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Full text of "Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten geburtstage 20. februar 1904. Mit einem portrait, 101 abbildungen im text und 2 tafeln"

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Dziick von Motzgcr & Wittig in Leipzig. 



1904 aufforderte, trafen bald Zusagen so zahl 
ein, daß Redaktion und Verlag, um dem Bande i 
zu ungewöhnliche Dimensionen zu geben, den üno 
der einzelnen Arbeiten beschränken mußten. Ob 
dadurch manche schöne Untersuchung hier nicht 3 
gefunden hat, mancher wohl sich überhaupt abh 
ließ, etwas beizusteuern, kann die erfreuliche Täte 
hervorgehoben werden, daß nicht nur deutsche I 
genossen, sondern auch viele Gelehrte aus Arne 
Australien, Belgien, England, Frankreich, Hol 
Italien, Japan, Norwegen, Eußland und Schweden 
an der Festschrift beteiligt haben. 

Daß dieser stattliche Band auch eine wii 
Ausstattung erhielt, ist dem liebenswürdigen Entgc 
kommen des Verlegers, Herrn Arthur Meiner, 
luiber der Firma Johann Ambrosius Barth iT> "" 



zu danken, der in bereitwilligster Weise Druck und 
Kosten des Werkes übernahm. Die Redaktion besorgte 
Dt- Stefan Meyer. 

80 möge diese Festschrift, Ludwig Boltzmann 
gewidmet, ein dauerndes Zeichen der Verehrung seiner 
Zeitgenossen bilden. 



} 



Inhaltsyerzeichnis. 



Seite 

1. J. Frischauf- Graz. Ableitung der Gleicbgewicbtsbedingungen 

eines starren Ponktsystemes aus dem Prinzip der virtuellen Ge- 
schwindigkeiten und aus der Starrheit 1 

2. A. Hejd weiller-Münster i. W. Über Selbstinduktions- und 
Permeabilitätsyergleicbungen 4 

3. P. Duhem- Bordeaux. Sur la 8tabilit6 61ectrique d'un milieu 
homogene et illimitä 13 

4. O. Ch wo Ison- St Petersburg. Notiz über die Vergleicbung des 
Meters mit der Wellenlänge des Lichtes 28 

5. K. Zind 1er -Innsbruck. Über die liniengeometrische Dar- 
stellung der Trägheitsmomente eines starren Körpers .... 84 

6. H. Kay ser- Bonn. Zur Temperaturbestimmung strahlender Gase 88 

7. P. de Heen- Lüttich. Id6es fondamentales d'un essai de tb^orie 
m^canique de T^lectricit^ et de la chaleur -48 

8. J. Andr ade -Besannen. Chronometrie: Les r^gimes limites et 

la stabilite de la Synchronisation . 51 

9. L. Houllevigue-Caen. Etüde des lames minces de cuivre 
obtenues par ionoplastie 62 

10. St. Meyer- Wien. Über Magnetisierung durch Tonerregung . 68 

11. L. Pfaundler-Graz. Apparate zur Versinnlichung der kine- 
tischen Wännetheorie 71 

12. J. B o r g m a n n - St Petersburg. £in besonderer Fall des 
Lenchtens von verdünntem Gase in einem breiten Glasrohr 76 

18. P. Cz er mak- Innsbruck. Zur Demonstration der Klanganalyse 80 

14. M. Abraham-Gtöttingen. Der Lichtdruck auf einen bewegten 
Spiegel und das Gesetz der schwarzen Strahlung 85 

15. H. Brunn -München. Über das durch eine beliebige endliche 
Figur bestimmte Eigebilde 94 

16. H. C. Jones-Baltimore. The Effect of One Associated Solvent 

on the Association of Another Associated Solvent 105 

17. M. Planck-Berlin. Über die mechanische Bedeutung der 
Temperatur und der Entropie 118 



Yin Inhaltsverzeichnis, 

Sdte 

18. G. H. Bryan-Bangor (N. W.). The Law of Degradation of 

Energy as the fundamental principle of thermodjnamicB . . ISS 

19. H. Mac he- Wien. Zur Definition der spezifischen lonen- 
geschwindigkeit 187 

20. L. Matthiessen -Rostock. Gibt es unendlich große Ge- 
schwindigkeiten? 141 

21. A. Lampa-Wien. Ans der Statistik der Prüfungsstelle für 
Normalstimmgabeln in Wien 146 

22. H. Pellat- Paris. Du röle des corpuscules dans la formation 

du faisceau anodique des tubes k gaz rar^fi^s 150 

28. A. Weh nelt- Erlangen. Über eine Röntgenröhre mit ver- 
änderlichem Härtegrad und über einen neuen Härtemesser . . 160 

24. E. Biecke- Göttingen. Elektrische Strömung in einem ioni- 
sierten Lufträume, der von zwei konzentrischen Zylinderfiächen 
begrenzt ist 168 

25. W. Wien -Würzburg. Theorie eines bewegten leuchtenden 
Punktes 174 

26. M. Le B 1 an c- Karlsruhe und M. G. Levi-Padua. Über die 
Passivität des Nickels 188 

27. F. Streintz-Graz. Die spezifische Wärme einiger h>chwefel- 
metalle in ihrer Beziehung zum elektrischen Leitvermögen . . 196 

28. C. Barus-Providence. Periodic Color Distributions in Relation 
to the Coronas of Cloudy Condensation , with a Revision of 
Coronas 204 

29. E. Lampe -Berlin. Der schiefe Wurf im luftleeren Räume als 
Zentralbewegung 215 

30. A. V. Bäcklund-Lund. Über elektrische Strömungen in 
zylindrischen Leitern 224 

31. J. H. van*t H o ff - Charlottenburg. Einfluß der Änderung der 
spezifischen Wärme auf die Umwandlungsarbeit 283 

32. G. W. Walk er- Cambridge (England). On some Problems in 

the Distribution of a Gas 242 

38. C. Neu mann -Leipzig. Über die sogenannte absolute Be- 
wegung 262 

34. C. Runge -Hannover. Die thermodynamischen Beziehungen . 260 

35. E. Czuber-Wien. Zur Geometrie der gewöhnlichen Diflferential- 
glcichungen 266 

86. A. Korn und E. Strauss- München. Über eine Beziehung 
zwischen dem Lösungsdruck und der lonisationswärme der 
Metalle 27T 

37. Ch. E. Curry- München. A Peculiar Class of Waves ... 282 

38. O. Lehmann-Karlsruhe. Das Vakuum als Isolator .... 287 



■■47 



p: 



Ä. V. Obermftyer-Wien. Über eogenanote Heiligensclieine 
und andere gleichen Ursaclieu entapciogende Ersehe inuiigeD . i 
J. D. Vau der Wnikls- AmBterdam. De veraDderiog van de 
gicratheid b der toestandsvergelijkiiig als quaei-verMeiniog van 

h«t oltilekuul i 

G. JKgcr-Wien. Über die Verteil an g einer nicht diasoEiierea- 

den Subatanz iwischen ewm Lügungs mitte In f 

J. J. van Ijuur- Amsterdam. Über die spezifische Wftrme in 

flüssigem Zustande bei niedrigen Temperaturen l 

G. Mie- Greifswald. Über eine Metiiode, das spezifische Ge- 
wicht sehr verdünnter Lösungen zu bestimmen ! 

C. G. Knott-Edinbnrgb. Magnetization and reBietance in 

Nickel at bigh tcmperaturea I 

G. Guglielmo-Cagliari. Intomo ad un igrometro-bilancia ad 

indicaEioni assolute e conlinue I 

N. Schiller- Charkow. Einige Bedenken betreffend die Theorie 
der EDtropievetinefarung durcli Difiusioa der Gase bei einander 

gleichen Änfangsspannungeu der letzteren 1 

R.Wegscheider-Wieu. Über die GröBe der KristaUmoleküle ! 
W. Sutberland ■ Melbourne. Tbe Principle of DTnamical 

Simllarily in Molecular Physica I 

W. Fr. Meyer-Königsberg. Zur Theorie der lAgrangeschen 

Bewegungsgleicbnugen 

J. älark-Götlingeu. Elektrischer Massentransport in Gasen, 
Dmckerböbiing an der Kathode 

D. A. Goldhammer-Kaaan. Übeir die Natur der flüEsigen 
Loft 

E. Kobald- Leoben. Über die allgemeinen DiETerential- 
gleichungen der EristaUoptik nach der elektromagnetischen 

Theorie des Lichtes 

J. Traobe-Berlin. Über den Raum der Atome und Moleküle 
E. Mach-Wien. Objektive Darstellung der Interferenz des 

poUrisierten Lichtes . . 

H. Ebert- München. Wirkung der anomalen Dispersion von 

HeralldSmpfen 

V. Bjerkness-Stockliolm. Elektroatntisclie, magnetische und 

hydrodynamische Grenaflächenbedingungcn 

L. Granmacb-Bei-lin. Ober den Einfluß der Zftbigkeit auf 
die Eapillarkonslanten bei EsHlgsSure-Wassermischungen 

A. GnrhaBso-Genuft. Su la teoria dell' analiai speltrale . , 
L. Graetz- München. Über die elektriscbu Dispersion der 
KrisUlle 



X InhalttverzeiehnMM. 

60. J. P. Kuenen-Dundee. Zurllieorie der Destillation von Ge- 
mischen 

61. E. Jahukc -Berlin. Eine einfache Anwendung der Vdclor* 
rechnung auf die Theorie der verftnderHchen Ströme .... 

62. J.£.Trevor-Ithaka(N. Y.). The Expansion- Work of a DiflM- 
ciating gas 

6S. E. Haschck und K. Kostersitz- Wien. Über einen Vemid 
der Ausmessung von Stemspektrogrammcn nach der oljektiTai 
Methode der Wcllenlängenbestimmung 

64. P. C ard au i- Parma. Sulla dispersione elcttrica dei mggi X 
ottcnuti niediante le scariche dei eondensatori 

65. H. Weinst ein- Charlottenburg. Entropie und innere Reibung 

66. «1. GrUnwald-Wion. Über die Ausbreitung der Wellenbe- 
wegungen in optit^rh- zweiachsigen elastischen Medien .... 

67. (t. Saguac- Paris. Lois de la propagatiou anomale des ondei 
au voisinage d'un foyer 

68. W. Foussn er- Marburg i. H. Über zwei Sätze der Elektrostatik 

69. S. 11. Hurbury- London. On oertaiu theorems in probabilitf 

70. W. IX Baucroft-lthuka (N. Y.'. Note on the Soret Pheno- 
menon 

71. A. Wa88uiuth-<iraz. l her die Uos^timnuing der thermischen 
Änderungen der Klastizität^konstanten i:«otroper Körper aoa 
den Teniperaturäiiiierungen bei der PrilUing und der gleieb- 
tomiigen Hiegung 

72. A. Sehui?t er- Manchester. The Propagatiou ot* Waves tbroogh 
dispersive Media 

73. D. B. Braee- Lincoln. On Pouble KetVaction iii Matter moving 
through the Kther 

74. M. Margules- Wien, l ber die Beziehung zwisohen Barometer- 
Schwankungen und Kontinuitätsgleichung 

7ö. J. Larmor-Canibridire. On the Intensiiy ot the Xatonl 
Radiation from Moving Boilies and its Median ical Keaetion . 

70. Fr. Exner und K, llofmann- Wien. Cber die Potential- 

ditferenzeu der Metalle in ionisierten (lasen | 

U. Behn und F. Kiebitz- Frankfurt a. M. Bestimmung der 
Dielektrizitätskonstante von Eis in tlüssigcr Lut't mit schuellen 

Schwingungen nach Drude 

i. 0. E. .Schiotz-Christiania. Über die Abhängigkeit les oa- 

motis..::en Druckes und der Dampispannung von dem Dnieke i 
♦. M. V. SmMluchowski-Lemberg. Cber rnre-olmäßi^-keiten ; 
in dir Vertoilung von Gasmolekülen und deri-u Einriaß auf i 
Entropie uu: Zustandsgleichung . . 



1 1. 



• •- 



xn JnhaUiverzeie/inü, 

100. 0. Berg- Greifswald. Einige Versuche über dam 
Potential von Entladungsrohren ■-. . 

101. G. Granqvist-Upsala. Über die Periode and die 
difierenz zwischen Strom und Spannung im singenden 
bogen '• '. 

102. H. du Bois- Utrecht. Hysteretische Anwendung der Boltvi 
mann-Maxwellschen Verteilungsfunktion . . • • • • • 

108. M. Th. Edelmann-München. Vertikalvariometer tb.mlt 
magnetische Messungen im Luftballon .... 

104. E. Mathias -Toulouse. Sur la loi de distribation 
de la composante nord du magn^tisme terrestre, en 
au 1" janvier 1896 

105. E. Wiedemann- Erlangen. Über Verbindungssp^tien 

106. W. König- Greifswald. Einige Bemerkungen über die Bt* 
Ziehung zwischen künstlicher Doppelbrechung und Bleallftill 

107. G. Bredig und F. W ei nmayr -Heidelberg. Über die mii^ 
male Schichtdicke des katalytisch wirkenden Queekailben 

108. A. Sommerfeld- Aachen. Eine besondere ansohanliche 
leitung des Gaussischen Fehlergesetzes 

109. S. Arrhenius-Stockholm. Die Anwendung der physi 
Chemie auf die serumtherapeutischen Fragen .... 

110. A. G. W e b s t e r - Worcester (Mass.). On the Mechanieal 
ciency of the Production of Sound 

111. M. Reinganum-Müuster i. W. Über den von Wi 
Sphären freien Raum in einer Flüssigkeit und über des 
der relativen Dampfdruckemiedrigung 

112. J. Kossonogoff-Kiew. Über mögliche Größe der optieelMi 
Resonatoren 

118. E. L. Nichols und E. Merritt-Ithaka (N. Y.). The InflaenM' 
of Low Temperatures upon Certain Color Indicators. 

114. E. Hall -Cambridge (Mass.). The van der Waals a in AlkoUt! 
and in Ether 

115. W. Kernst- Göttingen. Chemisches Gleichgewicht und T^Ob 
peraturgefölle ., 

116. H. Nagaoka-Tokyo. Mechanische Analogien zwiaob« 
Torsion und Magnetismus 

117. R. Wachsmuth-Rostock. Akustische Bestimmung der DichW 
von Gasen und Dämpfen 

Namenverzeichnis der Mitarbeiter 



1. Ableitnng der Gleichgewichtsbedingangen eines 

starren Panktsystems ans dem Prinzip der yirtnellen 

Geschwindigkeiten nnd ans der Starrheit 

Von Johannes Frischauf in Graz. 



Die Bedingungen des Gleichgewichtes eines starren Punkt- 
systems werden aus dorn Prinzip der virtuellen Geschwindig- 
keiten in der Regel derart abgeleitet, daß man dem Punkt- 
system eine virtuelle Bewegung erteilt, die man sich als eine 
fortschreitende und als eine drehende Bewegung des Punkt- 
systems denkt. Diese Bedingungen erhält man aber auch 
mit Zuziehung des Begriffes der Starrheit des Punktsystems, 
welche Eigenschaft dadurch ihren Ausdruck findet, daß bei 
jeder virtuellen Bewegung die Distanz je zweier Punkte des 
Systems imveilLndert bleibt. 

Sind M^ = (Xj, yj, zj, M^ = (ar^, y„ z,) . . iW„ = (ar„, y„ rj 
die n Punkte des Systems und erteilt man denselben die 
virtuellen Verschiebungen {Sx^y Sy^y ^^-^r,), [Sx^, öy^, ()z^), . . 
(Sx^, Sy^y dzj, so ist nach dem Prinzipe der virtuellen Ge- 
schwindigkeiten 
(1) 2{XSx + rSy + Zdz)=z 0, 

diese Summe auf alle Punkte ausgedehnt. In diesem Aus- 
drucke kommen 3 n virtuelle Verschiebungen Sx^y dy^y fVzj, . . 
Sx^y dy^y Sz^ vor, von diesen sind aber nur sechs willkürlich. 
Denn wird die virtuelle Bewegung eines Punktes, etwa J/j, 
als vollkommen frei gedacht, so ist die Bewegung eines zweiten 
Punktes, etwa M^, an die Bedingung geknüpft, daß M^M^ 
konstant bleibt, die Bewegung eines dritten Punktes, etwa M^, 
an die Bedingungen, daß M^M^ und M^M^ konstant bleiben. 
Von den drei virtuellen Verschiebungen dx^y Sy^y öz^ sind 

BoItxmanD-FesUchriA. 1 



2 /. Frischauf. 

daher alle drei willkürlich, die virtuellen Verschiebungen öx^y 
Sy^, Sz^ müssen einer Bedingungsgleichung, die virtuellen Ver- 
schiebungen Sx^, dyj, d>3 müssen zwei Bedingungsgleichungcu 
genügen. Die virtuellen Verschiebungen der übrigen Punkte 
sind bereits aus der Voraussetzung der Starrheit bestimmt. 
Es sind daher sechs Bedingungsgleichungen zwischen den 
Koordinaten der n Punkte und den auf diese wirkenden Kräfte 
zu erwarten. 
Aus 

konstant, folgt 

r = (X, - X,) (d-x, - ^x.) + (y, - y,) [8y^ - Sy,) 

(2) +i'r-'.){S'r-S'.)> 

\ r = 1, 2, . . 71, « = 1, 2, . . n. 

Die virtuellen Verschiebungen Sx^,..öz^ müssen den 
Bedingungsgleichungen (2) genügen. Multipliziert man diese 
Gleichungen mit den Faktoren A^^, wo k^^ = A^^ vorausgesetzt 
wird, und addiert dieselben zur Gleichung (1), so können 
diese Faktoren X derart gewählt werden, daß die Koeffizienten 
der abhängigen Verschiebungen Null werden. 

Aus dem Koeffizienten von dx^ folgt 
(3) X^ + X^,{x^-x,) + X^,{x^^x,)+ .. +A,Jar,-^J = 0. 

Addiert man diese Gleichungen für r = 1, 2 . . n, so er- 
hält man 

r :S'X^ = JS'Z=0; 

\ j ebenso 

' \ -2*7=0, J?^=0. 

Bildet man die Summe 
•:« iziiält man aus den beiden Posten 

yr^r + y.^* 

j -isammengehörige Glieder 
-irin rür die obige Summe den Ausdruck 



Oleichgewichtsbedingungen eines starren Punktsystems, 8 

also einen nach x und y symmetrischen Ausdruck, woraus 
folgte daß 

yi J^ + ^2 X, + . . + y„X„ = oTi 7j + ^2 l^a + • • + ^«^n 

oder 

I 2:{yX-xY)^0, 

^5^ } und ebenso 

l 2[zr-yZ) = Q, 2{xZ-zX)=^{). 

Die sechs Gleichungen (4) und (5) sind die Gleichgewichts- 
bedingungen des starren Punktsystems. 

(Eingegangen 28. Mai 1903.) 



2. Über Selbstinduktions- nnd Permeabilitäts- 

yergleichnngen. 

Von Adolf Heydweiller in Münster i. W. 



1. Maxwells Methode zur Vergleichung der Selbst- 
induktion von Drahtspulen in der Wheatstoneschen Brücke^ 
ist bei Anwendung von Wechselstrom oder unterbrochenem 
Gleichstrom und mit dem Telephon als Meßinstrument einer 
sehr weitgehenden Genauigkeit fähig, namentlich wenn es sich 
um die Vergleichung von nahe gleichen Rollen handelt. 

Mit der folgenden Anordnung ist es mir gelungen, eine 
Genauigkeit von einem Hunderttausendstel bei solcher Ver- 
gleichung zu erzielen. 

Zwei Zweige der Wheatstoneschen Brücke werden ge- 
bildet von den durch einen Schleifkontakt getrennten Teilen 
eines 1 m langen und 4 mm dicken Manganindrahtes, dem auf 
jeder Seite ein induktions- und kapazitätsfreier Widerstand 
von etwa 175fachem Betrage (22 0hm), bestehend aus zwei 
zusammengelöteten Manganindrähten von 0,25 und 0,06 mm 
Dicke, mit angesetzten Verbindungsdrähten aus Kupfer zuge- 
schaltet ist. Die beiden anderen Brückenzweige bilden die 
beiden zu vergleichenden Rollen mit einem zweiten blanken 
Manganindraht von 1 m Länge, 0,2 mm Dicke und 12 Ohm 
Widerstand, auf dem ein zweiter Schleifkontakt gleitet. *) Als 
Stromquelle dient ein von 2 Akkumulatoren getriebenes kleines 
Induktorium von Hartmann & Braun; die Brücke wird nicht 
in den Sekundärkreis, sondern parallel der Primärrolle von 
7 Ohm Widerstand geschaltet. Mit einem Siemens & Halske- 
schen Dosentelephon von 5 Ohm Widerstand kann man den 
Schleifkontakt des dicken Drahtes bis auf einige Millimeter 
genau einstellen, und da einer Veränderung des Widerstandes 



1) Ol. Maxwell, Elektrizität und Magnetismus, deutsch von Wein- 
stein, 2. p. 499. Berlin 1883. 

2) Ein Draht von mehreren Metern Länge ist hier noch vorteilhafter. 



SflbttinduktioTU- nnii PrrmeaMHtatsverifleichungeTi. 

oder der Selbstiuduktion in einem Zweige um 0,1 Proz. eine 
VerscbiebuDg dieses Kontaktes um 350 mm entspricht, so ist 
die oben angeführte Genauigkeit bis auf 10 -'' der Gesamtverte 
erreicht, würde auch noch zu überschreiten sein. 

2. Diese Genauigkeit ist ausreichend, um die Methode 
ttuch zur Vergleichung von Permeabilitäten verwenden zu 
Icönaen, und sie emptiehlt sich hierfür durch die Einfachheit 
der Handhabung und der erforderlichen Hilfsmittel. 

Man verwendet hierzu zweckmäßig Drahtrollen ohne Fassung, 
die auf zerlegbaren Holz- oder Pappegestellen gewickelt und, 
nachdem die Windungen mit dünnen Drähten oder Päden zu- 
«aniinengebunden sind, abgenommen werden. Eintauchen in 
flüssiges Paraffin gibt die nötige Stabilität. Von verschiedenen 
hei^eatellten Rollen eigneten sich für den vorliegenden Zweck 
am besten Rollen aus 0,5 mm dickem, elektrolytischem Kupfer- 
draht mit 400 (20 X 20) Windungen von 3,5 cm innerem und 
5,5 cm äußerem Durchmesser, deren Selbstinduktion 7.10"^ 
Quadrant beträgt. 

Man könnte zunächst daran denken, durch Einlegen der 
Bollen in die flüssigen oder pulverisierten magnetischen Sub- 
Ktanzeu die Permeabilität derselben direkt zu bestimmen; in- 
dessen scheitert das daran, daß einmal für Lösungen bei dieser 
Anordnung die Störungen des Minimume infolge von Kapa- 
zitätswirkung und Foucaultströmen beträchtlich sind, sodann 
die unvermeidliche Isolierschicht eine erhebliche und schwer 

I genau zu bestimmende Korrektion (von über 30 Proz.) erfordert. 
Dagegen lassen sich Vergleichungen der Permeabihtäteu magne- 
tischer Substanzen vom Eisen bis hinunter zu Salzlösungen 
der magnetischen Metalle in der Konzentration I g-Mol./L. mit 
ziemlicher Genauigkeit ausführen. 
Die Substanzen werden zu diesem Zwecke in Form von 
Zyliudem verschiedeneu Querschnittes konzentrisch und kon- 
axial in die Rollen eingeführt und die Größe der Verschiebung 
des Schleifkontaktes heim Übergang der Substanzen aus der 
einen in die andere Rolle für die Minimum Stellung verglichen. 
Die Länge der Zylinder muß so gewählt sein, daß eine Ver- 
größerung derselben keine merkliche Verschiebung des Mini- 
muma ergibt; 9 cm sind hierfür mehr als ausreichend. Der 
Querschnitt der Zyhnder richtet sich nach der Größe der Per- 



6 .7. lleydweUler, 

mcabilität; bei den festen und gelösten Salzen erhält man 
bei dem größtmöglich on Querschnitt, so daß das einschließende 
Glasgetaß noch eben in die Rolle paßt, vorzügliche iJinstellungeu, 
bei denen das Telephon geräusch vollständig verstummt; bei den 
magnetischen Metallen ist das infolge der Hysteresis nur noch 
bei einem entsprechend geringen Querschnitt der Fall; auch die 
Rücksicht auf die Größe der Verschiebung, die 1000 mm nicht 
überschreiten kann, zwingt zur Verkleinerung des Querschnittes. 
So gibt beispielsweise ein Nickeldraht von 0,5 mm Dicke 
bei nahe 1000 mm Verschiebung kein gutes Minimum mehr, 
während dieses bei einem etwa halb so dicken Nickeldraht 
fast ganz scharf und sehr gut zu verwenden ist. Bei Eisen 
ist ein einigermaßen brauchbares Minimum erst bei einer 
Drahtdicke unter 0,05 mm zu erzielen. 

Da das Magnetfeld im Innern der kurzen Rollen kein 
homogenes ist, sind die Änderungen der Selbstinduktion bei 
Eiuschiebung der Zylinder nicht ihrem Querschnitte proportional; 
man muß vielmehr eine Graduierung vornehmen, um die Be- 
stimmungen mit verschiedenen Querschnitten untereinander 
vergleichbar zu machen. Von diesem Gesichtspunkte aus wäre 
eine lange Form der Spulen vorteilhafter; die kurzen Rollen 
mit nahe quadratischem Querschnitte sind gewählt worden, 
weil für sie die Selbstinduktion im Verhältnis zum Wider- 
stände ein Maximum ist. 

Die Graduierung ist leicht durchzuführen, indem man ge- 
i^isnete Substanzen in Zylindern von gleicher Länge und ver- 
Kliiedenen Querschnitten einfühii; die Verschiebungen des 
SiJiü'Sifkontaktes wachsen schneller als die Querschnitte, wie 
Ol* sAchstehende kleine Tabelle zeigt, bei deren Aufstellung 
2ii*!iubjithes Mangan (schwach eisenhaltig), Eisenoxyd, festes 
^■■nnwuiii und Manganosulfat (krist) alle in Pulverform be- 

l?r ijiHTsehnitte der eingeführten Substanzzylinder sind 

r ftr Tf"flr5chiebungen des Schleifkontaktes für die beiden 

n:3iiaisKiliiniiren mit 8 bezeichnet; die Verhältnisse 8\q sind 

-- -mniatäit Interpolation auf den für sehr kleinen Quer- 

— r. -" -. \ filükürlich angenommenen Wert 1 bezogen. 

•üb' 0,845 1,18 1,55 2,46 7,02 cm' 
110 U0I2 1,045 1,06.') 1,095 1,275 



SelbftintliiktionS' und Perrnftibilitätsvergleichuni/en. 7 

Dm zwei Beobachtungen für verschiedene Querschnitte 
!gleichbar zu machen, braucht mau hloB die Werte von fi 
rch y und die vorstehend angegebenen den g entsprechen- 
den Werte von Sjq zu dividieren; für andere als die obigen 
q Werte ergibt sich die Korrektion durch lineare Interpolation 
^-hinreichend genau. 

^H Die so reduzierten d sind dem Unterschiede der Permea- 

Hftlität der betreffenden Substanz {p.) gegen die der Luft, oder 

auch ihrer Magnetisierungszahl (Suazeptibilität) * = {^ji — \)jAit 

proportional, und man kann sie durch Vergleichung mit einer 

Normal Substanz von bekannter Magnetisierungszahl, ?.. B. Ferri- 

Bdorid, auch dem absoluten Werte nach bestimmen. 
Natürlich ist dabei auf den Magnetismus der benutzten 
lasget^Be zu achten, den mau empiriscli ermittelt durch Ein- 
schieben der leeren G^lasgeiUße in die Spulen. 

Als Normalsubstanz ist das vielfach untersuchte Ferri- 
^hlorid entweder gelöst oder kristallisiert und fein gepulvert 
l empfehlen, weil seine MaguetisierungsKahl wohl am besten 
»stimmt ist. Ak Mittelwert ergibt sich aus zahlreichen 
assungen, die an anderer Stelle zusammengestellt und be- 
ichen wurden, für den Molekularmagnetismus des wasser- 
ten FeCl, bei mittlerer Zimmertemperatur [17") 

" = 14,2.1()-\ 



rorin X die Magnetisierungszahl der wasse dreien Substanz 

»die Zahl der Grammmoleküle im cm^ bezeichnen. Kommen 

f y g Salz 17' g Wasser im Kristall oder in der Losung, und 

man die Magnetisieningszahl des Wassers nach dem 

Cttelwerte der neueren Bestimmungen gleich 

-0,75.10-0, 

berechnet sich die Magnetisiernngszahl für wasserhaltiges 
Ider gelöstes Ferrichtorid 

,,-(H2-0,76f^),.10-., 

FDiiD M= 162,25 das Molekulargewicht des FeCl^ ist, Um- 
ikehrt kann man nun, wenn für eine zweite Lösung aus dem 



\ 



N 



8 A. Heydweiller. 

Verhältnis der Verschiebungen bei gleichem Querschnitt, S^ 
für die Ferrichloridlösung und S^ für die zweite Lösung, deren 
Magnetisierungszahl 

*2 — *1 ^^ 

bestimmt ist, daraus den Molekularmagnetismus des zweiten 
gelösten Salzes berechnen gleich 

-*^ + 0,75-^:^.10-3. 

y ' ' g 1000 

Dieselbe Formel gilt auch fUr wasserhaltiges festes Salz. 

3. Zum Belege für die Brauchbarkeit der Methode seien 
einige Beobachtungen angeführt Die ersten beziehen sich auf 
die Permeabilität des Nickels in schwachen Feldern , die meines 
Wissens noch nicht bestinimt ist. In Ewings bekanntem 
Buche ^) findet sich p. 87 die Magnetisierungszahl des Nickels 
erst von der Feldstärke 6,5 C.G.S. ab angegeben und auch 
diese Zahl 'ist noch ziemlich unsicher wegen des großen re- 
manenten Magnetismus (/ = 22 für // = 0), der vom Nickel 
mit besonderer Hartnäckigkeit festgehalten wird. 

Die Beobachtungen ergaben für einen ausgeglühten Draht 
aus Eeinnickel von Basse & Selve in Altena, der nach Analyse 
von Hrn. F. Rose in Strassburg 1,12 Proz. Eisen und 0,23 Proz. 
Graphit und Silicium enthält vom Querschnitte 

q = 0,000570 cm* eine Verschiebung ^ = 241 mm 
fQr einen weichen Eisendraht (abgefttzter Blumendraht) 

q = 0,0000241 cm« ") d = 495 mm 

für einen anderen weichen Eisendraht 

q = 0,0000204 cm« •) d = 400 mm 

für eine Ferrichloridlösung von 81,0 Proz., v = 2,49. 10 --^ 

^ = 7.18 cm* d = 102,8mm 

Daraus ergeben sich nach obigem die folgenden Werte 
der Hagnetisiernngszahlen x und Permeabilitäten fA==\ + inx: 



\) i, A. Ewing, Magnetische Induktion in Eisen und verwandten 
HdtOeQ, deatsdi von L. Holborn und St. Lindeck, Berlin und 
1S92. 
t^ !>« Quenchnitt wurde durch Wflgung und spezifische Gewichts- 
tmittelt 



\ 



8eJb9tmduktions- und PeitneabUitätsvergleickungen, 

69 
«1 = (14,2 -0,75. --.0,1622) 2,49. 10 -6 = 34,8.10-6: 

31 

ft = 1,000433 

för den Nickeldraht, durch Vergleichung mit vorstehendem Werte 

241 7,18.1,275 „, « ,^ . , „^ 

' = sTTTo^ • - 1Ö2,V- • ^*'«-^°-' = ^'»2 '' = '^'^ 

für den ersten Eisendraht: 

« = iTTT-TTT-i • —TXTT^--- 34,8. 10-6 = 63,8 u = 803 

2,41.10-6 102,8 * * ^ 

für den zweiten Eisendraht: 

400 7,18.1,275 



X = 



.34,8.10-6 = 60,9 fi = 766 



2,04 . 10 -6 * 102,8 

Für die Feldstärke bei diesen Versuchen lassen sich min 
allerdings nur Grenzen angeben. Aus den Dimensionen und 
der Windungszahl der Spulen berechnet sich die Feldstärke 
in ihrem Mittelpunkte zu F^Wli C.G.S.-Einh., für i Am. 
Stromstärke. 

Bei den vorstehenden Versuchen betrug die Stromstärke 
in jeder der Spulen bei vollständiger Ausschaltung des Unter- 
brechers (Wagnerscher Hammer mit Platiukontakt) 0,105 Am., 
die entsprechende Feldstärke in der Mitte der Spulen ist also 
p =z 11,6 C.G.S.-Einh. — Dies ist aber nur eine obere Grenze, 
denn erstens führt der in Gang befindliche Unterbrecher einen 
größeren W^iderstand ein, zweitens kommt bei den kurzdauern- 
den Stromschlüssen infolge der beträchtlichen Selbstinduktion 
die Stromstärke nicht voll zur Ausbildung und drittens liegen 
die 9,3 cm langen Drähte nur mit ihrem mittleren Teile in 
dem obigen maximalen Felde. Die mittlere Stromstärke bei 
tätigem Unterbrecher betrug 0,0125 Am., also nur ^s ^^^ 
obigen. 

Aus den Zahlen für die Permeabilität des Eisens würde 
man nach den Versuchen von Roessler^j auf eine Feldstärke 
von etwa 1,3 C.G-.S.-Einh. schließen dürfen. 

Das Verhältnis der Permeabilitäten von Eisen und Nickel 
ergibt sich nach vorstehendem zu etwa 45 : 1, während es bei 
größeren Feldstärken auf bedeutend kleinere Werte (etwa 3,5 : 1) 
absinkt^ — 



1)G. Roessler, Untersuchungen über die Magnetisierung des 
Eisens. Dissertation, Zürich 1S92. 
2) Vgl. J. A. Ewing, 1. c. 



10 A. Heydweiüer, 

4. An zweiter Stelle seien hier einige Beobachtungen an- 
geführt über etwaige Änderung des Magnetismus von Eisen- 
und Mangansalzen durch Auflösung in Wasser. Diese Frage 
ist schon von 6. Wiedemann^) und Herrn J. Königsberger^ 
behandelt worden. Der erstere fand bei Feldstärken, die nach 
seinen Angaben auf etwa 10* bis 10^ C.G.S.-Einh. zu schätzen 
sind, für Ferrosulfat (krist), Ferrochlorid (wasserfrei), Ferri- 
chlorid (wasserfrei) und Manganosulfat (krist) nur geringe Ände- 
rungen des Magnetismus bei der Auflösung von etwa 2 — 5 Proz. 
und zwar eine Zunahme des Magnetismus; Herr Königs- 
berger dagegen fand bei etwas größerer Feldstärke (2000 C.G.S.- 
Einh.) für Ferrosulfat (krist.) eine Zunahme von 50 Proz, und 
für Ferrosulfat (wasserfrei) sogar eine solche von 100 Proz. bei 
der Auflösung. 

Bei den folgenden Versuchen wurde eine abgewogene 
Menge g g der kristallisierten Salze fein pulverisiert in mög- 
lichst gleichförmiger Verteilung in ein bestimmtes Volumen v 
gebracht und die Verschiebung des Schleifkontaktes 8 gemessen, 
dann ein abgewogener Bruchteil g^ g des Salzes in g\ g Wasser 
zu dem gleichen Volumen v aufgelöst und die Verschiebung S^ 
bestimmt. Man ist dann bis auf eine unbedeutende Korrektion 
iinabhängig von hygroskopischer Feuchtigkeit und von dem 
Eristallwasser und kann mit hinreichender Annäherung das 
Verhältnis der Aquivalentmagnetismen des Salzes im gelösten 
und kristallisierten Zustande setzen 






Der Korrektionsfaktor betrifft das Lösungswasser und er- 
gibt sich numerisch aus der vorher mitgeteilten Beobachtung 
an der E^isenchloridlösung. Ist das spezifische Gewicht s der 
Lösung bestimmt, so kann man auch setzen 



V V 



Die nachfolgende Tabelle gibt eine Zusammenstellung der 
lär -9^^ verschiedene Salze erhaltenen Resultate. Die Salze 



'Viedemann, Pogg. Ann. 126. p. 1. 1865. 
looigBberger, Wied. Ann. 66. p. 698. 1898. 



SeWstmduktionS' und Penneabilitätsvergleichungen, 11 

waren sämtlich rein (von Marquart in Bonn), kristallisiert 
und vor den Versuchen einige Tage im Exsikkator getrocknet. 



9f^ 



dmrn 



FeCl,4H,0 
FeCl,6H,0 

PeSO^ 7H,0 



67,86 
71,87 
54,62 
78,70 



Fe^SOA 6H,0 | 68,80 



MdCI, 4H,0 
MnSO« 4H,0 



93,71 
86,71 



179,0 

162,2 

98,0 

189,5 

157,1 

231,0 
269,7 



!; 



^ig 


^1 mm 


s 




xJx 


39,81 


106,7 


1,316 


19<> 


1,03 P) 


45,85 


102,7 


1,312 


16,5« 


1,006 


21,04 


35,1 


1,160 


25° 


1,035») 


20,83 


34,6 


1,184 


210 


0,968 8) 


33,87 


64,2 


1,331 


14,5° 


0,867 «) 


28,60 


64,2 




- 


1,015*) 


43,39 


107,4 


1,402 


210 


1,022 


46,26 


145,5 


1,342 


17° 


1,021 



In den meisten Fällen scheint also, wie auch beiG. Wie de- 
in an ns Versuchen, eine geringe Zunahme des Magnetismus bei 
der Auflösung einzutreten. 

Die Änderungen sind aber klein und können auf Versuchs- 
fehlem beruhen, insbesondere auf ungleicher Verteilung der 
pulverisierten Salze im Volumen; eine Ausnahme bildet die 
Lösung des Ferrisulfats im Wasser, beider, wieschonG. Wiede- 
mann nachwies, die hydrolytische Spaltung eine erhebliche 
Verminderung des Magnetismus bedingt; die Verminderung 
fallt weg, wenn die Hydrolyse durch hinreichenden Säurezusatz 
beseitigt wird. 

Die von Hm. Königsberger beobachtete starke Ände- 
rung des Magnetismus durch Auflösen bei größeren Feldstärken 
bedarf noch der Bestätigung; ihr würde eine starke Abhängig- 
keit der Magnetisierungszahl des festen Ferrisulfats von der 
Feldstärke entsprechen, die nicht wahrscheinlich ist.*^) 

Es sei noch hervorgehoben, daß man bei den Versuchen 
auf das peinlichste für Vermeidung störender Induktions- 
wirkungen durch Nähe von Eisenteilen, durch Wirkung der 



1) Bei Zusatz von Säure trat keine erhebliche Änderung ein. 

2) Gelöst in Wasser. 

3) Gelost in 4proz. Schwefelsäurelösung. 

4) Gelöst in 12proz. Schwefelsäurelösung. 

5) Für Feldstärken zwischen 6000 und 10000 C.G.S.-Einh. ist nach 
Hrn. St. Meyer (Wied. Ann. 69. p. 257. 1899) die Magnetisierungszahl 
des kristallisierten FeSO« nahe konstant. 



12 A. IleydweiUer, Selbstinduktionn- u, Permeafnlitäisverffleich. 

Stromzuleitung auf die Brückenzweige und das Telephon etc. 
achten muß. 

Auch maß die Auswechselung der Substanz zwischen den 
beiden Spulen öfter wiederholt und in schneller Folge gescheheD, 
um kleine Änderungen der Selbstinduktion durch Temperatur- 
schwankungen und dergleichen unschädlich zu machen. 

über weitere Beobachtungen, nach dieser Methode ist an 
anderer Stelle berichtet^) 

Münster i. W., PhysikaL Inst. d. Universität, Mai 1903. 



1) Ann. d. Phya. 12. p. 608. 1903. 

(Eingegangen 4. Juni 1903.) 



13 



3. Snr la stabilitö 
6lectriqne d'un milieu homogöne et illimitö. 

Par F. Duhem ä Bordeaux. 



Introdnction. 

Dans le c^lebre MÄmoire oü il a d6velopp6 les lois de la 
propagation de T^lectricit^ au sein des milieux immobiles ^], 
Helmholtz s'est propos6, tout d'abord, de gönÄraliser Tex- 
pression du Potentiel ölectrodynamique d*un Systeme. Cette 
expression, il Ta donn^e sous une forme qui comprend comme 
cas particuliers les formales eniployöes par ses prödöcesseurs, 
tels que F. E. Neumanu, W. Weber et Maxwell. Ces 
diverses formales correspondent a aatant des valeurs distinctes 
attribu6es ä une certaine constante num^rique K que Helm- 
holtz laisse indöterminöe. 

L'indötermination de jf, toutefois, ne reste jias absolue; 
des considörations relatives ä la stabilit^ de Töquilibre 61ec- 
trique permettent de la restreindre. 

Voici, en effet, une premifere proposition que Helmholtz 
a d^montr^e: 

Si la constante K est nulle ou positive ^ Vequilibre electrique 
est assurement stable sur un corps immobile ^ doue de conducti- 
bitite, mais denue de pouvoir magnetique et de pouvoir dielec^ 
trique, et place dans un champ electrique donne. 

Plus tard, nous avont g6n6ralis6 ^ quelque peu Tanalyse 
de Helmholtz et 6tabli la proposition que nous allons önonccr: 

Considerons un ensemble de corps immobiles y qui peuvent 
etre dielectriques et magnetiques et dont les uns sont doues de 
coiiductibilite electrique ^ tandis que les autres en sont depourvus] 



1) H. Helmholtz, Borchardt's Journal 72. p. 57. 1870; Wissen- 
schaftL Abhandl. 1. p. 545. 1882. 

2) P. Duhem, Annales de la Facultd des Sciences de Toulouse 
10. 1896. 



V 

\ 



14 P. Duhem. 

si la constante K 71* est pas negative^ si en outre, le coefficieiU 
de Polarisation dielectrigue b et le coefßcient de polar isation ma- 
gnetique & ne sont negatifs pour aucun des corps qui composent 
le Systeme y tequilibre electrique, dielectriqtie et magnetique est 
sürement stable lorsque Von maintient ce Systeme dans un champ 
electrique et magnetique donnL 

Qu' arrive-t-il lorsque la constante K a une valeur nega- 
tive? Est il permis d'affirmer quo sur un conducteur immobile, 
r^quilibre electrique est instable? Pour röpondre ä cette 
question, Helmholtz a analys^^) les courants 61ectriques 
engendrös dans une sphere par les petites yibrations d'une 
conche 6lectris6e concentrique a cette sphere; il a montr6 (^u'en 
supposant A' n^gatif, on pouvait engendrer des courants dirig^s 
suivant les rayons de la sphere et qui ne demeurent pas tres 
petits ; il en a conclu ([ue les valeurs negatives de K dcvaient 
etre, en g6n6ral, rejetöes comnie entralnant Tinstabilit^ de 
Töquilibre electrique sur un conducteur immobile. 

L'analyse de Helmholtz prete a quelques objections; 
il en est une que nous voulons signaler en peu de mots. 

Si, sur un Systeme möcanique en 6quilibre stable, on fait 
agir une action perturbatrice ext^rieure tres petite et p^riodi- 
que, il peut fort bien arriver <iue, malgr6 la stabilitö du 
Systeme, cette action y engendre ä la longue une perturbation 
finie; c'est ce qui aura lieu si Taction a pr6cis6ment pour 
p6riode une des pöriodes propres du Systeme. La possibilit^ 
d'imposer a un Systeme une moditication finie au moyen 
d'une perturbation extörieure pöriodique et tr^s petite n'est 
donc pas un sür indice que le systöme soit en öquilibre 
instable. 

Nous pensons donc qu'il y a quelque int^ret a examiner 

de nouveau le Probleme pos6 par Helmholtz et ä en chercher 

U Solution par des proc6d6s analogues a ceux dont M. Lia- 

pounoff^ a fait usage dans Tötude de la stabilit^ m^canique. 

iaM considererons un milieu homogene, isotrope, illimite, sous- 

a taetion de tout champ electrique ou magnetique autre 



WB. Helmholtz, 1. c. 

1\1L LUpounoff, Le problöme g^ncral de la stabilit^ de moave- 
VBAnKt"^, Kharkow, 1892; Journal de Math^matiques 5« Serie. 



t 



Sur la stabilite ekctrique. 



15 



que ceuz qv^il engcndre lux mime et dont les regions infiniment 
iUngnees sont maintenues ä Petat neutre; nous supposerons ce 
milieu condueteur et non dielectrique j ou bien dielectrique et non 
canducteur; nous montre^'ons que si la constante K etait negative^ 
tetat neutre ne pourrait Stre, pour un semblahle milieu ^ un etat 
d^equüibre stähle; en autre, dans le cas ou le milieu est dielec- 
tiiquey il en serait encore de mSme si le coefficient de polarisation e 
etait negatif; cette derrUere conclusion betend aux müieux di- 
eleciriques qui sontj en outre, conducteurs, 

§ 1. Milien oondnoteur et non dielectriqne. 

Si nous conservons les notations de Helmholtz^ nous 
trouvons sans peine que les composantes t£, v, w, du äux de 
conduction en tout point d'un milieu condueteur, qui peut 
etre magn6tique, mais qui n'est pas dielectrique, y^rüient les 
trois 6quations aux d^riv^es partielles 



(1) 



dJu 1 +471^ - Ä 
dt ^ K 



dxd t \dx 



+ 



dy 



+ 






') 



471(1+471^) d (du 



dv 



"^ ~ xK ' dx \dx "^ by "*" 

4 7rA«(l 4- 4?!^) d^u _ ^ 
" X df "^^ 



d w 

dx 



) 



d/iv 
dt 



+ 
+ 



1 + 4 TT & ^ K J^ 

~ K dydt 

4 71 (l + 4 7t^) ^ 

~xK Ty 

47rii«(l + 4 7yj ») dU 

% d~? 



du dv 
dx dy 



( 

[dx ^ dy ^ 
= 0, 



+ 



d w 

~d 



dw\ 
dx) 



d/lw l + ^n& - K 
~dt '^ K d 



+ 



47i(l + 4 7rV» ) d 
xK 



xd t \dx 
X \dx 



+ 



dv^ 

dy 
oy 



+ 



dw\ 
dx] 



^x] 



d w 
d 



47t ^*(1 + 4 TT^) d^ _ ^ 

X d t*~ " " • 



Si nous posons 



(2) 



^ du , dv . dw 
ox dy dx 



16 



P. Duhem. 



\ 



cette quantit6 v6rifiera T^quation aux dÄrivöes partielles 

(^) ^nÄ^K dt ' Ä*K 

tandis que chacune des quantit^s 






(4) 






vöritie T^quation aux d6riv6es partielles 

(5) 






Coiisidörons un volume tini qu'une surface fermöe S d6- 
coupe au sein du luilieu; soit dcj \m ^löment de ce volume 
et Ibrmons les expressions 



(6) 

(7) 
oü 



/ = 



/l 



dfü , 



= 



Nous auroiis 
dU 



de 
dt 



(8) -^^- = 2jj0J0'r/o>, 



oü 



dV _c,r(ds 

dt J\ dx 



dx 



dB' d S" ö^ de" d6f dS" 
"^ 'öy d'y "^ dx ~d 

^ dt^ 



- jda), 



Mais, en vertu de T^galit^ (3), Tögalitö (9) devient 



fl^ö?, 



— ... itognant deux termes qui se döduisent du terme expli- 
~ fcrit en permutant x, y, z. 



Sur la stabäitS iUctrique. 
('ette 6galit^, a son tour, peut s'^crire 



17 



(10) 



d V 
dt 






n ^tant la normale k rel6ment dS vers l'intörieur du volume 
ciu'enserre la surface S. 

Les 6galit^8 (8) et (10) donnent 



(11) 



(12) ■ 



tPV 

dt* 



= 2 



J{J0')'doi + 2jj0J&'dm. 



-'dJ(j;^^^'+JK^''^)'ey'- 



Moyennant r^galitö (3), ces 6galit68 (11) et (12) deviennent 
(13) '^-^-^2f{J&rda> + 2f[-^,j^-JJ&+ Jj.Jje)j&da,. 



(14) 



d*V 
df 






(O 



Une nouvelle transformation remplace les ögalit^s (13) 
et (14) par les ögalit^s 



(15) 






- ^/(-- 



dAG' 1 djS\ dAG 






(ifO 



Boltxnulon-Festschrift. 



18 P. Duhem. 

'^ ^JW^nA^K dx '^A'^K dx )\4nÄ^K Öx '^ Ä^ K Öx )'^"' 

Imaginons maintenant que la surface S soit une sphere 

de rayon r, indöfiniment croissant, ayant pour centre Torigine 

des coordonnöes; imaginons aussi ([ue, quel que soit /, les 

composantes m, v, w du flux de conduction et leurs d6riv6es 

de tous ordres par rapport a / s'annulent ä Tintini comme des 

fonctions potentielles ^lectrostatiques; nous entendons par 

la que 

du d^u 

du du du d^u 

'*' dx' '* dy ' ''' 'dx ' ^ ~dxdi ' ' "> 

2 d^U 2 Ö'W 2 ^'** 

^ dx'*' ''" dxdy' '"' ^' dx^d'i' '"' 

tendeut vers lorscjue la distance r du point {x, y, z) k 
Torigine crott au delä de toute limite. Nous pourrons, aux 
seconds membres des 6galit6s (8), (10), (15) et (16), supposer 
(lue les integrales ([ui renferment r6l6ment d(o s'^tendent a 
Tespace illiniitö, tandis ([ue les integrales qm renferment J'^W- 
ment dS s'annulent. 

Ces pröliminaires pos^s, supposons que K soit negatif et 
Kf^ns si le milieu Ulimite peut Hre en equiiihre stähle lorsqu'il 
m*fst fe sieqe dfaucun courant, 

Considerons, pour ce milieu illimite, la somme, essen- 
;Bdfement positive, 

Si V^quilibre initial du milieu, suppos6 sans aucun flux 
den, etait stable, on pourrait imposer aux valeurs 
duales de m, v, Wj duföt, dvjdt, dwjdt, des 




Sur la stabüiie electrique. 



19 



limites sup^rieures telles que ty ne pourrait 8uq)asser a aucun 
moment une quantit^ positive P, arbitrairement choisie d'avance. 
Or, les ^alit^s (8) et (10) donneraient 



tandis que les ^galit^s (15) et (16) donneraient 



(19) 



+ 






dx 471 ö 



'?-) 



dJ&\^ 



J ö _x_ d^J ^\ 
3y 4n dy ) 



rf(ö. 



Les valeurs initiales de w, t?, w, dujdt, dvidt, dwjdt 
sont assujetties seulement^ jusqu'ici^ ä demeurer inf(6rieures en 
valeur absolue k certaines limites donn^es; rien n'empeche de 
prendre, k Tinstant initial, 

/.* ^tant une quantit^^ ind^pendante de x, y, r, qui pourra etre 
prise aussi petite que bon nous semblera. L'6galit6 (18) de- 
viendra alors 

(20) (^).= - i^;/!^ e,?da. - ^^jiAQ^fd.. 

Nous pourrons toujours, en premier lieu, choisir les valeurs 
initiales de u, v, tc, de teile sorte que AOq ne seit pas nul 
dans tout Tespace; nous pourrons ensuite choisir X^ si petit 
que Texpression (20) de {dH^ldt)^ ait le signe de son premier 
terme, qui est positif. 

{d }^'ldt)^ 6tant positif et, selon Tögalit^ (19), d^ ff^'jdt^ ne 
pouvant jamais devenir nögatif, H^ croltra indöfiniment avec t; 
il ne pourra donc pas demeurer sans cesse inf^rieur a P, 
Donc r^tat neutre de notre milieu illimit^ ne saurait etre un 
6tat d'^quilibre stable. 



20 P. Duhem. 

§ 2. Milieu dieleotrique et non oondnctenr. 

Les ^quations qui r^gissent les composantes i^ \^y j de la 
Polarisation di^lectrique ont 6t6 donnöes par Helmholtz *); 
ce sont les suivantes: 

d^i 1 . 

(1 -^^nd){\ + 4.nB)^ K d Idj , 15 . ph\ 
■^ 47iA«Äa(l + 471^) Bx\dx "^ dy "^ dxj' 

ö«lj 1 



(21) 



dt* ~ 4 7i^««(l +\niy) ^ 



(1 + 4 7i^)(l + 4718)- ^ J_(^l 4- i^ 4- ^0 



(1 + 4 7r^)(l_+ 471 b)-^K d / il , ö IJ a^ \ 

■*" 471^*^6(1 + 471^) dx\dx "^ dy '^ d%l' 

La quantit^ 

(22) 0=1-*- + I- + 1^ 

^ ' ox oy ax 

v^rifie alors, eu tout point du milieu, T^galit^ 

tandis que chacune des trois quantitös 

(24) ß. = ^A _ ö« , ß ö j _ dj ^ ^ öt, _ p 

^ ' ^ oy ox ^ ox ax ^ ox oy 

v^rifie T^galit^ 

Supposons (lue, quel que soit t, les quantitös f, t|, j et 
l«?urs d^riv^es de divers ordres par rapport a t soient nuUes 
*i riutiui comine des fouctions potentielles. Consid^rons les 
luatn? expressions 



'iti U = j{A&fd(o, 



W U. Helmholtz, 1. c, ^quations (21c). 



Sur la ttabiHU ilectrique. 



21 



<^" '-jw^ (-«/)■+ m\ 



d(o j 



(28) 



F-J{Ji2j'd(o, 



(^») «-/p)'+r4T+n"T]"- 



oü les integrales s'ötendent au milieu illimit^. 

En tenant compte des ^quations (23) et (25]^ et en suivant 
iine möthode semblable k celle qui nous a foumi les ögalitös (8) 
et (10), nous trouverons 



(30) 



(31) 



(32) 



(33) 



dV 
dt 

dF 
dt 

dQ 
dt 



^= 2JAQA(i'do}, 
= 2{A£iA^'d(o, 



Eu raisonnant ensuite comme nous Tavons iait pour ob- 
teiiir les 6galit6s (15) et (16), nous obtiendrons les ögalit^s 



dt*~ 



(34) 



= 2 \[A&fdco 



1 + 47r a 




'i!h['t:h{'tnV': 



(35) 






(O 







öx 



cf ft;, 



(36) 



dp 



~2nA'B{l+in»)J [[ dx ) ^\ dy ) +i ö* j J'""' 



22 P. Duhein. 



(T'G ^ _ 

(37)- 



hn-nö)!^^^^''- 



[ "^ [4~nÄ^B{i+4n&)yJ [\Tx ) "^ V dY) ^[ dx ) J "^ '"• 

Ces pr61iminaires posös, montrons tout d'abord que le 
milieu ne pourrait etre en öquilibre stable lorsque j, tj, j sont 
nuls partout; dans le cas oü le coefficient de polarisation di- 
6lectrique 6 aiirait une valeur negative. 

A cet effet; consid^rons Texpression 

(88) /^ = G - ._^_^.^_^ ___^__ , 

expression qui ne saurait etre negative lorsque € est nögatif. 
Si l'6quilibre du Systeme ötait stable, on pourrait limiter 
sup6rieurement les valeurs absolues initiales de 

öj d)^ öjj 

^' 9» 8» -ßf' ßt' -Qt 

de teile sorte que II ne suri)as8e, pour aucune valeur de t^ 
une quantit^ positive /' arbitrairement donnöe d'avance. 
D'autre part, les 6galit6s (38), (32) et (33) donneraient 

tandis que les ^galitös (38), (36) et (37) donneraient 



(40) 



^^ ^ ([ASifdai 



d^ nA^B{\ •¥ 4nd) 



+ 



1 HidASiy (^JA^Vx (i4ßY 

[27i^«6(l + 47r^)l«j \\ dx J "^i dy ) "^y dx] 



do). 



Sins outrepasser les limites imi)0s6es aux valeurs abso- 
hws initiales de j, 5, g et de leurs d6riv6es par rapport a tj 
ponnons toujours prendre, pour ^ = 0, 

^«;L*r ^^-^'A^t\ ^^=zl^i 

K- taut nne qnantit6 ind^pendante de x^ yj z\ nous pourrons 

«■i iri» en sorte qu'a Tinstant / = 0, A £i ne soit pas nul 

iiK^iQHlVe miliea; la valeur initiale de dHjdt sera alors, 

^^Xi^jDtt^»VBftwment ponitive. D'ailleurs, selon r6galit6(4()), 

<M.4f ift in^ jamaiH nögatif. Des lors, U croitra au 



Sur la stahilite electrique. 23 

dela de toute limite avec t et ne pourra demeurer toujours 
införieor k P, conclusion incompatible avec la stabilit^ attribu^e 
au milieu. 

Le milien devant etre diölectrique^ nous ne poarons attri- 
buer ä € la valear 0. Notu sommes donc coniraints de supposer 
desormais que 6 est positif, 

Nous allons prouver maintenant que, si K 6tait n^gatif, 
le milieu ind^fini, ramen6 k T^tat neutre, ne saurait etre en 
^quilibre stable. 

Considerons, k cet effet^ la fonction 

(41) r=r-(L±ifJ^ 

^ ' 4:71 A'K 8 

qui, en vertu des ^galit^s (26) et (27), ne peut jamais etre 
negative si Ton suppose c positif et K nögatif. 

Si le milieu 6tait en ^quilibre stable, on pourrait limiter 
sup^rieurement les valeurs absolues initiales de 

dj: dtj dj 
^'^'i' dt ' dt ' dt 

de teile sorte que M^ demeure, quelque soit t, införieur a uue 
limite positive arbitrairement choisie F. 

D'ailleurs les 6galit6s (30), (31) et (41) donneraient 

tandis que les ^galit^s (34), (35) et (41) donneraient 



\inA*K,) j[\dx ] +i dy ] ^\~dx) 



dfü. 



A rinstant ^ = 0, nous pourrons toujours prendre 

.^_l-32- ii-33h ^i_23, 

dt ^^ ^' dt " ^' dt "^ ^' 

a' ^tant ind^pendant de x, y, z, et faire en sorte que zl nc 
soit pas nul dans tout le milieu; alors, selon Tögalitö (42), la 
valeur initiale de d^/dt sera sürement positive. 

D'autre part, selon Tögalit^ (43), d^ JVjdt^ ne sera n^gatif 
pour aucune valeur de t 



24 P. Duhem. 

IF croltra donc au delä de toute limite avec t\ il ne 
pourra demeurer toujours inf6rieur ä P et P^quilibre du Systeme 
ne pourra etre stable. 

Le Th^oröme 6nonc6 est ainsi d6inontr6 pour tous les 
milieux di^lectriques d6nu6s de conductibilit6. 

§ S. Milien a la fois oondnctenr et dielectriqne. 

Supposons maintenant que la r^sistance ^lectrique x du 
milieu ne soit pas infinie et qu'en meme temps, le coefficient 
de Polarisation di^lectrique t ne soit pas ^al k 0; provisoire- 
ment, nous laisserons ind^terminö le signe de ce demier 
coefficient 

D^signons par X, Y, Z les composantes du champ ölectri- 
que total; les m^thodes de Helmholtz montrent sans peine 
que Xy Y, Z v^rifient les trois 6quations suivantes: 

dt* 4nA*e(l+4n^)dt^8» d f* 

dt* 4nA''ell+4n&jdt "^sx dt* 

__ (1 + 47re)(l +4n&)- K 6*6 1_ dS _ r^ 

inl^ekil + 4n&) dydt Ä*6Kxdx'^ ' 

dt* 4nÄ*6{l-\-4n&)'dt "^ ex d i* 

__ (1 Hh 47t eKl + 4jrj^) - K d* S 1_ BS _ .. 

471 i«e K(\ + 47t >) d'x dt Ä*6KxJx'~'^' 

6quations daus lesquelles on a pos6 

(45) = ?/ + |Z + 4^. 

^ ' dx * dy * dx 

Cette quantitö v6rifie, en tout point du milieu, Töga- 
lit6 suivante: 



(44) 



1 d^e 



^ "^ dfi ~ inÄ*eK dt + lü'Kx ^^~ bx d'f ' 

i» que chacune des trois expressions 

' ^ li dx' "i- dx--dx' "s=öx-^ 



Sy' 



Sur la stabilite electrique. 



25 



T^rifie^ en tout point du milieu^ T^quation 



(48) 



a<» 



JQ-^'"" 



ex dt ' 



4nÄ*8[l + 4n^) 

Supposons que les quantit^s X, Y, Z et leurs dÄriv^es de 
tous ordres par rapport ä t s'annulent ä l'iniim de la meme 
inanieFe qu'une fonction potentielle. 

Consid6ron8, tout d'abord^ les deux expressions 



(49) 



(50) 






dcj , 



oü les integrales s'^tendent ä l'espace illimit^ ; en faisant usage 
de r^quation (48) et en suivant la m^thode qui nous a donn^ 
les ^qnations (8) et (10), nous trouverons 



(51) 



(52) 



dF 
dt 

IdG^ 
dt 



= 2CjiiJii'da}, 



+«- 



d(ü 



Un raisonnement semblable h celui qui nous a donn^ les 
^galit^s (15) et (16) nous foumit ensuite les ögalit^s 



dt 



(53) 



= 2 [[A O)^ 



dco 



1 r\(d^^J^y . (djny 

27t Ä^ eXl + 4n&)J [ dx ) ^\ dy j 



+ 



d(o 



-m 



öASi dSl' . dASldSl' . dJSidfi' 



d X öx 



+ 



dy dy 



+ 



dx dx 



) 



üt 



26 



(54) 






^nA^e 



F, Duhem, 



üW^t/^^^^'' 



<ü 



+ 



L4n^»e(l 



+ in<^)]*J \[ dx 1 "^ [ dy ) 



+ - ~ - ---fi 



+(^)>» 



dx dx dy dy 



+ 



+ hm)' + m)' + m)' 



dx dx 
äca . 



) 



do) 



Ces formules vont nous permettre d'ötablir le Th6oreme 
suivant: 

Si € 6tait nögatif^ le milieu, enti^rement k T^tat nentre, 
ne serait pas en 6quilibre stable. 

Consid^rons, en eflfet, Texpression 



(55) 



U=G- 



F 



4nÄ*a(i + 4ji^) 






Si € est n^gatif, cette expression ne peut jamais etre n6ga- 
tive. Si Ton observe, d'autre part, que Ton a 



(56) 



I x=-^-, r=-i, z=^, 

) B 8 6 

\ X = XU, 



Z= XV , ^= XW , 



on voit que la stabilitö du Systeme exigerait que Ton püt 
limiter les valeurs absolues initiales de j, t), j, u, v, w et de 
leurs d6riv6es par rapport k t, de teile sorte que, quel que 
soit t, H demeurät inf6rieur k une limite positive arbitraire- 
ment fix6e d'avance F. 






i 



Sur la stabilite electrique. 27 

Or les 6galit68 (55), (51), (52) donnent 

TT = ., f. ^ . WZ I Ji2J £i'd(o 

dt 71 J.'e(l + 4Tf ^) / 



+.V[(W+(W)'+(^)? 

I- tandis que les 6galit6s (55), (53) et (54) donnent 



(58) 



€PH 



di* 4nÄ*eil 



hvn^ß^^rda, 






ex d X 



1_ ^^ß t ^_ ^!_ 

■*" '47i^*fi(l + 4/1^) öy " "*" 6x dy 

47ii«a(i + 47i>)" dx '*"ex dx 



d(i) . 



Sans transgresser les limites impos6es aux yaleurs absolues 
initiales de £, ^, j, nons pourons faire que, pour ^ =: 0, A Si 
ne soit pas nul en tont point du milieu; nous pourrons, en 
outre, prendre, k ce mSme instant, 

Ji"^^' 'dJ"^^' dt" ^' 

X* 6tant une quantitä indöpendante de x, y, z; nous avons alors 
trois 6galit^s qui entrainent 

Selon r^galit^ (57), la valeur initiale de dHjdt sera süre- 
ment positive. 

Selon TÄgalit^ (58), d^Ujdt^ ne peut etre que positif ou 
nul, si a est n^gatif. 

Donc, dans le cas oü « est nögatif, H croitra au dela 
de toute limite avec t, tandis que la stabilite du milieu exi- 
gerait que cette quantit^ ne surpassät pas P. 

Le Thöorfeme 6nonc6 est donc dömontrö. 

Bordeaux, 4. Juin 1903. 

(Eingegangen 9. Juni 1903.) 



28 



4. Notiz über die Vergleichung 
des Meters mit der Wellenlänge des Lichtes. 

Von O. ChwolBon in St Petersburg. 



Ich möchte mir erlauben, einer kurzen Notiz zu der be- 
kannten schönen Arbeit Mich el so n 8 ein paar Worte über den 
Genauigkeitsgrad physikalischer Messungen vorauszuschicken. 

Es sei X der wahre, mathematisch absolut genaue Zahlen- 
wert einer zu messenden physikalischen Größe. Eine mehr 
oder minder große Anzahl von Ursachen, die wir Faktoren 
nennen wollen, üben während der Messung einen solchen Ein- 
fluß aus, daß wir direkt, d. h. vor Einführung der sogenannten 
Korrektionen, statt der gesuchten Zahl x eine andere Zahl x^ 
erhalten. Die wahre Kunst des Experimentators besteht darin, 
von dem gefundenen x^ zu einer solchen Größe x' überzu- 
gehen, welche dem gesuchten x möglichst nahe kommt Zu 
diesem Zwecke müssen jene Faktoren aufgesucht und ihr Ein- 
fluß auf das Resultat der Messung bestimmt werden. Den 
auf diese Weise erreichten Genauigkeitsgrad können wir aus- 
drücken, indem wir sagen, daß die gesuchte Größe genau be- 
stimmt sei bis auf ein w-tel ihres Wertes, oder daß der Fehler 
sicher ein n-tel dieses Wertes nicht übersteigt; in Zeichen 

hätten wir 

a/ — a? 1 



X n 

Es ist jedoch mehr üblich, die erreichte Genauigkeit durch die 
letzte noch sichere Dezimalstelle zu charakterisieren, d. h. statt 
jenes n eine Potenz der Zahl 10 anzugeben. Wir setzen 
daher 

±?^<10-, 

X 

wo also jetzt diese Zahl n den Genauigkeitsgrad der Messung 
charakterisiert 



^H Vrrglekh ilen Meters mit der tVeihnlärtge des Lichtes. 29 

^1 Die Faktoren, welche während dar Messung eine Bolle 
^H ^elen, lassen sich in Gruppen teilen, von denen wir folgende 
^P drei auatehließen wollen: 

a) Unmöglichkeit, die bei der Messung vorkommenden 
(„IWe-Bungen" am Instrument mit absoluter Genauigkeit aus- 
H^ nfabreD. 

^B b) Siibjektive oder „persönliche" Fehler, die in den physio- 
^P logischen oder psychologischen Eigenschaften des Experimen- 
I talArs begründet sind und eine gleichmäßig bestimmte Richtung 
besitzen. 

Kurz gesagt, wir setzen voraus, daß der vom Instrument 
ingegebene Zahlenwert mit absoluter Genauigkeit gufunden 
werden kann. Durch Häufung der Beobachtungen, Wechsel 
Jer Richtung etc. laasen sich ja die direkten Ablesungs fehler 
tu vielen Fällen tatsächlich beliebig verkleinern. 

c) Fehler in den benutzten Grundmaßen wollen wir eben- 
falls als nicht vorhanden annehmen. Ein z. B. als Ohm an- 
gegebener Widerstand oder eine als Kilogramm angegebene 
Masse sollen also wirklich diesen Einheiten entsprechen, wenn 
der als Bedingung angegebene physikalische Zustand vorbanden 
ist Dagegen gehören die bei anderen physikalischen Zuständen 
eintretenden Änderungen der Maße zu der zweiten, wohl zu 
beachtenden Gruppe von Faktoren, die wir gleich anführen 
wollen, da es sich dann um einen äußeren Einfluß auf das 
Meßinstrument handelt. Zu derselben Gruppe von Faktoren 
gehören auch Fehler in der Bestimmung des gegenseitigen 
Verhältnisses der einzelnen Stücke eines „Satzes" von Maßen, 
also etwa der einzelnen Widerstände eines Rheostaten, der 
Stucke eines Gewichtssatzes, der Teilungen einer Geraden oder 
eines Kreises etc., denn hier handelt es sich um Faktoren, 
die von den Eigenschaften des Meßinstrumentes abhängen. 

Indem wir also die Gruppen a, b und c als nicht vor- 
banden annehmen, sollen weiterhin als „Faktoren" nur die 
folgenden zwei Gruppen bezeichnet werden: 

1. Physikalische Ursachen, die den Zahlenwert x der zu 

messenden Größe modifizieren, z. B, bei einer Wägung der 

^Einfluß der umgebenden Luft, elektrischer oder magnetischer 



30 0. Chwolstm, 

2. Faktoren, die von den Eigenschaften des Meßinstru- 
mentes abhängen, und zwar erstens von Un Vollkommenheiten 
der inneren Einrichtung desselben, zweitens von physikalischen 
Einflüssen auf diese oder jene Teile des Instrumentes. 

Diese zwei G^ruppen von Faktoren sind es vor allen, auf 
die es ankommt, wenn die Korrektionen eingeführt werden, 
um von der direkt erhaltenen Zahl x^ zu einer dem x mög- 
lichst nahen Zahl x' zu gelangen. 

Jedem Faktor enUpricht eine gewisse Zahl n, d. h. eine 
Dezimalstelle, bei welcher dieser Faktor f&hlbar wird; soll 
also der Genauigkeitsgrad n erreicht werden, so muß der 
Einfluß des betreffienden Faktors untersucht und eliminiert 
werden. Umgekehrt entsprechen jedem n eine gewisse Anzahl 
m von Faktoren. Wir können also setzen 

die Anzahl der fühlbaren, also zu untersuchenden Faktoren 
ist bei jeder Messung eine von der Art der letzteren abhängige 
Funktion des zu erreichenden G-enauigkeitsgrades n. Bei 
kleinem ti (= 1 oder 2) kann bei einigen Messungen m s 
sein, d. h. wir können x^ = x setzen. Mit wachsendem n 
wächst auch m. 

Vielleicht bietet einiges Interesse die Frage, welchen Wert 
m erreicht, wenn n = oo gesetzt wird, d. h. wie groß wohl die 
Anzahl der Faktoren sein müßte, wenn man absolute Genauig- 
keit erreichen wollte, wobei letztere in dem oben genau 
definierten Sinne zu verstehen ist, d. h. also bei Nichtberück- 
sichtigung der unter a, b und c angeführten Umstände. Es 
erscheint doch wohl als wahrscheinlicher, daß für n = cx) die 
Zahl m in allen Fällen endlich bleibt 

Praktisch würden wir es aber bei n = oo stets mit einer 
unendlichen Anzahl von Faktoren zu tun haben und zwar aus 
folgendem Grunde. Es habe zuerst n einen endlichen Wert, 
dem die Anzahl m von Faktoren entspricht. Jeder dieser 
Faktoren muß mit einem gewissen Genauigkeitsgrad n^ be- 
stimmt werden, der sich auf bekannte Weise bei gegebenem n 
für jeden Faktor berechnen läßt, wobei wohl stets n^ <^n sein 
wird. Um die Genauigkeit n^ zu erreichen, muß eine gewisse 
Anzahl m^ von Faktoren mit einer Genauigkeit n^ gemessen 



rngieich des Mrterit mil der ff el/etdänf/f tii-' Ltchtrs 



31 



I werden, wobei wiederum /i, < /», ist etc. Wir gelaugeii auf 
■diese Weise, oft sogar sehr sehiiell, zu so klaiueu Werten von 
^, daß ihnen m. = fl entspricht. Die Gesamtzahl aller zu be- 
Krtcksichtigeuden Faktoren bleibt also eine endliche. Ist da- 
= CP, so müssen offenbar alle n. = co sein und wir 
Putten niemals wj; = 0; die Anzahl der Faktoren wird unend- 
vScb groß. Dabei würden wir wahrscheinUcL auf zahlreiche 
I (DCDli ritiosi stoiieu, indem sich unter den Faktoren m. solche 
P finden werden, welche bereits früher für ein kleineres i auf- 
getreten waren. 

Bei den allermeisten Messungen ist ein hohes 7t nicht zu 
erreiclieti, weil sich nicht alle Faktores m. mit den notwendigen 
Genauigkeitsgraden n. bestimmen lassen. 

Will man hei einer Messung einen gewissen Genauigkeits- 
grad n erreichen, so wird man selbstverständlich alle bekarmteu, 
<1 b. bei dem augenblicklichen Stande der Wissenschaft bereits 
entdeckten Faktoren in Betracht ziehen. Je größer aber n 
»ein soll, um so größer ist die Möglichkeit, daß unbekannte, 
überhaupt noch nicht entdeckte Faktoren auf die betreffende 
DeKimalstelte eiuen Einfluß haben, um so berechtigter wird 
der Zweifel sein, ob wohl der angegebene Genauigkeitsgrad 
a auch wirklich erreicht ist. Gerade die letzte Zeit hat uns 
ja hierin manche Überraschung gebracht. So hat die Ent^ 
(leckung der Radioaktivität uns ein Pförtcheu geöflnet in ein 
oeues (iebiet Ton Erscheinungen, dessen Umfang und Bedeutung 
sich vortäutig auch nicht annähernd schätzen lassen. Ein 
anderem Beispiel bietet die in letzter Zeit erörterte Möglich- 
keit, daß die linearen Dimensionen der Körper von dem Winkel 
abhängen, den sie mit der Bewegungsrichtung im Kaume bilden. 
Hierher gehört auch die bis jetzt unerledigte Frage, ob das 
Gewicht eines Körpers gleich ist der Summe der Gewichte 
»einer Teile und manches andere. 

Ich möchte mir erlauben, an einem Beispiel auf das 
mögliche Vorhandensein eines bisher unbeachteten Faktors 
hinzuweisen. Es bandelt sich um Michelsons Vergleich des 
Meters mit den Wellenlängen von drei Kadmium Uni en. 

Die rein experimentelle Seite dieser Arbeit lassen wir un- 
berührt. Wir wollen annehmen, daß die rote Linie absolut 
h^ogen sei, was ja nach den neueateo Uutersuchungen vou 



32 0. Chwolson. 

Lummer nicht der Fall ist Wir wollen femer annehmen, 
es seien alle Faktoren, und zwar mit solcher Genauigkeit be- 
stimmt, daß man die Länge des Meters in Wellenlängen k 
der roten Kadmiumlinie bis auf 0,2 fjL als festgelegt betrachten 
darf; dies würde etwa 0,33 X entsprechen. In Wirklichkeit 
dürfte die Genauigkeit eine 4 — 5 mal geringere gewesen sein. 
Wir nehmen aber an, es sei derjenige Genauigkeitsgrad er- 
reicht worden, welcher gegenwärtig bei der Vergleichung der 
internationalen Meterstäbe erreicht vdrd und dieser ist eben 
gleich 0,2 fjL. 

Unsere Bemerkung bezieht sich auf die ideelle Seite jener 
Arbeit: es sollte durch den Vergleich des Meters mit dem X 
die Länge des Meters für immer festgelegt werden, so daß 
man säkulare Änderungen in der Länge der Metermaße durch 
neue Vergleiche mit demselben X entdecken oder im Falle 
eines Verlustes der Urstäbe die Länge des Meters von neuem 
herstellen könnte. Soweit die bis jetzt bekannten Faktoren 
in Frage kommen, könnte man behaupten, daß der Vergleich 
des Meters mit X wirklich diese große Bedeutung hat, auf 
welche ja so häufig hingewiesen wurde. Es scheint aber, daß 
bei näherer Betrachtung doch einige Zweifel entstehen können. 

Die mit der Zeit vielleicht sich ändernde Länge der Ur- 
stäbe wird ein für allemal mit der Wellenlänge X verglichen. 
Wer bürgt aber dafür, daß X eine in Raum und Zeit unver- 
änderliche Größe ist? X hängt ab von der Schwingungszahl 
N und von der Lichtgeschwindigkeit v. Wir haben vielleicht 
genügenden Grund zur Annahme, daß N unverändert bleibt. 
Dagegen könnte v wohl eine in Raum und Zeit veränderliche 
Größe sein. 

Da es gleichgültig ist, welche Anschauungen wir unseren 
Hotrachtungen zugrunde legen, so wollen vrir beispielsweise 
iiuuolimen, daß v von der „Dichte" d des Äthers abhängt 
Uioso Dichte könnte nun sowohl im Baum als auch in der 
Zeit veränderlich sein. 

t Nach Jahrhunderten wird sich unser Sonnensystem an 
oiueui amleren Punkte des Raumes befinden, als jetzt. Es ist 
nicht bewiesen, daß der Äther homogen ist, und an dem neuen 
Ort köimte die Dichte desselben eine andere sein, als an dem 
l:\iukt, wo wir uns jetzt befinden. Eine Änderung der Licht- 



r 



rerpleii-h d. Meters mit d. tt'vlleii/anffe d. I.Kliles. 



33 



geschwindigkeit um 2. lü~' ihres Wertes (entsprechend 0,2 //), 
d. b. um nur <iO vi in der Sehunde, würde einen Vergloich des 
Meters mit X, welcher ebenso genau wäre, wie die gegen- 
wärtigen Vergleiche der Meterstäbe unter einander, illusorisch 
macheD. Eine Änderung von v um etwa 250 m würde die 
von Micbelson erreichte Genauigkeit zunichte machen. Im 
niclithomogenen Äther müßten die Lichtstrahlen krummlinig 
iiein. Wo aber wäre der Beweis, daß sie in Wirklichkeit 
geradlinig sind''' 

II. Die Eigenschaften des .\thers könnten auch Funktionen 
der Zeit sein. In der unserer Beobachtung zugkuglicheu Welt 
erblicken wir überall Verauderuug, teils einseitige, teils pul- 
«lerende. Sollte der Äther allein eine Ansnahme bilden und 
111 starrer ün Veränderlichkeit verharren? Vielleicht sind die 
Kigenschaften des Äthers ebenfalls langsamen einseitigen Ände- 
rangen oder perimlischeu Pulsationen unterworfen. Sollte sich 
dabei die 300 Millionen Meter betragende Lichtgeschwindigkeit 
200 Jahren nicht um 60 ni ändern können? 

Geschieht dies, so würde das Problem der Vergleichung 
Meters mit der Wellenlänge eines bestimmten Lichtstrahles 
«eine interessanteste Seite verlieren. Weit entfernt, das hier 
Dargelegte behaupten oder auch nur verteidigen zu wollen, 
habe ich nur die Absicht, zum Nachdenken über diese Präge 
anzuregen. Die Welt als Ganzes ist unserem Intellekt unzu- 
gänglich: Endlichkeit und Unendhchkeit des ßaumes sind uns 
in gleichem Maße unfaßbar, denn wir „begreifen" nur den 
liaum, dem wir „gleichen": endUch und dreidimensional. Die 
bekannte Idee von dem in sich selbst geschlossenen Raum, 
der ein Gebilde von höherer Dimension begrenzt, würde die 
Möglichkeit innerer Änderungen, vielleicht unter dem EinHuß 
(Druck?) .jenes Gebildes, gewiss nicht ausschließen. 

Der große Meister, dem auch diese Zeiten huldigen 
möchten, hat einst den Gedanken anagesprochen, daß es in 
der Welt vielleicht Stellen gibt, wo die Entropie nicht wächst, 
sondern abnimmt. Im Vergleich mit diesem gewaltigen Gedanken 
las hier Dargelegte wohl nicht als zu kühn erscheinen. 
Petersburg, Juni 1903. 






(Eingegangen 14. Jut 



■3.) 



34 



5. Über die liniengeometrische Darstellung 
der Trägheitsmomente eines starren Körpers. 

Von Konrad Zindler in Innsbruck. 



Eline Strecke ABj von der ihre Länge /, die Gerade ff, 
auf der sie liegt (der „Träger") und die Reihenfolge J, B ihrer 
Endpunkte in Betracht kommen^ heißt ein Stab\ ein solcher 
hat also die Beweglichkeit einer Kraft an einem starren Körper. 
Wenn ar^, y^, z^ und x^ y, z die rechtwinkligen Zeiger (Ko- 
ordinaten] bez. von A und B oder von zwei anderen Punkten 
auf ff sind, die den Abstand / haben, so ist der Stab durch 
seine sechs Zeiger 

welche die Bedingung 

vu*rt\Uou, eindeutig bestimmt. Deutet man den Stab als eine 
Kraft, 80 sind bekanntlich p^, p^, p^ die Komponenten ihres 
IHvhmomentes in bezug auf den Ursprung des Zeigersystems, 
l^to UK>Bon p kann man, wenn man nur ihre Verhältnisse in 
l*oti'Hv^ht zieht, auch als Zeiger des Trägers („Linienzeiger") 
:uitlH8sou, Kine (nichthomogene) Gleichung 

;^^ <i^[p,, ...p,) = o 

soiulort zusammen mit (2) eine vierfache Mannigfaltigkeit von 
Siahcn, oiuou ,,Stabwald'* aus. Anderseits kann man auf jeder 
Vohso oiues starren Körpers einen Stab auftragen, der vom 
.u^ohorigi'ii Träj^hcitsmoment abhängt (z. B. ihm gleich ist) 
uuU crhiilt so obtMifalls einen Stabwald /T. Es liegt nun nahe, 
Uio iHirstclluug von /A durch eine „Stabgleichung", d. i. eine 



Trägheitsmomente starrer Körper, 35 

Gleichung von der Form (3) zu suchen; dann wären die Träg- 
heitsverhältnisse des starren Körpers durch eine einzige Glei- 
chung dargestellt: 

Es sei a eine beliebige Drehungsachse, T das zugehörige 
Trägheitsmoment des starren Körpers K von der Masse M\ 
d die parallele Achse durch den Schwerpunkt S von K^ und T 
das zagehörige Trägheitsmoment; d der Abstand der beiden 
Achsen. Dann ist 

(4) T=T + Md\ 

Ferner seien A, B, C die Trägheitsmomente für die Haupt- 
trägheitsachsen des Schwerpunktes, die wir als Zeigerachsen 
nehmen und a, ß, y die Richtungskosinus von a'; dann ist^) 

(5) T = Äa^ + Bß^ + Cy\ 
Endlich erhält man 

(8) ^^P j+pi+pj a) 

Mit Hilfe der Gleichungen (4) bis (8) kann man das Trägheits- 
moment um eine beliebige Achse als Funktion der Linien- 
zeiger dieser Achse ausdrücken: 

Trägt man auf ihr die Strecke l = T auf, so wird wegen (6) 
mid (9) die Gleichung des Stabwaldes vom sechsten Grade: 

il>\+P\+ Pl? = \.AP\ + Bp\ + Cp\ + M{p\ ^pl+ p\)]\ 

Einfacher wird es schon, wenn man l=:^T wählt, wodurch 
man zu einem Stabwald vierten Grades kommt. Aber zum 
einfachsten Ergebnis führt die Annahme 

die der Verwendung Poinsotscher Trägheitsellipsoide ent- 
spricht: 

1) Vgl. z. B. Routh, Dynamik 1. § 15. 

2) Vgl. K. ZiDdler, Liniengeometrie 1. §83. 

3* 



36 K, Zindler. 

(10) Jp\ + Bpl + Cpl+M{pl+pl+pl)^l. 

Indem man hier für die p die Ausdrücke (1) einführt, kann 
man für einen beliebigen Punkt Xq, y^, z^ die Gleichung des 
zugehörigen Trägheitsellipsoides hinsclüreiben. 

Als Anwendung leiten wir die schon bekannte Gleichung^) 
des Komplexes der Hauptträgheitsachsen auf kürzestem Wege 
ab: Legt man in der Gleichung (9) dem T einen bestimmten 
Wert bei, so erhält man die Gleichung des Komplexes der 
Achsen eines bestimmten Trägheitsmomentes (kürzer: „einen 
Komplex konstanten Trägheitsmomentes"): 

(11) {A-T)pl+(B-T)pl + {C-T)pl + Al{p]+pl+pl) = 0. 

Durch jeden Punkt P^ des Raumes geht hiervon ein „Kegel 
konstanten Trägheitsmomentes'', von dem man eine Leitkurve 
auch erhält, indem man das Trägheitsellipsoid von P^ mit der 
konzentrischen Kugel vom Halbmesser 1/]/^ zum Schnitt bringt, 
wodurch ein sphärischer Kegelschnitt entsteht. Stimmt der 
Durchmesser der Kugel mit einer Hauptachse des Ellipsoids 
überein, so steht dieses mit der Kugel in doppelter Berührung 
und der Kegel zerfällt in ein Ebenenpaar (nur für die mittlere 
Achse reell), dessen Ebenen sich in der betreffenden Achse 
schneiden. Nun sind für einen quadratischen Komplex die 
Schnittlinien der zerfallenden Kegel zugleich die singulären 
Linien des Komplexes^; also: Die Hauptträgheitsachsen sind 
zugleich die siagvlären Linien der Komplexe konstanten Trägheits- 
momentes, 

Wir werden also alle Hauptträgheitsachsen finden, wenn 
wir für alle Werte T die singulären Linien der Komplexe (11) 
suchen. Für einen Komplex 

(12) ^(p,,...;>,) = 0, 

wo F eine homogene Funktion ist, sind die singulären Linien 
die gemeinsamen Linien von (12) und von 

(13) 11^.^1:^ = 0.^ 



1) Staude, Leipz. Ber. 1899. 

2) Vgl. z. B. Plücker, Neue Geom. des Raumes, p. 307. 1869. 

3) Vgl. z. B. Salmon-Fiedler, Analyt. Greometrie des Raumes. 
2. Art 362 f. 



Trägheitsmomente starrer Korper, 37 

Enthalt die Gleichung (12) einen Parameter 7, so findet man 
den Komplex der singulären Linien der cx)^ Komplexe (12) 
durch Elimination von T aus (12) und (13). In unserem Falle 
verschwindet aber das T aus der Gleichung (13) wegen der 
Beziehung (2) von selbst und wir erhalten, indem wir (13) auf 
(11) anwenden: 

(14) Ap^p^ + Bp^p^ + Cp^p^ = 

als Gleichung des Komplexes der Hauptträgheitsachsen. Dieser 
ist bekanntlich ein tetraedraler Komplex und identisch mit 
dem System der sämtlichen Normalen aller konfokalen Flächen: 






Hieraus kann man eine anschauliche Vorstellung von der 
Verteilung der Hauptträgheitsachsen im Räume gewinnen. 

Innsbruck, 13. Juni 1903. 



1) Man yergleiche hierüber ClebBch-Lindemann, Geom. II, 1. 
p. 287. In der Tat erhält man aus den dortigen Gleichungen (83) ver- 
möge der Beziehung (2) die Gleichung (14) bis auf die Bezeichnung. 

(Eingegangen 14. Juni 1908.) 



38 



6. Zur Temperaturbestimmung strahlender Gase. 

Von H. Kayser in Bonn. 

Durch das Gesetz, welches von Stefan empirisch gefan- 
den, dann von Boltzmann auf feste theoretische Grundlage 
gestellt wurde, sind wir in den Stand gesetzt, aus der Gesamt- 
strahlung eines festen Körpers seine Temperatur mit ziemlicher 
Annäherung zu ermitteln. Dasselbe Ziel läßt sich in vielleicht 
noch genauerer Weise durch die Folgerungen aus dem Wien- 
schen oder Planckschen Strahlungsgesetz erreichen. Für die 
Strahlung der Gase hingegen fehlt eine ähnliche Handhabe 
vollständig, ja wir wissen in vielen Fällen nicht einmal, ob die 
Strahlung irgend etwas mit der Temperatur zu tun habe: die 
Bewegung der emittierenden Teilchen, der Elektronen gemäß 
der Untersuchung des Zeemanphänomens, kann hervorgerufen 
werden ganz unabhängig von einer Bewegung des Atoms, zu 
dem sie gehören, und vollends von einer Bewegung des Mole- 
küls. Ich bin indessen der Meinung, daß in vielen Fällen 
die Strahlung der Gase auch eine Folge von Molekularbewegung, 
d. h. von hoher Temperatur ist; ich kann mir z. B. nicht recht 
vorstellen, auf welche andere Art die Strahlung der Himmels- 
körper zustande kommen sollte. Für die Fragen der Astro- 
physik ebenso wie für die der Spektroskopie ist es daher von 
g;inz fundamentaler Wichtigkeit, die Temperatur der emittieren- 
iea Gase bestimmen zu können. 

Bei der so vielfach erkannten Kontinuität der Erscheinungen 
'^i den verschiedenen Aggregatzuständen wird es nicht über- 
-3:iäi^ gewagt erscheinen, anzunehmen, daß ein Hauptergebnis 
itx i^n festen Körpern, daß nämlich das Maximum der Emission 
- : steigender Temperatur nach kürzeren Wellen rücke, auch 
■T ',^? Gase gelte, wenn auch nur in dem Sinne, daß über- 
• ijri ^m Rücken stattfindet, wenn auch nicht nach demselben 
^-aj^-tov- Eine erste Bestätigung könnte man darin sehen, 



Temperahiriiestimminiff strnhleinier Gase. 



3n 



daß beim Übergang vnn der BunsenlJaiiiiiie ziim Knallgas und 
zur BogeDlamjie das Spektrum immer weiter ins Ultraviolett 
reicht Allein eine geuauere Betrachtung ^^eigt, daß gleich- 
zeitig gauz regelloa auch sehr lange Wellen an Intensität er- 
heblich zunehmen, kürzere abnehmen, daß also jedenfalls für 
alle Linien einea SpektrumB das Gesetz nicht gelten kann. 
Eine Erklärung dafür ist nicht schwierig: wir müssen ja an- 
nehmen — schon die verschiedenartige Zerlegung der Linien 
im Magnetfeld zwingt dazu — daB in jedem leuchtenden 
Dampfe eine ganze Anzahl verschiedenartiger emittierender 
Teilchen vorhanden sei. Mit der Temperatur und wachsender 
Dissoziation wird die Anzahl jeder Art variieren, und da die 
Helligkeit einer Linie im Spektrum sowohl von der Emission 
jedes Teilchens als auch von der Zahl der emittierenden Teil- 
chen abhängt, kQnnen scheinbar ganz regellose Inteusitäta- 
Änderungen aat^reten. 

Biese Überlegung zeigt aber gleichzeitig, in welcher Rich- 
tong die Untersuchung sieh zu bewegen hat: wir dürfen nur 
Linien eines Teilchens ins Auge fassen. Es scheint ziemlich 
zweifellos, daß die Linien einer Linienserie demselben Teilchen 
ihren Urspnmg verdanken; ich brauche nur an die iden- 
tische Zerlegung im Magnetfeld zu erinnern, Somit muß die 
Fragestellung lauten: verschiebt sich in einer Linienaerie das 
Intensitätsmazimum mit steigender Temperatur, oder anders 
gesagt: wächst die Intensität der kürzeren Wellen stärker, als 
die der längeren? Wenn diese Frage bejaht werden kann, 
wie wir sehen werden, so tritt die zweite hinzu: folgt die 
Verschiebung dem gleichen Gesetz, welches für feste Körper 
gilt? Diese Frage läßt sich leider vorläufig nicht beantworten, 
da wir nicht imstande sind die Temperatur leuchtender Gase 
zu ermitteln. Man kann dann den umgekehrteu Weg ein- 
schlagen, nämUch annehmen, das Gesetz gelte auch für Gase, 
und aus der Verschiebung die Temperatnr berechnen. Kommt 
man dann zu einigermaßen plausiblen Werten, so ist für den 
ersten Anfang schon viel gewonnen. 

Ich habe vor kurzem Messungen an Serien des H, He, 
i durch Hrn. Langenbach veranlaßt. Dieselben werden wenig 
mau sein, denn leider läßt sich die Energie in den einzelnen 
iaien nicht direkt ermitteln, sondern nur die Helligkeit photo- 



40 a, E4 



fßh^/Ujat*iXer •iarch V^ere^^h mii «ökt kocts^Ant eduiteskcnGlöb- 

troui mitUiht eii^^r BübeD««<iKti TbersDOSMle bestimmt ver- 

d^gffi. Sie ensab «idi aber ak n «diwacii, nsd so vnrde erst 

di'e Ol jiilaiDpe mit einer närkerec photometrisch Ter^^cben, 

daD» letztere mit «ier Tbermosanle gemessen, and so endlich 

«Jie Energie in den Spektrallinkn nnter Terschiedenen Be- 

din^iin^en de« Druckes, der Stromstärke etc. eevonnen. Auf 

diei»efu komplizierten Wege hänfen sich natiiriich die Fehler. 

Dazu kommt noch, daß man bei der photoraetrischen Messong 

die in der Verbreiterung der Linien steckende Eoergiezonahme 

nicht berücksichtigen kann. Es handelt sich hier also offenbar 

nur um einen ersten rohen, mehr qualitatiren Versnch. Auch 

daß aU Stromquelle ein Indoktoriom benatzt werden maßte, 

mi ungünstig: eine große Batterie von Akknmalatoren wäre Tiel 

besser gewesen. Immerhin zeigen die Versuche deutlich genug 

Aüih er «artete Resultat Ich will nur ein kleines Stock einer 

Tabelle für Wasserfctoflf auföhren. Der Druck im Geisslerrohr 

wurde von 1,2 auf 10 mm Terändert, der Induktor mit 4, 6, 

8 AkkumulaU>ren betrieben. Dabei fand sich das Verhältnis der 

Eri<^r{rieri der Linien /^^ : Hß-, Hj folgendermaßen: 



i>rij':k 4 Akkumalatoren 6 Akknmalatoren 8 Akknomlatoren 



1 ,2 wir« 1 : J 27 : 0,0426 1 : 0,1 «0 : 0,086 1 : 0,273 : 0,102 

2,5 „ 1 : 0,121 : 0,0281 1 : 0,142: 0,046 1 : 0,154: 0.056 

:i,.0 „ 1 : 0,095 : 0,01f»5 1 : 0,121 : 0,034 1 : 0,157 : 0,055 

«,0 „ 1 : 0,09H : 0,0180 1 : 0,124 : 0,034 1 : 0,130 : 0,039 

1 0,0 „ 1 : 0,065 : 0,01 1 6 1 : 0,098 : 0,021 1 : 0,1 1 3 : 0,032 

Die Zahlen zeigen aufs deutlichste^ daß mit steigendei 
Htroinstärke die Intensität der kurzwelligen Linien starkei 
wächst, also wenn wir das ho deuten dürfen, die Temperatui 
f(t4sigt; mit wachsendem Druck aber nimmt die relative Hellig 
keit von I/ß und 11^ tkh, die Temperatur sinkt. 

Da sich bei den beiden anderen untersuchten Elementei 

***J»»*lbe ündet, scheint mir der Schluß berechtigt, daß aucl 

^ Uuitutpektren das Gesetz der Verschiebung des Intensitäts- 

'••**\nmm» mit derTemperatur wenigstens qualitativ gilt Denkl 



Temperaturbestimmung strahlender Gase, 41 

in sich nun die Wellenlängen als Abszissen, die Intensitäten 
T Linien als Ordinaten aufgetragen und legt eine Kurve 
Lieh die Endpunkte, so entsteht die Frage , ob diese die 
eidie Gestalt hat, wie bei den festen Körpern; dann allein 
&rden wir Schlüsse über die Temperatur des Gases ziehen 
5imen. Wir kennen aber zu wenig Punkte der Kurve, und 
lese zu ungenau, um die Kurve wirklich zeichnen zu können. 
)aher schlage ich den umgekehrten Weg ein: ich nehme an, 
8 sei die gleiche Kurve, dann kann man aus dem Verhältnis 
er Intensitäten an zwei Stellen die zugehörige Temperatur 
«rechnen. 

Wir können unbedenklich das Wien sehe Gesetz zugrunde 
egen, da dasselbe richtig ist, solange IT <^ 3000, wenn A in /u 
usgedrückt wird; das Gesetz gilt also für sichtbare Strahlen 
18 etwa 5000 ^ Für zwei Wellenlängen A und \ haben wir 
•ei derselben Temperatur T\ 



Iso 






T 






■8^-l«(i) 



Setzen wir für Cg den von Paschen gefundenen Wert 14 500 
n, für X und \ die Wellenlängen von Ha und Hß, nämlich 0,656 
id 0,486, und berechnen Tfnr t= 10, 5, 3, 2, 1, so findet sich 

r= 2036« abs. für A = 10, d. h. H^iEß^ 1:0,1 
r=2491« „ „ ^= 5, „ „ HaiBß^ 1:0,2 
T=2981« „ „ J= 3, „ „ /T, : Zr^ = 1 : 0,333 
r=3532« „ „ J= 2, „ „ Äa:i^/.= 1:0,5 
r=5166« „ „ ^= 1, „ „ BaiBß^ 1:1. 

Daraus findet man, daß z. B. beim niedrigsten Drucke 
n 1 ,2 mm die Temperatur im Geisslerrohr bei 4, 6, 8 Akku- 
ilatoren etwa 2200^ 2340^ 2760« abs. betragen habe. Das 
deinen mir Zahlen zu sein, die mit anderweitig bekannten 
itsachen nicht in Widerspruch stehen. 



42 H, Kayser. Temperaturbestimmvng strahlender Gase. 

Man könnte in der Prüfung noch einen Schritt weiter 
gehen, nämlich für diese Temperaturen auch das Verhältnis //«://, 
ausrechnen und mit dem beobachteten vergleichen. Man findet 
dann die beobachteten Werte zu groß ; da aber die Ungenauig- 
keit der Beobachtungen mit abnehmender Wellenlänge schnell 
wächst, so halte ich diesen Vergleich für unzweckmäßig. 

Ich ziehe somit aus den Versuchen natürlich nicht den 
Schluß, das Strahlungsgesetz der festen Körper gelte auch f&r 
Gase, sondern nur den viel bescheideneren, ein den festen 
Körpern qualitativ ähnliches Verhalten der Gase sei nicht un- 
wahrscheinlich. Ich möchte bosser ausgerüstete Beobachter, 
namentlich solche, die bolometrisch zu arbeiten verstehen und 
mit einer großen Batterie versehen sind, anregen, die wichtige 
Frage genauer zu verfolgen. 

(Eingegangen 1. Juli 1908.) 



r 
1 



48 



7. Idöes fondamentales d'un essai de 
throne möcanique de Fölectricitö ißt de la chaleur.^ 

Par F. de Heen k Li^ge. 



La manifestation destinöe ä feter Tillustre Boltzmann 
me fournit Toccasion de r6sumer dans ses grandes lignes le 
büt que j'ai poursuivi dans mes recherches. Je suis d'autant 
plus heureux de pouvoir le faire que ma conception des choses 
de la physique est en parfait accord avec celle du grand 
physicien; comme lui j'appartiens ä Wcole scientifique que Ton 
pourrait appeler Pecole syntetiste qui ä Toppos^ de celle des 
analystesj part d'une conception hypoth6tique mais tangible de 
la Constitution de la substance, pour en döduire les lois qui 
tombent sous nos sens. 

Je serais entralnö trop loin si je voulais discuter ici les 
arantages et les inconvönients de chacune des ces 6coles. Le 
sentiment se trouve en röalit^ ä la base de tout cela. L'analyste 
pröftre savoir surement, mais se ferme k tout jamais le domaine 
de la Philosophie naturelle. Le syntetiste est avant tout le 
philosophe de la science. 

Guido par le sentiment que nous venons de d6finir notre 
pr^occupation a d'abord ^t^ d'6tendre aux liquides la möthode 
qui avait ddjä 6t6 appliqu^e aux gaz avec tant de succ6s par 
Amontons, Bernouilli, Clausiu8,Kroenig et notre jubilaire 
Boltzmann. 

L'id^e que nous-nous somnes faite de la Constitution des 
liquides a pris naissance k la suite d'une interpr^tation que 
nous avons donnöe des phönomenes anormaux que prösente 
l'eau (1879) hypothese qui a 6t6 formul6e de la meme manifere 
par M. Ramsay qui n'avait pas eu connaissance de notre 
travail. D'apres cette hypothese l'eau i\ l'ötat liquide est 
formte par des mol^cules que nous avons d6sign6es plus tard 



1) Les recherches auxquelles 11 est fait allusion sont ezpos^es 
1<> dans „La Chaleur*' (1876—1894), Desoer, Li^ge. 2^ Zeitschrift f. kompr. 
und flüss. Gase. 7. 8. 9. 1898. 3® Sous presse: Prodrome do la th^orie 
m^caniqnc de l'^lectricit^. 



44 P. de Heen, 

80U8 le Dom de molecules lif/uidogeniques, Ces molöcules com- 
plexes seraient formöes par Tassemblage d'un certain nombre 
de mol6cuIes telles qu'elles existent dans l'^tat gazeux, que nous 
avons dösign^es sous le nom de molecules gazogeniques. Enfin 
ce degr^ de complexitö est variable avec la tempörature. Teile 
est la oonception que nous avons ötendue a tous les liquides. 
La mol6cule liquidogönique ne serait autre chose qu'une mol^cule 
tourbillon ou vortex dont les 6l6ments seraient les molecules 
gazog^niques. 

Lorsque la substance est u Tötat liquide ces vortex ^tant 
soumis a des actions attractives mutuelles roulent les uns 
sur les autres en se maintenant pour ainsi dire en contact, 
les molecules gazog^niques qui s^6chappent accidentellement de 
ces tourbillons döterminent T^vaporation superficielle. 

Remarquons (jue la th6orie des tourbillons de Helm- 

holtz nous apprend qu'a un accroissement de vitesse angulaire 

du mouvement tourbillonnant correspond une diminution de 

diamötre du tourbillon de teile maniere que si la mol^cule 

liquidog^nique conservait une masse invariable, un accroissement 

de temp6rature serait accompagn^ d'une contraction. Le ph^no- 

m^ue exceptionnel que präsente l'eau serait donc le cas normal, 

et la dilatation teile qu'elle s'observe g6n6ralement doit etre 

ci>Qsid6r6e comme le rösultat d'une Variation de masse de chaque 

molöcule liquidog^nique avec la temp6rature or puisque la 

Titesae angulaiie croit avec ce facteur, le rayon de la molöcule 

tourbillon diminuant, cet accroissement de temp6rature doit 

n^cessairement produire une diminution de la masse de la moI6- 

cule liquidog^nique, si une dilatation se produit. A chaque tem- 

fttalore correspond un liquide particulier physiquement defini. 

Si les mol6cules s'allignent de maniere ä ce que les axes 

ta^ tCHurbillons se trouvent sur un meme prolongement, ainsi 

fiw cda ae passe dans les cristaux, nous pourrons observer 

itt( dibtetion suivant la direction de ces axes et une contraction 

direction normale. Ce que Pexpörience vörifie dans 



^ fiCMr les liquides on admet qu'a d'^gaux accroissements 
correspondent des travaux 6gaux de dilatation, 
«rikns rtoiproques des ^l^ments s'^xercent cn raison 
fc^^fUBsance du volume, ou trouve fort ais^ment 



Thiorie i 



,le PeliTtririle r.l de la chiileu 



45 



bl formales qui expriment les variations ijue les diverses grandeurs 
itlalives au calorique, ^prouvent avec la tempörAture, ]j'un dea 
Bnltats les plua ioteressants ae trouve dau8 la d<5tennmation de 
bfonntile de dilatations admise ensuite par Mendelejef. En 
108 recherchee i'i l'ötude de la vitesse de l'övaporation 
nperlicielle nou» avons ötä conduit par la throne et par 
hf^xp^rieDce ii un certain uombre de conclnsions dont la plus 
en apparwice se trouve dans i'indßpeudauce de la 
ritesse d'övaporatinn et de la pression extörieui'e. Cette 6va- 
pontiou est d^terminäe soit )\ 1'aide d'uu courant gazeiix soit 
itans un gaz en re]ioa; daus ce dernier caa, la siirface du 
liijujde ötant absolumitnt libre. 

Mais les considörations que nous venona de d^velopper 
ili'taieut nous conduire k iin r^sultat bien diÖ'^rent de ce qui 
Wait admia concernant la density criti(|ue. D'apres cea vues 
' thforiques la tempörature crJtiqiie est caracteris^e par cette 
circonstance que les monvements de roiilement des molÄcules 
liijuidogäuiqaes les unes jiar rapport auic autres sont devenus 
sswj rapides pour vaincre l'adhörence, c'eat-ä-dire l'action 
Attractive qui les maintenait en contact. Ä partir de ce momeut 
lo fluid'' lif|uide commence h exercer une lipere action expansive 
-ur l'enveloppe qui lerenferme, cette action expansive qui est 6gale 
I K^fü au point critique, cmitra progreaaivement avec la tempö- 
rulure, ceci suppoae que le liquide reinplit compietement Ic 
'oiumo du rficipient. Si au contraire le liquide est en contact 
nvec la vapeur, la tempörature criti(jue correspondra au momeut 
nii les moUcules liquidogöniques comniencent ä se diffuser dans 
i'espace occupö par la vapeur. Mais avant que cette diffusion 
n'ait eu le temps de s'eö'ectuer la density da fluide qui nccupe 
I'espace ijui 6tait occupö par le liquide, conser\e une deiisitö 
(dus grande que la densitö de la vapeur primitive (1892), Nous 
avons montrö par l'expörience que si l'on reprösente par 2 la 
density du liquide ä la temp^ratiire critiqne, la density de la 
vapeur est reprösentäe par 1 k cette mi-me t.emp6rature. 

Bepuis 1892 cea conclusions ont ötö adoptöes par plusieurs 
pliyaiciens nolamment par MM, Galitzine (1893), Batelli 
(1893), Dwelsbauvers-Dery (1895) et en particiilier par 
M. Traube auqnel on doit de remarquablea döveloppementa 
sur la <]uestion. Ce physicien döfiuit la molöcule liquidog^nique 



46 P. de Heen, 

non pas comme ötaut le tourbillon d'ensemble que nous avons 
consid^rö^ mais comme 6tant la mol6cule gazogönique occupant mi 
Yolume total plus peüt lorsqu'elle fait partie d'une masse liquide. 

Nos investigations dans le domaine du calorique en 
ötaient lä lorsque se produisit la sensationnelle exp6rience de 
Roentgen dont l'importance pratique considörable 6tait Evidente 
pour tous mais qui au point de vue philosophique semblait se 
röduire ä la döcouverte d'un rayon de tres petite longueur 
d'onde. Cette circonstance ne nous aurait pas d6cid6 a aban- 
donner nos recherches sur le calorique lorsqu'un physicien 
dont le nom est beaucoup moins connu, le Dr. Gustave le Bon, 
6mit Tavis que les choses ne se bomaient pas k des phönomenes 
particuliers pr6sent6s par les tubes k vide mais que pour lui 
nous nous trouvions en face d'un nouvel ordre de phönomenes 
dont les manifestations se produisaient aussi g6n6ralement dans 
la nature de Celles de la chaleur et de la lumiere. Des ex- 
p^riences encore inachevöes sur ce que le Bon appelait assez 
improprement la lumiere noire, me convainquirent pleinement 
On sait maintenant jusqu'ä quel point nous 6tions dans le vraL 

La premiere conclusion importante k laquelle j'ai 6t6 
conduit peut s'exprimer en disant que presque tous les foyers 
d*Äbranlement de Töther (flamme, aigrettes, rayons X. etc.) 
d^t^rminent la mise en libert^ d'ions dans les gaz. Ces 
ions libres dans les gaz sous la pression normale reprösentent 
00 que Crookes appelait Fetat radiant Ces ions susceptibles 
do subir le ph6nomene de Tinfluence k Tinstar de petits con- 
vluoteurs, se pröcipitent en masse sur les surfaces ölectris^es 
ot s*y ^tondent comme le ferait un fluide que Ton projetrait 
>iuv uuo surface rigide. Nous avons dösignö sous le nom d^infra^ 
iUctricite ce fluide 61astique form6 d'ions libres, lequel de 
moiuo ^lue des lames liquides qui se rencontrent, permet de 
t'oalisor dos tigures rigoureusement göomötriques k la surface 
iloH diolootri(|ues 61ectris6s (1899). 

Los ohoses en ötaient k ce point lorsque nous nous sommes 
iloiuiiiulo si la difficult6 que Ton ^prouvait k donner une inter- 
juotHtiuu dos ])h6nomenes ölectriques ne se trouvait pas pr6- 
oisouK'iit dans la croyance k cette difticultö. II nous a toujours 
soAublo «|ue si Tunivers pr6sentait une apparence complexe 
ot jü iiüxcopte uuUement le ph6nomöne de la vie, cela r^sultait 



r 



Theorie mec. de Feleclrici/e et de In chaleur. 



47 



le l'ignorance oü nous nous trouvons des causes ijui dous 
[j^ltraient extr^mement simples si la r^Hexion ou le hasard 

Iaoui les faisait coDUaitre. Les efl'ets de ces causes seuls 
naiis apparaiBsent sons une forme complexe. 
Coocevons luaiDtenant le tiibe tiiuTlillim de Helmholtz 
» ilemandous-uous s'U pr^sentu D^cesBairement les caract^res 
iime parfaite sym^trie si on le regarde dans deux directions 
'i|>IhOBee8 suirant son axe. Ne peut-oD !e uonsidSrer comme 
iiu emboitement de tourbilloiis tels que ceux qui s'observeot ;'i 
I la surface des rlvieres, dont Tuoe des extrömitös est 6vas6e 
l'aotre extr6raitÄ, r^tröcie? et des lors PeUctron ee jieiit-il se 
»mparer k im cöne tourbillon d'öther condensö dont l'orien- 
lilion dätermiüc le sens de l'aspiration de l'6ther, lequel 
satra]n6 lui-nieme sous une forme toarbiUonDaDte donnerait 
rimsge dea deux ölectricit^s , l'aspiration correspondent ä 
l'Mectricit^ negative. le retoulement k !'61ectricit6 positive, En 
nn mot st nouü consid^rons ud ibn libre dans l'espace, iou 
que nons supposerons rectiligne et inuni a chacune de aes 
eitr^mit^ d'un iUctron coninue: cet iou se comportera comme 
nee vöritable pompe centrifuge teile que l'ötber p6n6trera par la 
psttie ßvasße et sortira par le sommet du cöne. Si nous con- 
aidfiroüs une 84rie d'ions Orientes dans le meine sens nous 
ubtiendrons la chaine tourbillon, le vide äth^rä tendant k se 
|irodmre du c6t6 de la partie ^vas6e de Tölectron, la com- 
pression ii l'opposß. Si la chaine tourbillon est eu mouvement 
dans le sens de son axe eile d6t«rmine le phönomene du courant, 
!! eile est au repos on observe des phönomenes dits s/atiguen. 
Nous pourrons ainsi concevoir des tube» ou cha'mes tour- 
hüion nuvertes ou fermöea. La <;haiue ferniöe correspondeut 
ii l'atome vortex de W. Thomson, iju'il suftira d'orienter 
poor voir apparaltre les piupri^t^s de l'aimant et le ph^nomene 
de Zeeman. Si eile est ouverte il u'y a aucune raison pour 
Goosid^rer la chaine comme limit^e, müme ä la surface du 
wr\i9,. Les ions continuent dono leur marche dans l'espace 
1e long de la libre tourbülonnante d'6ther, ainsi que le feraient 
!•■■* perlea qui se d^placeraient le long d'un til saus limites. 
■ •- ions donnerout Heu en se döpla^ant ainsi dans l'espace, 
iii\ iihönomtnea dits railinacHf' qui pour nous se prösentent 
ilaas la nature avec une l'requence extreme, Dans des cas 



48 P. de Heen. 

relativement tres rares ({ui seuls ont attirö d'abord Tattention 
des physiciens, les vitesses ioniques sont süffisantes pour qoe 
Ics ioDS traversent les corps dits opaques. Si nous consid^rons 

le tubetourbillon y Fig.l 

on peut considörer cha- 

/^^"^ ^^~^ ^""^^ que ölectron jt* k Tötat du 

^ ^ T mouvement vibratoire. 

Fig. 1. Ces vibrations ^tant 

synchrones, chaque ion 
se comporte comme un corps pulsant de Bjerknes, d'oü 
Taction r^pulsive du calorique, et la production de ToscillatioD 
transversale caloritique ou lumineuse dans l'öther ambiant 

Nous voyons maintenant'se fondre en une seule, la th6orie 
de la lumiere de Fresnel et la th6orie ölectro-magnötique. 

Nous voyons 6galement que l'accroissement de potentiel 
^lectro-magn^tique et l'accroissement de temp^rature sont des 
ph^nomönes connexes, qui se traduisent simultan^ment par un 
accroissement de vitesse angulaire du tube tourbillon et par 
une diminution de Tangle /tt du sommet des ölectrons, c'est- 
a-dire par un accroissement de force ölectro-motrice ou encore 
l)ar un accroissement de tension des 6lectrons qui permet une 
Vibration plus rapide. 

Dans les substances amorphes, ces tubes tourbillons sont 
Orientes indiff^remment dans tous les sens et des lors les mani- 
festations 6lectri(iues n'apparaissent pas, mais la surface iso- 
thermiciue n'est autre chose qu'une surface d'ögale intensit^ 
de courant dont la tempörature est donn6e par la loi de Joule. 
En i)artant de ce point de vue on montre tres facilement que 
la conductibilitö calorifique et la conductibilit6 ^lectrique doivent 
etre de grandeurs proportionnelles. 

Si au contraire la substance est cristallisöe, les tubes tour- 
billons s'orientent dans un sens döterminö et k Taccroissement de 
temp^rature correspondra un accroissement de tension 6lectrique 
cette fois appröciable, d'une part negative d'autre part positive. 

Si nous rappelons que chaque ion libre se comporte 
comme une v6ritable pompe aspirante et foulante dont l'aspiration 
correspond au pole n^gatif et le refoulement au pole positif, 
la d^pression j)roduite en 8 par Tion a döterminera Torientation 
negative des ölectrons e r^pandus sur la surface 8 (Fig. 2). 



Theorie mec, de Pelectricite et de la chaleiir. 49 

Donc des Ions dont rorientatiou correspond a un signe 

donn^y mis en libert^ par un conducteur ayant atteint la 

limite de Charge, d6terminent sur un conductear placö dans le 

Toinnage une charge de meme signe alors mime que ce con- 

däctntr est preserve par une cage dielectrique, 

Tel est le phönomfene que noas avons dösign^ sous le 
nom dfinduction electro-statique qui constitue la base de la 
thforie du courant, ou du transport d'une charge d'un point 
a im antre pendant toute la dur^e de l'existence de la charge 
exdtatrice, contrairement ä ce (|ui se passe dans l'influence. 
Pendant cette Operation l'air est le siege d'une radioactivitö 



d 



<-^ 




.+ —I 

I I 

I 1 

Q o' 

I I 

S S' 



Fig. 2. Fig. 3. 

d'^^räs ce que nous avons dit, ou d'apres une expression que 
Dons avons admise, il est devenu iodynamique. Une substance 
conductrice est donc une substance iodynamique, les m^taux 
par exemple sont form^s de mol^cule qui se bombardent r6ci- 
proqnement et perp6tuellement d'ions. Ces ions ne peuvent 
donc faire partie d'une mol^cule (]ue pendant en tem}>s limite 
ponr etre ensuite remplac^s par d'autres. Le contraire a lieu 
dans les substances aniodynamiques ou non-conductrices. 

Tous les m^taux auront donc une tendance a se montrer 
spontan^ment radioactifs, ainsi que cela r^sulte des exp^riences 
du Dr. Gustave le Bon. 

Lorsque deux surfaces 9 s (Fig. 3) sont ölectrisöes de 
dgnes contraires, c'est-a-dire si les ^lectrons sont Orientes 
dans le meme sens, les tourbillons se raccordent par l'inter- 
mMiaire de l'öther interpos^. L'axe de ce tourbillon reprösente 
la ligne de force, de ])lus ce tourbillon est stationnaire con- 
trairement a ce qui se passe dans le courant, car au tourbillon 
central d'aller correspond un tourbillon plus large de retour 
ainsi que cela rösulte des remarquables recherches deM. Weyher 

BoltnBaan-FestMhrirt. 4 



60 P. de Heen. Theorie mic. de Pekciricite et de la cfialeur. 

sur les tourbillons. En prenant certaines pröcautions on peut 
inatörialiser ceux-ci par Fötincelle, rösultat de rentratnement 
des ions dans le tourbilloD. 

Le raccordement des ölectrons qq' d^termine une espece 
de calage röciproque qui communique k ce Systeme une grande 
stabilit^, il peut enrayer compl^tement l'action de la d6charge pro- 
duite par des ions libres r^pandus dans Tatmosphere ambiante par 
exemple sous Taction de flammes ou de substances radio-actives. 

L'id6e que Ton doit se faire de la Constitution des gaz est 
6galemeut un peu diff^rente de celle qui ötait admise; nous 
pouvons les concevoir comme formös de chaines tourbillons li- 
mitöes par la paroi du vase qui les renferme. Les chocs dus 
aux döplacements lateraux de ces chaines d^termineraient la 
pression. Si la pression devient tres faible ces chaines se 
brisent et les ions qui les constituaient deviennent ind^pendants 
les uns des autres. Le gaz devient alors iodynamique, con- 
ducteur de Tölectricit^, en un mot nous avons r6alis6 le fluide 
que nous avons dösignö sous le nom d'infra-electrique et que 
Crookes appelle etat radiant. Cette rupture des chaines tour- 
billons se produit ^galement sous la pression normale^ mais en 
faible proportion, sous Taction de tous les agents ionisants 
(flammes, aigrettes, rayons X, substances radioactives etc.). 

Disons en terminant que nous avons eu la satisfaction de 
voir se vörifier cette ann^e une cons6quence de notre throne, 
(|ue nous avions formulöe pr6c6demment et d'apres laquelle 
les mötaux dou^s du plus grand pouvoir röflecteur sont 6gale- 
ment ceux (jui sont les meilleurs conducteurs. On sait que 
M. Drude d'une part, MM. Hagen et Rubens d'autre part, 
ont v6rifi6 cette conclusion par Texpörience. 

Nous voyons aussi se souder progressivement les difii^rents 
chaj)itres de la physique et Ton peut esp6rer que d'ici k quel- 
([ues aun6es la thöorie möcanique de la chaleur et la th6orie 
m6cani(iue de r^lectricitö n'en feront plus qu'une, alors aura 
v^cn la th^orie actuelle des electrogistiques de meme qu'ä v6cu 
la thöorie du phlofjistique. L'61ectricit6 pas plus que la chaleur 
iie (loit rtre cc>n(;ue comme une entitö. 

Institut de physique de Tuniversitö de Li^ge, \^ Juin 1903. 

(Eingegangen 1 . Juli 1903.) 



51 



8. Chronometrie: 
Les rögimes limites et la stabilit^ de la 

Synchronisation. 

Par Jules Andrade k 66800900. 



B6gime limite intörieur. — Pour im mode et pour une 
intensit^ d'action d^termin^s de l'^chappemeiit il existe une 
amplitade de roscillation du r^gulateur qui se maintient con- 
stante dans un mouvement p^riodique; Texp^rience montre que 
ce regime permanent finit par etre pratiquement atteint bien 
qae th^oriquement il s'agisse de ce regime limite ou asympto- 
tique. II est interessant de pr^ciser les circonstances mathö- 
matiques qui assurent l'existence de ce regime limite dans des 
conditions aussi g^nörales que possible; tel est l'objet du prä- 
sent memoire. 

Regime limite d'une Synchronisation. — Le mouvement 
d^une bonne horloge-mere, une fois devenu p6riodique, peut 
etre utilisö non seulement pour inscrire Theure, mais encore 
ponr transmettre ^lectriquement une influence m^caniriue soit 
8ur des aigoilles 6loign6es, soit sur le r^gulateur meme d'une 
horloge lointaine ({ui, dans ce demier cas est dite st/jichronisee. 
Et, en effet, rexp6rience montre qu'une Ibrce synchronisante, 
fonction p6riodique du temps 8cand6 par une horloge-mere 
peut etre appliqu^e au pendule d'une seconde horloge de 
Periode lög^rement diflF6rente de maniere a produire une Sub- 
ordination complete de Thorloge synchronis6e a Thorloge-mere, 
celle-ci finit ä imposer sa pöriode propre, (''est encore un 
regime limite qui se produit ici. 

En ce qui concerne la Synchronisation on sait que Cornu*) 
a Studie et v6riti6 6l6gamment les lois de la Synchronisation 
dans le cas tres simple oü le pendule synchronisö est soumis 
1® a un moment proportionnel a l'angle d'^cart, 2^ a une 

1)M. Cornu, Conference sur la Synchronisation t'jlectromagnetique. 
Paris 1894. 



52 e/. Andrade. 

r^sistance proportionnelle a la vitesse (amortissement constant). 
Ce Probleme bien particulier devra etre un peu 6Iargi si on 
yeut studier la stabilit6 de la Synchronisation ; il est n^anmoins 
fondamentaL 

Synohronisation d'tin Systeme pendulaire a amortissement 

oonstant. 

En rappelant d'abord ce cas simple, oü Ton ne tient pas 
compte de Töchappementy nous rappellerons et nous complö- 
terons les r^sultats relatifs k ce cas particulier contenus dans 
le memoire de Cornu en 1894. 

Nous consid^rons donc un balancier soumis ä un couple 
de rappel proportionnel k Tangle d'öcart au point mort, i/; 
soit ru ce couple de rappel; le balancier est soumis en outre 
a un couple rösistant proportionnel a la vitesse -— qdujdt\ 
soient enfin, / le moment d'inertie du balancier , et F{t) la 
force synchronisante (^ui est une fonction pöriodique de 
Periode T. 

L'^quation du mouvement est: 

Nous envisagerons d'abord T^quation priv6e de second membre 
et nous consid^rerons son integrale sous la forme g6om6trique 
que lui a donnöe Cornu; nous poserons 



(2) 



I 



h ^ \ 




21 


r- 2n 


^^ = _^_»A2. 


^^ = kT 


ft j 





h est le coefficient d^ amortissement, 

Puis, uous considörons deux axes X et Z faisant entre 
eux un angle V\ rorigine sera le point asymptotique d'une 
Spirale logarithmique, coupant les rayons vecteurs issus de 
sans Tangle constant T, soit M un point mobile parcourant 
cette Spirale de maniere que le rayon vecteur M toume, 
dans le sens oü il d^crolt, avec une vitesse angulaire constante, 
6gale a 2n/T; soient x et j/ les coordonnees obliques du point 
M\ la repr^sentation integrale du mouvement: 



(»! 



Regimes limites et itahüite de la Synchronisation. 63 

<Pu . ^ du . ^ ^ J ^« = 1 



rf^+«o-;i+Äo« = 0; 



Uo=-: 



est alors la suivante: 



(4) 



[ U = X 

{ du __ 2n 1 

l ~di "" fsinF«'^' 



le point (xy y) sera a. un instant quelconque le point reprösentatif 
de füat du balancier. 

La decroissance propartionnelle du rayou vecteur tournant 
de Taogle a röduit ce rayon proportionellement ä 



e 2'^ ** 



telles sont les lois du mouvement pendulaire simplement amorti. 
Proposons nous maintenant d'^tudier le regime variable 
qui va nattre de Tapplication de la force synchronisante. 

Dans son memoire de 1894, ('ornu a ötabli Texistence 
d'nn regime limite dans le cas d'une force synchronisante 
petite, agissant sur un Systeme faiblement amorti et de ])6riode 
propre peu difförente; la dömonstration procede par approxi- 
mations; nous pourrons tr^s facilement d^gager ces rösultats 
des apparenies restrictions ({ue la dömonstration de Tauteur 
laisse subaister. 

A cet eflfet, je m'appuierai sur un th^oreme bien counu 
de g^om^trie. 

Consid6rons la transformation du plan par similitude 
directe; on peut öviderament la röaliser par une translation 
d'un point P^ particulier de la figure 
suivie d'une rotation accompagnäe d'une 
condensation (ou dilatation) homoth^tique 
d^termin^es autour du point P, nouvelle 
Position de P^. ^ 

Cherchons alors un point X de la ^* 

figure (lui soit son propre transform6; 

ce point venant en X' par la translation, puis en X" par la 
rotation, devra revenir en X par une demiere condensation 




54 J, Andrade, 

autour de P, Le rapport de condensation OX\OX" 6tant 
connu ainsi (^ue Tangle P du triangle isocele X' X", la figure 
de quatre points sur trois droites PX'X"X est connue de 
forme et comme le segment XX' est connu en grandeur^ 
direction et sens, la figure de nos quatre points sera donc 
bien döfinie a partir du point P en grandeur et orientation, 
le point X est donc d6termin6. 

On voit donc que la transformation consid6röe est r^duc- 
tible k une simple rotation suivie de la condensation donn^e 
autour de ce meme point X 

Ce point X, point double de la transformation, se nomme 
aussi le pole de similitude. 

Oe thöoreme va nous permettre d'achever la question de 
la maniere la plus simple. Supposons d'abord que la force 
synchronisante soit constante et 6gale k F^. 

Portons sur Taxe OX une 
longueur 00' repr6sentant k l'^chelle 
du dessin un 6cart 6gal ä P^jB^', 
tout se passera pendant l'action de 
la force F^ comme si le point mort 
6tait transportö en 0'\ l'abcisse A' 
et Tordonn^e Y du point figuratif 
^^^' ^' reprösenteront toujours de lameme 

maniere (4) l'öcart et la vitesse du 
balancier, mais tant que dure Taction de F^ le point figuratif A' 
döcrit un arc de spirale NN' et Tangle NO' N' est propor- 
tionnel au temps. 

Si la force n'est pas constante et varie continüment, il 
est clair qu'on pourra partager sa duröe d'action en intervalles 
infiniment petits aux milieux des([uels le point 0' relatif k la 
valeur actuelle de la force occupera les positions 0'^, O'g, 
O'g ... etc., bien d6termin6s aux divers instants de la pöriode 
T de la force synchronisante. 

Soit alors H le point figuratif de l'^tat du pendule syn- 
chronis6 k une certaine 6p0([ue t, demandons-nous quelles 
seront les positions du point H aux ^poques t + T', t + 2T\ , , , 
t + n T, . . . in = oo). 

Soient H^, H,,, If^ , . . Jl^, les positions correspondantes du 
point repr^sentatif. 




Regimes Umites ei itabüite de la Synchronisation, 55 

Chaque Substitution J7. [U^^^ est une (et toujours la meiuc) 
trausformation par similitude directe oü la somme des rotations 
des Tecteurs est 6gale ä 2n{T' jT), la condensation finale ^tant 

e- ^ ^, la rotation finale peut d'ailleurs etre prise ^gale simple- 

ment ä 2^(2" - y/T). 

Soit alors X le pole de similitude de cette transformation, 
les points H^ 11^, H^, ... appartiendront 6videmment a une 
memo Spirale logarithmique ayant le point X pour point 
asymptotique. 

Dane le mouvement du pendule synchronise tend vers un 
regime limite periodique. Et cette conclusion n'a d'autre 
restriction que l'inögalit^ h}<rjly sans laquelle Tamortissement 
libre ne serait plus oscillatoire. 

(/'est lu une premi^re g6n6ralisation des r^sultats de 
Coruu; si nous voulons aller plus loin^ nous deyons n6cessaire- 





Pig. 8. Fig. 4. 

mentnous adresser iides transformations du plan plus g^n^rales; 
0008 sommes ainsi conduits tout naturellement a utiliser une 
remarque de M. Koenigs, reraarque (jue je vais rappcler 
et gto^raliser. 

SubetittitionB repetees et leur emploi en meoanique. 

On doit a M. Koenigs le thöoreme suivant: 

Les substitutions r6p6t6es x^^^ =s (p{x^ [i =1, 2, . . , cd) 
coDvergent vers x^, lorsiiue pour la racine x^ de r6(iuation 
X = (p(x) on a mod tp' (j-J < ^ et lorsque la valeur de d6part 
Xj est dans un süffisant voisinage de Xq\ si | qp' {x^ ! < ^ 1^^ 
Substitution sont divergentes. 

Voici une g^nöralisation Evidente. 



56 J. Jndrade, 

Generalisation. Les substitutious r^p6t6e8 a n variables 



^ ^i + i 



yi+i = 



^'(^i, yi> • • • »i) 



'^i+i 



= y (^p y, • • • »i) 



convergeut yers une Solution (Xg, 
y^j, . . . vj du systöme 



•^0 "~ -^ (^o> Va* • • • ^o) 

'^o = ^ (-^o* yo» • • • '^o)» 



si Tod a 



I d X 

i ö tc 



+ 



dY 
dw 



+ 






< 1 



(w = ar^, yo> • • • ^o) 

avec des conditions analogues aux pröc^dents pour le Systeme 
des valeurs de d^part (xj, y^, . . . v^). 

Curieuse application du theoreme de M, KoRnigs. Je con- 
sidere deux balauciers I et II tous deux soumis k une force 
de rappel proportionnelle a l'öcart, et soumis aussi h, U 
r^sistance d'un frottement constant. Faisons agir sur I B 
^chappement <iui lui transmettrait a chaque impulsion ans 
quantit6 constante de quantlte de mouvement; faisons agir snr 
II un ^chappement qui lui transmettrait une quantit^ con« 
staute de force vive. Et demandonsnous si les mouvements 
de I et de n auront un regime limite. 

Soit u^ r^cart extreme de l'un ou Fautre des balancieis 
au commencement de Toscillation d'impulsion, celle-ci sen 
donn6e instantan6ment sous l'^cart ü; soit ti, l'^cart extreme 
de la ün de roscillation suivante^ oscillation que nonB 
supposerons libre comme dans les cbronom^tres de marine, 
soit (r//)/* le moment constant de frottement, soit A'* = r//i 
envisageons alors: d'une part la Substitution u, =s ^ [u^) relatite 
au balancier I dont la vitesse angulaire s'accrott par hypothiae 
de //' k chaque im))ulsion; 

d'autre ])art la Substitution u^ = t//(Wj) relative au balancier 
II dont le carr^ de la vitesse s'accrott par hypothtee i 



Begimes limites et stabüite de la xynchronisation. 57 

chaque impulsion de V^\ deux calculs fort simples nous 
donnent 

sensiblement va la petitesse de ü — f\ et 






|/(^ 



; on a donc ici 



/)• + 



d^ 
dui 



>i; 






< 1 



le balancier II admet donc un regime limite, mais le balancier 
I n*en admet pas. 

Regime i>ermanent Interieur des maohines horaires. 

Essayons maintenant d'aller plus loin et d'^tablir des 
circonstances simples mais g6n6rales, qui entratnent nöcessaire- 
ment pour le mouvement d'un chronometre, ou d'une horloge, 
Vexistence d'un regime limite ou permanent. 

Nous y arriverons en rapprochant le thöorfeme de M. K cenigs 
de la m^thode d'int^gration par s6rie de quadratures que 
M. Picard a fait connaltre; nous pouvons en effet raisonner 
comme il suit: 

P suivre Toscillation jusqu'ä. Töpoque t, un peu postörieure 
ä rinstant du d^gagenent; 

2® envisager Tefifet de Töchappement depuis T^poque t^ 
jusqu'ä l'6poque t^ oü le balancier est rede venu libre, en 
regardant cet effet comme une fonction de T^cart initial u^; 

3® suivre le mouvement depuis Töpoque t^ jusqu'ä la tin 
de Toscillation cp d'impulsion. 

La m6thode de M. Picard appliqu6e h la premiere et ä 
la troisi^me pöriode justifiera alors les approximations qui con- 
duisent aux r6sultats suivants: 

Seit ti, la demi-amplitude finale de l'oscillation d'impulsion, 
nous vouhns former une valeur approchee de la Substitution 

Soient alors: — I[Rf^ + y)u le moment de rappel, oü ;' 
est une fonction paire de u g^n^ralement fort petite et qui 
produit les perturbations d'isochronisme: 



58 /. Ändrade. 

le couple d'amortisseinent oü fi d^signe une fouction de la vitesse 

du 



dt 



= u 



que nous supposerons ainsi que sa d^riv^e petite par rapport 
k Xq qui est lui-meme petit; X^ est le coefficieDt principal 
d'amortissement inherent ä Vhorloge nous trouverons alors en 
nous aidant du cbangement de variables u, u || y^y z^ ; 



u ^ y^ sin Kt + z^ cos Kt 

u' 
- ^ y^cosKt + Zq sinKt 



J^' = K 



et on d^signant par rj (u^) une certaine fonction positive 
de Uq {y petite quantit^ de carr6 n^gligeable) se rapportant au 
fonctionnement de l'^chappement, nous aurons sensiblement 

e 

n 

lüH Ibnctions y et jUj ne donnent que des termes du second ordre. 
dÖHigno une quantitö voisine de ;r/2, fonction de u^ 
d'ttillours; on observant que la quantitö 

Ä. cos» ö ^^- 

OHt potito du 4*"'"* ordre, nous d^duisons de T^quation pr6- 
oAdonto 

ootU^ quantitiS Hora moindre que 1 si: 

P* ou bion dit^ldu^ est nögatif, 

a* ou bion Hi d Cfr/rfw^, est petit dans le voisinage de la 
tidwr do w^^ (|ui natisfait i\ T^quation 



(/>(,i^j - ^^ / oos^tt.da = 



a 



*^ ^ n^uUwl qui int^r0»He la throne des ^chappements : 



Regimes limües et stabüite de la synchronisaiion. 59 

la fonction ^[u^ est li6e au coefficient d'amortissement naturel 
de l^orloge; l'^chappement doit etre constrait demaniere que la 
fonction ^ (tc J d^croisse lentement dans le voisinage de ramplitude 
permanente que Ton d^sire obteDir; dans ces conditions, le th^o- 
r^me de M. Koenigs garantit an regime limite pour un 
teliappement sym^trique: si l'^chappement fonctionne comme 
dans les chronom^tres marins, on cousid^rera la demi-ampli- 
tude tc, que terminera roscillation libre suivante, et le raison- 
nement employ^ ici-meme, simplifi^ par la disparition des 
termes en 0(«i), nous donnera Tin^galite 

d'oü Ton conclura: 

et la Substitution röpötöe u^ = X(mo) sera encore convergente; 
d'oü r^sulte le regime permanent int^rieur de la machine 
horaire consid^r^e. 

Stabüite de la Bynohronisation. 

La m^thode pr^c^dente r^ussira encore ici, avec une 
16gere Variante; T 6tant la pöriode de la force sjnachronisante 
F\Pj posons: 

ä:' r = 2 w 

(Tq ötant petit; faisons alors le changement de variables; 
tt = y^ sin K't + Zq cos K' t 

^- = y^ cos K' t — Zq sin K' t 

et ^tndions le mouvement entre l'öpoque t^ et Töpoque tQ + T'\ 
^ «era quelconque mais fixe dans le raisonnement qui va suivre. 
Soient alors T/^ et z^ les valeurs de t/^ et z^ k Töpoiiue t^ et 
y^Z^, leurs valeurs k T^poque t^ + T'\ nous voulons emprunter 
au th6oröme de Kojnigs g6n6ralis6 une condition süffisante 
de convergence pour la Substitution r6p6t6e ^o^A^o^^ü)*» 
^o=^(yoj^o)" ^^ suivant la meme marche que celle d6ja 
sttine tout ä l'heure, nous obtenons les rösultats suivants: ß 



(5) 



60 t/. Andrade, 

d^signant une fonction caract^ristique de l'^chappement, et qui 
dopend sensiblement du seul argument Vy©* + ^^^ fonction 
analogue a la fonction du pr^c^dant paragraphe, et t^ d4- 
signant l'^poque du choc (regard^ comme instantanö) nous 
aurons en gardant les signiiications des autres lettres 



(6) 



tr «Ta - TV ^ - . /-\ VI ^ ^ I F(t)C06 ICt j . . _ 

^0= -^]f'. ^0 - -^'Jo + ßcosiS: ^ +J -^'-^ dt + y^ 






^0= ^Jc%!/o- ^^^o-'ßsi^^'i-J-^^lP dt+z,, 



d'oü nous concluons par la g^nöralisation du th^oreme de 
Ka3nigs la proposition suivante: 



(7) 



Si ^^ > ^^ et si fl' dösignent Tune ou Tautre des 
fonction ii cos K't^, ii sin K't^ Ton a: 






^ 2 1, A'~ "^ a:'« ; 



pour la Solution du Systeme Yq^I/o'^ ^ = ^o ^* Substitution (6) 
sefa convergente et Thorloge synchronis^e aura un regime 
limite. Sans d6velopper ici les conditions pr6c6dentes, dans 
tous les dötails, je ferai observer que nous trouvons ici une 
contirmation des idöes de Cornu sur le role de l'amortisse- 
ment naturel ou artificiel, mais avec une gönöralisation in- 
dispensable, car le role de Töchappement ne devient n^gli- 
geable (ju^avec une force synchronisante intense. 

Si röcliappement est instantanö et si pour simplifier nous 
supposons (lu'il agisse au point mort et si nous posons: 

I/o = (>üSina^,, ZQ^o^cosa^, 

^„° = A cos /9 , ^- = Ä sin /9 . 



Segimes Kmites et stabüite de la Synchronisation, 61 



Les secondes conditions (7) deviennent apres un cal- 
ciil facile: 



8in a^ -3 fi cos' a. 



aux amplitade habitaelles, dSijdtpQ est n^gligeabl et Ton purra 
^crire simplement 



(7 bis) 



1 



flcos*«^ < ., 



Q sin' a, 



A" 



n CT« 



iC" 



yi fT« 



X'« 



pour les valeors de Qq et u^^ qui seront Solutions du Systeme 
>^ SB y^, Zq^Zq\ si on se donne le d^veloppement de Fourier 

F{ij = Jq + ^1 cos ÜT' ^ — Ci sin A:' ^ + etc.: 
La force synchronisante sera d^finie par: 

[ £iÄnaQ + hQ^sm{a^+ß) = ~^J^ 
ater) 

I flco8a^ + ÄOoCOs(«o + /^= jf^^i 

Les conditions (7 bis) et (7 ter) contiennent toute une tböorie 
de la Synchronisation y je ne les discuterai ])oint dans ce 
memoire. ^) 

BesanQon, 3 Juillet 1903. 



1) Depais la r^daction de ce memoire j'ai donn^ aux Comptes 
RendiiB de rAcad^mie des sciences de Paris (27 Juillet 1903) des con- 
ditioDS de synchroDisation un peu plus larges que celles qui sout ex- 
poe^es ici. Ces conditions se prötent k une comparaison facile de le 
m^thode de Gomu avec la m^thode de Foucault-V^rit^ comme ic 
Tai montr^ dans la '^France HorIog^re'\ 1 Septembre 1903. 

(Eingegangen 7. Juli 1903.) 



62 



9. Etüde des lames 
minces de cuiyre obtennes par ionoplastie. 

Par Ii. HouUevig^ne k Caen. 



I. Les physiciens savent depuis plusieurs ann^es que, dans 
les tubes ä gaz rar^fi^s oü jaillit Teffluve, la cathode se 
d^sagr^ge et se projette tout autour d'elle dans Tespace. Ce 
phönomene 6tudi6 par Crookes^), a 6t6 utilisö par Wright^, 
Longden^, Boas*), Kundt^) pour röaliser des pellicules m^talli- 
ques. En reprenant, de mon cöi6% T^tude de ce phönomeDe^ 
j'ai pu constater son extreme g6n6ralit6, car il m'a permis de 
döposer sur un support ([uelconque couducteur ou isolant 
(verre, libre, mica, caoutchouc etc.) des pellicules adhörentes 
des m^taux suivants: Or, argent, platine, palladium, cuivre, 
fer, nickel, cobalt, zinc, 6taiii, bismuth; de tous les corps 
essäy^s comme cathode, seul, le carbone a refus6 de se laisser 
transporter par Teffluve. 

Non-seulement ce procödö de mötallisation est g^n^ral, 
mais il est, dans nombre de cas, commode et rapide: 11 faut 
moins d'une deini-heurc pour obtenir, avec les dispositifis que 
j'emploie pr^sentement, un d^pot miroitant d'or, d'argent, de 
platine ou de palladium d'une surface de 20 cm. q, y compris le 
temps nöcessaire pour faire le vide (YgoDam environ); les autres 
m6taux paraissent exiger plus de temps^ mais il est rare 
qu'une heure ne soit pas un dölai suftisant. 



1) Crookes, Revue g6n6rale des sciences p. 497. 1891. 

2) Wright, The american Journal of science and artes p. 49 et 
1^ \«9. 1877. 

S)Loiigden, Phys. Rev. 11. p. 40—55 et p. 84—94. 
4>Boa8, Zeitschr. für Elektrotechnik 13. p. r)65— 566. 
^'^l.undt, Wied. Ann., 2. Serie 27. p. 59. 
^l«Uttlde physique, Jan vier 1908. 






! obtetiws! par ioiiop/a.ilir. 



f!3 



Od pe\it, d'apres cela, suppoaer (jue la m^tallisatioii des 
isolants par les projections cuthoiHiiues deviendra une Operation 
pratique et courante au nieme titre que la galvanoplaBtie: 
d'oii le nom »Pionoplaittie, soiis leijuel je propose de d^signer 
les proc£d6s nouveaux. J'ai döja eii l'occaaion de signaler quel- 
>]ue6 proprii^U's des peUicales aiusi pr^par^es. J'en rappelerai 
ici ane seule, relative au bisrauth: la rfiaistance ölectrique de 
re m^tal, obtenu par ioQoplastie, est iud^pendante du cliamp 
magnßtique, M. Leduc avait d(5ja observiS que le bismuth 
pröpar^ par ^lectrolyae est d'autaut plus seiiaible au magnö- 
tisme, que sa structure oristalline est plus accus6e; le bisumtb 
- iouoplastique serait doue, comme cela est rraiHemblable k priori, 
mpletement amorpbe. 

n. J'arrive maintcnaDt au but prlncipal de cet article, 
i l'ötude des pellicules luinces de cuivre dfiposßes par 
loplaatie sur une lame de verre. Le premier probleine 
b'od eöt ä rÄaoudre, ötait la dötermination du leur 6paisseur. 
ea recours a cet efi'et au jirocödö optique indiquö par 
Viseau pour I'argent, et appliquö ilepuis par nombre dt^ 
ijsiciens. f'e proc6d6 röussit ögalement bien avec le cuivre; 
' Tiodure form6 par l'action de la vapeur d'iode (Cu^ P d'apri'S 
les pea^es que j'ai faites), est transparent et donne des aiineaux 
colores dans lesquels ou recormalt aans ambiguitö la suite des 
colorationscorrespondantaux aiineauxdeNewtonäcentreblanc. 
Dans l'appiication de la mßthode de Fizean, j'ai modifiö 
le proc6d6 classique d'ioduration d'une maniere ([ui me paralt 
avantageuse: le grain d'iode, au lieu d'etro d^pos^ sur la lame 
de cuivre, est suspendu au-dessua d'elle üi l'aide d'une piuce 
placke dans un entonnoir: on peut ainsi, en r^glant la distance 
de l'iode ä la lame, donner aux anneaux l'^panouissemeot 
qu'on d^sire, en meme temps qu'on ^vite la macule rjae le 
grain d'iode laisse toujours dans la tache centrale. 

Ce procöd6 donoe rapidement le produit n s de l'Äpaisseur 
s de l'iodure form6 par l'indice moyen n de cet iodure, mais 
pour en d^duire l'öpaiaseur e de la lame de cuivre, on ne 
_C!onnaU ni n, ni la deiisitö de l'iodure; le coet'ficient de pro- 
irtionnalitä entru ? et vie a donc Stö d^termin^ comme suit: 
üne laraelle de verre mince de 30 X 40 mm ßtait pes^e 
Jj^Taut et apr^s ionisation, ce qui donnait au lU' de milli- 



64 L, Houllevigue. 

gramme le poids p du cuivre döpos^; p 6tait compris dans 
les exp^riences entre 1,2 mgr et 2mgr; il ne convient pas 
d'accroltre p au-dela de cette limite, car si la d^termination de 
e en devient plus pr^cise, en revanche celle de n 6 perd toute 
exactitude. On a donc la valeur de l'^paisseur moyenne 



e = — . 



30 X 40 X 8,9 

Fuis, cinq systemes d'anneaux forro^s aux quatre coins et an 
centre de la pellicule de cuivre permettent d'övaluer son 
^paisseur optique moyenne nc; enfin, rioduration totale de la 
lame montre si la pellicule est assez r^guli^re pour que le 
proc6d6 n'entralne pas d'erreurs notables. La moyenne de 
4 d^terminations bien concordantes a donn^ 

^ " 12,7 ' 

formule qui permettra d'obtenir, en quelques minutes, l'^paisseur 
d'une lame mince de cuivre. Si on adopte 4,4 (nombre un 
peu incertain) pour la density de Tiodure Cu* I*, il en rösul- 
terait pour l'indice moyen de cet iodure n = 2,09, nombre 
assez voisin de Tindice 2,23 de Tiodure d'argent. 

in. En appliquant le proc6d6 qui vient d*etre d^crit k 
des pellicules de cuivre d'^paisseurs d^croissantes, on constate 
qu'il ne donne plus rien pour Celles dont Töpaisseur e est in- 
ferieure k 40 iifi (0,00004 mm) environ; quelque moyen que j'aie 
cmploy^, je n'ai pu d6celer aucune trace d'ioduration de 
des trfes-minces pellicules. Voici, de ce fait, deux exemples 
«koisis entre beaucoup d'autres: 

1* Une pellicule a pour öpaisseur moyenne, d'aprös son 
30 jttft; d'aprös les couleurs qui se succedent k sa sur- 
t- on juge que cette öpaisseur est comprise entre 20 fifi au 
et 40 jUjii sur les bords; or cette lame, maintenue pen- 
3 heures dans la vapeur d'iode, refuse de s'iodurer, meme 
it lögärement; d'autre part eile präsente par trans- 
h meme couleur que les lames de cuivre plus öpaisses, 
les memes r^gions du spectre (indigo et violet); 
au contact de Fair, sur une plaque chauff6e, 
kstantan^ment; ces remarques, jointes au proc^d^ 

^n. rendent peu vraisemblable Thypo- 




r 



Law 



I obffnui^s par imioplngtip. 



65 



thtse (|ue 1a pellicule en question serait formöo d'une substance 
aatre que le cuivre. 

'i" En emplojant coinme catLode, daus l'appareil h. iono- 
plastie, un crayon vertical de cuivre dont la base est ä ISmin 
au desBus de la lame de verre ä mötalliser, on obtient sur 
celle-ci un döpot d'äpais!<eur döcroiasante du centre ii la p6ri- 
ph^rie et ijoi präsente la sörie des anneaux color6s de Newton, 
On prot«ge par un 6cran la moitiö de ces anneaux, tandie que 
I i'antre ntoiti4 est exposöe ä la vapeur d'iode ; on constate alors 
nte l'ioduration a altörö la partie centrale et reapectö les borda; 
a ne \oit aucune alt^ration jusqu'au rougc du second ordre; 
k partie du rouge de troisieme ordre, les couleurs sont tr^s- 
teraent »It^röes et döplacöes. Je n'ose gufere conclure de 
I ces r^saltats les limites correspondant k l'^paisseur attaqu^e, 
u Premier lieu parce que le cuivre dßposß en anneaux paralt 
r nne structure [tbysique toute speciale, et ensuite parce 



Fig. 1. 

Kqae les nombres donnös jusqu'ici pour les indices des m^taux 
Btte paraissent sujetH ä cautioa. 

Voici eniin des faits d'un autre ordre qui viennentconfirmer 
Inaltärabilit^ par l'iode du cuivre en lames tres-minces: 
loreqn'apres avoir produit, sur une pellicuJe d'^paisaeur supfi- 
rieure i'i 40 ^/i, une sörie d'anneaux colorfis par ioduration, on 
procede ensuite ii l'ioduration complete de la pellicule, on 
irrait s'attendre h voii- diaparaltre toute trace des anneaux 
■dentä; or, il n'en est rien: quelque soit le mode d'iodu- 
ttion employ^, il regte toujours, autour de la lache centrale 
re, une :<hie comp/itetnent an partietlemeiit inaltiree. 
Cet etfet s'interprete aiaöment en admettant que la couche 
\ cuivre trfes-minco (Fig. 1) laiss^e autour de la tache centrale 
: la premiure ioduration, est au-desaous de l'^paiaseur liinitc 
: laquelle ia vapeur d'iode peut agir sur eile; tont le reste 
|t la lame est donc attaqu6 dauK Tioduration totale, sauf ia 
^e tr^8-6troite qui borde la plage centrale. 



S6 /.. //mllrviffvc. 

Gelte interpr^tation est ju8tifi6e par los remarques 
Tttiite«: 

1" L'liypoeulfite de soude en solutiun träs-^tendae, 
diHHout l'iodure forma, laisse perajster la trace de la prenäjii 
ioduration; cette traco paratt etre constitu^e par da cuiHI 
irtältörä. 

2" Bien que l'iodure de cuivre aoit tres-peu alt^nlj 
k la lumitJre, ou pourrait attribuer ä cette alt^ratioo I'iT 
obHflrTÖ; or, len ph4nomeues restent abBolument les mi 
lorsqu'ou optre ä l'obacurit^. 

3° La condition näcessaire de la persistauce de« anM 
esl qiie l'ioduration totale ne comnieoce ijae lorsque la prem 
ioduration eet acliov^e (il sulÜt d'ailleurs de quelques seconJI 
d'iiitorTalle entre los deux Operations), sans quoi la ( 
r^aotion a'tist quct le proloDgenieut de la premiere, et ti 
tnuie de celle-ct disparait. 

Cette interprötjition du pliöuoinene ötant adopt^e, j'ai Ü 
d'eu tiror la m9sure de IVpaisseur minima r^r^l^e par les ta 
rietioes präo^eates. J'ai d'abord optrö corarae suit: Stir ■ 
lamolle de cuivre d'öp&isseur aussi uniforme que possible, ( 
a forme six syst^mes d'anneaux, ayant au centre les epaisun 
optiquea suivantes 

No. I ^ ;i 4 5 ti 

nt cn Hfl IlM tl4S 747 AO» 430 SW 

orrespondait » la traosfurmation totale 

cuivre en iodure, et pour les autifs, 

avait arrete l'attaqne avant queUp 

cule de cuivre ü'eüt 616 trausperc^ 

l'iode. Pois, toute la lame fut iodi 

Apr^s cette Operation, od put const 

qne les Ucbes 1 , 2. 3, etaient nettoi 

TJaUee, 4 ä-peine discemable; 5 < 

u'aTaient Uiss^ aucnne trace. ly^ 

'*' *" oela, la eonche de cuiTre itatf 

^'Ht* lodnrep olKneurement aurail ooe «paissenr inferienl 

Knlin j'ai fait s»r <)e mnltipke fchaatillops. d'6pai89«i 
Tanab]e<i, l<« deteminatioos üniTant«!: sor ooe lameUe 





Lama minces obtenues par ionoplcuüe, 67 

Tcrre cuivr^e, on formait^ par le proc6d6 döcrit plus haut, de 
larges anneaux conceutriques d'iodure; la lame 6tait coup^e eii 
deoxy au diamant, par le milieu des anneaux, puis l'une des 
moiti^ 6tait iodur^e totalement, et enfin recoU^e a cot^ de 
Tantre moiti^ (Fig. 2). En examinant dans un appareil k pro- 
jection Tensemble des deux demi-lames, il ötait possible 
d'appr^cier (non sans quelque incertitude) quelles couches 
ayaient resist^ k l'ioduration totale. Si n e et n c' sont ^paisseurs 
optiques correspondant k la tache centrale et au bord ext^rieur 
de la zöne qui a r^sist^ ä la deuxieme ioduration^ T^paisseur 
maximum da cuivre inalt^r^ est 

Voici quelques r^sultats obtenus par cette möthode: 

n e en /u^ti 1652 1376 1258 1258 1334 747 
ft« „ „ 1151 1101 843 826 747 332 
X ,, „ 39 22 33 34 46 32 

Je ferai remarquer en passant que les pellicules d'argent 
d6po86es par ionoplastie donnent lieu memes effets; une sem- 
blable lame, sonmise dans l'obscurit^ aux Operations d^crit^s 
ci-dessus, a donn6 n« = 1927, ne' = 1621, d'oü 

1927 - 1621 o . 

x= ^ = 34 fifi. 

Ainsi, les ^paisseurs limites pour Tattaque du cuivre par 
l'iode, determinöes par diff6rents proc6d6s, sont toujours du 
meme ordre de grandeur, voisin de 40 fjLfx. C'est aussi 1* ordre 
de grandeur des couches de passage d^termin^es par des m^- 
thodes purement physique, comme T^tude de la rösistance 
6lectrique. 

