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Full text of "Géométrie descriptive"

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THE LIBRARY 

OF 

THE UNIVERSITY 

OF CALIFORNIA 



GIFT OF 



Prof. G. C, Evans 






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GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE 



HuYGENS (Christian). — Traité de la lumière. Un vol. de x-155 pages 
et 74 figures ; broché, net 3 fr. 50 

Lavoisier (A.-L.). — Mémoires sur la respiration et la transpira- 
tion des animaux. Un vol. de viii-G8 pages ; broché, net. . . 3 fr. » 

Spallanzani (Lazare). — Observations et Expériences faites sur les 

Animalcules des Infusions. Deux vol. de yiii-106 et 122 pages; 

- chaque vol. broché, net 3 fr. » 

Clairaut (A.-C). — Eléments de Géométrie. Deux vol. de xiv-95 et 
103 pages avec 69 et 77 figures; chaque vol. broché, net. 3 fr. 50 

Lavoisier et Laplace. -^ Mémoire sur la chaleur. Un vol. de 78 pages 
avec 2 pl-inches; broché, net 3 fr. » 

Carnot (Lazare). — Réflexions sur la métaphysique du Calcul infini- 
tésimal. Deux vol. de viii-117 et 105 pages avec 5 figures; chaque 
vol, broché, net 3 fr. » 

D'Alembert (Jean). — Traité de Dynamique. Deux vol, de xl-102 et 
187 pages avec 81 figures; chaque vol. broché, net 3 fr. » 

Dutrochet (René). — Les mouvements des végétaux. Du réveil et du 
sommeil des plantes. Un vol, de viii-121 pages et 25 figures; broché, 
net 3 fr. » 

Ampère (A.-M,). — Mémoires sur V électromagnétisme et V électrodyna- 
mique. Un vol. de xiy-l\0 pages et \1 figures -ybroché, net 3 fr. » 

Laplace (P.-S,). — Essai philosophique sur les probabilités. Deux 
vol. de xn-103 et 108 pages; chaque vol, broché, net, .. . 3 fr. » 

BouGUER (Pierre), — Essai d'optique sur la gradation de la lumière. 
Un vol. de xx-l30 pages et 17 figures; broché, net,.. 3 fr. • 

Painlevé (Paul). — Les axiomes de la Mécanique. Examen critique. 
Note sur la propagation de la lumière. Un vol. de xiii-112 pages et 
4 figures; broché, net 4 fr. » 

Sous presse : 

Mariotte (Edme). — '■ Discours de la nature de l'air. De la végétation 
des plantes. Nouvelle découverte touchant la vue. Un vol. do 
00 pages ; broché, net » 

MoNGE (Gaspard), — Géométrie descriptive. Deux vol. de xvi-1 A4 
et 138 pages avec 53 figures; chaque vol. broché, net. . ; . » 



Il est tiré de chaque volume 10 exemplaires sur papier 
de Hollande, au prix uniforme et net de 6 francs. 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIÔUE 
Collection de Mémoires et Ouvrages 

Publiée par les soins de IMaihice SOLOVINE 



CÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



PAU 



Gaspard MONGE 

AlJiîMEMEE mm TlltOlUE »KS OMBllES ET DE LA PERSPECTIVE 

EXTRAITK DKS PAPIERS DE LAUTEUR 

Par Barnabe BRISSON 




PARIS 

GAUTHIER-VILLAHS ET C", ÉDITEUi^S 

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DK l'ÉCOLE POLYTECJINIQUI 

Quai des Grands-Augustins, 55. 
19-22 



Tous droits de traduction, de reproduction et d'î^daptation réservés 
pour tous pays. 



AVERTISSEMENT. 



V-/-2- 



L'accroissement rapide des découvertes scientifiques 
engendre fatalement Vouhli des découvertes passées et 
de leurs auteurs — ouhli encore favorisé par le fait 
regrettable que la plupart des mémoires et des ouvrages^ 
ou ces découvertes se trouvent exposées^ sont complè- 
tement épuisés et introuvables. 

La collection des Maîtres de la Pensée scientifique 
comprend les mémoires et les ouvrages les plus impor- 
tants de tous les temps et de tous les pays. Elle est 
destinée à rendre accessibles aux savants et au public 
cultivé les travaux originaux^ qui marquent les étapes 
successives dans la construction lente et laborieuse de 
Védifice scientifique. Tous les domaines de la Science 
y sont représentés : les mathématiques ^ V astronomie, la 
physique, la chimie, la géologie, les sciences naturelles 
et biologiques, la méthodologie et la philosophie des 
sciences. Étant la plus complète, elle fournira les docu- 
ments indispensables aux historiens de la science et 
de la civilisation, qui voudront étudier Vévolution de 
Vesprit humain sous sa forme la plus élevée. Elle per- 
mettra aux savants de connaître plus intimement les 
découvertes de leurs devanciers et £y trouver nombre 



316 



VI LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

d^ idées originales. Les philosophes y trouveront une 
mine inépuisable pour Vétude épistémologique des 
théories^ des hypothèses et des concepts, au moyen des- 
quels se construit la connaissance de Vunivers. Elle 
offre enfin à la jeunesse studieuse un moyen facile et 
peu coûteux de prendre contact à leur source même 
avec les méthodes expérimentales et les procédés ingé- 
nieux que les grands chercheurs ont dû inventer pour 
résoudre les difficultés — méthodes concrètes, infini- 
ment plus suggestives et plus fécondes que ne le sont 
les règles schématiques des Manuels. 

On trouve encore dans les mémoires classiques, où la 
profondeur de la pensée et la justesse du raisonne- 
ment se manifestent sous une forme remarquablement 
lucide et élégante, le secret d'exposer les découvertes 
et l,es conceptions scientifiques d'une façon claire et 
précise, comme Vont demandé à plusieurs reprises les 
savants les plus illustres de notre temps. 



Les mémoires et les ouvrages français sont réim- 
primés avec grande exactitude d'après les textes origi- 
naux les mieux établis, et ceux des savants étrangers 
sont traduits intégralement et avec une rigoureuse 
fidélité. 



NOTICE BIO&RAPHIOUE 



Gaspard Monge, fils d'un pauvre marcliand ambu- 
lant, naquit à Beaune (Côte-d'Or) le lo mai 17/16. Il 
fut placé dans le collège de cette ville, dirigé par les 
Oratoriens, où il se distingua par son ardeur aux 
études et sa pénétrante intelligence. A peine âgé de 
i/f ans, il excita l'admiration des notables de Beaune 
par la construction d'une pompe à incendie 1res per- 
fectionnée. Deux ans plus tard, il provoqua l'admira- 
tion générale pour le plan détaillé qu'il traça de sa 
ville natale. Ce travail lui valut d'être nommé, à l'âge 
de 16 ans, professeur de physique au célèbre collège 
de l'Oratoire de Lyon. Les supérieurs de cette insti- 
tution désiraient se l'attacher pour toujours et lui 
proposèrent d'entrer dans les ordres. Mais le père de 
Monge était peu favorable à ce projet et lui conseilla 
d'accepter plutôt la proposition d'un officier supérieur 
de le faire entrer à l'École militaire de Mézières, qui 
formait les officiers du génie. Gaspard Monge acquiesça 
à ce projet. Il entra à l'Ecole en 1765, mais n'étant 
pas noble, il n'avait de droit d'accès qu'à la section 
pratique, qui avait pour but de former des appareil- 
leurs et des conducteurs. Monge ne se contenta pas 
seulement d'exécuter les travaux obligatoires, il s'em- 



vin NOTICE BIOGRAPHIQUE. 

ploya à rechercher les fondements mathématiques des 
constructions de stéréotomie, et réussit à donner des 
démonstrations simples et élégantes des procédés 
empiriques employés jusqu'alors. Et ayant été chargé 
d'exécuter un plan de défilement, il s'acquitta de cette 
tâche délicate en modifiant radicalement les p:océdés 
habituels et en établissant une méthode toute nou- 
velle pour traiter ce genre de travaux. Cette méthode 
rencontra, à cause de sa nouveauté même, une vive 
résistance, mais finit cependant par s'imposer. 

C'est à ce moment que Monge — qui n'avait que 
19 ans — fut nommé suppléant de Bossut, qui pro- 
fessait les mathématiques, et de l'abbé Nollet, qui 
professait la physique. En 1780, Monge fut adjoint 
à Bossut, qui professait l'hydrodynamique. La même 
année, il fut nommé, grâce surtout à l'intervention de 
D'Alembert, membre de l'Académie des Sciences. En 
1783, il quitta définitivement l'Ecole de Mézières pour 
remplacer Bezout, qui venait de mourir, comme exa- 
minateur à l'Ecole de la marine. 

Embrassant avec enthousiasme les idées de la 
grande révolution, il déploya une activité prodigieuse 
dans les circonstances les plus difîiciles. Il fit partie 
de la deuxième Commission — comprenant Borda, 
Lagrange, Laplace et Condorcet — qui fut chargée 
d'étudier le nouveau système de mesures et qui pré- 
senta son Rapport le 19 mars 1791. Le 10 août 1792, 
il fut nommé ministre de la marine, poste qu'il occupa 
jusqu'au 10 mai 1798. Après sa démission, Monge se 
consacra avec un zèle infatigable aux problèmes de la 



NOTICE BIOGRAPHIQUE. IX 

défense du territoire, menacé par les armées ennemies. 
Il surveillait les travaux dans les manufactures 
d'armes, dans les fonderies, dans les poudrières et pro- 
digua ses conseils aux directeurs des arsenaux et aux 
ouvriers {Description de Vart de fabriquer les canons, 
Paris an II. Avis aux ouvriers en fer sur la fabrication 
de V acier ^ en collaboration avec Vandermonde et Ber- 
thollet. Paris, 1794). 

Il fut un des principaux fondateurs de l'Ecole Nor- 
male et de l'École Polytechnique, dans lesquelles il 
exerça comme professeur une influence considérable 
et des plus bienfaisantes. Très admiré de Napoléon, il 
fut chargé par ce dernier de fonctions très impor- 
tantes. 

Il figura parmi les savants et les artistes, qui firent 
partie de l'expédition d'Egypte, et fut nommé prési- 
dent de l'Institut que l'empereur y fonda. De tant de 
travaux importants qu'il y efTeclua, il convient de 
mentionner tout particulièrement l'explication si juste 
du mirage, qu'il étudia d'une façon attentive pendant 
le trajet d'Alexandrie au Caire par le désert. De retour 
en France, il fut nommé sénateur en 1799 et peu après 
comte de Péluse. 

Monge, par la supériorité de son génie, l'affabilité 
de ses manières et l'élévation de ses sentiments, sut 
acquérir l'admiration et la sympathie de tous ceux qui 
l'approchaient. Mais les dernières années de sa vie 
furent assombries par des tristesses et des chagrins sans 
nombre. La chute de Napoléon l'affligea profondément. 
La Restauration le persécuta d'une façon indigne. 



NOTICE BIOGRAPHIQUE. 



Par le décret du 21 mars 18 16, lui et Lazare Carnot 
furent rayés de l'Académie des Sciences. Cette injus- 
tice et d'autres vexations le plongèrent dans un état 
de prostration profonde qui dura jusqu'à la fin de sa 
vie, le 28 juillet 1818. 

Le génie inventif de Monge s'est manifesté avec un 
éclat particulier dans sa Géométrie descriptive, œuvre 
remarquable non seulement par sa portée scientifique, 
mais encore par le champ illimité qu'elle offre aux 
applications pratiques. C'est « une espèce de langue 
nécessaire à tous les artistes » (^). Ce qui semblait être 
voué pour toujours à la routine, aux tâtonnements et 
aux procédés empiriques plus ou moins habiles, s'y 
trouve réuni en un corps de doctrine d'une logique 
impeccable et réduit à des règles rigoureuses, qui per- 
mettent de représenter d'une façon précise, à l'aide 
du dessin, les formes des corps et, inversement, de les 
reconnaître d'après la description exacte une fois réa- 
lisée. En outre des parties achevées, ce Livre contient 
en germe presque tout ce qui a été ultérieurement 
ajouté à cette nouvelle branche des Mathématiques. 
Monge en conçut les idées fondamentales vers 1776 ('-), 
il les élabora lentement et les exposa pour la première 



(^) Monge, Journal de VEcole Polytechnique, t. I, p. i. 

(2) Voir Mémoire sur les propriétés de plusieurs genres 
de surfaces courbes, particulièrement sur celles des surfaces 
développahles, avec une application à la Théorie des ombres 
et des pénombres. (Présenté à l'Académie des Sciences, le 
1 1 janvier 1775.) 



NOTICE BIOGRAPHIQUE. XI 



fois d'une façon systématique à l'École Normale, an III 
de la République. Mais il ne fut autorisé à publier ses 
importantes découvertes que l'an VII, à cause de la 
crainte éprouvée par le Gouvernement que les étran- 
gers n'en tirent profit pour leurs ouvrages de défense 
militaires. 

Par sa puissante originalité et les horizons nouveaux 
qu'elle ouvrit, cette œuvre raviva l'intérêt pour les re- 
cherches géométriques, qui étaient par trop délaissées 
au profit de l'Analyse. La façon dont il a exposé les 
nouvelles vérités est un modèle de simplicité et d'exac- 
titude. 

Non moins remarquables sont ses travaux sur la 
géométrie analytique (^) et ses contributions au pro- 
blème ardu de l'intégration des équations aux diiïé- 
rentielles partielles. 

Le texte que nous reproduisons est celui de la 

quatrième édition de 1820, qui contient en outre de 

la Géométrie descriptive la Théorie des ombres et de la 

perspectii^e^ que Barnabe Brisson, et élève de Monge, a 

publiée d'après les manuscrits laissés par ce dernier. 

La première édition parut sous le titre de Géométrie 

descriptive. Leçons données aux Écoles ?îormales, lan 3 

de la République. (An VII, Paris.) 

M. S. 



(^) Feuilles d'analyse appliquée à la Géométrie, an III, 
rééditées plus tard sous le titre de Application de Vanalyse 
à la géométrie des surfaces du premier et du deuxième degré. 
Paris, 1807. 



PROGRAMME. 



Pour tirer la nation française de la dépendance où 
elle a été jusqu'à présent de l'industrie étrangère, il 
faut, premièrement, diriger l'éducation nationale vers 
la coimaissance des objets qui exigent de l'exaclitude, 
ce qui a été totalement négligé jusqu'à ce jour, et 
accoutumer les mains de nos artistes au maniement 
des instruments de tous les genres, qui servent à porter 
la précision dans les travaux et à mesurer ses diffé- 
rents degrés : alors les consommateurs, devenus sen- 
sibles à l'exactitude, pourront l'exiger dans les divers 
ouvrages, y mettre le prix nécessaire; et nos artistes, 
familiarisés avec elle dès l'âge le plus tendre, seront en 
état de l'atteindre. 

