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Full text of "Franz Neumann und Seim Wiken als Forscher und Lehrer"

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ANKÜNDIGUNG. 




Die vorliegende Schrift enthält eine zusammenfassende Dar- 
stellung der hervorragenden Leistungen Franz Neumanns, des 
ersten Vertreters der theoretischen Physik in Deutschland, als 
Forscher und Lehrer. Im ersten Teil wird von Neumanns 
Werdegang und dem äußeren Verlauf seines Lebens erzählt. 
Dabei werden auch seine wissenschaftlichen Verdienste wie seine 
Wirksamkeit als Lehrer in großen Zügen geschildert. Der zweite 
Teil gibt eine eingehende Analyse der sämtlichen Originalarbeiten 
Neumanns, aus der hervorgeht, welche Förderung im einzelnen 
die verschiedensten Teile der Physik, die Kristallographie und 
Mineralogie, endlich auch die reine Mathematik durch seine Unter- 
suchungen erfahren haben. Zum Schluß wird auf die zahlreichen 
Ergebnisse seiner Forschungen hingewiesen, die nicht von ihm 
selbst veröffentlicht sind. Im dritten Teil werden die gedruckt 
vorliegenden Vorlesungen Neumanns, die von seinen Schülern 
herausgegeben sind, besprochen. Sodann wird an der Hand der 
Originalberichte und der Seminararbeiten ausführlich die Wirksam- 
keit Neumanns als Leiter des physikalischen Seminars erörtert. 

Braunschweig, im März 1907. 

Friedrich Yieweg und Sohn. 










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DIE WISSENSCHAFT 



SAMMLUNG i 

NATURWISSENSCHAFTLICHER UND MATHEMATISCHER 

MONOGRAPHIEN 



NEUNZEHNTES HEFT 



FRANZ NEÜMANN 

UND SEIN 

WIRKEN ALS FORSCHER UND LEHRER 



VON 

De. A. WANGE RIN 

PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT HALLE A. S. 



MIT EINER TEXTFIGUR UND EINEM BILDNIS NEUMANNS 

IN HELIOGRAVÜRE 



BRAUNSCHWEIG 

DBUOK UND YEBLAO VON FRIEDRICH YIBWBG UND SOHN 

1907 









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IN UELIOGRAYÜKE 



BRAUNSCHWEIG 

K UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEO » 

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FRANZ NEÜMAM 



UND 8BIN 



WIBKEN ALS FORSCHER UND LEHRER 



VON 



Dr. A. WANGERIN 

PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT HALLE A. S. 



MIT EINER TEXTFIOUB UND EINEM BILDNIS NEUMANNS 

IN HELIOGRAVÜRE 



BRAUNSCHWEIG 

DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWBG UND SOHN 

1907 



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Alle Rechte, 
namentlich dasjenige der Ühersetzung in fremde Sprachen , vorbehalten. 



Pnblishpd March 23, 1907. 
Privilege of Copyright in the United States reserved ander the Act 
approved March 3, 1905 by Fried r. Yieweg & Sohn, Braunschweig, 

Germany. 



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VORREDE. 



Jbiiner Aufforderung des Herausgebers der Sammlung 
„Wissenschaft", deren Programm ja auch die Aufnahme von 
Biographien vorgesehen hat, entsprechend, habe ich es unter- 
nommen, die wissenschaftlichen Leistungen F. Neumanns 
ausführlicher zu besprechen, als es bisher geschehen ist, und 
zugleich sein hervorragendes Wirken als Lehrer zu schildern. 
Für letztere Schilderung konnte ich neben eigener Erinnerung 
aus meiner Studienzeit die in den Kuratorialakten der Königs- 
berger Universität enthaltenen Seminarberichte Neumanns, 
sowie die im physikalischen Laboratorium zu Königsberg 
aufbewahrte Sammlung von Arbeiten aus Neumanns Seminar 
benutzen. Erstere wurden mir von dem Herrn Oberpräsi- 
denten der Provinz Ostpreußen, letztere von Herrn Professor 
Volk mann gütigst zur Verfügung gestellt. Beiden Herren 
spreche ich an dieser Stelle meinen wärmsten Dank aus. 
Vielfach wurden außerdem die bei Neu mann s Tode er- 
schienenen Schriften von W. Voigt („Zur Erinnerung an 
F. E. Neumann", Nachrichten der K. Ges. der Wissen- 
schaften, Göttingen 1895) und von P. Volkmann (Franz 
Neumann, Leipzig 1896) zu Rate gezogen. Diese beiden 
Schriften sind im Text kurz als Voigt und Volkmann 
zitiert. Auch dem von mir veröffentlichten Nekrolog (Jahres- 
bericht der Deutschen Mathematiker -Vereinigung 4, 54 bis 
68, 1895/97, und Leopoldina 32, 1896) konnte manches ent- 
nommen werden, ebenso dem vor kurzem erschienenen Bd. 2 
von F. Neumanns gesammelten Werken. 



Der BeBprechuDg von Neumanns Arbeiten iet eine an- 
spruchslose Darstellung seines äußeren Lebensganges voran- 
geschickt; für diese Darstellung fand ich ein reiches Material 
in dem schönen Buch: „Franz Neumann, Erinnenings- 
blätter von seiner Tochter Luise Neumann", Tübingen und 
Leipzig 1904. Dieses Werk, das im Text kurz als „Erinne- 
rungsblätter" zitiert ist, beruht nicht, wie vielfach an- 
genommen wird, auf hinterlassenen Aufzeichnungen Neu- 
manna. Neumann hat, wie ich einer brieflichen Mitteilung 
von Fräulein Neumann entnehme, zvirar hin und wieder 
den Versuch gemacht, ein Tagebuch zu führen. Alles zu- 
sammengenommen aber beschränken sich diese Versuche auf 
zehn kleine Oktavseiten. Aus diesen hat die Verfasserin 
einiges entnommen und dies in ihrem Werk jedesmal aus- 
drücklich bemerkt. Im übrigen beruht alles, was sie ihren 
Vater erzählen läßt, auf dessen mündlichen Mitteilungen, 
w.;lche ilie Tochter .^UB der Kniinenuig, unil /.war giüüteu- 
teils nach dem Hinscheiden des Vaters, niedergesch^ 

Endlich sind mir von Fräulein Neumann ein 
stücke aus Neumanns Nachlali für meine Schi^ 
fügung gestellt, sowie von Herrn Trofessur 
acht Briefe Jacobis an F. Ne 
lassung dieses Materials danke icl)^ 
mann herzlich. 

Das der Schrift beigeg( 
einer aus dem Jahre ISfiS stai 
gefertigt, 

Halle a. S-, im Oktober 1901 




INHALTSVERZEICHNIS. 



Seite 

Vorrede V 

Inhaltsverzeichnis VII 

Erster Teil. 

Franz NeumAnns Leben. 

1. Jugend- und Schuljahre. Feldzug von 1815 1 

2. Ende der Schulzeit. Studienzeit 4 

3. Erste wissenschaftliche Arbeiten. Promotion 8 

4. Die erste Zeit in Königsberg (1826—1829) 13 

5. Die Jahre wissenschaftlichen Schaffens und Neumanns Lehr- 

tätigkeit 17 

a) 1830—1840 17 

b) 1840—1850 22 

c) 1850—1875 27 

6. Das Jubiläum. Letzte Lebenszeit 31 

7. Rückblick auf Keumanns Perfijnlichkeit 35 

Zweiter Teil. 

NeumAnns wissenschaftliche Arbeiten. 

I. Die kristallographisch-mineralogischen Arbeiten . . 39 

1) Beiträge zur Kristallonomie (1823) 39 

2) De lege zonarum, Dissertation (1826) 49 

3) Über axotomen Bleibaryt (1825) 52 

4) Über das Kristallsystem des Axinita (1825) 53 

5) Das Kristallsystem des Albites und der ihm verwandten 

Gattungen (1830) 54 

6) Schreiben an Weiss, einige kürzere kristallographische 

Notizen enthaltend (1832) 56 

7) Das Gesetz der relativen Stellung der Individuen in den 

Kristallzwillingen (1831) 57 



— VI — 

Der Besprechung von Neumanns Arbeiten ist eine an- 
sprucbslose Darstellung seines äußeren Lebensganges voran- 
geschickt; für diese Darstellung fand ich ein reiches Material 
in dem schöneu Buch: „Franz Neumasn, ErinnerungB- 
blätter von seiner Tochter Luise Neumann", Tübingen und 
Leipzig 1904. Dieses Werk, das im Text kurz als „Erinne- 
ruDgsblätter" zitiert ist, beruht nicht, wie vielfach an- 
genommen wird, auf hinterlassenen Aufzeichnungen Neu- 
mauns. Neumaun hat, wie ich einer brieflichen Mitteilung 
von Fräulein Neumann entnehme, zwar hin und wieder 
den Versuch gemacht, ein Tagebuch zu führen. Alles zu- 
sammengenommen aber beschränken sich diese Versuche auf 
zehn kleine Üktavseiten. Aus diesen hat die Verfasserin 
einiges entnommen und dies in ihrem Werk jedesmal aus- 
drücklich bemerkt. Im übrigen beruht alles, was sie ihren - 
Vater erzählen läßt, auf dessen mündlichen Mitteilungen, 
welche die Tochter aus der Erinnerung, und zwar größten- 
teils nach dem Hinscheiden des Vaters, niedergeschrieben hat. 

Endlich sind mir von Fräulein Neumann einige Schrift- 
stücke aus Neumanns Nachlaß für meine Schrift zur Ver- 
fügung gestellt, sowie von Herrn Professor C. Neumann 
acht Briefe Jacobis an F. Neumann. Auch für die Über- 
lassung dieses Materials danke ich den Geschwistern Neu- 
mann herzlich. 

Das der Schrift beigegebene Bild Neumanns ist nach 
einer aus dem Jahre 1865 stammenden Photographie an- 
gefertigt. 

Halle a S. 




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— VIII — 

Seite 

n. Arbeiten zur Wärmelehre 58 

AUgemeinefl über diese Arbeiten 58 

a) Arbeiten über spezifische Wärme 60 

1) Untersuchungen über die spezifische Wärme der Minera- 

Uen (1831) . 60 

2) Bestimmung der spezifischen Wärme des Wassers in der 

Nähe des Siedepunktes (1831) 60 

3) Gommentatio de emendanda formula per quam calores 

corporum specifici computantur (1834) 60 

4) Beobachtungen über die spezifische Wärme zusammen- 

gesetzter Körper (1865) 60 

5) Theoretische Untersuchung über die zur Bestimmung der 

spezifischen Wärme dienende Methode der Mischung 
(1906 aus dem Nachlaß veröfEentlicht) 60 

b) Arbeiten über Wärmeleitung 65 

1) Methoden zur Bestimmung der Wärmeleitungsfähigkeit 

einer Kugel (1831 und Nachlaß 1906) 65 

2) Exp^riences sur la conductibilit^ calorifique des solides. 

Brief an Badau (1862) 66 

3) Die auf Neumanns Veranlassung gegründete Station 

zur Beobachtung der Erdtemperatur 68 

III. Arbeiten aus der Optik und Elastizitätstheorie . . 69 

a) Bein optische Arbeiten 69 

1) Theorie der doppelten Strahlenbrechung (1832) .... 69 

2) Theorie der elliptischen Polarisation des Lichtes, welche 

durch Beflexion von Metallfiächen erzeugt wird (1832) 77 

3) Über die optischen Achsen und die Farben zweiachsiger 

Kristalle im polarisierten Licht (1834) 79 

4) Theorie der Kristallreflexion (1835) 80 

5) Prioritätsstreit mit Mac Cullagh (1838) 90 

6) Photometrisches Verfahren, die Intensität der ordent- 

lichen und außerordentlichen Strahlen, sowie die des 
reflektierten Lichtes zu bestimmen usw. (1837) .... 91 

7) Beobachtungen über den Einfluß der Kristallflächen auf 

das reflektierte Licht (1837) 91 

b) Andere der Kristallphysik angehörige Arbeiten 93 

1) Die thermischen, optischen u. kristallographischen Achsen 

des Kristallsystems des Gipses (1833) 93 

2) Über die optischen Eigenschaften der hemiprismatischen 

KristaUe (1835) 94 

3) Über das Elastizitätsmaß kristallinischer Substanzen der 

homoedrischen Abteilung (1834) 95 

c) Die Gesetze der Doppelbrechung des Lichtes in komprimier- 

ten oder ungleichmäßig erwärmten unkristallinischen Kör- 
pern (1841) 97 



— IX -. 

Seite 
IV. Arbeiten über induzierte elektrisclie Ströme .... 107 

1) Die mathematiachen Gesetze der induzierten elektrischen 

Ströme (1845) 107 

2) Über ein allgemeines Prinzip der mathematischen Theorie 

induzierter elektrischer Ströme (1847) 118 

Y. Mathematische Arbeiten 124 

a) Geometrie 124 

De tactionibus atque intersectionibus circulorum et in piano 
et in sphaera sitorum, sphaerarum atque conorum ex 
eodem vertice pergentium (1825) 124 

b) Kugelfunktionen 127 

1) Über eine neue Eigenschaft der Laplao eschen Y^ und 

ihre Anwendung zur analytischen Darstellung der- 
jenigen Phänomene, welche Funktionen der geogra- 
phischen Länge und Breite sind (1838) 127 

2) Entwicklung der in elliptischen Koordinaten ausgedruck- 

ten reziproken Entfernung zweier Punkte in Beihen, 
welche nach den Laplace sehen Y^^ fortschreiten (1848) 129 

3) Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen (1878) ... 130 

YI. Wissenschaftliche ITntersuchungen Neumanns, die 
nicht von ihm selbst veröffentlicht sind (Mechanik, 
Kapillaritätstheorie, Elastizität, Opük, Elektrizität und 
Magnetismus, mechanische Wärmetheorie) 132 

Dritter Teil. 

Yorlesongeii, Seminar, Laboratorium. 

I. Die gedruckten Vorlesungen 137 

1) Vorlesungen über die Theorie des Magnetismus, nament- 

lich über die Theorie der magnetischen Induktion, 
herausgegeben von G. Neumann (1881) 138 

2) Einleitung in die theoretische Physik, herausgegeben 

von C. Pape (1883) ' 140 

3) Vorlesungen über elektrische Ströme, herausgegeben von 

K. Von der Mühll (1884) 141 

4) Vorlesungen über theoretische Optik, herausgegeben von 

E. Dorn (1885) 142 

5) Vorlesungen über die Theorie der Elastizität fester Körper 

und des Lichtäthers, herausgegeben von O. E. Meyer 
(1885) 143 

6) Vorlesungen über die Theorie des Potentials und der 

Kugelfunktionen, herausgegeben von G. Neumann 
(1887) 145 

7) Vorlesungen über die Theorie der Kapillarität, heraus- 

gegeben von A. Wangerin (1894) 147 



— X — 

Seite 

II. Das Seminar 148 

1) Yorgeschichte and Gründung des Seminars 148 

2) Das Seminar in den ersten Jahren seines Bestehens 

(1834-1889) 152 

3) Die weitere Entwicklung des Seminars 155 

h) Allgemeine Gesichtspunkte Neumanns bei Leitung 

des Seminars 156 

b) Über die in verschiedenen Semestern im Seminar 

bearbeiteten Aufgaben 158 

Einübung der Mitglieder in messenden Beob- 
achtungen 159 

Aufgaben aus der Mechanik und Hydromecbanik 159 

Elastizität und Kapillarität 161 

Wärmelehre 163 

Übungen zur Optik 166 

Mechanische Theorie der Erscheinungen der zir- 
kulären und elliptischen Polarisation . . . . 167 
Theoretische Ableitung der Gesetze der Metall- 
reflexion 169 

Magnetismus und Elektrizität 171 

c) Bescheide des Ministeriums auf die Seminarberichte 174 

d) Selbständige Arbeiten älterer SeminarmitgUeder. 

Dissertationen, die von Neumann angeregt sind . 175 

e) Verzeichnis einer Reihe weiterer Schüler Neumanns 179 

III. Neumanns Bestrebungen zur Errichtung eines phy- 

sikalischen Laboratoriums 180 



Erster Teil. 

Franz Nenmanns Leben. 



1. Jugend- und Schuljahre. Feldzug yon 1S15. 

Franz Neumann entstammte einer Familie, deren Mit- 
glieder fast sämtlich Landwirte waren. Sein Yater, Ernst Neu- 
mann, war in den letzten Jahren des 18. Jahrhunderts Wirt- 
Bchaftsyerwalter auf dem in der Nähe yon Joachimsthal in der 
Uckermark gelegenen Amte Grimnitz, sein Großvater, Christian 
Neumann, Förster auf der Schmelze, einer nahe hei Grimnitz 
gelegenen Oberförsterei. Hier, im großelterlichen Hause, wurde 
Franz Neumann am 11. September 1798 geboren; im Hause 
der Großeltern yerlebte er seine ersten Jugendjahre. Bald starb 
der Großvater, und nun fiel die Erziehung des Knaben ganz der 
Großmutier zu, die sich dieser Aufgabe mit aufopfernder Liebe 
unterzog. Es waren sehr beschränkte Verhältnisse, in denen 
Franz Neumann heranwuchs. Seine Großmutter war nach 
dem Tode ihres Mannes nach dem Landstädtchen Joachimsthal in 
der Uckermark gezogen (die Stadt war in der ersten Hälfte des 
17. Jahrhunderts Sitz des später nach Berlin verlegten Joachims- 
thalschen Gymnasiums gewesen) und bewohnte dort mit ihrer 
verwitweten Tochter zusammen sowie deren zwei Söhnen eine 
kleine Wohnung, die aus einem Zimmer und einer Küche be- 
stand. „Einmal im Winter wurde geschlachtet; das Fleisch 
mußte für das ganze Jahr ausreichen. In den schweren Zeiten 
1806 bis 1812 blieb die Pension der Tante ganz aus, und es 
konnte trotz fleißiger Arbeit nur ein sehr kümmerliches Leben 
geführt werden" i). 

^) Erinnerungsblätter, 8. 10—11. 
Wangerin, Franz Neumann. i 



— 2 — 

In Joachimsthal besuchte Neumann die VolksBchule bis zu 
seinem zehnten Lebensjahre. Seine weitere Ausbildung erhielt er 
in Berlin auf dem Werderschen Gymnasium. Im August 1808 
siedelte er von Joachimsthal nach Berlin über, und zwar legte er 
den 10 Meilen weiten Weg zu Fuß zurück, in Begleitung von 
Fischern, die in der Nacht neben ihren Fischwagen nach Berlin 
wanderten ^). 

Auch in Berlin lebte er in sehr knappen Verhält uissen. Sein 
Vater, inzwischen Amtmann auf einem gräflichen Gute geworden, 
wünschte dringend dem Sohne eine höhere Ausbildung zu .geben, 
konnte aber nur mit MQhe die nötigen Mittel dazu erübrigen. 
So kam denn Franz Neumann in Pension zu einem Tischler, in 
dessen kleiner Werkstatt er bei einer Docht -Hängelampe seine 
Schularbeiten machen mußte. 1813 vertauschte er diese Pension 
mit der des Herrn Baldemann, Küsters an der Domkirche, und 
nun begannen für ihn freundlichere Zeiten, da er, wiewohl nur 
ein geringes Kostgeld zahlend, doch ganz als Mitglied der Familie 
bebandelt wurde. Dieser Familie hat Neu mann denn auch eine 
große Anhänglichkeit und Dankbarkeit bis in sein spätestes Alter 
bewahrt 2). 

Früh trat in der Schule seine Neigung und Begabung für 
Mathematik zutage; er war der Lieblingsschüler seines mathema- 
tischen Lehrers Dr. Nordmann. Die Mathematikstunde war, 
wie einer seiner Mitschüler, ViTillibald Alexis, in seineu Er- 
innerungen mitteilt, gewissermaßen ein Privatissimum , das der 
Lehrer für Neumann hielt, während die übrigen Schüler ihren 
Gedanken und Spielereien überlassen wurden. Schon 1812 hegte 
Neumann den Wunsch, sich ganz dem Studium der Mathematik 
zu widmen, doch sprach sich sein Vater dagegen aus. Im übrigen 
knüpften sich für Neu mann an die Gymnasialzeit und die meisten 
seiner Lehrer keine allzu freundlichen Erinnerungen. „Unser 
Interesse am Lernen wurde wenig geweckt^, sagte er selbst 3). 

Geweckt wurde aber in dieser Zeit durch die politischen 
Verbältnisse, durch den schweren Druck, der auf Preußen lastete, 
der glühende Patriotismus, der Neumann sein Leben lang be- 
seelte. Einen besonders tiefen Eindruck hat auf den Knaben 



^) Erinnerungsblätter, B. 17. 
*) Ebend., S. 23. 
«) Ebend., S. 18. 



— 3 — 

der Einzug Schills in Berlin im Jahre 1808 gemacht; später 
waren es Schleiermacher, yon dem er 1813 eingesegnet war, 
und Ludwig Jahn, an dessen Turnübungen er von 1814 an 
teilnahm, die den größten Einfluß auf das jugendliche Gemüt und 
das Denken Franz Neumanns ausübten. Als sich bei der Er- 
hebung des Volkes im Jahre 1813 die oberen Klassen der Schulen 
leerten, da fast alle Schüler in das Feld zogen, mußte Neumann 
zu seinem großen Schmerz zurückbleiben; denn vor Vollendung 
des 16. Lebensjahres wurde niemand als Freiwilliger eingestellt. 
Erst bei Wiederausbruch des Krieges im Jahre 1815 durfte er sich 
melden. Mit einer großen Anzahl seiner Mitschüler zusammen trat 
er als freiwilliger Jäger in das Kolberger Regiment. Nach not- 
dürftiger Ausbildung wurden die Freiwilligen dem schon im Felde 
stehenden Eegiment nachgesandt, das sie Anfang Juni erreichten, 
und mit dem sie am 16. Juni an der Schlacht von Ligny teilnahmen. 
Gleich in dieser ersten Schlacht wurde Franz Neumann schwer 
verwundet; eine Kugel, welche die linke Backe getroffen, sämt- 
liche Zähne der linken Seite und einige der rechten mitgenommen 
hatte und an der Nase wieder herausgefahren war, hatte ihn zu 
Boden gestreckt. Nachdem er, der als tot auf dem Schlachtfelde 
zurückgelassen war, seine Besinnung wiedererlangt, gelang es 
ihm nur dadurch, daß andere Soldaten sich seiner annahmen, 
am Abend des nächsten Tages ein Lazarett zu erreichen. Hier 
wurden seine Wunden für unheilbar erklärt, und nur mit Mühe 
erlangte er, daß er überhaupt verbunden wurde. Mit anderen 
Verwundeten wurde er, dessen ganzes Gesicht in Eiterung über- 
gegangen war, sodann auf Kähnen und Wagen nach Düsseldorf 
gebracht. Über diese Fahrt sagt Willibald Alexis in seinen 
Erinnerungen 1) : „Auf einem jener offenen Wagen, welche mit 
Schwerverwundeten überfüllt waren, ungeschützt vor Sonnen- 
brand und Regengüssen, lag auch einer meiner näheren Be- 
kannten. ... Er versicherte uns oft nachher, das Wort „incurable*' 
von den Lippen des Ghirurgs dröhne ihm noch nachts und tags 
in den Ohren. ... Wo man sich seiner annahm, mußte man ihm 
durch Federposen die Flüssigkeit einflößen, um seinem sonst 
gesunden Körper Nahrung zu geben." 

Erst im Lazarett zu Düsseldorf wurde Neumann, 14 Tage 



*) Vgl. Erinnerungsblätter, S. 52. 

1* 



— 4 — 

nach seiner Verwundung, richtig verbunden, erst hier kam er in 
geordnete Pflege. Insbesondere nahmen sich drei Damen, die die 
Aufsicht im Lazarett führten, seiner liebevoll an, und so besserte 
sich sein Zustand bald. Als er sich etwas wohler fühlte, litt es 
ihn nicht langer in Düsseldorf. Obwohl noch nicht völlig wieder- 
hergestellt, eilte er zu seinem Regiment zurück, das an der Be- 
lagerung der Maasfestung Givet teilnahm. Dort brach infolge 
der Strapazen und der feuchten Witterung die noch nicht ganz 
geheilte Wunde wieder auf, aber trotz dieses Siechtums blieb er 
bis zum Ende des Feldzuges bei seinem Truppenteile. Ende 
Dezember begann der Rückmarsch der freiwilligen Jäger ins 
Vaterland. Am 8. Februar 1816 langte die Abteilung in Berlin 
an, und die Freiwilligen wurden entlassen. 

2. Ende der Schulzeit. Studienzeit. 

Trübe lag nun die Zukunft vor Neumann. Sein Vater, der 
während der Eriegszeit fast sein ganzes Vermögen verloren hatte, 
konnte ihm nur die geringe Unterstützung von fünf Talern 
monatlich gewähren. Trotz seiner Mittellosigkeit entschloß Neu- 
mann sich, gleichzeitig mit mehreren seiner Kriegskameraden, 
wieder in das Gymnasium, das er vor einem Jahre verlassen 
hatte, einzutreten. Noch IV2 J&hre besuchte er die^Schule, bis 
er im Herbst 1817 das Reifezeugnis erhielt. Er bezog nun die 
Berliner Universität, um, einem Wunsche seines Vaters ent- 
sprechend, Theologie zu studieren. Um diese Zeit hatte sein Vater 
durch einen Brand alle seine Habe verloren und konnte seinen 
Sohn nicht weiter unterstützen. Ein Freitisch, den ihm sein 
früherer Gymnasialdirektor erwirkt hatte, und der Ertrag von 
Privatstunden, die er erteilte, bildeten das ganze Einkommen 
Neumanns. Er schlief, da er kein eigenes Zimmer mieten 
konnte, in der Wohnung eines Bekannten auf bloßer Diele, mit 
seinem Soldatenmantel zugedeckt. Noch kümmerlicher erging es 
ihm, als er in Jena seine Studien fortsetzte. „Törichterweise*^, 
sagen die Erinnerungsblätter ^) , „ließ ich mich im April 1818 
durch meinen Freund Dulitz verleiten, nach Jena zu gehen. 
Dort war meine Lage viel schlimmer, wenngleich ein Student mit 



^) Erinnerungsblätter, S. 90—93. 



— 5 — 

Namen Penz mich wieder bei sich aufnahm. . . . Penz hatte ein 
großes zweifenstriges Zimmer. Da richtete jeder von uns an 
einem der Fenster seinen Arbeitsplatz ein. Wir arbeiteten fleißig. 
Das war schön, aber schlimm war es, daß ich mit meiner Klei- 
dung zu mangelhaft bestellt war, um Stunden geben zu können. 
Eigentlich besaß ich nur Hose und Weste, mein alter Soldaten- 
mantel mußte den fehlenden Rock ersetzen und alles decken. 
Was aber das AUerschlimmste war — ich lernte nichts." 

„In Berlin hatte ich Neander und Schleiermacher ge- 
hört, auf Wunsch meines Vaters auch juristische Vorlesungen 
besucht, aber weder dem Studium der Theologie, noch dem der 
Jurisprudenz Geschmack abgewinnen können. Hier in Jena be- 
legte ich außer naturphilosophischen Kollegien bei Oken ver- 
schiedene naturwissenschaftliche Vorlesungen; aber auch diese 
befriedigten mich wenig." Und in einem später an das preußische 
Unterrichtsministerium gerichteten Unterstützungsgesuch sagt er 
von seinen Jenenser Studien: „Auch ist mein Fleiß mehr im 
eigenen Studieren, als im Besuche der Vorlesungen zu finden, da 
ich Mathematik studiere, die Vorlesungen darüber sich aber nur 
auf die niederen Teile erstrecken." Aus dieser Zeit sei das 
folgende Urteil eines Studiengenossen, des späteren Kunstschrift- 
stellers und Malers Ernst Förster (1800—1885), über Neu- 
mann mitgeteilt^): 

„Besonders wert um ihrer naturwissenschaftlichen Studien 
willen waren mir zwei Studenten. . . . Der andere war der Minera- 
loge Neumann, dessen äußere Erscheinung den reichen Inhalt 
seines Inneren nicht yerriet, wie denn auch sein stets bereiter 
offener Humor nicht entfernt ahnen ließ, mit wie bitterer Not er 
zu kämpfen hatte. Als Andenken an den Befreiungskrieg, in 
welchem er als Freiwilliger mitgekämpft, trug er die Spuren 
einer französischen Kugel im Gesicht, die ihm die obere Kinnlade 
zerschmettert hatte, und außerdem einen alten grauen Mantel, 
den er im Sommer und Winter anstatt eines Eockes trug, den er 
nicht hatte. Von seiner stets guten Laune gab es viel ergötz- 
liche Proben, deren wohl manche an den alten Studentenstil er- 



') Siehe Försters Selbstbiographie „Aus der Jugendzeit*. Stutt- 
gart 1887, S. 140. Vpjl. auch Volkmann, S. 6; Erinnerungsblätter, 
S. 96. 



— 6 — 

innern mochten, aber ohne die Grenzen eines guten und kecken 
Humors zu verletzen." 

In Jena verweilte Neumann, der Mitglied der Burschen- 
schaft geworden war, etwa ein Jahr. Dann kehrte er, als infolge 
des Sand sehen Attentates an alle preußischen Studierenden der 
Befehl erging, innerhalb 24 Stunden Jena zu verlassen, nach 
Berlin zurück. Hier gab er das Studium der Theologie endgültig 
auf und wandte sich ganz den Naturwissenschaften zu. Vor 
allem zogen ihn die Vorlesungen des Mineralogen Ernst Chri- 
stian Weiss an. Neumann sagt über diesen Lehrer^): 

„Ich kann wohl sagen, er war der einzige, bei dem ich etwas 
lernte — ihm verdanke ichs, wenn etwas aus mir geworden ist." 

Hinsichtlich seiner mathematischen Studien war Neumann 
ganz auf sich selbst angewiesen; ein Versuch, eine mathematische 
Vorlesung in Berlin zu hören, mißlang, da der betreffende Pro- 
fessor, um die Vorlesung nicht zustande kommen zu lassen, sie 
so hielt, daß er etwa erscheinende Zuhörer völlig abschreckte. 
Auch in dieser Zeit fristete er sein Leben unter den größten 
Entbehrungen. 

„Wieder habe ich^) das ganze Jahr auf bloßer Diele ge- 
schlafen in der Wohnung eines Freundes. Ich habe von Kaffee 
und Brot gelebt — den Kaffee, d. h. Kaffee-Surrogat, kochte ich 
auf kleinem Spirituslämpchen , dessen Heizkraft ich dadurch er- 
höhte, daß ich Holzspäne und dünne Äste, aufs feinste zer- 
kleinert, sorgfältig über der Flamme aufschichtete. Die Späne 
und Äste suchte ich mir auf der Straße." 

Daß sein Streben unter so ungünstigen äußeren Verhält- 
nissen nicht erlahmte, ist bewunderungswürdig. Dem größten 
Mangel wurde durch ein Stipendium von 100 Talern abgeholfen, 
das ihm der Minister v. Altenstein verlieh. Seine sparsame 
Lebensweise ermöglichte es ihm, von jener geringen Summe noch 
Ersparnisse zu machen, die er zu einer geognostischen Studien- 
reise nach dem Kiesengebirge und Oberschlesien verwandte. Nach 
gründlichster Vorbereitung trat er im August 1820 die Reise an, 
die in erster Linie seiner weiteren wissenschaftlichen Ausbildung, 
der Erweiterung seiner Anschauung dienen sollte. Daneben ver- 



^) Erinnerungsblätter, S. 110. 
^) Ebend , S. 112. 



J^ä 



folgte er den praktischen Zweck, Mineralien und Fossilien für 
das Berliner Mineralienkabinett zu sammeln. Mit Eifer widmete 
er sich während seiner drei Monate dauernden Reise dieser Auf- 
gabe, die ihm zwar durch Unterstützung der preußischen Berg- 
behörden, denen er durch das Ministerium empfohlen war, er- 
leichtert wui'de, die aber trotzdem noch mühevoll genug war. Auf 
tagelangen Wanderungen mußte er seinen mit Steinen gefüllten 
Tornister tragen, der oft so schwer war, daß die kräftigsten 
Bauern Mühe hatten, ihn zu heben. Eine Bezahlung für die wert- 
volle Sammlung, die noch jetzt im Berliner Museum für Natur- 
kunde vorhanden ist, lehnte Neumann ab und ließ sich nur 
durch vieles Zureden von Weiss bestimmen, einen Ersatz der 
Eeisekosten, 30 Tal er, anzunehmen. 

Im nächsten Jahre trug sich Neu mann mit dem Plan einer 
weiteren Reise zur mineralogischen Erforschung der Earpathen. 
Die Ausführung des Planes wurde zunächst dadurch hinaus- 
geschoben, daß ihm eine Unterstützung, die das Ministerium ihm 
für die frühere Reise nach Schlesien zugesichert hatte, nicht 
rechtzeitig gezahlt wurde. Dann aber trat ein Ereignis ein, das 
Xeumanns Leben für einige Zeit in ganz andere Bahnen lenkte. 
Am 13. Mai 1821 starb sein Vater, an dem er stets mit innig- 
ster Liebe gehangen hatte. Der Vater hatte lange Jahre in Hin- 
gebung und Treue das Gut und das Vermögen einer Gräfin ver- 
waltet, deren einzige Stütze er gewesen war. Seitens dieser 
Dame erging an Franz Neumanu die Aufforderung, sich der 
Landwirtschaft zu widmen, um später an die Stelle seines Vaters 
zu treten. Neumanu glaubte sich dieser Aufforderung nicht 
entziehen zu dürfen, weil er es für eine Pflicht der Pietät hielt, 
das Andenken seines Vaters dadurch zu ehren, daß er fortsetzte, 
was jener nicht vollenden konnte; auch die hohe Verehrung, 
die Neumann für die Gräfin hegte, war mitbestimmend für 
seinen Entschluß. Schweren Herzens brach er seine Studien ab, 
um sich der neuen Lebensaufgabe zu widmen. Indessen ge- 
währten ihm die Verhältnisse, unter denen er auf dem Lande 
lebte, keinerlei Befriedigung. Er fühlte sich dort gar nicht an 
seinem Platze und erkannte bald, daß er, vorläufig wenigstens, 
nur geringen Nutzen stiften könne. Nach langen inneren Kämpfen 
gab er daher den Plan, Landwirt zu werden, auf und kehrte im 
Herbst 1821 zur Wissenschaft zurück. Auch große äußere Vor- 



— 8 — 

teile, die ihm für die Zukunft in Aussicht gestellt wurden, wenn 
er bliebe, yermochten nicht, ihn in seinem Entschluß wankend 
zu machen. Doch brach er damit seine Beziehungen zur Gräfin 
nicht völlig ab; wiederholt war er in den nächsten Jahren in 
ihrem Interesse tätig und ihr bei der Verwaltung des Gutes 
behilflich i). 

3. Erste wissenschaftliche Arbeiten. Promotion. 

Im Herbst I82I nahm Neumann seine Studien wieder auf, 
wenn er ihnen aus den eben angeführten Gründen zunächst 
auch noch nicht seine ganze Zeit widmen konnte. Bald wandte 
er sich eigenen Untersuchungen zu und verfaßte im Jahre 1822 ^) 
und 1823 sein erstes Werk: Die Beiträge zur Krystallo- 
nomie. Dem im September 1823 erschienenen Buche, einem 
Oktavbande von 152 Seiten Text nebst 16 Seiten Vorwort und 
Einleitung, dem 54 Figuren 3) auf 12 Tafeln beigegeben sind, 
wollte Neumann eine Reihe von zwanglosen Heften folgen 
lassen, in denen einerseits die Resultate seiner eigenen kristalk)- 
graphischen Arbeiten niedergelegt, andererseits aber auch die 
Beobachtungen anderer Forscher nach seiner neuen graphischen 
Methode dargestellt werden sollten, „so daß diese Beiträge 
zugleich ein Repertorium aller krystallographischen 
Beobachtungen" gebildet haben würden. Leider ist es zur 
Ausführung dieses Planes nicht gekommen; nicht einmal das 
zweite, noch für dasselbe Jahr in Aussicht gestellte Heft ist ge- 
druckt, vermutlich weil der buchhändlerische Erfolg der Beiträge 
kein erheblicher und Neumann selbst nicht in der Lage war, 
die Druckkosten zu bezahlen. 

Auf den Inhalt der Beiträge im einzelnen soll im nächsten 
Abschnitte eingegangen werden. Nur das sei hier kurz bemerkt, 
daß die Schrift insbesondere wegen der in ihr entwickelten neuen 
Projektionsmethode der Kristalle als epochemachend bezeichnet 

^) In den Erinnerungsblättem ist eine Reihe interessanter Briefe, 
von Neumann an die Gräfin und von dieser an Neumann gerichtet, 
abgedruckt. 

*) Daß ein Teil des Werkes schon im Sommer 1822 vollendet 
war, sagt Neumann ausdrücklich in der Vorrede. 

') Die Figuren tragen die Nummern 1 bis 48 ; verschiedene Figuren 
haben &.\:er dieselbe Nummer, mit a, b usw. unterschieden. 



— 9 — 

werden kann, was unter anderen Th. Liebisch in dem Werke: 
„Die deutschen Universitäten^, herausgegeben von W. Lexis, 
Berlin 1893, Bd. 11, S. 56 anerkennt. Von den Zeitgenossen war 
es besonders Neumanns Lehrer Weiss,, der die Bedeutung des 
Werkes seines Schülers würdigte. Er dankte Neumann für das 
„schöne Exemplar seiner schöneren Schrift ^)^, empfahl ihm, dem 
Minister v. Altenstein ein Exemplar der Beiträge zu über- 
senden und übertrug ihm zugleich vertretungsweise eine Assi- 
stentenstelle beim mineralogischen Museum. Auch weiterhin war 
Weiss bestrebt, Neumann zu fördern, um ihm die Universitäts- 
laufbahn zu ermöglichen. Auf Weiss' Veranlassung hielt Neu- 
mann im Winter 1823 — 1824 vor einem auserwählten Publikum 
Vorträge über EristaUographie und besonders über seine neue 
Projektionsmethode der Kristalle. 

„Zu meinem Staunen sah ich einen Zuhörerkreis von etwa 
30 Personen vor mir und erkannte unter ihnen die ersten Ka- 
pazitäten Berlins: Leopold v. Buch, Alexander v. Hum- 
boldt, Oberbergrat v. De eben, Exzellenz v. Jasky u. a. Ich 
weiß gar nicht, wie ich dazu kam, daß die Herren regelmäßig 
bei mir hörten. Ich las über Krystallographie und entwickelte 
eine neue Methode — das alles verdanke ich der großen Güte 
von Weiss. Er hatte mir das verschafft: Ihm verdanke ich 
meine ganze Laufbahn!^ 

„Selbstverständlich hielt ich diese Vorlesungen unentgelt- 
lich, Leopold V. Buch ließ es sich aber nicht nehmen, mir 
ein Honorar zu schicken'^ ^). 

Andere der damaligen Zuhörer bewiesen sich in anderer 
Weise dankbar. Der Oberbergrat v. De eben machte Neumann 
auf Fouriers Werke aufmerksam und verschaffte ihm dieselben 
leihweise. Mit Feuereifer vertiefte sich Neumann in das Stu- 
dium der Arbeiten Fouriers, den er später oft als seinen vor- 
nehmsten Lehrer bezeichnete. Fouriers Wärmetheorie schrieb 
er, um sie zu besitzen, sich selbst ab 3). Den in Rede stehenden 
Vorlesungen verdankte es Neumann ferner, daß eine vom General- 
leutnant V. Jasky dem König Friedrich Wilhelm III. zurVer- 



*) Erinnerungsblätter, 8. 202—203. 
*) Ebend., 8. 223—224. 
*) Voigt, 8. 7. 



— 10 — 

fügung gestellte bedeutende Mineraliensammlung der Universität 
Königsberg und damit Neumann zur Benutzung überwiesen 
wurde *). 

Um seine Zukunft zu sichern, meldete sich Neumann im 
Herbst 1824 bei der wissenschaftlichen Prüfungskommission zum 
Oberlehrerexamen. Von Poselger, der jener Kommission als 
Mathematiker angehörte, wurden ihm am 23. Oktober 1824 fol- 
gende Aufgaben gestellt: 1. eine geometrische Abhandlung über 
Berührungen, 2. eine analytisch -geometrische über gerade Linie 
und Ebene. Außerdem sollte er vor der mündlichen Prüfung 
eine Probelektion über die ersten Gründe der Stereometrie nach 
Anleitung des XL Buches der Elemente des Euklid halten. Die 
Prüfung selbst scheint Neumann nicht abgelegt zu haben, 
wenigstens findet sich in den Akten des Provinzial- Schulkollegiums 
und der Prüfungskommission nichts darüber, ebensowenig in 
Neumanns hinterlassenen Papieren. Weshalb Neumann den 
Plan, die Oberlehrerprüfung abzulegen, aufgab, läßt sich aus 
einer Stelle in einer gleich zu besprechenden Eingabe an das 
Ministerium entnehmen. Neumann fühlte, daß es ihm nicht 
möglich sei, die rein wissenschaftliche Beschäftigung ganz aufzu- 
geben, und fürchtete, daß die Ansprüche der Schule und der 
Wissenschaft ihn in einen inneren Zwiespalt verwickeln könnten, 
der ihn unglücklich machen würde. Er wandte sich daher noch 
vor Ablegung der Prüfung, am 2. Januar 1825, an das Mini- 
sterium mit der Bitte, ihm nach Ablauf der interimistischen 
Stellung, die er am mineralogischen Museum bekleidete, eine 
andere wissenschaftliche Bestimmung zu erteilen. Er motivierte 
diese Bitte damit, daß seine Gesundheit ihm nicht gestatte, sich 
ähnlichen Entbehrungen wie früher zu unterziehen, und daß er 
deshalb seine äußere Subsistenz sicher zu stellen wünsche. Am 
liebsten würde er seine Fähigkeiten als Dozent an einer Uni- 
versität betätigen, und neben der Mineralogie, mit deren 
mathematisch - physikalischen Teilen er sich bisher vorwiegend 
beschäftigt habe, die Abschnitte der Physik lehren, die 
eine höhere mathematische Ausbildung schon erhalten 
hätten, oder doch deren jetzt schon fähig seien. Doch 
werde er, wenn das Ministerium es so bestimme, auch eine Lehrer- 



^) Erinnerungsblätter, S. 244. 



— 11 - — 

stelle übernehmen. Nur bitte er, in diesem Falle ihm noch eine 
Frist zur Ausarbeitung der Fortsetzung seiner Beiträge zur Kri- 
stallonomie zu gewähren und ihn während dieser Zeit durch eine 
Unterstützung vor Mangel zu schützen. Auf diese Eingabe, in 
der zum ersten Male das Ziel, das er sich gesteckt, klar aus- 
gesprochen ist, erhielt Neumann am 10. Januar 1825 folgende 
Antwort *) : 

„Das Ministerium eröffnet Ihnen auf die Vorstellung vom 
2 ten dieses Monats, daß es für jetzt keine Gelegenheit hat, Ihnen 
einen anderweitigen wissenschaftlichen Wirkungskreis anzu- 
weisen. Wenn sich eine solche Gelegenheit darbietet und Sie 
sich als Privatdozent bewährt haben, wird dasselbe Ihres Gesuches 
eingedenk sein und solches so viel als möglich berücksichtigen. 
Um Sie indessen in den Stand zu setzen, Ihre wissenschaftlichen 
Bestrebungen zu verfolgen, und sich teils durch schriftstellerische 
Arbeiten, teils durch Vorlesungen bei der hiesigen Universität 
gegründete Ansprüche auf weitere Berücksichtigung zu erwerben, 
will das Ministerium Sie gern, so weit seine beschränkten Fonds 
das gestatten, von Zeit zu Zeit außerordentlich unterstützen und 
hat Ihnen vorläufig eine Summe von 

Einhundert und fünfzig Talern 
bewilligt. 

Ministerium der Geistlichen, Unterrichts- 
und Medizinal- Angelegenheiten 

Altenstein." 

Am Ende des Sommersemesters 1825 bewarb sich Neu- 
mann bei der Berliner philosophischen Fakultät um die Pro- 
motion. Als Promotionsschrift reichte er eine geometrische 
Abhandlung (über das Problem des Apollonius und dessen Er- 
weiterungen) ein, auf deren Inhalt weiter unten eingegangen 
werden soll. Diese Arbeit, die Weierstrass gesprächsweise in 
den siebziger und achtziger Jahren wiederholt als eine aus- 
gezeichnete, noch für die Jetztzeit wertvolle Leistung bezeichnete, 
fand seitens der Fakultät nicht die Anerkennung, die sie ver- 
diente. Das Urteil von Dirksen lautete: „Daß der Gegenstand 
der Dissertation und die darin befolgte Methode, beide, mit Rück- 
sicht auf ihre Bedeutsamkeit einer früheren Periode der Wissen- 



*) Erinnerungsblätter, 8. 227. 



— 12 — 

Bohaft angehören, der jetzigen Richtung der Mathematik und dem 
Bedürfnis eines Physikers ... so fremd sind, daiS ich nicht ein- 
sehe, wie der Verfasser . . . einen so unzeitigen Stoff hat wählen 
und sich so ganz auf den Tummelplatz angehender Gymnasial- 
lehrer hat zurückwerfen können. Zu Yietas Zeiten hätte die 
eingereichte Arbeit allerdings ihren groiSen Wert gehabt **. . . . 
Trotz dieser Beurteilung wurde die Dissertation nicht zurück- 
gewiesen, ihr Verfasser vielmehr zur mündlichen Prüfung zu- 
gelassen, die er am 5. November 1825 bestand. Das Gesamt- 
urteil faßte der Dekan in die Worte zusammen: „daß der 
Kandidat seine Würdigkeit, das testimonium doctrinae zu er- 
halten, besonders durch seine gründlichen physikalischen Kennt- 
nisse aufs ehrenvollste bekundet habe^)**. 

Nach bestandenem Examen erklärte sich Neu mann frei- 
willig bereit, statt der nicht ganz gebilligten mathematischen 
eine andere Abhandlung einzuliefern. Es war dies die Arbeit: 
„De lege zonarum principio evolutionis systematum crystalli- 
norum". Nach Druck derselben und gehaltener öffentlicher Dis- 



*) Die Nachrichten über Neumanns Promotionsprüfung und 
über die Beurteilung seiner Promotionsschrift verdanke ich. Herrn 
Prof. H. A. Schwarz, der auf meine Bitte im Jahre 1895 die Güte 
hatte, die Angaben des Textes aus den Akten der Berliner philo- 
sophischen Fakultät auszuziehen. 

In der Isis, in der die geometrische Arbeit später veröffentlicht 
ist, ist als Jahreszahl MDCCCXY angegeben, eine Angabe, die mich 
früher auf die Vermutung führte, die letzte Ziffer V sei eine ver- 
stümmelte X, und die Arbeit sei schon 1820 abgefaßt. Daß diese 
Vermutung eine irrige war, geht daraus hervor, daß aktenmäßig fest- 
steht, daß die Abhandlung erst am Ende des Sommers 1825 der Ber- 
liner Fakultät eingereicht ist. Wahrscheinlich ist die Jahreszahl in- 
folge eines Schreibfehlers Neumanns falsch angegeben. Nach 
einer Mitteilung des Herrn Prof. H. A. Schwarz enthält Neumanns 
Eingabe an die Fakultät, in der er sich um die Zulassung zur Pro- 
motionsprüfung bewirbt, denselben Schriftfehler. 

Die vorstehenden Angaben, wie der ganze Passus über Neu- 
manns Promotion sind im wesentlichen meinem im Jahresbericht 
der Deutschen Mathematiker -Vereinigung IV (Berlin 1897) veröffent- 
lichten Nekrologe entnommen. Damals kannte ich die Akten über 
die Neu mann zur Oberlehrerprüfung gestellten Aufgaben noch nicht. 
Seitdem ich darüber unterrichtet bin, halte ich es für wahrscheinlich, 
daß die erste jener Aufgaben Neumann zur Abfassung seiner geo- 
metrischen Dissertation angeregt hat. 



— 13 — 

putation wurde er am 16. März 1826 zum Doktor promoviert. 
Die Thesen, über die er disputierte, lauteten : 

1. Densitas materiae nil nisi fictio est, quae tolerari nequit. 

2. Theoria de propagatione caloris, in corporibns solidis, 
a cel. Fourier proposita, nimium sibi assumit, quod calorem 
radiantem spatio coelesti inesse contendit. 

3. Hypotheses a naturae explicatione prohibendae. 

4. Individua concreta crystalli gemini ad determinandum 
aJiquod planum non una agunt. 

Ö. Principium geminationis crystallinae in hoc situm est, 
quod utriusque crystalli directiones ejusdem mensurae crystallo- 
nomicae inter se permutantur. 

Seine Opponenten waren: Garol. Reuter, Stud. theol.; 
Herrn. Franke, Cand. phil. 

4. Die erste Zeit in Königsberg (1826—1829). 

Am 24. April 1826 überreichte Neumann dem Minister 
seine Dissertation zugleich mit einer 1825 verfaßten und in Pogg. 
Ann. veröffentlichten kristallographischen Arbeit über das Kri- 
stallsystem des Axinits. Bei dieser Gelegenheit kam er auf die ihm 
am 10. Januar 1825 gemachten Versprechungen zurück, erwähnte, 
daß er bisher durch wiederholte Kränklichkeit verhindert ge- 
wesen sei, Vorlesungen an der Berliner Universität zu halten, 
daß er aber jetzt im Begriff stehe, sich an derselben zu habili- 
tieren. Er bat zugleich unter Hinweis auf seine bedrängte Lage, 
ihn durch weitere Unterstützung in den Stand zu setzen, seine 
Bestrebungen weiter verfolgen zu können. Auf diese Eingabe 
erhielt er am 6. Mai 1826 den Bescheid, daß das Mnisterium 
nach Erwägung aller Verhältnisse für rätlich halte, daß Neu- 
mann sich in Königsberg habilitiere. Zugleich war ihm darin 
eine jährliche Remuneration von 200 Talern, sowie 50 Taler zur 
Bestreitung der Reisekosten zugesichert. 

Nur ungern folgte Neumann dieser Aufforderung des 
Ministers. Einmal wurde es ihm schwer, Berlin und damit seine 
alten Freunde zu verlassen, sodann fürchtete er, daß ihm für 
«eine mineralogischen Vorlesungen, deren Abhaltung seine Haupt- 
aufgabe sein sollte, dadurch Schwierigkeiten erwachsen könnten, 
daß die Königsberger Mineralien-Sammlung nicht von vornherein 



— 14 — 

ihm unterstellt, er Tielmehr hinsichtlich ihrer Benatzung auf die 
Gefälligkeit yon Prof. Hagen angewiesen wurde. Er legte dem 
Bflinisterium sein Bedenken dar, bat auch, ihn lieber an die Bres- 
lauer Universität zu senden als nach Königsberg. Alle diese 
Vorstellungen waren vergeblich. Neumann wurde aufgefordert, 
sich zu erklären, ob er nach Königsberg gehen wolle oder nicht. 
Da er durch eine Weigerung jede Aussicht auf Beförderung in 
Preußen zu verlieren fürchtete, so willigte er schweren Herzens 
in die Übersiedelung nach Königsberg, in der stillen HofEnung 
allerdings, daß der Aufenthalt dort nur ein kurzer sein, nicht 
länger als ein Jahr dauern würde. 

Doch wie anders gestaltete sich die Zukunft! Nicht ein 
Jahr, sondern ein langes Leben hindurch währte der Aufenthalt 
in Königsberg, und so ungern er dorthin gegangen, so lieb war 
ihm in späterer Zeit die neue Heimat. Die Vorliebe des jungen 
Dozenten für Berlin verwandelte sich im Laufe der Zeit geradezu 
in eine gewisse Abneigung gegen Berlin und die Berliner. Auf 
seinen Reisen in späterer Zeit vermied er es meist, Berlin zu 
berühren; nur um den £inzug der siegreichen Krieger 1866 und 
1871 zu sehen, besuchte er die Hauptstadt. 

Im Herbst 1826 siedelte Neumann nach Königsberg über; 
eine acht Tage und acht Nächte dauernde Postfahrt führte ihn 
an den Ort seiner neuen Wirksamkeit. Unter günstigen Auspizien 
begann Neumann seine Lehrtätigkeit an der Königsberger Uni- 
versität. Wirkte doch an dieser seit 1810 der große Astronom 
Bessel, der die dortige, nach heutigen Begriffen kleine und nur 
mit sehr geringen äußeren Mitteln ausgestattete Sternwarte für 
Jahrzehnte zum Mittelpunkt des gesamten astronomischen Lebens 
gemacht hat. Zu ihm trat Neumann bald in ein freundschaft- 
liches, später in ein verwandtschaftliches Verhältnis. Auch 
andere Zweige der Naturwissenschaften, deren Studium früher in 
Königsberg sehr daniedergelegen^), hatten einen Aufschwung 
genommen, so namentlich die Zoologie, die seit Beginn der zwan- 
ziger Jahre von Karl Ernst v. Baer (1792 — 1876) vertreten 



^) Waren doch die gesamten naturwissenschaftlichen Fächer : 
Botanik, Zoologie, Mineralogie, Chemie (inkl. Pharmazie) und Physik» 
lange Zeit durch einen einzigen Professor, Karl Gottfried Hagen, 
vertreten, der erst in den zwanziger Jahren einen Teil seiner Vor- 
lesungen an andere Dozenten abgab. 



— 15 — 

war, der zugleich Anatomie lehrte, sich aber immer mehr und 
mehr der Zoologie zuwandte. Von besonderer Bedeutung für 
das Studium der Mathematik und Physik wurde es, daß in dem- 
selben Jahre, in dem Neumann Dozent in Königsberg wurde, 
auf Veranlassung des Ministers noch zwei andere junge Berliner 
sich dort habilitierten, Jacobi für Mathematik, Dove für Physik. 
Zu beiden trat Neu mann bald in nähere Beziehung; mit Jacobi 
verband ihn später dauernde Freundschaft '). Auch sein Ver- 
hältnis zu Hagen gestaltete sich besser, als er erwartet hatte; 
Neumann B Befürchtungen, Hagen könne ihm hinsichtlich der 
Benutzung der Mineraliensammlung Schwierigkeiten machen, er- 
wiesen sich als irrig. 

Trotz alledem dauerte es mehrere Jahre, bis sich Neumann 
in Königsberg wohl und heimisch fühlte ; denn bei seiner Zurück- 
haltung Fremden gegenüber bedurfte es längerer Zeit, bis er den 
späteren Königsberger Freunden näher trat und in ihnen Ersatz 
für die Freunde fand, die er in Berlin yerlassen hatte. Die 
Sehnsucht nach letzteren ließ ihn seine Einsamkeit schwer 
empfinden und versetzte ihn oft in eine gedrückte Stimmung. Mit 
veranlaßt wurde diese Stimmung durch die Einschränkungen, zu 
denen ihn sein geringes Einkommen zwang, sowie durch den 
Umstand, daß für die Disziplin, die zu lehren er berufen war, in 
Königsberg nur ein geringes Interesse bestand. Seine erste Vor- 
lesung im Winter 1826 — 1827 (über Kristallographie) hielt er 
vor nur drei Zuhörern, und im darauf folgenden Sommersemester 
scheint er Vorlesungen ohne Erfolg angekündigt zu haben. 
Nimmt man dazu, daß in jener Zeit auch seine Gesundheit ge- 
litten hatte, so kann man sich nicht wundern, wenn er um diese 
Zeit von sich sagt: „Mein Mut ist erloschen". 

Seine Erfolge als Dozent wurden bald bessere, insbesondere 
seitdem er neben Vorlesungen über Mineralogie solche über 
Physik hielt. Schon im Winter 1827—1828 las er Physik der 
Erde vor 25, daneben Mineralogie vor 4 Zuhörern; und in den 
folgenden Jahren fanden auch die mineralogischen Vorlesungen 



*) In Naumanns Nachlaß fand eich die interessante Eede vor, 
mit welcher Jacobi 1832 seine Disputation pro loco ordinario ein- 
leitete. Sie ist 1901 von W. v. Dyck in den Berichten der Münchener 
Akademie, Bd. 31, wie in den mathematischen Annalen , Bd. 56, ver- 
öffentlicht. 



— 16 — 

mehr Zuspruch. Von seinen physikalischen Vorlesungen aus dem 
Ende der zwanziger Jahre seien noch erwähnt die über die physi- 
kalischen Eigenschaften der Mineralien (Winter 1828 — 1829) 
und Experimentalphysik (Winter 1829 — 1830), eine Vor- 
lesung, die er später nicht wiederholt hat. 

Inzwischen war N e u m a n n gleichzeitig mit D o y e im März 
1828 zum Extraordinarius befördert, ein Vierteljahr nach Jacobi; 
letzterem war diese Beförderung schon im Dezember 1827 zu 
Teil geworden, und zwar entgegen dem Wunsche der Fakultät, 
deren meiste Mitglieder er sich durch seine Äußerungen zu 
Feinden gemacht hatte ^). 

Indessen war das Extraordinariat nur mit demselben Ein- 
kommen verbunden, das Neumann schon als Dozent bezogen 
hatte, so daß er nach wie vor in den kärglichsten Verhältnissen 
leben mußte. Erst das Jahr 1829 brachte eine Besserung; im 
Mai 1829 wurde er nach dem Tode von Hagen zum ordentlichen 
Professor der Physik und Mineralogie ernannt und erhielt eine 
Besoldung von 500 Talern. Er verdankte diese Beförderung, 
durch die er eine gesicherte Existenz gewann, vor allem den 
Empfehlungen Bessels, der in einem vom 7. Oktober datierten 
Briefe an den Unterrichtsminister v. Alten stein aufs wärmste 
für Neumann eintrat und dringend bat, diesem ein für seine 
Bedürfnisse hinreichendes Einkommen zu gewähren. Bessel 
sagt in dem Briefe 2) von Neu mann: „Sein Reichtum an Kennt- 
nissen, die Umsicht, womit er seine wissenschaftlichen Unter- 
suchungen führt, der Eifer und die Ausdauer, welche er darauf 
verwendet, sind so groß, daß ich sicher vorauszusehen glaube, 
daß er unter den mathematischen Physikern bald eine der ersten 
Stellen einnehmen wird." Weiterhin spricht er von Neumanns 
Bescheidenheit: „Mir selbst ist nur nach längerem Umgange 
gelungen, völlig deutlich zu erkennen, was Neumann zu leisten 
vermag; aber ich habe zugleich seinen Charakter erkannt, dessen 
Festigkeit sich auch darin zeigt, daß er der Versuchung, Privat- 
unterricht zu erteilen, widersteht und vorzieht, wissenschaft- 
lichen Untersuchungen seine Zeit allein zu widmen." 

*) Siehe L. Königsberger: Karl Gustav Jacob Jacobi, Leipzig 
1904, 8. 27 u. 56. 

*) Der Brief ist vollständig abgedruckt bei Volkmann, S. 7 — 8; 
in den Erinnerungsblättern, S. 254 — 255. 



— 17 — 

Übrigens yerließ Dove um dieselbe Zeit Königsberg und 
siedelte nach Berlin über. 

Das Jahr 1829 brachte Neumann ein Wiedersehen mit 
seinen Berliner Freunden. In den Osterferien war er (zum ersten 
Male seit seiner Übersiedelung nach Königsberg) dorthin ge- 
reist. Eine Krankheit, die ihn befallen, verzögerte seine Rück- 
kehr, so d&Q er im Sommer dieses Jahres keine Vorlesung halten 
konnte. 

Noch in anderer Beziehung war das Jahr 1829 für ihn be- 
deutungsvoll. Am 28. Dezember verlobte er sich mit Florentine 
Hagen, der jüngsten Tochter seines Amts Vorgängers; ihre ältere 
Schwester war seit 1812 mit Bessel verheiratet. Neu mann 
war der Familie Hagen schon zu Lebzeiten des Vaters nahe ge- 
treten, und bereits Ende 1828 scheint er den Wunsch gehegt zu 
haben, seine spätere Braut als Gattin heimzuführen. Er hielt 
indessen mit seinen Wünschen zurück, bis er eine sichere 
Stellung erreicht hatte. Am 29. April 1830 fand die Hochzeit 
statt. Der sehr glücklichen Ehe, die leider allzufrüh durch den 
Tod der Frau getrennt wurde, sind fünf Kinder entsprossen, 
von denen vier noch heute leben: 

Carl Neumann, Professor der Mathematik in Leipzig, 
geb. 1832. 

Ernst Neumann, emeritierter Professor der pathologischen 
Anatomie zu Königsberg, geb. 1834. 

Julius Neumann, Professor der Nationalökonomie in 
Tübingen, geb. 1835. 

Luise Neumann, die treue Pflegerin des Vaters und Ver- 
fasserin der Erinnerungsblätter, geb. 1837; sie wohnt in des 
Vaters Heimat, zu Joachimsthal in der Uckermark. 

Ein vierter Sohn, Gustav Neumann, geb. 1838, ist 1876 
als Regierungsbaumeister in Posen gestorben. 

5. Die Jahre des wissenschaftlichen Schaffens und 

Neumanns Lehrtätigkeit. 

a) 1830 bis 1840. 

In den ersten Jahren seines Königsberger Aufenthaltes hat 
Neumann nichts durch den Druck veröffentlicht. Dai3 er auch 
in dieser Zeit nicht untätig war, bezeugt Bessel in dem oben 

Wangerin, Franz Neumaim. n 



— 18 — 

angeführten Brief an den Minister yon Altenstein. Erst als 
nach seiner Verlobung die Schwermut, die ihn früher befangen, 
seine Neigung, sich von der Gesellschaft abzusondern, gewichen, 
als sich seine Gesundheit gebessert hatte, ging er daran, die Er- 
gebnisse seiner Forschungen bekannt zu machen. 

