si on exécute ces calculs par les méthodes indiquées^
on obtiendra deux nouvelles térifîoations de nos formules.
Exemple II. c = ^/a — i = tang \ n(.
29. Cet exemple est compris dans lé second cas de l'art. 12;
ainsi il ne faut prolonger l'échelle des modules que jusqu'aux termes
P"^ eld*'"'*', et d'abord nous supposerons qu'on connaît seulement
log 6* = 9*617:12 4^146 6ai4 y qui donne
log c* ^ i9'.ii3444 86293 d4i^.
De celte valeur il faut déduire log b ; pour cela on trouve d^abord
la valeur approchée c* s= o. 1 71573 ^ laquelle , par les fractions coiv
tinues ^ se transforme en ^ j soit donc c*=A et —Â =a^ on aura
816
I — a = -^. Or par fe Table a vingt décîmules , on trouve les
logarithmes de a et de i — a comme il suit :
169... 3.23788 67046 13673 816.... 3.91169 01587 5386i
985... 2.99343 623o4 97611 985 3.99343 625o4 97611
a 9.33445 04741 16063 I— «a... 9.91835 39283 5625
A 9.23444 86293 2428
r ;=s 18447 9178
28 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.'
Ensuite il &ut appliquer les formules de l'art. i5 , savoir :
logA = loga— r, /si^-L-,
log(i — A) = log(i — a)+R; l6gR = log(a/)-.ir';
en voici le calcul :
r 4.265g4 73549 i— a.... g.giSaS 59282 SGaS
I — a.... 9.91825 39283 !!••• 3820 6987
/ 4.34769 34266 1 — A.... 9.91825 43io3 261a
a 9.234<i!5 04741 b 9*95912 7i55i 63o6
— xr'.... — iii34
R.. 3.58214 27873
II est aisé de yérifîer celle valeur de log b ; car puisque c=(/2-— ^i-,
il en résulte b^=z2 y/a — 2 = 2c;
c 9.61722 43i46 6214 ;
a o.3oi02 99956 6398
i*.... 9.91825 43io3 261a '
b 9.95912 7i55i 63o6 -^
ce qui s'accorde parfaitement avec le résultat précédent.
Maintenant il faut avoir le log de i +by pour en déduire ceux
de C* et i*; or par la valeur approchée A = -g-, on trouvera les
logarillimes suivans qui répondent à la valeur exacte dé b.
i-f-i... 0.28107 423oi 9o5i5 2\/b... 0.28059 3573^ 456i
c....... 9.61722 43i4& 6214 ï-f-*---^ 0.28107 423oi 9o5i5
l/€?*... 9.3561 5 00844 71625 i* 9.99951 93450 54995
c* 8.67230016894525
Maintenant le calcul de c"** et b"^, et ensuite celui de c^*% se feront^
par la méthode ordinaire comme il suit :.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 3g
ê
«k.
J<?*.... 8.37137 0175a 7937
iic-y... 6,74354 o5465 5854
I:A^..• O.00048 06569 4 5oo5
p 6.74303 ioo35 03546
P 1539 93184
c^ 6.74303 08705 ii36
o.3oio3 99 956 6398
6.44199 08748 4738
3.88398 17496 9476
664 9609
p*.'.*.. 5.486o4 30070'
m 9.65778 45ii5
mp*. ... 5. ia58a 63i83
împ\,. -- 1995
P 3.1338a 61188
7 P.... 0.00000 00664 9609a
• 9-99999 99335 03908
*•
jc"
» «
toeo
* • . .
i
b
3.88398 18161 9085
3o. L^ëchelle des modules étant ainsi formée y on procédera a
l'ordinaire pour avoir K et F'c :
0.04087 38448 5694
h* 9 «999^^ 93430 54995
*"" 9-99999 99555 03908
0.04039 ^^^^5 958^
K 0*03019*60606 9792
j^ 0.1961 1 . 98770 5oi5^
F"€?.... o.3i63i 59377 3807
Pour avoir ensuite. E'c, il faut chercher log (1
valeur r =s î C'^c*** y/r^. Voici le calcul j
^v. ...... 7.34460 03379 ^^{^—^ = — R
log R = log mr'\-\mr
r) d'après 1»
le**» 6.44199 08748
i:\/b^... 166
r 3.78659 13393
m 9.63778 43ii3^
mr. 3.43437 55406
b^
log mr
f mr
3.43437 554o6
i329
logR = 3.43437 56735
R s=3 0.00000 03656 90384
9.96008 84690 63o7
F'c o.3i63i 59377 3807
( I — r) — 3656 9038
E'é? • r . . r . . . r o ..17640 4i4io 9086^
5o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
3i. Maintenant le calcul de Y'b doit être fait par la formule
T'b = KMh , où Ton a A rz= | log -^; voici ce calcul :
■
4 o.6oao5 gggiS 3796 h. 9*98441 91861 62678
if'\.. . a. 88598 18161 9085 M 0.36221 56886 99^6^
3A = 7.71807 81761 3711 K 0,02019 60 606 9792
h = 0.96475 97718 9214 F'^.... o. 36683 og355 6006
On peut vérifier celte valeur de log F*i, par la propriété des fbnc*-
tions V'b , "F'Cy démontrée art. 64 > laquelle^ en échangeant les
lettres i et c de cet article, donne F'i = [/^.V'c. En eflFet, si on
prend la différence des logarithmes des deux fonctions^ on trouve
que celle différence répond à ^ log a.
V'b o. 56685 09355 6006
F'c... o.ai63i 59377 2807
o.i5o5i 49978 5199 = { log 2.
Le résultat est donc exact jusque dans la dernière décimale.
Sa. U reste à trouver log E'b, et pour cela il Êiut calculer log A
par la formule A s= ^ c*R^F'i (i^')* ^i — ^^^); naais d'abord faisant
r = ^ ^ , nous chercherons log ( i — r) = — R , ce qui se fera par
réquation log R = log (mr) + j mr.
^c* 8.37127 01752 8 ic* 8.95341 86556 6o5o
i c**. • . . 6 .441 99 08748 5 R 0.02019 60606 979a
4.8i5a6""io48i 5 v/K 0.01009 8o3o3 4896
V/K 1009 8o5o5 5 V'b o. 56685 09555 6006
r 4.8o5i6 50178 v/A«* — 166 a4o2
m 9.65778 45ii5 9.55054 56^56 432a
mr 4.44094 73291 R — 37602 5] 85
i mr i58oi A 9.53o54 o8833 9137
logR = 4.44094 8709a ^
De celte valeur de log A, 11 faut déduire log ( i + A) ; c*est ce qu'on
obtiendra aisément au moyen de la valeur approchée a = ^^ qui
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^i
d'onne i + ^ = gx^- Voici le calcul d'où Ton tire ensuite log E'b.
iSy,... 3367a 06671 564o7 777.... 89042 10188 oogi4
640.-. • 80617 99769 83887 640 80617 99759 83887
m 9.33o54 06931 7262 i-f-a... o.o8434 io448 17037
A 88339137 i) 61171163
r = 3909 1886 i-f-A... o.o8424 10969 8819
log A ==log a ^ r K ^019 60606 979a
s. '
£'&. • » • o.^o64o4 5o35a 9027
r 3.46272 66169
i+fl. .. o.o8424 io448
/ 3.37848 46721
a. .... • 9.33o64 0693a
îr' 1196
]) 2*70902 52848
ExEMPLS III. £? = sia8y sin 29=: tang* i5\
33. Cet exemple se rapporte au troisième cas de Tart. 12; il a
été déjà traité dans l'art. 84 , première Partie ; mais nous allons le
résoudre plus exactement en calculant les quatre fonctions jusqu'à
quatorze décimales.
Dans ce cas on ne donne directement ni la valeur de Cj ni celle
de & ; il faut les déduire de Téquation sin 2â=:tang*i S^'ou 2&c=tang* 1 5"*.
Voici la méthode que nous choisirons pour cet objet.
De l'équation sin afl = tang'A, on tire cos*fl= llkESi^, SoU
donc A = a^ Ko 9 on aura cos* Ô= ^ ( i + A ) : connaissant par
cette équation cos ou i, on aura ensuite cpar l'équation c=: — ^~ — •
Voici le détail des calculs.
sin i5*... 9-4i299 62306 6934 v^(cos3o*). 9.96876 53i58 47926
cosiS*... 9.98494 37781 oa7o cos*i5... 9.96988 7656a o64o
tangiS*... 9.43806 a45a4 6664 A 9*99^87 77%6 4a5a5
ung*I5^.. 8.â56io 49o4g 53aa
\
■»
. »
5a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Une valeur approchée de A est a = =g~ ; elle servira à calculer
Jog ( I -f- A) , comme il suit :
587... 68771 09660 18911 775.,,. 88950 17026 o63io
388,.. 58883 17266 94207 588.... 58885 17266 94207
• , ■
a 9»99887 92394 fi47o4 i-f-a. .. o,5oo^6 99769 i2io5
A • . . . 7^96 42626 i) 7389 35761
r = 14797 82179 I + A. o.3oo4i;6 92379 76342
logA=:loga — r. 2 o.3oio2 99966 63981
r 4.17019 77928 b* 9-99943 92425 1236
i+fl... o.5oo46 9976 9 b , 9*99971 96211 6618
r' 5.86972 78169 2b 0.50074 96168 2016
a 9-99887 92594 tangM5% 8.86610 49049 5528'
i/'' — 5704 c 8.66636 62881 i5i2'
1) 4.86860 66849
Connaissant les logarithmes de ^ et & , on trouvera par la méthode
ordinaire ^ ceux de c% £*, puis celui de c'*% ce qui suffit dans le cas
présent pour compléter la série des modules. Voici le calcul.
^c.... 8.25452 62924 4914
(jcy... 6.60866 06848 9828 p* 5.01786 195
i:b... 28 05788 4582 m 9.65778 45i
p 6.60895 09657 4210 mp*.... 2.66664 624
P = 462 62874 I mp*. . . — 7
(f 6.50893 09184 89226 logP = 2.66664 617
o.5oi02 99966 65981 7P = 0.00000 00226 26457
i^.... 6.20790 09228 25245 *^ 9 • 99999 99773 73565
(ic°)»,. a.4i58o i8466 60490
I:i^.. 22626457
c**'.... 2.4i58o 18682 76927
54. L'échelle des modules étant terminée , on calculera comme il
Bini les quantités F'^ , E'c,
/
..oo
CONSTRUCTK)N DES TABLES ELLIPTIQUES. 55 .
j.... o.oooaS o3562 xySSa îr--** ^'^9^97 96989 3i46a
K.... o.oooi4 01781 08691 A 526 a6437
Itt... 0.19611 98770 5oi55 iogE'cï= 0.19697 973x5 4790
logF'£>= 0.19636 oo55i 38844
Venons maintenant au calcul de F'/^ , il &e fera par réqualion .
F'* = KMA, où Fon a A = ^ log ^
3og-^ = 8.i86a5 8ia5o 5io35 h..... o.3iioa 5443o 5o355
^= 3.04656 45307 6276 M.... 0.36331 56886 99465
K.... i4 01781 08691
log F'i = 0.67538 15098 585o9
log F<? = 0.19636 oo55i 38844
' M il , - ■
log 5 = 0.4771a ia547 19666
On voit qu^entre les logarithmes calculés de F'^ et F'r , la diffé*
Tence répond exactement au logarithme de 3 ^ ce qui s'accorde avee
3a propriété de ces fonctions.
On peut encore faire voir que la valeur trouvée pour F'c satisfait
exactement a l'équation F^c= ^ ^^^ ^ F' (sin45*), donnée art. 1 55^
première Partie.
*
F'(sîn45*). .7 o.a68ia 7aaa4 11910
:à G. 3oioa 99966 ~6398ji
iCos i5" ...... 9.98494 57781 0370
,o.554io 09961 78691
y2j. .... o. 36784 09410 39747
log F'c =r 0.19636 00661 38844
Taleitr qui s'aecorde parfaitement avec le résultat du calcul précédent*
Jl ne reste plus qu'à calculer le log^ deE'3 ; pour cela nous suivrons
la formule .de Tart. aa> .
5
S4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. .
1 cV
F'b 0.67538 15098 585i i(i— r) = — mr.
ic' 6.80968 o58o5 6aîi6
R. i4 01781 0869 i ^^ 6.20790. 09
|/R 7 00890 54346 jc"^ a. 11477 19
mr — 915 m 9.6377845
A 7.483a7 ai575 8289 1 : ^/K.. — 7 01
mr. 7.96038 70
Une Talear approchée de A est gix- = ^ 1 i 4- ^ = ggg^*
. 17.. a3o44 89313 7827 5604. '. 74849 81366 J374
5587.. 74717 86713 6017 5587... 74717 86713 6017
7.48337 03600 1810 i-f-^"*- o.ooi3i 94563 5557
A 316768389 R 578670
r= 19076 6479 i+A. .. o.ooi3i 94610 4037
R i4 01781 0869
r...». 4.38047 93976 logE^b s=s 0.00117 93839 3i5S
i-f-â... i5i 94555
r'... .. 4.37915 9843a
a 7 .48337 03600
à/...^ 9609
R....* 1.76343 io43i
Consiruciiofi et usage de la Table des Fondions complètes.
55. Au moyen des méthodes précédentes , on a calculé pour
toutes les valeurs de 6^ de dixième en dméme de degré , les loga-
rithmes des quatre fonctions ¥'Cy E*c, ¥'b, E'i, approchés jus-
qu'à la quatorzième décimale. On a continué ainsi Jusqu'à i5^;
depuis 15"* jusqu'à la limite 4^% on s'est borné à calculer ces loga«
rithmes de demi*degré en demi-degré ; on a ensuite interpolé les
termes trouvés , en insérant quatre moyens entre deux termes con-
sécutifs^ de sorte que la Table . s^est trotrvée construite dans son
entier pour tous les dixièmes de degré de l'angle du module. •
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 55
Qaoique les logarithmes calculés directement doivent être en
général eiacts y au moins jusqu'à la treizième décimale inclusiyer
iiient^ on 5'est contenté de marquer les différences comme si les
fon%.âbns F et E n'étaient calculées qu'avec la décimales. L'inter-.
polation de iS"" a 4^* a été faite dans le même principe.
Les formules dont on s'est servi pour cette interpolation , sont
aissez connues; cependant nous les rapporterons icr^ afin qu'on
puisse plus facilement vérifier nos calculs.
36. La Table ayant été calculée pour chaque demi-degré ,' de i5
à 45 degrés y supposons qi:fe pour une valeur déterminée ^z=ztty le
terme A représente log F' ou log £'^ avec ses différences succès^
sives y comme il suit :
cTA
cT^A cPA
J^A
Pour insérer quatre moyens entre deux termes consécutiÊ A y
A + J^A y qui répondent aux variables ot.y tt^ j y eia, prenant pour
unité des variables un demi-degré ^ je forme dizboràX^s différences
moffennes successives y ^voir y
lo ' 100 ' 1000 ^ lOOOO '.
désignant ensuite par dk. y d^K, d?K y d^k y les nouvelles différences
de A qui auront lieu lorsqu'il y aura quatre moyens insérés entre
A et A -4- ^k y on aura les valeurs suivantes de ces différences :
d^k = fl*%
d^k = (a'''— 4a'^) ^ M'%
^•A = a" — 4(a'''^4fl'-),
dk = û' — a'^— aCrf'A+rf'A),
Connaissant les différences dk y d^k y d^k y d^k , on formera santf
difficulté les quatre termes qui suivent A ^ et le cinquième qui devra
être le même que le terme connu A + J^k y et qui servira ainsi à
vérifier les calculs. Ces termes étant trouvés , on les terminera à
la douzième décimale, en rejetant les deux autres , et on les insé-
rera dans la Table formée de dixième en dixième de degré ; on y
joindra en même temps les différences premières , secondes ^ troi->
36 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL:
sîèmes et quatrièmes (s'il y a lieu) de ces nouveaux termes ^ lesquelles
doivent s'accorder suivant une lot convenante ^ avec les différence9
précédentes; et si quelqu'anomalie s'y faisait remarquer^ on en
conclurait que dans le calcul d'interpolation il s'est glissé une erreur
qu'il faut rectifier.
. Sy. Je remarquerai que lorsque les différences quatrièmes cT^A
sont assez grandes pour que les différences suivantes «T^A aient
quelqulnfluence dans les interpolations y il conviendra de prendre
«T^A — ^ «T^A au lieu de S^A. En effet, les termes A et A + ^TA
étant censés répondre aux indices a:=o, a:=i,sion calcule le
terme intermédiaire qui répond à l'indice x y la partie de ce terme
due aux différence^ J^^A y S^A , sera
d'où Ton voft qu'on peut tenir compte des cinquièmes différences,-
or— ^
en prenant «T^A H ^ J'^A au lieu de J^A. Mais comme cT^A est
censé très-petit par rapport à cT^A, si l'on donne à x une valeur
moyenne f y le terme ^T^ <f^A se réduira à — -2- J^A; ainsi' au
lieu de cT^A, on pourra prendre cT^A — — cT^A, ce qui sera suffi-
samment exact pour les valeurs de x qui répondent aux quatre
moyens , savoir , ^, f , |,|.
Ce moyen a été employé surtout pour les valeurs de F'c, depuis^
45'' jusqu'à 65**; passé 65** il a fallu tenir compte plus exacte-
ment des cinquièmes différences^^ ce qui a été pratiqué de la ma--
nière suivante.
58. On a fait d'aBord le calcul entier de nntèrpolairon , en ayant
égard seulement aux quatrièmes différences. Ensuite pour tenir
compte des cinquièmes différences , et jusqu'à un certain point
des sixièmes , on a ajouté des corrections* aux différens moyena^
insérés^ savoir^
ELLIPTIQUES
57
Au !•' moyen.., + a! (J^^A — ^ cT^A) , loga' = 8.4071529
Au 2* i + *" (cT^A — \ J^^A) , log a" = 8.4764a58
Au 5*.... +a'^'(cf«A — IcT'A), loga'^' =
= 8.358448a
Au 4*. . • - + a" (cT^A — I cT^A), loga»^ = 8.0516926
Dans ces expressions^ la quantité <'— | J^A esi la valeur moyenne
de H J'^A y laquelle s'obtient en faisant or = |. Quant aux
<;oefficiens a! , ei!', a'", a*', ce sont les valeurs de la quantité
ar.a? — i.jE?— a.iT— ,.r— 4^ lorsqu'on y fait successivement x = |^
1 •2.3.4-B
£34
5 ^ 5 > 5'
' 39. Pour donnef un exemple de ces interpolations ^ supposons
qu'il s'agit d'insérer quatre moyens eiâtre les deux valeurs de log F'
qui répondent aux angles 0= 57'' 5 et fi =58''o.
La Table des valeurs de logF'^ calculées de demi-degré en demi-
jdegré y donne les résultats suivans pour le cas de 6 = 57'' 5 :
ê.
Log F'
57® 5| o.3qo 640 398 695
DifF. I.
IL
39 775 335
III.
853 935
IV.
38 6G0
V.
vr.
a 39820a
2 541 i65 3r5
D'après ces données^ les différences moyennes jusqu'au quatrième
ordre , seront
ii'=5o8253oG5.oo,a"i=i5gi oi3.4o, a'"=685i,48,û''=6i.8656;
on en tire par les formules précédentes^
«
JA=:5o5 090 735.90, </*A=i564677.53,^A=:646o.29,rf*A=6i.87^
Au moyen de ces différences, on calculera les termes intermédiaires
comme il suit :
57,5 o.3qo G40 39 8 695.00
67.5' o.3ai 145 589 4^0.90
57.7 0.321 65a 044 824.13
57.8 0.32a i6o 271 364.08
57.5^ 0.322 670 075 565. 61
58rO 1 o^SoS i8i 4^4 oio.oS
505 090 735.90
5 06 655 4o3.a3
5o8 aa6 54o.85
609 804 aoo.63
5u 388 444.44
iPA.
i 564 677.356 460. a
1^ 571 137.6a
577 659.78
584 243.81
*A,
6 5aa.i
6 584.03
61.87
6i.8jr
\
t58 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Poar calculer ensuite la correction due aux cinquièmes et sixièmes
différences^ on aura cf*A — fcT^Ass 22465, ce qui donnera les
corrections à appliquer aux dernières figures des moyens insérés ^
comme il suit :
i**... 420.90 2\.. 824.15 5*..- 564.98 4\.. 565. 6i
Cor. H- 57.57 + 67.29 4- 5i.53 4-25.50
478.27 ^91*4^ 4^6. 5i Sg(x.gi
Les moyens ainsi corrigés sont y en supprimant les deux décimales^
tels qu'on les voit dans la Table générale construite pour chaque
dixième de degré.
40. Si on voulait allerplus loin et étendre la Table à tous les centièmes
de degré , ce qui en rendrait les différences plus petites et l'usage
beaucoup plus facile , il faudrait commencer par insérer un moyen
entre deux termes consécutifs de la Table actuelle. On aurait ainsi
une nouvelle Table calculée pour tous les demi-dixièmes de degré ;
il faudrait ensuite diviser chaque intervalle en cinq parties égales
par quatre moyens y ce qui se ferait par les formules que nous avon&
rapportées. Ces interpolations cependant ne pourraient être prati^
quées avec succès que jusqu'à 80 ou 85 degrés au plus ; elles pour*
raient être prolongées plus loin pour log E' que pour log F' qui
augmente rapidement vers la fin de la Table. Mais comme la Table
sera toujours de peu d'usage dans cette extrémiste, et qu'il est facile
d'y suppléer par le calcul direct , on pourra laisser subsister la
Table actuelle, calculée pour chaque dixième de degré, dans ^
petite partie qui ne se prêle pas facilement aux interpolations. L'in*
convénient que nous remarquons ici dans la Table des log. des
fonctions V'b , E^b , a lieu également , ou même à un plus bajat degré ,
dans la simple Table des logarithmes des nombres , vers le com-
mencement de celte Table , et jusqu'à une assez grande distance. Il
a lieu également , et par la même raison , dans la Table des loga-
rithmes-sinus , pour les petits arcs ; et dans celle des logarithmes-
tangentes, il se fait sentir tant pour les petits arcs que pour ceiix
qui diffèrent peu de 90''. Dans tous ces cas , les interpolations ne
peuvent être faites avec sûreté, et il faut recourir à des moyens par^
ticuliers pour y suppléer»
CONSTRUCTIOlï IffiS TABLES ELLIPTIQUES. Sg
..4i« Pour avoir le milieu entre deux termes consécutifs A^Ai
d'une suite dont les différences deviennent progressivement plus
petites qu'une quantité donnée , il est bon d^avoir recours aux termes
qui précèdent et qui suivent les deux termes proposés. Supposons
donc que la suite dont il s'iaglt soit représentée comme on voit ici ;
...A( — 5), A(— a), A( — i) , A^ Ai^ Aa, A5, etc.;
et soit le moyen cherché A (t) y on aura
^^-^J — """5 5 • § ^ "^ • Zl '
1.3.5 /«A(— 5)+^ A(~a) ,
eic
a. 4. 6* iflS
Cette formule suit une loi très-simple dont voici la démonstration^
Un terme quelconque A {x) peut en général être représenté par
A ( 1 + cT )*9 pourvu qu'après le développement de cette puissance ^
chaque terme AcT" soit remplacé par cT'A. Gela posé ^ on aura ,
suivant cette notation^
A-*-Ai=A+A(i4-/)=A(i+/)"^[(i-(-/)»4-(i+«rr'],
^A(-i)H-«r'A=A/*(i+«r)-'-HA«r'=A/'(i4.«r)" ^ [(i+J')'-K»-H')" h
J^*A(-aH-«r<A(-i)= A/<(H-«fr • [(i+Zf+Ci+cT)' •] >
elc.
Si donc réqnalion ^apposée a lieu , c'est-à-dire , si en général
A (^) est de la forme
Aa)=;'(A4-Ai) + /7'[/*A(-i) + /*A]*
-f.^"[xrU(-a)+JÎ*A(-03
+ etc.,
p y p'y p"y eic. étant des coefficiens constans ; il fiiudra . en substf*
tuant les valeurs précédentes j qu'on ait l'équation identique
• $oi* r+7 =î * ^ •î ^^^^ ^lè ve au quarré le premier membre d«
4o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
cette équation, il deviendra . / jT . 7 : = . ! ; donc on doit avoir
^(4 ^. ^) =p+p'z +;»V + f'z' 4- etc. (
or cette ëquatioa est satisfaite généraleipent au moyea des valeurs
suivantes »
Ces coefficiens donneront donc aussi la loi générale de Fexpres*
sîon de A(ï).
Au reste celle expression sera toujours si convergente, qu'il
sufBni de prendre les deux premiers termes^ ou tout au plus les
trois premiers.
43. Veut-on, par exemple, calculer la valeur de log F' qui.
répond à langle du module fi = 6i®o5 ? On prendra dans 1^ ^ÙA^
)es valeurs suivantes :
A = 0.539 295 o3o 747
Al == 0.559 869 Î46 462
s = 0.679 i54 177 209 j$ zsu 0.S59 577 088 604.5
/•A(— i) =2 I 8ai o5o *
cT'A =5 I 839 864
s'
'3 65o 694 ^ / =5 P-v 228 180.9
Milieu cherché A(i) = 0.559 576 860 425.6
45. Soit encore proposé pour exemple de trouver log F* pour
Tangle 6= 77^*25; on fera le calcul d'après les élémens pris dans
la Table ^ .comme il suit ;
A. p»;
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 41
A 0.464 973 191 06a. 55
Ai 0.466 078 604 931 «93
s = o.gSi
o5i
795 984.37
i* = o
/•A(— 1)...
«T'A
6 555 790
6 643 169
- s'...
i3 198 969
16* • • •
cT^AC— a) . . .
/♦A(— 1)...
I 894
1 957
s". . .
5 85i
• 5 « * • • •
0.465 5^5 897 992.13
824 934.94
+ 45. i5
Milieu cherché... A(^)=o.465 5^5 07S 100.32
44* Ayant expliqué la construction de la Table des fonctions
complètes y et les moyens de Tétendre jusqu'aux centièmes de degré,
ce qui serait un travail fort utile, sans être bien considérable , il nous
reste à montrer les usages de cette Table j c*est-à«dire à faire voir
comment^ pour une valeur donnée de Tangle 0, non comprbe dans
la Table^ on trouvera les logarithmes des fonctions F' et E% appro-
chés jusqu'à la douzième décimale; et réciproquement , comment
du logarithme donné d'une de ces fonctions^ on déduirait l'angle
du module 6, et le module lui-même c.
Et d'abord y si au lieu de donner Tangle 8 ^ on donne le module c
ou son complément b y\\ faudra en déduire l'angle correspondant
avec toute la précision nécessaire y pour que les quantités négligées
n'influent pas sur la douzième décimale de log F ou log E. Cetobj^ft
mérite un examen particulier.
Comme nous supposons toujours c<Cby il sera plus exact de
déterminer l'angle par le moyen de son sinus c que par le moyen
de son cosinus &; cela est vrai surtout si l'angle est d'un petit
nombre de degrés , parce qu'alors une petite erreur sur cos en
produit une assez grande sur 0. Ainsi en général si on donne
à la fois log c et log b yi\ faudra déterminer l'angle par le moyen
de log e.
Si l'on veut déterminer à dix décimales seulement les fonctions
F'^ E', en négligeant les deux de plqs que donne la Table ^ il suffira
6
43 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
de chercher l'angle 9 par les Tables de Vlacq ou de Wega , et eir
ayant égard aux secondes différences. Ce calcul n'a pas besoin
d'autre explication ; seulement après avoir trouvé l'angle en degrés^
minutes et secondes , il faudra tout réduire en dixièmes de degré ,
et parties décimales du dixième de degré ^ puisque le dixième de
degré doit servir d'unité dans les calculs d'interpolation.
45. Mais si on veut exprimer les logarithmes avec douze déci-
males^ comme sont ceux de notre Table ^ alors l'angle ne peut
plus se trouver avec une précision suffisante par des Tables à dix
décimales^ telles que celles de Vlacq ou de Wega.
Dans ce cas , il faudra employer les Tables de la Trigonometria
Britannica ^ qui sont calculées pour chaque centième de degré avec
quatorze décimales. Soit a l'angle de cette Table le plus approché
de l'angle cherché 6^ et soit
/ sin ô = / sin a -f" ^•
De là il faut tirer la valeur de d — a. Or en regardant et r comme*
seules variables, ou a J' =M tang fl ^ _ Jl. . * ^ M* sin #
cos^ ê
:ié r
5? = Z^é • dr = ^^* **"S ^ '• ^*»««"^ ««suite
dans ces coefficiens = a , on aura par la formule de Taylor
e = a + Mrlangari+l.J^H-l+^*J?.^+etc^
Et pour évaluer fl en degrés, soi* 6=« + Jc, et RMe nombre de
degrés compris dans le rayon , on aura
» \ '^ a cos»a^^ a. 3 cos^a^^^^^'J'
Cette formule se réduira le plus souvent à ses deux premiers
termes , et alors le calcul en sera très-facile. Quelquefois la diffé-
rence r sera assez grande pour qu'il faille tenir compte du troisième
terme; mais pour avoir besoin du quatrième, il faudrait que a
iut très-petit , et alors il y a un autre moyen de déduire Tare de
son sinus^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 45
46. U conviendra dans ce cas d employer la formule
log ô === log sin 6 + ^ sin* fl + i— sin^fl + ^ sin^^
ouj en convenant que les nombres renfermes en parenthèses sont
les logarithmes des coefficiens ^
log 9 = log sîn ô H- sin*fl [8.85963 30609]
+ sin^fl [8.43390 45o]
H- sin^fl [8.16525 46 ] + etc.,
et pour que soit exprimé en degrés , il faudra ajouter à ce lo-
garithme la constante K*" = 1.75812 263a4 9 <iui est le logarithme
j 180
de — •
Il faut maintenant montrer par quelques exemples ^ l'usage de
ces formules.
47. Exemple /. Etant donné le module c=:sind= v^2— -i,
dont le logarithme = 9.61722 4^1 4^ 6^i4> <>ti demande l'angle
correspondant exprimé en degrés et parties décimales de degré.
Par la Tngon. Briian.y on trouve l'angle approché «( = 24''47i
qui donne
/sin« = 9.61722 76571 2662
/sin = 45146 6214
r = — 55224 6448
Il faudra ensuite calculer les difierens termes de la valeur àe x ,
d'après la formule de l'art. 45- Voici ce calcul :
r. • • é^.S^i/fi 03467
M... o. 56221 56887
Mr. . . 4^88567 60554. 4.88567 60
R'..# 1. 75812 26524 cos*a... 9.91825 29
tangû... 9.65810 11701 4.96542 5i
a)... 6.29989 98379 2.., o.5oio3 00
4.664^9 3i
1)... 6.29989 98
a).,. 0.96429 29
44 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On voit par la pelitesse du second terme 2) de la valeur de x ^
qu'il est inutile d'avoir égard au troisième ; ainsi des deux premier»
on conclura la valeur de 6 comme il suit :
a.*. 2^^*4^000 00000 000
x) — 0.00019 g48oa 197
a) H- 9J}J^
6 ==: :24' 46980 06207 020
Cette valeur de 9 est plus exacte qu'il ne faut pour que Finterpa*
lalion de la Table donne douze de'cimales exactes.
On aurait trouvé la même valeur de 6 par la simple interpola-*
tion de la Trigon. Britan. , en ayant égard aux secondes différences*
48. Connaissant la valeur de 9 ^ si l'on veut avoir la valeur cor^
respondante de log F'^ on prendra dans notre Table les données
suivantes qui répondent à l'angle a = 24"* 4*
a
A
M.
^»A.
/^A.
^A.
34.4
o.ai6 igS 56i 343
i68 273 307
745 71 5
768
5
et on aura à calculer la formule suivante dans laquelle*. •• .
a; = 0.69800 52070 2 y
a
0.454
A (x) = A + x (cTA — i=^ (cT-A — ^ (/«A — ^J^^A.
Voici ce calcul où nous suivons la même notation que dans l'art. 8i ^
quatrième Partie.
^cl^A = a.g
J'^Ax = 768 —.3.9 = 765. 1 ,
iÇ^cT^Ar = 55a .0
3
tf^Ax — 745 585 ,
"" J*Ax =112 550.9
J'Ax = 168 159 756.1
xSAx = 117 576 585.4
A = o.ai6 198 56i 545
log F' = o.ai6 5i5 957 728.4
I — X
= o.i5o 997 4
CONSTRUCtiON DES TABLES ELLIPTIQUES. 4I
tësultat qui s'accorde pacfaitement avec celui que nous avons trouvé
ci-dessus y n*" 3o.
49. Ex. II. Etant donné log c ou log sin = 8.55535 52881 iSrs,
OQ demande Fangle exprimé en degrés et parties décimales de
degré.
On peut eûcore trouver cet angle d'une manière suffisamlnent
approchée par la Table de la Trig. Brit. ; on a d abord a = a* 06 ^
log sin a = 8.55565 10170 2887
log sin fl = 8.55555 5^881 i5i:i
r = — :a9 57289 1575
On fera ensuite le calcul de la formule de Fart. 45 ^ comme il suit :
«
r..,. 6.47089 57910
M... 0.36221 56887
Mr... 6.83S10 94797...... 6.853IO 94»
tanga 8.55593 17782 cos*a 9.99943 848
R*... 1. 75812 26324 ^. 6.83367 loo 7=i±~î^=o.334^
(i)... 7.14716 38903 o.5oio3 000 q,.... 9.52400 6
a.... 6.53264 100 a.». 6.53264 100 — ^... 6.83367 X
■■■ ■ ' ■ •
(2)... 3.67980 489 b.... . 6.35767 7
b . . . . 6 . 35767 7
(3)... 0.03748 2 a-f-(2)... 2^06000 04784 i5o
(i) — 140 33431 862
(3) — 1 090
6 ac= 2.05859 7i35i ig8
Diaprés ceUe valeur de 0^ nous chercherons par interpolation ta
valeur de log F' ; pour cela nous prendrons dans la Table les nombre»
suivans correspondans à 2"* o.
A = o.igô a5a 187 490'^4> ^^ =*= i3 563 730
/•A = 66a oa5, «T'A =a 54
J^A » a
46 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Cela posé il faat faire jr =:î: 0.58597 i55i2j et on aura
^=:îcf^A=i.2
4
cT^AjpssîSa.S, 2^=10.471 3, ^^^ J^'A-r = 34.9
/•Ax=:662 000. I^ =;= 0.207 Ol4-32,
9
1— X
cT'Aorss 187 045,5
SAx = i5 4^6 676.5
xd^Aa: = 7 867 547.77
A = 0.196 252 187 49<>«54
logF'c = 0.196 260 o55 i58.3i
Cette Taleur s'accorde dans les douze premières décimales avec
celle que nous avons trouvée directement , n"" 34* Delà on voit
que l'interpolation , même pour des angles assez petits , donne des
résultats suffisamment exacts.
En général y dès qu'on aura déterminé Fangle avec une précision
suffisante , soit par la formule de Part. 45 , soit par celle de l'art. 46 ^
l'interpolation de la Table des fonctions complètes ne souffrira de
difficulté que vers la fin de la Table y lorsque l'angle du module
est très-près de l'angle droit. On peut y suppléer alors par les for-
mules directes dont le calcul est d'autant plus {acûe que l'angle du
module est moins différent de l'angle droit. Mais si on veut résoudre
le cas dont il s'agit par des interpolations qui ne soient sujettes
à aucune difficulté > on y parviendra par le moyen que nous allons
exposer.
5o. Il s'agit en général de trouver les logarithmes des fonctions
"F^b y E^by lorsque b diffère peu de l'unité ou lorsque son complé-
tnent c est le sinus d'un angle d'un petit nombre de degrés. Dans
ce cas on trouvera aisément y par les interpolations y les fonctions
complémentaires FV, E*c, et c'est par le moyen de F'^ qu'il faut
déterminer F'i et £'&.
Potir cela j'observe d'abord que dans le cas dont nous nous oc-
cupons y on pourrait supposer b'^^ssi; mais nous nous oontenterons
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 47
de supposer &''''*' = 1 , afin que la solution s'applique à un plus grand
nombre de cas ; alors les formules générales donnent ( art. 21),
H faut donc chercher si Ton peut exprimer F'i par les seules données
by c, F*c, sans avoir recours aux auxiliaires 4% i*% c"^.
D abord K est connu par la valeur K = -7— Soit ensuite €î**=ar,
c''''=y , des équations 4K»=5'i°% ch'';=a{/(bc'') , c*i"* = 2^/(*«c*'*),
c"^ = 2 \/(b'^c'*'^) , on déduira
Cette dernière étant quarrée donne K^c*iaF;= i6J^; quarrant de
nouveau et substituant la valeur de i% on aura K^c^b^x* =r^».l-~ ;
donc ^* = —^ bx. Cette équation ne suflSt pas pour déterminer x
eij-} mais ou a d'ailleurs i*»" = (i — jr^y^ = — ^ . /- j de là on tire
Soit K*6 = a* , cette dernière équation donnera - = (-4- J 6** ;
mai» ,4 = (^y i~ = (j J *- = 04;)* (*••)' i do^°<^
a
Soit € = (tto) i et on aura enfin
'^^^ Kc = |log,-L = |M(logi)\
Ainsi on voit que dans le calcul de log F'^^ il n'entre que les>
48 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
quantités b y CyKy dont on a les logarithmes y de sorte qu'on évité
ainsi l'interpolation directe pour F'^^ laquelle est ramenée à l'inter-
polation de Y'c qui n'a point de difficulté.
5i. Pour juger de l'exactitude de cette formule, nous prendrons
c = sin iS'^j et nous donnerons à log K la valeur exacte jusqu'à
quatorze décimales , qu'on trouve par le calcul direct , et que
d'ailleurs la Table donne immédiatement. On aura donc les données
r... 9.41299 625o5 6934
b... 9.98494 37781 0270
K . . . o . 00749 54886 8247
Au moyen de ces données ^ le calcul de A=r g log -^ se fera comme
il suit :
4... o.6o2o5 99915 2796 \/b... 9.99347 18890 5i55
c. . • 9.41299 623o5 6954 K. . • 749 54886 8247
!.. 1.18906 57607 5862 «•••• 9-99996 75777 5382
^ ^ ^ A... 9.99998 56888 6691
log- = o.ooooi 65iii 5509=3=/?
c
R. .. 0,00749 54886 8247
^... i.i8i56 82720 7615 • log€==fM/;*
^••* 9-9999^ 56888 6691 p... 5.21248 4^5
A TTr"Tii^ 1 /?•... 0.42406 826
A... ,. 18.58 4583. 09.4 3Ï1... o.ts^^ 695
^- ' • 45946 iç ^ ^ 0.66224 53
h... i.i8i58 45827 4978
Cette valeur de h s'accorde ei^aclement avec celle que donnerait
i log _±.^ calculée par la méthode directe , jusqu'à la quatorzième
décimale. Ainsi en la substituant dans la formule F*b=:KMh^ on
aura de même une valeur de log ¥'b exacte , jusqu'à la quatorzième
décimale, et qui satisfera à Téquation F'^= \/5F'c, exprimant une
propriété particulière de ces fondions.
52. Si notre formule donne des résultats aussi exacts que la
méthode directe lorsque Tangle du module est de i5% à plus forte
raison
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 49
raison aura-t-*elle cet avantage lorsque l'angle du module sera
znoindre; en général le degré d'approximation avec lequel F'^ sera
déterminé , dépendra de celui avec lequel on connaît la quantité K ;
et comme K peut toujours, par l'interpolation des fonctions ¥'c ,
être déterminé jusqu'à la douzième décimale ^ il s'ensuit que h et
par conséquent /F'& sera déterminé avec la même exactitude.
Connaissant F*c , E"c par l'interpolation directe j F'i par le calcul
précédent 9 il restera à déterminer E'b^ce qu'on pourra toujours faire
par l'équation des complémens ^ = F"cE»* + F'4 E'c— F'iF'c.
Ainsi on a les moyens de suppléer à l'interpolation qui ne peut
se pratiquer que difficilement dans les dernières colonnes de la
Table*
Il est remarquable que la valeur h = log -^-g offre successive-
ment les différentes opérations à faire suivant les différens cas indi-
qués dans l'art. 12.
Ainsi dans le cinquième cas ^ si ^ est tellement petit qu'on puisse
négliger i — b ou log &^ on aura simplement h=i]og-; dans le
quatrième cas ^ où i — b"" seulement est négligeable ^ on aura
h = log -^ ; dans le troisième cas , oii l'on ne peut négliger que
I — b'*'*^ il faut un facteur de plus dans la valeur de h , et on a
h = log — ; enfin si on tombe dans le second cas , où i — ^^'^r
seulement peut être négligé^ il faudra encore ajouter le facteur Cj
et on aura h = log ^^^
53. U nous resterait à faire voir comment on peut trouver langle Q
qui répond à une valeur donnée d.e log F'<? bu de log E'^?; mais les
calculs de cette sorte étant entièrement semblables à ceux dont nous
avons donné le développement dans les art. 85 et suiv. de la qua-
trième Partie^ nous pensons qu'il est superflu d'entrer dans de nou^
veaux détails à ce sujet.
Nous ferons observer en finissant que .la Table des fonctions
complètes offre 90a valeurs de quarts di'ellipsès^ et un pareil
7
5o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
nombre de valeurs de la fonction analogae F% dont ^ao au moinf
ont été calculée» directement jusqu'à quatorze décimales , et lea
autres jusqu'à douce. Ces ti*anscendante8 sont donc maintenant
connues plus exactement que ne Tétait la circonférence du cercle
avant Ludolph van Ceulen.
§ IL Méthode générales pour former une Table des i^aleurs
de V intégrale U c= /ud^p.
54- Nous supposerons que u est une fonction donnée de la
variable (p ^ et que cette fonction est telle qu'en faisant varier ^ d'une
quantité constante a, les différences successives de la fonction u
diminuent continuellement et finissent par être entièrement négli-
geables. On peut toujours prendre (t assez petit pour que cette
supposition soit admissible , quelle que soit la fonction m ^pourvu
qu'elle reste toujours finie dans toute l'étendue des valeurs de ^ que
Ton considère; et la différence ol pourra être fixée dans chaque cas
particulier , suivant le degré d approximation avec lequel on veut
exprimer les fonctions U.
55. Nous désignerons par U , U'^ U'^, etc* les fonctions qui ré-
pondent aux variables croissantes ^^ ^4~^> ^+2^^ etc.; et
semblablement nous désignerons par U, U% U*% etc. les fonctions
qui répondent aux variables décroissantes ^, ^ *— a, ^•— aa, etc.
Cela posé , la Table qu'il s'agit de construire pour la fonction U et
ses différences successives^ pourra être représentée , dans l'une
quelconque de ses parties y comme il suit :
'Variable.
Fonction.
Diff. I.
II.
m.
IV.
•
•
•
•
•
•
TJooo
•
•
•
•
•
•
•
/v?û«>o
•
•
f — > flflt
u«»
/u-
^u«
/aijoo
l\^^
^ — «
u»
/U'
J..|JO
/^U*
/^U»
^
u
iM
/•u
/•'U
/♦u
f + «
U'
tv
/»U'
l'xy
^^U''
^ + fl*
u*
/U'
/"U*
/JU»
/^u^
f + 3*
u*
iV
/•«•
r^vr
/4U^"
•
.
m
•
*
»
■
•
m
.
•
«
•
•
•
•
•
m
•
•
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5i
La première colonne contient les valeurs de f , formant une pro**
gressîon arithmétique dont la différence est cl; la seconde colonne
est celle des valeurs correspondantes de la fonction U. On a placé
sur la même ligne que ^ et U > les difierences successives JU ^ ^U^
S'^U y etc.; et par cette disposition , chaque ligne sert à former la ligne
inférieure^ au moyen de la Ipi connue U'=U-|-<ri7, JU'=/U+J^*U,
cr*u'=cr'U+cr^u,eic.
u s'agit maintenant de faire voir comment ^ étant donnée la fonc^
tion Uy on peut calculer les différences successives qui servent à
former la Table des valeurs de U. Pour cela nous ferons usage d'un
algorithme qui a l'avantage de conduire rapidement aux résultats
que nous voulons exposer ^ et qui a surtout celui d'eo faire coo^
naître la loi de la maoière la plus simple et la plus générale. Cette
notation , au reste y qui ne s'applique qu'aux sommes et aux diffé-
rences y considérées dans leurs combinaisons linéaires seulement ,
est fondée sur les mêmes principes que celle qui a été indiquée par
Lagrange dans les Mémoires de Berlin^ ann. 177a > et qui a été
adoptée par d'autres auleurs.
56. On a immédiatement y par la formule de Taylor ,
U'
ddv
«PU
+ STS • 5^ + ®**^- »
et puisque les coefficiens de cette formule sont les mêmes que
ceux de VexponentieUe
c» = 1 ■+ a? 4- i «• -f- ^ jp* 4. etc. ,
il «'«naiiit qu'on p$ut mettre U' aous la ^me
U' = Uc-^,
pourvu qu'après avoir développé le second membre sijiivant les
puissances de eul , on convienne que chaque terme UA''à* sera rem-
place par a-. ^.
Dans .cette liypQlhèse , on aura successivement
U' = -|Je-^, V"=^V'e*^, U'"=U"c-'', etc.;
5a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
de là résultent les différences premières,
«TU = U(c-^— i),
crU'=U'(e-^— l),
etc.;
celles-ci donnent les différences secondes,
J^»U = «TU (e**— i) = U (e«»— i)',
etc.;
et en général on aura
Au moyen de cette formule, la différence finie d'un ordre quelconque
de la fonction U peut s'exprimer par les coefilciens différentiels de-
cette même fonction. En effet si on suppose
( e» — I )• = X' ( i H- A'x + A"jc* -h A'"«» + etc.),
on aura en même temps
57* Réciproquement on peut exprimer les coeflficiens différentiels
d^ • j^ I ^T y etc. d'une fonction U , pair le moyen des différences
finies de cette fonction^ prises en donnant à la variable Ç Taccroisse-*
ment constant a.
Pour cela je réduis Téquation symbolique JV =:U (c*^— u)
à la forme
j'en tire
«ui = log ( 1 -jr J^) •
et aJJd ou
«.g=:U106(l + /),
dç
Cette nouvelle équation suppose qu'après avoir développé^le second
membre suivant les puissances de «T ^ chaque terme U/" sera rem-
CONSTatlctlON DÉS TABLES ELLIPTIQUES. 55
placé par la différence J^XJ j on obtiendra ainsi
• ^ = cTU — i /'U^ i <f »U — i J'^U 4- etc.
C'est la formule connue qui sert à exprimer le coefficient différen-'
tièl d^une fonction par les différences successives de cette fonction^
Ainsi oL étant assez petit {four que la suite des différences JU , J^*U y
J^'U,etc. soit très-convergente, on déterminera le coefficient ^ avec
toute Texactitude qu'on peut désirer.
S%. Si dans l'équation symbolique «^- = 17 log ( i + «T ) , o»
met ^ à la place de U, on aura
d'où résulte
On aurait de même a' ^ =: U /^ ( i + cT ) , et en génér9l>
de sorte qu'un coefficient différentiel quelconque -r^ peuts*exprîmetr
facilement par les différences finies de la fonction U , en supposant
connu le développement de /" ( i -f- x ) , qui désigne la puissance »
de /(i H- or).
En effet si l'on a /*( i + x ) ou
on pourra en conclure
. ^-^?= cf-ir— N' J^+'U +N"J^-^*U — etc.
59. Supposons maintenant qu'on ait U = fud^ ou -j— = u , la^
valeur de olu exprimée par les différences successives ^U , cT'^U y
J'^U , etc. , sera
au=: SU -^i J^'V + i <^'U — etc.
54 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Dans le cas où Vo^ veut consimire une Table des Taleurs de V ,
la quantité u est connue pour chaque valeur de ^^ et en faisant
varier <p de a , on connahra les différences successives de u.
D après ces différences ^ il sera possible de déterminer en général
la valeur de J^U.
En effet, soit au=:p et ^^^^^^ ou
: L = i+^far + A^jr^ + ^'x^+etc,
1 — ix + jx* — etc.
réquation précédente donnera
cTU = ;? + A'J> + kf'J^'p -f- A'VV + etc.
Ainsi J^U se déduit des quantités données p ^ J'p ^ i'^p y etc., par
une suite dont la loi est connue.
Celte même suite donnerait les différences ultérieures cT'U ^
J^^U, elc. par les formules
cT'U == cP;i -+. ki'y 4- A'^J'V 4- etc. ,
J^3U — J^.^ ^ ïc^^sp ^ etc.
Maïs ces suites, pow: déterminer JtT, cT'U, cT'U, etc., peuvent
être rendues plus convergentes par un moyen très*simple.
6o. Soit if ce que devient la fonction u, lorsqu'au lieu de ^ on
met «r + T ^9 on aura suivant la notation précédente,
pourvu qu'après avoir fait le développement du second membre
suivant les puissances de J^^ on remplace chaque terme i^^par ^^
De là résulte «t^ = «m ( i-j^J")*, et parce que cm =U '(i+J^),
on aura
Mais en effectuant le développement jusqu'aux a?% on a
(i+xyi{i+x) =jc—-.x' + -^ x4 _ .II. ^5 ^ 3l a:« _ etc. ;
donc
<tf; = <fU— L cf3U + ~ J^^U — -^ J^^U + ^cr«tJ — etc.
a4 34 1920 ' gGo
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTkJûES. 55^
Conservons le premier terme cTU de ce développement , mai»
substituons dans les termes suivans la valeur U = U"" + cru% nous
aurons
ai.=i JtJ — ^J^U'H-^ cT^U- — J- c^^-+ etc.
sk4 040 640 '
Dans cette suite, conservons les deux premiers termes J^U— -^ J^'U^y
et substituons dans les suivans U*''-f" <fU** à la place deU% nous
aurons de nouveau
«i; ^ cTU — -^cr»U' + 4- ePU-— etc.
Cette suife prend ainsi une forme très-convergente , mais il reste
à s'assurer de la loi que paraissent indiquer les premiers termes ,
et à déterminer d'une manière générale celle de leurs coefficiens.
11 faut donc faire voir qu'au moyen des coefiiciens /i', n!\ nf^^ eic.
dont la loi sera déterminée , on aura généralement
au=SV— n'S'V^ + nV^U- — /i"'cf ^- + elc.
6i. Reprenons pour ceteffeiréquatîon symbolique a^ = U/(i+J^}
ou ru« = U / (i + J^) , on en tire
Mais d'un autre cô^té on a
IT»_ ^ TT»o " TT.M ^ ~t~. .
donc
fv/3
JV5TTM ;î^£:
«le.
De là on voit que la saile JV — n'iT'U" + nPS'^*' — • etc. est
I
56 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
représentée par
«u/ f Mui^ , ^f mu^ fff Mii^ , ^-
/(l+-^; (i+^)/0-K)^ •(t+^)^/(t-K) (i+^)^'(i+^)
Si donc on veut que cette suite soit équivalente à ap qui est repré-
sente par au ( i +^)^9 il faudra qu'on ait l'équation identique
(1+/)* (1+^)* (1+^)» (i+iTf
Soit K = z*, le second membre devient z — nV -+- «V — elc. ,
et le premier se réduit à aZ [ ^ a + v/(i + ^ 2* )]. Or on sait que
1 r- • /r 1 N-i • Z' ^^ 1 x^ . 1.3 x^ 1.3.5 a:^ , ^
^ *- ' •^ J |/(i+xa:) a 3 a. 4 5 2.4.0 7
et qu'ainsi la quantité 2 log [î«+l/(i + ?^*)] se développe en
cette suite , ^
^ a • 3.2* "•" 2.4 • 5.2* ~ 2.4.6 * ^ **" ^•^- '
donc l'équation supposée a effectivement lieu en donnant aux coefii-
eiens n'y ri\ /*'", etc. les valeurs
„A 1 1 „fA 1-5 1 ,„ 1.3.5 1
2 3.2»' 2.4 5.2*^ 2.4.6 7.2®''
donc on a en général^
,,TT 1 ^^U , 1.3 ^U<« 1.3.5 l^7U*»«»/,
2 3.2* ' 2.4 5.2* 2.4.6 7.2* ^^ '' >
série qui procède suivant une loi évidente, et dans laquelle chaque
coefficient est moindre que le quart du précédent.
63. Si on fait ap = P , et qu'on désigne par P% P*% elc. ce que
devient la fonction P lorsqu'au lieu de (p on met (p — a, (p — iiety etc.^
on déduira de l'équation précédente une valeur de ^U de la forme
cTU = P + /w'cT'P* + m V^P** + /w' VP*-»^ + etc. ,
et les coefficiens m'y ni*, m!" y etc. se déduiront des coefficiens »', /»",
n'"y etc., au moyen du développement de la fraction
-; , .,^ — » . . . ;= I + nJx 4- /7/'j:' 4- /w'"^' ^ ç^c. :
de
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Sj
de sorte qu'on aura
0760'
967680
etc.
Ainsi la valeur de ^U s'exprime par la fonclion P ^ au moyen de
l'ëquation générale
/U = P + ± J^'P- - gi^ J^^P- + ^^ /«P- _ etc. ,
laquelle pourrait être continuée ^ suivant la même loi , aussi loin
qu'on voudra.
63. L'équation par laquelle la fonction at/ se déduit de U, peut
être représentée ainsi ^
pourvu qu^après avoir développé le second membre suivant les
puissances de J^, on change U<f, UJ^% UcT^etc, respectivement^
en /U, cr^U%cf*U- etc.
Au moyen de cette équation y on en peut former d'autres non
moins remarquables*
Désignons par U (^+t a ) ce que devient la fonction U ou U(^) ,
lorsqu'au lieu de ^ on met ^+ï*; alors on aura p == — ^^ "^^ ^LJ ^
et l'équation précédente donne
I
Dans celle-ci mettons encore ^ + t ^ au lieu de ^, nous aurons
différentiant de part et d'autre par rapport à ^ ^ et observant que
U (f -{- a) n'est autre chose que U'^ on aura
d
S8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
ou en substituant dans le second membre la valeur de — • j »
a-^' = 4U l' [4 J^+ v/(i +i «T-)].
Mettant dans celle-cî ^ — * et au lieu de f , on a enfin
Supposons donc quon ait 4'* [^ J^-f» V^( ^ +i J^*)]> <^*
V â • 3. a» **" a.4 ' B.a* "" a. 4.6 * y.aO
= cf* — N'cT^ + N"cf • — N'"cr* + etc. ;
et la Traie valeur de a* ;£ > déduite de notre équation symBo--^
iique^ sera
64* Réciproquement on tirera de celte équation la valeur de
<r*U* exprimée au moyen de la fonction donnée cl* -j- que nou»
désignerons par Q; cette valeur sera de la forint
<f ^U* :^ Q 4- M'cTHJ^ + M V<Q- 4- M'"/«Q-'^ 4- etc. ,
dans laquelle les coefficiens M', M'\ M^'', etc. se déduisent des eoeflS^
eiens N'^ N", N'^^ etc. y au moyen de Féquation
On voit aussi que ces mêmes coefficiens pourraient se former par
le quarré de la suite déjà connue , au moyen de Téquation
( I + m'a: + m''x* -f- w"V4- «le.)^ = 1 -+• M'a: + M V+M' V+ «le.
On aura de cette manière ,
M':^-, M" = — 4-f M"^^^, etc.!
ce qui donne enfin,
<r-U- ;= Q + ^ /^ ^ 5»-^ ^Q.. + g^ /«Q... - etc.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^9
65. L'analyse précédente nous a conduits k deux formules très-
remarquables ; Tune pour calculer la valeur de «TU par le moyen
de la <{uantitë connue Ps=£«t^9 où p est ce que devient Uy en
mettant ^ 4* 7 « au lieu de 9 ; l'autre pour calculer la valeur de
J^'U"* par le moyen de la quantité connue (^=:a^ j-.
La première formule est
«ru=p+^/-P'-5-^ «r^p- H- ^. /*?•-- etc.,
et la loi générale de ses coefficiens est la même que celle de la
suite
qui vient du développement de la fonction
T =
"*" 1 X _, 1 .^ JC* 1.5.5 xr^ '
la seconde formule est
et la loi générale de ses coefficiens est la même que celle de la suite
, + ±a:_-4-x'4-ff%-x»-etc.,
• ' 13 a4o • 60480 ^
qui est le quarré de la suite précédente 1 •+• "7 ^ — g^g" ^^ + ^^^'f
ou qui vient du développement de la fonction T*.
66. Les deux formules dont nous venons de parler fournissent
deux méthodes différentes pour construire une Table des valeurs
de rintégrale U == fitdp y correspondantes aux valeurs de f ^ for-
mant la progression Oy Ay ^a ^ 5^^ etc.
Suivant la première formule , il faut calculer les valeurs succès-
cives de la fonction donnée P = et(^ , (^ étant ce que devient u lors*
qu'au lieu de ^ on met ^+~ «• Par celte substitution, P est toujours
regardé comme une fonction donnée de f ^ qu'il faudra calculer
pour chaque valeur de ^ comprise dans la Table. Ainsi pour les
6o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
valeurs successives ^y^+^y^-h^^» etc., on aura les Vfi^Ieurs
correspondantes P, P'^ P'', etc.^ et ces valeurs étant portées dans
la Table y chacune sur la même ligne horizontale que la valeur de ^
à laquelle elle correspond , on en déduira leurs différences pre-
mières, secondes , troisièmes et quatrièmes, dont on fera autant de
colonnes séparées , comme on le voit dans le tableau suivant :
poo
jvp..
j\.p..
j^sp..
p.
<rp'
jv.p.
/'P
p
«TP
<r'P
/»P
P'
«TF
cT'P'
jvsp/
P"
«TP"
/•P"
pw
JVpW
P"
;
1
«r*p*
<p — a*
^ ^ et
(p -^ CL
^ + 5a
Ç + 4*
Chaque colonne se forme de la précédente par soustraction,, efe
renferme un terme de moins , de sorte qu'il faut que la colonne
des P ail été prolongée jusqu'aux P*% pour que la difiërence J^^P
puisse être connue et placée sur la ligne des ^ et P.
Lorsqu'on aura formé pour chaque valeur de la variable ^, les
quantités P^ cTP , cf *P , J^P, cT^P , on en conclura pour la même
variable ^, la valeur de la différence cTU^ laquelle sera
J'^P^ + etc.*
67. Il faudra faire attention aux indices qui affectent les différent
termes de cette formule, et en vertu desquels le cT'P** doit être pris
dans la ligne immédiatement au-dessus de celle où est P^ le J^P'**
une ligne encore au-dessus, et ainsi de suite.
En général l'intervalle a doit être pris assez petit pour que Ta
suite précédente soit très-convergente et qu^on n'ait besoin que de
ses deux premiers termes P + -— cT'P* : le troisième — r— «T^P^'
servira seulement à diriger l'approximation pour savoir précisément
sur combien de décimales on doit compter , et il faudra par con-
séquent que ce terme soit moindre qu'une demi-unité du dernier
ordre de décimales auquel on veut s'arrêter dans la valeur de J'U.
Il pourra arriver cependant que dans quelques parties de la Table
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 6i
qu'on veat construire , le terme dont il s'agit soit d'une ou de plusieurs
unités décimales du dernier ordre; alors il faudra en tenir compte ,
et juger de ce qu'on néglige pât le terme suivant de la série qui
est •f. — r"^-TS J^^'***^ ce qui obligerait de prolonger la colonne des
différences jusqu'au sixième rang.
68. Ayant fixé d'avance le nombre des décimales avec lequel on
veut exprimer les différences J^U, on calculera -^ cT^P* en se bornant
au nombre de décimales fixé y et négligeant le reste de la division
par 24 ; mais pour plus d'exactitude^ il sera bon de prendre toujours
l'entier le plus approché du quotient^ et de tenir compte du reste
dans l'opération suivante. Supposons ^ par exemple , que «T'P'' divisé
par 2^, donne le quotient ^ et le reste r; alors dans l'opération sui-
vaîite , pour former J^U', on divisera cf*P-f-rpar 24, ce qui donnera
le quotient q^ et le reste r^,.ei ainsi de suite. Cette manière d'opérer,
dont nous avons fait l'épreuve y donne des résultats plus exacts et
empécbe les erreurs de se multiplier.
69. Cette première méthode suppose que la quantité P est calculée
pour chaque valeur de ^ , avec une grande précision y et même avec
une ou deux décimales de plus qu'on n'en veut avoir dans la valeur
de U ; or la quantité P y peu différente de la différence première cTU,
est souvent d'une grandeur telle qu'il faudrait la calculer par des
Tables de logarithmes à dix décimales y ce qui rendrait les opérations
fort longues. Si l'on se propose y par exemple y de calculer les fonc-
tions elliptiques E et F avec dix décimales, et pour des amfplitudes
croissantes de demi-degré en demi-degré y les différences cTF , cTE
devront être calculées avec douze décimales y et elles contiendront
le plus souvent dix chiffres significatifs y ce qui exigera Temploi de
logarithmes qui aient au moins dix décimales.
70. On pourra ordinairement obtenir des résultats' aussi exacts et
avec moins de peine y par le moyen de la fonction Q =: et* -7^ qui
sert à déterminer les différences secondes J^^U. C'est l'objet de I»
seconde méthode que nous avons à exposerr
€a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Il fiiudrâ aloK ùirt «sage de ta formule
J"U- :^ Q + ^ /-Q» - ^ «T^Q" 4- g^ J^'Q"' - etc.,
et on prendra a afisM petit pour que la suite se réduise sensible^
ment aux deux premiers termes^ ce qui aura lieu si le troisième
^y J^^°* est partout moindre qu'une demi-unité du dernier ordre
de décimales auquel on s arrête dans le calcul des quantités J^'U.
On Toit qu'en attribuant une valeur déterminée à f* ^ et prenant la
quantité Q sur la même ligne , il faudra prendre J^^Q^ sur la ligne
6upérieure pour former la somme Q-i — - ^*Q^ ; celle somme re-
présentant cT^U", devra être portée également sur la ligne supérieure
qui répond à la variable ^ -^ a.
La colonne des J^^U étant ainsi formée , il restera à avoir la valeur
de cTU correspondante à (p = o , et c'est ce qu'on obtiendra immé-
diatement par la première formule. Au moyen de cette valeur et
de la colonne des différences secondes ^ on formera la colonne des
différences premières SU y «t de celle*ci on condura de même par
addition , les valeurs successives de U.
71. Cette seconde méthode sera en général d'une pratique plus
facile que la première , parce que la fonction Q est beaucoup
plus petite que P et n'a pas besoin d'être déterminée avec un
aussi grand nombre de chiffres signiRcatifs , ce qui permettra
d'employer pour ces calculs des Tables de logarithmes moins
étendues.
Cependant comme les erreurs des différences secondes s'accu-*
mulent suivant la progression des nombres triangulaires ^ dans les
résultats qu'on en déduit pour les fonctions principales , il Ciudra
en général exprimer les quantités Q avec une décimale de plus que
les quantités P ; il faudra aussi y dans le cours de l'opération, cal-
culer directement à des intervalles déterminés , la différence pre-
mière cTU, afin de vérifier et de pouvoir corriger les résultats
produits par les différences secondes.
Nous donnerons ci-après quelques autres préceptes pour tirer de
CONSTRUCTION DES TABLES EtLiPTIQUES. 63:
CM métbodas 1^ plw grand degra d'approximation qu'aUaa pevvaQÏ
offrir. Nous n'ajouterOQS ici qua U tableau de ropé^atioa qu'il fa^l
«xeculer pour ajouter uo terme à la coloona dea U^
7^. Voici y dans la première nélliûde , le tableau HgBté de T^tal
où le calcal est resté » après avoir trott^é la valeur de b fôocûon II
qui répond à la variable ^.
Variable.
FonctioB. Diif. 1, 1
Auxiliaire.
Diff. I.
II.
4> — 5*
u—
U"
u«
«TU"**
/U"
JU»
J*U'
P<m4
P-
P*
P
J\po,
«TP»
^.pM.
, «r»p-
Ç — et
j'P»
u
«TP'
U'
Mp
t>ans ce dernier état^ leseolonnea sont ternoinées^ comtne kaWres^
rindiquent , par les termes <)> , U , J U% P, cTP^, J •?••. Pour aller
plus loin^ il faut calculer l'auxiliaire P' ou as^' qui répond à la va-
riable ^+CL\ connaissant P^^ on formera dans les colonnes suivante»
les termes <^P, <r*P^; d'où Ton tirera crU=ï=P+ -^ <r*P% et ensuite
U'=U+ i'IJ y ce qui ajoutera un terme à toutes les colonnes.;
75. Nous avoua sui^Qaé qua fe troisième teriM — f^ /^P**' est
négligeable dans la v^eur da /U ; s'il fallait en tenir compte y b
colonne des P et les colonnes suivantes devraient être avancées à'\xn
terme de plus, pour qu*on pût connattrela différence J^*P^*qui entrer
dans la valeur de /U''. Voici donc quel serait alors le dernier état du
calcul y après avoir déterminé J^U'' et U.
Yariable.
Fonction,
Diff. J. Auxiliaire.
Diff.I.
n.
III.
IV.
^ — 5«
U*'*
U»*
/u-
/u*
<ru
po4*
p»e
P*
P
P'
j>po««
J'P-
J^P»
/P
jv.p...
«r*p«
/>p—
J\3p.,
/<P^
^ — a«
^^^'
<p — * j U*
J»P«
«
<P
u
j»p
»
1
q> + »
U'
>
J^P'
1
f 4- a*
P"
•
64 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Pour ajouter un terme au-dessous des barres qui marquent le der-
nier état des choses j il faut commencer par calculer l'auxiliaire
P'' = tttf'^ qui répond à la variable ^ + aa ; connaissant P", on for-
mera les différences cTP', cT^P , cT^P*, iT^P''', au moyen desquelles on
connaîtra ^Uz=P + ±. /-p»— JLZ. jN^p- et ensuite U'=U+crU.
24 0760 ' '
74. La marche de l'opération est à peu près semblable dans la
seconde méthode. Supposons d'abord qu'on s'est assuré que les
<r^Q sont négligeables et qu'ainsi on a ^ avec une exactitude suffi--
santé , J^^U** = Q + — J^*Q** ; on pourra représenter comme il suit
l'état des choses y lorsque le calcul a été conduit jusqu'au terme J'^'V^
qui fait connaître cTU'' et ensuite U.
Variable.
Fonction.
Diff. I.
n.
Auxiliaire.
DifF.I.
II.
!p 2X
f — a
TJooo
U*
u
«ru»*
«ru»
r^ooo
Q..
Q"
Q
J\.Qoo,
cf»Q»*
<P
JU
J^q
Ç + a
U'
Q'
Pour aller plus loin y il faut calculer l'auxiliaire Q' égale à ce que
devient la fonction et' -r- en y substituant ^ + a au lieu de 9 ; con-
paissant Q', on connaîtra cTQ, cT'Q* et «T'U*; enfin au moyen de
cr*U% on connaîtra cf U et U', ce qui ajoutera un nouveau terme a
toutes les colonnes.
75. S'il fallait avoir égard aux quatrièmes différences , on ajoute-
rait un terme de plus à la colonne des quantités Q et aux colonnes
suivantes. Voici alors quel serait le dernier état des choses ^ lors-
qu'on est parvenu à déterminer U au moyen de la valeur
Variable,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 65
Variable.
Fonction.
DifF. I.
n.
Auxiliaire.
Diff. 1.
II.
III.
IV.
^ — Set
Uo»o
JsiJooo
^^J]o.o
/^ooo
J\Q..,
J\.Q...
J^SQ...
^■•Q'»*
(p ^^ :ia
U«o
cTU-
Jv.U-»
Q.O
/Q"
JV.Qo.
«rsQ"
^ — a
u«
<ru*
Q-
/Q-
J^»Q«
^
u
q;
J^Q
^ -f. a
Q'
Pour aller plus loin y on calculera Tauxiliaire Q" qui répond à la
variable (p-f*:2£&; on en déduira les différences successives cTQ'y
cT^Q , éT^Q", er^Q^% au moyen desquelles on connaîtra cT'U* = Q
+ — /•Q* ^ €r*Q*% ensuite cTU el U', ce qui ajoutera un terme
à toutes les colonnes.
Dans cette méthode ^ on ne néglige que les différences J^^Qv
lesquelles sont de Tordre a^j puisque Q est de Tordre a* ; on pourra
donc fixer a priori le nombre de décimales qu'on devra admettre
dans l'expression des fonctions U ; mais nous ayons déjà fait observer
que les erreurs sur les différences secondes se multiplient comme
les nombres triangulaires; ainsi il faudra se procurer, à des inter-
yalles déterminés, des valeurs exactes de la fonction principale U
ou de sa différence première S\J y afin de connaître et de corriger
les petites erreurs qui auraient pu s'accumuler par le progrès des
opérations.
§ m. Application des méthodes précédentes aux fonctions
elliptiques £ et F.
76. Les méthodes précédentes s'appliquent immédiatement aux
fonctions E et F , puisque ces fonctions sont exprimées par les
intégrales E = f^d^ , F = T^ , où Ton a A = ^/(i — c'sin*(p ) ;
on- construira donc, par leur moyen , les Tables particulières qui
conviennent à une valeur déterminée du module Cy ou de Tangle 9
dont ce module est le sinus. Mais il faudra former un système de
Tables semblables , qui correspondent à une suite de valeurs de
l'angle 0^ aussi peu différentes entr'elles qu'il sera possible, afin qu'on
9
66 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL* ^
-puisse MSI gner ^ ûûbs chaque cas partîevJier y les valeurs de £ et de F
qui répondent à des talenrs données des angles et (p.
77. iPonr expliquer plu^s clairement Tusage de nos forimules, iroûè
les appliquerons a la fonction E , dans le cas de c =f= sin 4^% qui
tient Ils milieu entre les linailes c = o , c =t sin 90"*. Nous supposç-
rons en même temps qu'on fait dt t=à un demi-degré = ^^y c^est-^
'^-dire que k Table des fonctions Ë ±='/A^ doit être cotistmîte
pour toutes les valeurs de ^ ^ de deim-^degré en demi-^degré ^ depuis a*
jusqu'à 90***
Des deux méthodes que nbw^ avons données pour construire
une semblable Table ^ nous choisirons celle qui sert à calculer les
différences secondes delà fonction Epar le moyen dune auxiliaire
Q « «* ^ a= — ^ c'd' ^ y d'où l'oti déd«it
Cette valeur suppose que le terme suivant de la série ^ contenant
J'^Q^^'y est négligeable ; or c'est ce qui a lieu dans le cas présent^
et ce qui aura toujours lieu k l'égard de la fonction E ^ à moins
que les quantités c et sin ^ ne soient toutes deux très-rapprochéee
de l'unité.*
Pour calculer les valeurs successives de Q, soit ^=ic*a% et soi! A
un angle déterminé par la valeur sin X =c sin ^^ on aura A=cos A^
et en omettant le signe de Q ,
QC sîn Qp •
COS A '
dans l'exemple proposé^ ou aura f = ^ «• = (j^-), et
iog ^ s:=: 5.37^5 47486.
78. Ntas tvous proposent de «calculer jusq«'à dmiEe décimai^sies
"Valeurs de E<; alors les quantités Qa^ifbni huit chiffres significatif
«u plus > de sorte qu'elles pourront être calculées parles Tables de
logarithmes à dix décimales , qu'on réduira à huit^ et nE»éaie quelque-
fois par les Tables a sept décimales aeulement^ JL'iopéradçii jffia'^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Sf
tripale, pour avoir log Q , est d^ déduire log CQSi A de la valeur
connue de log sin A ; il suffira le plus souvent y pour cet objet , de
tenir compte des premières différences données par les Tables ,
dans Thypothèse de huit décimales seulement. Soit A la difierc^pcq
qui repond a l sin 0, et B la différence cpii répond à /cûs a^ a éUni
Tangle de la Tabl^ y immédiatement plu9 petit que A ; ai l'on £ai^
/ 5În A =; / sîn fl -f- r , on aura / cos A = / cos « *— -r-'
Celte formule sera suffisante preaque dans tous les cas ^ et le calcul
n'en sera pas bien compliqué , parce que les différences B et A ^
ainsi que r y peuvent être prises en bornait les logitrithmes à huit
décimales.
Cependant si on voulait calculer / cos A de manière que le résultat
fut exact jusqu'à la dixième ou la douzième décimale^ voici le moyen
qu'on pourrait employer.
Soit l'angle de la Table qui approçLe le plas de l'angle A ^ et
supposons qu'oa aU à la fois
/«in A^ss/sin^dsTy 2qQ9 A?;:? Zco3 «iqpR;
il s'agit de trouver la différence R par le moyen de la différence
donnée rj pour cela on aura la formule
R=:prtang-a(i±^-^),
pu
log R = log (r tang* a) db (r + r lang*a).
79. Lep règles précédentes pour calculer log Q , s'appliquent à
toutes les valeurs de <p dans l'exemple proposé y parce qu'on aura
toujours tang a < i ; mais si c et sin ^ étaient tous deux très-proches
de Tupité y tang a pourrait devenir trèa^grand | et il faudrait em-
ployer un autre moyen pour calculer la valeur de A qui Eût connaître
celle de l'auxiliaire Q.
Alors A devra être mis sous la forme A x= y^( à^-f- e^ cos* qi) y et
61 on prend un angle fe tel qu'on ait
M. CQOS0 ^ A
tang fjL = — 7-^ = tang 9 coa cp ,
'h
)) ça réapilera A ;;i; — - , et de là Q :== jr siq 2^ cq§ u^ en fojsaqt
6a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL»
y = -2-- — • dans l'exemple proposé , on aura
log3.= 5.45014 97464.
Il s'agît donc , pour avoir Q ^ de déduire log cos (ul de la valeur
connue de log taDg fi ; c'est ce qu'on peut faire , comme ci-dessus ^
avec une exactitude presque toujours suffisante y par le moyen des
différences premières qui répondent a log cos fe et log tang /jl. Si on
veut obtenir une plus grande précision , soit a l'angle de la Table
le plus approché de /^ ; si l'on fait à la fois
/ tang fe = / taDg adtz r, l cos /jlzzz l cos a qr R^
on déduira la différence R de la différence connue r^ par la formule
R = r sin'^i ( i ± Mr cos^a) ,
ou
logR = log (r sin* a ) db r =fi r sin* a.
Celle manière de calculer / cos ft qui fait connaître A et Q , n'est
sujette à aucune exception ; elle peut être employée dans toute
l'étendue des Tables qu'on veut construire^ quels que soient les
angles et ^ ; en effet , on voit que l'angle fc qui est 6 lorsque
(pz=LO y diminue continuellfsment à mesure que ç augmente^ et finit
par être nul lorsque ç = 90**.
80. Par la formule Q = 7^ sin 2^ cos A^ , on voit que l'auxiliaire Q
est nulle aux deux limites de la Table ^ savoir , lorsque ^=0 ef
lorsque ^=:90''; il y a donc entre ces deux points une valeur de Q
qui est un mojcimum; ce maximum se détermine par l'équation
tang ^ = 1/ ■— " = \/t ( ^'^^' ^® point remarquable où l'on a
F(p = i F*) ; alors Q = ^^,^ . Dans le cas de fl = 4^^ que nous
avons pris pour exempte, on trouve le /7iAr///2i/mQ=o. 00002 23o5o94^
il répond à l'amplitude (p = 49* 56' à peu près.
Pour la fonction F on a l'auxiliaire Q= y' sin 2^ cos^/jl y en faisant
pour abréger y' zzn^; elle s'évanouit encore aux limites (p = o ,
ç ;-. qqo^ et son maximum a lieu lorsque tang* ^ = tang* &
^1/^1 + tang'6-i- tang*!). Dans le cas de fl = 4^% <^^ *
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 69
iang*^= 1 + v^5, ou à peu près ^ = 58*5o% ce qui donne le
maximum Q = o.ooooS 34o8:i 54*
«
81. Voici deu^t exemples du calcul de Tauxiliaire Q relative à
là fonction Ë, que nous résoudrons chacun par les deux méthode»
que nous avons exposées.
Soit 1*. ^ = 35* 3o'; suivant la première méthode, on fera le
calcul comme il suit y en supposant toujours c = sin 45*.
/ sin A = / sin a — r
c.^. 9.84948 5o022 cos £2. . . 9.9641 1 53965
sin <p... 9.74188 94971 ^ + 12845
■ ■ ■■ - ■ «^ fc ■ ■■ ■ ■ ■ ■ ■ fc
. sinA... 9#59i37 44993 côsA... 9.9641 1 66810
sina... 9.59138 16478 C... 5.27963 .4748&
r= 71485 ~... 5.3i55i 80676
eus A
r... 4*85421 49 sin2^... 9.96402 60827
• tang»^. . . 9.25453 25 i^g Q ^ 5 . 27954'475^
/(rlang*^) = 4*10874 74 Q = 0.00001 90346 i5
r. . . — 71 .5
r tang*flf. .. — 12.8
logR = 4.10873 96
Par les formules de la seconde méthode , on procédera ainsi :
tang/u... 9.92110 65899 cosâ.... 9*88536 35668
tanga... 9.921 11 8i8i3 R+ 47544
r = — I 15914 cosft... 9.88536 83212
7... 5.43014 97464
r. .. 5.o64i3 6 sin2^... 9.96402 60827
sin*a. . . 9-61:^96 4 log Q = 5.27954 4i5o3
/(rsin*a) == 4*677^0 o Q = o.ooooi 90346 18^
r — rsin'a... '7
logR = 4*67709 5
Supposons 2''.^ ^ = 70"*; le calcul ÊiU par la première méthode
> EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, ^
donnera les résultats suivans ;
c... 9.84948 5oo2a
%m^..^ 9.97298 58i64 Z3in A5= i «în 41-^r
sinA. .. 9.82247 08186 cosâi... 9.87350 57415
sina... 9.82247 52805 R... 55274
^r
r= 44^*9 cosA... 9.87350 72687
f . . . 5.27965 47486
r. . . 4*649520 5.40612 74799
tang*â... 9*897945 sîn2^... 9.80806 74967
i(rtang*a) == 4*547465 log Q = 5.21419 497^6
r... -^ 4*5 Q =5 a«ooooi 65755 i5
rlang*^.». — ^ 5.5
log R = 4.547455
Par U seconde méthode on trouvera ce (jui suit :
l tang /M ^9 i tang a h|- r
tang/^*.* 9.55405 16846 cosa... 9.97598 Q755S .
tang a... 9.55402 28281 R... 50219
r =3 2 88565 cos^ — 9.97597 77534 '
7... 5.45014 97464
r. . . 5.46024 56 sîn 29. . , 9.80806 74967
8m*a. . . 9.02000 7a i^g Q ^ 5.21419 49765
/(rsîa'^) = 4.48025 08 Q = 0.00001 65755 i5
r — r sin*û. . . 2 59
log R = 4.48027 67 '
On Yoit que ces deux méthodes s'accordent parfaiteosent. liCS calculs
ont été faits avec la même précision que si on voulait avoir lavaleur
de Q exacte jusqu'à la quatorzième décimale ; on pourra donc le;
faire avec deux décimales de moins y lorsqu'on ne voudra avoir que
douze décimales exactes. ' ^
82. Il est facile^ par les moyens indiqués , de former la colonne
âe9 aiuiHaires Q et celles dé leurs 'différences premîèfes et aecppdès ^
CONSTïltJCTîON Ï)ES TABLES ELLIPTlQtJES. ^V
ksqtiell«è s«rviroAl à former la coloûn« des differeoce* «ecottdes /'E,
d'aprèt la formule
J^»E'=s=Q-h^/»Q'.
Mais pour avoir les différences premières cTE y el ensuite lee foac-»
iioifis E elles-mêmes , il faul connaître le premier terme cTEo qui
répond à (p=s:o; et ce premier terme est la même chose que Eup.
puisqu'on a £o = o.
Or la quantité A = v/( i — c*sin*^) étant développée en série ^
on en tire fùkd(p ou
E(^)s=(p — \ €* fdpsin^ — ~ c^fd(f sin*(^ — etc.
2.4
Soit sia ^ = o:^ on aura
/rffsio'f «/jc**ir(i— *»)-î*«^ +^ .^ 4^i^.Ç + etc.,
fd(p sin*^ z=/x^dx (i— j:»)'*î= ^4.1.1. + i^.^4. etc.
Ces suites sont très-convergentes lorsque or est très-petit; si on fait
AT
donc ^s£=«âe^ j 6n aura les valeurs suivimtcs^ exactes jusqu'à
la quinzième décimale :
E(^) c= a — ^c* (5-54541 42464)~ic<(9.oo5a5 ii),
F(a)=a-|-^c*(5.5454ï 42464) -h |^*(9.co525 11).
Les nombres en parenthèses désignent les logarithmes des coefficiens^
et la caractérisiique 9 9 qu^on voit dans le troisième terme, indique
une fraction décimale dont le premier chiffre significatif est au
'onzième rang. On a d'ailleurs
A = 0.00873 66462 59971 65.
83. Connaissant ainsi Ea qui est la même chose que cTEo^ on
pourra 9 comme nous Tavons dit y construire la Table dans son entier
au moyen de la formule cT^E' = Q +7t <^•Q^ Mais pour empêcher
autant qu'il est possible y les erreurs dues au terme -^i cT^Q'' de s'ac*
cumuler , nous avons tenu compte des restes que donne la division
de /•Q' par 12.
Pour cela nousavons joint àla colonne des sccondesdifférences/*Q,
72 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
une autre colonne contenant deux nombres que nous désignons par q
et r y et dont voici Tusage. Soit r** le terme qui précède r, et supposons
qu'en divisant i^C^^r^ par 12, le quotient soit q et le reste r,
on fera constamment /Œ = Q'-f- 9^ 9 ou dans la ligne précédente ,
84* Nous joignons ici la série entière des calculs faits diaprés ces
principes^ pour obtenir ^ dans le cas de c = sin45% les valeurs de
la fonction E y correspondantes à tous les degrés et demi-degrés de
Tamplitude ^.
On peut observer que pour les mêmes valeurs de c et de cp^ l'auxi-
liaire qui est Q pour la fonction E^ devient ^. pour la fonction F;
d'ailleurs A est toujours donné par l'opération même qui sert à trou-
ver Q y puisqu'on a dans la première méthode A =cos X, et dans la
seconde A = . Ainsi en construisant la Table des fonctions E
cos^
pour un module donné y on peut construire simultanément la Table
des fonctions F qui se rapporte au même module.
Comme le mode de procéder est le même dans l'une et/ l'autre
Table, nous n'avons pas cru devoir joindre ici la Table particulière
qui concerne la fonction F y d'autant que cette Table et celle des
fonctions E, ont besoin d'une dernière rectification qui leur donne
toute l'exactitude dont elles sont susceptibles.
(*) Peut-être serait-il encore plus exact d'ajouter à ^*Q , non pas le reste pré-
cédent^ mais la somme de tous les restes précédens. Soit cette somme :=^s^y on
prendrait pour q le quotient J^'Q + aj° divisé par la , et pour^ le reste , ayant
«oin de «rendre ^ . nositif ou négatif. ^ 6 . ou tout au nlns =r fî.
prendrait pour q le quotient J^'Q + aj° divisé par la , e1
soin de prendre s , positif ou négatif^ ^ 6 , ou tout au plus
o*oo'
•?'
^w*
♦•
o*oo'
o.3o
i.oo
i.3o
a.oo
â.5o
3.00
3.3o
4.00
4.3o
5.00
5.3o
6.00
6.3o
7.00
7.3o
8.00
8.3o
9.00
9.30
10.00
o.3o
1 .00
1 .3o
a. 00
a.3o
3.00
5.3o
4.00
4.30
5.00
5.3o
6.00
6.3o
7.00
7.30
8.00
8.3o
9.00
9.30
ao.oo
ao.3o
ai .00
ai.3o
22s. 00
aa.3o
£.
0.00000
0.0087a
0.01745
o.oa6i7
o. o34qo*
o.o43Da
00000 00
08 7<
y4 85
66908
â84Mi
844^6 ao
3o4ii 95
63io3 aa
o.o5a34 79153 63
0.06106 73369 97
0.06978 483aa
0.07849 s4742
0.087Q1 11343
a
ao
ao
o.ogBoi
0.1046a
o.ii33a
o.iaaoa
o.i3o7i
94816 61
41879 54
4<)a5i 09
13667 94
3i835 04
o .13940
0.14808
0.16675
o. 16649
o. 17403
oo6a6 aa
16484 81
7^474 3»
77369 o3
16654 ^9
o.i8a74
0.19139
o.aooo4
o. 30867
o. 31780
88439 11
92403 84
24309 77
81357 83
B9839 68
o . 33693
0.33453
o.a43i3
0.36173
o.a6o3i
66983 Ql
69601 d6
94686 a4
38854 36
69341 61
o.a688q
0.37745
o. 38600
o. 39466
o.3o3o8
i3oo3 14
6680Q 33
97766 39
33867 13
69146 47
o.3ii6o
o.3aou
0.33861
0.33710
0.34667
o.364o3
o.36a48
0.37093
0.37934
0.38776
73681 36
73540 79
56837 60
17668 o3
66313 96
68638 41
63146 3a
o3q65 i3
ai36o 48
oi685 91
i'E.
873 66908 79
87a 63080 09
873 66941 33
873 45975 76
873 33691 37
873 16090 41
871 96176 34
871 73903 85
871 46434 38
871 16696 00
870 83473 41
870 47063 93
870 07371 55
869 64406 85
869 18177 *°
868 68691 18
868 16968 69
867 69989 5o
867 00794 72
866 38385 66
865 73774 4^
866 03973 73
864 31996 93
863 66868 06
863 78671 76
861 97153 33
861 13618 74
860 34984 59
869 34368 13
858 40487 36
867 43660 63
866 43807 18
855 4^947 07
864 35 100 73
863 36389 35
853 14534 78
85o 99869 64
849 83386 81
848 61840 43
847 38544 93
84
.7 00^44 93
6 13435 46
844 835o7 91
843 61818 81
843 17385 35
8io 8o336 43
>9 40397 63
*•£.
3333 70
664477
9965 67
15384 48
16600 86
19914 07
a3333 49
36638 47
39838 38
30133 5
36410
2
39601 38
42964 70
4633
49485
6a73a
75
66969 OQ
59194 78
63409 OD
66611 34
66800 69
71976 80
761 38 87
78386 3i
81418 43
84534 69
87634 i5
90716 47
93780 87
96836 73
99853 56
03860 11
06846 34
08811 38
11754 57
14676 34
17673 73
30446 38
33396 61
36119 46
38917 56
31689 10
34433 46
37149 9a
39837 81
43496 47
q.
0000 00
33aa 76
6644 88
9966 73
i3a84 69
16601 13
199 '4 3
a32a3 8
36638 8
^838 8
133
13
364ii 06
39693 03
439*66 38
46330 49
49486 73
63733 43
55969 99
59195 74
62410 06
66613 3o
68801 81
7*977 96
76140 10
78387 68
81419 76
84535 9
87635 6
927i7 9
93783 43
96838 33
99866 01
02861 83
06848 11
0881 3 ao
11766 44
14677 17
17674 73
30448 4d
33397 61
36131 6a
38919 76
31691 07
34436 78
37163 3o
39840 36
iq.
3333 76
3333 i3
3330 96
33i8 96
33i6 43
33 i3 37
3309 47
33o*6 o3
3a99 96
3394 37
3387 94
3380 96
3373 36
3366 11
3a66 33
3346 71
3a36
3336
3ai4
3303
3189
56
75
03
5i
3176 i6
3i6a 14
3i47 48
3i3a 17
3ll6 33
3099 6a
3o83 37
3o64 46
3045 QO
3o36 b9
•3oo6 81
3986 39
3966 09
3943 34
3930 70
3897 66
38*70 70
3849 19
2834 01
3798 i4
3771 61
11744 41
3716 63
3687 96
3668 71
^'Q.
63
is8
189
a63
3i6
38o
444
607
669
633
698
760
836
888
963
ioi5
081
143
3C8
373
336
401
466
53i
696
660
735
791
856
931
988
so5a
ai20
3186
3361
33i8
3385
3451
3618
3687
3653
3730
3789
3867
3934
3994
f7
6
11
16
31
36
33
r.
— a
— 5
-4
O
-4
37 — 4
4a — I
58 + 3
64 — 5
68 + 4
4 + 4
o — À
84 + 3
î
9^ + 4
96-6
00 + 3
06 + 4
1.3-4
16 + 6
33 — 5
+ a
H- I
4- 5
37
33
38
44 + a
49 + 5
55 + 1
60 •}- a
66 — 3
71 — 3
77 — 6
83 — 6
87 + fl
93 + 4
»99
304
310
316
331
1
+ 4
a
— 3
a
337 — 6
333 — 1
338 o
fi44-4
349 + a
10
rf
<p'
38*30*
a3.oo
s3.3o
s4.3o
a&.oo
fi&.So
flS.oo
fi6.3o
27.00
37.30
28.00
ii8.3o
'^.ç) . 00
2q.5o
So.oo
3o.3o
3r.oo
3i .3o
33.00
33. 5o
33.00
33. 3o
34.00
34.30
55.00
35. 3o
36. 00
36. 3o
37.00
37.30
38. 00
38. 3o
5g. 00
39.30
40.00
40. 3o
41 -00
41 .3o
43.00
43. 3o
43.00
43. 3o
44.00
44, 5q
45rOO
E.
0.38775
0.39614
0.4045a
o.4ia88
0.431&3
o'.4a557
01 586. 01
41083 53
3988468
9^660 65
37713 3^
53475 96
0.^^789
0.44^^0
0.45448
0.46376
0.47101
54413 70
01034 45
80839 49
18424 17
84376 63
0.4795*5
o.4»748
0.49568
o.5o387
o.5iao4
85338 44
18975 4^
834^06 35
7S153 16
93324 73
o.Booao
o 53833
0.53645
0.54455
o. 55^^63
35o36 53
98451 85
81374 43
'81749 »a
97063 70
0.56070
0.56874
0.57G77
0.08477
0.59376
36844 5o
67667 17
181.47 39
76446 60
4077» 73
0.60073
0.60867
o.6t66o
O.69/0l'
0.63339
09375 »7
80559 11
63669 »6
2410a 14
933o3 97
0*64036
0.64811
0.65593
•0. 66374
0.67153
58767 63'
19040 87
18453 94
54944 55
0,67938
0.68703
0.69474
0.7^344
80947
95371
06780 Q4
84396 80
0.71013 57095 34
0.71778
o 73541
0.73303
0.74061
0.7481^8
5^6 39
76313 47
80359 77
65a43 5i
*E.
889 40397 63
837 9790^ i5
836 53770 on
835 o6o53 69
833 54763 63
833 01937 74
83o 46610 75
828 888i5 c4
837 38584 68
835 65954 45
834 00969 oa
833 33636
83a 64033
816 93154 Qi
817 18071 87
8i5 41811 80
8i3 6341 5 33
8ti 82933 67
810 00374 70
808 i58i3 58
806 39381 80
!
804 40833 67
803 90480 33
800 58399 31
798 643*35 13
796 68604 i5
794 7»»83 34
793 73110 o5
750 71433 98
788 60301 iS
786 6S464 36
784 60273 34
783 53679 10
780 457^ 97
778 36490 6:
776 36003 54
774 i43a3 07
773 oiSoq 8b
769 87615 88
7fô ^6814 66
763 40033 3q
761 fl338o 1^
7*9 039^ 3o
758 847^ 74
754 649S0 16
/*E.
«M96
45i35
477^3
50390
53834
55336
28
57795
6o33o
63630
67333
69614
71867
7io83
7b3S9
78396
»7
80493
8>.547
84561
8653 1
88459
90342
92181
93974
95730
974ao
1 99073
3 00677
3 o8a3i
3 ©3736
3 05191
13
3 06594
. 3 07945
3 09343
3 10488
3 I1678
3 13814
3 1S893
3 145*7
3 15885
3 16793
11
3 17643
3 18^3
3 I91S
3 198X5
3 2044a
39840 s5
4349896
45137 73
47735 89
5039a 74
53837 60
55339
67798
6o393 a6
63633 19
,64997 64
67336 01
69617 3o
71871 10
74086 "
76363
80496
83551
84564
86636
88463
90346
92184
9^977
.957*4
974*4 88
99077 33
00681 17
03336 00
«5740 99
06195 39
06698 48
07949 ®
09^47 81
,0493 69
i;t683 i5
r38r8 76
13898 68
149^23 AO
i6888 60
i6'797 i5
184^7 88
19168 63
19838 69
iq. ^%>. ç
3658 71
3638 77
3698 16
3666 85
3534 86
aSoa 17
3468 78
343471
3090 q3
33^45
3330 37
3391 39
3353 80
a3i5 49
3176 49
fti36 77
3096 33
80 d& 18
3oi3 3i
1970 73^
1937 41
1883 38
1838 63
»795i4
»74€ 94
1700 00
i653
f6o3
1554 13
i5o4 99
1454 40
i4o3
i35t o:
1398 38
134478
tiqc 66
i»35 6b
»079 9&
I033 63
966 40
908 65
3407
347»
3648
36i8
sCC3ft
3769
3&3Ï
3900
397a
4ii5
4187
4a59
4331
44o3
454»
46âo
f^
47«>
"4^
49»a
4984
6069
5i3i
5304
535o
543»
549e
5567
564i
57 >3
57«5
5855
^49 +a
355 +3
361 -j'S
367 —3
373 -f*â
378 +5
157+7
*95 +*
396 —3
3oi -|-4
3o8 —4
345 +1
345 +0
355 — 1
36i —3
367 —3
373 —3
391
397
458
467+7
470 -+-3
476 +3
483+4
488 +3
85o 00
790 73
75074
670 07
608 67
59^
5999
0067
6140
6307
494 +a
600 +t
5oS— 4
5it +4
5i»— 5
45** oo'
45. 3o
46.00
46. 5o
47.00
48.00
48.3o
49.00
49. 3o
5o«oo
5o.3o
5i.oo
5i.3o
5a. 00
5a. 3o
53.00
53. 3o
54- 00
54, 3o
55.00
55 3o
56. 00
56 .30
57.00
57.3©
58. 00
58.5o
St^.oo
59*30
60.00
Go.3o
61 .00
6i.3d
6a. 00
6a. 3o
63. 00
63.30
64.00
64.30
65* 00
65.3a
66.00
66. 3o
67.00
67.30
E.
0.74818
0.76573
o.763a5
ô. 77075
0.77834
0.78669
65o43 5i
«99,^ 67
7^601 65
98030 <|0
00067 66
8oaai 61
o.793i3
0.80064
0.80703
o.8iMo
o.8â965
38ia6 67
73491 16
«08917
76761 69
4*4 »4 71
0.8^7
0.83738
0.84456
0.86181
0.8&906
86oa3 08
o66fl8 98
0434347
79
99
o.866a6
0.87345
0.8806a
0.88777
60390 60
71
08 5o
7139a 93
0.9019Q
0.90008
0.gi6i3
0.93317
0.93019
06696 30
971 ji 17
70546 49
^7979 »9
0.93718 70461 44
0.94416
0.96111
0.96804
0.96495
»'*> 90
16161 07
19861 69
14578 6a
0.97184
0. 97870
0.9^8565
0.99338
<>-999»8
00744 56
||9|9
33418 5i
91347 90
.00697
.01374
•0*949
.0^601
.03393
68645
38108
OlOOû 17
79698 16
6Sdo3 53
^3q3
.06967
.06618
71160 4a
9455a 63
39040 o5
96140 oa
^E.
754 64560 16
76a 44&07 98
760 33619 36
748 oao46 76
745 80163 96
743 67904 96
741 3636^ S9
jo% 89673 33
734 66663 08
733 43608 Si
730 30606
in 977»4
735 76003
733 6â54a
731 3o4oi
710 08663
716 87366
714 66614
713 46470
710 37006
708 08096
706 90414
703 73435
701 67433
699 4^48»
697 08669
696 16040
693 04700
18 8(
79
.<î47»6
I6166
686 79104
684 70670
683 69879
680 67800
678 67698
676 69060
^'jé^ 70900
67a 78668
670 88406
668 96406
667 08730
669 o3^o
663 40489
661 60097
669 8009D
13
/'E.
00440 18 ;
00988 73
01470 i9
0189D 81
00348
oo54o
0^766
00906
o3oi9
o3o(44
o3ooo
o 00891
007*11
00461
00140
o 01749
01386
3 00761
O 00144
10463
o 18709
178S1
o 16979
Q-
fl 19838
00447
00993
oi472
01808
o 00054
00645
00771
o 00931
o o3o34
o o3o5o
o3oo8
00897
o 00716
^ 00466
00146
o 01766
o 01090
o 00757
o 00160
a Ï94S9
18716
17888
16986
o 16008
14966
10619
o 11339
o OQ983
00660
o 07041
o 06464
03790
o 00049
ooo3]
1 98356
43
96360
94311
9fti83
'8
86337
80900
80091
77804
76141
«3
13639
o io6a6
o 11346
oa
«98^»
96368
943ir
.5»j<^o
89986
00
85?
ro5
^Q.
608 6^
646 6çk
483 80
4^ 37
366 04
091 43
^Q.
6007
6078
6345
6413
6481
6645
10
Jio 96
180 19
060 00
3oo 39
391 34
46a 84
534 fô
607 39
680 40
753 90
807 83
900 00
97697
to^o i3
107 64
586 61
.663 80
r4l 10
895 «7
i<)73a8
ao5o 64
»ia7 SI
aaSi 59
235873
4435 !•
aSif 3o
8687 10
a€6a 48
6Si3
6676
«74»
£8co
6864
€9*4
«981
7o3o
70*5
7190
7^01
7*54
73oi
7360
7398
7^
755i
76^4
77«9
7700
7737
7740
T74i
7613
7687
7705
7736
77*7
17696
7674
7846
70'
7487
3i8~5
6o3 ~3
639 —6
540 -f o
545 4-6
56a -*6
556—3
S6i 4-6
667 +0
670 +^
600 —4
$04 4*fl
609 —.5
(10 4-1
ti6 -
o
Jao —1
$a3 o
$06 +4
«3o —5
63o —6
634 o
637—1
«39-4
640 4-3
640 +4
^éA —6
«44—3
«44 4-6
645 4-6
646 —5
^A^ 4-3
644 4-a
643 — o
641 4- a
640—4
637 —a
634 4-4
633 —3
608^3
<f^-4
6t»3o'
îo.i
6b. oo
68. 3o
69.00
6g. 3o
70.00
7o;3o
71.00
71.50
72.00
7a. 3o
73.00
73;3o
74.00
74. 3o
75.00
75.30
76.00
76.30
77.00
77;3o
78.00
78.30
79.00
9.3o
.00
s
80. 3o
81.00
81. 3o
8a. 00
8a. 3o
83. 00
83. 3o
84.00
84. 3o
85. 00
85. 3o
86.00
86. 3o
87. co
87.30
88.0c
'88. 3o
89 . 00
89.30
^90 . 00
06618
07378
07906
08*593
09347
09900
oa
5
1953a 07
84485 91
83933
10
o553 17639 18
laoi 91608 11
i85o 07Q71 53
3496 6989a 96
3141 8o6i5 9a
3785 43453 01
37 61784 90
068 3qo59 03
5707 78789 90
6345 84555 04
5o<
6983 59996 64
7618 08818 ^4
8353 34786 64
8885 417^4 48
9517 335i4 78
30148 14096 39
30777 87463 99
31406 57661 41
3so34 38780 q5
33661 04996 59
33386 Q0477 16
a3Qii 89473 46
34536 06371 33
35 159 4^ ^98 5g
35783 10633 14
36404 o6q5o 74
37035 38633 95
37646 10114 g3
38366 35933 31
38885 go6i3 47
sg5o5
Soi 33
30743
3i36o
31978
31
08718
84834 44
33571 3i
3g557 73
07439 93
3a595
35213
33850
54447
35o64
61879 11
9754» 87
igi33 83
5l333 06
388 13 68
65q 83393 57
650 07151 69
656 34746 8g
654 65i53 84
653 98^46 10
65 1 34097 08
64g 7
[8 1
7895
648 16363 4a
646 61931 43
645 1072a 96
645 63837 09
643 i833i 89
640 77374 4^
63q 39730 58
638 08765 14
636 75441 60
635 4883a 30
634 ^5967 80
633 06937 84
63i 91790 3o
63o 8o58i 61
63Q 73366 60
630 70198 43
637 71138 54
636 76306 64
635 85480 57
624 98996 3o
634 16797 86
633 38937 37
633^65434 55
631 96337 60
631 31673 31
630 71491 98
630 i58i8 38
619 6ASS0 36
619 18104 74
618 76116 33
618 38736 87
618 o5q86 41
617 77883 31
617 54439 18
617 3566q 76
617 3i585 g5
617 13189 34
617 07490 6a
75141 98
73404 70
60593 o5
66707 65
6374g 11
60718 i5
57615 5i
54441 99
51198 4?
47885 87
445o5 3o
4io5;
3754;
84
33g65 44
3o533 54
3661g 40
33854 4o
1Q039 06
i5i47 54
11 308 6g
07315 01
b3i68 18
ggo6g 88
949^^1 90
90736 07
86484 37
83198 44
77870 59
73503 73
69096 95
646^5 39
60180 33
55673 70
5ii38 03
46575 53
4ig88 5i
57579 56
5375b 46
38104 30
33445 o5
1876g 43
i4o85 81
9^94 71
4698 63
77810 68
75148 33
73410 89
bgSgo 30
66713 74
63755 i5
60734 i5
67631 41
54447 Sa
5i3o4 a3
47891 55
44510 78
41063 g7
5754g 35
55070 74
00338 73
3285g 36
19034 79
i5i53 34
113l3 36
07319 45
00173 46
99074 03
949^5 89
90739 90
86487 94
83301 g5
77875 9 a
755o5 '88
6gogg g3
64658 10
60183 85
55676 13
5ii4o 36
4^577 56
41990 56
57581 01
53761 90
38io5 44
35444 07
18770 sS
14086 44
9595 i5
4698 83
0000 00
366a 46
3757 55
a8ii 6q
3885 46
ag58 5g
5o5i oa
5ioa
5175 og
5345 59
33ia 68
558o 77
5447 81
55i5 74
557849
5643 03
5704 35
11
5765
5824 57
5883 55
5g38 08
5995 81
4046 gg
4og8 44
4148 i5
4>95 9
4^4^ 9
4385 9
4538 b
4S68 04
44o5 g5
4441 74
4475 54
4506 75
4535 86
4563 70
4587 20
46og 35
46âg 11
4646 46
4661 57
4675 83
4685 81
4691 5i
4696 5i
4698 83
7456
75i5
7345
7170
7087
7000
600g
6704
6593
6475
6353
6335
6086
5g46
5798
5645
5485
55i8
5 145
4969
4786
4597
44o5
4304
iooi
5579
556o
5i3g
3g id
3684
3450
33l5
1976
1735
1491
1345
999
750
5oo
a5i
634 — 4
619+4
6i5+i
60g -j- 6
604+ 1
5g8 — 5
5qo + 3
583 + è
576 + 5
568 — 4
558 + 4
55o — 5
53g +4
53o — 5
5i8 + 4
607 + 6
496 o
485 + 3
470 + 5
457 + 4
444-6
438
414
399
583
3
4
3
5
3
55i— 6
355—1
5i6 — 2
398 + 1
0+ 1
38
363 — 4
343 + 5
324+ 1
3o4+5
i85 — 3
i65 — 6
144+1
134+4
104+ 1
83 + 4
63 — 3
43 — 6
30 + 5
85. Mous
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 77
85. Nous avons déjà dit que pour remëdier k raccumulalioh des
erreurs qui peut résulter de la mélhode précédente , il était néces-
saire de calculer parles formules rigoureuses , les valeurs de la
fonction qui correspondent à quelques-unes des valeurs de la va-,
riable 9: On aurait pu^ pour cet objet , se borner aux quatre valeurs
qui terminent les quatre parties de la Table ^ savoir, ^ = :22''';^y
9 = 45% ^ = 67**^, ^==go**; mais nous y en avons joint trois
autres , et voici les erreurs en plus qui se sont trouvées dans les
résultats de notre Table.
Variable ^ aa^i , 26, 45, 49 ^ , 67 i , 70 i , goV '
Erreur sur E (^)..- +62,+9S, +173, +i85, +2^3^ +227^ +220.
' . • *
Il s'agit maintenant de corriger les erreurs de tous les termes de
la Table p d'après les erreurs connues de ces sept termes ; et le
principe auquel il faut s'attacher dans cette opération délicate, est
d^altérer le moins qu'il est possible les différences premières de la
fonction , parce que ces différences , telles qu'elles sont portées
dans la Table , sont nécessairement très-approchées des différences
exactes.
On pourrait aisément construire des formules algébriques qui
embrasseraient une certaine étendue de termes, dans l'interpolation
des erreurs ; mais l'usage de ces formules serait pénible et souvent
peu exact. Il nous a paru plus simple de faire l'interpolation à vue^
en s'écartant le moins qu'il est possible de l'ordre linéaire indiqué
successivement par les côtés du polygone, dont les angles sont les
extrémités des ordonnées qui représentât les erreurs connues.
L'inégalité dans la distribution des erreurs sur un même côté^ n'aura
pour objejt que de rendre moins inégales les différences en passant
d'un côté à l'autre ; et les anomalies à cet égard ne pourront jamais
être bien considérables , parce que la méthode suivie pour la cons-
truction de la Table , est de nature à ne permettre aux erreurs de se
multiplier que par des degrés presqu'insensibles.
86. C'est par ces procédés qu'on a rectifié la Table des fonc-
. tions E, et en y joignant celle des fonctions F , composée et rectifiée
. semblablèment , on a formé la Table II ci^après, qui servira à trouver
/
7» EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
jusqu'il dottse dtf cimAlvs ^ les valeun des fôuclîons F et E pour iûùXe
valeur de Taitiplitude f ^ lorsque TAtigle du module est de 45*. Elle
seryiraîl aubsi à faire l'opëraiion iarerse > c*est-à«^dire ii trouver
rampUtude ^ lorsque l'une des foucdons est dounée.
Ou voit asse^ par les Opérations dout nous avons donn^ le détail ,
qu'on ne peut répondre de Texatlitude de la douzième décimale j et
que même la onzième pourrait , dans quelques cas , être en erreur
d'une ou de deuic unités; mais au moins on pourra toujours compter
sur l'exactitude de la dixième décimale j et l'emploi des deux autres
dans les calculs d'interpolalion^ garantira les résultats de toute erreur
sur la dixième décimale. Si on n'a besoin que de sept décimales
exactes dans le résultat y il suffira d'en admettre huit dans les calculs
d^Interpolatiou y ce qui les simpUfief^ beaucoup.
87. Maintenant pour avoir un système complet de TaUes ellip-
tiques , il ne s'agit que de construire^ par les mêmes méthodes^ des
Tables particulières analogues à la Table II y qui répondront à tous
les angles du module de demi-degré en demi-degré. On pourrait^
après les calculs faits, réduire toutes les fonctions à dix décimales^
et alors chaque Table particulière analogue à la Table II, n'occu-
perait que trois pages ^ç\\\, in-folio y ce qui ferait pour les 181 Tables,
un volume de grosseur médiocre. J'ose espérer que cette entreprise
dont Tulililé se fera sentir de plus en plus y sera mise un jour a
exécution par quelqu'un de ces hommes laborieux qui apparaissent
de temps en temps dans la carrière des sciences , pour laisser des
'monumens durables de leur patience et de leur zèle.
Dans le recueil dont nous venons de parler , la première Table
particulière, celle qni répond à Tangle du module 0=o^se cons-
truira immédiatement^ puisqu'alers on aura F = E=3:^ , et qu'ainsi
il ne s'agira que de mettre à côté de chaque amplitude ç , la loi^ueur
. absolue de cet arc exprimée avec douze ou un plus grand nombre
de décimales ; il ne sera pas même nécess£Ûre d'y joindre les difTé--
rences premières , puisqu'elles sont constantes.
La dernière des Tables particulières est celle qui t^époad au
• nodule c 3= 1 , ou à un angle 4u module égal à 90''; elle se cons-
'Irum encore d'une manière très4acile^ au moyen des T^lesceo'nmeft^
CONSTRUCTION PES TABLES ELLIPTIQUES. 79
puisqu'alors on a £ ((p) ?:;* aio ^ cl F (*) ï^p log tang ( 45** -+■ î ^ )•
Les Tables III et IV oi-après soot desiiaéQS k r^préfieoter c»
£[>nctions.
88. La Table IIT offre les sinus naturels et leur^ logarithmes pour
chaque quart de degré du quadrant , savoir , les sinus naturels e^c-
primés avec quinze décimales j et leurs logarithmes avec quatorze
seulement. Ils sont tirés les uns et les autres de la Trigon. Britan-
de Bricgs I publiée après la mort de cet auteur, par Gellibhand^
seul ouvrage où Ton trpuve un aussi grand nombre de décimales ^
car le Thésaurus Mathematicus de Pitiscus , ne donqe Içs sinus
naturels qu avec quatorze décimales. Nous avons cru que cptte
Table serait utile y ne fût-ce que pour mettre le lecteur à portée
de vérifier par lui-même^ et sans le secours d'un livre qui devient
dbaque jour plus rare ^ les calculs que nous avons développés dans
différens endroits de cet ouvrage , et surtout ceux qui se rapportent
Il la Table des fonctions complètes.
La TableïV donne leslogaritfames hyperboliques de tang (45*-+-| ^),
pour toutes les valeurs de ip , de demi-degré en demi-degré ; ces
logarithmes sont en même temps les valeurs de la fonction F^, lors-
que le module est égal à l'unité.
Connaissant j par Ui Table III , les logarithmes «vulgaires de
latig(45''+ T^) > il ^ ^uffi ^^ multiplier eeux-ci par le module
Msssa.SoaS^ etc.> pour avoir les logarithmes coatenus dans la
Table IV.
Enfin nous avons cm faire plaisir aux caleulateurs en afoutant k ee
^etit recueil y la Table V extraite des grandes Tables du cadastre ^
où Ton trouvera les logarithmes à dix^neuf décimales pour tous les
nombres impairs de 1 163 à i5oi ^ et pour tous les nombres premiers
4e iSoo à loooo.
8g. La Table IV, dans laquelle npus avons inséré les différences
anccessives de la fiipctÎDn y autant que le formai a pu le permeitre ^
fût voir 4fue ces difierences décroissent d une manière très-leoie y
lorsque Tamplitude p •a|)pr0£he de 90""^ AIojrs l'interpolation de la
Table devient très-^difidie ^ ou pe dooac 4]uWe approximation
i«safinnte«
s
8o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Pareille difficulté se rencontrera ^ mais à un moindre degré y dans
les Tables particulières dressées pour des modules dont les angles
se rapprocheront de l'angle droit ; il y aura alors une partie plus
ou moins étendue de chaque Table y celle qui répond aux plus
grandes valeurs de ç y dans laquelle les interpolations seront plus
difficiles ou moins exactes; mais cet inconvénient ne se fera guère
sentir qu'à compter de l'angle du module fi= 70"*, et seulement pour
des valeurs ^ non moindres que 70 ou 75''. On remarquera au reste
que les simples Tables de logarithmes des nombres et des sinus ,
sont sujettes à un pareil inconvénient , vers leur commençaient^ et
que celles des logarithmes des tangentes le sont au commencement
et à la fin ^ lorsque l'angle approche de qo"".
Il serait superflu de parler ici de la double interpolation que l'on
aurait à faire selon les diverses valeurs des angles 6 et ^ , lorsque
le système de Tables dont nous avons parlé sera exécuté ^ ou ^ ce
qui revient au même y lorsqu'on aura une Table à double entrée
contenant les valeurs des fonctions E et F, pour toutes les valeurs
des angles et ^^ de demi-degré en demi-degré. Mais il y a d'autres
questions qui concernent la construction de 4a Table elle-même^
et qui méritent d'être discutées.
go. On peut d'abord observer que l'interpolation est en général
plus facile à Tégard des fonctions £ qu'à Tégard des fonctions F ;
et si on se rappelle que toute fonction F peut s'exprimer exactement
par la fonction E et une autre fonction de même nature , on en
conclura qu'à la rigueur on pourrait se contenter de construire la
Table des fonctions E, laquelle présentera toujours plus de facilités
et moins de cas d'exception, dans les calculs d'interpolation. Cette ob-
servation réduirait presqu'à moitié le calcul des Tables elliptiques , et
ce calcul deviendra surtout d*une exécution assez facile ^ si on ne
voulait avoir les fonctions E qu'avec sept décimales exactes^
Mais d'un autre côté y les fonctions F étant plus simples analytf-
quement que les fonctions E, il y a quelque inconvénient à déduire
la fonction la plus simple F ou F ( c , ^ ) de deux fonctions plus
composées E(c,^)y E(c%^). Cet inconvénient n'est pas sim-
plement idéal ^ il se fait sentir encore par la complication qu'il entralnie
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 8i
dans les calculs^ puisque la détermination de la fonction E (c% (p"")
suppose qu'on a calculé de nouveaux élémens c^'y tp""^ qu'on peut
bien déduire trigonométriquement des élémens donnés c j ^^ mais
qui rendent le calcul plus long et plus difficultueux.
91 . U faut observer de plus que quand on détermine la fonc-
tion F y soit au moyen des deux fonctions E(c, ^), E (c% (p^*) ,
soit au moyen des deux fonctions E(c^ (p) ^ E (c', ^')^ ce qui se
fait par l'une ou l'autre des formules
AF(c,«>) = KiH-*)E(^%r) — E(c,Ç))+i(i— i)sinr,
^^•F(£?,(p) = E(c,ç))-.(i+o)E(c>') + csin<p;
les erreurs sur les fonctions E se trouvent notablement augmentées
dans l'expression de F^ à cause de la petitesse du diviseur b dans
une formule^ ou -^ b* dans l'autre; de sorte qu'on ne pourra se
flatter d'obtenir la fonction F avec la même précision que les Tables
donnent les fonctions E.
Enfin dès qu'une fois on aura déduit des données c^ f^ les nou«
veaux élémens c% ip* ou o', ^', il n'en coûtera guère davantage pour
continuer les suites c, o', d'y etc., et ^ , ^', ^", etc. , jusqu'au troi-
sième terme environ^ comme cela est nécessaire pour obtenir
directement une valeur aussi approchée qu'on voudra de la fonc-
tion F {cy(p) , en la déduisant des formules^
F(c,<p) = Klogtai.g(45-+i*'), K.= v/(^).
où O' désigne la limite des angles (p, ^\ (p^'y etc.; et dans ce cas^
on n'aura aucun besoin de la Table des fonctions E«
9a. U résulte de cette discussion que^ quoique la fonction F
puisse s'exprimer rigoureusement par deux des fonctions E ; ce-
pendant cette propriété ne fournit pas des moyens de calcul assez
simples pour être employée utilement dans les approximations.
Il en est de même de l'usage qu'on voudrait faire de la formule
F = E — ^j~> ouF=E — tango -t- ," en faisant c = sin 9.
Car pour faire l'application de cette formule , il faudrait d'abord
être en possession d*une Table complète des fonctions E^ calculée
Bi EXERaCES DE CALCUL INTÉGRAL.
pour toutes les valeurs de 6 et de 9 , de demi-degré en demi-degré;
de plus ea appelant « la longueur d'un demi^egré , ou Cuisant
et = ~- ^ le coefficient différentiel ^ devrait être tiré de la formule
où les différences successives cTE , <P*E , J^E , etc. sont relatives à
la variable seule. Mais on voit qu'à cause de la petitesse de « ^
la valeur de -nr ne serait déterminée en général qu'avec deux
décimales de moins que la fonction £ , et la précision diminue-
rait encore sur la valeur de E ^ à mesure que tang 6 augmenterait ;
ainsi ce moyen d'approximation que nous avions proposé autrefois^
ïie saurait être adopté.
g3. Ayant écarté plusieurs des moyens qui se présentent naturel-
lement pour construire des Tables propres à faire trouver aisément ,
dans tous les cas » les valeurs des fonctions elliptiques E et F ^
ridée peut venir encore de remplacer une de ces fonctions par
une autre qui serait plus facile à réduire en Tables. Telle est , par
exemple , la fonction G = A ^^ ^ , dont la valeur complète ,
lorsque ^ = ^7r , sera J tT ou i , selon qu'on fait o=:ooa<?=i;
de sorte que dans les cas intermédiaires cette fonction éprouvera
peu de variations, et sera très-propre à être réduite en Tables.
Et puisque la fonction F peut être déduite des fonctions E et G,
au moyen de l'équation
E — cH3r E — G , ^
— — p gr- + G,
il semble au premier coup d'œil que la fonction G pourrait être
substituée avec avantage à la fonction F ^ au moins dans la partie
des Tables de celle-ci qui se prête difficilement aux interpolations ^
c'est-à-dire lorsque les angles 6 et ^ sont tous deux plus grands
que 70 ou 75*.
Mais en examinant la chose avec plus d'alientioa , on reconnaît
qoc la difficulté u'est qu'éludée , et qu'on a'ohtieadca pas ua£ plus
^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 8?
grande approximation par ce moyen , parce que si on a , par exemple ,
b^ s= — y l'erreur de E — G se trouvera centuplée dans la valeur
de F. U yattdrait donc tout autant ^ à mesure <pie 4 et ^ augmentent
au-delà d'une certaine limite y diminuer le nombre des décimales
qui entrent dans l'expression deF, afin que l'interpolation fût toujours
également praticable , mais donnât pour résultat un moindre nombre
de chiffres décimaux.
Pour donner un exemple de l'usage de nos métbodes y lorsque
l'angle du module est peu éloigné de go% nous joignons ici une
Table des fonctions E et F ^ construite d'après ces méthodes pour
le module c = sin dg*. Cette table n'est pas calculée avec auiant
de précision que la Table II , et on ne peut guère compter sur
l'exactitude de la dixième décimale j mais elle pourra être utile ^
surtout en fournissant des exemples qui serviront à apprécier ^li-»
verses formula que nous donnerons ci-après pour les tas où le
modale est très-peu différent de l'unité.
•<
84
c = sin 89*.
o*»oo'
o.3o
1.00
i.3o
2.00
2.3o.
3.00
3.39
4.00
4*3o
5.00
5.3o
6.00
6.3o
7.00
7.3o
8.00
8.3o
9.00
9.30
0.00
o.3o
1,00
i.3o
â.OO
a.3o
3.00
3.3o
4*oo
4.3o
5.00
5.3o
6.00
S.3o
7.00
7.3o
8.00
8.3o
9.00
9.30
so.oo
ao.3o
âi.oo
ai.3o
23. 00
22. 3o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
£.
00000
00872
01745
02617
©3489
04361
00000
65355
24066
69490
94986
959 1«
06233
06104
06076
07845
08715
59630
855o6.
64906
67701
09684
10462
11 320
12186
i3o52
85ai3
3287'^
94358
63069
13917
14780
i5643
16604
17364
32390
96768
'466 10
78376
84482
18223
19080
19936
20791
21644
68388
93658
83464
21691
oiiP4
22496
23344
24192
26008
26881
16602
6o3i5
26406
08322
99^M
26723
27653
28401
29237
30070
30901
31730
32567
3338o
34202
03887
84703
66676
30429
72600
"85846"
63838
00268
88847
233oo
35oao
35837
36650
37460
38268
97376
04843
39488
9^1 »9
66568
/^E.
872
872
872
872
871
871
66365
68711
45424
26496
98926
66719
871
870
870
869
869
26876
79^99
26294
66562
00210
868
867
866
865
864
27242
47664
61481
68701
69331
863
862
861
860
858
6337§"
5e85i
31767
06106
73906
867
855
864
852
85 1
36170
89906
38127
16068
849
847
845
843
841
438i3
66091
81916
91302
94263
839
837
835
833
83i
00816
00973
64*763
4^171
13346
828
826
823
821
818
7799a
36430
88679
34453
74076
816
8i3
810
807
8c4
07467
34645
6663i
70449
79117
F.
o.oocoo
0.00872
0.01746
0.02618
0.03491
0.04364
o. 06208"
0.06112
0.06086
o . 07862
0.08737
00000
67670
41784
20200
35739
70790
38ii3
45391
90322
06620
74022
0.09614
0.10491
0.11069
0.12247
o.i3i27
08286
161
0451
80245
5oi02
0.14008
0.14890
o. 16772
0.16667
0.1764^1
0.18429
0.19317
0.20207
0.21090
0-^1991
2io53
ooo55
94102
10234
55540
37160
62286
38167
72110
7i6o3
0.22886
0.23782
0.24681
0.26681
o . 26484
0.27388
0.28296
0.29204
o.3oii5
0.31029
63719
33624
3o63i
62833
38423
0.31946
o.32iB64
0.33786
0.34710
o. 36637
66701
53070
09049
4^267
6 «479
0.36667
o . 37600
0.38437
0.39376
o.4o3i9
76661
93622
24607
77796
62820
872 67670
872 74^14
872 07606
873 07449
873 34061
873 67323
874 07278
874 53951
876 07298
875 67402
876 34264
577 9za»i
877 88372
878 76676
879 69867
880 70961
881 79002
882 94^47
884 i6i32
886 45306
886 81620
888 26126
889 76882
891 33948
89a 99388
894 72266
896 62653
898 40622
900 36261
902 39618
904 60807
906 69906
908 97007
911 32202
913 75690-
916 27278
918 87369
921 55979
924 33218
927 19212
93o 14082
936 30986
939 53289
942 86024
946 26337
c == sin 89*,
85
c = sin 89'. 1
4>.
E.
w:.
F.
•
i¥.
22*^30'
23. 00
a3.3o
24.00
24.30
25.00
0.38268 65568
0.35073 44^^^^
0.39875 26343
0.40674 04440
0.41469 72894
0.42262 25649
804 79117
801 8i658
7.98 78097
795 68454
792 52755
789 3 1025
o.4o3i9 62820
o.4ia65 89167
0.42216 6é546
0.43169 o4883
0,44^ 2b 14^36
0.45087 04849
946 26337
949 77388
953 38338
987 09353
960 Qo6i3
964 83393
25. 3o
26.00
26.30
27.00
27.30
o.43o5i 56674
0.43837 59959
0.44^30 29020
0.45390 59402
0.4617b 43672
786 o3285
782 69661
779 29882
770 84270
772 32761
0.46061 87142
0.47020 71728
0.47993 69413
0.48970 91206
0.49962 48324
968 84586
972 97685
977 3179^»
981 57119
986 03878
28.00
28.30
29.00
29.30
3o.oo
0.46947 76423
0.47716 01778
0.48481 63885
0,49343 06920
o.5oooo 75089
768 75355
765 12107
761 43o35
767 68169
753 87534
0.60938 62202
0.61929 14600
0.62*924 47^^2
0.53924 62177
0.54929 72081
990 62298
995 32612
1000 16066
1006 09904
1010 17090
3o.3o
3i .00
3i.3o
32.00
32. 5o
33.00
33. 3o
34- 00
34.30
35.00
0.50754 62623
o.5i5o4 63785
o.5225o 72867
0.52992 04190
0.53730 92106
760 01162
746 09082
742 11 323
738 07916
733 98891
0.55939 89471
0.66955 27265
0.67976 98663
0.59002 17154
o.6oo33 96531
1016 37794
1020 71098
1026 18491
io3i 79377
1037 54367
0.54464 90997
0.55194 76277
o.55q2o 39392
o.5664i 77819
0.57358 80068
729 84280
725 64116
721 38427
717 07249
712 70614
0.61071 60898
0.62114 94606
0. 63 164 42662
0.64220 09946
0.65282 12020
1043 43788
1043 47976
io55 67284
1062 02074
1068 62728
35. 3o
36. 00
36. 3o
37.00
37.30
0.58071 55682
0.68779 84237
0.59483 65344
0.60182 93646
0.60877 '63822
708 28555
703 81107
699 28302
694 7<^^^7^
690 06763
0.66350 64748
0.67426 84383
0.68607 87690
0.69696 91454
0.70693 i35o9
1075 19635
1082 03207
1089 o3864
1096 22055
iio3 58233
38. 00
38. 3o
39.00
39.30
40.00
0.61567 7o585
0.62255 08684
0.62333 72905
0.63609 58067
0.64280 59029
685 38099
680 64221
676 85 162
671 00962
666 11655
0.71796 71742
0.72907 84621
0.74026 71110
0.76163 60691
0.76288 43385
11 1 1 1 2879
1118 86489
1126 79681
1134 92694
1143 26389
4o.3o
41.00
41. 3o
42.00
42.30
0.6494^ 70684
0.65607 87965
0.66264 0SS41
0.66916 19320
0.67561 2*3448
661 17281
656 17876
65 1 i347q
646 0412*8
640 89863
0.77431 69774
0.78683 51027
0.79744 08921
0.80913 66870
0.82092 44961
ii5i 81253
1160 57894
ll6q 66949
1178 79081
1188 24981
43.00
43.30
44'^^
44. 3o
45.00
0. 68202 i33ii
0. 68837 84033
0.69468 30778
0.70093 4^761
0.707*13 33196
636 70722
63o 48745
626 17973
619 84445
6i4 46202
0.83280 69932
0.84478 6*5'3o3
0. 85686 563 10
0.86904 68985
o.88'i33 3oi85
^^97 .95371
1207 9100^
1218 isiS7D
1228 61QOO
1239 37437
12
86
<p.
45. 5o
46.00
46. 3o
47.00
47.30
48.00
48. 3o
49 • 00
49.30
DO.OO
5o.3o
5i.oo
5i.3o
5a. 00
52. 3o
53.00
53. 3o
54.00
54.30
55.00
55. 3o
56. 00
56. 3o
57.00
57.30
58. 00
58. 3o
59.00
59 . 3q
60.00
60. 3o
61.00
6i.3o
62.00
6a. 3o
63. 00
63. 3o
64.00
64.30
65.
00
65. 3o
ff6.co
66. 3o
67.00
67.30
E.
0.70713
0.71027
0.71Q36
0.73540
o.73i38
0.75730
33196
8a68a
38417
4aoi3
88921
0.74317
0.74898
0.75474
0.76044
0.76608
74635
94536
44684
20222
16978
0.77166
0.77718
0.70264
0.78805
.79^39
30667
5704a
II 16
7o552
0.79868
0.80390
o . 80906
0.81416
0.81920
06160
33925
49878
00098
30712
0.82417
0.82909
o . 83394
0.8387a
0.84345
87894
17866
16896
8i3o5
07458
0.84810
o . 85370
0.85723
0.86169
o . 86609
91773
30714
40706
0.8704a
0.87469
0.87889
o.883oa
o . 88709
638 12
24634
19913
46497
oiaSo
o . 89 1 08
0.89501
0.89888
6 . 90267
0.90639
0.91005
0.91364
0.91715
0.92060
0.92398
81094
83oo8
04018
41210
9 1717
^2728^
21486
95290
71491
47497
c = siii 89*.
iE.
614 4^^^^
609 03284
6o3 55735
598 03596
592 46908
586 85714
58 1 20061
575 49988
569 75538
565 96756
558 13689
552 26375
546 34868
540 39306
53^ 3q436
538 35608
533 37765
5i6 15953
5 10 00220
5o3 80614
497 57182
4.91 399P
484 qgoSo
478 64409
472 261 53
465 84314
459 3894a
452 90085
44€ 3779?
4^ 8aii5
4^ 23io6
4a6 60812
419 95289
4i3 26584
406 54753
39979844
393 01914
386 21010
379 37192
373 5o5o7
365 61011
358 68758
35 i 73804
344 76201
337 76006
33o 73274
F.
o.88i33
0.89373
0.90623
0.91884
o.93i58
0.94443
3oi8î>
6762 a
86633
28396
665 10
0.95741
0.97051
0.98374
0.99711
.01061
33930
64351
93761
55399
89813
.034^6
.o38o5
.o5i99
.06608
.o8o33
.09474
. 10933
.13408
.13901
.i54i3
54933
3ii37
30334
46o36
53447
. 16943
.18493
. 20064
. 3 1 655
. 33367
8q556
00229
45317
68767
28740
82740
90752
15396
22079
79164
. 24902
.26560
.28241
•29947
.31679
58i53
33885
84751
92926
446i5
.33437
.35222
.37035
.58878
.40751
3o329
45193
89340
67774
91741
.42656 78154
.44594 5o532
.46566 39408
.48573 82862
.5o6i8 27122
.52701
.54824
.56989
.59198
.61453
27224
6353o
60739
57639
^F.
239
35o
261
273
285
297
37437
42392
76709
41673
38214
67420
3io
323
336
35o
364
578
393
409
42S
441
458
475
493
5i 1
53o
30421
28410
63638
344i3
45120
96205
89197
26702
07411
56109
13S73
42088
23450
59975
54000
55^
570
591
612
634
08013
34664
o6683
57085
78989
667
681
706
731
757
75733
5o866
08175
51689
86714
785
8i3
843
873
904
14864
78534
25967
86413
937
971
2007
2044
208S
72878
88876
43454
44260
00102
2123
2i65
2208
2354
23o2
2o5o6
i58oo
971.99
76900
68190
«7
18.
60.00
68. 3o
69.00
69.30
70. 00
70.30
71.00
71. 3o
72.00
72 .80
73.00
73.30
74.00
74.30
75.00
75.30
76,00
76.30
77.00
77. 3o
78.00"
78.30
79.00
79.30
80.00
80. 3o
81 .00
81. 3o
8â.oo
83.30
83.00
83. 3o
84.00
.84.30
85. 00
85. 3o
86.00
86. 3o
87.00
87.30
88.00
88. 3o
8q.oo
89.30
90.00
E.
0.92398
0.93739
o.93o5a
0.93369
0.93670
0.93981
0.94276
0.94564
0.94845
0.95119
0.95385
47497
20771
88853
49354
■§7288
68o4d
558qo
66614
0.96644
0.95896
0.96141
0.96S78
0.96 608
0.99831
0.97046
0.97254
0.97455
0.97648
"855Î3"
77554
40904
74010
41418
72043
67679
23893
4o524
0.97834
0.98012
0.98183
0.98346
0.98602
16189
49684
39889
86770
86393
0.98661
0.9879a
0.90936
0.99062
0.99170
40936
48649
08969
S1436
86763
0.99382
0.99385
0.99481
0.99670
0.99661
01866
69866
90189
63648
9i5o2
0.99726
0.9979a
0.99861
o4)99o3
0.9q947
76669
18979
26602
01771
67088
0.99986
1 .00016
1 . 00040
1 .00069
1 . 00076
07033
78062
19846
3i6i2
16777
c = sin 89".
l^E.
33o 73274"
333 68061
Si 6 60432
3o9 5o4t6
3o2 38096
296 26623
288 06754
aSo 87848
273 66864
266 43860
35918899
i5o
a5i 03O.
244 633
237 32888
23o 00718
223 66908
216 31626
307 94636
aoo 663i4
83 i663i
5 75665
78 33496
70 90206
63 45881
56 00633
48 54533
z
33
20
12467
18 64327
16093
41
33
26
11
o3 67999
96 20334
fe8 73469
81 27864
75 84167
66 43310
69 06623
61 76169
Ji4 56317
37 4q945
3o 71019
M 4m4
19 11666
i'5 84266
F.
.61453 37629
.63766 00819
^ 66 108 91390
.68614 363Ô8
•70974 59.509
. 73493 60634
.76073 17937
.78716 94463
.81428 386oi
.84311 3677
.87069 6764
.90008 04717
.93o3i aio3i
.96144 43880
.99353 5o4o5
2.03664 73982
2.06086 11867
2.09623 34027
2.i3a84 93580
2.17082 39301
2.21026 29900
2.36126*62766
2.29396 44406
2. 33853 17166
2.385i2 91006
a. 43396 53414
2.48626
2.53522
d. 696 23
2.65663
2 . 72084
01760
41 114
93954
73269
63810
2.78958
2.86286
2.94306
3.02753
5.iai69
o36i7
35888
33338
fôo68
76783
^ I r
i?.
23o3
2362
24o5
â46o
2618
q579
2643
2711
2782
2858
2938
68190
86574
636oi
60725
57003
76626
44o38
8827g
40869
37069
3o23
3ii3
3209
3420
3662
3797
3943
4100
i63i4
23868
o65i6
23577
37885
23160
69553
456&I
9069
2385
3.32491
3.33964
3.46876
3.61613
3.7874a
66453
384o8
49890
3184^
947^5.
3.99109
4.a/(oo3
4.55^46
4.95366
5.4H90
63i39
9217S
9'ï92
98713
'98^96
4270
4466
4669
488*2
5i3o
91660
73860
4^409
68336
5396 39364
6701 63840
6039 7931 5
64ao 89641
6853 40807
7348 ^322
7919 96360
8687 32820
9376 11726
io32i 80670
11473
1 39 1 3
14*736
1 7 1 39
20*^66
248q3
3 1343
40030
48ia3
71955
11482
719.1a
7Q9Ci3
68^^74
29037
99016
075'îr
99583
«8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
§ IV. Autre^ méthode pour construire les Tables des
fonctions F e/ E.
94. On peut construire ces Tables par une autre métbode qui
n^exige que des calculs Irigonométriques très-simples : voici ea quoi
consiste cette méthode*
Supposons qu'après avoir pris un module c à ydlonté , on veuille
trouver l'amplitude ^ qui répond à une fonction F égale à -^ de
la fonction complète F'; cette amplitude se déterminera par la mé-
thode de Fart. 67 , première Partie^ si Ton a c*< f , ousi c* étant
>> ^ 9 n'est pas trop rapproché de l'unité ; et par la méthode de
l'art. 71^ si I — c' est très-petit.
Soit dans l'un et l'autre cas ^ a ou a, 1^ valeur de l'amplitude qui
donne F {(t) = -^ F'^ nous appellerons successivement ^«^ ^3, ol^^^
amplitudes qui donnent F(flt.)=: ^Fa, F(a3)=5Fa, F(fltJ = 4Fa, etc.
jusqu'à F (tf.oo) = 200F (a) = F*.
Cela posé ^ la Table que nous voulons construire contfendra ^ dans
la première colonne^ les nombres i , a, 3. . . .200, qui représentent
les fonctions F croissant par intervalles égaux , depuis la fonction
F(ût) = -ôo F' jusqu'à la fonction complète F'; dans la seconde
colonne seront les valeurs correspondantes de ^amplitude , savoir,
a, ,tf^, ££3. jusqu'à a^.^ ou \ir. Cette Table sera en quelque sorte
l'inverse de celle que nous avons construite par la première mé-
thode y et dans laquelle tes amplitudes croissent par intervalles-
égaux; mais la théorie des fonctions F fournit des formules très-'
élégantes pour construire la Table dans ce nouveau système.
95. Désignons par p un terme quelconque (t^ de la suite ol^ ^
it^y cL^y etc. , ensorte qu'on ait F^ = rîFoL; nous ferons par analogie
F ((p') =:(n+i)¥eL,¥ ^' = (u'^ 2)FeLy et dans le sens inverse ,.
F ((p") = (» — 1) Fflt, F <p^^= ( 71 — 3 ) Fa , etc. Cela posé , sort
A (a) ou \/(i — ^ sin* a) =flr, l'équation générale de l'art. 22 ^
première Partie , deviendra
tang (i ^'4- i r ) = <» lang ç.
CÔN^TPRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 89
Mais on a ^' -^ 2^ + 9* = <^^?'' f ^^^^^ équation peut donc se metlre
sous la forme'
tang (<? + i cf -r ) = « tang ^ ;
on déduit de là ^
o » ^ 1 + a tang"*^
Soit ii=i~T ou A:= î-^, cette équation deviendra
1 +« 1 + a' *
et on en déduit ultérieurement,
sîn I /«(p*» = — A sîn (2(p + ^ /•(?• )*
Cette équation fait voir que i cT^^"* est toujours négatif; faisant
donc X J^*?* = — û> , on aura
sin e» = A: sin (2^ — cù)^
Or A est une quantité très-petite du second ordre par rapport ha,
puisqu^on a c? sin a r= jf ^ y et qu'ainsi k se déduit de csin a^
suivant la même loi que le module c'' se déduit du module c. On
voit donc que û» restera toujours une quantité très-petite du second
ordre ; son maximum aura lieu à peu près lorsqu'on a ^ = 45% et
ce maximimi sera à peu près = A = (7 c? sin «)^ = -^ c^a sin â&;
dans les points extrêmes ^ lorsque ^ = oou^ = j7r^la quantité cé
sera nulle.
L'équation sin û» = A sin ( 2^ -— û» ) est facile à résoudre dans les
difTérens cas^avec toute l'approximation nécessaire ; on peut d'abord
négliger ea dans le second membre^ ce qui donnera sin a» =Asin a^^
ou simplement a» = A sin 2^ ; ensuite pour avoii' une plus grande
approximation y on substituera cette valeur dans le second membre.
Soit alors A sin (2^ — oà)t=py on aura sin càt=p; donc si on
appelle R.'^ le nombre de secondes contenues dans le rayon , afin
que R"â> exprime le nombre de secondes de l'arc a> , on aura
R"« = R>(, + i.Ç + i^.^ + etc.>
déduit aussi inunédiatement de la formule tang (^+7 ^'9'')
90 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
s= a UDg ^ , une autre valeur de ^ J^*^"* ou a» ^ savoir :
a = — \ cT*?* = A: sîn a^ — -i A' sin 4(p + 1 A^ gj^ g^ _ ^^^^
Mais cette expression est en général moins convergente que la
précédente y et elle parait moins facile à calculer , parce qu'elle
exige de plus qu'on cherche dans les Tables les logarithmes de
sin 4^^ sin 6^, etc.
Les valeurs qu'on devra donner à ^ seront successivement a^^ a^y
a^y etc. On calculera les valeurs correspondantes de ac^y qui seront
en même temps celles des J"^^; et comme la première valeur de ^<Py
celle qui répond à 9.= o y est égale à ât ^ on pourra former en entier
la colonne des valeurs de^^.
96. Mais pour vérifier les calculs et empêcher les erreurs de s'accu-
muler ^ il sera bon d'avoir une formule qui fasse connaître directe-
ment une différence première quelconque /^.
Or on a vu (art. 18 ^ première Partie) que si l'on fait
tang 4/ = A ( ât ) tang ^ et tang fe = A ( 9 ) tang a , on aura
(f'^ï-vlz + ft; mais d'un autre côté,4 = ^ + ï J^*^* ^^ ^'=^"f"^^>
donc )» =s J\p — 5 J"*^* = cT^ + d» ; donc on a pour déterminer
directement tf^ , l'équation
tang ( J^^ + û^) = A (^) tang a.
On voit en même temps y par celte équation , que comme a» est
toujours positif^ et A(^) toujours moindre que l'unité y on aura par
ces deux raisons ^ S^ < et. Ainsi toutes les quantités qui entrent,
tant dans la colonne des différences secondes if^<p , que dans celle
des différences premières J'^y seront plus petites que des limites
données y et ne peuvent par conséquent éprouver que de petites
anomalies.
On obtiendra enfin une vérification complète de tous les calculs ,
lorsque le dernier terme de la colonne des ^, savoir a„^, se trou-
vera égal à 90*. On peut se procurer d'autres vérifications dans
cet intervalle , en calculant la valeur de 9 qui donne F^ égale à la
moitié ou à une autre partie exprimée exactement en 300^^°^^ de la
fonction complète F'.
97. Une fois qu'on a déterminé la constante cl par les méthodes
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 91'
directes^ on Toit que la Table entière relative à la. fonction F^ peut
être calculée par une seule formule trigonométrique simple et ri-
goureuse y savoir , sin o» c= A: sin ( 2^ — a» ). En effet cette formule
seul€ servira à former la colonne entière des différences secondes;
et comme on connaît d'avance le premier terme des différences
premières J^ , lequel est égal à ot , on formera de suite la colonne
entière des différences premières J^^,ei de la celle des amplitudes <p y
puisque le premier terme = o.
Le problème est donc résolu complètement par la seule équatiorr
mentionnée ; mais pour se procurer de loin à loin des vérifications ^
on a une seconde formule trigonométrique^ savoir,
tang ( J^^ + a ) = A(^) tang ot ,
laquelle servira à calculer directement la différence première tfp.
Elle montre immédiatement qu'une valeur approchée de /^ est
J'(p = fltA (ç) — C0.
Il faut maintenant examiner y l^ comment on interpolera la TaBIe
des fonctions F , calculée pour une valeur déterminée du module ;
i}"". comment on interpolera le système des Tables particulières ,
calculées pour les différens angles du module , de demi-degré en
demi-degré.
98. Dans le premier cas y si Ton cherche une valeur de (p qui
réponde à une valeur donnée de F, il faudra d'abord exprimer F
en parties 200'*™** de Fi. Soit donc F = ■ F*, /i étant un entier
et X une fraction.
Soit A la valeur de ^ qui répond au nombre n de la première
colonne^ et soient /A ^ J^^A, «T^A les différences successives placées
sur la même ligne que A ^ la valeur de l'amplitude (p sera , suivant
les formules ordinaires ,
Si au contraire on demande la valeur de F qui répond à une valeur
donnée de ^^ on verra d'abord au premier coup d'ceil quel est le
nombre de la Table qui doit être pris pour A; le nombre corres^
pondant n se trouvera dans la première colonne^ vis à vis de A f
92 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
ainsi pour avoir la valeur de F = 2^t£ F% il ne s'agira que de
déduire x de Téquation précédente où Ton connaît 9^ A, /A ^
J'^A , J'^A } or cette résolution n'offre aucune difficulté; car on a
^ — A
X
a a. 3
la première valeur approchée de x est donc ^> ; on s*en servira
pour substituer dans le dénominateur et obtenir une seconde valeur
plus approchée de x ; cette seconde en donnera semblablement une
troisième ^ et ainsi de suite.
gg. Venons maintenant à la seconde question. Nous supposons
qu'il existe une suite de Tables construites pour tous les angles 9
du module 9 de demi-degré en demi-degré ^ dan$ chacune desquelles
on trouve Tangle ^ qui répond à toute fonction F (0 , ^), exprimée
par — F' (0) , n étant un nombre entier.
Cela posé^ soient donnés la fonction F et l'angle a du module à
laquelle elle appartient ; il faudra préalablement y d'après cet angle ,
calculer la fonction complète F* (u) ; alors connaissant F^ on con-
naîtra le nombre n + x { composé de l'entier n et de la fraction or) ,
tel qu'on ait F = î^^ F>.
Soit maintenant ^ = ^+^,j'^ Ç étant un nombre entier de
demi-degrés > et^ étant <C i* Dans la Table où 8=:^ ^ on prendra
par interpolation l'amplitude ^ qui répond à 7^-{-ar; on prendra de
même , par interpolation y les amplitudes ^', ^", (p% etc. qui répondent
à 72*4- or y dans les Tables dont l'angle du module est f + ^%
S+i*, C+ï*ï> etc. ; cela posé^ l'amplitude qui répond à la
fonction donnée F dont Tangle du module est jU , sera exprimée
par la valeur
ç+y (^'-^) +^-^ (^ ~2^'+P) +-5^^^ (f ''-3^-+3f'-^) + etc.
L'opération inverse se ferait d'une manière semblable , mais il est
superflu de s'en occuper ici.
100,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. $5
100. Il faut faire voir maintenant comment on pourra former une
Table analogue pour les fonctions E : cette Table est d une exé-
cution beaucoup moins facile ; cependant il se présente encore ^
pour la construire , des formules assez élégantes et qui méritent
delre remarquées.
Soient, comme ci-dessus, ^%^9 ^' trois amplitudes successives
telles qu'on ait F (r) + F (a) = F (<p) , F ((p) + F (a) = F (^') , on
aura^ suivant Fart. 3i , première Partie y les deux équations
E(^*) + E(a) — E(^) = c»sinflt sîn (p'^sîntp ,
E (^) + E(flt) — E(^') = c*sin a sin^ sin ^';
d'où l'on lire
E (^') — 3E {(p) H- E (^•) = •— c* sin a sin ^ (sin ^'— sin ^•) ,
ou, ce qui revient au même ,
cT'E (^^) = — c* sin a sin (p (sin ^' — sin ^•),
Mais on a sin ^' — sin ^" z= a sin ^ — ^ cos ^ T^ • d'ailleurs
cT^E (^") = — 2c^ sin a cos ((p + i cr*<P' ) sin ( J^ — i cTV) «ÎQ ?*
ou en faisant comme ci-dessus j i"^^"* = — o) ,
cT'E (fl>') = — 3c* sin d cos (^ — * û)) sin (J^^ + û» ) sin (p.
J'observe maintenant qu'on a a sin ^cos (jp — û^) =sin (a^ — a))-f-sin co;
mais.sin £»=Asin(2^ — û>); doncasin^cos (^— «)=(i4-A)sin(2^ — «);
donc
/•E(^*) = — c*(i 4- A) sin a 310(2^ — (ê) sin (cT^ •+•«)>
ou enfin
cT^E ( ^' ) = — ac ^k . sin ( 2^ — ») sin ( J\p 4- û> ).
Cette formule est rigoureuse, et elle est réduite à un état de simpli<-
cité qui la rend très-propre au calcul logarithmique.
101. Ainsi en même temps qu'on calculera pour la Table dêâ
fonctions F, la quantité (» qui donne /*9% et ensuite /(p, par la
valeur ^(p = J^f * + /*^% on aura tous les élémens nécessaires pour:
i3
ô4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL*
caicttler /^E^*" : on formera donc par cette seule fortnule ^ la colonne
entière des différences seconde^ de la fonction E.
On yoit que la différence seconde eT^E^"* s*évanouit aux deux limite»
de la Table , lorsque f 2s= o, et lorsque tp s=s go"* ; aon maximum
répond à une amplitude toujours plus petite que 45^
D'un autre coté y la fonction Ea est fiicîle à déduire des mémes^
élémens qui servent à déterminer et de manière qu'on ait F<e=^FV
et cette fonction Eoi est en même temps la valeur de cTEo , puisque
£o = o^ et qu'ainsi la différence Ece — £o ou /E*=Ea, Puis donc
qu^on connaît le premier terme de la colonne des différences pre-
mières y et tous les termes de la colonne des différences secondes ,
on pourra immédiatement former la colonne entière des différences^
premières y et ensuite celle des fonctions E^^ dont le dernier terme
devra être égal à la fonction complète £'.
loa. La méthode que nous venons d'expliquer pour former la
Table des fonctions E est d'une simplicité qui ne laisse rien à désirer.^
Et quand on considère aussi combien est Êicile la construction de
la Table des fonctions F, puisqu'elle ne dépend que d'une seule
formule trigonométrique rigoureusement exacte y on serait tenté de
croire que cette manière de former des Tables des fonctions F et Ë ^
doit être adoptée de préférence à celle que nous avons exposée
dans les chapitres précédens. Peut-être que l'exécution dévoilerait
encore de nouveaux motifs de préférence ; c'est ce que nous laissons
à décider à ceux qui voudront entreprendre le long et utile travail
de la construction de ces Tables.
Nous devons encore observer qu'il sera facile de vérifier aussj
souvent qu'on voudra le calcul des fonctions E ; car ayant E^ — < E^
c= J^E(p% on tire des équations précédentes y
J^E^ = Ea — c* sin et sin ^ sin ^f
C'est l'expression d'un terme quelconque de la colonne des diffé-
rences premières ; et on voit que ces différences diminuent conti-
nuellement depuis la première égale à E» ^ jusqu a la dernière qui
est à peu près Ea — ^ c' sin a ou b^cL.
io5. Pour donner un exemple des Tables construites suivant 1»
méthode précédente y soit le module c as siu 4^*. On trouvera pav
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. g5
les formules de Tari. 67 , première Partie ^ la valeur de a qui satis-
fait à l'équation F (a) ==x5ô El ^ et les quantités qui en dépendent^
comme il sait :
a ==: 5i' 5a" 158076
IsincL =3: 7.96708 78960 70
tt = 5.o3i09 5i556 gS
l(2cy^k) = 7.66606 25656 80
Ea ris: 0.00927 034^6 OO
D après ces données ^ on a calculé le commencement de la Table
partictdière pour le module sin 45% comme on le voit ci-joint.
La première colonne intitulée n , représente une valeur donnée de
F = — j et les colonnes suivantes donnent les valeurs correspond*
dantes'de l'amplitude ^ et de la fonction E. 11 est clair que pour
toute valeur de F^ comprise dans les limites de cette portion de
Table , c'est-a-dtre moindre que 7; E% on trouvera par interpolation
les valeurs correspondantes de 9 et de E , et les résultats devront
6^accorder avec ceux que donne la Table II.
io4- Il est bon d'observer que par la dernière méthode que nous
venoos d'exposer^ on n'évite pas entièrement les difficultés que
présente l'interpolation dans certains cas où c est très^près de l'unité.
On divise seulement la Table en un certain nombre de parties iné-
gales , où l'interpolation peut se pratiquer avec k peu près le même
degré de justesse -, mais dans ce cas , les premières divisions com-
prennent un plus grand nombre de degrés de l'amplitude , ce qui
exige qu'on ait recours , pour l'interpolation , à un plus grand nombre
de différences; si on a, par exemple j^ le module c;::: sin 89*9 la valeur
de * qui donne F<x = ï|^ F* sera «= 1 • 35' ^4" 05669 5842; cette
valeur serait encore plus grande pour le module csszsux 8tf 7. Ainsi
l'interpolation présenterait encore plus de difficultés dès le commen-
cement de la Table; ioconvénient auquel ne sont pas sujettes les
Tables construites d'après noire première méthode.
f >
96
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
n
o
1
3
3
l
9
10
1 j
15
i4
i5
ib
'7
]8
'9
30
«Ml
^.
o**oo'
o.3i.
1. 3.
1.35.
3. 7.
3.39.
00 000000
53.138076
44.193096
36.o«5658
37.730935
19.047907
3.11 .