Enfin, on peut r^sumer les r^sultats de la demiere partie 
de ce travail en disant que: la plus petife molecule de cuivre 
capable de riagir chimiquement sur la vapeur d'iode, a des dt- 
mensions de F ordre de 4Q fxfi; son poids est de Vordre de 
5 X 10^^^ müligramme. 

(Eingegangen 10. Jali 1903.) 



5* 



68 



10. Über Magnetisiening durch Tonerregnng. 

Von Stefan Meyer in Wien. 



Es ist seit langer Zeit bekannt^ daß magnetisierbare 
Körper durch Erschütterungen remanent magnetisch werden 
können, wenn sie während derselben dem Einflüsse eines 
Magnetfeldes ausgesetzt sind. 

Eine hübsche Art dies zu zeigen, scheint mir die zu sein, 
daß man die mechanischen Stöße dadurch ersetzt, daß man 
einen Eisenstab longitudinal oder auch transversal zum Tönen 
bringt, während er in der Richtung des Erdfeldes, oder der 
Horizontalkomponente desselben, gehalten wird. 

Streicht man ihn mit einem kolophonierten Lappen zum 
longitudinalen Tönen an, so gentigt in der Begel bei den käuf- 
lichen Eisenstäben ein einmaliges Streichen, um einen relativ 
kräftigen Magneten zu erhalten, dessen Pole durch das Erd- 
feld definiert sind, wie dies mit einer gewöhnlichen Magnet- 
nadel leicht nachgewiesen werden kann. Dreht man dann den 
Stab um, so daß der entstandene Nordpol gegen Süden zeigt, 
so genügt wieder ein- oder zweimaliges Streichen, um ihn um- 
zumagnetisieren. Dabei ist es gleichgültig, ob man den Grund- 
ton oder einen Oberton anregt und man erhält auch dasselbe 
Resultat, wenn man statt der Longitudinaltöne mit einem 
Violinbogen transversale Töne hervorruft.^) 

Die Polmaxima liegen aber dabei nicht an den Enden, 
bez. den durch die Stabform allein bedingten Orten. Man 
darf annehmen, daß in erster Annäherung die Magnetisierung 

1) Einen verwandten Versuch, die periodische Änderung des tempo- 
rären Magnetismus eines Stabes durch longitndinale Schwingungen an 
einem Elektrodynamometer nachzuweisen, hat E. Warburg, Pogg. Ann. 
1S9. p. 499. 1870 beschrieben. Die Bemerkung in Winkelmanns 
Handbuch 1. Aufl. lll/j p. 254 betreffs der Transversal Schwingungen 

sich nur auf die spezielle Anordnung Warburgs beziehen. In 
Falle sind die Ergebnisse ganz unzweideutig. 



r 



Mafjne/meriitirf dnrrk Tonerr'yaiuf. G9 

proportional der ErschlitteruDg und proportional dem inagueti- 
-ureuden Felde ist. Für den longitudinalen Grundton eines 
Stabes mit zwei freien Enden, in welchem Falle die Erschütte- 
rung in der Mitte ihr Maximum bat und an den Enden gleich 
Nnll ist, wird aus dem Produkt der zwei genannten Einwir- 
knngen deinnaeh in der Mitte und an den Enden kein Mag- 
netismus auftreten, derselbe wird hingegen im ersten und 
dritten Viertel sein Maximum erreichen. Auch beim ersten 
Oberton, mit den Knoten in den Vierteln der Länge werden 
■li-' Maxima entweder in diesen Vierteln oder nahe an den- 
;lben, gegen die Enden zu ein wenig verschoben, liegen 
iiiiissen und die gleichen Verhältnisse treten bei Transversal- 
^men eines an beiden Enden fixen Stabes oder seines ersten 
[ibertones auf. Bei den höheren Obertöneo, hei welchen die 
iitftersten Er schütterungs maxima von der Mitte entfernter liegen, 
entsprechend dem obigen Produkte die Pole mit steigen- 
Tone allmählich gegen die Enden zu wandern. 
Alle diese Erscheinungen lassen sich an gewöhnlichem 
igendraht mit Leichtigkeit zeigen, nur sind die Maxima 
;ermaSen tiach, so daß ihre Lage nicht sehr genau be- 
itiaimt werden kann und es ist auch der käufliche Eisen- 
igcwiraht, der sich im übrigen sehr gut zu diesen Demon- 
irations versuchen eignet, nicht homogen genug, um nicht 
hierdurch gewisse Unsicherheiten in die Beobachtungen hinein- 
lütragen. Die ausgeführten Messungen bestätigen jedenfalls 
in (irster Annäherung das oben Gesagt«. Bei verschiedenen 
Stäben von der Länge 254 cm lagen beispielsweise für den 
Irrundton und ersten Oberton die Maxima zwischen liU und 
In cm von den Enden entfernt, für den zweiten Oberton war die 
i-ni sprechende Distanz bei ca. 40 — 50 cm. Bei diesen Versuchen 
i'ui-de immer wiederholt die Ötabrichtung verkehrt und es 
LTwies sich auch, daß anfänglich — vermutlich durch das Ab- 
oder Schneiden an den Enden — vorhandene Mag- 
eich verloren, um gegen die angegebenen Pole hinzu- 

1) Möglicher weise atebt damit auch die Beobachtuug von Loomis, 
t, Joam. 1&. p. 179 in ZuBHmmenhaiig, daS bei steigender Temperalur 
i^ctismiie sich nicht proportional ändert, sondern die Attruktions- 
1 gegen die Milte rucken. 



70 St Mej/er. Magnetisierung durch Tonerregung, 

Außer den genannten Umständen scheint jedoch auch 
noch eine Abhängigkeit von den Dimensionen der Stäbe eine 
Solle zu spielen. 

So ergab sich für die gleiche Länge von 254 cm bei kreis- 
förmigem Querschnitt vom Durchmesser d ein Abstand der 
Folmaxima a von den Enden wie folgt: 

d a 

1.2 cm 80—90 cm 

1.03 70—80 
0,95 ca. 70 
0,81 ca. 70 
0,6 ca. 60 
0,45 ca. 60 

d. h. mit abnehmendem Querschnitt scheinen die Maxim a gegen 
die Enden hinzurücken. 

Daß in diesem Erscheinungsgebiete jeden&lls auch noch 
kompliziertere Verhältnisse vorhanden sein mögen, geht zudem 
schon aus den, den hier beschriebenen Versuchen reziproken 
Beobachtungen von K Honda und S. Shimizu ^) über das 
Tönen ferromagnetischer Drähte in wechselnden magnetischen 
Feldern hervor. 

Eine exakte Bestimmung der Abhängigkeit von den Dimen- 
sionen ließe sich nur bei wohldefinierten homogenen Eisen- 
sorten durchführen. 

Wien, Institut für theoretische Physik 



1) R. Honda und S. Shimizu, PhU. Mag. 4. p. 645. 1902. 

(Eingegangen 12. Jali 1908.) 




Apparate zur Versinnlichnng der kinetischen 
Wärmetbeorie. 

Vou Leop. Ffaimdler in Gruz. 



Wenn ich im nacbfolgenden Apparate zur Nachalinmug' 
iliTJenigen BewegungB Vorgänge beschreibe, welche unseren An- 
■chsaungen in der kioetiscben Wänuetbeoric zugrunde liegen, 
•II bin ich mir wobl bewußt, damit mehr deru Unterrichte als 
ili'ui Fortschritte der Wissenschaft zu dienen. Dennoch glaube 
icli, daß der Wert von Apparaten oder Modellen zur Nach- 
ihmung physikalischer Vorgänge, die unserer direkten Be- 
"ti^ichtung unzugänglich sind, auch in wiesen schaftlich er Be- 
aehuug nicht unterschätzt werden darf; denn da sie die 
Phantasie wirksam unterstützen, so haben sie schon mehrmals 
il™ Anstoß zu einer Erweiterung unserer wissenschaftlichen 
j Vorstellungen gegeben. So hat z. B. seinerzeit der Fesseische 
Wollenapparat fiir die Polarisation des Lichtes solche Erfolge 
gehabt Nach 0. J. Lodge hat ein Modell zur Drehung der 
PoUriBatiossebene im magnetischen Felde den Anlaß zu Max- 
wells Theorie des Lichtes gegeben. Solcher Beispiele ließen 
aicb noch mehrfach aufführen. Wir sehen auch, daß sich 
iiervorragende Physiker mit der Erfindung solcher Modelle ab- 
gegeben haben, woraus wir schließen düri'en, daß dieselben 
nicht allein fiir den Schulmeister, sondern auch ffir den Forscher 
TOD Interesse sein können. Ich verweise auf die zahlreichen 
Modelle zur Versinniicbung elektrischer Vorgänge von Lodge, 
saif das Modell zu den zyklischen Bewegungen vou Boltz- 
maDD, auf die Wellen m aschine von Mach und viele andere. 
Auch der Umstand, daß die Pflege der kinetischen Gastheorie- 
abgesehen von den tiefsinnigen und gründlichen Arbeilen von 
L. BoUzmann, G. Jäger u, a., seit einiger Zeit zurück- 
gestellt worden ist, kann mich nicht abhalten, eiuschlägige 
Modelle zu beschreiben; denn ich habe die Überzeugung, daß 
auf diese Theorie immer wieder zurückkommen wird, so- 



»gati 



1 



L. Pfaundler. 



lauge es überhaupt eine Atouitheorie gibt. Es bat nicht da 
Anschein, daü wir die letztere bald werden entbehren oder 
durch eine bessere ersetzen können. 



Bflodell I Eur Darstallune der kinetiaDhen Gutheocie 

von Kränig und Claneius. 
All einem rechteckigen schmiedeeisernen Rahmen ÄS' 
(b'ig. 1) vou ungelahr 30 und 20 cm Seite sind ringshernni so 
der AußeuBeite eine Anzahl stählerner Lamellen /'/' »^P 
schraubt, deren obere Enden an rechtwinklig umgebogenen 
Stielen je zwei Metallkugeln A' K von 12 mm Durchmesser trig««. 




Fig. 1. 



Fig. 2. 



Sämtliche Kugeln bilden wiederum ein Rechteck vnn uiigefälit 
20 und 30 cm Seitenlänge. Die ledernden Stahllamellen tragu 
iu 4 cm Höhe an der Innenseite eiserne Anker a a, weld» 
den Polen von Hektromagneten m gegenüberstehen , die sÄ- 
hintereinander von einem Strome (5 Akkumulatoren) dun^ 
flössen, abwechselnd nord- und sOdmagnetisch werden. F^I 
gibt einen Vei-tikalschnitt durch die Lamelle. Der Strom 
durch eine separat aufgestellteebensolche schwingende Lamelle /1 
welche mit Quecksilberkontakt versehen ist, bei jeder Scbwingini 
einmal elektromagnetisch unterbrochen und wiederhergesteffl 
Durch die Schraube » wird der freischwingende Teil der Feder f 
in ihrer Lftnge und dadurch in ihrer Schwingungsdauer so tw 
guliert, liaB sie mit den gleich abgestimmten Federn /' fllxfi: 



I'eniinnlirjiiuir/ i/er khielixcUf.n II örmet/iti 



73 



"iti^tiiimil. Die lotztereu konimeu hierdurch in heftige und 
Miiialtende Schwingungen, welche ilanu und wann Schwebungeu 
luagesetzt sind, so daß sie periodisch stärker und schwächer 
^Uehwingeu. Unterhalb der Ebene der Kugeln ist eine starke 
^KBastafel O mittels dreier Süulchen aufgestellt, so daß die 
Hlogeln über deren Rand aus- und Ginschwiugen. 
' Mit diesem Apparate kann nun folgendes geneigt werdeu: 

Betpegung gleich ar fiff er GasmoMirln in mnem Gefäße mit 
, itmirmlm ffünclen. Mau wirft eine Anzahl bis zu 20 freier, 
liatischer Kugeln gleicher Größe aus Marmor auf die Glas- 
hütte, Dieselben erhalten bei der Berührung mit den schwiugen- 
nRandkageln Stöße und fahren, vielnials uuter sich zusanimen- 
, in dem Baume hin und her. Die Verluste an lehen- 
r Kraft, die sie durch die geringe Reibung erleiden, werden 
' hnli den fortwährenden Zuschuß von den Rändern her aus- 
:.'i'glicheii, Bo daß alsbald ein stationärer Zustand eintritt, hei 
«elchem eine mittlere lebendige Kraft derselben durch längere 
/.(it konstant erhalten wird, die durch Änderung der Strom- 
■tärte etwas erhöht oder vermindert werden kann. Es zeigt 
"li dabei ganz ueft, wie die einzelnen Kugeln die verscliieden- 
stüQ Geschwindigkeiten annehmen, die sie beim Stoße aus- 
Uuachen. Verfolgt man eine besonders gefiirbte Kugel, so 
lieht man, daß sie selten einen längeren ungestörten Weg von 
einem Rande zum gegenüberstehenden zurücklegt, indem die 
iiiittlere Weglänge infolge der Zusammenstöße eine viel kürzere 
ist Man überzeugt sich durch Abzählen während einer längereu 
Zeit, daß durchschnittlich alle Randkugeln gleich oft von Stößen 
fietroffen werden. 

2. Allmähliche Erwärmung eines auf dem absoluten Null- 
^gtlkl befindiiehen Gases durch die Gefäßwände. Man sammelt 
^H unterbrochenem Strom alle Kugeln in der Mitte der Glas- 
^Hbl [welche genau horizontal gestellt ist), versetzt dann die 
tUadkugeln in Schwingung und wirft eine einzige Kugel an 
den Rand. Sie vermittelt dann allmählich die Bewegung sämt- 
licher Kugeln, welche binnen wenigen Sekunden in stationäre 
nregung geraten. 

Kondensation von Dämpfen.. Man hemmt durch Anlegen 

' Hand die Schwingungen einer Anzahl von benachbarten 

IS ihrer Abkühlung entspricht. Sofort sammeln 



74 L, Pfaundler, 

sich die irei beweglicheu Kugeln in deren Nähe und kommen 
zur Ruhe. 

4. Diffusion. Man legt bei ruhenden Bandkugeln auf die 
beiden Hälften der Glasplatte verschieden gefärbte Kugeln. 
So wie die Schwingungen der ßandkugeln beginnen, tritt als- 
bald eine vollständige Veniiischung der freien Kugeln ein. 

5. Zwei Gase von verschiedenem Molekulargewicht. Man 
nimmt die Hälfte der Kugeln aus Stahl, die andere Hälfte 
aus Marmor (oder aus Marmor und Holz). Man bemerkt sofort, 
daß sich die leichteren Kugeln schneller bewegen und daher 
auch rascher in die schwereren diffundieren. 

6. Wirkung auf einem Kolben. Man setzt quer über die 
Mitte der Glastafel einen Stab aus elastischem Materal mit 
quadratischem Querschnitt und gibt auf beide Seiten gleich 
Wele gleich schwere Kugeln. Der Stab (Kolben) bleibt im 
wesentlichen an seiner Stelle. Man gibt auf die eine Seite 
mehr Kugeln als auf die andere , der Stab wird gegen die 
letztere verschoben. Dieses Experiment gelingt weniger toII- 
kommen, weil die Zahl der Kugeln zu gering ist, als daß die 
Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung zum sicheren Aus- 
druck kämen. Dazu müßte der Apparat größer gebaut werden. 

7. Gas^ welches der Schwere ausgesetzt ist Man neigt 
mittels der Stellschrauben den Apparat schief, so daß eise 
Schmalseite tiefer zu stehen kommt 

Der Leser wird leicht noch weitere Versuche auffinden. 

ModoU n BOT DarsteUun^ der Wfirmebewegung in festsn 

Körpern. 

Eine Anzahl Bleikugeln ist in der aus Fig. 3 ersichtlichen 
Weise gegenseitig durch federnde Spiralen verbunden und das 
Oanzo an Schnüren frei aufgehängt Man zeigt: 

1. Bewegung des ganzen Körpers (geordnete Bewegung). 
Ein sanfter Stoß mit der dachen Hand versetzt den ganzen 
Körper in Schwingungen, ohne daß die einzelnen Kugeln in 
merkliche Schwingung geraten. 

2, t^rzeugung injh M'arme tiurch Stoß^ innere Wärmeleitung. 
Ein nisohor Stoß auf eine einzelne Kugel pflanzt sich rasch 
durch den giuiÄon Körper ton und versetzt alle Kugeln in 
langer andauernde schwingende Bewegung um ihre Ruhelagen. 



3. Aufierf (^ärmehitang. Eiu so „envärinter" Körper 
ul'^rträgt eineu Teil seiner WärmebewegiiDg auf einen zweiten, 
mit dem er in Berührung 
gebracht wird. 

Sowie jeder Vergleich 
limkt, 80 hinkt auch jedes 

MotleU. Wir können z. B. 

nicht, hindern, daß die innere 

Keiliiitig die Bewegung der 

Kogeln bald zum Erlösehen 

briogt Ihre lebendige Kraft 

wird dann wirklich in Wärme 

vervandelt , während die 

lebendige Kraft der Moleküle 

nicht in Wärme verwandelt 

werden kann, da sie selbst 

ib die Wanne anzusehen 

ist Das letztere Modell 

kann aucb benützt werden, 

am die VorBtellung von der 

KoDstilution des Äthers zu 

erieichtern, der sich wie eine 

Gallerle verhält 

Die Wärniebewegung in den Hüssigen Körpern uachzu- 

ahmeo, dürfte schwer gelingen, 
Graz, Juli 1903. 




76 



12. Ein besonderer Fall des Leuehtens von ver- 
dflnntem Gase in einem breiten Glasrohr. 

[Von J. Borgmann in St Petersburg. 



Eine meiner früheren Mitteilungen ^) enthielt das Ergebnis 
meiner Beobachtungen über das Leuchten Geiss 1er scher und 
Lech er scher (elektrodenloser) Röhren, welches durch die mcA^ 
geschlossene Sekundärspule eines Induktors bewirkt wird. Die 
Beobachtungen ergaben, daß solch ein Rohr, welches auf iso- 
lierender Unterlagt in der Nähe eines Drahtes oder einer zweiten, 
mit einem Induktorpol verbundenen 6 eis sl er sehen Röhre auf- 
gestellt ist, beim Ingangsetzen des Induktors nur dann zu 
leuchten anfängt, wenn die Längsachse des Rohres den dabei 
entstehenden elektrischen EraftUnien wechselnder Richtung 
parallel ist, oder doch nur einen kleinen Winkel mit ihnen 
bildet. Das dabei in gewöhnhchen G eis sl ersehen oder elek- 
trodenlosen Lecherschen Röhren entstehende Leuchten bleibt 
sich gleich, unabhängig von der Richtung des Primärstromes 
des Induktors. Anders ist es bei langen und breiten Röhren, 
welche bis auf hundertstel Millimeter Druck evakuiert sind und 
wenn die Induktorpole durch eine Funkenstrecke verbunden 
sind. Das in einem breiten auf Paraffin Ständern isolierten Rohre 
entstehende Leuchten ist verschieden bei verschiedener Rich- 
tung des Primärstromes des Induktors. Der Unterschied im 
Leuchten besteht teilweise in der Form desselben, hauptsäch- 
lich aber in den räumlichen Dimensionen des Leuehtens im 
Rohr. Nach dem Aussehen des Leuehtens kann man die 
Richtung des Primärstromes des Induktors, d. h. die Ladung 
des Poles bestimmen, an welchen der isolierte Draht an- 
g^cUossen und welcher in einiger Entfernung vom Rohr auf- 



V) J.Borgmann, Joum. der Russ. phys.-chem. Ges. 31« 1900; Beibl. 



Leurhteii vnn veTilünniem Gase. 11 

ihäDgt ist. Oie hier beschriebene Ersclieinuiig bemerkte ich 

ia(HUig während meiner Beobachtungen über das Leuchten 

( verdönnten Gases rings um einen mit einem Induktorpol 

erbandenen Draht^, während beide Induktorpole durch eine 

hinkenstrecke verbunden wären. Das Rohr, welches zu den 

fcer ZQ beschroib enden Beobachtungen diente, war 114 cm 

lltng bei 6,3 cm äußerem Durchmesser. Dasselbe " cutluelt 

I parallel der Längsachse einen dünnen Platindraht, welcher 

I j«i(icii in meinen Versuchen an nichts angeschlossen war. 

Au diL- iiiiBere Rohrwandung war ebenfalls parallel der Länga- 

acbse und längs dem ganzen HoUr ein schmaler Stanniolstreifen 

safgektebt. Das Rohr war horizontal auf Paraftinbliickun, welche 

liirereeitg auf umgekehrten hohen Glasböcken ruhten, also ziem- 

licli hoch über der Tischoherfläche aufgestellt 

In einer Entfernung von nahezu 1 m von diesem Rohr 
befand sich ein dünner Draht, welcher den Draht jenes Rohres, 
nelchfs der Hauptgegenstand meiner damaligen UnterBuchuiiy; 
war, mit dem Induktorpolc verbaud. Es erwies sich, daß beim 
Ingangsetzen des Induktors- auch das breite Rohr zu leuchten 
begann. Das Leuchten war intensiver und verbreitete sich über 
einen größeren Teil des Rohres, wenn der Draht vom positiven 
Induktorpol führte. Das Leuchten gewann an Kraft, wenn der 
Stauniolstreifen an der Rohroberfläche geerdet war. Auch in 
diesem Fall war das Leuchten verschieden bei verschiedener 
Richtung des Primäa-stromes im Induktor. Das Rohr leuchtet 
auch dann, wenn der Platindrabt in ihm gleichfalls geerdet 
ist. Ebenso blieb in diesem Fall der merkliche Unterschied 
des Leuchtens bei verBchiedener Richtung des Primärstromes 
bestehen. Interessant ist es, daß das Anfassen des zweiten 
Induktorpol es, welcher immer geerdet war, einen merklichen 
Einfluß auf das Leuchten ausübte: die Länge der leuchtenden 
Strecke wurde kürzer. Die gleiche Wirkung hatte sogar das 
Anfassen des Drahtes, welcher den schmalen Stanniolstreifen 
mit dem Hahn der Wasserleitung, also mit der Erde ver- 
__band. Das Anfassen fand in ziemlicher Entfernung vom 
mntolstreifen statt. 



, Phys. Zeitechr. 2. p. G59. 1901; .t. p. 43» u. 5CS, 



Zeuchten von verdünntem Gase. 79 

parallel Bind, d. Ii. weun der Elektromagnet von Plüukcr ho 

unter dem Bohre aufgestellt ist, daß die LäogsachBe des Kobres 

in d wr senkreohteD Bbene liegt, welche durch die Achsen der 

B ^BtfKl des ElektromagDeten gebildet ist. 

I ^Hfeg- t ist eine Autotypie nach einem Negativ (b^xposition 

¥ m^Bn.), welches das Leuchten im Rohr in dem Falle dar- 

ateSt, wenn der negative Induktorpol wirksam ist 

Fig. 2 iät eine Autotypie nach einem Negativ (Exposition 
döBhfekUs 15 Min.), welches das Leuchten im Rohr darstellt, 
■n der wirksame Induktorpol positiv ist 
S' Beide Figuren verhalten sich zueinander wie ein negatives 
uoä ein ))oaitives Bild. Beide zeigen deutlich die Wirkung 
des Uagnetfeldes, aber Fig. 1 zeigt einen hellen Bogen in der 
Richtung der Kraftlinien, welche die Mitten der horizontalen 
Endflächeu di?r iSithenkel des Elektromagneten verbinden. Fig. 2 
üfligt denselben H<igea, aber dunkel, ümgekehrtistder Zwischen- 
nmn zirischen den Schenkeln des Elektromagneten im ersten 
FiUe dunkel, im zweiten intensiv leuchtend. 

Zosammeofassend: Das Leuchten eines verdünnten 6ases 
IB cineni breiten Glsarohr in einem intermittierenden, elektri- 
■dlBB Felde ist verschieden beim Wechseln der Richtung des 
MIm. Der Unterschied zeigt sich besonders in der Wirkung 
im magnetischen Feldes auf das Leuchten. 

8t Petersburg, Universität, Physikalisches Institut 
(Eingegangen 20. Juli 1903.) 



80 



13. Zar Demonstration der Klanganalyse. 

Von Paul Czermak in Innsbruck. 



Bereits in den achtziger Jahren benutzte L. Boltzmann 
zur Demonstration der Obertöne, welche bei Saiten auf- 
treten, wenn dieselben in der Mitte oder im ersten Drittel 
gezupft werden, ein mechanisches Modell. Dasselbe besteht 
aus einer Reihe von Pendeln, welche die Partialtöne der Saite 
darstellen. Durch symmetrische oder unsymmetrische Defor- 
mierung der Sinusschwingung des Grundtones läßt es sich nun 
zeigen, daß im ersten Falle die ungeradzahligen Obertone nicht 
ins Mitschwingen kommen, während im zweiten Falle wieder 
jene Obertöne fehlen, welche ihre Knoten an der Zupfbtelle 
haben. J. Klemenöiö führte diesen Apparat bei der Natur- 
forscherversammlung in München im Jahre 1899 vor und 
fand derselbe berechtigte Anerkennung. Mit keinem anderen 
Apparate kann dieser ziemlich komplizierte Vorgang so klar 
und anschaulich vorgeführt werden. Kiemen öiö hatte die 
Absicht, diese Methode im Einvernehmen mit Hm. Boltz- 
mann ausführlich zu beschreiben, doch kam er nicht mehr zur 
Ausführung dieses Vorsatzes. Da ich seinerzeit als Assistent 
Boltzmanns Gelegenheit hatte, diesen Apparat kennen 
zu lernen und das Modell, welches Klemenöiö in München 
vorführte, nach meinen Angaben gemacht wurde, so glaube 
ich vielen Experimentatoren einen Dienst zu erweisen, wenn 
ich hier das Versäumnis nachhole. 

Da es mich nun stets sehr interessiert hatte, in welchem 
Maße die einfache Sinusschwingung des Grundtones beim Boltz- 
mann sehen Apparate deformiert wird, konstruierte ich eine 
Vorrichtung, welche gestattet die Grundschwingung und die 
deformierten Schwingungen graphisch darzustellen.^) Es ist 



1) Diesen Apparat hatte ich für die Demonstration bei der Natur- 
toncherveraaromlnnor in München 1899 vorbereitet, war aber an deren 
^i^«nAbe V ^eh hier die Sache nachtrage. 



Demonstration der Klatij/anali/se. 



81 



dabei überraschend, eine wie geringe Deformation bereits ge- 
uHgt, um gewisse Obertöne deutlich hervortreten zu lassen. 

Ich will daher zunächst Boltzmanns Pendelapparat te- 
schreibeo. 

Ein gewöhnliches Pendel P, Fig. 1, mit schwerer Linse, 
TOD nnge&hr einer Sekunde Schwingungsdauer, ist an einem 
soliden Ständer 8 aufgehängt An dem- 
selben läßt sich in der Nähe der Auf- 
hängeschneide ein längerer Stift $ mit 
Hilfe einer kleinen Klammer feststellen. 
Wird das Pendel zu Schwingungen an* 
geregt, so macht m natQrlich eine genaue 
einfache Sinusbewegung. 

Nun ist eine Reihe von Faden- 
pendeln vorbereitet, von denen das erste 
mit P genau abgestimmt ist. Es repräsen- 
tiert den Grrundton. Das zweite i»t nur 
ein Viertel so lang, schwingt daher doppelt 
so schnell, ein drittes hat ein Neuntel der 
lAnge und schwingt daher dreimal so 
schnelL Außerdem ist noch ein viertes 
Pendel vorhanden, welches eine beliebige 
z wisch engelegene Pendellänge hat. 

Hängt man nun alle vier Pendel gleich- 
zeitig an den Stift t und regt das große 
Pendel P an, so gei:%t nur das den Grund- 
ton repi^sentierende Fadenpendel in leb- 
haftes Uitscbwingen. Dies ist der einzige 
Ton, der in der Schwingung des Stiftes g 
enthalten ist 

Nun kann man an dem vorstehenden Arme a, zwischen 
Spitzen drehbar, zwei verschiedene Vorrichtungen anbringen, 
nnd zwar zur MyrnmetrUcken Deformation der einfachen Sinus- 
schwingung des Stiftes s ein kleines Dreieck und zur utisipnme- 
trüehen Deformation ein kleines Kebelchen. 

Das Dreieck D, Fig. 2, wird so eingesetzt, daß es der 
Stift I eben im oberen Winkel der Schablone berührt. '\\'ird 
dann das Pendel angeregt, so nimmt der Stift s das Dreieck 
mit und ein Punkt desselben, z. B. das Häkchen h, führt dann 

BollimimD-FMUchTlR. 




82 



P. Czermak. 



eine deformierte Sinusschwingung aus. Dieselbe ist symmetrisch 
deformiert^ und zwar so^ daß das Passieren der Ruhelage mit 
vergrößerter Geschwindigkeit vor sich geht, während die Ge- 
schwindigkeit gegen die Umkehrpunkte zu verlangsamt wird. 

Hängt man die früheren vier Fadenpendel der Reihe nach 
an das Häkchen h, so geraten der Grundton und zweite Ober- 
ton in lebhaftes Mitschwingen, während das zweite und vierte 
Pendel nur hin und her geschoben werden. 

Zur unsymmetrischen Deformation dient dann das Hebel- 
chen H, Fig. 3, welches statt des Dreiecks D in den Arm a 





Fig. 2. 



Fig. 8. 



eingesetzt wird. Man verstellt dann den Stift s so, daß er etwas 
aus der Mittellinie gegen links zu verschoben steht und beim 
Umkehrou auf der rechten Seite das Hebelchen ZT gerade noch 
berührt. Es wird dann die Geschwindigkeit der Häkchenbewe- 
guiif]^ gerade an dieser Stelle vergrößert und gegen den anderen 
Uinkohrpunkt verlangsamt. Von den vier angehängten Faden- 
peiidolii geht jetzt wieder der Grundton lebhaft mit, aber auch 
(liT (Tsto Oberton, während das dritte und vierte Pendel versagen. 

Zur (/rophischen Darstellung dieser Schwingungsformen kon- 
struiortü ich folgenden Apparat 

ZmülchRt muß die einfache Sinusschwingung, welche der 
Stift .V aiiHführt, aufgezeichnet werden und läßt sich dies in 
bekaiintiM" Weise sehr genau durch die Projektion des Schatten- 
puiiktos oiii(>s im Kreise bewegten Punktes ausfahren. 

Auf (»inor Scheibe 5, Fig. 4, sitzt in einem Schlitze, auf 
verschiedenen Abstand vom Zentrum verstellbar, der Zapfen 
Ä, welcher zur Verminderung der Reibung ein Röllchen trägt 
Ear wird durch eine starke Spiralfeder stets gegen die eine 
^Uoto i «n Schlitzes in dem Schlitten Ä B ge- 

^ in vier Führungsrollen und jeder 



Demonstration der Klanganaiyse, 



83 



Puukt desselben macht daher beim Rotieren der Scheibe S 
eine horizontale Pendelbewegung. 

An den Schlitten ist eine Stange G geschraubt, welche 
den im Pendelapparate mit s bezeichneten Stift trägt. Außer- 
dem ist auch eine wegklappbare Messingfeder f Yorhandeu, 
welche, mit Tinte gefüllt, auf einem Torübergleitenden Streifen 
Eymographenpi^ieres die einfache Sinuslinie sehr fein ver- 




Fig. 4. 

zeichnet Der Papierstreifen ist über zwei Rollen geführt, welche 
mit der rotierenden Scheibe S durch denselben Sclinurlauf ver- 
bunden sind, so daß sich diese Teile isochron bewegen müssen. 

Nun ist jener Teil anzufügen, welcher die Grundton- 
schwingung deformiert. Zu dem Ende ist an einer Achse JS 
wegdrehbar und auch in der Höhe verstellbar ein Rahmen B. 
vorhanden, welcher einen zweiten SchUtten Ä' B trägt. 

In der Zeichnung ist die Stellung des Rahmens punktiert 
angedeutet und oberhalb derselbe ausgeführt dargestellt. 

Der Schlitten ist ebenfalls zwischen vier Führungsrollen 
gehalten und in einem senkrechten SchUtze desselben gleitet 
ein Stift, welcher dem Häkchen A des Pendelapparates ent- 
spricht Das symmetrisch deformierende Dreieck B und das 



«* 



4 P. Czermak. Demonstration der Klanganalyse, 

nsymmetrisch deformierende Hebelchen H sind als Schablonen 
i einer Scheibe P ausgeschnitten und können durch einen 
lemmenden Hebel T so fixiert werden, daß sie über den Stift s 
eim Herumdrehen des ganzen Rahmens gesteckt werden. In 
ie Scheibe P können noch andere Schablonen geschnitten 
erden, z. B. Dreiecke mit anderen Winkeln, Bogen- und 
lurvenstücke, geneigte Gerade etc. Mit dem Hebel T ist 
uch der Stift h verbunden, welcher die deformierte Sinus- 
ewegung auf den Schütten überträgt Von diesem aus geht 
ann ebenfalls ein gebogener federnder Schreibehebel f nach 
bwärts, welcher gegen den vorübergleitenden Papierstreifen 
ngedrückt wird und die deformierte Kurve verzeichnet. 

Um die Kurven gut vergleichen zu können, hat man so zu 
erfahren. Man zeichnet zuerst, bei abgedrehtem Rahmen R, 




Fig. 5 a. Fig. 5 b. 

L\it oinor passenden Amplitude die einfache Sinuskurve auf 
\^ui8papior. Dann klappt man den Rahmen über, nachdem 
i\jiu dio gewünschte Schablone eingestellt hat Jetzt muß man 
lio Kxzo!\tri:ßitÄt des Zapfens Z so verkleinem, daß die Ampli- 
udo der deformierten Kurve ebenso groß geworden ist, wie 
lio ilor oinfaohen Siuuslinie. Beim Einstellen des unsymme- 
iisol\ dofonuierondon Schlitzes H ist auch noch die Schablonen- 
olioibo otwHs uaoh nn^hts zu verschieben, was durch die in 
\\iou\ l\oriÄvnit^K>n Schlitze klemmbare Drehachse derselben 
vtiuVlioht wini. 

Auf dio sv^ erhaltenen deformierten Kurven legt man die 
\\u\^pju\M\teu einfj^ohen Sinuslinien auf und kann dann am 
>e*-ivu liio VbweiohwugiHi beurteilen. 

b'\>i ^,^ gibt die verkleinerte Reproduktion einer solchen 
^\M>;lo\vhiu\>; der symmetrt:stch deformierten, Fig. 5b die der 
\\\HU\\\\\\ twsvh defv^nuierten Schwingung wieder. 

h\t\Nb\uek. im Juli 1908, 

v^'i^^V*!^?«» ^^ Jw^i 1903.) 



Der Lichtdruck anf einen bewegten Spiegel und 
das Gesetz der schwarzen Strahlung. 

VoD Max Abraham iu GüttingeD. 



L, Bnltzmann') hat zuerst deii elektromagüetischeD Lichte 
druckt zur thermodynaniiscbeD Begründung des Gesetzes der 
-chwar/en Strablung verwandt. Die experimentelle Bestätigung 
des Stefan-Boltz mann sehen Gesetzes durch die Herreu 
O. Lämmer und E. Pringsheim*), sowie der direkte Nachweis 
des Lichtdruckes durch Hm. P. Lehedew*) und neuerdings 
durch die Hrn. E. F. Nichols und G. K HuIP) zeigen, daß 
die nämlichen Kräfte es sind, die aul' ruhende und bewegte 
Elektrizität in statischen oder stationären elektromagnetischen 
Feldern, and die in den rascb wechselnden Feldern der Licbfr- 
wellen wirken. 

Die endliche Geschwindigkeit des Lichtes bedingt, daß 
die Kräl'te der Lichtwellen das dritte Axiom Newtons nicht 
erfüllen; es verstreicht eine endliche Zeit, von dem Momente, 
wo der Lichtdruck den emittierenden Körper zurückstieß, bis 
an dem Momente, wo er dem absorbiereudeu einen Impuls 
erteilt. Dennoch läßt sich der Satz von der Erhaltung der 
Bew^ungsgröße in gewissem Siune aufrecht erhalten ; man hat, 
neben der Bewegungsgröße der Materie, eine „elektromagiu- 
litche Bcireffungsffräß«"^) der LJchtwellen in Rechnung zu ziehen. 
Wird Strahlung in den Kaum hinauagesandt, so wird die Be- 
wegungsgröße der ponderablen Massen in elektromagnetische 
Bewegungsgröße verwandelt; sie bleibt gewissermaßen latent, 
bis sie, bei der Absorption der Strahlung, von der Materie 
zurückgewonnen wird. Die elektromagnetische Bewegungsgröße 



1) L. BoltzDiauD, Ann. <1. Phya. 22. p. 291. 18S4. 

3) J. Cl, Maxwell, Treatifle 2. Arl. 792. 

ai O.LuramerundE, Pringeheim, Ann-d. PhyB.fi;i. p. 395. I8<17. 

H P. Lebedew, Ann. d. Phys. 6. p. «3. 1901. 

6) E.F. NiühuU und G. F. Hüll, Ann. d. Phya. 12. p. 225. IfliiS. 

6) M. Abraham. Ann. d. Phys. 10. p. r25. 1903. 



» 



86 M, Abraham. 

ist ein Vector, der dem Strahle parallel gerichtet ist; sein 
Betrag ist, für eine ebene Welle, gleich der mitgefiihrten 
elektromagnetischen Energie, dividiert durch die Lichtgeschwin- 
digkeit. Nach der alten Emissionstheorie wäre der Quotient aus 
Bewegungsgröße und Energie doppelt so groß, der Lichtdruck 
wäre daher der doppelte^); die elastische Lichttheorie dagegen er- 
klärt den Lichtdruck überhaupt nicht, da sie keine longitudinale 
Komponente der Bewegungsgröße den Lichtwellen zuschreibt. 

Wir behandeln folgendes Problem: E^in dünnes Ldcht- 
bündel von gegebener Richtung, Helligkeit und Farbe treffe 
auf eine ebene, vollkommen spiegelnde Platte, die sich senk- 
recht zu ihrer Ebene mit beliebiger Geschwindigkeit bewegt; 
gesucht sind Richtung, Helligkeit und Farbe des reflektierten 
Bündels, sowie der Druck, der auf die Platte wirkt. Dieses 
Problem ist auf das engste mit der Theorie der schwarzen 
Strahlung verknüpft. Die Beziehung, die zwischen den Hellig- 
keiten, Temperaturen und Schwingungszahlen jedes der beiden 
Bündel besteht, ist nichts anderes, als das sogenannte ,,Fer- 
schiebungsgesetz^^, Herr W. Wien^), dem man dieses Gesetz 
verdankt, beschränkt sich bei dem Beweise stets auf sehr ge- 
ringe Geschwindigkeit der spiegelnden Fläche; er setzt den 
Lichtdruck auf den bewegten Spiegel dem auf den ruhenden 
Spiegel wirkenden gleich, und begnügt sich mit einer ersten 
Annäherung für die Arbeitsleistung des Lichtdruckes und für 
die Änderung der Wellenlänge, die bei der Reflexion gemäß 
dem Doppler sehen Prinzip stattfindet Mir schien daher eine 
exakte Lösung des genannten Problems, für beliebige Ge- 
schwindigkeit der bewegten Platte, erwünscht; sie fährt zu einer 
Ableitung des Verschiebungsgesetzes, die eines idealen Spiegels 
nur für einmalige Reflexion bedarf, während die bisherigen 
Beweise annehmen müssen, daß bei den außerordentlich zahl- 
reichen Reflexionen an den spiegelnden Wänden eines Hohl- 
raumes kein merklicher Bruchteil der Strahlung absorbiert 
wird. Dabei dürfen wir freilich den Begriff der Temperatur 
nicht auf die Hohlraumstrahlung beschränken, sondern wir 
messen ihn auf die beiden Lichtbündel, das einfallende und 



l'Tgl. L. Boltzmann, Ann. d. Phys. 22. p. 298. 1884. 
1 V. Wien. >«« H Phya. ö2. p. 157. 1894. 



■ l.whldmch auf hi-we.jhn Spwtfel. 87 

das ruflebtierte , übeilrageu. Daß die nngeatört im Räume 
sich fortpflanzende Strahlung eine bcBtimmte Temperatui- be- 
sitzt, die sich bei der Fortpflanzung nicht ändert, hat Herr 
M. Planck^) gezeigt; eineu Einwand*) des Hrn. W. Wien 
widerlegend,^ hat er die Reversibilität der freien Ausbreitang 
strahlender Energie festgestellt. 

Demgemäß betrachton wir das einfallende Lichtbündel als 
Träger von Bewegungsgröße, Energie und Temperatur. Richtuufj, 
Helligkeit und Temperatur des reflektierten Bündels, sowie 
den Lichtdruck auf den bewegten Spiegel berechnen wir auf 
Gm&d des Satzes von der Rewcgungsgröße , und der beiden 
Hauptsätze der Thermodynamik. Dabei stellen wir uns von 
Tomherein auf den Standpunkt der Lorentzachen Theorie*), 
der einzigen, die zu einer präzisen FonnuHerung des Problems 
flllirt. Dieser Theorie zufolge geschieht die Lichtfortptlanzung 
im Baume unabhängig von der Bewegung der Körper; die 
spiegelnde Platte beeiutiuBt das Licht nur im Momente der 
Reflexion. Man kann von einer absoluten Bewegung des Lichtes 
reden; diese erfolgt nach jeder Richtung mit der gleichen Ge- 
schwindigkeit (f); sie ist es, durch welche die elektromagne- 
tische Bewegungsgröße bestimmt ist. Von ihr zu unterscheiden 
ist die relative Bewegung des Lichtes gegen die Platte, die 
ein mitbewegtor Beobachter wahrnehmen würde. 

Um auf Grund der Lorentzschen Theorie die Kraft zu 
berechnen, welche das Licht auf den bewegten Spiegel ausübt, 
hat man zunächst das Feld an der Oberfläche des bewegten 
Leiters zu bestimmen und sodann die Kräfte zusammenzusetzen, 
welche in diesem Felde auf den längs der Oberfläche fließen- 
den Leitungsstrom, und auf die senkrecht zur Fläche kouvekttv 
bewegte Elektrizität wirken. Eine derartige Betrachtung lehrt, 
daß die Kraft jedenfalls senkrecht zur spiegelnden Fläche 
wirkt, scherende Drucke also nicht auftreten. Nehmen wir 
dieses Resultat — der Beweis würde hier zu weit führen — 
tüa gegeben an. so können wir den Betrag des normalen Druckes 

g 1) M. Planck, Ann. d, Fliya. I. p. 723 u. 73ä. 1900. 

ft S) W. Wien, Ann. d, PIij^b. 3. p. 534. 1900. 

■ 3) H. Planck, Ann. d. Phya. Z. p. 765. 1900. 

■ 41 H. A. I.orentz, Theorie d. elektriechen u. optiaohen Erschei- 
Vaungen in bewef^en Kiirpom. Leiden 1 SSä, 



88 M. Abraham. 

aus der zeitlichen Änderung der im ganzen Räume enthaltenen 
elektromagnetischen Bewegungsgröße berechnen. 

Auf die Platte falle unpolarisierte monochromatische 
Strahlung, von der Schwingungszahl v^\ es sei P die Größe 
des entworfenen Bildes, od^ der kleine räumliche ÖfiFnungs- 
winkel des in einem jeden Punkte von F sich vereinigenden 
Strahlenkegels. Würde die Platte ruhen, und ihre Ebene 
senkrecht zur Achse des Bündels gestellt sein, so wäre die pro 
Sekunde auf F fallende Energie: H^F(o^dv^\ so ist die 
„Helligkeit^ H^ der Strahlung definiert.^) Nun soll aber die 
Plattennormale mit der Achse des einfallenden Bündels einen 
Winkel einschließen, dessen Kosinus wir mit a^ bezeichnen; 
ferner bewegt sich die Platte, senkrecht zu ihrer Ebene, mit 
der Geschwindigkeit q^c,ß\ die zur Platte normale Kom- 
ponente der Relativgeschwindigkeit von Licht und Platte ist 
hier nicht mehr c, sondern c a^ + ^ = c («j + /S). Es fallt daher 
in der Sekunde auf F die Energie: 

(1) {a,+ß)H^F(o,dv,. 

Der Betrag der in der Sekunde auf F fallenden Bewegungs- 
größe wird erhalten, indem der Ausdruck (1) durch die Licht- 
geschwindigkeit (c) dividiert wird; ihre Richtung ist durch die 
absolute Richtung der Strahlung bestimmt. Es sind daher die 
Komponenten der pro Sekunde auffallenden Bewegung sgroße, 
normal und tangentiell zur Platte genommen 

(la) "y[a,+ß)H,Fw,dv, 

und 

(Ib) ^^ ^"? .{a, +ß)H^F(o^dv^. 

Es mag mui r^^ der Cosinus des spitzen Winkels sein, 

den die Achse dos reflektierten Bündels mit der Plattennormale 

einschließt, aij^ der kleine Ofl'nungswinkel des von einem jeden 

Punkte von F uuHgoheuden Strahlenkcgels. Dann ist, aus 

Symmetriegründcn : 

Oi| r/ff, 

^^>^^\MiOk, Aiiu. li. Fhy«. 1. p. 734, 785. 1900. 



Lichtdruck auf bewegten Spiegel, 89 

Die zur spiegelnden Fläche normale Komponente der Relativ- 
gescliwindigkeit von Licht und Platte beträgt hier ca^-^ q 
=a c(a, — /S). Ist femer v^ die Schwingungszahl, H^ die Hellig- 
keit des reflektierten Bündels, so ist die pro Sekunde von F 
ausgehende Energie', 

(2) (a,-^H^F<o,dv,. 

Die Komponenten der pro Sekunde von F im reflektierten 
Lichte ausgesandten Bewegungsgröße , normal und tangentiell 
zur Platte genommen, sind: 

(2a) ^{a,-ß)H,Fm,dv, 

und 



(2b) ^'^^''"{a,^ß)H,Fa^,dv,, 

Da der scherende Druck null ist, müssen die zur Platte 
tangentiellen Komponenten (Ib, 2 b) der einfallenden und re- 
flektierten Bewegungsgröße einander gleich sein: 

(3) il^^.{a^^ß)H^(o,dv^ = fr^al{a,+ß)H,(o,dv,. 

Die Normalkomponente der einfallenden Bewegungsgröße (la) 
weist nach der Platte hin, diejenige der reflektierten Bewegungs- 
größe (2a) von ihr fort; die Summe dieser beiden Ausdrücke 
ist mithin der Kraft p F gleich zu setzen, die dem Lichtdruck 
das Gleichgewicht hält: 

W P = -?--(«2 -ß)^2 «2^^2 + V '(^1 + ^)^1 ^1 ^^1 • 

Der Energiesatz sagt aus: Die pro Sekunde von der Kraft 
f -P gegen den Lichtdruck geleistete Arbeit ist gleich dem 
Überschuß der reflektierten Strahlung (2) über die ein- 
fallende (1): 

(5) p.q^ («3 -ß)H^(o^ dv^ - [a^ + ß)II, w^ dv, , 

Aus den letzten drei Gleichungen, in Verbindung mit (Ic), sind 
«3, p, i?2, cög zu berechnen, v^ ist durch das Dopplerscbe 
Prinzip bestimmt. 

Zunächst werde p aus (4), (5) eliminiert: 

(ß) (1 - ßi^,){f^, -ß)Il2 «2 ^^2 = (1 + /5«i)(r^i + ß) H, Cü, dv,. 



90 M. Abraham. 

Hieraus, in Verbindung mit (3), folgt 

Diese Relation verknüpft die Kosinus a^, a^ der Winkel, welche 
die Achsen der beiden Bündel mit der Plattennormale ein- 
schließen; dieselben liegen in dem Intervalle: 

(7a) -/S^«i^l, +/?^«,^1. 

Der Strahl a^ = — ^, r/g = + /? streift die Platte, ohne seine 
Richtung zu ändern; sein Strahlungsdruck ist, nach Gleichung 
(4), gleich null. Für alle übrigen Strahlen gilt: 

(7b) * a^ + a^ > 0. 

Mithin folgt, auf Grund der Identität 

ans (7) die Relation: 

(7 c) 2/?-2/5«,«, + (H-/?^(«i-«,) = 0. 

Ans dieser ergeben sich zwei neue Formen der «j, a^ ver- 
knüpfenden Beziehung: 

(7d) , ^-, = "' „ + "• 



(7e) l-(»«._l + ^«., 

von denen bald die eine, bald die andere sich als brauchbarer 
erweist. Aus (7, 7e) folgt: 

Diese Gleichung besagt: Das Verhältnis der beiden Kompo- 
nenten der Relativgeschwindigkeit der Strahlung gegen die 
Platte ist das gleiche für das reflektierte, wie für das ein- 
fallende Licht. Es folgt hieraus das Refiexionsgesetz: 

Im relativen Strahlengang^ wie er sich einem mit der Platte 

ach bewegenden Beobachter darbietet, ist der Reflexionswinkel 

gleicfc dem Mnfallswinkel. Man übersieht leicht, daß die ab- 

hAäW Rieh*""" des reflektierten Strahles einen kleineren 



Lichtdruck auf bewegten Spiegel. 91 

Winkel mit der Normalen der Platte einschließt, als die ab- 
solute Bichtang des einfallenden. 
Ans (6), (7e) folgt: 

Femer ergibt sich ans (4), in Verbindung mit (7d) der 
Lichtdrack: 

(9) p^^^.^^&,,H,,o,dv,. 

Der Lichtdruck wird unendlich für ß = \, d. h. wenn die 
Geschwindigkeit der Platte die Lichtgeschwindigkeit erreicht; 
die gegen den Lichtdruck zu leistende Arbeit würde hier un- 
endlich werden. Daraus folgt der Satz : Fällt auf die spiegehide 
Vorderseite der Platte eine noch so geringe Strahlung y so kann 
die Geschwindigkeit der Platte die Lichtgeschwindigkeit niemals 
erreichen. 

Die Schwingungszahlen v^^ v^ beziehen sich auf die an 
einem im Kaume festen Punkte stattfindenden Schwingungen. 
An der Oberfläche der bewegten Platte mögen Schwingungen 
von der Zahl v pro Sekunde stattfinden; ihre Zahl ist die gleiche 
für die vom einfallenden, und die vom reflektierten Lichte 
herrührenden Schwingungen; denn beide sind miteinander durch 
gewisse, in den Feldstärken lineare Grenzbedingungen ver- 
knüpft. Es folgt, nach dem Doppl ersehen Prinzip: 

daher, mit Rücksicht auf (7e]: 



(10) 



y, 



9 



— ^ + ß^l _ «1 + 1^ 



Vi l - ß(H «i- ß' 

Aus (Ic) folgt durch Differentiation von (7d): 



Gleichung (8) endlich ergibt: 

IHe Helligkeiten verkalten sich, wie die dritten Potenzen der 
Schwingungszahlen. Bei dieser Steigerung der Helligkeit ist 



92 M. Abraham. 

gegen den Lichtdruck die durch (5) gegebene Arbeit pro Zeit- 
einheit und Flächeneinheit zu leisten. 

Wir betrachten jetzt den inversen Prozeß: Der Spiegel 
bewege sich mit derselben Geschwindigkeit, wie bisher, aber 
in entgegengesetzter Richtung; auf ihn falle in der durch a^ 
bestimmten Richtung Strahlung der Schwingungszahl v^, der 
Helligkeit H^\ dieselbe entwerfe ein Bild von der Größe F, es 
sei «2 der Öffnungswinkel des in einem jeden Punkte von F 
sich vereinigenden Strahlenkegels. Die Bezeichnungen «j, v^, 
H^, «j dagegen mögen sich jetzt auf das vom zurückweichenden 
Spiegel reflektierte Licht beziehen. Demgemäß sind in allen 
unseren Gleichungen die Lidizes (1, 2) zu vertauschen, und es 
ist ß durch — /? zu ersetzen. Die Relationen (7f), (10), (10a), 
(11) bleiben hierbei ungeändert; daraus folgt: Richtung, 
Schwingungszahl, Helligkeit und Öffnungswinkel des reflektierten 
Lichtes sind jetzt die gleichen, die vorher dem einfallenden 
Lichte zukamen. Der Lichtdruck ist, nach (4), bei dem in- 
versen Prozeß derselbe, wie bei dem ursprünglich behandelten; 
er leistet an der zurückweichenden Platte nach (5) pro Sekunde 
die gleiche Arbeit, die vorher gegen den Lichtdruck geleistet 
wurde. Wir fassen die Resultate in den Satz zusammen: 

Uie Beflexion des Lichtes durch eine vollkommen spiegelnde, 
beliebig rasch bewegte Platte ist, im thermodgnamischen Sinne, 
ein umkehrbarer Forgang, 

Wir wenden den zweiten Hauptsatz auf diesen Vorgang 
an, der aus strahlender Wärme der Schwingungszahl Vj solche 
der Schwingungszahl v^ entstehen läßt, und erhalten nach (1, 2): 

M 9^ («1 + ß) H l (Ol d »t _ («, - ß)H^(a^dv^ 

oder nach (10), (lOa), (11): 



(12 a) 



^1 



Die Temperaturen der beiden Lichtbündel verhalten sich, wie ihre 
Sehwingungs zahlen. 

Die Relationen (11), (12 a), die für beliebige Schwingungs- 
^Ääm und "^ "«^iiren gelten müssen, ergeben sofort das 



Liehtdnick auf bewegten Spiegel, 98 

in der Yon Herrn M. Planck^) angewandten Fassung. 

Die Integration über das ganze, der Temperatur tV* ent- 
sprechende Spektrum schwarzer Strahlung ergibt, bei Ein- 
führung der Integrationsvariabeln x = vld-, 



C» 00 



^^*^ f^'^^=^'J'^-^'Al)- 







Die gesamte Helligkeit eines schwarzen Strahlenöündels ist 
der vierten Potenz seiner absoluten Temperatur proportional Das 
ist das Gesetz von Boltzmann, ausgesprochen für frei sich 
fortpflanzende Strahlung. 

Göttingen, Juli 1903. 



1) M. Planck, Ann. d. Phys. 4. p. 560. Gleichung (7). Die da- 
aeÜMt angegebene Energiedichte u ungeordneter Hohlraumstrahlung ist 
mit IT durch die bekannte Beziehung u = 4nHlc verknüpft. 

(Eingegangen 25. Juli 1903). 



94 



15. Über das durch eine beliebige endliche Fignr 

bestimmte Eigebilde. 

Von Hermann Bronn in München. 



§ 1. Einleitendes. 
Die folgenden Untersuchungen beziehen sich auf komplexe 
Größen 

mit n, d. h. beliebig vielen unabhängigen Einheiten t und reellen 
Koeffizienten x, anders ausgedrückt, auf Punkte in Säumen 
von n Dimensionen mit reellen Koordinaten 

Für unsere Größen wird nichts weiter als das folgende Theorem 
vorausgesetzt: 

Unter einem linearen Raum oder kurz „Linear" verstehen wir 
jedes Gebiet, das man aus einem Baume R von Punkten 

Xj ?j +^2*2+ • • • + ^n *n (^^® ^ Unabhängig) 
heraushebt durch lineare Gleichungen, welche man den x auf- 
erlegt; somit auch B selber, da B aus einem Räume höherer 

Stufe durch Gleichungen wie ^n + i=^»^n + 2~^ ®^^' heraus- 
gehoben werden kann. 

Jedes durch eine einzige lineare Gleichung aus einem 
linccaren Räume R herausgehobene Linear soll ein Hauptlinear 
von R heißen.^) 

Wir sagen: „Ä wird von der Figur i'^ aufgespanrU^, wenn 
R der lineare Raum geringster Dimensionszahl ist, in dem F 
enthalten ist. 

Unsere Figuren F seien abgeschlossene Punktmengen, d. h. 

1) Bei H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, p. 13: „Ebene^^ 
Wir ziehen aus verschiedenen Gründen vor, dem Worte „Ebene" seine 
beschränkte Bedeutung zu lassen. 



über Eigebüde. 95 

jeder Grenz- oder Häufungspunkt ihrer Punkte gehöre ihnen 
ebenfalls zn. 

Es soll hiermit nichts präjudiziert sein über nicht ab- 
geschlossene Figuren; wir beschränken uns auf abgeschlossene, 
um der ersten Darstellung unserer Sätze nicht einen schleppen- 
den Charakter zu geben. 

Unter einem „vollen Eigebilde" verstehen wir eine Figur, 
welche mit jeder Geraden des von ihr aufgespannten Raumes R 
höchstens ein Stück (Punkt oder Strecke] gemein hat.^) Mit 
jeder anderen Geraden G hat sie dann auch nur höchstens 
em Stück, den Schnittpunkt {B Gf), gemein. 

Wir bezeichnen die Punkte einer gegebenen Figur als 
Punkte nuUter Ordnung oder Punkte ((?), 

die Punkte der geraden Verbindungsstrecken (Sehnen) zwischen 
zwei Punkten (0), soweit sie von Punkten (0) verschieden sind, als 
Purikte erster Ordnung oder Punkte (/), 

die Punkte der Sehnen zwischen einem Punkte (0) und einem 
Punkte (1), oder zwischen zwei Punkten (1), so weit sie von 
den Punkten (0) und (1) verschieden sind, als 

Punkte zweiter Ordnung oder Punkte (2), 

etc. etc., überhaupt die Punkte der Sehnen, welche einen Punkt 
(« - 1) mit einem Punkte gleicher oder niedriger Ordnung ver- 
binden, soweit sie von Punkten nuUter bis [n — 1)***^ Ordnung 
verschieden sind, als 

Punkte n'*'* Ordnung oder Punkte [n), 

I Sehnen n^ Ordnung nennen wir die Sehnen, welche zur 

Definition der Punkte n^^ Ordnung benützt wurden. 

Die ganze positive Zahl Sy ist im folgenden bestimmt durch 

und heiße die „dyadische Stufe" von v. 

§ 2. Sraeugong des Eigebildes durch Sehcfenziehung. 
A. Figuren aus einer endlichen Anzahl von Punkten. 
Hilfssätze, 

f (I) Die Dimensions- oder Stufenzahl r/ des von r + 1 

Punkten 






1) Vgl. des Verfassers „Referat etc." Münch. Sitzber. (math.-phys.) 
1894, p. 95 und H. Minkowski, Geom. d. Zahlen, p. 200. 



96 //. Brunn. 

> 1 > 2 • • • -"y 

mit den Koordinaten 

x(ff\ xffi,\ 3^ft^ . . . x^f'^ 

{fi = 0, l, 2, 3 ... v) 

aufgespannten Raumes ist um 1 kleiner als die Ordnung der 
aus der Matrix 

II ^\ ^^\ ^^^^ . . . ^^>, l IJ 

heraushebbaren Determinanten höchster Ordnung, welche nicht 
sämtlich verschwinden, somit nicht größer als die kleinere der 
Zahlen v und n. 

(II) Es ist auch 

d = n — y , 

wenn ;' die größte Anzahl unabhängiger linearer Gleichungen 
ist, die von den Koordinaten aller Punkte Ä erfüllt werden. 

Femer: 

(III) Spannen /* Punkte einen Raum i?n-i auf, so spannen 
V aus ihnen herausgehobene einen Raum Äy_i auf. Der Be- 
weis dieser Sätze ergibt sich aus der Theorie der linearen 
Gleichungen. 

si) V + J Punkte, (He einen Raum v*^ Stufe aufspannen. 

Es sei n^Vj und es seien die Determinanten (v + l)'*'^ 
Ordnung aus unserer Matrix nicht sämtlich gleich Null, mit 
anderen Worten, unsere aus den v + 1 Punkten A bestehende 
Figur F spanne einen Raum von v Dimensionen, kürzer aus- 
gedrückt einen Raum B^ auf. 

Alle Punkte (1) lassen sich dann darstellen in der Form 

f^K //« + fa^^A [f'^x + ccxi=' 1 ; die a positiv). 
Die Punkte (2) lassen sich darstellen in einer der beiden Formen: 

[f'-H + f(k = r^« ;. + (^fi = 1 ; alle cc positiv) , 
ay, ;. [a^ A^ + a^ Ax) + a,,^ [a^, A^, + a^ A^) 

{f^H + ^0. = f'^fi + (^0=" ^>*^ + ^f*c= ^5 ^^1® ^ positiv) , 
welche äijuivalent sind mit den Formen 

c^x ^"fx + (ik Äx + a^ Af, 
[a^ + «ji + cf^ = 1 ; die a positiv), 



über hiyebadf. 87 



Kri. A. + fo Ai + a^A^-\- «^ A^ 
+ «i + «/< + "p = 1 1 die ß positiv] etc.; 
assen sich die Punkte {S, + {^ darstellen in einer 
der Formen 

ß-, A^, +a^A^ + «,, A^+ ... +a.^ A^^ 

»{«,, + ««, + «„,+ ... + K«^ = 1 ; alle a iioaitiy), 
■o /} die Werte von 2*y+\ bis » + 1 annehmen darf. 
Punkte und damit auch Sehnen höherer Ordnung als 5^ ^. i 
existieren Oberhaupt nicht, ob nun 2*' + ' = ji -}. 1 oder 
2 '*'>*■+! ist. Denn die Punkte, welche Anspruch auf 
diese Ordnung haben könnteu, fallen stets mit Puukten niedrigerer 
Ordnung der Form 
. (IV) PiA^, A, ... A,)^a„Aa + ft^A^ + ... + k,A, 
(ff,, + or, + «j 4- ■ • • + «r = l i die ri positiv oder Null) 
luamraen, in welcher alle Punkte von der 0"" bis zur ilV+i"" 
rdnuug zusammcDgeraBt sind. 

Wir können nun nicht nur von der Form P, sondern 
I von einem Punkte P, sowie von dem Gebiete P sprechen. 
Das Gebiet P {A^, A^ . . . Ä,) spannt den nämlichen 
Uam auf wie die Figur der Punkte .-/„, A^, A^ ... A,. Denn 
; lineare Gleichung in den x, erfiillt durch die Koordinaten 
der einzelnen Punkte A, wird auch durch die Koordinaten 
eines Punktes P erfüllt. 

In dem Vorhergehenden liegt bewiesen, daß die Sehne 
nschen zwei Punkten P ganz zum Gebiete P gehört Daraus 
%)fX, daß eine beliebige Gerade des aufgespannten Raumes 
■it dem Gebiete P höchstens ein Stück gemein hat, oder: 

(V) Das Gebiet P {A^, A^ ... -^,) ist eine volle Eifiacke^) 
r von ihm aufgeipannten Jiaumes. 

(VI) Jeder in der Form P, ja allgemeiner; jeder in der 
rm 

P'(^„, A^, ... ^,)r;ß„^„ + «, -4j + ... ■\-et,A, 
(«d + «j + «, . . . + ffr = 1 ; die « beliebig) 
teilbare Funkt ist es nur in einer einzigen Weise, 

1) „ZeUe" nach H. Hinkowaki (s. Qflometrie der Zahlen p. 16), 
Ell. Strecke, Dreieck, Tetraeder utc. je nachdem t = \, -1, 3 etc. 



s 



98 H. Brunn. 

Denn aus 

S ^i ^i = S <^i 

(2^»~ ^» 2^V~ ^» ^i '^^^^ f^^ sämtliche i gleich «/) 
würde das System der Gleichungen: 

2^ («^ - «;) x<;j) = X = 1, 2, 3 ... n 

und noch die Gleichung 

V 

folgen, welche gleichzeitig nur erfüllt sein können^ wenn sämt- 
liche Determinanten [v + l)*** Ordnung der Matrix bei (I) ver- 
schwinden. Dies ist aber oben ausgeschlossen worden. 

(VII) Das Gebiet P' ist, wie aus der Theorie der linearen 
Gleichungen gefolgert werden kann^ selbst nichts anderes, als 
der von den v + \ Punkten A aufgespannte Kaum. 

b) V -{- 1 + p verschiedene Punkte y die einen Baum t^ Stufe 

aufspannen. 
In einem Räume B^ [n ^ i^) seien die voneinander ver- 
schiedenen Punkte 

'' ii'22'S8' nn 

{l ==i 0, l, 2 ... V + p, p positiv), 

gegeben, welche einen Raum B^ aufspannen. Analog wie 
bei a) ergibt sich, daß Punkte höchstens bis zur Ordnung 
3» + j, + 1 sich ableiten und sämtliche gegebenen und ableitbaren 
Punlcte sich in der Form 

(Vni) Q == aQA^ + a^A^ + ... +«^ + |,^ + p 

{cCq + a^ + ... + «v + p = 1 ; die a positiv oder Null) 

darstellen lassen, sowie daß das Gebiet Q ein Eügebilde ist. 

Doch würde man sich täuschen, wollte man annehmen, 
daß es jetzt auch wirklich immer Punkte {d\ + i + p) gebe. Viel- 
mehr wird sich zeigen, daß es Punkte nur bis zur Ordnung 
^^i P^t; bis zur Ordnung Sy + ^ + i also nur dann, wenn 

*»^»+i= ^y + i ist. 

^ in der Form Q darstellbarer Punkt ist dies nun auch 
^^^Aac * "eise. 



über Eigebilde. 99 

Daß sich die Punkte Q sämtlich schon durch weniger als 
v + l+p nämlich t^ + 1 passend ausgewählte Ä darstellen 
Ifuseo — die wir mit B^, B^, ... By bezeichnen — also in 
der Form 
(E) R^ß,B, + ß,B,+ß,B,+ ... +ßrBy{^ß^l) 

ist leicht ersichtlich, wenn die ß positiv und negativ sein dürfen, 
gilt aber auch, wenn negative ß ausgeschlossen sind, und das 
wollen wir jetzt beweisen. 

Hilfssatz. 

(X) Wenn die Punkte D^, JD^, B^ •»* Df^ einen Raum Ä^ 
an&pannen und j9^^.i in demselben A^ liegt, somit eindeutig 
in der Form 

^;. + i = «o^o + «iA + ••• +V^^(2«==1) 
darstellbar ist, so ist ein Punkt 

G^^i^^B, + -^B, + ... + ^B,^^ 

(^»•S^saSu+iy alle d positiv) 
stets auch in der reduzierten Form 

(?^+i = s,'B,' + s,'B,' + . . . + 3;i?; 

(^H 5'^ aa 1 ; die y positiv oder Null) 

darstellbar, in der die B' uns ß + 1 passend ausgewählte aus 
den Punkten J9^, B^, ... B^,, -D^ + i vorstellen und ebenfalls 
einen Baum R^ aufspannen. 
Beweis, Setzt man 

(XI) G^ = -^D, + -^I),+ ...+^D, 

(3** ^^ ~ V 5 ^^ ^ positiv j , 
so wird 

ist also einer der Punkte 
oder 

//,« |;.[^i f-^^ - «J + bAb^ = |;k/; W2>.; (2>*/; (A) = i). 



7 



« 



100 



//. Bri» 



wo die zur Abkürzung gesetzten /,(/.) also lineare FnnktioBRiT' 
TOD X sind. Es sei nun zur Kürzung t = j„ : «^ + t gesetzt 

lat dann für i = u kein f().) negativ, wie dies z. B. fBr j 
lauter nicht negative f der Fall ist, so haben wir in 

//, = (?„ + ! 

bereits die gewünschte, liuchstens ft + \ Punkte 1) enthaltend« 
reduzierte Form; auch spannen diese J) nach [X} eino 
Raum Äp auf, und wenn von ihnen .durch Verschwindeu nt 
Koeffizienten nur (i zur Erscheinung kommen, diese nach (IDI 
einen Raum Jt\..i. Sind für /. = u die f'[X), somit auch i1i«f 
zum Teil negativ, so entspricht die Form //„ unseren Wflnsclia 
nicht, und wir müssen weitere Schritte tun. 

Für X = 1 wird //^ = 6'^ und hat, in den IJ entwickelt 
lauter positive Koeffizienten. 

Für i = wird Hi = U^^, und hat, in den 1/ entwicknü; 
einen oder melirere negative Koeffizienten. 

Führt man Ä monoton und stetig von I nach über,« 
gehen einer «der mehrere Koeffizienten der U monoton und sW* 
von posiliven zu negativen Werten über und passieren to 
Null bei gewissen Werten 



> ;.'■' , 



. etc. 



die zwischen und 1 liegen. Der für X ~ X' verachwindeiw 
Koeffizient sei einen Augenblick kurz mit B' bezeichnet I* 
dem Moment, wo X = ).' wird, müssen alle Koeffizienten, o* 
nicht etwa mit J)' zugleich verschwinden, noch positiv 
und alle können sie wegen ihrer Summe 1 nicht gteidiwiÜC 
verschwinden. 
Da 

mindestens einen negativen Koeffizienten hat, 
j; > « > 

sein, d. h. ff ^ + 1 liegt zwischen Hi- und K^ + i, denn b 
monotoner Änderung des X bewegt sich der Punkt 7/i 
im nämlioheu Sinoe. &„ + ! >Bt daher in der Form 



0^41 =«//»'+ (l -k)D,,^x (1 <x<0) 

dantellbiir, oder nach den D entwickelt in einer Form: 




über mtiehilde. 



Pm 






<7 positiv oder Null) 



Die Punkte D^, D^' ... jy^ spaDnen einen Raum Ji,, auf. 
Der unter ihnen befindliche Punkt D„ + i kann nämlich nicht 
in dem von den anderen [s. (111)] aufgespannten Räume Iif.-\ 
liegen, wie }ly dies tut; sonst müßte auch G^, als Punkt der 
'iersden i^^ + 1 //j' dies tun, und würde durch (i oder weniger 
der ia (XI) verwendeten Punkte darstellbar. Dies widerspricht 
aber dem pogitieen von Null verschiedenen Charaktet- der Koeffi- 
zieEten in [XI) und der Eindeutigkeit [s. (VT)] jener Dar- 
stelluiig. Wenn in (SU) durch Verschwinden von Koeffi- 
zienten g nur eine geringere Anzahl o von Punkten D übrig 
bleibt, 80 spannen sie nach {III) einen Raum Bg _ i auf. 

Somit läßt sich in jedem Falle die in unserem Hilfssatze 
bebauptete Reduktion ausführen. Wir verwenden ihn nun zur 
Reduktion der Form Q auf die Form B. Hierbei ist zu be- 
denken, daß eine Form Q auch dann überflüssige A. enthalten 
tann, wenn sie weniger als v + 2 solche Ä enthält, so daß 
die Frage nach der Reduzierharkeit für jedex Q zu stellen ist, 
gleichgültig durch wie viele A dargestellt es zunächst vorliegt. 
Die Formen Q, welche sich durch ein oder zwei ver- 
achiedeoe A anadrücken, sind ersichtlich nicht weiter reduzierbar. 
Weist eine Form (J mehr als zwei A auf, so identifiziert man 
iwei derselben mit D^, D^, ihre Koeffizienten mit ii,„ <>, und 
^ mit l, was man tun darf, da die beiden // sicher einen 
utm Ä, aufspannen. Hierauf untersucht man, oh ein drittes 
I in dem nämlichen S^ liegt. 

Wenn 70, so identifiziert man ea mit D,,^\ - -öj, seinen 

'Soe^ienten mit 5,, erhält eine gewisse Form G,. + 1 " G, und 

reduziert sie vermittels des Hüfsaatzes; die erhaltenen I)' 

identifiziert man wieder mit Punkten I)^,, D^ und untersucht, 

■^ ein viertes A auf ihrer Geraden liegt oder nicht etc. 

^H Wenn nein, so identifiziert man fi mit 2, das dritte A 

^ftt I^i, seinen Koeffizienten mit S^, was man wieder tun darf, 

^to die drei A einen Raum Äj aufspannen, und untersucht — 

wenn noch weitere A in Q vorhanden sind — ob ein viertes 

A in dem nämlichen R^ liegt oder nicht etc. Man sieht, daß 

1 auf diese Weise fortfahren kann, bis die Operationen von 



102 H. Bntm. 

!4elbBt ihr Ende tjudea. Dann ist Q iu die gewünschte Form R 
übergeführt, und es kommen in seiner Darstellung böcbstens 
noch K + 1 Punkte A vor, die wir mit £„, Ä, , B^ . . . B, be- 
zeichnen wollen. Mehr als v + 1 Punkte können es nicht 
sein; denn die sukzessive behandelten Formen enthalten ent- 
weder unmittelbar lauter Punkte A, die eine Stufe des auB- 
gesjiannten Raumes um eins kleiner als ihre Anzahl bedingen, 
oder dieses Verhältnis zwischen Raumstufe und Anzahl der A 
wird doch sogleich durch den Hilfssatz hergestellt, muß also 
auch beim Schlüsse der Operation vorhanden sein; blieben nun 
mehr als f -|- 1 Punkte übrig, so mfißten sie einen Raum von 
höherer Stufe als v aufspannen, was doch nicht einmal die 
sämttichen »> + 1 + /> gegebenen Punkte A tun. 

Es lassen sich also durch wiederholte Sehnenziehung ans 
den V + p -\- \ Punkten A nur Punkte der Form R ableiten; 
diese sind aber von keiner höheren Ordnung als 5, + i, d.h. 
spätestens mit der [S, ^ i )'™ Sehnenziehung alle abgeleitet, was 
zu beweisen war. 

Sowohl im Fall a] als im Fall b) kann unter den A sich 
der Nullpunkt befinden und können die Formen P, Q, R da- 
durch um ein Glied reduziert erscheinen. Dies ist aber keine 
Reduktion in unserem ohigen Sinne; man wird daher den 
Summanden « ■ vielleicht besser in der Rechnung ausdrück- 
lich angeschrieben mitführen und dadurch verhindern, dafi 
das betreffende a, welches doch ia "^a = \ mitwirkt, mit- 
samt seinem A unseren Augen (>ntschwinde. Andernfalls müsste 
man die Bedingung 2 « = 1 durch 0^2" — ' ersetzen, 
und dadurch würden die scheinbar um ein Glied reduzierten 
Formen von den wirklich reduzierten wohl unterschieden bleihen. 

B) Beliebige endliche Pigiiren. 
Jede endliche Figur F hestimmt in dem von ihr auf- 
gespannten Kaume B, ein volles Eigebüde E als Ort der durch 
sie gegebenen, bezw. aus ihr ableitbaren Punkte 
(0), (1), (2) . . . «,t,). 
' SSum Beweise ist nur nötig zu zeigen, daß es Punkte (j, 4. i -(- 1] 
schon nicht mehr gibt. 

Ein Punkt (i^^ + i -f 1) müßte auf der Sehne zweier Punkte 
niedrigerer Ordnung liegen, diese Punkte, soweit sie nicht 



Ober Eigehilde. 



1Q3 



chotk von nullter Ordiiimg sind, wUrdeu wieder auf Sehnen 
iwischea Punkten noch niedrigerer Ordnung liegen etc.; in dieser 
%'eise rückwärts schließend würde man schlielilich zu all den 
Punkten [0) gelangen, aus denen der Punkt (d',. + 1 + 1) abgeleitet 
wäre. Die Anzahl z„ solcher Punkte (0) würde höchBtens 
2 '+'* sein — nämlich dann, wenn jeder bei der Kntstehung 
lies Punktes (5, + i + 1) mitwirkende Punkt /t'" (trdnuug 
ll^p^i, + 1 + 1) aus zwei Punkten (/i — l)'" Ordnung ab- 
geleitet ist — und mindestens 2 '■*■>+ 1. Denn wären es weniger, 
so «rdrde (5, + 1 + 1) bereits durch spätestens r), ^ , Sehnen ab- 
leitbar and also ein Punkt (5, + sein. 

Da aber 1-4- 1^2 ' ■•" ' ist, so müßte r„ '^v -\-'i,, sagen 
[ wir gleich v + 1 + ^'(O < f' < 2*'-'-' *' — "] sein, und diese 
I Punkte [0) könnten höchstens einen Raum li,, nämlich den 
1 der Figur F aufspannen, der sie zugehören. Nennen 
[wir sie .■/^, A^, Ä^ ... //,+^, so würde unser [(^V + i + 1) 
ftjemäB seiner Ableitung aus ihnen in rler Form 

«0 ^0 + «, -^l + Ofj ^, + ,.. +«,. + .. ^,^... 

(2«= I ; die » positiv) 

teilbar sein, also nach (IX] auch in der Form 

ß,S,+ß,B,+ß,B,+ ... +ß^B, 

(2i9 = 1; die ^ positiv oder Null), 

die ^ aus den .4 ausgewählt sind. Somit würde (cf, + 1 + I ) aber 
+ 1 Sehnen ableitbiir und ein Punkt (5, + 1) oder von 
»ch niedrigerer Ordnung sein. Er kann also nicht existieren. 
Irte höherer Ordnung als 5, + 1 sind also aus einer Figur, 
die einen Kaum ff,, aul's])annt, sicher nicht ableitbar; von den 
besonderen Eigenschaften der Figur aber hängt es ab, ob 
Punkte bis zu dieser Ordnung wirklich existieren. Bei einem 
ollen Eigebilde gibt es z. B. Überhaupt nur Punkte (0). 



' § 3. Bnwogung d«e Eigebildss durch umliüllende Xiineara. 

Unter einem Stützhauptliuear, auch kurz Stützlinear, einer 
[ar verstehen wir ein Hauptlinear des von der Figur auf- 
ipannteu Raumes, das auf der eineu seiner beiden Seiten 



104 



H. Brunn. Über Eigebilde. 



gar keinen Punkt, der Figur liegen hat und mindestens einen 
Punkt der Figur in sich enthält'. 

Indem wir die Bezeichnungen zu Anfang von B) beibehalten, 
gilt: Jedes Hauptlinear // von B,, das Stützlinear von F ist, 
ist auch Stützhnear von E. 

Denn es enthält Punkte von E, weil Punkte von F, und 
auf der Seite S von //, auf der keine Punkte von F, können 
auch keine von E liegen. Denn läge ein Punkt (/i) auf Seite S, 
Bo müßte auch mindeatens einer der Endpunkte der erzeugen- 
Sehne, also ein Punkt (^ - 1), (/» - 2), (|i - 3) ... oder (0] 
auf der Seite S liegen, und durch fortwälirende Wiederanwendung 
dieses Satzes: Es müßte schließlich sicher ein Punkt (0), d. h. 
ein Punkt von F, auf Seite S liegen, gegen die Voraussetzung. 

Wenn zwei parallele Stützlineare 7/ und //' von F zu- 
sammenfallen, fallen auch die zu ihnen parallelen Stützliaeare 
von E zusammen, indem sie mit II und H' identisch sind. 

Andere Stdtzlineare als die von F kann K nicht haben, 
da es, wie F und überhaupt jede endliche Figur, von jeder 
Bichtung zwei und nur zwei (verschiedene oder zusammen- 
fallende) Stützlineare aufweist. 

Die Stützlineare von E sind also identisch mit denen 
von F, und insofern ein Eigebilde durch seine StützUneare be- 
stimmt ist, kann mau sagen: 

E ist das durch die Stützlineare von A' eingehüllte Eigebilde, 
oder: 

Die Stützlineare einer endlichen Figur F umhüllen ein 
bestimmtes Eigebilde E, das auch — vgl. § 2 — durch Sehnen- 
ziehung erzeugbar ist 

München, 23. Juli 1903.») 

Eingegangen 25. Juli 1903. 

1) Vgl. H. Minkowski, Geom. d. Zublen. p. U: „StQtKebene". 

2) Erst QHch Äbsendung der Arbeit wurde mir die GOttinger 
Dissertation von P. Kirchberger: „Über Tschebyschefscbe An- 
nulier uiigsniethoden" (Götlingen 190:!) bekannt, in der Kap. IV. ^ 5 in 
anderer t'onn die uüroüchen Probleme behandelt, wie anaer Absatz 
^ 2. A. b). Man vgl. aucb H. Minkowski, Matli. Ann. 57. p. 449. 1903. 




The Effect of One Associated Solvent on the 
Association of Another Associated Solvent. 

By Harry O. Jonoa in Baltimore, Md. 

(Tbe eiiKiimental work v/na cairied ODt b; Mr. Grantlaud Muriay.) 

Tbia inveatigation was undertaken with the object of deter- 
miniDg the effect ol' one associated liquid on the association 
of another associated liquid. This was suggeeted by an investi- 
pition carried out by Jones and Lindsay'), on the conductivity 
of certain electrolytes in mixed solvents. They found that 
sotations of potassium iodide, ammonium bromide, Strontium 
iodide, and lithium nitrate conducted leas in mixtures of methyl 
tlcohol and water, than in pure methyl alcobol. The effect of 
«moentration of the Solution, composition of the mixture, 
temperatnre etc., was carefully investigated , and the aboye 
result established beyond question. 

At tirst sight it seemed very difficult to interiiret these 
&cts. It, however, occurred to Lindsay*) that the facta could 
be eiplained if one associated solvent diminiahed the asaociation 
"^ another associated solvent, since, according to Dutoit and 
A^ton'), the dissociation of electrolytes by a solvent or solvents, 
■iiid, consequently, their conductivity io Solution, is a functiou 
of the degree of association of the solvent; the greater the 
UBOciatioQ of a liquid the greater its dissociating power. 

Water and the alcohols were ahown by the work of 
Bamsaj and Shielda'j to be strougly associated liquida, If 
esch shonld diminish the asaociation of tbe other, a mixture 
of t*o such liquida might dissociate lesa than the Iower disso- 
Oating constituent of the mixture. 

1] Jones And Lindafty, Amer. Chem. Joum. 28> p. 329. 

2) LindBaj, Amer. Chem. Joum. 2S. p. »69. 

3) Duloit and Aatou, Compt rend. 12ö. p. 240; Biill. Soc. Chim. 
|31 1». p. 321. 

1] Ramsay and Shielda, Ztscfar. phys. Chem. 12, p. 433. 



loe 



//. C. Jonen. 



lu such a case the conductisity of aii electrolyte in tlu 
mixed Bolventa might be less than in the lower conductiiig 
aoWent, wbich was what was found to be trne. 

In Order to determiße whether associated liqnids hATt 
any general induence on each others asaociation, it ia necesauj 
to take associated bquids and determine the molecular weigbti 
of each in the other, and then compare the results with tbf 
molecular weights of the several liquids in the pure conditiot. 

There are not many liquids which can be eoiployed in 
thja work, since the hoiling-point method of determining mole- 
cular weights cannot be used for one liquid dissolved in acotliei. 
We are, therefore, limited to the freezing-point method, wi 
of those liquida whose association ia known only a few isßl 
at temperatures to which the freezing-point method can 
applied. 

Liquids used in this work. The liquids used in tla 
work must dissolre readily in one another, mnat not act ch> 
mically upon one another, must not undergo apprecisblt 
electrolytic diasociation when dissolved in one another, tsA 
must be strongly associated substances. The liquids used am 
water, acetii' acid, and formic acid. 

The water was puritied by distillation from chromic 
and had a conductivity of 1,2 y. \0-^. The acetic acid ui 
formic acid were puriäed by fractional crystallization, 
former freezing sharply at 16,5" and the latter at l*. 

With the abovo liquids the following measuremente 
made by the freezing-point method. 

I. The molecular weight of water in acetic acid. 
IL Tlie molecular weight of water in formic acid, 

ni. The molecular weight of acetic acid in water. 

IV. The molecular weight of acetic acid in formic 
V. The molecular weight of formic acid in water, 

VI. The molecular weight of formic acid in acetic at 



Tlie results are given in the following tablest ColuinB 
contaius the amount of soWent used; column II the \ 
of liiiuid \UioS(> molecular weight was to be deteruiioed: < 



feet 6f One Associated Solvent on Associotion of Another, 1 07 

imn m the concentration in terms of normal, — a normal 
)lntion being defined as one that contains a gram-molecular 
räght of the electrolyte in 1000 grams of the solvent; 
«hmn lY giyes the freezing-point lowerings actually observed, 
md cohimn V the molecular weight of the liquid at the con- 
xntration in question. 

In all this work care was taken to keep the temperature 
of the freezing-mizture only a little below the freezing-point 
of the Solution. 



Water (18) in Acetic Acid. 



I 


II 


III 


IV 


V 


Acetic Acid 


Water 


Concentration 


Lowering 


Mol. Wt 


39,68 


0,454 


0,64 


2,06^ 


21,7 


S8,82 


0,514 


0,'r5 


2,38 


22,0 


38,32 


0,820 


1,19 


3,58 


28,3 


39,68 


0,947 


1,33 


3,93 


28,7 


39,68 


1,547 


2,17 


5,89 


25,8 


39,68 


2,061 


2,89 


7,45 


27,2 


39,68 


2,541 


3,56 


8,79 


28,4 


38,32 


2,687 


3,82 


9,33 


28,8 


39,68 


2,992 


4,19 


9,95 


29,6 


39,68 


3,870 


5,42 


12,11 


31,4 


39,68 


4,686 


6,56 


14,00 


32,9 


39,68 


5,589 


7,83 


16,04 


34,2 


39,68 


6,472 


9,06 


17,86 


35,6 


39,68 


7,566 


10,59 


20,07 


37,1 


39,68 


8,559 


11,98 


22,00 


38,2 


39,68 


9,032 


12,65 


22,90 


38,8 



Water (18) in Pormic Acid. 



I 


11 


III 


IV 


V 


Formic Acid 


Water 


Concentration 


Lowering 


Mol. Wt 


48,24 


0,808 


0,93 


2,85« 


19,7 


48,24 


1,325 


1,53 


8,75 


20,3 


48,24 


2,204 


2,54 


6,13 


20,6 


48,24 


3,060 


3,52 


8,30 


21,2 


48,24 


4,434 


5,13 


11,69 


21,8 


48,24 


5,876 


6,18 


14,11 


21,9 



108 




11, C ^&fl6S» 








Acetic 


Acid (60) in Water. 




I 


n 


Ul 


IV 


V 


Water 


Acetic Add 


Concentration 


Lowering 


Mol. Wt 


37,15 


0,376 


0,17 


0,840 


55,4 


37,15 


3,959 


1,78 


3,30 


60,1 


37,15 


6,830 


8,06 


5,45 


62,7 


50,65 


10,794 


8,56 


6,19 


64,0 


62,17 


17,474 


4,70 


7,85 


66,6 


37,15 


10,771 


4,83 


8,05 


67,0 


37,15 


15,728 


7,06 


10,92 


72,1 




Acetic Acid (60) in Formic Acid. 




I 


II 


IM 


IV 


V 


Formic Acid 


Acetic Acid 


OoncentratioD 


Lowering 


Mol. Wt 


40,35 


0,433 


0,18 


0,48<» 


61,9 


34,23 


1,018 


0,50 


1,27 


64,9 


40,35 


1,593 


.0,66 


1,65 


66,3 


34,72 


1,835 


0,88 


2,16 


67,8 


34,23 


2,256 


1,10 


2,67 


68,4 


38,49 


2,873 


1,24 


2,98 


69,4 


34,72 


3,968 


1,90 


4,45 


71,1 


38,49 


6,464 


2,80 


6,29 


74,0 


34,72 


10,708 


5,14 


10,97 


77,9 


34,23 


10,764 


5,24 


11,16 


78,0 


34,23 


18,838 


9,17 


18,19 


83,8 




Formic 


Acid (46) in Water. 




I 


U 


III 


IV 


V 


Water 


Formic Acid 


Concentration 


Lowering 


Mol. Wt 


35,10 


0,546 


0,34 


0,64^ 


45,2 


193,67 


. 7,850 


0,88 


1,62 


46,5 


35,10 


1,667 


1,03 


1,89 


46,7 


35,10 


4,928 


3,05 


5,28 


49,5 


136,79 


31,564 


5,03 


8,50 


50,5 


141,43 


40,109 


6,16 


10,34 


51,0 




Formic A( 


cid (46) in Acetic Acid. 




I 


IT 


TU 


IV 


V 


Acetic Acid 


Formic Acid 


Concentration 


Ijowering 


Mol. Wt 


80,41 


1,152 


0,82 


2,93« 


50,4 


B0,41 


1,702 


1,22 


4,26 


51,2 


^,i\ 


^808 


1,65 


5,66 


52,2 


IM» 




2,02 


6,84 


52,9 



Effect of One AMOeiated Solvent on jiMOciation of Another. 



Aectie A«id 


Fonnic Acid 


Concentrstion 


Loweriug 


Mol. Wt. 


«Ml 


8,410 


2,14 


8,10 


61,0 


10,11 


1,261 


3,0S 


9,83 


55,1 


»,11 


5,008 


3,61 


11,55 


58,6 


M,ll 


«,188 


1,38 


18,53 


58,2 


30,11 


7,021 


5,02 


15,21 


59,1 


SO,« 


11,811 


6,36 


16,10 


62,0 


IO,M 


11,103 


8,28 


22,51 


65,1 



1- 





, ^ 


^- / 


^»- ^^ 


^iC ^'- 


i* i^^ 




; -'" ^iS*' 


.Süf^ 


— ■-' 



Fig. 2. 



These resnltsare plotted in curves. The molecular weight 
of w&ter in acetic acid and fonnic acid wiüi varfing concentra- 
tüm in Fig. 1, the molecular weight of acetic acid in water 
md in fonnic acid in Fig. 2 , and the molecular weight of 
^nniic acid in water and in acetic acid in Fig. 3. 



110 



H. C. JiiMii. 



DiscoBsion of Resalta. 
Tliü niulecular weiglit of water in acetic acid at 
greatest dilution uaed [0,64 normal) is 21,7, wbicb is 
HÜKhtly greater than the molecular weiglit correspoDding to tbt 
compnaition H,0, In the mo8t concentrated solutioii uh4 
which ia somewhat more than twelve times normal, the 
cular weiglit of the water is a little more than would cor» 
Hpond to the composition (HjO),. In pure water, however, m 
know from the work of Ramsay and Shields thst the mah 
culea haTe the composition (H,0)j. The association of 




Flg. 3. 

id. thoreforf, grcatly diminished bj- the preseoce of the 
uiKtod wtWi-ut amtic »cid. 

The «mino remark applies to Solutions of water in fainiej 
«cid. AI the greatest liilution the molecular weight uf 
watcr in o&lr sli^htljr above normal, the molecnlar weight 
OTMsiixg »lightlv as the cODcentratioD uf the Solution im 
The wmplu molmote« of water are brokeii down to etet 
greatar «xtent bv romie aeid than bj acetic acid. Tbis ' 
kfi>)>in|; with the relative po««is of tfaese two soWents to 
n«)««!)«« dorn into ioa« — fomic acid beiog a muofa 
(KwK^aBl Ukan aoatie acid 

Tb» BtvtemUr ««^t nf awtic actd in wat^ is a] 
iniMly nonkal far tlte more dilute sohitnns mresttgated, Ü 
onaiing aantwbal aboiv nonal in tbe wian conceol 



t'.ffWt of One AisoeiaUd Sofvenf „v Assm-ialioii of Anuther. 1 1 1 

I whtions. The amount of electroljtic dissociation of even thc 
I most dilate solutioDs of acetic acid in water is so small as to 
1 ezercise ooly a slight inäuence on the results. 

Pure acetic acid at the freezing-point temperature is a 
1 wry much associated liquid, The work of Ramsay and 
Ihields') has showa that the diiferentia! coefficient K for 
iretic acid between 16" and 46", is 0,9. The association — 

h is, therefore, obTious that tbe association of acetic acid is 
giMÜj diminished by water. 

The molecular weight of acetic acid in formic acid is 
ireater tban in water at tbe earae conceuti'ations, ranging from 
m,!) to 83,8 for the different concentratioDB employed, This 
igaia is wbat we might expect. Water having a greater power 
ihu formte acid to break molecules down iuto ions, also has 
I greater power to break down complex molecules into simpler 
OD««. In no case, however, is the molecular weight of acetic 
»dd in formic acid greater than about one and one-fourtb the 
Spiest molecular weight; showing that the complex molecules 
of pnre acetic acid arc greatly decompoaed by the formic acid. 

Tbe same remarks applj in general for formic acid in water 
md in acetic acid, Formic acid in the pure condition is 
usociated to just abuut the same extent as acetic acid. 
EamBay and Shields') found the coefficient K for formic 

Kto be 0,902. Therefore, the association is — 
molecular weight of formic acid in water is only slightly 
greater than normal even at the greatest concentration em- 
ployed. In acetic acid the molecular weight is greater than 
io wat«r at tbe same concentration. This is analogous to what 
las been found with the otber solvents employed. Water has 
die greatest power to break down molecules into ions, and 
lUo the greatest power to decompose molecular complexes into 
limpler molecules. 



('2,13 " 



DRai 






la, Zlschr. phjB, Clieiii.ia. p. 469. IB93. 



112 //. V. Jones. Efferl i'f One Angocudeil Suhent etc. 

ITie effer.t uf the dUstihed gu/islance would be to dimimi 
thi> congtant of the solvent. ThlB effect would be appreciabl 
only wlien the concentration of the Solution had becoBU 
coDsiderable. Ab the freezing-point constant becomes iea 
the molecular weight'a» calculated from the observed freezii^ 
point lowering would be less than that given above, whid 
iB caiculated ou the assiunptioD that the constant resuai: 
constant. The effect of this iDlluence would be to show a stl 
greater diminutioo of tbe association of the diasolved siibstanca 
hy the solvent than would be indicated by the above resoltt 

If in tbe more concentrated Bolutions some of thi &* 
solved suliatance ^teparated vi the solid fnrm, this would girtl 
smaller Ioworing of tbe freezing-point, and, conseqneaüj, I 
molecular weight for the dissolved substaoce which was higbH 
thau the tnie molecular weight. 

Taking all of these facts into accoont the above conclmil 
that one associated liquid diminisbes the association of aneäl 
asaociated liquid is fuUy justified by the experimental renÜ 

I propose to extend this investigation especiallj (o ll 
aotion of non-associated Golvents on tbe association of assodlli 
solvents. 

Johns Hopkins Univ., Chemical Laboratoi-y, April iNt 



(Eingegangen 26. Juli 1903.) 



L 




17. Über die mechauische 
der Temperatur und der Entropie. 

Vai> Max Planck in Berlin. 

Die für jede mecbauische Theorie der thermisclien Vor- 
ginge fundamentale Frage nach der mechaDiscbeD Bedeutung 
des Teinperaturbegrifl'es hängt aufs engste zusammen mit lier- 
jeoigeu nach der mechanischen Bedeutang der Entropie, welche 
Oiöße ja mit der Temperatur durch die bekannte thermo- 
ische Gleichung T.dS = dQ verknüpft ist. Durch Be- 
'ortung der einen Frage ist also die andere zugleich mit 
[igt. Während sich nun aber in früherer Zeit das nächste 
fcteresse naturgemäß der Temperatur als der direkter meß- 
';iren Größe zuwandte, und die Entropie erst als ein daraus 
iij2uleitender komplizierterer Begriff erschien, hat sich heute das 
Urbältais eher umgekehrt: es gilt vor allem die Entropie 
oechanisch zu erklären; dann ist dadurch auch die Temperatur 
iugleich mit deliniert. Der Grund zu dieser Änderung der 
(''ragestellung liegt in folgendem: Bei allen auf breiterer Grund- 
li-'e angelegten Versuchen, die Thermodynamik rein mecha- 
iiidi aufzufassen, so z. B, bei der von Heliuholtz entwickelten 
riieorie der monozykliscben Systeme, hat sich immer wieder 
hentusgestellt, was auch von vornberein einleuchtend ist. daß 
nsD zu einer allseitig begründeten mechanischen Oetinition 
der Temperatur nur gelangen kann, wenn mau auf die Eigen- 
tämhthkeiten des „Wärmegieichgewichtes" zurückgeht.') Dieser 
Begriff ist aber in seiner vollen Bedeutung nur vom Stand- 
punkt der Irreversibilität aus zu verstehen. Denn das Wärme- 
gleicfagewicht ist nur zu definiren als der Endzustand, dem alle 
iffeTersibleo Prozesse zustreben. So führt die Frage nach der 

1) Auch die Bedingung, daB T einen „integrierenden Nenner" dea 
WinaediffereDÜBia d Q daralellt, genügt bekanntlieb noch nicht zur voll- 
t&tdigen Definition der Ternperatnr, eondem IHBt gerndc ihre wichtigste 
Eigeascbaft nnbeetimmt. 

a-FutiDbrlll, 9 



lU 



^f. Phvrh. 



Temperatur mit Notwendigkeit zur Frage na«h dem Wesen di 

Irreversibilität, und dies seinerseitB liegt auBschließlich begründ 
in der Existenz der Entropiefunktion. Letztere Größe bildet all 
den primären, allgemeinen, für alle Arten von Zuständen ui 
Zustand San dem ngen bedeutungsvollen Begriff', während d 
Temperatur daraus erst hervorgeht mittele der speziellen B 
dingung dea Wärmegleicbgewichtes, in welchem die Entrop 
ihr Maximum erreicht. Eine Entropie besitzt ein Körper nai 
dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in jedem Zustanc 
eine Temperatur aber nur dann, wenn der Zustand in gewisse 
Sinne stationär geworden ist. So kann man z. B, für ein G 
mit ganz beliebig vorgeschriebener Geachwindigkeitsverteilui 
stets die Entropie angehen, die Temperatur aber nur dan 
wenn die Geschwindigkeitsverteilung mit der Maxwellsch 
genau oder nahezu zusammenfällt. 

Ciausius und Maxwell scheinen noch nicht den Verso 
einer direkten allgemeinen mechanischen Definition derEkitroj 
gemacht zu haben. Diesen Schritt zu tun, war erst L. Bolt 
mann vorbehalten, welcher, ausgehend von der kinetisch 
Theorie der (!fase, die Entropie allgemein und eindeutig dar 
den Logarithmus der Wahrscheinlichkeit des mechanisch 
Zustaudes definiert hat. Neuerdinga ist der Boltzmannacli 
mechanischen Definition der Entropie eine andere, und sog 
noch eine zweite und eine dritte, an die Seite gestellt wordf 
und zwar ebenfalls auf Grundlage der Wahrscheinlichkei' 
rechnung, in dem Werke über statistische Mechanik v 
J. W. Gibbs. Die Gibbsschen Definitionen erheben insofe 
Anspruch auf allgemeinere Bedeutung, als sie von vomhe« 
gar keine besonderen Annahmen ttber die Natur des betrac 
teten mechanischen Systems zur Voraussetzung haben; : 
lassen sich prinzipiell mit demselben Erfolge auf Systeme v 
vielen, wie auch von wenigen Freiheitagraden, bestehend a 
gleichartigen oder aus ungleichartigen Bestandteilen, anwende 
jeder einzelnen Definition der Entropie entspricht natOrli 
gemäß der schon oben erwähnten Gleichung dQ = T.dS ei 
besondere Definition der Temperatur. Für Systeme von eil 
sehr großoii Zahl von Freiheitsgraden führen aber, wie Gib 
«U^mei ■'«ine drei verschiedenen Definitionen imn 

■^^^^ '.te, so daß z. B. für einen Komplex v 




il/rrA. Beileutunff der Temperatur und ifer Entropie. 115 

Isehr rielen Molekülen, wit; ilm jcdor warme Körper vorstellt, 
liur eine einitige Definition iIpf Kntropie übrig bleibt, welche 
■ait derjenigen der Thermodynamik übereinstimmt. 

Es sollen nun in der folgenden Studie die genannt«!! ver- 
Kietueden artigen Definitionen näher ins Auge gefaßt und ihre 
■Bedeututig an der Hand eines einfacbeu Spezialfalles Terglichen 
rden, um darauB womöglich Anhaltapmikte zu gewinnen zur 
totjcheidiuig der prinzipiellen, von Gibbs noch offen ge- 
Kfusenen Frage, welcher Definition der Entropie und der Tem- 
ratur endgültig der Vorrang vor den übrigen zuzuerkennen 
Wir betrachten /.u dem Zwecke ein mechanisches System, 
nlches aus einer grollen Zahl n ti'ei beweglicher in eiu be- 
mmtes Volumen v eingeschlossener materieller Partikel 
besteht. Die Energie « des System« sei nur kine- 
I Sicher Art: 

dl '-^ "{'' + :)' + '•]■ 

Es soll die Entropie dieses Systems nach den verschiedenen 
Torliegenden Definitionen berechnet werden. 

Sowohl Boltzmann als auch Qibbs gehen aus von dem 
B*^ff einer Komplexion („Phase"), d. h. der Gesamtheit 
der gleichzeitigen Werte der unabhängigen 3n Koordinaten 
ij.y,, r,, . . . x^, t/^, x^ und der 3n Impulse m^ .(■,, m^i/^, m^i^ ... 
""n-^ii' "'n.Vi,' *"«-■■ Jfsder einzelnen Partikel sind drei be- 
mnimte Koordinaten und drei bestimmte Impulse zugeordnet, 
welche ihre Lage und ihre Geschwindigkeit angeben. Im 
itilgemeineu werden alle in dem System enthaltenen Partikel 
ton Natur verschiedenartig sein. Falls gleichartige unter ihnen 
lorkommenj so sind, um Unbestimmtheiten zu vermeiden, die- 
selben numeriert oder in irgend einer anderen Weise individuell 
charakterisiert zu denken, Denn wenn eine Zustandsänderung 
des Systems durch eine gegebene Änderung der Koordinaten 
und Impulse eindeutig bestimmt sein soll, so muß man wissen, 
aul' welche Partikel sich jede Koordinate und jeder Impuls 
bezieht. 

Untersuchen wir nun zunächst den Fall des stationären 
wegungszustaudes , uod zwar unter der Annahme, daß alle 
rtikel des Systems von Natur gleichartig sind, wie bei einem 
bemisch homogeneu einatomigen Gase. Dann führen alle vor- 



11« 



M Planck. 



■chiedenon Definitionen der Entropie zu dem 
der Tliunuodjrittinik üljereinstimmenden Ausdruck. Für di 
lloltKiiiuuiiHdie Ddtinition darf dies als bekannt vorauBgesetl 
werden,') fUr die drei Gibbsachen Deüoitionen dagegen it 
diu direkte Berechnung yielleicbt nicht ohne Interesse, ziitu 
diüSülbmi sich ochou in der äußeren Form von der Boltzmano< 
fiüheu Hubr erheblich unterscheiden. Ja, die erste scheint sogu 
auf den ersten Anblick einen entgegengesetzten Sinn zu Laben. 
Während n&inlich tioltzmann die Entropie durch den Logs- 
rithtniifl der Wahrscheinlichkeit definiert, ist die Entropie nicb 
der enitou Definition vou Gibbs der negativ genommeM 
mittler» Logarithmus der Wahrscheinlichkeit Bei irreverablea 
l'roxoMaen nimmt also bei Gibbs der mittlere Logaritkniiil 
der Wahrscheinlichkeit ab, während bei Boltzmanu der Logl- 
rithmus der Wahrscheinlichkeit zunimmt. Dieser Widerspnui 
der boidüu Üefiuitiuneu der Eutropie ist aber nur ein schein- 
Imrer, er verschwindet sogleich, wenn man darauf Kiick8i(te 
uiuiuit, daß die beiden Autoren mit dem Worte Wahr8clia>|' 
liohkoil hier gilnilich verachiedene Begriffe verbinden. BiesoH 
■uuftdiHt DJÜitT erörtert werden. i 

lloltimann gewinut den Ausdruck für die Gr&Be dl 
Wahracl)ciuliohkvit dadurch, dsS er ausgeht von dem (IdUI 
schitnl i»i)>ch(H) eiueui Zustand des betrachteten Systems oi 
^or Komplexion d«e betnchleten Systems. Ein Zustand d> 
%«tuii« tat bestimmt durdi das Geseti der Raom- und Gl 
*chwinitislc«itsrert«itiuis, d. h. durdt die Angabe der A&id 
hwtiM) ««tobe in yviam eiaaebn Eleneoorgebiet des Basa 
«»4 dw Q^tAw i DdS ^ M t Ba Im«««, ««bei aageocHiuDea i«t, i 
Mf j«dw dw ah ; l ak^yB MgMn^MMw ElementargdHi 
tMOMT iMok ««hr üfim ftrtätl «Htfalka. Hiernadi anfil 
«tat Wliiufttw tust — d dM .IByilii «m adir groe« Amd 
D«M ««ra JBgMJ mi Partikel, wdd 
I nnd I| 
■ KMaplexioB, ibar I 
I Bit BoltBiaann i 
tf ghädwhndhaiafcah •», m a^bt die Abb 




.Veeh- Beilevtn-ng der Temperatur und der Entropie. 



Ider Eomplexionen, welche ein bestimmter Zustand umfaßt, zu- 
^icli auch die Wahrscheinlichkeit und mitbin die Entropie 
des Sj'atema in dem betreffenden Zustande, bis auf eine un- 
bestimmt bleibende additive Konstante. Für dioae Definition 
Jer Entropie ist offenbar die gemachte Voraussetzung wichtig, 
1I.16 alle Partikel gleichartig sind; denn sonst würde eine Ver- 
tauBchung Ton Partikeln aus verschiedenen Gebieten nicht nur 
ilic Komplexion, sondern auch den Zustand ändern. 

Bei Gibbs dagegen spielt die Frage nach der Gleicb- 
.irtigteit der in dem System enthaltenen Partikel für die Be- 
stimmung der Entropie ebensowenig eine Rolle, wie die nach 
1 Gesetz ihrer Raum- und Geachwindigkeits Verteilung. Die 
efinitioo der Entropie erfordert hier überhaupt gar kein 
iherea Eingehen auf die Natur des betrachteten Syatems. 
Mbs hier in Rechnung gezogen wird, ist vielmehr die Ge- 
intbeit der Eomplexionen , die man erhält, wenn man dem 
^tem alle innerhalb besonderer Beschränkungen möglichen 
verschiedenen Werte der Koordinaten und der Gesehwindig- 
tnilen erteilt denkt. Die Werte der Koordinaten sind durch 
Jim Größe des gegebenen Volumena v beschränkt, für die Ge- 
I wliwindigkeiten aber werden besondere Festsetzungen getroffen, 
nach der Wahl dieser Festsetzungen erhält man ver- 
iüedene Definitionen der Entropie. 

Bei der ertten Definition von Gibbs werden alle Ge- 
jhwindigkeiten von — cc bis +00, also alle Werte der 
ftergie « dea Systems zwischen und go als möglich zuge- 
Ittsen, und es wird die Wahrscheinlichkeit P einer Komplexion 
[oder eines Zustandes, waa hier keinen Dnterachied macht) 
[ jgfiniert durch die Festsetzung: 



mW rfi und Konstante vorstellen, welche bestimmt sind 
durch den Wert 1 des Integrals von F über das ganze Kom- 
plezionsgebiet, und durch den Mittelwert e der Energie für alle 
Eomplexionen, eine jede nach Maßgabe ihrer Wahracheinhch- 
knt gerechnet. Dies ergibt für den vorliegenden Fall: 



-I-J" 



118 M. Planck. 

oder, mit Substitution des Wertes von F und AusfUming 
Integrationeu über die Koordinaten und die Geschwindigkeiten, 
wobei € durch Gleichung (1) gegeben ist: 

y} 3n 

1 =: ee ,v'^ .{^nmQ)~2 . 
Ferner: 

6 I . . .. \Pdx^ .... rndz^ = l .... j ePdXy^ ....mdz^. 
Daraus auf ähnliche Weise: 

Hieraus folgen fttr und \p die Werte: 

Nun ist nach Gibbs die Entropie der negativ genommeBe 
mittlere Logarithmus der Wahrscheinlichkeit, also: 

— logi^ = *-^?' = ^^ log« + fi log© + const 

und dieser Ausdruck entspricht in der Tat nach Größe m 
Vor/eiohen der Entropie eines einatomigen Gk^es. Insbeeontoj 
vorhalU^u sich die Koeftizienten der beiden Logarithmen, wdcii 
das Vorlülltnis cj [c^ — cj angeben, wie 3 : 2. 

Boi der zweiten Definition von Gibbs wird nicht «a| 
Mittelwort, sondern der genaue Wert der Energie des Systemi*; 
als f^ogobon angenommen; bei der Berechnung der £ntn)iii*| 
wonUni aber alle diejenigen Geschwindigkeiten der Partikel »' 
Hotraoht gozogou, welche einer Elnergie des Systems entspreche 
ilio kieintr ist als die gegebene Elnergie €. Dann ist w 
Kutn^pio gloioh dorn Logarithmus des Volumens F des gö- 
samton so erhaltenen Komplexionsraumes. Daher erhält iDtf| 
hior t\\r die Kntropie; 

IMo i)i\nuou der Integrale ßkr die Koordinaten x^*» 
suul bestiu\mt durvh das gegebene Yofaimen v des S; 
die Virtnirew tt\r die G\>$chwindigkeitskomponenten i, ... 
Aber \ladmvh, dat: 



Mech. Bedeutung der TempercUur und der Entropie. 119 

Jede einzelne G^schwindigkeitskomponente liegt also notwendig 
zwischen den Grenzen ± y2«/m. Die weitere Berechnung er- 
gibt flir die Entropie: 

logf'=logr- + logj....jrf(iyg....rf(i,|/g).(2e«p" 
wobei das Integrationsgebiet bestimmt ist durch die Bedingung: 

Man ersieht hieraus^ daß das 3n-fache Integral folgenden Wert 

besitzt: 

3» 

(2«m)2".C, 
wobei C eine reine Zahl vorstellt Daraus folgt für die Entropie: 

log r = n log © + -^ log 6 + const, 

wesentlich übereinstimmend mit der ersten Definition der 
Entropie. 

Die dritte Gibbssche Definition der Entropie endlich hängt 
mit der zweiten einfach dadurch zusammen ^ daß man die 
Entropie nicht = log F, sondern = XogdVfdt setzt. Da nun 
nach der letzten Gleichung durch Differentiation: 

\ dV ^n , dV 3n V 

-TT -3 — = TT- Oder j- = ^-. — , 

V da 28 de 2 6 ^ 

SO ergibt sich nach der dritten Definition für die Entropie. 

d V 
log -T— = log r — log 6 + const. 



dB 



= «logv + [- ^ — 1 ) log 6 + const. 



also, da n eine große Zahl ist^ wiederum wesentlich der 
frühere Wert 

Für den Fall vieler gleichartiger Partikel im stationären 
Bewegongsznstand führen mithin die verschiedenartigen De- 
finitionen alle im wesentlichen zu demselben Ausdruck der 
Entropie. Daraus folgt, daß sich aus der Untersuchung dieses 
Falles keinerlei Entscheidung zu gunsten der einen oder der 
anderen Definition ableiten läßt. Gehen wir nun aber über 
zu dem allgemeinen Fall, daß von den Partikeln mehrere ver- 



120 M. Planck. 

schiedene Arten vorhanden sind, wie er bei einer Mischung 
verschiedener Gase realisiert ist, und fragen hierfür nach dem 
Ausdruck der Entropie, so ergeben die Definitionen von Boltz- 
mann und von Gibbs wesentlich abweichende Resultate. Die 
Boltz mann sehe Definition liefert nämlich mit Rücksicht 
darauf, daß nun die Anzahl der Eomplexionen, welche einem 
gegebenen Zustande entsprechen, wesentlich modifiziert vrird, 
einen Wert fllr die Entropie, welcher dem aus der Thermo- 
dynamik abgeleiteten in jeder Einsicht entspricht, einschließlich 
derjenigen Glieder, die von den Konzentrationen der verschie- 
denen Atomarten herrühren. Die Gibbs sehen Definitionen 
dagegen, welche auf die Natur der Partikel gar keine Rück- 
sicht nehmen, ergeben wieder dieselben Ausdrücke, die oben 
berechnet sind, sie erteilen also zunächst keinen Aufschluß 
über die Art, wie die verschiedenen Konzentrationen in die 
additive Konstante des Entropieausdruckes eingehen. Will 
man auf diesem Wege zu der thermodynamischen Form der 
Entropie gelangen, so ist hier eine nachträgliche Ek'gänzung 
der Definition der Entropie notwendig, und diese Ergänzung 
kann nur dadurch geliefert werden, daß man zu den früher 
betrachteten Komplexionen noch neue Komplexionen mit in 
die Berechnung hineinzieht, indem nämlich nicht nur die Ko- 
ordinaten und die Geschwindigkeitskomponenten, sondern auch 
die Anzahl der verschiedenartigen Partikel des Systems inner- 
halb gewisser Festsetzungen variiert wird. Diesen Schritt hat 
Gibbs auch vollzogen im letzten Kapitel seines angeführten 
Werkes durch die Einführung des „grand ensemble'' im 
Gegensatz zu dem bis dahin allein benutzten „petit ensemble", 
wobei die Betrachtungen allerdings etwas verwickelt werden. 
Immerhin gelangt man durch sie schließlich zu den bekannten 
thermodynamischen Formeln. 

Vergleicht man nun an der Hand der angestellten Über- 
legungen die Eigentümlichkeiten der verschiedenartigen Wege, 
welche zur Gewinnung des Ausdruckes der Entropie einge- 
«cUagen werden können, so läßt sich bei der Boltzmann- 
wkfiQ und bei den Gibbs sehen Definitionen ein sehr wesent- 
\M3ber Unterschied feststellen. Will man nämlich für ein im 
tM&Qolien Bewegungszustand befindliches System mit ge- 
Volekülzahlen» gegebenen Volumen und gegebener 



fr 




Mteh. Bedeutung dar Temperatur und der Jintropte. 



121 



Entropie nach Gibba bestimmen, so ist man ge- 
lt nur die gegebeneu Werte der Moleklilzablen, des 
and der Energie ins Auge zu fassen, sondern auch 
nrendlich viele andere Werte aller dieser Größen mit in die 
RrfüljDung hineinzuziehen. So hat mau z. B., trotzdem das 
Volumen gegeben ist, bei der Berechnung der Entropie stets 
alle diejenigen Komplexionen zu berückBicbtigen, bei welchen 
liiä Svstem irgend ein Volumen einnimmt, das kleiner ist als 
m gegebene. Und ebenso verhält ea sich mit der Energie: 
SiiAit nur die gegebene Energie ist zu betrachten, sondern 
mendlich viele andere mehr oder weniger weit abliegende 
Wirte der Energie. Dagegen hat man bei der Berechnung 
Itr Entropie nach Boltzmann von vornherein und prinzipiell 
iir diejenigen Komplexionen zu berücksichtigen, welche mit 
ii"[n gegebenen Zustande in aller Strenge vereinbar sind. Dn- 
restimmt und daher den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit unter- 
irfen ist hier nicht, wie bei Gibba, die Molekülzahl, das 
Velunien und die Energie des ganzen Systems, sondern viel- 
die spezielle Komplexion, die mit den bestimmt vor- 
inen Werten jener Größen vereinbar ist. Nach diesem 
ichtspunkte beurteilt, erscheint die Boltzmannsche Auf- 
lag der Entropie beträchtlich einfacher und sachgemäßer. 
Die endgliltige Entscheidung der Frage nach der all- 
leinsten und rationellsten Definition der Entropie kann aber, 
»ie Echon in den einleitenden Worten dieses Aufsatzes hervor- 
gehoben wurde, nur durch die Berechnung der Entropie für 
wiche Zustände geliefert werden, welche von dem wahrschein- 
lichsten Zustande merklich abweichen. Für diesen Fall hat 
non Gibbs, soviel ich sehe, überhaupt keine allgemeine Vor- 
Bchrift gegeben, da er derartige Zustände nur insoweit be- 
handelt, ala sie sich aus stationären Zuständen zusammen- 
Mticn lassen. Die Boltzmannsche Definition dagegen reicht, 
wie bekannt, ohne weiteres auch für Zustände mit ganz be- 
liebig vorgeschriebenen Lagen und Geschwindigkeiten der 
Partikel aus. 

Daher glaube ich als Resultat dieser Untersuchung aus- 
sprechen zu dürfen, daß die auf den ersten Anblick bestechende 
Allgemeinheit, welche Gibba der Fassung seiner verschiedenen 
Dehnitionen der Entropie gegeben bat, indem darin auf die 



122 M. Planck. Mech, Bedeuhing der Temperatur etc. 

Nator des betrachteten Systems gar keine Bücksicht genom 
wird, erkauft ist dorch eine Beschränkung ihrer physikalisc 
Bedeutung. Für alle reversiblen Vorgänge werden die 6il 
sehen Definitionen dieselben guten Dienste leisten^ wie meh 
andere schon vorliegende Definitionen mehr formaler Ns 
Für irreversible Vorgänge dagegen, welche der Fntropie 
ihre eigentliche Bedeutung geben und welche allein 
Schlüssel zum vollen Verständnis des Wärmegleichgewic 
liefern, erweist sich die Boltzmannsche Definition der 
tropie unter allen bisher bekannten bis jetzt als die a 
gemäBeste und leistungsfähigste. 
Berlin, 24. Juli 1903. 

(EiDgeg&Dgen 26. Juli 1903.) 



'■.• VA, I 



18. The Law of Degradation of Energy as the 
fundamental principle of thermodynamics. 

Bj O. H. Bryan in Bangor (North Wales). 



1, In moat text books, the study of thermodynamics is 
»pproached from a historical point of view being based on the 
discoveries of the Mayer-Joule principle of equivalence of 
leat and work and Carnot'a principle as moditied by Clau- 
sias and Kelvin. Very few writera have attempted to present 
iermodynamics as a purely deductive subject or to render it 
independent of preconceived notions conceming Leat and tem- 
lierature in the eame way that rational mechanics has beon 
fcndered independent of preconceived notiona of mass and force. 
But the atudj of abstract dynamics has led to such valuable 
rrsults in the Interpretation of pbysical phenomena, that it 
appeara desirable that the fundamental principles of thermody- 
namics should be presented in an equally formal manner. As 
it is unneceasary to again traverae ground that bas already 
been covered by writera od dynamics, tbis is beat done by 
fiamining what modifications have to be made in the JU'O- 
perties of an ideal dynamical System in order to obtain a 
I Üiermodynamical system. 

It has for some time past appeared to me that the prin- 

f dples of Conservatiou and Degradation of Energy afford the 

t'ket starting points for a treatment auch aa ia here propoaed. 

min the present paper I propose to give an outline of the re- 

nlts at which I have arrived in working out thia mcthod, in 

I hope that other workera may be induced to turn tlieir 

tention in the aame direction more than they have done 

iherto. 

. Definition of available Energy. — The availahU mergii 

n ayatem subject to given external conditiona is the maximom 

of roechonical work that could be obtained from the 



124 G. H. Bryan. 

HyHtem by changes which do not violate ihe giyen extenul 
conditions. 

The Frinciples of Conservation and Degradation of Enerjj. 
The total energy of any System is unaltered by the mutoBl 
actioDS of its different parts. 

The effect of these actions may decrease, and can nefer 
incroase the amount of available energy present in the System 
undor any given conditions. 

8. Charaoterütics of a thermal System, There are certim 
procesHos in nature such as the friction of flnids in whicb die 
available energy of a body is absorbed by being transfonned into 
othor forms of energy within the elements of which the bo^J 
is oomposüd, and in such cases it is not always necessaiy to 
aHHiimo tliat energy passes from one part of the System te 
anothor otlierwise than by the Performance of mechanical 
work. Such processes could, however, be equally well vA 
mon^ simply oxplained, as is indeed often done in text-boofa» 
bv n^8trioting tlie term "energy" to dynamical energy potenliil 
aiu) ki)u>tio and roplacing the prindples of conservation and da* 
gruilation by an axiom of energy to the effect that the eneqj 

of a HYstom tonds to decrease and never to increase. In orderto 

« 

ti^ko nooount of phonomena which cannot be ezplained by tUi 
siiuplo Alt«>niativt\ it seoms ineritable that we should assnme 
owv sYstoms to bo endowed with the property that energy cia 
t)ow frxMu ouo sx^tom or ^^art of the System to another otb6^ 
\^i^<^ th,*iu bv tho (Hrrfonuance of mechanical work. 

hNirtbor )t is utH\>$:i;anr that such transfierences shonU 

« 

?k\Muotuuo* Ih> Ai\\Mnjvinioti by an irr^Tersible loas of aTaflable 
ottti^t^v. tW if thi:^ >iM^ro not ihe ca» it wonld be possible bjf 
A )nv)^^r oh\M\N> \^f ^>n^r;jJi$iiL\) cooiniiiiates to bring the changei 
m >)UfN«t^Nn uudor tht^ ^mncipW of ntional meehanics in whidi 
x'A:^ t)\<c trH'«)^h'nysl ^u^t^ w\mM asisune the form of woik 
%U^w<^ bx ^b<^ xAmü^xn ^>f ih* ovvärvfinaij» so choooi. 

\\\ ^)^<^^^^\<^\k%Xl^>:^ \t$»Ai v^ ba^^ an iDnsIration of tbis 
xxMTN \\v,*.\V Sk^ )^>iK A:i^ vNr,>r rif^n«raMe transfonnatiGns are 
%\NMxW/x<st 1^.^ <v^*AAiNxr.$ ^^; :i)em>irftaMics sre identical is 
Äs^-w, x^-iih t>i^ >\;*:^;NNVi:<i >>? .^r•^*3t^v■^ wiA the mddition oft 
tVfcHis^ xs^v^.lv. V, AssA^r^H^i^r ti^r ^^rir.NTv nad tbe ecmneqiondiBg 
^v^>^ s\x^)Nxw<*i ^iS^ i^f^fejvcÄix^f •. 



I Law of depradation of energy. 126 

' 4. We are thus led to define a ihermodynamical tystem 
u ooe poaaessing the following properties distinguishing it from 
Ik Systems coosidered in rational mechanics. 

(!) ILs total energy is not a lunction of the position coor- 
dinates and the cnrresponding geiieraüsed velocity componentH 
aloDe, bnt is capable of iudepeudent Variation. 

(2) This Tariation consiBts in tranaferences of energy 
'Ktneen different parts of the system or between the system 
ni\ other Systems, in conformity with the principle of con- 

?rvation of energj'. 

(3) These transferencea of energy are distinguiahed from 
ihose considered in rational dynamics in that they are gene- 
»lly accompanied by a losa of available energy and are there- 
fore, by the principle of degradation of energy, irreveraible. 
In the Systems of rational dynamics all energy is available and 
SU transformationa are reversible. 

5. Heßnition of quantiti/ of heat. When energy fiows from 
ooe System or part of a System to another otberwise tban by 
the Performance of mechanical work through the Variation of 
the Position coordinates, the energy so trauaferred is calied heat. 

K, then, the energy of a body increasea by d U while the 
bodj at the same time performs mechanical work of amount 
d^^', the body ia said to receive a quantity of heat dQ defined 
b; the retation 
(1} dq = dU+dW. 

This relation thus afforda a definition of "quantity of 
heat" absorbed or emitted by a body. It is to be obsei^ved 
that we cannot speak of tlie quantity of heat contained in a 
body hecanse it is possible to make a body undergo cyclic 
tansformations in wliich energy ia continuously given out in 
the form of heat and absorbed in the form of work. 

6. Condition of internal heal equiUbrium. It foUows from 
the principle of degradation of energy that any system sub- 
jected to given extemal conditions will tend to assume an 
equilibrium State in which tbe available energy is a minimum 
ibt variations depending on the flow of heat between the 

irent parts of the syatem, conformably to the given esternal 



126 G. H, Bri/an. 

üonditioDH. When this is the case, the System may be said 
t<) be thermiccUly homogeneous. 

The State of a System may be yaried, consistenily with 
the existence of heat-equilibrium between the parts of the 
System either (a) by imparting eoergy in the form of heat to 
the System as a whole in such a way as to maintain an eqni- 
librium distribution^ or (b) by variations in the generalised 
coordinates defining the dynamical State of the System. 

It foUows that if the state of a thermically homogeneooi 
System is detined by n variables or generalised coordinates fiir 
changes which involve no transmission of heat to or from the 
System as a whole, then^ when such transmissions of heat an \ 
takeu into account^ n + 1 variables will be required to define 
the State of the System. Since the passage of heat to or bm. 
the body involvos gain or loss of energy^ we may, in the fink ; 
instance, choose these n + 1 variables to be the generaüsel 
position-coordinates of the System and the energy V. 

A transformation in which no heat is gained or losti 
callod an mUabatic transformation. K x^, x^, . . . x^ are the gea^ 
ralisod position-coordinates, A'j, J^, . . . X^ the correspondiqf 
gonoraliaod foroo-ooordinates, it foUows that adiabatic tnun* 
formatious are given by the differential eqoation 

dU^2Xdx 

oiumooting tho w -f l independent variables lJ\ *!,*,,...«. 

In tho oaso of a homogeneous fluid substance the sitf^ 
will bo oiuuplotolv detined either by the total volume f ü^ 
ouor^Y r t^r bv tho volume and energy of unit mass wlai 
wo shall ohII r, M, If /> i$ the pressure, and we adopt il 
foriwor altorn^tivo, thon since 

dv^dq^pdr 

in 



■=: 4« 



Houoo V 15^ knowu when l\ T are known and com 
tho M.-^to of (Uo sx^i^tom i:fi kui^vn when p and ü are 
Kor suoh ,'* >xstom tho suto mar l^ cc^mpletely defined by 
\,^n,'^Mos r M\A ' or r a«\i r instead of V and V or nind' 
H\ tho no>^ olunoK' of variables, the tnasformations caa 



Lmn of i!/!i/rnifntitin nf ena-t/if. 



127 



Te[>r(^sented by an indicator diagram as is explained in text 

7, The Seeond Law of thermodr/namics. Let M and A' be 
tno indepeiident thermically homogeneous systema. If the 
States of theee Systems are such that their total available 
energy is decreased by the passage of a small quantity "f 

it from M to X, it Ibliows at once from the principle of 
[Itgradation of energy 

that heat can flow, and, in general, tends to So» ol 
itelf from M to jV, 

fb) that heat cannot be made to pass from jV to M without 
«opplying availablo energy from without 

If Wf dehne one system as being hotter or coirler than 
üiother according as the available energy of the two is de- 
[^reased or increased by transporting a small quantity of heat 
fnim the ßrst to the aecond, statement (A) is identical with 
the Qsual statement of the seeond law which asserts that heat 
annot pasB from a colder to a hotter body without some other 
ch&nge taking place. 

8. Carnofs Cycle. To transport heat Erom A" to ^ where 
tf is hotter than X (according to the ahove definition) avai- 
isble energy must be supplied from without. The simplest 
«aj of doing this is by the familiär procesa of Carnot'a 
qcle reversed, in which an auxiliary body /, is taken which 

H receives heat Irom .\, and is then, by compression or 
lerwise, brought to a state capable of imparting heat to jV. 
To supply the availabte energy absorbed in a cyclic trans- 
formation of the auxiliary body a balance of work-energy must 
he supplied to this body in each cycle, and by the principle 
"( conaervation an equivalent amount of heat-energy must be 
gi?en to the body M, over and ahove that taken from jV. 
We may thus suppose a quantity of heat riQ.v taken from 
^, a quantity dQ^ given to M and a quantity of work 
dA ^ dQ^ — dQy performed on the auxiliary body during the 



I {Kucei 



The reverse process is the ordinary direct Carnot's 
which dQn is received from JU, dQ'x is given to jV, 
work d A' = d ÖV — «^ Q'a- ia done l»y the auxiliary body 
ing the cycle. 



128 G. H. Bryan. 

By the well known proof of combining the direct and 
reversed motions^ the principle of limited ayailability gives that 

dA' dA 

dqu —dQu 
and therefore 

dQ^N -^dQN ^j. dQfu ^dQu 



MfnimuM 



dqu—dQu dQN—dQN 

and by considering the limiting case where the combination 
of the direct and reversed cycles is accompanied by no los« 
of availability [assuming such a case possible) we get 

^ ^ [dQ'Njnuiximum U 0^/ 

9. Let each of these limiting ratios be written equal t 
Tmn for the bodies M and N. Then the following propertie 
are readily shown to be satisfied by the fonction T^y. 

(1) ^MN is constant for the same two thermically hom( 
geneous Systems in the same two states. It is therefore on] 
a function of the variables by which the states of the bodit 
M and N are specified. 

(2) Tun is independent of the size of the Systems M an 
JV provided that they are thermically homogeneous. In tl 
case of homogeneous fluids, T^^v is therefore a function of the 
volumes and energies per unit mass, not of their total volum« 
and energies. 

(3) Tmn is equal to unity when heat-equilibrium exis 
between M and N, it is greater than unity when heat ca 
flow of itself from M to N and less than unity when heat ca 
only flow of itself from N to M, 

(4) TmnXTnm=1^ 

(5) The ratio T^n for two Systems M,N, is equal to tl 
corresponding ratio T^'n' for 8,ny other two Systems M\ ^ 
of which Äf is in thermal equilibrium with M and N" is i 
thermal equilibrium with iV. 

(6) Taking a third System P we have by comparing tl 
lyde between M and iV with a combination of two cycL 
wnnreen M and F and between P and N respectively 



Law of degradation of energy. 129 

10. Temperature. Now let the System P be taken to be 
I Standard System whose State is kept constantly fixed while 
other Systems are compared with it. Then it is no longer 
neoessaiy to specify the State of P in the expression Tmp, and 
we may therefore write Tm for Tj^p. 

The expression Tm will then be a function only of the 
Tariables which define the State of the system M. 

Tm is Said to be the absolute temperature of the body M 
irferred to P as unit of absolute temperature. If any other 
body Q be substituted for P, the unit of absolute temperature 
fin be altered but the numerical measures of the tempera- 
tores of all bodies will be altered in the same ratio. 

The properties proved in the last article are identical with 
the properties of temperature proved in treatises on experimental 
heai We thus have a deduction of these temperature pro- 
perties firom the Principle of Availability^ which is independent 
of any preconceived ideas regarding temperature. 

11. Entrapy, The foUowing results follow at once by 
the ordinary methods giyen in text books^ and they need not 
be discossed in detail in the present connection. 

(1) If a body is surrounded by a medium whose temperature 
f, is a fimction of the time only^ then in any reversible cycle^ 
fte qyclic integral 



ffl (/)¥-» 



where <f Q is the quantity of heat absorbed at temperature T^, 
(2) For reversibility there must be no loss of available 
energy between the body and the medium, therefore at any 
instant the temperature T^ of the medium is equal to the 
temperature T^ of the body and we have therefore also 



N (y)i?=o. 



(3) The last result holds even if the temperatures T^ and 
7, of the body and medium are unequal, provided that no irre- 
tfersMe changes occur within the body itself, The transformation 
is then said to be conditiorudly irreversible, the only irreversible 

Boltauum-Feetochrift. 9 



130 G. H. Bryan. 

processes arising from the passage of heat between the bodj 
and medium. For such a cycle we have therefore 

(4) The eniropy of a thermically homogeneous System, 
2, e a System whose temperature is a function of the time 
only is defined by 

B 

(5) ß^ = S,-S^ or^ = rfÄ. 

A 

(5) The entropy of a System of bodies is defined as the 
sum of the entropies of the parts of the System^ and hence 
if the System consists of different parts M, N . , . at tem« 
peratures Tmj ^y • • • 

(5a) rf5=4g^+^|^ + ... = :S^ 

where d Qm is the whole heat received by the pari At at ten 
perature Tm, whether this heat be received from outside c 
from other parts of the System. The only limitation to th 
Statement is that no irreversible changes must occur withi 
the separate portions M, N. 

(6) Where the temperature varies from point to point tl 
summation of the last case must be replaced by an integrs 
and we shall write the resulting equation 



(5 b) dS^f^^d 



m 



where dQ'dm is the quantity of heat absorbed by the elemei 
dm when its temperature is T, In this notation dQ' vr. 
stand tor quantity of heat absorbed per unit mass in the neig' 
])ourhood of the point whose temperature is T, and the sif 
of integration will refer to the various mass Clements of tl 
body. 

(7) The equation holds good provided only that no irr 
versible or discontinuous changes occur in the interior of tl 
mass Clements dm. Where such irreversible changes occur 






Law of degrculation of energy. 131 

ig osoally if not always possible to connect the initial and 
ioal States by a reversible continuous series of transformations^ 
and the difference between the entropy of tbe initial and final 
States will then be defmed to be the same as would be pro- 
daced by these reversible transformations. 

This or its equivalent is the only possible definition of 
entropy consistent with the assumption that the entropy of 
the System at any instant depends only on the State of the 
qrstem at that instant and not on its previous history. If this 
assumption were not made the theory of thermodynamics 
would involve the consideration of changes of entropy of a 
purely arbitrary character corresponding to no real physical 
phenomena» 

12. DeducHan of the fundamental equations, We shall now 
diow how the principle of degradation of available energy cau 
be used to obtain the conditions of equilibriam and stability 
ofathermodynamical System, without making use of Clausius' 
ioequality. To do this it is only necessary to construct ex- 
pressions for the available energy of the System subject to the 
gifsn extemal conditions, and we shall consider the following 
cases. 

System eurrounded by an indefinite medium of uniform tem^ 
perature T^ and presmre p^. We do not suppose the System 
to have attained its equilibrium State, so that its pressure and 
temperatore are not necessarily the same as those of the medium. 
Let ihe System consist of r parts characterised by the suffixes 
1, 2, . . r and suppose for the sake of simplicity that the State 
of the rth part is fiilly specified by the variables p^, F^, T^, 
*r> ^r> ^^ which only two are independent. 

Then if a quantity dQ^ of heat be withdrawn from the 
rth part, it follows from above that a quantity of at least 
dQ^X TqJT^ will have to be given to the medium, and hence 
fhat the maximum amount of mechanical work derivable from 

Moreover when the volume expands by an amount d V^, 
against the extemal pressure the amouut of work done is 



132 G. H. Bryan. 

Pr^Po) ^^r' Hence the total amount of available energy 
the rth portion is measured by the integral 

The quantities under the integral signs yanish and chac 
8ign when ?|. = 2J,, p^=p^^ hence the maximum amount 
mechanical work is obtained when the System is bronght 
temperature T^ and pressure p^. 

Now dQ^= — T^dS^^ hence the integral representing t 
available energy of the whole System becomes 

But by the equations of thermodynamics 

(7) dU^=T^dS^-p^dF^. 

Hence the total available energy is 

Ä= -^j{du^-T,ds^ + p,dr:i 

taken from the initial State to the stäte T^p^ 

= 'EiUr-T,^ + PoK)-'EiU\-T,s\ + pov\) 

where U^^\ SJ^, FJ^ refer to the rth body in the final stj 
(^o> Po)' ^^^^ expression gives on summation 

(8) A = {U-U^)-T,{S-S,) + p,{r-V,). 
It follows from this expression that if 

the System can pass from the State [V, S, F) to the st 
{U^y 6'y, /J but cannot pass in the reverse direction unl 
available energy be supplied from without. This condit 
is therefore tho condition that the State (C^o'^o'o) s^ould 
one of stable equilibrium, a well known result 

13. System surrounded by an envelope of invariable voh 
Vq hept at constant temperature Tq, In this case the differenl 
of the available energy is given by 

% dÄ=-^{T^- T,)dS^ + ^p^dV^ 

uä the condition of constancy of volume gives 



LcoD of degradaiion of energy. 133 

The State of minirnnm available energy is thus defined by 

for all yariations consistent Fith ^dV^^O. 
It foUows that for this State 

Tr = ^0» Pl =ft • • • ^/'r =/'0 (Say) 

and smce 

we haye 

dA^^^dü^ + T^^dS^, 

fhence 

^ = 2(^r - 2*0 «r) - 2(«^/ - 2'o «r") 
(11) =ü-U,-T,{8-8,) 

kading as before to the well known result that for stable 
eqmlibrium in the State Uq^ Sq we must have for all possible 
Ttiiations U^ 8, 

We also notice that when the temperature of the system 
itsdf is Tq its available energy becomes the free energy of 
Ton Helmholtz. 

14. System enclosed in a rigid envelope impervious to heat 
As in the last case the work done by the expansions of the 
different parts of the system is equal to 

To estimate the available energy which can be converted 
into work by the transference of heat between different parts 
of the System, assume an auxiliary body at temperature 2Jj, 
ttd in the first place suppose heat is transferred between the 
wioos bodies of the system and the auxiliary body by means 
rfCarnot's cycles. 

It dQ^ is taken from the rth body then a quantity of 
heat dQ^x TqJT^ is given to the auxiliary body and the 
amount of work done is ^Q^(l - T^/T;}. 

K the total quantity of heat received in any interval liy 
the auxiliary body is made equal to zero, the auxiliary body 
may be removed and the conditions will be those of a system 



184 



G, H, Bryan. 



completely closed from outside influence. Equating to zero 
the heat received by the auxiliary body we have 



Tr 



(12) 

whence 

S = constant 

and the maximum work obtainable ander this condition is 



= ^f{d^ + p,dr,). 



Since d Q^ here represents heat taken from the rth bodj 
instead of heat given to that body, d Q^ is equal and of ctf- 
posite sign to the ordinary dQ of thermodynamicSy andthen» 
fore dQ^ + p^dF^= — dll^, and the expression for theaTsilalib 
energy becomes 



(13) 



A^^-^JdU^^ --fdü^U^U^ (say) 



the Integration being made along an isentropic path from äl 
given State to the State in which the energy U^ is a mimmnB 
sabject to the condition of constant entropy. 

The condition for stähle equilibrium requires thit ttl 
available energy shall be a minimumy and therefore thattti 
total energy U shall be a minimum for yariations whiehkeflf 
the entropy S constant This is one of the two alternativ* 
conditions of stability of an isolated System given by GikH 

15. Clausius' principle for irreversible transformaüoM, W 
any System be isolated from all extemal inSnences for aQ 
given interval of time. K the parts of the System aie not iij 
equilibrium amongst themselves, changes will oecnr in A>j 
internal State of the System, and the principle of d< 
of energy states that these changes will be of such a 
as to decrease and never to increase the available energy 
the System would have when subjected to given extemal 
ditions. 

Now we have obtained for the available energy of a 
in the presence of an indeiinitely extended medium at 
perature T^ the forms 



LaxD of degradation of energy. 135 

or 

iccording to whether the pressure of the medium or the 
Tolnme of the System is kept constant 

For changes which take place in the interior of the System 
alone, the total energy TJ and the volume F remain constant. 
The only quantity which can vary is the entropy S, and we 
Me that the changes of entropy and available energy are con- 
nected by the relation 

(U) 8A^--T^8S. 

Since A tends to decrease S tends to increase, and hence 
we haye a proof of Glansius' principle according to which 
the entropy of a System is increased by irreversible changes 
occnring in the interior of the System. We also have, what 
is important^ a physical interpretation of this gain of entropy, 
n&mely that it is equal to 1 / 7^ times the decrease in the 
imoimt of available energy which the System would possess in 
the presence of a medium of temperature T^ . 

Conversely the loss of available energy of the system due 
to internal changes is equal to T^ times the increase of entropy, 
and is therefore proportional to ?J,. The total available energy 
of the System in presence of the medium of temperature T^ 
is not necessarily proportional to T^ since the State for which 
the available energy vanishes is not independent of the tem- 
perature T^. 

16. Canclusions. We have thus shown 

1) that the fundamental laws of thermodynaniics may be 
deduced from the Principles of Conservation and Degradation 
of Energy without assuming any preconceived notions regarding 
heat and temperature, and with the simplest possible assump- 
tions'as uT theHgeneral character of the phenomena; 

2) that the conditions of equilibrium and stability appli- 
cable under dififerent conditions can be deduced from con- 
siderations of available energy as easily as from the entropy- 
ineqnaUty, and more directly. 

The great disadvantage of starting with the entropy-inequality 
is ihat it is difficult to form a clear conception of the meaniiig 
of entropy. On the other band the methods here suggested 



136 



G. H. Bryan. Law of degradaihn of energy. 



have the disadvantage that available energy is not a defioite 
quantity but its amount may be yaried by yarying the external 
conditions. Thus while any giyen irreyersible change inyolTes 
a definite gain of entropy, the consequent loss of ayailaUe 
energy in the presence of a medium of temperature T^ wonid 
be proportionally reduced by substitutiDg a proportionally oolder 
medium. Owing, howeyer to the importance of ayailable enezgj 
from a physical or practical point of yiew it appears desiraUe 
that this yery indeterminateness should receiye prominent ccm- 
sideration in treating of the elementary principles of thenno- 
dynamics. It is oniy in this way that a clear understanfiv 
can be arriyed at as to the ultimate influences of iireyeiabb 
phenomena on the progress of eyents in the Uniyerse. 

(Eingegangen 27. Juli 1908.) 



137 



19. Zur Definition der spezifischen lonen- 

gesehwindigkeit 

Von Hainrioh Mache in Wien. 



J. J. Thomson hat für die spezifische lonengeschwindig- 
die folgende Formel aufgestellt Es bedeute e/m das 
Yerhältnis zwischen Ladung und Masse des Ions, A seine 
mittlere Weglänge, und c seine molekulare Geschwindigkeit, 
dann ist 

1 e l 
u ^ . 

2 m 

Diese ftr die Elektronentheorie grundlegende Formel wurde 
bereits zu wiederholten Malen in der Weise verwendet, daß 
man f&r c die mittlere molekulare Geschwindigkeit 5 oder 

die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat Yc^ 
einiUirte und auf diese Weise zu einem Mittelwert für u ge- 
langte, der aber dann in einer von der üblichen völlig ver- 
schiedenen, der Natur der behandelten Aufgaben nicht ent- 
sprechenden Weise gebildet erscheint und daher quantitativ 
unrichtige Resultate ergeben muß; denn es ist ja der so er- 
haltene Mittelwert weder ü noch auch Yu* , 

Es hat nun E. Riecke im 66. Bande der Annalen der 
Physik f&r die spezifische lonengeschwindigkeit die Formel 

~ 3 w c 

angestellt. Die Ableitung ist etwas kompliziert und der Zu- 
sammenhang mit der Thomson sehen Formel nicht ersichtlich. 
Vielleicht ist es daher nicht ohne Interesse nachzuweisen, daß 
weh die Thomsonsche Formel bei richtiger Mittelwertsbildung 
&iif nahezu den gleichen Koeffizienten führt, wie er sich aus 
der Ri ecke sehen Betrachtung ergibt. 

Die Ableitung der Thomsonschen Formel ist einfach 
^d durchsichtig. Die Zeit, welche von einem Zusammen- 
stoß des Ions bis zum nächsten verfließt, sei r = A/c. Wäh- 



138 Ä Mache. 

rend dieser Zeit steht das Ion unter dem freien Einflüsse d 
Feldes F, legt also in dieser Zeit mit der Beschlennigung 



8 



y^-F 



den Weg 



m 



y • bF l* 
2 2iw c» 



in der Richtung des Feldes zurück und würde somit in eii 
Sekunde, falls sich nicht bei jedem Zusammenstoß die mo 
kulare Geschwindigkeit änderte, im ganzen den Weg 



1 ^ aJT X 

T 2m c 

zurücklegen. Es ist also für das Einheitsfeld 

1 6 l 

u ^ • — • 

2 m e 

.Wir können nun, wie dies in der Gastheorie ja allgem« 
üblich ist, X, die Weglänge des Ions, als von der Temperai 
und somit auch von der Geschwindigkeit c unabhängig 1 
trachten. Dann läßt es sich aber leicht nachweisen, daß c 
Mittelwert von Xjc dem Produkte aus den Mittelwerten v 
X und 1/c gleich ist^) Es wird also auch der Mittelwert i 
u durch das Verteilungsgesetz der molekularen Geschwind 
keiten eindeutig gegeben sein. Die Zahl der Teilchen, der 
molekulare Geschwindigkeit zwischen c und c + dc liegt, 
nach Maxwells Gesetz gleich 

c^e ''de, 



a^Yn 



1) Fassen wir nämlich aus der sehr großen Zahl N der yersch 
denen X/c diejenigen heraus, welche im Zähler das gleiche l, etwa 
aufweisen und nennen wir ihre Zahl nj , definieren wir femer in gleicl 
Weise A^, «,, ^, n^ etc., so wird: 

Dft aber l und c voneinander unabhängig sind, so ist auch 

~' n^^ c *"" *'* "" N ^ c "~\o/ 
itigkeit unseres Satzes. 




Spezifische lonengeschwindigkeit. 139 

KHiD ff die wahrscheinlichste Gk)schwindigkeit bedeutet und A^ 
die Zahl der Teilchen ist, welche in der Volumeneinheit ent- 
halten sind. Es ist weiter nach Thomsons Formel 

tf c =s — du 

und somit die Zahl der Teilchen, deren lonengesch windigkeit 
zwischen u und u + du liegt , gleich: 

4N «•!» ^—^Tar^t au. 



Holtiplizieren wir diesen Ausdruck mit u, integrieren von bis 
00 nnd dividieren durch I/, so erhalten wir ü, multiplizieren wir 
hingegen mit u\ integrieren von bis oo^ dividieren durch N 

und ziehen aus dem Resultate die Wurzel, so erhalten wir yu* . 
Es ist also: 



0» 



«U« 



00 



00 



««A« 



«*= ^-- ''^' C--e ■^-•-*-" du = /^' 



^^ 1/2 m (I 

Ersetzt man die wahrscheinlichste Geschwindigkeit a durch 
die mittlere d nach der bekannten Formel 



2ex / 

yn ma J 




xe' 


dx 


1 e l 


• • 




eU« 


V'n 




y^m^a^ 


2 




1 6 l 







80 wird auch: 






2 8 

TT tn 



} und l^=l/Ä-'-.i. 



Der Koeffizient 2jn ^ 0,687 unterscheidet sich also nur 
wenig von 0,667, dem Koeffizienten der Ri eck eschen Formel 

Auch den wahrscheinlichsten Wert der lonengeschwindig- 
teit wollen wir noch berechnen. Wir haben zu diesem Behufe 
nur den Ausdruck, welcher uns die Zahl der Teilchen gibt, 
deren lonengeschwindigkeit zwischen u und u -k- du liegt, nach u 



^ e «• du. 



140 //. Mache. Spezifische Tonengeschwindigkeit 

zu differenzieren, den erhaltenen Ausdmck gleich Null zu setzen 
und nach u aufzulösen. Wir erhalten so: 

jj 1 fil^l B l 

2 }/2" m a ^^n m c 

Führt man diesen wahrscheinlichsten Wert in das Ver- 
teiluugsgesetz der lonengeschwindigkeiten ein, so l&Bt sich das- 
selbe auch in der Form schreiben: 

In allen Formeln flir die lonengeschwindigkeit bedeutet 
jetzt l den arithmetischen Mittelwert der Weglänge und d d« 
der Geschwindigkeit In allen erscheint der Ausdmck 
^jm.Xji^. Von den in ihm enthaltenen Größen sind dii^ 
nämlich €, m und ^ durch die Natur des Ions und duck 
die Temperatur bestimmt Von dem Gase, in dem sich d» 
Ion bewegt, erscheint somit u nur insoweit abhängig, als! 
hievou abhiingt. Bezeichnen vrir mit A die mitÜere W^g- 
Itiugo dos Gasmoleküls, so schwankt, welche Größe wir anA 
inuuor dorn Ion zuschreiben, der Wert Ton X zwischen Null m» 
4.1, Pio hohen Geschwindigkeiten, welche die Träger d« 
Kathodonstraldeu aufweisen, würden also zur Annahme nötigSf 
di^l^ go^ouül^er diesen allerdings als sehr klein angenommeiNi 
'roilo)\oi\ die Moleküle de$ Gases sich so Terhalten, ab ob ns 
bis ÄU oiuom gx^wissen Grade durchdringbar waren. Aach diö 
hohen Worte» welche die mittleit^ Weglange der ElekftroM 
nach dou iH^r^vhuuugen Pattersons^' in Metallen anniiDBt 
und welche von derselben Größenordnung sind, wie die mitUtfi 
Wt'^l^xge vier iiaso bei Atmosphärendrack, Schemen daftarU 
sprtvheiu 



141 



20. Gibt es unendlich große Geschwindigkeiten? 

^-:| Von Iiudwiff Matthieasen in Rostock. 

Wenn es sich um Geschwindigkeiten forthewegter Massen 
lumdelt, so wird man die gestellte Frage jedenfalls mit nein 
l)6ftDtworten müssen, sowohl was terrestrische als auch kosmi- 
sche Bewegungen anbetrifft. Bei Bejahung der Frage würde 
man auch die Möglichkeit unendlich großer Kräfte annehmen 
nflssen. Es kommen jedoch unendlich große Geschwindig- 
keiten bei Erscheinungen vor, welche auf dem Gebiete der 
haterferenzen liegen. Es mögen hier derartige Fälle behandelt 
werden. 

Wenn man mit Hilfe zweier unisoner Stimmgabeln auf 
Qaecksilber oder irgend einer anderen Flüssigkeit zwei sich 
durchkreuzende Ereiswellensysteme erregt, so beobachtet man 
bekanntlich stehende hyperbolische Interferenzlinien, deren 
Scheitel in der Verbindungslinie der Erregungszentra liegen. 
Daneben treten aber zugleich fortschreitende Wellen auf ellipti- 
schen und hyperbolischen Interferenzlinien auf^ deren Bewegung 
wir yerfolgen wollen. 

Wir setzen voraus, daß jene Transversalwellensysteme eine 
gleiche und konstante Wellenbreite X, gleiche und konstante 
Amphtuden a und eine gleiche konstante Geschwindigkeit c be- 
ritzen; femer daß die Vibrationen in den Zentren I und II 
gleichzeitig und gleichsinnig erfolgen, die Zentra um eine 
gerade Anzahl von Wellenbreiten voneinander entfernt sind. 
Bezeichnen l^ und /^ die rad. vect irgend eines Moleküls P 
der erregten Niveaufläche, so sind die partiellen Deviationen 
zur Zeit / von der Buhelage angerechnet 

yj = a sin 2 ;r ( ^ - l" j , y, = a sin 2 !;r (y - -J) , 

also die gesamte Deviation 

^= yi + y2 = 2 a cos ;r -^-'^^ sin 2 ti ^^ - --^j - 



Die resoltierende Amplitude ist also 

Die Besultante verschwindet für 

/j -/, =- 1^—X, (feste Hyperbeln £), 
aoBerdem für 

Ij + l^ = ± (mX — 2 k^\ , [fortschreitende Ellipsen C). 




Zwischen den ersteren liegen andere feste Hyperbeln </ 
Ton der Gleichung 

also 

coBn^L:^=±l, A=.±2a. 

Daraus resultiert 

Y= ±2asin2n( 



II _ Lt.k\ 



Auf diesen Hyperbeln schreiten demnach peripherisch 

^«Qen fort und zwar mit abnehmenden Wellenbreiten und 

Qiraehiitndigkeitfln. Die variable G-eschwindigkeit sei v; ist 

•Itta e ^e Qescbwindigkeit der Elementarw eilen, o> der Winkel, 

'wääuT ^Q Tangente eines Punktes P des hyperboÜBchen Wellen- 

T**™* ' TOt mneQ rad. rect l^ und ^ bildet, r die Länge der 

" ^1 80 findet man 



Unendlich große Geschwindigkeiten, 148 

folglich 

worin <f die Distanz der Vibrationszentra bezeichnet. 

Nun ist im Anfangspunkte der Bewegung des Wellen- 
strahles^ also in der Zentralen^ sowohl coscü^O^ als auch 
T = und (/j 4-/2)* — rf* == 0; folglich die Anfangsgeschwindig- 
keit 1; S3 00. Für. unendlich entfernte Punkte P wird^ wenn a 
den Asymptotenwinkel bezeichnet 

i. =a T — ~ cos a , / = T + — cos U , 

mithin 

Lim V = 2 c t/t^ — cos a^ : y 4 r* — ^f^ 

und wegen r «3 00, Lim t; = c. 

Ist nun L die Wellenbreite des hyperbolischen Wellen- 
strahles in P, so ist auch 

cos (o =^ X',L ^ t;:i = c:A = n. 

Handelt es sich um monochromatische Lichtwellen, deren 
Schwingungsebenen auf der Niveaufläche senkrecht stehen^ so 
wird ihre Farbe in den betreflfenden Richtungen nicht ver- 
ludert Bei Schallwellen sind die Verhältnisse ähnlicher Art; 
nur unterscheiden sie sich von dem Verhalten der Transversal- 
■ Wellensysteme insofern^ als bei den Schallwellen jene hyper- 
boUschen Wellenstrahlen abwechselnd Longitudinal- und Trans- 
versalweUen sind. Die Tonhöhe wird in den ersteren nicht 
verändert; die letzteren überhaupt nicht gehört. Ein homo- 
loges Verhalten findet bei Interferenzen von monochromatischen 
Lichtwellen statt, bei denen die Elementarwellen senkrecht 
gegeneinander polarisiert sind. Es treten zirkuläre und ellip- 
tische Schwingungen, transversal und longitudinal schwingende 
Wellenstrahlen auf. In diesem Falle wird ebenfalls die Farbe 
nicht geändert und zwar in den Transversalwellen; die Longi- 
tadinalwellen sind überhaupt nicht sichtbar. 