1830 veröfEentlichte er in den Abhandlungen der Berliner 
Akademie eine größere Arbeit über das Kristallsystem des Albits. 
Diese Arbeit ist ein Muster dafür, wie man durch eingehende Dis- 
kussion und geschickte Kombination yon Winkelmessungen zu 
möglichst genauen Resultaten gelangt; in ihr ist wohl zum ersten 
Male die Methode der kleinsten Quadrate auf kristallographische 
Messungen angewandt. Im nächsten Jahre erschienen neben 
einem kleineren Aufsatz krist allographischen Inhalts die wichtigen 
Untersuchungen über die spezifische Wärme der Mineralien und 
die spezifische Wärme des Wassers. In der ersten dieser Ar- 
beiten zeigte er, welche Korrektionen man bei den nach der 
Methode der Mischung angestellten Beobachtungen anbringen 
muß, um zu exakten Ejrgeboissen zu gelangen. Die Korrektionen 
selbst werden der Theorie der Wärmeleitung und Wärmestrahlung 
entnommen. Seine Versuche gehören zu den ersten, in denen die 
erreichbare Genauigkeit wirklich erreicht ist. In dieser Arbeit 
wird ferner das Dulongsche Gesetz, nach dem das Produkt aus 
dem Atomgewicht der einfachen Körper und ihrer spezifischen 
Wärme eine konstante Größe ist, auf eine Reihe zusammen- 
gesetzter Körper ausgedehnt. Hinsichtlich der spezifischen Wärme 
des Wassers wies Neumann zuerst nach, daß dieselbe mit wachsen- 
der Temperatur zunimmt, nicht, wie frühere Beobachter gefunden, 
abnimmt. 

Das Jahr 1832 brachte die wichtige und grundlegende Arbeit 
über die doppelte Strahlenbrechung. In ihr wurden zum ersten 
Male die Erscheinungen der doppelten Strahlenbrechung streng 
aus den Gleichungen der Elastizitatstheorie abgeleitet. Diese 
Ableitung führt zu einer von der Fr es nel sehen abweichenden 
Anschauung über die Lage der Schwingungsrichtung zur Polari- 
sation sebene. Eine zweite Arbeit aus diesem Jahre ist der Theorie 
der Metallreflexion gewidmet; und zwar wird gezeigt, wie man 
auf Grund der Fresnelschen theoretischen Vorstellungen zu 
zwei einfachen Gesetzen gelangt, die alle bisherigen Beobachtun- 
gen umfassen. 



— 19 — 

Probleme der Optik und der Elastizitätstheorie beschäftigten 
Neumann neben solchen der Wärmelehre auch noch in den 
nächsten zehn Jahren. 1833 untersuchte er die Beziehungen 
zwischen den thermischen, optischen und kristallographischen 
Achsen des Gipses; 1834 stellte er in einer Arbeit über das 
Elastizitätsmaß kristallinischer Substanzen die Gesetze auf, nach 
denen sich die Eristallwinkel bei allseitigem oder einseitigem 
Druck ändern, und entwickelte eine Methode zur Bestimmung der 
Elastizitätskonstanten von Kristallen, eine Frage, die yor ihm 
noch nie behandelt war. Daneben nahm er die Untersuchungen 
über die spezifische Wärme von neuem auf. Er bestimmte 1834 
die spezifische Wärme einer Reihe zusammengesetzter Körper, 
freilich ohne die Besultate gleich zu yeröffentlichen ; ihre Publi- 
kation erfolgte erst im Jahr 1865 durch Pape. Er untersuchte 
ferner auf strengere Weise als früher die bei der Methode der 
Mischung anzubringenden Korrektionen, indem er yon yornherein 
die Wärmeleitung in dem eingetauchten Körper berücksichtigte. 
Die zur Ableitung dieser Korrektionen erforderlichen Rechnungen 
sind in einer lateinisch geschriebenen und wohl wenig bekannt 
gewordenen Dissertation niedergelegt; sie ist bei Gelegenheit der 
Disputation yeröff entlicht, die Neu mann zum förmlichen Eintritt 
in die Fakultät oblag. Die Disputation selbst fand am 6. Mai 
1834 statt. Opponenten waren Hermann Heinrich ifaeden- 
kamp (nicht Uaidenkamp, wie auf der Dissertation steht) und 
Karl Wilhelm Bessel, während J. E. Ozwalina Neumann bei 
der Verteidigung der Thesen unterstützte. Letztere lauteten: 

1. Ne ad unum quidem phaenomenon luminis explicandum 
theoria suffioit a summo Newtono proposita« 

2. Agitatis materiae particulis calor efficitur, neque ei ma- 
teria quaedam siye substahtia, quam caloricum nominant, tri- 
buenda est. 

Ein weiterer Aufsatz aus dem Jahre 1834 betrifft die opti- 
schen Achsen und die Farben zweiachsiger Kristalle im polarisierten 
Lichte. Darin wird der bis dahin schwankende Begriff der opti- 
schen Achsen eines zweiachsigen Kristalls festgelegt, und es 
werden yerschiedene Formeln aus der Theorie der Doppelbrechung 
durch Einführung der Winkel zwischen der Wellennormale und 
den optischen Achsen y er einfacht. Die hier abgeleiteten Formeln 
finden ihre Anwendung in der Arbeit, die Neumann yorzugs- 

2* 



— Zu- 
weise in den Jahren 1833 und 1834 beschäftigte, nämlich bei der 
Ableitung der Gesetze der Kristallreflexion. 

Schon 1834 waren seine Untersuchungen darüber abgeschlos- 
sen, doch zögerte er mit ihrer Veröffentlichung, weil er zuvor 
seine Formein auch experimentell prüfen wollte. Erst im Dezem- 
ber 1835 legte er die Abhandlung der Berliner Akademie yor, so 
daß ihre Resultate erst 1837, beim Erscheinen der Akademie- 
abhandlungen für das Jahr 1835, allgemein bekannt wurden. 
Aus diesem Umstände entstand 1838 ein Prioritätsstreit mit 
Mac Cullagh, der nach ganz anderer Methode zu wesentlich 
denselben Eesultaten gelangt war. Auf diesen Prioritätsstreit 
soll weiterhin im Anschluß an die ausführliche Besprechung der 
Abhandlung über Eristallreflexion näher eingegangen werden. 

An die in Eede stehende große Arbeit schlössen sich im 
Jahre 1837 zwei weitere an, die der experimentellen Prüfung 
yerschiedener in jener aufgestellten Formeln gewidmet waren. 
Zugleich wird darin ein neues photometrisches Verfahren zur Be- 
stimmung der Intensität des von Kristallen reflektierten und ge- 
brochenen Lichtes angegeben. Nebenbei wird gezeigt, wie sich 
die Cauchysche Ableitung der Formeln für Totalreflexion in 
der Neumann sehen Reflexionstheorie gestaltet, und es wird eine 
Behauptung Cauchys über die Verstärkung des gebrochenen 
Lichtes bei Beginn der totalen Reflexion als unrichtig nach- 
gewiesen. 

Noch sind aus dieser Zeit (1835) mehrere kürzere Notizen 
über die Unsymmetrie der Farbenerscheinungen hemiprismati- 
scher Kristalle, sowie Beobachtungen über die Änderung der 
Lage der optischen Achsen des Gipses mit der Temperatur zu 
erwähnen. 

Auch mit magnetischen und elektrischen Untersuchungen 
beschäftigte sich Neumann schon in den dreißiger Jahren, ins- 
besondere interessierten ihn die Gauss sehen Arbeiten über Erd- 
magnetismus. Das Studium dieser führte ihn auf eine neue 
Eigenschaft der La place sehen Kugelfunktionen und damit auf 
eine neue einfache Methode zur Berechnung der in den Kugel- 
funktionen auftretenden Konstanten aus Beobachtungen. 

War Neumann so während der dreißiger Jahre unermüdlich 
als Forscher tätig, so widmete er sich daneben mit größtem 
Eifer seinem akademischen Amte. Neben den Vorlesungen über 



— 21 — 

Mineralogie und Kristallographie, die er in ziemlich regelmäßigem 
Turnus wiederholte, zog er allmählich yerschiedene Teile der theo- 
retischen Physik in den Bereich seiner Lehrtätigkeit, so zu Be- 
ginn der dreißiger Jahre die Theorie des Lichtes und die analyti- 
sche Wärmetheorie, gegen Ende dieses Zeitraumes die Kapillarität 
und die Elastizität. Eine weitere Vorlesung über theoretische 
Physik könnte besser als Einleitung in die theoretische Physik 
bezeichnet werden. Außerdem las er wiederholt über ausgewählte 
Kapitel der theoretischen Physik. 

Von besonderer Bedeutung für Neumanns Wirksamkeit 
war die Gründung des mathematisch-physikalischen Seminars, die 
auf den yon ihm und Jacobi gemeinsam gestellten Antrag 1834 
erfolgte. Durch die Seminarübungen sollten die Studierenden 
zur Vertiefung ihrer Studien angehalten, vor allem aber zu 
selbständiger wissenschaftlicher Tätigkeit angeleitet werden. Diese 
Aufgabe hat das Seminar, das erste derartige Institut in Deutsch- 
land, jahrzehntelang in ausgezeichneter Weise erfüllt. In ihm 
haben zahlreiche Mathematiker und Physiker ihre Ausbildung 
gefunden; ihm ist neben den Vorlesungen Jacobis und Neu- 
manns der Aufschwung zu danken, den in den dreißiger und 
vierziger Jahren das Studium der Mathematik und Physik in 
Königsberg genommen. — Die hohe Bedeutung des Seminars für 
das Studium der Physik wird es als gerechtfertigt erscheinen 
lassen, daß wir die Tätigkeit Neumanns als Leiter seiner Ab- 
teilung des Seminars weiterhin in einem besonderen Abschnitt 
ausführlich schildern. 

Weiter mag hier noch aus seiner akademischen Tätigkeit 
seine Mitwirkung bei der Ehrenpromotion Jakob Steiners 
durch die Königsberger philosophische Fakultät (1833) erwähnt 
werden. (Vgl. L. Königsberger, Jacobi, S. 145.) 

Über Neumanns äußeres Leben in dieser Zeit ist wenig zu 
sagen. Häuslich und einfach lebte er im Kreise seiner Familie, 
und nur klein war sein Umgangskreis. In den Ferien suchte 
er mit den Seinen Erholung und Stärkung seiner Gesundheit in 
einem Landaufenthalt, meist im Seebade Rauschen an der sam- 
ländischen Küste. Zweimal yerließ er Königsberg auf längere 
Zeit, einmal mit seiner jungen Frau im Herbst 1830 zum Besuch 
von Berlin, Dresden und der Sächsischen Schweiz, das zweite Mal 
allein zu einer größeren Studienreise im Jahre 1834. Auf dieser 



— 22 — 

Eeise, die von Ende Juni bis in den November hinein dauerte, 
besuchte er Berlin, Dresden, Freiberg, Teplitz, Prag, Wien und 
Graz, das Salzkammergut und Berchtesgaden, München und 
Innsbruck. Von hier wurde eine FuiSwanderung durch das Ziller- 
tal und über das Pfitscher Joch unternommen, dann das Fassatal 
besucht. Die weitere Reise führte ihn über den Brenner und 
Innsbruck nach Stuttgart zum Besuch der Naturforscheryersamm- 
lung und yon da in die Schweiz, wo er die GotthardstraiSe bis 
zum Lago Maggiore durchwanderte, über den Simplon, die Grimsel 
und Grindelwald Bern erreichte, um über Basel und Heidelberg 
nach Berlin zurückzukehren. Seine Reiseerlebnisse hat er in 
einer längeren Reihe yon interessanten Briefen geschildert, die an 
seine Frau gerichtet waren, und die in den Erinnerungsblättern 
(S. 300 bis 335) mitgeteilt sind. Auf dieser Reise, die ihm Er- 
holung und Kräftigung seiner Gesundheit brachte, lernte er eine 
Reihe von Fachgenossen, Mineralogen und Physiker, persönlich 
kennen, auch erwarb er eine große Sammlung yon Mineralien für 
den Staat zu einem yerhältnismäßig sehr geringen Preise, da er 
größtenteils bei Bauern und Hirten einkaufte ^). 

Ein schwerer Schlag traf ihn Ende 1838 durch den Tod 
seiner Frau, die am 29. Dezember jenes Jahres einem Nerven- 
fieber erlag. Der Verlust beugte ihn so nieder, daß er lange Zeit 
zu wissenschaftlichem Schaffen unfähig war. Noch im Herbst 
1839 schreibt er an Weiss, daß sein Arbeiten langsam und unzu- 
sammenhängend yon statten gehe ^). Erst sehr allmählich gewann 
er seinen Lebensmut wieder und ging nun daran, früher begonnene 
Arbeiten fertig zu stellen. 

b) 1840 bis 1860. 

Neumanns Veröffentlichungen in der Zeit von 1840 — 1850 
sind nicht so zahlreich wie in dem Jahrzehnt vorher, aber um so 
bedeutungsvoller ihrem Inhalt nach. Man wird Volk mann im 
allgemeinen zustimmen können, wenn er Neumanns Leistungen 
in den vierziger Jahren als den Höhepunkt seiner Forschung be- 
zeichnet^); nur meine ich, daß Volkmann die vorher erwähnte 



^) Erinnerungsblätter, S. 334. 
*) Ebend., S. 343. 
«) Volkmann, S. 18. 



— 23 — 

große Arbeit über Kristallreflexion zu niedrig einscbätzt, wenn er 
Yon den optiBchen Arbeiten der dreißiger Jahre sagt, daß sie 
jenen Höhepunkt noch nicht kennzeichnen. 

Die erste in dem zu besprechenden Jahrzehnt erschienene 
Arbeit gehört noch der Optik an. Sie betrifft die Gesetze der 
Doppelbrechung des Lichtes in komprimierten und ungleichförmig 
erwärmten unkristallinischen Körpern und ist im Jahre 1841 der 
Berliner Akademie vorgelegt. Ein Teil dieser Abhandlung ist 
jedenfalls schon 1838 oder noch früher verfaßt, wie aus einem 
Briefe Neumanns an Weiss vom Herbst 1839 heryorgeht. Dort 
heißt es ^): Ich habe mehrere frühere Arbeiten vorgenommen und 
ausgearbeitet; darunter ist eine große Abhandlung „Theorie der 
doppelten Strahlenbrechung, welche durch Druck erzeugt wird** . . . 
Die im Titel genannten Erscheinungen waren bis dahin lediglich 
experimentell untersucht. Neumann ist der erste, der es unter- 
nahm, sich von dem Zustandekommen derselben Eechenschaft zu 
geben und eine mathematische Theorie derselben aufzustellen. 
Diese führte zu dem sehr bemerkenswerten Resultat, daß bei einer 
Kompression des Mediums die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des 
Lichtes vergrößert, bei einer Dilatation vermindert wird. Mit 
seinen Rechnungen verband Neumann eine Reihe neuer Beob- 
achtungen, auch knüpfte er an die theoretischen Ergebnisse eine 
Fülle wichtiger Anwendungen, die nicht allein optische Er- 
scheinungen betrafen. Daß er seiner Entwicklung die alte 
Elastizitätstheorie zugrunde legte, nach der die elastischen Phä- 
nomene unkristallinischer Medien nur von einer Konstante ab- 
hängen, kann ihm nicht zum Vorwurf gereichen, da zu damaliger 
Zeit eine andere Elastizitätstheorie nicht existierte. 

Die eben besprochene Arbeit ist die letzte, welche Neu- 
mann aus dem Gebiete der Optik veröffentlicht hat. Seine 
weiteren Forschungen betreffen die Elektrodynamik, speziell die 
Erscheinungen der Induktion. 

Die Ergebnisse dieser Forschungen sind niedergelegt in zwei 
der Berliner Akademie 1845 bis 1847 vorgelegten und in deren 
Abhandlungen abgedruckten Arbeiten: 

1. Die mathematischen Gesetze der induzierten elektrischen 
Ströme. 



^) Erinnerungsblätter, S. 343. 



— 24 — 

2. Über ein allgemeines Prinzip der mathematischen Theorie 
induzierter elektrischer Ströme. 

In der ersten dieser Arbeiten wird ein allgemeines Gesetz 
der linearen Induktion entwickelt, das die Intensität des induzier- 
ten Stromes numerisch zu bestimmen erlaubt, und aus dem sich 
alle bisher beobachteten Induktionserscheinungen als Folgerungen 
ergeben. Die Resultate betreffen nicht nur die elektrodynamische, 
sondern auch die elektromagnetische Induktion. In der zweiten 
Arbeit wird die Beobachtung auf solche Fälle ausgedehnt, in 
denen der Leiter seine Form ändert. Femer werden alle Einzel- 
ergebnisse zu einem neuen allgemeinen Gesetz (Prinzip) zu- 
sammengefaßt. In einem Anhange wird zugleich das wichtige 
Neumann sehe Potentialgesetz geschlossener Ströme abgeleitet. 

Daß gerade diese Arbeiten von bleibendem Wert für die 
Wissenschaft sind, wird allgemein anerkannt. Voigt sagt von 
ihnen ^) , daß ihre Resultate selbst die Entwicklung der letzten 
Dezennien, die so manches früher anerkannte Gesetz zu Fall 
gebracht habe, siegreich überdauern. 

Endlich ist aus dem Jahre 1848 eine im Grelle sehen 
Journal erschienene Arbeit wesentlich mathematischen Inhalts zu 
erwähnen, die insbesondere eine wichtige neue Darstellung der 
Eugelfunktionen zweiter Art enthält, sowie Anwendungen der 
Eugelfunktionen auf das Potential eines Rotationsellipsoids und 
den magnetischen Zustand eines solchen. 

Die vierziger Jahre bildeten nicht nur für die literarischen 
Ijeistungen Neumanns einen Höhepunkt, auch seine Lehr- 
tätigkeit erreichte in dieser Zeit ihre Höhe, doch nicht eine Höhe, 
die überschritten wurde. Vielmehr blieben seine Lehrerfolge 
dauernd auf dieser Höhe bis zu dem Moment, wo er seine Lehr- 
tätigkeit einstellte. Den Kreis der in den dreißiger Jahren ge- 
haltenen Vorlesungen erweiterte er, indem er die Theorie des 
Magnetismus, die der elektrischen Ströme, die Hydrodynamik und 
später auch die Potentialtheorie darin einbezog und damit seine 
Lehrtätigkeit auf alle Teile der theoretischen Physik ausdehnte. 
Derartige Vorlesungen waren lange Zeit hindurch, bis in die 
sechziger Jahre hinein, an keiner anderen deutschen Universität 
zu finden. Kein Wunder daher, daß auch aus weiter Ferne 

^) S. 17, 18. 



— 25 — 

junge Männer nach Königsberg kamen, um von ihm in die neue 
Disziplin eingeführt zu werden. Während Königsberg im vorigen 
Jahrhundert im allgemeinen eine reine Proyinzial-Uniyersität war, 
an der man kaum einen Studierenden fand, dessen Heimat nicht 
Ost- oder Westpreußen gewesen wäre, war das anders für die 
Studierenden der Astronomie, Mathematik und Physik. In den 
Vorlesungen über diese Disziplinen sah man neben den aus der 
Provinz Preußen stammenden Zuhörern solche aus allen Teilen 
Deutschlands, ja über dessen Grenzen hinaus, aus der Schweiz, 
aus Eußland, Ungarn und Galizien. Zum Teil waren das ältere 
Leute, die schon an anderen Universitäten ihre Studien abgeschlos- 
sen hatten, selbst Universitätslehrer befanden sich unter ihnen. 
Zuerst hatte Bessel Astronomen von weit her nach Königsberg 
gezogen, seit Mitte der dreißiger Jahre kamen Mathematiker und 
Physiker dazu, um Jacobi und Neumann zu hören. Seit 
Jacobis Scheiden von Königsberg im Jahre 1843 ^), und nach- 
dem Bessel 1846 gestorben, war es Neumann allein, der auch 
weiterhin, bis in die Mitte der siebziger Jahre, diese Anziehungs- 
kraft ausübte. Wenn neben ihm auch Richelot mit Eifer und 
Erfolg die Jacobi sehe Tradition aufrecht erhielt, so wäre doch 
diesem allein ein großer Teil seiner Zuhörer nicht zugeströmt, 
wenn er nicht gerade neben Neumann gewirkt hätte. 

Wenn so Neumann das Haupt einer besonderen Schule 
wurde, aus der eine Reihe von hervorragenden Gelehrten hervor- 
gegangen ist, so verdankte er dies nicht allein dem StofEe, den er 
in seinen Vorlesungen behandelte, sondern vor allem der meister- 
haften Art seines Vortrages. Über diesen sagt Lothar Meyer 
in der Zueignung seiner „Grundzüge der theoretischen Chemie" 
(Leipzig 1890) an Neumann: „Haben Sie doch Ihren lern- 
begierigen Schülern in Ihren Vorträgen die Ergebnisse der mathe- 
matischen wie experimentellen physikalischen Forschung und die 
Wege, auf denen man zu ihnen gelangt, stets so klar und durch- 
sichtig darzulegen verstanden,, daß selbst dem mit geringem 
mathematischen Küstzeug ausgestatteten Hörer alles so leicht 
verständlich, sich von selbst ergebend erschien, daß er sich kaum 



*) Definitiv siedelte Jacobi erst im Herbst 1844 nach Berlin über; 
doch hat er schon seit seiner Erkrankung im Anfang des Jahres 1843 
in Königsberg keine Vorlesungen mehr gehalten. 



— 26 — 

der Schwierigkelten bewußt wurde, welche überwunden werden 
mußten, ehe diese klare Einsicht in den Zusammenhang der Dinge 
und Erscheinungen gewonnen werden konnte. Haben Sie es so- 
mit als eine hohe Aufgabe betrachtet, das Beste, was wir in 
Ihrem Fache wissen können, so darzustellen, als wäre es das aller- 
elementarste Wissen, so nehmen Sie wohl auch freundlich ein 
kleines unscheinbares Buch entgegen, . . . ^. 

Und C. Neumann schildert in einer Mitteilung an Yolk- 
mann^) den Vortrag seines Vaters mit folgenden Worten: 

„Was er selber in diesen Gebieten der Forschung in heißem 
Bemühen und harter Anstrengung errungen hatte, das wußte er in 
majestätischer Einfachheit, Anschaulichkeit und Klarheit in seinen 
Vorlesungen seinen Freunden und Zuhörern mitzuteilen. 

„Die Zuhörer hingen an seinen Blicken und lauschten seinen 
Worten. Sie sahen sich yor einem begeisterten, aus den tiefsten 
Tiefen schöpfenden Lehrer.^ 

Daß ein solcher Vortrag seine Wirkung auf die jugendlichen 
Gemüter der Zuhörer nicht yerfehlte, daß die Begeisterung des 
Lehrers sich auch ihnen mitteilte, darf nicht wundernehmen. Aber 
nicht nur momentan die Schüler zu begeistern, verstand Neu- 
mann, er wußte ihr Interesse für die Wissenschaft in immer 
höherem Grade zu erregen und sie allmählich, insbesondere durch 
die Seminarübungen, zu eigener Forschung heranzuziehen; mit 
welchem Erfolge, dafür ist einer der hauptsächlichsten Zeugen 
G. Eirchhoff, der seine wissenschaftliche Ausbildung lediglich 
Neumann verdankte. 

Neumanns hohe Bedeutung als Forscher und Lehrer wurde 
bald Yon seinen Kollegen gewürdigt. Eine besondere Ehrung 
Yon ihrer Seite wurde ihm dadurch zu Teil, daß, als im Jahre 1843 
an der Königsberger Universität, der Albertina, das Wahlprorek- 
torat eingeführt wurde, die erste Wahl auf Neumann fiel. In 
sein Amtsjahr fielen die Vorbereitungen zur Dreihundertjahrfeier 
der Universität. 

Auch auswärtige Universitäten richteten um diese Zeit ihre 
Blicke auf Neumann und suchten eine so hervorragende Kraft 
für sich zu gewinnen. Im April 1841 erhielt er unter glänzen- 
den äußeren Bedingungen einen Buf nach Dorpat, und dieser 



^) Volkmann, S. 38. 



— 27 — 

Ruf wurde nach der ersten Ablehnung im September desselben 
Jahres wiederholt. In demselben Jahre erging an ihn die Auf- 
forderung, als Akademiker nach Petersburg überzusiedeln. Beide 
Stellen lehnte er ab; seine Vaterlandsliebe und der Wunsch, „seine 
Kinder nicht der Wohltat der Entwicklung und Erziehung im 
Sinne und Geist des preußischen Staates zu berauben^ ^), hielten 
ihn in Königsberg fest. Er benutzte auch nicht die Gelegenheit, 
um sein damaliges Gehalt von 800 Talern zu yerbessem, sondern 
machte erst nach definitiver Ablehnung der russischen Anerbietun- 
gen dem Ministerium von denselben Mitteilung. 

Von Neumanns äuISerem Leben aus den vierziger Jahren ist 
noch zu erwähnen, daß er im Jahre 1843 eine zweite Ehe mit 
Wilhelma Hagen, einer Cousine seiner ersten Frau, schloIS und 
dadurch neuen Sonnenschein in sein häusliches Leben brachte. 

In den Jahren 1845 bis 1849 hat Neumann einen lebhaften 
Briefwechsel mit Jacobi geführt, veranlaßt durch den Druck der 
vorher erwähnten ersten Arbeit über Induktion. Jacobi über- 
wachte in Berlin den Druck, half Neumann bei der Korrektur 
und schlug ihm eine Eeihe von kleinen Änderungen vor. Daneben 
werden in den Briefen, die zum Teil in Königsbergers Jacobi- 
Biographie (S. 355 ff.) mitgeteilt sind, die Vorschläge für die 
Besetzung der Bes sei sehen Stelle besprochen, und weiter wird 
mehrfach erörtert, wie man G. Kirchhoff, der damals seine 
Studien in Königsberg beendet hatte, am besten fördern könne. 

Das Jahr 1848 führte den sonst still für sich lebenden Ge- 
lehrten an die Öffentlichkeit. Energisch trat er neben anderen 
angesehenen Bürgern für die Sache der Ordnung ein, beteiligte 
sich an der Verwaltung der Stadt, wurde Mitglied der Bürger- 
wehr und trug insbesondere durch Einwirken auf die Arbeiter 
und Reden in ihren Versammlungen viel zur Beruhigung der auf- 
geregten Gemüter bei. Auch im folgenden Jahre nahm er an 
der politischen Bewegung und den Wahlkämpfen lebhaften Anteil. 

o) 1860 bis 1876. 

Mit Beginn des neuen Jahrzehnts nahm Neumann seine 
durch die politische Tätigkeit unterbrochenen Studien wieder auf 



Erinnerungablätter, 8. 353. 



— 28 — 

und widmete sich von neuem mit voller Kraft seiner Lehrtätig- 
keit Auf letztere verwandte er während des Semesters den 
größten Teil seiner Zeit. „Nur wenige seiner Zuhörer^) ahnten, 
wieviel Zeit ihr hochverehrter Lehrer ihnen opferte, wie groß die 
Masse der Arheit war, die derselbe Tag für Tag auf seine Vor- 
lesungen verwandte, und wie er — infolge dieser fast gar zu 
großen Hingabe an seinen Beruf — für die Fortsetzung seiner 
eigenen ihm doch so sehr am Herzen liegenden Forschungen sich 
mehr oder weniger auf die Zeit der Ferien beschränkt sah." 

Durch die geschilderte gründliche Vorbereitung jeder ein- 
zelnen Vorlesung gelang es Neumann, seinem Vortrage die alte 
Frische und Lebendigkeit bis in das hohe Greisenalter zu be- 
wahren und den früheren Lehrerfolgen immer neue und neue 
hinzuzufügen. Sehr groß war freilich die Zahl seiner Zuhörer 
nie; mehr als zwölf Studierende fanden sich nur selten in einer 
seiner Vorlesungen zusammen, meist waren es weniger; erst seit 
1860 stieg diese Zahl, und seit Ende der sechziger Jahre wurde 
das zweite Dutzend überschritten. 

Übrigens erscheinen diese Zahlen nur klein, wenn man sie 
mit den heutigen Verhältnissen vergleicht; für die damalige Zeit 
waren sie nicht gering. Dabei fällt noch ins Gewicht, daß 
Neu mann stets seine Zuhörer dauernd zu fesseln wußte, daß sich 
ihre Zahl im Laufe des Semesters nie erheblich verringerte. Der 
Haupterfolg von Neumanns Lehrtätigkeit aber bestand darin, 
daß er es verstand, fast alle seine Schüler zu eigenen wissen- 
schaftlichen Arbeiten anzuregen. 

Noch einen Punkt möchte ich hier kurz erörtern. Wenn 
Neumann in seinen Vorlesungen fast nur die Theorie behan- 
delte, so empfand er das selbst als eine Beschränkung, die er 
sich notgedi'ungen auferlegen mußte, weil ihm zuerst die Mittel 
zum Experimentieren ganz fehlten, später nur in unzureichendem 
Maße zu Gebote standen. Als Ideal schwebte ihm vor, ein Labo- 
ratorium zur Verfügung zu haben, um seine Zuhörer nicht nur 
in der theoretischen Behandlung physikalischer Probleme, sondern 
auch im Experimentieren gründlich auszubilden. Daß er diesem 
zweiten Teile seiner Aufgabe nicht in der von ihm gewünschten 



^) Aus den schon oben zitierten Mitteilunp^en 0. Neumanns; 
Volkmann, S. 38. 



— 29 — 

Weise gerecht zu werden yermochte, lag lediglich in dem Mangel 
an yerfügharen Mitteln. Alle seine Bemühungen, diesem Mangel 
abzuhelfen, scheiterten an der Ungunst der Verhältnisse. 

Von den Resultaten seiner Forschungen hat Neumann seit 
dem Ende der vierziger Jahre nur wenig durch den Druck ver- 
öffentlicht, 1862 den Aufsatz über seine neue Methode der Wärme- 
leitungsfähigkeit und 1865, wie schon erwähnt, die bereits aus 
dem Jahre 1834 herrührenden Bestimmungen der spezifischen 
Wärme zusammengesetzter Körper. Der erstere Aufsatz enthält 
eigentlich nur eine kurze Übersicht über einige wichtige Ergeb- 
nisse seiner Arbeiten über Wärmeleitung, stellt aber diese Arbeiten 
keineswegs erschöpfend dar, wie überhaupt die Gesamtheit seiner 
Veröffentlichungen nur einen kleinen Bruchteil seines Lebenswerks 
bildet 1). 

Der Grund für diese Zurückhaltung wichtiger Forschungs- 
resultate war ein doppelter. Einmal war es ihm nicht um Ruhm 
und äußeren Erfolg zu tun: „Das größte Glück^, so sprach er 
sich aus, „ist doch das Finden einer neuen Wahrheit; die daran 
geknüpfte Anerkennung kann dem wenig oder nichts hinzu- 
fügen^ ^). Und in einem am 10. März 1862 an Radau ge- 
richteten Briefe^) sagt er: „Die Angström sehe Abhandlung 
hatte mich schon etwas aufgeschreckt, als ich Ihren Brief erhielt, 
weil sie mir eine Mahnung war, meine alten Arbeiten zusammen- 
zustellen, was mir immer unangenehm ist.^ Das Unangenehme 
lag für ihn in der Unterbrechung der reinen Forschertätigkeit, 
zumal er diese, wie wir gesehen haben, schon der Vorlesungen 
wegen einschränken mußte. Die weitere Verfolgung seiner Ge- 
danken lag ihm mehr am Herzen als die Ausarbeitung dessen, 
was schon abgeschlossen war. Dazu kam noch ein zweites. 
Viele seiner Entdeckungen teilte er in seinen Vorlesungen mit, 
jedoch, ohne daß er angab, daß sie von ihm herrührten. „Er 
sah", wie Voigt*) sich ausdrückt, „die Forschungsresultate als 
genügend verwertet an, wenn sie zur Bereicherung seiner Vor- 
lesungen und Seminare und damit zu allseitiger Förderung 
und Anregung seiner Schüler dienten." Auch C. Neumann 

Voigt, S. 3. 

*) Derselbe, S. 3. 

*) F. Neumann, Gesammelte Werke 2, 139. 

*) Voigt, S. 3. 



— 30 — 

sagt^) mit etwas anderen Worten dasselbe und fügt hinzu, daß 
sein Vater in Prioritätsfragen Publikationen durch Vorlesungen 
für völlig äquivalent hielt mit Publikationen durch Druck. Ein 
anderer seiner Schüler ferner, H. Wild, beginnt einen in Zürich 
gehaltenen Vortrag mit den Worten ^) : „Herr Professor Neu mann 
pflegt in seinen Vorlesungen über mathematische Physik soviel 
neue, sowohl rein theoretische, als auch messend beobachtende 
Untersuchungen, die er selbst sonst nirgends publiziert hat, mit- 
zuteilen, daß ich es für eine Pflicht seiner Schüler halte, die- 
selben, wo es angeht, zu einer weiteren Öffentlichkeit zu bringen 
und so auch anderen nutzbar zu machen.^ Helmholtz endlich, 
der von 1849 bis 1855 als Professor der Physiologie in Königsberg 
wirkte, spricht davon, daß Sätze, die^ er selbst finde und gebrauche, 
entweder schon direkt in Neumanns Heften vorkommen, oder 
doch in sehr ähnlicher Gestalt 3). Ein erheblicher Teil der For- 
Bchungsresultate Neumanns findet sich demnach in den Arbeiten 
seiner Schüler, wie in seinen jetzt gedruckt vorliegenden Vor- 
lesungen. Manches ist wohl noch in seinen nachgelassenen Manu- 
skripten enthalten; so bringt z. B. Bd. II der gesammelten Werke 
zwei noch nicht publizierte Manuskripte über die Methoden zur 
Bestimmung der spezifischen Wärme und der Wärmeleitungs- 
fähigkeit. Vieles und dabei Wichtiges ist leider durch diese Art 
der Publikation ganz verloren gegangen; und bei manchem an- 
deren läßt sich nicht mit Sicherheit entscheiden, wie weit es auf 
Neu mann zurückzuführen ist. Insbesondere dürften viele Beob- 
achtungen Neumanns verloren gegangen sein. Spricht er doch 
z. B. in dem schon erwähnten Briefe an Weiss vom Herbst 1839 
von Arbeiten über Axinit und Hornblende, über Diopsid, über 
spezifische Wärme usw., mit deren Ausarbeitung er sich momentan 
beschäftige. Und wenn Neumann seine Abhandlung über das 
Kristallsystem des Albites als den ersten Teil bezeichnet, so kann 
man wohl annehmen, daß das Material auch für den zweiten Teil 
vorhanden war. Endlich ist auch von den Arbeiten über Wärme- 
leitung nur ein kleiner Teil veröffentlicht, und über seine Messungen 



*) Erinnerungsblätter, 8. 345. 

*) Vierteljahr sschrift der Katarforschenden Gesellschaft in Zürich 
2, 213, 1857. 

°) Vgl. L. Eönigsberger, Hermann v. Helmholtz 1, 178. 
Braunschweig 1902. 



— 31 — 

der Querkontraktion eines gedehnten Drahtes wird in den Vor- 
lesungen über Elastizität nur eine kurze Mitteilung gemacht. 

Von Neumanns äußerem Leben in der Zeit nach 1850 ist 
wenig zu berichten. Er lebte still für sich, lediglich seinen Stu- 
dien und seiner Familie. Nur selten trat er in die Öffentlichkeit 
hinaus, so bei den Landtagswahlen 1863 und 1866, bei der ersten 
Wahl zum Norddeutschen Reichstage und bei der Feier der Siege 
1870—1871. 

Von den Sommerferien benutzte er stets einen Teil zu seiner 
Erholung. Diese hatte er früher am Ostseestrande in Rauschen 
gesucht; seit 1861 brachte er den Sommer meist im Schlesischen 
Gebirge zu. Auch das Hochgebirge hat er noch zweimal besucht, 
einmal 1860, wo er die Albertina bei der yi erhundertjährigen 
Jubelfeier der Universität Basel vertrat und von Basel aus in das 
Bemer Oberland reiste, und 1873, wo er, fast fünfundsiebzigjährig, 
nochmals durch das Zülertal bis nach Sterzing hinüberwanderte. 

Erwähnenswert ist aus dem Jahre 1862 ein Gutachten über 
die Einführung des metrischen Maß- und Gewichtssystems, zu 
dem er von der Regierung aufgefordert war. Er betont darin, 
daß er die Notwendigkeit des Grundsatzes, wonach die Längen- 
einheit die Grundlage der Gewichtseinheit bilden müsse, nicht 
anerkennen könne. Er weist femer auf den hohen wissenschaft- 
lichen Wert hin, den die preußische Maßbestimmung durch die 
umfassenden Arbeiten von Bessel erhalten hat, und fügt hinzu, 
daß er es bedauern würde, wenn diese Maßbestimmung dem Be- 
dürfnisse des bürgerlichen Verkehrs zum Opfer fiele. Zugleich 
wünscht er, daß der preußische Fuß, wenn er auch seine gesetz- 
liche Geltung verlieren sollte, wenigstens für wissenschaftliche 
Zwecke konserviert werde. 

6. Das Jubiläum. Letzte Lebenszeit. 

Schon während der Zeit des rüstigen Schaffens hatten Neu- 
manns Verdienste auch durch äußere Ehren, die ihm zuteil ge- 
worden, vielfache Anerkennung gefunden. Von selten der preußi- 
schen Regierung wurde ihm im Laufe der Jahre eine Reihe hoher 
Orden (darunter 1860 der Orden pour le m6rite) sowie 1858 der 
Geheimratstitel verliehen. Die medizinische Fakultät zu Königs- 
berg ernannte ihn 1844 bei Gelegenheit des Universität s Jubiläums 



— 32 — 

zum Ehrendoktor; Korrespondent der Berliner Akademie wurde 
er schon 1833, auswärtiges Mitglied derselben 1858. Auch aus- 
wärtige Akademien und Gesellschaften der Wissenschaft schätzten 
es sich zur Ehre, Neumann zu ihrem Mitglied zu wählen: 
Göttingen, München, Wien, Petersburg, London, Paris, Bom, 
Bologna. 

Alle diese Akademien vereinigten sich mit yerschiedenen 
deutschen Universitäten sowie mit den Kollegen und früheren 
Schülern Neumanns, um am 16. März 1876 sein fünfzigjähriges 
Doktorjubiläum festlich zu begehen. Zahlreiche Glückwünsche 
wurden ihm an diesem Tage dargebracht, darunter ein solcher 
von dem Kronprinzen von PreuSen, ferner eine Eeihe von Adressen, 
die Neumanns Verdienste feierten, sowie ein Album mit den 
Photographien seiner Schüler. Ferner wurde ihm eine gröISere 
von Kollegen und Schülern gesammelte Summe zur Gründung 
eines- Stipendiums für Studierende der Physik überreicht, eine 
Gabe, die Neumann vor allen anderen erfreute. Auch der Bau 
eines wissenschaftlichen Laboratoriums wurde ihm bei dieser Ge- 
legenheit fest zugesagt. Von den überreichten Adressen^) möge 
die folgende der Breslauer philosophischen Fakultät hier Platz 

Breslau, den 16. März 1876. 

Hochverehrter Herr Jubilar! 

„Der heutige Tag, welcher Ihre Freunde und Schüler 
in Königsberg um Sie versammelt, Ihnen mit dem Aus- 
drucke höchster Verehrung herzliche Glückwünsche aus- 
zusprechen, lenkt auch in räumlich entfernten, im Greiste 
nahen Kreisen die Gedanken zu Ihnen, auf daß sie mit 
Ihnen in der Erinnerung die vergangenen Zeiten durch- 
eilen und sich an Ihrer segensreichen Wirksamkeit er- 
freuen, für welche auch wir uns Ihnen zu verehrungs- 
voller Dankbarkeit verbunden fühlen." 

„Ein weites Gebiet der Naturwissenschaft erfuhr 
durch Ihre Arbeiten wesentliche Förderung; die ver- 
schiedensten Disziplinen bereicherte Ihr Scharfsinn und 
Ihr unermüdlicher Eifer mit wichtigen Entdeckungen und 



^) Die Adresse der Berliner Akademie ist in den Erinnerungs- 
blättern (S. 393—394) abgedruckt. 



— 33 — 

wertvollen Theorien. Schon vor jenem Tage, dessen 
fünfzigste Wiederkehr heute gefeiert wird, fanden Sie 
die Gesetze und Regeln, welche seitdem die Grundlage 
der Krystallographie bilden. Die Mineralogie förderten 
Sie durch spezielle Untersuchungen, welche noch jetzt 
den Forschern als Muster gelten. Der Chemie lieferten 
Sie durch Ihre Untersuchungen über die spezifische 
Wärme eins Ihrer wichtigsten Gesetze. Die Physik ver- 
dankt Ihnen die Kenntnis der mathematischen Gesetze 
der elektrischen Induktion; hauptsächlich durch Ihre 
Arbeiten erlangte man Klarheit über die Reflexion und 
Brechung, über die Polarisation und über die doppelte 
Strahlenbrechung des Lichtes. Doch es wäre vergeblich, 
die vielen Beiträge, welche diese Ihre bevorzugte Wissen- 
schaft, und auch diejenigen, welche die reine Mathematik 
aus der Fülle Ihrer Gedanken erhielt, aufzuzählen. Die 
wahre Größe Ihrer Verdienste liegt bei allen diesen Ar- 
beiten darin, daß in Deutschland Sie der ersten und 
besten einer waren, welche der Physik die mathematische 
Analysis dienstbar machten und sie von dem Stand- 
punkte der bloßen Empirie zu dem Range einer exakten 
Wissenschaft erhoben." 

„Die weite Ausdehnung des Gebietes Ihrer wissen- 
schaftlichen Forschung macht es bei diesem Ihrem Jubel- 
feste mehr als bei anderen Jubiläen den philosophischen 
Fakultäten, welche die Gesamtheit der reinen Wissen- 
schaften umfassen, zur Pflicht, Ihnen ihre Huldigung 
darzubringen. Doch noch größeren Anlaß haben diese 
nicht nur der Förderung, sondern besonders auch der 
Lehre der Wissenschaften dienenden Körperschaften, 
Ihnen heute glückwünschend zu nahen, wenn Sie Ihrer 
großen Erfolge als Lehrer gedenken." 

„Keiner der lebenden Naturforscher und Mathema- 
tiker hat eine so große Zahl von Schülern gebildet, wie 
Sie durch die Klarheit Ihrer Vorlesungen zur Nach- 
eiferung angeregt und begeistert, durch die freundliche 
Milde Ihrer väterlichen Führung und Anleitung an sich 
gefesselt und durch die stets bereite, bei jeder Schwierig- 
keit in aufopferndster Weise gewährte Hilfe in ihrem 

Wan gerin, Franz Neumann. q 



— 34 — 

Streben gefördert haben. Auch hier bei unserer Fakultät 
dienen der Pflege der Wissenschaft durch Vorlesungen 
und in Instituten sechs Ihrer ehemaligen Zuhörer, welche 
mit Stolz sich ihres geliebten Lehrers rühmen und in nie 
erlöschender Dankbarkeit sein Bild treu im Herzen 
bewahren.^ 

„So versichert denn die unterzeichnete Fakultät Sie, 
hochverehrter Herr Geheimrat, ihrer unbegrenzten Ver- 
ehrung nicht allein wegen der hervorragenden Verdienste, 
welche Sie als Forscher und Förderer der Wissenschaft 
sich erworben, sondern auch namentlich wegen Ihrer 
bewunderungswürdigen Erfolge als Lehrer, zu denen nur 
wahre Güte eines warmen Herzens fähig machen kann. 
Wir wünschen, es möge ein glückliches Geschick, das 
schon in Ihrer frühen Jugend der verderblichen feind- 
lichen Kugel am heilten Tage von Ligny wehrte Ihr 
teures Leben zu zerstören, Ihnen dieselbe Gunst im Alter 
erweisen, der Parze noch lange verwehren Ihren Lebens- 
faden zu durchschneiden und Ihrem Alter eine Reihe 
glücklicher Jahre im Kreise einer glücklichen Familie 
hinzufügen. 
Die Philosophische Fakultät der Universität Breslau: 

Nehring, z. Z. Dekan. Elvenich. Löwig. Göppert. 
Grube. Stenzler. Roemer. Junkmanu. Hertz. 
Galle. Eossbach. Schmölders. Schröter. G. Neu- 
mann. 0. E. Meyer. Poleck. Dilthey. Magnus. 
F. Cohn. Brentano. Gröber." 

Bis in sein 78. Lebensjahr hatte Neumann seine Lehr- 
tätigkeit fortgesetzt und in den Wintersemestern regelmäßig 
gelesen, zuletzt im Winter 1875 — 1876. Wenn er nach dem 
Jubiläum das Ministerium bat, ihn von den regelmäßigen Vor- 
lesungen und der Leitung des Seminars zu entbinden, so tat er 
dies nicht allein, weil er fühlte, daß seine Kräfte abnahmen, 
sondern vor allem, um mehrere angefangene wissenschaftliche 
Arbeiten noch beenden zu können und Fragen, die ihn früher 
beschäftigt hatten, zum Abschluß zu bringen ^). Diesem Wunsche 
wurde entsprochen, und W. Voigt, Neumanns Schüler, trat an 

^) Erinnerungsblätter, S. 395. 



— 35 — 

des letzteren Stelle. Neumann wollte seine Tätigkeit als Lelirer 
nicht ganz aufgeben, sondern nur beschränken; indessen hat er 
nur noch einmal, im Winter 1877 — 1878, eine Vorlesung an- 
gefangen, ohne sie beenden zu können. Mußte er aber not- 
gedrungen . auf akademisches Wirken verzichten, so noch nicht 
auf wissenschaftliches Arbeiten. Treu gehütet und gepflegt von 
seiner Tochter (seine zweite Frau war nach langem Siechtum im 
Winter 1877 gestorben), konnte Neumann in yollkommener 
geistiger Frische noch viele Jahre seiner Arbeit leben. In ihr 
fand er bis zuletzt seine Befriedigung. Veröffentlicht hat er von 
den Eesultaten dieser Arbeiten allerdings nichts. Nur 1878 sind, 
von seinem Sohne G. Neumann herausgegeben, die wohl schon 
früher verfaßten Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen er- 
schienen. Neben den mathematischen und physikalischen Studien 
beschäftigte er sich gern mit der Lektüre historischer Schriften; 
und an allem, was das Vaterland betraf, nahm er den lebhafte- 
sten Anteil. Auch körperlich blieb er verhältnismäßig rüstig. 
Selbst die Folgen einer schweren Lungen- und Rippenfellentzün- 
dung, die ihn im Herbst 1884 in Hain im Eiesengebirge befallen 
und während des ganzen Winters an das Bett gefesselt hatte, 
überwand er, wenn auch langsam, vollständig. Fast jeden 
Sommer noch suchte er das ihm seit Jahren liebgewordene Eiesen- 
gebirge auf, und auch in Königsberg machte er täglich ein- bis 
zweistündige Spaziergänge. 

So war ihm ein langer, ruhiger, heiterer und glücklicher 
Lebensabend beschert. Auch an äußeren Ehrungen fehlte es 
nicht; zum sechzigjährigen Doktor Jubiläum wie zum neunzigsten 
Geburtstag wurden ihm hohe Orden verliehen, und 1894 wurde 
er bei der 350 jährigen Jubelfeier der Universität Königsberg 
zum Wirklichen Geheimrat mit dem Titel Exzellenz ernannt. 

Neumann erreichte ein Alter von fast 97 Jahren. Er starb 
am 23. Mai 1895 nach kurzer Krankheit, tief betrauert nicht 
nur von seinen Angehörigen, seinen Schülern und Kollegen, 
sondern von der ganzen deutschen Wissenschaft. 

7. Bückblick auf Neumanns Persönlichkeit. 

Nachdem wir F. Neumanns äußeren Lebensgang verfolgt, 
dabei auf seine bedeutendsten wissenschaftlichen Leistungen hin- 

3* 



— 36 — 

gewiesen, auch seine hervorragende Wirksamkeit als Lehrer zu 
schildern versucht haben, sei es gestattet, noch kurz seiner eigen- 
artigen Persönlichkeit zu gedenken. Wir haben gesehen, welche 
harte Jugend er verlebt, welchen bitteren Entbehrungen er als 
Student und noch später ausgesetzt war, wie er sich durch das 
alles nicht in seinem Streben, der Wissenschaft zu dienen, beirren 
ließ, sondern durch unablässiges, beharrliches Arbeiten das Ziel, 
das er sich gesteckt, erreichte. Und als er es erreicht, machte 
ihn das nicht stolz und hochfahrend. Die Bescheidenheit, die 
schon Bessel an ihm rühmte, zierte ihn sein Leben lang. Ledig- 
lich ein Ausfluß seiner Bescheidenheit war es, daß, wenn er in 
den Vorlesungen die Ergebnisse seiner eigenen Untersuchungen 
vortrug, mochten dieselben schon veröffentlicht sein oder nicht, 
er nie angab, daß jene Ergebnisse sein Eigentum seien, während 
er neben den Namen seiner großen Vorgänger, die er mit Be- 
geisterung pries, gern mit einem gewissen Stolz die Namen 
seiner Schüler nannte, so oft er von deren Arbeiten berichtete. 
Auch die Einfachheit der Lebensführung, zu der er in der Jugend 
durch den Mangel an Mitteln gezwungen war, behielt er, nach- 
dem er aus tiefster Dürftigkeit zu einem bescheidenen Wohl- 
stand gelangt war, bei. Das trat zu Hause sowohl, wie auf 
Reisen zutage. „Ich habe es", schreibt er von der Eeise 1834 
an seine Frau ^), „hier in München zum ersten Male so gemacht 
wie die vornehmen Reisenden, in einem großen Hotel gewohnt, 
an der table d^hote gespeist, das Merkwürdige der Stadt gesehen, 
spazieren gegangen usw., und ich finde nicht, daß man dabei 
mehr Vergnügen und Nutzen hat, als wenn man halb so viel ißt, 
trinkt und sieht; aber ich freue mich darauf, wenn ich erst, 
Innsbruck im Rücken, den Tornister auf dem Rücken, wandernd 
wie ein armer Teufel im Lande herumziehen werde. Da erst 
fühle ich mich frei und unabhängig, und es geht doch nichts 
über das Vergnügen, auf diese Weise bei einem schönen Morgen 
in den Tag hineinzumarschieren, und die Nacht, wenn man sich 
müde gegangen, ist so erquickend.^' 

Neben dieser schlichten Einfachheit war ihm eine große 
Herzensgüte eigen. Für seine alten Berliner Freunde hatte er 
stets eine offene Hand; er unterstützte sie mit namhaften Summen, 



Erinnerungsblätter, S. 328, 



— 37 — 

als ihm im Anfang der dreilSiger Jahre eine kleine Erbschaft zu- 
gefallen war. Ja, einen alten Schulfreund und Kriegskameraden, 
Dulitz, der, wohl nicht ohne eigene Schuld, in eine traurige Lage 
geraten war, nahm er über neun Jahre lang als Gast in sein 
Haus. Dieselbe Güte zeigte er noch in hohem Alter armen 
Nachbarskindern gegenüber, die auf der Treppe seines Hauses 
spielten; nicht nur, dalS er sie häufig mit kleinen Geschenken er- 
freute: um sie nicht in ihrem Spiel zu stören, wich er ihnen auf 
der Treppe aus, was für den Hochbetagten nicht ohne Gefahr 
war und ihm einmal einen schweren Sturz die Treppe hinunter 
zuzog. 

Auch seinen Schülern war er, wenn sie ihm näher traten, 
ein warmer, yäterlicher Freund, der sich ihrer in allen Angelegen- 
heiten annahm und gern bereit war, alles , was in seinen Kräften 
stand, zu tun, um sie auch in ihrem Fortkommen zu fördern. 
Gewann er sich so die Herzen seiner Schüler, indem er ihnen 
menschlich näher trat, so war er ihnen andererseits ein Muster 
in der strengen Pflichterfüllung. Wie ernst er es mit seinem 
Beruf als akademischer Lehrer nahm, wie er auf diesen fast seine 
ganze Zeit verwandte, ist schon oben geschildert. Aber nicht nur 
in bezug auf seinen amtlichen Beruf, auch in allen anderen Lebens- 
verhältnissen trat diese Pflichttreue hervor; sie trieb noch den 
95 jährigen, stundenlang ohne Eücksicht auf seine Gesundheit in 
einem überfüllten Wahllokal auszuhalten, um seiner Pflicht als 
Wähler zu genügen, wie er von Jugend an die Erfüllung der 
Pflichten gegen das Vaterland allem vorangestellt hatte. Wie 
der 16 jährige, als das Vaterland rief, die Schule verlassen hatte, 
um in den Freiheitskrieg zu ziehen, so trat auch der Mann, wenn 
es galt, seine Vaterlandsliebe durch die Tat zu beweisen, aus 
seiner stillen Studierstube heraus, so in den Unruhen der Jahre 
1848 — 1850, in den Wahlkämpf en der sechziger Jahre und 1866 
und 1871, um die heimgekehrten siegreichen Truppen zu be- 
grüi^en. Vaterlandsliebe und Eücksicht auf die Pflichten, die er 
seinen Kindern schuldete, waren es auch, die ihn .in Königsberg 
festhielten, als ihm zweimal glänzend dotierte Stellen in Rußland 
angeboten wurden. Der ideale Sinn, der sich hier in der Gering- 
schätzung äußerer Vorteile dokumentierte, beseelte ihn sein Leben 
lang. Auch bei seinen Forschungen war es ihm nur um die 
Förderung der Wissenschaft, für die er begeistert war, zu tun. 



— 38 — 

nicht um irgend welchen Nutzen oder irgend welche Ehren, die 
für ihn daraus hätten erwachsen können. Daher sorgte er auch 
in späteren Jahren so wenig für das Bekanntwerden der Eesul- 
tate Beiner Arbeiten. Diesen idealen Sinn suchte er auch bei 
seinen Zuhörern zu erwecken und zu pflegen. Als Prorektor 
wies er wiederholt darauf hin, wie trostlos und unwürdig ein 
bloßes Brotstudium seL Es sei die Aufgabe der Studierenden, 
sich auf der Universität jene geistige Freiheit und Unabhängig- 
keit des Denkens und Handelns zu erwerben und zu erarbeiten, 
welche aus einem treuen und eifrigen Studium der Wissenschaft 
hery ergeht, und gegründet ist in dem Bewußtsein, sich überall 
nur durch yemünftige Gründe, durch sittliche und wissenschaft- 
liche Motive bestimmen zu lassen ^). Und in demselben Sinne, 
wie hier auf die Allgemeinheit der Studierenden, suchte er stets 
auf seine speziellen Hörer zu wirken. Daß er das erreichte, 
zeigte sich darin, daß es unter diesen Hörern wohl kaum einen 
gab, der seine Studien lediglich mit Rücksicht auf das Examen 
getrieben hätte. So nahmen denn seine Schüler aus seinem 
Unterricht und dem Verkehr mit ihm mehr fort, als das, was sie 
in ihren Heften nach Hause trugen. Daß sie sich dessen bewußt 
waren, zeigen viele Briefe, die sie an ihren alten Lehrer oder 
nach seinem Tode an dessen Kinder gerichtet haben. Einer der 
Schüler schrieb im Jahre 1904 nach dem Erscheinen der Er- 
innerungsblätter an Fräulein Luise Neumann: 

„Mein Leben wäre doch viel ärmer gewesen, wenn ich nicht 
das Glück gehabt hätte, eine Eeihe von Jahren ihm zu Füßen zu 
sitzen und in ihm nicht nur das Ideal des Forschers und Lehrers, 
sondern auch des Menschen zu verehren." 

Und ein anderer sagt: 

„Von allen Menschen, mit denen mich das Leben in Be- 
rührung gebracht hat, wüßte ich keinen, dem ich eine so große 
Verehrung und Dankbarkeit entgegenbringe als ihm." 



^) Erinnerungsblätter, S. 354. 



— 39 — 



Zweiter Teil. 

Neumaiins wissenschaftliche Arbeiten. 



Eb soll hier auf Inhalt und Bedeutung der von Neumann 
veröffentlichten Arbeiten, die im ersten Teil nur mit wenigen 
Worten skizziert werden konnten, näher eingegangen werden. 
Dabei sollen die verschiedenen Abhandlungen und Aufsätze nicht 
in chronologischer Reihenfolge, sondern nach dem Inhalt geordnet 
besprochen werden. 

I. Die krlstallographiscli - mineralogisclien 

Arbeiten. 

1. Beiträge zur Krystallonomie. Von F. E. Neumann. 
1. Heft. Mit 12 Tafeln in Steindruck. Berlin und Posen. Bei 
Ernst Siegfried Mittler, 1823. 

Neumanns erste Veröffentlichung waren die „Beiträge zur 
Krystallonomie^. Die Bedeutung dieser Schrift liegt vor allem 
darin, daß in ihr eine neue Methode der Eristalldarstellung ge- 
lehrt wurde; eine Methode, die den Zusammenhang der Glieder 
eines Kristallsystems und ihre gegenseitigen Verhältnisse mit 
einem Blick erkennen läßt. Die Methode besteht darin, die yer- 
schiedenen Kristallflächen durch Punkte einer Ebene darzustellen. 
Zu dem Zwecke ziehe man die Flächennormalen, d. h. man fälle 
vom Mittelpunkt des Systems auf alle KristaMächen Lote und 
verlängere diese bis zum Schnitt mit einer beliebigen Ebene (am 
einfachsten wird dazu die gerade Endfläche genommen), dann 
gibt die Gesamtheit der Schnittpunkte ein Bild von der Lage der 
verschiedenen Kristallflächen und ihren Beziehungen zueinander. 



— 40 — 

Statt auf eine Ebene, kann man in derselben Weise auch die 
Eristallflächen auf eine Kugel projizieren; man braucht nur die 
Schnittpunkte der Flächennormalen mit einer um den Mittel- 
punkt des Systems beschriebenen Kugel zu betrachten. Daß 
diese von späteren Mineralogen, namentlich von Quenstedt 
und W. Miller, vielfach angewandte und weiter ausgebaute 
Methode von Neu mann herrührt, scheint bei manchen Minera- 
logen der Neuzeit in Vergessenheit geraten zu sein; die Entwick- 
lung der Methode, ihre Anwendung auf spezielle Beispiele, sowie 
die Ableitung einer Reihe wichtiger Folgerungen nimmt etwa 
drei Viertel des, wie schon oben bemerkt, allein erschienenen 
ersten Heftes ein (S. l — 118). 

Auf seine neue Projektionsmethode wurde Neumann durch 
die von Weiss begründete, yon ihm selbst in den Beiträgen und 
späteren Arbeiten weiter ausgebildete Zonenlehre geführt. Eine 
Zone nennt Weiss den Inbegriff von Flächen, die alle eine Rich- 
tung gemeinschaftlich haben, die alle derselben Linie parallel 
sind. Gerade die Untersuchung der Zonen läßt nach Neumann 
den wahren Zusammenhang der Glieder eines Kristallsystems er- 
kennen, und dieser Zusammenhang spricht sich aus in dem Zonen- 
gesetz, das darin besteht, daß in der Entwicklung der ver- 
schiedenen Glieder jedes spätere Glied bestimmt wird durch 
Zonen der früheren Glieder. Eine Zone ist durch zwei Flächen 
bestimmt, und weiter bestimmen zwei Zonen eine neue Fläche. 
Daher bietet sich zuerst die Aufgabe dar, den Ausdruck für eine 
Fläche zu finden, die durch zwei bekannte Zonen gegeben ist. 
Von dieser Aufgabe geht Neumann aus und zeigt, unter Be- 
nutzung der Weiss sehen Bezeichnung der Kristallflächen ^), wie 



*) Weiss unterscheidet vier Hauptabteilungen von Kristallen: 

1. das gleichachsige (reguläre) System; 

2. die zwei- und einachsige Abteilung (viergliedrige Systeme); 

3. die ein- und ein- und einachsige Abteilung (zwei- und zwei- 
gliedrige Systeme), zu denen auch die zwei- und eingliedrigen, 
sowie die ein- und eingliedrigen Systeme als hemiedrische 
Gestaltungen gehören; 

4. die drei- und einachsige Abteilung (sechsgliedrige Systeme), 
deren hemiedrische Formen die dreigliedrigen Systeme bilden. 

Die drei ersten Abteilungen werden auf drei senkrechte Achsen 
bezogen und folgendermaßen bezeichnet. In der ein- und ein- und 
einachsigen Abteilung wird die in der Erscheinung vorherrschende 



— 41 — 

sich dieselbe durch bekannte Formeln der analytischen Geometrie 
des Raumes leicht lösen läßt. 

„Aber^, fährt er dann fort, „so einfach die Rechnung nun 
auch ist, so wird sie doch sehr lang und ermüdend, wenn es gilt, 
sowohl die Zonen alle zu kennen, die bis auf einen gewissen 
Punkt der Beobachtung sich entwickelt haben, als auch Yon jeder 
einzelnen Zone die Gesamtheit der Flächen, die sich in ihr aus- 
gebildet haben, zu erfahren, und von jeder Fläche die Gesamtheit 
der Zonen, denen sie angehört, zu kennen. Es wäre eine sehr 
mühsame und lange Arbeit, den gedachten Forderungen im 
sphäroedrischen Systeme mit den doch nur wenigen beobachteten 
Flächen zu genügen. — Was aber die Hauptsache ist, so haben 
wir, wie alles nur einzeln und stückweise gewonnen ist, durch- 
aus kein Bild dadurch yon dem ganzen Zusammenhange und 
dessen Verkettungen und Verzweigungen erhalten, sondern müssen 
das Ganze des Resultates mehr dem Gedächtnis als der geometri- 
schen Anschauung anvertrauen. 