Il faut, en second lieu, rendre populaire la con- 
naissance d'un grand nombre de phénomènes naturels, 
indispensable aux progrès de l'industrie, et profiter, 
pour l'avancement de l'instruction générale de la 
nation, de cette circonstance heureuse dans laquelle 
elle se trouve, d'avoir à sa disposition les principales 
ressources qui lui sont nécessaires. 

Il faut enfin répandre, parmi nos artistes, la con- 
naissance des procédés des arts et celle des machines 
qui ont pour objet, ou de diminuer la main-d'œuvre, 
ou de donner aux résultats des travaux plus d'unifor- 



XIV LES MAITRES EE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



mité et plus de précision ; et, à cet égard, il faut l'avouer, 
nous avons beaucoup à puiser chez les nations étran- 
gères. 

On ne peut remplir toutes ces vues qu'en donnant 
à l'éducation nationale une direction nouvelle. 

C'est, d'abord, en familiarisant avec l'usage de la 
Géométrie descriptive tous les jeunes gens qui ont de 
l'intelligence, tant ceux qui ont une fortune acquise, 
afin qu'un jour ils soient en état de faire de leurs capi- 
taux un emploi plus utile, et pour eux et pour l'état, 
que ceux mêmes qui n'ont d'autre fortune que leur 
éducation, afin qu'ils puissent un jour donner un plus 
grand prix à leur travail. 

C-et art a deux objets principaux. 

Le premier est de représenter avec exactitude, sur 
des dessins qui n'ont que deux dimensions, les objets 
qui en ont trois, et qui sont susceptibles de définition 
rigoureuse. 

Sous ce point de vue, c'est une langue nécessaire à 
l'homme de génie qui conçoit un projet, à ceux qui 
doivent en diriger l'exécution, et enfin aux artistes 
qui doivent eux-mêmes en exécuter les différentes 
parties. 

Le second objet de la Géométrie descriptive est de 
déduire de la description exacte des corps tout ce qui 
suit nécessairement de leurs formes et de leurs posi- 
tions respectives. Dans ce sens, c'est un moyen de 
rechercher la vérité; elle offre des exemples perpé- 
tuels du passage du connu à l'inconnu; et parce qu'elle 
est toujours appliquée à des objets susceptibles de la 
plus grande évidence, il est nécessaire de la faire entrer 
dans le plan d'une éducation nationale. Elle est non 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. XV 

seulement propre à exercer les facultés intellectuelles 
d'un grand peuple, et à contribuer par là au perfec- 
tionnement de l'espèce humaine, mais encore elle est 
indispensable à tous les ouvriers dont le but est de 
donner aux corps certaines formes déterminées; et 
c'est principalement parce que les méthodes de cet art 
ont été jusqu'ici trop peu répandues, ou même presque 
entièrement négligées, que les progrès de notre indus- 
trie ont été si lents. 

On contribuera donc à donner à l'éducation natio- 
nale une direction avantageuse, en familiarisant nos 
jeunes artistes avec l'application de la Géométrie 
descriptive aux constructions graphiques qui sont 
nécessaires au plus grand nombre des arts, et en faisant 
usage de cette Géométrie pour la représentation et la 
détermination des éléments des machines, au moyen 
desquelles l'homme, mettant à contribution les forces 
de la nature, ne se réserve, pour ainsi dire, dans ses 
opérations, d'autre travail que celui de son intelli- 
gence. 

Il n'est pas moins avantageux de répandre la con- 
naissance des phénomènes de la nature, qu'on peut 
tourner au profit des arts. 

Le charme qui les accompagne pourra vaincre la 
répugnance que les hommes ont en général pour la 
contention d'esprit, et leur faire trouver du plaisir 
dans l'exercice de leur intelligence, que presque tous 
regardent comme pénible et fastidieux. 

Ainsi, il doit y avoir à l'Ecole normale un cours de 
Géométrie descriptive. 

Mais comme nous n'avons sur cet art aucun ouvrage 
élémentaire bien fait, soit parce que jusqu'ici les 



XVI LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

savants y ont mis trop peu d'intérêt, soit parce qu'il 
n'a été pratiqué que d'une manière obscure par des 
personnes dont l'éducation n'avait pas été assez 
soignée, et qui ne savaient pas communiquer les 
résultats de leurs méditations, un cours simplement 
oral serait absolument sans effet. 

Il est nécessaire pour le cours de Géométrie descrip- 
tive, que la pratique et l'exécution soient jointes à 
l'audition des méthodes. 

Ainsi les élèves doivent s'exercer aux constructions 
graphiques de la Géométrie descriptive. Les arts gra- 
phiques ont des méthodes générales, avec lesquelles 
on ne peut se familiariser que par l'usage de la règle et 
du compas. 

Parmi les différentes applications que l'on peut faire 
de la Géométrie descriptive, il y en a deux qui sont 
remarquables, et par leur généralité, et par ce qu'elles 
ont d'ingénieux : ce sont les constructions de la pers- 
pective et la détermination rigoureuse des ombres 
dans les dessins. Ces deux parties peuvent être consi- 
dérées comme le complément de l'art de décrire les 
objets. 



GÉOMÉTRIE DKSCHIFTIVE 



I. 



1. La Géométrie descriptive a deux objets : le pre- 
mier, de donner les méthodes pour représenter sur 
une feuille de dessin rpii n'a cpie deux dimensions, 
savoir, longueur et largeur, tous les corps de la nature 
qui en ont trois, longueur, largeur et profondeur, 
pourvu néanmoins que ces corps i)uissent être définis 
rigoureusement. 

Le second objet est de donner la manière de lecon- 
naître, d'après une description exacte, les formes des 
corps, et d'en déduire toutes les vérités qui résultent 
et de leur forme et de leurs positions respectives. 

Nous allons d'abord indiquer les procédés qu'une 
longue expérience a fait découvrir, pour remplir le 
premier de ces deux objets: nous donnerons ensuite la 
manière de remplir le second. 

2. Les surfaces de tous les corps de la nature pou- 
vant être considérées comme composées de points, le 
premier pas que nous allons faire dans cette matière, 
doit être d'indiquer la manière dont on exprime la 
position d'un point dans l'espace. 

L'espace est sans limites; toutes ses parties sont 
parfaitement semblables, elles n'ont rien qui les carac- 

MONQE. — I. 1 



1 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

térisc, et aucune d'elles ne peut servir de terme de 
comparaison pour indiquer la position d'un point. 

Ainsi, pour définir la position d'un point dans 
l'espace, il faut nécessairement rapporter cette posi- 
tion à quelques autres objets distincts des parties de 
l'espace qui les renferme, et qui soient eux-mêmes 
connus de position, tant de celui qui définit, que de 
celui qui veut entendre la définition; et pour que le 
procédé puisse devenir lui-même d'un usage facile et 
journalier, il faut que ces objets soient aussi simples 
qu'il est possible, et que leur position soit la plus facile 
à concevoir. 

3. Parmi tous les objets simples, nous allons re- 
chercher quels sont ceux qui présentent plus de faci- 
lité pour la détermination de la position d'un point; 
et parce que la Géométrie n'offre rien de plus simple 
qu'un point, nous examinerons dans quel genre de 
considérations on serait entraîné,^ si, pour déterminer 
la position d'un point, on le rapportait à un certain 
nombre d'autres points dont la position serait connue ; 
enfin, pour mettre plus de clarté dans cette exposi- 
tion, nous désignerons ces points connus par les lettres 
successives A, B, C, etc. 

Supposons d'abord que la définition de la position 
du point comporte qu'il soit à i^^^ de distance du 
point connu A. 

Tout le monde sait que la propi-iété de la surface de 
la sphère est d'avoir tous ses points à égale distance 
de son centre. Ainsi, cette partie de la définition 
exprime que le point que l'on veut déterminer a la 
même propriété que tous ceux de la surface d'une 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



sphère dont le centre serait au point A, et dont le 
rayon serait i™. Mais les points de la surface de la 
sphère sont les seuls dans tout l'espace qui aient cette 
propriété; car tous les points de Tespace qui sont 
au delà de cette surface, par rapport au centre, sont 
phis éloiojnés du centre que de i^", et tous ceux qui 
sont entre cette surface et le centre sont, au contraire, 
moins éloiaiiés du centre que de i™ : donc tous les 
points de la surface de la • sphère non seulement 
jouissent de la propriété énoncée dans la proposition, 
mais encore ils sont les seuls qui en jouissent; donc, 
enfin, cette proposition exprime que le point cherché 
est un de ceux de la surface d'une sphère dont le 
centre serait au point A, et dont le rayon serait i^». 
Par là, ce point est actuellement distinct d'une infi- 
nité d'autres placés dans l'espace; mais il est encore 
confondu avec tous ceux de la surface de la sphère; 
i! faut d'autres conditions pour le reconnaître parmi 
' ux. 

Supposons ensuite que, d'après la définition de la 
position du point, il doive être à 5!'" de distance du 
second point connu B; il est évident qu'en raisonnant 
pour cette seconde condition comme pour la première, 
le point doit encore être un de ceux de la surface d'une 
seconde sphère, dont le centre serait au point B, et 
dont le rayon serait ç>«\ Ce point, devant se trouver en 
même temps et sur la surface de la première sphère 
et sur celle de la deuxième, ne peut plus être confondu 
qu'avec ceux qui sont communs aux deux surfaces, et 
qui sont dans leur commune intersection : or, pour peu 
qu'on soit familiarisé avec les considérations géomé- 
triques, on sait que l'intersection des surfaces de deux 



LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



sphères est la circonférence d'un cercle dont le centre 
est sur la droite qui joint ceux des deux sphères, et 
dont le ])lan est perpendiculaire à cette droite; donc, 
en vertu des deux conditions réunies, le point cherché 
est actuellement distinct de ceux qui sont sur les sur- 
faces des deux sphères, et il ne peut plus être confondu 
qu'avec ceux de la circonférence du cercle, qui jouissent 
tous des deux conditions énoncées et qui en jouissent 
seuls. Il faut donc encore une troisième condition pour 
le distinguer. 

Supposons enfin que le point doive se trouver à 3"^ 
de distance d'un troisième point C, connu. Cette troi- 
sième condition le place parmi tous ceux de la surface 
d'une troisième sphère, dont le centre serait au point C, 
et dont le rayon serait 3™. Et parce que nous avons 
vu qu'il doit être sur la circonférence d'un cercle connu 
de position, pour satisfaire en mcnic temps aux trois 
conditions, il faut qu'il soit un des points communs, 
et à la surface de la troisième sphère, et à la circonfé- 
rence du cercle : or, on sait qu'une circonférence de 
cercle et la surface d'une sphère ne peuvent se couper 
qu'en deux points; donc, en vertu des trois conditions, 
le point se trouve distingué de tous ceux de l'espace, 
et ne peut plus être que l'un de deux points déter- 
minés; en sorte qu'en indiquant, de plus, de quel côté 
il est placé par rapport au plan qni passe par les trois 
centres, ce point est absolument déterminé, et ne peut 
plus être confondu avec aucun autre. 

On voit qu'en employant, pour déterminer la posi- 
tion d'un point dans l'espace, ses distances à d'autres 
points connus, et dont le nombre est nécessairement 
trois, l'on est entraîné dans des considérations qui ne 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



sont pas assez simples pour servir de base à des pro- 
cédés d'un usage habituel. 

4. Recherchons actuellement quelles seraient les 
considérations auxquelles on serait conduit si, au lieu 
de rapporter la position d'un point à trois autres 
points connus, on le rapportait à des droites données 
de position. 

Nous ferons observer auparavant qu'une ligne 
droite ne doit jamais être considérée comme termhiée, 
et qu'elle peut toujours être indéfiniment prolongée 
dans l'un et dans l'autre sens. 

Pour simplifier, nous nommerons successivement A, 
H, C, etc., les droites que nous serons obligés d'em- 
ployer. 

Si de la définition de la position du point il résulte 
qu'il doive se trouver, par exemple, à i"'^ de distance 
de la première droite connue A, on énonce que ce 
])oint est l'un de ceux de la surface d'un cylindre à 
base circulaire, dont l'axe serait la droite A, dont le 
rayon serait i"^, et qui serait indéfiniment prolongé 
dans les deux sens de sa longueur; car tous les points 
de cette surface jouissent de la propriété énoncée dans 
la définition, et sont les seuls qui en jouissent. Par 
là, le point est distingué de tous les points de l'espace 
qui sont en dehors de la surface cylindrique; il est 
pareillement distingué de tous ceux qui sont dans 
l'intérieur du cylindre, et il ne peut être confondu 
qu'avec ceux de la surface cylindrique, parmi lesquels 
on ne peut le distinguer qu'au moyen de conditions 
nouvelles. 

Supposons donc que le point cherché doive, en 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



outre, être placé à 2™ de distance de la seconde ligne 
droite B : on voit de même que par là on place ce 
point sur la surface d'un second cylindre à base circu- 
laire, dont l'axe serait la ligne droite B, et dont le 
rayon serait 2"^, mais avec tous les points de laquelle 
il est confondu, si l'on ne considère que la seconde 
condition seule. En réunissant ces deux conditions, 
il doit donc se trouver en même temps et sur la pre- 
mière surface cylindrique et sur la seconde : donc il 
ne peut être que l'un des poinis communs à ces deux 
surfaces, c'est-à-dire l'un de leur commune intersec- 
tion. Cette ligne, sur laquelle doit se trouver le point, 
participe de la courbure de la surface du premier 
cylindre et de la courbure de celle du second, et est, en 
général, du genre de celles qu'on appelle courbes à 
double courbure. 

Pour distinguer le point de tous ceux de cette ligne, 
il faut une troisième condition. 

Supposons, enfin, que la définition énonce que le 
point demandé doive encore être à 3'" de distance 
d'une troisième ligne droite C. 

Cette, nouvelle condition exprime qu'il est un de 
ceux de la surface d'un troisième cylindre à base cir- 
culaire, dont la troisième ligne droite C serait l'axe, et 
qui aurait 3"^ de rayon : donc, en réunissant les trois 
conditions, le point cherché ne peut plus être qu'un 
de ceux qui sont communs, et à la troisième surface 
cylindrique, et à la courbe à double courbure, inter- 
section des deux premières. Or, cette courbe peut, en 
général, être coupée par la troisième surface cylin- 
drique en huit points; donc les trois conditions ré- 
duisent le point cherché à être l'un des huit points 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



délerniiiH's, el parmi les({uc]s on ne peut le dislinguer 
(|ue par quelques conditions parliculi«'Tes, du genre 
de celles dont nous avons donné un exemple dans le 
cas des points. 