Wir wollen der Allgemeinheit wegen auch noch den Fall 
betrachten, wo mit verschieden gestimmten Stimmgabeln Wellen 
von verschiedener Breite und Geschwindigkeit auf der Niveau- 



511^ 



fläche einer Flüssigkeit erregt werden. Für die 
sehen Wellen ist nach William Thomson 



3 hjdrodynairi i- I 



±"r, 



= conat 



Ea tritt dabei, wie Lissajous zuerst beobachtete, eine so- 
genannte Wanderung der Interferenzlinien eiu.') Es treten datiei 
die iJ-Kurven auf, auf welchen sich die seitlichen Wellen fortr 
Ihre Gleichung ist 



i:-f--2^1'K + " 



,(„, - 



'.'l-v^. 



■/ = const. 



i_ A.- _^ 

Auf diesen Kurven schreiten also die seitlichen Wellen 
fort und sie sind ebenso wie die Interferenzlinien B und C 
artesische Ovale. Dieselben laufen also von der Zentrale 
aus und kehren an einer anderen Stelle in dieselbe zurück. 
Um die Orter dieser beiden Punkte auf der Zentrale zu 
finden, führen wir rechtwinklige Koordinaten y und x ein. 
Es ist dann 

Für y = U erhält man 

It K - 2n,l, "■ 1, +i, I i, ^ 2«,i. "l 

Um die Bichtung der Bewegung der Wellenstrahien J) in 
diesen Punkten zu erhalten , differenzieren wir die vorige 
Qleichung. Es resultiert 

8y ^ X l, V'y'"+~ ('r- ^' + (if - jj I, V y * ~|-"^* 



Fftr y = ergibt sich daraus 

[ Dar betreffende Wellenstrahl geht also senkrecht zur Zentrale 
l nnd kehrt in derselben Weise zur Zentrale zurück. 

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten der Inf«rferenzwellen 
I den /J-Kurven werden nun bestimmt durch folgende Re- 



Unendlich große Geschwindigkeiten, 145 



Bl 
dt 


= 


c, 


dt ' 


= c,; 


BE 


= 


dl 




dl, 


dt 


cos ff 


dt ~ 


QOSßdt 



V = 

Fflr den Ausgangspunkt wie für den Rückkehrpunkt auf der 
Zentrale sind nun a und /9 = 90 ^ also wiederum v = oo. 

Ähnliche Yerhältuisse treten auf, wenn ein Kreiswellen- 
sjstem Ton einem Fokus eines Kegelschnittes auslaufend an 
derEurre z. B. einer Parabel reflektiert wird. Die Elementar- 
wellen werden an der Parabel als geradlinige der Directrix 
parallele Sjrsteme reflektiert. Ist die Entfernung irgend eines 
Punktes P von der Directrix gleich \y vom Fokus gleich ^, so 
ist die Bedingung der Interferenz 

Zj — Zj = - ^ - X (feste Parabeln). 

Dazwischen in der Mitte liegen die parabolischen Wellen- 
strahlen 

ij — ^ = nA. 
Dann ist weiter 

v = c : cos ö) Ä c —^ . 

j 

Für die axialen Ausgangspunkte der Interferenzwellen ist 
(ö =1 90® und T = 0, also v = oo. Für unendlich entfernte 
Punkte P ist r := 2 /^ also Lim i; = c. Da auch i = X : cos (o 
ist^ so ist für unsem Fall für jeden beliebigen Punkt P 

v: L ^ c:X = n. 

Mithin wird in den Wellenstrahlen bei Licht- wie bei 
Schallstrahlen die Farbe und die Tonhöhe nicht verändert 

Rostock, 15. Juli 1903. 

(Eingegangen 29. Juli 1903.) 



Bottmumn-Fettscbrift 10 



146 



21. Ans der Statistik 
der Prfifnngsstelle fttr Normalstimmgabeln in Wien. 

Von Anton Lampa in Wien. 



Die mit dem I. physikalischen Institut der Wiener Uni- 
versität verbundene Prüfungsstelle flir Normalstimmgabeln hat 
bis jetzt rund 16000 Stimmgabeln verifiziert In den ersten 
Jahren wurden die Schwingungszahlen der als richtig befun- 
denen Gabeln (zulässige Fehlergrenze ± 0,5 g. Schw.) proto- 
kolliert. Das Protokoll umfaßt 8000 Stimmgabeln. 5449 Stück 
dieser Gabeln stammen von einem Eh*zeuger (Feinzeugschmied 
J. Desort in Wien), welcher die Abstimmung aller dieser 
Gabeln Dach einer von der Prüfungsstelle abgestimmten Normal- 
stimmgabel vorgenommen hat; diese Gabeln erscheinen hier- 
nach als ein geeignetes Objekt für eine statistische Unter- 
suchung betreffend das Verteilungsgesetz der Schwingungszahlen. 
Eine Aufzeichnung über die Schwingungszahl jener Gabel, nach 
welcher der Erzeuger die übrigen Gabeln gestimmt hat, ist 
nicht vorhanden, da deren Abstimmung noch vor der Akti- 
vieining der Prüfungsstelle stattfand. Eine Nachprüfung heute, 
nach zwölf Jahren, wäre zwecklos; jedenfalls wird die Schwin- 
gungszahl dieser Gabel nahe an 485 gewesen sein. 

Aus dem Protokoll wurde die nachstehende Tabelle I zu- 
sammengestellt ; die Schwingungszahlen sind hierbei auf 
Hundertstel angegeben, wozu noch weiter unten eine Bemerkung 
gemacht werden soll. 

Die größte Zahl von Gabeln, 268, entfällt zufällig auf di^ 
Schwingungszahl 435, das Mittel der Schwingnngszahlen allei* 
Gabeln liegt dieser Zahl ziemlich nahe, es beträgt nämlich 
434,981. Nimmt man für die weitere Eechnung der Einfach- 
heit hnll)er das Mittel = 4 whnet die mitäere 



Aus der Statistik der Prüfunffsstelle für Normalstimmgabeln. 147 

Abweichung E (Wurzel aus dem Mittel der Quadrate aller Ab- 
weichungen), 80 findet man 

E^ =n *^^fy = 0,042024 , ^ = ± 0,205 , 

5449 ' ' -u > > 

während die durchschnittliche Abweichung (das Mittel aller 
Abweichungen ohne Rücksicht auf das Zeichen) 

«=l^:t- = 0.16416 ist 

5449 ' 



Tabelle L 



434^0 


6 


51 


1 


52 


7 


53 


10 


54 


4 


55 


81 


56 


10 


57 


15 


58 


32 


59 


5 


60 


60 


61 


8 


62 


38 


68 


28 


64 


15 


65 


59 


66 


17 


67 


40 


68 


41 


69 


4 


70 


70 




— 'S 



I 



ll 



14 

98 
111 

68 
202 
120 
188 
120 

10 
268 
9 I 

53 

51 ; 

49 

173 il 
58 ll 
81 'I 

127 ;, 

7 „ 

142 i 

ll 

i! 



h 'S 

^ s 
^^%_ 

435,11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 






9 
65 
72 
54 

132 
67 
60 
86 
10 

137 
27 
53 
57 
47 
70 
46 
52 
41 
9 
54 



« 2 



435,31 
32 
83 
34 
35 
36 
37 
38 
39 
40 
41 
42 
43 
44 
45 
46 
47 
48 
49 
50 



'o "3 
oJrh 



10 

35 

33 

19 

36 

18 

18 

41 

12 

49 

11 

23 

12 

10 

10 

6 

2 

2 







Nach eiuem Satze von Cornu^ ist der Quotient 2 E^ / e* 
gleich der Zahl n, wenn die Abweichungen einer Reihe von 



* Cornu, Anoales de rObservatoire de Paris VI. 1876. Vitesse 
da la lumiire, p. 220. (Vgl. Violle, Lehrbach der Physik. Deutsche 
AMf^Oic 1. p. 25.) 

10* 



148 A. Lampa. 

Zahlon von ihrem arithmetischen Mittel dem Gesetz der zo- 
fUlligcm Kehler Genüge leisten. Man findet nun hier 

2J&« 457,9852.5449 0117^0 
i* = -894;51«- =M1762, 

woI(*.ho Zahl sich von tt = 3,14159 um 0,02397 unterscheidel 
Di« Vortoilung der Schwingungszahlen entspricht also den 
(iloHot/. der zufälligen Fehler. 

Die Tabelle I zeigt nun eine ziemlich sprunghafte As- 
ordnuug der Anzahlen der Gabeln. Diese rührt jedoch daTOD 
hör, daß jede Gabel, wenn es angeht, nur einmal beobachtet 
wird, nachdem es sich ja bei der Verifikation bloß um die 
FoHtstellung handelt, ob die Gabel innerhalb der zulfissigea 
Kohlorgrenzo liegt Die Abrundung auf Hundertstel bringt 
dann oino weitere Bevorzugung einzelner SchwingungszaUci 
mit Mich ,* die in der Tabelle zum Ausdruck kommt Eb 
W(^R(Mitlich anderes Bild erhält man aber, wenn man die Into^ 
vallo großer wählt, etwa 0,1 Schwingung. Bezeichnet man die 
AbwtMohungon nach der Richtung der kleineren Schwingongs- 
Kahlon hIm nogativ, jene nach der Richtung der größeren ab 
poHÜiv. und bildet die InterraUe 0—10, 11—20, 21-30, 
!U 40, 4 t — 50 Hundertstel Ton dem Mittel der Schwingungs- 
«ah Ion 4H4,08 aus« auf welches 120 Grabein entCEdlen, so erhiH 
nmn fol^M\do8 Ittld der Verteilung: 

Tabelle H. 



tiih(Hr\^\t 



Zahl d«r Gabeln Im + und — 



\> 10 $:« ICSS 1902 

n ^^ f»4 914 1606 

^:i ^^ MO 4$S lOSS 

.^1 40 iTIt ^^ 575 

41 .V^ IST $4 

V »« äl» 

IV r^Kl vKt A^mv'k^i^pKi BMk der ncgatiiea Seite ist 
ie:t>V^*^\ aU ^)u^ vva<^ <l«r f^^tiT^»« ««s neUeidit auf einea 
r^tf^V. ^s^) ^W Uor^t^hftn^ «TfcAraftkw ist, der sich bei 
^W S^9r:ft^^tvt^'^ J^A^w x\vn G^iWcm Mttk Bicht gleichmiKlj 
^fiif^liM^i Y^^v.v'i^v \*^>sM«i oer K iJüi iig u iMs gi5Bere SiUi 



AuM der Statistik der PrifungssteUe für Normcdstimmgabeln. 149 



Satzes möglichst gleich macht, würde eine gleichmäßige Ver- 
teilong der Ahweichungen erst bei einer viel größeren Zahl 
Ton Gabeln zu erwarten sein, wo die Zahl der vor der Ab- 
stimmung höheren und vor der Abstimmung tieferen Gabeln 
ungefähr gleich sein würde. Immerhin zeigen die beiden Ab- 
weichungsreihen gleichen Gang. Für die Aufstellung des Ver- 
teilungsgesetzes wird man sich aber zweckmäßig nur auf die 
Absolutwerte der Abweichungen, also auf die letzte Kolumne 
der Tabelle 11 beschränken. Diese Zahlenreihe läßt sich nun 
amiihemd durch die Gleichung 

darstellen 9 wenn man die Anzahl der Abweichungen y dem 
Miüel der Interralle in Hundertsteln, also :r = 5, 15, 25, 35, 45 
zuordnet. 

Man erhält so die folgende 





Tabelle HI. 




IntfiTVftll 


Zahl der Gabeln 




beobachtet 


berechnet 


0-10 


1902 


1908 


11—20 


1608 


1557 


21—30 


1023 


1042 


31—40 


575 


573 


41-50 


221 


257 


0—50 


5329 


5387 



Durch die Verteilung der Schwingungszahlen der Gabeln 
wird also das Gesetz der zufälligen Fehler bestätigt. 

(Eingegangen 29. Juli 1903.) 



ISO 



22. Du röle des corpuscnles dans la formation dn 
faiscean anodique des tubes h gaz raröfi^. 

P«r H. PelUt k Paris. 



La difförouce tr^s grande dans Taspect du faisceau ca 
tliodique et du faisceau anodique des tubes de Geissle 
pourrait faire croire que, si le premier est du au mouTcmen 
1I08 oorpuscules, ou ions n6gatifs, le second proyient du mou 
Yoiuont dos ions positifs. Tel n'est pourtant pas Faiis d 
«K «K Thomson, qui a 6i^ amen6 k penser que le faisce« 
auiulique lui-mome est du au choc des corpuscules sur le gai 
la lumiuosoenoo r^sulterait de ces chocs et de la dissociatioi 
ou iiuis qui on serait la cons^iuence.^) Les exp^riences qu: 
tont l'objot do 00 Memoire me paraissent foumir une preoT( 
doi'ii^ivo do la justes^^e do la maniere de roir de J. J. Thomson 

Si l\m plact» un tube de Geissler, de forme cylindriqae, 
)HT)HMulioulair^uiout aux lignes de forces dHin champ mago^ 
tiquo a^soü pou iutou<^^ pour quo les ph^nomenes de magn^to* 
fr\cti\n\ no so tas^out pa$ encore sentir ^ fl se prodnit k 
phouom^uo hiou i\>uau de la deTiation du £u8ceau anodiqii6. 
U tu a ^lublo quo la tV^nuo que pr^ud le faisceau d^yi^ p^ 
utoUi^U do dooidor facilomont si la huninescence du gaz sau 
ts^ U^to\'U>iro v(UO U tk^>no assigne a la marche des corpus- 
V uW ou j^ vvUo \W iv>us ^y^üfe^ oa eiKore participe de Föne 
Ol do Vauinx 

\'o )toms>;ro «or* div*.^ oa doox paities: dans la pr» 
^.v,xO\\\ >* vh^*roh<rai U ^v^Ä'e :2L^Mr>^«e de la tngectnire d« 
un>s tsymu*^^ ou dvN^ ixni^ c^^Mc^i^u:^ scmaab a la fois a un cham] 
osvv,tv;*^o c; .^ UÄ vbivCttv »4^pijO^^»e: dans la deuxieme, J 
s\'m.\\\\yi:%\ V tv«*utu5 Ä? ^jfc Ä'O^.^rJ* aT«c ce que donne Fexp^ 



: ,' v^o^x.^i i^ \ \fc^ 


>' ^me. ML pw ISS. 1900 


'f' M t\^ **•• ,\n«'^. iv ;\*-k 


4- jifrä. :!. fk ttl. Ifoa. 



Formutioii ihi fnh 
1. 



trajectuiro 



IJe commencem par chercher la lorme df 
ifuD point ^lectris^ placä aeul dans un eB))ace 
fnis nn champ ölectrique et un cliamp magnöticiue, ces ohamii^ 
elHQl uniformes et leurs lignes de forees rectangulairea, le 
[mint pön^trant bruaiju erneut dans le chamji avec une vitesse 
t ]>,irallel6 au fhamp 6lectrique. Ce calcul a döjjt 6t6 indiiju^ 
|)iir J. J, Thomaon'); mais je croia nöcesaaire de l'exposer 
ici, tel ijue je l'avais fait avant de connaitre le travail du 
pbj'sicieu anglais, pour l'intelUgeQce de ee qui va suivre. 

En assimilant un courant ä uue tile de particules de 
Deme charge ölectrique e se suivant avec une vitease commune v, 
les lois de rEleutromagnötisme conduisent aisöment b. voir 
igu'une de ces particulea, en se däplagant peipendiculairement 
aax lignes de tbrces d'un champ magnötique d'intenflitö //, est 
iijumise k une force normale au plan d6termin6 par la directiou 
ilt: 3UD d^placement et par celle du champ, dirigäe ä la gauche 
d'im observateur regardant dans le sens du champ et tel ijue 
le d^placement aille de sea pieds :i sa tete, ai la Charge est 
IMieitiTe, vers la droite de cet obaei^vateur, si la charge est 
ui'gative, l'inteQsttö de cette force ötant doDuöe par f=evll. 
Soient X et OY deux axea de coordonnöes rectangu- 
lairea, le Premier dans la direction et le sena du champ 
tlectrique, le secund perpendiculaire ü la fois aux Hgnea de 
fortes des deux champs ölectrique et magnßtique. Döaignons 
t'ar r et par // les courdonnöes au temps t d'un point ölectrisß 
de maase M et de charge ölectrifjue e animö d'une vitesse 
dans le plan XOY. D'aprfes ce qui vient d'etre expoa^, ce 
puint est B'jumis de la part du champ magu^tique, suppos^ dans 
le sens d'avant en arriere, ii uue force dont lea composantes 
«uiTant X et OY sont respectiyement 



dt 



dt ' 



\, J joigoant la force c tp due au champ 61ectrique d'iutcn- 
i «jp, dirig^ parallMement k OX, on obtieut pour les 
itions da mouvement les deux relations: 



152 U. Peüat 

(1) M^^=e^-eH^, M-^^=eH-^j 
ou, en posant pour abr^ger röcriture: 

(2) « = i ' 

/f>\ ^^ u ^y ^y jj ^^ 

e et a 6tant positifs si le point est ^lectrisä positivement, 
n^gatifs dans le cas contraire. ^ De ces deuz relations on 
d^duit : 

Cette ^quation a pour integrale g^n^rale: 

(5) x = Asin{aHt+ cc) + B, 

oü A, B ei a sont trois constantes d'int^gratioii. On tire de 
(5) et de la premiere des relations (3): 

qui donne par Integration: 

(7) 1/ = -^t-- Äcos{aEt + a) + C 

oü C est une nouvelle constante d'int^gration. Les relations 
(5) et (7) sont en termes finis les ^quations du mouvement du 
point ölectrisö. 

Si nous posons: 

(8) ^ +fo = aHt+a 

et si nous döplagons parallelement a eux-memes les axes de 
coordonnöes OX et OZ de fagon ä donner des valeurs con- 
venables aux termes constants dans les deux relations, celles-ci 
deviennent: 

(0) r = // (l — cos co) 1/ = ^ 0} — Asmo). 

On reconnalt la les ^quations d'une cyclolde döform^e 
engendr^e par un point du plan d'un cercle de rayonqp/aÄ* 
roulant sur une parallMe a OJl En nous donnant la yitesse 
V du point ^lectris^y r parallele an diamp 



r 



PHP 



F'irwotinii 'In f'ni 



■'lectrique, nous pouvous exprimer 4. Kn cffet, on tire alors 
'io (9) en teoant compte de (8); 

10) V=Aa/tsia6>,, 0= ^-Aa}Ico8to„ 
.Vuii: 

Pour l'ätude que j'ai eu vue, le point ölectrisö 6tant un 
1 positif ou n^gatif se däpla^ant dans uu tube oii la presgion 
este supörieure k un dixii-me de millimfetre de mercure, la 
liitesse V est, d'apres lea travaux de M. Langevin'), de l'ordre 
Ide !0-^ (f: Meme avec des champs niagiiötiqties de 400 
limitös C. G. S,, qui sont los plus iritenses que j'ai employös, !e 
Iproduit VH eat ainsi de Türdre de 0,004 y, et son carr6 V^JP 
I toot-ii-fait n6gligeable devaut ^'. II en r6sulte que 

4 - ''' . = ^f- 



^ma I 



Ict que, danB le cas qui nous occupe, les ^quations de la tra^ 
Ijectoire ee räduisent ä: 

Vest^-dire que celle-ci est une cyclolde ordinaire. 

Si nous snpposons maintenant qu'no tube cylindrique, de 
forme allongäe, seit dispos6e de tai;oD que son milieu seul se 
trouTe dans un champ magnötique uniforme, que brusquement 
'' droit« et :i gauche de cette portion du tubo le champ 
raagnötique aoit nul, eufin qu'un champ ölectrique uniforme 
parallel i Taxe du tube regne partout k Tintörieur de celui-ci, 
tJOQs pouvona dessiner facilement la trajectoire que Buivra un 
iun suppoaö seul dans le tube. Suivant que nous Cüusidßrerona 
on positif ou UD ion n^gatif, la trajectoire sera extremement 
Törente, parce que la masse M de l'ion nögatif est au plus 
1/2000 partie de la masso d'uu ion positif, tout en aya.ot 
meme charge ölectrique en valeur absolue; ceci fait que Ic 
rafon du cercle gönörateur de la cyclolde {Mtfjeli^) aera dans 



1 M. Laagei 



de Chim. et de Phys. 



154 



Ä Pellat 



le cas des ions positifs au moins 2000 fois plus grand que dans 
celui des corpuscules. 



CMetmoi 



eorpusades 




Pig.1. 



eaihodifue 



Cötc artoffti 



Trtyedatrt Oidari^ui de* 
ion» poaitifS dü^ydrogmt 




^"2.7 xJO* 
Fig. 2. 






Trtgutmrt thdariqiue des 
inns posUi/k d'QMJirffhie 




H '373 

Fig. 3. 

Le chainp magn^tique n'eziste qu'entre AA ei BB^ oü il est uniforme. 
La ligne en pointin6 repr^sente la trajectoire d'un point ^lectris^ qui 
p^ni^trerait seul dans le champ magn^tique en rasant la paroi inf^rienre 
du tube. La partie couverte de hachures et limit^e par an trait plein 
repr^sente la marche de Tensemble des ions de meme nature, qui 
remplissent tout le tube avant d'entrer dans le champ magn^tiqne. 



Prenons, par exemple, les donnöes d'une de mes ex- 
})6riences sur un tube ii hydrogfene: champ ^lectrique q> = 
2,7 X 10"^ unit6s 6lectromagn6tiques C.G.S., champ magnötique 
// r= 394 unit^s C. G. S. Le quotient a = ej M pour un cor- 
puscule ötant, d' apres les exp6riences de J. J. ThomsoU; Ägal 



Formalitiii du faii 



iioth 






155 



1 fl,*S4 X In", OD obtient pour !e rayon du cercle g6n6rateiir 
If !ii cyclülde Mrf jeH^ = 0,0018 cm, c'est-a-dire 2 centii-mes 
!•: millim^tre enviroQ. La trajectoire se confond douc seu- 
-iltleiiient avec la droite sur laquelle roule le cerole, qui est 
ime jierpendiculaire ä l'axe du tube. 

Au contraire, supposons un ion positif d'hydnigene. Meme 
n'entratDe avec tui que sa propre masse, celle-ci ätant 
BOO fois Celle du corpuscule, le rayon du cercle gönörateur 
la cyclolde est 2000 fois le pröcödent, c'est-i-dire 3,61 cm. 
nme l'ion p6netre dans le champ magaStique avec une 
fitesse dans la direction de Taxe de tube, c'est uuo toute pctite 
partie de la boucle d'uiie cyclolde que l'iun döcrira dans la 
portiuD du tube soumis au cbamp magn^tique i c'est par uiic 
«nirbe allong^e qu'il gagnera la paroi du tube, sur laquelle il 
{lissera easuite dans le seus du cbamp 61ectrique. A fortiori 
sera-t-il aiusi, si uous cousidörons l'ion positif d'oxygfene, 
.1! fois plus massif que celui d'hydrogene, auquel correspond 
.an rayon 16 Ibis plus grand {58 cm) du cercle gönörateur de 
la cyclolde, ou ei uous admettous, avec M. Rutliert'ord et 
K. Langevio, que l'ion peut avoir sa masBe augment^e par 
Fentralnement d'un certaiu iiombre de molficules uon dissoci6es. 
Iab ögures 1, 2 et 3 repräsentent, par uu trait eo pointillä, 
'la trajectoire d'un ion, seul dans le tube, qui raserait la partie 
\ inKrieure de celui-ci avant de pönötrer dans le champ 
iuagii6tique. 

C'est sur cette difl^rence du tout au tout dans la forme 
rle la trajectoire qu'eat fondfie la m6thode que j'ai employöe pour 
ilöcider ai co sont les ions positifs ou nögatifs qui produiaent 
la luminescence du faisceau anodique. 

kMais dans un tube de Geissler, il n'y a pas qu'uu seul 
qui se döplace, et nous devons uous occuper de la modi- 
tion qu'apportera dans l'eusemble des trajectoires les actions 
mutuelles des ions. Ces actions produisent, en l'absence du 
cbamp magn^tique, un 6parpillenient: les ions tendentj'i. remplir 
tonte la aection du tube et la remplissent effectivemeut, si ce 
l*est tout pri"'S de l'anode. Ces actions mutuelles dana la partie 
imise au champ magu^tique aurout pnur elTet d'empücher 
le faisceau anodi(iue ne ae röduise i'i une ligne d^nuöe 
F<äpaisBeur le loug de la paroi du tube: au Heu d'atteindre 



156 IL Fellat 

tous le verre, les ions se troaveront canalisös k rint^rieur dm 
cylindre parallele au tube et le touchant. En tenant compte 
de TefFet tr^s Evident de l'action mutuelle des ions, on voit que 
la partie occup^e par Tensemble de ceux qui sont de meme 
natore dans le champ magn^tique uniforme, limit6 bmsquement 
a droite et ä gauche par les plans AA et BB (fig. 1, 2 et 3], 
pr6sentera les aspects indiqu^s par la partie ombr6e sor les 
trois figures, suivant qu'on a affaire soit k des corpuscules, 
soit a des ions positifs d'hydrogene ou d'oxygöne.^) 

n. 

.T'ai röalisö un champ magn^tique sensiblement uniforme 
sur un trongon ^jS de mes longs tubes de Geissler, avec 
champ sensiblement nul en dehors du trongon A £, en plagant 
le tube perpendiculairement a. Taxe d'une longue bobine de 
7 centimfetres de diametre coupöe en son milieu pour laisser 
passer le tube (de 1,7 cm de diametre). L'^paisseur des deox 
couches de fil qui la recouvraient ötait 4 mm. Le nombre 
de tours de file par centim^trc ötait 10,8 pour Tensemble des 
dcux couches; Tintensit^ du champ magn^tique ^tait calcul^e par 
la relation U = An , 10,8 . i, d'aprfes la mesure de l'intensit^ 
t du courant. 

De cette fagon, si l'on ne r^alisait pas rigoureusement une 
entr^e brusque d'une portion du tube dans un champ uniforme, 
on la r^alisait k peu prös: dans Tespace de moins d'un centi- 
metre le faisceau anodique passait d'un champ magn^tiqDC 
sensiblement nul a un champ sensiblement uniforme ayant des 
yaleurs pouvant atteindre 400 unit^s.^) 

L'effet d'une transition qui n'est pas brusque, entre la 
partie soumise au champ magnötique et celle qui y est 
soostraite, est ^videmment d'allonger un peu la trajectoire des 



1) Remarquons que, pour les pressions des tubes mis en exp^rience, 

k Ubre parcours moyen des corpuscules entre deux chocs successifis est 

tanron 4 mm. Comme chaquc boucle de cjcloide occnpe nne longuenr 

%SSi% X 2 TT = 0,11 mm, il y a en moyenne une quarantaine de boncles 

IfffitM entre deux chocs successifs des corpuscules dans une direction 

.gMBifiealairc k Taxe du tube. 

{\Poar de p<areils champs, il fallait employer des courants de 
yi«^^;mais, comme Texp^riencc ne durait que quelques secondes, 
K^vte''" ' -^ DM trop fort 



-4,1.. 
If« 

»ole 
ü 

au 


Formation du faiscfmi anniUque. 

»ant Taxe du tube. Nous devrous en tenir com 
araison des rf^BuItats do la thöorie avec l'ex 

Tub. i hvdT„,hu 

»■\-- ^- 

Fig. 5. 

en forme de demi-curcle provieut de b r^fleiiou de ) 
«ur les paroiB internes de la bobine. 

ätait difficile d'ävaluer exactemeat rintensiti^ m 
peiectrique, celuiqui existe aumomeütde Tillum 


157 

ite dans 
örience, 

natiiMi, 



158 //. PeUat 

d'autaiit ])Iu8 quo, dau» les r^gions a stratitications uettes, ce 
champ n'est probablemeiit pas uniforme. Mais, d'une pari, les 
stratiücatioDs ^taient peu nettes vers le milieu des tubes, 
d'autre part, une erreur meme du simple au double n'aarait 
que peu d'influence pour le but de mes exp^riences. Aussi 
me suis-je bomö a. mesurer, au moyen d'un micrometre ä 
^tincelles, la longueur de Tötincelle ^(xuiyalente dans Tair a la 
döcharge dans le tube. De cette distance explosive, je d^ 
duisais la diff^reuce de potentiel des ^lectrodes au moment de 
la d^charge; comme le tube avait une fonne cylindrique tr^ 
allong^e, on pouvait admettre, saus grande erreur, que la chnte 
de potentiel y ^tait lin^aire, et qu'on obtenait l'intensit^ du 
champ eu divisant la diff^rence de potentiel des ^lectrodes 
par leur distance (86 cm).^) 

C*est d' apres ces donn^es qu^ont ^t6 construites les courbes 
(tig. 1, 2 et 3) pour la trajectoire des ions n^gatifs ou positifs. 
En comparant a ces courbes thöoriques les photographies 
(flg. 4 et 5) du iaisceau anodique plac^ dans les conditions de 
champs indiquöes, aucun doute ne peut subsister: la forme du 
faisceau est exactemcnt celle que la th^orie assigne ä la marche 
des corpuscules (Hg. 1)^, et u'a aucun rapport avec celle que 
la thöorie indique pour la marche des ions positifs (fig. 2 et 3]. 
On remarquera, en particulier, ([ue la courbe d'entr^e dans le 
champ magn^^tique se trouve sur les photographies du cötö de 
la cathode et nou du cotö de Tanode, comme cela devrait 
avoir lieu si la lumiuesceuce suivait la trajectoire des ions 

positifs. 

L'axe de Tappareil photographique colncidait avec Taxe 

*) Pour le degr6 de rar^faction des tubes emploj^ la chute de 
njtt^ntiel & la cathode 6tait de 200 k 800 volts. Cette quantit^ est n^gli- 
£«Ab1e. au degrä de pr^cision d^ire, devant les 2300 volts, ou plus, 
r^if^fves ciitre les <'?lectrodes. 

*) La partie nebuleuse que la Photographie du tube k hydrog^ne 

^P^^icnte Ji Tentr^e du champ inagn^tique du cot^ d oü yiennent les cor- 

•««esW in® parait tcnir ii un commenccment de magnetofriction. Cette 

JiMitwatf o'existc pas sur lea photographies du meme tube faites pour 

^ 1HSX« maguetiiiucB plus faibles. On n'en voit pas trace non plus 

c w viuH^f^P^*^^ ^^ ^^^^^' '^ oxygene. Co gaz, comme je Tai montre, 

de la magnetofriction que pour des ehamps magn^tiques 

iutenses que rhydro|j:one. 




Formation du faisceau anodique» 159 

de la bobine produisant le champ; aussi les pai'ois de cellc-ci 
ODt-elles empech^ de se dessiner sur la plaque ce qui se passait 
en dehors de la bobine. Du cöt6 de la cathode, le tabe avait 
le meme aspeot jusqu'ä Tentr^e ä l'int^heur de la bobine que 
d celle-ci n'oxistait pas. Ceci montre bien qu'en dehors de 
la bobine le champ ^tait pratiquement nul. Mais le faisceau, 
resserr^ contre la paroi du tube k Fint^rieur de la bobine, k 
Veit^rieur du cot6 anodique s^^largissait; par une courbe 
limitant an de ses bords il gagnait la paroi oppos^e, et das 
bis remplissait toute la section du tube. Ce ph^nom^ne 6tait 
fädle k pr^voir, et il est indiquö sur les figures th^oriques 
1, 2 et 3. 

En r^sum^, l'illumination du gaz d^sign^e sous le nom 
de faisceau anodique suit la trajectoire des corpuscules et non 
la trajectoire des ions positifs. H est donc legitime de con- 
dore de la que ce sont les corpuscules qui par leur choc 
contre les mol^cules du gaz donnent lieu k la luminescence 
du faisceau anodique, comme k celle du faisceau cathodique. 
Uaspect dissemblable des deux faisceaux pourrait s'expliquer 
par une diffi^rence dans Tintensitö des chocs due k une 
diff6rence de yitesse. 

(EiDgegangen 31. Juli 1903.) 



160 



23. Über eine Böntgenröhre mit Yeitnderliehem 
Härtegrad und Aber einen neuen Härtemessei:. 

Von A. Wehnelt in Erlangen. 



Den Härtegrad einer Böntgenröhre beurteilt man im 
allgemeinen nach dem Entladungspotential derselben, aus- 
gedrückt durch die Schlagweite einer der Röhre parallel ge- 
schalteten Funkenstrecke. Mit zunehmender Härte, also mit 
zunehmendem Entladungspotential, wächst die Geschwindigkeit 
der Eathodenstrahlen und damit die Durchdringungskraft der 
Röntgenstrahlen. 

Die Herstellung verschiedener Härtegrade wird bei der 
Fabrikation der Röhren durch passende Wahl des Vakuums 
erreicht. Während des Betriebes zeigen jedoch die Röntgen- 
röhren durch Absorption des Gases eine starke Selbstevakuie- 
rung und werden dadurch härter. 

Um die Röhren wieder auf ihren ursprünglichen Härte- 
grad zu bringen, sind eine Reihe von Vorrichtungen ersonnen 
worden, die mehr oder minder ihren Zweck erfüllen. 

Sie beruhen teils auf Änderung des Druckes ^) im Rohr, 
teils auf einer elektrostatischen Beeinflussung *) des Eathoden- 
strahlenbündels von außen und teils auf an passender Stelle 
eingeschalteten Funkenstrecken. ^ 

In einer Arbeit über den dunklen Eathodenraum ^) habe 
ich die sehr eigenartige Erscheinung eingehend verfolgt, daß 
in einem zylindrischen Entladungsrohr mit scheibenförmiger 



1) B. Walter, Elektrotechn. Zeitschr. 18. p. 10. 1897; Ed. Guil- 
lamme, La Nature 26. 2. Sem. p. 161—162. 1898; Siemens & HaUke, 
Mechaniker 5. p. 37. 1897. 

2) Wm. W. Graves, The Americ. X-ray Joum. 4» p. 241. 1898; 
iL Berliner, Elektrotechn. Zeitschr. 18. p. 81—82. 1897. 

1^ Wm. W. Graves. 1. c; F. Dessauer, Med. Centralzeit 71. 
> «'.-«8, 1902. 

41.Webnelt, Wied. Ann. 65. p. All— 542. 1898. 



über Röntgenröhren und Härtemesser» 



161 



Kathode mit abnehmendem Drucke das an der Kathode auf- 
tretende Strahlenbündel immer mehr nach der Mitte zu- 
sammengedrängt wird. Der immer geringer werdende Quer- 
Bchnitt des Bündels bedingt ein ständiges Wachsen des Ka- 
thoden£Edle8. Bei völliger Zusammendrängung des Bündels 
werden die Entladungen disruptiv und die Kathodenstrahlen 
Bind sta^ entwickelt 

In einer späteren Arbeit ^) habe ich gezeigt, daß das Zu- 
sammendrängen des Kathodenstrahlenbündels durch starke 
Ptttfintialdifferenzen verursacht wird, die zwischen den Bohr- 
Windungen und der Mitte des Bohres vorhanden sind. Der 
Snn des Ge&lles ist der, daß die auf die Kathode zueilenden 




Fig. 1. 



positiven Teilchen (Kanahtrahlen) nach der Mitte zusammen- 
gedrILngt werden müssen. Da negative Teilchen überwiegend 
nur dort ausgesandt werden, wo positive Teilchen auf die Ka- 
thode auftreffen, so nimmt gleichzeitig mit dem Kanalstrahlen- 
bündel auch das Kathodenstrahlenbündel an Querschnitt ab. 

Da die Potentialdifferenz von der Bohrwand zur Mitte 
fast nur vom Drucke abhängt, so folgt daraus, daß bei engen 
Bohren viel früher eine Abschnürung des Kathodenbündels 
eintreten muß, als bei weiten Bohren. Demgemäß steigt auch 
mit abnehmendem Druck das Entladungspotential in engen 
Bohren weit schneller, als in weiten Bohren. 

Diese Ergebnisse veranlaßten mich zu untersuchen, ob 
durch Änderungen des Bohrdurchmessers um die Kathode bei 



1) A. Wehnelt, Ann. d. Phys. 10. p. 542—580. 1903 und Physik. 
Zeitschr. 2. p. 518—527. 1901. 

BoltnnaDD-Festochrift 1 1 



162 



A. Wehnelt 



konstantem Druck eine starke Variation des E^Üadangi 
potentiales, d. h. eine starke Qeschwindigkeitsändenmg de 
Eathodenstrahlen und damit zusammenhängend eine Variatio 
der Durchdringungskraft der Röntgenstrahlen zu erzielen se 

Zu diesem Zwecke benatzte ich ein kugelf&rmiges En 
landungsrohr (Fig. 1) von 12 cm Durchmesser. Dasselbe en 
hielt eine Anode Ä und eine Kathode K von 2 cm Durd 
messer^ deren Zuleitungsdraht durch ein Glasrohr isoliert wa 
Über dieses Rohr war leicht verschiebbar ein zweites etwi 
weiteres Bohr R angebracht mit einem erweiterten Ansät 
röhr B, dessen innerer Durchmesser 2,2 cm war. Dun 
Neigen des Entladungsrohres konnte man bewirken, daß dj 
Ansatzrohr B mehr oder weniger über die Kathode geschobc 
werden konnte. 

Es wurden bei verschiedenen Drucken mit Hilfe d< 
Sonde 8 die Kathodenpotentiale gemessen, wenn das Bohr 
mehr oder weniger über die Kathode geschoben war. A 
Stromquelle diente eine 20 plattige Influenzmaschine; die P 
tentiale wurden mit Braun sehen Elektrometern, die Drucl 
mit dem Mc Leod-Manometer gemessen. 

Folgende Tabelle enthält die Besultate: 







1 


Tabelle I. 






Druck 


Kathodenfall in Volt, wenn die Länge des über die 


in i 

mm Hg 

1 


Kathode geschobenen Ansatzrohres B war 


— 1 cm*) cm *) +1 cm 

. _ , . _ . _ _ . 


4- 2 cm 1 + 3 cm 


+ 4 cm 


+ 5 c 


0,09« i 


750 920 


1210 


1300 1290 1800 


1210 


o,or>4 


800 


1100 


1900 


2200 2800 


2400 


2300 


0.04 1 


1100 1300 


2700 


3500 4000 


4000 


4100 


0,025 


1300 1900 


3400 


4800 i 5600 


6000 


6200 


0,019 


1500 


2000 


4100 


6400 1 7500 


7700 


8000 



Zur Veranschaulichung der in der Tabelle enthalten 
Worte diene die Kurve Fig. 2. Als Abszissen sind die Länge 



1) Der negative Wert — 1 cm bedeutet, daß das Ende des Rohres 
^u'h noch 1 cm hinter der Kathode befand, dieselbe also vom und hint 
\nUlijr frei war. Der Wert Null soll bedeuten, daß das Ende des Rohres 
^iirndv In der Kathodenebene liegt, letztere also hinten gegen Entladung 
^ftHTüüfezt ist. 



Obw SeH^enrShran und Härtetnester. 



16 



nm irelebe das Bohr B ttber die Eathode hinausragt, als 
(Minaten der jeveils dazu gehörige Eatbodenfall anfgetragen. 
Die XitTven zeigen folgendes: 

1. Bei freier Eathode steigt mit abnehmendem Druck der 
Eitboden&ll nur sehr langsam an. Während sich z. B. der 
Dnick Ton 0,0S6 mm bis 0,019 mm ändert, also circa auf '/& 
snh, steigt der Eathoden&ll nur von 750 Volt auf 1500 Volt, 
ibo nm das Doppelte. 

2. Je tiefer sich die Kathode im Rohr B befindet, um so 
ittAer wächst der Eathodenfall mit abnehmendem Druck. 
Btfindet «ch z. B. die Ea- , 
tbode 5 cm tief im Rohr B, 
to steigt der EatbodenätU 
ton 1210 Volt bis 8000 Volt, 
ibo am das 6,6 fache, wäh- 
rend der Druck anf '/^ sinkt 

3. Betrachtet man den 
Terianf der Earren, so 
nebt man, daß der Ea- 
thodenfall bereits steigt, 
wenn das Rohr B sich der 
BOckseite der Eathode 
nihert Es hat dies seinen 
6nmd darin, daß die Rttck- 
Seite der Eathode nun nicht 
mehr an der Entladung teil- 
nehmen kann, letztere sich 
also auf der Vorderseite der Eathode, also auf einen kleineren 
QneiBchnitt zusammendrängen muß. 

Die Eurren steigen am steilsten an, wenn das Rohr B 
nur wenig über die Eathode hervorragt, und nähern sich 
asymptotisch einem Uazimum, welches sie erreicht hab^ wenn 
der ganze dunkle Eathodenraum sich im Rohr B befindet. 
Dietjenigen Stellungen des Rohres B, bei der dies gerade der 
Fall ist, sind in den Eurren durch kurze gestrichelte, vertikale 
Linien angedeutet. Ein noch weiteres VerrUcken des Rohres .5 
über die Eathode hat dann keinen Einfluß mehr. 

Dieses Resultat steht in vollem Einklang mit früheren 
Untersuchungen von mir Über die Gestalt der Niveauflächen 




Fig. 2. 



164 .4. ffehnelt. 

an ebenen Kathoden.') Ich fand, daß die Niveaufläcben keines- 
wegs zur Kathode parallele Ebenen, aondern eigentümlich aus- 
gebauchte Flächen bildeten, d. b. daß PotentialdiÖ'erenzen ia 
jedem Querechnitt eines Kobres zwischen Robrwandung und 
der Achse des Rohres bestehen. Die stärksten Poteutial- 
differenzen finden sich in unmittelbarer Nähe der Kathode, es 
muß also au diesen Stellen die Robrwaud das stärkste Zu- 
sammendrängen der Strahl enbüudel au der Kathode bewirken. 
Gegen Ende des dunklen Katbodeuraumes , also nahe dem 
Gtlimmlicht, sind die Niveaufläcben nahezu zur Kathode parallele 
Flächen, d. h. es sind hier nur noch geringe Poteutialdifferenxen 
zwiecfaeu Eohrwand uod Rohrachse vorhanden, daher iati 




der Einfluß der Glaswandungeu auf den Kathodenfall nur noch 
gering. 

Befindet sich schheßlich der ganze dunkle Kathodeuraum 
im Hohre B, so hat eine weitere Verschiebung desselben keinerlei 
Einüuß mehr auf deu Kathodenfall. 

Auf Grund dieser Versuche hat Hr. W. Berger, In- 
genieur der Firma Reiniger, Gebbert & Schall, Erlangen, 
f dem ich an dieser Stelle meinen besten Dank für seine Be- 
I ^Uhungeo ausspreche, einRöntgenrohr konsti'uiert, bei welchem 
Moh über die Kathode , genau wie bei dem Versuchrohr 
(Fig. 1, p. 161), ein Rohr ß durch Neigen des Rohres und 
sanftes Klopfen au den Kathodenbals vor- und rückwärts ver- 
Kiiieben läßt (Fig. 3). 



I) A. Wo 

8. p. i 



, Ann. d. Pliye. 10. p. 542—580. 1801 nnd Ph yaik. 
■2T. IBOl. "^~ 



über Röntgenröhren und Uärtemesser, 



165 



Diese BeguUerung ermöglicht es^ mit demselben Rohre 
lehr weiche und sehr harte Röntgenstrahlen zu erzeugen. 
Ist das Bohr B zurückgezogen^ d. h. die Kathode frei^ so zeigt 
die fiöntgenröhre blaues Licht und ist nun ganz besonders 
geeignet zur kontrastreichen Au&ahme dünner Objekte (Hände^ 
Anne). In dem MaBe^ wie das Rohr B über die Kathode 
herübergeschoben wird, werden die Strahlen durchdringender^ 
80 daB mit demselben Rohre auch Beckendurchleuchtungen 
Mfigeftlhrt werden können. 

Zur Veranschaulichung der Regulierfähigkeit der neuen 
Bohren habe ich einige Härtemessungen nach den oben an- 
gegebenen Prinzipien angestellt 

Als Stromquelle diente ein Induktorium für 30 cm Funken- 
lange^ als Unterbrecher ein Turbinenunterbrecher der Allge- 
meinen Elektrizitätsgesellschaft BerUn. Die Unterbrechungs- 
zaU betrug immer 50 pro. Sekunde. 

Bei der gleichen primären Stromstärke im Induktorium 
worden die Funkenlängen gemessen, wenn sich die Kathode 
frei im Bohre befand und wenn sie vom Bohre B bedeckt 
war. Die ersten vier Versuchsreihen nachstehender Tabelle 
beziehen sich auf dasselbe Bohr bei verschieden starken Primär- 
strömen. Die letzten drei Messungen beziehen sich auf drei 
weitere Bohren. Neben den Funkenlängen sind in der Tabelle 
die denselben entsprechenden Potentialdifferenzen ^) angegeben. 

Tabelle IL 



Primäre Strom- 
starke im 


Funkenlange in cm, 
wenn die Kathode 


Funkenpotentiale in Volt, 
wenn die Kathode 


Induktorium 


frei 




bedeckt 


frei 


bedeckt 


1. 1 Amp. 


2,6 




8,2 


19 000 


22 500 


2.2,2 „ 


7,2 


1 
1 


8,7 


88 000 


42 000 


8. 8,2 „ 


10,0 


1 


15 


45 400 


57 500 


4.4,7 „ 


11,8 


1 
1 


18,2 


49 000 


66 000 


5, 1,5 „ 


8,4 


; 


8,6 


24 000 


4150Ö 


6. 2,0 „ 


4,8 




11,5 


29 000 


48 000 


7. 8,0 „ 


3,0 


1 


24,0 


22 000 


9 

• 



1) Die den Funkenstrecken entsprechenden PotentialdifFerenzen 
habe ich den Tabellen des Hm. A. Overbeck, Wied. Ann. 64. p. 208. 
1898 entnommen. 



166 A. Jßehnelt 

Aus dieser Tabelle folgte daB die Funkenlängen und da- 
mit die Durcbdringungskraft der Röntgenstrahlen bei T0^ 
gescbobenem Bohr B wesentlich größer sind^ als bei freier 
Kathode und zwar ändert sich die Funkenlänge beim erstei 
Rohr je nach der Belastung um das 1,2- bis 1,6 fache, bei deo 
andern Röhren sogar um das 2,5- bis Sfache. 

Zur Beurteilung der Härte von Röntgenröhren benuW 
man neuerdings das Radiochromometer von L. Benoist^]Dfli 
Prinzip dieses Apparates ist folgendes: 

Nach Benoist ändert sich die Durchlässigkeit vonSIber' 
nur sehr wenig, diejenige von Aluminium hingegen sehr stazk 
mit der Härte der Röntgenstrahlen. Er vergleicht daher dk 
Helligkeit eines Leuchtschirmes hinter einem 0,11 mm dicket 
Silborblech mit derjenigen hinter verschieden dicken Aluminhm- 
blechen (12 Stück von 1 mm bis 12 mm Dicke von 1 zu 1 ni 
steigend). Weiche Röntgenstrahlen werden schon in düoM 
Aluminiumschichten ebenso stark wie in Silber absorlnei^ 
harte Strahlen erst in sehr viel dickeren Aluminium schichtMi 

Diejenige Dicke des Aluminiumbleches, hinter wddM 
der Leuchtschirm ebenso stark leuchtet, wie hinter der 0,11 Ott 
dicken Silberplatte, gibt ein MaB f&r die Benrteilung dff 
Härte einer Röntgenröhre. 

Der Apparat ist so augeordnet, daB die 12 verschMfli- 
dicken Aluminiumplatten als Ringsektoren um eine kreisftnnin 
0,11 mm dicke Silbeqilatte herumliegen. 

Hr. B. Walter *) hat den Apparat dadurch verbeeaM^. 
daß er die Dicken der Aluminiumbleche in arithmetischer Beiki 
zweiter Onlnung ansteigen läßt, dadurch werden die Eontrtfti 
auch zwischen den dickeren Schichten noch hinlänglich groB. 
Kr behält jedoch die kreisförmige Anordnung von Benoiit 
bei, welche ungünstig ist, da die simultanen Kontraste eine 
genaue Beurteilung der Stellen gleicher Helligkeit sdir o^ 
schweren. 

Diesen Tbelstand habe ich vermieden durch folgende Ab- 
ändening des Apparates. 

\) l.. Henoist. Compt rend. 1S4. p. 125—227. 1902. 

:i>^ H. W^Uor. Forti>chr. a. d. elektr. G^iet der Röntgenstrahles 



t^er BontgenrÖkren iirul Uärtemesaer. 



167 



Statt einer sprangweisen Änderung der Dicke des Alu- 
mimombleches benutze ich einen Aluminiumkeil von 20 cm 
Lftoge [K, Fig. 4, zeigt den Querschnitt^ K^ zeigt den Keil von 
derSeite gesehen)^ dessen Dicke nach einer arithmetischen Reihe 
iweiter Ordnung von 0,1cm bis 1,6 cm 
an seinem dicken Ende ansteigt. Neben 
diesem Keil liegt eine Silberplatte von 
0|01 cm Dicke und 1 cm Breite. Dieses 
System 2 aus zwei Metallen läßt sich 
an einem 0,5 cm breiten und 2 cm hohen 
%)alt S in einer dicken Messingplatte 
Torbeiziehen, die sich am Ende eines weiten 
Bdires R befindet, welches dazu dient, 
fremdes Licht von den Augen fem zu 
halten. Zwischen 2 und dem Spalt liegt 
ein Leuchtschirm B. Durch Verschieben 
von ^kann man leicht die Stelle finden, 
bei der die obere vom Aluminiumkeil be- 
deckte Spalthälfte die gleiche Helligkeit mit der unteren vom 
Silber bedeckten Spalthälfte zeigt. Die Einstellung läßt sich 
selir genau ausfahren, da nur auf gleiche Helligkeit zweier 
Flächen eingestellt wird, bei völliger Abwesenheit hellerer 
und dunklerer Stellen. Die mittlere Dicke des Keiles zwischen 
den Spaltrandern gibt ein Maß für die Härte von Röntgen- 
röhren. 

Der Apparat, der von der Firma Reiniger, Gebbert & 
Schall in Erlangen angefertigt wird, hat sich bisher durch- 
aus bewährt. 

Erlangen, Phys. List d. Univ., Juli 1903. 




Fig. 4. 



(Eingegangen 31. Juli 1908.) 



168 



24. Elektrische Strömung in einem ionisierten Luft- 
räume, der Yon zwei konzentrischen Zylinderflächen 

begrenzt ist 

Von Eduard Bieoke in Göttingen. 



r 



1. Der 8&ttigang8Btrom. 

Der Halbmesser des inneren Zylinders sei b, der des 
äußeren a; das elektrische Potential des inneren B, das des 
äußeren Null. Bezeichnet r den Abstand irgend eines Punktes 
im Inneren des zylindrischen Hohlraumes von der gemeinsamen 
Achse der Zylinder^ so ist der Wert des Potentiales in diesem 
Punkte: 

1 <^ 

F=j? — ^. 
logf 

Für den Fall des Sättigungsstromes ergeben sich^ wenn 
wir die auch sonst gebrauchten Bezeichnungen benutzen^ die 
folgenden Gleichungen: 

^/g^ ^ . _L_.l.dJil 

^ ev(U+ V)^ ü+ V 4716 ' 
ii.g = _ c ü ediv(S 



Bv{U -{■ F) U + V 4ne 

UV 



div(ediv®) = 47r6-^-^y 



+ 
Die lonendichten N und N, sowie die Feldstärke @ sind 

lediglich abhängig von der Entfernung r = j/ar* + y', von der 

Zylinderachse. Somit ergibt sich: 

div g = ^ + -.-, div gdive =.^-^ + l^^. 

rar ^ ' 2r dr ^ dr* 

Zur Bestimmung von ©^ erhält man daher: 

c/*C£-* , 3 dCJ« Q U + V 
dr* r dr v U V ^ ^ 



MIekirüehe Strömung in ionisiertem Imf träume, 169 

daraus folgt: 

Zur Berechnung der Integrationskonstanten c^ und c^ er- 
geben sich die folgenden Bedingungen. An der Oberfläche des 
inneren Zylinders wirkt nur die auf diesem selber befindliche 
Ijadung. Die Menge von Elektrizität, welche auf einem Zylinder- 
abschnitt von der Länge 1 verteilt ist, werde mit e bezeichnet 
Dann ist die elektrische Feldstärke an der Oberfläche des 
inneren Zylinders gegeben durch: 

Wir haben also: 

^ = ^o + ^+^«vrrr?*' 

Die zweite Grenzbedingung ist: 



Daraus folgt: 






.- y — yuv 



Sabstitaiert man diesen Wert in der vorhergehenden Glei- 
chnng, 80 ergibt sich: 

und: 

it^ (M *e' 4"6c»/, 6»\ , U+V ,/, b*\» 
(1) (8» = -^_-_^(l--J + „8_-j^--yr=»(l-^iJ , 

Sdivg=-i:^-,2„.i^,.(l-^), 

Endlich zur Bestimmung der lonisierungsstärke 7: 
(3) *Cj = i67(a*-n 

2. Nicht gans gesättigter Strom. 

Bei einem nicht ganz gesättigten Strome tritt an die Stelle 
der letzten Gleichung die folgende: 



170 E. Rkcke. 



a 

+ - 



(4) ^Cj, = i6|/i(a^- b^-^aejNNrdr, 

b 
wo a den Koeffizienten der Wiedervereinigung^ q^ den ' 

besserten Wert der lonisiemngsstärke bezeichnet 

+ 
Setzt man hier für N und N die aus dem vorhergehen 

folgenden Werte, so ergibt sich: 

a 

Benützt man für @^ den ersten Näherungswert 
80 erhält man die Gleichung: 

Die Berücksichtigung der höheren Glieder in dem I 

+ 
drucke für (£' ist überflüssig, solange man für N® und 

die in den Gleichungen (2) gegebenen Werte nimmt. 

Setzt man an Stelle von b c^ den Ausdruck J ß y (a* — 

80 wird: 

(4') ? = </,- -^tr? ("* - *^'- 

Um zu einer vollständigeren Entwickelung der Gleichui 

(4) und (4') zu gelangen, wollen wir zunächst in den Gn 

gleichungen des Problems in den Gliedern, welche den 

eftizionten a und die Koeffizienten der Diffusion enthalten 

+ - 

Stelle von N und N die durch die Gleichungen (2) bestimi 

Werte einführen. Wir erhalten dann das folgende System 

Gleichungen: 

divSj =4;r€(iVj - N^\ 
^ " '-Uv (Aj iSj) = f/j - €( SN +kA A . 



Ekktriaehe Strömung in ionisiertem Lufträume. 171 

Mit Böcksicht auf die schon im vorhergehenden ange- 
gebenen Grenzbedingungen ergeben sich die Integrale: 



(ä) 



b 

a _ 

N 



m- i?K'(S-') - Mj^''"'-7vrr 



r 
a 



\eq^{a' - i») = *Cj + atJNNrdr, 



a r 

+ - / + - 






6) 



b 

r 



h 



+ : + 



8n. * 1 r.d(N+N) 
^~VljT*j^ dr '"^• 



Setzen wir zur Abkürzung: 

a r 



P= \_ V frJfNdr-2 rNNdr + -^, jr^NNdr 

b b 

b 

a r 



b b 

a a 



*« = H a'-I' /-^-^^'^^ - J^iVrrfrj . 



172 E. Rieche. 

so können wir einfacher schreiben: 

+ 

Man kann nun eine noch weitere Annäherung erreichen, 

+ 
wenn man in den allgemeinen Gleichungen an Stelle Yon N 

und N in allen mit a, K oder K multiplizierten OUedem die 

+ 
Werte N^ und N^ einführt. Es möge dies bei der Gleichung 

a 
b 

weiter ausgeführt werden. 
Zunächst wird: 

«» iüNR^+VNR, o NNP\ 

näherungsweise: 

aN^N, ^uNN + a^ 7uv^ ' 

Da ^c,, = |67(a* — ä*), so ergibt sich: 



« + 



b h 

Berechnet man die Integrale mit Hilfe der Werte, die 
früher tür die unter den Integralzeichen enthaltenen Größen 
augej^ebeii wurden, so erhält man die Näherungsformel: 

7') L („ _ -^ » « ?*_«»•_-*')* + «s . 9*.(«l.-i*r_ 



Bekirüehe StrSmung in ionisiertem Lufträume, 173 

Benützt man sie zu der Berechnung von a, so ergibt sich : 

Bezeichnet man die Dichte des Sättigungsstromes an der 
Oberfläche des inneren Zylinders mit 6^, die Dichte des 
wirklich beobachteten Stromes mit c^, so kann man die ge- 
fundene Gleichung auch auf die Form bringen: 

(8-) „ = f:'"jr"' 1'-^. f 1 _ 0,2 «t ->) . 

(Eiogegangen 2. Augaat 1908.) 



174 



25. Theorie eineä bewegten lenchtenden Panktes. 

Von W. Wien in Würabui^. 



Nachdem Boltzmann^) den von Maxwell ans der elektro- 
magnetischen Lichttheorie gefolgerten Strahlungsdruck mit dem 
zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie in Ver- 
bindung gebracht hat^ ist dieser Druck zu einem wichtigen 
Fundament für die Theorie der Strahlung geworden. Aus ihm 
berechnet sich ohne weiteres die Arbeitsleistung, die zur Be- 
wegung eines strahlenden Flächenelementes notwendig ist Diese 
ist unendlich groß, wenn das Flächenstück mit Lichtgeschwindig- 
keit bewegt wird. 

Anders gestaltet sich die Frage, wenn es sich nicht um 
die Bewegung eines strahlenden Flächenstückes, sondern eines 
einzelnen Zentrums handelt, das elektromagnetische Strahlung 
aussendet. 

Der einfachste Fall eines solchen strahlenden Zentrums, 
das man sich entweder als einen beständig die Ladung wechseln- 
den elektrischen Doppelpunkt, oder als einen sehr kleinen, 
Schwingungen ausführenden elektrisierten Punkt vorstellen kann, 
ist von H. Hertz ^ theoretisch behandelt. Es fragt sich nun, 
wie die Strahlung eines solchen Zentrums durch die Bewegung 
geändert wird. 

Wir können zur Lösung dieser Aufgabe von den Lorentz- 
schen Gleichungen^ ausgehen, obwohl sich diese auch um- 
gehen lassen, worauf hier indessen nicht näher eingegangen 
werden soll. 

Die Lorentzschen Gleichungen lauten, wenn wir mit 6 
und § den elektrischen und magnetischen Vektor, mit c die 
Liclitgescliwindigkeit bezeichnen, für einen mit der Geschwindig- 
keit V in der Richtung x sich fortbewegenden Körper 

1) L. Boltzmann, Wied. Ann. 22. p. 291. 1884. 

2) II. Hertz, Wied. Ann. 36. p. 1. 1889. 

:J) II. A. Lorentz, Versuch einer Theorie der elektrischen und 
optis^ Heinungen in bewegten Körpern. Leiden 1895. 



l^eorie eines beioegten leuchtenden Punktes. 175 

^ a ^ da? 

Ist die Geschwindigkeit v konstant^ so ergibt die Trennung 
▼on (& und ^ in der bekannten Weise die Gleichung 

Eine Integration dieser Gleichung ergibt die Verallgemeinerung 
eines fttr mhende Körper geltenden Zustandes, für den v = 
ist 9 aaf den Fall, daß dieser Zustand bei gleichförmiger Be- 
wegung stattfindet. 

Eün allgemeines Integral der Gleichung (2) lautet: 



V 9 ^ . d . 2 



WO 

ist. F ist eine beliebige Funktion eines Argumentes. Bei 
= geht das Integral in die gewöhnliche Strahlungsfunktion 

F(c t - r) 

r 

über. Durch die Integration der Gleichung (2) ist die Lösung 
des Problems noch nicht beendet. Vielmehr müssen die sechs 
Differentialgleichungen (1) erfüllt werden. Bei symmetrischer 
Anordnung des Feldes um eine Achse hat es keine Schwierig- 
keit^ die Ausdrücke aufzustellen, die den Gleichungen (1) ge- 
nügen^ sobald ein Integral von (2) gefunden ist. 

Ist diese Symmetrie nicht vorhanden, so können Schwierig- 
keiten auftreten, weil sich dann nicht notwendig alle @ und jp 
aus einer einzigen Funktion ableiten lassen^ so daß die Ein- 
deutigkeit der Lösung dann einer besonderen Untersuchung 
bedarf. 

Theorie eines bewegten in der Richtung der Bewegung 

schwingenden Dipols. 

Für die Theorie der elektromagnetischen Strahlung ipt 
die Hertzsche Theorie eines schwingenden elektrischen Dipols 
maßgebend. Diese ist für die Bewegung zu verallgemeinem« 



176 r. Wien. 



Zunächst betrachten wir den Fall^ daß die Schwingung in der 
Richtung der Bewegung erfolgt. Wir setzen 



g = _ ^'» 

^v dxdy 

ffi = _ ^>- 
* dxdx 



^* c \dydt dydx) 



Dann ist di? (S = und div $ » identisch erftült und 
die Gleichungen (1) sind zum Teil identisch^ zum Teil dann 
erfüllt^ wenn die Funktion der Gleichung (2) Genüge leistet 

Als Lösung für (p nehmen wir die Funktion 



qt) = AcosÄ(Äc^-.|f-.r), 



X* 



r« = y« + 2:» + j^ . 
In der Nähe des Punktes r = ist 

w =2 — =- cos bkct. 

^ rk 

(p genügt der Gleichung 
und wir haben 

®--*%l;(S). %--M^Y «---57(11). 

SO daß wir ein elektrisches Eonvektionspotential von der Form 

-7— cos bkct -ii — 
A* dx 

haben. Dies entspricht einem elektrischen Dipol vom Moment Ä, 
der mit der Schwingungszahl n = bkc schwingt. 

Für d = geht die Lösung in die eines mit der Ge- 
schwindigkeit V bewegten^ konstant geladenen Dipols nach der 
Theorie von Heaviside^) über. 

Für die elektrischen und magnetischen Vektoren ergeben 
sich hiernach ziemlich verwickelte Ausdrücke. Sie sind jedoch 
von geringerem Interesse. Von Wichtigkeit ist hauptsächlich 



IX f\ 



Heaviside, Electr. papers 2. p. 495. 



Themie eines bewegten leuchtenden Fnnktes. 177 

der Betrag der elekiromagnetischen Strahlung in großer Ent- 
fernung vom strahlenden Punkt 

Unter der Voraussetzung^ daß r groß gegen Ifb \%i, braucht 
man nur nach den im Argument des cos enthaltenen Variabein 
zu differenzieren. Dann ergibt sich^ wenn wir 



setzen 



*(*'"-Jf-'") = « 



e =5 -rj— :j COS « + ri --J- cos C4 , 

Ä Ab* X ( , X \ 

a^ Ab* y ( , X \ 

^. = 0. 

Die ausgestrahlte Energie berechnen wir nach dem 
Poyntingschen Satz^ indem wir den Strömungsyektor über 
eine geschlossene^ sehr weit vom strahlenden Punkt entfernte 
Fläche integrieren. 

Wir wählen für diese Fläche ein EUipsoid mit der 
Gleichung 



a?» 



~+j/' + z^ = r^ 

mit der Vorschrift, daß r gegen alle anderen in Betracht 
kommenden Längen unendlich groß ist. 

Wir haben es dann mit einem Rotationsellipsoid zu tun, 
das in der Richtung der Bewegung um so mehr abgeplattet ist, 
je schneller die Bewegung erfolgt. 

Um die gesamte Ausstrahlung zu finden, müssen wir dann 
das Integral 



f' 



dco (@^ cos N^ + @y cos Ny + ©, cos N) 

über die Fläche des Ellipsoids erstrecken, wenn @ den 
Poyntingschen Vektor bezeichnet. 

Nennen wir ß die Größe ]/ y^ + z^, so ist das Flächeu- 
element des Ellipsoids 

Bottrauum-Fettsehrift. 12 



178 JT. Wien. 

d(o =s QdOds , 

wo der Umdrehungswinkel der Ellipse jt'/ä* + p^ _, ^2 mjj 
die X-Achse und ds das Linienelement dieser Ellipse ist. 
Nun ist 

^^^^«="?f y = psine, ] 

cos iVL = — -7^ z = p cos . 

Femer 

cos iV = cos iVl sin , 

cos 3^^ s= cos iV^^ cos , 

Setzen wir nun noch auf der Oberfläche des Ellipsoids, wo 
r = consi ist 

(> = r sin 19- do = r cos &dd' 

X = rk cos 1^ dx =^ ^ rk Qm&di^- , 

so ist 



2.1 ji 



r@ r/« =Jd0fd&{r^ cos i5^ sin iV-®, + Ar« sin^i?- sin 0©^ 



+ Är2sin»f?-coff0©J 
Ferner ist 



^ = - 



A^ 6* ö* cos* a f o; c* + »• , / ^ , »• 1 \1 
A} 6* ^* cos* ff y J _L ^ ^^ l 
A} 6* ß* cos* ax i XV 



^ = 
® = 



z 



ß* cos* a * J , ^ *' \ 



Nehmen wir das Integral über eine ganze Schwingung und 
dividieren durch die Schwingungsdauer, so ist 



27C 

bkc 



*=":;/'"/®'""--^h-i2$l 







die in der Zeiteinheit im Mittel ausgestrahlte Ejiergie. 

V{\v V = c wird S unendlich, wenn nicht b mindestens von 
der Ordnung k unendlich klein wird. 



Theorie eines bewegten leuchtenden Punktes. 179 

Theorie eines senkreoht sur BewegungBriohtung Bohwingenden 

Dipols. 

Die oben gefundene Lösung für eine longitudinale Scbwin- 
gung schließt sich unmittelbar der Heavisideschen Lösung 
für eine bewegte Ladung an. In der Tat erhalten wir die 
Heavisideschen Ausdrücke für einen in der Richtung der Be- 
wegung liegenden Dipole wenn wir die Schwingungszahl un- 
endlich klein wählen. 

Ejs ist nun sehr bemerkenswert und für den weiteren 
Ausbau der Theorie bewegter Ladungen von großer Wichtig- 
keit, daß für einen transversal schwingenden Dipol die Lösung^ 
welche sich den Heayisideschen Ausdrücken für einen mit 
konstanter Geschwindigkeit fortschreitenden Dipol anschließen 
würde, den allgemeinen Max well sehen Gleichungen nicht ge- 
nügt, sondern einer Ergänzung bedarf durch ein elektrisches 
Feld, das für unendlich langsame Schwingungen nicht ver- 
schwindet 



Setzen wir 



■ 0X0% 



e„ = 



a'<p 



y dydx' 

so hätten wir für ff = const/r, da dann die Gleichung 
erfüllt ist, 

i^. - - *'a4 (Ü ) . «.--If(l?). ^.--!M' 

was der Heavisideschen Lösung für einen Dipol entsprechen 
würde, dessen Achse parallel der r Achse liegt. 

Mit diesen Ausdrücken läßt sich aber das System unserer 
Gleichungen im Falle einer Schwingung nicht erfüllen. Viel- 
mehr müssen wir setzen 

(5 = — Ä« ^'^- _ «'^ ^*v ^ _ _ö*_<r 

* dxd X c^ d xd X d xd x ^ 

^y dydx' 

ff _ Aa^'y I ^> . v^d^fp _d*(f d^if 
^•"" dx* "^ dy* "^ o^dx^ "" dx* "*" öt/*' 

12* 



180 r. fFien. 

fS - -1/ ^-'^--„JIO 
*'*" e\dydt dydxj' 

WO 9 der Gleichung (2) zu genügen hat. Dann sind die 
Gleichungen (1) erf&llt 

Wir haben dann ein zweites elektrisches Feld mit den 
Komponenten 

ff _ ^ _? (^\ 
^»"^ c^dx[dx)' 

* e* ox \dx) ' 

das sich über das erste lagert Diese Kraftlinien sind sämtlich 
parallel der xz Ebene. Sie werden durch die Gleichungen 

~ =a const. 
ox 

dargestellt Es sind dies also keine Linien^ die an einer 
Ladung im endlichen enden, sondern Kurven, die in sich 
zurücklaufen. 

Auf diese Weise erhalten wir für einen Dipol, der senk- 
recht zu seiner Achse bewegt wird, zwei mögliche Lösungen: 
Einmal die durch die Heavisidesche Lösung bestimmte 

s.--*'Ä(§i)' *•-»■ 



®.= - 



dy 

dx 



(^S^\ fi — — ^ ^ (^V>\ 

[dx)* *'«■" c~dy[d*)' 



und anderseits aus unserer Lösung, wenn wir (p als unabhängig 
von der Zeit annehmen 

«. - - A (K-) - 

g = _ ö- fö.'?\ 

ff = _ -- (^-f\ -u ^* ?' * — ^' '' j. ^L? 

ö* [dxj ■*" e*dx* ~ d'x* "^ äy« ' 



Theorie eines- bewegten leuchtenden Punktes. 181 



e dydx' 

CS — £^ 

y» cd»«' 

Man sieht ohne weiteres durch E^insetzen in die 6Iei- 
ongen (1)^ daB auch diese Lösang möglich ist 

Diese zweite Lösung ist dadurch ausgezeichnet, daß bei 
r keine magnetischen Kraftlinien um die x-Achse vorhanden 
nd. unter welchen umständen sie den tatsächlichen Ver- 
iltnissen entspricht, mag vorläufig dahingestellt bleiben. 

Für den Fall der Schwingungen des Dipols ist diese 
ösung die einzige^ die den Gleichungen genügt. Wir haben 
ann die in sich zurücklaufenden elektrischen Kraftlinien an- 
anehmen, welche die magnetischen Kraftlinien um die x-Achse 
am Verschwinden bringen. 

In großer Entfernung ist in diesem Falle 



CS- — j b*eoBa (v^l , ^*a?* , 2a?g 1 , y*^\ 

^y - "* rA« \r*^ "^ c ■*" rit r "^ c«// ' 

Bilden wir hieraus @ . © . @, und dann 

JdS Cd&[r^ cos * sini^©^ + Ar« sin«^ sin©©^ 



+ Ä r* sin* i?" cos ©J , 
) findet sich 

A« ^ 115 "^ 15 A:» "^ .15 k* "*" 15 c» /.« "^ 15 r« // "*" 15 c* /»•*/ ' 



182 JK Wien, Theorie eines bewegten leuchtenden Punktes. 

Die Strahlung ist also bei transyersaler Bewegung größer 
als bei longitudinaler und wird bei der ersteren auch bei kon- 
stantem bjk unendlich« sobald ose wird. 

Dies Ergebnis steht im Gegensatz zu dem Yon Abraham 
gefundenen^ wonach die longitudinale die transversale über- 
treffen soll. ^ 

Übrigens würde der gewöhnliche Maxwellsche Strahluugs- 
druck bei Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit unendliche 
Arbeitsleistung bedingen. 

Lassen wir parallele Strahlung von der Intensität e senk- 
recht auf einen Spiegel fallen, der der Richtung der Strahlen 
entgegengesetzt bewegt wird. Dann ist die Energiedichte 



2e , ( dx ,\ 1 

^ = 7 + lVrf7'^V777' 



WO %i)dx die durch Überwindung des Strahlungsdruckes ge- 
leistete Arbeit bezeichnet, die in Strahlung gleicher Bichtnng 
verwandelt wird. 

Hieraus folgt, wenn dxjdt^v ist 

1/; = 



(-J)- 



Für r = c wird i/; unendlich, weil die durch Arbeits- 
leistung entstandene Strahlung sich nicht von dem bew^ten 
Spiegel fort ausbreiten kann. 

1) M. Abraham, Ann. d. Phys. 10. p. 156. 1903. 

(Eingegangen 2. August 1903.) 



26. Über die Passivität des Nickels. 

V.. Iie Bl&nc ia Karlsruhe und Maxlo G. Levi in Fadua. 

lUitteilung aus dem Institut für piiyeikalische 
! and Elektrochemie der Technischen Hochschule Karlsruhe.) 



Wahrend die Passivität des Eiseus der (Segenstand zahl- 
Ler Arbeiten gewesen ist, und die zugehörige Literatur 

reich ist'), hat man die Passivität des Nickels bisher 
g studiert. Wohl die erste Arbeit, die sich damit befaßt, 
tie vou NickUs^j: Über den iiassiven Zustand von Nickel 
Kobalt. Dieser Forscher fand, daß Nickel und Kobalt 
rauchender Salpetersäure eine Passivität von nur kurzer 
ir erlangten, außer wenn sie Ober einer Weingei8tlam]ie 

im Kohlefeuer bis zum Anlaufen erhitzt wurden; dann 
e die Passivität stabil. In büiden Fällen erwiesen sie 
etwas weniger negativ als Eisen. Auch in gewöhnlicher 
jtersäure wurden sie schon passiv uud vermochten auch 
i in dieser Säure durch Berührung passiv zu machen. 
Abgesehen von kurzen gelegentlichen Bemerkungen ist 

unserem Wissen nach bis zum Jahre 1900 nichts mehr 

die Passivität des Nickels bekannt gegeben wurden; in 
im .Tahre erschien die Untersuchung von Hittorf.^ Doch 

in ihr finden sich speziell über diesen Punkt nur kurze 
iutungen. Er maß die elektromotorische Kraft folgender 
lente: 

tl) Die neaest«n erst in den letzten ;twei Jahren erBchienenen Ar- 
ten Bind die von A, Finkelstein (Zeilacbr. f. phjsik. Chem, 39. p. Sl. 
1903). von C. Fredenhagen (Zeitschr. f. phyaik. Chem. 4S. p. 1. 1903) 
mi von U. Mngdan «Zeitachr. f. Elektrocham. D. p. 412. 1903). Daselbst 
finden sieb weitere Literatnrangaben 

-.;) Compt, rend. 37. p. 284. 1853. Vgl. auch 8t. Edme, Compt. rend. 
"" '. p. to:9. 

j W. Hitlorf, Zeitschr, f. physik. Chem. 34. p. 3BB. 1900. 




184 M. Le Blanc und M. 0. Lern. 

Einige Zeit nich 
Vor StromschluB Stromschlufi 

Ni-NaN0,-Lö8ung— H,CrO-Lö8ung-Pt 1,48 Volt 1,16 Volt 

Ni-KjCrsO,. „ „ „ „ 0,85 „ 0,27 „ 

Ni-NaCjHjO,. „ „ „ ., 1,44 „ < 0,27 „ 

Ni.Na,S04- „ „ „ „ 1,54 „ < 0,4 „ 

Vergrößert man die elektromotorische Kraft dieser Strom- 
kreise durch Zuschaltung einer genügend starken neuen elektro- 
motorischen Kraft, so löst sich Nickel nicht mehr auf^ sondern 
es entweicht Sauerstoff an ihm. Hittorf meint, daß Nickel 
nur in Lösungen von Sauerstoffsalzen passiv wird. 

Das soeben Angeführte ist so ziemlich alles, was über 
die Passivität des Nickels bekannt ist. Außerdem finden sich 
in elektrometallurgischen und galvanoplastischen Büchern ^) An- 
gaben, daß sich das Nickel nicht unter allen umständen quan- 
titativ nach dem Faraday sehen Gesetz auflöst; auch wird 
in dieser Hinsicht ein Unterschied zwischen gewalzten und 
gegossenen Nickelanoden gemacht Durch entsprechende Wahl 
der Anodenstromdichte kann man die Bildung einer bestimmten 
Säuremenge erzwingen, und man macht davon in der Praxis 
Gebrauch, um das an der Kathode entstehende schädliche 
Alkali zu neutralisieren. 

Schließlich sind noch einige bisher nicht veröffentlichte 
Beobachtungen zu erwähnen, die Hr. Schick im hiesigen 
Laboratorium machte. Er fand, daß Nickel bei gewisser 
Stromdichte in Lösungen von Schwefelsäure, Cyankalium und 
schwefelsaurem Natrium inaktiv war. 

Es schien uns nun eine lohnende Aufgabe, das Verhalten 
des Nickels gegenüber verschiedenen Lösungen bei wechseln- 
der Stromdichte, wechselnder Temperatur und Konzentration 
systematisch zu untersuchen, zumal wir hoffen durften, daß 
die bei dem Studium des sogenannten Luckow sehen Ver- 
fahrens im liic^sigen Laboratorium gesammelten Erfahrungen^ 
^eUeicht einiges Licht auf das allgemeine Phänomen der 
Ittsintät werfen könnten. 



V\W. PfannhauBcr, Elektroplattierung p. 367. 1900. 
t^M.liO Blanc und K. Bindschedler, A. Isenburg, 0. Just, 
lEtekt" — *"-^ 8. p. 255. 1902: ». p. 275 u. 547. 1908 




Passivität lies Nickel». 

Wir benutzteD zu miseren Vereucben stets Elektroden 
s gewalztom Sickelblech, das vun den vereinigten Nickel- 
iterken in Schwerte geliefert war; der Nickelgehalt betrug 
) Proz. Die Elektrolysen wurden io einem BecherglaB 
iDgestellt, das durch einen Kork geschlossen war. Durch 
■diesen gingen die Zuführungen zu den Elektroden, die ver- 
1 mittels Klemmschrauben an letzteren befestigt wurden. Die 
' in der Flüssigkeit befindliche einseitige Anodenoherfläcbe be- 
trog etwa 12 ijcm: die Anode befand sich zwischen zwei gleich 
entfernten (ca. 3 cm) Kathoden. Bei den meisten Versuchen 
waren Anoden- und Kathodenraum durch ein nenes oder mit 
destilliertem Wasser gründlich ausgeknohtes Diaphragma ge- 
irenot. Die Lösung im Kathodeuraum wurde, falls es sich 
um Neutralsalze bandelte, dorcb Zutropfenlasseo der zuge- 
hörigen Säure möglichst neutral gehalten, um ein HerUber- 
wandern der durch Elektrolyse gebildeten OH' zu verhüten; 
sie wurde stets mit Wasserstoff gerührt, so daß die Luft in 
dem ganzen Elektrolysiergefäße fast ausgeschlossen war. Ein 
Kupfen'o Itameter gestattete, die durchgegangene Elektrizitäts- 
menge zu messen; außerdem war noch ein passendes Amp^re- 
meter und ein Voltmeter (zur Messung der Klemraspannung) 
vorhanden. Gewöhnlich dauerte die Elektrolyse so lange, bis 
etwa 80 — 100 rag Kupfer ausgeschieden waren. Nach der 
Elektrolyse wurden die Nickelanoden sorgfilltig mit destilliertem 
Wasser und mit Alkohid abgespült, vorsichtig Üher einer 
Flamme getrocknet und wieder gewogen. Der Elektroden- 
veriust ist in Prozenten des gemäß dem Kupfervoltameter zu 
erwartenden gegeben. 

I. 
1. Ferttiche mit l,5proz, Lösungen, die einen einzigen 
Elektrolyten enthalten, bei Zimmertemperatur und bestimmter 
Stromdichte. 

/) 1 / ■^^P'l Elektro denverlnet KlemniBpannutie 




1 Proi. 



1) Du Sah und die i 
Wten eine Spar Chlorid. 



1 NeiitrHÜmeren beim 




186 



M. Le Blane und M. 6. Zevi. 



Elektrolyt \qdcmy 


ElektFodenverlnst 
in Pros. 


Rlemmspannang 
in Volt 


NaNO, 


0,5 


5 


3,15 


Ba(NO,), 


0,5 





4,6 


Cu(NO,), 


0,5 


1 


2,7 


NaiSO« 


0,5 


2 


3,6 


(NH,),SO, 


0,5 


2 


S,2 


MgSO^ 


0,5 


3 


8,8 


NiS04 


0,5 


. 2 


8,6 


Na,CO, 


0,5 





8,8 


KOH 


0,5 





2,15 


(NH4COO), 


0,5 


7 


2,8 


NaCHgCOO 


0,5 


45 


4,6 


» »» 


0,42 


68 


4,8 


»» n 


0,82 


42 


4,1 


HgCl, 


0,15 


101 


7,7 


KCN 2 n. lohne Dia- 
H^SO« 1 n.j phragma 


0,75 


100 


1,0 


1,0 


100 


0,5 


K.T 


0,5 


101 


8,2 


KBr 


0,5 


102 


2,9 



Überblicken wir die Beobax^htungen, so sehen wir, d&B 
Nickel unter den gewählten Bedingungen in halogen- und 
cyanhaltigen Lösungen sowie in Schwefelsäure quantitativ in 
Lösung geht, in allen anderen praktisch ungelöst bleibt. Eine 
Ausnahmestellung nimmt nur die Acetatlösung ein, in der 
sich etwa 50 Proz. der theoretischen Menge auflöst. Letztere 
Lösung bietet noch insofern Literesse, als die Resultate, die 
bei verschiedenen Versuchen erhalten wurden, stark schwankten, 
was bei den anderen Elektrolyten im allgemeinen nicht der 
Fall war. Bei näherem Zusehen entdeckten wir, daß bei 
diesen Elektrolyten die größere oder kleinere Aktivität völlig 
von der Vorbehandlung und von der physikalischen Beschaffen- 
heit der Oberfläche abhängig war. Nachstehende Tabelle zeigt 
dies deutlich: 

2. Versuche mit 1,5 proz. Natriumacetatlösung bei 0,5 Amp. 
pro qcm Stromdichte und bei Zimmertemperatur. 

Beschaffenheit der Anode. Elektrodenverlnst in Proz. 

Neu, ganz glatt, poliert 

Nach Gebrauch als Anode in einer NaCl-Losung, in der sie an- 
gegriffen war; mit Wasser und Alkohol gewaschen und 
getrocknet 64 



Pagsivität (hu Aicke/f. 187 

Beechaffenheit der Anode Elektrodenvorltiat in Pro«. 

Neu, im WaBBetatofiBtrom geglüht und darin erkaltet .... 2 

Die vorige Anode nach Augriff in ChloTnatriumloaung ... 67 
Weiterhin wurde die vorige Anode in einem Schrank auf einem 

Uhrgiaa 24 Stunden an der Luft liegen gelasHen ... 4 

Darauf nochmala in ChlomfttriumlÖsiing angegrifi'eii .... 86 
Darauf wieder 10 Tage im Schrank gelassen und im Waaser- 

Btoflf geglüht 

Sea, gant glatt, poliert 10 

Die vorige Anode nach etarkem Abreiben mit Sebroirgelpapier 30 
Die vorige Anode stark gehämmert und dann mit verdünnter 

Schwefelsäure, Waaacr und Alkohol gewaschen ... 56 

Das Nickel zeigt deutlich das Bestreben, falls es sich 
selbst überlassen wird, passiv zu werden. Ähnliches ist Ja 
bekanntlich auch beim Chrom beobachtet worden. 

In Tabelle 1 ist auch bemerkenswert, daß die Aktivität bez. 
luaktivität des Nickels (innerhalb der vorliegenden Versuche) nur 
von der Natur des Äniona und nicht von der des Kations ab- 
hängt; 30 erweist sich Nickel in allen Nitratlösungen als inaktiv. 
anch in Lösungen von Metallen, die viel edler als Nickel sind. 
wie z. B. Kupfer. Diese Erscheinung veraulaßte uns, einmal zu 
prüfen, ob neues Nickel, wenn es längere Zeit in eine l'uSO^- 
Lösung und eine AgNO;,-LöBung (beide 2proz,] gestellt wird, 
keine Umsetzung zeigt. Tatsächlich erwies es sich noch nach 
30 Stunden vollkommen intakt und ließ keine Gewichtsänderung 
erkennen. In 2proz. ( «Cl,-Lö8ung könnt« dagegen, wie zu er- 
warten, ein Verlust (von 12 mg) und Bildung einer grünlich 
aussehenden kristallinen Verbindung, die sich in der Flüssigkeit 
absetzte, festgestellt werden. Kupfeimetall war nicht zu sehen, 
es hatte sich also jedenfalls Kupferchlorür gebildet: doch haben 
wir den Niederschlag nicht weiter untersucht, 

Gin einziges Kation scheint die Aktivität des Nickels zu 
beeinäussen: das Wasserstoft'ion. Wenigstens löst sich Nickel 
in 1 n. HjSOj bei Stromdichte 1 (juantitativ auf, während es 
in anderen Sulfaten (auch bei höheren Konzentrationen) selbst 
bei nur 0,5 Stromdichte ungelöst bleibt. 

3. Einfiuß tlfr l'emperahir, 1 ,5 proz. Lösungen. 0,5 Amp. 

s Quadratdezimeter. Es wurde so gearbeitet, daß zuerst der 
Versuch bei Zimmertemperatur mit einer neuen Anode ge- 

Mjht und dieselbe Anode dann hei 80" benutzt wurde. 



188 



M. Le Blanc und M. G. Lern, 



ElektrodenTerlost Klemmspanniuig 

in Volt 

8,8 

M 
3,6 

2,4 

8,2 

2,2 

8,8 

2,6 

3,6 

2,2 

3,15 

2,8 

4,5 

3,1 

2,7 

1,T 

2,1 

2,1 

4,2 

2,5 

2,8 

2,6 

4,2 

2,6 

Erhöhung der Temperatur begünstigt im allgemeinen den 
IJbergang in den aktiven Zustand, was ebenfalls mit den an 
anderen Metallen gemachten Beobachtungen übereinstimmt. 
Nur in KOH ist Nickel auch bei 80^ völlig passiv, in Ammonium- 
oxalat und Natriumacetat behält es die teilweise Passivität, 
die es bei gewöhnlicher Temperatur zeigt, auch bei 80® bei. 
Zu bemerken ist noch, daß bei 80®, zumal in SulfaÜösongen, 
in geringer Menge die Bildung eines schwarzen Niederschlages, 
der meistens ganz gut an der Anode haftete, beobachtet wurde. 
Da er bei gelindem Erwärmen mit HCl Chlor entwickelte, 
darf er als ein Nickelperoxyd angesprochen werden. In KOH 
und (NH^COO), trat der Niederschlag nicht auf.^) 

1) Ein Versuch, der mit elektrolytisch hergestelltem Nickel bei 
0,5 Amp. pro qdcm iu l,5proz. Na,,S04-Lösung gemacht wurde, ergab bei 
Zimmertemperatur 10 Proz., bei 80® 100 Proz. Anoden verlast, also nicht 
wesentlicli verschiedene Resultate wie das andere Nickel. Die Anode 
erhielt ein k " wehen. 



Elektrolyt 


Temperatur 


in Pros. 


Na,S04 


Zimmertemp. 


8 


» 


80« 


100 


»> 


Zimmertemp. 


2 


)9 


80» 


98 


(NH«XSO« 


Zimmertemp. 


2 


» 


80 • 


98 


MgSO^ 


Zimmertemp. 


3 


w 


80» 


100 


NiSO* 


Zimmertemp. 


2 


» 


80» 


90 


NaNOg 


Zimmertemp. 


5 


>» 


80» 


88 


Ba(NO,). 


Zimmertemp. 





>l 


80» 


75 


Cu(NO,), 


Zimmertemp. 


1 


M 


80» 


90 


KOH 


Zimmertemp. 





1» 


80» 





NaCH,COO 


Zimmertemp. 


31 


n 


80» 


33 


(NH^COO)^ 


Zimmertemp. 


7 


11 


80» 


9 


NaClO, 


Zimmertemp. 


8 


«1 


80» 


100 



Pasnvität des Nickels. 



189 



4. Einftuß der Stromdichte, Die Versuche in H^SO^ und 
KCN wurden ohne Diaphragma ausgeführt. Die Elektroden- 
entfemung betrug ca. 1,5 cm. 



Elektrolyt 

2 n. KCN 

>» 
1 n. H,S04 



Z> 



»t 
t> 
I) 



1,5 Proz. Na,S04 (bei 8O<0 0,5 



n 



/ AmpA 
Vqdcm/ 


Proz. Ni 
gelöst 


0,75 


100 


4,7 


64 


1,0 


100 


1,88 


100 


2,8 


99 


3,3 


88 


3,7 


69 


5,4 


12 


T,4 


4,5 


8,7 


3,5 


0,5 


100 


8,5 


90 


5,0 


58 



KIcinmspannung 

1,1 
2,6 

0,5 

0,9 

1,0 
1,0—2,5 
1,0—2,6 
1,2-2,7 

2,6 

2,7 

2,4 
6,1 

T,4 



In den Versuchen mit D^ = 3,3—5,4 in 1 n H^SO^ voll- 
zog sich der Anstieg der Spannung nicht allmählich, sondern 
nach einigen Minuten Versuchsdauer plötzlich; beim Spannungs- 
anstieg trat heftige Sauerstoffentwickelung ein, die vorher nicht 
zu beobachten war. Dies deutete darauf hin, daß in den 
ersten Minuten das Metall noch quantitativ in Lösung ging 
und dann auf einmal inaktiv wurde. Ein besonderer Versuch 
bestätigte diese Annahme. Die Verhältnisse liegen also hier 
anders, wie z. B. bei manchen Versuchen in Natriumacetat- 
Lösung, wo wir während der ganzen Versuchsdauer mäßige 
Saaerstoffentwickelung und ziemlich konstante Spannung 
wahrnahmen und ca. 50 Proz. der theoretischen Menge sich 
auflöste; bei letzteren Versuchen trat Metalllösung und 
Sauerstoffentwickelung nicht nacheinander, sondern neben- 
einander auf. 

5. Einfluß der Konzentration, Bei 0,5 Amp. pro Quadrat- 
dezimeter Stromdichte wurden in 1,5 proz., 7 proz., 0,14 proz. 
Na^SO^-Lösung bei Zimmertemperatur und bei 80^^ Versuche 
aosgef&hrt, die keinen Eonzentrationseinfluß erkennen ließen, 



190 M. Le Blanc und M, G, Levi. 

II. Versnohe mit gemiBohten Elektrolyten. 
Der Grundgedanke, der uns bei diesen Versuchen leitete, 
war folgender. In dem schon anfangs erwähnten Luckow- 
sehen Verfahren zur Darstellung schwer löslicher Verbindungen 
auf elektrolytischem Wege verwendet man als Elektrolyten 
eine Lösung, die außer dem Salz mit dem gewünschten Säure- 
rest noch ein anderes indifferentes Salz enthält, dessen Anion 
mit dem Anodenmetall eine leicht lösliche Verbindung bildet 
Will man z. B. Bleichromat herstellen, so elektrolysiert man 
eine Lösung von Natriumchromat und Natriumchlorat (oder 
-nitrat, -acetat etc.) zwischen Bleielektroden; es geht jetzt das 
Blei quantitativ in Lösimg und es bildet sich in gewisser Elnt- 
femung von der Anode quantitativ ein schöner Niederschlag 
von Chromgelb, der von der Anode abzurollen scheint, während 
diese selbst ganz blank bleibt. In reiner Natriumchromat- 
lösung geht keine Spur Blei in Lösung, es bildet sich auch 
kein Niederschlag in der Flüssigkeit, nur die Elektrode selbst 
überzieht sich mit einer fest haftenden Schicht unter gleich- 
zeitiger Sauerstoffentwickelung. In reinem Natriumchlorat findet 
quantitative Lösung des Bleies ohne Niederschlagsbildung statt 
Das passive Verhalten des Bleies bez. anderer Metalle 
wird also bei derartigen Elektrolysen dadurch bewirkt, daß 
sich die Metallanode mit einer schwer löslichen, festhaftenden 
Schicht bedeckt. Man kann die Passivität stets durch Zusatz 
einer genügenden Menge eines passenden indifferenten Salzes 
beseitigen, weil dadurch das Haften des Niederschlages an 
der Anode verhütet wird; die entsprechende schwer lösliche 
Metallverbindung entsteht dann quantitativ. 

Wir haben nun versucht, ähnliche Erscheinungen beim 
Nickel hervorzurufen. Ist das Nickel in einem bestimmten 
Elektrolyten passiv, und ist diese Passivität durch die Bildung 
eines Niederschlages bedingt, so wird man nach den vorstehend 
geschilderten Versuchen erwarten dürfen, daß durch Zusatz 
eines Elektrolyten, in dem sich Nickel anodisch quantitativ zu 
einer löslichen Verbindung löst, auch hier quantitative Lösung 
bewirkt wird, aber auch gleichzeitig ein schwer löslicher Nickel' 
niederschlag von der Anode abrollt 

Nachstehend sind die Resultate einer Reihe von Versuchen 
:iut Mischungen verzeichnet Die Versuche sind ebenso wie 



Ptusivität il'-x Aichr/x. 



mi 



'Sie friiberen in verdünnter Lflaung angestellt, weil rlariD das 
Lockowsche Phänomen beeonders glatt eintritt; wegen weiterei' 
Einzelheiten vergleiche die angezogenen Arbeiten. Die Strom- 
dicht« war stets 0,5 Ämp. pro Quadratdezimeter. Temperatur. 
bUs nicht besonders erwübnt, Zimmertemperatur. 

1. l.äproz. Lösung, bestehend aus 80 Proz. NaC! und 
20 Proz. NaijCOj (dem Gewicht nach). Spannung 2,7 Volt. 
Dftg Metall ging quantitativ in Lösung; gleichzeitig entstand 
im Änodenraum ein (nicht näher untersuchter) Niederschlag von 
Nickelkarbonat, der glatt von der Anode abrollte. 

2. 1 ,5 proz. Lösung, bestehend aus 90 Proz. NaCl und 
IfiProz. KOH. Spannung 1,9 Volt, Das Metall ging quanti- 
tativ in Ldsung; von der Anode rollte ein Niederschlag von 
Nickelhydroxyd ab. 

3. 1,5 proz. Lösung, bestehend aus SO Proz. NaCl und 
20 Proz Na,SOj. 1,9 Volt Spannung. Das Metall ging quanti- 
UÜT in Lösung, ohne daß eine Spur Niederichlag enUtand; die 
Anode war völlig blank. Das gleiche Besultat erhielten wir 
bei folgenden Mischungen: 

4. 1,5 proz. Lösuug, bestehend aus 20 Proz. NaCl und 
Bö Proz. NaNO,. Spannung 2,fi Volt 

5. 1,6 proz. Lösung, bestehend aus 20 Proz. EBr und 
80 Proz. NaNOj. Spannung 2,7 Volt 

6. 1,5 proz, Lösung, beatehend aus 20 Proz. NaCl und 
80 Proz. NaClOg. Spannung 3,0 Volt. Bei einer Stromdichte 
ton 5 Amp. pro Quadratdezimeter ist noch keine Sauerstoff- 
i'Utwickelung wahniehmbar, das Nickel scheint also auch dann 
noch (quantitativ in Lösuug zu gehen, 

7. 1,5 proz. Lösung, bostebend aoa 95 Proz. Na^SO, und 
5 Proz. [NHjCOO), beiSO«, Hierbei gingen nicht 100, sondern 
nur 80 Proz. in Lösung unter gleichzeitiger geringer Öas- 
eotwickelung an der Anode ; minimale Spuren eines an der 
Anode festhaftendeu Niederschlagea bemerkbar; in der Lömnrj 
kein Niederschlag. 

Während die Versuche in Na^CO^ und KOH von dem 
eingenommenen Standpunkt aus die Möglichkeit offen lassen, 
daß in diesen Elektrolyten die Passivität durch eine schützende 
Änodenschicht hervorgerufen ist, muß diese Annahme 



192 M. Lc Blaue urul M. G. LevL 

für die anderen Lösungen wohl als aasgeschlossen betrachtet 
werden. Zu diesem Schluß sind ja auch andere Forsclier bei 
anderen Metallen auf anderem Wege gekommen.^) 

Die Frage, wie die Passivität der Metalle zu erklären ist, 
ist gerade in letzter Zeit öfters erörtert worden. Wir werden 
durch die vorliegenden Versuche noch mehr in der Auffassung 
bestärkt, daß wir es hier häufig nur mit reinen Phänomenen 
der Reaktionsgeschwindigkeit zu tun haben, was schon vor 
mehreren Jahren der eine von uns ausgesprochen hat') Wir 
kennen doch eine ganze Menge von Reaktionen, deren G^ 
schwindigkeit nicht nur durch Änderung der Temperatur, 
sondern durch Zusatz scheinbar indifferenter Stoffe weitgehend 
geändert wird; gerade die letzte Zeit hat uns ja viele der- 
artige katalytische Beeinflussungen kennen gelehrt. *) Wir wissen 
femer, daß außerordentlich viele Reaktionen mit mäßiger 
Schnelligkeit verlaufen, so daß man ihren Verlauf bequem ver- 
folgen kann. Wäre es da nicht geradezu wunderbar, wenn 
wir bei den Metallen ausnahmslos finden würden, daß ihre 
lonenbildungsgeschwindigkeit stets praktisch unendlich groß 
ist? Es scheint uns, daß man die Erscheinungen, die man 
mit dem Namen , Passivität' bezeichnet, in den untersuchten 
Fällen beim Nickel und in analogen (z. B. fehlende anodische 
Auflösung von Platin in Cyankaliumlösung, worin es nach 
F. Glasers*) Versuchen unter Wasserstoffentwickelung löslich 
ist) in völlig ungezwungener Weise auf zu geringe lonen- 
bildungsgeschwindigkeit zurückführen kann, ja, daß die Tat- 
sachen geradezu dazu drängen. Der bei der Elektrolyse an der 
Anode beobachtete Potentialanstieg und die Sauerstoffentwicke- 
lung — denn das Faradaysche Gesetz muß ja natürlich 
stets erfüllt sein — ist die notwendige Folge einer zu geringen 



1) Bemerkt sei, daß Rner (Zeitschr. f. physik. Chem. 44« p. 110. 
1903) neuerdings für die Annahme einer Oxydschicht plaidiert. 

2) M. Le Blanc, Zeitschr. f Elektrochem. 6. p. 478. 1900. Lehr^ 
buch 8. Aufl. p. 237. 1903. 

8) Wir erinnern speziell an die Katalysen in inhomogenen Systemen. 

V^ K. Drucker, Zeitschr. f. physik. Chem. :)0. p. 173. 1901 und 

li.W5hler, Berl. Ber. 36. p. 3498. 1903. Letzterer fand, daß sich das 

^vuwnrme, schwer lösliche Platinoxydul viel schneller in Salzsfture löst, 

""^n^ VISU Bpwren von Platinchloiür als Katalysator hinzufügt. 

^^V. QUser, Zeitschr. f. Elektrochem. 9. p. 11. 1903. 



Passivität des Niokels, 193 

lonenlieferung yon seilen des Metalles; letzteres muß ein 
edleres Verhalien zeigen als es eigentlich seiner Natur (d. h. 
bei Annahme stets genügender lonenlieferung] entspricht Wir 
sdien nirgends eine Beobachtung, die der gemachten An- 
nahme widerstreitet Das Vorhandensein von Gasschichten 
nd ähnlichem ist, wie bei jeder EHektrode, auch bei den 
passiven aufzunehmen, und diese Gasschichten werden sich bei 
Urnen wie bei den edlen Metallen unter Umständen elektro- 
■otorisch betätigen können. Bei den unedlen Metallen in ihrem 
gewShnlichen Zustand kommt die Beteiligung der Gasschichten 
nicht in Betracht Das Vorhandensein derartiger Gasschichten 
jedoch als Ursache der Passivität hinzustellen, dazu scheint 
uns jeder Anhaltspunkt zu fehlen. 

Die Zurückfährung der Passivität auf mangelnde louen- 
bildangsgeschwindigkeit scheint uns insofern einen Gewinn zu 
bieten, als dieses Phänomen seines eigenartigen Charakters 
dadurch entkleidet wird, und die Passivität jetzt nur noch 
emen ' besonderen, wenn auch merkwürdigen und interessanten 
Fall in dem Studium der Reaktionsgeschwindigkeiten vorstellt 

Wie vrir vorher gefunden hatten, wird die lonenbildungs- 
geschwindigkeit unter anderem durch Zusatz von Chlor- und 
Wasserstofiionen erhöht Es schien uns von Interesse, die 
Menge festzustellen, welche bei bestimmter Stromdichte nötig 
ist, um quantitative Lösung des Metalles zu bewirken. Wir 
&nden, daß eine l,5proz. Lösung, bestehend aus 95 Proz. 
Na|80^ und 5 Proz. NaCl bei 0,5 Amp. pro Quadratdezimeter 
Nickel noch quantitativ auflöst, während bei 98,6 Proz. NagSO^ 
und 1,4 Proz. NaCl nur wenig über 10 Proz. Nickel in 
Lösung geht 

Man könnte vielleicht der Meinung sein, daß bei länger 
dauerndem Versuch die Wirksamkeit der Chlorionen in dem 
Maße, als sich die Lösung an Nickel anreichert, nachläßt. Dies 
ist jedoch nicht der Fall: Wir elektrolysierten eine 1,5 proz. 
Lösung, bestehend aus 93 Proz. Na^SO^ und 7 Proz. NaCl, also 
eine Lösung, die in den 60 ccm, die das anodischc Diaphragmen- 
geftß faßte, die absolute Menge von nur 0,060g NaCl (= 0,0037 g 
Chlorionen bei Annahme völliger Dissociationen) enthielt, so 
lange, bis der Anodenverlust 0,373 g erreicht hatte, und noch 
immer löste sich das Nickel quantitativ auf. 

BoltEDUum-Festschrift. 13 



194 M. Le Blanc und M. 0. Levu 

Die Kathodenlösung hatte dieselbe Zusammensetzung wie 
die Anodenlösung und wurde durch Zutropfen von H,SO^ 
neutral gehalten. Besser wäre es gewesen, reine NagSO^-Lösong 
auf die Eathodenseite zu nehmen^ doch lehrt eine leichte Über- 
schlagsrechnung^ daß keinesfalls mehr als 0,022 g Chlorionen 
auf die Anodenseite herübergewandert sind, so daß zum Schluß 
insgesamt nur 0,059 g Chlorionen auf mindestens 0,31 g 
Nickelionen in Lösung vorhanden waren, wobei schon in Be- 
tracht gezogen ist, daß auch die Nickelionen sich an der 
Wanderung beteiligt haben. Es kamen also auf zwei Chlor- 
ionen mehr als sechs zweiwertige Nickelionen. 

Durch diesen Versuch wird die etwaige Annahme, daß 
die Auflösung des Nickels nur so lange erfolge, als die Bildung 
einer Doppelverbindung zwischen Chlomatrium und Nickelsalz 
stattfände, hinfällig. 

Zusatz von H^SG^ ist viel weniger wirksam als der von 
Chlorid. Eine Lösung, die 1,5 Proz. Na^SO^ imd 1 Proz. H,SO^ 
enthält, löst noch nicht ganz 10 Proz. Nickel bei 0,5 Strom- 
dichte; erst bei 2 Proz. HgSO^ gehen 100 Proz. in Lösung. Es 
stimmt dies mit der Beobachtung überein, daß in den Lösungen, 
in denen das Nickel sich bei der Elektrolyse inaktiv zeigte 
und infolgedessen der Säuregehalt im Anodenraum stetig stieg, 
das Nickel trotzdem während der nicht langen Versuchsdauer 
inaktiv blieb. 

Die Potentialmessung einer neuen Nickelanode in NiSO^ 
gegen eine Kadmiumelektrode ergab denselben Wert wie nach 
Zusatz von NaCL Bei so schwacher Stromentnahme scheint 
also die Bildungsgeschwindigkeit der Ionen auch in reiner 
Sulfatlösung groß genug zu sein. 

Schließlich mögen noch einige Versuche mitgeteilt sein, 
die einen etwaigen Einfluß von Nichtelektrolyten bei der Elektro- 
lyse feststellen sollten. Zusatz von Zucker (1 Proz. und 10 Proz. 
zu 1,5 proz. NaCl-Lösung bei Zimmertemperatur, 1 Proz. zu 
1,5 proz. NagSO^-Lösung bei Zimmertemperatur und bei 80^ 
ließ keinen Einfluß erkennen, ebensowenig Zusatz von Aceton 
(1 Proz. zu 1,5 proz. NaCl- und NagSG^-Lösung bei Zimmer- 
temperatur). Die Stromdichte war stets 0,5 Amp. pro Quadrat- 
dezimf 



Passivität des Nickels, 195 

Dagegen wurde in einer l^Sproz. Na^SO^-Lösung, die mit 
1 Proz. Hamstoflf versetzt war, bei Zimmertemperatur 26 Proz. 
Nickel in Losung erhalten (anstatt 2 Proz. in reiner NagSO^- 
Lösung). Möglicherweise kommt der beschleunigende Einfluß 
etwaigen Zersetzungsprodukten des Harnstoffes zu, die während 
der Elektrolyse sidi bilden. 

AnÜEuig August 1903. 

(Eingegangen 4. August 1903.) 



13 



«• 



/ 



196 



27. Die spezifische Wärme einiger Schwefelmetalle 
in ihrer Beziehnng zum elektrischen Leitvermögen. 

Von Frans Streinta in Graz. 

unter den die Elektrizität leitenden Metallyerbindungen 
sind einige dadurch ausgezeichnet, daß ihr Leitvermögen von 
der Temperatur in hohem Grade beeinflußt wird. ^) Ist, wie zu 
erwarten steht, dieser Einfluß durch Umwandlungen bedingt, 
denen die Verbindung unterworfen ist, dann muß bei den ent- 
sprechenden Umwandlungstemperaturen Wärme entwickelt oder 
gebunden werden, und mit der Änderung der Leitfähigkeit 
gleichzeitig eine Änderung der spezifischen Wärme yor sich 
gehen. 

Die Schwefelverbindungen von Blei, Quecksilber und 
Silber verhalten sich besonders auffallend zur Elektrizitäts- 
leitung; sie wurden daher eingehend auf ihre spezifische Wärme 
untersucht. 

Zur Anwendung kam die Mischungsmethode; dabei wurde 
auf die Verbesserung der Resultate wegen Wärmeaustausch 
und -verlast die entsprechende Sorgfalt verwendet. Trotzdem 
bleiben Bestimmungen von Wärmemengen immer noch mit 
ziemlicher Unsicherheit behaftet und stehen hinter den Me- 
thoden zur Ermittelung elektrischer Energiegrößen an Genauig- 
keit weit zurück. Das wird wohl damit zu begründen sein, 
daß die Wärme die niedrigste Form der Energie darstellt 
Stehen also spezifische Wärme und elektrisches Leitvermögen 
in einer Beziehung; so wird man sie nur in rohen Umrissen 
verfolgen können. Ob dieses bescheidene Ziel erreicht worden 
ist, möge aus folgenden Zeilen beurteilt werden. 

Die in pulverförmigem Zustande befindlichen Verbindungen 
wurden in zylindrische Messingbüchschen von 2 cm Höhe und 
Zod} Querschnitt gefüllt Der Deckel der Büchschen wurde 



l\F. Strei»^ ' • d. Physik 9. p. 854. 1902. 



' A 



Sj>t2. IFih 



I Bezipbung zum elrklr. Lmtuermögfin 



197 



1 



darauf verlötet, damit ein Eindringen von Wasser verhütet 
werde. Dm bei Temperaturen, die 100" wesentlich über- 
schritten, eine Explosion des Büchschena durch die Ausdehnung 
der im Pulver enthaltenen Luft bintanzuhalten, erhielt der 
Deckel ein Kupferröhrchen aufgesetzt, dessen obere Oflnung 
»erlötet wurde, sobald die Temperatur erreicht war, bei der 
ipät«r die Wärmemessung vorgenommen werden sollte. Durch 
Wägungen wurden die Wasserwerte des verwendeten Lötzinns 
pnnittelt. Die Erhitzung der Büchschen auf 100" erfolgte 
lurch WasBcrdampf, auf höhere Temperaturen im elektrischen 
'Hen. Die Temperatur des Wasserbades wurde mit einem 
■'enaer Thermometer verfolgt, das direkt in hundertstel Grade 
EBteilt war, 

1. Schteefelblei (PbS) wurde in den beiden Zuständen als 

natSrltcher Bleiglanz und als amorphes Bleisultid untersucht. 

In Pbö sind erforderlich 86, ti Proz. Blei; die chemische 

Analyse, die ich Hm. J. Donau verdanke, ergab für den 

*TlaDz 85,9, für das amorphe Pulver 85,8 Proz. Blei. 

Die Untersuchung des Bleiglanzes selbst erstreckte sich 
luf einen großen Kristall, auf das durch Zerreiben von 
Kristallen entstandene feine Pulver, auf Stifte, die unter hohen 
Drucken aus dem Pulver hergestellt worden waren, und end- 
bch auf die durch Schmelzen der Pulver unter Luftabschluß 
gewonnenen Klumpen. 

Die kleinste spezifische Wärme besaß der geschmolzene 
Bleiglanz; die an einem Klumpen von 36,57 g Masse ange- 
stellten Messungen ergaben die gut übereinstimmenden Zahlen 
0,0626, 0,0529, 0,0532 als mittlere spezifische Wärme zwischen 
15 und 100 *. Der Mittelwert beträgt demnach 0,0539. Wird 
die Molekularwärme nach dem Joule-Kopp sehen Gesetze 
berechnet, so erhält man 11,9, da für Blei 6,4 nach Behn, 
fir Schwefel 5,5 (?) einzusetzen ist. Die beobachtete Molekular- 
värme ei^bt sich unter Berücksichtigung, daß ein Mo! PbS 
aus 239 g besteht, zu 12,6, einem Wert, der den theoretischen 
Dicht erheblich übertrifft. In bezug auf seine Struktur gehört 
der geschmolzene Bleiglanz wie der natürliche dem regulären 
System an. 

Bleiglanz in Kristallen besitzt eine größere spezifische 
BBb-me; die »n einem durch fremde Zusätze kaum verun- 



198 P. Stremtz: 

reinigten Kristall (Masse 72,87 g) aus Bleibei^ in Kärnten vor- 
genommenen Messungen betragen in dem gleichen Temperatur- 
intervall 0,0555, 0,0654, 0,0561 und 0,0560, im Mittel also 
0,0557. Die Mnzelwerte weichefn nur wenig voneinander ab; 
diese Übereinstimmung läßt sich aber nur erzielen, wenn man 
die Messungen in Zwischenräumen von mehreren Stunden 
vornimmt, den Kristall sich also „erholen^' läßt Erwärmt 
man ihn nach der Abkühlung im Wasserbade unmittelbar 
wieder, so erhält man regelmäßig einen kleineren Wert für 
die spezifische Wärme. So ergab eine auf die erste Messong 
unmittelbar folgende 0,0587^ eine ebensolche nach der vierten 
angestellte 0,0540. 

In der Form eines feinen Pulvers besitzt der Bleiglanz 
eine noch größere spezifische Wärme, wie aus den nachstehen- 
den Zahlen zu ersehen ist 

Bleiglanzpulver (Masse: 28,42 g). 
Mittlere spezifische Wärme zwischen 15 und 100®: 

0,0604 
0,0601 
0,0598 
0,0603 
0,0602 

Mittelwert: 0,0601. 

Mittlere spezifische Wärme zwischen 15® und 
HO® 0,0686 

118« 0,0673 

146,7® 0,0684 

151® 0,0681 

181,5* 0,0699 (0,0658). 

Die Zahlen zeigen, daß die spezifische Wärme zwischei 
100 und 110® eine sprungweise Änderung erfahrt Es is 
also anzunehmen, daß zwischen diesen Temperaturen eim 
Umwandlung des Bleiglanzes eintritt, die mit einem Wärme 
verbrauch von 2 cal. für ein Mol PbS verbunden ist übei 
die letztgenannte Temperatur hinaus tritt keine bemerkens 
werte Zunahme ein. Doch findet man auch hier die Erschei 
nung einer Nachwirkung. So wurde z. B. der zur Temperatu 
von 181 ^" fi^hörige zweite in Klammem gesetzte Wert ge 
tond' fi auf den ersten Versuch einen zweiten au 



Wärme i 



Beziehung zum elehtr. Leitoermii<fen. 199 



ilc'm F1160 folgen ließ. Diese Nachwirkung trägt natürlich 
eine gewisse Unsiclierheit in die Ergebnisse hinein, da die 
BeBtimmangsmethode nicht danach angetan ist, erkennen zu 
käsen, wann sich das System wieder erholt hat. 

Machen sich achon hei einem losen Pulver Nachwirkungen 
geltend, so stand zu gewärtigen, daß sie in dicht gepreßten 
S^flen noch mehr hervortreten werden. 

Die mit einem Stift aus Bleiglanz, dessen Masse 15,39 g 
b«tmg, angestellten Messungen ergahen darum keine gut Uher- 
anstimmeuden Resultate. So fanden sich für die spezifischen 
Wirmen zwischen 15 und 100° die Zahlen 0,0650, 0,0628, 
0,M9O und 0,0620, im Mittel also 0,064S. Hervorzuheben 
ist, d&ß alle Werte grober sind, als jene des Pulvera. Mög- 
licherweise trägt die Differenz der Hjsteresisarbeit Rechnung. 
Besseren Aufschluß über diese Frage könnten Versuche über 
Äifl spezifische Wärme feiner Metalipulver (Platinmohr etc.) 
geben, bei denen die Verhältnisse einfacher hegen dürften. 

Die Untersuchung des Stiftes über 100" hinaus war in 
BDcb höherem Grade abhängig von der Vorbehandlung, die er 
er&hren hatte. Ich schlug deshalb ein Verfahren ein, wie es 
bei der Prüfung von Eisen angewendet und als zyldisches 
bezeichnet wird. 

Auf eine Messung zwischen 15 und 100" folgten solche 
zwischen 15" und (", wobei t ansteigend höhere Werte erhielt 
bis zu einem Grenzwert; dann wurde / wieder in gleichen 
Stufen erniedrigt, bis wieder lOÜ" erreicht waren. Nach- 
stehend sind die Ergebnisse verzeichnet. 



ZykluB 

' I 0,0859 
' 0,0018 



' i o,0( 



0,0639 I 
0,0623 ] 
0,0094 I 



Zyklus 2. 
5 und 100° 0,0042 * 0,0880 
5 „ l&O" 0,0600 I 0,0582 
5 „ 200" O.0620 I 



V 0,0629 



öegensatz zu dem losen Pulver — bei Temperatursteigerung 
Qber 100" hinaus zunächst in Abnahme begriffen sein bis zu 
einem kleinsten Wert, der in der Nähe von 180" gelegen ist, 

^Htt dann über diese Temperatur hinaus wieder zu wachsen. 

^Hk würde also beiÜen, daß in einem Stift bei Erwärmung 



200 F, Stremtz. 

von 100 auf 180^ eine Umwandlung eintritt, die unter Wärme- 
eniwickelunff vor sich geht Die vier zwischen 15 und 100* 
angestellten Beobachtungen weichen wieder beträchtlich yod- 
einander ab; ihr Mittelwert ergibt sich zu 0,0655 und steht 
mit dem früher gefundenen von 0,0648 wohl nur zufällig in 
guter Übereinstimmung. 

Man darf nicht übersehen, daß die spezifische Wärme 
des Stiftes nach der ersten Erwärmung auf 100^ bereits eine 
Änderung in dem Sinne einer Verringerung dieses Wertes er- 
fahren hat; eine zweite unmittelbar nach der ersten angestellte 
Beobachtung in demselben Temperaturintervall wtLrde also 
eine kleinere Zahl geben. Wahrscheinlich macht sich dieser 
Rückgang auch dann bemerkbar, wenn man die Beobachtimg 
nunmehr in einem größeren Temperaturinter?all (15 — 140^ 
bez. 15— -150^) anstellt. Es läßt sich deshalb nicht angeben, 
mit welchem Anteil eine zwischen 100 und 140^ eintretende 
Umwandlung beteiligt ist. Eine solche tritt aber ein, da das 
Thermometer im Wasserbade nach Einbringen des auf 180* 
erhitzten Stiftes iu der ersten Minute bis zu einem Maximum 
ansteigt, um dann zunächst langsam zu fallen. Dabei war 
Sorge getragen, daß der Stift beim Herumschwenken im Bade 
die Thermonieterkiigel nicht etwa berührt hatte. Der Verlauf 
der Temperatur soll durch ein Beispiel gekennzeichnet werden. 
In dem Augenblicke, in dem der Stift in das Kalorimeter- 
geiaß eingetaucht wurde, betrug die Temperatur des Wassers 
15,130^^, die Temperatur der Umgebung 19,4^; dann wurde 
gefunden : 



nach 30 Sek. 


1 Min. 


1 Min. 30 Sek. 


2 Min. 


2 Min. 30 Sek. 


17,180« 


1 7,280 <^ 


17,240° 


17,235° 


17,235° 




3 Min. 


3 Min. 30 Sek. 


4 Min. 






17,235*^ 


17,240° 


17,245° 





Der Stift hat also von der an die B'lüssigkeit bereits ab- 
gegebenen W'iirme einen Teil wieder für sich verbraucht. 
Dieser Vorgang steht in Übereinstimmung mit der Abnahme 
4er spezitischen Wärme ül)er 100^. 

Die Untersuchung des amorphen Bleisulfids ergab zwischen 
-i md 100® die gut übereinstimmenden Werte 0,119, 0,116 
!■«. Un, wor;»'-" "'^h ein Mittelwert von 0,117 ergibt. 



wSpeZ. Warme in Beziehung zum elektr. Leitvermögen 



201 

Das amorpbe Sulfid besitzt mithin unter den unterauchten 
MliÖkatioDeo den gi-öBten Energieinbalt, der gescbmolzene 
eiglanx den kleinsten. Es wurde gezeigt, daß der ge- 
hmolzene Bleiglaoz ein sehr guter, das amorpbe Sulfid da- 
gen ein scLleciiter Leiter der Elektrizität ist. Der nattir- 
iie Bleiglanz und die aus dessen Pulver gepreßten Formen 
eben in bezug auf ibr Leitvermögen in der Mitte und 
erden ¥0u der Temperatur in hohem Grade beeinflußt. Auch 
I bezug auf ihre spezifische Wärme halten sie die Mitte 
irischen goacbmohener und amorpher Moditikation und sind 
lit der Temperatur veränderlich. Krwärmt und kühlt man 
inen Stift wiederholt, so zeigt er, immer wieder bei Zimmer- 
EiDperatur gemessen, eine fortschreitende Erhöhung seines Leitr 
ermögens bis zu einem Grenzwert. Das Herabsinken der Werte 
ür die spezifische Wärme nach unmittelbar vorangegangener 
ifw&rmung ist wohl gleichfalls als Analogie hierzu anzusehen. 

2. Schwefelquecksilber (HgS) besteht in zwei durch Farbe 
laii Dichte wesentlich unterschiedenen Modifikationen. Die 
ichwarze durch geringe Dichte ausgezeichnete verhält sich zur 
£l«ktrizitätsleitung wie Bleiglanz, der rote Zinnober dagegen 
M Nichtleiter. Da die schwai-ze Modifikation die größere 
Usüchkeit besitzt und außerdem bei entsprechendem Drucke 
u> die rote unter Volumeuverminderung übergeht, so ist man zur 
Aimahme berechtigt, daß sie den größeren Energieinhalt be- 
liUt und daher als die weniger stabile anzusehen ist. Die 
Bestimmungen der spezifischen Wärmen der Pulver rechtfertigen 
diese Annahme. Für den kriatalliniacbeu Zinnober, dessen 
Masse 53,89 g betrug, fanden sich innerhalb der Temperatur- 
greuzen von 15 und 100" die Werte 0,0544, 0,0555, 0,0545, 
im Mittel also 0,0d4S, für das schwarze amorphe Sulfid, 
Janen Puker 22,985 g wog, die Einzelwerte 0,1022, 0,1030 
uud 0,1026, woraus sich ein Mittelwert von 0,1026 ergibt 
Der Energieiahalt des schwarzen Sulfids ist also doppelt so 
groß, als der des roten. Während das Bleisulfid sein bestes 
UitTermÜgen in jener Moditikation besitzt, der die kleinste 
"pezifische Wärme zu eigen ist, verhält es sich beim Queck- 
siibersulfid umgekehrt. 

3. Schwefelsilber, Äg^S. Die Untersuchung erstreckte sich 
nur auf die amorphe Modifikation im pulverfiirmigcn Zustande. 



t 



=i 



202 F. Stremtz. 

Die bereits beim Bleiglanz erwähnte Erscheinung einer Ver- 
minderung der spezifischen Wärme, wenn das Pulver gleich 
nach der Abkühlung einer neuerlichen Erwärmung unterworfea 
wird, zeigte sich auch hier und in noch aufiälligerer Weise. 

Im nachstehenden sind die mittleren spezifischen Wärmen . 
zwischen 15 und 100^ angegeben ^ die mit einer Pulyermenge - 
von 16,72 g an verschiedenen Tagen gefunden wurden. 

22. Juni 0,0800 25. Juni 0,0794 

24. Juni 0,0818 0,0762* fc 

0,0/62* 26. Juni 0,0796 

0,0808 0,0748* 

0,0809 

Die mit * bezeichneten Werte beziehen sich auf Versuche, 
die auf vorangegangeue unmittelbar folgten. Läßt man diese 
Zahlen beiseite und nimmt aus den übrigen das Mittel, 80 
erhält man 0,0804 als mittlere spezifische Wärme zwischflo 
15 und 100^ Das Joule-Koppsche Gesetz verlangt eme 
spez. Wärme von 0,0706, wenn man nach Behn fiir die Atom- 
wärme des Silbers den Wert 6,0 einsetzt. Die UbereiB- 
Stimmung mit dem Gesetze ist mithin mangelhaft; wahrschein- 
lich wird sie auch nicht besser, wenn man das amorphe durch 
das natürliche kristallinische Pulver ersetzt, da auch das 
elektrische Leitvermögen von der Natur der ModifikatioB 
kaum beeinflußt wird. 

Die Bestimmungen bei höheren Temperaturen erfolgten 
in mehrstündigen Zwischenpausen; es ergaben sich folgende 
Worte: 



Teniperaturintervall 


Sp< 


3z. Wärme 


15 und 188<> 




0,0814 


15 „ 160^ 




0,0823 


15 „ 164« 




0,0923 


15 „ 171,8" 




0,104 


15 „ 182« 




0,112 


15 „ ise«» 




0,114 


15 „ 209,5» 




0,118 



Aus der Tabelle geht hervor, daß von 100® aufwärts zu- 
nächst eine langsame Zunahme der spezifischen W&rme ein- 
tritt; zwischen IGO und 170^ wahrscheinlich in unmittelbarer 
Nälie von 1(>4^\ tritt eine sprungweise Änderung in der 
spezitischen W'' '"^ Diese ist ofienbar einer Umwandlung^ 



W^tez. H'ärmr in BeziehuTiif zum elektr. Leitvermögen. 203 

wie bei Bieiglanz unter Wärmebindung vor sieb gebt, zu- 
iChreiben, Über 170° findet wieder eine aliniähliche Zu- 
ime statt. 

Die Unteranchung war bereits beendet, als ich auf eine 
■beit von Bellati und Lusgana') aufmerksam wurde, die 
eiclifalls die Untersuchung der speziäschen Wärme des 
ihwefelsiibera bei verschiedenen Temperaturen zum Gegen- 
ande hat Die Abhängigkeit der spezifiachen Wärme von 
■t Temperatur wird von den beiden Physikern durch die 
leichung / = 0,07177 + 0,0000670 / zwischen den Grenzen 
= 1" und = 175" ausgedrückt. Bei 175" trat eine Umwand- 
ing ein, so daß die mittlere spezifische Wärme zwischen 175 
od 220* den Wert 0,0891 aunahm. Diese Angaben konnte 
;h nur Referaten entnehmen, die in Terschiedenen deutseben 
isitecbriften erscbienen sind. Ich konnte keineu AufscbluB 
aröher erhalten, ob sich die Untersuchung auf das Pulver, 
uf Kristalle oder auf das geschmolzene Produkt bezog. Der 
bjsikalische Zustand spielt aber, wie aus der Untersuchung 
les Scbwcfelbleies hervorgeht, eine bedeutsame Rolle. 

Der Temperaturkoeffizient der apezifischeu Wärme iat bei 
l^S größer als bei PbS, Pulver mit Pulver verglichen. Die 
'niiahme des Leitvermögens ist bei dem ersten Sulfid gleich- 
alls größer als beim zweiten. 

Das Leitvermögen eines Silberglanzstiftea wird durch 
■Drangegangene Erwärmungen gleichfalls erhöht ; die spezifische 
ifärme des Pulvers nach unmittelbar vorangegangener Er- 
tärmung erniedrigt. 

Gäbe es Metboden, die Änderung der spezifischen Wärmen 
'OD Grad zu Grad ebenso rasch als sicher zu bestimmen, wie 
iaderungen des Leitvermögens, so ließen sich wohl die 
Inalogien zwischen beiden Eigenschaften viel weiter führen. 
Vielleicht reicht die Mitteilung aber doch hin, daß man zu 
iiuer beiläufigen Vorstellung gelangt, in welcher Weise das 
ilektrische Leitvermögen durch den jeweiligen molekularen 
instand der Verbindung beeinflußt wird. 
Töraz, Physik. Inst. d. Univ., Juli 1903. 

[l}H.BelUtiu. aLuagana, Atti del Inet. Yen. (6) 1. p.lODl. l8tjH/8i). 
(EingoguDfjeQ 6. August 1903.) 




i ^_ 



204 



28. Periodic Golor Distribntions in Relation to tti 
Coronas of Glondy Gondensation, with a Seyia« 

of Goronas. 

By Carl Barns in Providence. 



Introduction. 

1. Purpose and plan, — The growing importance of cosB» 
dust ^) in relation to geophysic phenomena, suggested the 
of developing a method by which the atmospheric dost cMj 
tents could be speedily and systematically determined. 
appropriate method for this purpose was tested in a n 
of my earlier papers ^ which gave promise of being ift 
measure independent of merely local or accidental dust 
butions. It is based on the measurement of the 
apertures of the Coronas prodnced on suddenly cooling 
atmospheric air ander definite conditions. Observatiooi 
atmospheric nucleation made in this way for abont a 
show results of considerable interest. 

There is some difficulty, however, in reducing these 
to absolute values (number of nuclei^ n, per cubic cem 
inasmuch as the Coronas obtained with lamplight yery 
([uently pass beyond the ordinary white centered normal 
into the more complex forms corresponding to very 
particles. I have therefore been obliged to make an 
study of Coronas.^) The method pursued consisted in 
nucleating the air stored within a given receiver ofcr 
(with adequate provision for continued Saturation) , and 



1) The pioncering work of Aitken is well known and etfted io 
earlier papers. 

2) Science 16. p. 948. 1902; Physical Beview IIL p. 19S. It 
1. c. 17. p. 234. 1903. 

3) Phil. Mag. ((>) 6. p. 24. 1902; American Journ. of 
13. p. 81. 1902; l. c. ir>. p. 335. 1908; Physical Review L c; 
iiouiaii Contrihutions to Knowledge, No. 1373. 29. p. 1 — 186. 903. 



periodic color iliiitribution.i. 



905 



rithdrawiQg detinite amounts of it byaucceasive partial exhanstion. 
K the nucleated air is replaced by filteröd air free from nuclei, 
ttie residual number of nuclei in the receiver muat decrease 
in geometric progression with the number of partial exhaustions. 
Ute lattar, moreover, produce the audden cooling by which 
tiie Coronas are obtained. Let m ho the moisture precipitated 
per cubic centimeter, in any exhaustion, n the number of cload 
particles contaioed, c/ the diameter of each: then 7i = 6m/n<y'. 
Since for the successivc partial exhaustjons m is coastant, 
« follows from il, and vice versa. 

Two methods aro availahlo for the absolute meaBurement 
"f '/. One may determine the aperturcB of the Coronas (so 
liiiig as theae are normal) by a suitablo goniometer, or one 
may find the rate of Bubsidence of the cloud particlea. Both 
iTv. approximate and limit^jd iii scope< Two methods, fur- 
thennore are available for measuring the nacleation, n, or 
at least relationa of «. Äitken's duat couuter may be applied 
'wirk •) with this end in riew is in progreas] or the valuea 
■ ;' Fl may be made to dccreasc geometrically in the way just 
■pi'i'ified nntil normal coronaa are obtained, for which rl fol- 
l'ws Irom aperture. For the last of theae methods I have 
lirtady published data; but in the courae of over a yeara 
niilitional experimentation a number of uew developmenta 
öave showo themaelves which it is my purpose here to eluci- 
datfl. In the first ]dace the method formerly used for deter- 
fflining ra, gave results niuch too sraall, Theae are corrected 
b tie present paper. In the secoud place, the corouas were 
«fposed to be observed under adiahatic conditions of tem- 
pefsture; direct oxperiments in thie paper show that the air 
lemperatures during which the coronaa are obaerved are nearly 
isotherraai. Moerover the new results prove that in addition 
to the syatematic losB of nuclei by exhaustion as thus fuUy 
compDted , there is an additional loss which has hitherto 
eacaped me. Each exhaustion in fact is accompanied by a 
liefinite loss of nuclei, for which reasona muat be investigated. 

1) ÄJtkon's duBt counter may be dispeiiaed witli, and the intensity 
of Che nueleator dcCenuined by coadeusation in beuzol vapor, in wliich 
the Coronas are all normal. See Smithsonian Coatributiona 1. c. 



206 C. Baruä. 

Finall; I have in Ulis paper used both elediic and n 
chromatic light as a source, ae well as the Welsbach m 
employed for practical purposes. Naturally from the i 
duction of intense violets the Coronas become more coinpli< 
but it is odIj in tbis way that tbeir true natore ma; 
detected. 

Tabulated data and deecriptions of app&ratus, etc., 
be omitted in wbat follows, for lack of room. The latter 




Ih< iVtiiud ii) mT ewrlieT papers. The chief resnlts of the 
moi- .tn^ ^v^i) h,v thv' («ocompUlTiiig chait. Hie condensi 
t-htuuWr w,-ts ^> i-m dtV)\ 2iÜ cm hi^ 35 cm long and 1 
«iih hW clttth. lltt^ cvin^nas vhv obserred throngb i 
j^Uf». Tlx' ^>h.tmWr «»s plil>^txl ^ö cm from tbe goniom 
»nd '^^0 oin tV\Mn th« j^^uroe v«i licrht and the eye focnssed 
1^»«); dwl*«.vs, 

^, iW^ ..\«f^>-kns«»s. — Ir. oi»s$ihi]^ tbe Coronas a sl 
iHOUt ^m' \\\c t\tlt\rs .'<i th<' ^.isi ]«o or tliR« annoli connted i 



Periodic color distributions. 207 

le center will usually su£fice. For the case of the electric 
it the central patch remains white ^ or at least opalescent. 
For convenience in specifying color the following abbrevia- 
[fions will be nsed thronghout: w white, p purple, c crimson, 
jr orange-red| hr brown, o orange, y yellow, g green, h blue, 
9 Tiolet. 

Mixed colors are written together, thus hg is blue green, 
ff red violet A dash denotes an approximation to the oolor; 
äos V is bloish, which has been otherwise indeterminable. 
A dot denotes a deep or dark color; thus h is dark blue. 
A mere line denotes a color ring too narrow or dark to be 
lecognized. This is the frequent transition from red to green, 
marked wrjg, 

Beginning with the most intense nacleation obtainable, 
L e. with particles of the least size producible, the following 
Coronas appear in succession, at first filmy and fleeting, bat 
erentaally brilliant and dense. The numerals attached to the 
series are arbitrary. 

, . . . w o ... 

IL wvg'\ h'hr'\ wgi>\ wgvbg'i wyovg\ wcygv\ 

There is thus an obvious tendency for the colors succeed- 
ing white to follow each other in the order of wavelength, 
as the particles continually increase in diameter. All inter- 
mediate gradations are represented. The second cycle is nearly 
complete, the first can not be obtained except in the opale- 
scent orange tint, unless the steam jet is employed. The se- 
cond annulus of any Corona is apt to vary in width so as to 
be nnequally important 

The next series (IQ) for successively larger particles is a 
contraction of the preceding. There \% obviously much over- 
lapping. The following types of Coronas may be cited. The 
colors are very brilliant. The second „green'* corona is par- 
ticularly characteristic, consisting of three broad color bands 
and the diso is green with the Welsbach lamp. 

in. wvphg'r'\ wghp\ wyo{b)gbf; wr{b)gr\ 

The next series (TV) is a Variation of wr'bgr approaching 
Üie steady normal Coronas of the next cycle. The colors are 

very closely packed together, so that it is difficult to produce 



208 C. Barus. 

definite types of them at will. Incidentally however the ^^green'' 
Corona tog'hp is obtained particularly with the Welsback 
lamp^ while the red of the first ring chailges from y" to ir'. 
wr'lg is frequent 

In succeeding Coronas the normal type is practically pe> 
manent and the observable Variation is merely in diameter. 

All apertures, s, will be measnred to the outer edge of 
the first ring as the contrast here is always sharp. If ^ is 
the angnlar radius of the goniometer (arm JK s 30 cm]^ 
2 sin 9) =3 sjR, 

Method of Beduotion. 

3. Constants of the Geometrie Progression, — To determine 
whether the factor of the geometric progression of successiTe 
nucleationS; numbered z, was to be computed isothermallf or 
adiabatically^ a series of direct temperature measurements was 
deemed necessary. These were made by aid of a themo- 
couple of extremely thin wires (0,007 cm in diameter), of 
copper and german silver. The results (omitted) showed that 
after the lapse of one minute following the sudden exhaustion 
the temperature has been regained to within a degree. I have 
therefore computed the density ratio of nucleation p/p' = n/n', 
before and after exhaustion as follows. 

Since p = Eq& in the usual notation of Boyles law, 
and p = P — p where P is the reduced reading of the mer- 
cury gauge and p the vapor pressure of water vapor, 

o/(/ = (P-p)/(F-;>')(l-J,9-/,»). 

The correction S»l&, being by the table 0,7/293 = 0,0024 
or about 7* V^^^-j ^^Y ^® neglected (§ 4). Hence 

y = i/le = l-SpjiP-p'), 

where Sp is the pressure difference selected. Thus the relative 
nucleation N, not corrected for time losses etc., would be 
N^y'= lO^^o^y where y = 0,77 and iV^= 10 -0,1135., 

4. Tme losses. — Nuclei apparantly decay spontaneously 

iiÖkBlapse of time, t, and a correction is to be added to N. Since 

inVm ia relatively small in view of the short time intervals 

ia the observations, n = n^lO/'<'-'i\ may be assu- 

^BBefQQiencA Hence if n be the nucleation due to a 



Periodic color distributions, 209 

ren Corona seen at low pressure or the identical nucleation at 
moepheric pressure after filtered air has been added^ the next 
>Tona after z ezhaustions and t minutes will correspond to 
^^=^n\0*^ v-^ßi^—k), Thus it is merely necessary to know 
kie relative values of n or the nucleation ratios to find ß. 

The Chief result of this paragraph is the relatively small 
nhie of the coefficient [b = 0,002) of time loss of nuclei. Its 
rfbct on the results may therefore be neglected (tested), par- 
lieularly as the effect is in part compensated by the tem- 
peratore factor of the preceding paragraph. 

5. Exhaustion losses. — I shall next consider the inde- 
pendent destruction of nuclei which accompanies each ex- 
Imstion. This loss did not appear in my original investi- 
gations« probably because the spherical receiver used was not 
lined wiüi wet cloth. 

From what has preceded the relative number of nuclei 
ifter z exhaustions is 10*^^ y, whereas in the region of nor- 
mal Coronas the absolute number is certainly very nearly 
«' = C **, where C is a known constant. Hence the ratio 
rs C*'/ lO'^^^y should be constant whereas experiment 
«hows roughly that r = r^, (1 — « z), a being the coefficient of 
exhaustion loss and r^ = Cs^^ the arbitrary initial ratio for 
: = 0. This result is a mere approximation and the pheno- 
menoQ may be fully explaincd in terms of subsidence of fog. 
In this case 10*Ä = Oj/tT, where R is the radius of the water 
particle and v its rate of subsidence. Since 2 R = d =^ 0,0032/ 5, 
approximately, v = 1^78^ js^, or if v refers to minutes v = 1 90/«^ 

The relative loss, / per minute is for a vessel of height h 
and nucleation w, l = vjh = IdOj hs\ If as in the above 
condensation Chamber, the height is A = 26,5 cm, / = 1,2 ls\ 

6. The optic constant, Diameters hy diffraction. — The 
proportionality of diameter of particle with the inverse aper- 
ture may be assumed for normal Coronas. The occurrence of 
periodicity in the higher Coronas modifies these simple con- 
ditions. It is well known that for a single particle, the 
nuöterly work of LommeP) has given a complete treatment 



1) E. Lommel, Abhandl. d. k. bayr. Akad. d. Wissensch. [2] 15, 
P. 229. 1884. 

Bolttinanii-Festscbria. 1*^ 



210 C. Barns. 

of the difiractions in terms of B es sei fonctions. It is the 
object of the present paper to indicate the divergences for &- 
group of particles and vanishing diameters. 

In meteorological work for a particie of diameter d and 
for uniformly normal Coronas ^ the equation sin^ = 1,22k fd 
is usually assumed, if the angular radius of the Corona is ip 
and the wave length in question, L Since in my goniometer 
2 sin 9) = sjR, where Ä = 30 cm, ds =i a= 73,2 X, 

In view of the theoretical uncertainty of these values in ■ 
the case of the distribution of particles met with in the 
above experiments, I have usually relied on the results of 
direct comparisons with the Corona of lycopodium spores where ■ 
d^^ = 0,0032 cm. Here a = (/^ ^^ == 0,0034 for measurements 
to the outer edge of the first ring. 

7. The optic constant Diameters from subsidence. — In 
my earlier work the condensation Chamber was not cloth lined, 
and the subsidence data quite untrustworthy. In the present 
cloth lined receiver kept wet on all sides, subsidence data are 
reasonably satisfactory. The Coronas however change character 
during subsidence and in case of the initial opalescent Coronas 
(Series II, § 2) all Coronas vanish into a mere fog before 
subsidence is even appreciable. Finally the upper plane boun- 
dary of the fog which at the outset appears as a sharp hori- 
zontal line even 50 cm long, even after 1 or 2 min. becomea 
more and more vague. Subsidence is here accelerated. Hence 
it is chiefly for the normal Coronas that subsidence data are 
available, and fortunately it is precisely here that they are 
wanted. 

8. Summary of optic constants, — The foUowing series of 
values of a = ds has been obtained when the measurements 
of aperture are made to the outer edge of the first ring. 

Optically (blue) a = 0,00344 

From lycopodium {cLq = 0,0032) a = 0,00336 
From subsidence a = 0,00291 

The latter is decidedly the smaller corresponding closely to 
:c^cä1 puce-violet (0,00298). The datum for subsidence will 
Ttf'^siheless be choscn ; being simplest in character it is appa- 
•ift most ' V. Since n ^{Gmjna^s^ if the 



Periodic color distributions, 211 

hod of Wilson and Thomson^) be used for the compu- 
on of m the foUowing values in grams per cubic centim. 
applicable at the temperatures stated, for the pressure 
erence dp snll cm. 

6= 10» 20° SO» 
10« X w = 8,7 4,6 5,7 

9. Bestdting equations applied, — From what has been 
ited it follows that the first quantity to be found is the 
itial nucleation^ n^^ i. e. the nucleation which obtains when 
SB Z. This depends on incidental conditions such as the 
ten^ity of the ionizer^ the first Corona seen [Z) etc., and is 
terefore quite arbitrary. In the tables^ for instance^ n^ = n^. 
lence 

=«,i0(--*)i<«ir(i«5/O(i-^/O(i-Ä/O---(i-ÄAV4 

rfaich will be abbreviated 

n, = 71^ 10(— *) 10« y'n{\ - 5/«»). 

4 

This equation affords in the first place a means of com- 
mting 8, For in the region of normal Coronas n is given by 
ke apertures of the Coronas. Thus 8 = 2,65. With this 
alue of 8, the data JV/7(1 — Ä/ä*) may be computed throughout 
len in the region of normal Coronas the fundamental con- 
kant of the reduction follows as n^ = 370 s^lNn[\ - Sjs^. 
fith this constant the true value of the nucleation (number 
f particles per cub. cm) is computed for all Coronas as 

n = Wo Nn[l - Sjs^. 

10. Remarks on the tables. — The graphs show four in- 
lependent series of observations of diameter, d, and nucleation 
particles per cub. cm), in terms of the relative aperture 
== 60 sin (p where (p is the angular radius. The partial ex- 
uinstion is to 17 cm and the standardization is by subsidence, 
j 8. K standardized by diffraction, the n data would be 
ibout 0,6 smaller or the upper "green" corona, for instance 
howing n = 98 000 would then show n = 60 000 nuclei. The 
xtrresponding d efifect is much smaller, being + 0,2. 



1) Cf. J. J. Thomson, Phil. Mag. (5) 46. p. 588. 1898. 

14* 



212 



C. Barv». 



The graphs, n io terms of c, give eTideoce of three c 
In tbe aecond aehes tbere are appar&ntly four cjclea, tb 
lower being disttnct The horizontal positioD of tbe cos 
as closely in accord as the meaenrements juHtify. The vei 
positioD aaffers from the shift and difficnlty Bnironndioi 
abaolnte evalnation of n. Thronghont their extent, hov 
Üie fuwiamentai timüaritif of the graphs is unmiBtakable 




Rg. «. 



is fiirthur sliown in the correspondisg coires for mbr 1 
since H'-Oin/jr<f = (6m/»a^»'-.23(*/10*i)', ^proiimi 
tho Ductuatiou of n «ith k is obnoua; but the featore o: 
phenomennn is none tbe less Uie oeeurrence of cydit vark 
m the cttlor of the innermost ring. The coirecÜon in 
in tho la.<it ci)natiim vonld be more tban BufficienL 
virtlet coR>iias are to be depressed as regards n and tbt 
ßoronaä msotl in tbeir <n Tsluea. 



Periodic color dütributions, 213 

11. IHameters of fog particles. — Having determined the 
3 yalnes of n, the diameters of fog particles may be com- 

ed for each apertore since d = y6m/^n =« 0,021 n"V«. 
d resolts are plotted in the corresponding graphs. Each 
these {d 9» BL fimction of s) shows the three cycles already 
;ermined and the cusps lie at c/ s= 0,0007 to 0,0008 cm 
1 if as3 0,0005 to 0,00055 cm, or that the intermediate and 
iticularly Inminous cyclo Covers a ränge corresponding to 
out ten times the wave lengths of the visible spectrum. 
it two of the cusps are onmistakably marked, while in other 
«pects the graphs retain the hyperbolic contour, ds =s const 

Since n~~Vt is the cubical volnme which contains one 
lg particle, rf/n - Vi is the ratio of the diameter of par- 
tes to the distance between particles, constant throughout. 
lie distance between centers is thus about 48 times the dia- 
leter of particles for the temperatore and pressure conditions 
ireyaUing during the exhaustions. 

One may note that the diameters found are independent 
)f m; after reduction since the same equation also holds for Z, 

l/rf8 = (Äja)M0(«-'^io8yJ7(l -Sls^ 

z-i 

Aere s^ is the aperture of the normal corona numbered Z. 
Phus d depends on a, y and s and does not therefore diflfer 
nach firom my earlier values except insofar as a and y were 
lifferently determined and S not observed. 

Finally since nd^ = ßmln = const., the relation of n and 
^ are reciprocal and maxima in n thus correspond to minima 
1 d. The curves bear this out. The periods indicated by 
be cusps in the d curves may be placed in conformity with 
11, and their mean position may be rated ai d =^ 0,00072, 
',00054, 0,00036 or in the ratio of 4, 3, and 2. In other 
rords they are roughly multiples of the cycle datum 0,00018 cm 
nd throughout large as compared with wave length. 

12. Mono'chromatic light — The two independent curves 
a the Chart for ruby light, substantiate the conclusions already 
Irawn. I need merely add that cusps in the positions 



214 6'. Barus. Periodic color dütributians. 

/f = 6, 4, 3, 2 X 0,00018 cm have been recognized. Furthei 
more nV« j d = bO. 

13. Jj:ial color 8. — LitÜe need be added to my earlie 
observations (1. c.) on these important accompaniments of thi 
higher Coronas (series I and 11), except that the white ligb 
is colored by the action of more than one parücle. 

Providence, Brown University, U. S. A., July 1903. 

(Eingegangen 11. AugoBt 1908.) 



Der schiefe Wurf im luftleeren Räume als Zcntial- 
bewegung. 

Ton Z. Xtunpe in Berlin. 



Nimmt man an, daß die Richtungen aller Schwöre- 
BBcbleunigUDgen durch den Mittelpunkt der Erde gehen, 
Kud daß die 0rößß dieser Beschleunigungen dem Quadrat des 
lAbstandes von umgekehrt proportional ist, sieht man femer 
i der ßotation der Erde um ihre Achse ab, so kann die 
tewegung eines unter dem Abgangswinkel a gegen die Hori- 
»ntalebene mit der AnfangageschwiDdigkeit d„ geschleuderten 
Is Punkt betrachteten) Greschosses nach den bekannten Gesetzen 
ir Zentralbewegung unter der Einwirkung einer dem Quadrate 
f der Entfernung umgekehrt proportionalen Kraft behandelt wer- 
pden. Das im folgenden angegebene Verfabreu, das sich nur 
' der Keplerschen Gesetze und der Elemente der analytischen 
Geometrie bedient, ist von mir vor längerer Zeit im unter- 
richte zu dem Zwecke durchgeftihrt worden, damit die Gesetze 
<lec Planetenbewegung an diesem Beiapiele veranschaulicht 
'ind die Analogien mit den Sätzen der parabolischen Wurf- 
hewegung aufgedeckt würden. 

Unter anderem brauchen wir die folgende bekannte Kon- 
struktion des Krümmungamittelpunktes M für einen Punkt F 
eines Kegelschnittes. Die Normale des Kegelschnittes in M 
schneide die Brennpunktsachse in N; das in N anf NP er- 
richtete Lot treffe den nach P von dem Brennpunkte F ge- 
zogenen P'abrstralil in /,; dann schneidet das in /, auf FP 
errichtete Lot die Normale N P im Krümmungsmittelpunkte M. 
In Fig. 1 sei der Erdmittelpunkt, Ä der Abgangspunkt 
des Geachoases, A B die Aniangsrichtung, daher Winkel A B 
= ß + i 'T. Das auf .-/ B in A errichtete Lot A M ist die 
Normale der Bahnlinie in A\ folglich Winkel MA = a. 
Die Schwerebeachleunigung <7 in A hat die Richtung AO; ihre 
in die Nonnale A M äer Bahnlinie fallende Komponente ist 



216 



E, Lampe, 



daher g cos a. Die Bahnlinie selbst ist eine Ellipse mit als 
Brennpunkt, AB als Tangente in Ä, Ist nun q der Kram- 
mungsradius der Ellipse in Ay so ist die Zentripetalbeschleunigang 
in A einerseits v^^jq, andererseits y.coscf^ mithin 

Q = Vq^ I ff cos a = QqI cos cc , 

wenn zur Abkürzung v^^ j g = Qq gesetzt wird. 

Man trage q ^ AM auf die Normale der Bahn in ^ auf, 
so ist M der Eriimmungsmittelpunkt der Ellipse für A. Aas U 

fälle man das Lot ML 
auf A, aus L das Lot 
L N auf AMj so ist -^ ein 
Punkt der Brennpunkts- 
achse der Ellipse, JV^ also 
diese Achse. Macht man 
noch Winkel N AI^ 
AN =^ a, so ist /* 
zweite Brennpunkt 
Ellipse, OA + AF^U 
die Länge der großea 
Achse. 
Aus der hiermit gefundenen Konstruktion der gesuchten 
Bahnlinie folgt die Berechnung ihrer Elemente. Man setze 
noch Winkel NOA = ö. Es war AM=^ n = q^I cos a] also 
L A = ()q, an = Qq cos a. Der Winkel folgt nun mit Hilfe 
der Sinusrcgel aus dem Dreiecke ONA. Setzt man den Erd- 
radius A = /?, so ergibt sich 

(1) tg ö = -i««-'^"^"^^^ . 

^ ' ^ R — ()q cos' a 

Ebenso erhält mau A F = r aus dem Dreiecke AF: 




Fig. 1. 



2li- Qo 



Dieser Abstand r ist unabhängig vom Abgangswinkel a. 

pireiue konstant gehaltene Abgangsgeschwindigkeit v^ und einen 

•ar-Ablen Abgangswinkel r/ ist also der Ort von F eine Kugel- 

iurüt* im A als Zentrum mit r als Radius. Der Mittelpunkt 

er na^fcorigen Wurfellipse hälftet OF. Mithin liegen die 

TTTP^nrmkse aller Bahuellipsen bei konstanter Anfangsgeschwin- 

3feL variablem Abgangswinkel auf einer Kugelfläche 



Schiefer Wurf als Zentralbewegung, 217 

m Badius J-r.um den Halbierangspunkt von 0^^ als Mittel- 
inkt 

Die Länge der großen Achse 2 a ist gleich Ä + AF\ 
it Ersetzung von r =^ AF, 2a = Ä + r, 

ilso unabhängig von a^ d. h. bei konstanter Abgangsgeschwin- 
ligkeit Vq haben alle Bahnellipsen große Achsen von derselben 
Uknge 2a. 

Aus dem Dreiecke 0^^ folgt OFi sin2a = OA : sin(2a + Ö), 
oder i^. sin (2 a + Ö) = Ä . sin 2 a. Setzt man F. cos ^ x, 
OF, smd = g, so hat man filr den Punkt F die Gleichung: 

xBin2 cc + g cos 2 cf == iZ sin 2 cf , 

eine leicht zu konstruierende Gerade; auf ders.elben bewegt 
sich F, wenn a konstant gehalten wird^ v^ sich ändert 

Bekanntlich ist die Projektion der Normale AN auf den 
Badiusyektor A gleich dem halben Parameter p der Ellipse, 
ik p =i AN. cos a = Po cos^ a = a (1 — 6^, wenn « die nume- 
rische Exzentrizität ist, also 1 — «^ __ Q^coB^aja, oder: 

W 



(^p = QqCOS^cc, = -^, wo fP = yÄ* — Po (2 J8 — Po) cos^ a . 

Die Gleichung der Bahnellipse in Polarkoordinaten u, 0, 
bezogen auf als Pol, 0^ als Polarachse ist nun endlich: 

^ ^ 1 - c cos (9 - ö) 

Aufgabe. Gegeben der Abgangspunkt A, der Zielpunkt ^, 
iie Anfangsgeschwindigkeit v^; gesucht die Bahnellipse. 

Lösung. Von der Bahnellipse sind bekannt: 1. der 
Brennpunkt 0, 2. der Punkt A, 3. der Punkt B, 4. der Orts- 
:reis für F, 5. die große Achse 2a = R + r (Fig. 2). Man be- 
chreibe um O als Mittelpunkt mit B + r als Radius den 
[reis, femer den Kreis um A als Mittelpunkt mit r als Radius. 
He Verbindungslinie B treffe den ersteren Kreis in 6', so ist 
) G =2a. Dann ist B C der Abstand des zweiten Brenn- 
•unktes der Ellipse you B. Der Kreis um B als Mittelpunkt 
ait BC als Radius treffe den Ortskreis für F in den beiden 
Hinkten F^ und F^. Die beiden Ellipsen durch A (und B) mit den 
trennpunkten 0, F^ und 0, /"^ sind die verlangten Wurflinien. 



218 



E, Lampe. 