„Die ganze Betrachtungsweise und die Methode der mathe- 
matischen Behandlung vorliegenden Gegenstandes erleiden eine 
ungemeine Vereinfachung, wenn man statt auf die Flächen des 
Systems, mehr auf ihre Normalen, d. h. auf die Linien, die 
aus dem Mittelpunkte des Systems senkrecht auf die 



BichtUDg e und von den zwei anderen Bichtungen die kürzere a, die 
längere b genannt. In der zwei- und einachsigen Abteilung ist a = &, 
in der gleichachsigen a= b = e. Das Zeichen 

— a : —b : —c 
m n p 

einer Fläche besagt, daü die Fläche gelegt werden muß durch — a, 

durch — h und durch — c. 
n p 

Die sechsgliedrigen Systeme werden auf vier Achsen bezogen, 

von denen drei, untereinander gleiche, in einer Ebene liegen und unter 

60® gegeneinander geneigt sind, während die vierte auf jener Ebene 

senkrecht steht. Letztere Achse wird mit c, die drei anderen werden 

mit a bezeichnet und die drei mittleren, zwischen ihnen liegenden 

Richtungen mit s. Das Zeichen einer Fläche ist hier, indem die dritte 

Achse a fortgelassen wird: 

c 

1 1 

— a : — a, 
in n 



— 42 — 

Flächen gezogen gedacht werden, die Aufmerksamkeit 
richtet. 

„Von der rein mathematischen Seite ist diese Weise der 
Behandlung, daß fAr die Flächen ihre Normalen betrachtet 
werden, daß das eine in die Stelle des anderen gesetzt wird, 
gänzlich gerechtfertigt, und yon der Seite der physikalischen Be- 
trachtung scheint nach unserem jetzigen Standpunkte alles dafür 
zu sprechen, alle Verhältnisse, wie sie mit der Fläche auftreten, 
aufzulösen in Verhältnisse ihrer Normalen, alle Eigentümlich- 
keiten des Kristalls in den yerschiedenen Eichtungen als lineare 
Tätigkeiten derselben anzusehen. Denken wir z. B. an die Er- 
scheinungen des Blätterdurchganges, der jeder Kristallfläche, mehr 
oder weniger hervortretend, entspricht, an die Lichtreflexion 
dieser Blätterdurchgänge u. a. m., so deutet dieses alles auf eine 
Tätigkeit, die senkrecht auf die Kristallfläche wirkt, d. h. in der 
Kichtung ihrer Normale. 

„Hiemach spricht der Begriff der Zone sich aus als der 
Inbegriff von möglichen Flächen, deren Normalen in 
einer Ebene liegen. 

„Diese Ansicht der Zonen gibt uns ein Mittel, die Gesamt- 
heit der Zonen und ihren Zusammenhang untereinander in einem 
geometrischen Bilde darzustellen. Verlängern wir nämlich alle 
Normalen, bis sie eine und dieselbe Ebene durchschneiden, so 
müssen alle die Durchschnittspunkte in einer geraden Linie liegen, 
die von solchen Normalen herrühren, die in einer Ebene liegen, 
und umgekehrt gehören alle Durchschnittspunkte, die in einer 
geraden Linie liegen, solchen Normalen zu, die in einer Ebene 
liegen, und deren Flächen also in eine und dieselbe Zone ge- 
hören. Es bedarf also zur Erforschung aller existierenden Zonen 
nur der Aufzeichnung der Durchschnittspunkte der Normalen mit 
einer Ebene auf diese, und wir werden uns bald überzeugen, daß 
dieses sowohl eine sehr einfache Operation ist, als daß es auch 
bei der Aufzeichnung keiner geometrischen Genauigkeit bedarf, 
um mit bloßen Augen oder mit Hilfe eines Lineals alle existierenden 
geraden Linien herauszufinden.^ 

Es wird dann auseinandergesetzt, wie diese Durchschnitte 
auf der geraden Endfläche des Systems zu entwerfen sind, da 
sich für diese das Verfahren am einfachsten gestaltet. Man ziehe 
auf der geraden Endfläche 



— 43 — 

00 a : coh : C 

zwei senkrechte Linien parallel den Kristallrichtungen a und b. 
Auf diese als Achsen bezogen, hat der Punkt, der die Fläche 

— a : — : c 
tn fi 

repräsentiert, die Koordinaten , — - • Ist die Projektions- 
ebene nicht die gerade Endfläche selbst, sondern eine zu ihr im 
Abstand 1 yom Mittelpunkt gelegte Parallelebene, so sind die 

Ute TIC 

Koordinaten — , -r-; in beiden Fällen ist der Anfangspunkt der 

a 

Koordinaten der Ort der geraden Endfläche selbst. Bas Ver- 
fahren wird erläutert durch die Projektion der gewöhnlich am 
Schwerspat zu beobachtenden Flächen, und es wird dabei gezeigt, 
wie man den Zusammenhang der Glieder in dem Bilde mit einem 
Blick übersehen kann. Ebenso einfach ist das Verfahren bei den 
sechs- und dreigliedrigen Systemen, was am Quarz erläutert wird. 
Zum SchlulS wird das Schema des regulären Systems auf der 
Würfelfläche entworfen. 

Im zweiten Abschnitt (S. 19 — 51) wird ein „Verfahren, die 
Neigungsverhältnisse in den Zonen im yorliegenden Schema zu 
finden^, dargelegt. Unter der Voraussetzung, daß a^ih^ic^ ein 
rationales Verhältnis haben, eine Voraussetzung, die Neumann 
als mit der Erfahrung übereinstimmend ansieht, wird durch ein- 
fache analytisch - geometrische Betrachtungen das Resultat ab- 
geleitet: Die Tangenten der Neigungswinkel der verschiedenen 
in derselben Zone gelegenen Flächen gegen die in dieser Zone 
liegende Säulenfläche sind rationale Vervielfachungen eines und 
desselben irrationalen Grundverhältnisses. Dasselbe gilt dann, 
wie leicht zu übersehen, für die Neigungswinkel zweier beliebiger 
Flächen derselben Zone. Jenes irrationale Grundverhältnis ist 
das Verhältnis der Zonenachse zum Produkt der drei Dimen- 
sionen des Systems. Dabei wird die Zonenachse folgendermaßen 
definiert: Durch die Zonenlinie des Schemas und den Mittelpunkt 
(d. i. den Punkt, von dem aus die Lote auf die £j*istallflächen 
gefällt sind) ist die Zonenebene bestimmt. Das auf letzterer im 
Mittelpunkt errichtete Lot ist die Zonenachse, ihre Länge das 
Stück zwischen Mittelpunkt und Projektionsebene. Über die Be- 



— 44 — 

deutung des Eesultates spricht sich Neu mann selbst folgender- 
maßen aus: 

^AuB dem Gesetz der Zonen, dem Grundgesetz aller kristallo- 
nomischen Entwicklung und Ausbildung, ergibt sich ein zweites 
nicht weniger wichtiges und allgemein gültiges Gesetz für die 
Eristallonomie : den Verhältnissen yon Sinus zu Kosinus 
für alle kristallonomische Neigungen in derselben Zone 
liegt ein gemeinschaftliches irrationales Verhältnis 
zugrunde, yon welchem irrationalen Verhältnis jedem 
besonderen Neigungsverhältnis eine rationale Verviel- 
fachung entspricht. 

„So sind für die Betrachtung dieser Verhältnisse diese zwei 
Teile derselben wesentlich getrennt, ihr gemeinschaftliches irratio- 
nales Grundverhältnis , und die rationalen Veryielfachangen 
desselben, und gerade in dieser Trennung stellen sich diese Ver- 
hältnisse auf unserem Schema dar/ 

Übrigens wird nicht gleich das allgemeine Eesultat, das für 
alle Kristallsysteme galt, an die Spitze gestellt, sondern der Satz 
wird zuerst an einigen Beispielen erörtert. Zur Erläuterung 
dienen Topas und (für die sechs- und dreigliedrigen Abteilungen) 
Rotgültigerz. 

Der zweite Abschnitt schließt mit einer Erläuterung der von 
Neumann auf Grund seines Systems eingeführten Zonenbezeich- 
nung. Eine Zone wird bezeichnet durch Angabe der Stücke, 
welche sie auf den Achsen der Projektionsebene abschneidet 
[MaiNß], und zwar werden diese Stücke angegeben als Viel- 

c c 

fache oder Teile von a == — , j3 = — , falls die Projektionsebene 

Cv 

den Abstand 1 vom Mittelpunkt hat. Geht die Zonenlinie durch 
den Anfangspunkt (ist sie also einer vertikalen Zone angehörig), 
so wird ihre Lage bestimmt durch das Verhältnis der Lote, die 
von einem ihrer Punkte auf die Achsen gefällt sind; zum Unter- 
schied von anderen Zonen wird dem Verhältnis das Zeichen 
vorgesetzt. Auch diese Bezeichnung wird am Topas erläutert, 
die auftretenden Zonen in Zonengruppen geordnet. Femer wird 
gezeigt, wie man aus der Bezeichnung der Zone ihre wesentlichste 
Eigenschaft ablesen kann, „nämlich ihr irrationales Grund- 
verbältnis, diejenige Eigenschaft, deren weiteres Studium die 
größte Fruchtbarkeit für die Kristallonomie verspricht**. Endlich 



— 45 — 

wird das Verhältnis von Neumanns Zonenbezeichnang zu der 
Yon Weiss erörtert 

Der dritte Abschnitt (S. 51 — 78) behandelt die Neigungs- 
yerhältnisse in den Flächen und legt dar, wie man diese aus dem 
Schema findet. Sehr einfach erledigt sich das für die gerade 
Endfläche, wenn man bedenkt, daß die Linie, die in dem Schema 
Yon dem Orte der geraden Endfläche nach einem anderen Flächen- 
orte gezogen ist, senkrecht steht auf der Richtung, in der die 
gerade Endfläche von jener anderen Fläche geschnitten wird. 
Schneiden daher zwei Flächen f^^ f^ die gerade Endfläche in den 
Linien Z^, 1%^ so ist der yon \y l^ gebildete Winkel das Supple- 
ment desjenigen Winkels, den im Schema die Verbindungslinien 
der Flächenorte yon f^ und /g mit dem Flächenorte der geraden 
Endfläche bilden; und die Tangente des letzteren Winkels folgt 
sofort aus dem Schema. 

Um die analoge Aufgabe für andere Kristallflächen zu lösen, 
ohne erst die Projektion auf diesen anderen Flächen zu entwerfen, 
benutzt Neumann die Projektion auf die Kugel und leitet mittels 
derselben folgendes Resultat her: Eine beliebige Kristallfläche f 
werde von zwei anderen Kristallflächen /*}, f^ in den Kanten h^ 
und Ic^ geschnitten, und ^ sei das Supplement des von A^, h^ 
eingeschlossenen Winkels. Andererseits verbinde man in dem 
auf der geraden Endfläche entworfenen Schema den Flächenort 
Yon f mit dem Flächenorte von fi und /*« und nenne den yon 
diesen Verbindungslinien eingeschlossenen Winkel ^\ so ist 

tangd" = tangd'' * -, wo Z das vom Mittelpunkt des Kristalls auf 

die Fläche f gefällte Lot bezeichnet. Das Verhältnis lang d" : tang 9"* 
ist also lediglich von der Lage von f abhängig, nicht aber yon 
der yon /*] und /*2. Beachtet man ferner das Gesetz der ratio- 
nalen Indizes und setzt voraus, daß a^, b^, c^ zueinander in ratio- 
nalem Verhältnis stehen, so folgt, daß die Tangente eines be- 
liebigen, in der Fläche f gelegenen Kantenwinkels stets durch 

Multiplikation des irrationalen Verhältnisses —j— mit einer ratio- 
nalen Zahl erhalten wird. Das gemeinschaftliche irrationale Ver- 
hältnis — =— , bzw. dessen reziproken Wert nennt Neumann das 
i 

Grundyerhältnis der Fläche f. 



— 46 — 

Dem allgemeinen Beweis des vorstehenden Eesultats geht 
wiederum die Erläuterung desselben an einem speziellen Beispiel, 
und zwar dem VesuYian, voraus, während zur Erläuterung für 
das drei- und sechsgliedrige System auch hier Eotgültigerz dient. 
Neumann schließt (§ 37): „So. ist die Einfachheit der Methode 
für die Hauptfragen der kristallographischen Betrachtung, glaube 
ich, vollkommen gewonnen. Besonders wichtig und für weitere 
Untersuchungen fruchtbar ist die Unterscheidung der irrationalen 
Grundverhältnisse von ihren rationalen Vervielfachungen; jene 
sind das einem bestimmten Kristallsysteme Eigentümlichste, In- 
dividuellste, diese sind abhängig von dem allgemeinen Entwick- 
lungsgange der Glieder eines Systems. In Hinsicht der irratio- 
nalen Grundverhältnisse, sowohl der Zonen als der Flächen, 
können wir nun das Gesetz derselben allgemein aussprechen: 
Bas irrationale Grundverhältnis irgend zweier aufein- 
ander senkrecht stehender Richtungen ist in derselben 
Ebene, diese sei eine Zonenebene, oder eine Eristall- 
fläche, immer dasselbe, und dieses Verhältnis ist immer 
das irrationale Verhältnis des Produkts der drei auf- 
einander senkrecht stehenden Dimensionen des Systems 
zu der auf der Ebene senkrecht stehenden Richtung. Alle 
Grundverhältnisse eines Kristallsystems sind Grund- 
verhältnisse der Richtungen zu den drei aufeinander 
senkrecht stehenden Dimensionen." 

Hiernach hat man auch ein Urteil über die Möglichkeit oder 
Unmöglichkeit von Winkelverhältnissen gewonnen. Im regulären 
System z. B. sind nur solche Neigungen möglich, deren Tangenten 
Vielfache (bzw. rationale Teile) voi^ Quadratwurzeln aus der 
Summe dreier Quadrate sind. Auch für den Quarz lassen sich 
die möglichen Flächengrundverhältnisse leicht angeben. 

Bisher war lediglich die Projektion der Kristallflächen auf 
die gerade Endfläche betrachtet, denn die Projektion auf die 
Kugel wurde im Abschnitt 3 nur nebenbei als Hilfsmittel benutzt, 
und im allgemeinen wird man auch wegen der größeren Einfach- 
heit des Verfahrens die gerade Endfläche als Projektionsebene 
beibehalten. Indessen können besondere Verhältnisse Veranlassung 
geben, eine andere Kristallfläche zur Projektionsebene zu wählen.. 
Es bleibt daher noch die Aufgabe zu behandeln, die Projektion 
der Flächenorte auf jeder kristallonomischen Fläche zu entwerfen. 




— 47 — 

Diese Aufgabe wird im yierten Abschnitt (S. 78 — 115) zunächst 
analytisch gelöst. Zur Darstellung einer Fläche 

—a:—o:—c 
m n p 

kommen nur die Projektionen der Flächennormale (des vom 
Mittelpunkt des Kristalls auf die Fläche gefällten Lotes) auf drei 
neue senkrechte Achsen in Betracht, deren eine auf der neuen 
Projektionsebene senkrecht steht. Nun sind die Projektionen der 

Normale auf die Eristallachsen a, h. c proportional — , -r-f ~~; ^^b 

a h c 

diesen die Projektionen derselben Normale auf drei andere, der 
Lage nach bekannte rechtwinklige Achsen zu finden, ist eine ein- 
fache Aufgabe der analytischen Geometrie (bzw. der Mechanik, wie 

Neumann sagt, indem er — , — , — als Kräfte betrachtet, die die 

a c 

Flächenrichtung bestimmen). Allerdings erfahren die allgemeinen 
geometrischen Formeln hier dadurch eine Modifikation, daß die 
neuen Achsen nicht eine ganz beliebige Lage haben, sondern 
kristallonomische Eichtungen sein müssen. Nachdem die resul- 
tierenden Formeln auf das Augitsystem angewandt sind, ent- 
wickelt Neu mann eine rein graphische Lösung, die er zunächst 
am Borax erläutert. Allgemein braucht man für die neue Pro- 
jektion nur wenige Flächenorte (bei zweckmäßiger Wahl drei oder 
vier) direkt zu ermitteln; und dazu benutzt man die aus den 
früheren Abschnitten bekannten Tangenten für die Neigung der 
Normale, die dem zu fixierenden Flächenorte angehört, gegen die 
Normale, auf deren Fläche der Ort fixiert werden soll. Sind so 
die ersten Flächenorte auf der jedesmal vorliegenden Fläche be- 
stimmt, so ist es nur noch nötig, das System von Zonenlinien, das 
die Projektion auf die gerade Endfläche geliefert hat, auf die 
neue Fläche zu übertragen. Aus der geometrischen Bestimmung 
der Flächenorte ergibt sich leicht auch ihre numerische. Nicht 
immer ist die neue Projektionsebene von vornherein gegeben. 
Stellt man sich z. B. die Aufgabe: „es sind zwei Flächen gegeben, 
der Kristall soll so gestellt werden, daß diese Säulenflächen 
werden, und es soll die Projektion der Flächenorte auf der geraden 
Endfläche dieser Säule entworfen werden '^f so muß man zunächst 
das Zeichen jener geraden Endfläche bestimmen. Das Verfahren 



— 48 — 

wird an einer Reihe von Beispielen erläutert und dann angewandt, 
um die Projektionen der Flächenorte des regulären Systems auf 
verschiedenen Flächen dieses Systems zu entwerfen (§ 46 — 48). 
In einem Anhange (S. 115 — 118) macht Neumann einige 
Bemerkungen üher die Stellung und Umkehrung seiner Methode. 
Er betrachtet den Begriff der Invertierung, auf den Hauy bei den 
Gliedern des Kalkspatsystems aufmerksam gemacht hat, von einem 
allgemeineren Gesichtspunkte. Er nennt zwei Systeme invertiert, 

wenn sich bei dem einen a:h:c = ym : \n : yp, bei dem anderen 

a:h:c = 1/ — •i/~'i/~ verhalten. Bei zwei invertierten Ge- 
j m j n j p 

stalten sind dann die Zonenebenen der einen die Flächen der 
anderen und umgekehrt. Dieser Begriff nun kann dazu dienen, 
um mit kurzen Worten das Verhältnis von Neumanns Behand- 
lung der kristall onomischen Verhältnisse zu der bis dahin herr- 
schenden anzugeben: erstere ist die invertierte von der letzteren. 
Man kann daher auch der im vorstehenden entwickelten Pro- 
jektionsmethode eine andere an die Seite stellen, in der nicht die 
Flächenorte, sondern die Zonenebenen durch Punkte schematisch 
dargestellt werden. 

Dies der Inhalt des umfangreichsten und wichtigsten Teils 
der Beiträge, die außerdem noch eine zweite Abhandlung, 
S. 119 — 152, enthalten: „Über den eigentümlichen Entwicklungs- 
gang der zwei- und eingliedrigen Systeme in Beziehung auf ihren 
Zonenzusammenhang". Anknüpfend an die Beobachtung von 
V^eiss am Feldspat, wird hier die Beziehung und die Zonen- 
abhängigkeit aller Glieder eines zwei- und eingliedrigen Systems 
von einer doppeltdreiseitigen Pyramide nachgewiesen, in der zwei 
Flächen gleich geneigt gegen die dritte sind, aber verschieden 
gegeneinander. Die Betrachtung des Zonen Zusammenhangs führt 
auf diese Pyramide als die einfachste Gestalt. Zugleich wird auch 
eine naturgemäße Beziehung der Glieder auf ein schiefes Oktaeder 
dargelegt. Außer am Feldspat werden die analogen Verhältnisse 
auch am Pistazit erörtert. 

Die Abhandlung enthält zugleich eine Polemik gegen Mohs, 
der die Ansicht verfochten hatte, daß die zwei- und eingliedrigen 
Systeme dadurch entständen, daß die Hälfte gleichartiger Flächen 
zwei- und zweigliedriger Systeme fortfiele. Dem widerspricht 



— 49 — 

• 
nach Neumanns Ansicht die Natur auf das bestimmteste; die 

zwei- und eingliedrigen Systeme seien vielmehr der Ausdruck für 
das Einsetzen einer Verschiedenheit zwischen zwei sich gegen- 
über stehenden gleichen Seiten der letzteren Systeme (vgL auch 
S. 51 — 52). Nebenbei wird gezeigt , daß nach der Methode Yon 
Mohs jede Fläche im allgemeinen mit vier yerschiedenen Zeichen 
bezeichnet werden kann. 

Auch in dieser zweiten Abhandlung leistet die neue Pro- 
jektion smethode wesentliche Dienste. 

2. De lege zonarum principio eyolutionis systema- 
tum crystallinorum. Dissertatio inauguralis. Berolini 1826^). 

In engem Zusammenhange mit den Beiträgen steht Neu- 
manns Dissertation. In derselben wird folgendes ausgeführt. 
Gegenüber der Ansicht mancher Mineralogen, wie z. B. Mohs, 
die das Gesetz der rationalen Indizes als das eigentliche Grund- 
gesetz der Kristallographie ansehen, aus dem der Zonenverband 
der yerschiedenen Eristallflächen erst folge, verficht Naumann 
die Ansicht, daß das Zonengesetz das grundlegende ist. Aus ihm 
ergebe sich nicht nur das Gesetz der rationalen Indizes als 
Folgerung, sondern das Zonengesetz, nach dem eine Kristallfläche 
nur dann entstehen könne, wenn gewisse in ihr liegende Rich- 
tungen schon yorher vorhanden sind, bilde die wahre Grundlage 
für die Entwicklung eines Kristallsystems. Aus dem Prinzip 
der Zonen folge ganz allgemein der Zusammenhang und die Auf- 
einanderfolge der verschiedenen Glieder eines Kristallsystems; 
doch nicht so, daß immer ein Glied aus dem vorhergehenden ent- 
stände; vielmehr könnte es nach dem Zonengesetz sehr wohl 
Glieder eines Systems geben, die keinen direkten Zusammenhang 
besäßen, während doch beide aus den früheren Gliedern des 
Systems mit Notwendigkeit folgen. Wesentlich sei die Unter- 
scheidung der früheren (ursprünglichen) und der aus diesen sich 
ergebenden späteren Flächen. 

Nach diesen allgemeinen Erörterungen, die den Inhalt der 
Einleitung bilden, entwickelt Neumann systematisch, wie man 
bei den yerschiedenen Kristallsystemen aus den einfachsten Flächen 
mittels des Zonengesetzes die komplizierteren ableiten kann. Er 



^) Die der Dissertation beigefügten Thesen sind schon im ersten 
Teile (S. 13) mitgeteüt. 

Wangerin, Franz Nenmann. ^ 



— 50 — 

benutzt dabei nicht die Projektion, sondern nur die in seinen 
Beiträgen zur Eristallonomie aufgestellten Formeln 1. über die 
Bestimmung des Zeichens der Zone, der zwei gegebene Flächen 
angehören, 2. über die Bestimmung des Zeichens einer Fläche 
aus zwei gegebenen Zonen. 

Zuerst wird das reguläre System behandelt. Die Grund- 
formen bilden das reguläre Oktaeder und der Würfel. Durch 
zwei Zonen, die eine Oktaederkante und eine Würfelkante zur 
Achse haben, sind die Flächen des Rhombendodekaeders (Gra- 
natoeders) bestimmt. Letzteres hat mit dem Oktaeder und dem 
Würfel die Eigenschaft gemein, daß keiner dieser Körper aus 
sich allein neue Flächen erzeugen kann, sondern, daß das nur 
durch Verbindung zweier der genannten Formen möglich ist. Je 
nachdem das Granatoeder mit dem Oktaeder oder mit dem Würfel 
verbunden wird, entstehen yerschiedene Reihen von Formen. Eine 
Granatoeder- und eine Würfelfläche bestimmen die Zone, die eine 
Oktaederkante zur Achse hat; nimmt man diese Zone mit der 
einer Granatoederkante zusammen,' so ergibt sich das Leucitoeder 

^a:a:a. 

Faßt man andererseits eine Granatoeder- und eine Oktaederfläche 
zusammen, so ergibt sich dadurch die sogenannte Diagonalzone 
des Oktaeders (Zeichen [2 a, a, a]), und zwei derartige Diagonal- 
zonen bestimmen eine Fläche des gewöhnlichen Pyramidenwürfels 

zwei andere das stumpfere Leucitoid. [|a:a:a]. Außerdem ent- 
stehen aus diesen Zonen und denen der Granatoederkanten zwei 
Hexakisoktaeder [a : | a : | a] und [a:|a:^a]. Neumann nennt 
sie das gewöhnliche Pyramidengranatoeder und das zweite Hexakis- 
oktaeder. 

Von der überaus großen Zahl von Formen, die aus den eben 
besprochenen hervorgehen, indem man sie miteinander oder mit 
den vorhergehenden verbindet, untersucht Neumann genauer 
1. diejenigen Formen, die aus der Verbindung des Leucitoeders 
mit den vorhergehenden Formen, das ist mit Oktaeder, Würfel, 
Granatoeder, entstehen; 2. diejenigen, die aus der Verbindung des 
gewöhnlichen Pyramidenwürfels mit Oktaeder, Würfel oder Gra- 
natoeder entstehen. Die Resultate (31 Flächen ad 1, 36 ad 2) 
sind in einer Tabelle zusammengestellt. 



— öl — 

Eine analoge Untersuchung wird nun für das viergliedrige 
(quadratische) System (systemata quatemaria, nach Weiss zwei- 
und einachsige Abteilung) durchgeführt, und zwar werden nur 
die Formen entwickelt, bei deren Entstehung die gerade End- 
fläche fehlt. An Stelle der drei Grundgebilde des regulären 
Systems, des Oktaeders, des Würfels und des Granatoeders, treten 
hier: das Quadratoktaeder [a-.aic], die erste Seiten-(Pri8men'-) 
fläche [a : 00 a : 00 c], die zweite Seiten-(Prismen-) fläche [aiaiooc] ^). 
Aus diesen ergeben sich das erste spitzere Oktaeder [a : oo a : 2 c] 
und das Dioktaeder [a:|a:c] [Neumann nennt es solidum 
quaterno - marginatum yulgare]*). Erörtert wird dann, welche 
neuen Formen aus den beiden letztgenannten durch Verbindung 
jeder derselben mit den drei vorhergehenden entstehen. Die 
Resultate sind wiederum zu einer Tabelle vereinigt. 

Es folgt eine kurze Betrachtung des zwei- und zwei- 
gliedrigen Systems (rhombisch in moderner Bezeichnung) sowie 
dessen Primärformen, und zum Schluß wendet sich die Betrach- 
tung dem zwei- und eingliedrigen System (modern monoklinisch) 
zu. Es würde zu weit führen, hier auf die Einzelheiten dieser 
Entwicklung einzugehen. Es sei nur Neumanns prinzipielle 
Auffassung hier hervorgehoben und zwar mit folgenden, den 
Beiträgen zur Eristallonomie entnommenen Worten: „In jeder 
der Richtungen in den zwei- und zweigliedrigen Systemen sind 
durch ihre Beziehungen zu den zwei anderen ungleichen Rich- 
tungen immer zwei gegenüberstehende Seiten gleich, und ver- 
schieden von den zwei anderen sich gegenüberstehenden Seiten. 
Tritt nun eine Verschiedenheit ein zwischen zwei sich gegen- 
über stehenden gleichen Seiten, so daß dieselbe Verschiedenheit 
auch in den zwei Enden derselben Seiten stattfindet (wodurch 
die Gleichheit der zwei Enden der Richtung nicht aufgehoben 
wird), so wird zugleich dasselbe Verhalten in den Seiten der 
anderen Richtung, die jenen Seiten zugekehrt sind, gefordert, 
und der räumliche Ausdruck dieses Verhaltens in den Seiten 



^) Die Bezeiclinmig weicht von der anderer Autoren ab. So ist 
z. B. in Böses Elementen der Kristallographie, Seite 72, die Fläche 
[a : OD a : OD c] als Prisma zweiter Ordnung, [a : a : od e] als Prisma erster 
Ordnung bezeichnet. 

*) Auch dies Oktaeder ist bei Rose als das zweite spitzere be- 
zeichnet. 



— 52 — 

der zwei- und zweigliedrigen Richtungen sind die zwei- und 
eingliedrigen Systeme.^ 

Die Dissertation ist als Teil I bezeichnet; in der Tat fehlt 
die Betrachtung der ein- und eingliedrigen (triklinischen), sowie 
der sechsgliedrigen (drei- und einachsigen nach Weiss, modern 
hexagonalen) Systeme. Vielleicht war auch noch die Absicht vor- 
handen, die hemiedrischen Gestalten der regulären, viergliedrigen, 
hexagonalen und rhombischen Systeme zu behandeln. 

Vieles von dem Inhalt der Dissertation berührt sich eng mit 
der Kristall onomie, z. B. die Entwicklung der Glieder des regu- 
lären Systems (Kristallonomie, S. 104 — 109), aber während dort 
das Hauptgewicht auf die Darstellung, auf die Projektion gelegt 
ist, wird in der Dissertation von graphischen Darstellungen ganz 
abgesehen, und es stützt sich die ganze Entwicklung auf die 
Formel. — Ähnlich beim zwei- und eingliedrigen System, das 
hier ebenfalls ohne die Projektion behandelt wird, über das femer 
lediglich allgemeine Betrachtungen beigebracht werden, während 
die sehr ausführlichen Erörterungen der Kristallonomie, wie schon 
erwähnt, direkt an das System des Feldspats und des Pistazits 
anknüpfen. 

3. Wegen Haidingers Aufsatz über axotomen Blei- 
baryt. [Zeitschrift Isis von Oken 17, 424—428, 1825.] 

In diesem Aufsatz polemisiert Neu mann gegen Haidingers 
Auffassung, der in einer in der Isis, Bd. 15, 1824, Heft 11, 
S. 1156, veröffentlichten Arbeit die Kristalle von schwefelkohlen- 
saurem Blei als Drillinge beschrieben hat, entstanden durch ge- 
setzmäßige Verwachsungen dreier Individuen, von denen jedes 
einzelne eine geschobene vierseitige Säule mit schiefer Endfläche 
zur Grundform hat. Demgegenüber verficht Neumann die An- 
sicht, daß es sich um einfache, dem rhomboedrischen System an- 
gehörige Kristalle handelt, nur diese Auffassung vertrage sich 
mit dem in den Beiträgen zur Kristallonomie entwickelten kri- 
stallonomischen Gesetz. Neumann weist eingehend auf die Un- 
klarheiten und Widersprüche hin, die sich in Haidingers Dar- 
stellung finden, so daß man oft nicht wisse, was er eigentlich 
habe sagen wollen. Die Genauigkeit der Messungen Haidingers 
solle nicht angezweifelt werden. WTenn diese für den Winkel 
der geschobenen vierseitigen Säule 120^20' statt 120^ ergäben. 



— Ö3 — 

so sei diese Differenz störenden Einwirkungen bei der Gestaltung 
des gemessenen Exemplars zuzuschreiben. 

4. Über das Krystallsystem des Axinits. [Pogg. Ann. 
4, 63—78, 1825.] 

Einleitend wird bemerkt, daß die Darstellung des Axinit- 
systems, die Hauy in seinem großen Werke gegeben hat, zu den 
wenigen gehört, wo die Grundbestimmungeo , wie er sie in der 
„forme primitive^ gibt, gänzlich aufgegeben werden müssen, da 
die Unterschiede zwischen den Winkeln, die aus der angegebenen 
Primitivform folgen, und den in der Natur stattfindenden zu 
erheblich seien, um bloß als Folge einer nicht ganz scharfen 
Messung betrachtet werden zu können. 

Es werden dann die bisher, insbesondere von Hauy und 
Mohs (letzterer hat, wie nebenbei bemerkt wird,' bei der Über- 
tragung der Hauy sehen Bezeichnung in seine eigene einen Rechen- 
fehler gemacht) am Axinit beobachteten Flächen zusammengestellt 
und ihr Zonenzusammenhang angegeben. Um die Neigungen 
derselben zu bestimmen, ist die Kenntnis von fünf gemessenen 
Winkeln nötig; und zwar müssen diese Winkel an demselben 
Kristall gemessen werden, da sich zwischen den gleichen, an ver- 
schiedenen Kristallen gemessenen Winkeln Differenzen bis zu 
16 Minuten finden. Neu mann hat nun an ein und demselben 
Kristall der Berliner Sammlung sieben Winkel gemessen und 
leitet aus den fünf ersten derselben die hauptsächlichsten übrigen 
Winkel ab. Er bedient sich dabei zur Darstellung der Projektion 
auf eine Kugel, d. h. der Durchschnitte der vom Mittelpunkt des 
Kristalls auf die verschiedenen Flächen gefällten Lote mit einer 
um denselben Mittelpunkt beschriebenen Kugel. 

Schließlich zeigt Neumann, wie man alle Flächen auch 
dieses zu den ein- und eingliedrigen Systemen gehörenden Kri- 
stalls mit Weiss auf drei rechtwinklige Richtungen beziehen kann, 
indem man jede Fläche durch das Zeichen 

— a : — : — c 
m n p 

darstellt, wo die tn^ n, p einfache ganze Zahlen sind. Für 
die Grundverhältnisse a :h : c der drei senkrechten Richtungen 
findet er 

a:hc= V51:V49:Vr. 



— 54 — 

Die auf Grund dieser Darstellung berechneten Winkel unter- 
scheiden sich von den direkt gemessenen um höchstens neun 
Minuten. — Bemerkt wird hierbei, daß durch die Unsymmetrie 
aller Bildungen dieser Art Systeme die rechtwinkligen Eichtun gen 
aus der äußeren Erscheinung verschwinden, und daß es für ihre 
Bealität keine andere Bürgschaft gebe, als die Einfachheit jener 
rationalen Verhältnisse aller Flächen. 

Der messenden Kristallographie gehört auch die große in 
den Abhandlungen der Berliner Akademie 1830, S. 189 — 230, 
veröffentlichte Arbeit an: 

5. Das Krystallsystem des Albites und der ihm ver- 
wandten Gattungen. Erste Abteilung. Methode und Fehler 
der Messungen, Kombination der Messungen, Tiroler Albite. 

Das Hauptinteresse einer genaueren Untersuchung des Albites 
besteht darin, daß Feldspat und Albit chemisch einander sehr 
nahe stehen, während sie verschiedenen kristallographischen Ab- 
teilungen angehören; Feldspat ist zwei- und eingliedrig, Albit 
ein- und eingliedrig. Diese von Böse entdeckte mineralogische 
Differenz läßt eine nahe und innige Verwandtschaft unter zwei 
großen Kristallsystemen vermuten, und es ist zu erwarten, daß 
ein eingehendes Studium des Albites und seine Vergleichung mit 
dem Feldspat einen Aufschluß über den Zusammenhang kristalli- 
nischer Bildungen überhaupt gibt. Von diesem Aufschluß aber 
ist, so sagt Neumann, der Begriff einer höheren mineralogi- 
schen Einheit abhängig, wodurch solche mineralogisch getrennte 
Gattungen, wie Feldspat, Albit usw., erst auf eine exakte Weise 
miteinander vereinigt werden können. Und noch ein zweites 
Ziel haben die Neumann sehen Messungen, nämlich die Ver- 
änderlichkeit der Kristallwinkel, bedingt durch Störungen bei der 
Kristallbildung verschiedener Kristallindividuen, exakt nachzu- 
weisen. Zur Erreichung dieses Zieles waren neue Messungen von 
größerem Umfange anzustellen, da die Arbeit von Rose nur fünf 
gemessene Winkel enthält, so viel, als gerade hinreichen, um ein 
ein- und eingliedriges System zu bestimmen, während in sonstigen 
Arbeiten sich lediglich Notizen über einige Winkel vorfinden. 
Doch die Anstellung einer größeren Zahl von Beobachtungen allein 
genügt noch nicht, es kommt auch vor allem darauf an, durch 
richtige Verwertung der einzelnen Beobachtungen zu möglichst 
sicheren Resultaten zu gelangen. Zu dem Zwecke diskutiert 



— 55 — 

Neu mann zunächst ausfulirlicb die einielnen Fehlerquellen der 
mit dem Wollast onscben Reflexionsgoniometer angestellten 
Messungen, gibt dann an, wie man yerfahren muß, um die Be- 
dingungen einer möglichst richtigen Messung bu erfüllen, und 
berechnet schließlich den Fehler, der bei diesem Yerfahren noch 
zurückbleiben kann. Er betragt, wenn man das Mittel von zehn 
Beobachtungen nimmt, 2' und kann infolge yon ganz besonderen 
Unvollkommenheiten , bzw. Krümmungen der Flache höchstens 
auf 4' steigen. Das Verfahren, das Neumann hier fftr das 
Reflexionsgoniometer auseinandersetzt, ist typisch für 
die Art, wie er überhaupt Meßinstrumente irgend 
welcher Art benutzt, indem er stets durch eine Kombination 
Yon Messungen, die unter yerschiedenen Umständen auszuführen 
waren, den Grad der Zuverlässigkeit feststellte. 

Weiter wird gezeigt, wie die einzelnen Messungen zur &- 
mittelung der Elemente des Kristallsystems zu kombinieren sind. 
Dabei hat man zunächst zu beachten, daß, wenn vier Flächen des 
Kristalls (yon denen keine drei derselben Zone angehören) ihrer 
relativen Lage nach gegeben sind, aus ihnen alle übrigen Flächen 
durch den Zonenzusammenhang abzuleiten sind. Bei zweck- 
mäßiger Wahl jener vier Flächen hängen ihre kristallographischen 
Zeichen von fünf Größen ab, den Elementen des Systems. Mittels 
dieser Elemente lassen sich alle übrigen Flächen des Systems und 
daher auch die Winkel zwischen den Flächen auf bekannte Weise 
berechnen. Wie ermittelt man nun umgekehrt aus den ge- 
messenen Winkeln möglichst genaue Werte der Elemente? Dazu 
berechnet Neu mann zunächst angenäherte Werte der Elemente, 
diese seien «, a', ß, ß\ ß'\ und mit diesen angenäherten Werten 
die einzelnen Winkel F. Ist der Unterschied zwischen dem so 
erhaltenen angenäherten Werte F eines Winkels und dem ge- 
messenen Werte desselben Winkels = ^F, sind femer z/a, 
^a\ . . . die Abweichungen der angenäherten Werte der Elemente 
von den wahren Werten, so existieren zwischen diesen Größen 
Gleichungen der Form 

dV— AJa + BJoi! + C^ß + BJß' + E^ß'\ 

wo -4, jB, ... durch die angenäherten Werte von F, a, «', ... ge- 
geben sind. Solcher Gleichungen existieren so viele, als gemessene 
Winkel vorhanden sind; und aus ihnen sind nach der Methode 



— 66 — 

der kleinsten Quadrate die Unbekannten ^a, da\ ,.. zu be- 
stimmen. Zu der obigen Formel, die nur für Winkel an dem- 
selben Individuum gilt, kommt noch eine weitere für Zwillings- 
winkel, d. h. solche Neig^ungen, die von Flächen gebildet werden, 
welche beiden Individuen angehören. 

Es folgt nun eine umfassende Reihe von Messungen, an- 
gestellt an vier aus Tirol stammenden Albitkristallen, femer die 
Mitteilung von einzelnen Messungen an fünf weiteren Kristallen. 
Die Diskussion der Messungen ergab neben der Tatsache, daß bei 
einem der Kristalle Störungen im Wachstum Abnormitäten der 
Winkel von ^/j Grad hervorgebracht haben, die folgenden wich- 
tigen Resultate: 

1. Das Feldspatsystem und das Albitsystem stimmen überein 
in der Rechtwinkligkeit der Neigungen der Diagonalflächen. 

2. Beide Systeme haben ferner auch gleiche Neigungen der 
Rhomboidflächen. 

3. Das Albitsystem besitzt eine Symmetrie in der horizon- 
talen Zone. 

Aus diesen Resultaten folgt weiter, daß zwischen den fünf 
Elementen «, a', ... drei Relationen stattfinden, so daß schließlich 
alle Winkel nur von zwei Grundelementen abhängen. 

Wie die genannten drei Bedingungsgleichungen mit den aus 
den Beobachtungen hergeleiteten Gleichungen zu verbinden sind, 
um die übrig bleibenden zwei Elemente auf die vorteilhafteste 
Weise zu bestimmen, das zu erörtern, hat Neumann einem 
zweiten Teile seiner Abhandlung vorbehalten, in dem auch 
Messungen an Albitkristallen vom St. Gotthard und aus Sibirien 
mitgeteilt werden sollten. — Doch ist dieser zweite Teil der Ab- 
handlung nicht veröffentlicht. 

6. In gewissem Zusammenhange mit der eben besprochenen 
Abhandlung steht eine kürzere Notiz, die in einem Schreiben 
Neumanns an Weiss enthalten ist. [Veröffentlicht Pogg. Ann. 
24, 390—392, 1832.] 

Hier wird ohne Beweis der Satz aufgestellt: 

„Wenn irgend zwei Kristallsysteme gegeben sind, die unter- 
einander in dem Verhältnis wie z. B. Feldspat- und Albitsystem 
stehen, d. h. in welchen Identität der Zonen, aber Verschiedenheit 
der Winkel stattfindet, so gibt es immer drei aufeinander recht- 
winklige Dimensionen, auf welche die Flächen des einen Systems 



— 57 — 

dieselbe Besiehiuig haben, als die FLachen des anderen Systems, 
d. h. in Besiehnng auf welches die Flächenausdraeke identisch 
sind; nur das Yerhaltms der Dimensionen untereinander ist in 
den beiden Systemen Terschieden.*' 

Nenmann ffi^ hinzu: „Dieser Satz ist ganz allgemein und 
beruht auf keinerlei Voraussetzung irgend einer Art. Es gibt 
femer nur ein solches rechtwinkliges Achsensystem.*^ 

Eine unmittelbare Anwendung findet dieser Satz auf die 
Winkelanderungen, welche die Kristalle durch die Temperatur 
erfahren. Denn diese Änderungen sind nur dadurch hervor- 
gebracht, daß die Ausdehnung des Kristalls in drei zueinander 
senkrechten Richtungen, den thermischen Achsen, eine yerschie- 
dene ist. 

Am Schluß des Briefes erwähnt Neumann, daß er die 
Poissonschen Gleichungen der Elastizität, die dieser nur für 
isotrope Körper entwickelt hatte, auf Kristalle ausgedehnt habe 
(ygl. die weiterhin zu besprechende Arbeit über doppelte Strahlen- 
brechung, S. 69 ff.), und spricht kurz davon, daß man mittels jener 
Oleichungen aus den Winkeländerungen, welche ein Kristall durch 
einseitigen oder allseitig gleichen Druck erleidet, die Größe der 
Elastizität der Kristalle in verschiedener Richtung ableiten kann, 
ein Thema, das er in einer späteren Arbeit (s. S. 95) weiter ver- 
folgt hat. 

7. Das Gesetz der relativen Stellung der Individuen 
in den Krystallzwillingen, besonders in Beziehung auf eine 
Abhandlung des Professors Breithaupt über die Feisite, im 
Jahrbuch für 1830, Heft 11. [Schweiger-Seidel, Neues Jahr- 
buch der Chemie und Physik 3, 444—456, 1831.] 

Gegenüber der der Natur widersprechenden Beschreibung, 
welche Professor Breithaupt von den Feldspat- und Albit- 
zwillingen gibt, hebt Neumann hervor, daß das allgemeine und 
einzige Gesetz über die Stellung der beiden in einem ZwiUing 
verwachsenen Individuen ist: „Die Individuen stehen symmetrisch 
in Beziehung auf eine Kristallfläche. ^ »Alle Flächen, die senkrecht 
auf der Zwillingsfläche stehen, sind beiden Individuen gemein- 
schaftlich — alle Flächen des einen' Individuums sind immer 
kristallonomisch mögliche Flächen des anderen.^ — Von der 
Zwillingsfläche ist die Yerwachsungsfläche zu unterscheiden; diese 
gemeinschaftliche Grenze ist im allgemeinen keine Kristallfläche, 



— 58 — 

auch keine kristallonomiscb mögliebe, sondern Ton der Zufällig- 
keit der FortwachBung abhängig. 

Weiter zeigt Neumann, daß die Beschreibung der Feldspat- 
zwillinge seitens des Herrn Breithaupt den Erfahrungen wider- 
spricht, und fügt die Bemerkung hinzu, daß die Zwillinge des 
Albits, die den Karlsbader Feldspatzwillingen analog sind, meisten- 
teils, vielleicht immer aus vier Individuen bestehen, von denen 
zwei und zwei nach dem gewöhnlichen Albitgesetze miteinander 
verwachsen sind, während erst diese Albitzwillinge miteinander 
nach dem Karlsbader Gresetz verwachsen sind. 

Der Arbeit ist noch eine Nachschrift von Weiss hinzu- 
gefügt, die ebenfalls gegen Breithaupt polemisiert und den 
Scharfsinn in Neumanns Bemerkung über die den Karlsbader 
Zwillingen ähnlichen Doppelzwillinge hervorhebt. 

Über eine weitere Arbeit, die teilweise kristallographischen 
Inhalts ist (sie betrifft das Kristallsystem des Gipses), wird weiter- 
hin im Zusammenhang mit anderen Arbeiten über Kristallphysik 
berichtet werden. (Siehe S. 93 ff.) 

n. Arbeiten zur Wärmelelire. 

Neumanns Arbeiten über Wärme sind, soweit sie von ihm 
veröffentlicht sind, wesentlich experimenteller Natur und betreffen 
die Bestimmung der spezifischen Wärme, sowie der äußeren und 
inneren Leitungsfähigkeit. Steht in ihnen aber auch das Experi- 
ment im Vordergründe} so wird doch zur Beurteilung und zweck- 
mäßigen Einrichtung desselben die Theorie herangezogen. Über 
die Rolle, welche die Theorie in seinen Beobachtungen spielt, 
spricht sich Neumann in einem hinterlassenen Manuskript^) 
folgendermaßen aus: 

„Zwei große Vorteile kann man bei experimentellen Unter- 
suchungen über die Wärme aus der Theorie ziehen. Einerseits 
nämlich kann man, auf Grund der Theorie, die zweckmäßigste 
Einrichtung der Versuche im voraus bestimmen, und andererseits 
kann man von gewissen Fehlem (die von Einflüssen herrühren, 
welche sich im Versuch der direkten Beobachtung entziehen) 

*) Siehe F. Neumann, Gesammelte Werke 2, 114 (1906). — Das 
Manuskript bildet eine Erläuterung zu der weiterhin zu besprechenden 
Abhandlung Nr. 3, 



— 59 — 

mittels der Theorie die möglichen Grenzen angeben. Selbst- 
verständlich wird dabei vorausgesetzt, daß man über die Werte 
der in der Theorie enthaltenen Eonstanten bereits irgend welche 
approximative Kenntnisse besitzt. 

„In den Phänomenen der Wärme sind, neben anderen Ele- 
menten, wesentlich tätig und von wesentlichem Einfluß : die innere 
und äußere Wärmeleitungsfähigkeit und die spezifische Wärme. 
Die passende Einrichtung des Experimentes besteht darin, daß 
man demjenigen Elemente, welches näher studiert werden soll, 
den vorherrschenden Effekt zuteil werden läßt. — Eine 
völlige Unabhängigkeit von den übrigen Elementen ist nicht zu 
erreichen; man wird aber bestrebt sein, diese störenden Einflüsse 
möglichst gering zu machen, und dazu wird es nötig sein, den 
in Rede stehenden Effekt auf theoretischem Wege durch einen 
bestimmten Ausdruck darzustellen, der nähere Auskunft gibt über 
die Abhängigkeit des Effektes von allen überhaupt in Betracht 
kommenden Elementen." 

Diese Worte sind charakteristisch für die ganze Art und 
Weise von Neumanns Beobachtungen überhaupt. Einmal sind 
die Beobachtungen nicht auf das Aufsuchen neuer Erscheinungen 
gerichtet, sondern es handelt sich bei ihnen lediglich um exakte 
Messungen. Sodann aber wird dadurch, daß die Theorie dem 
Experimente dienstbar gemacht wird, die Beobachtungsmethode 
selbst ein Gegenstand der Theorie. „Mit diesen Prinzipien", sagt 
Yoigt^), „trat er einigermaßen in Gegensatz zu den virtuosen 
Experimentatoren, insbesondere Frankreichs, die sich genügen 
ließen, die Bedingungen des Experimentes so zu gestalten, daß 
der Einfluß der Fehlerquellen möglichst klein war, allenfalls durch 
Wiederholung der Beobachtungen unter wechselnden Umständen 
einen Schluß über die Größenordnung desselben zogen und durch 
Bildung von Mittelwerten aus zahlreichen Messungen die Genauig- 
keit steigerten." 

Und noch eins tritt uns in diesen wie in allen Experimenten 
Neumanns entgegen: die Einfachheit der Vorrichtungen und 
Instrumente, mit denen er seine Beobachtungen anstellte. So 
zweckmäßig die von ihm konstruierten Apparate sind, eine kost- 
bare oder elegante Ausstattung hat keiner derselben. 



*) Voigt, 8. 12. 



— 60 — 

a) Arbeiten über spesiflsohe Wärme. 

Die Bestimmung der spezifischen Wärme betreffen fol- 
gende Abhandlungen: 

1. Untersuchung über die spezifische Wärme der 
Mineralien. Ein Sendschreiben an Herrn Prof. Weis s in Berlin ^). 
Pogg. Ann. 23, 1—39, 1831. 

2. Bestimmung der spezifischen Wärme des Wassers 
in der Nähe des Siedepunktes gegen Wasser von nie- 
driger Temperatur. Aus einem Schreiben an Weiss in 
Berlin. Pogg. Ann. 23, 40—53, 1831. 

3. Commentatio de emendanda formula per quam 
calores corporum specifici ex experimentis methodo 
mixtionis institutis computantur. Universitätsschrift, ver- 
öffentlicht beim feierlichen Antritt der ordentlichen Professur, 
Königsberg 1834. 

4. Beobachtungen über die spezifische Wärme ver- 
schiedener, namentlich zusammengesetzter Körper. 
Pogg. Ann. 126, 123—142, 1865. 

Dazu kommt eine aus den hinterlassenen Manuskripten 
kürzlich veröffentlichte Arbeit: 

5. Theoretische Untersuchung über die zur Bestim- 
mung der spezifischen Wärme dienende Methode. Ge- 
sammelte Werke 2, 53—64, 1906. 

Die Arbeiten sind in doppelter Weise bedeutungsvoll, einmal 
in methodischer Hinsicht durch die Art und Weise, wie Neu- 
mann die Schwierigkeiten überwindet, die sich bei Ausführung 
der Bestimmungen der spezifischen Wärme darbieten; sodann 
durch die Aufstellung eines einfachen allgemeinen Gesetzes über 
den Zusammenhang zwischen spezifischer Wärme und chemischer 
Zusammensetzung. Daneben sind auch die zahlreichen numeri- 
schen Resultate wertvoll. 

Zur Bestimmung der spezifischen Wärme hat sich Neu- 



*) Ein großer Teil der von Neu mann bei seinen Untersuchungen 
benutzten Mineralien war ihm von Weiss aus dem Berliner minera- 
logischen Museum zur Disposition gestellt, deshalb sind die Besultate 
zuerst Weiss mitgeteilt. 



— 61 — 

mann sowohl der Methode der Mischung, als der der Abkühlung 
bedient; die erstere von diesen wird als direkte Methode voran- 
gestellt. 

Die Methode der Mischung, angewendet auf einen festen 
Körper, besteht bekanntlich darin, daß man diesen Körper, nach- 
dem er bis auf eine gewisse Temperatur V erhitzt ist, in eine 
Flüssigkeit yon bekannter Temperatur W eintaucht und das hier- 
durch in der Flüssigkeit hervorgebrachte Temperaturmaximum 
Wfn beobachtet. Mittels des Grundsatzes, daß die vom Körper 
abgegebene W&rmemenge genau ebenso groß sein muß, wie die 
von der Flüssigkeit aufgenommene W&rmemenge, ergibt sich dann 
die Gleichung^): 

MC(V—w„,) = {FS + fs)(Wn,— Wh . . . (I) 

in der M, F und f die Gewichte des festen Körpers, der Flüssig- 
keit und des diese enthaltenden Gefäßes, C, 8 und s ihre spezi- 
fischen Wärmen- bezeichnen. 

Bei der Anwendung dieser Formel wird 1. vorausgesetzt, daß 
in dem Moment, in welchem die Flüssigkeit F die Temperatur tVm 
erreicht hat, auch der feste Körper M diese Temperatur besitzt; 
2. daß während der Mischung kein Wärmeverlust stattgefunden 
hat. Keine dieser Voraussetzungen ist in dem Experiment genau 
erfüllt. Es sind daher vor Anwendung von (I) an den beob- 
achteten Zahlen Korrektionen anzubringen. Zur Ermittelung der- 
selben ist die Änderung der Temperatur v des Körpers, dessen 
Anfangstemperatur V war, sowie die Änderung der Tempera- 
tur w der Flüssigkeit genauer zu untersuchen. Bei dieser Unter- 
suchung geht Neumann in den Abhandlungen 1 und 5 (die 
nachgelassene Arbeit 5 ist der Ableitung verschiedener in 1 be- 
nutzter und dort größtenteils ohne Beweis mitgeteilter Formeln 
gewidmet) von dem New ton sehen Gesetze aus, daß die Wärme- 
menge, welche ein Körper seiner Umgebung während der Zeit dt 
durch Berührung mitteilt, proportional ist mit dt, ferner propor- 
tional mit seinem Temperaturüberschuß über die Umgebung und 
endlich proportional mit der Oberfläche des Körpers. Daraus 
folgen für v und w zwei Gleichungen der Form: 



^) Die hier benutzte Bezeichnung ist die der Abhandlung 3 ; in 
1 ist die Bezeichnung eine etwas abweichende. 



— 62 — 

dv 

— = — a (v — w), 

_ = -|_ Oj (t; — «;) _ hw, 



(U) 



die unter der Beding^ung zu integrieren sind, daß zu der Zeit 
< = Ot? = F, w •= W sei. Für das Maximum Wm ergibt sich 
dann ein Wert, der sich von dem aus 1 folgenden durch Hinzu- 
fügung eines gewissen Faktors zu w^ unterscheidet. Die in 
diesem Faktor auftretenden Größen lassen sich teils durch Beob- 
achtung, teils durch Rechnung bestimmen. 

Das beschriebene Verfahren ist, da es auf dem Newton sehen 
Gesetze beruht und daher eine sehr große Leitungsfähigkeit 
voraussetzt, bei nicht metallischen Substanzen nicht ohne 
weiteres anwendbar. Bei diesen hat Neumann folgenden Weg 
eingeschlagen. £r brachte die zu untersuchende Substanz in ein 
geschlossenes Kästchen, derart, daß die leeren Zwischenräume im 
Kästchen mit Wasser gefüllt waren, und bestimmte die spezi- 
fischen Wärmemengen des Kästchens mit seinen verschiedenen 
Füllungen. Dabei war noch eine weitere Korrektion anzubringen, 
da wegen der geringen Leitungsfähigkeit im Moment des Ein- 
tritts des Maximums w^ von w die Temperatur im Innern des 
Kästchens von Wfn verschieden war. Die innere Temperatur des 
Kästchens wurde an einem Thermometer beobachtet, das mittels 
eines Rohres in das Kästchen gebracht war. Die so beobachteten 
Temperaturen bedurften ihrerseits noch einer weiteren Korrek- 
tion, 1. wegen der Abkühlungsgeschwindigkeit des angewandten 
Thermometers im Kästchen, 2. wegen des Unterschiedes der 
Temperatur des Kästchens im Zentrum von seiner mittleren Tem- 
peratur. Zur Ermittelung des letztgenannten Unterschiedes war 
die Kenntnis der inneren Leitungsfähigkeit des Kästchens nötig. 
Endlich machte auch die Bestimmung der Temperatur V der 
Substanz im Moment des Eintauchens eine gewisse Schwierigkeit. 
Die Substanz wurde in einem Blechkasten erwärmt, der von 
Dämpfen siedenden Wassers durchströmt wurde, und damit war 
ihre Temperatur in dem Kasten bekannt; aber der Wärmeverlust, 
den die Substanz erlitt, bis sie in das Wasser tauchte, war schwer 
direkt zu bestimmen. Neumann verfuhr daher so, daß er für 
jede Füllung des Kästchens zwölf Versuche anstellte, aus welchen 



— 63 — 

der eben erwähnte Wärmeverlust eliminiert und dann erst die 
spezifische Wärmemenge der Füllung bestimmt wurde. 

Neben der Methode der Mischung hat sich Neumann auch 
der Methode der Abkühlung bedient, mit derjenigen Ver- 
besserung, die Yon Dulong herrührt, wonach die Abkühlung im 
luftyerdünnten Räume geschieht. Die Zulässigkeit dieser Methode 
wurde durch Vergleich mit der Mischungsmethode geprüft. Die 
etwaigen störenden Einflüsse wurden durch geschickte Kombina- 
tion der Beobachtungen möglichst eliminiert. 

Nach den beiden Methoden wurde zunächst die spezifische 
Wärme von 36 Mineralien bestimmt. Aus den so gefundenen 
Zahlen leitet Neumann ein einfaches allgemeines Gesetz über 
den Zusammenhang zwischen spezifischer Wärme und chemischer 
Zusammensetzung ab. Er findet, daß das wichtige Dulongsche 
Gesetz, wonach die spezifischen Wärmen der chemisch einfachen 
Körper sich umgekehrt wie ihre stöchiometrischen Werte ver- 
halten, sich auf chemisch zusammengesetzte Substanzen ausdehnen 
läßt. Das neue Gesetz lautet: 

„Es verhalten sich bei chemisch ähnlich zusammengesetzten 
Stoffen die spezifischen Wärmen umgekehrt wie die stöchio- 
metrischen Quantitäten. 

„Oder was dasselbe ist, die stöchiometrischen Quantitäten bei 
chemisch ähnlich zusammengesetzten Stoffen besitzen gleiche 
spezifische Wärmequantität. ^ 

Unter stöchiometrischen Quantitäten sind bei chemisch ähn- 
lichen oxydierten Stoffen solche Quantitäten zu verstehen, in 
welchen eine gleiche Quantität Sauerstoff vorhanden ist; bei den 
geschwefelten Stoffen ist der Schwefel das Maß der stöchio- 
metrischen Quantität usw. Neumann hat das Gesetz zuerst bei 
den kohlensauren Salzen entdeckt, dann dasselbe bei den wasser- 
freien schwefelsauren Salzen und anderen zusammengesetzten 
Körpern bestätigt gefunden. 

In einer Nachschrift zu Abhandlung 1 wird noch eine weitere 
Tabelle mitgeteilt, die die spezifischen Wärmen von 49 Minera- 
lien enthält. Die Zahlen der Tabelle sind mit einem Apparate, 
ähnlich dem in Abhandlung 2 beschriebenen, ermittelt. (Näheres 
gibt Neumann nicht an.) Auch diese Zahlen bestätigen das 
Neumann sehe Gesetz, ebenso die in Abhandlung 4 veröffent- 
lichten Beobachtungen, die 22 chemisch reine Präparate, sowie 



— 64 — 

absoluten Alkohol und Terpentinöl betreffen. Diese Beobachtungen 
sind bereits im Jahre 1834 angestellt, aber erst 1865 auf Neu- 
manns Veranlassung durch Pape veröffentlicht. Die zu ihrer 
Berechnung benutzte Formel ist in der hinterlassenen Abhand- 
lung 5 abgeleitet. Bei dieser Gelegenheit hat übrigens Neumann 
die Eigenschaft des Selens entdeckt, sich noch unter der Siede- 
hitze des Wassers in eine isomere Modifikation zu verwandeln. 

Es mag hier noch bemerkt werden, daß Regnault durch 
seine Beobachtungen (Annales de Chimie et de Phys. [3] 1) das 
Neumann sehe Gesetz bestätigt hat. Das Gesetz gilt natürlich, 
ebenso wie das Dulongsche, nur angenähert, was sich schon 
daraus ergibt, daß die spezifische Wärme sich mit der Tem- 
peratur ändert. 

Auf die Untersuchung der spezifischen Wärme des 
Wassers (Abhandlung 2) ist Neumann durch seine Methode 
der Bestimmung der spezifischen Wärme der Mineralien (Ab- 
handlung 1) geführt. Um die Korrektionen zu prüfen, die bei 
der Ermittelung der spezifischen Wärmemengen des dort be- 
nutzten Kästchens anzubringen waren, wurde das Kästchen mit 
reinem Wasser gefüUt, wodurch sich die spezifische Wärme des 
erwärmten Wassers gegen kaltes Wasser ergeben mußte. Die 
Prüfung jener Korrektionen erforderte somit eine andere direkte 
Bestimmung der in Rede stehenden spezifischen Wärme. Dies 
geschah ebenfalls nach der Mischungsmethode mittels eines be- 
sonderen Apparates, dessen Hauptstück in einer Vorrichtung 
bestand, um das heiße Wasser mit einer hinläuglich sicher be- 
kannten Temperatur in das kalte Wasser zu bringen, es ist das 
der sogenannte Neumann sehe Hahn. Mittels dieses Apparates, 
dessen Beschreibung hier zu weit führen würde, wies Neumann 
als erster mit Sicherheit nach, daß entgegen den Ergebnissen, zu 
denen De Luc und später Flaugergues gelangt waren, die 
spezifische Wärme des Wassers mit wachsender Temperatur zu- 
nimmt. Als Endresultat ergab sich das Verhältnis der spezi- 
fischen Wärme des Wassers bei 800R zu der bei 22® R= 1,0127. 
Auch dieses Neumann sehe Resultat ist durch die eingehenden 
Versuche von Regnault bestätigt. 