3.43.
4.14.
5. 18.
9.954739
0.369739
5o.3i 1410
39 -§98.499
^7'- 849970
5.5o.
6.33.
6.53.
7.35.
7.67. 16.369044
16.485094
3 . 323460
■47 -9849^*1
33.689935
8.38.68.610455
9. 0.39,674768
9.33. 19.366047
10. 3.67.606936
10.35.34.333590
^.
'53" 138076
.53.066919
.61.891637
•5 1.646303
.61.316903
. 5o . 906833
.60.416000
.49.841677
.4q. 187083
. 48. 45147^
.47.636134
i^•<p.
.46.738066
.46.761611
.44,704^64
43.5691 19
. 4a > 35441 1
.4i .o6i3o3
. 39 . 690389
.38.3^1889
.36.716654
o" 083 167
0.164383
0.346344
0.338311
0.410160
0.491833
0.673335
0.654394
0.73561a
0.816347
0.896768
0.976846
1.066547
i.i 35845
1 .314708
1.393108
1.371014
1.448400
1 . 536335
i^3(p.
83135
83063
81967
81809
81683
81491
81371
81018
80735
804a 1
80077
79703
78863
78400
77906
7;
7'
'386
1835
E.
o . 00000
0.00037
o.oi853
o . 03780
o . 03707
o . o4633
00000
03406
96846
75368
2998
6379
1
5
^E.
0.06559
0.06484
0.07409
o . o8333
0.09367
36858
71367
5ii44
67637
1 3938
0.10179
o. 11101
o. 13033
0.13943
0.13864
68814
43968
37047
00454
9
o
3
8
8
0.14778
o. 16694
o '. 1 6609
0.17630
0.18435
66646
88140
87616
47430
60669
7
7
7
7
o
937 03406 o
936 q444o 1
936 7861a 4
936 5463 I 1
936 33808 4
936 83o6o 9
935
924
924
933
933
35408 8
79876 8
16493 4
45390 9
663o6 1
931
930
919
910
917
79579 1
85i64 3
83079 6
73407 o
66191 9
916 3i49^ o
9*4 99376 o
913 59904 o
913 i3i48 3
i^»E.
J^E.
7965 9
16927 7
3388 1 3
3l833 7
39747 5
47662 1
55533
63383 4
71303 5
78984 8
86737
7961 8
7953 6
7941 4
7934 8
7904 6
7879 9
7861 4
7819 I
7783 3
7743 a
7697 9
944^4 .<}
1 03074 6
1 09673 6
L 17316 r
1 24697 9
7649 7
7698
7643 6
7483 8
7420 1
1 33118
1 39473
i 46755 7
7354
7383 7
83
132
166
303
247
285
5p3
368
401
443
482
5i7.,
555
597
66]
703
^
Ç V. Formules pour trouver les valeurs très-approchées des
Fonctions Fcp ^ E(p , lorsque P amplitude (p n'excède pas-
une certaine limite.
io5. Lorsque Tangle (p est peu conside'rable , on a à très-peu-
près y v^(i — C* sin* 9) = cos c(p ; faisant donc A =:cos cp , on aura
v^ ^, 1 • ^ . -n^ r d^ Il 1 -f-sin r^
E^ = /a® cos c^ = - sm c^ , et Y0 = / — ^ 3= — log : — ■-
T j T ^ C ^ ' J Gos cÇ 3c ° 1 — sin r^
=: - log tang ( ^ TT +\c(p). Ces valeurs sont exactes dans les cas
extrêmes , lorsque c = o et c= i ; elles seront d'autant plus ap*-
prochées dans les autres cas, que l'angle^ sera plus petit.
Pour savoir quel est le degré d'approximation de ces valeurs y ott
développera en série la quantité A^ ce qui donne
A = 1 — - c* sin" ^ — — ^ c^sin^ ® — ' .\ c* sin* ^ — etc. «
3 ^ 3.4 ^ a. 4.6 ^ ^
CONSTRUCTION DES TAB LES ELLIPTIQUES. 97
et en y substituant la valeur
sin f = (p-^ + j-g-^ — j3-^^ + etc.,
on aura l'expression suivante, exacte aux quantités près de l'ordre c*^*,
de là résulte f^d^ , ou
Désignons cette valeur par E = - sin <^ -f- Q , nous aurons par le
développement du premier terme ,
et par conséquent ^
on a donc la valeur f rès-approchëe ,
on trouverait par un calcul semblable ,
(b) F^=llogtang(i^4-i«<p)-|^-^'' + ^?>'(4~4'c0-
Ajoutant ces deux formules ^ on en tire une troisième non moins
remarquable y savoir ^
Eç + F^ = - sin c(p + - log lang (^ ^+ 7 <^P) — -^ <P'-
106. La formule (a), réduite à son premier terme - sin c^, don-
nera sept décimales exactes si Ton a p <i&' ; elle en donnerait dix
ou pins si on avait ^ < i"" j.
£n prenant les deux premiers termes^ la formule £^=:-sin cp
-4- -5— (p^ donnera sept décimales exactes , si on a ^ < i6* 4> «^
dix décimales ou plus^ si l'on a 9 <C6'* ia^«
^ EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
L'approximation s'obtiendra à peu près anx mêmes degrés sur la
valeur de F^^ selon qu'on la borne au premier ou aux deux premiers
termes.
Si on tient compte de toiM les termes de la formule (a), il
n'y aura de négligé dans la valeur de £(p , qu'une partie dont
le terme le plus grand est de Tordre -?-- 41% et ne pourra jamais
excéder g-^ ç^. L'erreur due à ce terme ne sera pas d'une unité
décimale du dixième ordre ^ si on a ^ < iS"", et elle ne sera pas
d'une unité décimale du septième ordre , si on a ^ <C 52* 4^. Le
même degré d'exactitude n'aura pas lieu dans la formule (&); et
pour avoir sept décimales exactes , il ne faudra guère passer la
limite ^ = 20*.
107. Exemple L Soit c=: sin 45"" et ^ = lo"", la Table II donne
les valeurs suivantes :
£(p = 0.1740g i5655,
F^ = 0.17497 65019;
r •
m ■ ^
il faut les^ comparer à celles que donnent nos formules ; et d'abord
pour avoir la valeur de E ^ on calculera les deux premiers termes
de la formule (a) comme il suit :
c<p = 7*4' i5" 84412 ^ = ^ 9-24187 73 6
sinc^.... 9.09025 95615 ^^.••;.. 6.20958 68
1 _ ^ r . ^ b
»C»
o.i5o5i 49978 "^T"*"^ 2.07918.12
c ^^/- 3o
-sinc^... 9.24077 45595 (i) 4-i5^2o 56
-sinc^. = 0.17409 02140
(,) = 15496
E^ = 0.17409 i5656
On voit que les deux premiers termes donnent la valenr de E^
avec huit décimales exactes^ Terreur n'étant que de dix-neuf unités
décimales du dixième ordre. U en sera de même pour la valeur deFp
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQtJES. ^
6oiil Toici le calcul :
4$' + ï ^ = 48* 32' f 92206 ,
/tang(45*4-^c^) = o.oSSyS 43422.
Ce log-tang. étant un logarithme vulgaire , il faudra le multiplier
par M pour le changer en logarithme hyperbolique , comme Ixr
formule le suppose. Ainsi en appelant h le nombre précédent , on
aura les logarithmes suivans , pour déterminer le premier terme B*
de la formule (b) ,
hm... 8r75a25 19567
M... o. 56221 56887 B = 0.37497 76676
-.•... o.i5o5i 4997S 5-iV^*..<r 1349&
11 I »^— ^^i^^*^ Il I r I II» — — — É
B.... 9.24298 26232 ^ F(p = 0.17497 65 180
On voit que les sept premières décimales de la valeur de F^ sont
exactes ^ et <{ue Terreur ne commence qu'à la huitième ^ où elle n'est
pas de deux unités.
108. Pour obteniruneplus grande approximation, il faut tenir compte
du troisième terme contenant (p\ Or puisqu'on ac*= j , la correction
qu'il i&ut appliquer à E^ , est égale à la correction précédente (i)
multipliée par ^ ^ cte sorte qu'en appelant (a) cette seconde correc-
tion qui est addilive, on aura (2) = (]).-g; de même la seconde
correction de F^ sera — (i) » — ^r
(1)..*. 4-i5o2o 56 0.17497 63i8o
-^.... 8.07798 94 (:2)...— . 161 5
(2)...* 2.20819 5o F^ = 0.17497 65oi8 5
La correction (2) pour £9 sera onze fois moindre que celle de F^ ;
elle est donc de quinze unités décimales du dixième ordre ^ ce qui
donne la valeur corrigée de £(P y comme il suit i
Ori74o9 i5636
(2)... + i5 /
£9 = 0.17409 i565i
îoo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On voit par conséquent que la valeur de F^ s'accorde exactement
avec celle de la Table II j et que la valeur de E^ ne diffère de celle
de la Table que de quatre unités décimales du dixième ordre; mais
Tamplilude n'est que de lo*.
. 109. Exemple II. Soit ^= sin 4^^ et ^ = ao% on trouve dans la
Table II ,
Ep = 0.54557 5C2i5,
F(p = 0.55261 98854;
il faut comparer ces valeurs à celles que donneront nos formules.
En voici le calcul :
c(p = i4«8'5i"688a4
sin c^.. . 9.58797 55865 ^ 9.54290 75655
-... o.i5o5i 49978 (p^ 7.7145568165
A... 9.55848 85845 -g^-*-'-^ 2.07918 12460
A = 0.54555 224691 (i)... 5.65555 557
(i)... 4- 4 518735
E(p = 0.54557 545416
Ainsi Terreur de la formule , en prenant les deux premiers termes
seulement ^ n'est que de deux unités décimales du septième ordre.
Voyons à quoi elle se réduira en ajoutant le troisième terme y ou
la correclion (2) = (i). ~.
(i).... 5.65555 557 0.54557 54541 6
^ 7-65865 67 (a) = + 1879 4
(2).... 5.27401 2 E(p = 0.54557 56221
On voit que la valeur de E^ n'est en erreur que de huit unités
décimales du dixième ordre.
En calculant de même la valeur de F^ ^ on trouvera,
par les deux premiers termes.. . . F^ = 0.55262 20o54 9
et par les trois termes F^ = o.5526i 99581 ;
l'erreur du dernier résultat est de cinq unités décimales du huitième
ordre.
110.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i oï
1 îo. Exemple III. Soit c = sin 45^ et ^ = 3o% on trouvera ,
par les deux premiers )i:.^ -» / z5 ^
f j 1 r 1 rE^ == o.5i2o4 oi5oq,
termes de la formule J ^ -r ;/»
par la Table II . • • o . 5 1 204 952 a5 ,
Différence ... —
F(p
o. 53566 oi25a
o.5S56a 27528
— • 51716,
par les trois termes) «7- £» / 9£*
delaformule j^^ = ^^'^'^^^ 956i9,
par la Table IL • . o.5i2o4 93225,
Différence ... + 394 ^
+ 3 73924
F(p = o. 5356a 48o35
0.53562 27328
20705
Par ce dernier résultat , on voit que Terreur de la formule n*est que
de quatre unités décimales du huitième ordre sur E(p ; mais elle est
de deux unités du sixième sur F^.
Ainsi à mesure que ^ augmente. Terreur croit dans une plus
grande proportion sur la fonction F que sur la fonction E ; on ne
peut guère aller que jusqu'à 20"* pour obtenir F avec sept décimales
exactes, tandis qu'on peut aller jusqu'à 3o'' au moins, pour avoir E
avec un pareil degré d'exactitude.
Au reste le cas de c* = -^, tenant presque le milieu entre les cas
extrêmes c = o, c=: 1 , oùles deux formules sont rigoureusement
exactes , il y a lieu de croire que les erreurs de ces formules sont
alors assez voisines de leur maximum , et que dans d*autres cas , les
erreurs pourront être moindres ; c'est ce que les exemples suivans
vont Êdre voir pour une valeur de c très-peu différente de Tunité.
1 1 1. Exemple IF'. Soit c = sin 89* ; voici le résultat de nos for-
mules , comparé à ceux de la Table de Tort. 93 , dans les trois
hypothèses ^ = 10% ^=20% p = 3o%
(p =z= io*c(p=:9^59'54"5i702645«4-i€?<p = 49*59'V2585i5
1" terme. . .
a™
0.175641^^467 4
+ 164
0. 1754a 55557 6
— 16 4
Par la Table.
E =
= 0.17564 84484
0.17564 8448a
F = o. 175^2 55541
0.17543 55540
Diff.....'.
+ a
i4
loa EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Dans ce premier cas y Terreur n'est que de une ou de deux unités sur
la dixième décimale , ce qui laisse incertain si Terreur est du côté de
la formule ou du coté de la Table. Il n'y a pas lieu, comme on voit ^
d appliquer le troisième terme de la formule.
^ = 20"
c/p = 1 9^ 59' 49" o54o5 45* 4-
ii^=54*59'54"5 17025
1" terme. . .
0.34202 22762
4- 526
0.35657 62023
— 526
5"*
0.54202 23288
+ 11
0. 35657 61497
— 56
Par la Table.
E= 0.34202 23299
0.34202 233oo
F =
:o. 55637 61/1/11
0. 35637 6 '479
DifF.
— I
— 38
On voit que la différence est insensible sur E^, et qu'elle est à peine
de quatre unités décimales du neuvième ordre sur F^.
(p = 3o'
1" terme. . .
rmt
Par la Table
Diff......
cp = 29* 59' 43'' 55 108
o.5oooo 74886
182
E=o.5oooo 75068
o.5oooo 75089
— 21
45-+ïC<p = 59«59'5i"77554
0.54929.77237 4
— 3994 4
0.54929 73243
-964
F =0.54929 72279
0.54929 72081
+ 198
On voit que dans ce troisième cas , Terreur dé la formule n'est que
de deux unités décimales du neuvième ordre sur E , et de deux du
huitième sur F ^ ce qui est une approximation très-satisfaisante.
112. Exemple F^. Soit encore c= sin 6o' et ^=5o% et supposons
qu'on demande la valeur approchée de F(p ; la formule est alors
1
c
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i o5'
Ea Toki le calcul :
c(p = :i5*58'5o''7436, 45* + i^(p = 57* 59'25"57i8 ,
/ lang ( 45' + ^ c(p) = o. 20404 85486.
Sait ce logaiiUiaie =; A ^ le premier terme P de la formule
MA
sera —
c
A 9*50975 55fOî
M a, 50331 56887
... 0.06246 93685
P 9.75441 85671
F' terme ... o . 54^5 2 55 1 53
«"• -:^ 59649
0.54227 75504
III"* — 4 39432
Donc valeur app. E^ = 0.54223 Z^&o^n
Vakur exacte • r . 0.5422291)00
Erreur de la formule ... -f- 549
On voit que dans ce ca^. L'erreur est de cinq unîtes décimales du
sixième ordre.
ii3. 11 résulte de tous ces exemples que la formule (a) peut être
employée avec sûreté pour donner la valeur de E^^ tant que ^
n'excédera pas So"*; car à cette limite , elle donnera encore sept
décimales exactes. U n'en est pas tout à fait de même de la for-
mule (b) ^ où il convient de ne pas prendre (p plus grand que 20%
si on veut avoir au moins sept décimales exactes dans la valeur
de F^. La formule devient cependant plus exacte et permet de
porter (p jusqu'à 3o', lorsqu'on a c <sin 35^, ou c> siq 75".
Avec ces restrictions, les formules (a) el {b) sont d'un usuge
extrêmement commode , et peuvent remplacer avec avantage lef
Tables elliptiques même les plus étendues , dans une partie consi*
•dérable de ces Tables. En effet les calculs qu'^exigent ces formules,
seront toujours plus simples que les interpolations d'une Table à
xo4 . EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
double entrée^ telle que celle dont nous avons indiqué la cons-.
traction.
»
On suppléerait donc entièrement à la Table dont il s*agit, si on
avait des moyens faciles de ramener tous les cas à ceux qui se
résolvent par les formules (a) et (é). On trouvera dans le chapitre
suivant y quelques recherches sur cet objet.
114. Nous remarquerons que l'expression de F pourrait se dé-
dE
duire de celle de E ^ au moyen de la formule F = E — ^ 57 »
d'où l'on tire ,
Mais on voit que cette expression est plus composée que la for-
mule (b) ; ce n'est que dans le cas particulier où l'on a &* = 2c%
qu'elle se simplifie beaucoup ^ puisqu'elle donne
j^ fl sin cç ^' y 11
c
^ «^Oî^ '^^ — 85^ ^'^
Cependant elle pourra ê(re aussi* employée dans d'autres cas , puis-
qu'en général elle est de la forme
F = ^^î^^ — ^ cos c^ + A<p» -h B(p%
dans laquelle A et B sont deux coefilciens donnés en fonction du
module c. On éviterait , par cette formule , le calcul de log. (45"*+ î c^)
qui devient quelquefois assez long.
j VI. Méthodes diverses pour calculer les valeurs appro^
chées des fonctions E^ , F<p , lorsque F angle ç excède la
limite supposée dans le § précédent.
11 5» Si la valeur donnée de Tangle ^ est trop grande pour qu'on
puisse déterminer les fonctions E et F avec une exactitude suffi-
sante y par la méthode du § précédent y il faudra diminuer pro-
gressivement l'angle (p par la méthode de bissection donnée^ art. ai>
première Partie.
n
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQtJES. î o5
• Pour cet effet, soient ^', ^", ^'"^ elc. les amplitudes qui résultent
des bissections continuelles de la fonction F^ , ensorte qu'on ait
F(p' = iF(p, F^" = ^F(p', Fç"'=iF^",. etc.,
on aura en même temps ^
^Etp' — E^ = c*sin*ç' sin (p ,
3E<p"— E(p'= c*sinysin^',
:iE(p'"— E(p"= c^siny'sintp",
etc. ,
et Tamplitude ^' se déduira de ^ par les formules
• - • • -./ sin î ©
c sm ^ = sm « , sm ^' =t — ~ j
^ ' ^ COS j 4» '
on déduira semblablement ^" de ç\ ^'" de ^", etc.
En formant ainsi la suite décroissante <(>\ <p'', ^"\ etc., on par-
viendra bientôt à un terme <p''<C i5% et alors on déterminera aisé*^
ment, par les formules du § précédent, les valeurs des fonctions
E^', Fç", approchées jusqu'à huit décimales ou plus , desquelles on
déduira les valeurs de E^ et F^ , exprimées avec un degré peu
différent d'approximation. Ces calculs ont l'avantage de ne point
supposer connues les fonctions complètes ; ils peuvent même servir
à déterminer ces fonctions , puisque si on part de l'amplitude ^
donnée par l'équation tang ^= -—^ , on auraF(p = 7F*, E^=yE*
+ -j (i — i) ; d'où il suit qu'ayant déterminé F^ et E^, on con-
naîtra les fonctions complètes F', E*.
ii6. Une seconde méthode qui pourra dans certains cas être
préférable à la méthode de bissection , consiste à calculer les am-
plitudes (p., ^sy ^4^ etc. qui répondent aux fonctions multiples
F^^=:jF(p, F(pj = 3F(p, F^4==4Fç>, etc. On les détermine par
les formules
tang I (p. = A tang<p,
tang(|<P3+ï^) = A tang (P.,
etc. ,
dans lesquelles A est une quantité constante, telle qu'en faisant
c sin ^ = sin {i^, on a ù =; cos û»«
io6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL;
Au moyen de ces formules ^ on prolongera la suite 9 > ^^ , ^a , etc.
jusqu'à nu terme 9»=^ ak.-iTrzh-^, q\xi approche d'un multiple
pair de ^ «^ , de manière que la différence 4^ , positive ou négative ,
soit assez petite pour qu'on puisse calculer facilement^ par les
formules du § précédent, les valeurs approchées des fonctions
E4 y T'y]/. De là il faudra déduire les valeurs des fonctions propo-
sées E(p yV^ y au moyen des équations
F^. = 2F<p , 2E(p — . E(p^ =: c'sin*ÇsiQ(p,,
F(P3 = 5F(p , E<p +E<p, — E<p3 = c'sin ^ sin (p.sin cp,,
F(P4 = 4Fç y E<p, -f- E<p3 — E(P4 = c*sin (p. sin (p, sin ^4,
etc. etc.
117. Cette méthode j ainsi qo^ celle de bisseclion ^ sont fondées
sur des fcurmules trigonomé triques très-simples ;, cependant elles
peuvent devenir d'un usage dif&cile dans certains cas , surtout dans
ceux où ^ et sin 9 sont à la fois peu différens de l'unité. En effet ,
les opérations nécessaires pour changer l'angle proposé ^ en un plus
petit, auquel la méthode du § précédent soit applicable, peuvent,
dans les cas dont il s'agit > être plus longues que celles qui servent
à former la série des modules et celle des amplitudes , suivant la
méthode générale des approximations , et alors celle-ci deviendrait
préférable , tant par sa brièveté que par un degré d^exactitude
indéfini.
C'est dans les différens cas particuKers qu'on pourra se décider
sur le choix à £alre entre ces méthodes j suivant Le degré d'approxi-
matiop qu'on veut obtenir ; nous observerons seulement que l'on
peut toujours supposer l'angle proposé ^ plus petit que l'angle qui
a pour tangente -pr- Car soient ^ et 4^ deux angles tels qu'on ait
tang ^ tang •>[/=: t , Tun de ces angles aura sa tangente <^ v/x*'
D'ailleurs comme on a
F(p + F4 = F',
Etp + E4 = E* -+- c* sin ^ sin 4 >
il est visible quau moyen des deux fonction» qui se rapportent au
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 107
plus petit des deux angles ^ et -s}/ ^ on déterminera sans difficulté
les fonctions qui se rapportent au plus grand.
118. Exemple /. Soit c = sin 45% ^ = 60% le calcul par la mé-
thode de bissection se fera comme il suit :
sin û» =: c sin ^ = ^/(o.SyS').
un m.... 9.78701 56539 ^ = 37'' 45' 4<>" 47807
cos-^û»*..* 9*97598 o583i T^ = 18 • 5:2 «So. 35903 5
sin 7 ç ... . 9.69897 00045
sinip' 9-72298 94213 ^' = 3x^55' 58" 553aa
^(p' = 15.56.59.37661
sin^'.... 9.73398 94213
c. .. . 9.84948 5oo3a
sino)'.... 9.57347 44254 oè = 31^*56' 39^04340
^c»^ = 10.58. i4-53i30
sin ^ 9' ... . 9 . 43900 88575
cos^cù'...* 9.9919896871
sîn^". ... 9.44701 91704 9" = i6'i5' i7''5o46a
L'angle <f>" étant suffisamment petit , il est inutile de pousser plus
loin les calculs de la bissection y et en appliquant à l'angle ç>' la
méthode du § précédent , on trouvera les résultats suivans :
c^"= I !• 39' 38" 13433 , 45^ + ï c<p'' = 5o* 44' 49" 06316.
A = 0.38180 18598 B = o. 38563 50731
1) + 1 53i53 i) — I 53x53
a) + 440 3) — 4845
E^" = 0.38181 73190 F(p" 5= o.3856o 73736
Par la valeur de F^'^ on a immédiatement celle de F(p=:4F^"^
savoir ,
F^ = 1. 14343 90904
Suivant la Table. .. F^ =: 1.14342 90578
Diff. . . 4- 336
Ainsi Terreur est d'environ trois unités décimales du huitième ordre*
io8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Quant à la valeur de £^^ pu la calculera comme il suit par les
formules du n"" 1 1 5 ,
sîny . . . 8.89405 83408 c»sin*^'. . . 9. 14494 88468
sin ^\ • • 9.72298 94212 sin^... 9-93753 oôSiy
c\.. 9.69897 00045 «... 9.08247 94785
fit'... 8.5i599 77665
a = o«i209T 48046
^ a' = 0.02070 15070 aE^' = i.o8586 62620
aW = o. 56365 44S80 £<? = 0.96495 14574
£^' = 0.54393 3i3io Parla Tab.,E^ = 0.96495 14560
Diff. ■4-"i4
Ainsi Terreur sur E^ n'est que de quatorze unités décimales du
dixième ordre.
On aurait pu se borner à huit décimales dans tous ces calculs , et
les résultats n'en auraient pas été moins exacts.
119. Exemple II. Soit encore c^z=: f, et l'angle ^ tel qu'on ait
lang ^ = v/6; cet angle pourrait être remplacé par celui de 5o%
parce qu'on a Fcp + F (3o*) = F' ; mais nous n'aurons point égard
à cette propriété des fonctions complémentaires , laquelle ne nous
servira que pour vérifier les résultats, et nous appliquerons direc-
tement au cas proposé la méthode qui précède, par la mulliplicar
tion des fonctions.
On aura d'abord A = j/(i — c*sin*(p) = v/^, ce qui donnera
les résultats suivans :
A. • . . 9.87848 09756 57
tang(p.... 0.38907 5625i 92 ^= 67*47' 52"44458
tang-i; (p.. ... 0.26755 66008 49 i<P^ = 61.57.4^-57628
^^ = I25.i5.25.i5256
Déterminant ensuite ^3 par l'équation tang(7^j+^^) = A lang^.i
on trouvera
<P3 = 194* 5' 55" 86248.
Les calculs préliminaires se terminent ici à ^3 , parce que ^3 excède
i8q** d'un angle plus petit que .i5'. Soit cet angle =4> on aura
[
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Ï09
j == 180** 4- 4 > et
4 = i4* 5' 53'^ 85248.
• On calculera donc les fonctions E4 9 E^ ? par la méthode du § pré-
cédent y ce qui donnera
E4 == 0.34475 ^0Q&^ y F4 = 0.24720 64817 î
«
ensuiJLe Eç et F(p se déduiront des équations
F(p ==i(2F + F4),
E^ = j (2E' 4- E4 ) 4- î ^ sin(p sin ^^ (sin (p + sin (ps) ,
dans lesquelles on mettra les valeurs de F' et E' tirées de la Table I ;
on aura ainsi pour résultat y
Eç = 1.07004 95812, F^ =s 1.S1845 19452,
Ces valeurs se vérifient au moyen des équations
F(p 4- F (5o^) = F',
E(p 4- E (So**) = E' 4- c^sin (p sin 3o* = E' 4- { t/f ,
dans lesquelles substituant les valeurs données par la Table j oa
trouva
E^ == 1.07004 95798, F^ = 1.51845 1944^-
Ainsi l'erreur des résultats précédens n'est que de onze unités dé-
cimales du dixième ordre sur la fonction F, et de quatorze des mêmes
unités sur la fonction E.
On peut remarquer que la méthode par bissection doit donner
en général des résultats moins exacts que la méthode par multipli-
cation. La raison en est que les fonctions E^ , F^ se déduisent des
fonctions auxiliaires par multiplication dans le premier cas , et par
division dans le second. 11 semble d*ailleurs que les calculs sont
plus simples par la méthode de multiplication y parce que la quan-
tité A est constante dans toutes les formules qui servent à déter-
miner p^y ^3, etc.
1 20. Exemple III. Soit c = sin 60* et tang ^ = v^2 ; cette valeur
de ç est telle qu'on a F^ = j F* : ainsi on pourra vérifier immé-
diatement par la Table I , les résultats suivans que donne la méthode
de bissection.
i5
JIO
sin ^.
c.
$ia â>.
COS j (û •
sin ^'«
sin ùJ •
sin ^".
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
9.91 195 43705
9.95755 06517
9.84943 5oo2a
9.66247 55oo5
9.96561 534%
9.69685 99546
9.93755 o65i7
9.65439 o5863
9.4107a 39499
9.98915 51266
9.42158 88275
<p = 54-44' 8"i97i46
■j ^ = 37 ,22 ,4 -098575
£^==45" , sin ^ ^= v/(sin i5*. /|),
<p' = 29^5o' 25" 27549
i(p' = 14.55.11.65775
ùJ =; 25* 3 1^52" 07988
ï û)' = 12 .4^ «4^ «^^994
(p"= i5M8'25''i85i5
D'après celte valeur de (p'\ on calculera les fonctions E^", F<p" par
la méthode du § précédent , et on aura les résultats suivaos.
c(p" = 1 5*1 5' 2 2^49020, 45^4.ic^" = 5r57'4i"245io.
A = 0.26478 03649 6
i) + 85o58 5
2) + 614 5
E(p" =
0.26478 89522 2
B = 0.26957 35608 6
1) — 85o58 5
a) — 3866 6
F(p" =
= 0.26956 44685 7
F<p = 4F(p" =z= 1.07825 78755
Par la Table. . . i .07825 78257
DiflF... 4- 498
Calculant ensuite E^ comme dans Tart. 120^ on trouvera
E(p = o. 85552 80106;
Ce résultat se vérifie par l'équation E(p= 7 E' + ï (ï — *) = ï E'+ ^ ;
et comme on a E' = i.2iio5 60275 6845, il en résulte
E(p = o. 85552 80157 84225;
d'où Ton voit que Terreur sur F est de cinq unités décimales da
huitième ordre, mais que Terreur sur E n'est que de trois unités^
décimales du neuvième ordre.
Ces erreurs paraissent plus grandes pour le module sin 60'' qu«^
CONS'TRUCtlON DES TABLES ELLIPTIQUES. i n
pour le module sin 4^''; niais il y a à cet égard un maximum y passé
iequel les erreurs diminuent à mesure que le module augmente.
C'est ce qu'on verra par l'exemple suivant.
»
131. Exemple ly. Soit c =: sin 89", ^ssyS"* on trouve par
les méthodes directes^
E^ = 0.96608 74^10 14,
F(p = 3.02664 73981 80.
En appliquant au même cas la méthode de bissection y on aura les
résultats suivans :
sin (p'... 9.88488 58911 (p" = 37«5i'45"67900
sin(p''... ^.66963 81849 ^' = 37.51.28.40226
E(p" = 0.46735 16166 5 F^" = o.5o666 18602 5
E^' = 0.76719 75904 5 F(p' = 1.0x332 37205
E^ = 0.96608 74478 F^ = 3.02664 744'^
Val. exacte... 5io 3982
Erreur. •• — 32 + 4^8
L'erreur est donc de'quatre unités décimales du huitième ordre sur F^
et de trois unités du neuvième ordre sur £.
122» Nous joindrons ici le calcul du même exemple par lesfor-^
mules générales données dans la première Partie^ art. 76. Nous pren-
drons de la occasion de simplifier ces formules de manière à en
rendre l'usage beaucoup plus facile.
D'après le module donné cz=sin 89% on formera d'abord l'échelle
des modules y et on en déduira la valeur de K^ comme il suit :
c... 9*99993 38498 0922 i.... 8.24185 53184 2289
^•••- 9-99999 99987 4o53 V.... 5.88171 67951 8966
— . ... o.oooo6 61489 3i3i A". .. 1.16137 35965 io85
K...« 0.00005 50744 6565
il faudra ensuite calculer p' par l'équation sin (2^ — ^') = <; sin ^ ^
ce qui donnera
<p' = 74^59' i"44o6i5.
1 12 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Enfin on calculera ^'' par Téquation sîn (2^' — ^") = c'sîn^', on
plus simplement par Téquation tang ( ^' — ^") = V' lang ^"^ qui se
réduit à ^' — ç" = V tang (p"j on en déduira
(p' — (p" = o" 001 II 49
<p" =' 74« 59' 1" 45950
Cela posé j la valeur de F^ se calculera par les formule»
h = log tang ( 45* + 7 ?" ) , F = KMA , et on trouvera par le»
Tables à dix décimales seulement y
F<p = 2.02264 75980.
125. Quant à la valeur de E?, elle doit élre déduite de la formule
générale de lart. 76^ qu'on peut mettre sous cette forme:
E(p = c» sin (p + LT<p + 2c sin ?' (*'+ 2 sin' ÎIZl\
+ 4c «sîn (p" (W+ 2 sin* ~^)
+ ^?sin?-(4-+^sin-2:i^
+ etc.
Dans l'exemple dont il s'agît , on pourra faire L = ^ i* \/^ , et oa
trouvera les valeurs suivantes des cinq premiers termes auxquels*
se réduit cette formule,
!•. c^s\iï<p o. 96565 16165 5
ol\ VY(p o.ooo5o 86564 6
5*. 2cb' sin (p' • i4 70927 8
4** 4^ sin (p' sin* ^~^ . . . • 778 4
S\ 4c*ô"sin^^ 56 o
Somme ... . Eç = 0.96608 745io i
On voit que pour avoir la valeur de E^ exacte jusqu'à la dixième
décimale , il a fallu calculer cinq termes de la formule; mais cette
formule peut être simplifiée , sans cesser de donner un pareil degré
d'exactitude, pourvu que le cube de V tangf)' soit négligeable^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ï i S
et qu'ainsi on puisse prendre lare ^ —»- ^' pour son sinus et pour sa
tangente.
1 24. Soit d'abord E0 = LT(p + (i — ^ A* ) sîn ^ +A , on pourra ,
dans la formule générale, rejeter les termes de l'ordre sin*
ou h'^y et faire en conséquence c"s= i , K=: \/— > ce qui donnera
A = — i *■ èîn <p + 2cV sîn <p' + 4^ sin ^ sin* ?^^^ -+- 4*" y^c sin ^".
Puisqu'on a c^b = !i^(b'c) ou :icV -=. \ h^c'^'y la première partie de
celte valeur que j'appelle P'^ se réduit ainsi y
P' = 2cA' sin (p' — i i*sin (p = r 4' (c'* sin (p'— sin (p).
Soit ^ = (p' + û> , on aura sin ^ = ( i •— 7 â>* ) sin ^' -f- « cos (ffy
ce qui donne
P'=: — 7**(^ cos (p' — iû>»sin^')j
Mais on a l'équation tang a» = ^ tang ^\ qui , en vertu de notrer
h)^po(hèse ^ se réduit à o) s=: i' tang cp' ; donc
Y— — \h^{V sin (p' — 1 4'* sin <p' tang*(p' ).
Venons à l'autre partie P'' de la valeur de A ; on pourra y substituer
\ a* pour sin* ^ û> , et V* sin ^' pour W sin ^", ce qui donnera
P" r= €?a»* sin q/ + 4*" |/c sin (p' :
Or 44" \/c = ai" W = ^ c'AiV*'; donc
F + P" = liysîn(p'(cV*'— *) + *'Mang*(p'sin<p^(c+i i*).
Mais on a h — c'[/b' = (j~ — c') v/*'=(i+^— ^0 v/*'=^»/*'j
car la partie (i — c') y^b'y multipliée par ^ bb'y est au-dessous de
l'ordre b'\ et par conséquent négligeable; on pourra donc faire
i ii'sin(p'(i— cV*') =i cbb'\/b'sm (p', ou simplement ^ 4* V*'sîn <p';
car la dliTérence (i — c)bb'\/b^ appartient encore à l'ordre i'',
et peut être négligée ; par la même raison y on pourra faire
i'* (c -(- i 4*) = i'* ; donc enfin on aura
A = — i *4' /&' sin 9' -f. i'» tang» <p' sin ^',
, ,4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGÏlAL.
cequî clonnerâ E<p = î b^[/K.sm (p -f- B , en faisant
B = ( 1 — 7 4* ) sin (p — î 4i V *' 8"» ^' + *'* lang'(p'sin p\
Pour simplifiei* de liouVeau cette expression^ j*observe qn'oû a
b = ^^ , ce qui donne
1 + 6 ^
(, — i. *0 sm (P = (TTjTgTy. + (Tqiryy.-
Dans le second lêrme^ je substitue la valeur 6in(p==(î+*')cosô^sin(p',
^t j'ai J^^cos asin(p'; mais coà a==i — ^ û>% et la partie fa^ô'^sinip'
* 1 +0
est inférieure aux quantités négligeables; donc ce second terme se
réduit à ^^^^ ou ^bbyb'sin(p\ de sorte qu'il est détruit par le
terme \ bbWb^sin ^' de la valeur de B; d un autre côté, le terme
restant '"^,., peut s'exprimer par ^ sia ? ou ^ sia (p; do:nc enfin
on aura
E(p = î ^VK-F^ -h 4- «in <p + J'» taug*^' sin ^'.
C'est le dernier degré de simplicité auquel on peut réduire la for-
mule générale dans la supposition que b'^ et (é'tang^')' «ojent
négligeables. Cette nouvelle formule n'eiiige d'autres données im-
médiates que les modules A' et c', qu'il faut déduire des modules
primitifs i et c , et Tamplitude (p' qu'il faut déduire de (p par l'équa-
tion sia (a(p— '?') = c sin (p.
laS, Celle formule ne serait plus applicable si 0' était trop près
de QO*^ j mais nous avons déjà fait voir qu'on peut toujours supposer
tang (p < i/t ; ainsi on aura à plus forte raison tang <p' < y/j ,
et ( b' tang(p')^ < i b'^\/b. La même formule suppose qu'on néglige
les termes de l'ordre b'' ; ainsi dans le cas où on voudra l'appliquer
à dès valeurs de (p plus petites que 45% la formule sera exacte^
même jusqu'à l'ordre de décimales qui convient à i'^j mais si on
a^ > 45% le degré d'exactitude sera déterminé par l'ordre de dé-
cimales qJi convient à (4' lang(p')S- c'est-à-dire que si le pi'emier
chiffre significatif de la valeur de ( *' tang (p' )» est placé M douzième
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1 1 5
rang de décimales y on pourra compter sur à peu près onze décimales
exactes dans la valeur de E^ y pourvu que les termes qui composent
cette valeur soient calculés avec ce degré de précision»
ia6. Si on applique la formule qu'on vient de trouver à Texemple
précédent^ on trouvera les valeurs des différens termes comme
il suit :
1% -7-?sin <p 0.96677 87167 06
n\ ib^\/K.¥p 3o 86564 6a
3*. *'* tang* p' sin (p' . . . . 778 49
Eç = 0.96608 74510 17
Ainsi on a une valeur de E^ qui s'accorde parfaitement avec la valeur
déterminée par les méthodes les plus exactes.
On remarquera que dans cet exemple , {b' tang C'y est d'environ
deux unités décimales du onzième ordre ^ et cependant la valeur
de E^ n'est en erreur que dans le douzième ordre ^ ce qui fait
voir que les quantités négligées ont très -peu d'influence sur le
résultat.
127. Pour juger encore mieux du degré d'exactitude de notre for-^
mule , nous l'appliquerons au cas le moins favonible y qui est celui où
1» . ^ 1 Tk • ^ 1 C03 45**
1 on a tanfir^ c=-— r. Dans ce cas on aura sm ^ = -7- — r-7T = r^.
et il faudra calculer (p' par l'équation sin(24>' — (p) =z c sia p;
mais comme le terme qui contient (p' dans la formule est très-petit^
il ne sera pas nécessaire de calculer p' avec une grande précision.
Voici ce calcul:
cos 45* .... 9-84948 5oo 3(p' — tp = 8a* a4' 3o''97
cos44*i.... 3.853a4 2o5 ^= 8a. 38.27. 74
sinf.... 9.99624 295 2^ = i64.5a.58.7i
^•••» 9-99995 385 (p' = 8a. 36.39. 355
sin(2^' — ^).... 9*99617 680
Connaissant ainsi tous les élémens de la formule ^ on calculera les
trois termes de Eç comme il suit :
\
1 16 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
sîa (p. , . 9.996*34 529483 5i ^ b*^K. . . 6.18269 71783
4-... 9-99993 38523 28 F<p... o.434i6 234^5
1)... 9.99617 68006 79 2)... 6.6i685 96268
4ang»(p'.., 1.75431 33 1)... 0.99123 155933 i5
*'«... 1.76343 36 2)+ 4i 38657 87
sin(p'... 9.99620 99 3) 4- 5265 55
3). . . 3.51395 68 E^ = 0.99164 95856 67
Pour vérifier celle valeur de E^ , j'observe que dans le cas sup-
pose' , on a F(p =zi: ^ F', E(p = j E' + j ( i — 4) j et en subsliluant
les valeurs connues ^
b = sin 1* = 0.01745 a4o64 4
i(i —b) = 0.49137 57967 8
^ E' = ©•5oo57 57888 5
E<p =^ 0.99164 95856 5
Ainsi le résulls^t donné par la formule ^ même pour la plus grande
valeur de <p^ est exact jusque dans la dixième décimale.
1 28. Il y a une autre manière de trouver les valeurs approchées
des fonctions £^, Fcp lorsque b est très-petit , ou seulement lorsque
b tang 9 est plus petit que Tunité. Il faut alors mettre A sot^s la
forme (cos*^ + i* sin*^)», et en développant celle expression^
on aura
fAd(p=:fd^cos<pfi +ii*tang*(p — ^^^lang<^-|-^-^^i^tang*(f — ^elc).
Soient P'^ P", P'", etc. les intégrales suivantes , prises à compter
de ^ = o,
P's==/î/(pcos<ptang»<p, P"==/yipcos(plang*(p, P'"?=/a(pcos<plang^(p, etc.,
et on aura
E(p = sin f + i b-F' — i^ **P" + ^ b^"'— etc.
^ ^ • fl 12.4 fl.4.0
Pe même on aura F — E = jG — àjd^^=zc^J'^'^~rj pu en
substituant
CONSTRUCTION DES TABI.ES ELLIPTIQUES. 117
substitaant la valear déyeloppée de t > el inlégrant ,
F — E = c* Cp' — i i» P" + i:^ b*T"' — i44 *•?" — etc.\
Oa peut mettre ces deux résultats sous la forme suivante :
F<p= E^ + c* (p'-li«P" + ii?ô«P'"-i^4«P-+elc.).
et Ton remarquera que les deux séries comprises dans ces for^
mules , peuvent se former simultanément , puisque la seconde est
composée des termes de la première^ divisés successivement par
ly a^3>49 ^^^* Tout se réduit donc à trouver les valeurs des
intégrales P', P", P''', etc. On a pour cet effet les formules suivantes :
P' 5= * — sin ^ ,
aP" = sîn (p tang*^ — 5P',
4P''' = sin (p tang^(p — 5P",
6P'' = sin <p tang^(p — 7P'",
etc.
129. L'emploi de ces formules serait assez facile , si pour les
diverses valeurs de ^ on connaissait les quantités P'^ P", P'''^ etc. ^
ce qui pourrait se faire au moyen d'une Table dressée pour cet
objet. Il sera toujours utile de calculer ces quantités pour quelques
valeurs déterminées de ^^ afin de. pouvoir y par leur moyen ^ con-
naître les valeurs correspondantes des fonctions E^^ F^.
Soit par exemple , <p = 45% on trouvera les valeurs suivantes des
quantités P', P'', P'", etc.
*=/tang67*i = o.SSiSy 56870 19
sin f = sin 45'' = 0.70710 67811 86
P' = 0.17436 68o58 33 P''= o»o46oo 17089 i5
P"= 0.09215 5i8i6 43 P" = 0.03663 64261 19
P'"= o.o6i58 62182 42 P" = o.o3o4i o6io4 88
i5o. Pour avoir en général l'expression de P"^ je fais tang^=:a:^
16
ai8 EXERCICES DE CALCUL INTEGIULL.
3
j'ai P" z=:fjc^\dx (i4-ar*)"*, et riotégration par parties
pour résultat^
CcUe suite sera toujours convergente^ et d'autant plus , toutes choses
d ailleurs égales , que n sera plus grand; il faut excepter seulement
le cas où X est infini.
Si Ton fart^ comme dans l'exemple précédent, a: = i , on aura
^„ sT^ r , 5 1 , 5.5 1^^ 3.5.7 1 ^
~SHMU'^5;ï+S'H'^an4^.an+5'4^a^^
c'est l'expression générale des fonctions P" lorsque ^ = 4^*; d'où Ton
voit que lorsque Je sera très-grand^ on aura à peu près P'-s= /( ^ \ »
ou plus exactement P=: ^ , (1 + 7- j = ,^ . Ainsi les valeurs
* 271 + 1 \ • 4/1/ 4^* "~ ^
de P" fîoissent par décroître suivant une progression qui s'approche
de plus en plus de la progression harmonique indiquée par le dé-*
nominateur ^n — i.
Il n'est pas étonnant au reste que la formule d'approximation ne
puisse pas s'appliquer lorsque ^ est trop près de go"" ; car cette
formule est fondée sur un développement qui suppose toujours
b tang(p < I ; ainsi dès qu'ona tang ^> r , les formules qui expriment
les valeurs des fonctions E et F, cessent d'être exactes.
§ VII. Formules pour développer en séries les fonctions E eiF.
i5i. On a déjà vu dans la première Partie, art 120 et suivans,
que lorsque le module c n'est pas trop près de l'unité, on peut
développer la fonction F en une série de la forme
F = Aç — A' sîn 2(p + A" sîn 4<P — A'"sin 6(p -f- etc. ,
dans laquelle les coeiliciens A, A', A'', etc. sont des fonctions con-
nues de la quantité c.
Pour calculer ces coefEciens ^ nous nous servirons des formule»
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i tg,
de Fart. iS^ , cinquième Partie^ en y faisant o = î* Soit donc
a ss c^ ;=s ' ■ ~ - . y et réciproquement c zsi "jf ^ ^ on. aura
A» •••^ i+û* + aû cos s^
A» = I - c«8in«(p = (■f^)-r-^ '
2aCDS 3^)*
donc si Ton (ait ^ survant Tart. cité ,
(I-f-a•+2^ICOS^3^)''»=::P, aP, COS 2Çk-f-2P,C0« 4^ 2P5COS6(p+elC.^
on en déduira
F=(i + û)(Po— P,sin2(p + iP.sîn4(p — ^P,8În6<p+elc.);
c'estra-dire que les coefficiens A. se* déduiront des coefficiens P j^
soifant cette loi trèsrsiinple ,
A =:(l+a^lP,,
A' = (i+û)P.,
A"=(i + i.)iP.,
A'''=(i + «)iPs,
etc.
1S2. Connaissant les coefBciens qui servent au développement de
la fonction F, il sera facile d'avoir ceux qui donnent le développe-
ment de la fonction E. En effet soit
E = Rp + B^ sîn 2(p — B" sln 4^ + B'" sin 6<p — etc. ;
si on différentie chaque membre par rapport à ^^ et qu'on divise
par d^ y on aura
^/(i — £^sin*<p^)=B + aB'coS2)»^ — 4B"cos4?^+6B'"cos6^— elc;
difierentiant de nouveau ^ il vient
^i!-^^^^f) = ^'P' "° ^^ - 4'B"«a 4<P 4- 6' W"da6(p - etc.
Le premier membre a aussi pour expression ^
^ c*sin 2^ (A— a A' cob î^ -^ 4 A'' coft 4(p — 6A'^' cos Qp -^ etc. ) ,
B' = î-( A -aA") = îKf (p._p.).
lao EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
ou en faisant le développement,
, ,, 1 A sin 3ip — A' sin 4<p + 2 A" sin 6<p — 5 A'" 6in8(jl+elc.l
'"^ t— aA" 4-3A'" — 4A'» +5A' J
Donc en comparant ces deux expressions, on aura
~ 4
2*B" = ^ ( A' — 3A"0 = i^ (P. — P5),
5-B'"= I (2A"-4A-) = î^ (P.-P4),
4»B-= I (3A'"— 5A^) = i^ (P3 — P5),
etc.
A regard du premier terme B, il se déduit immédiatement de la
valeur connue de E', puisqu'on a E' =B.ï tt. On peut aussi trouver B-
par la formule B = A— (i— -A) (Po+P»)-
i33. Tout se réduit, comme on voit, à déterminer les coefficiens
Po, P, , P,, etc.^ et nous avons donné pour cet objet toutes les for-
mules nécessaires dans le § XII de la cinquième Partie. Nous remar*
querons seulement que si on fait
ensorte qu*on ait /),=:-, ^, = -^ , p^ = ' ' , etc., les coefficiens*
P, , Pg , Pj , etc. pourront s'exprimer de la manière suivante r
Pi = Pxa 4- p.p^a^ + p^p^a^ + p^p^fî' + etc.,
P. = P^à^ + PxPzf^^ + P^PiP^^ + ;^3;?5û*.+ etc.,
P3 =s p^^ + p.ptfl' 4- p^p^a^ + pip^^ + etc.,
P^ = p^a*^ 4- p,p^a^ 4- p^^a^ 4- p^p^a^''^ etc.,
P5 = p^a^ 4- p,p^a? + /?.;?,«» + pzp%a''+ etc.,
etc.
De là résulte un mode de formation qui peut être commode dans
la pratique. Supposons
P. = (i)a + (2) a» 4. (3) 0^4- (4) a' 4- etc.^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. lai
ou P, =^f(p) a"-', on tirera de là P. = a f{n) a**-' ^i — ^^Vj) , ou
P.= (,)a»(i-i) + (2)a*(i-i)4-(3)a«(i-i)+elc.;
ensorte que les difierens termes qui composent P^ se déduisent des
termes qui composent P, ^ en multipliant ceux-ci par a y puis dimi-
nuant le premier terme d'un quarts le second d'un sixième^ le troi-
sième d'un huitième y etc.
Si on représente pareillement P. par f{n) fl*%le coefficient {n) n'étant
plus le même que dans P, , on en déduira P, =^f(n) a*""*"' ^i *— ^ ' A
En général si on fait
* Pj = (i) û» + (2) «»+• + (5) fl*-^* + etc. ,
«
on aura lé coefficient suivant y
P^.= (0 a- (. ~ 3^)+ (.) a»« (z - ^:i3^(3)a-^x-g:i3j)+etc. ^
cette propriété s'accorde ayec l'équation (35), page 5oi^ en y fai*
sant 71 = l*.
154. Soit, par exemple^ a= sinSo^^s:!, si l'on veut que tous
les coefficiens P soient exacts jusqu'à la septième décimale au
moins , il faudra admettre jusqu'au terme P^o ; car on trouve
P.^ = o. 00000 01409; dans le même cas on aurait A^'*^= ^ P.^
= o. 00000 00106. Ainsi pour la formation des coefficiens A , il suffi-
rait de continuer la suite des coefficiens P jusqu'au terme P.,.
Nous avons donné ci-dessus , page :29i , les valeurs des coefficiens P
calculés jusqu'à treize décimales^ pour le même cas de a =7 ; on en
pourra donc déduire les valeurs des coefficiens A pour le module
î>|/a •!
c = -=5— , comme il suit :
A = 1.60977 30107 24i A'* = 0.00100 SgSii 174
A' = 0.41689 96484 45i A^" = o.ooo4o 08766 486
A" = 0.07913 08719 169 A'"'= 0.00016 46010 6o3
A'"= o.oaâii 45662 001 A" = 0.00006 9i5aa 954
A'^= 0.00728 38128 5i5 A" = 0.00002 95838 778
A' = 0.00262 88697 3ia A" = o.ooooi 28437 o3a
î^î ÉXEUCTCES DE CALCUL INTÉ&RAL.
On voit qu'il faudrait environ ciuq. te^rmes de plns^^. pour que le
dernier coefficient A ne fut pas d une unité décimale du septième
ordre.
On trouvera é^lewfeut par nm formules le^ valeurs suivante»
de» coefficiens B.
B =0.70903 96066 489 B^' = o.ooooS 19080 043
B' =i o,i&i3S i25i8 7/67. B^''= 0.00001 07001 774
B" = 0. 00973 7665^ 755 B^'*= 0.00000 57912 590
B'"==: 0.001 69 39075 139 B-" =t= 0.0000D i4oo5 071
B*''= o.ooo56 94399 3o3 B* = o.oo^doo o53^ 43i
B^ = 0.0001a 2665 1 764
Le terme suivant B'' ne serait plus que de deni0 unil'é»^ décimales du%
septième ordre ; ainsi peu s'en faut qu'on n'ait atteint pour le déve-
loppement de U fonction E j la Hûiite assignée.
ïS5. Oif voit qu'il ne convient guère de passer la limite tf=îr 7,
pour que le développement des fonctions E etF^ dans là forme
•opposée 9 donne des résultais exaclà jusque dans la septième déci-
male >. et qu'il ne contienne pas un trop grand, nombre de termes;
car puisqiu'on aurait ^ dans ce cas^ dix-sept termes^ dans la valeur
de F , et douze dans celle de E ^ on voit qu'il n'est g^ière possible
de passer un pareil nombre de termes, sans tomber dans des calculs
prolixe»^ et dont l'exactitude ne répondrait pas au travail qu'ils
exîgen^^ La» limite ^1^2 1 itépond »u module esss^^^^ c'est*à-dire
h peu près c= sin 70* 3o''. Ainsi l'usage de la métïiode précédente
doit être restreint aux cas où Tangle du module ne Surpasse pas 70* 3o^
i36. On pourra cependant reculer beaucoup cette limite de 70*3o^,
si on veut exprimer les fonctions E et F par la variable ^""y comme
on a exprimé les quantités D* etD"»* dans les art. 170 et 176 de
la cinquième Partie.
Pour parvenir directemen-t aux résultats qu'on doit obtenir dans
cette bypotbèse ^il faut ^d'après les propriétés connues (art. 60 et6j^
y
CONSTKUCnON DES TABLES EUJPTIQUES. aa?
fmmKxeUaanûe)^ iowipr Jes.éqnaUaa«
52 '
( I + c*) E = ^E* + e sîn <p*— T î*»'F%
dans lesquelles F^ et E"* sont tnîs .pour F (c% f ) et E (c?*, ^*).
Or il suit de d'analysfi précédante que si c*''* est < 7 , on pourra
développer les fonctions F% E"" en suites suffisamment convergentes^
Tune de la forme A(p* — A' sîn 2^+A"«sîn4^' — A'^'sin&p^+etc.-,
Vautre de la forme «(p** + B' sin 2(p*— - B" sin4(p*»+ B'''sin6^ — etc.;
d'où il suit que les fonctions E et F pourront être exprimées-par.deft
suites semblables 9 auquel se joindra un nouveau terme « sin ^ dans
la valeur de E seulement.
La valeur ^••ss:^ donne à peu près c'sssinTO^'So' et cssînSB'ao'.
Ainsi le développement des fonctions E et F peut être fah en séries
convergentes et qui n'aient pas un trop grand nombre de terines ,
pourvu que Tangle du module ne soit pas plus grand que 88*30'. Maits
depuis 70'' 5o' jusqu'à 88'' 20'^ la variable ^ devra être remplacée dans
le développement par la variable ^% et on sait que la relation entre
ces deux variables est donnée par l'équation sin (:a^-^'')=c''8in^%
ou par l'équation tang ( ^•— ^ ) = i tang ^.
157. Pour donner un exemple des développemens qu'on peut
obtenir en substituant la variable ^* à la variable ^^ nous supposerons
comme ci- dessus^ c =-^ ou c* = ^ = sin 5o' ; il en résultera
c"""* = tang* iS""; c'est la quantité qui doit être prise pour a dans le
calcul des coefficiensPe 9 P, , P»^ elc.^ d'où l'on déduira les coefficiens
A et B^ relatifs au même cas.
Or en poussant l'approximation jusqu'à dix décimales ^ on trou-
vera les résultats suivans :
P, = i.ooisq 3176a 3
P, = 0.03596 9414s
Pa = 0.00195 37551
P3 = o.oooii 59168
P4 = 0.00000 72826
P5 = 0.00000 04706
Pg = 0.00000 00010
p, == 0.00000 00021
Pg = 0.00000 00001
A = 1.07318 20071 5
A' = o.o3855 19021
A" = 0.00104 64783
A'" = 0.00004 i4i5i
A*^ = 0.00000 19614
A^ = 0.00000 01009
A^* = o.coooo ooo55
A^"= 0.00000 oooo3
B = 0.93421 61703 Q
B' = 0.03347 15574
B" = o.oooSo 02161
B'" = 0.00000 72401
B*^ = 0.00000 02417
B^ == 0.00000 00097
BV r= 0.00000 00G04
124 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Au moyen de ces coefficîens , on aura les valeurs suivantes de F"* et £%
F* = A(p- — A'sîn 3(p- + A"sin 4(p' — A'^sin 6(p* + etc. ,
E* = B(p^ + B'sin 2<p* — B''sin 4(p^ + B'"sin 6<p^ — etc. ;
et enfin celles des fonctions proposées F et E ^ savoir^
F = |F% E = fE-— tF-+isin(p%
lesquelles seront exactes jusqu'à la dixième décimale. Or on a vu
ci-dessus que l'expression des mêmes fonctions , par la variable ^ ,
exigerait un beaucoup plus grand nombre de termes pour ne donner
que sept décimales exactes.
Ces développemens ont l'avantage de représenter les deux fonctions
dans toutes les combinaisons analytiques où elles peuvent entrer ;
d'ailleurs les premiers coefliciens A^ A', B ^ B' qu'il importe le plus
de connaître exactement , se trouveront toujours avec toute la pré-
cision qu'on peut désirer par le moyen de la Table des fonctions
complètes.
TABLE I ,
;
TABLE I,
CONTENANT
LES LOGARITHMES DES FONCTIONS COMPLÈTES F'c, E"c,
Calcolés pour tous les an^es du modale de dixième en dixième de degré, depuis o''
jusqu'à gù^y avec i4 décimales pour les i5 premiers et les i5 derniers degrés du
quadrant 9 et la décimales pour tous les autres an^es de i5 à 75 degrés.
On 7 a joint les différences premières ^ secondes , troisièmes et quatriteact de ces
Logarithmes, terminés uniformément à la décimales.
L'angle du module qui sert d'argument est désigné par 9.
e.
Log. E».
[95 aoS
196 fia!
95 IQI
95 i55
3 675
o 448
726 410
on 6i5
636 o63
95 119
196 08a
95 045
95 007
94 968
599 792
Qoa 8a<
545 ao]
5a6 948.
848 089
94 9^9
94 S80
94 848
94 807
94 765
5o8 659
5o8 689
848 au
627 a57
545 86a
194 7aa
94 679
94 635
94 591
194545
Q04 067
001 879
63q 36 1
01b 539
733449
^94 4.99
94453
194 4o5
94 357
94 309
790 ia8
186 6i3.
9aa 9i
4i5 a87
94 a6o
94 aïo
94 i5q
94 108
[94 o56
171 38i
267 4?^
7o3 614
479 83r
596 184
94 004
193 950
93 896
93 84a
93 787
93 731
93 674
193 617
93 559
193 5oi
439 36a.
937 827
776 778
956 a64<
476 333,
7833
9543
11
o§a 701
849 43o
986 416
463 703.
a8i 336
01
9344a
193 38a
193 3aa
193 a6o
95 ^99
337 o33.
538 416
080 53a
963 43 1
187 167
193 i36
193073
[93 009
19a q4*5
9a 880
ga 814
751 791
657 357
9o5 919
491 53i
4ao a49
690 i3o
DiflP, I.
393 aa7
o54 039
714 804
375 55a
006 37»
"B96 Q6a
357 6a5
018 a56
678 859
^9 43i
999 970
660 478
3ao 953
081 996
641 804
3oa 179
ci6a 5 18
6aa 8a 1
a83 090
943 3a i
6o3 5i5
a63 671
9a3 789
583 867
a43 906
903 Qo4
563 86a
aa3 778
883 653
543 483
ao3 370
863 014
5aa 714
18a 366
841 974
5oi 536
161 048
8ao 5i4
479 93a
ï39 299
798 61'
4S7 88!
117 100
776 a65
435 376
4^4
438
41a 388
071 a8i
730 119
388 901
660
660
660
660
660
bbo
660
660
660
660
660
660
660
660
660
b6o
b6o
660
660
660
660
660
660
660
659
65û
65'9
659
659
659
659
659
659
659
659
659
659
659
659
659
65'9
659
659
659
659
658
658
658
658
658
IIL
Log. F'.
947 369 475
980 8a7 836
014 gSo 957
049 738 9^7
o85 loa 000
lai 3io iq3
i58 093 683.
iq5 54a 6i3.
a33 657 ia6
a73 437 369
3ii 883^91
35 1 995 643
Soa 773 580,
434.fii8 659
476 3a9 839
58
7940
519 107 683
56a 55a 355
606 664 oa3.
65i 44a 856
696 889 029
II
743 ooa 715.
789 784 093,
837 a33 343
885 35o 65o.
934 i36 198,
983 590 177
o33 71a 778
084 5o4 194
i35 964 6aa
188 094 fl63
4?
oc
a4o 893 3i6
394 36 1 989
348 5oo 486.
4o3 3o9 oao
458 787 8oa
5i4 937 048,
071 706 97b
629 a47 807
687 409 7S4
746 a43 074.
f?^ 747 967
865 9a4 673
936 773 4^7
988 394467
o5o 488 oSa
n3 354 366,
176 893 7l3.
a4i 106 3aa,
3o5 9qa 444.
371 55a 334.
437 786 a46
Diff. 1.
458 36a
ia3 lao
788 oio
453 o33
118 193
40
783 491
448330
114 5i3
780 243
446 laa
lia i5a
778 537
444 679
111 180
777 844
444 672
111 667
778 834
446 172
ii3 686
781 378
449 aSi
117 3o6
785 549
453 978
>o
5i
IQt
12a 601
791 4^6
460 ia9
139 640
799 054
468 67a
i38 498
808 533
478 78a
149 346
56 819 928
37 490 '83 1
58 161 958
58 833 3io
5o4 892
1 76 706 fc7a
848 755|67a
521 o3p "
193 566
866
333
539 347
213 610
886 123
559 889
333 9i3
908 195
IL
m.
664
664
665
665
665
665
665
6b5
665
666
43q
583
000
bb«
666
666
666
666
i85
342
5oi
664
828
666
667
667
667
667
bb7
6^h
668
668
668
668
669
669
669
669
826
o35
a49
464
682
a35
014
673
673
675
S74
674
674
».
.9
4.4
Log. £'.
9a 814
9â 748
99 6i3
9g 545
690 i3o
3oi sSo,
a53 6o5
547 3i6
b 4^^
92 476
193 406
9a 336
9a a65
i58 977
477 04^
i3& 69/
157 97^
480 958
199 lai
193 048
974
9'
iffS 70a
5oo 735
a7i i54
3a5 598
90-19
718 i3i
454 8a4.
533 744.
954 q6o,
718 S44
8a4 566
373 098
064 ai3
197 983
674 485
90 957
190 874
90 791
90 707
90 6aa
6S5 980
161 ia8,
009 3ii
aoo 608
90 536
90 45o
90 363
90 376
190 188
735 o(
61a 8)
833 985
398 54a
5o6 619
90 099
|0 010
[9 oao
89 oaq
89 738
558 aqc
i53 666
09a 807
575 808
00a 755
89 645
89 553
89 459
89 365
973 738
a88 844
948 164
qSi 7S9
89 a7i 299 81a
89 17?
89 080
8*8 983
88 886
88 788
88 689
99a 3a 1
099 4^5
411 187
i37 73a
aoQ i47
6a5 599
36
87
Diff. I.
388 Qôi
047 oa4
706 090
564 «96
oa3 44^
681
340
0(^8 718
657 0'8
3i5 aSS
«58
658
658
658
658
389 58o
947 557
6o5 466
7T
a63 3û8
gai 080
78 783
a36 416
893 978
55 i 468
ao8 886
866 339
5a3 ^90
180 6q3
091
748
a35
880
443
993
n. m.
658
«58
658
658
658
7a3
666
606
546
488
658
658
657
657
657
49»
404 63a
060 859
716 9QQ
373 o53
039 018
684 894
340 680
096375
65 I 978
3o7 489
963906
618 339
373 455
q38 585
583 617
338 553
657
656
656
656
656
65S"
656
656
656
656
645
563
480
397
3ia
b56
656
656
655
655
655
655
655
655
655
655
655
655
655
654
654
0-199
^•199
^•199
0.199
0.300
834101
0.199
0.199
0.199
0.199
.199
Log. F\
437 786
5o4 694
573 377
640 554
709467
346.
44«. .
183.09
733.75
363.18
Z79 2^1
849 358
930 3i8
991 954
064 366
o.aoo
0.300
0.300
0.300
3.300
137 355
3IO 931
385 a64
36o a85
435 983
33J.Q8
434.08
107.60
939^4
0.300
o.aoo
3.300
0.3OO
0.3OO
"Si a 36ô
607 i5o
745 563
8a4 656
115.91
033.96
351.02
094.87
849.07
8i3.i6
389.00
581.39
997.70
848.71
0.300
0.3OO
0.30
0.30
0.30
904 4^9
98i 883
066 oi5
147 838
a3o 333
447.80
111 .37
158.67
1I5"499
3q7 357
481 897
653 034
695
613
883
914 85û
oo3 478
09 3 801
838 . 93
673.04
5a9.i3
747.11
665.82
638.34
980.09
070.39
350.43
875.58
0.303
0.3O3
0.3O3
0.3O3
0.303
183 810
373 5o3
364 883
456 q48
549 ^99
3o3.55
895.16
01^36
030.03
3o6.i8
0.303
0.3O3
0.3O3
0.303
0.3o3
Î43 l37
r37 363
133 074
574
763
o.3o3
o.3o3
0.3o3
0.3o3
0.303
0.303
•130 639
318 ao5
3i6 460
41 B 4o5
5i5 040
6i5 365
331.85
i5i.i4
473.95
570.41
837^94
634.36
38i.i5
463. o3
377.75
336.35
719.63
Diff. I.
66 908
67 583
68 957
68 q33
69607
n.
195674
70 383
70 gSq
71 635
73 3l9
73 988
73 665
74343
75 oao
75 698
76 376
77 o55
77734
78 4i3
79 09a
79 77»
87 :
88 6^
83 393
90 008
90 693
9» S79
9a o65
99 751
93437
94 ia4
94 8ïa
95 5oo
96 188
96876
â*9
939
097
806
100 SaS
101 016
678
679
679
680
80 45a
81 i33
81 8i3
83 176
83 867 8rô|68a 0341337
84 539 "" "" "' ~
85 aaa
68a
683
683
683
683
684
684
684
685
590348
357
556
446|356
8c336i
i63i365
685
685
686
686
687
687
687
688
^8688
688
689
690
690
690
691
367
369
1
e
w
5.1
a
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
S
6
6
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
ao
o
1
a
3
4
5
6
9
o
1
a
3
4
5
6
o
I
a
3
4
5
6
l
9
o
1
a
3
4
5
6
7
8
Log. E'.
0.188 689
0.188 590
0.188 490
0.188
0.188 a
^
0.188 186
0.188 084
0.187 98*
0.187 ^77
0.187 77Q
o, 187 667
0.187 5^^
0,187 455
0.187 348
0.187 a4o
6fl5 53o
386 078
493 59^
945 473
74a 721
"885^439
373 731
1107 70a
387 456
915 100
784^
00a 493
566 459
476 753
733 487
0.187 i3a
0.187 ^^
0.186 qj3
0.186 oo3
o. 186 69a
0.186 58o"
0.186 468
0.186 355
0.186. a4i
0.186 ia7
336 774
a86 737
583 46a
aa7 095
ai7 745
Diff. I.
99
99
100
101
101
a38 55a
893 386
548 119
aoa 752
857 Q^a
10a 5ii 708
io3 166 oao
io3 8ao a46
104 474 356
io5 128 557
io5
106
107
107
108
78a 35
436 o33
089 706
743 a66
396713
555 5a8
a4o 566
65a 807
38o 4i5
0.186 01a
o.i85 806
o.i85 780
o.i85 663
o.i85 546
0.1 85 4a8
o.i85 3o9
o.i85 189
o.]8S 069
0.184 948
455 688
878 83o
649 9S9
760 a33
a36 747
o5a 646
a 17 o58
•tSo 117
591 960
8oa 731
0.184 8a7
0.184 70^
0.184 58a
0.184 4^9
0.184 33^
36a 533
371 535
539 867
i37 668
oqb 081
109
109
110
111
111
o5o 047
703 a65
356 367
009 35o
66a 317
IL
654 834
654 733
654 633
654 53o
654 4a6
654 3a 1
654 3<7
654 110
654 001
653 894
653 78a
653 673
653 56o
653 447
653 334
lia
lia
ii3
114
114
ii5
116
116
'M
118
i»9
lao
lao
131
314 96a
67 588
30 091
373 47a
934707
576 858
338 861
880 737
53a 485
184 »oi
835 588
486 941
i38 i57
789 339
440 188
0.184 aïo
0.184 o85
o.i83 959
o. i83 83a
o.i83 705
40a 347
o5q 3i I
066 419
4a3 717
i3i 353
o.i85 577
o.i83 448
o.i83 319
o.i83 189
9I o. i83 o5iB
* i o.i8a 937
133
133
ia3
134
134
168
090
741
39a 199
043 587
6qa 834
653 318
653 103
65a q83
65a 867
65a 745
III.
101
100
io3
104
100
106
107
109
1C7
lia
109
ii3
ii3
ii3
116
65a 6a6
65a 5o3
65a ^81
65a a55
65a i3i
65a oo3
65i 876
65 1 748
65i 616
65i 487
65 1 353
65i i3i6
65 1 08a
65o q49
65o 810
ia5
ia5
ia6
137
137 941 877
34a
é4a
393
|36
I93
roa
[64
189 476
5o8 338
357 790
468 a'86
939 880
74a 730
Tâ8
139
139
100
i3i
i3i
65o 670
65o 5oi
65o 388
65o a47
65o loa
116
;;?
laa
119
ia3
laa
136
138
137
138
i3a
139
i34
137
i34
i33
139
140
Log. F».
o.2o3 6i5
o.3o3 716
o.ao3 818
o.ao3 9'io
0.304 0^3
365 713
38a 144
0^9 931
489487
58 1 339
0.304 1^7
0.304 23 1
0.304 337
o.ac4 44^
0.304 549
365"57g
84a 95a
oi3 784
878 boo
437 533
o.ao4 656
0.204 764
0.304 073
o.aoi 98a
o.2o5 09a
691 330
640 399
035 bio
66a 836
o.3o5 ao3
o.aoS 3iX
o.ao5 426
o.ao5 53
o.ao5 65
397 045
8a8 69a
958 336
786 i4o
5i3 868
o.ao5 767
o.ao5 88a
o.ao5 998
o.ao6 1 14
0.306 33l
538 89
464 680
090 713
417 465
44s 4^3
o.ao6 349
0.306 467
o.3o6 58b
0.306 706
o.ao6
70b
837
175 068
606 894
579 o56
130 388
Dîff. L
1;
56
649
649
649 663
649 5i3
649 36 1
591 338
340 448
889 5o4
538 406
187 i5o
835 738
i4t
145
146
146
148
i5i
i5a
i5i
o.ao6 948
o.ao7 070
0.207 192
0.307 3i6
0.207 440
365
3i6
352
399
890
069
436
5o3
787
0.207 565 173
0.207 690 655
0.2C7 816 844
0.207 943 741
0.208 071 347
810
095
ibo
565
816
649 210
649 o56
648 902
648 744
648 588
648 427
]54
i54
i58
i56
161
159
0.208 199 663 461
0.208 328 689 042
0.208 458 4^5 loB
0.208 588 872 198
o.ao8 730 o3o 874
o.ao8 85 1
0.308 984
o.ao9 117
0.209 a5i
0.309 386
.0.309 531
001
485
781
79^
5i7
9^7
690
306
986
597
611
.603
01 016
r07
^99
01
03
o3
o3
091
784
43i
787
556
74^
347
04477
o5 170
05 864
06 55
07 35
08
48
44
09 340
o 087
o 734
376
83
716
o33
2S7
979
6i5
696
236
309
IL
691 356
6qi 769
693 186
693 6o5
693 039
693 456
693 884
694 3.7
694 754
695193
1 43i
3 139
3 837
3 5a6
4 aa6
647
544
904
738
033
4 ûa5
5 636
6 3a6
7 027
7 729
789
o5a
753
Û
8 4?i
9 134
9837
20 541
21 345
ÏÏiqSo
aa 655
33 36 1
34 067
24774
367
067
35 481
36 189
36 897
27 606
28 3i5
285
695 636
696 081
696 53o
696 983
697 438
?9
8
3
698 824
699
699
700 343
700 7a 1
701 304
701 689
70a 180
8a6 7oa 671
497 703 1 68
665 703 667
332704 170
5o2 704 677
705 188
705 700
706 217
284706 739
023707 26*2
707
074 708
396 '^
25 1
645
39 035
29 736
30 447
3i i58
3i 870
58]
o63
093
676
816
I
3a 583
33 296
34 010
34 735
33 439
36 i55
5i6
780
611
014
901
547
[89
»92
708 855
709 3
709 9
A
6
710 482
711 q3c
711 583
71a 140
71a 70c
m.
4i3
4»7
4«9
4M
437
428
433
437
438
444
445
449
455
455
459
463"
464
47^
47^
477
13
485
49^
49»
497
5(
507
5ii
5l2
5i7
523
523
527
533
533
539
542
546
7i3 26/î
713 83i
714 40?
7^4 977
7i5 55s
716 139
548
553
557
56o
564
5'^7
572
574
51
585
flO^O
ao.4
Log. E».
,9
,9
o.i8a 9^7
o.i8â 7q5
o.iSa 663
o.iga 53o
o.iSg a^6
o.i8a d6A
o.iSa 137
0.181 QQI
o.i8i jSb4
0.181 717
74a 73o
906 093
4aa 8227
390 3o4ji
609 855 1
909
^91
DiffJ.
835 738
484 i65
i39 435
780 539
4a8 481
IL
648 497
648 5168
648 106
647 94a
H7 777
0.181 o8o
0.181, 441
0.181 36a
0.181 i63
0.184 oa3
aa5 667
9i3 o36
û53 658
347 6q£
095 33»^
0.180 88a'
0.180 740
0.180 5q8
0.180
o. >8o 3ia
iq6 743
6$a 106
461 604
ba5 4^1
143 74»
0.180 168
0.180 oa3
0.179
0.179
0*179 585
0.179 437
0.179 a89
0.179 141
0.176 QAl
0.17» ^1
016 75g
a44 ^^7
8a7 591
765 804
069 4^
0.178 691
0.178 540
0.178 388
0.178 a35
0.178 Q8a
o.»77
0.177
0.177
0.177
o. 177
a4^
aS.O
0.177
0.176
0.176
0.176
o 176
708 780
076 lae
79a 563
8'66 440
aqS 961
084 33c
aa8 767
73o 45t
589 6a 1
80S 480
38i a4i
3i4 ii8li55
605 3a7
a55 08 9 1 56
.a63 6à
63t 16
076 a58 84^ 61 1
7a3 869 647 444
071 3i3 647 a74
018 587647 io3
66 5 690 646 93 1
3ia 6ai 646 767
059 378 646 583
6o5 q6o 646 404
a&a 064646 937
898 591 646 046
344^645"8S5
iQo 5oa645 681
836 183645 497
481 680645 3ii
i»6 991)645 laa
0.176
0.176
0.176
0.176
0.176
o.:i75:
444 i36
890 oa6
SS6
6a6 837
861 771
1;
388 099
a7& 037
5aa 816
i3i
4a5 339641
067 ib5 64i
708 791 641
35o a38 641
991 463641
77a 1 13^44 933
4>7 046644 74^
061 787644 548
706 335 644 354
35o 689 644 167
394 846 643 960
S38 806643 7~
a8a 565643 5
326 133643 356
% 479 ^45 i5a
313 63i 64a 94^
856 673643 733
498 3o6 643 B34
64a 3ii
64» 098
884
668
373 33
357 9a4li58 9i3 7»
554 110
'94 ^99
834ISS
633 463 640 776
ii3 066
763 ail
091 118
039 783
301
3l6
640 549
640 333
640 089
639857
639 6^
473679639386
146
638^64
658 4^8
346
346
Log. F».
0.309
o.ao9
0.309
o.dc^
0.3I0
5di 967
658 ii3
93a 573
070 878
0.310
0.310
0.310
0.310
0.310
DiiF.J.
i36 i55
i36 871
137 688
i38 3o5
139 033
647716
686716
410717
633718
916 810
069 i54
aoD 330
348 008
493 5ai
767
[8
934404
08a 816
a3i 966
o.ai3
o.'3ia
0.3I3
0.313
0.313
0.3l3
0.3l3
0.3l3
0.3l3
'0.3l3
38i 831
53a 4i5
683 738
835790
98857a
i4a 084
396 338
^1 3o3
607 013
763 454
139 743 138719
140 4^1
i4t 180 968730
141 2^^
i4a 033 3141731
34^
144 06&
144 7S8
146 5l3
i46 336
146 960
147 686
14& 413
149 «38
fife 866
936
908
766733
733
733733
343736
333736
849 737
138737
736 335
i5o 594
i5i 33a
163 o5i
i5a
i53
154 343
i54 97^
i55 708
OOQ
0.3l3
0.314
o.si4
0.314
0.314
930639
078 540
337 iSS
" " 568
686
0.314
0.314
0.316
0.31.5
0.8l5
717543
879 i37
-041 471
304 545
368 368
0.3l5
0.316
0.3l5
0.316
0.316
533 914
6q& 311
8ii*4 a5o
o3i o33
198 56t
735731
69773a
343(733
i56 441 6781734
167 17 6 708734
'57
168645
383
118
064738
661 739
933 739
te37Sb
455731
566
690
696
6o3
668
67a
6^
003
865736
ooi 736
848737
160 856 409 73g
161
163
i63 073
1^ 8i3
164 555
o.ai6 366"^
0.316
0.316
o.ai6
o.ai7
«.317
535 85i
706 616
876 137
047 387
319 396
i65 397
166 o^
166 78;
167 537
168 373
690 7!
696 7^9
437740
893741
093 741
036743
734743
163744
365744
307745
169 018 033746
169 764 5o&7i^
170 on 761- 740
171 359 794748
173 008 609749
173758 3
153
aS.6
9b.
fl6.7
flC.g
Log. B'.
75 54s i3i
^ 58i 101
di6 433
886
718 601
55i 38i
383 5a5
Ai5 o3i
045 QOl
047
691
681
DifT. I.
64
ei 661
65 3o6
65
66
73
^76 \iè
So5 73a
34 693
363 019
1907.10
017 7S6"
844 186
66q 973
ia5
[9 643
966 779
789 §57
611 389
430735
â53 456
073 544
893 001
711 8a7
53o oda
980 SiU
611 543
ad-7
99.8
So.o
■
4^5 9^8
865433
677336
»99 a58
279
S74
^^
3I43 loS
761 9O6
566 '9s5
167 ai9
67 85i5
68 4q3
169 100
!6'9 766
783638
aoo638
373637
aa6637
968637
1588 SSt"
55a{636
636
636
70 40a
71 o38
71 674
7a 309
7a .944
73 579
174 3i3
74 H?
75 481
76 ii5
76 748
77 38f
78 et 4
78647
79 879
458
106
49a 636
614 S^
635
é&8i635
635
634
iqat634
684634
633
6»
633
g33
79 9«»
80 54g
8a 435
a6q
86a
83 6q6
a4 3a5
84955
85 584
a58
6a8
86 ai3
86 841 706638
8r 469 '
88 097
88795
8aô
89 ^a
89 578
96 6o5
191 a3i
91 857
9a 48a
^ 73a
94 356
95 bo4
6a I
659
341
fi
n.
648
386
lao
63i
i5363o
639
68|6a9
>87 6a9
4^4 6a8
637
613637
067 637
117
J2%^
r
m.
001
3"3<
Lôg. F»
o«at7
o.ftt7
0.317
0.317
o«ai7
0.3l7
o.ai8
o«fii8
o.âi8
o.ai8
319
5fô 663
914 934
050 699
367 317
444490
6aa 517
801 3oi
0^318
0.319
0.8I9
0.319
0'Q>9
980 843
161 141
34a 198
5a4 014
706 691
0«3»9
o..3ao
o.aâo
Ô.S21Q
0.330
1^939
oaS
O.330
O.S31
0.331
0.33 1
0.331
0*331
a. 331
0.333
o.aaa*
O.330
"918 o65
006 087
194%
384 105
574 56 a
765 359
957 137
149 666
?^ 979
537 064
768
0.333
0.23S
o.aaS
0.333
o.3d3
7J1 Qa5
937 56o
1 33 973
331 163
5i9 i3o
o.aaS
o.aaS
0.394
0.334
o. 394 53Q 67g SSôhoa
717 877
917404
117 719
3i8 ScS
0.334
0.334
O.aaS
0.335
0.335
735354
936 777
i3i 006
336 033
541 836 854|3o6
636
538
537I30
6râ
0.935
0.335
0.336
O 336
o.3a6
0.336
748 4so
955 8o3
i63 978
373945
583 705
793 359
Diff.L
79 75ft
175 5o8
743S9
75 on
7 5 7R
7S5T
77 373
78 037
78 785
^j4o
180 99S
81 067
81 816
910750
60T 75i
790 75i
r875à
ro7^
173754
591 755
ai8 7S6
888 756
777757
063759
468760
733761
839 761
85 63«
8^
«7
633763
300764
890765
350 7^
87 933
88 680
89458
190 397
91 767
93 539
[93 3l3
94 o85
94 860
95 635
96 413
97 189
97 967
98 748
99 537
aoo 3o8
301 090
301 873
607
3o3 443
[30i 338
016
3o5 804
593
383
309 174
308 966
309 760
310 554
311 349
n.
670 767
893768
006 769
i3o 779
763 771
50477a
164773
74977^.
365
718776
110777
449778
7^2779
988780
300 781
380789
534 7»;
686784
785785
893786
.9.99787
106708
331 789
34979?
ni.
833
838
06
497791
670 793
875793
1 15 794
398795
73 1 [796
85*
859
863
1001
1008
ioi3
1030
1035
io39
io35
1043
o5o
io54
1060
I
t.
3o»
3o
3o
3o
3o
3o
3o,
3o
3o
3i
3i
3i
3i
5t_
3i
3i
3i
3i
11
3a
3a
39
3a
Ja
3a
33
3a
3a
^
33
33
33,
33
J3
33
33
35
33
H
34
34
34
34
■^
34
34
34
3i
3!
o
1
a
3
4
5
6
l
9
o
1
a
3
4
5
6
7
8
o
1
a
,3
4
5
6
9
o
I
a
3
4
"5
e
5
o
1
9
3
4
5
6
l
9
o
o
o.
o,
o
o.
o
o
o
o
o.
o
o
o
o
o-
o
o,
o
o,
o.
o
o
o
o,
o,
o,
o,
o
o,
o
o.
o,
o
o
o
o
o.
o
o
o
o
o
o
o,
o.
o
o
o
o,
LQg E^
66 566
66 371
66 175
65 978
65 780
qaS 942
3âi 790
094 1269
243 961
771 168
65 58a
65 383
65 184
64984
64784
676 267
9S9 638
6a 1 664
66a 780
o83 aaS
64 58a
64 38i
64 178
63975
63 771
883 541
064 073
6a5 ai 8
567 379
890 960
63 567
63 36a
63 157
6a 951
6a 744
5û6 36;
604 01a
i54 3io
007 678
a44 535
6a 536
6a 3a8
6a lao
61 911
61 701
865 3o6
870 418
a6o 3o3
o35 394
196 ia8
61 490 74a 947
61 a79
61 067
60 855
60 64a
676 pA
996 618
704 370
800 oo5
60 4^9
60 ai5
60 000
59 785
59 069
a83 980
i56 758
418 806
070 5qi
lia 587
59 35a
59 i35
5'8 917
58 '699
58 480
58 a6o
58 040
57 81Q
57 598
57 376
545 a7i
369 laa
584 6a5
19a a68
19a 549
585 943
37a 969
554 125
laq 916
108 854
5; i53
56 93o
56 706
56 481
56 a56
56 o3i
467 453
a3o a33
946 43o
900 9o5
253 676
Diff. I.
195 604
196 aa7
196 85o
197 47a
'98 094
aaa
45i
3o8
901
198 716
199 337
99 958
579
199
6a9
974
1
acx)
aoi
;o5
46
6846
819
208
aoi
aoa 43<
ao3 067
ao3 676
204^294
468
855
839
419
593
ao4'9ifl
ao5 5aQ
ao6 146
ao6 763
ao7 579
355
70a
63a
143
aa9
ao7 394
âo8 6io
ao9 aa4
ao9 830
aïo 453
888
ii5
1^
181
la 11 066 653
ail 679 676
ai a a9a a48
aia Q04 365
at3 016 oa5
ai4 127
ai4 737
ai5
ai5
ai6
48
58
67
aaa
95a
ai5
004
3i6
IL
6a3 aa9
6aa 867
6aa 48b
6aa 108
6a I 7a8
6a 1 540
6ao 960
ao 071
620 179
9 7^4
8 084
58<
8 58o
8 174
7 76a
6 93o
6 5ii
6 086
5 659
5 aa7
4 794
4357
3 915
3 47a
a
a
1
1
oa3
57a
66c
197
ai7 176
aij 784
ai8 39a
318
ai9
149
7a6
599
aao aia
aao 818
aai 4*^4
aaa 029
aaa 633
f4i
ao9
,062
401
aa3 a37
aa3 840
a24 443
225 045
225 647
226 248
aao
5i7
a86
5a5
229
394
o 730
o 263
609 789
609 3ia
6o'8 833
608 348
607 860
607 369
606 P73
606 375
6o5 870
6o5 365
6o4*853
604 339
6o3 819
6o3
60a
60a a39
601 704
601 165
600 6ao
m.
37a
37a
^7
38o
383
"385
092
^5
4o3
404
406
41a
4i5
45 1
455
457
463
467
467
474
477
486
488
49»
498
5o5
5o5
5ia
5i4
5ao
533
5a8
53o
535
53q
545
546
Log. F'.
o.aaS
o . 337
0.337
0.337
0.337
793 aSg
oo4 ooq
aiD 755
439 699
643441
758
489
6cj
'â
0.22
0.22
o.aa8
o.aa8
0.238
85
a8
5o
734
983
335
469
416
167
9»9
a5a
336
a63
13^
o.aa8
0.339
0.339
0.339
0.339
943 733 o38
163 o85 100
383 354 433
6o3 333 i58
835 019 404
o.a3o
o.a3o
o.a3o
o.a3o
o.a3o
047 617
371 037
495 Mq
730 386
946 i38
307
OOQ
657
408
422
o.23i 173 806 867
o.a3i 400 293 917
o.33i 638 597 756
o.a3i 857 733 573
0.333 087 668 558
0.333 3i8 436 Q17
0.333 55o 038 857
o.a33 78a 445 590
o.a33 01 5 688 348
o.a35 349 758 35 1
o.a33
0.333
o.a33
0.334
0.334
484 656
730 385
956 q44
'Â^ If
433 5bo
0.334
o.a34
o.a35
0.335
0.335
671
91»
620
5i6
i53 349
393 830
636 333
838
o53
348
678
609
37S
069
164
893
5S4
0.355
0.336
0.336
0.236
o.a36
879 485
lad 58o
368 5 30
614 3o4
860 935
458
931
'367
838
94»
DifF. I.
311 349 73i
313 146 118
313 943 565
3i3 74a 080
3i4 541 667
3l5
ai6
216
21
a
II
343335
144 084
946 9^7
75o 866
555 909
319
330
330
221
222
562 062
169 333
977 7^5
787 346
597 903
aa3
224
225
225
226
409 702
333 648
936 761
853 014
668 445
337
aa8
339
339
33o
486 o5o
3o4 83
134 8ii
ad 986
768559
33 1 591 940
33a 416 736
333 343 755
334 070 oo3
a34 898 487
235
236
237
338
239
728 ai5
559 195
391 43o
334 931
059704
339 895 756
340 733 095
341 571 738
342 411 662
243 252 904
0.237
0.237
0.237
0.337
o.a38
o.a38
108 414
356 743
6o5 922
855 gSa
106 8?^
358 576
954
331
io5
9741
ao8
19'
a44 oq5 463
a44 939 346
345 784 56 1
346 63i ii3
347 479 ot3
II.
796 387
797 447
798 5i5
801 751
803 843
8o3
805 04
806 i53
807 371
808 393
809 531
8io 657
811799
813 946
814 io3
8i5 363
816 X3i
817 bo5
818 789
8ï9 977
831 170
83Q 373
833 58i
824 796
826 019
827 348
828 484
839 738
83o 980
833 335
833 5oi
834 773
836 o52
837 339
838 633
839 934
841 242
84a 559
348
a49
35o
a5o
35 1
353
338 367
178 884
o3o 869
884 a34
738 983
095 137
843 883
845 ai5
846 553
847 900
849 a5/i
850 617
85 1 985
853 '365
85^ 749
856 144
857 545
m.
o6d
068
072
079
o85
098
096
04
10
18
91
39
36
,49
47
68
74
84
88
ao3
ao8
ai5
9a3
a3'(
aoa
a55
a66
373
379
387
994
3oi
3o8
394
339
337
348
354
363
368
38o
384
395
401
410
35» o
35.
35. s
35.3
35.4
35.5
35.6
35.7
35.8
35.9
36. o
36.
36.9
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
36.9
37.5
37 .'6
57. 1
:9
38.
38.1
38. a
38.3
38.4
38.5
38.6
38.7
38.8
38. q
09. 1
39.3
%'4
39.5
3^.6
3g. 8
40.01
Log. E\
i56 o3i j353
55 8o5 oo5
i55 578 i5S
i55 3oo 707
55 112a 658
676
aSa
â68
180
570
DifF. L
54 894 010
54 664 765
54 434 9^1
54 ao4 480
53 975 442
994
oi3
190
094
3oo
"53 741 808
53 009 578
i53 276 754
i53 043 335
5fl 809 3a3
i5a 574 717
5a 33q 519
:5a loo 7aq
l 867 347
5i 63o 375
383
9^7
718
747\
aog
5i Soa 81a
i5i 154 eso
i5o 915 oao
5o 676 591
5o 436 674
5o
g"
49 955 063
900
955 083
49 7»5 406
49 47^ «46
49 aa8 3oa
i48 984 874
48 740 863
148 49^ ^70
148 a5i 095
[48 oo5 ^9
147 759 004
147 5ia 088
147 a64 594
147 016 5aa
146 767 875
069
85a
896
ûo3
593
i46 5i8 64:
46 a68 &
[46 018 4^9
45 767 5i7
45 5i5 99a
145 a63 895
145 ou aa5
144 757 983
144 ^04 171
1/4 349 790
143 994 839
aa6
3a6
337
aa8
aa8
348 394
849 014
449 088
048 610
647 576598
339 345 q8i
339 843 833
33o 44' ^^
33 1 o37 794
33i 635 917
333 339 456
333 834 409
333 418 771
334 013 5^8
354 6o5 704
335
335
a36
336
337
198 366
790 319
38i 558
563 376
181 846
740 68a
3a8 881
016 438
5o3 347
089 6o5
678 304
360 143
844 4i5
4a8 014
î^i
010 936
593 175
174 737
'55 587
15 748
801
376
qSi 380
534 Û19
097 808
669 938
341 3o3
811 901
38i 734
q5o 766
019 031
n.
600 630
600 074
599 533
598 966
" ' 4o5
597 84a
597 373
596 698
596 133
595 539
594 953
594 363
593 767
593 166
593 563
591 953
591 339
590 731
5ûo 097
589 470
588 836
588 199
587 557
586 909
586 358
585 599
584 959
584 ^73
583 599
583 933
588 339
58i 553
58o 860
58o 161
579 4^9
578 749
956578 037
77 Si8
576 59a
575 863
570 137
574387
573 639
57a 889
57a i3o
571 365
570 598
569 8a3
569 o4a
56'8 355
567 463
m.
546
553
556
56i
563
569
57§
575
584
586
591
595
601
604
609
614
618
634
637
634
637
643
648
65i
659
660
667
672
687
693
699
703
710
71a
7*6
7?
740
748
75o
759
765
76
781
787
792
798
Log. F«
0.338 358 576 191
o,338 611 171 3i8
0.338 864 633 990
0.339 118 935 617
o . 359 374 107 6ib
0.339
0.339
0.340
0.340
0.340
63o 141
887 o38
144 800
Ao5 437
663 933
414
445
i5a
985
404
0.340
0.341
0.341
0.341
0.341
933 387
18^ Saa
446 639
709 6io
97S 465
0.343
0.34a
0.343
0.243
0.343
338 197
5o3 808
770 397
037 668
3oD 931
876
877
893
416
947
998
088
746
5o8
931
0.343
0.343
o.a44
0.344
0.344
575 069
845 083
ii5 993
387 793
660 4iB3
539
t
3i;
484
0.344
0.345
0.345
0.345
0.346
934 o65 773
308 541 789
483 913 i54
760 181 4uS
o37 348
0.346
0.346
0.346
0.347
0.347
3i5 4i5
594 384
874 a57
ib5 o35
436 730
669
800
53''
53
486
0.347
0.348
0.348
0.348
0.348
0.349
0.349
0.349
o.35o
o.35o
719.514
00j2 818
387 334
573 563
j5 8 809
745 971
434 o53
733 o56
013 981
3o3 83o
088
049
086
087
3io
o.aSo
o.35o
o.35i
o.35i
o.35i
0.353
983
703
377
595 606 608
888 3io 317
181 943 847
476 ^09 ooi
773 007 714
068 44i 749
DUT. I.
353 595
353 45^
354 3ii
355 171
356' o33
137
673
637
992J
798
356 807
357 761
358 637
359
360
I64
o3i
707
833
4^9
473
361 335
36a 107
362 980
363 855
364733
001
016
533
53i
o5j
365 610
a66 489
367 370
368 353
369 i37
090
658
763
4i3
618
370 033
370 910
371 799
373 600
373 583
387
73o
656
171
389
374 47^ 016
375 371 365
376 368 341
377 166 955
378 067 3 19
«78369
379 873
380 777
381 684
383 593
140
73o
997
g5o
03
961
913
383 5o3
384 416 037913
385 039
386 34^
287 163
a88 081
389 003
389 Q35
390 849
39' 77^
841
383
iz
730
53q
i36
533
709
393 70
393 633
394 565
395 498
396 434
II.
857
858
560
861
863
545
955
799
3fe
864
866
867
869
870
676
136
586
o55
539
873
873
875
876
878
oi5
5o7
oot-'
030
039
879
88Î
883
884
885
56^
104
65i
3o5
769
887
888
890
893
893
343
936
5i5
118
737
895
896
898
900
901
34<
t
a64
gai
9o3
go5
906
.910
5<
aï
55
5a
359
I
9i5
076
804
543
38q
o4"8
930
933
904
936
9û8
819
597
386
187
000
9Î9
031
933
935
9^7
397 371 a55j939
831
654
aao
059
m.
4io
1.4» 7
.4^7
.434
4^
450
1460
1467
.476
486
493
Boi
.5ia
S19
539
536
M7
554
564
_574
583
589
60^
609
63a
6a7
638
65o
657
669
686
%9
707
7'7
7a8
738
747
759
57}
778
789
801
8i3
821
833
843
855
868
I
4o^o
,9
Log. E'.
43 9.94
43739
43 483
lis afi6
^4^ 969
839 391
3ao 370
a33 886
58o 737
56 1 728
4a 711
4^453
577 668
a*9 ^7^
317 669
843 38 1
807 344
41 414 aïo 399
141 453
40 891
40 (ao
40 366
o53 393
181
40 )oa
39 938
1S9 574
39 3oQ
^ 043
337
06a 6a I
a5o 58o
841 q3o âS3^44
090 aao ao5 o53
345 148 a65 606
758 Q17 a66 i58
âî2
58o 537
870 gag
38 943 610 986I967 809
37 975 ■
37 707
37 438
37 169
36 899
36 6a8
36 357
56 o85
55 8i3
55 540
55 ar
34 .9!
801 65q
443 87$
'538 565
086 683
089 179
547 01 5
461 i5 5
34719
34 444
34 169
33 893
33 616
33 339
33 06a
3a 56&
[3a aa6
eea a
951 19»
700 9jo
9»o 799
583 487
719 453
319 724
385 r
917316
916 736
384 617
3aa o54
730 »o8
609 856
DUF.I.
355 519
356 086
a56 653
367 319
a57 784
58 348
a58 911
359
360
a6o 596
^94
7o5
388
a6i 167
a6i 716
a6a 374
a6a 83a
363 388
557
556
65o555
a66 709
367 359
968
a68
369 45)
^9 997
370 54&
371 o85
371 638
«7a 170
873 711
373 a5o
373 789
374 337
571
374 864
375 904
376 468
377 000
377 53a
378 063
378 591
379 laa
^79 Hl
380 173
loq
56^51
96a 388 -,_ _^
788 738 a8o 698 609 5a3 .,
i3i 386 090 189381 aaa 51753a 788
i3i 104 ^7673381 74S3o553i 663
i5o 833 13» 36738a a6ft rf6753o SaS
i3o 540 855 400 383 787 ^Qa5iQ 383
IL
567
566
565
565
564
563"
061
306
348
7^
oS3
786 547
3o8546
8gE545
504544
164*543
860543
579 541
■3i854o
067539
8ai 538
537
3ia536
^535
534
533
533
53i
454
383
3o6
ai6
183
8a8
834
841
847
855
8§S
867
873
9*4
9^
Log. F',
sSa 068
sS& 365
a5a 664
aSa q63
a53 a63
s53 564
353 866
a54 )6q
a54 473
a54 778
8tS 004
ia3 358
374697
568 oaa
707
É.
8i3 090
750 65
855 084
855 391
355 699
a56 008
356 317
,a56 6a8
,356 940
357 353
,357 566
367 880
'643
49»
308455
066 077
796 afl9
i5â a6(
8a a38
b 5l:
358 196
358 5i5
a58 83o
359 i4û
359 468
9443*4
459 3i5
5o4 876
o3o
534857
03Q
489 897
375'
3b3l3j7
3i8
G743
,359 788
360 110
360 438
360 756
361 080
686
3l3
819 665
344 a4o3û4
663 i5i '
a6i 4<^S
a6i 75a
.363 o5o
363 388
363 717
a63 048
.363 379
a63 713
^ 045
38o
078 634
Ëa3»3aè.
761 178 530
»83S6d|^
635 763
08a 711
55o 547
o37 685
,364 715
365 c53
365 58o
.a65 738
366 067
366 408
366 750
367 ooa
367 ip6
367 781
368 137
456 007
i3i oia
84a 653
5q3 4*^5
385 83S
aaa 4*3
Diff.I.
397
Sri a55
3io 354
35i 339
330
033
o85 744
o34 399
985 OO'i
56i
09»
6o3
IL
939
940
944
946
948
950
953
1886I
1901
19131
'934
1948
1956 1
1983
3oo5
30l8|
53o 3o3i
30441
3o55
30681
7383081
655
6o3
.55q
53o
5l3
783
537
414 377
4i5 ~
418 66!
4^4 375
433 18a
443 403
454 .949
469 836
006 091
544 3i 6 336 5a8 691
073 007537 553 091
6û6 098 338 579 907
306 005339 ^^ 1^
8i5 159340 640 848
675 oo5
711 641
760 77a
7ga.4«'
m 57&
883.986
979
981
q83
985
987
994
?'98
aai3
3236
3343
3356 1
ââ68
238a I
3397,
33i3
3337
33i^
33551
3371
3387 1
3400
3416I
3431
3463
^479
35o8
3536
3545
557
3576
3
s
9.
50"
5o
5o
5o
5o
5o
5o
5o
5o
5o
5i
5i
5i
5i
5i
51
5i
5i
5i
5i
52
Sa
53
Sa
5a
Sa
5a
oa
Sa
Sa
S3
53
53
53
53
53
53
53
53
53
54
54
54
54
54
54
54
54
54
M
o
1
3
4
p
1
à
3
4
's
6
l
4
5
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
I
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
I
p
b
o
o
o
o
o
o
o
o
1
Log E'
5 789
5 48a
5 175
4 86
4 55
881 2270
714 648
097 75
o3â QO
519 706
4
3
3
3
349
940
63o
3ao
009
•â
S 698
a 074
1 76a
> 449
"561
160
317
o33
3ii
i53 070
55q 373
53a -
074 o
i85 984
da
a3a
740
775
3
3
44313
5a 3
i i35
o 8aa
o 5<
o 19:
t>o7
193
109 878
870 087
ia8 oao
961 766
S73 08a
363 845
109 56a
109 a47
108 ^5o
108 bi4
108 397
935 908
OQl- i47
85i 449
i58 717
074 867
107
1J07
107 343
1C7 oa4
106 705
8a7
58 1
681 5
375 965
667 *
556 838
0693
106 386
106 066
i.o5 745
io5 4^5
io5 104
047 a7i
140 38i
838 194
i4a 751
066 109
104 78a
104 4^0
104 i38
i.o3 8h5
io3 493
io3 169
10a 845
10a 5ai
^oa 197
101 87a
438 064
671 819
53i 365
018 88a
i36 576
10^ 546
101 aai
joo ^5
100 668
100 a4a
099 9>5
886 670
371. 400
aqS oai
953^00
aiS oa,
aoi 993
Diff. I.
307 166 633450
307 616 009 448
308 o65 534446
3o8 5ia 497445
3o8 957 787 443
3io
1
3
3
3
3
401 391441 90^
845 396 44<^ 196
438- 473
436 740
434 993
a83 49s
731 965
i58 705
1
a
a
a
593
oa6
458
888
3i5
So
391
oh
947
3 74a 017434
4 166 36443^
4 588 674
5 009 a37
5 437 937
5
6
6
7
844 761
35û 6q8
073 733
o83 85o
493 040
Ipo 386
8
9
9
708 89b
110 33l
5p9 567
06 8
330
3ao
331
331
§03
086
475
»QO
187
770
58o 339J3ai 86a 614384
469 767
839 180
837 894)333
5351333
333
333
347 758
63o 587
011 386
389840
766 a55
43
3a5
S35
336
336
37
337
093
61 5 370 363
978 379360
339 331 358
697 776356
054 o3i 353 936
407. 967 35i ^6o3
II.
376
635
963
390
604
433
43i
429
437
436
333
461
677
879
070
4ao
418
416
347
410
563
700
8a4
414
4i3
411
409
407
9^7
034
it8
190
a46
4o5
390
b5 576403 330
335
336
3a3
401
399
397
393
38q
387
a56
'9.<
la
044
l
38a
38o
378
376
944
699
554
395
374 ai^aigo
3a3
3a4 140 45437a oa9Jaaô6
3a4 5ia 483369- 8aâaaa3
334 883 3o6 367 600 3336
3a5 349 906 365 364 t^aSS
I
843
555
a55Ja3
m.
65 1
66a
673
686
^99
709
733
733
748
759
77a
764
98
8^
837
847
863
876
887
903
916
938
944
956
970
985
93i
aoi3
aoa6
3041
3067
3071
3084
a 100
aii5
3i3o
3145
3i5a
3176
367
3387
33oo
«9
3333
a35i
Log. F'
0.386
0.387
0.387
0.388
0.388
811
vi
6]o
033 5bq
430 048
371
335
3Q9
888
o83
643
355
0.388
0.389
0.389
0.390
0.390
346 640
656 773
068 134
480 701
45
6
4
443
006
91a
0.390
0.391
o . 39 1
0.393
0.393
894 5io
3oQ 554
735 83
1X3 36
563 i35
955
95;
383
390
0.39a
0.393
0.393
0.394
0.394
983 i58
4o3 435
835 970
349 768
674 833
o33
17443a
8jo
963
68P
0.395
0.395
0.396
0.396
0.B96
101 169
5a8 77
957 66
387 840
81 j fl99
067
ai4
373
419
869
0.397
0.397
0.398
0.398
o . 398
353 o5o
686 097
131 j(44
558 095
996 o55
83
60/
48c
79M
9"
0.399 4^5 339 b34
0.399 876 930 196
o.3oo 3i7 833 3iS4
o.3oo .761 073 939
o.3oi 3o5 643 75V
o.3oi
o.3oa
o.3oa
o.3o3
o.3o3
65 1 ô5o
098 797
547 388
997 33o
448 636
39^
149
968
438
^44
o.ôo3
o.3o4
p.3o4
0.30D
b.5o5
901
355
810
367
735
381
3(
6i
448
588
i65
5i3
639
aa'8
o.3o6
6.3o6
0.307
0.307
o.3o8
o.3o8
i85 111
646 033
108 337
673 o3o
o37 i37
5o3 653
35o
675
530
846
367
Diff. I.
403 863 195
404 064 715
405 369 845
406 478 613
407 691 041
408
4'o
411
4l3
4i3
4i5
416
418
430
907 i58
is6 989
35o 563
577 906
809 045
044 004
383 816
535 5o8
77a
033
107
643
43]
3*
5;
433
435
4a6
8
79»
064
335
14a
636
i53
735
379
'â
427 610
438 889 O .
43o 173 14e
43i 459 440
<3a 760 973
'»34
(35
436
457
439
046 773
346 876
65i 3i3
9&0 118
373 333
440 690 963
441 913 068
443 339 676
444 670 819
445 906 535
447 346 856
448 591 819
449 941 460
451 395 816
463 654 991
454 018814
455 S87 554
456 761 116^
458 1^9 599
469 533 033
460
463
463
46i
466
467
§11 4^5
g4 845
703 336
106 90a
5 16 630
939 5i8
831
57
4^
II. m.
301 53o36io
3o5 i3o3637
308 7673663
313 4393688
3i6 1173714
3769
"94
M
385 1
3880
3907
3936
3965
3994
a58 4944033
363 5i74o55
a66 6734083
370 6544^14
3747684144
4175
87 4307
4 4338
4369
43o3
319
33$
337
33i 137
334 961
343 693
346 5qq
35o bob
354 5oo
378
383
387
391
335
913
o
55a
801
3oo 10
304 437
3o8 8o5
3i3 3o5
317 639
106
333
336 607I4537
33â
335
340
144
716
»31
344 963
349 641
354 366
359 10&
36^ 89
368 730
373 583
378 483
383 433
388 4o3
393 420
398 480
4o3 577
408 718
4i3 898
419 130
34334
4368
4400
4434
44^7
4601
4573
46o5
464a
4678
47'5
4749
4788
4837
4863
4901
4940
4980
5017
5o6o
5097
5i4i
5i8i
5333
5364
A-
S&'o
55.1
55. a
55.3
55.4
55.5
55,6
55.7
55.8
55.9
56. o
56.1
56.3
56.3
56.4
§0
56.6
56.7
56.8
56.9
58. o
58. 1
58.3
58-. 3
58.4
58.6
58.7
58.8
58.. 9
.Log. E«,
^•099
0.099
0.0.9.9
0.098
0.098
0.098
0.097
0.097
0.097
0.096
?i5 201
87
d6o
?5i 935
o3 469
274 669
q45 537
616 045
a86 3a6
956073
Diff. I.
5ay /iffj
337 760
338 108
>338 455
338 800
0.096
0.096
0.095
0.095
0.095
0.094
0.094
0*094
o.ogS
0.093
635 585
q63 636
633 157
3 oo 367
q68 fl56
635 839
3o3 087
970 o33
636 669
o.i>93
0.093
o.oga
0.093
0./091
333 437
333 742
333 o53
333 363
794 333 669
333 973
334 375
334573
0.091
0.091
0.09a
0.090
0.090
3o3 999
369 oa5
634 750
3oo 176 746 334 809
9 65 807 001I335 163
^ 144
3q4 6
89
"tk
386
0.089
0.089
0.089
0.088
0.088
376
0.088
0.087
0.087
0.087
0.086
363
949
&9.5
59.7
59.8
59-9
00.0
0.086
0.086
o.o85
o.o85
o.o85
0.084
0.084
0.084
0.085
o.o83
0.6B3
869 738
Sào C78
188 301
0671351
070 34<3
34?
707344
309343 100
339 143
339 481
% 81.9
33o 154
33o 486
33o 816 208
33i 143 547
33i 468 363
33i 790 640
333 110 36o
5o4
o54
994
3o3
966
363
866
335 453
335 740
336 oa5
336 307
790 336 586
061 336 863
066337 i36
685337 406
83op37 ^74
393 [ 337 g3 q
346338 30O
643 338 45o
365 338 71&
319338 967
53i 339 317
347 339 463
437^9 707
P^947
340 184 7641334
340 418 798 | 33o
§45^49
088341
a<i^
164 a55 547
540 877
^ 101
341 3fl3
^41 540
1 756
IL III.
684
04.9
798
537
841
816
55o
335 1
3367
3383
3403
3416
Log. F'.
2435
2451
3471
2486
2603
3533
2539
2557
3576
2534
969
137
366
373
370
865 267
264
261
673
669
642
536
2610
d63i
3649
3667
2686
2704
2724
2780 0.320
28o3
2820
2843
2861
2880
2902
2922
^63
2984
3ll2
3i33
3i58
5177
3»ââ.
3224
4343344
1903370
? 30 3391
2q33l3
3i6 3S37
o.3o8
o.3q8
0.309
0.309
0.3]
5o3 653
971 582
A^ 931
911 704
583 907
367
885
525
545
867 545*
332 623
809 147
387 122
766 554
58473
3475 078
476 524
^n 075
479 43fl
480894
6751479
2Ê1 ^
s^47 449
729 813
3i3 6
698 9
i85 766 346 I488
674 o58
1^ 847
655 139
147 933 886|494
642 35
488 362
483 836
485 3i5
486 801
392
444^
5o6
335
161
l3S 091 21
635 454
i34 35o
634 785
i36 766
,_ 789
491 agi
492 800
3i5
495 836
^49
5449
0.330 640 398 6951505 090
0.381 145 389 478506 655
o«32i 6Sa 044 891 5o8 336
o.Ssa 160 371 4^6 509 8oi
0.333 670 075 5<)i|5ii 381
0.333
0.333
o.3d4
0.324
0.335
1% 464
694443
8OQ 030
0.335
0.538
0.326
0.327
0.827
â83
806
33o
856
660
3io
Ô20
0.328 383 974 58o|529 à6
0.328 918 341
0.329 444 »77
0.339 976 788
o.33b Su 082
o.33r
o.33i
0.333
0.333
0.333
0.333
047 066
684 748
isi i36
665 338
3o8 061
753 6i3
DifF. I.
467 920 5
469 348 6
470 773 o
478 A03
637
7 363
- 8^5
5oo /pS
5oi 980
5o3 533
939
980
233
748
58o
5l2
5145
5i6 181
517 792
5 19 4 '0
521 o3§"
523 667
534 3o6
8661525 953
985 527 606
vj 53o q3!
532» 61
534 398
535 984
8711537 683
765539 588
Q14541 101
563|543 83a
544552
546 289
IL
419 180
4^4 384
1430 691
435 042
440 4^4
^^71
451 353
1456 879
14^2 451
468 069
473 733
[79443
>85 302
491 009
49^ 8fô
5o2 767
5o8 723
^^4 7^4
l520
526
533 o
i53q 353
1545 5i5
t55i 838
i558 2o3
[564 63o
571 112
1677 65o
584 ^44 66!
590 897 6710
597 6076770
i6o4 377 683o
i6i 1 307 6890
1618 0976949
035 0467014
63a 0607076
16^ 1367137
f64o 373 7200
653 476 7268
660 744 7333
* ^ ■ - -_
r668 07674CO
[675 476 7467
68a 9437535
690 478 7604
1698 0827673
1706 7557745
1718 5007816
5264
5307
535 1
53q2
3437
5482
5526
5572
56i8
5664
§710
5854
5955
6002
6o55
6106
6i56
6213
6363
6817
6871
^4^7
§483"
731 S16
729 3o5
r7:^ i65
7i0 aoi
7889
fe37
81 13
I
Go**o
60. 1
Go, 2
.60.3
60.4
60.5
60. G
Go. 7
60.8
Go. 9
Gi .0
Gi .1
G1.2
G1.3
61.4
G1.5
Si. G
Gi .7
^1.8
'^2 .
G2.I
S'a. 2
^2.3
^2.4
S2.5
52. G
52.7
G2.8
G2^
G3.0
G3.1
G3.2
G3.3
G3.4
G3.5
G3.G
G3.7
G3.8
63. .9
G4.0
64.1
G4.2
G4.3
64^4
G4.5
G4.G
G4.7
G4.8
64. Q
5.0
Log. E\
o.o83
0.082
0.082
0,082
0.081
164 235
822 480
480 5i3
i38 338
795 959
547
oGi
269
478
081
Diff.I.
0.081
o.o8i
0.080
0.080
0.080
453 378
110 599
767 627
4a4 4G3
081 112
0.079
0.073
0.070
0.078
0.078
73;
39Î
576
8G1
452
37G
143
9G0
358
341
341
342
342
342
755
9G6
'74
379
58o
48G
802
781
629
342
34a
343
343
343
049 9G8
'o5 Qo3
343
343
893344
16 1 6G7
143
712
0.078
0.077
0.077
0.07G
0.07G
017 2GG
672 702
337 979
q83 102
638 073
232
359
772
m
3i4
0.07G
0.076
0.075
0.075
0.074 910 792
292 896
q47 57G
D02 116
256 520
§37
816
0.074 564 935 810
0.074 ai 8 964 8o3
0.073 872 *853 352
0.073 52G 635 432
0.073 180 3o5 048
0.072
0.072
0.072
0.071
0.071
833 865"
487 323
140 679
793 939
44^ io8
233
?49
778
i63
35i
535
453
844
i83
344
344
715
8q3
oS5
a35
401
60a
46B
700
431
480
n.
au 3i6333
307 070 336
ao4 616 3384
aoi a3a34o8
97 8243433
344
344
344
345
345
563
•raa
877
038
176
873
587
5q3
865
377
345
345
345
345
345
320
460
596
7a8
856
io3
018
092
000
614
345
346
346
346
346
981
101
217
33o
438
007
45 1
030
384
8i5
346
346
584346
57 1346
16.346
543
643
83 1
9»9
184
465
637
641
47.9
0.071
0.070
0.070
0.070
0.069
100 i'88
753 i85
406 io3
o58 945
711 717
837,347
737,347
347
347
347
331
585
114
0.069 364 4as i35
0.069 o'7 oG5 oo5
0.0G8 66g 65o 110
0.068 322 181 868
0.067 974 664 729
oo3
082
i57
228
a.94
110
5o6
636
.979
0.067
0.067
0.066
0.066
0.066
Q.o65 888 788
627
a79
93 1
584
336
io3
5oi
864
175
718
003
3oa
539
224
347
347
347
347
347
357
4''<
468
5i7
56 1
i3o
895
342
139
554
347
347
347
347
347
347
601
636
667
69I
710
733
457
816
600
773
3o5
162
94 3<
S
o 9;
i5
83
80
454 35o4
95o
76
62
863
285
681
049
393
58
55
5i
47
43
006
273
5l2
726
3
3
32
28
a4
20
16
12
08
04
469
43i
369
00
96
9»
87
83
79
75
70
m
62
281
162
014
838
63 1
m.
3456
3481
353 1
3556
3578
3604
3632
3656
3679
3708
3734
3760
3786
38i_i
3841
3866
389.
0921
394.C
915
074
208
3i4
393
4oo£
464 4g35
406a
4088
3q6
100
835
5o8
i5
765
A^^i
57
53 347^^0
48 "
AA
39 903 45441
89
ÎI
35
3o
26
21
16
12
359
784
173
532
857
i5i
4iv
414
4176
4207
4fl35
4a66
4295
4327
4357
4386
448a
45i2
457^
4611
4G4i
f75|
47061
474a|
Log. F'.
0.333
0.334
0.334
0.535
0.335
762 6i3 698
298 903 o34
846 937 571
396 726 4aa
948 274 774
0.336
0.337
0.337
0.338
0.338
5oi 593 890
o56 691 ii5
6i3 574 87»
172 253 659
702 736 062
0.339
0.339
0.340
0.340
0.341
2q5 o3o 747
809 146 46a
4a5 092 041
a 876 4o3
a 5o8 554
0.34a
0.34a
0.343
0.343
0.344
i33
707
282
85
43
583
698
707
586
683
116
2S0
542
0.345
0.345
0.346
0.346
0.347
019 620
602 4é^^
187
770
362
106
878
5o3
541
342
726
983
0.347
0.348
0.349
0.349
o.35o
953 082
545 623
i4o 187
736 636
335 128
i54
379
902
072
344
o.35o
o.35i
0.352
0.352
0.353
935 625
fe38 i37
142 670
749 aoi
357 874
280
552
943
346
771
0.353
0.354
0.355
0.355
0.356
339
293
Diff. !..
546
548
549
55i
553
289
o34
787
|49
310
336
537
85 1
352
116
555
556
558
56o
562
Oi
8!
678
483
335
756
788
4o3
685
564
565
567
569
571
ii5
945
784
633
489
7i5
579
362
i5i
o32
573
575
577
579
58o
58l
584
586
588
590
355
a3o
ii5
009
912
i34
293
999
836
749
683
625
578
353
448
384
267
»7»
593
598
600
541
5i4
498
49a
496
225
523
170
272
936
602
604
606
608
610
5l2
538
575
623
682
272
391
4o3
4a5
568
n.
745 201
753 3i4
761 5oi
76Q 764
778 109
786 53i
795 o32
8o3 6i5
812 282
821 o3o
829 86*4
838 783
856 881
866 o65
875
884
894
903
913
923
93a
94a
962
963
336
701
i58
707
éS4
oo5
873
9'4
o54
9Zf
983
994
3004
30l5
298
647
loa
664
336
q68 557
58i 3io
196 144
8i3 072 914I619
432 io5
662
0.357
0.357
0.358
0.358
o . 359
0.360
0.360
o.36i
0.362
0.362
0.363
o53 254 962
676 532 667
Soi 960 755
929 S21 336
5 59 256 649
191 169 068
826 271
461 575
100 094
740 84a
383 83o 4a5
612
616
621
752
834
937
o32
149
954
699
922
748
3oo
623
625
637
63 1
a77
418
570
755
913
706
088
58i
3i3
419
634
103 636
399 638
743 G4o
061 64a
645
10a
3o4
5i9
747
988
a4a
o35
296
344
3i8
364
627
2026
2o37
2048
2059
2070
012
022
143
386
2081
2093
2104
2116
2^128
745
223
826
55i^
4o5
a 140
2l52r
2164
2177
2189
383
493
732
106
616
2202
22l5
2227
2241
2254
2267
261
048
91^
a63
627
m.
8 ii3
8 187
8 363
8 345
8 422
8 5oi
8 583
8 667
8 748
8 834
89»
9 00
9 09a
9 »84
9 ^7»
9
9
9
9
9
365
457
549
647
74 >
9 84'
9 937
o 041
o i4o
o a44
o 349
o 455
o 062
o 672
o 783
893
010
lai
343
359
i
726
853
978
2
2
110
239
2 374
a 5io
2 645
2
a
3
3
3
3
787
926
072
217
364
5i5
t
65' o
65.1
65.S
65.3
65.4
60
65.6
65.7
65.8
65-9
66.0
66.1
66.3
66.3
66.4
60
66.6
66.7
66.8
66.. 9
67.5
67,6
68.0
68.1
68.3
68.3
68.4
68.5
68.6
68.7
68.8
68.. g
69.0
69.1
69. S
69.3
69.5
69.6
Log. E'.
o.o65
o,o65
o.o65
0.064
0.064
888 788
541 o56
iq3 3ii
845 56o
4.97 8<>5
Diff. I.
4^47 73a
347744
347 751
347 754
347 75a
0.064
o.o63
o.o63
o.o63
o.o6q
i5o o53
80a 3o8
454 575
106
4347
7^9
858
i63
0.063
o.o6a
0.061
0.061
0.061
411 495
o63 859
716 a6o
368 70a
oai 19a
0.06b
o 060
0.069
0.069
0.069
673
3a6 ùôa
«994
1 733
a84 5a6
0.068
o.o58
o.o58
0.067
0.067
466
937 407
690 373 644 34§
343 4a6
896 676
549 836 733346
0.067
0.066
0.066
0.066
0.066
3o3 181
856 647
5io 33i
i63 938
817 773
316
o.o55
o.o56
0.064
0.064
0.064
471 74a
136 85i
780 io6
434 613
089 076
3o9
3^
o.o53
o.o53
o.o63
0.063
0.063
743 8o3
3q8 700
o53 773
7«9 037
364 468
i3o
Ï19
835
o.o5a
o.o5i
0.061
0.060
0.060
030 104
676 940
33 1 '983
088 336
84471?
65
69 '91
70. o|
0.060
0.049
o.o49
0.049
0.048
0.048
3oi 409
q68 340
616 5io
373 934
900 589
^88 6i3
347 745
- 733
347 716
347 6<
^6\
347 636
M7 599
347 567
347 5io
347 458
737
59?
347 401
347 338
347 370
347 ^97
347 118
347 o34
- ^ 45
346 85o
346 760
" 644
13
4346 633
346 416
346 393
346 166
346 o3o
346 890
345 745
345 693
345 436
345 373
346 io3
^44 937
344 746
344 568
344 364
011
«94
407
344 164
343 967
343 745
343 536
343 3oo
343 069
343 83o
343 585
343 334
343 076
341 811
— a 174484»
4874
89049
010
338
ao6
313
358
661
013
407
848
336
873
466
087
766
496
III.
474^
4773
4811
i3
4946
4980
5oi[
5o6i
5*588
6134
6160
5300
6333
637
63o9
5347
5387
54a I
5461
6604
554c
SSSol
56a)
566c,
5701
574s
6782
58a4
5867
5909
5q5i
593
6o3
6083
613/
617c
6319
6360
63o3
636 1
6396
644"
6488
653
658
663i
6679
6730
6778
Log. F'.
0.363 583
,364 039
364 676
365 336
365 978
366 633
367 a8Q
367 948
368 610
569 373
83o 436
073 062
683 3o6
374 703
460 909
855 74q
673 ao3
637 410
o3a 674
8o3 463
369 q3q
370 608
371 379
371 953
37a 638
954 408
5oo 3i8
456 170
837 iï6
65o 490
373 3o6
373 387
374 070
376 356
376 044 gai 347
935 804
684 767
?31 333
61 3o7
376 735
377 439
378 ia4
378 833
379 6a4
717 530
06b 790
985 935
Jgaooi
6o3 3oi
38o 338
380 934
38 1 643
383 355
383 069
334 336
706 789
734 637
439 000
837 3oo
383 7^5
384 5o6
386 339
386 954
386 683 897 81Q
948 147
790 401
383 160
745 768
387 4i3 869 i58
,388 147 " ^
388 884
389 6a3
390 366
649 89'
390 38a
801 a65
ao3 446
,391 111
391 869
39a 610
393 365
894 laa
618 709
766 730
i53 083
335 330
394 883
395 646
396 41 9
397 181
597 954
398 739
Diff.I.
646
S47
654
65F
661
663
666
a4a 637
5io 354
701 396
086 307
394 840
717 454
o54 307
405 36
770 78
9463394
668
S70
S73
675
678
545 010
955 853
38o 946
831 374
377 3i4
680
683
685
688
690
748 953
a36 476
740 074
a5o 940
796 373
693
695
698
701
7o3
349
000 o
370
5
076
110 3oo
733- 034
843 354
693 769
363 608
163 o5i
961 339
790 733
640 491
5io 883
403 181
3i4 663
9754
348 611
304 3oQ
183 o5S
183 i38
3o4 869
640 089763 360 566
790 644766 "
110 1:
533 190
o5o 706
719 931
834 613
II.
3367
3381
33o8
3333
3336
336 1
3366
338o
3409
3436
3440
3455
3471
94^
094
438
8^87
3bo3
3619
3536
3663
3569
3586
a6o4
a6ai
3639
371 4643667 374
oa8 838 3676 635
^o4 3733693 937
598 3003713 b47
no 8473781 407
3760
3769
2789
3809
3839
3849
3870
3891
3913
3933
'58
12
3965
2977
3ooo
3033
3o45
69^
744
086
781
686
3o68
3093
3ii6
3i4o
i65
3190
m.
075
368
467
664
868
8 161
8393
8 630
8 860
9 098
9 344
9 594
9 845
30 106
30 364
30 634
30 906
31 184
31 466
31 760
3 o4^>
3 341
3 646
3 966
3 366
33T8Q
33 918
a4 349
34 58q
.34 933
a5 384
f,
.4 - • •«
■M
0.
70*0
70.1
70. a
'70.3
70.4
70
.5
70
.6
70
;?
70
70 -9
.7'
.0
7»
.1
7»
.9
7'
.3
7»
.4
71.5
71. G
71.7
71.8
79.0
73.1
73.3
73.3
73.4
73.5
73.6
73.7
73.8
7?-9
7^.0
70.0
73.3
73.4
73.5
73.6
74.0
74.1
74. n
74.3
74.4
74-5
74.6
74-7
74-8
9
o
7f
Log F».
0,398
0.4CO
0.401
0.401
719 931
554 433
390 579 175
075 819 43i
8^4 3oô 847
0.403 656 049 4^6
0.403 45 i 091 583
o.4<^4 ^A% 4^4 o5o
0.406 o5i i63 991
o.4o5 856 348 956
0.406 664 736 899
0.407 476 656 r86
0.408 393 o35 5q9
0.409 110 904 3oo
0.409 933 393 095
0.410 760 338 936
0.411 588 745 400
0.413 4^1 873 537
o.4i3 358 641 83i
0.414 0.99 o^S 2^0
0.414
0.415
0.416
0.417
0.418
943 235
791 ia4
643 787
408 367
357 568
396
916
614
4i5
880
0.419
0.430
0.430
0.431
0.433
330 757
087 857
û58 907
833 943
7i3 000
130
807
194
"9
017
0.433
0.4^4
0.i35
0.436
0.437
596 118 û37
43 337 558
374 695 3o3
370 33 1 849
169 988 144
0.438
0.438
0.439
0.430
0.431
074 oo5 4^5
û83 335 73 1
^^4 99 ï 831
813 047 193
733 53o 093
0.433
0.433
0.434
0,435
0.436
669 5o3 543
589 995 349
525 o58 i33
4^4 739 '^41
409 087 386
0.437 358 i5i ii3
0.438 3ii q8o 885
0.439 370 637 578
o 440 354 14^ 099
0.44^ ao3 58o 3i4
0.443 175 993 073
DifF. L
778 834 5*3
783 034 743
785 340 356
788 481 41 G
791 748 589
795 043 \47
798 363 467
801 709 941
8o5 084 965
808 487 943
811 919 387
8i5 379 4i3
818 868 751
833 387 743
835 936 833
83<
8;
836
840
844
5i6 474
137 137
7G9 294
44343;
i5o o3
855
869
863
889 630
663 698
4G9 801
311 465
188 340
867
871
875
879
883
049 387
o34 935
o57 898
1 1 o 930
887
891
895
899
904
318 631
357 645
536 646
756 395
017 3
01
908 Sso 3o6
913 666 090
917 o55 371
931 488 900
935 967 4^0
gSo 491 807
935 063 784
939 68r 3i4
944 347 9^9
949 o63 837
953 829 773
958 646 693
963 5i5 531
968 437 31 5
973 413 768
978 443 160
IL .
3
3
3
3
3
190.
3l5
341
367
39'^
33o
5i4
160
.73
558
3
3
3
3
3
330
347
375
403
43i
3ao
474
034
978
"^44
3 460
3 489
3 5i8
3 549
3.579
136
338
993
090
64i
3 610
3 643
3674
3 706
3739
663
i57
i35
607
584
3773
3 807
3 841
3 876
3 913
078
io3
664
775
447
3 948
3 985
4 033
4 061
4 099
700
538
973
033
701
4
4
4
4
4
i39
319
360
3o3
034
001
64.q
986
035
4
4
4
4
4
345
389
433
478
534
784
55o
357
4 570
4 618
4 666
4 7'5
4 763
977
43o
735
888
945
4
4
4
816
868
9»»
975
o3o
086
qai
'838
40 3
398
III.
35 384
95 646
36 oi3
36 385
36 763
37 i54
37 55o
37 954
38 366
38
7S3
29 3 13
39 654
3o 098
3o 5*5 1
3i
033
3i 494
3i 978
33 473
33 977
33494
34 035
34 5Si
35 m
35 673
36 353
36 838
37 436
38 049
38 67
39 33
39 977
40 648
41 337
43 039
43 759
43 497
44 348
45 031
45 807
46 630
47453
48 ^g
49 '"*'
5o 067
5o 976
5i 907
53 866
53 849
54 859
55 8ai&
56 958
ly.
3.96
404
517
53 1
536
55 1
56 1
58 1
585
644
654
"75 «
773
786
8i3
843
868
894
9 '9
93i
m^m
tm
75? o
75.1
75.3
75.3
75.4
75.5
75.6
yS.i
76.3
76.3
2ÊA.
76.5
76.6
76.8
76- 9
77.5
77.6
77.7
77.8
77». 9
78.0
78.1
78.3
78.3
78.4
78.5
78.6
78.7
78.8
78. .9
79 o
79-^
79-%
79-4
79-5
79-6
79-7
79-8
79-9
80.0
tog. P'.
0.443
0-aM
0.445
0.446
0.447
0.448
o.44a
0.450
0.451
0.453
0.453
0.454
0.455
0.456
3Z
6
65
07 955
96 638.
90 5l3.
ig 646
34 103
33939
49 333
70 0)3
96 570
3!^8 385
aé6 099
3a9 5q3
358 433
691.3»
404.69
4'9-59
8of:^
]56.i7
679 -.94
567.98
0.457
0.45.8
0.459
o.46p
0.461
977.99
476 . a«
448.08
414 195
Atp 45o
543 776
695 944
0.46a
0.465
0.464
0.466
0.467
781 945
^f4 35a
973 191
078 6o4
190 661
040. 1^
9o3*74
s38 . ao
835.5Î
'a 5.9fl
0.^68
0.469
0.47P
0.471
0.47a
•474
.475
^0,9 45 1
435 064
567 595
707 i3o
855 79r
484.89
874.01
540*^4
071.3$
aa8.35
o
o.47i
0.476
0.477
o>478
007 658
168 836
337 43i
5i5 555
697 3o9
0.479
0.481
o«489
0.483
0,484
0T485
0.487
0.488
0.489
0-490
888 8i3
088 181
296 55o
5io 981
734 660
966 69a
307 aiQ
456 347
714 aio
981 001
076.36
oa6.aî
917,67
097. aÇ
5oi.a4
741-19
090.39
6a 1.47
o3o.94
'34. 94
1.6a
556.58
456 . a6
0.49a
•0*493
0.496
0.497
0.498
a56 865
541 800
836 a6i
i4o i3a
453 667
777 o3a
340,61
886.9a
oao.aa
864.48
900.84
i33.3i
DiiF. I.
078 443 160
q83 Sag 45d
988 P7a jU
993 874 014
999 104 4 ^0
004 4^5 aSj
ooQ 837 534
010 a8a 490
oao 791 398
036 365 5a4
o3^ 006 178
o37 714 708
043 ^99 498
o5!
061 a55
067 3a5
073 Aji
070 696
086 001
334
1$
093 387
098 858
ic5 4^3
113 067
118 789
tS^
ia5 613^89
i3a 53o 673
3 53$
i6i 177
i68 595
176 131
i83 756
191 004
199 oSV
307 348
ai5 45i
3a3 678
33a o3a
)a
340 517
349 i36
357 893
û66 791
375 833
^
385 oa5 546
i^i ^70 133
3o3 871 8i
3i3 535 o:
3a3 364 fl3a
333 3S4 i3p
5 q86 «98
a 145 d56
5 aoi 300
5 360 ^66
5330 777
6 383 367
544496P
5 008 908
5 574 laÇ
5 640 654
708 è39
930 $30
06g 470
14B 2^
3à4 69d
3o4 811
386 664
o 5Ô5"
643 160
73a 5o5
§33 855
917^83
013 853
110 63a
310 691
3i3 10a
47 ,94a
5a5 387
635 aaa
r4^ 836
913
)oa 634
336 870
354 384
484963
556 6o3
97 810
04a 786
191 661
344587
5oi 711
663 195
839 195
999 898
.175.477
^■
85"
ÏV.
894
9P7
a 01^
a 078
a 143
a 593
3 673
3 7E5
3 857
3 956
3 160
3 5o8
T635
.3 768
3 900
4 o5i
4 ia8
\
wsm
I
8o«o
80.1
80. a
80,3
80.4
80.5
80.6
80.7
80.8
8q-9
8i.o
81.1
81. a
81.3
Si. 4
81.5
81.6
81.7
81.8
81.9
8a. o
8a. 1
8a. a
8a.3
8a. 4
8a .5
8a. 6
8a. 7
8a. 8
8a. 9
83. o
83.1
83. a
83.3
83.4
83.5
83.6
83.7
83.8
83.9
84.0
84.1
84. a
84.3
84.4
84.5
84.6
84.7
84.8
84.9
85:o
Log. E*.
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
o«o
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
.0.0
0.0
7 081 107 373. 63
6 810 196 a3o.o4
6 540 679 143.4^
6 a7a a7i 368-49
6 oo5 a88 4^7 «33
5
5
5
4
475
aia
q5o
690
645 960:70
35û 800. aa
446 oai.67
ao. 697.80
00 191 .58
8
4 43a
4 »74
9 '.9
4.1
101 009:44
839 834.36
o3S 5a9.63
699 14a* 11
853 906.49
3 160
a 66a
a 4i5
a 170
1 937
1 685
1 444
1 ao6
o 9^9
5i5 346.78
700 784.83
4a8 039.69
71 5' 934.3a
5 8 I 7 99-^7
044 377.36
laa 3a8«a4
854 533.4a
aoo ioi.a3
a58 371.9a
o 733
o 5oo
o a68
o o38
968 923.41
41,1 076.80
586 40^*^3
5i3 726.00
0.009 810 ai4 i3a.aa
0.009 583
o.oog 35f
o«ooq i3
0.000 Ql5
0.008 6q6
708 479. a3
017 896.54
i63 797.30
167 884.65
o5a 169.73
0.008 478
0.008 a63
0.008 o5o
0.007 838
0.007 639
838 q3o.o8
55o 818.09
310 770.16
842 066. 17
468 339 53
0.007 4^3
0.007 316
0.007 oi3
0.006 813
0.006 6i3
0.006 41S
0.006 331
0.006 039
o.oo5 8^&
o.ooB 65o
o.oo5 4^5
ii3 537.40
803 o33.39
558 53a. 4û
408 145.10
376 378.88
489 156.87
773 83 1.35
364 198.30
qHo 5i3.83
919 610.43
169 4i4-9a
Diff ; I.
370
369
368
a66
a65
911 o4a
bi7 087
307 775
^/ &
4*3 466
364
i263
a6i
260
a68
386
9i3
5a5
iao
699
i3i
808
3a4
5o6
i83
267 a6i 175
355 806 3ô4
à54 334 388
a5a 8^ 336
a5i 338 669
349 814 46a
348 373 445
346 713 406
245 i34 i35
343 537 433
341
340
238
a36
335
93a 04.9
287 790
634 432
961 739
269 449
233 557 346
a3i 836 176
a3o 073 677
338 399 693
336 5o5 653
334 690 683
333 8b4 100
330 996 913
319 1 i5 736
317 ai3 33o
3l5
3l3
311
309
207
305
3o3
301
»9
a88 lia
340 048
368 704
373 737
554 79a
3 1 1 5o5
343 5oo
i5o 387
o3i 766
Wj 333
194 716 335"
193 5i8 633
190 293 684
188 041 004
i85 760 095
i83 45o 448
IL
393 q55
3o9 3i3
324 8a4
340 496
356 335
373 333
388 484
404 818
4a 1 333
438 008
454 871
471 916
489 162
5o6 677
524 197
542
56o
578
696
6i5
017
039
371
7i3
373
634 364
653 363
673 703
693 a8o
71a io3
733 171
762 498
773 084
792 -^^^
8i5 071
836 483
858 188
880 187
903 495
936 118
948 064
971 344
994 967
a 018 945
2 043 '387
3 068 oo5
2 093 1 i3
3 1 18 6âi
2 144 544
2 170 896
a 197 69!
2 224 949
3 9.53 680
3 380 909
'3 3o9 647
2 338 921
III.
5
5
5
5
5
358
5ii
671
83o
998
6 161
6 334
6 5o5
6 686
6 863
7
7
7
7
7
046
336
436
630
830
8 033
8 s33
8 442
8 660
8 881
9 340
9 ^77
9 823
30 068
ao 337
ao 586
ao 856
ai i3i
21 4^1
21 706
21 999
33 3o8
aa 623
33 946
a3 380
33 633
a3 978
24 '343
34 718
26 to8
a5 5o8
à5 933
36 363
36 797
37 266
37 731
38 329
a8 738
39 ^74
29 827
lY.
i63
160
169
168
i63
173
171
180
178
18a
195
aoo
302
aïo
aïo
ai8
3^1
328
a3i
337
346
345
3
370
376
380
395
3i5
3a3
334
343
355
364
376
ÎÎ90
400
445
II » 1. ' . Il
" ■ »i -f
86. o
86.1
86 fl
86.3
86. B
86.6
86.7
86.8
86.9
I7TÔ
87.1
87.3
87-4
87.5
87.6
^7.7
87.8
S8.0
88.1
88.11
88.3
88.4
88.5
88.6
88.7
88.8
88.9
89.0
8'q.l
89.3
89.3
89.5
89.6
89-7
89.8
89-9
90.0
o.oo3 7^59
o.oo3 58o
o.oo3 4^4
o.oo3 271
0.003 131
6i3
968
9.90
716
]8a
163.78
845.28
936.97
34-^.47
880.46
0.00a 073
0.00a 8a8
0.00a 686
0.002 547
0.00a 4^1
4^.9
495
4aâ
a5i
036
3a3.8a
463.13
159.80
410.76
416.56
0.00a 277
o.ooa 147
0.00a oao
0.001
0.001
896
775
7.91
59a
477
494
694
669.68
986.62
696.43
662.10
383.73
O.OOl
0.001
O.OOl
0.001
O.OOl
658
543
432
325
221
129
853
993
397
337
a 1 9 . 60
436.72
364.99
674-99
471.2a
O.OOl 120 806
0.001 023 871
o.coo 93o 6o3
0.000 841 074
0.000 755 363
0.000 673
0.000 696
0.000 621
0.000-462
0,000 387
662
728
986
4M
i5o
0.000 326
0.000 269
o.oco a 18
0.000 171
0.000 129
0.000 093
0.000 061
0.000 o36
0.000 017
0.000 004
0.000 000
283
94.9
390
4H
660
678.33
794-77
aoo.3o
611 .80
5oo . 95
489 : 53'
940.0a
1 Gq . 93
335.98
969-90
460.30
669 93
918.60
939 . 38
384.72
o53
9^7
54a
3i4
787
000
371 .31
714.36
370.67
148.93
090.76
000.00
58644
55 977
53 37
5o 6~
47 753
44933
43 073
3o 334
33 334
3o3
749
994
767
3o 198
37 ii5
33 q83
ao 800
17 565
674
389
044
368
164
14 ^75
10 900
07 535
04 060
00 63o
96 934
93 368
89 538
85 711
81 811
7.94
061
690
304
R93
783
5p5
688
011
011
77 8a3
73 74a
69 56 1
6S 373
60 867
55o
770
944
356
530
56 333
5i 658
46 8a5
41 814
36 597
780
75 1
014
3i
35
>9
la
4
i35
376
228
627
787
667
443
133
o58
091
3 8Ô0
a 903 554
3 946 765
2 990 337
3 ©36 o83
3 o83 385
3 i33 345
3 18a 776
3 a36 104
3 38 9 370
T346 733
3 404 371
3 466 486
3 59Q 3ii
3 696 I 10
3 666 188
3 739 907
3 817 677
3 900 000
3 987 461
4 080 780
4 180 836
4 388 688
4 4o5 736
4 633 740
4 675
4 833
6 oji
5 317 640
6 461 357
039
77a
436
6 760 214
6 147 321
6 701 064
7 739 967
41 996
43 301
44 483
45 846
47 3o3
48 860
60 63 1
63 338
64 366
56 363
68 638
61 116
63 8a5
66 799
70 078
73
87
7»9
770
333
461
319
100
107
117
138
141
046
863
048
.Q04
389
167
178
ao6
343
398
743
663
ii5
817
867
387
563
o38
107
743
903
671
797
938
a 097
a 376
a
a
3
3
477
710
974
279
641
4
4
5
6
6
061
553
i38
858
737
816
186
7
9
10 966
i3 3f^5
16 454
ao 910
37 463
37 70a
55 040
88 a5o
166 636
485 160
85* o'
85.1
85. a
85.3
85.4
85.6
85.7
85.8
85.9
86. o
86.1
86. a
86.3
86-4
86.5
86.6
86.7
86.8
86.. 9
87.0
87.1
87.3
87.3
87.4
87.5
87.6
^;?
il
88.0
88.1
88. â
88.3
88.4
88.5
88.6
88.7
88.8
88 . 9
89.0
89.1
89. s
89.3
89 >4
8q.5
89.6
89-8
89-3
90.0
Log. F'
0.5S3 3Q6.a59 3i8.ii3
0.585 654 440 081.87
0.587 94^ ^^4 oQ4-6a
o.5qo 378 3ai q3o.83
0.59a 646 785 ^^
0.595 o54 916 699.81
0.597 ^^4 ^^^ ^49'.9i
0.60a 533 giS 189. 5i
o.6o5 117 3576 944- S'
0.607 7^ 689
o.6io 4M 589
o'6i3 171 976
o.6i5 965 434
0.618 017 749 149-84
90Û.07
075.20
337.83
839.71
o.6ai
o.6a4
0.637
o.63o
0.634
731 936
711 '319
759 169
076 678
003 , 75
54^.3
643.37
546.63
340.46
0.637
0.640
0.644
0.647
o.65r
355 014
719 608
175 973
730 191
089 000
889.33
3oi .93
537.05
330.11
464.21
0.655
0.669
0.663
0.667
0.671
159 887
001 307
073 3a6
a33 797
547 666
174.84
o55 . 09
860.57
361.36
133.66
0.676
0.680
0.685
0.690
0.696
037 335
688 397
649 043
63o o85
966 063
174.93
868.16
495.79
310.94
396.61
0.701
0.707
0.715
0.720
0.737
0.735
0.7/3
0.769
0.763
0.774
565 978
464 603
733
385
614 6 17
19a 343'
5a5 680
667 i3û
783 667
188 44a
081 .90
o56.oo
o56 . 99
378.03
763.00
119.46
090.31?
439.03
317.10
626.41
0.787
0.803
o.Saa
0.847
0.888
3o3 08 i
834 a74
073 403
818 094
678 886
Infini.
623.30
714.46
767.80
497.31
838.43
Diff. I.
a 368 180 76
a a
93 574
01;
a 33o 307 836
a 368 463 899
a 408 i3o 77Ô
a 449 4^4 660
390 34
301
a 583
a 633
3 683
3 737
3 793
3 853
a 914
963 jî^
ia 964
899 166
387 i63
458 60a
3i4 330
176 853
a 979
3 047
3 130
3 378
393 539
940 101
434 904
093 793
336 549
3 364
3 466
3 654
3 668
3 770
693 4i3
364 235
318 696
80Q 341
886 711
3 891
4 031
4 161
4 3i3
4 479
319 880
119 796
470 460
767 833
670 o5i
4 661
4 860
6 081
5 335
5 699
163 693
644 638
o4a 718
967 18a
925 686
6a3 974
397 001
843 331
776 384
735 357
8 333
9 i3i
10 136
11 4^4
i3 114
335 971
459 349
417 778
886 409
638 897
i5 53i
19 338
35 745
40 760
193 191
138 044
691 739
793 341
IL
35 893 349
36 7*33 833
38 166 o63
39 666 871
41 373 880
42 q85 690
44 Su 459
46. 763 067
f 843 ^
5i 086 aoa
53 487
56 071
58 855
61 86a
65 116
533
686
68 646
7*484
76668
81 a4a
86 356
91 770
97 854
104 590
la 077
ao 433
i53 «97
65 903
81 493
99 481
330 398
344 934
373 968
3o8 698
35o 773
402 4^
466 934
548 948
665 6i 1
798 133
994 9^8 439
1 378 467 63i
1 709 753 488
2 4^S 664 294
3 706 934 863
6 507 563 696
16 01 5 100 6o3
IIL
1 540 574
1 422 340
1 5 10 808
I 607 009
1 711 710
826 86<
96b 69}
a 087
a 336
a 4^1
101
3 838
4184
4573
5 oi4
5 6i3
6 o83
6 736
7 486
8 356
9 366
10 55o
1 1 . 946
i3 '604
i5 690
17 989
ao 916
a4 536
39 o34
34739
42 074
739
5i 673
64488
83 014
106 663
142 610
196 836
383 609
439 a85
70& 800
390 38o
061
303
867
806
55q
800 628
507 536
IV.
81 666
88 568
96 301
104 701
114 169
134 729
i36 555
149 843
164 791
181 ,677
300:807
S3S 546
347-338
370 733
3o8 365
345 845
389 781
440 .241
4^9 840
569711
652 41 5
760 85 1
868 774
011 048
183991
396 981
658 i36
085 559
926 863
9
610319
607 666
7o5 744
334 955
697 554
13 816 460
17 636 167
^ 647 73i
35 848 123
336 387
610
673 i5i
776 665
^^4 949
679 753
348 383
5 706 908 o65
TABLE IL
Valeurs des f onCtiOAs E^ cqlouleef b douze 4^eimfiJeft^ pour toutes les amplitudes^,
dç deitii-diegré éa demi-idegr^ ^ depuis o^ jii#<|u'à 90% l'angle du module é(aul
de 45^ '
*
o»9
>.o
5
o^cx>ooo ooobo 00
0.1x587a 653^8 70
0^01745 a84û4 88
0,00617 844^6 fiO
o.o45éa 65io5
o,ofeaii 79' 5' ^^
o^oGiOD 753S9
0,06^78 463ia
0.07849 94747
0^08701 11043
G
o^ 1046a
o^iiÇSa
owaaoa
0.18071
94816
4i879
4Qa5i
19667
5i8S4
o« 10940
o,i4i3o8
o* 18675
o^i654a
0,17409
oo5à6
16484
76474
77a68
15654
la
o,i8a74
0.19139
o«aooo4
o^ao867
o.at73o
oiasBoa
o,a^ô5
o«a4St5
0^36173.
o^a6o3i
78^38
9a4oa
043199
Bia57
59809
o.aS889
o.a7745
o ^ao6oo
0.09435
o.3o5o8
5698Û
69601
94586
08854
6q34i
"oTsïTSo
o.Saoïi
0.308S1
O.SOTIO
0.54557
o.354o3
o.36a48
568<
5oi46
51
"73680^
73540
558197
17667
56a 1 a
68637
5ai45
PîfP. I.
65âo8
6o586
55941
96176
7095a
46404
16595
8S473
33"
47Ô6a
07371
64406
18177
66691
iï
867
867
866
865
iSpS
59989
I5
ZÎZZi
865 03973
31096
56868
78671
97153
ia6i8
34a68
40487
4S660
855
854
853
85o
43807
40947
35ioo
06069
14534
85o
80086
61640
36544
ia4a5
835or
5i8]
n.
83ao 7r>
6644 77
9965 58
i3a84 46
16600 86
'9 9*4 07
oSaaS
s65fl8 4Î
00806 3q
Sâiao 58
564io 48
39691 40
40964 68
46009 76
49485 90
50780 5 <
56969 OÛ
B9'94 7«
60409 06
6S611 o5
68800 70
75i58 87
fSîOR 3i
6141B 41
84534 6b
87634 14
90716 48
9378087
96806 70
998S3 34
00860 10
05846 35
08811
11764
146^5 06
17670
00446
aSa^S Si
«6119 4
a83i7 &
31689 10
34433 44
m.
35oa 07
3Soo 81
33i6
35i6
33i3 01
53o9 4a
33049;
3a99
a^4 19
3a87y>
3o86 90
3073 08
3a65 08
3o56 16
3a46 £7
3o36 60
&a5 69
3oi4 07
3ooa ao
3189 45
3176
3i6u
314744
3i3a 10
3ii6 19
3o99 54
3o8o 34
3064
3045
3oo6 €9
3oo6 76
098600
^«65 04
o^ ,7
oooo 69
afeqrrjT.
0070 67
o8i^ la
0809 96
0798 oS
0771 55
074454
0716^48
106
0119
0187
00^
o3oo
q38o
o5i6
o586
o653
0701
0786
o858
56
^
M
^
TABLE IL
Valeurs
ileurs des Fondions F^ Calculées a douze décimales^ pourloul
de demr-degrë iea demi-^degré , depuis t>* jusqu'à 90% Y^n^
de 45*.
loules les âmplhudes ^ ,
du module éUinl
^
o.oooao 00000 00
0.0087a -StoiG 4*
o.oifj^ 37355 71
0.02618 14340 92
o.o34Ai 01995 3i
o.o43o4 01543 53
o.o5^7 18406 74
o.oGiio 55flia 71
0.06984 iBa85 95
0.07858 oiQ5a 87
0.0873a 18S40 83
0.09606 68578 3o
o.io<8i 54794 94
o.ii356 8aiai 76
o.iafi322 5o6qi 16
o.i3io8 668^7 06
o. i3q85
0.1486a
o.i574o
0.16618
0.17497
39895 00
Saaoa aa
a8o97 75
639aa 47
6S019 ao
0.18377
0.19307
o.aoïSo
ovaioao
o.!aigey3
o ;aa786
0.33671
o.a4556
o.a544^
o.a63î^
a873a 78
64410 08
70400 la
59054 04
fl47a5 li
7^69 09
09543 58
35408 67
54726 6a
70^61 90
0.37317
o. '301 07
0,38057
o. -39888
o. '30781
87181 31"
07053 37
33849 33
70943 09
31700 60
0.31674
o.3a56Q
0.33465
o. 34363
0.35361
o.36^6a
0.37063
89519 68
77759 57
89807 69
39044 63
98853 01
03619 87
43737 83
Diff. I,
873 67016 ^1
8j4i 7o53q 5o
87a 76985 21
873 86954 39
873 00&47 a a
873 16BG4 31
873
873
873
874
874
368o5
60073
86666
16587
49837
»74
875
875
876
876
86416
36336
69569
16145
66007
«77
878
878
379
35834
9.9096
657i3
880
881
881
883
883
35677
08990
85653
65671
.49043
884
885
886
887
888
35774
35865
iq3i7
i*6ji35
i63i9
889
890
891
8(13
8J3
19^73
36795
07093
50764
67813
«8&40
13047
39û36
6q8oû
00765
41*07
81 836
07
33a&
664B
99%
133912
16616
>994!L
ô3a67
Û6595
099311
33*a49
3657^
.30910
43340
46576
499»*»
53a4t)
6337Û
666 1%
69965
3i
733 13
76665 88
00017 33
83370 77
86730 58
90090 60
93453 86
96817 33
00184 o3
o355û 85
0^3^ 80
10396 80
13671 7B
17048 57
3043731
"33807 43
3718^ sa
3o57û 34
33056 68
3734J1 99
40738 13
44114 77
lu.