Wenn der Ereis um B mit BC d\& Radius den Ortskreis för 
Pxkm A nicht schneidet, so gibt es keine Wurf linie, i L der 
Punkt B ist mit der Anfangsgeschwindigkeit v^ yon Ä aas 
nicht erreichbar. Wenn der Ereis um B den Ortskreis um Ä 
berührt, so gibt es nur eine einzige Wurfellipse. Der Ort 

solcher Punkte B^ Uefert 
die überhaupt noch er- 
reichbaren Punkte. Setzt 
man den Radius B^ C^ des 
um Bq beschriebenen 
Kreises gleich r^, so ist 
ofifenbar B^O + B^Ä^ 
R + r -- r^ + r •\-r^ = 
Ä + 2 r, d. h. die „Sicher- 
heitskurve" , außerhalb 
deren die nicht erreich- 
baren Punkte liegen, ist 
die EHlipse mit den Brenn- 
^- 2- punkten und J, der 

großen Halbachse R-\-ir. 
Per Scheitel 8 der Ellipse halltet das Segment des Fahr- 
^(rahles OF zwischen dem Ortskreis von F und dem Kreise 
vom Kadius 2 a um 0. Danach kann der Ort von 8 ohne 
5^wierigkeit bestimmt werden; derselbe ist jedoch keine der 
*Mkauuter^u Kurven. Wenn ins ünendüche rückt, wird der 
um zur Tangente des Ortskreises von F\ in diesem Falle 
vkr Ort von S, wie leicht ersichtlich, in eine Ellipse mit 
t^KmA aen r und \r über (bekannter Satz beim para- 
Wurf), 
di^er synthetischen Betrachtung mag nun auch die 

Uutersuchung folgen. 
WwiWaito IT soll unter der Voraussetzung berechnet 
JiJt die Erde eine Kugel vom Radius R ist. Dann 
«k^Ai. weil die Wurfellipse symmetrisch zu 0-P in 
iko nach (1) 

t»# mit (tkr kleine Winkel yertaoschen darf, 




Schiefer Wurf als ZentraU>eiDegung, 219 

»^x 2 i^ Po sin tt cos a 

. ^ " Qo ^^^ « 

)a8 Maximum w von w findet man hiemach für cos 2 a 
Ä p^ / (2 Ä -^ Po), und zwar 

I6b) tr' = 2Äarctg — -J^_=:=^, 

2yÄ(Ä-^o) 

angenähert gleich j^ 

Die Wurfweite w^ wird bei der Annahme einer para- 
bolischen Wurflinie bekanntlich durch Formel 

Wq ä Vq^ sin 2celff = (»^ sin 2 cf 

gegeben. Setzt man nach Formel 

pa w = - — ^ , ,p = (>o sm 2a 

Bo ergibt sich 

Diese Difierenz beträgt z. B. für r^ = 500 m, « = 30^, 
J2= 2 . 10^^, ^ = 9,81 etwa 66,4 m, nämlich ti? =r 22 136,4 m, 
tPQ = 22 070m. Daß diese Differenz einen solchen Betrag er- 
reicht» liegt jedoch daran, daß bei Wq die Entfernung auf der 
Horizontalebene gerechnet ist, während w als die Entfernung 
auf der gekrümmten Kugelüäche genommen ist. Liegt im 
ersteren Falle der Aufschlagspunkt h Meter über der E^rd- 
Oberfläche, so ist tOQ^ = h{h + 2Ji), also angenähert A = 10^^/2 Ä. 
Das Geschoß treffe die Erdoberfläche x Meter hinter dem Fuß- 
ponkte von h, so hat man (alle Bogen als gerade Linien in 
Rechnung gestellt) x = Acotgc^ = WQ^cotgal2B, oder 



1 _i_ g^cos*« I go* cos * g , 



_ ^0' ^^* 2 a cotg ff ___ 3 sin 2 ot . cos* a 



i h. gleich dem ersten Gliede der Differenz in tr — mj^,. In 
dem obigen Zahlenbeispiele ist x :s 66,26. Mit Berücksichtigung 
dieses Umstandes ist also praktisch die Differenz der berech- 
Qeten Wurfweiten bei Annahme parabolischer oder elliptischer 
Bahnlinie zu vernachlässigen. Interessant ist dagegen der im 
?orangehenden begründete Umstand, daß bei großen Wurf- 
weiten die Krümmung der Erdoberfläche sich merklich macht« 



220 



E. Lampe, 



Die Höhe H des Scheitels der Warfellipse üher der Erd- 
oberfläche ist offenbar a + at-- R. Nun war nach (4): 



= J PoSin*« 



« = l/l - ^^o-^?-^"--^ cos« a - i/l--^co8«a [vergl. (3)]. 

Also 

H =^2a — — Pn cos* a — 77^ -^- cos*a — ... — Ä. 

Da aber 

2" " ^ "= 2Ä-=r^ " ^ - 2Ä~^ - ¥ H ■*■ 2Ä V2ÄJ +-J' 

80 kann man H nach Einsetzung des Wertes von a in die Beihe 
wie folgt schreiben: 

y/= l e,sin*a + |^"(1 - cos^a) 

+ y^(l + cos* a — 2 cos« a) + ... 
1 + ^(1+ cos««) 

+ ^^(1 + cos«« + 2 cos*«) + ...J. 

Beim parabolischen Wurfe ist die Höhe ff^ des Scheitels dff 
Parabel H^ = r^,«sin««/2^ = ^p^sin««. 

In dem obigen Zahlenbeispiel findet man ^s:3196i^, 
//^ - 8185,5 m, also Ä - ij; = 10,5 m. Da aber H^ sich rf] 
ilio Horixontalobene bezieht, so sind beide Zahlen nicht 
Yorgloiohluur; man hat //^ noch um ein leicht zu berechnestaj 
Stück /.u vergrößern und erhält dann nahezu die gleiche Zdlj 
wie mr //. 

Dio analytische Behandlung der Sicherfaeitsellipse kaoij 
lUiUi oKnueutar wie folgt in Angriff nehmen. 

.<M/yaAf. Gt^geben die Abgangsgeschwindigkeit r^, diff| 
l\^lark\H^r\liuatou m und 9^ des Zielpunktes; den Abgangs 
>i^iukoI ir SM iH'rechneu. In die Gleichung (5) der Bahnellipü 
souo mau uaoh Kntwiokolung Ton cos^y? — d) die Werte TOij 
!^\uf' und ivsr> uaoh ^r uud von i nach (4) ein, so folgt: 



H' f ^' - ^i <^«Mt* m ib >ÜB « eoe er 






H 



IT 



j «p,C08«d 



vnlor aWr 



Schiefer Wurf als Zentralbewegung, 221 

2 Ru{\ — cos if) + q'q (ti cos y — Ä) = cos 2 a . Pq (Ä — t£ cos <)p) 

+ %m2a.uQQ%m(p. 
um diese Gleichung für a zu lösen^ setze man 

(Iq (Ä — « cos qp) « Ä . sin 1/; , u p^ sin qp = ä . cos i/;, 
80 wird 

Ä = p.yÄ«-2Äi£COsa) + «r2, tgv; = ^^^:^4^^?^. 

* sin (2 a + t/;) = 2 Ä u (1 — cos y) + p^ (m cos y — Ä). 

Aus dieser letzten Gleichung erhält man zwei spitze Winkel a^ 
solange sin (2 o^ + t/;) < 1 ^ keinen reellen Winkel a^ sobald 
sin (2 a + 1/;) > 1. Ein einziger Winkel a ergibt sich, falls 
sin (2 IV + V') = 1* Dann ist 

{2 Ä u (1 — cos y) + Pq (ti cos 9 — R)Y 

=s p^* [[R — u cos (pY + u sin^ (p), 

oder nach einigen Reduktionen unter Fortlassung des Faktors 
w(l — cosqp): 

(7) u^— ^^'-^0* 



1 2 Ä - ^0 
2 Ä + ^0 



Diese Bedingungsgleichung zwischen den Koordinaten u, (p 
des Zielpunktes gibt die äußersten mit der Geschwindigkeit v^ 
von Ä aus erreichbaren Treffpunkte. Es ist dieses die Polar- 
gleichung der oben konstruierten Sicherheitsellipse. Ihre 
Sclmittpunkte mit der Erdoberfläche ergeben die maximale 
Wurfweite. Setzt man zu diesem Behufe u = Ä, so findet man 

In diesem Falle ist i/' = J-qp, sin (2 a + 1//) = 1 , 2 a + J- qp = 90^, 

Sucht man den Schnittpunkt der Sicherheitsellipse mit der 
Tangentialebene der Elrdoberfläche in A, so muß man u =s EJcwoi 



222 



E, Lampe» 



setzen; dann wird sini/; = 0, i/; = 0, also 8in2a = 1, a = 45®, 
wie beim parabolischen Wurf. 

Liegt überhaupt der Zielpunkt des Wurfes in der Tan- 
gentialebene, so folgt aus u cos ^ = ^ für cf die Gleichung 



2Ru{\ — cos y) = M (>^j sin gp sin 2a , sin 2 a = 



2Ru 

(f9 



tgi^P' 



also ergänzen sich die beiden Äbgangswinkel zu 90^. Der 
höchste zulässige Wert für ig^(f ist (>o/2Ä. Daraus be- 
rechnet man die größte Wurfweite in der Tangentialebene 
Ätgep = 4Ä^Po/(4i?2 — (>q2) == dem halben Parameter p^ der 
Sicherheitsellipse. Beim parabolischen Wurfe ist das Maximum 

der Wurfweite in der Horizontal- 
ebene gleich Qq] die DiflFerenz 
Po - Po ist Qo^l[4R* - Q^^. 

Will man die Gleichung 
der Wurfellipse in die der 
Wurfparabel überführen, so hat 
man in (5) kartesische Koordi- 
naten einzusetzen und den 
Koordinatenanfang nach Ä zu 
verlegen. Man erhält für Ä als 
Nullpunkt, Ä als negative 
ar-Achse: 




Fig. 3. 



jl - (l - ^« cos2 a) 1 - - -^p^ (l - I ^ös' ^) si^ « ^^s ^ 



+ y 



2 



(•- 



^Q sin' a cos* 



Ä» 



- j + 2xQq cos^ a — 2 y ()jj sin a cos a = O- 



Setzt man hierin Ä = oo , so folgt 

y^ + 2 a: (>^, cos^ a — 2 ;/ (>^j sin a cos cc = 0, 

fie bekannte Gleichung der Wurfparabel. 

Soll man endlich auch die Geschwindigkeit und die Zeifc 

Ah Wurfes berechnen, so ist der Flächensatz heranzuziehen^ 

lAmFig. 3 J/f = ^/»v, 80 ist Sektor AO Ä'= ^l^dsy wen« 

01 = l^= JKcoscf das Lot von A auf die Tangente in A ist- 

IvMt \A inw^v^^dt\ also, wenn noch c die Sektoren- 

^^■■ii^liflt, Sektor //0^' = cv/^=^/^^.t?^jf/^,c=|Äcose3f.v 



Schiefer Wurf ah Zentralbewegung, 223 

Daher f&r einen vollen Umlauf in der Ellipse mit der Um- 
aufszeit Ti 



abn = —BVf.coQaT, T = 



2ab 



n 



2 ^ ' BvoCOaa 

Sun ist 

b = a yi~— €* = y^9o' <^08 a [vgl. (4)]. 
Also 

y, _ 2 g'/t n _ 2R^n 

unabhängig von a. 

Um die Flugzeit t für den in A beginnenden Sektor S zu 
finden^ hat man den Inhalt dieses Sektors in bekannter Weise 
mit Hilfe der exzentrischen Anomalie t; zu finden: 

^i^^VT^^Y^' *5=«yi -62(t; + 6sint;). 

Dam ist /= T.Sjabn. 

Die Geschwindigkeit t; in einem Punkte der Bahn findet 
man aus dem Lote / auf die Tangente des Punktes von 
nach der Formel vi ^v^l^. So gewinnt man unter anderem 
die (Geschwindigkeiten in den beiden Scheiteln angenähert: 

r' = üoC08afl-^sin2al, v" = -^^^ fl - ^^cos»«). 

" \ 2Ä /' roCOßo\ 2R ) 

(EingegaDgen 11. August 1903.) 



224 



30. Über elektrische Strömnngen in zylindrischen 

Leitern. 

Von A. V. Bäoklund in Land. 



Das Folgende wird allein von derartigen elektrischen 
Strömungen handeln^ die^ einmal in einem zylindrischen Leiter 
erregt, sich dort eine längere Zeit erhalten können^ wenn der 
Leiter entweder frei ist^ also etwa von trockener Luft um- 
geben^ oder auch mit einer koaxialen zylindrischen HOlle 
leitenden Charakters versehen ist Solche Ströme werde ich 
als Eügenströme des Leiters bezeichnen und mit den folgenden 
Zeilen besonders versuchen^ einen Beitrag zur Erledigung der 
Frage zu liefern^ wie durch äußere magnetische Kräfte die 
Eigenströme eines Leiters verändert werden. 

!• EigenstrSme eines homogenen zylindrischen Leiters, wenn er 
kemer mißeren magnetischen Kraft ausgesetzt wird. — Wenn 
lOQ äußeren magnetischen Kräften abgesehen werden kann, 
bdkt man iUr das Innere eines vollkommenen Leiters die 
Max well sehen Gleichungen in der folgenden Form anzu- 
w^en: 



M 



du dv d «^ _ PI 



dx dy d\ 

Jhw den drei ersten dieser Gleichungen leuchtet sofort ein, 
Jm A^ iP^Mji ilrei Integrale u, v, w derselben der durch die vierl^ 
Jm^ üHsgedrückten Bedingung zu einer Zeit genügen, si^ 
mck SM jeder folgenden Zeit tun. Denken wir uns jetzt 
Ibmc^mon metallischen Leiter zylindrischer Form vor- 
r» uwl nohmen wir die Zylinderachse zur ^Achse und 
^«»*)i Kndpunkt zum Koordinatenanfang, so finden wir aus 
E«i*rHton jonor Gleichungen (1) elektrische Strömungen 
Afcjwohnitton dos Leiters diuch folgende Ausdrücke 
\r wfaMMttouton u, V, w dargestellt: 



Mektr. Strömungen in zylindrischen Leitern. 225 



fl 



00 OD m* jt ^n 



(^ •«. sinn t/; + ^^,, cos n i/;), 
117 = 0. 

Hierbei sollen ¥rir unter r die Länge des Lotes vom 

Punkte {x, y, z) auf die Zylinderachse^ unter ip den Winkel 

^eees Lotes mit der X-Achse und unter L die Länge jener 

Zylinderackse verstehen. E^ wird übrigens R der Differential- 

l^ichnng genügen: 

e«rs r/n eine positive ganze Zahl^ besonders 



w 



\ 4 (n + 1) ^ 4.8(ii + l)(n + 2) 

4.8.12(n+ l)(n + 2)(n + 3) ^ ' ' 7 ' 



wobei p^ eines der obigen q^^\ q^^, p^p), ... ist und diese q^'> 
Wurzeln der folgenden Orenzbedingung sind: 

a der Radius eines Querschnittes des Zylinders. Sämmtliche 
diese Wurzeln werden reell, wegen folgender Belation, die 
wir aus (3) sofort ableiten: 

frB(e<^,r)B{Q»),r)dr = 0, i^k, 



ttnd daher auch, wegen der wechselnden Zeichen der Glieder 
^on (5), alle p^*) positiv. Die Koeffizienten A, ß, A\ B' in 
(2) lassen sich bekanntlich, nach den Untersuchungen von 
Sturm und Liouville ^), so bestimmen, daß für alle Werte 
^on r zwischen und a 



1) Sturm u. Lioaville, Journal von Lioaville !• p. 106. 269. 1886. 
BoltxBUum-FeftschlifL 15 



226 A. F. Bäcklund. 






00 00 



beliebig vorgeschriebene Funktionen von r wiedergeben. Dem- 
zufolge können diesen Koeffizienten solche Werte beigelegt 
werden, daß im ganzen zylindrischen Leiter > seine äußere 
Begrenzung und seine Achse ausgenommen^ jene u und v f&r 
^ = beliebige Werte f[x, y, z) und (p {x, y, z) annehmen. Sei nur 

ax ay ' 

SO müsseui nach meiner anfangs in dieser Notiz gefällten Be- 
merkung, die gefundenen Ausdrücke (2) f&r t<, v und w (=0) 
auch immer flir ^ > die vierte der Gleichungen (1) erfillleik 
Besonders einfach wird der Fall: A^^^ = — B^^^^t ^m\t> ^«ii 
sowohl als alle übrigen A, ... ff Null. Biß Strome werden, 
dann kreisförmig mit der Z^Achse als gemeinsamer Achse. 

2. Einfluß einer konstanten, der Z^Ächse parallelen magneti- 
schen Kraft — Jetzt nehme ich an> daß eine bedeutende 
magnetische Kraft wirksam ist, die der ^-Achse parallel geht 
und im ganzen Leiter eine konstante Litensität C aufweist 
Nach dem, was ich in meiner Abhandlung: Über die magnibh 
optischen Erscheinungen ^) auseinandergesetzt habe^ geben jetzt 
die allgemeinen Maxwell sehen Gleichungen für einen yoU- 
kommenen Leiter statt der obigen (1) die folgenden Formeln: 



(«) 



in VeiH^in mit der jedenfalls geltenden Gleichung: 

^'' dx^ dy ^ dx 

^f¥mt wiiHon wir, daß, falls q die Dichtigkeit der freien 

IMteiiitAt im Punkte (*, y, z) des Leiters bedeutet: 

^ P"" 4tr \dx dy}' 

V 4. \MU c k I u II d , Arkiv för Matematik etc., utgifvet af K. Svenska 
iMUlt^ll 1. p. 1. 190S. 



'i 



Elekir. Strömungen in zylindrischen Leitern. 227 

Besonders auf drei Schlüsse aus diesen Gleichungen möchte 
eh hier die Aufmerksamkeit lenken. Erstens gilt, wie vorher^ 
laß irgend drei Integrale der Gleichungen (6)^ die zur Zeit 
( =s die Gleichung (7) befriedigen^ dies auch zu jeder folgen- 
den Zeit tun. Zweitens finden wir^ daß, wenn zu einer Zeit 

^ f. du . dv . dw ^ 

^ ' ax ay ox ' 

auch zu jeder folgenden Zeit dieselben Relationen statthaben. 
Und drittens folgt, daß im letzteren Falle {q = 0, w =^ für 
(sO) die Stromkomponenten u und v durch die folgenden 
Gleichungen gegeben werden: 

Eine Lösung dieser Gleichungen , die der Lösung (2) der 
Gleichungen (1) am meisten ähnlich ist, finden wir leicht, näm- 
licb durch die folgenden Gleichungen ausgedrückt: 



(9) 



Bmgze '^ (c/cos^ ^+rsin-, — t\ . 

Bingze '^ c/„sm 4 ^— Tcos^, 1]. 



mn 



die Summierung über alle positiven und ganzen Zahlenwerte 
ton m erstreckt, und U, F, solche Funktionen von x und 
y darstellend, die sich durch Auflösung einer Funktion von 
' + yy — 1 ergeben, also 

Hierzu ist noch die für die gekrümmte Fläche des Leiters 
geltende Bedingung zu erfüllen, die aber bei der Gegenwart 
der magnetischen Kraft C nicht durch die obige Gleichung (5), 
sondern eher, wenn das umgebende Mittel keine Einwirkung 
▼on jener Kraft erleidet, durch die folgenden Gleichungen 
auszudrücken ist: 

15* 



226 



A, / . /iäv. i . 






• =1 



beliebig vorgeschriebene Kn-.. 
zufolge können diesen !«. 
werden, daß im g.mz. 
Begrenzung und sein«- 
^=ü beliebige Wni 



:iiien: 



-f r| - i;, f = n , 



SO müssen, n.i. ' 
nierkung, dii 
imi'li imnirr 
Besoiithrs 
sowolil • 
dann I. 

seh' 

n<. 



i k»m]»lex. Nur wenn 
: KoriStanten ersetzen. 
-. P'.iLktf der Funk- 
:- >:L;iularitäten Xnll 
. i •.:.€■!• eine Eloktri- 

•:-: uüderon Art boi 

•- = u und o = U. 
i-i.L: n »erschwiiidd. 
•• L N'/.l ditlem-ren. 

• '-. Kann, auiii 

■■::.i-.::. und wir 

•- ist'.-ii der GK'i- 



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L — /V COSWI.")), 

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-•«-■. -1. 

~ -.;?;_:.:t;o> l uud ;' 



*n in zylindrischen Leitern, 229 



' » 



.1' erste dieser Gh-ößen muß 
■ifi(;hung sein: 

: wird 

lle r reell, so gelangen wir zur folgenden, der 
-iinf^ (2) ganz analogen Lösung gegenwärtiger Auf- 



(^««. sin n V + J9,„ cos n v) 
+ (?/,. sin»- F,, cos CO) 

(^,„sinnv+Ä,,.cos«t^) 
— (?7„cosM+ F^^sinw) 

(^«,. sin n t/; + Z),,. cos n i(»)}, 
sehr klein wie kxC. 

Abkürzung haben wir geschrieben y'*, «'<", /9'W, «» 



L* ' 4 n A* II ' 4nkfi 



-ri » 7- - > --.- » (± y'*Ä X (7 + /9'('V bez. 



eben so klein ist wie kxC, — wie für einen gut isolierten 
intreffen möchte, — fallen sowohl alle ß' als alle V weg. 
hrend also die Ströme des Abschn. 1 aus einfacheren zu- 
gesetzt sind, die an jeder Stelle ihre Sichtungen un- 
t bewahren (aber nicht jede fär sich allein möglich 
sie nicht je ftlr sich der vierten Gleichung (1) genügen), 
dagegen die eben gewonnenen Ströme in gleichftrmiffen 



280 A. F. Bäcklund. 

Drehungen inbegriffen sein von der vom einen zum anderen 
Strome variierenden Zeitperiode 

doch ß' verschwindend klein. 

4. Der Leiter ist von einer Hülle umgeben und keiner be- 
deutenderen magnetischen Kraft ausgesetzt — Wenn der Leiter 
von einer Hülle umgeben ist, werden seine Eagenströme von 
denjenigen der Hülle wesentlich modifiziert , indem beide stö* 
rend aufeinander einwirken. Es würden sogar im Leiter elek- 
trische Strömungen entstehen können, die wir im Falle, daß 
der Leiter und seine Hülle zylindrisch sind, und keine be- 
deutende magnetische Kraft tätig ist, aus den Ergebnissen des 
Abschn. 1 einfach dadurch ableiten, daß wir in (5), wenn wir 
diese Gleichung auf die Grenze zwischen d«m Leiter und seiner 
Hülle beziehen, a = ^^ + /m^ )/— 1, ijl^ und /Ltj reell und positir, 
annehmen. Keine der Wurzeln pj^*) wird jetet reell, sondern 

sämtlich werden sie der Form oj,*^ + /^'^V— i> mit allen /JW 
von Null verschieden. Wenn wir daher in Ä(4) statt p^ die 
Größe a^ + ß^ |/^ 1 einfuhren, wodurch wir bekommen 

U und V reell, so finden wir mit den Bezeichnungen des vor- 
angehenden Abschnittes statt der Ausdrücke (2) für u, v^ to 
die folgenden: 

(^•». siantf) + B^^, cos n tp) 

(^'«n. sin n tp + F^^, cos n v»)}. 
^^^\ " = 222«'° !?L^>-(^+«;">)«{(JA..co8/9'(-^^+ F„8in/92'«) 
\ (C.„,8inRV/ + i)„.co8«V') 

+ (f^„.8i°/9:"'^-^„. cos /?;(•»<) 



— _ c\ 



(15) 



tt == — 




Elektr, Strömungen in zylindrischen Leitern. 231 

Bb werden doch hier a|f> + /9(^*)}CrT, .9 = 1, 2, ... die Wur- 
Keln Q^*"^ der folgenden Gleichung sein: 

Sei außerdem noch Folgendes bemerkt. Wenn wir die 
(konjugierten) Ströme {u\ v\ vf) einführen: 

?8in^e-(^ + «n'0'{(tr^,8in/3>)^- F^cos/?;^^ 

-(f^n.co8/9;w^+F,,8in/3;C)0 

(^'•1.. sin n Vf + Ä'^^, cos n t^)}, 
etc., 80 sehen wir aus (14)^ daß an der Grenze zwischen dem 
Läter und seiner Hülle: 

■ä7= - N^ + lh^y etc., -^«-nioM -ftt«, etc., 

gerade als wenn für die Strömung (13) die Strömung (15) die 
Bolle einer Ton außen kommenden Strömung spielte, und an- 
dererseits fUr diese Strömung jene die entsprechende Bedeu- 
tung hätte. 

Wenn auch die Hülle völlig leitend ist, gelten ftir ihre 
Ströme ebenfalls Gleichungen von der Form (2), aber mit R 
als allgemeinem Integrale von (3) gleich c^R^ + c^R^, c^ und 
C| komplexe Integrationskonstanten, deren Werte erst durch 
die Grenzbedingungen der Hülle zu bestimmen sind. Diese 
Örenzbedingungen lauten, flir r ^ a > a\ 

ind für r = a: 

Aber es müssen für die Hülle immer die Werte von g''* + a^ 
^d /9J gebraucht werden, die wir oben flir den Leiter ge- 
Ainden hatten, und in R also die daraus fließenden a^ und ß^. 
5. Wie jene elektrischen Oszillationen von einer magnetischen 
^raft in mehrere zirkuläre Strömungen gespalten werden, — Aus 
den Gleichungen (11) der N. 3 folgt fast unmittelbar, wie die 
Strome (13) durch das Auftreten einer der ^Achse parallelen 
Diagnetischen Kraft konstanter Intensität C verändert werden. 



(16) 



282 A, V. BäcUund. Elektrische Siroffnmffen ete. 

vorausgesetzt^ daß sowohl das Quadrat von AxC wegen seiner 
Kleinheit^ als auch das Produkt von kxC id. erster Potenz 
mit jti^ oder fi^ zu Seiten dieser fi^ oder fi^ zu vernachlässigen 
sind. Für die Hülle des Leiters sei das entsprechende x Null 
Statt der vorangehenden Ausdrücke für tc^ t;, to entspringen 
nämlich jetzt folgende: 

u = 222 «^ ^- ^"^"^ ^ ""'^^ ' (^«f 008 «+ F,, sin fl,) 

+ (D^^sin« — F^^cos») 

(^ «n. sin n V^ + B^^^ cos n tpl 

v=^±^^^Qin^e-i^''<'n^)'{U^^Bm(o ^ F.. cos«) 

— (CT^^coso) + F^^siniö) ! 

w sehr klein wie AxC, 

Die beiden Zeichen in v gehören bez. mit den gleichen Zeichen i 
in CO zusammen. 

Statt der in (13) stehenden Schwingungszahl ff^'^ ersdieint 
folglich jetzt zu beiden Seiten derselben die Reihe von Schtoingnngt- 
zahlen 

ivobei zu bemerken ist, erstens, daß jenes Änderung sglied sowohl 
von n als s unabhängig wird, zweitens, daß zu den verschiedenefh - 
dein doppelten Zeichen dieses Gliedes entsprechenden Pawren ebir 
zelner Schwingungen verschiedene A^^^, etc. gehören, weshalb diese 
Schwingungen, in welche die frühere der Periode 2n:ß'^*^ durdi 
den Magnet jetzt gespalten worden ist, sehr verschiedene Inten' 
sitäten erreichen. 

Die jetzt erörterten Schwingungen werden aus zirkulären 
Schwingungen gebildet. Letztere existieren nicht isoliert, 

(Eingegangen 14. Au^st 1908.) 



288 



Einflnfi der Änderung der spezifischen Wärme 
anf die Umwandlnngsarbeit 

Von J. H. van^t Ho£f in Charlottenburg. 



Veranlaßt durch eine Arbeit von Th. W. Richards^) 
r die Beziehung zwischen Änderung der spezifischen Wärme 

einer Umwandlung und dem Temperaturkoe£Gizient der 
ctromotorischen Kraft habe ich den Einfluß der Temperatur 

die Arbeit^ welche eine Umwandlung leisten kann (freie 
ergie) eingehender verfolgt und das Resultat der Rechnung 
t die Beziehung von Richards sowohl wie auf Umwandlungs- 
scheinungen im aDgemeinen anzuwenden gesucht 

1. Ableitung der Qrundfirleiohunfi:. 

Die Beziehung zwischen freier Energie [E in Kalorien), 
rsrmeentwickelung (Q) und Temperatur gestaltet sich sehr 
Mach bei den durch eine Umwandlungstemperatur (P) oder 
chmelzpunkt charakterisierten Verwandlungen, falls Q als 
onstant betrachtet wird. Es entsteht dann der Ausdruck:^ 

er die drei fundamentalen Beziehungen in sich enthält: 

1. daß beim absoluten Nullpunkt die freie Energie der 
t^&rmeentwickelung gleich ist: 

2. daß bei der Umwandlungstemperatur dieselbe Null wird: 

i) ' jgp = 0; 

S. daß sie sich mit der Temperatur ändert nach dem 
«kannten Gesetz: 

^ dT" T '• 



1) Th. W. Richard 8 y Proc. of the Amer. Acad. of Arts and 
*cience8 p. 293. 1902. 

2) £tadc8 de dTaamiqae chimiquc p. 197. Amsterdam 1884. 



234 /. H. van't Hoff. 

lu dieser vereinfachten Form ist jedoch gerade die toh 
Richards verfolgte Änderung der spezifischen Wärme durch 
die Umwandlung nicht berücksichtigt oder viehnehr als NuD 
angenommen. Wird dieselbe hinzugezogen und, allgemein, die 
Verwandlung eines Systems ^ in ein zweites B betrachtet, 
welche bei der absoluten Temperatur T unter einer Wärme- 
entwickelung Q pro Kilogramm vor sich geht, und sind die 
bez. spezifischen Wärmen Sj^ und Sßy so ändert sich Q mit der 
Temperatur nach der Gleichung: 

(5) dq^[SA-SB)dT^8dT, 

worin S die Differenz der spezifischen Wärmen bedeutet. Wird 
dieselbe als konstant angenommen, so entsteht: 

(5a) Q^Qo + ST 

und bei E^fuhrung in Gleichung (4) 

f4al H^ÄJz9^ ^s 

Durch Integration entsteht hieraus: 

worin Ä eine Integrationskonstante bedeutet; f&r 7 == wird 
das zweite Glied gleich Null, also: 

somit: 

(4b) E^E^ + AT-STIT 

und 

(4c) J^'=^-5(l+/r), 

wolohe orste (xleichung in vieler Hinsicht mit einer von Lewis^) 
orlialtiMion übereinstimmt 

Dio physikalische Deutung des Ausdruckes (4b) ist inso- 

woit möglich, daß die freie Energie sich aus drei Teilen zu- 

sammousot/.t., wovon der erste E^^ die ümwandlungsarbeit 

V^i AbMolutoni Nullpunkt, also die Abnahme der potentiellen 

Kh«rgio bei diM* Verwandlung unter diesen Umständen bedeutet 

Attoh da« zwoito Glied J T erscheint einer Deutung fehig, 

^nkift mim Vorwandlungon betrachtet, bei denen die ganze 

^^tti^Utuug diosom Glied /.uzusohreiben ist Es sind dies 

^-*<%^ ^. L«WU, /^iUclir. f. pby»ik. Cbemie S2. p. B68. 1900. 



^Smfi. d. .htd«rung d. spez. If ä 



mf d. Umwandluiiqsarbeit. 235 



izentrationsänderuiigeii oline innere Arbeitsleistung, im i-iii- 
jhaten Falle die Äuadebnuiig eines Terdünnteu Gases oder 
dünnung einer entsprechenden Lösung; der Arbeit, welche 
'dann quantitativ aus mitgeteilter Wärme entsteht, entspricht hier; 

pro Eilogrammmolekül . falls Cb und 6'^ die bez. Konzen- 
trationen sind. 

Das dritte Glied ST IT hängt wohl mit Änderung der 
potentiellen Energie unter Einfluß der Temperatur zusammen. 

i. Die Besiehiuig Toa Blohards. 
Kichards fand, daß, hei Verwandlungen ohne Konzentra- 
tionsänderung, wie z. B.: 

Mg + ZnSO.-Äq = Zu + MgSO,-Aq . 
itWs die Konzentration der ursprünglichen Zinksulfatlösung mit 
derjenigen der entstehenden Magnesiumsulfatlöaung überein- 
ttimmt, der Temperaturkoeffizieut [dEjd T) der elektromotorischen 
Kraft das umgekehrte Zeichen hat, als die von der Abnahme 
der Wärmekapazität [S^ — Sb=S)\ daß beide einander an- 
Khemend proportional Bind, während entsprechend für 5=0, 
iS\dT=0 und E=Q ist. 

Diese Beziehung geht aua (4c) unmittelbar hervor, unter 
Fortlassung des auf die Konzentrationsänderung sich beziehen- 
den Gliedes A und es entsteht: 



Froportionalitätfifaktor würde fUr die Beobachtungstempe- 
18" etwa 6,7 betragen, also: 

11= -6,7«. 



y 



Vergleichen wir damit Richards' Tabelle, worin dEfdT 
und S in Majers ausgedrückt sind, dann ist allerdings ein 
bustaotes Verhältnis nwischeu beiden nicht vorhanden, was 
!<anz gut davon herrühren kann, daß S als Difi'erenz großer 
Zahlen erhalten wurde, wie z. B. für Ni + CuSO^: 



S = S. 



-- 14997 - 14966 = 31. 








dT 


Mg + ZnSO^ 


124 


-628 


Mg + CaSO^ 


106 


- 620 


Mg + Ni804 


75 


- 550 


Mg + PeSO* 


65 


- 540 


Zn +Fe804 


- 60 


76 


Zn + NiSO, 


- 50 


75 


Fe + CaSO^ 


41 


- 75 


Ni +CUSO4 


Sl 


- 69 


Zn + CUSO4 


- 17 


10 


Fe + NiSO^ 


10 


- 8 



236 /. H. varii Hoff. 

Darum sind in der untenstehenden Tabelle die höchsten 
Werte vorangestellt und dann S und dEjdT summiert: 

dE "^dE ^%^ c 

5 

5,4 

5,9 

6,3 

7,8 

B 
7,5 

7 

7,1 

Es hat also allen Anschein, daß der Quotient sich um den 
berechneten Wert 6,7 bewegt. 

3. SohmelBunff und XTmwandlunflr. 

Bei der Schmelzung und ähnlichen, bei bestimmter 
Temperatur yor sich gehenden Umwandlungserscheinungen läßt 
sich in den Gleichungen: 

E=^E^ + AT- STIT 

uud 

nicht mehr von vornherein Ä vernachlässigen, nur wird A eine 
wesentlich untergeordnete Rolle spielen. 

Dies vorausgesetzt, seien die zwei Fälle gesondert be- 
trachtet, worin 

S>0 und S<0 

ist. Im ersten Falle wird Q mit der Temperatur linear an- 
steigen, im zweiten abnehmen (siehe Fig. 1 und 2). Was £ 
anbelangt, so wird für 0^ dieser Wert gleich Q^ sein [A in 
Fig. 1 und 2) und die Anfangsänderung mit der Temperatur: 



mr.>o (1D^ = 



+ 00, 



m.— 



EinfL d. Änderung d. spez. Wärme auf d. Umwandlungsarbeit 287 



Da bei ansteigender Temperatur schließlich: 

für Ä>0 ~ negativ, 

dE 



für 4S<0 



dT 



positiv 



wird, muß dJEldT gleich Null werden, bei einer Temperatur, 
wobei JB =a Q ist^ und diese Temperatur liegt, entsprechend dem 





Fig. 1. 



Fig. 2. 



voraussichtlich kleinen Wert von A, ziemlich tief [B in Fig. 1 
und 2). Graphisch werden die zwei Fälle durch Fig. 1 und Fig. 2 
wiedergegeben (in £ hat die Kurve eine horizontale Tangente). 
Der erste Fall: 

5>0 

entspricht offenbar den Bedingungen der ümwandlungserschei- 
nung, da hier H schließlich durch Null geht und sein Vor- 
zeichen wechselt (P in Fig. 1). Für diese Erscheinung ist also 
allgemein: 

d. h. die in höherer Temperatur stabile Form hat die größere 
spezifische Wärme. 

Wenden wir dies zuerst auf die einfachste Form der Um- 
wandlungserscheinung, auf die Schmelzerscheinung an, so er- 
gibt sich die bekannte Tatsache, daß die spezifische Wärme 
des fltissigen Körpers größer sein muß als diejenige des festen. 
Wiewohl vielleicht überflüssig, sei dennoch die folgende Zu- 
sammenstellung der Daten gegeben: 



/ 



238 



J. H. var^t Hoff". 





"^Ä 




(8p. W. 




flOssig) 


Apiol 


0,38 


ßensol 


0,48 


Benso^säurc 


0,87 


Betol 


0,27 


Blei 


0,036 


Brom 


0,11 


Chlorblei 


0,1 


a-Crotonsäure 


0,52 


Diphenylamin 


0,45 


p-Dibrombenzol 


0,21 


EssigsAore 


0,48 


Jodblei 


0,065 


Kalium 


0,25 


Kaliumnitrat 


0,88 


Laurinsäure 


0,58 



"^B 




*^Ä 


"B 


(Sp. W. 
fest) 




(Sp. W. 
flüssig) 


V 


0,8 


MjnstiiiBäare 


0,54 


0,4& 


0,85 


Naphtalin 


0,44 


0,88 


0,27 


Naphtylamin 


0,89 


0,88 


0,22 


Natriamnitrat 


0,41 


0,88 


0,084 


Nitronaphtalin 


0,86 


0,28 


0,084 


Phenylessigsänre 0,49 


0,33 


0,071 


Phosphor 


0,2 


0,18 


0,44 


Quecksilber 


0,084 


0,082 


0,81 


Schwefel 


0,24 


0,16 


0,15 


Schwefelsäure 


0,085 


0,068 


0,46 


Silber 


0,075 


0,06 


0,03 


p-Toluidin 


0,6 


0,46 


0,17 


Wasser 


1 


0,5 


0,24 


Wismut 


0,086 


0,08 


0,46 


Zinn 


0,064 


0,056 



Verfolgen wir Q und E für Benzol, mit dem Schmeli- 
punkt 5^ imd der latenten Schmelzwärme (Qj^g) ^^f'^f ^^ ^^' 

S^Sa-Sb = 0,43 - 0,85 = 0,08 Q = 8,6 + 0,087, 
ferner: 

E=^E^ + AT-- 0,08 r/r = 8,5 + AT -^ 0,08 TIT, 

worin für 

r=278, J?=0, 

also 



somit: 



lür 



ist dann 



^ = 0,08/278^^1 = 0,42^), 



E' = 8,5 + 0,42 T - 0,08 TIT] 
dE 



dT 



= oder E^Q 



0,08 /y= 0,34, 



T=70. 



Dieselbe Beziehung, daß die in höherer Temperatur stabile 
Form die größere spezifische Wärme aufweist, läßt sich auch 
'Ui den Umwandlungen allotroper Elemente oder polymorpher 



1- i. ist i»^ 



■inen etwa 6 S. 



xfl. d. Andernng d. spez. Warme auf d. Umwandlungsarbeü» 239 

3rbmdiingen erwarten. Nur ist zu berücksichtigen, daß, indem 
klein ausf&llt bei kleinen Schmelzwärmen [S ist 0,5 beim 
is, mit einer maximalen Schmelzwärme von 80; 0,02 beim 
liosphor mit der minimalen Schmelzwärme 5), bei den hier 
erliegenden kleinen Umwandlungswärmen schon eine sehr 
maue Bestimmung von S^ und Sß nötig ist, um das richtige 
orzeichen f&r S^ — Sß zu erhalten. 

Für EHemente liegen die folgenden Daten vor: 

oblenstoff 0,114 (Graphit bei - 50^ 0,0685 (Diamant bei - 5O<0 

ohlenstoff 0,467 (Graphit bei 1000^ 0,459 (Diamant bei 1000^ 

hoipbor 0,17—0,2 (gelb) 0,17 (rot) 

ehwefel 0,18—0,2 (prismatisch) 0,16 (rhombisch) 

nm 0,56 (metallisch) 0,55 (grau) 

Für polymorphe Verbindungen liegen folgende Daten vor, 
on denen sich wiederum Sj^ auf die bei höherer Temperatur 
labile Form bezieht:^) 





^A 


Sb 


AgJ 


0,0577 


0,0544 


Cu,J,.12AgJ 


0,058 


0,0588 


GufJ,. 4 AgJ 


0,0702 


0,0565 


Cu,J,. 8 AgJ 


0,0726 


0,0596 


PbJj.AgJ 


0,0567 


0,0475 


KNOa 


0,285 


0,203 


NH4NO,(81 ^ 


0,355 


0,407 


]SH4NO,(820 5) 


0,426 


0,355 



[ier hegen also vereinzelt Abweichungen vor, die jedoch näher 
^ prüfen wären. Sie könnten bei verhältnismäßig kleinen 
'-Werten auftreten und würden da das sehr eigentümliche 
erhalten zur Folge haben, daß ein Paar Modifikationen zwei 
mwandlungstemperaturen hat. 

Schließlich läßt sich auch dieselbe Beziehung bei den 
iehr komplizierten Vorgängen erwarten, wofür jedoch bis 
tzt das vorliegende Material sich auf die Scheinschmelzung 
niger Salzhydrate bezieht, welche Schmelzung bekanntlich durch 
listallwasserabspaltung bedingt ist. Folgende Daten sind 
izuführen: 

1) M. Bellati und R. Romagnese, J. B. p. 170. 1884; p. 200. 1885. 



240 



J.IL 


%)an't Hoff. 






Sa 


Sb 


Na,S,0a.5H,0 


0,569 


0,445 ^) 


CaCl,.6H,0 


0,56 


0,845 >) 


Na,HP04.12H,0 


0,784 


0,408 1) 


H,S04.H,0 


0,488 


0,227 *) 


CÄN,0e.4H,0 


0,519 


0,897 ^ 



Sie bestätigen durchweg die Begel. 

4. Erweiterung des Satses vom bewegliohen GleiolLgewiehi 

Die Gleichung: 

E^q^ + AT^STIT 

erlaubt noch eine dritte Anwendung^ welche von einer AnnalM 
über die Größe von Ä unabhängig, daftLr aber auch nur q«A 
tativer Natur ist. 

Als von mir der sog. Satz vom beweglichen Gleidl' 
gewicht hervorgehoben wurde und betont, daß eine GlflMh 
gewichtsverschiebung sich bei Abkühlung inuner zu gonsM 
des unter Wärmeentwickelung entstehenden Systems vollseh^ 
wies ich auch auf die Eonsequenzen hin, daß bei tiefer Taa< 
peratur die Gleichgewichte den unter Wärmeentwickelung g^ 
bildeten Systemen entsprechen würden; bei hoher TempertM 
umgekehrt. j 

Die erstere Schlußfolgerung ist auch in der obigen 61 
chung enthalten, indem E und Q beim absoluten Nullp 
zusammenfallen und somit dann Q die Reaktionsrichtung 
herrscht. Diese Schlußfolgerung ist vollkommen bindend 
spricht sich noch bei unserer gewöhnlichen (ziemlich nii 
Temperatur aus in der vielfachen Gültigkeit der Thomse 
Berthelotschen Regel, daß die Reaktionen im Sinne 
Wärmeentwickelung vor sich gehen. 

Die Verschiebung der Gleichgewichtslage bei hohen T 
peraturen in umgekehrtem Sinne ist jedoch, nach der obi 
Gleichung, nicht nur an das Zeichen der WänüeeQtwickel 
gebunden, sondern auch daran, daß 8 einen positiven Wert 
und so werden bei hoher Temperatur nur diejenigen 

1) G. Tammann, Kristallisieren und Schmal iten, p. 45. 190S. 
%) £. G. Pickering, Beiblätter 16, p. 511. 1898. 



Ehifl, d. Änderung d. spez. fFarme auf d, Umwandlungsarbeit 2 AI 

ionen im Sinne der Wärmeabsorption erfolgen, bei welchen die 
spezitische Wärme der gebildeten Produkte die größere ist. 

Diese weitere Bedingung erklärt eine ganze Gruppe von 
sonst befremdenden Tatsachen. Überblickt man nämlich die 
sog. Dissoziationen, d. h. die bei hoher Temperatur im um- 
gekehrten Sinne sich vollziehenden Reaktionen, so sind es 
durchaus nicht allgemein diejenigen, welche sich unter Wärme- 
absorption vollziehen, wiewohl dies ofifenbar eine Bedingung 
ist Vielmehr sind es diejenigen Umwandlungen, die man als 
ein Zerfallen bezeichnen kann, und wobei, entsprechend der 
Termehrten Molekülzahl, auch die spezifische Wärme ansteigt 
Das war auch die alte empirische Auffassung, wogegen aller- 
dings einige Beispiele, die Bildung des Acetylens, Schwefel- 
bUenstoffs, Tellurwasserstofifs usw. sich anführen ließen. Durch 
den neuen Zusatz, welcher sich auf eine notwendige Zunahme 
der spezifischen Wärme bezieht, scheint sich nun die Voraus- 
sagimg mit den Tatsachen vollständig zu decken. 

(Eingegangen 18. August 1903.) 



Boltzmann-Festschrift. 16 



242 



32. On some Problems in the Distribntion of a Gas. 

By George W. Walker in Cambridge. 



1. Introdaotory. 

My object in the present paper is to give the complete 
Solutions of some dififerential equations which occur in this 
subject I shall further indicate the kind of problem to which 
these Solutions may be applied. The application to any par- 
ticular case will then involve merely the determination of the 
arbitrary constants , of integration for the special drcumstances 
of the case. 

The question of the distribution of a gas ander its own 
gravitational attraction is of great importance in astronomj. 
Tlie distribution of free negatively charged particles (cor- 
puscles] in an electrical field, is also an important question. 
We shall und that both questions depend on the Solution of 
the same type of dififerential equation. 

First The distribution of a gas at constant temperature 
at rest under its own gravi tation. 

Let p be the pressure and q the density at any point 
Further let x bß the gravitational potentiaL Then the com- 
ponents of force in the directions x, y, z are 

Let US assume that the ordinary gaseous law holds so that 
p =z QJh where A is a constant which is inversely proportional 
to the absolute temperature. Then the equations of hydrostatic 
equilibrium may be written 

,^ i\ dp l dp 1 dp\ _ldj^ dx ±x\ 

or 

/lölgn \d\gQ ld\gQ\__(dx dj_ dj\ 
^^^ W, dr ' h dy • hdx /""Vor ' dy' dx]' 



Distribution of a gas. 243 

ce by Integration we obtain 

Pjj IS the density where / = . We must also have 
ns* equation 



d'x 






da?' dy' d»^ 

' is the gravitation constant. 
inbstitating from (4) we get 

ö»r 3'y ö»y 

9 Kinetic Theory of Gases leads to the same equation 
1 the number of particies is sufficienüy great. 
n (6) will thus be fundamental in the theory of a dis- 
1 of meteorites. 
ond, The equilibrium distribution of a large number 

negatively electrified particies (corpuscles) under the 
3 of an electrostatic field. 
', p be the pressure, and q the mass density then 

as Professor Drude ^) has shown. 
rther let — e be the Charge (negative) and m the mass 
rticle, and V the electrostatic potentiaL 
3 components of electrical force are giyen by 

he equations of hydrostatic equilibrium are 

dlgQ 1 d\gQ 1 d lg ^1 _ ^ idV^ ^ F öj^l 
dx ' h dy ' h dx\ ^ m\dx ' dy ' dxj' 

•e by Integration we get 



• kV 



V the electrical density is (— e{)jm), Thus Poissons' 
. is 

)x* oy* ox^ m ^ m ^" 

lation is fundamentally the same as (6). 



».Drude. Ann. d. Phy. I. p. .572. 1900. 

16* 



244 (?. r. ITälher. 

In a former paper ^) I applied this eqnation to the questioii 
of striations in a vacuum discharge tube. The eqnation has 
recently assumed a new interest on acconnt of Richardson's^ 
experiments on the corpascles given off by hot conductors. In 
his paper Richardson considers the problem of the distributioii 
of the negative corpnscles in the vicinity of a hot charged 
conductor which is an infinite plane. The Solution which he 
gives is not however the most general. 

2. The eqnation for one dimension. 

If we take or as the independent yariabley equation (6) 
takes the form 

(10) g 4«yp„6»i. 

It may readily be verified that the general solation is 

(11) e-»;r= !I|»X*{e^. + « + ,-4.--|» 
or 

(12) p = e„8 + »x= ^* 1 



2 TT y Ä * coth' (Ax •\' a) 

where A and a are arbitrary constants (cosh is the hyperbolic 
cosine). 

The gravitational problem in one dimension has little 
practical interest^ so that I pass to the electrical problem. 

Ecjuation (9) takes the form 






(13) -3-.- = 4«-- (,„8 

The complete Solution is 

The matter density must be always positive. Hence we must 
take new constants so that 

and the Solution then takes the form 

(1:0 (>,€"» 



1) Phil. Mag. 1900. 

2) (). W. Richardson. Phil. Trans. A. 201. p. 497. 1908. 



Dutribution of a gas. 245 

uid the Potential is giyen by 

The Solution may be applied to the distribution between 
two parallel infinite plates, kept at the same temperatnre, bat 
at different potentials. 

The three ärbitrary constants of integration (>^, ß and B 
Mf be determined from the given potentials of the two plates, 
and the pressure at some point. 

It is to be observed that the supposition p ^ ^jh involves 
the possibility of infinite density. In practice this cannot 
occur and the Solution must break down if cos(j3x + ß) va- 
nishes anywhere in the ränge. 

8. The equation in two dimensions. 
The equation (6) takes the form 

Let tf) be the general Solution of 

18) p, + -S- = 

'hat is 

19) yj=^F,{x + zi/) + I\{x^iy). 

^here F^ and F^ are ärbitrary functional forms. 

Then it is easily verified that the Solution of (17) is 



20) 



im^m)' 



By giving tp various forms we get a variety of possible 
listributions. The case of circular symmetry is of considerable 
nterest 

Take 

21) 1// = ^(x + ly)" + B(x + ly)-» 

?here J, B and n are ärbitrary constants. Further let (o^ = 
'* + y' and tan d = yjx. 

Then we find that (20) becomes 

)r 



24B G. ir. U alker. 



(> = (>ü«'*' = 



(23) ^ '^^ r^*/. H'^jt 






Since the Solution inyolyes two arbitraiy constants n and 
A/B it is tbe most general Solution for cylindrical symmetry. 

Since the density must always be real and positiye. 
a'^*Ib'^* must be real and n must be real The symmetry of 
(22) shows that we need only consider positive values of n. 

There are three cases: 

1"^ If n is < 1 the density is infinite at the origin and 
is everywhere eise finite, 

2°^ if n is s= 1 the density is finite at the origin and 
finite everywhere eise, vanishing at infinity, 

3*^^ if n is > 1 the density is zero at the origin^ rising 
to a finite maximum as (o increases and then diminishing to 
zero as co increases to infinity. 

The last case seems to me of particular interest ia 
astronomy. 

The total quantity of matter between two planes at anit 
distance apart and perpendicular to the axis of symmetiy is 

OD 







4n*ÄB rcü(2n-l)c/oi i 



/, 



hr J (Ao)'« + jB)* 


and is thus finite. 

The Solution (23) may also be applied to a mass of 
outside a solid circular cylindrical core. 

In the electrical case equation (9) takes the form 

and so the complete Solution takes the form 

(25) € •" - ^ ^('o -^« (djp_y ' (dtpy 

[dx) + [dyj 



wbere \fj = F^ [x + it/) -f F^ {x — ly) . 



Distributioji of a gas, 247 





In the 


case 

eh 

Po«* 


of circular symmetry we 

y 2»* a)«(»"- 


obtain 

■1) 


(26) 




. ^''T 



In Order to obtain a real positive matter density we 
may take 

(Forst) ii*/»/jj*/« purely imaginary and =1^. 
Then we liaye 



(27) Po « 



^^ 2n« öi«(»-i) 






The Solution is invalid at the point o) = 1 / ^V^^, but it 
may be applied to the distribution between two cylindrical 
circular conductors at the same temperature and at different 
Potentials provided the point co = 1 j fi^l^ does not lie between 
the two cylinders. 

(Second.) We may take n => in' and 



/t 



and the Solution then takes the form 

(28) Po« ■" 2 «« {C08(n'lgai + a)j" • 



4. Solution in the oaae of a steady eleotrioal ourrent between 
two i>arallel eondueting planes at the same temperature and at 

different potentials. 

Let US take the axis of x perpendicular to the plates^ 
and let (a be the average velocity of the particles in the 
direction of the axis of x at any point x, 

The dynamical equation is 

and the equation of continuity is 

(SO) i^ = o 



248 



G. r. IFaiker. 



-, = 4% — (>. 



and tbe equation for F is 

Integrating (30) we obtain 

(32) gu = A 

where ^ is an arbitrary constant 
Integrating (29) we obtain 

(33) i «* = - -1- lg' (> + 



fn 



y + 6 



2 ^ h 

where C is an arbitrary constant. 
Substituting in (31) we get 

ö* ri ^« 1 , 1 . 6- 



(34) 



Let 



Then 



/= 2 0« +ä18P- 



da; 



^ ' dx [Qh (f* l dx 

Now (34) becomes 



(36) 



Hence multiply by df jdx and integrate. We get 



(37) 



- ^ + ^' s. ( I + fi 



(' 



where B is an arbitrary constant. 
Using (35) we obtain 



(;i8, 

and hence 

(39) 






j- + a = 







where « is an arbitrary constant. 



V= 



Distribution of a yas, 249 

The integral is redacible by means of elliptic functdons. 



) 



/* 



"^ sn" (r, k) 

the usual notation for elliptic functions, wbere ju is a con- 
Qt. 17, a new variable^ is tbe argument of tbe fanction and 
B the modnlus. 

We find that (39) takes the form 



) 






lere the modulus is given by 



A» = - 1 - 



d i» = A*lk'. 
Hence we get 

2 



+ «= - 



Y CT» 



I tl . 2 + *• , 2(1+*«) p 1 



rhere JS{v) is the second elliptic integral given by 



V 

S{v)=Cdn^vdv. 



The eqnations (33), (40) and (42) give the complete Solution. 
Whether the modulus thus determined is real and less than 
unity depends on B, bat in any case the transformation to 
a real modulus less than unity can always be efifected by 
recognized methods in tiie theory of eUiptic functions. 

We have thus obtained the Solution of an important 
question in the theory of the electrical discharge between two 
conductors, and the Solution may be tested experimentally, 
although no doubt the numerical labour of applying tbe Solution 
would be very considerable. 



250 G. W. H^alker. 

5. The equilibrium diatribation between two iwurnllal oondaotiiif 
planes at different potentialB and at different temiieratiiree. 

We can solve this question when the temperatare yariei 
in anj specified manner between the two planes. 
Let 

(43) /? = cpö 

where d is the temperature at any point and c is a constant 
The hydrostatic equation is 



(44) 




1 dp 

Q dx 


e 
m 


d V 
dx 


9 




we { 
(45) 


eJso have 


ö« V 

dx* '' 


= 4n 


e 


1 






Differentiating (44) and 


using 


(43) 


we 


get 


(46) 
or 


d 
dx 


1 d 
Q dx 


C()ö = 


= 4» 




? 


(47) 


x 

Hence putting 


dx 


lg CQ 


ö = 


in 


— i CO p . 



and supposing that d is a specified function of x, let us take 
a new variable | so that 

then we obtain 

and this is the one dimensional equation already considered. 

6. Conolusion. 

I haye spent some time on the equations (6) and (9) in 
Üaee dimensions, but with small success. I have only obtained 
ifvrticalar Solution even in the case of spherical symmetry. 
E«{aation (6) takes the form 

V»» i örr'ir =" ^^^^ ('««*' 



Distribution of a gas. 251 

-and eqaation (9) takes the form 



(60) 


1 


r d r m ^^ 


A particular Solution of (49) is 


(51) 

and of (50) 




2 n y 9o Ä r" 


(52) 




• * — 


9 «r n- Ä r* 



Equation (51) may be of some limited value, but (52) is 
quite meaningless. 

The Solutions in the case of one and two dimensions may 
be of some practical value, and it is with this hope that 
I venture to offer them. 

(Eingegangen 21. August 1903.) 



252 



33. über die sogenannte absolute Bewegung. 

Von C. Neumann in Leipzig. 



1. Allgemeine Betraohtunffen. 

Die von Galilei und Newton begründete^ und sodann 
namentlich von Lagrange und Laplace weiter ausgebildete 
Theorie der analytischen Mechanik nötigt uns, alle Teile des 
Universums auf ein und dasselbe rechtwinklige Achsensystem zn 
beziehen. Es beruht nämlich diese Theorie auf den bekannten 
Diflferential-Gleichungen : 

und bei Anwendung dieser Differential-Gleichungen sind wir 
(falls nicht einander ganz widersprechende Resultate zum Vo^ 
schein kommen sollen) schlechterdings gezwungen^ die Bewegungen 
aller überhaupt vorhandenen Massenpunkte auf ein und dasselbe 
rechtwinklige Achsensysteui zu beziehen, welches etwa kurzweg 
mit Alpha bezeichnet werden mag. 

Allerdings ist dabei eine gewisse Ausnahme zu ve^ 
zeichnen. Mau kann nämlich, falls es beliebt, neben dem 
Systeme Alpha, auch ein anderes rechtwinkliges Achsensystem 
Beta benutzen. Nur muß dieses letztere alsdann im Baume 
des Systemes Alpha entweder festliegen, oder wenigstens in 
diesem Räume eine nur translatorische Bewegung von kon- 
stanter Geschwindigkeit besitzen. 

Das System Alpha pflegt man ein ruhendes oder eibsoht 

ruhendes zu nennen. Und demgemäß pflegt man Orts- 

bestimmungen, Geschwindigkeiten und Bewegungen, die auf 

dieses System Alpha sich beziehen, als absolute zu bezeichnen. 

Selbstverständlich sind das alles nur P]pitheta ornantia, nämlich 

¥artß ohne Inhalt. In der Tat könnte man, falls es beliebt, 

Eipitheta ganz fallen lassen, und etwa kurzweg vom 

ßfha sprechen. Alsdann hätte man z. B. die absoluten 

•1" Bewegungen zu bezeichnen etc. — Doch 



r 



Jber ilie ahxnlute Beirerfnnp, 



253 



Mirden derartige NeuernngavorHchläge keinerlei Aussicht auf 
EiTtblg haben, und — im IiitereBBc der Kontinuität der Ent- 
ncklung der mathematischeu Sprache — auch gar nicht einmal 
-iinfehleuBwert sein. 

Da» St/glem Alpha repräsentiert offenbar, weil alle Bt- 

iiiiig,-7i auf dasitlhe zu beziehe« sind, eilte gewiss« indirekte 

• kiiüp/'unff zwischen allen im ganzen Universum stattfindenden 

Z'sseit, nnd tiiviiloiert aho, — kamt man sagen, — ein ebenso 

■ atfcihaftm wie kompliziertes Universalgesetz. 

Von hervorragenden Physikern und Philosophen, uameutlich 
1. B. von E, Mach, isl das Sjstem Alpha beanstandet worden. 
Und in der Tat muB man zugeben, daß die auf dieses 8yGt«m 
Alpha sich stützende analytische Mechanik eigentlich eine recht 
asiiderhare Theorie ist. Viel angenehmer würde es jedenfalls 
iflio, eine Theorie zu besitzen, bei der das System Alpha über- 
tlüssig wäre, und hei welcher man — unter Vermeidung eines 
solchen metaphi/sischrn Elementes — nur allein von dem 
rhnxiich Gegebenen ausgeht 

Das System Alpha kann nicht in starrer Verbindung mit 
i'n Fixsternen gedacht werden, weil diese ihre relative La^ 
iii'inander von Augenblick zu Augenblick ändern. Iln beeidet 
-h nun aber das System Alpha? Ilelthe Mittel haben wir zu 
■iii'-r nährren Bestimmung? Es liegt in der Natur der Dinge, 
ihß man diese Frage nur mit Hilfe der Theorie, und auch in 
der Theorie nur a posteriori zu beantworten vermag. 

Zu ihrer Beantwortung könnte man etwa hinweisen auf 
die Laplacesche invariable Ebene. Denkt man sich nämlich 
die Theorie der Bewegung unseres Planeteji^gstemes entwickelt 
aaf Grund des noch ganz unbekannten Achsensystemes Alpha 
uod unter Anwendung des Newtonschen Gravitationsgesetzea, 
Bo wird man sicher sein können, daß die Richtung der in 
solcher Weise für unser Planetensystem sich ergebenden 
Laplacescben Ebene invariabel ist in bezug auf jenes un- 
bekannte System Alpha; wodurch alsdann für die Lage des 
Systemes Alpha ein gewisser Anhalt gewonnen sein würde. 
Allerdings involviert diese Methode die Voraussetzung, daß die 
Bewegung unseres Planetensystemes von Seiten der Fixsterne 
w^ merklich beeinflußt werde. Eine solche Voraussetzung 
wird berechtigt sein , sobald man dem Newton sehen 



254 C. NeumantL 

U-ravitatiousgesetz für sehr große Entfernungen eine gewisse 
Modifikation zuerteilt^ wie solche schon von Laplace^), dann 
in neuerer Zeit von Seeliger^ und endlich in etwas ander« 
Form auch von mir (in meinem Werke: Über das Newtonsdie 
Prinzip der Femwirkungen, Leipzig, 1 896) in Vorschlag gebracht 
worden ist^ 

Etwas ausführlicher würde die gestellte Frage — jedoch 
ebenfalls unter Voraussetzung der soeben genannten Modi- 
fikation des Newton sehen Gesetzes -^ folgendermaßen zu be- 
antworten sein: 

Man ziehe von der Sonne S zwei Linien nach irgend zwei 
Fixsternen F und G. Die relative Lage des noch unbekannten 
Achsensystemes Alpha in bezug auf diese beiden Linien SFjoA 
SG wird abhängig sein von sechs Argumenten, die ihrerseits 
unbekannte Funktionen der Zeit sind. Und es handelt sich 
alsdann also um die nähere Bestimmung dieser sechs un- 
bekannten Zeitfunktionen. 

Denkt man sich zuvörderst die Theorie der Bewegung 
unseres Planetensystems entwickelt auf Grund des Achsen- 
systemes Alpha und unter Anwendung des (modifizierten) 
Newton sehen Gesetzes^ so kommen hierbei jene sechs Zeit- 
funktionen ofienbar gar nicht in Betracht^ so daß also die 
Resultate der Theorie von jen^n sechs Zeitfunktionen ganz im- 
abhängig sein werden. 

Diese theoretischen Resultate sind nun aber zu vergleichen 
mit den Beobachtungen. Letztere können von Hause aus etwa 
bezogen gedacht werden auf die beiden Linien 8P und SG, 
sind alsdann aber zu übersetzen in den Raum des Systemes 
Alpba^ und werden^ nach Ausführung dieser Übersetzung, mit 

1) Laplace, M^canique Celeste. Tome V, Livre XVI, Chap. IV. 

2) Seeliger, Astron. Nachr. Nr. 3278 (1895). 

W) Anschaulicher werden die Dinge, wenn man gleichzeitig xvm 
IMauotcnsysteme in Betracht zieht, an ganz verschiedenen SteUen des 
Woltraums, und von solcher Lage, daß jedes derselben von den 
uiii^<)bonden Fixsternen, bei Zugrundelegung des (modifizierten) Newton- 
.ihoii Gravi tationsgesetzes, keinen merklichen Einfluß erleidet. Alsdann 
MAiiilioh wird die Theorie für jedes dieser beiden Planetensysteme eine 
.;i>\\iHH(' Laplacesche Ebene liefern, und die Richtungen dieser beiden 
Kboiioii werden in bezug auf das System Alpha invariabel, mithin auch 
\unn'iHtler invariabel sein. 



B Über ilie absolute Beweguni/. 255 

wn seeht ZeitfunktioneH hekafttt sein. Vergleicht man also 
ese Beobachtungsresultate mit den Resultaten der Theorie, 
wird man za Formeln gelangen, die ebenfalls mit jenen 
chs Zeitfunktionen behaftet aiod. Und alsdann würde es 
ch nun schließlich darum handeln, jene sechs Zeitfunktionen 
erart einzurichten , daB die in Rede stehenden Formeln 
idglichst genau erfüllt sind, u. s. w. ') 

Ich hahe mich hier in Gebiete hineingewagt, die mir ver- 
äituismäßig fem liegen. Die Ästronomen von Fach dürften 
leine Äuseinandersetzunfjen, namentlich in praktischer Be- 
iehnng, bedeutend besser und vollständiger zu gestalten im- 
lude sein. Im wesentlichen aber werden sie, wie ich hoffej 
hmeiuen Auseinandersetzungen einverstanden sein. « 

r ^ S. Historische Notiaen. ' 

Daa Achsensystem Alpha ist von mir in meiner Antritts- 
foriesung*) kurzweg als ein starrer Körper Alpha bezeichnet 
•orden, was leider zu MißverBtändnisaen Veriinlasaung gegeben 
ist Wenn ich damals einer solchen Ausdrucks weise mich 
:»eiiiente, so geschah das namentlich mit Rücksicht auf meine 
latualigen Zuhörer, unter denen verhältnismäßig nur icenige 
Mathematiker sich befanden. 

Kaum bedarf es der Bemerkung, daß meine damalige 
Torlesung in voller Übereinstimmung sich befindet mit La- 
:range undLaplace. So z. B. spricht Lagrange iu seinem 
■erdlunten Werk^ von der Eulerschen Mechanik von 17S6, 
md fährt sodann fort: 

Mau habe seit einiger Zeit die Eulerschen Formeln fast 
anz fallen lassen, weit man eine einfachere Methode entdeckt 
abe. Diese einfachere Methode bestehe darin: „ä rapporler le 

1) SelbstveretändHch wird man in solcber Weise die sechs Zeit- 
Dmonen and das Syetein Alpha nicht vcilUtäodig bestimmen können. 
ielroebr wird man nar die Gesamtheit des S/stemee Alpha und der zu- 
bStigen Systeme Beta (von denen zu Anrang die Rede war) su er- 
tteln imataode sein. Aber man wird aisdann aua dieser Gesamtheit 
lend ein&< iieranegreifen, und dasselbe speziell als das System Alpha 
aeh«D dürfen. 

2) Ober die Prinzipien der Galiloi-NewtODSchen Theorie, I^eipzig, 
i Teuboer, 1870. 

I"8) Lagrange. MScanique analytique, Tome I. Part. II. Sect. I. Nr.3. 



256 C Neumann. 

mouvement du corps, et Us forces qui le solKcitenty ä des dt- 
rections fixes dans l'espace," (1788.) 

Und Laplace beginnt das erste Kapitel des ersten Baches 
seiner M6cani(|ue Celeste mit folgenden Worten: 

jyUn Corps nous parait se mouvoir, lorsqu^ä ehange de sh 
tuation par rapport ä un Systeme de carps que nous jugeons es 
repos; mais, comme tous les corps, ceux mime gut nous semblesi 
jouir du repos le plus absolu, peuvent ttre en mouvement, an 
imagine un espace sans borneSy immobile et penetrable ä Is 
matiere^): c'est avs parties de cet espace rSel ou ideal que nota 
rapportons par la pensee la posiäon des Corps, et nous les antr 
cevons en mouvement lorq*üs repondent suceessivement ä dmn 
lieux de Fespace.'' (1799.) 

Wären mir diese Aussprüche von Lagrange und La- 
place damals beim Druck meiner Vorlesung (von 1870) bekannt 
gewesen, so würde ich schon damals nicht unterlassen haben, 
auf dieselben aufmerksam zu machen. Denkt man sich n&m- 
lich den Laplace sehen espace immobile an die Spitze der 
ganzen Betrachtung gestellt, so werden jene Lagrangesdien 
directions fixes, und ebenso auch die drei Achsen meines Systema 
Alpha dadurch charakterisiert sein, daß sie festliegen in jenem 
Laplaceschen espace immobile. 

Bei dieser Gelegenheit mag mir gestattet sein, von nenem 
einzugehen auf eine gewisse in jener Vorlesung (von 1870) von 
mir angestellte Betrachtung. Die betreffende Stelle (Seite 27) 
lautet etwa folgendermaßen: 

Man denke sich einen rotierenden, aus flüssiger Materie 
bestehenden Himmelskörper B, der (infolge der durch die 
Rotation erzeugten Zentrifugalkräfte) die Gestalt eines ab- 
geplatteten Ellipsoides besitzt. Alsdann kann in dem Zustande 
dieses Körpers B durch ein plötzliches Verschwinden aller 
übrigen Himmelskörper nichts geändert werden. Seine Ro- 
tationsbewegung und seine abgeplattete Gestalt werden also, 
trotz des Verschwindens der übrigen Himmelskörper, ungeändert 
fortbestehen. Hieraus geht deutlich hervor, daß man die Be* 

1) Wcun Laplace hier von einem unbeweglichen und fftr die 
(poüderable) Materie penetrablen Räume spricht, so erinnert das an- 
inSMilich au die heutzutage bei vielen Physikern vorhandene Vor- 
«tdlMKg dei v *n Äthers. 



über die absolute Beioegung, 257 

wegung eines Körpers als etwas Absolutes, und nicht als etwas 
Uoss Belatioes anzusehen hat; oder (genauer ausgedrückt), daß 
man die Bewegung eines Körpers zu definieren hat als seine 
Lagenveränderung im Laplace sehen espace immobile, nicht 

aber als seine Lagenveränderung in bezng auf irgend welchen 

indem Körper. 

Hier habe ich nun derjenigen Einwände zu gedenken, 
, welche von E. Mach in seiner Mechanik^) gegen meine Aus- 
[ ebandersetzungen erhoben sind. Diese Einwände des berühmten 
I Physikers und Philosophen richten sich teils im allgemeinen 
I gegen den Begriff und die Definition der absoluten Bewegung, 
' tefls aber auch speziell gegen meine Betrachtung über den 

lorper B, bei welcher „die Methode des Gedankenexperimentes" 
. lon mir in gar zu freier Weise gehandhabt worden wäre. 

In erster Beziehung habe ich von neuem hervorzuheben, 
ich in betreff der Definition der absoluten Bewegung in 

Toller Übereinstimmung mich befinde mit Lagrange und La- 
place. Allerdings will ich gerne einräumen, daß diese an den 
Laplaceschen espace immobile oder an mein System Alpha 
och anlehnende Definition im Grunde genommen stets etwas 
«ehr Unbefriedigendes und Rätselhaftes behalten wird. Aber 
jene ganze von Galilei, Newton^ Lagrange und Laplace 
geschaffene Theorie der analytischen Mechanik, so vollkommen 
Qnd erhaben sie auch sein mag, wird ja vielleicht dereinst 
einer noch höher stehenden Theorie Platz machen, bei welcher 
alsdann die in Rede stehenden Rätsel vielleicht verschwinden 
werden. 

In letzterer Beziehung (nämlich in bezug auf den rotierenden 
Körper B und die gar zu freie Handhabung der Methode des 
&edankenexperimentes) möchte ich bemerken, daß es sich in 
ier Physik und Astronomie doch um die Auffindung der der 
tiaterie wirklich inhärenten Gesetze handelt, und daß derartige 
Gesetze unter allen Umständen anwendbar sein müssen. Nach 
Heiner Ansicht ist jene Betrachtung über den rotierenden 
Körper R ein unmittelbarer Ausfluß aus der ganzen Theorie 
1er analytischen Mechanik, und durchaus dazu angetan, diese 
rheorie zu illustrieren und zu charakterisieren. Allerdings 



1) £. Mach, Mechanik p. 290. Leipzig 1901. 
Boltnnaxin-Ftetachrift. 17 



258 C. Neumann, 

tritt gerade das unbefriedigende und Rätselhafte dieser Theor 
bei jener Betrachtung über den Körper R besonders stu 
hervor^ wodurch alsdann das Bedürfnis nach einer andern üb 
höher stehenden Theorie nur noch f&hlbarer wird. 

Wenn hier von einer höheren Theorie die Rede ist, s 
bedarf es wohl kaum der Bemerkung, daß darunter auch ein 
passende Modifikation oder VeryoUständigung der jetzige 
Theorie verstanden werden kann. Es scheint aber recht schwei 
eine solche zu finden. 

§ 3. Bemerkungen über die Haxwellsohe Theorie. 

Die von Maxwell oder vielmehr von Hertz in dei 
Elektrodynamik aufgestellten sechs Gleichungen sind bekannt- 
lieh (wie schon Hertz selber bemerkt hat, und wie solcbef 
später auch von mir konstatiert ist], invariant in bezug auf in 
der Betrachtung zu Grunde zu legende rechtwinklige Achsen- 
system. Versteht man also z. B. unter Gamma ein recht 
winkliges Axensystem, welches gegen das vorhin besprochene 
System Alpha in ganz beliebiger (teils progressiver, teili 
rotierender) Bewegung begriffen ist, so werden jene sechi 
Gleichungen mit Bezug auf Gamma genau dieselbe B^orm habei 
wie mit Bezug auf Alpha. ^) 

Könnte man also aus den sechs Hertz sehen Gleichungei 
die von Galilei, Newton, Lagrange und Laplace ge 
schaflFene Theorie der analytischen Mechanik mathematisch ah 
leiten, so müßte letztere ebenderselben Invarianz sich erfreuei 
Das aber ist nicht der Fall. Und demgemäß dürfte es ei 
ganz vergebliches Bemühen sein, eine solche Ableitung vei 
suchen zu wollen. 

Das bezieht sich aber nur auf die Hertzschen Gleichungei 
nicht z. B. auf die Lorentzsche Theorie. Denn diese letztei 
geht von der Vorstellung aus, daß die elektrischen Teilche 
(Elektronen) träge Masse besitzen, (eine Vorstellung, die übrigei 
schon von W.Weber, und, nach Webers Vorgange, am 
von mir gelegentlich in Untersuchung gezogen worden is 
Hieraus aber dürfte hervorgehen, daß die Lorentz'schen Forme 

: Vergl. meinen Aufsatz in den Abh. d. Kgl. Sachs. Gksellsch. 
Vt^sMfueu. 1901. p. 238—256. 



über die absolute Bewegung. 



259 



jene Eigenschaft der Inyarianz nicht besitzen, und daß daher 
gegen die Möglichkeit^ die analytische Mechanik aus diesen 
Formeln abzuleiten^ prinzipielle Bedenken nicht vorliegen. Auch 
habe ich in dieser Beziehung hinzuweisen auf die schätzbare 
Arbeit toh Wien.^) 

Wien hat in seiner Arbeit — nach dem Vorgänge von 
Hertz und Boltzmann — die Quatemionenstenographie ver- 
mifiden^ und der ausführlichen Sprache der Mathematiker sich 
bedient Es w&re dringend zu wünschen, daß dieses Verfahren 
Ton Hertz, Boltzmann und Wien zur allgemeinen Begel 
würde. Denn gerade bei wichtigen und schwierigen Unter- 
Bochongen dürfte» man doch wohl gut tun, weniger der Kürze, 
ab Tielmehr der Strenge und Klarheit sich zu befleißigen. 

1) W. Wien, Becueil de travauz, o£fert8 p. 1. aut k H. A. LorentZ| 
La Haje. 1900. p. 96. 

(Eingegangen 22. August 1908.) 



n 



260 



34. Die thermodynamischen Beziehnngen. 

Von C« Bunge in Hannover. 



In seiner Arbeit ^^die thermodynamischen Beziehungen 
antithetisch entwickelt" hat von Oettingen^) darauf auf- 
merksam gemacht, daß die Größen der Thermodynamik eine 
gewisse Symmetrie und Korrespondenz zeigen. Indem er 
hierauf fußte, gelang es ihm, die wichtigsteh thermodynami- 
schen Beziehungen in tibersichtlicher Weise zu entwickeln. 
Ich habe hier denselben Gedanken befolgt, nur daß ich die 
Belationen mehr vom mathematischen Standpunkt aus be- 
trachte und von den thermodynamischen Potentialen ausgehe, 
die bei Oettingen erst in zweiter Linie erscheinen. 

Bezeichnet u die innere Energie, t die Temperatur, s die 
Entropie, p den Druck und v das Volumen eines Körpers, so 
gehe ich von der Relation aus 

(1) du==tds—pdv, 

wo / und p Funktionen von s und v sind. 

Der zweite Hauptsatz kann nun dahin präzisiert werden, 
daß die rechte Seite ein vollständiges DiflFerential ist, dessen 
Integral eben die innere Energie bildet. 

Aus diesen beiden Annahmen, daß tds — pdv ein voll- 
ständiges Differential ist und daß t und p Funktionen von < 
und V sind, folgen alle übrigen thermodynamischen Relationen. 
Um sie übersichtlich abzuleiten, stelle ich neben die Glei- 
chung (1) noch drei andere, die man durch Subtraktion des 
Differentials von ts und durch Addition des Differentials von 
pv aus ihr erhält. 

(2) d{u — ts)= — sdt — pdv 

(3) d{u + pv) = tds + vdp 

[f^ [u-'ts+pv)=^'-sdt+vdp, 

X\ k.J. V. Oettinjjen, Mem, de l'acad. de» scienses de St. Piters- 



Die Üiermodynamüchen Beziehungen. 261 

Außer der inneren Energie u hat man also noch drei 
idere Größen u — ts, u + pv, u + pv -^ ts, die in den 
Leichttngen eine analoge Rolle spielen. Die Größe u -- ts 
snnt Helmholtz die fireie Energie, u + pv nennt Oettingen 
le totale Energie, und u + pv — ts könnte man nach Gibbs 
is die nutzbare Energie bezeichnen. Ich führe mit Oettingen 
ie Buchstaben ^j%^ für sie ein. 

1. du " ids ~ pdv 

2. d^ '^ — sdt ^ pdv 
8. dZ= tds + vdp 
4. d'Sl ^^ sdt + vdp. 

Die unabhängigen Veränderlichen sind 1. s und v, 2. t und 
, 3. 8 und p, 4. t und p, dlEtgegen kommen die Kombinationen 
f und Pj V für die unabhängigen Veränderlichen nicht vor. Ihre 
Snführung würde andere Formen des vollständigen Differentials 
rgeben. Diese, vier Gleichungen sind einander äquivalent Aus 
)der von ihnen folgen die drei anderen durch Hinzufügen oder 
ibziehen der Differentiale von ts oder pv. Daher sind auch 
ie vier Gleichungen einander äquivalent, welche ausdrücken, 
aß die vier Ausdrücke vollständige Differentiale sind. 

' \dV). ^ "^ ("dTJv 

^ " \dVJt "^ ■" [jTjv 

^ , iU- (4:i 

er Index der Klammer bezeichnet dabei jedes Mal die andere 
labhängige Veränderliche. Die Gleichungen (I) bis (IV) gehen 

sich über, wenn man t und p und gleichzeitig s und v ver- 
uscht 

Neben diese Relationen (I) bis (IV) treten nun eine Reihe 
>n anderen Gleichungen zwischen den Differentialquotienten 
5r Größen *, t,p, v. Sie ergeben sich daraus, daß man je zwei 
eser Größen als unabhängige Veränderliche auffassen kann, 
a ganzen hat man 24 Differentialquotienten erster Ordnung, 
enn jede der vier Größen kann nach jeder der drei übrigen 

doppelter Weise differentiiert werden, je nachdem man die 



262 C. Runge. 

eine oder die andere der beiden übrigen Größen als zweite 
unabhängige Veränderliche wählt. 

Wenn man zunächst von den Belationen (I) bis (IV) ab- 
sieht und nur von der Annahme anagefat, daß von den vier 
Größen je zwei Funktionen der anderen beiden nnd, so ze^ 
sich sogleich, daß von den 24 Differentialqvotieiiteii nicht mehr 
als vier voneinander unabhängig sind, durch die mandieflbrigei 
rational ausdrücken kann. Denn wenn z. B. s und o als no- 
abhängige Veränderliche gewählt werden, so ist 

Aus diesen Gleichungen kann man irgend zwei Differentiale 
ds, dv, dt, dp, durch die anderen beiden ausdrücken. So kaim 
man z. B. ds und dv durch dt und dp ausdrücken und findet 
wenn D die Determinante bezeichnet 

Mithin ist 

Oder wenn man dt und ds durch dp und dv ausdrückt: 
^UMi daher 

- D.-(}VIZ)^ MI4--V(K).- 



JHe ihermodynamücheu Beziehungen, 263 

Auf diese Weise kann man also durch die vier Differential- 
quotienten 

l^±\ (IL\ (^P\ l^P] 

UW»' \dp).' \ds),' \dv). 

fie übrigen 20 Differentialquotienten rational ausdrücken. 
L Dasselbe gilt von den vier Differentialquotienten^ die man 
■riüUt^ wenn man statt s und v irgend eine andere der sechH 
bOglichen Kombinationen nimmt Jede Kombination liefert 
^ Oleichungen. Im ganzen erhält man also 120 Gleichungen. 
Es ist aber unnötig sie alle hinzuschreiben^ da sie aus den 
^•ben abgeleiteten Gleichungen a).bis h) durch Vertauschung 
Buchstaben herrorgehen. 

Diese 120 Gleichungen sind lediglich aus der Annahme 
ickelty daß je zwei Ton den vier Größen tj8,p, v Funktionen 
anderen beiden sind. Sie hängen also nicht von den acht 
Lchungen (I) bis (IV) ab, welche die mathematische Formu- 
ng des zweiten Hauptsatzes enthalten. 
Wenn man nun aber eine dieser Gleichungen (!) bis (IV) 
lurch umformt 9 daß man die Differentialquotienten durch 
in den 120 Oleichungen enthaltenen Ausdrücke ersetzt, 
wenn man umgekehrt eine der 120 Gleichungen durch 
Gleichungen (I) bis (IV) umformt, so entstehen andere 
inlierungen des zweiten Hauptsatzes, und durch Korn- 
ion solcher Gleichungen können natürlich eine unbe- 
nkte Anzahl neuer abgeleitet werden. 
Werden z. B. « und v als unabhängige Veränderliche b(5- 
itet, so zeigt sich, daß von den vier Differentialquotionten 
/ und p nach s und v infolge der Gleichung ^I; nur drei von- 
$r unabhängig sind. Denn die Gleichung 1) besagt, dasH 

sind demnich, sobald man die Gleichung Ij bJH ^IV, zu 
'' nimmt» die 24 Diflerentialquotienten durch drei von ihn<;n 
nal auBdrfickhar. 

Wenn man die Oleichungen a), b), c), d) für den Kall hihUti, 
mB t nnd s ik uabhlngige Veränderliche gewählt hind und 
1^ <// und d$ darch dp und dv ausdrückt, ho wird 



264 C. Runge. 



c 
wo 



=) m.-~mj'- * m.' mj^' 



_ (dp\ (d v\ _ (dp\ (dv\ 
'"[dtJ.Vdsjt [d8)t[dt)»' 



Wenn man hier die Gleichung c) mit der Gleichung (I) 
kombiniert und bedenkt, daß nach der Gleichung e) und der 
analogen Gleichung 

■ m ' '/(fe). -^ (ui- vm. 

ist, so ergibt sich J = 1. Für J = 1 sind eben die Glei- 
chungen a), b), c), d) nur andere Formen der Gleichungen (I) 
bis (IV). 

In derselben Weise ergibt sich auch 

"" [öp/v [dv)p "■ [dv)p\d'p)v "* 
Es sind dabei nur ^ und p und gleichzeitig s und v miteinander 
vertauscht, wobei, wie schon oben bemerkt, die Gleichungen (I) 
bis (IV) ineinander übergehen. 

Man kann die Gleichungen J = J' = 1 auch als Formu- 
lierungen des zweiten Hauptsatzes auffassen; denn wenn man 
die Annahme hinzufügt, daß von den vier Größen t,s,p,v zwei 
als Funktionen der anderen beiden angesehen werden könncD, 
so folgen aus der Gleichung J = 1 oder Ä = l die Glei- 
chungen (I) bis (IV). 

Wenn man s und v als unabhängige Veränderliche wählt, 
so ist 

du = tds — pdv 



und daher 
Nun ist 



cPu = dtds — dp d V . 

und da nach 11 

\ovlt \at)v 
so wird 



Die theirmodynamischen Beziehungen, 265 

Solange also 

m. -' - (ff). 

'sitiv sind, ist (Pu notwendig positiv. Oder geometrisch aus- 
drückt, wenn man s und o als Koordinaten in einer hori- 
»ntalen Ebene und den Wert von u als dritte Koordinate 
ich oben aufträgt, so ist die entstehende Fläche nach unten 
}nvex soweit 

(n -* - m. 

ositiv sind. 

Werden p und t als unabhängige Veränderliche genommen, 
ist 

r/SR = — sdt + vdp 
ind daher 

I 

Jnter der Voraussetzung, daß 

miÜY sind, wird also tPyt notwendig negativ sein. Oder 
;eometrisch gesprochen, wenn man t und p als horizontale 
Koordinaten und 31 als vertikale Koordinate aufträgt, so wird 
lie Fläche nach oben konvex. 

Analog ergibt sich wenn t und v die beiden unabhängigen 
Veränderlichen sind 

^3f - - dsdt-dpdv = - [^Ids^ - [l^ldv^ 

md wenn s und p die beiden unabhängigen Veränderlichen sind 

d'z = dtds +dvdp= (1!)/*^+ {iD/-'- 

(Eingegangen 22. August 1903.) 



266 



35. Znr Geometrie der gewöhnlichen Differential- 

gleichnngen. 

Von E. Canber in Wien. 



Die geometrische Betrachtungsweise der Differentialglei< 
chungen hat durch Sophus Lie die mächtigste Förderung 
erfahren und hat auch auf die Ausbildung der analytischen 
Methoden zur Integration befruchtend eingewirkt. 

Die folgenden Zeilen sollen einen Beitrag nach dieser 
Richtung liefern durch Beibringung einiger Bemerkungen, be» 
treffend die geometrische Verwertung der G lair au t sehen Diffe- 
rentialgleichung und die Geometrie der gewöhnlichen Differential- 
gleichungen zweiter Ordnung. 

I. 

1. Zu jeder ebenen Kurve gehört eine Clairautsche 
Differentialgleichung, als deren singulare Lösung die Kune 
erscheint, nämlich die Differentialgleichung des Systems ihrer 
Tangenten. 

Ist 

(1) F{X, 7) = 

die Gleichung der Kurve, so kommt die Bildung ihrer 
Cla ir au t sehen Gleichung darauf zurück, den Abschnitt der 
Tangente auf der Ordinatenachse, der in der eben erwähnten 
Oleiulmng : 

y^xy' + fiy') 

4urc^ f{jf') vertreten ist, als Funktion des Richtungskoefi- 
iviiftt«n 1/' der Tangente darzustellen. Aus der Tangentea 
iN^^ung des allgemeinen Punktes X, Y: 

*<V^lki!b durch die Differentiation in bezug auf x: 

1^ y = r 



I 

\ 



Chametrie der gewbimtieken Differentialgleichungen. 267 

und der Tangentenabschnitt drückt sich hiernach durch 

Y^Xy 

aus; setzt man hierin fftr X, Y diejenigen Werte, welche sich 
aus dem Gleichungspaar (1), (2), d. i. aus 

(3) ^(X,7) = 0, F; + F^y^Q 

dafür ergeben, so erhält man die für die Clairautsche Gleichung 

charakteristische Funktion f{jf'). 

Für die Parabel 
(4) Y^^2pX 

findet 6ich auf diese Weise die Glairautsche Differential- 
gleichung: 

fb den Ejreis 

(6) X^+ r2-^2*7+a* = 
die Clairautsche Gleichung: 

(7) y = o:/ + * + ^{b^^a^[\+y'^, 

wo die Quadratwurzel in ihrer vollständigen Bedeutung zu 
nehmen ist. 

Bei jeder algebraischen Kurve ist f{y') eine algebraische 
Punktion von y . 

Wenn die Kurve parametrisch gegeben ist^ etwa: 

X^(p{u), Y^\p{u), 
dann ist mittels der Gleichung 

II als Funktion von y' und hiermit Y — Xy in gleicher Weise 
darzustellen, um f{y') zu erhalten. 

Bei der Zykloide 

(8) X = a{u — sin u), Z = a (1 — cos u) 
tat man beispielsweise zur Bildung von f{t/') den Ansatz: 



1 — COß u 

mit dessen Hilfe 



= y 



Y — Xy = a [1 — cos w — (m — sin u)y'] 
^ y auszudrücken ist; zu diesem Zwecke ermittelt man: 



y" 



268 E. Czuber. 

(9) sin« = TV^^y ^ " ^^^S" = TT^' " == Arcsm— ^ 
und findet hiermit die Glairaatsche Gleichung dieser Euire: 

(10) y^xy' + a [2 - y' Are sin y^] . 

2. Hat man die Glairautsche Qleichung einer Kurve auf- 
gestellt, so findet die Aufgabe^ an sie durch einen Punkt r^/y^ 
Tangenten zu legen, ihre Lösung in dem Ansätze: 

.vo = ^ov + /"(yO; 

jede Wurzel y' = m dieser Gleichung ftLhrt zu einer Tangente, 
deren Gleichung, in den laufenden Koordinaten |, 17 geschrieben, 
lautet: 

es ist also der Grad der Glairautschen Gleichung in bezng 
auf y übereinstimmend mit der Klasse der Kurve. 

Die Glairautsche Gleichung der Parabel (4), in ganzer 
Form geschrieben, führt zu 

2x,y'^^2y,y +p^Q 

und liefert für 7/ die beiden Werte: 

yo± yyo»-2 pago . 
2aJo 

hiermit ergeben sich die Gleichungen der Tangenten aus x^ly^-. 

Durch Einsetzung eines speziellen Wertes m für y erhält 
man aus der Glairautschen Gleichung unmittelbar die Glei- 
chungen der Tangenten von der durch m gekennzeichneten 
Richtung, deren Anzahl durch die Wertigkeit von /"(y*) be- 
stimmt ist. 

So ist bei der Parabel 



einwertig, daher 



/•(yo = k 



y = mx+^-- 



die Gleichung der einzigen Tangente von der Richtung m; bei 
dem Kreise (t>) ist 

4 + y(Är_-^(i"+7^"' 



Geometrie der gewöhnlichen BifferentialffleichunfferL 269 



fweiwertig, und somit sind 

tie Gleichungen der beiden Tangenten dieser Richtung. 

3. Ersetzt man in der Clairautschen Gleichung der 
Knrve F: 

(H) y^^y' + fd/") 

y durch — Ijy, so erhält man in 

(12) y=_J+/-(_J,) 

die Gleichung einer zweiten Tangente, die auf der ersten 
nonaal steht; läßt man beide Gleichungen zugleich bestehen, 
80 bestimmen sie ia x, y den Scheitel eines der Kurve um- 
schriebenen rechten Winkels, und die Elimination von y zwi- 
schen (11) und (12) führt zu dem Ort dieser Scheitel. 

Bei der Parabel (4) hat man zur Erledigung dieses 
Problems das Gleichungspaar: 



K 



y = ar y + 



2y' 



y ^ y' 2 



durch Subtraktion ergibt sich daraus 



= K i) '-Y ■• 



der genannte Ort besteht also aus der Geraden x == -^pj^ 
und aus jenem Punkte^ durch welchen die Tangenten absoluter 
Bicbtang gehen, nämlich dem Brennpunkt. 
'Nimmt man zu der Gleichung (10): 

2 — y' Are sin - — ^-^ 



y =zxy' + a 



die nach der Vorschrift (12) gebildete 

y=a ; + « 2+ — Arcsm -z—r-^ 

y y' L y 1 + y . 

hinzu, die sich auch in der Form: 

2 + f {(2Ä + 1) „ + Are sin .j^j] 
schreiben l&ßt, so liefert die Auflösung nach x, y: 



y^-^ + a 



270 E. Czuber. 

- = «["r+^^l"+Arcsm-?*;^-,]. 

mit Beachtung der Gleichungen (9) schreiben sich demnach c 
Gleichungen des Scheitelortes der der Zykloide umschrieben 
rechten Winkel in demselben Parameter u wie diese: 

^= v[(2^- 1)^(1 -cost£) + 2t«], 

y = |[(2fc + 2);rsin« + 4]; 

darin bedeutet k eine beliebige ganze Zahl. 

4. Der Gleichung (12) kommt auch eine selbständige Be 
deutung zu. Sie geht nämlich aus der Gleichung (11) durci 
die Transformation: 

hervor; diese Transformation bedeutet aber eine Drehung der 
in (11) enthaltenen Linienelemente um ihre Punkte durch einen 
rechten Winkel; folglich stellt (12) ein System von CX5* Linien- 
dementen vor, welche durch dieselben Punkte gehend auf den 
Liuienelementen von (11) senkrecht stehen; ein Elementverein 
aus (12) ist hiemach eine Evolvente der Kurve, zu welcher die 
Gleichung (1 1) gehört, mit anderen Worten: (12) ist die Diffe- 
rentialgleichung der Evolventen dieser Kurve. 

5. Sei 

(13) /(J,l-,,/) = 

die Differentialgleichung eines einfach -unendlichen Kurven 
Systems; die Clairautsche Gleichung seiner Einhüllende 
läßt sich in der Weise ableiten, daß man aus (13) und 

^^ =0 
dy' 

X, Y als Funktionen von y berechnet und hiermit den Am 
druck 1 — Xy als Funktion von y bildet; diese ist dann d: 
m Herstellung der Clairautschen Gleichung erforderlicl 

Fudkuon /'(yO- 

der Difterentialgleichung 

2 py 2 + 2 ^ yy + Z» + 72 _ ^2 ^ 0, 



Greofneirie der gewohnlichen Differentialgleichungen. 271 

ilche den Kreisen zukommt^ die man über den zur jr-Achse 
nkrechten Sehnen des Kreises 

|a + ^2 = r^ 

B Durchmessern beschreibt, und aus der daraus durch Ab- 
itung nach y hervorgehenden Gleichung 

Tgibt sich auf dem angegebenen Wege 

ab Clairautsche Gleichung der jene Kreise einhüllenden 
Ellipse. 

6. Die Glairautschen Differentialgleichungen zweier 
Kurven F{X, iO = 0, 6^(2, J) = : 

y = ^y + /'(yO 

y ^ xy +g{jf') 

gestatten die Lösung verschiedener, die beiden Kurven be- 
treffenden Probleme, vor allem die des Problems der gemein- 
samen Tangenten, dessen Lösung aus dem Ansätze: 

henrorgeht; jede Wurzel dieser Gleichung fiihrt zu einer ge- 
meinschaftlichen Tangente, so daß der Grad dieser Gleichung 
die Anzahl der gemeinsamen Tangenten bestimmt 

Die Glairautschen Gleichungen zweier Kreise mit den 
Mittelpunkten cc^lßi, cc^lß% und den Radien r^, r,: 

y^xy +r^fiTy'^ + ß,-u^y 

y^xy' + r,yr+7' + Z?, - €C^y 
geben zur Bestimmung der gemeinsamen Tangenten den Ansatz : 

r, yfTTM- A - a, y' = r, yr+7^+ /?, - a,y , 
oder in rationaler Form das folgende Paar quadratischer 
Gleichungen : 

+ (/?i - A)' - (»-1 ± >•*)* = , 
und die Diskriminanten dieser: 

liefern die vollständige Analyse des Problems. 



272 E. Czuber. 

7. Da die Gleichungen 

(15) 






bei jedem Werte von y zueinander senkrechte Tangenten je 
einer der beiden Kurven F, G bestimmen, so gehören x, y, 
aus diesem Gleichungspaar gerechnet, dem Scheitel eines rechten 
Winkels zu, dessen Schenkel die beiden Kurven in je einem 
Punkte berühren. Die Elimination von y' zwischen den Glei- 
chungen (15) gibt somit den geometrischen Ort der Scheitel 
der dem Kurvenpaar in der Weise umschriebenen rechten 
Winkel, daß jeder Schenkel eine andere Kurve berührt 
Zu den beiden Parabeln 

r» - 2p J= 0, r» +[2pX^ 

gehören die Clairautschen Differentialgleichungen: 

2;ry»-2yy -;> = 0; 

ersetzt man in einer, z. B. der zweiten, y durch — l/y, so 
erhalt man zur Ableitung des Recht winkelortes die Gleichungen: 

2xy^^2yy'+p = 0, 

py^-2yy^2x=.0; 

daraus ergibt sich seine Gleichung: 

' 2a: - 2y 
2x 



p 





-2y 


V 


-2x 





-2y 


-2x 



, -2, - " -"' 

p 

oder ausgeführt: 

16 .r-^ (2:2 ^ ^2) ^ 3^2^2 _ 4^2,^2 + ^4^0; 

der betreuende Ort ist also eine zirkuläre Kurve vierter Ord- 
nung, welche außer den Kreisasymptoten die zur Ordinaten- 
achse parallelen Asymptoten t= ±pI2 besitzt. 

II. 
1. Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in den Varia- 



Geometrie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, 273 

) n*,!/,y'y") = o 

etiniert ein System von cx^' Krümmungselementen, d. h. jede 
lieser Gleichung genügende Wertverbindung x,y,y\%f bestimmt 
iinen ^Puvkt x\y und einen durch ihn gehenden Kreis vom Mittel- 
>iinkte 

Der Begriff des Krümmungselementes ist die naturgemäße 
Fortbildung des Begriffes des Linienelementes, den Lie mit so 
großem Erfolg in die Theorie der Differentialgleichungen erster 
Ordnung eingef&hrt hat. 

Jedem Linienelement der Ebene ist vermöge der 61ei- 

chang (1) ein Erümmungselement zugeordnet, indem durch 

die Koordinaten x, y, y des Linienelementes aus (1) sich y" 

tmd hiermit der Mittelpunkt l/i; des zugehörigen Erümmungs- 

elementes ergibt. 

Man kann auf unendlich viele Arten Scharen von oo^ 
Erommungselementen aus (1) zusammenfassen , indem man 
einen Punktort (ü(jr,y)=sO beliebig annimmt, jedem seiner 
Pankte ein Linienelement nach irgend einem Gesetze zuordnet 
und das diesem Linienelement vermöge (1) korrespondierende 
SrQmmungselement bestimmt. Insbesondere kann man die 
Lioienelemente des Punktortes (o (x; y) = selbst hierzu ver- 
wenden; die zu diesen Linienelementen gehörigen Kreise Ife* 
rühren dann den Punktort. 

Eine Schar von oo^ Krümmungselementen, deren Punktort 
von den zu seinen Linienelementen gehörigen Kreisen oskuliert 
wird, soll als Verein von Krümmungselementen definiert werden; 
der Punktort selbst heißt eine Integralkurve der Differential- 
gleichung (1). 

um die analytischen Bedingungen zu finden, welche die 
Koordinaten x, y, y, y" der Schar genügen müssen, damit sie 
einen Verein bilde ^ benutzt man den Gedanken, daß die in- 
finitesimale Bewegung längs des Punktortes der Schar zu- 
Sftmmenfallen muß mit derjenigen längs des zugehörigen Kreises, 
soweit die zwei ersten Differentialquotienten dabei in Betracht 
kommen. 

Boltmann-Festflcbrift. IB 



274 JS. Czuber. 

Bezeichnet man den Radius des zum Krammangseleme 
x\y\y\y' gehörigen Kreises mit q, so schreibt sich des le 
teren Gleichung: 

da Dir die Bewegung längs dieses Kreises |, tj^ q konsta 
bleiben, so gilt f&r die Wegkomponenten die Beziehung: 

(3) {x-S)dx + {y^fi)dy = 0, 
woraus mit Rücksicht auf (2) die Gleichung 

l±J^(j,'dx-dy) = 

entspringt, aus der die Schlußfolgerung 

(4) rfy-y'rf;r = 

zu ziehen ist. Vermöge dieser verwandelt sich (3) in 

^ - I + (y - ^)y' - 

und neuerliche Differentiation längs des Kreises gibt 

dx +y dy + {y ^ ?;) dy =0, 

was sich mit Rücksicht auf (2) und (3) verwandelt in 

und zur Folge hat die Beziehung: 

(5) dy' ^y"dx^O. 

Hiemach ergibt sich der Satz: 

y^Eine Schar von oo^ Krümmungselementen x y\y'\l 
bildet einen Verein, ihr Punktort eine Integralkorre nur daii 
wenn die Koordinaten den beiden Differentialgleichungen 

rfy — y' rfx = 

dy' ^y"dx^O 

genügen." 

2. Der Vorgang der Integration der Gleichung (1) 
sich hiernach geometrisch wie folgt dar. 

Von einem beliebig angenommenen Linienelement Xijjfil 
ausgehend bewege man sich längs des ihm durch die 
Gleichung zugeordneten Krümmungselementes *o|yo!y«'!Ä' 
dessen benachbartem Linienelement 



Greametrie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, 275 

Vi =yo +^yo =yo +yo' ^^ 
yi' = Vo + ^yo' = yo' + yo" ^^ » 

itimme mittels (1) das zngehörige Krümmungselement 

lyilyi'lyi"» 8®"^® *^^ diesem zum benachbarten Linien- 
ement etc. Auf diese Weise erhält man einen aus Ereis- 
>gen8tücken zusammengesetzten Linienzug, einen Korbbogen, 
sssen Grenzform fftr ein gegen Null abnehmendes dx eine 
ategralkurve von (1) ist 

3. Aus den Gleichungen (2) folgt: 

,/. _ tf - xY + (? - y)« . 
lese Werte in (1) eingesetzt ergeben eine Gleichung zwischen 

T ^(^,y,|,i7) = o. 

Kese läßt folgende Auffassung zu: Bei festem x^ y in den 
eränderlichen Koordinaten |, r\ geschrieben stellt sie den 
tt der Mittelpunkte jener Krümmungselemente dar, deren 
unktort x\y ist; bei festem |, 17 bestimmt sie den Punkt- 
t jener Krümmungselemente ^ deren gemeinsamer Mittel- 
mkt 1/17 ist 

um Beispiele anzuführen, ergibt sich aus der Differential- 
eichung 

y" + ay = 

irch die Substitution (6): 

(I - x)^ + {n-y? + ay{n^yf = 0, 

daß der Ort der Mittelpunkte I/17 zu einem Punkt x\y 
ne Kurve dritter, hingegen der Ort der Punkte x\y zu einem 
ittelpunkt |/f/ eine Kurve vierter Ordnung ist 
Aus der Differentialgleichung 

i+y'' = Ayy", 

üche Kurven definiert, deren Krümmungsradius der Normale 
oportional ist, folgt 

n -y^hy, 

daß beiderlei Orte zur x-Achse parallele Gerade sind. 

18* 



276 E, Czuber, Geometrie der gew, Differentudgleichungen. 

Die Differentialgleichung 

(1 + yy = a^y\ 

welche Kurven von konstantem Krümmungshalbmesser zu- 
kommty fuhrt auf die Gleichung: 

{|-*)* + (^-y)* = «'; 

beiderlei Orte sind also Kreise vom Radius a, woraus leicht 
zu schließen ist, daß die letzte Qleichung bei willktirlichem |, n 
schon die Integralgleichung darstellt 

Wie aus der Form der Substitution (6) zu ersehen, hängt 
die Gleichung (7), sobald die vorgelegte DifferentialgleichuDg (I) 
weder x noch y enthält, lediglich von den Differenzen |-i, 
1} — y ab; dies hat zur Folge, daß sie den Translationen der 
Ebene gegenüber invariant bleibt; das gilt dann auch von 
dem durch die Differentialgleichung dargestellten System Ton 
Krümmungselementen und schließlich von dem allgemeinen 
Integral , das hiernach die Form (j? + C| , y + C^) = be- 
sitzen muß. Enthält die Differentialgleichung nur eine der 
beiden Variabein, so bleibt die Invarianz gegenüber den Trans- 
lationen parallel zu der durch die fehlende Variable gekenn- 
zeichneten Achse aufrecht, so daß also Differentialgleichungen 
vuu den Formen f\x, y\ y") = 0, /'(y, y\ y") = Integral- 
gleichungen von der Struktur 0{x, y + C^, C\^) = 0, beziehungs- 
weise (I){x + C^, y, Cg) = haben. ^) 



l) E. Czuber, Sitzungsber. d. Akad. d. Wissensch. zu Wien 102 
IIa. p. 1141 — 1187. 1893; 10;5. IIa. p. 295—316. 1894. 

( Eingegangen 25. August 1903.) 



277 



iber eine Beziebnng zwischen dem Lösnngsdruck 
nnd der lonisationswärme der Metalle. 

Von A. Korn nnd E. Strauss in München. 



LH das Problem der Dissoziation der Gase ist Boltz- 
1 ^] als der erste mit exakten mechanischen Yorstellimgen 
getreten. Die Methoden, welche er zur Behandlung dieses 
$ms angewandt hat, sind Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen 
iie chemische Bindung eines Atomes mit einem gleich- 
Q, unter Annahme einer zwischen den Atomen tätigen 
lenden Kraft, auf deren rein mechanische Erklärung zu- 
: kein Gewicht gelegt wird. Der Versuch, solche zwischen 
itomen tätige Kräfte in speziellen Fällen mechanisch zu 
en, hat Anlaß zu den Untersuchungen gegeben, die zu 
recht einfachen, den Gegenstand der vorliegenden kleinen 
idlung bildenden Resultate über den Lösungsdruck der 
ie geführt haben. 

icherlich können ganz allgemein die chemischen V^echsel- 
ttgen nicht lediglich Funktionen der Entfernungen der 
punkte der Atome sein^, aber in besonders einfachen 
i wird es sich doch stets empfehlen, zuzusehen, ob 
die Voraussetzung einer Anziehungs- bez. Abstoßungskraft 
len zwei Atomen oder Atomgruppen von der Form: 

M,MJ[r) 

id üfj Massen der Atome bez. Atomgruppeu, f[r) Funktion 
Entfernung r) zu Resultaten führt, die mit der Erfahrung 
i Einklang stehen.*) Für Anhänger der rein mechanisch- 



) L. Boltzmann, Vorlesungen über Gastheorie 2. p. 177 — 217. 

l 1898; hier findet eich eine zusammenfassende Darstellung seiner 

m Arbeiten über den Gegenstand. 

I) Vgl. L. Boltzmann, 1. c. p. 177. 

Man vgl. W. Vaubel, Lehrbuch der theoretischen Chemie 1. 

-118. Berlin 1903. 



278 A. Korn und E, Strauss, 

materialistischen Theorien ergibt sich bei solchen Wechsel- 
wirkungsgesctzen der Vorteil, daß sich die betreffenden Kräfte 
mechanisch, z. B. als Folge von universellen Schwingungen ^) der 
Atome interpretieren lassen. 

Wir haben nun versucht, uns auf diesem Wege eine 
mechanische Interpretation des Lösungsvorganges zu ve^ 
schaffen. Es erhob sich hier zunächst die prinzipielle Frage: 
Haben wir, abgesehen von den elektrostatischen Kräften, 
zwischen Metall und liösungsmittel anziehende Kräfte oder 
zwischen den einzelnen Metalltcilchen abstoßende Kräfl;e an- 
zunehmen? Die erfahrungsmäßige Unabhängigkeit des sogen. 
Lösungsdruckes, welcher die Fähigkeit des Metalles^ in Lösung 
zu gehen, mißt, von der Beschaffenheit des Lösungsmittels, 
spricht für die zweite Alternative, und man kann sich die 
folgende Vorstellung bilden: Den Abstoßungskräften zwisclien 
den Metallteilchen wird durch die elektrischen Anziehungs- 
kräfte zwischen positiven und negativen Teilchen, welche 
größere Gruppen zusammenhalten, entgegengearbeitet; wenn 
sich nun das Lösungsmittel mit seiner verhältnismäßig groBen 
Dielektrizitätskonstante als Dielektrikum einschiebt^ gewinnen 
die Abstoßungskräfte zwischen den Metallteilchen die Oberhand, 
und es gehen Metallteilchen in Lösung, bis der den gelösten 
Teilchen entsprecliende osmotische Druck einen gewissen für 
das Metall charakteristiscli(»n Wert, den Lösungsdruck, er- 
reicht hat. 

Wenn wir diese Vorstellung zugrunde legen und an- 



1) Wenn man die ponderablen Teilchen als schwach kompressible Teil- 
chen auffaßt, die in einem (empirisch) inkompressibeln Äther schwimmen, 
so ergibt die mathematische Analyse die Möglichkeit einer unendlichen 
Zahl von Eigenschwingungen des Systems, und jeder Eigeoschwingong 
gehören gewisse scheinbare Fernkräfte zwischen den ponderablen Teilchen 
za, der Grandschwingung die Gravitation, der ersten Oberschwingang 
die Maxwell sehen AbstoBungskräfte etc., allgemeine Kräfte von der 

Form: 

M,M,f{r) 

cwiKhen iwei Gruppen von den resp. Massen 3/, und If,, wenn in 
VAeineu 'EÜlumen im Mittel keine Richtung bevorzugt ist nnd die Ab- 

«tind« dei Vdden Gruppen groß gegen die Entfernungen innerhalb der 

^«i^MA Qiragpai sind 

tS^Äiai^NJ iretische Chemie 2. p. 366. Stuttgart 1898. 



Lo9ung$druck und lomsationswärme, 279 

nehmen y daß vor der Lösung die Metallteilchen zu Gruppen 
^ereiiiigt sind, die um so mehr Teilchen umfassen, je größere 
deldarizit&tsmengen in einem Atom enthalten sind, und für 
deren Anzahl in der Yolumeneinheit der Avogad rösche 
Satz^) gilt, so ist die den Abstoßungskräften der einzelnen 
Gruppen entsprechende innere Energie der Yolumeneinheit 
iQdidier Metallteilchen: 

vo a' eine Konstante vorstellt, die für alle Metalle denselben 
Wert hat, m das Atomgewicht, n die Valenz des betreffenden 
Metalles bezeichnet Wir wollen dabei voraussetzen, daß wir 
stets bei ein und derselben konstanten Temperatur arbeiten. 

Nun bestehen aber noch zwischen den einzelnen Teilchen 
jeder Gruppe, welche durch die elektrostatischen Earäfte zu- 
tammengehalten werden, Anziehungs- oder Abstoßungskräfte, 
die sich als negative oder positive lonisationswärme bei dem 
LöBongsvorgang bemerklich machen; die diesen Kräften ent- 
sprechende innere Energie ist pro Yolumeneinheit: 

wo b* und c Konstanten sind, die für alle Metalle denselben 
Wert haben, und Q die lonisationswärme, d. h. die Wärmenge 
Torstellt, die bei dem Übergang in den lonenzustand frei wird. 

Die Summe 

(8) E^ + E^ = a^n^m^ + b^Q + c 

wild offenbar ein Maß für das Bestreben des Metalles sein, 
Ionen in die Lösung zu senden, d. h. die Reihe der Lösungs- 
drucke muß mit der Reihe der Größen: 

(4) %p^Q + a^n^m^ 

paraüel gehen, wobei a^ eine Konstante ist. 

Wir haben auf Grundlage dieser einfachen Betrachtung 
Tersncht, ob man nicht eine Zahl a so finden kann, daß 
dieses Gesetz durch das vorliegende Beobachtungsmaterial 
verifiziert wird, und es hat sich in der Tat gezeigt: Wenn 



1) Dieselben können ja, wie Gasteilchen, die Zwischenräume zwischen 
^ das feste Metall bildenden größeren Komplexen erfüllen. 



280 ^. Korn und E, Sirauss. 

wir für die Q die von Ostwald^) angegebenen Werte 
messen in lOOg-caL^ zugrunde legen und 

(5) «= ' 



80 

setzen; ordnen sich alle bisher untersuchten Metalle 
obigen Gesetze unter^ mit Ausnahme des Bleis^ das ja aucl 
so vielen anderen Beziehungen eine Ausnahmestellung 
nimmt. Schon bei ziemlich geringer Veränderung von a [ 
der Parallelismus der ip mit der Reihe der Lösungsdn 
verloren. 

Zur Verifikation unseres Gresetzes stellen wir die R 
der Lösungsdrucke jener Metalle voran, fär welche die L 
sations wärme bekannt ist: 

Mg, Zn, Cd, Fe^o), Tl, Co, Ni, Cu^«), Hg<«\ Ag 

(für Mg ist der Lösungsdruck am größteo, für Ag am kleinst 
und wir wollen durch die folgenden Zahlen zeigen, daß 
i/;-Reihe dieselbe ist. 

1. Mg: ^=+1067,« = 2, m = 24,36; 

xf) = 1070. 

2. Zn: r^=+326, w = 2, m = 65,4; 

xp = 345. 

3. Cd: §= + 162, w = 2, »i = 112,4; 

\f) = 218,2. 

4. Fe'«^ : § = + 200, n = 2, m = 56; 

yj = 213,9. 

5. Tl: Q=+10, n = 2, m = 204,1; 

yj = 195,1. 

G. Co: Q = + 146, w == 2, m = 59,0; 

1//= 161,5. 

7. Ni: r^= + 135, t? = 2, /w = 58,7; 

ip = 150,3. 

1) W. Ostwald, Zeitschr. f. phys. Chem. 11. p. 501. 1893. 
Abweichungen der Zahlen anderer Forseher sind nieht groß genug, 
ui'.ä eine Abweichung von dem obigen Gesetz erkennen zu lassen. 

i> Wenn man «ine andere Einheit zugrunde legt, ändert 
entsjr 



Lbsungsdruek und lonisationswärme. 281 

8. CuW: C= - 175^), n = 2, m = 63,6; 

t^ = - 157,0. 

9. Hg<<»: Q = - 205, n = 1, »i = 200,3; 

t/; = - 160,4. 

10. Ag: Q=-262, 7i=l, m= 107,9; 

t// = - 249,1. 

Für Blei ordnet sich der t^-Wert nicht, wie es sein sollte, 
zwischen die t/;- Werte von Nickel und Kupfer ein. Bei diesem 
Metall müßten daher die einfachen Grund Vorstellungen, von 
denen wir ausgingen, eine Modifikation erfahren. 

München, Juli 1903. 



1) Nach anderen Autoren ist für Kupfer (— Q) etwas kleiner, etwa 
160, wodurch sich der ^-Wert (— 142) etwas weiter von dem ^-Wert von 
H^o) entfernen würde. 

(Eingegangen 28. August 1908.) 



282 



37. A Peculiar Class of Waves/) 

B7 Ch. E. Curry in München. 



V. Helmholtz examined briefly in bis ^^ Vorlesungen über 
die elektromagnetische Theorie des Lichts'' the electromagoetic 
waves represented by the functions 



dx dy ' 

where cp denotes any purely spherical wave-function^ that is, 
a spherical wave-function of the distance r from the centreof 
disturbance and of the time t only; these quantities U,F,W 
are connected with the component electric moments X,Tjl 
by the diflferential equations 



(1)^ 



X 




d W 


D 




dy 


Y 




dU 


D 




dx 


Z 




dV 


— 


— ^^ 


- . — 


D 




dx 



dV 
dx 

dW 
dx 

dü_ 
dy 



where D denotes the electric inductive capacity of the medium. 
Tho waves represented by these component moments are now 
thü Hertzian waves, the analytic expressions for the same 
hüing identical to those theoretically established by Hertz 
hiruHolf. V. Helmholtz has now observed in bis lectures above 
i-itt'd that the electric oscillations of these waves take place 
at right angles to their direction of propagation only at con- 
Hiiltuublü distance from the centre of disturbance or, more 
t^xactly, at such distances from the same that the terms of 
tlii^ higher Orders of magnitude in 1/r in the expressions for 

1) Kxtract from my ,,Electromagnetic Theory of Light*' (in print) 
Muriiiillau i^ Co., London. 

2) V^l. V. Heimholt«'« lactures. 



Ä pectdiar Class of fFaves, 283 

3 component moments may be rejected when compared with 
ose of the first order. Aside £rom a certain analogy between 
ectromagnetic waves of tliis class and inducted currents, let 
ly for brevity at least, designate here the waves or motions 
dpresented by the terms of the first order of magnitude in 1/r 
A ,,primary'' and the others or those represented by the terms 
){ higher Orders than the first^ as ^^secondary^' waves. The oscil- 
iations of the former will now be found to take place always 
ai right angles to their direction of propagation^ whereas those 
of the latter will make an entirely arbitrary angle with that 
direction. The primary and secondary waves are, in generale 
dependent on one another, that is^ the presence of the one 
demands that of the other or^ in other words, neither can exist 
alone; this follows^ since the analytical expressions for either 
waye singly are not particular integrals of our fundamental 
differential equations (Maxwell's equations), whereas the sums 
of ihe expressions for both waves are sucL Besides the above 
class of electromagnetic waves, a primary disturbance accom- 
panied by a secondary one, we can of course have simple 
electromagnetic disturbances or primary waves, if we may 
then term them such, that are unaccompanied by secondary 
ones. Electromagnetic waves of this latter class are represented 
by purely spherical wave-functions (p and not by their deri- 
Tatiyes; their behaviour is one and the same along all vectors. 
On the otherhand, an irregulär distribution of intensity over 
any sphere with centre at source of disturbance evidently 
indicates the presence of secondary waves in the medium. 

The object of the present paper is a brief examination of 
the socalled „secondary" waves; they will be found to exhibit 
most pecnliar properties. For the present purpose we shall 
ezamine the more general problem instead of the above parti- 
cular one, the flertzian waves; we concieve namely the latter 
AB particular case of the general one 

' dy dx dx dx dx dy ' 

where (Pif(Pif(p^ denote purely spherical wave-functions, that 
is, functions of the form 



^1 = yfii^ ±^^) etc. 



284 C. E. Curry. 

These yalues (2) for Uy V^ W satisfy the conditional equaticn 

dV dV dW _^^. 

~dF ■*" ~dV ■*" ~dnr "■ " ^' 

which must hold between these quantities. 

On the assumption that the fimctioiiB fitf^yf^ ai^ gi^en 
in the form 

we find^ by formulae (2)^ the foUowing expressions for the 
fanctions U, V, H -, 

and analogous expressions for V and W, and then, by formulae 
(1)^ the foUowing for the component electric moments 

(3) \ + Ir^- [2«, - 3öi {ß^ + r^) + 3a(a,/? + a,y)] oos» 

+ i" [2«! - 3a, O?* + 7^^ + 3a(a3/9 + o,;')]«!!« 

and analogous expressions for Y and Z, where a,ß,y denote 
the direction-cosines of the vector, along which we are exami- 
ning these oscillations or waves^ and 

(o = -T— \pt ^ r), 

The first terms of these expressions for the componeu' 
electric moments represent the primary and the second (an( 
third) terms the secondar}- wave. It is evident that for ligb 
waves proper or waves of wave length X that is small com 
pared with measurable distances from the source of disturbanc 
— /. of the dimensions 10"~^mm — the second and third term 
of these expressions for the moments will be very small con 
pared with the tirst, so that thej may thus be rejected not on] 
at Short distances from the source but also in its immedial 
proximity; in other words, we may conceive all light waoi 
proper as unaccompanied by secondary disturbances, For electri 
waves, as the Hertzian, the second and third terms of tb 



1) Vgl. V. Helmbnlt«'« lectures. 



Ä peaiHar Class of Waves, 285 

giTen expressions will yanish when compared with the first 
oiüy at greater distances from the source; the primary electric 
"wave wiU^ therefore, be accompanied by a »econdary electric one 
io a considerable distance from its source, the intenBitiy of the 
latter remaining of the same order of magnitude as that of the 
former in the immediate proximity of the source, but decreasing 
somewhat more rapidly than that of the primary wave^ as we 
lecede from the same. On the otherhand, the secondary waye 
vill eTidently be represented approximately by the second terms 
alone of the given expressions^ except in the very next proxi- 
mity of the source; we shall, therefore^ refer to the secondary 
wave as that represented by the terms of the second order of 
magnitude in 1/r^ unless otherwise specitied. 

It is now easy to confirm the general law ^,the total 
resultant electric oscillations take place at right angles to the 
total resultant magnetic ones that are accompanying them'' 
for the given wayes. It is also easy to show that both the 
primary electric oscillations and the magnetic ones are taldng 
place here at right angles to their direction of propagation. 
On the otherhand, the secondary oscillations will be found to 
make arbitrary angles with their direction of propagation; the 
angle they make with that direction along any giyen vector r 
will evidently be 

cos (/;, r) = cos (/;, x)a + cos (/;, y)ß + cos (/;, z) y ; 

ifwe replace here these cosines by the quotients of the moments 
in question from formulae (3), we find 

cos (/", r) = 2{a^a^a^ß^ -^ar^)^ ^ 

'^' y ai~*~+"a,« + ttj« H- 3 (Ol « + flf, ß'^a^ ff ' 

It is evident from this formula that the secondary elec- 
tric waves will be longitudinal along the vectors 

Along these vectors the primary waves will now vanish, 
and also the magnetic ones, by which the primary and 
secondary waves are otherwise accompanied. We can state 
this result in the general form: „In every System of electro- 
magnetic waves, in which secondary waves appear, there is 
always a vector, along which the secondary wave is propa- 



286 C. K Curry, A peculiar Class of franes. 

gated as a longitudinal wave; in which case it is then accom- 
panied (along that vector) neither by a primarj (electric) nor 
by a magnetic disturbance/' 

The more thorough examination of the aboTe and aimilar 
Systems of waves leads to the following general resolts: 

1. Along those vectors, where the primary (electric) and 
the magnetic waves do not appear, the secondary waye is 
either longitudinal or it does not appear at alL 

2. Along those vectors, where the secondary (electric) wäre 
is transverse^ its amplitude is independent of the direction- 
cosines and, conversely, in those regions, where the ampli- 
tude of the secondary (electric) wave is independent of the 
direction-cosines, the waye itseli' is transTcrse. 

3. The transverse secondary wave is accompanied by a 
primary electric and a magnetic waye, whose amplitudes m 
independent of the direction-cosines, and, couTersely, al(Nig 
those vectorSy where the amplitudes of the primary (electric) 
and magnetic waves are independent of the direction-cosiiieB, 
the secondary (electric) wave is transverse. 

4. The electric oscillations represented by the terms of 
the tbird order of magnitude in 1/r make the same aDgle of 
oscillation with their direction of propagation as the secon- 
dary oscillations proper. 

5. The electi'ic and magnetic waves represented by terms 
not only of the same but also of diiferent Orders of magnitude 
in 1/r take place at right angles to each other; it would, 
therefore, be irapossible to separate or pair off electric and 
magnetic waves of the same order by means of the property 
that they arc takiug place at right angles to one another. 

6. Both the primary and the secondary waves obey the 

same laws of rcHection and refraction as ordinary plane waves; 

whereas their amplitudes after reflection and refraction are 

determined by similar expressions to those for the amplitudes 

of reflected and refracted plane waves. 

Reute, Ammcrsoe. 

(Eingegangen :iO. August 1903.) 



38. Das Vakaum als Isolator. 

Von O. Lehmann in Karlsruhe. 



^obn Walah (1773), William Morgan (1785], Davy 
) und Flacker (1859) glaubten durch ihre Versuche i'eat- 
dlt za haben, daa voUkoniinene Vakuum lasse die Elek- 
|KU nicht durch. Im Gegensatz hierzu ergaben Versuche 

EÜttorf (1868), daß der große WiderstJind sogenannter 
ter Vakuumröhren lediglich auf ihren geringen Dimen- 
herubt, durch welche die freie Auebilduiig des nega- 
n Olimmlichts und des Kathodendunkelraums beeinträchtigt 
l. Unter Verwendung der größten tecbuiscb herstellbaren 
ipienten gelang ea mir in der Tat bei Drucken, bei wel- 
lin einer gleichzeitig an die Pumpe angeschlossenen Röntgen- 
to RSntgenatrahlen auftraten, Entladungen schon mittels 
i mäßiger Spannungen (400—500 Volt) zu erhalten. Bei 
^ böherem Vakuum, in welchem der Eatbodendunkelraum 
tanzen Rezipienten (von ca. 60 — 70 cm Länge und 30 cm 
Ite) ausfüllte, gingen auch hier Entladaugen selbst dann 
tt mehr hindurch, wenn an einer Parallelfuokenstrecke die 
lagweite Iti cm betrug. Wäre es möglich, noch größere 
ipienten zu beschaffen, so wäre es sicher möghch, auch bei 
en minimalen Drucken — Anwendung hinreichend großer 
ttroden vorausgesetzt — Entladungen oder Ströme selbst 
IbIs der oben genannten sehr mäßigen Spannung zu er- 
Bn, da nach Warburg (1887) der normale Kathodenfall 
ühängig ist vom Druck des Gases. 

.Die Enge der Geräße ist es auch, welche es unmöglich 
bt, mit gewöhnlichen elektrodenlosen Röhren oder kleinen 
Herten Kugeln den Entladungsgradienten dadurch zu be- 
|men, daß man sie plötzlich einem geladenen Konduktor 
)Ki oder davon entfernt, vorausgesetzt, daß die Verdünnung 



288 0, Lehmann. 

soweit getrieben ist, daß sich Daukelraum und Glimmlicht» 
welche hier ebenso entstehen wie in Bohren mit Mektroden, 
nicht niehr^frei ausbilden können. Solche Röhren pflegen neu 
hergestellt nicht ,,anzusprechen'S wohl aber, wenn einmal durch 
Anwendang eines übermäßig hohen Spannungsgefälles Ent* 
ladung hervorgerufen und dadurch das Vakuum yerschlechtert, 
somit die Dicke des Dunkelraumes vermindert wurde. Bei 
Anwendung großer elektrodenloser Bezipienten, welchen ein an 
Seidenschnur aufgehängter geladener großer Konduktor sich 
pendelnd nähert und entfernt, kann man deutlich erkennen, 
daß auch hier gelber Saum, Dunkelraum und blaues Glimm- 
licht ungefähr in gleichen Dimensionen auftreten, wie in 
Bezipienten mit Elektroden. Läßt man den Konduktor fest- 
stehen (oder verwendet äußere Elektroden) imd bewirkt die 
Spaunungsänderungen dadurch, daß man ihn an eine Wechsel- 
strom(|uelle, speziell einen Hochfrequenztransformator anschließt, 
so wird die Dicke des Dunkelraumes mit steigender Frequenz 
geringer, wie auch in Bohren mit Elektroden, die Entladungen 
ertblgen deshalb leichter, d. h. bei geringerem Spannungsgefälle, 
die dielektrische Festigkeit des Gases scheint vermindert 

Gleiches gilt für die Hittorf 'sehe „Bingentladung^', welche 
entsteht, wenn durch eine das Vakuumgefäß umgebende Draht- 
spirale oder auch einfach einen Drahtring Hochfrequenzstrom 
hindurchgeleitet wird. Ebenso wie der pendelnde Konduktor 
bewirkt die in dem Einge pendelnde Elektrizität das Auftreten 
von Entladungen, w^elche scheinbar in sich zurücklaufen und 
durch das Hin- und Herschießen magnetischer Kraftlinien be- 
dingt sind, in Wirklichkeit aber, wie man bei Anwendung 
großer Rezipienten deutlich erkennen kann, von der Glaswand 
ins Innere gehen und ebenso wie gewöhnliche Elntladungen 
mit der Bildung von gelbem Saum, Dunkelraum und blauem 
Glimmlicht verbunden sind, wobei der Dunkelraum nur deshalb 
eine g(Tinge Dicke besitzt, weil die Wechselzahl der ange- 
wandton Stnhiie eine sehr große ist. Aus diesem Grunde ist 
auch der Spannungsabfall, bei welchem die Entladungen er- 
folgen, ebenso wie bei Röhren mit äußeren Elektroden ein ge- 
ringerer, wodurch sich die Beobachtungen von Plücker (1858) 
xttid Hittorf (1S84) erklären, daß durch „äußere« Elektroden 
^w „induziercjid«" Orahtspulen auch in Bohren, welche keinen 



Bas Vakuum als Isolator. 



289 



arom zwischen den „innern" Elektroden hindurchlassen, Ent- 
bdnng hervorgerufen werden kann. ') 

Nach Faradays disruptiver Theorie der Entladung soll 
lese eintreten, wenn das Spannungsgefälle die dielektrische 
Festigkeit des Gases übertrifft. Daß nun den genannten Ver- 
lachen zufolge die dielektrische Festigkeit scheinbar von den 
Wmensionen des Gefäßes abhängt, erscheint uur .verständlich 
HBter Beiziehung der Hypothese, daß bereits vor Eintritt der 
leuchtenden disruptlven Entladung eine licbtlose elektrische 
ätrümuDg im Gase eintritt, welche durch Bildung elektrischer 
Luftschichten, speziell einer positiven Schicht an der Kathode, 
dis elektrische Feld ändert oder, falls mau die Faraday- 
schen Vorstellungen fallen läßt und durch diejenigen der 
elitktrolytischen Entladungstheorie ersetzt (der einzigen, welche 
bisher neben der dismptiven Theorie zur Erklärung der Ge- 
euntheit der Erscheinungen verwendet wurde), die Beachaffen- 
beit des Gases, indem die wenigen ursprünglich vorhandenen 
Ionen, welche den lichtlosen Strom vermitteln, so starke Be- 
we^Dgsautriebe durch das Spannungsgefälle erhalten, daß sie 
liorcb ihre Stoßwirkung die Bildung neuer Ionen veranlattsen 
und hierdurch die Leituugsfähigkeit des Gases rasch ins Un- 
«messene steigern. 

Die disruptive Theorie soll unzureichend aein, weil die 
traft des Feldes nicht imstande ist, die elektrische An- 
iehung der zu neutralen Molekülen verbundenen Ionen (rich- 
iger Elektronen, da Entladung auch in einatomigen Gasen 
Uttfindet) zu überwinden. Indes nimmt die elektrolytische 
lieorie an, daß schon durch die Stoßwirkung der Wärme- 
ewegnng einzelne Ionen gebildet werden , somit wird dies 
ach möglich sein, wenn noch die Kraft des Feldes hinzukommt, 
nd die bei dieser Spaltung der Moleküle oder Atome auf- 
Blenden Strahlungen werden bewirken, daß sofort neue Mole- 
lle in solchen Zustand versetzt werden, daß sie durch Wir- 



1) Bei hochevakaierten groSeo Beeipienten beobachtete ich, daB die 
genumten RiDgendadungen deo Gasdruck Hehr stark erniedrigen, bei 
sniger stark evaknierten, daß eine Erhflhung eintritt, ao daß dann in- 
Ige der Vermin derung der Dicke des Duiikelraumea die Enlladuu); 
ieder leichter bindaTcbgebt. 

EoltBnum-FiiitKhrift. 19 



290 0. Lehmann. 

• 

kuDg des Feldes zerfallen. Jedenfalls haben beide TheorieD 
das gemeinsam, daß sie die Existenz eines der leuchtenden 
Entladung vorhergehenden UchÜosen Stromes annehmen, es 
muß also möglich sein, mag die eine oder andere Theorie zn- 
trefifen, diesen experimentell nachzuweisen. 

Die bereits vorliegenden Versuche mit Vakuumelektroskopen 
(Dessaignes 1814, Davy 1822, Hittorf 1879, Worthington 
1885, Pflaum 1900, 0. Lehmann 1902) ließen erkennen, 
daß, wenn ein solcher Strom existiert, seine Sl&'ke so gering 
sein muß, daß die Anwendung eines Galvanometers aussichts- 
los erscheint, ebenso auch die Verwendung der gebräuchlichen 
engen Vakuumröhren mit kleinen Elektroden. Ich benutzte 
deshalb als Vakuumgefäß ein elektrisches Ei von ca. 70 cm 
Höhe und 30 cm Weite, bestehend aus zwei in vertikaler 
Stellung aufeinander gekitteten tubulierten Lufipumpenrezi' 
pienten. In den oberen Tubulus war eine Elektrode eingesetzt, 
bestehend aus einer Aluminiumkugel (Ä') von 7 cm Durch- 
messer, in den unteren eine durch Barometerverschluß ver- 
schiebbare Sonde (S), bestehend aus einer auf ihrer unteren 
Hälfte mit Glas bedeckten Messingkugel von 2 cm Durch- 
messer. Die Zuleitungen beider Kugeln waren in Glasröhren 
eingeschlossen. Der größte Teil der inneren Wandung des 
elektrischen Eies war mit Drahtnetz [N) bedeckt, welches im 
allgemeinen (eventuell unter Zwischenschaltung eines Galvano- 
meters oder Entladungselektrometers) zur Erde abgeleitet oder 
mit einem Elektrometer verbunden war. Zur Erzeugung eines 
axialen Magnetfeldes konnten über das Ei zwei Draht- 
rollen [BF] von je 1100 Windungen geschoben werden. 

Zur Messung der Spannungen dienten Braunsche Elektro- 
meter, derart abgeändert, daß sie kein Residuum mehr zeigten, 
welches bei diesen Versuchen sehr störend gewesen wäre. 

I. Ladun£^teilung. 

Das einfachste Verfahren zur Erkennung des hypothe- 

ti^lien Uchtlosen Stromes schien die Ladungsteilung zwischei 

^Vuem geladenen kugelförmigen Konduktor K' und der Kugel A 

%«\i«ii \)eide gleichen Durchmesser und finden keine Ladungs 

i«t\va\a ^^odi m« Isolation statt, so muß nach de 



Das J'nkm 



I Isolator. 



201 



blichen Auflassung die Spannung, falls sie in Verbiudung 

Bsetzt werden, auf die Hälfte sinken. Dies würde auch au- 
reffen, falls die Verbindung ohne Energieverlust durch Funken- 
lildung hergestellt werden könnte. Tatsächlich erhielt ich, 
«enn Ä" auf lUOO Volt geladen war, in Luft von gewöhnlicher 
Dichte nur eine resultierende Spannung von ca. 300 Volt. Ganz 
dasselbe Ergebnis wurde erhalten, wenn das Ei auf 0,0015 mm 
Druck ausgepumpt war und zwar gleichgültig, ob positive oder 
agative Ladung verwendet wurde. 

i der Spannung von 300 Volt linden also sicher keine 
hingsverluste durch iichtlose Ströme statt, ebensowenig er- 
t Bildung einer Doppelschicht an der Kathode. Allerdings 
ist diese Spannung noch erheblich verschieden von der Ent- 
Imiuiigsspunnung, so daß immerhin die Möglichkeit bestände, 
diiB unmittelbar vor der leuchtenden Entladung; solche un- 
nichtharc Ströme aufträten. Indes zeigte sich auch bei Dnicken 
vop0.0034—0,OU8 mm und Spannungen von 2000— 2300 Volt, 
welche der Eotladungsspaonung sehr nahe waren, bei der 
UduDgsteilung ein Rückgang der Spannung im gleichen Ver- 
hältnis auf 700 — 800 Volt ('/a der anfänglichen Spannung).') 



H II. Zeratrauuag. 

P Wurde nach der Ladungsteilung die Kugel A" wieder auf 
die Anfangs Spannung gebracht und dann abermals mit der nun 
geladenen Kugel A' für einen Moment verbunden, so nahm 
natürlich, infolge abermaliger Ladungsteilung, die Spannung 
ran A' einen etwas höheren Wert an. Man konnte so schritt- 
teise die Spannung von A" auf immer höheren Wert bringen 
ind untersuchen, ob etwa hierdurch die Zerstreuung der Elek- 
rizität anomal wurde, d. h. größer als in gewöhnlicher Luft. 
Hes war aber nicht der Fall, selbst wenn die Spannung bis 
am Entl ad ungB werte gesteigert wurde. Auch hieraus kann 

h 

K 1) Fortaetentig der Versuclie za Docb hdheren Spatmungen (bei 
Bl mm Druck konnteii bei positiver Ijadang solche von mehr als 
2ltOO Volt dauernd erbalten werden) Bchien eweekloa, du durch die bei 
er I.AdungBteilung eiitatehenden Funken uokoutrollierhare SpanimugB- 
;hiruiki]TigCD bedingt sein konnten, auBerdem aber die Verluste durch 
ungelhafte Uolation wSbrend der Daner der Schwingungen der Eleklro- 
madel störend wurden. 



292 0, Lehmann, 

man also schließen^ daß der Entladung kein lichtloser Strom 
vorangeht. Wurde die Entladungsspannung erreicht, so fiel 
die Spannung plötzlich, oft erst nach einiger Zeit („Verzöge- 
rung^^, bis zu einem Rest, welcher die Entladungsspannung bei 
Stromdurchgang darstellt. Derselbe war bei negatiTer Ladung 
erheblich größer als bei positiver. Die äußersten Spannungen, 
bis zu welchen K geladen werden konnte, waren natürlich 
vom Drucke abhängig, da bei niedrigen Drucken der dunkle 
Kathodenraum sich nicht mehr frei ausbilden konnte. 

Bei 0,04 mm betrug diese Grenzspannung, falls das Draht- 
netz abgeleitet war, ca. 500 Volt; bei 0,023 mm 610 Volt; bei 
0,02 mm 1100 Volt; bei 0,008 mm 2200 Volt; bei 0,003 mm 
3800 Volt; bei 0,0005 mm 8500 Volt Meist waren die Grenz- 
spannungen für positive und negative Ladung gleich, doch 
zeigten sich auch erhebliche Unterschiede und zwar war dann 
stets die positive Entladungsspannung größer. Überhaupt 
waren die beobachteten Grenzwerte keineswegs konstant; z. B. 
wurde bei 0,001 mm Druck und positiver Ladung einmal die 
Grenze 4 700 Volt beobachtet, ein andermal 10000 Volt, in einem 
dritten Falle trat die Entladung auch bei 12000 Volt noch 
nicht ein. Auch die Werte der Verzögerung schwankten io 
weiten Grenzen. 

III. Einfluß magnetischer Kräfte. 

Wurden die eben beschriebenen Versuche ¥riederholt, wenii 
die erwähnten Magnetisierungsspulen Ä Ä (oder mindestens die 
obere derselben) vom Strom durchflössen waren, so ergab sieb 
bei niedrigen Drucken eine bedeutende Änderung der Grenz- 
spannunp, während die Zerstreuung ungeändert blieb. Bei 
dem Druck 0,04 mm erniedrigte sich die Grenzspannung bei 
etwa 1 Amp. Magnetisierungsstrom auf ca. 470 Volt (sowohl 
für positive wie für negative Ladung) ; bei 0,018 mm auf 520 Volt; 
bei 0,01 mm auf ca. 1000 Volt; bei 0,008 und 0,002 mm 
ebenso, doch wurden auch noch niedrigere Werte bis herunter 
zu 400 Volt (bei positiver Ladung) und 900 Volt (bei negativer 
Ladung) beobachtet. Bei diesen sehr niedrigen Drucken kann 
man also die Ladung der Kugel durch Erregen des Magnet- 
feldes sofort bis auf einen (für positive Elektrizität kleinen, 
für negative großen) Rest zum Verschwinden bringen. 



Das Vakuum als Isolator. 



298 



Da sich diese Wirkung des Magnetismus erst dann in 
aUiger Weise geltend macht, wenn der Dunkekaum durch 
Gefäßwände eingeschränkt wird, ein Dunkekaum aber vor 
^nn der Entladung nicht sichtbar ist, so sprechen diese 
rsache im Gegensatz zu den vorigen für das Vorhandensein 
es lichtlosen Stromes vor Beginn der Entladung. 

Mit &höhung der Stromstärke J in den Magnetisierungs- 
len wächst in manchen Fällen die Erniedrigung der Grenz- 
Liinung E"^), doch sinkt diese nicht unter die angegebenen, 
n herrschenden Drucke p entsprechenden Werte; in andern 
Uen wirkt das Magnetfeld gerade umgekehrt und erschwert 
\ Entladung. Femer wird der zurückbleibende Spannungsrest 
nit steigender Magnetisierungsstärke im allgemeinen kleiner. 

Beispielsweise wurden folgende zusammenhängende Werte 
obachtet; wobei E die anfängliche Spannung bedeutet: 



0,040 mm 

0,018 

0,018 

0,008 

0,008 

0,008 

0,008 

0,008 

0,008 

0,008 

0,008 

0,008 

0,008 

0,008 

0,008 






JE" = + 500 Volt 

- 500 „ 

- 810 „ 

- 2000 „ 

- 1700 „ 

- 1500 „ 

- 1500 „ 

- 1500 „ 

- 1500 „ 

- 1300 „ 

- 1200 „ 

- 1050 „ 

- 1000 „ 

- 980 „ 
+ 420 „ 



«/ =s 1 Amp. 



1 

6 

1 

1 

1 

5 

15 

25 

1 

1 

1 

7 

15 

1 



»» 



. 400 Volt 

470 

710 
1500 
1350 
1150 

980 

900 

880 
1020 
1050 
1000 

900 

900 

350 



Wird die Kugel K dauernd mit einer Stromquelle (Akku- 
lator, Batterie Leydener Flaschen mit eingeschaltetem 
ierstand) von EYoXi Spannung verbunden, so bewirkt Er- 
lung der Stärke des Magnetisierungsstromes / Erhöhung der 
rke des Entladnngsstromes i bis zu einem Maximum und 
ann Verminderung derselben. Beispielsweise wurde gefunden : 



1) Zaweilen ruckweise. Vgl. 0. Lehmann, Die elektrischen Licht- 
heinnngen oder Entladungen p. 160 n. 386. Halle 1898. 



294 



^ = 



fiSiBüti mm 

9 


^= -r 


SSOToh 


J« 1. 


kmp. 


• = 0,0060 


OiJ03O 


T 


— 


5» 


•^ 


1 


■» 


0^0007 


OjDl^i 


f 


f 


^» 


ff 


1 


•» 


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O.OlaO 


Tf 


• 


5» 


1- 


4 


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€g0066 


0/ilM 


•• 


+ 


5» 


V 


T 


f» 


Ol^lOl 


0^180 


f 


+ 


5» 


w 


12 


ff 


0.1060 


0,0180 


m 


— 


590 


T" 


1 


f» 


0,0064 


0,0180 


r» 


— 


5t0 


rr 


am 

4 


ff 


Ogüooo 


0/>100 


t 


+ 


flO 


rf 


11 


rr 


0u000660 


0/>100 


-» 


+ 


610 


ft 


^ 


ff 


0g000055 


0,0100 


» 


— 


610 


» 


25 


if 





0,0100 


rt 


-f 


•60 


Tf 


9 


ff 


0,000115 


0,0100 


ff 


+ 


660 


•» 


18 


ft 


0,000080 


0,0100 


n 


+ 


660 


ff 


25 


ff 


0,000010 


0,0100 


» 


— 


660 


ff 


25 


ff 





0,0100 


t» 


+ 


750 


ff 


1 


ff 


0,000121 


0,0100 


» 


— 


750 


•f 


6 


ff 


0,000 14S 


0,0100 


>T 


+ 


750 


ff 


6 


ff 





0,0100 


>» 


+ 


900 


ff 


1 


n 


0,000220 


0,0100 


w 


+ 


900 


ff 


^n 


0,000176 


0,0100 


w 


+ 


900 


ff 


14 


ff 


0,000 2as 


0,0100 


rt 


— 


900 


ff 


1 


ff 


0,000 159 


0,0100 


t> 


— 


900 


ff 


4 


ff 


0,000 110 


0,0100 


»T 


— 


900 


ff 


8 


»♦ 


0,000025 


0,0100 


»» 


— 


900 


r» 


12 


»f 


0,000015 


0,0100 


>» 


+ 1050 


ff 


1 


1» 


0,0008 


0,OKX) 


>» 


— 


1050 


r> 


1 


ff 


0,0003 


0,(Kj80 


>» 


+ 2250 


n 


1 


ff 





0,0fJ80 


?> 


— 


2250 


>» 


1 


>» 


0,0003 


0/K>80 


»» 


— 


2250 


ff 


4 


»» 


0,0005 


0,fX>8() 


» 


— 


2250 


w 


10 


>» 


0,0013 



n 



» 



JJ 



»» 



•» 



11 



Mit Heseitigung des Magnetisienmgsstromes verschwand 
au eil der Entladungsstrom (in der Regel) oder es blieb ein 



Rest 2^ z. B. für 

,; = 0,040(1 mm i;= +470 Volt J= 1 Amp. 1 = 0,0090 Amp. tV 
n,0400 „ +520 „ 1 „ 0,0130 „ 



0,0400 „ 



-520 



11 



1 






0,0009 „ 



0,0061 Amp. 

0,0080 

0,0000 



w 



n 



Uieses Verbalten entspricht ganz dem Einfloß des Mag' 
ruitisiijus auf schon vorhandene Entladung. Beispielsweise wai 
bei p = 0,04 mm und E = ^ 470 Volt, die Stromstärke ohn( 
m Veld =0,00015 Amp., die Dicke des Dunkel 



H Das p'ahium ah Isolator. 295 

imes =10 cm; bei J=\ Amp., i" = 0,0006 Ämp. (Dunkel- 
im 4 cm) und bei •/= b Amp. erlosch die Entladung, nach- 
m der Duokelraum auf 2,5 cm üusaminengeschrumpft war, 

Während wich nun unschwer Hypothesen ei-ainneu lassen, 
siehe diesen EintluB dea Magnetismus während des Knt- 
dungsprozesses erklären, erscheint der Einfluü auf den Ein- 
itt desselben völlig rätselhaft, wenn, wie die erst besprochenen 
ersuche ergaben, eine lichtlose Strömung vor der Entladung 
cht vorhanden ist. Wie soll man sich z. B. deuten, daß ein 
onduktor, welcher auf + 1300 Volt geladen, seine Ladung 
inemd behält, sie sofort verliert, wenn ein schwaches Maguet- 
ild erregt wird, dessen Kraftlinien mit denen des elektrischen 
'eldes zusammenfallen und daß er in diesem Magnetfeld nicht 
mmal eine Ladung bis zu 420 Volt zu behalten vermag? 
[an könnte wohl daran denken, daß durch das Magnetfeld 
twa die Struktur des Athera und damit die dielektrische 
"eBtigkeit geändert wird, indes dem widerspricht die Tatsache, 
aB sich der merkwürdige Einfluß des Magnetismus nur dann 
eltend macht, wenn die freie Ausbildung des Kathodendun kel- 
auoies und des Glimmlichtes durch die Gefäßwände beein- 
rftohtigt wini. 

Man wird also durch diese Ergebnisse dahin geführt, daß 
ich doch vor Eintritt der Entladung unsichtbare Strömungen 
ollziehen müssen, worauf unter anderem namentlich auch die 
'erzögeningserscheinungen hinweisen. 

W IV. Infi ue na Wirkungen. 

I Im Hinblick auf diese Bedenken habe ich eine weitere 
nie von Versncheu ausgeführt, welche bezweckten, die lu- 
itenz Wirkungen im Vakuum zu studieren. Würde z. B. die 
atbode vor der Entladung iufolge einer lichtlosen Ent- 
dung mit einer positiven Luftschicht umgeben, so müßte ihre 
ifluenzwirkuiig auf einen isolierten Leiter natürlich geringer 
ler geradezu gleich Null sein, während die Anode mit ver- 
»ppelter Kraft wirken müßte, da sie nicht nur direkte In- 
lenzwirkung ausübt, sondern auch indirekt durch Entsendung 
ner positiven Luftwolke an das negative Ende des intluen- 
I Leiters. Versuche dieser Art, bei welchen die Sonde S 



296 0. Lehmann. 

als influenzierter Leiter diente, die Kugel K als elektrisch 
Konduktor und das zur Erde abgeleitete Drahtnetz .V a 
Schutzhülle gegen etwaige Ladungen der Gefäßwände, ergäbe 
ein durchaus negatives Resultat. Die Angaben des mit d( 
Sonde S verbundenen Mektrometers blieben dieselben, mocbl 
die Kugel K positiv oder negativ sein und waren hinsichüic 
ihrer Größe bei verschiedenen Abständen von S und K uo 
gefähr dieselben wie in Luft von gewöhnlicher Dichte, allei 
dings meist merklich kleiner. Die Versuche wurden sowohl in de 
Art ausgeführt, daß der konstant geladenen Kugel die Send 
aus größerer Entfernung genähert wurde oder so, daß sie ii 
bestimmten Abstand gebracht und dann erst der Kugel Laduni 
mitgeteilt wurde, oder auch so, daß sie während der Influenz 
Wirkung abgeleitet und der nach ZurückfÜhrung in die An 
fangslage oder Entladung nach der Kugel entstehende Ans 
schlag gemessen wurde. Femer wurden auch Kugel und Sond( 
vertauscht oder das Netz als influenzierender Körper gewählt 
Auch der Fall wurde untersucht, daß der influenzierten Sond< 
schon von Anfang an eine gleichartige oder entgegengesetzt« 
Ladung mitgeteilt war. 

Auf Mitteilung der Resultate im einzelnen muß verzichte! 
werden, da sich eine Menge von Komplikationen ergaben, ii 
erster Linie deshalb, weil beim Verschieben der Sonde durcl 
Reibung ihrer Glasumhüllung an dem absperrenden («^ueck 
Silber störende Ladungen (zugleich mit Rückstandsbildung) ad 
traten, sodann weil bei der geringen Größe der influenzierte: 
Kugel kleine Mängel der Isolation von großem Einfluß wurdei 

Auch diese Versuche sprechen also gegen die Existen 
lichtloser Ströme vor der Entladung. 

SchluB. 

Das tatsächliche Ergebnis der dargelegten Untersuchunge 

kann dahin ausgesprochen werden, daß, soweit die Empfinc 

\uihkeit der benutzten Apparate ein Urteil gestattet, bei Ei 

^iSbixig der Spannung bis unmittelbar vor Eintritt der leucl 

VftQ&Mi EaiÜadung auch das unvollkommene Vakuum sich al 

i^Vkommeuec Taolator erweist, daß keine auch nur schwächt 

**»««*» I ^aAft eintritt , auch keine vorübei 



Fakm 



als Isolator. 



297 



Pf^ende, welche etwa zur Bilduug eiuer positiven Luftwolke 
am die Kntliode führen »Urde. Damit ist aber nicht aus- 
geBchloBsen, daß eine solche Strömung zugleich mit Beginn der 
Entladung eintreten könute, sowie datt Anhäufung positiv elek- 
trischer Luft während der Entladung an der Kathode statt- 
fünde. Die Verauche sprechen also in dieser Hinsicht weder 
gegen die diaruptive, noch gegen die elektrolytische Theorie. 
Schwer läßt sich aber nach letzterer das weitere Ergebnis 
verstehen, daß bei Ableitung der einen Elektrode die Ent- 
lad UDgs Spannung häufig bei positiver und negativer Ladung 
der anderen dieselbe ist und nichtsdestoweniger die positiven 
und negativen Lichteracheinungen ebenso grundsätzlich von- 
einander verschieden sind wie in anderen Fällen; daß sich 
an der Anode keine Kanalstrahlen und kein dunkler Raum 
»on gleicher Art wie an der Kathode zeigen, daß die negativen 
Qlimm strahlen sich parallel den magnetischen Kraftlinien stellen, 
das positive Glimmlicht dagejjon senkrecht zu denselben angeord- 
net escheint und dergleichen mehr. ') Direkt zu widersprechen 
Bclieint der Theorie auch die Abnahme der Dicke des Dunkel- 
raames mit wachsender Frequenz bei Wechselströmen und die 
geringe Verschiedenheit bei Ausbildung des Dunkelraumes ao 
metallischen Elektroden und an Glaswänden. Da die Theorie 
die Entstehung des Duukelraumes dadurch erklärt, daß derselbe 
'on den Ionen [entsprechend der geradlinigen Fortpflanzung 
der Kathodenstrahlen) frei durchlaufen mrd, also wohl sehr 
nel weniger Gas enthält als der übrige Entladungsraum, so 
tabe ich versucht, diese hypothetischen Dichtigkeitsänderungen 
der Gasmasse dadurch nachzuweisen, daß ich das eine von 
üwei hoch evakuierten großen elektrischen Eiern von Strom 
durcbtließen ließ und dann plötzlich auch durch das andere 



l) Derselbe Untenchied der Lichteracheinungen zeigt sieb in freier 
!-n(t bei der Glimm entla düng an einer Spitze gegen eine weit abstehende 
E^oBe xnr Erde abgeleitete Platte, wobei nicht der Einwand erhoben 
■erden kann, daß nur für einen kurzen Moment die Veracbiedenbeit be- 
s'ebt itad dann in t'ulge der wachsenden Zahl von Ionen die weitere 
loaenhildung nur noch an der Kathode erfolgt. Allerdings ist hier die 
pwitive Spannung erheblich größer als die negative, doch seigt aiuh 
n der BeschatTenheit der positiven Lichterscheiniingen auch nicht eine 
iliVDOg ao die der negativen. 



298 0, Lehmann, Das Vakuum als Isolator. 

Strom leitete. Bei der großen Empfindlichkeit der EhiÜadungen 
gegen geringe Druckänderungen bei hohem Vakuum hätte sich 
die Verdrängung des Gases aus dem zweiten Ei durch den 
mehr als die Hälfte des Inhalts einnehmenden DunkelraoiA 
deutlich bemerkbar machen müssen. Dies war indes nicht 
der Fall. 

Karlsruhe, 29. August 1903. 

(EiDgegaDgen 81. August 1908.) 



Zusätze bei der Korrektur. 

1. Während des Druckes erschien in der physikalischen Zeitsdiriftl* 
p. 811 eine Abhandlung von Lech er (vom 12. Oktober), welche die 
Seite 288 dargelegte Auffassung über das Wesen der yermeinÜicheD 
Ringentladung bestätigt (Vgl. auch 0. Lehmann, Wied. Ann. 47. p.4SS. 
1892; Elektrizität und Licht p. 299. Braunschweig 1895; Elektriidie 
Lichterscheinungen p. 49. Halle 1898; Elektrische Entladungen k 
Meyers Konversationslexikon. 6. Aufl. 1908.) 

2. Während des Druckes veröffentlichte G. C. Schmidt (Ann. i 
Phys. 12. p. 622. 1903) eine Abänderung der elektrolytischen Theorie, 
auf welche das Seite 297 Gesagte nur zum Teil zutrifft G^egenflber dm 
bisherigen (vgl. J. Stark, Die Elektrizität in Gasen, Leipzig 1908) hit 
die neue Theorie den Nachteil, daß sie im Wesentlichen nur den großen 
Widerstand des Kathodendunkelraumes (durch Mangel an Ionen) erklirt 
Ein Vergleich des genannten Werkes mit meinem Buche über £Dt* 
ladungen und den ergänzenden Abhandlungen in Wied. Ann. 68. p. 285. 
1897; Ann. d. Phys. 6. p. 661. 1901; 7. p. 1. 1902 u. Verh. d. Karb- 
ruher Nat-Ver. 15. p. 33. 1902 läßt übrigens erkennen, daß auch die 
frühere elektrolytische Theorie noch keineswegs auf alle ErscheinoogeD 
angewendet wurde. 