In der Arbeit 3 werden die in Formel (I) anzubringenden 
Korrektionen auf wesentlich strengere Art ermittelt als in der 
Abhandlung 1 , indem die Temperatur des eingetauchten Körpers 



— 65 — 

nicht mittels des Newton sehen Gresetses, sondern durch An- 
wendung der Fouri er sehen Gleichung für die Wärmeleitung 
bestimmt wird. Dabei wird angenommen, daß jener Körper in 
sehr kleine Stücke zerschlagen ist, die ihrerseits als Kugeln von 
gleichen Radien angesehen werden. An Stelle der ersten Glei- 
chung (II) (S. 62) tritt demgemäß die Fouri er sehe Gleichung 
für die Wärmeleitung einer Kugel, deren Temperaturzustand nur 
eine Funktion des Kadius ist, nebst der zugehörigen Grenz- 
bedingung für die Kugeloberfläche. Zur Bestimmung der Tem- 
peratur w der Flüssigkeit wird auch hier das Newton sehe Gesetz 
herangezogen, .d. h. w wird auch hier als eine bloße Funktion 
der Zeit angesehen, was dann zulässig ist, wenn während des 
Experimentes die Flüssigkeit fortwährend umgerührt wird. Die 
zweite Gleichung (II) (S. 62) behält also ihre Form, nur daß für 
das darin vorkommende v die Temperatur der Kugeloberfläche 
zu nehmen ist. Aus den erwähnten Gleichungen folgt zunächst 
die Form der an Gleichung (I) (S. 61) anzubringenden Korrek- 
tion. Dieselbe besteht in einem gewissen, auf der rechten Seite 
von 1 hinzuzufügenden Faktor. Zur Berechnung dieses Faktors 
ist die vollständige Integration der in Rede stehenden Gleichungen 
nötig. Sie ergibt für v und w Reihen, deren Glieder nach den 
Wurzeln einer transzendenten Gleichung fortschreiten. Mittels 
dieser Reihen, die eingehend diskutiert werden, wird das Maxi- 
mum Wfn von w bestimmt, sowie die Zeit < = T, in welcher dies 
Maximum eintritt, ebenso die mittlere Temperatur der einzelnen 
Kugeln zu dieser Zeit; und nunmehr lassen sich alle in dem 
obigen Korrektionsfaktor auftretenden Hilfsgrößen berechnen. — 
Schließlich ist noch eine weitere Korrektion nötig, weil die Tem- 
peratur w der Flüssigkeit nicht identisch mit der Temperatur u 
des in die Flüssigkeit eingetauchten Thermometers ist. Die 
Beziehung zwischen beiden Temperaturen wird auf Grund des 
Newton sehen Gesetzes entwickelt, und damit werden für die an 
den Thermometerangaben anzubringenden Verbesserungen be- 
stimmte Formeln gewonnen. 

b) Arbeiten über Wärmeleitung. 

1. Gleichzeitig mit seinen Untersuchungen über spezifische 
Wärme hat Neumann solche über Wärmeleitungsfähigkeit 

Wangerin, Frans Neumann. 5 



— 66 — 

schon um das Jahr 1830 angestellt. Die Ermittelung gewisser 
bei der Mischungsmethode nötigen Korrektionen erforderte die 
Kenntnis der inneren Leitungsfähigkeit des in der oben be- 
sprochenen Arbeit 1 benutzten Kästchens (S. 62). So werden denn 
schon in jener Arbeit 1 drei verschiedene Verfahren zur Be- 
stimmung der absoluten inneren Leitungsfähigkeit ent- 
wickelt. Alle drei beruhen auf der Beobachtung der Temperatur 
im Mittelpunkte einer Kugel, die Yon der Oberfläche her zuerst 
erwärmt, nachher wieder abgekühlt wird. Ist bei Beginn der 
Abkühlung die Temperatur der Oberfläche noch höher als die des 
Mittelpunktes, so wird auch nach Beginn der Abkühlung letztere 
zunächst noch steigen bis zu einer Maximaltemperatur, um erst 
später zu sinken. Beobachtet man nun beim Abkühlnngsprozeß 
die Temperatur des im Mittelpunkt angebrachten Thermometers 
zu zwei verschiedenen Zeiten, beobachtet weiter die Maximal- 
temperatur des Thermometers und die Zeit ihres Eintritts, beob- 
achtet endlich im späteren Verlaufe des Abkühlungsprozesses noch 
zwei andere Temperaturen und die zugehörigen Zeiten, so kann 
aus allen diesen Beobachtungen die innere Leitungsfähigkeit der 
Kugel bestimmt werden. Darin besteht das eine Verfahren. Bei 
den beiden anderen kommen andere Beobachtungen desselben 
Abkühlungsprozesses in Frage. Die Formeln zur Berechnung 
der Beobachtungen ergeben sich durch Integration der Fourier- 
schen Gleichung für die konzentrische Temperaturverteilung in 
einer Kugel. In der Abhandlung 1 werden jene Formeln ohne 
Beweis mitgeteilt; die Ableitung der Formeln findet sich in einer 
nachgelassenen Arbeit, die in Bd. II der Gesammelten Werke, 
S. 66—78, 1906, veröffentlicht ist und den Titel führt: Wie 
man durch geeignete Beobachtungen den absoluten 
Wert der inneren Leitungsfähigkeit eines homogenen 
Körpers zu bestimmen vermag. 

Es mag noch bemerkt werden, daß, wenn auch die ange- 
wandten Formeln der Fouri ersehen Theorie entlehnt sind, ihre 
Anwendung, bei der lediglich die Temperatur des Kugelmittel- 
punktes beobachtet wird, durchaus eigenartig ist. 

2. Die vorstehenden, im Anfang der dreißiger Jahre ange- 
stellten Untersuchungen über Wärmeleitung sind nach längerer 
Unterbrechung von Neumann 1859 von neuem aufgenommen, 
aber nach ganz anderer Methode durchgeführt. Die Haupt- 



— 67 — 

resultate dieser späteren Beobachtungen sind unter dem Titel: 
Experiences sur la conductibilite calorifique des solides 
1862 in den Annales de Chimie et de Physique (3) 66, 183—187, 
Yerö£Fentlicht. 

Inhaltlich stimmt dieser Aufsatz wesentlich überein mit einem 
in den Gesammelten Werken, Bd. II, S. 139—142, 1906, ab- 
gedruckten, vom 10. März 1862 datierten Briefe Neumanns an 
seinen Schüler Radau. Die neue Methode Neumanns besteht 
far gut leitende Körper in folgendem: Ein Metallstab Ton drei 
bis vier Linien Durchmesser wird an einem Ende durch eine 
Lampe so lange erwärmt, daß ungefähr eine stationäre Tem- 
peraturyerteilung in ihm eingetreten ist. Dann wird die Lampe 
entfernt, und nun wird mittels passend angebrachter Thermo- 
ketten die Temperatur der Enden des Stabes von acht zu acht 
Sekunden gemessen. Die Messung selbst geschieht durch einen 
Spiegelapparat. Aus der Summe und der Differenz der jedesmal 
beobachteten Temperaturen lassen sich die äußere und innere 
Leitungsfähigkeit ableiten. Das Wesen der Methode besteht also 
darin, 1. daß nicht der stationäre Temperaturzustand des 
Stabes beobachtet wird, sondern der mit der Zeit variable Zu- 
stand (infolgedessen ist die Methode Yon der Kenntnis des schwer 
zu definierenden Anfangszustandes unabhängig), 2. daß mit dem 
Stabe keine Deformation vorgenommen wird, die sich nicht streng 
mit der Rechnung verfolgen ließe; 3. daß jedesmal gleichzeitig 
der absolute Wert der inneren und äußeren Leitungsfähigkeit 
bestimmt wird. 

Statt der Stäbe hat Neumann auch Ringe angewandt. 

Bei schlechten Leitern ist die Methode nicht verwendbar. 
Hier wird aus der Substanz eine Kugel (oder ein Würfel) ge- 
fertigt, diese gleichförmig erwärmt und dann in freier Luft ab- 
gekühlt. Nach einiger Zeit werden die Temperaturen im Zen- 
trum und an den Oberflächen in regelmäßigen Intervallen 
beobachtet. Von den durch seine Methode erhaltenen Ergebnissen 
teilt Neumann die Werte der Leitungsfähigkeiten von fünf 
Metallen und sechs schlecht leitenden Substanzen mit. 

Das einzige Hindernis, so fügt er hinzu, durch diese Me- 
thode zu ganz scharfen Resultaten zu gelangen, besteht darin,, 
daß beide Leitungsfähigkeiten mit der Temperatur variieren und 

5* 



— 68 — 

das Gesetz für diese Variation nur sehr anvoUkommen be- 
kannt ist^). 

Im Anschluß an den eben besprochenen Aulsatz Neumann s 
hat Radau in der Pariser Zeitschrift „Cosmos^ 1862 einen Über- 
blick über das Wesen und die Tragweite der Neu mann sehen 
Untersuchungen gegeben [abgedruckt in den Gesammelten Werken, 
Bd. II, S. 146—158, 1906], insbesondere über ihr Verhältnis 
einerseits zu den früher benutzten Methoden, die nur die rela- 
tive Wärmeleitungsfähigkeit zu ermitteln gestatteten, anderer- 

o 

seits zu den gleichzeitigen Untersuchungen Angström s. Hier 
werden auch die Gründzüge der analytischen Entwicklung, auf 
denen die Methode beruht, kurz angegeben, während sich darüber 
in der Neumann sehen Mitteilung selbst nichts findet. 

o 

3. Ferner weist Radau bei Besprechung yon Angströms 
Beobachtung über die Temperaturänderung des Erdbodens darauf 
hin, daß ähnliche Untersuchungen yon Neumann schon in den 
Jahren 1836 — 1839 zu Königsberg angestellt und später yon 
Neumanns Schüler Schumann berechnet seien. Er bespricht 
endlich die Ergebnisse einer Arbeit yon Saalschütz, die, Ton 
Neumann angeregt, untersucht, wie unregelmäßige, nicht perio- 
dische Änderungen der Temperatur der Erdoberfläche sich in 
tiefere Erdschichten fortpflanzen. [S. die Dissertation Ton Saal- 
schütz: „De non periodica mutatione caloris terrae^, Königsberg 
1861, sowie Astronomische Nachrichten 56, 1862.] 

Dem Probleme der Wärmeleitung im Erdboden hat Neu- 
mann auch weiterhin sein Interesse zugewandt. Auf seine Ver- 
anlassung wurde 1872 im Botanischen Garten zu Königsberg 
eine Station zur Messung von Erdtemperaturen gegründet, und 
zwar an derselben Stelle, an der Neumann Ende der dreißiger 
Jahre die vorher erwähnten Beobachtungen angestellt hatte. Die 

^) Auf die Abhängigkeit der inneren und äußeren Wärmeleitungs- 
fähigkeit von der Temperatur nimmt unter anderen eine neuere, 
von Volkmann, dem Nachfolger Neumanns, angeregte Arbeit von 
G. Grlage über die Neumannsche Methode Rücksicht. [Dissertation, 
Königsberg 1905; vgl. Ann. d. Phys. (4) 18, 904—940, 1905.] 

Eine ebenso eingehende Untersuchung, wie Grlage über die 
Neumannsche Methode für gut leitende Körper angestellt, ist, eben- 
falls auf Anregung Volkmanns, hinsichtlich der Wärmeleitungsfähig- 
keit schlecht leitender Körper von H. Hecht unternommen. [Disser- 
tation, Königsberg 1903; Ann. d. Phys. (4) 14, 1008—1030, 1904.] 



— 69 — 

Station war mit sieben Erdtfaermometern von 4 bis 28 Fuß Länge 
sowie mehreren Luftthermometem versehen. An allen Thermo- 
metern wurden täglich drei Ablesungen gemacht. Die Kosten 
für die Anschaffung dieser Instrumente hatten die Physikalisch- 
ökonomische Gesellschaft zu Königsberg, der Königsberger Verein 
für wissenschaftliche Heilkunde, sowie der Direktor des Botani- 
schen Gartens, Prof. Caspary, getragen. Die Kalibrierung und 
Aufstellung der Thermometer hatte Neumanns Schüler E. Dorn 
(jetzt in Halle a. S.) besorgt. Er hat darüber in den Schriften 
der Physikalisch - ökonomischen Gesellschaft, Bd. 13, S. 37 — 88, 
159 — 160, Königsberg 1872, berichtet. Dorn hat auch die sechs 
ersten Jahrgänge der an der Station angestellten Beobachtungen 
herausgegeben (Schriften der Physikalisch - ökonomischen Gesell- 
schaft, Bd. 15, 16, 17, 18, 20, 23). 

Die späteren Beobachtungen bis 1889 inkl. sind von Misch- 
peter, gleichfalls einem Schüler Neumanns, in den Schriften 
der Physikalisch -ökonomischen Gesellschaft veröffentlicht, die 
letzte der 18 jährigen Reihe in Bd. 34, 1893. Weitere Veröffent- 
lichungen sind nicht erfolgt. 

in. Arbeiten aus der Optik und der 
Elastizitätstheorie. 

a) Bein optisohe Arbeiten. 

1. Theorie der doppelten Strahlenbrechung, ab- 
geleitet aus den Gleichungen der Mechanik. [Pogg. Ann. d. 
Phys. u. Chem. 25, 418—454, 1832] i). 

Diese Arbeit ist die erste ^), welche Neu mann auf dem 
Gebiete der theoretischen Physik veröffentlicht hat; sie war neben 



• *) Von neuem abgedruckt in Ostwalds Klassikern der exakten 
Wissenschaften Nr. 76, herausgegeben von A. Wanger in, 1896. Den 
Anmerkungen zu dieser Ausgabe ist die folgende Darstellung teil- 
weise entnommen. 

*) Die im Jahre vorher, 1831, erschienene Abhandlung von Neu- 
mann über die spezifische Wärme der Mineralien nimmt zwar auf 
einige Formeln aus der Theorie der Wärmeleitung Bezug, ist aber 
wesentlich experimentell; auch ist die Begründung der angewandten 
Formeln von Neumann selbst nicht veröffentlicht. Mit Recht kann 
daher die Arbeit über die doppelte Strahlenbrechung als die erste 
theoretische Untersuchung bezeichnet werden. 



— 70 — 

den gleichzeitigen Arbeiten Cauchys von der größten Bedeutung 
für die Entwicklung der Optik. Die Lichttheorie war um das 
Jahr 1820 durch Fresnel (1788 — 1827) in ganz neue Bahnen 
gelenkt. Durch den Nachweis, daß das Wesen des Lichtes in 
der Ausbreitung transversal schwingender Wellen zu suchen sei, 
hatte er die Emissionstheorie definitiv beseitigt und die Un- 
dulationstheorie auf eine feste, unanfechtbare Basis gestellt. 
Weiter hatte Fresnel die Doppelbrechung in Kristallen studiert 
und hier durch Induktion gewisse Gesetze gefunden, fftr die er 
dann eine theoretische Ableitung zu geben suchte. Führte diese 
Theorie auch zu Resultaten, die völlig mit der Erfahrung in 
Übereinstimmung waren, so lagen derselben doch gewisse Hy- 
pothesen zugrunde, die einer strengeren Kritik gegenüber nicht 
als gerechtfertigt erscheinen konnten. Das gilt insbesondere von 
der Annahme, daß die Komponente der elastischen Kraft senk- 
recht zur Wellenebene unwirksam sei. Es blieb daher die Auf- 
gabe zu lösen, die Gesetze der Doppelbrechung streng deduktiv 
aus mechanischen Prinzipien abzuleiten; und diese Aufgabe ist 
von Neumann in der vorliegenden Arbeit gelöst. Gleichzeitig 
mit Neumann hatte Cauchy dieselbe Aufgabe in Angriff ge- 
nommen, und er hatte die Resultate, zu denen er gelangt war, 
ohne Ableitung in den Memoires der Pariser Akademie, Bd. X 
(der Band ist 1831 erschienen), veröffentlicht. Diese Resultate 
decken sich zum Teil mit denen Neumanns. Das führt Neu- 
mann selbst in folgender, seiner Abhandlung vorausgeschickten 
Bemerkung an: 

„Die in dieser Abhandlung enthaltenen theoretischen Re- 
sultate müssen auf Priorität resignieren, da ich im Tom. X der 
Memoir. de TAcad. aus einer Inhaltsangabe einer Abhandlung, 
welche Cauchy der Pariser Akademie vorgelegt hat, ersehen 
habe, daß in dieser Abhandlung, außer anderen, dieselben Resul- 
tate bereits enthalten sind. Ich würde meine Abhandlung ganz unter- 
drückt haben, wenn ich nicht glaubte, daß die in ihr angewandte 
«infache, ich möchte sagen elementare Behandlung eines sehr 
schwierigen Problems auch dann noch von Interesse sein wird, 
wenn die ohne Zweifel eine viel gelehrtere und allgemeinere 
Analyse desselben Problems enthaltende Abhandlung von Cauchy 
selbst im Druck erschienen sein wird." 

Muß man hiernach auch Cauchy hinsichtlich eines Teiles 



— 71 — 

der Resultate die Priorität zugestehen, so ist doch hervorzuheben, 
daß Neumanns Untersuchung einen durchaus selbständigen 
Charakter trägt und unabhängig von der Gauchys entstanden 
ist. Gauchy geht, wie sich aus dem Teil seiner Rechnungen er- 
gibt, den er in Band Y seiner Exercices veröffentlicht hat, Yon 
viel komplizierteren Grundgleichungen aus und hat zudem sein 
Hauptinteresse der mathematischen Seite der Frage zugewandt, 
während Neumann wesentlich die physikalische Seite des Pro- 
blems ins Auge faßt und daher seine Rechnungen so elementar 
und einfach wie möglich zu gestalten sucht. Die große Eleganz 
und Klarheit der Darstellung yerleiht Neumanns Arbeit, ab- 
gesehen Yon der Bedeutung, die sie für die Entwicklung der 
Optik gehabt hat, einen hohen Wert. 

Gehen wir nun auf den Inhalt der Arbeit ein, so wird in 
§ 1 im Anschluß und gestützt auf die Untersuchungen von 
Fresnel gezeigt, daß die allgemeinen Untersuchungen über die 
Wellenbewegung in einem elastischen Medium sich zurückführen 
lassen auf die Untersuchung der Wellenfläche von einem Er- 
schütterungspunkte aus, und daß diese Wellenfläche die Enveloppe 
derjenigen Ebenen ist, die man erhält, wenn man für alle durch 
einen festen Punkt gelegten Wellenebenen die Lage nach Ver- 
lauf der Zeiteinheit fixiert. Es sind daher nur die Gesetze für 
die Fortpflanzung ebener Wellen zu ermitteln. 

Die Gleichungen, aus denen die genannten Gesetze abzuleiten 
sind, sind (§ 2) die Differentialgleichungen der Bewegung für ein 
elastisches Medium von kristallinischer Beschaffenheit. Daß die 
Lichtschwingungen als den elastischen Schwingungen fester Körper 
analog angesehen werden, begründet Neumann damit, daß für 
Bewegungen, bei denen die Verschiebungen kleiner sind als die 
Sphäre des stabilen Gleichgewichtes (und um solche Bewegungen 
handelt es sich bei den Lichtschwingungen), der Unterschied 
zwischen festen, flüssigen und gasförmigen Körpern wegfällt. 
„Für die Lichtundulationen ist demnach ein Unterschied der 
Kohäsionszustände nicht vorhanden, wie das z. B. für die Schall- 
Bchwingungen der Fall ist, sondern es gelten fQr jene Un- 
dulationen nur die Gleichungen, welche sich auf die innere 
vibrierende Bewegung eines festen Mediums beziehen, da die- 
jenigen für vibrierende Bewegungen in flüssigen Medien, die 
hydrodynamischen Gleichungen, wesentlich die Verrückung der 



— 72 — 



vibrierenden Teilchen größer als die Sphäre des stabilen Gleich- 
gewichtes Yor aussetzen.^ 

Es mag bemerkt werden, daß Fresnel, der Begründer 
dieser Anschauung, auf dieselbe dadurch geführt wurde, daß er 
das Wesen des Lichtes als in transversalen Schwingungen be- 
stehend erkannte, und daß man von analogen Bewegungen nur 
' die fester elastischer Körper kannte. Fresnel s optische Unter- 
suchungen gaben dann den Anstoß zum Ausbau der Elastizitats- 
theorie als einer besonderen Disziplin; ihre Grundgleichungen 
wurden, soweit es sich um unkristallinische Medien handelt, zu- 
erst im Jahre 1824 von Na vier entwickelt. An Navier knüpft 
Neu mann an und dehnt dessen Resultate auf solche kristallinische 
Medien aus, die in bezug auf drei rechtwinklige Ebenen symme- 
trisch sind, indem er zu der Na vier sehen Hypothese für die 
gegenseitige Wirkung zweier Teilchen aufeinander die weitere 
hinzufügt, daß diese Wirkung eine Funktion der Winkel ist, die 
die Richtung der Entfernung mit gewissen in der kristallinischen 
Struktur gegebenen Linien bildet. Die Gleichungen, zu denen er 
gelangt, sind die folgenden: 



E 



d <2 



= 2> 



82 w d^u . . 



dx^ 



dy' 



+ 2Ä 



E 



8 t^ 



= A 



11 



^'^ + cfe+AlV!+2A. 



8 a;« 



dy- 



de^ 



+ 2Ai 



E^- Ä 



d^w d^w Z^w 

8a;2^ > dy^^ 8««^ 

+ 2^1 



Öxdy 


dxdz' 
82 w 


dxdy 


öydz^ 
82 m 


8a;8^ 
82t; 



dyoe 



(1) 



Darin sind u, v, w die den Koordinatenachsen parallelen 
Yerrückungen eines Teilchens, t die Zeit, E die Dichtigkeit, Ä, 
Ai, All, j5, C, D Konstante, die von der Natur des Mediums ab- 
hängen. Die Achsen a;, y, z sind parallel den Durchschnitten der 
drei rechtwinkligen Symmetrieebenen. Die Aufstellung dieser 
elastischen Gleichungen für Kristalle, deren Ableitung Neumann 



— 73 — 

übrigens nicht mitteilt^), ist eins der wesentlichsten Ergebnisse 
der vorliegenden Arbeit. 

Die Konstanten Ä, , , ., D stellt Neumann noch durch In- 
tegrale dar, die über eine Eugelfläche mit dem Radius 1 zu er- 
strecken, sind, und zeigt, daß für nicht kristallinische Medien 

A = A, = A,, = iB = ^C = \D 

sein muß, für kristallinische Substanzen des regulären Systems 

A = Äi= Au, B= 0= D, 

für die vier- und sechsgliedrigen Systeme endlich 

Ä = Ä^, C = J). 

Die Behandlung der an sich ziemlich komplizierten Gleichun- 
gen (I) vereinfacht sich wesentlich für den Fall ebener Wellen, 
auf den nach § 1 ja die allgemeine Wellenbewegung zurück- 
geführt werden kann, da in diesem Falle die Differentialgleichungen 
nur von zwei statt von vier unabhängigen Veränderlichen ab- 
hängen. Die Durchführung der Eechnung (§ 3, 4) ergibt, daß, wenn 
die ursprünglichen Erschütterungen in ihrer Gesamtheit eine 
Ebene bilden, in dem Medium sechs Wellenebenen erregt werden, 
von denen drei siah vorwärts und drei sich rückwärts bewegen, 
und zwar schreiten je eine der ersteren und eine der letzeren 
mit derselben Geschwindigkeit gleichförmig fort, während für die 
drei nach vorwärts sich bewegenden Wellenebenen die Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeiten verschieden sind. Ihre Quadrate 
sind die Wurzeln einer Gleichung dritten Grades. Die Bewegun- 
gen in den drei Wellen finden (§ 5) in drei aufeinander senk- 
rechten Eichtungen statt, nämlich parallel den Achsen eines ge- 
wissen Ellipsoids, des „Fortpflanzungsellipsoids". Die Achsen 
dieses Ellipsoids sind zugleich den reziproken Werten der drei 
Fortpflanzungsgeschwindigkeiten proportional. Die Anwendung 
der Resultate auf den Fall eines unkristallinischen Mediums er- 
gibt eine longitudinale, zur Wellenebene senkrechte, und zwei zu- 
einander senkrecht liegende transversale, in der Wellenebene er- 
folgende Schwingungen. Die Richtung der beiden letzteren, die 
gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit haben, bleibt unbestimmt. 



*) Eine Ableitung findet man in den Anmerkungen zu meiner 
Ausgabe der doppelten Strahlenbrechung (Klassiker 76, 40 — 43; vgl. 
F. Neumann, Gesammelte Werke 2, 191 — 193). 



— 74 — 

und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der longitudinalen Welle ist 

die y3-fache von der der transTersalen, ein Resultat, das mit einem 
von Poisson in seinem „Memoire sur la propagation du moaye- 
ment dans les milieux 61astiques*^ abgeleiteten übereinstimmt. 

Betrachtet man ferner in einem kristallinischen Medium 
ebene Wellen, die den Symmetrieebenen parallel sind, so erhält 
man Eesultate, die völlig den Beobachtungen entsprechen, sobald 
man unter Polarisationsebene die durch die Schwingungsrichtung 
und die Wellennormale bestimmte Ebene versteht. Für WeUen- 
ebenen, die einer der Koordinatenachsen parallel sind, zerfallt die 
Gleichung dritten Grades, der die Quadrate der Fortpflanzungs- 
geschwindigkeiten genügen, in einen linearen Faktor, der einer 
der transversalen Wellen, und einen quadratischen, der der 
anderen transversalen und der longitudinalen Welle entspricht. 
Soll die in dem zweiten Faktor enthaltene transversale Welle 
eine konstante Geschwindigkeit besitzen, wie es der Fall sein 
inuß, wenn Übereinstimmung mit den empirischen Gesetzen statt- 
finden soll, so ist erforderlich, d&Q zwischen den sechs Kon- 
stanten der Grundgleichungen (I) drei Belationen bestehen, nämlich 

(J5 — ^i)(C— ^i) = 4^2 (II) 

und zwei analoge. 

Mit diesen Belationen verbindet Neumann (§6) die weitere 
Annahme^), d&Q Ä, Äu A^ nur wenig voneinander verschieden 
sind, ebenso JB, 0, D\ er rechtfertigt dies damit, d&Q bei allen 
optisch untersuchten Ej*istallen die Exzentrizitäten der Ellip- 
sen, deren Achsen zwei der GröiSen -7=, -7=, , sind, nur 

kleine GröiSen sind. Aus dieser Annahme, verbunden mit der 
vorhergehenden Relation (II), folgt: 

B + D = 6Ä, J5+ 0=6^1, C+D=6^ii- (HI) 

Vermöge der Gleichungen (III) zerfällt (§ 7) die allgemeine 
Gleichung dritten Grades für die Quadrate der Fortpflanzungs- 
geschwindigkeiten in zwei Gleichungen, eine lineare und eine 



^) Daß die Belationen in (II) für sich allein nicht genügen, um 
bei beliebiger Lage der Wellenebene die Absonderung der longitudi- 
nalen Welle zu bewirken, hat Beltrami in dem Auf satz : „Sulla teoria 
delle onde" (Reale Istituto Lombardo, Bendiconti 1886) gezeigt. 



— 75 — 

quadratische. Die letztere ist identisch mit derjenigen, durch 
welche der gröQie und kleinste Radius desjenigen Zentralschnittes 
der Fr es n eischen Elastizitätsfläche hestimmt wird, der der 
Wellenehene parallel ist. Die Konstruktion der Wurzeln der in 
Rede stehenden quadratischen Gleichung ist somit identisch mit 
derjenigen, welche Fresnel gegeben hat, um die Geschwindig- 
keiten der Fortpflanzung der beiden ebenen Lichtwellen in einer 
beliebigen Lage in einem doppelbrechenden Medium zu finden. 
Weiter ergibt sich (§ 8), daiS die Schwingungen der beiden in 
Rede stehenden Wellen sehr nahe parallel der Wellenebene sind, 
und zwar so, daß die Richtung jeder Schwingung nahezu senk- 
recht auf demjenigen Radiusvektor des Durchschitittes der Wellen- 
ebene und der Elastizitätsfläche steht, durch welchen ihre Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeit gegeben ist. Die dritte Welle, deren 
Fortpflanzungsgeschwindigkeit durch die lineare Gleichung be- 
stimmt ist, ist nahezu longitudinal. 

Somit sind (§ 9) die Gesetze der doppelten Strahlenbrechung, 
insofern sie sich auf die Richtung der gebrochenen Strahlen ^) 
beziehen, übereinstimmend mit denjenigen, die Fresnel aus seiner 
Theorie abgeleitet und der Erfahrung entsprechend gefunden hat, 
streng aus den Grundgleichungen der Elastizitätstheorie deduziert. 
Man braucht ja nur die Lichtwellen als diejenigen der drei 
Wellen, in. welche sich die ursprüngliche Wellen ebene im all- 
gemeinsten Falle immer teilt, zu definieren, deren Schwingungen 
nahezu parallel der Wellenebene sind. Die entwickelte Theorie 
erklärt aber nicht allein die Richtung der doppelt gebrochenen 
Strahlen; sie zeigt auch ihr Verhalten in Hinsicht der Polarisation, 
falls man die Polarisationsebene definiert als die durch 
die Wellennormale und die Richtung der Schwingungen 
gelegte Ebene, im Gegensatz zu Fresnels Annahme, nach der 
die Polarisationsrichtung senkrecht auf der Richtung der Schwin- 
gungen steht. Dieser Gegensatz ist ein fundamentaler. Welche 
von beiden Annahmen den Vorzug verdient , ist jahrzehntelang 
zwischen den Physikern streitig gewesen; ein Teil derselben hat 
sich der Fresnel sehen, ein anderer Teil der Neumann sehen 
Auffassung angeschlossen. Ein stichhaltiger experimenteller Nach- 
weis für die Richtigkeit der einen oder der anderen Annahme hat 



*) N. B. d. h. eigentlich der Normalen der gebrochenen Wellen. 



— 76 — 

sich bis beute nicht erbringen lassen. Neumanns Schluß, daß 
die aus den Elastizitätsgleichungen folgenden Gesetze nur unter 
Zugrundelegung seiner Definition mit der Erfahrung überein- 
stimmen, daß man also entweder seine Definition annehmen, oder 
seine Grundlage der Theorie verwerfen müsse, ist jedenfalls un- 
anfechtbar. Auch andere Autoren, die von der Elastizitätstheorie 
ausgegangen sind (Green, Mac Cullagh, Lame, Kirch- 
hof f usw.), sind zu demselben Resultat gelangt. Welcher Zu- 
sammenhang zwischen den beiden Vektoren besteht, die in der 
einen und der anderen Theorie die Lichtschwingungen dar- 
stellen, ist von Drude (Götting. Nachrichten 1892, S. 361—412) 
erörtert. Auch er gelangt zu dem Resultat, daß ein Grund, 
eine der Theorien vor der anderen zu bevorzugen, nicht vor- 
handen ist. 

Daß die Theorie neben den beiden transversalen eine lon- 
gitudinale Welle ergibt, von der die Beobachtungen nichts zeigen, 
hat zu Bedenken und mannigfachen späteren Modifikationen der 
Theorie Veranlassung gegeben. Frei von solchen Bedenken ist 
die elektromagnetische Lichttheorie, die allmählich die frühere 
elastische Theorie in den Hintergrund zu drängen scheint. Bei 
ihr fehlt nicht nur die longitudinale Welle ganz, sondern in ihr 
traten gleichzeitig zwei zueinander senkrechte transversale 
Schwingungen auf, die magnetische und die elektrische. Bei den 
ersteren entspricht die Schwingungsrichtung der Neumann sehen, 
bei den letzteren der Fr esn eischen Anschauung. 

Wenn aber auch die elastische Theorie der Lichtschwin- 
gungen einst ganz verlassen werden sollte, die große Bedeutung 
dieser und der übrigen optischen Arbeiten Neumanns für die 
Entwicklung der theoretischen Optik wird stets anerkannt 
werden müssen. 

Zusatz. In seinen Vorlesungen und Seminarübungen hat 
Neu mann verschiedene andere Darstellungen der Theorie der 
Doppelbrechung gegeben. So enthalten die Vorlesungen über 
Elastizität eine Theorie der Lichtwellen im inkompressiblen Äther; 
die Annahme der Inkompressibilität, vermöge deren die lon- 
gitudinale Welle von vornherein fortfällt, ist von C. Neumann 
in seiner Habilitationsschrift (Explicare tentatur, quomodo fiat, 
ut lucis planum polarisationis per vires electricas vel magneticas 
declinetur, Halle 1858) in die Theorie eingeführt und später in 



— 77 — 

den beiden ersten Bänden der mathematischen Annalen (Über die 
Ätherbewegang in Kristallen) ausführlich entwickelt. 

In derselben Vorlesung sind femer die Lam6schen Differen- 
tialgleichungen der Lichtbewegung in Ej*istallen abgeleitet (siehe 
Lame, leyons sur la th^orie de P^lasticite des corps solides, 1852, 
Vorl. 17 — 24). Naumann geht dabei von der allgemeinsten 
Gleichung der Elastizität für Kristalle aus, die 36 Konstanten 
enthalten. Führt man die Bedingung der Existenz transversaler 
Wellen ein, so reduzieren sich diese auf zwölf. Abstrahiert man 
weiter yon den longitudinalen Schwingungen, so fallen sechs 
weitere Konstanten fort; die übrig bleibenden sechs endlich re- 
duzieren sich durch eine schickliche Wahl des Koordinatensystems 
auf drei. Auf die weiteren Resultate einzugehen, würde hier zu 
weit führen. 

In den Sejninarübungen finden sich noch folgende Erweite- 
rungen der Theorie. Die Eelationen (III) (S. 74) zwischen den sechs 
Konstanten reduzieren sich für Kristalle des regulären Systems, 
bei denen A = Ai =-- An, B = C ^= D ist, auf die eine 

B = 3A (Illa) 

Neumann untersucht, wie sich die Resultate, die bei Statt- 
finden der Relation (III a) für reguläre Kristalle die gleichen 
sind wie für isotrope Medien, modifizieren, wenn man von der 
Relation (III a) absieht. Näheres über die Resultate dieser 
Untersuchung, wie auch über eine von Neumann entwickelte 
Theorie der zirkulären und elliptischen Polarisation wird weiter- 
bin, gelegentlich der Besprechungen der Seminarübungen, mit- 
geteilt werden. 

2. Eine weitere Abhandlung rein optischen Inhalts bildet die 
1832 in Pogg. Ann. 26, 89—122, publizierte „Theorie der 
elliptischen Polarisation des Lichtes, welche durch Re- 
flexion von Metallflächen erzeugt wird". 

Es handelt sich hier nicht um eine eigentliche Theorie der 
Metallreflexion, etwa von der Art wie die Theorie der doppelten 
Strahlenbrechung, sondern um die Ableitung einfacher Gesetze 
aus den Beobachtungen. 

Neumann geht, um alle von Brewster, dem wir die ersten 
umfassenden Untersuchungen über Metallreflexion verdanken. 



— 78 — 

beobachteten Erscheinungen des von Metallflächen reflektierten 
Lichtes zu erklären, von folgenden zwei Grundsätzen aus: 

1) Die Intensität eines von der Metallfiäche reflektierten 
polarisierten Lichtstrahles ist bei demselben Einfallswinkel ver- 
schieden, je nachdem seine Polarisationsebene in der Reflexions- 
ebene lag oder senkrecht gegen diese stand. In dieser Hinsicht 
verhalten sich die Metallflächen, wie die Oberflächen durchsichtiger 
Körper bei der partiellen Reflexion — und nicht wie diejenigen 
Flächen, an welchen totale Reflexion stattfindet. 

Das Verhältnis der reflektierten Lichtintensitäten eines senk- 
recht und eines parallel zur Reflexionsebene polarisierten Strahles 
ist, wie bei der partiellen Reflexion, eine Funktion der Inzidenz, 
und zwar wird diese Funktion ein Minimum für die Inzidenz unter 
dem Polarisationswinkel, ohne aber = zu werden, und nimmt 
von dieser Inzidenz auf beiden Seiten zu, so daß sowohl für die 
Inzidenz 0^ wie auch für die Inzidenz 90® das Verhältnis gleich 
Eins wird. 

2) Zwei von einer Metallfläche reflektierte Strahlen, wovon 
der eine parallel, der andere senkrecht zur Reflexionsebene po- 
larisiert ist, verhalten sich so, daß der eine, nämlich derjenige, 
welcher parallel der Reflexionsebene polarisiert ist, dem anderen 
um einen Bruchteil einer Undulationslänge voraus ist. 

Das Gesetz, nach dem das unter 1. genannte Intensitäts- 
verhältnis und die Phasenverzögerung der beiden Komponenten 
vom Einfallswinkel abhängt, leitet Neumann ab, indem er den- 
selben Strahl wiederholt reflektieren läßt. Geradlinig polarisiertes 
Licht geht nach einer Reflexion in elliptisch polarisiertes über, 
d. h. in solches, bei dem die Ätherteilchen in elliptischen Bahnen 
sich bewegen (Brewster verband mit der Bezeichnung „elliptisch 
polarisiert^ einen ganz anderen Begriff). Durch mehrmalige Re- 
flexion kann die elliptische Polarisation wiederum in eine gerad- 
linige verwandelt werden. Indem Neu mann auf dieses die 
Brewster sehen Beobachtungen anwandte, gelangte er zu fol- 
genden zwei Gesetzen: 

Es seien A^ B die Amplituden des einfallenden Lichtes in 
der Einfallsebene und senkrecht darauf, die entsprechenden Kom- 
ponenten des einmal reflektierten Lichtes seien sA und j^JB; die 
letztere Komponente habe zugleich die Phasen Verzögerung 8 gegen 
die erstere, so ist für den Einfallswinkel r. 



tg 



— 79 — 

f -yjr j = tgi,tgr^), sini = nsinr; , . . A) 

n bedeutet dabei den sogen annten Brechungskoeffizienten des 
Metalls, d. h. die durch 

n = tgc5 

definierte Konstante, wo cd den Polarisationswinkel vorstellt, so 
d&Q für i = ä die Verzögerung d = | A wird. 
Ist femer p:s = tg ß, so ist 

t92p = — -j -, B) 

WO ßi der Wert von ß für i = cd ist; es ist das eine für das 
einzelne Metall charakteristische Eonstante. 

Weiter wird gezeigt, daiS die Gesetze Ä) und B) die Er- 
klärung aller bis dahin bei der Metallreflexion beobachteten Er- 
scheinungen liefern, und schlieiSlich wird eine allgemeine Formel 
für die bei einer beliebigen Zahl von Eeflexionen an Metall- 
flächen erzeugten Farben aufgestellt. 

Bemerkt sei noch, daß Neumann in späterer Zeit eine wirk- 
liche Theorie der Metallreflexion aufzustellen versucht hat. Näheres 
darüber findet man in den Berichten über das physikalische 
Seminar. 

3. „Über die optischen Achsen und die Farben zwei- 
achsiger Krystalle im polarisierten Licht." V^^SS* ^^^* 
33, 257—281, 1834.] 

Hier wird zunächst die Frage untersucht, was man unter 
den optischen Achsen eines zweiachsigen Kristalles zu verstehen 
hat. Brewster, der als erster die Erscheinungen dieser Klasse 
von Kristallen untersuchte, bezeichnete als Achsen die Richtungen, 



*) In der ursprünglichen Arbeit steht cotang an Stelle von tang. 
Dieser Fehler ist von Neumann selbst in Pogg. Ann. 40, 513 — 514, 
1837, berichtigt. Es sei bemerkt, daß in dem eben erschienenen Bd. II 
von Neumanns gesammelten Werken eine sehr übersichtliche Ent- 
wicklung der Formeln A)^ B) auf Grund Neu mannscher Vorlesungs- 
hefte mitgeteilt ist. Hier wird auch die Neumann sehe Anschauung 
über die Schwingungsrichtung des polarisierten Lichtes zugrunde ge- 
legt, während Neu mann selbst sich bei der ersten Ableitung der 
Fresn eischen Anschauung angeschlossen hatte. 



— ÖO — 

in denen der £j*iBtall von denjenigen Strahlen durchlaufen ist, 
die von dem Mittelpunkt der im polarisierten Lichte entstehenden 
Farbenringe nach dem Auge gehen. Es entstand die Frage: 
Fallen diese Richtungen mit den Normalen der Kreisschnitte der 
Elastizitatsfläche zusammen, oder mit den Normalen der Ereis- 
schnitte des Ellipsoids, dessen Radien die Geschwindigkeiten der 
Lichtstrahlen vorstellen? Fresnel scheint zuerst die erstere An- 
nahme gemacht, sich später aber der zweiten zugewandt zu haben. 
Zur Erledigung der Frage untersucht Neu mann den Gang der 
Strahlen durch ein von zwei parallelen Ebenen begrenztes Eri- 
staliblättchen und bestimmt (ohne irgend welche Annahme über 
das Gesetz der Brechung im Kristall) den Phasenunterschied des- 
jenigen ordentlichen und außerordentlichen Strahles, die, an der- 
selben Stelle austretend, den gleich gerichteten gebrochenen Strahl 
ergeben und^ somit interferieren. Für die scheinbaren optischen 
Achsen ist jener Phasenunterschied = 0. Daraus folgt, daß diese 
Achsen Yon Strahlen erzeugt werden, deren Wellennormalen 
parallel den Kreisschnitten der Elastizitäts fläche sind. Man 
muß daher die Normalen dieser Schnitte die wahren optischen 
Achsen nennen. 

Außer der Feststellung des Begriffes der optischen Achsen 
enthält der Aufsatz noch eine Theorie der Farbenerscheinungen, 
welche ein Blättchen eines zweiachsigen £j*istalls bei schiefem 
Durchgange des Lichtes zeigt. Es werden zu dem Zweck für die 
Intensität der beiden oben erwähnten interferierenden Strahlen 
angenäherte Ausdrücke aufgestellt, und mit deren Hilfe ein Aus- 
druck für die Intensität des Lichtes, welches aus der Interferenz 
entsteht, gefunden. 

Zum Schluß endlich wird gezeigt, daß man für die Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeit der beiden zu einer Wellennormale 
gehörigen Wellen eines zweiachsigen Kristalies sehr einfache Aus- 
drücke gewinnt, wenn man statt der Richtangskosinus jener 
Normale ihre Winkel mit den optischen Achsen einführt. Dieses 
Resultat ist für die folgende große Arbeit über Kristallreflexion 
sehr wichtig. Der obige Ausdruck für die Phasendifferenz der 
interferierenden Strahlen vereinfacht sich dadurch erheblich. 

4. Theoretische Untersuchung der Gesetze, nach 
welchen das Licht an der Grenze zweier vollkommen 
durchflichtigen Medien reflektiert und gebrochen wird. 



— 81 — 

In den Separatabzügen lautet der Titel zutreffender: Über 
den Einfluß der Krystallflächen bei der Eeflexion des 
Lichtes und über die Intensität des gewöhnlichen und 
ungewöhnlichen Strahls. Gelesen in der Akademie der Wissen- 
schaften zu Berlin am 7. Dez. 1835. Abhandlungen der Berliner 
Akademie für das Jahr 1835, S. 1 — 160 (erschienen 1837). 

Diese große Abhandlung bildet eine wesentliche Ergänzung 
zu Neumanns Theorie der doppelten Strahlenbrechung; muß 
doch eine vollständige Theorie nicht nur von den Bewegungen 
im Innern eines Mediums Rechenschaft geben, sondern auch von 
dem Übergang von einem Medium zum anderen. Sodann aber 
war zu entscheiden, ob sich bei Zugrundelegung der Neumann- 
schen Definition der Polarisationsebene für die reflektierten Licht- 
mengen und die Drehung, welche die ursprüngliche Polarisations- 
ebene durch Reflexion erleidet, die Fr esn eischen, durch die 
Erfahrung als richtig erwiesenen Formeln ergeben. Eine Ver- 
neinung dieser Frage hätte die Grundlagen von Neumanns 
Theorie der doppelten Strahlenbrechung erschüttert. Es hätte 
zur Entscheidung dieser Frage genügt, nur den Vorgang an der 
Grenze zweier unkristallinischen Medien zu untersuchen, wäh- 
rend Neumann dem Problem der Reflexion die größtmögliche 
Ausdehnung gibt und durch die glückliche Überwindung äußerst 
mühsamer Rechnungen zu einer Fülle von neuen Resultaten ge- 
langt. Dabei zieht er sowohl einachsige, als zweiachsige Kristalle 
in den Kreis seiner Betrachtungen und behandelt alle diese Fälle 
auf Grund derselben einfachen Prinzipien. 

Obwohl rein theoretisch wie die Arbeit über die doppelte 
Strahlenbrechung, hat diese Abhandlung doch einen wesentlich 
anderen Charakter. Hatte Neumann in jener Arbeit auf die aller- 
ersten Ursachen der Erscheinungen, nämlich auf die Kräfte, mit 
denen die einzelnen Ätherteilchen gegenseitig aufeinander ein- 
wirken, zurückgegriffen, und hatte er auf Grund dieser Kräfte und 
mittels der allgemeinen Gleichungen der Mechanik die Erschei- 
nungen erklärt, so geht er hier von einem gewissen Kreise von Vor- 
stellungen aus, die durch besondere Einfachheit ausgezeichnet sind^ 
und deren Richtigkeit durch die Erfahrung höchst wahrscheinlich 
gemacht ist. Vor allem läßt er die longitudinale Welle, auf die er 
in der Theorie der doppelten Strahlenbrechung geführt war, ganz 
beiseite und nimmt die Lichtschwingungen als rein transversal an, 

Wanger in, Franz Neumann. et 



— 82 — 

und zwar auch in den durch Reflexion und Brechung entstehenden 
WeUen. Freilich hringt diese Fortlassung der longitudinalen 
Wellen den Übelstand mit sich, daß man den strengen Grenz- 
bedingrungen der Elastizitätstheorie (Gleichheit der Yerrilckungen 
und Gleichheit der Komponenten des elastischen Drucks in der 
Grenzfläche) nicht genügen kann; denn diese strengen Bedin- 
gungen würden für vier zu bestimmende Größen sechs Bedingungs- 
gljichungen ergeben, und zwar Bedingungsgleichungen, die mit- 
einander unverträglich sind. Neumann beseitigt diese Schwierig- 
keit, indem er die völlige Kontinuität der Vibrationen beider 
Medien postuliert und dazu das Prinzip der lebendigen Kraft heran- 
zieht. Er rechtfertigt die Benutzung dieses Prinzips mit der Er- 
fahrung, daß es wirklich Körper gibt, bei denen die Intensität 
des einfallenden Lichtes genau ebensogroß ist wie die Summe der 
Intensitäten des reflektierten und gebrochenen Lichtes. Bemerkt 
sei, daß Kirchhoff (Über die Reflexion und Brechung des Lichts 
an der Grenze kristallinischer Medien, Abhandlungen der Berliner 
Akademie der Wissenschaften 1876, S. 57 — 89) nicht direkt das 
Prinzip der lebendigen Kraft benutzt, sondern einen auf die Grenz- 
fläche wirkenden fremden, etwa von den wägbaren Teilen beider 
Medien herrührenden Druck annimmt, der den elastischen Ej*äften 
das Gleichgewicht hält, und dessen Arbeit verschwindet. Für 
die Partikularlösungen der allgemeinen Gleichungen, die ebene 
Wellen darstellen, folgt daraus die Gültigkeit des Satzes von der 
Erhaltung der lebendigen Kraft. 

Die Vorstellungen, die der Neumann sehen Reflexionstheorie 
zugrunde liegen, sind folgende: 

1) Die Verschiedenheit der Fortpflanzungsgeschwindigkeiten 
in verschiedenen Medien oder die Brechung des Lichtes rührt bei 
vollkommen durchsichtigen Medien allein her von der Verschie- 
denheit der Elastizität des Äthers; die Dichtigkeit desselben 
ist in allen diesen Medien gleich. 

2) Das einfallende Licht besteht aus Transversalschwin- 
gungen und erzeugt bei der Reflexion und Refraktion nur eben- 
solche Schwingungen. 

3) Die Richtung der Schwingungen liegt überall, in kri- 
«tallinischen und nichtkristallinischen Medien, in der Wellenebene. 

4) Die Polarisationsebene einer Wellen ebene ist die durch 
ihre Normale und die Richtung ihrer Bewegung gelegte Ebene. 



— 83 — 

5) Die Komponenten der Bewegung, welche einem in der 
Grenzfläche gelegenen Teilchen von der einfallenden und den 
reflektierten Wellenebenen erteilt wird, sind gleich den Eompo* 
nenten der Bewegung, welche ihnen yon den gebrochenen Wellen- 
ebenen erteilt wird. 

6) Die lebendige Kraft in der einfallenden Wellen ebene ist 
gleich der Summe der lebendigen Kräfte in den reflektierten 
Wellenebenen und in den gebrochenen Wellenebenen. 

Wegen der Gleichheit der Dichtigkeiten ist die lebendige 
Kraft in jeder der drei Wellen proportional dem Quadrat der 
Amplitude, multipliziert mit dem von den Bewegungen derselben 
Undulation eingenommenen Räume. 

Yon diesen Vorstellungen sind die in 1), 4) und 5) angegebenen 
deswegen besonders beachtenswert, weil sie den Unterschied der 
Neu mann sehen Auffassung gegenüber der Fr esn eischen deut- 
lich zutage treten lassen. Ad 1) nämlich nimmt Fresnel an, daß 
in allen Medien der Äther gleiche Elastizität, aber verschiedene 
Dichtigkeit habe; die verschiedene Dichtigkeit bedinge die Ter- 
schiedenheit des Brechungsvermögens. Diese Hypothese verwirft 
Neumann, da man in kristallinischen Medien wohl verschiedene 
Elastizität nach verschiedenen Eichtungen annehmen kann, aber 
nicht verschiedene Dichtigkeit. Der Punkt 4) ist schon bei Be- 
sprechung der Arbeit über die doppelte Strahlenbrechung erörtert. 

In 5) weicht Neu mann insofern von Fresnel ab, als letz- 
terer nur die Gleichheit der Schwingungskomponenten parallel der 
brechenden Fläche annimmt. 

Die obigen Grundsätze werden nun zunächst angewandt auf 
die Reflexion an der Grenze zweier unkristallinischen Medien, und 
zwar zuerst für Licht, das senkrecht zur Einfallsebene schwingt, 
sodann für Schwingungen in der Einfallsebene. Im ersteren Falle 
ergeben die Grenzbedingungen 5), 6) zwei Gleichungen für zwei 
zu bestimmende Größen, eine lineare und eine quadratische, letztere 
aber läßt sich durch die erstere dividieren und reduziert sich so- 
mit ebenfalls auf eine lineare Gleichung. Diese drückt für un- 
kristallinische Medien aus, daß der Druck auf die brechende 
Fläche, welcher durch die Verschiebung der Teile im ersten Medium 
entsteht, dieselbe Komponente senkrecht auf der Einfallsebene 
hat, wie der Druck, welcher durch die Verschiebung im zweiten 
Medium entsteht. Im zweiten Falle erhält man drei Gleichungen 

6* 



— 84 — 

zur Bestimmung zweier GröiSen, von denen aber die durch 6) ge- 
lieferte eine Folge der beiden anderen ist. Die neue Theorie gibt 
für die Intensitäten des reflektierten und gebrochenen L.ichtes 
genau die Fresn eischen Formeln, die ihrerseits durch zahlreiche 
Beobachtungen bestätigt sind. 

Nachdem sich so die an die Spitze gestellten Grundsätze bei 
unkristallinischen Medien bewährt haben, werden sie weiter auf 
den Fall angewendet, wo die Zuruckwerfung und Brechung des 
Lichtes an der Grenze eines unkristallinischen und eines voll- 
kommen durchsichtigen einachsigen kristallinischen Mediums 
geschieht. Hier erfordert die Lösung des Problems erheblich um- 
fangreichere und kompliziertere analytische Entwicklungen. Die 
Komplikation rührt einmal von der yerschiedenen Orientierung 
sowohl der brechenden Fläche, als der einfallenden Wellen ebene 
gegen die rechtwinkligen Elastizitätsachsen des kristallinischen 
Mediums her. Da ferner die beiden gebrochenen Wellen gegebene 
Schwingungsrichtungen haben, so kann man nicht, wie vorher, 
die Fälle, wo das einfallende Licht parallel oder senkrecht zur 
Einfallsebene polarisiert ist, getrennt behandeln. Auch macht 
die Aufstellung des Ausdrucks für die lebendige Kraft der aulSer- 
ordentlichen gebrochenen Welle besondere Betrachtungen erforder- 
lich. Denn denkt man sich in dem unkristallinischen Medium 
ein rechtwinkliges Parallelepipedon , dessen Grundflächen zwei 
Lagen der einfallenden Wellenebene sind, so hat sich die in diesem 
enthaltene Bewegung nach der Brechung auf ein schiefwinkliges 
Parallelepipedon ausgebreitet, das von zwei entsprechenden Lagen 
der gebrochenen außerordentlichen Wellenebene begrenzt wird. 
Die Grundsätze 5) und 6) liefern hier vier Gleichungen, die als 
Unbekannte enthalten: die beiden Komponenten der reflektierten 
Amplitude parallel und senkrecht zur Einfallsebene und die Ampli- 
tuden der beiden gebrochenen Wellen. Von diesen Gleichungen 
sind drei linear und eine quadratisch; letztere läßt sich auch hier 
mittels der drei ersten auf eine lineare zurückführen, doch er- 
fordert diese Reduktion eine längere Rechnung. Aus den so er- 
haltenen vier linearen Gleichungen, deren Auflösung keine 
Schwierigkeit bietet, wird nun eine Reihe von Folgerungen ge- 
zogen. Zunächst wird gezeigt, daß, wenn die beiden gebrochenen 
Wellen zusammenfallen, die Resultate in die für unkristallinische 
Medien gefundenen übergehen. Fem er werden die Gesetze der 



— 85 — 

Polarisation des von einer beliebigen Eristallfläche reflektierten 
Lichtes untersucht. Auch hier existiert, wie bei der Reflexion 
an unkristallinischen Medien, ein Polarisationswinkel; es ist der- 
jenige Einfallswinkel, unter welchem natürliches Licht reflektiert 
werden muß, damit es vollständig polarisiert sei. Die Polari- 
sationsebene des durch Reflexion vollständig polarisierten Lichtes 
fällt dann aber nicht mehr, wie bei unkristallinischen Medien, 
mit der Reflexionsebene zusammen, sondern bildet mit ihr einen 
Winkel, der die Ablenkung der Polarisationsebene genannt wird. 
Ein einfacher Ausdruck für den Polarisationswinkel ergibt sich 
nur, wenn die Reflexionsebene parallel mit dem Hauptschnitt der 
reflektierenden Ebene ist, während jener Winkel im allgemeinen 
von einer Gleichung vierten Grades abhängt; für die allein in 
Betracht kommende Wurzel dieser Gleichung wird eine Näherungs- 
formel entwickelt. Die Resultate werden auf Beobachtungen an- 
gewandt, die Seebeck über den Polarisationswinkel am Kalkspat 
angestellt hat, und es zeigt sich, daß die beobachteten und be- 
rechneten Werte jenes Winkels füi' die verschiedensten Lagen der 
Reflexionsebene bis auf wenige Minuten übereinstimmen. „Ich 
glaube nicht^, sagt Neumann, „daß man eine größere Überein- 
stimmung der Beobachtungen mit der Theorie erwarten darf; sie 
bestätigt ebenso sehr die Richtigkeit der Theorie, als sie die 
große Geschicklichkeit des Beobachters erweist." Nachdem noch 
ein einfaches Theorem über die Beziehung zwischen dem Polari- 
sationswinkel und der Ablenkung der Polarisationsebene abgeleitet 
ist, wird speziell der Fall untersacht, in dem das den einachsigen 
Kristall umgebende Medium nahezu denselben Brechungs- 
koefflzienten hat wie der Kristall. Dieser Fall tritt ein, wenn 
auf der reflektierenden Fläche sich eine Schicht einer Flüssigkeit 
befindet, in welcher sich das Licht nahezu ebenso schnell bewegt, 
wie in dem Kristall. Dadurch werden einige Größen, welche von 
der Doppelbrechung abhängen, außerordentlich vergrößert, z. B. die 
Ablenkung der Polarisationsebene. Für diese Ablenkung ergeben 
die Neumann sehen Formeln Werte, die mit Beobachtungen von 
Brewster auf einer mit Cassiaöl bedeckten natürlichen Bruch- 
fiäche des Kalkspats gut übereinstimmen. Weiter sind noch fol- 
gende Ergebnisse bemerkenswert. Wenn der Brechungskoeffizient 
des umgebenden Mediums zwischen dem gewöhnlichen und un- 
gewöhnlichen des Kristalls liegt, ist unter Umständen der Po- 



— 86 — 

larisatioDBwinkel UDmöglich. Hat das umgebeiide Medinin ^enau 
den gewöbnHchen BrechuDgskoeffizieDten des Erittalls, so ist das 
reflektierte Licht stets Tollständig polarisiert. Ist der Brechungs- 
koeffizient des umgebenden Mediums wenig von denen des Kri- 
stalls verschieden, so findet unter allen Reflexionswinkeln nahezu 
eine Yollständige Polarisation statt. 

Doch nicht allein das Verhalten des reflektierten Lichtes er- 
gibt sich aus den Grundformeln, sondern ebenso das der ge- 
brochenen Strahlen. Es werden die Gesetze abgeleitet, nach 
welchen ein polarisierter Strahl bei seinem Eintritt in einen 
optisch einachsigen Kristall sich zwischen dem gewöhnlichen und 
ungewöhnlichen Strahl teilt. Es werden diejenigen Azimute der 
Polarisation des eintretenden Strahls bestimmt, bei welchen der 
gewöhnliche oder der ungewöhnliche Strahl Terschwindet, wie auch 
die Intensität der beiden Strahlen fär den Fall, daß das ein- 
tretende Licht unpolarisiert war. 

Bezogen sich die bisherigen Betrachtungen auf die Phäno- 
mene, welche den Eintritt eines Lichtstrahls in ein einachsiges 
kristallinisches Medium begleiten, so wird weiter auch der Aus- 
tritt eines Strahls aus einem solchen Medium untersucht. Hier 
entstehen aus jeder einfallenden Welle, sei dieselbe eine ordent- 
liche oder außerordentliche, je zwei reflektierte Wellen. Die 
Ausdrücke für die Amplituden derselben werden entwickelt und 
auf den Fall der totalen Reflexion angewandt. Die Ausdrücke für 
die Amplituden der reflektierten Strahlen sind dann nicht mehr 
reell, lassen sich aber mittels desselben Räsonnements , das 
Fresnel auf den analogen Fall bei unkristalliniscben Medien an- 
gewandt hat, interpretieren. Für den Fall der nicht totalen Re- 
flexion werden auch die Intensitäten der beiden gebrochenen 
Wellen (deren eine durch eine einfallende ordentliche, die andere 
durch eine einfallende außerordentliche Welle entsteht) abgeleitet 
und die Lage ihrer Polarisationsebene bestimmt. Die Resultate 
gestatten die Beantwortung der Frage, wie das Licht eines po- 
larisierten Strahls, nachdem es durch ein Prisma aus einem kri- 
stallinischen einachsigen Medium gegangen ist, sich verteilt hat 
zwischen dem gewöhnlichen und ungewöhnlichen Strahl. Speziell 
wird das erörtert für Prismen, deren brechende Kante der 
Eristallachse parallel ist oder auf ihr senkrecht steht. Auch der 
Durchgang des Lichtes durch ein von zwei parallelen Ebenen be- 



— 87 — 

groDztes kristalliDisches Medium, das auf beiden Seiten von dem- 
selben unkristallinischen Medium umgeben ist, läßt sich auf Grund 
der allgemeinen Formeln Tollständig erledigen. Von besonderem 
Interesse ist die Anwendung der gefundenen Ausdrücke auf den 
Fall, in dem das kristallinische Blatt chen so dann ist, daß sich 
der gewöhnliche und der ungewöhnliche Strahl nicht trennen. 
Hier wird unter anderem die Relation aufgestellt, die zwischen 
Einfallswinkel, Azimut der Einfallsebene und Azimut der ur- 
sprtlnglichen Polarisation bestehen muß, damit das durchgegangene 
Licht so vollständig als möglich polarisiert ist. 

Noch umfassendere Rechnungen als bei einachsigen KristaUen 
erfordert die Untersuchung der Reflexion und Brechung bei zwei- 
achsigen Kristallen, der der zweite Teil der Neumann sehen Ab- 
handlung gewidmet ist. Doch reichen auch hier die an die Spitze 
gestellten Grundsätze zur Erledigung der Aufgabe vollständig 
aus. Der Entwicklung der eigentlichen Reflexionsformeln ist ein 
einleitender Paragraph yorangeschickt, in dem die aUgemeinen 
Formeln aufgestellt werden, wodurch für Wellenebenen von ge- 
gebener Normalenrichtung die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten, 
die Richtungen ihrer Bewegungen und die Lage der zugehörigen 
Strahlen bestimmt werden. Letztere stehen, wie gezeigt wird, 
stets auf den Richtungen ihrer Undulationen senkrecht. Die 
Formeln für die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten der beiden der- 
selben Ebene parallelen Wellen erhalten einen sehr einfachen 
Ausdruck durch Einführung der Winkel, welche die Normale 
jener Ebene mit den optischen Achsen bildet. Auch auf die Er- 
scheinungen der äußeren und inneren konischen Refraktion wird 
dabei eingegangen. 

Bei der Erledigung der eigentlichen Aufgabe macht die 
Zurückführung der sich aus dem Prinzip der lebendigen Kraft 
ergebenden quadratischen Gleichung auf eine solche ersten Ghrades 
einige Schwierigkeiten. Damit jene Reduktion unter Benutzung 



') Der zu einer Wellenebene gehönge Strahl ist die Linie, in 
welcher sich der Durchschnittspunkt dieser Wellenebene mit anderen 
Wellenebenen, die in ihrer Bichtung nur unendlich wenig verschieden 
von der ersten sind, bewegt. Oder anders ausgedrückt: Betrachtet 
man die Wellenebenen als Tangentialebenen der Wellenfläche, so ist die 
Wellennormale das Lot auf eine Tangentialebene, der Strahl der Badius- 
vektor nach dem Berührungspunkt dieser Tangentialebene. 