93a3 03
33a3 37
S3a3 65
33a4 16
33a4 77
3335 5i
33£i6 41
3337 36
3Sa8 47
3339 66
333 1 01
3333 40
3333 93
3335 54
3357 34
33§ 9 o3
^340 88
3343 8â
3344 84
3346 87
3349 03
SS5i 14
5353 34
3355 55
3357 8*
336o 03
""?5g3 06
5364 47
3366 70
3368 83
3370 95
5373 ÔÔ
^7495
3376 8a
3378 64
S38o 33
338i 79
3383 13
3584 54
3385 5i
3386 i3
3386 65
3387 00
V.
S
ai"o
a8.5
29.0
3o.o
3o.5
3i .0
3i.5
3a. o
32.5
35.0
■33T
34.0
34.5
35.0
35.5
36.0
36.5
37.0
37.5
38. o
3«T5"
39.5
40.0
40.5
43.0
o.36a48
0.37092
0.37904
0.38770
0,39614
5ai45 8a
05964 59
ai 349 90
0.1 585 ao
4198a 86
0.4045a
o.4iaiS8
o.4âia3
0.4^957
0.43789
39883 97
92659 90
97713 54
52475 I 1
5441a 81
o.44^ao
0.45448
0.46376
0.47101
0.47925
0.48748
o . 49068
o.5o387
o.5iao4
o.Saoao
oioaS 5a
89838 53
i84a3 18
84377 60
85337 40
18974 36
83907 16
761 5a o5
Q5aQ3 60
35o35 38
o . 5a833
0.53645
0.54455
o.55a63
o . 56070
08450 68
81373 a3
8747 91
97561 In
36843 35
0.56874
o . 57677
0.5Ô477
0.59276
0.60073
0.60867
0.61660
O . 6345 l
o . 65a39
0.64026
^^^^b 89
18146 08
76445 a6
40770 36
^%^A 49
80657 7a
52667 75
34100 70
933oi 81
58766 14
o . 648 I 1
0.65593
0.66374
0.6715a
0.67928
19o3q 36
72718 44
18452 38
5494a 97
80945 49
0.68702
0.69474
0.70244
0.7101a
0.71778
0.73541
0.7350a
0.74061
0.74818
95369 45
96779 ao
84395 iB
57095 58
13 908 33
53o3o 60
76910 77
8o358 06
65o4i 78
Diff.I.
843 5i8i8 77
843 17385 3i
840 8o335 39
839 40397 57
837 9790* ï*
836 53775 q3
835 o5o53 64
833 54763 57
833 01037 70
83o. 46010 71
838 888 i5 01
837 38584 65
825 65954 43
824 00959 80
8aa 35636 96
8ao 64033 80
818 93154 8q
817 18071 55
8i5 41811 78
8i3 634i5 3o
811 83932 55
810 00874 68
808 i58i3 56
806 39381 78
804 4o8a3 64
803 5o48o 19
800 58299 18
798 643 2D 10
796 68604 i3
794 7"83 25
793 73110 o5
700 'j\é?^^h
788 69Q01 1 1
786 65464 33
784 60273 33
783 53679 08
780 45733 94
778 36490 59
776 a6oo3 53
774 14335 96
773 oi5oq 84
769 87615 87
767 73698 4a
765 56814 65
765 40032 3 7
761 33380 17
759 03947 39
756 84783 72
754 '64950 i5
n.
34433 é^ji^
37149 .9a
39837 82
43496 46
45125 18
47723 29
50390 07
52834 87
55336 99
57795 70
6o33o 36
6363o 33
64994 63
67033 84
69614 16
71867 01
74085 34
78096 48
8049a 75
82547 87
84561 13
8653i 78
88459 14
9034a 45
93181 01
95974 08
95720 ^^
97420 90
99073 30
s 00677 08
a 0320 I 84
a 03736 78
a 05191 II
a 06594 14
a 07945 14
a 09243 35
a 10488 07
a 11678 5o
a 12814 la
a 13893 97
a i49'7 45
a i5883 77
a 1679a 30
a 1764a ao
a 18432 88
a 19163 57
a 19855 57
a 20440 19
ni.
3716 48
3687 qo
3658 (S4
2638 7a
3598
II
a566 78
3554 80
a5oa la
3468 71
3454 66
a3
a3
a338 33
aaqi 3a
3353 75
32i5 43
3176 43
ai36 71
3096 37
ao55 13
30l3 35
970 66
937 36
883 3;
838 56
79.5 S7
746 89
609 93
6ô3 3o
6o3 88
554 76
5o4 94
1454 53
405 o3
i35i
00
398 31
344 7a
100 4q
i35 56
079 85
035 48
966 33
008 5i
849 52
79068
750 69
670 00
608 69
546 53
3858
3936
29a^
3o6i
3i33
3198
3363
3541
3405
3<79.
3548
36i7
3690
3787
3833^
3900
3973
4044
41 15
4>87
4359
4330
44o5
4475
4549.
4618
4696
4763
484a
498a
5o6i
5i3o
52o3
5a79
5349
5423
5493
5571
5657
5716
5781
5859
5924
^999.
6o6q
6i33
620Q
6278
ai. 5
aa.o
aa.5
fl3.o
lO"
2^4.0
si. 5
flS.o
flG.o
fl6.5
27.0
37.5
â8.o
aS.S
39.0
39.5
3o.o
5o.5
3i.o
3i.5
33.0
33.5
33.0
33.5
34.0
34.5
35.0
55.5
36. o
36.5
37.0
37.5
38 o
58TF
39.0
39.5
40.0
40. S
4i'0
41.5
4^.0
4a. 5
43,0
43.5
44.0
44.5
45.0
F.
0.37063
0.37966
0.38870
0.40000
83
35563 8
5i5i4 <
^4$^Z 54
49308 77
0.41593
0.43503
0.43414
0.44338
0.45343
37935 81
64304 70
6i53o 78
33388 14
53859 33
0.46160
0.47079
o- 47999
0.48033
53634 44
38961 68
83345 88
16848 5o
36187 03
0.50773
0.51700
o. 5263o
o. 53563
0.54496
43474 39
43318 43
35731 i5
37038 33
30378 16
0.55433
0.56370
0.67310
0..^8353
-5919 7
l^aoi 66
34130 83
41448 36
73486 70
33537 17
0.60143
0.61093
o.6ao44
0.63997
0.63953
9484Q 06
90718 60
14388 01
6qoqX 41
58o58 73
0.6491 )
0.65873
o. 66835
0.67801
0.68769
84484 54
5i556 87
63440 95
30380 91
38198 41
0.69739
0.70713
0.71688
0.73667
0.73648
89391 36
ob63i 94
83^66 08
3iîaio 88
36453 5i
0.74631
0.75618
0.76607
0.77599
o 78694
98949 38
4ab3o 41
6o363 31
39063 68
►.79591
i.8o5q3
0.60593
0.81695
0.83601
86318 83
38sqi 66
68361 83
78763 49
Diff. I.
903 81 836 07
904 35960 84
905 73453 61
907 34341 43
908 78617 04
910 36378 8
910 61757 3b
916 39671 08
917 00765 33
918 76337 34
930 53384 30
933 34603 63
934 19388 63
936 07357 37
937 98744 o3
939 935o3 73
931 91607 07
933 93049 94
906 97833 60
938
940
06919 17
17337 53
33o38 34
60040 4?
7i33i 89
948 96869 54
961 33669 41
953 64706 40
966 88964 33
968 36435 81
960 6707a 33
963 10884 08
965 67839 96
968 07917 5o
970 61093 86
973
975
978
981
983
17340 68
76634 14
38944 80
04343 63
73495 87
986^
989
991
994
997
43671 o3
17703 80
94643 99
74365 48
56856 i5
1000
ioo3
1006
1009
43073 83
39970 16
3o5oo 67
i36i4 69
IL
44114 77
47601 77
5o888 83
54376 61
57661 85
61047 19
64431 38
67813 73
71194 14
74573 03
77946 96
81^18 43
84685 90
88048 86
91406 66
94768 70
98104 34
3 01443 87
3 04773 56
8 08096 6y
3 1 1408 36
3 14710 81
a 18003 i3
a 31381 4i
3 34547 65
a 37790 87
3 3io36 99
3 34367 93
3 37461 49
3 40646 63
3 43811 76
3 46966 88
3 60077 54
3 53175 35
3 66347 83
a 69393 46
3 633io 66
3 66397 83
3 68353 34
3 71176 16
a 74061 77
a 76911 19
a 79731 49
3 83490 67
3 86316 68
a 87897 33
a 9o53o 5i
a 981 i3 9a
3 96645 33
ni.
3387 00
3387 o5
3386 79
3386 34
3385 34
3384 09
3383 44
338o 43
3377 88
537494
3371 46
3367 48
336a 96
3357 81
3353 04.
3345 £4
3338 53
333o 69
3333 it
33i3 69
33o3 46
3391 33
3379 a8
3366 34
3363 33
3337 13
3330 q3
33o3 57
3i86 o3
3i65 33
3i44 i3
3i3i 66
3097 81
3073 48
3o46 63
3017 30
3987 17
3966 41
3931 93
3886 61
3849
3810
3769
3736
3680
4a
3o
18
01
65
3633 18
3583 41
353 1 3o
3476 81
IV.
+ 5
—36
55
90
136
i65
303
354
^94
348
398
453
5i4
577
640
7i*
784
868
943
1034
iii3
1304
i3o4
1403
loio
1619
1736
1854
1980
3110
3347
3385
3533
3685
3843
3oi7
3176
3349
353 i
3719
0913
4113
4317
4636
4747
4977
5311
5.
5(
V.
3i
39
35
35
40
i
55
63
63
7»
73
8a
8<»
9'
100
98
108
109
'M
136
i3o
137
i38
148
163
i58
174
169
173
183
188
193
aoo
3o5
219
311
33o
334
338
345
365
m
9'
45«o
45.5
46.0
46.5
47.0
47-5
48.0
48.5
49^0
49.5
5o.o
5o.5
5i.o
5i,5
5a. o
5a. 5
53.0
53.5
54.0
54.5
55.0
55.5
56. o
56.5
57.0
■57.5
5o.o
58.5
5g. o
5.9.5
60.0
60.5
61.0
6a. 5
6a. o
6i2.5
63. o
63.5
64*Q
64.5
65.0
65.5
66.0
66.5
67.0
67.5
68.0
€8.5
69.0
E.
0.74818
0.75573
0.76535
0.77075
0.77804
€5o4i 78
^.999» 93
0.78^69
0.79313
0.80054
0.80703
o.8i55o
74499 »9
98019 13
ooofo 87
o.i8aaè5
o.«a997
0.83708
o. '84456
o.'85i8i
^0219 81
38ta4 76
73489 34
86087 63
75759 84
o. 85005
o.'866a6
o .«7545
0.588062
o .'88777
4241 a 91
86oai ai
06627 11
04341 59
79 344 90
31887 o
62288 5
583o6 55
04920 80
o.'8948^ 71390 96
o-SoW 98397 46
0.90008 06694 24
0.91613 97109 17
o. 4)23 17 70544 49
o.g3oiQ 27977 18
0.93718 70409 4^
0.944^5 99118 86
o.goiii i5i59 02
0.95804 *9859 53
0.96495 14576 45
0.97184 00742 48
0.97870 79067 20
0.98555 53537 24
0.99^38 25416 40
0.99918
. 00697
.01274
.01049
.02621
.03202
•o3qbi
.04628
91245 78
'58843 86
28106 5i
01007 02
66001 36
62428 11
7u58 23
.05393 94^50 40
.o5g57 35o59 64
.06618
•07278
.07936
. 08^93
95737 80
77431 36
84582 q3
19339 81
Diff. I.
754 64<j5o j5
75 a .44507 96
760, 235 iq 24
748.02046 74
745 goi53 q4
|o4 95
7^5
741 3 ^
73q 12B98 as
736 8q672 21
^804 o
;S64 5
734 66655 07
782 '43^08 5o
780 2o6o5 90
7^7 977^4 48
725.75003 01
7&3 53542 19
721 3o4oi 49
719 ^o8b52 20
716 87865 77
714 66614 oS
712 46470 '6
710 27006 5o
708 08296 78
7o5 90414 95
703 73435 Sa
701 07432 69
699 4^483 2^
697 28659 45
695 16040 16
693 04700 Si
690 947 <€ 92
688
686
684
682
680
678
676
674
672
670
668
667
665
663
66 1
86a 66 o3
79124 72
73670 ©4
69879 16
67 829 38
"675.98 08
691262 65
72900 5i
78688 qc
864o5 Si!
96426 76
08730 12
23592 19
40489 42
60097 96
65q 822q3 56
658 07161 67
656 34746 88
654 65i53 83
n.
2 2044^ 19
2 ^0988 72
2 21472 5o
2 2189& 80
XI ^2248 99
2.22640 57
3 29766 2
2 33936 o
3 33019 14
a 3S044 77
3
3 33002 4o
3 32891 42
2 29711 17
3 ^3461 13
fl 32140 70
3 2174J 29
3 2128t 43
2 20761 62
2 20144 09
a 19465 fié
3 «8709 72
3 1^881 85
3 ib979 61
3 16006 65
3 14960 46
3 i3832 78
3 12619 39
3 ii33q 65
3 oqq85 69
a o855o -89
3 07041 3i
3 06454 68
3 03790 88
3 03049 78
3 oo23i 5o
98335 43
96362 14
943 II 63
Qai85 64
89978 60
8769e 63
853'37 95
83902 77
80591 46
77804 40
7^^4^ 99
3404 6q
9695 o5
6707 S4
i
m.
IV.
â{6 55
490 00
356 I
*1
b 19
4 58
3ft5 93
93 00
+ 26 63
-4^ 37
110 98
180 35
ft5o o5
Boo 4^
41
1
463 M
554 9i
607 43
«80 43
ZË5
837
903
976
1063
1137
«7
68
12o5
1379
i55'6
1433
*5o9
06
6376
6548
6411
6481
6546
66i3
6673
6743
6800
6861
6937
6980
7037
7306
7353
7300
755 1
7437
7474
7^y9
7661
l!8.
i586
i663
1818
i«95
80
10
1,97^
3o5o
3137
3fi05
3381
25^
3435
2611
2687
3662
II
88
04
iZ.
2737
aSti
3885
3368
7?
ID
3i
06
4»
64
53
7615
7688
7705
77«7
773o
7738
77^9
774a
77d5
7736
7673
7616
7575
7535
7^
7377
73ia
7343
Y.
3
lî
67
60
l
66
53
II
t
48
5i
44
%
33
3o
S4
"7
83
«4
«7
i3
8
I
+ 3
— 9
7
10
33
30
37
40
40
46
55
57
65
•7^
u
l
t
47.5
48. o
48.5
49.0
4ii.
5a. 5
S3.0
53.5
B4.0
54-5
55.0
55.5
56. o
56.5
57.0
57.5
58. o
58.5
59.0
53.5
60.0
60.5
61.0
6t. 5
69.0
6fl.5
63.
63.5
64.0
64.5
65.
65.5
66.0
66.5
67.0
67.5
68.0
68.5
69.0
F,
o.8t6oi
Q.836io
o.846a3
0.8S638
o. 86656
7876a
016^ 8^
0Q018 70
16943 47
o
0.0570
0.89708
0.90769
0-9*79»
o.9t8aQ
0.958S8
0.94911
0.96957
0.37007
0.98060
0.99115
.00174
.oia36
.oaSos
.03371
.04443
.o55i8
.06697
■0767.9
37768 49
43705 11
67355 95
oo3i7 '7
45074 69
o555i 37
77694 o5
69370 61
80366 89
10383 66
40
14
8i5i3
40941 70
39697 11
48583 79
08713 8*3
80804 10
96633 73
^65
.10946
.13041
43415 Ifs^
34903 34
40373 61
80686 66
70163 14
.1434&
.15348
.16467
.17669
. 18681
.1980^
• 30935
.33061
.35179
.34311
90&80 44
41678 13
36044 36
43117 4^
93181 i8
7336169
83693 78
91767 77
88436 30
81060 68
.35446
.36585
.97736
.98871
.30019
97968 83
37331 38
96808 93
74440 la
6768809
.3i 170
. 39394
.33483
.34643
73928 67
13038 89
4ioo3 00
DiiF. I.
009 i36i4 59
013 09959 81
oi5 07381 84
018 07033 74
oai 10036 03
16036 63
3S460 84
^061 33
44767 53
58476 68
74(4^ 68
91676 56
10996 Sà8
33oi6 77
64649 74
78803 74
04384 o3
31393 56
594îï7 97
88686 4x
088
18966 68
5o*i3o o3
83090 38
14718 63
4789a 79
1^486 83
15371 37
494^3 o5
83476 48
17418 5o
IL
95645
98133
00541
QS903
06300
07454
09600
11696
137*19
15666
)55i0Q7 68
108 84366 3^
a 17073 06
5 49063 76
i8 80180 5i
10909 09
39143
66658
99634 48
16898 14
39979 46
69577 66
776Î1 19
93347 97
06240 48
16418 99
336 Qi 40
97664 'l
38141 55
*.93i9
3I030
396S3
34154
36908
38135
39367
30371
31173
31960
33638
33174
33594
(4
34041
34063
33<
33706
31990
3iii6
3oo8i
3 38881 90
3 37614 44
S 36976 o5
S 3^63 66
3 33374 39
3 9o3o6 19
S i8o53 54
3 16616 78
3 13999 5i
3 10178 44
3 07173 48
3 00073 71
3 00577 44
3 96906
13
*<7«
a36o
3333
ai66
3096
30213
iq46
1867
16
1785
1700
1613
1631
1436
i367
i538
1713
.889
3009
46
3361
3i36
3b34
3814
3oo5
5694
63 06
64 70
6746
70 34
73 06
76 03
78 96
89 04
85 07
88 an
91 4^
94 74
98 o5
16
18 80
33 99
35 94
90 45
35 Où
M 68
40 36
i43 85
'47 38
5o jgi9
54 38
5795
61 93
64 61
67 78
70 95"
174 00
76 96
79 79
89 69
85 u
87 61
89 80
'3489
q3 81
96 5o
[97 06
98 99
99 39
989
396
a.94
3o8
3o3
349
365
35i
364
359
368
357
366
354
346
^9
*6q»0
69.5
70.0
70.5
71 .0
71. 5
72.0
72.5
73iO
73.5
74.0
74.5
75.0
75.5
7G.0
76.5
77.0
77.5
78.0
78.5
79'0
79.5
80.0
80.5
81.0
81.5
8a. o
83.5
83. o
83.5
84 o
84.5
85. o
85.5
86.0
86.5
87.0
87.5
88.0
88.5
89.0
89.5
90.0
E.
08693
09347
09900
ioi553
H301
193^9 81
84483 64
8393Q 83
17036 Ql
91605 04
ii85o
13496
i3i4i
13785
14427
07969 36
69890 69
8061 3 66
8345o 74
61783 63
i5o68
15707
16345
16983
17618
3qo57 06
718787 65
84553 79
^994 09
t6 59
18353
i8«85
19517
30148
30777
34784 40
4173a a4
335ia 52
14004 16
87460 75
31406
3ao34
3366 1
33â86
239 1 1
67659 17
38787 7a
04994 36
0474 93
9471 a3
l
24536
35i5q
2578a
a64o4
27036
06269 o
45196 3
10630 91
o6q48 5a
38630 73
27646
38266
28885
29606
3oi23
10112 70
36930 99
90611 a5
08716 00
8483s 33
3o74a
3i36o
31978
32*595
33313
33830
34447
35064
33569 09
29555 5i
07437 73
61876 QO
9 7546 6^
Diff. I.
654 65i53
653 98446
65i ^4697
648 i6363
83
08
93
42
^4/^ 619S1 43
645 1073a 97
643 62837 08
642 i833i 89
640 77374 43
63q 39730 69
638 06766 14
636 76441 60
635 4883a ao
634 26967 81
633 06937
63i 91790
63o 80681
63Q 73366
638 70198
637 71 ia8
6a6 76306
635 8548o
634 98996
634 16797
3o
6a
59
4a
55"
57
3o
86
19130 63
3i3i9 86
388 10 48
633 38937 37
6aa 65'4a4 55
6s 1 96337 61
631 01673 ai
630 71491 97
6ao i5ëi8 39
619 64680 a6
619 18104 7^
61*8 76116 a3
618 38756 86
618 06986
617 7788a
617 54239
617 35669
617 ai683
43
at
18
7
9
617 13189
617 07490
6a
n.
66707
6374g
60718
57615
54441
64
II
i5
5i
9.9
51198
478^5
445o5
37543
46
89
»9
47
83
3^65
3o3a3
36619
aa854
19039
45
54
40
39
97
i5i47
11300
r3l5
il68
99069
54
68
o3
87
94921
90736
86484
83198
77870
91
07
37
78603
69096
64655
60180
55673
73
40
a4
68
5ii38
46676
41988
37379
33760
o3
5i
53
37
28104
33443
18769
i4o85
9394
31
o3
41
8a
7»
m.
3968 53
5o3o q6
3ioa ^4
5173 5a
3243 53
33ia 57
338o 70
ZW7^
35i3 ^/i
3578 38
364i 91
3704 14
3766 01
3834 43
3883 43
3938 86
3993 65
4046 86
4098 3o
4147 96
4i9r84
4241 80
4286 83
4327 85
4367 87
44c5 78
4441 54
4475 16
45o6 56
4536 65
4662 5a
4586 99
4600 i5
4638 93
4S4li 23
4661 18
4673 63
4683 69
4691 11
4696 09
IV.
7a 45
71 68
70 88
o 01
9 04
l
68 75"
67 oa
6ô 9a
64 74
63 53
6a a3
60 87
58 01
5643
54 79
53 31
5i 44
49 66
4t7 88
45 96
44 o3
43 oa
40 03
3791
35 76
33 63
3i 40
36 87
MAI
aa 16
19 78
17 00
'4 95
1344
9 97
7 53
498
V.
t
87
97
91
111
110
118
131
i3o
i36
146
i4o
i58
164
i58
177
178
178
193
193
aoi
aoo
au
ai5
ai4
aaa
a3i
aaa
240
33l
a38
a48
a35
a5i
354
69' o
7G.5
77.0
77.5
78.0
78.5
79-0
79-5
00.0
8o,5
81,0
81.5
8a. o
8fl.5
83. o
83.5
8^.5
86.5
87-0
87.5
88.0
88.5
89.0
89.5
90.0
F.
.54G4Q
.358o5
.36971
.38141
4i5o3 00
69644 55
94771 aa
1309a 40
ao6i8 09
.40488
.41665
.43846
•44030
i5
i3i58 10
863a 1 5a
355 16 37
55q49 6a
4aba7 4^
.46403
.4755
.487I
•49984
.5ii8a
90355 61
93740 73
4719»
oa
80938 16
.5a383
.53586
•54791
. 55998
. 57308
.58419
.5963a
.608^7
. 62064
. 63a8a
49075 34
4a96a 97
56046 95
8i588 85
13669 ^9
4319a a8
6a888 4a
67330 43
47887 5a
96830 74
.645o3
.66734
.66947
.6817a
.69397
o6a38 48
68o53 38
74073 4i
15968 73
85377 03
. 70634
.7185a
.73081
.74311
.75543
73430 33
7/703 61
71336 34
63395 46
58934 74
.76773
.78006
.79338
.80471
•81705
88847 98
04036 4^
75357 68
93384 17
4880a 41
.83939
.84173
.85407
33471 90
34934 38
46773 oi
Diff. I.
i63 a8i4i 55
166 a5ia6 67
169 i83ai 18
17a 07535 69
174 93540 01
73163 43
49194 85
30433 35
86677 78
47738 31
o3385 13
53450 30
07736 96
06030 18
68137 18
93887 63
i3q83 98
a554i 90
3io8o 54
89533 89
30696 14
o443a 00
80567 10
48943 33
09407 74
6i8i3 90
06031 OQ
41895 36
6û3o9 09
88143 41
337
338
98383 38
99633 73
93069' 13
75539 38
49933 a4
1517848
71301 33
18036 49
555i8 34
83669 49
03453 48
11848 63
n.
a 96985 13
a §3194 5i
a 8q3o4 5i
a 85014 3a
a 80633 4i
3 76081 43
a 71338 40
3 66344 53
3 6io5o 43
a 55656 91
a 5oo65 17
a 44376 67
a 38393 33
a 33117 00
a 35760 45
1Q196 35
13457 93
o5538 64
9844a 3B
91173 a5
83735 86
76135 10
68376 13
60464 53
53406 16
44307 19
35874 17
37413 83
18833 33
loiSg 97
01341 35
83460 16
74393 96
65355 34
56o53 74
46795 37
37491 75
a8i5i 35
^8783 99
9396 i5
3790 Éi
3990 00
4190 19
4390 91
459^ 98
4793 o3
4993 87
5194 10
5393 53
5591 74
5788 5o
5983 45
6176 33
6366 55
6554 10
6738 43
6910 a8
7096 39
7369 10
743739
7600 76
7708 û8
7911 60
8o58 36
8198 97
8333 03
8460 54
858o 5i
8693 35
8798 63
8895 96
8985 33
9066 30
9i38 73
9303 5o
- .47
93o3 53
9340 5o
9368 a6
9586 84
'99 39
aoo 19
aoo 7a
aoi 07
SOI o5
aoo 84
aoo a3
199 43
198 aa
19S 7^
^s4 95
193 77
190 33
i'87 55
184 33
180 85
177 01'
17a 81
168 39
i63 37
l58 33
l53 63
146 76
i4o 61
i34 o5
137 33
f30 17
lia 84
io5 37
9734
89 37
80 Q7
73 03
63 78
54 97
46 o5
36 98
37 76
18 58
384
4i5
453
iVs
56o
586
616
664
673
836
845
874
881
TABLE III,
Canteoant les Sinus naturels à quinze décimales ^ et leurs Logarithme» à quatorze
décimales 9 pour tous les arcs de qainse en quinae minutes ^ depuis o"* jusqu'à 90*.
Are.
i.i5
i.3o
1.45
a. 00
a.iB
a.So
a.45
3.00
3.i5
3.3o
3.45
4.00
4.1b
4.3o
4.45
5.00
5.i5
5.3o
5.45
6.00
6.i5
6.3o
6.45
7>oo
7.i5
7.3o
7.45
8.00
8.i5
8.3o
8.45
9'OQ
9. i5
9.30
9-45
10.00
Sinus.
©•oo'
o.i5
o.3o
0.4B
1 .00
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
G
o
o
o
o
o
o
o
oocoo
00436
00^7»
oi3o8
01 745
00000
SSoaa
653S4
95955
a4o€4
00000
98374 z
71345
37384
oai8i
02617
o3o53
03489
4885o
60483
8575a
94 9^7
o3qa5 gSiS
o4$6i
04797
o5a53
8
8
54561 8
078738
P98a38
oa5oi
Log-Sioof.
3873
8iao5
5956a
65356
ai344
439448
06669
06104
06540
06975
a7875
85395
Siaoa
64737
8
07410
07845
o8a8o
08715
84901
30957
82075
57427
633
348:
5oi45
44125
95399
09150
o958i[
lOOlO
o45a
16186
575a5
80616
8463a
S
3784818
ia2o4}8
47658 "
6^402
aoa24
13076
67654
10886
ll320
11753
12186
68748
32137
93454
61965
67907
57858
o5i48
ia6ig
i3o5a
i3485
15917
89691
oiqaa
09003
5iooq
9
9
9
1
3583oJ9
aooSa
7373319
6oo65 9
14549
14780.
i5ai3
16643
36219
û4iii
338&i
4465o
9»»79
2961 1
899*7
4o!?5i
16074
i65o4
i6q54
17564
25656
76068
q5o38
01776
o3826
60678
40026
66930
Infini-négatif.
63981 69903 oSo4
94084 iSËoG 7687
11 6q3 6aa83 8061
53i84 3389
11093
i4i85
55875 39386 7735
41791 90153 8885
48484 78f ""
54a8* 9^
8699
9^09
5Q5cà4 83671 8456
60967 96616 1693
68104 33o^ 7641
71880 016^ 7603
75563 78116 1488
816
78667 53787
81669 86377
84358 45i84
86986
89464
91807
94039
9614a
98167
00081
01933
87768
38716
69741
m
45656
0377
%59
770a
0273
67661
87665
60703
44713
7987
7094
2886
9169
10106
1 1 569
12985
14S55
1B682
1G970
18319
19433
58o73
766
M
87
6096
2611
945o
9954
Arc.
g
o^oo'
.45
89. So
89.15
89.00
Sinut.
1.00000
0.99999
0.99996
0.9999»
0.99984
88..
88. i5
88.00
0.99976
0.99965
0.99955
Q 99939
87.46
87.30
87.15
87.00
0.99933
0.99Î
0.99^
0.99863
96715
30867
59S40
24415
77^9
7564
a54i
6701
2061 3
21760
22878
33967
08967
92289
39286
o23oo
9906
4481
1014
1167
86.45
86. 3o
86.16
86.00
0.99839
0.99815
0.99785
0.99766
86.45
86. 3o
85. 16
86.00
84.45
84.50
84.15
84.00
83..
83. bo
85.15
85. 00
82.45
82.50
8a. i5
82.00
00000
04807
IQSSO
43375
7695»
00000
30370
73a4Q
55908
08270
i
o3Sa
23l5
85864
95547
S67&
9096
Log--Sinii8.
0.00000
9-99999
9-99998
9-99996
9-9999 5
00000
58658
3463o
27915
38498
0000
0985
8so4
44^4]
0932
40735
81868
8ifo5i
54574
16706
^7984
69353
4060a
0,99736
0.99601
0.99666
0.99619
01860
75357
66034
46980
57549
31867
38604
598a4
99580
0.9953Q
0.99496
o. 2945a
61983
86183
18953
i486
a 38
97761
9'74o
0.99406
0.99557
0.99506
0. 99^54
Î35F3
18566
84569
61616
74663
67179
6091a
68375
22520
76688
S4026
4l$33
81.45
81. 5o
81 .iS
81 .00
80.45
80. 3o
80. i5
80.00
0.99200
0.99144
0.99086
.99o%6
49496
486i5
58973
80
970
687
0.98965
0.98901
0.98836
0.9H768
13858
586(33
i5io4
85406
79715
75810
8688a
41670
^¥7
/o
6Î917
67761,
961 38
9-99989
9-99986
9-99979
9> 99970
66373
ii6a6
73958
55589
7472 1
3521
3171
ai 681
999966
9-99958
9-99949
9 99940
5o456
64610
95754
44063
58ii
6037!
0030
9372 1
9-99930
9-999»8
9-9M06
9-99894
09490
91968
91455
07898
9.99880
9-99866
9.99860
9-99834
41255
V47^
584a5
42260
9608
56o5
0554I
5^1
9-99817
9-99799
9-99780
9-99761
43709
59777
93594
45489
9123
6658
8714
1760
7865
4684
7516
8i85
9'B974^
9.99719
9-99697
9-99676
09987
92810
91876
07098
9-99661
9.99626
9-99601
9.99676
"38^1
8566i
488i5
37764
6925
o533
2168
8027
0298
5-99548
9.99020
9-99^1
9-9.9461
0.98699
0.98628
0.98555
0.98480
'63565"
5Sôi5
60690
77600
60252
57231
58078
12208
9-99431
9 99400
9.99368
9.99355
22576
32676
68244
99£7o_
55558
36950
l5522
14589
8589
5781
5o42
65o8
9988
45.37
6553
6992
Arc.
10* oo'
lo.iB
lo.So
10.45
ll.CX)
ii.iS
11. 3o
11.45
12.00
la.iS
19. 3o
12.45
i3.oo
i3.i5
i3 3o
13.45
i4«oo
i4-i5
14.30
14.45
Siniu.
o. 173G4
M
0.1 865a
0.19080
0.19500
o.iqq3o
o .20304
81778 660309.23967
35454 738429.25028
55254 92 1 47 9 • 26063
4o36o 08704 9 ♦ 27075
89953
oS^ao
79344
17511
76S45 9 .28059
161289.29020
17^37 9-^9365
40178 9.30886
0.20791
0.2121
0.2l6i
o . 22069
16908
76721
74350
0.22490
0.22920
0.2^44
0.25768
10543
o3qo9
53638
58923
i5.oo
i5.i5
i5.3o
15.45
16.00
j6.i5
16. 5o
16.45
17. co
17. i5
17.30
17.45
18.00
18. i5
18. 3o
18.45
19.00
19. i5
19.30
19.45
0.24192
0.24615
o.25o58
0.25460
18955
32930
00040
19482
0.25881
o.263o3
0.26723
0.27144
. 27563
0.27982
0.28401
0.28819
90451
i2i44
83760
04498
Log-Siniis.
o25oo
22^5
30454
48041
1167
1085
4558
52o5
88.
572J
55095
68229
5o4i
7476
i4i5
3a32
^7709^^.^^'
564469.5266L
581059.53533
2i5oi 9.34379
438659.55208
224149*^^^^
559069.36818
26173 9.37600
"50558 9.38567
209959.591210
5444^9.39853
_o5528 9.40586
89102
q68oS
67506
72857
7855
6916
isio
5582
8o33o
55540
52554
54052
4125
2532
1441
5927
735^
90140
62681
0*29257
0.29654
0.30070
o.3o486
17047
15749
57995
4^990
0.00901
o.3i'3i6
0.31730
0.32143
o. 32556
0.32969
o.3538b
0.53791
1^
00004
46564
94655
ao.oo
ao.iS
ao.3o
ao.4S
21 .co
ai;i5
21 .So
21 .4^
23
22
00
i5
I22.30
8i544
06452
685Q2
67180
571579
0.54202
0.34611
o.35o20
0.35429
01433
70670
73812
10379
62787
o33p79
51767
565oi
96421
17225
623o5
72901
88240
45664
8594
2196
^791
5708
6954
7208
2170
o4oi
80750
27422
18046
85528
854o
5119
2526
1657
74947 9 -48998
837509.49577
050Q2 9.00147
53599
55898
18041
65695
1781
1812
(•¥577
,. j.5oi47
05162 9.50709
9
9
o. 35836
0.36245
0.S6650
0,37055
0.37460
0.37864
0.38268
66934
86173
34323
.61264
.61810
52549
52880
.55406
.55922
.54452
2364o
i5632
64453
91969
26660 9. «
77493 9|
59468 9 . ^«Ht^^
977 iP!^' 54956
45300 9.55432
857029.66925
24297 9> 66407
098569.66886
1917b
66245
62666
96784
8607
^26
0292
22^2
6476
2142
5966
7805
Arc.
8o*oo'
79
79.16
16846
5oo23
62955
01667
4566
9»79
9344
55i8
159129.67367
624539.67823
650909.68285
91618
57710
54526
55544
2167
958»
1020
7519
54170
63763
96606
8359
2552
83io
1.00
7?!45
78.30.
78.16
78.00
77.45
77.50
77.16
77.00
76.46
76.50
76.16
76.00
75 .3o
70.15
75.00
74.45
74. 3o
74.15
74>oo
73.30
73.16
73.00
72.46
72.30
72. 16
72.00
71.45
71.30
71 .16
71.00
70.45
70.30
70.16
Sinai.
6.98480
0.98404
0.98326
0.98245
0.98162
0.98078
0-9799»
Q -. 97904
77530
06976
49076
05977
12208
46291
650^5
26610
71834
62804
47046
54724
47^S4
o323o
2o85o
84684
9 99»34
9-99»57
9-99119
9.99080
0.9781-
0.97725
0.97629
0.97654
76007
11064
60071
25206
538o6
62679
19953
o85i3
0.97457
0.97337
0.97256
0.97154
00647
92684
99205
20698
85256
60448
97677
15261
0.97029
0.96023
0.96814
0.96704
0.96692
0.96478
0.96563
0.96246
S7262
OQ097
64o3 7810819.98694
9389 " "
75997
06754
15943
80068
28815
68262
75238
04532 08623I9.983
52564 """
55647
0.96126
0.96004
O; 96881
0.96767
16960 585i9|9. 98284
9852P ^'
86929
r548 681959.9817!
i6o8 " "
04816
0.96650
0.96601
0.96571
0.96209
47559
99444
69607
67996
63o36
67187
48227
45278
0.96105
0.94969
0.94852
0.94695
66162 95164
01877
06200
96106
91262
56552
01294
70.00
09.46
69.30
69.16
69.00
6i3.45
68, 5o
68. i5
0.94661
0.94408
0.94264
0.94117
86755
90205
14910
60162
99317
92784
92178
66570
0.93969
0.93819
0.03667
0.95510
26207
13359
21892
62096
86908
22484
48898
86012
Log* Sinus.
9.99335
9-99301
9.99266
9-99^31
14589 6952
3o6o2 1701
61227 1221
06328 C020
66764
3q595
27066
28655
6900
4456
8845
9715
9.90040
9-98993
9.98968
9.Q8cri6
43û39
72826
i5i3i
70688
465
2607
4269
9.98872
9.98828
9.98783
9-98737
9.98690
39528
20877
16167
21988
2540
1379
7460
7897
4*1 85 0960
9.98642 72667 5545
16910 0866
9.98544 71064 6142
9-9^494
98443
37781 0270
16887 1466
06160 6931
9.98538^065.97 2618
9.9822J
9-98117
16570
37860
69643
11486
2535
8385
0211
4473
9.98069
9.98001
9-9794»
9.97881
65i56
a44i4
96015
747»3
4586
0283
7227
6669
9.97820
9-97758
9-97695
9.97651
65256
6o584
66838
79351
4601
i883
3711
8679
9.97667
9.97601
9.97434
9-97367
00655
29468
655i6
08611
8733
8565
6086
7026
68.00
67.45
67.30
0.93368
0.95200
0.95041
0.92880
04264
78692
76670
96628
97202
82799
82026
7>9M
0.92718
0.92554
0.92387
S8645
o5o4o
96326
66787
17666
11287
9.97298 58164
44095
. 97^29
9.97108
9.97087
4290
7541
7583
4863
9.97016
9-96241
9.96867
9.96792
17376
9579^
79020
66755
8881
7658
7033
0290
9.96716
9.96659
9.96661
68604
54295
53459
7322
4111
2094
1
Arc,
35** oo'
35. iB
35. 3o
35.45
36. 00
367Î5"
36. 3o
36.45
[ 37.00
37.15
137.30
.\^^
138. 00
38. i5
38. 3o
38.45
3g. 00
39.15
39. 5o
39.45
40.00
Sinus.
57557
577*4
58070
584^4
58778
64363
SlQOO
?do5d
25a9
59130
5983a
60181
)flo4<
6oôaQ
60876
6ifisti
61 566
61909"
6afl5i
6a5Qa
6u93a
39880
14390
73800
1475g
63370
636o7
63943
64378
64gTJ
656oS
6
34731
0891
I338F
83309
76096
Log-Siniis.
i3oi5
5o8o5
4o365
84735
86853
5406
7353
476g
8038
9506
5i34i 9.77438
706529.77693
. 9-77^4 6
438949.78190
087319.78^
344499.78630
35658 9 " **'
__J95
3o348
i364
3607
5686
6401
"55^4
66363
66588
66913
"^973^
8o489
97524
90^8?
9-78934
298349-79175
376309.79414
840599.79653
49837 9.79887
635169.80130
777649.80351
800859.80579
865399.80808
6^03
71378
55835
9787
58T5Ï
00^83
16060
o6o65
^8074
03076
0745c
836oo
"58518'
68835
69151
69465
3oi8i
63733
90007
00069
i5738
00834
58858
i566o
S3943
6^499
36359
03754
83369
58997
^94
96670
13370
18^8
7385
7095
S908
5449
.8io3i
1.81354
,.8U75
1.81694
14930
o5353
91331
74967
585qI
160
o
i8
4656
1336
3705
5343
5976
3ii8
5738
3335
.81911
.83136
. 8aS39
1.83551
.83760
.83968
.83174
.83378
3a54o-
45717
70574
0895 1
SaSSS
33460
33io6
333o3
447^
4779
45o6
7436
|.83$8q
(.83781
l« 83980
|.84>77
S868
36i8
3545
5o54
65730
33036
o384o
13783
"53o3
4307
1345
3069
Arc.
00'
55<
54.45
54. So
54.00
53.45
53. 3o
53.1 5
53.00
33T45
53. 3o
53. i5
53.00
51.45
5i Jo
5i.>S
5i.oo
Sinna,
o.8i<
o
o.8i4ii
0.81157
0.80901
i555i 01679
55i83 583i9
39819 65oi3
^9943 74947
0.80644
o.8o385
0.80135
0.79863
r
9.91336
9.91303
9.91068
9 -90932
90795
0.79600
o . 79335
0.79068
l8oi
68606 17317
38136 91061
65 10 47393
30035 3463a
3340a 91335
95757 43843
07536
,78531 69308 807459.89504
0.78360 8i568 53414
p. 77988
o.777>4
48.
48.1
48.15
i8.oo
467
46. bo
46. i5
[6.00
0-77439
0.77163
0.76884
0.76604
0.76333
0.76040
0.75706
0.75470
5341,
4483o 0388^, .^__
69614 56971 9 . 89 060
a*644o 83186 9.88896
46833 877309.88740
r75ï83
0.74895
0.74606
0.74314
i833o 73460
444 31 18978
34607 83639
59660 ooo3i
49843 84060
258o3 33773
Log-Siniia.
45194
6o33i
8ii56
76445
46ô4r57483l^ao657 4540/
87336
01090
86164
3486
i335
7566
6386
8597
9.90617
9-9o3;
9-903:
9.90091
9-89946
9.80800
9
.898*
,89653
4i6o3
66546
60131
31441
^9-89354
39.^303
49606
48700
03796
36944
1134
0810
o548
^54
8847
a3oi
79^^
18074 78977
67307 89003
78750 61700
48354 77394
0.74031
0.73737
0.73433
o>73i35
0.73837
0.73537
0.73386
0.71988
??ife
Il 374 8
3368 10134
733
35094 ^^86
57016 19171
00698 83400
45710 13388
39630 69756
9'8oo3 3*865 1
0.71680
0.71836
0.71018
0.70710
19434 34654
04491 541 8a
53756 33385
67811 86548
9.88688
9.88435
9 . 88365
13189
60554
70049
^9665
779'
9376
au8
535i
68385'
9.88104 66i53
98938
98639
. 87941
9-87777
9.8761a
9.87445
9.87377
87107
9.86955
9.86763
9.86588
8641 3
4338
6992
1645
3565
53iî4
61434
33370
34581
97»^
08843
7069
i85o
94^9
4351
9.86335
9.86066
9.86875
9.86698
36281
33060
60710
40900
9418
1734
8716
3939
3Qo3
8667
7384
070!
9.85334
9.86187
9.84948
61394
3o538
17^49
6oo3i
6094
]683
TABLE IV.
Valeurs de log-tang ( 45* + t 9 ) POur tous les angles ^ de 3o eu 3o miaules , depuis o*
jusqu'à 90% calculées à douze décimales, avec leurs différences premières^ secondes,
troisièmes , quatrièmes et cinquièmes.
^
.00
8.00
8.3o
9.00
9.30
10.00
10. 3o
11.00
ii.3o
la.oo
iA.3o
i3.oo
i3.3o
i4-oo
14.30
co
i5.3o
16.00
16. 3o
17.00
17.30
18.00
18. 3o
19.00
19.30
flO.CO
/tang(45»+i^).
.0.00000
0.00872
0.01745
0.03618
o.o34qi
0.04364
00000 00
67670 fl4
41786 84
aq9q8 67
36759 69
7083 1 46
o.o5a38
0.0611a
0. 06986
0.07863
0.08737
38i85 67
45506 ^3
p6865 q5
74359 6a
0.09614
0.10431
0.11009
o. iaa47
o.i3ia7
08736 36
1678a 91
o53i4 40
81176 QQ
5ia5o b3
0.14008
0.14890
0.16607
0.1764^
0,18439
p. 19317
o.aoao7
0.81090
o.ai^i
aa45i 78
01736 a3
96101 91
ia59i 73
58396 5a
o.aa886
0.33783
o. 34681
o.a558i
0.36484
fo357 97
66971 6a
4a58o 07
76935 53
7^9^^ 97
49917 49
o33a7 97
44770 43
81906 43
33477 61
0.37388
0.38396
0.39304
o.3oii5
0.31039
74309 34
463i4 34
43406 5i
76904 80
53iB87 3o
0.31946
0.33*864
0.33786
0.34710
0.35637
835q4 81
71486 o5
39081 01
64016 81
86047 35
DifiF.I.
67670 34
74316 60
87611 83
07461 03
34071 77
67354 31
874
875
876
3a 1 06
53^87 58
07071 64
67493 67
3437674
08046 55
8853i 49
76863 69
70073 64
713Q1 i5
881 79384 45
883 - ^^
884
885
886
94365 68
16489 8a
45704 79
8ao6i 45
888 a56i3 65
889 76418 35
891 34535 56
893 00038 45
894 73963 53
098
900
903
^04
53410 48
41443 46
37135 99
40671 19
5i83i 73
906
908
913
916
71006 00
98183 17
93458 39
76933 Ao
38707 61
i
918 88891
9a 1 57504 9
934 349S4 80
€^2j aio3i 44
93o 16010 30
n.
6646 36
13396 a3
19349 »9
a66io 76
33a8a AA
59966 85
46666 5a
53384 06
6oiaa o3
66883 07
73669 81
80484 94
87331 10
94311 o5
01137 5i
o8o83 3o
16081 33
3aia4 14
39314 07
36366 £6
43563 30
60804 70
68117 30
65493 90
73935 07
80446 96
88o3i 98
96693 53
a 03435 3o
a 11360 64
3 1917337
a 37177 17
a 35376 13
a 43474 11
a 51776 ai
m
a 6oi83 63
a 68703 7a
a 77333 84
a 86096 6i
3 94978 76
3 03991 13
m.
6648 8
6653 Q
6661 56
6671 69
6684 Al
669967
0717 64
6737 97
6761 04
6786 74
68i5 i3
^846 16
6873 96
6916 46
6966 79
699793
704a 01
7090 83
7141 69
7196 54
736a 5o
73i3 5o
7376 70
7443 17
761 1 89
7585 oa
7661 55
7741 67
7835 34
7913 73
8oo3jo
8098 96
81 97 99
83oi 10
8408 4a
8530 09
8636 13
8766 80
888a 13
9013 36
9147 5i
IV-
5 09
7 60
10 i3
13 7a
i5 a6
1787
63 30
66 47
75 i3
76 53
80 la
83 67
87 39
96 o5
99 04
io3 11
107 3a
111 67
116 o3
lao 68
136 3a
i3o 34
i36 i5
140 36
V.
a5i
a63
359
a54
a6i
356
â64
a63
a6q
36^
376
37a
aSa
aSi
384
394
394
399
3ii
3o4
330
337
335
341
340
369
355
37 a
S73
388
399
407
431
435
436
465
4S4
49a
491
530
639
♦•
ao^cx/
20. 3o
ai.oo
91. 3o
aa . 00.
aa.3o
aS.oo
a3.3o
a4«oo
.3o
^
.00
a5.3o
aS.oo
a6.3o
a7.oo
97. 3o
aS.oo
a8.3o
a^.oo
a3.3o
3o.oo
3o.3o
3i .00
3i«3o
3a. 00
3a. 3o
33.CX5
33. 3o
34- 00
34.30
56. 00
35. 3o
3S.OO
36 .3o
37.00
37.30
38. 00
38. 3o
39.00
39.30
40.00
40. 3o
41 .oo
41. 3o
4a. 00
49. 3o
43.00
43.30
44.30
45.00
/tang(45«+4^).
0.35637
0.36568
0.37601
0.38437
0.39377
o.4o3i9
85o47 aS
01007 45
aio68 77
541.58 7a
09765 10
97191 61
0.41266
o.4aai6
0.43160
o.44^Jb
0.45087
a6o6a
06119
47a67
?99
7a
o.46o5a
o.47oai
0-47994
0.48971
0.49953
38861
a688o
a8i69
63744
14898
0.60939
0.61999
o.SaQS&
o.53i9a5
0.64930
aa8]S4
895ao
a6696
46539
61443
40
83
98
40
o . 66940
0.66966
0.67977
0.69003
o.6oo36
"84355
97333
04455
3893 1
14563
39
01
4a
34
5i
48
6t
70
.94
0.6107a
o.6aii6
o.63i66
0.64991
o. 65983
o. 6635a
0.67437
0.68609
0.69698
0.70696
76468
96086
81Ï39
66907
66797
36
81
%
90
96653
54776
66849
m
80
97
.9»
60
3b
0.71798
0.79910
0.74093
0.76155
o.76a9o
0.77434
0.78686
o '79747
0.80916
0.83096
35388
A9665
on 53
7aa9a
66186
40
47
11
o.83a84
0.84489
o . 86690
0.86908
0.88137
o66a8 6
18143 9
a6oo7 è3
66a85 87
36870. 19
Diff. I.
93o 16010 90
933 aoooi 3a
936 33i3q 96
939 65566 44
94a 87426 45
946 38871 11
949 80067 a6
95*341147 4q
967 ia3io 58
960 93731 48
SS4 85661 66
968 88019 a5
973 01989 4i
977 a6574 45
981 61084 la
986 o8o35 99
990
000
006
010
S6665 69
37176 99
19842 49
i4qo3 99
99b 9 9 17
016
oao
096
o3i
037
43967
7719a
24476
8563a
60904
09
a4
4a
043
o€a
068
5o6i8
55iia
74738
0985.0
6o856
i
5
8
07
li
076
089
o8q
096
o3
98199
19066
i3u4
31708
685o9
I
I
80
4a
II
18
a6
35
43
fl33Q5
97464
9to35
04644
38867
a3
48
84
40
73
5i
60
6
h
94277
71488
7u38
95899
40443
34
ti
9?
908
918
998
939
ii5i5
07863
30978
79684
66644
6
24
39
73
n.
3 03991 19
3 i3i38 63
3 99426 49
3 3i86o 01
3 41444 66
3 61186 i4
3 61090 94
3 71163 09
3 81410 90
3 91840 17
4 9457 60
4 13370 16
4 94986 04
4 35609 67
4 46961 87
4 58&19 63
4 70691 3o
4 89665 67
4 96061 43
5 07718 96
6 90646 80
5 33854 16
6 47353 96
5 6ii56 16
5 76973 18
5 89714 o3
6
6
6
6
04494 i3
19635 49
3oi3i 57
50996 86
67366 87
6 83944 17
7 01047 95
7 18694 21
7 36600 6a
7 66086 81
7 74069 95
7 93671 36
8 i36i3 56
8 34918 33
8 55409 3i
8 77911 3o
8 99660 36
9 33763 95
9 4655o 94
9 96348 3^
10 99414 ^9
10 49306 08
10 77060 4'
11 00717 99
m.
9144 5i
9987 86
9435 59
9684 66
9741. 48
9904 10
0079 86
0947 81
0499 97
0617 43
0819 56
1014 88
1994 63
1442 90
1667 76
igoi 67
2144 27
93q5 86
9666 89
9937 66
3308 36
3499 80
38o3 10
4116 00
4441 86
4780 10
5T3i 36
5X96 18
5875 19
6360 01
6678 3o
7103 78
5546 36
006 4^
8486 19
8983 44
9603 11
30043 30
30604 77
31190 90
31801 99
33439 o5
33io9 60
^3796 99
34630 77
36376 65
36066 33
36801
37754
38666 88
39601 44
IV.
i4o 35
145 66
i5i i3
i56 83
163 63
168 75
174 96
181 '46
188 16
196 i3
3*03 33
209 76
"lU
99
933
949
Ë.
95 1 6
960 9
44
9
991
3o9 39
3i3 84
395 89
338 95
35 1 96
364 89
379 01
395 89
435
442 48
460 16
47878
5i8 67
669 67
686 91
611 01
637 06
66466
693 39
793 78
766 88
789 68
895 96
869 84
909 55
94466
.98893
V.
63 1
547
570
6i3
631
"653"
670
697
il.
789
869
89.9
937
977
008
:o63
095
145
iû8
3^
Soi
^1
4«9
481
'547
DI9
700
863
947
9049
9149
9948
9364
9480
9605
2749
9884
3o39
3910
3370
3668
log tang ( 43^ + ï ^)' I^îff- '•
45*00'
45.^0
46.00
46. 3o
47.00
47.80
48.00
48. 3o
49.00
4.9-80
S o.oo
5o.3o
Si.oo
Bi.Jo
5s. 00
Sa.gp.
53.00
53, 5o
54.00
54.3b
55. OQ
0.88137
89376
,90637
,91880
981 63
94448
35870 19
qq5i4 9^
5a557 69
16147 54
7707074
55 .5o
56. 00
56.^
57.60
57.30.
58, 00
58. 3o
59.00
59.80
60 .00
15ôT3o"
6i.ck>
6ï .3o
6a. 00
6a. 80.
63. 00
63. 80
64.00
64.80
65.00
■65T3Ô"
66.00
66. 3o
67.00
67.30
"S57oo
68. 3o
69.00
69.80
70 ..00
,95746
(|o3oo
997>7
01068
68645 ào
a4ii5 a6
78707 39
68779 7^
3i886 83
00433
08810
o5ao6
06616
08041
Ô9485"
10941
10417
18911
15408
07046 98
34710 '80
56867 70
17106 06
60719 49
3478865
88081 08
7ai56 q8
3.9470 36
45586 09
i6cj54
i85o5
00075
01667
08080
67
flo
0090
85 119 07
48178 80
64608 08
o4qi6
06074
â8â56
0906S
06146 i5
49759 48
78969 o5
33454 46608 89
35o4o
87054
,88898
•4077a
43678
44S17
46390
48593
50645
OOOpi DO
5o688 75
86705 10
50709
54854
57001
59080
61489
■30456 40
889fl5 o3
58i6i 58
40878 3o
66148
68556
71020
.73541
91710 o3
?io34 .70
7611 So
37004 4a
09161 78
868o5 3o
97465 10
84558 98
691.58 67
5 1606 69
297
56644 78
60860 00
97680 75
63580 85
6110b 00
91870 48
55470 04
54610 i3
QooSo 3i
68107 ï3
75160 10
07665 87
001^4 90
6oo38 36
48613 43
74069 16
53490 63
88875 70
67800 38
b6o56 73
00431 00
58^759
78ai4 07
63o59 55
16444 01
4i5o3 10
78?
814
843
874
905
%%%
973
0008
0045
0084
4i65o 80
00897 06
81 565 o5
09009 77
67659 14
oi588"35~
35794 86
75707 i5
07016 85
90761 3o
885 17 57
ioS4t 00
74836 5o
49888 91
70800 47
■86076 80
00 lo 7941a 90
701Ï7 Si
77660 57
oo56
fl3o4
"0355
10689 80
8709S 88
a45g9 69
40408 00
61966 58
05717 39
35Si8 73
65909 10
97535 35
9oo47 08
64097 56
99140 00
35440 18
78054 80
ioo5o 97
5o5o5 77
94489 08
38o83 46
88875 07
80455 79
79408 47
8
8o383 07
88446 68
88734 35
96374 79
565o6 07
19076 48
84845 48
53384 66
«5078 91
00107 70
07
78746 4<
61167 ^^
é^i^éi/^ bo
38449 57
88879 01
08 34o56 5i
09 89933 09
3o 51389 ao
3i 68744 95
3o 90756 07
III.
08808 49
60495 1^
09875 39
65i37 13
3o488 56
o6o54 33
98336 10
90704 3o
05526 00
8057603
76454, 08
07505 8f
17868 33
194.98 56
44607 5o
39601
80590
3 1606
33711 98
3385o 08
35o44 53
36098 09
37614 64
38938 i5
40450 80
41988 06
4359443
45001 61
47080 66
46967 74
60959 60
53o63 61
55087 67
57640 44
601^1 38
63770 4i
65569 00
68689 ^8
71694 o5
7^48 7?
78 618 74
80401 55
86476 58
90804 85
95409 84
00877 3o
06676 78
ii356 91
17455 76
34011 3a
81067 30
38671 q5
46879 ÎÏ5
55751 83
65856 àA
76770 77
8708^1 79
99888 07
10801 87
a 27449 27
48477 8o
IV.
6io5i 78
8086a 00
8 01680 08
8 o5io8 06
3 61098 7r
98893
o35 88
o85 68
i38 36
194 36
3*58 56
316 65
883 61
145466
536 44
611 17
607 i8
r89 o5
187 08
991 86
3 104 01
3oa4 06
3863 77
3ioo 84
3680 18
079869
3970 18
3i55 07
3354 54
8669 o5
38o3 Si
406428
4808 00
46a4 99
609 8 48
568i iT
6098 84
66'55 67
7055 90
7604 78
8007 90
9604 61
0414 38
i3ii osi
o3o6
3418
4648 10
16007 88
!7578 88
igSTo 79
01067 71
08478 78
06984 76
38*834 04
V.
46 o5
5a 67
55 90
69 3i
6a 99
66 96
56 81
o 71
86 01
00
08 71
38 07
48
59
7« 59
84^
99 ^1
3i5 41
383 86
35a 17
373 34
396 67
3*00 ^i
35i 00
383 65
456 ^
600 33
548 83
608 17
664 08
783 63
800 7a
89665
995 4^
IIC7 13
1084 5o
,370 78
1646 oo-
»736 91
1966 go
3ati 03
35o6 os
3849 30
- 5a5ag*
M
^'
170*00'
70.30
71.00
7i*.3o
72.00
7a. 3o
logtang(45»+îrt.
DiiF. I.
kd.oo
73.30
74.00
74.30
7^'
00
75.30
7G.00
76.30
77.00
77.30
78.00
78.30
I75J.00
l7<j.3o
80.00
l8ô73o
81 .00
81 .3o
8a. 00
|83*3o
83. 00
183. 3o
I84.00
84.30
85. 00
.73541 5i6a6 69
.76104 i35q3 a7
.7877.1 .30167 37
.81486 aa44a 70
.84073 00347 01
.87136 65895 oa
.g3iob
.96025
' 99440
a . 03708
6690046
9U174 07
7'939 84
9a565 3a
i4a4 8 00
.06186
a.o97So
a.i34Q4
a. 17310
a. 01 166
a.a5a8o
3.09666
3.34040
3.38:^19
3.43634
160 91
39967 00
3b4oo 19
18096 09
80791 8b
07044 a6
00607 45
06933 08
47301 18
60537 î6
6iq66
)6674
>3075
3680
0647
071&
0786
0860
0943 01007 44
44607
76638
17641
3oo8
3ii8
3oi6
33i8
3407
IS^
3671
3807
806^5
00636
01 653
88934
3.48778 76890 3o
3.64309 04^0 61
3*^947 i573i 31
3.66o3o 61376 6q
3.73604 18019 65
85. 3o
86. co.
86. 3o
87.00
87.50
88.00
88. 3o
89.00
89.30
90.00
a.7.94a» 90579 09
3.86849 86556 14
3.94870 03390 74
3.o3685 77605 Qi
3.i3î3o i33i5 8j
3.35678 o5oi8 81
?5. 35467 35134 07
3.488^ 01467 83
3.64053 33573 04
3.834.9^ 474^^ 98
4.04813 54186 83
4.33685 19194 43
4.74134 87G03 65
5.43451 4^799 ^^
Ini. logvritliiQiqite.
4679
oo45a
87876
63496
46a5a
a3563
863i7
40075
13335
16353
Sb'aaa
59959
81027
87389
67872^
m.
5iog3 71
79927 75
laoïfl 73
47819 73
87904 74
■^35 99
33638
974^3
74b > 9
85756
47
1073
5430
5738
6o83
6473
€917
37470
i\iho
45544
56744
70669
7407
8000
8716
9544
10648
90076
76115
358<
ii<
117^'
cric
ia3o3
i54o5
18339
303SK>
66333
3aij6
13838
06774
^gSi
66007
68409
60195
73060
o3oi7 18
11 11^ i3
83900 3i
34173 78
1 i 190 68
1681S 5i
03417 35
090 19867 68
696 69080 57
838 60694 63
ioo3 76<^ 5o
1940 q8oo3 06
83667 5^
41067 4q
06355 o3
80697 i5
roQ 3o
77iût>
09157
63653
45443
19100 04
OQ967 10
08099 95
70783 18
37
50373 47
77005 û
04616 8
07601 84
96440 33
75^
0060
0816
4080
6450
^6438 60
66781 65
81733 33
93936 11
58333 75
38766
03401 60
93786 -fe
"3^30
""ri"! »
15398
31908
68436 44
oqIsJi
16341 6
iioio 78
66396 64
461*68 87
6989 90334 87
08834
3ao84
S58o7
4oo85
46001
60741
66187
7434a
86160
98005
1S41I
54416
81800
16769
10855
78149
64685
77490
38
37080
o3q8o
88838
•991
i3q85
06509
36517
So gaS
1106
0950
11665
0*6583
96071
64o83
7987a
^3 16
SaSo 93
3733 04
4378 00
4936 04]
6720 3i
6658 381
7787 60
9164 68
10830 o5
13863 03
1 5386 80
18639 ib
33475 00
07473 89
33869 39
43i3q 06
52966 5 1
67387 76
86640 38
10807 06
49»63 14
8
00837 éo
76396 q8
86853 48
54144 07
19008 5i
ERRATA de la Table de Gardiner, édition d'Avignon.
Nombres,
8i
1071.
Correctionfl du log. Nombres.
?* cfaiiTre o
•et9«
8*..r
io83
io85
iic6
CorrecdojiB du log.
C^ombret.
16* chiffre 6
i3«cti3* 45
i3« 1
1116
1186
ii36
Conrections du log.
iS*diiffire 1
i5* 3
i3« t
TABLE V.
Logarithmes à 19 décimales pour tous les nombres impairs de ii63 à i5oï , et pour
tous les nombres premiers de i5oi à loooo.
Nota, Cette Table fait suite aux logarithmes à flo décimales des Tables de Gardiner , édit. d'Avignon.
Elle est extraite des grandes Tables du Cadastre, déposé^fs fiu Bureau des Longitudes , et dont la notice
se trouve dans le tome Y des Mémoires de l'Institut.
Nomb.
Logarithmes.
06557
o663a
06707
06781
o6855
06929
07000
07077
07101
072^4
0714?
50353
o856o
^5iii
68959
07398
07371
07018
07691
8oiai
78666
646a8
38o5o
98976
38448
6ao37
45370
61840
73363
4114
7769
1735
1107
^^99
i553<
0775B
43434
95089
i55i4
^7
0740
6816
1354
7 m
47446
835o3
0718Q
18546
17614
37930
46133
54591
18691
3691
6701
3S04
58i8
5o3a
07664
07736
07809
07881
07954
04436
79063
4i5o4
i83o
074
t
08036
08098
08170
08343
o83i4
56373
70469
73700
63oo8
4i43i
0341
1^1 56
00410
98848
03906
8728
4898
6668
6760
0489
o8386
08457
08629
08600
08671
"Ô8ÔÔ8"
63779
06783
37066
56639
39844
10887
97^49
60771
43063
7438
3146
886a
3453
66673
34330
3oo64
i838i
44883
974»
9910
9888
9345
4749
08743
0881 3
08884
08966
09026
64670
60887
45627
18828
80629
36285
00661
37004
86464
3i3i6
4633
3710
3409
086*6
3078
09006
09166
0923c
09307
P9577
30766
60675
i3o63
I79»4
96731
96684
301 30
76063
98739
6432
6356
6536
4583
8296
Nomb.
343
345
347
a49
361
363
355
367
359
301
363
365
367
369
371
373
376
377
^79
381
383
385
387
389
391
393
395
299
3oi
3o3
3o5
307
309
3ii
3i3
3i5
319
331
Logarithmes.
09447
09016
09686
09666
09736
11386
g35i4
4534
34383
78096
41644
31766
78643
74135
95419
7635
1469
6i37
6l30
9661
09793
09064
09933
000s
0071
10700
37368
62776
57301
60866
94149
17066
86967
07863
73081
9998
944*
7473
5975
6310
0140
0309
0377
0346
0414
336o5
06365
66148
16330
555o5
65330
11836
83441
94704
54008
7^7
7344
3410
7763
174a
0483
o56i
0687
0764
84o36
01847
0897a
06444
9>397
63666
69973
6^4i5
78663
44686
3967
9754
8866
9226
5oi9
0833
0830
0967
035
093
66663
31376
86460
62433
74928
67313
04386
53403
66420
5o36
34ao
6846
oaii
3o88
293
36o
427
86248
97684
99760
91610
73965
80394
17370
84080
78037
61686
%
4
637
760
4^157
00116.
55875
96465
36916
13684
74399
80644
50755
90084
o38i
6333
0814
8800
qS44
6916'
7667
3978
8000
3777
836
89a
9§8
3094
3030
47360
57538
57743
47955
38176
83479
35776
61783
46365
14537
3435
6738
8079
3965
304l
Nomb.
333
335
337
339
35i
333
335
337
339
341
343
345
347
il?
35^
355
357
3oi
363
365
367
369
371
373
375
377
g?
383
385
387
389
391
393
396
397
399
401
Logarithmes.
ai65
3331
3387
3353
a4'7
08441
68783
09338
49809
80664
87600
72836
64435
43731
74676
'33
»52
6119
997^
123^
3483
3548
s6i3
3678
3743
oi^q4
13667
14073
06770
87778
13869
00694
61982
12008
61698
ao6i
oa68
3683
9744
5^29
3807
3873
3906
3ooi
3o65
3i39
3iqS
3367
3331
3385
60136
39843
76967
Ï9496
53490
68716
384a6
33986
71904
33030
3565
7849
6132
2476
5913
77965
93953
98476
94567
81953
3449
35i3
3576
3640
3703
3^
383o
3893
3956
4019
55558
365i3
85i45
34481
745421
97623
10494
59737
33404
©3^4
î
36
43
0691
3ii4
6909
34673
7b774
67833
33989
89613
6617
8430
3700
36
97
g
06373
36901
39403
4ab6i
36785
36766
66381
66933
76849
7863 1
1114
4660
6777
7681
2844
4083
4^44
4ao7
422^
433a
a 1^1
97734
64610
334^7
7 1^99
09310
00467
73284
37616
92046
6824
3686
8627
6730
4100
4396
4457
4519
4581
4643
11164
42076
64061
77^44
81 35a
33963
09616
14181
?i897
5774
4808
3591
9060
*6a88
6000
m
Nomb.
35ii
3517
35a7
353Q
3533
^9"
3541
3547
3557
3559
3571
358 1
3583
3593
3607
36i3
3617
36a3
363 1
563 ^
3643
3659
3671
3673
3677
3691
3697
0701
3709
37^.9
3737
3733
3739
3761
3767
3769
3779
3793
3797
38o5
38âi
38a3
3833
3847
385 1
3853
3863
5877
388 i
3889
Logarithmes.
54765
54814
65351
1694^
67489
5996Q
34845
aio3
58o3
633i
1987
4904
54888
5491a
54986
55io8
55i3a
55078
55400
554^4
55545
55714
Q56a6
59067
II 884
3865i
79880
37514
58iii
7» 94a
85780
o3845
884s
o6a5
7498
334a
9035
98601
43âio
68081
72170
6i4a3
9^781
1190a
66110
04649
18363
94a3
3io
5931 .
4896
ii33
55786^
55834
55906
560011
56074
i
6i5 68oaa a3o4
087 61619 7283
83340 34536 8287
6^489 12893 3179
35oip 54711 9111
Nomb.
3907
391 1
39'7
0919
3923
56145
56336
56478
565o2
56549
91712
43845
OQ283
36298
9002
7607
3886
56714
56784
56831
56926
67042
1
90860
68333
61783
96667
73106
96111
28610
58972
172^
7959
7809
1425
5899
57135
67206
67276
67530
57599
93§a7
m
33334
66202
63839
26304
54^19
22399
05267
6579"
5400
6164
1166
63oi
57622
67737
67898
57944
68012
61874
68919
28427
06971
63254
49604
17014
02790
39797
9666
S076
1887
4589
68217
58240
68353
68612
58557
70376
42980
88102
2t863
35i86
5^279
68692
68849
588q4
68983
88408
19028
54352
0681 5
22731
8355
1110
1387
4900
1023
900Q0
47081
68010
36427
7943i
iSooo
44820
07210
40014
47459
9a»9
&32S
oi4i
9113
7476
3931
3943
3947
3967
4001
4oo3
4007
4oi3
4019
4021
4027
4049
4o5i
4167
4169
4^77
4201
4311
4217
4319
4229
423 1
4241
4243
4263
4269
4261
437 ï
4273
4283
4389
tiOgaritbmet.
59184
69238
69296
69061
.112
7^
367
62634
83o8i
69428
69460
69682
59626
69846
a4784
52i3o
47866
78102
29635
4534
6928
8683
6917
9103
20288
3o438
67770
71263
22004
11806
20089
73220
955i5
74160
1101
1841
1806
33o4
6198
60086
60216
6o238
60281
60346
4o363
865i3
66901
93424
91597
00839
78997
o5io5
32&
338!
6628
1702
1223
7820
7345
60411
60433
60408
00766
80061
40731
16206
77767
22431
92034
02911
07431
6841 3
83688
60820
60991
6io55
61182
6i2o4
8608
1042
6667
400D
23o4
60077
44100
37063
94794
'7446
04326
86997
45^69
Nomb.
^7
4337
4339
4349
4367
4363
4373
4391
^7
4409
44ai
44a3
AUX
4447
445i
4457
4463
4481
4483
61267
6i3o4
61663
61684
61626
79183
74ZÇZ
44688
48828
64062
16601
80349
774» '5
74702
81708
7600
7610
9Î49
i328
1904
61689
61 836
61878
61808
62006
54264
19311
00246
89203
4475a
00769
oo87iî
06214
64933
65 121
9660
1660
7633
61Q9
1164
Logarithmes
633i6 53636 839o3 igc8
636i8 68961 98724 2773
S^iS ^if"' ^^^' ^'h\
60708 96601 29211 9103
63838 94076 66336 9626!
65918
63978
64077
64266
643i5
35^
86820
44856
04387
19706
9076
1393
6
»2
3020
64434
64662
64671
«4748
06
.41
648
00988
06149
69333
07701
71294
26322
06874
69603
73675
48934
0063
79». 9
lia
!4
64845
64904
6^?3?
65i66
4623
4547
4549
456i
4667
62336
62438
62600
62620
62623
26816
62414
36oio
96253
76861
37991
20266
14863
81880
46qoo
9779
0739
4604
9968
3864
62746
62767
62869
62930
3o253
83724
50017
53827
76400
31294
^®
14023
73748
6565
6169
8733
3oo3
8638
62961
63o62
63073
63174
63335
1634a
95714
38938
80743
60462
00453
26824
171(^6
96669
39073
3343
0677
5iq4
3486
1953
4685
4691
4597
46o3
4621
66114
66190
66247
663o4
66473
4637
463o
4643
4667
4663
4673
4679
4691
4703
4731
4723
47^9
475S
ÏÏ5H53
65388
66446
65485
655o4
76942
26340
68868
49439
87388
8262a
86176
40629
i3o^
66791
6333
3636
43,9
2465
8703
66642
66772
66791
66906
66963
64185 93025 393Î
75580 70977 6206
53336 20145 8404
00906 61394 2024
2541 5 Siabi 7 644
66877
00722
10116
46918
06108
29966
40938
070CO
6342
201 5
1800
a99c
6c^3
98672
72927
46037
09748
69686
4478S*
66oao
5o3o9'
9^924
18704
66623 70968 96804
66642 43725 18760
66679 86836 66174
66735 û546i 83o87
66764 63396 11 616
è68io 63379 33731
66866 64164 54493
66963 67810 243»3
67010 30461 92180
67126 64329 47168
6096
7866
618&
2393
3233
4504
6021
0623
0783
4775
67237
67405
67421
67476^
67613
49787 46079
40004 3r264
79466 76690
93i4o i54ao
66044 67994
3193
0669
3119
3386
3624
4876
89^1
9^88
2764
oii5
LogÀrithmet.
67678 5cSo4
67751 ^7°4l
?eoo6 34074
^8034 486 70
igacS 4fi4
98757 4844
7'9fi4 '48a
81948 5693
43607 7(
[787 8760
33431 3937
69165 7458
7735a 4qOO
14434 c a7fl
Logaritfamea.
7i4»4 59"o
7i5o8 35706
7834 o3i9
14937 a4o5
Logàritlimet.
68060 7438g
.33 170;
68a4i 586 1
68377 66463
684o3 70574
68673 563 10
68761 8iaq5
688 r5 07555
'"pa 00573
^6&i9 5?^
74543 i6o3
71769 Q350
01 566 3a87
5 SégS
53^5
7t858 47300
71875 07347
71908 367^
73106 83ot7
73305 777
■7436 oo5a
396653449
01485 8954
97159 oo5a
3)464 1 38;
69187 68335
69393 BooaB
69311 in54
GgSqg 06104
69489 agaSS
69531 89189
69609 41599
46178 3536
99869 4373
S9331 3sai
3ii37 7324
63141 3386
69636 89967
69661 84593
60783 03683
69836 i566o
6 9888 gi36 7
19531 rseî
6077S 783©
31484 0807
o5i5o QzoS
95:133 3431
73615 64681
73697 15836
79811 01841
; " =9
; J3 e
75a3i 33374 7
73395 63696 7
7334 3 80370
3 00958 45oS
( 88494 8o5i
, 35^7 7071
4m56_9^4
75634 1,838
755i^ 10410
76671 BiSoi
7
7 _..
76316 5 '
76375. K649
76350 386S<
76396 18360
76440 oSsa^
764yt "^ "
76544 ■Boiâo
7663384753
76683 58863
76708 163 (3
76735 00981
n5^ S755
o4i3i 9618
64771 6349
67697 o3fi5
33594 *oi7
5£388 i536
84880 5853
69933 o5oi8'
69976 io3i6
19a 440».
70079 033 1!
70096 3178
45533 7954
33334 Q4^6
18363 o755
66109 7^^4
63690 3337
70034 43583
70337 73685
70406 46734
70660 71634
70^94 9194»
■^4oq 'ihû
895 i| 3336
43470 6gg6
74346 OUI
i()a49 3096
73375 88355 87309 7o3i
la^o 8085
93607 5336
01710 7747
06304 5556
73535 q333o
73567 87369
■^5^83343"
73806 67147
73854 37409
73870 i5oo4
7073 765Ô
04108 8349
ooiSo o5a8
61987 5o46
10367 6s 35
65333 36a 1
07189831
76767 ^3340 37960 0404
76797 17313 ï- ■*
76841 60883 1
76866 41095 1
76950 54601 f
7^45 11794
77o»3 11377
77107 37833
77354 iTSiS
7738g 49373
!653i 6543
K73 4661
89081 7^ 4
55768 70!. _
13349 5473
08667 3630
j4So5 o364
0395 6716
BT354
67473
3 1186 9130
55540 0645
aG536 9 - 76 1
73901 8a458
74044 i64<9
74069 qSisH
74091 607S4
74.86 o59 4o
83480 90<i7
49766 <t683
iit56 5i3E
8iaB3 6460
65363 6418
03067 6191
7780G 5864
311947373
"70646 17376
70748 BoiIQ
70765 53a35
70816 53578
70867 57937
709(8 SraqS
71155 4(683
71306 ÛÎ434
7i3a3 84616
71367 45377
5034a 4348
60169 5456
61074 7488
45S61 7155
73069 7653
74301 77471
74a48 04645
74380 ÎÎ6584
74484 033G7
74530 90599
74608 90430
74671 303a5
74748 .94<)3a
74906 8o836
40. 38 ^
81776 làgB
69166 6753
85379 1774
40837 9784
89769 0674
56 300 aoi&
16660 447»
68673 867S
09403 8803
77371 33353
77473 68836
7767731*094
77730 93681
77865 7S519
77091 6393
61753 3540
131 07 o43q
456*4 84^4
47355 3459
78089 11768
78135 36043
78153 93688
68616 7433
6536a 67oT
6347a 9465
484E& 4914
0694 t 7103
Nombr
XiOgarithmes.
6o53
6067
6073
6079
6089
6091
6101
6ii3
Gifti
61S1
"STls"
6143
6i5t
ei63
6173
6197
6ao3
6S2I I
6017
Taai
6aâ9
6fl47
6a57
6fl63
62169
6271
6077
6a87
65oi
63ii
«317
6343
63^9
6337
6343
6353
636i
6367
6373
6379
63é^
6^97
64a i
64^7
6449
64S\
64O9
78D97
78540
78583
78454
136739
aa433
&974q
44048
&3563
8444i
545aa
784G8
78640
78636
78680
78753
85995
lOfi/
oi4ai
90587
897B0
99>87
97034
7«979
67370
«1677
87^a
10563
fl3747
Sc«75
^7 ^^9
3i63
7609
*779
5491
79018
793k3a
79060
79016
79558
14^61
i6g6S
17811
i5b9a
08673
49678
61673
64966
45560
68i55
79586
79567
79636
79^78
OAOlS
835o8
16059
61549
a4"7
411669
74140
460a 1
77621
oi5o7
6o55
984a
745a
a8o5
7941
79719
79733
79775
79844
799^7
80698
68007
ai 986
34603
i6o83
56968
75349
60710
60187
498ya
8809
8335
7351
4660
64t6
79940
80009
800S1
800^
8oi33
"80788
8oaa9
1^
8oS5o
ièoi
0^768
5i8i8
60956
j5ia6 8i3o
636a
97Sa
0711
5674
9^67
i3si8
74546
SoSqS
80434
80475
8o5i0
80597
37071
471 13
88553
8ga.
559!
m.
360a 1
a888i
635o7
a5a3q
97463
35a6i
856i3
7B53a
^991
738a
èaoa
6M47
79866
60400
5al3q
1766a
7786
«761
4636
q3i3
6493
80760
80800
80949
8096B
81085
516699
8aS99
03760
70418
71311
^H94
10399
^541
94^4^
40488
6086
7399
3007
Nomb«
6^$
64B1
6491
65a 1
6639
6647
6661
6653
6563
6669
6571
6677
658 1
6607
eSTû
6657
6653
6669
6661
«6673
6679
6689
6691
670 1
"67^
-6709
6719
6733
6737
6761
6763
6781
6791
679T
68o3
68a3
68B7
68fi9
6833
6841
6867
6863
6869
6871
6883
6899
6907
69U
Logarithmes.
81110
B1164
8ia3i
61431
81484
5S070
soai4
16091
4ftooa
66606
17930
53i5i
Si 193
07469
04463
ooi
7750
568o
a88a
61604
8i63o
81644
81710
81749
a34o9
75994
01679
fi4o43
92618
01006
01909
&6i38
56903
67768
6]83
6000
660S
148a
^4«l
81763
8180a
81839
81947
8aooo
14671
784*8
eia83
45066
8ao79
80197
8a3bi
8a34o
8a363
aSHio
18176
7625^
90148
94336
oo&iS
69366
59995
6aiaa
o83a7
366o
ai5i
9143
599*
9009
68303
4fio4a
46049
qa544
56858
7160
8i3a
3396
83^7
"99'» 4
8a43a
80471
83656
80649
8a6i3
11048
14434
^1959
10398
96179
60
1x5771
64754
6a653
8a6o6
8!i666
8073c
80800
80846
goT^
77918
46410
86144
66473
0^
3175
3346
8769
763.
75869
3094
9394
477
5337
83ooi
83oi3
83ii6
83130
83193
09369
95874
66339
5740
37304
36117
06340
09443
7700Q
66745
8611
7060
;869
832o6
83370
833.97
63403
85435
16146
04709
53713
99008
71107
10706
►0667
|o6
77
i84o5
83461
836 11
836i3
83651
83689
14207
96904
4» 494
39988
35i63
fiO
657"
34549
65374
90671
76433
9775
3988
0758
1743"
6390
8a56
5895
7^01
83701
85777
83878
85928
33954
99485
77696
61449
94660
08999
53733
46594
06146
68968
4o4o
3867
61 a6
9348
8441
Nomb.
6917
6947
6949
€969
69^1
6967
«97»
f97Z
6985
6991
%7
7001
7013
7019
7027
7^2
7043
7067
7069
7079
7103
7109
7tai
7137
7'a9
7307
7aii
7ai3
7319
7209
7337
7043
7047
7053
7083
7^97
7509
7331
7331
7353
7349
735Ï
7360
7393
Logarithmes*
83991
84179
84190
84064
84067
77756
73988
o3t 16
68364
16337
84^04
84329
84566
^4o4
84453
"58706
60827
87009
00420
gSooi
78680
74556
79460
96014
60788
988a
^963]
8701
94841
4o33
545"59
56607
79143
41016
39007
093a
1077J
7641
6301
905 1
84491
84616
84590
84637
84676
187!
OO'
58^86
5a4a4
99535
10140
61945
9878a
13315
57318
6054
8108
5oo5|
1761
78581
»475i
84775
84860
84935
84997
096S0
768^
01174
79816
19103
o3a48
00351
34155
61298
38850
86144
86180
86064
86090
85Sofl
1814^
86140
67087
86147
70066
flt8o37
65798
96955
1^989
86436
86485
855q4
85664
86691
67780
a3624
394611
7W8
oo6o5
40869
17834
5o5i6^
66747
00786
1471
0669
9062!
9605
11761
o6q8
4944
8685
67531
7o56
86776
855??
86847
86907
46000
64o56
69501
?o4i8
0047
69440
609213
90066
*i55^o
46969
6918
00701
0049
85o3
03341
0260
9877
11 14
636oi
5440
86955
06010
86061
86o3i
86706
8485o
8o6i5
76774
o5og9
26Ô55
0071 S
18078
61746
54270
6096
7602
0466
5069
4107
865i4
86575
86586
86467
86616
8g55«
86600
86654
86740
86880
43463
79618
04068
60196
60667
46217
8597a
6343o
06086
4535
11781
9601
06881
ô335
16849
80473
64«37
85565
07061
96610
79647
49601
00791
97617
■§4851
^099
75831
o6i5|
37s»
Nomb,
74»»
74«7
7433
745 1
7457
7459
7477
748»
7487
7489
7499
75a3
75^.9
7547
7559
7661
7573
7577
7583
7^89
7003
7607
76» 1
7689
7G43
7649
7669
7681
7G87
7691
7690
7703
77*7
77a3
7727
7741
7753
7757
7759
77^9
77JP
7817
78a3
Logarithmes.
86987
87022
87116
87221
87256
68i32
82790
41328
45633
414^
66766
^^794
02q4q
97585
90661
5706
4326
4io4
538 1
5862
87268
87372
87395
87430
8744a
87500
87546
87604
87639
87675
87719
87742
87788
87846
87855r
87926
«7949
87984
88018
88029
8809!}
88121
88201
883o3
88526
88360
88473
88496
88541
88575
88598
88643
88665
8874 4
88778
88801
8Ê879
88946
88969
88980
89148
89170
89304
89337
06071
73806
96547
78331
383o5
33556"
64i58
455o2
10618
7^97'
85 162
89407
4S493
94253
43453
92380
79568
72872
10559
45528
899*4
49904
34162
iû6i6
65ioo
38595
46609
68810
28113
43196
98978
80002
60348
09122
70674
97839
379 '4
57518
i7o38
46762
011 19
333o2
61929
46679
43353
28o38
86601
00041
66386
46006
19187
40664
71789
88210
91398
7'483
41468
62219
24612
4.94a8
8656fl
26433
26762
86763
55019
2665*8
27679
84973
22292
696^1
00782
1 0936
69267
54973
28938
61202
49.953
38371
45028
56680
69607
44» 85
68086
39620
39182
67117
46024
6646
6096
1458
9680
8696
5797
6019
7640
7457
o8i2
990Ô
909'
2161
8067
5429
&460
4408
6915
4266
2197
6244
8002
4558
7802
7035
094'
■3968
0938
2978
8219
6908
■"6416
7325
7607
4'9»
3i48
4^32
0093
694a
9356
gaoi
Nomb.
7829
7841
7853
7867
7873
7877
79«9
792Z
7933
7937
7949
79^i
7963
7993
8009
Sou
8017
8039
8o53
8069
8069
8081
8087
8089
8093
8101
8111
8117
8123
8i6i
8167
8171
8179
8191
820 9
8219
8221
8231
8233
8237
8243
8263
8269
827S
8287
Logarithmes.
89
89
89603
89680
89614
62q3o
14&38
56974
91601
02614
64713
66287
62822
69180
42019
48i3
6867
6469
9601
6842
89686
89647
89669
89768
89801
89867
89910
89943
89966
90081
90.04»
90107
90270
90867
90868
90401
90620
90696
90628
90681
90746
90778
90789
90810
90868
90907
90939
9097»
91099
9^^74
91206
91227
91270
91 333
9^4^9
91481
9»49a
9*545
91665
9 «576
91608
91713
9*745
91766
91839
08454
11004
16266
20617
1 7887
08429
88581
7454a
638o3
fl49^9
17634
67167
§a
M* 7
i8835
20286
76990
11557
97*54
61067
74431
48354
96408
86821
44014
66469
64532
77168
33778
25556
62104
02081
69269
02666
■898Ô4
46482
26016
81154
9o659_
62998
77627
«99*9
802^
73388
69316
^9^77
62884
964*9
9750*
66629
93399
86177
o5635
88726
26254
63o54
365o2
97888
62818
92427
72163
66646
"66856
10616
16282
92662
7 *959
00904
67106
34344
10642
6 6981
88602
98812
Û0860
82628
65949
47473
o5i48
88478
11620
83684
48702
56444
29668
a7874
43700
'8291
4002
6687
6069
5994
6041
8523
0780
3891
4680
2264
6417
0715
0643
4602
1959
1702
8982
1782
8955
3ii5
5346
6126
8oq3
695*
■3437
8276
3649
*9*9
0049
1221
4869
758"5
4260
i33i
7266
2692
4871
9431
1688
Nomb.
8291
8298
5^97
83i7
8320
8353
8363
8369
8377
8387
838q
8419
8433
8439
8431
8443
8467
85ot
85i3
85a 1
8537
8557
853q
8543
8563
8573
858 1
8597
8609
8633
8637
8639
8641
8647
8663
8669
8677
8681
868q
8693
8699
8707
8713
8731
8737
Logarithmes.
91860
91871
91802
919B5
9*996
69161
16668
lOQOO
82823
67014
81
21
44i
82
91885
10864
88887
9802
3210
7852
197*
1454
92069
92236
32267
92808
92860
92871
92626
92646
9^577
92687
9^649
92670
93742
9?77i
9^947
98008
93049
93079
98180
98140
93161
98262
933i3
93353
93434
93444
93495
93565
93586
98696
93656
98686
98766
93796
93886
98866
98896
93916
9^46
98986
94016
94046
94106
94*36
28620
24814
^Û
03070
86154
66480
01943
06096
68006
60688
90898
07892
lOQDO
95597
00161
26338
o5658
62629
62814
70186
04068
5q44o
28287
790*9
69267
79489
27078
8386i
9798o_
04689
40061
54689
83ii0
900^3
95974
97662
9797a
9!?Z.96
93308
85444
77*40
66776
89882
33357
84808
o5857
84790
58564
4??99j
"17469
96662
19435
9*537
S6746
01600
78220
83644
60418
71654
77489
06269
88800
31678^
M573
62962
21782
36784
7*704
38255
48970
17868
00634
37^_
89166
86266
76622
99005
61462
378Ô6"
31061
32890
36177
43530
69609
34074
636a8
19902
11761
4981
9354
0284
3247
fl479
1196
7871
t6a4
8604
^94'
8311
3694
9614
7062
0057
4989
3241
6942
2173
2821
47^
0216
1916
^779
6627
6848
0689
0882
1681
43*5
4565
9636
5638
1079
8869
3i37
i7o<
337;
4366
i338
7176
9a9a
9^22
0168
1376
Nomb.
Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes.
874,
94i56 iiaoa 36070 7866
94i85 9H65 35373 63a6
-Ê
9?"!; ■'s'^ '^^^ s?''*
96388 9,873 9,791 ,698
963,7 37163 ,5a5i 6470
96374 06188 57884 io33
9639a 94330 36558 4660
9587
98168 37373 7.386 3763
98331 64696 93066 9538
m
960.
94ai5 63384 67490 46io
94355 368o3 34309 9340
94344 50490 360S 4334
9187
9613
98a85 89433 13076 333i
8761
9'93
9bi9
983,3 9934, 34,00 07,5
,833i 0485, ,4, i5 54S,
8779
9So3
,ba3
8^3
94364 38837 53139 oi8a
9»»9
96431 34739 698,9 3383
96477 80330 333,6 0393
9639
98358 ,1867 06790 7016
98367 13838 60196 5746
98431 31667 6,433 85,0
94463 07018 56078 3405
9331
9631
88c7
94483 79963 43316 3457
54541 9S36 o3o63 1S3S
9337
96506 05306 ,1198 55,9
,643
88,9
,33,
,6563 49671 0934a 77«3
,657, 8,703 44aao 8809
%t
98448 33o64 oaa6a 76,6
94551 783SO 77839 6193
9»4.
98603 3083, 09536 1666
8831
94S00 98847 66764 8793
,35,
96647 03637 39384 4,4,
96740 75565 9,473 8,35
96769 47736 7,889 7507
96768 83504 533,3 6,74
968,6 59371 459,0 4966
9677
98674 07410 5oo,4 5,38
98583 048,8 58353 ,658
8837
94630 48549 93474 9335
94640 3.33S 99054 5994
9»77
883q
93» 1
9689
iilËSi,!"
S§â?
94689 41951 03336 7739
94748 373G5 56918 6330
,383
9»9i
.9719
88S3
94,58 07403 04333 4964
94777 67084 64738 3990
94875 5 1801 6836, 838G
94904 83933 15663 8io5
,3,1
96890 63366 48313 353,
969B8 53117 335=7 48o5
96955 B6843 3o84à 5383
97oao 73588 06864 639a
\&\ 67333 ,53,8 3^45
8867
ta
9753
9739
9743
,33,
98869 37036 49816 7663
98896 oo,o3 ,o338 0363
89»3
95o5i 08939 85996 5961
9'4.
,97039 ^3730 79600 13,3
9749
95080 38339 64658 5ioo
,343
97048 63488 47660 3359
97076 5,397 80767 7041
9767
98976 ,,8,, ,8„8 1870
98985 01096 o3i8o 4i53
99038 33589 06333 5,44
99064 9688 18854 tMt
99083 70606 674,8 85, a
9f°aa ^ph 8*8»4 976»
951S8 60948 80393 8195
95187 iSoTi 38364 3533
96345 33964 a3o33 3333
,349
9769
,37.
97,78 59378791144156
,7306 3q,6o o8oaa 3463
,,7371 18405 4,066 533o
,781
9377
9787
9391
979"
95374 40340 14898 36i6
95384 08566 76701 5836
t&
9,398 93368 55348 7983
9,336 64361 o85a8 6434
9803
99,35 00036 37,50 3638
99,7. 33,5, i3b89 458a
99197 87,09 94583 636B
98,,
95419 43518 .5863 4479
,4,3
97373 80686 88037 4147
97400 4,968 97414 6439
98,7
900.
^A% '>7Ç'7 ■">26 997"
95458 01637 43,57 ^73
94.,
9007
9431
9,409 70037 94i3i i3oi
9011
9545? 9§7?o 6§475 J455
943 1
9,455 77448 036,9 9180
97464 98344 387«3 0,50
97483 3,55o 48640 0634
98^9
99395 09605 7044s 4446
99348 oBiqo 69006 5o75
99574 475S5 5^ëa U^^
99383 a8666 13986 1431
90,3
,«61
90=9
95631 64693 43390 5833
94*7
,«.17
9041
9439
9,49a 59860 89,63 4483
97693 70434 83, ,0 6333
,859
9563i a53o8 41194 53o7
,46.
,871
9^436 ij5i9 08001 oaoq
9049
95660 05883 131,6 6633
9463
57603 88400 91.35 884a
,883
99488 87953 64qio 6336
99606 4534. 66141 5338
9069
95708 03596 5,899 8G13
95,46 36187 39931 3890
947?
9763, 337,, 17377 1089
9764; ,5M 06185 ,36.
9,676 353Sa 67460 8333
97731 19733 96935 9941
,«»,
9067
9901
99667 90606 ii6ua i8i5
909 ■
95861 1S577 64679 41»»
99OZ
9933
99694 aiSag gaSSo 6a8Q
99664 fl99t3 55473 4740
9103
96518 45437 31191 4869
,4,1
9109
95947 07030 75107 1038
96033 8o5o5 30143 1414
9497
97,58 64380 o385, ,38,
99,^9
99690 35io6 96666 1533
?;s
,5,1
97833 6,8,6 74535 900,
97868 35651 66944 6443
993,
99699 119818 90706 7o51i
9G061 34576 47908 8154
9631
9941
,9É66 44583 6094, §468
9>37
96^46 8555? 6^8i ?434
9533
9793!» 96930 33i55 3637
9949
.9967
9,6.
913,
9,960 38487 87401 a68i
9.!.7
96175 3ai4i 86,83 5731
96194 3883i 4i38, 3684
%t
^§SI?2fo?gl5ll
9,7*
99883 68,90 40386 0476
oooSo 38997 8481s 4918
g, 6.
,0007
FIN DES TABLES, 1
EXERCICES
DE CALCUL INTÉGRAL.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
SUITE DU TOME lU.
XJA détermina doB des fonctions E etF, selon les diverses, yalenrs
de Tamplitude et da module^ est encore Tobjèt principal que nous
nous sommes proposé dans la continuation de ces recherches. On
peut j parvenir 9 soit par le moyen d*une table particulière dressée
pour chaque valeur donnée de Tangle du module, soit par le moyen
dun système de tables, qui seraient construites en faisant varier par
des intervalles égaux et suffisamment petits, Tamplitude et l'angle
du module. Le dernier moyen est celui qu'on jugera le plus com«
mode dans la pratique, quoiqu'il exige dans chaque cas une double
interpolation ; mais le tjravail qu'il suppose est une entreprise longue
et difficile, dont Texécution ne peut être que fort éloignée. Nous
avons tâché au moins d'en applanir les difficultés par un travail
préparatoire dont les Tables VIII et IX contiennent les résultats,
et que nous expliquerons avec tous les détails nécessaires. Ces Tables
elles-mêmes peuvent déjà suppléer en partie aux Tables plus éten-
dues qui nous restent à désirer; mais, comme elles ne procèdent
que de degré en degré, tant pour Tamplitude que pour langle du
module, leur interpolation sera nécessairement plus difficile ou moins
exacte que si ces intervalles étaient plus petits.
Si Ton veut éviter les doublés interpolations, il faudra revenir au
premier moyen, c'est-à-dire construire pour chaque module donné,
une Table particulière qui étant calculée pour un certain nombre
n
1^4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
de yalenrs de Tamplitade^ puisse faire connaître^ avec le moins de
travail possible ^ les fonctions qui répondent à toute autre valeur
donnée de l'amplitude. Nous avons déjà indiqué^ dans les recherches
précédentes 9 plusieurs méthodes qui remplissent cet objet ^ et nous
avons fait l'application d*une de ces méthodes à la Table particu-
lière pour le module sin 4^% laquelle a été calculée jusqu*& douze
décimales , afin de pouvoir être sur de l'exactitude de la onzième
ou au moins de la dixième. Mais on a pu remarquer que le calcul
d'une pareille Table^ quand il ne serait fait que de degré en degré,
est très-long; ce n'est donc que dans le cas où l'on aurait un grand
nombre de fonctions à calculer sur le même module ^ qu'on peut
se livrer à un travail préliminaire aussi considérable. En réfléchis-
sant de nouveau sur cette matière ^ il nous a paru qu'on pouvait
plus Êicilement atteindre le même but par la méthode du § IV»
modifiée convenablement. On verra en efilet qu'un tableau formé
de quelques lignes seulement, d'après un module donné , peut
servir k calculer jusqu'à dix décimales ou plus, les fonctions E et F
correspondantes à une valeur quelconque de l'amplitude ç, et qu'il
suffit pour cela d'ajouter au calcul ordinaire de l'interpolation , celui
de quelques formules trigonométriques très-simples. La formation
de la Table auxiliaire et le calcul qu'exige son application, sont
déjà peu compliqués, lorsqu'on ne veut obtenir que dix décimales;
ils se simplifieraient encore bien davantage, si l'on se bornait à
sept* Au reste, pour faciliter l'usage de cette méthode, nous avons
construit la Table VU, qui fournira immédiatement^ pour chaque
angle du module moindre que 4^% l'élément principal sur lequel
le calcul de la Table auxiliaire doit être fondé.
Persuadé, comme nous le sommes, que cette méthode est la
plus facile à employer dans la pratique , tant qu^on n'aura pas à sa
disposition un système suffisamment étendu de Tables elliptiques ,
nous l'avons exposée avec détail, et nous l'avons appliquée à divers
exemples , en développant quelquefois fort au long les calculs qu'elle
exige. Le dernier exemple relatif au module sin 8i% a été calculé
surtout avec tous les soins nécessaires pour que l'exactitude des ré-
sultats puisse être garantie jusqu'à la quatorzième décimale. Il est
à croire qu'on n'aura jamais besoin d'une si grande précision ; maù
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 175
nous avons donné cet exemple comme la limite du degré d'exac-
titude auquel on peut parvenir, par les Tables connues ^ dans un
des cas les plus difficiles de la théorie de^ fonctions elliptiques.
Avant d'exposer ces diverses méthodes d approximation , nous
avons traité de quelques autres objets que nous allons indiquer
sommairement.
Le § y III donne les valeurs des fonctions E et F ^ telles qu'elles
résultent immédiatement de l'intégration par séries. On y trouvera
deux Tables qui donnent pour chaque degré du quadrant, la valeur
de l'intégrale/!/^ sin*(p, avec dix décimales, et celle des deux in«-
tégrales fdp sin^ ^ , fd^ sin^ ^ , avec neuf décimales.
Dans le § IX nous avons donné l'intégrale complète des équations
différentielles du second ordre auxquelles satisfont les fonctions F
et E, considérées dans toute leur généralité.
Dans le § X nous fiiisons voir que toute fonction rationnelle de
sin m et cos a», dont le dénominateur est incomplexe, étant déve-
loppée en série, suivant les puissances de e», on peut assigner un
terme quelconque du développement, par le moyen des coefficiena
H«, K». Nous donnons en même tems l'expression générale de
chacun de ces coefficiens, sous deux formes différentes.
Le § XI a pour objet de réduire à la forme la plus simple., la
formule générale qui sert à déterminer la fonction Ef, suivant la
méthode des modules croissans.
Toutes ces recherches sont terminées par quelques considérations
générales sur les moyens qu'il faudrait employer si , dans la déter-
mination des fonctions elliptiques, on voulait obtenir plus de i4
décimales exactes; Tusage de la Table des logarithmes des sinus
cesse d'avoir lieu à ce degré ; celui de la Table des logarithmes des
nombres peut, moyennant quelques artifices de calcul, être pro«
longé jusqu'à no ou 23 décimales, ainsi que nous le faisons voir
dans le calcul des fonctions complètes F*c, E'c, pour le module
^=:sin45'^- Mais au-delà de ce nombre de décimales, il faut revenir
aux calculs arithmétiques ordinaires, par lesquels seuls on peut
obtenir un degré d'exactitude indéfini,
Paris, le i*' Juin 1818.
176 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
§ VIIL Formules pour exprimer les fonctions E etY en
séries développées suivant les puissances de c*.
1 38. Si l'on développe ^ suivant les puissances de c% les valeurs
AedEtlAt dF ^ savoir : ^(i — c*sin^^)» et ^(p(i — c*sin*^)*» , on
aura immédiatement par l'intégration y
%:=(p^lc^fdpsm^9^^f^c^fd(pûn^^ etc.,
donc si Ton fait pour abréger
/i(psinȍ = Z', /J(psin^(p=Z", /aip sin* (p = ZV etc. ,
ces intégrales étant prises à compter de ^=0, on aura
E = ^ — i c»Z' — i^ c4Z"— i^:? c«Z'" — etc.,
et comme les quantités Tj\ 1]\ Tj"\ etc., forment une suite dé-
croissante, non-seulement pour toutes les valeurs de 9 moindres
que ^tt, mais encore pour la limite f = ^^, où elles deviennent
- . -, -^ . -, '/e . -, etc. , il s'ensuit que les valeurs des fonc*
a a' a. 4 a' a. 4*0 a' ' *
fions E et F seront d'autant plus faciles ii calculer, avec un certain
degré d'approximation, par les séries précédentes, que le module
c setdL plus petit.
iSg. Pour l'usage de ces formules, il est nécessaire d'avoir une
Table des fonctions Z', Z'', TJ"^ etc. , calculée au moins de degré
en degré. La Table des fonctions 2J ou Z'(^) se déduit aisément
des Tables connues, au moyen de la formule Z'^=:]î(^ — ^sina^);
cette Table se borne naturellement à la valeur <p=:f ^; pour la con*
tinner indéfiniment, on a les formules
Z'(7r~^) = i-ar~ZW,
Z'(9r + ^) = i^4.Z'((p).
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 177
Quant aux fonctions TJ'^ et Z'"^^ elles se déduisent de la fonction
2/ an moyen des formules
TJ" {<p) = Z"((P) - tV [Z-W + Z-' W ~ i Z'(5?)] J
mais on trouvera peut-être plus simple de mettre la valeur de TJ" sons
cette forme
V(p = 1 [5Z"((p) — cos (p sîn« (p] ;
c'est ainsi que nous avons calculé les deux Tables ci-jointes ; Tune
donne la fonction TJ exprimée avec dix décimales et trois ordres
de différences; l'autre contient les fonctions Z'' et Z'^', exprimées
avec neuf décimales seulement et leurs premières différences.
On voit que les différences de la fonction TJ devraient être pro-.
longées jusqu'au cinquième ordre ^ pour que l'interpolation de la
Table donnât dix décimales exactes; mais alors cette opération serait
pénible y et il est plus simple de calculer directement la fonction
TI par la formule Z'((p):=:^(a^^-sin 3^^« Pareil inconvénient se
fait remarquer 9 à un plus haut degré encore ^ dans les deux autres
fonctions ; et quoique dans les applications , les valeurs rapidement
décroissantes de c^y c^, c^j permettent de réduire progressivement
le nombre des décimales dans les fonctions TJj TJ'y Tj"^ etc.^ ce-
pendant nous pensons qu'excepté les cas où la valeur de ^ se trouve
immédiatement dans la Table^ on devra préférer les formules da
§ précédent 9 qui sont beaucoup plus commodes et presqu'aussi
convergentes.
178
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL
1
a,
5
4
5
iT
l
9
10
11
la
i3
1
16
18
19
ai
aa
a3
^4
a5
aS"
3i
3a
33
35
36
37
38
39
40
4'
4a
43
45
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
00000
00001
00004
000 11
oooaa
00000
i77ai
41741
78a3o
33098
11869
1
3
6
10
i6
ooo38
00060
poogo
ooiaS
00176
19549
60499
383 II
55677
i4a68
ooa34
oo3o3
oo385
00480
00589
14606
55944
36147
61669
96939
00714
oo855
oioi3
01189
oi383
65a4i
47606
33196
09101
6oaa8
01697
oi8oa
02087
oa366
oa665
10261
33o39
60467
03989
o3S36
03708
04106
04529
01144
62004
670a I
07176
3o369
04978
05455
06969
5o
o64(
(y/oho
91 358
41687
29622
00092
94609
07639
08267
o8qo3
09680
ioa86
61 363
04876
86a63
a3o4o
39ia(
iioaa
11788
,12686
i34ia
14369
64796
866qi
47766
47387
90817
17731
34oao
36489
5^868
78771
07680
32
40960
77812
17366
68691
00337
81
95
109
124
41339
8o2o3
16422
45370
683o2
140
167
175
194
214
82365
85590
75906
61127
08971
234
255
277
3oo
320
4^062
62888
53900
17418
60687
347
372
397
4a3
449
60860
16017
40164
33194
60989
476
5o3
63i
669
688
60339
8793*5
70470
94547
66734
617
646
676
706
736
635 1 3
81387
16081
66743
766 3189630
796 6107530
8a6 99621 3o
867 4353o3o
887 89395:30
1
3
3
4
6
6
06299
12489
18379
33903
128909
33370
7
8
9
10
11
36863
39664
41326
41746
41002
13
i3
'4
i5
16
38864
36319
3994*8
33932
]4o63
»7
10
»9
20
o3225
9o3i5
75222
57844
38o8i
21
21
22
23
24
15836
1012
35 18
3326
0017
g
a4
a5
a5
a6
a6
64 «67
35 137
83o4o
37795
89540
37.
28
38
37606
82535
24077
62177
96789
^9
^9
29
«9
o
37874
55390
79304
9.9593
16332
m
29 '7
3844
44y9
45865
44010
06170
o5qio
06034
06006
04361
03593
03693
01671
00631
99356
97863
96355
94729
92984
Qll3l
89163
87090
84507
82023
80237
77766
.76176
72606
69761
66904
63984
60980
67903
64766
5i546
48266
44929
41 54a
38 100
34613
3io85
27616
33914
30389
16629
12967
9267
5563
i856
i865
6666
45^
46
47
48
Si
5a
53
54
55
56
57
58
61
6a
63
u
66
67
68
69
70
71
73
76
7Z
78
80
81
83
83
84
85
86
Î7
88
89
90
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
14269
16167
16076
1^034
i8oo3
19013
80817
0313
i36i7
86466
86496
03747
30063
31131
33319
33347
34604
30691
16740
68378
47690
3^89 1
36689
3690*3
38144
39413
30709
63369
34724
69716
62311
34247
33o3i
33379
34753
36i5o
37673
33978
^6760
44668
36733
08961
39017
40485
43486
46016
34468
03493
73531
594o3
8*3358
46667
48137
49724
5i3a9
52949
66166
33176
69611
30073
84696
54585
56336
67899
69676
61363
73361
89753
43476
34063
66660
63960
64667
66383
68106
69835
40986
56544
11667
o363i
38877
71663
73308
76060
76794
78539
83o3]
61088
67624
66430
81634
887 80396
918 33406
948 71849
979 oioSo
009 17261
039 16844
068 96149
098 5i638
1*27 70412
i56 76201
i85 38378
2i3 62455
24 « 4499'
368 83606
396 71936
333 09731
347 93773
373 17908
397 82064
431 83239
445 i55o7
467 79025
489 7oo38
5io 86872
53i 33906
55o 81798
3o 44010
3o 38444
3o 39181
3o 16331
29 99593
39 793o5
39 55389
aq 27874
38 96789
38 63177
38 34077
37 83536
37 37606
36 89340
36 g795
36 83o4i
a5 a6i36
34 64166
34 00175
33 33368
33 636i8
31 91013
31 i5834
30 38o83
67843
76333
669 67030
687 47336
604 5o56i
630 64633
635 87666
660 17603
663 63733
676 91687
687 33588
697 74335
707 i565
716 65ii!
733 91974
739 36246
734 64154
738 78067
741 96436
744 08906
745 16204
745 16304
î
7 9o3i5
7 o3336
6 14063
6 22933
4 29946
3 35330
3 38865
1 41001
o 4^74?
9 4i2a4
8 39554
7 36861
6 33373
5 38908
4 33903
3 18379
3 13470
1 06398
o
-I 06398
5666
9363
13960
16628
30288
33916
37615
3io85
34613
38 100
41541
44931
48266
61545
54754
67905
60980
63981
66907
69760
72605
75179
77761
8024c
82621
849C7
87089
89164
91 1 29
92987
94726
96355
97864
99364
obSaS
01670
02693
o35*8q
04364
o5oo5
o55ïi4
06909
0617a
oGagP
06398
I
0'
I
a
3
4
5
l
9
10
II
la
i3
■4
i5
t6
«7
i8
•9
30
ai
39
33
«4
35
36
3l
3a
33
H
35
3G
37
38
39
43
45
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
179
z*
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0000
0000
0010
1009
Diff.I.
o
10
G78
^497
0.00000
0.00000
0.00001
O.OOOOl
o.ooooS
a5o6
54o5
o5i6
8903
19M
o.ooooS
0.00007
0.00011
0.0001&
o.oooâS
iaBt
8û3i
7050
8064
o.oooSa
0.00044
o.ooo58
0.00076
0.00097
72J53
1000
3938
108a
8034
.00348
0.00418
0,00497
0.00687
0.00690
8655
0854
4674
84b
484
I
0.00806
0.00936
0.0108a
o.oia44
o.oi4a3
5o5i
6335
1406
1690
84aa
o.oi6aa
0.01840
o.oaoSo
o.oa34a
o.oa6a8
36oû
8987
6473
8oa3
5579
0.03939
0.03370
o .o3639
o.o4o3i
0.044^^
ioa3
61 a4
3489
i5io
43ii
5899
Bill
8387
1 3oai
1 9333
a 7674
o 8419
5 1969
6 874fe
180
8
9109
11 3766
14 2919^
17 71540
ai 6û5ao
a6 aSoso
3i 5198
37 46a'
44 157I
5i 6Si^
59 990G
69 3199
79 38ao
90 517
10 a6658
11 58567
o
o
o
o
o
i3o ia84
145 507 j
16a 0184
179 683a
188 5187
ai8 5378
a39 7486
36a i55o
385 7556
3io 5444
336 5ioi
363 6365
391 9031
4ai a8oi
451 7388
o
o
o
o
o
Z*
00000
00000
00000
00000
00000
00000
0000
0000
0000
0000
0001
0006
00000 0030
00000 0057
00000 0146
00000 o33i
00000 0688
00000
00000
00000
00000
00001
1334
3440
4348
7093
1416
00001
00003
oooo3
oooo5
00008
7804
7004
9957
7839
3047
00011
oooiS
00031
00038
00087
4330
6730
1664
1058
0878
00048
00063
00078
00099
00134
3173
0108
4854
00154
00189
0033l
00381
oo338
3484
8948
Ht
9765
oo4o5
oo483
00573
00673
00789
9485
0006
i8i3
8069
4583
00930
01068
01334
oi4ao
01637
4783
3675
3803
0184
0359
DUF.I.
o45*
46
o
o
I
5
14
18!
357
646
1106
1808
«844
4334
^88
I
I
9
3
gaoo
3053
787a
4ai8
aa83
4
5
5
11
3400
49^4
0394
8930
1395
i3
16
30
39
7035
5390
6345
S 111
63o
35
4a
57
66
5464
3809
6717
9730
7
8
ï
ICI
ii5
i3i
3531
8807
6356
65i4
0199
•47
166
i85
307
339
♦
g
5i
53
53
54
55
56
61
63
63
64
65
66
67
68
69
70
7>
73
73
76
78
79
80
81
83
83
84
85
7893
0137
7383
0075
8563
86
87
88
89
90
o445a
04004
05387
05903
06453
07035
43ii
1699
4109
i55i
3566
9167
07654
o83o9
09000
09730
10490
I
67
43
8788
6755
3890
ii3oi
13145
i3o38
i395o
14913
5io5
4487
5365
977^
9437
15914
16955
i8b35
19155
3o3i3
47a8
5i63
9371
4591
765a
ai5io
3374^
34016
35334
36667
8061
3403
3483
6784
38045
29457
30901
33876
33881
68o3
3069
1161
1737
o558
35414
36974
3856o
40169
41800
3533
5699
1370
4069
6637
43453
45iai
46808
48609
5o33a
1333
9429
3369
0372
3535
61946 1741
53*678 43 13
55417 0376
57169 8874
68904 8633
DifiF. L
45i
483
5i5
54.Î
583
618
7388
3410
7442
301 5
56oi
763a
654
691
738
766
8o5
7487
45o3
7967
7135
I3l5
843
883
933
961
1001
9383
0778
4310
0663
5391
041
080
'•9
i58
196
0435
4108
5330
3o6
6333
334
371
3(
5é
378
4087
5343
9080
43oi
0019
411
443
475
5o4
533
5366
9093
0576
8831
3964
56o
585
boi
65 1
3177
5671
369c
3558
4596
669
686
700
7i3
733
8306
3840
8oo3
3353
8ai6
733
738
742
744
3671
6o63
8499
9749
Z*
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
10
01637
01 856
03111
03391
03699
o3o37
0369
8831
K
701a
1733
o34o5
o38o6
04341
0471a
00331
6356
7009
Im
1604
06768
06354
û6q83
07653
08367
0313
9106
0942
75aa
9590
09136
09930
1C780
1 1677
13631
673G
7345
8101
4700
i3o8
i36ii 9994
14660 1546
16735 4919
16867 7390
18046 4016
19370
S0640
31853
33ao9
34607
8608
3730
6137
6789
0769
36044
37619
3oo3o
3b575
331 63
3363
4091
6773
9579
0134
35093
370^0
3873
4a
730
436
4545
7604
3796
3465
7930
4a 189 9630
43865 7308
45600 9768
47343 6876
49087 3853
Diff.I.
âa9 856a
264 3ii
a8o 39!
3o8 ii3!
337 4731
368 46a3
401 o653
435 3638
470 9861
5o8 31 16
546 8708
586 8894
638 1836
670 658o
714 ao68
758 7i36
804 0619
860 0866
896 659<
943 660I
990 8686
o38 1663
io85 3373
i33 3371
178 6736
aa4 459a
369 411a
li3 3
366 o65â
a
7
3980
1^93
[76 1739
ni a68i
545 3807
677 0645
606 44^^
633 3069
667 6191
678 9670
697 5465
713 1690
735 7688
1735 a55o
74^ 6117
744 7977
i8o EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
§ IX. Intégrale complète des équations différentielles du-
second ordre j auxquelles satisfont les fonctions F e^E^
(art. 45, i. p. )
<
i4o. Il s'agit d*intégrer complètement les deux équations diffé-
rentielles du second ordre
, .V ddz , 1— 3c* dz , sîn0cp8d^ , x
dans lesquelles A == v^(i — c* sin* ^) ; ^ étant constant, et c étant la
variable par laquelle il faut exprimer les fonctions jr et z.
Puisque nous savons d'avance qu'on satisfait à ces équations, en
faisant ^=E(c, ç), 2=F(c,^), ou simplement ^=E, z=F,
nous pourrons faire disparaître le dernier terme de chaque équation,
en faisant j<^s=E+ Y, z = F -+-Zi> et nous aurons, pour déterminer
Y et Z, les deux équations
(— O^ + i^^.f+V». (5).
équations entièrement semblables à celles qui déterminent les fonc-
tions complètes E'c, F'c.
^ , , •. du c du ddu c^ ddu i du
Comme on a en gênerai -^=- j . gj, 3^ =5; . JS^-p^T^
ces équations différentielles, rapportées immédiatement à la variable
b, prendront la forme suivante.
Lés fonctions E'c, F'c^ ne sont que des valeurs particulières de Y
et Z; mais nous allons faire voir qu'au moyen de ces valeurs par-
ticulières, on peut trouver les' intégrales complètes des équations
(5) et (4) > contenant chacune deux constantes arbitraires.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i«i
i4i* Puisque réquation (6) est absolument de^même forme que
rëquation (4)> il s'ensuit que si la fonction 4(^) est une valeur par-
ticulière de Zi dans l'équation (4), la fonction 4(^) sera pareillement
une valeur particulière de Z dans l'équation (6); et comme ces deux
équations se réduisent à une seule, il s'ensuit que de la valeur par-
ticulière Z=:-4/(c) y on déduira l'intégrale complète de Téquation (4)9
savoir i
Z = m4(c)+n4(i) (7),^
m et n étant les deux constantes arbitraires.
La valeur Z =: 4(0 devra satisfaire à l'équation ,
(i-cO>P"-,-iZlˣr4'_4, = o (8),
dans laquelle on suppose 4'= 3^, 4''= "5^" J ^^^^ donc
4 = A + A'c* 4. A V H- A' V + etc. ,
et en faisant la substitution , on trouvera
A'=(i)«A, A"=(|)*A', A'=(|)*A", etc.,
par conséquent
4(c)===A(i + -a^' + ^4i^+-i:^.^*+etc.).
' Cette valeur, en faisant A =7^, est en effet celle de la fonction
* complète F'c; ainsi de cette fonction complète supposée connue,
on déduit très simplement Tintégrale complète de Téquation (4) ou
celle de l'équation (6) qui lui est équivalente.
142. Il ne parait pas aussi facile de trouver l'intégrale complètie
de l'équation (5) qui n'est pas semblable à sa transformée (5) ; ce-
pendant on y parvient par les considérations suivantes.
Puisque dans le cas particulier où l'on a à la fois Y=E*c, Z=F*^^
ces deux quantités sont liées entr'elles par l'équation
il est évident d'abord que 4(^) étant la même fonction qui a été dé-
veloppée dans l'article précédent, la supposition de Z = 4W> ^^
iSa EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
OU simplement Zs= 4 > donnera exactement
Y = J*4 + **^4'>
valeur qui devra satisfaire à l'équation (3).
Essayons maintenant si en disant Z = 4(^)1 ^^ valeur qui en ré-
sulte pour Y^ savoir:
satisfera également à l'équation (5). Si cela est^ nous connaîtrons
deux valeurs particulières de Y^ et de là l'intégrale complète de
l'équation différentielle (5).
Or en regardant 4 comme fonction de 6, et faisante l'ordinaire
2T- = 4^ •3^1= 4"> ^^ valeur Y=^i*4~'^^*4'> donnera d'abord
g = - ic4" - (i - 4**H' + 2^ ;
mais si l'on change c en 6 dans l'équation (8) ^ on aura
donc
différenciant de nouveau ^ on a
^ = i'4"+5A4'4-4>
et substituant ces valeurs dans l'équation (5) y on trouve
équation qui s'accorde avec les précédentes. Donc en effet l'équa-
tion (5) est satisfaite par la valeur Y = A*4 ~ *^4''
343. Connaissant ainsi deux valeurs particulières qui satisfont à
réquation (3) et à l'équation (5) qui lui est équivalente^ on aura
l'intégrale complète de l'une et l'autre équation^ savoir :
Y=m'[è«4(c)+*-o. ^^]+n'[i-4(4)-Jc-.^>] (9),
fnf et nf étant deux constantes arbitraires.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 18^
Si Ton substitue à 4(^)> ^^ fonction F'c qui lui est proportion-
nelle , rîntégrale (7) pourra s'exprimer ainsi
de même l'intégrale (9) deviendra
maisona^ = 2J-^(E>^-*'F'c), ^^* =^. (E-A-cT«*)j donc
rintegrale complète de Téquation (5) sera
Y = m'E'c + nXF'b — E'b) j
de la on déduit les intégrales complètes des équations proposées
(i) et (a), savoir:
j = E(c, (p) + m'E'c + n'ÇB'b — E'A) ,
z = F(c, (p) + mF'c + nS'b.
e srn" # cos*"
5 X. Développement des qiumtUés — .-^> -j^.— , suivant les
puissances de Varc où, les nombres laetn étant entiers.
144. Dans l'article 160 de la quatrième partie, nous avons donné
quatre formules très - remarquables pour développer, suivant les
puissances de l'arc cê, les quantités tang«, cot«, jr^, log sîn a.
Ces séries sont formées suivant une loi très-simple , au moyen des
coefficiens H,, H., H„ etc., qui remplacent avec avantoge les
nombres BernouUiens , et qui se calculent aisément, soit par la loi
des suites récurrentes, soit par l'équation S^=H,?r**.
On a vu ensuite dans l'article 16a, que le développement de —
dépend d'une autre suite de 'coefficiens K», K,, Ks, etc., qui se
forment par la loi des suites récurrentes.
Nous nous proposons maintenant de faire voir qu'avec ces deux
suites de coefficiens, on peut développer très-simplement toutes tes
quantités comprises dans l'une des formes ^^^rj^ j|^"i> ^ et/i eUnl
005 49
^^
iS4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
des nombres entiers positifs. La quantité -:~ — se décompose
toujours en plusieurs termes de cette forme , par l'application réité*
rée de la formule -r-^ ;— s= -t-t — | j- ; elle est donc suscep-
tible d*un semblable développement. A l'égard du simple produit
sin" 01 cos" â# 9 il peut se transformer en un nombre fini de termes
de la forme AsinÂ:^^ ou AcoskoÊy dont le développement est
connu et ne dépend point des coefBciens H et K.
145. On connaît les premières valeurs Hi^ H», H39 etc., par la
formule H,=S„(^^**, et par la Table de l'art. 75, IV. P.j lorsque
n surpassera i5, on pourra négliger les termes de l'ordre g;;^, et on
aura plus simplement H«= ^ (i +^),etlogH.=— anlog7r-f-^ ,
m étant le nombre 0,43429448 , etc.
A l'égard des coefficiens K«, leurs premières valeurs sont
^»— â' ^•~S4» ^*""7ao> ^^— 85g4» ^5~36a88oo*
Ke=4|255L etc.
On peut continuer de former ces coefficiens par la loi des suites
récurrentes^ jusqu'à K^ inclusivement; les suivans, jusqu'à K^^ se
formeront plus aisément par la formule
(lY^'u _i ^4.^ ^^ctc
dont quatre termes , ensuite trois , et deux seulement , donneront
log K. exact , jusqu'à la quatorzième décimale. Passé K,^^ il suffi^ra
de faire K»=:2r-J . C'est ainsi que nous avons construit la
Table suivante pour trouver , aussi loin qu'on voudra et avec Texac-
titude de i4 décimales au moins ^ les logarithmes des coefficiens K»;
nous y joignons eu même tems ceux des coefficiens H^, calculés
avec i5 décimales.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i85
n
r
5
4
5
6
7'
8
9
lO
II
la
i5.
i4
i5
n
log H«.
9,22184
8,04575
7,o;i456
6,02456
5,02893
4,o343o
3,03992
2,04560
I ,o5 1 3o
0,05700
9,06270
£,06840
7,07410
6,07980
5,o855o
87496
74905
81914
81914
29968
83885
838 II
86738
39493
29604
29042
3o8i2
33164
3566 1
38195
i6356
60675
90737
90737
93187
54592
9465o
44077
31827
17573
86780
28294
24183
82144
80455
log K,.
5 — anlogTT
9*69897
9,31875
8,92799
8,53592
8,14370
7,75147
7,35923
6,96699
6,57475
6,i825i
5,79027
5,39803
5,00579
4,61 355
4,22 i3i
00043
87626
73385
92499
89054
l3222
18099
20827
253i7
25779
28239
30698
33i58
35617
38076
36o2
2441
7950
63oo
0759
2278
5914
8903
1744
8926
2433
635 1
o3i5
4284
8254
loga— (2n4-i)log^
146. La quatrième des équations (d) (n* 160, quatrième Partie),
donne le développement de log sin et, comme il suit
log sin « s=s log â> — H,û>* — 5 H,«* — f Hj»* — etc. ;
pour avoir xux développement semblable de logcos», je fais
/cos»= — N.©» — N,«< — N,a>*— etc.j
j'en tire par la différenciation
tang a = 2N,» -f- 4N.<i>' + 6N,»' + etc.
Mais par la seconde des équations (d) ^ on a
ilanga=(:i' — i)H,«+(a^— i)H.a>'H-(a'— i)Ui€ê^-t etc.;
i86 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
donc la série des coefficiens N( , N^^ Nj, elc.^ se déduit de la série
connue H, , H«^ Hs, etc.^ suivant cette loi
N'=:(2--i)H., N.=(34-i)^% N,=(2*-.)|S etc.,
de sorte qu'on a
logcos£tf= — (a* — i)H,to* — (2* — 1)~ «* — (a* — 3^û>' — elc.j
c'est une cinquième formule k ajouter aux formules (d) : elle se
déduirait également de Téquation sin 2co =i 26ia c» cos œ.
147. Réciproquement si Icosa^ est donné par la formule
/ cos û> = — N,»* — N.»* — Ns»^ — etc. ,
on en déduira immédiatement
l'expression générale des diviseurs 5, i5,65, ^55^ etc. , étant a^ — i.
Ces formules sont utiles pour calculer avec un degré d'approxi-
mation déterminé^ les logarithmes des sinus et cosinus d'un petit
arc a>. Ainsi en supposant que Tare eo ne surpasse pas 5% et qu'on
n'ait pas besoin de plus de 14 décimales^ on aura en logarithmes
vulgaires
log N, = 9,55675 43i56 37
log N. = 8,5à86o 3o653
log N, = 7,98457 180
log N4 = 7,46685 5 ,
et par ces coefficiens, on connaîtra à la fois /sini» et /cosi», d'où
Ton déduira log tang cû. On a aussi directement
/tang«=logûi+(a-— 2)H.»»4-(a^— a) 5î «♦^•(a»— a)^Ar«-hetc,
148. La première des équations (d) donnera par des difiërencia-
tions successives
sixrm
cos m
»ia^
ï^ = ^— aH,— 6H.a>*— ioH,«<— i4H4»«— etc.,
= ^, + 2.5H/^ + 4.5H|W« + 6.7H4a>5+ etc..
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIt^TlQÛES. 187
^.^ = ^ + 5"^i.a.5H.+3.4.5H5ûi»+5.6.7H4«<+ etc.
— 4H, — laH^fti» — aoU^f^ — etc.;
continuant ainsi ^ on anra en général le développement des quan-^
tités de la foririe -v-k-^ , ^^^.ij! ^ $ de manière qu'on pourra assigner
un terme quelconque du développement en fonction des coefficiens
H.. C'est ainsi que dans le développement de -r^^ un terme quel-
conque P^*% aura pour coefficient
P=i(2n+ 1) (2n+2) (2n+ 5)H.^.~| (an^ i)H.^..
De même par les différences successives de la seconde des équa-
tions (d)y on aura le développement des quantités — ;^, "^ ■;
Et par les différences successives de la troisième des équations (d)^
on aura le développement des quantités -r-^
Tous ces développemens se font par les seuls coefficiens Hi, H.^
Hs y etc.^ et un terme quelconque de la série peut s'exprimer géné-
ralement par un nombre déterminé de coefficiens H«.
149. Si à ces diverses formules on joint celles qui résultent des
différences successives de la formule
= I -f- K,û>* 4- K*«* H- Ka»* H- etc. ,
coa«
sm**** et * sin** #'
CO8 «
et qui en général feront connaître le développement des quantités
Ji^x^ 9 -^^^ ; tous les cas que peuvent présenter les quatre fonc*
tions T-r- > — r- f ^T- » —r- » ^ étant un nombre entle^quelconqne,
seront compris dans ces formules ; et comme les deux fonctions
proposées — — »-^ir"# auxquelles on peut jomdre la troisième
-r-;^ — *^p- y peuvent toujours se décomposer en un certain nombre
de termes compris dans les quatre fonctions précédentes ^ il s'en-
suit que le développement de ces quantités sera toujours tel ^ qu'on
i88 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
peut assigner un terme quelconque de ce développement par les
coefficiens H. et K».
i5o. Soîl par exemple la quantité proposée -T-; 5-; il faut lui
donner d'abord la forme — -, — (- . . ^ — , ensuite — -r— +
cos^ m sin* m Coa • ' cos*' ' cos
CO8 êf
-f- --— > c* on appliquera les formules
sm*«
— — = I 4-K,a*+K.û>^+R3(»*+etc.,
cos m
COS'^ «
2K, 4- 5 . 4K.«* + 5 . 6K,û»< + 7 . 8K<a»« -|- etc. ,
cos M
sin" «
= ~(2-i)H.-(^)3H.«--(2!^)5H,«*- elc,
d*oii il suit qu'en représentant par P«fi^^% le terme général du déve-
loppement de -T-; s-", on aura
P. = I K.+ -JL±1^2±I K.^. - {^^^) (an + OH.:,..
Lorsque /isera devenu assez grand pour qu'on puisse négliger — ^ re-^
lativement à Tunîté^ on aura simplement H,=-^, K«= ^"^ly ^®
qui donne
formule qui pourra même se réduire aux deux premiers termes.
i5i. Connaissant ainsi le terme général du développement d'un
grand nonbre de fonctions, lequel, dans son expression, ne con-
tiendra jamais qu'un certain nombre de termes affectés des coeffi-
ciens K„y H«, il ne sera pas inutile, pour compléter ce point
d'analyse , de donner ici l'expression générale de ces deux coefficiens.
Pour avoir d'abord l'expression générale du coefficient R. , soit
r=i — cosa5=-ûj* ç-Tû>*H — 'z /"^ à^^ — clc-î on aura
1
C08«
YZT} ==; I -f- r + /'. + H + elCt
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i8g
Or, I'. dans le développement de r, le coefficient de et** est
2*, Puisqu'on a r*=ï(3— 4cosû)+cos2a), le coefficient de «••
dans r* est
s»r(an + i) ^ ^>''
5*. Puisqu'on ar^=^(io — i5cosû»-f-6cos:2â>«—co8 5<»)9 le coef-
ficient de â)*' dans r^ est
continuant ainsi et rassemblant tous les résultats dont la loi est
manifeste 9 on aura le terme général cherché, savoir :
-i(4"- 8.5-+ ^-2"- 5j^
i52. Pour avoir semblablement l'expression générale de H», nous
la déduirons du développement de — ^ , dont un terme quelconque,
suivant la seconde des équations (d), est (a"— i) aH,®**-".
Et puisqu'on a = i +rH-r*+elc. , le développement de ^^^
sera donné par celui des differens termes de la série •••:
sin » + r sin û> + r* sin û> H- r* sin cû + etc.
Or 1**. dans le développement de siaco, le coefficient de co^^^
estLiiii;!'.. •
r(a/i)
a*. Puisqu'on a rsinû»=~(a8in(» — sinao»), le coefficient de »*î^'
dans r sin û», sera
flr(an) V=» 3 J»
3*. Puisqu'on a r*8iaei=s^r^^ain<»--~4^iaa»^^sia5et^'Siïut)\,
P
\
N.
^90 EXERCICES lŒ CALCUL INTÉGRAL,
le coefficient de â)**~' dans r*^sin a , sera
— (sin4â» — sîna »))
il s'ensuit que le coefficient de û»^*"' dans cette quantité sera
^^C-à-'-"-"-+«(5"--)-(4"--.--)].
La loi de toutes ces quantités est facile à saisir, elle dépend de l'ex-
pression générale de r*sinâ), ou (i-^cosa)*siu«, en sinus des
multiples de l'arc &>; et la somme de tous les coefficîens étant éga-
lée à (2" — <)^^«) °" *•* ^"^
•"»— a(a'»— Ora«r ' ^ '
— i[4*"-'-a—' -6(3— •-x)+^5 . a— '-^n
+ -ïp"--3"-'-8(4— '-a— >4-L7 (3«-._ , )
Dans les applications, on devra calculer autant de lignes horizon-
tale» de la formule, qu'il y a d'unités dans n j toutes les autres seront
nulles.
i55. D'autres manières de développer les mêmes fonctions pro-
duiraient des résultats d'une autre forme pour l'expression générale
des coefficîens R,, H.. Nous avons trouvé, par exemple,
/cos«=— (a*— i)H.«»— (a*— »)—«<— (a*— 02î««_-etc.;
d'un autre côté ,
/cos«=i /(i — sin*»)=— isîn*« — isin*®— i sin*»— etc. ,
l'expression générale du coefficient H,, se trouvera donc par celle
4» coefficient de «"dans lasuitei6in*«+:^sin*«4-^6in*û>+elc.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES; 191
Or, !•. puisque
le coefficient de a^ dans le développement de -sin^o^^ sera
a*. Puisque ^sîn^â>=: — j (5 — 4^^^ aa 4-cos 4^'), le coefficient
de é»*" dans le développement de cette quantité^ sera
5'. Puisque ^sin*û>=5-p (10 — i5cos!2ûi+6cos4âi — cos6^), le
coefficient de »*' dans le développement de celte quantité , sera
_i_ (- 1)'-^ /g» fi /M_i,l:5 \
a«.3Vr(2n+0V 0'4 "h ^ • 2 ;•
Ces expressions suivent une loi très'simple, «t il eik résulte imihé'
diatement la valeur du coefficient H. , savoir :
H.
n(— 0"+'
(a"--i).4r(9»-f
+ï-ïi(6"-6.4"+~.3")
C4--4.2»)
•T~CIC» 4 y
et parce que T(jtn-^i):^anV(3n)f cette formule peut être réduite
comme il suit :
nouvelle forme à-peu-près aussi simple que celle du coefficient K.
jga EXERaCHES DE CALCUL INTÉGRAL:
i54« Considérons encore la formule
dont le second membre peut être aussi représenté par sinev+isin'â»
i4-jsin^â)+6^<^«; P<>^r avoir le terme général de son développement
— r— «""^S tout se réduit à chercher le coefficient de «•'^* dans
SM+l '
chaque terme de la suite sînûj+^sin'â^+j^sîn'^+elc.
Or, I*. dans sino», ce coefficient est p^-'X'l»
2*. Puisque |sin'a=g-— (5sin» — sinSo»), le coefficient de i^***"*
dans le développement de cette quantité , est
3.a».r(aii + fl) ^^ ^^'
5*. Puisque | si n* » = g-— ( i o sin û» — 5 sin 5â» -f" si>^ 5») , le coef-
ficient de (o**^^ dans ce terme développé, sera
La loi de ces expressions étant manifeste, on en déduit cette nou-
velle valeur du coefficient K,,
4- etc. J,
laquelle comparée à celle de Tart. i5i, fournît des identités assea
remarquables*
i55. La conclusion générale que nous tirerons des formules dé-
montrées dans ce chapitre , est que toute quantité de la forme
. , ^^ ; > dans laquelle P est une fonction rationnelle et entière
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 19?
de siac» et cosâ^^ étant développée suivant les puissances âe (» ,
on peut toujours assigner un terme quelconque du développement
par le moyen des coefficiens K^y H«y dont la loi est connue. La
même propriété s*étend visiblement à l'intégrale / -r-^j- —y prise
depuis Ai=o y laquelle comprend une infinité de transcendantes;
on suppose les nombres m et n entiers et 1 positif.
Parmi les plus simples des transcendantes comprises dans cette
intégrale générale, se trouvent Isinc^y Icos», /tangâi, /(i-j-cos^)
:=s2lcosj^cây /(i— cosâ»)=2/sin^ûi, /(i+sin«)===fco8aH-/(-^-^-^}.
l(i — sin«)s=/cos«— î/{^-^"— j, etc.
On pourrait , par de semblables procédés y trouver la loi générale
du développement des quantités de la forme — ; , —r — ^— , ce
^*^ » a + C08#' a-f-cos«'
qui conduirait à des résultats plus généraux sur le développement
d'une fonction rationnelle quelconque de sinâ> et cosâ»; mais les
coefficiens par lesquels on pourrait représenter les ^termes généraux
de ces développemens, n'auraient plus rien de commun avec H. et
K., si ce n'est la forme de leur expression générale.
§ XI. Réduction de la formule qui exprime la fonction "E/p ,
dans la méthode des modules croissans.
i56. La formule dont il s'agit est celle de l'art. laS ci-dessus;
nous l'avons déjà simplifiée (art. i24)> dans la supposition que b'^,
et 6'^ tang^ (p' soient négligeables; mais quand on la laisse dans son
état de généralité , pour obtenir tel degré d'exactitude qu'on vou-
dra, le calcul en est long et difficile. Nous avons donc recherché
les moyens d'amener cette formule au dernier degré de réduction
dont elle est susceptible y et nous y sommes parvenus de la manière
suivante. ^
Après avoir formé la série des modules croissans Cy c^y d\ et
celle de leurs complémens by Vy V\ il faut calculer la suite des
amplitudes décroissantes ^y ^'y ç", jusqu'à une limite qui est dé^ ^
i
194 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. !
terminée^ ainsi que celle des modules, par le degré d^exactitude
qu'on peut obtenir. Ces amplitudes se calculent directement par les
équations sin(2(p' — (p)=csin^y sin(2^" — (p')=:c'âii^, etc.; mais^
quand on est parvenu à celle de ces équations où le c correspon-
dant est trop peu différent de l'unité^ il convient de la remplacer
par réquation correspondante de la suite tang(^ — ^')=:b'XBXig<p\
tang((p' — (p") = y'tang^", etc., d'où Ton peut tirer facilement plus
d'exactitude.
Connaissant ainsi la limite 4 de la suite ^, ^\ ^^\ que nous sup-
poserons, par exemple, se confondre sensiblement avec le qua«
trième terme ^''', on aura la valeur de F^ par l'équation
F^ = Klog tang (45* +7 *) y dans laquelle le logarithme est hyper-
bolique ; prenant donc dans les Tables le logarithme vulgaire
/lang(45'+i*)=H, on aura F(p=KMH; quant à la valeur de
K, elle est, comme on sait, K= ^\^d d^d^\
157. Venant ensuite au calcul de E^, la formule générale de
l'art. 133 pourra être représentée ainsi
E^ = L'F(p4-Pcsin(p,
et il s'agit de calculer les deux termes dont elle est composée.
Le premier se trouve Êicilement par la valeur dé|à connue de
F(p et par le coefficient L' que nous avons déjà réduit à la forme la
plus simple dans le calcul des fonctions complètes (art. 19). Tout
se réduit donc à chercher la valeur de P.
Or, en faisant <p—<p'=û)', <p' — <p"=a", (p"— (p'"=û>^", etc., on
aura les équations tang $Jz=V tang Ç)', tang 0»''= V^ tang^", etc. ; la pre-
mière donne 8in^=siD(^'4-û>')=(i+^')^n?'cos«'s=: --rsin^'cos**',
et on en déduit successivement
sm ç — —T- . rr— -7, sm (p ' = ^jr • r:rr7= -7 • -7- • Tzrzt-^
c cos m" c" coa m" c' c" C08 •' C08 •* '
sin ©'"=3 i^5 ^i ^1 îi^î . eic •
C C C COS m cos • coa # ' '
substituant ces valeurs dans la formule de l'art. xâ3, ou aura d'abord
\
CONSTRUCTION DES TABLES ELLlt»TlQtJES. igS
p ^^ gy/ç y + 1 «— C03 J
' c coa #
+ a a v^c' A* + 1 — cos «*
C c cos *» cos m
+ a a *V^£^ A*' 4- 1 — C08 <w*
c C C COS • COS « cos •
etc.
Mais la quantité ^^ (*' + 1 — cos (»') = a — (i + c) cas ai', et les
autres quantités analogues se transforment de la même manière, de
sorte qu'ion aura
p_^ [ a~(i+r)cosi>^
^-- "^ cos •'
a a — (i4"Oca8#*
c' cos «' cos «*
+ a a a — (i + c*)co8<'^
C C C08iiC0tt« COSâr*
+ etc. ;
les deux premiers termes c+ ^ r se réduisent a 7— ;
* ' cos m cos #
* 1 * • . a a — (i +c') cos •* I
en y loiffnant le terme suivant -r . ^ — , — ^ — , la somme est
J ' o c cos m cos m '
+ a a — cos»' • -_ * 1 y- A 4 a— (i+r')cos«*
-7 • — ? ;; aioutant encore le 4* terme -— . — V^ — y — y ,
d COa» cos« ' ' ^ ce cos« cos« cos«
la somme est — i j , -f- -7^ . - — r—i-r— — •; ^nn terme de
ccosm ' ce cosiicosiv cos» '
plus donnerait semblablement la somme
8 (a— cos O
/à / h "T" if^^jt > ff^^- .Je 9
C cos êf ce COS COS « cc C cos « cos # cos »
et ainsi de suite.
i58. Supposons maintenant qu'à cause de la diminution très*
rapide des angles a', cù", û>'", etc., la différence i — cosâ>^'' soit
négligeable^ ou aura en même temps avec une exactitude suffisante
</"=:i^ coso^'^'si^ ce qui donnera
en faisant pour abréger r^=:c' cos eo\ r''=c"cosû>".
Dans la même hypothèse, on doit regarder comme négligeable la
196 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL-
quantité (i — /^')% de sorte qu'on pourra faire i — jar^-f-r^'^sso,
ou -if — I = -T^ , ce qui réduit la valeur de P à deux termes seu-
lement^ savoir : ,
P — — — I
Supposons logr^/'=-~^, t sera presque toujours une quantité fort
petite; cette quantité étant donnée^ on en tirera ;V*=e""**'j
P = 3a^'— i = e^^'[i — (i — e-^01; donc
logP3=a/— /w(i— e-^^)*— |m(i— e-^')*— ^/7i(i— e-"^')«~etc.;
et en développant jusqu'aux t^ seulement ,
log P = 2^ — M^* + M»^.
Cette formule sera très-commode pour calculer le second terme
Pcsintp de la valeur de F^, si toutefois les quantités de Tordre i\
peuvent être négligées.
iSq. Si l'on veut pousser l'approximation plus loin^ et qu'on re-
garde seulement comme négligeable la quantité i— cosû)^% ainsi
que I — tf'% la valeur de P deviendra
et parce que dans le même cas on peut regarder comme nulle la
quantité (1^-/''")% ^® ^^^ donne -5 — i ;= -ji-, on aura plus sim-
plement
Pour Êiciliter le calcul de cette formule , on pourra profiter de
la réduction indiquée dans l'article précédent^ en l'appliquant à la
quantité F = -7™ ~ 1 ; on aura ainsi
jr — —7- — I ;
alors le terme P^sintp se réduit à ^!^°^ — 'csiny; et parce que
/•'=jp'cos»'5ss^^-^^, on aura simplementPcsin^=sP^3 v^csin^ -csin^^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 197
ce qui dispensera de calculer cosû»^ De plus^ comme csin(p=sin6sio^
= 7Cos(fl — <P) — î-cos(fl+?), on voit que dans beaucoup de cas,
cette quantité pourra se trouver immédiatement par la Table des
sinus naturels.
Au reste il est très-remarquable que la valeur de E^ ^ ainsi réduite
par plusieurs transformations successives, se déduirait inmiédiate-
ment de l'expression de G, tom. I^ pag. io5, en faisant B=— c%
et substituant les valeurs sin 9'= ->- . ^^, sin^'^s ^ . — \r • etc.
Nous observerons enfin que la valeur de P peut aussi s'exprimer
par cette série convergente:
au moyen de laquelle l'approximation peut être poussée aussi loin
qu'on voudra. Les deux premiers termes se réduisent à 7 -^ i ;
quant aux suivans, qui décroissent rapidement « ils sont faciles à cal-
culer par les formules logr= — t , log(i — r)=log(Mf) — j-^+x+Mt*.
160. Exemple L Supposons qu^on veuille calculer, avec toute
l'exactitude que comportent des Tables à 14 décimales, les fonctions
Ff et E^, pour le module c=sin8i' et l'amplitude ^=75'.
Il faut d'abord tirer de la Table VI (*) l'échelle des modules et le
logarithme de K , comme il suit :
c 9,99461 99370 65o8 b 9,19435 244i3 5701
^••- 9>99999 Ï6689 5938 b\... 7,79196 8Z022 3974
c"... 9,99999 99999 8002 b".... 4,98188 4944» 5ai9
K. . . o,ooa68 68709 5716 *'" . . . 9,56170 98969 9640
(*) La Table VI contient Téchelle des modules et le logarithme de K , pour tous
les angles du module qui ont servi à construire la Table des fonctions complètes ,
c'est-à-dire , de dixième en dixième de degré , depuis o' jusqu'à i5^ et de demi-
degré en demi-degré , depuis i5^ jusqu'à 45^ Cette même Table donne les modules
croissansc, c', c", etc., et leurs complémens 6, b\ b", etc., de 45*' à 90**; il
auffit pour cela de prendre , au lieu de l'angle du module, spn complément à 90%
et d'échanger entr'elles les lettres c et b, en substituant les signes ' aux signes %
comme on l'a fait dans cet exemple.
9
i
/
ig8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On praccdcn ensnîle au calcul de ^ par Fëquation siii(a9'— f )=r£;siQf ,
et par k» fensiiles ordinaires pour Fusage des Tables.
c 99994^1 99^7^ 65o8 angle cherch. 2(p' — ç> =: A ,
sin f) 9*98494 57781 0267 angle approc. a = 72** 56 ;
Ȕn(2<p'~(?) 9,97956 3705 1 6775 2a= 145.12,
sin a. ^ . • • • 9»97956 26352 Saoô
r = 10699 '^^
Z »in A = / sîn a + r,
_JMr
A:=:a'\-ps\n 2a fi +p -f-;?* .
4 — a cos flfl\ ,
3 ">
r 4^02955 76746 a +(1) = 7a%56o44 9^265 444^
-^M 0,06118 56950 4 (2) 61 6186
séc* a 1,04660 65o3o 3 (3)..,. 16
p 5,13714 98706 7 a^' — ç= 72,56044 953a5 0644
sin 2â; 9,75728 93793 8 <p = 75
R* 1,75812 26324 I ^'=: 73,78022 46662 5322
(i) 6,65256 18824 6
P 5,15714987
O) i>7897i 175
P' 5,13714 987
± — jcosaa 0,27421 200
(5) ' 7,20107 36.
La ^valeur de 9' réduite pour les Tables à dix décimales, savoir:
ç' = 75'46^48",8o88, servira à calculer par Féqoation 8În(2^'' — ^')
zszc*sinç'y one prenaière valeur approchée de ^^'; cette valeur
9"= 73* 46' 4^^00876, étant substituée dans le second membre de
réqualion tang ((p' — <p") = V ung (p", on en déduira facilement une
valeur beaucoup plus approchée de <p' — ^"j faisant pour cet effet
A" tang f "5=/?, on aura f ' ~ (p"=3 RV> (i — f ) î en yoici le calcul ;
«
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 199
S' 4,98186 49441 5 (i) . . . . = o%ooi88 88989 5528
UDg ^", «,53620 1 1498 3 (3) ' • • • — ^
p 5,5 1808 60939 8 ç' — <p"= 0,00 18S 88989 546
R» 1,75812 263a4 I ^'. 73,78022 46^3 55a
(1) 7,27620 87263 9 <p" = 75,77855 57672 986
;>• i,o56i7 2188 (p" — ^"' z= 45 295
î 9,52287 8745 ^w __ 73^7^835 57627 695;
(2) 7,85525 966
la différence f" — ^"' a été calculée semblablement par l'équation
^"— ^"':=R°&"'tang^"'. Il n'est pas nécessaire daller plus loin, et
Dn peut prendre ç'" pour ta lUnite 4 , ce qoî donnera
45» 4- i* = 8i%889i6 78815 8465.
Soit £1 = 81 %89.^ a:=o%oDo83 21186 1 535^ on calculera la valeur
de H = / tang {a — ^ :r) par les formules
^ = 5£5> ^ '*°S (« — J^) = / tang fl — r,
I +/> ces aa -|- ;?• . g ^1;
on aura ensuite F^=:KB£tI; yoici ce calcul :
K*jc 6^92018 52^77
R* 1,758^ a :i654 «= 8i*,89 (i), 0,00004 5i6ii 6o554
X 5,t6!K)6 a6o55 20=165 ,78 (2). — 22 54635
sin2a.,.. 9,446^^ i8aa5 (J). + i56
;? 5,71595 07848 r = 0,00004 5i589 o586
am 9,93881 4307 tanga 0,84618 77314 7o4q
(0 5^5476 56978 H = 0,84614 25725 6454
p 5,7159507848
cos 2a. . . . 9,9 8236 0014
(2) Î735307 588 H..- 9,92744 55465 6285
5,65476 5i M. . . 0,36221 56886 9946
p' ••••.. . 1,43190 i6 K, . • 0,00268 58 709 S716
1+1^03*3^ o» 10765 70 k>gF9 = 0,29234 5io6i 994^*
{5)..* .... 7^39432 57
^oo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
i6i. Connaissant ainsi logF^, nous allons procéder an calcal de
E^sLIS^-l-Pcsin^. La première partie dépend du coefficient L'
qui se calcule par les formules
L' = i4'R^.(c")ï(i-r), r=i.*^lî
il en résulte
log L' = 8,08897 78160 8527
lF<p 0^39334 5io6i 994^
8,38 I 32 2g222 827a
LT^ = 0,02406 i5i24 5297
Four avoir la valeur de P , il faut reprendre les valeurs trouvées
de «', cù", ô>'", savoir:
«
(/ = ç — Ç' = i*3i977 53557 468,
»" = ^' — . (p" = 0,00188 88989 546,
€ê"' = tp" — 9'" == 0,00000 00045 295,
et calculer les logarithmes de coso»', cosû»'', cos ù^"\ par la formule
du n* i47> voici le calcul du premier :
•' 8,3q8i5 73144 14 sf'^ 3,3iaSa 88 (i)..-^ = 0,00009 841B6 87729
é/^ 6,G5G3i 44fl88 a8 8,5586o 3i (a) 74 34iffo
9,53675 43i56 37 (3) |,87ia3 19 <^ ^
(1) 5,99306 87444 65 ê/^ 9>9^894 i:co8#' 0,00009 84^41 ^7^
7,98457 lie' 0,00000 833 10 4o6a
(3) 7,95351 1:/ 0,00010 67551 6340^
Le calcul de coso^'' se fera par un seul terme, comme il suit:
cà" 5,5 1808 609 I :co8 s^ê". . . . 0,00000 00002 5602
»"• i,o56i7 218 i:c" 1998
9,55675 4^3 j .jjf 0,00000 00002 5599.