J9. Über sogenannte Heiligenscheine nnd andere 

! eichen Ursachen entspringende Erscheinungen. 
Von A. T. Obermorer in Wien. 
Im Jobelbande der Poggendorffschen Annalen defiaiert 
jommel in einer Abbandlung; „tJber dea Lichtschein um 
Schatten des Kopfes" die bezügliche Erscbeiuung mit den 
llgendeu Worten: „Wenn man bei hellem Sonnenscheine seinen 
Chatten im Grase, auf einem Getreide- oder Stoppelfelde, auf ge- 
ickerleui Erdreiche, überhaupt auf rauher Fläche betrachtet, bo 
ieht man, besonders deutlich bei niedrigem Stande der Sonne, 
leD Schatten des Kopfes umgeben von einem schwachen Licht- 
icheine, welcher sich gewöhnlich über dem Scheitel weiter er- 
itreckt als zu beiden Seiten. Diese Erscheinung, welche 
Iciligenacbein genannt worden ist, verschwiudet, wenn der 
icbstten eine ganz ebene Fläche trifft. Einen sehr hellen 
Jiohtechein beobachtet man, wenn der Kopfachatten auf be- 
«utes Gras fallt. Jeder Beobachter sieht nur seinen eigenen 
Schatten mit dieser Glorie geschmückt, nicht aber denjenigen 
fliner Begleiter. Hieraus folgt, daß man es mit zwei ver- 
chiedenen Erscheinungen zu tan hat, nämlich erstens mit dem 
chvfachen Lichtscheioe auf trockenen, rauhen Flächen, und 
weitens mit dem viel helleren, welcher auf betauten Wiesen 
fahrgenommen wird und als Wirkung der Tautropfen zu der 
igen hinzukommt." '] 
r Ufyor von Winterfeld zu Nidea in der Ockermark *) hat 



I) Alle FSlIe, bei welchen um den Schatten des Kopfes, wie beim 
tig«!i«int«n BrockeDgespenst, farbige Ringe auftreten, sind nicht als 
leUigeDacbeioe zu bezeichnen. So z. II. sind in einer Afalandlong vod 
Tiit: Glories Haines Corunae seen from Ben KeviB Observatoiy. Pro- 
«dings of the Royal Soc. of Edinburgh 14. p. 314 u. ff. mit Plate XII, 
>iB tu! Fig. .^, durchwegs Beugungseracheinungen angefahrt und nii-lit 
leiligeoBcheine, wie narli dem Titel des Referates in den Beihllittern IB. 

1£2 in vermuten wSre. 

, 2) V. Winterfeld, Gilberts Ann. IS. p. b'i. 1M«4. 



300 A. V. Obermayer, 

sich^ anknüpfend an den Aufsatz eines Reisenden im Deatschea 
Merkur vom März 1783, mit dieser Erscheinung beschäftigt 
verschiedene von anderen versuchte Erklärungen angeführt und 
endlich selbst eine Erklärung gegeben^ welcher Lommel zn- 
stimmte, welcher aber von Brandes ^) entgegengetreten wurde. 
In allen den vorliegenden Publikationen ist nur der lichte 
Schein um den Schatten des Kopfes erwähnt Tatsächlich tritt 
aber dieser lichte Schein stets in Begleitung eines dunklen Saumn 
am inneren Schattenrande auf, und dieser gehört ebenso suni 
Wesen der Erscheinung^ wie der erstere. Auf betauten Wiesen 
kommt der durch die Tautropfen gebildete lichte Schein, vo- ' 
ftLr Lommel eine s^hr zutreffende Erklärung gegeben hat, hxnau 

Das Auftreten des lichten und dunklen Saumes an der 
Schattengrenze ist indessen, wie eine einfache Beobachtung bei 
gutem Sonnenschein lehrt, nicht an die Rauhigkeit der Fläche 
gebunden. Man sieht diese Säume auch auf ganz ebenen 
Böden, auf Asphaltböden, ja selbst auf Papierflächen^ und zwar 
bei jedem Stande der Sonne, auch zur Mittagszeit Diese 
Säume umziehen nicht nur die Kontur des eigenen Schattens, 
sondern auch jene des Schattens eines Begleiters, sie lassen 
sich an den Schatten von Hauskanten oder anderer feststehen- 
der Gegenstände verfolgen. Bei längere Zeit fortgesetzter Be- 
trachtung der Schattengrenze werden diese Säume deutlicher, 
und insbesondere scheint sich der helle Saum mit der Daner 
der Beobachtung zu verbreitem. 

Auch die scharf begrenzten Schatten, welche das elektrische 
Bogenlicht auf Wandflächen erzeugt, zeigen diese Säume in 
Gestalt feiner, die Kontur begleitender Linien. 

Geradezu überraschend treten solche Säume längs der 
Kontur eines Gebirgszuges nach Sonnenuntergang au£ Der 
lichte Saum ist am deutlichsten dort ausgeprägt, wo die Sonne 
hinter dem Gebirge verschwand. Der dunkle Saum zieht sich 
hreit zu beiden Seiten, fast merkbarer als der begleitende 
li(>hte Saum hin; das tiefe Schwarzblau desselben hebt sich 
vom dunklen Blau der Berge deutlich ab. Minder schön, aber 
jnicli deutlich sichtbar sind diese Säume an Dach- und Häuser- 

1) Braudes, Gilberts Ann. 19. S. 366, und Gehler, PhyB. Wörter 
Ijucli 5. p. 439. 



HeUiffengc/ieine unrf vencimiüe Ersrheimingev. 301 

iDsbesondere wenn dieselben längere gerade Linien 

V^Eodlich sieht man die Konturen fett gedruckter schwarzer 
iBtaben oder dicker schwarzer Striche auf lichtem Grunde 

■diesen Säumen eingefaßt, besonders deutlich bei schlechter 

modation des Augea und starker Belichtung. 
I In dem letzteren Fall kann man sich durch Abdecken des 
ues sofort überzeugen, daß es sich um eine subjektive Er- 
inung handelt. Schiebt man ein schwarzes Papier von der 
1 Seite, mit der Kante parallel zum Saume, ein, sO daß 
B belle Rand gerade verdeckt wird, so verschwindet der 
e Saum längs der Papierkante, bleibt aber am nicht ab- 
pskten Bande bestehen. 
|H. Seeliger') in München findet in einer naturgetreuen 
tnerischen Darstellung des teilweise verfinsterten Moudes 
I. Weinek ein dunkle« Band in der Nähe der Trennungs- 
welches sich durch Abdecken als subjektiv erweist. 
lim vorigen Sommer habe ich mit einem Stereoskoji- 
den Schatten desselben und des bedienenden Beob- 
i auf betautem Grase aufgenommen. Die Säume um- 
die Kontm'en der Schatten des Apparates und des 
ichters, sie sind subjektiv. Der vom Tau herrührende 
sin umgibt bloß den Schatten des Apparates, nicht jenen 
' da Beobachters, er ist eine Rellexerscheinung der Sonne in 
ilen Tautropfen. 

Ich habe im Ederschen Jahrbucbe für 1900 angeführt, 
daü die in ßede stehende Erscheinung die Folge eines von 
E, Mach ^ mittels rotierender Scheiben nachgewiesenen physio- 
lopscheo Gesetzes sei, welches dieser Forscher in folgender 
Form ausgesprochen hat: 

überall dort, wo die JAchthirve einen Knick hat, erscheint 
Jjt Stelle heller oder dunkler als die Umgebung. Heller iH dit 
Stelle, wenn die Knickung gegen die AbsziMtenachge konkav, dunkler, 
iMnn die Knickui^ gegen die Äbazigsenachie konvex ist. 



1) H. Reeliger, Abhandl. d. kgl. ha-yr. Äkad. A. 
MüneheD. II. Kl. 1». II. Abt. |>. .SSS. 

2) K H&ch, SitzuDgfibcr. d. k. Äkad. d. Wisseiuch. 

P. SW. isßfl. 



WÜBeDAch. 



302 A. V. Obermayer, 

Mach hat für die Stärke e der sabjektiven Empfindi 
welche hier der simultanen Kontrastwirkung entspringt, 
einer Belichtungsintensität i den folgenden Ausdruck angegel 




« = alog\^^ ±k 

worin a und b die sogenannten Fechnerschen Konstant 
k eine von Mach hinzugefügte Konstante ist. Das ob 
Zeichen ist bei konkaver Krümmung, das untere bei konye: 
Krümmung zu nehmen. Hiemach ist der zweite Lifferent 
quotient der Belichtungsintensität nach der Koordinate f&r 
Stärke der subjektiven Empfindung an der betre£Fenden St< 
entscheidend. Zu demselben Resultate gelangte, von Mach g) 
unabhängig, H. Seeliger ^) in seinen Untersuchungen über 
Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen, wel( 
hiemach ein physiologisches Phänomen ist 

Da die Lichtkurve beim Übergänge vom Kernschat 
zum Halbschatten konvex, und bei jenem vom Halbschat 
zur vollbeleuchteten Fläche konkav ist, treten an diesen Stel 
beziehungsweise dunkle und lichte Säume auf. Die Lehre t 
Schatten wäre zweckmäßig erweise in diesem Sinne zu ergänzen 

An der Schattenerscheinung eines von einer Gasflam 

beleuchteten Lineals, welches gegen einen weißen Grund sd 

gestellt ist, lassen sich diese Säume aufzeigen. Sie lassen s 

selbstverständlich fixieren, wenn der Schatten auf eine pho 

graphische Platte geworfen wird.*) 

Auch Seeliger hat (1. c. p. 398) auf diese Säume an • 
Grenze von Kern- und Halbschatten hingewiesen, und die 

genannten Fom raschen Streifen, die bei Versuchen, 

Röntgenstrahlen zu beugen, erhalten wurden, gehören hierl 

Das Auftreten der Säume an der Kontur breiter dunl 

Striche (Fig. 1) auf hellem Grunde ist eine Folge der Ii 

diation, die selbst bei genauester Akkommodation zufolge 

Farbenzerstreuung und des Astigmatismus des Auges eint 

und durch Zerstreuungskreise auf der Netzhaut entsteht 1 

1) H. Seeliger, Abhandl. d. kgl. bayr. Akad. d. Wissensch. 
München. II. Kl. 19. II. Abt. p. 397. 

2) J. M. Edere Jahrbuch 1900. p. 146. Fig. 38. 



]leiligenscheine und i 



mite Erurheiniingett. 



31)3 



l.kht breitet sich dabei von der hellen Fläche über den 
(liiukleu Grund aus, während das Dunkle sich über den Raud 
m das Helle hinein yerbreitert. Statt einer Lichtkurva adeb 
(Fig. 2), welche senkrecht zum Rande c der hellen Mäche m c 



füllt, erhält man ei 
tnukar gebogen, zu ei 
konvex gebogen, zu ei 



ne Kurve a/'b'). die in der Nähe von a, 
inem hellen Streifen, in der Nahe von i>, 
nem dunklen Streiten Veranlassung gibt. 



Bei unvollkommener Akkommodation, wie dieselbe bei großer 



Fig. 1. Fig. 3. 

Lherung des Auges eintritt, erscheint der Band verwaschen 
t wie der HalbEchatten von den beiden Säumen eingefaßt. 
! Helligkeit der Beleuchtung ist der Erscheinung günstig. 
Im Ederscben .Jahrbuche 19U0 habe ich nachgewiesen, 
I die lichten Säume um die positiven BUder dunkler Gegen- 
3 auf hellem Hintergrunde, die mitunter als mechanische 
jbition, von den Franzosen als Silhonettage bezeichnet wer- 
, subjektive und keine Entwickelungserscheinnngen sind, 
londers deutlich erhielt ich die Silhouettage bei der Äuf- 
a Personen, die gut erleuchtet waren, mit Nebel als 
htergnind, auf dem Hoben Sonnblick. Ea ist nicht un- 
lieb, daß unter solchen Umständen auch um den Kopf 
IT Person ein solcher lichter Schein gesehen werden kann. In 
iler Literatur konnte ich hierüber Tiur eine Bemerkung in einem 
Konversationslexikon ohne Quellenangabe finden, worin unter 
1 Stichwort „Heiligenschein" eine solche Erscheinung mit 
tl Bemerkung erwähnt wird, daß dieselbe subjektiver Natur sei. 
Zum Schlüsse möchte ich noch darauf hinweisen, daß das 
j zufolge der Kontrastwirkung bei vielen andern Qelegen- 
die Helligkeit unrichtig schätzt. So erscheint *) der 

1) U. V. llelmholtz. Pliy Biologische Optik <% 13. p. lUT. 
a) J. H. Eders Jahrbuch p, 305, 1901. 



304 Ä, V. Obermayer. HeiHgentcheine etc. 

von schwarzen Strichen durchzogene Schatten einer Stricknadel, 
welche von einer parallelen Spalte beleuchtet ist, beiderseits 
von sehr hellen Säumen umgeben, die gegen die außerhalb 
verlaufenden Beugungsfransen an Helligkeit zuzunehmen schei- 
nen. Durch Abdecken der Fransen in einem PositiT der photo- 
graphierten Erscheinung verschwindet die Abtönung und madit 
einer gleichförmigen Erleuchtung Platz. Ich habe die PositiTe 
von Eollodiumnegativen abgenommen, welche ich im Jahre 1868 ^ 
im physikalischen Institute der Wiener Universität unter der 
Direktion Stefans aufnahm, als Ludwig Boltzmann dort ! 
Assistent war, und welche ich als ein Andenken an jene Zeit 
aufbewahrt habe. 

(Eingegangen 31. Aagutt 1908.) 






805 



40. De Terandering yan de grootheid b der toestands- 
Twgeljjking als qnasi-yerkleining yan het molekaal. 

Door J. D. van der Waala in Amsterdam. 



In het verslag der koninklijke Akademie van Amsterdam 
beb ik in een mededeeling, getiteld: ,^De vloeistoftoestand en 
de toestandsvergelijking'' (Juni 1903], trachten aan te toonen, 
dat de groote verschillen^ die tusschen experiment en theorie 
bestaan in den gang der isothermen van een stof^ grootendeels 
wegyallen als men de grootheid b met het volume variabel 
stell Ik heb daarin doen opmerken dat men die verkleining 
Tan h met kleiner-wordend volume op tweeerlei wijzen zou 
hnnen opvatten^ n. 1. P als een werkelijke volume-vermin- 
dering, door samendrukking ten gevolge van de botsingen met 
de omringende molekulen en 2^ als een quasi-verkleining door 
bet elkander bedekken der afstandssferen. Daar ik in de 
genoemde mededeeling voomamelijk ben uitgegaan van het 
denkbeeld eener reeele verkleining, zal ik in deze körte mede- 
deeling als tegenhanger uitgaan van het denkbeeld eener 
qnasi-verkleining. 

Voorloopig schijnt het mij niet mogelijk te beslissen, welke 
der tweeerlei beschouwings wijzen voor de oorzaak dezer varia- 
biliteit van b de wäre is. Misschien werken zij beide samen. 
Elen nauwkeurig experimenteel onderzoek van een Ä6n-atomige 
stof zal hierover voorzeker veel licht kunnen doen opgaan. 

Voomamelijk door de onderzoekingen van Boltzmann 
scbijnt het zeker dat zulk een quasi-verkleining bestaat. Ik 
schreef daarover in bovengenoemde mededeeling een enkel 
▼oord, dat ik mij veroorloof hier aan te halen. 

,3oltzmann zieh in zijn Vorlesungen baseerende op de 
onderstelling dat de toestand van evenwicht, dus van maximum- 
entropie, samenvalt met den waarschijnlijksten toestand, heeft 
^^ÄÄrbij moeten in acht nemen de kans van samenvallen van 

Boltxnuuin-FMtachrifi. 20 



306 J. D. van der Waali. 

de afstandssferen: en door de uitdmkldiig welke hij Yoor de 
maximum-entropie op deze wijze vond te Tergelqken met 

(de entropie in den evenwichtstoestand volgens de toestands- 
yergelijking) was hij in Staat gesteld de waarden te bq)ftlen 
van enkele coefficiSnten in de uitdmkking: 

* = *,{! -«(4') +/?(^)'enz). 

Deze methode is een indirekte. Ik zelf had beproeffl 
deze coefficienten te bepalen door rechtstreeks den inyloed 
van het samenvallen der afstandssferen op de grootte yan den 
druk na te gaan. De waarden der coefficienten^ welke yolgens 
deze twee verschillende methoden gevonden werden, Ter- 
Schilden. Later heeft mijn zoon ^) aangetoond, dat ook yolgens 
de rechtstreeksche methode de waarde van a, als men den 
inyloed op den druk anders opyat, dan ik gedaan had, gelijk 
aan die yan Boltzmann geyonden wordt En sedert ben ik 
geneigd de coefficienten yolgens Boltzmann's berekening ab 
juist aan te nemen." 

Nu is mijn doel in de volgende bladzijden aan de eigen- 
schappen van het kritisch punt de waarde der grootheden 
u en ß door berekening te ontleenen. Voor zoover dit namelijk 
mogelijk is. 

Voor zeer groote waarden van v kan men als benadering 
stellen : 

(1) * = *,(i-«A). 

De waarde der grootheden a, ß enz neemt volgens de 
afleiding zeker af en waarschijnlijk snel. Zoolang nu b Iv < 1 
zullen wij ons voor de berekening van b met weinig teraen 
kunnen vergeuoegen, en als b jv een kleine break is, zal dat 
aantal zoo beperkt kunnen zijn dat (1) de waarde van b nauw- 
keurig genoeg wedergeeft. Nu weten wij echter niet voorai 
hoe groot /> /v voor het kritisch punt is, en wij zijn dus 
ook niet zeker dat als wij deze waarde van h aannemen, de 

1) J. D. van der Waals Jr., Verslag Kon. Akad. van Wetcn- 
«^ttp^Q 11. p. (i40. 1902. 



De verandering van de ffrootheid b, 307 

^an a uit de eigenschappen van dat punt berekend, 
noeg bij de wäre waarde liggen zal. En strikt ge- 
sal de aldus berekende waarde het niet tot yoUedige 
g können brengen of bijvoorbeeld a = 3/8 is, zooaLs 
bz mann 's berekening volgt of gelijk aan ^^82^ zooal3 
berekeningen volgde. Dit zou evenmin het geval zijn, 
meer termen in de reeks voor b behenden hadden. 
e opyolgende termen echter afwisselend positief eu 
zijn laat het zieh y erwachten dat de wäre waarde 
;al liggen tusschen die, welke men door berekening 
Is men een yorm yoor b aanneemt^ waarin alleen a yoor- 
1 een waarin a en ß beide yoorkomen. 
llen wij dus eerst: 

het kritisch punt 

\dv)T \dv*)T 

zijn, heeft men de drie vergeUjkingen 

RT a 



i 



P = 



V — b »• 







__ \ dv I 2a 






db V — h V ' 

dv 

t men b 1 v =^ x, dan yindt men ter berekening yan 

Sr 

aarde yan ux^ ^u stellende) 

_ 1_+ 6 tt - 3 «*« 
^fc "" 3 - w ~ • 

20* 



308 J. B. van der WaaU. 

Wij können een tweede yergelijking tnsschen 9^ en « 
Tinden, als wij de waarde van pv j BT voor het kritisch pTint 
bekend stellen. Voor vele stofifen is de waarde van dat prodnkt 
circa 0,275 = \l gevonden. Voorloopig stellen wij ze voor 
door het teeken A. Wij hebben dan: 

f> - 6 2 \v - b) \ dv) 

Hieruit volgt de yergelijking: 

2Ä(1 -Xfc + ti)* = 1 -2xj + 3ti, 
welke met 

** - s - u 

dienen kan cm x^ en u te berekenen. 

Een stel waarden^ n. 1. t£ = 1 en x^ s 2 voldoet aan beide 
yergelijkingen, maar voor x = 2 is de voor b gekozen appro- 
ximatieve waarde zeker niet meer als een benadering te be- 
schouwen. Dit stel van waarden moet dus verworpen worden.^) 
Van het stel dat overblijft levert de yergelijking: 

8Ä(1 -M)8 = (3-ti) (1 -3«) 

de waarde voor u, 

Deze waarde hangt dus van de grootheid k af. Mocht 
Ä = 3/8 zijn, dan is w = 0. Dit is de bekende waarde yan 
{])v I R T)j. als b invariabel genomen wordt Voor u = 0,2 
wordt de waarde van k gelijk aan 0,2735; dus zoo dicht bij 
de waarneiiiing dat wij deze waarde van u = 0,2 als juist 
kunnen aanuemen ; was m = dan zou x^ = ^/j zijn gevonden. 
Met M = 0,2 vinden wij 

Xj^ = 0,743. 



1) Dit stel beantwoordt aan 



v =■ en - . — = 1 . 
dv 



D9 veranderinff van de groolheid b. 809 

TJit u =s 0^1^' SS 0^2 yinden wij dan a = 0,361, das zeer 
ht bij de door Boltzmann berekende waarde van 3/8.^) 

Mit deze waarde van 

Xj^ = 0,743 en u^ax^=^ 0,2, 
den wij 

[±-\ = 0,548 , Ä r, = 0,283 -J^ = ^^ -J- 

ft = 0,04203 ^, = J-3-^,. 
or b^ vinden wij dan: 

, RTu 0,042 ^ . . Rlu 

K = — - 7^^ of Circa b. — -— ^ . 

* pu 0,283 * Ipu 

Hadden wij b niet variabel gesteld dau geldt voor b de 
iarde RT^j^p^. Maar is b inderdaad variabel, dan is de 
t RTj^Jlbj^ berekende waarde niet de waarde van b , dus 
B waarde van b voor zeer verdunde gassen. Deze kan dan 
erekend worden uit 

4^ = 1 -aar. = 0,731. 

lisschien ligt hierin een vingerwijzing voor de verklaring van 
et meermalen opgemerkte, dat de^a en b uit de kritische 
rootheden berekend niet volkomen aan de samendrukbaarheid 
er gassen beantwoorden. 

AI het bovenstaande zou evenzeer gelden als a en d tem- 
eratuurfiinctiön zouden zijn. Om te zien in hoever het 
oodig is ze af hankelijk van de temperatunr te stellen, maken 
ij gebruik van het kenmerk, dat bij de kritische temperatunr 
e waarde van dpjdT voor de verzadigde dampen gelijk is 
an [dpldT\. Wij vinden voor {dp ldT\ de waarde: 

Q dos 



Tdp _ AT V , ^T* 
pdT "^ pv V — h p{v 



r Idb \ T (da\ 



1) Zie o. a. Arch. N^erl. Ser. U. 8. p. 285. 



310 /. J9. van der tfaals. 

Schrijveu wij voor deze laatste yergelijkmg: 

T_dp _ 1__^ , A 

Wij kuuueu uu nagaan of 

,T dp 
'* Jdt 

grooter of kleiner is dau (» / ü — b\, Volgens de hierboven 
gegeven waarde van 

(* )^= 0.543, i8(-:-^) = 2,188. 

Met k = 0/2735, zou als J gelijk was de waarde van 

T_dp 
p df 

gelijk aau 8 gevonden worden. Stellen wij dat het ezperiment 
daarvoor de waarde 7 heefb geleverd, dan moet dus J negatief 
zijn ; wat als a niet van T afhangt voor [dbjdT)^ een negatieve 
waarde zou eischen. Is b niet van T afhankelijk, iets wat 
volgens het denkbeeld van quasi-verkleining te wachten is, dan 
zou a met T moeten toenemen. En dit laatste is zeker zeer 
onwaarschijnlijk en tegenieders verwachting. Deze moeielijkheid 
blijft bestaan ook als men voor b een meer benaderde waarde 
aanneemt dan hierboven geschied is. 

Stellen wij nu: 



dan is 






v-'^M^m 



1 - *- = 1 -x + ax«-/9x3 

^* =ax2-2/9x» 
dv "^ 

-t;-^ = 2ax*- 6/9x8. 



dv^ 

i^aa wordt de vergelijking, welke ter bepaling van het kritisch 
^Aumft ^ent, de volgende: 

^ * ^ 1 - ax* + 2pfx* 



De verandering van de grootheid 6, 311 

Yoor {pv fRT\^k vindt men dan: 

Nemen wij weder ax* = ti, en stellen wij ßx^ = w, dau 
kannen wij deze twee yergelijkingen de volgende gedaante 
geven: 

_ (1 - ll«g - 8«>*) + t<(6 + 9tg) - 3m* 

2*(1 -x^ + ti-ti7)2 = (l - 4u? + 3ii-2x^). 

Wij kuDiien nu rekenen drie onbekenden te hebben, u. 1. 
X|, H en w. Deze twee yergelijkingen zijn dns niet voldoende 
om ze te berekenen. Wij zouden uit de door het experiment 
geleverde waarde van 

p dT 

eea derde vergelijking kunnen bijvoegen. Maar alleen als 
wij a en 6 yan T onafhankelijk zonden mögen stellen. En 
daar wij daarvan niet zeker zijn, zullen wij deze derde ver- 
gelijking moeten ontberen. Wij zxdlen dan ook voorloopig w 
ab bekend aannemen. Er is weder een stel van waarden van 
j^ en ti^ dat aan beide yergelijkingen voldoet, maar verworpen 
moet worden^ n. 1. 

tt = 1 + 2u7 en Xj = 2 + ti7. 
Na eliminatie van dat stel, vindt men ter berekening van u: 

3 (1 - t* + 2wf 

Voor kleine waarden van w, en die moeten wij aannemen^ 
neemt bij de zelfde waarde van k, de grootheid u met w toe. 
Wij zollen das u iets grooter dan vroeger moeten vinden. 

Voor w = 0,01 wordt: 

_ 0,8892 + 6,09 m - 3t<« 

en 

3 (1,02 - uf 



312 J. B. van der fl'aaU. De aeranderiag von de grt 

Aan deze vergelijkiDg voldoet voor dezelfde wai 
k Tan vroeger u <> 0,23 eu daaruit voIgt x^ = 0,77, en a 
Bereitenden wij nit w = 0,01 de waarde van ß, dao 
wij slechtB circa '/s of V« '^i^den van de theoretische 
Dat wij minder moeten vinden, is uit het weglaten 
verwaarloosdc termea in de waarde van h vooraf af t< 
Voor de waarde van (^jv — b\ vinden wy een nog iets 
waarde dan vroeger n. 1. 



= 2,22. 



Kouden wij dit op koolzunr mögen toepassen dan 
wij met v^ = 0,0042, b^ = 0,0023. Maar deze waard 
is dan zeer veel kleiner dan b , welke Tolgene de h 
gcTonden betrekking, 6^/6^ = 0,731, circa 0,00315 
dragen, 

(Eingegangen 9. September iflOS.) 



313 



Jl)er die Verteilung einer nicht dissoziierenden 
Substanz zwischen zwei Lösungsmitteln. 

Von Q. Jäger in Wien. 



[n der Abhandlung: ,,Die Hypothese vavft Hoffs über den 
iscken Druck vom Standpunkte der kinetischen Oastheori^^^) 
lerr L. Boltzmann gezeigt, daß sich für den osmotischen 
k in analoger Weise eine kinetische Theorie geben läßt, 
Ar den Druck eines Gases. Desgleichen können wir für 
[olekeln einer Substanz in flüssiger Lösung das Maxwell- 
Verteilungsgesetz der Geschwindigkeiten voraussetzen. Unter 
n Annahmen wollen wir im folgenden nach der kinetischen 
ie die Verteilung einer nicht dissoziierenden Substanz zwischen 
einander berührenden Lösungsmitteln geben, welche sich 
seitig nur sehr wenig losen. 

Wie die Molekeln einer Flüssigkeit aufeinander Anziehungs- 
3 ausüben, durch welche allein deren Zusammenhalt vor- 
lar wird, so müssen auch zwischen den Molekeln des 
Dgsmittels und der gelösten Substanz Anziehungskräfte 
hen, da sich letztere sonst aus der Flüssigkeit vollständig 
Ichtigen würde. Im Innern des Lösungsmittels halten sich 
Kräfte nach allen Eichtungen des Eaumes im Gleich- 
iht. Die Molekeln der gelösten Substanz bewegen sich 
gerade so, als würden auf sie gar keine Kräfte wirken, 
ier Oberfläche der Lösung hingegen erfährt die gelöste 
tanz einen Zug gegen das Innere, um eine Molekel der 
ten Substanz aus der Lösung zu entfernen, ist daher ein 
mmter Arbeitsaufwand nötig, welcher der Verdampfungs- 
le analog ist, die notwendig ist, um eine Flüssigkeitsmolekel 
ampf zu verwandeln. Bringen wir eine Molekel der ge- 
a Substanz in die Lösung, so wird die entsprechende 
it wiedergewonnen. 



1) Zeitschr. f. phys. Chem. 6. p. 474. 1890. Nachtrag 1. c. 7. 
1891. 



314 G. Jäger. 

Grenzen zwei Lösungsmittel, die sich nur wenig mischen, 
aneinander, so können die Molekeln der gelösten Substanz 
nach beiden Richtungen die Trennungsfläche durchsetzen. Im 
allgemeinen wird dabei nach der einen Richtung eine Arbeit 
aufgewendet werden müssen, die in entgegengesetzter immer 
wieder gewonnen wird. 

Wir denken uns eine horizontale Trennungsfläche. Es wird 
dann zwischen den beiden Lösungen Gleichgewicht herrschen, 
wenn in der Zeiteinheit durch die Einheit der Trennungsfläche 
gleichviel Molekeln der gelösten Substanz von oben nach unten 
und von unten nach oben wandern. Von der gelösten Substanz, 
auf die sich im weiteren alle Angaben beziehen, seien in der 
Volumeneinheit der unteren Lösung N Molekeln, in jener der 
oberen N' vorhanden. Die Zahl der Molekeln, welche in d^ 
Zeiteinheit durch die Flächeneinheit von oben nach unten 
passieren können, ist dann 

wobei ü den Mittelwert der positiven Geschwindigkeitakompo- 
nenten der Molekeln senkrecht zur Trennungsebene vorstelii 
In entgegengesetzter Richtung wandern entsprechend 







,,v ,f^ du =^ e 



Vlv>lokoln. ^) Wir akzeptieren also das Maxwellsche Ver- 
uiUuigsgesetz der Geschwindigkeiten und bezeichnen mit a jene 
V»'Unt, welche zur Überwindung der Molekularkräfte notwendig 
»si . wonu eine Molekel durch die Trennungsebene von unten 
•t.iv'h obon geht 

Kur das Gleichgewicht muß nun I = II, d. h. 



2 a 



.x-ni, .i;i a -- celyn ist. 

^ \ ;1 1. H. G. Jäger, Add. d. Phys. 11. p. 1073 ff. 1»08. 



JjOSÜchkeU in einander berührenden Flüssigheiten, 315 

Setzen wir 

2a _ rJ jv 



Witt" AT' 

» haben wir unter r die Differenz der Lösnngswärmeti in den 
siden yerschiedenen Lösungsmitteln zu Terstehen^ wenn die 
i58ungen so verdünnt sind, daß bei weiterer Verdünnung keine 
färmetönung mehr stattfindet. / ist das mechanische Wärme- 
qulyalent, R die Gaskonstante. 
Aus (1) erhalten wir 

Unter der Voraussetzung entsprechend verdünnter Lösungen 
ist r von der Konzentration unabhängig. Es ist daher bei 
konstanter Temperatur T e^^l^^ eine von der Konzentration 
der Lösung unabhängige Größe, und wir erhalten den NernsU 
sehen Satz, daß für nicht dissoziierende Substanzen das Ver- 
hähais der Konzentrationen in den beiden Lösungsmitteln unalh- 
kanffig von der. Menge der gelösten Substanz ist. Gleichzeitig 
erfahren wir, in welcher Weise sich dieses Verhältnis mit der 
Temperatur ändert, vorausgesetzt, daß die Lösungswärmen als 
Fanktionen der Temperatur bekannt sind. Wir erkennen auch, 
daß der Satz, wie es tatsächlich der Fall ist, nur für ver- 
dünnte Lösungen gilt 



1) 1. c. p. 1080. 

(Eingegangen 10. September 1903.) 



316 



42. Über die spezifische Wärme im flflssigen Znstande 

bei niedrigen Temperaturen. 

Von J. J. vaa Laar in Amsterdam. 



Bekanntlich hat Prof. van der Waals^), ausgehend tob 
der Theorie der zyklischen Bewegung, einen Ausdruck her- 
geleitet, welcher bei zusammengesetzten Molekülen die Ver- 
änderlichkeit der Größe b seiner Zustandsgieichung mit dem 
Volumen angibt Beschränken wir uns auf den Fall ztßd' | 
atomiger Moleküle, so ergab sich für die „Zustandsgieichung des 
Moleküls": 

wo die Größe b^ das Volumen des Moleküls ist, wenn die 
beiden Atome sich bei ihrer Bewegung einander so nah wie 
möglich gekommen sind. Dabei wurde vorausgesetzt^ daB die 
Atome sich in der Richtung ihrer Verbindungslinie — also 
radial — hin und her bewegen, und nicht, daß dieselben sich 
in kreisender Bewegung, wie die einzelnen Sterne eines Doppel- 
sternes z. B., um einander herum bewegen. 

Dieser Umstand ist wichtig, denn er führt zu dem Er- 
gebnis, daß die kinetische Energie der Atome Z^ das DrM 
ist von derjenigen der Moleküle L^, und das spiegelt sich 
wiederum ab in dem Ausdruck für die Entropie, für welche 
(bis auf eine Konstante) gefunden wird: 

^ = /?[log (r - b) r/. + log {b - Ä,)r/.], 

sodaß der Exponent von T im zweiten logarithmischen GUede 
nicht ^/o, sondern Y2 wird. 

Man findet dann weiter für die spezifische Wärme bei 
konstantem Volumen aus C^ = T{d 7;/ö T)^: 



1) J. ü. van der Waals, Veral. Kon. Akad. van Wetenschappen, 
Amsterdam, März, April und Mai 1901; Arch. Ne^rl. (Livre jabiüire 
ofiert k J. Bosscha). p. 47 ff. 



Wamu hm fSusigen Zustande b. niedr. Temperaturen. ■ 317 



C=RT 



9 



2^ 

T 






st jetzt die IVage inwiefern ft und vielleicht auch b^ Tem- 
fKrfiinktionen sind. 

Setzen wir mit van der Waals den Ausdruck dP^/db, 
her offenbar mit den Kräften zusammenhängt, welche die 
ne im Molekül zusanmienhalten, proportional b — b^. Diese 
ahme besagt bei radialer Bewegung der Atome, wodurch 
Molekül die Gestalt eines Doppelzylinders bekommt, daß 
^tomb^Lfte proportional der Amplitude r -- r^ wirken. E^s 
. also gesetzt: 

daher kann statt (1) geschrieben werden: 

/' + J + «(*- *»)](*-*«) "Ä^". 
unendlich großem Volumen wird dieses offenbar: 

daß — wenn u keiue Temperaturfunktion ist, und die 
leitung der Formel (1) aus der Theorie der zyklischen Be- 
ang fordert, daß P^ keine direkte Temperaturfunktion sei 
die Größe b — b^ notwendig proportional j/T sein muß. 
1 denkt sich van der Waals b^ unveränderlich; dann muß 
r b in der angegebenen Weise von T abhängig sein. Nach 
ir Bemerkung von D. Berthelot liefert jedoch die Er- 
img für das Verhältnis zwischen der Temperatur, wobei 

Gas in äußerst verdünntem Zustande dem Boyleschen 
etze folgt, und der kritischen Temperatur, den Wert 2,93 
2,98. Das aber fordert b zwischen diesen weit auseinander 
enden Temperaturen = konstant, welche Annahme theo- 
ach für den Wert dieses Verhältnisses 2,9 liefert. Es kann 
it b keine Temperaturfanktion sein, und es bleibt nichts 
eres übrig, als daß b^ eine solche ist. 

Bei Wasserstoff, wo ich die neue van der Waalssche 
ichung für b an den Ergebnissen der Amagatschen Ver- 
lie prüfte^), fand ich denn auch nur dann eine gute Uber- 

1) J. D. van der Waals, Versl. Kon. Akad. van Wetenscbappeo, 
iterdam, April 1903. 



818 /. J. van Laar. 

einstimmung, wenn b = konstant ist, und b^ genau in d^ 
nach (3) geforderten Weise von T abhängig angenommen wiri 
Und es ist der Zweck dieses Aufsatzes, noch einen weiteren 
Beweis beizubringen, daß in der Tat b^ in dieser Weise ?oo 
T abhängt. 

Daß b^ mit der Temperatur veränderlich ist, und zwar 
bei niedrigen Temperaturen größer ist als bei höheren , kann 
so gedeutet werden, daß die Atome sich einander bei höherer 
Temperatur näher kommen können, als bei niedrigerer. 

Bei höheren Temperaturen scheint die größere Geschwindig- 
keit der Atome die Atherhülle stärker zu komprimieren, ab 
bei niedrigeren Temperaturen. Auch wird vielleicht bei nied- 
rigeren Temperaturen diese die Atome umgebende Ätherhfille 
dichter sein, als bei hohen Temperatren. 

Daß b^ mit der Temperatur veränderlich ist, hat aach 
schon van der Waals bei CO, gefunden^); und in seiner 
letzten Abhandlung^ weist dieser Gelehrte darauf hin, daß die 
Tatsache, daß {dpldl\ nicht vollkommen konstant ist, diese 
Annahme rechtfertigt. 

Setzen wir (3) in die Gleichung (1) ein, so wird dieselbe: 



oder mit 



;/'+{.+^^(^:-fe.](*-*o)=Ä^'. 



a _ BT 



Und das ist die von van der Waals hergeleitete Gleichung, 
welche bei zweiatomigen Molekülen die Abhängigkeit der Größe i 
von V, b und b^^ angibt Da b^ eine Temperaturfanktion ist, 
so wird auch b von 'T abhängig sein. 

TL 

Wir wollen jetzt weiter gehen und den Ausdruck (2) ßr 
('^, näher betrachten. 

1) ,1. I). vjin der Waals, Arch. Ne6rl. (2) 4. p. 267. 

2) ,1. I). van der Waals, De vloeistoftoestand en de toestands- 
vergelijkin^, Versl. Kou. Akad. van WetenschappeD, Ameterdam, Jali 190S. 



^ez. Warme im festigen Zustande h, niedr. Temperaturen. 319 



Bei t; 


= 00 wird 










1 

9-b 


= 0, 


b 


-*,' 


ad es wird daher: 








y) 


Co « 00 = -^ 


['■"b, 


T 

f "" 


6« dT 


letzt man 


nnn nach (3): 








(Sa) 


*,-*o 


= ]/? 


T : 


=y7^. 


to wird 












T 
b.-b 


d(b,- 
1. dT 


6.) 


= i, 



und wir bekommen: 

in Tölliger Ubereinsümmong mit der Erfahrung bei zwei- 
atomigen verdünnten Gasen, 

Man deht hierbei deutlich, daß nur die Annahme ^ daß 
& - i^ in der angegebenen Weite von T abhängt, zu dem 
nchtigen Ergebnis (7, , « = 5 führt ^) Nur bleibt dabei un- 
entschieden, ob b^ oder b^ eine Temperaturfunktion ist 

Bei sehr kleinen Volumen [Flüssigheiten unweit des Er- 
starrungspunktes) nähert sich nach (4) b -^b^jv ^b der Ein- 
heit, und die Gleichung (2) wird in diesem Falle: 

und hierin liegt der oben erwähnte weitere Beweis, daß b^ 
eine Temperaturfunktion sein muß, und nicht b , Denn wäre 
^0 konstant, so wäre auch C^ bei Flüssigkeiten konstant = 4, 
wihrend die Erfahrung lehrt, daß C^ unweit des Erstarrungs- 
punktes bei zweiatomigen Stoffen etwas größer als 2 x 6 == 12 ist 
[Wir erinnern daran, daß das Dulong-Neumannsche 
Gesetz für den festen Zustand fast genau den Wert 12 fordert] 

1) J. D. van der Waals hat bei CO, statt {bg - b^f die Oröße n 
PioportioDal T angenommen, damit die Größe Tj p. dp jdT hei der kritischen 
Temperatur mit dem experimentell gefundenen Wert übeinstimme. Dann 
•ber wird bg — b^ unabhängig von T, und es gibt die Formel (2) nicht 
Jöehr den richtigen Wert für Gv = cß, es wäre denn, daß andere Voraus- 
'stiiuigen über die Atombewegung gemacht werden. 



320 /. J. van Laar. 

Nach (3a) wird nun, wenn b = konstant: 

(3b) _2'^ = ^(i^-.i^), 

und daher: 

(8) C.,. = Ä(2 + i*^)=Ä(2 + ^). 

wenn wir 

setzen. 

Nun geht für den flüssigen Zustand die Zustandsgleichnog 
über in 







J(r-*) = ÄT, 


oder da 


angenähert 




in 




RT = ® * 

hg{v-b) _ 8 T 
V* 27 Tjt ' 


Aus 


(a) geht hervor: 






Ä = ^o = (^,-Äo)^> 


und da nach (4) 








1 — *■ ' 



somit mit Vernachlässigung höherer Potenzen von z ange« 
nähert v — b := b ^ b^ ist, so wird auch 

und 

t. = *. + 2(*^-*„)z. 

Wir bekommen also: 

8 T b,{bg'-b^)x 



van der Waals nahm nun in seiner letzten, schon oben 
zitierten Abhandlung an, daß die Größe b^ im Flüssigkeits- 
zustande in der Nähe des Erstarrungspunktes nicht weit von 
\h^^ entfernt ist Dadurch wird, wenigstens angenähert: 

^^^ 27 7i "" (1 + 2*)« • 



BZ. Wärme im flüssigen Zustande b. niedr. Temperaturen. 321 

Hätte man nicht b=2bQ, sondern allgemein b ^nb^ 
setzte so wäre statt (9) gekommen: 

> 8 T n(n-l)« 



27 r* (1 +2 (n- !)*)•' 

Nun liegt der Schmelzpunkt T^ bei zweiatomigen Sub- 
tnzen in der Nähe von \ Tj^, Der Wert von z ist alsdann = ^. 
e Relation (8) ergibt nunmehr mit diesem Wert für z\ 

guter Übereinstimmung mit der Ek'fahrung. 

So wurde bei flüssigem H^ der Wert 2 x 6,4 = 12,8 ge- 
nden. und auch bei flüssiger Luft fand man das nämliche. 

Wir weisen nochmals darauf hin, daß nach (7) nur die 
nnahme, daß b^ in der durch (3 b) angegebenen Weise von T 
Dhängt, in Verbindung mit b^ = 2(Ä^)r-ro ^od ^o "= i^*' ^^ 
iesem richtigen Ergebnis führt 

Die spezifische Wärme von zweiatomigen Flüssigkeiten 
Issoziation und dergleichen ausgeschlossen] ändert sich somit 
ei abnehmender Temperatur und Volumen von ± 2\R bei 
er kritischen Temperatur bis zu ± 6^Ä in der Nähe des 
rstarrungspunktes. 

Wir bemerken noch, daß die Diff^erenz b — b^ wegen der 
ergrößerung von b^ mit sinkender Temperatur schneller ab- 
mmt, als wenn b^ keine Temperaturfanktion wäre. 

Jetzt werden wir den allgemeinen Ausdruck für C^ herleiten, 
^enn wir die Gleichung (4) in der Gestalt 

1 _ __1 b" bp 

v-b" b-^bp (Ä, - b,y 

ich T differenzieren, so bekommt man: 



dTliv^by ^(b^boY^ib,- 



T [(b - b,)* ^ 



bo)* ' (bg-bo)\ 



, 2(6 -^ d(b ,-bo) 



ler nach Multiplizierung der beiden Glieder mit T{b — b^Y, 
id mit Rücksicht auf (4) und (a): 

^ [(1 - zV + 1 + ^*] = 2"^ (1 + O + 2 z » . y ^-^^^f/^^ . 

e Gleichung (2) geht dadurch über in 

Boltxnuum-FeBtBchrifi. 21 



322 



J. J. van Laar. 



6' = R 



'0 



d. h. in 



C. = Ä 



6-6« 2 - *• + »* 






1 /y?A 



Nun ist jedenfalls nach (Sa): 
SO daß ganz allgemein: 



(11) 



c.= Ä 



2 + - 






dr 



1 -1«« + ^»* 

Für 17 = 00 (2: = 1) wird dieses C^ = 2\B, und bei sehr 
kleinen Volumen nähert sich (11) mit Rücksicht auf (3 b) zu 



C„ = i? 



2 + , 



1 -*• 

1*«+---- 



^(2 + T^)' 



1 -i»« +i«*J 

wenn wir liöhere Potenzen von z vernachlässigen. 

Ich weise bei dieser Gelegenheit darauf hin, daß die 
Gleichung (4) die Zustandsgieichung eines Körpers bei niedrigen 
Temperaturen (in flüssigem Zustande) transformiert in 

so daß bei r = das zweite Ghed =2RT wird. Wie schou 
van der Waals bemerkte, kann das so gedeutet werden, daß 
die Atome im Molekül sich als einzelne Moleküle verhalten. 
Dabei muß jedoch ins Auge gefaßt werden, daß die Größe C^ 
sich iiicht dem Werte 6, wie bei dissoziierten Gasen, nähert; 
viel weniger dem Werte 12, wie das Dulong-Petitsche Gesetz 
erfordert, sondern wie wir oben sahen, sich dem Werte 4 
nähert, wenn db^ldT = 0, und dem Werte 13, wenn db^jäT 
der Beziehung (3 b) gehorcht. 

III. 
Daß in der Tat die spezifische Wärme im flüssigen Zu- 
fljo^ bei dem Erstarrungspunkte immer etwas größer gefondea 



Wärme im flüssigen Zustande b, niedr, Temperaturen, 828 



als im festen Zustande, geht aas folgenden Beispielen, 
be leicht zu vermehren wären, genügend hervor. 





flOssig 


fest 


Quecksilber 


6,7 


6,4 


SUber 


8,1 


6,0 - 8,1 


Ziim 


7,8 


6,7 


Blei 


8,2 


7,0 


Brom 


8,6 


6,7 


Schwefel 


7,5 


5,4 


Phosphor 


6,4 


5,4 



Die spezifischen Wärmen sind für 1 Atom berechnet 
In der jetzt folgenden Tabelle ist der Quotient T^^jT^^ bei 
reren Körpern verzeichnet 

Zweiatomige Körper. 



" 


Tu - 278 


Tp - 273 


Tu 


H. 


-242'» 


-252,5^ 


0,54 


N. 


-146 


-209 


0,50 


Gl, 


145 


-102 


0,41 


Br, 


802 


-7 


0,46 


Hca 


52 


-114 


0,49 


NO 


- 98,5 


-167 


0,59 


CO 


-140 


-203 


0,52 



man sieht, nähert sich das Verhältnis zwischen der Er- 
rangstemperatur und der kritischen Temperatur in der Tat 

Nur Cl, ist etwas zu niedrig, NO etwas zu hoch. 
Bei drei' und m^Aratomigen Körpern sind die Abweichungen 
►er. 



1 


^0 


7i 
Tu 




h 




- 750 


Tu 


36'» 


-100^ 


0,56 


NH, 


130,50 


0,49 


31 


- 57 


0,71 


PCI, 


285,5 


-112 


0,29 


275 


-113 


0,29 


♦AsCla 


356 


- 18 


0,41 


157 


- 78 


0,45 


CH^ 


-89 


-186 


0,47 


365 




0,43 


CCI3 


284 


- 25 


0,45 


100 


- 89 


0,49 


CHClg 


260 


- 70 


0,38 


1 1 137 


- 68 


0,50 


♦SiBr, 


383 


- 14 


0,39 








SnCU 


319 


- 33 


0,41 








C7. 


124 


- 84 , 


0,60 



21 



324 



</. J, van Laar, 



Besonders CO^, CS,, PCI3 weichen bedeutend ab. AufEsdlend 
ist es jedoch^ daß auch bei vielen drei-, vier- und f&nfatomig® 
Körpern das Verhältnis T^jT^^ so oft zwischen 0,4 und 0,5 
liegt (Bei AsCl, und SiBr^ ist Tj^ nicht durch direkte Be- 
obachtung, sondern durch Berechnung gefunden). 

Verzeichnen wir noch die folgenden Körper. 





h 


^0 


Tu 


N,0, 


171 


- 15 


0,47 


C,H, 


11 


-175 


0,35 


*C,H,Br, 


365 


» 


0,44 


(C,H,),0 


196 


-117 


0,33 


CH, . COOK 


322 


17 


0,49 


CeHe 


290 


4 


0,49 


CeH^Cl 


361 


- 40 


0,37 



Auch hier gibt es Körper, welche für das Verhältnis 
T^ 1 1\ nahezu 0,5 ergeben. (Bei C^H^Br, ist T^ wiederum durch 
Berechnung gefunden.) 

Nimmt man für J3 und Oj den Wert 0,50 an, so würde 
t^ beim Jod, da ^^ = 114^ etwa 500^ C. betragen. Für Sauer- 
stoff, wo ^^.= — 118", würde der Erstarrungspunkt bei un- 
gefähr — 193^0. gefunden werden müssen. 



IV. 

Wir haben gesehen, daß der Ausdruck (8) für C^^i den 
Wert 6^// liefert, wenn z=^l^, T^^^T^^, unter Annahme 
von b = 2(ÄJ.^=r^. 

Wäre nun aber die Gleichung (4) noch gültig fiir Tempe- 
raturen unterhalb 1\^ wo der Körper in den festen Zustand 
übergegangen ist, so würde auch (8) gültig bleiben, und dann 
näherte sich C^ bei sehr niedrigen Temperaturen, da r^O 
wird, zu 00. 

Das widerstreitet jedoch der Erfahrung, daß erstens 
in dem festen Zustand (7. immer etwas niedriger ist als ina 
Flüssigkeitszustande, und zweitens, daß C^ bei abnehmender 
Temperatur nahezu konstant bleibt, z. B. =2x6 bei zwei- 
atomigen festen Körpern. Wohl ist oft eine geringe AbnahiD^^ 



r. Warme im flussigen Zustande b, niedr, Temperaturen. 325 

konstatieren, aber niemals eine Zunahme, wie doch die 
rmel (8) unbedingt fordern würde. Es sind sogai* bedeutende 
»nahmen bekannt, wie beim Kohlenstoff, Bor, Silizium u. Ä^ 
» das aber auf eine weitgehende Komplexbildung bei nied- 
reren Temperaturen hindeutet^) 

Wir kommen also zu der Überzeugung, daß für den festen 
istand eine ganz andere Zustandsgieichung gilt, als für den 
issigen und gasförmigen Zustand. In der Nähe von 7=^7^, 

C^ im flüssigen Zustande dem Werte im festen Zustande 

1 nahe kommt — wenigstens bei zweiatomigen Körpern 
- scheint somit mit der Molekül- und Atombewegung etwas 
uiz besonderes zu geschehen. Der ungeordnete Zustand 
3s flüssig-gasförmigen Aggregatzustandes (geordnet nur in 
atutischem Sinne) geht über in den geordneten Zustand 
es Aruto/Zmi^eA-festen Aggregatzustandes, im Gegensatz zu 
em fflas<trtiff-{e9ten Zustande, welcher als eine (metastabile) 
'ortsetzung, nur mit sehr großer Viskosität, des flüssigen Zu- 
aades gedacht werden muß. 

Wie sich aber die Zustandsgieichung des festen Zustandes 
;68taltety ist eine Frage, auf welche jetzt nicht näher einge- 
ben werden kann. Ein klares Bild von der Bewegung der 
;.B. zwei) Atome im Molekül, und von der Anordnung und 
Bewegung der Moleküle im kristallinischen Körper wird dabei 
idenfalls unerläßlich sein. 



1) Auch die Tatsache, daß die spezifische Wärme des Eises für IS g 
ieht s 3 X 6 ■• IS, sondern nur « 9 ist, weist darauf hin, daß das ge- 
rShnliehe, bei 0* C. ans Wasser entstandene Eis wahrscheinlich ganz 
OB Doppelmolekfilen besteht. 

(Eingelangt 12. September 1903). 



326 



43. Über eine Methode, das spezifische Gewicht selir 
yerdflnnter Losnngeii za bestimmen. 

Von QuBtav Mie in Greifswald. 



1. Das spezifische Gewicht sehr verdüDnter wässeriger 
Lösungen von Elektrolyten ist sicher eine Größe, die m&n 
möglichst genau kennen muß, wenn man die Eigenschaften 
der Ionen näher studieren will. Denn aus ihr kann man (bis 
auf eine fiir alle Ionen gleiche additive Konstante^ die zu- 
nächst noch unbekannt bleibt), das scheinbare Volumen be- 
rechnen, das ein Grammäquivalent des Ions im ganzen ein- 
nimmt. Unter dem scheinbaren Volumen verstehe ich die 
Summe aus dem wirklichen Volumen der Ionen und der (nega- 
tiven) Volumenänderung, die das Wasser durch Elektrostriktion 
in ihrem elektrischen Felde erleidet. Es ist wohl als sicher 
zu erwarten, daß diese Größe mit dem elektrischen Leit- 
vermögen des betrefifenden Ions in einem engen Zusammen- 
hang steht. 

F. Kohlrausch ^) hat gezeigt, daß bei den einwertigen 
einatomigen Ionen der Temperaturkoeffizient eine Funktion des 
Leitvermögens selber ist. Es ist zu erwarten, daß ähnliches 
für das scheinbare Volumen gilt, und daß man damit An* 
knüpfungspunkte für eine kinetische Theorie der elektrolytischai 
Lösungen gewinnt. Ich faßte daher die Absicht, das Aqni- 
valentvolumen der einwertigen, einatomigen Ionen bei ver- 
schiedenen Temperaturen zu bestimmen. 

F. Kohlrausch und Hallwachs ^ haben gezeigt, daß 
man das spezifische Gewicht sehr verdünnter Lösungen am ge- 
nauesten nach der Methode des Auftriebes bestimmen kann. 
IJm eine gleichmäßige Benetzung des Aufhängefadens zu er- 



1")?. Kohlrausch, Sitzungsber. d. Berliner Akad. d. WiBsenflck- 
l^Y.TLolilrausch u. Hallwachs, Wied. Ann. 50. p. 118. 1893; 



Spez. Gewicht sehr verdünnter Lösungen. 327 

iclieQ, nimmt man am besten einen Platinfaden, der erst 
atiniert und dann ausgeglüht ist^) Man mußte aber bei 
•enutzung eines Glühkörpers wegen der großen Unterschiede 
er Ausdehnungskoeffizienten Ton Glas und Wasser die Tem- 
«ratur auf Viooo^ ^- genau ablesen und alle Wägungen ^ die 
lat&rlich bei sekr abweichenden Temperaturen gemacht werden 
nuBten^ auf eine Temperatur reduzieren. Um sehr genaue 
(Tagungen mit einem sehr großen Schwimmkörper zu machen, 
nußte Eohlrausch ^) sich sogar auf Temperaturen in der 
[}egend Ton 6^ G. beschränken, wo die Ausdehnung von Glas 
und Wasser wenig voneinander abweichen. 

Man vermeidet diese Schwierigkeit, wenn man als Schwimm- 
Urper einfach reines Wasser nimmt, dessen Ausdehnungs- 
koeffizient als identisch angesehen werden 
darf mit dem der verdünnten Lösung. Mein 
Schwimmkörper hatte die Form der neben- 
stehenden Figur. Es war ein Fläschchen 
ans Jenaer Glas, dessen Hals in eine sehr 
feine Kapillare ausgezogen war. Dieses 
EUschchen wurde mit ganz reinem Wasser 
gehllt und an dem Platinfaden aufgehängt. 
Durch die lange feine Kapillare wird die 
Diffiision von Lösung in das Innere des 
Fläschchens so gut wie ganz verhindert, 
und doch muß bei Temperaturveränderungen durch sie Wasser 
ans- oder Lösung eintreten. 

2. Das ganze Volumen v dieses Schwimmkörpers besteht 
ans zwei Summanden: dem großen Volumen des Wassers v^ 
nnd dem kleinen Volumen der Glaswand Vg. Ebenso können 
wir das scheinbare Gewicht p des in der Lösung hängenden 
Körpers in zwei entsprechende Summanden p^ und p, zerlegen 

Wäre nun das Fläschchen immer mit vollkommen reinem 
Wasser gef&Ut, das schon vor dem Eintauchen genau die gleiche 
Temperatur hat, wie die umgebende Lösung, so ändert sich p^ 
Dwt der Temperatur nur wenig. Denn wenn ä das spezifische 
Gewicht der Lösung und w das des Wassers im Schwimm- 
körper ist, so ist: /^i = v^ .(m? — s), eine kleine negative Zahl, 




1) F. Kohlrausch, Wied. Ann. 56. p. 185. 1895. 



328 G. Me. 

die sich bei TemperaturändeniDgen von 1 ^ C. jedenfaUs nur um 
einige Zehntel Promille ändert War die Lösung etwas kälter 
wie das Wasser, so tritt beim Temperatarausgleich ein wenig 
Lösung in das Gefäß und bewirkt eine ganz kleine Vergrößenmg 
von w, so daß [s — w) und demnach auch p^ einen ganz kleinoi 
Fehler bekommt, der aber bei Temperatui^nderangen von V C. 
höchstens einige Zehntel Promille beträgt. Ln umgekehrten 
Fall gilt dasselbe, nur daß dann durch Austreten Ton Wasser 
aus dem Fläschchen s ein klein wenig heruntergesetzt wird. 

Bei Temperaturänderunffen bis zu 1^ C. kona man p^ alt 
konstant betrachten, ohne daß dabei die gesuchte Größe (s-^w) \ 
einen Fehler von mehr als einigen Zehntel Promille bekommt 

Von p^ gilt nicht dasselbe. Ist a das spezifische Gewicht 
des Glases, so ist p, = v^{(t — s). Ist femer a der Ausdeh- 
nungskoeffizient des Wassers^ ß der des Glases und ist f 
nahezu 1, so ist die Zunahme S von p^ ffSüc 1^ C: 

(1) 3^v,.{a^ß). 

Es wird nun der Schwimmkörper zuerst in reinem Wasser^) 
abgewogen p. Wir wollen, um ganz exakt zu verfahren, im 
folgenden die — jedenfalls sehr wenig voneinander verschie- 
denen — spezifischen Gewichte des Wassers außerhalb und 
innerhalb des Fläschchens unterscheiden als w und w\ Weiter 
wird dann von einer Lösung bekannter Konzentration, der 
,,Originallösung", eine abgewogene Menge ^ zugesetzt, tüchtig 
umgerührt, und wieder gewogen: py Das spezifische Gewicht 
der durch die Mischung erhaltenen verdünnten Lösung heiße *j. 
Später werden noch mehrmals kleine abgewogene Mengen der 
Originallösung zugesetzt Die Gewichte des Schwimmkörpers 
in den so erhaltenen , etwas gehaltreicheren , verdünnten 
Lr)suiigen seien /^j, . . •, die spezifischen Gewichte s^, . . . Die 
Temperaturen bei den verschiedenen Wägungen seien 19-, &i9 
\Kj,y . . . Alles werde auf eine Temperatur d-^ reduziert, die 
reduzierten Größen bezeichne ich durch einen Index 0: 
p^, s^^, etc. 

1) Joilesmnl wird das Wasser erst unter der Luftpumpenglocke 
luftfrei gemacht. 

2) Mit einer Pipette, die zuerst mit der Füllung und dann, nach- 
A«in diese t*. leer gewogen wird. 



8pez. Gfewieht sehr verdünnter Losungen. 329 

Eis ist nun: 

p = üj . (ti/— to) + ü, . (o" — tr), 
Lziert: 

= »1 .{tr' — tr) + t7j.(7 — t;j.tr[l + (/9 — a) (i^-^, — iS")], 
p^ ^p + S.[»^--»). 

Ebenso ist: 

In Formel (2) und (8) bezeichnet P^ das absolute Gewicht 
Schwimmkörpers bei der Temperatur d-^. Man bekommt 
ch Subtraktion von (2) und (4): 






Es sei das Gewicht des Schwimmkörpers bei der Tem- 
atar ß-^ in Luft: P. Daraus können wir berechnen: 

«0= P-P' 



w^ - 0,0012 

Das absolute Gewicht des Schwimmkörpers ist: 

Pq = P +v\0,0012. 

Wir wollen nun aus den Wägungen direkt das scheinbare 
umen qp von 1 Grammäqnivalent des ionisierten Salzes 
echnen. Es sei M das Aquivalentgewicht, n^ die Zahl der 
Ssten Grammäquivalente in 1 g der verdünnten Lösung, 
e leichte Rechnung gibt: 

>r, in den direkt gemessenen Größen ausgedrückt: 



^=^-(^-i-^^) 



3. Ich beobachtete mit einer Bunge sehen Wage^ die 
in Ausschlag von 4,5 für 1 mg gab^ und zwar meistens 

Punkt, wo der Zeiger schließlich stehen blieb. Daß eine 
artige Wägung etwas lange dauert (2 — 8 Minuten) war kein 



330 G. Mie. 

Nachteil, da ich doch während einiger Zeit (10 — 20 Minuten) 
beobachten muBtc, ob die Einstellung konstant blieb. Das 
war erst dann der Fall, wenn keine Strömungen mehr vom Um- 
rühren vorhanden waren und wenn sich die Temperatur im 
Fläschchen mit derjenigen außen ganz ausgeglichen hatte. 

Bevor ich den Schwimmkörper aufhing, prüfte ich 
Platinfaden. Schon mit dem Auge konnte man sehen, 
der umgebende Wassermeniskus beim Herausziehen und beim 
Hineinschieben des Fadens in das Wasser derselbe blieb. fSn 
Faden wurde auch so geprüft, daß ich ein Stückchen Platin- 
draht an ihm aufhing und erst in Luft, dann in Wasser abwog. 
Der Auftrieb ergab sich zu 1,4 mg kleiner, als das Grewicht 
des verdrängten Wassers. Der Faden war 0,06 mm dick. 
Rechnet man die Oberflächenspannung des Wassers zu 7,5, 
HO ergibt sich wirklich das Gewicht des Meniskus bei voll- 
kommener Benetzung zu 1,4 mg. 

Trotzdem konnte ich, nachdem der Schwimmkörper an- 
gehängt war, keine konstante Einstellung bekommen. Stunden- 
lang konnte man verfolgen, wie der Zeiger immer weiter kroch 
in dem Sinne, daß der Schwimmkörper immer leichter wurde. 
Rührte man dann mit ihm das Wasser um, so ging der Zeiger 
plötzlich um ein beträchtliches Stück zurück. Erst nachdem 
der Körper in verdünnter Salpetersäure, Natronlauge und 
Alkohol längere Zeit bei höherer Temperatur (60 — 80^ ab- 
gewaschen war und darauf eine Nacht in reinem Wasser gelegen 
hatte, zeigte sich stets eine durchaus befriedigende Konstanz. 

Vor jeder Beobachtung wurde mit dem Thermometer oder 
auch mit dem Schwimmkörper selbst tüchtig gerührt Das 
Thermometer war aus Borosilikatglas und in ^/^^^ geteilt 

4. Die Temperaturkorrektion ö ergibt sich aus (1) wie folgt 
Bei i% = 20^* ist der Ausdehnungskoeftizient des Wassers 
0,000 207, der des Jenaer Geräteglases i) ist 0,0 000177, also 
rund 6^-/9 = 0,00 019. Das Gewicht des Schwimmkörpers 
in Wasser ist: p^ = 13,49 g, femer das spezitische Gewicht des 
Glases ^) rr = 2,73. Man bekommt daraus 

ü^ = p^l((7 — 1) = 7,8 cbcm. 



l) Diese Zahlen verdanke ich einer freundlichen Mitteilung der 
Wiott & ^-^ 



Spez. Oewickt sehr verdünnter Lösungen, 381 

Temperaturkorrektion berechnet sich nun: 

*= l,5mg/<>C. bei 20«. 

Der Schwimmkörper hatte, in Luft gewogen, das Ge- 
5ht P = 1 34,28 g. Nach Formel (7) erhält man t; = 1 2 1 , 1 5 cbcm. 
Ä Volumen der Wand einer Hohlkugel von diesem Raum- 
lalt und Ton der Wandstärke 0,7 mm ist v^ = % cbcm. 

Die Abhängigkeit des Auftriebes von der Temperatur be- 
achtete ich direkt in reinem Wasser. Es ergab sich ftlr die 
iden Temperaturen 21,58« und 20,83« ein unterschied von 
}mg. Nun ist bei 21«, da hier der Ausdehnungskoeftizient 
« Wassers ca. 0,000217 beträgt: 5 = 1,6. Danach würde 
eh für den Temperaturunterschied 0,75« berechnen: 1,2 mg. 

5. Es sei ein Beispiel ftlr die Methode angeftlhrt Die 
riginallösung war eine 0,0586 proz. Lösung von KCl. Sie 
ithielt also 719.10"-^ Grammmoleküle des Salzes in 1 g Lösung. 

eineB Wasser 697,5 g ' 19,94« 21,188 g Einstellang 14,0 

21,190 „ „ 4,9 

p « 21,188 87 pO = 21,188 96 (^o = 20<>) 

Eingefailt 4,97 g 20,03« 21,161g Einstellung 6,6 

n» = 5,12.10-6 21,160,, „ 11,0 

Pi - 21,16023 pi« = 21,16018 (^o = 20«) 

Eingefüllt 5,09 g 20,09« 21,130 g Einstellung 11,9 

w, = 10,29 . 10-6 21,131 „ „ 7,5 

Pi = 21,18042 p,« = 21,13028 (^o = 20«) 

Eingeföllt 10,48 g 20,15« 21,070 g Einstellung 12,6 

n, = 20,71 . 10-6 21,071 „ „ 7,9 

p, = 21,07056 Ps« = 21,07033 (^^o = 20«) 

Wenn der Schwimmkörper abgehängt war, so brachten 
i69985 g den Zeiger auf 10. Diese Zahl ist also von den 
Jen als;?®, ;?j®, . . . hingeschriebenen Größen noch abzuziehen, 
ichtig ist z. B. p^ = 13,48 961. In Luft wog der Schwimm- 
5rper P= 134,28 g. Also ist: P^ = 134,32. Nun berechnet 
ch (p nach Formel (9): 

n = 5,12 . 10-6 10,29 . 10-6 20,71-6 
<jp = 28,1 27,5 27,3 

Das Molekularvolumen von ionisiertem KCl^ ist also bei 
^® C. imgefähr 27,5. Es wurde u. a. noch bestimmt RbCl 
id CsCl. 



832 G. Mie. Spez. Gewicht sehr verdünnter J^fsunffen. 

NaCl KCl Rba CsCl 
16,5*) 27,5 33,9 41,0 

Man sieht: Die Molekularvolumina nehmen mit dem Atom- 
gewicht des Metalls zu. 

Bei der Bestimmung dieser Zahlen wurde aber nur daranf 
Wert gelegt, die Methode zu prüfen. Die Konzentrationen der 
Originallösungen dagegen sind nicht so genau bestimmt, ab 
es nötig wäre, um genügende Werte Ton q? zu bekommen 
Da nun die Einzelbestimmungen^ wie man auch an dem ge- 
nauer hingeschriebenen Beispiel (KCl) siebte unter sich stete 
gut stimmen, so beabsichtige ich mit einem Schwimmkörper, 
der bei einer viel geringeren Wandstärke ein größeres Volomeii 
hat, als der bisher benutzte, an die Lösung der in der Ein- 
leitung genannten Aufgaben zu gehen. 



1) Nach Eohlransch. 

(Eingegangen 12. September 1903.) 



333 



Magnetization and resistance in Nickel at high 

temperatnres. 

By C. a. Knott in Edinburgh. 



1. Professor Tait's discoTery in 1873 of tbe pecaliar 
ges at certain critical temperatures in the fundamental 
noelectric constants of iron and nickel has suggested to 
rom time to time yarious other lines of research in tbe 

of establishing other properties at these critical tempe- 
'68. In the case of nickel the first change in the sign 
18 Thomson Effect occurs about the temperatore of 

C, and the' second change about 350*^ C. My investi- 
ns on the change of electrical resistance of nickel at these 

temperatures^) brought out other relations; and these 

corroborated by W. Kohlrausch ^, who extended the 
tigation to the case of iron^ and established completely 
there was a close relation between the march of resistance 

temperature and the loss of magnetic permeability. The 
-e of the relation in the case of nickel may be indicated 
iving the law of resistance change with temperature of 
lickel wire which is the subject of the present note. The 
Lance temperature graph is roughly speaking a long sloping 
m of curve and can be represented for interpolation pur- 
j very approximately by three straight lines. Thus to 
ce the measured resistance (r) of the wire (3 ohms at 15^ 
»mperatures, the formulae were 

t = 56,7 r - 163,3 from 15« to 200<> 

/ = 33,9r- 22,7 „ 200« „ 350« 

^ = 95,8 r - 692,5 „ 350« „ 400« 

Temperature 200« corresponds to Tait's first bend in the 
noelectric line for nickel, and 350« to the second bend; 

1) C. G. Knott, Trans. Roy. Edinburgh 33. p. 187. 1886. 

2) W. Kohlrausch, Wied. Ann. 33. p. 42. 1888. 



334 C. G. Knott. 

and it is at 350^ that nickel ceases to be magnetic in 
ordinary sense. 

2. The enquiry as to the effect of temperatnre npoB 
change of resistance due to magnetization in the case oi 
magnetic metals was one of the lines of researck sngges 
and the broad natnre of certain results obtained for u 
is given below. 

Two nickel wires of nearly the same length were w 
in two flat circalar coils about 18 cm in diameter, the 
tiguous parts of each wire being insulated with asbestos sl 
Round each anchor-ring so formed two layers of copper 
were coiled^ so as to form a magnetizing coil of the v 
anchor-ring transformer pattem. The two layers, care 
insulated throughout with asbestos, were separately woam 
that their ends could be joined in diiferent ways, thns ma 
it possible to pass a strong current through the coiL 
succession, and yet have no magnetizing force within the ( 
By suitably interchanging the ends I could at a mom* 
notice obtain a strong field within the core. By this nw 
and by using two exactly similarly constructed coils^ I redi 
to a niiniraum the disturbing effects due to hjeating in 
magnetizing coils. The nickel wires, L and M, in these • 
were then made two of the branches of a Wheatstone Bri 
the opposite conductors X and /i being also made of ni 
wire so as to prevent thermoelectric electromotive forces b 
set up when the coils L and M were heated to high temperati 

The resistance changes due to magnetization ' 
measured by deflections on a delicate galvanometer after 
Bridge was approximately balanced, a steady current b 
supplied from a secondary cell in the battery brauch, 
galvanometer deflection was calibrated in the following sh 
way. For any particular condition the current, i, through 
galvanometer is given by the formula 

(1) l).i = [LfA^Mk)e 

where e is the electromotive force in the circuit, and B 
w«ü-known determinant involving the resistances of the 
:Qudsietor' '*) the Wheatstone Bridge. 



Magnetization and resistance in NickeL 335 

Let now a known slight change dX h^ made in the A 
mch, then the corresponding change di is giyen with 
ffident accoracy by the expression 

D.di^ ^MedX. 

lien the magnetic field is established around L, there results 
change dL with a corresponding change ^t in the current, 
imely, 

) D,3i = fiedL. 

ifiding (3) by (2) we get 

fidL ^ öi 
Hd'l ~di' 

ince at the beginning the Wheatstone Bridge is almost 
ccurately balanced, we may write fijM = XIL and con- 
dquently 

IX dL dl di 

^' L ^ " ~l • di 

i/it is the ratio of the Galvanometer deflections due to the 
banges in (2) and (3), and dXjX is known; hcDce dLjL and 
herefore dL, can at once be calculated. The quantity L is 
be resistance of the whole branch including the nickel wire 
Aich is the subject of experiment. Let i^ be the resistance 
f the nickel wire which is being magnetized within the anchor 
mg core; then dLjL^ will be the required change in unit 
esistance due to the applied field at the existing temperature. 

The wires L and M were heated up to various tem- 
»eratures in a porcelain vessel packed with asbestos wool ; and 
he temperature of L was obtained from its resistance which 
'as measured accurately immediately after each experiment. 
Ilie relation between temperature and resistance was obtained 
rom an independent experiment, in which a piece of the same 
lickel wire was used. The results have already been given 
Q§ 1. 

3. When the coils L and M had reached a steady tem- 
perature, the experiment of equation (2) was made. The 
esistance X (= 3,2413 ohms) was altered by inserting 30 ohms 



836 



C. G. Knott. 



as a Shunt on a pari of X whose resistance was 0,5125. The 
resistance of A became then 

A + rfA = A - 0,5125 + ^305^/25^^ = >t - 0,008603. 

rfA/A= -0,002655. 

In a particular experiment» taken at random to illostrate 
the process, tbe resistance L was 6,04, corresponding to 1 
temperature of 179,1^ C; the magnetizing corrent was 4,2t 
amperes corresponding to a field of 32,2 C.6.S. nnits; the 
ratio of the galvanometer deflections due to the magnetk 
change of resistance dL and the imposed change of resistance 
was 1,629; hence dL=^ - 1,629 x LdXjX = 0,02615. Not 
the resistance of the magnetized part of L was 6,80; henoe 
d Lj Lq = 0,00451, the measure of the increase of nnit resistance 
of nickel at 179^ due to the application of a longitudinal 
of 32,2 Units. A great many similar observations were 
in various fields and at various temperatures. The resolti 
were plotted in a large scale, small corrections applied so as 
to obtain isothermal curves at the temperatures heading Ae 
columns in the table below, and the values read oflFfor fields 
2, 4, 6 etc. up to 34. A selection of these will be found in 
the Table. 

Table ahowing resistanoe ohanges per 100,000 ohmB of niokel wir» 
in various longitudinal fields and at various temperatures. 



Mi^uetic 
field 








Teno 


perat 


ures 








15« 

1 


65° 


125« 


180 <> 


240« 


! 280 <> 


300 • 


828«! 

1 


34! 


34 


1040 


816 


1 621 


475 


253 


141 


1 - — 

• 86 


45 


6 


28 


825 


679 


529 


401 


226 


128 


79 

1 


41 , 


3,8 


24 


682 


579 


463 ; 


350 


205 


119 


, "^ö 


85 


2,6 


20 


543 


479 


392 


298 


179 


106 


1 ®^ 


29 


1,8 


16 


411 


379 


317 ' 


242 


151 


93 


57 


18 1 


1,6 


12 


268 


255 


231 ' 


186 


112 


75 


48 


9 


1.« 


10 


192 


187 


181 


158 


103 


64 


42 


4 


1 


S 


119 


124 


123 


121 


85 


52 


37 


3 




6 


53 


63 


65 


70 


56 


38 


80 

1 


2 

1 




4 


17 


23 


21 


23 


27 


27 


19 ' 


1 




t 


3 


5 


m 


5 


5 + 


5 


4 


1 





MagneUzatUm and remtance in NickeL 837 

4. From these numbers we may construct two sets of 
;raphs, namely, the isothermah showing the relation between 
aagnetizing force and resistance change at the various tem- 
)6ratare8y and the isodynamics , showing the relation between 
ihe resistance change and the temperature in the various 
Selds. 

The first obvioas resalt is the diminution of the resistance 
fibange in the higher fields as the temperature rises. Thns 
fiie effect in yarious fields at temperature 15^ is from 200 to 
800 times the effect at temperature 342^. So rapid is the 
Inal drop aboTe 300^ that we may safely regard the effect 
itt practically nonexistent at temperature 350^. It is just at 
äiis temperature that nickel loses its streng magnetic properties, 
the permeability being practically unity. Thus we learn that 
the change of resistance due to longitudinal magnetization in 
nickel is mainly a function of the magnetization or induction 
and not of the magnetizing force. 

In fields below 10, there is first increase of the resistance 
ehange as the temperature lises. In fact all the isothermals 
np to 300^ begin ahove the isothermal of 15^, and then cross 
it as the field increases. This is particularly well marked in 
the case of the isothermals 65 ^ 125<^ and 180^. This pheno- 
menon may be connected with the fact that the induction 
curve for nickel rises more abruptly and reaclies its „Wende- 
punkt" in lower fields the higher the temperature. In other 
words the first effect of rise of temperature is to increase the 
permeability in lower fields, probably because of the greater 
ease with which the molecular groupings assume new con- 
figorations. But anything which tends to increase the per- 
meability must tend to increase the magnetization on which 
the resistance effect mainly depends. 

The isodynamic curves indicate the existence of a further 
peculiarity which declares itself at or near the temperature 
180^ by a kind of cusp-like peak in the graphs of the higher 
fields. This peculiarity is also well brouglit out by calculating 
tte differences between the resistance changes corresponding 
^ the successive temperatures in the preceding table, and 
äividing these by the change of temperature. These average 
differences per degree will correspond to the mean of the 

Boltsmaon-Festschrift 22 



338 



C. G. Knott 



extreme temperaturcs; and their values for five of the fields 
are given in the foUowing subsidiary table. 

Table of Differenoes per Degree oaloulated firom the former Table. 



Magnet ic 
iield 

34 
28 
20 
10 
() 



i, 40 <> 

4,5 
2,9 
1,3 
0,01 



Differences per Degree at Temperatures 
95 <> 152,5* 210« ■ 260« | 290« | 314« 



385< 



I 



3,3 
2,5 
1,5 
0,01 



2,7 
2,3 

0,4 



3,7 
2,9 
2,0 
0,9 



1 2,8 

1 ' 


2,7 


1,5 


! 2,5 


2,5 


1,* 


1 1,8 


2,0 


1,8 


1,0 


1,1 


1,* 


0,45 


0,4 


0,4 



2,9 
2,6 

0,2 



-0,02 i -0,003, -0,09 1 +0,07 

From these few examples we see that there is at or near 
the temperature 200** a peculiarity wbich shows itself by an 
increase in the rate per unit rise of temperature, at wbich 
tlie resistance change in a given field is diminishing. And 
this is the temperature at which occurs the first bend in the 
thermoelectric line of nickel as discovered by Tait, and also 
the tem])erature at which the resistance of nickel begins to 
grow rapidly with rise of temperature as established by my 
own and Kohlrausch's experiments. 

5. In Order to investigate tlie effects at high temperatoiei 
of a transverse magnetic tield on the resistance of nickel wire, 
I prepared two helical coils carefuUy wound on porcelain 
cylinders and set them within and coaxial with the loDger 
cylinders on which four layers of copper wire were wound with 
asbestos insulation as usual. With this form of apparatus, 
liowever, it was impossible up to the highest tields at my dis- 
l)OSJil to get any results. Aijparently there was no efiect on 
the resistance. In fact the iield was not powerful enough to 
establish a sufticiently strong induction across the thin wire.^) 
I theretbre made a short compact coil which could be inserted 
axially in the air gaj) of a strong electro-magnet, and proceeded 
to study the effect in much the same way in which KelTJu, 
Goldhammer, and others have done. The broad results may 
be brietiy stated. 

Uj) to tield 1500 the effect on the resistance was verj' 
small, soinotimes indicating increase of resistance, sometimes 

1) BcM'tz fiicouiitered the same difficulty when trymg to measur^ 
the efiect uii iron wire. 



Magnetizaium and resvttance in Nickel 339 

xease. This increase in the lower fields may be dnc to 
. presence of a longitudinal effect^ tbr it was impossible to 
J^e a coü of the kind required without giying it a certain 
«ch, 80 tbat there was necessarily a small component of 
ignetizing force along the wire. Above field 1500 the 
dstance was always diminished, and the diminntion grew 
pidly with the field. Increase of temperature had the same 
neral effect as in the previous case. The quantitative results 
)re, howeyer^ a little uncertain in their details; bat here also 
ere can be no doubt that the change of resistance is chiefly 
16 to the induction in the wire, vanishing almost entirely at 
M)® C. In these experiments the nickel coil was heated by 
eans of an enclosing coil of German-silver wire through which 
streng current was kept steadily flowing, and the temperature 
18 measored by the resistance of the nickel. 

6. In trying to coordinate these results along the lines 
f modern theory, we have to consider (1) the ionic whirls 
hieb constitute the paramagnetic quality of the nickel, (2) the 
inic displacements which constitute the current through the 
)oductor, and (3) the varions effects on these of magnetic 
irce and heat 

If we suppose that the negative and positive ions which 
oild up a neutral molecule are whirling round one another 
i approximately circular orbits, and that the eflfective forces 
epend on the charges and their distance apart, it may be 
isily shown that the magnetic molecule is at once accounted 
)r if the masses associated with the negative and positive 
ons are very different. Its magnetic moment depends on the 
lifference of these ionic masses, on the number of whirls in 
mit volume, and on some function of the distance separating 
he connected ions. 

Whatever be the mechanism by which the external magnetic 
orce affects the orientation or the intermolecular grouping of 
he ionic whirls, the effect is to produce within the metal a 
ondition in which the ionic orbits on the average tend to set 
hemselves perpendicular to the magnetic force. The inter- 
nolecular regions are traversed by lines of magnetic force 
Aose density is great in the region between the opposite 
»pects of contiguous molecular whirls. The dissociated electric 

22* 



340 C. G. Knott. Mcynetization and resistanee in Niekd, 

corpuscles which convey any current along the wire are dri?en 
towards the intermolecular Spaces where the lines of force are 
less dense. The more closely the magnetic condition of the 
metal approaches to Saturation in the direction of the 
applied eleetromotive force, the more pronounced will be this 
drift of the corpuscles from the denser to the less dense paiii 
of the lines of force in the intermolecular Spaces. There wiD 
be aggregation of the corpuscles in the regions of minimnm 
density of the magnetic lines of force. This, according to 
J. J. Thomson's mode of looking at the phenomenon, wiD 
produce a smaller average free path of the helically moTing 
corpuscles and a coiTesponding increase of resistance. 

As regards the effect of heating, it is probable that lise of 
temperature increases the rate of dissociation of the molecoks. 
But this means a decrease in the number of the nentnl 
molecules among which are to be reckoned the molecoltf 
whirls described above. Hence with rise of temperature die 
number of these molecular whirls per Unit volume is 4- 
minished, and the permeability is decreased, at least in modente 
and high lields. In low iields there is an increase in peme- 
ability when the temperature is raised; but this average in- 
crease of permeability may be the result of a diminiflhed 
mutual action between the whirls in a given region, so that 
they are able to respond more quickly to the small erternal 
magnetic force. 

But any diminution in magnetization means less inequalitf 
in the densities of the lines of force in regions of maximum 
and minimum densities. Hence in accordance with the view« 
stated above, there will be proportionally less aggregation of 
the corpuscles and proportionally less change of resistance at 
the liigher temperature when a particular field is appUed, 80 
long at auy rate as this tield has not too low a vaJue. 

As regards the undoubted molecular change which occurs 
in nickel at a temperature of about 200®, it is impossible to 
come to any clear conclusion. When the investigation has 
beeu extended to the cases of iron and cobalt, it may be found 
])08sible to coordinate all the phenomena in terms of a less 
crude theory of molecular groupings. 

(Eingegangen 12. September 1903.) 



341 



45. Intorno ad nn 
igrometro-bilancia ad indicazioni assolnte e continne. 

Di a. anglielmo a Cagliari. 



Si puö determinare ageyolmente il peso o la tensione del 
tapor acqueo contenuto in un noto volume d'aria^ senza prima 
brlo assorbire dall' acido solforico (come si fa coli' igrometro 
ehimico e con qnelli di Schwackhöfer e di EdeliDaDn) 
dedncendoli dalla spinta aerostatica che un corpo di gran 
Tolome e piccolo peso^ (p. es. nna sfera o cilindro cavi ed a 
parete sottile) subisce nell' aria; questa spinta varia di circa 
0,6 mgr per ogni dm^ del corpo suddetto quando la tensione 
del fapore varia di 1 mm ed usando un corpo di volume non 
grandissimo si puö tuttavia ottenere una grande sensibilitä 
Belle indicazioni. 

Per evitare che questo corpo appeso ad un piatto della 
hilancia ed equilibrato, funzioni da baroscopio ed indichi, oltre 
lUe piccole variazioni della density dell' aria ambiente causate 
dalle Tariazioni della proporzione di vapor acqueo, anche quelle 
molto maggiori causate dalle variazioni della pressione e della 
temperatura, si possono usare varie disposizioni. 

La disposizione teoricamente piü semplice b quella di 
appendere ai due piatti d'una hilancia di precisione, alF estemo 
della vetrina, ed equilibrare due palloni chiusi, di ugual volume, 
uno dei quali si trovi immerso costantemente nell' aria per- 
fettamente secca e l'altro nell' aria di cui si cerca il grado 
d'umiditä. Inizialmente, e poi quando lo si creda necessario 
ad intervalli piü o meno lunghi, a seconda delle circostanze, 
si determiDa o verifica la differenza di peso dei due palloni 
quando entrambi sono immersi nell' aria comune o entrambi 
nell' aria secca, oppure anche si scambiano i palloni che si 
trovano uno nell' aria secca l'altro nell' aria comune. 

Siano G e G' i singoli pesi, che non occorre conoscere, 
dei due palloni nel vuoto, sia p la differenza nota di questi 



342 G. Gufflielmo. 

pesi che non dipende dal mezzo in cui sono immersi entrambi 
i palloni, sia K il yolume di ciascnno dl qnesti, H la pressione 
atmosferica, T la temperatura assoluta ambiente, T^ quella dd 
ghiaccio fondente, h la tensione cercata del Tapor acqueo nell' 
aria, a il peso di 1 cm' d'aria secca a 0^ e 760 mm, Jla 
densitä di vapore riferita all' aria del vapor acqueo, p' il peso 
che bisogna aggiungere p. es. a sinistra per ottenere reqoi- 
librio quando il pallone di sinistra si trova nell' aria perfetta- 
mentc secca e quello di destra nelP aria comune. Per Fegni* 
librio dovra essere: 

p + G-^ FaIITjl60T=^ G'- Fa{H-^h)TJ7ß01 -- FaShTJWT 

ossia: 

h'Fa{l '-^S)TJlßOT^p+ C- G'^p+p' 

h = (;?+/) 760(1 + at)jFa{\ ^ S)^(p + p')[\ + at)Ä\r 

indicando con Ä la costante 760/a (1 — S), 

Affinchä qaesta relazione sia rigorosamente applicaläe 
occorre che i due palloni siano esattamente alla stessa tempe* 
ratura, nonostante le condizioni un po' diverse nelle qnali essi 
si trovano, una diflferenza di 0^1 darebbe origine ad w» 
differenza nelle spinte che essi subiscono di circa 0,4 mgr per 
dm^ corrispondente ad un errore di circa 0,7 mm nella ten- 
sione di vapore cercata. Non mi pare tuttavia difficile di otte- 
nere la rigorosa eguaglianza di temperatura dei due pallom 
contigui, sia evitando di coUocare Fapparecchio in modo che 
linestre, o stufe o correnti d'aria o altre cause possano agire 
l)iü da un lato che dagli altri, sia proteggendo Fapparecchio 
con opportuni schermi o scatole, semplici o multiple. 

Gioverebbe anche per scoprire e correggere questa causa 
d' errore Tuso di palloni provvisti di manometro nel modo con- 
siderato in seguito. 

Bisof^na anche aver cura che Varia secca in cui e immerso 

uno dei palloni sia pcrfettamente secca. Ora siccome il red- 

piente clie la contiene e necessariamente prowisto d*un foro 

alla parte 8iii)eriore pel quäle passa il filo di sospensione del 

pallone, avviene che quando la temperatura s'abbassa o la 

pressione cresee, un poco d'aria estema penetra nel recipiente 

süddetto por* ^ vi del vapore che solo molto lentamente 

r^K^^ aM ostanza essicante. 



Intomo ad un igrometro-hilancia. 343 

Per evitare ci6, io sospesi il pallone nell' interno d'un 
ande recipiente cilindnco coli' orlo piano^ contenente sul 
ndo tm po' d'acido solforico ed un treppiede basso di vetro 
te impediTa al pallone di venir a contatto coli' acido; questo 
cipiente era chiuso da nn disco di vetro piano, con foro 
intrale per il passaggio del filo di sospensione; sul quäl disco 
;tomo al foro collocai vari Tasetti con acido solforico (per 
lancanza d'uno con ti|bo centrale] che ricoprii con una 
impana con foro in cima per il passaggio del filo suddetto. 
Qoltre al coUo della campana era adattato un largo tubo di vetro 
ingo circa 20 cm che ritardava ancora la diffusione del va- 
ore verso l'acido solforico, e faceva sl che l'aria penetrante 
el modo saddetto nella campana era giä parzialmente secca 
quella del recipiente sottostante lo era completamente. 

Un altro modo per evitare l'influenza delle variazioni della 
ressione e della temperatura sull' equilibrio del pallone, prati- 
amente piü semplice del precedente perche richiede un solo 
allone e non richiede l'uso continuo di un gran recipiente 
)n aria perfettamente secca, consiste nel porre 1' interne del 
allone, in comunicazione coli' estemo mediante un tubo con- 
mientemente lungo e capillare. Questo pallone viene appeso 
1 nno dei piatti della bilancia, all' estemo della vetrina cio6 
5ll' aria comune, e viene equilibrato con pesi coUocati sul- 
iltro piatto; inizialmente ed in seguito quando lo si crede 
)portuno si determina il peso del pallone immerso nell' aria 
irfettamente secca, oppure di nota umiditä,. 

Sia G il peso nel vuoto e t? il volume delle pareti del 
kllone, V la capacitä di questo, P e P — p i pesi occorrenti 
[ equilibrarlo nell* aria comune e nell' aria secca, ä e ä le 
nsioni del vapor acqueo all' esterno e nell' interno del pal- 
ne, (1— <r) il fattore, che poi verra trascurato, per la corre- 
one dei pesi numerati nell' aria; per l'equilibrio nell' aria 
>vrä essere: 

P(l _<r)= 6^+ ra{H-/i)TJ160T+ FaSkTJlßOT 

- Va {II - h) TJim r- Fad h TJHjO T 
-.va[H -h) TJ160 T-- vaSh 7^/760 T 

== (? + Fa{{ - d^(Ä - k)TJlßOT 

- vaHT^I760T+ va{l - 8)h IJlßO T 



344 G. Guglielmo. 

Se la pesata ueU' aria secca si fa immediatamente piima 
dopo di quella nell' aria comune dimodoche si possa amm^- 
tere che T q k non abbiano variato nell' intervallo si a?ra 
similmente: 

quindi: 

p = h{y+v)a{l '^d)TJieOT 

h:=p{l +at)7QOI{r+v)a{l -*i') = /?(l +a£jAl{V+v) 

Affiuchö questa relazione possa valere anche quando U 
posata neir aria secca si e fatta una Tolta per sempre o si 
la a lunghi intervalli e si possa quindi, con una sola pesata 
nell' aria comune , ricavare la tensione del vapor acqaeo in 
quest' aria, occorre far si, che la tensione del vapore neD' 
intemo del pallone sia costante, oppure nota, o meglio nnlla; 
in quesf ultimo caso, qualunque sia la temperatura alla quak 
si fa la pesata neir aria secca, Taria del pallone non ha peso 
ap})areute, la spinta sulle pareti e all' incirca uguale a queUa 
sui pesi, e l'equilibrio non e punto infiuenzato dalle yariazioni 
di temperatura. 

Molti modi si possono usare per far sl, che A sia con 
Hufficiente approssimazione, costante, o noto, o nullo. ün modo 
molto semplice e facile ad usarsi e quelle di teuer ben tappato 
il tubo capillare quaudo l'apparecchio non si usa; la variazione 
<li k durante la pesata e certo minima, e solo potrebbe ayersi 
uiiji variazione apprezzabile nello stappare il tubo suddetto. 
Se iiioltre rieH' interne del pallone fosse un po' d'acqua o di 
iiotji soluzione d'acido solforico, o un poco d'acido solforico 
conccntrato op})ure d'anidride fosforica, la tensione del vapore 
nvW interno sarebbe nota o nuUa. 

Un altro mezzo per far si, che k sia nullo, mezzo valevole 
aiiclic quando Tapparecchio debba funzionare continuamente, e 
(HK'IIo di riempire anzitutto il pallone con aria secca, e di 
us;irc il tubo capillare (di comunicazione coli' estemo) spor- 
^'(Mitc ;il(iu;nito dal pallone, ripiegato all' ingiü, che penetri e 
tc^riiiiiii (Mitro una boccetta contenente sul fondo un po' d'acido 
Hullnrico. E chiaro che esso tubo non deve mai venire a con- 
t.itto coir acidc) solforico che vi aderirebbe e farebbe crescere 
il |)('S() complessivo del pallone, e che durante le pesate lo 



Iniamo ad un igrometro-bilancia, 345 

1880 tabo non deve toccare in nessun punto il coUo della 
ccetta affinchö i moyimenti del giogo si possano produrre 
[iza ostacolL D'altronde quando l'apparecchio non viene 
ato gioTorä chindere allo stesso tempo pallone e boccetta 
ßdiante un tappe scorreyole attrayersato dal tubo capillare 
ddetto per evitare che l'acido si diloisca inutilmente. 

E utile Stabilire approssimativamente la grandezza delle 
lesibili variazioni di k quando Tintemo del pallone comunica 
•ntinuamente coli' aria comune mediante un tubo capillare. 
386 possono prodursi in due modi cioä per diffusione del 
ipore da o verso l'estemo e per effetto delle successive con- 
aziom e dilatazioni dell' aria interna in corrispondenza delle 
uriazioni della pressione e della temperatura. 

Le variazioni di k per diffasione sono molto piccole; di- 
tti dalle mie determinazioni del coefficiente di diffasione del 
ipore acqueo nell' aria ^) si deduce che per un tubo capillare 
Dgo 20 cm e di 0^10 mm^ di sezione quando la differenza 
«tante di tensione agli estremi 6 di 5 mm escono o pene- 
ano 0^011 mgr di vapore in 24 ore, sostituenti o sostituiti 
i nn ugual volume d'aria, dimodoch^ la variazione di peso 
J pallone che ne risulterebbe sarebbe di circa 0,004 mgr ed 
icorrerebbe circa 1 mese perch6 tale effetto fosse appena 
»prezzabile. Siccome perö la tensione del vapore estemo 
ma continuamente sarä or maggiore or minore di quella del 
ipore interne, la diffasione awerrä in sensi opposti e Teffetto 
tale sarä praticamente nuUo. 

Invece per un aumento di temperatura di 1^ uscirä dal 
Jlone un volume VjT d'aria con vapore di tensione k che 
rrä sostituito con aria e vapore di tensione h quando av- 
nga la corrispondente diminuzione di P della temperatura, 
quindi la tensione del vapore nell' interne avrä cambiato di 
-^ A)/2l Se invece V oscillazione della temperatura fosse, 
tue fe possibile, di 10® e la differenza h — k fosse 10 mm e 
sse T = 300® ne risulterebbe una variazione di 0,3 mm nella 
isione k, ripetentesi con lieve diminuzione ad ogni successiva 
uguale oscillazione. 



1) Atti dell* Acc delle Scienze, di Torino. 1882. 



346 G. Guglielmo. 

Un altro grave errore derivante dalla presenza del vapore 
neir intemo del pallone, e che occorre assolutamente eyitare, 
si presenta quando rabbassamento di temperatara sia tale che 
esso vapore si condensi in parte suUe pareti interne, facendo 
variare il peso G del pallone d'una quantitä incognita. 

Errori non trascurabili possono derivare altresi, da irna 
piccola differenza fra la temperatura del pallone e qnella am- 
biente, quäle si presenta certamente ogni qualvolta la tempe- 
ratura estema varia. Per evitare questa causa d'errore oon- 
verra anzitutto eseguire le pesate quando la temperatan 
estema e costante; giovera inoltre che il pallone abbia la 
superficie estema annerita (per quanto ciö e possibile sensa 
che il pallone sia soggetto a cambiar di peso ad ogDi mi- 
uimo contatto] affinch^ a differenza di ciö che si richiede Bei 
calorimetri siano facili gli scambi di calore coli' ambiente. 
Cosi pure sarä utile che la scatola o inviluppo che e necessario 
per difendere il pallone dalle correnti d'aria sia metallico, 
annerito intemamente, levigato invece estemamente affinch^esso 
riceva lentamente il calore dalP esterno e lo trasmetta rs4>ida- 
mente al pallone. Finalmente gioverä molto l'agitare (non 
troppo) Taria interna del pallone, ciö che si ottiene facilmente 
come indicai in altra Nota fissando nel suo intemo alcune 
Palette inclinate rispetto alla verticale e facendo ruotare il 
pallone rapidamente torcendo alternativamente in sensi opposti 
il filo di sospensione. — 

üna terza disposizione che non impedisce che il peso 
ocA'orrente ad equilibrare il pallone varii grandemente quando 
variano la pressione e la temperatura, ma che da, modo di 
correggere facilmente ed esattamente il peso suddetto in modo 
che le sue variazioni residue dipendano solo dal variare della 
j)roporzione di vapore nelF aria, consiste nel separare Taria 
interna del pallone dair esterna mediante un tubo ad U con- 
venienteuiente lungo e contenente un liquide che non abbia 
tiMisione di vapore apprezzabile come olio d'oliva o di vaselina, 
() cliinoliTia ecc; la possibile lenta evaporazione di questo 
li(iuid() si puü rendere praticamente nuUa mediante nn 
{a|)|)() di cotone collocato suir estreiuita libera del tubo ad 
r'. (^u(»sto inoltre dev' essere prowisto di due graduazioni, 
una niillinietrica ed una volumetrica sulle quali si possano 



Intamo ad un igrometro'büancia, 347 

isurare le yariazioni di pressione e di volumc deU' aria 
itema. 

Qnesto manometro che non si pu6 praticamente usare di 
ezione grandissima pone un grande ostacolo alle variazioni 
li Yolame dell' aria del pallone, e le rende molto piccole in 
sonfronto di quelle dell' aria libera, a paritä della altre con- 
linoni, quindi il pallone col manometro appeso ad un piatto 
iella bilancia ed equilibrato risente le variazioni della densita 
dell' aria ambiente in misura quasi uguale come un pallone 
chiuso. Presenta perö su questo il vantaggio che formando 
esso stesso un termo-baroscopio sensibilissimo^ offre modo di 
oorreggere molto esattamente l'effetto di queste variazioni. 

Difatti se r 6 la capacitä, del pallone^ u il volume dell' 
aria interna contenuta nel manometro, H la pressione estema^ 
E'\'K quella interna^ essendo h' indicato dal manometro^ po- 
tremo porre: 

(r+u)[H+h:) = [r+v!)H 

« calcolare con molta esaltezza il volume V + u che avrebbe 
l'aria interna se la sua pressione fosse uguale a quella estema, 
B la variazione della spinta ;; che sarebbe prodotto da questa 
Tariazione di volume u — u\ 

Se P ^ il peso che fa equilibrio al pallone quando tro- 
▼asi nell' aria comune con vapor acqueo di tensione A, G il 
peso vero del pallone col manometro e coli' aria contenutavi, 
» il volume delle pareti e del liquido, per l'equilibrio dovrä 
essere: 

P= G - [V+ u)aHTJlßOT+{F+ u)a{l - S)hTJlßOT 

^vaHTJ760T-'Va(l ^d)hrjl60T 
)ppure anche: 

P+p = G - {F+ u')aHTJ760T+ [F + u)a{l - d)hTJ7Q0T 
- vaHTJ760T+ va{l - S)hTJ160T 

Similmente per l'equilibrio nell' aria secca se P' e il peso 
)ccorrente per l'equilibrio, H' e T la pressione e la tempera- 
»ra ambienti, u" il volume dell' aria che trovasi nel mano- 
netro, ti'" questo volume quando la pressione interna fosse 
resa uguale all' estema, p' la variazione della spinta causata 
lalla variazione di volume u" — u'\ dovrä essere 



848 G. Guglißlmo. 

F =.G^ [r+ u')aH'TJ760r - vaH'TJ160r 
oppure anche: 

= ö - {r+ u')aHll%QT^ vaH' TJlßOT 

ossia trascurando Teffetto della variazione di T ed H fsa!k 
spinta subita da v, compensato in parte da nn simile effi^ 
sui pesi numerati si ha: 

p _ P' +;,_;,' = h{V+ tt' + v)a{l ^S)TJ7Q0T 

II possibile errore derivante da nna differenza di tempe- 
ratura fra il pallone e l'ambiente viene coli* attuale disposizione 
piü facilmente scorto e corretto poiche questa differenza sara 
proporzionale alla quantita di calore che il pallone riceTe o 
perde nell' unitä di tempo, ossia alla velocita della Tariazione 
della pressione iudicata dal manometro; osservando la yelocita 
prodotta da una nota differenza di temperatura si potrit in 
seguito da una osservata velocita di questa variazione dedurre 
la differenza di temperatura fra il pallone e l'aria che lo cir- 
conda e calcolare Terrore che essa produce nel peso apparente 
cercato del pallone stesso. 

Ho eseguito con questi apparecchi molte esperienze, nou 
ancora complete ma sufficienti per convincermi dell' utihta dei 
medesimi e scorgere le varie cause d'errore alle quali ho accen- 
nato. I palloni di cui mi sono servito erano cilindrici, di 20,5 cio 
di altezza, 16,7 cm di diametro, circa 4,5 dm' di volume, di 
lamina sottile di packfong, pesanti circa 180 g. I valori tro- 
vati con essi per la tensione del vapor acqueo nelF aria Uber^ 
furono d'accordo con quelli trovati con altri igrometri, quelle 
trovati pel vapore emesso dalla soluzione SO^fl, + 17H,0 
durante vari giorni furono d'accordo con quelli dati da Be - 
gnault alle varie temperatura. 

Ho anche osservato la variazione di peso che subivan^ 

grandi lamine di packfong, o di latta, o di vetro da finestr"^ 

quando erano immerse nell' aria secca oppure nell' aria umi* 

diaaima prodotta dalla soluzione precedente allungata con xi^ 

ugaal volume d'acqua, {d = 1,076 a 26^4). Queste variazioniJ 

farono imiiae pel «o^Wong e la latta, maggiori (2,5 mgr pe^^ 



Iniamo ad un igrometro'hüancia, 849 

dm*) pel vetro nudo ma sarebbero pure riuscite minime 
l vetro Temiciato. Neil' aria assolutamente satura di vapore 
molto proBsima al pnnto di saturazione gli apparecchi ora 
scritti non possono servire sia perchä, come ha osservato 
law^) il yapore comincia a condensarsi sul solido un pö 
ima della saturazione^ sia percbä questa condensazione pu6 
Bere causata da un leggero ra£Ereddamento; gli stessi appa- 
cchi altresi non possono dare buone indicazioni in presenza 

vapori o gaz che alterino la densitä, delF aria. 
Settembre 1903. 



1) Philosophical Transactions. 1888. 

(Eingegangen 12. September 1903.) 



350 



46. Einige Bedenken betreffend die Theorie der 
Entropievermehrnng durch Diffnsion der Gase 
einander gleichen Anfangsspannungen der letzteren. 

Von N. Schiller in Charkow. 



Die Behauptung; daß die Entropie zweier ineinander 
diffundierender Gase sich vergrößere, wird gewöhnlich dadurch 
begründet, daß zwei beliebige ungleichartige Gasmengen, die 
zwei gleiche und voneinander getrennte Volumenräume v und 
V einnehmen, ohne jegliche Arbeitsleistung und ohne Energie- 
Vermehrung in den gemeinschaftlichen Volumenraum v auf um- 
kehrbarem Wege hineingebracht und folglich darin miteinander 
vermischt werden können. Es wird dabei als selbstverständ- 
lich angenommen, daß die Entropie der beiden Gase beim 
erwähnten Verfahren unverändert bleibt, und zwar gleich der 
Summe der Entropiegrößen, die den Gasen in ihrem getrennten 
Zustand zukommen. Betrachtet man nun zwei Gasmengen, 
die zuerst die respektiven Volumenräume v^ und v^ einnehmen 
und die gleichen Spannungen p besitzen, so muß das gemein- 
schaftliche Volumen der beiden Gase gleich v^ + v^ werden, 
nachdem der Diffusionsprozeß unter dem unveränderten Dnickp 
vollendet ist. Es kann aber andererseits jedes der beiden (jase 
sich zuerst auf umkehrbarem Wege bis zum Volumen v^ + «?, 
isothermisch ausdehnen, wobei die entsprechende Entropie sich 
vergrößern muß; darauf können die beiden Gase, schon bei 
unverändert bleibender Entropie in den gemeinschaftlichen 
Vüluinenraum v^ + v^ hineingebracht werden. Auf diese Weise 
kommen die Gase zu demselben Endzustand, wie am Ende 
eines direkten Diffusionsprozesses. Da aber die Gase auf dem 
zuletzt beschriebenen Wege mit vergrößerter Entropie zum 
Endzustand kommen, so pflegt man daraus zu schließen, daß 

bei direktem Diffusionsprozeß auch eine Entropievermehrung 

stattfinde. 



Bedenken beireffend die Theorie der Entropievermehrung, 351 

Bezeichnet man also mit m die Massenmenge eines Gases^ 
roh V dessen Volumen, durch c dessen spezifische Wärme- 
pazitat bei konstantem Volumen, durch p dessen Spannung 
d durch die entsprechende absolute Temperatur, so hat 
ji bekanntlich 

pv = mRd , 

i die Entropie S der betrachteten Gasmenge läßt sich in 
r Form darstellen: 

S ^ mclgd + mßlg i- mk, 

»bei die Eonstante h so gewählt ist, daß sie von m unab- 
ngig bleibt. Sind mehrere Gase yorhanden, so ist die 
itropiesumme der nebeneinander gestellten Gasvolumen gleich 

Nach dem Tollendeten Diffusionsprozeß nehmen die sämt- 
3hen Oase den gemeinschaftlichen Volumenraum ^v^ ein, 
ad die entsprechende Entropie S wird unter der Voraus- 
itzung berechnet, daß sie dieselbe Größe haben soll, wie in 
3m Falle, wo jede Gasart das Volumen 2*^» ^ ^^^^ öin- 
immt, und die Gase unyermischt nebeneinander gebracht 
erden. Demgemäß hat man also zu setzen: 

oraas folgt, daß 

Da aber vor der Diffusion dieselbe Spannung p fiir jedes 
er Gase gilt, so ist 

I) 2^1 _. 2 ^''* ^i 

iid es ergibt sich demzufolge; 

Den eben erhaltenen Ausdruck (7) pflegt man als den 
'irch die Diffusion hervorgerufenen Entropiezuwachs zu be- 
achten. 



352 K Schiller. 

Führt man die Bezeichnungen n^ , »i^ . . . »i für die Mole> 
kularzahlcn der yerschiedeuen Gasarten ein und berücksichtigt 
man, daß 

(8) m. B^ = n. Ä, 

wobei R für alle Gase denselben Wert hat, so erhält mu 
aus (7): 

Es entsteht nun die Frage, ob zwei chemisch gleichartig 
Gasmengen, die zwei gleiche voneinander getrennte Volumen- 
räume ausfüllen, auf dieselbe Weise in einen gemeinschiftF 
liehen Volumenraum ohne äußere Arbeitsleistung hineingebradit 
werden können, wie dies für chemisch verschiedene Gase d« 
Fall ist. Die Möglichkeit eines arbeitsleistungslosen Inon- 
anderschiebens zweier Gasvolumina wird dadurch begründet) 
daß man sich immer eine halbdurchdringliche Wand vorstettei 
darf, die nur eine Gasart durchläßt, während sie fllr die in- 
deren Gasarten undurchdringlich bleibt. Ist aber solch eine 
Wand logisch denkbar, so scheint ja kein Grund gegen & 
Möglichkeit der Existenz einer Wand zu spre<5hen, die tob 
allen chemisch gleichartigen Molekülen einer bestimmten Gas- 
sorte nur diejenigen durchläßt, die man auf irgend eine Weise 
von den übrigen zu unterscheiden weiß. Der genannte Unter- 
schied könnte entweder in der räumlichen Lage der Moleküle 
bestehen, oder in der Größe ihrer Geschwindigkeit, wie bei 
dem Maxwel Ischen Dämonenspiel, oder in irgend welchen 
den willkürlich gewählten Molekülen zugedachten Merkmalen. 
Übrigens läßt sich die Möglichkeit der von der partiellen 
Durchdringlichkeit abhängigen Erscheinungen nicht aus den 
besonderen ehemischen Eigenschaften materieller Wände ab- 
leiten, sondern sie wird durch die Tatsache begründet, daß 
das Vorhandensein gegebener Massenmengen auch alle denk- 
baren auf diese Massen wirkenden Kräfte zuläßt. Eine halb- 
durchdringliche Wand ist nur als eine zufällige Realisation 
der auf bestimmte Weise wirkenden Kräfte zu betrachten, 
Tmd keine praktisch sich erweisende Unmöglichkeit, solch eine 



V^Vgl. auch Planck, Vorles. über Thermod. p. 203. 1897. 



Bedenken betreffend die Theorie der Eniropievermehrung, 353 

Wand zu konstruieren, darf die theoretischen Schlüsse ab- 
iiidem, die aus den Gesetzen der Eraftwirkungen sich ab- 
leiten lassen. 

Breitet sich zum Beispiel ein gelöster Stoif mitten in 
einem Lösungsmittel aus^ so sind immer solche äußere Kräfte 
denkbar^ die die Bewegung des gelösten Stoffs zu hemmen 
und den letzteren ins Gleichge¥ächt zu bringen vermögen^ un- 
abhängig vom umgebenden Lösungsmittel. Siad die kine- 
natischen Eigenschaften des beweglichen gelösten Stoffs die- 
•dben, wie die der Gase oder der Flüssigkeiten, so läßt sich 
dis Gleichgewicht durch die Kräfte herstellen, die nur auf die 
Olierflftchenschicht des gelösten Stoffes wirken , wodurch alle 
diejenigen Yerrückungen der Massenteilchen des letzteren auf- 
gdioben werden^ die irgend eine Änderung des Volumen- 
nhalts oder der Volumengestalt zur Folge haben könnten. 
Nui bietet aber die oben erwähnte Kräfteverteilung auf der 
Oberflächenschicht alle Eigenschaften einer halbdurchdring- 
lichen Wand, da nur die Beweglichkeit des gelösten Stoffs da- 
Inch gehemmt wird, während die Bewegung des umgeben- 
den Mediums un verhindert bleibt. Es kann also jedes Gas 
TO auch jede Flüssigkeit in gegebenem Volumenraume auf 
dreierlei Weise im Gleichgewicht gehalten werden: entweder 
durch Abgrenzung des Baumes mitteU absolut undurchdring- 
licher fester Wände, oder durch unmittelbar auf die Grenz- 
schicht wirkende Kräfte, oder durch feste, aber nur für das 
abgeschlossene Gas undurchdringliche Wände. Wird der ge- 
gebene Volumenraum von mehreren verschiedenartigen Gasen, 
tesp. Flüssigkeiten, eingenommen, so kann in demselben jedes 
einzelne Gas, resp. jede Flüssigkeit, unabhängig von den übrigen 
mittels der passenden auf die entsprechenden Grenzschichten 
wirkenden Kräfte oder mittels der für die entsprechende Gasart 
undurchdringlichen Wände im Gleichgewicht gehalten werden. 
Faßt man umgekehrt eine homogene Gasmasse ins Auge, die 
das Volumen v ausfüllt und unter dem äußeren Druck p in 
Ruhe bleibt, so darf man dabei den Druck p als aus n Partial- 
drücken pjn zusammengesetzt betrachten, wobei jeder Partial- 
dmck p/n je den entsprechenden n**° Teil der Gesamtmasse 
auf solche Weise im Gleichgewicht hält, daß der genannte 
Massenteil, unabhängig von den übrigen, den ganzen Volumen« 

BolUmann-Festschrift. 23 



354 iV. Schiller. 

räum ausfüllt. Soll nun der äußere Druck p auf seinen n-tn 
Teil reduziert werden , so kann dies auf zweierlei Weise ge- 
schehen und auch zweierlei Erscheinungen zur Folge haben. 
Man kann nämlich entweder jeden der n Partialdrücke auf 
seinen n**° Teil reduzieren, oder man kann nur den einzigen 
von allen Partialdrücken weiter bestehen lassen und die übrigen 
einfach aufheben. Bleibt dabei die Temperatur des GhnBes 
immerfort konstant, so hat das erstere Verfahren zur Folge, 
daß der vom Gas eingenommene Volumenraum sich erweitert 
und n-mal größer wird. Infolge des zweiten Verfahrens yer- 
ätichtigen sich aus dem Volumenraum v diejenigen MassenteOe 
des Gases, denen die äußeren Partialdrücke entzogen worden 
sind, so daß nur der n**' Teil der Gasmasse im Volumenraume j 
unter dem Druck pjn übrig bleibt Man ersieht also, daS 
beliebig große Gasmassen aus dem gegebenen Volumen ent- 
fernt oder in dasselbe hineingebracht werden können, ohne 
dadurch das Gleichgewicht der anderen in demselben Volumen- 
raume einpeschlosaenen Gasmengen zu stören. Die Grenzober- 
liäche des im Gleichgewicht gehaltenen Gasteils zeigt dabä 
alle Eigenschaften einer nur filr diesen Gasteil undurchdring- 
lichen Wand. Die mögliche Existenz einer partiell durchdring- 
liclKMj Wand für besondere Teile einer homogenen Gasmasse 
kann somit als festgestellt betrachtet werden. Demgemäß wird 
i»s auch (^iiilcMiclitend, daß die vorher gestellte Frage über die 
donkban» Möf^lichkeit eines arbeitsleistungslosen Zusammen- 
srlnunipfiMis zweier gleicher und gleichartiger Gasvolumina nur 
ht'jaluMid zu beantworten ist. Das genannte Verfahren kann aber 
nur 1km oiner besonderen Verteilung der auf das Gas wirkenden 
und (li»ssiMi (ileichgewicht haltenden äußeren Kräfte angewandt 
werden. St»ll zum ikuspiel das gegebene GasTolumen v ohne 
äußtM't» ArluMtsloistung zum w^**" Teil seiner Größe reduziert wer- 
den. st> muß ilasselbe zuerst in n gleiche aneinandergrenzeude 
AbUMlnni,'en von der Größe v!n geteilt werden, jede Ab- 
toihmj: V n ist hiera\if, unabhängig von den übrigen, mittels 
äußoror ObiMilärluMiknifte im Gleichgewicht zu halten. Bei 
ier auf dii^ lM»sohriobiMie Weise erfolgten Kraftverteilung können 
uW ■* aniMnandiM'liiwnden Volumenteile entweder auf beliebige 
^nt:enuu»!r >iMHMnander trobracht werden, ohne daß dadurch 
ar\?ieich^r\Nii'lit gestört wird, oder sie können ohne jeglichen 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung. 355 

Fiderstand und ohne jegliche Arbeitsleistung so weit zu- 
ammengeschoben werden, bis sie den gemeinschaftlichen 
^olnmenraum vjn unabhängig voneinander einnehmen. Es 
liegt also kein Grand vor, den Unterschied zwischen den 
hemisch gleichartigen und ungleichartigen Gasen in bezug 
Af die Möglichkeit des arbeitsleistungslosen Zusammenschiebens 
lerselben aufrecht zu halten. Somit fällt auch der Unterschied 
cwischen den genannten Gasarten hinsichtlich ihrer Entropie- 
ünderungen weg. Darauf erweist sich aber auch sogleich die 
Dnzulässigkeit derjenigen Betrachtungsweise, der gemäß die 
EiDtropie eines zusammenschiebbaren Gassystems mit derselben 
wich eines Gasvolumens y erglichen wird, dessen Zusammen- 
schrumpfen durch passend angebrachte Druckkräfte verhindert 
bleibt Vom Standpunkte der genannten Betrachtungsweise 
ms könnte man nämlich jeder gegebenen Gasmenge beliebige 
Entropiegrößen unabhängig vom eingenommenen Yolumenraum 
soBchreiben. Man denke sich zum Beispiel das Gasvolumen v 
in n gleiche nebeneinander bestehende TeUe von der Größe vjn 
geteilt; man lasse jeden Volumenteil vjn bis auf die Volumen- 
grSBe V sich nicht umkehrbar ausdehnen, wobei die ent- 
Bprechende Temperatur unverändert bleibt, die Spannung n-mal 
Ueiner wird und die gesamte Entropie sich vergrößert, man 
lasse darauf aUe n erhaltenen Gasvolumina sich ohne äußere 
Arbeitsleistung in den gemeinschaftlichen Yolumenraum v zu- 
lammenschieben. Man kommt auf diese Weise zum anfäng- 
ichen Gasvolumen mit derselben Temperatur und derselben 
Ipannung, aber mit der vergrößerten Entropie zurück. 

Um aus den oben angedeuteten Widersprüchen heraus - 
ikommen, ist zuerst zu beachten, daß die Definitionen, die 
ei der Herstellung des Entropiebegriffs den entsprechenden 
etrachtungen zu Grunde gelegt werden, kaum zu dem 
chluß führen können, daß die Entropie eines zusammen- 
38etzten thermischen Körpersystems der Summe der Entropie- 
rößen gesamter Teile des Systems bedingungslos gleich ge- 
atzt werden müßte. Es ist nämlich einleuchtend, daß der 
Jen erwähnte Schluß sich nur auf die Größe der Entropie- 
iderung anwenden läßt und zwar auf folgende Weise. Sind 
8^, dS^ . , , die Entropieänderungen einzelner Teile eines 
isammengesetzten Systems und ist dS die entsprechende 

23* 



356 Ä\ Schiller. 

Gesamtänderung der Entropie des letzteren, so hat man stets, 
wenn die Temperatur ö für alle Teile dieselbe bleibt: 

(10) ddS^OdS^ + dd8^ + .. ., 

weil die dem System zugeführte Oesamtwärmemenge der Summe 
der von den einzelnen Teilen aufgenommenen Wärmequantitäten 
unbedingt gleich zu setzen ist. Es folgt aber aus (10), daß 

« 

(11) S = S^+S^+ ... + Konst, 

und man ersieht daraus, daß die Oesamtentropie sich yon der 
Entropiesumme um eine Konstante unterscheidet, die je nach 
Umständen wohl als von Null verschieden ausfallen kann. 

Außerdem muß man in den Fällen, wo es auf die Entropie- 
größe ankommt, wohl darauf achten, daß es sich nicht um die 
Entropie der Gasmengen, sondern um die Entropie der aus 
den Gasen unter Mitwirkung verschiedenartiger äußerer Kräfte 
zusammengestellten thermischen Systeme handelt. Dement- 
sprechend kann die Entropiegröße nicht als die jeder gegebenen 
Gasmenge zugemessene Quantität, wie etwa die Wärmemenge, 
betrachtet werden, sondern die genannte Größe erweist sich 
als der Wert einer durch den Ausdruck der äußeren Arbeit 
bestimmten stetigen Funktion der sich umkehrbar ändernden 
thermischen Parameter. 

Faßt man zum Beispiel zwei gleiche und chemisch iden- 
tische Gasmengen ins Auge, die die gleichen Volumenräume r 
einnehmen und die gleichen Spannungen p besitzen, so darf 
man (h)ch nicht die beiden Gase als zwei identische thermi- 
sche Körpersysteme bedingungslos betrachten, denen etwa gleiche 
Entr()i)iegrößen immer zuzuschreiben wären. Es kann nämlich 
dabei der Unterschied zwischen den beiden Gasen darin be- 
Hteh(in, daß die entsprechenden, das Gleichgewicht haltenden 
äußeren Kräfte die beiden Systeme in verschiedener Weise an- 
gi'oifen. Das eine System sei zum Beispiel durch den äußeren 
Dnick im (Tleichgewicht gehalten, der nur auf die äußere 
Grenzohi^rtlilche des Volumens v wirkt. Das andere System 
sei in n t^lcMw. aneinander anliegende Teile von der Größe r/n 
fS^WIt und (lor äußere Druck/? sei auf den n Greuzoberflächen 
i« tei/tereii angebracht. Dadurch wird für das erstere System 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung, ^ 357 

die Möglichkeit eines arbeitslosen Zusammenschiebens aas- 
geschlossen. Was aber das zweite System betrifft^ so ist für 
dasselbe kein Hindernis vorhanden ^ sein Gesamtvolumen v in 
das n^mal kleinere Volumen vjn zu verwandeln. Die iso- 
thermische Verkleinerung des Gesamtvolumens v ist für das 
erstere System mit der Entropieverminderung unbedingt ver- 
bunden. Die Entropie des zweiten Systems bleibt dagegen 
unverändert, während das Volumen v des letzteren mittels 
arbeitsleistungslosen Zusammenschiebens auf die Größe v/n 
reduziert wird. Sollte die Entropie des zweiten Systems bei 
der erfolgten Verminderung des Gesamtvolumens auch ver- 
kleinert werden 9 so könnte dies nur durch die Verkleinerung 
jedes Partialvolumens vjn erreicht werden, wodurch das ganze 
System nicht zusammengeschoben, sondern zusammengedrückt 
wird. Es leuchtet nun auch weiter ein, daß dieselbe Größe 
des Q^samtvolumens t; den verschiedenen Entropiegrößen des 
lasammenschiebbaren Gassystems entsprechen kann, da der 
thermische Zustand des letzteren von v ganz unabhängig bleibt 
und da die Größe v nicht zu den thermischen Parametern des 
betrachteten Systems zu zählen ist. Sollte also die Entropie 
eines zusammenschiebbaren Systems mit der eines unzusammen- 
sdiiebbaren verglichen werden, so müßten die beiden Entropie- 
größen als Funktionen des Partialvolumens vjn dargestellt 
werden, bei dessen gleichen Werten auch die zu vergleichen- 
den Entropiegrößen einander gleich bleiben, abgesehen davon, 
daß die Werte des Gesamtvolumens dabei verschieden aus- 
fallen können. 

Bei den Betrachtungen, die zum Schluß über die Entropie- 
vermehrung der Gase durch Diffusion führen, scheint der Ge- 
dankenfehler gerade darin zu bestehen, daß dabei die thermi- 
sehen Änderungen zweier ungleichartiger Gassysteme mitein- 
ander verwechselt werden. Das System der unter demselben 
gemeinschaftlichen Druck ineinander diffundierenden Gase ist 
entschieden als unzusammenschiebbar zu bezeichnen. Um auf 
ihre Entropieänderung zu schließen, pflegt man nun ein an- 
deres und zwar zusammenschiebbares System ins Auge zu 
fassen, dessen Änderungen von den Parametern des ersteren 
nicht abhängen und somit nicht in Betracht gezogen wer- 
den können. 



358 JV; Schiüer. 

•• •• 

Übrigens ist noch zu beachten , daß die Andeningen der 

beiden obengenannten ungleichartigen Systeme auch so kom- 
biniert werden können, daß man zum Endzustand des Difiusions- 
prozesses ohne jegliche Entropievermehrung oder sogar mit 
einer Entropieverminderung kommt Um die durch die Difiiision 
angeblich hervorgebrachte Entropievergrößerung auszurechnen, 
pflegt man nämlich die Volumina v^, ^2 * * * ^n ^^^ ineinander 
zu diffundierenden Gasmengen sich erst bis auf die einand^ 
gleichen Volumengrößen 2v^ mit Entropievermehrung aas- 
dehnen und nachher sich in den gemeinschaftlichen Volomen- 
raiim 2!v^ zusammenschieben zu lassen. Nun kann man aber 
das isothermische Ausdehnen der Gasvolumina v^y 0| . . . v^ 
sich auch ohne jegliche äußere Arbeitsleistung und somit ohne 
Jegliche Entropieänderung denken: man braucht nur dazu, fie 
dies schon vorher auseinandergesetzt worden ist, sich die ent- 
sprechende Druckverteilung auf den Grenzen der voneinander 
abgesonderten Teile jedes Volumens vorzustellen, wodurch 
jedem Volumen die Eigenschaft der Zusammenschiebbarkeit e^ 
teilt wird. Sind nun darauf die auf die genannte Weise er- 
weiterten Gasvolumina miteinander arbeitsleistungslos zu- 
sammengeschoben , so kommt man zum Endzustand des 
Diffusionsprozesses mit der unveränderten Entropiegröße> An- 
dererseits kann man auch die vorläufige arbeitsleistungslose Er- 
weitening der einzelnen Volumina t?j, t'i, • • • »„ noch weiter 
als bis auf die Größe 2v.^ hinauftreiben imd dieselben wieder 
auf die Größe -i'r , aber mit Entropieverminderung, redu- 
zieren. In diesem Falle kommt man nach dem nachher er- 
folgten arbeitsleistungslosen Zusammenschieben der einzelnen 
Volumina zum Endzustand des Diffusionsprozesses sogar mit 
der verminderten Entropie. 

Um aus den eben besprochenen Widersprüchen herauszu- 
kommen muß man entweder die Möglichkeit eines arbeitsleistungs- 
losen Zusanimenscbiebens gleichartiger Gasvolun^ina verneinen, 
wozu ei«];entlich kein genügender Grund vorhanden ist, oder 
die oben angeführten einander widersprechenden Schlußfolge- 
rungen \ erwerten und nach der richtigen Betrachtungsweise 
suchen. 

Um (\i^\\ richtigen Weg zur Beantwortung der Frage über 
die Entro])ieilnderung durch Diffusion zu finden, muß zuerst 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrnnfj. .-^59 

^stgestellt werden, in welchem Sinne die Entropiegröße als 
reändert zu betrachten sei. Da die Entropie ihrer Definition 
pemäß sich nur als eine stetige und eindeutige Funktion der 
ich umkehrbar ändernden thermischen Parameter darstellen 
USt, so kann dieselbe nur dann voneinander verschiedene 
Verte annehmen, wenn die thermischen Parameter geändert 
^erden. Unter den thermischen Parametern sind aber außer 
er Temperatur diejenigen Größen zu verstehen, deren unend- 
(dl kleine Änderungen zur Bildung des Ausdrucks für die von 
Bn äußeren Kräften auf umkehrbarem Wege geleistete Arbeit 
Bitragen. Außerdem ist zu beachten, daß die Ermittelung 
BT Entropiefunktion nur dann möglich ist» wenn der genannte 
nsdruck im voraus gegeben ist Sind nämlich o, , ^^s * - * ^» 
ie thermischen Parameter and wird die äußere Arbeit d L in 
sr Form 

2) "dZ =p^da^+p^da^+ . . P^da^ 

igeben, so lassen sich die Ableitungen von der Entropie- 
nküoii S durch die Gleichungen 

^ da^" dB ' da, "" ö^ ' ^^^' 

«timmen, wobei die absolate Temperatur bezeichnet. I.st 
iSerdem auch e, die Wärmekiq^azität des betrachtet^rn ther- 
ischen Systems, gegeben, so hat man dazu 

e additive Konstante, die m die durch die Gleich ongen 'l'> 
d (14) bestimmte ßntropieEnktioii hineinkommt, V/iribt :.ir:ir- 
h von den Größen ö, «i» •$-••*» unabhängig an i btL:. 
lits zur Entropieänderung Utogen. Es küLL w^,:.; irr 
U vorkommen , ^w'o die Ettniicfinkktion sich -tvi ::. ir:r 
rm 

rteüen läßt. Zieht m™ «*, ,^ ^^^,^:^,^ Z--.i:.i- 
Jrungen des genftnnten thnaiiiii^ Sptr=:V l ?.-;>..-- 
Woß von der Parametergruipe^^ ^^ ^ ,- :- - ^ 
t flie Funktion /; (^fc-*-i>'"^^mii1 i -:: ; :.. - .xiw 



360 K. Schiller. 

f\ + KoDst. spielt einstweilen die Bolle einer neuen additirei 
Eonstanten. Kommt es nun nachher darauf an, auch die 
Änderungen der übrigen Parameter aj^+i^ . . o» ins Auge n 
fassen, so kann es den Anschein haben , als ob die ent- 
sprechende Entropieänderung durch die Änderung der addi- 
tiven Eonstaute hervorgebracht würde. Es darf aber nicht 
vergessen werden, daß in diesem Falle der als eine additive 
Eonstante betrachtete Ausdruck f^ + Eonst. jedenfalls ab 
P^unktion der Parameter afc+i,...a, schon dargestellt ist, wu 
sich nur dann als möglich erweist, wenn die genannten Pan- 
meter in den Ausdruck der von den äußeren Eräfben umkehr* 
bar verrichteten Arbeit hineinkommen. Die mehrmals vorher 
angeführte übliche Betrachtungsweise scheint auch zum Schloß 
zu führen, daß die additive Eonstante der EntropiefanktioD 
durch den erfolgten Diffusionsprozeß um die Größe (9) waehsen 
muß, die von der Anzahl der ineinander diffundierenden Gas- 
moleküle abhängt. Dabei vermag man selbstverständlich anf 
keinen Ausdruck hinzuweisen, der die von den unendlich kleinen 
Änderungen der Molekülanzahl abhängige, von den äuSeren 
Eräften nnikehrbar verrichtete Arbeit, darstellen könnte. Die 
angeblich hergestellte Abhängigkeit der additiven Eonstante 
von der Molekülanzahl wäre aber nicht anders zu ermitteb, 
als aus den Eoeftizienten des differentiellen Arbeitspolynoms 
mittels der Gleichungen (13). 

Es bleibt also nur ein Weg, die dem Diffusionsprozeß ent- 
s])rechonde Kiitropiefunktion zu linden, nämlich mit Hilfe des 
entsprechenden differentiellen Arbeitsausdnicks. Das thermi- 
sche Svsteni der ineinander diffundierenden Gase, welches aus 
den verschiedenartigen einander berührenden Gasvolumina 
Vj, Vg, . . . r\^ zusanimengestellt ist und mittels des auf die 
äußere Gren/oberfläche des Gesamtvolumens -5*». wirkenden 
Drucks p im Gleichgewicht gehalten wird, kann nicht ohne 
äußere Arbeitsleistung zusammengeschoben werden. Ebenso- 
gut bleibt das System nach dem vollendeten Diffusionsprozeß 
unzusammeiischiebhar, während die verschiedenartigen Gase 
bei ihren Partials])aunungen /?, , />2,.../>„ den gemeinschafl- 
'ichen Volnmenraum v = ^v. einnehmen. Die äußere Ar- 

\mX dL wird vor und nach der Diffusion resp. durch die 

Wicenden Ausdrücke dargestellt: 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung. 361 



J) { und 



dL = p\dv^ + dv^ + . . . dv^ ^ pdv 
dL=r(p^+p^+ . . .pjdv=pdv, 



e, wie man sieht, einander gleich ausfallen. Da man außer- 
m vor dem DifiFusionsprozeß 

id nach demselben 

it) wobei die absolute Temperatur und m^ , . . . m^ die ent- 
)rechenden Massenmengen bezeichnen, so ergibt sich für die 
eiden Fälle: 

Qx dS _^ dp ZntiRi 

voraus folgt: 

») a = {:sm^E;j\gv + f{e). 



i" 



TTL, 



^ 



[prPj 



Da aber weder die Temperatur ö, noch das Volumen v 
arch die Diffusion geändert werden^ so kann man daraus 
nr den einzigen Schluß ziehen^ daß die 
ntropie S auch dabei unverändert bleibt. 

Um sich das Wesen des Diffusions- 
rozesses anschaulich zu machen, stelle man 
ch zwei chemisch identische Gasmengen 
, und m^ vor, welche die einander frei 
»rührenden Volumenteile v^ und v^ eines < 
iindrischen Behälters ausfüllen und dabei 
e Yerschiedenen Spannungen p^ und p^ be- 
tzen, 80 daß />i > p^ ist. Der Behälter sei 
n außen durch zwei bewegliche undurch- '^ 
ingliche Kolben aa und db abgeschlossen 
{L die beistehende Figur). Die beiden 
ismengen bleiben im Gleichgewicht, wenn 
if jede Flächeneinheit der Grenzoberflächen 
t Volumenräume o^ und v^ die äußeren Druckkräfte p^ 
id p^ entsprechend wirken. Die erforderliche Druckverteilung 
•nn dadurch erreicht werden, daß man die Druckkräfte 



171, 



P, 



Fig. 1. 



362 N. Schäler. 

p^ und p^ entsprechend auf die beweglichen Kolben willen 
läßt und außerdem einen äußeren Druck p^ — p^ auf jede 
Flächeneinheit der freien Trennungsoberfläche zwischen den 
Vohimenräumen v^ und v^ anbringt, und zwar in der BichtuBg 
von v^ nach v^ Nun bestehen zwischen den Größen p^, p^ 
r, , üg, m^, Wj und der Temperatur d die Beziehungen: 

(21) p^v^ = m^Rd, p^v^ = m^Rd, 

woraus man ersieht, daß bei den konstant gehaltenen Span- 
nungen p^ und p^ die Volumenveränderungen nur dann zustande 
kommen können, wenn dabei auch die Massenmengen m^ und 
m^ sich ändern, das heißt, wenn ein Massenübergang von einem 
Volumenraum zum anderen durch die Trennungsoberfliche 
von statten geht^ was durch die passende Abwechselung der 
Angriffspunkte des Trennungsoberflächendrucks p^ — p, immer 
zu erreichen ist. Die bei den eben beschriebenen unendlich 
kleinen Volumenänderungen dv^ und dv^ von den äofieren 
Kräften geleistete Arbeit d L läßt sich in der Form darsteDen 

(22) ^dL^p^ dv^ + p^ rfü, . 

Da aber die Gleichungen (21) bei konstant gehaltenem f^ 
und />2 

(23) p^dv^ -\-p^dv^'= Rß{dm^ + dm^) 

ergeben und da 

d m^ -\- d m^ =^ 

ist, so kommt man zum Schluß, daß d L = 0. Da nun weiter 
p^ und p^ während des ganzen Vorgangs konstant und von 
der Temperatur unabhängig bleiben sollen, so ergibt sich 

(2-«) !--= 4-^ = 0, -^-^- = 4?'- = o, 

^ ovi od ov^ d 6 ' 

was auf die entsprechende Unveränderlichkeit der Entropie- 
große hinweist 

Wird das Volumen v^ und somit die Massenmenge m, 
unendlich klein, so nimmt die übrige von der Größe 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung. 363 

nnendlich wenig sich unterscheidende Gasmasse das Volumen V^ 
mUf das durch die Gleichung 

(25) p^r^^MRd 

'bestimmt wird. Wird dagegen v^ unendlich klein, so läßt sich 
das von der übrigen Gasmenge eingenommene Volumen V^ 
tos der Gleichung 

(26) p,r, = MEd 

berechnen. Man ersieht also, daß die Gasmenge M auf die 
angedeutete Weise vom Volumen F^ und 7on der Spannung p^ 
obne Entropieänderung und ohne äußere Arbeitsleistung zum 
Tdamen F^ und zur Spannung p^ auf umkehrbarem Wege 
Unübergefiihrt werden kann. Sollten die Volumenänderungen 
und die mit ihnen verbundene Gasmassenüberführung mit einer 
gewissen von außen mitgeteilten Geschwindigkeit vor sich gehen, 
10 würde dadurch dem ganzen Vorgang eine bestimmte Rich- 
tung vorgeschrieben und dessen Umkehrung bei der bestehen- 
den Geschwindigkeit unmögUch gemacht. Man darf aber des- 
halb nicht einem solchen Vorgang die Eigenschaften einer 
umkehrbaren Zustandsänderung absprechen, da die entstande- 
nen Geschwindigkeiten nicht von den in den Arbeitsausdruck d L 
bineinkommenden Kräften herrühren und da die letztgenannten 
Kräfte nichtsdestoweniger immerfort das Gleichgewicht halten. 

Das eben betrachtete Gassystem kann nun noch kom- 
plizierter vorgestellt werden, damit es sich an die ineinander 
diffondierenden Gasmengen mehr anpasse. Man kann nämlich 
den äußeren auf die Trennungsoberfläche wirkenden Druck 
^1 ~~ Pi ®^^^ dadurch verwirklicht denken, daß die Massen- 
inenge m^ irgend eines verschiedenartigen Gases dem im 
V^olumenraum v^ sich befindenden Gas beigemischt wird, und 
swar auf die Weise, daß die Partialspannung des hinein- 
gepreßten Gases bis auf die Größe p^ — p^ hinaufsteige. Dabei 
ordern die Gleichgewichtsbedingungen, daß noch der äußere 
Jruck pj — pg zu der auf den Kolben b b wirkenden Druck- 
araft p^ hinzugefügt' werde. Dementsprechend nimmt der 
;anze den genannten Kolben angreifende äußere Druck die 
}röße /?! an. Dieser äußere Druck p^ kann wieder dadurch 
'erwirkhcht werden, daß man die den Baum v^ ausfüllende 



364 



N. Schüler. 



\. 



7rv, 



GasmischuDg mit der neuen Gasmenge m^' in BerübroDg bringt, 
die die Spannung p^ besitzt, den entsprechenden VolumeB- 
raum v^' einnimmt und mit dem in den Volumenraum ü, h- 
vor hinzugeführten Gas chemisch identisch ist Soll das ebeo 
neu hinzugebrachte Gasvolumen v/ mittels eines bewegtidm 
Kolbens yom äußeren Raum abgeschlossen werden, so mnl 
der äußere Druck />^ auf jede Flächeneinheit des Eolbem 
wirken, damit das Gleichgewicht des ganzen Systems erhalten 
bleibe. Auf diese Weise kommt man zu der durch die bei* 
stehende Figur dargestellten Anordnung der Gasmassen. 

Die in dem zylindrischen Behälter eingeschlossenen G«8- 
massen sind von außen durch zwei bewegliche Kolben aa nnd 

dd abgegrenzt Die einander gleichen 
äußeren Druckkräfte p^ halten die beiden 
Kolben im Gleichgewicht Die Volomeo- 
l räume v^ und &/ sind mit zwei chemisdi 
verschiedenen Gasmengen m^ und m^ aos- 
> gefüllt, die die gleichen Spannungen j^ 
besitzen. Das Volumen v^ enthält die 
Mischung der beiden Gasarten, von denen 
der einen die Masse m^ und die Spannung 
p^ , der anderen dagegen die Masse m^' und 
die Spannung p^ — p^ zukommen. Die 
^ Druckwirkung der einen der beiden Gas- 
ai*ten auf die andere ist dieselbe, wie die 
der von außen angebrachten Kräfte. Das 
erste Gas übt nämlich den Druck p^ auf die 
untere Trennungsoberfläche cc und den 
Druck p^ auf die obere b b aus. Das zweite Gas drückt mit 
der Kraft p^ auf die obere Trennungsoberfläche bb und 
mit der Kraft p^ — p^ auf die untere c c. Die Arbeitsleistung 
d 1/ der vom ersten Gas herrührenden Druckkräfte wird durch 

(27) - dl' = p^ dv^ + (pj - p^dv^ 

dargestellt. Da aber 

(28) p, v; = m/ 7?' Ö , {p,^ p,) v^ = m; R 6 

und da p^ und p^ konstant bleiben, so ergibt sich 
\$S\ pi (/ y/ + {p^ + p^)dv^ = RO [dm^' + dm{) = 
1B& «miit d L' — 0, 



TTUg 



rn.. 



77t, 



t> 



1^' 

Fig. 2. 



1 

■1 



Bedejüün^ beireffend die Theorie der Entropievermehrung, 865 

Die Arbeitsleistung dL der vom zweiten neu zugefügten 
8 herrührenden Kräfte ist schon durch die Formel (22) an- 
heben nnd fällt ebenso gleich Null aus. 

Das eben beschriebene Anfügen des zweiten Gases als 
teranfdas erste Oas wirkenden äußeren Kraftquelle erteilt aber 
m neu umgestalteten Gassystem eine besondere Eigenschaft, 
i nämlich die Gasmoleküle ihre eigenen immerfort bestehen- 
n Geschwindigkeiten besitzen, die auch das beständige Ein- 
ingen yerschiedener Teile derselben Gasmasse ineinander 
iTTorrnfen, so hat der genannte Umstand zur Folge, daß die 
olumenänderungen ^Vj, dv^' und dv^ nur in der bestimmten 
ichtung und mit der yon Anfang an bestimmten Geschwindig- 
dt von statten gehen können, ohne dabei, wie dies schon 
)en auseinandergesetzt wurde, die Eigenschaft der umkehr- 
Iren Änderungen zu verlieren. Der oben erwähnten an- 
astoßeneu Geschwindigkeitsrichtung gemäß ändern sich die 
olumina v^, v^' und v^ auf die Weise, daß die beiden ersteren 
dl bis txxT Null vermindern und das letztere sich bis auf die 
Iröße r, vergrößert, die durch jede der Gleichungen 



») { 



^, (ft - Pt) = ^^' Ä' ö, F,p, = Mne, 
F^p^ =^[MB + M' R)d 



ich bestimmen läßt Am Ende des Vorgangs vermischen sich 
ie beiden Gase im Volumenraum F^ miteinander und be- 
itzen dabei entsprechend die Partialspannungen p^ und p^ —p^- 
Sz& nun die den beiden Gasen zukommenden Entropiegrößen 
etrifft, so müssen dieselben nach dem Vorhergesagten als un- 
erandert betrachtet werden. Man sieht aber, daß die eben 
eschriebene Zustandsänderung des betrachteten zusammeu- 
esetzten Gassystems dem DifFusionsvorgang genau entspricht, 
nd daß für den letzteren die vorher abgeleiteten Schlußfolge- 
uigen auch als geltend angenommen werden müssen. 

Faßt man endlich jede beliebige durch die äußeren Kräfte 
tt Gleichgewicht gehaltene chemisch homogene Gasmenge ins 
uge, so muß man zugeben, daß in solchem, ins Gleichgewicht 
-setzten Massensystem innere Molekularbewegungen dennoch 
^während vor sich gehen und darin nämlich bestehen, daß 
de zwei benachbarte Volumenteile der betrachteten Gasmenge 



366 N, Schüler, Bedenken beireffend die Theorie eie. 

ihre Moleküle gegeneinander umtauschen. Solche Bewegungen 
sind aber der Art^ daß sie jedenüalls als Difiusionsprozeß der 
gleichartigen Gasmassen ineinander angesehen werden müssen. 
Wollte man also bei der Annahme der Ejutropievermehmog 
durch Diffusion bleiben, so müßte man auch anerkennen, iai 
die genannten Molekularbewegungen die fortdauernde Entropie- 
zunahme bis ins Unendliche zur Folge haben. 

Franzensbad, August 1903. 

(Eingegangen 12. September 1908.) 






367 



^ über die Größe der Kristallmolekflle. 

Von Bad. Wegsoheider in Wien. 



den Naturwissenschaften ist jede Betrachtungsweise 
die aus klar festgelegten Voraussetzungen mit Hilfe 
[mathematisch) richtiger Schlüsse zu Folgerungen führte 
der Erfahrung verglichen werden können. So mag 
auch gestattet sein, aus Anlaß der Feier eines Mannes, 
glänzende Forschungen zum großen Teile auf den ein- 
Annahmen über die Beschaffenheit der Moleküle 
ine Lanze für die Annahme recht komplizierter Mole- 
brechen. 

n't Hoff ^) hat darauf aufmerksam gemacht, daß man 
äkulargewichte fester Körper aus Gleichgewichten ab- 
önne, an denen feste Lösungen beteiligt sind. Lis- 
re hat auch der Nernstsche Verteilungssatz*) für solche 
) Verwendung gefunden. Wenn die so erhaltenen 
argewichte sich auch zunächst auf den in der festen 
in kleiner Menge enthaltenen Bestandteil beziehen, so 
loch bei isomorphen Mischungen sehr wahrscheinlich, 
selben Molekulargewichte auch den reinen Körpern zu- 
i, welche dieselbe Form haben wie die Mischkristalle 
Endpunkte der Mischungsreihe bilden.^ 
Ergebnis der diesbezüglichen Untersuchungen be- 
man den Satz*), „daß der feste Zustand sich nicht 
linen komplizierten Molekularbau auszeichnet, sondern 
ih bei fest gelösten Körpern die Moleküle häufig der 
nd chemischer Tatsachen denkbar einfachsten Molekular- 
ntsprechen und höchstens den doppelten Wert haben". 



r. H. van't Hoff, Zeilschr. f. phys. Chem. 5. p. 336. 1890. 
W. Kernst, Zeitecbr. f. phys. Chem. 8. p.llO. 1891 ; 9. p. 137. 1892. 
J. H. van't Hoff, Zeitschr. f. phys. Chem. 5. p. 336. 1890. 
J. H. van't Hoff, Vorlesungen über theor. u. phys. Chem., 
2. Aufl. p. 65; vgl. auch V. Bothmund in Dammers Handb. 
Chem. 4. p. 26. 



368 R. H'effscheider. 

Für die Verteilung eines Stoffs X zwischen einen Misch- 
kristall und eine zweite Phase (etwa eine Lösung) fordert dieae 
Auffassung folgendes. Seien die Konzentrationen von X im Misch- 
kristall und in der zweiten Phase x und c, so soll in der 
Regel x/c, ausnahmsweise ar/c* bei gegebener Temperatur 
konstant sein. 

Das Zutreffen dieser Beziehungen beweist nicht unbedingt 
die Einfachheit der Eristallmoleküle; denn sie bleiben anch 
noch gültig, wenn X in Form von Molekülen XT^ bez. X^Y^ 
auftritt \ wo ¥ den Hauptbestandteil des Mischkristalles be- 
deutet. Die Verteidigung komplizierterer Eristallmoleküle braucht 
sich aber gar nicht hierauf zu berufen. Denn in der Eegel 
ist weder x/c, noch jr/c* konstant. 

Zwar hat Nernst^ die Konstanz von xjc für KCIO, bei 
der Löslichkeit seiner Mischkristalle mit TICIO, angenommen, 
aber wesentlich nur, weil die Verhältnisse x^jc und x/c* noch 
viel weniger konstant sind. Roozeboom^, dem wir die ein- 
schlägigen Beobachtungen verdanken, hebt hervor, daß x/c nicht 
konstant ist; es ist in der Tat unverkennbar, daß die 'Werte 
dieses Verhältnisses einen regelmäßigen Gang zeigen. 

Im Sinne der Konstanz von xjc^ hat Küster*) seine 
Versuche über die Mischkristalle aus Naphtalin und /5-Naphtol 
gedeutet. Indes hat Bodländer^) mit Recht hervorgehoben, 
daß die Konstanz gerade dort aufhört, wo sie am besten zu- 
Tretfeii sollte, nämlich bei kleinem x. 

Kine umfassende Zusammenstellung eigener und fremder 
Versuche über die Löslichkeit von Mischkristallen hat Fock^ 
gegeben. Unter 29 Beispielen zeigt keines konstantes xjc^ 
und nur vier (oder wenn man zwei Fälle hinzurechnet, in denen 
('jx von Fock, trotz des deutlichen Ganges, als ausreichend 
konstant betrachtet wurde, sechs) konstantes ar/c (I.Gruppe). Id 

1) W. Ostwald, Lehrb. d. allg. Chem. 2. Aufl. II». p. 592; G.Bod- 
länder, Neues Jahrb. f. Mineralogie XII. Beilageband p. 78. 1899. 

2) W. Nernst, Zeitschr. f. phys. Chem. 9. p. 141. 1892. 

:>) H. Koozcboom, Zeitschr. f. phys. Chem. 8. p. 535. 1891. 
4) F. W. Küster, Zeitschr. f. phys. Chem. 17. p. 357. 1895. 
o) G. Bodl ander, Neues Jahrb. f. Mineralogie XII. Beilagebd. 
p. lO.S. 1S<>0. 

G) A. Fock, Zeitschr. f. Kristallograph. 28. p. 337. 1897. 



>...■• o 



■ :- • 



Große der Kristallmohk'ule, 'MW) 

er Ro«fel 18 Fälle. 2. Gruppr*^ tritt mit ^tci^i'iHlcin r l*';*lliii 
3n c':x und St-'i)|:en von c'\\x^i\\\. In dn-i F;tll<*iJ '.'J. <iriijii»<'j 
i^igen sowohl <• x ai^ <■ |r, in 4 ''}ill<*nlin;/s w**ni^^<T ljrvA<'jh- 
räftigen FälleLi 4. «Trüi»p«.- ^iiikeu beicli; (^uoti<rijt«:n. H<*- 
^lirankt man ?ic!i auf Niiär'.' El<*ktrolvtff und h«:li<'i(|crt. ;ju|j'rr- 
sm die Fäl]*r au*, i:»e: d-;:.*rL es an B'roba*:lilun^^<rn mit kli-int-rn -# 
Angelt, so aiidcH y.:L da« Bild iii«:ljt ■A«r-«:iitlirlj. !.'jit<-r 
ftlin Fälleti L^r-L-'i'-L r-T rr%t»:n ^jrui/j^'r zw'i ■vi«-/?, /uj 
Veiten se.h-, /.u: ::n::Ti rv.^: Fali»:, /my '.i«:rt<rii Vj-Äu^-r. 

Die Ai.LiaiiU»' :usaiL'Xr::-::r-:rzu-r Kri-la.iijjoJ*:kij.< .*i ;'« - 
k^ tür sich taieiL LifLt ^ii ::•: B-«j'.a';:.Vj:.;.'*f.'.- Oar/;*.*< -i'-'i. 
5lzt njaii '' .7 k'tnKiai.; s. v.r:^ .:. d-::. j-M\t.:. ',:*-. ^ji j],ij*'.. 
ti Reihe nur.L \ -' i ^ L t. ^ '. . ff ^^ l -'rir.. l).-. .^.^- 
liau un z . dal" ü*^: trt'i (•-;*• - ^". : . •_•. il . r :. i::. • • <; . il o ^ *: - . =: / ^ 
Jer höher-. . n- (je: li''-uiJi: ä'.'L..-: .'.' -.>;»:. 
illeicht zur l»^'utun£: ü^^' ri -::::•:. iVr: i.-.:-* 

Grupj.»«- .JUS L"t::;or* •^'•i:»* ..'.'■•. ::-:.:. .;,r" =: "A — 
B keine ihedr^'ii.s'jii* t»tfü*^JTr.i,i: i.e.'-:. _• • ■ .". ::r 
B%'ähuten Ahiiandiuüu t^iuar:: • 'tL'.-'^ - . -.« . •. > •. < 
"und irrign-r th'jiir''ij'^'jii'." :-'i-ii ::".i: .'•_ 

3IaLi k'»niii< nui \^*y-ir'i>": .«.- '• • r -. '•■ 
©ruppe aui .'Stt.»ruutr*^i irirv: ".. ^.-i..- i • . - - - • . « . . 
De bei d«.-! l'MM*ei:iiiiUü; iii-- v •••■■« j i-:*../:i ^w ' , 
ft elektrolytixrJM Imssoziui. -. • • v c. ■".': 

C besproch*-'ü»ji Anuaiidiuiii v t ' .• 
^ Aiisicltt. üaL (ii» l^^-ru-K-'.-.ri.rj: , • • 

konstaijz von • :■• •luaiiuiu'.r • •":..;..•-. 
^ er aUerdintr- dj« J»js>u.'.iiiL!'' - . : .-. :. '. 

ttlich gemach: uji»»: niui »^' «r *- 
1 durch keint- anue»- '1 aisiiv.- :—..•.'• - 
I bei einer Konzenirauua.--Vii »ii'.iu: ^ • 

Uonsgrad la-: au" üj- lialii- it^-r^^ni' ,: 

Inkousliirii voj uvr i..»-- 

Ber Wahrijcti*^iiJiiciiKer au i**^ 



.••■\ 



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2) p. 35*. '•• 

3» A. Fock. Z-^it*«:'»' ■ **"■ 



1 i 
11-- 



■ • .» » 



37 B, Wtgscheider, 

sehen Versuchen mit KClOj in TIOIO3 herror; denn bei diesa 
war xjc nicht konstant , obwohl die Dissoziation auf Gnisd 
guter Beobachtungen und ziemlich unbedenklicher theoretisdier 
Anschauungen rechnerisch berücksichtigt wurde. 

Wenngleich die Versuche noch anderen Bedenken (ins- 
besondere wegen der geringen Diffusionsgeschwindigkeit in. 
festen Körpern) ausgesetzt sind, so erwecken sie doch im ganzes { 
den Eindruck; daß xjc^ (wo n eine ganze Zahl) in der Begel; 
nicht konstant ist, und daß daher die theoretischen An- 
schauungen unzutreffend sind^ welche diese Eonstanz erwartea 
lassen. In der Tat läßt sich eine Theorie der isomoipheD 
Mischungen ableiten , welche mit den Beobachtungen fiber 
die Löslichkeit der Mischkristalle besser im Einklang steht 

Neue Theorie der isomorphen MiBchkristalle. 