— 88 — 

der übrigen Grenzbedingungen gelingt, ist das Bestehen einer ge- 
wissen Gleichung nötig, von deren Richtigkeit Neu mann selbst 
durch eine geometrische Konstruktion auf der Eugelfläche sich 
auf einem etwas mühsamen Wege überzeugt hat. Einen ein- 
facheren Beweis für das Bestehen jener Relation hat Jacobi ge- 
funden; er wird in der Abhandlung mitgeteilt, und daran werden 
noch andere analoge Relationen geknüpft, die im weiteren Verlauf 
der Arbeit Verwendung finden. So werden, ganz analog wie bei 
einachsigen Kristallen, für die Amplituden der gebrochenen Wellen 
sowie für die beiden Komponenten der Amplituden des reflek- 
tierten Lichtes vier lineare Gleichungen gewonnen, die sich leicht 
auflösen lassen. Die Resultate werden zunächst auf spezielle 
Lagen der Einfallsebene gegen die optischen Achsen angewandt. 
Eine andere Anwendung betrifft die konische Refraktion. In 
diesem Falle werden die Ausdrücke für die Amplitude des reflek- 
tierten tmd gebrochenen Lichtes unbestimmt. Man überwindet 
aber diese Schwierigkeit, wenn man sich den einfallenden Strahl 
aus einem Kegel dadurch entstanden denkt, daß die Kanten des- 
selben mit seiner Achse zusammengefallen sind. So ergibt sich 
die Lichtintensität und die Lage der Polarisationsebene in den 
verschiedenen Seiten des Lichtkegels, in welchen der einfallende 
Strahl sich zerspaltet, und zwar zunächst für eine spezielle, so- 
dann für eine beliebige Lage der brechenden Fläche. Ferner 
wird das wichtige Resultat abgeleitet, daß die konische Refraktion 
auf die Erscheinung der Reflexion keinen Einfluß hat. Auch die 
Verteilung des Lichtes in dem Refraktionskegel, wenn das ein- 
fallende Licht unpolarisiert war, wird erörtert, ebenso die Ver- 
teilung des Lichtes in dem Falle, wo das einfallende Licht nicht 
ein einfacher Strahl, sondern ein Strahlenzylinder ist. 

Weitere Folgerungen aus den Grundgleichungen betreffen 
die Polarisation des reflektierten Lichtes. Die Berechnung des 
Polarisation s wink eis, der genau wie bei einachsigen Kristallen 
definiert wird, läßt sich vollständig nur durchführen, wenn die 
Einfallsebene mit einer der drei rechtwinkligen Ebenen zusammen- 
fällt, die durch die Elastizitätsachsen gelegt sind. Für die anderen 
Lagen der Einfallsebenen wird ein angenäherter Ausdruck auf- 
gestellt, aus dem folgende zwei Sätze abgeleitet werden: 

a) In jeder reflektierenden Ebene gibt es zwei aufeinander 
rechtwinklige Azimute der Einfallsebeneui in' welchen der Winkel 



— 89 — 

der vollständigen Polarisation ein Maximum und ein Minimum ist. 
In Beziehung auf diese Azimute ist das System Yon Polarisations- 
winkeln der Ebene symmetrisch verteilt. Die zwei Einfallsebenen 
des größten und kleinsten Polarisationswinkels sind parallel dem 
größten und kleinsten Radiusvektor des Schnittes, den die reflek- 
tierende Ebene mit der Elastizitätsfl&che bildet, durch deren 
Mittelpunkt gelegt. 

b) Wenn die reflektierende Ebene senkrecht auf einer der 
optischen Achsen steht, sind die Winkel der vollständigen Po- 
larisation in allen Azimuten gleich. 

Was die Ablenkung der Polarisationsebene bei Reflexion unter 
dem Polarisationswinkel betrifft, so gibt es im allgemeinen vier 
Azimute der Reflexionsebene, für welche die Ablenkung = ist; 
zwei von ihnen sind immer reell. Auch auf den reflektierenden 
Ebenen, die senkrecht auf den optischen Achsen stehen, flndet 
sich, obgleich in allen Azimuten der Polarisationswinkel der gleiche 
ist, eine Ablenkung der Polarisationsebene, deren Größe von jenen 
Azimuten abhängt. 

Auch die Drehung, welche die Polarisationsebene bei Reflexion 
unter einem beliebigen Winkel erleidet, \^ird untersucht. Dabei 
ergibt sich, daß diejenigen Strahlen, die, ursprünglich parallel 
der Einfallsebene oder senkrecht zu ihr polarisiert, nach der Re- 
flexion ihre Polarisationsebene unverändert beibehalten, auf einem 
Eegel dritter Ordnung liegen; dieser Kegel ist wichtig für die 
Untersuchung der Fälle, in welchen, unter den beiden genannten 
Annahmen über die Polarisation des einfallenden Lichtes, im ge- 
brochenen Lichte einer der beiden Strahlen verschwindet. Die- 
selbe Frage ¥rird sodann aber auch allgemein erledigt, indem das- 
jenige Azimut der ursprünglichen Polarisationsebene bestimmt wird, 
bei welchem einer der beiden gebrochenen Strahlen verschwindet. 
Die Ausdrücke für die Amplituden des reflektierten und des einen 
gebrochenen Strahles gestalten sich dann besonders einfach. 

In ähnlicher Weise, wie der Eintritt des Lichtes in ein zwei- 
achsiges Medium, wird zum Schluß auch der Austritt des Lichtes 
aus einem solchen in ein unkristallinisches Medium behandelt, und 
die Resultate werden auf den Durchgang des Lichtes durch ein 
von parallelen Ebenen eingeschlosseires Medium angewandt. Die 
abgeleiteten Formeln, deren Wiedergabe hier zu weit führen würde, 
sind wichtig für die Theorie der Farben, welche kristallinische 



— 90 — 

Blättchen im polarisierten Lichte zeigen. Aue den in Rede 
stehenden Formeln ergeben sich übrigens, wenn man alles, was 
vom Unterschiede der Elastizitätsachsen abhängt, Ternachlässigt, 
dieselben Näherangsformeln, die Neumann in einer anderen 
Arbeit (s. S. 79) direkt abgeleitet hatte. 

5. Prioritätsstreit mit Mac Cullagh. An die eben 
besprochene Arbeit schloß sich ein Prioritätsstreit mit Mac 
Cullagh. Letzterer Forscher hatte sich um dieselbe Zeit wie 
Neumann mit dem Problem der Eristallreflexion beschäftigt 
Und war im wesentlichen von denselben Grundvorstellungen aus- 
gegangen wie Neumann. Er war jedoch zunächst (1835) zu 
Ergebnissen (veröffentlicht im Februar 1836 im Phil. Mag.) ge- 
langt, die, wie Seebeck 1836 (Pogg. 38) zeigte, mit der Beob- 
achtung nicht übereinstimmten. Auf Grund der Seeb eckschen 
Bemerkungen hat dann Mac Cullagh seine Theorie modifiziert; 
seine neuen Resultate sind in dem Phil. Mag. X (1837) ver- 
öffentiicht. Da diese Veröffentlichung etwas eher als Neumanns 
große Arbeit' erschienen war, nahm Mac Cullagh Neumann 
gegenüber die Priorität für sich in Anspruch, und ihm stimmte 
Hamilton bei In einem Briefe an letzteren (abgedruckt in den 
Proceedings of the Royal Irish Academy, 1838, No. 30) erhob 
Neumann dagegen Widerspruch und legte den Sachyerhalt dar. 
Er habe, sagt er, von seinen Resultaten schon 1833 und 1834 
verschiedenen Gelehrten, unter anderen A^ Seebeck, Mitteilung 
gemacht, auch einen Auszug seiner Abhandlung 1834 an Arago 
zum Abdruck in den Annales de Chimie et de Physique geschickt, 
der aber nicht in des Adressaten Hände gelangt sei. Im übrigen 
habe er das schon 1834 vollendete Manuskript im Dezember 1835 
der Berliner Akademie übergeben. Der letztere Umstand ist Jeden- 
falls entscheidend für die Priorität Neumanns. Neumann ist 
der erste, der die richtigen Formeln für die Kristallreflexion abr 
geleitet hat. Daß Mac Cullagh unabhängig von Neumann 
zu denselben Resultaten gelangt ist, ist nicht zu bezweifeln. Die 
Priorität aber kommt Neumann zu, und die Bemerkungen, die 
Mac Cullagh an Neumanns Brief geknüpft hat, können das 
Ergebnis nicht umstoßen. 

An die große Arbeit über Kristallreflexion schließen sich die 
folgenden beiden 1837 in Pogg. Ann. veröffentlichten Aufsätze 
an. Ihre Titel sind: 



— 91 — 

6. Photometrisches Verfahren, die Intensität der 
ordentlichen und außerordentlichen Strahlen, sowie die 
des reflektierten Lichtet zu bestimmen; Bemerkungen 
zu Herrn Cauchys Vervielfältigung des Lichtes in der 
totalen Reflexion; Reproduktion der Fresnelschen For- 
meln über totale Reflexion (Pogg. Ann. 40, 497 — 614). 

7. Beobachtungen über den Einfluß der Erystall- 
flächen auf das reflektierte Licht und über die Inten- 
sität des ordentlichen und außerordentlichen Strahles. 
(Pogg. Ann. 42, 1—30.) 

In beiden Arbeiten wird das folgende eigenartige Verfahren 
auseinandergesetzt, um dieselbe Aufgabe, die in der Arbeit über 
Kristallreflexion theoretisch gelöst ist, rein experimentell zu lösen, 
d. h. um die Verteilung des Lichtes, wenn es auf die Oberfläche 
eines durchsichtigen kristallinischen Mediums fällt, zwischen dem 
reflektierten Strahle, dem ordentlichen und dem außerordentlichen 
Strahle zu finden. Die einfallende polarisierte Welle denke man 
in zwei andere zerlegt, deren erste parallel der Einfallsebene 
polarisiert ist, die zweite senkrecht dazu; ihre Amplituden seien 
bzw. S und P. Die reflektierte Welle, auf gleiche Weise zerlegt, 
habe die Amplituden Ba und Bp. Endlich seien die Amplituden 
der gebrochenen ordentlichen Welle D', die der außerordentlichen 
D". Da die letzteren vier Größen lineare Funktionen der beiden 
ersten sein müssen, setze man: 

Bp=pP+s'8, B, =jp'P-f sS, 
D' r=;r'P + <j'S, D" = ;r"P+<j"S. 

Dann kann man zunächst die Verhältnisse 7t' : ö' und ;r" : 0" be- 
stimmen, indem man dasjenige Polarisationsazimut des einfallenden 
Strahles aufsucht, bei welchem der ordentliche, bzw. der außer- 
ordentliche Strahl verschwindet. Ferner ergeben sich die Ver- 
hältnisse der Faktoren p, s\ p'f s, wenn man zu drei gegebenen 
Werten des Polarisationsazimuts des einfallenden Lichtes das zu- 
gehörige Polarisationsazimut des reflektierten Lichtes beobachtet. 
Zur Ermittelung der noch fehlenden drei Faktoren jp, s', ..., O" 
dient die Gleichung, welche die vollkommene Durchsichtigkeit des 
kristallinischen Mediums ausdrückt: 

jpi+S^ = B; + B! + a'D'a + a"D"a, 



— 92 — 

eine Gleichung, aus der, da sie für beliebige Werte von P und 8 
gilt, drei Relationen zwischen den Koeffizienten folgen. In der 
ersten der beiden in Bede stehenden Arbeiten wird das Verfahren 
an einer kleinen Eeihe von Beobachtungen erläutert, während in 
der zweiten Arbeit sieben größere Reihen von sehr sorgfältigen 
Beobachtungen, sämtlich an der nattlrlichen Btuchfläche des Kalk- 
spats angestellt, mitgeteilt werden. Diese sämtlichen Beobach- 
tungen stimmen sehr gut mit den numerischen Resultaten über- 
ein, die aus den theoretischen Formeln der Kristallreflexion folgen. 
Die Abweichung zwischen Rechnung und Beobachtung beträgt 
fast durchweg nur wenige Minuten. Das Instrument, mit 
dem die Beobachtungen angestellt sind, zu beschreiben, würde 
hier zu weit führen, ebensowenig wie wir auf die Beobachtungen 
selbst und die Art, wie dieselben zur Elimination der möglichen 
Fehler kombiniert werden, eingehen können. Bemerkt werden 
aber muß, daß derartige Messungen yor Neumann nicht an- 
gestellt sind, da sich frühere Beobachter (z. B. Seebeck) auf die 
Beobachtungen der vollständigen Polarisation des natürlichen 
Lichtes durch Reflexion beschränkten. Auch auf diese Seebeck- 
schen Beobachtungen geht Neumann ein und zeigt ihre Über- 
einstimmung mit seinen Formeln. Die Formeln für die Koeffizienten 
(k\ üi' findet Neumann ebenfalls experimentell bestätigt; er 
schließt daraus, daß seine theoretischen Formeln nur in der 
Voraussetzung als wirklich erwiesen angesehen werden können, 
daß in allen Medien der Äther dieselbe Dichtigkeit hat. 

Die erste der beiden jetzt in Rede stehenden Arbeiten ent- 
hält noch folgendes. Zunächst wird gezeigt, daß zur Herleitung 
der Fr esn eischen Formeln für die Intensität des an un- 
kristallinischen Medien reflektierten und gebrochenen Lichtes 
nur die Gleichung, welche die vollkommene Durchsichtigkeit aus- 
drückt, verbunden mit den aus den Brewst er sehen Beobach- 
tungen folgenden Formeln für 'R^ : 2^« und Dp : D« (i2 bezieht sich 
auf das reflektierte, D auf das gebrochene Licht) nötig ist, daß 
somit die Fresnel sehen Formeln vollständig und allein aus der 
Beobachtung erwiesen sind. 

Weiter wird darauf hingewiesen, daß der von Cauchy aus 
seinen Formeln gezogene falsche Schluß, wonach in dem Augen- 
blicke, wo die totale Reflexion eintritt, der gebrochene Strahl, 
statt zu verschwinden, eine außerordentliche Vervielfältigung er- 



— 93 — 

fahren soll« daher rührt, daß Gauchy als Verhältnis der Intensität 
des gehrochenen nnd des einfallenden Lichtes das Verhältnis der 
Quadrate ihrer Amplituden genommen hahe, statt des Verhält- 
nisses ihrer lebendigen Kräfte. 

Endlich wird noch gezeigt, wie die Cauchysche direkte Ab- 
leitung der Formeln für Totalreflexion durch Einführung von 
Exponentialfunktionen neben den trigonometrischen (eine Ab- 
leitung, welche die willkürliche Fresnelsche Interpretation der 
imaginären Ausdrücke vermeidet) sich bei Zugimndelegung der 
Neumann sehen Grundprinzipien der Beflexion gestaltet. Dabei 
wird die Gleichung der lebendigen Kraft ersetzt durch die aus ihr 
folgende lineare Gleichung, deren Bedeutung für unkristalliniBche 
Medien oben angegeben ist (s. S. 83). 

b) Andere der Kristallphysik angehörige Arbeiten. 

1. Die thermischen, optischen und krystallographi- 
schen Achsen des Krystallsystems des Gipses. [Pogg. 
Ann. 27, 240—274, 1833.] 

Die Arbeit beginnt mit allgemeinen Erörterungen, die zu dem 
Resultate fahren, daß es in allen kristalÜDischen Formen ein 
rechtwinkliges kristallographisches Achsensystem gibt, das identisch 
ist mit dem der thermischen und dem der Hauptdruckachsen; mit 
diesem System fällt unter gewissen Voraussetzungen über die 
Struktur des Mediums das der optischen Hauptachsen und das 
Achseu System der Kohäsionskräfte zusammen. Zur Prüfung dieses 
Satzes untersucht Neumann die Lage der optischen und thermi- 
schen Achsen des Gipses. Einleitend beschreibt er die bis dahin 
am Gipssystem beobachteten Kristallflächen und teilt einige neue, 
Yon ihm an Gipskristallen angestellte Winkelmessungen mit, auf 
Grund deren er die Messungen von Phillips (EL Introd. to the 
Kn. of Mineralogy. Third. Ed., London 1823) diskutiert. Sodann 
zeigt er, daß die Bestimmung der thermischen Achsen in einem 
zwei- und eingliedrigen System sich darauf reduziert, in der die 
Gestalt symmetrisch teilenden Ebene zwei aufeinander senkrechte 
Linien zu finden, welche auch nach der Temperaturveränderung 
rechtwinklig gegeneinander geneigt sind. Diese gesuchten Linien 
ergeben sich, falls man die absolute Ausdehnung zweier beliebigen 
Linien der Symmetrieebene und die Änderung ihres Neigungs* 



— 94 — 

winkeis kennt, mittels einer quadratischen Gleichang, von der 
sich zeigen läßt, daß sie stets zwei reelle Wurzeln hat. Nach 
diesem Verfahren werden die thermischen Achsen des Gipses 
bestimmt; die eine liegt sehr nahe der Normale der schiefen £jid- 
fläche. Weiter werden noch die linearen Ausdehnungen in ver- 
schiedenen Richtungen, insbesondere die in den thermischen 
Achsen stattfindenden, bestimmt; endlich wird gezeigt, daß beim 
Gips, innerhalb der Beobachtungsfehler, die thermischen und die 
optischen Achsen zusammenfallen, und daß die Flächen des Gips- 
systems zu diesen Achsen in einfacher Beziehung stehen. 

Hinsichtlich der hier ausgesprochenen allgemeinen Sätze hat 
sich Neumanns Anschauung in späterer Zeit geändert, wozu 
wohl seine eigenen, in der folgenden Arbeit mitgeteilten Beob- 
achtungen den Anstoß gegeben haben mögen. Er hat (s. Ge- 
sammelte Werke 2, 296) in den fünfziger Jahren in seinen Vor- 
lesungen über Mineralogie ausdrücklich darauf hingewiesen, daß 
von einem genauen Zusammenfallen der optischen Hauptachsen 
mit den thermischen schlechterdings nicht die Rede sein könne. 
Ferner hat er zwar daran festgehalten, daß es in jedem Kristall 
ein „unwandelbares Koordinatensystem*' geben muß, daß aber 
das System der optischen Hauptachsen nur etwas Sekundäres sei. 

2. Über die optischen Eigenschaften der hemi- 
prismatischen oder zwei- und eingliedrigen Krystalle. 
(Aus brieflichen Mitteilungen an Poggendorf.) (Pogg. Ann. 35, 
81—95, 203—205, 380—383, 1835.) 

Es wird zunächst das von Nörrenberg beobachtete Ver- 
halten der optischen Achsen des Gipses besprochen, das sich 
daraus erklärt, daß jede Farbe ihre eigenen Elastizitätsachsen hat, 
die nicht allein der Größe, sondern auch der Lage nach ver- 
schieden sind. Weiter teilt Neumann eine eigene Beobachtung 
mit, wonach sich bei einer Temperaturerhöhung die beiden opti- 
schen Achsen des Gipses mit verschiedener Geschwindigkeit 
bewegen. Seine Messungen ergaben folgende Resultate. Bei 
16,2<) R ist die Neigung der optischen Achsen 57<^37', bei 
7,5® R = 61<^ 24', und zwar hat sich die rote Achse um 1* 32', die 
matte um 2^15' verrückt. Die größte und die kleinste Elasti- 
zitätsachse haben ihre Richtung dabei um 22' geändert. 

Bei einer Temperaturerhöhung von 15,3® R auf 52,2® R hat 
sich die rote Achse um 9^13', die matte um 13® 39' verrückt. 



— 95 — 

Beide Achsen vereinigten sich bei einer Temperatur zwischen 70 
und 80® R, und bis dahin hatte sich die rote Achse um 2Ö<^ 8' 
bewegt, die matte um 32^49'. 

Es folgen weitere Beobachtungen Neumanns, sowie solche, 
die auf seine Veranlassung von Hesse angestellt sind; beide zeigen, 
daß die Richtung, nach der ein senkrecht auf ein GipsUättchen 
fallender Strahl polarisiert sein muß, damit er ungeteilt hindurch 
geht, mit der Halbierungslinie des Winkels der optischen Achsen 
zusammenfällt. 

Femer teilt Neumann mit, daß er die von Nörrenberg an 
Gips und Borax entdeckte Unsymmetrie der Farbenerscheinungen 
in den Ringsystemen auch am Adular beobachtet habe. Jene 
Unsymmetrie sei die Regel beim hemiprismatischen (zwei- und 
eingliederigen) System; die Fälle, wo die Unsymmetrie verschwinde, 
wie nach Beobachtungen von Dove beim Diopsid, seien Grenz- 
fälle. — Schließlich wird noch darauf hingewiesen, daß das Ver- 
halten des tetarto-prismatischen (ein- und eiagliederigen) Systems 
ein wesentlich anderes sei. 

3. Über das Elastizitätsmaß krystallinischer Sub- 
stanzen der homoedrischen Abteilung. (Pogg. Ann. 31, 
177—192, 1834.) 

Der Umstand, daß experimentelle Untersuchungen über den 
Wert der Elastizitätskonstanten kristallinischer Substanzen gänz- 
lich fehlen, veranlaßt Neumann, die Gesetze der einfachsten 
Elastizitätsphänomene zu geben, und zwar solche, die am meisten 
geeignet scheinen, die Mittel zur Bestimmung der Elastizitäts- 
konstanten auch bei kleinen Dimensionen der zu untersuchenden 
Substanz zu liefern. Er beschränkt sich dabei auf kristallinische 
Substanzen der homoedrischen Abteilung, das sind solche, deren , 
Gestalten durch drei rechtwinklige Ebenen symmetrisch geteilt 
werden können. Die Verkürzungen, welche derartige Kristalle 
durch überall gleichen, gegen die Oberfläche senkrechten Druck D 
in den einzelnen Achsenrichtungen erleiden, hängen von neun 
Eiastizitätskonstanten ab, die sich aber auf sechs reduzieren. Man 
erhält diese Eonstauten, indem man ein rechtwinkliges Prisma, 
dessen Kanten den Kristallachsen parallel sind, durch Druck auf 
je zwei gegenüberliegende Seitenflächen komprimiert und jedesmal 
die Verkürzung in Richtung der drei Achsen mißt. Die genannten 
sechs Konstanten hängen übrigens durch einfache lineare 



— 96 — 

) GleichuDgen mit den theoretischen Elastizitätskonstanten zu- ' 

sammen, die in der Abhandlung über doppelte Strahlenbrechung 
auftreten und dort mit A, Ai, Ä^it B, C, D bezeichnet sind. Aus 
diesem Zusammenhange ergibt sich nebenbei für unkristallinische 
Medien das Poissonsche Theorem über die Querkontraktion bei 
Längendehnung eines Drahtes; und zwar gilt dasselbe, unabhängig 
von den Dimensionen, für jedes Prisma. 

Weiter wird erörtert, wie man ans der Lage der Kristall- 
achsen und deren Verkürzung (oder Verlängerung) durch Druck 
die in einer beliebigen anderen Richtung eintretende Verkürzung 
bestimmen kann; ebenso die Winkeländerungen, welche in der 
Neigung zweier Ebenen durch Kompression hervorgebracht werden. 
Wird ein beliebig orientiertes rechtwinkliges Prisma durch einen 
Druck auf die Grundflächen komprimiert, so werden die Kanten 
desselben verkürzt und zugleich aus ihren rechtwinkligen Nei- 
gungen abgelenkt. Diese Verkürzung sowohl, als die Winkel- 
änderung lassen sich durch die Elastizitätskonstanten ausdrücken. 
Daraus folgt die Verkürzung in einer beliebigen Richtung, und 
' aus dem Ausdruck für letztere ergibt sich ein Ausdruck für das 
Elastizitätsmaß in einer bestimmten Richtung durch einfache 
Übertragung der Definition des Elastizitätsmaßes, die für un- 
kristallinische Medien gilt. Um das Elastizitätsmaß in jeder Rich- 
tung zu kennen, muß dasselbe für sechs verschiedene Richtungen 
gegeben sein. Um femer für sechs Richtungen das Elastizitäts- 
maß experimentell zu ermitteln, bedient man sich am besten der 
Methode der Biegung, indem man einen dünnen prismatischen 
Stab an einem Ende horizontal befestigt und am anderen mit 
Gewichten beschwert, oder auch, indem man beide Enden auf 
eine horizontale Unterlage legt und die Mitte mit Gewichten be- 
schwert. Diese Methode ist also auf sechs in verschiedenen 
Richtungen geschnittene Stäbchen anzuwenden. 

Ein zweites Mittel bieten Beobachtungen der Winkelände- 
rungen, welche in den Neigungen der Seiten eines geraden Prismas 
hervorgebracht werden, wenn dieses in der Richtung der Achse 
komprimiert wird. Doch findet man so nur die Differenz der 
Elastizitätskonstanten, so daß eine Beobachtung nach der Biegungs- 
methode immer notwendig bleibt. 

Die hier von Neumann zugrunde gelegte Elast izitätstheorio 
beruht auf Poissons molekulartheoretischer Betrachtung; in 



— 97 — 

späteren Jahren (1857 — 1874) hat Neumann in seinen Vor- 
lesungen eine allgemeinere Theorie entwickelt, die yon molekular- 
theoretischer Spekulation frei war. Diese macht die elastischen 
Erscheinungen eines Kristalls von 36 Konstanten ahhängig, die sich 
für ein dreifach symmetrisches System auf neun reduzieren. Auf- 
klärung über die Zahl der einem Kristallsystem zukommenden, 
Yoneinander unabhängigen Konstanten zu gewinnen, bezeichnet 
Neumann als einen Hauptzweck von Beobachtungen der hier 
beschriebenen Art. Er hat, um diese wichtige Frage zu erledigen, 
noch Ende der sechziger und .Anfang der siebziger Jahre ver- 
schiedene seiner Schüler zu derartigen Beobachtungen angeregt 
(Sohncke, Baumgarten, W. Voigt). 



o) Die Gesetze der Doppelbrechung des Lichts 
in eomprimierten oder ungleichmäßig erwärmten un- 

krystallinischen Körpern. 

Eine am 8. November 1841 in der Königl. Akademie der 
Wissenschaften zu Berlin gelesene Abhandlung. Abhandlungen 
der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Aus dem 
Jahre 1841. Zweiter Teil. Berlin 1843. S. 1 — 247 i), nebst 
sechs Seiten Verbesserungen und einer Tafel. 

Diese umfangreiche Arbeit ist für Neumanns Art der 
Forschung besonders charakteristisch. In ihr tritt seine meister- 
hafte Art und Weise hervor, die Theorie mit dem Experiment 
zu verbinden, jene durch diese zu kontrollieren, andererseits für 
diese aus jener neue Anregungen und Befruchtungen herzuleiten. 
Als erster unternimmt er es hier, eine Theorie der im Titel ge- 
nannten Erscheinungen, der sogenannten accidentellen Doppel- 
brechung, zu entwickeln und daran eine Fülle von Anwendungen 
zu knüpfen, die, wie Voigt S. 16 sagt, „ganz unabhängig von 
dem Interesse, welches die betreffenden Erscheinungen bieten, 
schon durch die neuen Fragestellungen merkwürdig sind, auf die 
sie führen^. Ganz nebenbei werden, in einer Anmerkung ver- 
steckt, die Grundzüge einer neuen, von der C au chy sehen ganz 
verschiedenen Dispersionstheorie entwickelt. 



') Ein Auszug aus der Arbeit ist in Pogg. Ann. 54, 449 — 476, 
1841, veröffentlicht. 

Wangerin, Frans Netixnann. y 



— 98 — 

Nach Neumanns Ansicht rührt die Dispersion ganz oder 
teilweise von den Kräften her, welche zwischen den schwingen- 
den Teilen des Lichtathers und den ponderablen Atomen des 
durchsichtigen Stoffes wirksam sind. Diese neuen Kräfte modifi- 
zieren nicht allein die Bewegung der Ätherteilchen, sondern 
setzen auch die Teile des festen Körpers in Bewegung. Die 
letztere Bewegung ist aber bei vollkommen durchsichtigen Körpern 
als sehr klein zu betrachten gegen die Bewegung der Äther- 
teilchen und kann daher in erster Annäherung vernachlässigt 
werden. Bei dieser Vernachlässigung werden die Komponenten 
der neuen Kräfte den Projektionen der Yerrückungen der Äther- 
teilchen proportional, und diese neuen Kräfte sind in den Diffe- 
rentialgleichungen der Lichtbewegung, die für den freien Äther 
gelten, hinzuzufügen. In einem derartigen Medium ergibt sich, 
falls es isotrop ist, für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v einer 
ebenen Welle von der Schwingungsdauer T angenähert der Wert 

wo k und T Konstante sind. 

Die hier von Neumann dargelegte Grundanschauung über 
die Ursache der Dispersion ist von vielen späteren Autoren zur 
Erklärung der Farbenzerstreuung herangezogen, ohne daß diesen, 
wie es scheint, bekannt geworden ist, daß Neumann als erster 
diese Erklärung gegeben hat. Übrigens sei bemerkt, daß fast um 
dieselbe Zeit eine der Neumann sehen sehr ähnliche Theorie von 
O'Brien aufgestellt ist (1842). 

Gehen wir nun auf den Inhalt der Abhandlung etwas näher 
ein. N e u m a n n geht von dem durch B r e w s te r (Phil. Trans. 
1816) entdeckten und durch spätere Beobachtungen bestätigten 
Gesetze aus, daß in einem unkristallinischen Körper, in welchem 
durch Kompression oder Dilatation doppelte Strahlenbrechung 
hervorgebracht ist, die Größe dieser Doppelbrechung eine lineare 
Funktion der Kontraktionen oder Dilatationen der Teilchen des 
Körpers ist. Den Zusammenhang zwischen diesen Dilatatio- 
nen und der Doppelbrechung entwickelt er zunächst (§ 1 bis 
4) für gleichförmig dilatierte oder komprimierte Körper» 
d. h. für solche, bei denen die Hauptdruckachsen in jedem 
Punkte dieselbe Richtung haben und die Größe der Dilatationen 
in ihnen für alle Punkte die gleiche ist, wie dies z. B. der 



— 99 — 

Fall ist, wenn ein rechtwinkliges Parallelepipedon in einer oder 
zwei oder drei Richtungen durch* Druckkräfte, welche über je 
zwei seiner gegenüberstehenden Seitenflächen gleichmäßig verteilt 
sind, komprimiert wird. In einem derartigen Körper ist die neue 
Anordnung seiner Teilchen in jedem Punkte symmetrisch in 
bezug auf drei rechtwinklige Ebenen, die für jeden Punkt die- 
selbe Richtung haben. Zur Erklärung der Tatsache, daß ein 
solcher Körper durch die Verrückung seiner Teilchen die Eigen- 
schaft erlangt hat, das Licht doppelt zu brechen, kann man nun 
drei Hypothesen aufstellen. Entweder liegt der Grund in einer 
durch die veränderte relative Lage der Teile des. festen Körpers 
hervorgebrachten neuen Anordnung der in ihm enthaltenen Licht- 
ätherteilchen , oder in der veränderten Einwirkung der Teile des 
festen Körpers auf die Ätherteilchen, oder in einer gleichzeitigen 
Wirkung beider Ursachen. Um zwischen diesen Hypothesen zu 
entscheiden, wird die zweite rechnend verfolgt. 

Die Wirkung der Körpermoleküle auf die Ätherteilchen wird 
in derselben Weise in Rechnung gezogen wie in der oben dar- 
gelegten Neu mann sehen Dispersionstheorie, nur sind wegen der 
Ungleichheit der Hauptdruckächsen die Koeffizienten der in den 
Elastizitätsgleichungen anzubringenden Zusatzglieder andere als 
für isotrope Körper. Die Integration der so modifizierten Glei- 
chungen ergibt eine Doppelbrechung von der Art, daß die Differenz 
der Geschwindigkeiten zweier zusammengehörigen Strahlen dem 
Quadrat der Undulationsdauer proportional sein müßte, also 
kleiner für die Strahlen des violetten fjides des Farbenspektrums 
als für die Strahlen des roten Endes. Daraus würde in den 
Interferenzerscheinungen der gewöhnlichen und ungewöhnlichen 
Strahlen eine Farbenfolge entstehen, welche die entgegengesetzte 
von derjenigen ist, die man beobachtet. Die Hypothese also, daß 
die Doppelbrechung des komprimierten Körpers allein von einer 
Veränderung in der Einwirkung der festen Teile auf den Äther 
herrühre, muß aufgegeben werden, da sie der Erfahrung wider- 
spricht. Aus dem gleichen Grunde ist auch die Annahme, die 
Doppelbrechung rühre gleichzeitig von der veränderten An- 
ordnung der Ätherteilchen und der veränderten Einwirkung der 
Teile des festen Körpers auf dieselben her, zu verwerfen; wenig- 
stens müßte der von der letzteren Einwirkung etwa herrührende 
Teil der Doppelbrechung verschwindend klein sein gegen den von. 

7* 



— 100 — 

der TeräDderten Anordnung der Ätherteilchen herrührenden Teil. 
Als Torzüglichster Erklarangsgrund der Doppelbrechung des kom- 
primierten KörperfT ist hiernach allein die 'neue Anordnung der 
Ätherteilchen zu berücksichtigen, und zwar mnü diese Anordnung 
dieselbe Symmetrie besitzen ¥rie die der festen Teile des Körpers. 
Hieraus wird geschlossen, daß die Doppelbrechung des gleich-' 
förmig dilatierten und komprimierten Körpers dieselben Gesetze 
befolgen muß, welche Fresnel für die Doppelbrechung in kri- 
stallinischen Medien entdeckt hat. Der einfachste Ausdruck für 
diese Gesetze ist in ihrer geometrischen Konstruktion mittels der 
optischen Elastizitätsfläche enthalten. Die Achsen dieser opti- 
schen Elastizitätsfläche und der Elastizität sfläche des Druckes 
müssen in dem komprimierten Körper dieselbe Richtuog haben, 
und die ersteren müssen Funktionen der letzteren sein, und zwar 
findet Neu mann für diese Funktionen folgenden Ausdruck. Sind 
A, B, C die optischen Elastizitätsachsen, cc, ß, y die Dilatationen 
in den entsprechenden drei Hauptdruckachsen, so ist 

. A = Gi-qoc+pß + py, 

, B = G-+pa + qß + py, 

C= a+pa+pß + qy. 

Darin sind p und q zwei von der Natur des dilatierten 
Mediums abhängige Konstante, G ist Yon der Fortpflanz an gs- 
geschwindigkeit des Lichtes in dem Medium im natürlichen 
Zustande sehr wenig unterschieden. Aus den vorstehenden 
Relationen zwischen den Achsen beider Elastizitätsflächen ergibt 
sich eine Reihe bemerkenswerter geometrischer Folgerungen, z. B., 
daß beide Flächen die Kreisschnitte gemeinsam haben, und dar- 
aus folgt weiter, daß, wenn eine ebene Lichtwelle durch einen 
gleichförmig dilatierten Körper geht, diese polarisiert ist entweder 
parallel mit der größten oder der kleinsten Dilatation aller der 
Richtungen, die mit ihr parallel sind. Je nachdem diese Welle 
nach der einen oder der anderen dieser beiden Richtungen polari- 
siert ist, pflanzt sie sich mit einer anderen Geschwindigkeit fort, 
und der Unterschied dieser beiden Geschwindigkeiten ist pro- 
portional mit dem Unterschiede der größten oder kleinsten der 
mit ihrer Ebene parallelen Dilatationen des Körpers. 

Nachdem so die Grundgesetze der Doppelbrechung der gleich- 
förmig komprimierten Medien festgestellt sind, geht Neumann 



— 101 — 

dazu über» die numerischen Werte der beiden Eonstanten p, g, 
von denen die Doppelbrechung abhängt, für gewöhnliches Spiegel- 
glas zu bestimmen. Dazu dient eine sinnreiche Kombination 
zweier ganz verschiedenen Beobachtungen. Die erste betrifft die 
Lage der Farbenkuryen, welche ein gekrümmter Glasstreifen im 
polarisierten Lichte zeigt. Diese Beobachtung gibt den Wert von 

- — r-=^, wenn g die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes im 

Glase in seinem natürlichen Zustande bezeichnet, i^nd zwar war 

^^ = 0,126; 

dabei ist für die mittleren Strahlen g = 0,654, die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit des Lichtes in Luft als Einheit angenommen. 

Eine zweite Beobachtung betrifft das . teleskopische Diffrak- 
tionsbild, welches durch zwei gleiche Öffnungen in einem Schirme 
vor dem Femrohr hervorgebracht wird. Wird vor diese Öffnung 
ein gekrümmter Glasstreifen gestellt, so verdoppelt sich das Bild; 
es entstehen zwei Bilder, deren eines parallel mit dem Streifen, 
das andere senkrecht darauf polarisiert ist. Beide erleiden gegen- 
über dem ursprünglichen Bilde eine Verrückung nach derselben 
Bichtung. Das Verhältnis dieser beiden Verrückungen ist unab- 
hängig von der Größe der Krümmung und hängt nur linear von 

— und — ab. Die Messung des Verhältnisses jener Verrückung 
9 9 

iribt demnach eine zweite Relation zwischen — und — , die mit 
* 9^9 

P Q 

dem Wert von zusammen 

9 

- = —0,131, ^= —0,213 
9 9 

ergibt. Sehr merkwürdig ist das Resultat, welches man aus den 
allgemeinen Werten für A, B, C erhält, wenn darin a ='ß = y 
gesetzt wird. In diesem Falle erhält man eine Verminderung 
der Lichtgeschwindigkeit bei Dilatation, trotzdem bei dieser die 
Dichtigkeit geringer geworden ist. Doch ist die Richtigkeit dieses 
Resultats neuerdings in Frage gestellt. 

Im zweiten Abschnitt (§ 5 bis § 9) werden die allgemeinen 
Formeln für die Farbenerscheinungen entwickelt, welche ein un- 



— 102 — 

gleichförmig dilatierter Körper im polarisierten Lichte zeigt, 
d. h. ein solcher, in dem die Hauptdnickachsen sowohl in ihrer 
Richtung, als in ihrer Größe von Ort zu Ort sich ändern. 

Während ein gleichförmig dilatierter Körper sich für das 
Licht wie ein Kristallindividuum yerhält, ist ein ungleichförmig 
dilatierter Körper einem Aggregat yon unendlich vielen sehr 
kleinen Kristallindividuen zu vergleichen, deren optische Elasti- 
zitätsachsen stetige Funktionen des Ortes sind, sowohl in Be- 
ziehung auf ihre Richtung, als ihre Grröße. Wenn ein polarisierter 
Strahl auf ein solches Aggregat trifft, so teilt er sich nicht allein 
bei seinem Eintritt in zwei rechtwinklig polarisierte Strahlen, 
sondern auf jeder Stelle der Bahn teilt sich jeder Strahl, sowie er 
in ein neues Kristallindividuum tritt, wieder in zwei Teile. Die 
hiemach sehr schwierig erscheinende Untersuchung wird nun 
sehr vereinfacht, wenn die Unterschiede der optischen Elastizitäts- 
achsen so klein sind, daß ihre Quadrate als verschwindend gegen 
die ersten Potenzen behandelt werden können. Unter dieser Vor- 
aussetzung zeigt Neumann, daß 1. die Bahnen der Lichtstrahlen 
im Innern des Körpers bei der Berechnung der Interferenz als 
geradlinig betrachtet werden können, 2. daß die nach dem Aus- 
tritt miteinander interferierenden Strahlen so behandelt werden 
können, als hätten sie das Medium in derselben Richtung durch- 
laufen. Mit Hilfe dieser Sätze wird der allgemeine Ausdruck für 
die Differenz der Verzögerungen, mit welchen die miteinander 
interferierenden Strahlen aus dem Körper heraustreten, berechnet. 
Diese Differenz hängt ab von dem Gesetz der Drehungen, welchen 
die Polarisationsebene des Strahles im Innern des Körpers unter- 
worfen ist, und von dem Gesetz seiner Fortpflanzungsgeschwin- 
digkeiten. Beide müssen als Funktionen des Ortes gegeben sein, 
und diese Funktionen ihrerseits lassen sich aus dem System der 
Verrückungen der Teilchen des Körpers ableiten; letzteres System, 
muß gegeben sein, oder durch unabhängige Untersuchung er- 
mittelt werden. Zur Erläuterung der abgeleiteten Formeln werden 
diese angewandt auf die Interferenzerscheinungen, welche ein 
tordierter Glaszylinder im polarisierten Lichte zeigt, wenn die 
Strahlen durch die gegenüberstehenden Grundflächen desselben 
so gehen, daß sie mit der Achse des Zylinders nur kleine Winkel 
bilden. Der Zylinder zeigt dann Farbenringe, deren Durchmesser 
sich nahe wie die Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen, und 



— 103 — 

umgekehrt wie die Quadratwurzel aus dem Torsionswinkel ver- 
halten. 

Die in den beiden ersten Abschnitten abgeleiteten Resultate r 
bilden die Grundlage für den dritten Abschnitt (§10 bis 20), 
den umfangreichsten und wichtigsten der Arbeit, in welchem die 
Theorie der Farben aufgestellt wird, welche bei durchsichtigen 
unkristallinischen Körpern im polarisierten Lichte aus der 
ungleichen Temperaturverteilung entstehen. Den Grund für 
die Doppelbrechung bilden hier die durch jene Temperatur- 
Verteilung entstehenden, nach den verschiedenen Richtungen un- 
gleichen Dilatationen der Teilchen. Kennt man den Zusammenhang 
zwischen der Temperatur und den durch sie hervorgebrachten 
Dilatationen, so geben die Formeln der beiden ersten Abschnitte 
die entstehende Doppelbrechung und die dadurch bedingten 
Farben. Es ist daher vor allem der Zusammenhang zwischen 
einer Temperaturveränderung und den dadurch bedingten mole- 
kularen Verrückungen zu ermitteln. Neumann findet diesen, 
indem er den Poisson sehen Gleichungen für das Gleichgewicht 
elastischer Körper Zusatzglieder hinzufügt, die den DiSerential- 
quotienten der Temperatur nach den Koordinaten, bzw. (in den 
Grenzbedingungen) jener Temperatur selbst proportional sind, i 
y^ie Neumann selbst angibt, sind diese Gleichungen schon vor- 
her (1838) von Duhamel veröffentlicht; er fügt jedoch hinzu, 
daß er selbst schon seit Jahren in ihrem Besitz gewesen sei, und 
daß er auch die analogen Gleichungen für kristallinische Medien 
aufgestellt habe. Die Integration der in Rede stehenden Glei- 
chungen, verbunden mit den in den beiden ersten Abschnitten ab- 
geleiteten Formeln, führt unmittelbar zum Ziele. Die Gleichungen 
werden zuerst angewandt auf eine Kugel, in der die Temperatur 
konzentrisch um ihren Mittelpunkt verteilt ist. Es ergibt sich, 
daß die Kugel bei der Erwärmung Ringe zeigt, die gleichen 
Charakter mit denen des Bergkristalles haben (positive Farben- 
ringe), bei der Abkühlung aber solche, die denen des Kalkspats 
analog sind. Ist die Erwärmung oder Abkühlung weit vor- 
geschritten, so gibt es einen Ring der höchsten Farbe, welcher 
seinen Ort nicht weiter verändert, wiewohl seine Farbe stets 
fällt. Im Anschluß daran wird gezeigt, daß eine hohle Kugel, 
gegen deren äußere oder innere Oberfläche ein verschiedener 
Druck wirkt, positive oder negative Farbenringe zeigt, je nach- 



— 104 — 

dem der innere oder äußere Druck größer ist. Weiter werden 
die allgemeinen Gleichungen auf den Fall einer dünnen, von 
parallelen Ebenen begrenzten Platte transformiert und die trans- 
formierten Gleichungen auf folgende spezielle Fälle angewandt: 

I. Eine dünne kreisförmige Scheibe, sowie ein EreiBring, 
falls die Temperatur der Teile nur eine Funktion ihrer Entfernung 
Yom Mittelpunkt der Scheibe ist. 

II. Ein dünner Bing yon geringer Breite, in welchem die 
Temperatur Verteilung allein eine Funktion des Bogens des Ringes, 
ist, während innerhalb eines jeden Querschnittes die Temperatur 
als konstant angenommen wird. Die Untersuchung der in diesem 
Falle entstehenden Verzerrungen hat außer ihrem optischen In- 
teresse noch ein praktisches, wegen ihrer Anwendung auf die 
Bestimmung der Fehler, welche beim Winkelmessen aus der un- 
gleichen Erwärmung des zum Messen dienenden Kreises ent- 
stehen. — Auch der Fall, daß der Kreis von Speichen getragen 
wird, findet hier seine Erledigung. 

III. Zwei dünne, schmale Streifen von verschiedenen Stoffen 
sind derartig fest miteinander verbunden, daß sie bei einer be- 
stimmten Temperatur gerade sind, bei Änderung der Tempera- 
tur aber sich krümmen. Es wird die Eelation entwickelt, welche 
zwischen dieser Krümmung, den beiden Elastizitätsmoduln und 
den Ausdehnungskoeffizienten, sowie den Dimensionen der beiden 
Streifen besteht. Außer auf die bleibenden Farben, welche ein 
solches System im polarisierten Lichte zeigt, werden die Resultate 
auf die Theorie der Metallthermometer angewandt. 

IV. Eine dünne rechtwinklige Platte, in welcher die Tem- 
peraturverteilung eine Funktion der Höhe der Platte ist. Dies 
ist sehr nahe der Fall in der schönen Reihe von Experimenten 
von Brewster (Phil. Trans. 1816), in welchen er eine Glasplatte 
von gewöhnlicher Temperatur mit einem ihrer Ränder auf eine 
heiße Metallplatte stellt, oder umgekehrt eine heiße Glasplatte 
auf eine kalte Metallplatte. Für den Fall, daß die Höhe der Platte 
die Breite mehrmals übertrifft, oder umgekehrt die Breite mehr- 
mals größer ist als die Höhe, gelingt es Neumann, Näherungs- 
formeln aufzustellen, die die entstehenden Farben er scheinungen 
vollständig erklären. Nur dürfen die Formeln im ersten Falle 
nicht auf Stellen angewandt werden, welche in der Nähe des 
unteren oder oberen Randes liegen, im zweiten Falle nicht auf 



— 105 — 

Stellen, welche sich in der Nähe der Seitenwände befinden. Wie 
schon bemerkt, sind die von Neumann abgeleiteten Resultate 
nur angenäherte. Einer vollständigen Auflösung der Gleichun- 
gen, von denen das Problem der inneren Spannung in einer 
rechtwinkligen Platte b.ei ungleichförmiger Temperatur Verteilung 
abhängt, stellten sich unüberwindliche analytische Schwierig- 
keiten entgegen. Diese Schwierigkeiten bestehen in der Be- 
stimmung der Koeffizienten der Glieder von Reihen, welche nach 
den imaginären Wurzeln einer transzendenten Gleichung fort- 
schreiten. 

Über die Untersuchungen des dritten Abschnittes seiner 
Abhandlung spricht sich Neumann in der EiDleitung folgender- 
maßen aus: 

„Die Übereinstimmung der Theorie mit den Beobachtungen 
überall, wo ich den Calcul bis zu dem einzelnen Fall habe durch- 
führen können, läßt über die Richtigkeit ihrer Prinzipien keinen 
Zweifel. Was in Hinsicht der Erklärung und Berechnung der 
Farben, welche durch ungleiche Temperatur Verteilung hervor- 
gebracht werden, zu wünschen übrig bleibt, ist die Vervoll- 
kommnung der analytischen Methoden und die VerifizieruDg der 
Gleichungen, von welchen die Bewegung der Wärme abhängt, 
namentlich in Beziehung auf schlechtleitende Körper. Dann erst 
wird es auch von Interesse sein, in den Gleichungen für die 
durch TemperaturdiSerenzen hervorgebrachten Spannungen die 
Wärmerepulsion nicht, wie es hier geschehen ist, proportional 
mit der Temperatur zu nehmen, sondern die vollständigere Funk- 
tion, wodurch diese Repulsion dargestellt wird, in die Glei- 
chungen einzuführen, wodurch übrigens ihre Form keine Ver- 
änderung erleidet." 

Ähnliche Farben er scheinungen, wie sie durch die ungleiche 
Temperaturverteilung entstehen, erhält man auch durch Härtung 
der festen durchsichtigen Körper, oder durch rasche Abkühlung. 
Während aber die vorher besprochenen Erscheinungen vorüber- 
gehende sind, entstehen hier bleibende Farben. Auch eine Theorie 
dieser bleibenden Farben hat Neumann entwickelt; doch teilt eri 
in unserer Abhandlung nur am Schluß der Einleitung die Prin-[ 
zipien mit, auf denen seine Rechnungen beruhen. 

Analog dem vorübergehenden molekularen Druck, der in 
einem elastischen Körper durch eine vorübergehende Dilatation 



— 106 — 

hervorgerufen wird, entsteht in einem durch bleibende Dilata- 
tionen gespannten Körper ein bleibender molekularer Druck. Diese 
bleibenden molekularen Druckkräfte, für die eine exakte Defini- 
tion aufgestellt wird, sind in die Kavier sehen Gleichungen des 
Gleichgewichtes elastischer Körper einzuführen. Dabei sind 
dreierlei Arten von Dilatationen zu unterscheiden: die absolute, 
die bleibende und die relative, letztere die Differenz der beiden 
ersten. Die relativen Spannungen sind es, welche sowohl die 
innere Spannung des Körpers hervorbringen, als die Farben, 
welche derselbe, wenn er durchsichtig ist, im polarisierten Lichte 
zeigt. Um diese Farben durch Rechnung zu bestimmen, brauchen 
nur in die allgemeinen Formeln, die in der Abhandlung ent- 
wickelt sind, die Ausdrücke für die relativen Dilatationen sub- 
stituiert zu werden. In jedem besonderen Falle muß das System 
bleibender Dilatationen gegeben oder in einer besonderen Unter- 
suchung bestimmt werden. 

Neumann zieht aus seinen Betrachtungen die wichtige 
Folgerung, daß das System von Spannungen und Dilatationen, 
welches in einem Körper durch seine Härtung hervorgebracht 
wird, immer auch durch eine bestimmte Temperaturverteilung 
hervorgebracht werden kann. Darin liegt der Grund der merk- 
würdigen Übereinstimmung der Farben, welche ein gehärteter 
Körper im polarisierten Lichte zeigt, mit denjenigen Farben, 
welche in ihm durch Temperaturdifferenzen hervorgebracht werden 
können. 

Am Schluß der Abhandlung endlich (S. 230 — 247) werden 
die Prinzipien der Theorie der inneren Spannungen, welche aus 
bleibenden Dilatationen eines festen Körpers entstehen, durch 
einige Formeln erläutert. Im besonderen wird der Wert für die 
bleibenden Dilatationen berechnet, welche bei Härtung (rascher 
Abkühlung) einer Glaskugel entstehen. Ferner werden die Ver- 
ruckungen und inneren Spannungen in einem langen geraden 
Zylinder bestimmt, welche durch eine konzentrische Temperatur- 
verteilung in ihm und durch die bleibenden Dilatationen, die aus 
seiner Härtung entstanden sind, hervorgebracht werden. 

Darauf, daß Neumann seinen Entwicklungen die alte 
Na vi ersehe Elastizitätstheorie zugrunde gelegt hat, ist schon 
früher hingewiesen (s. S. 23). 



— 107 — 

IV. Arbeiten über induzierte elektrische Ströme. 

1. Die mathematischen Gesetze der inducierten elek- 
trischen Ströme. Abhandl. d. Eönigl. Akad. d. Wiss. zu Berlin 
1845, S. 1 — 87 1). Vorgelesen daselbst am 27. Oktober 1845. 

Die Erscheinungen der elektrischen Induktion waren 1831 
von Faraday entdeckt, ihre wichtigsten Gesetze experimentell 
von diesem und anderen Forschem, unter denen besonders Lenz 
und W. Weber zu nennen sind, aufgesucht. Es kam darauf an, 
aus der Fülle der Erscheinungen das allgemeine Gesetz herzu- 
leiten und mathematisch zu formulieren, das alle diese Erschei- 
nungen umfaßte, und aus dem sich die einzelnen durch rein 
mathematische Deduktionen ergaben. Dies ist für lineare Leiter 
in den beiden Neumann sehen Abhandlungen geschehen, und 
zwar, ohne daß dabei eine besondere Voraussetzung in bezug auf 
das Wesen der galvanischen Ströme gemacht ist. Neumann geht 
also nicht, wie bald nach ihm Weber (1846), darauf aus, aus 
dem Wesen der elektrischen Anziehung und Abstoßung selbst die 
ersten Tatsachen der Induktion zu erklären. Er will nur die 
Grundsätze entwickeln, nach denen die elektrodynamische und die 
elektromagnetische Induktion yor sich gehen. Aber trotzdem 
Neumann nicht bis auf die ersten Ursachen zurückgeht, ist 
sein allgemeines Prinzip der induzierten Ströme, wie Carl Neu- 
mann in einem Briefe an Volkmann sich ausdrückt, „ein Gesetz 
Yon ähnlicher Universalität, wie sie etwa das berühmte Prinzip 
der lebendigen Kraft besitzt". „Die beiden Neumann sehen Ge- 



^) Die Abhandlung ist von neuem abgedruckt in Ostwalds 
Klassikern der exakten Wissenschaften Nr. 10 , herausgegeben von 
C. Neumann, Leipzig 1889. — Der eigentlichen Arbeit ist unter der 
Überschrift „ Vorbericht " eine ausführliche Inhaltsangabe voran- 
geschickt. Diese ist auch in den Berichten der Berliner Akademie für 
1845, S. 322—334, sowie in Pogg. Ann. 67, 31—44, 1846, abgedruckt. 

In dem schon früher (S. 27) erwähnten Briefwechsel Neumanns 
mit Jacobi hatte letzterer vorgeschlagen, jenen „Sommaire" bei 
dem Druck der eigentlichen Arbeit fortzulassen, mit dem Hinzu- 
fügen, auch Poggendorff sei derselben Ansicht. Später hat Jacobi 
sich überzeugt, wie wertvoll jener Vorbericht ist, auch daß derselbe 
erst im Zusammenhange mit der eigentlichen Abhandlung voll ge- 
würdigt werden kann. Die Überschrift „Vorbericht" ist auf Jacobis 
Vorschlag hinzugefügt. 



— 108 — 

setze (das Prinzip der induzierten Ströme und das die pondero- 
motorifiche Wirkung der elektrisclien Kräfte beherrschende Po- 
tentialgesetz, beide in der zweiten Abhandlung entwickelt) gehören 
zu den großartigsten und erhabensten Entdeckungen im ganzen 
Gebiet der Elektrizität" i). 

Schon oben ist bemerkt, daß sich Neumanns Untersuchungen 
nur auf lineare Leiter beziehen (lineare Induktion). Dieser Fall 
ist der einfachste, weil hier die in dem Element induzierte Elek- 
trizität sich auf einem gegebenen Wege fortpflanzt, während bei 
der Induktion in körperlichen Leitern oder in dünnen Platten die 
Wege, auf welchen die Fortpflanzung der erregten Elektrizität 
geschieht, mit bestimmt werden müssen, n^^^ Prinzipien der 
linearen Induktion gestatten aber eine Ausdehnung auf diese 
komplizierteren Fälle, welche der Gegenstand einer zweiten Ab- 
handlung sein soll, in der die Theorie des Rotationsmagnetismus 
entwickelt werden wird" ^). 

Leider hat Neumann die Untersuchungen, von denen er 
hier spricht, nicht yeröff entlicht; allerdings hat er diesen Gegen- 
stand hin und wieder in seinen Vorlesungen behandelt, aber in 
den gedruckten Vorlesungen über elektrische Ströme findet sich 
nichts darüber. 

lieben der Beschränkung auf lineare Leiter macht Neu- 
mann von vornherein noch eine Einschränkung, daß nämlich „die 
induzierende Ursache mit einer Geschwindigkeit eintrete, welche 
als klein in Beziehung auf die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der 
Elektrizität angesehen werden kann. Ohne diese Voraussetzung 
kann man (wie in § 2 der Arbeit gezeigt wird) nicht die indu- 
zierten elektrischen Ströme als in stationärem Zustande befindlich 
ansehen und die Ohm sehen Gesetze darauf anwenden. Aus- 
geschlossen von den folgenden Betrachtungen sind also z. B. die 
durch elektrische Entladungen induzierten Ströme" ^). 

Neumann geht von folgenden fünf allgemeinen Sätzen als 
Resultaten der Beobachtungen aus^): 



Vgl. Volk mann, S. 33 u. 34. 

*) Abhandl. 1, S. 1 u. 2. 

^) Abhandl. 1, S. 1. 

*) Bei der Zusammenfassung der Erfahrungstatsachen zu den 
fünf Sätzen folge ich der Darstellung Neumanns in seiner Vorletimg 
über elektrische Ströme (S. 267—269). 



— 109 — 

a) Induzierte Ströme entstehen jedesmal, wo die virtuelle 
Wirkung des induzierenden Stromes auf den Leiter eine Änderung 
erfährt. 

b) Die induzierte elektromotorische Kraft ist unabhängig 
Yon der Substanz des Leiters. 

c) Unter sonst gleichen Umständen ist die elektromotorische 
Kraft der Geschwindigkeit proportional, mit welcher die Elemente 
bewegt werden. 

d) Die Kompoiftnte nach der Richtung der Bewegung von 
der elektrodynamischen Wirkung, welche der induzierende Strom 
auf den induzierten ausübt, ist immer negativ. 

e) Unter sonst gleichen Umständen ist die induzierte Strom- 
stärke der induzierenden proportional. 

Aus diesen Sätzen leitet er (§ 1) für die in einem Elemente 
Ds eines bewegten Drahtes induziert^ elektromotorische Kraft 
E,Ds die Fundamentalformel ab: 

E,Ds = —evC.Ds 1) 

Darin ist v die Geschwindigkeit, mit der Ds bewegt wird, C die 
nach der Richtung, in welcher D s bewegt wird, zerlegte Wirkung 
des Induzenten auf Ds, dieses Element von der Einheit des 
Stromes durchströmt gedacht. 6 ist unabhängig von der Be- 
schaffenheit des induzierten Leiters und kann bei der linearen 
Induktion (aber nur bei dieser) als eine Konstaute angesehen 
werden ^). 

Neben der Gesamtwirkung C des Induzenten wird übrigens 
weiterhin (§ 4) die Wirkung der einzelnen Elemente Dö des 
Induzenten auf D s betrachtet. Ist c.Dö die nach der Richtung 
der Bewegung von Ds zerlegte Wirkung, welche Dö auf die 
Einheit des Stromes in Ds ausübt, so ist der Anteil, welchen das 
Element D<^ an der in Ds induzierten elektromotorischen Kraft 
nimmt: 

— €vc.DsDö 1») 

Dies ist der Ausdruck für die elementare Induktion, welche 
zwischen dem Element des Induzenten und dem Element des be- 
wegten Leiters stattfindet. Da in dem vorstehenden Ausdruck 1) 



^) Betreffs dieser Eonstante vgl. weiterhin die Anmerkung B. 111. 



-- 110 — 

V und C Funktionen der Koordinaten des Ortes der Elemente sind, 
die ihrerseits Funktionen der Zeit t sind, so ist auch die elektro- 
motorische Kraft E eine Funktion von t Es ist zunächst zu 
rechtfertigen (§ 2), daß man auch in diesem Falle den Ohm sehen 
Satz, der einen stationären, also von t unabhängigen Zustand 
voraussetzt, noch anwenden kann. Durch Untersuchung der 
Differentialgleichung, welcher die durch die Induktion erregte 
elektrische Spannung genügt, folgt, daß, wenn E sich nicht äußerst 
rasch mit der Zeit yerändert, auch für veränderliche E der 
Ohm sehe Satz ebenso angewandt werden kann, als wäre E von t 
unabhängig. Die elektromotorische Spannung wird dabei, ab- 
weichend von Kirchhoffs Ansicht, aufgefaßt als die augenblick- 
liche Dichtigkeit der in dem Element vorhandenen elektrischen 
Materie. 

Mittels des Ohm sehen Satzes ergibt sich nun (§ 3) für die 
Stärke des in einem linearen Leiter s induzierten Stromes der 
Ausdruck 

— «fi'gvCDs, 2) 

wo k' den reziproken Wert des Widerstandes des Weges bedeutet, 
den der Strom zu durchlaufen hat, und g eine Integration be- 
zeichnet, welche sich über alle bewegten Teile des Leiters erstreckt. 
Der Ausdruck 2), mit dem Zeitelement dt multipliziert, gibt den 
induzierten Differentialstrom, dessen Maß die Wirkung ist, 
welche der induzierte Strom während des Zeitelementes, z. B. auf 
eine Magnetnadel, ausübt. Die Summe der Wirkungen, welche 
er in einer endlichen Zeit ausübt, ist das Maß des induzierten 
Integralstromes. Der Wert des letzteren hängt allein von der 
Länge und Lage des Weges ab, welchen der Leiter durchlaufen 
hat, und ist unabhängig von der Geschwindigkeit, mit der er 
durchlaufen wurde. 

„Die elektromotorische Kraft des Differentialstromes ist das 
negative virtuelle Moment der Kraft, welche der Induzent auf 
den Leiter ausübt, wenn dieser von dem konstanten Strom s 
durchströmt gedacht wird. 

„Die elektromotorische Kraft des Integralstromes, welcher auf 
dem Wege von Wq bis Wi erregt wird, ist der Verlust an leben, 
diger Kraft, welchen der Induzent in dem Leiter hervorbringen 



— 111 — 

würde, wenn dieser sich yon Wq bis tOi frei bewegte und von dem 
Strome 6 ^) durchströmt gedacht wird." 