(i) 0,57292 65o
A regard de oT^ la petitesse de cet angle permet de négliger entiè-
rement I— cosa'", ainsi que 1— c*, ce qui donne i^"=i. Ainsi
la valeur de Pcsin^ se réduit^ dans ce cas, aux deux seuk termes
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aoi
• j.^ ' ^* c sin ^. Voici le calcul du premier:
2 o^Soioa 99956 6598
csin(p».. 9,97956 SyoSï 6776
1:/ 10 67551 6540
1:/^'».... 5 1198
Z 0,28070 04565 0711 Z = 1,90855 64405 8184.
Le second terme ^sin^, ou sm8i^sin75% est la même chose
que \ sin 84'' + 7 sin 66% dont la valeur se trouve immédiatement
par la Table III, = 0,95405 66765 o544 ;
de ces deux termes résulte P^rsin^ = 0,95450 217638 7640
d'ailleurs on a déjà trouvé L'F^ = 0,02406 i5i24 5297
donc la fonction cherchée £^ = 0,97856 4^763 0937
d'ailleurslelogarit. connu deF^ donne F^ = 1,96040 i86i5 8371.
Dans cet exemple où le nombre ^=-— logrV* est assez petit,
on aurait pu abréger le calcul de la partie Pc sin ^ par la formule
de l'art. 1 58 comme il suit :
/ = 0,00010 67556 7558 /..•... 6,02859 09724
/• 2,05678 1944s
2/. s= 0,00021 35ii3 5076 M 0,36221 56887
'^^ — ^6^4^04 M^\.., 2,41899 76335
P 0,00021 3485i i5i7
i^sin^ 9i97956 87051 6775
MV' . . . 8,80960 43.
Pc stn f . . • • 0,97977 1 1092 8292
On tire de là Pcstn(p=o,9545o 27658 7645, résultat qui ne diffère
du précédent que dans le quatorzième chiffre dont l'exactitude est
toujours incertaine, tant par Terreur des tables que par celle des
parties proportionnelles.
.162. Nous remarquerons que lorsque le logarithme t est aussi
petit que dans l'exemple précédent, on peut calculer la partie
Pc sin f de la valeur de £(p , d'une manière encore plus simple
\
• • •
îsoai EXERClCaES DE CALCUL INTÉGKAL.
que par la formule de Tarticle ]58* Car faisant toujours
t:=z — log (//*), ce qui donne rV'* = c""^% on aura -^ — i
s= 2e^'— I ; soit cette quanti té = i ^-a , afin qu^on aii P^sin^-sscsin^
+ czs\x\<p'^ de la valeur « = a (e^*— i) = 2es^^ (e»^^ — e~***^)
= aMf • ^^^' (i + rp MV + etc.) , on déduira
logz = log(2M0 + i/ + îÏ4M^-;
par cette focof^ule, on calculera ÊicHement le petit terme czsin(p qui
doit étreajcjuté à ^sin^; en voici l'application
logi... = 6,oa839 09724 CO*-'- = 0,00046 9087? 7106
ZilM... = 0^665^4 56845 6 csin^.. 0,95403 56765 o544
ï^ ^ 5^778 4 Pcsincp = 0,95450 27638 765o.
i\ Mi\ . \o 9
log£. • • = 6,69169 oo356 <9
l{cwïp) 9997956 5705 1 7
(i) 6,67125 57408 6
Ce résultat s^itccorde encore avec les précédens , misai bien que
cela peut &tre, en n'employant, pour le calcul des parties acces-
soires^ que des logaritiimes à dix décimales.
i63« Exemple II. Soit proposé de trouver les fonctions F^, E(p;
pour VampHtude ^ = 45% et le module 6iH48% dont les élémens
sont, d'après la Table YI,
c 9,87107 34581 435i b 9,8255i 08951 7456
c' .... 9,995a3 52536 941 3 V 9,i6855 48482 6552
d' "9/99999 5460Ï 5285 *"•• . . 7^78940 33718 x465
c'". ... — i25i b"'.... 4,8767s 5^1981 2587.
K. . . . 0,06207 «627« 45505
Voici d'abord le calcul de (p' et sin (p^
CONSTRUCTKHV KES TABLES ELLIPTIQUES. 2o3
c 9>87i07 3458i 455i œ=3i'7o \r. 4,66i5a 5^942
8m(p 9>84g48 5oo2i 68ax aa=;63.4o M. 0,36321 56887
siD(a(p'-Hp) 9,72o55"84o63 iiSâ ®«^*^- o>i4q35 36959 t
p.... 5, i6385 46788 I
fl4-(i)= 3i*4^'A68962 8207 sino^... 9,95141 34387 4
W+(5) 3 9224 R" 5^1442 5i 33i 8
:a^'— (p = 3i .42.2, 68966 7431 (i) 0,42969 22507 5
«p'= 38.2I.I, 34485 37155 p 5,i6385 468
(2) 5,59354 693
^■' /?....•.. 5,i6585 47
|— |co82a.*. 0,01486 78
(5) 0,77226 94.
Pour avoir /sîn^', on fera a=38*35=58*2i', jp=i",34483 57155
<p'=:a+^9 et oa appKquera la formule l^m(a^x)z=:lmïa
I : H -: . f ar cot a ) : en voîcî le calcul :
R"j:.,. 0,12866 85884 8 sîna. .. 9^79271 63379 4647
R' 5,3i442 5i33i 8 (i) + 35789 6760
X 4,81424 34553 W---- — 3593
m 9^63778 45ii3 sîn^'.. 9,79271 99168 9009
cota«.. 0,10175 oooo5 9 e' 9,99523 32536 9414
(i) . . . . 4,55375 77670 9 sîn (2^"— O 9,78795 31705 8425.
X 4,81424 34553
i:sin2a 0,01180 7328
(2) • • . . 9,57980 855
D'après cette valeur de /sin(2^''— •^')^ on trouve, en suivant tou-
jours les mêmes procédés ,
a?)' — (p' = 37*5i'25",984o9 3235
(f' = 58.21. 1,34483 5715
76.12.27,3289a 6950
<fl' = 38. 6.13,66446 3475;
en a enduite pom déterminer (p''4'équatioa sm^^^'" '-^^^*)^=:c^ sin^^' ;
ao4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
mais à cause de la petitesse de Tangle ^* — ^'"=â)'", il est préférable
de déterminer (p'" par Téquation tang ((p" — <p"')=i'"tang(p'", ou sim-
plement <p" — (p'" = R"*'" tang (p^". Pour cela, on substituera d'abord
dans le second membre la valeur approchée ^'^'=38'' 6' lo'', ce qui
donnera û>'" = i", 2 i 78 , et (p'" = 58* 6' i a",4466. Au moyen de cette
seconde valeur, qui a toute l'exactitude nécessaire pour les tables
à dix décimales, on trouvera plus exactement Ç)" — ^'"=R"4"tang^'"
=:i",2i787 8424- Enfin la difierence (p'" — (p«^=:û>'^ se déduira
de l'équation û)'^=R"i*Mang(p'% ou simplement a'^=:a>''\i A'"j
car on peut supposer dans le second membre tang ^'^ z= tang tp'"^ et
i'^ = \ (i'")*- Voici ces derniers calculs\i'oii l'on déduit la valeur
de ^'^ :
V" 4,87675 32921 2 q/' == 38*6'i3",66446 3475
tang <p'" 9,89442 55ii2 5 cù'" = 1,21787 8424
R" , . . . 5,Si442 5i55i 8 ^m _ 38.6.12,44658 5o5i
€ù'" .... o,o856o 39365 5 a>^ = 22924
\ V\ . . 4,27469 33 ^.. _ 58.6.12,44658 27586.
û>'' . . . . 4>36o29 72
On peut considérer ç'^ comme étant la limite des angles décroissans
(Py (p', 9", etc. ; ainsi on aura
H = log tang (45* + i(p«') = / tang (64* 3' 6^22329 1379).
Pour calculer ce log-tangente , on fera a = 64** o5 = 64* 3',
a: = 6^,22329 1379; ^^ appliquant les formules
P = :t;;:^> /tang(a + a?)=/tanga + amp[i— pcoaaa + Jp^Ci +003» 20)],
on trouvera H=o,3i28i 4^843 60705. Enfin la formule F^=KMH
donnera les résultats suivans.
H .-. . . 9,49528 62986 6865
M 0,36221 56886 9946 3
K • • . . 0,06207 66278 4558 5
^9 == 9>9^957 86i52 1370
F<p =5 0,83095 71254 6716.
x64f Veaons mamtenaut au calcul de la formule EçsLTf
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^o5
4- P^ sin ^ ; la première parlie se trouvera après avoir calculé log h%
comme il suit :
L'.... 9,38094 67241 494^
^^•••- QjO^qS? 86i5a iSyo
LT(p.. 9,3oo5a 53392 65 10 LT(p = 0,19976 77521 6029,
la seconde partie P^sin (p=:2 \/c sin (p.P^ — c sin ^ ; et pour avoir P',
il faut connaître /'=c"cosû»" et /''=c'"cosû>''', or d après les va-
leurs déjà connues
«" = (p' — ^'' = 887" 68057 024,
cé'" = ^'' — (p'" = 1 ,21784 824,
on trouve les résultats suivans :
iicos û/' . .. 0,00000 40217 70478 cosa^"..., — 7570
i:c'' 65398 47146 c'''.... — i23iO
1 ;r" 0,00001 o56i6 17624 /". . . • — 19880
i.V» 39760
t = 0,00001 o56i6 .57384;
par le moyen de cette valeur de f = — log (rV"*) , on trouve aisé-
ment le terme Z =2 \/c . sin (p' . P', ensuite on aura c sin ^ = { cos 5*,
+ 7 sin 3°; d'où l'on conclura la valeur de E^p, comme il suit:
• 3 o,3oi02 99956 63981 Z = 1,06981 27381 56o5
\/c... 9,93553 67290 71755 dsin^ 0,52348 27454 9876
fiin(p'.. 9,79271 99168 90090 p^gi^^ =7,54432 99926 3729
+2t.. H- ji 11233 14768 L/p^ _. 0,19976 77321 6029
— Me*. — 2 5685o _ — ; -—
+M*/«. + g E?> = 0,74409 77^47 975»
Z . . • • 0,02930 77646 8375,
Les calculs de ces deux exemples ont été fort longs, malgré la sim-
plicité des formules, parce qu'on a voulu obtenir des résultats
exacts jusqu^à la quatorzième décimale; mais ils s'abrégeraient beau-
coup, si Ton se bornait, comme il convient presque toujours, à dix
ou à un moindre nombre de décimales.
r
ao6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
§ XII. Jlléi/iode pour constndre, (T après un /nodule donné j
une table composée d^un petit nombre de valeurs des
foTictions F et E, au moyen de laquelle on puisse déter-
miner facilement ces fonctions pour toute valeur donnée
de V amplitude.
i65. La méthode que nous allons exposer ti*est autre chose que
celle du § IV, modifiée de manière qu'elle n'exige pas un travail
préliminaire trop considérable , au moins lorsqu'on ne veut pas
pousser l'approximation au-delà d'un certain degré.
Supposons d'abord que l'on calcule par la méthode générale, l'am*
plitude a ou a, qui satisfait à l'équation Fass-^F'c (nous prenons
pour exemple la fraction 7^3 mais une autre fraction telle que ^
ou j^y pourrait être plus convenable dans certains cas^ comme nous
le verrons ci-après ); au moyen de cette amplitude, on déterminera
successivement celles qui satisfont aux fonctions multiples Ftf.=aFa^
Fa3=3Fa^ etc. On calculera en même tems les valeurs 'corres-
pondantes de Ey et du tout on formera un petit tableau de dix
lignes seulement 9 contenant les valeurs de (p et deE(p^ auquel on
pourra joindre , pour la facilité des applications y les valeurs cor-
respondantes de Isia^ y /tangip^ '^(9)* Voyez un Tableau de cette
sorte y page 21 5.
Cela posé y ç ayant une valeur donnée quelconque ^ il s'agira de
trouver ) par le moyen de cette table, les valeurs des fonctions
F^y E^.
166. Supposons que la valeur de ç soit plus grande que cl, y elle
sera comprise entre deux termes consécutifs de la première colonne;
soit a le terme le plus proche , ou au moins celui pour lequel la
différence F(p — ¥a est la plus petite, et soit ^szza-^Xy x étant
une différence positive ou négative; si l'on fait en même tems
F(a-f-a:) = Fa-f-Fj^, l'amplitude^ se déterminera trigonomélri-
quement par les équations suivantes :
c%mar=%\nC y tang4^=cosf tang(a+ar)y ^=4'-*'4>
£sin(a-f-j:)=sinf'y tang^j/ sscosf'taoga.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 107
on voit qu'il faudra d'abord calculer les angles auxiliaires f , €^^
ensuite les angles '^^ ei*^, dont la différence est Tangle cherché^*
Connaissant^ qui sera en général du même ordre que x, et peu
supérieur à x (excepté dans le seul cas où c ei ûn^ seront tous
les deux peu différens de Tunité), on pourra déterminer F/ et%-
par les formules qui conviennent aux petites amplitudes^ et on en
déduira les fonctions cherchées
F^ = Ffl + F;-,
E^ = Etf + E^ — c* sîn a sîn f sin jr.
Cette sorte d'interpolation n'exigera en général qu'un calcul asses
facile et fondé ^ comme on voit, sur des formules trigonométriques
très-simples.
Si X est négatif 9^ le sera aussi; mais d'ailleurs le calcul sera
toujours le m^e. Au reste la faculté qu'(Mi a, suivant les différens
cas 9 de prendre x positif ou négatif ^ permettra toujours de sup-
poser F/ <C îFa^ c'est ce qui aura lieu encore, lorsque ^ sera moindre
que et, mais tel cependant qu'on ait F^ > ^F«.
N0U6 remarquerons que si Ton fait sinûy=: ^ , ^ , ^ , on
aura exactement «in r = — , \ - ^ . • . Par les auxiliaires € et €',
ona Aa=cos^, A(a-f-^)=cos^', ainsi l'angle (à, troisième auxi-
liaire, se Irouyerait par l'e'quaUon $in«5= co.(i^+iS° c T sa^-iC) -
mais il sera presque toujours plus simple de se servir des formules
précédentes^ quoiqu'elles déterooduent l'angle^ par U différeiKre de
deux angles beaucoup plus grands 4' et 4*
167. Nous avons donné dans le § V des formules pour calculer
les fonctions F^, Ep, lorsque laraplitude 9 ne passe pas une cer-
taine limite; mais si^ était très-petit, le calcul de ces formules
pourrait être sujet à quelques difficultés , surtout si le module c
était eu même temps très-petit. Il sera plus simple alors de se servir
des formules telles que les donne immédiatement l'intégration par
séries ; ces formules sont , en supposant que les termes de Tordre
aE* — Ea, =
= ;»*
E« 4- E«t, -
- Ea,
= A'.
Ed -f- Ettj -
- E«4 .
==/»»
Ea + E«4 -
-* E«, ;
= /?4
ao8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL;
7'' pçnTent être négligés,
168. Connaissant et., a., «3^ «4, ^5^ par la multiplication de la
fonction Va, îl faudra que «5 s'accorde avec la valeur tirée de
Téquation tangtf5=:--;T. Cette vérification étant faite, on calculera
les termes suivans ets, «,, etc., par les équations complémentaires,
savoir: cot «^6 = ^ tang «^ , cot a, = i tang c^s , cot otg =: i tang a, ,
cotâ(^= b tang et. Il faudra ensuite calculer les fonctions Ea, , Eet^^elCj
ce qu'on fera par les formules
p^ = c* sin tf , . sin a^ sin a^
p^ = c* sin a^ . sin a. sin ee,^
Pi z=: c* sin «1 • sin et^ sin «^4
p^ z=: c^ sin c(( • sin a^ sin «5
de ces formules résulte
E(* = f (Eflts + ;?! 4- ;?. + A^3 + Pa);
et comme on connaît Eots == i E* + j (i — A) , on aura par Téqua*
tion précédente la valeur de Ea; ensuite Ea^, Ea^, E^^4^ seront
données par les équations
Eût. = aEflt — p^,
Eets = Eflt + E«. — p^,
E«4 = E« -f- E*s — Ps*
Ce calcul se continuera pour les autres amplitudes ««, «,, etc. , aa
moyen des formules
£«0 + £«4 = E' + c* sin 0(4 sin ««,
Ea, -f- £«3 = E' 4- ^ sin a^ sin a, ,
Eag + Ea, = E* + c* sin a, sin a,^
Ea, 4- Ea = E*^ + c*^ sin a sin a,.
Cette méthode va recevoir les développemens nécessaires dan^
Texemple suivant, où les calculs sont faits de manière à obtenir
au moins dix décimales exactes dans les résultats.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aog
i6g. Afin de mieux juger de Texactitude de la nouvelle mé^
thbde, nous prendrons pour exemple le module sin45% d'après le^
quel la table II a été construite. Voici ^ dans ce cas^ Téchelle des
modules réduite à douze décimales :
c... 9,84948 5oo2i 68 b 9>84948 5oo2i 68
c*. ... 9^33444 86293 24 A*-... 9,99551 18092 4^
if*... 7,87530 12255 4a A*^.,.. 9,99998 78857 5i
^•••... 5,14455 45759 59 *•••... 9,99999 99999 58
^••••. .9,68704 91605 95
il faut d'abord déterminer a par Téquation Fâe=-r;F'; et comme
on a en général F(p = — ^ . F'^, * étant la limite de la suite (p, f ^%
^9''% etc., il faudra faire 4>=:9'*; or, pour le degré d'exactitude
que nous avons en Yue, on peut supposer 9z=ZYg^**^; ainsi on
aura ^*'''**=s 144"*- De cette valeur on déduira successivement celles de
^000^ ^00^ ^.^ ^^ jj^ moyen des équations sin(2^***— ^••••)s=c**'*sin^**%
sîn(2Ç** — ç****)=c***sin^*'% etc., dont voici le calcul:
»
e'^ 9,68704 92 a^»î— .^«4 =rs o* o' o",ooooo 5898
Bin(p'*.., 9,76931 87 ^"♦ss 144
^" 5,5i44a 5i (p— = 7a . o .0 ,00000 2949
2^«3 p-* 4,77069 5o
*•» 5,14455 45759 4 2^-— ^— s= a ,73644 0659
sin^'. • . 9>978ao 65255 5 ^., =s 36.o.i .36822 ido4
R". 5,51442 5i55i 8
a^«» — ^«3 0,45718 60547
«•• 7,87550 13255 4a (0 9o5",62626 4^55
«in^".. 9,76922 265o5 72 (a) + 290 968a
p 7,6425a 58759 14 uf—f'^s i5' 5",6a9i7 5955
R" 5,51443 5i55i 76 (p-ss 56* o. i,568aa 1804
(1) 3,95694 90090 90 ^ s= 18, 7.35,49869 787»
i ;»•..,. 4,50689 65
(a) 7,46584 55
aïo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
£^ • . . 9>23444 S6393 34 angle cherché A = 2^ -— ^%
«n ^' 9*49291 01476 38 angle approch. a=3»o6;=3*3'56",
8În(2^ — ^•) 8,72755 87769 6a éq. à résoudre /smA=/sma — r,
sia a 8,727392316947 Solution. ;? = rMtang a,
r= 3 35399 ô5 A=a— ofi — ^5-\
r 5,52556 28641 CO • • • o",85i56 0817
M . 0,36221 56887 (2) . . . 5 2976
tang«.. 8,72801 .9 841 o,85i52 784?
p 4,6157905369 a 5« 3' 36"
R" 5,3 144a 5 1 332 ^^ ^, __ i — i"-^^ — jt; r-
_Z Iz af-~p' = 3. 5.35,14847 ai59
(0 9>95o2i 56701 (p' s= 18. 7.33,49869 7870
p 4f6i57Q o53 ^_ Z~c7 "■
• -■ a^ = 21.11. 8,64717 002Q
,:sm:.a o,97^'9 7^ a=:<p = ,0.35.54,32558 5o. .
(2) 5,51820 35
170. Ayant ainsi déterminé la valeur de a ou oe,, il faut calculer
les termes <«., «3, «4, etc., par les formules connues pour la mul-
tiplication des fonctions ; savoir ; tang -^ œ. = A tang a ,
^°g(lr«j+ï«*) = Atang«., etc.; voici d abord le calcul de A«
ou A.
c... 9,84948 5oo2i 68 a=:7*,47
uiam. 9,aS44i 4ooflS 7a
. * — '::r" :: ■ '" ^,83197 06609 ces a 9,9Q6aQ 844a8 77
•mA 9,11389 90048 40 tangua. 8, a3533 69554 R... iiL &
«ma. q,ii3q6 60906 i5 • i- i-
^ , , rtaDg»a 4,0673© 76163 û. . . 9,00680 o6io3 s8
r= 67915775 r —679158
/sinA=s/sina — r, rtang*a — 11676
/cosA=/cosa4.R, R . . . 4,06733 85330
/R=i(rtan6*a)-,r--rtang»«. ^
/
I
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, mi
Calcul de a^.
tanga.» 9,27187 89348 79 a=:io*5o /*•••• 6,52556 58917
A 9,99629 96105 28 sossai.oo |M.. 0,06118 56930
tangjfle, 9,26817 85452 07 p.... 6,33675 i5847
tanga.. 9,26796 69207 35 8102^. 9,55432 91618
r. . • " 21 16244 74 R". . . 5,51442 5i552
/UngA = /langû+r, CO--- i,2555o 58797
p^\Ur, ' ^- • • • 6,38675 15847
cos 2g 9,970 1 5 174
A— û=;?sin2a(i4-;^cos2fl-f-f/?*cos4a). (2)... 7,61240"^
û + (i) = io*5o'i8",oo967 517 (i) i,2555o 59
(2). . . 409 646 ;?• 2,77350 52
(5). . . 55 f 9,82590 87
^a^.... = 10. 3o. 18,01577 216 cos4^*** 9,87107 55
«t = 21 . o. 56 ,02754 45 (5). r . . . . 5,72599 i5
Calcul de a^.
*anga. 9,5844o 41122 28 ^=20* 85 r 5,8i548 25192
A 9, 99629 96105 28 2^=41.70 ^M... o,o6ii8 56950
*ang A 9,58070 57225 56 4a=85.4o p 5,8766e 8012a
tanga. 9,68076 91081 87 sin2a.. 9,82297 2o58c>
r = 6 55856 5i R",.,. 5,5i442 5i552
/tangA=/tang<^r,;;=4Mr, (O--- 1,01406 52*554
p 5,87666 801
A=a— /^sîn2a(i — p cos aa^^p^ cos ^d) cos 2a. 9,87511 02
(2)... 6,76384 54
(0 = ^'',52916 4734
(2) — 58 0557 (!)•••• i,oi4o6 5
(5)...... + 4 ;?».... 1,75335 6
a ~ A. . = 10 ,52858 417 f cos4a 8,88456 9
« = 20^ 5i^ o^^ (5)-- i,65i77"a
A = 20.50.49,67141 585
«3+ a.. =41.41.59,54285 17
A 10,55.54^52358 5o
«(}..••••. = 3i, 6. 5,01924 67
312 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Calcul de cl^.
taDga^ 9,7805 1 21993 1 86 r 5,84856 5o655
û 9,99629 96103 28 ûs= 50^89 jM... 0,061 ï8 56930
tangA 9,77681 36o35 14 ^^'^ ^^-78 p 5,90975 ©7585
r =
7 o56io 55
/ tang A =
:/langa — r.
(3)..
= 30* 55' 9",25545 584©
H- 56 7i55
H- 56
ï(*4+«.) =
et^ :
= 3o.53. 9,a36o2 5o3
= 4o>4S*4^ A44^ i^
tang a. 9,77688 S1645 69 4^=^^5.56 gin^^^ 9,945o4 4i5ï4
R" 5,31442 5i332
(1).... 1,16922 P0431
P 5,90975 076
COS2a. 9,67473 108
(2).... 6,75370 188
(l).. . • 1,16922 00
/7*. •. .. 1,81950 l5
3Cos4a 9,56648 46
(3).. . . 2,55520 61
Calcul de a^.
tangflt^. 9,93 55 1 419^1 62 0=^0'' 5% r 499^^^^ 10848
ù, 9,99629 96103 28 2a=:8i .04 j M. . . 0,061 18 56930
tangA. 9,93181 38oi4 90 p 4)96i20 ôj'jjS
tang^.. 9,93180 58578 22 sin2â.. 9,99466 78399
^^ ^Sôli ^'-- 5,3 1442 5i332
/UnffAca/tanffa+r ^')'-'- ^>^70^9 975o9
mngA-UangaH-r. ;,..... 4,96120 678
a ss 40"* 3i' i2'',ooooo 0000 cos 2a. 9,19241 38i
(0 • • - ' I î86337 2796 ç^y ^ ^ ^ 442392 034
(2) 2654
laj-l-Ja, = 4o.3i.i3 ,86337 545
81. 2.27 ,72675 09
ctj...... 3i. 6. 5,0192467
c^ = 49-56.22 ,70750 42*
Par réqualioQ cot€t5=v/^^ on trouve directement.. •••• .'
«5 b: 49* 56' 22'', 70750 5i6; la différence n'est que d'une uuitc
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 21^
décimale du sixième ordre; or^ le sixième ordre de décimales dans
les secondes, est le douzième chiffre significatif du nombre entier,
puisqu'en réduisant tout en secondes, ona a5=i79782",7075oi6.
On ne peut donc pas répondre d'un plus grand degré de précision ,
en ne donnant que douze décimales aux logarithmes , surtout si l'on
considère combien il a fallu d'opérations pour obtenir ce résultat.
171. Pour calculer maintenant les quantités p^y p^y ps^ p^^y il faut
connaître les log-sinus des angles a, a., u^^ aj^^ et^i le premier est
déjà connu , le dernier se trouve par la formule sin «5 = . ' , -rr
= ^-^ ; voici ces logarithmes , d'où Ton déduit ceux des quan-
tités;^?^ et ensuite ces quantités elles-mêmes :
sin 01 QyfxS44^ 4^026 72
sm Ma, 9,5545a G723S G3
«in «3 9,7i3ii 58677 2S
sin «4 9,81485 70G38 12
sin «5 9,88386 96562 47
p, = o,oo6o5 79367 3a
p, = 0,01702 26276 ©4
P3 = o,o3o99 96605 69
p^ = 0,04593 î5io4 20
p, 7,78232 47333 43
Pa 8,23l02 65983 97
P3 8,49135 69385 46
p4 8,66211 07270 67
I 0,10001 17353 a5
Connaissant la fonction complète E'=:i, 35064 388io 48, et la quan-
tité I — & =20,29289 32188 24, on trouvera par les formules de
l'art. 168
Eots = 0,82176 85499 ^^
Eflt, = 0,18455 60570 5i2
Eflt, == 0,36265 4^ 77 5 704
E*3 = 0,52998 76068 176
Ea^ = 0,68334 4^<^32 998.
172. Il faut maintenant prolonger le calcul de toutes ces quan-*
tités pour toutes les amplitudes au-delà de ots, savoir : «e, a,, a^^ a^.
Or, si les amplitudes (p ei '^ sont cômplémens l'une de lautre ,
c'est-à-dire, si l'on a F(p + F4=ï''c, non-seulement l'amplitude
4 se déduit de 9, par la formule cot >[/=:& tangip, comme on l'a
vu dans l'article 168 , mais on a en même tems A'n[/=: — , et
T
sin 4 = Aift^^" — ' ^^ sorte que connaissant les logarilhtnes des
quantités sin^, tang^, A^, pour les amplitudes qui précèdent a^^
21 4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
on aura itmnédtateinent les logarithmes de ces quantités pour les
amplitudes qui suivent a^:
D'ailleurs 4ie la valeur connue de cot 4 9 ^'^ déduit celle de Tangle
4> ce qui s'applique successivement aux amplitudes a^, a^^ a^^ a^^
on aura donc de cette manière les résultats suivans:
(p.
et.
58^58' io",3i4o2 70
66.53.5a ,77456 17
74.48.22 ,95725 47
/sin^.
/ taDg ^.
9,931 39 67348 58|0,3i5oo 08066 7a
9,96369 70659 98
9,98454 78550 84
'9
82.28. o ,82488 759,99623 54574 65
0,37000 20046 46
o,S66ii o8856 04
0,87863 60629 55
Au moyen des valeurs de sin (p, on déterminera les fonctions E«e,
£«,, etc., parles formules de Tart. 168, comme il suit:
c^ina^sîii«(e:=0,27875 57297 82
£' =1^35064 388iO 48
1 962939 96108 3o
E«4 =0,68334 4^o33 00
Eas =0,94605 56075 3o
=0,17299 ^5944 95
i»35o64 38810 48
1,52564 52755 45
«65 41775 70
c*sina3sina7=o, 23756 5263o 146
E" =1^064 388io 46
1,58620 91440 626
EâC) 0,52998 76068 176
Ea, =i,o5822 15572 45
c^smot^sinût,:
E-
tfûmcL sînA^
E*
10,09112 12071 58
i,55o64 588io 48
1,44176 5o88i 86
0,18455 60570 5i
JËctf. =1,1609890961 75 Edt^ =1,2574090311 35*
175. Nous avons maintenant tons Jes jélémeai qui doivent com-
poser la TaUe auxiliaire que nous voulionis ûonatruûre; mais pour
en rendre Tusage plus commode , il sera bon d'y joindre les va-
leurs correspondantes de logA^.
On coonaU déjà A(ft) «et ^(«5) = ^^'^; 00 calculera les aulnes
termes par les formules Aa.= îï^iii , a«, = Î^L^,
^ • taog«« ' • tang«3 '
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 3^5
^«4= -rf^> et ïes termes complémentaires par la formule gé-
Berale A*4/ = — .
Voici donc la table complète qui résulte de tous Us^ él^nvens ainsi
calculés.
wÊ^a^mmÊÊm
•SB
♦•
•, =io«35'fl4''32358
«3=3i. 6. 5,01934
«4=40.45.4^,44450
«5 =4.9 • 56 . 33,70750
«6=58.38.io>3'i4oa
ttj =66.53.53,77456
*8 =74 -48 -33,93725
*9 =83.38. 0,83488
aP=90. O. 0,00000
5o
Ef.
0,18435
43o^6îi65
67 0,53998
i&ûy68334
530,83176
70 0,94606
17 l,o5833
47 W16098
73 t, 35740
00 i,35o64
60570
41773
76068
4oo33
85499
56a7&
15373
90981
goîii
388 10
01
Z&inf.
/tadgf.
9,36441
7019,55453
9,7i3ii
9,8i485
9,883S6
9.96369
9.»8454
9.99^^
18
00
3i
3oj
45
73
35i
48
40036
67ÎI36
586*77
70638
965622
67348
70659
78550
54574
73
6319,58440 41.L39 a8|9,98557
fAf,
9,37187 89348 79
0,00000 00000 00
36 9,78061 39931
139,93551- 419.11
47 0,07535 74989
58d^375oo o9o66
98 0,37000 2004$
840,56611 o8856
651*0,87863 60639
Infini*
86
6d
16
70
46
04
53
9.99839
9.96890
Î.d4794
9>9a474
g,90i55
9,88057
9,86391
9,863i8
9.84948
96103
47063
58o85
61377
aSoio
88643
91936
oa458
53918
5ooai
a8
5a
45
95
84
73
a3
16
40
68
JJgj-gJ;
174. Pour faire voir Tosage de cette isaile , dieîck)û^ la vafeur
des fonctions F et E, lorsque f> = 70^
L'atnpKtode qui âans fa table approche le plus de 70^^ est
fl = 66* 55' 52", 77456 17; elle répond^ à ki; fonction F^riss ^.F'£?f
il faut donc résoudre Féqootioci Ff ac^Fa-j^F^, ce qui se fera par
les formules
tang^f'ss Afllatig^, t^i^g^ =^ ^^ f^^ga, ^ss:^' — ^J.;
soh csîaf =sshiC, oa^ aura IsiaCsss. ^8^:^47 08186 11^ d'^b Ton
tire lcos€ eu /A^= 9^87350 72687 6S. Par la table, on a immé-
diatement tanga et àa^ ainsi /tang^' et ^tang^vj/, seront donnés
comme il suit :
Aa 9,88057 91956 35
tang^ 0,43895 4i5i7 97
tang4^-« o,5i95f 35a54 ^o
A^ 9,87550 73687 65
tanga.r*. 0,37000 30046 4^
- - ■ -—.—m ■
tang*^^.. o^4^5o 93754 09
2i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL;
il en résulte •^' t= 64" a5' Sa",! 1076 01
•J, =60.16.54,8088769
j- =5 4. 6.57 ,5oi88 32
H s'^agit maintenant de trouver avec le même degré d'approximation
la valeur des fonctions E^*, Ft*; c'est ce qu'on obtiendrait par l'in-
terpolation de la table II; mais pour ne rien emprunter de cette
table, nous calculerons directement les valeurs de Ey, Fy, parles
formules que donne immédiatement l'intégration^ lesquelles en né--
gligeant les termes de Tordre^' seulement^ sont:
Si l'on y substitue la valeur de c^ dans notre exemple^ savoir ;
c*=7, elles deviennent
Er = r — 75^' + ^ r^ + ^^^ r\
faisant donc j^=:4''6'57'',3oi88 3â, ce qui donne ^ après avoir
réduit cet arc en parties du rayon
log^ = 8^85654 39959 78, ^ = 0,07185 63067 ^^^>
on trouvera Yj{f = 0,07180 5434^ 97,
F;^ = 0,07186 72o5o 06.
Maintenant les valeurs cherchées de F^ et E^ se tireront des équa*
tions F(p = Fa+F7', Etp = E^4-E7^ — c* sin a sin ç sin 7-, comme
il suit :
i?*sin^ 9567195 58207 79 Etf = i,o582a i537a 4^
sîn fl 9596569 70659 98 E;^ = 0,07180 54 542 97
sin^ 8,8559 7 o4o55 19 i,i5oo2 69715 4^
Z 8,49162 52922 96 Z = o,o5ioi 8 6785 59
£^ = 1 9O9900 82929 85
Fa = i^.F'c = 1,29785 52741 II
F/. ........ = 0,07186 72o3o 06
Fcp =7,36971 94771 17
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1l^^
Par la lable II, on a F^=: 1,36971 94771 ^a, et <.
E^ =: 1,09900 83929 85, ainsi Taccord est parfait sur la valeur de
E^ et il n'y a de différence sur celle de F que cinq unités déci«
xnales du douzième ordre; erreur facile à expliquer tant par la
longueur et la multiplicité des calculs de la dernière méthode, que
par l'inexactitude qui peut rester dans le dernier chiffre des nombres
de la table II, malgré tout le soin qu'on a pu mettre à la cons-
truction de cette table.
175. Dans le calcul du tableau de l'art. 17S, nous ayons poussé
le nombre des décimales jusqu'à douze y afin de mieux établir la
comparaison des résultats avec ceux de la table II qui comprend
un pareil nombre de décimales : mais le calcul s'abrégerait beau-
coup, si l'on voulait se borner à dix ou à un moindre nombre de
décimales.
En général^ quel que soit le degré d'exactitude qu'on veut obtenir,
il faut mettre un soin particulier à l'exacte détermination de l'am-
plitude CL d'après laquelle la table est formée. En supposant^ comme
.^ous Tavons fait, Fc( = 7^Fc, il est nécessaire^ pour connaître
oLy d'avoir l'échelle des modules qui résulte du module donné c.
La Table VI ci-après donne cette échelle pour tous les angles
du module 9 de dixième en dixième de degré, depuis o"^ jusqu'à iS*^
et ensuite de demi-degré en demi-degré, depuis iS"" jusqu'à 45^
Mais cette Table n'est pas de nature à être interpolée , et ne serait
d'aucun usage pour les angles du module qui n'y sont pas expres-
sément contenus.
176. Pour obvier à cet inconvénient , nous avons pensé qu'il
serait utile de construire une table où l'on trouverait, pour tout
angle donné du module, au moins de o"" à 4^% la valeur de cl qui
donnewFc(=:;^F'c. Dans cette vue, nous avons calculé directement
la valeur de et pour tout angle du module de demi-degré en demi-
degré, depuis G** jusqu'à /fi^-^ nous avons ensuite interpolé les ré-
sultats en insérant quatre moyens entre deux termes consécutifs.
C'est ainsi qu'a été formée la Table VII où Ton trouve la valeur de
A pour tout angle du module de dixième en dixième de degré,
depuis o"" jusqu'à ^S"". Cette Table ^ dans laquelle les quantités ec
^i8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
sont accompagnées de trois ordres de différence^ le quatrième étant
omis comme inutile ou pouvant être pris ht vue , servira à déter-*
miner par inierpolalion la valeur de a qui satisfait k Téquatiou
Yci=:Y^¥''Cy. pour tout angle donné du module de o'^à 4^% sans
qu'il Mvt besoin die connaître l'écàelle des modules correspondante.
On n'a pas prolongé la Table YII au-delà de 4^% parce que l'in-
tevpolatîoB deviendBait de ph» en plus pénible ^ à mesure que l'angle
du module s'éloignerait de ce terme, et aussi parce que passé ^5""^
il convient de prendre Fa plus petit que tô^'^> et de plus en plus
petit y à mesure que l'angle du module devient plus grand. En effet y
pour que 9 suivant Tesprit de la méthode, le calcul des fonctions
Ëp, F^, soit ramené à celui de deux autres fonctions E^, Tjr^ dans
lesquelles Famplitude^ n^excède pas. 5 à 6 degrés, il faut qme «
n'excède pas la*. D'après cette base, on peut faire Fa=~F'<7,
depuis fl = 45*, jusqu'à 0=70% et Fa=7^F'c, depuis 0=70%
jusqu'à 6 = 8a''. C'est ce qu'on trouve aisément par Téquation ap-
procbée -- lim§(^5''^\eai)zs:rnE'Cy dans laqaeQe substituant les
valeurs nz=^'^y c=sîn70% on trouve «=ii*5y, de nfràme qu'en
faisant «=-7^, c = sin82%on trouve £t=:ïr'58'.
177. Nous remarquerons que lorsqu'il y aura lieu de supposer
Fa= TsF'tf , cette équation peut être résolue par de simples opé-
rations Irigpnoméiriques , sans être obligé de former l'échelle des
modules.. En effet, l'angle «^ qui satisfiiit à l'équation Vct^z=i^Y^Cy
pourra se déterminer par la formule du n* ^4» I P*» connaissant «^^
il faudra employer les formules de la bissection, pour trouver suc-
cessivement a. et fi&i ou A. Ensuite on trouvera (es autres termes
par les formules de la multiplication qnf ne supposent pas connue
Téchelle dés modules. On pourrait même dérerminer ces termes
par la simple bissection, savoir: ct^ par la formule ordinaire*. • . •
tangtf^=r^,. et a^, par la bissection de Fâie. II resterait à trouver
par ces mêmes foi^moles la valeufr de «5 ,. ce qui peut se faire aïs
moyen de l'équation des complemens qui donne d'abord cot a^^
=£ tangce., et ensuite 0$ par la bissection* de '^ol^.
Il sera encore plus facile de résoudre l'équation Fâi:ssr^F'^#
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, ^ig^
puisqu'elle n'exigera que les formules ordinaires de la bâssedÛMi.
Nous^ en donnerons bientôt un exemple pour le module sinBi"".
178. Pour montrer l'usage de la Table VII, supposons qu'on
demande la valeur de a pour le module sind= j. De celte valeuir
du sinus on 4ëduîi*a d'abord l'angle correspondant
4 =: 19*^47123 06344 868;
on voit «ensuite par la Table, qu'a l'angle du module T9%4 T^pond
la valeur ^=9* i5' 37''y8366o lo, et les différences toutes positives
cr^ = 9,95614 40, cr*^ = 5677 85, <r3(p = 9i4, J^(p=:8;
faisant donc x= 0,71220 634^, et appliquant la formule ordinaire
des interpolations, savoir:
on aura
« = 9** 1 5' 44!'yg2i6i 5o.
179. 'Non-seHlemeni la Table VII fait connaître pour chaque
module moindre que sin 45% l'angle et qui donne Fac=^F'c; maïs
cm petrt facilement tirer de cette même Table, la valetrr <:orrespon-
danl« «de la fonction Etx. Voici comment on parvient à la formule
nécessaire pour celte détermination.
Si on suppose que pour l'angle B du module, l'amplitude f satis-
&it à réquaiion F^ = /ïF'c, n étant un nombre fraclionnaire cons-
tant, ^ sera en général une fonction de €; et comme F^ ou F est
fonction de fl et ^, on devra &ire dF = /^j- ■+" 3j ^ ^) ^•* • •
ss (^ ^ i • ^ j d&y ce qui dennera récpation
as "*" Â • </ô '^ '^ ' dfl '
mais en &isant c=isin6, les formules dé l'art. 4'5> ' P* donnent
dF E— Fcos'fl sînfl sin y c oa ^ dF« E'— F'cos *Q
3B "^ sinôcosô côaô* A * M ^^ ainflcosô '
k
^
aïo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
donc on a
^ _ ^A ,-, „, ./\\ • «A sin^cos^ sinScosd dp
E — Fcos^fl— /i(E*— F'cos*6)=sm*fl. — ~— ^ — • ^,
ou simplement
E = /iE*+sm H. — — . 5g^.
Or, pour chaque valeur de d comprise dans la Table VII^ on trou-
vera immédiatement le coefficient différentiel ^ , par la formule
36og=:cr(P-icr'(p+icr^^-:îJ^(P,
où 360 est mis pour la différence o%i des valeurs de 8, parce que
les différences S'^y cT*^, etc.^ sont exprimées en secondes; quant
aux valeurs de d qui ne sont pas comprises dans la Table, on trou-
vera également par interpolation les valeurs correspondantes de i^ ,
cT*^, etc., comme on l'a vu dans la quatrième partie, tome II,
art. gi ; donc dans tous les cas, on connaîtra la valeur de Ea qui
répond à Téquation Fa=Y;jF'c.
Dans l'exemple précédent^ Tangle du module 4^* est compris
dans la Table j mais les différences qui répondent à 4^'', dans le
sens de l'accroissement de la variable 8, n'existant pas, faute de
termes ultérieurs, on y suppléera par les différences dans l'ordre
inverse, comme on l'expliquera ci-après art. iqS.
On aura alors
^^=29,8o5i6 98, «r*(p=>--ii285 3i, <:r»<p=44 lo, «r<^=— 5o,
ce qui donnera ^ = °^' sg^ = 0,08294 92892.
Substituant ces valeurs, ainsi que celles de sin^, tang ^, A, dans
la formule E = rs E* + ^ . ^^" ^^^^^ — ^ • ^> ^^ *^^^^ • • •
E = 0,18435 60577, ce qui s'accorde suffisamment avec la valeur
dç %ct , dans le tableau de l'art. 1 75.
v.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aai
§ XIV. application de la méthode précédente au calcul
de la Table particulière pour le module czsasïnSi^.
i8o. Nous supposerons ¥etz=:-^Y^c , et nous ferons les calculs
avec toute l'exactitude que comportent les Tables à quatorze de*
cixnaleS) par la seule méthode de bissection, sans faire usage de
Téchelle des modules, quoique cette échelle se trouve dans la
Table VI.
La première bissection de la fonction ¥*c se fait par les formules
connues, lang«.=:^, "aa,=p^^=^^,C08«.=^(;^).
àet^=: ^hy et on a immédiatement les logarithmes de ces quantités,
savoir :
Ztangâtg = o,4oa85 3779? ^^^o, /sin^g = 9,96845 94^67 9809,
/Attg... = 9,59716 63206 7850, /costtg = 9,5656o 57074 7659,
les quantités semblables pour ttj^y se déduiront de la formule
«in flt^ === -^TT^trrT—N ; et d'abord pour avoir sin^^g» je cherche
/(i 4" <^os âtg) par la formule qui sert à déduire log(i +A) de log A
log A = 9,5656o 57074 7659 i85 1 +a.. o,i36oa o453i 7968
log a. . . 9,5656o 37453 4709 ^ ~ 5Ô3 R BaSi 4616
r = 1964* ^9^0 688 i+cos«8 o,i36oa 09813 ^674
*' ' 5o3 o,3oioa 99966 6598
r. 4>û93'7 oii85 cos*J«g. 9,83499 09866 6176
I -)-a. . o, i36oa o453a ces \ «g. 9>9i749 549^8 3o88
/ 4,15714 96653 \ sin ^a. . 9,66740 949 11 3411
a....... 9,5656o 37433 «ini^g.. 9,7499 ^ 39983 o3a3.
i/ 7180
R 3>7aa75 4^366
De la valeur ^(t% = ^h , on déduira par un calcul semblable ^
/(i+Atfg)...é = 0,14475 54354 aoaô
o,3oio2 99956 6398
9,84570 54577 5628
Va + îA«.) = 9.9^^85 :i7i88 78.4
Isin^cti 9,74991 59985 oS aS
/sintt4 s=s 9,82806 1:2794 :25o9
t
332 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
on trouvera cos et^ d'une manière abrégée par la formule
, , A r 1 "I_ A co»it+co»45' _ flA co«-j— CM-j -
OÙ Ton a âss>8i*j on aura ensuite tang «4, et A(a^=^^^.
A • 99^97 16 62206 7850
YTÂ o,i562g 45622 457a
cos i (go^ + 8). . . 9,86588 68409 8715
cos j (90* — 8) . . . 9^99966 5o455 58 1 1
i:cosifl 0,11895 44846 5oo8
cos* «4 9>75796 71540 9756
cos «4 9,86898 55770 4878
sin «4 9,82806 12794 2509
tang «4 9*95907 77^35 7651
tang j fltg 9,852 41 85o54 7255
^«4 9^87554 o8o5o 9604 ;
on connaît ainsi toutes les quantités siDa4y cosflt4, tangci4y Aa^y re*
]atives au terme ^4.
181 • Une troisième bisseclion donnera les quantités relative»
à ce., par le calcul des formulesjuccessives: 8in«. = î^^,
toujours usage des formules qui donnent k>g(i +A) par le moyen
de log A ; en voici les résultats :
8in«4. {/{. • . . 9>67754 652816 gSio sin*^ 9^9806 122794 2609
|/(i4<ofl«4).. o^iaofla 18668 5187 i+co8«i4 o,fl4o44 ^7^36 63 74
9iii^«4 9>B5732 44^47 ^^^ tang^M^ 9>5876i 75467 6i3^
t/a o,i5o5i 49978 3 199
9,70783 94ia5 93aa 97^783 94» »5 9322
|/(i+A#4)... o,iaii5 07714 833fl {/(Am^;\-cos«^^,. 0,08609 88g5o 7813
sin «a 9,58668 8641 1 0990 tang «> 9>62i74 06876 1609
C08-, 9196494 8o535 9481 tangi ^4 9,68761 7 64 67 61 35
û«a. «.....»,.. 9^96687 69682 4626
y^i
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aaï
On procédera de même au calcul des quantités relatives à «, , par les
formules sin^ci^-jîî^:^,, tangX=-ê^, «««.^^ ^^îfe?^ .
tangg,= ■ y!?*^^ —^? ^*» = T-^^^; voici les résultats de ce
calcul :
sin «t.. v^î.. . . 9>436i7 36433 7791 sin «<« 9,68668 86^1 1 0990
V/Ci+cosum).. 0,14193 87786 1774 i+co8«fft o,a8385 7557a 3548
•in J tf» 9»29424 48646 6017 tang J «. 9,3o283 io838 744a
1/a o,i5o5i 49978 3 199
smim^.X/a... 9,44475 98M 9aiS 9»44475 98634 9316
l/(i4-2Li.).. o,i4ai5 17633 45oo V/(Aii. + cos «.) o,i33aa 1^49 6833
8in«( 9,3o36o 81001 4?^^ ^^°g *i 9i3t i53 84876 a383
tang \^ 9,3oa83 io838 744a
^«1 . • •., 9>99ia9 ^5963 5o59-s
Jusqn^ici nous n'avons point cherché les valeurs en degrés des angles
^8> ^49 ^ft> ^i> 6^ nous avons déterminé toutes les quantités qui eu
dépendent , par La seule table des logarithmes des nombres y et par
l'application de la formule qui sert à trouver log (i +A) par le
moyen de log A; nous continuerons de suivre cette marche, qui
semble la meilleure pour obtenir les résultats les plus exacts, en
n'employant non plus que les formules de la bissection^ et celles
qui sont relatives aux fonctions complémentaires.
i8a. Les quantités déterminées pour a^ feront connaître immédia*
tement les quantités analogues pour son complément â(,^, au moyen
des formules générales col'^=ib{augPy ^4^^Â5> ^^^ '^^^^ "Ji' •
dans lesquelles on fera f^=sA^^ ^:=^(t^^; on aura ainsi pour «.g les
logarithmes suivans :
tang «.. 0,84658 9856a 6669
sîû «I. 9^99564 27739 5274
cos a,^ 9,i49o5 29176 86o5
A(c(,«) 9^32099 16382 6096.
D'après ces élémens^ on calculera ceux qui conviennent à et^, ce qui
da4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL:
doonera les résultais suivans :
êm«„|/f. . . af,845ifl 77761 2076 sin»,» S^sgSRJ 27739 6374
l/(i-f-cos«iis) o^oa863 â555o 9193 i^-cosmi^.. . . o,o57a6 5 1101 8386
•ini«i.. . . . 9,81649 5aaio a88a tangj*.. 9>93837 76637 6888
o,i5o5i 49978 5199
âîn 2 «ift . V^a.. 9,96701 oai88 6081 r . . 9,96701 oai88 6081
l/(i4-^.a). . o,o4ia8 6a773 4788 |/(/W„+co8«,0 9,77aa5 3o854 334i
sinitfs 9>9^&7^ ^941 5 ia98 taiig«6 0,19476 71334 2740
ces «6 9,75096 68080 8558 taflgi«« 9,93837 76637 6888
£iMs 9>7436a o53o3 4148.
De ces élémens, on déduira encore par une nouyelle bîssection^
ceux de a^, comme il suit :
ain«6*V/î:* • • 9>775ao 89436 8099 sin «s 9y9a57a 3941 5 ia98
t/(i +co8«6)- 0,09351 04473 67a6 i+co8«6* • • • 031870a 08947 345i»
•ici «6 9,68169 84963 1373 taiig^«6 9,73870 30467 7846
o,i5o5x 49978 3199
ciii^«6.V^a. . 9,83aai 3494^ 4^>7^ ,....,..* 9,83aai 3494' 4^f»
\/{i+àm^. . 0,09674 5a5a7 8769 {/(ùme + cosMs) 0,01918 4874a 67a6
tin «s 9,73646 8a4i3 68i3 tangos 9,8r3oa 86198 7846
cofl «3 9,9^343 96ai4 7967 taiigi«6 9.73870 30467 7846
^3* .••»<• 9,93667 44^^9 0000
i83. Des élémens de a^, on déduit ceux de a,« par les formules
des complémens , savoir :
tang 6t,o ..'0,61091 o4a5a i56o
sina, 9*98754 62777 4410
cos 4t, 9,57645 585q5 a85a
A(a,.) 9*45071 19110 iSSa,
et de ces derniers , on déduit par bissection les élémens de a^
comme il suit:
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ùt^S
«iû«,o.ï/ï-- • 9,83683 13799 ^^^^ 8ΰ*to 9>9^7^4 6^777 4410
|/(i+co««,o). 0,04634 67607 6a43 1 + cos «,o- • • 0,09269 S5ai5 a485
«inî#, 9,79048 45191 4968 taDgi«,o 9^89465 2756a igaB
o,i5o5i 49978 5199
MOï-io-ï/a- • 9>94o99 9^169 8167 . 9,94099 96169 8167
t/(i4-ZW»o).. 0,05399 49348 3754 v^(A«,o+co8«,o) 9»858o9 49334 a7a3
8in«5 9,88700 458ai 54i3 tang«5 OioSago 4^935 5444
cos «5 9>8o4o9 99885 9969 tangi«, 9,89465 37663 1936
A«5 9,81174 8i6a6 6481.
i84. Enfin pour trouver les ëlëaiens de et, , il faudra d'abord
prendre le complément des élémens de a^, pour avoir ceux de ^,4,
savoir :
tang A,^ i^iSSga 69711 2791
sin a,4 9>999^7 ^^955 4^55
cosâ(,4 8,8i5i4 4^242 2064
Aât,4. 9^aa845 5483i 1074 ;
on déduira ensuite de la bissection les résultats suivans :
«in «i4V^ï. . . 9,84855 60975 i656 8in«,4 9>99907 logSS 4855
^(i+cos«,4) 0,01374 30433 655a 1 + cos«,4. . . 0,03748 60867 3io5
ein7«(4. . . . 9,83481 3o54i 5io4 taDg^«j4 9,97i58 5oo86 1750
o,i5o5i 49978 3 199
tin^«,4. V/a. . 9,9853a 8o5i9 83o3 9,98S3a 80519 83o3
V^(i+i^4}.. 0,03394 8393a o5ai i/(^,44-cos «14) 9,685ia 34689 4358
gin «7 9,95137 96597 778a tang «7. . « . . • o,3ooao 4583o 3945
tang -^«,4 9,97158 5oo86 1760
ÙMj 9,67138 1^55 78Ô5.
i85. Si l'on joint à ces résultats ceux que donnent les formules de
complémens appliquées aux amplitudes a^, a^, a^, cl^^ on aura
]es logarithmes des quantités sin a, tang ct^ Acty pour tous les terme»
de la suite a^j a^y ât|. • •«,(. Il faut maintenant chercher les valeurs
correspondantes de la fonction Ecl y ce qui se fera aisément par les
log-sinus déjà trouvés. Voici le calcul de ces fonctions, où l'on
trouvera de nombreuses vérifications qui prouvent Fexactitude de
nos résultats.
^26 EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
Par la Table I, on a logE' =o,oi443 aïoio o944f ce qui
donne E' = i^oSSyS g^^^S 9087; substituant cette valeur ainsi
que celle de i — b=z 0,84356 55549 5977 , dans lequation Eot,
= i E' + ï (i — i), on aura Eag = 0,93867 74986 753a. Ce terme
va servir à calculer tous les autres.
Calcul de £«4 par la formule aEa^ — Ec(g= c*sîn* ct^sin «g.
<?*•••• 9>98923 98541 3oi6 Eag = 0,93867 74986 7532
sin**^. 9,656i2 25588 5oi8 p 0,4^096 22209 61 38
sln«g. 9,96845 94867 9809 1,34965 971^ 3670
p 9,6i38o 18997 7845 Ea^ =0,67481 98598 i855
Calcul de Ea, par la formule 2Ere. — Est^ = c* sin* a. sîn a^.
c^ 9,98923 98541 3oi6 Eat^ = 0,67481 98598 i835
sin'a,. 9,17337 72822 1980 p 0,09787 64965 9827
sin «4. 9,82806 12794 2509 0,77269 63564 1662
;; 8,99067 84i57 75o5 Eflf. = o,58634 81782 o83i
Calcul de Ect par l'équation 2£a •— E«« = c* stn* a sin ol^.
c* 9,98925 98541 5oi6 Ea. = o,38634 81782 o83i
siti'ât. 8,6o52i 62002 9452 p o,oi5i7 55589 30746
sin^,. 9,58668 864x1 0990 o,4x>i52 37371 3905 6
p 8,18114 46955 3438 Ea = 0,20076 i8685 6952 8
Calcul de 'Ea.^^y i*. parréquationEai44"£^ift=£'+^8inc(4sin«,A.
c\... 9^98923 98541 3oi6 E'c = 1,03378 94623 9087
sina4* 9,82806 12794 2509 E«4 0,67481 98598 i835
sin et,.. 9,99564 27789 5274 0,35896 96025 7252
p *•* • 9,81294 39075 0799 p o,65oo4 57264 8665
^ ^ Eat,.. ... = 1,00901 53290 5915
2*. Par l'équalion Ea^ -|- Eetg = Ect,. -f- c^ sin a^ sin «g sin «,«.
^V<*4/««* 9>8t294 59075 0799 Efltg-f-Ea4= 1,61549 73584 9367
sîn «g. . . 9,96845 94867 9809 p == 0,60448 510294 3456
P 9978138 33945 0608 £0C,««.«.= 1^00901 53290 5911
Milieu entre les deux résuit.: £«,....••= 1,00901 53290 5913
n
«
r
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 427
Calcul de EùLs par Tëqualioa aEots — £ci,»=c^8ia*a6sinflt,».
c»,... 9^98923 98541 5oi6 Eflc,». ... = 1^00901 53390 5915
sia'ete» 9,85i44 78850 2596 p 0,68601 01020 8i3i
siact,,. 9,99564 37759 5274 1,69502 5451 1 4044
p 9,85655 o5iii 0886 Ea^.... = 0,84751 37155 7032
Calcul de E^s par l'équatîon 2Eflt3 — Eots = c» sia* ùLs sia «s*
c* . . . . 9,98925 98541 5oi6 Ea« . . . • = 0^84751 37155 7023
8Îa* «3- 9,47295 64827 1626 p 0,24438 69562 5541 1
sîn «e. 9,92572 5941 5 1298 1,09179 96718 2565 i
p 9,58790 02785 5940 Eût,.... = 0,54589 98559 1181 6
Calcul de Ect.^^i^. par Tëquat. Èag+E<t,.=E'-Hc*8ÎDflt6sinflt,o.
c».... 9,98925 98541 5oi6 E' — Eet^. = 0,18627 67468 2o65
fiin «6. 9,92572 594^5 1298 p 0,79856 46552 6025 4
•iû a,o. 9,98754 62777 4410 E«, = 0,98484 i5820 8088 4
;?..... 9,90231 00755 8724
3*. Par l'équation E*. + Ea, = E^t,, + ^* sîo a. sin «g sîn «,o.
c^sina. 9,57592 84952 4006 Ea.+E«g= i,525o2 56768 8565
sin ceg. 9,96845 94867 9809 p 0,54018 42948 0271 2
«ioa.o. 9,98754 62777 4410 Ea. = 0,98484 15870 8091 8
p 9,55171 4^597 8225
Milieu entre les deux résultats: Ea,o = 0,98484 i5820 8090.
Calcul de E«5, i*. par l'équation 2E*5 — Ea,o=c*8in*a5sinflfc,o.
c*.-.. 9,98925 98541 5oi6 Eût.o.... = 0,98484 i5820 8090
8in*£t5. 9,77400 91645 0826 /?.....• o,565ii 36663 8356 5
6iu«.o. 9,98754 62777 44^0 1,54795 4o485 65361
p 9,75059 53961 8252 Eflts .••• = 0,77597 70241 8i65 3
2^^. Par réquation Ea^+Ea^^^Ea^+c* sia a^sia a ^ sin ct^.
à^sina^ 9,7^570 80954 8829 Eotg — Ect, = 0,59277 76627 655o 4
sinag. 9,88700 45821 54i5 ;; 0,58119 956i4 1811 7
«in^s- 9>96845 948^7 9809 Eaj = 0,77597 70241 8162 1
p 9,58ii5 21644 4o5i
Milieu entre les deux résultats : £cc$ = 0,77397 70241 8162 7
I
4!
mS exercices de calcul intégral.
Calcul de Eet^^j i*. par Téquat. E*a+E^,4=E'+^*sinflt.8Îna4:
c^sinet^ QjSySga 8495a 4^^^ E' — Ea, = 0,64744 12841 0256
sing,4, 9,99907 ^0955 4855 p o,57585 70499 8497' 5
p 9)57499 95905 8861 Ea,^.... c= 1,02327 8334i 6753 5
a"". Par Tëquation Ea^ + Eoig = Ect,^ -f- c* sin «e sin ct^ sio et,^.
c^sinoLs 9,91496 57956 45i4 EAg+Ea«=: 1,78619 02142 4554
sîna,.. 9,96843 94867 9809 p = 0,76291 18800 7799 I
«*"*u- 9>999Q7 ^0955 4855 Ea,^.... = 1,02327 8534i 6754 9
p 9^88247 43777 8978
Milieu entre les deux résultats: Eet,^ = 1,02527 8334i 6754 2
Calcul de Eâft^, i*. par Tëquation 2Eay — Eai,^=c*sin*ât,sin£e.^.
c*.... 9,98923 98541 5oi6 Ea,4. ... = 1,02327 83341 6754 2
sin* et,. 9,90275 93195 5564 p • 0,77816 24478 7589 7
sina,^. 9.99907 ^Q955 4855 ï,8oi44"o7820 4i43 9
p..... 9,89107 02690 5435 Ea, ...• = 0,90072 05910 2072.0
2*. Par l'équation Eât-)-Ea,=E^-f-c'sinât6inct,sinaf.
c*sinûfc. 9,29184 79542 7732 E«s — Eflt = 0,73791 563oi 0579 2
sina,.. 9,95i57 96597 7782 p 0,16280 47^*^9 ^492 4
sinag. . .9,96843 94867 9809 Ea, . . , . = 0,90072 03910 2071 6
p..... 9,21166 71008 5525
Milieu: Eflty = 0,90072 05910 2071 8.
Calcul de Ea^ ,1*. par l'equat. E«, +^^9 ^^E^-^-c^sînajSin oe,.
^* • • • • 9*98925 98541 5oi6 E' = 1,05578 94625 9087
sin a,. 9,95i57 96597 7782 E«, 0,90072 05910 2071 8
6in a,. . 9>97979 46511 6o52 o,i55o6 9071S 7015 2
/?••••• 9>92o4i 4^65o 685o p o,83255 75612 2655 7
•^^■■^^— ^^^— ^— ^^— ■— ^— ^■— ■^— ^— •«•— ^"^^
' Ea^ ssz 0,96562 64525 9648 9
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 22g
2^. Par réquatioa Eûfc+Efltg=:Eag+c*sinotsîaagsinag.
c*smct. 9,39184 7954a 7752 Ectj+Eflt = 1,15945 95673 44®5
sia «g. 9,96845 94867 9809 p 0,17581 29546 4857 5
«in «9- 9>97979 465ii 6o53 g^^ _ 0,96662 64525 9647 7
p 9,24008 20922 5575
Milieu : Ea^ = 0,96662 64525 9648 4»
Calcul de Ea„, i*. par l'équaL Ea5+Ea„=E*+^*sina58Înct„.
c^ .... 9,98925 98541 5oi6 E' = 1,05578 94625 9087
siiiâ^s. 9,88700 45821 54i5 Eâ^s*... o>77597 70241 8162 7
8Îna„. 9,99255 18259 5488 0,25981 24582 0924 5
p 9>86859 62622 191 7 p " 0,75891 80274 6592 7
E^u.... = 0,99875 o4656 7617
2*. Par rëqualion Ea3+Eag=E*„+c*siaajSjnagsina,,.
c*sina« 9,72670 80964 8829 Eag+Ea5= 1^48457 75545 8715 6
siaâtg.. 9,96845 94867 9809 p 0,48684 68689 ^'94 X
sin a„. 9,99266 18269 5488 ^^^ ^ ^ ^ =0,99875 04666 7619 5
p 9>68649 94082 2126
Milieu: Ea., = 0,99875 04666 7618 2.
Calcul de E*,3, i*. par l'équat. Etit3+E«,3=E'+c'8iQa3SÎaflt,|.
c^sixxa^ 9,72670 80964 8829 E'— •Ea3 = 0,48788 96264 7906 4
sin «,3* 9,99776 61946 7967 p 0,62902 14605 8867 2
p ,9,72547 52900 6796 Eflt,3. ... = 1,01691 10868 6772 6
2\ Par l'équation EA5-|-Eag=:E0C,3 + usinas sin «g sin ât,3.
c^sintfs 9,87624 44^6^ ^4^9 Eâ(g4-E«5 = 1,71266 45228 6694 7
siuceg. . 9,96845 94867 9809 p,. 0,69674 54569 8921 7
sin«,3- 9>99776 5 1946 7967 g^^^ _ 1,01691 10868 6773
p 9984344 9^176 6206
Milieu: Ec(,3 =; 1,01691 10868 67728.
V
aSo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Calcul de Ea,5, I^ parTégoat. Ea-HEA,5=E'4~^*sîi^^^in«i5.
c^sina 9^29184 7954^ 7752 E'c — E« = o^855o2 75958 ai54
wn*i5- 9i99977 70»^^ 7^74 P 0,19571 55868 5621 8
p 9,39162 497^5 5oo6 £et,5.. .. =: 1,02874 29806 5775 8
a"". Par Féquation Ea, + Eâc^ = E«t,5 + c* ain a, sin a, ain ot^^*
^* 9^98925 98541 5oi6 Eotrt-Eflty= 1,83959 78896 9605 a
siaa,.. 9,95i37 96597 7782 p o,8io65 49090 5848 4
ain a,. 9,96845 94867 9809 ^^^ ^ ^ ^ ^l^^^^^^W^
»»n««5. 9^99977 7 <> ^^^ 7^74
p 9,90883 60169 7881
Milieu: Ea,^ = 1,02874 29806 5755 6
186. II ne reste plus, pour compléter notre tableau, qu'à calculer
les valeurs de ^ , qui répondent aux logarithmes connus de leurs
sinus ou de leurs tangentes. Il est préférable pour cet objet, d'em-
ployer les log-tangentes, principalement depuis 45'' jusqu'à 90*; oa
se servira donc des formules suivantes^ qui paraissent les plus com--^
modes dans la pratique:
log tang ^ = log tang ^ + r, p ==7 Mr,
^ — a=Lps\n2a(i +p cos 2a ^^p^ cos 40).
Pour cet effet, on prendra dans la Trig. brit., l'angle a, tel que
/tang a approche le plus quil est possible, en plus ou en moins,
de Ztang^; on calculera avec les Tables à dix décimales, le pre-
mier terme (i)=:psm2a^ qu'on aura soin de multiplier par R"*,
pour exprimer la correction (1) en parties décimales de degré,
jusqu'au douzième ordre au moins; de là on déduira les deux autre»
corrections (2) = (i) •;7COS2^, (3) = (i). f;?'cos4tf, et du tout
on formera la valeur de ^ — a, en observant les signes que doivent
avoir les termes, suivant ceux des facteurs p^ cos 2a, co8 4a*
C'est ainsi qu'ont été calculées les valeurs de f qu'on voit dan»
la Table ; elles sont bornées à la douzième décimale de degré, ce
qui est un degré de précision correspondant aux quatorze décimale»
des log-tangentes.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aJi
Voici an des calculs de ce genre que nous donnons pour exemple*
(p =
angle approc. a
2 tang A
ct^ l tang ^
4^^, 3o • . l tang a
l tang a
r.
9*95907 77023 7651
9,95900 79781 2575
6 972421 5o58
r.... 5,84558 58549 9
|M.. 0,06118 56950 4
p.... 5^90456 95480 5
6inj2a 9,99806 82960 5
R^.. 1,758 12 26324 1
(1) . . 7,66076 04764 9
p.. . . 5,90456 9548
C0$2â 8,97362 799
4
84.60
169.20
a+(i)=:42^ 30457 Ô8928 o5i
(2) + 345 906
(3) - 195
^ =42,30457 89273 764
7,66076 o
p* 1,80913 9
|cos4^ 9,81614 7
(2) .• 3,53895 80X (3). . . . 9,a8594 6.
187. La formule dont nous venons de donner une application
suppose qu'on peut négliger les termes de Tordre ^^, ce qui aura
toujours lieu lorsque Tangle ^ sera au-dessus de 5"*. Dans tout autre
cas , la quantité tang (p étant très-petite , on fera tang ^ = / , et on
calculera ^ par la suite ordinaire ç=f — j^+i**— ?^' + ctc.,
dont tous les termes devront être multipliés par R"*, et qui sera alors
fort convergente. On ferait la même chose pour tang(90''— Ç)), si
f était très-près de 90^.
Par exemple, pour calculer Tangle a^s P^r I<^ moyen de som
log-taog.^ soit A le complément de tf,s et tang A=l^; on aura
)og É z=z 8,5o587 09288 do83,
et A = R*^(i — I «• 4- 1 14 — ^i9^^i^y Voici les logarithmes de
ces cinq termes , et les nombres correspondans exprimés en degrés
et décimales de degré.
aSa EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
(i)... o,a6599 356ia 9000 (1) = i»8365i in56 a465
(a)... 6,79861 41645 3 (a)... — 62 89471 6567
(5)... 5,5885o 7a7a
(4)... 0,4^4*^ *i
(5)... 7,55672
(5)...
1,83588
a 1684 5898
3877 1024
(4)...
..^
a556i 692a
a 8452
(5)...
+
1,83588
88' 1641 1
a5558 8470
a3
A =
donc «,5 =:
a5558 8493
7444* «507.
188. An moyen dn tableau que nous venons de construire, la
détermination des fonctions E et F pour toute amplitude proposée ^^
peut être ramenée immédiatement aux cas où l'amplitude proposée
est moindre que G*; car en choisissant pour a le terme de la table
qui approche le plus de ^ ( celui au moins pour lequel la différence
F(p — Fa estla plus petite ), on aura toujours F^ — Fn, ou ^jK.j^'F^c,
et par conséquent ^<6*.
IVous avons donné dans l'art. 174 les formules nécessaires pour
calculer les valeurs des fonctions E;^ et F;^, lorsque l'angle^ est
d'un petit nombre de degrés. Mais lorsque^ approchera de la limite
6% ces formules^ dans lesquelles on a négligé les termes de l'ordre ^%
ne pourront guère donner que dix décimales exactes , et il faudrait
les prolonger jusqu^aux termes^*" ou même^-*^, pour avoir un degré
d'exactitude égal à celui de notre tableau. Pour éviter cet inconvé-
nient, et réduire tous les calculs aux formules ordinaires d^nter-
polation^ il faudra construire une seconde table qui contienne les
valeurs des fonctions E et F pour des amplitudes croissant par de
petits intervalles, depuis o*" jusqu'à 6"*.
Cette table, que nous appellerons la table n"" a, pour la distinguer
de la table n"" i , que nous avons déjà construite , peut se calculer
de demi-degré en demi-degré, par les formules de rartfcle cité,
sauf à leur donner plus d'étendue y lorsque l'angle jr devient plus
grand; mais nous préférons de la calculer ici par la méthode du § IV^
qui peut également servir à calculer la table principale n*" i.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. a55
Il suffira pour notre objet de calculer les valeurs de (p et de E^
qui répondent aut différentes valeurs isirzi^ 2^ 3^.. .12^ dans
__ 1?'/»
l'équation Fcp = — . g- ; car de celle manière les valeurs de (p
croîtront par des intervalles moindres qu'un demi-degré, et l'inter-
polation pourra être faite avec toute l'exactitude qu'on peut désirer,
pour toute valeur de n moindre que 12.
189. Cherchons d'abord l'amplitude € qui satisfait à l'equatioa
FÇ s= iT • 3^^ = ^> o^ l'oï^ ^ log^= 7,93826 01 865 49<>5. Le moyen
le plus simple est de résoudre l'équation suivante dans laquelle on
a négligé les quantités de l'ordre 6^ qui n'entrent pas dans le»
quatorze premières décimales.
on en tire
ensuite on aura Ef par l'équation
E€ + FC = ae + ^^»;
substituant la valeur connue de /, il en résulte
€ = 0^0084? 725a3 6oa54
Fff = 0,00847 73514 11832
E6 = 0,00847 71535 10760^
on aura en même tems la formule
me
me* * me*
d'où l'on déduit la valeur de € en parties décimales de degré, comme
il suit:
€ 7,92825 5iii9 09746
R** . . . . 1,75812 26324 09173
9,68637 77443 18918
Ç. . . = 0*48571 07821 09868*
Maintenant , pour construire la table dont il s'agit, il faut reprendre
les formules de Tart. 94 ci-dessus*
i
a54 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
190. Soient ^% 9^ ^'j trois termes consécutifs de la suite é. , C.^
&9^ etc. qui répond aux valeurs successives ;i= i ^ ^ y^t eXc.i ou
déterminera k par l'équation -—^ = ^ c sin C= ^^7 ^ qui donne
si ensuite on fait J^^cp^'r::-— 2» ^ on aura pour déterminer cù Téquatioti
sin o) = A: sin (a^ — ^)^
ou la série
a = A: sin acp — • j A* sin 4? + ï *^ ^^"^ 6? — ^*<^-
Enfin pour déterminer E^'y on observera qu'à l'équation F <p4-r^=F^'>
correspondréquationE€+E^=E^'+^*sinf sin^sin^'^ d'où résulte
E^' = Eff + Ej) — c* sin ff sin ^ sin ^'j
quant aux coefficiens qui entrent dans ces équations, voici leurs
logarithmes :
h 5,a4^^ 49^4 ^^96
AR-. ... 7,00181 75388 55i5
i*"R-., 1,94448 ^4496
iA:^R^.. 7,01208 6
sin^.,. 7,92824 99102 2i44
c*sin€. 7,9x748 97643 5 160.
191. D'après ces formules, nous allons procéder aux calculs né-
cessaires pour former la table n"* 2.
Calcul de €^ et E£«»
Il faut, dans les formules, faire ^''so, ç = C, et on aura
(p'z=zS^. On observera d'ailleurs que les tables à dix décimales suf-
fisent pour calculer le premier terme de la valeur de û>j mais à
cause de la petitesse de l'angle 2^ , il conviendra de calculer son
log-sinus par la formule du n* 147^ et on aura la valeur de €^ par
le calcul suivant:
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 255
sin^^. 8,33926 43006 7 (1).,. == o^'ooooi 70347 92974
A-R*. .. 7,ooi8i 75588 3 (2)... — 3 98342
(i)..,. 5,23io8 18595 (')••• + ^
ûi '• • • . = 0,0000 1 70244 94657
8in4f . 8,55o25 19 J^*^*. . =— o,oooo5 4o4^9 89274
iifc'R^. 1,94448 24 cr<f... = 0,48571 07821 09868
(2).., 0,4747 ï 43 cT^... = 0,48567 67331 20594
9 = 0,4^571 07821 09868
sin&p. 8,70622 e.=(p' = 0,971 58 75i52 5o467.
j^'R*. 7,01209
(5).... 5,71851.
PoDr avoir E^., il faut calculer le terme c^ sia € sia ç sin 9% ou
à^sin^Csin^'; mais, dans la vue de faciliter le calcul de ^3, on
cherchera à la fois les logarithmes de sio^' et cos^', par les formules
de l'art. 1479 ce qui donnera les résultats suivans :
Ry 9^98739 25174 o ^'* 6^5853 97700
R« 1,75812 26524 1 9,55675 45i56
<p' 8,22926 98849 9 (i) 5,79529 4o856
(1)... =zs 0,00006 24157 543 ^'* 3,91707 95 ^'* 9,37563
(2)... 29 90 X 8,5586o 5i 7,98457
(5)- • • ± (2) 1,47568 26 (5) 7,36019
cos^'.. -^ 0,00006 24187 246
^i)=s 0,00002 o8o52 44s ^ sîi^* ^ 5,84573 96746
iT 0) • * 993 fiîn ^' 8,22924 90795
a 08054 44^ ^ 4)^749^ 87541
^ 8,23936 98849 9
sinf'.. 8,33934 90795 46 3^ = 0;Oi695 4^066 3i53
cos^'. —63418735 Z 11884 7145
a o,5oio3 99956 64 Eg^_, e^/ _ 0,01695 3u8i Soo/
sins^'.. 8,53o3i 66564 85
236 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Calcul de Ç^ et Ef 3.
Il faut, dans les formules^ faîre ^''=^9 (p=:^., et on aura ^'=^3.
Dans ce cas, sin 2^ devient ce qu'était sin 2^' dans le cas précédent.
sin2(p... 8,55o2i 66564 85 (O-*- = o*oooo5 404^4 99^70
AR*» . • . . 7,00181 75588 55 (3). . . — 5 96520
(1) 5,552o5 41955 20 (5). . . Hh 10
4^. . . = 3** 55' 7^98 ». . . . = o,oooo5 4^4^9 o5o6o
sin 4^... 8,83099 70 Z*^'. == — 0,00006 8o858 06120
1,94448 24 «fcp^.. 0,48567 6 7351 20594
(2) 0,77547 94 S^... = o,4856o 86475 14474
èp. . . = 5^*49' 42" ^. . . . = 0,971 58 75i5 2 5 0462
sin 6^... 9,00667 ^3=^' == 1^45699 61625 449^6
7,01208 c'^sin^... 7j9i74^ 97645 5
(5) 6,01875 sin ^. . . . 8,22924 90795 5
sin(p'. . . • 8,40528 89681 5
z 4^^5202 78120 5
sin^'... 8,40528 89681 5i E^. .. = 0,01695 5ii8i 5oo7
cos^'... — K- 74^04541 06 EC... 847 71535 1076
2 o,5oio2 99956 64 z . . . . — 55647 5961
sin2^^. 8,70617 85297 09 E^3=E^'= 0,02542 67067 2122
Calcul de €^ et E€^.
II faudra faîre 9.=^., ^==^3, et on aura ^'=^4. Voici le calcul
d'après ces données y en suivant la même marche que dans le cas
précédent.
sin 2^.. 8,70617 85297 ^9 (0"-= o,oooo5 io5oo 57866 o
A^R* 7,00181 75588 55 (2)... — . 8 95570 7
(i) 5,70799 6o685 44 (3)- . + i5 6
4^ . . .= 5' 49' 4^" 74 ^* • • •= o,oooo5 10491 44^^^
sin4^**. 9,00664 65 «T*^* .=—0,00010 20982 88622
1,94448 24 cTcp*.. o,4856o 86473 14474
(2) 0,95 1 12 89 cr(p. . . o,4855o 65490 25852
6<p....= 8*44'5i"i2 9.... 1,456 99 61625 44956
sin6^... 9,18180 ^4=^'= i,9425o 27115 70788
7,01208
(5) 6,19588
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, iiîj
sin^'... 8,55oi5 58oo4 64
cos^'.., — 24 9 6407 81
8,5^990 elSgS^
o,5oio2 999 56 64
«în3(p'.. 8,850956155^47
sin 9«
sin ^\
J
• • •
E9. • «
7*9» 748 97645 5a
84o5a8 89681 5i
8,53oi5 58oo4 64
4,85293 45329 67
= o,oa54a 67067 a 122
847 71555 10 76
0,03390 38600 3198"
J"" 71274 555o5
E64=:E^' = 0,03389 67325~76ï77~
Calcul de ^5 et Ef,.
I
11 faut faire dans les formules ^•=^5, ^=^4» ^'=^5, ce qui
donnera les résultats suivans :
sina^... 8,85093 61 555 47
use. ... 7,00 i8i 75588 35
(i) 5,85375 36g4i 8a
4(p.,.= 7*46'ia"o59
8in4?*** 991^096 70
1,94448 24
(^) 1,07544 94
6ç...= ii*5q'i8"
sin6f • • • 9,5o559
7,0 1 208
(5) 6,51747
sin^p'... 8,62697 35896 5o
cos9\.. — 59 00 257 56
8,62658 55658^4
o,5oio2 9 99 56 64
sin 2^'.. 8,92761 556i5 38
o'oooo6 8o585 37650
— II 89755
Hh 21
0,00006 80571 47958r
,0001 5 60742 95876
o,485 5o 65490 25852
0,48557 04747 29976
i,9425o 27 II 5 70 788
2,42787 5 1865 00764
7,91748 97645 52
8,55oi5 58004 64
8,62697 55896 5o
5,07461 89544^
0^05389 67525 76177
847 71555 10760
0,04257 38858 86957
j^.... I 18745 99o5 o
Eff5=E^= 0,04256 201 12 ^^^
c'sin^
sin^..
sin ^'.
r
• . • •
EC • •
i
a3« EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Calcul de Ct et Ef «.
Il faQt faire ^=^4, (p=^», ^'=ff«.
«in 2p... 8,92761 536i5 38 (i).. a"oooo8 5ooa5 4^709
;^R'.... 7,00181 75588 55 (n).. — 1484446
(0 5,929450900575 (5).. + a6
4^...= 9» 42' 41 "574 »....= 0,000085000859289
sin4p... 9,22708 19 /•<?• =—0,00017 00017 18578
1,94448 24 «Tp». . 0,48557 04747 39976
(2). .T.. 1,1 71 56 45 <r(p... 0,485200475011598
6(p...=3 14*54' a" p 2 ^2787 5i865 00764
8in6p... 9,4oo56 5 C«=<p'= 2,91307 56595 1216a
7,0120 8 6
(5) 6,4 1265 i c*sioC 7,917489764552
sia <p. 8,«a697 55896 5o
sinp'... 8,70604 17102 24 sin^. 8,70604 1710a 24
C08Ç'. ... — ' 56 i5638 97 jr««-« 5,a5o5o 4864a 06
8,70548 01463 27
o,3oio2 99956 64 £9...= 0,04356 aoiia 87887
8itta4>'.« 9,oo65i 0Ï419 91 E^... 847 7t555 10760
o,o5o85 91645 98647
I 78034 78498
• • •
Calcul de C, et Ef,.
g,oo65i 01419 91 (0**
(a)..
y
E^(=Ep'=s o,o5o8a i36li aoi49
siaap.. .
AR' . . . .
0)
4(P . . .3S
8in49">.
(2). ....
6<p...=5
8În6^.. .
\^)* •■•■• ••.
7,ooi8i 75 3 88 55
6,oo83a 76808 a6
i>«59'8"a6
9,5o539 09
»>94448 24
i,a4977 35
i7»aa'42"4
9^7765 6
7,01 a98 6
2 a
(5)..
AI* • •
o'oooio î9S6a 21849
— 17 7755i
4- 5i
o,q^io 19343 44^^9
6ooao 38684 89058
,48530 04730 11598
0,48499 66045 22340
2,91 3o7 355 95 12162
5,59807 02638 34502
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
sîn^\.. 8,77285 50959 69 c^sinC 7>9i748 97648 5a
cos^'. •• — 764^578 ia sintp.
^59
8,77209 o858i 57
o,5oi02 99956 64
sia2p\. 9,07612 08538 21
7'
8,70604 17 102 24
8,77285 50959 69
5,59658 65705 45
: o,o5o82 i56ii 20149
847 71555 10760
0,05929 85 144 60909
2 49197 56652
E€,s=E^'= 0,05927 56o56 94257
• • • •
CiO • • •
« • • •
Calcul de €% et Ef g.
II faat faire ^''ss^c, ^ = ^, , (p* 7=z €%.
sin29... 9,07612 o8558 21 (i).
AR*.,.. 7,ooi8i 75588 55
(i) 6,07495 85926 56
4(p...=: l5«55'52"2l2
sm4^... 9,57108 85
1,94448 24
(2) i,5i557 09
6^...= 20*25^ 18" 5
sm6^... 9,54205 6
7,01208 6
(5).,.,. 6,55414 ^
sm(p\.. 8,85069 5i864 41
cos(p'... — 99 80178 85
8,82969 5i685 56
o,5oio2 99956 64
sia2^\. 9,16072 61642 20
/*
(3).
(P\. •
c*sinÇ
sin^.
sinf\
• • •
E^. . .==
Eb. • •
• • • •
0*00011 88333 64304
— JO 68097
H- 56
0,00011 88513 96243
>oooâ5 76635 93486
0,48499 66045 33340
0^8475 89419 39854
3,39807 oa638 34502
5,88382 93057 64356
7>9»748 97645 5a
8,77285 50959 6g
8,83o69 5i864 4t
■ --
5,62106 80467 62
0,06927 66o56 94^^67
847 71655 10760
0,06776 07670 06017
5 61926 55474
0,06771 76646 5i545
i
a4o ' EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
Calcul de €^ et E^^.
On fera dans les formules ^ = f ,, f = f g , 9' = ^,«
sina^. •• 9,13072 51642 20 (1)..= .a'^oooiS 56885 g42635
*R* 7,00181 75588 55 (2).. — 25 5655 10
(i) 6,1 5254 ^7o3o 55 (5) . . + 406
4^...= i5*5i'52''74 û»....= 0^00015 56860 57975
8in49-*- 9>4^775 59 cT*^*. =—0,00027 15720 75946
1,94448 24 cTr . . 8,48475 89419 ^9«54
(2) 1,57225 65 J'(p . .= 0,48448 75698 55908
6<p...= 25M7'49"ii 5,88282 9 2 057 64556
8in6^... 9,59714 5 <p'....=i 4,56751 67756 18264
7,01208 6
(5) 6,60922 9 c^sinÇ 7,91748 97645 52
sin^. 8,85069 5 1864 41
sin^'.,. 8,88167 14504 00 sîn^'. 8,88167 i45o4 00
cos^^é* — 126 28722 98 ^. ... 5,62985 4^811 93
8,88040 8558i 02
o,5oio2 9 9956 64 E^...:=: 0,06771 75646 5i545
6ia2^'.. 9^8745*85557 66 EC... 847 71 555 10760
0,07619 47*79 6^5o5
y.... 4 ^6456 5 1080
£C^=Ef'= 0,07615 20745 II 225
Calcul de €t. et EC,..
Il Êiudra faire ^""szfg, 9=:fg, f'=z=^,«.
sina^... 9,18143 85537 66 (i)..= o'oooiS 249^1 7146S
hR; . . . 7,00181 75588 55 (a) . . — 36 41707
(1) 6,i8525 60926 01 (5) . . 4- 45
4^. . .=i7*a8'9"56a «. . . .= o,oooi5 ^4935 29801
8iii4^.«* 9>4774o ^3 /•?)• .=3— o,ooo5o 4985o 59603
1,94448 24 «T^». . 0,48448 75698 53908
(2) 1,4218847" J'<p... 0,484182584794506
6(p. . . = ■a6' 12' 14" 4,56731 67756 18264
sin6f... 9,644996 ^'...=s 4}^Si49 93604 12570
7,ot2o8 6
(5) 6]657Ô8~2
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
8În(p'... 8,93735 4^549 55 c^sinC 7,9*748 97645 5a
341
cosip'... — i55 87650 45
8,92567 54899 10
o,3oioa 99956 64
•ina^.. Q,226jo 54855 74
sm ^.
sincp'.
• •
• •
8,88167 14304 00
8,92725 43M9 55
5,72639 54497 07
0,07615 20745 112 3(5
847 71635 10760
0,08462 92276 21985
5 52592 99449
: 0,08457 59683
Calcul de €„ et ES,,-
(3).
sînaç... 9,33670 54855 74
kK* 7,00181 75588 35
(0 6,33853 50344 09
4^. . .=='i9«34'3i"59i
6in4(p... 9,53147 79
1,94448 34
(3) 1^46596 o5
6^...= 39*6' 53"4
8m69... 9^68705 8
7,01308 6
(5) 6,699*4 4
nn<p'.., 8,96841 19260 40
co8(p'... — 188 56559 56
8,96662 62690 84
o,5oio2 99966 64
6ia2f'.. 9,26755 62647 48
A».. .
'• • •
0^00016 93477 96990
— 39 35885
. 5o
0,00016 93448 751 55
,ooo55 84897 463 10
0,48418 35847 94506
o,48584 40950 47996
4,85 149 95604 1357a
= 5,55554 54554 6o566
c^sin€
• •
• • •
EC.^E(p'=
7^9^748 97645 53
8,93735 4^549 55
8,96841 19350 40
5,8i5i5 59445 47
0,08457 59683 33534
847 71555 10760
0,09505 5i3i6 55394
6 5o553 33803
0,09298 8o883 1049a
^4^
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Calcul de ^,« et Ef ^a*
Ç* = ff,o > Ç = ^iiy ^' = ^1.-
kK"" ...
co
4(p...=
sia 4^. • •
w
6^ . . . ^
sin6^.. .
9,26755 62647 4^
7,00181 75388 35
6,26937 58o55 83
31»20'28"946
9,56ioi 06
»>94448 a4
ij5o549 5**
32«o'45"4
9,72435 9
7,01208 6
(3)
a,..
«Tcp.
o'oooiS
59404
— 32
+
18279
02629
54
0,000 I 8
■0,00037
o,48384
59372
18744
40950
i58o4
31608
47996
o,48347
5,33534
22206
34554
i6388
6o566
(5) 6,73644 5
E(p'.
sin(p.
0^09398 80883 1049a sinp\
847 71555 10760 .
0^10146 62416 21252
7 79^9^ 06614
• • •
5,81881 56760 76954
7*9^748 97645 52
8,96841 19250 40
9,00596 5 164a 04
5,89186 68555 96
0,101 38 72825 14638 = Ef,^.
192. Pour vérifier tous ces calculs, dous allons chercher direc-
tement la valeur de 9 qui satisfait à Téquation F^sj^F^c, ce qui
se fera en déduisant p par bissection de la valeur de a qui satisfait
Il l'équation Fass-^Y^c. 11 faut donc déterminer f d'après lequa-
sin-sce
tion siny= .., ,*. . , où Ton connaît les Warithmes suîvans:
sina...... 9,50260 81001 47*6
cosa 9,99106961262535
ùkX 9^99129 25965 5o59.
On en déduira la valeur de 2sin^ et ensuite celle de ^^ par les
calculs suivans ;
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^4?
sinav/j...» 9,i5209 SioaS i5i7 i+A.. 0,29669 8x159 01 14
|/(i-f-cosa) 0,14829 58779 9495 a o,5oi02 99966 6398
nnj» 9,00379 9224^ 2034 9,99666 8i303 3716
9,99783 40601 i858 y(H4A) 9>99783 40601 i858
8În^ 9,0059661642^0166 œ= 5^82 lsinA=:l6ina — r
sin a 9,oo6o5 62445 4882 20=1 1 . 64 n= iZÎL
r = 8 8o8o5 4716
<p = a—p sm 2i^i —p +p^ . -g y
r., 5,94487 90176 7 a— (i)= 5»8i88i 55547 ^720
fM 0,06118569304 (2) 4- i2i3 58o4
i:cos*a.... 0,00448 885ia 9 (5) -~ 846
p 6,oio55 35420 o 9 = 5,81881 56760 7678
sin 2/» 9,50483 88246 7
R* 1,76812 26624 I On voit que celte valeur de ^
(i) 7,07551 49989 8 s'accorde très-bien avec la va-
p 6,oio55 55420 ^^^'i *';^^^^^ P^^'' f "> puisque
la différence est à peine de deux
(^) 5,08406 854 unités décimales du treizième
P 6,oio55 554 ordre, ou du quatoraièmechiflfre
i(2+4sîn*«) 9>8S^74 96 significatif.
(5) 8,92767 17
La valeur de E^ se déduira en même tems de celle de Eft, par
réquation ^E^ — Eâ&=^sin*^sinct, dont voici le calcul :
à^ûnct. 9,^9184 79643 7766 Ea = 0^20076 i8685 6965
sin**^*. 8,01195 06284 o552 j 301 26964 6971
jr 7>5o577 82826 8067 0,20277 46660 2924
E^ = o,ioi58 72826 1463^
valeur qui s'accorde encore aussi bien avec celle que nous avons
trouvée pour EC,».
Suivent les deux tableaux qui résultent des calculs précédens*
a44
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
71143
o3o8i
30457
.45583
log. s in ip.
log. tang^.
log. ^.
75689 08
o33a4 03
64.64 44
89373 7S
9 7
.30076 i8G85
.38634 8178a
.54589 98353
.67481 985g8
•773.97 7°g4i
.3oa6o
.58668
.73646
.83806
81001 4?*^
8641 i 0990
8a4i3 58ir
13794 fl5o;
458ai 541?
3ii63 84875
Sa 174 06875
8i3oa 86198
96907 77025
08390 4^,935
98 784
98687
93567
87334
81.74
3.5963 5o5q
69583 4636
44369 0000
o8o3o g"
8.6aK e
3gi36
65773
236o3
3698;
5845
26776 96
79633 17
30763 60
.8475. 37155
.9007a oSgio
.93867 74986
.96663 643a5
i3820
.95/37
36843
.9797.9
.98734
394.6
96597 77B
4G5ii éo3i
b'3 777 44io
9475 71334
3oo30 45?3o
4<j!i83 37793
50546 39756
o4a5a
3345
74363
67138
5q7i6
63.96
45071
o55o3 4.48
04255 7805
63306 7850
aoi57 7896
191.0 i55!
(- i.qa45
;.26393
(..64.1
li^
3694?) o5
60730 43
30S90 68
7.839 9
7444' '!
00000 00
.99873 o4G56
.00901 533qo
.01691 10868
.03337 83341
.02874 39806
.03378 94625
99335
99664
■59776
9.99 °7
9.9977
00000
8269 3488 (
27739 53741
51945 7967(
10963 4855
70163 7374
00000 OOCO
72276 3q65o
84658 Q&56a
99363 89387
I 839a 697 I I
4941a 90711
InEii..
6454
38a58
33099
36865
33845
13455
43786 c
i638a 6096
80144 6700
5483 i 1074
98460 0641
244 '3 5700
TABLE N" n.
O" 00000
0.48671
0.97138
1 .45699
.94350
a. 43787
3-9'3o7
3.39807
3.88282
4.36731
00000 0000
07821. 0987
76 163 3o46
6i6a5 4^t^^
27116 7079
3i863 0076
56693 13.6
03638 3451
02067 6436
67768 " ■
486 60 65490 3585
48537 04747 3997
48630 .04730 1140
48499 66045 2334
43476 894.9 sg'*^
48448 7^698 5390
48418 35847 -9-^
II.
5 40489
6 8o85'8
10 20983
■3 6074^
m.
17 00017
20 38684
35 76635
8938 3 4o368 i683
o'6ii 3 40134 8a53
8863 3 39760 0726
9588 3 39374 3 369
27 13730
3o 49860
33 84897
3 38667 7049
3 37941 o34:
3 37094
3 36129 8363
3 35o4S 867a
853
IV.
343 343i
364 7527
485 8456
606 5230
736 6707
846 .994
964 90» '
083 969
laoo 014
L 4096
I 0939
) 6764
■5^5^
799'
17 9700
17 o45o
3167
4166
5877
6300
1%
9356
4.83.49
5.33634
6.81881
(36o4 1267
14554 6067
56760 7696
48384 40960 48<
48347 93206 i638
37 18744 3163
Diff. I.
ni.
00000
00847
01696
02642
71633 1076
3. 181 5oo7
( 67335 7618
■ 30.13 8789
i36ii 2oi5
847 71533 1076
847 5t)648 393.
847 35885 7.i5
847 O03 58 5496
846 53787
845 93498 3336
845 234a5 74i
2376 a
35627
_4747J
*7'4S
"816
61Q
432Ï
» 7945
1 58>5
■y 1683
11877 9^7'
11864 48o3
11844 2706
7 3G20
1783 7870
1743 5868
1696 8077
20 2097
26 9086
53 5760
6 7229
6 6980
6 6664
6 6262
7764^ 5o;.
11583 7498
11617 6046
40 2 003
46779'
63 3ooo
6
6 5309
6 4579
4ia
463 I
6 3873
68q
63o
706
06937
06771
076 16
08457
09208
3Go36 9436
76646 Si 54
2074 3 .133
59683 3353
8b883 1049
72825 1464
844 39609 6738
843 45096 6968
84a 38940 ii3i
'99 8796
839 9194a 0416
945.2
i o6i56
■7740
1 29357 838 1
CONSTRUCTION DES' TABLES ELLIPTIQUES. 245
La table n' 2 , construite au moyen des résultats pre'cédens ,
contient les valeurs des quantités f et E^, avec leurs différences suc-
cessives jusqu'à la sixième, correspondantes aux diverses valeurs
n=o, I, a. ...13, pour lesqueUes on a F?î=^. |j. C'est par
l'interpolation de celte table qu'on pourra trouver la valeur de o
fA celle de E^, correspondantes à toute valeur de « moindre que la
£'est-k-dire k toute valeur de F^ moindre que -i-F'c. '
Il semble d'abord que la série des quantités <p et E^ devrait être
conUnuée pour les valeurs «=:i3, 14.... 17, afin qu'on pût eu
déduire la suite complète des différences, jusqu'à »=i i , et qu'ainsi
l'interpolation entre deux termes consécutife quelconques de la table
nedépendltquedelaformuleprdinare7i=AH-«(<^A-f-— C«/^*A-f-elc
Mais en y réfléchissant un peu, on voit que ce nouveau travail est
inutile, et qu'on peut y suppléer aisément par une considération
générale qui s'applique à tous les cas semblables.
195. L'usage que «ous avons constamment suivi dans la table
n» 3, ainsi que dans toutes les autres que cet ouvrage contient
est de placer sur une mêjpae ligne horizontale la fonction A et ses
différences swçessives M, /'A, ^A^ etc., qui naissent de l'ac-
croissenaent constant de ta variable x», contenue dans la première
colomie (ici la variable a devient n et sa différence constante est 1 )
Dans celte hypothèse, h fonction quirépçnd à la variable a-j^x
comprise entre a et a+i, est donnée par la formule ordinaire
j' = A rf- a: («T A 4- eV:.
Mais si, au lieu de considérer les variables dans l'ordre crois-
santa,a-;f-i> «+3, etc., on les considère dans l'ordre décrois-
sant «+T, a, ae-i, a — 3, etc., et qu'on désigne toujours par
A', A, A% A", etc.,ies fonctions correspondantes, l'expression de
la fonction f correspondante à la variable o-H*, sera donnée sem-
-blsdblement par ia formule
j = A' + (i-a:)(A^A') + ^i^l4<:=:^.(A-^aA + A')
■^. 2.i C^' - - 3A»+ 3A - AO + etc. ,
a46 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL*
qui se réduit à
+ '-^'''^+1'^+^ /4 A-+ etc, ,
nouvelle formule dans laquelle les difiereoces ^A, J^*A% J'^A'^, etc.
sont les mêmes et de même signe que celles qui sont ainsi dési^^nées
dans la table ; mais on voit qu'elles ne sont plus disposées sur la
même ligne horizontale, et qu'il faut monter d^une ligne pour passer
d'une différence à la différence suivante.
C'est donc avec le secoure de cette nouvelle formule qu'on sup-*
pléera très-aisément aux différences qui manquent dans les lignes-
horizontales de la îtable n* a, passé /z=:6. Depuis nz=:o jusqu'à
n=6y on se servira pour Tinterpolation de la formule ordinaire
j^=: A •+• xJ^A + ^'^~^ J**A + etc. ; mais depuis n^=^6 jusqu'à
n=x=i3, il faudra se servir de la formule j^sss A' + (a: — i)^A
4- îZlJLif J^•A• + i=Ii^^2 JN3 A- 4- etc. , où toutes lés dif-
férences sont données par la table , en montant graduellement d'une
ligne pour passer d'une différence à la suivante.
Dans les tables où toutes les lignes horizontales des différences
sont complètes, il sera indifférent de se servir de l'une ou de l'autre
£>rmule pour chaque interpolation^ La première cependant semble
devoir être préférée, lorsque x sera <7, et la seconde lorsque x
sera >j.
Il reste à faire voir par quelques exemples l'usée des tsJ>les que
nous venons de construire.
194. Cherchons d'abord l'amplitude 9 et la fonction E^ qui ré-
pondent à l'équation F^s^F'^. Puisqu'on a j. iGseSj, on voit
qu'en faisant Fa ==-^F'^, FAt=^a^'^> ^^ ^^^^ F(p==FXH-Fft.
Les valeurs de A et EA sont données immédiatement par la table
n* I ; et comme on a F/u=: jf^F'c^ les valeurs de ft et de E/ii seront
aussi données par la Table n* 2 ; ces valeurs sont
A = 5o*4558a 07019 71 ft =5 5*8828a 92057 6436
Ex ss 0,77397 70341 8165 Eft = 0,06771 75646 5i54.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1147
n ne s'agit plus que de calculer ^ par les équations algébriques qui
représentent Téqualion transcendante F^ssFX-f-F^; pour cela^
ayant pris les auxiliaires \\ jufy telles que
tang A' = tang A • ^ , tang )ea.' = tang /u • ÂA ,
on aura ^sssX'-^fi' . Ensuite réquationEA^Ef&i'-«£9:^c*siuA'Sinftsin^
donnera la valeur de Ef •
Les quantités tangA et AA sont données par la table n* i{ il ne
reste donc à calculer que tang/i^ et Afc, ce que nous allons faire
avec toute l'exactitude que les tables comportent. Voici d abord
IjBT calcul de /sin^t.et Ico&fiy d'après les formules du n* 147*
R> ovS8gi4 83676 39579
R^. i/758ia ^63^4 0917a
fi.. 8>83ioa 5655a 20307
f/t^ . 7^66ao5 i3iMo4 4^
9,55675 451 56 57
^MM^
mmm^^mm*^
(i). 6,99880 56a6o 77
/A* . 5,3^4 10 36209
-6,55860 So6$S
(2). 5,88270 5686a
fn*., 2,98615 5^
7»9^57 i8o
(5). 0,97072 575
/A* . 0,64820 5
7,46683 5
(4) . 6,ii5qS.8
(t) . .=
(2)....
(5)...,
(4)....
.cos/ct.-—
iO)' • •
^
^•COSfA...
.tanSM"'
0,00099
72536
7655
9
3o6oo6
i832o8
348i5i
i5o33
^mmm^m^
0,00099
o,ooo33
80178
24178
5o8
85o398
768669
878881
148385
5t
o,ooo55
3,83 102
24687
56552
795984
20207
8,85069
'- 99
3 1864
80178
40609
85o4o
8,63169 12045 3565^
ÇSoBttaiss«iit lAafjt, en cdeidera lA/t oomniell svât:
«"isin*^ .7,65062 62270 ii58
a 7,65o62 53257 9595
90i;i 1543
*M^rta*i
ao
445»
447^'
>
\
24« EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
/■....... 3,9548a 86188 I — a 9,99805 29344 1449
I— ^.... 9,99805 29344 R • 4o 49^<^
r' 3,95677 56944 1— A 9,99^05 29203 649gr
a 7,65o62 53258 Lfji. 9,9990a 64601 835o..
jr' 4526
R 1,60740 14728
D'après ces valeurs, voici le calcal des angles >!^ et f/i
tangA*. 0,08290 4^955 5444 tangft.. 8,85169 1204S 2565
A/t • » • • 9>99902 64601 8250 AX 9^1 174 81626 6481
tangX".. 0,08195 10557 5694 tafig/x^ 8,64545 95669 904&.'
Aq moyen de Tangle approche â==5o* 57 y on trouvera par les for-
mules ordinaires A'^s: 50^57274 12266 485i; quant à langle fA\
comme il n'est que d'un petit nombre de degrés , on pourra, en
faisant tang/t^' = ^> calculer cet angle par la formule. •••••....»'
fjt! =it[i — i^' + î^ — ?^* + iO> et on trouvera par les cinq pre-
miers termes de la série fc'=:2%5i95i 21820 4356. De là résulte
V H- /tt' = (p s=s 52%892o5 54086 9187.
Puisque ^ satisfait à l'équation Ff =:^F'c,Ia vareur dé ^ peut être
vérifiée par la formule du n"" 24^ > ?•» <pi donne •..•...•••»«»•
/sin^ = 9,90175 o855i 6245, et de là
^ = 52%892o5 54086 886;
la différence n'^est que de trois unités du quatorzième chiffre, et oa
ne peut guère décider de quel côté est Terreur.
Enfin la valeur de £^ se trouvera par le calcul suivant:
c* 9,98925 98541 5oi6 EA*. £=0,77597 70241 8i65
sin A... 9,88700 4^31 541 5 Ejt^». ss: 0,06771 75646 5i54
sin ft. . . 8,85069 5 1 864 406 1 0,84169 45888 5517
sin y... 9,90175 o855i 6245 ^_^ 0,04061 55i 65 2661
^ 8,60866 84558 8753 E^^ ^ _ 0,80108 12723 o65&
195. Pour donner une seconde application des mêmes tables ;
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 249
dhérchons les valeurs des fonctions E et F qui répondent à Tàm-*
plitùde (p=75*.
hit plus proche valeur de ^ conteYiue dans la table n"" i ^ est
A=c=76%a56o5 30752 60; elle répond à la fonction FA=7|F*c;
il faut donc déterminer l'amplitude fi par Téqualion F/<=:FA — F^^
ou par les formules
tangX'=±:tangA.A^9 tangç'=tang^.AA, fi:=?^' — ^'.
Connaissant jet, il sera facile d'avoir, par Tinterpolation de la table
n'^ 2y la valeur correspondante de n qui donnera celle de F/t et
ensuite celle de E^. V^ici le détail de tous ces calculs.
On a, par la table n* i , les logarithmes de tangX et AA; on a
immédiatement /tangtp, ainsi il ne reste à trouver que /A^, ce qui'
se fera parla formule A==Cos^'y/(i + A), dans laquelle A=:&'tang'^,
et d'où résulte lAp:=zg^j668 SgoGô 8751. D'après ces valeurs, oa
formera celles de / tang A'^ et / tang q>% savoir :
tangA*. 0,61091 o4a'5a i56o tang^.. 0,57194. 75475 555o
A^ 9,47668 59066 8751 AA • • « • 9^45071 191 10 i55s
tangA^. 0,08759 63319 o3ii tang^^• 0,021265 94585 4^^^
d'où l'on déduft
A' = 5o**7S945 77^71 6697
f = 46,494oS 54375 5376
fi === 4,34540 35-196 5331.
19a. II faut inaintenant chercher dans la table n^ 3, la valeur de
n qui répond à cette valeur de ^; on voit que cette valeur est com-*
prise entre 8 et 9, et qu'en faisant n=784-:r^ on aura à déterminer
X par la seconde formule générale d'interpolation , savoir :
A'— A'=»(» —x) (M+ - ii*A' + ^- (^A-o-H^- («^*A»*+ etc. ,
dans laquelle les nombres donnés par la table sont :
A'— /t* = 0,12191 44559 85o5 «T^A»- =4-846 1994
/A = 0,48448' 75698 5390 J^'A— • s='H- 119 5287
«r*A« =— 37157207596 J^»A«5 =— 6260
«r»A*î = — 5 57094 ^48 iT'A'* as — 935.
a5o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Après quelques essais dans lesqaeb on peut négliger les décimales
qui passent le dixième rang^ on trouve a: = 0^74850 j56i25. Pour
plus d'exactitude^ il conviendra de substituer cette valeur dans le
second membre de l'équation h résoudre^ afin d'avoir la différence
entre le résultat 4^ la substitution et la valeur donnée de A^— /««
J^ésullat de la ^substito tion. •••.. 0^12191 44^^9 7^4^
A'— ^fc. . . . . • O9I2191 44^^ 85o5
;Pifférence. . . • • r =s , 962
Delà on voit que i—- ^ doit être augmenté jde ^sb:;I983 , cû ,qai
4onuei:a pour (a vraie valeur de or
jc . ac 0^74330 756i:2 5o la.
Connaissant ^, on. aura ^M ^= "^gr- ^'^ j ^^ B*^ çooséqueQk
logarithoie de cette fonction :
;F'^.... ô^5i259 i4ï07 1659
: coeff, . . , 9,77975 36954 83oa
i¥p • . •« ^^29334 5ioQi 9961*
. 196. Pour calculer Ef , il faut d'abord, chercher EftparFinterpo-
lation 4e. la table n*.a; en appelant de nouveau A le terme E^
qui répffpd à.;t== 8 , la valeur chetchée.^era donnée par la formule
où l'on^a
A' 5= 0,076 r 5 20745 iia^ J^^ =î 4- 46 779^
/A s 845 45096 5968 /«A^ = + 6 5789
cT'A* = — 945i2 9760 J^«A*5 s= — 463
«r«A^* = — 1 1696 8077 cT'A** 5= /-- 5i.
Substituant, ces valeurs et ce)le de jt, on trouvei;a
E/A^ 0,07.403 pta6o 4731,
V
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aS,
enfin on aurai calculer È(|) par la form. E(H-E;£=EX4-c*8În^ÎD^inA
If. ... . 9,98935 98541 5oi6 EX r= 0,98484 i582o 8690^
sîn^:.. 9,98494 57781 0267 Èyt* = 0,07405 01 a6o 4751
sînX. . . 9,98754 62777 4410* 001081 .^'^ÔT^^^T
sin fi. . . 8,86959 87498 65 1 o ,. ""'9^081 jj,56o 5559
^ > ^ y /^^ ^ g..... 0,06775 50302 7S85
«..•..• 8,8509a 86598 4005' r^^ ~ orz? y ^m ' ^
> :^ ^T' ^ E(P'=s o>97856 42765 0942.^
Celte Taleûr el celle de /P< s actorderit stiffi^amméirt avec celles^
^^on a trouvées parla méthode directe, n<>» 160 et 161^
197: Nous avons chi devoir ext)Osèr avec beaucoup dé délai! tout*
Hè qui coàceme la donstruciion et l'usage des tablés n' 1 et n* 2
relatives au module c==sin8i*; les calculs ont été faits avec une
cftactitude sfcrupuleuse, et soumis à un gfand notnbre dé vérifica-
tions, de manière qu'on peut être assuré que les résultats consigné$>
dans ces tables, sont exacts autant qu'ils peuvent l'être, d'après les
Tables trîgondrtiélriques à quatorze décimales, dont nous avonç-
fait usage, lesquelles sont quelquefois en erreur dé une, deux et'
même trois unités dans le dernier chiffre. On en voTt un exemple
dans le logârithriiè def ^ou cos 81% qui, dans la Trigànom. hriL est-
9,19455 2441 5 5701, et dont les derniers chiffres doivent être 5699.
En suivant les mêmes prOéédés qui otit été indiqués dans la cons<^*
tructîoQ de ces tables, et dans les deuiT applications que nous ea
avons données, on parviendra donc danâ tous les cas à là détermi^i'*
nation des fonctions E et F et à la solution des questions qui eu
dépendent, avec un degré de précision supérieur, non-séulement
aux besoins de la pratique, niais' à ceux des recherches théoriquies
les plus délicates.
Je ne dissimulerai pas combien est pénible le calcul d^une table
telle que la table n* i qui n'a que seize lignes, ou que la table n* a
_qui n'en a que douze; mais, si on aspire à un aussi grand degré
d'exactitude, il semble qu'on n'y peut parvenir que par le secours
de ces tables, ou par la méthode générale fondée sur la formation
préliminaire de l'échelle des modules. C'est au calculateur à choisir
entre ces deux médiodes , celle qui lui paraîtra la moins pénible*
Gomme la formation de l'échelle des modules se réduit, d'après
a5a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
'nos formales, à un travail assez court , il est vraisemblable qvton
jugera que la méthode générale mérite la préférence^ si Ton n\sL à
calculer qu'un petit nombre de fonctions E et F; mais s'il y avait
lieu de calculer un grand nombre de ces fonctions^ l'autre procédé
parait être le plus avantageux.
Au reste nous avons déjà dît que si on se borne à dix décimales
dans la formation de la table auxiliaire n"" i , auquel cas on peut se
passer de la table n* 2 ^ le .calcul de cette table et son usa^ge dans
les cas particuliers^ deviendront très-faciles ^ eJt rentreront jdans I9
classe des calculs trigonomé triques ordinaires^ surtout si le module
est pius petit qiie sin 45% ce qui permettra de prendre la valeur
de CL dans la table YH; et pyisqu'^Iors Jes résultats sont exa.cts jusr
qu'à la dix.ième décimale ^ ou au nioins jusqu'à la neuvième^ il ne
parait pas ^vCon puisse proposer rien de plus simple pour le calcuji
des foncions E et F, au moins tant qu'il n'existera pas des tabler
suffisamment étendues , au moyen desquelles la détermination dis
ces fonctions serait réduite aux règles ordinaires 4e rinterpolation.
198. Kemarquons en finissant que le tableau n"" x pourrait être
réduit aux cinq termes €t^, a., ct^, a^y m^^, etqvus dans cet état, il
si\ffirait encore pour ramener les fonctions proposées E^, F^, au
cas où l'amplitude est moindre que 6"". Pareille observation s'apr
plique à plus forte raison aux tables .auxiliaires .construites pour
des modules moindres que sinSi^
En effet, i*. si Tamplitude donnée ç est comprise entre «g et a,«;
ou 90% l'une des deux différences F^ — Fag, F'r— ^F^, sera
moindre que fF'c; ainsi, en faisant la plus petite des deux diffé-
rences = F^', on aura ^' < «4. Il faudra donc d'abord déterminer
9', soit par l'équation algébrique qui correspond à l'équation. • •
F<p^— Fa8,::5pF<p', soit pa;P Téqualion cot ^' =3: 4 tang ^ , si Ji'on a
F'c — F(p=F<p'.
Puisque (p' ainsi déterminé est .plu6 petit que a^, le cas le moins
favorable pour la réduction est celui où p' sera compris entre a
et «4; soit alors F(p" égal à la plus petite des deux différence^
Fût^ — F^', Fç' — Fflt., la fonction F^" sera plus petite que......
i(Fot4— Fa.),. et ^par conséquent <îFa,<Fa..Si e^n mème^eœs
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^55
F^'' est <^¥(t,y 9" sera plus petit que 5%8i88, et l'objet de la
réduction sera rempli par deux transformations seulement. Si au
'Contraire F^'' est >tF«, » il faudra une troisième transformation
pour réduire les fonctions Ef^ F^^ au cas ou l'amplitude est moindre
que 5%8iSS.
2\ Si Tamplitude donnée ^ est moindre que «g ^ le nombre des
transformations qui ne pouvait être plus grand que trois dans le
premier cas, ne pourra surpasser deux dans celui-ci, et se réduira
le plus souvent à un.
De là on voit que la Table auxiliaire, réduite à cinq termes y
conduira aux mêmes réductions que la table entière, calculée la-
borieusement avec onze termes de plus. Mais ,^ tandis qu'une seule
transformation, faite à l'aide du tableau entier, suffit pour réduire
les fonctions F^ et £^ au cas où Tamplitude est moindre que 5%8i88^
il faudra quelquefois deux et même trois transformations semblables
pour parvenir à la même réduction par le tableau partiel. Ces trans-
formations, il est vrai, se font par de simples formules trigonomé*
triques; mais c'est au calculateur à balancer les avantages et les
inèonvéniens des deux procédés.
' J'observerai au reste qu'il Êiudrait ajouter un sixième terme à
la Table auxiliaire, si l'angle du module était plus grand que Si"";
cette addition suffira jusqu'à 89'', et il est inutile d'aller plus loinJ
Alors le nombre des transformations pourrait aller jusqu'à cinq,
pour obtenir la réduction cherchée.
$ XV. Sur la construction cTun système complet de Tables
elliptiques.
199. La méthode du § IV présente beaucoup d'avantages par
la simplicité et l'élégance des formules qui servent à .construire
chaque table particulière pour un module déterminé; on a vu que
les calculs s'exécutent dans toute l'étendue de la table, en n'em-
pruntant de la théorie des fonctions elliptiques qu'un seul élément
qui se multiplie ensuite par des formules purement trigonométriques
et rigoureusement exactes; cependant l'usage de ces tables serait
commode dans l'interpolation, lorsqu'il s'agirait de trouver les
z
2^4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGBAL.
fonctions E et F qai répondent à des Talesrs données de Tamplî--
tade et dn module.
Il pnratt beauconp pins conyenable, ponr cet obfet^ de coMlrnire
des tables dans lesquelles l'amplitude et Tangle dn modulé croissent
par des intervalles égaux et suffisamment petits^ de o^ à 90^ Oesl
donc entre les deux métbodes proposées dans le § ill ^ qu'il Êiut
choisir celle qu'on regardera comme la plus facile dans l'exécution ,
pour parvenir à un degré d'exactitude déterminé.
La seconde de ces deux méthodes fait trouver directement la
différence seconde de la fonction E, ainsi que celle de la fonction
F; et par ces différences , vérifiées à de certains intervalles, on
parvient à former la série entière des valeurs de E et de F, ainsi que
nous l'avons fait voir avec beaucoup de détail , en calculant la table
qui convient au module r=:sin45*.
:sioo. L'avantage principal de cette seconde méthode consiste en
ce que les auxiliaires qui servent à déterminer les différences se«-
condes des fonctions, sont beaucoup plus petites, que celles 4fùi,
dans la première méthode , seraient nécessaires pour donner im-
médiatement les différences premières de ces mêmes fonctions ;
le calcul doit donc en être beaucoup moins long; il exige on des
tables moins étendues, ou des soins moins minutieux pour obtenir
les parties proportionnelles , ce qui est une épargne de tems con-
sidérable dans une longue suite d'opérations. Mais d'un autre côté,
les erreurs sur les différences secondes se multiplient suivant la
progression des nombres triangulaires, dans la détermination des
fonctions principales; il devient donc nécessaire de calculer ces
différences avec deux décimales de plus, ce qui fait perdre tout
l'avantage qu'on pouvait en attendre; et si on n'augmente pas le
nombre des décimales, il fiut vérifier les résultats de distance en
distance, puis corriger les nombres internȎdiaires, suivant un mode
4e répartition qui est plus ou moins arbitraire.
Cet inconvénient qu'on a pu remarquer dans Part. 85, n'a pas
lieu dans la première méthode, ainsi que nous nous en sommes
assuré par un grand nombre d'essais , et cette raison suffit pour lui
donner la préférence. Mais, comme on n'a pas de taUes usuelles
CON5TRlTC?riON IffiS TABLES ELLIPTIQUES. a55
qai passent dix décimales, il serait trop difficile de calculer les
fonctions avec douae décimales, comme nous Tavons Êiit dans la
table II, et il faut se borner à les calculer avec neuf décimales ^
ce qui au reste est plus que suffisant pour l'usage ordinaire.
aoi. Voici donc le procédé auquel nous croyons devoir nous
arrêter définitivement, non pour calculer dès à présent une série
complète de tables elliptiques, ce qui serait une tâche au-dessus
de nos forces, mais pour préparer les bases de ce grand travail,
de manière qu'il puisse être exécuté par la suite avec toute l'éten-
due nécessaire.
Pour chacune des valeurs du module, depuis C7szsini% sln^*,
sin3% jusqu'à c=sin75*, on formera la table particulière qui donne
les valeurs des fonctions £ et F éorrespondanies aux différens de^
grés de Tamplitude, depuis 4»=o% i*, 2^.. .. jusqu'à ^zszgo"*. Ces
calculs seront faits par la méthode du n"" 66, en ne donnant que dix
décimales aux auxiliaires /? ou P, d'où l'on déduit les différences
premières /E ou cTF, et celles-ci devront être réduites à neuf dé-
cimales. Si l'on porte dans ces calculs l'attention nécessaire, les
erreurs sur le neuvième chiffre décimal de la fonction, se compen-
seront pour la très-grande partie, de sorte qu'on pourrait parvenir
à l'amplitude 90% c'est-à-dire à la fonction complète , dont la valeur
est connue d'avance par la table I, sans commettre une erreur de
plus de deux ou trois unités sur le dernier chiffre décimal. Cepen-*^
dant, pour plus de sûreté, il sera bon de calculer, par la méthode
directe et rigoureuse , les fonctions E et F qui répondent à Tam-»
pUtude de 4^*; eu cas de différence dans les résultats, on corrigera
les nombres de la table par un moyen préparé dans le cours de
l'opération, et que nous indiquerons ci-après.
Il conviendra, comme nous l'avons dit, de pousser le calcul d^a
ces tables particulières jusqu'au module csssinyâ*; on pourrait
peut-être aller plus loin , sur-tout pour la fonction E q^i n'est pas
sujette à d'aussi grandes inégalités que la fonction F; mais, comme
rinterpolation deviendrait peu exacte pour les amplitudes de 70 à
90*, nous avons pensé qu'il était convenable de ne pas étendre les
tables au-delà du module sin 75*.
^ EXERaCES DE CALCUL INTÉGRAL.
Par une raison contraire^ on pourrait ne les commencer qu'aa
module siniS""; car au-dessous de ce module, les fonctions E et
F sont représentées avec assez d'exactitude par les séries du § VU,
qui d'ailleurs ont Tavantage de se prêter facilement à tous les calculs
analytiques.
La réunion de toutes les tables particulières dont nous venons dé-
parier, soit qu'elles commencent au module sini*, soit qu'elles nre
^ commencent qu'au module sin i5% formera la table IX, que nous
nous empresserons de publier, aussitôt que le travail assez consi--
dérable qu'elle exige aura pu être acbevé. Au dédsiut d'une table
plus étendue, dans laquelle l'angle du module et l'amplitude croî-
traient par des intervalles beaucoup plus petits qu'un degré, la
table IX sera fort utile pour appliquer la théorie des fonctions ellip-
tiques, en donnant les moyens d'évaluer ces fonctions, pour les
modules qui n'excèdent pas les limites de la table, par un calcul
assez facile, lorsqu'on ne voudra pas obtenir plus de six ou sept
décimales exactes.
. ao2. Voici, d'après la méthode que nous proposons, le détail des
procédés à suivre pour construire l'une des tables particulières qui
doivent composer la table IX. Soit et l'arc d'un degré, ou a=:-^,
soit 01=19+7^ et v^(i — c*sin*a»)=A(â»); si on prend l'auxiliaire
^=aAtf , on aura en général, pour construire la table des fonc-^
tions E, la formule
on calculera donc pour les valeurs successives f=o% i%2% 5^,4^ etc.,'
les valeurs correspondantes de l'auxiliaire p ; on observera de plus
que la valeur de;?, pour ^ = — 1% serait la même que pour^=o*;
on placera donc deux fois cette première valeur de py l'une sur la
ligne de 9=0, l'autre sur la ligne supérieure, ce qui sera nécessaire
pour former cette ligne où Ton doit trouver la différence cTy?* qui
entre dans>la première valeur de cTE, celle qui répond à Ç'so.
A mesure qu'on aura calculé une valeur de;?, cette valeur servira
à ajouter un terme de plus aux colojines des différences dans les
lignes supérieures. Au commencement de la table et même jusqu'à
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^5/
des termes assez éloignés tels que 9=4^'' ou 5o% il suffira de prendre
les deux premiers lermes de la valeur de /E y savoir: ^^Esszfh-^^^^^ }
car nous supposons constamment que les valeurs de p sont calculées
avec dix décimales y et qu'on en conserve neuf seulement dans les
valeurs de «TE.
Lorsque par le progrès de l'opération ^ on reconnaîtra que le
troisième terme — - -^^ J'^p'^ peut influer sur la dernière décimale
de J^E^ il faudra tenir compte de ce terme. Mais alors on devra
ajouter un terme de plus k la colonne des p^ ce terme qui répond
à^+a étant nécessaire pour avoir la difFérence J^p^ qui entre
dans la valeur de J^E. Jamais on n'aura besoin de calculer un terme
de pïus de la formule.
Les mêmes procédés s'appliquent au calcul des fonctions F y avec
cette seule différence^ que l'auxiliaire P a pour valeur £- ; ainsi le lo«
garîthme connu de Aâ> servira à calculer à la fois les deux auxiliaires
p = «Ââ» y P = ^. II £iut observer seulement que les différences
croissant plus rapidement dans la table des fonctions F ^ il faudra
beaucoup plus tôt faire entrer le troisième terme delà formule dans
la valeur de cTF.
En formant la colonne des différences cTE et cTF^ réduite k neuf
décimales y il sera bon de faire une marque particulière aux termes
dont la dernière décimale n'est exacte qu'à f ou au moins 7^ d'unité
près. Cette marque sera utile pour faire sur la table les légères cor-
rections qui seraient indiquées par la différence qu'on pourra trou-
ver entre les fonctions données par la table pour les amplitudes de
45* et go% et celles qui auront été calculées d'avance par la mé-
diode directe.
2o5. U ne reste plus qu^à faire voir comment on doit calculer
le logarithme* de £kûû. Au commencement de la table et jusqu'à une
limite assez éloignée, faites sinA s=csînâ»; appelez a l'angle qui,
dans la table à dix décimales ^ approche le plus de A ,. et soit 1»
différence /sin A — /sina=:r; vous aurez avec une exactitude 8u£»
fisante /cosA^ ou
log A s= log cos â — r tang* a.
L
/
^58 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
et Yim YOÎt que U coirtcûon r Ung* a n'a pas besoin d'être cakvlée
arec beaucoup de précision , tant que l'angle a sera d'un petit nombre
de degrés.
Lorsque l'angle a approcbera de 4^% on pourra faire plas exac-
tement log A = / cos a — R , logR=log(rtong*a)-|-r+rlang'fl.
Si l'on a^ait /sin A=/sina— -r^ il faudrait £aire log A=^cosa4*R 9
log RsŒ log (rtang* a) — r — r tang* a.
Lorsque l'angle a sera plus grand que 4^% 1^ correction R deve-
nant plus grande que r, les erreurs se multiplieraient par la formule
précédente, et il faut lui en substituer une autre. Chi mettra alors
la valeur de A sous celte forme, à=sb\/fi -^ — ^~')> ^^ faisant
UngA=:^-^^, on aura Ass— — . Soit a l'angle de la table qui
approche le plus de l'angle A dont on connaît la tangente^ et soit
itang A = /tanga<4*^> ou ^^^^
Itos A = /cos a — r sin* â (i 4" 1^ <^o^* ^) j
ou si l'on fait /cosAssZcosa-— R, on aura
iR==/(rsin*a)H-r— rsin'fl, ensuite logAslog -f- R.
Cette formule, dont le calcul est aussi facile qull est possible, ne
laisse rien k désirer^ et pourrait même servir dans toute l'étendue
de la table sans exception; mais le calcul de la première est plus
simple, tant que c sin co est <C sin 45^
Si Ton avait /tangAs=/tanga— r, la formule deviendrait
logRssslog(rsîn'ii) — r-j-rsin^n, logAslogT — ^'— R-
Connaissant A pour une valeur déterminée de a», ou connaîtra à
la fois les deux auxiliaires pssm^^ Pss^^ l'une pour la table des
fonctions E, l'autre pour celle des fonctions F. Ces auxiliaires de-
vront être placées chacune sur la même ligne que la valeur de ^ ,
d'où elles sont déduites, en faisant ûi=(p + ft^i ^^ y joindra leurs
différences successives, continuées jusqu'à l'ordre où les différences
de l'ordre suivant seraient négligeables ou fort inégales. On en dé-
CONSTRUCTION DES TABLES ELUPTIQtJËS. 26g
daira ensuite les valeurs de «TE et de ^F, suivant les formules que
nous avons rapportées.
Calcul détaillé de la Table particulière pour le module csKsinGS"**
204. Nous prenons pour exemple un module un peu grand, parce
que les calculs deviennent plus difficiles vers la fin de la table, à
raison de la grande inégalité des différences ; on verra cependant
que les résultats n'en sont pas moins sûrs, en prenant les précau-
tions convenables. Du reste, nous entrons dans tous les détails
nécessaires pour qu'on puisse facilement saisir la méthode^ et l'apr
laquer à tout autre module.
f =5 o% m ^ss o*i.
e 9>94988 08840 7 00e « »»999»S 69358
BÎn#. • • • • • 7j94o84 18696 8 IL — 6a3
«nA 7»8907a "7437 5 A. 9«9^98 €8716
«in a 7188969 04944 «•• • t 6t^4^97 73676
rzss io3 90493 5 p 8»&4i86 4a3»i
P tg94it^ 0496&
r 7,01378 46
tang'o. .... 5,77940 71 p . . = 0,01745 37649
3^79319 17
-4- io3 aa
P^ = 0,01745 38fl0i
R a,794aa Sj
Bans ce cas et dans le cas suivant , on aurait pu &ire plus sim-
plement le calcul de A par la formule log A = 7 log (i — - c* sia* m)
=s — .^me* sin* €»; ensuite €0 devenant un peu plus grand, on aurait
ies formules plus approchées r:ssà^ sin* m, log A = — R, ^t
log R s=s log (jrnr) + 7 mrj mais nous avons préféré de suivre tour-
jouiCS la même marche.
c 9»9498& 08840 7 r ^,. 6^07670 73 coso..... 9»99988 19043
siit«.... 8,4^791 90153 9 tan^a.... 6,73559 73 £ •— 64s^
8^36779 98994 6 R. A^8ia3o 46 ù 9j99988 18394
sin a... 8,36768 o58ii • 8,24187 73676
r 3s li 9S183 6 p tss 0,01744 85446 p 8,^4175 93070
P sa 0,01745 80418 P.»..« 8,34199 5538i»«
a6o EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
c 9,94988 08840 7 r «. 5^89956 33 cosa 9^99967 16309
Bvnm.... 8,63967 96616 1 tangua.... 7>i7993 63 R -f- ^^oi
8,58966 04456 8 R 3,07949 96 A 91999S7 17510
jBin a... 8,68963 98006 m 8,04187 73676
r = — 7 93548 a p = 0,01744 01069 p 8,a4i64 91186
P = 0,01746 64891 P 8,a4afto 56166.
'Cette Taleur de P , auxiliaire de la fonction F , jointe à la valeur
correspondante J^'F' = 4^3389 donne pour ^=2% la différence
J^F = P H- î^ J^'P* = 1 746 66655, où il faut remarquer que le re-
tranchement du dernier chiffre laisse une incertitude d une demi-*
unité sur la neuvième décimale de J^F. C'est ce qu'on a exprimé
dans la table par le signe -f* mis à la suite de la valeur choisie
«TF se 17466665+. On aurait pu également prendre ••
cTFss 1746 6666 — . Nous verrons ci-après l'usage de cette no-
tation , pour corriger les petites erreurs qui peuvent résulter du
progrès de l'opération.
^ = 5% âi = 5* f
c 9i94988 08840 7 cosa 9^99935 601 13 tangua.... 7,47^76 807
«in*».... 8,78667 62787 7 R + 5461 r. 6,a6453 993
8,73555 6i6a8 4 ù 9,99935 66674 R 3,73730 800
•in a..* i8,73674 00461 a « 8,34187 73676
r = — 18 388a3 p 8,341 a3 39260 p = 174a 74633
P 8,a4a5a 0810a P =: 1747 9170a
^ = 4% a» = 4' T.
c 9^94988 08840 7 cosa 9199893 6368a tangua.... 7,69110 io3
•iutf.... 8,89464 33984 I R — i83i r. *.. 6,67167 Sqo
8,84463 41834 8 A 9199893 61861 R 3,36377 493
wn a... 8,84448 68865 • 8,34187 73676
rzsi 3 73970 p 8,34081 35537 p = 1741 06936
P.. 8,34394 ii8a5 P = 1749 6097»
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. a6i
c^-..^; 9.94988 08840 7 C08C 9,99840 98748 tajig» c... 7,866a6 8io
>in».... 8,98167 a87i5 4 R -f 6627 r S.gSSoS o5i
8,93145 37556 1 A 9,99841 05375 R 3,8ai3i 86i
Bin a... 8,93i54 39a3a # 8,24187 73676
r == T- 9 01676 p 8^a4oa8 79051 p = 1788 953a4
P 8,34346 683oi P == 1751 73864.
(P = 6% « = 6^ i.
A* 5i94988 08840 7 costf...... 9,99777 95564 tang'«.... 8,01190 777
$\a0.... 9,o5585 87565 7 R — 647 r 4,799^5 157
9,00373 96404 4 A 9^99777 949^7 R 3,*8in5 934
j^i a... 9,00373 34434 M 8,34187 73S76
r = «1980 p ,.. «,33965 68593 p = 1736 4383a
P 8/^4409 78759 P r= 1754 3758U
iO 994988 08840 7 coafl....... 9,99704 36309 tang*fl.... 8,13696 406
«i'..- 9*^^569 76687 5 R — 7a5o r 5,73337 849
9,66557 85538 A 9>997o4 39069 R.. 3,86o34 355
ima,... g,o6553 56633 « 8,34187 73676
/ =5 * 5 38906 p 8,33893 03735 p = 1733 48574
P V- 8,34483 44617 P x= 1767 35368.
f = 8% « = 8* ^
fi 9*94988 08840 7 cx)sa 9,99630 17398 tangua.... 8,a466a 419
•jn i>,.. fl, 16970 30867 8 R... — ii3i8 T...., 5,80709 916
9^11958 39708 5 A 9,99630 06080 r tangua.. 4,05373 335
aina.... 9,11951 88 353 « 8,34187 73676 r..... 6 414
rr? 6 4i356 p 8,33807 79756 rtang*g.. . i.i5
p = 1730 13697
f =x 1760 66813.
p...; 8,1^4567 67596 R,, ,. 4,05378 8Pa
aa
s&i EXJBRQCES DE CALCUL INTÉGRAL;
(p = 9% « = 9* \.
c 9>94988 08840 7 CCS a 9>S96fl5 34/14 tangfa...« 8^34437 G^S'
sln #... g,ai7Go gpaaBg 4 ^ — io?4S r.««. ........ 5,68373 796
9,16749 oii3o A ,. 9>995a5 34069 4,03710 49r
sma.... 9,16744 194^4 ** 8,34187 73676 r «••«... 4 S16
r= 4 81646 p 8,33713 97745 rtang'g.^ 106'
P 8,34661» 49607 R,«% 4i037i5 4i5
p = 1736 55368
P= 1764 5i34b,
f = ro% m = 10*. ^
^— «••• 9>94é88 08840 7 CCS a 9>994i9 836o3 tangua...» 8,4^61 loo^
SB «... 9,86o63 30434 S &••••« '*— 9736 r...«*.* 5,00393 i6if
9,3to5i 39375 A, 9>sr94>9 80876 rtang'a.. 7^43653 364
aina.... 9,31060 386oo «k •... 8,34187 75676 r. «..• 1 007*
r =» r^6^ p 8,33607 5465a ^«««•<^- <^7^
P.- - 8,34767 99800 R.., 3,43554 39»:
p = 1733 16776
P = 1768 80334.
çr S5 1 1% 0» = 1 1"" -
ï>
^ •• 9.94988 08840 7 cota: 9,995o3 58866 t«ng»ir...* «,5i5o9 43è
»» «'— 9,99965 55093 r R + iS3g5 r^ 5,67066 1%
9,34953 61934 A 9i99393 74iai 4,18376570
«pa.,. 9^24968 3o383 m. 8,94187 73676 r^...,»...., — 4 684
r = — 4 68448 p 8,93491 477^^ rtang-a.: — iS^
P 8,34883 99555 R 4,i837o 753
p = 1717 5713»
P = 1773 53578^
^ 9*9^88 08840 7 co«a 9*99176 96100 Xaa^gtu^ 8,68693 348"
ain#»>>> 9»33533 67606 1 R. «.. + 6iô5 r. 5,13107 04&
' 9>»853i 76347 À 9^99177 oi3o5 S;7a799 393
ûxid.... 9,38633 0^498 «. 8,34187 73676 r. ^..•. — 1 339
r = — X 39i5i p. 8,33364 7488i ^^«»g'«- — 5*-
■■» f
p = 1713 56667
P = 1778 71860.
>*• ' - 8,35oio 73471 R., », 3,70797 9fio
ELUPTiQUES. a65
f sss iS% » a&8 i5
o I
c. 9,94.988 ô88<o 7 cosA 9>99o39 S4410 tangue.... 8,65536 307
•in #•»• 9,36818 5â534 t &••« •>• + 49^ r..M»..M.t» 5>o3499 7^3
9,3i8o6 61375 A. 9>99o39 S93ia 3,69036 o3o
aina^.. 9,31807 69767 « ^,fk4i9j 73676 r...... -— 1 084
r = II t 08S99 p 8,a5afl7 32988* ''^anj^a.. — 49
9 8,«5i48 14364 R 3,69034 897
p = 1707 i563S
P = 1784 3557a.
f sss i5% m Œ ï5* f
^. •;::.:; 9,94^988 08840 7 coaa 9198891 76119 t«B|^a..r. 8,71901 a58
mm.... 91398S9 96431 3 R — 89706 r.M«....—. 6,75376 838
9,34848 c6fl6a A 9>9889i 454i3 4>47fi78 096
^a..;.-9,3484a 38oao le €,a4i87 73676 r. 5 67a
T = 5 67a4a p. 8,a3o79 19089 ^^^^<^'^' ^97
P...M..OO 8,sfia96 a8aC3 R 4,47384 o65
p = 1701 3431a
P = 1790 45a59.
^•. «•••.• 9194988 08840 7 coea 9»9873a 67864 tan|*^«.. 8,77890 a6a
4m#.... 9,49689 88a4o a R. — 1678 r... 44»907 9^7
■ Il I . I ■■ ' ■
.9,37677 97081 A... ..«.M. 9f9873a 66376 3,19798 ±27
4În«.... 9,37677 70834 * 8,»4i87 73676 r............ a6a
/= a6a47 p ^.^. 8,42920 a99&a ''«a^êT^- 16
Pm 8,a5455 17400 R 3,19798 5o5
p = 1695 iaq94
P = 1797 oi5i6.
f «p f6% « ap 16* f
,<?...:.«;. 9,94988 08840 7 003 a 9»9856a 944^6 taojfo.... 8,835i6 911
4in#.... 9,45334 18046 3 a ~ 6^47 r...M.«M.. 4i9^9^Q 47 ^
9,4o3aa a6887 A. .. .;.... 9,9856a 88478 3,77427 384
«ina...* 9>4o3ai 39970 a 8,24187 73676 r.i .«•• 86§
r = 86917 p 8^2760 6215T ^^•^**- 1*
P.M...M... î8^a5624 86198 R.,M 3,774a8 3ia
p = 1688 6200a
y =;s i8o4 Q4979*
a64 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
ç = 17% dû = 17^ \.
c 9,94988 08840 7 cos a g,9838a 28o58 tang*a.... 8,8884a 65o
9În0.... 9,47814 18041 a R + io34o .r. 5.12609 89»
g,4a8oa a688a A 9,9838a 383g8 4,01 45a 54a
sîn a..i 9,42803 G0572 « 8,24187 73676 r : — 1 33^
r = — 1 336go p 8,22570 lao"^ rtang^a.. — ^o3
P..^ 8>258o5 35278 ^. .•..«.... 4)^i45i loa:
p = r68i 5i67f^
P= i8u 56336.
^ = 18% » == i8* |:
c. 9,94988 08840 7 cos^ 9>98i9i iiÇo3 tang*^ a..;; 8,93887 07g*
dini».... 9,5oi47 64453 6 R .\. — gSSS r« 5,o323o 037
9,45i35 73294 3 A 9,98191 02245 3,97117 116
5ina.... 9,45134 65573 « ,• 8,24187 73676 r.«.......M. 1 077
r= 1 07721 p 8,22378 75921 r tangua.. gS
P..* 8,25gg6 7i43i R..^ 3;g7ii8 siiS^
p = 1674^ 12388
P=: 181g 563ig.
e......; g,g4g88 08840 7 ces a: g>g7g88 8oaio tang'a.... 8,g8696 769
rini».... 9,52349 52365 4 K 4*4g ^« 4>^3o93 61»
9,4733761406 A 9,97988 76061 3,61790381
•ma.... 9,47337 i8656 « ». 8,24187 73676 r. •.... 4a7
r= 42750 p, 8,22176 49737 rULu^.a.. j^
P.-. •* 8,26198 97616 R 3,61790 849?
p = i665 34520
P = 1828 05712.
c g,g4g88 08840 7 ces a g>g7775 g2588 tang* «.*:.' 9,0328a 549F
flin#..., g,54432 52958 9 R ^. — 3686o r. 5,53369 277
g,494ao 61794 6 ù, «.... g;g7775 55728 4;^665i 826
sina.... g,4g4J7 aoo57 ............ 8,24-187 73676 r....;..o.«. 5 4^7
r= 3 41737 6 p 8,2i9€3 29404 rtaxi^ a.. ^^^
P....rr 8,2641a 17948 R....;...... 4i5665â 61 B
p r= i658 18484
P = 1837 0534e.
CONSTRUCTION DES TABLÉS ELLIPTIQUES. a65
€' Sf>94988 08840 7 coà a 9,97551 75669 tang» a... 9,07681 071
sm i>... 9,56407 54536 fl R — 5866 6 r... 5,5io48 455
9,5i595 63i66 9 i^ 9>9755i 3699"3 4,587129 73?
«îna..*. 9,51592 3 9Qia m 8,34187 73676 r. 3 a^^^
f = 313954 9 p........... 8,31759 10669 ''*^^^- 586
P — 8/J6656 566«'5 B 4,58733 35»
p = 1649 64717
P = 1846 56104.
ç sas aa*, ûi ac ^3* !•
Cw...... 9,94988 08840 7 C08 a 9,97316 17704 taDg»c.,,. 9,11911 416
«m».... 9,58385 9 6606 8 R. r.. — 3336 r, 4,33843 886
9,53373 05446 5 A 9,97316 15478 3,34755 So3
ftîna-.. 9,53371 88535 « 8,34187 73676 16^
r =5 16931 5 p 8,3i5o3 89154 rtapg^g.. aa
Pr« r 8^6871 68198 R... 3,34755 49&
p t:a 1640 73679
P = i856 68930^
*.. 9>M9^^ 08840 7 cosfl : 9t970% 863o6 taogfa.... 9,^16976 441
flbi^/.. 9,60069 96819 9 R.... -f 589 r..... 5,45oi5 968
9,55o58 o566o 6 A 9^97069 86696 3,68990 399
aima... 9,55o58 o8353 «r. 8,34187 73676 r. — 369
r:=z'Z A693 4 p 8,31367 60371 ''^g*^- ~ 4
P..^. 8^7117 86981 R 3,68990 laS'
p =3 i63i 4585a
P = 1867 14780.
c. 9,s49^^ 08840 7 cos a 9>968i3 79369 tan^ a,.^ 9>i9^9i 76g'
fin 0... 9,61773 69686 8 R — 55396 r 5,53544 909
9,56760784375 A 9,9681346073 4,53336 678
lin a... 9,66768 6783a «r. 8,34187 78676 r.. a io6
r= a 10696 5 p........... 8,31000 19749 ''♦^'^^«••^ 333
ife-iiB«
p r= 1631 81747
P = 1878 34734.
P S^jiji 37603 R, 4,6aa39 117
i
m «XERCÎCES DE CALCUL INTÉGRAio
,r 9)949^ 08840 7 ces a 9^96644 06799 tangua.... g^sSfiSa B45
8in#.... 9,63398 435oa 6 R. •,.....- ~ i78a3 r. 5,oi4i4 78»
9,58386 5îa343 3 A.... 9,96643 88976 4ia5o97 637
3ina... 9,58385 49o3fl « ,. 8,24187 73676 r. 1 o35
r = 1 o33ii 3 p , 8,ao73i 6s65fi '"^^n^'^- '7»^
P..... 8,37643 84700 », ..- 4,a5oa8 838*
p = 1611 81898
P= 1889 89846.
,r ;. 9,94988 08840 7 ces a 9,965164 453o4 tangua-.; 9,fl7549 ^4
Wf.... 9,64953 74374 o R. r- 3458a r. 5,a6533 845
9,59940 83ai4 7 A.... 9,96364 10733 4,5388a 91.7
jînA.... 9^^9938 98994 « V- 8,34187 73676 r 1 849
r =^ A 84a3p 7 p 8,3o45i -84398 rtang^fl... 346
P •.. 8,37933 63954 R..., 4,63885 195
p = 1601 4^S£4
p= 190a 11393^
jo 9^94988 08840 7 cosa 9^9^97^ 959^7 'tangua..... 9,5091a 4a^
^mm.... 9,66440 55998 o R... -+- io663 r 4,71876 i5a
9,61438648387 A.. 9,9597306650 4,03788 576
ftin a... 9,614^9 17170 m ,•.. 8,34187 .73676 r — 633
r = ^ -^ Ç3331 5 p «,3oï«o 8o3o6 r\An%\a.. — >Py
^. 8,a83i4 67046 R.,.. 4,03787 a4Ç
p zs 1690 77334
P = 1914 90367,
f 5= 28% Ce es aô* J.
c........ 9,94988 08840 7 ces fl...... 9,96670 41639 tau^c,... 9,54^0 ^3
ain #... 9,67866 39015 4 R + 80590 r $,j39o3 765
9,63854 37866 1 A. 9,96670 72039 4i48374 448
sin a... 9,63855 75589 »... 8,34187 73€76 r.... — 1 S77
r = — 1 377339 p 8,19868 457^ rtan^«.. — go4
p........... 8,î)85i7 01647 R... ., 4.48^72 ff
p = 1679 7'63o
P=: 1938 38o3o.
CÔNStRtJCÎÏDrï BES TABLES ELLIlrt'IQtJES. '067;
e. ..."•• 9,9498* «Sft^o 7 «Mdt 9,95356 77180 twig*«.„. 9,îf?73a &id
en»».. 9,^53 88a36 6 11 + a5»88 1 5.o«38& lU
^^^•^m^^^^^^mm^^^^ÊimÊmÊ^m^'^K^ ^mm^mmimmmmmmim^^mÊÊl^m-^m^mim ^^'^mmm^^mmma^^m^m^^mm'
9,64aai 9^077 3 A 9,96357 oaSoS 4>4oii7 694
«no.... 9,64aa3 oa7a5 #. .....>...♦ 8,a4i8ir 78676 r...> — r o56
r = II i o$64â 7 /» 8,1954475984 •*»*»«•«•• - ^5a..
V.>........^ 8,a883o 7i368 R-. ......... 4,40119 00a
^ = i568 36665'
P = 194a 36897. ...
«•• ••-• 9>9<98* 08840 7 co« a 9,95q3i s6585 tangua..*. 9,41006 j3f
m 0... 9i7o546 8874S 5 IL. .-..*.•.. ^ S&jo r.. 4,i5iao oo5
9,6&534 97586 a A. ......... 9,95o3ii 92946 5,5Su5 74a
À a^. 9,65534 834a5 •. 8,fl4t87 7367S r... .• 24a
r= v4i6i 2^ p.....^.... 8,19219 666a 1 '^*»^^- .^^ .
P,*.,.*.,..% 8/19155 80731 R.MW.....^ 3,66ii5 9ao>
p = i556 67038
P= 1956 85a4ii.
e... 9>9<988 08846 7 coso...,». 9,94695 9^567 U;B^a.^^ §M^97 4^^
mm...: 9,71808 Six>i7 9 R..^.;.».'.^ --* 54906 r.k».«« 6^29044 555'
9,66796 59868 6 à V 9,94695 3j56i 4,73a4i 977
•ua... 9 »66^94- 64674 tf..^. .*.••» 8,34^87 73676 f.*^ u. 1' s6^s
r=: 1 96184 6 p 8,18881 i3s37 ^^^-___^.
P *....^ 8,a949a S^iiS R ; 4,75244 469^
p == i544 65439
P = 1972 07493.
é. »«•/••. g>g4988 08840 7 coaa^ 9^94^47 46>i4S tangua.... 9,473i4-Oûà'
ib>.».« 9,73oai 65a4û o R...'..»."* «^ 818a f...^..^...,. 4)439^^ 791"
9,68009740807 A..... 9)94347 37963 S>9ia86 799
mm.... 9,68009 4656a m 8,94187 ^3676 r.....^%;..u a7&
r ;^5l87 p 8:ii5irTr^ .tang.«..___fo
^« f>«.^\»«.«' 8^S984o SS^iS R*«bt.M«..% 3;9ia87 i56
p = i53a 33698
P= 1987 94137.
\
û68 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
<p = 33% 6» == 33* j.
c 9*949^^ 08840 7 cos a 9>93987 53iii tang'a...^ 9,5e38Q 963
«in«.... 9,74188 94971 3 R «+31086 r .4,9887640a
*^
9,69177 o38ia A 9,93987 84197 4*49357 365
sin a... 9,69178 oiaSS # 8,24187 73S7S r. r- 974
r = - ^^446^ p S^bl^S^ rtanë^a.. -3ii^
P........... 8,3o*99 89479 R. 4i49a56 080
p = i5i9 63274
f = floo4 4^717^
<p = 54% €0 = 54^ i.
C. 9,949^^ 08640 7 003 a 9>936i7 28891 tangua...; 9,53364 oaj
•m«.... 9,7531a 80269 o R ir- 54^80 r 5,20097 546
9,7o3oo 89109 7 A 9,93616 74611 4y7^46i 573
«in a... 9,70299 30264 « 8,24187 73676 r. ;.•. 1 588
r == r58845 7 p 8,17804 48287 r tangua.. ^45
P 8,3o57o 99065 R 4,73463 704
p = i5o6 76289
Ps 2021 66832.
/p c= 55% (ê = 55* !•
^••••••f 9,94988 08840 7 coaa 9,93234 22i52 tang*a..~.^. 9,56297 653
9m. 0,.. 9,76395 4o365 5 R — 16227 r 4*^47^4 79$
9,7i383 49306 2 A 9^93234 05925 4»3io22 449
lîna... 9,7i383 04820 •... 8,24187 73676 r. 444
r= 4^Î6l p .„.. 8,17421 79601 rtan^a.. i6a
P.* 8,30953 67751 R 4|3i023 o5^
p = 1493 54379
P = 2o39 56i36.
(p s= 56% a = 56« f
c. ..77... 9,94988 08640 7 cos a 9,92839 4^S7i tangua..*.. 9,69176 585
«in#.... 9,77438 76973 3 R 4- 33632 r 4,93499 3o6
■•i^
9,72426 84814 à 9^92839 753o3 4,52675 891
ma... 9,72427 70912 5 8,24187 73676 r — 86i
r = '^ 8609g p 8,17027 48^77 rtan^^c. - ^36
P, 8,3i347 983^3 R 4,82674 694
p = 1480 04493
P a 2o58 i633/(.
CONSTRUCTION" DES TABLES ELLIPTIQUES. 369
(p = 57% m == 5r T-
c.;.;..,. 9194988 08840 7 coaa 9,9^4 134^7' tangua.... 9>6i995 816
sin-».-. 9,78444 71378 3 R — 5flQ55 r. 4,885Gsi 69a
9,7343a 80119 A. 9,90433 80434 4,5o558 5o8
sin^a... 9,7343a o3a7a « 8,34187 73676 r. 768
76847 p 8,i66ai 54110 '•^ang^a.. ^^Q
. P 8,31753 93a4a B 4,5o559 696
p = 1466 37494
P= ao77 49183.
ç = 58% (0 =3 58* i.
c. ..:.... 9,94988 08840 7 cos a 9,93016 55343 tang*iz... 9^^777 877 '
ain*.... 9,79414 95670 7 R 4-64390 r. 5,i6o39B 3a8 '
9,744o3 04511 4 ^ 9,93016 19633 4980816 ao5
sina.... 9,7^04 49*83 • 8,34187 73676 r. — 1 447
r = II 1 44671 6 p 8,i63o3 93309 ^^^t^- ~ ^^3
P 8,33171 54oi0 R 4,80814 ii5
p =3 1453 343i3
P = 3097 56489.