Ich behalte folgende zwei Voraussetzungen bei: 

1. Isomorphe Mischungen sind feste Losungen,^) 

2. Sämtliche Moleküle eines MischkristalUs sind ähnlich zi* 
sammeng esetzt 

Ich nehme ferner zusammengesetzte Kristallmolek&Ie und 
in Mischkristallen Verbindungen der Bestandteile an. Zu- 
sammen mit der zweiten Voraussetzung führt das zu folgender 
Anschauung : 

Es seien X und Y die analog gewählten gewöhnlichen 
chemischen Formeln der Bestandteile des Mischkristalles ent- 
sprechend den in einer zweiten Phase (Lösung oder Gas) auf- 
tretenden Molekülen. Y sei im Mischkristall das Lösungsmittel 
und habe darin die Molektilformel 7^, wo n eine ganze Zahl 
Dann hat nach Voraussetzung 2 auch X im Mischkristall die 
Formel X^; die Verbindungen von X und Y entsprechen der 
allgemeinen Formel X^ in-a^ wo für a alle ganzen Zahlen 
/wischen Null und n möglich sind. Ich mache also die Voraus- 
setzung: 

1) G. H Ödländer hat sich gegen diesen Satz aosgesprocheD, weil 
-fiirti die Mischkristalle den Lösungsgesetzen nicht zu fugen scheioen 
ft* Jahrb. f. Mineral. XII. Beilageband p. 114. 1899). Dagegen be- 
Bruui (Chem. Centralbl. 1899. II. p. 1088.), Rooieboom 
f. phys. Chem. 30. p. 393. 1899) und Sommerfeldt (Chem. 
1901. I. n. 7.^9.) die Mischkristalle als feste Lösangen. 




Größe der hri.sfallmo/eliüle. 



371 



i/en MoUkükn X^, X^^iY, .... 
n ilenen sich Gleichgewichte 



3. Der MitehkrUtall besteht 
X.i\-.. .... Xi\^i, r„, zw 

ehutellen. 

Die mathematisclie Entwickeluug dieser Theorie beao- 
spracht zu viel Kaum, als daß ich sie an dieser Stelle vlt- 
Äffentlichen könnte. Hier sei mir erwähnt, daß die Theorie 
je nach dea Werten der Gleichgewichts konstanten steigendes, 
fallendes oder konstantes xjc vorheraeheu läßt; auch konstantes 
ile ist also mit komplizierten Kriatallmolekülen verträglich. 
2;<:- soll für kleine x jedenfalls fallen; da aber schon bei n = 3 
Kurven mit einem Minimum und einem Maximum möglich 
mä, bietfit die Theorie auch Raum für das Ansteigen von xjc', 
Somit ist diese Theorie imstande, die Beobachtungen über die 
Lflshchkeit der Mischkristalle darzustellen. Wir kommen da- 
lier zu dem Schluß: 

J)ie Annahme zusammenyesetzter KrigtaUmoleküle entipricht 
rft« Tatsachen bester ah ilie Annahme einfacher Moleküle. 

Man könnte vielleicht meinen, daß dieser Satz den Beob- 
achtungen über die Änderung des Umwandlungspunktes poly- 
morpher Formen durch iwomorphe Beimenguugeii widerspricht. 
Das ist aber nicht der Fall. Denn Eothmund') konnte aus 
seinen diesbezüglichen Versuchen nur den Schluß ziehen, daß 
i»s Molekulargewicht des fest gelösten CGI, in monoklinem und 
regidärem CBr^ dasselbe ist.^) Reinders^ schließt allerdings, 
(laß HgBr^ in HgJj die einfache Formel habe, Aber die 
Annahme, daß im wesentlichen die Molekille [HgBrJ (Hgjj')„_j 
fest gelöst sind, ist ebenfalls möglich und würde sogar die 
bei Reinders nicht besonders befriedigende Übereinstimmung 
zwischen gefundenen und berechneten Zahlen verbessern. Zur 
Annahme komplizierter Kristallmolektlle fuhrt eine Arbeit von 
W. Müller.*) Dieser hat aus Beobachtungen über die Um- 
wandlung von KNOg-haltigem NH^NO^ bei 30° den Schluß 
gezogen, daß das Molekulargewicht des KNO, in der unterhalb 



1) V. Eothmund, Zeitechr. f. pbya. Chem. 24. p. 705. 1897. 

2) Vgl. übrigens hierzu G. Bodliinder, Neues J&hrb. f. Mineral. 
Xll. Beilagebund p. 100. 

31 W. Reiuders, Zeitafhr. f. phys. Chem. 32. p. ä3a. 11)00. 
i) W, Müller, Zeilflcbr. f. phys. Chem, 31. p. sriS. IBH9. 
24' 



373 



48. The Principle of Dynamical Similarity 

in Molecular Physics. 

By William Butherland in Melboame. 



The most important kind of dynamical similarity is that 
hieb the similar Systems have their kinetic and potential 
gies in the same ratio. A Single varying System will be 
ys dynamically similar to itself if its kinetic energy bears 
ced ratio to its potential energy. Since motion and position 
pnrely relative, the quantities of kinetic and potential 
gy ascribed to a System depend on the arbitrary definitions 
ero kinetic and zero potential energy. In applying the 
ciple of dynamical similarity to molecular physics the 
tic energy may be taken to be the same as that in- 
gated in the kinetic theory of gases, and the potential 
gy as the work required to separate the molecules to an 
ite distance apart without changing their total kinetic 
gy. These are the two most important dynamical quan- 
j which appear in the kinetic theory of gases, when 
sional forces are taken into account. 
The fundamental importance of their ratio is indicated by 
prominent part it plays in Boltzmann's Law of Distri- 
)n. That law gives for the chance that a System of 
tcules in dynamical equilibrium shall have its coordinates 
een x^ , . , and x^ + dx^ . . , the expression 

Ae "^^^dx^ . . . dy^ . . . dz^ 

hieb h is inversely proportional to the mean kinetic energy 
molecule, and / is proportional to the mean potential 
gr of a molecule. 

In molecular investigations the principle of dynamical 
arity must be used along with other principles. Of these 
principle of kinematical similarity in molecular motions 



374 JF. Sutherland. 

is a useful onc. In kinematical similarity we may include 
strict geometrical similarity between molecular orbits, and a 
luore general similarity of the following nature. Considerthe 
motiou of planets and comets round the sun. There are the 
two main classes of orbit, the ellipse with its finita ränge and 
the hyperbola with its infinite ränge open at infinity. Between 
these lies the transition case of the parabola of infinite ränge 
but closed at infinity. The planetary orbit is elliptic, parabolic, 
or hyperbolic according as the kinetic energy of the planet at 
any place is less than, equal to, or greater than that which 
would have been acquired by it in falUng to that place irom 
a Position of rest at an infinite distance irom the sun. Bnt 
this latter is an appropriate measure of the potential energjr 
of the planet, so that kinematical similarity is connected widi 
dynamical through the ratio of potential to kinetic eneigj. 
In molecular physics the relative orbits of neighboor mole- 
cules can be divided into the two main classes, those of finite, 
and those of infinite ränge, with a transition case in whid 
kinetic energy is always equal to potential. Kinematically we 
may define a vapor or gas as a collection of molecules in 
which the average relative orbit of two neighbours is portion 
of a curve of infinite ränge. In a liquid the relative orbit of 
two neighbours, while they are under one another's influence, 
is portion of an orbit of finite ränge. 

At the critical point the average relative orbit is portion 
of a curve of infinite ränge on the verge of changing into one 
of finite ränge. The average kinetic energy is equal to the 
average potential energy. Moreover at the critical point the 
iictual orbits do not Cluster about two different types. In 8 
papor (ui The Electric Origin of Molecular Attraction ^), I hav( 
shown that the valency charges of electricity belonging to th« 
atonis Ol' a niolecule form electric doublets, which attract an( 
ropol one another as magnets do, with a force varying inver 
soly as the fourth power of the distance between them. Th- 
attractive forcos and the repulsive acting on a molecule neu 
tralise oiio another on the average, except in the case o 
lUMglibours. For example two molecules, which are about t 

1 ) IMiil. Mag. (6) 4. p. 625. 1902. 



p 



The principle of di/vamirnl similnrili/. 3T5 

IS dose to üne another, exert a atronge.r force oii nne aiiothi?r 
in any other molecule pxerts od either of them. If tlie force 

attractive, it tends to iLcrease itself by drawiag the two 
nlecoles Dearer to one anotlier; if repulsive. it tenda to de- 
e&ae itseli". Thus the attractive forces preponderate, and we 
Be the phenomena of cohesiou. Thus, although the ränge 
! the electric forces is infinite, the total eft'ect is the same 

if remote molecules had no action on one anotlier. Cohesiou 

almost entirely due to the attractions of molecules wbich 
e close neighboara of one another. In other worda the ränge 
f molecular attraction is practically of the Order of maguitude 
[ the distance between neighbour molecules. 

In The Molecular Constitution of Water'), I have ahown 

1 the surface film in water haa an efiective thickness not 
»ater than ten times the distance between neighbour inole- 
lleB. In molecular physica tlieu the mutual actious of 
laediate neighbours are of preponderating importance, and 
la relati-»e orbits of neighbours become an esaential part of 
field of iuTestigation. For example by the consideratiou 
I molecular orbits it was posaible*) to account for the effect 
'molecular attraction on the viacoaity of gases. To illustrate 
B uaefulnesa of the principlea of dynamical and kinematical 
Biilarity I shall apply them to the investigation of the two 
Jlowing aubjects 

1. van der Waals' Principle of Corresponding States, 

2. a Dynamical Theory of Capiliarity with special Refereuce 
the Law of Eötvöa. 

Tke Principle of Corresponding States is a most valuable 
üomparatiTe physics, and yet van der Waals was led 
it by means of bis equation 

fails to represent the behaviour of ordinary substances 
m in the gaaeous State, It does not eveu roughly represent 
behaviour of liquids, although some of the moat importaut 



1) Phil. Mag. (5) BO. p, 
S) PhU. Mag. (1^1 3I>. |i. 



11.211. 



S76 



H". Sutltertand. 



■ < 



casea of Correspondiiig States relate to liiiuida. Thia pari 
result of the discovery nf broad generiilisations by 
er]aation iocapable uf representing the facta of a Single 
substance ia dne to the one conspicuous merit of the eqoi 
of van der Waala, that it was of the right dynamiciil fi 
through heing foimded oii the equation of the virial ofCIsi 
siua. The Principle of Corrüapondiug States was discoii 
becauae the eijuation of van der Waals iuvolved the prini 
of dynamical similarity. In tho eqimtion as written above 
term on the left band is the virial of the ])res8ure. the 
ou thu right hand is the translatory kinetic energy, the se 
ia the virial of the forces that act during loolecular collis 
and the third ia the virial of the molecular attractinos. 
cording to the law of the iuverse fourth jiower while 3i^ 
ia the virial of the molecular attractions, / / w is their pot« 
energy. In any caae a virial term is in cffeot an unergy W 
ao the eijuation of van der Waala givea a reliiUon anoi 
the ratios of three energies to the traiialatory kinetic et» 
It hftppened that the equatiou eontäined also only three {H 
mctera R, h and /. The etination and the two condili 
dp fdo = 0, d^pjdv^^O for the critical poiiit give for 
critical pressure, volume, and t«mperature the values 
(3) p^ = il21/,\ w,= 3fi, 0,= S//27Äfi. 

By means of theae M, b and / can he eliminated fron 
original equation, with the well known reault, that if for t 
auhstance/j, v and are meaanred in terma of p^, n, aad 
tlien one and the same e([uation hnlds for all 
This resült is the baaia on which van der Waala" dedneÜ 
of the Principle of Corresponding States reats, bot it is noll 
correct dynamieal baaia. The aimplest way of proving Ibis li 
Statement is to bring forward the contrast betweeo the equ 
for element gsiaea and Compounds demonstrated in the law« 
nioleculare force. ') From the splendid experiniental i 
of Ämagat it was shown that the equatiou of *»n J 
Waals applies to the elemeut gases Ä,, 0^, A^ and i 
CU^ to below the critioil voluiue, but for Compounds s 
CO, and [C^ H^^ the dosest representatioQ of their befaaii 

b) Phil. Mag. (5J 35. p. Sil. 1893. 



I%e principle of dynamical simüarity, 377 

the gaseous State with an equation of three parameters is 
an by the form 



2 2 w+ik 2 v-{-k ' 

In the virial of the collisional forces instead of the 
[v — b) of van der Waals we find 2ä/(i; + *)• The van 
r Waals' relation r^ = 3ä has thus no application to com- 
und substances, and his demonstration of the Principle of 
)rrespond]ng States has no direct validity. Recent attempts 
ive been made to improve the term b j {v — b) of van der 
aals by higher theoretical approximations, as for instance 

G.Jäger, Boltzmann, Reinganum and van der Waals 
mself, but it seems to me that the contrast between (2) for 
9ments and (4) for Compounds indicates that, while the 
Uision of molecules in the elements and CH^ can be treated 

djrnamically similar to the collision of elastic spheres, the 
Uision in Compound gases is dynamically of a totally different 
tture. In the case of C^ H^ we have an intermediate type 

equation. It is to be noticed that in (4) the Ijv oi (2) is 
placed by //(r + k) which I take to stand for Ijv — /A/t?(r + ä), 

that the virial of the attractive forces in Compounds is com- 
icated by the same cause as changes the theoretical v —b 
to r + A. The dynamical dissimilarity between elements and 
«npounds emphasises the importance of the two types of 
milarity with transition cases such as that of C^H^. 

From the point of view of simple mathematical illustration 

continuity between the vaporous and liquid states the 
[uation of van der Waals has the advantage of giving only 
le real value of v for a given pressure at temperatures 
>ove the critical, and three real values at temperatures below 
e critical, so that it is possible in Maxwell's method to 
>ply James Thomson 's ideas to the calculation of Saturation 
essures. But from the physical point of view this mathe- 
itical property of the equation has nothing to recommend 

as it is quite improbable that any single simple algebraic 
Pression can represent at the same time the behaviour of 
coUection of molecules whose orbits are of infinite ränge 
d of molecules of finite orbit. The equation (4) being only 



378 fF. Sutherland. 

a quadratic in v cannot give the critical point by mei 
the conditions dp j dv = 0, d^p j dv^ = 0, bat that fact 
not constitate a defect in it 

Returning to the expressions (3) we have for the el 
gases 

(5) ^ = 4-..!_Ä0, 

an equation which asserts that at the critical point the poi 
energy of the molecules is equal to 3/4 of their trans 
kinetie energy. By our kinematical definition of the c 
point we expeet the potential energy to be equal t 
kinetie. But if, just as we take //v to be the potential < 
associated with the internal attractional virial 3// 2 
assume that pv is' a störe of potential energy associate 
the extern al virial 3/?r/2, then since by (3) 

the total potential energy would become 

and in this interpretation we have potential energy eqi 
kinetie energy, just as in our kinematic condition fo 
critical point. Thus then the condition on which we can 
our principles of dynamical and kinematical similarity ai 
present the behaviourof anumber of molecules forminga n; 
gas by means of the behaviour of a representative free pai 
thetwo components of abinary staris asfollows: — suppo 
attraction between the two increased in the prop 
1 + Pc^cl ^' Dynamically we can treat Spv 12 as part 
attractional virial, as is indeed obvious from Clan 
original equation of the virial. 

While the equation for van der Waals makes R 
2,ß61 p^v^, it has been proved from experimental data^ 
for 26 Compounds of regulär behaviour J? 0^ = 3,82/?^ 
the average, the coefficient ranging from 3,670 for CC 
8,949 for ethyl acetate. The diflference between 2,66' 



1) Vgl. S. Young, Phil. Mag. (6) 50. p. 291. 1900. 



The jirinciple of dt/namknl similarity. 



379 



rings out the ilyDamical dissimilarity botween tlie dement 
\ witb iiiethane on the one hiind and ordiDary comiioiinds 
\ other. The [larameter k in (4) js nearly equal to the 
ime, 80 that in Compounds at the critical volume 
Ire '/2»j+p_.r^ nearly eiiual to 

! ■ -! R «, . 



\ 18, to 4/3 of the translatory kiuetic energy. On the prin- 
ile of dynamical similarity witli the uaual assamptions as to 
ilecular collisioua the last coefticient ought to be 1 instead 

4/3. Thus the usual asaumptions as to the nature of 
)]ecular coUisionB seem not to apply to Compounds. The 
ief assumption is that the colHii^ioQ is an Instautaneous act 
li that the relative orbit after collision is the image of that 
fore collision. The causes then which give for Compounds 
e form of equation (4) instead of (2) seem to spring from 
omic entanglement of moleculeB duriug collision, so that the 
laUre orbits cannot be described as consisting solely of arcs 
' Orbits described under ]Jiire attraction, hut consist of such 
■CS aeparated by a more complicated motion during the hnite 
ne of a collision. 

The resalt is that if we wiah to treat the raolecules of 
impounds as elastic spherea we rauat suppose tbem to have 
ily about 3/4 of their total eijuivalent potential energy. 

The Principle of Correaponding States for Compounds 
Dounts then to tliia; — tbere is a certain density at which the 
erage [lotential energy per molecule ia equal to (or in a 
:ed ratio to) the average kinetic energy, thia is the critical 
naity. If then for any other stnte of a number of moleculea 
s kinetic and potential energiea are expressed in terms of 
i critical values, an equation is obtained which contains no 

Ffic Parameters, but only absolute constants expreasing the 
that kinematical aiiuilarity is the conseijuence of dynamical. 
The kinematical account of the procesa of liqaefaction la 
nple. At the critical density the average orbit is juat 
Bsing from inKoite ränge to finite ränge. There are pairs of 
)Iecules witb finite ränge and pairs with infinite ränge, but 
I paira are mixed in such proportiona tliat the average 



880 W. Su&erland. 

orbit is just passing from infinite to iinite ränge. Suppose du 
temperature lowered without Variation of volume, theo th 
average orbit is now of finite ränge, though there are still ptii 
whose relative orbit is of infinite ränge. The pairs of finä 
ränge being in a majority now have more tendency to coha 
than to separate, and so a number condense as liquid, m\ 
the number escaping at the liquid surface is equal to tl 
number captured. 

A further example of the principles of dynamical ai 
kinematical similarity is the formuia for the rigidity ii of 
metal at absolute temperature 0, the absolute melting poi 
being T^) namely 



-^ = 1 - l^Y 



here the melting point has a similar dynamical signiiicanoe I 
that of the critical point in fiuids. 

2. Ä Dynamical Theory of Capillarity with special R^ferm 
to the Law of EÖtvb's. 

In the classical theory of capillarity as expounded \ 
Laplace^Young and Gauss only statical considerations tf 
used. The kinetics of molecules are entirely disregarded. Yi 
only by kinetic considerations can we bring the classical theca; 
into harmony with those modern experimental investigatioi 
which culminated in the discovery of Eötvös that the 
tensions of liquids fumish a beautiful instance of the prii 
of dynamical similarity. For the surface tension of a lit 
of uniform density (>j in contact with its vapor of unifoil 
density g^ the principles of Laplace give the expression : 



where rp{^ is connected with the law of molecular ai 
by certain relations. This expression agrees with experinu 
results in only one particular, namely that it makes the 
face tension vanish at the critical point, where g^=zQ^. 
At temperatures below the critical surface tension is 




1) A Kinetic Theory ofSolidB. PhiL Mag. (5) 32. p. 215 and 58i. Ifli^ 



The prineiple of dynamical simUarity. 881 

»portional to {q^ — q^^. Yet in other respects the statical 
lory leads correctly to nseful results; for example 1 have 
iid^] that the Burface tension of a mixture of p parts by 
ight of a liquid 1 with \ — p parts of a liquid 2 can be 
bained from their surface tensions and densities by the 
ation 

lis relation embodies the important prineiple that if the 
braction between two molecules of the liquid 1 is 3aj*/r*, 
d between two molecules of 2 is Scc^^fr*, then the at- 
iction between a molecule of 1 and a molecule of 2 at the 
me distance r is 3 a^ a, / r* . This has been veritied by 
bermayer's measurements of the rate of Variation of the 
DFusion of gases with temperature. There is need therefore 
id encouragement to bring the classical theory into harmony 
th the later kinetic theory of matter. 

The argument of Eötvös^ is a pure application of the 

inciple of dynamical similarity. The origin of surface tension 

not consideredy but^ accepted as a fact, it is shown by 

eans of corresponding states to be subjeet to the general 

w that 

d[a(mlQ)*^*\ldt 

the same for all liquids. A dynamical theory of capillarity 
QBt establish the connection between this experimentally 
rified law and the sound parts of the classical statical theory. 

To accomplish this we must investigate the dynamics of 
e transition layer between liquid and vapor with the aid of 
e principles of molecular orbits. Consider a volume F^ of 
[uid of density g^ in contact with a volume V^ of its saturated 
per of density p, over a surface S. The rest of the surface 
Fj and V^ will be ignored as foreign to this discussion. On 
B Uquid side of S there is a region of variable liquid den- 
y, and on the vapor side a region of variable vapor density, 
it US imagine these replaced by a layer of thickness ^ and 
nsity ()j, and a layer of thickness t^ and density q^, and let 



1) Phil. Mag. (5) 38. p. 1 and ISS. 1S94. 

2) R. Eötvös, Wied. Ann. 27. p. 448. 1886. 



382 W. SuAerlofuL 

(>2 be au average density of all the matter in the two lajen 
when made into a Single homogeneoae layer of thicknea 
t^ + t^. Theu on the principles of Laplace and Gauss tb 
Potential energy of unit mass of the liquid may be written 
Kq^, of the yapor Kq^, and for that of the transition kjer 
we will write Kq^, Thus we localise potential energy witk 
the matter with which it is associated^ a proceeding which is 
justified if the ränge of molecular attraction is restricted in 
the manner suggested in the Electric Origin of Molecalir|'- 
Attraction. This localisation of potential energy is similar to 
MaxwelTs localisation of energy in electric and magnetie 
fields of force. For the whole potential energy then we write 

Laplace's K is identical with / in (2) and (4). His symboI is 
introduced on account of its historical associations. 

Now according to the principle of the restricted ränge of 
molecular attraction a molecule of vapor must act on as many 
neighbours as a molecule of liquid does. Therefore by simi- 
larity the layer of variable density in the vapor must contain 
as many molecules and have the same mass as the layer ot 
variable density in the li([uid, and so 

Kroiii (7) the energy per unit surface or the surface 
tension is 

(5>) « = A'{<,{«,»-(;,>) + <i(p*,-p,»)}. 

To bring this to the Laplacian form the necessary con- 
ditions are 

t^ = ^3 and 2 o^ = o^ + (>3 . 

On the other band with our condition o^ t^ = q^ /, and 
denoting eacli of these by a where 2 o* is the mass of variable 
density per unit surface we get 

IW « = A>{2(,3-Pj-p,). 

Thus the parting of the ways between the theory of La- 
^Wt %iid Üie M»«-»c.Ä«f. one lies in the important condition that 



7%« principU of dynamical svmilarity. 388 

^ibere is not a definite ränge to molecular attraction, but that 
j^ttie ränge is of the order of the distance between a molecule 
. ioid its immediate neighbour. 
The E or 



00 

2nf^yj{^dC 



of Laplace's theoiy does not appear^ because we have located 
.surüace energy in the surface by the expression Kq^. When 
we compare different liquids, this condition makes t^ pro- 
portional to {tnl^JI*, where m is the mass of a molecule. 
Tlios (T is proportional to m^i*Q^i*, and therefore we have 
the surface energy per molecule aijnjgjf* proportional to 

We have now to investigate more closely the meaning of 
pj. The two transition layers of liquid and vapor represent 
a region where the orbit of infinite ränge of the vapor mole- 
cule passes into the orbit of finite ränge of the liquid molecule. 
The transition region must have a good deal the cbaracter of 
the critical density, but the molecular kinetic energy has not 
the critical value. The orbit in the transition layer is not the 
Same as the critical orbit, but may be conceived in the 
foflowing way. 

Suppose the liquid to be cooled without change of density 
from the critical point, and to be artificially kept homogeneous, 
then its state would correapond to that detined by the average 
density p, which is the same as the critical density g^y with 
this distinction that the average orbit is one of large finite 
ränge instead of the orbit just of infinite ränge which 
characterises the critical State. But at the critical temperature 
the molecular potential energy is equal or in a fixed ratio to 
the molecular kinetic energy, and therefore g^ is proportional 
to ö^. Again Km [g^ + g^j2 is the mean potential energy of 
a molecule in the liquid and in the vapor. This ought to be 
the same as the potential energy of a molecule if the liquid 
and vapor were made into a homogeneous mixture at the 
Saturation pressure. But by the principle of dynamical 
similarity this potential energy ought to stand to the potential 
energy at the critical density as the molecular kinetic energy 



384 fF. Sutkerland. 

of liquid or vapor to the molecular kinetic energy at the 
critical temperature. 

Thus then Km{2o^ "" Pi "" (^s) ^® proportional to ö^-4 
and the constant of proportionality must be the same for tH 
substances. 

Thus we have the law of Eötvös 

« (m /(,)•/• = « (ö, - Ö) 

where the mean value found for a by Eötvös with sorfkca 
tension in dynes per cm is 2^23. From the study of 36 normil 
Compounds Ramsay and Shields^) obtain a mean Taloe 
2^121; the individual values ranging from 1^923 for etbjl 
thiocyanate to 2^433 for quinoline. Grunmach has found 
that for iSO^ and NJl^^) a = 2,27. From his measurements 
for 67j it appears that a = 1,91. From his measurementi 
of the surface tension of liquid air^, I have calculated thatat 
— 190"C. the surface tension of oxygen and nitrogen are 13,0 
and 10^6 dynes per cm, and their densities are 1,167 and 
0,850. These give for a the values 1,66 and 1,53. Here again 
the element gases show themselvcs dissimilar to the Compound. 
Tlie reasoning by which I have passed from the form 

K m (2 (>2 ~" ('i ■" ('s) ^^ ^ [^K ■" ^^) ^^ ^^^ ^^ clear and rigorous 
as is to be wished. 

Hut it is strengthened by the fact that the law of 
Cailletct and Mathias*) makes the mean density ((>j +P3),'*- 
a linear l'unction of the temperature, so that 

., +(>3~2(>, = 2c(ö,-Ö). 

S. Young has shown^) that a small term in [d^ — Ö*) must 
be introdueed to make this formula tit the experimental facts. 
Accordiug to the principle of corresponding states cö^/(^^ == 1« 
S. Young has found values ranging from 0,932 for fluorbenzene 
to 1,061 for ethyl formate. For C^ 7/^ the value rises to 1,30. 
and for N^O to 1,49. For Cl^ it falls to 0,7675. 

1) W. Ramsay and J. Shiolds, Journ. Cbem. See. 63. 

2) L. Grunmach, Ann. der Phys. (4) 4. p. 367. 1901. 
a) L. Grunmach, Ann. der Phys. (4) 6. p. 559. 190L 
4)L.Cailletet and E. Mathias, Compt. Rend. 102. p. 1202. 1886. 

«^^.^oung, Phil. Mag. (5) 50. p. 291. 1900. 



The principle of dynamical simüarity, 885 

These nombers show how the principle of dynamical 
ilarity is afiPected by dynamical dissimilarity, which originated 
Hy in the mechanical dissimilarity of different atoms. 
wever it is clear that the laws of Eötvös and of Cailletet 
1 Mathias are different expressions of the same principle, 
3rgy being expressed kinetically in the one case and poten- 
lly in the other. Incidentally we have found this to be the 
7 regulating the Separation of fluid into liquid and saturated 
por, that the mean potential energy of a molecule in the 
uid and in the vapor bears the same ratio to the kinetic 
ergy of a molecule as at the critical point potential energy 
ars to kinetic 

The ratio hx of Boltzmann's theorem is the Controlling 
ctor in change of state from vapor to liquid. 

Melbourne (Australia), August 1903. 

(Eingegangen 18. September 1903.) 



BoUnuum-FMtMhillt 26 



386 



49. Znr Theorie der Lagrangeschen Bewegnngs- 

gleichnngen. 

Von W. Pr. Meyer in Königsberg i. P. 



Ist ein materieller Punkt [x,y, z), auf den eine Kraft wirken 
gezwungen^ sich auf einer vorgegebenen Fläche zu bewegen, 
und besitzen überdies die drei Eraftkomponenten nach den 
Eoordinatenrichtungen eine Kräftefunktion, so hat bekanntlich 
Lagrange die von ihm aufgestellten Bewegangsgleichimgefi 
dadurch in eine, für manche Untersuchungen geeignetere Fonn 
gebracht, daß er die Koordinaten eines variabeln Fl&cheo- 
Punktes durch zwei unabhängige Parameter ausdruckt 

Im Sinne der Flächentheorie bedeutet dies Verfahren toh 
Lagrange nichts anderes als die systematische EinfiUhnuig 
der ersten Gauss sehen Mächenform (und von deren Ab- 
leitungen) in die Bewegungsgleichungen (§ 1). 

Es liegt daher nahe, nach einem entsprechenden Zusammen- 
hange der Beweguugsgleichuugen mit der zweiten Gaussschen 
Flächeüform zu fragen (§ 2). Hierbei soll jedoch über die auf 
den Punkt wirkende Ejraft keinerlei Voraussetzung gemacht 
werden. 

Als mechanisches Ergebnis erscheint eine einfache Relation 
zwischen der in Rede stehenden Ejraft, der zugehörigen 
Huyghensschen Normalkraft, und der sogenannten Druck- 
kraft. 

Es sei zugleich betont, daß es keinerlei prinzipielle 
Schwierigkeit bietet, die Entwickeluugen der §§ 1, 2 auf den 
7i-fach ausgedehnten Raum zu übertragen. 

§ 1- 

Der deutlicheren Übersicht halber sei das Eingreifen der 
ersten Gaussschen Flächenform in das Lagrangesche Trans- 
fcrmationsverfahren kurz dargelegt, wenn sich auch sachlich 
iilbd nichts wesentlich Neues ergeben dürfte. 



Theorie der Lagrcmgeschen Bewegungsgleichungen, 387 

um die eiforderlichen analytischen Hifsformeln voran- 
zustellen, 80 werde die Gleichung der gegebenen Fläche F in 
rechtwinkligen Cartesischen Koordinaten : 

ersetzt durch drei Gleichungen von der Form: 

(2) x^x[u,v), y ^y[u,v), z = z[u,v), 

wo u^ ü zwei unabhängige Parameter sind. 

Partielle DifiFerentiationen nach m, v mögen durch die In- 
dices 1^ 2 angegeben werden, wie z. B. 

__^ dx dx __ d^x __ d*x . 

femer Ausdrücke^ die sich symmetrisch auf alle drei 
Koordinaten x, y, z beziehen, durch ein Summenzeichen, 
ako z. B. 

2^i*-^i* + y,' + ri* etc. 

Dann sind die drei Gauss sehen Fundamentalgrößen erster 
Art E, F, definiert durch: 

(3) i? = 2*i*. -^=2^1*». e = 2V- 

Es ergibt sich: 

U^2 = 2^1^12> ^2 =2^1^22 + 2 ^1> 1^2=2^2^22' 

also umgekehrt^] 

S^i-^n =i^i' 2^1^12 =i^2' 2^1^22 = ^2-i^i 

^^2^11 ^^ 1 2 2' .^^2 "''12 ^^ % -^X* ^"^2^22 ^^ "2 "^2* 



(5) 



1) Die entsprechenden Formeln im n-fach ausgedehnten Räume, 
auf den dann der Inhalt des § 1 ausgedehnt werden kann, lauten, wenn 

^ Analogon zu (14) ist: 

2 1 dEa ,^ \ d Eh ,^ dEik 1 d Ekk 

2 o f/, '^^ 2 ö wjk Ott* 2 O M< 

25* 



(11) 



388 W. Fr. Meyer. 

Ein Punkt P beschreibe eine Kurve auf der Fläche, in- 
dem Uf V als Funktionen eines Parameters t angesetzt werden: 

(6) u — u[t), v^v{t]^ 
wodurch die Gleichungen (2) übergehen mögen in: 

(7) x^x{t), y^y[t), ^-^M. 

Werden Di£ferentiationen nach t durch Accente bezeichne^ 
so gilt: 

(8) X = arj tt' + x^ v\ y - yi tt + y, ü', / = jTj if' + z, ü', 

(9) E' =^ E^u' + E^v\ F ^ F^u +F^v\ ff' « C^ u' + ff,», 

I x" = x^ u + x^ v" + or^ tt'« + 2 orj, u v + a:„ »'*, 

(10) y" = y, u" + y, t," + y^, «'« + 2y,^ u' »' + y,, r'«, 
Iz" = Zj tt" + z,t?" + z„ u'^ + 2z^^ u'v' + z„r'«. 

Multipliziert man die Gleichungen (10) mit x^y y^, ^ ^ 
x^, y^, z^y und addiert, so kommt mit Bücksicht auf (8) und (5): 

2^1^" = [Eu' + Fv") + [u^\E, + u'ü'j?, + ü'»(^,-iß,)| 

Die Aggregate Eu" + Fv', Fu" + Gv" treten auf, wenn 
man die Ausdrücke Eu + Fv, Fu + Gv nach t diflFerenziert: 

{Eu + Fv') = [Eu + Fv") + [u'E' + vF'), 

[Fu' + Gv) = [Fu + Gv") + [u'F' + »' ©')> 

oder auch, wenn man noch (9) berücksichtigt: 

Eu" + Fv" = [Eu + Fv') - {m'»^i + «'«'(ig, + J^i) + t^'*^il' 
\Fu" + Gv" = (i^M' + Gv) - {tt'^i^i + u'v'[F^ + ei) + »*ffjl' 

Setzt man diese Werte für Eu" + Fv", Fu" + Gv' in (H) 
ein, so kommt: 

Damit ist der Zusammenhang der Summen 2*^1*'* 2'«' 
mit der ersten Gauss sehen Flächenform 0(tt, t?') hergestellt- 
Bedeutet nämlich s den (von einem beliebigen Anfangspunkt 
aus gerechneten) Bogen der Flächenkurve (7), so ist infolge 

von (3) und (8): 



(1^^) 



Theorie der Lagrange$chen Bewegungsgleichungen, 889 
l die Gleichungen (IS) die Gestalt annehmen: 






le partiellen Differentiationen von nach u', v' so zu 
)hen sind, als ob letztere Größen von tc, v ganz unab- 
; wären. 

)iese Relationen (15) bilden den Kern der Lagrange- 
Transformationsmethode. Denn die dynamischen Glei- 
en des materiellen Punktes [x, y^ z) mit der Masse m, 
eine Eräftefunktion U existiert, und zugleich der Punkt 
ie Fläche P (1) gebunden ist, indem der Parameter t 
3it bedeutet^ lauten in der ursprünglichen Lagrangeschen, 
annten „ersten Form'': 

n d U . ^ d P n 

mx = -= h^-ä — , my 



du 
" dy 


+ A 


dF 
dy 


dF 







A, der „Druckkraft 'S eine unbekannte Funktion der 
z verstanden (die^ nebst x, y, z, als Funktion von t, durch 
n Verein mit (1), bestimmt ist). 

Jetzt man die Werte der x, y, z aus (7) in die Flächen- 
lung (1) ein, so wird letztere identisch in t erfüllt, also 
die nach t differenzierte Gleichung, somit gilt mit Bück- 
auf (8): 

, (dF , dF , dF \ 

, . IdF ^ dF , dF \ f. 

da das Verhältnis u : v ein ganz willkürliches ist, einzeln: 
dF ^ dF , dF ,. 

^ dF . dF ^ 

ox 2 dy ' ^ dx * 

pliziert man daher die Gleichungen (16) mit x^^ y^ z^ 




890 fF. Fr. Meyer. 

resp. x^, 7/2, 2^2, und addiert, so fallen die mit l behafteten 
Glieder wegen (17) heraus, und man erhält: 

(18) m-^x.x'^Ü,, wi2^,^"=0i- 

Trägt man hier die rechten Seiten von (15) ein, und fOhrt, wie 
üblich, die Funktion T: 

(19) y=imr« = im2^i*=J'«<»> 

wo unter F die G-eschwindigkeit des Punktes zu verstehen ist, 
als die lebendige Kraft des Punktes ein, so entstehen die 
Lagrangeschen Bewegungsgleichungen in der sogenannten 
„zweiten" Form: 

^^^^ di^du')" du ' dtydv'}" dv ' 

§2. 

Nunmehr wurde die zweite Gauss sehe Flächenfonn 
V^ [u!, v") herangezogen. Es sollen wiederum die erforderlichen 
Hilfsformeln aus der Fläch entheorie vorausgeschickt werden. 

Da die partiellen Ableitungen 

dF dF dF 

d X ^ dy ' dxr 

der Flächenform F (1) den Kosinus der Winkel v^, f , *, 
pro])ortional sind (s. auch weiter unten), die die positive Nor- 
male V der Fläche im Punkte {x, y, z) mit den positiven 
Koordinatenrichtungen bildet, so ergibt sich durch Auflösung 
der Gleichungen (17) nach den 

dF dF dF 
dx ' dy ^ dxr ' 

(T cos 1/^ = y^ r^ -//g^rj, rrcosv^^z^x^ -^2^1» 

(T COS v^ = ^1 ^2 - ^a !/i > 
wo sich der Faktor a durch Quadrieren und Addieren be- 
stimmt : 



(22) rr = \'[i/^ z^ - 7/, Tj)» + (^1 ^i - -2 ^1)^ + (^1 !/2 - -^syi)*' 
oder mit Kiuführung der Fundamentalgrößen (3): 

(2 2 ') (T = /i' G' -"T« . 1) 

1 ) Als positive Kichtung der Flfichennormale v wird diejenige fe«t' 
gesetzt, die dem positiven Vorzeicheu der Quadratwtmel entspricht 



ITkearie der hctgrangeschen Bewegungsgleichungen, 891 

Multipliziert man daher die G-leichungen (10) resp. mit 
v^ C08 V , cos v^, und addiert, so fallen auf Grund von (21) 
mit u" und v" behafteten Glieder heraus, und es ergibt 
ly unter Berücksichtigung von (22 3: 

i2uv 2aHi(yi*i-yi^) , ^'2 2a^(yi*» -y»*i) . 



x" cos v„ = u 



\ 



Hier ist die rechte Seite nichts anderes als die ^^zweite 
ku SS sehe Flächenform W{u\vJ'; bezeichnet man, wie üblich, 
) Koeffizienten von ti'*, 2u'v, »'^ — die Fundamentalgrößen 
eiter Art — mit X, M, iV: 

nimmt (28) die Gestalt an: 

Andererseits ziehe man die bekannte Formel für den 
rümmungsradius (Radius der ersten Krümmung) q der Raum- 
irve (7) im Punkte (ar, y, z) heran. 

Bedeutet wiederum s den Kurvenbogen, so ist, unter 
}f 9y^ Qb ^^® Winkel von o (d. i. genauer der vom Kurvenpunkt 
ich dem Krümmungsmittelpunkt hin gerichteten (,,positiven'<) 
urvennormale) mit den (positiven) Koordinatenrichtungen ver- 
enden: 

io\ d^ X d* y d^x 

'^' P51i- = ^^®P«' d;r=cosey, pj^ = cose.. 

Wählt man jetzt für den Augenblick in (25) im besondem 
Is Parameter t den Bogen s, so entsteht: 

c/v v-i d*aj iiel du dv \ 

Setzt man hier die Werte von 

d*x d^y d* X 
da* ' da* ' ~d^ 

18 (26) ein, und beachtet, daß: 

cos Q^ cos v^ + cos Q COS V + COS Q^ COS v^ = cos (p, v) , 



392 M". Fr. Meyer. 

wo {qj v) den Winkel zwischen positiver KurfsennoTmale und 
positiver Flächennormale hedeutet, so erhSlt man: 

(28) «oil?..^ = y.(4^. 4^). 

Um (28] mit (25) zu kombinieren, führe man auf der 
rechten Seite von (28) rückwärts wieder den alten, beliebig ge- 
wählten Parameter t ein. 

Da 

du ^ du ^*_i^ rfg^ . t^ 

und die Form V homogen und quadratisch in ihren beiden 
Argumenten ist, so wird: 

m -^(47 . 47) - ^^. 

oder gemäß (14): 

^^"^ ^[d8 ' da]' <2>(«',rO* 

Damit geht (28) über in: 

„ C08(g,y) __ ^{u\f/) 

d. i. die bekannte Fundamentalformel für den Krümmungsradios 
() einer Flächenkurve (7). 

Die Substitution von (31) in (25) liefert somit: 

(32) 2 ^" cos ^x = cos (g, v) .^^J^ . 

Endlich werde davon Gebrauch gemacht, worauf schon zu 
Beginn dieses § hingewiesen wurde, daß sich die Bichtuog 
der Flächennormale v im Punkte (x, y, z) auch durch die 
Formeln bestimmt: 

,OON ^^ öF BF 

(33) T cos V = ^ — , r cos v = -^ — , r cos v = -« — , 

wo sich der Faktor r wieder durch Quadrieren und Addieren 
bestimmt : 



(»^' ' - i/Hi)*+ (4f )'+ (4f )■■ 

WO das Vorzeichen der Quadratwurzel so zu wählen ist, daß 
die oben festgesetzte positive Richtung der Flächennormale 
resultiert. 



Theorie der Loffr angesehen Bewegungsgleichungen, 898 

Ss erweist sich indessen für das Folgende als zweck- 
st diesen Faktor r so zu normieren, daß er den Wert der 
nt annimmt; zu dem Behuf normieren wir die Flächen- 
inng (1): 

aß mit jenem Faktor dividiert wird^): 

Dadurch vereinfachen sich die Gleichungen (33) zu: 

dQ dO d G 

cos V » -X — , cos » = -= — , cos V = 



Es wirke nunmehr auf einen materiellen Punkt (xj y, z) 
der Masse m, der gezwungen sei, sich auf der Fläche (1') 
»ewegen, eine beliebige Kraft P, deren Richtung mit den 
dven Koordinatenachsen die Winkel n^, n^^ it^ bilde, dann 
in die dynamischen Gleichungen Lagranges in der ersten 
n: 

mx" = Pcos« +>l4^, my" = Pco87r„ + A-^~, 

«' dx ^ y oy 

m /' = P cos ^. + A -= — , 

sich die zweiten Ableitungen der x^ y, z wieder auf die 

t beziehen. 

Der gemäß der Normierung (1') der Flächengleichung 
g bestimmte Faktor X werde die „normierte Druckkraft* 
iont 



1) Das hierbei noch willkürliche Vorzeichen von F resp. wird so 
thlt, daß die Bichtnng der Flftchennormale die positive wird. 

Für den einfachsten Fall, daß die Fläche F= eine Ebene ist, 
die Normierung des Textes mit der bekannten, nach Hesse be- 
iten, zusammen. Es sei noch erwähnt, daß sich die Form ^ (24) 
^ (1 in die Gestalt 



d X* d y* d X 

4- 2 -j. — 3- aff/-\-2 ^ — ^- 7fx'-¥2 -= — -^ y' x 
oxay oxax oxox 

Sen läßt 



894 JF. Fr. Meyer. 

Multipliziert man die Gleichungen (35) resp. mit cos t^ 
cos Vy, cos v^t und addiert, so ergibt sich auf Ghund der B^ 
lationen (25), (32) und (33'): 

1 = PC08(jf,v) + X, 

wo der Faktor cos {n, v), der Kosinus des Winkels zwischen 
der Richtung der Kraft P und der der positiven Fl&chennormile 
aus der zu (37) analogen Formel entsteht: 

(37) cos Ttg, cos V^ + cos Tly cos V + cos n^ cos tr, = cos («,!'). 

G-emäß (19) ist {u, v") das Quadrat der Oeschwindigkeü 
F des Punktes, so daß der für die Mechanik in Betradit 
kommende Teil von (36) die Gestalt annimmt: 

(I) X = I j COS (p, v) — P cos (^, «r) . 

Hier besitzt der Faktor mV^I q von cos {q, 9) eine be- 
kannte mechanische Bedeutung. Zerlegt man nämlich nid 
dem Huyghens sehen Prinzip^) die auf einen Punkt [x,y,i\ 
von der Masse m wirkende Gesamtkraft, die ihn zwingt, sich 
auf der Bahn (7) zu bewegen, in zwei Komponenten, die Tangett- 
tialkraft und die Normalkraft, von denen die erstere in die 
Richtung der Kurventangente, die letztere in die der Kurven- 
normale fiillt, so wird die Normalkraft der Stärke nach durch 
mV^I o angegeben. Bezeichnet man dieselbe mit N^ ihre in 



1) Es sei kurz auf den Beweis dieser Zerlegung hingewiesen. Bei 
den obigen Bezeichnungen ist 



X = 



ds da da 

da ferner s = F, 8"=ip (Beschleunigung des Punktes), 

dx 



d 8 



= cos Tx , 



unter i^ den Winkel der Tangente mit der x-Achse verstanden, so kommt 
gemäß (26) 

mx =■ mp cos t, H cos qg , 

nebst den beiden entsprechenden Formeln. Die auf den Punkt wirkende 
Gesamtkraft ist damit zerlegt in die Tangentialkraft mp und die Normal- 
kraft m V^ j q . 



Theorie der Lagrange$chen Bewegungsgleichungen. 395 



B Richtung der Fl&chennormale v fallende Komponente mit 
^, nnd entsprechend die in eben diese Richtung fallende Kom- 
inente der Kraft P mit P», so lautet die Gleichung (I) einfacher: 

1 A = jv;-p^. 

Damit sind wir zu dem in der Einleitung angedeuteten 
ütz gelangt: 

1 • „Bildet man einmal die Komponente N^ der Normalkraft 
" nach der Sichtung der (positiven) Flächennormale v, anderer^ 
its die Komponente P, der auf den an die Fläche {V) ge- 
ladenen Punkt wirkenden Kraft P nach derselben Bichtung, so 
riickt sich die in dieser Bichtung wirkende normierte Druckkraft 
ihrer Intensität nach gemäß (I') aus durch die Differenz jener 
riden Komponenten." 

£s sei noch auf drei interessante Spezialiälle der 
*onnel (I') hingewiesen. 

Wenn erstens {J) cos [g, v) längs der ganzen Ausdehnung 
[er Bahnkurve (7) den Wert der positiven resp. negativen 
Sinheit besitzt^ so ist die Kurve (7) eine geodätische Linie der 
Hache (V\ da dann stets die Schmiegungsebene der Kurve 
lie Flächennormale enthält. ^] 



1) Analytisch sieht man dies so ein. Die bekannte Di£Perential- 
^leichnng der geodfttischen Linien ist: 

dx d*x 



d8 


da* 


dy 


d^y 


da 


da^ 


dx 


d^x 



da 



da' 



cos V, 



cos Vy 



cos y« 



= 0. 



Quadriert man, so kommt nach dem Multiplikationssatz der De- 
«rminanten, da 

^\da ) ^' ^ da -'•» "' 



da' 



^^ dx 

2 -T— cos V 



da 



d^ 
da^ 



1 der Tat: 



/ d^x \' 1 



\ds' da) 9« ' 

1er aber, zufolge (28): cos ((,>')— ± 1 • 



396 !ß^. Fr. Mmftr. 

Dann gilt also: 
(la) A= ±A'-P,. 

und umgekehrt bedingt diese Relation, daß cos (oy r) ± 1, dat 
also die Bahnkurve (7) des Punktes eine geodätische Linie dir 
Fläche (10 ist: 

la. „i^i> mechanische Relation (la) ist die notwendige md 
hinreichende Bedinpunff für eine geodcUisehe Bahnkurve uuf iet 
Flächet 

Gewöhnlich beschränkt man sich auf den Fall, wo eine 
Kraft P gar nicht auftritt; dann fällt die anf den Pankt' 
wirkende Gesamtkraft mit l zusammen, und die Formel (Ii^ 
wird zu der trivialen A = ± iV. 

Zweitens (B) sei längs der ganzen Ausdehnung der Bab- 
kurve (7) cos {q, i^) := 0; dann fällt die Schmiegungsebene der 
Kurve stets mit der Tangentialebene der Fläche (1 ') zusammeo, 
die Kurve (7) wird zu einer üaupttangentenkurve der Fladie; 
gemäß (31) ist dann stets V^(u',vÖ = 0, und umgekehrt 

Es gilt also dann: 

Ib) A= — Pcos (ji, «r): 

Ib. f^Die mechanische Relation (Ib) ist die notwendige vd 
hinreichende Bedingung dafür^ daß die Bahnkurve des PunkUs 
eine Haupttangentenkurve der Fläche ist,**' 

Drittens (C) werde der Fall untersucht, wo die Druck- 
kraft X verschwindet, so daß sich (I^ spezialisiert zu: 

(Ic) Ny = P^ i. e. N cos (p, v) = P cos [n, v) . 

Jetzt ist P die auf den Punkt wirkende Gesamtkraft, und 
somit deren Zentripetalkraft N: 

(38) iV=Pcos(jT, e), 

wodurch (Ic) die Gestalt annimmt: 

(Ic') cos [n, q) cos ((>, v) = cos (w, v). 

Das ist aber die bekannte trigonometrische Eelfttion 
zwischen den drei Kantenwinkeln [n, q\ [q, v), {n, v) eines Drei- 
kants [TiyOyV), die aussagt, daß das Dreikant ein rechtwinkliges 
ist, d. h. daß die Ebenen {n,i)) und {q,v) aufeinander senkrecht 
stehen. 

Umgekehrt sei jetzt die Relation (Ic') erfttUt Man nehme 
zunächst an, daß X ^ iV8chieden sei. Dann setzen sich 



Jlteorie der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen, 897 

beiden auf den Punkt P wirkenden Kräfte P und X zu einer 
aamtkraft R zusammen^ deren Richtung durch die Winkel 
} ^y9 ^t gegen die Achsen angegeben sei. 
Dann gilt bekanntlich: 

I) Ä cos i?^ = P cos ^Tjp + A cos V^f 

bst den beiden entsprechenden Formeln. Durch Multipli- 
tion mit cos (>,, cos q^, cos q^ und Addition kommt: 

)) JB cos (JS; p) « P cos [n, p) + A cos (tf, p), 

am (RiO) der Winkel der Richtungen B, p ist. Die linke 
ite Yon (40) ist aber nach obigem die Normalkraft iV, so daß 
^h aus (40) ergibt: 

1) JV— P cos {n, p) = A cos (p, v). 

Setzt man dies in die aus (I') und der Annahme (Ic') 
Igende Relation: 

2) A = cos (p, vJlN- P cos {n, p)) 

n, so gelangt man zu: 

3) A SB A cos* {p, v) . 

Diese Beziehung ist nur erfällbar, wenn entweder A » 0, 
ler aber cos {p, v ) =» ± 1 wird. Der letztere Fall fällt mit (la) 
isanmien, und umgekehrt ist bei (la) auch die Relation (Ic') 
)n selbst erfüllt^) 

Somit gilt der Satz*): 

Ic. jfPür das Ferschwinden der Druckkraft X ist die Re- 
Hon (Ic') notwendig^ und, wenn man den Fall (la) ausschließt^ 
tch hinreichend.** 

Hierauf gestützt kann man die mechanisch -geometrische 
sdeutuDg von (Ic') noch einen Schritt weiter verfolgen. 

Für A = fällt die Kraft P mit der Gesamtkraft R zu- 
mmen, fäUt also nach dem Huyghensschen Prinzip in die 



1) Auch die geometrische Bedeutung von (IcO bleibt dann, wenn 
ch nur in uneigentlichem Sinne, erhalten. Denn da die Ebene (^, v) 
^ unbestimmt wird, so kann die Ebene (n, q) als auf ihr senkrecht 
ibend angesehen werden. 

2) Aus dem Satze Ic geht hervor, daß die übliche Ausdrucksweise, 
» Druckkraft X ,yzwinge'' den Punkt, auf der Fläche zu bleiben, nicht 
HS korrekt ist 



898 fr. Fr. Meyer. Theorie der Lagrangeschen Bewegn 

Schmiegungsebene der Bahnkurve, d. h. die Ebene {n, g) : 
mit letzterer Ebene überein. Daß diese Ebene mit der 
(p, v) einen rechten Winkel bildet, ist flächentheoretisch 
verständlich, denn das Lot der Schmiegungsebene ist c 
normale der Kurve, das Lot der Ebene (o, v) die Tanger 
Kurve. Tangente und Binormale stehen aber senkrech 
einander. 

Damit ist die erste Hälfte des Satzes Ic auch anscb 
bewiesen. Aber auch die zweite Hälfte dieses Satzes, 
auch die Sätze I, I' lassen sich aus elementaren mecha 
geometrischen Prinzipien herleiten, wie ich das an ai 
Stelle näher ausgeführt habe.^) 

Alten au (Harz), September 1903. 



1) Jahresbericht der deutschen Math. Vereinigung. 1!^ 
heft 1908. 

(Eingelangt 18. September 1908.) 



399 



0. Elektrischer Massentransport in Gasen, Druck- 

erhöhnng an der Kathode. 

Von J. Stark in GötÜDgen. 



L Zur Theorie des elektrischen Transportes von Masse in 

elementaren Qasen. 

§ 1. Masse der Ionen in Gasen und ihr Verhalten an den 
kktroden, — In der Größe der elektrischen Ladung sind die 
nwertigen Ionen in einem elementaren Gase einander äquiva- 
nt; hinsichtlich ihrer Masse können sie voneinander ver- 
ihieden sein. Hinsichtlich der Masse sind in einem elementaren 
ase drei Arten von Ionen möglich. Bei der Ionisierung 
nes neutralen Gasatoms wird ein negatives Elektron von dem 
Jsitiv zurückbleibenden übrigen Teil des Atoms getrennt, 
leibt das negative Elektron für sich allein^ lagert es sich 
cht an neutrale Gasmoleküle an, so hat man ein negatives 
ektronion. Lagern sich an das positive Restatom nicht neu- 
Je Moleküle an, so ist es ein positives Aiomion. Wenn sich 
das negative Elektronion oder das positive Atomion noch 
itrale Gasmoleküle anlagern, so verwandeln sie sich damit 
Molionen» 

Die Masse des negativen Elektronions beträgt 0,51 Tausend- 
1 derjenigen des Wasserstoffatoms. Die Kathodenstrahlen 
d negative Elektronionen von großer Geschwindigkeit Im 
immstrom sind besonders bei niedrigem Gasdruck die meisten 
»ativen Ionen Elektronionen, nicht bloß in der negativen 
immschicht, sondern auch in der positiven Lichtsäule. Die 
ksse des positiven Atomions ist praktisch gleich derjenigen 
) neutralen Atoms. Ein Teil der Kanalstrahlen besteht nach 
1 Untersuchungen W. Wiens ^) aus positiven Atomionen. 
B Masse der positiven und negativen Molionen ist ein Viel- 
hes der Masse des neutralen Atoms des fraglichen Gases. 



1) W. Wien, Ann. d. Phys. 9. p. 660. 1902. 



400 /. Stark 

Nach E. Blecke^) ist bei sekundärer lonisiemng in atmo-i 
sphärischer Luft die Masse des negativen Ions zweimal, di^j 
jenige des positiven dreimal so groß wie diejenige des neatnln 
Luftmoleküls. In einem ionisierten Gase ist die Zahl der 
negativen Molionen nicht größer, als diejenige der positiTei; 
darum ist in einem ionisierten Gase an die positiven Ionen immr 
mehr Masse gebunden, als an die negativen Ionen, 

Im elektrischen Strome wird die positive Elektrizität naek 
der Kathode zu, die negative nach der Anode zu verschoben; 
gleichzeitig mit ihr wird die an sie gebundene Masse ver- 
schoben. Können die Ionen nicht aus dem G-as in die Elektroden 
übertreten und in diesen weiterwandem, so können sie an d 

I 

Elektroden nicht als geladene Teilchen sich ansammeln, son- ' 
dem müssen sich in neutrale Teilchen verwandeln. Die 
negativen Elektronionen treten in die Anode ein und wandern 
in ihr weiter; die negativen Molionen geben an die Anode ibr 
negatives Elektron ab, während die an dieses gebundene nen- 
trale Masse in der Grenzfläche von Elektrode und Qtss znrflck- 
bleibt Das positive Atom- und Molion tritt in die Grenzflidie 
von Gas und Kathode, entnimmt dieser ein negatives Elektron 
und verwandelt sich so in neutrale Masse. 

Die Massenteilchen, welche vom elektrischen Strome an 
der Kathode oder Anode in einem elementaren G^e als Ionen 
abgeschieden werden, werden hier nicht festgehalten, sondern 
diffundieren als neutrale Gasmoleküle wieder in den Gasranm 
zurück; da demnach in einem elementaren Gas eine An- 
reicherung der elektrisch abgeschiedenen Ionen in einer festen 
Schicht ausgeschlossen ist, so kann die elektrische Abscheidung 
von Masse in diesem Falle nicht so leicht nachgewiesen werden 
wie in einem Elektrolyten. 

§ 2. Druckerhöhung an der Kathode durch elektrischen 
Massentransport — Wir betrachten denjenigen Querschnitt dea 
durchströmten Gases, welcher gerade in der Mitte zwischen 
den Elektroden liegt. Er teilt den durchströmten Gtisraon 
in zwei Hälften, eine kathodische und eine anodische. Au6 
<l(*r kathodischen Hälfte führt der elektrische Strom beständig 
n(5gative Ionen weg in die anodische Hälfte, gleichzeitig f&hrt 



1) E. Riecke, Ann. d. Phyg. 12. p. 74. 



1908. 



Elektr. Masttnfrannport in flaaen, 401 

in jene positive loneD, Ist J^ die Stromstärke 
er positiven, /, diejenige der negativen Ionen in dem be- 
c»chleten Querschnitt, sn gewinnt die kathodisclie Hälfte in 
,«r Zeiteinheit / /« positive und verliert JJs negative Ionen. 
Jmgekehrt verliert die anodische Hälfte I^js positive und ge- 
rinnt IJt negative Ionen. Ein positives Ion liefere bei der 
featralisation an der Kathode n gewöhnliche Gasnioleküle, 
lin Qegativea an der .-inode v gewöhnliche Moleküle. Ist i> 
»ei. r^ die spezifische Geschwindigkeit, n die spezifische Ionen- 
;ahl, // die Kraft in dem betrachteten Querschnitt, so gilt 
f =n.E.v . H bez. J^ = n .i.v^. H. Der Gesamtgewinn der 
calbodiscben Seite an gewöhnlichen Gasmolekülen beträgt dem- 
nacb für die Zeiteinheit [^ji.v^ — v .v^n.H, derjenige der 
anodiacben Hälfte (v.v^ — n .vJn.H. 

Bei Ermittelung des Vorzeichens von (jt - »j, — * . oj sind 
Ewei extreme Falle zu unterscheiden. Erstens mögen sämt- 
liche positiver und negativen Ionen Molionen sein. Im Falle 
der Luft ist sr = 3 , * = 2 . «, = 1,37 . u^; die Differenz 
[n.e — r.vJn.H = 0,26. n.vJI hat darum positives Vor- 
zeichen. Ähnliches gilt für die übrigen elementaren Gase. 
Sind also in einem elementaren Gase sämtliche Ionen Motionen, 
w wird durch die elektrische Strömung auf der kathodischen Seite 
iti Gases die Zahl der Moleküle und damit der Gasdruck ver- 



Der zweite extreme Fall besteht darin, daß sämtliche 
egativen Ionen Elektron-, sämtliche positive Ätomionen sind, 
n diesem Falle ist für die zweiatomigen Gase w = 0,5, 

= 0, D, ist ungefähr das zehnfache von v . Die Diflerenz 
t .V —'v.v^)n.ll — 0,5. ji .V .II ist immer positiv. Aach in 
iesem I'alle vermehrt die elektrische Strömung die Malekülzahl 
ntl den Gasdruck auf der hathodiscken Seite n»d vermindert 
;ide Größen auf der anodischen Seite des durchströmten Gases. 
la die zwei besprochenen extremen Fälle alle Übrigen Arten 
in Ionisation in einem elementaren Gase zwischen sich 
;hließen, so gilt der vorstehende Satz allgemein für die 
:ektrische Strömung in einem elementaren Gase. 

Der Überdruck, welchen die elektrische Strömung in einem 
.ementaren Gase auf der kathodischen Seite herstellt, kann 

inen gro&en Wert annehmen; denn unter seiner Wirkung 



402 J. Stark. 

strömen neutrale G-asmoleküle von der kaihodischen Seite h^ 
ständig wieder zurück nach der anodischen Seite. JemehrdieM 
Rückströmen^ beispielsweise durch einen kleinen Querschnitl; 
erschwert wird^ desto größer kann jener Überdrack werden. 

Um über die Größe des nach dem Vorhergehenden n 
erwartenden Überdruckes eine Vorstellung zu gewinnen^ vi 
folgende Näherungsrechnung ausgeführt Das Volumen der 
kathodischen Seite sei 5.10' cm', das Bückströmen nach der 
anodischen Seite erfolge sehr langsam; die positive Stronh 
stärke in dem mittleren Querschnitt betrage 1.10~~^ Milliampere. 
Berechnet sei die Druckzunahme in Prozent, wenn während 
10 Sek. kein Rückströmen erfolgt, sondern nur die elektrische 
Strömung wirksam ist 

Ist V die Zahl der Moleküle in der Volumeneinheit bei 
0^ und 760 mm Druck, so ist beim Druck p die spezifische 
Molekülzahl n^ = 1,8. 10-^. v.;?. 0,1 Milliampere transportiert 
in 10 Sek. dem Volumen nach 2,32 . lO"* cm* einwertige Ionen 
bei 0^ und 760 mm durch den Querschnitt; die entsprechende 
Anzahl von Ionen ist 2,32 . 10-* . v. Da sich diese auf 5.10*an' 
verteilen, so ist die Zunahme der Molekülzahl (Molekül zwei- 
atomig) in 1 cm^ auf der kathodischen Seite während der be- 
trachteten 10 Sek. gleich 

Die prozentuale Zunahme der spezifischen Molekülzahl oder 
des Druckes beträgt darum 1,7 . lO—^.^-i. Bei 0,01 mm Druck 
beträgt also die Zunahme des Druckes gerade 1,7 Proz. 

Um demnach die Druckerhöhung an der Kathode infolge 
des elektrischen Massentransportes nachweisen zu können, hat 
man einerseits die Stromstärke möglichst groß, andererseits 
den Gasdruck möglichst klein zu wählen. Es kann aus diesem 
Grunde für den vorliegenden Zweck lediglich der Glimmstrom 
in Betracht kommen, da diesem allein bei niedrigem Druck 
eine Stromstärke von der Ordnung 1 Milliampere gegeben 
werden kann. 

11. Druckerhöhung: an der Kathode des Olimmstromes. 

^5 3. (irnndgedanke, lersuchsrÖhre und Schaltung, — Wenn 
die elektrische Strömung auf der kathodischen Seite eine Druck- 



Eiektr. Massentramport in Gasen. 



403 



Shong bewirkt, so muß diese um so größer ausfalleu, je 
hr ein Rückströmen nach der anodiachen Seite erschwert 
■d. Aus diesem Grunde wurde zwischen die anodiache und 
ihodiBche Hälfte eine längere Kapillare eingeschaltet. Läßt 
a die kathodische Hälfte durch eine weite Öffnung mit 
lem GefUß kommunizieren, so muß auch in dieses die Druck- 
löhung sich fortpfianzen. In diesem Gefäß kann dann die 
Tickerhöhung mit einer entsprechend empfindlichen Methode 
chge wiesen werden. 

^£^ar 1 {'/lo natürl. Größe) stellt die verwendete Röhre 
K ist die 1,5 mm weite Verbiudungskapillare zwiachen 




t zwei Hälften H^ und H^ des durchströmten Gases, Gy das 
ilUß, in dem die Druckveränderung der Hälfte H^ unter- 
:ht werden sollte; 6', ist ein kugelliirmiges Gefäß, das ebenso 
)ß ist wie ff, und zum Zweck symmetrischer VerBucbs- 
Üngungen an //, angeschlossen ist. E^ und E^ sind zwei 
ngruentc Elektroden, es sind hoble Messingzylinder (Fig. 2). 
3 vordere Seite ist zentral mit einer kreisförmigeu 5 mm 
iteti Öffnung versehen: nm die Zerstäubung zm verhüten, ist 
" sie eine .'Maminiumscheibe aufgesetzt. Die hintere f — | 
te trägt in der Nähe des Randes sechs 5 mm weite ll i 

imetrisch angeordnete kreisförmige Löcher (in der [, | 

;ur sind nur zwei zu sehen); auf sie ist eine Hart- pjg_ j^ 
nmischeibe aufgekittet, ilie so durchlocht ist, daß 

den Rand der Löcher in dem Messingdeckel gerade um 
im überragt i*, und D^ sind zwei gleichartige Diaphragmen, 

sind hohle -Messingzyliuder, deren Deckel ebenso wie die 
ckseite der Elektroilen mit sechs Löchern und einer über 
se I mm weit greifenden Hartgummi scbeihe versehen sind. 
I Diaphragmen sollen zwar nicht die Strömung des Gases 



404 /. Stark. 

in der einen oder anderen Bichtnng aufhalten, dagegen soll« 
sie ein Überspringen der elektrischen Strömung aus ti^ nni 
H^ nach G^ und 0^ verhindern. Das Ge&B (7^ besitzt m 
stiftförmige Aluminiumelektroden; die eine Ä dient als Anoda^ 
sie ragt nur wenig aus einem Ansatzrohr in das Gte&B hinein; 
die andere C dient als Kathode, sie steckt bis auf 2 cm in 
einem Glasröhrchen und dringt bis zur Mitte Ton 0^ Tor. 

Die Elektroden £^ und £^ wurden mit den Polen einei 
großen Ruhmkor ff sehen Induktoriums (Spule 21,6 cm äxk, 
50,5 cm lang) verbunden. Dieses stellte zwischen JB^ und X^ 
in B^ und H^ den Glimmstrom her, der an seiner Eaäiode 
eine Druckerhöhung, an seiner Anode eine Druckemiedrigong 
bewirken sollte. 

Zum Nachweis einer Veränderung des Druckes in 6^ und 
damit in IT^ wurde von folgender Erscheinung Gebrauch ge- 
macht Der Kathodenfall ^) K des Glimmstromes folgt inner- 
halb weiter Grenzen der Formel 

WO A'^ der normale KathodenfaU, p der Gasdruck, t die Strom- 
stärke, f die von Glimmlicht bedeckte Kathodenoberfläche, k 
und X eine Konstante ist. Fehlt die positive Lichtsäule de 
Glimmstromes, so darf man den KathodenfaU gleich der ' 
Klektrodenspannung setzen, unter Anwendung des Ohmschen 
Gesetzes auf den außerhalb des Gases liegenden Widerstand 
r darf man setzen d F = d K = —r.di. Eine Abnahme des 
Gasdruckes hat eine Zunahme von K und damit eine Abnahme 
von / zur Folge. Der KathodenfaU K ändert sich dann am 
empfindlichsten mit dem Gasdruck p, wenn der äußere Wider- 
stand f^roß ist; die Stromstärke dagegen ist dann ein empfindliches 
Reaf^ens auf eine Druckänderung, wenn r klein ist. Da das 
Mikroamporemeter, das mir zur Messung der Stromstärke zur 
Vorfii«]jung stand, sehr empfindlich war und sich ohne Kriechen 
lind Schwingen momentan einstellte, so benutzte ich die Starke 
oinos Glinimstromes in G^ zur Kontrolle einer Änderung des 
(Tasdriu'kes in G^ und 7/^. Zu diesem Zwetk wurde die 
Kiekt rode ./ unter Zwischenschaltung eines kleinen Wider- 

1) J. Stark, Ann. d. Phys. 12. p. 1. 1908. 



EUktr. Maaaevtransport in Gasen. 405 

ides r an den positiven Pol einer Hochspannungshatterie 

ungefähr 20U(J Volt elektromotorischer Kraft gelegt, die 
ktrode C war durch das Mikroamperemeter mit dem negativen 

verbunden; dieser war geerdet 

Der aus dem Induktorium fließende Glimmatrom in H^ Ä, 
te also in //j und damit in *7, eine Druck&nderung hervor- 
igen; der Glimmstrom in r>', sollte zum Nachweis dieser 
Ickänderung dienen. 

§ 4. rorxichUmaßregeln, Beuliaifitujiffsrfsiillate. — Es wurde 
tgestellt, daß die Diaphragmen />, und B^ ihren Zweck er- 
len, daß die Glimmentladung in JJ^ //, nicht nach ff, und 

hinübergreift. Das Induktorium wurde so weit von der 
rsuclisröbre und dem Mikroamperemeter entfernt, daß sein 
gnetfeld weder den Glimmstrom in 6', noch den Ausschlag 
► Amperemetera beeinflußte. 

Obwohl ich in Luft im wesentlichen dieselben Resultate 
1 in Stickstoff erhielt, so schien mir doch das Gasgemisch 
De sichere Grundlage fllr reine Resultate ku sein; ich führte 
lier die Untersuchung an Stickstoff aus. Die Röhre wurde 
i leer gepumpt, dann wurde sie zweimal mit Stickstoff aus- 
ipQlt, nachdem beim jedesmaUgen Leerpurapen die Elektroden 
I i', und C längere Zeit unter Strom gehalten waren. Darauf 
ide Stickstoff neu eingefüllt und mit den Beobachtungen 

Diese wurden fllr einen jeden Gasdruck in folgender Weise 
{geführt. Zunächst wurde der Glimmstrom in ff, geschlossen 
und solange gewartet, bis seine Stärke konstant wurde, bis 
also der Ausschlag des Mikroamperemeters sich nicht mehr 
änderte. Dann wurde das Induktorium in Tätigkeit gesetzt, 
also ein Glimmstrom in einer bestimmten Richtung durch 
ffj Bj gesandt und gleichzeitig wurde der Ausschlag des Mikro- 
amperemeters beobachtet Dann wurde der Glimmstrom in 
//, if, unterbrochen und der Ausschlag weiter beobachtet. 
Nach einer halben oder ganzen Minute wurde der Glimmstrom 
in //, //j von neuem in der gleichen Richtung wie zuvor ge- 
schlossen und dasselbe wie zuvor gemacht. So erhielt ich 
eine Beobachtung für den Fall, daß die Kathode des Glimm- 
Stromes in N, Ä, beim Schließen kalt war, und für den Fall, 
B beim Schließen bereits von der vorausgehonden 



406 J. Stark. 

Schließungsdauer her erwärmt war. Dies alles geschah erst 
für die eine Richtung des Glimmstromes in H^H^f darauf ftr 
die entgegengesetzte^ darauf wieder für die erste Richtung. 

Nach dem vorstehenden Verfahren wurden folgende Be- 
obachtungsresultate erhalten. Solange der Gasdruck über 
0,9 mm lag, änderte sich beim Schließen des Glimmstromes 
in H^ H^ der Ausschlag des Stromes in 6^ nicht; zwischen 0,9 
und 0,09 mm brachte der Glimmstrom H^ H^ eine dauenide 
Zunahme des Ausschlages hervor; diese Zunahme war unab- 
hängig von der Stromrichtung in H^ H^ und um so größer, 
je kleiner der Gasdruck war. Der dauernden Zunahme der 
Stromstärke in G^ entspricht eine dauernde Zunahme des 
Gasdruckes in G^ und H^ H^. Diese rührt offenbar her tod 
einer Gasentwicklung aus der erhitzten Kathode des Glimm- 
Stromes in H^H^* 

Von 0,09 mm Druck abwärts zeigte der Ausschlag des 
Glimmstromes in G^ ein anderes Verhalten, das um so aus- 
geprägter hervortrat, je weiter der Druck erniedrigt wurde. 
Von da ab war nämlich die Änderung des Ausschlages ver- 
schieden je nach der Stromrichtung in H^ H^ War H^^ also 
die G^ zunächst liegende Hälfte kathodisch, liefen also die 
positiven Ionen nach E^ , so nahm der Ausschlag sofort nach 
Schließen des Glimmstromes in H^ H^ zu, und zwar erst 
schneller, dann langsamer; beim Unterbrechen ging der Aus- 
schlag erst schneller, dann langsamer wieder zurück, blieb 
aber immer größer, als er zuvor war. 

War dagegen ifj anodische Hälfte, liefen also die positiven 
Ionen von G^ und H^ fort, so erfolgte beim Schließen des 
Glimmstromes in H^ 11^ zunächst eine kleine Abnahme des 
Ausschlages oder er blieb wenigstens unverändert, darauf nahm 
er langsam zu und beim Unterbrechen nahm er weiter, aber 
noch schneller zu. Die anfängliche Abnahme war imi so 
größer, je stärker der Glimmstrom in ITj E^ war; seine Stärke 
\ig bei diesen Versuchen zwischen 10 und 0,5 Milliampere. 

In der nachstehenden Tabelle ist ein Beispiel zweier Be- 

jbiditangsreiben mitgeteilt. Die Stärke des Glimmstromes in 

c 'njtin einer willkürlichen Einheit angegeben, die Stärke 

^^SooDinstromes in H^ H^ schwankte zwischen 1 und 2 Milli- 

^ "* ''•uck war ungefähr 0,03 mm. 



EUktr. Masseniransport in Oasen. 



407 



JS^ Kathode. 



E^ Anode. 



Zeit in 

Sek. 


Auflschlag 


Be- 
merkungen 



15 


710 
710 


l Offen 


80 


740 


. 


45 
60 


760 
770 


Ge. 
/ schlössen 


75 


780 


) 


90 


778 




105 
120 


770 
767 


Offen 



Zeit in 
Sek. 



Ausschlag 



Be- 
merkungen 





15 

80 

45 

60 

75 

90 

105 

120 

185 



810 
810 
8Ö5 
808 
805 
808 
811 
825 
830 
835 



1 
1 



Offen 



Ge- 
schlossen 



Offen 



In Figur B und 4 sind die vorstehenden Zahlen graphisch 
aufgetragen. Die unsymmetrische Wirkung, welche der Olimm- 
strom in H^ H^ f&r seine zwei Richtungen auf den Gasdruck 
in ^ und G^ ausübt, erklärt sich auf folgende Weise. 

Der Glimmstrom in H^ H^ bringt zwei Wirkungen hervor, 
welche den Gasdruck in H^ verändern. Die erste ist unab- 
hängig von seiner Richtung, die zweite kehrt ihr Vorzeichen 
mit seiner Richtung um. Die erste besteht darin, daß aus 
der erwärmten Kathode Gas entbunden wird, woraus eine 
dauernde Erhöhung des Gasdruckes folgt. Die zweite besteht 
kliglich in einer Verschiebun^f des vorhandenen Gases; es 
wird der Druck in der kathodischen Hälfte erhöht, in der 
anodischen Hälfte erniedrigt; nach dem Offnen verteilt sich 
das Gas wieder in gleithmäßigem Druck, p sei der Druck in 
E^f Pq der anfängliche Druck, t die Zeit, f und (p seien un- 
bekannte Funktionen positiven Wertes, i sei. positiv, wenn 
seine positiven Ionen von E^ nach E^ strömen. Man kann dann 
für die Schließungsdauer setzen p ^ Pq + i^.t,f+ i.t.cp. Der 
Differentialquotient, 

dp 



dt 



i^.f+ i.q>, 



uuin Null werden, wenn t negativ ist; hieraus erklärt sich das 
UQnimum in der Kurve der Figur 4. 

Wie nach dem Vorstehenden zu erwarten ist und wie 
üch aus ihm erklärt, war die Abnahme des Ausschlages, im 



408 



/. StarL 



Falle H^ anodische Hälfte war, gröfier, weim die Kathode 
ab wenn sie iofolge Iftogeren StromBchlnsBes bereit« 
gewärmt war. Im zweiten Falle ging nämlich die Gasentbim 
anB der Kathode früher vor sich, 

§ 5. Deutimg de» Baobaihtungtrenäfates. — Dorch 
eben beschriebenen Veraach ist die Erscheinung aofgefim 







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Fig. *. 

daß der Glimmslrom in einem elementaren Gate bei nieäi 
Druck merkbar vor der Kathode den Gaidrvek erkÖkt, rot 
Anode erniedrigt, indem er von kier nach dort Gatmoleküli t 
Ich sehe zwei Ursachen, welche diese Wirkung erklären köi 
Die erste ist die oben theoretisch behandelte Überführoiij 
Masse dvirch den elektrischen Strom. Die «weite bestel 
folgendem. 

Wie A. Wehnelt^) festgestellt hat, befindet sich to) 
Kathode des tiUmmstromes im Dunkelraome eine p« 



EUktr, Massentrcmsport m Gcuen, 409 

tdimg.- Deren Ionen werden von der elektrischen Kraft nach 
r Kathode getrieben; ist Beibung zwischen ihnen und den 
»utralen Oasmolekülen vorhanden, so treiben sie diese mit 
^h fort, es entsteht ein gegen die Kathode gerichteter 
öktrischer Wind; durch diesen wird vor der Kathode der 
asdruck erhöht, vor der Anode erniedrigt. 

Es erhebt sich die Frage, welcher von diesen beiden ür- 
ichen die oben beschriebene Erscheinung in erster Linie zu- 
ischreiben ist Nach meiner Ansicht ist dies die erste, die 
ektrische Überführung. Die Wirkung tritt nämlich erst bei 
emjenigen Druck auf, bei dem sie nach der Theorie für die 
rate Ursache bemerkbar zu werden vermag; die zweite Ur- 
iiche: der elektrische Wind müßte auch bei höherem Druck 
ie Wirkung hervorbringen, wenn er sie überhaupt hervor- 
abringen vermag. Mit sinkendem Gasdruck muß er nämlich 
mmer schwächer werden, da die Reibung zwischen den positiven 
onen und den neutralen Gasmolekülen immer kleiner wird, 
iei dem niedrigen Druck von ungefähr 0,03 mm bewegen sich 
lie positiven Ionen wahrscheinlich durch den Dunkelraum an die 
Uthode, ohne erheblich viel neutrale Moleküle zu treffen, 
hne also einen elektrischen Wind hervorzubringen. 

ööttingen, Sommer 1903. 



1) A. Wehnelt, Ann. d. Phys. 10. p. 542. 1908. 
(Eingegangen 18. September 1908.) 



51. Über die Natur der flüssigen Luft 

Von D. &. Goldbammer in Kasan. 



Obgleich die flüssige Luft schon seit mehreren Jahn 
der Untersuchung zugänglich gemacht worden ist und auch w 
fach von verschiedenen Seiten studiert wurde, scheinen doch i 
Hm. Fischer und Alt ^) die ersten gewesen zu sein, die 
Meinung ausgesprochen hatten, die fiütgige Luft sei eint Im 
von Sauerstoff in Sticktt'iff- 

Diese Ansicht über die Natur der flüssigen Lufl ba 
die Verfasser dadurch zu begründen gesucht, daB sie die 
Baly*) beobachteten Änderungen der Siedetemperatur nur 
siedender Gemische von äauerstofl' uud Stickstoff mit den & 
der allgemeinen van't Hoffschen Formel herechneten 
sammen stellten. 

Die Übereinstimmung der Theorie mit der Eriähn 
ergab aich dabei „überraschend gut", 'j Dem gegenübet 
aber zu bemerken, daß erstens die Forme! von van'l Hi 
auf die Lösungen flüchtiger Stoffe uicht anzuwenden isti 
daB zweitens diese Übereinstimmung nur mit Hilfe eioer % 
schwach begründeten Annahme gewonnen wurde, es wäre d 
von Balj aJs rein bezeichneten Stickstoff 2,4 Proz. Sai 
beigemischt. 

Freilich haben die Verfasser auch die Yermuti 
gesprochen, ea könne die Differenz zwischen der 
ermittelten Siedetemperatur des Stickstoffs (77,5 — 
und der von Fischer und Alt gefundenen (77,33, 
als absoluten Nullpunkt einfach — 273 setzt) auch 
deren Grund haben*]: in einem solchen Falle bleibt 
ganze Frage über die Luft als Lösung ohne Antwort 




1) K. T, Fiflcher und H. Alt, Ann. d. Phys. 9. p. 118!. I 

2) E. C. C. Baly, PhiL Mag. 49. p. 521. 190«. 
S) K. T. Fischer und H. AU, I. c p. 11B3. 
4) L c. p. 1194. 




ier flittiffm Luft. 411 



ft daher versuchen diese Ansicht Uber die Natur 

leuen l'rüüang za unterwerfen. 
■In jP,, p die Spannungen des gesättigten Stickstoff- 
la den absolaten Temperatnren T, T^; fUr eine LO- 
d eines Stoffes in Stickstoff mit der Siedetemperator T 
)anipfepannung p muß sein ^) 
ISP.\ 



K-P-i'r-'Tirjrh.r. 



f- 2*0 nicht all zu groß ausftllt 
Baly siedete die LOsung von 8,1 Proz. Sauerstoff 
lalem Druck (p = 760 mm) bei T= 78,0. Der reme 
^b Ta = 77,50, P, = 806; femer fanden Fischer 
1 der Nähe des Siedepunktes des Stickstoffe 

men daraus T-T^ = 0,50 (beob.), T - Tj, = 0,505 
m mit der Zahl von Fischer und Alt 7^ = 77,33 
30 y-7; = 0,67 (beob.). 

rir sehen, ist die Differenz zweier von Baly ge- 
emperaturen jedenfalls augenähert richtig: es ent- 
die Frage, wovon rUbrt der Unterschied der Siede- 
reineu Sauerstoffs nach den Beobachtungen von 
Fischer und Alt her. Die Antwort lautet einfach: 
m Baly angeführten abtolutea Temperaturen üt ein 
'goliiter NvllpuTÜii angenommen, aU derselbe von 
id AU. 

1 Qruod haben schon Fischer und Alt selbst als 
lieh angegeben : derselbe tritt aber vollkommen 
'enn wir in folgender Weise verfahren, 
mtnehmen ans der Tabelle der DampfspannuDgen 
;cbeD Stickstoff von Fischer und Alt folgende 

P, 715 780 760 760 
T 76,83 77,00 77,23 77,8B 

ir entsprechenden Tabelle von Baly ebenso fUr den 
Stickstoff 

HeroBt, Zeitschr. f. phja. Cbem. 8. p. 12B. 1861. 



412 



B. Ä, Ooldhammer. 



Pn 
T 



760 
77,5 



806 
78,0 



856 

78,5 



und zeichnen beide Dampfdruckkurven in genügend großen 
Maßstabe auf (z. B. 1 mm Hg = 2 mm, 1® = 100 mm). Ans 
der Zeichnung ersieht man zunächst, daß die Zahl 77,23 etwi 
um 0,01^ zu groß ist: tatsächlich finden wir in der anderen 
Dampfspannungstabelle der Verfasser (L c. p. 1173) f&r 750 mm 
f = - 195,78® C, also T= 77,22. Femer ergibt sich die 
ganze Kurve von Baly stark gegen dieselbe von Fischer und 
Alt verschoben. Verkleinern wir aber alle Temperaturen von 
Baly um 77,50 - 77,33 = 0,17, so fällt diese neue Kurve 
ganz merkumrdig in die Fortsetzung der Kurve von Fischer 
und Alt 

Damit steht auch in Übereinstimmung, daß einer Tem« 
peraturdifi'erenz von 0,5® in der Nähe von 760 mm ein Druck- j 
unterschied nach Fischer und Alt 760 — 715=45, nach 
Baly 806 — 760 = 46 mm entspricht, so daß die Dampfdruck- 
kurve des Stickstoffs zwischen 715 und 806 mm sehr nahe 
geradlinig verläuft. 

Somit ist als bewiesen zu betrachten , daß mit der an- 
gebrachten Korrektion die Beobachtungen von Baly und 
Fischer und Alt sehr gut miteinander übereinstimmen. 

Baly hat auch die Dampfdrucktabelle für den „atmo- 
sphärischen}* Sauerstoff gegeben: bei denselben Temperaturen 
sind aber hier alle Drucke kleiner, als für den chemischen Stick- 
stoff; nach dem Verhalten der Lösungen ist daraus zu schließen, 
daß der atmosphärische Stickstoff etwas unrein war. 

Es bestehe nun 100 g flüssige Mischung aus m^ g Sauer- 
stoff und m^ g Stickstoff; die entsprechenden Zahlen für Dampf 
seien m^j m^\ bedeuten ferner M^, M^ die Molekulargewichte 
der beiden Stoffe im flüssigen Zustande, Mf^\ M^ im Dampf- 
zustände, so sind die „Konzentrationen" in der Flüssigkeit 



frioMn 



;«„ Mq + Wo ^n 






jsM im Dampfe 






7 ' 






ff^n Mq _ 

f»»' Mq* + füg' Mn 



Natur der fiUssipen Luft. 418 

Sind endlich p^, p^ die Teildrucke der beiden Stoflfe im 
oapf^ 80 haben wir bekanntlich 

P^Po+Pn 

ilton'sches Gesetz); femer für verdünnte Lösungen 

Pn ™ ^11 ^n 

ßh yan't Hoff] und 

ich N ernst). 
Daraus folgt für die Dampfspannungsemiedrigung 

Pn-P _ On - Cn 
Pn Cn 

Nach dieser Formel sind die Zahlen berechnet, die in 
)n letzten zwei Kolumnen der Tabelle I zusammengestellt sind, 
abei sind alle von Baly angeführten Temperaturen um 0,17^ 
)mgiert und M^ « Af^ =32, M^= M^ = 28 gesetzt. 

Tabelle I. 

Stickstoff als Ldsungsmittel bei 760 mm Druck. 



*«0 


Wq 


T 


Pn 


Pn-P 

Pn 


Cn-Cn 


8,1 


2,18 


77,83 


806 


0,057 


0,053 


15,25 


4,38 


78,33 


856 


0,112 


0,101 


21,60 


6,80 


78,83 


906 


0,161 


0,143 


27,67 


0,33 


79,38 


959 


0,208 


0,188 



Wir sehen, daß die Übereinstimmung der Beobachtung 
dt der Rechnung keine sehr gute ist; es liegt aber die Ver- 
mtang nahe^ diesen Umstand vielleicht auf Rechnung der zu 
roßen Konzentration der Lösungen setzen zu dürfen. In der 
'at zeichnen wir die Kurven m^ — f[T), m^ = F{T) im großen 

l&Bstabe auf (l^o = **/s ^^^ 1® = ^00 ni°^)> so können wir 
tt viel kleineren Konzentrationen übergehen. In dieser Weise 
nirde gefunden 

Tabelle IL 

Stickstoff als Losungsmittel bei 760 mm Druck. 

Pn-p Cn'-C^ 



ntQ 


77*0 


T 


^n 


Pn 


Cn' 


0,900 


0,218 


77,88 


764,6 


0,0060 


0,0060 


1,747 


0,486 


77,43 


769,2 


0,0120 


0,0119 


3,375 


0,872 


77,53 


778,4 


0,0236 


00222 


5,025 


1,308 


77,63 


787,6 


0,0350 


0,0332 


6,563 


1,744 


77,73 


796,8 


0,0462 


0,0433 



414 D. A. Ooldhammer. 

und diese Tabelle zeigt, daß Ton m^ » 1,747 ab (was eine 
Konzentration von etwa 0,5 Grammmolekül pro Idter Lösi 
entspricht) die Übereinstimmung der Beobachtung mit der] 
Rechnung nichts zu wünschen übrig läßt 

Man kann ganz analog auch für Lösungen Ton Stickstoffl 
in Sauerstoff verfahren. Die Beobachtungen von Baly gebeaj 
dazu alles nötige Material. Bedeute P^ die Dampfspannaogj 
des reinen Sauerstoffs bei verschiedenen Temperaturen, m 
muß jetzt 

Po "" < 

sein. Korrigieren wir wieder alle von Baly angeführten Teia* 
peraturen um 0,17, so folgt die Siedetemperatur des rein« 
Sauerstoffs unter normalem Druck T^ » 90,79. 

Tabelle IH. 



Sauerstoff als Lösungsmittel bei 760 mm 


Druck. 


fnn 


m*' 


T 


Po 


P'Po 
Po 




1,84 


4,90 


90,33 


725,5 


0,048 


0,087 


3,85 


10,20 


89,83 


687,5 


0,105 


0,080 


5,91 


15,45 


89,33 


653,6 


0,163 


0,128 


8,02 


20,55 


88,83 


621,5 


0,223 


0,178 


10,18 


25,63 


88,33 


590,0 


0,288 


0,288 


12,40 


30,42 


87,83 


560,0 


0,357 


0,291 


14,69 


35,15 


87,33 


530,5 


0,433 


0,853 


1 1 


• 


• ^ 


• < 1 


••1 « 


• « ««-Yii.- 



Hier haben wir wieder mit den gewöhnlichen Molekolar- 
gewichten gerechnet. 

Wie man sieht, sind jetzt die Differenzen der Zahlen der 
beiden letzten Kolumnen der Tabelle zu groß um von der Über- 
einstimmung der Beobachtung mit der Rechnung überhaupt 
reden zu können. 

Man konnte auch hier glauben ein besseres Resultat bei 
verdünnteren Lösungen zu erhalten ; dem ist aber nicht so. Die 
Kurven m^ = f'{2\ m^==F{T), P^-^(p[T) sind für kleinere Kon- 
zentrationen sehr nahe gerade Linien und man bekommt fol- 
gende Tabelle. 



JVäfttr der fiiissiffen Zufi. 







Tabe 


lle IV 






Saaer 


Stoff ah 




TeOmin 


Dnurk. 










P - P,. 


"V'- "« 


n». 


m»' 


T 


l\ 


~ f« 


ti'"" 


OM 


0.838 


80,73 


755,5 


0,0060 


0,0046 


0,40 


1,065 


90,69 


752,5 


0,0101 


0,0077 


0,64 


1,104 


90,83 


748,0 


0,0160 


0,0124 


1,0* 


2,770 


90.53 


740,5 


0,0263 


0,0203 


1,44 


8,83fi 


90,43 


73il,0 


0,0368 


0,0284 



Der Grund der Divergenz der Beobachtung mit der 
heorie liegt also nicht in dem Einflüsse der Konzentration. 

Es lag nun die Vermutung nahe, man habe es hier mit 
inem Fall der Dissoziation zu tun. Wäre es aber wirklich 
B, ao würde man imstande sein, für äußerst verdUnnte LÖ- 
nngen [z. B. für m^ = 1,84.10-«, m„' = 4,9,10-«) 

r Gleichheit durch die Annahme bringen: 



und 



1) J/. - 3r,' 


-32; 


J/.-14 


«; - 14 


2) M, - M,- 


-32; 


«■ -28 


K - 1< 


3) Af,-e4; 


X^ - 32; 


«.-14 


«■-14 


i)K- 64; 


*,' = 32; 


*, -28 


<■-" 



Tis gelingt aber nicht 

Wir kommen also zu dem Schluß, daß die von Baly 
Mobachteten kleinen Stickstofi konzentrationen mit erheblichen 
''ehlem behaftet sind. Die Möglichkeit solcher Fehler ist 
laraus zu ersehen, daß Ealy nicht direkt m^, *n,/ bestimmen 
lonnte, sondern große Zahlen ni^,= \00 — fn^, m„'= lOU — m__', 
lind nun dw)ie Zahlen etwa 1 Proz, zu groß ermittelt, so ge- 
illgt das vollkommen um die Beobachtung und Rechnung 
n gute Übereinstimmung zu bringen. In der Tat bemerkt 
Hau aus der Kurvn m^' = F{T] von Baly^), daß man dieselbe 
'Uch merklich etwas anders ziehen konnte, als es bei Baly 
[öBchehen ist. 

Ea wäre also wünschenswert die Konzentrationen der in 
)8tracbt kommenden Lösungen einer neuen Untersuchung zu 

1 1) E. C. C. Baly, 1. c. p. 519. 



416 L. Ä. OoUkammer. 

unterwerfen. Was aber die flüssige Luft anbetri£Ffc, so kam 
man als bewiesen betrachten^ daß man es hier mit einer Lomaf 
zu tun hat. 

Nun bietet die Frage über die Natur der flüssigen Luft 
auch ein anderes Interesse dar. 

Die Erdatmosphäre befindet sich nach Lord Kelvin (186i| 
in dem Zustande des sog. ^^konvektiven Gleichgewichts'^ cLb. 
es entspricht die Abnahme der Temperatur der AtmosphSn 
mit der Höhe dem Gesetze der adiabatischen Ausdehnung der 
Luft. Während der seit dem Jahre 1862 verflossenen vienig 
Jahre hat diese Ansicht eine allgemeine Anerkennung er- 
worben: damit stehen im Einklang, sowohl die Beobachtungen 
in freier Luft, als auch die speziell angestellten Versuche in 
einer „künstlichen" Atmosphäre. ^) 

Ganz unabhängig von Lord Kelvin und wie es scheint 
ohne seine Arbeit zu kennen, hat dieselbe Theorie A. Ritter ^ 
sechzehn Jahre später veröffentlicht und sie zum Ausgangs- 
punkt einer Reihe sehr interessanter Betrachtungen gemacht^ 
Schreibt man der Luft die Eigenschaften eines idealen Gases 
bei allen Temperaturen und Drucken zu^ so läßt sich mit 
A. Ritter die Höhe der Erdatmosphäre zu 28,7 km berechnen. 
Für eine Atmosphäre aus reinem Wasserdampfe, auf der Erd- 
oberfläche bei 0" C. gesättigt, ergibt sich diese Höhe zu 
;j49 km. Für die feuchte Luft berechnet sich die Atmosphären- 
höhe nur einige Kilometer höher, als 28,7 km. 

Da nach den Sternschnuppenbeobachtungen Schiaparelli 
diese Höhe zu 200 km berechnet hat (und da femer die Be- 
obachtungen über die Polarlichter u. a. Erscheinungen dieselbe 
über 70 km ergeben), so schloß Ritter, daß wahrscheinlich auch 
für die wirkliche Erdatmosphäre diese Höhe sich über 200 km 
ergeben würde, wenn man die nötigen latenten Wärmen der 
Luft keimte, was zu Ritters Zeit nicht der Fall war. 

Leider fehlen auch jetzt diese Daten. Bemerkt man aber, 
(laß die physikalischen Konstanten der gasförmigen resp. der 
tlüssigen Luft denselben des Stickstoffs sehr nahe kommen, 

1) F. Hieharz, Ann. d. Phys. 10. p. 862. 1908. 

2) A. Ritter, Wied. Ann. 5. p. 405. 1878. 

3) A. Bitter, Wied. Ann. 6. 7. S und mehrere folgende. 



Natur der flüssigen Luft, 417 

scheint es interessant^ die Höhe der Erdatmosphäre aus 
inem Stickstoff zu berechnen. 

Dabei legen wir folgende Annahme zu Ghiinde. Das Gas 
ibe auf der Erdoberfläche die absolute Temperatur T^ = 290 
id den Druck /^^^ = 760 mm; an der Grenze der Atmo- 
liftre sei 7 = 0, /> » 0. Bis zur Sättigung betrachten wir das 
is als ein ideales. Die spezifischen Wärmen des Stickstoffs 

allen Zuständen seien von Temperatur und Druck unab- 
bigig. Bedeuten dann v das Volumen von 1 kg Gewicht 
faff, fl die Entropie, so berechnet sich die Höhe der Atmo- 
liftre nach der Formel 



-fm\ 



"- '-(ff)/'- 



Wir führen femer die Bezeichnungen ein: 

' ^-* ^» ^ö beiden spezifischen Wärmen des gasformigen 
IdcBtofiB in kg-cal; y = c^/c,. 

c, c die spezifischen Wärmen des. flüssigen bezw. des festen 
bei konstanter Dampfmenge. 

^ T^, p^ Temperatur und Druck der Verflüssigung des sich 
bbaüsch ausdehnenden Stickstoffs. 

^%9. P% Temperatur und Druck des Erstarrungspunktes. 

r^ die latente Verdampfungswärme bei T^, 

Om die latente Sdimelzwärme bei 2L. 

J SB 424 kg-m das mechanische Wärmeäquivalent. 

Dann nimmt das Integral die folgende Form an 

h = J{c,{T^ - ^i) + c{T^ - T^) + cT^ + r, + (>,} Meter. 

' Ist die Gleichung der Dampfdruckkurve p = f[T), so wird 
durch den Schnittpunkt dieser Kurve gegeben mit der 
U»ate T^ *■ ji^^ X konst ; schneiden sich beide Kurven 
^ so muß jTj «= T^ sein und diese Temperatur wird durch 
i Schnittpunkt der Gasadiabate mit der Sublimationsdruck- 
be p — JP{T) gegeben. Da nun für den Stickstoff c^ = 0,244, 
B 1,41 ist^ so lautet die Gleichung der Adiabate 

T = afF , lg a » 1,62466 , m = 0,2908 
l moB den Beobachtungen Ton Fischer und Alt ist leicht 

-FMtMlulit 27 



418 D. A. OoUhammer. 

zu ersehen^ daß diese Kurve mit der Dampfdrackkurre d« 
Stickstofifs keinen Schnittpunkt gibt Dann haben mrT^^Ip 

Nach Dawar beträgt die Atom wärme des flüssigen Stick- 
sto£f8 etwa 6 ; nehmen wir f)ir den festen Stickstoff diese Win» 
zu 6,3 und bemerkeu, daß angenähert c dnrch C^ (ftr da 
festen N^) ersetzt werden kauu, so berechnen wir 

C =M = o,45. 

Es bleibt uns nun T^, r^, g^ zu bestimmen. Fischer und 
Alt haben zwei Punkte der Sublimationskurve des Stickstofi 
ermittelt 



;> = 62, 


2»= 61,35, 


;> = 86 ± 4, 


T = 62,48, 


indem Olszewski^) fand 




p = 60, 


^=59, 


P= 4, 


2" =48. 



Trägt man diese vier Zahlenpaare auf das Eoordinaten- 
papier auf, so bemerkt man sogleich, daß der erste Punkt 
Olszewskis mit den Beobachtungen von Fischer und Alt 
unverträglich ist 

Da die neueren Beobachtungen sicherer zu sein scheinen, 
so könnten wir folgende Zahlen zugrunde fernerer Betrach- 
tungen wählen 

j9 = 86 , y = 62,5 , 

jo = 62, T=61,4, 

p=. 4, y=48. 

Schreiben wir aber die Gleichung der Sublimationskune 
in der bekannten Hertzschen Form 

lg;? = a--^ + clgy, 
BO berechnet sich b negativ, was offenbar unmöglich ist, da bei 



^^ ^ C Tinkelmanns Physik 2. 2. p. 765 o. 692. 1896. 



Naiur der flünigen Luft 419 

B aacli 7 SS sein muß und h den Grenzwert der Sub- 
lationsw&hne bei T^O bedeutet. 
Für die Gleichung von der Form 

Igt wieder & < und die Kurve zeigt zwischen T ^ i& und 
«B zweimal dpjdT^Q, was dem bekannten Verlaufen der 
iblimationskurven widerspricht. 

Wir halten daher nur an den Ergebnissen von Fischer 
id Alt fest und benutzen die Formel von Zeuner 

Dann folgt für 

;7 = 86, y= 62,48, 

;i = 62, T= 61,35, 

n = 0,05 578, lgÄ= 1,68 783 

Qd zur Bestimmung von p^ , 7, haben wir zwei Gleichungen 

lgy=lgÄ + nlg;>, 

IgT^lga + mlgpy 
eren Lösung gibt 

77, «1,9, T, = 50,4. 

Die Sublimationswärme des Stickstoffs läßt sich in tib- 
ßher Weise nach der bekannten Formel 

2 1* dlgnP 

^rechnen, worin der Differentialquotient aus der Sublimations* 
ine entnommen werden muß. 
Wir haben nun 



id folglich 



\B gibt einfach 



^ lg» n L_. 

d T " nT ' 



r + e =^, n = 0,05 578. 

Für T^ a 50,4 berechnen wir daraus 

r, + p, = 64,5 



27 



420 D. Ä. Ooldhammer. 

und für den Erstamingspankt des Stickstoflfs, T » 62^48, folgt 

r + Q = 80,0. 

Daß diese Zahlen ziemlich genau sind^ läßt sich auf folgende 
Weise zeigen. 

De Forcrand ^) hat folgenden Satz aufgestellt: Die mole- 
kulare Sublimationswärme eines Gases bei 760 mm Dmck ist 
seiner absoluten Siedetemperatur unter diesem Druck pro- 
portional. 

Der Proportionalitätsfaktor schwankt dabei zwischen 28 
und 32, also beträgt im Mittel 30. ^ Wie wir sahen, fanden 
Fischer und Alt die Erstarrungstemperatur von N^ zu 62,48 
bei 86 mm Druck; da aber der Einfluß des Druckes auf die 
Erstarrungstemperatur im allgemeinen nicht groß ist, so miiB 
auch die Erstarrungstemperatur des Stickstoffs bei 760 mm 
nur wenig von 62,48 verschieden sein; mit der normalen Siede- 
temperatur dieses Stoffes 77,33 haben wir also 

_28(r + g)^ 
77,33 

und daraus 

r + () = 82,9 bei 62,48, 

welche Zahl nur etwa 3,5 Proz. größer ist, als die auf ganz 
anderem Wege ermittelte Zahl 80,0. Jetzt haben wir 

h = 424 {0,244. 239,6 + 0,450. 50,4 + 64,5} Meter 

also rund 

Ä = 62 km. 

Die Sublimationswärme des Sauerstoffs unter 760 mni 
Druck berechnet sich nach der Formel von de Forcrand ru 

, 30.90,79 ^p, . 

Da auch die spezitischen Wärmen des Sauerstoffs nicht weit 
von (liMiselbon des Stickstoffs verschieden sind, so schheßen 
wir, (laß (Ho Höhe der Erdatmosphäre aus reinem Sauerstoff 
etwa 70 — 7") km betragen muß. 

In achten wir femer, daß die Anwesenheit des Wasser- 
danipt'es // hiu^hstens um 1 — 2 km vergrößern kann, so er- 

l) ilo Forcrand, Compt. rend. p. 879. 1901; Beibl. 26. p. 501. 1901. 
r neu wir für Wasser bei 0^ C. r + ^ => 622 anstatt 680. 



Natur der flüssigen Luft 421 

\i sich die Höhe der Erdatmosphäre aus Luft nicht viel größer 
\ 70 Am. Diese Zahl stimmt mit der Polarlichtbeobachtung 
nz gut überein, nicht aber mit den Sternschnuppenbeob- 
htungen. 

Wir können diese Höhe über 200 km nur dann erhalten, 
enn wir annehmen, daß die beim Ausfrieren des Stickstoffs 
ei werdende Entmischung s-^ Losung s-) Wärme mehrere Hunderte 
alorien betrage. Ob das wirklich der Fall ist, müssen die 
ikünftigen Untersuchungen entscheiden. 

Kasan, im Juli 1903. 

(Eingegangen 14. September 1903.) 



422 



52. Über die allgemeinen Differentialgleiclmiigen 
der Kristalloptik naeh der elektromagnetischen Theorie 

des Lichtes. 

Von B. Kobald in Leoben. 



Schon Maxwell, der Schöpfer der elektromagnetucben 
Theorie des Lichtes, hat in der Abhandlung^) ^ dynamicil 
theory of the electromagnetic field^' und in seinem Treatiie 
Differentialgleichungen für die Fortpflanzung des Lichtes io 
zweiachsigen Kristallen entwickelt Hertz ^ hat in engen 
Anschlüsse an die von ihm gegebene Modifikation der Maxwell- 
sehen Gleichungen für isotrope Medien allgemeinere Differential- 
gleichuDgen f&r anisotrope Medien, gestützt auf gewim 
Analogien y jedoch ohne einen eigentlichen Beweis, aufgestelli 
Der Grundgedanke der Hertz sehen Darstellungsweise sovie 
das Yon ihm angegebene System von Gleichungen findet nd 
auch bei den späteren Bearbeitern^ dieses Gegenstandes 
wieder. Insolange nun die Anisotropie sowohl f&r den elek- 
trischen als auch für den magnetischen . Zustand zum Aus- 
drucke kommen soll, stimmt der Bau der vorerwähnten 
Gleichungen von Hertz mit dem jener Gleichungen, welche 
aus der Elastizitätstheorie des Lichtes hergeleitet und von 
Lame*) sowie auch von Kirchhoff^ in so eleganter Weise 
dargestellt wurden, nicht tibereiu. Später gelangte Kirchhoff 
auch in seinen Vorlesungen über Elektrizität und Magnetismus*) 
zu Gleichungen von dem L am 6 sehen Typus, indem er von der 
alten Femwirkungstheorie ausgehend durch Einführung di- 



1) J. C. Maxwell, Scient. Pap. 1. p. 588. 

2) H. Hertz, Ges. Werke 2. p. 217. Gl. 5a u. 5b. 
8) Handbuch der Phjsik von Winkel mann 2. Abt 1. p. 

P.Drude, Lehrb. d. Optik p. 286 ff.; Cohn, Das elektromagnetlMhe 
Feld p. 555. 

4) G. Lam6, Theorie math^matique de Tölasticit^. 2* M. P'231> 

5) G. Kirchhoff, Ges. Abhandlungen p. 864 ffl 

6) Herausgegeben von M. Planck p. 228. 



Differentialglekkungen der Kristalloptik, 423 

ktriscber Polarisationen den Übergang zu der ^^yon Maxwell 
(gestellten elektrischen Theorie des Lichtes'' machte. Im 
ichstehenden soll nun gezeigt werden^ daß man auch dann^ 
)nn man yon der Max well sehen Theorie ausgeht^ zu analogen 
leichungen sowohl für den elektrischen als auch für den 
Agnetischen Zustand gelangt. 

um die Herleitung der Gleichungen auf eine möglichst 
obere Grundlage zu stellen, soll das von Helmholtz^) in 
ie EUektrodynamik so erfolgreich eingeführte ,,Prinzip der 
Idnsten Wirkung'' zur Anwendung gebracht werden. 

Das hierbei zu variierende ^^elektrokinetische Patential", 
elches mit bezeichnet werde, setzt sich aus der elektrischen 
inergie 0^ der magnetischen Energie <I>^ und einem dritten 
rst später zu bezeichnenden Teile, der mit 0, bezeichnet 
«rde, zusammen. Dann hat man: 

Aus ZweckmäBigkeitsgründen mögen statt des in den Hertz- 
:hen Gleichungen vorkommenden Vektors der elektrischen 
od der magnetischen Kraft die Komponenten der dielektrischen 
'olarisation^ (/*, g, h) und jene der magnetischen Polarisation^ 
ii h, c) eingeführt werden. Bezeichnet man die in der 
olumeneinheit enthaltene elektrische und magnetische Energie 
eziehungsweise mit V und T, so kann nach Maxwell und 
[ertz in dem gedachten allgemeinen Falle gesetzt werden: 

Bezüglich der Eonstanten K^^^ . . ., fi^^^ . . . ist zu be- 
lerken, daß, wenn im Falle der Isotropie gesetzt wird: 

f ^l,J = ^»,8 = -^8.1 = Ih.i = ^.8 = /*8,1 = 

IT m— fC IC ^ 



t) 



) 



_ _ 1 



1) H. Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen 8. p. 476 ff. 

2) L. Boltzmann, Vorlesungen über Maxwells Theorie 1. § 85. 
8) H. Hertz 1. c. p. 228 und 224. Daselbst sind (a, b, e) mit 

ii, %^, %^) bezeichnet. 



424 E. KobaM: 

die Größe K die Dielektrizitätskonstante und /ti die Magneti- 
sieningszahl — Permeabilität — bedeutet 

Wird das Baumelement mit dt bezeichnet^ so sind die 
elektrische und magnetische Energie dargestellt mittels der 
Gleichungen : 

f *. =fF.rfT 

(4) •> 

Hierin kann man sich die Integrationen über den ganzen un- 
endlichen Raum erstreckt denken. 

Die magnetische Polarisation {a, b, c) möge nun durch 
einen neuen Vektor (F, G, H), welcher von MaxwelP) als das 
elektrokinetische, von Poincar6^ und von Boltzmann*) 
das elektromagnetische Moment bezeichnet wird und mit 
von Heaviside und Hertz aus der Maxwellschen Theorie 
hinausgeschafften Vektorpotential im Falle der Isotropie 
identisch ist, mittels der Gleichungen dargestellt werden: 

dH da 



(5) 



2 = 



dy dx 

BF dH 



dx dx 



dx dy 



Der Teil des elektrokinetischen Potentials, welcher oben 
mit 0<, bezeichnet, aber noch nicht definiert wurde, sei durch 
das über den ganzen unendlichen Raum erstreckte Integral, 
in welchem t die Zeit bedeutet, dargestellt: 

Die Wahl von 0^ ist derart getroffen, daß für jene Werte 
der Variablen, für welche: 

(7) sJo.dt^O 

ist, ^ 

1) J. C. Maxwell, Treatiae 2. § 590; Scient Pap. 1. p. 55. 
1») J. Poincare, felectricit^ et Optique !• § ISO et § 167. 
3) L. Boltzmaun, Vorlesungen 1. Art SS. 



ach 



infferefäialglekhungen der Kristalloptik. 425 

«».= -20., 



*-*.-<"« 



'aßt man also die elektrische und magnetische Energie 
ungsweise als potentielle Energie und lebendige Kraft 
rer Massen auf^ so ist für den gedachten besonderen 
das aus (7a) sich ergebende, zu variierende Integral 
3ch mit Hamiltons Prinzipalfunktion. 
)enkt man sich zunächst die in (7) angedeutete Variation 
{P, G, H) als unabhängigen Variablen ausgeführt, so 
sich : 

3der nach (5) 

\db dx de dy ) \dc dx da dx ) 

^ [da' dy db' dx )' 

[an wende nunmehr in den Raumintegralen, welche nach 
lie Ableitungen von [SF, SG, S H) nach (x, y, z) ent- 
, die teilweise Integration an und erwäge, daß im Un- 
hen die Variationen der unabhängigen Veränderlichen 
srschwindend angesehen werden dürfen. Setzt man so- 
die in den Raumintegralen vorkommenden Faktoren von 
3G, 3H) einzeln gleich Null, so ergibt sich das erste 
Q der gesuchten Gleichungen: 

±f ^ d d_T d dT 

d i ^ d y de d x db 

dg ^ d dT _ d dT^ 
d t ^ dx d a d X d c 

dh ^ d d T'_ d dT 
d t ^ d X db d y d a ' 



426 



E. Kobold. 



Variiert man das Integral (7) nunmehr nach den Vi>ta i 
riabeln (f, ff, h), so wird z. B. bei der Variation nach dffj 
unabhängigen Variabein f: 

Integriert man in dem zweiten TeUe dieses Integnli 
partiell nach t, so erhält man die drei weiteren Gleichungen: 



(9) 



dF 


dV 


dt 


~ ^f 


da 


d V 


dt 


~ dg 


dH 


d V 



dt 



dh 



dieselben sind o£fenbar die ,,DielektrisierungsgleichuDgen*'^ ftr 
ein anisotropes Medium, wenn keine äußeren elektromotori8che& 
Kräfte wirken. Durch Kombination derselben mit den Gleicbon- 
gen (5) ergibt sich das zweite System der gesuchten Gleichnngeo: 



(10) 



da 
dt 


d 

" dx 


dh 

dt 


d 
"" dx 


de 
dt 


d 
dv 



d V 
dg 
d V 
dh 

d V 

'd~r 



d_ 

d 
dx 

d 



dV 
dh 

dV 
df 
d V 



dx dg 



Führt man in die Gleichungen (8), (9), (10) die Funktion 

ein, so nehmen dieselben die übersichtliche Form an: 

df ^ _d_ d^ d_ d^ 

dt d y de dx db 



(Sa) 



9a) 



dF_ _ d^ 
dt df 



lüu. 



d a 



J d± 

dy d h 



_d d^ 

dx dg 



:;^Boltsmann, Vorl. üb. Max well 8 Theorie eto. L Teil p. 19. 



Differentialgleichungen der KristaUoptUu 427 

Charakteristisch f&r die gefundenen Gleichungen ist das 
iftreten von genau transversalen Wellen, sowohl wenn f)ir 
ti Lichtvektor jener des elektrischen Zustandes [f, g, h) als 
ch wenn jener des magnetischen Zustandes (a, b, c) gewählt 
rd. 

Nachträglich soll noch gezeigt werden, daß^ wenn die aus 
m Minimalprinzip hervorgehenden Gleichungen (8) erfüllt 
tdy tatsächlich^ wie schon früher behauptet wurde, 

rd. 

Unter der vorerwähnten Voraussetzung wird nämlich: 



*•-/{'( 



dy de d% db)'^^\dx da dtde) 

Dreh Anwendung der teilweisen Integration auf der rechten 
nte dieser Gleichung erhält man mit Rücksicht auf (5): 

Die Gleichungen (8) erhält man auch, wenn man nach 
oltzmann^] der Prinzipalfunktion von vornherein die 
amiltonsche Form erteilt, wobei bezüglich der Rolle, welche 
jn Energie werten </>^ und </>^ zufällt, die früher gemachte 
Bmerkung gilt Bei Annahme dieser Form des Minimal- 
inzips müssen die Dielektrisierungsgleichungen (9) a priori 
9 gegeben vorausgesetzt werden. 

Diese Voraussetzung ist mit der Maxwellschen Theorie 
les anisotropen Dielektrikums in voller Übereinstimmung, 
nerseits sind nämlich im vorliegenden Falle die Komponenten 
r elektromotorischen Kraft der Induktion die Ableitungen 

(_dJl _dO_ _dJS\ 
[ dt' dt' dt)' 

ihrend dieselben andererseits^ wie im 1. Bande des Treatise^ 

1) L. Boltzmann, Vorlesnngen über Maxwells Ülieorie der 
sktrirität und des Lichtes. IL Teil p. 7. 

2) § 101 6 und 101 £ 



428 E. Kobold. 

ansgeführt ist^ lineare Funktionen der dielektrischen Ver- 
schiebungen {f, ff, h) sind, welche unter der Form 



( dV dV dV_\ 
\df ' dg' dh ) 



darstellbar sind. In der GrleichuDg: 

(11) dJdtf{T-- V)dT = dCdtJ^dz = 

ist Dach dem Bemerkten für F zu setzen: 

(12) _2r=/.-^+.9 -^^ +A-^— ; 

die Variationen in Gleichung (11) sind so zu bilden, daß hierbei 
{F, G, H) als unabhängige Variabeln anzusehen sind. An 
(12) ergibt sich zunächst 

q^j^ fdöF , dSa . , ddS 



-(V;^^+4f^.^+4f**).^^ 



/ION jtiT /- ^^^ t dÖG . , dÖH 

Für die Variation S T ist der Wert aus (7 b) zu entnehmen 
Nachdem man die bezüglichen Werte in (1 1) eingesetzt hat, 
ist in den Integralen, welche die Ableitungen der Variationen 
[SF, dG, dB) nach den Koordinaten bez. nach der Zeit ent- 
halten, die teilweise Integration ausgeführt zu denken. Be- 
achtet man das Verschwinden der Variationen der unab- 
hängigen Veränderlichen im Unendlichen, so ergeben sich 
durch Nullsetzung der Faktoren von {dF, SG, d H) in den 
Raumintegralen abermals die Gleichungen (8). 

Es mag noch die Bemerkung Platz finden, daß sich auch 
die entsprechende Verallgemeinerung des Poyntingschen 
Theorems leicht beweisen läßt. Multipliziert man nämlich die 
Gleichungen (8) bez. mit 

/ d_V d V d V \ 
\df' dg ' dh ) 

und addiert sie sodann zueinander und führt man dieselbe 
Opeiiidon mit 

d_T d T^ d7^\ 
da' db ' "de ) 



B. KobaUL Differentialgleichungen der KristaUoptik, 429 
3zug auf die Gleichungen (10) aus^ so erhält man zunächst 

+ T) ^ ^ \db ' dh de ' dg) \d c ' df d a ' dh) 

(dT d_V_ dj dV\ 
, [id ' dg db'df) 



dz 



Multipliziert man beide Seiten dieser Gleichung mit dem 
imelement dr und integriert in bezug auf den ganzen 
rachteten Raum, so wird, indem die Raumintegrale rechter 
id des Gleichheitszeichens sich in Oberflächenintegrale 
setzen: 

id{0,+ 0J 

) ^^ 

^^[dc df da dh)^^\da dg db a/"// ' 

dieser Gleichung bedeutet d(o das Oberfiächenelement und 
m, n) sind die Kosinusse der Winkel, welche die Normale 
t den Koordinatenachsen einschließt 

(Eingegangen 15. September 1908.) 



~J\ \ db dh de dg ) 



430 



53. Über den Banm der Atome nnd Moleküle. 

Von J. Traube in Berlin. 



Seit einer Reihe von Jahren mit Arbeiten Aber den 
Raum der Atome ^) beschäftigt, erscheint es mir wanschent- 
wert, den wesentlichßten Inhalt dieser Arbeiten in einer kanoi 
Mittel lung zusammenzufassen. 

Indem ich nach Kopps Methode die f)ir gewöhnliche Tem- 
peratur berechneten Molekular volumina (Molekulargewicht: 
Dichte] solcher Verbindungen miteinander verglich, welche sidi 
um eine bestimmte Differenz der Zusammensetzung llBte^ 
schieden, gelang es mir die Atomvolumina zu berechnen, und 
für das Molekularvolumen V^ den folgenden Ausdruck n 
finden: 

2V^ ist die Summe der Atomvolumina , Q> eine Größe, 
welche von mir als molekulares Eovolumen bezeichnet und 
als der Raum gedeutet wurde, welcher den Atomen zu ilirer 
fortschreitenden Bewegung zur Verfügung steht (Raum für den 
freien Äther). 

Die Bedeutung dieser Gleichung wurde sogleich ersiclitr 
lieh; als ich van der Waals Zustandsgieichung in den Kms 
der Betrachtungen hineinzog. Es ergab sich, daß die Werte F. 
identisch^ waren mit van derWaals Größen i, sobald diese 
Größen nach van der Waals Gleichung durch fänsetznng 
der Volumeuwerte flir den flüssigen Zustand für zwei be- 
nachbarte Temperaturen berechnet werden. war somit 
nichts anderes als die Größe t? — ä von van der Waals, und 

1) Vgl. die Zusammenstellung: J. Traube, Ober den Banm der 
Atome, F. 13. Ahrens Samml. ehem. u. chem.-techn. Vort, Enke, Stutt- 
gart 1899; femer Ann. d. Phys. 5. p. 548. 1901 u. 8. p. 267. 1902; 
Zeitschr. f. anorg. Chem. 34. p. 413 und 37. p. 225. 1903; PhTsik. Zeitschr. 
4. p. 569. 1903. 

2) J. Traube, Ann. d. Phys. 5. p. 552. 1901. 



Bavm der Atome und Moleiii/e. 491 

bige Gleichung ging in voller Übereinstimmung mit van der 
ffaals Theorie über in die Gleichung 

•> - 4 + (» - »). 
H, Kopp hatte vor mir die Molekularrtlume von Ver- 
bindungen bei ihren Siedepunkten verglichen und er war zu 
der Gleichung gelangt: 

Dieser Widerspruch von Kopps Gleichung und der- 
jenigen von mir wird leicht beseitigt, wenn man bedenkt, 
iii die normalen Siedepunkte annähernd übereinstimmende 
Temperaturen sind, und für solche Temperaturen sind die 
■Werte * und t> — b einander proportional, Kopp hat aus 
diesem Grunde die Größe fp = v — b Übersehen. 

Wir wollen nunmehr die Größen 2F^ = b und = v — b 
gesondert betrachten und die wichtigsten Ergebnisse meiner 
Arbeilen hinsichtlich dieser Größen zusammenfassen. 

IDla Atomräuma £ V^ ^ b und das Esrnvolumeu , die 
Oröfle " ~ „ -r . 
n' + 2 d 

Nach van der Waals ist die Größe b viermal so groß 
»Is derjenige Raum , welchen ich als das Kemvolumen be- 
zeichnet habe, d. h. der Raum, welcher von der ponderablen 
Uaterie als solcher eingenommen wird, b ist nach Clausius 
gleich jenem Kemvolumen vermehrt um die Hülle von ge- 
bundenem Äther, in welche kein anderes Atom eindringen 
kann. Nach der Theorie von Clausius-Mosotti-Exner ist 
iQ roher Annäherung ein Maß jenes Kernvolumens die Größe 

weoD wir für die Dielektrizitätskonstante aus noch nicht ge- 
aQgend aufgeklärten Gründen besser den optischen Brechungs- 
index substituieren. 

Es wurde nun von mir gezeigt'], daß in der Tat, soweit 
~ I Theorie dies erwarten läßt^ in roher Annäherung 



1) J. Traube, Ann. d. Phya. i 



432 /. Traube. 

ist, und damit wurde eine Bestätigung der Ansichten ▼(xb 
Tan der Waals einerseits, der Annahmen von Clausias- 
Mosotti-Exner andererseits erbracht Voraussetzung ist in 
dessen, daß die Größe b aus dem Verhalten des flüssigen Zustan- 
des abgeleitet wurde. Berechnete man dieselbe aus dem Verhalten 
der Gase, so wurde aus dem Faktor 4 der Faktor 4y2.^) 

Es wurde nun ferner ^ von mir gezeigt, daß die Größe h^ 
sowie dieselbe beispielsweise nach Kopps Methode berechDet 
wurde, nur einen Mittelwert darstellte. Der Raum der Atome, 
die Größe ^, erwies sich als veränderlich, und zwar von Ver- 
bindung zu Verbindung. Es ließ sich der später auch lon ' 
Richards bestätigte Satz^ aufstellen, daß der Raum eines 
Atoms {b) um so kleiner ist, je größer die Affinität zu den 
benachbarten Atomen ist Dieser Satz besagt eigentlich nichtB 
anderes, als daß die von jeher als kompressibel angesehenen 
Atome durch den Affinitätsdruck im Verhältnis zu der GrMe 
desselben verkleinert werden. Damit wird die Kontraktion der 
Atome ein wichtiges Maß der Affinität, und der von mir *) be- 
reits erwähnte, von Richards^ weiter erbrachte Nachweis, 
daß jene Eontraktion der Atome in nächster Beziehung stellt 
zur Bildungswärme der Verbindungen , ist von größter Be- 
deutung. 

Der Umstand, daß infolge einer verschiedenen Affinität der 
Kaum eines Atoms oft wesentlich verändert wird durch die 
Nachbarschaft anderer Atome, ermöglichte in chemischer Hin- 
sich nicht unwichtige Schlüsse auf die Konstitution und Kon- 
figuration von Verbindungen. So ist beispielsweise mitdemEng- 
schluß zum Benzolring eine erhebliche Verkleinerung des Volu- 
mens der KohlenstoflF- und Wasserstoffatome verbunden, und es ist 
möglich, auf volumetrischem Wege die Zahl und Qualität der 
Ringe, ja selbst der Ringspannungen®) vorauszusagen. Von 
Interesse für die Atomistik war es, die auf diesem Wege ge- 



1) J. Traube, Ann. d. Phys. 5. p. 560. 1901. 

2) Kaum der Atome 1. c. p. 22 u. Ann. d. Phys. l. c. p. 550. 1901. 
a) 'I'h. W. Richards, Zeitschr. f. phys. Chem. 40. p. 172 u. 1S4. 1902. 
,J. Traube, Zeitschr. f. anorg. Chem. 3. p. 23. 1892. 

:0 Th. \V. Richards, Zeitschr. f. phys. Chem. 40. p. 171 u. 547. 1902. 
t)) J. Traube, RÄ"tri Her Atome L c. p. 26. 



Rnum der Atome und Moleküle. 



Ddenen Volumenschwankiingen der OröfJer 
,it der Variabilität der GröUe 



jrgl eichen 



reiche als rohes Mab des Kernvolumens angesehen werden 
larf. Wie Landolts und BrUhla Arbeiten gezeigt haben, 
rird aach dieses Kernvolumen der Atome durch den meist 
ide Tauaende von Atmoaphären betragenden Aftinitiltadruck 
Keinflußt, wenn auch die Kontraktionen der dreimal so großen 
.ilherhülle" naturgemäß weit erheblicher sind, als diejenigen 
les inneren Kernes der Atome, 

Man kann die Größen fi auch, wie ich gezeigt') habOj 
ui<; dem Verhalten der Lösungen feststellen, mit Hilfe der 
'Oa mir als Lösungsvolumen bezeichneten GrUße, d. h. das 
Polumen der Lösung vermindert um das wirkliche oder schein- 
bare Volumen des Lösungsmittels. Auch dieses Lösungs- 
rolumen setzt sich zusammen aus den Atomräunien, den 
SrBBen b, und einem molekularen Kovolumen v — b. Die auf 
äiesem Wege namentlich für verdünnte wäJJrige Lösungen 
Dach Kopps Methode berechneten />-Werte stimmten im Mittel 
mit den aus homogenen Flüssigkeiten berechneten Ä-Werten 
filierein, zeigten indessen wegen Wegfalls mancher Störungen 
wesentlich geringere Schwankungen als jene, wenngleich auch 
lier die konstitutiven Einflüsse sich geltend machten. 

Zu vielfach auffallenden Zahlenverhältnissen wurde ich ge- 
Bhrt*), als ich die auf diesem Wege gefundenen Atomvolumina 
erwandten Elemente miteinander verglich, Die gesetzmäßigen 
leziehungen der Atomrä"»ie verwandter Elemente sind noch 
»hlreicher als diejenigen der kiojagewkhte, und ich habe den 
■edanken "] ausgesprochen , daß wir vermutlich zu einer weit 
)llendeteren Systematik der Elemente gelangen, wenn wir an 
teile des auf zu einseitigem Prinzip beruhenden und mit 
"oßen Mängeln behafteten periodischen Systems ein System 
ählen, in welchen Elemente und Verbindungen in einer Reihe 
};licher Famihen eingeordnet sind, bei deren Aufstellung 



U) J. Trau 
^ L o. p. 1 



, Raum der Atome p. 



484 J. Traube. 

die räumlichen Beziehungen der Atome ebenso anssdiiif 
gebend wären ^ wie diejenigen der JUasse. Es zeigte a 
namentlich, daß die Eigenschaftsändernng eines Elementes bek 
Übergang aus dem elementaren Zustande, in den Zustul i= 
einer Verbindungsstufe, und aus dieser wieder in eine anchn 
Verbindungsstufe, namentlich also auch der Valenzwechsd, 
und damit auch die elektrochemischen Beziehungen in tmiige, 
wenn auch bei weitem noch nicht genügend untersuchter B^ 
Ziehung zu den räumlichen Änderungen der Atome steh^ 
Die Größe b ist ebensowenig wie die Größe 

n * ~ 1 1 
n« + 2 d' 

das Eemvolumen eine Funktion der Temperatur ^}, aber beide 
Größen sind Funktionen des Druckes, die Atome sind ib» 
pressibel, und darauf ist es zurückzuführen, daß auch die 
Größe b im gasförmigen Zustande wesentlich größer ist, all \' 
im festen und flüssigen Zustande. *) 

Auf p. 431 und 432 wurde darauf hingewiesen, daß 

^ 4y2 4:^l 

ist, während 

^« = ^n«-+2-d 

sich berechnet, sofern man von den assoziierten Flüssigkeiten 
absieht. Da das Kemvolumen, die Größe 

n» ~ 1 1 
n* + 2 d 

nach Brühls u. a. Berechnungen vom Aggregatzustande unab- 
hängig ist, so folgt, daß b für den Gaszustand größer ist als 
für den Flüssigkeitszustand. Auch die Anwendung von van 
der Waals Gleichung auf Gase und Flüssigkeiten führt zu 
dem gleichen Ergebnis. 

Der Grund liegt, wie erwähnt, in der Kompressibilität 
der Atome. Wie nach p. 3 der Afünitätsdruck eine Kon- 
trmktion der Größen b herbeiführt, so läßt sich auch nacb- 

U Ann. d. Phys. 8. p. 267. 1902; Zeitschr. f. anorg. Chem. S4. 
-i -Ci. 1908; Phys. Zeitschr. 4. p. 569. 1903. 



Raum der Atome und Moleküle, 436 

)n^), daß durch äußeren Druck die Atome komprimiert 
en, und es ist danach zu erwarten, daß der unter ge- 
ilichen Verhältnissen ca. 1000 Atm. betragende innere 
3k afv^ auch eine erhebliche Verkleinerung der Größe b 
orbringt. Wird der innere Druck aufgehoben, wie bei der 
lampfiing, so wird b wesentlich größer, und ich habe he- 
uet *), daß unter den Bedint/ungenj welche die Verdampfungs- 
heinnngen im geschlossenen Rohre in der Nähe der kri- 
\en Temperatur darbieten, b^^^ gleich etwa 2 b^ ist, d. i. das 
amen beim absoluten Nullpunkte. Ein Gason ist unter 
;en Bedingungen zweimal so groß als ein Fluidon, Indessen 
es sehr wahrscheinlich, daß der Maximalwert' eines Gasons 
mtlich größer ist. *) Es ist sehr bemerkenswert , daß 
i der Waals sich jenen Anschauungen von mir in neuester 
t^] voll und ganz anschließt, selbst bis auf die Gleichung 
= 2^^^: Die Priorität für jene Annahme darf indessen ich 

wohl zuschreiben, da ich zuerst jene Hypothese ener- 
;h verfochten, und auf ihre zweifellos sehr weitgehen- 

Folgerungen ^) hingewiesen habe. Wieweit die Anwen- 
ig dieser Hypothese von räumlich verschiedenen Gas- und 
ssigkeitsmolekülen die Theorie des kritischen Zustandes be- 
iußt% soll hier nicht weiter erörtert werden, auch scheint 

die Frage, ob Gasonen und Fluidonen in der flüssigen 
1 Gasphase in einem von der Temperatur abhängigen Ver- 
tnisse ineinander löslich sind \ aus einigen Gründen wahr- 
einlich, indessen noch nicht hinreichend sicher gestellt, 
t scheint es, als ob der Übergang der Fluidonen in Gasonen 
langsam verlaufender Vorgang ist. 



1) Zeitschr. f. anorg. Chem. 1. c. p. 425. 

2) J. Traube, Ann. d. Phys. 8. p. 295. 1902. 

3) J. Traube, Phys. Zeitschr. 1. c. und Zeitschr. anorg. Chem. 37. 
125. 1903. 

4) Van der Waals, Akad. Wet Amsterdam, 23. Juli 1903. 

5) J. Traube Ann. d. Phys. 5. p. 560. 1901; ferner 8. p. 267. 
l und Phys. Zeitschr. 1. c; vgl. dagegen van der Waals, Zeitschr. 
hys. Chem. 38. p. 257. 1901. 

6) 1. c. Vgl. auch demnächst 1904 erscheinende Mitteilungen von 
ebner in den Ann. d. Phys. und von mir Zeitschr. anorg. Chemie. 

7) 1. c. 

28* 



.1 



:*i 



436 /. Traube. 

Während der Übergang vom flüssigen in den gasförmigei 
Zustand mit einer Änderung der Größe b verbanden vA\ 
die in der Berechnung der Verdampfungswärme,! der speafr 
sehen Wärmen, der Aufstellung und Deutung der Isotherma ^^ 
ihren Einfluß geltend macht, bleibt beim UbergaDg tw 
flüssigen in den festen Zustand die Größe des Fluidons um- 
geändert, wie ich unter Anwendung von Kopps Methode, 89- 
wie von yan der Waals Gleichung *) nachgewiesen habe. 

Bemerkenswert ist, daß für die nach 10000 Atm. zählendei 
Affinitätsdrucke, sich ein Einfluß nicht nur auf die Konstante i^ 
sondern auch auf das Kernyoluroen 

n* - 1 1 



n« + 2 d 

nachweisen Heß, während der wesentlich kleinere innen 
Druck ajv'^ nur die Bäume der Atomhüllen 

h — ^*- ^ ^ 

n' + 2 d 
und nicht diejenigen der Atomkerne 

n« + 2 d 
zu beeinflussen scheint. 

Das molekulare KoTolumen f — 6. 

Das molekulare Kovolumen ist im Gegensatz zum Kern- 
Volumen und der Größe b nicht nur eine Funktion des BruchSi 
sondern auch der Temperatur. 

Was die Funktion des Druckes betrifi^ so folgt dasselbe 
streng in allen drei Aggregatzuständen dem Gesetze vonBoyle- 
van der Waals, in bezug auf die Temperatur ebenso streng 
dem Gesetze von Charles-Gay-Lussac-Dalton. Auch gut 
namentlich für den flüssigen Zustand in roher Annäherung 
das Gesetz von Avogadro^, insofern bei gleicher und ge- 
w()lmlicher Temperatur für die meisten Flüssigkeiten sich die 
inneren Drucke a/v^ als nicht sehr verschieden erwiesen haben. 

1) 1. c. 

2) J. Traube, Raum der Atome, 1. c. p. 34 u. Zeitschr. f. aiiorg. 
Chem. 1. c. 

3) J. Traube, Ann. d. Phjs. 5. p. 553. 1901 und Raum der 
Atome 1. c. 



üatim der Atome und MotekiUe. 



437 



Die BerechnoDg des KovolumeiiB l'tlr Flüssigkeiteu wie 
cb feste Stoffe erfolgt weniger genau nach Koppa Methode, 
Dauer nach van der Waals Gleichung, insofern diese Glei- 
ititg sich auch auf den fegten'^) Zustand ab anwendbar er- 
eien hat. Für den flüssigen Zustand berechnete ich fttr 
e meisten normalen, d. h, nicht assoziierten Flüssigkeiten, 
LS Kovolumen pro (irammmolekül bei 0" und 76 cm zu 
t. 25 ccm. Da das molekulare KoTolumen der Gase unter den- 
Iben Bedingungen gleich ca. 22 400 ccm ist, so berechnet 
üb der innere Druck ajv^ der meisten Flüssigkeiten im Mittel 



ne Zahl, welcbe mit anderen Berechnungen übereinstimmte, 
flr assozierte Flüssigkeiten, wie Hydroxylverbinduugen etc. 
ttren die molekularen Kovolumina ihrem Assoztationsgrade 
itaprechend mehr oder weniger kleiner als 25 ccm und man 
mnte auf diesem Wege unter der allerdings nur in roher 
^eise zulässigen Anwendung des Gesetzes von Avogaciro 
ne rohe Berechnung des Aasoziationafaktors Lerbeiführen *], 
e bei dem Mangel besserer Methoden zurzeit nicht ohne Be- 
mtung ist. Ebenso hat die voa mir auf die Anwendung des 
iUes von Ävogadro begründete Methode zur Berechnung 
is einfachen Molekulargevrichta ^ trotz der rohen Voraus- 
itznngen auch jetzt noch ihre Bedeutung. Namentlich gilt 
es für Stoffe, welcbe in wäßriger Löaung sich befinden. Ich 
ibe gezeigt, daß hier in verdünnter Lösung*) für die Nicht- 
iter das molekulare Lösungsvolumen gleich ist der Summe 
;r Ätomräume und einem molekularen Kovolumen, dessen 
röße nur geringen Schwankungen unterworfen ist und bei 
twöhnlicher Temperatur gleich etwa 12,4 ccm ist. Der Satz 
m Ävogadro gilt hier jedenfalls wesentlich genauer ala für 
>mogene Flüssigkeiten, und die Gleichheit des molekularen 
ovolumens ermöglicht eine einfache Methode der Motekular- 
iwichtsbesttmmung. Da das molekulare Kovolumen einer 



K) J. Traube, Zeitiehr. f. anorg. Chem. 1. e. 
|iS) J. Traube, Raum der Atome p. 40. 



Baum der Atome und Moleküle. 489 

Anderang des Volumens mit der Temperatur bezeichnet. 

I gingen bei den Metallen parallel den Härten und Elasti- 

fttsmoduln. ^) 

Daß Tan der Waals Gleichung auch auf den festen 

ifltand anwendbar war, wurde insbesondere dadurch erwiesen, 

A mit HUfe der gewöhnlichen Ausdehnungskoeffizienten die 

ferte 

_i dv^ 

V — b dt * 

Lk die Änderung der Volumeneinheit des Kovolumens, die Aus- 
kknungskoefjfizienten des Kovolumens berechnet wurden.*) Dieser 
iudehnungskoeffizieni war (abgesehen von den Halogenen) all- 
gemein sehr angenähert gleich ^j^n* ^^^ daher einem festen 
Dement Wärme zugeführt, so erfolgt keine Ausdehnung der 
[onstante b, sondern nur eine solche des Kovolumens v — &. 
k dieser Abhängigkeit von der Temperatur liegt der wesenäiche 
Tnterschied der Volumengrößen 

n* - 1 1 
n« + 2 d 

nd b einerseits, der Größe v — b andrerseits. Zu denken geben 
chließlich die multiplen Beziehungen, welche fär b und 

n«- 1 1 



n» + 2 d 

1 allgemeinen sowie für b und t; — ^ im besonderen fär 
»ereinstimmende Temperaturen, also für die drei Größen be- 
3hen, welche nach dieser Theorie das Volumen zusammen- 
tzen. Bedenkt man, daß es sich hier um das Materie- 
lumen, und um den Raum des ,,gebundenen'' und „freien 
hers'^ handelt, so möchte man glauben, daß die Volumen- 
emie berufen ist, über sehr wichtige fundamentale Fragen, 
Iche das Wesen der Materie berühren, und voraussicht- 
h über noch zahlreiche nicht minder bedeutsame andere 
*agen, wie über das Wesen der Affinität und Valenz, in ent- 
beidendem Sinne mitzureden. 



1) J. Traube, Zeitschr. anorg. Ghem. 1. c. p. 420. 

2) L c. p. 414. 



440 «71 Traube. Itaum der Atome und Moleküle. 

Von besonderer Bedeutung dürfte es sein, wenn ( 
lingen sollte, die neue Elektronenlehre mit der Voh 
theorie in Beziehung zu setzen. 

Es liegt hier ein überaus fruchtbares Feld vor, welche 
dient, weit mehr beachtet zu werden, als dies bisher gescl 
ist. Mir scheint, man braucht kein Prophet zu sein, u 
behaupten, daß eine eingehende experimentelle Bearbc 
dieses Gebietes, wie sie mir leider in meiner gegenwäi 
Stellung nicht möglich ist, so befruchtend auf die yerschi 
sten Gebiete der physikalischen Chemie einwirken würde 
wohl kaum ein zweites Forschungsgebiet 

Charlottenburg, Techn. Hochschule. 

(Eingegangen 17. September 1908). 



54. ObjekÜTe Darstellung 
der Interferenz des polarisierten Lichtes. 

Von Ernst Mach in Wien, 



\ Bei Gelegenheit seiner mit Arago angestellen Versuche 
Interferenz des polarisierten Lichtes erkannte Fresnel 
, daB das unpolarisierte („natürliche"] Licht in zwei gegen- 
nander senkrechte linear polarisierte, nicht sichtbar inter- 
irierende („inkohärente") Komponenten gleicher Intensität sich 
jrlegen läßt. Aus dieser Tatsache f'olffl schon die Zerlegbar- 
äit des unpolarisierten Lichtes in zwei gleich intensive in- 
»härente entgegengesetzt zirkulär, oder entgegengesetzt ellip- 
Bch polarisierte Komponenten. Doch wurde diese weitere Ein- 
cht erst durch die Arbeiten von Stokea, Airy, Lippich 
od Verdet gewonnen, und sie geht auch aus der richtigen 
iterpretation der schönen von Stefan zum Beleg einer anderen 
[einung über das unpolarisierte Licht ausgeführten Versuche 
ervor. 

Wegen der fundamentalen Wichtigkeit der Fresnelschen 
isperimente habe ich seinerzeit mitmeinem damaHgen Assistenten 
tosicky'} versucht, dieselben für den Unterricht in eine klare, 
bersichtliche, jede Täuschung ausschließende Form zu bringen. 
tei Revision des Manuskriptes meiner Vorlesungen über Optik 
el mir ein Mangel dieser älteren Experimente auf, der darin 
eBt«ht, daß sie sich nur zur subjektiven Eiuzelbeobachtung und 
icht zur Projektion eignen. Es ist mir nun gelungen, zwei 
erauchsformen zu finden, welche von diesem Mangel frei sind.*) 

I 1) E. Mach uDd W. Rosickj. SitznogBber. d. k. Akademie der 
PmuscH. XU Wien 12. II. Abt. p. 19T, 1875. 

"- 2) Ich mußte mich bei meinem Leiden, welches mir unmö(;licli 
Kcht, selbst zu experinientieren, darauf besub ranken, den Plan der Ver- 
chu KU entwerfen. Mein fillesCer Sobn, Dr, med. Ludwig Mach, hat 
fi Eiperimente im Detail sorgfliltig atiegefUbrt, während ich die Anf- 
! und die £rgebuiese kontrolliert habe. 



442 



E. Mach. 



1 



/, /^ / 




Zur Spaltung des unpolarisierien Lichtes in linear pokii- 
sierte Komponenten verwende ich nicht Gips, dessen nek 
Fresnel bedient hat, und auch nicht Turmalin, der späte 
oft benutzt worden ist, sondern, wegen seiner optischen Bein- 
heit und Vollkommenheit, Quarz. Mit Turmalin Tereinfadia 
sich zwar die Versuche, werden aber sehr lichtschwach nsd 
leicht sehr unrein. Eine planparallele, achsenparallele Oaui- 
platte von etwa 1 mm Dicke wird senkrecht zur Achse durch- 
schnitten, das eine Stück wird in seiner Ebene um 90^ ge- 
dreht und an das andere genau angefügt Beide so neben- 
einander liegende, durch eine scharfe 
Grenze getrennte Stücke werden zum 
Ausgleich derünvollkommenheitendeB 
Kristallschliffes zwischen gute Plan- 
gläser mit Canadabalsam eingekitt^ 
In Figur 1 bedeute / eine Quan- 
platte mit vertikaler, // eine gleidi 
dicke mit horizontaler Achse. Das im- 
polarisierte Licht, welches die Qaan- 
platten, vom Beschauer ausgehend, 
durchsetzt, wird in die vertikal polari- 
sierten Komponenten t?j, t?, und in die 
horizontal polarisierten Komponenten Aj , h^ gespalten. In 1 
wird h^ ebensoviel verzögert als v^ in //, wie dies die 
Zeichnung andeutet. Führt man nun die beiden interferieren- 
den Bündel irgend eines Interferenzversuches durch je eine 
der Quarzplatten, so sieht man zunächst nur die Inter- 
ferenz von üj und v^^ sowie jene von \ und Äg. Beide im 
allgemeinen verschiedene Interferenzbilder überdecken sich, ohne 
sich zu stören, und können durch ein vor die Lichtquelle oder 
vor den Schirm gesetztes Nicol getrennt und einzeln zur Be- 
obachtung: ixebracht werden. An dieser Erscheinung wird nichts 
geändert, wenn man ein Nicol, dessen Polarisationsebene unter 
45^ gegen den Horizont steht, vor die Lichtquelle oder vor 
den Schirm setzt. Erst durch Einschaltung eines Nicols unter 
45^ zwischen Lichtquelle und Quarz werden sämtliche vier 
Bündel kohärent und gleich intensiv, und gelangen, durch ein 
zweites Nicol zwischen Quarz und Schirm auf eine Polarisations- 
ebene reduziert, zur sichtbaren Interferenz. In diesem letz- 



Fig. 1. 



•nOerferem des polarisierten Lichtet. 



443 



teren Falle ist die Interferenzeracheinung am einfachsten ver- 
st&Qiilich. wenn man beiUckaicbtigt, daß der Quarz zwischen Aj 
und », keinen öanRunterschied setzt, ebensowenig zwischen v^ 
und A,, Dies gilt insbesondere bei parallel orientierten Nicols. 
D» aber nun alle vier Bündel kohärent sind, so macht sich 
der Gangunterschied zwischen ti, , h^ und A,, v^ im Interferenz- 
biUle bemerklich. Setzt man gekreuzte Nicols an die Stelle 
der parallelen, so tritt zwischen k^ und Uj, ebenso zwischen Wj 
und Aj ein Phasenunterschied Ton einer halben Periodenlänge 
auf. der sich zu allen sonst gegebenen Gangunterschieden hin- 
xufögt, und die Vertauschung aller Maxima und Minima be- 
dingt. Dies Torausgeschickt, werden die folgenden Versuchs- 
formen leicht verständlich sein. 

1. Betrachten wir zuerst eine Versuchsform, bei welcher 
man große und intensive Projektionsbilder erzielt. Man leitet 
Soünenlicht durch eine vertikale Spalte S unter nahe aenk- 
Inzidenz auf eine etwa 5 cm dicke, an der RUcktläche 
ailberte Jaminsche Platte J^, so daß nur eine geringe 
inung dos an der Vorderfläche reflektierten Bündels I von 
an der RUcktiache reflektierten Bündel II eintritt. Beide 
Jündel fallen dann auf eine zweite gleiche und gleich orientierte 
nsche Platte J^. Das nun an der Vonlerfläche von J^ 
lektierte Bändel 11 vereinigt sich mit dem hier an der 
Icklläche reflektierten Bündel I, und beide geben ineirtander 
rlaufend die bekannten Interferenzerscbeinungen. Man läßt 
die beiden vereinigten Bündel I und 11 bei Ahblendung 
übrigen Lichter auf eine 
romatiscbe Linse von etwa 
Brennweite fallen, und 
tdet durch dieselbe die Spalte 
auf einem Schirm ab. Die 
^«minschen Platten reguliert 
daß das Spaltenbild 
}n nicii t zu breiten horizontalen 
Interferenzstreifen qaer durchzogen erscheint, wobei man den 
mittleren weißen Streifen, der dem Gangunterschied Null ent- 
spricht, die Länge der Spalte halbieren läßt. Ein Spektral- 
:ma, hinter die Projektionslinse gesetzt, löst das Spaltenbild 
ein horizontales Spektrum aul^ dessen zur Dispers ionsrichtupg 



♦■■■ '* '♦' :♦"■ '# < 

f ♦ ♦ ♦ ♦ 

♦'♦,,♦ ♦ ♦ i 



Fig. 2. 






444 



f. itacA. 



nahe pArallele loteriefenzstreifeii im Violett etwas 
FOgt m&D oiiD den E>oppelqiiarz so vin, daß fod 
ron /, abgebeoden Bändeln Je eint* durch mn^n Qun 
so erfailt msa den aberrasckenden ') Anblick 
sich neufönnig im Spektmm durclikreozeiider Stni 
Fig. 2). Das eine gebort dem vertikal, das auden 
xoDtal poUiisiertea Liebt a», wie ein vor fi 
sofort zeigt Bei EUnffigang eines Eompensators, odfl 
der Jaminsf^beQ Platten, verschieben sich beide ^ 
entgegtiDgesetitem Sinne, wobei das eine System bl 
andere schmäler wird. Setzt man ein Nicol vor 8, 
Nicol etwa vor die Projektionslinse unt£r 45", so ei 
dem Schimi sofort nur ein vertikale» Streifensystem, t 
als ideotiscb mit jenem eine? 1 mm dicken achsf 
zwischen zwei Nicols gesetzten Quarzes erkennt I 
noch durchzogen vol 
horizontalen Streife^ 
man den Jaminscba 
eingestellt hat[Fig.^ 
man zwischen Fand 
uud Kreuzung der 
tauschen alle Haxn 
ülinimis ihre PlätM 
Die sich durchkreuzenden Streifensrsteme 
durch folgende Übertegung. Der Phasenunterschiedl 
feriereuden Lichter wachst im Spektralbilde in der la 
Dispersion s rieh tun g von Sot gegen Violett, insofe 
TODi Quarz herrührt, hingegen z. B. in vertikaler Bi 
wärts, insofern er durch die Jaminscben Platten 



II Die Lehre von der InterferenE hfitte g«nz wähl eil 
vrickelnuf; erreichen kÖDOeti, ohne ilie geringst« KennCgU 
brechuDg uod PuIarUalton. HAtlu nun irgend e 
wie deren Utsäcldich viele eingetreten aind. xa 
liob der im Text beschriebenen geHihrt, so hätte 
haften Umständen xKeifrlri Lichtiirt«a im Quan kennen • 
denen jede für sieh interferiert, welche aber aufeiaauder 
Die Euldetkiiug der Zirk.u1arpolarisiitioa hfitte ebenfalls jenen 
vorsnegeben kSonen. Es iat sehr lehrreich, sich die FolgW 



■■■■■I 




Fi« »■ 




r ttm». 



^m 



xh geometrische Zusammensetzung (Summatioü) ergeben sich 
Lioien gleichen PhasenuDterschiedes, Die Neigung ist 
für das vertikal und horizontal polarisierte Licht ent- 
igenaetzt, weil der durch die Quarze bedingte Phasenunter- 
hied für die betreffenden Lichter von entgegengesetztem 
ucben ist. 

Bewirkt man Kohärenz des vertikal und des horizontal 

polarisierten Lichtes, so denke man sich zunächst (Fig. 1) 

und (jj mit A, kombiniert. Beide geben nur die 

^terferenx der Jaminachen Platten, welche letztere aber um 

I halbe Schwingung alteriert wird , wenn man gekreuzte 

. statt paralleler anwendet. Bei Kombination des ge- 

iiit«n Lichtes tritt nun erst der Einfluß des Gangunter- 

Khiedes im Quarz hervor, der bei Nicolkreuzung ebenfalls um 

Ine halbe Schwingung alteriert wird. Hiermit sind alle Ver- 

Utnisse dieses Versuches klargelegt. Auch die quantitative 

khaudlung derselben unterliegt keiner Schwierigkeit 

, Ich will nun noch ein zweites Verfahren beschreiben, 

«Iches den älteren Versuchsformen näher liegt. Dasselbe ist 

t sehr bescheidenen Mittein ausfuhrbar und liefert kleinere 

Wjektionsbilder, die aber einem engeren Kreis von Zuhörern 

och recht gut demonstriert werden können. Selbstverständ- 

I sind alle optischen Bilder Beugungsmaxima, so auch in 

1 zuvor behandelten Fall. Soll aber der jetzt zu beschrei- 

s Versuch vollkommen verstanden werden, so sind immer- 

1 einige vorausgeschickte Detailausfuhrungen über Beugung, 

ä hier natürlich wegbleiben können, unerläßlich. Darin be- 

teht ein Mangel des Versuches, der auch den Fresnelschen 

irmen anhaftet. 

Das Sonnenlicht passiert eine vertikale Spalte 1', deren 
inge durch eine unmittelbar folgende horizontale Spalte H 
»liebig beschränkt werden kann, und lallt dann auf das Ob- 
Fernrohres, dessen Okular ein scharfes reelles 
Mld von F und // auf einem matten, durchscheinenden Schirm 
I Glas oder Zelluloid entwirft. Setzt man ein feineres RuB- 
ntter G ') mit vertikalen Stäben vor 0, so erscheinen rechts 

] dem Veranch 



446 E. Mach. 

und links zu beiden Seiten des Spaltbildes symmetrisch tu- 
geordnet die bekannten Spektren, welche das Violett den 
Spaltenbilde zukehren. Bei genügender Abkürzung der Spalte 1 
reduzieren sich diese Spektren auf schmale horizotale Streifen 
oder Linien, welche von innen und außen, mit Violett be- 
ginnend, zum äußersten Rot übergehen. Einschränkung der 
Höhe des Gitters durch eine vor dasselbe gesetzte horizontale 
Spalte S verbreitert diese Spektren wieder desto mehr, je 
enger S wird. Das Spektrum verwandelt sich in das Beugmg^ 
bild einer horizontalen Spalte, dessen Farbe in jeder Vertikalei 
homogen ist, während die Wellenlänge und dieser entsprediend 
die Bildbreite von innen nach außen zunimmt Wir setiQi 
nun den Doppelquarz so vor die horizonte Spalte S^ daB die 
Grenze zwischen dem oberen, etwa horizontalachsigen, nnd 
dem unteren, vertikalachsigen Quarz die Mittellinie der Spalte j 
bildet, und daß das vertikal polarisierte Licht in der oberen, 
das horizontal polarisierte Licht in der unteren Spaltenhälfte 
gleich viel verzögert wird. Wie das Experiment und die 
Theorie der Beugung lehrt, wiederholen sich dann die 
sub 1 beschriebenen Erscheinungen mit geringen Moditika- 
tionen. ^) Man erblickt die netzförmig sich durchkreuzenden 
beiden Streifensysteme, die man durch Anwendung eines Nicols 
vor V, 11 voneinander isolieren, durch einen Jaminschen 
Kompensator mit horizontaler Trennungslinie vor 5 in ent- 
gegengesetztem Sinne verschieben kann etc. Es verhält sich 
alles 80, als ob zwei Spalten von der halben Breite von 6' un- 
mittelbar nebeneinander lägen, und deren Beugungsbilder sich 
überdecken würden. Die schiefen Systeme sind durch die 
Interferenz der Lichter beider Spalten bedingt. Sie verschwinden 
sofort, wenn man die obere oder untere Hälfte von S mit einem 
undurchsichtigen Schirm deckt. Macht man aber durch An- 
wendung zweier paralleler Nicols unter 45*^ alle Lichter kohärent, 
und betrachtet zunächst das verzögerte Paar für sich, das be- 
schleunigte Paar für sich, so hat man jetzt eine Spalte von 
der ganzen Breite, durch welche gleichphasiges Licht eindringt. 