On voit que les considéra lions auxquelles on est 
conduit pour déterminer la position d'un point dans 
l'espace, par la connaissance de ses distances à trois 
lignes droites connues, sont encore bien moins simples 
que celles auxquelles donnent lieu ses distances à 
trois points, et qu'ainsi elles peuvent encore moins 
servir de base à des méthodes qui doivent être d'un 
service fréquent. 

5. Parmi les objets simples que la Géométrie consi- 
dère, il faut remarquer principalement : i® le point 
qui n'a aucune dimension; 2° la ligne droite qui n'en 
a qu'une ; 3® le plan qui en a deux. Recherchons s'il ne 
serait pas plus simple de déurminer la position d'un 
point, par la connaissance de ses distances à des plans 
connus, qu'il ne l'tst d'employer ses distances à des 
points ou à des lignes droites. 

Supposons donc qu'il y ait dans l'espace des plans 
non parallèles, connus de position, et que nous dési- 
gnerons successivement par les lettres A, B, C, 1), etc. 

Si, d'après la définition de la position du point, il 
doit être, par exemple, à i"^ de distance du premier 
plan A, san^ qu'il soit exprimé de quel côté il doit être 
placé par rapport à ce plan, on énonce qu'il est un de 
ceux de deux plans parallèles au plan A, placés l'un 
d'un côté de ce plan, l'autre de l'autre, et tous deux à 
i"^ de distance du premier : car tous les points de ces 
deux plans parallèles satisfont à la condition exprimée, 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



et sont, de tous ceux de l'espace, les seuls qui y satis- 
fassent. 

Pour distinguer, parmi tous les points de ces deux 
plans, celui dont on veut définir la position, il faut 
donc encore avoir recours à d'autres conditions. 

Supposons, en second lieu, que le point cherché 
doive être à 2"^ de distance du second plan B : par là, 
on le place sur deux plans parallèles au plan I^, fous 
deux à 2™ de distance de ce plan, l'un d'un côlé, 
l'autre de l'autre. Pour satisfaire en même temps aux 
deux conditions, il faut donc (pi'il se trouve, et sur 
l'un des plans ])ara11èles au plan A, et sur l'un des 
deux plans parallèles au plan B; et, par conséquent, 
qu'il soit l'un des points de la commune intersection 
de ces quatre plans. Or, la commune intersection de 
quatre plans parallèles deux à deux, et de la position 
connue, est l'assemblage de quatre lignes droites éga- 
lement connues de position; donc, en considérant en 
même temps ces deux conditions, le point n'est plus 
confondu avec tous ceux de l'espace, ni même avec 
tous ceux de quatre plans, mais seulement avec ceux 
de quatre lignes droites. Enfin, si le point doit être 
aussi à 3"^ de distance du troisième plan C, on exprime 
qu'il doit être l'un de ceux de deux autres plans paral- 
lèles au plan C, et placés de part et d'autre, par rap- 
port à lui, à 3"^ de distance. Ainsi, en vertu des trois 
conditions, il doit être en même temps, et sur l'un des 
deux derniers plans, et sur l'une des quatre lignes 
droites, intersections des ([uatre premiers plans : il ne 
peut donc être que l'un des points communs, et à l'un 
de ces deux plans et à l'une des quatre droites. Or, 
chacun des deux plans ayant un point commun avec 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



cliacuiio des quatre lignes droites, il y a huit points 

I (l^iis l'espace, (pii satisfont à la fois aux trois condi- 

I lions ; donc, par ces trois conditions réunies, le point 

I demandé ne peut plus être que l'un des huit points 

déterminés, et parmi lesquels on ne peut le distinguer 

(ju'au moyen de quelcpies conditions particulières. 

Par exemple, si, en indicpiant la distance au })re- 
mier plan A, l'on exprime aussi dans quel sens, par 
rapport à ce plan, la distance doit être prise; au lieu 
de deux plans parallèles au ])lan A, il n'y en a plus 
qu'un qu'il faille considérer, c'est celui' qui est placé, 
par rapport à lui, du coté vers lequel la distance doit 
être mesurée. De même, si l'on indique dans quel sens, 
par rapport au second plan, la distance doit être prise, 
on exclut la considération d'un des deux plans paral- 
lèles au second; et il n'y en a plus qu'un dont tous les 
points satisfassent à la seconde condition; vi en réu- 
nissant ces conditions, le point ne peut plus être sur 
les quatre droites d'intersection de quatre plans paral- 
lèles deux à deux, mais seulement sur l'intersection 
de deux plans, c'est-à-dire sur une ligne droite connue 
de position. Enfin, si l'on indique aussi de quel côté 
le point doit être placé par rapport au troisième plan, 
de deux plans parallèles au troisième il n'y en aura 
plus qu'un dont tous les points satisfassent à la der- 
nière condition; et pour satisfaire en même temps à 
ces trois conditions, le point devra se trouver à l'inter- 
section de ce troisième plan avec la droite unique 
intersection des deux premiers. 11 ne pourra donc plus 
êhe confondu avec aucun autre dans l'espace, et il 
sera par conséquent entièrement déterminé. 

On voit donc que, quoique, par rapport au nombre 



.^à 



LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



de ses dimensions, le plan soit un objet moins simple 
que la ligne droite qui n'en a qu'une, et que le poin| 
qui ncn a pas, il présente cependant plus de facilité 
que le point et la ligne droite pour la détermination 
d'un point dans l'espace : c'est ce procédé que l'on 
emploie ordinairement dans l'application de l'Algèbre 
à ia Géom^étrie, où, pour cliercher la position d'un 
point, on a coutume de chercher ses distances à trois 
plans connus de position. 

Mais dans la Géomélriè descriptive, qui a été pra- 
tiquée depuis beaucoup plus longtemps, par un beau- 
coup plus grand nombre d'hommes, et par des hommes 
dont le temps était précieux, les procédés se sont 
encore simplifiés; et au lieu de la considération de 
trois plans, on est parvenu, au moyen des projections, 
à n'avoir plus besoin explicitement que de celle de 
deux. 

6. On appelle projection d'un point sur un plan, le 
pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le 
plan. 

Cela posé, si l'on a deux plans connus de position 
dans l'espace, et si l'on donne, sur chacun de ces plans, 
la projection du point dont on veut définir la position, 
ce point sera parfaitement déterminé. 

En efîet, si, par la projection sur le premier plan, 
l'on conçoit une perpendiculaire à ce plan, il est évi- 
dent qu'elle passera par le point défini; de même si, 
par sa projection sur le second plan, l'on conçoit une 
perpendiculaire sur ce plan, elle passera de même par 
le point défini : donc ce point sera en même temps sur 
deux lignes droites connues de position dans l'espace; 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



donc il sera le point unique de leur intersection; donc 
enfin, il sera parfaitement déterminé. 

Dans les paragraphes suivants, on indiquera les 
moyens de rendre ce procédé d'un usage facile, et de 
nature à être employé sur une seule feuille de dessin. 

7. Si {fig. i), de tous les points d'une ligne 
droite indéfinie Al^, placée d'une manière quelconque 
dans l'espace, l'on conçoit des perpendiculaires 
abaissées sur un plan LMNO, donné de position, tous 
les points de rencontre de ces perpendiculaires avec 
le plan seront dans une autre ligne droite indéfinie ah; 
car elles seront toutes comprises dans le plan mené 
par AB perpendiculairement au plan LMNO, et elles 
ne pourront rencontrer ce dernier que dans l'inter- 
section commune des deux plans, qui, comme on sait, 
est une ligne droite. 

La droite ab, qui passe ainsi par les projections 
de tous les points d'une autre droite AB sur un 
plan LMNO, est ce qu'on appelle la projection de la 
droite AB sur ce plan. 

Comme deux points suffisent pour déterminer la 
position d'une ligne droite; pour construire la pro- 
jeclioii d'une droite, il suUit de construire celle de 
deux de ses points, et la droite menée par les projec- 
tions de ces points sera la projection demandée. 

Il suit de là que, si la droite proposée est elle-même 
perpendiculaire au plan de projection, sa projection 
se réduira à un seul point, qui sera celui de sa rencontre 
avec le plan. 

Etant données {fig. 2) sur deux plans non parallèles 
LMNO, LMPQ les projections at, a' h' d'une même 



lA LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

droite indéfinie AB, cette droite est déterminée : car 
si, par l'une des projections ab^ l'on conçoit un plan 
perpendiculaire à LMNO, ce plan, connu de position, 
passera nécessairement i>ar la droite AB; de même 
si, par l'autre projection a' />', l'oji conçoit un plan 
perpendiculaire à LMPQ, ce plan, cojinii de position, 
passera par la droite AB. La position de; celte droite, 
qui se trouve en même temps sur deux plans connus, 
et par conséquent à leur commune intersection, est 
donc absolument déterminée. 

8. Ce que nous venons de dire est indépendant de 
la position des plans de projection, et a lieu également, 
quel que soit l'angle que ces deux plans fassent entre 
eux. Mais si l'angle que forment les deux plans de pro- 
jection est très obtus, l'angle que forment entre eux 
ceux qui leur sont perpendiculaires est très aigu; et 
dans la pratique, de petites erreurs pourraient en 
apporter de très grandes dans la détermination de la 
position de la droite. Pour éviter cette cause d'inexac- 
titude, à moins qu'on n'en soit détourné par quelques 
considérations qui présentent de plus grandes faci- 
lités, on fait toujours en sorte que les plans de pro- 
jection soient perpendiculaires entre eux. De plus, 
comme la plupart des artistes qui font usage de la 
méthode des projections sont très familiarisés avec 
la position d'un ])lan horizontal et la direction du fd à 
plomb, ils ont coutume de supposer que, des deux 
plans de projection, l'un soit horizontal et l'autre 
vertical. 

La néci ssité de faire en sorte que dans les dessins les 
deux projections soient sur une même feuille, et que 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 




l4 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

dans les opérations en grand elles soient sur une même 
aire, a encore déterminé les artistes à concevoir que le 
plan vertical ait tourné autour de son intersection avec 
le plan horizontal, comme charnière, pour s'abattre 
sur le plan horizontal, et ne former avec lui qu'un seul 
et même plan, et à construire leurs projections dans 
cet état. 

Ainsi, la projection verticale est toujours tracée de 
fait sur un plan horizontal, et il faut perpétuellement 
concevoir qu'elle soit dressée et remise en place, au 
moyen d'un quart de révolution autour de l'inter- 
section du plan horizontal avec le plan vertical. Pour 
cela, il faut que cette intersection soit tracée d'une 
manière très visible sur le dessin. 

Ainsi, dans la figure 2, la projection a' h' de la 
droite AB ne s'exécute pas sur un plan qui soit réel- 
lement vertical : on conçoit que ce plan ait tourné 
autour de la droite LM pour s'appliquer en LMP'Q'; et 
c'est dans cette position du plan qu'on exécute la pro- 
jection verticale a'h' . 

Indépendamment des facilités d'exécution que pré- 
sente cette disposition, elle a encore l'avantage 
d'abréger le travail des projections. En elTet, suppo- 
sons que les points a, a' soient les projections horizon- 
tale et verticale du point A, le plan mené par les 
droites Acr, Ka' sera en même temps perpendicu- 
laire aux deux plans de projection, puisqu'il passe par 
des droites qui leur sont perpendiculaires; il sera donc 
aussi perpendiculaire à leur commune intersection LM ; 
et les droites aC, a'C, suivant lesquelles il coupe ces 
deux plans, seront elles-mêmes perpendiculaires à LM. 
Or, lorsque le plan vertical tourne autour de L\*i 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. I *> 



comme chnniièrc, la droite a'C ne cesse pas, dans ce 
Miouvement, d'être perpendiculaire à LM; et elle iiù 
ist encore perpendiculaire lorsque, le plan vertical 
étant abattu, elle a pris la position Ca\ Donc les deux 
droites aC, Ca\ passant toutes deux par le point C, 
et étant toutes deux perpendiculaires à LM, sont dans 
le prolongement l'une de l'autre; il en est de môme 
des droil>-s hD, Bb\ par rapport à tout autre point 
comme B. D'où il suit que, si l'on a la projeciion 
horizontale d'un point, la projection de ce même point 
sur le plan vertical, supposé abattu, sera dans la 
droite menée par la projection horizontale perpendi- 
culairement à l'intersection LM des deux plans de 
projection, et réciproquement. 

Ce résultat est d'un usage très fréquent dans la pra- 
ti(nip. 

9. Jusqu'à présent, nous avons regardé la ligne 
droite AB {fîg. i) comme indéfmie, et alors nous 
n'avions à nous occuper que de sa direction; mais il 
peut se faire que cette droite soit considérée conim. 
terminée par deux de sts points Ay B; et alors on peut 
de plus avoir besoin de connaître sa grandeur. Nous 
allons voir comment on peut la déduire de la connais- 
sance de ses deux prf éjections. 

Lorsqu'une droite est parallèle à un d' s deux plans 
sur lesquels elle est projetée, sa longueur est égale à 
celle de sa projection sur ce plan; car la droite et sa 
projection, étant toutes deux terminées à deux per- 
pendiculaires au plan de projection, sont parallèles 
entre elles et comprises entre parallèles. Ainsi, dans 
ce cas particulier, la projection étant donnée, la ion- 



iC LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

gueur de la droite qui lui est égale est aussi donnée. 

On est assuré qu'une droite est parallèle à un des 
deux plans de projcclion, lorsque sa projection sur 
l'autre est parallèle à l'intersection de ces plans. 

Si la droite est en même temps oblique aux deux 
plans, sa longueur est plus grande que celle de chacune 
de ses projections; mais elle peut en être déduite par 
une construction très simple. 

Soit AIj {fig. 2) la ligne droite, dont les deux pro- 
jections «6, a'h' soient données, et dont il faille trouver 
la longueur; si, par une de ses extrémités A, et dans 
le plan vertical qui passe par la droite, on conçoit 
une horizontale AE, prolongée jusqu'à ce qu'elle ren- 
contre en E la verticale abaissée par l'autre extrémité, 
on formera un triangle rectangle AEB, qu'il s'agit de 
construire pour avoir la longueur de la droite AB, qui 
en est l'hypoténuse. Or, dans ce triangle, indépen- 
damment de l'angle droit, on connaît le côté AE, qui 
est égal à la projection donnée ah. De plus, si dans le 
plan vertical on mène par le point a' une horizon- 
tale «/<?, qui sera la projection de AE, elle coupera 
la verticale //D en un point e, cjui sera la projection 
du point E. Ainsi, h'e sera la projection verticale 
de BE, et sera par conséquent de même longueur 
qu'elle. Donc, connaissant les deux côtés de l'angle 
droit, il sera facile de construire le triangle, dont 
l'hypoténuse donnera la longueur de AB. 

La ligure 2, étant en perspective, n'a aucun ra})port 
avec les constructions de la méthodd des projections : 
nous allons donner ici la construction de cette pre- 
mière question dans toute sa simplicité. 