Das Resultat vereinfacht sich, wenn die Komponenten der 
Wirkung des Induzenten auf ein Element des bewegten Leiters, 
das Yon dem Strome £ durchströmt gedacht wird, partielle Diffe- 
rentialquotienten derselben Funktion sind. Denkt man nämlich 
die Flächen konstruiert, in denen jene Funktion konstant ist 
(die Gleichgewichtsoberflächen), und bezeichnet den konstanten 
Wert an jeder dieser Flächen als Druck, „so ist die elektro- 
motorische Kraft des Integralstromes, welcher in dem Leiter, wenn 
er sich parallel mit sich selbst von Wq bis Wi bewegt hat, induziert 
ist, gleich der Differenz des Druckes an den beiden durch Wq und 
Wi gehenden Gleichgewichtsoberflächen. — Der Integralstrom ist 
also unter den angegebenen Bedingungen unabhängig von der 
Länge und Lage des Weges, auf welchem er induziert wird, und 
hängt allein von dem Orte der Endpunkte desselben ab. — Dieser 
Satz wird in der Folge noch erweitert". 

War bisher die Vorstellung festgehalten, daß der Induzent 
ruht, der induzierte Leiter bewegt wird, so wird weiter (§ 4) der 
umgekehrte Fall betrachtet. Er erledigt sich leicht dadurch, daß 
die Induktion nur von der relativen Bewegung der Elemente 
abhängig sein kann; und so erhält man für den in diesem Falle 
induzierten Differentialstrom einen ganz ähnlichen Ausdruck wie 2). 
Drückt man in 2) die Größe C mittels des Ampere sehen Gesetzes 



*) In dem schon mehrfach erwähnten Briefwechsel beanstandet 
Jacobi den Ausdruck „Strom fi" und schlägt vor, für e ein Wort zu 
finden; denn der Strom e scheine doch weniger eine Quantität als ein 
Begriff zu sein. 

Darauf antwortet Neumann in einem von Königsberger mit- 
geteilten Briefe, dessen Original mir nicht vorgelegen hat [Königs- 
berger, 0. Or, J. Jacobi, S. 361]: „Gewiß ist e ein Begriff! und wenn 
meine Abhandlung einiges Verdienst hat, so ist es dies, den Begriff 
dieser Größe als das eigentliche physikalische Problem aller Induktions- 
erscheinungen hingestellt zu haben. Aber er ist in tiefe Mysterien 
noch verhüllt, er bezieht sich auf den geheimnisvollen Zusammen- 
hang, in welchem alle Köi*per, wie sie auch außer einander liegen, 
untereinander stehen; wird ihre Spannung gestört, so entsteht, wenn 
die sonstigen Bedingungen erfüllt sind, ein elektrischer Strom. Dieses 
Mysterium fühlen zu lassen, gab ich in § 2 die verschiedenen De- 
finitionen der induzierten elektrischen Kraft durch lebendige Kraft, 
Druck usw. Ein Wort für € weiß ich nicht." 



— 112 — 

aus und ebenso die analoge Größe für den Fall der Bewegung 
des Induzenten, so ergibt die Yergleichung der Resultate den 
wichtigen Satz: 

„Wenn zwei geschlossene Leiter gegeben sind, so wird die- 
selbe elektromotorische Kraft induziert, welcher von beiden Leitern 
auch sich bewegt, und in welchem von beiden auch der indu- 
zierende Strom fließt, nur muß die Bewegung des einen Leiters 
die der Bewegung des anderen Leiters entgegengesetzte sein. Die 
in dem einen oder dem anderen Falle induzierten Ströme ver- 
halten sich umgekehrt wie ihre Leitungs widerstände." 

„Dieser Satz kann auch auf ungeschlossene Leiter ausgedehnt 
werden, wenn nur die Anordnung getroffen ist, daß derselbe 
Leiter, mag er ruhen oder bewegt werden, der Induktion dieselbe 
Länge darbietet." 

Die im vorigen angestellten Betrachtungen gestatten (§ 5) 
eine Anwendung auf die durch einen Magnetpol hervorgebrachte 
Induktion, da man diesen nach der Am per eschen Theorie als 
das eine Ende eines Solenoids ansehen kann, dessen anderes Ende 
im Unendlichen liegt. Die Bewegung des Leiters •in Beziehung 
auf das Solenoid läßt sich nun in eine progressive und eine 
drehende zerlegen; für jede beider Bewegungen wird der indu- 
zierte Differentialstrom berechnet, und es werden daraus folgende 
Sätze abgeleitet: 

I. „Wenn der Leiter, welcher unter dem Einfluß eines Sole- 
noidpoles bewegt wird, eine geschlossene Kurve bildet, so ver- 
schwindet der von seiner Drehung herrührende Anteil des indu- 
zierten Stromes, und es wird dann derselbe Strom induziert, als 
hätte der Leiter nur eine fortschreitende Bewegung, in welcher er 
parallel mit sich selbst bleibt, und zwar diejenige, welche der 
Pol haben würde, wenn er sich zugleich mit dem Leiter und mit 
ihm fest verbunden bewegte." 

II. „In einem geschlossenen Leiter, der sich um eine Achse 
dreht, in welcher der Pol eines Solenoids liegt, wird durch diesen 
Pol kein Strom induziert. Dasselbe gilt, wenn in der Drehungs- 
achse mehrere Pole liegen.** Daraus folgt: 

III. „In einem geschlossenen Leiter, der sich um die Achse 
eines begrenzten Solenoids dreht, wird durch das Solenoid kein 
Strom induziert.*^ 



— 113 — 

IV. „In einem ungeschlossenen Leiter, der sich unter dem 
Einfloß eines Solenoidpoles bewegt, rührt ein Teil des induzierten 
Stromes von der drehenden Bewegung des Leiters her; dieser Teil 
ist aber von der Gestalt des Leiters unabhängig, und allein durch 
die Bewegung seiner Endpunkte bestimmt.'' 

Analoge Resultate ergeben sich (§ 6), wenn der Leiter ruht, 
das Solenoid aber sich bewegt. Die Induktion ist dann allein 
von der Bewegung der Pole des Solenoids abhängig. Ist der 
Leiter geschlossen, so kommt nur die progressive Bewegung des 
Poles in Betracht, während durch seine Drehung kein Strom indu- 
ziert wird. In einem nicht geschlossenen Leiter dagegen, induziert 
der Pol, ohne seinen Ort zu verändern, allein durch seine Drehung 
um sich selbst einen Strom. In dem letzten Satze liegt der Auf- 
schluß über alle Induktionserscheinungen, welche durch die 
Drehung eines Magneten um seine Achse hervorgebracht werden, 
über diejenigen z. B., denen Weber den Namen unipolare In- 
duktion gegeben hat. 

Die Resultate werden nun (§ 7) angewandt zur Bestimmung 
der Induktionsströme, welche durch Magnete erregt werden, in- 
dem nach der Vorstellung der Am per eschen Theorie ein Magnet 
als ein System von unendlich vielen, unendlich kleinen Sole- 
noiden angesehen wird: „Dieses System von Solenoiden kann 
durch ein System von Polen ersetzt werden, die allein auf der 
Oberfläche des Magneten verteilt sind, das ist: die durch den 
Magneten in dem bewegten Leiter erregte Induktion kann als 
durch seine mit freiem Magnetismus belegte Oberfläche hervor- 
gebracht angesehen werden. Diese magnetische Oberfläche ist 
dieselbe, welche nach dem Gauss sehen Satz auf einen äußeren 
Pol gleiche Wirkung wie der im Innern des Magneten verteilte 
Magnetismus ausübt.^ 

„Man kann statt der Bewegung des Leiters die entgegen- 
gesetzte der magnetischen Oberfläche substituieren und umgekehrt. 
Wenn aber die magnetische Oberfläche bewegt gedacht wird oder 
wirklich sich bewegt, so hängt der induzierte Strom nicht allein 
von der Ortsveränderung ab, welche ihre Elemente erfahren, 
sondern auch von ihren dabei stattfindenden Drehungen. Der 
Teil des Induktionsstromes, welcher von der Drehung der Elemente 
der magnetischen Oberfläche herrührt, ist von der Gestalt des 
induzierten Leiters unabhängig; er hängt allein von der Lage der 

Wangerin, Franz Neumann. g 



— 114 — 

Endpunkte ab und yerschwindet, wenn der Leiter eine geschlossene 
Kurve bildet." 

Weiter werden (§ 8) die Ausdrücke für die Induktionsströme 
ermittelt, die durch ein plötzliches Eintreten oder Verschwinden 
des Magnetismus oder überhaupt durch eine Veränderung des 
mngnetischen Zustandes eines Magneten erregt werden, indem der 
Akt der Magnetisierung und Entmagnetisierung als eine Bewegung 
der beiden magnetischen Flüssigkeiten angesehen wird, infolge 
deren die vereinigten sich trennen oder die getrennten sich ver- 
einigen. Die so erhaltenen Resultate lassen sich aber (§ 9) noch 
auf eine andere Weise aus einem neuen allgemeinen Prinzip 
ableiten. Neumann gelangt zu diesem Prinzip, indem er von 
der Betrachtung des Stromes ausgeht, der in einem geschlossenen 
Leiter durch eine Ortsveränderung, sei es des Magneten oder des 
Leiters, induziert wird. 

„Es ist leicht nachzuweisen, daß dieser Strom allein von der 
durch die Ortsveränderung hervorgebrachten Veränderung des 
Wertes des Potentials ^) abhängt, durch welches die Wirkung eines 
von der Einheit des Stromes durchströmten Leiters auf einen 
Magneten dargestellt wird. Ich verallgemeinere dies Resultat und 
setze als Prinzip: daß die Veränderung des Potentials, 
durch welches die Wirkung eines von der Einheit des 
Stromes durchströmten Leiters auf einen Magneten 
dargestellt wird, die Ursache und das Maß des indu- 
zierten Stromes ist und es hierbei gleichgilt, wodurch 
diese Veränderung des Wertes des Potentials hervor- 
gebracht wird, ob durch eine veränderte relative Lage 
des Magneten und des Leiters oder durch einen an- 
deren Umstand, wie z. B. durch eine Schwächung des 
Magneten." 

Dies Prinzip läßt sich nun (§ 10) auch auf diejenigen Ströme 
ausdehnen, welche in einem ruhenden Leiter von einem ruhenden 



^) In einem Briefe an Jacob i (s. Königsberger, Jacobi, S. 862) 
sagt Neumann ausdrücklich, daß er den Ausdruck Potential in etwas 
allgemeinerem Sinne genommen habe, und in der Abhandlung selbst 
sagt er S. 51 in einer Anmerkung: „Ich drücke mich der Kürze halber 
auf diese Weise aus, statt zu sagen, daß die rechtwinkligen Kom- 
ponenten der Wirkung die partiellen DifEerentialquotienten des Po- 
tentials sind." 



— 115 — 

galvanischen Strom induziert werden, der in seiner Intensität eine 
Änderung erleidet. Zunächst ergibt sich aus den Betrachtungen 
des § 4 unter Benutzung des Satzes, daß die Wirkung zweier ge- 
schlossenen Ströme aufeinander von einem Potential abhängt, für 
die durch Bewegung erregte Induktion der Satz: 

^Die in einem geschlossenen Leiter durch einen 
geschlossenen galyanischen Strom induzierte elektro- 
motorische Kraft, sei es daß der Leiter oder der Strom 
eine Ortsveränderung erfährt, ist gleich der Differenz 
der Werte, welche das Potential des Leiters, bezogen 
auf den ganzen galyanischen Strom, am Anfang und 
Ende der Bewegung besitzt." 

Der Ausdruck des induzierten Stromes ist 

wo j die Stromstärke des induzierenden Stromes ist. Die Bedeu- 
tung der übrigen Zeichen ist folgende: Man denke sich durch 
die Kurve des Leiters eine beliebige durch sie begrenzte Ober- 
fläche gelegt und eine zweite (o durch die Kurve des Induzenten 
und durch diese begrenzt. Do und D(0 sind Elemente dieser 
zwei Oberflächen und r' und r" ihre Entfernungen vor und nach 
der Bewegung. Das nach n und v genommene zweite Differential 
wird so verstanden, daß man zuerst den einen' Endpunkt von r 
in der Normale von Do um dn verrückt, und das hierdurch er- 
haltene Differential zum zweiten Male differentiiert , indem man 
den anderen Endpunkt von r in der Normale von D a um d v 
fortrücken läßt. Die Integrationen g und S beziehen sich auf 
die Oberflächen o und (o. 

Aus der Unabhängigkeit der induzierten elektromotorischen 
Kraft von der Bewegung an sich wird gefolgert, daß jede Ursache, 
welche eine Veränderung im Werte des in- Beziehung auf einen 
geschlossenen Leiter stattfindenden Potentials eines geschlossenen 
Stromes hervorbringt, einen Strom induziert, dessen elektro- 
motorische Kraft durch die Veränderung, welche das Potential 
erlitten hat, ausgedrückt ist. Ein ruhender elektrischer Strom 
induziert demnach , wenn seine Intensität von ;' bis /' wächst, in 
einem ruhenden geschlossenen Leiter einen Strom, dessen Aus- 
druck ist: 

8* 



— 116 



rf.i 



-l^^'iJ"-J')&^J^,I>oI><-')- 

Ferner ist der durch das plötzliche Auftreten eines galvani- 
schen Stromes in einem ruhenden Leiter induzierte Strom der- 
selbe, als hätte sich der Leiter aus großer Entfernung her dem 
Strom bis an die Stelle, wo er sich befindet, genähert. 

War hierbei vorausgesetzt, daß sowohl der Leiter, als der 
Induzent geschlossen sind, so wird weiter (§ 11) die Wirkung 
eines geschlossenen Stromes ö auf einen ungeschlossenen be- 
wegten Leiter s untersucht. 

„Die Summe der während der Bewegung von s induzierten 
elektromotorischen Kräfte ist gleich dem Potential des Stromes ö 
in bezug auf die geschlossene Umgrenzung der Oberfläche, weiche 
der Leiter beschrieben hat, diese umgrenzenden Euryen, nämlich 
die beiden des Leiters selbst in seiner Anfangs- und Endposition 
und die während der Bewegung yon seinen beiden Endpunkten 
beschriebenen, durchströmt gedacht von dem Strome €.^ 

„Dies Theorem gibt, wenn der induzierte Leiter geschlossen 
ist, den Satz des vorigen Paragraphen über die Induktion eines 



^) Zu dieser Formel macht Jacob! in einem Briefe an Keu- 
mann vom 28. Januar 1846 die Bemerkung: »Der geometrische Satz 
hat mich sehr iDteressiert , der hier gleichsam galvaniBchen Betraeh- 
tuDgen entströmt, daß 

Do Dm 



S2 



dndy 

von der Besonderheit der Oberflächen o und w, welche durch die beiden 
Kurven a und a gelegt werden, unabhängig ist und bloß durch diese 
Kurven bestimmt wird. Wenn ich nicht irre, geben Sie für diese Be- 
stimmung in § 11 die Formel 

eo8 {dSf da) 



-SS 



ds dc) 



aber ich kann keine direkte Transformation der einen Formel in die 
andere sogleich finden. '^ 

Hierzu sei bemerkt, daß die Transformation sich durch zweimalige 
Anwendung des Stok esschen Satzes ergibt; daß femer die Gleichheit 
der beiden vorstehenden Ausdrücke nichts anderes ist als ein Spezial- 
fall des Beltraini sehen Satzes, der seinerseits aus dem Satze von 
Stokes folgt. 



— 117 — 

geschlossenen Leiters durch einen geschlossenen Strom. ^ Es folgt 
ferner aus demselben Theorem der Satz: 

„Wenn ein ungeschlossener Leiter eine geschlossene Bahn 
durchlaufen hat, d. h. wenn er am Ende der Bewegung in die Lage, 
aus welcher er ausging, zurückgekehrt ist, so ist die auf dieser 
Bahn durch einen geschlossenen Strom induzierte elektromotorische 
Kraft die Differenz der Werte des Potentials des Stromes in Be- 
ziehung auf die zwei Kurven, welche die Endpunkte des Leiters 
durchlaufen haben, diese Kurven von dem Strome s durchströmt 
gedacht. " 

„Wenn ein geschlossener Leiter in einer geschlossenen Bahn 
unter dem Einfluß eines geschlossenen Stromes bewegt worden 
ist, so ist die Summe der induzierten elektromotorischen Kräfte 
immer gleich Null." 

„Diese Sätze gelten auch, wenn die Induktion nicht durch 
einen geschlossenen Strom, sondern durch einen Magneten hervor- 
gebracht wird." 

„Auf den Fall, auf welchen die vorstehenden Sätze sich be- 
ziehen, den Fall nämlich der Bewegung eines Leiters unter dem 
Einfluß eines induzierenden geschlossenen Stromes, lassen sich 
derjenige, wo der geschlossene Strom statt des Leiters bewegt 
wird, sowie die Fälle zurückführen, wo der induzierte Leiter ge- 
schlossen, der induzierende Strom aber nicht geschlossen ist, es 
mag der Leiter oder der Strom bewegt werden." 

Weiter wird (§ 12) gezeigt, daß das Potential eines Solenoids, 
bzw. eines Solenoidpoles und damit eines Magnetpoles in bezug auf 
einen geschlossenen Strom eine sehr einfache geometrische Deu- 
tung zuläßt durch Einführung des Begriffes der Kegelöffnung ^). 

Durch eine geschlossene Kurve s lege man einen Kegel, dessen 
Spitze im Punkte P liegt, und beschreibe um P eine Kugel mit 
dem Eadius 1, so wird das Stück der Kugel, das durch den Kegel 
herausgeschnitten wird, die Kegelöffnung von s in bezug auf den 
Punkt P genannt. Das Potential eines Magnetpoles, dessen freie 



*) An Stelle des Wortes Kegelöffnung hatte Neumann ursprüng- 
lich die Bezeichnung „Kegelecke" gewählt. Zum Aufgeben dieser Be- 
zeiclinung wurde er von Jaoobi veranlaßt. Wie aus den Briefen des 
letzteren hervorgeht, ist das Wort „KegelöfEnung" von Dirichlet vor- 
geschlagen. Neumann hat dann diesen ihm durch Jacobi über- 
mittelten Vorschlag akzeptiert. 



— 118 — 

magnetische Flüssigkeit gleich 1 ist, in besag auf einen ge- 
schlossenen Strom 8 Yon der Intensität 1 ist nun gleich der Kegel- 
öffnung yon s in beiug auf den Pol. Für das Potential eines 
Magneten in bezug auf einen geschlossenen Strom folgt daraus 
der Ausdruck 



S 



wo K die Eegelöffnung Yon s in bezug auf D cd ist, x . D ci die in 
dem Oberflächenelement Dfo befindliche freie magnetische Flüssig- 
keit; die Summation ist über die Oberfläche des Magneten auszu- 
dehnen. Da der in s durch die Bewegung des Magneten und 
durch die Änderung des magnetischen Zustandes desselben in- 
duzierte Strom von der Differenz solcher Potentiale abhängt, wie 
sie oben betrachtet sind, so hat man nunmehr auch für diesen 
induzierten Strom einen einfachen Ausdruck. — Einer längeren 
Erörterung bedarf die Betrachtung des Vorzeichens der Eegel- 
öffnung iC, die ursprünglich aus einem Kur yenintegral abgeleitet 
war, sowie die Entscheidung der Frage, wann für K das größere 
oder kleinere Eugelflächenstück zu nehmen ist. Aus dieser Er- 
örterung wird der folgende Satz abgeleitet: 

„Wenn sich ein Magnetpol in einer geschlossenen Bahn be- 
wegt hat, so ist die Summe der dadurch in einem geschlossenen 
Leiter s induzierten elektromotorischen Eräfte gleich Null, es sei 
denn, daß die Bahn des Poles die Ebene von s innerhalb s ge- 
schnitten hat. So oft die Bahn diese Ebene innerhalb s von der 
positiven Seite her geschnitten hat, so oft ist eine elektromotorische 
Eraft vom Werte — 4^£x, und bei jedem Durchschnitt von der 
negativen Seite her eine elektromotorische Eraft -\- 4n sx. in- 
duziert worden." 

Schließlich werden die letzten Formeln auf einige einfache 
Beispiele angewandt. Dieselben betreffen 1. den Strom, der durch 
den Erdmagnetismus in einem geschlossenen Leiter induziert 
wird, falls dieser um seine Achse rotiert, 2. die Induktion, die 
herrührt von einem prismatischen oder hufeisenförmig gebogenen 
Magneten, falls sein freier Magnetismus als gleichförmig über die 
beiden Grundflächen verteilt angesehen werden kann, während 
die Seitenflächen davon frei sind. 

2. Über ein allgemeines Prinzip der mathematischen 
Theorie inducierter elektrischer Ströme. Abhandlungen 



— 119 — 

der Köolgl. Akademie der Wissen Schäften zu Berlin 1848, S. 1 
bis 71 ^). Vorgelesen daselbst am 9. August 1847. 

Aucb die zweite Abhandlung betrifft nur die lineare In- 
duktion; sie erweitert die in der ersten abgeleiteten Resultate nach 
folgender Richtung hin. Waren in der ersten Abhandlung diß 
FäUe behandelt, in welchen die gegenseitige Lage der Elemente 
der bewegten Stücke (mögen diese dem induzierten Leiter oder 
dem induzierenden Strom angehören) unverändert bleibt, diese 
also nur ihre Lage, nicht ihre Form ändern, werden hier be- 
liebige Änderungen der Lage und Gestalt einzelner Teile des 
Leiters und des Induzenten in Betracht gezogen. Diese Ände- 
rungen sind keiner anderen Beschränkung unterworfen als der, 
welche für das Zustandekommen von induzierten Strömen über- 
haupt notwendig ist, nämlich daß die Elemente eines jeden der 
beiden Systeme während ihrer Bewegung untereinander in leiten- 
der Verbindung bleiben. Um die Sache anschaulicher zu machen, 
sei z. B. ah cd die Bahn des induzierten Stromes zur Zeit t Die 
Induktion ist dadurch hervorgebracht, ^ie, i. 

daß das Leiterstück hcd aus seiner 
anfänglichen Lage hiCidi in die Lage 
hiC^d^ fortgeführt ist, und zwar so, 
daß dieselben Elemente h und d mit 
den Unterlagen bi 1)2 und di di in lei- 
tender Verbindung geblieben sind, wo- 
bei die Form des bewegten Stückes 
eine beliebige Veränderung erlitten 
haben kann. Die Stellen 2), d werden 
von Neumann als Gleitstellen bezeichnet. Nacheinander werden 
folgende Fälle behandelt: 

1) Die Induktion erfolgt durch einen ruhenden Strom in 
einem geschlossenen Leiter, dessen Elemente eine Orts Veränderung 
erfahren. (§ 1.) 

2) In einem ruhenden Leiter werden durch die Bewegung 
von Stromelementen des Induzenten Ströme induziert. (§ 2.) 




^) Die Abhandlung ist von neuem abgedruckt in Ostwalds 
Klassikern der exakten Wissenschaften Nr. 86, herausgegeben von 
C. Neumann. Leipzig 1892. — Ein kurzer Auszug aus der Abhand- 
lung ist in den Berichten der. Berliner Akademie 1847, S. 282 — 283, 
abgedruckt. 



— 120 — 

3) Die Induktion wird durch eine gleichzeitige Yerschiehung 
der Leiter und der Stromelemente erregt. (§ 3.) 

4) Neben der gleichzeitigen Bewegung der Strom- und Leiter- 
elemente wird die Induktion durch eine Veränderung der Strom- 
stärke des Induzenten hervorgebracht. 

Dabei wird für die elektromotorische Kraft, die in einem 

Element D s eines geschlossenen Leiterumgangs erregt wird, wenn 

in dem Strom element D (^ die Stromstärke j während der Zeit d t 

dj 
den Zuwachs -^dt erhält, der Ausdruck zugrunde gelegt : 

a t 

_iedt^^^€os(Ds,D0)^ . . . . 1^) 
^ r dt 

Dieses Glied bildet also eine Ergänzung zu dem im Anfang der 
ersten Abhandlung aufgestellten Elementargesetz der Induktion 
(s. Gl. 1*^) S. 109), das nur für konstante Stromstärken gilt. Das 
vollständige Elementargeset z ist die Summe der Ausdrücke 1^) 
und 1 ^), nachdem 1 *) noch mit d t multipliziert ist. 

Die Resultate der Untersuchungen aller dieser einzelnen 
Fälle lassen sich zu einem sehr einfachen und allgemeinen Theorem 
zusammenfassen, dem Neumann sehen Prinzip der mathemati- 
schen Theorie der induzierten elektrischen Ströme, das natürlich 
auch alle Eesultate der ersten Abhandlung enthält. Es lautet: 

„Wird ein geschlossenes, unverzweigtes, leitendes 
Bogensystem Äi durch eine beliebigeVerrückung seiner 
Elemente, aber ohne Aufhebung der leitenden Verbin- 
dung derselben, in ein anderes A2 von neuer Form und 
Lage übergeführt, und geschieht diese Veränderung von 
Äi in Ä2 unter dem Einfluß eines elektrischen Strom - 
Systems B^ welches gleichzeitig durch eine beliebige 
VerrückuDg seiner Elemente eine Veränderung in Lage, 
Form und Intensität von B^ in B^ erfährt, so ist die 
Summe der elektromotorischen Kräfte, welche in dem 
leitenden Bogensystem durch diese Veränderungen in- 
duziert worden sind, gleich dem mit der Induktions- 
konstante s multiplizierten Unterschied der Potential- 
werte des Stromes B2 in bezug auf Ä^ und des Stromes 
Bi in bezug auf Äi, wenn A2 und Äi von der Stromeinheit 
durchströmt gedacht werden." 



— 121 — 

Mit Benutzung des Wertes für das Potential zweier ge- 
schlossenen Ströme ergibt sich für die induzierte elektro- 
motorische Kraft der Ausdruck: 

Darin bezeichnet D6 ein Element des induzierenden Stromes B, 
j die Stromstärke in D6, Ds ein Element des induzierten Lei- 
tungsumganges Ä, (Dö, Ds) den Neigungswinkel von D6 gegen 
Ds; r ihre Entfernung. Die Klammer [ ]^ stellt die Differenz 
der Werte dar, welche die yon ihr eingeschlossene Größe in den 
Endpositionen der Strom- und Leiterelemente und in den Anfangs- 
positionen besitzt Endlich dräckt g eine Summation über alle 
Elemente Ds, X eine solche über alle Elemente D6 aus. 

Für den induzierten Integralstrom folgt daraus, falls e' der 
reziproke Leitungs widerstand des induzierten Leiters ist: 

jcos{Ds,Dö)D8D6 



j=-\eiäu'±s:£ 



während der induzierte Differentialstrom das Element des Inte- 
grals nach t ist. Ist s' konstant, so läßt sich die Integration nach 
t ausführen; für einen unverzweigten Strom ferner tritt noch 
dadurch eine Vereinfachung ein, daß j konstant ist. 

In einem Schlußparagraphen untersucht Neumann noch, 
wie weit die von ihm entwickelten Eesultate mit den aus Webers 
Orundgesetz der elektrischen Wirkung abgeleiteten Induktions- 
gesetzen übereinstimmen ^). Er findet dabei, daß zwischen beiden 
Resultaten volle ÜbereinstimmuDg besteht, 1. wenn die Induktion 
allein durch eine Intensitätsänderung des Stromes 6 hervor- 
gebracht wird, 2. wenn die Induktion allein durch Ortsveränderung 
des Leiterelementes Ds erregt wird, während der Induzent ruht 
und von einem konstanten Strome durchflössen wird, 3. wenn bei 
Bewegung des Induzenten die Zahl der Stromelemente keine Än- 
derung erleidet, d. h. wenn keine Gleit stellen vorhanden sind. 
Sind aber solche vorhanden, so findet keine Übereinstimmung 
statt. Der Ausdruck für die induzierte elektromotorische Kraft 



*) Webers Grundgesetz ist im ersten, 1846 erschienenen Teil 
seiner elektrodynamischen Maßbestimmungen enthalten, also zwischen 
der ersten und zweiten Neu mann sehen Abhandlung veröffentlicht. 



— 122 — 

zerfällt nämlich im Falle der Bewegung des Induzenten in zwei 
Summanden, und der erste derselben ist bei Neumann und 
Weber identisch, der zweite hat bei beiden dieselbe Form, aber 
entgegengesetzte Vorzeichen. Dieser zweite Summand yerschwindet, 
wenn keine Gleitstellen vorhanden sind. Richtet man es um- 
gekehrt so ein, daß der erste Summand in dem Ausdruck für die 
elektromotorische Kraft verschwindet (es tritt das ein, wenn die 
von den Stromelementen durchlaufenen Wege geschlossene Bahnen 
sind), so ist nach beiden Theorien die Summe der elektromotori- 
schen Kräfte, welche während des Umlaufes der Elemente des In- 
duzenten erregt werden, dieselbe, die Richtung des induzierten 
Stromes aber die entgegengesetzte. Um zu entscheiden, welches 
der beiden Resultate mit der Erfahrung übereinstimmt, hat Neu- 
mann ein Experiment angestellt, bei dem die Gleitstelle des In- 
duzenten einen Kreis durchläuft, während der induzierte Leiter 
einen konzentrischen Kreis bildet. Die Beobachtung bestätigt 
die Richtigkeit der Neu mann sehen Formel in jeder Beziehung; 
nicht nur die Richtung des Stromes ist die durch diese Formel 
geforderte, sondern auch die Stärke des induzierten Stromes wird 
durch die Formel richtig ausgedrückt. 

Dies Ergebnis, daß der aus dem Web er sehen Gesetz her- 
geleitete Ausdruck für den induzierten Strom der Erfahrung 
widerspricht, führt Neumann aber keineswegs dazu, das 
Web ersehe Grundgesetz zu verwerfen, vielmehr glaubt er nur 
die Art und Weise, wie es für den vorliegenden Fall in Anwendung 
gebracht ist, in Zweifel ziehen zu müssen. Da der Widersprach 
nur auftritt, wenn der Induzent Gleitstellen besitzt, müssen die 
Bewegungen der Elektrizität an einer solchen Gleitstelle nicht 
richtig aufgefaßt sein. Bei näherer Überlegung zeigt sich, daß 
eine Modifikation der Rechnung in zwei Punkten nötig ist. Erstens 
treten bei Gleitstellen neue Elemente in die Strombahn ein oder 
heraus, in denen sich in einer sehr kurzen Zeit die Stromstärke 
von auf j oder umgekehrt verändert, und die durch diese 
Intensitätsänderung einen induzierenden Einfluß ausüben, die in 
Neumanns Formeln schon enthalten ist, aber bei Anwendung 
des Web ersehen Gesetzes noch berücksichtigt werden muß. 
Während des Zeitelementes dt^ in welchem ein Element der Gleit- 
stelle in die Bahn des induzierenden Stromes eintritt, erlangt 
zweitens seine Elektrizität den endlichen Zuwachs y an 6e- 



— 123 — 

scbwindigkeit. Dieser Zuwachs muß angesehen werden, als wäre 
er der Elektrizität des Elementes stetig erteilt, so daß derselbe 

nach Verlauf von —dt den Wert — y hat. Die Elektrizität dieses 

n n 

Elementes kann also angesehen werden, als durchliefe sie während 
dt den Weg ^ydt] daher ist in der Web ersehen Formel 

j = nv 

an Stelle von y zu setzen \y. 

Berücksichtigt man die beiden eben erörterten Punkte, so 
wird eine vollständige Übereinstimmung zwischen den Induktions- 
formeln, die sich aus dem Web er sehen Grundgesetz ergeben, und 
dem N e u m a n n sehen allgemeinen Induktionstheorem herbei- 
geführt. 

In einem Anhang wird der Ausdruck für das Potential 
zweier geschlossenen Ströme aufeinander (ein Ausdruck, der 
schon gelegentlich in der ersten Abhandlung § 11 auftritt) näher 
erörtert. 

„Bezeichnet man durch 6 und s die geschlossenen Bahnen 
zweier elektrischer Ströme, durch Dö, Ds ihre Elemente und 
durch (Dd, Ds) den Winkel, unter welchem diese Elemente 
gegeneinander geneigt sind, so hat, wenn j und i die Intensitäten 
der Ströme 6 und s sind, das Potential 77 des einen Stromes in 
bezug auf den anderen diesen Ausdruck: 

worin 

r» = (a;-|)ä + (y — y)» + (0- §)» 

und x^ y, z und |, 17, ^ die Koordinaten von Ds und D6 sind." 
Es ist dies das wichtige Neu mann sehe Potential gesetz. 
Seine Bedeutung ist folgende: Die Wirkung des Stromes 6 auf 
den Strom s kann ersetzt werden durch eine Kraft, die in einem 
Punkt A angreift, und ein Kräftepaar. 

Aus dem Potential erhält man nicht allein die Komponenten 
jener Kraft als die negativen Ableitungen von TL nach den Koordi- 
naten von A^ sondern auch die Komponenten des Kräftepaares. 

a TT 

Letztere sind für irgend eine durch A gehende Achse — ^ — , 

wenn 89 den unendlich kleinen Drehungswinkel um eben jene 
Achse bezeichnet. 



— 124 — 

Dieser Wert des Potentials kann direkt aus folgendem Gesetz 
abgeleitet werden, das die Wirkung eines Elementes eines ge- 
schlossenen Stromes auf ein Element eines anderen geschlossenen 
Stromes bestimmt: „Die Anziehung, welche zwei Elemente ver- 
schiedener geschlossener Ströme aufeinander ausüben, ist um- 
gekehrt proportional dem Quadrat ihrer Entfernung und direkt 
proportional dem Cosinus ihrer gegenseitigen Neigung." 

Dies Gesetz, welches sich aus den Ampere sehen Formeln er- 
gibt, vor Neu mann aber in dieser Form nicht ausgesprochen ist, 
ist nicht so zu verstehen, als stelle es die tatsächlich stattfindende 
Wirkung zweier Stromelemente aufeinander dar, vielmehr ist der 
Sachverhalt der, daß dieses vereinfachte Gesetz für geschlossene 
Ströme auf dasselbe Resultat führt wie das Ampere sehe Gesetz. 

Dieser Übersicht über den wesentlichen Inhalt der beiden 
wichtigen Neu mann sehen Abhandlungen über induzierte Ströme 
ist noch folgendes hinzuzufügen. Nach einer Untersuchung von 
C. Neumann (vgl. die C. Neumann sehe Ausgabe der zweiten 
F. Neumann sehen Abhandlung in Nr. 36 der Ost wald sehen 
Klassiker) führt das F. Neu mann sehe Elementargesetz der In- 
duktion [das durch die Summe der Ausdrücke 1*) S. 109, und 1^) 
S. 120, dargestellt wird] zu dem Neumann sehen Prinzip (s. oben 
S. 120) nur, falls der Induzent von Gleitstellen frei ist. Hingegen 
führt jenes Elementargesetz zu einer von diesem Prinzip wesent- 
lich verschiedenen Formel, sobald Gleitstellen in dem Induzenten 
vorhanden sind. Da man das Prinzip als experimentell bewiesen 
betrachten kann, so würde hieraus folgen, daß jenes Elementar- 
gesetz noch einer Korrektur bedarf. Man vergleiche hierüber die 
weiteren Untersuchungen von C. Neumann, in seinem Werk: 
„Die elektrischen Kräfte", 2. Teil, Leipzig 1898. 

V. Mathematisolie Arbeiten. 

a) Geometrie. 

De tactionibus atque intersectionibus circulorum 
et in piano et in sphaera sitorum, sphaerarum atque 
conorum ex eodem vertice pergentium. Commentatio geo- 
metrica. Herolini MDCCCXXVi). 

Betreffs der Jahreszahl, die im Original MDCCCXV lautet, vgl. 
die AnmerkuDg S. 12. 



— 125 — 

Daß sich Neumann in der ersten Hälfte der zwanziger 
Jahre nicht nur mit Anwendungen der Geometrie auf die Kri- 
stallographie beschäftigt, sondern daneben auch rein geometrische 
Stadien getrieben hat, zeigt die Arbeit, die er ursprünglich als 
Promotionsschrift eingereicht hatte. Dieselbe ist im Jahre 1826 
in der Oken sehen Zeitschrift Isis (Bd. XVIII, Heft 4 und 5f 
S. 349—367, 466—489) abgedruckt. In dieser Arbeit, die nur 
wenig bekannt geworden ist, werden zunächst in höchst eigen- 
artiger Weise die Begriffe der Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise, 
der Potenzlinie derselben, dann die Hauptsätze über Pol und 
Polare eines Kreises entwickelt, ohne daß jedoch diese Namen 
gebraucht werden. Den Ähnlichkeitspunkt nennt Neumann: 
„Punctum analogicum utrique circulo commune in eodem (aut 
opposito) utriusque latere situm.^ 

Auf die Potenzlinie zweier Kreise gelangt er folgendermaßen: 
Man suche einen Ähnlichkeitspunkt (gleichgültig welchen) beider 
Kreise, bestimme die Polaren desselben in bezug auf jeden der 
Kreise und nehme endlich die Mittellinie zwischen beiden Polaren. 
Das ist die Potenzlinie. Als ihre Haupteigenschaft wird heryor- 
gehoben, daß sie alle Kreise, welche die gegebenen berühren, unter 
gleichen Winkeln schneidet, nämlich unter demselben Winkel, 
unter dem die beiden Polaren die gegebenen Kreise schneiden. 
Dieser Eigenschaft wegen wird die Potenzlinie zweier Kreise C\ 
C" „trajectoria recta circulorura circulos G\ G" tangentium" ge- 
nannt, während die erwähnten beiden Polaren als „lineae ana- 
logicae trajectoriae rectae" bezeichnet werden. Diesen bei Kreisen 
auftretenden Begriffen werden jedesmal die analogen Begriffe für 
Kugeln an die Seite gestellt. Auf diese Begriffe, bzw. die über 
dieselben abgeleiteten Sätze gestützt, gibt Neumann eine Kon- 
struktion der Aufgabe des Apollonius, die im wesentlichen mit 
der Konstruktion von Gaultier, bzw. der mit dieser nahe ver- 
wandten von Gergonne (beide waren Neumann damals nicht 
bekannt) übereinstimmt; sodann eine Konstruktion der Kugeln, 
welche vier gegebene Kugeln berühren. 

Es folgt die Aufgabe, die Kreise zu konstruieren, welche 
drei der Größe und Lage nach gegebene Kreise C, C", C" unter 
drei gegebenen Winkeln «j, «g, «g schneiden. Die Konstruktion 
beruht auf folgender Überlegung. Sucht man alle Kreise, welche 
zwei gegebene Kreise unter gegebenen Winkeln gleichartig (eadem 



— 126 — 

ratione) schneiden, so besteht die Enveloppe derselben aus zwei 
Kreisen; diese beiden einhüllenden Kreise werden Ton aUen jenen 
schneidenden Kreisen berührt. Zur Lösung der gestellten Auf- 
gabe hat man nur für je zwei der gegebenen drei Kreise die in 
Kede stehenden Enyeloppen zu suchen, die also zusammen ans 
sechs Kreisen bestehen, und dann die Kreise zu konstruieren, 
welche drei der letztgenannten sechs Kreise berühren (die drei 
anderen werden von selbst berührt). Für die hier benutzten 
einhüllenden Kreise wird eine elegante Konstruktion angegeben, 
die darauf hinauskommt, zwei Kreise zu suchen, die einen ge- 
gebenen Punkt zum Ähnlichkeitspunkt und eine gegebene Linie 
zur Potenzlinie haben. — Mit der Erörterung der analogen Auf- 
gabe für den Raum, der Aufgabe nämlich, die Kugeln zu be- 
stimmen, welche vier gegebene Kugeln unter gegebenen (von- 
einander verschiedenen) Winkeln schneiden, schließt der erste 
Abschnitt der Arbeit. 

Der zweite Abschnitt behandelt die Bestimmung der geraden 
Kegel, welche drei gegebene gerade Kegel mit demselben Scheitel 
berühren oder unter gegebenen Winkeln schneiden. Im dritten 
Abschnitt werden die Aufgaben, welche im ersten in bezug auf 
Kreise der Ebene besprochen waren, auf die Kugelfläche über- 
tragen. Der vierte Abschnitt endlich bespricht spezielle Fälle der 
allgemeinen Aufgaben, indem Punkte oder gerade Linien an Stelle 
der ebenen Kreise, Punkte oder größte Kugelkreise an Stelle der 
kleinen Kugelkreise treten. 

Zur Würdigung der besprochenen Arbeit muß man erwägen, 
daß dieselbe im Jahre 1825 vollendet ist, also vor dem Erscheinen 
der ersten Arbeiten von Steiner^), daß femer Neumann bei der 
Abfassung seiner Arbeiten die der zeitgenössischen französischen 
Geometer, insbesondere die von Poncelet und Gergonne, nicht 
gekannt hat. Er sagt in der Einleitung, nachdem er die Autoren 
des 18. Jahrhunderts angeführt hat, ausdrücklich, daß ihm weitere 
Veröffentlichungen über sein Thema nicht bekannt geworden seien. 
Wollte man aber auch von Neumanns Leistungen das abziehen, 
was er nur wieder entdeckt hat, so bliebe doch des Neuen und 



^) Steiners Abhandlung „Einige geometrische Betrachtungen", 
Grelle, Bd. I, behandelt in der Einleitung dieselben Begriffe, die Nen- 
mann an die Spitze seiner Arbeit gestellt hat. Datiert ist Steiners 
Abhandlung vom März 1826. 



— 127 — 

Eigenartigen genug äbrig, mn das oben (S. 11) erwähnte Urteil yon 
Weierstrass gerechtfertigt erscheinen zu lassen. Zu diesem 
Neaen gehört insbesondere das Schneiden unter gegebenen Winkeln, 
das vor Neumann von keinem der Bearbeiter der Aufgabe des 
Apollonius ins Auge gefaßt war. Ferner tritt bei Neu mann 
zum ersten Male der Parallelismus hervor, in dem die Geometrie 
der geraden Kegel mit gemeinsamer Spitze zu der der Kreise in 
einer Ebene steht ^). Endlich ist hervorzuheben, daß Neu mann 
in der Einleitung es als sein leitendes Prinzip ausspricht, daß man 
derartige geometrische Aufgaben, wie er sie behandelt, auch 
geometrisch lösen müsse, daß der Weg der analytischen Be- 
handlung, der von allen Autoren des 18. Jahrhunderts ein- 
geschlagen sei, ein Umweg und nicht sachgemäß sei. Neumann 
gibt weiter an, daß es sein Hauptbestreben gewesen sei, die ver- 
schiedenen Konstruktionen von einheitlichem Gesichtspunkte aus 
abzuleiten. Er erwähnt endlich, daß er seine Arbeit nur als den 
ersten Teil einer umfassenderen Abhandlung ansehe, in der 
analoge Aufgaben zu behandeln wären, bei denen Kegelschnitte 
an Stelle der Kreise, Flachen zweiter Ordnung an Stelle der 
Kugeln treten. In dem Betonen der Wichtigkeit rein geometrischer 
Betrachtungen, in der Behandlung einer größeren Gruppe von 
Aufgaben nach einheitlicher Methode hat Neumann in Deutsch- 
land keinen Vorgänger. Ich stehe nicht an, ihn auf Grund der 
besprochenen Arbeit als einen Vorläufer von Steiner zu be- 
zeichnen. Wäre Neumanns Arbeit bekannter geworden, so 
würde sein Name sicher unter den Namen der Männer genannt, 
denen wir die Pflege geometrischer Studien in Deutschland ver- 
danken. 

b) Kugelfiinktioneii. 

1. Gehören Neumanns wichtigste Leistungen dem Gebiete 
der Physik, insbesondere der mathematischen Behandlung physika- 
lischer Probleme an, so hat er doch auch einen Zweig der reinen 
Mathematik wesentlich gefördert, nämlich die Theorie der Kugel- 
funktionen. Seine erste darauf bezügliche Arbeit findet sich in 

^) BetrefEs der Würdigung der Neumann sehen Arbeit vgl. auch 
£. Kötter: Die Entwickelang der synthetischen Geometrie, Jahres- 
bericht der deutschen Mathematikervereinigung 5, 115 — 118. Leipzig 
1898—1901. 



— 128 — 

Schumachers „Astronomischen Nachrichten" 15 (1838) [wieder 
abgedruckt in den Mathem. Annal. 14 (1879)]. Dieselbe führt 
den Titel: „Über eine neue Eigenschaft der Laplaceschen 
Y^**) und ihre Anwendung zur analytischen Darstellung 
derjenigen Phänomene, welche Funktionen der geogra- 
phischen Länge und Breite sind.*^ Darin wird die Aufgabe 
behandelt, in einer endlichen, nach den Laplaceschen Y^"^ 
fortschreitenden Reihe die Koeffizienten so zu bestimmen, daß die 
Reihe für eine endliche Anzahl yon Werten der unabhängigen 
Veränderlichen (geographische Länge und Breite) gegebene Werte 
annimmt. Diese Aufgabe wird von Neu mann viel einfacher ge- 
löst, als es Ton Gauss in seiner Theorie des Erdmagnetismus für 
einen speziellen Fall geschehen ist. Während Gauss, der die 
Entwicklung bis zu den Eugelfunktionen vierter Ordnung inkl. 
führt, zur Bestimmung der erforderlichen 25 Eonstanten 25 Glei- 
chungen mit 25 Unbekannten auflöst, wird hier eine allgemeine 
Methode entwickelt, jene Eonstanten mit leichter Mühe bis zu 
jeder Ordnung der Eugelfunktionen zu berechnen; dabei wird 
allerdings vorausgesetzt, daß die Beobachtungsorte nach einem 
gewissen Gesetze über die Erdoberfläche verteilt sind. Unter 
dieser Voraussetzung existiert nämlich ein einfaches System von 
Faktoren, mit denen man nur nötig hat, die Gleichungen zu multi- 
plizieren und dann zu addieren, um ohne weiteres die gesuchten 
Konstanten zu finden. Das angedeutete Verfahren beruht auf 
folgenden, von Neumann aufgestellten Sätzen über endliche 
Summen von Eugelfunktionen. Man bestimme 2j9 H- 1 Größen 
f*ii f^s» •••» f*2p + i und 2p-^l andere Größen ^i, a^, ..., a2p-\-\ 
so, daß sie den 2 p -{- 2 Gleichungen genügen: 

l^fc = li lajcliic = 0, iLakjii? = 3» •• 

worin alle Summen von Ä; = 1 bis k = 2p -\- 1 zu nehmen sind: 
Dann ist 

falls m ^n, während für m = n 

2 



V ajc Pn ((Ik) Pn (^k) = 



2n+ 1 



- 129 — 

ist. Durch diese Hilfssätze, die für p = oo in die bekannten 
Integralsätze der Engelfunktionen übergehen, sowie durch zwei 
analoge, die zugeordneten Eugelfunktionen betreffende Sätze ge- 
lingt, in Verbindung mit bekannten trigonometrischen Summen- 
formeln, die angestrebte einfache Bestimmung der gesuchten Eon- 
stanten. — Will man nun die Eugelfunktionenreihe bis J^^ inkl. 
haben, so daß es sich um die Bestimmung yon (p -{- 1)^ Eon- 
stanten handelt, so bedarf es der Eenntnis der Werte der zu 
entwickelnden Funktion für die Durchschnittspunkte von 2 p 
äquidistanten Meridianen mit denjenigen Parallelkreisen, für welche 
f4, /i^, ..., (hp + i die Sinus der Breite darstellen. Von diesen 
Größen fi sind 2 p ganz willkürlich. Die Zahl der erforderlichen 
Beobachtungsdaten, 2p(2p -{■ 1), reduziert sich auf 2p{p -\- 1), 
falls fii, ..., ftp + i Wurzeln der Gleichung Pp^i(ji) = sind. 
2. Eine zweite Arbeit über Eugelfunktionen hat Neu mann 
im 37. Bande des Grelle sehen Journals (1848) Yeröff entlicht: 
„Entwickelung der in elliptischen Eoordinaten aus- 
gedrückten reziproken Entfernung zweier Punkte in 
Reihen, welche nach den Laplaceschen 1^"^ fortschrei- 
ten usw." Der durch diese Arbeit angebahnte Fortschritt be- 
trifft drei Punkte. Der wesentlichste Yon diesen ist die Dar- 
stellung der Eugelfunktion zweiter Art durch einen geschlossenen 
logarithmischen Ausdruck, d. h. die Aufstellung der Formel^) 

—1 

wo JPn die Eugelfunktion erster Art, i^n—i eine ganze Funktion 
Tom Grade n — 1 ist. Eine ähnliche Darstellung folgt für die 
sogenannte zugeordnete (oder nach Neumanns Bezeichnung 
„adjungierte") Eugelfunktion zweiter Art. Nebenbei wird eine 
Anzahl von Werten der genannten Funktionen für spezielle Werte 
des Arguments bestimmt. 

Der zweite Punkt betrifft die Potentialaufgaben für Rota- 
tionsellipsoide (bei den im Titel erwähnten elliptischen Eoordi- 
naten handelt es sich nicht um die allgemeinen elliptischen 
Eoordinaten, sondern um solche für Rotationsflächen). Die er- 



*) Neumanns Qn{x) ist das Doppelte der von Heine mit ^"(.r) 
'bezeichneten Funktion. 

Wangerin, Frans Nenmann. o 



— 130 — 

wähnte Aufgabe war you Lame für den Innenraam, yon Heine 
(Dissert. 1842, Grelle Journ. 26, 1843) für den Außenraum von 
Rotationsellipsoiden gelöst. Heine hatte zugleich erkannt, daß 
die auftretenden Reihen Eugelfunktionen sind. Neumann ist der 
erste, der die reziproke Entfernung zweier Punkte entwickelt, 
d. h. die in den allgemeinen Entwicklungen auftretenden Eonstanten 
für diesen speziellen, aber fundamentalen Fallbestimmt hat. 

Dazu kommt noch eins, und das bildet das dritte erhebliche 
Resultat. Geht man von der transformierten Laplac eschen 
Gleichung ^ V = aus, so erkennt man, solange es sich um ver- 
längerte Rotationsellipsoide handelt, leicht, daß an Stelle der bei 
der Kugel auftretenden positiven Potenzen des Abstandes vom 
Mittelpunkt hier Eugelfunktionen erster Art zu nehmen sind. 
Für abgekürzte Rotationsellipsoide ist das gleiche nicht ohne 
weiteres klar. Vielmehr scheint es, als ob hier Summen von 
Funktionen erster und zweiter Art auftreten können. Neumann 
deckt (durch Betrachtung der Ableitungen von V nach der 
Normale des Ellipsoids oder des konfokalen Hyperboloids) den 
Grund auf, aus dem die Entwicklung für abgekürzte Ellipsoide 
genau dieselbe Form hat wie für verlängerte. 

Den Schluß der Arbeit bildet eine Anwendung der behandel- 
ten Aufgabe auf die Bestimmung des magnetischen Zustandes eines 
Rotationsellipsoids unter der Einwirkung beliebiger verteilender 
Eräfte, falls letztere ein Potential besitzen. Diese Aufgabe war 
vorher von Poisson nur für konstante Eräfte gelöst worden. 

3. Eine dritte die Eugelfunktionen betreffende Arbeit Neu- 
manns: „Beiträge zur Theorie der Eugelfunktionen^, ist 
1878 als selbständige Schrift erschienen; und zwar ist dieselbe 
von Herrn C. Neumann nach den Manuskripten seines Vaters 
veröffentlicht worden. Die Hauptbedeutung dieser Schrift scheint 
mir in folgendem zu liegen. Bei den Anwendungen der Kugel- 
funktionen auf die Potentialtheorie spielen nur diejenigen zu- 
geordneten Eugelfunktionen, d. h. diejenigen Lösungen der Diffe- 
rentialgleichung 



ax 



{ m2 1 



dx 
eine Rolle, für welche der Nebenindex m kleiner als der Haupt- 



— 131 — 

index n oder diesem gleich ist. Die Notwendigkeit dieser Be- 
schränkung ergibt sich von selbst bei der Entwicklung der durch 
Polar koordinaten ausgedrückten reziproken Entfernung zweier 
Punkte. Anders liegt die Sache, wenn man eine Reihenentwick- 
lung für die Lösung der La place sehen Gleichung ^ F= sucht. 
Hier siebt man den Grund jener Beschränkung nicht a priori 
ein; wendet man aber trotzdem, wie es manche Autoren, z. B. 
Lame, tun, ohne weitere Begründung nur Funktionen an, bei 
denen m ^ n ist, so bleibt in der Ableitung eine wesentliche 
Lücke ^). Diese Lücke nun wird durch Neumanns Beiträge aus- 
gefüllt. Hier werden nändich die Integrale der obigen Diffe- 
rentialgleichung auch für m '^ n eingehend untersucht. Es 
ergibt sich, daß, während für den Fall < fw ^ n eine Parti- 
kularlösung jener Gleichung existiert, die für die beiden singulären 
Punkte X = -\- l und x = — 1 verschwindet, ein Gleiches für 
m ^ n nicht mehr stattfindet. Vielmehr wird hier diejenige 
Partikularlösung, die für x = -]- 1 verschwindet, für x = — 1 
unendlich, und umgekehrt. Es folgt dies, wenn man die Lösung 

//p 1\T 

der Differentialgleichung in die Form bringt: ( — -j— ■ ) - F, wo F 

eine nach Potenzen von x -]- 1 fortschreitende Reihe ist. Man 
könnte wohl anführen, daß sich das erwähnte Yerhalten der Inte- 
grale obiger Gleichung aus den allgemeinen Eigenschaften der 
hypergeometrischen Reihe entnehmen läßt. Indessen ist es 
wichtig, daß für den speziellen Fall jener Reihe, den die Eugel- 
funktionen darstellen, jene Eigenschaft auch durch spezielle, ein- 
fache Methoden abgeleitet wird, und das leisten Neumanns 
Beiträge. Dieselben enthalten eine Anzahl neuer Reihen und 
Integraldarstellungen einmal der zugeordneten Eugelfunktionen 
selbst, sodann ihrer Erweiterungen für m > w. Daran schließt 
sich eine äußerst ausführliche Zusammenstellung von Rekursions- 
formeln, die zwischen Eugelfunktionen mit aufeinander folgenden 
Indices bestehen, und die teils bekannt, zum großen Teil aber neu 
sind, und weiter eine Tabelle besonders wichtiger Spezialwerte 
jener Funktionen. Endlich wird im zweiten Teile der Beiträge 
die Aufgabe behandelt, das Produkt zweier Eugelfunktionen in 

^) Auch bei Heine tritt dieser Punkt nicht deutlich und klar 
genug herv^or. 

9* 



— 132 — 

eine nach Eugelfnnktionen fortschreitende Reihe zu entwickeln; 
auch dabei ergeben sich bemerkenswerte Resultate. Mit der 
Lösung der zuletzt genannten Aufgabe haben sich auch andere 
Autoren beschäftigt, so 1875 Bauer, 1877 Ferrers, 1878 Adams. 
Von allen diesen Bearbeitungen des Problems ist die Neumann- 
sche nicht nur die erste (denn wenn sie auch erst 1878 veröffent- 
licht ist, so ist sie doch viel früher verfaßt), sondern auch die bei 
weitem vollständigste. 

VI. Wissenschaftliclie Untersuchungen Neuuaanns, 
die nicht von ihm selbst veröffentlicht sind. 

Schon oben ist darauf hingewiesen, daß Neumann durchaus 
nicht alle seine Untersuchungen durch den Druck veröffentlicht 
hat, und daß seine gedruckt vorliegenden Arbeiten kein voll- 
ständiges Bild von seiner wissenschaftlichen Bedeutung geben. 
Daß unter dem nicht Gedruckten sehr Wertvolles und Wichtiges 
war, geht aus Veröffentlichungen von Neumanns Schülern wie 
aus den gedruckt vorliegenden Vorlesungen hervor. Weitere 
Quellen, das Fehlende zu ergänzen, stehen nicht zu Gebote; was 
man aus den vorhandenen Quellen entnehmen kann, betrifft meist 
nur gewisse Einzelergebnisse, zu denen Neumann gelangt war, 
und auch von diesen erhält man kein vollständiges Bild, weil 
Neumann, wie schon früher erwähnt ist, auch wenn er die Er- 
gebnisse seiner Untersuchungen vortrug, nie dabei sagte, daß 
dieselben von ihm herrührten. 

Was sich als von Neumann herrührend ermitteln läßt, möge 
hier kurz zusammengestellt werden. 

Aus der Mechanik erwähnen wir die Konstruktion einer 
Drahtwage und die Vervollkommnung der Bordaschen Wägungs- 
methode (s. Vorlesungen über theoretische Physik, § 34); ferner 
Neumanns Methode zur Bestimmung des Trägheitsmoments 
eines Körpers, sowie des Drehungsmoments einer bifilaren Auf- 
hängung. Diese Methode besteht darin, daß man zwei Gewichte, 
für die man die Lage der Schwerpunkte kennt, nach und nach 
in verschiedenen Entfernungen von der Schwingungsachse an- 
bringt und die gesuchten Größen aus den beobachteten Schwin- 
gungsdauern berechnet. (Vorlesungen über theoretische Physik, 
§ 21; vgl. auch Helmholtz und Piotrowski: „Über Reibung 



— 133 — 

tropfbarer Flüssigkeiten^, Sitzungsberichte der Wien. Akad. XL, 
S. 607 ff., Helmholtz' wissenschaftliche Abhandi. I, S. 182 ff.) 

Neu mann hat auch wohl zuerst eine strenge Begründung 
der Poiseuill eschen Formel für den AusfluJß einer Flüssigkeit 
durch eine kapillare Röhre gegeben (mitgeteilt von H. Jacobson 
in dem Bericht über die Versammlung Deutscher Naturforscher 
und Ärzte in Königsberg 1860). 

In der Eapillaritätstheorie hat Neumann die von Gauss 
nur angedeutete Erweiterung der Theorie auf den Fall mehrerer 
Flüssigkeiten durchgeführt und dabei den nach ihm benannten 
Satz gefunden, der die Abhängigkeit der Randwinkel dreier an- 
einander stoßender Flüssigkeiten von den Eapillaritätskonstanten 
der letzteren auf eine einfache Weise darstellt. Dieser Satz ist 
zuerst von P. Du Bois-Reymond in seiner Dissertation, Berlin 
1859, mitgeteilt und ausdrücklich als Neumann scher Satz be- 
zeichnet. Ferner hat Neu mann die allgemeinen S&tze der Ka- 
pillarität auf eine große Zahl von speziellen Aufgaben angewandt, 
Ton denen hervorzuheben ist die Bestimmung zylindrischer Flüssig- 
keitstropf en , sowie die der Gleichgewichtsfigur einer Flüssigkeit, 
die in einer anderen von gleichem oder yerschiedenem spezifischen 
Gewicht sich befindet. Auch neue Methoden zur Bestimmung der 
Kapillaritätskonstanten sind in dieser Vorlesung mitgeteilt. Endlich 
hat Neumann einen bemerkenswerten Zusammenhang zwischen 
der La place sehen und der Gauss sehen Kapillaritätstheorie ent- 
deckt (s. Vorlesungen über Kapillarität, Kap. 8). 

Von den die Elastizitätstheorie betreffenden Arbeiten sind 
erst durch die gedruckten Vorlesungen bekanntgeworden: 1. Neu- 
manns neueste Untersuchungen über die Elastizität kristalli- 
nischer Stoffe (Abschnitt 12), die die Resultate seiner älteren 
Arbeiten (vgl. S. 95) erheblich erweitern ; 2. die Untersuchung der 
Schwingungen von zwei miteinander verbundenen Saiten; 3. seine 
Theorie des Stoßes zylindrischer elastischer Stäbe (Abschnitt 22); 
4. seine Entwicklung der Formeln für die Biegung und die 
Schwingung dünner Stäbe. Auch Neumanns Dispersionstheorie, 
deren Grundzüge er in der großen Abhandlung von 1841 dar- 
gestellt hatte, ist in den in Rede stehenden Vorlesungen ausfuhr^ 
lieber dargelegt. Neumanns Berechnungen der Biegung und 
Torsion kristallinischer Stäbchen sind in den Veröffentlichungen 
von W. Voigt mitgeteilt. 



— 134 — 

Aus der Optik enthalten die Vorträge im Seminar Erweite- 
rungen der Theorie der Doppelbrechung sowie eine Theorie der 
Metallreflexion (vgl. weiterhin den Abschnitt über das physika- 
lische Seminar). 

Yiele Resultate eigener Arbeiten hat Neumann in den Vor- 
lesungen über elektrische Ströme mitgeteilt. Von diesen Resul- 
taten ist zuerst durch H. Wild, einen Schüler Neumanns, die 
Nenmannsche Methode zur Bestimmung der Polarisation und 
des Übergangswiderstandes veröffentlicht worden ^) (ygL S. 30). Bei 
allen früheren messenden Beobachtungen war es nicht möglich, 
die erwähnten beiden zusammenhängenden Größen voneinander 
zu trennen. Durch eine geschickte Kombination der Messungen 
mittels des Differentialgalvanometers und der Wh eats tone sehen 
Brücke gelang es Neumann, die Messungen in zwei Operationen 
zu spalten, aus denen sich mittels der Eirchh off sehen Sätze zwei 
unabhängige Gleichungen zur gesonderten Bestimmung der ge- 
suchten Größen ergeben. Durch seine Messungen wurde die Frage 
nach der Existenz eines besonderen Übergangswiderstandes definitiv 
in bejahendem Sinne entschieden. Aus dieser Methode ergab sich 
zugleich ein neues Verfahren, die elektromotorische Kraft einer 
inkonstanten Kette dadurch zu bestimmen, daß man die Kette in 
die Brücke des Wheatston eschen Apparats einschaltete. 