1) In der Tat können die schematischen Figuren 1 bis 3 auch zur £r- 

UnteruDg dieses Versuches dienen. Man hat sich nur vorzustellen, daß 

^Spektren in diesfim Falle am violetten Ende schmäler sind, und 

^ iäA Längsstreifen im Spektrum hier exakt gerade auafallen mOsaen. 



Interferenz des polarisierten Lichtes, 447 

in müssen die symmetrischen längs der Spaltenlänge ver- 
ifenden Minima den halben Abstand haben, wie zuvor. Es 
lasen also solche neue Minima auftreten. Bei Kreuzung der 
cols tauschen diese mit den Maximis ihren Platz. AuBer- 
m bringt die Verzögerung des einen Lichterpaares gegen das 
idere die vertikalen, dem Quarz entsprechenden Querstreifen ' 
den Beugungsspektren hervor, die beim Wechsel von Kreu- 
ing und Parallelstellung der Nicols ebenfalls alternieren. 

Es ist nicht nötig, die Zerlegbarkeit des unpolarisierten 
Ichtes in entgegengesetzt zirkulär oder elliptisch polarisierte 
kohärente Komponenten von gleicher Intensität besonders 
•perimenteü nachzuweisen. Will man aber solche Versuche 
isf&hren, so unterliegt dies keiner Schwierigkeit, und man 
inn bei den hier beschriebenen Versuchsformen dieselben 
ittel verwenden, welche in der eingangs erwähnten, von mir 
it Bosicky publizierten Arbeit benutzt worden sind. 

(Eingegangen 18. September 1903.) 



448 



55. Wirknng der anomalen Dispersion yon 

Metalldämpfen. 

Von Hermann Ebert in München. 



Mit der Eigenschaft selektiver Absorption eines Medium 
ist seine Fähigkeit, auf die dem Bereiche seiner maximalen 
Absorption benachbarten Strahlengebiete anomal dispergierend 
zu wirken, aufs engste verknüpft, und zwar verteilt sich diese 
Wirkung ausnahmslos in der Weise, daß die nach dem M 
zu gelegenen Strahlenarten, also akustisch gesprochen, die 
tieferen Schwingungen stärker^ die nach dem Violett folgenden 
Strahlen höherer Schwingungszahl aber weniger abgelenkt werden. 
Bei großer Dichte und Ausdehnung des anomal brechenden 
Mediums können diese Ablenkungen selbst in Spektralgebietoi 
sich noch bemerklich machen, die weit von denen der Eigen- 
schwingungen des Mediums selbst entfernt liegen. Dagegen 
erfahren Strahlen, die außerhalb dieser Gebiete liegen, keine 
Änderung ihrer Fortpflanzungsgeschwindigkeit mehr. 

Es konnte von vornherein erwartet werden, daß die 
Metalldämpfe, bei denen den scharfen Emissionslinien nach 
dem Kirchhoff sehen Gesetze unter Umständen sehr ausge- 
sprochene Absorptionsmaxima entsprechen, in hervorragender 
Weise diese Eigenschaft überall dort aufweisen würden, wo 
sie bei genügender Absorption zugleich als brechende Medien 
wirken. Diese Vermutung hat sich bestätigt.^) In der Tat 
kann bei Metalldämpfen die anomale Dispersion ihre W^irkung 
über sehr ausgedehnte, sich von den Metallabsorptionslinien 
nach beiden Seiten hin weit in das Spektrum erstreckende 
Bereiche hin geltend machen. ^) Es tritt hier sogar der eigen- 

1) Vgl. II. Ebert, Physikal. Zeitschr. 4, p. 473— 47ft. 1903. 

2) Vgl. z. B. die Wirkung des Natriumdampfes bei E. W. Wood, 
Proc. Roy. Soc. 69. p. 157—171. 1901 und phys. Zeitschr. 8. p. 230—238. 
1902. 



Wirkung der anamalen Dispersion. 449 

mmliche Fall ein, daß die brechende Kraft ftLr die höheren 
dam Absorptionsgebiete unmittelbar benachbarten Lichtschwin- 
^angen kleiner als die des Vakuums ist, so daß Brechung s- 
Exponenten kleiner als eins erhalten werden, was mit den be- 
sonderen elektrischen und magnetischen Eigenschaften dieser 
Medien zusammenhängen wird. So fand BecquereP) bei 
ll^atriumdampf 1,0009 als Brechungsindex für die von D^ nach 
dem Rot zu gelegenen Schwingungen, 0,99865 für die von D^ 
nach dem Violett zu gelegenen Spektralbezirke. Diese Brecbungs- 
, Indizes beziehen sich auf heiße Flammengase als umgebendes 
L Medium, denen Becquerel den Index 1,0001 gegenüber dem 
Vakuum zuschreibt Die auf das Vakuum umgerechneten 
Brechungsexponenten sind demnach für Natriumdampf 1,0010 
bez. 0,99875. 

Wood, der mit viel dichterem Natriumdampfe arbeitete, 
findet*) 1,0024 bez, 0,9969 relativ zu heißem Wasserstoffgase, 
dessen Exponent wir ebenfalls zu 1,0001 annehmen können, 
80 daß für Natriumdampf 1,0025 bez. 0,9979 in bezug auf den 
leeren Baum resultiert. 

Ich selbst finde für Kaliumdampf, und zwar für dessen 
Absorptionslinie im Rot, 1,00176 bez. 0,99844 auf Vakuum 
bezogen. Die durch diese Zahlen zum Ausdruck gebrachten 
brechenden Kräfte sind ganz erhebliche; ist doch der Brechungs- 
exponent für Luft z. B. nur 1,0003; die brechende Kraft ist 
daher ftir Kaliumdampf in der bei den Experimenten ver- 
wendeten Dichte ca. sechsmal, fiir Natriumdampf ca. achtmal 
großer als für Luft von Atmosphärendruck. 

Es kann daher nicht wundernehmen, daß überall dort, 
Wo sich Metalldämpfe außer durch ihre Absorption auch durch 
ihre lichtbrechende Kraft an dem Zustandekommen der Licht- 
erscheinungen beteiligen, sich in dem resultierenden Spektrum 
eigentümliche, durch die Verteilung der Brechungsexponenteu 
in der Umgebung der Metallinien bedingte Anomalien ein- 
stellen müssen. Ich möchte hier nur auf den Fall eigentüm- 
licher Helligkeitsverteilungen in dem Spektrum hinweisen, die da- 
durch bedingt werden, daß das Licht einer ein kontinuierliches 



1) H. Becquerel, Compt. rend. 126. I, 1. p. U5— 151. 1899. 

2) R. W. Wood, a. a. 0. p. 166 oben. 

BolUmann-FMtschxift. ^^ 



Spektrum liefemdea Strahlenquelle auf der einen Seit 
Metallabsorptionslinie durch die brechende Wirkung 
liegender DampEscbichteD zu dem Beobachter hin &b 



I I,, 




wird, nährend die auf der entgegengoBetzten Seite de 
ZQ erwartenden Strablenkomplexe ausbleiben, weil sie t 
der Brechungen, die sie in den Dämpfen erfahren, den J 
nicht erreichen. Wird z. B. ein hoher, etwa '/ Liter fa 
Graphittiegel G G, Fig. 1, wie er zn Schmelzelektrolys 



Hlrkunff der anomalen Disperiion. 



451 

tlet wird, gut leitend'] an den negativen Pol einer aus- 
Stromquelle angeschlossen und in diesen als Anode 
I dicker Kolileatab KK eingeführt, so erhält man eine Heiz- 
pchtung, in der man sehr bequem Metalle verdampfen, und 
weißglühenden Unterlage ziemlich regelmäßig ge- 
icbtete dichte Dampfmassen anhäufen kann. Hat man 
1 Berühren von Anode und Kathode den Bogen entzündet, 
sind beide Elektroden genügend heiß geworden, so kann 
■an das Metall einführen nud dann mit der Spannung all- 
mählich weit herabgehen (bis auf etwa 30 Volt hei 110 Am- 
perea), ohne ein Abreißen des Bogens beidrehten zu müssen; 
gerade in der Verwendung solch niedriger Spannungen liegt 
eine wesentliche Bedingung für ein ruhiges gleichmäßiges Ver- 
dampfen. Die Oxydation der aufsteigenden Metalldämpfe hält 
darch Einführen von Koblenoxyd (das man gleich im 
[el selbst mit entwickeln kann) oder von Ammoniakgas 
\ Möglichkeit zurück. Bringt man dann einen achmalen 
Spiegel dicht neben der Anodenkohle genügend weit 
üb des Tiegels an, von dem die vertikal emporsteigenden 
nach der Seite durch eine Linse hindurch auf den 
nea Spektral ap parates geworfen werden, ao sieht man 
em an den Linien des verdampfenden Metalles, nament^ 
1 den leicht umkehrbaren, eine Erscheinung, wie sie 
.nderem für die Spektra der „Neuen Sterne" charakte- 
ist; Neben den dunklen Absorptionalinien ist die 
eit des kontinuierlichen Hintergrundes nach dem Rot 
irk erhöht, die dunklen Absorptionslinien dagegen er- 
nach dem Viulett zu erheblich verbreitert. Wie diese 
peinang durch die anomale Brechung in den Dampf- 
ifcten zustande kommt, möge Fig. 1 erläutern. In dieser 
bb den Voltabogen dar; um diesen legen sich die 
Ipfbüllen, die unten am Boden des Tiegels am dichtesten 
deren Schichtung ungefähr durch den Verlauf der 
ich 6' auf beiden Seiten hinüberziehenden Querlinien 
■afcterisieren sein dürfte. In diese Schichten ist links 



I 



) T^ bierttber die Arbeit i 
. Ann. d. Chemie 320, ; 



n, H. Uofer und 
namentlich p. 862 



452 H. Ebert 

in Fig. la, der Verlauf jener Strahlen eingezeichnet, itir 
welche der Brechungsexponent größer als eins ist und mit zi* 
nehmender Dampfdichte wächst; für diese Strahlen werda 
die tieferen Schichten daher auch optisch immer dichter; denken 
wir uns Lichtstrahlen senkrecht von oben hereinÜEdlend, so 
werden diese überall den Einfallsloten zu gebrochen; nach dem 
Prinzip der Umkehrbarkeit der Lichtwege nehmen sie den 
gleichen Verlauf wie die von ihren Auftreil'punkten aus- 
gehenden und aus dem Gefäße nach oben hin austretenden 
Strahlen, welche in der Figur gezeichnet sind. Diese Strahlen 
bringen hiemach das von dem heißen Kohleende und dem 
Tiegelboden ausgehende Licht in den Spektralapparat; die 
ihnen entsprechenden Teile des kontinuierlichen Spektrums 
müssen heller erscheinen als die entfernteren Spektralteile, 
für welche dieses Umbiegen der Strahlen in der Tiefe nach 
den Oberflächenpartien maximaler Emission zu nicht stattfindet; 
die Helligkeit im Spektrum muß vom Kot her gegen die Ab- 
sorptionslinie etwa in der Art ansteigen, wie die Dispersions- 
kurve daselbst anwächst, vgl. Fig. 2, welche die Helligkeits- 
verteilung im Spektrum an der Steile einer Metallabsorptions- 
linic ./ darstellt, welche beispielsweise in dem Teile dos 
Spektrums gelegen gedacht ist, in welchem die Emissioiiskuive 
der glühenden festen oder geschmolzenen Köri>er im gleich- 
mäßigen Sinken begrifien ist. Ein helles, gegen das Gebiet .\ 
der nmximalen Absorption allmählich immer intensiveres ßaud 
erscheint dem kontinuierlichen Spektrum aufgelagert. Ganz 
anders verhält sich die Helligkeitsverteilung für die von der 
Absorptionslinie A nach dem Violett zu gelegenen Strahlen, 
für welche der Brechungsindex in den Metalldampfhüllen < 1 
ist und sich von Schicht zu Schicht nach unten hin inuner 
mehr von der Einheit entfernt Für diese Stralilen zeigt 
Fig. 1 b den Verlauf; sie bringen also nach oben nur das von 
den viel kühleren ^Fiegelwänden emittierte Licht, die ihnen 
entsprechenden Spektralgehiete müssen daher viel dunkler er- 
scheinen als die entfernteren Teile, für deren Wellenlängen 
die Brechungsanonialie nicht mehr besteht. Das Absorptions- 
gebiet Ay Fig. 2 erscheint also nach dieser Seite hin fortgesetzt, 
die Absorptionslinie nach dem Violett zu stark verbreitert 
UW dem Spektrum scheint hier also ein dunkler Schatten zn 



Wirkung der anomalen Dispersion, 



458 



▼on viel größerer Ausdehnnng, als ihn die Absorption 
^'Jemals allein hervorbringen könnte. 

Die hellste Kante des hellen Bandes liegt fast am nor- 
inalen Linienorte; die Mitte des dunklen Bandes ist stark 
Bach dem Violett zu verschoben ; gegen dasselbe setzt die helle 
Linie scharf ab^ während nach außen hin sich sowohl helle 
vie dunkle Linien ganz allmählich in die helle Umgebung 
hinein verlieren. 
l Freilich wird die Schichtung der Dampfmassen in dem 

r Ti^el nicht immer eine so regelmäßige sein, wie es in Fig. 1 



\ 




angenommen ist. Demzufolge ist das Bild im Spektrum an 
den einzelnen Linien ein fortwährend wechselndes; es kehrt 
aber immer wieder zu dem geschilderten Typus zurück. Bei 
"VöUig ruhig brennendem Bogen ist der Charakter der Linien- 
Verdoppelung, Verschiebung und Helligkeitsverteilung immer 
der gleiche; die einzelnen Erscheinungen unterscheiden sich 
nur dem Grade ihrer Ausbildung nach. Bei photographischer 
Au&ahme würden sich aber sehr verschiedenwertige Bilder 
übereinander lagern. 

Die geschilderte Anordnung^) eignet sich auch sehr gut 



1) Auf dieselbe bezieht sich die Anmerkang in meinem Aufsatze 
in der Physikal. Zeitschr. 4. p. 478. 1903, in dem ich fUr die anomale 
Dispenion als einer allgemeinen Eigenschaft aller Metalldämpfe eintrat 



454 H. Ebert Wirkung der anomalen Dispersion. 

dazu, um sich von der Existenz der anomalen Dispersion ( 
Metalldämpfe überhaupt zu überzeugen in Fällen , in dei 
die Anordnung der gekreuzten Spektra zunächst noch unüb 
steigliche Hindemisse bereitet Letztere yerdient natürl 
überall dort den Vorzug, wo es sich um Messungen der brechi 
den Kräfte von Metalldämpfen handelt 

München, Physikal. Institut der Technischen Hochschi 
(Eingegangen 19. September 1908.) 



455 



56. Elektrostatische, magnetische 
d hydrodynamische Grenzflächenbedingnngen. 

Von V. BJerknes in Stockholm. 



. An der Grenzfläche von zwei Medien verschiedener 

ischer beziehungsweise magnetischer Polarisierbarkeit tritt 

ntlich eine charakteristische Brechung der Kraftlinien ein. 

r Brechung liegt das folgende einfache Verhalten der 

rgrößen des elektridchen oder des magnetischen Felcles 

ade: 

Die Feldintensität geht mit stetiger Tangentialkomponente, 

7larisation (Induktion) mit stetiger Normalkomponente durch 

renzfläche hindurch. 

lus diesem Gesetze schließt man gleich auf die ünstetig- 

1er Normalkomponente der Feldintensität und der Tan- 

klkomponente der Polarisation, und man vrird auf das 

üte Brechungsgesetz 

^S _ k 
ige " K' 

rt, wo k und K die Polarisierbarkeiten der betreffenden 
!n, d und die Winkel sind, welche die Tangenten der 
inie mit der Normalen der Grenzfläche bilden. 
\, In dem hydrodynamischen Bilde der elektrostatischen 
der magnetischen Erscheinungen, welches aus den Unter- 
ngen meines verstorbenen Vaters, C. A. Bjerknes, her- 
jangen ist, entspricht „hydrodynamische Feldintensität*' 
das Produkt von Geschwindigkeit und Dichte) dem gleich- 
nten elektrischen und magnetischen Vektor, die Ge- 
adigkeit entspricht der Polarisation, und die reziproke 
e oder die „Beweglichkeit" der Flüssigkeit spielt dieselbe 
, wie die elektrische oder magnetische Polarisierbarkeit 
[ediums. ^) 



) V. Bjerknes: Vorlesnncren Über hydrodynamische Femkrftfta 
1 A. Bjerknes* Theorie. 2. p. 237. Leipzig 1902. 



466 F. Bjerknes, 

Dieses Bild ist jedoch bis jetzt nur f&r den Fall aus- 
gearbeitet, daß die Körper Eugelform haben. Dabei ist der 
Nachweis, daß sich die hydrodynamischen Vektorgrößen an 
einer Grenzfläche wie die elektrischen oder magnetischai 
verhalten, nur für den Fall geführt^ das die Grenzfläche Eugel- 
form hat, und daß der äußere Strom ein einfacher Parallel- 
ström ist. Wer sich aber die charakteristische Übereinstim- 
mung der betreffenden hydrodynamischen Stromfelder mit den 
entsprechenden elektrischen oder magnetischen Kraftfeldern 
vergegenwärtigt ^), und diese Übereinstimmung als ein Glied in E 
der merkwürdigen Keihe von Übereinstimmungen zwischen 
hydrodynamischen und elektrisch-magnetischen Ek^cheinungen 
sieht, wird jedoch hinter dem partikulären Resultate über 
Kugeln Prinzipien großer Allgemeinheit vermuten. Die Auf- 
suchung dieser Prinzipien erfordert aber die Entwickelung gani 
anderer Untersuchungsmethoden als die, durch welche C. i 
Bjerknes seine Resultate gefunden hat, und welche in der 
expliziten Lösung partikulärer Probleme bestand. Auf die« 
allgemeinen Untersuchungsmethoden, und auf die Resultate, 
die man durch sie erreicht, werde ich bei späteren Gelegen- 
heiten ausführlich zurückkommen. Als erste Andeutung 
über ihre Art, sowie über die Resultate, welche sie geben, 
werde ich die folgenden Bemerkungen über das Verhalten der 
hydrodynamischen Vektorgrößen an der Grenzfläche zweier 
Flüssigkeiten verschiedener Dichte und also verschiedener „Be- 
weglichkeit" machen. Wie ich hinzufügen will, kann jedoch 
die Frage hier nicht vollständig erledigt werden, da dieses zur 
Lösung der Aufgabe über die hydrodynamische Analogie in 
ihrer vollen Allgemeinheit führen würde. 

3. Ich bemerke zunächst, daß das Verhalten der Nonnal- 

t^siponenten der hydrodynamischen Vektorgrößen schon durch 

b* eisten Prinzipien der Hydrodynamik gegeben ist. Wenn 

iiii- die Bedingung der Kontinuität festhält, so geht die 

V,iE3LiIkomponente der Geschwindigkeit durch jede Grenz- 

-fit-nki aeüg hindurch. Die Normalkomponente der Geschwindig- 

i£: Tsäüt sich also genau wie die Normalkomponente der 

ein Prinzip, welches schon längst vielfach benutzt 

•I» 1. c. Für. 56—60. p. 256—270. 




Grenzflächenbedinffunffen, 457 

;; ip ord en ist bei dem beiläufigen Vergleich elektrischer oder 
VlÜHHpietischer Felder mit hydrodynamischen Stromfeldem. 

Aus der Kontinuität der Normalkomponente der Ge- 

fldiwindigkeit folgt gleich die Diskontinuität der Normal- 

•komponente der Feldintensität. Die Normalkomponenten dieses 

Vektors werden sich direkt wie die Dichtigkeiten und also um- 

,. S^ehrt wie die Beweglichkeiten der Flüssigkeiten auf den 

:• 'beiden Seiten der Orenzfläche verhalten. 

4. Die Hauptfrage wird das Verhalten der Tangential- 
f loeinponenten der hydrodynamischen Vektorgrößen betreffen, 
F. -jBid zu der Beantwortung derselben muß man auf die hydro- 
^. dynamischen Bewegungsgleichungen zurückgreifen. 
[ Es sei tt mit den Komponenten u^, u^, u^ die Geschwindig- 

I- htaX der Flüssigkeit auf der einen^ U mit den Komponenten J7^, 
1/ , ü^ auf der anderen Seite der Grenzfläche, weiter p und y 
Imck und Dichtigkeit auf der ersten, P und Q auf der zweiten 
Seite. Ich lege das Koordinatensystem so, daß die xy-£bene 
die Grenzfläche berührt und betrachte die Bewegungskom- 
ponenten längs X, welche zwei einander gegenüberliegende 
Punkte der zwei Flüssigkeiten haben. Für die Bewegung des 
^ «inen Punktes hat man dann 

dUr __ _ dp 

^ ~dT "" Tx ' 

und für die Bewegung des anderen 

nd[T:r dP 

^ dt dx 

Jetzt muß nach dem Prinzipe von der gleichen Wirkung 
und Gegenwirkung der Druck beiderseits der Grenzfläche 
gleich groß sein: 

Da dieses in allen Punkten der Grenzfläche gilt, können wir 
nach der zu der Grenzfläche tangentiellen Richtung x diffe- 
renzieren 

dP_ ^ dp 

dx "" dx 

und wenn wir dieses in den obigen Bewegungsgleichungen be- 
nutzen, so ergibt sich 

W ^-jr^^-dT' 



458 V. Bjerknes. 

Eine ganz ähnliche Gleichung erfaSlt man Sür die y-Ad»^ 
und das hydrodynamische Prinzip für die Bewogong tangsntid 
zu der Grenzfläche wird das folgende: 

Bas Produkt von Dichte und Beschleunigung geht mit steügv 
Tavgentialkomponente durch die Grenzfläche hindurch, 

5. Aus diesem dynamischen Gesetze darf man nicht (^eick 
schließen^ daß auch das Produkt von Dichte und Geachwindig* 
keit, d. h. die hydrodynamische Feldintensität mit stetiitv 
Tangentialkomponente hindurchgeht Da nämlich die Fnnhe; 
welche einander zu einer heliebigen Zeit gegenüberliegen, inmur 
verschiedene Beschleunigungen haben, werden sie nicht em- 
ander gegenüber bleiben, um die Untersuchung des Yerhalteai 
der hydrodynamischen Feldintensität an der Grenzfläche toD- 
ständig zu erledigen, muß man also notwendig auf den Wechsd 
der Partikelchen Rücksicht nehmen, und diese Berücksick* 
tigung führt in der Tat zu der Aufnahme der Frage Ton der 
hydrodynamischen Analogie in ihrer vollen Ausdehnung. Ick 
teile jedoch das folgende Resultat mit, welches ich bei einff 
späteren Gelegenheit beweisen werde: 

Wenn man als eine Partialbewegung für sich diejenige 
ausscheidet, welche als das Resultat der Wirkung der hydro- 
dynamischen Femkräfte oder beliebiger fremder E[rafte an- 
gesehen werden kann, so wird die zurückbleibende Bewegung 
eine solche sein, bei der die hydrodynamische Feldintensität 
mit stetiger Tangentialkomponente durch die Grenzfläche 
hindurchgeht 

6. Wenn man aber auf die Erledigung der Frage in voller 
Allgemeinheit verzichtet, so lassen sich leicht besondere Fälle 
angeben, wo sich die Antwort ganz von selbst ergibt. 

Der wichtigste Fall dieser Art ist der, wo die Flüssigkeits- 
bewegung schwingender Natur ist, so daß die einzelnen 
Flüssigkeitspartikelchen periodische Bewegungen mit kleinen 
Amplituden um feste Mittellagen ausführen. Wenn nämlich 
die Scliwingungsamplituden hinlänglich klein sind, so kann man, 
von unendlich kleinen Größen absehend, die einander einmal 
gegenüberliegenden Punkte als immer einander gegenüber- 
liegend betrachten. Wenn man dann die Gleichung 4, (a) unter 
Benutzung der Anfangsbedingungen /=0, «^ = 0, C^ = 
integriert, so ergibt sich 



Orenzfläehefibedingungen. 469 

ne ähnliche Gleichung findet man für die y-Achse und es 
^bt sich also, daß bei dieser besonderen Bewegungsform die 
drodynamische Feldintensität mit stetiger Tangentialkom- 
oente durch die Grenzfläche hindurchgeht. Wir kommen 
it anderen Worten auf das folgende Resultat: 

Im Falle schwindender ße^oegungen verhalten sich die hydro- 
mamischen FehtorgrÖßen an der Grenzfläche zweier Flüssig' 
iUn genau wie die elektrischen oder magnetischen FehtorgrÖßen 
i der Grenzfläche zweier elektrischer oder magnetischer Medien, 
ie Stromlinien werden an der Grenzfläche der zwei Flüssig^ 
ifen nach dem Gesetz 1, (a) gebrochen^ wenn man unter k und K 
e Beweglichkeiten der zwei Flüssigkeiten versteht 

Stellt man sich aber die ergänzende Frage, unter welchen 
Hämischen Bedingungen die vorausgesetzte Bewegung schwin- 
snder Natur mögUch ist, so kommt man wieder auf die all- 
aneine Aufgabe zurück, deren Erledigung auch die yoll- 
ändige Bestimmung der hydrodynamischen Fernkräfte vor- 
issetzt. 

(Eingegangen 21. September 1908.) 



460 



57. Iber den Einfluß der Zähigkeit anf die Kapillar- 
konstanten bei Essigsäure- Wassermischungen. 

Von Leo Grunmach in Berlin. 

Die im folgenden mitzuteilende Untersuchung wurde m- 
geregt durch die Diskussion, welche sich an meinen auf der 
vorjährigen Naturforscher- Versammlung zu Karlsbad gehalteBen 
Vortrag „Neue experimentelle Bestimmungen der OberHächen- 
Spannung von Flüssigkeiten durch Messung der Wellenlänge 
der auf ihnen erzeugten Kapillarwellen" knüpfte.^) Hr. Planck 
steUte die Frage, welchen Einfluß die Zähigkeit einer Flüssig- 
keit auf die Wellenlänge und auf die Oberflächenspannmig 
habe, insbesondere, wie sich die Oberflächenspannungen zweier 
Flüssigkeiten verhalten, welche dieselbe Dichte und dieselbe 
Schwingungszahl, aber verschiedene Zähigkeit besitzen. 

In der Kelvin sehen Formel 

welche die Oberflächenspannung a in Funktion der Schwingungs- 
zahl w, der Wellenlänge l, der Dichte <r und der Erdbeschleu- 
nigung g darstellt, ist die Reibung zwar nicht enthalten, nach 
der Theorie müßte aber die zähere Flüssigkeit eine kleinere 
Wellenlänge liefern, da infolge der größeren Eeibung, bei be- 
stimmter, durch die erregende Stimmgabel gegebener Schwin- 
gungszahl, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit und also die 
Wellenlänge verringert wird. 

Direkte Versuche über den Einfluß der Zähigkeit auf die 
Qröß^ dö^ Oberflächenspannung hatte ich bisher nicht ange- 
stellt) wohl aber hatte ich bei meinen Versuchen an wässerigen 
^uckerlösungen, sowie an Schwefelsäure- und Glycerin-Wasser- 
mischungen gefunden, daß das Entstehen und Fortbestehen 
j^et KapillarweUen durch die Zähigkeit stark beeinflußt wird, 

\^L.Giuninach, Physik. Zeitscbr. 4. p. 31. 1902. Vgl. ferner 
\^ Qiu^mM^, WiBöensehaftl. Abhaudl. d. Kais. Normal - Aichungs- 
VMMa«MA%.^.\0\--198. 1902; Ann. d. Pliys. 4. p. 1268. 1902; Ver- 
^laiL^lMiiäMii^Yhj'Bilc. aeaellseh. 4. p. 279. 1902. 



Einfluß der Zähigkeit auf Kapülarkonstanten. 461 

aB die erregten Kapillarwellen um so stärker gedämpft und 
jm so schneller vernichtet werden, je zäher die Flüssigkeit 
mif und weiter, daß je zäher die Flüssigkeit ist, die erregende 
»timmgabel um so größere Dimensionen und um so kleinere 
Ichwingungszahl (tieferen Ton) besitzen muß, um durch ihre 
kihwingungen auf der Flüssigkeit sicher meßbare Kapillar- 
rellen erzeugen zu können. Auf stark konzentrierten Glycerin- 
i^aBsermischungen, z. 6. auf einer Mischung von 60 Proz. 
^lycerin und 40 Proz. Wasser, konnten mit einer Stimmgabel 
ron 253 Schwingungen in der Sekunde Kapillarwellen über- 
haupt nicht mehr erzeugt werden, dies gelang erst bei An- 
irendung einer Königschen Stimmgabel von 192 Schwingungen, 
md bei 86 proz. Glycerin-Wassermischung erst mit einer sol- 
lten von 128 Schwingungen. Es wäre von großem wissen- 
schaftlichen wie praktischen Interesse, diese Verhältnisse quan- 
titativ genauer zu untersuchen, also festzustellen, welche Ton- 
höhe eine Stimmgabel haben müßte, um auf einer Flüssigkeit 
von gegebener Zähigkeit Kapillarwellen noch sicher erregen 
S5XI können, weil man auf diesem Wege zu einer strengeren 
Definition und zu einem schärferen Maß für die Zähigkeit und 
so vielleicht zu einer praktisch wichtigen Zähigkeitsskala ge- 
langen könnte, etwa die Flüssigkeiten derart nach dem Grade 
ihrer Zähigkeit zu ordnen, als sie durch Normalstimmgabeln 
bestimmter Tonhöhe zu Kapillarwellen erregt werden können. 
Die vorhin erwähnte Fragestellung von Hrn. Planck ist 
insofern nicht genügend bestimmt, als zwei Flüssigkeiten, 
welche gleiche Dichte und gleiche Schwingungszahl, aber ver- 
schiedene Zähigkeit besitzen^ im allgemeinen ihrer Natur nach 
verschieden sein werden. Wenn sich daher für zwei solche 
Flüssigkeiten verschiedene Oberflächenspannungen ergeben soll- 
en, so brauchte die Verschiedenheit der Oberflächenspannung 
lurchaus nicht eine Folge der verschiedenen Zähigkeit zu sein, 
ondern würde in erster Linie schon in der Verschiedenheit 
ler Natur der beiden Flüssigkeiten begründet sein. Zur Lösung 
[er angeregten Frage dürften daher nicht heterogene Flüssig- 
leiten zur vergleichenden Untersuchung gewählt werden, son- 
iem in qualitativer Hinsicht gleiche Flüssigkeiten in Zuständen, 
a denen die Zähigkeit gewissermaßen als einzige Variable auf- 
efaßt werden könnte. 



462 L. Orunmach» 

Besonders geeignet fftr diesen Zweck schienen mir nu 
Essigsäure-Wassermischungen zu sein, welche bekanntlich ob 
merkwürdiges anormales Verhalten zwischen Konzentration und 
Dichte zeigen. Essigsäure (C^H^O,) mischt sich in allen Ye^ 
hältnissen mit Wasser. Hierbei findet anfänglich eine Kon- 
traktion statte die Dichte der Mischung nimmt deshalb an- 
fänglich bei Zusatz von Wasser beständig zu, erreicht ihr 
Maximum bei einer Mischung von etwa 78 Proz. Gfifi^, bd 
welcher ihre Zusammensetzung dem Hydrate 

C,H,0, + H,0(=CH,.C(OH),) 

entspricht, um dann bei weiterer Verdünnung wieder beständig 
abzunehmen, und zwar beträgt nach den Versuchen von A. G. 
Oudemans^) der Wert der Dichte 

(r»!^ für lOOproE. EBsigs&nre 1,0558 
„* „ 78 „ „ 1,0748 

„ „ „ „ 0,9992. 

Zwischen den Dichten 1,0553 und 1|0748 entsprechen 
demnach je einem und demselben Dichtewerte stets zwei Ter- 
schiedene Werte des Prozentgehalts an Essigsäure, z. B. 

der Dichte 1,0553 die beiden Werte 100 Proz. und 48,1 Proz., 
1,0607 „ „ 97,9 „ „ 49 

und 80 bieten sich unserer Untersuchung je zwei ihrer Natur 
nach gleichartige Flüssigkeiten von gleicher Dichte und gleicher 
Schwingungszahl, aber verschiedener Zähigkeit dar. da die 
Zähigkeit verschieden ist bei verschiedenem Prozentgehalte an 
Essigsäure. 

Demgemäß wurden je zwei bezüglich ihres Prozentgehalts 

an Essigsäure möglichst weit auseinanderliegende , derselben 

Dichte entsprechende Mischungen, deren Zähigkeitsverhältnis 

andererseits bestimmt worden war, ausgewählt und deren Ober- 

tlächenspannungen nach der Kapillarwellenmethode bestimmt 

Die Mischungen waren in großen Mengen aus reinster 

Essigsäure und reinem destillierten Wasser hergestellt worden 

Ton Hrn. Dr. E. Fischer, welcher auch die Dichtebestim- 

nsngen, sowie die Bestimmungen des Gehalts an Essigsäure 

HL chemischem Wege auszuführen die Gefälligkeit hatte. Der 



1 iuCOudemans, Das spezifische Gewicht der EBsigsäure p. 46. 



r 



Einfiuß der Zähigkeit auf KapiUarkanstanten. 483 

nutzte Eisessig war in der Fabrik von C. A. F. Kahlbaum 
irgestellt worden, sein Gehalt an Esaigaäore betrag 99,7 Proz.; 

ar noch besonders von Hm. Fischer bezüglich seiner 
Einheit geprüft worden mit dem Krgebnis, daß er weder Chlor 
)cb Schwefelsäure enthielt, und daß in ihm weder eine Spur 
>n Metallen, noch von empyreumati sehen StoÖen, noch von 
eieo Mineralsäureu oder von festen organischen Säuren nach' 
iesen werden konnte. 

Die quantitativen Bestimmungen wurden ausgeführt dnreh 
ithrung mit einer Genauigkeit der chemischen Analyse von 
;*a ± 0,1 Proz-, die Dich tebe Stimmungen mittels des Pykno- 
leters mit einer Genauigkeit von etwa ± 0,UU02, 

Der Untersuchung unterworfen wurden nun zunächst fol- 

e Paare korrespondierender Lösungen, welche bezüglich 
Konzentration und Dichte vor und nach Ausführung der 
esaungen ihrer OberOächenspannungen titriert und pjkno- 
etriscb bestimmt wurden; 
w 97,5 proE. LöBung mit der Dichle ir,,, =< 1,0GI61 

■ 50,22 „ „ „ „ „ „' = 1,0616) 

■ 87,6 „ „ „ „ „ „ = 1,0728 1 
1 67,8 „ „ „ „ „ „ = 1,0726 1 ' 

■• die d4in Kontraktionsmaximum entsprechende Lösung von 
K 7B,03 Proz. mit der Dichte a,^ ^ 1,074(1. 

■ Es mag besonders hervorgehoben werden, daß bei den 
ösungen während der ganzen, ziemlich langen Dauer der 
apiUaritatameSBUiigen Üicbteänderungen infolge von Ver- 
instuog oder von Absorption des Wasserdampt'ea der Luft 
cht walirgenommen wurden. Für die Dichte der 97,5 proz. 
Istmg ergab sich z. B. nach Beendigung der Kapillaritäts- 
Essungen, welche etwa drei Wochen lang dauerton, der Wert 
Jtil5, welcher genau mit dem vor Beginn der Messungen 
stimmten Werte (l,U616) übereinstimmte; ebenso fielen für 
[anderen Lösungen die Abweichungen der Dichtebestinimnngeu 
Knd nach Ausführung der Kapillaritätsmessungen innerhalb 
P^enauigkeitsgrenzen der Dichtebeatimmungen selbst. Eine 
[wie Konstanz der Dicht« während eines längereu Zeitinter- 
Us bei wechselndem Feuchtigkeitsgehalt der Luft habe ich 
i anderen Lösungen bisher niemals beobachtet 

Bezuglich der Versuchaanordnuug, der Eiurichtung der 



464 



L, Orunmaeh, 



einzelnen Apparate, besonders des zar Wellenlängenmesnuf; 
der Kapillarwellen dienenden Mikrometermikroskops, sowie da 
Doppeltrichterapparats, welcher es ermöglicht, in jedem Zät- 
moment eine reine, frische Fliissigkeitsoberfläche zur Bestin- 
mung der Kapillaritätskonstante herzustellen und bei beständig 
sich erneuernder Oberfläche die Beobachtungen auszofühien, 
gestatte ich mir, auf meine früheren Publikationen ^) über diesen 
Gegenstand hinzuweisen. 

Von jeder der fünf untersuchten Lösungen wurden je seck 
unabhängige Beobachtungsreihen, deren jede wieder aus Eeha 
gut untereinander übereinstimmenden Einzelbeobachtungen be- 
stand, ausgeführt. Sie werden in extenso an anderer Stdk 
mitgeteilt werden. Hier sollen nur die erhaltenen Mittelwerte 
ihre Berücksichtigung finden. Unter Annahme des bei meineD 
früheren Untersuchungen^ fi\r die Oberflächenspannung des 
reinen destillierten Wassers gefundenen Wertes 0,0767 g/co 
bei 19,1^0. erhält man dann folgende tabellarische Zusam- 
menstellung der speziflschen Kohäsionen und der Oberflächen- 
spannungen für die nach wachsendem Prozentgehalt an Essig- 
säure geordneten Essigsäure- Wassermischungen: 



Prozeutgehalt 
an £ssig8äure, 
(C,H«0,) j 

t 


Dichte 
0,9991 


Halbe spezif. 
Kohäsion 

n .1 

cm 
a 

0,0768 


Oberflächen- 

spanuung 

rt g/cm 


Tempertti 
in«C. 




1 


' 0,0767 


19,1 


50,22 


1,0616 


0,0357 


0,0379 


19,4 


67,8 


1,0725 


OO32I5 


0,0845 


18,6 


78,03 


1,0748 


0,0288 


0,0309e 


17,0 


87,6 


1,0728 


0,02754 


0,02955 


19,0 


97,5 


1,0616 


0,0255 


0,02704 


19,5 



In Fig. 1 sind die Kapillarkonstauten in Abhängigkeit TOin 

Prozentgehalt an t^ssigsäure graphisch dargestellt, und zwar 

geben die Abscisson den Prozentgehalt an Essigsäure, die Ordi- 

naten 1 und II die OberHächeuspannungen und die spezifischen 



\^I». Qruniuaoh 1. c. 

^^ li. QtTun m a r h , Wissensch. Abhandl. d. Kids. Normal- Aichung*- 
1^152. 1902. 



Bmfuß der Zähigkeit auf Kapiilarkaiutantan. 465 

en, reduziert auf die Temperatur + 20* C, unter Au- 
rWerte - 0,00015, bez. — 0,00008 ftir die Temperatar- 
teo der spezitischeu KohäBion, bez. der Oberöächea- 

der Essigsäure.') Man sieht aus der Tabelle uud aus 
en, daß die Oherflächeruipatmungen ebenso wie die spe- 
Kohäsionen mit steigendem Prozentgehait an Essigsäure 

abnehmen, und daß von zwei Essigsäure -Wasser- 
en, welche gleiche Dichte, aber verschiedenen I'rozent- 

Essigsäure besitzen, diejenige mit höherem Prozent- 
e kleinere Ober- 
Innung und hlei- 
ifische Kohäsion 

In der Nähe 
ntraktionsmaxi- 
indet plötzlich 
le Senkung der 
att. 

(ragt sich non, 
em Zusammen- 
Mgkeit nuA Kon- 

der Easigsäure- 



stehen. Würde 
3endem Prozent- 
Essigsäure auch 
gkeit der Mi- 







y 




V 








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'"^^ ^ 




^: 


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-^^^- 


— , — L L i i 


-S ' i « n 



Fig. 1 



eständig zunehmen, ao würden wir aua den Versuchen 
können, daß in der zäheren von zwei Mischungen 
Sichte und gleicher Schwingungazahl die Wellenlänge 
llarwellen und folglich auch spezifische Kohäsion und 
lenapannung eine geringere sein müßte. Dies würde 
h die Theorie begründeten Auffassung entsprechen, 
er zäheren Flüssigkeit infolge ihrer größeren inneren 
die Fortpäanzungsgesch windigkeit und demgemäß, da 
ingungszahl durch die erregende Stimmgabel gegeben 
Wellenlänge und Kapillarkonstante verkleinert würde. 



ob. Schiff, Degli eqnivaleuti capilUri dei corpi Bimplici. 
t. Quetta cheiDiw!;italia 14. p. 868. 1884. 
tn-FHtMbnft. 30 



466 L. Orunmach, 

Solch einfacher Zusammenhang zwischen Eonzentntia 
und Zähigkeit besteht indessen nicht bei den EsdgBäor»- 
Wassermischungen, wohl allgemein nicht bei Mischungen, weldii 
ein scharf ausgeprägtes Eontraktionsmaximum zeigen. Sad- 
berg^) hat wohl zuerst die Vermutung ausgesprochen, dal 
Flüssigkeiten, welche ein Kontraktionsmaximum zeigen, «ock 
ein Zähigkeitsmaximum besitzen, welches in inniger Beziehimg 
zu jenem steht, eine Vermutung, deren Richtigkeit später flir 
Alkohol-Wadsermischungen ihre experimentelle Bestätigung g^ 
funden hat durch Po iseuille *), indem er mittels derHetfaodi 
des Ausfließens durch Kapillarröhren nachwies, daß der Mischmg 
C^HqO + 3H2O ein Maximum der Ausflußzeit, d. h. ein Maxi- 
mum der Zähigkeit entspricht, femer durch Oraham'), weldur 
ebenfalls fiir Mischungen zeigte, daß Maximalwerte der Bei- 
bung für bestimmt charakterisierte Hydrate derselben existiera. 

Über die Zähigkeit von Essigsäure -Wassermischungen m 
Abhängigkeit von Konzentration und Temperatur liegen nn 
ausgedehnte Untersuchungen vor von K. Noack*) und ^t» 
R. F. D'Arcy*»), von letzterem allerdings nur fllr das Konzen- 
trationsgebiet 62,5 bis 99 Proz., aus denen sich ergibt, dat 
von 62,5 Proz. an die Zähigkeit mit steigendem Prozent- 
gehalt an Essigsäure bis zu einem Maximum, das etwa bei 
80 Proz., also in der Nähe des Eontraktionsmaximums liegt, 
zunimmt, und daß dann die Zähigkeit bei Zusatz von Essig- 
säure zur Mischung anfänglich langsam, dann aber sehr rasch 
abnimmt. 

In ziemlich guter Übereinstimmung mit den D'Arcyschen 
Resultaten sind die Ergebnisse der Untersuchungen von Noack, 
welche ein größeres Eonzentrationsgebiet umfassen und, so- 
weit sie für unseren Zweck in Frage kommen, in Fig. 2 
grapliisch dargestellt sind. Die Abscissen geben die Prozeote 
an reiner Essigsäure, die Ordinaten die Werte der Fluidität für 
die beiden Temperaturen 15 und 30 ^C. Man erkennt leicht, 

1) F. Rudberg, Pogg. Ann. 13. p. 496. 1828. 

2) J. L. M. Poiseuille, Compt. Rend. 15. p. 1167. 1842. 

3) Th. Graham, Phil. Trans. 151. I. p. 273. 1861. Vgl. Mcb 
W.König, Wied. Ann. 25. p. 622. 1885. 

4) K. Noack, Wied. Ann. 28. p. 666. 1886. 

5) E. F. D'Arcy, Phü. Mag. V. 28. p. 221. 1889. 



Eixfittfi der Zähigkeit auf KapiUccrkoMtaaten. 



467 ■ 



kS das Min imnm der Flnidität (Haximum der Zähigkeit) bei 
Btf Konzentoation von etwa 77 Proz., entsprechend der 
ormel C,H^O, + HjO, atatt&ndet, und daß eine merkbare 

Btachiebang desBelben beim ,,, 

bergang tod einer Karre be- 
immter Temperatur sn eioer 
nrre anderer Temperatur Dicht 
DtritL Merkwürdig ist hier 
wder das rasche Wachsen der 
hndit&t (die rasche Abnahme 
KT ^higkeit] tob dieser Eon- 
mtration an bei Zusatz Ton 
■Bgs&ure zur Uischang. 

Interpoliert man aus den 
Herten TOn D'Arcy und tob 
«aek f&r die Zähigkeit and 
« Flaidität benachbarter Eon- 
ntrationen and Temperaturen 

ia entspredienden Werte ftir die von mir untersuchten Eon- 
Btmtionen bei der Temperatur von 20'' C), so erhält man 
Jgende Zasammenstellung: 



ÖB 




rs 


m 


'-\ 


m 


z \ 






U- w 


'\ "^^ ^ 




" ^ ^^ 


. :: 


: s^^H Kj,. 


" " ^4 


-t /-.. 




-±-' „ 


30 


3i •. 


'" 


IE 



■Mwnt- 
)Ult an 
reiner 


Dichte 


ViekoeitOt 

nach 

D'Arcy, be«. 


FlniditBt 

nsicbNottck, 

bez. anf 


Halbe Bpeiif. 
KohSeion 


Ober- 
flBchen- 


&«ig- 


""1. 


auf Waswr 


Waaaer von 




apaDnang 


Avn 




TonaO'C. = 1 


20" C. - 100 


L_^ 







0,M91 


1,00 


100,0 


0,0767 


0,0766 


60,22 


i.oeie 


— 


46,1 


0,0356, 


0,0978. 


67,8 


1,0725 


2,56 


38,4 


0,0320, 


0,0344 


78,03 


1,07<8 


2,63 


36,4 


0,0286 


0,0307 


87.8 


1,0728 


2,44 


SM 


0,0275 


0,0295 


»7,5 


1,0616 


1,44 


64,6 


0,0254, 


0,0270 



Ein gesetzmäßiger Zusammenbang zwischen Zähigkeit und 
pezifischer Kobäsion oder Oberäächenspaunung ist aus den 



1) Die Interpolation ist natQrltcb mit einer gewissen Unsii^herheit 
Mliaftet, einmal wegen des Einflnases der Temperatur auf die Zfihigkcit 
ud nreitena, weil vom Konientrationgmaximum an die rasche Abnahme 
Ui Züfaigkeit bei ZuaU von EMigsBnre stattfindet. 

80- 



468 X. Orunmach. Einfluß der Zähigkeit auf KapiBarhonilaitaL 

vorliegenden Ergebnissen nicht ersichtlich. Während die ^!i%- 
keit mit wachsendem ProzentgehaU an Essigsaure bis in die Hak 
des Kontraktionsmaximums zunimmt, um von dort ab bei weüerm 
Zusatz von Essigsäure zur Mischung wieder und zwar sehr stark 
abzunehmen, nehmen spezifische Kohäsion und Oberflächempasr 
nung mit wachsendem Gehalt an Essigsäure beständig ab. Vim 
zwei Essigsäure- Wassermischnngen gleicher Dichte und Schwin- 
gungszahl^ aber verschiedener Zähigkeit , hat diejenige toi 
höherem Prozentgehalte an Essigsäure die kleinere Oberflächeo- 
spannung und kleinere spezifische Kohäsion. In der Nähe 
des Eontraktionsmaximums ^ das nahezu mit dem Siähigkeit»- 
maximum zusammenfällt, tritt allerdings der aus der Tfaeoiie 
gefolgerte Einfluß der Zähigkeit auf die Wellenlänge deutlicher 
hervor, denn dort findet, wie aus Fig. 1 p. 465 ersichtlich ist, 
eine plötzliche Abnahme der KapiUarkonstanten statt Dtf 
betreffende Punkt fällt scheinbar aus der Kurve heraus. Mdn^ 
fach wiederholte Bestimmungen des Prozentgehalts, der Dichte 
und der KapiUarkonstanten derselben Mischung haben indessea 
die Richtigkeit seiner Lage bestätigt. Da aber ein und H»- 
selbe Dichte 1,0748 zu einem größeren Konzentrationsgebiete, 
nämlich zu den Mischungen von 80, 79, 78 bis zu 77 Proz. ge- 
hört, so werden zur Aufklärung jener Unstetigkeit noch einige 
dieser Mischungen zu untersuchen sein. 

(Eingegangen 21. September 1908.) 



469 



58. Sn la teoria dell' analisi spettrale. 

Di A. GkkrbaBBO in Grenova. 



Neben der allgeineinen tiieo- 
retfsohen Physik aind die Bilder 
der meohaniäehen Physik sowohl 
um neues sn finden, als anch um 
die Ideen sa ordnen, Übersicht- 
lieh damstellen und im QedScht- 
nis KU behalten, ftuflerst nOtslich 
nnd noch hente fortsapflegen. 

Boltsmann. 

1. Ho dato recentemente la soluzione del problema pid 
nerale, relativo alle scariche dei condensatori^, il quäle 
oblema si puö enunciare in questo modo: 

^yU conduttori complesH sono posH in presenza e ü v^esimo 
esst contiene c^ capacitä e f^ fiU; si assegnano le cariche e 
correnti cd tempo zero e si domanda di ccdcolare cariche e 
nrenii per un istante qtudunque,'^ 

Ho fatto yedere che in tale caso generalissimo ognuna 
Ue quantitä incognite soddisfa ad un'equazione differenziale 
eare ed omogenea^ a coeifficienti costanti^ dell' ordine: 

n 

1 

Qnesto teorema si puö mettere sotto una forma piü 
nplice; basterä osservare infatti che, se il o-esimo conduttore 
86 isolato r ordine della sua equazione differenziale sarebbe: 

ine dunqne: 

n 

1 

E' una proposizione, che ha manifestamente un' impor- 
iza considerevole per la teoria dell* analisi spettrale; Tallarga- 



1) A. Garbas 80) Memorie della R. Accademia delle Scienze di 
rino (2) 53. p. 127. 1908. 



470 



A. Oearbasso. 



mento delle righe, Tesistenza di spettri caratteiistici per k 
combinazioDi, come delle serie di doubkts e triplets, deriyaoo 
da essa in un modo semplice e naturale. 

Mi propongo di darne an esempio con l'esame di aleom 
casi particolariy e spingerö 11 calcolo fino alle ultime oon- 
seguenze nnmeriche. 

2. Consideriamo all'uopo an condattore costitnito da tie 
capacitä uguali (Fig. 1 e 3) rianite da dae fili ogaali^ rettüm 
e ortogonali; e supponiamo i fili cosi lunghi che le azbm 
elettrostatiche fra capacitä e capacitä risaltino trasconbüL 
n calcolo di questa disposizione non presenta nessona diffi- 
coltä. Chiamando iZ ed Z la resistenza e il coefficiente di 
antoinduzione di ciascun filo, K il coefficiente di potenaik 
(che sarebbe nel caso nostro il reciproco della capacitä), \ e 
^ le correnti del primo e del secondo filo, e ponendo per 
comodo di scrittura: 



D 



ayremo infatti: 



e quindi: 



d 
"dt* 






S^K 



- K S\ 



\ix=0. Ä = 1,2. 



La caratteristica dell' equazione differenziale si ottiene 
ponendo a zero il determinante, e considerando il ß come 
un' incognita, sarji dunque: 



0') 



S- A" 



- A' S 



= (5* -K*) = {S- K){S +£) = 0. 



Dal <|unle resultoto si deduce immediatamente che ii 
<()n(liittore proposso emette uno spettro di due lighe coi periodi: 



'") 



/ L 






Teoria delP anoHii spetirale, 471 

8. AdesBo YOgliamo supporre che due conduttori del tipo 
i quello studiato innanzi si trovino in presenza (Fig. 2 e 4); 
la, par rendere meno pesanti i calcoli materiali^ ammetteremo 
he i quattro fili siano tutti uguali, e la posizione relativa sia 
ile che il primo filo del primo conduttore agisca solamente 
qI primo filo del secondo e il secondo filo sul secondo filo, 
i coefficienti di indozione relativi alle due coppie siano 
lentid, appunto come appare dalle figure. 

Supporremo ancora. che le capacitä variino da un con- 
Inttore all' altro; come prima non vi saranno azioni^ fra cariche 
ibere in uno stesso conduttore; vi saranno bensi fra cariche 
eil' uno e dell' altro. Per semplificare ammettiamo che la 
rima capadtä agisca su la prima, la seconda su la seconda, 
i terza su la terza e i coefficienti di Potenziale relativi alle 
"6 coppie siano uguali. 

Indicheremo con M il coefficiente di induzione mutua, 
in K^\ K^^ e k i coefficienti di Potenziale, con i^^^, i^^, a^<* 
ij^^ le coirenti e porremo: 

8^^^{R + LD)D + 2K^^ 

rrä senz' altro: 

5(1) ^(D _ jfd) ^^(D + s ^(» -. A ^^» =0 
- Z«i) ^(1) + 5(1) 1^(1) - A i^<» + « V* =0 



( 





' «V" - A V" 


+ 5(»ij(» _Z<»^<» =0 


l -A^'i» +»4<" 


__j-(»^t»^5(»^(» ^0, 


]uindi: 






5,<« - Af<" 3 


-Ä 






s -h <S<» ■ 




,-,0.) = 0. ^ - ^'^ 




-h «-«-<» 


5'» 





La caratteristica dell' equazione difi^erenziale si ottiene 
me prima ponendo a zero il determinante e considerando 
D come un' inoognita; essa 6 dunque: 



Teoria delP atudüi spettrale. 



478 



ßih 



2r<« (e - a">)« 



2 (K^^ - Js:»o 

^1* = 2;<i> (1 - d^^ 
i;** = 2;<» (1 - ö<*) 

iriodi del sistema composto si ottengono dunque molti- 
per certe costanti gli spettri dei conduttori componenti. 
isto risultato trova nn riscontro nelle osseryazioni del 
nwald SU lo spettro del vapor d'acqua, e sul modo nel 
si puö dedurre da quelli dell' idrogeno e dell' ossigeno. 
Jn altro caso semplice 6 quello in cui i dne conduttori 
orosamente uguali (Fig. 4), caso che si traduce nella 

ole (ß) fomiscono allora: 



77* 



ire, se si suppongono piccoli daccapo i rapporti: 



8 = 



M 



^ = -K 



y,*=2.|/|:(i.i^) 






..,^A 



1 + 



e — o 



) 



^.•-2'i/S(i-^) 



2',**=2« 




e — 



')■ 



Chiamando 2, e T^, come al paragrafb 2, i p«riodinIatn 
conduttore isolato, e ponendo ancora: 




leüria delt anaiüi spettraU. 



476 



E perö il sistema composto ha uno spettro, nel quäle le 
;he relatiye ai conduttori componenti sodo sostituite da al- 
ittanti doubleti. 

6. AUo stesso risultato si puö arrivare per una via piü 
ßgante, senza nemmeno svolgere requazione caratteristica (b). 
dl caso attaale codesta equazione ha infatti la forma: 

S ^K s ^h 
- jf Ä - /l 8 

- Ä 8 ^K S 



= 0; 



t ora si somma la terza con la prima e la quarta con la 
iconda orizzontale risolta: 



S + 8 -{K + h) 5 + 5 - (A: + Ä) 
^(K + k) S + 8 -{K + h) S + 8 
8 ^h S ^K 



-A 



^K 



= 0, 



sia^ sottraendo la prima dalla terza e la seconda daUa quarta 
rticale: 

S + s ^[K+h) 

-(JT+A) S + 8 

s -.A S-8 -(Z-A) 

-A *-.(Z-A) Ä-* 



I S + 8--{K + h) 
\ -^{K + k) S+s 



- (ff - A) S-s 



= 0. 



Basta confrontare quest' ultima condizione con la (a) per 
(dere come dalle {a) seguano immediatamente le (d). 

7. Per calcolare gli spettri riprodotti nelle figure ho 
ipposto che i fili fossero lunghi 30 cm e spessi 0,03; le 
ipacita sono palline di 3 cm di diametro nel conduttore 
)lla figura 1 e palline di 4 cm nel conduttore della figura 3. 

II sistema della figura 2 risulta dalla riunione di un con- 
ittore (1) con un conduttore (3), e il sistema della figura 4 
una coppia di conduttori (3). La distanza ä:a i fili paralleli 
)lle figure 2 e 4 ö di 10 cm. 



476 A Garbasso. Tearia delP analin speUrcde. 

Le longhezze d'onda, che si calcolano con qn^ti « 
sono le seguenti: 

1. 76,9 188,2 

2. 76,1 89,8 181,9 154,7 
8. 88.8 158,8 

4. 87,8 89,4 152,1 154,8 

Conduttori e spettri farono disegnati in vera grandez: 
poi fotografati; siccome le lunghezze d'onda yaiiaiio comi 
dimensioni lineari dei sistemi che le 6mettono, la rapprei 
tazione continna a valere. 

Genova, Istituto Fisico della K. üniversitä, 15. 1 
tembre 1903. 

(Eingegangen 21. September 1903.) 



i 



477 



ber die elektrische Dispersion der Kristalle. 

Von L. QraetB in München. 



dem Boltzmann in einer seiner frühesten Arbeiten^) 
enmal die dielektrischen Eigenschaften der Kristalle 
it und sie mit den Forderungen der elektromagne- 
jichttheorie übereinstimmend gefunden hatte, ist das 
ntelle Material lange Zeit, bis zum vorigen Jahre, 
sentlich ausgedehnt worden. Das Besultat der Boltz- 
len Untersuchung des rhombischen Schwefels ergab 
hlich die zwei Tatsachen, 1. die Achsen des größten, 
und kleinsten optischen Brechungsindex sind zugleich 
Achsen der größten, mittleren und kleinsten Dielek- 
onstante; 2. das Quadrat des Brechungsindex Hir jede 
•ei Achsen ist im wesentlichen gleich der betreffenden 
zitätskonstante. Die Erweiterung des experimentellen 
}, die seitdem stattgefunden hat, hat in keinem Falle 
£ zweite der obigen Resultate ergeben. Bei allen 
iten Kristallen war die Dielektrizitätskonstante a größer 
Quadrat des Brechungsindex n, bez. der Konstante der 
sehen Formel. Auch bei den allermeisten isotropen 
findet dieselbe Abweichung statt, die bekanntlich auf 
3nen im Bereich der langen Wellen schließen läßt 
fand sich das erste der obigen Resultate, welches 
2 so aussprechen kann, daß die Reihenfolge der Achsen 
Dptischen und die elektrischen Bewegungen dieselbe 
chst bei allen untersuchten Kristallen, zu denen optisch 
;e und optisch zweiachsige rhombische und klinorhom- 
3hörteu, wieder. 

)s auch dieser Satz gilt nicht allgemein. In einer 
hung, die Fellinger^ auf meine Veranlassung und 



. Boltzmann, Wien. Ber. (2) 68. p. 81. 1878. 70. p. 807. 

grg. Ann. 153. p. 525. 1874. 

. Fellinger. Ann. d. Phjs. 7. p. 888. 1902. 



478 L. Graetz. 

nach einer von Graetz und Fomm angegebenen Metkode 
ausführte, ergab sich zum ersten Male eine Abweichung von 
demselben ; eine unerwartete Yertauschung der Achsen, und 
zwar beim Baryt Für diesen ist die Ebene der optischen 
Achsen die Ebene {010}, wenn die Ebene größter Spaltbariceit 
zu {001}, die prismatische zu {110} genommen winL Wird die 
Achse senkrecht zu {010} als d -Achse genommen, die erste 
imd die zweite Mittellinie als c bez. a so sind die Brechuogs- 
exponenten für den Baryt 

ß r 

für die Linie C 1,6886 1,6848 1,6452 
„ „ „ D 1,6868 1,6875 1,6480 
„ „ „ E 1,6897 1,6409 1,6517 

Die Werte von ß haben also, wie es sein muß, den mitt- 
leren Wert und a und y weichen erheblich Yoneinander ab. 
Im Gegensatz dazu zeigte sich die Dielektrizitätskonstante 
gerade in der Richtung senkrecht zu {010} als die größte. Es 
war nämlich für dieselben drei Richtungen 

8i = 6,9739 ej = 10,0876 «3 = 6,9964. 

Auch ein zweiter Baryt, für den bloß c^ und «^ gemessen 
wurde, ergab 63 viel größer als «j, nämlich 

«1 = 7,133 6, = 11,911. 

Dieses Resultat ist sehr auffallend, und Beckenkamp^) 
vermutete, daß die Beobachtung am Baryt infolge von Pyro- 
elektrizität gefälscht sei, was an sich bei der angewandten 
Methode möglich gewesen wäre, wenn nicht, wie es der Fall 
war, gerade dieser Fehlerquelle besondere Aufmerksamkeit 
geschenkt worden wäre. Inzwischen ist nun das Resultat 
von Fellinger am Baryt durch eine nach ganz anderer 
Methode ausgeführte Untersuchung von W. Schmidt*) durch- 
aas bestätigt worden. Dieser fand nämlich bei zwei Baryt- 
kristallen bei derselben Bezeichnung der Achsen im Mittel: 

I «1 = 7,62 e, = 12,25 69 = 7,62 
II ei = 7,69 fi, = 11,00 ^ = 7,70. 



\>yBeckenkamp, Zeitschr. f. Kristallogr. u. Min. 3&. p.l84 

lim. d. Phys. 9. p. 983. 1902. 



Elehtr. Disprrtion der Kristalle. 



479 



Also auch hier ist Mj viel größer als t^ und s^, und die 
■en beiden Werte sind wie bei FelÜDger nahezu einander 
Schmidt fand zugleich noch hei einem zweiten Kristall, 
Blestin, der ebenfalle rhombisch ist, dasselbe Verhalten. (Baryt 
it Schwefels au res Baryum, Cöleatin schwefelaaurea Strontium.) 
fe den Cöleatin sind bei derselben Bezeichnung der Kristall- 
die optischen Brechungsindizes 

a ß f I 

für die Linie D 1,62198 1,62367 1,63092, 

id die Dielektrizitätskonstanten sich bei zwei Eristailen 
Vittel ergaben: 



= 8,30 



e, = 18,50 



, = 8,00 
I, = 7,70. 



Hier ist also e^ verhältnismäßig noch bedeutend mehr ge- 

Uäen wie beim Baryt. 

Die Tatsache seihst ist also durch diese zwei nach Ter- 
chie denen Methoden angestellten Untersuchungen sicher ge- 
teilt. Aus dieser Tatsache folgt aber sofort folgendes: Da 
ie optischen Achsen eines zweiachsigen Kristalls immer in der- 
Jfligen Ebene liegen, welche senkrecht steht auf der Richtung 
es mittleren Brechungsexpouenten und da ebenso die elek- 
ischen Achsen, d. h. diejenigen Achsen, in welchen die elek- 
iächen Bewegungen gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit im 
^stall haben, senkrecht stehen auf der Richtung der mitt- 
lren Dielektrizitätskonstante, so folgt, daB für den Baryt und 
öB Cölestin die Ebene der elektrischen Achsen senkrecht 
leht auf der Ebene der optischen Achsen. Während für das 
4Cht die Ebene ac die Achaenebene ist, ist ea für die Klek- 
izität die Ebene fia bez. ic, je nachdem «i^*a ist. Wir 
iben es also mit gekreuzter Stellung der Achsenebenen für 
ie raschen Lichtbewegungen und die langsamen elektrischen 
ewegungen zu tun. Aus dem optischen Verhalten kann man 
ir diese bei langen Wellen eintretende Kreuzung nicht ein- 
al einen Anhaltspunkt finden. Ein solcher wäre vorhanden, 
6un der optische Achsenwinkel mit wachsender Wellenlänge 
sichtbaren Teil des Spektrums bedeutend kleiner würde. 
gerade das (Gegenteil ist für den Baryt der li'all. Für 




480 i. Qrattz. 

diesen berechnet sich der wahre Achsenwinkel 2 F^bei 20^ fltr 
die Linien 

C zu 35M0' D zu 34<>47' P zu 34<>35'. 

Für den Cölestin ergibt sich wohl eine kleine Abnahme 
für C rechnerisch, doch scheinen die Zahlen für die Brechimgi- 
exponenten nicht genügend sicher zu sein. Für den Cölestin 
wird 2 r 

bei C 50^23' B 52M' F 51°30'. 

Eine solche Kreuzung der Ebenen der optischen AchseD 
für Wellen verschiedener Länge ist übrigens auch fftr das 
Licht keine unbekannte^ wenn auch eine seltene Erschei- 
nung. Es gibt einige Kristalle^ und der Brookit (TitanozTd) 
ist das Hauptbeispiel dafür^ welche in dem Bereich des sichtr 
baren Spektrums eine derartige Dispersion zeigen^ daß die 
Ebene der optischen Achsen für Rot und Gelb senkrecht steht 
auf derjenigen für Grün und Blau.^) Die merkwürdigen Bildier, 
welche eine Platte aus solchem Kristall in konvergentem weilen 
Lichte zeigt, sind in dem angeführten Werke von Groth ih* 
gebildet. Wenn man nun nicht nur das Gebiet der sichtbaien 
Wellen , sondern das gesamte Gebiet der Wellen bis zn den 
elektrischen in Betracht zieht, so mag diese Erscheinung, wie 
Baryt und Cölestin es zeigen, eine viel allgemeinere sein. Ein 
zweiachsiger Kristall, der in gewissen Gebieten der Wellen- 
längen eine Kreuzimg der optischen Achsenebenen zeigt, muJ 
notwendig für eine dazwischenliegende Wellenlänge sich wie 
ein einachsiger Kristall verhalten. Das Analogon dafür ist bei 
einachsigen Kristallen eine solche Dispersion, daß der Kristall 
aus einem optisch positiven zu einem optisch negativen wird, 
wobei er notwendig für eine dazwischenliegende Wellenl&ige 
isotrop erscheint. Auch dafür zeigen die von Schmidt an- 
gegebenen Zahlen ein oder zwei Beispiele. Der Esenspat 
ist nach der Angabe von Groth*) stark negativ doppelbrechend, 
d. h. n^ II Achse ist größer als n^ j_ Achse. Im Gegensatz dan 

1) P. Groth, Physikalische Kristallographie. 3. Aufl. p. 109 Q. 
390. IbiK'). Leider scheiuen gerade für solche Kristalle keine gentaea 
Meösuugeu der Brechungsindizes vorzuliegen, obwohl sie hier besondem 
Interesse hätten. 

2) P. Groth 1. c. p. 470. 



EUktr. Sirpersion der Krintalle. 



481 

I DielektrizitätskoDBtante «^ im Mittel 6,85, t^ im Mittel 
7,86, also ist der Kristall für diese Wellen positiv. Beim 
Ärkon, der optisch negativ ist, geben die Zahlen f^= 12,6, 
e_= 12, Ö zwar positive Doppelbrechung, doch so geringe, in 
die Fehlergrenzen fallende Differenzen, daß man den Kristall 
fllr diese Wellen sogar als regulär ansehen kann. Diese Ver- 
Bkoderungen im Charakter der Doppelbrechung fllr verschiedene 
"Wellen sind natürlich zu unterscheiden von denen, die durch 
«ie Wärme hervorgebracht werden, da die molekulare Kristall- 
atmktur ja dabei dieselbe bleibt. 

Die Ursache für die Erscheinungen beim Barjt und Cö- 
Itstin beruhen offenbar auf anomaler Dispersion in dem Ge- 
tjiet zwischen den Lichtwellen und den elektrischen, und lassen 
sich also zurückfuhren anf Absorptionen im Ultrarot. Wenn 
xnan die Helmholtzsche Theorie des mit lonenpaaren be- 
Insteten Äthers zugrunde legt, so sind es also die durch Rei- 
fcung gedämpften Eigenschwingungen der Ionen, welche die 
-Absorption und den anomalen Verlauf der Dispersion ver- 
anlassen. Die Helmholtzsche Theorie ist zwar nur für isotrope 
bedien in Gleichungen gefaßt, es bat aber keine Schwierigkeit, 
die entsprechenden Gleichungen für einen doppeltbrechenden 
Kristall mit fester Achsenrichtung (rhombischen) hinzuschreiben, 
b«i denen man außer den 3 Dielektrizitätskonstanten e^ «^ Sg 
noch die Konstanten a' und h der Helmholtzschen Theorie 
nAch den drei Achsenrichtungen verschieden annehmen muß. 
Auch hat es keine Schwierigkeit, aus dem Ansatz fiir ebene 
Wellen eine Gleichung zu erhalten, weiche formell der Fres- 
Delschen Gleichung für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit V 
analog ist, nur daiJ au Stelle dieser Größe hier eine komplexe 
Öröße auftritt, deren reeller Teil allein die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit ist. Die Trennung aber der erwähnten Glei- 
ibiing in einen reellen und imaginären, den Äbsorptionsyerlauf 
l&rstellenden Teil, führt im allgemeinen zu unüberaichtlichea 
?'ormeln, wie schon für allgemeinere Dispersionstheorien von 
Jrude') gezeigt wurde. Man kann aber ohne spezielle ßech- 
long aus den elektrischen Erscheinungen am Baryt und Cötestin 
loch gewisse Schlüsse auf deren Kohäsion und Spaltbarkeit 



1) P. Drude, Wied. Ann. 40. p. 665. 

D-FiaUctLrift. 



Znr Theorie der Destillation von Gemischen. 

Von J. P. Euanan in Duadee. 



Eb werde ein Oemisch beliebig vieler Stoffe in einer 
iiflasche, welche mit einem aufsteigenden BttckHußrohr ver- 
seilen sei. zum Sieden gebracht. Die Erwärmung werde bo 
reguliert, daß keine FlUsBigkeit abdestilliert, und bleibe durch- 
aus konstaut erhalten. Es wird dann der Zustand nach 
einiger Zeit, sowohl in der Flüssigkeit selbst, wie im Rohr, 
vollkommen stationär. 

Der Vorgang im Rohr besteht darin, daß Dampf in dem- 
selben aufsteigt, sich dort beim Aufsteigen allmählich konden- 
siert und als Flüssigkeit nach dem Kochgefäß zurücktließt. 
Man kann also in jedem DDrchschnitt des Rohres einen auf- 
steigenden Dampfstrom und hinabfließenden Flüssigkeitsstrom 
unterscheiden. Die wirklichen Bewegungen des Gemisches 
sind sehr verwickelt und finden nicht ausschließlich parallel 
der Röhrenachae statt: die gerade in der Kondensation be- 
griffenen Teile des Gemisches bewegen sich sogar hauptsäch- 
lich dem Röhrendurchschnitte parallel; doch kann man jeden- 
falls die sich durch einen Durchschnitt in einem bestimmten 
Zeitelemente nach oben bewegenden Massen als Dampfstrom, 
die durch denselben hinabgehenden als Flilssigkeitsstrom zu- 
sammenfassen. 

Es läßt sich nun leicht ein einfaches Gesetz über das Ver- 
hältnis dieser beiden Ströme herleiten: da nämlich der Znstand 
stationär ist, so muß in einer bestimmten Zeit genau dieselbe 
Menge nach oben wie nach unten gehen. Daraus geht hervor: 

In jedem Surckteknitle sind der aufsteigende Dnmpfstrom 
und der hinabfiießende Flüssigkeitastrom gleich »tark. 

Da sich aber die Gleichheit dieser Ströme nicht nur auf 
die Gesamtmenge, sondern auch auf alle Komponenten der- 
selben bezieht, so erfolgt weiter das nachfolgende Gesetz: 

Die in jedem Burckschnitte nebeneinajider bestehenden Dampf 
find Fliiiiitfkeit haben genau die gleiche Zusammensetzung. 



484 J, P. Kuenen. 

Der Umstand, daß die Flüssigkeit auf jeder Höhe die 
nämliche Zusammensetzung, wie der mit ihr in BerOhrong 
stehende Dampf aufweist, könnte unmittelbar erUftrt werden, 
falls der Dampf immer als Ganzes in Flüssigkeit umgesetzt 
würde. Man könnte sich die Abkühlung und lEondensatioD 
im Bückfiußrohr wohl derart denken, daß dabei immer kleinere 
oder größere Mengen Dampf ohne Fraktionierung yerflüssigt 
würden, aber gewöhnlich, wenn nicht immer (ausgenommoi 
mit Maximum- und Minimumgemischen) findet bei der Kon- 
densation eine gewisse Fraktionierung statt; es ändert sich 
dadurch der Gehalt des Dampfes beim Aufsteigen fortwährend 
in einer bestimmten Richtung, nämlich in der Richtung einer 
größeren Flüchtigkeit. Ähnliches gilt für die Flüssigkeit, da 
dieselbe beim Hinabfließen fortwährend die sich kondensieren- 
den Dampfmengen aufnimmt. Überdies hat die Fraktionierong 
zur Folge, daß sich auf bestimmter Höhe im Rohr nicht nur 
ein Gemisch von bestimmter Zusammensetzung, sondern eine 
Reihe von Gemischen, teils dampfförmig, teils flüssig, befind^ 
welche einen kontinuierlichen Übergang zwischen dem innersten 
Dampf- und dem äußersten Flüssigkeitsgemisch bilden. Das 
oben hergeleitete Gesetz gilt jedoch auch im allgemeinen Falle, 
wenn man unter Zusammensetzung die mittlere Zusammen- 
setzung der beiden Ströme versteht 

Nimmt man, wie oben geschehen ist, an, daß bei der 
Kondensation immer Fraktionierung stattfindet, so ändert sich, 
wie schon bemerkt, der Dampfgehalt fortwährend in einer be- 
stimmten Richtung, und der Endzustand, d. h. der Zustand 
am äußersten Oberende der kondensierenden Dampfsäule im 
Rohr, muß notwendig eine der Komponenten im reinen Zustande 
(oder casu quo ein Maximumgeraisch) sein. Die Menge der- 
selben kann aber natürlich äußerst gering sein. 

Vergleichen wir jetzt den Zustand in einem kurzen Kon- 
densationsrohr mit energischer Kühlung mit demjenigen in 
einem effektiven Fraktionierrohr oder Dephlegmator, immer 
ohne Destillation. In beiden Röhren ändert sich der Dampf- 
gehalt allmählich zwischen einem bestimmten Wert am ünten- 
onde und der einen reinen Komponente am Obenende, und ist 
der Flüssigkeitsgehalt auf jeder Höhe derselbe wie der Dampf- 
i'ehalt. Der Unterschied der zwei Röhren besteht also nur 



BestillatinH von Gemüchen 



485 



Q der Äusdehoung des Phänomens: im Dephlegmator sind die 
*liasen, speziell diejenlften nahe dem Obenende, auf eine größere 
Strecke ausgedehnt; dadurch wird eine viel vollkommenere Schei- 
lung der Komponenten ermöglicht, wenn man diu oberste 
^hase abzudestillieren erlaubt. 

Aus dem obigen geht hervor, daß an keiner Stelle eines 
Destillation srohrs die dampfförmigen und flüssigen Phasen in 
Jiermodynamischem Gleichgewicht sich befinden können, aus- 
genommen gerade am Obenende, wo die eine Substanz im 
reinen Zustande oder ein Gemisch von konstanter Siedetem- 
peratur sich vortindet. Es haben nämlich koexistierende Phasen 
im allgemeinen eine verschiedene Zusammensetzung und um- 
gekehrt kann bei gleicher Zusammensetzung kein Gleichgewicht 
bestehen. Am Untenende des Kondensatiorisrohra, wo die 
Phasen weit vom Gleichgewicht sich entfernen, muß also un- 
laitlelbur eine starke Kondensation und Auswechslung von 
Komponenten anfangen und ändert sicli also der Dampfgehalt 
— und deshalb auch der FlüsBigkeitsgehalt — nach oben 
relativ schnell; bei der Näherung zum Obenende nimmt die 
Tendenz zur Einvrirkung der Phasen bis Null ah und dort 
)e8tebt also nur eine langsame Änderung des Gehaltes nach 
>hen zu: die Ffiagen sind dethalb am Obenende des Fraktionier- 
•ohret am meisten awseinandert/e schoben. Man hat bekanntlich 
II speziellen Fällen mit Erfolg versucht, die Scheidung der 
ioraponenten durch Anwendung eines auf konstanter Tem- 
leratur erhaltenen Kondensationsrohres zu befördern ; offenbar 
mim die Wirkung eines derartigen Hohres ebenfalls als eine 
Ausdehnung der auffolgenden Phasen aufgefaßt werden. 

Wir haben im obigen noch immer angenommen, daß kein 
)ampf abgeführt wird; sobald das geschieht, hören die obigen 
besetze auf zu gelten. Je langsamer die Destillation vor 
lieh geht, d. h. je kleiner die Menge der abgeführten, im Ver- 
lältnis nur nach der KochÜasche zurücköießenden Substanz 
st, um desto weniger werden die Verhältnisse von den oben 
Jetrachteten abweichen. Betrachten wir einfach shalber den 
Fall eioes binären Gemisches und nehmen wir an, daß das 
Destillat aus der einen Komponente in angenähert reinem Zu- 
itande besteht; es bat dann die Destillation offenbar zur Folge, 
I die zurückfließende Flüssigkeit weniger von dieser fiüch- 



486 /• P. Kuenen. Destälaiion von Oemuehen. 

tigen Substanz enthält \mA, anstatt die nämliche ZuBammen- 
Setzung wie der Dampf, eine etwas andere weniger flüchtige 
aufweist und deshalb auch näher mit dem Dampf im Gleich- 
gewicht sich befindet. Gewöhnlich wird jedoch der Zasiand 
noch weit von demjenigen verschieden sein, in dem die sich 
berührenden Phasen thermodynamisch miteinander koezistiereii, 
und diese Abweichung muß am Untenende des Bohres am 
größten sein. Es ist also ungenau anzunehmen, wie man es 
wohl getan hat, daß bei langsamem Betrieb einer Fraktionie- 
rung die Phasen sich auf jeder Höhe des Bückfloßrohres an- 
genähert in Gleichgewicht einsetzen werden; dasselbe ist nur 
im oberen Teile des Bohres der Fall. 

Das obige soll natürlich nicht als eine vollständige Theorie 
der fraktionierten Destillation, sondern nur als ein Beitrag zu 
derselben in einer, so viel ich weiß, vernachlässigten Bichtong 
betrachtet werden. An anderer Stelle hoffe ich die Theorie 
vollständiger darzustellen. 

Dundee, üniversity College. 

(Eingegangen 22. September 1908.) 



481 



line einfache Anwendung der Vektorrechnung 
uf die Theorie der veränderlichen Ströme. 

Von B. Jahnke in Berlin. 



. Einleitung, — Bei einer Einführung in die Vektor- 
ng ist es wünschenswert, schon im Beginn, nachdem die 
isten Begriffe und Definitiopen vorgetragen worden sind, 
le Anwendungen vorführen zu können, sei es zur Ein- 
des neuen Algorithmus, sei es, um die Fruchtbarkeit 
luen Methode zu erweisen. Während nun an Beispielen 
bungen aus Geometrie und Mechanik kein Mangel ist, 
; man bei der Frage nach einfachen Anwendungen aus 
^thematischen Physik in einige Verlegenheit, 
ei der Suche nach solchen Anwendungen bin ich vor 
1 ') auf eine elementare Herleitung derjenigen Formeln 
en, welche Fresnel unkd F. Neumann für die Intensi- 
les partiell reflektierten und gebrochenen Lichtes aufge- 
laben, in dem Fall, daß die Schwingungsebene senkrecht 
nfallsebene yerläuft^ Diese Herleitung ist dadurch be- 
[iswert, daß sie keine Differentialgleichung benötigt. An 
eile der üblichen Voraussetzung, daß die elektromagne- 
Welle die Form einer Sinusschwingung besitze, tritt die 
einere, daß sich die elektromagnetische Welle durch einen 
* darstellen lasse, dessen Länge durch die Schwingungs- 
ude gemessen und dessen Richtung und Richtungssinn 
die Fortschreitungsrichtung der Welle bestimmt werden, 
n nachstehenden erlaube ich mir, eine andere Anwen- 
(nitzuteilen, die sich auf die Theorie der veränderlichen 
3 bezieht, nämlich eine elementare Herleitung des Ohm- 
Gesetzes für den Wechselstrom in dem Fall, daß Wider- 
Selbstinduktion und Kapazität als konstant voraus- 
b werden. 



1 Vgl. Sitzungsber. d. Berl. Math. Gesellsch., 2. p. 53—56. 1903. 
I Wie hieraus die Formeln des Falles hervorgehen, wo das Licht 
l zur EinfolLiebene schwingt, zeigt eine Arbeit des Verfassers, die 
ibst im Arch. d. Math. u. Phys. erscheinen wird. 



488 E. Jaknke. 

2. VoraiLssetzungen aus der VekUnrechmaig. — Bei difiNr 
Herleitung mache ich Gebrauch Yon dem Begriff dea Vektm 
der Ebene als einer Strecke von bestimmter Länge, beitiimter 
Richtung und bestimmtem lUchtungssinn , sowie y<m da 
äußeren und dem inneren Produkt zweier Vektoren a, h der 
Ebene, die ich nach GraBmann, wie folgt, definiere: 

[a 6] = a 6 sin (a, 6), [a | 6] = a £ cos (o, h\ 

Dabei bedeuten a^ b die numerischen Längen der beidoi 
Vektoren. Diese Definitionen liefern ohne weiteres die chank- 
teristischen Eigenschaften des äußeren und des inneren Pro- 
duktes, nämlich 

[6 a] = — [a 6] , [aa\^ 0; 

Außer diesen Begriffen und Definitionen benutze ich nodi 
den Satz, daß zwischen drei Vektoren der Ebene a, 6, c 8teti 
eine lineare Identität der Form 

(1) aa + /96 + yc = 

besteht, "^o a, ß, y beliebige Zahlen bedeuten, d. h. daß ei 
stets möglich ist, Yon drei beliebigen Vektoren der Ebene 
solche Vielfache zu nehmen, daß dieselben sich zu einem 
Dreieck zusammenschließen. 

Was den beim inneren Produkt auftretenden vertikalen 
Strich angeht, den von Graßmann eingeführten Ergänzungs- 
strich, 80 bedeutet ^) I h den Vektor, in welchen der Vektor h 
übergeht, wenn er im positiven Sinn um 90® gedreht wird, 
so daß 

ii 
wird. Das innere Produkt wird durch Einführung des Ergänzungs- 
begriffs auf das äußere zurückgeführt, und umgekehrt kann das 
innere stets in Form eines äußeren dargestellt werden. Daher ist 

[a&]= -[a"6]=-[al(|6)]. 

Noch eine Bemerkung über die mechanische Deutung 
des Vektors und des inneren Produktes zweier Vektoren. Es 
ist bekannt, daß sich die eben definierten Vektoren*) in der 

U Sprich: Ergänzung des Vektors h. 

t Es sind die sogenannten freien Vektoren gemeint, denen die 
mr ncd: zur Verwendung kommenden gebundenen gegenübersteheD. 



r 



AmDendunff der Vektorrechnung. 



■rechiedensten Weise deuten lassen; iDsbesondere als Kräfte. 
eiche in einem und demselben Punkt angreifen, oder allgemeiner 
9 Kräfte, deren Wirkung als unabhängig von der Lage im 
anm angesehen werden darf. Deute ich uun a als eine 
liehe Kraft und b als den Weg, welchen der Angrüfspunkt 
er Kraft in der Zeiteinheit zurückgelegt hat, so stellt das innere 
rodukt [« ; ft] gemäß obiger Detinition die Arbeit dar, welche 
ie Kraft geleistet hat, indem ihr Angriffspunkt in der Zeit- 
inheit die Verrilckung b erfahren hat. 

3. Physikalische VormiisetzHtigen. — Ich komme zu den 
bysikaÜBchen Vorauasetüungen. In einem Stromkreise herrsche 
ine elektromotorische Kraft und bringe einen Wechselstrom 
error. Nun nehmen unter den veränderlichen Strömen die- 
migen eine ausgezeichnete Stellung ein, welche sich nur durch 
tnplitude, Phase und Frequenz unterscheiden. Ich beschränke 
ie Betrachtung auf diese , barmnninrh genannten Wechsel- 
TiJme. Alsdann können sich Spannung und Strom eine» und 
Hgelben Wechselstroms nur noch durch Amplitude und Phase 
nierscheiden. Ich kann daher die Spannung eines solchen 
Wechselstroms als einen Vektor auffassen, desson Länge ein 
faß der Spannungsamplitude gibt, und dessen BJchtung die 
hase der Wechsel ström Spannung bestimmt. Dieser Vektor 
eiße Spanwi/itfitvektor. 

I Kbenso läßt sich der Strom als Vektor darstellen, wenn 
b seine Länge zur Stromamplitude und seine Richtung zur 
hase des Stroms in Be:iiehung setze. Dieser Vektor heiße 
romvektor. 

Indem ich Widerstand, Selbstinduktion und Kapazität als 
snstant voraussetze, erhalte ich ein Wechselstromfeld, dessen 
pysikalischer Zustand durch jene beiden Vektoren vollständig 
rakterisiert ist. 

Noch einen Vektor führe ich ein, der dem Stromvektor 
in seiner Richtung, d. i. Phase, vorauseilt, dessen 
ange aber mit derjenigen des Stromvektors Ubereinstimmt, 
l nenne ihn den magnetincken oder icatlhsen Vektor. 

Endlich entnehme ich der Physik die Tatsache, daß die 

prbeit, welche die elektromotorische Kraft in der Zeiteinheit 

tet, sich einmal aus dem Joulescbeu Effekt, d. i. der in 

färme umgesetzten Energie, zusammensetzt und zweitens aus 



490 E. Jfa/mke. 

der inneren Stromenergie oder magnetisoben Sinergie. iBi6«ihn 
wird aufgewendet^ um den Stromvekior, die letztere, umAa 
dazu senkrechten, magnetisohen Vektor herrorzubringen. Jen 
ist gleicb ßj^, diese gleicb 



(^---«V)-^'' 



KT' 



wo H den Obmscben Widerstand, L die Sdlbstinfluktioii, CSe 

Kapazität, w die Frequenz und / die Intensüftt des Weduel- 

stroms bedeuten. 

4. Herleitung des OhfMichen Oesetzes. — Nenne idi da 

Spannungsvektor e und den Stromyektor t, so läßt sich dmd 

diese beiden gemäß (1) jeder andere Vektor derselben Ebene 

linear darstellen. Derselben Ebene gehört aber der watfleie 

Vektor an, welcher, unter Benutzung des G-rafi mann sehen Er* 

gänzungsstriches , mit \i bezeiohnet werden dar£ Demnadi 

kann ich ansetzen: 

(2) e^xi + y\i. 

Um die Koeffizienten x, y zu bestimmen, multipliziere id 
die Gleichung zunächst äußerlich mit li: 

[.e\i]^x\i\i'\+y[\i ,<] 

und finde, da [\i |i] gemäß der Definition yerschwindet, 

\e\i\ 

Ebenso liefert die äußere Multiplikation mit i: 

woraus, da \i{\ verschwindet, 

\ie\ 

Die Amplituden von Strom und Spannung seien / bzw. £ 
dann ist zunächst der gemeinsame Nenner 

Um die Zähler auszuwerten, erinnere ioh an die ob^ 
mitgeteilte mechanische Deutung, welche das innere Produkt 
aus Kraft- und Wegvektor zuläßt. Die entsprechende iDeutang 
für die Theorie der veränderlichen Strome ergibt irich, wenn 
ich an die Stelle des Kraftvektoi<s den Vektor, der die elektro- 
motorische Kraft darstellt, und an die Stelle des Wegvektois 



Jnwendufiff (kr Vekiorrechnung. 491 

omyektor setze. Daher wird das innere Produkt [e\{\ 
i der elektromotorischen Ejrafk des Wechselstroms in 
teinheit geleisteten Joul eschen Effekt darstellen^ d.h. 

is endlich das äußere Produkt [i e] angeht^ so läßt sich 
) als inneres Produkt aus e und \i auffassen; nämlich 

[ie]=-[e<] = [«-<]-[e|{|i)], 

I i = . i. Demnach bedeutet [i e\ die Arbeit, welche 
tromotorische Kraft des Wechselstroms in der Zeiteinheit 
indem sie das magnetische Feld hervorbringt Also 
h setzen 

h nimmt die Identität (2) folgende Form an: 

L Yon den Vektorgrößen zu den Skalaren überzugehen^ 
ich Yon der Gleichung (5) die Ergänzung: 

itipliziere (5) und (S') äußerlich miteinander, so entsteht 



J? = /|/Ä»+(io,-^)», 



\ ist das Ohm sehe Gesetz für den Wechselstrom^ wenn 
ler Widerstand, Induktanz und Kapazität als konstant 
en werden dürfen. ^) 

SMußbemerhungen, — Ich mache zunächst darauf auf- 
n, daß die vorstehende Herleitung an die Stelle der 
L Voraussetzimg von sinoldalen Wechselströmen die 



^gl. z. B. G. Ferraris, WissenBchaftliche Grundlagen der Elektro- 
p. 264. 1908. Leipzig, B. G. Teubner. 



492 



B. Jahnke. Ämomiimg der Fnl^frrUkamaig. 



andere setzt, daß sich der Weehsektrom als Vektor 
läBt^) DadujTch erklärt sich das Fehlen des Diffinrentii 

Weiter möchte ich auf den Unterschied hinweisen, 
zwischen den hier benutzten Vektoren und denen bestdil^ 
ich bei der Herleitong yon Fresnels und F. Nenmai 
Intensit&tsformeln yerwändt habe. W&hrend diesen pb] 
liscbe Bedeutung zukommt^ sind jene nur als ^ropAtfcArTf 
toren, im Gegensatz zu den phynkaliMeh&m Vcdctoren, 
sprechen. 

Eindlich hebe ich heryor^ daß ich in den Am 
auf Optik und Elektrizit&t, Ton der einfachen Ideotittt 
brauch machte, die zwischen drei Vektoren der Ebene 
Dieselbe leistet noch bei manchen anderen Anwendungen 
Dienste. Ich begnüge mich an dieser Stelle auf die.Vc 
fachuDg hinzuweisen, welche durch sie gerade die 
und graphische Behandlung yon Wechselstromerscheinungai 
flhrt») 



1) Die Herleitong erinnert flbrigens an di^enlge, wUm 
P. Steinmetz in seinem Werk: Theorie and Bereehnong derWi 
stromerscheinungen, p. 472, unter Benutiung der Theorie der 
Ghrößen gibt 

2) Vgl. z. B. Fr. Pnnga, ZeitBchr. f. Elektrotechnik, IS. (42,a]| 
1901. Diese Darstellung h&tte an Einfieushbeit erbeblich gewonneo, 
der Verfasser die oben genannte Identität an die Spitie der Entwiflk; 
lung gestellt hätte. 

(Eingegangen 28. September 190S.) 



49S 



2. The Expansion-Work of a Dissociating Gas. 

By J. B. Trevor in Ithaka U. S. A. 

Suppose a gas subject to binary dissociation of the type 

Bsented by 

N,0^:<=^2N0,, 

i of tbe constitaents, e. g. N^O^ and NO,, being assumed 
udiibit the behavior of ideal gases. In Oihbs' theory, 
molecnlar potential of the J-th constituent in the reacting 
ture is (Gibbs' eqnation 268), 

Xj = Äe log ^ - c^j [6 log e - (f)-evoj + £ojf 

re is the absolute temperature, ß the molecular gas- 
itant» Pj the partial pressure and C^, the molecular heat- 
icity at constant pressure of the constituent, and Eq, and 
the molecnlar energy and entropy constants of the con- 
tent According to the Gibbsian theory, tbese molecnlar 
»ntials of the constituents are subject to the relation 

Ai = 2Ä,. 

r we haye 

BS BS 

re V is the volume of the gas-mixture; whence, on addition, 
Dalton's law, 

;? = (/ij + n,) ^ , 

enoting the total pressure of the gas in dissociation equili- 
im. In consequence, 

P «1 + «« 
Pj = ^jP- 

) quantity C. may be termed the molecular concentration 
bhe j'Üi constituent. This eqnation (4) serves to eliminate 



404 J. E. Trmwr. 

the partial pressures £rom (2), whereupon we obtain ihe equati 
for dissociation eqnilibriom in the form 

iog| - iog|- + '-^i^iog e - <^^'«-^'->/^^^«-' 

Noting that 2C , — C^^ = S, and setting 

- 1 + ^""^ '" = log A, 2E,,-E,, = q„ 
this equation may be written 
(5) log -^ = log ^^^ ^' 



Gl "" ^ p BS' 

where Ä and Q^ are constants. 

I propose, now, to ntilize this relation for the calcok 
of the isothermal expansion-work of the gas between g 
limits of the degree of its dissociation, and for the calcula 
of the expansion-work when the temperature iö changed m 
the condition of a constant degree of dissociation beingm 
tained. 

Denoting by cc the degree of dissociation 7i,/(2iij + 
and by 1^\ the number of molecular weights when the ei 
mass is reckoned as composed solely of the first constiti 
the isothermal expansion-work in question is to be obta 
by effecting the indicated integration in 

«1 

We reqnire first to find the forms of the functions p and d v 
The first of these is found as follows. The equatioi 

f^ = — ^ , 



may 


be 


wntten 


^ 


whence 




Wi 


(7) 









a 



1 - ff 



c. 


= 


fh 


«1 


j 


f'\ 


= 




1 


■ 


1 + 


w,/n, 


> 


1 - 


a 









rther, since (7^ a 1 ~ C^^ we' have 
1 so 

Ci "" 1 -a«' 

18 in (5) jields 
ence 



^ 4*a« e«./»^ '" 

ich gives the desired form of the function f[uy 0). 

To find the form of &ecl&v, we proceed as foUows. 
uation (3], 

ly be written 

iV, (1 + a) . 7? ö 

P 

tereupon eUmination of p between this and (9) yields 

-4. 1 — o 

lence 

^ da ^ (l -„)« ^ • • 

Snbstitating (9) and (11) in equation (6), and reducing, 
I find 

Of Ol 



2) 



-iv,Äe{2iog(5-^)+(«,-«,)}, 



lieh is the answer to oor first problem. 

Our second problem consists in efifecting the integration in 

ob 



496 J, K Treoor. Expanrionwork of a dutoeiatmg gm. 

B7 differentiation of (10) we find 

^^*' de A l-a BS*' ' ' 

and, on sabstituting (9) and (14) in (13), and redudng, 

(15) i 

\ = iV; (1 + «) «, log -^ . 

This is the answer to the second problem. 

Cornell University. Ithaca, N. Y., September 1903 

(Eingegangen 28. September 1903.) 



i 



497 




Über einen Versuch der Ausmessung von Stern- 
ktrogrammen nach der objektiven Methode der 

Wellenlängenbestimmong. 

Von Bduard Hasohek and Karl Kostenita in Wien. 



Die großen Vorteile der objektiven Methode der Aus- 
ig von Spektrogrammen, welche von F. Exner und 
[Haschek angegeben^) wurde und über welche einer von 
bereits im Astrophysical Journal berichtet hat^, ließen 
Ton Interesse erscheinen, einen Versuch der Anwendung 
Methode auch auf Ausmessung von Sternspektrogrammen 
[machen, da die bisher allgemein übliche Methode der Aus- 
Lg mit dem Mikroskop unverhältnismäßig viel Zeit und 
i, sowohl f&r die Einstellungen und Ablesungen am Mi- 
[op, als auch für die daran sich anschließenden Kech- 
erfordert und die Augen übermäßig anstrengt. Es 
daher f&r uns von außerordentlich großem Wert, daß uns 
die besondere Güte der Herren Geheimrat Prof. Dr. 
Vogel, Direktor des Astrophysikalischen Observatoriums 
und Prot Dr. W. W. Campbell, Direktor des 
:-Ob8ervatory auf Mount- Hamilton, einige Stemspektro- 
le für unseren Zweck zur Verfügung gestellt wurden, 
wir möchten es nicht unterlassen, vor allem den beiden 
iten Herren auch an dieser Stelle unseren allerwärmsten 
ftür das uns erwiesene liebenswürdige Entgegenkommen 
auszusprechen. Von Hm. Geheimrat Vogel erhielten 
jKwei Kopien eines Spektrogrammes von /-Cygni; Direktor 
ipbell sandte uns drei Originalspektrogramme von o^-Canis 
«-Leonis und a-Pegasi. 



l 1) F. Einer and £. Haschek, Wien. Ber. 104. p. 909. 1895. 
If) Karl Kostersits, „On a new objective Method for the Mea- 
■IHt <tf Speetrogramf'S Astroph. Joum. 16. p. 262. 1902. 
■^■MMI rwlMtiflfi 82 

r 



498 E. Hasehek tciuf K. KoHerniK. 

Eine eingehende Beriohterstattnng Aber unsere Arbeit ui*^ 
deren Ergebnisse wQrde den uns hier sor Yerfbgimg iMm- 
den Banm weit überschreiten ; wir besdur&oJcen uns daher jeU 
auf eine kurze Yorlänfige Mitteilung und behalten uns tot, ib 
anderem Orte ausführlichen Bericht zu geben. 

Das von uns ausgemessene Spektrogramm Yon j^-Cjpi 
ist eine Beproduktion (DiapositiY) einer yon G. Eberhard ait 
dem Spektrograph IV des Potsdamer Astrophytikal. Obseni- 
toriums am 8. November 1902 um 6 Uhr 48 Min. mittelgut)* 
päischer Zeit gemachten AufiMihme. Dieeee reprodoxiette 
Spektrogramm wurde zunächst mit einem Projektionsappanl 
auf einem Schirm mit einer willkürlichen Knearen Skak ii 
27facher YergröBerung entworfen. Die Stellung der Limei 
auf der Skala wurde in f&nf Yoneinander unabhJUigigen Ak- 
lesungen bestimmt und die erhaltenen Mittelwerte mitSIfc 
der J. Hartmannschen Formel (unter Benutzung Yon 8Eoi- 
stauten) auf Wellenlängen umgerechnet (Vergleichaspektnim f^ 

Wie bei der Ausmessung mit dem Mikroskop hatten w 
also bei diesem ersten Versuche auch noch die nachtii^iAe 
Beduktion der Ablesungen auf Wellenlängen rechnerisch wi- 
zuführen. Nichtsdestoweniger war der Zeitgewinn aadi M 
diesem Vorgänge schon ein sehr bedeutender infolge derMQg' 
lichkeit einer sehr raschen und sicheren Ablesung der eso- 
zelnen Linien, nicht zu reden von der großen Bequemfichkeit 
der Ablesearbeit und dem durch das projizierte Bild gegebenen 
schönen Überblick über das ganze Spektrum. t 

In ih em YoUen umfange, also mit direkter AblesiOK 
der Wellenlängen auf dem Projektionsschirm, brachten vir 
hingegen die objektiYe Methode der Ausmessung bei des 
Spektrogrammen des Lick-ObserYatory (OriginalnegatiYe, nSr 
genommen mit dem Mills -Spektrograph am 36" Befraktor dei 
Lick-Observatory, Vergleichsspektrum Fe) zur Anwendung, ia- 
dem wir uns f(lr diese Spektrogramme zunächst eine ftbr & 
Dispersion des Mills-Spektrograph gerechnete Skala anfertigten, 
an welcher wir bei richtiger Justierung des Apparates unmittel- 
bar die Wellenlängen der einzelnen Linien ablesen konntea 
Auch diese Ausmessung erfolgte in fünf YOneinander un- 
abhängigen Lesungen^ und zwar unter Verwendung einer 
33^2 fachen Vergrößerung. SelbstYerständlich mnfifte diese Ali 



Äugmesstmg von Sternspekfrogrammen. 499 

dar Ablesung imyerhältnismäBig rascher und einfacher zum 
ffiefe fuhren, da ja jede weitere Rechnung (abgesehen von der 
Xittelbildung) entfiel. 

Als wahrscheinliche Fehler unserer Messungen ergaben 
sich folgende Werte (in Ä.-E.), welche wir aus einer kleineren 
AlDzahl von willkürlich herausgegriffenen Linien abgeleitet 
liaben: 



Für die 


Für das 


einselne Ablesung 


Resultat 


f-Cygnl ± 0,026 


± o,oos 


a-Can. min. ± 0,082 


± 0,017 



Nach diesem außerordentlich günstigen Ergebnisse in be- 
zog auf die Meßgenauigkeit hielten wir uns für berechtigt^ 
die gemessenen Wellenlängen mit Linien der bekannten £le- 
Aente zu identifizieren und benutzten dazu die von F. Exner 
vnd E. Haschek herausgegebenen Tabellen der Fanken- und 
Bogenspektra der Elemente.^] Detaillierte Angaben unter Mit- 
teilung von ausftlhrlichen Tabellen für die gemessenen Spektro- 
gramme behalten wir uns für unseren ausführlichen Bericht 
VW und wollen hier nur kurz folgende allgemeine Resultate 
erw&hnen, wobei wir uns auf die Sterne y-Cygni und o(-Canis 
minoris beschränken. 

In dem Spektrogramm von yCygm (Spektralklasse IIa 

nach Vogel) haben wir im ganzen 139 gut bestimmbare 

Xdnien gemessen (unter Weglassung einer Anzahl von schlecht 

definierten^ unbestimmten Linien). Nur zwei von diesen Linien 

Waren in den Tabellen von Exner und Haschek nicht auf- 

^finden; an den übrigen 137 Linien konnten Identifikationen 

Uiit den Spektren von 38 Elementen ausgeführt werden. Als 

sicher vorhanden wurden nachgewiesen: Fe, Cr, Ca, H, Ti, Va 

Und die 14 Elemente aus der Gruppe der seltenen Erden. 

ferner scheint noch C in der Atmosphäre von y-Cygni, und 

%war in einem solchen Zustande vorhanden zu sein, daß das 

Linienspektrum dieses Elementes sichtbar wird. Die übrigen 

Identifikationen lassen nur auf das Vorhandensein von Spuren 

der identifizierten Elemente schließen. 



1) Wien, Verlag von Deuticke, 1902 und 1904. 

32» 



500 E. Hasehek u, K, Kosterxüz. ÄusmeMtung ete. 

Das Spektrogramm von a-Canis mtnoris ^USpektralkla88eIa3 
nach Vogel) ergab bei Messung von 195 gat bestimmbaren 
Linien, von welchen 10 in den Tabellen von F. Exner und 
E. Hasehek nicht aufzufinden waren, Identifikationen mit 
24 Elementen. Als sicher vorhanden können die folgenden 
IB Elemente angenommen werden: Fe, Cr, Mn; Ca, Sr, Mg; 
Ti, Va, Zr; Ce, La, Pr, Nd, Sa, Y, Sc. 

Aus dem allgemeinen Aussehen der von uns untersuchten 
Stemspektra sowie aus gewissen speziellen Erscheinungen 
glauben wir noch eine Reihe von Schlüssen auf die Kontäi»' 
tion der Sterne ziehen zu können; wir haben die Absicht, aneb 
hierauf noch in unserer späteren Publikation ausführlich zurück- 
zukommen. 

Sowohl das Spektrogramm von ^-Cygni, wie auch jenes 
von or-Can. min. zeigen Linienverschiebungen nach dem Doppler- 
sehen Prinzip, aus welchen sich fllr die Geschwindigkeit der 
beiden Sterne im Visionsradius zur Zeit der gemachten Auf- 
nahmen folgende Werte bestimmen ließen: 



relat zur Erde relat. zur Sonne 



y-Cygni + 21,1 + 4,9 km pro Sekunde 

a-Can. min. — 34,4 — 7,4 „ „ » 

Als eine nicht zu übersehende Bemerkung fügen wir 
schließlich noch folgendes bei: Unsere Ausmessungen wurden 
nur mit Hilfe einer provisorischen Anordnung des Apparates aus- 
geführt und wollen nur als ein erster Versuch betrachtet sein; 
es unterliegt also auch gar keinem Zweifel, daß die mit der 
objektiven Meßmethode bei Ausmessung von Stemspektro- 
grammen zu erzielende Genauigkeit noch einer sehr erheb- 
lichen Steigerung fähig ist, wenn die Messungen mit einer 
definitiven und mechanisch präziseren instrumentellen Anord- 
nung ausgeführt werden, als sie uns fllr unseren Versuch zur 
Verfügung stand. 

Wien, n. Physik Inst, der Universität. 

1) Aufgeuommen am 26. Septbr. 1S99, um 7 Uhr 34,1 Min. Monnt 
Hamilton. 

(Eingegangen 24. September 1908.) 



IIa flispersione elettrica dei raggi X ottennti 
mediante le acariche dei condensatori. 



Di Pietro CAFdaui in Purma. 



X da parte di un tubo Röntgei 



[i'fimiseioDe dei i 
Mie, come e noto, profondamente modlKcata inserendo nel 
■ctiito di scarica dell'appareochio d'induzione, di cui il tubo 
parte, uq tratto di scintilla. I raggi Röntgen prendono 
igine a preesioni molto piü elevate di quelle alle quali di 
lito se ne awerte l'esisteuza, mentre, ae si opera con 
esBioni piü basse, viene Beosibilmente cambiata la natura dei 
ggi medesimi, i quali diventauo piü penetraDti e quindi 
LI difticile il loro assorbimento da parte dei mezzi che 
Lraversano. 

Lo studio di questo t'enomeno ö stato fatto da vari 
erimentatori e cod molta larghezza dal Winkelmann: 
tasutio perö ai e occupato cfi esaniinare (|uali modificazioni 
miasero apportate all'emiaaione dei raggi Röntgen, cam- 
uido gli elemeiiti della scarica a cui i raggi medesimi soso 
iTiiti. 

Sotto queato ptiDto di viata mi parve che doveaae pre- 
intare un particolare interesse Tubo delle acariche dei conden- 
itori caricati da una ordinaria macchina elettrica. Änche in 
ueato caao ai aveva nel circuito ed in aerie con il tubo un tratto 
i Bcintilla, ma mi sembrava cbe il fenomeno, per la atabilitä 
lie preaeutano atcunj degli elementi da cui dipendono le correnti 
irnite dai condensatori, doveaae presentarai necesaariamente 
leglio definito. 

Con I'uso degli apparecclii di induzione il tratto di scin- 
Ua non rappreaenta infatti che un fattore secondario della 
arica übe si manda attraverao al tubo; invece con I'uso dei 
'Udenaatore caricato da una macchina elcttroatatica. esao ne 
venta il fattore principale, percbö da esso solo dipende la 
fferenza di potenziale che si deve stabilire tra le annature 
loche la scarica ai produca. 




602 P. CardanL 

Oltre di ciö l'nso del condensatore permette, con oppor- 
tune modiiicazioni della sua capacitä^ di poter, con nna mede- 
sima differenza di Potenziale tra le armature, impegnare nelli 
scarica quantitä. di elettricitä le quali sono tra Igfo in rappoiti 
ben definiti e costanti. 

Ho per queste considerazioni intrapreso nna serie di 
ricerche sui raggi Röntgen ottenuti mediante le scariche dd 
condensatori : ed in questa nota riferirö intanto i risultati ai 
quali sono pervenuto relativi alla dispersione elettrica che i 
raggi medesimi possono determinare nelle yarie condizioDi in 
cui si compie la scarica da cui prendono origine. 



La disposizione sperimentale adoperata ö facile a cob- 
prendersi: due batterie^ ciascuna di 10 condensatori cilindrid 
di grande modello e tra loro eguali, erano disposte in cascali 
con le armature esteme riunite tra loro. Le armatore interne 
comunicavano da una parte con i poli di nna macdüns 
elettrostatica Holtz-Vosse dall'altra con il circnito di scarica. 
La capacita delle batterie poteva regolarsi facilmente col 
numero dei condensatori che prendevano parte alla scarica. 

Nel circuito che riuniva le anuature interne si IrovaTalo 
spinterometro principale (che indicliero con la lettera iS) ed il 
tubü da cui partivano i raggi X: in derivazione agli elettrodi 
(lel tubo un secondo spinterometro (die indicherö con la 
lettera s) ed un tubo sottile di vetro ripiegato ad U e coor 
teneiite deH'acqua. 

E cliiaro che con tale disposizione il Potenziale di scarica 
era qiiello dovuto alla distanza esplosiva dello spinterometro 5, 
moutre la differenza di Potenziale massima, che si raggiungeva 
tra gli elettrodi del tubo, poteva misurarsi dalla scintilla laterale 
iM|nivaleiite che si osservava nello spinterometro jr. Per modi* 
ticaro la distanza esplosiva in s, e per ciö la differenza di 
pottMizialo ngli elettrodi del tubo, bastava luodificare la 
distanza osplosiva in S; ma nel confrontare i risultati io ho 
tiatiiralnieiite teuuto conto principalmente della scintilla dello 
spiiiit»n>nietro s. Uel resto, dentro i limiti, nei quali forono 
oontouuti^ lo i)resenti ricerche, le due scintille in S ed in ^ 
iisultarono sempre sensibilmente eguali.. 






Ih'speriiirne elettrica dei raggi X. 503 

Per Ir. misara della diepersiooe elettrica prodottA dai 
X ho adoperato un elettrometro del Mascart, chiaso in 
osssetta di legno foderata di hiutra di piombo di circa 
di spesBore. Nella atessa cassettu unito cou l'ago del- 
Itrometro si trovava nn clisco di rame disposto Terticalmeiite 
ecuratamente isolato che dorera essere esposto aH'azione 
tsggi X; e vi si trovava ancora una pik di 5 elementi 
che serviva per dare at disco ed ali'ago dell' elettrometro 
:ca ioiziale. 

IjB pile di carica dei quadranti dell' elettrometrn erauo 

al di fnori della cassetta foderata di pinmbo: ma per 

qualsiasi azioDe elettrostatica estcrua, tauto la cassetta 

relettroQietro quanto le pile di carica dei quadranti, erauo 

inae dentro itna graude cassa di legao liitta tappezzata di 

i stagnola. Opportune aperture circolari praticate nei due 

■oluori permettevaBO da una parte di poter fare le letture 

lle deviazinni dell'ago con cannoccbiale e scala e daU'altra 

Jm* giungere aut discn di rame i raggi X emessi dal tubo. 

bertura della casaa estema prospiciente il tubo era chinsa 

Pkna lamina Bottile di alluminio. 

La comuuicazione dell' ago dell' elettrometro, e per ciö 
che del disco di rame, o con la pila di carica contenuta 
IIa cassetta o con la terra, si operava dall' estenio cou un 
agegno t'acile ad immagiiiarsi. 

L'isolamento dell' ago e del diaco di rame era in cobI 
^ellenti condizioni da esser necessario qualche minuto per 
ter osservare una perdita della carica corrispondente ad una 
!iaioBe della scala: la deriazione iniziale dovuta ai 5 ele- 
jnti Volta si aggirö aempre intorno alle 150 divisioni. 



I risultati che riferirö in seguito sono stati ottenuti ado- 
rando due ottimi tubi fontg di forma aferica di circa 1 4 cm. 
diametro: del resto auche altri tubi di minore capacitii non 
nno dimostrato comportumeuto dissimile. La macchina 
ttrica venoe poi sempre caricata in modo che l'armatura 
;ativa delle batterie fosse dalla parte del catodn ; )o spjntern- 
'tro S trovaTasi insento in questo tratto del uiruuito. 



604 P. QmbmL 

Prima di procedere ad eBparienie defimtrre bo fohto 
nataralmente risohere la qaestionei che pnö oonnderani com 
fondamentale riguardo al metodo adoperato in qneste rieerdie: 
esaminare, cioö, se la dispenione prodotta dalle sctikhe 
successiye che attraveraano il tabo ei mantenessei per ima data 
condizione di cose, soffioientemente costante: poteiva infitti aar 
gere il dnbbio che in un fenomeno sotto tanti aepetti mntenroh, 
come qnello della scarica nei gas rareCattii ciö non aTfemaae, 
tanto piü essendo noto che i tabi Röntgen ri modifioino per 
il continuato passaggio delle scariche. 

La proporzionalitä tra la dispersione elettrica ed il nunfiro 
delle scintille che, lasciando immntati tutti gli altri elemoii 
del circuito, si mandavano attrayereo al tabo, b stata Bempn 
verificata dall' esperienza meglio di qnanto poteyasi pn- 
supporre ; non solo, ma la dispersione elettrica riprese il mede- 
simo valore anche qnando, depo nna serie di misnve Belle 
quali i yari elementi della scarica erano stati cambiali, ■ 
ritomaya alle condizioni iniziali. 



Nei seguenti prospetti sono riassnnti i risnltati di dne 
delle taute serie di esperienze fatte: ogni numero rappresenta 
la media di almeno tre misnre: i valori ottennti sono atati 
sempre molto concordanti tra loro. Di solito in ogni serie si 
cominciava dalla distanza esplosiva di 5 mm. nello spintero- 
metro principale üS e si proseguiya di mezzo in mezzo Centi- 
me tro sine alla maggiore distaoza esplosiya che si pote^a 
raggiuTigere: dopo di che si ripeteyano le misnre in ordinein- 
verso per vedere se le condizioni del tubo fossero rimaste 
immutate. Indi si modificaya la capacitä e si ricominciaTa da 
capo. Dopo ogni misura Telettrometro yeniya ricaricato. 

Ad ogni distanza esplosiva di S ho misurato inoltre quella 
in .S-: tino a 3 4 cm. queste due distanze esplosiye si msa- 
tüiin(»ro, come Lo detto piü sopra, sensibilment« egoali: per 
distanze es])]o$ive maggiori (delle quali pero molto raramente 
mi boiio servito), la lunghezza della scintilla j( aumentaya molto 
mono rnpidainente di quella in S, 

Nella prima colonua verticale e indicato il nnmero iV^ delle 
bottiglie di ciascuna batteria a cui la scarica era doynta: nelle 



Dispersione elettrica dei ra^gi X. 



flltre 


colonne 


le disperBioni osBervate 


all' elettrometro e ri- 


ferite ad noa 


sola scarica. In testa alle colonne medesime 


BOpo riportati 


i valori della lunghezza della scintilla ». 


1 


Tabo VoaoB No. 1. 


■ [OiBtwiHi dell' anticatodo dai disco di rame m. 0,50) 


N mm. 5 


mm. 10 mm. 15 


mm.20 


mm.S5 mm. 30 


mm. SB 


1 0,0 


1,5 


5,1 


11,0 


26,0 ', S9,0 


51,5 


W* ' 0," 


3,0 


10,5 


36,0 


42,0 1 70,0(? 




b» 0,0 


5,8 


18,0 


37,0 


60,0(?)| 




■• il 0,0 


7,8 1 28,8 


17,5 






Wf \ 0,0 


9,» 1 2»,8 


60,0 






mt il 0,0 


10,7 1 2«,1 


51,0 








Tabo Foeua No. 2. 


^L -^»alK 


IM dell' anticatodo dal dieco di rame m. 1.25) 




^^10 1 mm. 15 mm. 20 ' mm. 25 


mm. 30 


mm.S5 




0,0 


1,8 


6,5 


12,5 


19,5 


31,0 


m 




0,0 


2,7 


11,5 


24,0 


95,0 


(?) 


m 




0,0 


&,1 


19,0 


39,8 


53,7 


(?) 


ff) 




0.0 


e,8 


2S,6 


49,0 


69,0 


(V) 






0,0 


8,0 


88,0 


56,6 










0,0 


9,0 


38,0 


60,0 









Dai precedenti prospetti possono trarsi facilmente alcune 
ressanti conseguenze. 

Dair eaame dei valori riportati nelle colonne verticali 
appare anzitutto manifeato che la dispersione elettrica cresce 
da principio in modo aensibilmente proporziouale alla capacitä 
dei condensatore a cui la scarica e dovuta, speuialmente se si 
opera con piccole distauze esplnsive: indi, cou il crescere della 
quantita. di elettricita che prende parte al fenomeno, la di- 
spersione elettrica prodotta dai raggi X cresce meno rapidamente 
di (juanto vorrebbc la legge di proporzionalitä e tende verso 
un valore massimo che dipeode dalia distanza esplosiva, 

Questo risultato merita particolare attenzione specialmente 
se si tiene conto che invece esiste, come si disae, una rigorosa 
proporzionalitä tra la dispersione elettrica ed il nuniero delle 
riebe che nelle stesse condizioni dei circuito attraVersano il 



506 P' Cardani. 

mbow Si pnö dunqne conclndere obe gli efietti relatiTi alk 
vü^peraone elettrica per mezzo dei raggi X non sono i nede- 
^mi> quando la stessa quantitä. di elettricitä con la stessa 
differenza di potennale agli elettrodi attraversi il tabo in ud 
c^rto numero di scariche separate owero in una scarica w\ 
eome apparentemente ^ quella che ei oomi»e nel teapo 
brevisaimo in cui dura nna sointilla. 

Ciö molto probabilmente dipende da qnel processo di 
ricostituzione spontanea degli elementi nentri da parte deijoni 
esistenti nell' aria jonizzata, processo che, come e noto, cresce 
con il quadrato del numero dei joni di una data specie che 
si trovano in un determinato volume. Le scariche dei conden- 
satori per la ioro brevissima durata dänno origine ad una 
emissione di raggi X quasi istantanea e ad una analoga pio- 
duzione di joni. II numero di questi Ultimi cresce pro- 
porzionalmente alla quantit^ di elettricitä che prende paite 
alla scarica^ quando^ ben si intende, rimangano invariate tntte 
le altre condizioni: ma la dispersione elettrica non varia pro- 
l>orzioualmente al numero totale dei joni prodotti ma bensi 
;iilla diiferenza tra questo numero e quelle dei joni che spon- 
:4inoameiite si ricombinano nell' intervallo di tempo in cui la 
;.*nizzazione dal valore massimo raggiunto nell'atto della scarica 
fi ridiice sensibilmente a zero. Finchö questo processo di 
"*svmbinazione spontanea si mautiene trascurabile, ciö che ha 
>i\»4r\^ so le scariche producono un numero di joni relatiTamente 
•'Kvv>lo e quiudi se si adoperano piccole capacitä e piccole 
iicviiHnr.o esplosive, la dispersione elettrica risulta proporzionale 
^' ^»uiuoro dei joni prodotti e per ciö anche alla quantita di 
»oitiicita che attraversa il tubo: ma se il processo di ricom- 
'm»i.'.iouo diventa rilevante, ciö che ba luogo se le scariche 
'i^Kiuvvuu) un numero di joni relativamente grande e quindi 
•V «i «idoperano grandi capacitä e grandi distanze esplosive, 
'"viomonto della dispersione elettrica con il crescere della 
.i.aimi.i (li elettricitä deve rendersi sempre meno sensibile, 
' " ' l»i* !a dispersione deve tendere verso un valore limite, 
'.liv ip[»uuto viene dimostrato dall' esperienza. 

^v' luvece si mettono tra Ioro a confronto i valori che »i 
^^ wuiv» ^u ciascuna linea orizzontale dei prospetti piü sopra 



i vede che U dispersione elettrica cresce moHo 

bidamente cod la distanza eai)losiva e guindi ancbe con la 

L dl poteDziale agti elettrodi: aDzi st puo dire che, ee 

Lopera con piccole capaciti, la dispersioDe cresce molto 

KJbilmente con il qaadrato della distanza esplosira, purche 

distanza si conti da quel valore (nel caao dei tubi 

kperati 5 mra) al disotto del quale, noo passando piü la 

i atU'averso al tabo, cessa anche l'etiiissione dei raggi X. 

Se la differenza di poteoziale agti elettrodi creacesae 

lOrzionaim eilte alia distaoza esplosiva, st potrebbe quindi 

icludere che, almeno con l'uso di piccnle capacita, la dis- 

reione elettrica aumenterebbe proporzionalmente all' enei'gia 

loaibile tra gli elettrodi de! tubo: tna, come h noto, la 

■wenza di potenziale cresce motto meao rapidameDte della 

taiuta esploaiva, cosi che la legge che lega la dispersione 

: l'energia dtsponibile diventa molto piü complessa. 

lü generale si puo asserire che la disperaione elettrica 

iBce con l'energia disponihile piü rapidamente di quel che 

rebbe la legge di proporzionalitä.: la quäl cosa signilica che 

. raumentare della diß'erenza di Potenziale agli elettrodi, 

liqaiudi con raumeutare della velocitiv dei raggi cat^idici, va 

I aumeutando sempre piü quella parte dell' energia dis- 

tiibile che viene trasportata con i raggi del Riintgen e 

tennina la disperaione eletta-ica. 



Oltre dei due elementi tinora considerati, un terzo ele- 
IBeato della scarica esercita una notevole intiuenza sulla dis- 
Mnione eleltrica ed e la sua forma, L'inserzione di un tubo 
iHntgen in un circuito di scarica di un condensatore rende 
i sräntilla sibilante, poco luminoaa e poco rumorosa, ciofe di 
Itura analoga a quelle che si ottengouo inserendo nel cir- 
ledesimo una forte resistenza, E noto che in tali 
ndizioni la acintilla e intermittente, costituita cio6 da un 
I piü meno grande di scintille parziali, a cui appunto 
i deve il carattere sibilante della Bcai'ica. 

Ma per ogui tubo setubra che vi sia una distanza 
l^loeiva critica, oltre la quale la scarica abhandona quaei 
Euente questi caratteri per presentarsi sotto l'aspetto 
dal rumore prodotto esaa aembra unioa e diveota 



508 P. Oardmä. 

nello stesso tempo molto pift romorota e lümmoBa. Nd tsbo 
Focus No. 2 questa distanza oritica era di droa SSiiihl (kk, 
per distanze esploaiye minori di 82 mm. i Talon dflUa dii- 
persione elettrica si mostrarono tia loro eonccirdaiitiMmiii jm 
ogni scarica e sono qaelli fßk riportati: ma per düta» 
esplosive superiorii quando cioh la trasformaiione daUa sqidbi 
era awenuta, i risoltati si presentarono intece molto miilili 
(e per questo ho posto nel prospetto dei pnnti inftenogilii^ 
ma molto minori dei precedenti: per es«, oon la dialaiisa eqb- 
siva di 85 mm. la disperuone elettrioa, ehe ü oasenm» 
era di pochissime diyisionii di solito mono di 15. ADi 
distanza esplosiYa oritica i yalori dipenderano dalla foniiAda 
accidentalmente prendeva la soaiioa, e mentre taholta si m- 
vano deviazioni dell' ago dell' elettrometro di pift che 36 di* 
yisioni, altre Yolte si aTOvano deviarioni di 4 o 5 di?isiom: • 
dal rumore della scarica si poteva dire a priori . qnaK «w 
le scintille piü attive e quali le mono attive. 

Questo risultato io credo debba attriboirri^ piuttosto da 
all' emissione di raggi piü penetranti (e qnindi meno atti lUi 
jonizzazione dell' aria ed alla conseguente disperrione ekttrid) 
alla grande differenza che nei due casi deye aTersi neU'in- 
tensitä massima raggiunta dalla corrente. E noto inüettti che, 
crescendo Tintensitä della corrente che attrayersa U tabo, n 
ottiene un effetto analoge a quelle che si ayrebbe con im 
aumento nella pressione dei gas: er bene, quando la scmtiUa 
si presenta come unica, e cioö molto luminosa e nimorosa, si 
vede comparire nel tubo una luce bianchiccia, come cioä se fl 
tubo fosse ricondotto in uno stadio meno inoltrato della 
radiazione catodica, per il quäle dovrebbe esser minore la 
quantita dei raggi X emessi e per ciö anche minore la di- 
spersione elettrica. 

Riassumendo si puö dire che, per ottenere con le scariche 
dei condeusatori la maggiore dispersione elettrica, non con- 
vengono le grandi capacitä, ma conriene suddiridere la stessa 
(]uantita di elettricitä in un gran numero di scariche, mentre 
per quauto riguarda la distanza esplosiva non bisogna eccedere 
quella distanza critica per la quäle la forma della scintilla 
assume quel notevole cambiamento di cui si ^piü sopra parlato. 



Düperrione ekttrica dei raggi X, 500 

Le esperienze del Righi, del Donati, etc. hanno messo 
piena eyidenza la proporzionalitä. tra gli effetti fotografici 
i raggi X e la dispersione elettrica. In aocordo con questa 
^e 8ono stati i ristdtati fotografici ottenuti producendo con 
tabo Focns No. 2 suUa medesima lastra due radiografie 
illo stesso oggetto (un portamonete], l'una con 50 scariche e 
\ mm. di distanza esplosiva, l'altro pure con 50 scariche ma 
»n 35 mm« di distanza esplosiva. La prima immagine ap- 
u*?e incomparabilmente piü intensa della seconda. 

Si puö dnnque affermare che qnelle stesse condizioni che 
lUe presenti ricerche risnltano come le piü favorevoli per la 
spersione elettrica mediante i raggi X ottenuti con le sca- 
che dei condensatori, lo sono pure per le azioni fotografiche. 
Nello studio completo dell' argomento, che giä ho con- 
)tto a buon punto, saranno meglio precisate molte altre cir- 
»stanze che potranno forse condurre a piü esatte interpretazioni 
molti fenomeni che si osservano nell' uso pratico dei tubi 
il Röntgen eccitati dagli ordinari apparecchi d'induzione. 

(Eingegangen 24. September 1908.) 



510 



65. Entropie und innere Beibnng. 

Von B. Weinstein in Charlottenbui^g^. 



Szily, Clausius und Boltzmann haben nachgewiesen, 
daß man aus den bekannten Prinzipien der Mechanik f&r B^ 
wegungen, wie wir solche den Molekülen der Körper za- 
schreiben, einen Satz ableiten kann, der unter gewissen Voraos- 
Setzungen sich als der Carnot-Clausiussche Satz für um- 
kehrbare Vorgänge deuten läßt. Sei äe die einem System 
während der Änderung seines Bewegungszustandes, der durch 
die mittlere lebendige Kraft T bestimmt ist, zugeführte Energie 
und i die Dauer dieser Änderung, so hat man 

Aus dem Beweise, den ich selbst in meinem Buche über 
Thermodynamik ^) für diesen Satz gegeben habe, erhellt die 
zweifellose Bedeutung der Größe / als der vorbezeichneten 
Dauer. Diese Größe hängt also eigentlich mit der Bewe^ng 
der Teilchen des Systems gar nicht zusammen. Sie muß nur 
so beschaffen sein, daß auch während dieses Überganges die 
Teilchen ihre Geschwindigkeiten gehörig ausgleichen, bzw. 
jedes Teilchen alle möglichen Geschwindigkeiten annehmen 
kann. Dadurch ist die untere Grenze festgesetzt. Bezeichnet 
man mit r die mittlere Bewegungsdauer eines Teilchens zwi- 
schen zwei Anstößen, oder falls Anstöße nicht stattfinden, die 
miltlere Schwingungszeit, so wird man i = i;t setzen können. 
l>ji T sehr klein ist, wird v groß sein, und es wird 

*^ =2d[\ogCfvr)]. 

Üblichen Hypothesen entsprechend setzen wir, wenn die 
Uaiwiciufuhr als Wärmezufuhr ö Q betrachtet, und mit ä die 
iSieobte Temperatur bezeichnet wird, 



V)^ Weinstein, Thermodynaroik 1. p. 81 f. 



Entropie und innere Reihting» 511 

Sb^JSQ, T^R& 
ad erhalten f&r die Entropieänderung 88 

Diese Gleichung, wenn auch in etwas anderer Form, habe 
;h in meinem genannten Buche, benutzt um eine Formel ftir 
le innere Reibung bei Gasen abzuleiten, welche, wie dort 
achgewiesen worden ist, sich auffallend genau an die Er- 
khning anschließt \ und namentlich auch die Abhängigkeit von 
er Atomzahl und dem Molekulargewicht feststellt. Die Ab- 
dtong beruht auf einer Berechnung yon v und von r. Was die 
»miitteluiig der ersteren Größe anbetriöt, so weiß ich auch jetzt 
einen neuen Weg hierfür anzugeben. Bezeichnet v das 
)ezifi8che Volumen des Systems, so fand sich v proportional 
'%m-*l*, woselbst m die Masse eines Moleküls bedeutet Die 
röße r ist nach den bekannten Formeln für die mittlere Ge- 
hwindigkeit der Gasmoleküle abgeleitet. Im zweiten Bande 
IS gleichen Werkes^ habe ich nun eine Theorie der festen 
5rper mitgeteilt, die sich gleichfalls sehr gut an die Er- 
lirung anschließt.^ Die Formeln dieser Theorie sind all- 
meiner als die benutzten der Theorie der Gase, welche von 
den einen Spezialfall bilden, ich will daher diese idlgemei- 
ren Formeln auch für die obige Berechnung benutzen, teils 
1 eine Stütze für jene Eeibungsformeln zu gewinnen, denen 
1 eine größere Bedeutung zuschreiben muß, teils um zu 
igen, wie sie etwa noch zu korrigieren sein könnten. 

Wenn ein Molekül, ohne anzustoßen, eine mittlere Weg- 
ige A' und Bewegungsdauer r , dagegen zwischen zwei An- 
)ßen eine mittlere Weglänge A und Bewegungsdauer r hat, 
wird unter der Annahme einfacher Schwingungen, indem 
ch N die Zahl der Moleküle in der Masseneinheit angibt 





















i 




. 271 


j 


ä- 


= 


1 

R 


Nm 
2 


ein« 


r 


T 

4 


(" 


-)' 


1 

1 


-h 


8ID , 

r 
27r 

T' 


2 

T 

2 



1) 1. c. 1. Abschnitt 32 u. 41. 

2) 1. c. 2. Abschnitt 68. 
8) 1. 0. 2. Abschnitt 64. 



612 



S» WirinsiiOL 



Von der Größe (2^/tO' ist an gleicher Stelle bewiesen, daß 
sie allein als Funktion von f^^ dargestellt werden kann, lo 
daB ist 

Die obigen Gleichungen dienen nun cur Bereohnung Ton r. 

Setzt man 



R 



IfmÄ^^fi 



nt 



-y 



SO daß wird 






so gibt die ümkehrung dieser transzendenten Gleichung 

Mmm 
M-l 



woselbst 

^ » 4, A^^O, Ä^^ 0,09, Ä^ e 0,016 . . . 
ist Also zufolge des Wertes Ton r''/sr' 



MBOO 



(2) 



424.i*^^*^ 



ftcsl 



^ 



Hiemach gibt das Entropieprinzip 



(3) 



log [r^ &^ a« ü-V. m- V. 4 2^« Jü!>!l- j 



a ist die Proportionalitätkonstante ftlr ir. 
Bekanntlich ist nun bei Gasen 



(4) 



88 = ^8\[og{»'"'v')-\, 



wo c, und i2 die übliche Bedeatong haben. Man hätte hie^ 
nach für Oase 

MBOO 



(5) 



= ir ^ flog (r* &* a* 0-V. m-'/. 4 2 i^ '^^'M ] . 

«■1 



Es kommt nun alles auf das Verhalten der QrBße R an* 
Diese Größe findet sich in der Gleichung f&r die innere poten- 



Entropie und innere Reibung. 518 

^Ue Energie. Nach meiner im dritten Kapitel des genannten 
'erkes dargelegten Theorie der Körper überhaupt ist diese 
nere potentielle Enei^ie U 

^selbst U^ ein Aasgangswert von ü, und F Glieder bedeutet, 
e von der Stoßwirkung der Molekttle abhängen. Gilt für 
ase die Boyle-Gay-Lussacsche Gleichung pvs^Rd-, so 
ird 

Somit haben wir 

id wegen 

B 

) s; = \jc^, 

Hiemach wird K keine Eonstante sein. Nehmen wir je- 
)ch diese Größe als konstant an, so ergibt die Gleichung (5) 



(Cd"'v'^^« = R&a »-•/. m-'/. 2 v"^ A^ J^ 



xsl 

)selbst C ein ProportionalitHtsfaktor ist. Somit wird 

K=l 

Wir setzen 



p2R' 



d beachten die Gleichung (6), so wird, indem 



^'=Ä 



V2 



.K ...K — 1 



6-6* 9* -5 






6* 

= x> tr V 

In erster Näherung bleiben wir in der Summe beim ersten 
iede stehen und erhalten 

Boltnnann-FefltMhrift. 38 



514 



B. 



6-St 9k-6 



2YJt = B& " V 



6t 



also nach der Definition von n 

2A 



0- 



6-8» 9>-6 



Hierin ist 2 ^^ die mittlere Weglänge ; neanea wir diese (, 
so wird also 

6-3» 9»-6 



(8) 



1/ ivm 



6» 6» 



Nun ist nach Ä' = \c^^ |^(iiic_)m"^. Sei me^^c^, also 
so haben wir, da Nm = 1 







6« 






6« 

mV« 


Ä' 


iL/* « 


tt-1 =1 



Wir f&hren noch das Molekularvolomen bssmo ein, setzen 

6 



femer 



>6c 



C"V = ^-, 



woselbst i^ die Gaskonstante ist und erhalten 



(10) 



/ 



-(i)'\s)-"-* 



6-3» 9»-6 2 »-5 

6k ^ 6» _«.i»« ~ 6» 



e^-^fi^m 



Das ist genau dieselbe Gleichung Ar die mittlere Weg- 
länge, wie ich sie in meinem genannten Buche auf anderem 
Woge abgeleitet habe. ^) Also kehren auch alle für die innere 
Reibung dort angegebenen und experimentell geprüften B^ 
Ziehungen wieder. 

In zweiter Näherung ist zu beachten, daß J, = ist, die 
Gleiehung ^7) gibt also 

6-6» 9»--6 
6» 



1 / # ." I 4 H^^'^ D Q. 6k 



l) 1. 0. 1. p. 207. Gl. (16) und (IT). 



Entropie und innere Reibung, 515 

id wir hätten 



6k 



'|/^ + ^4^' = (^* " « 



2fc-5 
6k 

m 



^) (^-(y)'''(Ä)'''>-^'' 

t Die Größe A^jÄ^ beträgt nur etwa 0^02. Die idlein von 
abhängen sollende Funktion xf* ist nicht bekannt^ wir haben 
doch 

Da nun die mittlere lebendige Kraft, wenn die Moleküle 
icht ansschwingen , jedenfalls größer ist als wenn sie aus- 
ihwingen, so muß im allgemeinen fAtffjd- kleiner sein als 1. 
Iso darf man die Quadratwurzeln entwickeln. Bleibt man 
li den beiden ersten Gliedern stehen, und bezeichnet den 
•sten Näherungswert für / mit f, so wäre der zweite /" 

2) ^'-^^-H"^)' 

^ ist proportional ^*; führen wir als ersten Näherungswert t 
n und beachten nur die Abhängigkeit von der Temperatur, 
> wäre 

/ 10^12 fc 

3) r = irfi-J9* ^* 

Da k stets größer ist als 1, so fällt das von der Tem- 
Bratur abhängende Glied mit wachsender Temperatur, und 
I femer I) positiv ist, nimmt mit wachsender Temperatur t 
ischer zu als Z'. 

Gehen wir nun auf den Reibungskoeffizienten über, so 
iben wir noch den Wert ü der mittleren Geschwindigkeit 
berechnen. Dieser ist zunächst 2^/t, also zufolge der 
leichung (2) 



Ix — cc 

\1 



k (iH 

«-1 * 



83 



616 B. Wemttem. 

also wegen des Wertes von ju 

(14) fl= * ' 



1^^* r + Sx*^^^- 



Bezeichnet z eine Zahl in der Nähe Yon 0,3 im( 
Dichte, 80 ist bekanntlich der Reibungskoeffizient q 

somit wird, indem wegen (7) 

5-Sfc 9fc-5 



(15) / = 2 ^ = 



B» " IT «* 









ist, der Reibungskoeffizient 



(16) ^ = 






Hiemach haben wir als erste und zweite Nahem 



3fc— 6 



(17) {}' =:^zBir&^'' V ^* 



oder auch 



/ 10>-12fc \ 



wo 2> nur von v abhängt und positiv ist. Jedenfalls 
mit steigender Temperatur q" rascher als (>'. 

Nun ist k eine Zahl zwischen ^/j fOr einatomige 6 
1 für unendlichatomige, so daß 5/6 A liegt zwischen 
^/g. Die Abhängigkeit des ersten Näherungswerts q 
Temperatur liegt also zwischen &^l* imd «?*/•. Nach d( 
well sehen Theorie , der anscheinend auch die Erfahr 
stimmt, soll diese Abhängigkeit proportional & selb 
also würde (> stärker variieren als q\ Dem entspric 
in der Tat ()" stärker variiert als q\ Es ist leicht ein: 



Entropie und innere Beibung. 517 

ler dritte Näherungswert noch rascher mit der Temperatur 
\t wie der zweite u. s. f. 

3bwohl ich in meinem Buche *) hinreichende Gründe an- 
>en zu haben glaube, warum auf eine volle Übereinstim- 
: mit der Erfahrung überhaupt nicht zu rechnen ist, 
ich die nunmehr dargelegte Theorie als eine Verbesserung 
on mir zuerst gegebenen ansehen, sie muß sich hinsicht- 
ler Abhängigkeit yon der Temperatur der Erfahrung besser 
iließen als jene. Hinsichtlich der Abhängigkeit yon Druck, 
te, Molekulargewicht und Atomzahl entspricht sie jener 
rie, sie genügt also der Erfahrung so vollkommen, wie 
!S von jener nachgewiesen habe. ^ 



1) 1. c. 1. p. 330 ff. 

2) 1. c. p. 321—336. 

(Eingegangen 25. September 1903.) 



618 



66. Über die Ausbreitong der Wellenbewegongei ii 
optisch-zweiachsigen elastischen Medien. 

Von Josef Granwald in Wien. 



Die hergebrachten Vorstellungen über die Ausbreitaiig toi 
Wellenbewegungen in kristallinischen elastischen Medien er- 
weisen sich bei einer Überprüfung durch die mathematiBdie 
Theorie nicht ohne jede Beschränkung als zutreffend. Sdion 
bei einachsigen kristallinischen Medien zeigt die Theorie, dal 
von einem Erschütterungszentrum aus, das der Einwirkosg 
äußerer störender Kräfte unterliegt, die Bewegung im Medium 
nicht nur auf den beiden Wellenflächen, der ordinären und 
der extraordinären Wellenfläche, sich ausbreitet, sondern daß 
auch der zwischen den Wellenflächen eingeschlossene Baomteil 
von Bewegung erfüllt ist; allerdings zeigt die Theorie zugleich, 
daß bei periodischen Erschütterungen von hoher Frequenz die 
zwischen den Wellenflächen vorhandene Bewegung vernach- 
lässigt werden kann, so daß in diesem Falle nur die ordinäre 
und die extraordinäre Welle — wie es der gewohnten Auf- 
fassung entspricht — übrig bleiben. Geht man zur mathe- 
matischen Untersuchung der Wellenbewegungen in optisch-zvei- 
achsigen kristallinischen Medien über, und fragt man wiederum 
luicli der Natur der Bewegung, welche durch periodische stö- 
li^ide Kräfte von hoher Frequenz hervorgerufen wird, so findet 
man ein im ersten Augenblick überraschendes, den gewöhn- 
lic^hcti Vorstellungen zuwiderlaufendes Resultat: die von den 
•,'('str)rten Raumelementen des Mediums ausgehenden Elementar- 
wrllcii schreiten zwar — wie zu erwarten — vom Erschütte- 
iiiii«,'sz(*ntrum aus auf Fresnelschen Wellenflächen fort, aber 
i1h' Scliwingungsphase ist nicht dieselbe für alle Punkte einer 
und (l(;rselben W^ellenfläche, sondern diejenigen Teile der 
Wtllciilläche, wo letztere ein negatives Gaußsches ErQmmungs- 
in iL> li.it, zeigon sich in ihrer Phase um eine Viertelschwingong 
Minu K «.'cf^'on den übrigen Teil der W^ellenfläche. Daß diese 



Ausbreitung der Wellenbewegungen, 519 

Sgentümlichkeit der Elementarwellen nicht beachtet worden 
it, obwohl in der Optik vielfach mit diesen Elementarwellen 
1 Verbindimg mit dem sogenannten Huygensschen Prinzip 
periert wird, erklärt sich wohl daraus, daß eben das erwähnte 
[uygenssche Prinzip einer exakten mathematischen For- 
luliening in dem Sinne^ in welchem Kirchhoff dieselbe in 
ie Optik isotroper Medien eingeführt hat, entbehrte. 

Im folgenden wird die Untersuchung so allgemein gefaßt^ 
aß auch die Möglichkeit von Longitudinalwellen im Medium 
[cht Yon Yomherein ausgeschlossen wird; nachträglich kann 
tan ja, um die Übereinstimmung mit der Optik herzustellen, 
ie Geschwindigkeit derselben gleich oo oder setzen. Die 
ifferentialgleichungen der Bewegung in einem optisch zwei- 
shsigen elastischen Medium lauten bei Zugrundelegung des 
reenschen Ausdruckes fär das Potential der inneren elasti- 
hen Kräfte: 



^ = Ä^^[u) + 4, (r) + ^33 (ir) + Z, 

> die Jfjk symbolische Bezeichnungen für Differentialopera- 
»nen sind, und zwar: 

Hierin bedeuten (u, v, w) die Komponenten der elastischen 
jrschiebung im Punkte [x, y, z) zur Zeit t, (X, J", Z) die Kom- 
nenten der äußeren störenden Kraft im selben Punkte pro 
isseneinheit; a, b, c, g sind konstante, dem Medium eigen- 
mliche Oeschwindigkeiten (insbesondere g die Fortpflanzungs- 
schwindigkeit der Longitudinalwellen). 

Es werde angenommen, daß bis zu einem gewissen Zeit- 
nkt t^ die elastischen Verschiebungen [u, v, w) und ebenso 



520 /. Grümoald. 

die äußeren Kräfte [X, T, Z) verschwinden (im ganzen anbe- 
grenzt gedachten Medium). Von diesem Zeitpunkt an sollen 
X, Y, Z bekannte Funktionen von x, y, z, t sein, welche nebst 
ihren ersten und zweiten Ableitungen im allgemeinen stetig 
sind. Unter diesen Bedingungen ist das obige System zu in- 
tegrieren; dadurch findet man den durch die gegebenen Kräfte 
hervorgerufenen Erregimgszustand des Mediums. 

Mit Hilfe einer Integrationsmethode, welche schon von Fou- 
rier, Poisson und Cauchy bei derartigen Aufgaben ange- 
wendet worden ist und im wesentlichen auf der Darstellung 
willkürlicher Funktionen durch Fouriersche Integrale berolt, 
findet man nach einigen Reduktionen, deren Einzelheiten an 
einer anderen Stelle mitgeteilt werden sollen, folgende Lösung 
der gestellten Aufgabe: 

+ OD 

— OD 

+ 00 



— OD 

+ » 






— a: 



.1! ci- >j'3ib*:i!e II. ??• S nachstehende Bedeutung haben: 






; ^^ I ' .:, XI. + YiJL. '+ Zvff/i. sin ddOdx 



rt 

" =--, / X- f.:, \^I kf + Ynt + Zvyvi sin eddi\ 



Ausbreitung der Weüeräfewegungen. 521 

Hierin ist: 

X^ =s cos t/; sin d , jw^ = sin t/; sin ö , v q = cos ö , 

sind also (A^^ /i^, t^^) die Bichtkosinus, welche zu der durch 
Winkel [6, yj) bestimmten Bichtung gehören. 
Die Größen [X^, fß^, v^) und [X^, fjL^y v^) sind definiert als 
die Bichtkosinus der Hauptachsenrichtungen jener Ellipse, in 
wdoher das Ellipsoid: a^z^ -h b^y* + c*z* = 1, das Neumann- 
sche Elastizitätsellipsoid, von einer durch seinen Mittelpunkt 
senkrecht zur Bichtung {Xq, fi^, Vq) gelegten Ebene geschnitten 
wird. Die Größen F^ und F^ sind definiert als die reziproken 
Werte der Halbachsen der genannten Ellipse, und zwar ist T^ 
der reziproke Wert der zur Bichtung [X^, fA^, v^) parallelen 
^ Salbachse derselben, F^ der reziproke Wert der zur Bichtung 
{\f Ml» ^i) parallelen Halbachse; Fq ist identisch mit der Kon- 
stanten ff. 

Der Substitutionsstrich 



2^,!^,*',^-^ + ^- 



Vi 



soll anzeigen, daß in den Funktionen X, Y, Z die Argumente 
«9, y, z, t beziehentlich durch 

su ersetzen sind. Die Größe ^ ist gegeben durch: 
f = (i: - xOAo + (y -y>o + (^ - ^>o 

^ (x — o:') cos 1/; sin ö + (y — y') sin t/; sinö + (ar — /) cos ö. 

Die Integrationen nach Q und t/; sind über alle jene Werte 
YOn Q und t/; zu erstrecken, welche den Ungleichungen 

0<ö<;r, 0<i^<2;r 
und 

{(^^(x — x) cos 1// sin ö -h (y — y^ sin t/; sin ö + (2: — z') cos ö > T, r} 

genügen; die so f&r i = 0, 1, 2 sich ergebenden Integrale sind 
sodann zu summieren. Bei Ausführung der Integrationen 
spielen x^ y, z, x\ y, /, t, r die Bolle konstanter Parameter. 
Die Größen 

U^'*'-', 8}^'^-', as^'^'-' 
«^f»«i' «.yi«»« «^f»«»< 



522 J, Grinwald. 

fi(:hf'.n mit dx'dydz multipliziert offenbar die Eomponeota 
desjeni^reo Teiles der elastischen Verschiebung f«, c. r m 
Punkte (x, y, 2, zur Zeit /, welcher durch die Wirkung der in 
Volumenelement dx dt/ dz' bei V, y, z') wirksamen Kräfte ber- 
vor;rerufen wird. In diesem Sinne geben die genannten 6rö6en 
die Wirkung der vom Volumenelement dx' dy dz' ausgehenden 
Elementarwellen im Aufpunkt 'x, y, z) zur Zeit t\ und die duidi 
diese Größen charakterisierten Elementarwellen aussdilieBlidi 
und allein sollen weiterhin untersucht werden. Die Doppet 
intejrralo, durch welche die U, S, SB sich ausdrücken, kann mu 
auffassen als Integrale über einen Teil der um den Pnnkt If 
[x\ 1/. z\ mit dem Radius 1 beschriebenen Kugelfläche: diese 
Auffassung hat indes den Nachteil, daß die im Argoment 
/' = ^ H- T — (r/ /';; vorkommende Funktion (;:/ Q auf der Engd 
in einer komplizierten und wenig übersichtlichen Weise Tariieit 
Man wird also versuchen, die betreffenden Doppelintegrale an- 
statt auf der Kugel auf anderen zweckmäßig zu wählenden 
Flächen zu interpretieren. 

Man konstruiere senkrecht zu der durch [ß^ tp) bestimmtoi 
Richtung (für 1 = 0, 1, 2) Ebenen im Abstand F. vom Punkte 
M' fwobei die V. die oben definierten Funktionen von ö, tj» 
sinrl^: alle diese Ebenen umhüllen bei variablem Ö, w gewisse 
Flächen. Dem Index 1 = entsprechend erhält man so eine 
Ku^^elflüche TJ, mit dem Radius J]^, während die Indizes i = \ 
und / = 2 zusammen die beiden Schalen einer Fresuelschen 
Wellenfläche 2\^ geben; und zwar sind die Flächen T und?, 
offenbar nichts anderes als die bekannten Wellenflächen der 
Longitudinal- und Transversal wellen, welche die Ausbreitung 
der Bewegung von Jf aus während der Zeiteinheit veran- 
schaulichen. 

Die reziproken Polarflächen von Tq und T.^ in bezug anf 
die urn M' als Mittelpunkt beschriebene Einheitskugel seien 
mit !„ und Sjg bezeichnet. Der in der Richtung (ö, yi) durci 
M' gelegte Halbstrahl triftt Zq in einem Punkte 5ß , I , in 
zwei Punkten ^^ und $3, so zwar, daß: 

Ü^ ist natürlich wieder eine Kugelfläche, I als Polar- 
*Äß\Ä einer Fresuelschen Wellenfläche ebenfalls eine Fresnel- 



Ausbreitung der H^ellenbewegungeru 623 

^ellenfi&che. Die Punkte ^^ und %^ erfftllen bei varia- 

^ {ß, ^) je eine Schale 2^ beziehungsweise %^ der Fläche 

Der Inbegriff der Flächen Xq, 2^, %^ sei mit X bezeichnet 

in den Ausdrücken für U, S3> SB vorkommenden Doppel- 
^S^tlo sollen nun je nachdem, ob sie sich auf den Index 
1 oder 2 beziehen, auf der Fläche Xq, %i oder X, darge- 
at werden, indem man die IntegratioDsrariablen d und t^ 
^«rnal als krummlinige Koordinaten auf je einer der ge- 
^^ten Flächen auffaßt Die Größe Fy welche auf der Kugel 
>i Werte hatte, entsprechend dem Werte ihres Index i ( » 0, 1, 2), 
oheint bei der neuen Interpretation auf % als eindeutige 
nktion des Ortes; ihr Wert in irgend einem Punkte $ von 
L^t gegeben durch (l/i/'$). Auch die Richtung {},, fi, v) er- 
leint, wofern man zwei gerade entgegengesetzte Richtungen 

eine zählt, auf % im allgemeinen eindeutig bestimmt: für 
inkte von %^ ist sie einfach gegeben durch die Richtimg 
ti M'% f&r Punkte von Z^^ wird sie gefunden als jene Rieh« 
Qgy welche einerseits der Tangentialebene von 2^, in dem 
treffenden Punkte $ parallel ist, andererseits auf M'^ senk- 
cht steht 

Man findet nach kurzer Rechnung folgende Darstellung 
3r U, 8, SB durch Integrale über Z: 



U 



T = 



r~ cose 



.,,,..« i'n^/ dr (XK+Yfi + ZviK.^dZ 



e 



m< y''^ i_ '7 J_ r r /x' ,i^,x',f=i + T-(ip 



Q 



«.,,..«" 2»7,«/ dtJJ/(xx + yn + Zv)v.^d%. 

^('>7) 
Hierin bedeutet p den Abstand^) des Flächenelementes d% 
1er genauer seines Mittelpunktes $ Yon jener (festen) Ebene E, 



1) Positiv oder negativ gezählt, je nachdem $3^af derselben Seite 
Q E liegt wie M oder auf der entgegengesetsten. 



524 J. Grünwald, 

welche durch M' senkrecht zar Verbindungslinie des Panktes Jf 
mit dem Punkte M [x^ y, 2) hindurchgelegt werden kann; f 
ist gleich der (festen) Entfernung der Punkte M und Jf, « ist 
der Winkel der nach außen gezogenen Flächennormalen Z ii 
$ mit M' $. Die Integration ist über die durch die UogleidiiiBg 
p > rJQ definierten Segmente von X zu erstrecken. 

Die obigen Formeln für U, 93, SB sind besonders geeignet, 
als Grundlage weiterer Diskussionen zu dienen. 

Es soll jetzt angenommen werden, daß die Größen X^Y^i 
an der Stelle [x, y\ /) bis zu einem gewissen Zeitpunkte tv- 
schwinden, von diesem Zeitpunkte an aber durch die Ausdr&ck: 

T= //sin[Ä(^-.g], F=5sin[Ä(/-g], Z = Csm[k(t^t^] 

dargestellt seien, wo {Jy B, C) von t unabhängig sind und k 
eine sehr große Zahl ist. Man kann dann fragen, welchea 
Werten die obigen Größen U, S3, SB in diesem Falle sick 
nähern, wenn k über alle Grenzen wächst Durch Beantwo^ 
tung dieser Frage gewinnt man eine Vorstellung über die Ait 
der Elementarwellen, welche durch die angenommenen periodi* 
sehen störenden Elräfte von hoher Sch¥ringungszahl hervor- 
gerufen werden. 

Es ist im betrachteten Falle: 

1 = 
»/»y'.z'^^ i / d rr/ 

x,y,z,t 2»7iV d'lj J / (Al + BfX + Cv)Umlk{t + T---QP^Q]y 

Die Formeln für 93 und SB sind analog. 

Den augenäherten Wert dieser Ausdrücke für ein hin- 
reichend großes k findet man durch Benutzung gewisser Hilfe- 
sätze, welche auch sonst in der Optik viel verwendet werden 
uud hier möglichst im Anschluß an die Kirchhoffschen Vor- 
lesungeu über Optik ^) angeführt werden: 

L Hilfssatz: Ist dF{^ld^ in dem Intervalle von C=^to 
bis ? = s 1 cir^o stetige Funktion von ^, so ist für ä = CX): 

Ci 

hf'^/^Bm{kC+ä)dC^-^ p_|cos(Äf + 5)] '. 