<p a 59% ûi = 59* i.
c.,^ 9,94988 08840 7 COS a 9,91586.34168 tangua...» 9,67608 o4o '
«iiiji^. • 9,8o35i o5a53 1 R... + 57771' r. 5,o8664 533
5,75339 14093 8 A. 9,9i586 91939 4>76i73 563
sm a... 9,75340 36174 « 8,34187 73676 r.... — 1 331
r = ^^^^ 1 aaoSoa p 8,1677465615 ^^t^-* ~ ^8
Ç. 8,33600 81737 R 4,76170 764
P = 1437 95919 ^
P = 3118 40100.
^ =: 40% Cè ^s 4o* î.
c..^.«... 9,94988 08840 7 CO& a 9*9114^ 49*^5 tangT^M.* 9,70191 oiS ^
•in«.... 9,81354 44^60 S R -« 61936 r 5,oi354 933 '
9,76343 53ooi A 9>9»»45 97»^9 4*7^544 935
sîna.... 9,76341 49833 m, 8,34187 73676 r. • 1 o3ii
r = 1 o3i6g p 8,1 5333 709^ rtang^a.. ^19
. P.. 8,33o4i 76447 R 4,71546 486
p = 1433 43330
P = 3140 01908.
bi
- — ^
^o EXERaCES DE CALCUL INTÉGRAL.
^ sa 4i% «> ^ 4'* i'
c 9»94988 08840 7/cdiriî 9i9<^9ft 9^** ttog^n*... 9,7û844 go5
nnm.^.. 9,Sâisi6 457^7 5 R*«..rr..t. 4- 44^88 r. •„.. 4>9i7^ ^
9,77114 54558 a A. 9,90693 3S354 4,846519 47»
•ba.... 9,77115 373fl3 #. ,..r. 8^0418773676 r .•..• — 8fi»
raaii; 821764 8 p 8,14881 ioo3o '■**»tf«- ~ <^
Pm.^.«...* 8^33494 373fla R...r. 4,646a8 âov
p s 1408 67564
P = ai 6a 43834.
f =â 4^% Al sa 4^ T-^
c 9194988 08840 7 eo8 a. 9,9oaa8 5i388 tan^a,... 9,76457 996'
tin*.... 9^8^968 33460 4 R. + 59879 f. 5,oaa7i fl4S
9,77966 4a3oi 1 A. 9>9c'^ ^^^7 4^777^3 ^7^
•in a... 9>77957 47^70 «» r.,r 8>&4iS7 73676 r ^.••. *— 1 064
r::^^ 1 o5368 9 p 8,i44i6 84943 ^^tyg'g.. — 699
P,... r 8,S3i9&8 6fl4o9 R.... 4.77727 5iff
p = 1393 69741
P rs di8& 67830.
^ssr45% •i=a4»^i.
c..«M^. 9*94988 08840 7 coi a....^ 9^89753 A6476 tmi^a.».. 9/780S9 099
«b«..«. 9^83781 aao36 4 R« ».«..... -^ a8i r a,66847 gta
9178769 30877 1 A *• 9>89753 fiSi95 R....«..«^- fi|448^ <>o$
•ina«^. 9^78769 3o4ii •. 8,34187 73676
r s 466 I p. 8,»394o 98871
P ^..*. 8,34434 4848t
p ae 1S78 £0989
P = aao9 75868.
ç=a:44% 01 s» 44* T-
c.««..w. 9,94988 08840 7 eosa 9,89365 43791 tàùf^a.^.. 9,80678 88r
êins.... 9,84566 i8oo3 3 R +39010 r...» 4,78541536^
9>795B4 a6844 A ..•.. 9,89365 8a8o8 4,69130 407
«P g'*' . 9>79554 87866 «1 8,3418773676 r..^ —610
r^— 6101a p 8,13453 56479 ''^^ff'^' ~^
P..M,*..*.. 8^91 90875 R«M. , 4»59ii9 407
p à i363 13489
P =s aa34 ^93^7»
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aj
r
< 9194988 08840 7 co«a 9,88766 6auo tao^a...« 9,8309a x8o
«in •... 9,853a4 ao538 a R- + a8a77 r 4,6ao5i i86
9,8o3ia 33378 9 t 9,88766 50387 4,45143 366
%\m a... g,8o3ia 71115 « 8,04187 73676 r..« — 417
r =» 'Z 47736 I ;> 8,18954 640^ rtaDg^a.. — a8g
P. 8,354ao 83a89 R 4^i4a 666
p = i347 55471
P = aa6o 51987.
aux valeurs de Ef et F^ pour l'amplitode 9 sss 45% on
voit qu'en comparant ces valeurs avec ceOes que donne la table VIII^
Faccord est parfait sur la fonction F ^ et la différence est seulement
d'une unité décimale du dernier ordre sur la fonction E. Cette
différence peut facilement être corrigée ^ en diminuant d'une unité
du dernier chiffre , Tune des différences premières , peu éloignée
de 45^9 marquée du signe — . Nous choisirions de préférence la
différence qui répond à So^'y et pour laquelle nous prendrions
x556 6570. On pourrait aussi j pour faire remonter moins haut la
correction I rappliquer à la différence qui répond à 4^% où se
trouve un semblable signe — ^ et réduire ainsi la différence 1408 6665
à 1408 6664» ^^ qui diminuera les nombres E d'une unité dans
le dernier chiffre^* depuis ^=s4^* jusqu'à f =45*. Mais avant
d'effectuer cette correction ^ on peut continuer le calcul de la table
jusqu'à la fin ^ pour £dre tontes les rectifications à la fois.
Nous remarquerons au reste que c'est par une sorte de hasard
que le calcul de la tabla s'est rencontré a\issi exactement avec le
résultat tiré des formules générales. Gela prouve seulement que les
légères erreurs» qui 9 à chaque opération, affectent ou peuvent affec-
ter le dernier chiffre » se sont compensées; dans d'autres cas, la
compensation n'aura pas lien aussi exactement; mais en opérant
avec l'attention nécessaire, il y aura rarement des erreurs de plus
de deux ou trois unités sur le dernier chiffre , et dans tous les cas ,
cette erreur sera fiicile \ corrijger par les moyens que nous avpns
déjà indiqués.
I
i
aya EXEROCES DE CALCUL INTÉGRAL;
f = 46% • = 46'i.
c. .••.••. <);94988 08840 7 CCS a 9,88a56 76934 tang'a.... g,85574 49^
«in #... 9i86o56 aaoGg g R •— flo84a r 4^46318 5oo
9^81044 Sogio 6 L g^88a56 56oga 4>3289a 998
sina,... g>8io44 01 858 « 8,a4>S7 73676 r. agi
r= ^^5^6 p 8,ia444 39768 '•*a°^«- __i°l
P.. 8,35931 J7584 R 4,31893 497
p r= i33i 8iai6
P =3 11387 ^011.
<p = 47% « s= 47* |.
c g>949SS 08840 7 ces a,....r g987736 84196 tan^a.... 9,88038 rga
Ânm.... 9,86763 08843 a R — g4o55 r. 5,09307 797
9,81761 17683 9 A 9,87734 90141 4.97335 989
ib a... 9,81749 93783 #.,.• 8,34187 73676 r. • i 33y
r= 1 33901 g . p 8,iigaa 63817 r tangue.. g4o
P.«...^.^. 8,3645a 83535 R 4,g7338 168
p = i3i5 gioSg
P =3 33i4 87931.
-- ^ = 48% «• = 48* |.
c. ...... g,94988 08840 7 C08 a 9,87301 go5gg tang*a.... g,9o463 954
nn #... g,87445 61434 a R + 14491 r 4,36667 3o5
g,83433 70364 g A,..,. g,87303 o5ogo 4>iSi^^ '^9
«ba.... 9,83433 88333 m 8,34187 73676 r..« *— 181
T^'^ 18068 1 p 8, 11 38g 78766 rtangTc. — i45
P 8,36g85 68686 R^ 4,16110 833
p = uigg 86388
P = 3343 4563o.
c ;.. g,94988 08840 7 C08 Q g,86658 63g 1 5 tang*a.,.. 9,92866 g 19
«in«.... 9,88104 55i53 7 R — 467/1 r. 4,74139 660
g,83og3 63g94 4 A... g,86658 16144 4,G6gg6 679
amfl....g,83og3 08876 • 8,3418773676 r...» 55i
r= 551184 p 8.io8i5 8Q83'r^^*°g'^" ^^^
P 8,375ag 67633 R 4>66gg7 698
p = 1383 68653
P = aS/a g8gi5«
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. sjS
ç = 5o% cà == 5o* i.
t d>94988 08840 7 CCS a 9^86104 ii838 tang»a.... 9,952147 58o
Bm0,... 9,88740 Go554 9 H — 70437 r 4,89530 981
9,83728 G9395 6 A 9,86io3 41401 4.84778 5Gi
•îna... 9,83727 90816 « 8,24187 73676 r. 78$
r= 785796 p .\ 8,iofl.9i i5o77 ''^^g*^- 704
P 8,38084 3227$ R........... 4,84780 o5t
p = 1267 39359
P := a4o3 495oâ.
p = 5i% €Ê = 5i* i.
c 9*94988 08840 7 cosa...... 9,85538 02266 tang^tf..,. £[,97607 828
Mn#.... 9,89354 43700 9 R — 38628 r 4,48070 528
9,84342 52541 6 A... 9,85538 02266 4,45678"356
«in a... 9,8434a 22293 m 8,24187 73676 r 3ô2
r = 30248 6 p 8,09725 75947 rtatnffa.. a i6
P 8,38649 71410 R..... 4,45678 944
«p = i25i 00082
P = 2434 98977.
c 9>94988 08840 7 ces a ^ 9,84963 23386 tangua.... 9,99941 ô45
8iA«.... 9,89946 66546 1 R — 99600 r r. 4,99882 930
9.84934 75386 8 A 9.8496a 23786 4,998a3 976
tin a... 9,84933 75656 « 8,24187 73676 r. 997
r == 99730 8 p 8,091499746a rxaxi^a.. 9 9^
P 8,39225 49890 R. 4,998a5 968
p = 1234 52459
P = 2467 48766-
Passé ce terme ^ Tangle atmiliaire a détiendrait pliis grand qw
45% et alors la correction R serait plus grande que r; c'est pourquoi
i) convient de calculer A par la seconde formule. On observera en
même tems que les différences quatrièmes cT^P commencent à de-
venir assez grandes poor qu'il soit convenable d y avoir égard dans
le calcul de d'E^ et surtout dans celui de J^F. Mais pour cela,
il faut que la série des auxiliaires P soit avaiicée d'un terme de
plus que la quantité Ë ou F qu'on peut déterminer par la dilTé^
rence /£ on J^F.
;i74 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Au reste , pour rendre aussi simple qu'il est possible le calcul de la
différence J^F , on voit par la formule crF=P-f-5Î; J'^'P^—^jh^^^f
qu'il faut prendre, au lieu de erT% la différence seconde corrigée
i^*P*— r^^J^^P*^; et alors en appelant cette différence J^^P^'c, on
aura crF = P+^«f*P*C5 il en est de même de cTE. On fera d'ail-
leurs attention au signe que cT^P''* doit prendre par rapport à ^^P"".
Les différences qui vont en augmentant, sont toujours supposées
positives 9 les autres sont négatives. Ainsi, dans la table construite
pour la fonction F ^ les cT^P allant en augmentant les ^P sont po-
sitifs par rapport aux J^*P; mais les J^^P allant en diminuant (au
moins jusqu'à un certain terme), les ^P sont négatives^ ce qui
rendra /'P — -^ J^P*^ plus grand que /•P*.
(p = 55% » = 55* i.
taogO.. 0,39383 4^isa a b 9»657o4 67648 5 8ia*a... 9,76101 047
cos»... 9>77438 75373 a cosa 9,81338 39030 r 3,79081 978
0,0673a 17165 4 9,84376 38638 5 / 3,55i8a 036
tanga.. 0,06733 33333 R — 3563 r — 6a
r = — 6177 6 A 9,84376 35o65
K + 36
« 8,34187 73676 R 3,55i8i 999
p = 1317 98301 p 8,o8564 08741
P=s 35oi 00098 P... 8,39811 386ii
<p = 54% a = 54* ^.
tangS.. 0,39383 4^195^ a b 9i657o4 67648 5 sin'a... 9,76306 694
cofltf... 9,76395 4^365 5 ces a 9181933 33689 r 5»o6a38 ooa
0,05678 81557 7 9,83781 34957 5 / 4,81444 596
4angA.. o>o5679 97004 R-*« *- 66339 r, — 1 i$4
- / + 65i>
r = — 1 15446 3 A 9,83780 69738
8,34187 73676 B 4>Si444 094
p rs 1301 39091 p 8,07968 43404
P SI a535 53968 P 8,40407 03948
La série des auxiliaires étant ainsi avancée d'un terme de plus,
on peut maintenant calculer la différence cTF ou /E qui sert à
ajouter un nouveau terme à la colonne des fonctions.
Ainsi ^ i\ pour avoir le /F qui répond à ^=^53% j'observe que
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ijS
relatÎTement à la différence cr*P=ioi545y on a <r^P«*=r— 244,
ce qui donne la différence corrigée J^'P*c=:ioi545+t^«^44
c=ioi56o» et ensuite /F = P + î^; <r»P*c = 3467 52998, valeur
qui, en supprimant la dernière décimale, se réduit à ^467 53oo,
ce qui donne pour 55% F = 1,04896 1980,
a\ Dans la table des fonctions E , on a pour f=s5a% J^y ■ ■ 6655
et J>-s=B+75, ce qui donne J^'/?V=— -6640, J^Es=:;>+^ J^^/j'V
s: ia34 5ai8a, qui se réduit à 13S4 5ai8.
f = 55% m = 55» i.
tangl. OiS^aSS 41199 a b 9>657o4 67648 5 tin* a 9,74^48 801
coê0... 9»753ia 80969 sic a... 0^17469 96647 r..... 5>&668o 818
o>o45g6 221461 a ^ **" ' ^^'^^ / S>oo999 619
taoga.. 0,04594 366i6 A 9t83i75 66362 r. + 1 848
r =3 '■ 1 84845 a ^ 8,94187 73676 / — 1 o fla
p. 8^07363 40037 R..« 5^00930 445
p = 1184 76988 P 8y4iûia o73i5
P = S1571 1 io44«
9 «s 56% m :sn 56r i.
tafigt*. o>a9a83 4>i9^^ ^ '•• 9>657o4 67648 5 tixi^o...... 9,73flSi 8a8
coÊm,.. 9i74i88 94971 a séca... 0,16857 67900 r............ 5,09041 i85
0,0347a 3^163 4 * ~ ^^^^^ ' / 4i8aa73 oi3
taaga.. o»o3473 69307 A «.. 9,8a56i 69063 r — 1 a3i
r = II r^^"T - 8,04187 73676 / 4- 665
p.« 8,06749 4^739 R. 4i8afl7ii 44?
p = 1168 i3833 P 8,4i6a6 Q46i3
P =zs a6o7 7170a.
f s» 57% û> sas 57* !•
tangS.. 0,89983 41199 9 ^ • 9»657o4 67648 5 #iVii..,«.« 9,7fli4o 466
coB é..* 9,73oai 6594o séc o... o,i6a34 3i690 r..*..«%*.... 4*73698 738
o,093o5 06439 a * + ^^ / 4,45839 143
taaga.. o,o93o4 5i858 A 9,81939 9800a r + Bjfi
r = 645^ •• 8,a4i87 73676 / -^87
p 8,06197 01678 R 4,45839 402
p = iiSi 5i65i P 8,4aa48 45674
P = a645 35869.
*76 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
9 = 58*, ûù = 58* f
tangfl.. 0,09283 ^i\%i a b 9,66704 G7648 5 sin^a 9»7^^4 ©77
€09 #... 9,71808 51017 9 séca... o,i56o3 73479 r- 5,o6oi6 54i
0,01091 92210 1 ^ "^^ ^ /.M.» 4*7^9%^ 618
ta^ga.. 0,01090 77351 A 9,8i3o9 00000 r -f- 1 i49
j. -. "1 14869 1 * 8,24187 73676 / — 589
p 8,06496 73676 R 4>7G99^ 17^
P = ii34 92554 P 8,42878 7367G
P= 2684 o3ooi.
<p = 59% ûi t= 59- ^
tangS.. 0,29263 4119^ ^ &........ 9,66704 67648 5 Au* a 9,69728 fl3a
C08 iv... 9,70646 88746 5 séca..i 0,14967 J^^i^ r 6,09989 911
9,99830 «9937 7 ^ ~ ^"^^ L f' 4,797'8 «43
tanga.. 9,99831 658oi A 9,80671 49^74 ^ "~ ^ ^^9
r — — 1 26863 3 * 8,24187 78676 / + 627
p....... 8,04869 22860 R 4*797*7 5i>
p = 1118 38745 P 8,435i6 24602
P = 2723 71994-
9 = 60% Cà =3 60® T*
tangS.. 0,29283 4**9^ ^ ^ 9166704 67648 5 sin^o. 9;68389 126
C08 #... 9,69233 88236 séca,.. 0,14322 86363 r 4>i3>99 ^94
9,98617 29428 8 ^ "" ^^9^ ^ / 3,8o588 420
tanga.. 9,98617 4^672 A 9,80027 47606 r — « i3d
r = i;^ ,3243 2 • 8,24187 73676 / _+ G£
p........ 8,04216 ai28ft R ,. 3,8p588 352
p 3= 1101 92623 P. ...... 8«44^6<^ 26070
P = 2764 4' 096.
tangd.. 0,29283 4*19^ ^ ^ 9>6^7o4 67648 5 iiin^a 9,66960 440
xx» #»... 9,67866 29016 4 séca... 0,13671 86770 r 6,41206 685
9i97U9 7oao7 6 ^ + ^ ^^^^ ^ / 5,o8866"^
tangfl.. 9,97*47 0775a A 9*79377 7604a r + a 6a6
r = a 63455 6 ••• 8,24187 73676 f^ ,... — 1 a26
p. . ..... 8,o3565 49718 R 5,08867 424
p = 1086 56a85 P.;!..... 8,44809 97634
f = a8o6 07816,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, a;??
tSDgO.. 0,3938? 41193 3 ^ d>65704 67648 5 sin^a 9,66409 869 .
cosM... 9,6644° 55998 a séc a... o,i3oi8 i8i5a r. 4«9349o 83t
9,957a3 97190 21 * ^^^^^ ' / 4,68900 690
tango.. 9,957^3 11109 A 91787^3 24^16 6 r. -f- 861
r= SS^iTT • 8,a4i87 75676 / ^ -588
p 8,02910 98292 6 R 4^68901 i63
p s=vio69 3a527 P. 8^45464 49069 4
P =s 2848 688i3.
(p == 65% e» = 65*» i,
tangS.. 0^29283 4^19^. ^ ^ 9165704 67648 5 sln^a 9>6375o 671
cos #... 9,64962 74374 o séc a... Oji2359 79^51 r..... 6,03287 732
9,94236 16666 2 ^ ___^^iil. / 4,67058 3o3
tango.. 9,94235 07702 A 9,78064 93596 r. + i 079
r = 1 07864 2 • 8,24.87 7S676 / - 468
p 8,o3a53 67371 R 4>67o38 914.
p = io53 a385o P 8,46iaa 80081
■ P= 3893 19791.
p = 64% • s= 64» i.
tangS.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 67648 5 sin'a 9161963 688
cos^... 9^63398.45502 6 séc a... 0,11698 70216 r 6,i3o62 610
9,92681 84694 8 ^ ___i^i. ^ 4,75016 198
tajDga.. 9,92680 49636 A 9f774o5 94>i9 6 r + 1 56i
r= 1 35069 8 • 8,2418773676 / — 563
p 8,01691 67796 6 R 4>75oi6 986
p = io37 32962 P 8,46783 79666 4
P = 2936 55376.
<p = 65% 6» = 65* i.
tangO.. 0,29283 4119a 2 b,4 g>657o4 67648 6 sin^a 9,6oo38 902
cos#... 9,61772 69686 8 séc a... o,iio36 91646 r 4>4i452 142
9,91066 10779 ^ ~ '"^^^^ ^ r" 4,01471 044
tanga.. 9,91066 36740 A 9,76741 48960 r. — 260
,. = Z flBgg, « 8,24187 75676 / + iû5
p 8,00929 22626 R 4^01470 887
p t= 1021 62677 P 8,47446 24726
P = 2981 6898g.
ce
fi =* 66% « sa: 66^ f ,
tad|g;4^.. OyitgraS 4iid^ ' ^' S^J^^T^ 676148 5 4in*^a..ik... 9,579514 58^
coï '... 9,60089 96&(<7 jf sétf A... o,fo3^ iafi83 r..».^..^. 5,473^ 5o2
g;B93t3 38o«» t *• "•"• ia833^ ^ S,o&34a 067
tangcr.. 9,89350 i^3i /It * ^ffSa^ gSiCS 3 r. ...».„». «^ a 971
r =* — r^ârr - «-^'«y 7567s / -i i.»
j>. 8,ooa6& 66841 3^ R 5>o5a43 91a
p = 1006 i5gi6 I^. 8^S»o8 Soè-ho y
P= 3ofl7 5371 8,
tangl. û>flgd83 4^igi^ » 5. 9^66704 67648 S^ ^^<x.««*.. 91B5707 8W
cosm... 9,58283 966o5r 9 sec a... 0/397111 86689 r. 4.7545o laS
9,87667 37798 * ^^^^ / 4,3ri58 009
tarigtf.. 9,87666 80978 A 9,754'7 748ÎÏ& ô r.. •.*...•.•. + 56*
r= 5€8ao " *• 8,fl4t87 73S76 ^ - ao5
p 7>99^o5 48604 5 R 4,3ii58 37a
P — 990 95709 P 8,48769 98847 b
P = 3073 97184.
tangl. 0,992^ 4l^<)3 ^ ^ 9i6¥7o4 67648^ !^ tin^ tf.^^.. 9',99972i' 879
Gofl#... 9,â64o7 543aS 1 séc a,.. 0,0905s 06734 f 4>?4^9i oto
^^88690 95B18 3 ^ "" ^^^'^ ^ /. 4,1174» ^
tan^a. 9,86691 Soyôa à 9,74769 6556€ r. #.. — » 5Bd
,. — :r 55i83 7 •• 8,94'87 7567^ / + ^^
f^- -». 7>98947 a9»4a R «.. 4>a7453 697
p = 976 06193 P. 8,494^ 1811a
P = 3iao 91407*
tanf^l. 0,99283 4^igfi a b 9,^6704 67648 5 8fai'a...».r 9,606^6 6<A
cot#.*» 9y5443a 63963 9 Bée a... o,o84oû 6ar848 r. ^>^9ff7^ &8<>
9,8371^94146 1 * + ^^^^ ^ /....^ 4,90698 i85
tanga.. 9,88713 43'ii5 A 9,74106 iiô34 ^ + ^ S'O'
r = a5io3oV • 8,94187 73g7S ^ - «oS
p 7»98a93 84710 R 4»9o599 890
p = 961 47606 P 8,60081 6a64»
P=: 3i68 aa68i.
CONSTRUCTION DÈS TABUE8 ELMPTIQUES. i79
tâiig4.. OydjaSS 4>^9tt 3 -^ 9>657q4 67648 5 sin^o 8>477B7 6m
CM«*.. 9,Sa549 5fi565 4 séca... 0,077^ ^4976 r.«..«....M. 4»4504d 46^
9^16311.937576 '^ ~ ^^^^^ ^ y. 433007 o63
^^g^- 9,4i633 64960 A. 9973459 3ia43 r. ....«•..«• — 719
r = yifloa 4 • - ^,a4r87 72676 / + ai4
p » 7'97647 ^9^8 R 4i33oo6 B65
p =5 947 a6a8a P. ....^ 8,5o7aS 4a424
P = 3ai5 36455.
9^7^, ® » 7i^ J.
tangS.. o.agsSS 4^1^ a fr 9166704 67.648 5 aia* a...... <),446a5 91?
cos #..« 9,Soi47 &4453 6 aëca.- ^^o^iiS 9^970 r, ,.««. 5,,S3736 5oo
9,79431 o5645 8 ^ + ^^76g ^ /._ 4^36a 118
<«Bga*- 91794^^88493 A 997a8$^i jso68j 6 n.^...,»..,»* .+ a J75
r= a 1745a 8 • 6,34187 75676 y ~ 608
p....^.. 7,97006,94357 6 R 4f78363 985
p =3 933 4465i P.^.^.. 8;5ta6S 5a9e4 4
P = 3a63 36a36.
tapgS.. o,09Ei83 4i^9A a &«» 8»^5704 67648 5 8Îa^aMM.. .9,4i^i5 199^
€ot«... 9,47814 48041 1 ^n... 'C,c£489.Q6S<io n.—** 4^96896 507
9.77097 59aS3 ^ + -^^^^^ ^ / 4,58111 6^
tBDgo.* 9,77096 66i3o A.«...- .3,70193 ^8ai.9 r. ••.••. + 93i
r = g3xc33 3 -• M ^?i><^87 72676 r" ■- ^4^
p 7>9638i 71.895 R. 4Ï38iia389
p = 930 o6aao P.-.*.,. è^ig^jS 75457
P = 33io 835o6.
'^ CK -73% 6» »: 75- i.
UmgS.. 0,89083 4^190 a fr. 9^^5704 67648 5 aiii'a...... 9»37485 ^155
oo8«... 9,45334 18046 a sioa... e^ft76 4^077 ''* 4>74653 989
3,74617 59a38 4 ^ ~ '^^^ ^ î' 4#i^*38 444
*WB^« 9^74618 i5oa7 A .......19^71679 96701 r............ — 558
r = .I^ 55778 "ë *• -8,8418773676 y + i3a
p.. ....... 7,95767 70377 R 4«iAi38 018
p= 90714568 P Aîrt6.<3)7 76975
P = 3357 97685.
aSo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
9 = 74% « = 74' i-
tangO.. 0,99^83 4^19^^^ * 9fi^7^4 67G48 5 sîn^c 9,33388 85S
co8#... 9,43689 88a4o a séca,.. 0,06376 41736 r 6,38908 5a4
9.71973 3943a 4 ^ + ^^^^ ^ r' 4,7^397 379
tanga.. 9,71970 84478 A. 9>7098i ôaasB r + 3 460
r = a 44954 4 - 8,a4.87 75676 r' - ^^»
p 7*95169 35qo4 R 473399 3oir
p = 894 733a8 P 8,53ao6 11448
P = 3404 56i3o.
f = 75% (à = 75* T.
tangfl.. o.a.q'ïSS 4119» a b 9,65704 67648 5 «n»o 9>^9Ss^ ojr
cos •... 9,39^59 <»643t 3 sée a... 0,04696 86938 r...« 8,46664 5a3-
9,69143 376.3 5 ^ - ^^9^ / 3,75557 6i5
fanga.. 9,69143 4o54a A. 9,7040» 53oi7 r — à»
, ,^=r ^^ST - «'''^■^7 73676 r' + 6
p 7,94589 36695 R 3,75557 59a
p= 88386168 P 8,53786 30659
P = 3450 Z^i^. ,
f = 76% « = 76» i.
tangfl.. 0,39383 4119» a 6 9,65704676486 8in»a..... 9,33933 348
co» •... 9,368i8 5a 534 i aéca.... 0,04137 16398 r. 5,49956 9a »
9.66101 93736 3 ^ ±if!^ / 4.73880 176
tanga.. 9,66098 7781a û 9.6984» 3785a 5 r. + 3 i5y
„ c > ^ «. 8,34187 73676 r...- "^ 548
p 7,94o3o ii5a8 5 R 4,7388a 787
p = 871 56775 P 8,54345 358a3 5
P = 3^5 o5i53.
f = 77% « = 77 M-
tangfl.. 0,39383 41193 3 i 9.65704 67648 5 rin» a....: 9,1843$ 1%
coi«... 9,33533 67606 I tic a... o,o36oi 86194 r. 5.4aoo8 5o>
^3817 08698 3 ^ ___ii'ÎI!_l /. 4.60433 691
tanga.. 9,62814 456ao A 9,69306 94o5& r. + a 63»
r = r^3^ - ^''^'^ 73676 / - 4o3
p 7,93494 67731 R 4.60435 930
p s 860 88834 P 8,54880 7963»
P s: 3538 40844.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aôi
Ung».. o,a9a83 4iiga a b 9,68704 67648 5 8În»a, 9,ia5io gSS
cosi»... 9,39965 53093 1 aéca... o,o3o93 3588i n 4>oa7i9 870
9,59248 94a85 3 * + ^^'^^ / 3,i5o36 8a5
tanga.. 9,69348 85639 A 9,68798 04943 r. + 106
r= 106463 • 8,34187 73676 / — 14
^^IMB
P 7.9^*985 78619 B 3,i5o3o 917
p = 85o 8595a P 8,55389 68733
P= 358o 11414.
9 = 79% ^ = 79' T-
tangfl.. 0,39383 41193 3 b 9>657o4 67648 5 siVa 9,06468 i58
cot«... 9,36063 30434 4 aéca... o,oa6i4 06193 r. 6,16063 874
9,55346 71636 6 ^ T-i^ffli / 4i^"53r^
tanga.. 9,66348 i3o85 A 9,68818 66797 r. — i 4,5
r = H I 41458 4 • 8,34187 73676 / + 160
P 7>9a5o6 30473 R.... 4>ao539 777
p = 841 61730 P 8,66869 16879
P = 3619 86938.
f = 80% t» == 8o* |.
tang»;. 0,39383 41193 a b 9,66704 67648 5 aîn'a 8,97749 84»
coa#.... 9,31760 93289 4 «éca... 0,03166 38944 r 6,48066 737
9,5io44 33481 6 ^ + ^^7»^ 5 ^ 4,46816 679
tanga.. 9,61041 3io38 A 9,67871 363i3 n -f. 3 oaS
r= 3 03459 6 • 8,34187 73676 f" — 387
P 7»92o59 08989 R 4y<68i9 3i7
p = 83a 89633 P 8,663i6 38363
P = 3657 33737.
<p ss 81% câ = 8i* f
tang 9.. 0,39383 41193 a b 9,66704676486 aîna, 8,8900a o3a
cos#... 9,16970 30867 7 séca... 0,01764 70354 r 6^33177 aSr
9.46.5?5 63059 9 » ILJÎ^^l / 4>aii79 289
taogd.. 9,46a55 71844 A 9^67459 ai6i8 r. — a 098
r = — a 09784 1 • 8,34187 73676 / + i63
P 7>9ï646 96394 R 4,31177 364
p = 835 03960 P 8,66738 5ao58
P = 369a 1999c.
N
/•
^2 ICX!EIU3CfiS DE CAZiCUL dSTÉOaAi:. '
isauigA^ o;9ga83 4ii'9'B ^ &«««..«^. 9J^57o4 £764^ 5 na^ii. S^ySgSi lOiS
008 «... .9414569 76687 d «écii..,. x),oa56o 36847 r. »«*-^ B>43o9i 090
9^&3 47&79 4 ^ _Zlif^_ ^- 4^ao4sn^
ta&ga.. 9,4o855 87598 û. *9;67g»4 87884 5 r — s €9^
y «« 21 a 60718 6 * S>o4i87 75676 /•.^.•..... + 166
p.^ 7>97a73 '^iBSo 5 ,R 4>93o39 ^74
p r= 817 94887 P. .*.r.. fi^Î7ioa 85791 5
P = 37^4 i6âi3.
^ = «6% » = «5* ^
liiugB.. o,3ga83 4119a a ft 9i^7Q4 €7648 5 sin^o S»67a36 1117
eos'«... 9^05385 8756S 7 «éc €x... OjOi 046 05407 r 5,6ooi4 949
9,34669 d87B5 9 ^ + '^9^*4 a ^z 4,392253 076
canga.. -9,34665 11743 A '9,66750 -90669 7 r. + 4 ^7^
r = 4 1701a 9 " 8i>4i87 78676 r".^ — J96
p 7;90938 66345 7 R 4j39^B7 o5o
p= 81168334 P «,57436610063
P = 375a 90958.
càngtf.. 0,892)83 41193 a i 3)65704 €7648 5 wi^a. B;B8367 dSj
CCS #... '8*98157 08715 4 «fcc... Di 00755 'Cl 040 r. 5,2B63o*68«
9;a744o -69907 6 ^ + '^^'^ ^ ^ 5,«6997 719
ouigtt.. ng,a7488 63984 ù 9;B6469 76101 5 r a|-.fia6^
r = o 16933 6 * 8,3418778676 r'....^.*.. — 74
P 73*47 49777 5 R 5,86999 814
p = 806 a5975 P '8,67737 97574 5
P = 3778 15488.
tans «..0,39383 '4^90 2 h 9.6S704 6761^ 5 sin^^o. 8,5640? ^Sà
eos'0... 8^9464 33984 o téca.... 0^06608 74168 r 5^76770 888
9**8747 741 76 a * '^^^ ^ / 4,13387 44^
tafiga.. 9,1874a 1764 À 9,fi6ar3 56078 r. 4- 67214
r :=: 5 7a4ia a " 8, «4 187 78676 /••••.• — _i33
p 7>9o4oi ^8749 R «« 4,iaa43 i3i
p= 80170188 P. '8,57974 .i«6c3
P = 8799 63483.
GONSTRUUTiOrf DES TABLES EIXimQlJES. 3$S
^ ss 86", et œ 96» i.
«MgSi.. o^aSS 41199 a i....... 9,65704 ^7648 5 sin'o..^. S.iBogB 984
c»«i... 8,78&67 53787 7 léca... o^ooSog 6o3g7 r...., 5,8a3a?75a
S,o78Bcx 93979 9 ^ ~ »^' ^ î'-. 3,97419 73e
tan^g.. 9>o7657 Sggiy A. •..,,. 9,66014 i86a3 7 r...« — 6 655
. r =: — 6 65637 1 * - g>a4ig7 73g7g i'. + 94
P •• 7»9oaoi 93399 7 R ^ 3s974i3 174
p = 798 o3ooa P 8,58173 55o5a 3
P = 3817 11739.
<p =: 87% « = 87» |.
tangS.. 0,39283 4119a a b 9,68704 67648 5 ain^a 7,86161 Soo
coa#... 8,63967 95616 1 séca.., o,ooi58 47^4^ t 6,0880a a38
8,93a5i 36808 3 ^ + ^9^7^ i' 3,94963 538
tanga.. 8,93339 12139 A 9,65863 a37oa r. -f- la 347
r = ,a 34679 3 - 8,34187 73676 / ~ 89
P 7i9o<^5<> 97378 R 3,94975 696
p = 795 36110 P 8,58334 49974
p = 383o 40766.
^ = 88% « = 88* ^.
tangS.. 0,39383 4^193 ^ ^ 9>657o4 67648 5 sin^a 7,43066 00a
co8#... 8,41791 90153 9 séca... 0,00057 36469 r. &>9979& 778
8,71075 3i346 1 ^ ~" '^"^^ / 3;4i848 7!^
tanga.. 8,71086 a6586 A 9,66761 91497 r. — 9 oSa
r = ^ 9 96339 9 * 8,34187 73676 / + ag-
P 7.89949 66173 R 3,4i838 854
p = 793 40789 P 8,584a5 8ai79
P ss 3839 35454.
^ = 89% û. = 89»i.
tangS.. 0,39383 ^iiQi a b 9,66704 67648 5 sm*a 6,46665 674
ces «... 7,94084 18696 & Bée a... 0,00006 36036 r. 6,4533a 491
8,33367 59789 ^ + ^^^^ / 3,91998 i65
tauga.. 8,33339 19746 A 9,66711 04606 8 r. -f- a8 400
r= a8 40043 • 8,34187 73676 / — 8
p 7,89898781838 R a-gaoae 65/
p s 79a 47910 P 8,58476 69169 a
P ss 3843 85439.
■
1
aô4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
!io5. Ici se termine le calcul des auxiliaires p et P; car pour,
^ = 90% on aurait cozsz^''^^ et les auxiliaires seraient les mêmes
que pour ctfzsSg'*^^ ou pour 9=89% De même pour ^=91% les
auxiliaires seront les mêmes que pour ^ =88"*; de sorte qu'à 90"*, la
différence i'p ou cTP est la même au signe près que pour 88"*; oa
a donc toutes les données nécessaires pour terminer les deux séries
des fonctions E et F, et compléter le tableau ci-joint^ qui contient
le résultat de tous les calculs précédons.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
a85
""
9-
Beg.
o
1
3
3
4
E.
/£.
ip.
iy.
i^p
.
5
6
i
lO
II
la
i3
il
i5
i6
i8
21.
ao
ai
aa
a3
il
a5
a6
a8
gf)
3o
3i
3a
35
36
37
38
J^
4o
4>
4a
43
o.ooooo oooo
0.01745 0689
0.03490 oqBo
o.oSâS^ o388
0.06970 8166
0.08717 8584
0.10456 7943
0.13193 ao5i
o.i3Qa6 6735
0.1 5656 7832
1745
1744
1743
174a
1736
1733
1730
1706
d589
9950
7278
0418
9358
4109
4684
io<
33]
0.17383 1197
0.19105 3703
o.aoSaa 8^46
o.âfl535 3744
0.24^3 5i4o
o.a5943 84o5
o.fi7638 9539
0.39327 4575
0.3 1008 9580
o.3a683 o658
0.34349 3û5i
0.36007 564a
0.37667 1968
0-39397 9173
0.40939 3607
o.4a55i i633
0.4416a 9676
0.45764 4ai8
0.47355 1800
0.48934 9oa3
1733
1717
171a
1707
1701
i5o6 +
5543
5498
1396
3a65 —
169!
i68J
|5
18
1681
1674
1666
1134
5o36
5oo5
1078
3393
1745
1745
1744
^7U
1743
1741
1736
1733
1730
1736
37649
8^44^
01069
74533
06936
95334
4a833
48574
13697
35368
1733 16776
1717 57103
1713 56667
1707 i6635
1701 3431a
i658
1649
1640
i63i
i6ai
1691
63i6 +
7315 —
4434
8036
o.5o5o3
o. 63069
o.636o4
o.55i36
o. 56666
3553
?538
8671
5475
o.58i63
0.69666
o.6ii36
0.63603
o.64o55
3981
8So3
8638
1378
36o4
1611 8043
1601 454^
1690 7683
1670 7333
i568 353o
i566
«544
i533
i5o6
6671
64'4
3i33
6804
7606
1088 53003
1681 5i67<
1674 1338*
1666 34530
1668 18484
1649 64717
1640 75679
i63i 46853
1631 81747
1611 81898^
1601 46864
1690 77334
1679 73630
i568 36665
0.65493
0.66016
o. 68335
0.69719
0.71097
0.73460
3095
733o
3Qq6
0883
5899
7071
63a i
o336
a64o
3336
437 949^
i4q3
1480
1466
1463
li07
i4a3
1408
1393
i3^8
i363
1.347
4336
6666
6887
6017
1 173
5475
+
i556 67038
1644 65439
i533 3a59'8
i5iQ 60374
i50D 76369
1/^3 54379
1480 04493
1466 37494
i45a 343i3
'437 959*9
1433 43330
1408 67664
1393 69741
1878 60909
i363 13489
i347 55471
00000
43303
84387
1 36637
1 68606
a 10603
3 63493
3 943*58
3 36877
377339
4 18693
4 59644
5 00465
6 41Ô33
6 8i333
6 3i3i8
660093
7 OO033
7 39251
8 53767
8 91038
9 «7837
9 64105
9 99849
10 36o54
10 69630
11 oû6i4
11 36966
11 69637
13 01599
13 33841
13 633a4
13 93016
i3 31880
i3 49887
i3 76908
14 o3i8i
14 38394
14 63699
14 76766
14 97833
i5 18763
i5 3!^5oo
i5 67018
i5 74366
43303
43184
43140
43079
41996
41890
41766
41619
41453
41363
41063
40831
40667
40391
39995
39674
39331
38968
38577
38i68
37731
37371
3678
3637
35
34596
3984
33341
33673
31973
31343
3o^83
39691
388ÎS5
38007
37111
36183
3631 3
34306
33167
33067
30939
19748
18618
17237
16903
Tr38
1181
i33o
1381
i336
i388
J9
36
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
o.ooooo
0.01745
o.o34qi
o.o5a37
0.06985
0000
aoi4
8879
8aa6
0.08735
0.10487
0.1294^
0.13998
0.15759
0.17553
0.19393
o.aiob6
0.33845
o. 34639
4501
1966
4904
7631
4454
.977a
7980
3535
0.36419
0.38316
o.3oo3i
o.3i833
o. 33653
9369
97'7
•4*4
6350
3o88
0.35480
0.37317
0.39163
0.41030
0.43887
3869
3617
9444
5557
7360
0.44765
o. 46655
o. 48558
0.00473
0.63 401
o.5i
0.51
0.58373
0.60360
0.63365
99^2
9181
o55o
9833
3875
5731
4507
5535
5tti3
0166
0.64386
0.66336
o. 68384
0.70463
0*73559
4B
0,74678
0.76818
0.78980
o. 81166
0.85576
0.8&610
7738"
3o47
4983
OBI 3
6»79
l^F.
5996
8318
6665 +
9347
6375
7465
3938
3717
«833
53i8
8308
5545
7375
3749
47^Q
797
804
811
0348
58§^
5836
0781
Ô7W
5837
6ii3
1703
370a
^
3O01
8786
1018
9688 4-
^953
697^ —
o5i5
1040
5765
3898
0843
Saoa
3o3q
3o58
3077
3097
3118
^925
1936
5939 —
5967
4!ï36
3l40
3163
3i85
3309
3334
3360
0635
4735
7133
794B
7359
5574-
/p.
/«p. i^?. i^¥.
38soi
S8301
80418
64891
Q1703
6^73
73864
97581
35368
665 13
51S40
80334
55578
71860
55673
45a59
797
804
811
05346
66to4
689^0
14780
M7^4
956
8p46
II3Û3
90367
98o3o
36897
85943
07493
94»37
3039
3o58
3077
9097
3118
56i36
16334
49183
56489
40100
9140
3163
9i85
3309
01 908
43834
67830
79868
00000
43317
84473
1 b68ii
I 69370
9 11
9 54717
9 97787
341144
5 84898
4 98884
473354
6 iSâSfi
5 63719
6 09687
6 66957
7 03465
7 6i3r
il
9 60768
o 09816
o 55860
9 91446
a 7895r6
5 57763
B 07867
£59345
5 9995 1
5 86644
6 69680
7 901l5
7 89304
8 60198
9 33840
90 07306
90 836 I 1
91 61808
9i) 4*9^S
^3 93*996
34 o8câ8
94 04069
9934 ^99^7 ^S 83060
4960 51987 96 79034 I 9189
49917
49966
4a338
43469
43633
J(389S
436a
44o56
44470
45575
46570
47906
47894
48636
494»o
5o94i
61194
^9058
63o44
54084
66178
56594
ôTÔao
68788
60104
61478
63906
"84^
65936
67535
69189
70894
796§!
89070
84049
86031
88001
5ô9
646
6S6
688
487
44
ao
^^
CONSTRUCTION DES TABLES ELUPTIQUES.
iE.
P-
/p.
/•p. ^p. l^.
o.jojf/So 7071
0.73808 5&((6
0.76140 0601
0.76455 (fi4^
0.77755 8â3o
o«79<^9 ^47
o.8o3o6 8^41
0.81557 8^14
0.8^793 41 3a
0.84010 395»
0.85s 11 78a.q
o.863q6 5&sâ
0.875^4 ^910
0.8871b flo88
0.89851 i365
0.90969 5*71
o.gaoTi 4565
0.93167 0046
o.g4sia6 356i
0.90^79 60Q0
0.96316 940a
0.97338 576»
o. 98344 7470
0.99335 7165
i.oo3i> 78^1
1.01373 a753
i.oaaao 559$
1 .03164 0171
1.04074 oq88
1.04981
1.05876 oo»3
1.067W .qo7i
1.07630 5oo4
1.08491 4i5»
1 . 0934^ 5o39
i.)oi83 85ia
i.i>oi6 778a
1.11841 841^
1.13^59 ^1
1. 13471 54a&
1. 14377 8385
1. 16079 6771
1 . 16877 644a
1.16679 944^
1 . 17466 3906
1 . 18368 9083
5475475
38i 8o55
3i5 (>o45 +
s^a 8584
fM 6817
aéj 3894
a6o ^<i73
334
317
sot
§97
531
8
184 7654 +
16S i387
161 6178
>34 9^77 +
118 3906
101 9394
o85 56»! —
33j6 -t-
037
oai S3SS
006 1703
970 q656 +
961 4913 —
347 5547^
33i 8iai6
3i5 91069
999 86388
3§3 68653
367 39359
361 00083
334 6345^
317 98301
301 39091
184 76<
168 v'
i5i 61661
i54 9a554
118 38745
101 93633
08S 56385
069 33637
o65 3385o
o37 83963
Hl *79f
9334645
930 0817
5" 07 1667
94 7568
860
85q
841
133
835
817
811
806
8858 —
6933 +
5473 +
9^77
0694
98518
7184
3968
801
79»
796
795
79»
7388
0677
3993
4464
6178
031 6'3677
oq6 16916
99f> 95709
976 06193
961 47605
947
933
990
907
894
36383
44661
06330
14668
73338
88a
871
860
85q
841
86168
66776
888a4
86963
61730
83a
8a5
817
811
806
801
79?
79|
793
79a
89633
03(>6o
94887
68334
36375
70183
o3oo9
36110
40789
479 «o
479*0
!
74355
90,67
04671
17736
39393
î '9^77
6 47633
6 54368
6 69110*
6 63103
6 63i55
6 63183
6 69097
6 53809
6 46333
8346
6636
4853
+10!
6 36338
6 33768
6 08677
6 90888
5 70385
3o85
7687
9984
5 46761
6 30307
4 90616
4 57688
4 3>3a 3
1^80
i5o8i
17789
9o6o3
33634
3 8i63i
3 3843i
a 91663
3 413^0
1 87100
1 39393
o 67061
o 03073
34333
63107
7 86663
7 08073
6 36553
5 4a359
4 55793
3
I
67181
76893
o53ûi
33879
o
93879
, 36554
«969»
33998
36366
396<^
388
08
710
783
869
S4»
aiia
33^
ft4â6
3601
3708
aai4
31
43aoo
46779
6o4ra
64080
67767
^1^
3937
3357
35^
61443
66079
6865o
7!aii6
7544<
78690
81630
84194
86667
88611
357!^
36»
3668
3687
3676
3637
3571
3466
3339
3i46
90289
91671
92442
93879
92873
aoSo
3674
3^3
9o44
1678
1983
871
437
387
61
65
7a
8a
99
loa
10
10
107
IQO
100
81
7»
»9-
3&
10&
i3&
i83
S16
aS6
3oi
396
411
mm
i
a8d
EXERaCES DE CALCUL INTÉGRAL.
P-'
F.
/F.
P.
ip.
/•p.
i^.
/♦p.
45
46
49
0.85610
0.87871
0.90108
0.32473
0.94817
5o
5i
5a
53
54
56
57
58
59
830a
3776
656o
5744
0706
0.97190
0-99593
1.030S8
1.04496
I .o69()7
100a
6364
6680
1980
3417
»o
6t
6a
63
?4
65
66
67
68
69
i.og53s 8a43
1 . iaio3 9779
1» 14711 7381
1.17357 1397
i.aoo4i ai322
1.33764 973q
i.aSbaq 4'^.5b
i.a8335 543i
i.3ii84 2687
1 .34076 6019
70
76
1.37013 088a
1.39994 8073
1 43o'ia 3598
1 .4&096 35a4
1.49317 a8ao
i.5a585 5 18a
1.55601 a853
1.58864 64a5
i.6ai75 4638
1.65553 4iy5
J3,
80
81
8a
83
85
86
«7
88
89
90
i.68q37 g45a
1.73088 a4ao
1 .75883 337a
1.79431 5769
1 . 83 ooi 6 094
iT 8663711738"
1.90378 5930
1.93070 6716
— J.97B94 6qq7
84 I 3.0^447 4633
3.o5335 4613
3.09034 0394
3.13841 0719
3.16^73 0984
3 . 305 I 1 3675
a.a4354 9341
3360
3387
33i4
3343
3873
5574
3784
9184
4961
0^97
3403
3435
3467
35oi
3535
536a
o3i6
53oo
0437
5836
3571
3607
3645
3684
3733
i536
7603
4016
0735
7617
3i
3848
3893
3936
45i
7a56
3333
5863
3981
3037
3073
3l30
3i68
i
191
535
3363
33i5
3363
33io
3357
3404
7671
3573
83 13
9537
5377
3450
3494
3tô8
358o
3619
3968
9.q53
3397
o335
7644
3657
3693
3734
3753
3777
3193
0786
0381
7636
9979
3795
38i6
383o
3839
384^
468a —
8a65
1691
6666 +
I
3360 51987
3387 ^oii
33i4 87931
3343 4563o
3373 98915
3403
3434
3467
35oi
3535
49503
48766
00098
539S8
3671
3607
3645
3684
3733
11044
71703
35869
o3ooi
7 «994
3764
3806
3848
3803
3936
3981
3037
5073
3l30
3i68
41096
07816
688i3
19791
55576
68989
53718
97'84
aa68i
3ai5
3a63
33io
3357
3404
76455
36336
885o6
07685
56iao
3450
3495
ms
358o
36i9
34137
o5i53
40844
11414
86938
3657
3693
3734
3753
3778
33737
«.9996
i63i3
90968
■ 5488
38i7
383o
38^
3843
63483
11739
4o76fe
35454
85439
36 73034
3
39 5331
3o 5o587
3i 49475
il PÛ^
33 5i533
34 5386o
35 57086
91896
9558i
97302
98888
36 6o658
37 64167
38 67133
59 68993
40 69103
4i 66730
43 60997
43 50978
44 35585
45 i36i3
oo5i4
01543
03538
o3336
03S73
o35oc
o3q6&
01861
OOIOO
97618
45 837a
46 4446
46 94^23
47 3*374
47 53774
94^77
89981
84607
78038
70116
47 59781
47 47^7^
45 78017
44
43
41
37
7ioi5
06693
70670
745 '4
46809
60737
49757I
37051
d35oo
+ 6007
i883
1807
1716
i586
i4a6
1339
986
544
1104
1752
3341
6679
7913
9379
76
i3o
160
2SL
a44
387
353
481
56o
648
II
j55_
078
3o5-
333
IDOl
— I35ll
33091
55744
80418
1 0700a
1
1
1
3
3
35333
65 133
96056
37705
59556
34
3i
38
35
31
87353
96333
7474^
34530
47995
8
-4
48346
3903
9468
49978
o
49975
3 91030
3 31478
3 5o3i5
3 76535
g 99749
4 19309
4 34349
444713
4 49975
49975
10980
137061
1455 1
16493
i85i8
3«58o
33653
36684
38331
736
845
94a
3035
3063
3073
3031
1910
1478
29799
30994
3i&49
ii35
715
+ ao3
3i85i — 577
3i474 ioa6
1711
3io6
3754
4530
4776
Bios
536a
3o448
28737
36330
33314
946<
i5ii[o
]o3d4
5363
o
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aS^
On voit par le dernier résultat que la fonction complète F' n'est
en erreur que d'une unité du dernier chiffre , et cette erreur se
corrigera immédiatement en prenant 384' 6667 pour le /F qui
répond k 8g% changement indiqué par la valeur 5843 6666 -f-«
A regard de la fonction complète E'^ on voit que le dernier
chiffre est trop petit de deux unités ; on a déjà vu qu'à 45% le der-*
Bier chiffre de la fonction est trop grand d'une unité. Ces deux
légères erreurs se corrigeront fort simplement en retranchant du
dernier chiffre des fonctions E une unité de Si"" à 5i% les laissant
comme elles sont de 5a^ à 58"^ ajoutant une unité de 5g à 6^*" et
deux de 63 à go''.
Les fonctions E et F étant ainsi corrigées, on y joindra leurs
différences successives jusqu'au quatrième ordre , et on aura la table
particulière pour le module sin63% telle qu'on la trouve parmi
celles qui composent la table IX.
3o6. Il est bon de prévenir ceux qui voudraient exécuter de sem-
blables calculs pour d'autres modules , que lorsque quelqu'erreur
se glisse dans le calcul des auxiliaires P , on la reconnaît facilement
par les irrégularités que présenté alors la colonne des différences
quatrièmes J^^P y ou même l'une des colonnes précédentes^ si Ter-
reur est considérable.
En effets si au lieu de la véritable valeur P=:m, on a trouvé
P=:m+e^ l'erreur +^ affecte la différence «T^P, et les différences
précédentes du même ordre ou de la même colonne, de manière
qu'en remontant de J^F à J'^V'^y les nombres de la colonne qui
devraient être /^m, cT^m*, J^m**, <r^in*»*% J'^mT^, sont respective-
ment ^^m + e, cT^m*— 4e, cr^/n-4-6e,/^m*^— 4^, J^w— •+e(*).
Lorsqu^on rencontrera donc des inégalités semblables qui sup-
posent e=i^ on e>i,il sera facile de voir quelle doit être
la. valeur de e pour rétablir la marche ordinaire des différences,
elf à compter de quel terme il Êiut appliquer, en remontant dans
la colonne, les corrections — e, +4^r — 6e,-t-4^j """^î ^^ terme
(^ Dans la colonne des différences cinquièmes , les erreurs snccessives dues
k la même cause, seraient en remontant — e, +Be, -— loe^-^ioe, — 5e^
4*e, et ainsi-dans les antres colonnes j solvant les coeffidens des puissance»
dn binôme*
^90 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
«era celui oh la râleur de P est âative^ et auquel il faut appliquer
la correction — * e. Cette pratique , avec laquelle on se £imtliarisera
aisément I est utile ou même indispensable ^ pour construire arec
succès une table quelconque de quantités dont les difKârencee suc-
cessives décroissent d'un ordre à nn autre ^ jusqali ce qu'elles
puissent être négfigées.
^207. Apres avoir construit la table IX ^ qui sera composée de
75 tablas parUcylièrea pQur tous les angles du module de i"" à j5\
(q\\ 4e 61 seulement 9 si op ne la commence qu'à l'angle de iS"*)^
on aura déjà les moyens de réduire aux règles ordinairea d'inter-*
polalion, \ak dé(ernpiination de toute foncticui E au F dontIen\o-
di^le. na sy.r passe pas sin 75"*. ]\Iais l'interpolation d'une pareille
suitç de, t^les danç lQS<;^velle% l'amplitude et Vangle du module
croissent progressivement d'un degr^ 9^ exigera d'assez longs calculs ^
si l'on veut avoir égard à toutes les différences influentes, ou ne
donnera qu'un petit nombre de décimales exactes^ si l'on ne lient
compte que èes différences premières et secondes» Pour avoir des
tables usuelles plus commodes , il feudra fiiîre croître l^amplitud»
et F^ngle du module par des intervalles notablement pins petite
qu'un degré; cependant si ces intervalles devenaient troppelitay
le volume de la table générale augmenterait d'aune manière incom^
mode y et l'exécution en deviendrait extrêmement laborieuse.
Nous pensons que pour tenir un juste miKeu^ il eoDvienAra da
fixer h un quart de degré l'intervalle confiant par lequel on fera,
croître l'amplitude et l'angle du module. Ckaque table particulière
étant calculée pour les degrés successifs de Famplitude^ il fiiudr»
insérer trois mojens entre deux termes consécufifs, afin de réduire
les intervalles à un quart de àeçré , et nous donnevoms ci^i^èa lea
féf mules nécessaires pottr cette interpolation. On aura donc ainsi
j6 iMes calculées pour les quarts de degré de himplitude, et
pour tous les degrés de l'angle dn module, depuis i^jusqq'à jS\
ao8. Il resterait à interpoler semblablement les résultats donnés
par ces isikifia pow un laeaae degré d amplitude^ 4e xQ^wre à
insérer Iroîa moyens entre denx lennes consécatifii. Celte opératioa
se ferait par les mêmes formules que dans le premier cas; maiS'
les résultats n'en pourraient pas être aussi exacts^ p9rce que
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, ùqï
Térrevr d'une ou d« de«x ODi4és Stur le neirrièiiie chiffrb^ qu'on
ne pe«t guère éviier dans le calcul de chaque iboctioii £ ou F ^
se rencontrera souTent en sens opposé , dans deux fonctions con-^
sécutiyes coiMspondantes à diUërens olDéfiles, ce qui nuira à TexaC"*
titude des calculs d'interpolation* Il nous semble donc préférable ,
quoique plus long, de calculer directliûedt chaque table particu-
lière pour tous les angles du tnodnle , de quart en quart de degrés
Ou aura aiûsi 3oo tables indépendantes entr'eUes, et pourvues cha-*
cune d'un semblable degré d'exactitude; ces tables calculées pour
tous les degrés d'amplitude , devront être ensuite interpolées pour
tous les quarts de degréé
Le système des Soo tables particulières dont nous parlons, pourra
4tfe inéuni dans tm volume in-4* de gfossèur médiocre , si toutefois
4in se contente des sin!iple^ fonctions, sans y ajouter leurs diffé*
Teticé*« Eti supposant que chaque page soit composée de luiit
çèlonnês, de soixante termes cbàCtine, uû degré occupera 6 pages ^
ti lés 75 degrés en Oûeuperent 4S0 ; mais alors il j aurait 63. chififrea
sur chaque ligne horizontale, Ct qui est peut-être trop considérable.
La disposition sera moins Coiftmodd avec six colOttnes par page ,
et le nond>re des pfeg^ sei^it porté à 600, mais Texécution typo-
graphique en serait plus fiicile.
Pour qu'on ait une idée plus précise de ia gTMde table dont
nous venons d'indiquer la construction , «ous {oignons ici une pa|^
entière de cette même tabl6, calculée avec toute l'exactitude qu'on
peut désirer, dans l'hypothèse que le noiîibre d^S pages est de
45o; pour les angles du module 54% ^4*^, ^4^1 9 ^4'*i* On a fait
directement les calculs pour tous les degrés d'amplitude de 4^ à 60*;
ensuite lel îéstillats ont ^ interpolés pour chaque quart de degré
par les formules que nous allans rapporter.
209. Suit A fine foactiofla de la variable a, et iTA, /*A> /^A, ètù.f
les différences successives dé Cette fonction ^ lOrsqutt là vAfiable #
augmente ctalinuéllettieot d'une unité. Soit A 4^7 ce qtt« d«viMt
la fonction A^ loi^que a se change ena^»:,0U aura
j = a:(J^A + ^ (<r*A + ^ (cT^A + etc. ,
chaque parenthèse enveloppant tout ce qui 6uit#
2Q^ EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Soient maintenant y, y, 7"*, le» Talenrs que prend jr lorsqu'on
£ût raccesnTement 0:=^, 0:=^, x=b|, et soit pour abréger
on aura en se bornant aux «4 y
, 3 , 5.7 3.7.11
,. a. a . fl.a.6 a. a. 6. 10 _ ,
m fr 3.1 , 3.1.5 3.1.5.Q _
/'"= 5*' - — *• -♦- X3- *• - -0:4 **'
mais en appelant dA , ^*A ^ ^ A ^ ^^A , les nouvelles différenceis
de la fonction A, dans la suite A, A+y, A+y, A^y\ A+J^A^
qui répond aux variables a^a^^^ ^+i> ^+49 ^+i> ^1^ ^ura
^A=y, ^•A=y— y, ^A=y— sy+sy, i^A=M— 4r'?
+6/' — 4y; donc les diflFérences dk^ d^Ay etc., peuvent être dé*,
terminées directement par les formules
ifA = At —
^A =
iTA =
d^A =
et pour la fiurilité du calcul^ on pourra prendre Tordre suivant
d^A c= «49
d^A = «s — I <»4>
J*A = a, — «, + J « 4 *— a^Ay
JA s= «I — - «« + a^s — 5«4 — ï ^'A.
Connaissant ainsi les quantités A, JA, d^A^ d*Ay d^Ay on formera
de U manière accoutumée les quatre termes de la colonne des
fonctions y depuis A jusqu'à A + ^A^ et ce dernier terme déjà
connu, donnera une première vérification de Topération; ensuite
la liaison des nouvelles différences avec celles des précédens ré**
aultalSy sera une seconde preuve de Tes^actilude des calculs.
1
•
«.
+
!«,
"^*J
2Z
' s
«4»
«.
5«s
+
JLZ
4
1
«4»
«4»
,*4»
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. agî
394 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
1210. Pour montrer maîntenàtit ITusage de la lable à douLlè entrée
dont nous donnons ici une portion , supposons qu'on veuille dé«
terminer la fonclioD £ <pit répond aux deux ëlémens ^zs^^Q^ifi'y
6 = 54^12'; il £aiudra prendre pour terme de eonaparaison dans
la table préc»,. le nombre A=:o^785î32 566^ qui répond aux valeurs
ff =5 4^'' 3o'^ 6z=:54^ Pour une différence ^^:^i5f qna nous prea-^
drons pour unité, la difTérenee J^A ou., jr* = ^46 7^4$
ainsi pour 10^^ elle est a proportion + ^Si t5oS«
De même pour la différence J^O = 1 5'^
dans l'angle du module, la différence J'A
ou T^=; — 4<6i 56; donc pour i^elle est -«-• 53 agaS
ces deux corrections réunies, en font une
de + 197 8578
laquelle ajoutée au nombre A =: o, 78553 566^
donne pour la fonction cherchée E = o, 78750 4^4^*
Dans ce calcul nous n'aTOiis eu égard qu'aux différences du pre*
mier ordre ^ ainsi le résultat ne peut être exact que dans les cinq
premières figures.
an. Pour obtenir un plus grand degré d'^approximation , sup-
posons que A est la valeur de la fonction <4/(^, 6), lorsque f =« t
el6=z€, on aura, en se bornant aux termes du second ordre^la
formule
où il £ittt supposer qae les différences ^(p, «TO, sont e'gales i Via-
teryalle de iS' pris pour unité; alors on voit que ig t Iwt^ représentent
lea différences première et seconde de A, en faisant varier Tarn-*
plitude 9 de i5', qu'il en est de même ^e jj7 ^> par rapport
à la ^nrriadble 9^ etqu'enfia fat diflGereaoe wooude j^^ mt prîst Wl
disant i^rier saccessivemenl et 9.
De Ik^Q Toit qp» ptfuf trouver la fonction 4(*4-J^* €4-y}>
qui répond anx variables ^sza-f-x^ 6=7^-1-^, il faut supposer
que étant constant^ on prend la variation de 4 P^^ rapport k ^ ,
savoir :
ensuite que 9 étant constant , oe prend la variation de •>(/ par rap-^
port à 6, savoir ^
qu'enfin à ces deax variations râuBtts ^+7^ ml ajoute le terme
wa
jr;^ • j-^ = r, et Ton aura la fonction cherchée
//A
«quanta la dMtfifBoe ^r-^ ^ «31e m Uwrve par Hm m^ycM liés ifwtt»
teoBMDS o0Dsécut]& de la nMe qui ^ à partir i(k A <l dam te 9e»s
de Vaccroissemenl des variables , forment un quarré, savoir : ^ * ^ ,
oùron a
car on aura de même
•h.
donc
^ = (B- ^ AO - (B - A).
ai a. Dans fexemple fn^posé on « '
A -SB 7855a 56& A' = 78490 g5o6
"B as 78679 a9«6 B' = 78857 0S47
B ~ A ss S46 7*54 fi» — A' =5 ""546*0847
B' — A' ss .546 084 1
64i5.
donc j7^c= — 64i3. Dans ce mémo cas^ il s'agit de trouyer la
valeur de la fonction '^(cl+x, €+jr), lorsque 0;=: j^s=g,et
-^ = |. Or, dans la colonne verticale où (p varie seule, on a
i5'
^ = 5467254, ë^ = — 7783,
ce qui donne
;'=K^ + ^-^) = ^3i 3367.5.
Dans la ligne horizontale où 6 varie seule, on a
j^ = — 4i6i56, 35r=779;
donc
^ =^ (^ +^ ^) = - 55 ^987.=;
enfin le terme r= xy . j-jg = -g (— 64i5) = — 5420. 5; deU r^
suite la correction totale ^-f*^4*r= 197 SgGo
A =s 0,76532 5602
donc la fonction chercbëe E = 0,78730 1622
la première valeur trouvée était 0,78730 4^4^ > ^^^ ^^^ ^^^^ pi*^"
mières décimales seules étaient exactes.
21 5. Le dernier calcul laisse encore les deux dernières décî-*
maies douteuses ; car, pour les déterminer avec certitude, il &udrail
avoir égard aux différences du troisième ordre contenues dans la
formule générale
1/ , i» I N A » 'A , x.ap— i /•A . jc.x^i^ap— a i^A
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 297
Soit /7 raccroîssement de A dû à la variable ^^ q Taccroissement
d& à la variable 8; enfin soit r la quantité xjr (j^ + — ^ • 1^7^
T" •35Ï5*)^ ^° ^^^* A' + y + '' po^ïf Faccroîssement total de
la fonction A ^ ce qui donnera
Les quantités ;^ et ^ se trouvent par les règles ordinaires relatives à
une seule variable; ainsi tout se réduit à trouver la valeur de r.
Or la partie principale xy . j-rv est déjà connue; pour avoir les
deux autres termes contenant les difierences icnai i^JS*' î^ forme ^
à compter de A ^ le quarré de trois termes
A, A , A ,
B, B', B",
C, C, C",
-fèa-^A. donc
/»A __ /-B /«A
3^ — JST — Tgï- î
on aura pareillement
/»A __ /«A' ^ /«A
Appliquant les nombres donnés par la table , on tronre
^A _^ /-A Q.
779 j^ = — 77W,
788 -^y S=5 — 7845,
a — 65,
et de Ik résulte
V
3F =77y 3^
>B ^ «« /«A'
/«A _ /^A
\
398 EXS&QIŒ3 D£ CAhCUL INTÉGEAL.
d'ailleaps |iar les différeoccs rebUvfii à (p^ svnie :
3^ = -346 ;a54, 7^ ^ — 778a, -3^ = — 9,
biittotive
de même paries différences relatives à â^ savoir;
H — "" 4roî56, ^:g;r = 779^ 755" = ^^^
titt trouve
de là résulte
J^ 4- f + r = 197 5966
A = 0,78532 5662
et enfin la fonction cberchée. •.••••••••• E = O178730 1628
jpor la préctsdente iéterminfttion £ sâ= 0,78750 i'&2
ladiffereaci» ti^est qne de six unités décimales du neuvième ordre.
Ainsi on voit qu'il suffira presque toujours de Vcm teaar «ox letmCfS
du second ordre , dont le calcul «st d'aiUeurs très-facile.
2i4* Supposons pout stetond etem^ qu'on a £r=sin54*4'i^%
* ■
et tang^=:-^, ou ^ = 52* 52' 48" 95776. Il s'agît de trouver la
valeur correspondante de la Tonetîon F«
Pour cela^ il faut prendre dans la labk le lerme fui v^pood^OK
valeurs ^ ssSi^i^ 6 =±54% savoir :
A = 1^0^609 So^6?
ensuite pour l'iiAei^laïUaB ott ^ràra
Œ^ «= o,rô77«.84.
CONSTRUCTION INES TAWLES ELLIPTIQUES. Sg^
savoir :
H ^ f^ 49*^> -^ = 789, j^ = — 58,
on trouTe
de même prenant les différences de A par rapport à.^, savoir:
/A ^A /'A
j^ ^ 569 6674, j^ = »54o^, j^ =: 65,
on trouve
//A , x—i //«A , a>-n /"A -. o._ _
^JA
enfin on trouve par la table j-^ s= i :2749i ce V^ donne. •<•••••
WA ^ • «
^=^-J^ — ^70-K
Ajoutant tontes ces:p«urlies.^ on^ p^q^^r ^b laj 4^g6
A z^ ijm6oq 5e7<3
donc la fonction cherchée. •••••• F = 1,067^6 9872.
La valeur supposée de (p est celle qui donne F(p=:^F'c; or, si
par la table I , on cherche la. fonction complète F' qui répond à
Tangle du module 54^*4' 12*' y on trouvera logF's=o,3o43i SgSoS 40;
delà
■
F* = 2,01473 973» f
Fç s=s 1,00786 9865 5;
on voit donc que le résultat trouvé par interpolation , n'est en erreur
qœ de 6^ unités décimales du neuvième ordVê, et cette' différence
serait pent-étre. encore atténuée par les termes dta troisième ordiré
que nouft n'avona pas compris dans la valeur^ de p.
216. Pour avoir dans le même cas la valeur de E, nous prendrons
dans la table ^ celle qui répond aux données <p=:5a'^ 5q'^ 6?=54* j
cette valeur est
A = 0,85986 4^19;
en a en ménie temps les différences par rapport à. ^
^ 3w 534 ?q54>. j^ îw^ 7*i*»
5oo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
d'où l'on tire
Les différences par rapport k sont
j;j. = — 5a 655o, ^ = 878,
et oh en déduit
enfin on trouve encore par la table -j^ = — 74^5, ce qui donne
De là résulte ^4-^ + '"= 48 0090 3
quantité qui étant ajoutée au terme. ... A = 0,83986 ^^ig
donne la fonction cherchée. E^=: o,84o34 4^^^ >-
Parla table I, on trouve log E' s= 0,10294 38410 83, de là
E' = 1,26748 50570
^i — * = 0,41 5ao 55868
1,68068 86338
E^ = 0,84034 43119;
ainsi on voit que la valeur de E^, trouvée, par le calcul précédent,
et en ne tenant compte que des différences du second ordre , n'est
en erreur que de deux ou trois unités décimales du neuvième ordre.
21 6. Pour faciliter la construction de la grande table dont nous
venons d'indiquer Tusagei ou seulement celle de la table IX qui
n'est calculée que pour' les degrés entiers , il est nécessaire de
copnaltre d'avance, pour chaque module déterminé, les valeurs
des fonctions complètes ¥'c^ E'c?, et celles des fonctions F^, £^,
dont Tamplitude est de 4^** C'est principalement pour cet objet
que nous avons construit la table YIII, où l'on trouvera les va-
leurs de ces fonctions, calculées jusqu'à douze décimales pour tous
les angles du module de degré en degré, depuis o"" jusqu'à go*.
Cette table dpnpeca immédiatement les résultats dont on a be-
CONSTRUCTIOPr DES TABLES ELLIPTIQUES, goi
-soin et avec plus de précisioa qu'il n'est nécessaire ^ pour le calcid
'de la table IX; elle servira de complément à la table l, qui ne
^onne que les logarithmes des fonctions complètes ; elle donnera
également, par une interpolation fiicile^ les fonctions qui répondent
à une amplitude de 4^'" pour chaque quart de degré de Tangle du
^odule. Quant aux fonctions complètes, leur interpolation n^
pourra être faite avec le même succès par la table Y III y que pour
des angles du module plus petits que 4^*; car au-delà de cette
limite, les différences successives décroissent si lentement, surtout
dans la fonction F , qu'il &udrait les pousser beaucoup au-delà du
sixième ordre, pour avoir un résultat suffisamment exact. Dans
' ce cas y il sera plus simple de faire usage de la table I , qui procède
par des intervalles d'un dixième de degré seulement, et dont l'in-
terpolation est beaucoup plus facile j connaissant par cette table
.les logarithmes des fonctions F'c, E'c, il ne restera plus qu'à cher-
,cher le nombre correspondant, ce qu'on pourra £dre le plus souvent
par les tables ordinaires à dix décimales.
217. Nous croyons devoir placer ici quelques remarques sur la
formule qui sert à exprimer la fonction E^ dans la méthode des
modules croissans, et sur les moyens de simplifier le calcul de cette
'fonction dans le cas particulier de 9=: 4^*-
La formule qu'il s'agit de réduire à une forme plus simple est
celle-ci:
Soit ^•— '^=», ^•^ — ^• = »% ^••^ — ^••s=s»~, etc.; on aura
la suite d'équations tang û> = & tang ^ , lang £»* = b^ tang ^*,,
tang a>'* = b^^ tang ç**, etc.; or, la . valeur ç** = ^ -f- « , donne
sin9*=sin^cos«-f*sinû>cos^=(i-}-6)sinf cos«=-7^ • sin^cosâi;
on aura semblablement sîn ^^* = -7-^ sin 9* cos ôù^ , sin ^*H
'«=.77^-5^0 *ÎQ ^'** cos a>**; donc on peut mettre la formule précédente
sous cette forme
Sod EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On yoh qae la Mita contenae dans cette expression est devenue en-
tièremeat rationnelle , et que chaque terme se déduit du précédent
«ti moyen des multiplicateurs successifs jc^co8eê% ^c^^^cos^^
\ e**^cos â»*^, etc. y qui sont tons de la même forme et qui déoroissent
avec une grande rapidité.
Si Ton ûiisait r= c cos â^, /^ = e* cos a>*, r^ s= c** cos â^**, etc. p
ensuite
P = |r+5n^ + i rr^f^^ + etc. ,
on aurait £^==:LF^+P^$in?i formule dont Fanalogie avec celle
de Tart. iSg, mérite d'être remarquée.
Au reste les angles a^ ai% â>*% etc. ^ ne sont autre chose que les
différences premières des angles ç>, (p*^ ç"^, etc.^ et ils finissent par
croître comme ceux«-ci en raison double.
31 8. Voyons maintenant ce qui résulte de la supposition 9= 4^\
Alors les équations sin(2^-«^'*)=c^sin^^^ tangâ»*=s6*tang^*'^
donnent tang^^'s-^^ tangâ)*=:-3, et de celle-ci on déduit encore
sinû»^:=6% cosâ»''ss=c''. Ainsi on aura à la fois cot^^=:c% et cose»*=<^.
La première donne la valeur de 9* et la seconde celle de «>''; on
connaîtra ainsi 9*"* = ^* -f* ^''* Dans les cas où c* est suffisamment
petit^ il conviendra de calculer ^ par la suite
X ^ ^ ^« = c* (i — J c** 4- f c-^ — ^ c*« 4- etc.) ,
ou pour abréger
i*-r = (0-W+(3)-C4) + etc.,-
et on aura en même tems
1 ^ - «• ==<,) + i (a) + i^ (5) 4. i^ (4) + etc.
> Soit 2 la somme des seconds membres de ces équations; on aura ,
en les ajoutant, '7f-—ç'^=«, ou ç^ = ^ — z.
Connaissant ainsi ^* et f % il sera facile d'avoir ^* par f équar
tion tang û»'''* = b^ tang ^"^ , ou par la série équivalents
f^ ^ 2^"^ — c^r sin af • + 1 «•••• sin 4p** -^ etc.,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. S65
dont il suffit de câlcvder les trois premiers termes ; on aura de même
^•••* = aç**** — c**** sin a^***. Il résulte de ces deux équations , où
l'on peut supposer ' c**^ -=» ({ c^^y :
^^•••^ = 7r — «4-î ^^^«în a;s(x — i <?^cos a»);
et comme ^ désigne la limite des quantités ^^ ^ f ^ , etc., laquelle
peut être censée égale au cinquième lerme^ on aura
* =s J [-ar — i j5-f- i c*«« sin az(i — | c*** cos aa^)];
ainsi z étant déjà connu, il suffira d'ajouter à ^tt— -js la petite cor-
rectiorii 7C*'*sinaz(i — |c*'^cosaz), et de diviser le tout par 4 9
pour aToir la valeur de 9^ au moyen de laquelle on trouve.» • • • « «
«*"
Connaissant F^, on connaîtra la partie LF^ qui entre dans la
valeur de E^; quant à la seconde partie Pc sin f^ elle se trouvera
d'une manière très-simple par la formule
OÙ il faut observer que le premier terme t^V^c*b~(i — b), se
trouvera immédiatement par la table de sinus naturels à i5 déci-*
males^ comprise dans la Tr^. briu ^ si toutefois l'angle du module ft
s'exprime exactemeiàt en degrés et centièmes de degré.
a 19. Pour vérifier cette valeur de Vc sin ^, il hxxl^ dans la formule
générale Pcsîn^=îc ^/^•sin^*( i -|-^c^cos^-(-^c*c**cos^co5(p**4-etc.) ,
substituer les valeurs cosa^*=c% sin^*2=: ^ 4!^ » ^^ V^ donne
d'abord
ensuite pour avoir l'expression des quantités cos»'*^ co&ùà^^j je re-
prends les équations tange»^s:i^taog<^%^s^9*-:hû^% tangos"* f=2r«
1
564 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
iKDea**ssb*^t»rtg^'^y j'en dédais successivemeiit ,
tang »•• =— ps^^p <*._6i »
en conlinnanl celle analyse, on ironven
/ 1 i** — tang*«^
tang i »- = lang «".y^^, cos »- = ^0.^^,00 ,
tang i »••••= tang»— .t/j55» «<>» • = Î=r+lii5^>s;
ainsi a l'infini. On voit donc que dans le cas dont il s'agît, les quan-
tités û>, cy% û)*% «•••, etc., se calculent facilement; savoir, la pre-
mière au nfioyen de l'équation tangû) = A, la seconde au moyen
de Tune des équations lang «• = ^, sîn »• s= 4% cos »• 5= c^,
tang i (»•= tang C0 . \/î= /*> ^^^ suivantes au moyen des équa-,
tions tangiû)-=tang(^*.y/^o=^?. tang >-= tang ûi- . y/^ ,
tang î»^*^= tang ûi^^Vt/js^f etc., ce qui offre des formules asses
remarquables pour le cas où Ton a ç=45\
Maintenant qu'on connaît les valeurs de cos «•" et cos û>****, si on
les substitue dans l'expression de Pc? sin^, et qu'on y substitue éga-
lement les expressions connues de c** en c% et de d^ en £?••, on aura^
en développant ces quantités jusqu'à la dixième puissance de c*» in-
clusivement, l'expression que nous avons rapportée du terme P<»în^^
laquelle est très-facile à calculer, et donne au moins la âécimaleff
exactes tant que l'angle du module ne surpasse pas sin45*.
C'est par ces formules qu'on a calculé les fonctions F(45*), E(45*)
de la. table VIII, pour toutes les valeurs de l'angle du module de
o*4 45* î au-delà de cette limite, on a fait usage de la mélBode
des modules croissans, art- i58, laquelle ne présente, pour le cas
de ^ = 45*, aucune formule remarquable > â ce n'est pour déter-
tniner ^V l'équation sin 4^' ^ **•
/
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES- 5a5
a20. II nous reste maintenant à parler de Tinterpolation de la
table IX qui, an défaut d'une table plus étendue , pourra servir k
évaluer, jusqu'à la précision de sept ou huit décimales y toute fonction
E ou F dont le module n'excède pas sin75''. Nous avons déjà donne
les formules nécessaires pour cet objet ^ dans les articles ai 1-21 5^
et nous les avons appliquées à divers exemples; mais la forme
particulière de la table. IX ^ où se trouvent les différences succès^
sives des fonctions par rapport à l'amplitude p , contribuera à sim-
plifier le calcul des coefficiens de ces formules , ainsi qu'on va le
voir dans l'exemple qui suit.
Soit proposé de trouver la fonction F(^y d), qui répond à l'arn**
^litude ^=:54^4^% ^^ ^ l'angle du module Oc=6o^ i5^; on aura à
substituer dans les formules les valeurs «=54% f=6o% ^=f »
/=:^, lesquelles supposent J^^=:J^6=i''. Mais d'abord il faut
tirer de la table IX les résultats suivans, relatifs aux angles du
module 60% 61% 6a% 65% et dans lesquels A représente la fonction
F(54% fl).
a.
A.
M.
/•A
V
/»A
60»
61
6a
63
1,06018 3905
1,06346 3a34
1,06672 8358
1,06997 34» 7
a4&i 14^5
a485 77a5
a5io 6001
a535 58a6
3o 6593
5a a436
33 8814
35 5710
743a
.8329
9301
10356
Dans la première ligne de ce petit tableau , on trouve immédia-
tement pour 8=60% les coefficiens dus à la seule variation de 9«
/A /"A ^A
savoir, j- = 11461 i455, j-jr=:5o 6595,^-3= 745:»; pour avoir
ceux qui sont dus à la variation de 6^ et aux variations simultanées
de 6 et de ^ ^ il âiut prendre les différences des termes dans chaque
colonne.
Par les différences prises dans la colonne . des A ^ on trouve
pour d = Qoi^y les coefficiens
j^ = 52^ oSag, j^ zss ^ i5 2o5 , j^ = — 586q*
So6
EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
Par les différences prises dans la colonne intitulée îjr » on aura égale-
ment pour e;=6o%
7^
1986}
^A
enfin par la colonne snitante on aura j-^ ss i5 843*
Les coefficiens ainsi trourés pour le cas de 6 = 60% suflSsent
pour calculer les difierens termes de la formule générale d'inter-
polation jusqu'au troisième ordre inclusivement.
Si Ton se borne aux termes du premier ordre , on aura
^A /A
F = A+^.^+i. jfî= i>07946 i56S5. Ajoutant les termes du
second ordre, savoir —^ . j^+J^.^^ — ^ . j^= 188617 ,
on aura plus exactement F = 1^07948 o^nS^. Enfin les termes dn
troisième orare ,,g . -^ — -j^ . ^^-^ — ^ir? • J^^^tt?- -j^y *^*
quels te réduisent à — 54i i , donnent pour dernier résultat. • • . •
F =£ I9O7947 98841 » valeur qui ne peut guère être fautive que dan^
la huitième décimale; elle acquerrait une plus grande exactitnde
encore, si on tenait compte des termes du quatrième ordre.
221. Pour calculer semblablement la £3nclion E, on tirera de
la table IX les résultats suivans :
9.
60*
61
6a
65
A.
0,84640 8589
0,84437 0775
0,84316 8d57
0,84010 5953
1257 7225
1225 4604
i2i5 S430
I20I 3897
i5 3287
i5 6gi7
16 iSSg
16 6ao3
•+■ 145
-f. 67
-- i5
— 104
et en opérant comme dans le cas précédent, on aura pour 6 ss 60%
les coefficiens suivans :
CONSTRUCTION DES TABLES ELUPTIQtJES. Sof
^ = "37 7225, j^ c= — i5 2287, j^a» «45,
jf = — 2i5 7616, jjT sa 5 5ioo, ^sk5o9i,
/•A /^A
— 4^5o;
Babstituant ensnite ces yalenrs dans la fommla générale , on tara
l'.en se bornant anx termes du premier ordre, E=30^855i5 69058;
â"*. en tenant compte des termes du second ordre, £3=0^85514 4^^
S*", enfin engtenant compte des termes du 3* ordre, E=so,855i4 5o8oi.
222. Pour vérifier ces résultats par la méthode des modules crois*
sans , on commencera par former Téchelle des modules qui convient
à Tàngle 2:260*1 5^; elle est la méme^ aux dénominations près^
que celle qui convient au complément 9=^9*4^^ ^^ ^^ "^ trouvera
comme il suit :
c 9>9386t 91884 8 b 9)69567 iao43 9
</ 9,99891 64980 4 ^' 8>^849 ^^M^ ^
4f' 9^99999 96621 o V 7^09601 5^844 4
K o,o3oi4 84858 3 b"' 5,58997 09154 6,
Faisant ensuite 4>=s54*4^^ ^^ trouvera par les formules connues
^ =49'5/7",556664, •
^"=49.5a.2, 556394,
<pf'' zss 49«53.a ,261216;
3o6o8, H=logl
d'après Téquatioi
il eu résulte 45*+2^'"=s69-56'i'
s= 0,45737 1402 1, et calculant H
on aura
logF^=o,o352i 45573 3, F(p=i,07947 98929.
Ëofia pour calculer E^ , on a Téquatlon E^ = LT^ -f- Pc sin p , dans
kqaelle L' = i 4*(i + J A' + i b'b") , P = P'. 2c« sin <p' — c sin f ,
P* sa ^ — I , logFs»— 2logr"=s— 2log(«"co5û>")sao,<K>ooo \Qàl&^ 3j
So8 EXERaCES DE CALCUL INTÉGJIAL.
il en résulte les valeurs suivantes :
P'.3c»suif' = 1,4^656 07198 4 LT^.,= OjiSySg iSgSa 6
csinÇ) 0^70900 72300 5 Pcsiu^.. 0,71755 34897 9
PcsÎQ^ = 0,71755 34897 9 E^....=: o,855i4 5o83o 5.
On voit donc que la valeur de F(p, trouvée par l'interpolation de la
table IX, n'est en erreur que d'environ une unité décimale du hui-
tième ordre, et que celle de E^ n'est en erreur que de trois unités
décimales du neuvième ordre. Le résultat de l'interpolation serait
un peu plus exact encore , si on avait égard aux termes du qua-
trième ordre; mais un si petit avantage ne vaut guère la peine
qu'on prendrait pour l'obtenir, et il parait convenable de s'en tenir,
comme nous l'avons fait , aux termes du troisième ordre , même à
ceux du second, si on veut se contenter de six décimales.
IVons ne dissimulerons pas qu'il y a des cas où l'interpolation
de la table IX pourrait ne pas donner des résultats aussi exacts que
dans l'exemple précédent; ce sont ceux où l'amplitude excéderait
70*; car alors, les différences des fonctions, sur-tout celles de
la fonction F, décroissent si lentement qu'il faudrait, dans la
formule, tenir compte des termes du quatrième ordre, ou même
de deux du cinquième, pour que l'erreur n'eût lieu que dans la
huitième décimale. Mais cet inconvénient est inhérent à la nature
des choses, et on pourra toujours l'éviter, soit par les formules de
bissection, soit par les formules des fonctions complémentaires,
en ramenant la détermination des fonctions proposées E et F à celle
de deux autres fonctions dont l'amplitude sera beaucoup plus petite.
§ XVI. Des cas où Pon voudrait pousser F approximation
au-delà de quatorze décimales dans le calcul des /onctions
EetF.
, 335. Le nombre de quatorze décimales dans les logarithmes, ou
celui de quatorze chiffres significatifs dans les nombres, est la li-
taiite que nous n'avons pas pu passer jusqu'à présent dans le calcul
4es fonctions E et F , parce que les tables trigonomélriques les plus
étendues , ne comportent pas un plus grand degré de précision. S'il
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Zog
devenait donc nécessaire dans qnelqnes cas de pousser plus loin
l'approximation^ on pourrait toujours Étire usage des formules gé-
nérales ^ qui sont susceptibles d'un degré d'exactitude indéfini; mais
il faudrait recourir à des moyens particuliers, pour déterminer avec
la précision nécessaire les élémens qui entrent dans ces formules.
Soit proposé, par exemple, de calculer avec vingt décimales les
logarithmes des fonctions complètes F'c^ E^c, qui répondent aa
module c=sin45^ Il faudra, pour cet effet, évaluer jusqu'à vingt
décimales les logarithmes des modules c, c*, c**, £?••% c*~*, c***% et
ceux de leurs complémens i, i*, i**, *••% i*^*; ce nombre de termes
suffit, quand même on voudrait pousser la précision jusqu'à vingt*
huit décimales.
D'abord puisque c=i=: v/^, on a immédiatement
le ^=z Ib z=: 9^84948 5ooai 68009 40^ ^9 ^^^î.
en second lieu , on a c* = J^-^ = , ainsi il faut calculer le
logarithme de v^:i+i avec vingt décimales au moins. Pour cela,
j^observe qu'en faisant (i+V^a)'^=p-(-y V^3> on aura/?*~2^^=(— «1)%
ei p+q{^2z=zp^ \/(p^zpi)} d'un autre côté
or en faisant n=ii5y on a ;? = 275807 = 7.31. 4ij 7= i95o35y
;,• — 2^*=:— 1; donc i51og(i + v/2)=loga;7+i.^.~i^,^.
Par la table connue qui donne jusqu'à 25 décimales ou plus les
logarithmes des nombres de i à 1 100^ on trouve logap, auquel il
' suffi td^a jouter la correction t-; facile à calculer^ ce qui donnera Ie$
résultats suivans :
log 2/7 =5 5,74i63 52800 665i8 87976 87
P; H- 1427 29502 20
i51og (1+ v^2).... = 5,74i65 52800 67946 17479 07
/(i 4-^/2) = 0,58277 56855 57865 07851 958
al(irh\/^) ..• = 0,76555 15706 75726 i5665 876
le" = 9,25444 86295 24275 84556 Ï24;
Sio
INTÉGRAL.
cnsoite par U valent J" = ^ = ^^ , on tronvera
tt^ = 9,9955i 1809a 4aii5 4>569 78.
Il Uni maintenant caknler tT ^ b^, ce qui ce fera par Ica fiw-
imilea, ft-s= j^, (Ts^^—j^; ainsi lont se réduit a trouver
log(i+**); or, nne valeur approchée de *• étant a ss j— , on co»-
naît par les tables le logarithme de a et celui de i-f-« = — -, ce
qui permettra de calculer log(i-f-^*) comme il snit:
i...... 9,99351 1809a 4aii3 41569 78 i+a.... 0,39779 8oai8 12926 15600789
« 9,99351 18198 4o386 0839a 38 (0 — 5a 59553 6i64i 094
r s 106 98373 G68afl 60 801 65 5337a 5^59 696
(3) 4" 3a33 708
lk=la^, /=-^, R=aK(i— iMrO, <i+ft^)=o,fl9779 8oi65 5337a 57192 4o3
' i-H»' e^ 9,113444 86093 ^4^73 <4g8g "4
/(i+A)=/(i+a)— R, 8,93665 06127 70901 27143 721
|/ft*.- 9,99675 59046 2io56 70784 «90 ^•^ .==7>*735o 12255 4»8<» 54^87 442
a o,3oi02 99956 6 3981 19521 5 74 2 o,3oio2 99966 6^81 19521 ^4
0,29778 59002T5037 9o3o6 fl«4 ic^ 7i573a7 i^^g» TT»»* ^4766 06»
i+t* 0^9779 801 65 53372 57192 4ô3 5,14454 ^4597 55642 6^532 i36
— 00^ ' >T oca 'Z'z g Qg ' *"*• 9»999q8 78837 3i665 33ii3 861
lb^= 9999998 78837 3i665 33ii3 861 ^'^^^-^ ^ ^ • -
p. .....•• 5,14455 45760 23977 36418 275*
a:a4. Ces premiers termes étant connus ^ on pourra calculer les
modules suivans c***, i**% par les formules ordinaires p = ^'^^ - ,
Psswip*— fm;?*, &•••=/;?—?, /*•••=— ^P; i^oici ce calcul ;
mp...... 84507 i5i64 «66 p •. 5,14455 45760 «Î977 S64iS 275
imp^... 2 466 P — 84507 i5i52 400
P s= &(5o7 i5i52 400 ic»»*.... = 5,14455 45753 39470 21265 875
^•••.... = — 422^ 57676 200
on obtient «isutte très-DstcileBMat les ^nodules ,4f^^ ^**'*, tHNBme
il siût:
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5i i
ic^..w 4,8435a 458oa 76489 01744 5u
9^68704 gi6o5 50978 03489 osa
i:b^ 4aa53 57876 100
p 9,68704 91605 93a3t 6io65 aaa P*— • 9>374o9 83»
p — io3 "*— • 9.63778 43i
/c*^.... == 9,68704 91605 93a3i 61065 115 (*) p.... 9,01188 a63
Uf^^.... =3 — o5i.
On voit qtt^en s'en tenant k tingt décimales ^ il n'est pas nécessaire
de prolonger la série des modules aa-delà de c^^f et i"^""* ; car log b*^
n'est que d'une demi^onité décimale du vingt^unième ordre. Ce-
pendant le calcul étant amené à ce point, on peut sans peine avoir
deux décioiales de plus^ en prenant la valeur suivante de /c*^"^.
c^ 9,68704 91605 93a3i 6io65 1 19
o,3oioa 99966 63981 19631 374
i,386oi 91649 «9a5o 4i543 745
8,779o3 831198 585oo 83087 ^
illM o5i .
hf*^...sn 8,77flo3 88098 585oo 88087 541.
2a5. D'après ces élémens^ le calcul deK=v/(j . 6*i-i*-A****V et
celui de FVsB- .K« donnent les résultats suivans :
a
log R =s 0,07000 73453 81767 88434 o38
Jr 0,19611 98770 3oi6a 66913 753
/F'c ». = o,a68ia 7aaa4 11910 54347 791*
Maintenant pour avoir la valeur de E'c=LF'c, il faut calculer le
coefficient L par la formule L = p; (i — jc^c'^ — ^c••c••c•••
— .ie'*c*^c*-c**^). Pour cela, soit rr=2ic*»c** [i -f-i^— (i +ï^*0] ;
on aura d'abord L= r^j (i — r); soit ensuite r'=sic***(i -+- j à*^)
(^ Nous rappeUerons ici un usage qui est commode à suivre dans le cal'*
cul des {raetioos très-petites. La caractéristique 9 place le premier chiffre d*uii
nombre au premier rang des décimales » la caractéristique 9 le place au onzième
rang, la caractéristique 9 au yingt-unième, ^t ainsi de suite.
5ia EXERaCES DE CALCUL
s=|V-/(i4.c^«)=ic^»y^g^, on aura r s= i c~ (<?•)• (i + O ;
d'où logr=log5C**-(-3logc»-(-/wr'— îOTr'» + T""^'j ▼oici le
calcul :
i <*•.... ^,57337 laaqS 77831 34766 |é^.... 4fij^i 458oa 76489
c«* 8,4688g 73586 48547 6867a i/j_ .g-
(1) . . .+ Soago 67083 5444 V 4^" *
(a). . .— 10563 3939 / 4,8435a 46803 860S
(3). . .+ 49^ m 9,63778 43ii3 oo54
r....... 6,o4u7 16176 83889 a34o (,) 4,48i3o 88916 8669
i»' 4,54*49 45846
(a). . . • . • 9,oa38o 3476
1/ 4>6g745 5a
(3) 3,89123 7
D'après cette Talear de logr^ il faut calculer Iog(i-— r) par la
suite — 77ir(i +7^+ etc.), dont cinq termes suffisent; on obtiendra
ainsi :
logCi — r).. . . = — 0,00004 77606 96768 98769 6a
log T^ 9,86a46 i3836 8378a 67099 76
log L.. . . . = 9,86a4i 363a9 88oi3 6833o i5
/F'c = o,a68ia 7aaa4 1 1910 64347 79
/E*c. ••.«.... = o,i3o64 o8563 999a4 ia677 9^*
âa6. Cette yaleur de E'c peut être vërifiée comme dans Fart. 28
tarrequationE'==iF'(i4.A), dans kquelle As=j^; en voici le
calcul :
KP'.. 0,34013 46677 93668 43781 8a^ _ 865 _a758
A.... 9,66986 543aa o633i 67^18 171 ® " ISp' *"*^ ~ 1893'
« 9,66986 54935 01017 46903 483 , r
^ ^ /A = la-^r, r = -•t— .
r =3 fiia 94685 89686 3ia *+«
/(i+A) = /(i+a)-R,
Le terme a/ se calculera plus fiicilement sans le secours des lo-^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5i5
QûiH
garilhmes par la yaleur -q— • sss — >-g r, et on aura ^
ar^ =: 19a 34040 5556 1 2031,
l'antre partie ^MoK^ calculée parles log. = qSii:! 85i
donc R = 192 :24oS9 4^448 Syi
/(i+fl) == 0,16544 36478 76054 20298 574
/(i+A) = 0,16544 56286 51994 77850 2o5
Ij^rc = 9>9^7Q9 7^^67 47929 54826 417
tE'c = o,i5o54 o8555 99924 12676 62
Ces deux résultats ne diffèrent entr'eux que d'une unité décimale
du vingtième ordre ; le dernier est celui qui doit être le plus exact.
Quant à la yaleur de F'c, on peut la vérifier aussi par les formules
F'c=KMH, H=:3!îlog^^= 0,68218 81769 20920 67575 6.
Or, en faisant azsz-^ ' ^\^ z= 0,68218 81762 5, H^sa+x, on
aura x=: 0,00000 00006 70920 67575 6, et en appliquant les for-
mules /(a-|-j:r) = /a-f-R, ^^=^^\j^'^i'~9 on aura les ré*-
sultats suivans :
a 9>83390 41879 o3568 08145 556 x. ...... ofiaéGy 1 1744 aSSgi
R + 4 271Q1 3668o o55 m 9,63778 43ii3 ooSS/
H. ... . . 9,83390 4i883 30689 448a5 611 i 0,16609 58iao 9648*
M o,36fltti 56886 99463 21087 7* ^
^ °>o7^oo 73455 8Z757 88434 o38 m* ^^3^55 ,^^^3 ^^^
IF'c s 0^26812 72234 11910 54347 36
ft
a
2^ .• —a i356i
K « o^63o55 12976 0680 •
On voit que celte valeur ne diffère de celle qu'on a trouvée ci-
dessus que de quatre unités décimales du vingt-unième ordre , ce
qui confirme pleinement tous ces calculs.
227. Connaissant ainsi les fonctions complètes, ai on propose
de déterminer avec un pareil degré d'exactitude les fonctions Ep,
F9, pour une amplitude donnée 9, le calcul présentera de plus
Si4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
grandes difficaltës, parce que Ic( tables connves des log-riansnt
partent pas quatorze décimales^ au lieu que les logarithmes des
nombre! jusqu'à i loo ^ sont donnes avec un beaucoup plus grand
nombre dtf décimales par la labUi de Shatpj et se irouTeuf dans
plttsieurS autres recueils, ce qui permet de Mppléer aux limites
des tables ^ en employant des réductions et des artifices de calcul ,
tels que ceux dont nous ayons donné des exemples. Voici au reste
qiielle serait la marche qu^on pourrait suivre, si on entreprenait de
setxiblableS Calculs.
Supposons qu'étant donne la Taleuf de Py on veut déterminer
avec vingt décimales exactes, la fonction Vp ou son logarithme; il
faudra commencer par chercher , avec une semblable précision f la
valeur de tang 9 ou celle de son logarithme; c'est ce qu'on trouvera
par les méthodes connues dans la théorie des fonctions angulaires.
Ensuite il fatidra procéder au calcul des angles croissans ^ % p"^^
p*^*j etc. y ou à celui des angles décroissins ^', ^% p"'^ etc., selon
que le module sera plus ou moins près de Tunité.
Dans le premier cas, pour déterminer p^ par te moyen de ^, on
ne doit plus employer réquatioû succincte tang (^^^f')s3 étangs,
qui suppose l'usage des tables de sinus; mais il faudra déterminer
simplement la valeur numérique de tang p"" par la formule
Oti aura soin cependant de noter la valeur approchée de f% en degrés
et minutes seulement, afin de ne pas confondre le véritable arc p*
dont oti a besoin, àVec les autres arcs qui peuvent avoir la même
tangente; on se rappellera, pour cet effet; qu'en vertu de l'équation
sin(a9—- 9'')sB^sin^% la valeur de â^— •^^ doit toujours être
contenue entre les limites ^ et — 0% O"* étant le plus petit angle qui
4 pour sinds c""*
On «onnatl déjà/ tang ^, on connaît /(i +5) £±!/^^^^; ainsi pour
avoir /tang^% il faut faire ^ tang* 9 = A » et du logarithme connu
de A, dédtiire celui de i — A, ce qtii se fait par les formulés dont
notis avôus donné beaucoup d'exemples.
U est tisible maiintetiaât qu'tm semblable calcul servira à déduire
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. St5
p^ àe^ €i ainsi de mile. Oo cooAioiiera donc le calcul des ampli-
tudes croissantes ^'^ ^""^^ p"^, etc. , jusqu'à h limite où «n terme
ne diffère plus sensiblement du double dji précédent; cette limite
aura lieu lorsque le b correspondant au dernier f , pourra être pris
pour l'unité; dans l'exemple précédent^ c'était b'^''. Ainsi lorsqu'oa
Toudra avoir Tingt décimales exactes, et que c ne surpassera pas
sin 4^% il ne faudra pas prolonger le calcul de la suite p% ^""^ etc.^
au-delà du quatrième terme ^""^^ ; et pour dés modules auKiessous
de sin 36% il suffirait d'aller jusqu'à f"***.
Connaissant tangf)^^*, et sachant toujours d'avance à très-peu près
combien l'arc ^^ contient de degrés et de minutes, il restera à trou-
ver l'arc lui-même ^"^ qui répond à celle tan^nie ; e'est ce qu'on
trouvera par les méthodes quiont servi à trouver tang p par le moyen
de p.
L'angle p"^^ étant connn et réduit en parties du rayon ^ on fei4
4fr=ï^ f)**"^, et on aura la fonction cherchée F^s^Kfl^'
L'application de la même formule répétée quatre fais consécutives^
suffira doue pour obtenir vingt décimales exactes; on en obtiendrait
le double avec on terme de plus, mais alors il faudrait calculer aussi
avec quarante décimales , les logarithmes des niodiiles et eèux des
différentes tangentes^ ce qui serait un travail presqu'insurmontabl^.
a28. La même méthode peut être suivie, qnand même l'angle du
ooodule s'élèverait jusqu'à 70 ou jS*; mais^ passé cette limite^ U
est préfénd>le de suivre la méthode des modules croissais.
Ayant donc calci^ les termes de Téchelle des modides d'où se
déduisent les fonctions complètes V*c^ E'c, on procédera au calcul
des amplitudes décroissantes p\ p'y etc., de la manière suivante* .
Il ÊMit d'abord tirer la valeur de tang^' de l'équation ••••• •
^»8 * = ^i-ytff/ ^ H««Ue donne
col f r=: ^4^ cot ♦ + ^^^(i^i^y cot^ <> 4-*'];
et comme on a i -^f- b'zss^J^ s=s -^«, la valeur de lapgi^ {Munsa
être mu spu< cette fiMome
tanff(D'— i!^- ^^^°g^
5i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
mais lorsque b sera très-petit, on pourra substituer à cette formule
la suite fort conyergeute
On déduira semblablement taug^^' de tang^^, tang^''* de tang^"^ etc.;
d'ailleurs on voit que la suite ^\ (p", ^% etc., va toujours en dimi-
nuant jusqu'à une limite qu'elle ne tarde pas à atteindre sensiblement.
Appelant donc O le dernier terme de la suite <Py <p\ (p"...y on aura*
en logarithmes hyperboliques F^=:Klogtang(45''-^^<fr), ou en
logarithmes vulgaires^
F?=IOtf/lang(45'+i*)==KMlog[tang«+y(i+tang**)].
2129. Pour avoir dans le même cas la valeur de la fonction E^, il
faut recourir aux formules de l'art. 1 5g qui peuvent donner tel
degré d'approximation qu'on voudra. Si on se borne à vingt déci-
males , le quarré de V"' sera toujours négligeable , même en sup-
posant l'angle du module peu au-dessus de 45""; on pourra donc
supposer c'"'= i , et faisant P= ^7^^ — ^ _ i ^ on aura E^=LT^
^-f-Pcsin^. Dans beaucoup de cas, on pourra Êiîre c'"=:i, alors
on aurait simplement P = ^7^ — i. Quant aux valeurs de cose»',
cos cJ\ C0scà'"y par lesquelles on a r^ = c'coseù\ r" s= c" cos û>" ;
r"^ =1 c"' cos cù"' y elles se calculeront sans connaître les valeurs en de^
grés des angles û>, par les formules tangû>'=i'lang(p', tang»'t=:i''iang^",
tangû>'''=î'"lang(p'", ainsi on aura directement
i^^sr ,t___ // — ^ jn c*
23o. Si on renonce au calcul par logarithmes qui devient très-
pénible, lorsqu'on leur donne plus de quatorze décimales, on pourra
néanmoins par le calcul arithmétique ordinaire, parvenir à tel degré
d'exactitude qu'on voudra dans la détermination des fonctions E et
F. Mais il y a un choix de formules à faire pour rendre le calcul
le moins long qu'il est possible, dans l'hypothèse d'un degré d'ap-
pro^îmation déterminé.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 517
' S'il est question d'abord de calculer les fonctions complètes I^'c^
FJcy on ponrra recourir aux séries de l'art. 4^, i p.^ lesquelles
peuvent donner un degré d'exactitude indéfini. Mais les premières
( P^S* ^ ) "^ ^^^^ bonnes à employer que lorsque le module ne
surpasse pas sin i5% et les secondes (pag. 68) que lorsque le mo-
dule est plus grand que sin yS*; dans tous les autres cas^ ces séries
sont trop peu convergentes, et on parviendra plus facilement aux ré-
sultats cherchés par le calcul des difiërens termes de l'échelle des
modules.' Ce calcul pourra toujours se faire par les opérations ordi-
naires de TArithmétique.
a5i. En effet étant donné la valeur numérique du module c, on
en déduira d'abord son complément £=: ^(i — >c*); on aura ensuite
les deux termes c% A', par les formules (fs= ^-^ > ^* = "xî > ^®* deux
termes c*% 4*% par les formules c"^ = -x"gs j *** = T^s > ®^ ^^^^^ ^®
suite. Lorsqu'on sera parvenu à un c très-petit, le suivant désigné
par c^y et son complément i% se calculeront plus fiicilement par les
suites convergentes
)a dernière résulte du développement, de la formole
Il faudra prolonger le calcul des modules à^, c**, c^^, etc., jusqu'à
un terme dont le quarré soit négligeable; soit ce terme c^'\ la série
des complémens sera de même terminée à £^"^^ ou plutôt à i^!!Z^\ car
dans ce cas, on pourrait supposer ^"^= i.
Cela posé, la fonction complète F'c se calculera assez facilement
par la formule
hh
3i8 EJŒRCICES DE CALCUL INTÉGRAL*
quant s la iDDCtkm ccMBaplcte EV^ eHe ne parait pas pooYOÎr être
^calculée plua simpicment que par la formule
E'«^*K'-7-T 8 Tff ^^')''
on obtiendra de cette manière tel deg^ë d^exactîtnde qu'on voudra,
par le calcul de deux séries compoaéea du moindre nombre de termes
possible.
ftSa. Supposons mamtenanit cfu^ui yeuille déteranner les fonctions
Ftp^ £^ qui répondent à une amplitude donnée; il faudra d*abord
déduire Ç^ de ^ au mojen de la formule
cotf s=i(cot<p~taiig<^)-^ic*(cotç + tangf),
dont le ealcttl est asse^ fecile, pourvu qu W connaisse à la fois cot p
et tang(p; il &ndra par la même raison déduire tangÇ'' de cot^%
et on calculera semblablement rangle^"*^ par la formule
cot ?•• ;= ï (cot ^* — tang ç*) + 7 c**» (cot (p* -+- tang (?♦).
On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on parvienne au terme ^"^ de mêoM.
rang que c^'^^ et dans chacunde ces calculs, on aura soin de noter,
comme il a été dit art. 325, kr yateur approchée de l'arc dont on
a calculé la cotangente. Connaissant donc le nombre total de degrés
contenus dans le dernier terme Ç}^"\ la valeur exacte de cet a):c
pourra être déduite de sa tangente connue avec toute la précision
nécessaire. Réduisant ensuite cet arc en parties du rayon, et faisant
«ss^^, on aura F^=;i&«,
Il reste à calculer £9, ce qu'on fera par l'équatton Ef ssLFf^
+ Pc sân 9 ^ dans laquelle on a
^ — ^ "~ 7 ~ '4 g- — e te. ^
,0^00
P = - cos cû + — cos cà cos »• + —g— cos œ cos cà* cos «^ -f- etc.;
d'ailleurs les angles (», »% »•% etc., se déduisent des angles ^, p\
ç'% etc., par les formules tangû)=£tang9, tang a^issi* tang (p%
tanga>**ss:^teng^, etcj et comme on connaît tangç, tang^, etc..
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Stg
oh aura imoiëdialoawiift
C . * C*
Cette méthode, que nous employons ordinaîreroent depuis 0=0 jus-
qu'à sin 45% peut être étendue beaucoup plus loin, jusqu'à c=:sin 61*,
parce que dans cette dernière limite les séries n'ont qu'un terme de
plus que pour la limite c=sin45*. Mais depuis c=:sin8i% jusqu^à
cz=i I , la seconde méthode mérite la préférence , à raison du moindre
nombre de termes dont les séries sont composées j et le Calcul «devra
être fait comme il suit
233. On formera d'abord la série des modules croissans c^ c\-c'',...
et celle de leurs complémens b^ Vy è".... par les mênies formules
que dans l'art. 129, ayant soin seoleraent d'échanger entr'elies les
lettres & et c, aimi «qae les signes ^ et '. La s«ite è^ è'^ b"^.. étant
donc prolongée jusipi'à «n terme £^^ dont le quarré soit négligeable^
relativement au ^egré d'approximation qu'on a en vne^ on «nra en
logarithmes hyperboliques F'c= — log T53, ou en logarithmes vul-
gûres, 1"^=--,- Ic^ ^j , -d'aillears le coefficient R a pour ydeor
K s= (i JfV) (i 4- *") (i 4- i'"). . . . .(i + WS)^
on calculera en même . tems la fonction E'c par les formules
E'c s= LT'c 4- i.
Dans cette méthode^ il reste à calculer le logarithme de^^, avec
le degré de précision requis.
Si ensuite il s'agit de calculer les fonctions F^^E^^ qui répondent
à une amplitude donnée ^ on suivra les formules de l'art. naS^ les-
quelles ne sont guère susceptibles d'être simplifiées , si ce n'est la
formule principale qu^il convient de mettre sous la forme
col ?' = i±^ cot ^-H V^[^(^)Wf + JQ;
Sao EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
elle servira à dédaire cot^' de cotf ; on déduira de même cot^''
de cotip'y et ainsi de suite.
234. Eu terminant ces recberches, nous croyons devoir faire
observer que par la simple méthode de bissection qui n'exige que
des extractions de racine quarrée , on peut calculer jusqu'à tel
nombre de décimales qu'on voudra ^ les fonctions F et E correspon-
dantes à des valeurs données du module et de l'amplitude.
Remarquons d'abord que pour la bissection des simples arcs de
cercle^ on a les formules
sini^ = i /(i + sin ^) — f {/(i ~ sîn ^),
. cos i(p = i \/(i -f sin (p) + i /(i — sin (p);
ainsi le sinus et le cosiims de lare 7^ se déduisent à la fois de la
valeur donnée de sin p. Partant donc d*un sinus connu tel que sin45%
sin3o% ou en général sinet^ on peut^ par des bissections contî-*
nuelles, parvenir au sinus d'un arc très-petit arc œy qui sera sen-^
siblement égal à Tare; et de cet arô ou de ce sinus, on déduira
la valeur de l'arc proposé a= 2"û) , n étant le nombre des bissections.
On procédera d'une manière semblable pour déterminer par des
bissections continuelles, la fonction Fa dont l'amplitude est donnée.
Soit en général Fp un terme quelconque de la bissection et F^'
le terme suivant, ensorte qu'on ait F^' = ^F9^ on déduira ^' de
^ par la formule
or on peut mettre /(i.^-^ A(p) sous la forme i {/(i +€?sin<p)
+ r l/(ï — ^ sin ^) ; ainsi on aura en généra] , pour déduire ç' de
f 2 la formule très-simple
V^(.i +cain ^) + V/(i — c sin (p)*
Cette formule servira h continuer aussi loin qu'on voudra la suite
des bissections; lorsqu'on sera parvenu à une valeur très*petile de
sinç, celle du terme suivant sin^' se trouvera plus facilement par
la formule
\ 4*" 4,o.o.io 4.6^. ,14 /
/
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Sai
on aurait en même temps
enfin si Ton fait les calculs par logarithmes , on préférera les formules
suivantes dont la loi n'est pas moins simple ,
» . / f - , . mc*8În*^/ , 3 c*sm*^ , 3.5 c^sîn^^, 3.5.7 c^^rfp , , \
l.in*'=/amif +— ^(^1+^ . ~— +4:6 ' "T" +4^8 * "T" +'''•>
,. . „, . X , msîn»^/ ,3 8În*^ ,3.5 sîn^, 3.5.7 "n«^ . ^ \,
Supposons qu'après un nombre n de bisseclions , on parvienne à un
arc très-petit où qui sera la dernière des valeurs de ^; alors en sup«
* posant seulement û)' négligeable ^ on aura avec une exactitude suf-
fisante
E« = û> — 5 a» + — (4 — . Sc^û)* J
connaissant Fâ) 9 on en déduira immédiatement F«=a'Fû^, n étant
le nombre des bisseclions. Quant à la valeur de Est , elle se déduira
de toutes les équations de la forme E^=2E^' — c^sin^^sin^', et
on aura en général Y^tt = 3"E^ — c*Z , Z étant la somme des n
termes sin* ^ sin ^' + 3 sin* (p' sin ^" + 4 sin* cp" sin ^'" -{- etc. , formés
avec toutes les valeurs de ^^ en parlant de la première « jusqu'à la
dernière c».
Nous n'insisterons pas davantage sur cette méthode, parce que
malgré sa simplicité apparente et l'élégance des formules, la lon-
gueur des calculs qu'elle exige, la rendrait presqu'impraticable, dans
les cas où Ton voudrait obtenir une très-grande approximation.
Les tables suivantes sont une continuation des tables données ci-
dessus, pages ia5 — 171.
La table VI donne avec quatorze décimales, l'échelle logarithmique
des modules décroissans Cy c% o** , de leurs complémens &^
&% b^ ^ et du nombre K^ pour tous les angles du module
5a2 EXERCICES DE CALCUL E^TÉGRAL.
de dixième en dixième de degré, depuis 9zs=o'' jusqu'à 0= i5% et
de demi-degré <en demi-degré , depuis 0=:i5* jusqu'à 0=:45^;
cette même table donne aussi ^ par un simple changement de déno-
minations ^ récfaeUe logarithmique des modules croissons c, c\ d\.. ^
de leurs complémens h\ h\ V"^.. et du nombre K^ pour tous ks
angles du module de demi-degré en demi-degré, depuis 0=4^*
jusqu'à ^=75% et de dixième «n dixième de «degré, depuis 4=^75''
jusqu'à 0=90% aiusi qu'en l'a expliqué dans la note de la page 197.
La table YII donne la valeur de ^ qui satis&it à Téqurniton
F^s=iVF'^; ^^^t^ valeur est calculée jusqu'à la septième décimale
des secondes, pour tous les angles du module de dixième en dixième
de degré , depuis = 0% jusqu'à 6=45''.
La table YIII donne, avec douze décimales, les valeurs des fouet-
tions E et F dont l'amplitude est de Ifi^''^ et celles des fonctions
complètes E' et F', pour tous les angles du module de degré en
degré, depuis O^so"* jusqu'à S.= 90%
TABLE Vie
$25
o«i
Log c, c*, c'
0.3
0.4
7.84333 383 10 8flo4
5.o858i 8a543 5o8o
9.56957 65 174 o586
.0.57.94084 ^8596
5.^7964 011647 8638
9.96733 o5385 a5 48
0.6
0.7
0.8
1.0
i.i
i.a
1.3
1.4
Logi, 4^ K.
3.88169 49643 43a6
7.i6i3q 99375 5869
0.37.54390 64819 9673
4.48375 56171 4014
8.36545 13439 5453
9-99999 93385 3i34
9-99999 99999 99^7
0.00000 o33o7 3,
7-71899 66379 0379
4 •83593 93377 01 34
9.06981 84840 849
8. 03003 o68o3 ^566 9.99997 61867 ^^'4
5.43800 5i833 9180
0.37395 03734 i885 0.00001 19065 6585
0.77371 76678 3359
0.98.19610 30173 3857
5.79019 76336 3414
0.97833 53547 6665
8.s4i85 55i84 3389
5.88171 67931 8966
1.16137 35963 io83
8.38334 33731 q884
5.96450 67939 6630
1.53695 35984 4836
8.53103 68636 9478
6.04008 8987a 4>o4
1.47811 7q857 6586
8.35578 34565 4371
6.10961 871330194
i^ 1717 74 3 68 733 3
8.38796 31864 7860
6.17099 4o3a6 4584
1.7459a 80788 oa55
9-99999 73541 ai3
9-99999 99999 97991
0.00000 13339 383
9-99999 40467 5789
9-99999 99999 8981
0.00000 35^766 1696
9-99998 94164 3087
9-99999 99999 ^77^
0.00000 53917 7345
9.99998 3463o 6^04
9-99999 99999 ai 32
0.00000 83684 1964
9-99999 99998 3679
8.08696 46035 6878
5.57190 1637Û 5900
0.54174 3a64o 9343
8.14495 3a43i 66899.99995 76646 5174
5.68788 88393 33349.99999 99994 841 3
9-99996 7587a 4584
9-99999 999.96 9769
o. 00001 6306a 3589
0.0C003 11 674 163c
9.99994 64188 Su5^
9.99999 .59991 7367
0.00003 67901 5565
9 99.993 38498 0933
9-99.999 .99987 4o53
o.oooo3 5cy/44 6566
9.99991 99574 i5(i8
9-99.999 99981 56o8
0.00004 00203 7030
9 99990 4741 5 9708
9-99999 99.973 8836
0.00004 76378 9559
9.99988 8ao33 6069
9-99999 99964 035
o.oooo5 58970 709
9-99987 o33q3 0569
9-99999 9995 1 6117
0.00006 48379 9774
e.
1.6
1-7
1.8
a.o
a.]
3.3
Log c, c», c««.
8.41791 001 53 8883
6.33093 68740 7374
1.86679 37631 9439
8.44694 09034 8361
6.a8999 11670 3o3c
1.9779a a33o9 8799
8.47036 25656 5069
6.34366 63ii3 5n8
3.o83fl5 36418 5562
8.49707 84317 6493
6.39331 11967 5308
3.i8a56 34164 oiai
8.52b55 13689 376
6.43928 16476 5378
a. 37660 5i3oi 9747
8.543S1 91 638 9609
6.48384 39373 3734
3.36563 59 003 843 7
8.56399 94331 3685
6.63633 06767 863c
3 .45040 11867 4539
3.3
a.4
75
3.6
3.8
8.58419 33363 7860
6. 56664 683i6 663a
3.56ia3 37013 aoo5
8.60348 86684 a838
6.60636 70667 6839
2.60847 4 '754 6919
8.63196 16999 6684
6.64334 4^431 9540
3 68342 85348 iS9a5
8.63967 9.5616 1^93
6.67771 26824 o5o2
.b7
.76
2.75336 52337 o638
8.66670 16644 6738
6.71179 06086 6404
2.82153 io833 8867
8.67508 o383o 4776
6.74458 30397 9904
9.88710 6i353 463 1
8.68886 35314 4837
6.77618 36943 4682
3.95o3o 74748 3i58
Log b, &•, K.
9-99985
99999
00007
11636 a3ai
99936 a3i3
44204 9996
99983 06439 9636
99999 999 «7 4465
00008 46748 3420
9.9980
99999
00009
88076 997c
99894 787^
55909 3949
99978
99999
00010
66490 0069
99867 7669
71688 8746
99976 11661 6773
99999 99835 821 3
000 U 94087 1330
99973
99.999
0001 3
53589 31 58
•99798 4335
33 104 6039
99970
99999
00014
82271
754
741
3490
9736
B(i8
9.9967
99999
00016
97706
99704
00999
3303
8465
a63a
99964
99999
00017
.9996»
99999
eooi9
9989a
99647
49877
3947
3949
5ooi
9.9958
99999
00030
88827
99581
06377
64610
99607
67498
7660
9359
0906
6027
7669
6371
99955
99993
00033
96938
99434
36249
658'
116!
7284
99951
999.99
00024
761 10
99330
11610
i6i5
a38i
o383
99948
99.999
00035
13033
99326
9ODOI
86p
Saio
3367
Ù'JU^
TABLE VL
20 9
3.0
3.fl
3.3
3.4
3.6
4«o
Log c, c*, c**.
8.70408 99180 3a8i
6.80667 61989 8766
3.01129 24967 9437
8.71880 oi636
6.836i3 57355
3.07021 i56i8
8.73302 7i5o3
6.86463 oo58o
3.12720 0241a
8.74680 )54i2 4a85
6.89233 06227 7270
3.i8a38 11864 o65o
8.7601H5 11679 **^4
6.91896 27830 8536
3.a55'86 67243 56 11
8.77310 13689
6.94490 76161
3.28776 62093
5.97345 04373
1446
0180
638i
9967
3.58.78667 63787 7168
a866
4454
6ii3
6-37010 09909
3.338i4 ^'797
6.o74aa'4568i
8.79789
6.0045^
3.38711
6.17316
40764
55665
i36i6
37117
8.80Q77
7.01840
3.43474
6.36743
7>926
oi 154
04769
09606
3960
3848
3883
3970
8358
867
4545
8.8si34
7.04168
0.48110
6.56oi4
36307
04066
10837
31743
6933
6*976
6708
0631
8.83360
7.06416
0.62636
6.45046
66683
941 3o
91364
83616
6853
i53o
9463
6139
8.84368
7.08616
3.67037
6.53849
45184
76099
555 14
8166
4qo3
8633
11116 44^2
Log ft, 6% K.
99944 34674 5598
99999 99» 08 8309
00037 8^316 9861
9994o 44063 9373
99999 9897? 9994
o . 00039
18
99936 40186 5864
99999 98835 835o
00001 79336 1343
99933 33o4o 0690
[8678 1093
{7819 0301
99999 98678 1093
00
99937 93633 8360
99999 985o4 8663
ooo56 03940 5300
99933 48934 3378
99999 98015 u8i
99999 99999 9999
ooo38 34690 44^1
999*8 91968 66o3
99999 98107 8460
99999 .99999 9999
00040 55069 6428
999>4 ^1734 o3o6
99999 97883 001 5
99999 99999 9999
00043 88078 9864
09
99909 58197 7636
99999 97636 6047
99999 99999 9998
00045 ^97 19 6710
99904 4' 386 7981
99999 97370 ^444
99999 99999 9998
00047 77991 7351
99899 3i388 0975
99999 97083 0798
99999 99999 9997
oooSo 53896 9 9 I o
99894 0789a 559
99999 96770 8579
99999 99999 9997
00063 94456 i493|
8.86439 06183 7696
7.10760 53107 9616
3.61S30 67867 0074
6.63435 55831 5556
4.3
4.5
Log c, c% c*o, c***. Log b, i% b^, K.
8.86475 76449 3671
7.is8b8 35899 8403
5. 66610 61813 1316
6.70816 05710 9638
8.87495 80616 3674
7.14903 94759 8908
3.69601 93880 0096
6.78997 87846 8003
4.6
4.7
4.8
4-9
5.0
5.1
8.88490 50935 7450
7.16903 71113 9396
3-73599 4704a bio5
6.86993 94170 7416
8.89464 33984 0645
7.18866 64a53 6360
5,77607 33736 4983
6.94808 67539 7175
8.90416 85433 5i83
.30767 71 385 7783
.81039 486o5 0644
7.03453 97096 85oo
8.91548 8o55o 6718
7-^a657 77131 7400
3.86069 60489 3003
7.Q9955 3io65 1319
8.93361 04785 < __
7.34468 54545 Î&068
3.88751 15474 7188
7.17366 5i o56 1693
8,93164 5q353 4785
7.36361 65360 36869
3.93517 57865 0638
7.34438 76816 8376
8.94039 6oo83 3oi8
- ^9
.38018 63211 3l53
.96851 53400 3611
7.51466 64887 3444
5539
6.94887 58091 1
7.39740 88S43 9054
0.99376 86714 7883
7.58545 71616 3989
9.99888
9-99999
9-99999
0.00066
71314
96435
99999
63610
9189
3i5i
9996
1981
9.99883
9-99999
9-99999
0.00068
31333
96074
99999
37420
9610
3786
9-99877
9-99999
9-99999
0.00061
67963
96686
99999
18867
3670
46i5
9994
0969
9-99871
9-99999
9 «99999
o . 00064
8i566
96370
99999
06963
4168
&680
9994
0755
9.99866
9-99999
9 -.99999
0.00067
9147a
94836
.99999
01676
8658
3707
999a
ao3i
9-99859
9-99999
9-99999
0.00070
88368
94349
99999
o5o4o
0000
3106
999»
6048
9.99855
9-99999
9-99999
0.00075
99999
11046
1300
9980
9989
4585
.99847
9-99999
9-99999
o . 00076
4 «909
93399
99999
26694
4455
3136
9987
885o
9.99840
99999
9-99999
0.00079
98748
93733
99999
46987
1 133
4018
9985
1440
9-99854
9-99999
9-99999
0.00083
43360
93109
99999
749^4
1760
08a 1
998a
4537
.99837
9^99999
9*99999
0.00086
73441
9*457
99999
09608
6o33
7588
9979
0668
TABLE Vî-
SaS
«.
S'^si
8.q5
7.31
7.4510^
^4
8.
7
6.6
Log c, f, <?*, e
5798
43459 9725
790 1 s o3o&
67743 9613
S55y4 6a55
8706553 37056 0184
Log b, i% i*«, K.
.33086
4.06967
7.51708
6147^ a6ifl
50996 474»
66079 6717
8.
7-
70597 2709
55440 6339
9-99999 89359 9456
736a
4712
4.09319 31707 8335|9. 99999 99999 9967
7.58383 435o3 S887
8167
63o8
7.64617
4.15546
7.70887
Qq7o3
.3q4i6
^.18636
7.77046
38716 3()59
746b 1 5o34
60888 990
31864 7044
"57Ï93 99»
26383 3363
66377 7185
3 0643 i6i8
561 65 904
3
13893 5930
38309 6077
76606 7409
9.00456 338 lï 5377
39011 5366
73409 9681
7.88099 44 906 6635
7-40539
4.3i65fl
.01196
7.43416
4.34637
09
.01933
4.37563
1637 7800
45656 3373
.45317
.304*9
.oo65 a
.3 9.o33i
4.^a59
S.o63ia
467D3 983]
9 8613 6938
■545
9.99830 89388 9880
9 -3.990» 50766 8346
9-99939 99999 9975
.00089 60789 9691
9.99818 93796 0317
9-999.99 90084 7639
9-93999 99999 997*
0.00093 98619 8693
9.99806 83960 5378
0.00096 68149 7035
^•99799 59777 4684
9-99999 88440 7394
9-99999 .99999 995a
0,00100 i483i 6386
9.99793 33349 36q3
9-99999 87575 4454
9-99999 99999 9956
o. 00108 8ai66 5359
9.99784 73350 70
9-99999 86669 38
9-99999 99999 9949
0.00107 56655 8358
.99777 10097 8766
9-99999 85699 8187
9-99999 99999 9.94»
Q.OOlll S780O 9681
TS840 19499-99769 33479 1780
67659 88449-99999 84685 9748
60790 B014 9.99999 99999 9933
0.00 1 i5 96603 8978
9 9976
1 46489 81 85
16147 6660^ 99999 88619 ô54j
9-99999 99999 99»'
b. 001 19 30064 6143
,9-99753 40134 945«
8408
aSi
5ii85 8397
ii646 i5i8
6^3636 67849.99999 ^lâ^iiS 63o4
44041 4^*679.99999 999^9 9900
88169 5838 o. dû 1 37 389^9 So7(
mÊÊmÊmÊim
m
9.
6^3
Log e, c*, c**, c**.
6.4
6.5
"O
6.7
6.8
6.9
7.0
7-1
)^o34 34416 0061
J8195 i588o 7043
4.86044 61666 7868
S. 11 883 08430 8044
9.04716 88409 1878
7.45495 84744 713
4.38785 90793 61 5
8.17866 81671 9633
9.05385 87663 75ia4
7.60845 -37360 0960
4.41484 97164 368i
8.33768 944 1 5 4718
9.06046 04969 6796
7.53174 38110 6743
4.44143 00809 6647
8.38080 00706 0664
9.06696 19416 5oo9r9
7.53488 40166 96649
4.46761 98919 56 16
8.3831 6 47911 8438 10
9.078^ 6a58o 0133
7.54778 20609 8336
4 49340 86169 8124
g 3847 5 73406 3663
9«07967"6300i 6896
7.5604k 356^5 4988
4.61880 00061 9743
8.43560 00910 6996
9
9
9
o
99999 8^497 ^»68
3-99999 9^99 39i»
b. 00193 ûiiÈS i564
9-99745 53379 Çô6i4
o
9.08689 4471a 0169
7.67997 9i638 5i3o
4.54388 78751 9695
8.48671 47589 a79o
9.O9309 36696 58^0
7.58539 39953 6730
4.66869 10768 49l3
g.536ia 9i6o3 5q98 |o
7^ 9 .09806 6344C4 966^ 9
7.59760 88080 53o8,
4.69496 101^70 1455
8.58384 ù66fly o448 {o
7^^9,10403 A^dio 8640
7.60951 656^3 960810
4.^1697 *7368 7^96er
g.e^iSja 3483 4 55û7fo
«CMS.
Log *, 6*. b^, K.
99736
99999
99999
00181
08348 7677
80081 3607
99999 9886
43416 9968
99728
99999
99999
001 35
78783 6175
99999 9870
64538 0968
^9719 99810 o338
99999 77493 1160
99999 99999 9853
00189 93306 6835
99711 99491 6471
99999 75998 1710
99999 99999 9884
00144 96753 958&
99709 3876S 7819
99999 745o6 6699
99999 99999 9818
00148 67869 qSis
99698
99999
99999
00168
41639
73946
99999
15658
9789
9674
99684
99999
99999
00167
99675
99999
99999
00163
81076
71816
99999
70119
6986
69613
99999
3 1356
99666
99999
99999
00166
69693
67833
99999
59070
97«
9896
3027
0807
8607
0916
3885
9709
63ii
99666
99999
99999
00171
99646
99999
99999
00176
78851
66977
99999
78663
9631
6608
9667
1S79
^45^
64043
99999
64786
o3oo
3710
9698
9010
li
9a0
e.
TABLE VI.
7° 4
7.5
Loge,
c . c
,00 -.oo*
9 ,10990
7.02136
4.640S7
8^67939
ioi5o 83i7
67697 3334
73a55 7666
46698 aqSa
7.6
9.11569
7.633o5
4*66406
8.72606
Log 6, i«, b^, K.
9.99636
9-99999
9-99999
0.00181
76842
62025
99999
42691
1255
5376
9585
6863
7-7
9. 12 141
7.64469
4.68713
8.77221
56687 261 1
7649 0210
15459 8844
5 1006 5552
6665 1 o3ii
67841 6902
7803 i 9992
66160 7702
9.99626
9-. 99999
9-99999
0.00186
9.12706
7.66698
4-7099»
8.81776
7.8
9.^13262
7^66722
4.73239
8 . 86273
7'B
9.13812
7.67832
4.75469
8.90713
8.0
8.1
8.2
"O
8.4
00229 4778
4856 1 24.56
41726 865o
83 640 6076
^^828 4226
'68691 1756
84173 2622
68433 2881
85661
599^4
99999
37i3i
7928
7é66
9538
4733
9 -996» 6
9-99999
9-99999
0.00191
81022
67737
99999
38367
7900
7988
9486
4787
76112 0066
66291 2372
8oo33 2778
601 63 3461
9.99606
9-99999
9>99999
0.00196
62918
55462
99999
46271
8892
2284
94^9
64ii
9-99596
9-99999
19-99999
o . 0020 I
3 1343
63096
99999
60876
7755
6937
9367
9270
9.99686
9-99999
9-99999
o . 00206
86291
6o635
99999
82172
0479
7767
9299
3294
9.14355
7.68928
4.77662
8.96098
971489?
7.70011
4.79817
8.994a8
53o39 9954
74672 fe648
01101 6436
02390 0862
9.16430
7.71080
4.81966
9 . 03706
47902 8000
31017 6696
16696 6921
334 78 1902
76354 3i83
67935 6814
93286 7974
86660 4098
54442 7966
17436 o638
96123 7949
90334 4145
9.16943
7.72137
4.84068
9-07931
9.16459 9763g 8479
7.73181 io43o 6122
4.86166 84099 0766
9.12107 68284 9881
9 -.99^75
9 • 99999
9-99999
0.00212
27754
48080
99999
10162
2188
o3i2
9224
8674
9.99664
9-99999
9-99999
0.00217
9-99553
9-99999
9-99999
0.00222
66726
46426
.99999
44849^
70201
43671
99999
86234
7i3o
9143
6887
J8688
0966
9064
6666
9 -9954a
9-99999
9-99999
0.00228
71172
39812
99999
34319
S.
8»5
Log c, c», c***, c*^
8.6
9.16970
7.74212
4.88220
9.16334
8.7
8.8
8446
8967
9018
9-99531
9-99999
0.00233
68633
36848
99999
89107
o8i5
6388
8852
7212
20867
76798
»9907
39902
9.17474
7.76232
4.90269
9.2o3i3
58626
45327
60160
20387
7564
584o
7716
^896
1642
9808
6S11
9213
9.17972 64511 3oo2
7.76240 X38i8 9940
4.93276 ëo43o 4211
9.24346 20947 7148
8.9
9'0
9.18466 12248 8016
7.77236 99118 6564
4^94368 74444 3316
9.28351 48976 35o3
Logi, *%*•<», K.
9.99620
9-99.999
9-99999
0^00239
32676
33776
99999
60600
3781
8644
8708
1^01
9.99608
9-99999
9-99999
0.00245
30691
99999
18799
81&1I
8736
86i3
4599
S'î^è^Bl 39878 3028
9-99999 37393 q83o
9-999.99 99999 8478
0.00260 çl^joy 7690
9.99486 73324 6234
9-99999 33879 4781
9-999.99 99999 8332
0.00266 75327 5440
9.18961 94706 2655
7.78222 57163 q366
4.96259 64068 6184
9.52275 08234 1598
9-99473 9^024 5307
9-99999 30545 6099
9 -.99999 99999 8i74
0.00262 6366o 4483
9.19433 244i3 6701
7.79106 83o22 3974J9. 99999 16689 6938
4.98188 J^QJ^i 52191^.99999 99999 8002
9.36170 98969 96400.00268 68709 3716
9.19909 13491 ii37
7.80160 60930 6418
5.00116 09038 9666
9.40026 18164 8600
9.2'9.3o379 75667 9681
7.81 iiS 94550 iS566
5.02022 79747 7043
9.45839 69682 5672
9.3
9^4
9-5
9.20845 16264 0201
7.82067 06904 0762
5.03909 06954 041 5
9.4761a 15966 0629
9.2i5o5 62255 35i6
5.82990 17604 9o56
.06776 34608 775a
9.61544 69104 55oi
9.21760 92289 4481
.85015 60690 iSio
.0762a 04988 8784
9.65o58 10064 7867
?
9.99461 99270 65p8
16
9-99449 9>955 6296
9-99999 »a9o8 6117
9-99999 99999 7817
o.ooa74 60476 4330
9.99457 71071 6a54
9-99.999 08999 8ia7
9-999.99 99999 76^7
0.00280 68965 9745
9 . 99436 566 1 1 .3076
9-99.999 04960 3ii6
9-99999 99999 74oo
0.0038684174 5720
9.99412 88666 £566
9-99999 00787 1878
9-99999 99999 7 «67
0.00295 06110 0244
9-99400 26930 4597
9-99998 96477 4870
9 '99939 99999 6915
o . 00399 34775 5594
\
TABLE VI.
S27
9.
Log c, c% c^t c
000
9^6.9
7
5
9
9-7
9-8
9
5
9
9
7
5
9
9-9
9
7
5
9
10.0
9
10.1
9
7
5
9
10. â
0.3
9
7
5
9
10.4
9
7
9
10.5
9
7
5
9
9
7
5
10.6
9
7
5
9
âaau
84837
09449
SSSqî
4665o
3574,9
59555
19198
o383
oi58
86i3
778G
9-99387
9-99998
9-99999
o.oo3o5
aa657
85731
iia58
a53io
62730
38iii
7278
75ao
i3i3
GoSio 76509 3477
s3oq8
866a6
i3o48
65891
37938
80970
79828
58744
23o6
7324
5345
1854
23534
8751a
14821
69436
93904
99^15
30704
41495
8089
4626
1724
4949
33967
88*390
16575
72945
o23oo
35646
98603
97^94
1167
3536
7963
7787
34394
89359
i83i5
76430
7 "94»
07901
48307
96703
4393
7040
7643
7536
34818
90**9
3oo34
79863
11389
33699
o4o53
08194
35337
9097»
31737
83369
^83
1043
8559
9746
38948
37S54
99077
98343
ii38
9086
1385
25653 33684 896c
91815 o83o3 3768
33435 65653 6116
86645 31393 5833
36063
92650
25097
89988
30434
90116
35i34
7o336
4538
48s8
3i8o
0463
36470
36753
93300
29808
885i
3794
75983
B799
9934
^974
8596
Log b, i% fcoo^ K.
51694
930*38
99999
70166
330^
3196
6645
83i8
9-99374
9-99998
9-99999
o.oo3i3
63850
87436
99999
«494
3637
6353
13393 9343
9 -99361
9-99998
9-99999
o.co3i8
60390
83698
99999
61154
i665
8587
6040
1481
9-99^48
9-99998
9-99999
o.oo335
44306
77813
99999
16753
io3i
61 38
5703
o4o5
9 . 99335
9-99998
9-99999
o.oo33i
9-993ai
9-99998
9-99999
o . oo338
14589
7^77^
99999
7909a
71333
67581
99999
48174
699a
4996
5341
1673
3548
4953
1339
9.99308
9-99998
9-99999
0.00345
14236
63339
99999
3^001
9-99294
9-99998
9-99999
o.oo35a
9.99380
9-99998
9-99999
o.oo358
43563
56717
99999
0657 7
3771
982a
4537
5394
485S
1484
4091
o36o
69333
5io39
99999
95903
3o57
585 1
36i3
3304
9.99366
9-99998
9-99999
o.oo365
61337
46193
99999
91983
1331
û884
0103
o883
9.99363
9-99998
9-99999
0.00373
49558"
39177
99999
94819
1387
030
355
0739
e.
io*7
10.8
10.9
11 .0
11.1
11.2
11.0
11.4
11.5
11.6
11.7
Log c, c*, c**», c®«*».
9.36873
7.94399
5.38394
9.96683
383Ô5
i83io
03731
07530
0310
9508
7093
94*9
9.37373
7.95111
5.30019
9 99833
62814
bi3i6
33530
4560
483a
5197
6260
^668
9-
7-96917
5.3i63o
10639
38408
1067
0354
9435
o.o3o54 76905 5393
9.38069
7. 9671 5
5.33226
0.06247
88449
37876
62609
35io5
6041
8660
oi63
7660
9.38448
7.97606
5 •34808
03891
331^3
59988
5ai9
9490
3110
0.09411 20064 2211
9 . 38833
7.98390
6.86376
0.13547
60393
37903
66606
i3a99
001 1
3468
9667
7933
Log i, b% b"^, K.
9
9
9.39213
.99067
.37930
0.1 5655
67220
34661
77434
54967
0829
3o3o
9583
8837
9 •29691
7-99837
5.39471
0.18736
39473
6563o
46885
93858
3537
3890
3785
8146
.39966
.00001
5.40998
0.31791
53093
88738
77H4
1416
0774
0367
3088
9.3o336
8.01368
5.43613
0.34830
43866
47437
36116
63331
0441
3033
469819
1983
l
.30704
.03109
5.44014
O . 37833
07439
31106
81608
633o4
33679
9618
3304
8096I0
99238
99998
99999
oo38o
34166
33986
99999
04414
4s66
3070
197a
o3q3
99333
99998
99999
00387
86073
36616
99999
30770
99209
99998
99999
00394
33378
3oo63
99999
43893
0224
4366
1347
7745
8363
96/0
0681
0979
99», 94
99998
99999
00401
66764
i33a7
99998
73780
99179
99998
99999
00409
85631
06403
99998
10439
3i5o
2499
9313
9381
99164
99997
99999
oo4i6
91639
99284
99998
53873
99149
99997
999.99
00434
83809
91971
99998
04080
3370
8769
7544
6473
.99134
99997
99999
00431
63331
.9999»
61068
7399
4456
6628
99"9
99997
9B99B
00439
37066
76743
9.9998
34837
99103
99997
99999
00446
78035
68831
99998
95393
0634
4618
5884
99088
99997
99999
00^64
16316
60689
99998
73735
4357
1060
35i6
5ii.
W
538
TABLE VI.
ii*>8
^^•9
la.o
la.i
la.a
ia.3
ia.4
ia.7
15».8
Log c, c*, c^, c^^.
.3io68
.oa853
5.455o3
o.SoSoi
4.9276 0070
647aa o4a49
77185 0837
54458 65ii
0.31439
8.o35qi
5.46980
0.33754
74760 6010
88983 4048
34373 baoa
68633 6683
Q. 31787
8.o43a4
5.48444
o. 36683
8 910a 7855
04333 0174
73758 36o8
47605 4644
9. 3a j 43
8.o5o5o
5.498;
0.^51
97393 36oo
30933 Qa44
16010 5484
33109 9784
1.05770
5.oi3o7
0.43469
04593
80894
61877
4358
3446
7»9ï
10. 33844
8.06484
5.53766
.45937
15548 487619.98991
9-99997
9-99999
r88
1088
6906
5683
"34982
76533
556oa
11393
|ia.5l.q.33533'675or
0908
00''
370G
839
.55591
0.50976
95148
03787
o5664
i3io
3ia4
3816
0937
gjq. 33874 17620
6a333
47356
9480a
is. 08594
5.56986
0.53766
4i36
4768
587c
8900
9.34311
8.00286
5.58371
o. 56536
06895
issiso
3141
3890
0446
0035
9^54546.
8'. 09973,
5^59744^
0.59383
88oo3
77383.
98574
97338
0881
65a6
3075
5368
Log bf b^f b^f K.
9-9907»
999$7
9-99999
0.00463
38601 0753
5a34a 1917
|8 3346
»9 6755
9.99056
9-99997
9-99999
0.00470
48178 9610
43777 aai7
99998 H04
47798 i856
la'^g
i3.o
9-99040
9-99997
9-99999
0.00478
9-99034
9 99997
9-999!
o.oo<
4^59 9773
54990 35 16
99997 9786
45534 1765
35873 Q138
^977 698i
99997 8381
5oo5o 8133
9-99007
9-99997
9-99999
0.00494
95970 4593
16735 5393
99997 6905
6i38i 3853
0.0000a
48319 ai54
07359 3 143
99997 5334
79518 816a
9-98974
9 -.99996
. 99999
o.oo5ii
88609 68 13
97545 6378
99907 3670
04466 6568
9.98958
9 99996
9-99999
o.oo5i9
i5i3i 3607
87590 3453
9.9997 >909
36338 0877
9-98941
9 99996
9-99999
0.00537
37773 a6a4
77389 0958
99997 0044
74806 4189
9.-989^4
9-99996
9-99.999
o.oo53o
96534 8
66938 0^81
99996 8073
aoao4 9897
9-98907
9.-99996
9-99999;
.00544
1 1375 37X7 i5,
56a33. 0154
99996 B986
73437 1696
T.
19.1
l3.3
Q.35860 36707
8.13669 63535
5.65i37 i636i
0.70068 33814
i3.3
.36183 17414 5733
.i333i o569i 4133
5.66460 13716 7693
0.73714 a55a4 8988
^
375
IIB
Log e, tf, &^f d^*
5.61108 ^164
0.63010 78430
3968
6o53
9361
3145
o. 35308 8o33o
8.ii33i 8g5o7
5.63461 4^4i9
0.64716 90190
.35535 83386
i.iaoo3 37354
5.638o4 33334
0.67403 64560
Log i, i«, *^, K.
9
9-9999'
9-99!
o.ooi
833 1 3
45369
99996
31476
9.98873
9-99996
39338 3340
34044 o5o4
9-99999 99996 1454
o.oo56i 97355 9809
4135
4133
785 1
1453
■3735 9 .^8854
017019-99996
00369.99399
6a6i 0.00070
.365oi 58i39
.13987 61399
5.67773 36344
0.75340 73581
9^19^
43949
7097
0637
9.36818 5a534 1441
8.14639 3765i 1454
5.69077 oi55é 1148
0.77948 o33o4 1775
0.37133 o4t66
8.15386 41900
5.70871 33938
o.8o536 4^969
6393
0698
5ao8
3io5
9.57445 1653»
8. 1S938 8io3i
5. 7 1656 14365
pr85io6 388b5
8.16566 61861
5.73q3i 8^5o6
0.86687 79106
965g
a,
tôSo
6639
9349
37K
9 .9.38o6a 57034
8-17199.9*073
oooa
5.74198^4;
83408
3a55i
99995
70069
55i4
6607
8995
4994
9-98837
9-99996
9-99.999
0.00579
11543
10788
99995
49630
0886
a5oi
6599
4007
9-98819
9-99995
9-99999
0.00588
36730
98749
39995
36oia
467;
607!
366o
aoa8
9.98801
•99995
9-99999
o.oo5g7
37939 31 33
86431 0437
99995 0771
39348 4543
9.98783
9-99995
i5i57 7460
73818 4414
99994 77^5
13a 7340
9.98764
9-99995
9-99,999
o.oo6i5
88394 3934
60937 3431 !|
939.94 45 1 5
36a6a 65oi
.98746
9-99995
9 -.99999
o.oo6a4
47637 3780 I
47753 9400
89994 11 Sa;
ooSg 8431!
»• 99985
9-99999
o.ooi535
92844 8i24e
54371 035 1
99995 7670
70709. 9788
ioa4 a- 985^09»
959^9-99895^
2Î249-99999
S53ao.oo<
34(S)34;7568
3D4B6 8954
38do
TABLE VI.
53«s>*
e.
t4'o
i4-i
l4*3
14.3
14.4
14:5
14.6
14.7
14.8
»4-.9
iS.o
l
• i ^O—
Log c, c«, «!•', c
3
S
?
38367
17828
75456
90706
61767
75sa
44i3!
88364
85.94
asi84
2093
1617
Log 4 , i-, 6-, K,
38670
18453
76705
93ao4
40464
20718
4961 5
99*^4
^969 ^
473^9
3oo4
7490
38971
19073
77945
96686
06944
33806
90410
S0914
39269
19689
79177
98149
62173
20628
79091
08277
Aq3o
0699
7247
4906
2iai24
1269
3969
39565
2o3oo
80401
00696
81262
87187
27673
55242
8683
4086
7357
9978
3p§9
20908
81616
o3o26
96421
39365
47623
95343
40162
21611
82823
o544>
00666
82920
60766
01627
2791
1694
9^98
89^9
q54o
IB684
3520
2697
40441
22111
84oaâ
07838
9^479
23496
48286
96668
0786
024a
8763
8761
4072Û
22706
852i3
10221
86949
66617
5iq44
02585
6970
4124
0086
7283
41016
23298
86396
12687
74674
17700
70476
41048
5557
2o38
0719
4704
4» «99
23685
14958
623o5
82060
16697
33993
9166
1624
2969
9
9
9
o
98690
99995
99999
00662
41186
06396
9999^
32601
095,;
943<
9873,
9170,
i5.6
Log
c, c\ c«*, c'*'^
98671
99994
99999
00661
44283
9 «993
9999^
7385 1
6649
6119
6721
ao99
98662
99994
99999
00671
333i8
77274
99993
31974
1809
i365
43io
98633
99994
99999
00080
08276
62235
99991
76975
2634
3921
67S43
4096
98613
99994
99999
00690
69145
46870
4281
1898
1940
9779
99994
99999
00700
16913
31174
99990
07626
98574
99994
99999
00709
48566
16143
83983
o865
4836
6871
o4^i
■549&
4147
1648
5ioo
98554
99993
99999
00719
67093
98772
99989
65834
0239
o86'4
595.9
3287
16.0
16.5
17.0
17.6
18.0
18.5
9.0
98554
99993
99999
00729
82055
99989
66282
b'isS
5553
0093
4760
98614
99993
99999
00739
61713
64988
99988
5i63i
3i55
8438
3q38
9610
98494
99993
99999
00749
37781
47666
99987
64886
0967
8247
IQ.5
20.0
20 5
49689 88240 2170
26767 8i3o4 6266
93337 07713 4354
26468 16029 5682
9.98391
9-99993
9-99999
00800
44o33 «0760
29660 60671
9*8023 486 1 1
57640 97i3i
854Ô
5532
8188
0226
45334 18046 2626
32269 46676 8700
04342 533 I 5 5839
48479 06744 410c
46693 53399 7743
34899 76684 7666
09604 36761 1722
69002 7364^ 8690
47814 18041 1781
37466 o3i9i 8698
14718» 253*66 65io
69230 60860 7904
48998 2364o 8607
39949 5o285 8386
19692 67464 4173
79179 36069 3335
5oi47 64453 6292
42363 06837 9836
24535 41787 0707
88864 83728 0763
61964
44731
29253
98301
19176
30717
64889
39949
5476
9768
&026
4597
62349
47020
33853
07601
59565
61026
97621
95432
5965
8q99
0878
i326
53405
49363
38342
16479
16846
75430
60771
01757
4555
835o
6908
0438
64432 62963
61453 83585
49794 90023
26243 '80288
9344
8648
2662
6797
Logft,>, 6-,K.
061 63
54950
99984
74886
6931
6821
023o
456p
98284
99991
995
00
16370
62676
979
999 99971
853 6814
2533
6791
3356
8906
98173
99990
99999
00908
69643
40069
9997^
35200
0211
8327
4781
1449
98059
99989
99999
00964
63 166
16427
99966
76618
4586
4731
2o58
6102
97941
99987
99999
01022
q5oi5
01019
99957
92980
7927
253o
23i9
38ii
97820
99986
99999
01082
63266
33o86
84888
4601
4235
2216
6978
97696
99984
99999
01144
fô838
71841
99933
02967
0711
1880
7866
8012
97667
99983
99999
01907
oo653
96466
97864
8733
0173
4739
3o84
97434
99981
99999
01273
66616
06112
99896
20246
5Ô8g
7634
599a
97298
99978
99999
01 340
68164
9990a
99873
2o8o5
o
1
43
81
0682
7927
97168
'9997^
99999
01409
76267
76924
99*844
00266
7583
0970
6711
7'99
kk
Ho
TABLE VI.