La droite LM {fig. 3) étant supposée l'intersection 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. I7 

des deux plans de projection, et les droites ab, a"b" 
étant les projections données d'une ligne droite; pour 
trouver la longueur de cette droite, par le point a" 
on mènera Thorizontale indéfinie lie, qui coupera 
la droite bb" en un point e, et sur laquelle, à i)arlir de 
ce point, on portera ab de e en II. On mènera l'hypo- 
ténuse II!/", et la longueur de cette hypoténuse sera 
celle de la droite demandée. 

Comme les deux plans de projection sont rectangu- 
laires, l'opération que l'on vient de faire sur un de ces 
plans pouvait être faite sur l'autre, et aurait donné le 
même résultat. 

D'après ce qui précède, on voit que si l'on a les deux 
projections d'un corps terminé par des faces planes, 
par des arêtes rectilignes, et par des sommets d'angles 
Solides, projections qui se réduisent aux systèmes de 
celles des arêtes rectilignes, il sera facile d'en conclure 
la longueur de telle de ses dimensiorfs qu'on voudra : 
car, ou cette dimension sera parallèle à un des deux 
plans de projection, ou elle sera en même temps 
oblique aux deux; dans le premier cas, la longueur 
demandée de la dimension sera égale à sa projection : 
dans le second, on la déduira de ces deux projections 
par le procédé cpie nous venons de décrire. 

10. Ce serait ici le lieu d'indiquer la manière dont se 
construisent les projections des solides terminés par 
des plans et des arêtes rectilignes; mais il n'y a pour 
cette opération aucune règle générale : on sent en 
effet que, selon la manière dont la position des som- 
mets des angles d'un solide est définie, la construction 
de leurs projections peut être plus ou moins facile, et 

MOXGE. — I. 2 



8 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



que la nature de l'opération doit dépendre de celle de 
la définilion. Il en est précisément de cet objet comme 
de l'Algèbre, dans laquelle il n'y a aucun procédé 
général pour mettre un problème en équations. Dans 
chaque cas particulier, la marche dépend de la ma- 
nière dont la relation entre les quantités données et 
celles qui sont inconnues est exprimée; et ce n'est que 
par des exemples variés que l'on peut accoutumer les 
commençants à saisir ces relations et à les écrire par 
des équations. Il en est de même pour la Géométrie 
descriptive. C'est par des exemples nombreux et par 
l'usage de la règle et du compas dans des salles d'exer- 
cice, que l'on peut acquérir l'habitude des construc- 
tions, et que l'on s'accoutume au choix des méthodes 
les plus simples et les plus élégantes, dans chaque cas 
particulier. Mais aussi, de même qu'en Analyse, 
lorsqu'un problème est mis en équations, il existe des 
procédés pour traiter ces équations, et pour en déduire 
les valeurs de chaque inconnue; de nnême aussi, dans 
la Géométrie descriptive, lorsque les projec lions sont 
faites, il existe des méthodes générales pour cons- 
truire tout ce qui résulte de la forme et de la position 
respective des corps. 

Ce n'est pas sans objet que nous comparons ici la 
Géométrie descriptive à l'Algèbre; ces deux sciences 
ont les rapports les plus intimes. Il n'y a aucune cons- 
truction de Géométrie descriptive, qui ne puisse être 
traduite en Analyse; et lorsque les questions ne com- 
portent pas plus de trois inconnues, chaque opération 
analytique peut être regardée comme l'écriture d'un 
spectacle en Géométrie. 

Il serait à désirer que ces deux sciences lussent 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. f() 

cultivées ensemble : la Géométrie descriptive porterait 
dans les opérations analytiques les plus compliquées 
l'évidence qui est son caractère, et, à son tour, l'Ana- 
lyse porterait dans la Géométrie la généralité qui lui 
est propre. 

11. La convention, qui sert de base à la méthode des 
projections, est propre à exprimer la position d'un 
]H)int dans l'espace, à exprimer celle d'une ligne droite 
indéfinie ou terminée, et par conséquent à représenter 
la forme et la position d'un corps terminé par des faces 
planes, par des arêtes rectilignes, et par des sommets 
d'angles solides; parce que, dans ce cas, le corps est 
entièrement connu, quand on connaît la position de 
toutes ses arêtes et celle des sommets de tous ses 
angles. Mais si le corps était terminé, ou par une sur- 
face courbe unique, et dont tous les points fussent 
assujétis à une même loi, comme dans le cas de la 
sphère, ou par l'assemblage discontinu de plusieurs 
parties de surfaces courbes différentes, comme dans 
le cas d'un corps façonné sur le tour; cette convention 
non seulement serait incommode, impraticable, et 
n'aurait pas l'avantage de faire image, mais encore 
elle manquerait de fécondité et elle serait insuffi- 
santes 

D'abord, il est facile de voir que la convention que 
nous avons faite serait incommode, et même impra- 
ticable, si elle était seule; car, pour exprimer la posi- 
tion de tous les points d'une surface courbe, il faudrait 
non seulement que chacun d'eux fût indiqué par sa 
projection horizontale et par sa projection verticale, 
mais encore que les deux projections d'un même point 



20 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

fussent liées entre elles, afin qu'on ne fût pas exposé 
à combiner la projection horizontale d'un certain 
point avec la projection verticale d'un autre; et la 
manière la plus simple de lier entre elles ces deux 
projections étant de les joindre par une même droite 
jxrpcndiculaire à la ligne d'intersection des deux 
])lans de projections, on surchargerait les dessins d'un 
nombre prodigieux de lignes, qui y jetteraient une con- 
fusion d'autant plus grande qu'on voudrait approcher 
davantage de l'exactitude. Nous allons faire voir 
ensuite que cette méthode serait insuffisante, et 
qu'elle manquerait de la fécondité nécessaire. 

Parmi le nombre infini de surfaces courbes diffé- 
rentes, il en existe quelques-unes qui ne s'étendent 
(|ue dans une partie finie et circonscrite de l'espace, et 
dont les projections ont une étendue limitée dans 
toutes les directions; celle de la sphère, par exemple, 
est dans ce cas. L'étendue de sa projection sur un plan 
se réduit à celle d'un cercle de même rayon que la 
sphère; et l'on peut concevoir que le plan sur lequel 
ou doit en faire la projection ait des dimensions assez 
grandes pour la recevoir. Mais toutes les surfaces 
cylindriques sont indéfinies dans une certaine direc- 
tion, comme la droite qui leur sert de génératrice. Le 
plan lui-même, qui est la plus simple des surfaces, est 
indéfini dans deux sens. Enfin, il existe un grand 
nombre de surfaces dont les nappes multipliées 
.s'étendent en même temps dans toutes les régions 
de l'espace. Or, les plans sur lesquels on exécute les 
projections ont nécessairement une étendue limitée. 
Si donc on n'avait d'autre moyen pour faire connaître 
la nature d'une surface courbe que les deux projec- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 21 

tions de chacun des points par lesquels elle passe, ce 
moyen ne serait applicable qu'à ceux des points de la 
surface, qui correspondraient à l'étendue des plans 
de ])roiections; tous ceux qui seraient au delà ne 
]tourraient être ni exprimés ni connus : ainsi, la mé- 
lliode serait insuilisante. Enlin, elle manquerait de 
fécondité, parce qu'on ne pourrait en déduire rien de 
ce qui serait relatif aux plans tangents de la surface, à 
SIS normales, à ses deux courbures en chaque point, 
;i ses lignes d'inflexion, à ses arêtes de rebroussement, 
à ses lignes multiples, à ses points multiples, à toutes 
les affections enfin qu'il est nécessaire de considérer, 
dès qu'on veut opérer sur une surface courbe. 

Il a donc fallu avoir recours à une convention nou- 
velle qui fût compatible avec la première, et qui pût 
la suppléer partout où elle aurait été insufTisante. C'est 
cette convention nouvelle que nous allons exposer. 

12. Il n'y a aucune surface courbe qui ne puisse 
être regardée comme engendrée par le mouvement 
d'une ligne courbe, ou constante de forme lorsqu'elle 
change de position, ou variable en même temps et de 
forme et de position dans l'espace. Comme cette pro- 
position pourrait être difficile à comprendre à cause 
de sa généralité, nous allons l'expliquer sur quel- 
ques-uns des exemples avec lesquels nous sommes 
déjà familiarisés. 

Lt s surfaces cylindriques peuvent cire engendrées 
dt deux manières principales; ou par le mouvement 
d'une ligne droite qui reste toujours parallèle à une 
droite donnée pendant qu'elle se meut, en s'appuyant 
toujours sur une courbe donnée, ou par le mouvement 



Îi2 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

de la courbe qui servait de conductrice dans le pre- 
mier cas, et qui se meut de manière que, s'appuyant 
toujours par le même point sur une droite donnée, 
tous ses autres points décrivent des lignes parallèles 
à cette droite. Dans l'une et l'autre de ces deux géné- 
rations, la ligne génératrice, qui est une droite dans le 
premier cas, et une courbe quelconque dans le second, 
est constante de forme : elle ne fait que changer de 
position dans l'espace. 

Les surfaces coniques ont de même deux généra- 
tions principales. 

On peut d'abord les regarder comme engendrées 
par une droite indéfinie qui, étant assujétie à passer 
toujours par un point donné, se meut de manière 
qu'elle s'appuie constamment sur une courbe donnée 
qui la dirige dans son mouvement. Le point unique, 
par lequel passe toujours la droite, est le centre de la 
surface; c'est improprement qu'on lui a donné le nom 
de sommet. Dans cette génération, la ligne génératrice 
est encore constante de forme; elle ne cesse jamais 
d'être une ligne droite. 

On peut ensuite engendrer les surfaces coniques 
d'une autre manière, que, pour plus de simplicité, 
nous n'appliquerons ici qu'au cas de celles qui sont 
à bases circulaires. Ces surfaces peuvent être regardées 
comme parcourues par la circonférence d'un cercle 
qui se meut de manière que son plan restant toujours 
parallèle à lui-même, et son centre se trouvant toujours 
sur la droite dirigée au sommet, son rayon, dans 
chaque instant du mouvement, soit proportionnel à la 
distance de son centre au sommet. On voit que si, 
dans son mouvement, le plan du cercle tend à s'appro- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a3 

cher du sommet de la surface, le rayon du cercle décroît 
pour devenir nul lorsque le plan passe par le sommet, 
et que ce rayon change de sens pour croître ensuite 
indéfiniment, lorsque le plan, après avoir passé par le 
sommet, s'en écarte de plus en plus. Dans cette se- 
conde génération, non seulement la circonférence du 
cercle, qui est la courbe génératrice, change de position, 
elle change encore de forme à chaque instant de son 
mouvement, puisqu'elle change de rayon, et, par con- 
séquent, de courbure et d'étendue. 

Citons enfin un troisième exemple. 

Une surface de révolution peut être engendrée par 
le mouvement d'une courbe plane, qui tourne autour 
d'une ligne droite placée d'une manière quelconque 
dans son plan. Dans cette manière de la considérer, 
sa courbe génératrice est constante de forme; elle est 
seulement variable de position. Mais aussi on peut la 
regarder comme engendrée par la circonférence d'un 
cercle qui se meut de manière que, son centre étant 
toujours sur l'axe, et son plan étant toujours perpen- 
diculaire à cet axe, son rayon soit à clia(iue instant 
égal à la distance du point, où le plan du cercle coupe 
l'axe, à celui où il coupe une courbe quelconque donnée 
dans l'espace. Alors la courbe génératrice change en 
même temps et de forme et de position. 

Ces trois exemples doivent sullire i)our faire com- 
prendre que toutes les surfaces courbes peuvent être 
engendrées par le mouvement de certaines lignes 
courbes, et qu'il n'y en a aucune dont la forme et la 
position ne puissent être entièrement déterminées par 
la définition exacte et complète de sa génération. C'est 
cette nouvelle considération qui forme le complé- 



•24 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



ment de la méthode des projections. Nous aurons 
souvent occasion, par la suite, de nous assurer et de 
sa simplicité et de sa fécondité. 

Ce n'est donc pas en donnant les projections des 
points individuels, par lesquels passe une surface 
courbe, que l'on en détermine la forme et la position, 
mais en mettant à portée de construire pour un point 
quelconque la courbe génératrice, suivant la forme 
et la position qu'elle doit avoir en passant par ce 
point. Sur quoi il faut observer : i° que chaque sur- 
face courbe pouvant être engendrée d'un nombre 
infini de manières différentes, il est de l'adresse et de 
la sagacité de celui qui opère de choisir, parmi toutes 
les générations possibles, celle qui emploie la courbe 
la plus simple et qui exige les considérations les moins 
pénibles; 2° qu'un long usage a appris qu'au lieu de ne 
considérer pour chaque surface courbe qu'une seule 
de ses générations, ce qui exigerait l'étude de la loi du 
mouvement et de celle du changement de forme de 
sa génération, il est souvent plus simple de considérer 
en même temps deux génératrices différentes, et d'indi- 
quer pour chaque point la construction des deux 
courbes génératrices. 

Ainsi, dans la Géométrie descriptive, pour exprimer 
la forme et la position d'une surface courbe, il sulht, 
pour un point quelconque de cette surface, et dont une 
des projections peut être prise à volonté, de donner 
la manière de construire les projections horizontale et 
verticale de deux génératrices dillérentes qui passent 
par ce point. 



13. Appliquons actuellement ces général 



ités au 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



olan, qui, do toutes les surfaces,- est la plus simple, 
t't celle dont l'emploi est le plus fréquent. 

Le plan est engendré par une j)remièrc droite donnée 
d'abord de position, et qui se meut de manière que 
!ous ses points décrivent des droiUs pnrallMf s à une 
seconde droite donnée. Si la seconde droite est elle- 
même dans le plan que l'on considère, on peut dire 
aussi que ce plan est engendré par la seconde droite, 
(|ui se meut de manière que tous ses pitints décrivent 
«les droites parallèles à la première. 

On a donc l'idée de la position d'un plan par la consi- 
dération de deux ligiîcs droites, dont chacune peut être 
regardée comme sa génératrice. La position de ces 
deux droites dans le plian qu'elles peuvent engendrer 
est absolument iiidifTérente : il ne s'agit donc, pour la 
méthode des jjrojections, que de choisir celles qui 
(•\i<.Tent les constructions les plus simples. C'est pour 
cela (jue, dans la Géométrie descriptive, on indique 
la ]>osition d'un plan, en donnant les deux droites 
-uivant lesquelles il coupe les plans de projection. Il 
est facile de reconnaître que ces deux droites doivent 
rencontrer en un môme point l'intersection des deux 
plans.de projections, et que, par conséquent, ce point 
est celui où elles se rencontrent elles-mêmes. 