Co 



\) Vgl. insbesondere die dritte Vorlesung. 



Ausbreitung der WMenbewegungen, 525 

IL Hilfssatz: Ist s ein reguläres Stück einer analytischen 
El&che^ ^ eine. reguläre analytische Funktion auf dieser Fläche 
1« L eine Funktion, welche in der Nachbarschaft eines jeden 
Punktes Ton s nach der Taylorschen Reihe für zwei unab- 
liAD^ge Veränderliche entwickelt werden kann, femer 6 eine 
stetige Funktion auf der Fläche s, so kann der Wert von 

kCfosm {kC + S)ds flirÄ = oo 

(•) 
OQ nachstehenden Fällen angegeben werden, unter der Voraus- 
setzung, daß die Berandung von s kein endliches Stück ent- 
hJÜtj auf welchem ^ konstant wäre. 

1. Fall: Weqn s keinen Punkt enthält» in welchem die 
Punktion ^ stationär wird, d. h. in welchem bei einer unend- 
lich kleinen Verschiebung tf^s ist: so ist obiger Ausdruck 
Bleich Null. 

2. Fall: Wenn s einen Punkt Ä enthält, in welchem ^ 
stationär wird, so denke man den betreffenden Punkt A zum 
Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems Z, Y, Z ge- 
trählt, dessen ^Achse zur Fläche s normal stehen soll. Die 
Funktion ^, gebildet für den variablen Punkt {x, y, z) auf der 
Eläche s in der Umgebung von A, wird dann in folgender 
Weise nach aufsteigenden Potenzen von x, y entwickelt werden 
können: 

f = «D + («11 ^' + 28li,5y + «„y^ + ... 

Durch besondere Wahl der Achsen X, Y kann man stets 
arreichen, daß diese Entwicklung die Form annimmt: 

? = ao + (i^^' + i^2y') + --- 

Sind hier nun die Größen Ji^ und Jl^ gleichbezeichnet, so 
ist obiger Ausdruck gegeben durch 

vrobei das obere oder das untere Zeichen zu nehmen ist, je 
oachdem Jl^ und Ji^ beide positiv oder beide negativ sind. 

Sind hingegen die Größen ]i^ und ]l^ entgegengesetzt be- 
zeichnet, so wird der obige Ausdruck dargestellt durch: 

n 






526 



J. Orünwald. 



Berechnet man mit Hilfe der Toranstehenden Hil&sltxe 
die gesuchten Näherungswerte Ton U, SB, fBi, 60 l&ßt sieh dai 
Resultat am einfachsten formulieren, indem man wieder von den 
Flächen Z {1^, 7^,) zu den ursprünglichen Flächen T^ und ?„ zn- 
rückgeht: Man konstruiere die Fläche T^^, welche die Ausbreänog 
der Transrersalwellen von AT {x'j y\ z) aus während der Zeit- 
einheit veranschaulicht; der von M' gegen M {x, y, z) gezogene 
Halbstrahl treffe T^^ in S^ und 5^, wobei der Punkt Sj nr 
inneren, der Punkt S^ zur äußeren Schale Ton T^^ gehören 
soll Die Länge der Strecken M' 8^^ M'S^ sei s^, «,; die Ab- 
stände der Tangentialebenen von T^^ in S^ und 8^ vom Pnntae 
M' seien F{8^) und ¥{8^). Das Gauss sehe Erttmmungsmaß Ton 
y^g in Sj und 8^ werde mit r{8^) und r{8^) bezeichnet Die 
Bächtkosinus der Strecke -Sf' Jf seien («o^Äj/o)» ^^{''^jßifYii 
und [cc^, ß^j 72) ^^S^^ ^^ Richtkosinus zweier Strecken be- 
zeichnet sein, welche beide zueinander und zur Strecke IT Jf 
senkrecht stehen, und von denen die erste der Tangentialebene 
von 2^2 in S^j die zweite der in 8^ parallel ist 

Die Größe r{8^) ist stets positiv; r[S^) hingegen kann 
positiv oder auch negativ^) sein. Ist r{8^) positiv, so gelten 
für hinreichend große k die Näherungsformeln: 



U 



x',y%z' 



X, y, =, / 



« 



1 

4 71 Q 



X', y\ z' 



X, y, 2, t 



1 
4 n o 



+ 



^VM«„ + if/?o + ^yo)«o8m[* 



^ ^^-^^^- {Ja, + Bß, + Cr,)a, sin [ä 
+ "'^^^s^ {^^,+Sß, + Cr,)ß, sin [ä 



+ 



s, yT{St) 



( 



fi^^{Aa, + Bß, + Cr,)ß,aj*[k 



t- 



t- 



t - '-1 



t-L- 



t—L- 



/-/.- 






f 

Vi 

's] 



l-l.-i 



Vi 



1 ) Negativ wird T(S^\ wenn der Punkt S^ auf einem der trichter 
fr>rinigen Teile der WellenHäche TJj liegt; es sind dies jene Teile der 
;iuücr«'n Scliale, welclie von je einem der vier Berührnngskreise der sin- 
guhireu Tangentialebenen von T^j begrenzt werden. 



( 



Ausbreitung der Wellenbewegungen. 



527 



4.n q 



'-,{äa, + Bß, + 6>,)y,8in \k [t-t,- j)] 









Ist hingegen r{8^) negativ, so mUssen diese Formeln, 
;he imaginäre Werte liefern würden, durch die folgenden 
itzt werden: 

-1-M «0 + Bß, + Cy„)«>n [k(t-t,- J)] 



4n Q 



4 71 ^ 



-l-(^ a, + Bß, + Cro)ßo sin [* (* - ^o + fj] 



+ ^4®-(^«i + ^/'i + ^ri)ßr sin [ä (/ - ^0 - ,^)] 



+ 



s,V^:7W) 



r«(5; 



[|^V«,+M+Cy,)/?»sin[A(^- *„- ^) - J] 



4 71 ^ 



+ --^^(^«2+M+^y,)y*«n[Ä(^- *„- J)-|] 



Aas diesem Resultate ersieht man, wie sich vom Punkte 
aus die Elementarwellen ausbreiten: die Longitudinalwellen 

den Flächen QJg ^ const, die Transversalwellen auf den 
kchen QJs^ == const. und (>/j»2 = const — Dabei zeigt sich 

den Flächen qJs^ = const die eingangs hervorgehobene 
^ntümlichkeit, daß bei einer solchen Fläche diejenigen Teile, 
[che ein negatives Gausssches ErümmungsmaB haben, in 
er Phase gegen die übrige Fläche um eine Viertelschwingung 
ück sind. 

Dejwitz bei Prag. 

EiDgegangen 25. September 1903. 



528 



67. Lois de la Propagation anomale 
des ondes au voisinage d'nn foyer. 

Par M. Q. Sagnao k Lille. 



I. Introduotlon. 

M. Gouy a d^couyert en 1890 an remarquable ph^nom^ 
de propagation anomale des ondes ^): au Toisinage d'nn f( 
conjugu^ r^el d'un point yibrant, la propagation des odi 
c'est-ä-dire la propagation de la phase des vibrations, sap 
sinusoldales, ne se fait plus avec la vitesse constante If 
caract^rise la propagation des ondes planes dans le 
homogene et isotrope consid^r^. 

M. Gouy a dömontr^ par une th^orie cin^matiqne 
r6sultat suivant. Dans le parcours d'une certaine r6gion i/ 
de Taxe focal (fig. 1) comprenant le foyer F, les Tibratioi» 
forment ce foyer öprouvent une Variation anomale de 
6gale ä une demi-p6riode^ c'est>ä-dire un renyersement 
mal de signe; tout se passe comme si la yitease de pro; 
des ondes 6tait demeur^e la yitesse normale ff'\ mais qne 
distance Ä FP füt alt^r^e de la moiti^ de la longueur d'oi 
normale A; (si d est la p^riode des Tibrations, il » Ffl). 

Les exp^riences de M. Gouy*), puis de M. Ch. Fabrj 
et enfin de M. P. Zeeman^] ont Y^rifi^ ce changement 
signe anomal: dans toutes ces exp^riences, on fiait interf 
les vibrations u, qui produisent le foyer F (fig. 1), atec 
vibrations u^, qui se propagent le long de Taxe focal i/^ 
avec la vitesse constante et normale W des ondes planes; 
le centre d'interförence est briUant avant le foyer, il d 
noir au-delä du foyer ; sur Taxe focal, les vibrations n^ «i 
synchrones avant le foyer, deviennent de signes oppos^ 
du foyer. 

1) Gouy, Ann. de Chim. et de Phys. 6« s^e. 24. p. 145—211 

2) Gouy, loc. cit p. 197—203. 

3) Ch. Fabry, Journ. de Phys. 3« e^rie. 2. p. 22. (20 Jailletlt 

4) P. Zeeman, Arch. u^erlaud. 2« sörie. 6. p. 318. 1901. 



Propoffotwn anomale, 529 

Dans toütes ces exp^riences, les franges d'interföreBce 
sparaissent au foyer F et dans son voisinage imm^diat 
Band le centre d'interf<6rence redevient observable, il demenre 
yariabley soit noir, soit brillant saivant qu'on observe d'un 
\t6 da foyer ou de l'autre. 



»t 



u^ 



Fig. 1. 

Aucone ezp^rience n'a permis de p^nötrer dans la r^gion 
#P oü doit se prodoire, sulyant une certaine loi^ le ren- 
vsement du centre d'interf(6rencey c'est-ä-dire le changement 
r phase d'nne demi-pöriode ^prouv^ par les Tibrations qui 
finissent le foyer F. 

Gelte loi de la propaffaiion anomale dans la rögion focale 
yP, on a cm la d^couvrir, par voie thöorique, an assimilant 
:toyer F k xm centre d'^branlement (Gouy^), V. A. Julius*), 
Zeeman^ 



js\ 



Ä'- rrzr-.- — - 

1 ' 

Fig. 2. 

Mais je montrerai ici que cette assimilation n'est pas 

Sous certaines conditions, qui sont couramment r^alisöes 

optiqae, j'ai ^tabli une throne de la propagation anomale 

I ondes sur Taxe d'un Instrument, qui fait intervenir seule- 

Dt la diffractUm sur Faxe de Pouveriure de tinstrument et 



1) Oouy, loc. cit p. 182—186. 

2) V. A. Julius, Arch. n^erland. 1« sdrie. 2S. p. 226—285. 1895 
>8) P. Zeemau, loc. cit 

Bottsmaon-Feftscbrift. 34 



630 G. Sagme. 

s'applique k tonte espöoe de vibratioiu Le diaphngme p 
porte rouvertore peut n'dtre aBSOciö k anoiiii intnoMit 
oonyergent; la propagaüon anamak mb»uU ubtr* wuhm fii 
ffy a plus de foyer. 

Les lois de la propagation anomale MaUies pir m 
throne d^pendent de la forme de rouTertore dn digthngriMt 
Je ne parlerai id que des diaphragmes k oaTertore oimlaini 

n. Thterie nonvelle. 

1^ cos» I/i/utrument est une otKoeriHre draibm mte, 

Un cas particulier est^ en optigae, celiii de la dKandm 
noire sans objectifl Nons supposerons que rouTerture cucaliin 
ref oit des ondes sinasoldales, sensiblisment planes et panlUki 
an plan de rouvertiire. 

Döcomposons l'aire Ä de rouTerture B4f B (% 2) a 
cooronnes annnlaires telles que hV de rayon «, conceabiqiiei i 
rouyertarey qui ont des aires ägales, infiniment petites i^ n 
2nsds, comprises entre nn cercle de snrfisce c et de rayon i 
et un cercle de rayon {s + ds). 

La couronne öl^mentaire bb' 6met par ses diTors pointi 
des vibrations öl^mentaires d'Hnygens-FresneL Cei 
yibrations sont synchrones au döpart puisque le plan BoE 
est un plan d'onde; elles se propagent suirant diTers ra;oni 
obliques ^gaiix tels que bM^ V M pour arrirer en nn point Jf 
de Taxe olf de l'ouTerture, oü elles sont encore synchronei 
entre elles ; leur r^sultante en M est une Vibration 41toentaire 
du qui präsente un certain retard 8 sur la Vibration ölAmoi- 
taire analogue qu'envoie en M suivant la normale o Jf im 
616ment de surface pris au centre o de l'ouvertore BoH. 

Quand le point M se d^place dans le sens o Jf de la 
propagation, le retard 9 diminue. Tout se passe alors commfi 
si la phase de la Vibration i/u se propageait le long de «Jf 
avec une vitesse sup^rieure k la vitesse normale W des ondes 
planes incidentes. Teile est l'origine du ph6nom6ne de pro- 
pagation anomale que nous allons studier. 

Pour faire la th^orie et la rendre applicable indifilSremment 
i\ toute espöee de Vibration susceptible d'interförer et de se 
diffracter, nous introdnirons deux hypothtees restrictives: 



I 



Fropagation daumude. 



531 



1® La distance (r = oM) est toujours supposöe grande par 
ipport ä la longueur d'onde normale X, H en r^sulte que 
3 yibrations 616meiitaire8 d'Huygens-Fresnel ^mises par 
s divers points de ToaTerture se propagent par ondes 
»h^riques dont le rayon est grand yis-ä^yis de A et dont la 
tesse de propagation est, par suite, la meme que la vitesse 
'' des ondes planes incidentes. 

2^ La distance \jr^o M) est aussi suppos6e grande par 
ipport au rayon (a=^oB) de TouTerture, de manifere que 
)bliquit6 de ^^ sur la normale oM SLa plan de 1' Ouvertüre 
dt petite et ne puisse pas affaiblJr sensiblement l'amplitude 
3s yibrations öl^mentaires issues meme du bord de Touverture 
oB'. n en r^sulte qu'il n'y a pas k distinguer les yibrations 
ngitudinales, transyersales, m^caniques ou 61ectromagD6tiques, 
>mme il serait n^cessaire si Ton devait tenir compte de 
infiuence de Tobliquitö de l'^mission. De plus, il est permis 
3 calculer le retard S ^ bM — o -Jf par l'expression approch6e 



2r 



2nr ' 



i n6gligeant s^ Jir* yis-ä-yis de l'unit^. 

Soit OX (fig. 3) la direction du vecteur qui pennet de re- 
rösenter^ suiyant la methode graphique de Fresnel, la 
bration 616mentaire 
i'enyoie en M le point 

de Touyerture. Soit 

l'amplitude des yibra- 
ons incidentes, suppos^e 
instante sur tonte T^ten- 
le de rouyerture BoB. 
On sait, depuis 
resnel, que la vibra- 
3n dUf issue de Taire 
g de la couronne bb' 




VgjVlf.^ 



Fig. 8. 



— >► 



mt se reprösenter g^om^triquement par un vecteur d/, de 
ngueur (f/ = Kdg/kr, faisant ayec OX Tangle 



_ 2nJ^ _ 



Xr 



84 



532 6. Sagnae, 

Nons comptons l'angle a dans le sens inTene des aigoilles 
d'une montre, pris, par conTentioDi coBune sens des letazds 
croissants. 

D'apres la regU gecmetrique da Fresnel, poor troufer h 
rösnltante u des yibrations dtc, il üaut porter boat k bont^ a 

partir de 0, les yectears 6l6mentaire8 dlj qni, toos d'nne meme 
longueur dl, fönt chacun avec le pr6c6dent nn mSme an^: 
da = dg/ kr . Cette constmction d^finit nn arc 01/ de cu«- 
conförence, dont le rayon a ponr valeor R^ dlfda^L 
D'apres la regle de Fresnel, la longuenr de la corde 017 de 
cet arc a meme mesure q que l'amplitade de la Vibration i; 

l'angle (o que fait le vectenr V avec OX döfinit^ par la formnle 

1 

le retard de la phase de la yibration u snr la phase de la 
Vibration que le point o envoie en J£ La Vibration fldmentain 
issue des bords B F Ai^ Touvertore est repr6sentöe par nn 

vecteur d l dirig^ suivant la tangente TU k TeztrSmit^ de Tarc 
U\ sa phase est en retard^ snr celle de la Vibration origine, de 



puisque XTU =^ 2(o\ son retard g6om6trique A = a*/2r 
est tel que Ton a 

-r=2n -'^• 

Quand le point M (fig. 2) se döplace dans le sens oifde 
la propagatiou, r =^ o M augmente, le retard A ^ a^jir ior 

minue et T angle XT U =211 A jX (fig. 3) diminue continnement, 
c est-ii-dire ([ue le point V tourne continnement sur la cir- 
conf^rence dans le sens des aiguilles d'une montre qui est 
le sens de l'avance. 

Pendant que le point U fait ainsi un tour complet de 

en 0, la direction du vecteur U fait seulement un demi-tonr 
de OX' en OA' et, quand le point f/' passe par le point 0, 1ä 

direction de OU se renverse brusquement de OX en OZ' ponr 



PropagatUm anomale. 



5SS 



jiMommencer ensoite une nouvelle oscillation. Ge r^sultat 
flfinteiprtte aimd: 

Gonsid^rons les divers points M^^ (fig. 4) de Taxe o M^ 
-tob quo le nombre 






de zones de Fresnel (couronnes de surfaces Egales k nrX)^ 
contenues dans Faire A de Touverture, est un nombre entier 
fair 2 p. Quand le point M passe par Tun des points M^^, 

le point ü (fig. 3) passe par le point 0, le vecteur U s'ann^ule 
«t change brusquement de signe, de sorte que la Vibration u 
«'annnle et change de signe. 

La fig. 4 repr^sente la courbe de Variation de Tamplitude 
^ de tt en fonction de l'abscisse r =^ oM. Aux divers points 



l 




ir, 



If A 



Mi 



M, 



Fig. 4. 



de cette courbe, les directions des flaches repr^sentent, pour 

les points correspondants de oMj les directions du vecteur U 
de la fig. 3. 

üne discussion^ que je donnerai dans le Journal de 
Phynquej montre que l'influence du diamfetre apparent de la 
source des vibrations et Tinfluence des irr6gularit6s du contour 
de l'ouverture ronde BoB produisent une diminution du 
rayon de courbnre R ä mesure que M se rapproche de o et 
d'autant plus rapidement que le rayon a de Fouverture est 
plus grand. Par suite les minimums M^^ d'ordre suffisamment 
ölev^s ne sont pas nuls (fig. 4) et le vecteur de la Vibration u 
y est vertical comme aux maximums -8/2^-1; au voisinage de 
ces minimums^ le vecteur de la Vibration toume trös rapide- 
meat de prös d'un demi-tour dans le sens du retard. A mesure 
que M se rapproche de o, les oscillations du vecteur de la 
Vibration s'amortissent de plus en plus, de sorte que si le 



584 



G. Satfnac. 



diam&tre appareat de la source est sufGsant oa si le o 
de l'ouverture est aasez large et irrögulier, on arri^-e h 
T^gion jV oü le vectear de la Vibration a cess6 d'oBcilloi 
vecteur demeure alors constamment Tertical. Dans la p 
la propagatioD so fait doiic avec la vitesse constante et] 
male //" des ondea planes incidentes. Cette zone . 
pagatioa dite Donuale ou reguliere est d'autant plns i 
que les irregularith provenant du diametre apparent i 
de la source vibrante et des döfauts da contour de Toin 
circulaire sont elleB-memea plas importantes, Inveraen 
zone A de propagaüon anomale, qui s'ßtend de .Vä I'in 
d'autant plus 6tendue que le Systeme fonn^ par la ( 
l'ouyerture est plus regulier, c'est-ä,-dire ae rapproche d 
du aysteme forma par un point sans dimeusions, vibrafl 
soldalement, aitu^ sur Taxe d'ane ouverture parf&itemeot 
laire. 

Comme dans tons lea ph^nomäoea d'interCörence ] 
di&action, la complexitä du mouvement vibratoire i 
pour diminuer la visibilitö dea minimums M^ et des i 
ments rapides de [ibase qui s'y prodaiaent. 

Si le point vibrant est sitnä ä une distance finie j 
centre o de I'ouTorture, il cat facile de voir qu'il i 
remplaccr, dana l'ancienne expressioo du retard 3. Ic 1 
1 / r par (1 / r + 1 / F^. II en r4suUß une modificatioi 
courbe de Variation de l'amplitude aux divers poiatsfl 
o M, parce que le rayon R de la circonf^rence de Fr^ 
maintenant une valeur variable avec r. Mais rieo d'a 
n'eat cbang6 eii ce qui concerne les lois de Variation dtl 
malie (p; lea points M^ , oü le vectear de la Vibration J 
tourne, sont toujours däfinis par la conditiou qu'il jm 
nombre pair 2p de zones de Freanel dans rouvertare] 



2* crts. h'in.itrnment est une Ouvertüre circuiairr 
l'axe (Fun imtrument convergent. 
Supposons la aource \-ibrante ponctuelle sittiäe t 
de l'instrument qui en donne une image reelle s 
F (tig. 5) ä la distance F du diaphragme circulaire. 



Propagation anomale. 535 

Le retard ^I^mentaire S a ici pour expression 

d^crolt le long A% oF jusqu'en F^ oü il est nul, conform^- 
mt k la döfinition du foyer coDJngu^ F dans la throne 
dnlatoire. Au-delä du foyer Fy le retard ^I^mentaire S se 
ange en une avance qui crolt constamment avec r. 

Le Tecteur de la yibration r^sultante en chaque point M 
Taxe se d^fiuit encore ä l'aide d'une circonförence con- 




Mrl^ Mi2U 2ii 2ii 2£t F Mi Mi 2ti Mi M^ M^ m; 

A A A' A' 

Fig. 5. 



JNT' 



roite d'aprfes la r^gle graphique de FresneL Le rayon R 

la circonfärence varie avec la position de M et il en r^sulte 

8 variations d'amplitude de la yibration rösultante; la courbe 

la fig. 5 repr^sente ces variations le long de l'axe focal. 

)tte Variation du rayon Jt avec r ne complique en rien la dis- 

ssion des variations de l'anomalie tp de la phase; les flaches 

la fig. 5 repr^sentent ces variations le long de Taxe focal. 

On voit qu'il n'y a pas de discontinuitö dans la pro- 

gation de la phase au foyer F, ni aux divers maximums 

ntensitö.^) Du minimum ?7,, antörieur au foyer F, jusqu'au 

nimum U^j post^rieur au foyer, l'anomalie de la phase 

2nce continuement d'une demi-p^riode. Un changement de 



1) Les maximums d'intensitä ne coincident pas exactement avec 
points Z7a, Cj, . . . ü^\ ü^' . . , oü le vecteur de la Vibration est 
ücal et il n'y a pas de maTimum an voisinage de {7|, ni de üi. 



536 G. Sagnac. Propagalion anomale, 

signe anomal en r^sulte poor la yibration; le vectenr de !& 
Vibration est dirig^ vers le haut dans la r^gion ant^rieore au 
foyer jP (et exactement yeiidcal en {/2 p— i); U est» ft^ contraiie, 
dirig^ vers le bas dans la r6gion post^rienre an foyer (et 
exactement vertical en C/^'2j>— i)* II y a un changement brosque 
du signe de la Vibration aux minimums nuls U^^U^,,,,\ 
V^y U^, ... les plus voisins du foyer. 

Ici encore, ä cause de l'influence du diam&tre apparent 
de Touverture et des irr^gularitös de l'instrument, ce reo- 
versement brusque du sens de la Vibration est en r6alit6 un 
retard de prös d'une demi-p^riode, pris, dans le sens de pro- 
pagation, dans un espace d'autant plus petit que le diam^tre 
apparent de la source est plus petit et rinstnuneDt plus 
regulier; la vitesse de propagaiion de la phase est trit mim 
de zero aux minimums les plus voisins du foyer F, NnDe 
part eile n'est infinie et Ton trouve ais6ment que ses plos 
grandes valeurs d6passent a peine la vitesse normale W\ 

Les irr^gularit^s provenant du diam&tre apparent de k 
source et des döfauts du contour de l'ouverture produisent, en 
g6n6ral, deux zones de propagation k vitesse normale W^ Time 
en N avant le foyer (oü le vecteur de la Vibration est vertical 
et dirigö vers le haut), Tautre en N\ apr^s le foyer (ot le 
vecteur est vertical et dirig^ vers le bas). L'opposition de 
signe entre les vecteurs de N et de iV' constitue le rösultat 
döja 6tabli par M. Gouy. 

Les autres lois sont nouvelles et n'ont aucune relation 
Hvec les lois de Tömission par un centre d*6branlement 

D'apres les thöories qui assimilent un foyer k un centre 
irobranlement, le changement de signe anomal se produir&it 
au voisinage du foyer dans une rögion de longueur comparable 
a In longueur d'onde A seulement; la vitesse de propagation 
ilo hl phase serait infinie au foyer. 

.Tai controlö la thöorie rösum^e ici par des expöriences 
i»ptii|uos (l'interförence que je d6crirai dans le* Journal de Phy- 
sn|iu\ .Fai pu observer les franges d'interförence jusqu*au 
lovor inriue, et les anomalies de la propagation jusqu'ä des 
imllions de longueurs d'oiide du foyer. 

(Eingegangen 25. September 1903.) 



587 



68. Über zwei Sätze der Elektrostatik. 

Von W. FeuBsner in Marburg i. H. 



Bei der Betrachtung der EnergieTerhältnisse eines be- 
bigen Leitersystems pflegt der Satz abgeleitet za werden^]: 

Wenn bei derselben unendlich kleinen Lagenänderung der 
iter eines beliebigen Systems einmal die Elektrizitätsmenge, 
i andermal das Potential jedes Leiters unverändert gelassen 
rd, so sind die Änderungen der potentiellen Energie des 
stems in beiden Fällen gleich, aber von entgegengesetztem 
)rzeichen. 

Li ganz ähnlicher Weise kann man die beiden folgen- 
n Sätze erhalten, welche meines Wissens noch nicht aus- 
sprechen worden sind: 

I. JFenn bei denselben unendlich kleinen Änderungen der 
ftentiale der Zeiter eines beliebigen Systems einmal die Elektri" 
tätsmenge, ein andermal die Zage jedes Zeiters unverändert 
lassen wird, so ist im zweiten Falle die Änderung der poten- 
illen Energie des Systems doppelt so groß wie im ersten und 
n gleichem Forzeichen. 

II. Wenn bei denselben unendlich kleinen Änderungen der 
lekirizitätsmengen der Zeiter einmal das Potential, ein andermal 
e Zage jedes Zeiters unverändert gelassen wird, so ist im zweiten 
ille die Änderung dei' potentiellen Energie des Systems doppelt 

groß wie im ersten und von gleichem Forzeichen, 

Es mögen die Elektrizitätsmeugen der einzelnen Leiter 
, E^, -E^'-M ihre Potentiale Fj, F,, F3... genannt werden, 
kon ist die potentielle Energie JQ des ganzen Systems: , 

I fl = \[E^ Fj + -E?2 F, + ^3 F3 + ...). 



1) Vgl. z. B. Kirch hoff, Vorlesungen über Elektrizit&t n. Mag- 
tismus p. 88 o. f. 



538 



/f. Feussner. 



Dabei bestehen bekanntlich zwischen den E und V die 
chungen: 



(2) 



E. = 



«11 J^i + 'hl ^1 + <»i8 's + • • • 

«81 ^1 + <»M *! + Ss ^8 + • • • 
«81^1 +«88 ^8 + «88 ^8 +'•• 



«18 = «81' «18 = «81» 



oder auch: 



(Vi 



(2 a) 



^8 = 



*81 ^1 + *22 -^ + *83 -E?» + • • • 
*Sl^l + *88^ + *88-Ei + --- 



*18 = *21 » *18 = *: 



31' 



worin die a und b Koeffizienten sind, die nur von den i 
liehen Verhältnissen, der Größe, Gestalt und Lage der ] 
abhängen. 

Demnach ist auch 



(3) 



fl = 



i(«,i Vx* + 2«,, Fi F, + 2a,, F, r, + ... 
+ «82V 4- 2a.- F F -u . . 



7.» +2a„r,r3 + ... 



+ «38 V + 



• • • 



= i(*: 



+ ) 

H i?!» + 2*„ i^ ;^ + 24,3^^ + ... 

+ *83^* +••• 

+ .....). 



Wenn nun bei unveränderten E eine unendlich \ 
Energieänderung dQ^ des Systems stattfindet, so ändern 
im allgemeinen zugleich die a (und damit auch die b) hih 
V, und man hat nach (3): 



Zwei Sätze der Elektrostatik. 589 

( *ß. = H^***n + 2^ E, Sb,, + 2E, E, Sb^^ + ... 

+ E,*3b„ +2E^E,Sb^ + ... 

+ 2E,*Sb,, + ... 
+ .) 

+ «33 ^8^^S + ••• 

+ 

+ i (n*^«ii + 2 F, F, da,^ + 2 F, r, ^Oj, + . . . 

+ V^«»8 +2F,F3*a,3 + ... 

+ F,Ma,3 + ... 

n man mit S ß^ den von der Änderung der V, mit S ii^ 
von der Änderung der a herrührenden Teil von Sii^ be- 
hnet Da sich vorausgesetztermaßen die E nicht ändern, 
man nach (2) 

«ii^^i + «i3^^s + ^8*^3 + ••• 

= - {Vi Sa,, + F, 5a,3 + F3 ^0^3 + . . .) 

«11*^1 +«22*^2 + 028^^3 + ••• 

= -(^^«21+ ^2*«22 + T^8^«23+---) 

«31 ^^1 +«32 ^^2 + «33 ^^3 +••• 

= - (^1^«31 + ^2*«21 + T^3^«33 + •••) 

Multipliziert man diese Gleichungen der Seihe nach mit 
V,, F3... und addiert sie, so erhält man 

Sii, = -2^02, 

I ist von den zwei Teilen, aus welchen 8 ii^ besteht, der 
e, von der Änderung der V herrührende doppelt so groß 

von entgegengesetztem Vorzeichen, wie der zweite von der 
[enänderung herrührende. Es ist das die Folge davon, 

ii eine homogene Funktion zweiten Grads in den V, aber 
en Grads in den a ist, während die E homogene Funk- 
en ersten Grads in den V und a, und zwar die partiellen 
ierentialquotienten von ii nach den V sind. 



540 W. Feussner. 

Aus (4) und (5) folgt nun 

(6) Sii^^^Sn^ = -SQ^. 

Vergleicht man hiermit diejenige Energieändening iQ. 
welche bei gleicher Änderung dV^, SV^, SV^... der Poten- 
tiale wie eben, aber unveränderter Lage der Leiter eintritt, 
wobei natürlich gleichzeitig eine Änderung der E stattfinden 
muß, so hat man aus (3): 

(7) 8Q^=^8ß^. 

Die Gleichungen (6) und (7) enthalten den ersten der obigen 
Sätze (I). 

Ganz entsprechend erhält man f&r eine unendUch kleine 
Energieänderung d ii^ bei gleichbleibenden V nach (3): 

+ VdX3 +2r,r,äa„ + ... 

+ •) 

^b,,E,SE^ + b,j (^1 ^^3 + E^ 8E^) 

+ b,^{E,SE, + E,SE,) + ... 

+ *sj EtSE, + bj^(EjSE,+E,dE^+:. 

+ *S3 ^3^-^S + ••• 
+ 

+ \(E,Hb^^ + 2^1 E,Sb,, + 2E, E, Sb^, + ... 

+ E^^db.,^ + 2E^E,Sb^^+... 

+ ^3*^*33 + ••• 

+ ) 

vom der von der Änderung der E herrührende Teil der 
Eoergieänderung durch d\ß,, der von der Änderung deri 
lierrahrende durch <)' £i^ bezeichnet wird. 

Aus (2 a) folgt dann wegen der Un Veränderlichkeit der T; 

\^SE,+b^^SE^ + b,,SE, + ... 

- - {E, 8b,, + E, 8b,, + E, 8b,^ + . ..) 
K,SE^+b^,8E, + b,^8E^ + ... 

^-{E,Sb,,+ E, 8 b,, + ^3 ^ J,3 + . . .) 
\,iE,-\'b^.8E, + b^^SE^ + ... 

. - (E, ^^3, + E, 8b,, + E, ^*„ + ...) 



.8) 



Zwei Sätze der Elektrostatik, 541 

id wenn man diese Gleichungen der Reihe nach mit E^, E^, 
^... multipliziert und addiert 

Die Energieänderung Si2j^, welche bei gleicher Änderung 
^^, SE^, SE^.,. der Elektrizitätsmengen wie eben, aber un- 
ränderter Lage der Leiter eintritt, ist nach (3): 

l) ^ßj = *ßg. 

Die Gleichungen (10) und (11) sprechen den zweiten der 
igen Sätze (EL) aus. 

Bestimmt man noch, daß die Lagenänderung der Leiter 

i Jß^ und ^ß^ die gleiche sein soll, so ergibt sich aus (4) 

id (8): 

*ß. = ^ß^ 



aß =Jß„ 



iO 



mn außer unseren zwei Sätzen noch der zuerst erwähnte 
thalten ist. 

Übrigens können, wenn der letztere eingangs erwähnte 
ttz als erwiesen angenommen wird, die Sätze (I) und (II) 
tne jede Rechnung aus ihm abgeleitet werden. Man wende 
imlich jenen Satz auf folgenden Vorgang an: Zunächst 
arde dem System eine beliebige unendlich kleine Lagen- 
iderung bei gleichbleibenden Elektrizitätsmengen erteilt, sodann 
eselbe Lagenänderung rückwärts, so daß sich das System 
ieder in der Anfangslage befindet, ausgeführt, diesmal aber 
51 gleichbleibenden Potentialen. Daraus ergibt sich Satz (I), 
5i entsprechender Vertauschung von Elektrizitätsmengen und 
otentialen Satz (II). 

(Eingegangen 25. September 1903.) 



542 



69. On certain theorems in probability. 

By 8. H. Burbury in London. 



In this investigation li • * • |« a^e & sei of yanabk 
concerning which I assome fundamentally that they are Tery 
numerous« and all of the same dimensions, and ihat they tsit 
according to the foUowing law, namely ihe chance that ther 
shall lie respectively within the limits li . . . Ii + ö|i etc. is 
proportional to «-^ ö|i , . . ö|^. Here Q is generally a 
homogeneous quadratic function of ^i • • • I,. vith constant 
coefticients, viz 

Let this be called Law P. 

2. I propose in part I to consider the probable values of 
Ij etc., when a certain linear function of |j . . . |^ namely 

is given in value. 

Also if there be more than one such linear fuDction, 
e. g. t^ , Wj etc., the correlation between them arising from their 

relations to |j •••!«' ^^^ ^^^ ^' 

In part II I shall consider the probable values of |^ ...^ 
when another quadratic function 2*^1*= 2T is giTcn in 
value. 

3. Part I. This will be divided into two cases; case A 

in which Q has the very exceptional form Q = 2^S*' ^^' 

pressing the fact that every | is independent of every other 

5, and case B in which the |'s are correlated inter se, and § 

\8 tiie complete quadratic function above given. In case A, 

\et u, V be linear function s of |j . . . |^, and we may suppose 

» lo \>e formed from v l)y interchanging the coefficients. 
li töT inatance v = fx^^^ + fi^^^ + etc., u may be fiji + 



Certain theorems in probabüity, 548 

4.1I2 + 6te*> so that u and v are the same function of 
... 1^ taken from different points of view. — 

Suppose now that v is. known^ but nothing is known con- 
•ning li . . . |„, except- that 

d that Q has the special form e-2«^\ 

What under these circnmstances is the most probable 
lue, and what the mean value, of any |j e. g. of |j*? 

Since 

given, we have 

^" ö|, + -^-f ö|3 + etc. = 0, 



rffi ^ *»! • eil, 

d for the most probable combination of the |'s, we make 
|a|' minimum, that is 

lence 

^i-'^^rffT' 5,-^^ rfl^ etc., 

being an indeterminate multiplier. 

Multiplying equations (3) in order hj dvjd^^j dvjd^^ etc., 
A adding, we get 



at is 



lence 



id 



'-»2i(4f)' 



^1 ""^ (H dli / -^ a idij 

etc. = etc. 
hese are the most probable values of |^, 1, e^* 



544 S. H. Burbury. 

5. The mean value of |^ is 

+ 00 +00 

— 00 — 00 

subject to the condition that 

dv 

It is identical with the most probable value above give 

6. Now while 

let u be another linear fanction of |j . . . ^^ . 

Then v having a known value, but nothing being 
of the l's except that 

dv 
-dl'-''' 

and the law of probability e-^*^^*, what is the probat 
of u? 

We have, whatever li . • • |„ niay be, 

^^c^ u du 
and therefore 

^1 • • • In b^i^g *b® mean values above foond. That i 
/ . du l dv /^ 1 / dvy 

that is 

^ du 1 dv /^ 1 /dr\* 

If u were given instead of v, the mean value of r w 
. ^ dv 1 du /'S? 1 f duY 

These expressions dehne the correlation between u and 



Certam Aeorems in probabüity. 545 

7. Let US consider the expression for ü given v, — 
In the denominator 



24 (-4fr 



Y term is positive, and they cannot all be zero, because 
by hypothesis a fanction of |j . . . |^. — Nevertheless 
y of them may be zero or negligible, provided that some 
lem are not negligible. 

Tbe same is true of dujd^^ . . . dujd^^. 
8. In the numerator 

du 1 dv 



^ du l 

^ dB a 



dS a dS 

HS suppose that for |^ ... |^, dujd^ is not negligible, 
For all the other |'s duj d^ is negligible. 

Similarly for |,, 1, + ^ ... |, + ^, dvfd^ is not negligible, 
for all the others it is negligible. 

We might say u has a sphere of influence extending from 
) ^^, and V a sphere of influence extending from |^ to |, + |. 

If s > r, each of the products — =-= — xr- bas at least 

of its factors negligible — the correlation is in- 
•eciable. — If on the other band « < r, one at least of 

products —^ — j^ has both factors appreciable. 

The correlation is therefore generally appreciable, though 

lay happen in special cases that the terms ——^ -^-j- , 

;h do not vanish, are of different signs, and in the aggre- 
cancel each other. We might say generally that the 
elation is appreciable or not^ according as the two spheres 
ifluence do or do not intersect. 

9. It thus appears that even if the |'s vary independently 
ach other, the t^'s derived from them as linear functions 
if each u is affected by more than one |, in general corre- 
1. — Suppose for example the |'s define the state of a 
jrial System at an initial instant, and u^ . , .n^ are the 
dsponding valu^ after time t. Then, the motion of the 

>ltxinaaa-Fo»tschrift. 35 



546 S, H. Burbtary. 

System being continaous, «^ . . . «^ are determinate fonctions 
of li . . . 1^ and t — and however independent |j . . . {, are 
of each other, u^ . . .u^ are in general correlated. 

10. K the l's, and also the u's, have positions in space, 
we may expect that the sphere of inflnence of any v wül be 
limited in space, extending for a certain distance round it8 
Position. — If that be so the intersection of the spheres of 
inflnence of u^ , u^ will in general depend on the distance of 
u^ from u^ . — They will be sensibly correlated if near enongh 
to each other. 

11. Gase B. — The |'s are correlated inter se. 

lustead of tlie law «-ül«^', which expresses the mutual 
independence of |j . . . |^, we must now use e"^ of art 1. 

If V or ^idv/d^ be now given in value, bat nothing 
eise is known of the |'s except the law of probability f^ 
what is the most probable value of any |, e-g £^? Thatis 
found by an easy extension of the method of art 4. 

Let namely D be the determinant of the coefBcients in 

2«1 ^2 *13 



i> = 



^21 2 02 ^33 



[ind let D ^^ be the minor formed by omitting row p and 
column q. 

Then, if ü be the most probable value of u, given r, 



in which 



ü = vQ{uv)lQ{vv), 



^, X dv (dv Dil , dv Dl, , , 

«("'-') = jrf.läi;:ö' + d^ # + «**'• 

dv Idv Du dv ^>M , „X- 

, dv , 

Also Q (u v) is the same expression with each factor 
*■ " i I outside of the bracket replaced by the corresponding 
. '« 4|. — Inasiuuch as no restriction is here imposed on 



Certain theorems in probabüity. 547 

kB Tahies of l^' eta, it is essential in this case that Q should 
• positive, tluit is (see art 13) that I) should be positive. 

12. Part n. — Instead of a linear function of |^ • • * kn 
Ning given, let next the qnadratic function 

^li' + 'w,|,« + etc. = 2r, 

B which the m's are positive constants, be giveu, and let the law 
f distribution of |i . . . |„ be e-^ d^^ . . . d^^ as before. — To 
pd the most probable values of 1^ . . . |« we now proceed as 
iflows. 

Since T is given, 

Since Q is to be minimum, 

arefore 

*2i li + 2flsl2 +*is Is + ötc- = 2Ä1W3I, 
etc. = etc. 

en A is given by the determinantal equation. 



(i-) 



2iiti 2m| I 

2wh V*»i / 2fw, *'';=0 
2m, 2m, 



fe-')- 



If iL be any real root of that equation, its Substitution in 
determines tiie ratios li/l, etc. — 

Again multiplying (6) in order by |^ . . • 1», and adding, 
obtain 

whidi can now be found the actual values of ^^ . . . |^, 
Q is tfiATiimiTn or Tninimum given T. 

35* 



548 8. H. Burhury. 

13. Since the yalues of |^^ etc. are now finite if 7 is 
finite^ it is no longer necessary that Q or X shoold be positife. 
Negative roots of (7) are therefore admissible. — 

14» Now (7) may be put in the form 

(8) i^=: A*» - ^1 A~-i + ^2 >l"-^ - . . . ± ^, = 0, 

the term B^ having the positive or negative sign ffefixd 
according as n is even or odd. In this expression B^ is the 
complete determinant I) derived from eqoation (7) also 

^1 = 2^' 

B^ is the sum of all the coazial minors of 2> having V con- 
stituents, B^ the same with 3' constituents, and so on. 

If B and each of its coaxial minors are positive, efeiy 
B is intrinsically positive — therefore since the terms in 1 
have alternatively the + &nd — signs prefiied^ there are no 
continuations of sign among them, and therefore by the nie 
of signs i^ = has no negative root Every X is positive, and 
therefore Q = 2 A y is positive when minimnm. — 

15. Now the coefficients a are assnmed to be positive 
and invariable, the &'s subject to Variation, and I here confine 
myself to the case in which the b^% are always negative. — As 
any b diminishes, (i. e. b^ increases) the determinant -D, so 
long as all its coaxial minors are positive, diminishes, aod 
approaches zero. — But if B^^ be one of the first coaxial 
minors of J9, 2> < 2 Oj J5jj so long as all the coaxial minors are 
positive. — It follows that B^^ is positive when -D = 0. 

For the same reason if and when the first coaxial minors 
Ai» ^2 ^^^- become zero, the second coaxial minors B^^^^, etc. 
derived from them are still positive. The coefficients B in (8), 
if they change sign, change sign successively firom right 
to lefL — 

16. Again when B — i'cBn — changes sign, there is 

one continuation of sign among the terms in (8) and therefore 

one negative root. — But the changes of sign of J5,-i} 

B»_2 ötc to B^ inclusive, being successive from right to left, 

4o not vatroduce any more continuations of sign. — There is 

^x^lox^ odv f *crative root of (8). 



Certain thearems in probabüity. 649 

Again it follows from the preceding, that if J7 be any 
axial minor of D, and b any anazial constituent of it, 
Üfäb is positive, that is J7 diminishes as b, being negative, 
^reases in negative value. Therefore every dBjdb is 
sitive. 

17. Letnow \ be the single negative root of (8), F^ the 
rresponding value of F^ namely 

i?; = Äi« - B^ Äi»-i + J?, Äj«-2 + etc. 

en it can be shown that, for any i, dX^jdb is positive. 

Por 

dli dFi /dl\ 

db" db / dli' 

which dF^jdb is taken with \ constant, dF^fdX with b 
instant. 
But 

id is therefore (since \ is negative and every dBjdb 
>8itive), positive if n be even, negative if n be odd. 

But if n be even, F is positive when A = — oo. There- 
re dFjdX is negative when the curve ^j* first cuts the axis, 
e. when Ä = Ä^ . 

If on the other band n is odd, F is negative when 
= — 00 , and dF^ j dX is positive when X = \. 

Therefore whetiier n be even or odd, d\jdb is positive, 
at is as £, being negative, increases in absolute value, A^, 
ing negative, increases in absolute value. 

SolutionB of the eqnation (8). 

18. Equation (8) is easily solved when all the a coeffi- 
ints in Q have the same value a, and all the b coefficients 
3 same value b. For in that case the determinant 

; 2a b , . . 

b 2a . . . 



r' constituents is equal to 



(2a-Ä)r-i(2a + r-l*), 



550 



8. H. JBurbufy. 



and we find 



^=(Ä-2a-Ä)«-i[i-(2a + n-14]), 
or F has n — 1 equal positive roots 2 a — 2, and one other root 



A = 2a + n-. 1*. 

19. We can however solye (8) in the more general case 
when all the axial constituents in (7) haye the same yalae, 
and all the anazial constituents in each colomn of (7) except 
the last column have the same value. 

Thus in (7) let 



and 



So that 



^ = ^=:etc. = 2a, 

2 177, 2171, *" 2f7l||-l 

2mi "" 2 m, "" 



ß^ etc. 



ßl> 



D = 



2 ^ ft Ä • • • z'» - 1 A 

Ä A 2 a . . . /?n - 1 /?8 



ßi ßi /Ss . . . 2 a /9« „ 1 

\ ß\ ßi ß^ '" ßn-l^^' , 

We see by inspection that if /S„ . i = 2 a the two last 
lines are identical, and therefore i) = 0. It follows that D 
contains (2 a — /9„ _ i) as a factor. But by supposing /S,»2 = 2« 
we can prove in the same way that L contains (2 a — ^,-3) 
as a factor and so on. 

Therefore D contains (2 a - /SJ (2 a - /S^) . . . (2 a - /J,. 1) 
as a factor. But i^ is a homogeneous function of degree « 
of 2a j /9j, ... /?„_!. Therefore the remaining factor of-D 
is a linear function of 2 a, ß^ etc. But since D contains the 
tonn (2 afy the said linear function must be 2a + 9>(|(?j .../?. -i)» 
whoro (f> denotes a linear function. — But again D does not 
coiitain (2c^)""^ Therefore 



Certain tfieorems in prohabilifi/, 551 

> = (2a-/9i)(2a-/?2)---(2«-/?«-i)(2a + /Si+/?2 + -. • + /?«-!). 

Now D, or jB„, is the product of the roots of (8), — We 
ofer that the roots of (8) are 

(2a -/9,), (2a -/»a), etc. 
Jl positiTOy and 

2a + /9i+ft ... +/'«-i 
vUch may be negative. — 

Further by the same reasoning 

Ai = (2a - ft) • • • (2a - /?«- i)(2a + Ä + ••. + /?«- i) 

md since the last ÜEU^tor does not contain ß^^ D^^ may be + 
rhen i? is — , but not vice versa. — 

The above inference conceming the roots of (8) can be 
!onfirmed by sho¥dng that £« - 1 ^^ ^^ ^^^un of the products 
f the factors of D taken n — 1 together, and that ^n - 2 etc. 
tave the corresponding values. 

20. K X' be any positive root of (8), the chance of the 
iistribution given by X^ occnrring is to the chance of the 
istribution given by X occnrring in the ratio «-(^-^or 

Now ^ 

nd n is a very great number. If therefore the mean value of 
i|* is not very small, the ratio g-(Ai-A')r will be very great. 
k) that the distribution given by the negative root \ will bC; 
ot only the most probable, but in fact will represent ap- 
•roximately the generally prevailing distribution. — 

21. Now let ^2"*!* instead of being a constant, be 
ariable, and let the chance of its being between T and T + dT 
e a function of T for example e-^^öT, where Z is a positive 
onstant. Then for each value of T the prevailing distribution 
f the l's is given by e-^^ and therefore the chance of any 
et of l's occnrring for which \^m^^ ^ Tj is denoted by 
- (X, + iO r — Bui; f ig jiQ^ unrestricted in value. Therefore 
he law of distribution e~^ is impossible unless (Aj + K)T, 
r \Q + KT, is positive. — 



r2 



662 S. E. Burbury. (krtam tkmmHu hi prMUUjf. 

22. I have said elsewhere tiiat if £|f & «bL aie tiie 
yelocities of gas molecaleB the law f ^ lieoomM jmpoMihfe 
when Q becomes negative. 

That is quite trae if l^\ |^ |,, etc. are uiuMtricted in nlu^ 
as usnally assumed in the Idnetic theöxy of gaaeB. — In iEKt 
aUhough 1^' etc. are nltimately nnrestricted, yet for anyfinite 
group of n molecnles part of an infinite systemi i^ßj aie ndgect 
to some such restriction . as I have here snppoeed, namdy tliit 
the Chance of m^ li' + ^i ^' + dtc! ezceeding a veiy hi|^ Tabe 
is very small, for iostance e"'^^^ and it seemn fo me fiutth 
limit of the law of distribntion «-^ ahonld be» not Q »Obiit 

(Eingegangen 26. September. 1908.) 



563 



70. Note on the Soret Phenomenon. 

By WUder D. Banoroft in Ithaka (N. Y.). 



In 1881 Soret ^) published experiments showing that 
»ating one end of a tube filled with a Solution caused a difiu- 
3n of the solute to the colder end of the tube. Six years later 
in't Hoff) offered an explanation based on the analogy 
)tween a dissolyed substance and a gas. According to yan't 
off equilibrium should be reached when the osmotic pressure 
the solute is uniform throughout the tube. This explanation 
usually accepted as correct; but it can easily be shown that 
is is not the case. 

We will consider first a tube filled with a Single gas, 
.6 two ends being kept at different but constant temperatures. 
necessary criterion of equilibrium is that there shall be a 
liform pressure throughout the tube and the gas will there- 
re concentrate in the colder portion of the tube. K we 
ive two gases in the tube both will concentrate in the colder 
)rtion of the tube. If we fill the tube with a mixture of 
^0 liquids, it will usually not be possible for both to con- 
ntrate in the colder portion of the tube. Owing to the 
lative incompressibility of liquids, the two components will 
ve to diffuse in opposite directions. In other words, the 
ative concentrations will determine whether a given com- 
nent will pass to the cold end or the hot end of the tube. 
*T a given pair of temperatures and of components, there 
ist be a given concentration for which no difiusion takes 
ice. Some years ago a few preliminary experiments with 
ötone and water were made in my laboratory and this 
ddiction was confirmed. 



1) C. Soret, Ann. de chim. et phys. (5) 22. p. 293. 1881. 

2) J. H. yan*t Hoff, Zeitschr. f. phys. Cham. 1. p. 487. 1887. 



554 H^. D. Bancroft On the Saret Phenamenam. 

Since the direction of the diffasion changes sign v 
changing concentratioD^ the criterion of equilibrimn cannot 
a unifonn osmotic pressure and the explanation of va 
Hoff can hold as a first approximation only for Solutions 
which the voIume occupied bjr the solute may be ne^ect 
What the real criteria for equilibriom are, is an interest 
problem for which no satisfactory answer has yet been fon 

Cornell University. 

(Eingegangen 26. September 1908.) 



i 



555 



[. Über die Bestimmimg der thermischen Ändemngen 

9r Elastizitätskonstanten isotroper Körper ans den 

Temperatnrändemngen bei der Drillnng nnd 

der gleichförmigen Biegung. 

Von Anton Waasmuth in Graz. 



Bei der Deformation vollkommen elastischer Körper treten 
emperaturänderungen r auf^ die auf Grund der Sätze der 
hermodynamik berechnet werden können. Die Theorie dieser 
orgänge wurde bekanntlich (1857) von Lord Kelvin begründet^ 
>n Schiller (1879) und Planck (1880) erweitert und von 
^. Voigt (1889) nicht allein auf kristallinische Körper^ son- 
3m auch auf größere Temperaturänderungen ausgedehnt Die 
LT uns in Betracht kommenden Ergebnisse der allgemeinen 
ntersuchungen ^) dieses Forschers sind in Kürze folgende: 

Es seien u^ v, w die Verrückungen eines Punktes x^ y, z 
Dd die Deformationsgrößen', 

du _^ 6 y _ diff ^ 6 r ^ dw ^ 



dx *i' dy "■•"2* Ö* ""*«' Ö* ^ dy "■ *' 

dw . du ^ du , dv _^ 



dx ^ dx 5> dy ^ dx "" «' 

:>me die Druckkräfte: X^=: X^, T^^X^, ^. = ^. ^«=^y=-^4J 
B = X^ = Xg, X = r^ = Xg, so daß die elementare Arbeit 
3r elastischen Kräfte für die Volumseinheit: 

S cc ^ — X^S x^ — ... — Xg J oTg = — 2 X^ S x^ 

rd Dann muß, wie W. Voigt zeigt, die freie Energie | 
ich erstes thermodynamisches Potential genannt) für eine 
iderung t der Temperatur T die Form haben: 

h k 

> die c^j^ die isothermischen Elastizitätskonstanten heißen 
^d die Indizes h und k wieder von 1 bis 6 gehen. Aus | 
^det man die Entropie 

1) W. Voigt, Thermodynamik I. p. 800. 1903. 



566 Ä. WasrnmA. 



8^^ 



BT dt ' 

den Drack 

ond die spezifische WBrme y^ der Volamaeiiihelt bei bnitate 
Deformation: 

Für isotrope Körper yerschwmden eine Beilie der Eomtanlei 
c^j^ und es bleiben nur: 

c^^r^e, e^^^e^ und c^-l(Cii-CjJ « c^ 
und ebenso wird: 

?i - ?i - ?• = ? ™d y^ - y, - y, - 0. 
Führt man noch die Indenmg der Volnnuembat 
S — x^ + x^ + x^ ein, so wird die freie Ekiergie' | fllr iwtaofe 
Körper gegeben durch: 

wobei: 

E B u 

Co = ZTTT—. — r • c, = '^ 



'« 2(1 +f»)' "1 " 1+fr 1-2/tf 

ist und E den gewohrdich so genannten Elastizitätsmodul, e, 
den Torsionsmodul, also n das Verhältnis der QuerkontraktioD 
zur Längendilatation vorstellt Es ist in aller Strenge die 
Entropie: 

Dieser Ausdruck gleich Null gesetzt liefert die Tempentm^ 
änderung r ftir eine cLdiabatische Deformation. An der Bioi 
dieser Formel hat W. Voigt die Torsion eines EreisaQrlin^ 
behandelt. ^) 

Die Druckkomponenten erscheinen unter der Fomi: 

1) 1. c. p. 331. 



Thermische Änderungen der Elaslizitätskonstanten, 557 

IS der freien Enei^e | erhält man das sogenannte zweite 
ärmodynamische Potential ^ durch die Beziehung: ^ = | 
(ZjOTj + .. . +X^x^ oder 

2C= -22*Äk^^* + 2T[a,^ + ... +a^X^-\^r^T\ 
bei 

= ^ + («191 + ••• +«6 96)^ 2^A<*k. = ^' 2^AI**i= ^> 

i i 

k k 

und die «^^ Elastizitätsmodule heißen. Die Entropie S er- 
)t sich aus: 



ner ist 



*. = + 



ax» 



d die spezifische Wärme Yz ^^^ Volumseinheit bei konstanter 
annang: 

\v isotrope Körper werden die Formeln wieder einfacher; 
wird dann: 

* -«0 

)rin a den linearen Ausdehnungskoeffizienten darstellt und 

_ 1 _ 2(l+j0 _ 1 - JL 

*2 ~ c, "" E ' *i — * " t*2 — "" jg; * 



js; 






Für die Entropie S gewinnt man den im folgenden aus- 
hlieBlich angewandten Ausdruck: 

r Kflize wegen 



558 A, Wttssmuih* 






gesetzt ist. 

Als allgemeineres Beispiel diene der Fall, daß ein iso- 
troper Körper unter einen allseitig gleichen Normaldmck /> 
gebracht werde, so daß Xj=-X^ = ^=s/>, X^ = -X^ = -Xi = ö 
wird; dann ist für die adiabatische EompreBsion: 

oder die EWärmung r gegeben durch: 



J' T = 3«./.- 1/^2(3/ -O^ 



d. i. 










(5) 




3 10^ 
E E BT 


1 


1 de^ 
c, BT 



Berücksichtigt man nur das erste Glied, so erhalt man 
die gewöhnliche Formel; nur bei sehr hohen Drucken käme 
das zweite Glied in Betracht So ist z. B. für Elisen nahe: 

E=^ 21000 kg/mm2, c^ = 7000, 

i -^ ^_ — _ 2^25 J_ d^ _ _ 8/)35 

E BT " TÖ* ' ß7 ^^ "" ^Ö*~ ' 

also das zweite Glied verschwindend klein. 

Von den Formen der elastischen Körper, die überhaupt 
in Betracht kommen können, empfehlen sich schon aus prak- 
tischen Gründen die von Stäben oder Drähten mit einem Quer- 
schnitte, dessen Dimensionen gegen die Länge des Stabes 
klein sind, das ist also der Fall des von Saint-Venant be- 
handelten Problems. Wir denken uns demnach einen geradea 
zylindrischen Körper, auf dessen Grundflächen (Enden) irgend 
welche Druckkräfte wirken sollen; die Mantelfläche sei frei 
von Druckkräften. Zwischen den einzelnen Längsfasem ist 
dann überhaupt kein Druck; sie sind voneinander unabhängig- 
Der Einfachheit wegen werde angenommen — die Verall- 
gemeinerung ist leicht — , daß der Querschnitt ein Kreis sei— 
Die Achse des Zylinders sei zur r-Achse gewählt. 

Dann gelten bekanntlich^), wenn gleich die Voigt sehen Koa.— 
stanten eingeführt werden, die Formeln: X, =X, = Xg = Ouä<J 

\) G. Kirchhoff, Mechanik p. 403. 1897. 



Thermische Änderungen der Mastizitätshonstanten. 559 



2e, + (3, 6, 

! -XV 

3(Ji+2c, 2 -^ 

• * 2 3ci+2c, 2 «^ 



2 



+ ^ 2c, 



-i-±-^ (Ä2 - y2) - ar2 



8 8c, +2c, 

Die Konstanten a^ o^^ a^^ ^^^ £,> ^ lassen sich leicht aus 
n Eomponentensummen nnd Drehungsmomenten der Druck- 
äfte^ die auf ein Ende wirken, berechnen. So ist z. B. : 

\\[x X^-^yX^dxdy^c.-'R^ etc. 

Diese Werte für -Xg, X^ und X^ sind demnach in den 
isdruck für die Entropie: 

Qzuführen; durch Nullsetzen der Form 8 erhält man dann 
e Temperaturänderung r als Funktion von x, y, z, die einer 
liabatischen Änderung entspricht. Diesen so für r ge- 
3iinenen Wert wird man^ da sich nur ein mittleres r eines 
aerschnittes q beobachten läßt, noch mit dq ^ dx,dy multi- 
izieren, über den Querschnitt integrieren und durch q 
vidieren. 

Man sieht aber sofort, daß in dem so erhaltenen Mittel- 
erte t im allgemeinen auch die Koordinate z vorkommen 
ird, was eben besagt, daß für verschieden gelegene Quer- 
hnitte (verschiedene z) ebenfalls verschiedene r und demnach 
armeströmunffen auftreten müssen. Es gibt indes Fälle, wo 
le Querschnitte desselben Zylinders gleiche Temperatur- 
derungen erfahren. Solche spezielle Fälle sind: 

L Dehnung, Alle Konstanten außer a sollen verschwinden, 
h. es sei X^ = ^ = 0, -X^ = a, dann wird: 

öibt man beim ersten Posten rechts stehen, so erhält man 
^ gewöhnliche Tbomsonsche Formel. Ist nämlich P der 



560 A. WasrnuA. 

Zug am Querschnitte q, a das spezifische Gewicht, C die 
spezifische Wärme der Gewichtseinheit^ so wird: 

^ = -— » y.= C.(r. 419,10» -^= - ..J^Z 

die bekannte Form, indem q a das Gewicht der Längeneinhät 
vorstellt. Für groBe Zugkräfte käme, falls der Draht and 
da noch vollkommen elastisch bliebe, noch das zweite Glied 
in Betracht; bei metallenen Stäben fiele dann^ da hier 

1 dE 
E dT 

negativ ist^ die Abkühlung bei der Dehnung (bez. E^rwäimen 
beim Zusammenziehen) kleiner aus. 

n. Gleichförmige Biegung, In diesem Falle verschwinden 
alle Konstanten bis auf Oj, so daß X^= a^.x, X^ = X^^^ 
wird. Die Konstante a^ bestimmt sich aus dem biegenden 
Drehungsmomente M um die y-Achse, indem: 

-M=^J{zX^ --xX^)dq= --a^fx^dq=. - a^-^R^ 
oder 

ist. Hiermit wird: 

und für die mittlere Temperaturänderung r erhält man wegen 

Jxdq=^0 und Cx^dq=^~Ii^ 

-^- T = — S 



T ^R^n 



erfolgt die Drehung vom Momente M^ in das Moment 3/^, so 
sc: wecen 



, d s _ E \ l\ d E 



= - i- fl — -\ 
E\E dt I 

it- T^HiWraturänderung 

•x^ -Iifr -r 1= W ^-^1-^^*--^A 
-^^^^ T^^ «^ E\m dT) \R^n^ ' 



ThermiMche Änderunffen der Elastizitätskanstanten, 561 

Hat der Querschnitt g eine andere Form als die eines 
jreises, so muß statt \n^li^ der Ausdruck 2q^xJ^ genommen 
erden^ wo x den Trägheitsradius senkrecht zur Biegungsebene 
erstellt, der Schwerpunkt in der 2-Achse liegt und die Haupt- 
chsen des q als Achsen der x und y gewählt werden. ^) Für 

ie Metalle ist 

1 dE _ 
E BT * 

egativ, demnach bringt nach (10) eine gleichförmige Biegung 
Lues Metallstabes eine Äbkühlumj hervor^ was meine Versuche 
estätigten. Die Formel (10), zuerst von W. Voigt aufgestellt, 
;ellt demnach einen Zusammenhang zwischen der Abkühlung 
^^^ und der Änderung des Elastizitätsmoduls, d. i.: 

- 1 ^ ^ 
^^ E BT ' 

ar, so daß c an der Hand der Voigt sehen Formel, falls &^j^ 
xher gemessen wurde, berechnet werden kann. Diesen Weg, 

auf neue Art zu ermitteln, habe ich eingeschlagen^ und für 
wei verschiedene Stahlstäbe hierfür die Werte 2,62 x 10-*, 
,34 X 10-*, 2,45 X 10-* und 2,23 x 10-* erhalten, deren 
[ittel 3,41 X 10-* von dem Mittel 2,29 x 10-*, wie es 
ie Beobachtungen von Katzenelsohn (2,33 X 10"*) und 
'1. Schäfer (2,25 x 10-*) für Eisen lieferten, um weniger als 

Proz. abweicht Versuche mit Stäben aus anderem Material 
ollen noch folgen. 

IlL Torsion, Ein weiterer Fall gleichförmiger Temperatur- 
•nderung bietet sich schließlich dar in der Torsion eines Stabes, 
robei alle Konstanten in 6 bis auf c verschwinden. Es wird: 



^ch Multiplizieren mit 2n(}d{}, integrieren und dividieren 
lurch R'^n findet man hieraus: 



1) R. Clebsch, Elastizität p. 108. 

2) A. Wassmuth, Wiener Ber. 112 (IIa), Mai 1908; Ann. d. Phys. 
t. p. 182. 1904. 

fioltimjuna-FMttolurift 36 



662 



Ä. Wiasumuik 



Nun ist das am freien Ende wirkende Drehungsmomeat S 

so daB sich schließlich wegen 's *" ^/^t ®^b^' 
(11) i^Lf «+_L/±i«L)J 



IP 



B^' 



Dieser Ausdrack fällt YoUstftndig zasammen mit je&M, 
den ich 1889 1) fOr die Abkühlung Yon tozdierten MetalUhilite 
aufstellte und durch Versuche *) bestttigt ÜEUid. Neimt bb 
nämlich (o den der Länge / entsprechenden TorBiODSviliU; 
m das ganze Gewicht des tordierten Zylinders, C die spenfidn 
Wärme der Gewichtseinheit, so ist: 



N 



2 






IB^n 



Cm - 

T 



f'.(^4l-)-< 



und es wird: 

die von mir veröffentlichte Form. 

Für andere, jedoch symmetrische Quersohnittoformen txeta 
auf den rechten Seiten yon X^ und X^ noch gewisse Funktiinfli 
von X und y hinzu; der Ausdruck für r wird Terwickelter, 
doch bleibt r in der ganzen Länge des Stabes konstant 

Die Gleichung (11) oder (12), die in anderer Art aad 
von W. Voigt abgeleitet wurde, gestattet ebenfalls ans dio 
beobachteten f die Änderung des Torsionsmoduls 

E 



2(1 +fi) 



mit der Temperatur, d. L 



1 de^ 

c, dT 



— ^r^ = ^ 



zu ermitteln. Meine Versuche mit tordierten Stahlstäben 0^ 
gaben gute Übereinstimmung zwischen Rechnung und Be- 
obachtung^ falls für f] die von Katzenelsohn gefimdeneZiU 
3^10^ die der ueuestens von GL Schaefer gegebenen iJXi 
nahe kommt, genommen wurde. 



I 



1) A. Wassmuth, Wiener Ber. 98 (IIa), p. 1897. 1889. 

2) A. Wassmuth, ibid. und Wiener Ber. 111. Juli 1902. 






Thermische Änderunpen der Elastizitätskonstanten. 



563 



[ AiiB dem in II und III Diirgelegten folgt: 

' Beobachtungen der TemperaturändeTUvgen bei der gleich- 

migen Biegung und der Tortion von Stäben geben somit die 

'ittel an die Hand, die thermischen Änderungen des Elastizitäts- 

odul» und die des Torsionsmoduls, d. i. t und ij und somit 

teh dfijdT — ohne Struhturänderung — zu bestimmen. 

Als eine nicht uniatereesante Anwendung der dargelegten 
«thode möge eine Anzahl TOn Versuchen dienen, die ich mit 
nem zylindrischen Stabe aus Hartgummi vom »pezitischen 
ewichte 1,325 und der Dicke von 5,1 mm zur Ermittelung 
sr Änderung seines Elastizitätsmoduls E mit der Temperatur 
isführte. Der Stab lag auf zwei festen Schneiden, deren 
istanz 2u = 14,2 cm betrag, auf uud wurde dnrch gleiche, 
1 seinen Enden nach abwärts wirkende Zugkräfte p, von denen 
de am Arme von 5,2 cm mit einem Momente M drehte, 
eichförmig nach oben gebogen. Mit Hilfe einer Marke am 
abe und einer spiegelnden Skala ließ sich die Pfeilhöhe A 
istinamen. Die Biegung wurde in der Art bewirkt, daß die 
nden des Stabes durch Darmsaiten mit einem Winkelhebel, 
ässen Drehung an einem Kreisbogen G G markiert wurde, ver- 
luden waren (vgl. die Figur in der zitierten Arbeit). Die 
ugkräfte p wurden dann nachträglich durch direktes Anhängen 
»n Gewichten bestimmt. 

Den Sinn und die Größe der bei dieser Biegung auf- 
etenden Temperatu rändern Dg wies ein feines, in der Mitte 
3B Stabes angebrachtes Thermoelement aus Konstantan und 
isen, das mit einem sehr erapfindliclien Galvanometer von 
eiser & Schmidt durch dünngewalzte Kupferstreifen 
nr Verhütung der Deformationsatröme) in Verbindung stand, 
af; es wurde das Hauptaugenmerk darauf gerichtet, den 
■eaamtwid erst and r (Thermoelement + Galvanometer) recht 
lein zu machen; in der Tat war r = 0,4315 Ohm. Die Be- 
Stigung des Thermoelements geschah in der Art, daß der 
&rtgummistab zuerst in ein mit einer seitlichen Öffnung ver- 
henes Glasrohr gebracht und hierauf in einem Thermostaten 
irch mehrere Stunden so lange erwärmt wurde, bis sich das 
lermoelemeut, dessen beide Drähte durch Ätzen verdünnt 
<i etwas umeinander verdreht waren, leicht durch die Oft'nung 
s Glasrohres in den Stab einlligen ließ. Auf diese Art blieb 



k . 



564 



Ä. WoismMih. 



beim Abkühlen der HartgammiBtab gerade und das Then&o- 
element steckte unffemein fest in der Mitte. — Mehrere Pi]^ 
deckehi und Watte schützten den Apparat vor LnftstrOmungeL 
Es ließ sich nun zweifellos nachweisen^ daB bei dktm 
Hartgummistab eine Verstärkung der Biegung mit dner Ih 
wärmung und umgekehrt eine Verminderung derselben mit oner 
ÄbktMung verbunden war. 

Wurde z. B. die Mitte des Stabes resp. das ThennoeleiMiit nit 
einem heifien Eiaenstück berührt, bo ging die Nadel des OtlfsooMln 
auf dieselbe Seite, wie bei der Belastung der Stabenden; eine AbkfiUag 
der Stabmitte brachte einen entgegengesetiten NadelausMhlag ii dar 
Richtung, wie ihn die Entlastung lieferte. Solcher Proben wuidei 
mehrere durchgeführt; ein zweites, frei eingeschaltetes ThennoeleDat 
bestätigte das Gewonnene. 

Bei diesem Hartgummistabe mußte demnach der Elastistiti- 
modul mit der Temperatur zunehmen oder es mußte 

1 dE 
E dT 



« =» ^ 



positiv sein. Nun wurde versucht^ auch den Betrag dieser 
Größe s festzutellen. 

Aus den in der folgenden Tabelle wiedergegebenen Ver- 
suchen vom 23. JuU 1903 ließen sich zuerst die Temperator- 
änderungen & berechnen nach den Formeln: 

^ i^^o i \ TT j ^ Jö.'cr 0,4815 



-^^0 — "^f^ 


v/ V*i 


- *2^ -'*• ■ 


-XX ^^ ^ 


U\A %^ 


— -tx — 


1931 • 




S^ 


Erster 


Erste Distanz 








Zeiger am 
Gradbogen 


^ 1 


Ausschlag 
Ä 


der Umkehr- 
punkte 

» - «0 


^ 


X 


& 


160__i40 


I 


15,8 


14,7 


8,28 


7,57 


O,00169» 


14°— 15,8* 


11 


12,8 


12,5 


6,98 


5,82 


0,001SO» 


160— 13<> 


UI 


24,5 


23,6 


13,22 


11,28 


O,00252» 


13«— 15,8<^ 


IV 


21,8 


19,4 


10,86 


10,94 


0,00245* 


160—120 


V 


82,8 


32,1 


17,98 


14,82 


0,00824» 


120—15,70 


VI 


26,4 


24,0 


18,44 


12,96 


O,002W* 


160—110 


VII 


40,8 


39,1 


21,90 


18,90 


0,00422« 


110—15,70 


VIII 


36,8 


31,4 


17,58 


19,82 


0,00430' 


160—100 


IX 


51,5 


50,3 


28,17 


23,88 


0,00521' 


100—15,50 


X 


40,8 


35,8 


20,05 


20,75 


O,004«4' 


160— 90 


XI 


60,3 


58,0 


82,48 


27,82 


0,00622* 


90 15,70 


XII 


50,3 


48,5 


27,16 


28,14 


0,00(1T* 



Thermische Änderungen der Elastizität shonstanten. 565 



Es lieB sich femer aus dem rechts wie links wirkenden 
«hungsmomente ^ = p x 981 X 5,2 und der Pfeilhöhe h, da 

h 



M^ 2Ena^ 



(2ii)« 



, der Elastizitätsmodul E bestimmen. Mit 2i2 = 5,lmm 
0,51 cm, 2tt = 14,2 cm wird 

log ^ = log -^ + 4 - 0,1196 

d es ergab sich: 



e5 

o 

TS 

es 



Pfeilhöhe A in 


Die rechts 










cm über der 


wie links 




1 ^ 

log ^ 






Horizontalen 


ziehenden 


iog;jf 


log E 


j^.io-*« 


durch die 


Gewichte 








fixen Punkte 


p in gr 










0,154 


133,4 


5,8329 


6,6454 


10,5258 


3,356 


0,240 


260 


6,1227 


6,7425 


10,6229 


4,197 


0,330 


309 


6,1977 


6,6792 


10,5596 


3,627 


0,415 


365 


6,2700 


6,6519 


10,5323 


3,407 


0,450 


405 


6,3152 


6,6620 


10,5424 


3,487 




Mitte 


1 3,615 



6« 
9« 



Es fand sich demnach für den Elastizitätsmodul E der 
ttelwert: 

E = 3,615 . 10 1^ C.G.S. = 368,5 kg/mm» 

Zur Eontrolle dienten Beobachtungen tlber die Ffeütiefen 

welche zwei weitere, mit ihren Enden frei aufliegende Hart- 

mmistäbe derselben Fabrik bei einer Belastung P in der 

tte aufwiesen. Der Elastizitätsmodul E bestimmte sich 

nn nach der bekannten Gleichung: 

/» P 



E^ 



\2nr^ h 



I den ersten Stab war die Länge / = 240 mm und die Dicke 
= 7,44 mm und gehörten zu den Gewichten P 0,5, 1,0, 
• kg die Pfeiltiefen h 2,0, 6,0, 13,1 mm, woraus sich für 
die Werte 330, 319, 292 kg/mm* ergaben. 

Der zweite Stab hatte die gleiche Länge von 240 mm, 
e Dicke 2 r = 6,22 mm und entsprachen den Zugkräften P 
1 0,5, 1,0kg die Pfeiltiefen h: 5,9 und 13,1mm, woraus für 
die Werte 332 und 299 kg/mm« folgern. 



666 



Ä. WaatmuA. 






P OD 



00 



I 

2. 

er 

o 

s 



II 



3 bg- 



I 

< 

CD 

£- 

CD 



CD 

o. 

CD 
CD 

I 

CD 



5 



CD 



CD 

p 









II o 
+ I 



00 



OD 

o 

CD 



P 

ff 



OQ 



CD 

•-1 

ao 

g- 

CD 



OD 



O feO 1^ o» 



o o o o o 

«• «• ^« %• «• 

1^ iK CO M NA 

C9« HA CO iK QR 

O Cn O O IK 



IK 00 CO W NA 
O Ob O 9 00 
C9< C9I CD O 00 



A A A A d 

%• w ^ «• «• 

CO fcO »i- NA OD 

N« «a CD feo CO 

C9« Ö «4 feO M 

feo O «a «a CD 



1^ CO tO NA o 

feO iK 1^ *4 ^ 

•4 A GD A A 

O GD C9« O 00 

X X X X X 

o o o o o 



09 09 l>D HA 

OD o O ro 

O O tO CD 

-a c;« i>D -4 

X X X X 

HA I-* 1^ I-* 

o o o o 








te 



fe 






.. h- 



l>D l>D lO fcO 

«• ^ -^ «• 

C^ 1^ A »-A 

00 .4 O HA 

o -a c^ ts 

A A OD CD 



I 



I: OJ 



O 



O O O O 

-a «a »« to 

CD HA »- to 





A 

A 


HA 


o 


A 
A 




1 
A 


1 

A 


1 

A 


1 
A 










09 

<• 

o 


C9« 

bO 


SP 


l-A 




X 


X 


X 


X 


X 




1 


»-A 

1 


»-A 

1 


»-A 



o 



fei- 






D 

^1- 



I 

p 

CD 

Ob 

xg 

dB 

xtt 



IV 









CD 



I 

+ 

lO 

OD 



O 



M 

O 
OK) 



c 

Ol 






r 



äsr 

B a 
4 C 

§•1 

B a 
1? 

o 

(S N 

« ? 



B 

o 

o 
c 
B 

OB 

0) 
^*» 

c 
tr 



Thermische Änderungen der ElasHzitätskonstanten, 567 



Um zu sehen^ wie sich andere Hartgummistäbe in dieser 
Hinsicht verhielten, untersuchte ich auf gleiche Art noch einige 
Stäbe, die ich der Gefälligkeit der „Ungarischen Gummiwaren- 
fabriks-Aktiengesellschaft in Budapest'' verdankte. 

Ein Stab (Qualität Ä^ VII) von der Dicke 2 a == 4,89 mm, 
dem spezifischen Gewichte o-=l,27, dem Elastizitätmodul 
312 kg/mm' wies ebenfalls einen positiven Wert der Größe 



« = 



dE 



E dT 



Hut Die Temperaturänderungen & bestimmten sich hier aus: 
tmd ergab sich: 



Zeiger am 
Gradbogen 



16,0 
14,5 
15,3 
11,8 
15,3 
11,8 
15,0 
11,0 
15,0 
10,0 
15,0 
10,0 



14,5» 
16,0 • 
11,8 <> 
15,8« 
11,8 <> 
15,3 <> 
11,0« 
15,0« 
10,0 
15,0 • 
10,0« 
15,0« 



Nr. des 
Versuches 


£rster 
Aus- 
schlag 
Ä 


1 


2,1 


2 


2,9 


3 


6,1 


4 


5,8 


5 


5,2 


6 


5,3 


7 


8,8 


8 


9,8 


9 


10,8 


10 


9,4 


11 


12,3 


12 


9,1 



Erste 
Distanz d. 
Umkehr- 
punkte 




2,4 

1,7 
6,0 
5,4 
3,0 
4,8 
8,7 
8,8 
9,4 
8,8 
11,7 
8,3 



1,34 


0,76 


0,95 


1,95 


3,36 


2,74 


3,02 


2,78 


1,68 


3,52 


2,69 


2,61 


4,87 


3,93 


4,93 


4,87 


5,26 


5,54 


4,93 


4,47 


6,55 


5,75 


4,65 


4,45 



0.00045 « 
0,00116« 
0,00163« 
0,00165« 
0,00209 « 
0,00155« 
0,00234« 
0,00290« 
0,00330« 
0,00266« 
0,00342 « 
0,00265 « 



Mittel 



1«. 



00081« 



00173« 



l 0,00262« 



0,00801 « 



Aus dem bekannten Werte des Elastizitätsmoduls £* und 
den beobachteten Pfeilhöhen h ließen sich ferner die ange- 
wandten Drehungsmomente M berechnen und hiermit aus der 
Voigt sehen Formel e bestimmen. Es wurde erhalten für 
die Biegung entsprechend der 

I 

Drehung von 16« auf 11,8« e = + 36,4 x 10~* 

16« „ 11,0« e = + 36,6 X 10"-* 
16« „ 10,0« 6 = + 33,5 X 10"* 






„ 



568 A, Wassmuth. Therm. Änderungen d. JSkuüzifätgkimHaiäeiL 

somit fand sich im Mittel für diesen Stab: a = +35,5xl(H 
(die den Biegungen 16 ^ 11,8«, 11,0^ 1 0,0 <> zugehörigen Werte 
der Pfeilhöhen h waren: A = 0,14, 0,33, 0,38, 0,42cm). 

Diese zwei Hartgummistäbe verhielten sich demnach 
zweifellos auch bei wiederholten Versuchen entgegengesetzt wie 
die Metalle, indem für beide 6 positiv ausfiel. Bei eimgen 
anderen Stäben ergaben sich indes auch negative Werte für 
6 und bei einem Stabe war die Änderung des Elastizitäts- 
moduls mit der Temperatur fast Null zu setzen. Worin diese 
Verschiedenheit begründet ist, läßt sich heute noch nicht er- 
orkennen. 

(Eingegangen 26. September 1903.) 



569 



72. The Propagation of Waves through 

dispersiye Media. 

Bj Arthur Schuster in Manchester. 



1 . When a group of waves passes over a sheet of water, 
group as a whole is propagated with a velocity different 

that of the waves. The subject has been investigated 
lematically, by Osborne Reynolds, 8tokes, and Lord 
leigh. The latter drew attention to an important optical 
ication, and showed that if the velocity of light is de- 
ined experimentally in a medium in which dififerent 
lengths are not all propagated with the same velocity, it 
e "group velocity" that is really measured. 
Some misunderstanding seems however to exist as to the 
nature of the phenomenon, which is sometimes spoken 
i if the gi'oup moved forward as a whole without change 
lape. It may be of interest therefore to foUow out in 
1 a particular case in which the whole process of the 
t propagation may be calculated. 

2. I imagine a medium in which the wave velocity v, and 
wavelength A = 2 ti / x are connected by the relation 

V = u + ß I X 

e u and ß are constants. 

A displacement y = q>[x) may by Fourier's Theorem be 

into the form 

00 +00 

q)[x) = — j d X l da g>{a) cos x{x — a), 



- 00 



e the right band side may be considered to be the limit 
sum of sinusoidal displacements. If these are propagated 
a velocity v, the displacement at time t is 

00 +00 

q> (x, t) = — l d X l da (p(a) cos x{x — a — vt). 



— 00 



570 A. Schuster. 

If we Substitute ^ = x — vt, v beiug a constant, the resnlt 
of the integration is seen to be simply (p{x ^ v()y which re- 
presents the well known law of propagation of a disturbance 
in a medium shewing no dispersion. In the case we are 
considering now, in which v = u + ß / x the substitotioD 
^ = X ^ ut gives 

00 +00 

(p[x, t) = — j dx jda(p(a)oos[xl^ — a) — ßi]. 
Let 

00 +00 

^2) V'(l) = -^fd xjda (f {a) sin x(| - a) 

- 00 

the right band side being Fourier's integral, with the 
difference that the cosine function is replaced bj the sine 
function. 

The above equation then becomes 

(p{x^ t) = (p{x ^ uf) cos ßt -{- tfj{x — ut) sin ßt. 

This equation gives the law of propagation of any 
disturbance, travelling through a medium, in which the law [1) 
holds. 

After successive intervals of time equal to 2nlß, be- 
jiüuiug with ^ = 0, the displacement takes periodically the form 

(p{x — ut) 

Tvhich gives the original shape shifted through a distance 

ii« i. 

At these instants of time, the group of waves has the 
»•»TSAGOü it w^ould occupy if it had moved with a velocity « 
«xcäouLC change of shape. But at intermediate times, there is 
au $ucä simple displacement of the group. At a time jr i, 
21: ix^pUcement takes the form 

— (p[x — ut) 

ttiiui ?üpn?sent8 a complete reversal. At the time «/2|3, 
2r JspüiiKinent is 

'\p[x — ut) 

m. X. »sraL cannot be calculated more definitelj unless the 
t cjui be evaluated. 



Propagation of waves. 671 

I had obtained the above results a good many years ago^ 

did not publish them, as I hoped to be able to find some 
«Bamples which could illustrate the mathematical equations. 

In this I was unsaccessful^ until recently my colleague, 
Professor H. Lamb, supplied me with two cases in which the 
Integrals could be found, and which fumish interesting 
examples of wave propagation« 

Ex. 1. 

K 

tibe integration indicated in equation (2) may be performed, 
ctnd it is found that 

Ex, 2, 

K 

<p{x) = l for X* < t' 

= „ *»>r» 

it may be shewn tbat 

3. To apply the first example^ we consider a displacement 



er, writing y = x I t 

The curve of the displacement is represented in Fig. 1, 
while the function 

9^ W - a?« + T« " f-\-l 

is shewn in Fig. 3. 

The propagation of the wave shewn in Fig. 1 may now 
be foUowed in detail. The displacement is determined by the 
equation 

T* COS ßt t{x — uf)Bm ßt 

or, if 

i^x ^ut /== I/t 



=;:2 



A. Schnster, 



cos i ^ + f «in ßt 

J:2. I to 9 represent a complete cycle illustrating the 
nanse ii shape ot the wave. To follow its propagation, it 





?U!C\r5:^iTe tigures are shifbed through 
7J ih« Croup velocity u. 
dx»K in Fig. 2 the maximum of the 
rKftä. Asd has moved forward therefore 



PropagatUm of waves. 573 

ith a velocity greater than tfaat of the group velocity^ at the 
time a minimum has appeared ' at / = — 2^4. This 
minimum moves forward ontil, when cos /9 ^ = — 1 (Fig. 5), it 
occupies the central position. In the mean time, the maximum 
lias moved away towards the right. with increasing velocity to 
infinity. 

Figs. 6 to 9 shew the gradual re-establishment of the 
original shape. 

4. The condition for the maximum or minimum of the 
displacement 

C08 ßt + Y sin ßt 



x^nces to 



y 1 4- f 



(1 -y«)8in/9^ = 2y cosßt 
or to 

(4) y = tan \ßt for the maximam, 

and 

= — cot \ßt for the minimum. 

The abscissa of the maximum is 

and the velocity of propagation of the maximum is therefore 

u + ^ßsec^ ßt 

irhich is always greater than the group velocity. 

The Ordinate of the maximum is obtained by putting the 
Talue of y from (4) into (3) which yields 



Similarly the minimum is 

- TT-r'- " ~ '^' * '^ ' • 

The sum of the height of the maximum and the depth of the 
minimum is therefore constant. 

5. Figs. 10 to 14 illustrate the second example. This 
case possesses only mathematical interest. Owing to discon- 
tinuity of displacement^ the wave rises to infinity at two points, 
and these points move forward with the group velocity. 

The figures only shew the first half of the cycle through 
which the disturbance passes, the manner in which the original 



574 



Ä. Schuster. 



shape re-establishes itself in the second portion of the cycle 
may be seen if the figures are looked at in the inverted 
Position. 















/ 










m 


r 
1 

■ 












. 




1 


1 


















■ 
















■ 

Iig.ll 












"^ 














1 


















I 

1 

1 


1 










J 


v_ 






Ä^ 


1 

1 




^ 


-^ 


^ 










1 


1 


















1 


■ 
















m. 


1 






^^^w 

X 










1 


1 


















1 




1 
































1 

1 


~ — 


1 

i 

1 
















1 

1 


1 
















1 



":. \\ has been assumed in the above that the law o 

ii^wrstrc i* that represented by equation (1), bnt in tln 

Kürri. sfc«, ^e may still apply the same method, when th« 

c^'cs JC ▼fc'« i» made up of elementary waves which are al 

vc ^kec7 t^ol tength. A uew proof of the mathematica 



PropagaHon of waves. 575 

pression for the group velocity, which is more general than 
B one usaallj giyen, may thus be obtained. 

Let all waves differ infinitely littie from A = A^. Then 
e velocity for the ränge of wavelengths concerned, may be 
pressed by 

= («_;i4f) -l(x'4^) . 

This agrees with (1) provided that 

dv 



u ^v — X 



dl 
dv 



me on the right band side those values of 

« dv 1 dv 

i, X, -jj- and -^- , 

M be introduced which belong to the wavelengihs of which 

p group is made up. 

\ It foUowB that u is determined by 

^ dv , dv 

__ dxv 

lUi giyes the well known expression for the group velocity. 
r (Eingegangen 26. September 1908.) 



576 



73. On Donble fiefraction in Matter moving throuj^ 

the Ether. 

Bj D. B. Brace in Nebraska. 



The Fitzgerald-Lorentz^) "Contraction" Hypoihesis to 
explain the negative results of the Michelson-Morley*) ei- 
periment of interference between two rays at right angles and 
parallel to the earth's motion seems to have been made im- 
probable by the negative results ofRayleigh*) on the double 
refraction of a medium at right angles to the earth^s motion. 
As his observations give a margin of 50 times for a liquid 
and 1;5 times for a solid ^), no extension seems desirable front 
this Standpoint. 

The Suggestion of the "contraction hypothesis" by con- 
siderations in regard to intermolecular forces analogous to the 
interaction, tlirough the mediation of the ether, of electric 
and magnetic forces, is certainly plausible enough to Warrant 
further examiuation aside from the insufficient explanation of 
the anomaly for which it was first put forward. That the 
intermolecular forces are not altered by a factor many times 
less than that determined by Bayleigh is found to be the 
case in the medium used. 

Two arrangements suggest themselves, the one, a System 
rotating about a vertical axis, the other a similar System 
rotating about a horizontal axis so as to shift the plane of 
polarization from a position at 45*^ to the earth's orbital motion 
through an angle of 90®. In the matter of simplicity, sen- 
sibility and stability the latter method would be preferable. 

However, the first arrangement was selected for the pur- 



1) Fitzgerald -Lorentz, Versuch einer Theorie. Leiden. 1S95. 

2) MichelsonMorley, Amer. Jour. of Sei. (3) 34. p. 333. 1887. 
l) Rayleigh, Phil. Mag. Dec. 1902. 

i\The margin as given by Rayleigh is really twice too grett, 
WM Va W taken (10*)« instead of (10-*)V2. 



On double refraclion. 



577 



of utilizing the same mounting for other experiments. 
hea^y beam was pivoted between the floor and celÜDg so 
to carry a trough with its horizontal axis intersecting the 
päTotal axis. This System could be rotated continously so as 
"fto bring it into any desired position. This trough was 413 cm 
Icmg, 15 cm wide and 27 cm deep on the inside and built up 
of 5 cm planking in Order to give sufficient stability to the 
polarizing and mirror Systems which it carried. 

In Order to obtain sufficient intensity through the total 
lumn, 2856 cm of water used, sunlight was so thrown into 
A trough as to keep its path the same whatever its position. 
'Xlie lens 1 (Fig. 1) of about 2 M focus converged the sun's 




t 



\ 



rSy from a carefully adjusted heliostat^ within the nicol 4, 
•fter reflection from 2 and 3. The diverging beam was then 
Successively reflected from mirrors 5, 6, and 7 upon the con- 
cave mirror 8. The radius of curvature of this latter was 
%boat 15 M and was mounted, as were the other mirrors, 
Upon brass plates containing adjusting screws fastened to the 
Qiids of the trough. The axis of the reflected cone was dis- 
placed in a horizontal plane so that the retum ray passed 
tlirough the analyzing System 9 — 11 placed to one side of the 
polarizer. 

The lens 12 converged the light, which would other wise 
lüaye come to a focus at a distance of about 2 M beyond, to 
tbe eye 15 at a distance of 25 cm from 9. Thus the eye 
could observe 9 directly or by means of the telescope 14. 
fioth the heliostat mirror and the lens 1 were diaphragmed 
clown so that the aperture of the cone of rays was slightly less 

BoltcmaDn-Feetflcbrift 37 



578 



fl. B. Brace. 



than that of the mirror 8 whose aperture was abont 1 
Thia preveiiled diffused liglit l'iom tLe mirror and t 
reacliiiig the uicol 1 1 to any seriouä extent and also a 
the adjtistmentö of the mirrors so as to keep the 
when the Irough was rotateil. The total reÖecting ] 
was carried by an universal mounting passing tbron^ 
forming Ihe prolongatiOQ of the axis about which i 
rotated. By proiierly shifting 1 aiid 2 the ray 2— 
brought exactly in the axis of rotation so that wbea tl 
was rotated the return ray at 9 remained at a defii 
in Ihe field of view. 'd aud 4 were then Bhiftecl unti] 
pasaed through them aymmetrically. Any c 
direction of the iucident ray at 1 would of coursc 
sliift but by properly regulating the heliustat thia 
avoided. However, with euch a long optical lever sUg 
gularities might occur after a rotation, but these n 
compeusated for before observiDg the tield of view by i 
2 uQtil the beam of ligbt occupied the exact positioa 4 
prerions to rotation. 

The polarizing nicol was either one with enda i 
the ray or, if of the ordinary type, mounted in a c 
thin Cover glass ends so as not to affect the ray 
System was under water. The analyzing nicol was a ( 
Thompson of 15 mm aperture. The analjzing and p 
Systems together with the prisms and lens were mounted • 
tubos to prevent access of the water and upon » MRi| 
cross-piece faslened to the trough. By adjustiug 8 tl 
of rays could be sent into the analyzer symmetrically i 
Uli completely the lield of view, The principa] planes 
nicols were crossed aud at 45® to the vertical 
metal diaphragm was placed lengthwise between the l 
and the emerging raya and between the mirror 5 i 
polarizing syatem bo as to prevent scattereti Ught r 
analyzer. 

A delicate method, a detailed description of whi 
elsewhere, was used for observing the slightest trace l 
refraction. 9 was a tliin strip of mica which I will i 
as the sensitive strip of order ?. j 100 = 0,0012 
cemented witli Oanada Balsam between tv.-o thin con 



ihont double refractioo, the latter being cemented to a braas 

E carried by an arm extending from a coUar alipping over 

t braas coutainiDg tul»e of the nicol. Thia coUar carried an 

1 with the scale dlvided into some 60 divisious representing 

f degreea. 10 was a aimilar thin section of mica of nrder 

y'2fl approx., or O.OOH mm thick, cemeut«d similarly and 

p\ering nearly the entire aperture of the nicol 1 1 . Thia syatem 

1 I will designate aa the "compenaator" was mounted 

l & coUar slipping over the nicol between the collar and 

Hp of tbe Srst system. This had an arm for rotating and 

j a pointer paasing over the scale referred to. 

In the adjustmenta 2 was moved until, when the trough 

i rotated completely around, the ray aa aeen ou a white 

irk did not sliift. Water which had beeu heated to drive 

b air and prevent minute bubbles forming in it and upon 

ne mirrors and thns causing diffuaed light waa then howed 

I the trough until it covered the analyzing and polarizing 

PBtems. This uaually cauaed a ahift of the raya and 2 was 

[ain adjuated until the spot of light remained tixed when the 

roBgh was rotated. 8 waa then adjuated until the rßturn 

Rbys pasaed through the analyzer so as to give a uniform Seid 

E view when examined directly with the eye through a sraall 

lular aperture or by meana of the telescope 14. The light 

■ its pasaage through this 3U meters of water appeared a 

lautiful light green tint. Witb the mica sectiona removed 

I nicola were adjuated for extiuction which was fairly com- 

Tbe sensitive strip fl was then tb-own in and rotated 

I Bxtinction and then tumed through 45" so as to bring ita 

iocipal axia at 45" to the principal plane of the analyzer. 

I wae then placed in poaitiou and turned until the Held on 

ich aide was of the same intenaity aa tbat of the sensitive 

The eye thua aaw tbe Seid of view illuminated uni- 

mly with green light in the neighborhood ofthissirip. The 

ightest trace of double refraction in the direction dpaired 

rould at once make itaelf evident in the relative increase or 

inution of the ligbt from the strip. 

The conditiona of maximum senaibility in Photometrie 
Ipniparisons, namely a vaniahtng Une and a uniform held, was 
I attained. A amall piece of glasa compreased vertical^ 



d 



580 B. Ä Brace. 

to the slightest degree with the fingers placed after th 
polarizer 4 showed a sharp change of inteasity at this boo- 
ding line. A match could be immediately obtained by rotatiog 
the compensator 10. By noting the position of the pointa 
for a match and then shiftmg the same iintil such a chasp 
could just be detected^ a measure of the sensibility of tte 
System could be obtained. This angle was found to be 0,? 
under favorable conditions. At each Observation the sensibilÜj 
was determined. A match was obtained with, say the tnmi^ |~ 
in the meridian at noon, this was then tumed throngh Vt \ 
into the direction of the earth's orbital motion« The posituni r 
of the return image at the polarizer was noted and if it hal 
shifted in any way it was brought back by the adjustmentof 
2 into its initial position and then the field of view examinei 
In no case could a change be observed, i. e. there was säl 
a match indicating no double refraction. Various positiom 
are taken in and at right angles to the meridian with the 
same result. Hence^ we may conclude that to this order o( 
sensibility there is no double refraction in the water dae to 
its motion through the ether. It is evident that a rotation 
of the plane of polarization due to the earth's field of foroe 
would not affect this match, as both portions of the field would 
Vary in intensity by the same amount To make sure of thi3 
the trough was rotated through 180® into the meridian so as 
to reverse the direction; but no eflfect could be observed. It 
is evident that since the rotation due to a magnetic field is 
ahvays in a detinite direction and independent of the direction 
of the ray, that such a rotation of the plane of polarization 
would be reversed with respect to an observer moving with 
the trough. Hence, this could not mask any eflfect due to 
double refraction. 

A aecond check was made with a cell of turpentine 
1,6 mm tliick whose ends were made with thin cover glasses 
without double refraction which would give a rotation ofabout 
0,5^ whilo if we take 0,015" as Verdet's constant for 
water and 0,2 as the earth's field and a length of 30 M t« 
find about 0,15^' for the rotation. On inserting this cell after 
ihe polarizer, no efl*ect could be detected. 

In or^ "^^ determine the relative retardation which 



Oll double refraction. 



581 



EHTesponds with a giTen rotation of the compeuaati'ir, the 
olarizmg and analyzing Systems were dismounted and placed 
n a Support with their optic axis in line. The System was 
luminated by an acetylene Harne the light Crom which passed 
iTOugh green glass or celluloid of about the same tint as 
aat obtained after passage through the water. The sensitive 
brip, compensator, a quarter wave plate mouoted on a ver- 
,cal circle and a vertical strip of glaaa capable of carrying a 
'eigbt, and, in addition, a micrometer screw carrying two 
orizontat cross wires in front of a horizontal strip of glass 
eld witbin a clamp so as to produce a flexure, were arranged 
> be placed in the path of the ligbt, The order of the mica 
uarter wave plate was found to be approximately J./4 for 
reen ligbt X = 0,0005 mm hy comparison in the usual way 
fith a (juartz or selenite wedge. 

With the nicols crossed and the plane of polarization at 
5" to the vertical, the circle carrying the quailer wave plate 
fBB adjusted until the light was extinguished and the mean 
f its positioDS for a number of settings tioted. The sensitive 
trip was tben throwu in with its axis at 45" to the plane ot 
lOlarization and after tbat the compensator which was sei for 
. match. By rotating the quarter wave jilate this match was 
iestroyed, but by rotating the compensator this could again 
le obtained. In this way the retardation of the compensator 
ould be at ouce determined in terms of that of the quarter 
rave plate. Thus, a rotation of 5" of the compensator 
■orresponds to 16' of that of tbe quarter wave plate, It was 
ound that the rotatiuu of tbe compensator was proportional 
o tbat of the quarter wave plate approximately for tbese smaU 
ingles. 

A fnrther comparison was made with tbe Tertical crown 
;lasB strip. This was 13 mm wide and 2 mm tbick. The 
luarter wave plate was removed and this strip inserted iustead 
lud a setting made with the compensator. On adding 200 gms. 
i match was obtained on rotating tbe compensator througb 
!,5". From this can be calculated the relative retardation 
iroduced in glass per unit weigbt and unit width. Änother 
comparison was made with white light from the acetylene fiame 
Urect by removing both strip and compensator and inserting 



582 B. B. Brace, 

the micrometer and horizontal glass strip in addiüon to tk 
vertical glass strip. When the clamp for producing fleznn 
was screwed up a horizontal black band appeared between the 
two cross wires. For one flexore^ where the band was quite 
distinct, 500 gms. on the yertical glass strip gave a readi&g 
of 36 on the micrometer screw and 200 gms. gave 14 Ü» 
showing the proportionality. A moment of the cross wm, 
just sufiicient to observe a shift^ gave a reading of 12, whidi 
was the sensibility of the System for that flezure. On re- 
leasing the screw until the flexure was so far reduced that tbe 
band was barely visible 200 gms. gave a shift of 23 divisiou 
and 100 gms. gave 11 divisions as near as could be obsenedf 
and this was the smallest weight which could be obserred to 
produce any double refraction. A direct shifk of the crt» 
wires gave 13 divisions as the sensibility. üsing direct white 
light and the sensitive strip and compensator O^P rotationof 
the latter could be detected, thus giving it a sensibihtjr o( 

^ X 0,1 = 8 gms. 

or 12,5 times that of the band under similar conditions of 
light intensity and adjustment ^) With greater intensity and 
inore careful adjustment higher sensibility could be obtained 
by both methods. In fact Rayleigh using lime light and a 
black band has been able to detect a weight of 25 gms. on a 
vertical glass strip 15 mm wide or a sensibility over fonr 
times as great. 

From the above data we may calculate the least change 
in tho index which could be observed if the water had become 
(loubly refracting. If is the angle which the plane of 
l)olarization makes with one of the principal axis of the mica 
tlien the component vibrations or the principal axis of the 
resultaiit ellipsc in the quarter wave plate are in the ratio of 
tan ^> to 1. For small angles then the ratio of the change 
ol" i)hasc to the total or XjA is proportional to the angle Ö. 
Thus 1® rotation of the mica gives 



45 4 180 



l) A comparison with a Bravais seusitive tint biplate gave 100 times 
the t^ensibility for the sensitivestrip. 



On double refraction. 583 

dt 16' of the quarter wave plate was equivalent to 5^ of the 
^mpensator, and as 0,2^ rotation of the latter could be de- 
icted, this reduces to 

^^ ^ 5 X 0,2 X ri: = -A^ - 6 X 10-n 



60 • -- ' -- 180 17000 

pprox. for green. The total path of the light in the water 

as 2856 cm. Taking its index as 1,33, the number of 

STBS is 

_2856 X JV^ =, 7 6 X 10^ 
0,00005 - '>^ X lU . 

w8 6 X 10-* of a siegle wave could be detected the fraction 
r the total would be 



6x 10-» X -A X 10-^ = 7,8 X 

7,6 



10 



- 13 



Ulis represents the greatest difference in velocity or in index 
etween the two components which could exist referred to that 
i water ^) for green light, X =s 0,00005 cm. 

Mascart^ has shown that in the case of water under 
ompression the increment in the excess of the index above 
nity is nearly proportional to the increment of its density. 
l in the movement of matter through ether an increase in 
ensity in its direction took place, producing a change in the 
atnral firequency of the molecular Systems similar to that 
'hich occurs in glass say, then to determine how great it might 
e firom these results, it is necessary to measure the increment 
a phase which represents the sensibility of the experiment in 
Brms of the excess of the index above unity. This excess of 
adex is 1/3 while the index is 4/3, hence our limit should 
»e four times larger or 3,1 X 10-^*. The greatest change 
rhich could be expected is the diflference between unity and 



}/ 



1 - 



t;« 



ifhere v is orbital velocity and V light velocity or 



1) For carbon biflulphide Rayleigh obtained the corresponding 
imit of 4 X 10-" for yellow light. His retardation was calculated 
Srom Wertheim *8 results. This checks with the data obtained above 
M 200 gms. gave 2,5®, hence 25 gms. would give 0,31° or Xd, 13000 in- 
itead of Id / 12000 which he gives. 

2) £. Mascart, Optique T. 3. p. 613. 



584 jD. B. ßrace. On doMe refracÜam. 



ti 



t 



or about 1600 times greater than the smallest effect 
could be observed.^) 

The effect of tiie change of the Order v*/ F' in the fi» 
quency, on the index of the moTOig mioleeDlar Tibntioii 
relatively to the ether impnlses in the direction of natii^ 
is far too small to be observed* Thns the index of ivatar far 
frequency 5,1 X 10^« is 1,334 and for 6,9 X 10^« is l^L 
This gives for a fractional increase in freqnenqy of 4/3 a 
fractional increase in index of 0,007 X 4/3. Heaoe, tk 
fractional increase in index due to a change of freqnoiq d 
Order 10~® is 

^^~* X9x 10-» = 7 XIO-» 



4/8 X 10»* 

while the smallest obserrable change was 7,8 x 10 " ^. Tk 
results of this experiment Warrants the condnaion tfaaft eiÜMr 
the ether moves with the imbedded matter or that the efikt 
of the relative motion on the intermolecnlar forces ind As 
possible consequent relative change in dimensionB are exoee- 
dingly ininute. 

üniversity of Nebraska Lincoln, Sept 1903. 

1) For carbon bisulphide Rayleigb carried bis observatioDs dofi 
to 10- *^ or about fifty times and for crown glasB 3,8 x 10-* or om 
and a half times smaller than the contraction necessaiy to aeconnt ftr 
the Michelson-Morley experiment 

(Eingegangen 26. September 1903.) 




t 



teichunff. 587 
uzen Strecke um 



j^keit des Windes toh 

/ Höben bis 40 m/sec 

Ja Zustand kennen, nm 

Jlien, ob in der u&chBten 

lullen wird.) 

^erung an, die durch Di'er- 

: in einem Gebiete gleichen 

auch schreiben 



«en einer festen Richtung in der 
•n Ä bezeichnet. Mit dem Postulat 
m/sec erhält man für d7i ^ 1 km, 

e s-Linien und längs jederskonstautes c. 
■liereude Geschwindigkeit eine Fanktion 
f «-Schar sein. Druckänderung tritt ein, 
, Jfes c von der Isobare am Boden abweicht; 
[ -[biede von p^^ sind die bei 3n, 3n ein- und 
ftm aasen verschieden. Wenn c zeitlich kon- 
) das allgemeine Integral 

Po =/■(»-':') 
1 c im ganzen öebiet den gleichen Wert hat, 
I eine Parallelverschiebung des Isobarensysteroe in 
ing mit der Geschwindigkeit c. Ähnliche Ver- 
lor; sie mliasen nicht notwendig durch 
38 c entstehen, 
zeitliche Dmckänderung am Boden ist vollständig 
,, wenn man pg, u, ö als Funktionen des Ortes kennt; 
1 aber aus p^ und dp^jÖt nicht eindeutig ahzuleiten. 
' 3 -Schar läßt sich das zugehörige c. so wählen, daß 
der Kurve Po.c,.dR, konstant ist; das gibt keinen 
zu dp^jdt Man darf, soweit die Kontinuitätsglei- 
lein gebraucht wird, alle für die zeitliche Druckanderung 
men Teile von c weglassen. Ein solcher ist bei der 
erechiebung durch konstantes c der Ausdruck {pfp^t, 



586 M. Marffulet. 

Eioheitssäule im Ort xi/ zur Zeit (. Das Mj 
bildet, daß die u, v jeder Schiebt der Säule 
derselben Schiebt genommeii sind. Es folgt 

eine Gleichung von derselben Form vis 
gleichung der ebenen Bewegung. Man 
schreiben, wenn 

c die Resultante von u, t> ist, 
c eine Kurve, deren Tangente im Sil 
Bogens in jedem Punkte die Btcbta 
angibt , 
Sn das Normalenstflck zwischen s und 
Nachbarkurve s' derselben Art 



(n 



flf ' 



Die zeitliche Änderung des p^ hängt al 
Unterschieden der c, Sn, p^ längs der Lin 
jedes einzelnen Faktors kann man leicht ai 

Wenn längs » örtlich konstant sind 



/.„ und an 


(2.) ä';---''. 


/'„ und c 


iv7:--'> 


r und ön 


(2.) '/f - - . 



Nai^h den Voraussetzungen von (2J 
piirallel und füllen in der Nähe des Beol 
den Isobaren am Boden zusammen, oder s 
Gebiet gleichen Druckes. Um den Wert dcj 
der bei Druckänderungen nicht zu seltener l 
liefen wir, daß das Barometer um 1 mm in 
und setzen p^ = 760 mm Hg; dann ist 



. 10- 



d s 760 3600 sec 

ci = 10'm gesetzt gibt rfc=— 0,04m. f 
'«iiji^rende Geschwindigkeit in einem Pi 
irärLiiil^ nm 0,Ü4 m/sec größer ist, als 
--^— '"firtB entfernten Punkt derselben Lin 



,^ 



Barometerschwankungen und Kontinuitätsgleichung, 587 

^eichmäBig, steigt das Barometer auf der ganzen Strecke um 
1 mm in der Stande. 

(In derselben Zeit kann die Geschwindigkeit des Windes von 
verschiedener Richtung, in yerschiedenen Höhen bis 40 m/sec 
betragen. Wie genau müßte man den Zustand kennen, um 
aus der Kontinuitätsgleichung anzugeben, ob in der nächsten 
Stunde das Barometer steigen oder fallen wird.) 

(2,) gibt die zeitliche Druckänderung an, die durch Diver- 
genz der «-Linien bei konstantem c in einem Gebiete gleichen 
Druckes eintritt Man kann dafür auch schreiben 

Po dt ön ' 

wenn a den Winkel zwischen einer festen Richtung in der 
Ebene und der Tangente an s bezeichnet. Mit dem Postulat 
wie oben und mit c >= 1 m/sec erhält man für dn ss l km, 
da = -^ 1,26 Minuten. 

(23) gilt fQr parallele «-Linien und längs jeder s konstantes c. 
Dabei kann die resultierende Geschwindigkeit eine Funktion 
des Parameters der «-Schar sein. Druckänderung tritt ein, 
wo die Richtung des c von der Isobare am Boden abweicht; 
wegen der Unterschiede von p^ sind die bei Sn, Sn' ein- und 
austretenden Luftmassen verschieden. Wenn c zeitlich kon- 
stant ist, hat (23) das allgemeine Integral 

und wenn noch c im ganzen Gebiet den gleichen Wert hat, 
bedeutet das eine Parallelverschiebung des Isobarensystems in 
der «-Richtung mit der Geschwindigkeit c. Ähnliche Ver- 
schiebungen kommen vor; sie müssen nicht notwendig durch 
konstantes c entstehen. 

Die zeitliche Druckänderung am Boden ist vollständig 
bestimmt, wenn man /^^^ u, t) als Funktionen des Ortes kennt; 
Uy t) sind aber aus Pq und dp^föt nicht eindeutig abzuleiten. 
Zu einer «.-Schar läßt sich das zugehörige c. so wählen, daß 
längs jeder Kurve p^.c.Sn. konstant ist; das gibt keinen 
Beitrag zu dp^föt Man darf, soweit die Kontinuitätsglei- 
chung allein gebraucht wird, alle für die zeitliche Druckänderung 
unwirksamen Teile von c weglassen. Ein solcher ist bei der 
Parallelverschiebung durch konstantes c der Ausdruck {pIPq)c, 



588 M. MarguU». 

wenn ^ einen konstanten Druck bezeichnet, sagen irir den 
normalen. Dieselbe Ortsyeränderang der Isobaren wie ssfor 
mit (23) erhält man aach bei parallelen $ ans (2*) mit der 
resultierenden Geschwindigkeit 



('-^) 



Die O^schwindigkeitsverteilung ist jetzt Ähnlich dar in einer 
fortschreitenden Welle, Bewegung gegen die Fortpflanziing»- 
richtung in den Orten niedrigen Druckes mit der Fortpflaanuig 
in jenen hohen Druckes und c' klein im Vergleich mit der 
Geschwindigkeit des Fortschreitens c. — Dieselbe Verschie- 
bung des Isobarensystems kann noch auf unendlich viele andere 
Arten entstehen. 

Man erwartet nicht, daB die Eontinuitfttsgleichung iDein 
weit führt Den Anlaß, diese Erwägungen zusammenzustelleD, 
geben zwei Publikationen \ in denen der Versuch gemacht iriid, 
aus jener Gleichung in Verbindung mit gewissen HypoÜifiseD 
die in einem Tage stattfindende DrucUknderung bzw. das 
im Laufe des Tages eintretende Wetter vorauszusehen. Dtbei 
kommt es sehr auf die Hypothesen an, die hier nicht diskatieit 
werden. 

Von den Annahmen, die oben eingeführt wurden, dienen 
(B, C) nur zur Bequemlichkeit und sind entbehrlich. (A) ist 
so gemeint: Es ist sehr wahrscheinlich^, daß die statische 
DruckdiflFerenz von dem wahren Wert f^ — p^ um nicht mehr 
als 1 mm Hg abweicht, auch bei dem größten Höhenunt6^ 
schied; mindestens nicht andauernd während eines Tages. Die 
Änderungen von p^ oder p erreichen nicht selten in der gleichen 
Zeit 10 bis 20 mm Hg. Wenn man große Schwankungen be- 
trachtet, kann man (A) als angenähert richtig benutzen. 

(D) und (E) entfallen, wenn man bei der Gleichung (1) 
bleibt. Dann wird aber das Ein- und Ausstromen der Loft 
an der oberen Fläche einen großen Teil der Schwankang 
von p bewirken können. 

1) Felix M. Exner, Sitzungsber. d. k. Akad. d. 'WlascDsch. zu Wien. 
111. p. TOT. 1902; W. Trabert, Meteorolog. Zeitschr. 38. p. 281. 1908. 

2) A. Spruug, Lehrb. d. Meteorologie p. 160. Hambnxg 1S85. 



Barometerschwanhungen und Kontinuitätsgleichwng. 589 

Nimmt man an, daß die Änderung durch die vertikale 
Bewegung allein entsteht^ so hat man 

für das Steigen yon p um 1 mm Hg in der Stunde 

- -^-i = - 0'00378 (kg.m-»8ec->). 

In den Höhen von 10, 20, 30 km die Dichte 

0,42, 0,089, 0,0067 (kg.m"») 
gesetzty erhält man für ti?^ die Werte 

- 0,009 , - 0,042 , - 0.56 (m . sec""^) , 

Geschwindigkeiten abwärts von geringem Betrag. 

Große Änderungen von p entstehen durch andauernde 
kleine Unterschiede der horizontalen Luftzufuhr und Abfuhr, 
auch durch kleine Werte der vertikalen Komponente. Bei 
ungeändertem p können die Wirkungen beider sich auf ver- 
schiedene Art aufheben; aus der Kontinuitätsgleichung allein 
läßt sich nicht bestimmen, ob eine aufsteigende oder sinkende 
Luftbewegung eintritt. 

In der Gleichung (1) sind stetig verteilte Quellen und 
Senken nur an der oberen Grenzfläche angenommen. Wenn 
Luft (Dampf) am Boden austritt oder absorbiert wird, hat man 
den bezüglichen Ausdruck hinzuzufügen. Findet Kondensation 
des Dampfes statt, so gibt es Senken auch im Innern der 
Luftmasse, und der Gleichung (1) ist auf der linken Seite ein 
Glied anzufügen, welches das Gewicht der in der Zeiteinheit 
in der Einheitssäule zwischen und A kondensierten Masse 
angibt. 

(Eingegangen 26. September 1903.) 



590 

• 



75. On the Intensity of the Natural Badiation from 
MoYing Bodies and its Mechanical Beaction. 

By J. Lamior in Cambridge. 



The snbject of the presanre of radiatioiij wbich was fint 
reduced into a definite formnla by Maxwell, was plaoed in 
new and most fruitfol light when Boltzmann showed, bf 
following out an idea of Bartoli, that it stood in intimate 
relation to the law connecting the radiation of a body witti 
its temperature. In a recent memoir^) Poynting has based 
very remarkable results^ as regards cosmical dynamic«, on tfae 
Operation of a retarding force dne to the back preasnre ofito 
own radiation when the radiating body is in motion. Hie main 
object of the present note is to treat this aspect of radiation- 
pressure by more direct methods, and thereby confirm fbe ex- 
pression for the mechanical reaction against a moving radiating 
soriace, that has been dedueed by Poynting from geaenl 
considerationS; naturally somewhat uncertain, relating to flu 
of energy. 

The pressure exerted by radiation is essentially connected 
with opacity to it. From formulae deyeloped on othcr 
occasions ^) it appears that in the case of a medium which maj 
Vary in its properties in any manner along the direction of 
proi)agation x, when it is the seat of electric disturbances of 
simple harmonic period 2njn, polarised so that the electric 
force is (0, Q, 0) and the magnetic (0, 0, y), the dynamical 
equations being thus in MaxwelPs notation 

the mechanical force acting on any block or segment of it is 
represeutable by pressures of intensity 

1) Roy. Soc. Proc. 1903. Phil. Trans, ibid. 

2) Phil. Trans. 1897A; or more fully in <Aether and Matter . 1900. 

pp. 130—3. 



Natural radiation from moving bodies. 591 



8» V CV^* dt^ I 



d to the two ends of the segment, — these pressures 
ancelling each other, as they ought^ when the segment 
ts of free aether without matter. The mean value of 
nd-pressure is 



L(y2 . _ö>!_\ 



16 

Yq and Qq represent the amplitudes of / and Q. 
V^hen the amplitudes are diminished owing to gradaal 
)tion as the distnrbance travels onward, there is thus 
' mechanical force exerted in the medium in the direcüon 
>pagation. When the electric distnrbance is incident on 
nsparent reflector there is no resultant force on the 
ing surface itself, because / and Q both remain con- 
is in crossing it. When however the reflector is nearly 
tly opaque^ the electric forces in front of it in the in- 

and reflected disturbances almost cancel each other, 
the magnetic force just outside is doubled by its pre- 

there must thus be distnrbance of the nature of 
iting electric flux in the skin layer of the reflector such as 
nnul this magnetic field in its interior, and it is the 
)dynamic forces acting on this layer of current that 
:ute the aggregate electric pressure, which can be shown ^) 
•ee with MaxwelTs formula. 

'Vom this way of considering the mechanical force, it is 
Y verified that when the incidence on the reflector is 
e, Poynting is right in taking the incident and reflected 
trains each to exert their füll oblique thrust on the 
jov along their directions of propagation. 
Tor radiation to exert steady non-alternating pressure on 
iU body, it must^ be of opaque material. A dielectric 
constituted of perfectly elastic elementary vibrators should 
)e repelled by radiation. In illustration, consider the 
est type of vibrator, an electric doublet consisting of 
es + /? and — e separated by a varying distance /, 

.) L. c. p. 133. 
\) L. c. 



592 /. Larmor. 

parallel \x> x, %o that its moment ^ is el, When it ii 
subjected to a simple waye-train trayelling aloog x wiüi 
electric force [Q, Q , Ä co^ pt) and therefore magnetic force 
C-^(0, Aco^pt, 0), the equation of its forced Vibration is 

so that 

and, the vibrator constituting a current element dMjdt, tbe 
magnetic field pushes it along z with a mechanical foroe 
ß dMjdt, which is 

P K*-^p* cosy^sinf ^ 

This electromagnetic force is however purely altemating and 
80 adds up in time to nothing: the only way to obtain 
steady mechanical pressure on the vibrator is to put the forced 
Vibration out of phase with the exciting field by the intro- 
duction of a frictional term into the equation of Vibration, 
which will correspond to opacity. 

In the theory of exchanges of radiation it is customary 
to represent a perfect reflector as a body of very high electric 
conduetivity. Any body across which the radiation cannot 
penetrate is as already stated subject to a pressure from the 
radiation just outside it, determined by Maxwell's formula. 

It is worth while to verify explicitly that the absorbing 
quality which must be associated with this pressure does not 
ai^t so as to vitiate the perfection of the refiexion by de- 
f^radiiig the energy. This is of course readily done. The 
(Mjuations of wave-propagation already formulated lead to 



ii ._ 



dx'' 



= 4.,a'^f^+K,C-^-^J-. 



Writiiifjj 



Ulis f^ivcs 



Q = Ae^''*e~*P' 



Thus it Wir conduetivity rr is largely preponderant we may 



writo 



an(r)V.(i + f), 8ay = r(l + i). 



Natural radiation from moving bodies, 593 

Taking the real part^) 

Q sx Ae^^^e -•'«cos rx 

the heat developed per second comes out to be 



00 





Now if Ä^ is the coefficient for the wave-train directly 
incident from the free aether and A' that for the waye-train 
reflected back, the continuity of Q and of (jL-^dQjdx across 
the surface gives 

A^ + A'^A, ^{A,-A') = -^A, 
to that 



^i=*(l+^^)^5 



and passing again to real parts by taking moduli^ the am- 
pfitude of the incident train is approximately 

\{li-^X(TC)'ltA. 

The energy incident per second is thus 

8 71 C" * '^ 32 TT /* ' 

of which the part degraded thus forms a negligible fraction 
inversely proportional to the Square root of the conductivity a, 

The waves are thus tumed back without sensible loss by 
degradation, because for an ideal good conductor the surface 
layer is at a node of the electric force. There is superficial 
current in the conductor which gives rise to the Maxwellian 
repulsion by the agency of the magnetic field; while there is 
no sensible electric resistance, the small electric force near 
the node establishing the necessary current without producüon 
of heat 

The conditions which here obtain for very high con- 



1) Bat this U for stationary waves; it should haye been for pro- 
gressive waves Q = Äe-^^ cos (nt -^ r x), giving 



4r 8n [(iC) \ 



Boltsmaim-Ftatechrift. 38 



594 /. LarmoT. 

ductivity and short waves also hold for Iower conductirity ta 
longer waves. For long heat-waves the proportionality ofÖ 
absorbing powers of metala to the Square roots of their sj 
resistancee has, aa is well known, beeo discovered by Hagei 
and Rubens, and esplained in advance by Drude 
wards by Planck; this Observation carries the iutereatb 
result that the reaistance coefficieots are nearly the same fo 
auch heat waves as for ordinary steady currents. 

Any doubt that may be entertained as to whether radiatk 
exerts a back pressure on the body that emits it, may 
diminiahed by cousiderations of the kind here employed. 
emitting body being opaque, tbe soiirce of the radiation il 
vibratory disturbance of electrons in its surface layer; theN 
constitute a sclf-damped current sheet wbich is pusbed \ 
by the magnetic field it produces, precisely as bappens for th 
correspondiiig current sheet at a conducting surface c 
radiation is incident as above. 

We now proceed to our problem of the radiation from 
moving body. Consider an enclosure, with ideal perfecüy n 
flecting walls, at a uniform tcmperature throughout and Üi 
pervaded by the steady natural radiation corresponding to tl 
temperatui'e, The principle of Carnot requires that we caai 
by cyclea of slow movement of the bodies in the enclosu 
transform any of this energy at uniform temperature : 
mechanical efl'ect through the agency of the pressure ) 
radiation. Tbcre muat therefore he a unique atate of densit 
of tbe total enclosed radiation, independent of the nature ( 
the surfacea of tbe bodies in movement; for otherwise din 
movement with one kind of surface combiued with the r 
Movement with another kind would conatitute a working cyd 
I steady aggregate density of radiant energy in the i 
1 therefore not aft'ected by the motion of the bodil 
faleed if this were not ao, by opening and closing a nnudff 
b Ae enclosure while it is moving at different speeds, cycl 
4MiU be established whicb would violate Carnot's prindp 
^Sip* campare a moving pcrfectly refiecting surface, w 
I back all the ioeident radiant energy, witb the a 
f sarface rendered perfectly absorbing; this is allov&l; 
nis chauge from couductiug to non-conducting bä 



^H Natural radiation f'rom moving liodies. 595 

towtemplated in elementary thermal reaaoDiDg about Carnofe 
iptineiple. It tollows from the tlieorj of exchanges, that in the 
etate of equilibrium the radiation that is retiimed must be 
'tJie sanie as regards Constitution and intensity in botb casea. 
Uow the Solution oi' the electrodynamic probleni of reHexion 
£vm a moving perfect redector is known'); therefore the law 
•f tbe radiation from a perfect radiator in motion is deter- 
xiined in complete detail. When the reflector is advancing in 
M stationary encloaure, the energy-density of the reHected 
jMdiatiou is greater than that of the incident, and the exceae 
il ft fraction of the iatter equal to four timcs the ratio of the 
Telocity of the reflector in its direction to the velocity of 
üight.*] Thus when tbe enclosure is moviug aa well as the 
MÖector, the energy of the incident atream coming from its 
Teceding walls ia in defect by twice the ratio of theae velo- 
cities and tbat of the reÜectßd atream ia in exceas by twice 
the same ratio. This latter facto r therefore also expreases 
the exceas in the volume-denaity of natural radiation coming 
from a perfect radiator that is produced by its own advancing 
motion; but in a detailed specification of this radiation the 
modification of the wave-lengtha in accordance with the 
Doppler principle is also to be bome in inind, 

A different and generalised mode of treatment may also 
be adopted, based on Lorentz's transformation for paasing 
from the tield of activity of a stationary electrodynamic 
material System to that of one moving with uniform velocity 
of translation through the aether. If [f, g, A) and (a, b, c) 
represent the field of a material System at reat in the aether, 
then to the first order of u/C, 

ftnd 

[a, b — \-xvh, c -^ \nxig) 

1) Cf. Larmor, 'Britiah Aaeociation Report' 1900. 'Encydopedia 
Britoimica'; Ärticie 'Radiation'. 32. 1903. 

2) The Maiwellian fonniila for the pressure of radiation may be 
baeed (l"''- <^t-) <>'■ '''■^ result, in conne!:iaQ with the congervatiou of 
the energy; or coiiversely the value of that pressure heing- aSBUmed on 
other grounds, thie leeutt for the intensity of the refleiion may be based 
npou it. 



696 /. Larmor. 

represent the values of the same vectors, say (^, 9\' ^ 
[a,, Ä|, c,), for a ayatem in motion parallel to i witi veli» 
v; and the positions and magnitudes, and therefore reliti 
yeiocities, of the electrona which produce theae fields in ( 
soiTOundini; aether in the two casea are identical tX «• 
instant, so that the tields belong to the same materi&l s)iitei 
Äo enclosing ma.terial boundary is supposed to form pi 
of the System, so as to retain the radiant energy at unifil 
density. Let us compare the denaitiea E and E^ of enetgj 
the two cases of rest and translation, as given by Maxrtl 
formula 

£ = 2 jr C« (/-^ + -Z" + A») + -— (a' + A* + c\ 
Wo obtain, neglecting {vfüf aa before, 

Äi =£' + 2v(^c-Aä). 

Now the flox of energy in the aether is bj PoyutinG 
the vector 

-C^{hb~gc,fc-ha,ga-fb). 

Bo that tlie last term in E^ ia 2C~^ times the scaUrpn 
of tbia fiux and the trauslatory velocitj of the syst«! 

Ttiua the density of the radiation that is trareUing 
encloaure in directions inclined towards v ia increasedj 
the opposite directions it is diminished by equal 
that the aggregate density ia unaltered as alreadj 

Taking a parttcular case, for a plane wave-train reim 
by [f\ tj, k) aud [a, b, c), forming part of the atead; 
which thus travels in the direction perpendicular to boti 
vectora, the flux of energy per unit time is increaeed ' 
moving material System by a fraction of itself eqnal t« 
the component of v along ita direction of propagation l 
by the velocity of light. There ia diminutdon in the fl 
wavea coming from the receding parts of the boundaij 
enclosure, and an equal increase for those retlected. 
gifiug in all the factor four previoualy obtained for the 
of volume-intensity on reflexion. It may be remaHcel 



1) Cf. 'Aether aud Matter', 
merely introdueee the Doppler effect.] 




Natjiral radia/ion fro\ 



1 bodies. 



597 



liä inode of selected orientation of the ateady radiation in 
le moving enclosure clearly satisfies the necesaiiry condition 
tat, when an apertnre has beeo made anyvbere into an outer 
igioQ of steady radiation, the radiation that issiies tbrough 
is the same as had been previously aent back from the wall 
t that place. 

The same reaults for the change in the eoergy flnx in 
ny direction may he obtained directly from the dux-formula 
f Poynting, when the modified values of the vectors in the 
loving System are inserted. The conneiion between the two 
lethods reats on the remark that for a plaue progressive wave 
be üux per unit tinie is the density multiplied by the velocity 
f propagation, when there is no dispersion. 

The voltime-density of radiation emitted from a perfect 
adiator in any direction thus invoWea a factor 1 + 2 A where 
ia the ratio of the velocity of the radiator in that direction 
the velocity of light; and the pressure of this ray, exerted 
irectly hackward, is altered accordingly, with consequences 
onsidered by Poynting in the memoii- already referred to. 

This result is in fact what clearly obtains if on an ultimata 
ynamical theory the energles of the vibratory motions of the 
adiating sourcea are not affected by the uniform translation, 
ut depend only ou the temperature or other physical cause, 
s Carnot'e principle requirea; for the amplitude of the 
ibration communicated to aether then remains the same, but 
wing to the abortening of the waves, the velocity in thia 
ibration is changed, and therefore the volume-density of 
ibratory energy in the aether ia modified as above. And the 
■orentz transformation has shown us what is not so imme> 
iately obvious, that alao on the electric view which considers 
le sources to be constituted of vibrating electrons, though 
ieir relative motiona are not affected by the uniform trans- 
ition as again Carnot's principle dem ands, yet the vibratory 
Bergy emitted from them is modified in the manner here 
escribed. 

EL. Cambridge, September 21, 1903. 
H (Eingegangen 27. September 1903.) 



598 /. Larmdr, 

[Note culded Dec, 26. < — As the intensity of the pressure 
of radiation depends on the instantaneous State of the adjaceot 
medium, it may be expected to remain equal to the eneigf 
per uDit Yolume^ as above assnmed, whether the body that it 
acta on is at rest or in motion« 

We may verify in detail for a plane-polorised mie- 
train with electric force (0, Q, 0) cnrrent (0, o, 0] asd 
magnetic force (0, 0, /), incident directly on an absorbing face 
perpendicular to x. Then^) the mechanical force in the ab- 
sorber per unit volume is 

where 

A dr dQ l d , d \ 

dx ^ dx \ dt dx I ' 



and 






V being the velocity of the material medium, with which the 
axes of coordinates travel. Thus 

/ . 8 TT «, 4 71 C« J ' dt 



X 



Let the slice between x^ and x^ be an indefinitely tiiin 
oue containing the absorbing interface; as Q is continous 
across it, dQjdt is very small outside it; thus y being finite. 
the last term is negligible, and the mechanical force acting 
on the slice is equal to the value of y^jSn, just outside it 
wliere Q is null; thus it is equal to the energy-density just 
outside, whether the absorber is in motion or not. 

From the way of considering the origin of this mecha- 
nical force above, as acting on the interfacial current-sheet, it 
is not diflicult to verify that when the incidence is oblique, the 
incident, reflected, and refracted wave-trains exert independently 
on the reflecting surface their füll oblique thrusts in their own 
directions of propagation, as is implied in Prof Poynting*s 
calculations referred to at the beginning. 

\) *Xether and Matter'. § 65. 1900. 



Natural radiation from moving hodies, 599 

The result here verified^ that motion of a material body 
does not affect the pressure exerted on it by the ambient 
xadiation, has been rejected by Prof. Poynting in a later 
PostScript added to the memoir above referred to, on the ground 
that radiation shot out of a radiator A into a moving absorber 
B wouldy according to it^ alter the störe of momentum of the 
two bodies. But if the bodies are in thermal eqnilibrium, 
other compensating events are at the same time occurring^ viz. 
the absorber B is also radiating towards Ä. And indeed if 
the temperatures of Ä and B are unequal^ the aggregate 
momentum of both admittedly does change on account of their 
radiation. 

If the present argoment is right, the view which considers 
a ray to be a simple carrier of momentum from the one body 
to the other cannot therefore be maintained« 

It may be noticed^ in connexion with p. 595 supra, that 
for the same amplitude of ionic excursions in the vibrating 
molecule, as determined by its maximum electric moment, 
and for the same periodic time^ it foUows firom Hertz's 
formulae for a simple radiator^ and may be generalized by 
the theory of dimensions, that the radiation emitted per 
Unit time is proportional to the refractive index of the sur- 
roanding medium^ and therefore the equilibrium-density of the 
radiation in that medium is proportional to the Square of the 
same index, in accordance with Balfour Sewart's law de- 
rived from the doctnne of equilibrium of exchanges between 
sources at uniform temperature.] 



76. Über die Potentialdifferenzen der Metalle in 
ionisierten Gasen. 

Vou Franz Exoer und Robert Hofmann in Wien, 

Über dieses Thema liegt bereits eine größere Anzahl vm 
Arbeiten vor. Arrbeniua fand schon vor längerer Zeit'], 
daß durch Kathodenlicht beleuchtete Luft „ elektrolytasch" 
leitend werde; er bewies dies dadurch, daß er in derartif 
ionisierte Luft eine Zink- and eine Platinelektrode tauchte 
und den Ausschlag eines mit den Ü^lektroden rerbandenen 
Galvanometers beobachtete. Der Ausschlag war in dem 
gleichen Sinne, wie wenn die Metalle in angesäuertes Wasser 
tauchten. Ahnliche Beobachtungen machte auch später Sto- 
letow^, indem er die Luft durch ultraviolettes Licht ionisiert«. 
Noch eine zweite Arbeit von Arrhenius*) Hei erwähnt, 
weiche die Leitung der Elektrizität durch heiße Salzdämpfe 
behandelt. Die elektromotorische Kraft der KombinatioD 
Fe - Salzdampf-Pt betrug 0,5 1 Volt und von Ni -Salz- 
dampf-Pt 0,29 Volt, und zwar ziemlich unabhängig von der 
Natur des Salzdampfes. Die Stromrichtung war die gleiche, 
wie in einer elektrolytischen Lösung. 

Murray*) ionisierte die Luft durch Röntgenstrahlen nnd 
k erhielt für Sn— Zn ähnliche Ausschläge im Elektrometer, wie 
t wenn sich an Stelle der ionisierten Luft angesäuertes Wasser 
^befunden hätte. 

Diesen Arbeiten folgten eingehendere Untersuchungen toh 
'inkelmann^), welche den Beweis erbrachten, daß sich in 
btgenisierter Iiuft die Metalle zu gewissen, von ihrer Natur 
gigen Potentialen laden. Aus seinen Messungen eifab 



1) S. Ärrheiü 
X) A. G. Stolt 
Ija Arrheni 
^XMurrny, 
kL Winke 



, Wicd. Ann. 33. p. 638. 1888. 
w, Phja. Revue 1. p. 728. IB92. 
, Wind. Ann. 42. p. 51. 1891. 
■op. Roy. Soc. 5». p. S33. 1898. 
Wied. Ami. 66. p. 1. 18B8. 



Potenlialdifferen^en in ionisierten Gasen, 601 

■h eine dem SpannaiigBgesetze der Metalle annähernd ent- 
rechende Beziehung. Auch die Stärke der dauernden, wenn 
ich sehr schwachen Ströme hat Winkelmann gemessen. 
iese Untersuchungen wurden von Hillers') dahin ergänzt, 
iB er den Einfloß des Gasdruckes auf die durch Röntgen- 
rahlen hervorgerufenen elektrischen Ströme untersuchte, und 
rar bei Luft, Kohlensäure und Wasserstoff. 

Es war nun zu erwarten, daß man denselben Effekt, den 
an mit ultravioletten, Kathoden- und Röntgenstrahlen erzielt 
itte, auch mit radioaktiven Substanzen werde erzielen können. 
in Versuch Kelvins^, sowie eine Arbeit Rutherfords^) be- 
ätjgten diese Erwartung. 

Weiter sei erwähnt, daU Curie und Sagnac*} die Poten- 
ildifFerenzen von Platin und Aluminium in röntgenisierter 
aft hei verschiedenen Drucken untersuchten. 

Von einem anderen Gesichtspunkte aus versuchte Wulf) 
e Erscheinung zu betrachten; er prüfte Platinelektroden, 
älche mit verschiedenen Gasen beladen worden waren, auf 
re lichtelektrische Zerstreuung und konnte einen Parallelis- 
US mit der Änderung der elektrolytisch gemessenen Spannung 
mstatieren. Dieses Ei^ebnis führte ihn zu der Ansicht, es 
mne möglicherweise die Elektrizitätserregung zwischen den 
etallen in ionisierter Luft mit einem chemischen Prozesse 
rbunden sein. EndUch dürfen wir noch die Versuche von 
mpson^ nicht übergehen, dem es gelang, auch ohne Be- 
rahlung in natürlich ionisierter Luft Potential differeuzen 
rischeu verschiedenen Metallen nachzuweisen. 

Im vorhergebenden erwälraten wir, daß bereits von Kelvin 
id seinen Mitarbeitern, sowie von Rutherford das Ver- 
dien von Metallen in Luft untersucht wurde, welche durch 
ne radioaktive Substanz ionisiert war. Bei den Versuchen 
eser Forscher kamen jedoch nur Uranpräparate in Auwen- 



1) W. Hillera, Wied. Ann. 88. p. 196. 1899. 

2) Lord Kelvin, J.CBeattie n. M.Smolncliowaki de SmoUi 
dloe. Hag. (5) 45. p. 277. 1898. 

3) E. Ratherford, Pliilos. Mag. 15) 47. p. 155. 1899. 

4J P. Curie u. G. Bagnac, Compt. rend. 130. p. 1014. 1900. 
6) Th. Wnlf, Ann. d. Phys. 9. p. 948. 1902. 
5 O. C. SimpBOD, Physik. Zeitachr. 4. p. 480. 1903. 




f 



802 /'V. Ej:ner und li. Ilofmann. 

duQg und es ist uns nicht bekaont, daß zu derartigen GntM- 
suchuageii auch andere radioaktive Substanzen ala lonisatum 
verwendet worden wären. Deshalb schieu es uns nicht iiii" 
interessant, zu prüfen, wie sich die Metalle in Luft verhilln 
würden, welche durch Polonium- oder ßadi um strahlen inrnaiat 
ist. Obwohl die bisher in dieser Richtung angestellten V» 
suche nicht \ie\ wesentlich Neues bringen, so scheint eine wr^! 
läufige Mitteilung derselben durch die infolge der Vemeudiin 
Ton Polonium strahlen wesentlich vereinfacht© Versuch 
nung immerhin gerechtfertigt. 



VersnoheanordnaiiK. 

Ein Becherglas oder ein anderes zylindrischi 
wurde durch einen Decke! aus Parafßu verschlossen, 
eine Öffnung in der Mitte desselben konnte der Wisoi 
Poloniumatab eingeführt werden, zu beiden Seiten desse! 
waren die zu prüfenden Metallbleche einander und den 
uiumstab parallel befestigt. Zu den Elektroden führten ku] 
Ziüeitungsdrähte, welche samt den Löt- bez. Nietstelln 
Paraffin bedeckt waren. Um Ladungs Verluste zu veriiiiA 
mußte das Glasgefaß auf eine Paraftin platte gestellt i 
Dieses trefäß, sowie der Ausschalter befanden sich in 
mit Stanniol überzogenen, zur Erde abgeleiteten Kasten, t 
dem ein Draht in ebenfalls geerdeter UmhüUnng tu 
Thomson sehen Quadrantenelektrometer von der einbd 
Form nach Dolezalek führte. 

Die Ablesung erfolgte mit Fernrohr, Spiegel und 9 
Die Empfindlichkeit betrug hei einem Skalenabstand von M 
und einer Ladung der Nadel vou 100 Volt etwa 0,0067 
pro Skatenteil. Fast bei jeder Messung wurde die Zid^ 
lichkeit mittels eines Weston-Normalelementes kootrollieit 

VerBuoh.BeTgebniBBe . 
L Nach den Erfahrungen, welche bisher vorlagen, ' 
nun zu erwarten, daß sich die Elektroden, wenn sie «bi 
achiedenen Metallen beständen und die Ionisierung dnrd' 
Polonium strahlen eine hinreichende wäre, zu einer b« 
Potentialdifl'erenz laden würden; bei Anwendung zweier K^l 



PiitmtiaWffpT, 






603 



alle dürfte kein Aueachlag im Elektrometer wahmu- 
I seil). 
Die Versuche bestätigten im großen uud ganzeu allerdings 
986 Erwartungen; bestanden die Elektroden aus zwei ver- 
liiedenen Metallen, so luden sie sich zu numerisch gleichen, 
aem Vorzeichen nach entgegengesetzten Potentialen, wenn das 
eine oder andere geerdet wurde; bestanden sie dagegen aus 
dem gleichen Metalle, so zeigte das Elektrometer nahezu 
keinen Ausschlag. Ein Ubelstand jedoch, welcher übrigens 
vorauszusehen war, machte sich unangenehm bemerkbar, näm- 
lich die Abhängigkeit der Potentialdifferenzen von der Be- 
schaffenheit der Oberfläche der Metalle. 

So ergaben sich z. B. für Cu-Zn die Werte: 

friBch geschmirgelt 0,80 Volt 

nach längerem Liegen an der Luft . 0,66 „ 



An verschiedenen Tagen gemessene Werte f 
mhination zeigen daher Abweichungen , mitunter bis zu 
reren Prozenten. So erhielten wir z. B. für Pt-Cu 0,25 
0,21, für Pt-Zn l,Oa bis 0,94 und für Graphit-Mg 
h8 bis 1,71 Volt, Während einer und derselben Messung 
Hoch blieben die Werte meistens recht gut konstant. 

Bei der Bestimmung der Potentialdiffereuzen der ver- 
inen Metalle suchten wir halbwegs vergleichbare Werte 
F die Weise zu erbalten, daß wir die Elektroden vor der 
uiBsung abschmirgelten und hierauf so lange warteten, bis die 
Ige eine Zeitlang konstant blieben. Bei vielen Metallen 
) sich im ersten Moment ein Herabsinken der Potential- 
differenz, während aber z. B. beim Aluminium erst nach etwa 
20 Min. der Ausschlag eine gewisse Konstanz erlangte, war 
dieselbe bei den meisten übrigen Metallen in weitaus kürzerer 
Zeit erreicht. 

Die verschiedenen Metalle wurden mit demselben Platin- 
blech verglichen, demgegenüber sie sich alle negativ 
erwiesen; dagegen lud sich ein Stück Graphit [von Ceylon) 
uoch zu 0.27 Volt positiv gegen das Platinblech. Die Zahlen 
der folgenden Tabelle geben die Potentiale der Metalle 
diesen Graphit an: 




Fr. Exner mid R. 


Hofmann. 


2,88 Volt 




Hg 0.58 Voll (7) 


1,71 ,. 




Ca 0,51 „ 


1,46 „ 




Poloninm 0,51 „ 


1,29 „ 




Ag 0,46 „ 


1,05 „ 




Au (Folie) 0,3S „ 


0,99 „ 




Pt 0,27 „ 


0,65 ,. 




Graphit 0,00 „ 


0,64 „ 




+ 


rt für Hg zu 


beatimmen. überzogen m ia 



! 



unteren Teil des GlaageRißea innen mit Paraffin, gössen etww 
Quecksilber hinein und führten zu demselben eine isolierte 
Zuleitung. Wenn daa Quecksilber zur Erde abgeleitet m I 
so ergab sich für Platin eine Ladung von +0,31 Volt,»« 
dagegen das Quecksilber mit dem Elektrometer verbunden imd 
das Platin geerdet, so erhielten wir fast gar keinen AusscliUg. 
Wahrscheinlich war bei der schwachen Zuführung der Ladungen 
die Isolierung der Hg-Elektrode doch keine genügende; d» 
dieser Isolationsfehler aber nicht in Betracht kommt, wenn 
das Quecksilber zur Erde abgeleitet ist und das Potential An 
Piatina gemeaseu wird, so dürfte der in der Tabelle angegebene 
Wert doch ziemlich richtig sein. 

Der Wert für Polonium wurde in der Weise ermittelt, 
daß der Poloniumstab einfach direkt als die zweite Elektrode 
benützt wurde; daß er als solche kein anderes Verhalten zeigte 
als die übrigen (nicht radioaktiven) Metalle, stellten wir dunl! 
einen kleinen Versuch fest, Befinden sich nämlich, »ne ea 
bei den übrigen Messungen immer der Fall war, zwei ^a- 
scbiedene Metalle M^ und M^ nebst dem Poloniumstab P in 
dem Gefäß, und mißt man die Potentialdiffercnzen M^jP, PjMf 
und M^jM^, so findet man die Gleichung 

MJF+PjM,^MJM^, 
wie es das Gesetz der Spaunungsreibe fordert, erfüllt. 

Es sei an dieser Stelle auch erwähnt, daß die Pot«ntisl- 

gewiaaen Grenzen unabhängig sind von iet 

eitigen Entfernung der Elektroden, sowie YOn der Stellung 

i zueinander und zum Poloniumstab. 

, Nachdem durch die eben geschilderten Versuche fest- 

t worden war, daß auch unter dem EinSusse der Polo- 




Potentialdiffe 



> ionisierten Gasen. 



605 



unistrableii sich die Metalle zu gewissen Potentialdifferenzen 
den uud eine aus zwei verscliiedenen Metallen gebildete Zelle 
ch wie ein galvanisches Element verhält, drängte aich die 

ftge auf: auf welchem Wege wird die Energie der Strahlung 
die elektrische übergeführt? 
Winkelmaun'} hat durch einen Versuch gezeigt, daß 
lan es nicht mit Ladungen zu tun habe, welche unmittelbar 
■Dreh die Strahlung hervorgerufen werden; er bedeckte die 
letalle mit einer isolierenden, aber für die Röntgenstrahlen 
lurchlässigen Schicht und erhielt so keine Ladungen mehr, 
dadurch scheint zwar bewiesen, daß die Entladung von Ionen 
m der Oberfläche der Metalle eine Bedingung des Vorganges, 
licht aber, daß sie die einzige ist; eine Wirkung der direkten 
Jestrahlung, z. B. durch Erregung von Sekundärstrahlen wäre 
mmerhin noch möglich. Um diese noch offenstehende Frage 
u entscheiden, suchten wir die direkte Bestrahlung ganz aus- 
nschlieÜeu, indem wir Luft, welche zuerst eine den Polonium- 
tab enthaltende Glasröhre passieren mußte, durch das Ver- 
nchsgefäß bindurchpumpten. Während beim Durchblaaen nicht 
)niaierter Luft keine Ausschläge im Elektrometer wahrzunehmen 
'aren, erhielten wir heim Durcbblasen ionisierter Luft tatsach- 
ch Ausschläge, welche von der Natur der Metalle abhängig 
'aren; jedoch waren die Ausschläge beim Umschalten nach 
er positiven uud negativen Seite nicht einander gleich, sondern 
ie letzteren stets kleiner. Z. B. + «3 und — 36 Teilstriche. 

Die Luft kommt also wahrscheinlich schon positiv geladen 
n die Metaile. Durch Abkürzung des Weges vom Ionisator 
iB zu den Elektroden konnte diese Differenz vermindert, nicht 
ber beseitigt werden. Da die positive Ladung der Luft da- 
oa herrühren dürfte, daß die schneller wandernden negativen 
onen in größerer Anzahl von den Glaswänden abgefangen 
rerden, als die positiven, so bot die einzige Aussicht, diesem 
jbelstande abzuhelfen, eine Veraucbsan Ordnung, bei welcher 
lie ionisierte Luft an die Metallelektroden gelangt, ohne vor- 
ler mit anderen Körpern in Berührung gekommen zu sein. 
Vir konstruierten daher folgenden Apparat; Von zwei aus 
erschiedenen Metallen angefertigten Zylindern wui-de der 




f 



606 Fr. Kxner ,imf R. Ilofmann. 

kleinere isoliert im Innern des größeren anKehrncht; im Inno- 
rauui des kleinereu war der Poloniumstab befestigt India 
nun die Luft vom inneren Zylinder, innerhalb dessen sie ioB' 
siert wurde, direkt durch eine Öffnung iin Boden desselbeiä 
den ßaum zwischen beiden die Elektroden bildenden Zylinil( 
mäntelo gelangte, war gleichzeitig erreicht. daB die Luft wi 
der lonisieruug beinahe nur mehr mit den Elektroden in 
rUhrung kam, und eine Bestrahlung der beiden einimdeT 
gekehrten Metalloberflächen ausgeschlossen war (die BestrihkH 
der inneren Oberfläche des kleineren Zylinders kann ja u(U 
in Betracht kommen]. Die Messungen ergaben nunmehr 
beide Ausschläge beim Umschalten beinahe die gleichen Wt 

fiußeret Zylinder Cu + 0,*6 Volt 
inaerer „ Zd - 0,43 „ 

Die auf diese Weise bestimmten FotentialdiffiTenKec ! 
zwar kleiner als die bei Bestrahlung gefundenen; jedoch dl 
dieser Unterschied bloß durch die geänderte Versacbsanorisfl 
bedingt sein. Es würde uns zu weit fahren, die Gründe 
diese Annahme hier zu erörtern. 

Aus diesem Vei-suche scheint also hervorzugeben, iltfi 
Ladungen der Metalle nur von der Entladung der Gna« 
herrühren. Diese Erklarungs weise wird Obrigens noch da 
die obenerwähnten Wabrnebmungen Simpsons'), sowie dl 
den folgenden kleinen Versuch gestützt: 

Pt-7,n 141 Tcilatr. 

15 Min. karzgeBchlossen 136 „ 

eist IS Min* nKcb Aufhebung 
dcB EuntachluBees wieder 141 „ 
Das Element erschöpft sich also gewisscrmaSea 
braucht einige Zeit, um seine frühere elektromotorii 
wieder zu erlangen, was nicht zu erklären wäre, 
Ladungen von der Bestrahlung direkt herrühren 

III. Die nächste Aufgabe, die wir uns stellten 
untersuchen, ob sich ein Temperatorkoeffizient wüi 
weisen lassen. Eine bestimmte Antwort auf diese 
sich nach den bisberigen Versuchen wobl noch nicht 
ea scheint jedoch, als ob ein Temperaturkceffizieut roi 
1)G. C. Simpson, 1. c. 




Potentialdifferenzen in ionisierten Gasen. 



607 



. Bei diesen Versuchen störende Einflüsse fernzuhalten, 
iemlich schwierig, weshalb von mehreren Versuchen bloß 
deren Resultate im folgenden angeführt werden sollen, 
nnigermaßen gelungen betrachtet werden können. Die in 
letzten Kolumne verzeichneten Zahlen bedeuten die Zu- 
ne der elektromotorischen Kraft fiir eine Erwärmung um 
1, ausgedrückt in Volt 

Graphit— Mg 



Nr. 


Temp.-Intervall 


Temp.-Koeff. 


1 
2 
3 

4 
5 


7-220 

7-22° 

22—45 

22— 45*> 

22— 45° 


+ 0,0033 
+ 0,0031 
+ 0,0079 
+ 0,0073 
+ 0,0079 



Auch bei Graphit -Zn war ein Ansteigen der elektro- 
Drischen Kraft mit Zunahme der Temperatur zu bemerken; 
Temperaturkoeffizient würde sich zu 0,0021 berechnen (?). 
Bei diesen sowie den folgenden Versuchen kam wieder 
erste Versuchsanordnung (Poloniumstab im Glasgefaß] in 
'endung. 

IV. Von einiger Wichtigkeit schien uns auch die Beant- 
;ung der Frage, ob die Potentialdiiferenzen von der Natur 
zwischen den Elektroden befindlichen Gases abhängig seien, 
das Glasgefäß mit den verschiedenen Gasen ftlllen zu 
len, versahen wir es mit zwei Glasröhren, welche durch 
ne verschließbar waren. Es wurden nun nacheinander 
., Kohlensäure und Wasserstoff je eine Viertelstunde lang 
ihgeleitet; nach dem Abschließen der Hähne blieb der Aus- 
ig im Elektrometer jedesmal konstant 



1. Graphit— Mg: 



2. Graphit— Mg: 



in CO, 238 Teilstr. 

in H, 244—235 

in Luft 236—232,5 

in CO, 231,5 

in H, 234,5 

in Luft 257 

in H» 250 

in Luft 247 

in CO, 246,5 



608 



Fr. Exner und B. BofnunuL 



Wie man sieht, sind die Ausschläge fbr die yerschiedenen 
Gase nicht ganz gleich^ jedoch kommt einem bestimmten Gu 
kein bestimmter Ausschlag zu. Es scheint also, daß das 
zwischen den Elektroden befindliche Medium als solches keinen 
Einfluß auf die Größe der Potentialdifferenzen ausübt Wir 
würden eher zu der Ansicht neigen, daß die von uns mkt* 
genommenen Änderungen des Ausschlages durch Absoiption 
der verschiedenen Gase an der Oberfläche der Metalle bedingt 
sein könnten. Daß die Absorption von Gasen an der Ob^ 
fläche der Elektroden einen bedeutenden Einfluß auf die Potoi- 
tialdifi*erenzen ausübt, unterliegt keinem ZweifeL 

Diese Tatsache wurde schon durch die obenerwähnten 
Versuche Wulfs bewiesen; auch ein von uns gemachter Ver- 
such lieferte das gleiche Resultat. 



Ein Platinblech gab gegen Graphit 
gleich nach Auskochen in konz. HNO, 
3 Stunden später 



- 87 Teilstr. 
+ 26 
+ 2 



» 



)i 



Ob nun die beim Durchleiten der verschiedenen Gase 
wahrgenommenen Änderungen der Potentialdifferenz in der 
Absorption der Gase ihren Grund haben oder durch andere 
Ursachen bedingt sein mögen, jedenfalls scheint es, daß die 
Potentialdifferenzen von der Natur des zwischen den Elek- 
troden befindlichen Mediums unabhängig sind, was sich aller- 
dings mit den Angaben Hillers' ^) nicht deckt 

Manchmal kann es auch eine chemische Eeaktion sein, 
welche die Potentialdiffereuz verändert; einen solchen Fall 
dürften wir bei dem folgenden Versuche vor uns gehabt haben. 
Wir brachten zwischen eine Cu- und eine Zn- Elektrode ab- 
wechselnd Luft, Leuchtgas und Wasserstoff und erhielten dabei 



igende Ausschläge: 








in Luft 


99,5 


Teilstr. 




in Leuchtgas 


117,5 


» 




in Luft 


112 


>i 




in Leuchtgas 


118 


» 




in Luft 


114 


11 




in Hg 


70 


11 


(nicht koDst) 


in Luft 


95 


11 


» V 


l) W. Ilillers, 1. c. 



Poienüaldifferenzen in ionvtierten Gasen. 609 

Nach beendetem Versuche zeigte die Gu- Elektrode e