2XOO
9.55i43a 51618 31579.97015 17376 8881
8.53593 384i4 66349.99974 36a34 1099
6.i^oo6 4o3o3 4811 9-999S9 99**o ^83i
fl.S8o6 8088a 86570-01479 595340644
91.5
Aa.o
aa.5
37
Loge, €%«•*, c*
.55684 83437 0370
a. 4a 177 79671 4 '58
Logi,i%A"',K.
a6*5
Q. 56407 543a6 16339.96867 7a??o 7P^^
9-3997» 76854 3477
6.5i 19Î 89637 €4809.99999 90770 6006
o.oi56i 9080a laaS
3.57357 54170 83399.96716 586o4 7333
8.57730 45360 63839.99968 97773 9861
6.55a85 33408 9905 9.99999 997^3 0044
a .5o565 853Si 7150001636 19445 6393
.58383 q66o5 83109.96561 53459 3094
9-999*5 97942 7175
9-99999 99666 87 .
0.01703 33075 1909
8.59733 85734 6080
6.5339a 73936 9663
" "379 46373 7793
0.59187 80116 66689.96403 60837 0645
33.5
!34*o
34.53.61773 69686 73659«95903 33086 8ao3
8.67340 47954 4530J9.99951 68889 9Z99
35.0
35.5
36.0
6^693 63063 61409-99963 76379 7633
6.63ai6 37113 78879-999.39 99600 Q018
3,66aa6 64713 59600.01780 07636 8oo3
.60069 96819 93439.96339 77861 8189
59 3i'^
9999 9.9^
1869 76663 3807
o.636i3 731Q0
oiQo 70389.99959 31663 9669
6.67060 35853 38799.99999 99633 6i34
3.73914 53367 8839
3.60931 33993 40369.96073 01635 3937
8.65494 90336 61649.99956 6393s 7418
6.70838 16671 90419.99999 09433 3463
s. 81460 33997 18330.01941 30370 3477
6.74533 36763 1008J9. 99999 093
3.88840 6s38s 7084I0. 03034 695
8:
.63594 83694 o3iS
3.96091 30387 8193
3.10196 80435 6904
0.0
•36 3517
'9566 1967
9.96737 67114 8638
:83i
.6qi5i 04749 74069.99947 48^94 9»o5
.78148 59703 63549-99999 99306 1716
0.03109 96193 1093
0.63398 43503 63439.95548 83486 5386
0.70938 04338 36409.9994a 99865 Al 19
6.81707 07036 97339.99999 99064 8187- ^^, . - y-
3.o33o8 16076 6495|o. 03197 08333 6oiopi«99«7ii83 Q33bo
7.17118 06191
o.74o3o i5a45
6.87854 50677
0.64184 19616 38639.95366 01869 46o3
8.73673 83004 35709.99938 33378 36b7
e.853oi 39630 36749.99999 98001 5448
386 09665 1711
o.oai
Q.64o5a 74374
8.74386 65336
6.88634 i4oo3
3.17063 39379
37.03.65704 67648
8.76070 74763
6.93007 73481
3.33809 46553
37.5
38.0
IQ.67160 93903
8.79354 3 11 65
ST5
39,0
39.6
3o.o
3o.5
Log c , c% c^, c'
o3o3
33o6
i63
608
53
0.66440 66998
8.77736 34137
6.95334 44198
3.00443 90303
79b3
8060
1693
0303
6060
0637
6733
6.08686 46084
3.36966 94389
6961
537Q
3398
8o30
9.67866 39016
8.80966 67887
.01796 8S733
.43385 69913
4i39
33o3
339
169
3.68667 13391
8.83531 61016
7 «04964 53195
3.49703 07306
6.39300 14499
0.69333 88336
8.8408a qa34i
.08064 86703
.66933 "J^^^X
6. 61639 53370
0064
3853
9269
5779
87641
9.69897 00
8.856io 490
7.11137 i33;:>9
3.63048 3o389
6.53890 60866
9.70646 88745
8.07116 14039
7.141/4
3.68083
6.7S960 071 76
6348
5i33
6049
9833
6861
06O3
3338)
138819
9083.
5373
5073
148
086
1768J9
0746
I
5499
0478
i7i6{9
63889
9787
Logi, *•, i«»,K,
9 -.9993^
99.999
11834
14163
98713
o.oa^7 00031
.9^88
9. 999^7
9-99999
0.03469
9-999»^
9.99J
o.oal
89339
00643
9.94593
9-999»5
9-99999
0.03661
9-. 94389
9-99909
99999
0. 03759
49368
93364
97965
30480
86060
47410
.97641
80000
5886
3l4(
173(
89941
3780
3469
7|f7
3830
307Ç
4038
9.94181
9-999oa
9-99999
9-99999
0.03860
9-93
%^%^
9-99999
9-99999
0.03963
93687
64467
97371
99999
34576
67758
41770
96861
%^%%
85431
9-93753
9-99887
9-99999
0.08067
o63i6
7z5^5
96576
99999
33837
9.93533
•99879
19-99999
99999
o.o5i73
i\
oS8S!r
70168
95834
99999
810S8
9.93306
9-9987»
99999
99999
o.oSaSa
55051
17648
95sâ3
99999
«6460
SlOS:
36io'
7166
999&
8834
795»
Bll3:
4335'
9993
0745,
TABLE Vt
SSi
Logc,c%c«,c*-,c«
3a. 5
STô
Logi,fc',6-,i'^,K.
71808
.90068
aoo49
7989a
9.9579
5»oi7
80&33
3ao8i
69716
SgSao
W9
7a4ao
9 '459
aao:
8567Ï
7.1114»
57^17
14517
7371
a4M
6ia8
1967
1148
oa
(4$8
73cai
91375
J19545 09915 ai85
73610
943ao
,â86o3
97001
35796
«45
;8d6
1761
^771 5
555i8
9i3S
4€3o
5o44
1077
9377
440^
59853
29004
7'449QO 58096
34.0
34.5
35.0
74766
17067
08034
5586a
i65ia
80486
95403
01344
03775
â5a8
4368
1878
9485
6198
8737
63 14
4545
5411
8067
753ia
98414
.368a5
13445
66685
8oa68
6aQ68
8a6oo
77ia5
54338
56ao
6098
7599
a44a
75859
%98
18790
77375
i3oi3
46060
33846
79167
584aa
5406
9108
4596
83o5
3866
763g5
01067
4ai38
34071
87936
4o365
81963
53o36
31377
43643
03o6
8666
458a
.9307®
9-998Sa
99999
9-99999
0.0339a
9.93843
9 •9985a
9-99999
-99999
j8i38
94533
99999
7740 a
iio5
6617
0981
999»
769»
048%
60677
93754
99999
o.o35o5 39398
9.93603
9-9.984»
9-99999
9-99999
o.o36ia
1034
0846
7471
9989
364 1
9 «918
70337
93870
99999
8554)8
439:
537
9985
866
9.93359
9.99833
9-99999
9 -99999
•• 08736 47798 0770
14033
17735
9«893
99999
6177
998
9.93110
9-.99*»«
9-99999
9-99999
0.O3855
9.91867
9-99809
-99999
•99999
0.03975
66890
09.975
90788
99999
17453
43i35
^^754
89549
99999
96084
691
i4a6
9976
8398
9 -9» 599
9-99797
9-99999
9-99999
0.04098
37161
88163
99999
85379
a>9
603
0030
9969
3769
3709
6789
1731
9960
a38o
9.91336
9-99784
-99999
9-99999
0.04333
45194
3a565
86611
99999
86991
8486
^799
7988
9948
6135
9.91068
9-99770
9-99999
9-99999
o.o435i
6<^3i
80738
84880
99999
03643
6665
88a8
9934
8431
36" o
36.5
|8
7-473a<
4.34446
S. 08686
.0
.5
18.0
39.0
39.5
0.0
Log c, c% <^,c^,c*
Log6,i*,6^i*^,K.
9.76031
9.oa355
7-44747
4.29389
7.9837a
86853 q6o6
8aia
8406
63ia
30770
45817
08771
17639
75973
10496
oq836
38969
78005
iâ
13
9-77946
9.04Q03
.49875
4.39645
8.18884
3ôâ4?
Q7330
09960
01698
o3d84
^60719. 90517 87036 658i
7^844 9oa5
00801 0179
99999 9894
85309 6768
4886
83io
343a
4174
€401
616a
8433
9660
6658
9-78444
9.o6i5o
7.63396
4.44&86
8.38967
71378
35395
37493
79319
58736
9 •7*934
9.073§4
7.54889
4.49674
8.38940
69
. 794ï4
9.08618
7.67356
4* 54606
8.48807
197^
07045
6o366
48019
96136
3486
9460
33oi
4019
73553 7174
33338 0801
77333 4991
54553 7453
9.79887
9.0983Q
.69796
4.69388
5.68670
78o38
74097
98161
3o486
6io58
5449
7768
8471
8706
4961
9.8o36i
9.11037
7.63313
4.64319
8.68333
06353
76546
63709
656i3
3i3i4
1336
i656
9003
7114
9.88740
9.99636
'99999
•99999
0.06447
9 . 80806 74967 53^ 9.88436
9.13313 17064 06309.99616
7.64603 96333 01639.99999
4.69003 96076 69909.99999
8.77798 70339 970610.06594
9071
997i
9-99999
9-99999
0.04480
764468597
0171a 0397
83960 7607
99999 9916
34108 4677
9-99741
9-99999
9-99999
0.04611
9.90334
9-997^6
9-99999
9-99999
0.04745
9 8994^
9.99709
9-99999
9-99999
o. 04881
9.89663
9 -9969a
9-99999
9-99999
0.06019
86164 9S34
11403 7345
78409 41^3
99999 9866
61836 895^
66546 o8io
74669 5o47
76761 6474I
99999 983i
41887 4^71
9.99674
9.99999
99999
0.06169
9.89060
9.99655
333S9
99999
o.o53o3
31441 3054
69Î13 9611
73001 33q8
99999 97871
55386 3871
4S75S^«847l
63Q13 731 41
69539 3381
99999 97331
94370 5740J
81939
66904
99999
60949
60664
i3354
61893
99999
67396
7936
3791
^1
6i5i
9376
o5^8
4641
9683
7767
3q665
535o3
67466
99999
86647
635 1
9095
0496
9479
1860
SSa
TABLE VI.
9.
40.5
Loge, c«,c* V^c*^*****
4i*o
9
.81354
9.13386
7.6G971
4.75737
44>6o
3i688
69355
8Ga4a
8.87069 73673
"3778
3376
49^4
8465
4783
Logi,i^i»^,4*^,K.
0.
41.5
9.81694
9.14547
7.69316
4.78437
^' 96649
39168
5^393
54361
61664
33415
3335
3333
3o33
5009
8036
9.88104 55i53 6993l43**o
3414
9-99593
9-99999
9-99999
0.06744
99^*7
53554
99999
483o9
7391
9353
i533
43.0
43.5
9.83136
9-»B697
7.71639
4.83073
9-05939
45717
i5i47
30311
99333
98753
4779
73io
8164
7571
334q
9.83551
9.16835
7.73940
4.87675
Sm5i44
9.83968
9.17963
7.76330
4.93335
9.34365
08961
48483
33718
33931
66939
7436
655s
i465
3387
3309
9-87777
9-9957»
9 -.99999
9-99999
0.06896
98639
46799
47144
99999
47667
Log C, C*'iC^,€f^,C^^^.
9.83378 333o3
9.1Q079 5o6io
7.78480 60816
4.96766 03335
9.33306 04733
366643.5
1117
465o
9166
1*99
9.87445
9-99547
9-99999
9-99999
o.o6o5o
61434
93636
41177
99999
86139
i85d
»i99
3970
9004
1161
Losb,l^,b^,b^;K.
60549.86413
91809-99470
io65
8876
6836
33460
83836
59644
93014
84116
36i8
3888
3119
464Ô
7805
9,87107
9.99633
9-99.999
9-99999
0.06307
34681
S3536
34601
99999
66378
435 1
.9414
5386
8769
4559
44- o
9.83781 33o36 4307
9.30185 77319 4458
7.80730 98334 5844
5. 01 336 ^6903 3o56
9.43367718933616
9-99999
9-99999
0.06638
74638
79377
19393
99999
63016
44.5
9.84177 13733
9.31381 91133
7.83943 3iiai
5.o5b79 61 333
9.61 i53 33734
9.86066
9.99443
9-99999
9-99999
0.06693
33069
77664
io63i
99999
83o63
3069
3034,
6934
8983
7989
9.86763
9-99497
9 -.99999
9-99999
o.o6366
08843
63836
37360
99999
90676
1734I45.0
o5ûi
3865
8481
56oi
9.84566 i8oo3
9.33368 18919
7.86145 17115
5, ,10086 43880
9.59964 87848
9.84948 50031
9.33444 863q3
.87330 13355
.14455 45769
9.68704 91606
3841
3354
9060
1779
6801
3437
4180
3947
9334
9.86693
9 -99413
9-99999
9-99999
0.06869
40900
53340
oioo5
99999
56673
9.85334
9-99383
9-99998
9-99999
0.07038
30538
0168a
90435
999.99
86789
9.84948
9-99051
9-99998
99999
0,07300
771a
5ooai
18093
78837
99999
73453
TABLE Vn.
S5S
o^ooooo oo
0,09708 08
0.S1843 aS
o. 5883a 65
0,60676 89
0.87374 66
i.iSgaT 60
i.55a35 70
1.96595 09
a. 4^718 10
.6
a. 93693 i5
S.495a4 65
4* 10a j 3 08
4.76758 93
5,4616a 75
9
6.ai4a5 la
7.01546 66
7.865a8 01
8.76369 90
g.7io73 07
10.70638 3o
11.7S066 4*
la. 84358 a9
13.98514 81
iS. 17536 93
Diff.I.
a4a7
7a8i
iai35
i&
ai
a6698
3i553
364o8
4ia63
50975
oa|4864 04
la
4854 ai
39 4854 35
74 4854 53
37 4864 76
o34855 01
485S 3a
4855 65
4856 04
4856 45
5o
4856 93
5583i
60688 434867 4a
65546
70403
75a6a 3714859 16
8oiai
84981
89841
92565
6.414^
17.70181 96
19.03806 94
90.4^^1 71
ai .86 6 67 4i
a3.33^o5 aa
44.87016 38
36.4000a 16
a8. 07863 86
19 .7560a 83
9. o.3i.48aao 4j
»S.a57i8 ao
35.08097 5o
36.95359 8
.38
.9î>ôôo 07
.87606 88
40.84540 II
4s«8646i ai
44*93371 86
4704973 7^
j^.ai568 67
.044^8
.ogagi
.14166
•i9oaa
;a3888
la
.a8766 3i 14868 68
.33604 99 4869
J^ 77(4870
.48a57
•53iii
.57585
.6a86i
.67738
.7a6i7
4869 83
4860 53
4861 a8
486a 06
486a 89
4863^^'
874864
6a 4865 6c
4866 69
4867 6b
il
487a
4873 36
164874 6a
78 4870 9^
704877 a7
644800 09
34881 67
4883 07
4864 641
4866 aa
•77497
.8a379
.87a6a
.93147
.97033 a34887 87
a.oioai
a.^OfO
a. 11701
a.ifô94
a. 31489
66489
104889 65
"1 a5
4893 01
4894 8a
734896 66
m.
86
90
95 6.7
9
o'49'ai568
0.61 .43068
53.69444
56.00730
.58.36915
0.7800a
3. 33595'
6.74893
8,30701
10.91419
3.57049
16.37556
19.03I059
31.83441
34.68746
37.68976
^
3o.54i3i
33.54316
36.69933
39.69184
4^.84073
Diff. I.
a.ar
a.36i
a.3ia84
a.36i85
a. 41 087
a > 4599a
33
3.60898
3.66807
3.60717
a.6563o
3.70645
3.76465
3.8o383
3.863o4
3.903
3.9616
U.
734896 66
394898 53
53 4900 46
38 4903 4^
80 4904 4
490647
4908 67
4910 7c
4913 85
4916 c8
49'7 3?
3.00086
S,o5oi6
3.09961
3.14888
3.19837
4919 6'.
4931 9
83 493^ ^
154930 j(
91 14999 3
S5.93o46
69.33659
43 3.34769^84944 87
10} 3.39714 554947 64
.i8495<^44
63 4963 38
914566 16
47
43
t68
i«7
9
«.7731
6.36747
a.8iaa8
13.40671
17.06080
ao. 74466
34.48804
88.38136
3a.ia4«6
.56.01706
^•95970
ol»7oi
66.33936
3.34663
3.3^613
3.44566
.495«a
3.64481
3.69443
3.64408
3.69376
144931 7c
49343^
) 4936 86
0114939 5c
5i 4^^ '7
m.
0.43171
4' 06410
8.96668
13.39918
»7-^9>93
84
3.74347
3.7933a
3.84399
3.89380
3.94364
3.99361
4.04343
4.09336
4.14334
4*19335
4.34339
4-39<
4.349!
4.3937!
4-44394
0749B9 IC
1749Ç3 07
344966 07
3i 4968 i3
444971 3:!
67 4974 3?
04 4977 55
69498078
37 4984 o5
43 4987 36
78 4990 73
5» 4994 12
634997 56
155001 06
336004 68
i5
83 5qo8
98 5oi r
77501 5
306019 16
366o33 Ss
«54
TABLE Vn.
0.
9'o
9-
9-3
9-4
90
9-6
9.8
9-9
o.c
9'
9'
9
9
9
9
IKff.I.
y i7'6qiQ3 84
3.aa.i34'88 iq
3.a6.6a8o5 ^
3.31.17149 36
3.35.765a3 83
3.40'4^3a 71
i
10. I
lo.a
10.3
10
0.6
0.7
0.8
to.9
.0
.1
.s
.s
.6
:5
•9
a.o
a. a
â.3
a.4
a. 5
a. 6
;a.7
a. 8
2. g
3.0
3.3
3.3
3.4
3.5
9. 3.45.10379 93
9. 3.49.84869 46
9. 3.54.64405 33
9. 3.59.48991 68
9. 4. 4.38*é3a 34
9. 4. 9.33331 75
9r 4-i4-33o94 oc
9.. 4*19-^9^^ 34
9. 4.a4.i78a4 d6
9. 4.a9.ba8oo 49
9. 4.34.8a857 00
9. 4-40.07998 o3
9. 4.45.38338 04
9. 4*5o. 73551 54
'9. 4.56.18975 10
9. 5. 1-59497 3a
9. 5. 7.10138 80
9. 5.13.65873 43
9. 5.18^.36753 74
9. 5.33.93714 6a
9
9
9
9
9
5.39.63833 89
5.35.40063 ^é^
B.4i*^i4^S &■
5.47.07355 17
5.53.QQ6t8 35
9
9
9
9
9^
5.58.96433 83
6. 4-984o3 73
6.ii.o5536 19
6.17.17835 47
6.33.353o6.83
9. 6.39.57955 55
9. 6.35. 85*787 ot
9. 6.43.18806 63
9. 6.48.67019 85
9. 6.55.00433 18
9
9
9
9
9
■i
7. 1.49049 18
7. 8.03876 44
7.i4.6i9'9 63
7.31.36184 43
7.37.96676 60
4-44^94
4.49317
4.54343
4.59374
4.64408
4-6944 7
n.
365o33 89
346036 69
5o3o 54
6o34 4i
6o38 34
6043 3i
93
47
88
m.
33
4.74480 53
4.79535 87
4.84686 35
4.89640 76
A^ji^^^ 4>
5oa6 34
5o5o 39
6064 5i
5o58 65
6063 84
1
36
6067
.99763
.04839 346071 3
6.09900
5.14976
S.aooSp
7i
6075 71
5o8o 08
6084 53
5.36141 o3
5.3o33o 01
5.35333 5o
6.40431 56
5.45534 33
5.5o63i 54
5.55743 56
5.60860 33
6.66981 88
5.71108 37
6.76339
5.81375
5.86616
5.91663
5.96814
"5T01970
6.07103
6.13399
5- '747»
6.33648
55
18
47
90
35
73
6*37831
6.3501Q
6.38313
6.43413
6.48617
i
£
33
33
00
6.63837
6.69043
6.64364
6.69493
6.74736
36
80
i7
34
5o88
6093
6098
5l03
6107
98
66
3a
5iia
5u6
5l81
5i96
5i3i
oa
76
56
3
5i36 aa
5i4i 19
5i46 aa
5i5
5i56
1 ao
5i6i 57
5i66 81
517a 07
5177 38
5i8a 73
5i88 t6
5193 €0
^'99 '"
5ao4 67
5aio a6
&ai& 93
5aai 61
5aa7 37
5a33 17
5a39 pa
».
38o
385
387
393
4o5
4ia
414
4«9
4a5
437
MA
446
45i
457
460
466
470
474
480
483
489
494
49
56
507
5i4
5i4
5a^
5â6
53i
535
54?
544
5?7
556
559
567
158
576
58o
585
590
3» 5
3.6
3.
3
3.9
4.0
:5
4.1
4.a
4.3
4.5
4.6
4.'8
5.0
9'
9
9
9
9
1
5.1
5.a
5.3
5.4
5.5
5.
5
5-9
6.0
:?
6.1
6.3
6.3
6.4
6.5
6.6
^•9
7.0
7'
7.a
7.3
T'A
7.5
7.6
8.0
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
f-
/ 37*95676 60
7.34.70401 94
7.4* .5o366 3o
7.48.35575 58
7.55.36035 71
8. 3.31763 71
8. q. 33733 61
8.16.38081 53
8.a3.4o5o6 60
8.30.67311 o3
8.37.79404 07
8.45.06791 01
8.63.39478 31
8.59.7747a 07
9- 7-ao773 o5
9. i4«694o564
9.33.33358 41
9.39.83643 97
9.37.47268 98
9.45.173^0 16
9.63.93604 35
O. 0.73348 10
o. 8.09398 56
0.16.60733 58
0.34.47537 11
0.33.49719 19
0.40.67306 91
0.48.70394 4^
0.56.88691 86
• 5.13606 53
.i3.4i74a 71
.31.76410 76
.3o. 16617 08
.38.63069 14
.47-i3o74 45
.55.69640 69
3. 4-3i476 19
3.13.98886 94
3.31 .71780 58
3.3o.5ot66 90
3.39.34063 76
3.48.33446 07
3.67.18354 79
3. 6.18786 9"5
3.16.34760 '63
3.34.36353 96
Diff. L
6.74735
6.79964
6.86309
6.90460
6.96717
7 > 00979
00
90
7.06348
7.11634
7.16806
7.33oq3
7.37386
62239
5260
6366
6363
5369
7.33687
7-37993
7.43306
7.48636
7.53963
53o6
53i3
.q8|53i9
5336
5333
7.69886
7.64635
7-69571
7.75334
7.80683
7786060 46 5373
7-9i4a4
7.96804
8.03193
8.07686
8.13988^
a. 18397
8.338i3
8.39337
8.34668
o3 538o
536387
^5394
6401
8.40106
8.46663
8. 61006
8.56466
8.61934
8.67410
8.73894
8.783)}6
8.83885
8.89393
8.94908
9.00433
9.06963
9.ii5o3
9.17061
6339
5346
5353
535q
6366
6408
5416
6433
5430
6438
5445
6453
5460
5468
5476
6483
5491
6499
6607
55i5
5633
563i
5539
5547
5566
11
TABLE Vtt
SS5
9.i3.35.633o& 14
9.13.43.75913 43
9.i3.5a.o4o84 i3
9.14* 1.37890 6a
9.i4«io«77i54 3a
9.i4.ao.aao6
9.14.39.7353
9.14.30.38703 87
9.14.48*90439 88
9.0] 9. 14. 58. 57000 1
:i
ao.i
30. a
30.3
30
ao
aoTS
30.7
30. 8
ao.g
31 .0
81.1
31.3
31.3
31.4
31.5
9.15. 8.30793 4>
9. id. 37. 83660 10
9.15.47.79374 5o
9.15.18.09438 55
9.18.37.93714 46
.15.37-836
9.15.67.80566 75
9.16. 7.87545 99
9.i6.i8.ooa3i 44
9.16.38.18603 07
9.16.38.43698 11
9.16.48.73618 06
9.16.69.08071 67
9-^7' 9-^368 47
9.17.19.96418 o<
9.17.2(0.49330 o
9.17.41.07814 i5
9.17.51.73180 18
9.18. a. 43337 97
9.18.13.183
9.18.34.000
3TjB
31.7
31.8
31.9
3a.
9.18.34.87661 aa
9.18.45.81086 7a
9.18.56.80353 14
9.19. 7.85470 7a
9.19.18. 96451 76
aa. I
33. a
33.3
33.4
32.5
9.i9.3o.i33o5 62
9.19.41.3604a 74
9.19.53.64673 6a
9.ao. 3.99808 8a
9.30.15.39658 97
"p.i^o. 36. 86034 79
9.80.38.38347 04
9.80.49*96606 56
9*81. i.oo8a4 87
9.8i.i3.3ioii ]4
Diff.L
9,17051 18
9.83607 39
9.88171 70
9.33744 49
9.39336 70
9.44915.40
n.
9.5o5i3 65
9.56130 5o
9.61736 oi
9.67060 a5
9.78998 a8
5556
5564
6678
558i
5689
5598
5g5§"
56i5
56a4
6633
5641
9.78635
9.84a86
9 •89.545
9.96614
0.0189a
M
40
85
11
4»
79
81
a5
85
5i
86
56So
565<)
0.06070
0.13675
o.i838o
o. 340^5
0.89819
64 566â
5677
5686
5706
a4
93
7457a
95
0.35553
0.41396
0.47049
o.5a8ii
o. 58584
61
80
99
la
0.64566 o3
0.70157 70
0.75959 45
0.81771 07
0.8709a 7
99
m.
83o
838
84a
85i
855
860
155
873
a«
88*5
8a.6
38. 7
88.8
33.9
83.0
a3.i
83.8
a3.3
a3.4
33.5
9*ai'i5*3iou 14
9.81.85.07178 39
9.31.36.89336 63
9. 81. 48. 77497 56
g. 83. 0.71678 a6
9.88.18.71878 07
57'4
Êzi
81
t
81
66
5743
6768
576a
'9
77
i3
9»
89633.6
903 a3.7
133.8
914133.9
93al34.o
937134. 1
933I34.3
940I34.3
"]34.4
^34.5
5-
5)
0.93434
0.99366
i.oSiiS
1.10981
1.1 6853
5o
4a
58
045873
865883
1.33737
1 . 3863o
1.34535
1.40450
1.46375
ta
88
30
i5
83
i.533ia
1.58369
1.64317
1.70186
i .76167
35
53
08
9«
01
58ii
5831
583i
76I
66
63
66
77
S841
5853
586s
16
46
83
a6
5904
5914
5935
5936
'6
Ea
968|a4.6
965|a4,7
971I84.8
978134.9
985|a5.o
990|a5 . 1
996I86.3
1*004 85.3
1011
1016
ioa4
io3o
io36
1044
io5o
Uo56
1063
1073
1076
084
5969
5980
599»
37
ai
33
85.4
85.5
5575
86.7
85.8
36.9
a6.o
109a
1097
1 lOD
1 lia
1119
a6. 1
86.8
a6.3
a6.4
86.5
86.6
96.7
86.8
36.9
J87.0
9.88.8^.78108
9.88.30.90308
9.88.49.08706
g.aS. i.33i6i
9.a3.i3.63649
39
70
63
61
33
9.a3.86.oo84i
9.33.38.43940
9.a3.6o.9i757
9.34* 3.46700
9.34.16.07795
61
83
38
Di£F. I.
?
O
1
3a
11.76167 08
ii.8ai58 41
11.88160 93
11.94174
13.001QQ
i8.o6a56
18.18884
i8.i83^
I8.a44i4
i3.3o497
13.56593 4a
13.43698
3i
83
8
s
II.
5991 33
6003 6a
6oi3 77
6oa5 11
6o36 61
6047 99
6o59^a
6071* 16
608a 84
6094 60
6106 44
9.84.88.75039
9.84.4^ -4845^
9. 84*54. 38041
9.96. 7.i3883
9.86.80.06808
18.488^17
18.549^7
-^ 13.61089
33 18.67844
81 18. 73411
04 ^^•79690
3o 18.85781
95 18.91986
43 18.98801
9.a5.33«o4oio 3& 13.04^30
^ oa 13.1007a
39 i3. 16986
13 13.33193
o3 13.39474
o3 13.35767
9.85.46.0844^
9.86.69.10113
9.86.18.36040
9. a6. 36.6933 4
9.86.38.88708
9.86.68.84475
9.37. 6.66548
9.87.19.14040
9.97.39.09665
9.97.46.30736
9.37.59.98166
9.90.13.71960
9.a8.87.5ai5o
9.88.41 .38746
9.38.55.3i74ç
9.39.33.37040
9.39.37.40375
9.89.61.68170
86
88
55
48
a3
36
65
48
83
77
07
73
9»
00
10 13.43073
3o i3.48398
79 13.54784
77 10.01070
07
80
î
5713.67499 996378 66
56i3.738oa 65 6386 ao
81 i3. 80188 85 6399 85
06 i3. 86588 706413 56
76 1 3.93003 a6 6497 36
o9 13.99499 69
64 i4.oi587o 86
6014.19396 06
66 14.18796 39
88 14.95878 71
9.30. 6.93449*69
9.3o.ao.85aa5 9a
9.30.34.63514 17
9*3o.49.o83a8 74
9.31. 3.69684 jo[i4*579io
14.31776
14.38988
14.44814
i4.5i355
6778 36
6i3o 33
6149
61&4
6166 75
6179 ^
6191
6905 6
6916 34
688896
6941 60
6a64 36
6967 18
6a8o 09
6893 07
63o6 i3
63io ao
633a 40
6345 8a
6359 19
ni.
6441 M
6455 30
6469 86
6483 39
6497 6*9
33i65ii 99
a5 65a6 3a
676640 79
36 6655 37
73 6670 08
3?
8
3
i
6
9»
97
9
388
aa8
^
336
344
35 1
a6i
365
376
38a
391
398
3o6
3i6
3ao
333
337
347
354
365
38o
388
396
406
4i3
4a3
43o
440
458
465
476
TAÔLE Vtt.
9*3i' 3*59684 10
9.31.18.17594 83
9.5i.3fl.8îio75 58
^.3i.47-53i4i 11
g. Sa. s.SûBoG 34
à.8a.i7.i5o85 8q
9.3a.3â.t)3q95 08
9.35.47
9.54. tt
9.34.1*
9.51.53
9^4^
.916^3
-301166 65
.73763 55
.35039 33
9.55.30
9 «35. 96
9.S5.51
Diff. I.
.83079 6a
.87^30 78
.19598 83
.8345o 56
39.1
39.3
39.3
9.36.û3.75b*§7
9.36.^.74765
9.56.55.80763 66
9.57.11.9S677 10
9.37.38.15533 36
39.6
39.7
[39.8
S9-9
3o.d
30.3
3o*3
30.4
3ô.5
3o.S
3o.7
3o.8
30.9
3i.d
3i.i
Si.nf
3ï.5
5i.4
fPt.Ç
o .74080 78
ft.as.ij.iifStte 3i
9.38.53.63^
§.38.50.17357 34
9:^. 6.79157 47
9.59.35.47990 7a
9.59.40.
9.59.57.
9.40.1
f799o 7^
13914 73
06937 31
9704605
9.40.^.94^89 19
9.40.47.98674 70
9.41* 5.10330
9.41.38.
9.41^
9.41.56.
9.43.14.
3.4^.51.
^.43.40.
9.45. :6,
38945
54867 71
88oo5 5o
38377 63
76003 79
50899 85
930S7 70
4.57910
4.64480
4.71065
4.77665
4.84379
4-^0909
7?
4.97555
5.04315
6.10888
5.1,
6.34!
fe.3ioo6
5. 37748
ÏM
S.58o5o
5. 64851"
5.71668
5.78501
5.8S35o
6.93316
n.
6570 63
6584 r8
6599 So
i3]66i4 53
656639 54
6644 64
8BI6659 84
676675 la
6690 49
6705 97
6731 63
6787 19
6753 93
6768 78
6784 71
6800 '/j
6876 88
6835 11
6849
6865
6883 57
^-99^9^ ^^I^^99 ^^
€.0*5997 83 69 15 70
6.iâ9i5 53
6.19846 076949 45I
«.36795 53 6966 48
6.3^5763 00 egte 59
"6.40745 597000 83
6.47746 41 701* i5
'6.547t>4 567035 56
6.61800 1^7055 13
[6.68855 35 7070 76
6.75934 007088 49
6.85bi3 497106 5"5
6.90118 847134 5o
6.97343 14714a S7
7.04585 5i 7160 55
7.11546 067178 81
7.18734 877197 31
7.359311 087315 71
17.53^57 797334 33
7.40573 137355 o5
7.47635 177371 8
7.54897 047390 8
7.63187 877509 89
7-69497 7673*9 <55
6933 54
49*
5o3 5
574
586
606133
611
1
S
633135.]
3.3
64433.3
66ip3.4*
66J33.5
9043' 6* 93087
43.34.63585
43.43.50413
44. 0.3S587
44*>8.i5i3o
44.36.14060
44. 54- ao5q 7
45.13.34161
45.50.55371
45.48.84048
^6, ^.30311
68
703133.9
7ii| ^4q
73334,1
73^54.3
741I34.3
75^34.4
76
774^
78634.7J
795 34. t
80734.9
818 35.6
835 if:
840 35.3
85o 35.3
86335.4
873 35.5
8S;ra
896 55.7
906 35.8
9 16|35 .
^6.©
93c 3
9
9
9
9
9
9
9
9
46.35.63883
46-44'5o79
a. 73834
3i.4oi38
47.4Q-'4^Q
47.5ST
48.17.
48.56.
48.55.
49.14-
85553
4696
81491
85959
98133
49-
49.
00. 13.
5o.53.
5o.5i.
18000
45616
80993
a4ï49
75109
73
5i.ii.
5i.Si.
5i.5o.
5s. 10.
53. So.
53.^0.
55. 10.
55. 5o.
53. 5o,
54.11.
33894
00537
75o5o
57435
47735
83
45984
5310S
6651
885t
18819
54.51.
54*53.
5D.13i
55.33.
55.55.
^6.14.
56.35.
56.56.
57.58,
57104
03468
57935
3o5a5
91365
70177
56so5
68060
14
00
S8
86
Diff.L
8
8
9
30
30
31
31
31
«<
7883I
84175
91543
98900
13763
3I310
38676
56i65
45670
n.
7339
7387
7406
o?74*6
58745
663i5
75903
8i5i3
80143
9y95
04468
13163
19878
igSo
1939
195^
1965
, 1985I
7446 53 3001
7466 55 3ooq|
7486 6s|3035|
7506
7537 aij3o49l
147651
7673
7694
7715
7737
3761*6 34I7759
55375
43156
50959 91I7835 53|3S37{
5878r " "
557781 19a
747805
357847
17^
83
807893
66633
545o3
3395 Si 791^5
9o3io
98348
5079M
507960
063^^^798404
14190
33300
5o3Si 56 8054
58385 48 8077
87113 00|83Q3
95534
b3583
11854
301S1
5333^
46S63 3818101
54464 868ib5
63590
70709 96 8175 83|si^j
78913 79 8198 31 3463
iA93\
738347
88373
^ 8397
8333
3o57
3074
8084
«0971
31 11
95 33o9
36b335
3968
3578
3436
TABLE Vn.
537
36.1
36.9
36.3
36.4
36.5
557?
36.7
36.8
36. g
37.0
37.1
37.3
37.3
37.4
37.5
37.6
37.8
9«5/58'68o6o
9.67.59.88311
9.5o.ai.i6685
9. 58. 4a. 53507
9.59. 3.98701
9.59 -35.58895
35
i4
38
97
ai
9-59-47>43»a
10. o. 8.84780
10. o.3o. 63735
10. 0.53.5117s
10. i.i4.47'4^
1.36.5167Q
Diff.L
10.
38.3
38.3
38.4
38.5
38.6
38.7
58.8
38.9
09-0
39.1
39.3
39.3
II
39.8
399
10. 1.58.64793
10. a.K0.865i6
10. 3. ip. 16875
10. 3. 5.55897
61
3i
4"
53
10. 3.a8.o36ii
10. 3. 5o. 6004a
10. 4'i3.a5aao
aa
85
55
to. 4-58.Bl9'a5 7b
^ Ta
10. 4'^^'9j9^7^
"".01
•ooiSi
•a8473
.368ai
.45134
.53593
.6aQ i7
.70467
57
8333
8347
8373
598398
^
aa.iSiiS
aa.aiTaa
aa.3o359
aa.39oaa
aa. 47713
n.
84a4
845o
35
6a
o5
65
41
3a
10. 5. ai. 73509
10. 5.44*7395a
10. 6. 7.83a8i
10. 6.3i.oi5a7
10. 6.54.a87i8
10. 7.17.64883
10. 7.4^ «10051
10. 8. 4*64^53
10. 8.ao.a75i6
10. 8.51.99873
aa.5643i
aa.65i27
aa. 73901
aa. 83753
aa.9i583
a3. 0044a
a3.oo3aQ
a3. i8a45
.37100
a3.36i64
§8
7|
93
11
5i
iâ
68
61
6a
86
8476
85oa
85a9
8555
858a
8~SÔ9'
8636
8663
8690
S718
8746
38
61
00
a3.a7i<
.36ii
.4511
a3.54aoi
47|a3.
79
55
79
50
«7
15
18
40
78
34
2r'
8803
883o
8858
Sg87
8916
8944
8974
9003
m.
35 a
aS
37 40
43 40
i56o 4'
3576
3691
3606
3633
363
365
55367a 4
36884
7034
7384
3756 4
3771
o5
93
01
a4
69
4o«5
.6
0.7
40.8
40.9
.0
9 4
M
.1
.3
.31
■i
1
, 9
4a. o
a788|4a.
aSof
10. 9.i5.8i35i
10. 9.^.71983
10.10. 0.71798
io.io.a7.8o8a6
10.10.51. 99099
oa
84
11
"88
i5
II
4^.1
40. a
40.3
40.41
I40.5
10.11.16.36648
io.ii.4o.635o4
10. la. 5.00608
10.13.39.60361
10. 13. 54» 30337
10. i3. 19.04636
10. i3.ip. 88491
10.14. 8.81854
10.14.33.84748
10.14*58.97306
€7
33
33
08
39
46
81
69
33.63363
33-73356
33.81478
33.90631
33.99814
34*09038
34. 18373
34.37548
33
33
83
37
77
54
73
97
11
43
o3|3894 4a«7
3914 4a-8
9o3a
906a
909a
9133
916a
4S
5o
77
1 3968 43.1
3986 43-3
3oo5 43.3
9183
93i3
549344
9000
18
80
34:36855
34.46193
34.55563
a4.6i^65
a4'7^99
34.83864
34.93363
35.03894
35.13457
35.33054
WBtatssm
65
75
07
û
s?
85
9338
9369
»^
9433
9465
96
84
66
66
89
8
>3b
,53
149563
88 9596
66k6^o
89
o3
a93i|4a.9
3949 g.o
3o37
3043
3o6a
3o83 43.7
43.8
3i33
3i4i
43.4
43.5
43.6
43.9
^0
375844.
318344.3
3aoo 44-3
3333 44.4
3340 44-^
3360 44*6
3385 44.7
330444.8
3335 ^.^
3347 45.0
0*14^ 58*97306
0.15.34.19361
0.15.49 50946
«•'^•i4-9"34
O. 16.40.43330
0.17. 6. 04110
0.17.31.74657
0.17.57.54998
0.18.30.45173
o.i8.49«4Sai7
o. 19.10. 55i65
04
33
53
60
74
70
48
0.19.41 «75053
0.30. 8.04913
0.30.34.44785
0.31. 0.04703
0.31.37.54703
33
68
33
87
77
3
0.31.54*34831^
0.33.31.00095 14
0.33.47.95561 10
0.33.14.96356 38
0.33.43.07318 o3
Diff. I.
35.33o54 66
35.3i684 69
35.41348 19
35.5104s 34
35.60776 3
35.70541 5
3S.80341 08
35.90175 14
36.00043 96
«6-09947 78
36.19886 84
36.39861 36
36,39871 54
a6. 499*7 t>5
a6. 59999 90
36.70118 55
0.34. Q. 38483
0.34*36.60091
0.35. 4*03079
•.35.31.5448Ç
0.35.59.37349
36.80373 8a
36.90465 96
37.00695 18
37.10961 75
37.31365 9a
n.
9630
9663
9697
9731
9765
9799
o3
5o
i5
o5
17
53
9834 06
9868 83
99o3 8at3534
9939
.9974
9537.31607 95
90I37.41988 o5
95
43
93
0.36.36.90709
0.36.54.74603
0.37.33.69073
0.37.50.74155
0.38.18.89891
3i
68
57
0.38.47.16333
0.39.15.53487
o.39.44-oi4a7
o.3o. 13.60180
o.3o.4i*a9796
10
97
17
35
84
o.3i.io.io3o9
o.3i.5q. 01763
0.33. 8.04197
0.33.37.176*58
0.33. 6.43187
37.53406 48
37.63863 5o
37.73359 38
37.838q4 37
37.94468 71
38.00083 67
38.15736 5i
38.36430 53
38.37164 97
«8.47940 10
38.58756 18
38.69613 49
38.8b5ia 35
0.33.35.77836
0.34. 5.34619
0.34*34.88609
0.35. 4.51841
0.35.34.33358
«9
19
§8
^7
38
85
53
5o
38.91453 00
39.03435 73
39.13460 78
39.34538 49
39.356 59 i6
39-46793 o5
«9-57990 46
39.69331 67
39.80516 98
0010
0046
0083
0118
oi55
06
53
75
11
35
65
37
0193
033Q
0360
o3o4
0543
14
33
57
m.
334
33«
3390
3413
3435
3454
55oo
5546
3566
3593
36i4
364o
5663
3687
3708
5735
3760
o38ô
04 1 8
0457
0495
o534
173786
o538o7
0574
o6i3
o653
10
43
03
88
33.
134095
0775
0816 084133
0857
0898
0940 654ao7
0983
1035
1067
1110
ii53
34 ,
963988
844018
03 4043
444069
3i 4i55
864179
67I4533
834^
i»97
ia4i
1385
41
91
3i
4580
4410
nun
ÏAbLÊ V«I.
•ir«i^-^«M
E(^5^y '
o.7?537
0/^53 1
0.78530
0.78506
e,7gi^5
0.71^4^1
0.78433
O; 78401
0.78364
o. '78804
^i633
64307
i'd53i
08470
58618
0778273
0.78300
0.701^
0.78120
0.78059
J9^
40878
8767'8
16229
'2
34346
30700
33653
0-77994
0.779»!
0.77853
0,77777
Of 77697
^K3
78015
323i5
17240
40185
0,77614
0.77527
0.773^
o8q3o
^640
16858
73508
10885
0.77147
p.7Jrp44
0.7Ç000
O' 767*9
0.76605
0.76489
0.76371
0.76250
o.7fri28
3865F
66862
05898
66524
B9«5i
^
97360
90846
512467
0.76003
0.75877
0.75749
0.75610
0.75488
0.75356
0.76225
o.75q8g
o.74g54
0.74818
72624
34888
3oQ28
74801
80864 _
.S37rri9
38277 90
10708 o5
234i3 37 .
66041 76
biff*. I.
2 17326
6 51775
ïo «56'i6
i5 18^4
13 W'i
23 79435
22
^8 p67âb
32 3i5i3
36 53200
46 71448
44 86857
96026
)3 oiS53
67 Ô2042
«o 07096
64 863i9
68 6q3T8
Y^ 4570b
76 16075
«3 Ï1254
97
86 77290
90 14701
g3 X535o
96 02Î622
99 7^»^
4 §4449
4^41
32827
âi4o7
295fô
, À ^7355
4 247aa
21686
18248
. »44p8
4 10168
01
4 05627
4 00489
3 56654
3 89223
3 82998
lp2
io5 6Qo6i
111 0066^
.1 13 6249
116 6661^7?
1 1*8 38379
120 67760
122 64320
124 57766
3 28009
3 i92y2
o 69604
.fl 99^68
2 80 iW
2 Jr84o9
2 f7h94
2 66828
2_44biy
1 2'è. ^7736
128 60960
129 66126
i3o 93947
i32 17140
w
i33 26435
i34 18669
1&4 06294
i35 5$37i
i36 04574
231866
a iq38o
2 06666
1 93430
1 79980
1 66220
1 62167
1 37820
1 28193
1 08294
12
93734
77724
62O7.Ç
46203
30117
\k.
608 4j!)
ioi3 ^8
i4iô M
22^8 th
2632 §1
3b303
S4^ à6
4^0 58
4640 1-2
»
7bd6 84
^4.86
75^b -65
8168 82 ,
<}fiQ6
qdïfe %3
^99- .7^
cySa *5
1^5 là
181 1 .ii7
21&1 -42
2485 82;
2814 07,
3i35 è3i
â4So 18.
4066 02 .
4346^
TV.
40S49
406 âj-
4o4 fa
ioB 3a
406 'ES
l^oa
^80 m
M_2i
^74 61
55 3à
§40 iS
fe£4o
39i8 àS
!lai '56
^ 96
5<(o9 73
5o4^ ao
3^ 58
6o8i5 ^9
6a84 ai
BOO
80 ^
1 14
&71 36
'iB6i ôb
fl4b'88
'^ièt6
■i^ 'S'a
tS5^
V.
«9
3àf
3 58
3 «5
408
4 4$.
TÏÏ
5 75
6 iS
U
t 85
"9 «3
10 36
la 5t
i3 33
15 79
TABLE TttL
<S9
F(45«).
0.78541
0.7^59
0.7K74
a.785^4
0.78617
a. 78646
0,78678
o.7»7i6
8t6SS
28370
37188 m
574^84
1 1083 66
0.78801
0.788S1
0.78905
0.78968
19565 fl€
4a8dv 9i
4^374 9K
0.790Û1
o.79iSfi
0.79^86
0.79615
0.79484
^.79675
T>. 79660
o. 79768
0.79870
8t438 4d
40ÀS &5
ao875 09
Atiioj 00
4]^^ 79
7^8 iS 90
s484a58
47^^*^ 58
4a» «1
8o7«8 &!
4Ar98 5i
Q43ttO 4d
3i4^t oa
5i4&6 gfl
0.80199
o.8o3/6
0.86436
460S0 60
10676 tt6
22470^
6iorâ
o,8o56o 4o&i5 39
0.86687 '""^
0.80817
0.80961
0.81088
55814 07
98456 91
§990655
3ii^9 4^
o.8i9ji6
0.81570
o.8t5i6
0.81664
0.81814
0.8919D
O. 89980
0.89440
o.8â6ai
oi3B6 95
63599 ^5
19196 o
,765^9 00
S^38616i(
Aa66i 68
77565*3
34646 bf
7$7fta4j9
Dîff.I.
17896
€ 51930
10 86987
i5 acm^
55659
86396
98 i8i96
3a 48863
36 78404
41 G^9S
45 33o58
â 57891
80619
58 oi95t
Gm 1*9609
66 35177
^
70 48O88
57899
64336
67991
86 664^18
90
9^ &1469
.94 5&199
98 3Bo8d
09 19095
io5 946fl3
80
S 6^95
96S64
16 86769
90 36911
a3 79608
97 i5ig8
3o 4s644
i35 6i4€8
36 71476
'59 7^^^4
149 61179
i46 40375
lis d699i
l5o 64396
i53 07864
55 38976
59 67080
61 44ii5
63 i63o4
64
U.
14
g'799 84
30746
90691
98118
96534
9476S
•99^28 o3
âo63d o5
18967 88
36667 9a
1985i 67
09801 *ki
06606 09
4 09966 S9
5 9gi57 «7
9 96040 .90
S 00669 3i
3 85968 49
S 80946 3b
5 76698 07
8 89901 40
5 67306 îi5
5 5o58i 78
3 4^991 4^
5 35596 76
Z 9744^ OQ
3 18835 18
S 09707 47
5 00079 04
a 899 >7 77
9 799c^
9 67915
9 56o34 93
9 43539 09
9 3o4'o 4o
9 16699 11
â 09170 '50
1 B7035 18
1 711B8 97
1 546110 "69
]o63 14
Bfl6 47
1409 97
1684 of
1771 65
1^66 Kl
9166 98
a374 17
^690 56
sï8i5 75
3o&o 56
355o 70
38i7«5
mil
jpm ^9
4698 89
5oi5 19
5547 fi3
5606 67
6069 11
«7
7«to 57
7695 66
8149 86
8699 91
9118 71
96518 43
[0161 97
10714 53
1^8779
1881 4a
3496 ai
i3i98 €a
3781 ag
4459 Ta
i5]4i 41
5646 91
6667 68
7^3 16
^5
S49
965
889
V.
iS
VL
90 t€
19 6a
19 916
1B66
17 '86'
II
"Sa
54<»
TABLE vin.
7»
75
76
7I
8fl
83
84
85
8$
li
89
90
0.71021
o.7i53a
0.71447
0.71366
0.71889
)45i6
igoao
3o446
61
16
0.71^16
0.71148
0.71085
o.7iofl6
0-7097»
fssa
aioo5
40539
38o5i
44
5.9
40
14
0.70033
0.70879
o.7or
0.70801
0*70776
â9446
01874
83699
74479
7994»
f
89
0.70753
0.70734
0.70731
0.70713
0.707JO
04970
53577
38904
67011
9
00
75
36
8!
81
76
7»
19001 li
93596 86
19994 45
89178 S7
53817 45
63
58
54
4»
34
38
33
Ô68Ï53Ô
^808 55
80466 IQ
03488 36
i 56o4 39
30573 11
18174 91
09330 14
94536 70
74973 6a
^8
i3
7
+ a
- a
51393 34
34673 9|
20706 a5
5385 8q
65385 89
4 58oo6 75
4 6834a 36
4 77977 .33
4 86883 87
4 95o3a fl8
5 oa397 ao
5 089^4 77
5 14683 44
5 19564 08
5 a358o s8
5 36718 41
5 38067 68
5 3c^ao 36
5 30771 78
5 3o3ao 96
o335 61
o635 57
8905 94
8148 41
7364 9a
6557 57
5728 67
i08o 64
4016 ao
3i38 i5
fla49 37
i35a 68
+ 45i 4a
— 45i 4a
i35a 68
8a8 go
848 o3
86iJ44
878 07
888 86
896 !
901 a
90a BA
801 a6
96 59
10 i3
1641
i3 63
10
7
467
4. 1 58
- 1 58
7 73
a 7a
a 78
a 84
3 06
3 06
3
3
3
3
3
16
o
o
06
^ .
TABLE vnr.
»..
5i
Sa
53
54
55
■58"
5J
■ffr
63
■gr
6J
70
7»
73
7?
î
o
81
8fl
83
84
85
■gg"
87
88
89
90
F(45«).
0.89601
0.80764
0.83934
o.83o^
0.83963
0.83431
04066 60
53991 46
7ia34 67
97747 81
a^aoag
o.836oo
0.83770
0.83940
0.84110
o.84a8o
.1.
3a6oa 14
oio3q 54
089^ 4o
34411 49
54840 39
163 i53o4 19
164 69924 78
166 07343 fli
167 fl65i3 14
168 116078 48
i6j_22zl^^
0.84450
0.84619
0.84788
0.84966
Q.85iaa
o.85a87
0.85450
o.856io
0.85769
0.86934
46835
86377
483a8 43
07461 84
37490 71
ii6o5 94
03430 07
83017 07
33014 66
93630 38
169 68437 40
170 07893 86
17a 35478 09
170 30438 90
169 91906 40
n.
1 54630 5q
1 37318 45
1 19369 93
1 00465 34
80837 37
6o56i 65
4?
Wl^i
i6a 39441 53
100 0305l 11
167 69133 4i
166 3bo38 ^
164 7411 5
0.86077
0.86337
0.86373
o.865i5
o. 8665a
0.86786
0.86916
0.87038
0.87167
0.87369
0.87376
0.87477
0.87673
0.87609
0.87740
67713 09
14918 5i
06697 68
10441 84
99674 5o
43660 37
i353o 61
8o353 96
1686a 8
93383 67
16a 90814 i3
160 79507 QO
i58 39096 69
i65 71006 73
i5a 7409a 71
+ 17684 a3
— 5o49 19
38433 60
63553 87
77390 43
1 03917 70
1 39104 54
1 55910 64
1 83501 10
33
14a 47206 4a
145 90779 n
lis 04744 16
i37 89133 66
i33 44086 87
138 69860 a4
133 66833 35
118 355o8 86
113 76630 86
io6 90657 06
3 Il3l6
3 3q6oi 31
a 68390 97
a 97613 01
3 36887 39
3 66436 35
3 86o35 01
4 i56ii 5o
4 45046 79
4 74396 63
83o3o 70
61781 67
2f7»i 39
86043 34
SSSÎq4 06
0.87814
0.87881
0.87940
0.87993
o.88o36
77474
48101
77420
49470
60193
%
73
100 78760 94
87 81538 96
80 98360 73
73 94170 41
0.88073
0.88100
0.88131
o.88i33
0.88137
67639 67 a8
9»497 16 ao
14360 58 13
3oi84 o3|+ 4
35870
66 70636 û6
69 ^9319 06
5i 72049 89
17335 95
5 o3o36 89
6 3i334 49
5 68988 01
5 86883 79
6 11876 13
6 36838 aa
6 666o3
6 83o68
7 04000 3i
7 a3643 46
33967 49
33763 4^
16033 46
06686 17
o5686 17
7 ii3o7 40
7 67369 67
7 71337 o5
. 7 83586 89
7 93368 46
8 01204 07
8 06839 97
8 ioa37 38
8 11373 34
8 10357 a8
m.
17303 16
18048 5o
18804 69
19667 07
ao336 83
3no5 09
a»87a~aJ"
33633 4fl
a3384 3i
a4r30 37
34836 65
IV.
35337 a8
a6i86 84
26809 ^o
37587 46
37910 i3
31384 98
38789 76
39133 oA
39374 so
a9538 96
39608 76
a9576 49
a9435 39
30178 8i
38801 36
38307 60
37663 5a
36896 78
36903 33
«^5a
10
3377555
33464 46
a 1033 08
19453 14
17763 95
746 34
766
763 3!
767 85
769 37
767 14
761 19
760 8<
736 oî
716 18
69073
V.
659 66
633 36
678 36
627 67
469 85
40478
333 38
a5a a4
164 68
+ 69 80
— 3a 37
s56
ao
18
66
16963 37
14067 38
13069 84
634 08
76774
9o3 45
040 33
176 55
5635 00
3397 91
+ ii36 06
— u35 06
3397 Si
3ii
44fl
668 94
689 10
801 68
904
997
3078
3145
»»99
89
54
333?
3363
3370
3363
8338
9
7»
9 75
1 4^
a i3
595
io"3ô
14 83
19 88
35 45
3i 17
37 3o
5o 09
67 8*3
65 07
53 3o
o a
87 5
94 88
oa 07
i
08 93
i5 sS
31 i3
36 08
3o 43
S^6^
3571
36 78
36 33
34 54
S4t
3l 34
36 56
30 a5
ia49
o3 ai
YI.
s
a
3
3
3
4
46
83
o5
55
83
35
453
5 o5
5 57
5 7a
6 i3
6 6q
6 79
7 id
7 35
743
7 54
7 5a
7 3a
7 »3
6 86
T3a
5 88
4 95
4 34
9 34
a o5
4-1 07
i 78
3a5
83 65
o 70
67 6q
5376
38 88
a
13
a51
a3 66
+ 7|7
38 88
if
6 01
7 7f
9 38
o 56
t aa
3 04
3
i
33
5 74
5 79
5 32
487
un
■TABLE Vai.
mmÊm
E«.
1.57»%
1 .56780
Diff. I.
1 « 96649
1 tf563iD
1.56»! 4
1 .55888
63967 95
67091 do
•i5o4 d4
37*i^<i6 08
(7*1^2^ 08
IC789 77
1 .5663q
1 .56368
1 .54755
i>544i6
^7577^
75611Q 6q
flaaqo 10
17493 5r
7ic)66 oa
1 1 96 176 67
35 878911 3i
107 46456 3i
i3i MbSû 17
154
178
9D2I
205
5tt(8
73988 3'i
i.54o5a
1.53666
I «SSaBg
1 .6d83o
i.5fl379
97977 7»
08919 37
IQDOQ 84
45758 70
o4eg9 i5
i574j aë
97375 65
73877 4«
63960 54
,q3o5a 60
1^
1.51907
i.5i4i4
1 .5o|^oo
1 .5o366
1 .49^ 1 1
8905» 34
80409 53
73751 14
40789 55
89337 87
«9*74 98
71479 i5
3i3fê 53
ifea84 an
371
)4
7
[o
>3
3b5 i7765T(
4|:>7 3509a 30
4^9 0991-6 93
4&0 70907 q4
47a 06753 34
i.486u^
r .48039
1.47398
I .4674»
«80^ 45
96638 aS
98873 49
âsogS 39
493 iffiaS 33
5t3
534
554
574
37^78
ooiiio 6a
7aoG9 3i
6^173 98
1 .45^90
1.44686
1 .43966
2j^45*?9
1.41707
1.40933
1.40135
1.39314
35o63 i3
77960 œ
93406 95
31471 i5
09693 07
6Sa
65o
66»
19073 81
41% 17
37760 84
6779 o3
o3i a6
2^
87
o3ioi 35
49333 73
97ifo ^
97007 85
o3i85 33
6te 57101 48
703 855S 70
730 7093& 80
787 11778 08
753 06591 83
1.38488
1.37650
1.36799
i.35g37
1 ..35064
65913 75
43357 7a
01658 73
69073 75
386io 48
H.
sS oi7i5 64
s3 89803 4
3
33 866r3 43
33 82^48 i5
33 76405 86
33 69085 74
38 61086 6c
33 5i5o7 16
33 40645 83
33 38600 83
33 36070 o3
s3 oo35i 19
33 84341 61
33 67038 41
33 48438 3s
33 a85?7 7*
33 07333 64
3fl 84818 69
Al 60991 OS
31 35844 40
31 09373 99
30 81570 ^
30 53439 84
30 91943 69
19 90103 6
19 B6 qoo 8
^
IQ 33D35 36
18 86366 67
fS 49013 10
18 losSa si3
17 7007^ ^a
17 38453 33
16 85383 10
16 40843 38
i5 g48i3 74
i5 47^75 yi
14 98305 73
14 47579 55
i3 95370 01
i3 41548 86
13 86084 55
85o
86a
875
883
13 38943 96
Il 70086 99
11 09476 '39
10 47066 go
9 8a8io 96
m.
1913 33
3i88 9j
4465 38
9743 39
7030 la
8399 14
957944
io86t 34
i3r45 00
i345o
i47'8
1600a 58
i73o3 3o
18600 09
19900 60
3iao5 08
335i3 q5
a38a7 67
a5i4S 63
3647r 41
3780» 54
aqrxo 61
3oi86 i5
31840 03
33303 84
34575 4t
§ï 69
13 48
3876096
4oi8a or
4161» 00
44îéo
46038
47^38
4gofo
50636
5a3oa
53»3i
55464
57141
58655
60610
6a4oQ
64355
66154
TABLE Vm.
S4S
0.
s
F%
5707s 63^67
57091 5g58i
67107 49âa3
57187 3b<o5
57271 ikj04^
57379 ai3o'9
5784»
Îef40 t>D776
064 oQaoB
5B ag4 a8aj3
58509 4^^7
588iq; 7aiia5
5945« 83409
598*14^ Aooai
18
iS- F 1.60197 85^
60608 i3^4
6104$ 4i567
6^1 5 10 OQl^O
gaooa Sogjfu
Ça5:^ ^6677
91016
64a6o 4 i4P7
64899 5fli84
«4! OTO
^5569
66271
67005
l5Sf
69963
59664
94369
4881(0
68575 03548
70953
71139
79139
73194
o83i3
51756
75916
.76395
Û93?4
59364
61840
59091
ai3i(8
8i9i5
89560
83956
85407
i544o
985S6
1-8981
67910
46773
XKiF.I.
i3%i
j4a 45
>58i À
881144 81
96959 3b
14768 Sa
43^16
85q6o 96
43o69 07
18704 4^
>94
œa79 74
981.9? a3
ff8b43 80
67699 78
4983b 56
77686 35
'-'$
5i^38 79
83077 o5
675(577
10747 6d
17078 Si
93 93699
93 96638
94 01663
9408714
94 17809
94 4^999
94 0760 i
94 7514a
94880
16898
a5 ^1907
95 07894
95 97099
96 98667
96^9913
9
85o
97 39678
389907
97855
98 ^65a
701
767
801
»5S
goSai 8*1
|<f77 79
54578 11
54707 39
4boa4 q3
187a
908
94s
'985
1095
1066
1109
ii5ia
1198
1945
16790 06
87688 44
6i369 18
43449 83
40587 70
60090 4a
09476 90
07960 4&
39967 81.
94091 65
1993
1344
i396
1400
1607
83096 19
^0444 74
48999 5o
79669 07
986<7 3b
99 9673^
99 af96e
3o i04o3
9i o653o
3i 73943
3a 44355
33 19900
34 00139
ZA 85317
35 76765
36 71798
37 7S773
38 8ao8o
39 97144
4* i2£i
4a 49455
43 87774
45 36007
46 01 833
48 59004
47
5o 37348
5a 37784
54 3i339
56 491^5
58 89496
3009
5o94
7061
5054
ti 160
i3953
IV.
17541
W47
9aoo3
94^14
96686
94^198
^645
aow^58
3096 68
9043 63
73 ; 9o65 69
\ ao93 74
9195 l5
9i6a oS
9906 36
9955 60
93i.i 00
9^9 76
S9798
49698
4^éfi
9600 a6
9%1 59
9791 33
j 99P0 39
0( 3019r 91
3i4J3r57
3989*38
.344^43
69996
66919
7111a
75544
80998
85i88
9603s
01975
o83o6
16064
99987
3oo9»
3831^9
47939
56896
90436
03547
OOOOI
50991
3§o8
V.
969 5i
. 969 19
\ 5585 73
594a n
63^1
6767 3i
79a3 63
V^ S?
8996 3V
^9^3 74
9^93 67
10344 ^^
IM73 69
19099 07
i3iii 43
14946 OQ
i55q8 96
L6q90 o5
o5| 18600 59
19 10
16 96
aa 06
97 o5
3i4.
3778
Î5 6a
5fl8
91 96
sa 81
im36
l-AO 81
iêZ 06
_i66 351
*8ô^
156 5o
9i3 54
939 a3
9S9 69
974^
9Qq 61
356 38
3894^
49S 76
iS6&
&1.1 98
56i 4iP
730 43
918 09
1019 36
ii3?^
1963 17
1441
i58o
J774 80
9465
37 00
3fi3a
4065
xfss
50 131
5d«3;
&7 43 6a. 5a
70 55»
!t 89;
9 iS
loo- 81
114 3o
199l 5i
148^ 69:
68 76
544
TABLE Vin.
«.
8i
8a
83
84
85
86
87
88
89
90
5Ô64
34180
^38S
3a384
31473
3o553
388io 48
6o58i 3i
99541 18
31844 8a
9560a 65
9094a 97
agj»? ?°?79 94
a68i4
aS867
34918'
33966
a3oi3
33058
aiio5
3Q48a 5o
6d3io 64
96a47 78
16906 07
1175a 80
59a4i 86
9937 54
60976 68
901 53
19904
18958
17317
16389
81841 14
56765 80
90843 45
93896 84
79644 93
15454
14534
13694
19794
11837
10964
10106
00966
08449
07640
66776 95
78566 81
43646 84
96377 57
77379 70
34135 43
91687 58
03455 36
59193
5ii3o
'4
06860
o6io5
05377
04678
04011
95399 78
qS337 54
0990^ 07
64993 45
43967 06
03378
09784
0993l
01793
01966
94693 91
36j97 41
96881 68
6qi83 41
^069 34
00864
00696
00968
00076
00000
73669 07
86879 OQ
40855 98
16777 09
00000 00
883 78999 17
893 61040 i3
909 77696 36
911 96949 17
939 43S93 ^1
9^7 979^5 33
949 74171 86
946 69069 86
949 80041 71
969 044S3 18
953 39511 o5
953 89984 39
'" 1681 86
1434 64
943 96076
945 66916 3!
940 97099 61
935 14181 Ql
998 19869 68
919 88908 44
g 10 54919 97
899 47«69 37
887 18997 87
873 4S944 97
868 19447 85
841 18939 99
899 61961 69
809 01069 98
779 558oo 98
755 01939 94
798 94133 Aj
639 04910 09
66^ 9io36 33
639 49333 i5
694 58496 60
553 io3i5 73
607 66698 97
467 34191 07
401 554q3 a7
338 93696 98
967 46016 81
i83 96078 96
76 16777 09
61
69
63
1^
66
67
68
69
70
7»
73
75
7^
77
78
5?
81
'89
83
84
85
86
87
88
89
F*.
T85407
.86914
.88480
•90108
46773 01
75460 3i
86673 84
3o334 65
75464 38
10960 06
.95386 48039 59
.97988 99669 76
.99966 37667 te
9.01396 65659 01
9.03471 53i9i 86
9.06706 93997 97
9.o8o36 80666 99
9.10466 76684 91
9.i3oo9 i4383 99
9.i565i 56476 cb
9.18491
9.9l3l9
9.94354
9 . 97637
9.30878
39169
I?
46949
j6
^3^
67981 67
2^.
64996 19
99
9.34330
9.38087
a. 41 984
9.46099
9 . 60466
4794447
01906 o4
16537 39
94583 04
00790 09
9 . 66073
9.69981
9.65iai3
9.70806
9.76806
14496 ^7
97300 6i
&0046 3o
31453 69
9.83967
9.90966
a.97856
O.ODI79
3.15338
96899 18
49406 70
89611 81
86i9o 39
59618 88
1607
i566
1697
1631
1768
1898
98687
11115
43760
46199
35436
37139
3.95530
3.36986
3.60049
3. 65 I 85
5.83174
99491 43
80966 68
a499» 7'
59694 7.9
19997 66
4.06976
4.35865
4.74*7»
5.43490
lZ\ H^7?i
81696 49
59760 00
79659 70
98990 95
1901
»978
9069
ai44
9934
74670
68094
874
70 101
3o
53
81
75
68
46
a3
60
66
85
11
3339
a4ao
a5^
3649
3769
57438
«5917
37799
4ao9i
756«i4
3898
3o35
3i8a
S341
35ii
14780
46467
79969
08
01
3a
38
o3
55
81
3696
^?
4356
4618
54661
i463i
78046
06906
13706
M
65
98
85
4908
533i
5593
6460
8a8o4
89745
96099
55307
94375
6.389^
7600
.85i5
9»65
10191
114&F
i5o66
16143
17988
99101
93577
40106
96608
66398
76909
59
II
58
49
55
60845"
447*5
34705
6o3o9
61697
96
06
06
87
85
9868
040
9ai9
i
58064
S9899
96645
5i
TABLE fit.
545
*«
3 o
a6
E(o»).
E(i«).
,00000
01745
o34qo
o5a35
0Ç981
08726
00000
SaoaS
6685o
08776
01701
646a6
00000
01745
o34qo
o5a95
06981
08736
00000
Saoaa
66829
98703
3i528
64290
10471
12217
13962
1S707
17453
97661
30476
63402
96327
29262
0.7
20943
22689
24434
^6179
27926
29670
.3Ï4I5
35161
34906
36651
38397
4014a
41887
45633
45378
ri23
I869
60614
62369
54106
6585o
57695
69341
61086
62851
66322
68067
69815
7T55?"
733o5
76049
62177
96102
28028
6oq53
93878
26803
69728
92654
26679
68604
9'4a9
24354
67280
90206
23i3o
66o65
88980
21906
548S1
87766
2068 j
5S6o6
86552
19457
62582
855o7
i8s32
61168
84083
17008
49953
82858
16784
48709
81634
10471
12217
13962
16707
17453
19198
20943
22689
«4434
26179
96970
62026
94369
26569
27025
29670
3i4i6
33i6i
,34906
5g65"i
58596
4014^
.41887
45652
68611
90473
22168
63656
84895
*59ï9
46700
77221
07469
57452
67096
96451
26485
64182
82635
4557g"
.47125
48868
,5o6i5
6a559
10654
58i66
654a4
93296
18776
54104
66849
67694
69340
61086
62830
64576
66521
68066
69811
44854
70622
95774
20602
44999
68967
15557
38i8i
6o35i
E(a»).
00000
,01746
03400
,06235
06981
08726
00000
52914
66764
08484
Siolo
65278
10471
12217
15962
16707
17465
26704
67896
18626
19198
209^
,22689
a4454
26179
76016
04668
5i688
57948
27024
29670
5i4i5
55i6o
,5 4906
5665Ô
58396
40141
41886
45651
85281
07651
30945
65i64
74^44
94i5i
12776
Soi 55
46166
60800
45376
47131
48866
,00612
52S67
74022
86785
960^5
04766
11914
64102
66847
67692
59537
61082
62827
62(572
663i7
68062
69806
^7457
21062
25698
241^0
229^2
20041
15356
o88851o
0061 5
9065 1
;7i656 820660.71551 78619
73502 055190.75296 64871
,76047 241120.76041 49377
76792 444420.76786 5'i83i
78537 64308,0.78531 12632
E(50.
,00000
.01745
0S400
06255
06981
08726
00000
52901
66666
98121
5oi49
61697
10471
12217
15962
16707
17455
925ao
22176
61025
78720
06129
19198
20045
22688
5oiio
65628
76260
96143
13078
3i4i4
55169
,54904
28927
42565
55870
62725
69007
56649
58504
.40139
41884
,45629
72610
75420
71555
66246
68066
■453^
48864
60608
52555
54098
56843
67687
69332
61076
46670
51996
13947
.9^459
67391
5875Ô
o6386
70289
So38i
86604
62821
64565
663 10
68054
69799
38904
87236
3i565
71826
08014
71645
73287
7603 1
76776
78620
40091
68o36
91828
11458
26916
E(4»).
00000
01745
05490
o5235
06981
08726
00000
32882
656o6
97612
28944
59344
10471
12217
13962
16707
17452
88268
16731
41411
66048
86595
1919I
20943
22688
24455
26178
06208
21244
54266
44o5q
5o33S
27025
29668
5i4i5
53i58
54905
D202O
51679
46094
S62&3
21847
^6648"
38502
40137
41882
43626
02677
78646
49266
14663
7463 1
45371
47116
48860
5o6o4
62348
2873T
77087
19445
56666
8558o
54oo5
55837
67681
69526
61069
62815
64667
6o5oo
68044
69788
09081
26o36
56524
S9858
56477
26146
08761
84347
62556
15668
7i55i
75276
76018
76761
78606
67296
15677
62681
84285
08471
E(5«).
00000
01746
03490
06235
06981
08726
00000
32858
653 12
96960
37097
66226
10471
12217
15962
16707
17452
83o45
07468
29073
47499
62360
19 '5)7
20|
224
2X02
26177
73243
79803
81667
78438
69787
27032
29067
,5i4i2
35i56
34901
6536c
34781
07742
73900
02933
36646
383oo
40134
41878
43625
84626
28376
64184
91667
10647
.45507
47111
,48855
60698
62342
64086
65820
67575
69S16
61069
20669
21449
13971
04895
67000
2"^Ô77
80929
22072
53256
75361
62802
64645
66288
68o3i
69774
71616
73269.
76001
76743
78486
82601
80826
67915
43760
08276
61879
o3oc(
35ii;
61667
68619
QO
S4d
TABLE IX.
9-
1
a
3
i
9
lO
II
19
i3
'4
i5
i6
i8
»9
90
31
sa
a3
a6
38
3o
3i
33
33
34
35
36
38
4o
4i
43
44
45
F(o<>).
o.ooooo ooooo
0.01746 3aQs5
0.03490 6585o
o.oSoSB 98776
0.06981 01701
0.08726 646116
0.10471 97651
0.1&217 00476
0.13962 63402
0.16707 96327
0.17453 29262
F( !')•
0.00000
o 01746
0.03490
0.06206
0.06981
0.08726
0.19198 62177
0.20943 96102
0.22*089 28028
0.2^434 6oq53
0.06179 9387 8
0.27926
0.29670
o.3i4i6
o.33i6i
0.34906
26803
59728
92664
68604
o.3665i
0.38397
0.40143
0.41887
o. 43633
24354
67280
90206
23i3o
0.45378
0.47133
0.48869
o.5o6i4
0.53359
56o55
88980
21906
6483i
87766
o. 54106
o . 66860
0.67695
0.69341
0.61086
20681
636o6
86632
»9467
62382
o.6283i
o 64577
o. 66322
0.68067
0.69813
863o7
18232
5ii68
84083
17008
0.71668
0.73303
0.76049
0.76794
0.78539
4935^
82868
16784
48709
81634
o
o
o
o
o
ooooo
32Q28
66071
98848
31873
64962(0
o
o
o
10471
12217
13962
16707
17453
19198
20343
22689
34434
26180
081 32
3i399
98284
3iq34
66743
99736
33896
68270
02863
27926
29670
3i4i6
33i6i
34906
37688
72757
08087
43689
79676
36662
38397
40143
41888
43633
45379
47134
48869
60616
6336o
16762
62268
8007
2622
63725
01677
17865
66736
64106
66861
67696
69342
61087
6385?
64578
66323
68069
69814
96608
36693
77291
i83i4
69767
o.7i56o
0.73306
0.76061
o 76796
0.78641
01667
8Ç764
39991
73072
62406
07464
62985
9897c
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
b
o
o
o
o
o
o
F(9»).
ooooo
01746
03490
o523&
06981
08726
ooooo
32936
66936
09067
^391
66972
10471
13217
13962
16708
17453
19198
aoQ44
22689
24434
26180
99877
34167
68906
04166
3997 8
76437
13680
61496
90217
29809
27926
29671
3i4i6
33i6i
34907
36S62
38398
40143
41889
43634
70336
11827
54366
9799Ç
43768
8873s
36938
84433
34262
86470
4638o
47126
48871
00617
62362
38 100
92102
47785
03022
547S5'
55853
67699
69345
61090
6283^
64682
66327
68073
69819
33934
86885
49604
14819
81 865
60634
21178
93507
67637
43682
Tîsfô
73311
76066
76802
78648
21 366
09968
82496
66736
60901
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
6
r(3')-
ooooo ooooo
01745 32949
03490 66044
06235 .03430
06981 33262
08726 67665
10473 02782
12217 38776
13962 76780
19198
30344
23689
24435
26180
27926
29671
31417
33162
34908
94246
§6678
80807
26765
7468
24686
^6900
,448
88449
48019
36664
38399
40145
41801
43636
10272
75318
43262
14209
88269
46382
47128
48874
60620
62366
66607
46044
39968
17S34
08361
64113
56868
67604
69360
61096
02784
o3oo4
02978
08768
18430
62842
64588
66334
68080
69827
33017
49676
71162
96781
a6497
71673
70060
76812
78669
60328
98298
40434
86718
37189
F(40.
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Ô
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ooooo
01746
03430
062135
06981
08736
ooooolo
33969
66iq6
70008
10472
12217
18962
16708
17453
06844
46222
85392
27606
72110
»9»99
20044
22690
24436
26181
19143
68966
21796
37fiZ
27027
39673
3i4i8
33i64
34909
36656
38401
40147
41833
43639
00706
6790
3934
14960
96319
80266
70266
66407
66896
71899
45385
47i3a
48878
60634
53370
83587
01121
24660
54353
90341
54117
56863
67610
69366
6iio3
63860
64597
66344
68091
69838
32759
81732
3738o|o
9812
9'3'
71686
73332
75079
76837
78674
46430
28796
19301
17019
2300b
Î3
182
3
6
81Ô44
16625
67437
F(6«).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ô
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
01746
03490
06206
06981
08726
ooooo
32993
66389
00691
36oo4
73027
10472
12217
13962
16708
17463
13068
53436
45166
96168
19*99
20045
22630
24436
26182
61118
10412
74414
4349»
i8oo3
27027
39673
3i4iq
33i66
34911
36S57
38404
40160
41896
43643
983o3
84738
77648
S 366
_.2l5
98610
20666
5o652
89085
36i3o
45389
4713*6
48883
5o63o
62377
%
2o55
&7116
3i668
16616
09609
64124
66871
67618
69366
6iii3
13460
27636
62253
87474
334&
62860
64608
66366
68104
69862
90357'
583ool
37410
27792
29641
71600
73348
76845
78694
43737
67445
03717
61690
11090
TABLE IX.
Hi
46
%
5i
5a
53 o
54
55
E(o»).
O
O
o
o
o
o
56
6a
63
64
65
66
67
68
69
7°
7»
74
76
81
8a
83
84
fô
86
li
90
O
o
785^
8ofl85
8flo3o
83775
855ai
87966
81634
14559
47484
80410
13335
46a6o
890 II
90757
gaSoa
94*47
95993
79185
isiio
45o36
77a6j
1088I
97738
99483
01339
03974
047 '9
43811
76736
0966a
4a587
7551 a
Ô6465
08a 10
09955
11701
13446
08437
4i36a
74988
07213
4oi38
15191
16037
i868fl
20437
aai7û
73ob"3
05988
389 14
04764
90918
95&63
97409
99154
30899
37689
70614
03540
36465
69390
3a645
34390
36i35
37881
39696
093 1 5
35940
68166
01091
34016
41371
43ii6
44869
46607
48359
66941
1866
Dt)7i7
9864^
50098
51843
53588
55334
57079
3i567
64499
37418
S0543
63968
o
o
o
o
o
o
E(i«).
78537
8oa8a
8aoa8
83773
855i8
87963
64308
83710
o965o
91196
1698
89008
90753
9^99
94944
96989
73796
o663S
99384
37699
97734
99479
01994
09960
04715
59564
67005
81093
94693
07815
06460
o89o5
09550
11695
13440
90604
3^999
45011
56647
67917
i5i85
16930
18675
90491
9ai66
78833
89403
99640
09554
19158
93911
95656
97401
99146
30891
98463
37484
46931
547*9
69961
39656
34381
36 196
37871
39617
78763
86359
93753
00979
4i369
43107
44859
48349
08047
14971
91767
98459
35o39
50087
5i839
53577
55399
57067
41547
^7389
54383
60745
67091
E(90.
78531
00975
8909b
83765
85510
87954
19539
28368
43507
16809
88959
88999
907;
9MÎ
94«33
95978
57889
96700
91718
55948
18414
97729
99467
01911
09956
04701
79*36
38i38
95443
5io8i
o5o8j
06445
08190
09034
11679
13493
16167
16919
18656
90401
99145
57474
08995
57673
o535i
61668
965B3
40079
89960
93i5a
6980a
93890
95634
97378
99193
30867
39611
34356
36100
37844
3958 9
41333"*
43077
448a 1
46566
48310
01958
38679
74795
09981
441 83
77457
09869
4i449
79980
09499
31996
6086^
89976
17945
4485o
60064
61798
53543
65987
67031
79099
99094
96904
69585
79199
E(3*)-
78690
80964
89008
83769
86496
87940
88984
90798
90479
94916
95959
97703
99446
011^0
09004
04677
96916
38199
463io
48968
47054
41716
39965
18739
01148
79551
55983
«449»
91198
53960
i3oi9
684o9
06491
08164
09908
ii65i
£3394
i5i38^
16881
18694
9o3b8
99111
90169
68304
i3i57
64549
99636
97531
69393
88110
13906
37087
93864
96697
97340
99084
30897
39670
S43i3
36066
37799
39
7799
9549
57494
75331
00757
14589
933^
3oii6
35o68
38391
40009
41986
43098
4477»
465i4
48967
40969
39938
37066
33863
9980
60000
61743
53486
66999
66979
96016
1.3647
i3849
07746
01604
E(4«).
78606
80948
81991
83734
85477
87990
08471
96939
34699
36649
3iii4
18336
88969
90706
99448
94» 90
96933
98960
70906
36358
9467
45936
97675
99418
01160
09909
04644
90991
97693
68944
89193
99686
06387
08199
09871
ii6i3
i3364
io55i
16919
i373i
06937
9*899
16096
16838
18680
9039l
99063
73858
49306
19413
84361
44340
938o4
95546
97987
99099
30770
99545
60178
06446
38669
76737
39619
34963
119o3
9180
i
37735
39477
9901
9460a
i65ao
4iai8
43959
44700
46441
4818a
m
53406
66147
66888
35808
59981
68014
81961
99943
03345
19716
91 307
99381
37196
S9BSBi
E(5)
78486
80997
81969
83711
86459
87194
68619
53990
37777I
lOOOt
706961
19908
88o35
90676
99417
94159
95899
97640
99381
01199
03869
04603
67703
84167
93359
03414
96439 I
06343
o8o83
09893
11663
i33o3
78666
49933
10715
61065
01179 1
3l939
61453
69066
63969
55340
16043
16783
18099
S0969
99001
38590
13076
79984
3749
8780
93741
95480
97919
98969
3o6o8
30795
66497
95445
17909
34906
39437
34176
35916
37854
59393
44706
49755
497'4
[961
;583û
39
4ii39
49871
44600
46548
48087
498afir
61664
633o3
66049
66780
99765
06083
86911
6353o
38434
11 399
895q3
59650
91898
90740
A
548
TABLE IX.
45«
46
^Z
48
49
5o
5i
53
53
54
§1
56
u
I
6i
6a
63
64
65^
66
67
68
69
72
73
74
TL
76
77
78
Z^
80
81
8a
83
84
85
86
87
88
89
90
0.78530 81634
o.8oa65 14559
o.8ao3o 47484
0.83775 80410
0.85531 13335
0.87366 46360
0.89011 79185
0.90757 131 10
0.93003 45o36
o -94347 77961
.96993 10886
o.83o3a oaSSa
0.83778 09707
o. 85533 87544
0.87369 35840
0.89014 84693
0.90760 338oo
0.93505 83458
0.83040 36801
0.83786 17530
0.8553a 10106
0.87378 04531
o 89034 00765
0.90'
0.9a!
'69 98035
0.83063 50671
0.83799 13671
0.85545 80839
0.83069 63573
o. 838 17 37777
0.85564 99383
0.87393 5313710.87313 78357
0.8903Q 3764^
0.9078b 07049
0.93533 90614
0.97738 45811
0.9948S 76736
.01339 0966a
.0397^ 4^587
.04719 76613
.06465 08437
.o8aio 4>36a
.09955 74388
. 11701 07313
.13446 401 38
.i5iQi 73063
.16937 06988
.18683 Z8qi4
.ao4a7 71839
.33173 04764
98687
.94361 3356i|o. 94^63 0033410.94370 781
.96996 84106 o . 9D008 08747 0.96036 697
0.9774a 35087
0-99487 864970 -99500 16786
.a3qi8 37689
.35663 70614
.37409 03540
.39164 36465
.30899 69390
.33646 033i6
.34390 35a4o
.36i35 68166
.37881 01091
.39636 $4016
.4^371 66941
.43116 99066
.4486a 33793
.4^*607 66717
.48353 98643
.60098 31667
.61843 64493
.53588 97418
. 55334 3o343
.67079 63368
.ôîa33 383
.03978 90684
. 04734 43346
.06469 96308
.0831$ 49765
.09961 00607
.11706 57834
. 13453 13407
.16197 67345
•16943 33638
.18688 78345
.30434 34184
.33179 90434
.35035 46981
.35671 o38i5
.37416 60931
.39163 18388
.30907 76899
0.97764 08906
1.01346 34363
1.03993 3460Q
1.04708 4649^
1.06484 59901
1.08330 70061
» -09976 91671
1.10469 39361
[9
»3
0,97773 65366
0.99630 64637
1.01367 67836
i.o3oi4 74774
1.04761 86433
0.89060 64661
0.90808 58a46
o.9a566 69063
0.94304 67018
0.96063 83064
1.16316 5o36o
1.16961 73740
i. 18707 96457
1.30454 a 1466
1 .33300 47716
.33663 33743
.34398 91006
.36144 60069
.37890 08634
.59635 67161
1.33946 76160
I . 36693 03749
1.37439 33430
t. 391 85 64160
1.30931 96853
1 .06608 99696
1.08366 17616
1 . iooo3 388o6
1.11760 63483
1^13^7 91466
1.16345 33636
1.16993 66937
1.18739 04339
1.30487 34439
1.33334 77460
.4i38i 36937
.43136 84867
.44873 43936
.46618 o3oq5
48363 63361
.60109 A1708
.61854 8ll30
.536oo 40680
.55346 00073
.57091 69681
1.33678 3848
1.344^4 6199
1.36170 06013
1 .37017 oiSqc
1 .59663 67161
1.41410 03569
i.43i56 40661
i.44qoa 78045
1.3398a 33 163
1.36739 7143»
1.37477 33173
1.39334 76355
1 .30973 3o556
0.97801 04108
0-99549 33067
i .01397 68811
1 .o3o46 iia6i
1.04794 60390
83333
o.Saogi 64086
o.838io Sqofio
0.86680 653 ta
0.8735$ 83796
0.89088 11746
0.90837 63093
0.93687 o374a
0.94336 665o4
0.96086 4o5oi
1.06643 16770
1.08391 77671
1.10040 45661
1.11789 19663
1 . 13557 99446
1.16386 86041
1.17035 76177
1.18784 73677
i.ao533 74367
1.33383 81037
0.97836 36431
0.99686 aiia5
i.bi536 37478
i.o3o86 443 16
1.04836 71455
1.06687 08698
1.08337 55838
1.10088 13655
i.ii838 78916
1 . 13589 54377
1.33719 87951
1.3^67 47313
1 .5b3i5 08609
1.3796a 71409
1 .59710 5587
1.41458 01780
1.43306 68976
1.44965 57536
1.46640 160891.46701 06688
1.48396 54^ 19} 1.48448 76933
1 .60141
1. 61888
^3973
Il 883
1.60196 47884
1.61944 19438
1.55654 70988,1.65691 9>4^o
i.5558i io3b5i. 66439 65684
1.67137 49534 1.67187 56io5
1 .a4o3i 93491
1.36781 08548
1 37530 38990
1.89379 53605
i.5io38 83170
1.53778 14468
1.34537 60368
1.36376 8935
i.38o36 5 144^
I .59776 76549
1.15540 58784
1 «17091 51870
1 . I 8843 55359
1.30693 43963
1 . 33344 60386
1.34096 853 10
1.35847 17448
1.37608 56448
1.39360 01985
i.5iioi 53717
i.4i5a6 358o4
1 .45374 75566
1.46034 s6585
i .46775 79010
1.48633 34187
1.6037a 90660
i.6ao33 48171
1.53773 oS4^4
1.55531 66377
1.67371 34350
1.53855 11306
1.54604 74554
1.56556 43669
1.S8108 16611
1.59869 93845
1.41611 74179
1.45565 59138
1 .451 16 475o3
1.46867 585o6
1.48619 51743
1.60571 37311
1.63 133 34308
1.53876 aa6a8
1.66637 31764
1.67379 ai3o9
TABLE IX.
349
E(5*).
I
a
3
4
5
5
9
11
i3
14
18.
'9
0.00000
0.01745
0.03490
o.o5a55
0.06981
o.oSjraS
00000
3a858
653ia
96060
56aa
E(6^).
0.10471
o.iaai7
0.1396a
0.15707
0.1745a
83o45
07458
Û9073
oa35
ai
aa
a3
36
•9
So
3:1
3a
33
34
35
36
37
38
39
40^
!i
43
44
46
0.19197
o.fl094a
o.aa687
o.a443a
Q.a6i77
73343
P^
01007
78438
69787
o.a79aa
0.39667
o.3i4ia
o.33i56
0.34901
55550
34781
0774a
70900
§3933
0.00000
0.01745
o.o34qo
o.oSaâS
0.06981
0.08736
ur)-
000000.00000 00000
33793
64798
3a83Q
65076
96163
a55ii
5a543
o. 10471
0.13316
0.1396a
0.15707
0.1745a
76684
97366
14033
36093
33019
0.19197
o.30Q4a
0.33087
o.3i43i
0.30176
34a53
39353
17483
98417
7i536
0.01745
o.o34qo
o.o5335
0.06981
0.08736
E(8*).
E(9*)'
0.00000
0.01745
o.o54qo
00000
33753
,^S4477
9533410 -05335 s4^44
30737
43304
a3386
48aoo
0.10471
o.i3ai6
o. 13961
ô. 15707
0.17451
o. 36645 845a6|o. 36643
0.38300 a8376
0.40134 64184
0.41878 91667
o.436a3 10547
0.45367
0.47111
0.48855
0.00598
0.53343
ao§59
ai449
13971
94895
67000
0.54086
G. 55830
0.57570
0.59316
.61059
0.63803
0.64545
0.66388
o.68o3i
0-69774
0.71516
0.73369
0.76001
0.76743
0.78485
39077
80939
33073
63336
73361
83601
8o8a5
67913
43760
08376
^379
o3oo9
33ii3
61667
0.37931
0.39665
o.3i4io
o.33i64
0.34899
3633a
93307
38973
7585
0348s
o. 38387
0.401 3i
0.41874
0.43618
18409
a3i94
i6iio
6607
0.45363
0.47106
0.48848
0.60693
0.63335
33608
65583
9507.9
10766
13031
0.54077
0.55830
.67663
0.69306
0.61047
99447
71858
09393
7i499
98361
0.63700 09340
.6455» 04573
46^^
93531
o . 66373
0.68016
0.69766
0.71408
0.73309
0.74980
, 0.76731
686190.78461
mmSmmSSm
a38i3
37686
79I83I0
0.19196
0.33686
o. 34431
0.36176
69186
8^469
96379
00854
98438
88384
69655
4i8a3
04071
66696
0.06981
0.08736
0.1Û471
o. 133l6
0.13961
0.16706
0.17461
60669
7178*1
76866
71817
68661
0.00000
0.01746
O. 03490
0.06356
0.06981
0.08736
.00000
3370<
6411 i
933^4
17836
37661
0.3791^9 96006
34333
1.37019
.39664
o.3i4o8
o.33i63
0.34896
39084
Ê341
761
0.36640
o. 38383
0.40137
0.41870
o«436i3
04639
63347
06337
33o39
43910
0.37018
0.39663
o.3i4o6
o.33i49
0.34893
.36636
o. 38379
0.40133
0.41864
0.43607
0.45356
0.47099
0.48841
. 5o584
o . 6a336
.54068
0.66809
0.67651
0.69393
0.61054
0.63776
0.64616
0.66366
0.67906
0.69736
35431
I0103
66447
04009
33356
31078
96768
13367
0.71476
0.73316
o . 74966
0.76694
.78453
07669
81404
33339
63a64
7Q999
66390
19311
69663
77370
73393
0.19196
0.30041
0.33686
0.34439
0.36174
353g3
01081
54767
9661 5
33407
34640
3io3o
11013
7363q
18086
0.10471
0.13316
0.13961
0.16706
o . I 745 1
60814
563i7
63803
39013
18703
E(io*).
0.00000
0.01746
o.o34qo
o.o53o5
0.06981
0.08736
0.19195
0.30Q4o
0.33084
0.344^8
0.30173
76641
336l3
66417
73873
71830
0.10471
0.13316
o. 13961
0.16706
o. 17450
00000
33658
6371 5
91665
14617
3 137 7
3996
39097
37130
03482
6364Î
4355 1
49363
34435
98368
40345
0.45349
0.47001
0.48833
0.60674
o.533i5
5q686
55739
37879
75613
98073
0.54066
0.55'
0.67!
0.69378
0.61018
96036
65866
10130
37350
17146
0.63767
0.64497
0.66306
0.67974
0.69713
79135
13975
i836o
96018
43713
0.71461
0.73189
0.70664
0.784P1 40879JP. 78364
6 1338
60430
10169
4o338
0.37916
0.39660
o.3i4o3
0.33146
0.34889
o. 3663a
o. 38374
0.40117
0.41868
0.43600
63118
13649
63317
7C053
64813
36684
81378
01308
04338
89487
0.45341
0.47083
0.48833
o.5o564
o.6a3o4
96133
03333
80394
363*84
40677
0.64044
0.66783
0.67633
0.69261
0.61000
33496
71400
8669a
67813
14^45
0.63738
0.64476
0.66313
0.67960
0.69687
35.5 16
01189
40878
10963
o.7i4a3 4?8oô 0.7^39
o.73i6q
0.766
'r
33534
89000
07073
87678
0.19106
O.aOQOQ
0.33680
o.a44v
0.36171
09101
37341
t%
00390
o4iac
0.37014
0.39667
0;3l40O
0.33143
0.34886
48961
69440
6430a
3193
71 35
0,36637
o. 38369
0.40111
0.41863
o . 43693
0.45333
0.47073
0.48813
o.6o553
0.63391
81303
60361
07361
ai 35a
01101
45597
53799
34734
67471
61135
o.64o3o
0.55768
0.67506
0.69343
0.60980
0.63716
0,6445a
0.66188
0.69657
488a3
483o3
03196
13576
78365
o.73ia5
0.74868
0.76691
0.78334
9874Q
71554
09380
8Ô871
i633o
m
PP
5So TABLE DC.
> i
TABLE IX.
sâSâttsiiss
«'
5o
£(&>).
Jf^^ 0.78485 58S19
4$ 0.80307 53990
0.81969 37777
0.83711 10001
o. 8545a 70695
o.88a35 67703
0.9067S 84167
0.93417 99359
94169 05414
96899 96439
56 0.97640 78666
5i
5â
63
54 o
56
E(6*).
0.78461 791830.78433 79390,0.78401 40870 o.7<364 8767810.78304 i8o3o
0.80000 0*63670.80170 44711 o<8oi38 it7890<8oo99 307860.80066 c53i8
0.81940 668730. 81910 9i037o. 81874 53o68o.8i833 364070.81787 4814
o. 83680 707300.83649 oiSioo. 88610 647670.83667 046060. 836i8 4470!
ry5o.8B3oo 35i88 0.853^8 q638i
0.85433 679900.86
5
6
61
6fl
63
64
65_
66
Î7
68
69
Zî.
7»
72
76
78
80
81
80
83
84
85
86
.87
.88
89
90
1.06343 3i.o3o
1.08083 61453
I .09833 63066
ii.ii 663 63369
1i.i35q3 6534*0
.1504?
E(7^)-
E (8*).
0.87194 199080.87160 48703 0. 87105 076860.87081 99§o5
o56a4|o. 85346 4607:
i8o5 0^87033 09008 0.86979 00106
0.99381 ^^99300. 99306 610470.99003 64600
1.01103 10710
1.00860 61066
1.04603 01170
0.88000 i3oi3âr8886o 671030.88817 034010.88766 869^910.88708 69107
0.90641 609740.90600 043960.90663 i8oi3or9o498 060600.90437 73954
0.93380 9375^0. 9o32^^ 106400.90086 838ii 0.93009 896490.93166 4>73i
0.94130 084430.94074 i3o38o. 94001 OÏ076 0.93061 370190.93894 06933
0.96869 08069 0.96810 84800 0.96755 3o io8 0.96090 487 00 0.96600 460^3
0.97697 $34oo|o. 976^7 350^00.97489 * 1^38 0.97433 06187 0.9734J 806^8
1.01076 1443^ *-*oioio 73i
1.03813 63004 L.037^ OfO
1.04661 764s^'»»o449' 39805
0.99000 64836
1.06089 86671
1.08007 80660
1.09766 61674
i.ii5o3 0Q078
i.i3o4o 80711
1.14978 06340
1.16716 54547
1.18453 71707
.00180 77094
.01906 71673
"13553 553o4
004971.06400 08640
,07019 964461.07136 90148
00
1.16783 13076
1.18000 79084
1.0006A 07^0
1.00001 87808
fos6 77674
_/o6o 067S
1.09697 16909
1.11430 08717
1 .06036
1.07
1.03741 30706
1.06480 6649
1
1.0^69 T7900I 1.08873 4ISSÔA
1 .SooQo 34006 1. 30609 91696
1.50437 447061.30346 08606
1.34176 49766 1.34080 67603
i.36oi5 497141.35818 79348
.37664 449^1 1 -37664 94301
39393 35839 1 .39091 00966
1.16635 78607
r. 18370 or643
1.00104 08904
i.oi838 01060
1.00963 9I0
f.o«)^8 Qfc63 1.00613
Ê(9^).
È(io°),
7090911.00803 37060
474381.00639 36387
1.04401 04596! t. 04340 876701.04366 047 > 9
1.06071 95àd7 1 . 06980 33834
4.06164 13^04
]982
1.09618 339^
1.07886 349
9618 33û
i.rii35o 06847
1 . i3i66 80674 i . i3o8i 67330
35Sr
1 .4ii3o 33766 1 .41007 06900
i .43871 o6o83 1 .43763 03704
1.44609 86311 1.44498 96877
1 .46348 6353o 1 .46334 86oo3
1.48087 38484 1.47970 71660
.49706 5439
1.33671 78606
1 .â53o6 41988
1.07088 91986
1.08773 090
i .3o5o5 645
.3o338 68398
1.33971 71660
1.86704 64786
1.87437 48645
89170 04000
1.14810 83oi8
1.16648 90614
1.18374 74816
1.30005 38353
1.31786 81983
1.03466 06488
.110^7 09787
0986 14181
0.99^53 66764I0. 99076 76987
1.00883 789
1.07800 710781.07706 01608
i,oo53o 166301.09439 71706
i.iii53 84377
1. 10877 6^j^i'
.06196 roo74
t. 06906 01 368
1.08666 73418
i.8o385 09696
1.14710 69784
1.16480 97403
1.18166 97980
1.19898 73390
1 .01600 0144 6
73534^4688
1,^1 00638
i63s4 06378
18046 78664
1.19769 18638
1.31491 37863
1.38313 o6o58
1 . 34934 665o3
1.36073 48116
1.36798 37699
i.385o3 863041.38876
1.80349 34733
1.49836 iiSoo
1.61664 80698
i.633o3 5o65o
i.65o4o 01898
1.66780 90740
1.5 1440 34804
1.53178 13468
1 .54918 90966
1.66649 67878
1.40900 91608
1.40686 '60145
1.44368 06406
1.46100 66164
1.47880 99166
1.80114 71088
1.8884398504
1.86673 111869
1.87800 ]5i33
1 .89081 06333
1.49666 8Q33I
1.01307 70104
L.53o3o 10604
1.64760 43616
1 . 56494 7363o i . 66396 3339
1.81074 4i4io
1.33699 46886
i .35434 3i83o
1.87149 01986
1.40760 87186
1.43488 58847
1.44^17 33349
1.46045 78646
1.47674 387 61
1.49403 73584
1. 61181 14471
1.63869 ^^^44
1.54687 8773;
1.57149 0190*
1.88873 6791:
1,40698 00990
1.43833 33410
1.44046 5'?43i
1.45770 65336
» -47494 69377
1.30655 7q37<
1.38876 7631e
1.3009748871
1.81817 97334
.33538 34335
1.35358 80793
1.86078 18406
1 .58697 88560
1.40417 43774
1.43136 83584
1.43856 aq544.
1.45576 35336:
1.47394 8i3i5,
i.49oi« 66876
1.60943 69138
1.63666 47437
1 .54390 Soogq
i.69i'i4 174S3
i .49013 ^39107
1.60733 3o5 10 j
1 .63451 07040;
i'.64<6q 90317;
i. 65888^71966^:
559
TABLE IX.
5i
5a
53
54
55
56
58
6i
63
63
64
65
66
fi
70
7*
75
78
78
80
8i
8a
83
84
85
86
87
88
89
9<?
F (5'»).
78694
8o34a
Sâogi
83840
8Ô58Q
87338.
11090
8aaa3
64986
5q36o
653ia
82795
89088
90837
92587
94336
96086
11746
62092
03742
66694
4o53
99586
01 336
o3o86
04836
06687
08337
10088
ii838
13589
254^1
21I23|o
27478
44316
71455
'ogeôs
5583^
12655
78916
54377
15340
17091
18842
20693
22344
38784
3187
33359
42963
6o385
24095
26847
27698
293S0
3iioi
853i
1744'
56448
01985
53717
32853
34604
36356
38 108
39869
11296
74364
42669
i55ii
92845
41611
43363
45n5
46867
48619
74^7
6912
473o2
383o6
31743
60371
5a 123
53876
55627
67379
27211
-24308
22628
111764
ai 309
. FC6«).
78617
8o368
82118
83869
86619
87370
97426
17448I
5434^
07702
78021
64894
89121
90872
92624
94376
96127
683i3
88170
24338
76670
46000
97^79
99631
01 383
o3i35
04888
201 38
28881
44001
74267
19382
06640
08393
10146
1^899
i3662
79098
53104
4io83
42700
57604
16406
17169
1891a
ao666
a24ao
8543o
78a93
4a5i8
18037
a4i74
a5Qa8
2768a
a9436
31190
0440
0117
07873
a4oi5
49^ 'o
S2Q44
34609
36453
38208
39962
82654
24l32
73019
28783
90877
41717
4347a
45aa7
46981
48736
68766
3 1860
09636
91482
76866
60491
62246
54001
56766
57
11
65 166
55829
48261
41874
56078
F (7^),
78646
8o3q8
8ai5o
83902.
86665
87408
89161
9^3Â^
92668
94421
,96175
15563
ii6o5
3o5i4
72269
06779
2398 6
3375Ô
66961
20416
96935
95a65
97930
99^84
01439
63i94
04949
16180
66393
i85û8
0146
04628
06704
.08469
10210
11971
13727
16483
1 723û
18996
20762
22609
27
70
31997
i23o7
10766
"26874
6010
oogal
75762
67031
2X266
aooaS
37780
39^38
31395
63i3o
63436
87310
34094
73i\5
33o53
34811
36568
38336
40084
■^586
06 103
86646
77690
77193
41843
43600
.45369
47117
.48875
84700
99353
30879
47000
78438
60634
533q2
541 &0
55qoq
67667
13873
52638
93619
à63i3
79816
F(8«).
78678
,80432
82186
83941
86696
87451
64447
63668
?38i7
1866
40708
69363
89307
90963
93718
94476
96351
07367
84840
9i459
20960
91068
97988
99746
oi5o3
03361
06019
83440
03717
5i5o3
s6363
37835
06777
.08536
1034
130!
]38i3
16673
17333
19093
30853
33613
554ao
08687
86773
80385
65358
37381
3ii56
45945
80984
34373
36104
37894
39666
.3i4i7
^78'
34940
36701
38463
40335
35480
08618
99660
07446
31393
.41987
43749
465ii
47^74
49036
70497
33838
90474
69460
63723
6o5i5
70617
8908
1490!
47033
60708
62661
64333
66086
67848
84436
a6o66
70870
17793
66777
F (9^).
78716
80471
83338
83986
86743
87600
43861
73443
40000
69781 O
89358
91017
13776
J4535
96396
88386
4406
3685
663i8
33097
,98066
99816
01676
03337
06098
06860
,08633
io385
13 147
15910
33778
70903
43974
49447
89735
63ao5l
60190
06079
76819
749^0
16674
17457
19301
30966
33739
05454
6o565
45530
568i5
94065
a4494
36369
38034
39789
3i565
66067
4t789
60166
8oio5
3o48o
,55531
55o86
56863
58619
,4o385
Q0147
87033
i3o6i
47948
431&1
.43918
45685
4746a
49318
96049
56093
26709
o6838
94306
60985
5375a
54519
,66387
68054
89738
89913
94«39
oiod4
09339
F (10^).
78766
8o5i5
.83374
84034
86794
87555
5i86o
79826
54466
89316
91078
93840
94603
.96366
.98139
99893
01657
03433
06187
7653(
4279Î
66889
14433
17276
66014
67990
93389
7134s
9iia7
06953
08719
10488
12363
14019
63170
53545
94373
70738
90634
19333
s 100 3
33861
44066
33q56
56i85
laSoè
00987
3X630
36509
38109
29939
31709
aoiib
68700
7780D
33480
35361
37033
3o658
06031
03411
i83i8
533o5
43336
44107
49433
0261 3
67662
46o5a
36o66
36070
6iio5
63967
565ia
58a84
444a 1
69463
79037
03946
28043
*5=
mm
^^■^
mim^
TABLE IX.
^55
L
*•
1
a
3
4
5
7
8
9
110
1 1
13
i3
«4
il
i6
•7
i8
»9
30
31
33
a3
M
aS
37
38
3o
3i
33
33
34
55_
36
S
39
4i
43
44
45
o
o
o
o
o,
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
p
o
o
o
o
o
o
o
E(io*).
ooocx>
01745
03490
oSaSS
06981
08726
00000
39658
63713
91565
14617
3ia77
10471
iaai6
13961
15706
j745o
19^95
ao.9%
âa683
344117
36171
Ô9961
359097
97130
0348s
63648
39667
3i4oo
33143
34885
09101
37341
46891
36395
04130
■4896T
6944c
64305
3i93q
7i35b
36637
38369
40111
4(853
43593^
45333
488i3
5o553
53391
81303
60361
07351
31 533
01101
455^
5379
347S4
5747»
5ii35
54o3o
55768
57005
59343
00980
63716
6X(53
66188
67933
69667
04859
17883
89455
i8ë87
05539
4SS33
48303
03196
13370
78365
o
o
o
o
o
ô
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Q
o
o
o
\o
71391
73 135
74858
76591
78334
98746
71554
09280
80871
i6s3o
E(ii*).
00000
01745
03490
o5335
06981
08736
00000
33603
63370
90070
11074
34360
10471
13316
13960
16706
17460
98016
30143
08861
03371
08549
«9134
30908
33683
34435
36169
35853
43371
36330
85940
19603
97913
39666
3 1397
33 1^9
34881
353o6
01686
47013
69601
38167
36639
38363
4oto4
418x4
43584
80936
86497
53453
8o4io[o
66039
45334
47063
48801
5o539
59977
00064
08393
63364
70353
3iii6
64014
55761
67487
69933
60967
69699
64496
66160
67893
69695
71357
73088
74819
76549
78979
43641
06970
90907
83616
93119
E(l3^).
6i3o4o
56431
07884
06179
47830
36468
67763
44459
65368
30379
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03490
06236
06981
08736
00000
33543
63787
88439
0730<
1681I
10471
I33l5
13960
16706
»7449
1499a
9^474
68036
18435
48469
«9193
30o57
33680
^^
96167
55p3
388i6
94847
91988
181 83
37009
99659
3i394
33i36
34876
81416
09703
0*1 1 09
53740
66748
36617
38357
40097
41 836
43576
35339
60743
40983
79311
5594c
4531 3
47061
48788
&0096
69961
87643
67761
04461
66333
89090
55739
67466
69900
60933
64398
66139
67860
69690
40633
40493
8oo3i
60840
79294
7i3io
73048
76603
78330
35440
385o3
67783
99667
99679
67089
96778
98360
64698
34347
E(i3*).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03490
06955
06981
08796
00000
39477
69964
86675
o3o3i
08669
10471
199l5
13960
16704
17448
00903
77» *9
é468B
70908
83483
10109
90036
99079
94499
96166
60689
26799
69699
44633
00404
27007
99648
3»3qo
33i5i
34871
175
938
96901
I4&61
64648
366 11
3836o
40089
41897
43565
46060
83717
68660
7951
9731
î
463o9
47o3o
48775
&0610
69945
89306
33655
99430
46966
06735
53978
55719
57444
59176
60907
69658"
64367
66096
67894
69669
97347
30454
569o5
66686
03940
67^61
55994
601 33
06196
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
71978
73oo4
7471
7646
78177
66417
49549
55164
83969
39793
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(i4«)^
00000
01745
03490
06235
06980
08796
00000
39406
61703
84781
98543
99896
10470
193l5
13969
16704
17448
86770
63 106
98869
9oo5c
13668
19191
9oq36
99677
24430
36163
7^776
06456
99839
54091
66496
04
45
3i386
33196
34866
366o5
38343
40081
41818
43565
34107
64451
94897
49666
0645^
10769
66199
3o464
68395
10696
45990
47096
48760
60494
69997
94386
07319
47790
13894
o3884
53969
66690
57431
69 1 5o
60879
16119
49094
01168
71160
57734
69607
62(3^4
66061
67786
69611
71934
79067
74679
76400
78190
59744
761 15
06884
48193
09990
o
o
O
O
J
O
J
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o.
o
o
o
o
67699
99385J0
96949 o
30761 o
E(i5»).
00000
01746
03490
o6ao5
06980
08726
00000
39332
61104
83768
93748
90637
1C470
13316
13969
16703
»7447
69607
37458
6oSi-y
6563^
39107
10 100
3oo33
33676
94418
96160
77649
7709e
3665^
6c58o
i65ii^
37001
39641
3i38i
33i3i
34860
5i335
91949
96.:? 5 2
3859(
1881:
36698
38335
40073
41808
43543
33194
79016
53636
54490
79109
46378
47011
48744
60476
53307
96106
90180
73163
68930
78491
53337
56667
57396
69193
60849
98953
28638
65536
08406
55681
63676
S4a99
66030
677^6
69467
06017
68186
11078
6370 '
16188
71187
79907
74695
76349
78009
64787
11879
55949
96620
33654
99
TABLE IX.
9
lo
11
13
i3
'4
il
i6
;g
»9
ao
ai
aa
a3
«4
a6
^Z
3o
3i
3a
33
|34
35
56"
I
43
44
AS
F(1o«>.
6^
1
ù
3
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
b
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
b
o
b
o
o
o
o
b
o
o
o
o
oobco
01745
03490
o5a36
06981
08726
1047^3
11231^
13963
15700
17455
•booodjb
5Îiq3
•67988
•05986
48785
•55145
'31868
99707
90214
94938
POi*>
i9aoa
aoQ48
33695
24441
26188
37936
3<:j6fô
5i43i
33179
34ga>
15370
53o44
00990
841.78
oSSgô
5tOQiÛ
'3343s
30953
4788
386^^6 ©4485
38
40
38434 9i*oà6
174 11:611
4 1 03S 64^9
43673 5 1:751
45435
48qs5
50676
534218
54180
55933
B7686
6119;
^^8
Sb44i
65636
40L74
^4945
•rô754
0^368
485o4
31837
62947 58953
64703 30443
66457 46811
68ai3 0^13
699^9 '5i948
71735 6^67
7348a 69361
75340 15867
76998 09' G4
78^^56 49375
o
o
o
o
o
b
b
o
o
o
o
o
fo
o
o
o
o
o
o
o
o
b
*
o
b
o
o
b
o
o
ô
o
o
o
o
01745
63490
65336
06981
08737
«cooocflb
6845c:
•0748
53339
04890
1047a
13318
13964
i?574
17456
i^aoa
aoQ4Q
aaoq^
34443
^6190
379^
39686
31434
33?83
34931
•67094
40838
^7987
3o4^5
5qo6i
88573
48096
3oi35
365381b
69045
39388
iga36
403^5
93996
8do
356&1
3843o
40180
4îq3i
43681
oeoStj
67531
07895
8983910
45^
47184
48936
5b689
53443
SSgBo
57704
69469
61 31^
14676!
83669
§8o3Q
8916
67435
3^536
3l5l3
88999
9797^
ftigyi
6473^
66485
6834B
7bboi
7^^7
64078
4i45â
74356
71 76b
73530
76380
040
801
65^30
07808
093 1 6
67371
82433
r<i3^).
obôob
01745
06336
d698i
087Û7
•00000
335d8
1^3473
1^318
1Ï964
1-5710
17457
19363
aooBo
33697
34445
36193
5i758
«1767
0071 ï
70688
23(7940
29689
3i4^
35 1*7
34936
3558?
36436
40187
^54^
48945
50763
53i^«
54313
%6q
87735
59^8a
Diaoq
73734
llf830
«6934
bogfiS
55846
"5SS46
§5366
83337
rqa38
o45iio
■4qq6S
3^866
73749
7.^99
a&5^
l»gaq
10861
98677
F ( i5*).
O.OOÔOO
ô. 01745
40000
33!h3
1-TO77
«0573
b . 08737^00699
«85140.03^0
iogiiiSb.ô535b
56194(0.66981
i-i>440:
8oib3
€i5bS
588!i6
74317
10184
68§Tî
o.ro47a
O.I9f3l8
o.i'Sg64
b. 16711
3.17467
;943l5
«3868
53186
•31776
76334
o.ig3o4
o.aogSi
b.336gQ
o.a444^
o.fli6yg4
66093
•eSgio
0417'
7855
88876
0.37043
0.39693
0.3 144^
o.33i;gi
o.34g4 i
38i3;
ii845i
«3i55
414S5
68647
o
b
o
o
63g(
647^6
665i6
68376
70037
11793
94946
438g8
563aq
3684Ë
73560
75533
75.087
78861
81970
$5148
76746
34048
40355
o.366g3
0.38443
0.40196
o.4Tg47
0.43700
0.45454
0.47368
0.48963
0.60710
►.63470
^9
76004
583^8
97737
922^
0754S31
o.56g8g
0.57747
o.8g5o6
o.6id66
o . 63o!i6
0.64787
o. 6654g
o.683i8
\ 70075
SaBgS
71273
53485
ob67i
14396
^6149
473Si
62^^99
63377
3o438
o; 71 840
o . 73606
0.75371
0.77137
0:76905
51864
3548
81326
&F225
5*8759
3463 1
39381
15454
77201
30875
O
O
o
o
o
o
o
o
b
o
o
o
o
o
o
ro
o
o
o
o
9 I
F<i4«>
F(i5«>
00000
01745
63490
06336
06981
08737
i'o475
13319
1596&
1.7458
ooooqo
3S444
^(^99«|o
11*77*
64B63|o
109555
t57895
•28036
73767
'45iio
19265
20962
32700
^4448
a6i97
48030
844û
-6733
€9270
•333
760
3g6g5
31445
351-96
3^
^98
38451
4o3o3
Î957
3711
223ll
•687g7
665o3|o
16040
^^9967
i
83781
05916
•9'>737
6o563
35466
472122
48978
60735
63493
47945
06767
30033
'46636
3ii4o5
54351
66011
57771
5g533
&1394
63087
64821
66586
e83&i
7dii7
7^884
73553
764^2
§5iod
6363
65763
70683
51565
20466
77521
24o3i
608^
88722
08306
201 35
24637
32137
o^
o
o
o
o
o
o
00000
01 745
65336
d696i
08737
•00000
335i8
7^597
'M
38727
i'o473
12219
i%65
16712
17459
•26624
33556
€63o5
•273a<
13756
i-gao^
3pg54
22702
24460
*i99
47281
i3i64
'20733
7325 1
73917
37949
ag6gg
3i449
3330 1
34953
■26968
32476
g6536
211 3g
oga27
36706
38458
40212
4i967
43222
■^669
87266
82742
62745
99837
45479
47336
48994
50753
52012
-26605
35i43
28064
<^44^
75445
54273
56634
57707
69960
6-1 335
34069
85204
3o6g2
73227
11402
SSogo
648^
66624
663q3
701^63
88493
agooo
73448I
19761
7rg32
73704
75476
77260
75035
71863
29621
q338o
§5955
41.637I
TABLE HL
555
60
5i
53
55
56
5q
63
gr
6a
6S
64
65
56"
u
«9
70
71
7S
75
76
78
9
l
Kti
égÉâàiteMBaB
éÉÊÉÊÈ
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
8i
8a
83
84
85
86
8
8
89
9^
E<io«).
a.
o
783a4
8oo56
o35i0
85fl48
86»79
iGaSo
q53i8
48^49
4*795
9S3S6
0010G
887^
90437
03 166
93894
%^97
7^954
4'73i
.659%
46oo3
97349
99076
ooSm
oaSflO
q4sSS
.82>5a8
76987
fl7o5a
36387
•04719
07706
094«9
1 1 153
1^877
30604
âi5a8
7i7Jo5
.842177
.60a i3
74601
i63d4
180^6
>97^9
ai49i
fl3ai3
a4934
a6655
28376
30097
4^528
06078
78564
4-85a8
i2736a
X)6a58
B65o3
7937a
760 j 5
48371
31817
335^8
35fl58
36978
38697
-97^34
â'4aa5
3079Û
.iâ4o5
86560
4o4»7
4aT36
43836
45575
47^94
4*^774
&i584
od544
aoaaS
5tai5
49013
5o73a
5a45i
54169
55888
35107
ao5io
07040
90317
71:566
E ( ii%
o
o
o
o
a
o
o
o
a
a
a
o.
OQO
81736
83464
8519a
86913
^645
90371
9^096
938a.i
95545
3o37s^
39417
886lr9
^76a
3ia99
»7"
97ii68
9^9^
00714
024S6
041 58
i4*»7
46810I0
1347^
.«7767
.8q3o8
EST
.00044
6461x4
.aafiSg
E(ia«).
o.
o
06879 3i «85
07699 ^3641
o93ao .08663
11039 78166
12769 .o33i7
^77
rD.1196
17914
19601
ai349
a3o65
a478a
36498
116814
«9930
85344
Ji55a6
^6190
,857a5
x)8554
■95i55
47060
658o4
63oa3
iô35a
3 1645
3336o
35076
38604
40318
41933
^646
45359
47073
39476
4310Q
âOOOO
74946
06743
âSaSo
^1037] i
01748
64565
3ë64i
48786
5o5oo
533 13
53936
S5iS39
10
18
7^
16
43833
7i386
97978
78a3o
83406
86i3o
86653
34347
5754»
74» 96
44404
48347
86a8o
88576
9QS98
9ao3o
93740
55461
58543
65664
07814
86901'
00474
E<i3o).
o
o
o
o
o
o
97180 &A367(0
9^99 4ao»4
00617 70845
03336 394^
q4c^ 4 9à&a,
06769 .00G60
074È( .a549a|a
09900 .04802
J0915 19516
wag .5gaa6
14343 33i83
i6q56 .643] j
»77$9 -4719a
19461 63468
3j 193 74839
33006 ;23o6d
34616 39049
36336 97061
38037 37310
39747 ai455
3i466 63100
33i66 DU 90
34876 id8ii
36363 63o83
36e^ 3or63
400D0 54^40
4171)6 6753a
43416 43360
45134 J0753
4683i 65335
4853û o6o33
60346 41464
51953 67863
53^60 8q565
56366 08919
78177
79900
81631
83343
85o63
86783
3a79
0456
98393
1407a
oaaSo
19743
885oi
goaao
ii536fl
.9^o6|o
oSSio
34?36
90057
7 liu^ilo
97084
98799
06613
03336
05957
78746'
iSSai
76607
09133
933i 1
07000
09070
10780
13489
»4*97
16905
17613
1931Q
31Q35
474*7
3590&
59316
1I8867
ii65io
53851
33673
5463i
33363
36931
33731
3^36
do 140
37845
39648
3l353
33ûS5
34658
3636o
38063
397S4
41466
43167
44666
46669
0003Ç
.1^368
85436
JÔ378
9349?
37i3i
43696
i5637
.55445
63653
07685
44S&0
.63389
63789
48370
49971
61671
5337a
66073
51457
98119
96614
69393
19610
E(i4">.
o
o
781*30
79839
81557
83376
7^
784^1
90135
9*848
935S0
9*6371
30751
^^
7oSd6
04606
^7.34
00090
96081
98691
00399
03107
o3[8i4
68Iaï
44385
3«55o
333^1
422:
o
[O
a
o
o
o
o
o
Q
o
o
06630
07336
o8q3o
10634
^3338
7«74»
31^35
83774
63363
6i5p3
817012
91783
861 6â
06678
14040
16743
17443
30844
33543
■(I ' "1
36940
37*636
39335
.58ai'5
.4l536
59989
i35o7
Q66og
40666
16461
4^4f^
i5i5i
.39316
3io33
33798
344^4
36i3o
37816
«7647
63901
48009
06774
39167
39610
4iiJo4
4^890
44503
46387
47981
5i368
63o6i
5475s
91173
84619
93147
39969
36399
17382
85683
44383
96673
45759
E(fi5*>).
78059
81488
83303
33664
66918
96413
93366
44730
64i«6
«8535
90044
91753
93460
q5i66
61139
96990
10196
9S936
384B7
96871
98675
00978
OlQOl
o3689
64881
74461
98666
98691
66^
o5363
07089
08781
1047.9
19176
13596
71795
43i«9|
9976^
3368ol
1387a
r5566
17969
i8q56
30649
67306
03704
73643
6q58o|
96171
93343
34034
30735
374^6
39106
65i58
49367
81709
55173
73819
30796
33486
34174
35663
37660
39337
40535
43611
44338
45984
37784
53970
33541
48931
35789
866731
o474î
q363!
fe738o|
98978
47671
49357
61043
5^729
54416
33341
30807 1
38334
18494
04969
y
SSe TABLE IX,
TABLE IX. Kj-
SSS TABLE K.
TABtEdL
S6a
TABLE IX:
rci5').
FC.S").
F(I7>).
F(l8').
'(■S')-
F{flo").
V <
14e
.79035 t
.8o8ot :
79? 1 5 iyocA
Smoj iiSii
82906 aSaoS
|6i
53
53
.91478
.93363
.95046
■^4;
8969!
93545
60100
01438
.89790
■ 91577
.9336S
.95.56
■96947
58635
597780,
01640
.86608 6853 1
.884t6 ai588
31683 3q33i
93477 65751
95973 118338
37<y/o iiBSaa
,98868 5701
.00668 110377
,011463 14969
.04971 36836
.0 6074 86098
56
57
1.0398;
05774 s
) 45467
i Qioa4
,98739 (
,oo503
.03337
04133
"5919
45385
07659
81387
64337
54731
50949
4853o
47075
o8o5i 48a59
09864 96341
11670 79831
1349$ 95791
" 5 40885
1 .075G5
1 .03357
.iii5t
■ 13945
'47^0
60016
90735
i3ii5
a5o77
ï44£6
,07717
.09516
.ii3i6
, i3ii7
'49'9
.07873 53881
.096815 55850
, 11499 7i5o6
. i33oi o4t88
|i5iio5io77
.08333 3io85
, 10054 785oo
,11877 78331
iSroa 96339
[5538 31137
,08495 0331
1035S 046:
[9086 69730
13990 0176a
,1575496654
, 16536
. 18339
1.30l3o
1 .31338
!• 337^7
08848
93o8i
4773!
47065
16793
18536
,90^1
.99136
.93943
34390
89948
47PO
.ib99i 03197
.18733 75419
,90545 46464
.9a35Q 183 H
.94173 89191
1713a 11968
,18953 05461
,90773 17678
,93595 44766
17355 5709»
19184 3o8r
.9Ôa43 37335
,38068 743i5
,99895 19178
,31739 5730-
.33550 8395!
,94678 5?
- 16^
17531 5o34a
•9439 58473
91363 'G471
33iio 19544
94953 63685
1 .35597
1 . 37397
1.30930
,.33739
18963
58369
64313
33331
6117E
35760
,37559
,33368
!339^
87993
06747
01876
69086
o468a
15383 536o4
.97806 o83i4
.39633 4o35(
.3t44i 7365'
.35960 73993
.365ia 1934
.38347 16703
.3oi83 94599
.39O90 37537
.33858 5o386
36796 40680
98641 48117
30487 70390
3a335 98706
541 83 90036
1.34535
.36338
8149
■•39947
1.41751
4554a
83731
69353
0161a
7^
■34799
,366iS
,384s9
,40335
,43048
83450
638 1 3
73755
35o8o 4qo66
.36900 93451
,38739 09639
.40543 7108!
,49365 9681 8
[ .45363
1,47168
1.48974
1 . 50780
16680
a39^
53304
.45676
.47490
. 49005
■Siiao
78899
495G8
47353
.44188 73347
.46011 93716
.47835 56oo3
,49659 54936
^ ■"'*_83343
35379 94335
,37309 Kl 5;
,39040 45586
,40871 763m
.43703 7000
.533o8 3890 L
.55i33 13938
.56368 o5i3'
.58783 0671!
.60608 13494
44536 91335
.46369 94506
.48909 74331
.5oo36 64757
51870 90370
.35697 57690
,37537 53613
,39378 39413
,41319 88383
,43069 15436
, 53705 453o3
,55540 93744
,67376 19849
■59-.S»7g4
,44905 07434
,46748 58.97
.48533 61414
60437 1070'
53b8i
36o33 67418
.53717 445^3
1.53587
1.54393
! . 56aoo
1.68007
..698.4
o3oo5
68451
46738
30300
.53335
.54751
.56566
.58389.
60197'
67738
06941
58356
10555
853oi
.61045 4
.54137 3i65i
,55973 7034'
.57818:38785
.53664 30641
.61610 09161
'4 03599
, 004^3 90616
.68388 00869
60145 3618b
.69009 68391
TABLE IX.
ÉlÉI
■
♦•
1
a
3
i
î
9
to
11
i3
'i
«9
ai
aa
a3
i
«6
a8
3o
1
3a
33
34
35
35
u
4i
43
43
44
45
o
lo
o
o
o
o
o
o
o
o
E(oo»).
o.'ooooaooooo
0.01745 31889
o.o34qo S7560
o.oSaoS 70803
0.06980 654aa
o.o87a5 35a4o
o
o
o
o
o
ô
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
10469 7iio&p
iaai3 760 loo
139&7 3i08
16700 4409P
1744a 98468
19184
aooaé
aa666
a44o6
a6i45
37883
39630
3i356
33ogi
348a5
i8ao7
75108a
39131
41 a6
36558
38a89
4boao
4»74a
43476
55761
57643
49'58
a5369
814^
13785
ji479«
83io6
45ao3
46938
4865 1
80373
63093
i35o3
01908
444180
3
80
7696I
53813
5553Q
57345
58o59
60671
63383
64091
66798
67603
69306
60063
83343
438i5
3864o
66181
3000
o3ig;
11715
4^63
95360
70008
73608
7x306
70003
77697
6810&
69838
69648
96611
40186
E(ai*).
E(aa»).
E(33*).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000 000000.00000^00000
01745 317880.01745 3i68a
o34qo 567X00.03400 55906
06305 68o6d 0.06335 66319
06980 689330.06980 63180
08736 33^73 0.08736 09406
10469 6333i|o. 10469 30491
lîMdb ba8obo.i3o66 a8969
133
108
i3 4^1970.133
66 8a8oo
iab99 704340.16698 93841
17441 975140.17440 93668
^ 83 576780.19183 18036
3ooa4 443030.3*0933 63339
33664 61061 o.aa66a 31341
718800.34400 8633a
3b 143 oo638o,a6i38 48476
.19180 73318
. 30Q30 75565
0.33669 83938
o
o
37870 309700.37876 0X354
39615 673600.39610 46374
3i35o 735730.34344 68168
33084 743060.33077 63481
34817 535960,34809 a6334
36549 o63o8o.3653q 60473
38370 370640.38368 3o4oi
40008 106930. 39996 60387
41735 633360.41731 34966
43461 46861 0.43446 48847
45i85 899080.45167 96933
4di05 «OQ08
46008 768930. 46883 74370
4863o o36o5o 48607 76i63|o
5o349 65634 o.5o384 08074
63067 .593 1 4 0.S 3040 85680
53783 80833 0.53753 84869
66498 366400.66466 41745
67310 933960.67175 03636
5803 1 779700.58883 64093
6o63o 7744^0.60688 33903
63337 891 i5!o. 6339 j_ 76086
64043 io6o3
66746 39349
67447 73633
69147 11635
70844
736^
74333
7^9iM
77^^
61487
93180
*3b6i3
71633
08931
0.63093
0.656Q3
0.69084
80898
54847
75685
8141
0.70777
0.73468
0.7X166
0.75843
0.77637
7o3oa
40857
91860
33353
31640
E(34«).
^ooooo 000000
^01745 31673 o
i.o34ao 56o9co
^ 06335 63367 o
1.06980 461960
1.08734 967530
1.10469 06011 o
.1331*3 67688
•.13966 70163
.16698
.1742 8
.3X307 87969
.36154 83363
0.37870 61003
0.39606 16609^
o.3i338 40341
0.33070 a63oi
0.34800 68041
0.36530 68976
o. 38356 $3781
0.3998a 633i3
0.41706 64608
0.43438 90891
0.45149 36583
0.46867 q63o7
o. 48684 64896
0.60399 37399
0.53013 09087
0.53733 76460
0,56431 03363
p. 671 37 75438
0.68843 01338
0.60644 06133
0.63343 8681 610
4o3oo o
63863 o
64970 o
114560
o.63a4i
0.65^6
0.67339
0.69030
0.70708
0.73594
0.7X077
0.75768
0.77437
3i383o
]5io6o
65363 o
66775 o
168690
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000 00000
01745 3i46oo
03400 54136
06335 693 16
06980 ^7963 o
08734 8i63^ o
10468 81633
13313 38984
1^55 164180
15697 3339? o
17458 7u53 o
19170 33637
30018 81435
33667 36^4|o
^94 80
37866 0X143
39599 68394
5i33i 90660
S3o63 63631
34791 80039
36619 3396
38345 i65i
39069 30968
41691 43866
43411 74893
46i3o 11010
46846 45357
4856o 73307
50373 86467
61983 83685
53690 66063
55396 01916
67099 1687;
58799 a^s»'
60498 51869
63194 86433
63887 74a%
66678 73363
67367 17761
68953 p8a35
706!
733
7o636 418X9
17 164B3
73996 30719
76670 83358
77343 73509
E(fl5»).
01745
o5356
06980
08734
00000
31343
63193
66o65
3o4q9
670DO
10468
18311
i5o64
i56o6
'7437
^9«77
30016
33664
66365
890401
5683
47630I
6496 8
69133
Ô1067
81937
63035
16736
37861
33o54
34783
31634I
0338 1
198681
76073
6331 3
35508
38333
39066
4*676
43394
45110
46834
X8636
60346
61953
73654
99963
34906
71X60
03818
53657
55369
67069
68766
60461
656i8
6730a
68883
7o56a
73337
77347
33400
83863
48366
69743
3o3i8
64636
88184
46396
o6o5 6[
00354I
38389
861^
70696
7.903 7
oqi 17I
5JB866
36668
10913
io)S86
ss
S6a
TABLE UL
I
s
3
i
i
9
o
1
8
3
i
l
9
flO
a3
36
38
4o
4i
43
44
45
G
O
O
O
o
o
o
o
o
o
Û
o
o
o
[3o
|3ii
3a
33 1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
F(ao*).
ooooo
01745
oo4dO
06981
08797
10474
19390
17463
979?
F (ai*).
000000.00000
3396s 0.01745
QOOOOO
34063
74Î41 0.03490 7495a
96750 o.oSflo6 û^4p9
^ ^ Q4<8t
0679 010
0.06989
0.08798
o
o
o
o
19919
90961
99711
^69
96914
37967
fl97ao
31475
3393 1
34988
31
385o5
40965
49097
43790
4555T
47391
49088
5o857
596^8
i
54400
56174
57960
O
aSôibo
693100
F(99*).
91080(0.10474 4*974
85995.0* 19991 i99Z9l^
995890.1^68
49$i9o« 16716
61 iSao. 17464
34308 0. 1991^
746500.90963
880060.99714
801590.94465
568170.9691
936080.97971
860780.99795
496840.3^81
197850.33938
01641 0*34996
004^90.3^55
aiio8o..38Si5
68681 0.40977
9170
00991
36o9&|o
oSCi^
041750
486o!438o6
1991710745579
916060.47340
7a?27<>-49iio
75840.50881
«aoSlo. 59655
983970
86657I0
8461!
97608
90619
mSsSo
768130
918880
07785
63534|o. 54430
590780.66906
08970 D. 67986
S746& 0.69765
40^0.61648
01471
1180
17
89316
63987
66069
66854
68640
704^
706450
o. 63339
.66119
.6^07
10.68697
* 70490
79918
74010
76804
77600
79398
r547S
^O90îi
5846i^
39^49
14^9
7*?9?
7647310.7^85
0.74081
0.7S880
0.77681
0.79484
11645
59^
97653 O
49868
111160
839Q9
68o55o
668140
80799
o
o
o59
06989
08798
11999
198960
10474
19991
18968
16716
I746&
19916
100966
99716
94468
96991
F(ft3*).
o
o
o
37975
99730
81487
33945
35qo4
367^4
08S90
66735I0
66111
98363[o
9^450
67699
30879(0
40691
4606910
61080
49173
955600
39498
94^4
96019
60707
409&0 507070
49066 &^i4o
43899 4^4û
46690
473^1
49133
60007
6968ft
66940
68099
69806
61699
6338o
66170
66968
687r
705!
79354
74i56
76960
77766
79675
90358
18189
08111
88677
'S4519
40097
19710
07490
0708
99896
56666
19948
o»64 o
14889
90969
69944
49198
o
ô
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ooooo
01745
oSaoo
0698a
o8^a8
000000
34478
18995 o
33558 o
10474
19991
13969
16717
17466
^3370
a358oo
64965to
7.1
19916
90967
99718
96995
540860
19969 o
800060
43868(0
188700
86774
38538
4€3o3
4L.
9
7945*0
69797
0669 9
46609
4738;
60933
69711
97999
48018
66665 o
566«io
9706)6
o
o
58o6o
698^
61637
3q^
80967
60018
634«9
66994
67091
68890
70699
794^
74933-
76043
77866
79669
57197
61449
]983il
98960
948900
o
o
o
o
o
o
o
ô
Q
O
O
O
O
O
O
O
F(340.
OOOOO
01745
03430
o5^
06989
08798
10476
19999
'7467
00
19918
90969
99791
s6aa8
34391
77575
38341
a&46a o
13761
3al^
iaio8{o
616690
89644
04961
i4aoi
«773910
53i«
985ip
379*4
SiSoo
33a6o
SSoaa
SStST
3856o
4o3i7
4ao86
43166
ÎaoSSo
t646
35167
4o36a
04848
46639
47404
49» 8»
60960
6a74i
F(a5*).
545a6
663ii
68100
6>684
65a79
67081
68885
70699
36io4
38i3a
o3ia4
733ia
4SS8
a5864|o
ato6i
37106
799'a
55187
68419
a4^
^9497
97094
TMOL
7f'4
76199
77947
79768
091
790 _
91687
33689
18801
78585
18899
3ao4i
48090
394Ô1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ooooo
01745
o34go
06986
06989
08798
ooooo
345o3
78610
4i45»3
39980
69974
10476
19999
13970
10719
17469
3894g I
793^1
71811
46646
06099 1
19^19
90971
99793
944'
969:
'469
83540
7»490
9117a
«7989
5S747
3i5o7
33a68
36o3i
m
Stoba
4o33i
4310a
43874
ia6i
366i8|
3a98i
C0818
86700 1
09941
79?3o|
4564Q
474*6
49906
60988
69779
q6i
61096
44959
84899
64559
56349
68141
69936
61733
63534
663r
671
68959
70764
77i'4
97640
49966
96697
85697
«4779
48439
61966
67933
70916
79679
76918
78043
79870
80918
94669
17449
5i4^
« «
tABLE ne.
36S
57
fia
53
B4
55
g?
U
I
6a
63
65
sr
70
7»
75
7g-
78
o
î
I
Sa
83
84
85
86
87
88
89
90
0.77697
!8r3o
o.8d^6a
o.8i466
o.86i4a
.878»^
0.89507
0.91187
0^99865
E(ft©^).
4oi85
oofiSg
76647
69484
70i3fl|o
06177
3l4âi
159111
ooqiSlo
9691 5
97888
99559
01999
09897
Ô4SS3
o69fl8
09559
11919
19871
14598
16184
17839
'949»
93000
39831
a9i38
49915
05364
19888
69089
77764
o
o
49900
68668
5949 !•
19688
54166
1144
9705
9979
97749
19380
(io36
6536o
59970
33769
15993
9<
3Ïo3l
39680
3596I
09459
ooqSi
16690
55
9S554
71986
6383o
19555
178x^9
£(«!•)•
o
o
o
77614
80086
89670
84351
86o3o
08931
07489
36S09
»3q55
87707
89383
91056
9«797
9f^7
95554
99395
oio55
09715
93577
7io5ô
98604
98810
845i5
88746
04374
o6o3o
07686
09^8
0990
J795
66l7Q
466
6011
10793
9640
4988
5q35
7680
9994
90867
99609
94t49
95788
97496
^55S
41498
30903
56960
9741
55704
00689
93376
99661
95B94
219
3o6q9
393r
33q
356oi
171
10665
i3o70
3o335
69330
3683o
39708
84999
45979
3o839
945o5
43556
853oo
E(99*).
0.77697
8a566
8^4
o
o
o
l7§86
89354
9«9«o
9a584
.94a4«
3i64o
86 16c
«9565
5*371
54543
37108
oii65
48187
'M
3766Ô
99«^
00874
os59o
06797
04778
981100
138865
80379
9SB7Î
99909
938S9
96468
9709 6
9879!
3o348
31079
33596
3691 8
1.36840
38461
40089
41709
43mi
■S5o<
84»
m
50993
OCDl
43nà
86089
3363o
96088
44940
49796
5i4<4
79906
99600
4iq38
35544
81970
86996
60666
10998
43794
69175
E(«3*).
77437
79113
80787
89458
84197
86793
16869
35oi^
11069
45o59
r
0.77343
9|o. 79014
0.80681
0.89346
0.8400g
0.86668
87458
89119
99779
9«436
94090
95743
97393
9904»
00686
o933o
00991
79043
08546
08900
76177
19]^
91637
06617
68109
19797
03971 43366
^71
io5i$
7961
iai47
13776
i54o4
i7o3o
t8654
4*389
86001
5o466
i649
57^
I
90977
91898
935i8
96i36
96753
98368
99983
31696
33908
34890
90169
98539
00719
99717
11780
3643o
38o40
3964.9
41968
49866
46080
47687
49«94
60900
75307
90879
56913
89917
97511
8o4S<
55107
60964
o
9
49916
11606
7»479)
£(•<•).
73509
Q(^99
64574
640000
09566
78081
o.873a5 99479
.88980 47^9o|o
0.90639 43685
a. 99981 841780
0.93998 70996
0.95573
0.97914
0.98864
.00491
.09196
06677
340.36
36767
38i85
09967
.0'
.05388
.07016
.08641
0966
33198
95593
7^8
904l0
69391
96669
^^55
.98000
•99603
•3i9o5
.3a8o6
.34406
68437
61169
991
.36oo4
.%r6o9
•39»99
.40796
.49399
9
6ip5Ô
5356o
66619
i3o5'8
O9390
•45987
.45589
.-#'77
■m
43798
46773
^?^
75388
9i364
E(96*)*
77947
78011
80679
89990
83886
86Ç39
87189"
8883*6
90480
99199
93760
10886
9583o
55498
997'4
59067
34919
96959
36597
67040
'97f7
97119
963q7
97o3o
98661
00989
01914
09060
37743
07686
16757
66163
03537
06168
06776
08391
0006
63444
19479
,8444
86877
936o9
34759I
06496
80691
56889
9840
91930
99836
94439
9D096
97618
99910
30799
393iS8
35976
49667
73976
36099
4o466
96860
11946
96783
58891
09876
36669
37)48
38739
4o3i6
41900
68617
14869
88557
89764
98646
43483
46066
46647
48999
4811
1&466
60618
74990
66989
49Û84
y
TABLE IX.
f-
0.79398
0.81197
0.82099
0.84803
0.86608
0.88416
o.9oaa5
0.9^037
0.93860
0.96666
o- 9748a
F(ao*).
843§S
4993»
ii3ii
68531
ai388
0.9930a
.01193
.03945
.04770
06626
69437
11986
7666
9^97
Ô45âB
00670
81648
45
891
708416
. i.oa66
.iao86
. 13930
. 16764
3'
69700
0176a
96664
.17691
•>94a9
,31369
33ll0
a495a
50343
58473
16471
19544
6a685^
96796
38641
30487
3a355
34i83
40680
48117
79390
98706
90096
^o33
.37884
3q735
.4*1688
4344*
67418
94571
845o<
31907
67761
46996
47100
60861
59717
54574
66430
58388
60145
63009
67306
93873
47388]
33690
44B3
03699
90616
00863
96180
68991
P(91*).
79484
.81990
83o97
84907
86719
88633
80799
10704
67385
91166
091 36
00174
90349
99167
93987
96810
97635
14860
45468
01067
5o369
91879
9946a
01990
o3i9i
04964
06789
08636
io465
i93o6
i4»4a
16993
93984
90199
89668
89379
^7839
19687
91637
93388
96941
97005^
98061
3o8o8
.33667
34597
86360
77o36
67668
94307
79398
97555
8696
0067
8679I
69906
o36o6
81890
9869S
47076
90889
36388
3895o
4oii5
,45707
47574
4944*
5i3o9
53177
5504g"
.66916
58684
6o653
69693
Î3i38
16766
94606
39384
93985
98960
48493
64004
37475
60801
96796
94306
477^5
88008
36678
F(99«).
i386
83300
86016
86834
88665
4^198
69806
16668
ia993
49399
95406
90478
993o3
j4i3i
9596a
97794
40936
te
16719
79046
99^^
01467
.o33o6
o5i48
0699 9
75316
09396
5744a
37004
40617
o8858
0686
9537
61806
97988
98361
53466
8101
9959
31819
9368\
36645
06996
48566
69968
97411
99970
3ii46
.33017
34888
9067
39047
97604
09806
61689
36761
38635
.40610
49387
44a64
45749
48091
4990»
61781
58663
56644
574ao
69308
61190
63079
45a47
53oo3
7684
0860!
39906
63336
66934
45i65
88o33
86496
3i43o
i3634
93846
53753
91016
F (93").
487
833o7
86139
86966
88783
94330
97998
30170
8969;
0699:
931 55
90613
99446
94a89
.96190
9796 i
17
►77
33460
60801
66096
.99806
.01661
03409
o535o
07904
09060
10918
«779
0607
17396
94198
89703
90963
43i39
37645
69708
34877
98370
45069
8374
90944
99110
934
36i
79693
96964
169
>99
74517
97749
99691
3i5oi
33384
.35368
04718
i33o6
93680
34964
33031
37163
.39040
4OO88
43817
44708
75464
56665
66773
96719
37341
46699
484sa
5o385
5a!
B4\
'SêSSs"
61755
63631
78889
1304^
36936
i3653
63161
69396
03999
76664
70179
74093
F(940-
08496
83418 795§5
85948 96490
87080 67677
88916 99165
90754 199940.90900
99606 999860
94439 969680
96986 09698
98135 77343
,99988 97608
01843 67835
.03701 65i6i
06669 46396
07436 97636
09303 16107
1*1160 q43s4
i3o33 3o477
1^906 i8385
16783 69490
18661 96869
9o54a 35909
99496 70861
94311 96793
96198 96666
98088 69766
99080 41063
31874 01904
33769 4i63o
35666 63o89
37666
39466
41367
.43970
46174
96691
69633
9i36o
99763
46633
60893
.63801
64710
66619
68639
60439
63349
64360
8361'
1977!
65oo3
30893
64o33
56679
93988
41437
F(95*).
7987O' 61407
81700 08386
83534 50748
85371 36559
87911 90489
89064 38793
il
64371
06696
6i835|
3i45i
13786]
.00179
09044
.03919
.06783
.07657
o3664
01484I
o3991
06431
o4ao5|
09533
ii4i3
i33q6
i5i8i
96361
7385i
34811
596531
io65
18060
9o853
99749
94647
96548
63993
84a87
64914
88160
45993
98451
.3o356
39963
34179
36o83
41093
48694
37996
39910
.41896
43744
45663
47583
53340
5 5973
57197"
69199
61048
69073
64899
99759J
671 1'
69049I
17604
019961
98li
58446
"^40441
89311
176341
78535
59185
TABLE IX. ses
M« TABLE DE.
TABLE IX.
867
f'
S
5i
53
53
U
56
5
I
E (a5«).
0.77047 10886
0.78911 fl583o
.ào&7d 554fl8
o.Saaao 097141^
0.83886 59067
0.85559 34319
0.87180 fl6a5a
o. 88836 36597
0.90480 67040
0.99133 19717
0.93760 97113
0.95397 09060
0.90661 07686
1.00989 '^^
1.01914 66160
61
6a
63
64
65
66
67
68
69
Zi
71
73
74
E («6*).
0.77147 38658
0.78805 30894
.80459 Q^a3
.Saut 60734
0.83760 18694
O.854o5 69547
0.87C4S 14418
0.88687 54810
o.9o3a3 93607
0.91057 00075
1.91097 0007s
. ^3587 69867
76
l
O
83
83
84
85
1.03537 63444
i.o5i58 ift47^
1.06776 18444
1.08391 86877
1 .loooS 33603
0.95315 1
0.96899 6
0.98461 35194
1.00080 18303
1.01696 33388
1.11616 34759
i.i3385 36780
1.14833 06436
1.16436 80601
1.18039 56883
1.19640 4^5Sy
1.31^^4^573
1.33^1^73976
1 . 34433 06003
I ; 36036 404^5
i.o33o9 53607
1.04920 14101
1.06998 13460
1.08133 53634
09786 438^3
Ef37-).
.77044 66863
.78695 96371
.80343 q3o84
0.81088 59643
0.83639 90603
0.86367 96881
0.86903 70371
0.88*534 16733
0.90163 34945
0.91787 3o4o3
0^93409 04903
1 . 1 i336 80835
i.t3o34 90436
1.14530 76943
1.16134 93955
0.96037 61 658
0.96643 04984
0.98355 368o5
0.99864 63643
1.01470 89633
1 .03074 19960
1.0^674 60365
1.00373 16639
1.07866 96134
1.09459 03794
1.37618 96860
1.39310 11346
1.30799 96783
1.33388 58831
1.53976 09876
86
89
90
1.35563 68617
1.30893 46346
1 . 33477 ^3963
1.34061 6i4o3
1.35643 67845
E(38').
0.76939 06898
0.78585 63317
.80934 64145
0.81863 o8553
0.83496 96760
0.86136 39616
0.86763 08009
0.88376 33870
0.89096 00173
0.91613 3d43Q
0.93336 18696
0.9^834 69071
0.90440 61689
0.98043 30734
0.99643 70883
1.01338 87506
1.11048 4Ç649
1.13635 34166
1.14319 73i3i
i.i58oi 71733
1 . 17716 74544 1 .17381 38446
1.19306 09388 1 . 1 8968 83081
i.3o534 11755
1.33107 36885
1.33678 67173
1.36348 13696
i.o383i 85665
1.0/421 71633
1.00008 61909
1.07693 33333
1.09173 33810
1.37333 93764
1.38803 7687
i.3638o 170Q3
i.3iq66 36633
i.5553i 14661
i.35io4 91603
1.37148 148631.36677 683i5
1.38733 885671.38349 66486
1.40016 807641.39830 64o3i
1 .41900 38646 1.41391 04947
1.10761 38369
1.13336 67683
i.i38q9 19165
1.16409 31768
1.170 36 74475
E(39*).
0.76830 66636
0.78468 33780
.80103 17338
0.81733 30007
0.83358 41067
0.84980 81380
0.86699 41788
0.88314 34364
0.89835 30966
0.91433 64477
0.93086 3790 4
0.94686.34830
0.96383 69800
0.97836 8^869
0.99414 5q483
i. 01000 8563^
.03583 7033Q
E (80^).
0.76719 60867
.78360 10779
1.79076 66910
1.81699 06978
0.88317 40189
0.84881 66379
0.86441 86466
0.88048 03480
0.89660 i655q
0.91348 81448
0.93843 60401
1.04161 69645
1.06787 40706
1.07809 90680
1.08879 27373
0.94433 77181
0.96019 16069
0.97601 .71810
0.99180 49714
1 .00766 65 55o
.03836 .9559?
ï7ï86oi 86778
1.30164 68467
1.31736 39664
1.33388 80806
1.34840 33636
1 . 10445 68618
1.13008 98379
1.18669 40301
1.16197 08774
1.16683 0874s
1.08894 76610
1 .06469 06863
1.07019 91061
1.08677 40408
iT^ή 16455
1.46066 60618
1.46647 74230
1 .48399 06989
1.49811 49384
1 .43060 8o383
1.44580 38639
1.46009 3865 I
1.47668 16068
1.49386 87111
I. 36816 88893
1.38881 90046
1.3994643376
1 .81609 54018
1.88071 354 14
1.84681 93
1.36191
1.39807 66606
1.40864 63418
1.36394 96146
1.37947 83654
1 . 18334 60361
1. 19784 4381 5
i.3i333 00367
1.33877 80818
1.34430 46974
1.36061 60681
1.42420 97108
^ 82806
X.43
1.46^3 81694
1.47087 66018
1.48643 68087
»• 29499 o86û5
i.3ro48 71060
,3 3696 96736
1.97000 88768
1.39088 38^07
1.80674 08693
1.83108 86018
1. 10181 63690
I .11683 66719
1.18330 63569
1.14776 59611
1.16817 68698
:1 . 17857 00458
1.19898 66806
1.30937 77771
1.33459 4^883
33988 85833
1.36616 07414
1 .34143 99984
t. 36689 72078
1.87384 46714
1.88778 3q58o
1.40831 85681
1.41868 71640
1.43406 56679
tMs47 03og|iS
1.46488 2idoo
1 .48039 36638
1.88641 3^014
1.3517s 80015
1.86708 35545
1.88283 86398
'1.89761 63094
1.37041 34600
1.38564 60678
1. 80086 99309
1 .81606 o4o5o
1.41889 46011
1.43816 848ii|
1 . 44?jP 79960
r. 45870 46556
1.88194 19381
1.84641 19313
1.36 156 98366
1.87671 71408
1.89186 68934
1.40698 68707
1.43311 08256
1.48738 01743
1 .46384 69689
1.47896 98873 1. 46746 3309?
M« TABLE IX.
TABLE DC.
567
i
46
5o
5i
5a
53
5
5
5S
5
63
64
fô
66
67
68
70
7*
7a
73
74
E (a5«).