Comme il arrivera très fréquemment que nous 
ayons des plans à considérer, pour abréger le langage, 
nous donnerons le nom de traces aux droites selon 
lesquelles chacun d'eux coupera les plans de projec- 
tions, et qui serviront à indiquer sa position. 

14. Ces préliminaires étant posés, nous allons passer 
aux solutions de plusieurs questions successives, qui 



•26 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

rempliront le double objet de nous exercfr à la mé- 
thode des projections, et de nous procurer les moyens 
de faire ensuite de nouveaux progrès dans la Géo- 
métrie descriptive. 

Première question. — Etant donnés (fig. 4) un 
])oint dont Jcs projections soient 1), d^ et une droite 
dont les projections soient AB et ah^ construire les 
projections d'une seconde droite iTienéc par le point 
donné parallèîement à la première ? 

Solution. — Les deux projections horizontales de 
la droite donnée et de la droile cherchée doivent 
être parallèles entre elJcs; car ehes sont les intersec- 
tions de deux plans verticaux parallèles, par un même 
plan. Il en est de même des projections verticales des 
mêmes droites. De plus, la droite demandée devant 
passer par le point donné, ses projections doivent 
pass.or respectivement par celles du même point. Donc, 
si par le point D on mène EF parallèle à AB, et si par 
le point cl on mène ef parallèle à «6, les droites EF 
et ef seront les projections demandées. 

15. Seconde question. — Étant donnés (/îg. 5) 
un plan dont les deux traces soient AB, BC, et un point 
dont les projections soient G, g, construire les traces 
d'un second plan mené par le point donné parallèle- 
ment au premier ? 

Solution. — Les traces du plan demandé doivent 
être parallèles aux traces respectives du plan donné, 
puisque ces traces, considérées deux à deux, sont les 
intersections de deux plans parallèles, par un même 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. IJ 



plan. Il ne reste donc? plus à trouver, pour chacune 
irelk'S, qu'un seul des points par lesquels elle doit 
passer. Pour cela, par le point donné, concevons une 
droite horizontale qui soit dans le plan cherché; cette 
droite sera parallèle à la trace AB, et elle coupera \o 
plan vertical en un point, qui sera un de ceux de la 
trace du plan cherché sur le vertical, et Ton aura ses 
deux projections en menant par le point g l'horizon- 
tale indéfinie gF, et par le point G la droite GI, paral- 
lèle à A13. Si l'on prolonge GI jusqu'à ce qu'elle ren- 
contre l'intersection LM des deux plans de projection 
« n un point I, ce point sera la projection horizontale 
de l'intersection de la droite horizontale avec le plan 
vertical. Donc ce point d'intersection se trouvera 
sur la Verticale IF, menée par le point I. Mais il doit 
se trouver aussi sur gF; donc il se trouvera au point F 
d'intersection de ces deux dernières droites. Donc 
enfin, si par le point F on mène une parallèle à BC, 
elle sera, sur le plan vertical, la trace du plan cherché; 
et si, après avoir prolongé cette trace jusqu'à ce qu'elle 
rencontre LM en un point E, on mène ED parallèle 
à AB, on aura la trace du même plan sur le plan 
horizontal. 

Au lieu de concevoir sur le i)lan cherché une droite 
horizontale, on aurait pu concevoir une parallèle au 
plan vertical, ce qui, par un raisonnement absolument 
semblable, aurait donné la construction suivante : 

On mènera par le point G et parallèlement à LM 
la droite indéfinie GD ; par le point g on mènera gH 
parallèle à CB, et on la prolongera jusqu'à ce qu'elle 
coupe LM en un point H, par lequel on mène HD per- 
pendiculaire à LM : cette dernière coupera GD en un 



'28 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

point D, par lequel, si l'on mône une parallèle à AB, 
on aura une des traces du plan demandé; et si, après 
avoir prolongé cette trace jusqu'à ce qu'elle ren- 
contre LM en un point E, on mène EF parallèle à BC, 
on aura la trace sur le plan vertical. 

16. TiioisiiïME QUESTION. — Etant donnes [fig. 6) 
un plan dont les deux traces soient AB, BC, et un 
point dont les deux projections soient D, t/, cons- 
truire : 1° les projections de la droite abaissée perpen- 
diculairement du point sur le plan; 2^ celle du point 
de renconlre de la droite et du plan ? 

Solution. — Les perpendiculaires DG, dg, abaissées 
des points D et d sur les traces respectives du plan, 
seront les projections indéfinies de la droite demandée; 
car si par la perpendiculaire on conçoit un plan ver- 
tical, ce plan coupera le plan horizontal et Je plan 
donné en deux droites, qui seront, l'une et l'autre, 
perpendiculaires à la commune intersection AB de ces 
deux plans : or, la première ô,e ces droites étant la 
projection du plan vertical, est aussi celle de la per- 
pendiculaire qu'il renferme; donc Ja projection de 
cette perpendiculaire doit: passer par le point D, et 
être perpendiculaire à AB. 

La même démonstration a lieu pour la projection 
verticale. 

Quant au point de rencontre de la perpendiculaire 
et du plan, il est évident qu'il doit se trouver sur 
l'intersection de ce plan avec le plan vertical mené 
par la perpendiculaire, intersection qui est projetée 
indéfiniment sur EF. Si l'on avait la projection ver- 



^ à 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



29 





3o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



ticale fe de cette intersection, elle contiendrait celle 
du point demandé; et parce que ce point doit aussi 
être projeté sur la droite dg^ il se trouverait à l'inter- 
section g des deux droites je et dg. Il ne reste donc 
plus à trouver que la droite je : or, l'interseclion du 
plan donné avec le plan vertical qui lui est perpendi- 
culaire rencontre le plan horizontal au point E, dont 
on aura la projection verticale e, en abaissant Ee 
perpendiculairement sur LM; et elle rencontre le plan 
vertical de projection en un point dont la projection 
horizontale est l'intersection F de la droite LM avecDG, 
prolongée s'il est nécessaire, et dont la projection 
verticale doit être sur la verticale F/ et sur la trace CB ; 
elle sera donc au point / de leur intersection. 

La projection verticale g du pied de la perpendicu- 
laire étant trouvée, il est facile de constridre sa pro- 
jection horizontale, car si l'on abaisse sur LM la per- 
pendiculaire indéfinie g G, cette droite contiendra le 
point demandé : or, la droite DF doit aussi le con- 
tenir; donc il sera au point G de l'intersection de ces 
deux droites. 

17. Quatrième questioiN. — Estant donnés (fig. 7) 
une droite dont les deux projections soient AB, ah^ et 
un point dont les deux projections soient D, d^ cons- 
truire les traces du plan mené par le point perpendi- 
culairement à la droite ? 

Solution. — On sait déjà, par la question précé- 
dente, que les deux traces doivent être perpendicu- 
laires aux projections respectives des deux droites; 
il reste à trouver, pour chacune d'elles, un des points 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 3l 

par lesquels elle doit passer. Pour cela, si, par le point 
donné,, on conçoit, dans le plan cherché, une horizon- 
tale prolongée jusqu'à la rencontre du plan vertical 
(le projection, on aura sa projection verlicalc en 
menant par le point d une horizontale indéfinie dG, 
et sa projection horizontale en nicnaat par le point D 
une pcrpendicuiaire DU à AB, prolongée jusfiu'à ce 
qu'elle coupe LM en un point II, «jui sera la projection 
horizontale du point de rencontre de l'horizontale 
avec le ])lau vertical de projection. Ce point de ren- 
contre, ([ul doit se trouver dans la verticale HG et 
dans l'horizontale dG, et ])ar conséquent au point G 
d'intersection de ces deux droites, sera donc un des 
points de la trace sur le plan vertical; donc on aura 
cette trace, en menant par le point G la droite FC 
perpendiculaire à ab; donc 'enfin, si par le point C, 
où la première trace rencontre LM, on mène CE per- 
pendiculaire à AB, on aura la seconde trace demandée. 

S'il était question de trouver le point de rencontre 
du plan avec la droite, on opérerait exactement comme 
dans la question précédente. 

Enfin, s'il fallait abaisser une perpendiculaire du 
point donné sur la droite, on construirait, comme 
nous venons de le dire, la rencontre de la droite avec 
le plan mené par le point donné, et qui lui serait per- 
})endiculaire; et l'on aurait, pour chacune des deux 
projections de la perpendiculaire demandée, deux 
points par lesquels elle doit passer. 

18. Cinquième question. — Deux plans étant 
donnés de position {fig. 8), au moyen de leurs 
traces AB et A 5 pour l'un, CD ci Cd pour l'autre. 



3>. LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 33 



construire 1rs projections de la droite suivant laquelle 
ils se coupent ? 

Solution. — Tous les points de la trace AB se 
trouvant sur le premier des deux plans donnés, et 
tous ceux de la trace CD se trouvant sur le second, 
le point K d'intersection de ces deux traces est évi- 
dtnunent sur les deux plans; il est, pr.r conséquent, 
un des points àc la droite demandée. On reconnaîtra 
de même que le point F d'iiitersection des deux tract s 
sur le plan vertical est encore un autre point de cette 
droite. L'intersection des deux plans est donc placée 
(le manière qu'elle rencontre le plan horizontal en K et 
I»' plan vertical en F. 

Donc, si l'on projette le point F sur le plan horizontal, 
. . qu'on fera en abaissant sur LM la perpendiculaire 
I'7', et si l'on mène la droite /E, elle sera la projec- 
lion horizontale de l'intersection des deux plans. De 
même, si l'on projette le point E sur le plan vertical, 
en abaissant sur LM la perpendiculaire Ee, et si l'on 
mène la droite eF, elle sera la projt ction verticale de 
la même intersection. 

19. SixiKME QUESTION. — Dcux plaus (//g. Ç)) étant 
donnés, au moyen des traces AB, lib du premier, 
( t des traces CD, Cd du second, construire l'angle 
qu'ils forment entre eux ? 

Solution. — Après avoir construit, comme dans 
la question précédente, ia projection horizontale F/ 
de l'intersection des deux plans, si l'on conçoit un 
troisième plan qui leur soil perpendiculaire, et qui soit 
par conséquent perpendiculaire à leur commune iv. : cr- 
in «nge. — I. 3 



34 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

section, ce troisième plan coupera les deux plans 
donnés en deux droites, qui comprendront entre elles 
un angle égal à l'angle demandé. 

De plus, la trace horizontale de ce troisième plan 
sera perpendiculaire à la projection E/ de l'intersec- 
tion des deux plans donnés, et elle formera avec les 
deux autres droites un triangle dont l'angle opposé 
au côté horizontal sera l'angle demandé. Il ne s'agit 
donc plus que de construire ce triangle. 

Or, il est indifférent par quel point de l'intersection 
des deux premiers plans passe le troisième; on peut 
donc prendre sa trace à volonté sur le plan horizontal, 
pourvu qu'elle soit perpendiculaire à E/. Soit donc 
menée une droite quelconque GlI, perpendiculaire 
à E/, terminée en G et en H aux traces des deux plans 
donnés, et qui rencontre E/ en un point I; cette droite 
sera la base du triangle qu'il faut construire. Actuelle- 
ment, concevons que le plan de ce triangle tourne 
autour de sa base GH comme charnière, pour s'appli- 
quer sur le plan horizontal; dans ce mouvement, son 
sommet, qui est d'abord placé sur l'intersection des 
deux plans, ne sort pas du plan vertical mené par cette 
intersection, parce que ce plan vertical est perpendi- 
culaire à GH; et lorsque le plan du triangle est abattu, 
ce sommet se trouve sur un des points de la droite E/. 
Ainsi il ne reste plus à trouver que la hauteur du 
triangle ou la grandeur de la perpendiculaire abaissée 
du point I sur l'intersection de deux plans. 

Mais cette perpendiculaire est comprise dans le 
plan vertical mené par E/. Si donc on conçoit que ce 
plan tourne autour de la verticale /F pour s'appliquer 
sur le plan vertical de projection, et si l'on porte /E 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 3^ 



<!«' / en c, /I de / en i, la droite e K sera la grandrur de 
lîi i>artie de l'intersection comprise entre' les deux 
])lans de projection; et si du point i l'on abaisse sur 
cette droite la perpendiculaire i7r, elle sera la hauteur 
du triangle demandée 

Donc enfin, portant ik de I en K et achevant le 
Irlantrlo CKH, l'anj^le en K sera égal à l'anj^le formé 
par les deux plans. 

20. Septième question. — Deux droites f[ui se 
coupent dans l'esjiace {fi;. lo) étant données par leurs 
projections horizontales AB, AC, et par leurs projec- 
tions verticales ah^ ac^ construire l'angle qu'elles 
forment entre elles ? 

Avant de procéder à la solution, nous rettiarquefons 
(pie, puisque les deux droites données sont supposées 
^'^ couper, le point A de rencontre de leurs projections 
horizontales, et le point a de rencontre de leurs pro- 
jections verticales, seront les projections du point dans 
lequel elles se coupent, et seront par conséquent dans 
la même droite aGA perpendiculaire à LM. Si les deux 
points A et a n'étaient pas dans une même perpendicu- 
laire a LM, les droites données ne se couperaient pas, 
et par conséquent ne seraient pas dans un même plan. 

Solution. — On concevra les deux droites données 
prolongées jusqu'à ce qu'elles rencontrent le plan 
horizontal, chacune en un point, et l'on construira ces 
deux points de rencontre. Pour cela, on prolongera 
les droites ab, ac, jusqu'à ce qu'elles coupent LM en 
deux points rf, e, qui seront les projections verticales 
de ces deux points de rencontre : par les points d, e 



36 LES MAITRES DE LA PEiNSÉE SCIENTIFIQUE. 



on mènera dans Je plan horizontal et perpendiculaire- 
ment à LM deux droites indéfinies dD, eE, qui, devant 
passer chacune par un de ces points, détermineront 
leurs positions par leurs intersections D, E avec les 
projections horizontales respectives AB, iVC, prolon- 
gées s'il est nécessaire. 

Cela fait, si l'on mène la droite DE, cette droite et 
les deux parties des droites données, comprises entre 
leur point d'intersection et les points D, E, formeront 
un triangle, dont l'angle opposé à DE sera l'angle 
demandé; ainsi il ne s'agira plus que de construire ce 
triangle. Pour cela, après avoir abaissé du, point A 
sur DE la perpendiculaire indéfinie AE, si l'on conçoit 
que le plan du triangle tourne autour de sa base DE 
connue charnière, juscpi'à ce qu'il soit abattu sur le 
plan horizontal ; le sommet de ce triangle, pendant son 
mouvement, ne sorlira pas du plan vertical mené 
par AF, et viendra s'appliquer quelque part sur le 
prolongement de 1"A en un point H, dont il ne restera 
plus à trouver que la distance à la base DE. 