Wild bespricht in seiner Veröffentlichung noch die von 
Neumann bei seinen Versuchen angewandten Instrumente, seine 
besondere Einrichtung des Differentialgalvanometers und vor allem 
seine verbesserte Konstruktion der Tangentenbussole, die darin 
besteht, daß die Magnetnadel nicht in der vom Strome umkreisten 
Fläche fest angebracht wird, sondern in der Achse der letzteren 
verschiebbar ist. Zum Schluß erwähnt Wild endlich die Neu- 
mannsche Methode, gleichzeitig die Stromintensität und die erd- 
magnetische Kraft nach absolutem Maße zu bestimmen, indem 
man den Strom neben der Tangentenbussole noch durch eine 
Weber sehe Bifilarrolle leitet und gleichzeitig die Ablenkungen 
beider abliest. Durch diese gleichzeitige Ablesung beseitigt man 
die störenden Einflüsse, die bei der Gauss sehen Methode die 
Variationen des Erdmagnetismus ausüben. 



*) Viertel] ahrsschrift der naturforscli enden Gesellschaft in Zürich 
2, 213—243, 1857. 



— 135 — 

Aus den gedruckten Vorlesungen über elektrische Ströme, 
in denen natürlich die von Wild besprochenen Methoden in Neu- 
manns eigener Darstellung wiedergegeben sind, fügen wir als 
Ergebnisse Neumann scher Forschungen noch hinzu: Die Ab- 
leitung des Ohm sehen Gesetzes aus theoretischen Betrachtungen 
(§ 17), Neumanns Methode zur Berichtigung des Differential- 
galyanometers (§ 22), Beschreibung und Theorie des von Neu- 
mann ersonnenen Rheometers zur Messung starker Ströme (§ 40), 
die Herstellung eines Baumes von konstanter elektrodynami- 
scher Kraft und Anwendung auf die Tangentenbussole (Kap. X, 
§ 65 — 80), die Untersuchung der Strömung der Elektrizität im 
Baume und in einer Ebene (Kap. VI und VII). 

Aus den Seminarübungen ist noch die Behandlung des 
Web er sehen Erdinduktors erwähnenswert, mit dem er in ein- 
fachster Weise die magnetische Inklination bestimmt hat. 

Die Vorlesungen über die Theorie des Magnetismus behandeln 
in modifizierter Darstellung ebenfalls die Aufgabe, durch Kreis- 
ströme ein konstantes magnetisches Feld herzustellen. 

Ferner wird in einem Schlußkapitel die Neumann sehe 
charakteristische Funktion eingeführt, ein Analogon der Green - 
sehen Funktion. 

Endlich rührt auch die bekannte Methode der Thermometer- 
kalibrierung von Neumann und Bessel her^). 

Die vorstehende Aufzählung von Resultaten Neu mann scher 
Forschung macht durchaus keinen Anspruch auf Vollständigkeit. 
Es ist nur das aufgezählt, was bestimmt Neumann zuzuschreiben 
ist. Vieles, was von ihm herrührt, kann heute nicht mehr mit 
Sicherheit als sein Eigentum bezeichnet werden, das gilt ins- 
besondere von zahlreichen Beispielen und Anwendungen der all- 
gemeinen Theorien, die er in seinen Vorlesungen und Seminar- 
übungen durchführte 2). 

Daß in solchen Einzelheiten Neumanns Priorität nicht 
gewahrt wurde, weil er sich zum Druck seiner Untersuchungen 
nicht entschließen konnte, ist zwar bedauerlich, aber nicht so sehr 
wie der Verlust seiner Studien über mechanische Wärmetheorie. 



^) Vgl. Volkmann, S. 24. 
») Vgl. Voigt, S. 4. 



— 136 — 

Über diese sagt G. Neumann im Vorwort zu Band II der ge- 
sammelten Werke: 

„In der Tat ist nämlich jene Theorie, welche man heutzutage 
die „mechanische Wärmetheorie" oder kürzer die „Thermodynamik" 
zu nennen pflegt, ihrem eigentlichen Kern nach und in ihren 
Hauptumrissen als eine Schöpfung Neumanns zu bezeichnen. 
Hat doch Neumann selber zu der Zeit, als der Druck seiner 
Eönigsberger Vorlesungen (im Verlage von Teubner in Leipzig) 
begonnen wurde, also ungefähr schon im Jahre 1881, darauf auf- 
merksam gemacht, daß jene Theorie — und zwar schon vor dem 
Erscheinen der betreffenden Gl ausius sehen Abhandlungen — 
von ihm selber entwickelt worden sei in seinen Vorlesungen an 
der Eönigsberger Universität. Auch hat Neumann, indem er 
damals in solcher Weise sich äußerte, hinzugefügt, daß er auf 
seine Priorität in dieser Beziehung einiges Gewicht lege, und daß 
es ihm daher, zur äußerlichen Dokumentierung dieser Priorität, 
lieb sein würde, wenn speziell der Herausgabe seiner Königsberger 
Vorlesung über die mechanische Wärmetheorie ein Vor- 
lesungsheft aus jener Zeit, in der er diese Theorie noch vor dem 
Erscheinen der betreffenden Glausius sehen Abhandlungen ent- 
wickelt habe, zugrunde gelegt werden könnte. Leider hat sich 
ein solches Vorlesungsheft bis jetzt nicht gefunden." 

Eine andere Mitteilung G. Neumanns über diese Priorität 
Neumanns findet sich bei Volkmann, S. 35 — 37; ihr entnehmen 
wir noch folgendes: 

„Was Ihre Anfrage über das Prinzip der Energie betrifft, so 
brauche ich wohl kaum zu erwähnen, daß das Wort „Energie" 
erst nach 1850 in die Wissenschaft hineingetreten ist. Soviel 
ich weiß, hat mein Vater auch bis in die letzte Zeit in seinen Vor- 
lesungen stets an seiner Ausdrucksweise „Arbeits verrat" fest- 
gehalten. 

„Dieser Begriff des Arbeitsvorrates war in seinen Vorlesungen 
über die mechanische Wärmetheorie der eigentliche Angelpunkt 
seiner ganzen Untersuchung. Und da mein Vater eine solche 
Vorlesung (nach seiner Angabe) schon vor 1850 gehalten hat, so 
unterliegt es für mich keinem Zweifel, daß sein Name in der Ge- 
schichte des Prinzips des Arbeitsvorrates oder der Energie eine 
ganz hervorragende Stellung einnimmt. Dabei sei bemerkt, daß 
mein Vater dieses Prinzip in seinen Vorlesungen über die mecha- 



— 137 — 

nische Wärmetheorie nicht nur auf die Wärme allein, sondern 
gleichzeitig auf Wärme und Elektrizität angewandt hat. Ob 
solches allerdings schon in jener Vorlesung vor 1850 geschehen 
ist, weiß ich nicht. 

,,Noch möchte ich hervorheben, daß mein Vater in persön- 
lichen Unterredungen jenes Prinzip sehr hoch stellte, andererseits 
aber auch vor seiner zu hastigen Anwendung warnte. Diese 
Warnung bezog sich darauf, daß man jenes Prinzip nur dann 
brauchen könne, wenn man sicher sei, alle Aktionen zu erfassen, 
und daß man in Fehler verfallen müßte, wenn man eine dieser 
Aktionen (aus Unkenntnis) außer Rechnung ließe/ 

Schließlich möge nochmals auf den schon früher (S. 30) 
erwähnten Verlust hingewiesen werden, den die Wissenschaft 
durch Nicht Veröffentlichung vieler Beobachtungen Neumanns 
erfahren hat. 



Dritter Teil. 



Vorlesungen, Seminar, Laboratorium. 



I. Die gedruckten Vorlesungen. 

Schon im biographischen Teile dieser Schrift ist hervor- 
gehoben, von wie wesentlicher Bedeutung zur Beurteilung von 
Neumanns Lebenswerk seine Vorlesungen sind. Sie sind nicht 
nur von historischem Interesse, insofern sie die ersten und lange 
Zeit die einzigen Vorlesungen in Deutschland waren, die das 
ganze Gebiet der theoretischen Physik behandelten, ihr Wert 
beruht auch nicht aliein auf den zahlreichen Mitteilungen, die 
Neumann darin über seine eigenen Arbeiten macht, ihr Haupt- 
wert liegt in dem meisterhaft angelegten Plane, der zweckmäßigen 
Auswahl der behandelten Gegenstände, die sich besonders in der 
Erläuterung der allgemeinen Theorie durch passende Beispiele 
dokumentiert, und in der Klarheit und Eleganz der Darstellung. 
Die Erkenntnis dieses Wertes ließ schon in den fünfziger und 



— 138 — 

sechziger Jahren des vorigen Jahrhunderts unter seinen Schülern 
den Plan entstehen, die Vorlesungen durch den Druck auch 
weiteren Kreisen zugänglich zu machen, um dadurch die An- 
regung, die sie seihst in so reichem Maße in Königsberg empfangen 
hatten, auch anderen zu teil werden zu lassen. Leider ist dieser 
Plan erst in den achtziger Jahren zur Ausführung gelangt, zu 
einer Zeit, wo die damaligen Schüler schon längst selbst aka- 
demische Lehrer waren. „Wenn sie", sagt 0. E. Meyer im Vor- 
wort zu den Vorlesungen über Elastizität, „jetzt noch ihren alten 
Wunsch zur Ausführung bringen, so muß nicht bloß die Dank- 
barkeit und die Liebe, welche sie gegen ihren Lehrer hegen und 
bewahren, sie zu der Arbeit angetrieben haben, sondern mehr 
noch die Überzeugung, daß diese Vorlesungen, durch welche 
einstmals die mathematische Physik in Deutschland ins Leben 
gerufen wurde, auch noch heutigen tages eine YortrefQiche Schule 
für alle diejenigen bilden werden, welche in den Geist und Inhalt 
der physikalischen Theorien eindringen wollen." 

Diese vor 21 Jahren ausgesprochene Ansicht dürfte auch 
heute noch aufrecht zu erhalten sein. Ist die Wissenschaft in- 
zwischen auch in vielem weit über den Neumann sehen Stand- 
punkt hinaus fortgeschritten, der pädagogische Wert der Vor- 
lesungen muß auch noch für die Gegenwart anerkannt werden; 
ja manche der Vorlesungen sind noch heutzutage unter die besten 
Lehrbücher der betreffenden Disziplin zu rechnen. 

Das Gesagte wird es gerechtfertigt erscheinen lassen, auf 
den Inhalt der gedruckt vorliegenden Vorlesungen kurz einzu- 
gehen. Wir stellen dabei jene Vorlesungen in der Keihenfolge 
ihres Erscheinens zusammen. 

1. Vorlesungen über die Theorie des Magnetismus, 
namentlich über die Theorie der magnetischen Induk- 
tion, herausgegeben von C. Neumann. Leipzig 1881, 116 S. 

Der Herausgeber reproduziert hier die von F. Neumann im 
Sommersemester 1857 gehaltenen Vorlesungen auf Grund der 
Vorlesungshefte von Lothar Meyer und 0. E. M e y e r. Es 
werden darin die wesentlichsten Probleme des Magnetismus in 
klarer und eleganter mathematischer Ausführung erörtert. Den 
Inhalt der Vorlesungen können wir nicht besser skizzieren als 
durch den Abdruck der Übersicht, die das Vorwort des Heraus- 
gebers enthält. 



— 139 — 

„Diese Vorlesungen beginnen mit einfachen Expositionen 
über das magnetische Potential, die magnetischen Momente, die 
magnetische Achse usw., besprechen dabei gelegentlich die be- 
rühmte Poisson-Gausssche Methode zur Bestimmung der hori- 
zontalen Komponente des Erdmagnetismus und gehen sodann 
über zur Theorie der magnetischen Induktion, wobei der 
Reihe nach zuerst der Fall behandelt wird, daß die induzierenden 
oder magnetisierenden Kräfte von der Zeit unabhängig sind, so- 
dann der allgemeinere Fall, daß dieselben gegebene Funktionen 
der Zeit sind. 

„Hierauf werden diese theoretischen Betrachtungen auf 
mehrere spezielle Fälle in Anwendung gebracht, namentlich auf 
den Fall, daß der induzierte (aus weichem Eisen bestehende) 
Körper eine Kugel oder eine Hohlkugel oder ein Ellipsoid 
(namentlich ein Rotationsellipsoid) ist; während gleichzeitig als 
induzierende oder magnetisierende Ursache entweder der Erd- 
magnetismus, oder ein gegebener Stahlmagnet, oder endlich 
ein System elektrischer Ströme in Betracht kommt. Auch 
schließen sich an diese Untersuchungen wichtige Bemerkungen 
über experimentelle Methoden. So z. B. werden mehrere 
Methoden entwickelt zur Messung der magnetischen Induktions- 
konstante. Ferner wird eine Methode angegeben, um die In- 
klination des Erdmagnetismus zu bestimmen durch die Beob- 
achtung der horizontalen Ablenkung einer Kompaßnadel usw. 

„Daneben wird beiläufig gezeigt, wie man einen Multiplikator 
durch geeignete Anordnung seiner elektrischen Stromwindungen 
in eine wirksame Tangentenbussole, d. i. in ein Instrument 
▼erwandeln kann, bei welchem die trigonometrische Tangente des 
Ablenkungswinkels von der vorhandenen Stromstärke wirklich 
nur durch einen konstanten Faktor sich unterscheidet. Denkt 
man sich nämlich ein System elektrischer Kreisströme, die alle 
auf ein und derselben Kugelfläche liegen und mit irgend welchen 
Parallelkreisen dieser Fläche zusammenfallen, und bezeichnet 
man die von allen diesen Kreisströmen auf einen magnetischen 
Massenpunkt ausgeübte Kraft mit i2, so läßt sich — wie diese 
Vorlesungen zeigen — die Anordnung jener Parallelkreise auf 
der Kugelfläche stets in solcher Weise einrichten, daß die Kraft B 
von konstanter Richtung und Stärke wird für alle Punkte 
innerhalb der gegebenen Kugelfläche. 



— 140 — 

„Schließlich wird das allgemeine Problem der magnetischen 
Induktion auf die Ermittelung einer gewissen „charakteri- 
stischen Funktion'^ reduziert, welche nur noch von der Ober- 
flächengestalt des induzierten Körpers abhängt, und welche dem- 
gemäß für die Theorie der magnetischen Induktion von 
derselben fundamentalen Bedeutung sein dürfte, wie die bekannte 
Greensche Funktion für die Probleme der elektrischen 
Induktion/ 

2. Einleitung in die theoretische Physik, heraus- 
gegeben von C. Pape. Leipzig 1883, 291 S. 

Die Einleitung in die theoretische Physik, bei deren Heraus- 
gabe die von Pape gehörte Vorlesung vom Wintersemester 
1858 — 1859 zugrunde gelegt ist, entwickelt die mechanischen 
Grundlagen dieser Disziplin. Dabei handelt es sich nicht um 
eine systematische Darstellung der analytischen Mechanik. Viel- 
mehr knüpft Neumann in eigenartiger Weise an die Erschei- 
nungen der Schwere an und erörtert an den Stellen, an denen 
das Bedürfnis gerade hervortritt, die Grundbegriffe und wichtig- 
sten Sätze der Mechanik. Sehr ausführlich wird das einfache 
und das zusammengesetzte Pendel behandelt; neben der Ent- 
wicklung der Theorie finden dabei die Methoden der Pendel- 
beobachtung, insbesondere die B es s eischen Arbeiten, eingehende 
Berücksichtigung. Im Anschluß an das Pendel wird die Theorie 
der bifllaren Aufhängung, die Berechnung der Schwingungs- 
dauer einer Magnetnadel, die Theorie der Wage, ferner die all- 
gemeine Gravitation und die Bestimmung der Dichtigkeit der 
Erde besprochen. 

An den die Erscheinungen der Schwere behandelnden Teil, 
der mehr als ein Drittel des ganzen Bandes einnimmt, schließt 
sich die Hydrostatik und Aerostatik; hier kommen hauptsächlich 
die Gestalt rotierender Flüssigkeiten, die Bestimmung des spezi- 
fischen Gewichtes, die barometrischen Höhenmessungen, die Gestalt 
der Atmosphäre zur Sprache. 

Daran schließt sich zunächst ein Kapitel über den Satz von 
der lebendigen Kraft und die Fälle, in denen er nicht ohne wei- 
teres gilt, während die beiden letzten Kapitel die Hydrodynamik 
und Aerodynamik enthalten. Ohne auf die allgemeinen hydro- 
dynamischen Gleichungen einzugehen, leitet Neu mann aus dem 
Satze der lebendigen Kraft die Erscheinungen beim Ausfluß der 



— 141 — 

• 

Flüssigkeiten und Gase, die Eeaktion der Flüssigkeits- und Gas- 
strahlen, die Bewegung in engen Bohren unter Einfluß der Kei- 
bung ab. Dabei wird überall auf Beobachtungen, namentlich die 
Daniel ßernoullis, Eücksicht genommen. 

Einige in dieser Vorlesung enthaltene Mitteilungen Neu- 
manns über eigene Untersuchungen sind schon oben erwähnt. 

3. Vorlesungen über elektrische Ströme, heraus- 
gegeben von K. Von der Mühll. Leipzig 1884, 308 S. 

Es wird die Theorie der elektrischen Ströme in der Form 
dargestellt, in der sie Neumann in den Vorlesungen vom Winter 
1864 — 186Ö gegeben. Auch hier geben wir die Übersicht über 
den Inhalt mit den Worten des Herausgebers. 

„In diesen Vorlesungen wird die Theorie der elektrodyna- 
mischen Erscheinungen mit Besprechung der Umstände ein- 
geleitet, unter denen elektrische Ströme entstehen; der Begriff 
der Spannung wird eingeführt, und die Ohm sehen Gesetze ent- 
wickelt. Es folgt eine Übersicht über die wichtigsten Methoden 
zur Messung der Stromstärke; dabei müssen die Hanpteigen- 
schaften eines Magnetes betrachtet und die magnetischen Ferii- 
wirkungen berechnet werden. Nachdem sodann auch der Wider- 
stand erörtert worden, können die von Ohm angestellten theore- 
tischen Betrachtungen dargelegt werden; aus denselben ergeben 
sich die Gesetze der Strom teilung. Den Abschluß dieser ein- 
leitenden Betrachtungen bildet das zweite Kapitel, in welchem 
die hauptsächlichsten Methoden zur Bestimmung der Eonstanten 
besprochen werden, namentlich der elektromotorischen Kraft und 
des Widerstandes, dann auch der Polarisation und des Ubergangs- 
wider stau des. 

^Das dritte Kapitel beschäftigt sich eingehend mit den 
Amper eschen Gesetzen. Zunächst wird die Wirkung abgeleitet, 
welche zwei Stromelemente aufeinander ausüben, und dann die 
Wirkung eines geschlossenen Stromes auf ein Stromelement be- 
rechnet; ist aber die Wirkung auf einen gleichfalls geschlossenen 
Strom zu bestimmen, so existiert ein Potential. Dies wird für 
die Theorie des Rheometers gleich verwertet. Ferner können die 
Wirkungen geschlossener Ströme mittels Determinanten einfach 
dargestellt werden. Endlich führt die Betrachtung von unend- 
lich kleinen geschlossenen Strömen und von Solenoiden zu der 
Am per eschen Theorie des Magnetismus. 



— 142 — 

„In den beiden folgenden Abschnitten werden auf Grund 
dieser Theorie zwei sehr wichtige Aufgaben behandelt. Einmal 
wird gezeigt, wie jeder Magnet in betreff seiner Wirkungen nach 
auJßen durch ein System von geschlossenen Strömen zu ersetzen 
ist. Dann wird ein System von Kreisströmen so aufgestellt, daß 
die elektrodynamische Wirkung im Innern einer Kugel konstant 
ist, and die Lösung dieser Aufgabe liefert eine ganz aUgemeine 
Theorie der Tangentenbussole. 

„Das sechste uod siebente Kapitel geben die allgemeinen 
Prinzipien für die stationäre Strömung der Elektrizität im Raum 
und in der Ebene. 

„Im letzten Abschnitte werden die induzierten Ströme be- 
handelt. Nach einer kurzen Übersicht über die Mittel, in einem 
linearen geschlossenen Leiter einen Strom zu induzieren, wird 
aus einigen einfachen Sätzen , welche die Resultate der Beob- 
achtung zusammenfassen, das allgemeine Prinzip der Induktion 
abgeleitet; dieses Prinzip bestimmt den Integralstrom durch die 
Änderung, welche das Potential des induzierenden Stromes auf 
den Leiter erfährt. Den Schluß bildet die Betrachtung des von 
Wilhelm Weber aufgestellten allgemeinen elektrischen Grund- 
gesetzes; aus demselben folgt sehr einfach das Ampere sehe Gesetz 
für die Wirkung zwischen zwei Stromelementen, aber auch das 
Prinzip der Induktion, wenn die wirklich in Bewegung versetzten 
elektrischen Massen der Rechnung zugrunde gelegt werden.^ 

4. Vorlesungen über theoretische Optik, heraus- 
gegeben von E. Dorn. Leipzig 1885, 310 S. 

Es sind hier die Neumann sehen Vorlesungen aus dem 
Sommer 1866 und dem darauf folgenden Wintersemester be- 
arbeitet und Ergänzungen aus den Seminarübungen vom Winter 
1866—1867 und vom Sommer 1867 eingefügt. 

Die Vorlesungen beginnen mit einer kurzen historischen 
Einleitung, an die sich eine Besprechung der Hypothesen der Un- 
dulationstheorie und der zu benutzenden Prinzipien der Mechanik 
schließt (Kap. I). Es folgt (Kap. II) die analytische Behandlung 
der Lichtstrahlen, insbesondere ihre Zusammensetzung und Zer- 
legung, weiter (Kap. III) eine Ableitung der hauptsächlichsten 
Interferenzerscheinungen (Farben dünner Blättchen, New ton sehe 
Ringe, Newtons Farbentafel, Th. Youngs Interferenz versuch, 
Fresnels Spiegel versuch). 



— 143 — 

In sehr ausführlicher Darstellung werden in den Kapiteln IV 
bis YII die Diffraktionserscheinungen erörtert, und zwar werden 
zunächst die allgemeinen Formeln abgeleitet , und dann auf die 
Fr esn eischen und Fraunhofer sehen Beugongserscheinungen, 
auf die Erscheinungen an Beugungsgittern, sowie auf die Höfe 
um Sonne und Mond angewandt. Im Anschluß daran wird ge- 
zeigt, daß man die Gesetze der Reflexion und Brechung aus dem 
Huygens sehen Prinzip, verbunden mit dem Prinzip der Inter- 
ferenz, ableiten kann. In Kap. YIII wird sodann eine Übersicht 
über die Erscheinungen der Polarisation und die yerschiedenen 
Polarisationsapparate gegeben, nebst dem Nachweis der Trans- 
versalität der Lichtschwingungen, und in Eap. IX werden die 
Formeln für Eeflexion und Brechung an isotropen Medien ent- 
wickelt, nebst ihrer Anwendung auf die totale Reflexion. 

Weiter folgt (Kap. X) die Doppelbrechung in einachsigen 
Kristallen nebst dem Problem der Reflexion für dieselben. Dabei 
wird die Gestalt der Wellenfläche als bekannt vorausgesetzt, 
während bei der Untersuchung der Doppelbrechung in zwei- 
achsigen Medien (Kap. XI) die Gestalt der Fresnelschen Wellen- 
fläche aus den Gesetzen für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit 
einer Wellen ebene abgeleitet wird. Hinsichtlich der Herleitung 
dieser Gesetze wird auf die Theorie der Elastizität verwiesen. 
Nachdem auf dieser Grundlage die Gesetze der Doppelbrechung, 
einschließlich der konischen Refraktion, ausführlich entwickelt 
sind, werden in Kap. XII die Farbenkurven, welche dünne Kri- 
stallblättchen im polarisierten Lichte zeigen, abgeleitet; endlich 
wird im Kap. XIII die Doppelbrechung im Quarz nebst den 
Farbenerscheioungen in Quarzplatten besprochen. 

Der Herausgeber, der sich aller einschneidenden Änderungen 
des Neumann sehen Textes enthalten hat, hat am Schluß Er- 
gänzungen hinzugefügt, um einige Punkte der Neu mann sehen 
Darstellungen, die durch die neuere Literatur überholt waren (so 
z. B. hinsichtlich der Newton sehen Farbentafel, ferner der 
Grundlage der Dif^aktionstheorie usw.) zu modifizieren. 

5. Vorlesungen über die Theorie der Elastizität 
fester Körper und des Lichtäthers, herausgegeben von 
Oskar Emil Meyer. Leipzig 1885, 374 S. 

Für die allgemeinen Gleichungen der Elastizitätstheorie 
werden zunächst vier verschiedene Ableitungen gegeben. Voran- 



— 144 — 

gestellt wird die auf allgemeiner mechanischer Grundlage be- 
ruhende Entwicklung, die über die Anordnung der Teilchen 
nichts Yorausetzt, und die an die Bedingungen des Gleichgewichtes 
eines Elementarparallelepipedons unter Einwirkung der ela- 
stischen Druckkräfte anknüpft. An die Aufstellung der all- 
gemeinen Gleichungen, denen diese Druckkräfte genügen, schließt 
sich eine Erörterung über die symmetrische Verteilung der in 
Rede stehenden Kräfte, sowie die Ermittelung ihres Zusammen- 
hanges mit den Yerrückungen. 

Neben dieser strengen Begründung der Theorie werden auch 
die älteren, auf der Molekularhypothese beruhenden Entwick- 
lungen Yon Na vier und Poisson gegeben, die die elastischen 
Erscheinungen isotroper Medien nur von einer statt von zwei 
Eonstanten abhängig machen. Endlich werden die allgemeinen 
Gleichungen nach einer vierten, Ton C. Neumann herrührenden 
Methode^) aus dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten 
hergeleitet. 

Weiter werden auch die Verschiebungen in Betracht gezogen, 
die in einem elastischen Medium durch Temperaturveränderungen 
entstehen, und es wird gezeigt, welche Zusatzglieder dadurch 
einerseits in den elastischen Gleichungen, andererseits in der 
Fouri ersehen Gleichung für die Wärmeleitung bedingt werden. 
Nachdem noch die Eindeutigkeit der Lösungen der Grand- 
gleichungen erörtert ist, werden diese Gleichungen zur Ermitte- 
lung der Formenänderung unkristallinischer elastischer Körper 
angewandt, und zwar beziehen sich diese Anwendungen auf Deh- 
nung und Zusammendrückung prismatischer Körper, Dilatation 
von Hohlzylindern und Hohlkugeln, endlich auf Torsion von 
Zylindern und Biegung von Stäben; die letztgenannten beiden 
Anwendungen sind allerdings nicht von Neumann vorgetragen» 
sondern vom Herausgeber hinzugefügt. Sehr wichtig ist der 
folgende, die Elastizität kristallinischer Stoffe betreffende Ab- 
schnitt, der von den allgemeinsten, 36 voneinander unabhängige 
Konstante enthaltenden Gleichungen ausgeht, dann zeigt, wie 
sich diese Zahl je nach den Symmetrieverhältnissen reduziert 
(beim regulären System bleiben z. B. drei Konstante unab- 
hängig), endlich die Zusammendrückung eines Kristalles durch 



Vgl. Grelles Journ. 57, 281, 1860. 



— 145 — 

allseitigen Druck, und eines Kristallprismas durch einseitigen 
Druck, sowie die dabei entstehenden Winkeländerangen ausführ- 
lich bespricht. 

Die. nächsten Abschnitte betreffen die Anwendungen der 
elastischen Gleichungen auf Optik, und zwar wird die Fort- 
pflanzuni; ebener Wellen zunächst in der Weise abgeleitet, wie es 
in der Theorie der doppelten Strahlenbrechung (s. S. 69 ff.) ge- 
schehen ist. Eine zweite, auf den Arbeiten 0. Neumanns be- 
ruhende Darstellung geht, um die longitudinalen Schwingungen 
zu beseitigen, von der Annahme der Inkompressibilität des 
Äthers aus. Drittens wird auch die Lamesche Ableitung der 
Erscheinungen der Doppelbrechung reproduziert, und im An- 
schluß daran Cauchys und Neumänns eigene Dispersions- 
theorie entwickelt. 

Nach den Anwendungen auf Optik folgen solche auf Aku- 
stik: Schwingungen gespannter Saiten und gespannter Mem- 
branen. Von besonderem Interesse ist dabei die Behandlung zweier 
miteinander verbundener Saiten; für die Eeflexion und Brechung 
an der Verbindungsstelle der beiden Saiten ergeben sich Formeln, 
die mit den Fresn eischen Formeln für die Amplitude des reflek- 
tierten und gebrochenen Lichtes übereinstimmen. 

Weiter wird aus den elastischen Gleichungen die Theorie 
des geraden Stoßes zylindrischer Stäbe hergeleitet, endlich die 
Formeln für die Biegung und die Schwingungen dünner Stäbe. 

Die Grundlage für die Ausarbeitung der Elastizitätstheorie 
bildeten Neumanns Vorlesungen vom Winter 1857 — 1858. 
Daneben sind auch die späteren Vorlesungen von 1869 — 1870, 
1870 und 1873—1874 benutzt; diesen letzteren, von W. Voigt 
bearbeiteten Vorlesungen ist der wichtige Abschnitt über Ela- 
stizität der Kristalle entnommen. 

Bemerkt werden mag noch, daß Neumann in späteren 
Jahren, z. B. im Sommer 1864, auch das Problem der elastischen 
Platten nach Kirchhoffs Darstellung behandelte. 

6. Vorlesungen über die Theorie des Potentials und 
der Eugelfunktionen, herausgegeben von Carl Neumann. 
Leipzig 1887, 364 S. 

Die Vorlesungen beginnen mit der Ableitung der allgemeinen 
Eigenschaften des Körperpotentials. Dabei wird auch die Trans- 
formation des La place sehen Differentialausdruckes in Zylinder- 

Wangerin, Franz Neumann. j[q 



— 146 — 

und Polarkoordinaten erledigt. Die Entwicklung der in Polar- 
lioordinaten ausgedrückten reziproken Entfernung zweier Punkte 
gibt Anlaß zur Einführung der einfachen, nur yon einem Argu- 
ment abhängenden Kngelfunktionen Pn sowie der La place sehen 
Kugelfunktionen Yn mit zwei Argumenten. Es werden die 
wichtigsten diese Funktionen betreffenden Formehi abgeleitet, 
ebenso die Entwicklung einer Funktion nach Kugelfunktionen, 
ohne daß jedoch auf die Frage der Konvergenz der allgemeinen 
Kugelfunktionenreihe eingegangen wird; endlich wird das Poten- 
tial eines homogenen Sphäroids berechnet. Weiter wird die 
entwickelte Theorie auf bestimmte physikalische Fragen an- 
gewandt, insbesondere auf die Gleichgewichtsfiguren rotierender 
inkompressibler Flüssigkeiten, die Theorie der Ebbe und Flut 
und die Gauss sehe Theorie des Erdmagnetismus. An letztere 
schließt sich eine Darstellung von Neumanns Methode zur 
Entwicklung einer Funktion nach Kugelfunktionen auf Grund 
gegebener Beobachtungen (vgl. die S. 127 ff. besprochene Arbeit). 
Es folgt die P o i s s o n sehe Theorie der elektrischen Verteilung. 
Die Grundvorstellungen dieser Theorie führen zu dem Begriff des 
Flächenpotentials, dessen wesentlichste Eigenschaften abgeleitet 
werden. Daran schließen sich allgemeine Erörterungen über die 
elektrische Verteilung mit Anwendung auf einfache Beispiele; 
dabei wird auch auf die Substitution neuer Massen an Stelle ur- 
sprünglich gegebener Massen eingegangen. Ferner werden nach 
dem Vorgange von Green sämtliche Aufgaben der elektrischen 
Verteilung wie die des stationären Temperaturzustandes auf 
die Ermittelung der sogenannten charakteristischen Funktion 
zurückgeführt, und eine analoge Eeduktion wird auch für die 
Aufgaben der stationären elektrischen Strömung gegeben. In 
eigenartiger, einfacher und anschaulicher Weise wird sodann das 
Problem der Verteilung der Elektrizität auf zwei leitenden 
Kugeln behandelt. Endlich werden die Aufgaben der elektrischen 
Verteilung auf dem verlängerten und abgeplatteten Rotations- 
ellipsoid erledigt, nachdem als Vorbereitung dazu die Eigen- 
schaften der Kugelfunktionen zweiter Art entwickelt sind und 
der Laplacesche Differentialausdruck auf elliptische Koordi- 
naten transformiert ist. 

Zugrunde gelegt sind den Vorlesungen über Potentialtheorie 
Hefte aus den Wintersemestern 1852—1853 und 1856 — 1857. 



— 147 — 

7. Yorlesungen über die Theorie der Kapillarität, 
herausgegeben yon A. Wangerin. Leipzig 1894, 234 S. 

In seinen Vorlesungen über Kapillaritätstheorie pflegte Neu- 
mann sowohl auf die Laplacesche, als auf die Gausssche 
Theorie einzugehen. Von beiden ist hier nur die letztere auf- 
genommen, da der sogenannte zweite Hauptsatz erst durch sie 
eine strenge Begründung erfahren hat. 

Was den Inhalt der Vorlesungen betrifft, so beginnen sie 
mit einer Erörterung des Prinzips der virtuellen Geschwindig- 
keiten. Um aus demselben die Bedingungen für das Gleich- 
gewicht einer Flüssigkeit abzuleiten, wird der Ausdruck für die 
Kräftefunktion der Molekularkräfte aufgestellt und reduziert. 
Das Verschwinden der ersten Variation dieses Ausdruckes ergibt 
die beiden Laplac eschen Sätze, und zwar werden dieselben 
zuerst unter der Voraussetzung, daß die Oberfläche der Flüssig- 
keit eine Zylinderfläche oder eine Rotationsfläche ist, sodann erst 
allgemein bewiesen. 

Schließt sich Neumann bis hierher dem Gedankengange 
von Gauss an, dessen Resultate er in eigenartiger Weise dar- 
stellt, so geht er im folgenden über Gauss hinaus, indem er, 
was sich bei Gauss nicht findet, die allgemeinen Sätze auf yer- 
schiedene spezielle Fälle anwendet. Diese Anwendungen be- 
treffen zunächst das Ansteigen, bzw. die Depression yon Flüssig- 
keiten an ebenen Platten und in zylindrischen Röhren. Sodann 
wird untersucht, welche Änderungen der hydrostatische Druck 
durch die Kapillarwirkung erfährt. Es werden verschiedene 
hierher gehörige Aufgaben gelöst, wobei auch die Adhäsion von 
Flüssigkeiten an festen Körpern zur Besprechung gelangt. Eine 
fernere Aufgabe besteht in der Ermittelung der Gestalt von 
Flüssigkeitstropfen. 

Weiter wird die Theorie auf den Fall mehrerer Flüssigkeiten 
ausgedehnt. Diese von Gauss nur angedeutete Erweiterung der 
Theorie ergibt einmal die Differentialgleichung für die Trennungs- 
fläche zweier Flüssigkeiten; sodann führt dieselbe zu einem 
neuen Satze, dem Neumann sehen Satze. Derselbe bezieht sich 
auf die Winkel an der Randkurve eines Flüssigkeitstropfens, der 
auf einer anderen Flüssigkeit schwimmt. Es folgen spezielle 
Probleme des Gleichgewichtes einer Flüssigkeitsmasse, die sich 
innerhalb einer anderen Flüssigkeit von demselben oder von ver- 

10* 



— 148 — 

schiedenem spezifischen Gewichte befindet. Mehrere der hier wie 
in den früheren Abschnitten abgeleiteten Resultate sind vorher 
noch nicht veröffentlicht. Dasselbe gilt von verschiedenen Me- 
thoden zur Bestimmung der Eapill&ritätskon stauten, die im An- 
schluiS an die Einzelaufgaben besprochen werden. 

Zum Schluß wird ein Zusammenhang zwischen der Gauss - 
sehen und Laplac eschen Theorie entwickelt. Geht 'man, wie 
Gauss, von dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten aus 
und berücksichtigt, daß die Flüssigkeit inkompressibel ist, daß 
infolgedessen nicht nur ihr Gesamtvolumen, sondern auch das 
Volumen jedes einzelnen Elementes bei der Variation ungeändert 
bleiben muß, so erhält man einerseits eine Bedingung für die 
freie Oberfläche einer Flüssigkeit (bzw. für die Trennungsfläche 
zweier Flüssigkeiten), aus der sich der erste Laplacesche Satz 
auf sehr einfache Weise ergibt. Andererseits führt dieselbe Be- 
trachtung auch auf das Grundprinzip von Gauss. 

Der Ausarbeitung der EapUlaritätstheorie liegt Neumanns 
Vorlesung aus dem Sommer. 1864 zugrunde; daneben hat der 
Herausgeber Vorlesungen über die Gauss sehe Theorie vom Som- 
mer 1857 benutzt, sowie Vorlesungen über die Laplacesche 
Theorie aus den Wintern 1861—1862, 1863—1864, 1872—1873. 
Den drei letztgenannten Vorlesungen sind insbesondere mehrere 
spezielle Aufgaben entnommen. 

In einem Anhange wird im einzelnen angegeben, was jeder 
der genannten Vorlesungen entnommen ist. — In der Darstellung 
ist der Herausgeber in einem Punkte von Neu mann abgewichen, 
nämlich bei der Ableitung der Variation einer Fläche, um den 
sich hierauf stützenden Beweis der Laplace sehen Sätze all- 
gemeingültig zu machen und gleichzeitig zu vereinfachen. 

II. Das Seminar. 

1. Vorgeschichte und Gründung des Seminars. 

Schon mehrere Jahre vor der Gründung des mathematisch- 
physikalischen Seminars, auf dessen hohe Bedeutung für die Ent- 
wicklung des mathematischen und physikalischen Studiums an 
der Königsberger Universität schon oben (S. 21) hingewiesen, war 
die Errichtung eines „Seminars für die gesamten Natur- 
wissenschaften" geplant, und zwar ging die Anregung dazu von 



— 149 — 

Baer^), Neumann, Meyer^) und Dove aus. In ihrer Eingabe 
vom 15. September 1828 sprachen diese die Überzeugung aus^), 
„daß die Naturwissenschaften ein wenigstens ebenso wichtiges ' 
Element für die allgemeine Volksbildung seien als die historisch- 
grammatischen Studien^, und fanden, r)^o.Q der Anspruch der 
Naturwissenschaften auf allgemeine Geltung nur deshalb noch 
nicht zur Anerkennung gebracht sei , weil nur wenige Schul- 
männer in diesem Fache gut unterrichtet worden seien **. Diesem 
Mangel solle das neue Institut abhelfen, es solle überhaupt zu 
gründlicheren Naturstudien anleiten, insbesondere aber Lehrer 
der Naturwissenschaften für Gymnasien und höhere Bürgerschulen 
bilden, fähig, die Wissenschaft nicht nur fortzupflanzen, sondern 
auch zu erweitern. Obwohl das Ministerium sich schon im 
Februar 1829 mit dem Antrage einverstanden erklärte, konnte 
es doch die für das Seminar erforderlichen Mittel (verlangt wurden 
350 Taler jährlich, außerdem für die ersten drei Jahre noch je 
150 Taler zur Anschaffung physikalischer Apparate) nicht ge- 
währen. Die Eröffnung des Seminars unterblieb daher vorläufig. 
Erst als 1833 durch die Aufhebung des He r bar t sehen pädago- 
gischen Seminars dessen Dotation verfügbar wurde, wurden die 
nötigsten Mittel (350 Taler jährlich) flüssig gemacht. Aber auch 
jetzt ^) konnte das Seminar noch nicht ins Leben treten, da Baer 
1834 Königsberg verließ und die ganze Angelegenheit bis zur 
Ernennung seines Nachfolgers vertagt wurde. Erst im Winter- 
semester 1835 — 1836 wurde das Seminar mit zwölf Teilnehmern 
eröffnet, jedoch ohne daß Neumann sich daran beteiligte^). 
Übrigens bestand das in Rede stehende Seminar nur wenige Jahre 
hindurch, gegen Ende der dreißiger Jahre ging es ganz ein; die 
dadurch frei werdenden Mittel (350 Taler) wurden 1839 dem 
mathematisch-physikalischen Seminar überwiesen. 



Ernst V. Baer, 1792—1876. 

*) Ernst Heinrich Friedrich Meyer, Botaniker, 1791 — 1858, 
vor allem bekannt durch seine unvollendet gebliebene Geschiclite der 
Botanik. 

^) H. Prutz, Die Königl. Albertus-Universität zu Königsberg i. Pr. 
im 19. Jahrhundert. Zur Feier ihres 350 jährigen Bestehens, (üniver- 
sitätsfestschrift.) S. 126. Königsberg 1904. 

*) Ich folge hier den Angaben von Prutz. 

*) Siehe weiterhin den ersten Seminarbericht (S. 153 oben). 



— 150 — 

Die Schwierigkeiten, welche sich der Eröffnung des Seminars 
für die gesamten Naturwissenschaften entgegenstellten, einerseits, 
die Notwendigkeit andererseits, hesondere Einrichtungen für die 
Förderung und Belebung der mathematischen und theoretisch- 
physikalischen Studien zu treffen, yeranlaßten Jacohi und Neu- 
mann, in Gemeinschaft mit dem damaligen Privatdozenten L. A. 
Sohncke (1807 — 1853, seit 1835 Professor der Mathematik in 
Halle a. S.) , bei dem Ministerium die Gründung eines besonderen 
mathematisch-physikalischen Seminars zu beantragen. Dem An- 
trage vom ,27. Februar 1834 war ein Statutenentwurf beigefügt, 
dem wir folgendes entnehmen. Das Seminar sollte in zwei Ab- 
teilungen zerfallen ; die eine für reine und angewandte Mathematik 
(Mechanik, physische Astronomie), die andere für mathematische 
Physik. Als Mitglieder konnten alle Studierenden der Mathematik 
und Physik aufgenommen werden, die gewisse Vorkenntnisse be- 
saiten, und zwar wurden in der Mathematik Kenntnisse der Diffe- 
rential- und der Elemente der Integralrechnung verlangt, in der 
Physik Kenntnis „der hauptsächlichsten im Fi seh er sehen Lehrbuch 
behandelten Gegenstände". Zur Feststellung, ob dieser Forderung 
genügt sei, konnte von den Leitern des Seminars die Einreichung 
einer schriftlichen Arbeit oder eine mündliche Prüfung verlangt 
werden. Doch wurde diese Prüfung später als unzweckmäßig ab- 
geschafft, um den minder Befähigten keine Gelegenheit zu ver- 
schließen, sich Kenntnisse zu erwerben. Die ordentlichen Mit- 
glieder waren verpflichtet, an den Übungen beider Abteilungen 
teilzunehmen, sie durften auch nach dem Abgange von der Uni- 
versität bis zur Anstellung Mitglieder bleiben. Neben den ordent- 
lichen Mitgliedern konnten auch freie Zuhörer zugelassen werden. 
Während die Arbeiten der mathematischen Abteilung unter 
Jacobis Leitung auf die Lösung spezieller Probleme der höheren 
Mathematik gerichtet waren und daneben Sohncke in lateinischer 
Sprache über elementare Mathematik Übungen hielt ^), sollten die 
von Neumann geleiteten Arbeiten der physikalischen Abteilung 
1 . in zusammenhängenden Vorträgen bestehen, welche abwechselnd 
von den Mitgliedern über einen bestimmten Zweig der mathema- 
tischen Physik zu halten waren; 2. in selbständigen Arbeiten der 



^) Die von Sohncke geleitete Abteilung ging schon 1835 bei der 
Berufung Sohnckes nach Halle ein. 



— 151 — 

Mitglieder, welche entweder rein theoretisch sein sollten oder auf 
Grund einer mathematischen Theorie eigene Beobachtungen und 
Messungen erforderten. Für die beim Experimentieren erwach- 
senen Kosten sollte Ersatz geleistet werden; auch wurde für die 
Mitglieder, die größere Ausarbeitungen geliefert, eine Bemune- 
ration in Aussicht gestellt. Über die Seminararbeiten sollte dem 
Ministerium jährlich ein Bericht eingereicht werden. 

Erwähnt sei hier gleich, daß Neumann in späteren Jahren 
die Aufgaben seiner Abteilung insofern modifiziert hat, als er die 
Vorträge fallen und dafür spezielle Probleme bearbeiten ließ, die 
in systematischer Ordnung verschiedene in dasselbe Gebiet ein- 
schlagende Fragen behandelten. Die Bearbeitungen mußten all- 
wöchentlich eingereicht werden und wurden in der nächsten 
Seminarstunde besprochen. Die Seminarberichte, die in den Kura- 
torialakten der Königsberger Universität aufbewahrt werden, ent- 
halten ein umfangreiches interessantes Material zur Geschichte 
des mathematisch -physikalischen Seminars. Auf ihnen, wie auf 
der im mathematisch - physikalischen Laboratorium der Königs- 
berger Universität aufbewahrten Sammlung von Seminararbeiten 
beruht (neben persönlichen Erinnerungen des Verfassers aus seiner 
Studienzeit) die folgende Darstellung von Neumanns Wirksam- 
keit als Seminarleiter. 

Am 8. Juni 1834 genehmigte das Ministerium den Antrag 
auf Errichtung des projektierten Seminars, sowie den eingereichten 
Statutenentwurf, letzteren zunächst provisorisch auf ein Jahr. Es 
sprach dabei seine Überzeugung aus, daß das Seminar „nicht nur 
für die dortige Provinz, sondern auch für den öffentlichen Unter- 
richt in den königlichen Staaten überhaupt sehr wünschenswert" 
sei. Als Dotation für das Seminar wurden jährlich 150 Taler in 
Aussicht gestellt, aber erst für spätere Zeit. 

Und nun trat jenes Seminar ins Leben, das die vom Mini- 
sterium, sowie von seinen Gründern gehegten Erwartungen im 
höchsten Maße erfüllte. Hat es doch, wie Lindemann ^) sagt, ' 
„eine ungewöhnliche Bedeutung erlangt durch die große Zahl 
hervorragender Gelehrter, die aus ihm hervorgegangen'', und zwar 
Mathematiker sowohl als Physiker, und hat es andererseits zur 
Ausbildung von tüchtigen mathematischen Lehrern wesentlich 



Gedächtnisrede auf Philipp Ludwig v. Seidel, S. 48. 



— 152 — 

beigetragen und dadurch zur Hebung des mathematischen und 
physikalischen Gymnasialunterrichtes, zunächst in den Provinzen 
Ost- und Westpreußen. Das Königsberger Seminar war die erste 
derartige Anstalt in Deutschland ; nach seinem Muster sind später 
an vielen Universitäten Deutschlands ähnliche Anstalten ein- 
gerichtet, z.B. das auf Veranlassung Seidels, der in Königsberg 
studiert hatte, in München gegründete Seminar, das im Anfang 
der sechziger Jahre errichtete mathematische Seminar der Ber- 
liner Universität, dem allerdings die physikalische Abteilung fehlt, 
und manche andere. 

2. Das Seminar in den ersten Jahren seines Bestehens 

(1834-1839). 

In den letzten Tagen des Novembers 1834 wurde das Seminar 
mit sechs Teilnehmern eröffnet, die bereits zwei bis sechs Jahre 
die Universität besucht hatten; unter ihnen sind hervorzuheben 
der Mathematiker Otto Hesse (1811 — 1874)1), Theodor 
Schönemann, später Gymnasialprofessor in Brandenburg a. H., 
der eine Reihe physikalischer und mathematischer Arbeiten ver- 
öffentlicht hat, Julius Gzwalina, später Oberlehrer in Danzig, 
Verfasser mehrerer Programm arbeiten mathematischen Inhalts. 

Über die Arbeiten der physikalischen Abteilung, an denen 
außer den sechs ordentlichen Mitgliedern noch J. H. C. E. Schu- 
mann, später Oberlehrer am alt städtischen Gymnasium in Königs- 
berg, teilnahm, enthält der erste Seminarbericht folgendes: „Der 
Dirigent Professor Neumann erhielt nur eine selbständige 
Arbeit von stud. Hesse über die Interferenz des Lichtes, welches 
von dünnen Lamellen reflektiert und gebrochen wird,, wo sämt- 
liche Reflexionen und Refraktionen bei*ücksichtigt waren. Die 
Tätigkeit der übrigen Mitglieder beschränkte sich darauf, einzelne 
vom Dirigenten proponierte Kapitel der Physik zu mündlichen 
freien Vorträgen zu bearbeiten, wozu wöchentlich zwei Stunden 
hintereinander festgesetzt waren. Da der Dirigent es für zweck- 
mäßig gehalten hat, seine ganze Tätigkeit diesem Seminar zuzu- 



^) Der Seminarbericht nennt ihn Anton Hesse, es unterliegt 
aber keinem Zweifel, daß Otto Hesse gemeint ist; ein Anton Hesse 
war nach Lindemanns Angaben damals gar nicht in Königsberg 
immatrikuliert. 



— 153 — 

wenden und deshalb eine Teilnahme am naturwissenschaftlichen 
Seminar aufgegeben, so wird er diese Übungen für die Folge 
zweimal wöchentlich leiten/ 

Die Vorträge, die von den einzelnen Mitgliedern gehalten 
wurden, waren folgende: 

1. Czwalina: Über die Bewegung des einfachen Pendels 
a) im luftleeren Räume, b) im widerstehenden Mittel. Reduktion 
des zusammengesetzten Pendels auf das einfache. 

2. Kade; Darstellung 'der Versuche von Gavendish über 
die Anziehung von Bleimassen. Die Herleitung der Dichtigkeit 
der Erde aus diesen Versuchen. 

3. Busolt: Entwicklung der Formel von Laplace für die 
Höhenmessung durch das Barometer. 

4. Schönemann: Über Hygrometrie im allgemeinen. Über 
das Saus SU re sehe Hygrometer. Gay Lussacs Bestimmung der 
Bedeutung der Skala dieses Hygrometers. 

5. Schumann: Über die Relation der Länge des Schlieiiungs- 
drahtes einer galvanischen Kette und ihrer Wirkungsabnahme. 

6. Pahlau: Über die an einem fertigen Thermometer anzu- 
bringende Kalibrierung und Berichtigung. 

7. Hesse: Über die Interferenz des Lichtes im allgemeinen 
und Anwendung auf den Gegenstand seiner selbständigen Arbeit. 

„Die Themata dieser Vorträge waren von dem Dirigenten 
proponiert, ausgenommen dasjenige des stud. Schumann, welches 
er sich selbst gewählt hatte, und dessen Darstelluiig sich durch r 
Sicherheit und Klarheit auszeichnete. Die Vorträge waren von 
den Mitgliedern zuvor zu ihrem eigenen Gebräuche schriftlich 
ausgearbeitet, welche Ausarbeitungen aber bei dem mündlichen 
Vortrage nicht benutzt wurden. Einige dieser Aufsätze sind bei- 
gefügt. Die Vorträge der einzelnen Mitglieder füllten je nach dem 
Umfange des Gegenstandes die Zeit unserer Zusammenkünfte aus. 
Im allgemeinen hat der Dirigent den Mangel an physikalischen 
Kenntnissen bedauern müssen. Es ist zu hoffen, daß der Fortgang 
des Seminars zu einem ernstlicheren Studium der Physik veran- 
lasse." Neumann schließt den Bericht mit folgendem Wunsche: 
„Der Dirigent kann es aber nicht verhehlen, daß ein hohes Mini- 
sterium wesentlich dazu beitragen würde, »werin Hochdasselbe zu ^ 
den in den Lehrerprüfungen zu machenden Anforderungen die 
Bestimmung einer größeren schriftlichen Arbeit fügte." 



— 154 — 

In den nächsten zwei Semestern (Ostern 1835 — 1836) wurden 
die Seminarübungen nach demselben Plane unter Beteiligung von 
sechs Mitgliedern (Hesse wird 1835 nicht genannt) fortgesetzt. 
Dabei stach, wie Neumann in seinem Berichte hervorhob, die 
Tätigkeit der Mitglieder sehr vorteilhaft gegen diejenige im ersten 
Semester ab; namentlich sei der Eifer zweier Mitglieder, Schu- 
mann und Eade, zu loben, die sich beide durch Neigung und 
Talent für physikalische Studien auszeichneten , während die 
physikalischen Kenntnisse der übrigen Mitglieder noch viel zu 
wünschen übrig ließen. Von den zur Bearbeitung gestellten Auf- 
gaben seien folgende erwähnt : Ort des Bildes bei Brechung durch 
ein Prisma, Doppelprisma ohne Ablenkung, achromatisches Prisma, 
Berechnung der kaustischen Linien eines Kreises, Konstruktion 
eines Fernrohres oder eines Mikroskops aus zwei gegebenen 
Linsen, verschiedene Aufgaben über Doppelbrechung im Kalkspat. 
Daneben finden sich Aufgaben über die Bewegung der Wärme in 
einer Reihe von Körpern , ferner über die Reduktion des physi- 
schen Pendels auf ein einfaches Pendel u.a.m. Man sieht also, 
daß es sich noch nicht, wie später vielfach, um die Behandlung 
schwieriger Probleme handelt, sondern um Übungsaufgaben von 
mehr elementarem Charakter. 
t Dem erfreulichen Aufschwung, welchen das Seminar im Jahi*e 

i 1835 — 1836 genommen, folgte im Sommer 1836 ein bedauerlicher 
' Rückschlag. Die ausgezeichneteren Mitglieder verließen die Uni- 
versität, um Lehrer zu werden, oder wurden durch die Vorberei- 
tungen zum Oberlehi^erexamen zu sehr in Anspruch genommen, 
um noch füi* das Seminar arbeiten zu können. So kam es, daß 
im Sommer 1836 jede der Abteilungen nur drei Mitglieder zählte 
(nur ein Mitglied, Hesse, nahm an den Übungen beider Ab- 
teilungen teil); außerdem arbeitete der schon vorher genannte 
Schumann privatim bei Neumann. Bei den mündlichen Vor- 
trägen wurde jetzt ein zusammenhängender Plan verfolgt (Thermo- 
meter, Barometer, absolute Maßbestimmungen, Methoden der 
spezifischen Gewichtsbestimmung und Methoden, die Ausdehnung 
durch die Wärme zu finden). Daneben wurden Aufgaben zur 
schi'iftlichen Bearbeitung gestellt; sie bezogen sich auf kleine 
Probleme, die sich in den mündlichen Vorträgen herausstellten. 
In diesem Semester gewannen Jacobi und Neumann die 
Überzeugung, daß, um nicht eine eingeschränkte Tätigkeit im 



— 155 — 

Seminar zur Gewohnheit werden zu lassen, dasselbe einer Unter- 
stützung wie die übrigen Universitätsseminare bedürfe, teils zu 
Remunerationen , besonders aber , um die jungen Leute selbst 
experimentierend und beobachtend auf eine erfolgreiche Weise 
beschäftigen zu können. Sie beantragten die Bewüligung der 
erforderlichen Mittel, und da solche nicht verfügbar waren, 
suspendierten sie zunächst für den Winter 1836 — 1837 das 
Seminar. 

Über die folgenden beiden Jahre, Ostern 1837 — 1839, ent- 
halten die Euratorialakten nur einen Bericht des Eegierungs- 
bevollmächtigten an den Minister vom 17. Juni 1838 , daß 
mancherlei sich entgegenstellende Schwierigkeiten die Direktoren 
veranlaßt hätten, die Übungen ganz oder teilweise einzustellen; 
die Direktoren behielten sich unter diesen Umständen vor, statt 
der Jahresberichte je nach Umständen einen Gesamtbericht für 
einen längeren Zeitraum, zu erstatten. Die hier erwähnte Einstel- 
lung der Seminarübungen bezog sich jedenfalls nicht auf die 
physikalische Abteilung. In der dem mathematisch-physikalischen 
Laboratorium gehörigen Sammlung N e u m a*n n scher Seminar- 
arbeiten findet sich auch aus den Jahren 1837 und 1838 eine \ 
Reihe von Arbeiten, die zeigen, daß Neumann auch in diesen 
Jahren die Seminarübungen in derselben Art wie in den vorher- 
gehenden Jahren fortgesetzt hat. Auch einige Mittel wurden ihm 
bewilligt, wie daraus hervorgeht, daß er in dieser Zeit zuerst 
Apparate zum Gebrauch im Seminar angeschafft hat. 

3. Die weitere Entwicklung des Seminars. 

Im April 1839 wurden endlich dem Seminar die geforderten 
Mittel im Betrage von 350 Talern jährlich dauernd bewilligt i). 
Zugleich wurden die Direktoren am Anfang des Sommersemesters 
1839 aufgefordert, das Seminar ungesäumt zu eröffnen, „um so^ 
mehr, als jetzt Mathematiker selbst vom Auslande die Univer- 
sität bezogen haben". Jacobi, der beurlaubt war, wurde durch 
Ri eh elot vertreten. — Seit dieser Zeit hielt Neu mann die 



^) Nach Angabe von Prutz (S. 27) soll das mathematisch-physi- 
kalische Seminar erst infolge dieser Bewilligung ins Leben getreten 
sein. Das ist ein Irrtum, wie sich aus den Jahresberichten und den 
vorliegenden Seminararbeiten ergibt. 



— 156 — 

Übungen des Seminars regelmäßig bis zur Mitte der siebziger 
Jahre, mit Ausnahme weniger Semester, in denen er beurlaubt 
war. Die Zahl der Teilnehmer betrug 1839 sieben, hielt sich im 
nächsten Jahrzehnt mit geringen Schwankungen auf gleicher 
Höhe, stieg in der Mitte der fünfziger Jahre auf zehn, im Anfang 
der sechziger Jahre auf zwölf, Ende der sechziger Jahre auf fünf- 
zehn bis achtzehn und sank seit 1871 auf neun bis elf. 



a) Allgemeine Gesichtspunkte Neumanns bei Leitung 

des Seminars. 

Über die allgemeinen Gesichtspunkte, die für Neumann 
bei den Seminärübungen maßgebend waren , spricht er sich fol- 
gendermaßen aus (Bericht über die Jahre 1847 — 1849): 

„Bei der Leitung des Seminars ist die Ansicht von mir fest- 
gehalten, daß der Zweck desselben ein dreifacher sei. Einmal 
soll dasselbe den Studierenden die Lücken in ihren Kenntnissen 
zum Bewußtsein bringen, besonders denjenigen, welche dem 
Gymnasialunterricht näher stehen als den Universitätsstudien. 
Dann soll das Seminar diejenigen, welche schon mehr fortge- 
schritten sind, anleiten, physikalische Fragen selbständig einer 
mathematischen Behandlung zu unterziehen. Hierbei wierden die 
jungen Männer genötigt, sich auf das, was sie gelernt haben, zu 
besinnen, dasselbe anzuwenden und es sich so zuin wirklichen 
Eigentum zu machen. Zugleich aber erhalten sie auch die nach 
meiner Ansicht zweckmäßigste Vorbereitung, um physikalische 
Phänomene durch messende Beobachtungen zu bestimmen. Die 
Anstellung solcher Beobachtungen ist der letzte Zweck und das 
eigentliche Ziel, wohin die Mitglieder des Seminars zu führen ich 
mir zur Aufgabe gemacht habe." 

In einem anderen Bericht, 1849 — 1850, sagt Neumann: 

„Die Absicht, die ich bei dieser Leitung der Seminararbeiten 
verfolgte, war eine doppelte. Einmal wollte ich dahin wirken, 
daß die Mitglieder sich dasjenige, was die Vorträge ihnen dar- 
geboten hatten , durch selbständige. Anwendung desselben zu 
einem wirklichen Besitz aneigneten, und dann wollte ich die- 
selben anleiten, in den physikalischen Tatsachen diejenigen Ge- 
sichtspunkte zu finden und zu yerfglgen, welche eine mathema- 
tische Behandlung zulassen. '^ 



— 157 — 

Ferner sei noch aus dem Bericht 1850 — 1851 folgendes an- 
geführt: 

„Da im Sommersemester 1850 die physikalische Abteilung 
nur ältere Mitglieder hatte, die zum Teil in Begriff waren, die 
Universität zu verlassen, wurden die Gegenstände der Beschäfti- 
gungen von mir so gewählt , wie sie geeignet schienen , die Kluft . 
zwischen theoretischer Einsicht und praktischer Ausführung be- 
merklich zu machen und darüber wegzuleiten. Ich beschäftigte 
die Mitglieder vorzugsweise praktisch, ich ließ sie namentlich 
messende Beobachtungen aus dem Gebiet des Magnetismus und 
Galvanismus machen. Wenn die erhaltenen numerischen Resultate 
auch wenig bedeutend waren und weniger, als ich sonst erreicht 
habe, so ist der Weg zu ihnen doch für die Teilnehmer, wie ich 
glaube, nicht ohne Nutzen gewesen. Sie wurden auf diesem Wege 
einmal gezwungen, sich Gegenstände deutlich zu machen, welche 
sie bis dahin als unerheblich beiseite hatten liegen lassen, dann 
aber auch durch denselben veranlaßt, auf Materien zurückzugehen, 
die sie aus den Vorlesungen hatten kennen gelernt, und diese 
wegen des Gebrauchs, der von ihnen gemacht werden sollte, sich 
zu einem mehr selbständigen Eigentum anzueignen.'' 

Je nach den Kenntnissen und der Vorbildung der Teilnehmer 
am Seminar trat von den angeführten Gesichtspunkten mehr der 
eine oder der andere in den Vordergrund. Daher sind auch die 
in verschiedenen Semestern gestellten Aufgaben von sehr un- 
gleicher Art, bald einfachere Übungsaufgaben, bald schwierigere 
Probleme. Neumann selbst sagt in dem Bericht 1843 — 1845: 

„Die Arbeiten haben einen verschiedenen Wert. Diejenigen 
der älteren Mitglieder des Seminars zeigen den Standpunkt der 
Bildung in der mathematischen Physik, welchen die Zöglinge des 
Seminars erreichen, während die der jüngeren zeigen, mit welch 
schwachen Kräften die Tätigkeit am Seminar zu beginnen hat.^' 

Wiederholt, wenn die Vorbildung der Teilnehmer eine zu un- 
gleiche war, wurden die Übungen in zwei Abteilungen gehalten, 
deren eine in der Kegel die neu eintretenden Mitglieder umfaßte, 
die andere die weiter fortgeschrittenen. Vielfach standen die 
schriftlichen Arbeiten in nächster Beziehung zu den Neumann- 
schen Vorlesungen, derart, daß das, was in den Vorlesungen als 
bekannt vorausgesetzt oder sonst übergangen worden war, von 
den Mitgliedern reproduziert werden mußte, während die Geüb- 



— 158 — 

teren die in den Yorlesungen gegebenen Prinzipien auf spezielle 
Probleme anwenden maßten ^). — „Bei der Auswahl der zur 
Bearbeitung gestellten Probleme war die Rücksicht leitend, ent- 
I weder daß sie sich auf Gregenstände von praktischem Interesse 
bezogen oder daß die gewählten Aufgaben das Interesse erwecken 
sollten, die theoretisch geführte Untersuchung zur experimentellen 
Anwendung zu bringen" 2). 