0.77347 10886
0.78011 flB83o
.80573 55438
o.8aa3o 09714
0.83886 59067
o. 85539 54319
0.87180 3635a o . 87048
0.88836 365970.88687
0.90480 67040
0.9313a 19717
0.93766 97113
0.95397 oao6o
0.97000 37743
0.98661 07686
1.00389 167"
1.01914 6616
E (a6*).
0.77147
.78805
.00459
0.83111
0.83760
Q.854o5
38658
30894
.34923
60734
18694
69547
0.77044 66863
0.78695 96371
0.80343 q3q84
0734I0. 81988 59643
98603
•OIQOO
.83639 9009s
0.85367 96881
14418
54810
0.91957 00070
69857
.90333
^91957
1^3587
1.03537 ^444
i.o5i58 ia479
1.06776 18444
1.08391 86877
1 .iooo5 336o3
1.11616 34759
1.1 3335 36789
1.14833 06436
1.16436 80601
1.18039 56883
0.95315
0.96839
0.98461
1.00080
1.01696
II
35194
1830
3338
i.o33o9
1.04990
i.o65a8
i.o8i33
1.09736
76
î
9
o
1.19640 4^567
1.31^^45573
1.33^1^73976
1.3443a 06003
1.36036 404^5
1.11336
1 . 13934
].i453o
1.16134
| i. 17710
59607
13460
536a4
43873
89835
<j84a6
76943
03055
74344
Eea7«).
1.86903 70371
O. 88534 15733
0.90163 34945
0.91787 3o4o3
0^95409 04903
0.95037 61 658
0.96643 04984
0.98355 368o5
0.99864 63643
1 .01470 89633
i.o3o74 19960
1.0^674 60365
1.00373 16539
1.07806 95134
1.09459 03794
1.11048 4664
E(980.
0.76939 06898
0.78683 63317
0.80334 64143
0.81863 o8553
0.83496 96760
0.86136 39616
0.86753 08009
0.88376 33870
0.89096 00173
0.91613 36430
0.9 3336 18696
0.9^834 59071
0.96440 61689
0.98043 30734
0.9964a 70883
.OI338 87306
83
83
84
86
W\
89
90
1.37618 96860
1.39310 11345
1.30709 96783
1.33388 68831
1.33976 09876
1.35563 58617
1.37148 14863
1.38733 8855^
t.4o3i6 80764
1 .41900 38646
•19306
1.30893
1 . 33477
1.34061
1.36643
^388
46346
33963
01403
67845
1.37333
1.38803
i.3o38o
i.3iq66
i.3353i
93764
76871
3655s
14561
i30ô5 3416
i.i4ai9 73i3i
i.i58oi 71733
1.17381 38446
1.18968 83081
i.3o534 11755
1.33107 36886
1.33678 67173
1.36348 13696
I.03831 85565
1.04491 71633
1.00008 61909
1.07693 33333
1.09173 33810
E(a9-).
0.76830
0.78468
0.8010a
0.81733
o. 83358
0. 84980
0.86699
0.88314
o . 89835
0.9143a
o.93o36
0.94636
0.96933
0.97836
o.994»4
i. 01000
66636
33780
17338
30007
41067
8i35o
4Î^
34364
30966
64477
^7904
34833
69300
3B869
35633
E (3o^).
0.76719
0.78360
0.79976
0.81699
o. 83317
o.8483i
53867
16779
66910
06973
40189
66379
0.86441
0.88048
0.89660
0.91348
0.93843
8S466
03i
16669
31448
60401
0.94433
0.96019
0.97601
0.99180
1 .00766
1 . 03583
1.0^161
1.06737
I.07S09
1.00879
17^483 15465
1.46066 60&18
I .46647 74930
1 .48339 66989
1 .49811 49384
i.35io4
1.36677
1.38349
1 . 39890
1.41391
91603
683 1 5
66485
64osri
04947
1.36816 83393
1.38381 90046
1.93946 43376
1.01509 54018
1.33071 ^414
1.10761 38369
1.13336 6768^
1.13839 19166
1.15469 31768
1.17030 74476
1.18601 86778
1.30164 68467
1.31736 39664
1.33383 80806
1.34840 33636
1.46099
1.47668
1.49336
8a383
3o5a9
3365 1
i6o63
87111
1 .34631 93793
». 36191 43656
^•?7749 ,97661
i.3g3o7 66606
1.40864 63413
1.36394 36146
1 . 37947 83654
1.39499 o36û5
i.3ro48 71060
33 696 96736
1 . 10445
1.13008
1. 13669
1.16137
1.16683
70339
69645
40706
90680
97373
680
93973
40301
0877A
08748
77181
16059
71810
497»4
6555o
.03336 .95593^
1.03894 76610
1 .06459 06863
1.07019 91061
1.08677 40408
i.ioi3i 63&90
I .1168a 66719
1 . i333o 63369
1 .14776 69611
1.1 63 17 68698
1.18334 5o36i :i . 17867 00455
I . 19784
i.9i33a
1.33877
i. 34490
.36061
1.49490 37108
1.43976 89806
1.46639 31694
1.47087 56oi3
1.48649 68037
1.34143 93934
t. 36689 79073
1.37334 46714
1.38778 3q58o
i.4o33i 3563 I
1.41863 71640
1.43406 66679
1.44947 03096
1.46488 91 000
1 .48099 36638
I . 37000
1.39038
1.30674
1.39108
438i5
00367
3o8i3
46974
83758
98307
08693
36oi8
1.19393 663o6
1.30937 77771
1.33459 46833
1 . 33988 85833
1.33641
1.3517s
1.36703
i . 38333
1 .39761
1.41383
1.43816
1.44343
r. 46870
1 .47396
94014
86016
35545
86993
59094
46911
8481
iq6
S66
9887a
1.355 16 07414
1.37041 34000
1.38564 60673
i.3oo85 39309
i.3i6o5 84060]
1.33Ï94 19381
1.34641 13313
i.36i56 9o356
1.37671 71408!
1.39186 63334
1.40698 68797
1.49911 o39o6
1.43793 01743
1.45334 69689,
1.46746 3309Jr
Je
V
•S8B .TABLE IX.
TABLE IX. ;69,
Sjo TABLE IX.
I^ABLË IX.
%ji
f.
So
5i
5«
53
54
55
E(5o»>
aaSciS
^ |o.83a^^ 4ai 1 89(0 < 8507? ofelB
o«8644i 86466 t>.8C*8b
o.SSoiS o«48o 0^0:^877
o.8g65o 165300.891^0
0.91948 3i448o*SFlo59
0. gaSja . 5tii4éi o.sttfey
o< 94439 T^FIfT o. 949M
57 d.96019 i6o5<io.9S8bd
58 0.97601 7i8io|d.97S79
59 0.99180
60
6s
63
ro
I .ot)^S5'
E (Si»>
■fctlÉI
140.
Bo t.
40
4
S5oi9
B1544
1 .oii3^6 9B5q3 t <o!io64 84o56
1.0S804 76616 i.o36âi 1^^^
1.05459 oSSStf 1*06173 71133
1.07019 9idSi 1.067^^ 588t3
Ë (is»)i
.ySidS
à
à
à
0.^371 54467
0.79888 i3ji38
d. 81 181 S6495
o. 89775 dgS^S
o.8ipe3 ^1059
676oio.86ii5 yio57
846180.87755 87«09 ,__
89^43 0.89987^ 468630.89100
5418300.9086899695 "
049750.^944* 08399
0.94011 W8^6
6.cï65f6 86096
o:§fiji8 18066
0.90699 19819
1 .00947^ 9773*
Ê(fô<>)i
o
o
.85q4^ 42^91?
.^7596 s»^5s
.79446
.9idS6
o.iiiBûi
|o.8l4âldi
o.qb66o
o
.^ 993fS 3 1.953
0:93793 4992?
0.95348 40433
<^- 9^898 71044
0.9844448874
0.99985 65670
1.01796 587031. 01 99ii 4^90
i.o8577_îp34Q8
7»
73
74
ZL
76
78
Il . »2459
I
8a
83
84
85
189
i.ioiSi 69596
1.11689 66I719
1 . iSaSo 6sé59
1.1^775 59611
i.i63i7 6^98
i . 17857 00453
1.19393 6^06
1.99459 4683§
1 , 93988 J5899
:255i6 07^41411 rîi5o58
oii fl46do t . 9t6569
4 50673 f . flr8o5«
^ùè&6 09909 i .9^9694
1 ;3;*^ 84êS 6 1 .^io%
.^iii4 iSf^ST 1 .3flSât5
i.o8>e7 87361
6^
OI088
1*749
01717
8^398
t .09800
f i 1 134$
1.19^3
i:i5943i
I .cSi4i loSfiSli .d3o54 86199
1.04881 61180 i.o4587 01464
1^06418 1^307 1 «06106 98745
07950 94174 11.07696 fe779j
Ê (*<•)(
AiSà
0.^6960
d./783i
0.85773
0.87349
0.88909
;^468
0.95] i5
0.96694
0.98188
o-9.97«7
^
93
60
4d93o
57q4a
È.(35-);
^ - •
6.^8198
6.^7740
.79307"
0.80889
0.89465
6.84q_56
3o38i
8q5o9
^7758
6&757
!i336i
o. 85601 31687
^^^43 0.871 60 9!i534
o.dS^iS 08399
d.9o963 8^444
o..9i8o7 18570
1.9o5l9
I.2I9C^
i . ^54$
65539
?9i36t
9695
8o5o9
1.9f7<
1.98J
t. ^4641 idfii9h .3i(f695
1.36196 995561.5^0^
3qi85 5391
1.09475 ûpai.o9i4iï 78939
i . 1 ioo5 53706 i . 10654 85o59
1. 19597 194731.19163 11619
S4i 56 1.13667 766Ô6
i.i5i6g 9066^
1.16666 66594'
1.18161 18640
I. 19659 59141
1.91141 043Ù7
1.140^ 641 56
1 .15560 79566
1.1 7071^ 77990
i.i858i 79i8r
1.^00*87 7534*
1. 2^1591 01 io4
1.93091 635 igti. 99696 6854
Pr9l6o86 56457
1.21757^9 16975
1
40698
7 I. 46031
1.49911 o9à36{i.4i5»8
4368^
i.43i»34^d9|i. 44581
90 fi .467i^. flOdgS r .
1.01949
1.09769
1 . 04378
1.05789
1 . 07295
0.^3345
d.948^7
0.96405
0.97997
9^640.99445
69^75
68o63
1839 (
94^38
9609J
.08798
• 10996
•i«79»
i.t398i
1.14768
1.16951
1 . 17731
1.19907
1.90681
1.9^l5l
r.336i8
19983
6090^
469*7
6ÎÏF
36094
30457
ai35o
96065
48698
85939
i5i5o
1.00957
1 . 63464
1 . 03967
1.65465
1.06958
44430
89543
38948!
93784
47865
1.08447
1.69931
1. 11411
1.1^(887
1.143 59
1.15838
îd I
1 •^439 99349
.36563 7909111.35897 63635
1.3 7986 5o34o|ï. 372(64 93997
77^68 41153 1.38899 89575I1 .38^78
r . a5o83
t. 9654^
1 . ji8o6
1.34109 67.171
i.355qo 15987
1.97068 5n6i
076 74095(1 . 38544 ad99à
S66 45639 1 .3ooig a^o38 tt .î^i
ï. 39048 4'7'8 i.3i4)^o 4179»
.33634 847o7[i.%966 90949
.feôio 89331
1 . 1^303
1.18753
1.90911
i.9i665
i.33ti7
99667
6q399
736o3
76919
81968
04388
60179
64683
341^4
85336.
1 . 34566
1.36013
1 . 37455
1.^8896
i.3o336
35617
04801 f
o5i39*
61988
96343
t .40949 6r85r ï .40994 8b.96f 1 . ^94
t. 4^436 99866 ^ il 75q 16088 r. 4(1679
i.45^q^o 6^713 i.43sf33 13646 ^435l9
99866 '^ il 7'5q 16088 r. 4(1679
, , 6^713 i.43i*33 15646 ^49Slà
.4$3ga 7^961 1 .44686" 90467 v.45^
lltr
8^1393
ffï883i.3o336 1^740
6Î4363 1,31773. 45359
193161.^309 16987
355641.3464^ 99386
^9789 1 .36 676 96761 !
364431.37508 06936
489^9 i.38û39 06671
o6o38i.iô369 ^337!
99777 1 -ij/gg 3^7183'
91471 1.43^9 0^693
TABLE DC;
F (3o*).
80436 6101s
8a3o4 777aa
84177 6a8i6
86o55 18069
483oi
5a358
9361a
95514
97430
99331
3a 104
87900
1349a
oia46
o3i66
oSogi
070a i
08955
10893
ia836
14783
16735
18691
670 U
76608
60866
0589a
06699
67705
5aoa4
84466
45534
a74a3
ao65i
aa6i5
a4583
a6554
d853o
aioa3
16690
03404
70476
o5856
3o5o8
32491
34476
,36465
38457
§o?l
q3o84
60734
45536
4046a
4^449
44449
,46461
48455
04869
5i5i7
08745
60461
53469
54479
56490
585p3
69308
7i8a9
34459
37841
63434
6o5i5
6^639
64544
66559
68675
884o3
35767
64396
73606
o3548
F (3i*).
0.80660 40616
83436 03970
84318 51148
86ao5 16397
88096 8897a
^89993 74116
91896
9380a
,96715
9763a
i9564
0148a
0341 5
o5359
07396
09^3
111
iq6
i3j5a
16114
17081
1906a
73046
8343a
08383
459*9
96007
Ï3447
18457
86511
53340
63460
93404
g 64^0
6396
93456
31038
a3oo8
4995
36981
38974
30970
33970
34974
36981
^9_i
67873
16346
67171
18378
41006
.43q3i
,460^1
470D3
49086
68373
7083
4171a
66379
9633
44574
8675
00668
70377
75699
61113
53i4i
55171
5730a
69335
96769
13534
06345
60896
39114
61369
633(â
6633q
67375
.69411
18354
96434
4i638
3i365
43573
F (3a*).
80687
83673
84463
86359
88360
90167
93080
93998
j6û33
97861
99786
56814
731 55
3i4o4
34343
84730
86337
3763
4^609
00836
11766
74376
F(33*).
01736
03671
0663a
,07678
'09640
86441
46669
48137
89864
656i
11607
13479
16457
17439
194*7
Q4468
33iii
76839
16345
33410
36418
37434
39434
41134
40369
09037
13394
6p5a4
33468
3649P
37617
39547
39343
04155
69173
07437
01390
41680
43616
46666
47698
49743
33408
81733
39608
654o3
38445
^1790
53fô9
55891
57944
59998
67117
89384
13738
04347
4qS02
63053
64110
66167
68335
70383
98168
'63p35
81074
67986
59^63
80817
83713
84611
86617
88439
90546
93370
96134
98076
oooa5
98450
0698S
86101
736a
37108
27349
aôâSo
89SS6
iDia6
36789
01976
03935
o5qoo
07871
9847
11839
i38i7
16810
17809
1 9814
49644
5ai54
40841
11464
68807
96466
79351
00108
a 1833
33838
a5857
3788a
«9911
46940
08100
70803
31600
45887
31945
33983
36035
38073
,40133
43177
44*34
46ag5
48550
5p435
38018
61668
539
;464
944*9
02601
6736a
37343
3P454
83038
53406
54566
66640
68716
60793
04406
67886
i9^4
65386
69011
63871
64960
67030
69111
71193
04968
47169
69*74
44753
46963
F(34«).
0.8oa5i
8a854
764
680
8860s
o.goBSo
93455
I
3358a
06649
07104
41459
98307
00367
11465
10086
6547*
60935
74933
oaa34
o4ao7
06186
0817a
ioio3
35^01
31787
iai6i
14165
1617$
18191
303l5
#(35')-
0.81088
o»'83ooi
0.84930
1.86846
0.88779
0.90718
SiioaJ
oa86o
37097
lOOOO.
67936
0.93666
0.9461.8
0.96678
0.98645
.00618
oi5oo
18398
30OO3
07391
8o3i6l
33340
34373
363l3
38366
3o4o4
8ao63
83811
83883
76011
4889a
9«i73
Q0466
33394.
06196
906a
33458
34617
3658p
38648
40730
73o54
3488<
6757!
31688
06440
43796
[9045
>ii34
00738
533o3
67713
i334p
64399
53336
56331
67418
,69618
61618
9*39*
05343
90653
63731
66834
67938
,70033
73139
19938
65331
o83i4
.osi4qq 37673]
!oG48o
.08481
.i35o3
: 146*4
;i655i
.18585
.30636
Qo4a8
S4463
"SaTSS
66336
38143
683o6
66983
.33671
.34733
.36781
.38845
.30916
.33989
^35069
.37164
f^'
.41-
79383 1
q5i5I
'6796
68716
40874
70343
,43437
r 45540
.47646
.49766
.61870
.53986
.66106
.68338
.60S61
.63477
33771
07419
66196
84ao6|
34704
90144
333^
03033
|Ql3
8.9
.64605
.66733
.68863
•70993
.73»a4
aooSa
98709
654441
01700
61757
TABLE IX. iji
iji TABLE Ki
TABLE IX.
%
54
53
&«
5&
5B<
S*
ET
t6!l
EC35«J. . l(5e»)l
.76 1^89 3o58
.77790 &^a
(7.82146& 65757
.84o36 9336i
6.g57i(5 di35op.s?4i5 i4tt58
CR. 9(377 ^SoSSo.
o
P
•9ft<^
(
«(3r>
oitto 78653
^^^^ifl^ <&4P&^^^^^ 8â84â]o.$i:S'i7 63iÔ7{t>.8i65o S3o63
4a4n
436«8o.afSi.5» sioaSti
8Rf|09 p . 9^(i&»^ &^95|p. j
û • 84390^ 9fl« te o-9rf»^< 30433 p.;
79336 o.q5633 5ii6B
83oo8o.
6S
70
1.00957/ 4443o]i- 90667 11907
Y.oa4lS4 89643t.o»i6i S68Bc
1.03987 3894s i.o365o 9.1399
1.0S465 93784 i.o5i3B a6s77
1 .06968 4/885 1.0661470887
.08447 \s^ 1 .08080 4^440
0.9^0881 ^3i0
p.95894 793360.96633
E(58»>
248o
d4pi3
«T* 3^877 p
0.70003 7^060.. 76877 348880^.7624$ $09160.7661411 74Soa 0^.7648» 8086
&.7758ft 3686i2 Cf^ff^ Tiwiè^fpvr 361060.77199' ot4i7la.77o3<9i qooo
a. 794^ oo836 p. 79003» 9^a a.wSw 97840 0.3870^^
o. 80739) 53480 o> S^88> 02046 o*. 8o4â^ 14654J0}. Soa
a.8o3oT o4Ép4ov8ai4B»oS4tô6v8i»Q3W ;_:
oi8S86i5 33976 ft.83f^ 90 7io oi886a5*ni4Sû
o.856ai Ï1687I0. 86403: 8Jai^pw85^ 6^SSo.86o60' qi^^
0,871^ <yi634o^ 8G(f7S 63aoA0.8678S 066^6 o.865go 3o38o 0.86394 o33flQip.ooi9
0.88716 083990. 88&V7 48046^.8881^ 8f487b.88ii^ 5177930.87907 085560.87698 48390
0.90063 80444 o.fcx^ 703890^89844^ 31787 <>• 896o9> 87921 o-^^*'^ 611460.89190^
o^9;''8o7 ii867Q} o>9^>568 a3378 | a.fti36o 813 990^91140 i5o38}Q. 9Qyi 4g?gfe <> 90^80 01687
p^.9^44 11^907
i.oi85S 19033
4.Q33o9t 04605
1.0475» ^*^"°
t .o8oS5 oi6ya
.07706*
.^«41
,1.09934 6o3aâ 1^.09669 ^94^>.o9980'
i. ii4'i 1 tSGoS 1 . 1 looiS 08714 «•• m69i 61808 1 . 1KM01 43i i4
1 . 19867 7691^ u r94S6 97063 \ . 1^0077 68869 ; . 1 1.869^ 04878
I . i435y 8i968jr. i^4g 9798iB| ». i85i» 1*978^11 ■ i3o87 94688
|;7i 1 . 16898 o^fO»
'I
s
81
8a
83
85
1 . 18646 96674
1 . 18763 64^ 1. 1^990 670^
1.9QS1 1. 34iia4 4>. 19709 397/14
i. 9rf65 85396 1. 91 170
"1 . 981 17, 35fiÎ7 1
08679
E(V>
o.
0.96841 41044
^'.00079 1744^
* •01639.92980
i.oSooft 08367
1.04458 60099
'*' 06909 63480
66969 o . 983o7> 88089
1.0
1 . 08736» {^0986
1
^222
6075981
688794
E(4o*> .
7196410 . 90460 3^q86
Î41 1 3i i>. 98633 76889
6i59§ 0.96100 37197
o>9g768 10046
i.oiâoo 934.(1
4.09670 3S6i
1 .Gu^i 1^ 54008
1.0664898815
0.9IS660 00968
o'.ftSoi^ 40996
1%. 144pO OOTJIHI . 1
4*.i6389 68879 4. i'
1'. t78iè giSq^ji^ 17889 0^676
1. 06979 SoiSy
i.o^o^ 14163
!.. 09806 16908
1.11040 01794
1.1^6 49 88936
Ï.140S4
o^Sicf K 16466*
0.99460 07065
l.OOqoO 06896
t. 09384 M 1*47
1.(^761 784P8
i.o5i83 30196
1.06698 06947.
I.o8bo8 8ooo5^
i «091(1 3 06611
i.ioSii 86001
86
9P
1 .SbSar I i74a}i.. aqpicf 694^6
1 . i9a4i 371Ô6 1'. 18747 866b8 1 • 1^8948 9io7i{j . 17780 80
1 . 9o6d6 94406 it. 9016 9 8696 61 1.19630 9<^oai i. igioi 08
1.97466 6isl88|i. 96894 167041^. 9»*!' 86949 1 ,
t,g88gi!^ 9<a4gftt.983i» 499ltf K977a8 8^94 J i .97198 54flCfl4 J r.g65i7 46986
3i77^
1.339M 1099^1 lu 2^9(57(1^ ooSSh
lS^^^ 999«(9HK8390ft 8M;9o
1 .37doff o6iui6|i .86896^ 6ô84p
1.38339 0667/fl ji. 88989 ooTpS
1'. 90084 7971 9J4 .916^4 9^48^ i*.9io
1.94666 098aii|L.94p38 o6073{i«.989M 09060 1.99069 31988
i.96oi« qSi8ô| K 95467 49i<fi|i^ 9491a 399p8|i.94â|7 19978 v.93779 44664! 1. 98 ntô 68389'
19483 11.9614» 3f4or' -'"^ ''"'^
^ii.3iifi0 76^94|k).3o5^ $79684
>
i.4o86(| 48so7:^i;.396&i' 79686
» 4if9» 37iaijK.4ioe8 qowfi îî.
^'^i% 09698I' •^^fjS 08401 K
^..87694 76046
4i7<7 4d!»fi4
V. 16864 4l63o
071
iaû.1
14: Qf6o6||!. 90467 93399-
9 3i 9881 u 99896 08430I4.91809 66804
1 . i»aoo6 4o '
1 . 13598 8
\:m
9
I
7980
II.
1
r. 3 4733 07^8 1.34041 96457/
>. 36190 3^64411.55414 8
i^36i
67610
K 9^133' 46&37Ji..986ia o789di>.97885 916941. 97946 44SGi
3o53B 976S4 i..fi98Qa 66680 ^.mo6i 98^ 1.98598 70i«8:
'^31988 59408 i'.3isft89ro48i:i|l. 80645 99696(1.99988 70794
1 . 38^9 54^61 1 . 89669 7œ3o| i*. 8 1977. 9991
r.3S888 465! __^.,^
p.. 34697 586,99!r^.969 97167
1. 86066 6So44i.858oi' 78600
i«.3679(
19 4<>7>«â r.88179. 9
i3 57/09e|i'. 89646
i..3io8it 78744
y h. 39693 o65^
>-499*8 9r/***»*-4o
^>.974«ft 86
11.8876
7^»
1106.
ii.86â^ t»40io;
1 .37376 977^
11.8^14 09486
?7«
TABLE IX.
45*
46
■47^"
9
t
5t
5a
53
54
55
56
57
58
6i
6a
63
64
65
66
70
7»
76
7?
78
Z9
80
ST
8a
83
«6
187
88
8S
9<^
o
o
o
o
o
F (35*).
81088
83poi
84gao
86846
8877Q
90718
9â66§r
Hî'î
96578
98545
oo5i8
3ll09O
oa86o
37097
3q5i4
i5o66
6793e
oiSoo
18298
90009
07391
8o3i61
i95o3
14594
i655i
i8585
90695
59T85
66936
58143
683o6
65(^83
99671
96781
98845
30915
70989
951 58
90408
76673
10446
39989
35069
37164
39944
4i3^
83078
75795
68716
40874
70943
4764<
49756
61870
33771
66195
84905
34704
53986
56106
58998
6o35i
634f7
90144
99939
09099
8^789
64605
66733
68863
70993
731 a4
90059
Û8709
63444J
91700
61757
F CSP*).
o
o
o
o
81998
83i5o
86070
87010
88960
909»»
09357
457^4
966
587!
46466
p
o
7.0
210
O
O
93869
94835
96808
98788
00776
8oi3o
44895
43049
75897
43797
09771
04773
06783
08800
10894
46066
80933
45604
36197
474t6
19855
14894
»2939
18991
9io5o
93u6
96188
97966
99351
31449
73917
06081
37349
57109
54ai9
16960
99664
73i^4
4889.
9io3
33538
36640
39861
4»979
77094
•96769
58990
4ia35
19845
44101
46998
48369
604.94
59633
54776
66990
59068
61918
63370
70010
66893
8o3o5
86463
59349
61087
5ioo6
90641
97849
39841
65594
67679
69835
7199a
74149
93337
44579
69452
63665 1
99344
F (87*)-
81370
833o3
86949
87190
89146
91108
6369Q
04806
08645
69606
73o39
66010
93079
95057
97044
99o38
01040
36339
87955
93869
46011
55394
o3o5o
06068
07093
09197
11100
61617
33589
9874λ
43417
69693
13917
16273
17337
19403
91488
5o387
99019
99786
42538
16766
93574
26667
27766
31986
34106
36231
38362
40499
49641
06534
ooSra
89156
34173
38093
73985
90094
66014
53407
90533
44789
46941
49008
61969
53494
55503
67706
59940
69117
64997
39137
71091
69690
7*906
7765
44«93
38559
26488
73073
49685
66478
68669
70846
73o3i
76916
16
!4
9g
o5
19766
59366
F(58*).
o
o
o
o
o
o
8i5i6
83458
85409
87368
89335
9i3io
93203
96285
97286
99^94
oiSii
o3336
05370
09463
11021
16664
17747
03906
69078
34696
oo35o
1 4770
38285
35716
60844
o638i
3917
26476
46681
04164
95265
21
0796
40786
89890
03918
69095
94045
96160
9898a
3o4ii
39547
34690
36840
38936
41169
43397
63852
i45o4
17535
44945
77174
93107
70083
83qi9
08898
17867
46600 89908
69069
64a44
5§44i
68641
60845
63o5i
66969
38588
60966
oi365
«3994
89498
67470
69689
71896
74110
76395
68970
90649
^798
83942
61841
F(59*).
o
o
o
o
o
o
o
o
6
o
81664
836i7
86678
89698
91616
93^19
96617
97609
99555
01687
19196
96884
91853
16713
109l5
80140
333i9
75516
11460
44682
77690
03629
066;
077;
09807
11884
ii3i4
46706
79377
09155
81027
18970
16066
18168
20280
22401
104
83o69
1691
;553
2453b
26667
28812
80966
33126
61178
77014
98902
S56iQ\
86234
87469
89651
41840
44o35
46286
636i6
68644
78056
Sifisto
oo55
62872
66094
4TS25
1S723
22166
81787
06904
67820 o68o3
81464
78000
80628
61 7I
64019
6626*8
685oo
70743
72987
76282
77478
08810
14957
66047
84655
•69091
F (4o«)-
o
o
o
o
o
81814 76602
88778 66936
86761 67454
87788 6196S
89724 8q366
91726 48681
98735
96764
97788
99822
01870
47866
93765
921&3
08928
06996
4i3ii
80082 1
85o3o
101 :>Q 48004
66698
226S
TpeT
16476
18600
00734
99577
3587 1
?56o2
6852
49881
26029
27189
20^0
81686
88722
30670
92958
IQIQO
89661
80404
35916
88118
40807
44766
74908
31961;
5o99i
79496
98765
46996
49a5a
51474
68791
56978
6ii56
46998
14977
97184
44145
68080
60491
69766
66094
67996
^9668
71844
74190
76398
78676
94934
27968
07619
91996
99634
66064
01276
83557 1
62339
91349
a&
TABLE IX." StT
rr
s?» TABLE K.
TABLE DL
sdo
TABLE IX.
'45»
'46
%
5i
Sa
53
54
55
56
57
58
II
61
iSa
63
{66
'S
]69
7»
7a
73
75
76
78
80
81
:8a
!83
'84
85
^«6
88
89
90
F (4o«),
0.81814
0.83778
.86751
0.87733
0.89794
0.91780
l3^
0.95754
0.97780
o.998aa
.01870
765aa
66936
5745;
6195:
8q56^
4868
47855
ûai53o
47564
631291
.03938
.06995
,0807a
. lOlDQ
.iaa55
4i3ii
8a33a
86a3a
48004
66698
.iX36i
.18000
.30734
.33877
35871
48434
96603
66853
49881
.36039
.37189
. 39363
.3i536
.33733
30670
9a953
1Q19
8955
83404
.35916
.38118
.40337
.43643
.44766
.46996
.4933a
.61474
.53731
.559 73
74ao8
09517
60993
79436
6ii56
45993
14977
37184
44145
. 58a3o
.60491
.63766
.66034
.67396
.69668
.71844
.74iao
; 76398
.78676
34934
37368
07613
31396
33634
65Ô64
01376
83357
63939
91349
F (41*^)-
81967
8394a
86937
87931
89935
919%
84387
73370
i8i33|o
31177
33733
06061
9396a
95996
98040
00095
oaiSo
04334
06319
08414
10630
13635
3oq34
31763
61964
09035
89684
16898
19044
3130O
33366
35541
37736
39931
33134
34336
88964
001 10
14537
31768
09330
63oo8
663o3
oo5oi
45344
78073
36557
38787
41034
43369
45533
47781
5oo48
533ao
545c
568[
73930
0600a
4633a
60839
8584S
a3o8c
§3iol
3o56
6o356
60173
61466
63764
66o65
68370
73778
36614
70183
«7947
70677
73986
76397
77609
799aa
4819
6q583
•66917
16440
F(4a*).
83133
84109
86105
8811a
90138
93166
33663
35340
59717
09836
98334
36986
o
o
to
36436
94194
96343' 06 i36fo
98303
00873
03454
54357
88o3c
ia666
04546
06649
08763
10888
i3oa4
33376
49693
65538
79U7
87986
16171
17339
«9498
31677
33867
87689
335o8
6906
39
000
176
36067
38377
30498
33738
34968
68376
90660
4397
7018
54538
37317
39475
4174a
44018
463oi
45593
60890
53196
55507
67836
71003
91371
84667
18167
66471
63041
96106
13766
74o63
00075
60148
63476
64808
67146
69486
34031
36385
86046
30433
i563i
71837
7417a
76619
78867
8iai6
86648
87488
6i386
5o<)86
98537
F(43').
83380
84378
86386
883o5
90335
33377
77666
37483
67333
83486
97340
35338
96493
9856Q
00655
03764
04864
06986
09130
11365
13433
78895
67836
0836
9806
44i_a5
"Bift
16691
17771
19963
a3io6
34381
6i84
loSao
43764
48043
15743
53196
40694
71918
34860
36607
38843
31091
33540
356i8
37896
4oi85
43483
44783
47105
14755
04633
54608
73040
«489»
83353
18317
07380
86744
46746
49439
61761
54100
56446
56799
37398
17838
â|
33338
61167
63633
66890
68364
70641
96394
03637
955
180
11743
73o3i
76403
77788
80173
83660
'6&BS
73003
16884
86854
18981
F {Ait' )•
83440
84449
86470
885o3
90646
9360
34647
36355
33874
o3o34
5354
o
o
p
p
o
94668
96T48
98840
00943
o3o6o
9664
4397
06910
97433
33oo3
06188
07330
09A83
11^49
i3838
16019
18330
30439
33667
34907
90473
04991
60897
86636
54605
37160
a94a4
51700
33987
36386
71167
01400
881 531
61843
904^7
a936i
5ll3l
36o37
6ia83
oi3i7
38696
40916
43345
45584
47934
37745
09396
11806
98a3i
38656
60393
63669
65o34
67416
68906
■?o338
47759
43697
94317
49380
6a30a
64604
67011
69433
71839
5187a
44i^o
66106
66860
49806
F(45**)-
74368
76680
79106
8t63o
83966
83919
88891
oo4o5
49378
67311
83601
84633
86666
88701
90769
93839
78763
01637
16943
43796
oo5i7
o365i
949*1
97007
01 336
03371
69371
13384
45837
81614
39637
o55i8
07679
09854
13041
1434»
98714
96633
21490a
89687
90680
16457
18684
30936
a3i79
35448
a6o44
03181
8a6a4
884a6
97959
37736
3aoi9
33334
34643
36971
39313
41666
44oao
464o3
48788
96800
67688
90347
4i5o3
i477
30618
86333
66060
9o366
4719»
61183
63686
55998
68419
60847
80938
43963
8r689
3193
7330
i
6^383
66734
68173
70634
73081
q683i
68063
16969
73430
7i3a6
76543
78006
00471
83939
85407
38935
04036
93384
33473
46773
^
mm
&
TABLE IX.
38 1
9. , DC^BO-
16
33
a6
45
0.00000
o ..01745
o.o34<
o^o5a!
0.06978
0.08731
0000
3849
3o4t
ii34
o.io4€ft 4^^^
o.iflaoa i366
o.i3a4o oo53
0.15875 76^
0.17409 i5d:
19137 8606
ao865 1463
33589 181a
32609 7153
o.36o5i 6934 o.3bo3i^ 49 ^a
o- 1.9^39 3340
0.30867 8136
0.33593 56q8
o.343j^3 0409
6
0.37745 6681 0.37739
0.39455 3386 0.39447
o.3ii6o 7368 o.3ii5i
0.33861 5583 o.3385i
0.34557 5631 0.34545
0.36348 53i5
0.37934 3i35
0.39614 4^9^
0.41388 0366
0^43957 5348
0.44^^0 0103
0.46376 1843
0.47935 8534
83oo
933a
0.53833 0845
0.54455 8175
0.56070 3684
0.57677 i8j5
0.59376 4077
0.60867
o . 6fl45i
0.64036
o.655q3
0.67193
8o56
3410
5877
7373
5494
0-68703
0^70344
0.71778
0.73303
0.74816
9537
8440
7001
65o4
E(4S').
0.00000 0000
3834
3918
75o3
3843
9303
01745
.03490
,05334
06978
)873o
E(47')-
104630850
i33oa 6066
13939 3143
15674 6388
.17407 6135
3587
7645
7636
36a34
3g5g5
41367
.43933
3o63
8689
7568
7377
594»
44593
46346
5ii63
53788
56oi5
57617
5931 1
ii36
0893
3io5
6086
76S9
6io8t
9635
6547
5310
4064
60797
.63374
63943
655o4
67056
1633
6476
7^94
3837
1911
,68500
,70103
7i65g
7468a
S469
65ii
0141
3555
6047
00000
01745
o34qo
o5834
06978
08730
0000
3819
7085
3855
7373
10461
1330.1
13938
i5673
17406
19135
30863
33585
343o5
36031
8173
4837
4884
3954
37733
39440
3ii43
33840
34533
,36330
37001
39577
4^999
794^
4677
5ZZ
0783
53i3
1004
5547
668a
^44565"
46ai5
.47858
49^
'01133
aaoi
i5i
134
38id
5907
53743
54356
55a6t
57557
59 146
3305
0859
8188
35so
60736
63397
63860
65414
66959
4536
9736
7730
>9»4
68495
>70033
71539
73047
74546
5744
3633
6633
6858
3577
E(48*).
.00000
01745
03490
o5394
06978
08730
0000
38o3
3671
6669
1869
5347
10^461
13300
13937
4189
549»
636i
15673 3(
17404 5(
19133
30859
33583
34301
36016
7607
8350
4177^
3706
1095
37736
29433
3ii33
33839
.34530
6639
663&
8437
9454
7103
363o5
.37885
39558
.41^35
.43885
Ï85
3309
4736
4o36
7764
o o
44539
,46185
478a5
49457
,51081
3636
9386
3863
io33
4541
53697
S4306
55906
57498
5go8i
86qi
3981
1478
3338
6o655
63331
6:
6K
66863
7637
009
8164
1456
1673
68391
699 ip
71.4^0
73919
74409
?6o6
145
3373
7735
E(49^)'
0.00000
01745
03490
05334
06978
08730
0000
3788
3548
6355
0887
3439
10461
1330O
i3o36
15671
17403
0875
033Q
85o7
37/1
998c
i9i3i
30857
33579
34297
36010
o5ii
0669
9406
37730
39435
3U34
33819
34508
3917
1430
9^09
4554
4803
36191
37868
39539
4^304
43861
445i3
.46155
4779»
49430
5io4o
5738
J563
685
0903
4073
53653
54356
,55851
57438
59016
^119
5o37
8888
58o8
4010
6o585
63144
636q4
653^5
66766
"68^38
69799
7i3oo
73793
74373
1786
7608
9633
•6704
2356
o3i4
4400
8534
1737
3i36
E(5o<»).
,00000
01745
03490
05334
06977
,08720
0000
3775
3436
584a
9.309
l53C
io4^
131
139Ï
16670
17401
7577
4.992
0690
i6i3
4718
19 '29
3o852
32575
3^292
3ooo5
698 J
5401
7000
88a5
795a
37714
«94 17
3iii6
33809
34496
1487
6670
0373
0107
3039
36177
37853
30531
.41183
.43838
6410
7607
0994
3oo3
3ll5
44485
,46136
47758
49383
50999
8867
o85û
5716,
1176
5oo5
53607
54306
55757
57379
589r
5o46
9310!^
^479
^o5i4
62068
636 13
65 146
66670
787a
39] 5
3'i46
4037
5i49
68184
69688
71181
73664
74137
5i3
376c
6867'
6417]
047
S8a
TABLE DC.
(f.
I
a
3
4
5
?
9
10
II
la
i3
i4
i5
i6
".5
ao
ai
aa
a3
aS
3i
3a
33
34
35
36
3
39
4o
F (45»).
F(4e»).
o.ooooo
0.01745
0.03491
o.oSaoy
0.06984
0.0873a
ocoo
3736
oi3o
1841
iSao
1854
0.10481
o.iaaSa
0.13985
o. 15740
0''7497
|479
5009
3290
fl8io
63oa
0.00000
0.01745
o.o34qi
o.o5ao7
0.06984
0.0873a
0000
3751
oa53
aa58
a5i9
3730
0.19357
o.aioao
0.33786
0.34556
0.36339
644Ï
5905
5541
7086
0.38107
0.39888
0.31674
0.33465
0.35361
0.37063
0.38870
0.40683
o,4s5ofl
0.44338
0705
7094
8953
838
988 5
0.46160
0.47999
0.49846
0.51700
0.53563
1
64so
aSag
5363
8335
36i4
4333
3733
0.55433
0.57810
0.59197
0.61093
O' 6^997
0.64911
o. 66835
o . 68769
0.70710
0.73667
1030
4145
3353
0073
6909
'S44S
6344
3530
o663
aaai
o. 7^631
0.70607
0.78594
0.80593
0.83601
u
8q5
5
3036
38a
787
0.104818838
0.1 3333 0393
0.13986 1345
0.15741 4^o3
0. 17499 i885
o. 19359 7316
0.3 1033 3936
0.33730 1798
o.345bo 6633
o.a6335 0194
9.38113 53i4
0.39896 4788
o.3i68i 1438
0.33476 8o5i
0.35374 7481
^8 3545
^87 6075
•40703 0307
.49034 9880
.44353 5836
0.46189 1619
0.48033 0071
o .49883 ^o36
0.01740 6353
0.536069856
o.5545"i
o. 57365
0.59357
0.61159
0.63070
1733
31
385o
0.64991
o. 66933
o. 68863
0.70815
0.73778
^7
5859
7644
6146
0.7^753
0.76737
0.78735
0.80743
0.83764
6100
9938
oi55
9188
9406
F(47')-
0.00000
0.0T745
0.03491
0.05307
0.06984
0.08733
0000
3767
3676
3003
6735
0.10483 3175
o. 13333 5713
0.13986 qxq5
0.15743 5488
0.17000 7458
0.19361
0.31035
o . 34004
0.36340
7980
3934
6307
3694
.297
o.a8ii9
0.39304
o.3i6q3
0.33487
0.35387
0.37093
0.38904
0.40733
0.43547
0.44378
9^
3438
393.
7183
0173
0.46317
0.4806k
0.49918
0.51780
o.5365i
0857
7106
7i53
3701
98'7
8485
3691
5^37
8683
453
0.55531
0.57430
0.59018
0.61335
0.63143
0.65071
0.67000
0.68958
4724
1484
1719
8378
444^
a844
65io
8341
0.70319 1311
0.73890 7960
..74874
►.76r
0.76869
0.78876
0.80896
0.83939
1393
4^71
93o5
3150
0099
F(48*).
o.Gtoooo
0.01745
0.03431
0.05337
0.06984
0.0873a
0000
3783
oboo
3093
o. 10483
O.I3d34
0.1391
0«l574^
0.17003
55i3
1018
6798
^999
0.38136
0.3991a
o. 31703
0.33498
o .35300
4458
01 35
6367
6338
3800
o
o
o
o
t o
0.07107
0.38931
0.4074s
0.43569
0.44404
3433
761s
5965
0.46346
0.48036
0.49384
o.5i83i
0.53696
56i4
5696
735a
3730
7984
ô75558i
0.57475
0.69378
0.61393
o.633i6
3370
t
o.65i5i
0.67037
0.69054
0.71033
o.73oo3
I
564
3194
3836
0543
6400
ô. 74996
0.77001
0.79019
o.8io5i
0.83096
4419
&
8844
107
713!
F (49').
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
o34ai
o5qo7
06984
08733
0000
3507
5480
9578
10482
13334
13988
i5'
'21
F(5o»).
0.00000
0.01745
o.c34qi
0,06307
0.06984
0.08733
0000
38i3
0745I
3919
6459
1492
8839
63o7
5o33
8073
8493
19365
aio3i
33800
34573
3635o
38133
299^9
31711;
33509
353i3
8836
7678
86o5
6087
0310
37133
38938
40761
4359a
444a9
7175
9*96
9603
'Ht
7966
46376
48138
53741
3654
8688
9367
7999
790^
55631
5753©
59439
61359
6339
67185
69160
71137
73117
3406
4843
855d
6869
3i39
0696
81
08
0169
)0Q
'i
75119
77134
79163
8iao6
83363
8
170
5376
9775
0.10483
o. 135^6
0.13989
0.16745
O. 17606
3160
1671
3903
0306
3916
0.^19367
0.31034
0.33803
0.24577
O. 36356
9335
0640
8938
8510
1913
0.38139
0.39937
0.31731
0. 33530
o.353a6
o.37i37
0.38955
0.40781
0.43614
0.44455
^977]
i<
36931
7343
4814
065 1
5i
30
46a
i5q
i
o.463o3
0.48161
0.00037
0.61903
0.53786
9347
1967
1033
•A
0. 66681
0.57686
0.69600
0.61436
o. 63363
i5i5
7098
9465
0.66318
0.67373
0.69346
0.7193a
o.733?o
7361
4467
4633
1958
789
0.76349
0.77368
0.79308
o.8i363
0.8343I
8031
5l33
3636
3967
3473
48
5o
5i
59
53
54
55
56
U
6i
6a
63
66
67
68
69
70
71
73
76
Z9
§£.
81
83
83
84
85
86
90
E (45»).
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
74818
763fl5
77824
79013
80733
8aa65
65o4
745o
0007
38ia
8609
4^41
837a8
85i8i
86636
8806a
89489
9090?
93718
95111
96495
o663
7934
Daa9
583i
7>39
0669
7054
1458
97870
99208
00697
01949
00292
7387
a342
5884
0101
6600
o46a8
05967
07378
08593
09900
7116
35o4
8393
iiaot
13496
13785
i5o68
16345
T76T8"
18885
30148
ai 406
32661
3906
8455
088a
4173
1400
5766
o4w
33911
36159
36404
37646
38885
3oi33
3i36o
33695
33836
35o64
8347
4620
0695
ion
9061
8453
3966
6188
1Q13
388i
E (46^).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
74683
76180
77669
Z91^9
00619
83080
l363â
87833
89246
6047
7009
5935
34^3
6173
7001
4828
9600
1737
1336
8676
90663
93048
93436
94814
96184
97545"
98897
00241
01677
03904
4363
8936
3333
8334
4967
4358
3386
6768
04334
05535
06840
o8i36
094^6
1641
8633
0061
8o33
4841
10709
11985
i3k56
14519
16777
a9"7
4814
3ao7
0888
07S6
17030
18376
19519
30757
ai99»
5859
9*94
4398
4198
3410
33331
34447
36671
36891
38110
39336
3o54i
31766
33968
34180
3438
7863
3343
[392
7586
6037
3638
]33a
6o58
Table ix.
5«5
mm
E i4r>
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
74546 «577
76035 3 133
77614 7039
78984 6683
8714
8
Û44487
1895 41
^9
83336 3667
84767 4364
86188 g355
87600 7878
89003 o3o5
90396 7i33
91778 Sû84
93163 6616
7 09»5
33901
97318
98655
99883
01303
03614
Ô38Ï7
o5iii
06398
08948
103l3
11470
13731
13966
i53o3
16436
17663
18885
30103
3i3i5
33633
33739
36i3o
37336
38531
397^4
00906
33096
33386
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E (48').
7^29
76889
77369
7881g
80369
81^09
7735
7623
7861
8245
8396
7745
83i3q
85o6q
87368
88758
6448
4378
i63i
8433
5i33
9yi38
91608
93868
94218
96558
96*89
98311
99524
00837
03 133
83l4
0396
0136
8730
9702
6831
i544
5469
0343
03407
04686
06964
07314
08468
8o55
0644
0393
9330
0326
09713
10961
i3i83
13407
i4b35
6697
8198
0033
6000
8991
1&838
»9'
30<
.1
0785
5594
6949
8494
3979
31830
s3oo4
34184
a536i
36535
7a56
3368
3o43
3687
8374
37708
38878
3oo47
3i3i6
33384
i338
686a
9373
393 r
3184
E (49^).
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
74273 3i36
76744 1963
77304 706
78664 938
80094 7006
81634 0117
{2942
82<
&
?^7i
87i3fe
885i3
89880
91236
92683
93918
96244
863i
3186
1146
6607
5899
3487
5974
^10.
676
5990
E (5oo).
o
o
o
o
o
o
o
o
96660
9786Ç
99163
00450
01738
5959
8002
36oo
4384
3l4l
02996
04266
00607
06760
07984
648!
7410
09^3
8786
09211
io43o
11642
13846
14044
449
097
0333
§417
6817
Ï5336
16431
17601
18776
19946
T86Ô
6084
5549
31113
33373
33401
34686
25738
0671
6684
45i6
1773
1737
36887
38o35
39183
3o327
31473
8869
7^^i
3638
8401
9660
o
o
o
o
o
o
o
o
74137
76698
77049
78490
8i338
0474
8313
8917
6960
3463
83746
84143
86629
86904
88268
1270
0281
0624
ai65
55o5
89622
90964
93297
93618
94939
96230
97621
98801
00072
01333
0988
9201
0876
6896
8296
6260
2i36
7426
3788
3o47
02684
03826
06069
06284
07499
7188
8368
8867
1189
7960
08707
09906
1 ioq8
12283
13460
i463o
16796
16954
18107
19355
1978
'^
7864
1998 }
9709
4707
0840
3088 j
35541
ao3û8
31607
33673
338o5
34934
5»6o6i
37186
38309
39431
3o563
6468
8i3o
aooo
3687.
4491 1
3384
0996
5io5
9526!
90941
y
S84
TABLE IX.
*.
45«
%
5i
53
53
54
55
56
57
58
59
6o
6i
63
63
M
65
66
68
70
7»
79
73
75
76
77
78
80
St
1«3
83
84
?1
86
87
.88
89
90
F (45«).
Q.8a6oi
0.84693
0.86656
0.88701
0.90759
0.9383Q
7876
0164
1604
4380
oo3a
o355
0.94911
0.97007
o.99u5
.oia36
.03371
6q37
1238
4584
8i5
51963
.o55i8
.07679
,09854
.19041
. 14343
. 16457
.18684
. aogaS
.a3i7(
.22544
951
898
9Q5
a6o4
oaiS
8a6a
8843
9796
.37736
.30019
. 3a3a4
.34643
' 36971
.39313
.^i665
.44039
,46403
.48788
6769
9035
4i5o
9477
3063
863a
559SI
9036
'4719
.51183
.53586
.55998
.58419
.60847
8094
429
8i5
i
6
9
319
733
.63383
.66734
.68173
.70694
.73081
;ss3
;8o5
169^
''Il
7%
7i3(
,75543
.78006
.80471
.83939
.85407
3893
o4o3
9338
&347
4677
F(46o).
o
o
o
o
o
83764
8i
81
88903
90974
gSoSg
a4o6
Sio5
3498
0710
6765
558o
95i58
97369
99394
01534
03687
7953
5S54
3414
4373
05854
o8o3e
loaSi
13441
14S65
6533
oo5a
5491
3395
36J}6
16903
19166
31433
35703
^5998
6646
1906
8933
6915
475 1
38307
30639
33965
353i4
37676
io39
4063
1781
1834
1478
4oo5o
43437
44836
47946
49668
7683
7094
5733
9677
4374
53100
54543
56904
594B4
61930
i^983
6009
383a
8654
7619
64400
66883
69373
71869
74369
3335
8694
698a
0798
3635
76873
79380
81890
84403
86914
479\
9404
847e
3911
7545
as
F(47').
o
o
o
o
o
o
o
o
83930
84970
89106
9>>9a
90393
639
357:
3u3
2?74
8611
8973
95407
97535
01 836
04008
0491
5o65
4454
0365
3938
06195
08397
io6i5
13847
15095
6733
9713
3737
944a
7335
17358
19636
31930
34338
a6563
7330
9335
51 34
3684
38900
3 1353
33631
36oo3
38398
6077
1668
94a9
6930
40808
4333o
45666
48114
00574
0998
8097
d
6101
53046
55538
58o3i
60624
63o35
65555
68083
70617
73i58
75703
1869
6933
5539
0963
696 3
§355"
&0807
83363
86931
88480
6395
1938
6936
0476
7411
835o
4731
7801
8763
8667
o
o
o
F (48*»).
0.83095
85i53
87336
8931a
91413
93538
7133
1616
5355
3465
8346
96669
97804
99965
03141
04333
3384
7434
5807
9360
9481
06541
08765
iiooS
i336i
15533
7970
6o3o
4746
4970
73o5
17833
aai36
33447
34785
37138
ao88
û37o
890a
0114
3101
39607
3189a
34393
36708
39139
ÎT585
44045
46610
49006
61607
36o6
3ooi
8373
7013
6397
3688
38o3
8961
4167
54030
56545
59081
61637
64184
3938
3407
3333
966]
4536
66760
69333
71905
74493
77086
0366
8953
a3o9
'739
836a
79685
83387
84893
87600
90108
5043
6435
9016
ii3o
3o33
F (49^).
o
o
o
o
o
83363
85333
87419
89630
91635
93767
9698
1543
1390
95914
98077
00356
03451
04663
0940
0186
1433
6787
oa4o
06893
09108
11401
i368i
15979
6398
58i5
7307
i3i5
18393
30636
33076
3534a
37736
8698
9616
4oo5
1466
ta33
30137
33545
34980
37431
39899
ai6i
3709
0910
4375
0345
43383"
44881
47896
49934
53467
55o33
67693
60174
63767
65371
5aio
5475
6760
4390
3790
^84
70D07
73338
76876
78630
6485
9104
3883
3578
0481
6^6
3864
078
087"
3447
81169
83833
86480
89159
91799
8566
5394
536i
6098
7640
F(5o^).
o
o
o
o
o
83451
85515
87614
89739
91860
.94007
'3
f5
41 5o
56831
96171
98353
00549
03765
0439Z.
30
«7
8583
0048
7353
07348 2673
09616 7574
ii8o3 5995
14108 3331
16431 6366
18773 4347
aii33 7370
a36i3 5^8
aSooo 963(
ao3a5 7979
30759 9950
33ai3 4ii5
35683 8590
38171 1018
40676 8546
43199
45739
48395
60867
53454
7810
49161
5431
4369!
6188
56o56
58673
6i3oi
63943
66596
4783
6096
1834
5416
69360
71934
74617
80006
8370g
85417
88139
9o8iâ
93558
7049
7430
6844 1
SiSa
'764
5878
6398
o55o
1096
i»^
TABLE IX.
9-
k ,
1
a
3
4
5
ï
9
lO
11
lâ
i3
lA
TF
i8
»9
ao
21
aa
a3
?i
a6
aS
3o
3i
3a
33
34
Ë.
36
4a
43
44
45
» •■
E<5o*).
0.00000
0.01745
0*03490
b.o5a34
0.0S977
0.08730
0000
0773
24^0
584a
9909
i5ao
0.10460
O.iaïQQ
o. i3q3b
o. 15670
o. 17401
7677
499a
obgo
i6i3
4718
Ovigiag
o.ao854
o* 23578
0.34393
o.a6oo5
0,37714
0.39417
0.31146
o.SaSoQ
0.34496
5401
7000
88a5
1487
6670
0373
0107
3033
0.36177
0.3785a
0.39531
0.41183
0.43838
64101
7607,
5994
3oo3
3116
0.44485
0.46136
0.47758
0.49383
o»5o999
8867
o85o
5716
1176
5ob5
0.bo5j4
0.63068
o.63'6ji3
o.65i46
0.66670
0.68184
0.69688
o*7ii8.i
0.73664
7873
3gi5
3i4C
4o37
5i49
6139
3760
6867
6417
p474
E(5i»).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
6
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ô
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03490
05334
06977
08719
0000
3767
33o4
5433
8p8
^633
10460 4aQ9
131Q8 9787
i3qo5 3033
5669 o554
7399 9549
19137 6792[
3o8oi 9106
83573 3688
aia88 7326
aoooo 6797
^7707 94*8
39410 3137
31107 3o38
33798 6344
34484 1915
36i63 6355
37836 65i3
.335o3 9979
41 16a 4ooi
4a8i4 5973
5733P
58887
60444
€1593
63539
65o57
66574
■5756
93581
SSôFi
69577
7106a
73537
74001
3i3
3363
4600
8743
4683I
1417
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(53*).
o
o
o
o«
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03490
05334
06977
o87'9
0000
3743
3i84
5o36
7974
7740
10460
13198
i3o34
15667
17398
19135
30849
33069
34384
35995
1044
4619
5309
957*3
4487
674
017
060Q
6918
5.998
i
37701
39403
3ioq8
33788
34473
831J
43o6
3o84
1631
37830
39484
4n4i
4a79i
7033
6478
6347
i335
44433
46066
47693
8
4a»
adS
5o4G
7466
oioa
5aSi7
54108
55689
57361
588a3
9638
a368
o65i
60874' 93oq
61916 6483
63448 0%
54968 9^7
66479 *83o
67978 6367
69467 1399
70944 564a
72^10 8117
73865 7658
E(530.
0.00000
0*01745
0.03490
o53d4
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
£
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
06977
08719
0000
3737
3064
4633
7018
5873
10459
13107
139S3
15666
17396
7819
8687
9556
19133
30846
3a565
34380
35930
6^
7377
7813
4959
5635
37695
393g5
3io8o
33778
34460
36i35
37804
39466
4iiai
4^767
665o
4904
3398
89a4
I784
o3o6
85oo
44406
4ëo37
47659
49373
50878
53473"
54000
55636
67303
58759
764a
5o66
8164
4393
1376
■5398
7434
308'
819:
3648
6o3o5
61841
63366
64880
66384
6410
Î543
D196
9608
3ii4
67876
69357
7o8a6
73384
73731
5 149
4^4
0899
S85
mmSL
E(54»).
O
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03490
o5a94
06977
08719
OOOQ
3713
1946
^333
0071
4034
10459
1^33
15665
17395
46a4^
44^5
9993
79^
4769
19131
335b3
34376
35985
3755
3938
3io8i
33767
34448
715g
i8aq
533Ï
m
6106
3389
1100
94o3
4087
36i3a
3778
§44
41100
4^744
ao94
61a
77S
44380
46008
47637
^3^
8iao
4476
41 a8
aseS
5a4a9
5401 1
55583
5869
6894,
4toa
ai4a
8741
1707
6oa36
61766
63a85
64793
66390
8q3o
8386
8143
636i
1396
67776
69348
70710
73169
73597
i3o3
4841-
0476
6884
3855
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(55»);.
00000
01745
03490
05334
06977
08719
10459
13196
13933
16664
17394
0000
3698
1839
383*8
5i35
3196
1466
9409
a6o5
7347
0147
19 '19 7735
3084» 6563
33659 3ao9
34373 4374
36980 689 1
37683 6333
39381 0463
31073 5843
33707 9i3i
34436 7i38
36io8 67.16
37773 i(758
39400 0313
4x080 4071
43731. 938 3
44355
45979
47595
49301
60798
63386
53963
5553o
57087
58633
6oi^
61693
63ao5
64707
66196
8963
7373
0754
7680
67674
69140
7o5q4
73o36
73464
6q35
4470
i4o3
5433
534s
0M
S86
TABLE IX.
mmtm
^
1
3
F(5o«).
F(5i«).
. ooooo oooo O . OOOOÛ oooo
0.01745 38is
o.o34qi 0745
o. 059^7 3919
0.069^ 6459
0.087^ 149 a
0.1O483 «i5o
0.0 ^4^ ^^B
0.03431 0^7
o.o5a37 4S3o
0.06984 743fl
0.08735
fe94
9
10
11
la
i3
16
18
ao
o.iaa35 1671
0.13980 1909
0.1 574$ 9396
0.17005 391^
0.19367 9035
o.aio34 ^4^
o.aaSoS SoaS
0.34577 83io
o.a6356 I9i3
o. 10483 6441
o. 13335 6004
o. 13990 0735
0.15747 0454
0.17506 935 i
F(53*).
0.00000 oooo
0.01745 3843
o.o3ifoi 0987
o.o5si37 4757
o.o6q84 iSq9
F(63*).
0.08735 5a83 0.08733 7i56
31
aa
33
36
38
3o
0.38139 3977
<^'m^7 4759
o« 31731 0534
o.335ao 3593
0.35335 734 3 0.35338 874
0.19370 o3qi
o. 31056 7160
0. 93807 3869
0.3^83 0807
o.3636i 433 7
0.38145 680T
0.39935 1573
0.31730 3o4o
0.33531 1618
i37 4814
055 o65i
3i
53
33
3!
m
37
3è
39
4o,
0.
0.3895
0.40781 6l30
0.436r4 4604
0.44455 i5o 6
o.463oS 9247
0.48161 1367
o. 00037 loaa
6.51^909 1987
5o
0.37153 1861
0.10483 8708
0.13336 sooo
0.13990 8493
0.15748 i5û4
0.17608 4481
0.19373 0708
o.aio% 36o3
0.33810 6568
0.34586 3o3o
o. 36366 6430
0.00000 oooo 0.00000 oooo
0.01745 3858 0.01745 3873
0. 03401 1107 0.034qi 1335
0.05307 5 141 o.o5d37 5540
0.06984 9357 0.06985 o3o4
0.13991 6197
0*15749 a5a3
0.17509 958 7
0.38153 0333
o-?9.94a 7924
r39 3oi4
9035
954 7
Îi3g
0.19374 0861
0.3104l 9833
0.93814 0011
0.3^6904935
0.36871 8137
O. 98168
F(540.
F(85«>).
0.08733 9 009
0.1048X 1948 0.10484 5i55
o.ia2i3ë 7i58| 0.13337 3353
o.]3gQ3 3894
o. 15760 34o5
0.17611 4S48
0.37166
0.38079 9460I 0.38989 8414
' Soi 0040
O.DI903 10
0.53786 7D
o.5568ri5T5
0.57686 7098
0.69600 7996
0.61436 7085
o. 65963 9465
0.653)3
0.4O'
0.43686 7195
0.44^0,436 6
0.46333 5o35
41
43
7361
0.67373 4^67
0.69346 4&33
0.713S3 1358
o.73a5o 7891
0.75^43 80a 1
0.77368 5l33
0.79808 3636
0.8*1
0.83431 a
0.48108 8038
o.5oo'63 186Ç
0.61043 5i8q
0.53831
0.55780
0.67640 5033
0.69661 6981
o.6i4q3 Bo38
0.40830 4oai
0.43668 86a8
0.44506 6983
0.46360 0660
191
0.39960 S71
0.81748 833
o. 38553 570
0.86863
0.48936 3668
0.60009 1448
0.61009 7098
666SI 0.5 3876 437 7
1^
0.63437 6894
9
09
ôû663q3 ^
0*67861 60
0.698)^ 7896
0.71887 ouo
0.73344 8919
36a 3967
- t47Ï
0.755665657
0.77403 6185
0.79453 85 11
0.01619 l330
0.83600 336
0.55780 7160
0.67695 9816
0.69633 4793
0.61660 7681
o. 68611 149 6
0.65474 0679
0.67449 9063
0.69439 0681
0.71441 9861
0.73458 9699
0.87181 8460
0.89006 6994
0.40889 6815
0.49680 8897
6.44680 61 79
0.46889 975s
0.28967 9474
o.boi84 9989
o. 69099 7193
.68991 0909
0.19976 0893
0.91044 58io
0.99817 3ii0
0.9469k 6440
0.96876 9861
o.ooooo odDo
0.01745 8887
0.08491 1349
0.06907 5g36
0.06985 1943
0.08734 0843
0.10484 8398
0.19337 7399
0.18908 13701
0.15751 4jJ7i
0.17519 935o|
0.38164 55q6
0.99967 8œg
0.81757 9898
o. 38563 i4oo ^ ^
0.35375 84 48 o.358te i93o
0.87196 7619 0.87910 c463
0.89098 9887 0.^0^ 7088
78r-
0.19978 0673
0.91047 1601
0.99890 5q36
o.9i[5o8 7598
0.96889 00 74
0.98170 7373
0.99965 5965
0.81766 i585
0.S357S 6964
o.iô858 81731 à.40877 7855
0.49709 7^J
0.44555
0.49709 7J&^ 0.49794 4^86
'— "^^ .44680 1
o.6683o 9ioi
0.67760 7563
0.69683 0794
0.61697 6144
0.63584 53i4
o.&8q65 858i
.689
:568
0.44500 1189
0^6417 80641 0.46445 9896
0.^8988 9386 0.48390 8798
o
.00170 494^ o.5o9o5 7q3i
. 590^9 4q53 o. 59101 Qo56
8905
0.54009
56
o5
0.5S879 5o8i| 0.66998 4534
0.67806 8761
0.59745 ^So
0.616
Si5o
O.79S98 0099
0.81676 3481
0^88770 oio4
o. 65564 5
0.67537 9
0.69685 963fi
o.7i5j^ 8981
6.73573 0889
t
0009
0.6S667 6888 0.63730 8786
0.76614 4017
0.77671 4598
0.818^ 8391
0.83940 089^
o. 65634 7547
^•$7$» 7973
ù.^3i 9196
0.71661 4770
0.73687 0383
0.76788 ^34
0.7780S 8546
0.79890 0648
0*81991 ^71
6.841108441
o. 571(50 6348
o.598<â 8606
0*61760 1316
0766714
0.67718 9
0.69796 8066
0.71755 7769
C.78800 6944
0775861 8733
0.7793^ 9^^
o.8oo35 4716
0.8B148 8968
o.a^ 5484
TABLE DC
^. E(5o*>
55
o
0.76591
0.77049
0,78490
0474
8aifl
8917
S060
3463
o. 8^746 1^70
0.84143 oaSi
0.85599 o5si4
0.8G904 ii65
o.88a68 55o5
0.89639 0988
«•909S4 9^01
0.99997 0876
0.93618 6896
0^943938995
0.96930 6960
0.97591 9i56
0.98801 7495
.00079 S788
.oi333 3q47
66 I 1.09584 7188
.03896 8358
.o5o59 8867
•06984 1189
0749S 796Q
.08707
.09906
.11098
.19999
. 13460
.14830
•16954
.18107
•19955
786i
_Î99?
97P9
. 90398
.9l5i
. 9967!
.9S8o5
.94934
1545
8i3o
9000
flS87
4491
.96061
.97186
.98309
9^
<^
5io5
9595
9094
E(5i*). E(59*). , E(53«)- E(54*>.
0.74001
75453
76895
78395
ii349
83935
85309
86679
88093
8060
S837
8090
o3oi
0049
90693
99011
93318
946U
7061
1199
949
0908
6894
0806
391 o
4894
6590
9»o
95900
97*75
98439
99S93
00937
ÂUS
S9i5
7165
7979
75 14
09171
03396
04610
o58i6
07013
,o790l
09381
o559
1716
9873
14093"
[5i66
63o3
7796
1093
«94
^384
0341
ZS4»
6874
3394
o3ii
1489
0040
9818
i4io
19681
90797
91910
93019
94190
1199
65o8
9188
0907
S499
96998
9633o
97430
98599
99697
73865
753^
78161
80968
83797
86089
86440
87 779
89106
9o4aa
.91796
.93018
94300
6076
1989
Q3l35
fl85o
95570
98077
.99315
oo&4>
44^
53i3
7054
i353
01758
oagS^
04161
05348
o65a5
5347
4196
18960
aoo53
S1143
saaaS
aSSii
75aa
»973
8846
07^
3445
8008
@85
3678
6q53
37630 T&aS
386953739
0.73731 0899 0.73597 a855
75i65
76588
77398
8q53
58ao
88f58
835ai
86ao«
87535
88849
90101
91441
93986
75a 1
1738
635 1
7008
95«4»
96484
98936
00146
01345
03533
o37ii
3586
1416
Sioa
5463
4S^
8337
8939
9»47
1839
,07187
.08336
09457
io58o
"694
Î376
1360
6143
13801
13901
14993
16080
17161
ISS?
19306
30373
31436
aa493
4^
0913
i3i9
75oaa 7398
76435 9343
77836 7"
7131
6567
84654 04
9&979 88
87893 184a
8988a
91168
1755
98669
9975»
58o8
46§j
^54j^
94600
95665
96706
97767
iiTO
8191
846s
0904
8704
93SS
7663
9139
o355
§948
009;
09to3
03969
04411
o655o
8o4q
83i3
06679
<>7799
08909
0010
iio4
^7081
1099
4939
9170
0095
4337
t54oo
6458
17610 6695
18667 "
906^
91679 9708
99704
93734
9476a
96788
96814
83SÔ
3569
1066
6766
«63i|
E(55«).
76984
77676
79064
80419
.81771
83iii
1^
87069
88339
89614
.90876
.09195
93361
94686
95796
^368
00691
01673
09814
6946
9703
7766
1116
4996
9633
4636
98a3
0667 1
6673!
36oQ
3076
8866
69 '9
Wé
?£6
13731
3649
"8489
883j[
7978
66o3l
9811
06173
07979
o836i
0196
0986
60^7
9189
4475
3679
14730
6755
6783
5806
895
19839
90849
6990
89.6
7969
6149!
0661
6016
7668
1140
9164
6658
91867
99861
93864
94866
.96867
0955
9983
974»
q695
TABLE IX.
F(5o*).
83431
855T5
87614
,89739
.91800
94007
fl473
[55
96171
9835d
oo54q
00765
04997
39220
068;^
858a
0048
735fl
07348
09616
ii8o3
14108
16431
3573
3995
3aai
6365
18773
9ii33
a35ia
aSooo
a83a5
7370
58r
96!
7979
52759
.33ai9
35689
38171
40676
99BÔ
^ii5
8690
1018
8546
43139
45759
48395
50867
53454
7810
5431
4369^
6188
,56o56
.58679
6i3oï
66596
4783
349a
5oq6
i834
5416
69960
71934
.74617
90
85417
881 a<
Qoa
93558
s
«44
SiSaf
1764
5878
6398
»737
oo5o
1096
F (5i»).
0.8360O 3960
85697
87810
89935
,93086
94^49
3870
9555
??79
8641
.96430
98699
,00846
..o3o8i
o5335
07607
09899
19910
14540
i68qo
1537
4389
6o48
3743
q883
6670
19900
91649
94or
0641
96936
56io
9610
1697
44037
46619
49^«9
5i836
,54469
5437
1067
1418
3ai
188
aaSo
8448
6a463
65i56
.67868
70679
84S06
8707a
89841
.99613
95386
477a
7131
68i5
aSio
36a9
74i3
^9
4809
FC5a» ),
858bo
88007
90161
,9381 3
94493
0104
iq58
a86o
6618
6969
9669a
98.909
01146
i034oi
06676
1955
358oj
674a
•594
4iao
07.97»
10^87
ia6aa
6110
oi4i
856s
6530
19754
99174
946ii
97070
«9559
9337
9958
8i53
6948
4137
39o63
34588
37134
39700
4^987
4346
5989
8498
7179
44894
47591
5oi66
53831
.555i3
6i3i
380
58319
6366 1
66407
69168
9651
i56i
1073
9293
6645
7»94a
74797
77593
80399
83i4
85963
88789
.91030
94453
97888
o683
709.9
9337
3416
aa66
F(53*).
0.83940
86o63
88ao4
90364
9a54a
94738
^955
99'90
01446
03793
06090
o8338
10678
i3()3q
1180
9^^
03831
93'
761
496
oa56
4fl76
aoaSo
33706
36179
97674
3019a
39733
35396
.3788a
40^0
43i8o
«"574
365o
1611
6i35t
7435
4677a
48444
5ii38
63869
.66685
59337
63107
64896
67698
.70617
1647
9368
5939
"5565
8439
9I9Q
8i4
6909
73350
.761Q6
84798
87683
9057Î
.93468
.9636:r
.9996b
1?^
S5i4
855o
7364
5987
0539
63oi
8909
1957
97561
F (54*).
o .841 10 3441
3570
8944
411a
3576
iZZ?
"So&B
86947
88409
,90577
99771
94985
97a>9
99474
01750
,o4o47
06867
o'Stoû
11073
13460
15871
i83o5
1696
i833
7478
9489
o5i4
5o33
2356
137
8396
90763
93945
95751
98989
3o836
8i36
75oQ
7978
0693
6636
3341S
.S6018
38645
.41996
4397^
4376
4891
6539
7639
56oo
60493
.63330
66166
69080
9813
*q987
6968
o6o3
71910 1949
748o5
1%
83571
865i5
89467
99496
95390
98357
01 396
■5397
3oo3
7835
6597
4145
5i5o
3507
9753
6io5
6565
F(55*).
0.84980 54841
86431 i385|
88601 0941
90790 91101
,93001 0817
95a3a 0985 1
97484
99758
O3o54
00710
09089
11^71
13885
i63a4
18788
0694
8i3]
89441
6^341
4071
91977
93791
96059
98898
51490
4389
9914
9690
4963
5671
34108^
36759
39433
43118
44840
738(
o535
9645
433o
47587
5o358
53i54
>5q74 38;
58817 93!
^1689
64563
67476
70409
73347
76309
79986
83377
85381
88396
.91330
94351
97388
oo4a8
03471
4166
1843
7074
4440
TABLE DC.
ai
aS
sr
E(55*).
o.ooooo
0.01745
p.oSitoo
b.o5flo4
0.06377
0.08719
0000
ft698
iSao
38a8
5i35
O.lOi^Q 1466
0«lâlQD ^Ào
o.iSooa oooL
o. i5b64 7^47
0.17394 0147
0:19119 7735
0.S0841 6563
o.âfl559 3ao9
0.34^7^ 4^74
0.25980 6591
0.37683 6aafl
0.39381 0469
0.3107a 584a
0.33797 9i3]
o.3^U56 7i38
0.36108
0.37773
0.39430
0.41080
0.43731
6716
4758
8313
4071
9383
0.44355
0.45379
0.47895
0.49301
0. 00798
683o
3345
0.53386
o.53q63
o .55530
o.57<
o.58(
1670
5435
563i
0.60168
0.6169a
o.633o5
0.64707
0.66196
8963
7373
0754
18c
0.67674
0.69140
o.7o5q4
0.73005
0.73464
6035
4470
1403
5433
5345
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(56»).
00000
01745
03490
05334
06977
08719
0000
3684
34%
4313
0393
10458
13196
13901
15663
1739a
8348
4458
5ii4
6733
5710
^Hi7
30839
33556
34368
36975
3767'
39373
31064
33748
34435
lJ5i8
i6i3
i485
465i
7654
7071
9510
1616
0070
i594
36095
37758
^41 3
41060
43699
3954
0959
3467
4386
3676
44339
45951
47563
29166
00769
63343'
53916
55478
57030
68671
7553
3488
6318
6739
83i4
1976
3039
8063
6903
6317
60101
61610
63130
64631
66104
3713
7318
46i3
67676
69033
70479
71919
7333a
0614
4536
3340
5547
9794
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(58*).
00000
01745
03490
06354
06977
08718
0000
3669
1609
3064
33oo
8613
10468
131(
1!
16^63
739
19115
3o836
33663
34364
3 5970
9563
7004
0196
6669
9689
37671
39366
3io56
33738
34413
36083
39396
41040
43677
44304
46933
47533
49i3i
60731
8735
0531
8S38
3341
7698
0977
9301
9043
7331
o^i3
3i46
7871
0161
633oo
63869
55437
€a6i
4489
5a38
5979
4a64
6oo34
61547
63o48
64536
6601a
77*9
4099
67476
6eQa7
70365
71790
73aoa
636s
6435
8333
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
o5a34
06977
08718
0000
a655
3670
a4o3
6860
£(690).
10458
laioS
1^30
i566i
^7389
aa44
064&
6iai
7448
30834
34360
35966
0899
3771
9383
7079
3336
37666
39360
3io47
33738
34403
1358
0683
6683
60&
599:
36069
39378
41091
43666
0949
8x54
3i35
1376
45895
47601
49097
5o683
0760
5147
4699
4991
3414
69968
53893
55376
56919
5845o
7167
3419
9466
9683
0669
69963
61476
69970
64453
66999
67379
68893
70963
71670
73074
o633
0644
809
0887
7065
4580
i56i
6960
7001
3387
o
o
o
o
o
o
"S
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000 0000
01745 3641
03490 1377
06334 33o5
06977 l531
087186137
10467
13190 00
13039 3688
16660 607a
17388 366a
19113
9o83i
33646
34366
36961
3648
9083
?33o
675
37660
99353
3*1 039
34^91
4740
Î7Z9
6180
1371
4819
36o56
37713
39063
41003
43633
3o33
3565
0018
3043
5349
44355
45868
47471
4.9063
60645
0767
7334
9668
53317
55037
66864
58390
59904
6i4o5
63894
64370
6583^
67383
68730
70143
71653
73947
4533
93o5
i363
5890
3391
m
O
6
6533
i3o6
0331
1663
3687
O
O
o
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000 0000
01745 3698
03490 1360
053S4 1 q38
06977 o655
08718 344 6
10457 6345
1 3 1 94^ 5397
i3ûa8 6660
16669 6307
17387 0137
19110 45do
30839 5547
33543 9B39
34953 3o65,
36956 9955
37654 9341
3934s 6194
3io3i 7131
33709 8366
54380 65i3
36043 7387
37698 8069
39325 4846
4oo83 43i5
4a6i3 3o84
44331 7837
45841 5375
47441 3319
49000 55 19
60609 3073
63176 8890
53703 3o39
55378 1603
66811 i84i
68333 To3s
69840 656Ô
61 336 5858-
63819 65ii
64389 6168
66746 3547
67189 3537
68618 7064
70034 1194
7.1435 4i98
73833 4166
bbb
5go
TABLE IX.
V
1
a
3
5
9
10
11
ifi
i3
'.i
',1
ao
ai
aa
a3
aG
38
3o
3i
3a
33
4a
43
FC55*).
o.ooooo
0.01745
O.oS^qi
o.o5a37
o.o6g85
0.08734
0000
3887
i34â
5936
1343
0843
0.10484 83a8
o.iaa37 7099
0.13993 1070
o.iStSi 4^71
0.1751a 9350
0.19378 0673
o.aio47 i53i
o.aaSao 5q36
o. 34508 7l5a8
o.a63oa 0074
0.38170 7373
0.39965 3a5
0.31766 i585
0.33573 6a64
o. 35388 ia3o
0.37310 0463
0.39039 7383
0.40877 7855
0.43734 4^66
0.44580 11 3a
0.46445
0.48330
o.5o3o5
0.53101
0^54009
3896
3738
5905
0.55Q38
0.57859
0.59805
0.61760
0.63750
45
63
34
348
36o6
iai6
3736
0*65714
0.67713
0.69736
0.71755
0.73800
33
8066
6344
0.76861
0.7793.9
o.8oo3o
0.83148
0.84380
87331
9869
4716
8358
5484
F (560.
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
o349i
05307
06985
08754
0000
3903
1458
6336
3168
3653
10485
13338
13993
l5753
'75i4
1460
3381
8831
48o3
3969
19380 oo83
3iafo 6q33
33833 8i334
34603 8i3o
36387 0196
38176 8440
39973 6808
31774 938a
33583 9886
35400 3686
37334 1
39056 1!
40896 56o8
43745 8780
44604 519a
4835 1
5o34o
53141
54053
9308
6349
7;
I.
059a
fQ2
^7A
55977
57313
59863
61835
638o3
oio5
4635
8938
7883
6363
0.76984
0.78073
0.80180
o.833o5
0.84450
î
40
74
4833
90do
4684
F(57^).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03491
05307
06985
08734
0000
3qi6
1073
6711
3o8i
4438
104S5 454
13338 719
i3qq4 6170
15753 5390
17515 839
1^1 9330
diro53 1996
33837 ooo3
34606 81
36391 96'
F(58*).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
38183 8733
«9979 94û6
31783 mo
33594 3338
35413 3664
37338 1430
39073 3833
40915 119a
43767 0945
446a8 6548
46600 3639
48383 3479
60376 4Ô55
63179 8983
S4096 3o5a
66036
67966
59331
61890
63874
1138
8145
9*09
9
6587a
67886
69916
7196a
74036
6839
5ll3
3455
7306
3170
76107
78306
80334
83463
«4619
36i7
7376
8834
4oa5
86a8
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
TÔ4S5
i3sÎ3q
17
19383
31064
3383o
8i6lO
36396
3408
56iQ
'5^0
8390
6687
180a
7685
8433
38188
39987
31793
33604
35434
8143
1018
1366
3i55
ioo5
37361
39088
40933
4^788
44663
9»9o
3144
4S60
oSgS
4873
46637
48413
5o3oQ
53318
54139
«487
3147
0687
66073
68019
69980
€1955
«3945
6obQ
3388
3941
3430
66960
6797a
70010
73066
74'37
76338
78338
80468
8a6i8
84788
7«47
0974
0377
0907
8700
9673
4607
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
F(590.
00000
01745
03431
053S7
06985
08734
10486
i3a3Q
'PU
16755
17518
0000
3944
1794
746
4864
7906
o58S
6î
36
5^
65
F(6o*).
o.ooooo
0.01745
o.o34qi
o.oSa!
0.06981
0.08734
o. 10486
o. 13340
0.13996
0.15756
o. 17930
0000
3957
1Q03
5837
7S1
_9?îi
3&19
1464
7614
5763]
0386
19386 6940
31067 0978
33833 3
34614 ^
36401 64o3
38194 6636
3i8oo 5333
336i4 3540
35435 7669
37066
!^io3
Ô5i
08
44675
4896
qi3i
2873
6856
9854
46553
484»
5o343
63366
54181
8733
8400
3906
0343
3904
66119
68071
6oo58
6301Q
64015
6876
7654
0649
i4q9
583i
66037
68066
70103
78 166
74348
9455
8175
8033
5o53
544.1
5^
7»47o 1490
C746
76349
Q
O
O
0*83773
0.84966
'8i7
k>6i
80D10
0.19387 5366]
o.31o5q 4836
O.S8836 3336
0.34618 4708
o, 36406 3648 1
0.08300
o.Soooi
o.3aSo8
0.53634
0.35447
4039
0767
797a
0353
3173 1
0.37378 8366
0.39119 3543
0.40369 3483
0.4^839 00^
o> 44699 1106]
0.46680 o868|
0.48473 43&
0.60376 66551
o.533g3 3o38
0.54033 9110
0.56166 03671
o.58ia3 3115
0.60036 0357 1
0.63083 0831
0.64084 9439I
0.66104 33601
0.66140 6461
0.70194 5399I
0.73366 8309
0.7^58^^0707
0.76^68 9439
0.78600 1170
0.80763 3783
0.83936 1373I
0.85133 3748
TABLE IX.
%
5i
5a
53
54
55
S§"
5l
II
57
6a
S3
65
66
67
68
69
72.
7»
II
76
81
8a
83
84
?L
86
8
8
89
90
l
E(55»>
0.734S4
0.74880
0.76^84
o . 77^7^
0.79054
0.80419
0.81771
o.83iii
0.84437
0.86751
0.8705a
5a4&
9705
7700
8487
1116
499S
0.68339
0^89614
o. 93105
0.93361
962^
4636
Q8a3
0109
0657
6673
36oQ
3070
a856
0.94585
0.96796
0.96936
0.98183
0.99558
1573
364q
.oo5âi
.01673
.021814
.03944
.o5o63
848a
8834
7378
66o5
9811
.06173
.07273
.o836i
.09441
. io5i3
oia6
0986
6047
9180
4475
.11676
.13631
. 13679
.147^0
.i 5y55
6330
8916
7360
6i49
0661
6016
7658
1 i4p
3164
6558
.31867
.33861
.33864
; 34866
.36*67
0355
9383
974»
9635
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(56»).
7333s
747fto
761^
8i58o
83908
84333
85S34
86813
88087
89348
9o5a6
9i@o
93o5i
8601
55ii
8161
94aSo
95455
96638
98966
1040
1875
9664
5i63
9807
3937
8a5a
5913
^5o
i5
l
00113
01346
03368
03478
04578
3176
093.1
3163
06667
06746
07814
08873
09933
638i
3376
8164
8004
6043
10964
^1997
l3033
14040
i5o5i
6710
4669
4797
3178
3096
i6o56
17065
1804
1903
300fi4
31007
31987
.93965
33943
34918
0033
1611
3676
9185
734g
3o68
3086
3399
0774
1631
JE(67^)
o
o
o
o
o
o
o
o
o
75303
.601
86
00060
8333
6644
3434
J95
81391
83708
84011
853oo
86575
89084
503 17
91537
9^744
3434
1164
o3q3
0961
3848
93937
96116
96383
97436
98677
6314
159?
0913
3470
3970
35i4
3i6
6619
i4a3
99705
00830
01933
o3oi6
04096
oo56
4834
83
35
3584
0S164
06333
07369
o83o7
09335
1734
io3§3
ii564
13366
i336o
14347
3443
1774
9766
1341
1358
8363
16538
i63o3
17373
181^8
91SIL
645o
556o
1670
1034
ooi3
301 56
31111
33064
a3oi6
33966
6i58
309a
d538
4087
1176
E(58*)-
0.73074 3387
74464 0704
76840 0976
7730a 1969
78550 3644
79884 3 166
o
o
o
o
o
o
8i3q3
83609
83Boo
00040
8758^
88833
90043
9855
6669
3609
S577
93617
54780
96930
97067
98190.
99300
oo3q7
oi4oa
03554
o36i4
0630
780i
3636
4i35
4490
6134
1704
4i5o
6634
04663
06700
06736
S 743
748
3588
6703
992*
480
833
?
09746
10733
11711
13683
13645
3719
6139
4301
3718
7095
14603
}656a
i64<ï7
18373
K73
7703
6435
6008
3386
19306
30334
31161
33087
aSoia
5i33
8308
9938
7186
7334
E(59')-
o
o
048
386
79709
5687
5i37
454a
0673
a44i
W99
81018
8a3i3
8359a
86107
88563
89769
90960
9^137
93399
96681
96701
97806
98892
99978
01043
03og6
o3i57
âS43
85i6
7436
9909
6741
8961
7776
4678
1349
97aa
0534
8086
7579
333o
o4i65
06183
06187
07181
08165
6636
133l
3386
63io
4604
13877
i48o3
16733
16638
17548
5455
19368
30360
3115.9
aao5S
Q148
65a4
6671
3ii8
6171
7^5
7595
0671
8683
8996
Sgt
E(6o*>).
73833
7411^4
75553
76896
78334
79538
4i5(
9703]
9318]
1691
56/"
0148]
8o836
83119
83387
84640
86878
4319
7431
89301
8389
6614
87101
883o8
89600
90677
0663
3348
4343
4074
3394
93986
94118
96335
96338
974^7
98601
99663
00609
01643
03663
0876
3575
0163
6888
03671
04667
06661
06634
07686
7391
6300
033l
6688
o8636
09478
10410
11333
1 3348
8835
3o83
3o37
4586
6896
i3i66
14067
14951
16841
16735
17606
18484
19359
aosSa
3iio5
a3û9
0780
7960
1077
74^9
4646
0306
3111
8o53
6038
TABLE IXé
45»
46
47
48
5i
53
53
54
§L
56
I
6(
6a
63
64
66
67
68
69
70
7*
73
76
o
8?
8a
83
85
86
87
88
8S
90
l
O. 84280
0.86431
0.88601
0.9079Ô
0.90001
5484
i385
0941
giio
081'
093
0.97484
0.99708
.oao54
.04374
.06716
4373
555q
94i5
.0340
S1684
.09082»
.163214
.18788
o6ii4
8i3i
8044
6534
4071
.aifl77
.33791
•a633a
.28898
.31490
^8a
9914
fil
4a
5671
.34108
.3675a
.394^3
4aii8
.44840
7380
9378
0535
4000
.5b3!
.S3i54
.55974
.58817
1498
7ao3
6596
38qi
933o
761689
.64569
. 67476
.7040a
-73347
41 56
0594
1843
7074
4440
.76300
.79386
.82977
.85281
88296
1101
3959
6202
4370
1423
.91390
.94351
.97388
9.oo4a8
9.03471
o33i
3466
9711
53i2
o
o
o
o
o
' 9
9
84450 4684
8b6i4 7215
88799 20 lO
91004 4463
9323o qq48
95479 ^09
97750
00043
o236o
04701
07067
i34o
7776
1980
09457 3483
11872 8926
i43i4 1994
16781 6B3o
19975 6495
21796 523o
94344 5758
96920 0666
29023 2057
32i54 1494
34812
37499
40214
42950
45726
9947
7737
4476
9006
9345
48524
5i348
54«99
57075
59977
9694
5o35
1776
7009
3783
69903
65859
68894
71817
7483o
57869
0911
87053
90'43
001
«97
149
880e
533
5
9
3794
5i86
5590
5905
93^
963!
99466
09585
06706
765
l39
699a
9395
0.84619
O » 86797
0.88996
0.91917
0.93460
0.96796
09834
19976
.14745
17949
9
9
9
8698
8457
9352
7166
7755
6963
98016
00399
09667
o5o3o
074»9
o6o5
444
■Il II
410b
5454
3715
4394
3448
3o39
0799
oi34
99320
94909
97014
3oi55
39896
691
35527
38258
43810
4663o
Sua
10
263
8407
8022
6565
5208
3768
i638
7220
49480
5236o
55267
582o3
61167
7953
0246
9413
9012
8790
64157
67172
7091 3
73976
76361
3636
0609
4506
7709
V
85733
88890
92060
5968
1018
7543
6282
7620
96242
98432
01099
o483i
o8o35
0994
5o93
7653
63o9
8167
o
o
o
o
o
o
9
9
9
9
84788
86980
89194
91430
93690
95973
4833
9429
0070
4106
0894
6816
98281
00616
02974
05359
07772
8244
1626
2966
10219
19681
16178
17706
90961
8073
3384
6753
3b02
9068
22848
25466
981 15
33507
5SI
91
36959
39098
41837
44678
47661
7080
asai
1542
3o33
9660
3717
50X56
53593
5636o
69359
69387
4o5i
o385
8936
1849
4091
65444
68599
71649
74779
77941
6460
8964
0119
6917
4891
ÎÏ195
84330
87554
90795
94o5o
97318
oo5q6
o3889
10465
7780
8964
7391
4655
8733
6919
5684
0346
6181
7658
F(59*).
o
o
o
o
o
o
9
9
9
9
84966
87161
89390
91649
93918
96919
98547
00900
o398i
o568q
08190
6^5
1189
9o56
5^4
564
0964
4733
0001
9078
0607
ioSqi
i3o87
i56i3
18170
ao7Pg.
933i
6o58
7193
9338o
96034
98791
31449
34«95
36q86
39809
49667
45560
48488
7160
4896
4791
1141
7808
8
;3S9
0017
6987
3673
5j45o
54447
57477
60541
63^
5^65"
69934
70119
76398
7957*
6553
9081
6086
9983
5684
6690
9171
36i4
6088
4075
82839
86199
89440
99771
96117
o3oS
58o6
99a3
0450
3790
F(6o*).
o
o
o
o
o
9
9
9
9
9
85l99
87341
89684
91859
94145
96465
98811
01184
03587
06018
08479
9600
9606
0698
aQo5
^4<
10971
»3494
16049
18637
91953
9368
4491
7788
66
614
I
93916
96606
99339
^094
3489a
6493
9404
3ii8
9900
6497
37797
40699
435o<
4645^
4944*
7^SZ
9933
5481
ro5
«9
59463
55599
68617
61760
649^7
0096
0900
^.
8666
68i9o
7i356
74694
1969
84609
87090
91^5
94890
98963
3oi3
3576 <
9534
0807
5844
at56
541a
9566
0178a
08674
iai6i
i565i
7oaa
8833
4.930
4377
5648
/
î
9
lO
11
19
i3
i6
P
>9
ao
ai
aa
a3
a5
a8
3o
3i
3a
33
34
35
36
37
38
39
4o
^
E(Go»).
o.ooooo
0.01745
o.o34qo
o.o52i54
0.06977
0.08710
0000
laGo
1038
o655
3446
0.10457 6345
o. 12194 5397
o.i3ûa8 6600
0.1 5659 6ao7
0.J7387 01117
0.19110
o.floSaq
o.d2»54^
o. 34^53
o.flogSÇ
0.2)7654
o. 99346.
o.3io3i
0.39709
0.34380
;3o
933a
9o65
9955
5a4»
6194
7191
8366
63i3
0.36043
0.37698
0.39345
o.4bQo3
0.49619
o7449?r
0.45841
0.47441
o .49030
0.50609
7387
8059
4846
43i5
3o84
89'
0.59176
0.53733
0.55978
0.56811
o. 58339
9219
55i9
9073
8890
3099
1609
1841
io39
0.59840
o;6i336
0.69819
0.64989
0.66746
655o
6858
65ii
6i58
9547
1.67189
1.68618
0.6'
o
0.70034
o'é7i435
3597
7064
"94
4198
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
6
o
o
o
o
6
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
à
o
o
TABLE IX-
595
E(6i*).
00000
017^
03490
o593X
06976
^8718
0000
9616
ii63
i58o
9807
1789
10467
19194
13997
15658
17385
5481
0849
6860
19108
90897
99641
9^949
95969
6869
9614
0168
5639
5i33
97649
99340
3io93
39700
34369
4899
0911
9604
7170
99" ï
36o3i
37684
39399
40060
4^091
44908
458i5
47411
48997
50673
36i9
9769
9^95
1433
59137
53689
S593o
66768
68974
0763
4874
0814
6706
6766
59778
6ia68
69746
64909
66660
1969
6669
0174
9698
9688
67096
68619
69997
71390
■ggis
0177
2^49
6399
o
o
o
o
o
o
o
o
o
. o
o
o
o
. o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(69*).
00006*
01745
o34qo*
06934
06976
08718
0000
9609
1069
1930
0168
10467
19190
13997
16667
17884
067
3aa5
°1
707
387
19106
90896
99638
94945
36948
9686
0170
1696
9974
1963
37644
99333
3ipi6
39691
34359
36019
37670
39313
40046
49671
44755*
4578c
3537
7677
9864
0965
66
5o557
4o3o
6699
9365
0943
8106
69098
63646
66189
66707
68918
0670
5694
9639
0099
3891
69716
61909
69673
64i3i
66675
8998
o63o
8104
8499
9053
67006
68491
69899
71907
70
7667
9040
0068
9791
o
o
o
o
o
o
t o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Q
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Q
o
o
o
o
'O
o
00000
01745
03490
06934
06976
08717
0000
9689
0968
0888
8166
8584
to456
19193
13996
16666
17383
794a
9061
6735
7839
1197
19106
90899
99536
>94f
m
9703
8946
3744
5i4o
84o5
97008
99397
3ioo8
39683
54349
953
457!
9680
0668
3961
36007
37667
39î>97
5649
1968
i633
44169
46764
66
5o!
9676
4918
1800
9093
9663
69069
636o4
56i36
66666
681 63
59666
6ii36
69603
64o55
66493
qi93
S537
8670
5474
99^0
83oT
8637
1977
3603
5094
66916
68^96
69719
7» 097
r399
0881
6898
o
O
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
p
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03490
069S4
06976
08717
0000
9677
0869
o655
7376
7089
10456
19199
i3û96
15665
17381
6979
7811
o4o5
8818
883o
19103
90890
99639
34039
95939
6939
6866
6559
1166
66o3
97633
99391
3iooi
39674
34339
35996
37643
39989
40919
49531
8788
36^
^669
4660
0699
9647
7899
1697
7194
44t4i
45739
47397
48904
60469
0735
8860
7960
4*564
5995
69099
63563
66091'
66607
68109
pif"
61073
69534
63980
66419
6693
5467
8648
9733
4967
9976
1779
o655
6918
6849
6S899
68931
69618
70389
7037
7374
k66o
6409
o
o
o
o
o
o
o
o
o
d
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03490
06934
06970^
08717
9566
0763
093o
6666
6536
10456
19199
13996
1&665
17380
9676
3686
4^47
0048
6796
19109
90818
9953o
94935
96935
97698
99316
30Q94
39666
34399
939Q
36û84
3783 1
39968
40896
49619
8648
0816
î
4411
4671
47301
4887i
5043^
51986
53i5a3
55o47
56559
58067
365q
5856
9863
a46i
o5i'o
59541
Dion
63466
63ao;
653r'
0960
o8o5
7187
7399
8440
66744
68140
69690
70884'
8006
3497
95i9j
9799;
91
CCÇ
TABLE IX.
F<«o*:).
T
Q,oi74B
o.t)5â7
o «06)85
0.087^4
f(«i«)-
OéOOMD 0000 Qv«OOCO 0000
o.ia9É(o
o.il
o.il
0.01745 8970
0.06985 658
o.o8y35 ia84
F(fti«)-
iT
o%si€6a
o.^ds835
0.^18
o.sSi^
oTâS
o.Soooi
o.3i86a
0.536^
Oi354<7
1464
25t4
5y5ii
Od86
1^
48S6
3a3S
o*ioa4o
0.139^7
O.ITtMl
6c44
4366
555i
3788
o.igaflg
Q*ttlo6l
o,]th46&a
0.^6410
O«OO0OO
0.01745
o»DMai
0.
0.0698!
0.08^55
o.iOÉJiBS
o»i8a4^
o.i%^8
ô. 15708
F(63*)i
$»89
8556
74*3
fl|lO
3jrf
M14
F(<4*>
F (66*).
o%ooooo 0000
0^01745 4908
o.oSâfoi iStB
0.06985 Q018
0%
075^
91
iss:
0.^560
0.4647a
0.50376
o.Sft^
0.549^
o*iii6so6
0.191^1
0*111064
0.^31842
o.a4fiB5
o. 06415
0.J18911
o.3aoi4
o.3iAa4
0^33643
Qlte<S9
6868 a.46Go5 856^
iû64 O.J85D1 5i8t
6S55 o.Sû4^ 3jS^
3i9S8 o.5iaB9 07
j[ito o.54i<>3 870 7
0.56166 oftïtt o.6Saii
o.66ià3
0»6c3i^5
o.6dO%ft
0.64084
0^66104
On. 66140
0.70194
0.79966
o.74%8
91 tS o.SBi23:
<SSf 0v6bi04
oSmt 0.6É144 9197
o.
0.5 .
o.vSSoo
o.8b^9
0.8^9^06
a.B6tttû
o*^^ôbB5 070 1
o.7aSS5 8ftt
o.y<g66
765é6
0^78^^
0.812899 0709
o.83b|7 9^^
0.85067 ii6«
ïje^BS^SR
8533
oiSo
4973
0.4B630
8o€o
55i)r
i58o
iioS
"oS5S5"
o« 589^3
o.6odo6
o.6o905
0.6499a
0.19«9
o»9lo66
o.ii9&^
o.oiS^
0% 064*9
o.a8flit6
0.S6091
o«3i8S9
0.3S6&I
0.854B0
0*87317
0.39165
0.41090
0.49^87
o.4<y65
0.4G655
o.iffiSS
o.So4^9
o.Sajfioi
o.
0.104B7 4S48
o^aAf^i 9471
0«00000 OOOG
0.01745 4^90
o.oSyi^i 94o<
0.06985 9
0.08765 7
o.iySaS 9319}
î5;î
6a5b
308»
-^
3617
0«â89A9
0^30097
o.3i84a
o«3o^D.i
0.864^
oao487
0.i9fW(9
O.i^^
0^8761
o%ï75a6
o.iifiê^
0.9lOfO
o.mSqo
0.96498
0.66963
o.683o4
0.70874
0.79463
4^
6801
1^087
6.^
o.563oo
0«S8979
o.6o9(6o
0.6É9S5-
649B6
o.7«2^
0.78855
o.8io3o
0^88998
o« 85460
BBBi
59181 0.663^6
5iSS 0.68384
9819 0.704^9
5341, ow79S5q
.W jg 0.74B78
4i96 0.76^77
5407 0*781980
iS4t 0.61166
04S7 0.63376
0949 o.856to
0.46680 i3^
0.48565 4195
Ow6o5o3 7818
o.59i05 8336
o.6uSBa 1^65
0.4lw9
0.44808
0937I
88t3
74^
o.4B6i9
o.5o6S3
0.S9469
0^544^9
0.70048 1464
0.79S53
o>y47«i
0.769S0. a^
o.^io3 5441
0.81860 9447
o.ëSSmi 8399
o^SSyé^ 9(901
0.77041
0.81481
0.8S665
o««5sb4
437«i
9!986|
76161
oq8i
TABLB IX.
^1
1 1
Sa
55
54
55
Se
g,
il
u
I n
E (6o*).
o
û
ô
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
7»
zL
78
la 4
1^
90
7iiftas 4^S6.
joibi fil
78 S38 01
E (fil*).
6i>89S 4P'
89110
85387
«4640
85878 $g
E (fia*).
BQSS»). EC^^')^
fi«4
X5ia o
iSaoI o
SoSSS
,83i85
101 oèèi
8
89800
90&7 .407'
9«98S a^So
9<n§ 4^
9^^ 867a
S6538 7p,i
9^7 3544
9956a
oo6o<
03671
04667.
o565l
o66a4
07685
«9'
o85^ ^855
091^8 9o83
tOAlO
It
iaa48 589$
88q56
89334
9*597
9'544
7S81
>4B9
M
«7701
$32
1^
. Q&67S
"9^
85SS
300)
4354
95ai
2m
75*7»
79aoa »
.80480 160
81741
66430 i6 (^
SéSâ7
^808 S8S
88973^7
91054 gabé
7 8040
95607 4797
yfiSi 7797
7 0*70460 fC7C|
73808 «645
»75i4o 0600
.7S455 «645
77^5 hma
i94o
81557 I914
o85^
K(f5«).
0676]
08&5G
t55^
4 006S
19359 f^i4t
ocoSli 8oS3i
«iK>5 8011N
^o
11
«9^
S933
SftSft
8164
m
97711P 9147
98745 ia3<
.99764 6739
00749 864»
01 ^1' Qa33
ôflUs^srSi&Â
.o965fl 7944
.04594 o855
.o65i|3 o566
o64i(o ]3i6
.07345 8389]
.08^40 7415
091 a5 4954
joooo 55i4
<o866 75«a
ITÏ7Ô47SS
««f£75 S174
.13448 9€ofi
.14956 jÀ
• 10089 36.
.15917 ÈSfo
.18385 oS8â
.19^045677
J85S3
.87504 6910
!887i6 S0S8
.^)85i i366
90969 fa7^
16 3!
.9CTJ
^97888
9*544
S9535
.ooSii
.01973
517Î5
.ouasio ISS
.o3i64 0173
04074 059"
.04081 965
.05876 091
.06758 QO73
.07630 S006
.08491 4160
>9%3o<i
»oi83 86fl4
1016 279«
1841. 8416
9669 ^^
13471. S497
4^77 8585
16877 645<
»e679
.7631 5
.TtJoS
>yW78
.3oi^
.8i?77
8a6oi
836o8
o.7aa3a
«.70I77
• 77409
o.787fl a
771
0.79971
o.Qtaoi
0.80444
o.SSfiio
9.84788
,86170
.87335
.88464
895%
[604
•9 '776
.j»847
95900
65it
698
9^55?
97»5o
i3
.01749
.09669
.o356o
.o53i8
7073
•«94
971^
1967
8t4iB
0.85^^
oJ8^i
o,88ai7
0.898^4
0.90416
Ï7B0
!944l
•7>»i
9990]
78<5]
7161
06) 6|
83941
0696 1
0.9^487
o.9»r
o,93bci
0.94609
0.96606
1664
9io5
1074
0108
0.96593
0-97563
0.98617
•01985'
1*011177
i.o5o56
•03913
04769
114.1
64i«
85o9
o3o4
$081
.o56d6
.06431
.088S8
11J14 8^1
iitK)6 8960
iti«99 3718
13479 1448
•0961^1
«io3b6
• iii€i
.a34oi
• j4>66
.iiâ|o6
.16645
.16589
91*48
53o3
7601
9766I
4^
^377
93«5
3o&S,
Si
4Q4i
016m.
79541
596
TABLE IX.
45'
46
5i
5a
53
54
55
56
5J
II
6a
63
64
65
66
67
68
69
7»
73
^
76
78
[9
(o
81
8a
83
84
85
86
88
89
90
F (€o*). F (Si»).
o.85iaa
0.87341
0.89584
0.9185a
0.94145
0.96465
0.98811
.01184
.03587
.06018
.08479
a5oo
a6o6
o5a8
SQOS
• 10971
.13494
. 16049
.18637
.aifl53
.aSûiS
.a66o6
.3933a
:3ao94
.3489a
a368
7788
q566
6614
737737
.40699
.43S09
.46456
•4944»
5493
a4o4
3900
64^7
9933
5481
5705
0869
.53463
.SSoaa
.58617
•61750
.64917
.68130
.71356
•74634
.77934
•81303
0036
0900
9767
i34i
8666
3oi3
. 84609
.87990
• 91395
.94830
.98363
0807
5844
3i56
5413
9566
3.017^3
a.o5i93
• îî. 08674
3.13161'
3'.i565i'
7033
8833
4930I
Éi
85387
.,87630
89778
92061
96708
1161
3678
3l5l
7551
6960
856o
01468
03891
06346
o883a
ii35o
13901
16486
19105
31761
0633
1489
q553
9334
9959
1130
3o46
1958
8934
o8o5
34453
37180
29947
33751
35594
4
9350
0133
3866
6356
38477
41359
44363
47365
5o4o8
5349a
56617
63985
66338
3680
7i36
3ii5
3976
7916
7835
4070
3060
69500
,73836
761*0
^9567
13^
0187
7683
i585
6653
5334
86437 7690! 1.88336
89916 i5i7 1.91908
9?^^° 2^99 ».955ig
969473353 1.99155
00494 5993 3.038l3
o4o58
07637
11336
14831
18431'
9656
3193
oio5
8861
3317
F (63*»).
85450
87696
89959
93368
9^5q5
0343
§M7
5588
8ii5
5460
647»
F(63«).
99335
«»749
04195
0067a
09183
01 aq
55a'6l
1843
8358
4359
11
5—/
933
19573
33363
9174
3104
3390
9164
>393
3o564
33413
363oi
7813
6869
6633
4667
8o3i
39333
,43307
45334
48385
51390
3o53
53iS
9404
8886
6090
54539
57731
60967
64346
67568
1966
5931
5648
6954
3594
70931
74335
77778
81359
84776
7110
6681
899»
8131
5474
1^4
oi38
o3i3
5698
,06491
101Ô4
13889
176Ô3'
3i3i9
3A31
4079
5o6o
4904
4695
856io
87871
9oi58
97*90
830a
3776
656o
5744
0706
1003
99593
03038
04496
06597
0953a
6364
6680
1980
341
834
1310?
14711
17357
30041
83764
9779
738 1
1397
3133
9739
3553Q
38335
31184
34076
37013
s
8
SOIQ
0883
39994
43033
46096
8073
3598
3534
3830
5i83
^56oi
58864
63170
65533
68937
3853
6435
4638
4175
9453
73388
75883
r943i
l3ooi
86631
3430
2372
5769
009,
37S;
90378
93970
97^94
01447
oSasS
09034
13841
16673
3o5i 1'
34354
F(64«).
3
85769
88043
90345
93675
95od5
974a6
3301
3451
1676
6713
863i
7736
99849
033o4
04794
.07318
09879
4516
97^7
4384
6010
13477
i5u4
17790
3o5o6
33365
36067
389 13
3i8o4
34743
37737
5834
0354
0833
909?
6599
3333
F(G5*).
85934
88313
.90538
93874
9535 1
97660
a56i
5oii
7461
7330
5076
3097
ooiot
,03677
06089
076^
1033a
9636
9368
3894
3614
0767
.40760
438>(3
46975
5oi58
53393
5719
S303
3699
33i
66677
6opi5
63404
66844
7o336
73878
77463
81106
84693
88633
3oi9
0673
8718
3364
9^894
.96104
99900
o3838
07735
5340
6700
5743
7153
3186
11666
16616
19681
33557
37537
8537
3660
63o9
0989
6430
13847
i55i3
18330
30970
33764
989a
3701
3043
0863
3104
366Ô3
29490
33434
35408
38443
36o3
q3i8
0339
334^
41 530
44S66
.47860
,61107
54409
3713
0363
4585
4335
6763
67767
61183
64653
68179
71763
7616
0773
7998
â648
9363
76401
79094
,83840
86637
90483
3710
1976
077?
3837
6739
'3
03390
o63o3
iq348
6816
3981
0744
1393
i6*85
144^0
i85iS
33636
36749
,30878
5i5i
1613
7708
84s5
6798
TABLE IX.
o"
1
7
8
9
lO
11
la
«4
i5
T
lO
ao
ai
aa
aS
s
a6
»7
a8
3i
3a
33
¥
35
3d'
EC65*V
o.ooooo
0.01745
o.o34<)o
o.oSai
o.oSgy
.0.08717
0000
a565
0763
oa3o
6606
5536
0.10456 a67S
o«jai93 3686
o.i3Qa5 4^7
o.i565S 0048
o. 17380^796
0.1910a
o.ao8i8
o.aaBSo
o.aiaSS
o.aogSS
o.a76a8
o.a93i5
o.3oQ94
o.3a666
o.543a9
oai7
6o58
0088
8101
SotS
9390
371
o.S5q|4
0.37631
o.SgaeS
0.40895
o.4a5ia
79Z2
0816.
0695
4ï49
769a
0.44UQ
0.4^710
0.47301
o., ^
o.
iao4
^^64
41
4a
43
45
o. 61086
o.535a3
o.55o47
0.66559
0.58067
3650
5856
9863
a46i
0010
0.69541
0.61011
o.6a466
o.63oo
0.65
^
O03O
o8o5
7187
7^99
8440
0766744
0.68140
0.69630
o,7o884
o.7aa3a
^497
a5i9
a79a
ai5o
Ecee*).'
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
o34oo
o5a33
06976
067*7
Oboo
fl553
0670
4077
10456
iai9i
15654
oi53
0681
8a66
i53o
5io8
19100
ao8i6
aa5a7
aXaSa
90^1
4655
i8a
16
698^
422^5
48845
00404
51961
53484
55oo5
565ia
68006
oai9
755a
9553
7003
0713
7a38
3aoa
53o4
o3i8
594S5
60960
63401
63836
65a57
S666a
68061
69434
70781
73133
65
1800
7858
1966
3657
6160
6563
3600
'E(67*).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o^
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
034Ô0
06333
06976
08717
0000
3543
0679
g 610
i35
3663
10455
13191
i3q34
16653
17378
7709
5799
3470
0700
19098
30814
33534
34339
36937
37619
a95o4
S0081
33650
34311
35S63"
37606
39350
40863
4^476
42o^
45670
47350
48817
50373
61916
53447
54963
57966
91^
33l3
0330
'^4
69431
60891
6a337
63767
65i83
83531
013
9i3
1891
5o84
I
ëêssr
70681
730)5
"5^
9946
5404
8885
7607
l4fô
î
139
863
310
8i3
E(68-).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
06333
06976
08717
10455
13191
i3q33
i5653
'7877
»9097
3o8ia
aoSaa
34336
^0934
0000
363 1
4436i
iag6
E(69*).
6346
3046
6865
5393
3836
4988
7016
5373
4741
io35
37614
39398
^74
33643
34303
6986
8oi5
8718
4868
35q53
^7594
39336
40848
4?4?9
44ÔS0
45648
47335
48790
5o343
5l8gî
53410
549^5
66433
67908
3377
4^1
0816
3344
4656
2i46
6863
9011
6859
^737
6039
8339
3843
5488
6o835
63376
63701
66110
665Ô4
67881
69341
7o585
71911
3853
1704
8893
i355
613 3
^
ii5o
5976
3108
7369
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
.0
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
034Ô0
o53o3
06976
08716
1045s
13190
13933
i565i
17376
*9096
30810
33636
34333
36930
ooop
3530
0407
9039
3760
^
3o65
8433
i458
75.01
335q
37610
39393
30968
33635
34893
35(
37&83
393 l3
4p833
4^^
0918
904a
3138
5696
6391
'S48»
û
6887
9868
3
^68
^18
5483
44040
45637
47^03
«4
14
6881
3637
i836i
7579
7089
5i85i
53375
64885
5638o
57863
69338
60780
63316
63636
65o46
6610
0460
1035
8760
»iâ4
78f*
3655
3i33
6314
8843
JE(7o«)..
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
.0
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
66438
67800
69164
8060
0968
4836
70^91 6061
71811^18
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01746
03490
o5353
06976
08716
0000
3610
o386
8766
3iii
8768
10455
13190
13933
i565i
^7375
"9094
90809
33617
34330
37606
39388
30063
33638
34385
37873
39300
40819
43436
087S1
4941 .
6358
0184
309 5J
73K
1463
9765
7760
0899I
47^3
476a
66861
58oi.
8o48|
90o5|
43qi
99661
1^34
4948
^033
40607
60386
61830
53341
54847
66340
67817
6107I
0963
663/
584i
8o4a|
'83o4
387
8o5i|
0333
5837
69380
60737
631 58
63574
64973
67731
69070
70401
71714
3567
8967
484
6673
^779
974a
470Q
4894
7673
ddd
sge
TABLE IX.
1
i
6
l
lO
11
là
iS
'À
i6
ar
a6
F(G5«).
o.ooooo oeoo
0.00900 9
o 4 08755
0410487 2b6<>
o.iaa42 âSaS
o* i4ûoo 0097
0.15761 2u0a
o. itmG i^36
F(86«)-
0.00000 0000
0.01745 4^)3
o.oSi^i sBos
o.oSâSt 9853
o» 06980 cSSv
0,08735 9oa3
o. 10487 975
o*iifl4^ 7St
o. 14000 61266
p.t576â 1074
o.i75«7 640a
F(67«). fi%9).
0.00000 0000
0.01745 4043
o.oSifoi flBdS
o.oSsoS oiw
0.06986 is65
0.08736 0444
o.ooooo 0000
0.01745 4o54
o.o34ai a68o
o.o6a38 0455
0,06986 1966
0.08756 1817
0.19896 io5S
0,01070 66s3
c.ia85o 5qi8
o«fi^6S6 3667
o.964ft8 4Gfo
o.a8dS7
o*3oo53
0.31847
0.33S69 gSi
0.8SS01 09^4
o« 37341 610a
o. 391911. oe^
0.4106» 88i9
0.490^4 749S
0.448 08 ly
0.19^97 6903
o^fliOTs 7081
o.fto853 s
o^fliS^ 6<
0.06439
o.flSsSsi
o.3oo39
o.3i864
0.33678
o,366ii
0.S7353
o,S^so5
0.41068
3SS6
w43
0.10488 9954
0.19043 1970
0.t400I 9191
0. 1 5769 9436
0.17598 7908
0.19999
0.91074
o. 99855
0.94S49
0.964S6
"srassr
o.
o.5iw»i
0.53686
o«95590'
7019
5934
4<Si
69^,
0.1Ô45S'
0«19943
0.14001
0.15763
0.17599
0.19300
0.91076
0.99868
0.94645
0.96440
F(690.
0.00000
0.01745
o«o349i
0.06938
0.06986
0.08736
406S
9765
M
3149
0.98941
o.3bo5i
o.Si86a
o.
Qo34
6686
flSi*
0.10488 ^
0.19943
(009
)3o
rCTûO).
0.48619 1988
&.5oS3 8B16
0.594S9 6701
0.54419 9(96 4
o. 56885 578S
o.5!S67 9D97
o.6o365 4ai
o.Çi^i 1
0,64414 9996
0.664675018
0.68539 ^^
0.70^9 5i56
6.79746 4483
0.74089 4S49
0.40796.7011
0.4B658 1438
o.5o563 i4ffo
o« 59609 4464
0.54456 7043
0.77041 49jf8
o;. 79994 0986
o.8i43i 781^
o. 83666 0081
0.86994 si36i
0,56496 éooo
0.5841 9 8346
0.60416 1959
0,69437 9048
o.64476^8aRS7
6
O.
O.S8SI4 91SI
o^TOVii *
0.70836
0.9739415^
o^SgsiS 60S0
0.41083 493
o.4s<)5a 011
o. 4<^ 1695
T
O.^^'ODO 4
o.ëoSoi
0.69654 4^
o.6449<> 4f4 7
0.07^5
0.39901 ^877
0.41098. ia4o
0.49^6 5533
^49076 5533
^44867.961^
*îéJù
0.19309 1478
0.91078 3s^
0.9986a 6iQl
0.94S48
0,^(44
W4<i7
o.
o.
0.S1876 oS3S
0.3S709 4o3i
o.S6û3q 9958
o. 56466 5io4
0.68467 o4oo
0,60460 4^17
o.Sjt5S7 1459
0.46770 83ii
0.48687 9898
0.6061 û 0493
o;* 59565 4^0
0.64597 1B90
o*77}4» 6719
0.79349/141
0.81S60 6616
o;838b5 4079
o*. 86077 677*
0.66609 3091
0.68688- 1 104
0.70796 4^s3
0.79995 ic6i
o; 76078 mo
o.9^9W 0760
0.29943 6411
0.41119 9991
0.48711 6^464
o.5o6;46 9
o.&95q6 ^
0.64660 7790
0.00000 0000
0.01745 4075
0.03401 9846
0.0S938 101S
0.06986 3995
0.08736 44 i6
0.10488 91^
0.19944 9919
0.14609 8499
0.16765 9896
g. 17539 0101
0.19303 5981
0.91080 3S79
0.99869 0474
0.94661 ^71 7
0.96447
0.98960 7^
o.3oo6i. 8074
o.3i88i 3iq4|
0^33709 836o{
0.S5547 9B86
o.^â!l5 3483
0.41195 8983
0.4300a. 33i3
o,éUcc3i 6019
o.E«5o5 9446
o.586oa3S49
o.6o5i3 S774
o.fia644 8o46
0.64695 7508
0.77055 3766
0.79457 8839
0.81686 6446
0,83949 7o5(
0.86997
0,66066 9677
0.68769
0.70873
0.7S010 _
0.76170 9678,
0.77358 3468
0.84076 6646
0.8^3
0-56549 7419
o«Sd54o ioi5
0.60660 6i4i6
0.69606 1780
O.&059 5640
• T ^.
3386
58oi
o.
o.4b5i9 0019
0.48734 5ll9
0.50071 7999
0.596^ 3756
0.54593 1919
o. 56678 9495
0.56589 4169
a*6o6c4 4375 1
0.60645 8180 1
o.64yo7 4^8<
©9
0*71
0.73175
0.7&359
m-?i
0.77458
0.B1998 9&^
0*^49069880
0.86616 ic44
«•797*5
0.8^33
o.8fifi6a
^1
lOIOl
04*3
oi56
3^\
31 01
83o8{
8049
9ffh
TABLÉ IX.
45^
E(65-)-
73563 8549
74879 «7»
7«i77 49«g
77405 U75
7875U 8a o4
:997i
Z9
.81901
.8a4i4 ^19
80810 5ttd
84788 976
85948 78iâ
87091 7101
88S17 0616
89394 8994
.90416 0696
91487 8038
99543 1^4
93581 9io5
9460a 1074
95606 oio8{_a
ii4i
6416
.986^7 85o9
^ o3p4
j8 5o8i
OI985 6455
00177: 8499
o3oé5'S395
03919 a»4«
04769» 3894
.>^,-«
,o$4Si S3o3
7601
6fa8a577
3ot5
3 ^«9
^1
4165
E(«S»>.
s6oo
ai33
3i45
79809
8ioa9
8aa3a
86863
9i9o5!
ijl o
9» -
09«3
8107
^
1776
7700
«956
7777
8a47
5599
97«84
98190*
99^89
999*»
9199
1968
9§78
7705
9660
9757
6997
DO97
o5o43 i9o4
7<^4
o5
8
.01701
09568
.03400
.04998
.o5844
.06^
!i78
m
u56
1889
^981
1099
4363
E(«70-
0.79015 38i3
73331 8430
.74631 oo^t
.75919 9g.
177 i834
»9
la
89o55
83999
84384
9910
7»49
0180
0997
6389
lS57i
.86640
19
^88S
.91955
9«9^
.9^69.
95877
96813
73 1
1639
99S>6
S$
0600
5094
907
6i88
1070
0908
a«ii
aiiS
33^
oo383
otaSB
,oao7i
00891
03697
iio3
6607
B356]
'7
,c6o33
«6786
.07Sa8
.o8«8a
.09696
io4p»
1101
iSiCgr
t385a
i-<S34
7886
■57^
67«9
i8i3
oi«9
ï7<
ilO
74WI
63fti
7657
E($8")<
71911
jSaao
75786
7704a
7pa79
7369
%
98;
40Î9
l^i6
864a3
87911
8858o
89630
sSaS
8463
393i
0801
8697
96450'
9735 1
98^34
99999
9994;
,00770
01593
09^3
03176
08946
04701
05443.
.06179
06889
90S9
3359
o853
1983
7767
0079
1339
1689
179
)6 9459
>7 597
iflgi^ i8i
14 ^65
ECe^o),
71811
73ii3
4818
3957
8066
8917
w
8795
8S118
86ai3
87989
88346
89383
90400
91398
94^75
96196
96098
1808
38o6
i^79
8409
99591
oo333
01197
.01^5
09668
9169
.07613
0897^
loapa
ic&^
n479
1009^
10704
0608
9oo3
9908
3799
E(70«).
767a
0495
0939 1
0701
56o8|
6617!
79908
8o39 1
8i554
89698
83899
1481
849^
86010
87074
88iiq
89143
9
^9
6i34
0735
3956
6490
90'47
91139.
.99096
93040
93966
9^85
1768
4611
84971
4467
94870
95755.
,96699.
974^9
98097
8474
0988
1785
5896
99 'P7
99899
00673
01431
.09171
5708
6189
851*8
0469
6335
09896.
.o36o5
o5648
9096
4099
9438
6o3o
99l3
.o@ô3
06948
07680
08007
08894
7067
o336
î»4i8
4341
773?
094K
10040
10649
1194a
11837
4753
8061
0711
6074
7738
4oo
aesas
TABLE IX.
45'
46
%
t
5i
5a
53
54
56
%
59
60
ëT
6a
63
64
fô
66
57
68
«9
70
7»
^5
73
7?
81
IBa
83
I
86
89
90
F(65*).
0.859114 9^61
o.SSaift Son
0.90538,7461
0,93874 7^30
o.gSaSi 0076
0.97660 fl097
1.00101 96^5
1 .03577 9^68
i.oSoSg 3894
1.07637 3614
1 .103 33 0767
F (66<*).
»v»î847 9893
i.i55i3 3701
1.18330 3043
1,30970 o853
1^33764 31 04
1.36603 8745
1 . 39490 36o3
1 .334a^ 9318
1.35408 833
1.38443 33
%
0,86077
0.88378
0.90709
0.93070
0.95463
0-. 97089
i.oo35o
1.03846
i.o538o
1 .o7q5i
i.io563
6771
5348
o386
3389
5791
9461
6600
974^
17Î6
5788
5346
i.i3ai4
1.15908
1.18646
i.ai4«9
1.34369
4Ï8Ô
d3io
5378
7610
5763
1.41539 3713
1 .44668 0353
1.47860 4585
1 51107 4^^^
1 . 54409 D763
1.37137 5o59
1 .30065 0116
1.33043 5449
1.36074 5367
1 *39159 3844
F(6r).
0.86337
0.88541
0.90885
0,93363
0.95671
0.98115
149a
1386
6448
5o63
1 .00696 033S
i.o3iii 5435
1.05666 4589
1 «08361 1983
1 . 10897 3397
1.13676 069
1.16390 3374
1 . 19068 3o84
1.31884 Q049
1,34760 6441
1.67767 7616
1.61183 0773
1.64653 7998
1.68179 8648
1.71763 9353
1.76401 3710
«•79094 «976
1 . 83840
1.86637
1.904 83 6739
1.43390 4373
1.45430 9793
1^760 8096
1 .03063 3304
1.66435 9733
.58860 flS6]
1.63363
i.65qi9 ^998
1.69537 358.
1.78316 5i6i
1.9^
1.98313
3.03390
3.o63o3
a.ioS48
3.144^0
3.i85i5
a. 33636
3.36'
3.3oJ
'^
68161
3981
0744
iao3
i685
^75ï
i5is
84a5
6798
1.76966 6777
' '^l *^77l
i.o4dio 1019
1.88533 35io
1. 93603 6093
1 .96536 8703
3.00690 3101
3.04716 7808
3.08876 3i63
3.18070 o5i5
1 . 37667 1716
i.3o636 1443
1.33669 3308
1.36738 o5i8
1 .30874 3669
1.43069 4549
1.^35 i5&
1.40643 8397
1.53033 8376
1.66469 4l3()
1.69080 63oi
1.^558 3701
1.67303 3816
1.70016 73q3
1.74696 7987
F(68*).
0.86373
0.88600
0.91000
0.93
0.95
oj3__
1.00834
1.03371
1.06047
1 .o8S65
1.11336
)57<
0D70
)6
i3
5171
0491
4998
é
i7i3o33 0707
1.16684 1413
1 . 19484 3365
1 .33332 43i3
i.aSaSo 3377
1.38191
1 .31303
1 .34370
7ooi
388^
4801
i58
F(69*).
o.865i6
o.88854(
0.91336
o. 93633
0.96073
o.oSSSa
io44
6087
6373
1 .61068 6030
i,o3634 8939
1.06333
1 .08863
i. u549 3369
1.14381 5831
1.1706a 4180
1.19893 6af98
1.33777 3088
1.35716 1186
1.3870g
1.31763 3863
1.3X876 7766
1. 38003 otSi
1.41393 5583
1.78643 1601
1.834S7 069a
1.86436 3703
1 .90470 3590
1 . j4583 7919
8.17396 7558
8.31646 7819
a. 35817 1384
a.Soibo 5177
a. 34390 47a4|
1.98746 8^o3
3.03966 0648
3.07*334 4oi3
3.11660 i6so
8.16907 0634
iTTiÔQo 7766
1.64763 9889
1.68501 5461
i.7a3i3 i3o7
1 .76199 0864
i.8ot^ 3556
1.84190 4305
1.8830O 3781
1.934783041
1.9673S 3367
3.30399 8i3o
8.34730 8653
8.3oi63 S^66
3. 3363 r 4474
3.38087 0191
a.oio38 1817
3.o5ii3 4838
«09846 7470
8.14333
3.18865
1.44601 7967
> -47979 o36i
1.61438 6834
lé 54061 3693
1.60549 ««09
1.63334 3333
1.66078 1708
1.69813 1864
1.73737 854s
1 .77734 3603
i.8i8o3 434Ô
1.86964 bjÇSï
1.90306 8006
1 .94538 7683
1.98938 3444
8.334^ 1907
3.38045 6787
3.33677 6186
3.37336: 5 140
3.41984 1654
3.o34o3 3611
p. 07046 0864
3.13S57 61
3.17338
3.81963 5836
F (70*).
o. 8665a 9967
0.89004 7795
0.91390 loar
0.93810 53q5
0.96367 385a
0.98768 aSaS
»-P»a96 7«79
1.0387a 4708
^,06491 8084
1 .,09154 736a
1.118649198!
1.14683 696]
1.17433
i.aoagS i\
i.aSaia oSajl
1^86186 98831
1.89319 8916
1 .33314 8943
1.35473 4035
1 .38690 0740
» -415917958
1.45360 0800
1.48800 44o3
1.03317 3691
i.56oi3 3io4
1.59690 6344
i.6335i 5471
1; 67108 i4ï3
1.71133 a^a
1 .ySiSS 38ao
1.79368 7358
1*83473 0190
1 ,87768 4075
1.93164 4%i
1.96639 91
3.oiioa 79^
3.36734 8070
3.3i534 Ao53
8.36378 8853
8.4l33lr4p63
a. 46099 9458
3. 00^40 1345
3.10667 9166
3.15S7I 1319
3.80343 5761
8. 86177 9960
3. Soi 66 oao7
8.35io8 8q3i
8.40364 5835
3.45^3. ^Q\\
3.60455 0079
f
TABLE IX.
1
%
3
7
8
9
lO
11
la
i3
i5
i8
^9
so
31
fi3
a?
a8
^9
3o
I
3i
3a
S3
34
35
36
38
4o
4x
4a
43
4^
E(7o*)-
O.QOOOO
0.01745
0.03490
o.o5a33
0.0697G
0.08716
0.10455
0.12190
o.iSojïa
o.i5d5i
o. 17375
0000
a5io
o3fl6
8756
3ii]
8708
0873
0184
2095
0.19094
0.90809
o.âa5i7
o . a4aao
0.05917.
7383
i46a
9765
7760
o8»9
0.37608
0.39388
o.3oq63
0.33638
0.34385
47^3
4762
6586
58oi
8048
o.35û33
0.3707a
^.39300
0.40819
0.43436
0.4409a
0.45607
0.47179
0.487^
o . 5o38
o.5i83o
0:53341
0.54847
0.56340
0.57817
9005
4351
9906
1534
4948
6107
oq63
503l
584 1
8o4a
83o4
9871
8o5i
0333
5837
0.59380
0.G0737
0.631 58
0.63574
0^64973
0.66356
0.67731
0.69070
0.70401
0.71714
1418
3567
8967
4^4
6673
^779
974^
4700
4894
7673
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(7i*).
00000
01745
03490
o5333
06976
08716
0000
aSoo
0348
3
8
7491
10454
13190
i3Q33
i565o
17374
8770
1600
1360
3078
3343
19093
30807
335l5
34318
36913
4398
4595
83o9
0937
7900
37603
39383
3oq56
33631
34^77
4648
6660
9537
35334
37661
39189
40806
43411
8o38
9703
0334
5344
0847
44oo5
45587
47157
48715
60360
61791
533o8
54811
563oo
57774
3667
6387
8343
4137
0087
3330
6738
9816
7795
7040
59333
60676
63103
635i4
64909
m
7ai4
6768
0690
66386
67646
68989
7o3i4
71631
5567
8639
6854
7359
7407
E<79«).
o
ô
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
b
o
o
o
o
o
p
o
o
o
o
ô
00000
01745
00303
06976
08716
0000
«491
0174
8343
1893
6337
E(73»).
10454
13189
i3q3i
16649
17^
6768
8404
3oi5
19093
3o8o5
33613
34316
30910
8463
7786
5380
6336
37698
29279
30961
33616
34370
63i4
0646
4781
4aoa
4436
36qi6
37551
39'77
lOO'
9531
5653
6038
3385
43988
46669
47137
48603
5oî^54
6493
01
oa
3767
3590
61763
53377
54777
56363
57733
681
3033
64Ô5
69188
60637
63060
63467
64847
633i
8346
8668
43o3
16361
66319
67674
6891a
7033 1
71633
7440
8777
35o4
5677
645a
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
o34qo
06333
06976
08716
0000
3483
01O3
800
i333
6317
^i.iA'^y
4840
5368
19091
30804
33611
34313
35907
0140
3o86
8336
0844
6348
37694
39374
00046
336o<
343(
35907
3754a
39166
40780
43583
3773
6789
3669
3869
381a
^034
4039
6400
0755
3753
43Q7a
45561
47117
48670
50309
8103
9558
3068
8896
61735
53947
54744
66337
57694
8383
656o,
9633
S438
45o5
69145
60681
63000
63403
64788
9048
3437
4087
7660
0433
661 55
67606
68838
70163
71447
1335
3834
1123
3193
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
9
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03490
o5333
06976
08716
10454
13189
13980
i5648
17371
0000
a474
oo36
7776
0786
4164
946]$
7G30
365 1
5683
19089
30809
99609
34910
a59o4
8897
8482
9647
7669
97691
99970
30941
33*603
34366
5o63
5ii6
3i68
4589
4784
35899
37533
39166
40768
43368
43957
45^32
47098
48640
60186
§193
396
a6o6
3685
9134
7603
3436
3336
6334
61710
53319
64713
66193
67667
i359
336iB
8388
3611
1893
69106
60537
61963
6335o
64731
66096
67440
687G7
70076
71366
3769
1407
4so6
7603
8433
3376
7066
8947
4995
196a
o
o
o
o
o
o
o
o
Q
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
£
b
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01746
03489
o5333
0697G
08716
0000
3466
7S58
0373
3i66
10454
i3i88
13930
16647
17370
19088
30801
33608
34308
26902
8263
466c
2073
6663
o638
27688
39366
30936
335.97
34360
33aS
5706
6346
9469
0431
36893
09146
40767
43356
43943
46618
47080
48639
60164
61686
53193
64684
66160
67621
69066
60495
61906
63"3oi
64678
46Ï9
7456
4406
0974
370b
5193
4076
5o39
3835
6333
808Ô
53oi
385o
975a
909 8
8046
3833
97a4
6136
5476
66037
67378
68701
70004
71389
7308
7335
1957
8aS5
3o43
eee
TABLE IX.
J
Fcyof).
O*OO0Q>O
o.û3ifo4
0.069S6
r<ti*).
0.104S7
oaBft44
0.01745 40^
-.^^^ o.tS4gi 2Vft4
lorQi o/o6aS8 lâ^
3^9^ 0.06986 Sjisr
44 4 6 o.oey86 569 7
0.1^
a.«li](6o
o.M86fl
o.i&Mz.
o.iAoSo
0.S0061
o.3«^8&i
0.35909
0.95647
0.57^06
o.SgdoB
0.41 tftB
0.4S008
o.44qo3
TêSs
8074
Stoi
8B63
9585
o.4<
o.48j[S4
o.ooByi
o.5!i6a4
0.54598
3488
8fl8S
3SiS
0.10489 1^45
0.4IA44 3566
a.i4oo3 353é
0.46766 ooftS
0.17535 ooia
0.19S04 85fit^
o.Aidea àB4B
o.iNBi865 iSSo
0.0^(654 6404
o.a&fii 057 7
ojffi
r^Tû»).
o.eoooo
0.01745
o.oiS49t
o.o5i58
0.06980
o.b87S6
0000
3598
45t6
^o5
0.119469 ^fii68
o.i&ftij^ 8807
o.i4oo3 836 1
0.16766 69111
0. 176S3 949 8
0019
01 1&
0.56578
o.585Bâ
0.60604
0. 6^645
0-84707
4t6«
8180
45B0
0.66790
0.68895
o.7iôa5
0.75175
0.7555a
o.So^ 85t!
0.S1887 35761
0.W7J6 g74«
0.85S66 3460
0.57406 0484
0,89666 6999
0.41188 aoa8
o.45ob5 9ii5
q.44gPO 8o€ <
0.46881 4S5o
0.48^ 4995
0.5065^ 5i85
o.5a65ii 9984
o.&46û4 869
0.19306 110
o.âioSS y\b
0.M867 d68ft
o. 1^(657 ^895
0*^6454 3340
o.i<8a58 0446
0.30071 S793
0*81^893 1071
0.33793 808S
o.SSsft^ 376}
Ït7'*)-
O.OOÔOO 0000
0.0174B 410S
o.oS^i 0070
0.06958 r7yo
0.06986 5oB6
0.06786 7990
o
0.1094!
o»iD7o7
0.47554
0.19S07
0.91 oS5
O.M^
o
o
0.S7416 iigS
0.59977 5570
0.41 i5i 4971
0.4S637 6859
0.4 ^936 90 67
0.77555
0.79785
0.89044
o.8i
0.8665s
isio
0100
s 101
K&4094 aP9 9
j.'566i3 787S
0.58691 9317
0.^60647 S6bi
6.6969S 6S95
0.64760 S679
o.
0.46860 0679
0.48777 577Ï
0. '50790 9869
O.S9678
0.54654 91
0.98969
o •'30076
0.31806
O.SS750
0.3S579
"StgS
i«79
348e
8535
"3976
9980
9758
8169
7S0
9859
61IB
3^94
oioS
F(74-y
0.00000
0.01746
0^03491
0,061^
0.06986
0.08756
0.10460
0.IS945
0.1.4004
0.46767
0.171
0000
41 it
0157
6697
J97B
7080
4795
971*
2121
F(75*)-
0.00000 0000
0.01745 4>ao
O.OS49I 9901
O.oSÔoS 991 4]
0.06986 61S9
0.08756 ^9801
K 40489 8754
M»945 7555
o.iiooS r456
0.10768 5617
o. 17556 S945I
0.19S08 4748I ••193m 5607
0.91066 7«84
0.99871 187S
0.94669
0.96460
0.37^94
0.S9987
0.41165
o.45o5i
o.4io59
»9t
0.56^7
0.58658
0.60688
0.697S9
0.64811
9904
4836
«665
96o3
1888
0.66904
0.69091
0.71169
0.75597
0.7SS19
., 148 9*08
.79^8 979a
0.89156 7996
0.84455 7463
6.86^6 4366^
0406
7758
21§S
0.4C>8tr7 (469
^•48797 7«ag
0.60749 ^9
0.59704 467S
0.64689 99 98
0.98966
0.S0080
0.31903
0.39736
••41 «74
ai69
4«2a
1S5t
$616
9970
S9S8
7886
0.«1088 90A9
0.99^9 9966!
o.a8969 8161
0.S006X 8o4o|
0.31908 7947
0»S3749 Sq4fll
0.35586 9
0.566^9
0.68694
0.60798
0.69783
0.64869
o.
o,
0.^9964
0.84673
0.86915
0.66968
ô. 69080
0.71997
0.75*95
0.75698
6009
8S94
"K77
70a I
6660
6890
0.4688^
0. 4881 6
0.50764
0.69798
0.54710
64410
o
o»S87al
0/60766
0.6sAa6
0.64906
^9]
0488
&198
S811
^.3pL(o |i65
o.^3o7 1967!
0.41185 5aa8
o.'4^076 79a'
o>4498i
0.67009
0.6^197
0.89368
0.84686
0.87038
8o3&
èi6b
9&68
6395
0790
2S£
0.8a467
o* 84706
0.87 r67
o98i
ogfBr
8494
1978
rS86
0.46900
0.4^836
0.50785 1001
0.59761 8090 j
0.64736 9 908
0.66738 6053I
0.58760 9439
0.60009 i5i6
0.69866 laqi
o.&fe6o 9554
0.67068 4901
0.691^0 0761
0.71348 89971
0.7553s 9o83|
0.76745 S63<
6.77986 6;
0.80966 19341
0.89661 6'956
0.84^ 8S17
0.87969 9987
TABLÉ ÏX.
4oS
48
5o
5i
5b
55
54
55
5r
6a
63
u
w
69
72.
7»
7a.
75
74
Zl
76
n
78
gr
8a
8S
85
86
89
90
E(7o*).
o
o
o
a
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
71J14
76785
78006
81554
80698
838fla
849a6
86010
87074
8fillQ
«9143
90» 47
93096
96040
ç)3i|65
96755
966afl
97469
99»^
99899
oow-B
01431
01 171
0^896
oS6o5
oS!^
06648
358ft
tto7
o88a4
o9i^5
10040
io64ft
11^0
11^857
7067
6S96!
4^
8061
0711
6074
77S8
E(7i*).
71601
ei3o8
80533
83647
i47«
6834
,98705
OO^Q
01688
ofiSgi
©3744
.«440S
06048
457?
;s
09053
io3q5
iog|64
1971
95 n
8746
E(7a«)- E(73»).
o.7i53o
70814
.74078
.75300
76S47
.77755
0.71447
ro3
78938 7545
èoio4 Mq
.81049 7907
.«0374
.856o6 S471
86668 " '
87689
W690 o37
Si 90
6000
7^6|
4s5o
4>84
4657
Ê (74^).
0.78810
0.79969
0.81106
o.8oAo3
o.833i8
.8JS9
.8544
ga
"oTS
0.86477
0.87488
0.88477
.91664
9248»
9S376
94o5o
96104
95938
96761
97544
i5$t7
99J71
.99806
ooSoo
.otooo
^oo5
1890
o^
43o5
7806
.oiqoi
0^65
»Soi3
.QS846
c4i^5
io5o7©
x>S66o
06043
06819
07930
.©848t
1 09606
i &0106
8^
9»i3
7190
1S09
1^
67^4
9600
i36o
5o4Q
4010
0357
0.89^
©•9^590
o.9i3i4
0.90017
0.93098
0.93958
0-947517
0.96614
0.96411
o>97'^7
7005
358o
8g86
6174
45o3
0.98678
0-99394
.OÛOQO
.00768
1973
7i3i
4«4o
.01408
.00070
.00696
.o33o4
.0S898
.04478
.06045
•0S600
.06144
.06679
0801
143s
8916
6oS5
7008
6017
Sa8o
5955
4û74
.0700*
^07706
•08040
.087S4
.o9â?65
7^01
oSo3
47371
0346
0.71366
0.70636
e. 73887
o.. 761 19
0.76S30
0.77601
0.78690
0.79841
0.80970
'0.80078
o.83i66
1960
7i3i
7610
0685
5i>
^4^
008
876
fio86,
6,705
E ( 75^ ):
O
o
O
o
.84030
0.8S073
0.86^5
0.87096
0.88073
toi 8
Solo
§901
M8
6096
0.89009
0.90163
0.91076
0.Q1065
0.90833
£069
411^
0608
0878
0.93678
0.94S00
0.96306
0.96066
o. 96846
9
9,
0.97SB3
0.98301
•oo333
1960
Si 91
4553
0910
.00971
• 01*590
•o«*|4
.0S906
•0549S
«0&OOO
85
46
55
9838
oSo5
5555
.0B499
.06991
.p 07961
^44ii
8118
1471
5o«9
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
7108g
72654
73799
76034
76029
774«4
S043
S070
6o34
8617
8019
ig5a
78677
79730
80841
«194»
83010
84076
86110
86100
87110
88079
7^
S366
6096
4S66
89035
89947
90847
91736
9^579
0928
4876
4160
97» 8
0696
6458
6609
1007
9784
93410
94200
9600,9
95776
96618
3370
o5i6
83o4|
037i
626;
97040
97540
98619
99^7
.999»5
00S54
oiâ33
01713
00076
oo8o3
0640
4260
733.9
7443
0167
11618
8816I
0661
So53l
o3353
03869
04370
04860
oo34o
8948
8416
5676
8126
63i8
o58iT
o6sk76
06734
07188
07640
Sq3i
7670
5]4j
4o4
TABLE IX.
^* F(70*).
0.8665a
o . 89004
0.91590
0.93810
0.96267
0.9876a
9957
7795
i5ai
5a95
385a
;a8
.01396
.0387a
.09104
.11864
7/79
ao8^
7363
9198
.i46â3
.17433
. 30395
.33313
.36185
69Ç
0743
i356
o33'
988:
.39319
.333i4
.35473
.38699
.4i$93
3916
3943
4o35
0740
7958
.45360
.48800
.03317
.55913
. 59590
0800
44o3
3691
3io4
6344
.63351
.67198
.71133
.75155
.79368
5^71
i4i3
3403
38ao
7358
.83473
.87768
.93154
.96639
3.01193
0190
4075
4391
9145
7981
3.o584o
a. 10567
3.15371
3.S0343
3.35177
1345
9166
1319
5761
9950
3.3oi66
3.35198
a. 40364
3.45353
3 . 50455
0307
3931
5835
9601
0079
o
o
o
6
o
o
a
à
a
a
a
a
3
a
a
a
F(7i«).
86786
89150
9.548
9398a
96454
98966
4366
3434
5981
9936
9873
3043
oi5i8
0411 3
06753
09438
13173
3403
i65o
5348
3459
6370
14957
17795
30687
33637
36647
4918
0908
7*033
6874
4909
29179
33856
36o6i
39336
43685
6493
783Q
5938
8533
4030
46110
49613
50199
56870
60639
1375
85o8
o34
5989
1974
64478
68430
73458
76594
80839
3635
7087
6386
d6Qa
34
85i65
8960a
9'4»4i
98780
o35i8
1468
3695
0158
363o
3347
o83§3"
13378
18390
33383
38547
3731
3333
836i
ao36
3348
33773
39001
44369
497U
55073
7843
8403
6766
5656
ï45o
o
o
o
o
o
a
a
a
a
a
3
3
3
a
a
a
a
F(730),
86915
89390
91701
94149
96636
99163
i353
6i38
5836
6i5o
35oo
5o65
0173a
04346
07005
09713
13471
8818
356q
ÛOO
579,
53o
?
i538a
18147
a 1070
34003
37098
0385
4364
i§94
8fi6
3183
3o3o8
33388
36638
39963
43365
965
043
4646
353o
9^5 1
46849
50417
54073
57830
61661
4844
404
109!
0447
6435
656oi
69643
7S787
78040
83403
a83o
3338
5531
0878
3933
86876
91463
96160
00977
05903
i538
o535
6a34
5863
5819
10938
16079
31 330
36653
33070
'37560
43110
48707
54336
59981
8i35
4408
6333
4164
1108
4134
5763
68i3
9730
F (73« ).
o
o
o
o
o
a
a
a
a
3
a
a
a
a
a
a
87038
894^5
91848
94309
96811
99353
8o35
5687
7489
9919
0300
6591
01939
04071
07300
09979
13766
i55q6
18489
31441
34456
375 36
3o685
33906
37303
40576
44o3a
79-0
4343
6431
6449
74Q0
^^
0177
4l33
3339
47575
5i307
54934
58758
63684
6376
3867
0451
3q63
963
53i3
9356
]536
a5o5
3oi8
66715"
7o858
75114
79488
83q83
)7
?5
38
53
633 1
35o3
0^98
88601
93346
98318
o33i8
o8346
5535
18
7098
S5Ï8
1359
1897
34463
3oo6o
35766
41 538
47391
533oo
59347
6531 3
1750
8799
0779
J760
4954
4706
4830
8oo5
F(74«).
O
o
o
o
o
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
a
à
87167
89554
9 '989
94463
96978
29536
i586
79>4
7394
7377
5683
1667
o3i38
04787
07486
10335
i3o39
5337
7468
o563
7873
4008
i5^a
aiSoo
34846
37961
4^â
7856
4817
3ii47
34409
37760
41173
44684
9680
66i5
090a
OOl)
48a85
5198a
55779
63693
4380
4a&
644
6069
i336
67819
73064
76434
80933
85566
3176
9603
oo36
8364
1763
9Ô335
95a46
oo3oo
0549
108
43
9180
4654
4083
â8o6
3818
i633o
31968
37731
33610
396i5
974'
9703
63io
7997
7101
45733
58173
64478
70806
4037
7864
8733
6880
7616
9
F(75n.
o
o
o
o
o
3
a
a
a
a
a
a
a
a
a
87369
89677
93134
94610
97138
'99710
9337
9713
3067
4317
5431
5354
03338
04994
07711
10481
i33o6
5169
7077
45a 1
3358
6451
16190
19105
33145
36333
38370
^755
6416
3366
5333
99^8
34896
38381
41763
45316
a*
al
r63
m
oiai
8666
3588
48976
53737
566o5
6o585
64683
3718
6164
6353
7841
7113
68906
73a56
77743
83370
87146
3335
3353
6998
6143
3964
lQl3l
35o35
31097
37308
43667
oao4
4339
4833
8o3<
6i.3(
SoiaS
56703
63357
70067
76806
5197
63901
^691
6393
3145
TABLÉ IX;
4o5
^-
1
a
3
i
7
8
»
9
lio
II
la
i3
»4
i5
i6
•9
loo
ai
33
33
M
35
36
33
33
34
35
W
37
38
39
4a
P/0
S
E(75«).
o.ooooo
0.01745
0.03489
o.o5a3D
0.0697S
0.08716
0000
a465
9970
7558
0273
3i66
0.10454
o.iai88
o.i3Qao
o.i5b47
0.17370
E(76»).
E(77')-
0.00000 0000
0.01745 a458
0.03480 901 a
o.o5a33 7557
0.06975 9794
0.08716 aaoo
lagS
§7a8
543
7831
7^97
0.19088
o.aoBoi
o.aa5o8
o.a4ao8
o.aSgoa
8a63|
4660
2070
5663
o638
o.a7588
o.agaSâ
o.3oq36
o.3a5o7
o.34a5o
3a33
5706
63X5
9469
0431
0.10453 9676
o.iai88 7i56
o.i3qi9 9701
o.i5b47 a3K7
0.17370 oi83
0.19087 8a56
o.ao8oo 1668
o.aa5o6 5535
o.34ao6 4990
o.a5899 6193
0.3589a
o.375a4
0.39146
o,
o,
0.43943
0.45518
0.47080
0.48639
0.50164
461
745
4406
0974
3706
0.37585 i3a6
0.39363 8603
0.30933 3360
0.3 359 a 7570
0.34343 9836
o. 35885 4395
0.37516 6633
0.39137 1938
0.40746 6767
0.43344 3633
5193
4075
5o3.
383!
6333
0.61685
0.53lQ3
0.54684
0.56160
0.67631
o . 69066
0.60496
0.61906
0.63301
0.64678
8080
63o
385o
9763
9098
8046
3833
6476
0.66087
0.67378
0.68701
0.70004
jo. 71389
7308
7335
1957
8365
3043
o.43q3o
0.45603
0.47063
0.48610
0.60143
io63
3644
7007
6836
8864
0.51663
0.53167
o .5X666
o.5oi3o
0.57688
8881
3731
6019
6608
66a6
0.69030
0.60455
0.6186X
o.63a65
0.64638
5463
8381
i3o9
o85i
3a83
0.6S983
0.67330
0.68638
0.69937
0.71310
6063
3736
3893
3373
76Ç3
0.00000
0.01745
0.03489
o. o5339
0,06976
0.08716
0000
3451
9866
7167
9345
i353
0.10453 8168
0.13188 4745
o.i3qiq 6joo
0.166X0 7338
0.17309 5i44
0.19086 8883
0.30798 9493
0.33606 0043
0.34304 5637
0.36897 '3^9
0.37683
0.39360
0.30938
o.3a58T
0.34338
0.35878
0.37600
0.39130
0.40736
0.43333
3377
3848
0966
8966
3074
86i3
0897
5393
730a
S073
0.43917
0.45489
0.47047
0.48693
0.&0134
■538^
3689
955 a
1607
4536
0.61641
o.63i43
0.64630
o.56io3
0.67667
407a
6004
6180
o6o3
494a
0.68996
0.60418
0.61833
o. 63311
0.64681
0.66933
0.67366
0.68579
0.69875
0.71148
6637
83541
968?
5465
3393
6468
44a3
3730
8011
6981
E(78-).