Or, la projection horizontale de cette distance est la 
droite AF, et la hauteur verticale d'une de ses extré- 
mités au-dc!^sus de l'autre est égale à aG; donc, 
en vertu de la ligure 3, si sur LM on porte AF 
de G en /, et si l'on mène l'hypoténuse a/, cette hypo- 
ténuse sera la dis lance demandée. Donc enfin, si l'on 
porte af de F en H, et si par le point H on mène les 
deux droites HD, HE, le triangle sera construit, et 
l'angle DHE sera l'angle demandé. 

21. IIuittî:me. question. — Etant données les 
projections d'une droite et les traces d'un plan, cons- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE:. 87 



triiirc l'angle que la droite et le plan forment entre 
eux ? 

Solution. — Si, par un point pris sur la droite 
donnée, on conçoit une perpendiculaire au plan donné, 
l'angle que cette perpendiculaire formera avec la 
droite donnée sera le complément de l'angle demandé, 
et il suflira de construire cet angle pour résoudre la 
question. 

Or si, sur les deux projections de la droite, on prend 
deux points qui soient dans la même perpendiculaire 
à l'intersection des deux plans de projection, et si, 
par ces deux points, on mène des perpendiculaires aux 
traces respectives du plan donné, on aura les projec- 
tions horizontale et verticale de la seconde droite. La 
question sera donc réduite à construire l'angle formé 
par deux droites qui se coupent, et rentrera dans le 
cas de la précédente. 

22. Lorsqu'on se.prc»posn de lever la carte d'un i)ays, 
on conçoit ordinairemeiil <iiic les points remarquables 
soient liés entre eux par des lignes droites qui forment 
des triangles, et il s'agit ensuite de rapporter ces 
triangles sur la carte, au moyen d'une échelle plus 
petite, et de les placer entre eux dans le même ordre 
que ceux qu'ils représentent. Les oj)érations qu'il 
faut faire sur le terrain consistent principalement dans 
la mesure des angles et de ces triangles; et, pour que 
ces angles puissent être rapportés directement sur la 
carte, ils doivent être chacun dans un plan horizontal, 
parallèle à celui de la carte. Si le plan de l'angle est 
oblique à l'horizon, ce n'est plus l'angle lui-même 



38 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

qu'il faut rapporter, c'est sa projection horizontale; 
et il est toujours possible do trouver cette projection 
lorsque, après avoir mesuré l'angle lui-même, on a 
de plus mesuré ceux que ses deux côtés forment avec 
l'horizon, ce qui donne lieu à l'opération suivante, qui 
est connue sous le nom de réduction d'un angle à 
l'horizon. 

Neuvième question. — Etant donnés l'angle 
formé par deux droites, et ceux qu'elles forment l'une 
et l'autre avec le plan horizontal, construire la projec- 
tion horizontale du premier de ces angles ? 

Solution. • — Soient A {fig, ii) la projection horizon- 
tale du sommet de l'angle demandé, et AB celle d'un 
de ses côtés, de manière qu'il faille construire l'autre 
côté AE. On concevra que le plan de projection ver- 
ticale passe par AB; et ayant mené par le point A une 
verticale indéfinie Aa, on prendra sur elle, à volonté, 
un point d, que l'on regardera comme la projection 
verticale du sommet de l'angle observé. Gela fait, si 
par le point d on mène la droite cCB, qui fasse avec 
l'horizontale un angle d!BA égal à celui que le premier 
côté fait avec l'horizon, le point B sera la rencontre 
de ce côté avec le plan horizontal. De même, si par le 
point d on mène la droite dC, qui fasse avec l'horizon- 
tale un angle c^CA égal à celui que le deuxième côté 
fait avec l'horizon, et si du point A comme centre, avec 
le rayon AC, on décrit un arc de cercle indéfini CEE, 
le deuxième côté ne pourra rencontrer le plan horizontal 
que dans un des points de l'arc CEE. Il ne s'agira donc 
plus que de trouver la distance de ce point à quelque 
autre point, comme B. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, M) 



Or, cette dernière distance est dans le plan de 
l'angle observé. Si donc on mène la droite dD^ de ma- 
nière que l'angle DdU soit égal à Tangle observé, et 
si l'on porte dC de d en D, la droite DB sera égale à 
cette distance. 

Donc, si du point B, comme centre, et d'un inter- 
valle égal à BD, on décrit un arc de cercle, K* point E, 
où il coupera le i)remi('r arc CKi'\ sera \v j)oint de ren- 
contre du deuxième côté avec le plan horizontal ; donc 
la droite AE sera la projection horizontale de ce côté, 
et l'angle BAE celle de l'angle observé. •» 

Les neuf questions .qui précèdent sufllsent à peine 
pour donner une idée de la méthode des projections; 
elles ne peuvent en montrer toutes les ressources. Mais 
à mesure que nous nous élèverons à des considérations 
plus générales, nous aurons soin de faire les opérations 
qui seront les plus propres à remplir cet objet. 



II. 

DES PLANS TANGENTS ET DES NORMALES 
AUX SURFACES COURBES. 

23. Comme il n'y a aucune surface courbe qui ne 
puisse être engendrée de plusieurs manières par le 
mouvement de lignes courbes, si par un point quel- 
conque d'ime surface on considère deux génératrices 
diiïérentes dans la position qu'elles doivent avoir, 
lorsqu'elles passent l'une et l'autre par ce point, et 
si l'on conçoit les tangentes en ce point à chacune des 
deux génératrices, le plan mené par ces deux tangentes 



4o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

est le plan tangent. Le point de la surface, dans lequel 
les deux génératrices se coupent, et qui est en même 
temps commun aux deux tangentes et au plan tan- 
gent, est le point de contact de la surface et du plan. 
La droite menée par le point de contact perpendi- 
culairement au plan Langent s'appelle normale à la 
surface. Elle est perpendiculaire à l'élément de la sur- 
face, parce que la direction de cet élément coïncide, 
dans tous les sens, avec celle du plan tangent, qui peut 
en être r(;gardé comme le prolongement. 

24. La considération des plans tangents et des nor- 
males aux surfaces courbes est très utile à un grand 
nombre d'arts ; et, pour plusieurs d'entre eux, elle est 
absolument indispensable. Nous n'apporterons ici 
qu'un seul exemple de chacun de ces deux cas, et nous 
les prendrons dans l'Architecture et dans la Peinture. 

Les différentes parties dont sont composées les 
voûtes en pierres de taille, se nomment poussoirs ' et 
l'on appelh^ joints les faces par lesquelles deux vous- 
soirs contigus se touchent, soit que ces voussoirs 
fassent partie d'une même assise, soit qu'ils soient 
compris dans deux assises consécutives. 

La position des joints dans les voûtes est assujétie 
à plusieurs conditions qui doivent être nécessairement 
remplies. Nous ferons connaître successivement toutes 
ces conditions dans la suite du cours; mais, dans ce 
moment, nous ne nous occuperons que de celle qui a 
rapport à notre objet. 

Une des conditions auxquelles la position des joints 
doit satisfaire, c'est qu'ils soient perpendiculaires 
entre eux, et que les uns et les autres rencontrent per- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 4l 

pendiculaircment la surface de la voûte. Si l'on s'écar- 
tait, sensiblement de cette loi, non seulement on bles- 
serait les convenances générales, sans lesquelles rien 
ne peut avoir de la grâce, mais encore on s'exposerait 
à rendre la voûte moins solide et moins durable : car, 
si l'un des joints était oblique à la surface de la voûte, 
des deux voussoirs contigus à ce joint, l'un aurait 
un angle obtus, l'autre un anj^le aigu; et dans la réac- 
tion que les deux voussoirs exercent l'un sur l'autre, 
ces deux angles ne seraient pas capables de la même 
résistance; à cause de la fragilité des matériaux, l'angle 
aigu serait exposé à éclater; ce qui altérerait la forme 
de la voûte, et compromettrait la durée de l'édifice. 
Ainsi la décomposition d'une voûte en voussoirs exige 
donc absolument la considération des plans tangents 
et des normales à la surface courbe de la voûte. 

'i5. Passons à un autre exemple pris dans un genre 
qui, au premier coup d'œil, ne paraît pas susceptible 
d'une aussi grande sévérité. 

On a coutume de regarder la Peinture comme com- 
posée de deux parties distinctes. L'une est l'art pro- 
prement dit : elle a pour objet d'exciter dans le specta- 
teur une émotion déterminée, de faire naître en lui un 
sentiment donné, ou de le mettre dans la situation qui 
le disposera le mieux à recevoir une certaine inqjres- 
sion; elle suppose dans l'artiste une grande habitude 
de la philosophie ; elle exige de sa part les connaissances 
les plus exactes sur la nature des choses, sur la manière 
dont elles agissent sur nous, et sur les signes, même 
involontaires, par lesquels cette action se manifeste; 
elle ne peut être que le résultat d'une éducation très 



h' LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

distinguée, que l'on ne donne à personne, et que nous 
sommes bien éloignés de donner à nos jeunes artistes ; 
elle n'est soumise à aucune règle générale; elle ne sup- 
porte que des conseils. 

L'autre partie de la peinture en est, à proprement 
parler, le métier : son but est l'exécution exacte des 
conceptions de la première. Ici rien n'est arbitraire; 
tout peut être prévu par un raisonnement rigoureux, 
parce que tout est le résultat nécessaire d'objets con- 
venus et de circonstances données. Lorsqu'un objet 
est déterminé de forme et de position, lorsque l'on con- 
naît la nature, le nombre et la position de tous les 
corps qui peuvent l'éclairer, soit par une lumière 
directe, soit par des rayons réfléchis; lorsque la posi- 
tion de l'œil du spectateur est fixe; lorsque enfin 
toutes les circonstances qui peuvent influer sur la 
vision sont bien établies et connues, la teinte de 
chacun des points de la surface visible de cet objet 
est absolument déterminée. Tout ce qui a rapport à la 
couleur de cette teinte et à son éclat dépend de la 
position du plan tangent en ce point à l'égard des 
corps éclairants et de l'œil du spectateur : elle peut 
être trouvée par le seul raisonnement; et lorsqu'elle 
est ainsi déterminée, elle doit être appliquée avec 
exactitude. Tout afîaiblissement, toute exagération 
changeraient les apparences, altéreraient les formes 
et produiraient un autre effet que celui qu'attend 
l'artiste. 

Je sais bien que la rapidité de l'exécution, (|ui est 
souvent nécessaire, ne permettrait que bien rarement 
l'emploi d'une méthode qui priverait l'esprit de tout 
secours matériel, et l'abandonnerait à l'exercice de ses 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 43 

seules facultés, et qu'il est beaucoup plus facile au 
peintre de poser les objets, d'observer leurs teintes et 
(le los imiter : mais s'il était accoutumé à considérer 
lès ])usilions des plans tangents et les deux courbures 
des surfaces en chacun de leurs points, courbures qui 
IVronl l'objet de leçons ultérieures, il tirerait de ce 
moyen matériel un parti plus avantageux; il serait en 
état de rétablir les ciîets que l'omission de quelques 
circonstances a empêché de naîlrc, et de supprimer 
Cj«;ux auxquels donnent lieu des circonstances étran- 
gères. 

Enfin, les expressions vagues, comme celles de 
méplat^ clair-obscur^ que les peintres emploient à 
chaque instant, sont un témoignage constant du 
besoin qu'ils ont de connaissances plus exactes et de 
raisonnements plus rigoureux. 

26. Indépendamment de son utilité dans les arts, 
la considération des plans tangents et des normales 
aux surfaces courbes, est un des moyens les plus fé- 
conds que la Géométrie descriptive emploie pour la 
résolution de questions qu'il serait très difiîcile de 
résoudre par d'autres procédés, et nous en donnerons 
quelques exemples. 

27. La méthode générale, pour déterminer le plan 
tangent à une surface courbe, consiste (23) à concevoir 
par le point de contact les tangentes à deux courbes 
génératrices différentes qui passeraient par ce point, 
et à construire le plan qui passerait par ces deux 
droites. Dans quelques cas particuliers, pour abréger 
les constructions, on s'écarte un peu de cette méthode 



44 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



prise à la lettre, mais on fait toujours l'équiva- 
lent. 

Quant à la construction de la normale, nous ne nous 
en occuperons pas en particulier, parce qu'elle se 
réduit à celle d'une droite perpendiculaire au plan 
tangent, ce que nous savons faire. 

28. Première question. — Par un point considéré 
sur une surface cylindrique, et dont la projection 
horizontale est donnée, mener un plan tangent à cette 
surface ? 

Solution. — Soint AB, ah {fig. 12) les projec- 
tions horizontale et verticale de la droite donnée, 
à laquelle la génératrice de la surface cylindrique 
doive être parallèle; soit EPD la courbe donnée dans 
le plan horizontal, sur laquelle la génératrice doive 
constamment s'appuyer, et que l'on peut regarder 
comme la trace de la surface cylindrique; enfin soit G 
la projection horizontale donnée du point considéré 
sur la surface cylindrique, par lequel doive êlrc mené 
le plan fangenl. 

Gela ])0sé, par le point considéré sur la surface, et 
dont la projection horizontale est en G, concevons 
la droite génératrice dans la i)Osition qu'elle doit avoir 
lorsqu'elle passe par ce point : cette génératrice étant 
une ligne droite, elle sera elle-même sa propre tangente ; 
elle sera donc une des deux droites qui détermineront 
la position du plan tangent; de plus, elle sera parallèle 
à la droite donnée : donc ses deux projections seront 
respectivement parallèles à AB et ah\ donc si par le 
point G on mène à AB une parallèle indéfinie EF, on 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



aura la projection horizontale de la génératricf. Pour 
avoir sa projection verticale, concevons la génératrice 
prolongée sur la surface cylindrique jusqu'à ce qu'elle 
rencontre le plan horizontal; elle ne le pourra faire 
que dans un point qui sera en même temps sur la pro- 
jection EF et sur la courbe EPD, et qui sera, par con- 
séquent, l'intersection de ces deux lignes : ainsi l'on 
déterminera ce point, en prolongeant EF jns(|u'i'i ce 
qu'elle coupe quelque part la courbe EPI). 

Ici il se présente deux cas : ou la droite EF ne cou- 
pera la trace du cylindre qu'en un seul point, ou elle 
le coup( ra en plusieurs points. Nous allons examiner 
ces deux cas séparément, et supposer d'abord que 
quelque prolongée que soit la droite EF, elle ne ren- 
contre la courbe EPD qu'en un seul point D. 

Le point D étant la trace de la génératrice, si on le 
projette sur le plan vertical au moycndola ]>("rp;'i!(1i('u- 
laire D</, et si par le point d on mène df parallèle à ab, 
on aura la projection verticale* de la génératrice. Ainsi 
on aura les deux projections d'une des droites par 
lesquelles doit passer le plan tangent demandé. De 
pluF, la projection vcriicale du point de contact doit 
se trouver sur la droite Ce' menée du point donné C 
perpendiculairement à LM; elle doit aussi se trouver 
sur df; donc elle sera au point c d'intersection de ces 
deux lignes. 