Die früheren Klagen über mangelhafte Vorbildung sind, wie 
aus dem vorstehend mitgeteilten Berichte für die Jahre 1843 — 1845 
hervorgeht, auch in den vierziger Jahren nicht ganz verstummt. 
Auch der Bericht über das Jahr 1846 — 1847 sagt in dieser Hin- 
sicht: „Die Arbeiten der zweiten Abteilung zeigen, wie hier erst die 
physikalischen Begriffe gewonnen werden mußten, und mit welcher 
Mühe die gewonnenen zu einer solchen Fassung gebracht werden 
konnten, daß sie sich zu einer mathematischen Behandlung ver- 
wenden ließen." Allmählich aber werden derartige Elagen in den 
Seminarberichten immer seltener und hören späterhin ganz auf. 
Meist ist Neumann in der Lage, den Fleiß und das Streben der 
Teilnehmer, wie auch ihre Erfolge zu loben, so z. B. sagt der 
Bericht über das Jahr 1855 — 1856: „Aus den Arbeiten ist das 
Interesse und der Fleiß der Mitglieder zu erkennen'^, und der 
Bericht für 1856 — 1857: „Die rege Teilnahme und der Fleiß der 
Mitglieder sind um so höher zu veranschlagen, als ihre Zeit in 
der anderen Abteilung des Seminars nicht weniger in Anspruch 
genommen war." — 1858 — 1859 wird die andauernde und an- 
gestrengte Tätigkeit der Mitglieder gelobt) und 1864 — 1865 wird 
bemerkt: „Die Arbeiten zeigen, daß es gelungen ist, für diese 
zum Teil schwierigen Untersuchungen (Kapillarität und Eristall- 
optik) ein hinlängliches allgemeines Interesse zu erwecken." 



b) Über die in verschiedenen Semestern im Seminar 

bearbeiteten Aufgaben. 

Um ein Bild davon zu geben, wie Neumann bei den 
Übungen im einzelnen verfuhr, um das Ziel, das er sich gesteckt 
hatte, zu erreichen, greifen wir aus der Fülle des in den Seminar- 



Bericht über das Jahr 1845—1846. 
*) Bericht über das Jahr 1851—1852. 



— 159 — 

berichten gebotenen Materials einige charakteristische Berichte 
heraus, und ergänzen sie, indem wir aus der Sammlung von 
Seminaraufgaben einige spezielle Probleme anführen. 

Ein Teil der Übungen war mehr auf die Einübung der 
Mitglieder in physikalischen und kristallographischen 
Messungen gerichtet. So wurde im Sommer 1840 die Theorie 
und der Gebrauch des Malus sehen Goniometers erörtert. 

„Das Instrument wurde als Beispiel behandelt, wie ein In- 
strument diskutiert werden muß, mit welchem man solche Resul- 
tate erzielt, daß man dafür die Grenzen der ZuTerlässigkeit 
angeben kann. Es mußten die verschiedenen Fehlerquellen auf- 
gesucht werden, und der Einfluß, welchen sie demnach auf das 
Endresultat ausüben, berechnet werden. Hierauf wurden von den 
einzelnen Mitgliedern Reihen von Messungen an Bergkristall, 
Beryll, schwefelsaurem Kali usw. angestellt, und diese mußten 
nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet werden. Es 
zeigte sich eine erfreuliche Rüstigkeit in der Ausführung solcher 
Arbeiten." 

FürAnfänger wurden vielfach Aufgaben aus der Mechanik 
behandelt. Wir führen darüber den Bericht über die Jahre 1853 
— 1854 an. „Bei den Mitgliedern der zweiten Sektion waren die 
mechanischen Grundbegriffe, soweit sie vorhanden waren, noch 
sehr schwankend, und es fehlte jede Übung, ein physikalisches 
Phänomen einer mathematischen Betrachtung zu unterwerfen. Ich 
wendete deshalb folgendes Verfahren an. Ich ließ an einem ein- 
fachen Instrument Beobachtungen anstellen und daraus durch 
Berechnung Resultate ziehen. Dann mußten die verschiedenen 
Voraussetzungen, welche in dem Instrument möglicherweise nicht 
ganz erfüllt waren, einzeln berücksichtigt, ihr Einfluß auf das 
Resultat berechnet werden. Auf diese Weise wurden die 
Messungen von elektrischen Drahtwiderständen und ihren Ver- 
änderungen durch die Temperatur behandelt. Im Winter, wo die 
Mitglieder meine Vorlesungen über theoretische Physik hörten, 
gab ich den Seminarübungen eine solche Richtung, daß die Mit- 
glieder sich die mechanischen Grundlehren der Physik klar 
machen mußten und diese ihnen geläufig zur Anwendung wurden. ' 
Ich ließ die Bewegungen der At wo od sehen Fallmaschine mit 
Rücksicht auf das Gewicht der Fäden, das Trägheitsmoment der 
Rolle usw. untersuchen. Andere Aufgaben betrafen das Per- 






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— 161 — 

eine Grenze? Welche Dichtigkeit besitzen die Gase der Atmo- 
sphäre im Weltraum? Bestimmung der Dichtigkeit derselben 
Gase an der Oberfläche der Sonne und anderer Himmelskörper. 
Diese Probleme wurden zuerst ohne Berücksichtigung der gegen- 
seitigen Anziehung der Gasteile behandelt, dann die viel schwie- 
rigere Frage mit Berücksichtigung dieser Anziehung. Das Interesse 
der Mitglieder zeigte sich darin, daß dieselben zum Teil selbst 
den Problemen eine größere Ausdehnung gaben. Schließlich wurde 
in dieser Reihe yon Untersuchungen noch das Problem der Gleich- 
gewichtsfläche unserer Atmosphäre mit Berücksichtigung der An- 
ziehung fremder Himmelskörper behandelt. 

Auch auf die Hydrodynamik wurden die Übungen aus- 
gedehnt. So wurden (Winter 1856 — 1857) die hydrodynamischen 
Gleichungen mit Berücksichtigung der Reibung abgeleitet und auf 
die Bewegungen angewandt, welche in einer Flüssigkeit durch 
rotierende Zylinder oder Kugeln erzeugt werden; diese Unter- 
suchungen wurden dann im Sommer 1857 fortgesetzt und zugleich 
Experimente angestellt, um die Ergebnisse der theoretischen Rech- 
nungen zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten yerschiedener 
Flüssigkeiten anzuwenden. Zwei der Zuhörer, 0. E. Meyer und 
C. J. H. Lampe (gestorben als emeritierter Gymnasial professor in 
Danzig), führten ihre Beobachtungen soweit durch, daß sie mit 
ihren Resultaten die von der philosophischen Fakultät gestellte 
Preisfrage beantworten konnten. 

In einem späteren Semester (Sommer 1871) wurden die in 
Rede stehenden allgemeinen Gleichungen auch auf die Bewegung 
yon Flüssigkeiten in engen Röhren angewandt. (Ableitung des 
Poiseuille sehen Gesetzes.) 

In anderen Semestern wurden die Aufgaben aus der 
Elastizität und Kapillarität gewählt. So sagt der Bericht 
1860 — 1861: 

„Die weiteren Übungen schlössen sich mehr an meine Vor- 
lesung über die Theorie der Elastizität an, welche die Mitglieder 
im yorangegangenen Semester gehört hatten. Es mußte die 
lebendige Kraft eines Systems elastisch bewegter Massen bestimmt 
werden. Es mußten die Gleichungen für die Bewegungen eines 
elastischen Körpers mittels des Prinzips der virtuellen Geschwin- 
digkeiten abgeleitet werden. Auf Grund dieser Methode wurden 

Wanger in, Franz Neumann. 11 



— 162 — 

die Bewegungen eines elastischen Stabes untersucht und die 
Gleichungen für eine elastische Platte aufgestellt. 

„Im zweiten Semester beschäftigten sich die Mitglieder mit 
Untersuchungen aus der Lehre yon den kapillaren Erscheinungen. 
Ich hatte in meiner Vorlesung die Laplacesche Theorie der 
Kapillarität vorgetragen. Hier mulite das Prinzip der virtuellen 
Geschwindigkeiten in Beziehung auf die kapillaren Phänomene 
durchgeführt werden. Die Mitglieder wurden veranlaßt, nament* 
lieh die allgemeinen Bedingungen zu finden, welche an der Grenze 
zweier Flüssigkeiten zu erfüllen sind. Es wurde dann dieser 
neue Weg in Beziehung auf verschiedene einzelne Erscheinungen 
durchgeführt, namentlich solche, deren Beobachtung, verglichen 
mit dem theoretischen Ergebnis, zur Bestimmung der Eonstanten 
dienen kann. Es wurden auch die Bewegungen untersucht, 
welche durch kapillare Kräfte erzeugt werden, und die Kraft be- 
stimmt, die nötig ist, um solche Bewegungen zu hindern. Es 
wurde der Einfluß der Kapillarität auf spezifische Gewichts- 
bestimmungen untersucht, einige Methoden behandelt zur Ermitte- 
lung der Depression des Quecksilbers im Barometer usw. Bei 
diesen und ähnlichen Anwendungen der Ga uss sehen Grundformeln 
hatten sich die beiden Hauptsätze der Laplac eschen Theorie 
immer beiläufig ergeben. Die Mitglieder des Seminars wurden 
nun veranlaßt, diese Sätze allgemein aus der Gauss sehen Theorie 
abzuleiten und dahin zu erweitern, daß sie auch das Gesetz für 
die Winkel aufsuchten, unter welchen sich die drei Oberflächen 
zweier Flüssigkeiten schneiden, von denen die eine auf der anderen 
schwimmt^ (Neu mann scher Satz), „und das Gesetz für den Winkel, 
unter welchem eine zwei Flüssigkeiten gemeinschaftliche Ober- 
fläche die Oberfläche eines festen Körpers schneidet. Einer sehr 
eingehenden Untersuchung wurde die Frage unterworfen nach 
den Gleichgewichtsfiguren einer Flüssigkeitsmasse, die im Inneren 
einer anderen Flüssigkeit schwebt und in eine rotierende Bewegung 
versetzt ist." (Plateaus Versuche.) 

Wie aus dem bisher Angeführten hervorgeht, wurden in jedem 
Semester nur einzelne Kapitel der Physik behandelt, doch wechselten 
diese Kapitel in der Regel von Semester zu Semester, so daß die 
Übungen der verschiedenen Semester fast das ganze Gebiet der 
Physik umfaßten. Bisweilen kam es vor, daß mehrere Semester 
hintereinander die Übungen demselben Teil der Physik entnommen 



— 163 — 

wurden. So wurden 1863 — 1864 auBchließlicIi Aufgaben aus 
der Wärmelehre behandelt. Der Bericht über dieses Jahr lautet 
folgendermaßen : 

„Im Sommersemester wurden zunächst die allgemeinen Grund- 
sätze erklärt, auf welchen die analytische Theorie der Bewegung 
der Wärme in festen Körpern ^) beruht, und dann durch die Mit- 
glieder zur Anwendung gebracht. Es wurden von ihnen die Ge- 
setze der Temperaturverteilung in einer Kugel, wenn dieselbe nur 
eine Funktion des Radius und der Zeit ist, entwickelt, und hieraus 
mußten Regeln abgeleitet werden, nach welchen durch Beobach- 
tungen des Temperaturzustandes einer solchen Kugel in verschie- 
denen Zeiten die Konstanten der Theorie bestimmt werden können. 
Es wurden die durch Abkühlung der Kugel im Inneren derselben 
entstehenden Spannungen bestimmt, es wurde die Veränderung 
ermittelt, welche eine sich abkühlende rotierende Kugel in ihrer 
Rotationsgeschwindigkeit durch die Abkühlung erleidet. Dies 
wurde auf die Erdkugel angewandt. Die Formeln für die Be- 
wegung der Wärme in einer Kugel mit konzentrischer Temperatur- 
yerteilung mußten erweitert werden durch Berücksichtigung des 
Umstandes, daß das äußere Leitungsvermögen der Wärme nicht 
unabhängig von der Temperatur ist, also mit Berücksichtigung 
der Dulong sehen Gesetze der Abkühlung. Namentlich mußte 
der Einfluß ermittelt werden, welchen dieser Umstand auf die 
Regeln zur Bestimmung der Konstanten durch die Beobachtung 
ausübt. 

„Die allgemeinen Gleichungen für die Bewegung der Wärme 
mußten für den Fall einer Kugel transformiert werden. Es wurde 
der stationäre Temperaturzustand einer Kugel bestimmt, wenn 
die Temperatur ihrer Oberfläche eine gegebene Funktion der 
Länge und Breite ist. Dies wurde auf die Erdkugel angewandt. 
Ks mußte Größe und Richtung der mittleren Wärmeflut numerisch 
berechnet werden, welche im Innern der Erde von den Äquatorial- 
gegenden zu den Polargegenden infolge der Sommererwärmung 
strömt. 

„ Im Winter wurden diese Untersuchungen weiter geführt und 
dabei besonders ihre praktische Verwertung berücksichtigt. 

^) Vor der Ableitung der Gleichungen der Wärmeleitung in 
Körpern ließ Neumann wiederholt als Einleitung dazu die Bewegung 
der Wärme in einem System diskreter Massenteilchen behandeln. , 

11* 



— 164 — 

„Es wurden zunächst die Untersuchungen über die Methode 
der Mischung zur Bestimmung der spezifischen Wärme erweitert, 
indem die eingetauchten Körper als Kugeln betrachtet wurden, 
und die Bewegung der Wärme innerhalb dieser Kugeln während 
der Mischung berücksichtigt werden mußte. Es wurde die Theorie 
der elektrischen Multiplikatoren als thermometrischer Instrumente 
behandelti und es mußten Regeln abgeleitet werden, nach welchen 
bei stetig abnehmenden Strömen die Stromstärken in bestimmten 
Zeitmomenten zu bestimmen sind. 

„Hierauf wurde die Bewegung der Wärme behandelt in einem 
System von Wärmeleitern, bestehend ans einem Ring oder Stab 
mit eingelöteten Thermoketten. Es mußten die Vorschriften für 
die Beobachtungen der Thermoströme dieser Ketten entwickelt 
werden, damit sich aus denselben die Konstanten ableiten lassen. 
Es wurden die periodischen Bewegungen der Wärme in einem 
Stabe untersucht, dessen Enden abwechselnd in gleichen Zeit- 
intervallen mit zwei ungleichen Wärmequellen in Berührung ge- 
bracht werden. — Der letzte Gegenstand war die Bewegung der 
Wärme in der Erde. Es kam darauf an, die Untersuchungen 
so weit führen zu lassen, daß ersichtlich wurde, wie durch die 
Beobachtungen über den Gang der Temperatur in den oberen 
Schichten der Erdoberfläche die verschiedenen Ursachen dieses 
Temperaturganges, nämlich die Sonnenerwärmung, die Ausstrah- 
lung und die ursprüngliche Erwärmung der Erde, sich trennen 
und numerisch bestimmen lassen. 

„Schließlich mußten die Seminarmitglieder noch die Glei- 
chungen entwickeln für solche Fälle, wo durch die Bewegung 
der Wärme selbst eine Wärmequelle erregt wird, wie dies beim 
Gefrieren eines wässerigen Erdbodens der Fall ist. 

„Neben diesen theoretischen Arbeiten fanden noch praktische 
Übungen statt, sie bezogen sich auf die Bestimmung von spezi- 
fischen Wärmen und auf Winkelmessungen an Kristallen und 
deren Berechnung." 

Aus persönlicher Erinnerung kann ich, da ich im Winter 
1863 — 1864 in das Seminar eintrat, diesem Berichte noch 
folgendes hinzufügen. Im Beginn des Wintersemesters wurde ein- 
gehend die Kalibrierung der Thermometer erörtert. Die Seminar- 
mitglieder wurden veranlaßt, sich eigene Thermometer zu ver- 
fertigen, wozu ihnen gefüllte Thermometerröhren und ein Metallstab 



— 165 — 

geliefert wurden, den sie auf der Teilmaschine nach einer will- 
kürlichen Skala teilen mußten ; sie hatten dann die Fixpunkte und 
die genauen Werte der einzelnen Skalenteile zu ermitteln. Diese 
praktischen Übungen, wie die vorerwähnten über Bestimmung von 
spezifischen Wärmen usw., fanden nachmittags in Neumanns 
Wohnung statt. 

Ben Berichten über andere Semester, in denen ebenfalls Auf- 
gaben aus der Lehre von der Wärme behandelt wurden, ent- 
nehmen wir noch folgendes: 

Es wurden Beobachtungsmethoden in der Art besprochen, 
daß die Nebenumstände, welche auf die durch diese Methoden 
beabsichtigten Resultate von störendem Einfluß sind, hervor- 
gehoben wurden, und die Mitglieder angeleitet, durch mathe- 
matische Betrachtungen diese störenden Einflüsse zu verfolgen, 
sie der Form nach quantitativ zu bestimmen und hieraus Mittel 
abzuleiten, durch welche diese Einflüsse unschädlich gemacht 
werden könnten. Hieran knüpften sich dann mehr theoretische 
Untersuchungen, die jedoch in solcher Richtung geleitet wurden, 
daß ihre Resultate mit der Erfahrung vergleichbar wurden. 
(Winter 1849 — 1850.) 

Die Untersuchungen über die Wärme bezogen sich auf das 
spezielle Problem der Bewegung derselben in unserer Erde. Es 
wurde zunächst die Bewegung des Teils der Erdwärme behandelt, 
der von ihrer ursprünglichen Wärme noch vorhanden ist, und der 
Einfluß bestimmt, welchen seine säkulare Veränderung auf die 
Rotationsgeschwindigkeit der Erde hat. In der Behandlung des 
Teils der Erd wärme, welche von der mittleren Temperatur der 
Oberfläche der Erde herrührt, wurden die isothermen Erdschichten 
näher diskutiert und die Orte auf der Erdoberfläche bestimmt, 
welche durch innere Wärmeströmung in Verbindung stehen. End- 
lich wurde der periodische Teil behandelt und die Funktion, durch 
welche die Erwärmung der Erdoberfläche durch die Sonne dar- 
gestellt wird, vollständig entwickelt. Die Endformeln wurden auf 
Beobachtungen der Erdtemperatur in verschiedener Tiefe, die in 
Königsberg angestellt worden sind, angewandt, und die thermi- 
schen Konstanten der Erde für Königsberg bestimmt. (Winter 
1858—1859.) 

Noch sei erwähnt, daß wiederholt auch (z. B. Winter 1856 
bis 1857) Aufgaben, die die Wärmeleitung in kristallinischen 



— 166 — 

Medien betrafen, gestellt , daß femer für die Bestimmung der 
Wärmeleitungsfähigkeit verschiedene Methoden entwickelt und 
erörtert wurden, so unter anderem (Winter 1863 — 1864, Sommer 

o 

1866) die Angström sehe Methode. In anderen Semestern wurde 
die Theorie des Pouill et sehen Pyrheliometers behandelt. End- 
lich wurden mehrfach allgemeine Fragen, wie die Eindeutigkeit 
der Lösungen der Wärmeleitungsauf gaben, in den Kreis der Be- 
trachtungen gezogen. 

In der Optik kehren einfache Aufgaben der geometrischen 
Optik, wie sie in den ersten Jahren viel gestellt waren, später 
nur selten wieder; dagegen wurden öfter Aufgaben gestellt, die 
die Gauss sehen Hauptpunkte und Hauptebenen betrafen. Da- 
neben wurden vorwiegend Probleme der theoretischen Optik be- 
handelt, einerseits solche, zu deren Erörterung in der Vorlesung 
über Optik keine Zeit gewesen war (so sind wiederholt die For- 
meln für Reflexion und Brechung an EristaUflächen behandelt), 
andererseits solche, die von den Zuhörern eine selbständige Weiter- 
entwicklung der in der Vorlesung vorgetragenen Theorie ver- 
langten. Aufgaben der letzteren Art wurden z. B. im Winter 
1854 — 1855 vorgelegt. „Ich ließ die Theorie der Farbenringe 
in zweiachsigen Kristallen vollständig ausarbeiten und die- 
jenigen Mitglieder, denen dies gelungen war, auf Grund der selbst- 
entwickelten Formeln Messungen dieser Ringe an Kristallen an- 
stellen und daraus die Elemente der doppelten Strahlenbrechung 

ableiten." 

Im Wintersemester 1864 — 1865, in dem ich selbst an den 

Seminarübungen teilnahm, wurden zunächst Probleme ganz anderer 
Art behandelt. 

Neumann erörterte zuerst die Erscheinungen der Zirkular- 
polarisation im allgemeinen, sowie die Erzeugung zirkulär polari- 
sierten Lichtes durch das Fresnelsche Parallelepipedon. Da 
schon bei geringer Inhomogenität des Glases, bei Spannungen, 
wie sie durch ungleichförmige Abkühlung entstehen, Störungen 
der Erscheinung hervorgebracht werden, so wandte Neumann 
zur Erzeugung der totalen Reflexion ein Parallelepipedon an, 
dessen Seitenflächen aus Tafelglas bestanden, während der Innen- 
raum mit Wasser gefüllt war. Es wurde die Aufgabe gestellt, 
welches die Winkel des Parallelepipedons sein müssen, damit ein 
eintretender geradlinig polarisierter Strahl nach zweimaliger 



— 167 — 

totaler Reflexion im Innern in einen zirknlar polarisierten ver- 
wandelt wird. Sodann wurden die Farbenerscheinungen be- 
rechnet, welche eintretendes zirkulär polarisiertes Licht in einer 
Kalkspatplatte hervorbringt. Weiter wurden die optischen Er- 
scheinungen im Bergkristall (nach Fresnel und Airy) beschrieben 
und demonstriert. Daran schloß sich die Berechnung der Farben- 
erscheinungen in dünnen Qaarzplatten unter den verschiedensten 
Umständen, wie verschiedene Orientierung der Platte, verschiedene 
Polarisation (geradlinige und zirkuläre des einfallenden und aus- 
tretenden Lichtes), Kombination einer links und einer rechts 
drehenden Platte usw. 

Es folgte eine mechanische Theorie der Erschei- 
nungen der zirkulären und elliptischen Polarisation. 
Schon Mac Cullagh hatte erkannt, welche Modifikation die 
Differentialgleichungen der doppelten Strahlenbrechung erfahren 
müssen, um aus ihnen die Erscheinungen, wie sie der Bergkristall 
darbietet, abzuleiten, und Cauchy hatte diese Betrachtung auf 
zweiachsige Medien ausgedehnt. Da aber die Bedeutung der 
hinzuzufügenden Glieder vollkommen im unklaren blieb, so hatten 
die genannten Untersuchungen den Charakter einer Interpolation. 
Der erste Versuch, den Ursprung der betreffenden Glieder zu 
erklären, ist von C. Neumann in seiner Habilitationsschrift^) 
gemacht, indem er annahm, daß zu den gewöhnlichen Molekular- 
kräften noch Kräfte hinzukommen, die wie elektrische Strom- 
elemente auf Magnetpole wirken. Diese Erklärung, fügt F. Neu- 
mann hinzu, ist zwar noch nicht genügend begründet, führt aber 
zu Resultaten, die der Erfahrung entsprechen. 

Die durch Hinzufügung der neuen Kräfte erweiterten Glei- 
chungen der Elastizität lauten z. B. für Kristalle des regulären 
Systems, wenn u, v, w die den Achsen des Systems parallelen 
Verrückungen darstellen: 






*) Halle 1858. Der Titel der Schrift lautet: Explicare tentatur, 
quomodo fiat ut lucis planum polarisationis per vires electricas vel 
magneticas declinetur. — Siehe auch die Schrift: Die magnetische 
Drehung der Polarisationsebene. Halle 1863. 



( 



— 168 — 

und analog für die beiden anderen Komponenten. Darin ist 

_ d^u d^u d^u 

^ du dv dw 

dx dy dz 

Durch das mit a' multiplizierte Glied entstehen die drehenden 
Eigenschaften; für a'= gehen die Differentialgleichungen in 
die der Theorie der doppelten Strahlenbrechung zugrunde gelegten 
Gleichungen über (vgl. S. 72). Neumann modifiziert die Glei- 
chungen noch, indem er den Äther als inkompressibel annimmt, 
also die räumliche Dilatation = setzt. Dann lautet die 
obige Gleichung: 

ot^ dx^ \dz oy) ox 

wo A eine unbekannte Funktion ist (s. Theorie der Elastizität). 
Diese allgemeinen Gleichungen hatte Neumann selbst ent- 
wickelt, die Seminarmitglieder mußten die Integration durchführen, 
und zwar wurde zunächst der Fall behandelt, daß a' = ist, 
das Medium also keine drehende Eigenschaft besitzt, während 
von der in der Theorie der doppelten Strahlenbrechung 
eingeführten Annahme A — 3 a = abstrahiert wurde. Die 
Integration der Gleichungen führt dann zu der merkwürdigen 
Folgerung, daß auch im regulären System Doppelbrechung von 
eigentümlicher Natur stattfinden muß, daß es z. B. sieben Rich- 
tungen gibt, in denen keine Doppelbrechung auftritt, also sieben 
optische Achsen. Weiter mußten die vorstehenden Gleichungen 
integriert werden unter der Annahme A — 3 a = 0, a' ^ 0. Als 
Resultat ergibt sich, daß in dem Kristall in jeder Richtung sich zwei 
zirkulär polarisierte Strahlen von entgegengesetztem Drehungs- 
sinn mit verschiedener Geschwindigkeit fortpflanzen. Die Resul- 
tate wurden dann auf Kristalle mit ungleichen Achsen, doch unter 
der Annahme der Existenz dreier rechtwinkliger Symmetrieebenen 
ausgedehnt. Führt man auch hier die Bedingung der Inkompressi- 
bilität des Äthers ein, so lassen sich die Grundgleichungen in 
folgende Form bringen. Sind w, t;, w die Verrückungen, ist ferner 

« 

dv dw y dw du du dv 

dz dy' dx dz' dy dx' 



— 169 — 
so ist 






ox\ ex oy cz J 



und analog für F, TF. 

Die Integration dieser Gleichnngen unter der Annahme ebener 
Wellen führt zu dem Resultat, daß sich in jeder Richtung zwei 
Wellen mit verschiedener Geschwindigkeit fortpflanzen, beide 
Schwingungen sind elliptisch polarisiert und von entgegengesetztem 
Rotationssinn. In beiden ist die Lage der Ellipsenachsen für jede 
Fortpflanzungsrichtung eine ganz bestimmte, unabhängig von der 
einfallenden geradlinig polarisierten Welle, und ebenso verhält es 
sich mit dem Verhältnis der Ellipsenachsen. Zirkulare Polari- 
sation findet nur in denjenigen Richtungen statt, die den optischen 
Achsen des nicht drehenden Kristalls entsprechen (d. h. in den 
Linien, die bei a^ = 0, bj = 0, Ci = in die optischen Achsen 
übergehen); während aber bei nicht drehenden Kristallen die 
Fortpflanzungsgeschwindigkeiten in diesen Richtungen gleich sind, 
sind sie bei drehenden Kristallen ungleich. Zum Schluß macht 
Neumann noch eine Bemerkung über die Änderungen, die ein- 
treten würden, wenn man die Grundgleichungen in ähnlicher 
Weise erweiterte, wie es in der Cauchy sehen Bispersionstheorie 
geschieht (vgl. nächsten Absatz). 

Die nächsten Aufgaben bezogen sich auf die Met a 11- 
reflexion. Es wurden die Erscheinungen der Metallreflexion 
beschrieben, und die Seminaristen hatten die verschiedenen Me- 
thoden zu untersuchen , welche zur Beobachtung der relativen 
Intensität und Verzögerung der beiden Lichtkomponenten bisher 
in Anwendung gebracht waren. Insbesondere war die Theorie der 
Soleiischen Platten und des Babinet sehen Kompensators aus- 
zuarbeiten. Hieran schloß sich eine theoretische Ableitung 
der Gesetze der Metallreflexion. Die Grundlage bildeten 
die Gleichungen, die Gauchy für seine Dispersionstheorie ent- 
wickelt hat, nur daß dabei von vornherein die Bedingung der 
Inkompressibilität eingeführt wurde. Diese Gleichungen ergeben 
sich folgendermaßen. Bei der Ableitung der allgemeinen Elastizi- 
tätsgleichungen nach der Poisson sehen Methode wird die relativ 



— 170 — 

Yerrückung zweier Teilchen Dach dem Taylor sehen Satze ent- 
wickelt, nnd die Entwicklung bei der zweiten Potenz der Ent- 
fernung der Teilchen abgebrochen. Berücksichtigt man bei jener 
Entwicklung noch die folgenden Glieder bis zur vierten Potenz 
jener Entfernung, so erhält man die Gaue hy sehen Gleichungen. 
Setzt man in ihnen die räumliche Dilatation gleich Null, so nehmen 
sie, unter u, v, w die Komponenten der Yerrückungen verstanden, 
die einfache Form an: 

— = nDu+pD^u, 

und analog für die anderen Komponenten. Darin ist 

d^u d^u d^u 

(vgl. Vorlesungen über Elastizität, § 129, S. 482). 

Die Grrenzbedingungen für die Reflexion sind folgende : a) Die 
drei Komponenten der Bewegung sind in der Grenzebene beider 
Medien dieselben, möge man jene Ebenen als zu dem einen oder 
zu dem anderen Medium gehörig ansehen. — Es ist das dieselbe 
Annahme, die Neumann auch in seiner Theorie der gewöhnlichen 
und der Kristallreflexion macht; sie liefert drei Bedingungs- 
gleichungen, b) Als vierte Gleichung ist hier nicht, wie bei der 
partiellen Reflexion, die Gleichung der lebendigen Kraft zu nehmen. 
Wir wissen durch direkte Beobachtung, daß in der Metallreflexion 
wirklich ein Teil des Lichtes verloren geht. Nun läßt sich aber 
bei der partiellen Reflexion die quadratische Gleichung, die der 
Satz der lebendigen Kraft ergibt, auf eine lineare Gleichung redu- 
zieren, und letztere hat einen bestimmten physikalischen Sinn, 
den nämlich, daß die zur Reflexionsebene senkrechte Komponente 
der elastischen Kraft denselben Wert hat, man mag die Grenz- 
teilchen als dem einen oder dem anderen Medium angehörig an- 
sehen. Diese Gleichung wird auch hier zugrunde gelegt. 

Der weitere Gang der Rechnung ist nun wie bei der gewöhn- 
lichen Reflexion, nur mit der Modifikation, daß im reflektierten 
Lichte die komponierenden Strahlen eine gewisse Verzögerung er- 
leiden, und daß bei der gebrochenen Welle, die ja erfahrungs- 
gemäß in geringer Tiefe verschwindet, ein Exponentialfaktor 
hinzugefügt wird. 



— 171 — 

Auf die Resultate der skizzierten Entwicklung einzugehen, 
würde hier zu weit führen. Nur das sei noch bemerkt, daß die 
Rechnung bis zu einem gewissen Punkte streng durchgeführt, 
später durch die Annahme, daß der Extinktionskoeffizient sehr 
groß ist, vereinfacht wird. Die sich ergebenden Formeln sind 
mit den aus direkten Beobachtungen abgeleiteten Interpolations- 
formeln (s. Arbeit über Metallreflexion, S. 77) auf keine Weise in 
Übereinstimmung zu bringen, während die numerischen Resultate 
beider Formeln mit den Beobachtungen übereinstimmen. Den 
Schluß der Übungen bildete die Ableitung der Gesetze der Kri- 
stallreflexion für einachsige und zweiachsige Medien. 

Aus anderen Semestern erwähnen wir noch die Behandlung 
verschiedener spezieller Probleme der Eristallreflexion (z.B. 1870 
bis 1871), die Entwicklung der Theorie verschiedener optischer 
Apparate, z. B. des Nicoischen Prismas, wobei auch die Kon- 
struktion eines solchen aus einem zweiachsigen Medium zur Sprache 
kam (z. B. 1867 — 1868); endlich Aufgaben der accidentellen 
Doppelbrechung, die der großen Abhandlung von 1841 entnommen 
waren. 

Magnetismus und Elektrizität. Der Erdmagnetismus 
wurde im Seminar zum ersten Male im Jahre 1839 — 1840 be- 
handelt. Der Seminarbericht über dieses Jahr sagt: 

„Die Übungen betrafen die Ausführung der von Gauss zur 
absoluten Bestimmung der Intensität des Erdmagnetismus ge- 
gebenen Methode. Es war hierbei nötig und wichtig, die Elemente 
der Beobachtungskunst, als Zählen der Ghronometerschläge, Be- 
richtigung der Bussole usw., praktisch einzuüben. Die münd- 
lichen Vorträge knüpften an Gauss' „intensitas vis magneticae" 
an, die dem Seminar zuerst in mathematischer, dann in physika- 
lischer Hinsicht erläutert wurde. Die schriftlichen Arbeiten be- 
trafen die Theorie des magnetischen Inklinatoriums und die des 
Bifllarmagnetometers. " 

Im Anschluß an diese Übungen wurde am 14. Juni 1839 
die Intensität des Erdmagnetismus in Königsberg bestimmt. 
Ferner wurden seit Anfang 1841 mehrere Jahre hindurch unter 
Leitung eines älteren Mitgliedes (v. Behr, später Realschul- 
professor in Königsberg) von den Seminarmitgliedern regelmäßige 
magnetische Beobachtungen angestellt über die Variation der 
Intensität und der Deklination. Ähnliche Übungen wurden öfter 



— 172 — 

wiederholt und mit ihnen Aufgaben verbunden, die Anwen- 
dungen der elektrischen Ströme betrafen, so u. a. im Sommer- 
semester 1865. 

„Im Sommer begannen die Übungen mit der schärferen Ent- 
wicklung der Gaus 8 sehen Methode zur Bestimmung der Inten- 
sität des Erdmagnetismus, wobei namentlich näher auf die ver- 
schiedenen Yerfahrungsarten zur Ermittelung des Trägheitsmoments 
(z.B. durch die bifilare Aufhängung) eingegangen wurde. 

„Die Methode selbst muJßte von den Mitgliedern dahin modi- 
fiziert werden, daß statt des Chronometers die bifilare Aufhängung 
des ablenkenden Magneten angewandt wurde, und daß statt des 
ablenkenden Magneten elektrische Ströme benutzt wurden. 

„Da auf diesem Wege nur die horizontale Komponente des 
Erdmagnetismus erhalten wird, wurde die Tätigkeit der Mit- 
glieder des Seminars auf die Methode zur Bestimmung der mag- 
netischen Inklination gerichtet. Es mußte von ihnen die Theorie 
des gewöhnlichen Inklinatoriums entwickelt werden, wobei die 
älteren Einrichtungen von Bernoulli, Euler usw. berücksichtigt 
wurden. Hieran schloß sich die BehandluDg der übrigen Methoden, 
die zur Bestimmung der Inklination angewandt worden sind. Die 
Behandlung des Weber sehen Inklinatoriums gab eine gute Ver- 
anlassung für die Anwendung der Theorie der induzierten Diffe- 
rentialströme. Diese Anwendungen der Theorie der induzierten 
Differentialströme wurden weiter verfolgt, namentlich derjenigen, 
welche durch die Bewegungen des Multiplikatormagneten in diesem 
eiTegt werden. Es mußte ihr Einfluß auf die Amplitude der 
Schwingungen ermittelt werden. Diese Untersuchung wm*de auf 
die "Wirkung von Integralströmen sehr kurzer Dauer auf die 
Multiplikatornadel ausgedehnt und hieraus das Web er sehe Ver- 
fahren zur Bestimmung elektrischer Widerstände abgeleitet. 

„Die Web er sehe Methode zur Messung solcher Integral- 
ströme von kurzer Dauer wurde speziell behandelt, die Multipli- 
kations-, die Reflexionsmethode und noch andere Kombinationen 
mußten in Betracht gezogen werden. Schließlich wurden die Re- 
sultate dieser Untersuchungen benutzt, um daraus die Vorschriften 
bilden zu lassen, nach welchen aus der Beobachtung der durch 
den Erdmagnetismus induzierten Ströme die Inklination desselben 
abgeleitet wird. Es wurden von einigen Mitgliedern solche Beob- 
achtungen angestellt und berechnet. Auch zur Entwicklung der 



— 173 — 

Methode der Messung kleiner Zeitteile wurden die oben bezeich- 
neten Untersuchungen angewandt. 

^Den Schluß des Seminars bildete die Entwicklung der Theorie 
der Verteilung des Magnetismus in weichem Eisen. Die Mitglieder 
wurden yeranlaßt, diese Theorie auf eine weiche Eisenkugel an- 
zuwenden; sie mußten die Wirkung einer solchen durch den 
Erdmagnetismus magnetisierten Kugel auf eine Deklinationsnadel 
berechnen und die Vorschriften finden, um aus den beobachteten 
Ablenkungen die Inklination abzuleiten. Diese Anwendungen 
wurden dahin erweitert, daß statt der Kugel ein anderer Rotations- 
körper aus Eisen betrachtet wurde." 

Außerdem wurde, was Neumann in seinem Bericht nicht 
erwähnt, die Induktion einer weichen Eisenmasse behandelt, die 
von einer Ebene begrenzt ist. 

Aus anderen Semestern, in denen die Übungen sich ebenfalls 
auf die Lehre von der Elektrizität und dem Magnetismus er- 
streckten, fühi-en wir noch an (1853 — 1854): 

„Es wurden die Methoden der elektrischen Strommessung 
behandelt, die Theorie der anzuwendenden Vorrichtungen ent- 
wickelt und darauf gegründete Beobachtungen angestellt. 

„Ich ließ fem er die Methoden untersuchen, durch welche die 
Konstanten in elektrischen Ketten bestimmt werden sollen, und 
in größeren Reihen von Beobachtungen zur Anwendung bringen. 
Hierbei wurden besondere Verfahrungsarten untersucht und aus- 
geführt, durch welche die Widerstände der Flüssigkeiten, von 
der Polarisation getrennt, bestimmt werden. Als Nebenunter- 
suchung wurde die Berichtigung der Differentialmultiplikatoren 
ausgeführt." 

Im Jahre 1858 — 1859 wurden u.a. die Eigenschaften der 
magnetischen Achsen erörtert und Methoden zu ihrer empirischen 
Bestimmung abgeleitet. Im folgenden Jahre wurden Fragen be- 
handelt, die sich auf die Bewegung der Elektrizität in Ebenen 
oder in Räumen bezogen, wenn diese mit einem homogenen Leiter 
erfüllt sind oder mit Medien von verschiedenen Leitungsfähigkeiten. 
„Diese ihrer Natur nach sehr allgemeinen Untersuchungen mußten 
in speziellen Fällen so weit durchgeführt werden, daß aus ihnen 
Methoden abgeleitet werden konnten für die empirische Prüfung 
ihrer Resultate." Als spezielle Aufgaben über denselben Gegen- 
stand werden 1862 — 1863 angeführt: Strömung der Elektrizität 



— 174 — 

in kreisförmigen Scheiben und Ringen, in elliptischen Scheiben, 
in rechtwinkligen Platten und Streifen. Auch wurde die Strömung 
in Platten untersucht, die aus zwei oder mehr verschiedenen 
Leitern zusammengesetzt waren. 

Aus 1867 — 1868 sind erwähnenswert eingehende Unter- 
suchungen über die Tangentenbussole. 

„Es muJßte die vorteilhafteste Stellung, die zweckmäßigste 
Einrichtung einer einfachen elektrischen Rolle bestimmt werden, 
und es mußte die Leistung eines Rollenpaares und seine ent- 
sprechende Aufstellung ermittelt werden. Diese Untersuchung 
mußte ausgedehnt werden auf zwei Rollenpaare usw. und endlich 
auf ein System von Rollenpaaren von beliebiger Anzahl. Dies 
führte zu Räumen von konstanter elektrodynamischer Wirkung. 
Diese Räume mußten nun benutzt werden zur Magnetisierung 
von Eisenkugeln. Die Wirkung dieser so magnetisierten Kugeln 
/auf eine außerhalb des Rollensystems stehende Deklinationsnadel 
mußte berechnet werden, um aus deren Beobachtung die magne- 
tischen Konstanten und ihre Variation abzuleiten." 

o) Besoheide des Ministeriums auf die Seminarberiohte. 

Wie schon oben erwähnt, mußten die Arbeiten der Seminar- 
mitglieder alljährlich zusammen mit den Berichten dem Ministerium 
eingereicht werden; manche Berichte umfaßten, namentlich in den 
dreißiger und vierziger Jahren, je zwei Jahre. Bei der Rück- 
sendung sprach sich das Ministerium fast stets durchaus an- 
erkennend über die Leitung des Seminars aus. So z.B. wird in 
dem Ministerialreskript vom 20. Februar 1841 über den Bericht 
für das Jahr 1839 — 1840 gesagt: „Die Arbeiten liefern wieder 
den erfreulichen Beweis von den guten Fortschritten der Semi- 
naristen in ihrer Wissenschaft und von den Früchten der Be- 
mühungen ihrer Lehrer. Gern gibt der Minister der Hoffnung 
Raum, daß das gedachte Seminar sich auch ferner als eine der 
trefflichsten Pflanzschulen für Mathematik und Physik bewähren 
und aus demselben unter der umsichtigen Leitung der Professoren 
Jacobi und Neumann noch viele kenntnisreiche und tüchtige 
Lehrer der oben gedachten Wissenschaften hervorgehen werden.^ 
, Nur einmal, bei Rücksendung der Arbeiten der Jahre 1841 — 1843, 
klingt neben dem Lobe ein leiser Tadel durch. Der Minister 



— 175 — 

schreibt, er habe sich von dem erfreulichen Zustande und den 
glücklichen Erfolgen des Seminars gern überzeugt. Er billige, 
daß die Aufgaben so gestellt seien, daß sie zagleich für einen 
größeren Kreis der Studierenden der Mathematik und Physik 
paßten und ihnen Anregung gäben, etwaige Lücken in ihren 
Kenntnissen auszufüllen. Dann fügte er den Wunsch hinzu, daß 
auch auf die Darstellung mehr Gewicht gelegt werde. 

Wie diese Bemerkung gemeint ist, geht aus der Erwiderung 
Neumanns hervor, die dem Bericht über die Zeit Ostern 1843 
bis 1845 beigelegt ist. 

„Ew. Hochwohlgeboren haben mir unter dem 8. Oktober 1843 
unter Zurücksendnng der früheren Arbeiten des Seminars eröffnet, 
daß S. Exz. der Herr Staatsminister auf Grund des Gutachtens 
eines Sachverständigen in diesen Arbeiten die Bemühung um 
Verdeutlichung nicht im gleichen Verhältnis mit der Scbwierig- 
keit des Gegenstandes stehend gefunden habe, daß das Schwierige 
öfters fast nur angedeutet sei, während Nebendinge hätten kürzer 
gegeben werden können. Ich erlaube mir in dieser Beziehung die 
ergebenste Bemerkung, daß die Schwierigkeit eines Gegenstandes 
subjektiv ist, und daß, wenn ein Mitglied des Seminars in seiner 
Arbeit mehr um die Verdeutlichung von Nebenpunkten sich be- 
müht, daraus zu schließen ist, daß für ihn der Hauptpunkt keine 
Schwierigkeit hatte, dieser vielmehr ihm aus den Vorträgen her 
geläufig war. Öfters mögen die Aufgaben gerade dieser Neben^ 
punkte wegen gestellt sein.^ 

Seit dieser Zeit finden sich in den Erlassen, die die Rück- 
sendung der Arbeiten begleiteten, keinerlei Bemerkungen, die nur 
entfernt einem Tadel ähnlich sehen, sondern nur Worte des Lobes 
und der Anerkennung. 

d) Selbständige Arbeiten älterer Mitglieder. 
Dissertationen, die von Neumann angeregt sind. 

Unser Bericht über den Seminarbetrieb würde nicht voll- 
ständig sein, wenn wir ihm nicht noch einiges über die Be- 
schäftigung der weiter fortgeschrittenen Mitglieder 
hinzufügten. 

Den älteren Mitgliedern des Seminars wurden die Mittel ge- 
währt, sich in messenden Beobachtungen zu üben. Schriftliche 



— 176 — 

Arbeiten wnrden yon ihnen nur gelegentlich gefordert, wenn die 
experimentellen Resultate und deren Besprechung besondere Ver- 
anlassung dazu gaben. Über den Nutzen derartiger Übungen 
spricht sich Neumann (Bericht über 1852 — 1853) folgender- 
maßen aus: „Es liegt in der Natur solcher Beschäftigungen, daß 
das objektive, aufweisbare Resultat oft gering ist, während doch 
der subjektive Gewinn wichtig werden kann." 

War die Übung im Beobachten eine hinreichende, so wurden 
weiter die schon ausgebildeten Mitglieder in der Ausführung 
selbständiger Untersuchungen unterstützt. Neumann sagt 
darüber: „Im Seminar ist immer der Grundsatz befolgt worden, 
daß das einzelne Mitglied sich von den durch den Dirigenten vor- 
gelegten Beschäftigungen dispensieren kann, wenn es sich mit 
selbstgewählten Arbeiten beschäftigt. Es hat dann nur Bericht, 
mündlich oder schriftlich, über den Fortgang seiner Arbeit oder 
über die Schwierigkeiten, auf welche es gestoßen ist, abzustatten, 
bis es die Resultate selbst vorlegen kann. Es werden Arbeiten 
dieser Art besonders gern gesehen und ermuntert." 

Es sei gestattet, von den so entstandenen größeren Arbeiten 
einige teils theoretische, teils experimentelle anzuführen. 

Aus dem Jahre 1837 ist eine größere Arbeit Schumanns 
(s. oben S. 152 — 154) über Elastizität zu erwähnen, von der 
Neumann sagt, sie zeichne sich durch eigentümliche Auffassung 
und Selbständigkeit um so mehr ans, als der Verfasser von den 
neueren Arbeiten Poissons u. a. über denselben Gegenstand 
erst später Kenntnis erhielt. Auch finde man in ihr von der 
Koexistenz kleiner Schwingungen in einem besonders schwierigen 
Falle zuerst einen strengen Beweis. 

Im Jahre 1840 — 1841 arbeitete Brix (später Ingenieur bei 
der preußischen Telegraphenverwaltung) über die experimentelle 
Bestimmung der latenten Wärme der Dämpfe. Er promovierte 
auf diese Arbeit, die in Pogg. Ann. 55, 1842, abgedruckt ist, im 
November 1841. Aus dem Jahre 1842 — 1843 ist eine Arbeit 
von A. E. Schinz, „Über den Einfluß der Temperatur auf die 
Steighöhen in kapillaren Röhren" zu nennen, hervorgegangen aus 
einer von Neumann gestellten Preisaufgabe; auf diese Arbeit 
) promovierte der Verfasser im Juni 1843. 

G. Kirchhoff hatte bereits in den Jahren 1843 — 1845 so 
tüchtige Seminararbeiten geliefert, daß Neumann in seinem Be- 



— 177 — 

rieht an den Minister auf dieses „sich früh durchbildende Talent^ 
besonders aufmerksam macht. Kirchhoffs erste, in den Jahren 
1845 — 1848 in Pogg. Ann. veröffentlichte Arbeiten sind direkt j 
im Anschloß an die SeminarübuD gen verfaßt; Neu mann sagt ' 
darüber in seinem Bericht 1845 — 1846: „Ein Mitglied, Herr stud. 
Kirchhoff, beschäftigte sich mit ihm eigentümlichen Aufgaben 
aus der Theorie des Elektromagnetismus; einige Resultate seiner 
Arbeiten habe ich ihn zur öffentlichen Kenntnis in Pogg. Ann. 
bringen lassen" (Bd. 64 und Bd. 67, s. Kirchhoff, Ges. Abb., S. 1 
und 17). 

Auch Kirchhoffs Dissertation über die Konstanten, von \ 
welchen die Intensität der induzierten Ströme abhängt ^) (ab- 
gedruckt in Pogg. Ann. Bd. 76, s. Kirchhoff, Ges. Abb., S. 118), 
ist von Neumann angeregt, der 1846 eine das Thema betreffende 
Preisaufgabe gestellt hatte. Die Hilfsmittel zu den erforderlichen ■ 
Experimenten wurden vom Seminar zur Verfügung gestellt. 

Aus dem Jahre 1855 — 1856 wird Müttrich^) als mit einer 
größeren zusammenhängenden Arbeit beschäftigt erwähnt, näm- 
lich mit der kristallographischen und optischen Bestimmung des 
Weinstein sauren Kalinatrons; er hat diese Untersuchungen auch 
später fortgesetzt und darauf im Dezember 1863 promoviert. 

Der Arbeiten von 0. E. Meyer und C. J. H. Lampe über 
Reibung der Flüssigkeiten (1857 — 1858) ist oben schon gedacht. 
1858—1859 wird berichtet: „Herr Meyer setzte seine schon 
früher begonnenen Beobachtungen über die innere Reibung von 
Flüssigkeiten fort." 

Meyer hat auf seine Arbeit im November 1860 promoviert, 
aber auch noch in späteren Jahren in einer Reihe von weiteren 
Arbeiten die Untersuchungen fortgesetzt. 

Im Jahre 1859 — 1860 werden zwei größere Arbeiten von 
den Mitgliedern Saalschütz und Schindler angeführt, die als 
selbständige Fortsetzungen früherer Seminararbeiten zu betrachten 
sind. Die Arbeit von Saalschütz betraf den Wärmezustand der 
Erde. Er hat darauf im Juli 1861 promoviert. 

Im Winter 1865 — 1866 wurden dem Verfasser dieser Schrift 
die Mittel zur Messung Newtonscher Ringe zur Disposition ge~ 

Ss handelt sich um die Konstante e, s. S. 111 Anm. 
*) NB. Der Name ist bei Yolkmann durch einen Druckfehler 
entstellt. 

Wange rin, Franz Neumann. 19 



— 182 — 

lichkeit der Mittel und Gelegenheit auf eine Weise beschäftigen 
zu müssen, die ich nur durch den Druck der Verhältnisse recht- 
fertigen kann. Die Einrichtung auf unserer Universität ist ja 
noch immer so, als könnte ich Physik in Vorlesungen lehren — 
ich habe ja nicht einmal ein Laboratorium. Meine eigene wissen- 
schaftliche Tätigkeit muß sich beschränken auf das, was ein 
Physiker auf einer Dachstube allenfalls für die Wissenschaft etwa 
noch tun kann" ^). 

Mußte Neumann so während seiner ganzen Tätigkeit als 
akademischer Lehrer das wichtigste Hilfsmittel für einen erfolg- 
reichen Unterricht entbehren, so suchte er wenigstens die geringen 
Mittel des Seminars möglichst nutzbar zu machen. Schon vom 
Jahre 1839 an, wo dem Seminar ein, wenn auch geringer fester 
Fonds bewilligt war, begann er (vgl. oben S. 171) praktische 
Übungen anstellen zu lassen. Freilich konnten diese zunächst 
nur in geringem Umfange, und auch nur im Sommer statt- 
finden, da die Räume der mineralogischen Sammlung (in der 
alten Albertina am Domplatz)^ wegen ihrer Unheizbarkeit im 
Winter nicht benutzt werden konnten 2). Noch öfter treten in 
den Seminarberichten die Klagen über den Mangel der für die 
Übungen zur Disposition stehenden Bäumlichkeiten , die nicht 
gestatten, den experimentellen Beschäftigungen die erwünschte 
Ausdehnung zu geben, hervor, und 1843 wird von Neumann 
wiederum die Erbauung eines Laboratoriums, bzw. die Mietung 
von Räumen zu diesem Zwecke beantragt. Ja in einer Bio gäbe 
von 1844 erbietet er sich, einen Teil der Mietskosten zu tragen, 
und erwähnt dabei, daß er 15 lange Jahre vergeblich gehofft, die 
Hindernisse schwinden zu sehen, welche der ganzen und vollen 
Anwendung seiner Kräfte entgegenstehen. 

Im Jahre 1845 kommt er bei Gelegenheit des Antrages, 
Richelot die Leitung der mathematischen Abteilung des Seminars 
definitiv zu übertragen, auf das Laboratorium zurück, „sowie ich 
auch nicht aufhören werde zu hoffen auf die Gewährung des so- 
wohl zur vollen Entwicklung der Wirksamkeit des Seminars, als 
des Gedeihens des physikalischen Studiums überhaupt notwendigen 
physikalischen Laboratoriums". Keine der wiederholten Ein- 



*) Erinnerungsblätter S. 352 bis 353. 
*) Seminarbericlit 1841. 



— 183 — 

gaben, denen 1846 Andeutungen über die Erfordernisse eines 
physikalischen Laboratoriums beigefügt waren ^), hatte Erfolg. 

Um überhaupt das Experimentieren der Seminarmitglieder 
zu ermöglichen, mußten um diese Zeit den einzelnen Mitgliedern 
die betreffenden Apparate in ihre Wohnungen mitgegeben werden, 
was übrigens auch in späteren Jahren noch vielfach geschah. 

Eine kleine Besserung der Verhältnisse trat ein, als Neu- 
mann 1847 ein eigenes Haus erworben hatte. Von diesem ein- 
stöckigen, auf dem Hintertragheim gelegenen Hause, dessen Garten 
bis an den Schloßteich reichte, nahm Neumann für sich und 
seine Familie nur einen Teil in Anspruch, die besten und größten 
Zimmer benutzte er zur Aufstellung der Instrumente, die er teils 
aus* eigenen Mitteln, teils für das Seminar allmählich anschaffte. 
Hier wurden denn auch die praktischen Übungen der Seminaristen 
angestellt, auf die oben an den verschiedensten Stellen hin- 
gewiesen ist. Freilich war das bei der Beschränktheit der Räum- 
lichkeiten und der Beschränktheit der Mittel noch immer nicht 
in dem erwünschten Umfange möglich; es war gewissermaßen 
nur ein Notbehelf. Neumann spricht „von der teilweisen Be- 
seitigung der Ungunst der Umstände, welche die lange von ihm 
gewünschte größere Ausdehnung dieser Art von Tätigkeit im 
Seminar verhinderte^ ; aber er ist dem Ministerium schon für die 
Erfüllung nur eines geringen Teiles seiner Wünsche dankbar. 

In späteren Jahren kommt er nicht mehr auf das Labora- 
torium zurück, „da der Wirkungskreis, in dem er sich jetzt be- 
finde, seine Kräfte so vollständig in Anspruch nehme, daß er 
nicht glaube, ihn noch erweitern zu dürfen" 2), 

Erst als er 1876 seine Lehrtätigkeit aufgegeben, betont er 
in einer Eingabe an den Kurator von neuem die Notwendigkeit 
des Laboratoriums. Die Eingabe hat folgenden Wortlaut 3): 

„Die Notwendigkeit eines physikalischen Laboratoriums für 
die hiesige Universität ergibt sich aus folgenden zwei Tatsachen: 

1. kann der physikalische Unterricht ohne ein solches 
Laboratorium nur unvollständig, nicht in der Ausdehnung erteilt 



*) Erinnerungsblätter, S. 445. 

*) Erinnerungsblätter, S. 379. 

'*) Frl. Neumann teilt dieselbe nach einem Konzept mit; zwischen 
diesem und der wirklichen Eingabe sind kleine Abweichungen, nament- 
lich am Schluß vorhanden. 



— 184 — 

werden, wie es das Bedürfnis der künftigen Lehrer der höheren 
Lehranstalten der Provinz, dem heutigen Zustande der Physik eni>- 
sprechend, erfordert; 

2. können die Lehrer der Physik ohne Lahoratorium sich 
nicht die Mittel verschaffen, die nötig sind, um an der Entwick- 
lung der Wissenschaft denjenigen Anteil zu nehmen, der von 
akademischen Lehrern mit Bechj; erwartet wird. 

„Der akademische Lehrer, der sich noch seines Berufes be- 
wußt ist, weiß, daß er nicht allein für den Unterricht seiner 
Disziplin berufen ist, daß er an der weiteren Entwicklung und 
Fortbildung derselben teilzunehmen hat, ja er weiß, daß seine 
Wirksamkeit als Lehrer nur dann erfolgreich und fruchtbar werden 
kann, wenn er als selbständiger Forscher der Wissenschaft sich 
fühlt. Sind demselben die Mittel zu eigenen wissenschaftlichen 
Arbeiten versagt, und sie sind es, wenn ihm kein Laboratorium 
gewährt wird, so wird er die erste Gelegenheit ergreifen, die 
hiesige Universität zu verlassen. Hervorragende Physiker wird 
unsere Universität ohne Laboratorium heute nicht gewinnen 
können. Man denke sich in die Lage eines wissenschaftlichen 
Mannes, der große Reihen wichtiger Untersuchungen und Beob- 
achtungen seiner Zeitgenossen auf sich beruhen lassen muß, weil 
er nicht die Mittel und die Räumlichkeiten besitzt, dieselben zu 
prüfen und sich ein selbständiges Urteil über den Wert und die 
Grenzen der Zuverlässigkeit ihrer Resultate zu verschaffen; man 
denke sich denselben Mann, wie er bei jedem ihm entgegen- 
tretenden wissenschaftlichen Problem, ehe er an die Untersuchung 
geht, ängstlich sich erst fragen muß, ob seine Mittel eine solche 
zulassen. Solche Beengung des akademischen Dozenten kann 
nicht fördernd auf seinen Unterricht wirken, diese Hindernisse 
seiner akademischen Tätigkeit können nur das Verlangen er- 
zeugen, sich an einer anderen Universität einen Wirkungskreis 
zu suchen. 

„Was den Unterricht selbst in der Physik betrifft, bemerke 
ich, daß derselbe einer doppelten Forderung zu genügen hat. 
Er hat zunächst diejenigen physikalischen Kenntnisse und An- 
schauungen zu gewähren, welche zur allgemeinen Bildung der- 
jenigen gehören, die sich dem Studium irgend eines Zweiges der 
Naturwissenschaften, wie Chemie, Mineralogie, Botanik usw., wid- 
men oder Medizin studieren wollen. Dann hat 2. der physikalische 



— 185 — 

Unterricht für diejenigen zu sorgen, welche Lehrer der Physik 
werden wollen. Der ersten Forderung wird genügt durch die 
Vorlesungen über Experimentalphysik. Diese Vorlesungen bilden 
zugleich die Grundlage für jedes tiefer gehende Studium der 
Physik, sie finden für diejenigen, die sich zu Physikern ausbilden 
wollen, ihre Ergänzung in den Vorlesungen über theoretische 
Physik, worin der mathematische Zusammenhang der Phänomene, 
welche die Experimentalphysik mehr oder weniger lose neben- 
einander stehen lassen mußte, entwickelt wird, soweit das bis jetzt 
der Wissenschaft gelungen ist. 

„Mit diesem experimentellen und theoretischen Unterricht 
schließt unsere Universität die physikalische Ausbildung der Regel 
nach ab, von einzelnen Ausnahmefällen braucht hier nicht ge- 
sprochen zu werden, und deshalb bleibt die Ausbildung unvoll- 
ständig. Ihr fehlt noch eine wesentliche Seite, die praktische 
Ausbildung. Die Behandlung von physikalischen Apparaten, die 
Kunst zu beobachten, die Methoden für Messungen, die Methoden, 
numerisch festzustellende Elemente aus den Erscheinungen abzu- 
leiten usw., können nur in praktischer Beschäftigung in einem 
Laboratorium gelernt werden, und nur hier kann der Lehrer die 
erforderlichen Anweisungen und Belehrungen erteilen. Diese 
Un Vollständigkeit der physikalischen Ausbildung der Physik Stu- 
dierenden ist von um so größerem Gewicht, da dieselben meistens 
nicht in der Lage sind, eine Ergänzung ihrer Ausbildung auf 
einer anderen Universität suchen zu können, wozu ich in zu- 
lässigen Fällen immer angeraten habe." 

Eine weitere Eingabe, die in dieser Angelegenheit am 7. Juni 
1876 von Voigt gemacht ist, ist von Neumann unterschrieben. 

Auch jetzt vergingen, obwohl allerseits der gute Wille vor- 
handen war, noch Jahre, bis Neumanns sehnlichster Lebens- 
wunsch in Erfüllung ging. Erst in den Jahren 1884 — 1886 
wurde das Laboratorium erbaut (ohne Dienstwohnung), zu einer 
Zeit also, wo Neumann, fast neunzigjährig, von der Einrichtung 
keinen Gebrauch mehr machen konnte. 



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naturwissenschaftlichem Gebiete zu verfolgen. Zwar teilen uns zahlreiche 
referierende Zeitschriften die neuen Ergebnisse der Forschung mehr oder 
weniger schnell mit, aber ohne dieselben einheitlich zusammenzufassen. Die 
Entwickelung der einzelnen Wissenschaften zu verfolgen wird aber nur dann 
möglich sein, falls in nicht zu langen Zwischenräumen übersichtliche Dar- 
stellungen über begrenzte Teile derselben erscheinen. Durch derartige Mono- 
graphien wird auch dem Spezialforscher ein Einblick in Nebengebiete 
ermöglicht. Überlegungen in dieser Richtung haben in Frankreich zur Ver- 
öffentlichung der „Scientia" geführt. In Deutschland soll demselben Zweck 
die in unserem Verlage unter dem Titel „Die Wissenschaft'* erscheinende 
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Nicht populär im gewöhnlichen Sinne des Wortes, sollen diese Mono- 
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