0.00000
0.01745
0.03489
o. 06333
0.06976
0.08716
0000
3445
0803
OQQl
8936
ofe34
^(.79')'
0.10453 6745
0.13188 36001
o.i3o]Q 3748
0.16646 3453
0.17368 669
0.00000 0000
0.01746 3439
0.03400 0766
0.063^ 6838
0.06976 863q
0^08716 9778
E(8oO-
0.00000
0.01746
0.03489
0.06333
0.06976
0.08716
o. io463 6430
0.13188 0X35
o.i3gi8 ob49
0.1 56X5 8o3q
0.17368 o533
0000
3433
667a
8i85
52Ë
0.19086
0.30797
0.33600
0.3X^03
0.3 6894
oi55
8i55
56ao
7600
9169
0.37679
0.39366
0.30934
o. 33583
0.34333
5434
1480
3610
3689
0319
0.35873
0,37603
0.39130
0.40737
0.43333
0.19086
0.30796
0.33603
o.a4aoi
0.36893
3087
7673
3383
0930
8649
0.37677
0.39363
o . 30930
0.33670
0.34338
7365
0379
4611
5408
8170
0.43906
0.45476
0.47003
0.48676
0.60106
8339
1401
3887
8371
35o(
0.61631
o.63i3]
0.5X606
0.60076
o . 67638
3963
6463
38oi
4846
45oo
0.68964
o. 60084
0.61786
0.63170
0.64537
8734
3686
6167
0633
3334
o. 65886
0.67314
0.68634
0.69814
0.71080
3379
3i83
3403
6496
3100
0.35867
0.37496
. 39 1 1 3
0.40719
0.43010
m
6q6o
1837
1333
0703^
6160
998
o5o
3066
0.10453 4Mi
0.13187 86ai
0.13918 6807
0.16645 399c
0.17367 4976
0.19084 4685
0.30796 8o58
o.3a5oi oo5o
0.34199 564g
0.36890 9837
0.37674
0.39360
0.30017
0.33676
0.34333
0.43806
0.454^3
0.47019
0.48661
0.60089
0068
9954
7311
7373
6034
0.35861
0.37489
0.39106
0.40711
o . 43804
7635
434a
34ï^
6495
87Ï8|
5336
1535I
3606
3885
0.61603
o.53ioi
o. 54583
0.S6060
0.67601
^29
7384
9633
014
714
?
0.68935
0.60063
0.61761
o,63i33
0.64496
66X3
t
173
393s
674a
0.668X1
0.67166
0.68473
0.69769
0.71036
2S55
9800
3779
86^6
4004
0.43886
0.45463
0.47007
0.48647
0.50074
0731
85i3
3707
8796
33i9
o.5i585
0.53083
0.54563
0.66038
o . 67476
o758oo8
0.60033
0.61730
0.63098
638 1
1609
o36o
8961
3468
o. 66801
0.67133
0.68436
0.69709
0.70973
00661
6010
467-'
543
38o5.
4o6
TABLE IX.
TT
I
S
i
F(»5').
î
9
lO
11
la
i3
»9
190
191
a
h>6
33
35
|36
18
4o
4i
jUa-
43
m
[5
o.ooooo
0.0174^
0.03491
o.o5a38
0.06986
0.08786
0.1048Q
o.iaa4o
o.i4oo5
0.15768
o. 17636
F(7€^).
OPOO
41 ao
Saoi
aai4
6189
9980
8764
7555
.1456
5617
5a45
0.19309
0.81088
o»aa87a
o. u4w4
o.a6463
o.ft8a69
o.3oo84
o . 34 908
o%3S74a
o, 3B586
5607
.ao4a
9q€5
4878
a577
o.coooo 0000
0.01745 4^37
0^03491 3a6i
o.o5a38 a4i6
0.06986 66ao
0^08737 oqao
0.10490 0393
o.ifia46 0149
o.i4oo5 5341
0.16769 liés
0.17557 a888
F(77*)-
0.00000 0000
0.01745 4i34
o,o34qi 33i7
o.o5a38 a6o6
0.06986 7071
0.08737 180a
F(78«).
8040
947
s
aa
a
0,37440
0.99307
,0.41 'S5
o,43o7Ç
0.44981
O.lcj^lQ
o^albSg
o%aa874
o*a4666
o.a6465
0.98973
o.3oo88
o,3i9i3
0.33747
o«355>9a
5K4
5568
6909
8833J
0471
7055
4583
gai 5
7ai^ o
0*46900
o. 48835
0.80785
D. 59761
0.54735
0.56730
0.58760
o. 6080a
o.6a865
0.64950
9165
ia67
âaa8
o538
.1C04
£090
0.S7448 5o98
o«393i5 9970
o«4nQ5 thoB
0.43088 4587
o*44«94 9<37
ôT^jiS 9a9a
0.4895a 1600
o.5o8o4 4a64
0.59773 5i57
0.54760 3639Î
-5o53
i3iS
«3^4
0.67058
0.6919Q
0.71348
0.73533
0.76745
4901
578»
89a7
ao8SI
3639
0.77986
o.8oa58
0.B9561
O/84898
0.873%
6755
^6955
35i7
9937
0.56765 7580
-0.58750 €378
o.6o83S 9480
c.'6a9oa {710
o.€499i 8990
0.10490 iQai
o.iaa46 a58i
o*]4oq5 8q8i
0.1576Q 6969
0,17538 ooSo
0.19311
0.91090
o.aa876 3948
o.a4668 6399
o.a6468 36a3
0,88976 0748
o. 3009a 36 i&
0.31917 8363
o^SStSo 101
>.355o8 Sia
0757455 6447
o.393a4 177.9
o.4iao5 1Q04
0.43099 36o4
0^46007 4*7^
o.46q3o 1144
0.48968 a97^
o.5o8aa 56i3
o.5a
0.54
a4a4
x>.€7io4 4869
o. -69^41 7551
0.71404 79*8
0.73Ô94 8106
0.75813 -0765
•0.78060 9133
o.»o339 7i35
o.Sa65o 9334
0.84996 io3o
0.87376 83oa
0.5B791 3444
0.58819 178a
o.6o8fij^ 7098
o.«a9^ 93^
o.£5o3o -9134
0.67147 7136
0.69989 49^
0.71467 4978
o- 7365a 7697
0.7*5876 7917
0.78130 Î870
0,80416 4759
0.83755 -0606
o.85o88 aao6
-0.87477 -6178
o.ooooo
0.01745
0.03491
o.o5a38
0.06986
0.08737
OÛOO
4i4o
3369
9783
a6^
0.10490
o«iaa46
0.14006
0.15770
0.17538
F(79^)-
0.00000 0000
0.01745 4^41^
o.oSufoi 3418
o.om38 3948
0.06986
0.08737
33i^
4845
3371
laïaj
e7«9
o.igSia
o« 91091
0.33877
0.9^670
o«a647Q
^10
9480
7806
4959
671a
0.38978
0.S0095
o.3i9ai
0.33757
o.356û4
89481
7673
9096
9383
4881
0.3746a
0.333S1
0.41914
0.43109
0.4601^9
3418
8671
0610
5409
0464
0.46943
0.48883
o. 50839
.0,5381a
0.54804
3404
aii5:
4749
0.56816
0.68846
0.60897
0.^970
0,^067
ai
3$94|
0701
4i45i|
o.t>7iF8
o. €19334
0.71606
0.73706
0.76936
0.78196
0.^0488
0.-8381 3
0.86174
0.876179
*o44
iOi7
€afl3
i)54«
3760
3o68
-8UA
483^
0371
0.10490 4667
o. 1 3346
o.i4oo6 65o5
0.15770 5£qo
0.17539 3886
0.19313 3554
0.31093 oa33
0.99879 1548
0.9467a aaiS
0.36473 8ùSS
0.98981 5634
0.50098 5179
o. Si 995 6700
0.3376a 5q4o
0.35609 7898
0.37460^
0.3^558 s8K
0.41999 Af 17
0.43118 ^65i
0.45093 8i95i
0.4^5 5868
^* 48097 087a
o.So855 i4ûQ
0.598S0 €093
0.S4894 3ea5
o. 56837 343S
0468870 5o4q
o.6o9%4 84^1
o.-fiSooi 4^ho
D.<65ioi ikfiSi
F(8o*).
0.00000 0000
0.01745 4>5a
0.03491 3463
o.o5»8
0.06986
0.08737 4079
0.10490 5863
0.13946 8868
o.iioo6 838b
o.i&77og798
o. 17539 86431
ô7ï^i4 0116I
o. 91004
0.9988P 41
0.94673 80!
0.96474 76'
o:i*«S3 r
o.Soioi
0.51999 1976!
0.33766 4yA
o,356f4 56q9
0.37474
o.^Si345
0.4^999
0.4^197
o.45oS9
004 ij
5i6à
8m 01
fitSëj
0.469^6 85
o.48iic3i9 85
o.5o8&9 55 1
0.6984^ 79
0.548^ 55
0.-679:95 fi(9Q
o.«9375j(856
0.71 55a :Bjtê
o ••^67 ,1191*
0.7 699(1 £ 95^1
0.76957 a 569
o.8o555 Oiii4
0.63866 1)987
x>.65a54 '^tû4
o «87659 85o4
o.â68$7 670
o.588<(3 1971
o.fio9Soo iiii
oJSSot9 <4756|
o.'fiStSs 59441
0.^67^60 oaiSj
o.%4i3 £635.
0.71694 2861
0.7I803 Si3d,
0.76043 ^6598,
o
o
.783 lS a 996,
.ro6i€ 6949^
(0./^g54^7&
0.890196 :dioS,
0.877406330^
Mi
-!^
/
TABLE IX.
407
f"
E (75»).
t
5a
S3
ë
1
63
E (yS*).
E (77*).
0.71989 3o45
0.79554 397a
0,73799 6004
0.75094 85i7
0.76999 8019
Q'774'4 1^59
0,78577
0.71A16
0,79476
0.72^16
o.7«35
0.76134
0.7731 9
0-79730
0.80841 G996
0.8*941 4566
o.85oj9 6a4i
0.84075
o.85iio
ou86i9a
0.87U9 4i
0.88079 Sf^i
o.7846(
0.7960^
0.80719
0.81811
0.89889
7663
«Bai
5658i
0.71 148
0.79403
0.73658
0,74859
0.70045
_o.779i7
ô7^3o
o.&^5
o.65^8
o.783$8
0.79497
0.80604
8144] 0.84689
0S09 o>8a75a
8981
33ii
^*
7359
8»94
«7
68
69
72
7»
73
74
4-
9
o
l
I
8a
83
a4
85
w
190
0.89047
0.90847
o.9i79b 1007
0^93413
0.94999 9f5VG
0.95009 8B94
6d6?
0-95775
o.g65-i8
0.97940. 91640
0-97^0.4959
0.98619.4489
o-99^Z 7330
0-999^5.74^
.00534 oiS7
.QJ1.33 1I618
-pi7j3 8816
^09976 0^61
^ 09893 5q53
oKBS %48
«^869
^04379
i5
Ï76
04869 ai;95
05349 63r8
oSaiS
06976.
06734 5 14^
07188 4677
<>76rfo 5i]S
o.9346(
0.9395!
0.947^9
0^95480
0.96908
044a 0.W799
678^ 0.84810
7759 o.858o4
io3ûl 0.86776
0.87794
Se9QSt 0.88649
0.89550
0.90428
0.91983
0.99413
»(78^).
o
o
o
o
Q
8699
98>6
7838
9|l5
0.96943
0.97507
0.98958
0.9*898
0.99617
073
0700
fo44|
637a
6o55
1..Q01 l'S.
1^00694
1.. 01 953
i.or
0193
OOSK>
3Bo9
1.Q9893
i..o3$i4
1.03701
1.04955
1.04707
6476
5q48
i..gSi5o
1.Q5585
1.0601 3
1.06438
i.v€fi86o
o
Q
o
o
o
7453
09^
7839
0.99990
o«9Wo4
0.94464
0.95901
0.9^14
1841
5910
0.^604
o-97a7^
0.97016
0.98539
0'99a39
0809
8068
9695
85i8
o-M7*9
.00977
.00815
.01334
.01834
q55i
975
978
091
»*■
i
^•OS^17
.09783
*Q&34
.0567.1
•<^097
3109
5499
6971
9648
1409
.o45i.i
.►Q*)?i8
l.oB3i7
H06io5
8857
07T>
9f3S4
o
o
o
o
o
"o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o.
o
71085 9190
79335 "
7356.5
76969 5599
77*^9 »434
E(79^^
Q-7iOft6
7^37»
77046
Q
O
O
o
o
«4674 5916
85iS6p 8956
£6693 8088
97^^ 11847
5^81
89%
90938
91089
9^90^ 8017
94a 16
94^i ^ .
956S8 7757
344^»o8
"6 390
5 076
900 7109
98783 6704
99883 4099
Qo4p^ 3990
QQ898 8807
01376 9041
3757
01
Q9A78 41 56
o.»7o4 3075
o3ii5 5o44
oS5i3 63^
€^{90.0 5aqb
o4«78 1(6^3
04648 6961:
0^14 4^04
05577 ^9W
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o^
o
o
o
o
78I8B
799p3
80398
81470
89519
469^
9008
4p75
7ili
6
8q9
î
E (9o<>).
9.70979 38o5
0.79914 Ç369
Q.73i35 9765
0.74^36 Q761
0.75814 6*39
0-7697* 3979
J0545^'75io
84648 9840
85597 l,Ql3
86489
M ^g 4394
Q . 781 p5
Q.79917
o.iBio3o7
0.81373
0.89416
fiÇo
8868
§849
88390^54
89903 1684
90061 4894
90895 33oo
91704 6037
9^9 ^S
93^49 9^88
93$84 6379
94^o5 4099
95381 $985
^96043^ 43o6
96680 9614
■97^4 q8q4
984S0 !<5i9
3 8086
OOOijl 9457
-pq48û 5975
1QQ945 8588
ôigffp 7847
ArSo.l 9086
09687 8644
ofKt59 95 18
'^3lg"46p
-08667 fiago
<*4ood cf3»fl
oé^JJP 1785
P<6y8 6(499
0:^435
0.84^.9
0.86404
0.86359
0,87975
6.8^^74
0.89048
0.^8
0.90793
0.91599
3i5i
9i83
1866
0168
5904
5544
8794
4^158
064
690
0.99997
0.93046
0.93770
0.9446:
0.95
^9
143
0.9579.»
0.^6416
0.97015
0.97690
0.98:140
9968.
6907'
847*
9109
8469
73i9
6778
8485,
4579!
78a4-
0.98667
0.99170
0-^9^49
.00107
.006^
i;649;
q3ig
9o3d,
4067 1
3B47\
wOqqSS
.01353
.01781
.090Q1
.09436
4670'
99*6.
^399,
$û39'
; 09768" 9086
.(03q89 0369;
.(OSf4o.i 3579
.98707 '
•p4p^
.1 M^F»!
7 8709
1 4396J
TABLE IX;
76
F (75').
0.87269
0.89677
0.92124
0.94610
0.97138
o-997'O
9*37
9712
fl007
4317
54^1
5354
.04994
.C7711
.10481
. i33o6
6169
7077
4531
aaSS
6451
,a3i45
.aBaaa
.38370
.3i594
.34896
.38a8i
.4175a
.45316
.48.^
.53737
.566o5
,6o585
.64683
4755
64i5
9366
533a
99^8
â;S3
oiai
8656
3588
3713
6164
6353
7841
7113
, 68905
. 73356
.77743
. 83370
.87145
aa35
3353
3s«4
99073
97157
3 .03403
3.07813
3.15389
7940
3334
3706
3.i9i3i
a . 35o35
3.31097
3.37308
^ .43657
3.50138
9.56703
3.63357
a. 70067
3.76806
0304
483^
8o4o
6137
5198
53Û1
3960
6393
3145
F (76^).
0.87376 83o3
8063
8ii5
7334
5177
386d
89794
93351
94749
97390
99876
03§09
05191
07936
10715
i356t
3357
i463
16468
19438
39475
95583
38763
.33033
36364
38793
43011
459^7
3555
4935
3909
5454
6943
8066
1009
o559
4a79
3633
49644
53470
57408
61466
65651
9o58
0075
53o5
7446
a 149
69968
74436
79o3i
8*3791
88713
93804
99070
04519
ioi53
15978
3064
8^1
0071
7463
^9^7
«1994
38199
34600
.41159
4789a
0344
7003
9931
7378
54773
68885
76068
83367
56i4
8834
1060
703
358!
F(77*)>
87477
89905
93373
94881
97434
ooo33
6178
oo34
3340
3388
0776
9490
03680
06378
08139
ioq3d
i38o3
1498
1348
4673
9307
44*9
16733
19736
33780
36999
39138
13^1
368ii
39381
43846
4661 3
801
3
i583
8466
8489
60388
54175
68184
63319
66690
10^
9603
1181
7638
4563
71004
75569
80394
86188
90361
i8o3
3o34
5345
8487
3730
96631
00577
06637
13610
18600
34913
31446
38300
,46166
5333o
3333
3696
8355
9807
486 1
3138
344a
034 1
8i39
7475
69676
67176
m
90366
7647
32>76
68q3
i583
494»
3
F(78«).
0.87673 0371
,90008 3817
,93486 1370
96004 6901
97668 8179
00180 0674
03840 7453
o5653 4044
.08336 7694
11145 6996
i4o3i 3o39
16980 8563
19907 8638
33o86 0761
36349 5ooo
39493 456
33819
36336
30746
49366
47073
484S
6840
o333
6333
1636
60903 6169
54861 6333
68938 0688
63i39 9376
67496 8736
73006 1438
76677 6675
81635 4854
86555 8061
91779 8149
97913 0760
09866 9010
08747 5363
14870 6969
91943 9773
97874 5684
34766 6666
.41919 8096
4q398 6894
56980 3810
64864 3613
73931 o333
,81143 3oo3
8947» 7a90
97866 8969
F (79").
87669
90104
93690
,96119
97694
.oo3i7
8604
3734
3173
3141
03990
06716
08499
i4a44
;gi9
17313
30363
33564
36563
39836
6436
3698
"97«
7094
3703
33184
366^
40184
43837
47603
61484
66493
606^5
63933
68*36 1
1007
3036
3997
8490
9167
7Ï83
1^3
901S
io8(
69^
79964
77743
89709
87876
93957
fi?
7895
98867
04731
io833
^Ô8fô
38 147
r^74o
;5644
61847
937"
1636
8667
6713
6760
70338
79063
87975
97088
06173
3736
1635
7703
iiot
8613
F (80^).
87740
90105
.93687
96995
97810
00443
833oJ
09 14
9074
5434
Siio
94^4
o5i39
0&868
08664
11631
14441
o33o
3io4
7488
4858
^18
*742S
30488
33633
36836
3oi35
58oi
43ii
6173
63i8
331$
33533
37008
40693
44388
.48098
9303
0904
9647
1953
0060
53g3i
56096
6o3o3
64660
69181
3533
4856
0167
|66
I99
73876
^69
(3844
89146
94683
5565
3o36
0066
1010
35o5
33865
41669
76116
,86611
95365
o53o5
16338
3994
8747
6398
9ï4i
5363
, TABLE ÎX.
9-
o'
ê
1
a
3
4
5
7
8
9
lO
11
la
i3
îi
■6
%
lO
19
ao
ai
aa
a3
;i
a6
a8
ao
3i
3a
33
36
g
40
E(8o*).
0.00000
0.01745
o.o34%
o.o5a33
0.0S975
0.08715
0000
a433
37» ï
667»
8i85
9085
0.10453 4^4^
0.1 a 187 85ai
0.135.18 G807
o.i5o45 3990
0.173674975
0.19084 4^85
o.ao795 8o58
o«9a5oi Qo5o
0.34199 564<^
o.abSgo 9837
0.37574 7635
0.39330 411 5
0.30Q17 ip4^
o.3a575 34a3
o.34aa3 6495
0.35861 8738
0.3748Q 53a5
0.39106 i5a5
0.40711 a6o6
o.4a3o4 3885
o. 43885 0731
0.4545a 85i3
0.47007 3707
0.48547 8796
0.00074 3019
o.5i585
o.53o8a
o. 54563
0.56038
0.57476
88681
4084
3663
3357
8973
o . 58908
o.6o5a3
0.61730
o.63oq8
0.64459
638i
i5o9
o35d
896*1
3468
41 o. 65801 0066
4a 0.67193 5019
43 0.68436 4670
44 0.69709 5433
45 ©.70973 38o5
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(8i*).
o
o
o
o
o
o
00000 0000
01745
03480
oSsâ
06975
08715
3438
8670
543
7863
8455
10453
13187
13918
i5645
17366
19083
«0794
aa493
34198
35889
3i5a
6793
4334
o3ii
37673
39347
3oûi4
33571
6861
9173
4704
8538
5747
35867
"484
9099
40704
43396 3746
i4q8
oooo
9307
181a
43876
4544a
46906
48535
5oo6o
0433
7336
383
a6o4
61670
63o66
54544
56007
67454
4397
38i6
6614
8iq8
46^4
1*543
6106
0967
533a
3976
«5764
67083
68383
69663
70933
0637
8836
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Q
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E(8a'>).
00000
01745
03489
o533S
06976
08716
0000
3634
6430
7573
7890
10453
13187
13918
16644
17366
317
533
190;
19083
30794
33498
34196
35887
1933
'4
89
37670
39345
30911
33568
34315
55853
37479
39094
40637
43389
7
6770
8o83
7i8i
9146
^857
46433
46986
48533
5oo47
9074
3107
3418
aai
176
9667
7070
5i556
53o5o
54597
SSoSa
57434
^SSa
60373
61 665
63o3i)
64394
6600
0818
8339
38^
3o3a
7586
5666
o85
333
8789
66731
67048
68345
69633
70879
3644
3947
6937
6883
0187
E(83»).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
^4745
o348q
06335
06975
08716
0000
a43o
3603
63i3
7316
7389
37663
39343
3090a
33565
3431a
35849
37474
39089
40693
43383
1684
6q37
4
3
09Û
45i
673
733
1611
8869
3930
1904
8oo3
43860
464a5
46976
485i3
5oo36
SîSU
53o36
6461a
55973
67416
4
8
78^8
5893
■557
5307
938]
0636
443o
68843
60361
61643
63oi4
64367
66703
67016
683ii
69686
70839
6836
3644
o4i5
3363
8377
1601
8848
6696
2â97
8370
409
E(84-).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
^^
06333
06975
08715
0000
ai;i6
6318
7004
69S4
10453. 0667
13187 3669
13317 8067
16644 i54o
7365 7889
1908a 1931
30793 8ife6
33497 3437
34104 8634
a5885 1949
37667 7337
J9a4» 9698
30Q07 4038
33563 63 11
34309 867
35846 885
37471 136
39085 0910
40687 3961
43377 a58g
43864 6037
45418 5591
46968 96'
48605 a3
60036 9337
5i533
63oa4
67400
SSSaT
60333
61631
63993
6^44
6784
.5849
9ȕ9
7379
oo58
983
b36i
3i69
I
66676
6838a
69664
70806
7369
4730I
i58i
3539
7448
E(86«).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
00000
01745
03489
05339
06975
08716
0000
341 3
q55i
'6i38
6.qo6
6585
0.10463 9919
0.13187 ii56iS
0.13917 6664
0.166^ 9384 1
0.17366 4939
19081
3079a
33496
a4i94
36884
5919
0477
1930
37666
39340
SOQOS
3a56i
34ao7
5i44
6071
6646
4844
4669
35843
37467
39081
4b683
4337a
11 5S
9368
4409
i4iS
6568
43849
.45413
46963
48497
5ooi8
■Fr6'34
53oi4
.54488
55946
57387
3061
6146]
31371
836i
7300!
"6083
7484
9930
7^98
73i6|
588ii
60317
61604
6flq74
6i034
o
o.
o
o
o
■55555"
66966,
68357
69637
70776
366S
3485
9870
1574
3509
1660
3o34
0763
4004
7994
S88
4io TABLE IZ.
Kf
E(«ô»>
38o6
636a
TABLE tX.
E(8i»). : E(8a»). , E(83«). E(84»>
4«i
8137!
8t4i6
89048
89898
90733
,91 San
o.7oyi3 sa^Sl 0.70879 0187
7A161 )3o8 0.79112 55290
7337» 5369 0,733387717
7/575 7100 0.745a i
75700 iaS3 0,75692
.7803a 4575J o.773^(f
0.79069
06331 0,80149
iSao o..8iao5 558i
i55at o.8aa38 1766
'9"9?
93û4«
95>4
1
9579*
.96416
97015
W^go
9^M^
•i83
1866
01S8
9ao4
âaS8
S307
8471
Îioa
469
731»
6778
8485
4B7S
^55587'
99170
9964»
oo»o7
ooEiS
00^ A
.OÎ953
.or^St
OdOO»
89
,09768 MàëA
o3o89 oSfid
.oS4ot »7:
o3;c7 $:
o4i0it
79*59
8oaa4
ftiaSS
8^aa
83!53(»
8!
87>4a
^8ô4i
88908
8974.2
90565
9i356
o5o4l 0.80191
ai^; o.86i^a6
7584 1 0.87^^6
41980.^931
0.88781
0.89615
o.9o4a3
0.91306
70839
7907a
73a83
74475
77507
.79007
8008a
Sii34
89i63
8370
5iio
7686
C614
(999
jatai 764)4 o
93575
96700
97330
97856
98853
9s3iS
J9754
0017»
00565
00938
^ofaga
oi6a8
0^947
«3167
84146
85ioi
86b3i
86935
7flo35
73a44 ^55
74^1 86S
75595 885-
76757
EC85«).
©.70805 7448 0.70776 7994
ro6o
Sooi
li^i
7196
,77656 87a.
" ^^3 6q3^
81073 4394
83097 770
73004 9o36
733 n 35o6
7^5 tSBo
75»7 8690
76697 »3a4
.9^963
38i8l 0.93694
0.93398
0-94077
1593 0.94739
oqo6 0.95S5'
4^46 0.95955
3i83 0.96538
9083 0.97076
^76,0 -97596
i64qI o
o
Or^9433
o5o&{ o.9»fe *
.ooaoS"
91899
93545
G837I 0.93341
o838l o
sSos
0807
76^
4G4o
33o5
0354
784t
45
•3303
.03545
€3838
€)9»o5
.1)3978
i8i3
6078 o
1^88 o
0008 o
.oo558
•00889
.01301
.01^5
8tt58
.01774
.oJo39
.03393
.03784
1901
1^
(078
8363
36ao
87814
88668
90997
.91073
,95170
.^59
iQ63aa
96858
97^7
010
8867
0953
4183
091
1107
M56
6800
69o5
103
18
0.99881
.00314
oo5a4
.00814
01084
oi336
.01574
oiBoo
r03017
rOdaSi
8
3o5o
8186
toSi
8^
3588
80097
84073 93
85o3S 33
85a48 Si
86R47 9695
,77815 6736
78906 5549
79975 8699
8io3i i885
83043 33so
87791 94^
88570 0396
8a3Q3 0113
90187 6g65
90956 <»o45
91699 4691
93415 3^
0831
93 to
9440Q 54^
,95007 996
,95588 1917
,961141 113
96666 773
,97165 3378
97^ 6'
98080 atH>o
98^08 Saro
9
8385
o>86
»594l887
99909 S3qB
ooaoo 4731
00468 6656
>oo7iS 6604
009
0t%3 3194
oi54o 49fo
,o»7a3 691 '
0.8
83o38 70371
84010 0187
84q5S 8074
86773
\6 5817
)3 4334
90094 o563
90857 8731
iïB94
93304 64i ,
0735
3o3ol
g496^^ 8i3i
94869 7987
95443 0768
96986 S880
96503 Sooo
9699g sn8
97886
98993
98671
99oaa
'SS§9
8310
3895
7^
93918
00168
00894
00598
00784
00954
oinS
01366
BoiS
3601
5o8q
8190
0367 1
45341
0791
30*341
oSai
35o6
4l3
TABLE IX.
46
%
5i
Sa
B3
54
56
I
6i
6a
63
64
65
6^
!7
68
69
70
7»
73
76
II
1
81
8a
83
85
86
?7
88
89
90
F(8o*).
0.87740
o.goiqS
0.93687
o.gbaao
0.97810
•00443
833o
oai4
ao74
5424
3iio
94^4
.o3isQ OâSo
.05868 3io4
.08664 7488
.ii5ai 4858
.14441 8918
.17439 58oi
• aoi88 iSu
.flSbaa 017a
.a6836 63i8
.3oi35 3ai3
.335a3
.37008
.4o5q3
.44a88
.48098
9aoa
0Q04
9647
195a
oo63
.5aQ3i
. 66096
.6o3o3
. 64660
.69181
a53a
4856
0167
9966
489a
.73876
. 83844
.8914s
.9468a
55o5
3o36
0066
1010
a3o5
a. 00470
a . o65a8
a. 13877
a. 10537
â.a66a7
ao66|
8939
c>7i5
5(55
3a6
a. 33865
a. 41569
3.40647
a.58io5
a . 66935
a. 76116
3.85611
3.95365
3.o53o3
3.15338
9083
0033
573
3l3
0448
3994
6398
9141
0353
F(8i«).
o
o
o
o
o
3
3
3
3
a
a
a
3
3
3
3
3
3
87814
90373
93775
95333
00559
o3355
06006
08816
11687
14633
7747
8378
4967
349a
882
7870
8345
3D31
1673
o863l
13637
30700
33860
37096
3o4ao
Î168
4046
3335
937
383
I
33837 3644
3735a 3i56
40973 5aa3
447^5 0110
48557 56o5
53535"
50657
60934
65351
69949
6760
7M
1755
3418
74733
797»6
84916
9o35o
96040
3403
0147
1091
8955
1863
odoo5
08370
14860
31801
3Q131
36847
45oo5
536i5
6369a
73387
6097
oaoi
3935
5a85
4789
53o6
1818
6904
6o38
3007
83333
93640
03393
i43q5
3553o
081^
6813
i83i
8147
3943
o
o
o
o
3
3
3
a
a
3
3
a
3
3
3
3
3
3
3
F(83«).
87881
90347
93855
95410
98013
00664
4810
0601
8a8i
o5i7
14x0
6783
03370
061 33
o8q53
11837
14787
4036
3565
3891
1800
3634
17807
3090a
34076
37333
3o68o
5486
3695
5572
5833
4961
34133
37666
4i3i7
45a85
48977
53o^
61496
66987
70668
F (83* ).
o
o
o
o
o
75535
80604
86915
9»478
97316
3889
8393
55i8
4071
6655
o3456
03935
16766
30083
31643
1958
6741
7010
7607
8965
3Q776
977
841
48418
67609
67376
77736
8S685"
00184
166
7936
034?
33o3
7476
13
3
369^6
1760
3966
io63
8037
3
3
a
3
3
3
3
3
3
3
87940
90413
93936
95487
98037
00767
7743
0374
9795
S996I
973
03473
06343
09076
11970
149^
4866
3696
63i3
9843
7683
17968
31078
34368
37646
SooiS
0385
i386
8355
361 5
0106
76347
81416
86831
93636
98496
539
416
6087
636t
0373
04803
11471
18639
36cfil
34066
iSoi
3883
6970
3
43606
01760
61675
53106
3396
853o
4338
3683
3916
33o3
95463
08383
31771
35768
5oo4a
36i3
6807
9649
7367
a499
F (84» ).
0.87993
o
o
o
3
3
3
a
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
0799Î
90468
9^983
95555
981
00
4947
7116
0768
9486
4696
o366i
06341
09183
1*3088
16063
6931
6074
636o
0613
0096
Ï8iô8
31333
34437
37730
31117
57^
3609
9537
9868
i655
F(85*).
o
.0
3460a
38194
41901
45739
49690
53793
680(9
63473
67076
71876
8353
9613
i563
8739
4097
0873
3843
ii35
6306
o3K
76891
83143
87653
93449
93663
6468
7683
1376
3663
ii83
06036
13883
45385
54966
65441
76806
âi48
03Sa'
i6ql
33S76
6968
3930
3780
7iao
a63a
6641
48564
65 1
8g
0136
493e
3353
5969
s
a
3
s
3
3
a
3
3
3
3
3
3
88o36
90616
90013
98335
00908
5oiQ
963b
S36o
48<
a56l
8986
o3637
064^4
09373
13187
16171
18338
ai363
34583
37889
81391
7118
8490
7010
4570
5770
9i36{
4981
8194
87001
34795
38407
4ai35
45988
49977
ai6i
06641
3696
906'
411!
54111
584o3
63867
67618
73373
73o3
9^99
0037
0041
39^
77450
88360
9436g
00498
.3
3; ■
85o6
07106
i4i36
31643
4i3o
3376
7616
0039
7090
pi
69109
8i36i
94868
09783
36197
44116
63379
83i74
1613
6804
4%7
7764
8755
oa85
9346
oSoa
>ï864
aooo
TABLE IX.
p. E(85-). E(88*). E(87*).
fl6
o.ooooo oooo
o.oBaâ Si38
0.06975 6qo5
0.08716 6585
o. 1045a 9010
0.1^187 i656
o. t3Qi7 6554
o. i56ip 9384
o. itMS 49^9
0.19081 7987
0.^07911 3370
o.aa496 6919
o.a4iQ4 0477
0.95884 1990
0.97666 5i44
o.a9fl4o 6071
0.30905 6646
o.3a56i 4844
0.34907 4669
0.35843 n56
0.37467 9368
0.39081 4409
0.40683 liib
o.4aa7a 5568
0.43849 9o5i
0.4541a 6146
0.4696a 3i37
0.48497 836i
o. 90018 7900
o.5i5a4 5o8a
o.53oi4 7484
0.54488 9930
o.55q46 7998
0.67887 731"
0.58811 3566
o.6oai7 a485
0.61604 9870
0.69374 1674
o.6iPa4 35oq
a. 65655
0.66966
o.68a57
0.69637
0.70776
i65o
9o34
0763
4004
7994
o.ooooo 0000 0.00000 0000 o.ooooo 0000
01745
03480
069®
06976
08715
6389
10459
191^
i3qi7
16643
9396
0835
53i3
7616
95o3
19081
90791
99ife6
«7565
agaSg
30904
3a553
.34ao5
0077
3699
3584o
37465
39078
S157
aSqS
8o$5
5074
^440
3914
4480
7357
7000
43844
,45407
,46966
48491
.5ooii
5i5i7
53oo6
58799
,ooao4
61691
6aq5(
:S5B37
66947
69606
70753
5S3S
4067
o333
oa6o
9738
4SS9
ii3a
5i49
3870
0497
01745
03480
06933
06975
08716
10459 8988
19187 0177
i3qi7 4346
16643 6939
17365 061a
E(88*).
19081
30791
99496
34193
3588a
1^64
39338
3ooo3
33568
34ao3
3338
6903
6414
8696
7^
199
499a
9807
36830
37463
39076
^\.
4936!
0743
9838
1163
0831
6967
43841
46403
46963
48487
>5ooo6
4761
0431
6330
61611
.63ooo
5447a
66939
67368
9630
3199
4965
68790
60194
61600
63947
64^9-
3670
3q68
1083
933o
3077
65633
66933
68330
69488
,70734
6749
3353
4877
0493
5338
01745
%
06333
06976
08716
10463
13186
i3oi
1664
17364
19081
30791
99496
94199
36883
9408
g5o5
5986
6643
6878
8697
3665
6954
9^
E(89').
97664
39337
,30909
39667
34909
0438
3664
3438
48^
9713
T8T3
7066
3353
6&
881
35837
37461
39074
40676
43363
^Î3^
46401
46949
48483
5ooo3
8086
8964
4484
1849
5470
o537
3365
6873
668A
003D
61607
53996
55980
67363
1378
6871
9380
703 1
4701
68783
60187
61673
63938
64386
7<ï>9
3368
3786
7963
0754
656i3
66931
68909
6947*5
70731
8068
6876
O3o8
7160
3890
0.00000 0000
01745
o34§o
06333
06976
08716
6963
6491
6776
10469
19186
1391
1664
17364
fô31
9436
3339
466b
8448
19080
90791
99496
94199
958131
9366
9169
i65ô
962l
99^a
97663
•29937
Soqoi
33667
34909
8470
364r
8585
0037
933o
35837 0484
37460 9613
59075 ^68
.40674 0444
49969 9566
43837
45399
46947
48481
,60000
6940
7649
6389
7509
5i5o4
59999
S44U
55990
67^68
58779
60189
61667
69933
64980
6379
84t9
0100
8607
65607
66916
68303
69468
70713
Î494
9365
7068
7390
59^
8797
iq33
i33i
3078
3330
E(90*).
00000
01745
03489
o533$
,06976
08716
19080
30791
39496
94199
i58iii
0000
9466
S956fl
647^
M
8463
9343
3ioi
4465
8178
8095
1691
io$4
1896
9045
97663
99937
,30901
39^56
5430a
"3583?
37460
,39073
40673
43961
43837
^399
46947
48480
60000
5 1 5o3
53991
64463
55919
6 7357
68778"
60181
61666
6993a
64978
656Ô5"
66913
68199
69465
70710
7366
1706
6994
0143
795Ô
6693
1198
6643
896 a
1147
o5oo
i663
9690
OOO Q
8Ô75
9964
9035
'9903
643 6
5959
5o93
1475
0391
761
9099
0606
836o
8370
6781
TABLE IX.
♦•
F(«5*);
o.coooo
o.cSifoi
o.o5a38
0.06986
G > 08787
3636
3517
0D90
11
0.10491
0.tA847
0.1^(007
0.1577a
o> 17641
0.19^16
o«fiioa7
o«ft&884
o. 04(679
obi
ESToS
4616
8j^
F(86*),^
0.00000 ooeo
0.0474s 4^74
o«o3jtoi 964i
o.o&iSS
o« 06986 0^3
0^08737
0^10491
o.iaÂ47
o. 1^000
0.1577a
o. 17548
0^40
6Sa3
0007
i4aS
F(87«).
0.00000 0000
0.0174s
o.o34«t
O.OU38 37
0.0^6 9t
0.08787
o.&8a9a
o«Soiia
0.S1941
0.33781
o.3563i
a6
0^4^ '^7
0.4S158
0% 46075
0TÎ95I7
0.fl4Q00
o,fia885 6168
o.ai68o aiS6
o.a648a 697 a
"ôTâSapTteî
o.Soii3 5i4S
0.31943 iftSi
0.53783 0916
o. 36634 0664
O.IQ<91
o.iaâ47
0*14008
o.iS77a
0.1704a
r(88*).
o.ooooo
0.01745
o.o3^i
0.06^6
0.08737
F(V).
36^
7300
ni
ilO
0*19317
OkfiioqS
o.aa885
0.A4680
o> 16483
3367
946a
0.10491 1443
o«iao47 774S
o.i4x>8 i885
o.iS77a 8B10
o. 1754a iftr« 7
0.00000
0.01745
O.COfAl
o.oKê38
0.06^
0.08737
'Oo»).
0.00000 ODOO
o«pf745 4i7<
0.08491 367)
o.o5ft38 3B19
0.0^6 99^
0.08787 74351
0.19^17 5ia9
o^ato^S 576:9
o.as8te
o.a468i 1988
o.aM83 8,^
0.10491
o.iaa47
0.14008
o.iS77a
0.1764a
o>470<57
0.46955
0% 60931
o«6a9o5
0,54908
dSrè
QbSi
4S68
"5134
a5a8
6bi3
0,37496 Sias
o-SsSfi Qgaq
o.4ia6o %66
0.4316a 7035
Q - 4^079 7q 5i
o.88a94 4oa4
o^3oii4 5ooq
0.31944 307a
0.3S784 4898
56SS 7S15
o.5oii5
0.31945
o.S^86
0.36C36
0% 19017
o.aioaS
o.aa866
o.màS%i
0.MC84
Trnia
l*l>
9^
aoSoc
i5o6
4B»
o.io^i i€78|
o«iaa47 8118
0.14008 aa^
o.ifo^a q6io|
o.i7&4a S83o|
o.aiçaS 7693I
o.aa886 499»
o.ai68i 44771
o,»6484 aa48|
133
0.56931
0.58975
0.61041
o«63iSi
a.65a46
0TÇ5S85
0^69561
0.74746
0.73971
o» 76387
34Btf
4481
dvOO
TbSS
8(61
9]
!45
I
a,
0.^40
o.83iioo
0.86608
o.88o3
ni
3a87
33tt?
o.4foia
0.48961
0^60937
o.5a9ia S608
0.54916 3i^
0.56940 3984
0.68985 446a
o.6io5a 8706
Oh6Si43 7000
x?>'6Sa69 ii56
0.67400 3557
0.69668 Tftoi
0.71765 5746
^a 357<
66019
o.83a3o 3701
o*8563i 30771
0.8807a 67531
0.87498 734S
0*39374 aaSa
o«4i^a Q4a3
0.43166 6616
0.46083
0.47016
0.48965
o.5o9Sa
0.63918 1
o.649aa 58 1 3
0*66947 â78T
0.689Ù3 A4i8
0.61061 667$
o.63i53 35ag
o.65a69 8^
0.6741a ailS^
0.69681 858ii|
a.71780 o86iB
0.740D8 3648
0.761168 MXjO
0.78^61 3TOa
0.80889 1916
o.83a53 8i65
o. 86667 0473
0.88100 91&0
0.97600
0.39376
o.4ia64
0.43167
o.45o85
o.9;^5oo
o.4ia65
0.^169
0.46087
0.88396 4S$i
0.S011& 7606I
0.31945 8069
0.S8766 fiRoiS
roo5 |
wi aio6
0.4Î366 36061
0.431^
0.48087
0.47019
0.48960 0B68
o.5c^S6 4ia9S
0.63933 oSSq
6^
0.66963 3735
0.68908 8ao4
o,63i6o 3739
0.66377 -5lDl
0.67430 7!
0.69591 3GSB
0.71790 ^55
0.74019 8i4B
o.7$b8o ^459
a.47030 71
0,489^0 giail
0.61^34 ^i
o. 66965 37
0.69003 171
0.61071 609
o.63i64 4
0.66383 I
0.98675 168
0.80904 _,^-,
0.88370 607^
0.86676 48
0.88131 14
o. _,
o^fiàôje 9145
.0.71796 7174
0.74036 7111
"^4539!
1
0.80918
0.83380 6
0*86686
o.88i33 801
o.inroai 3688
o.^Qmi 68741
O.SO^Q 3386 1
0.5^35 iriS7o
o*Sj^ gi 44
0.66966 3733I
0,69003 369;
o.€iofa 7547J
o.63i6& 8iao
<>.6Sa83 6S80
o.B«37 5478
o^696»f 799«,
0.71798 7998
0.74039 0084
o«f6^|0^6&a
o.ik39io 7339
0.88384 066S
0.8S690 â6oi
0.881373687
TABtE IX.
4iS
f, £(85*).
m
8i
8b
85
84
86
H
«9
90
o
o
70776
7^004
73sii
75567
76697
7^q6
79975
810a 1
8904a
1SS3SS
84010
85877
86773
35o6
7850
8590
fl3a4
86aa
i885
sSao
8c74
0060
36i4
87&(a
88<86
89303
873i
9a3o4
9«987
93é4a
94a69
la fliiS
186
8aio
75i4
99î«7
99646
999»9
00168
«0594
ooSoS
00784
00954
oiii3
oiflG6
d^3i o
i£oi o
5089 o
3(<^ o
0B07 1
Â^^i
E(86»). E(87-).
70755
73184
74866
755&6
76663
o6iio
5863
65ia
9»»
^8
o3&]
6816
5390
aoo7
o^
o35o|
6u(i9
73»7
44S
91608
9fifii3
9a890 7905
93540 4oai«
9416a 1709
0.70734
0.71069
73i6a
74S43
76603
76687
94765 <)65o
963116693
96859 1877
96368 4456
96849 Sf^aa
9730a oo56
Î;a6 m6o
taa 5i&
i7aa
ob63
9p8i
999*1
ooia3
'Z3S3S:
00467
C06II
00741
00864
3963
0865
1007
8&ai
5S71
7^
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
5358
3191
^}7
[19
8iq6i 06;
80018 7855
9 607
^.4 93»
86664 a385
9875
9071a «>97
91441 38^
9814a 5.
9a8i5 6697
93460 8391
94078 0190
94ggri444
96887.4739
9686a 865o
96757 5o38
97183
97600
il
98678
36a6
5o5ft
99953
99496
997«6
99906
00071
ooaii
ooSSo
0043a
00615
"9
4B06
66i3
1043
5441
o653
4»45
8559
8687
E(88^).
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1
1
1
1
70781
74945
73147
76619
79881
80930
81935
8^0
84899
86699
9890
3699
5646
5319
•69
•9»
'^
0109
5843
8869
6a^
43io
0689
.9
990'
1
5
89133
^3
90667
91393
9«ogi
99761
93403
94o»7
94603
95159
96687
96657
97096
97509
9789a
98345
98^
0945
8197
98863
99198
99563
99570
99748
âi§4
99696
00090
ooifS
00195
oos58
1775
5930
9997
i)8i5
B988
o4*a
4086
E(89*).
O
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1
1
70713 35ao
71956 8a68
75i38 4301
74317 7464
75474 4468
^608 1698
77718 5704
78806 Sua
79868 0616
80906 4988
81930 8071
!îâ°9 1787
8%a 8i3i
84810 9177
86735 IK>80
86609 407'
3^
a 465o
89108 8109
89888 q4o8
90689 9173
91864 3149
93060 7149
93369 ^35
g^i ^76
94664 6804
0S119 3370
96644 855 1
96141 4090
96608 745 1
97oi» 7»
97854 1619^
98185 %{89
98603 86^
98753 4865
99o5a a\M
99383 018b
99481 9019
99661 9160
99792 1898
99905 0J77
99986 0703
ooq4o ]a85
00076 1678
E(90«>).
o
o
o
o
o
o
70710
71955
75i55
74514
75470
76604
6781
9800
3703
4835
q58o|
444
o
o
o
o
o
777'4
78801
79865
80901
81916
^961!
0764
55 10
6994
8044
o
o
o
o
o
83Qo5 7673
0668
8096I
73oi
54041
03909
83867
84804
86716
86603
o
o
o
o
o
87461
88394
,89100
89879
_go63o
o
o
o
o
o
91354
> 951060
927«8
93368
^9^9
4046
2Z?Z
5458
4853
3855
04361
3631
o
o
o
o
o
9465r
,95105
96630
.96136
98693
o.
o>
o.
o.
o.
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1
65i6
1696
6836
97039
97437
97814
98163
58480
57a6
oo65l
7601
71831
7753
99036
99a54
99453
M:
9975?
99868
99984
00000
8069
61^
46981
40S01
9535?
0637
7695
0000
4i6
t
5i
5a
53
54
55
56
6i
63
63
64
65
66
67
68
70.
7»
o
81
8a
83
85
86
89
90
TABLE IX.
o.88o36
o.go5i6
0.93041
o^gSGiS
o.gSaSS
.00908
35o
a»
848
8985
.o3S^
•06494
.09273
.13187
.15171
.9x363
.a458f»
. a7889
.Siaoi
7118
8490
7010
9217
4570
.3479F
.38407
.4si35
.45988
'49977
5770
9196
^981
8194
8700
.5X111
. 584o3
.6^867
.67518
.73379
7!»o3
9^99
6037
004
395!
.77460
.883oQ
.941266
a. 00498
374a
3o83
85o6
7766
11. 07106
a.i4i36
a. 21643
a .30504
4i3o
3376
7616
0029
7090
a. 47748
a. 57953
a. 69109
3.8.i36i
a. 94868
i5ia
6804
77
8755
3.0978a
3.96197
3.44i'i6
3. 60379
3.83174
oa85
9946
o3Qa
a864
aooo
o
o
o
o
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
3
3
3
F(86«).
8807a
90556
93o85
96661
98387
00966
6753
6i3a
4010
4700
4i85
0378
03700
06493
09348
13370
i5a6i
"aSo?
3807
651
il3â7'
31473
3^701
30030
3j436
5074
939»
1703
3.
31
43339
46303
5o3i6
3088
4853
3o35
4533
336o
5^76
58698
63196
67886
73786
i3io
4715
5749
5139
5438
6143
37Ï9
7811
9154
01390 4S17
88971
94954
08083
i53o4
33900
3ii85
4oiS3
8416
9455
1487
ii3o
358o
60637
73451
856ii
00370
■8p7
053l
5316
5i8i
9^59
17304
35887
67100
8o5o8
06376
1744
a6oa
5983
3411
8170
o
o
o
3
a
a
a
a
F(87«).
a
a
a
9
3
3
3
4
88100 Qi5o
90687 5799
93119 3440
95698 664 1
98338 1667
01010 665o
06646
13334
iS333
T776
9601
4785
5373
3096
18X04
31557
34795
38193
Si 549
9933
iSq5
6671
9633
35078
38790
43481
46371
So4oa
645S4
68930
63455
68177
73ii3
8778
106.6
36i8
o8o3
3643
1498
4088
8948
3431
834o
78387
83733
80460
955o3
01933
881
0801
9377
08767
16060
23a'7
03399
41633
6766
3460
0470
8357
4836
F(88*).
o
o
o
o
61733
63876
75314
8q34l
0&363
3469
3481
4709
9498
33914
45844
7i3io
01090
33865
6aoo
6173
7630
9863
&976
3
a
a
a
a
a
a
a
a
3
3
3
4
881 a r iXa6
7633
66a5
3i5i
3683
6583
9060^
93143
96735
98357
01043
03784
o6585
09449
i338o
i5383
6797
6868
8379
18460
ai6i8
34863
381
3
V£.
3133
4967
5ioo
35i68
38819
43690
4737
ODll
8069
a6o5
o333
^P?
0360
6373
oi58
3oio
4644
78564
84036
89797
96903
03S84
9070
36o3
1190»
1369
03394
16696
666
43718
8170
6331
3oii
6074
oo3o
53078
64588
77639
9^994
09448
5ao6
6q31
8348
39836
54748
86107
36139
74971
9358
3700
7965
F (Sa*).
O
O
O
o
O
9
9
a
a
a
a
a
a
a
a
3
3
3
3
88i33
90633
93i58
98374
010
If
3019
3393
o38o5
06608
09474
ia4o8
i54i3
3114
bé
453
«874
ï84<
916!
3
aibdS
a4909
a8a4i
5«g79
9075
a9o8
58i5
8475
446
35aafl
38878
49656
46566
5o6i8
394»
97ia
54894
50198
63756
685i4
73495
6073
0689
363i
6o63
78716
84911
90008
96144
09664
09699
17089
95195
33853
43395
M
3403
3990
5976
1716
3341
53939
65663
78938
g4ao6
13169
^4
6i6i3
99»
43490
4x11
7897
o369
3394
7678
m
9184
63t4
9830
F(90*).
0.88137
0.90697
0.93163
0.96746
0.98380
.01068
3587
5488
i6i5
6865
3r8a
.o38i3
.06616
.09483
.13417
. 1 5493
3471
1711
34791
7916
4554
.18606
•91667
.94916
.98966
.31696
0691
4818
o6i5
6819
7897
.35940
.38898
.49678
.46690
.60645
4817
5969
8333
4a37
.54854
.6q939
.78771
.84973
.90078
.96995
9.09768
9017
oo35
6690
7*94
94a3
9.09739
9.17913
9 . 90980
9.S404O
9.43694
9704
0693
6054
9.54909
9.66o3o
9.79491
9.94870
3.i3i3o
0436
6198
9068
G93q
i339
3:35467 35i9
3. 64953 33&7
4.04819 5419
4.74134 8760
Innni logarith.
Observations sur la Table IX.
255. Nous avions proposé dans Fart, aoi^ de former la Table IX
d'une série de tables particulières pour tous les degrés des angles
du module^ soit depuis 9=o* jusqu'à 8 = 75% soit seulement de-
puis d=:i5* jusqu'à 81=75% dans lesquelles on aurait inséré les
différences successives des fonctions E et F, par rapport à l'am-
plitude (p ; nous avons reconnu ensuite que ces différences augmen-
teraient sans beaucoup d'utilité le volume de la Table ^ puisque
les calculs d'interpolation exigent qu'on ait lès différences des fonc-
tions relatives à l'angle du module S^ aussi bien que celles qui sont
relatives à l'amplitude ^^ et qu'il est impossible que la Table soit
disposée de manière à contenir ces deux sortes de différences,
au moins passé le premier ordre. Il nous a donc paru plus simple
de n'insérer aucune différence dans la Table IX, et de l'assimiler
entièrement, pour les intervalles d'un degré, au modèle de la
page 293, calculé pour des intervalles d'un quart de degré seulement.
Eu simplifiant ainsi la forme sous laquelle nous présentons la
Table IX, nous avons pensé qu'il serait utile en même tems dé
donner à cette Table toute l'étendue dont elle est susceptible ,
c'est-à-dire de la calculer pour tous les degrés de l'angle du mo-
dule, depuis fl=o% jusqu'à 6=90*. Par ce moyen, étant donné
l'amplitude ^ et l'angle du module 8 de toute fonction E ou F,
on peut avoir immédiatement une valeur approximative de cette
fonction, en la comparant aux fonctions données par la Table, et
qui s'en rapprochent le plus dans les élémens p et 8.
Le calcul d'interpolation sera très facile, si l'on ne lient compte
que des premières différences, ce qui pourra suffire dans beaucoup
de cas; mais, pour obtenir une plus grande approximation, il
faudra avoir égard aux différences secondes, ou aux différences
ultérieures, ainsi que nous l'avons fait voir dans les articles :iio
et suivans.
^36. Persuadé comme nous l'étions, de tous les avantages que pré-
senterait, dans l'application des fonctions elliptiques, la Table IX
rendue entièrement complète pour tous les degrés de l'amplitude <p
• • • ♦
V
4i8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
et de l'angle du module 6 ^ nous n'avons pas craint de nous livrer
au surcroît de travail très long et très fastidieux qu'exigeait la cons-
truction de la Table I depuis 0=75% jusqu'à G = 90^. Heureuse-
ment que la méthode de l'art. 66, à laquelle nous avons donné le
nom de méthode des ordonnées moyennes ^ est si bien appropriée à
son objet, qu'il a suffi d'y apporter quelques légères modifications,
pour la rendre applicable à ces grandes valeurs de l'angle du mo-*
dule, et en tirer des résultats toujours exacts jusqu'à la neuvième
décimale.
Nous avons constamment calculé l'auxiliaire P avec dix déci*
maies, tant pour la fonction F que pour la fonction E; nous avons
eu égard aux signes des erreurs sur la dixième décimale , afin d'ob-
tenir par leur fréquente opposition, une compensation presque
parfaite sur la somme totale; enfin nous avons conservé, dans tout
le courant du calcul , la dixième décimale dans les fonctions E et
F^ et ce n'est qu'après tous les calculs Êiits et vérifiés que nous
avons retranché la dixième décimale pour n'en insérer que neuf
dans la Table.
Tant que ne surpasse pas 80% le calcul des fonctions F peut se
faire par la formule
J^F == P +^^ (cT^P- — ^cl^P^O;
mais les derniers termes, ceux qui répondent à des amplitudes
voisines de go% ont besoin d'une correction très petite et facile à
déterminer. Cette correction est due au terme suivant de la série ,
lequel est •+• r^g G) /^P*****, et la somme de tous les termes sem-
blables est -f- -75 Q) (J^T*' — const.) , où la constante est une des
valeurs précédentes de J'^P'^^ assez petite pour être négligée.
Il suit de là qu'après avoir formé la série des valeurs de la fonc-
tion F , par exemple , depuis 9=270% jusqu'à 9=90% il faut ajouter
pour dernière correction, à chaque valeur de F, la quantité cor-
respondante
d\d ^^^ ou environ ^. ^
La différence J^P** est sur la même ligne que cT^P*** qui est entrée
- '-.-j»^^ -^ -
--1
OBSERVATIONS SUR LA TABLE IX. 419
dans le calcul de /F^ d'où Ton déduit F^sF+^F; ainsi cette
correction se trouve très simplement en ajoutant une colonne des
différences cinquièmes de Tauxiliaire^ vers les derniers termes de
la Table et seulement à compter du point où la différence cin-
quième conmience à approcher de 2&ij unités décimales du dixième
ordre.
Il est remarquable que pour le dernier terme de la Table F(go'')
ou F*, la quantité cPP*% et par conséquent la correction qui en dé-
pend, est nulle. Car en faisant 9=289*,
les valeurs successives 87%88%89%90*,gi%ga' ,
répondent terme à terme aux auxiliaires.» P*%P% P, P', P", P"';
or, on a en général cT^P** = P'^ — 5P" + ioP'~ ioP + 5P'— P*%
et en particulier, lorsque 9 = 89% on a P'=P, P"=;P% P'"c;=P'*j
donc cT^P** = o.
dSy. Ce que nous venons de dire du calcul des fonctions F s'ap-
plique au calcul des fonctions E, d*autant mieux que la correction
due aux cinquièmes différences de l'auxiliaire, n'est pas sensible pour
les fonctions £, tant que ne surpasse pas 80*. En effet, les diffé-
rences de l'auxiliaire sont beaucoup plus petites , vers la fin de la
table ( la seule sujette à difficulté ) pour les fonctions E que pour
les fonctions. F \ et tandis que la méthode générale ne peut guère
s'appliquer sans modification, autre que la correction dont nous
avons parlé, que jusqu'à 0=: 80'', pour le calcul des fonctions F;
cette même méthode pourrait s'appliquer, avec une semblable cor-
rection, jusqu'à 87** ou 88* pour le calcul des fonctions Ë.
Passé le terme = 8o% nous avons fait le calcul des derniers
termes de chaque table particulière, en procédant par des intervalles
d'un demi-degré seulement, et le nombre de ces termes a été
augmenté progressivement, à mesure que 6 est devenu plus grand;'
de sorte que pour = 88% on a commencé depuis ^=60*. Cet
expédient réussit complètement et dans toute l'étendue de la Table,
pour le calcul des fonctions E; mais il devient encore insuffisant
pour le calcul des deruières valeurs de la fonction F ; savoir , de
celles dont l'amplitude approche beaucoup de 90*. H ne reste pour
celles-ci d'autre ressource que de les calculer directement par les
formules générales d'approximation; c'est ce qu'on a fait pour
420 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAli.
fi = 86% 87* et 88% depuis ç = 85 , jusqu'à <p = 8q\ Il n'y a eu
aucun nouveau calcul à faire pour les angles du module 89* et 90%
puisque les résultats sont déjà connus par la Table du n* gS, pour
le premier de ces angles , et par les Tables III et IV pour le der-
nier. Ainsi à l'exception du petit nombre de termes qu'il a fallu
calculer direclement pour la fonction F seulement^ tous les résul-
tats contenus dans la Table IX ont été déduits de la méthode des
ordonnées moyennes (*), dont l'usage ne saurait être trop recom-
mandé dans les calculs de quadrature qui exigent un grand degré
de précision.
238. Ayant expliqué comment les difficultés de calcul ont été
vaincues dans la construction de la seconde partie de la Table^ pour
les angles du module plus grands que 4^*^ ^^ surtout pour ceux
qui approchent de go** ; il ne nous reste que peu de choses à dire
sur le calcul de la première partie de la Table ^ depuis d=;0%
jusqu'à 6 = 4S''. Dans celle-ci, l'application de la méthode générale
s'est faite sans aucune modification , dans toute l'étendue de chaque
table particulière, même pour les valeurs de l'amplitude ^, très
rapprochées de 90"*. On est d'ailleurs parvenu à abréger notablement
les calculs pour les petites valeurs deâ, en déterminant l'auxiliaire
de chaque fonction par une série très convergente. Pour cet effet ^
soit sin"" 6 sin* û) = r^ l'auxiliaire pour la fonction F sera
P=a(i — r)"*=a+-ar+^ar*+i-^^a/^-f-etc.
Le premier terme de cette suite a= -^ =0,01745 329252; si l'on
désigne les termes suivans par (1), (2), (3), etc., en sorte qu'on ait
P=:«4.(,)4.(a) + (3) + (4),
ces termes se déduiront facilement les uns des autres, et on aura
en même tems Tauxiliaire pour la fonction E , savoir :
;, = «(, -.r)^ = «-.(,)-X(2)_.(5)_|(4);
(*) On peut remarquer que cette méthode se rapproche beaucoup de celle
que noua aidons donnée dans le tom. I, p. 3i 1 ; Fobjet n'est cependant pas le même :
la première sert à trouver la suite des valeurs de fudf ', dans la seconde on n&
cherche qu'une seule valeur de cette intégrale.
OBSERVATIONS SUR LA TABLE IX. 421
cr, sans passer le terme (4)9 on obtiendra, par ces suites^ dix
décimales exactes, pour toutes les valeurs de ^, si 6 n'est que de
quelques degrés^ et pour un nombre plus ou moins grand de va*,
leurs de ^ , lorsque d sera plus grand.
iiSg. Ces calculs étant faits constamment avec dix décimales, le
résultat des 4^ premières opérations, qui donne les fonctions E et
F pour l^amplitude ^z=45% s'est toujours trouvé d*accord avec la
Table VIII, soit exactement, soit à la différence d'un très-petit
nombre d'unités décimales du 10* ordre, nombre qui est allé rare-
ment jusqu'à 4 et qui n a pas le plus souvent passé 2 ( on ne parle
pas ici des grandes erreurs qui sont presque inévitables dans de si
longs calculs , et que l'on découvre immédiatement par la com-
paraison avec la Table VIII ). Pour faire disparaître cette différence ,
voici le moyen qu'on a employé : supposons qu'il y ait trois unités
décimales du 10* ordre à ajouter à la fonction trouvée par le calcul ,
pour la faire coïncider avec le résultat de la Table VIII ; il faudra
examiner la dernière série des différences ( c'est ordinairement la
quatrième)^ et noter les endroits où elles sont le plus irrégulières.
On choisira trois de ces endroits, et on verra quelles sont les dif-
férences correspondantes du i^^ ordre qui, étant augmentées cha-
cune d'une unité, rendraient plus uniforme la dernière série des
différences. Un peu d'exercice suffit pour apercevoir d'un coup-
d'ceil celles des différences premières qui satisfont le mieux à cette
condition. Corrigeant donc la série des fonctions , d'après celle des
différences premières , on aura une nouvelle série de 4^ nombres
dont les différences marcheront d'une manière plus régulière, et
dont le dernier terme s'accordera entièrement avec le résultat exact
contenu dans la Table VIII. La même marche et le même mode
de correction ont été également employés dans le calcul de la se-
conde partie de la Table, depuis ^=45'' jusqu'à (p=:90^
:24o. L'expérience nous ayant ainsi dirigé dans le calcul des dif-
férentes Tables particulières qui ont servi à composer la Table IX,
nous avons pensé que tous les résultats devaient être exacts, à une
ou deux unités près du dernier chiffre décimal. C'est pourquoi nous
avons conservé dix décimales dans toute l'étendue de la première
I
422 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
partie de la Table IX , depuis G = o, jusqu'à 6 = 45^ On aurait pu
conserver la dixième décimale bien loin encore au-delà de cette
limite; mais les calculs de la seconde partie étaient déjà faits ^ dans
le dessein d'obtenir neuf décimales exactes seulement^ et d'ailleurs
les grandes variations qu'éprouvent les fonctions E et F, lorsque
l'amplitude et l'angle du module s'approchent tous les deux de 90%
ne permettent pas de prétendre à l'exactitude de la dixième déci-
male dans leur détermination ^ à moins de calculer les auxiliaires
avec une ou deux décimales de plus^ ce qui aurait augmenté con*
sidérablement la longueur et la difficulté du travail.
Ayant donc pris toutes les précautions pour assurer l'exactitude de
nos calculs , nous croyons pouvoir présentep la Table IX aux Géo-
mètres, comme le résultat d'un travail très pénible qui mérite toute
leur confiance. Cette Table servira à faciliter l'application de la théo-
rie des fonctions elliptiques, qui est le but principal que nous nous
sommes proposé dans cet Ouvrage.
Addition au %ÏL
:i4i* On a déjà vu que les deux formules trouvées dans le § II ,
fournissent deux méthodes différentes pour former une Table des
valeurs de Tintégrale U=/mJ^; ces deux méthodes ont chacune
leurs avantages particuliers, mais en général nous avons jugé que
la préférence devait être accordée à la première, que nous avons
nommée Méthode des ordonnées moyennes j et que nous avons adoptée
pour la construction de la Table IX.
Nous remarquerons ici que la seconde de ces méthodes peut avoir
une application particulière et fort utile; sll s'agit en effet de cons-
truire une Table des valeurs de la fonction U, d'après la seule coa*
JaTT
naissance du coefficient différentiel du second ordre -j-^ =: 2^, en
sorte qu'on ait U=JJud^^, le problème se résoudra immédiate--
ment par la formule
J^-U- = Q + ri cT-Q* ~ ,^ cT^- + ^ôVr^ ^T^Q- - etc. ,
où Ton a Q=:flt*a.
L'usage de cette formule suppose que Ton connaît à Torigine de
ADDITION AU § H. 42Z
rinlégrale les valeurs de U et de cTU; ces deax données suflSront
pour calculer la série entière des valeurs de U; et si Ton a besoin
dans cet intervalle , de Tun des coefficiens différentiels j- , on le
calculera par la formule ordinaire
a^ = crU — icT^U + gcT^U— ij^U + etc.
0^2. Si l'on proposait ultérieurement de former une Table des
valeurs de la fonction U, en connaissant seulement le coefficient
«PU
différentiel du 5* ordre ^=zUj en sorte qu'on eût U s=:pud(p^^
u étant une simple fonction de 9^ la solution se déduirait aisé-
ment de la même analyse que nous avons suivie dans Fart. 65.
Soit pour cet effet u ce que devient la fonction donnée u^ lors<^
qu'on y met 9 + i ^ ; au lieu de f ^ on trouvera
ttV = f^^V — if/^U- + k'J'^V^ — ^'V^U*^ + etc. ,
les coefficiens k^^f^', k!"^ etc., étant les mêmes qu'on déduirait de
réquation identique
Soit donc a'pssR; et de l'équation précédente on déduira
la loi des coefficiens étant la même que donnerait le développement
de (1 4. i Jf-g^x- + g^, a:»- etc.)'.
Au moyen de la formule précédente y il suffit de connaître à
l'origine de l'intégrale les valeurs de U^ ^U, J^XJ^on ce qui revient
au même y les trois premiers termes de la série U , U'^ U'', et on
formera la série entière des valeurs de l'intégrale Vzsipud^^.
34s. Il résulte encore de la même analyse qu'étant donné le
coefficient différentiel de quatrième ordre ^ = 21^ si l'on fait
a^u := S ^ on aura la formule
S*U- = s + J J^-S-- ^ <r*S" + ;^, /'S- - etc. ,
4^4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
au moyen de laquelle on pourra calculer la série entière des valeurs
de l'intégrale U ^pud(p^y pourvu qu'on connaisse les quatre pre-
miers termes de cette série U , U', U^', U'", ou ce qui revient au
même 9 les quatre quantités U, J^U, S'^V ^ cT^U.
On a vu dans les art. 72 et suivans comment les calculs doivent
être disposés pour former graduellement la série des auxiliaires
et celle des fonctions. Pour éviter a cet égard tout embarras^ voici
comment on mettra en usage la dernière formule
tT^U^* = S + ^ /*S* — etc.
La valeur de S étant donnée en fonction de ^^ on pourra cal-
culer préalablement^ avec telle étendue qu'on voudra, la suite des
quantités S, tant dans le sens des variables croissantes (p^ (p+ot^
^ + 2a, etc., à partir de la première valeur de ^^ que dans le
sens contraire (p — a, (p — aa, etc., s'il est nécessaire. Avec ces
valeurs et leurs différences successives y prolongées jusqu'à ce
qu'elles puissent être négligées, on formera autant de lignes qu'on
voudra, telles que les suivantes:
S% cTS*, er*S% cT^S*, cr^S% etc.
(P + a
^ -|- net
s , eTS , cT'S , eT'S , cT^S , etc.
S', eTS', J^'S', cT^S', /^S', etc.
S'', /S", cT^S", cT^S", S^&\ etc.
Cela posé , puisqu'on a en général
«T^U = S"+ ^ «T'JS' -S*S + -r^-r, «r«S' — elc.
(valeur qui se réduira le plus souvent aux trois premiers termes);
on voit que pour chaque valeur de ^, la Table des quantités S
donnera immédiatement la valeur de J^^U, laquelle jointe aux va-
leurs connues de U, cTU, cT'U, cT^U, servira à former dans la
ligne inférieure les termes U', <fU', cT^U', J^^U'.
Calculant de même la valeur suivante de cT^U, qui est cT^U', on
formera une nouvelle ligne U", cTU", ^f'U", «T^U", et ainsi jusqu'à
la limite de la Table qu'on veut construire.
On voit que pour être en état de calculer le terme S^V qui sert
^ trouver U'% il suffira d'avoir avancé la série des S jusqu'au terme
ADDITION AU S H- 4^5
S*^'quî sert a trouver cT^S, en supposant du moins que la valeur de
cT^U soit exprimée d'une manière suffisamment exacte par les trois
premiers termes de la formule. Ainsi ^ dans les cas les plus ordi-
naires ^ la série des S ne devra pas être prolongée au-delà de la
valeur de (p, où doit se terminer la Table; dans ces mêmes cas
où l'on n'a point égard au quatrième terme de la formule contenant
J^^S% le calcul des quantités S ne devra être fait qu'à compter de la
première valeur de ^ , puisque les quantités précédentes S^S*"", etc.
ne seraient d'aucun usage.
^44* I^ ^^ ^^^^ P^s inutile de réunir ici^ sous un même point
de vue, les différentes formules que nous avons trouvées, pour
former une Table des valeurs de l'intégrale U, lorsqu'on suppose,
connu y en fonction de la seule variable <p , l'un des coef&ciens dif-
lerentiels T-, ."^r) ^s"? 314Î voici ces formules ou nous avons
constamment désigné par P l'auxiliaire qui doit être employée dans
chaque cas.
Soit i"". l'intégrale U=ijud^; on fera P = âC(^, i^ étant ce que
devient la fonction donnée u, en mettant ^+|a a la place de (p^
ei on aura la formule
if U = P + -^ J^*P- — F^ cT^P- + -^-o J^'P^'" — etc. ♦
• fl4 5760 ' s^'^
Soit 2*. l'intégrale TJ=:rJJ^<P*i on fera P = a*a, et l'on aura la
formule
cT^U* =P +— cT^P* L J^4p«* +2^ cTT*-* — etc.
' la 34^ ' 60480
Soit 3*. l'intégrale Uz=:pud(p\ on fera P = aV, p étant ce que
devient 2^^ en mettant ^+s ^ ^u lieu de ç,'éi on aura
S^U' = P + 5 cT-P^ — -^ cf ^P- + -^^ cTT-^* — etc.
8 1920 ' 945. a
Soit 4^ rintégrale U s=/^ttrf(p*, on fera P = ût^«, et l'on aura
cT^U** = P + ^. J^*P- î- eT^P** 4- 7-4^-^, J^'P"*" — etc.
' b 720 ' 4735. a*«»
Il serait facile de prolonger à volonté la suite de ces formules^
en observant la loi qu'elles suivent et qu'on démontre généralement
kkk
426 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
par l'analyse du n^ 65. Aiosi pour Viatégrale U=/^i^% on ferait
l'auxiliaire "Pz^a^v, et ou aurait la formule
cT^U^ = p + JL JN.po — ^ J^4pt»-|^ etc.;
pour l'intégrale Vz=Pud^^, on ferait V^saL^u, et l'on aurait la
formule
^qjooo = P + 1 J^*p* ^ ^1^ /4p*o ^ etc. ,
ainsi des autres.
Quant à la loi des coefficiens^ elle est la même que celle qui
résulterait du développement de la puissance
n désignant l'ordre de l'intégrale proposée U = /"udf^.
:24^* U serait k désirer qu'on pÀt calculer par des procédés sem<*
blables et avec des suites aussi convergentes , les valeurs successives
d'une fonction U donnée par une équation différentielle du premier
ordre ^sfbncL {V y f ), ou même par une équation différent
tielle d'un ordre plus élevé. Ce problème est de la même nature
que ceux qui concernent les intégrales simples ou multiples; mais
sa résolution offre beaucoup |>lus de difficultés , et jusqu'à présent
nous ne voyons d'autre moyen d'y parvenir que la formule de Taylor
^^—* 3? + 7 --3^ + ^ -0^^ + 0:4 3^+ etc.,
qui sert à calculer la différence finie d'une fonction par le moyen
des coefficiens différentiels successifs de cette fonction.
Si Téquation est du premier ordre, le premier coefficient 3- sert
donné en fonction de U et de ^ , et les sui vans -^^r» -^ % etc., s'en dé*
duiront par la différentiatîon. On pourra donc , d'une valeur donnée
de U correspondante à ^=e , déduire là valeur suivante V^JU-^J^JJ ,
correspondante à ^=e+a, et ainsi successivement.
246. Si l'équation est différentielle du second ordre, alors £ii^
saut ^ =1/, le coefficient -^ sera une fonction donnée de u et
- . y^ '
*• i:
ADDITION AU § IL 4^7
de f ; on en déduira par la différentiation les valeurs des coeffi*
cîens suîvans gr^-, g-j-, etc., exprimées semblablement en fonctions
de u et de (p.
Connaissant donc les premières valeurs de U et de 1^ qui répondent
par exemple à ^=ey on trouvera les valeurs suivantes de U et de
u qui répondent à ^=:e + «, au moyen des formules
<^" = *- 3^+a-3F^^O-3^ + ^»^-^
d'où l'on déduira U^saU+cTU^ u'ssu-^J'u. Par ces nouvelles
valeurs de U et de u qui répondent à^ = e-Ha, on trouvera sem-
blablement les valeurs suivantes qui répondent à Çse + ^^i et
ainsi successivement jusqu'à la fin de la Table* Mais ces calculs
qu'on doit faire ainsi pas à pas pour que le résultat en soit plus
exact , sont très longs et très difficultueux.
Il serait d'autant plus utile de perfectionner ces méthodes en ren-
dant les suites plus convergentes^ que la réduction en Tables est la
seule ressource qui reste pour évaluer les fonctions déterminées
par des équations différentielles qu'on ne peut intégrer exactement ^
et peut-être n'y a-t-il pas d'autre moyen de résoudre les grandes
difficultés que présente la théorie des perturbations des planètes ,
lorsque le développement en série ne peut pas avoir lieu ^ ou lors«-
qu'il offrirait an trop grand nombre de termes qui ne pourraient
être négligés.
FIN.
ItSammmSi
TABLE DES MATIÈRES
DU TOME m.
§1. Du calcul des fonctions complètes V^CjE'Cj . pag. 5
Propriétés remarquables de Téchelle des modules > d'où résultent des théorèmes
analogues à ceux des art. jZ et suîy. de la première partie.
Suivant Tun de ces théorèmes on peut trouver directement^ avec tant de dé-
cimales qu*on voudra^ et par l'extraction du plus petit nombre possible de racines
quarrées, le logarithme d'un nombre donnée io
On détermine généralement combien il faut calculer de termes de l'échelle de»
modules, pour obtenir 14 décimales eSsactes dans les logarithmes des fonction^
complètes F*c, E'c, F'i, E'&, la
Formation de V échelle des modules. 1 5
On donne les formules les plus simples pour avoir > jusqu'au degré d'approxi-
mation fixé , les logarithmes des modules décroissans c, c% c^, etc. ^ et ceux de
leurs complérfens i, 6®, 6°**, etc.
Formule pour le calcul des quatre fonctions F'c, E*c> F*b^ E*b^ 16
On rappelle ici les formules générales d'approximation, et l'on s'attache à leur
donner la forme la plus simple pour le calcul logarithmique. Ces formules se
simplifient progressivement à mesure que le module c est plus petit.
Exemple pour le module c =sin45% qui est le plus grand de ceux auxquels les
formules doivent être appliquées , a a
Autre exemple pour le module c r= ^3 — 1 , qui donne lieu à des vérifications
fondées sur les propriétés particulières de ce module, 37
Troisième exemple qui présente de semblables vérifications^ 3i
Construction et usage de la table des fonctions complètes j 34
Formules d'interpolation dont on a fait usage pour la construction de la table
où qui deviendraient nécessaires, si l'on voulait l'étendre à tous les centièmes de
degré, 34— 4o
Formules et exemples pour montrer l'usage de la table , 4^ — 49
La seconde méthode^ fondée semblablement sur Tauxiliaire Q = m^^-j-^ i dé-
TABLE DES MATIÈRES. 429
t^ormules remarquables pour trouver directement les logarithmes des fonctions
complètes F«i, E»i, lorsque le module b diffère très peu de l'unité, pag. 4i — 49
§ II. Méthodes générales pour former une table des valeurs de
f intégrale U =/ud^ , 5 1
Au moyen d'un algorithme propre i abréger les calculs, et sur-tout à faire
connaître la loi des résultats , on parvient à deux formules principales, qui four-
nissent deux méthodes différentes pour construire une table des valeurs de Tintégrale
U z=zfud^ , correspondantes aux valeurs successives ^ = o, «, â«, 3« , etc. , 5i — 5g
La première formule détermine pour chaque valeur de ^ , la différence ^U, au
moyen des valeurs successives de l'auxiliaire P = «t/, où v est ce que devient u,
•n mettant ^-t- i«( au lieu de f. Cette première méthode, qu'on peut appeler
Méthode des ordonnées moyennes, est d'une application extrêmement facile, à
cause de la grande convergence de la série qui détermine ^U.
ddu
d<p'
termine la différence seconde J^U^ par une suite encore très convergente.
§ UL application des Méthodes précédentes aux fonctions ellip^
tiques E etVj 65
On prend pour exemple la construction détaillée d'une table où l'on calcule
jusqu'à douze décimales , les fonctions £ pour le module sin 45^ et pour tous les
demi-degrés d'amplitude, 65 — 77
Remarques sur les différentes méthodes qu'on pourrait employer pour construire
un système complet de tables elliptiques , 78—83
Table particulière pour le module c = sin 89% 84
§ lY. ^utre méthode pour construire des tables des fonctions^ etEj 88
Cette méthode repose sur une seule donnée, qu'on peut déterminer avec toute
la précision nécessaire ; elle a l'avantage de réduire la construction de la table
entière à des formules trigonométriques rigoureuses. Mais l'interpolation de cette
table serait plus difficile dans les applications , que celle des tables ordinaires où
l'amplitude croit d'une manière uniforme.
§ V. Formules pour trouver des valeurs très approchées des fonctions
E^j E(p , lorsque F amplitude (p ri excède pas une certaine limite^ 96
On fait voir que certaines formules très simples peuvent représenter assez exac-
tement les fonctions £ et F, tant que l'amplitude ç n'excède pas ao ou 3o*, sur-tout
si l'angle du module n'est pas trop près de 90®; ces formules peuvent donc suppléer,
dans une étendue assez considérable^ aux tables elliptiques dont l'interpolation
45o TABLE DES MATIÈRES.
sera toujours plus ou moins difficile^ connue celle de toutes les tables à double
entrée.
§ VI. Méthodes dii^enes pour calculer les valeurs approchées des
fonctions Ecp^ F^, lorsque V angle ^ excède la limite supposée dans
le § précédent j pag. io4
On peut xamener tous les cas proposés â celui où l'amplitude est d*un petit
nombre de degrés > soit par la bissection continuelle de la fonction Ff ^ soit par la
multiplication de cette fonction; les calculs pour cet objet s*exécutent par des
formules trigonométriques rigoureuses. On en donne différens exemples qui serrent
à apprécier l'exactitude des résultats , i o4 — 1 1 a
Ces applications doiment lieu de simplifier la formule générale qui exprime la
fonction £f , dans tous les cas où le modula c diffère très peu de Tunité, poorru
que Tamplitude 9 n* excède pas une certaine limite, 1 13
Autres formules pour trouver les fonctions F^» Ef « lorsque b est très petite ou
seulement lorsque b tang f est plus petit que Tunité » 1 iS
S VIL Formules pour développer en séries les fonctions ^etV, 118
On applique les formules de la V* paitie « art. i5a et suit. , au développement
des fonctions F et E> ordonnées suivant les sinus des arcs multiplet ^,4P» ^f» etc.
On fait voir dans différens exemples^ jusqu'à quel point les séries doivent étie
prolongées , pour obtenir un degré d'exactitude déterminé.
Lorsque le module devient trop grande on peut rendre les séries beaucoup plus
convergentes et diminuer considérablement le nombre de leurs termes , en substi-
tuant , par une transformation , la variable ^* à la variable f, 1 aa
S VIII. Formules pour exprimer les /onctions JLetFen séries dé^
ueloppées suivant les puissances de c*, 176
Ces séries sont données immédiatement par l'intégration^ mais elles ne peuvent
guère être utile* que lorsque le module c ne passe pas une cerUine limite , au-delà
de laquelle elles deviendront trop peu convergentes.
On donne à cette occasion une table des intégrales Z'rs/d^ sin* ^, Z''=/d;psin<^,
Z*=/dçsin'^, pour toutes les valeurs de f , de degré en degré, depuis f=o*
jusqu'à ^ = 90*.
S IX. Intégrales complètes des équations différentielles du second
ordre ^ auxquelles satisfont les fonctions F et E, ï8o
Ces équations différentielles, qui sont celles de l'art. 45, tome I, supposent le
TABLE DES MATIERES. 43 1
moclule c seiil variable. On prouve par cet exemple^ que l'usage des fonctions
elliptiques n'est pas borné aux simples quadratures.
011% Iw ^ ^^^A^^ ^ ta
S X. DéifeloppemerU des quantités -^^^^ -jïjjr;; ^^ autres wmblahlesj
suivant les puissances de tare cêj les nombres metn étant entiers^ p. ^83
Après avoir rappelé les formules contenues dans les art. iGo et suiv. du tome ,
on donne une table complète des logarithmes des coefficiens HnetKn> calculés
à i4 et i5 décimales , i85
Aux quatre formules données dans l'art. 160, on en ajoute une cinquième qui
sert à caJculer log coe •, et de là log sinj» et log tang «^ lorsque l'angle s est d'un
petit nombre de degrés , ' 186
La différentiation réitérée de ces diverses formules , conduit i ce résultat général ,
p
crae toute quantité de la forme -r-- -— , dans laquelle P est une fonction ra-
1 ^ sm'*« cos*# ^
tionnelle et entière de sinm et oos «» étant développée en série ^ suivant les
puissances ascendantes' de l'arc «, on peut assigner un terme quelconque du
développement au moyen des coefficiens H. et K.. Il en serait de même de Tin-
tégrale / -^-^ — prise depuis « s= Oj en supposant seulement i-f- ^ positif.
^ sin cos IV
Pour compléter ce point d'analyse , on ajoute , sous deux formes différentes ,
l'expression générale de chacun des coefficiens H,,, K«.
§ XI. Réduction de la formule qui sert à exprimer la fonction £9
dans la méthode des modules croissais, igS
La formule générale de l'art. idS étant d'une application fort difficile, on a
tâché de la réduire i une forme plus simple» sans lui faire rien perdre de sa
généralité. G*est à quoi l'on est parvenu au moyen d'une série qui se simplifie de
plus en plus^ à mesure que le module se rapproche davantage de l'unité; on la
présente ensuite dans les différens cas , sous la forme qui convient le mieux au
calcul logarithmique.
Exempte I. On calcule les fonctions E et F avec i4 décimales^ pour le module
c = sin 8i* et l'amplitude f = 76**, 197
Exemple IL Calcul semblable pour le module c = sin /fi^ et l'amplitude
9 = 45% aca
S XII. Méthode pour construire^ et après un module donné j une
table composée d^un petit nombre de valeurs des fonction^ E et F,
au moyen de laquelle on puisse déterminer facilement ces fonctions
pour toute valeur donnée de t amplitude, 206
432 TABLE DES MATIÈRES.
Cette méthode est la même que celle du ^ lY; on l'applique au calcul.de la
table particulière pour le module c = 8in45*, on montre ensuite l'usage de cette
table.
La table VI a été calculée pour faciliter l'usage de cette méthode; on y trouve,
pour tous les degrés de l'angle du module depuis 4 = jusqu'à I z=, 45% la valeur
de ^, qui satisfait à l'équation F^ = -^ F'c.
§ XIV. Application de la méthode précédente au calcul de la table
particulière pour le module c = sia 8 1*^ pag. na i
On s'est proposé d'obtenir i4 décimales exactes dans tous les résultats que
présente la table et dans les applications qu'on en a données. Ces calculs sont
extrêmement pénibles, mais les nombreuses vérifications auxquelles ils ont été
soumis ne permettent pas d^ douter qu'on ait atteint le degré de précision qu'on
s'était proposé. Dans cet exemple , on trouvera réunis tous les moyens qui peuvent
assurer l'exactitude des calculs où Ton emploie les grandes tables trigonométriques ;
on y trouvera aussi , page ^46 , une formule d'interpolation qui peut être utile dans
tous les cas où la série des différences n'est complète que dans un sens contraire
à celui où Ton peut faire l'application de la formule ordinaire.
§ XV. Sur la construction d'un système complet de tables ellip^
tiques^ a5S
Ayant choisi de préférence la première des méthodes du $ II, celle que nous
avons nommée méthode des ordonnées moyennes, on propose de calculer d'après
cette méthode les tables particulières qui doivent composer la table IX. On rappelle
les formules nécessaires pour cet objet, et on en fait l'application détaillée au
calcul de la table particulière pour le module c = sin 63^.
En supposant les calculs faits directement pour chaque degré de l'amplitude et
de l'angle du module , on donne les moyens de construire une table plus étendue ,
dans laquelle ces deux variables croîtraient progressivement d'un quart de degré
seulement. Exemple d'une portion de cette grande table, 2^3
On donne , suivant une notation nouvelle et très commode, les formules générales
d'interpolation qui doivent être employées pour toute table à double entrée , et on
en fait l'application à divers exemples, pris dans la portion de table de la page 293.
Ces mêmes formules s'appliquent à la table IX , et peuvent conduire à des^résul-
tats aussi exacts , si l'on prolonge suffisamment la série des différences , 2294 — ^3oo
Pour faciliter la construction de la table IX, on a cru devoir calculer la table VIII,
qui donne les valeurs des fonctions E etF, exprimées avec douze décimales, pour
tous les degrés de l'angle du module , et pour les deux amplitudes de 46 et 90^
Le calcul de cette table a donné lieu de simplifier de nouveau la formule qui
«ertâ exprimer la fonction £9, dans la méthode des modules décroissans *, on e&t
TABLE DES MATIÈRES. 435
parvenu à une nouvelle formule , qui a beaucoup d'analogie avec celle qui a été
trouvée dans le Ç XI^ pour le cas des modules croissans. On a remarqué ensuite
que la supposition de f = 45**> conduit à de nouvelles formules qui simplifient
beaucoup les calculs, au moins tant que l'angle I est plus petit que 45^
S XVI. Des cas ou ton voudrait pousser F approximation au-delà
de 14 décimales j dans le calcul des fonctions E et V, pag. 3o8
On donne d'abord pour exemple le calcul des fonctions complètes F^c, E'c,
fait avec ao décimales, pour le module c = sin 45^«
On donne ensuite les formules par lesquelles on pouitait obtenir un pareil
degré d'exactitude , dans le calcul des fonctions £ et F pour une amplitude
donnée p, Si 4
L'usage des logarithmes ne pouvant guère avoir lieu au-delà de so décimales ,
si Ton veut obtenir un plus grand degré d'exactitude, il faudra recourir au calcul
arithmétique ordinaire. Dans cette vue, ou dispose lés formules de manière â
parvenir au degré d'approximation fixé par la voie la moins laborieuse qu'il est
possible, 517-— 3ai
TABLE I, contenant les logarithmes des fonctions complètes T^c, E*c, calculés
pour tous les angles du module , de dixième en dixième de degré , depuis o*
jusqu'à 90®, avec 14 décimales pour les i5 premiers et les i5 derniers degrés du
quadrant, et lâ décimales pour tous les autres angleis de ï5 i 76°.
On j a joint les différences premières , secondes , troisièmes et quatrièmes de
ces logarithmes, terminés uniformément à la décimales.
L'angle du module qui sert d'argument est désigné par I, laS
TABLE n , contenant les valeurs des fonctions E et F calculées à 1 a décimales,
pour toutes les amplitudes f de demi-degré en demi-degré , depub o^ jusqu'à go<*,
l'angle du module étant de 45^.
On y a joint la série des différences , prolongée jusqu'au cinquième ordre, 148
TABLE m, contenant les sinus naturels à iS décimales et leurs logarithmes à
14 décimales , pour tous les arcs de i5 en i5 minutes, depuis o^ jusqu'à 90% i56
TABLE IV, contenant les valeurs de log tang (45* + i ^), pour tous les
angles p de 3o en 3o minutes, depuis o* jusqu'à 90^, calculées à la décimales,
avec cinq ordres de différences.
Ces valeurs sont celles de la fonction Fç , lorsque l'angle du module est de 90^^, 1 Qo
TABLE V. Contenant les logarithmes à 19 décimales pour tous les nombres
impairs de 1 1 63 à 1 Soi , et pour tous les nombres premiers de i5oi à 10000.
Cette table sert de supplément à la Table des logarithmes à ao décimales de
///
454 TABLE DES MATIÈRES:
Gardiner; elle est destinée à faciliter les calculs des nombres jasqa*à i5 figures
eu plus^ ainsi qu*on en trouve beaucoup d'exemples dans cet Ouvrage^ pag. 164
TABLE VI > contenant Téchelle logarithmique des modules^ calculée à 14 déci-
males, pour tous les angles du module, de dixième en dixième de degré , depuis o?
jusqu'à i5^'> et de demi-degré en demi-degré, depuis i5^ jusqu'à 45^* On y a
joint en même tems le logarithme du coefficient K> qui sert à trouver la fonction
complète F'c = - . K.
Cette même table donne les modules croissans c, c\ c', etc. , et leurs complémens
b , y, Vy etc. , de 4^^ à 90^ ; il suffit pour cela de prendre , au lieu de l'angle du
module, son complément à go% et d'échanger entre elles les lettres c tt b, ainsi
que les signes ^ et \ 3a3
TABLE yil , où l'on trouve, pour tous les angles du module, de dixième en
dixième de degré, depuis I = o jusqu'à I = 45% la valeur de Tamplitude ^, qui
satisfait à l'équation Ff = ^ F'c. On y a joint les différences premières, secondes
et troisièmes de l'angle f , 333
TABLE Vin , contenant les valeurs des fonctions E et F, dont l'amplitude est
de 45®, et celles des fonctions complètes E\ F', calculées avec la décimales, pour
tous les angles du module de degré en degré , depuis o® jusqu'à go% 338
TABLE IX, contenant la série complète des fonctions elliptiques E et F, pour
tous les angles du module et pour toutes les amplitudes, de degré en degré , depuis
o^ jusqu'à 90*.
Ces fonctions sont calculées à dix décimales, depuis I = o^ jusqu'à 1=4^^ '» ^^
à neuf seulement , depuis I =: 46^ jusqu'à I = 90% 345
Observations sur la table IX, 4^7
Addition au J II, 4^a
\
FIN DE LA TABLE.
m4<
tes
Addition
J^ous avons traité^ dans ce chapitre (tome I^ page 55g) ^ de l'inté-
grale indëfiDie Y{ay 0^)= fdx( l -J ; mais nous n^avons pas con«
sidéré spécialement le cas de a = o^ qui est celui delà transcendante
-j- , dont plusieurs géomètres se sont occupés. Nous réparerons
ici cette omission^ et nous ferons voir en même temps quels moyens
il faut employer pour obtenir , avec tel degré d'approximation qu'on
voudra, l'intégrale T(a, x)y dans le cas où x est très petit , pro-
blème qui n'avait pas été résolu assez complètement dans l'art. 24
du chapitre cité. Dans tous les autres cas , l'intégrale T(a^ x)
pourra toujours se trouver £eicilement par l'interpolation d'une table
calculée 9 d'après la valeur donnée de ^^ pour toutes les valeurs
de X, de centième en centième 9 depuis a: = o jusqu'à x= 1 ;
nous joignons ici deux tables de cette sorte, calculées à dix dé-
cimales j l'une pour le cas de â= o , et l'autre pour celui de a = 7 ,
qui se présente le plus fréquemment dans les applications. Enfin
nous terminerons ces recherches par des observations sur une équa-
tion différentielle analogue à l'équation de Riccati^ dont on peut,
dans certains cas p trouver l'intégrale complète au moyen des fonc-
tions T(a, x).
— y prise à compter
/-
de X = oj si l'on fait /- s= 2, ou x^=^er*j on aura la transformée
%z=zf'-^ y qu'il &udra prendre depuis z = od jusqu'à
zz=z l -. Substituant au lieu de 0*' sa valeur développée , et in-
tégrant, on aura
Z = — C — &+«— - . ~ H 5 .^ — etc.*....(a).
■ a a ' a. 3 ^ ^
La condition pour déterminer la constante C , est que Z s'éva«
nouisse lorsque z ss 00,; mais les quantités infinies que cette sup-
mmm
456 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
position iQlroduh 9 ne permettent d'en tirer aucun résultat^ et il
faut recourir à d'autres moyens.
2. Considérons pour cet effet l'intégrale
prise de même à compter de j:s:o; nous aurons y=: — Z(l— Jtr)-— Z^
et par conséquent ,
Il suffit de connaître la Taleur deV dans un cas particulier pour déter-
miner la constante C f or si Fon fait xi^i , la quantité > se réduit
à l'unité y de sorte qu'on aura dans ce casy=C. Mais par la for-
mule du n"" 11^ Y' partie^ on a dans le même cas V=G; donc
C sera le nombre connu dans la théorie des fonctions T^ dont la
valeur est
C = o.577âi 5664g oi532 86061 811209.
3. Cela posé^ la formule (a) fera connakre l'intégrale Z par ime
suite d'autant plus convergente , que x sera pins près de l'unité.
Lorsqu^on fait x=:i, on a 2 = 0^ et par conséquent Z devient
infini j mais cet infini n'est que logarithmique, car en fidsani
ofscri •— 6?^ CÈ étant infiniment petit, on aura Z ss jC^^^C+j^ùê.
A mesure que or diminue^ z ou /- augmente de plus en plus^
et la suite' contenue dans la formule (a) devient de moins en moins
convergente; elle peut même devenir divergente dans, lea premiers
termes , lorsqu'on veut déterminer l'intégrale Z pour une très petite
valeur de x y mais elle finit toujours par être convergente aprèa
un certain nombre de termes. Soit P le /»'^'"^ terne de la anile
a — - . — h --» . -y — ' etc., et P' le terme suivant, oa aura en cé-
^*"** ^'^^ (n+iY "^^ ^"" ^ convergence de la suite aura lieu au
plus tard dès qu'on aura n=r ou >2« Par exemple^ ai l'oa m
ADDITION A LA m« PARTIE. 437
X := e'~"* = o« 0000454 9 ce qui do€uie zs=z 10^ la série sera con*-
vergente au dixième terme^ oa même dès le neuvième^ puisqu'en
faisant n:=zS, on a ^^47^== g"* Mais on voit en même temps
qoe ia grandeur des termes qui précèdent le poini de conver^nce ^
et celle d'un «sez grarnd nomlire de termes suivans , rendent très
difficile le calcul par la formule (a)^ de la fonction Z, pour une
valeur de x aussi petite qu'on l'a supposée , et la difficulté aug-
menterait toujours à mesure que x serait supposé plus petit»
4« Pour obvier à cet inoonvénîent ^ on pouirait faire usage de
la jcuétfaode des quadratures; on diviserait la valeur donnée de a:
en on certain nombre de parties égales, et calculant les ordonnées
^ = — pour tous les demi-intervalles ^et, |«, |«...;r— ^«^dans
iescfoek x est divisé ; on eu déduîr&H ia Taleur de Z par la for*
muie du a"" A^ UV partie.
5. Mais on peut aussi , par d'autres formules , évher ces calculs
de quadrature, qui sont toujours très longs, sur-tout dans le cas
dont il s'agit y si Ton voulait obtenir un certain degré d'approxi-
mation. Et d'abord la formule du n* 2^ donne, pour le cas de a=x>,
7 î ^ £ j^ îî ^LË£ -L. î:Ë-^ «eic fc\
gj — --^-j-^-— _ -^-f ^5 ecc..,....^c;,
formule qui sera d'autan! plus eonvergenle dans les piremiers termes,
que z sera plus grand. Mais-comme le 9^"^ terme de cet teisàie est égal
au précédent multiplié par , on voit que la suite deviendra
divergenAe dès ^u'oa aura a-* i > ;&• Ainsi , dans le cas de z= 10,
dont nous avons déjà pftdé, la raite sera divergente dès le douzième
terme.
6. Pour apprécier le degré d'exactitude que donnerait la ibrmule ,
dans le cas dont il s'agit , il faut observer que dans une suite telle
que la précédente, qui doit is'arrèter aux termes à peu près égaux
T-^T', la somme totale est connue, à une différence près de jT
environ. En général, soit x = e~~? ou ;$ = /i, l'erreur sur la valeur
458 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
de Z aura pour limite € = ^ . =2_ x=:j.—.e ", ce qui donne
en logarithmes vulgaires log € = — 2mn — i In^^^l^Tr^m étant le
module 0.43429 9 etc. Il s^ensuit que la valeur de Z déduite de la
formule {c) sera exacte jusqu'à la décimale de Tordre A:, si Ton a
A = 3/7I/I + ^ ln^^\l {tt^ et par conséquent si — mn ou* • . .
Iog^ = -i* + i/^.
L'approximation obtenue par la formule (c) est donc de plus en
plus grande 9 à mesure que z est plus grand ou a: plus petit; elle
donne neuf décimales exactes pour la valeur z=io ou ar=o.ooo454;
mais à mesure que x augmente, l'approximation diminue et devient
bientôt insuffisante ^ comme on l'a vu dans le cas de ar=:o.or
(art. a4, partie III).
7. Il nous reste à démontrer une troisième formule dont l'ap-
plication s'étend depuis les plus petites valeurs de x jusqu'à celles
qui permettent d'employer avec avantage la formule (a). Cette troi--
sième formule qui s'exprime en fraction continue, est connue de<-
puis long-temps des Analystes; mais ils ne se sont point occupés d'en
rendre le calcul facile^ ni de fixer le degré de précision dont elle
est susceptible 9 suivant le nombre de tertnes auquel on veuts'ar-'
rêler.
Considérons en général la fonction Z=r(a, x):=:f2^^dx^
dans laquelle nous supposerons a positif et plus petit que l'unité ^
ce que l'on peut toujours obtenir par la formule de réduction du n^ ^5;
rintégrale Z étant prise à compter dexso, la quantité z*""'^ où
a*-i est négatif 9 sera plus grande pour la dernière valeur de x
que pour les valeurs précédentes ^ de sorte qu'on aura toujours
Z=2""'xT9 T étant en général une quantité plus petite que l'unité,
mais qui se réduit à l'uni lé lorsqu'on suppose x infiniment petit. Si l'on
différencie cette équation et qu'on substitue les valeurs SL^ssz^'^^dxy
dxss — xdz, on aura, pour déterminer T, l'équation différentielle
g-(i-a)ï-T4.i=o,
qu'il conviendra de mettre sous la forme suivante, en faisant zss^.
.1^.
/
ADDITION A LA ffl» PARTIE. 459
8» Considérons plus généralement l'équation différentielle
^+i+i4-ef-^=. w,
dans laquelle « et C sont des coefficiens constansj si Ton fait
i, s=: 1 H- ^ÇT'j on anra la transformée
Le coefficient k étant arbitraire , on peut faire A:s=«/*-f-C; alors
divisant tout par A:ÇT'% on aura
Cette transformée est entièrement semblable à la proposée^ puis«
qu'en faisant «'=i— «^ é'sz:«-}«^^ on peut la mettre sous
la forme
et on anra en même temps k=:C
g. Il suit de là que, par des substitutions répétées, on obtien**
dra des transformées successives en T', T'', T^'^, etc. , qui seront
liées entre elles et dont les coefficiens seront déterminés par les
équations suivantes :
1 = 14. C'ÇT', «'=!—«, C' se a + ff,
i = I + C'ZT'^ a!' = a, 6" = i + €,
î^ = I 4- 5"'CT*% A'^ = et, Ç«^ = j 4- e,
etc. etc. etc.
On pourra donc exprimer la fonction T par cette fraction continue
.T= i:(i-K-+C)<:(i-Ki+f){:(i+(i+*+«)<:(i+(a+f)^:(i+etc. . . (/),
44o EXEROCES DE CALCUL INTÉGïlAL.
où il faut remarquer, qae les déaommateurs des fractions compo-
santes sont tous égaux à l'unité ^ et que les numérateurs forment
la suite
(«+0r, (i+^X, (i-|-«+€)C, (a+^K, (3+*+0Ç, etc.,
dont la loi est telle ^^ que les termes croissent alternalivement de
Cette expression sera Tintégrale de l'équatioii «di^renitelle (e) ,
si toutefois la fonction cherchée T doit se réduire à Tunité lorsque
Ç = o.
10. Cette condition étant remplie dans Inéquation proposée (d)y
il y aura lieu de lui appliquer la formule (f); c'est pourquoi
faisant «==1-— ^s; ^=0^ on aura^ pcmr Tintégrale générale
Zss/z**"'^, cette expression en fracdon continue ,
où Ton volt que les numérateurs des fractions Composantes forment
la suite (i— «X, Ç, (2 — ^X, jÇ, (3 — «X, 3^^ (4 — «X. etc.,
dont les termes tnrorsseot alternatirement de iiÇ et de (i— -aX«
11. Maintenant si Ton fait azssi^, <m aurt, pour le eu parti*
— , cette •(roi^ième formule
Z==< : (i+Ç : (i-K : O+2Ç: (1+3Ç: (i+3Ç : (t4-eic.. ..(A),
où Ton voit que les numérateurs Ç, Ç*, aÇ", aÇ, 5J, 5Ç, 4C> e'<^*>
croissent alter«atiyemenl de o et de ^.
Il n'y aura lieu d'employer la formule (h) que pour de très pe-
tites valeurs de x, qui laissent encore t^ assefe petit j car, par exemple,
pour la valeur a? = ^s=:T).oi85, qtii donne 2'=;4 «t ?==?, ou
pourra remployer indifféremment la fformtile (^a), €pii ne cesse pas
dêlre convergente , ou la formule (h); le choix de l'une ou de
Fautre dépend encore du degré d'approximation qu'on veut atteindre^
et qui s'obtiendra plus facilement, tant&t par une formule, tantôt
par Tautre^ Pour mieux en juger, il faut faire voir queHe est la
meilleure manière de calculer des fractions continues telles que la
ADDITION A LA IIP PARTIE. 441
formule (h)^ dans laquelle les numérateurs augmentent à Tinfîni ,
tandis que les dénominateurs restent égaux à Tunité.
la. Soient Q^y q^ '^ ï^s trois fractions consécutives qui ré-
sultent dû calcul de la fraction continue ^ exécuté suivant fes règles
ordinaires eas'wrètant à la fcaetion compo8i^iile-iODaiura> d'après
la loi connue 9
P'=P+^P% Q'=Q-f-;*Q^; delà P'Q— PQ'=/ift(P^~PQ*),
oa
y p^_ ^(
p p<
Supposons la différence q ■— q. positive s=rR*; on voit que la diffé-
rence suivante ^ — q sera négative; en Tappelant *^ R^ on aura .
R=^°R*
P'
On parviendra donc à la valeur 7^ ,. en calculant par cette for-
mule une suite de différences r, i^y /^'....R% R^ qui^ à partir
du premier terme A de la série ^ s'appliqueroi>t alternativement
en plus et en motns au résultat de tous tes teriûes [irécédens ; d'où
Ton conclura
P'
^ss A— •r*4*^*^« •>• • .H^R**— R*
Les signes des différences seront toujours alternatifs^ tant que les
indices ft seront positifs, comme dans le cas proposé. On obtien-
dra donc ainsi des résultats alternativement plus grands et plus
petits que la valeur totale que Ton cherche , ce qui donnera à chaque
instant une mesure du degré d'approximation auquel on est par-
venu. Lorsqu'il ne manquera pln9 qu'une ou deux décimales pour
obtenir le degré désiré , on pourra s'arrêter à la dernière différence
calculée R , et suppléer aux différences suivantes R', R'', etc. , en con-
sidérant la suite R% R, R', R'' comme une progression géomé-
trique; dans cette hypothèse, faisant RsaR""^ on aura
\
EXERCICES DE CALCUL INTÉGHAL.
i
44=
R _R'-i-R"— etc. s= RCi — a + a' — etc.) = — ; — ; ainsi au lieu
de la différence R on prendra ^ ■ Ponr pins d'exactitude , on
pourrait avoir recours aux trois derniers termes R**, R% R, et
faisant R**=a*»R**, R=fltR% on supposerait par analogie R'ssa'R, el
Ton déduirait le rapport etf des deux rapports connus a% et, par
réquation logée' = sloga—loga'^j ensuite, au lieu de R, on
prendrait j-^^-
i3. Pour calculer facilement les différences R et éviter en même
temps rembarras des grands nombres auxquels conduirait néces-
sairement, dans ces opérations , Faccroissement rapide des indices^^
voici comment il faudra procéder.
Soit la fraction proposée Z=X l(i+fi :(i+Ati : (i+ffcâ*(*4*<*i
:(i-4*etc. ; les premiers termes, calculés à la manière ordinaire,
sont:
X(i +/•,)
X(i +^i +^)
et la série formée par la différence des termes consécutifs com->
mence ainsi:
1 --!--»
X>^,
etc.
Pour la continuer indéfiniment, on prendra des auxiliaires 0, A,
019 A| y 0«9 A,, etc., d'après la loi suivante, qui comprend celle des
différences R, R., Rt, etc..
=/*,
6. = /*A,
etc^
A,
K
1 +6
i+Û»
1
1
etc.
R
XflA,
R, = Rfl.A,,
Râ ^ RA\>
Rj = R«^^j>
R4 = R9O4A4,
etc.
ADDITION A LA lU' PARTIE. 443
Cela posé, la valeur de Z se calculera par la suite
Z = X-.R + R,— R. + R, — R^ + etc,
qu'on prolongera jusqu'à ce qu'on ait obtenu le degré d'exactitude
désire-
i4* Ces calculs, comme on voit, sont très faciles k faire par lo-
garithmes; tonte prolixité et toutes opérations inutiles en sont écar-
tées; il suffira de calculer les termes X, R, R., R., etc., avec
une décimale de plus qu'on n*en veut avoir dans le résultat, et
Ton prolongera là suite des différences jusqu'à ce qu'elles appar-
tiennent à Tordre de décimales qu'on peut négliger, ou seulement
jusqu'à ce qu'elles approchent de cet ordre, puisqu'on peut tenir
compte des termes suivans par le moyen que nous avons indiqué.
Il est bon d'observer, au sujet de ces calculs logarithmiques,
que pour déduire chaque A du correspondant, par l'équation
•^ = i + 9, on pourra faire usage des formules souvent mention-
nées log 6=loga±d, df =1 -i-, logD =log(«J')=*=ï<^. d'o"
résulte log(i + A) > ou -— log X = log (i + ^)=t D. On prend pour a
le nombre de la table dont le logarithme approche le plus de log 0; il
suffit que a ait au moins le tiers du nombre de chiffres significatifs
avec lesquels R doit être déterminé; mais il faut que log(i -f* ^) soit
aussi donné dans la table immédiatement et sans interpolation.
1 5. Gomme on a en général R, = R,_, . - "^ , il est évident
que les différences R, R,, R., etc., vont continuellement en di^
minuant, dès le commencement de la série, ce qui est une suite
de ce que les indices /jt, sont supposés' tous positifs; ainsi à me-
sure que la suite des différences est prolongée, l'approximaliou
augmente de plus en plus , pourvu que les différens termes, à comp-
ter du premier X, soient calculés jusqu'au nombre de décimales
qu'on veut obtenir dans le résultat, ou même au-delà, pour obvier
à l'accumulation des erreurs.
La formule (A) est donc propre à déterminer l'intégrale Z pour
les très petites valeurs de x^ sans être sujette aux ioconvéniens que
nnn
44 i EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
présentent les forûmles (a) et (e) ^ la fpnemière en offiiant des larmes
divergens dès le commeneemest de la série, et fort grands par
rapport au résultat ctierché ; la seconde , en amenant assez pronip-
tementunè di^^trgentetiiiiitiMÎte beaucoup rapproxioiatkm etlarend
souvent insuffisante. Cette formule, cependant, est loin de conserver
son avantage , lorsqu'on l'applique à des valeurs de x qui passent
une certaine limite; car aa marc)ie se ralentit âe plus eiïplûS, à
mesure que x augmente , et la formule (a) devient foi^ préférable,
sur-tout si FoQ a betoin d'une grande approximatîoù.
i6. Pou^ mieux apprécier la foimule (h)^ essayons de détermi-
ner combien il fiiudi^ calculer de termes de cette formule, afin
d'obtenir ta valent de ^ à'^et un tiOâd>re i de décimales , os de
manière que l'erreur soit moindre quts lo"*'.
On remarquera d'abord que le /i^"*' des numérateurs ^, ^, 2^,
^C> 5Ç, ZÇ, etc., peut être représenté par ïC('* + sî'**ï'wr); or
on a fl.= /*.A,«., ou fl.(i+fl.^O — )^.î *<>« *é(i+<U.) =
7Ç(/i4-sm*-|i»r). t>ê la on voit que 8« a^otor limite (^^n)^^et
qu'ainsi lorsque ^ devient un peu grand ^ on peut supposer
Soit log R, 5= U« > l'équation R« = R.^ ,9« A» donnera IT» = tT.. »
+ /^ = U_.-i = U._,-Y/(^)i d^oà l'on déduit la
valeur approchée
U, = consl. — iy^(JL).
Ainsi , à ttiesure que n augmente ^ le legaritbne kyp. 4e R. ap-
proche de plus en plus de la limite : const.—*ai/r-7^V'et son lo-
garithme vulgaire ^ delà littïte:con8t.^^2;iii/^«^^. Si Ton veut
dont que cfelte iittrîte soit -^1., oti aura nm^^^^tesconst. -4- i,
ou à peu près »=iM'Çt% M étant le nottibtt ii.ïoiS, «c. Ou
voit par conséquent que le nombre n augmente en Taisoti du neuîbre (f^
et aussi en raison du carré du nombre de décimales qu'on TCut
obtenir.
v.-
ADDITION A LA m« PARTIE. 445
Soit, par exemple, ^rs? o.oi , ce qui doni\Q 2= / iqo:^ aM,
^ = -|^ ; on anra à peu près n ;= ^ Mï* ; dans ce niènie cas ,
'i
m
ir^sp — a: 0.00217 9 ^^^ ^ ^*^A ^AVt V^^ ^ $<>^^ détçrmipé 9vec
90O
dix décimales exactes, il ikudra faire i=s8, ce qni donnera
n = 4M = 9.3; donc il suffira de g à 10 termes de la série des R,
pour obtenir ce degré d'exactitude. Si Ton yeu( vipgt décimales
exactes, il fiiudra faire lem 18, ce qui donnera i«=«;46«5î aiiisila
série des R devrait Àlre prolongée jusqu'à 4^ ou 47 l^raiC9-
Si l'on (àiixssao. i , Ç sera égal à m et l'on aura nv^^j^i^ ; dap$ ce
même cas, a^ssbo.o434; doue, si Ton veut déterminer T* avec
dix décimales exactes, il fiiudra faire 1:939^ et l'on aura (»;;=: 99,
c*est-à-dire qu'il fieiudra calculer a2 ou nS termes de la 9ériç ^ et
pour ravoir avec vingt décimales, il eu frudrait ealcuier plus de
ïoo. La formule (a) exigerait apssi environ aa teroi^^ dan9 le pre-*
mier cas, et seulement 5a dans le second» Nous aJQutçrons qu'à
égal nombre de termes, l'usage de la formule (a) e#l préférable,
parce que chaque terme se déduit très simpleipent du précédent.
17. Pour faciliter le calcul des fonctions Z», dans tou9 les cas
où X n'est pas tr^s petit, nous joignons ici une table des valeurs
de la fonction V, calculée pour toutes les valeurs de or, de cen-
tième en centième, depuis j:r^= 1 .00 jusqu'à jrsc o, U nous aurait
été également facile de donner la table des fonctions Z, puisque
la somme de ces deux fonctions est égale à la quantité — /(i — x)^
donnée immédiatement dans la table des logarithmes hyperbo-
liques. Mais Finterpolation pour les valeurs de x peu différentes
de l'unité serait d'un calcul difficile et peu exact dans la table des
fonctions Z , tandis qu'elle est très &cile dans h table des fonc-
tions V. D'ailleurs, connaissant V, on a immédiatement
Le calcul de la table des fonctions V a été fait par la formule (£),
ou par une formule équivalente (^), depuis arr=i.oo jusqu'à
^'■^F»".'*'*»*^^*»^»»!»^'*""^"'^»^"*-^"'"*"! ' -" ■■•^
(*) La formule (i) développée^ e» fi|J4ant jr= 1 .^ u, preqd la f^rm^
V = C— AiU — A.W* — Ajtt'— A^u*— etc.,
446 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL:
^ = 0.80. Pour les valeurs suivantes^ depuis 0:2=0 .80 jusqu'à
xzszo.oGy nous avons préféré d'employer la méthode désordon-
nées moyennes^ corrigée pour les dernières valeurs de x^ comme
on Ta expliqué art. 256. Enfin les cinq derniers termes^ à compter
devarsso.oSy ont été calculés parla formule (h) y qui donne la
valeur de Z, d'où Ton tire celle de V.
18. L'interpolation de la table des fonctions Y se fera à For-
dinaire, par la série des différences ^ tant que x ne sera pas plus
petit que o.io; il deviendra seulement nécessaire d'avoir égard
aux différences du cinquième , ou. même du sixième ordre , lorsque
X approchera de celte limite, et dans ce cas, il conviendrait d'em-
ployer la série des différences dans l'ordre de x croissant.
L'interpolation peut aussi se faire en général, par une formule
dont l'application s'étend jusqu'à des valeurs assez petites de x.
Soit a le nombre de la table qui approche le plus de la va-,
leur donnée xz=:a — et; on connaît la valeur correspondante de
V(a), et par conséquent celle de Z(a) ; il ne s'agit donc que d'avoir
la différence ^ =Zi(a)— Z(ii— a). Pour cela soit xz=^e^% ce qui
donne Z = / , soit ensuite a=5=e'^, a — a = e-*-^, ou
b = l-y Cssl ; soit enfin z^=b'^ê^, on aura
intégrale qui devra être prise depuis tf=:o jusqu'à ûi=Ç. Le pre-
mier terme rfer^dcû donne |(i—- e-^, ou -j les autres étant
•ùFona A,z=i, A.=^, As=^, A^=j^, M=i^, etc.
On parviendrait directement à ce résultat par le développement de rezprestion
J i-f.±u+}u»+itt3+etc. '
mais le peu de convergence de la suite des coeiEciens A| | A»; Ai, etc.^ et le défaut
d'une loi simple qui permette de les continuer indéfiniment, rendent cette formule
peu utile lorsque u n*est pas très petit , ou lorsqu'on veut obtenir une grande ap-
proximation.
i««^
ADDITION A LA IU« PARTIE. 447
intégrés successivenient par le développement de er-*, on en tire
(0
_îlVi-_^-i-l ^— etc^
Celte formule pourra 8'appli<)aer depuis x= i jusqu'à a: = o.o5;
mais au-dessous de cette limite, il sera plus simple de calculer di-
rectement la fonction Z par la formule (h).
19. L'usage de la table est borné h la valeur x=ii ^ qui rend la
fonction Z infinie; passé jc =1 , la fonction Z redevient finie; elle
diminue progressivement jusqu'à la valeur ar=s i.^SiSjy où elle est
nulle; ensuite a: continuant à augmenter, la valeur de Z devient
négative et augmente jusqu'à l'infini. D'ailleurs depuis x^^i jus-
qu'à j: = 00 y cette fonction se déterminera avec tel degré d'exac-
titude qu'on voudra y par la formule (à) y oix il faudra changer le
signe de st (excepté dans le. terme h) y et faire 2=:logar, ce qui
donnera
7 -^^ C I 1 ** 1 zr 1 »»
20. Imaginons une courbe dont l'ordonnée pour chaque ab-
scisse X soit égale à la fonction Z; l'aire de cette courbe sera
^ il
X
en désignant par Tj{x^) ce que devient la fonction Z ou Tj(x) y lors*
qu'au lieu de x on met x*. Si dans cette équation on fait j?=: i «^-a^,
0» étant infiniment petit ^ on aura x^=zi-^2(»yTj{x)=' — G — Uay
Z(x*)= — C — /(2â>). Donc^ fZdxzzzh'y ainsi auoique l'or-
donnée Z soit infinie lorsque x = i ^ Taire de la couroe pour cettQ
même abscisse, n'en est pas moins égale à la quantité finie h.
TABLE des vaUurs de tialdgraU V=/(7^ — -^). ,'
ADDITION A LA III« PARTIE. 449
!2i. Nous avooslTaile fort an loog des différeBS moyens d'éira-
laer la fonction T{m^ x) dans le cas de as=o. Occupons-nous
maintenant ducas a=:|, qui est celui de Tiiitégcale 7£=s:fiixfl^j^.
Faisant à l'ordinaire Z-=2^ ou a:=e~~', on aura sous une
«r
autre forme Zs=/ — z ^dz&^y d*où Ton tire, en développant e"*
et intégrant
On sait d'ailleurs que F ^ = v^Tr ^ ainsi étant donné x et en
même temps 2=:/-, on camtallra Vintégrale Z par une série
d autant plus convei^ente. que z sera plus petit , c':eat^à-dire que
or approchera plus de Ti^Ré.
A mjesure que x deviendra plus petit, la série sera de moins
en nu>iiis con ver^gente ; elle deviendra même divergente dans les
premiers termes , dès qu'on aura z > 3^ ou ^ •< e^^ <C o • o5. Bans
ce cas et dans ceux où x est encore beaucoup plus petit, la série,
qui est divergente dans les premiers termes , fiait (tonjoars par être
convergente, et même plus que toute progression |[éaaiétcique dé-
croissante. Mais comme jl fimdraftti:idciilerun nomhrjexle'termes assez
grand pour arriver au point de convergenoe (qu'ion peut toujours
déterminer à priori) , et que ces termes ayant utte valeur absolue
beaucoup plus grands que le résuhat qui doit provenir de la série
totafle, il deviendrait néoessaiM -de <:alcaler chacun d'eux avec
beaucoup de précision , puisque la plus grande partie -de leur va-
leur doit être détruite;; on voit par toutes ces .raisons qvCil vaudra
presque toujours mieux , dans /ie cas de x très jpetit , riyppUqùer la
formule générale de l'art, ro
^2. fraisant donc ^=7, et K^=-^9 ^^ ^™a la formule
Z = «"• : (i+ç : (i+aÇ : (i+3Ç : (i+4? : (Hnitc. (/),
où l'on doit renurquer que les numérateurs croissent continuelle-
ment de Çy tandis que les dénominateurs sont tons égaux à l'unité.
J
\
/
45o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Le calcul de cette formule devra se faire comme nous FaYons
expliqué dans Tari. i3. Pour en donner un exemple^ soit a:;s=o.oii
on aura j5=/ioo=2M, ^ = — =im=o. 10857 562 etc.; d'a-
près ces valeurs, il faut calculer successivement les quantités
X^ R, Ri^ R«j etc. par les formules de Tarlicle cité, savoir.
■
Ô. = 3CA. ,
etc.
A. =
A. =
1+6»
I
1
X
R
R.
xz
XflA,
î+îa*
etc.
R» = Rifl»\>
Rj = RaO^Xs,
etc.
Voici les logarithmes de ces quantités, calculés à dix décimales ,
avec les valeurs qui en résultent progressivement pour la fonction
Z = X — R + R, — R.+Rs— -etc.
X... 7.66857 71678 a
»^- • . 8.99095 97799 8
R. .. 6.66933 69378 o
S,Ai... 9.ai43o flaaSfl a
R,... 5.87363 9i63o a
ft^Aa. . . 9.33054 4869a O
R«... 5.ao4i8 4o3aa a
fljAj... 9.4o563 53590 5
R3... 4-60983 oSgia 7
64A4. . . 9.45956 8 5b o8 9
.R4... 4-06938 875a i 6
((5^5. . . 9.60081 70455 3
R5. .. 3.57oao 60966 9
dgAe. . . 9.55573 33oao 1
• Re... 3.io3q5 93977
fl^Ay. . . 9.66081 8 8838
R,... a. 66476 3â8i6
fliAg. . . 9. 5856 1 4^9
Rs... a.a4836 827
fljAg. . . 9.6p3i6 45
P,.., i.85i53 a^
0... 9.0357a 4^199 8
A. * . g.955a3 54600 o
»,... 9.39108 97766 4
A,... g.gaaSi a4495 8
9»..* 9.43515 8oa4a 8
9.89538 68449 a
g.635i7 1166a a
9.87346 5aoa8 3
9.60716 06371 5
*9.85a4o 88557 4
9.666a8 44o4i 4
9.85453 39393 9
9,7i636 63993 7
g. 81837 8ooa6 4
67. .. 9.75719 35096
A,.. . g.8o36a 16743
Os-- 9-79368 840
^•••- 9 79003 669
6, . . • 9 . 83676 09
^ •• 9-77741 36
An* . •
Os* • .
A3 . • •
A^, . .
05* • •
A5« • .
o6« • •
A^. • .
X rs 0.00465 99060 a
R — 45 §9908 6
430 35i5i 6
R,.... + 7 47548 1
437 83690 7
— 1 60030 6
436 33676 1
u^. • • • ^
Rj* • • • H
R^. • . • "^
Rs» • • • -p
Rc* • . • •—
Jtlyt • • • ^*
Rg* • • • ~* .
Aa* • • • "^^
R,o^ «te. —
4 0731 3
633o7 3
"7^fl 4
5i664 9
8717 1
55383 o
13704
54111 6
46a i
545737
^77 a
54396^
71 o
ao 8
2 :s 0.00496 54447
ADDITION A LA III* PARTIE. 45 1
:xS: Ponr faciliter le calcul des fonctions Z^ nons avons construit
la table ci-jointe^ où Ton remarque deux parties distinctes.
Dans la première^ la fonction Z est calculée avec ses différences
successives, pour toutes les valeurs da t s=z(liy^ de centième en
centième, depuis /=:9 jusqu'à /ssto.So. Ces limites répondent
aux valeurs x = i, 0:^=0.7788 etc.; ainsi la première partie de la
table servira a calculer la fonction Z pour toutes les vdeurs de x
comprises entre ces limites ; car d'ailleurs x étant donné on con*
naît t=^(l^y. Cette première partie a été calculée par la for-
mule {k).
Dans la seconde partie on trouve la fonction Z calculée pour
toutes les valeurs de x, de centième en centième 9 depuis j: =:=o.8o
jusqu'à or s= 0.00; cette partie a été construite par la méthode des
ordonnées moyennes , excepté les cinq ou six derniers termes ,
qui ont été calculés directement par la formule {l)y dont nous
avons donné un exemple.
34* S\ Ton compare les derniers nombres de la première partie
de la table» avec les premiers de la seconde partie , lesquels ré-
pondent à peu près aux mêmes valeurs de oir, on verra qu'en sup-
posant même égaux les intervalles , qui sont moindres dans la
première partie que dans la seconde , il y aurait un avantage mar-
qué à se servir, pour l'interpolation , des nombres de la première
partie, attendu que les différences successives diminuent bien plus
rapidement dans ces nombres que dans ceux de la seconde partie.
En général ^ quand 00 veut construire la table des valeurs d'une
fonction, il importe de choisir convenablement V argument de cette
table, c'est-à-*»dire la variable par laquelle la fonction doit être dé-
terminée, pour que les différences décroissent de la manière la
plua prompte » et qu'elles rendent ainsi l'interpolation plus facile.
Car en substituant une variable à une autre, la marche des diffé-
rences n'étant plus la même , on doit préférer celle qui sera la plus
favorable aux interpolations.
000
, 1
TABLE des valeurs de tintégrale '^=^fdx{l^^ * j la première partie depoit
t.
o.oo
O.Ol
o.oa
o.o3
0.04
o.o5
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
O.ll
0.1a
o.i3
o.i4
o.i5
0.16
0.19
o.ao
m8
o.ai
o.aa
o.aS
o.â4
0.25
.77245 385oQ
.76245 4S176
•73245 91806
.71247 184G1
.69240 64972
.6725 3 2*ai8
Biff. L
.6525q 76955
.63268 21818
.6127a 45299
.59293 86722
.57311 85223
.55333 70725
.53360 08913
.51391 112»5
.49427 24778
.47468 87 444
.45516 36732
.43570 09814
.41600 /p4s^
.39697 74183
.57772 57890
.55854 70192
.53945 06216
.32043 80622
.3oi5i 27583
■28267 80766
X.
0.80
o
o.
.79
1.78
0.77
0.70
0.75
0.74
0.70
0.72
0.71
0.70
.Do
O
O
0.67
0.66
0.65
0.64
0.63
Z.
0.89350
0.87262
0.80229
00910
<3336o
39748
0.83248
o.8i5i6
0.79423
0.77586
0.70784
55218
33093
80378
68247
383oo
0.74020
0.72294
0.70602
0.68044
0.67319
0^6572
o.64i58
0.62620
0.61110
0.59626
89441
So25i
85765
95583
1224;
998?
S2852
9497a
7835o
82707
999 93333
990 53340
998 73375
997 53489
995 93754
993 94263
901 55i37
988 76619
985 58577
982 01490
978 05498
973 70812
968 07698
963 86437
968 37354
962 50712
39993
19886
59735
9949i
tai26
a 78618
3 17942
3 57078
3 QOOOl
4 34686
946 ^6018
939 66021
932 6q5io
926 36295
917 67698
909 63076
85594
101
9
892 53o39
883 46817
874 07449
4 73114
5 11261
5 49^65
5 86622
625794
6 60697
6 07011
7 00017
7 68695
^722
8 38382
8 72656
g 06222
9 39368
97» 973
m.
3997a
3
39^-35
3949»
Diff. I.
2087 97550 55
2o52 6061261
980 8455048
565
557
5io
483
458
67006
^880
1622
96645
68066
IL
559S8
79*082
62406
a?
35
29136
aia58
40464
393a4
3gi36
38oa3
38686
384a8
38i47
37842
37619
37172
368o3
36414
36006
35578
55127
54660
54175
55667
55i46
52606
32049
ni.
3 6A866
3 1067
a 8399
2 6582b
2 3i4oo
a 10096
» 9«4«J
' 7496
t 60400
t 47456
1 3oQo5
1 s5558
1 i6a59
1
07868
00379
87103
8i4oa
5i
3o5
3a3
36q
389
408
4a8
45 1
467
V.
fli
75
a4
sa
ao
ï9
ao
a3
16
ao
29
VI. t.
o.3i
o.3a
0.33
0.34
0.35
3817g
3a68a
a8t6
549
45i3
3743
3iaa
3o4|a6a7
aaao
.889
1621
2442
21
18677
16454
14566
»a944
11661
10347
8299
83(^ 1
[589
^887
6269
6721
6234
1S93
1204
1048
008
803
r.
09
8
43i
984
77°
031
495
4
54
268
aa8
189
i56
140
106
100
o.ag
o.3o
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
Z.
80766
37841
06387
io43o
80866
17175
15564
15664
11777
10001
08258
06487
04760
o5oa5
oi5i4
99617
9793»
9B^e4
94600
gager
585o5
81475
32697
154
444
Diff. I.
864
854 3.454
843 9!
833 29374
8aa SflgoS
811 0657S
709 5l9l(
787 67459
775 55904
765 17463
760 62557
737 61971
724 46407
711 06679
697 43flio
683
660
655
640
6a5
67o3o
48778
i9»Sê
69043
mm
611
696
58o
565
10044
o273c|
00029
o.6a
0.61
0.60
o.5q
0.58
0.57
0.66
0.65
0.58168
0.66753
o.55oa5
14661
87069
18629
o.S
0.6a!
o.5iaa!
0.49001
84
56
43
0.54
0.65
0.62
0.61
0.60
0.4.3
0.48
0.47
0.46
0.45
•49î
.48!
SâSp
68786
a9258
81450
66184
0.47314
0.46060
0.44804
0.43577
0. 42567
98 66184
97884
54127
75616
16455
39967
0.41174
o- 30099
0.08840
0.37697
0.36670
18896
1701 '
36851
453o3
434 a'
410 6^5;
587 85656
565 74107
544 99628
523 47828
5o3 a5246
a83 58300
a64 43767
a4S 7861 1
aa7 60061
ap9 86448
19a 5a445
175 586a8
169 01879
14a 8016a
ia6 91663
111 34329
V*«Mi«U<l
'=r/-) ^0.00_/i«yu*àf =o.5o, la seconde depuis x=:O.Zo jusqu'à xsso.oo.
n.
m. |lY.
V.
VI.
X.
z.
Diff. I.
n.
lU.
IV.
V.
VI.
1? VÉ,
30886
57'
i5
3.45
0. 365^0 453o3
1111 34339
,5 37767
14 48666
iwâ
i568
6!
5
14
93
3.4d!
1:1^1 iiela
\tilù
1603
144,
6
55
6
7
le
3oa83
635
8
0.33381 0800^
o.33ai5 64905
1066 33090
.o5i 84433
i38b
lo 966b'f
a'oiî
633
10
14 35364
14 0334!
aaoïG
i338
31
c
Il aesjc
JH
so
}.4o
0.3..63 8o?7a
1057 59169
30678
i3oo
38
9
11 5SJ6a
a838ï
657
4
18
}.3q
>.3§
0.30136 3i3o3
1033 5557
996 10159
pa 65o«
,3 89670
\tl
1363
31
1
|i 8374^
37738
'^
O.SQiOi 6538a
0.98093 93031
0.37096 8187.
o.3èii4 167S5
,3 63,93
1333
S(
7
.37
i3 45076
16883
13,3
3,
lÀ
69s
i3 S193
16670
i;§i
^ ,
1° 64905
^
11
'.5b
569 368,0
i3 i96a3
■4478
{
fi
.3 ooMê
i3 15564
a
VA
S
7
;i
o.35i44 79B99
0.34188 55533
o.33a45 agaio
966 34367
943 3633a
13 08045
ifîf
;;??
3
,9
/\
i3 3s8a8
i3 63369
a354,
73o
t
.33
930 4,570
13 61706
!ÔJk
1193
,6
1,
aa8>i
7%
.31
:::t^?^s
917 68933
906 07337
Ut
1309
3o
i3 86180
"?;
JM
_a
.3o
13 5,965
193^
34
if
14 o8a5ii
aiiaS
^
6
:lî
0.16996 fl3i4a
85a 55363
880 „8a8
13 43434
ËTs
.37^
5o
~~",,
.4 «9680
30675
758
4
la 36143
1333
64
i(
.4 5oi55
1987
763
6
.37
867 76686
85S 45563
13 30193
469 b'
l387
li
s4
14 69973
.«o5è
iSa87
768
4
.aè
13 35437
f^s
;i;
31
.4 8901.7
JZÎ
.35
843 3o,36
19 93118
"9
«5
.5 07314
.75ié
77s
;3
D.ifiiSJ oàoofJ
83o 980,8
îiiil
+ aSS
.678
~T«
1
|5 !.48!19
16743
o.i5339 04988
IS^^
-■389
1899
18?
,5 4157a
.aa
0. i45q3 37840
3911
9003
319
55
■ai
.ao
0.. 3696 69473
0.1390a 33076
J -l
:
;; '^li
^4^
3933
3496
'4
P
II.
m.
Î
T
Ti.
:;§
b.iaïao 3is6o
o.ii35o 39139
'il 47163
993a
■a774
3849
337,
U
19.
16!
a5 5906a
76168
4i^
358
n
:;?
o.ioSga 94449
0.09847 96839
: 7
13 60937
.6045
3894
718
331
aa 8a894
71365
441 5
344
: °
19869
4549
lâ
337
aa iiSag
16960
4071
3,0
3i
.i5
7,| 6,7b8
94411
548,
47q
ai 44679
ao 81700
ao aaéSa
ji!
^i
^
"3S
sa
TT4
.13
o!o5643^ii883
llz 4559?
l3 3036â
i3 5oi54
3i6§9
^747
84ja
.74S
3465
3637
730
),69
3333
'^
aa
.13
679 3544,
666 08648
i3 86793
45,5Ï
iq38
\ïM
3oo6
a3
. II
14 31934
66088
5565
jg
3801
183
13
.10
65. 76734
14 8801?
70673
30,49
9043
18 65146
/gSag
iël^
;i;
'9
-.2
0.04998 o5i59
636 887,3
iil
9083,
»°
5863
TET»
18 i855o
&
«449
»7
0.0^1 16447
63, 30038
1 30Ol3
Î0881
17 33045
i34
4
:3
0.03739 86419
o.o3l35 06896
604 8o533
l 65o68
75936
39330
i3o
ai
587 ,ioo5
Ifë
16 938i5
37066
aoSÛI
toq
4
.o5
0.03547 9489'
567 76419
az 755jo
16 56749
35o3a
â
105
"76
■M
.03
0.01980 18473
0.01434 17643
0.00913 8ooi3
546 00839
60 7,119
^^~
16 81717
i5 8861b
33107
31387
%
3
48^^566
|5 573a3
39566
75
§
0.0043S 54447
496 64447
i5 37767
379,3
66
.00
0.00000 00000
=m
454 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
25. Ain^i éUQt proposée la fonction 7j=zfdx(l^j ^ si Ton fiait
//-Yrs^y on x;=ze^^% cette fonction sera aassi exprimée parla
formule Z ;?= \/7r — 2fe^^*di , où Tintégrale doit être prise à comp-
ter de <=o; on a donc le choix entre lès deux expressions , Tune
par la variable x, l'autre par la variable /.
La première partie de notre table a été calculée ^ selon la se»
conde expression , pour toutes les valeurs de / ^ de centième en
centième 9 depuis f=o jusqu'à t^^o.So» On l'aurait pu continuer
jusqu'à une valeur plus grande de ^^ par exemple^ jusqu'à ^=5^
comme l'a fait M. Rramp, dans une table de l'intégrale fâ^^*di^
placée à la fin de son Analyse des réfractions. Quant à l'intervalle
depuis < = 5 jusqu^'à <= oo ^ il parait immense^ cependant il n'em*
brasse 9 par rapport à la variable x^ que le petit espace depuis
or = a jusqu'à a:=âe'*'' =:o.oooiil 5i3 etc. ; on y suppléera aisé-
ment en calculant directement ^ dans chaque cas particulier ^ la
fonction Z par la formule (/)•
26. Étant connu par la table la fonction Z =& A ^ qui répond à
la variable xsssa^ si l'on veut avoir la valeur de la fbnctionpour
une variable peu différente x = a -^ a ^ . il faudra d'abord ^ pour
la facilité du calcul^ exprimer les fonctions parla variablç t. Ainsi
faisant ar==e^<% ou /s=s^/-J ^ puis déterminant 5 et f par les
équations i=:u-J, i + Ç = ^/--L-. j ^ la question sera de déter-
miner la différence /Z d'après l'équation Zsrrv/^— -a/e^^'A, en
supposant que t prenne successivement les deux valeurs b^ b-^Q.
Soit donc trszb^mi on aura , en observant que tf^sse^^
cette intégrale doit être prise depuis â» = o jusqu*à c^=iC , et
comme la quantité f est supposée très petite ^ On pourra développer
d'abord le facteur e— "% ce qui donnera
/e-a**— "ia = fer-^dcô — fe-^^êâ^dœ -f J fer<^m^dsâ — etc. ;
ensuite développant er<^ dans les différena termes^ excepté dans
ADDITION A LA IH* PARTIE. 455
le premier, et faisant^ pour abréger ^ 2^f ?=A^ on aura la diffé-
rence cherchée
J^ = I (,-^^) - «(Pg - ^ + i^ - jIj.^ + elc.)
+ *^'G - r + î-7 - «<=• )
— aaC'Q — g + elc.)
+ aaC^Q- — etc. ) -r- etc.
Chaque ligue de cette formule forme une suite fort convergente ^
et les différentea lignes décroissent k peu près comme là progrès-*
sion 6^, 6^, C\ etc. ; il suffira donc presque toujours de calculer
un petit nombre de termes de cette formule ^ pour avoir une va*
leur très approchée de la différence J^Z^ d'où l'on déduira
Z = A~/Z.
Cette formule servira à interpoler la seconde partie de notre table,
dans les cas où la série des différences ne décroîtrait pas assez
rapidement pour donner un résultat exact jusque dans les dernières
décimales. Cependant si x n'était pas plus grand que o.o2 ^ il se-
rait encore plus ^simple de calculer directement la fonction Z par
la formule (/).
2'j. Au reste^ pour donner un exemple du calcul de la for--
mule {ni) y nous allons déterminer la fonction Z(o,oa) où x=o.02,
par le moyen de la fonction Z(o9o3) supposée connue , ce qui est
un des cas les plus difficiles que puisse présenter l'application de
notre formule.
Dans le cas dont il s'agit^ on aura a^so.oS, 0-T-a.= o»oa^'.
i^:s=zl^^ (6-l-^)*=/5o. D'après ces données ^ on calculera 1^
premier terme (i) de la formule, comme il suit :
&= 1 .87^58 o544g5 C g. 02^44 o4i883
A+C= 1.97788 546609 2b 0.57547 o5o:i66
o.ioSSo 293114 ^ 9.59591 092149
m... ..9.65778 451 i5o
Xm 9.25569525379
456 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
e'-'^ss 0.67410 027536 ^ f— 0.17127 549556
1—^-^=0.52589972474 ' l 9.82872450444
sonlog*. .9.51508 599141
T . . . 8 . 20468 074772
1 / o
En second lieu viennent les termes de (2^1)
la suite
555546
que nous désignerons successivement
par (2,1), (2,2), (2,5), etc., et qui se
déduisent aisément , chacun de celui qui
le précède.
Les termes de la seconde llgne^ savoir,
+aaC«(i-^4-5.~ctc. ), étant dé-
signés de même par (5^ 1 ) , (5,2) , etc. , et
semblablement ceux des lignes suivantes,
qu'on calculera jusqu'à ce qu'ils ne
donnent plus rien dans le dixième ordre
de décimales , on aura les résultats ci-
joints.
La valeur de J^Z, qui est le résultat
total de la formule , étant retranchée de
la valeur connue de Z(o,o5), on trouve
celle de Z(o,02), la même qui est in- <rZ=o.oo52o 57650
scrîle dans la table, et qui a été calcu- Z(o,o5)=o.oi454 17645
lée directement par la formule (/). -. , . — z-r —
^ ^ ^ Z(o,02)=o.oo9i5 8ooi5
M) +
(2,6) -H
(5,0 +
(5,a) -
(5,5) 4-
(3,4)-
(40-
(4a) 4-
5 19 777954
6907^4
520 4686Ô8
108967
5ao 559721
"957
520 571658
1009
69
520 570718
7769
2555
45i
5o
520 576515
21
7
^8. Les recherches précédentes nous conduisent à déterminer
les cas d'intégrabilité de l'équation différentielle désignée (e) art, 8,
Si l'on suppose qu'on a en même temps T=i et^sso, la
formule (/*), exprimée en fraction continue, sera, comme nous
Tavons déjà dit, l'intégrale de l'équation (e). .Si Ton suppose, de
plus, que ïwi ^s deux nombres ^, a^^Ç, est i^n entier néga*
ADDITION A LA IIP PARTIE. 457
tif^ il est visible que la fraction contione se terminera d'elle-même^
et qn'on anra ainsi la valeur de T exprimée exactement par une
fonction rationnelle de Ç. L'intégrale étant connue pour chacun de
ces deux cas génértiux , il sera facile d'avoir^ dans la même sup-«
position , l'intégrale complète de l'équation (e) y laquelle ne suppo-
sera plus qu'on ait en même temps T=: i et Çz=o.
En effet , par le tableau analytique de Tart. g ^ on voit que l'équa-*
tion différentielle proposée en T, est liée avec les transformées
successives en T'^ T'^^ Tl"'^ etc., de manière qu'il suffit de résoudre
complètement une de ces équations ^ pour résoudre toutes les autres^
et particulièrement l'équation en T. Or^ par la loi des transfor-
mées successives y il est évident que les coefficiens qui étaient
«e et f dans l'équation en T^ deviennent cl et t» 4* ^ dans la trans-
formée paire en T*% et qu'ils deviennent i -— tf et /i -f- tf + C dans
la transformée impaire en T*''*''.
2g. Soit donc I^ f =— 7»; pour avoir Lss transformées succes-
sives on prolongera la suite des équations ,
I
T
- I + (1 + « 4. OfT"',
1
etc.
jusqu'à celle qui donne la transformée en T'*^*^ savoir :
cette transformée sera
Enfin si l'on fait tj^;;^^ = i + ÇY, on aura pour dernière transformée^
yi^ T Y -r V — o«
Celle-ci étant linéaire par rapport à ^^ on en tire
)
458 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
4:=c*e-?(A-/r— «^«),
A étant la constante arbitraire.
Éliminant donc sncccssîvement T', T". . .^ T"*", Y, an moyen
des équations précédentes ^ on aura Tintégrale de Téqnation pro-*
posée en T, laquelle contiendra la constante arbitraire A^ et sera
par conséquent complète.
Dans cette intégrale ^ outre le terme A^'^e ^, qui appartient aux
exponentielles ordinaires , se trouve comprise la transcendante. • •
y*Ç— >--« e( d^ qui 9 pour les valeurs positives de ^^ semble différente
des transcendantes T(a, x); mais pour les valeurs négatives de ^^
ces deux transcendantes sont de même nature.
En effet , soit Çïss— a, on aura/Ç—'— •«? £i^s3(— i)»/a— «— • e'^do';
' soitencoree ^ = j?: our-s t— : on aura
dans ce même cas on aurait *
ls=:tr-e^[A-r(*,r')].
Ainsi le simple changement de Ç en — a^ suffit pour que Tinté*
grale complète de Téquation proposée en T^ puisse être expri-
I
xnée par la fonction T(a, x)^ en fiiisant x:sze ^\ elle satisfera à
toutes les valeurs positives de a ^ ou à toutes les valeurs négatives
de Ç. Ensuite si Ton change le signe de ^^ ce qui rend 1^ positif^ la
1
fonction T(fi ^ x) supposei^a xzséè^ c'est-è-dire x> i y et elle se dé-
terminera alors comme on Ta fait voir dans Tart. a'j de la IIP partie.
Donc dans tous les cas , Tintégrale complète de Téquation proposée
s'exprimera par la transcendante connue r(a, x)^ en donnant à
cette transcendante tonte Textension dont elle est susceptible.
3o. Soit a"*. a + C=:— -/ij les transformées successives devront
être prolongées, suivant la loi de l'art. 9, jusqu'à la transformée
4ÇPITI0N A ^.A IIP PART?]^ 459
en T" qni sera
Dans celle-ci^ £u9aiil de noayeau rK;= i + ÇY, ou aura la deraière
transformée
Y»d{^ Y rC — o,
dont l'intégrale est
Connaissant Y, on obtiendra saccessivement les valeurs de T",
T^"' . . . , et f nfio T, de socle qu'on i^iura Tîntégrale conip^te de
réqH^oa differealieUe proposée.
I
5i. Dans cette intégrale se trouve la transcendante /Ç*"* ^dÇ
qui , pour toutes les valeurs négatives de^, se ramène immédiatement
I
aux foncIfOD^ T(if^ x). Car £i}dafU Ç=î?t^ Ç* çnsuite e""f=a:,
1 ,1 ' >.-..-
ou - = / - j on a
et f<r*^^ ê^^âa :=fdx(l-Y^=i r(i — «, x). Ainsi dans le cas de Ç
négatif, l'intégrale de Téquation différentielle proposée dépendra
simplenq/ent de la fonc^on r(i rr #> ^)*
Dans le cas de Ç positif^ on substituera à la fonction r(i — of,^x)y
ce que 4eyi,ent .c.6t4e fonction l^orsq^ea?==j?f , c*e,strà-dire lorsque x
est >>i; ou bien y pçur éviter de^s transformations qui quelquefois
sont embarrassées d'imaginaires ^ on conservera ,dans l'expression
I
de T la transcendante /^*~~^ e? d^ qui s'évaluera convenablement sui-
vant les différens cas.
Si CL est un. nombre entier positif ou négatif , l'iutég^rale dont il
s^agit s'exprimera toujours exactement • où se redira a la forme
— — .
PPP
46o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
I
Si A n'esl pas un entier ^ soit l=tt, on aura /Ç*-^c<if=:— /îr-*^^,
ce qui donne par le développement de e^ la valeur approchée
u'— U^"* 1 u
/Ç— > ^dÇ= consl. ^—-^j—^^-^.^j^— elc.
On peut aussi mettre cette intégrale sous la forme
— — __— 4. = — etc. )y
d'où résulte
i = Ae^» w*-« î 1 î^ r^ 5 H etc.,
Y 1 — « "^ 1 — «.a — « 1 — et.a — «r.o — * ' '
série qui pourra être divergente dans les premiers termes, mais
qui deviendra toujours convergente après un certain nombre de
termes.
32. Si au lieu de faire les substitutions dans Tordre indiqué art. 9,
on les fait dans Tordre inverse, on aura les équations suivantes
qui serviront à déterminer les transformées successives en T% T-""*...,
= I + ^* ÇT% a- = et , €••=€— I ,
^- = 1 -f- tf" ÇT", «••• = I — a, C*^ = « + g — a,
etc., etc. y etc.
De là on voit que la transformée paire en T*^*' =: Y, sera
Yî3ç ■» Y r (b — »X — yï = 0>
et que la transformée impaire en T*^*'''^ = Y, sera
y:^ -r Y r C* 4- 5 -" ''A — ^55 = 0.
Donc, lO. si € est égal à un nombre entier positif n, la trans-
formée de l'ordre an se réduira à l'équation linéaire
rf 4-«+i)Y-i=o,
1
lyioo
ADDITION A LA ffl» PARTIE. 461
I
dont l'intégrale est Y = Ç— «< (A — /Ç*-^ e i:d^. Si dans cette
I
expression on fiiit e lz= x , on j^s: l '- ^ on aura
ainsi l'intégrale de Tëqualion proposée en T s'exprimera générale-
ment an moyen de la fonction ^(i — - a, x).
a"". Si a + ^ est égal à un nombre entier positif /z^ la transformée
de l'ordre 2/» — • i , se réduira à une équation linéaire,
^+[(i-*X+i]Y-.i = o,
dont l'intégrale est
Y = Ç--' À (A —A-- e~tdi:)}
I
et en faisant toujours la substitution e ^ =: or, on aura
/C-— e-\ <K=:fdx(l 1)*-' = r(«, X),
Donc alors l'intégrale complète de l'équation proposée s'exprimera
au moyen de la fonction T(a, x).
Il reste donc démontré qu'étant proposée l'équation différentielle,
on en pourra toujours trouver Tintégrale complète au moyen des
fonctions r(a, x)^ considérées dans toute l'étendue dont elles sont
susceptibles, si l'un des nombres € , et + ëy est un entier positif
ou négatif.
Nous remarquerons que si l'on proposoit l'équation différentielle
rf 4-(AÇ+i)Z + BCZ*-fCC-D=o,
oii il y a quatre coefficiens constans A, B, G, D, cette équation
pourroit être ramenée à la même forme que l'équation (e) qui ne
contient que deux coefficiens constans. En effet, soit Z=:/7iT-f'/x,
met/» étant deux constantes indéterminées ^ l'équation transformée
en T sera
462 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
mÇ» S-H Bw'ÇT* -f <At -h »>»T -H B»*Ç -.^ a :;= o
4- aB/n/i^ + A«Ç — D
4- C^.
Déterminant n d'après l'équation Bn*4'An4>C=;;o, disant ensaite
m = D — n, €=s B/n, «= A + sBn, on aura
T»</e ^^ T^ T* *»V "^ ^ ^« Pj
équation entièrement semblable k l'équation (e). Donc l'équation
proposée en Z sera intégrable si l'un des nombres
BD + i AH-i v/(A«--4BC),
BDH-i A — i ï/(A« - 4BÇ),
est un eiitier positif ou négatif.
34. Nous remarquerons enfin qu'on peut donner k Téquation (e) ,
une forme analogue à celle de réqn«tion de Riccaii. Popr ççla ,
soit d'abord Ç = Aaf , T = Bxj; soit ensuite m = — -, B = — t*
-i- , la transformée en^ sera ^ 4-^» — ncwr»""^— /iffa;^"^s3:o;
I
-— I
enfin faisant^— -^a/ix* =2, on aura
^ 4- 2' 4- (7 — ï» — ^'«•'"^ ~ :^'/^•JC*""* = o.
Cette équation , qui est plus générale que Téquation de Riccati, sera
donc intégrable si Tun des nombres €, a + € ^ est un entier positif
ou négatif.
Dans le cas où Fou a ^ ss ^ — > ^«t, cette équation devient» • . •
^ + 2* — -^Wa:* = o ; elle aéra iatégrable ^i¥.aiU U théorie
précédente^ si Tun des -deux nombres ^'^jct, ^+«^> ^Ai ^^ entier
positif ou négatif^ et dans ces cas l'exposant de x^ savoir, - •— 2^
se réduit à la forme-^ ^^^^^ A élant.un^i:rtier^Q{u.(ifQ.u9^^
obtientainsi les mlèmes résultatsqueprésentek résolution connuede
l'équation de Riccatî.
FIN,
\
ERRATA du Tome IIL
Page.
lign.
a3
^9
a4
a3
8
4d
i3
56
16
H
33
i53
19
4a
36
180
>9
196
5
Corrections.
— \c''(f^ (1 — J c«^)
Jooo
0.19611
/3TT0
* 5. a*
o . 27663
sin (fl^' — ^) = c sin
o.Sqi 111 5i8 10g
1.18684
1 du
~¥'db
k II
De rimprimerie de M""* Y* COtJRCIEK, rue du Jardinet^ n^" la.
i
'\
^.,- *- ^?-T
^ ' — - ,l>
Il 11 «——A»
/
t'
' i.*i'
Jk
:4h
-ûî j. ^zL^
■«•■
î '.i(*i j!;..
■ - « — f
r"
40-
%^
s.
. I
> •
* 1^
<C*\^ *
4
r
.â
>
<•
. /
* *
m
\
t
\
V
i •
-4i
X
\
f f
t
*
V
>'..
N
Live Music Archive
Librivox Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland Museum of Art
Internet Arcade
Console Living Room
Books to Borrow
Open Library
TV News
Understanding 9/11