Si la droite EF coupe la trace EPD de la surface 
cylindrique en plusieurs points D, E, on opérera pour 
chacun de ces points de la même manière que nous 
venons de le décrire pour le point D, regardé comme 
seul; il en résultera seulement qu'on aura les projec- 
tions verticales c//, ef d'autant de droites génératrices, 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 4? 

et les projections verticales c, c' d'autant de points 
de contact qu'il y aura de points d'intersection entre 
la droite EF et la trace EPD. 

Dans le cas de la figure 12, la trace de la surface 
cylindrique est une circonférence de cercle qui a la 
propriété d'être coupée par une droite en deux points : 
ainsi la verticale élevée par le point donné C doit ren- 
contrer deux fois la surface, d'abord dans un premier 
point, dont la jnojeclion verticale est c, et par laquelle 
])assc la jjjénéralrice, iorsqu'elliî s'ai)puie sur le point 1), 
et ensuite dans un second point, dont la projection 
verticale est c\ et par laquelle passe la génératrice 
lorsqu'elle s'appuie sur le point E de la trace. Ces deux 
points, quoi(pi'ils aient la même projection horizon- 
tale, sont néanmoins très distincts, et à chacun d'eux 
doit répondre un plan tangent particulier. Actuelle- 
ment, pour chacun des deux points de contact, il faut 
trouver la deuxième d oite qui doit déterminer la posi- 
tion du plan tangent. Si l'on suivait strictement la 
méthode générale, en regardant la trace comme une 
seconde génératrice, il faudrait la concevoir passant 
successivement par chacun des points de contact, et 
construire dans chacun de ces points une tangente; 
mais, dans le cas particulier des surfaces cylindriques, 
on peut employer une considérai ion plus simple. En 
effet, le plan tangent au point C, c touche la surface 
dans toute l'étendue de la droite génératrice qui passe 
par ce point; il la touche donc en D, qui est un point 
de cette génératrice ; il doit donc passer par la tangente 
à la trace au point D. Par un semblable raisonnement 
on trouvera que le plan tangent en C, c' doit passer 
par la tangente à la trace en E. Donc, si par les deux 



48 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

points D, E on mène à la trace les deux tangentes DK, 
EG, prolongées jusqu'à ce qu'elles coupent la droiteLM 
en deux points K, G, on aura sur le plan horizontal 
les traces des deux plans tangents. 

Il ne reste donc plus à trouver que les traces des 
mêmes plans sur le plan vertical; et parce que nous 
avons déjà pour l'une de ces traces le point K, et pour 
l'autre le point G, il ne reste plus à déterminer qu'un 
seul point pour chacune d'elles. 

Pour cela, et en opérant pour le premier des deux 
plans tangents, concevons que le point à construire 
soit celui dans lequel une horizontale menée dans le 
pian par le point de contact rencontre le pian vertical; 
on aura la projection horizontale de cette droite en 
menant par le point G une parallèle à la trace DK, 
qu'on prolongera jusqu'à ce qu'elle rencontre la 
droite LM en un point 1; et l'on aura sa projection 
verticale en menant par le point c une horizontale 
indéfinie. Le point de rencontre du plan vertical avec 
l'horizontale se trouvera donc en même tenq)s et sur 
la verticale \i et sur l'horizontale ci; il sera au point i 
de leur intersection; donc, si par les points i et K on 
mène une droite, on aura la trace du premier plan 
tangent sur le plan vertical. En raisonnant de môme 
pour le second pian tangent, on trouvera sa trace sur 
ie plan vertical en menant par le point C une droite CH 
parallèle à la trace horizontale EG, et on la prolon- 
gera jusqu'à ce qu'elle coupe LM en un point H, par 
lequel on élèvera la verticale LI^; par le point c' on 
mènera une horizontale qui coupera la verticale H h 
en un jtoint A, par lequel et par le point G si l'on mène 
une droite G//, on aura la trace demandée. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 49 

29. Deuxième question. — Par un point considéré 
sur une surface coni<iue, et dont la projection horizon- 
tale est donnée, mener un plan tangent à cette sur- 
lace ? 

La solution de cette question ne diffère de celle de 
la précédente qu'en ce que la droite génératrice, au 
lieu d'être toujours parallèle à elle-même, passe 
toujours par le sommet dont les deux projections 
sont données. Nous pensons qu'il eut convenable de 
ne pas l'énoncer ici, et de conseiller au lecteur de la 
chercher lui-même, en lui offrant le secours de la 
ligure lo, si toutefois cela était nécessaire. 

30. Troisième question. — Par un point consi- 
déré sur une surface de révolution autour d'un axe 
a; rlical, et donné sur la projection horizontale, mener 
un i)lan tangent à la surface ? 

Solution. — Soient A {/ig. i/|) la projection 
horizontale donnée de l'axe, aa' sa projection verti- 
cale, BCDEF la courbe génératrice donnée, consi- 
dérée dans un plan mené par l'axe, et G la projection 
horizontale donnée du point de contact. 

Gela posé, si par le point de contact et par l'axe on 
conçoit un plan vertical dont la projection sera 
l'horizontale indéfinie AG, ce plan coupera la surface 
de révolution dans une courbe qui sera la génératrice, 
])assant par le point de contact; si par le point G on 
conçoit une verticale, elle rencontrera la génératrice 
et par conséquent la surface en un ou plusieurs points 
qui seront autant de points de contact, dont G sera 
la })rojection horizontale! commune. Un trouvera tous 

MONGK. — I. 4 



5o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 5l 



ces points de contact considérés dans le plan de la 
génératrice en portant AG sur LM, de a m e, et en 
menant par le point e une ])arallcle à au ; tous los 
points 1% (1, dans lesquels cette tlroitc coupera la 
courbe BCDEF, seront les intersections de la courbe 
génératrice avec la verticale menée par le point G, et 
indi({iieront les hauteurs d'autant de points do contact 
au-dessus du ]>ian horizontal. P<tur avoir les projec- 
tions verticales de ces points de contact, on mènera 
par tous les points E, C des horizontales indéfinies, 
(jiii contiendront ces projections : mais elles doivent 
aussi se trouver sur la perpendiculaire à LM, menée 
par le point G; donc les intersections g, g' de cette 
droite avec les horizontales seront les projeelions des 
différents points de contact. 

Actuellement, si, par chaque point de conlact, on 
conçoit une section faite par un plan horizontal, cette 
section, qui pourra être regardée comme une seconde 
génératrice, sera la circonférence d'un cercle dont 
le centre sera dans l'axe, et dont la tangente, qui doit 
être perpendiculaire à l'extrémité du rayon, sera aussi 
perpendiculaire au plan vertical mené par AG, et dans 
le({uel se trouve le rayon : donc le plan tangent, qui 
doit passer par cette tangente, sera aussi perpendi- 
culaire à ce même plan vertical, et aura, sur le plan 
horizontal, sa trace perpendiculaire à AG. Il ne reste 
donc plus, pour avoir la trace de chacun des plans 
tangents, que de trouver sa distance au point A : or, 
si par les points E, C on mène à la première généra- 
trice les tangentes El, CH, prolongées jusqu'à ce 
qu'elles rencontrent LM en des points I, H, les 
droites ol, ali seront égales à ces distances; donc, si 



52 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



l'on porte ces droites de A en i et de A en h, et si par 
les points i et h on mène à AG des perpendiculaires iQ, 
/tP, prolongées jusqu'à la rencontre de la droite LM, 
on aura, sur le plan horizontal, les traces de tous les 
plans tangents. 

Pour trouver sur le plan vertical les traces des 
mêmes plans, il faut concevoir, par chaque point de 
contact, et dans le plan langent correspondant, une 
horizontale prolongée jusqu'au plan vertical de pro- 
jection; cette droite, qui n'est autre chose que la tan- 
gente au cercle, déterminera sur ce plan un point qui 
appartiendra à la trace. Or, pour tous les pohits du 
contact, ces droites ont la même projection horizon- 
tale; c'est la droite GK, menée par le point G perpen- 
diculairement à AG, et terminée à la droite LM. Donc, 
si par le point K on mène à LM une perpendiculaire 
indéfinie KA/i', elle contiendra tous les points de ren- 
contre des horizontales avec le plan vertical de pro- 
jection. Mais ces points de rencontre doivent aussi se 
trouver sur les horizontales respectives menées par 
les points E, G; donc les intersections /x, k' de ces 
horizontales avec la verticale Kk' seront chacune un 
point de la trace d'im des plans tangents. Ainsi la 
droite Q/i' sera, sur le plan verlieal, la trace d'un des 
plans tangents; la droite Fk' sera la trace de l'autre; 
et ainsi de suite, s'il y en avait un plus grand nombre. 

Nous nous bornerons, dans ce moment, aux trois 
exemples précédents, parce qu'ils suffisent pour toutes 
les surfaces dont nous avons défini la génération. Dans 
la suite de cet écrit, nous aurons occasion de considérer 
les générations de familles de surfaces infiniment plus 
nombreuses; et à mesure qu'elles se prét.enteront, nous 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 53 



a|»pli(iueroiis la même méthode à la détermination de 
leurs plans tangents et de leurs normales. Maintenant 
nous allons proposer une question, dans la solution de 
laquelle on peut employer d'une manière utile la consi- 
dération d'un plan tangent. 

.')1. QiATiuKMK QUKSTioN. — Dciix (Iroitcs étant 
d(»nnées {fig. i5), par leurs projections horizon- 
talcs AB, CD, et par leurs projections verticales ah^ cd^ 
construire les projections PN, pn de leur plus courte 
distance, c'est-à-dire, de la droite qui est en même 
temps ])erpendiculaire à l'une et à l'autre, et trouver 
la grandeur de cette distance ? 

Solution. — Par la première des deux droites 
données, concevons un plan parallèle à la seconde, ce 
qui est toujours possible, puisque si par un point 
quelconque de la première on mène une droite paral- 
lèle à la seconde, et si l'on conçoit que cette troisième 
droite se meuve parallèlement à elle-même le long de 
la })remière, elle engendrera le plan dont il s'agit. Con- 
cevons de plus une surface cylindrique à base circu- 
laire, qui ait pour axe la seconde droite donnée, et 
pour rayon la distance cherchée; cette surface sera 
touchée par le plan en une droite qui sera parallèle 
à l'axe, et qui coupera la première droite en un point. 
Si par ce point on mène une perpendiculaire au plan, 
elle sera la droite demandée; car elle passera de fait 
par un point de la première droite donnée, et elle lui 
sera perpendiculaire, puisqu'elle sera perpendiculaire 
à un plan qui passe par cette droite : elle coupera do 
plus la seconde droite perpendiculairement, puisqu'elle 



54 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



sera un rayon du cylindre dont cette seconde droite 
est l'axe. 

Il ne s'agit donc plus que de construire suroessive- 
lïient toutes les parties de cette solution. 

i*^ Pour construire les traces du plan parallèle aux 
deux droites données, on mènera par un point quel- 
conque de la première, une parallèle à la seconde; les 
projections de cette parallèle seront parallèles aux 
droites" CD, cd. La droite cd coupant la droite ah au 
point h, si l'on abaisse de ce point la perpendiculaire 
hb' B sur l'intersection comnuine LM des })lans de 
projection, et si l'on mène par le point do la première 
droite, dont les projections sont B et h, la parallèle 
à la seconde droite, cette parallèle aura pour projec- 
tions horizontale et verticale les droites BE, cd; elle 
rencontrera le plan horizontal au point E, qu'on 
obtient en menant la droite cE perpendiculairement 
à l'intersection commune LM. Donc, si l'on joint les 
points A et E par une droite, cette droite sera la trace 
du plan parallèle aux deux droites données. 

2^ Pour construire la ligne de contact du plan paral- 
lèle aux deux droites données avec la surface cylin- 
drique, il faut observer que cette ligne de contact est 
parallèle à la seconde droite donnée, et qu'un seul 
point de cette ligne détermine sa position. Pour trouver 
ce point, on mène par un point quelconque de la se- 
conde droite qui est l'axe du cylindre (par exemple, 
par le point C, où elle rencontre le plan horizontal), 
un plan perpendiculaire à cet axe; l'intt rsection de ce 
plan avec le plan parallèle aux deux droites, est la 
ligne de contact de ce dernier plan avec la base circu- 
laire de la surface cylindrique. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 55 

Le plan vertical CD ayant tourné autour do sa 
trace CD pour s'applicpier sur le plan horizontal, on 
construira l'angle ^'Cp que la seconde droite donnée 
fait avec le plan horizontal, en prenant une verticale 
^'(5 égale à b' b. Le même plan vertical CD coupe le 
plan parallèle aux deux droites, guivant la droite FK 
parallèle à Cl). D'où il suit que le plan ])erj)endicu- 
laire à l'axe du cylindre mené par le point C, coupe le 
plan vertical CD suivant la droite CK perpendiculaire 
à C (3' ou à 1/K, et le plan horizontal suivante la droite 
Cil perpendiculaire à CD. 

Ce })lan perpendiculaire à l'axe du cylindre, tournant 
autour de sa trace horizontale CH pour venir s'appli- 
quer sur le plan horizontal, le point K s'abaisse en K'; 
le point H de la trace AE reste fixe, et la droite HK' 
est l'intersection du plan tangent à la surface cylin- 
drique, et du plan perpendiculaire à l'axe de cette 
surface. Donc, si du point C on abaisse la perpendicu- 
laire CI sur cette droite HK', le cercle décrit du 
point C comme centre, avec le rayon CI, est la base 
de la surface cylindrique, et la droite IN, parallèle 
à CD, est la projection horizontale de l'arête de con- 
tact. Cette arête coupe la première droite en un point 
dont les projections sont N et n, et par lequel passe 
la perpendiculaire aux deux droites données. 

3^ Connaissant les projections N, n d'un des points 
de la perpendiculaire commune demandée, pour avoir 
celles de cette perpendiculaire, il suffira de mener par 
le point N la droite NPQ perpendiculaire à la trace AE. 
Cette droite coupe la projection horizontale CD de la 
seconde droite donnée au point P, extrémité de la 
projection horizontale NP de la perpendiculaire de- 



56 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

mandée. La projection verticale de cette perpendicu- 
laire étant np, on en construira la grandeur par le pro- 
cédé de la figure 3. 

, La considération d'une surface cylindrique touchée 
par un plan n'était point nécessaire pour la solution 
de la question précédente. Après avoir imaginé un plan 
parallèle aux deux droites données, on aurait pu, par 
chacune de ces droites, mener à ce plan un plan per- 
pendiculaire ; et l'intersection de ces deux derniers plans 
aurait été la direction de la plus courte distance 
demandée. Nous nous contenterons d'énoncer cette 
seconde manière, en conseillant au lecteur d'en cher- 
cher la construction pour s'exercer. 

32. Dans les différentes questions que nous avons 
résolues sur les plans tangents aux surfaces courbes, 
nous avons toujours supposé que le point par l(K[uel 
il fallait mener le plan tangent était pris sur la sur- 
face, et qu'il était lui-même le point de contact : cette 
condition seule suffisait pour déterminer la position 
du plan. Mais il n'en est pas de même lorsque le point 
par lequel le plan doit passer est pris hors de la sur- 
face. 

Pour que la position d'un plan soit déterminée, il 
faut qu'il satisfasse à trois conditions différentes, équi- 
valentes chacune à celle de passer par un point donné : 
or, en général, la propriété d'être tangent à une sur- 
face courbe donnée, lorsque le point de contact n'est 
pas indiqué, n'équivaut qu'à une seule de ces condi- 
tions. Si donc c'est par des conditions de cette nature 
que l'on se propose de déterminer la position d'un 
plan, il en faut, en général, trois. En effet, supposons 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



quo nous ayons trois surfaces courbes données, et 
qu'un plnn soit tangint à l'une d'entre elles, en un 
point quelconque ; nous pouvons concevoir que ce plan 
se meuve autour de la surface, sans cesser de la toucher : 
il pourra le faire dans toutes sortes de sens; seulement 
le point de contact se mouvra sur la surface à mesure; 
que le plan langent changera de position, et la direc- 
tion du mouvement du point de contact sera dans le 
même s(;ns que celle du mouvement du plan. Conce- 
vons que ce mouvement se fasse dans un certain sens 
jus([u'à C(; que h) i>lan rencontre la seconde surface 
et la touche en un certain point ; alors le plan sera en 
même temps tangent aux deux premières surfaces, et 
sa i)Osition ne sera pas encore arrêtée. Nous pouvons 
en eiïet concevoir que le plan tourne autour des deux 
surfaces, sans cesser de les toucher l'une cl l'autre. Il 
ne sera plus libre, coninu; aupariuaul, de se mouvoir 
dans toutes sortes de sens, et il ne jtourra plus le faire 
que dans un seul. A mesure que le plan eh;!n<^(ra de })0- 
sition, les deux points de contact se mouvront chacun 
sur la surface à laquelle il appartient ; d(; manière (juc 
si l'on conçoit une droite menée i)ar ces deux points, 
leurs mouvements seront dans le même sens par rap- 
port à cette droite, quand le plan touchera les deux 
surfaces du même côté; et ils seront dans des sens 
contraires, quand le plan louchera les deux surfaces, 
l'une d'un côté, l'autre de l'autre. Enfin concevons 
que ce mouvement, qui est le seul qui puisse avoir 
encore lieu, continue jusqu'à ce que le plan touche 
la troisième surface en un certain point : alors la po- 
sition du plan sera arrêtée; et il ne pourra plus se mou- 
voir sans cesser d'être tangent à l'une des trois surfaces. 



58 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



On voit donc que pour déterminer la position d'un 
plan, au moyen de contacts indéterminés avec des 
surfaces courbes données, il en faut en général trois. 
Ainsi, si l'on se proposait de mener un plan tangent 
à une surface courbe donnée, cette condition n'équi- 
vaudrait qu'à une seule des trois auxquelles le plan 
peut satisfaire : on pourrait donc encore en prendre 
deux autres à volonté, et, par exenqde, faire passer 
le plan par deux points donnés, ou, ce qui revient au 
même, par une droite donnée. S'il fallait que le plan 
fût tangent en même temps à deux surfaces, il y aurait 
deux conditions employées; il n'y en aurait plus qu'une 
disponible, et l'on ne pourrait assujétir de plus le plan 
qu'à passer par un point donné. Enfin, si le plan devait 
toucher en même temps trois surfaces données, on ne 
pourrait plus disposer d'aucune condition, et. sa posi- 
tion serait déterminée. 

Ce que nous venons de dire regarde les surfaces 
courbes en général; il faut néanmoins en excepter ce 
qui a rapport à toutes les surfaces cylindriques, à 
toutes les surfaces coniques, et à toutes les surfaces 
développables ; car, pour ce genre de surfaces, le con- 
tact avec un pian n'est pas réduit à un point unique; 
il s'étend tout le long d'une droite indéfinie qui se 
confond avec la génératrice dans une de ses positions. 
La propriété qu'aurait un plan de toucher une seule 
de ces surfaces, équivaudrait à deux conditions, 
puisqu'elle l'assujétirait à passer par une droite; et il 
ne resterait plus qu'une seule condition disponible, 
comme, par exemple, de passer par un point donné. 
On ne pourrait donc pas proposer de mener un plan 
qiii fût en même temps tangent à deux de ces surfaces, 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. JQ 



et à plus forlo raison à trois, à moins qu'il n'y eût 
quelcjucs circonstances parlicuiicres qui rendissent ces 
conditions compatibles. 

.'j3. Il nVst peut-êlre ])as inutile, avant, «(ue d'aliir 
plus loin, de donner quelques exemples de la nécessité 
où l'on peut être de nuMier des plans tangents à des 
surfaces courbes par des points pris au dehors d'elles. 
Nous prendrons le premier de ces exemples dans la 
construction des fortifications. 

rA)rsqu'on expose les principes généraux de la for- 
tilicalion, on suppose d'abord (pie, dans tous les sens, 
le terrain qui environne la place forte à la portée du 
canon soit horizontal, et ne présente aucune émi- 
nence qui puisse donner quelque avantage à l'assié- 
geant : puis, dans cette hypothèse, on détermine le 
tracé du corps de place, des demi-lunes, des chemins 
couverts, et des ouvrages avancés; et l'on indique les 
commandements que les difïércntcs parties de la for- 
tification doivent avoir les unes sur les autres, afin 
qu'elles contribuent toutes, de la manière la plus elli- 
cace, à leur défense réciproque. Ensuite, pour faire 
l'application de ces principes au cas où le terrain qui 
environne la place présenterait quelque liautiur dont 
l'assiégeant pourrait profiter, et de laquelle il faudrait 
que la fortification fût défilée, il ne reste plus qu'une 
considération nouvelle. S'il n'y a qu'une seule hauteur, 
on choisit dans la place deux points par lesquels on 
conçoit un plan tangent à la hauteur de laquelle on 
veut se défiler : ce plan tangent se nomme phin de 
défilement; et l'on donne à toutes les parties de la for- 
tification le même relief au-dessus du plan de défile- 



6o LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



ment, qu'elles auraient eu au-dessus du plan horizontal, 
si le terrain eût été de niveau : par là elles ont les unes 
sur les autres, et toutes ensemble sur la hauteur voi- 
sine, le mêiiK; commandement que sur un terrain 
horizontal; et !a fortification a les mêmes avantages 
que dans le premier cas. Quant au choix des deux 
points par lesquels doit passer le plan de défilement, 
il doit satisfaire aux deux conditions suivantes : 
i'^ que l'angle forjnc par le pian avec l'horizon soit 
le plus petit possible, afin que les terre-pleins ayant 
moins de pente, le service de la défense rencontre 
moins de diiïicultés; 2^ que le relief de la fortification 
au-dessus du terrain naturel soit aussi le plus petit 
possible, afin que sa construction entraîne moins de 
travail et moins de dépense. 

Si, dans les environs de la place, il y a deux hauteurs 
desquelles la fortification doive être en même temps 
défilée, le plan de défil(;nu nt doit être en même temps 
langent aux surfaces de ces deux éminences : il ne 
reste plus, pour fixer sa position, qu'une seule condi- 
tion disponible, et l'on en dispose; c'est-à-dire, on 
choisit dans la place le point par lequel ce plan doit 
passer, de manière que l'on satisfasse le mieux pos- 
sible aux conditions énoncées dans le premier cas. 

^Î4. Le second exemple que nous rapporterons sera 
encore pris dans la peinture. 

Les surfaces des corps, surtout lorsqu'elles sont 
polies, présentent des points brillants, d'un éclat com- 
parable à celui du corps lumineux qui les éclaire. La 
vivacité de ces points est d'autant plus grande, et leur 
étendue est d'autant plus petite, que les surfaces sont 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 6l 

plus polies. Lorsque les surfaces sont mates, les points 
brillants ont beaucoup moins d'éclat, et ils occupent 
une partie plus grande de la surface. 

Pour chaque surface, la position du point brillant 
est déterminée par la condilion suivante : que le 
rayon de lumière incident, et le rayon réfléchi dirigé 
ù Tœil du spectateur, soient dans un même plan pcr- 
]);'ndiculaire au plan tangent en ce point, et fassent 
avec ce plan des angles égaux, parce que le point 
brillant de la surface fait fonction de miroir, et renvoie 
à l'œil une partie de l'image de robjel lumineux. La 
détermination de ce point exige une extrême préci- 
sion ; et quand même le dessin serait de la plus grande 
correction, quand même les contours apparents 
seraient tracés avec une exactitude mathématique, 
la moindre erreur commise dans la position du point 
brillant en apporterait de très grandes dans l'appa- 
rence des formes. Nous n'en apporterons qu'une seule 
preuve, mais bien frappante. 

La surface du globe de l'œil est polir; elle est de plus 
enduite d'une légère couche d'humidité qui en rend 
le poli plus parfait : aussi lorsqu'on observe un œil 
ouvert, on voit sur sa surface un point brillant d'un 
grand éclat, d'une très petite étendue, et dont la posi- 
tion dépend de celle de l'objet éclairant et de l'obser- 
vateur. Si la surface de l'œil était parfaitement sphé- 
rique, l'œil pourrait tourner autour de son axe ver- 
tical, sans que la position du point brillant éprouvât 
le moindre changement : mais cette surface est allongée 
dans le sens de l'axe de la vision: et lorsqu'elle tourne 
autour de l'axe vertical, la position du point brillant 
change. Un long exercice nous ayant rendus très sen- 



6-1 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

?:ib]es à ce changement, il entre pour beaucoup dans le 
jugement que nous portons sur ]a direction du globe 
de l'œil. C'est principalement par la différence des 
positions des points brillants sur les globes des deux 
yeux d'une personne, que nous jugeons si elle louche 
ou si elle ne louche pas; que nous reconnaissons qu'elle 
nous regarde, et, lorsqu'elle ne nous regarde pas, de 
quel côté elle porte la vue. 

En rapportant cet exemple, nous ne prétendons pas 
que, dans un tableau, il faille déterminer géométri- 
quement la position du point brillant sur le globe de 
l'œil; nous avons seulement l'inlention de faire voir 
comment de légères erreurs dans la position de ce point 
en apportent de considérables dans la forme apparente 
de l'objet, quoique d'ailleurs le tracé de son contour 
apparent reste le même. 

35. Passons actuellement à la détermination des 
plans tangents aux surfaces courbes menés par des 
points pris au dehors d'elles. 

La surface de la sphère est une des plus simples que 
Ton puisse considérer; elle a des générations communes 
avec un grand nombre de surfaces différentes : on pour- 
rait, par exemple, la ranger parmi les surfaces de révo- 
lution, et ne rien dire de parUculicr pour elle. Mais sa 
régularité donne lieu à des résultats remarquables, 
dont quelques-uns sont piquants par leur nouveauté, 
et dont nous allons nous occuper d'abord, moins 
pour eux-mêmes, que pour acquérir, dans l'observa- 
tion des trois dimensions, une habitude dont nous 
aurons besoin pour des objets plus généraux et plus 
utiles. 



GÉOMÉTRIE OF-SCRIPTIVE. ()3 



36. Première <^>uEsrioN. — Par une droite donnée 
mener un plan tangent à la surface d'une sphère donnée ? 

Svlullon. — Première manière. — Soient A et a 
[fig. i6) les deux projections du centre de la sphère; 
BCD, la projection du grand cercle horizontal; EF 
et r/, les deux projections indéfinies de la droite 
donnée. Soit conçu, par le centre de la sphère, un plan 
perpendiculaire à la droite, et soient construites, par 
la méthode que nous avons donnée (fig. 6), les pro- 
jections G et i^ du point de rencontre de la droite avec 
le ])IiUi. 

Cela posé, il est évident que, par la droite donnée, 
on peut mener à la sphère deux plans tangents dont 
le premier la touchera d'un côté, le second la touchera 
de l'autre, et entre lesquels elle sera placée; ce qui 
déterminera deux points de contact diiïérents, dont 
il s'agit d'abord de construire les projections. 

Pour cela, si, du centre de la sphère, on conçoit: une 
perpendiculaire abaissée sur chacun des deux plans 
tangi'nts, chacune d'elles aboutira au point de contact 
de la surface de la sphère avec le plan correspondant; 
et elles seront toutes deux dans le plan perpendicu- 
laire à la droite donnée : donc les deux points de con- 
tact seront dans la section de la sphère par le plan 
perpendiculaire; section qui sera la circonférence d'un 
des grands cercles de la sphère, et à laquelle seront 
tangentes les deux sections faites dans les pians tan- 
gents par le même plan. 

Si, dans le pran perpendiculaire, et par le centre de 
la sphère, on conçoit une horizontale, dont on aura 
la projectioA verticale en menant l'horizontale a/i, et 



64 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. G5 

dont on aura l'autre projection en abaissant sur EF 
la perpendiculaire AH; et si Ton conçoit que le plan 
perpendiculaire tourne autour de cette horizontale 
comme charnière, jusqu'à ce qu'il devienne lui-même 
horizontal; il est évident que sa section avec la sur- 
face de la sphère viendra se confondre avec la circon- 
férence BGD, que les deux points de contact seront 
alors sur cette circonférence, et que si l'on construisait 
le point J, où la rencontre du plan perpendiculaire 
avec la droite donnée vient s'appliquer par ce mouve- 
ment, les tangentes JC, JD, menées au cercle BGD, 
détermineraient ces doux points de contact dans la 
position où on les considère alors. Or, il est facile de 
construire le point J, ou, ce qui revient au même, de 
trouver sa distance au point H : car la projection 
horizontale de cette distance est GII, et la différence 
des hauteurs verticales de ses extrémités est gg' ; donc, 
si l'on porte GH sur l'horizontale ah de g' en /t, l'hypo- 
ténuse hg sera la grandeur de cette distance; donc, 
portant gh sur EF de H en J, et menant les deux tan- 
gentes JC, JD, les deux points de contacts C, D seront 
déterminés dans la position qu'ils ont prise, lorsque le 
plan perpendiculaire a été abattu sur le plan horizontal. 
Actuellement, pour trouver leurs projections dans 
la position qu'ils doivent avoir naturellement, il faut 
concevoir que le plan perpendiculaire retourne à sa 
position primitive, en tournant encore autour de 
l'horizontale AH comme charnière, et qu'il entraîne 
avec lui le point J, les deux tangentes JC, JD, pro- 
longées jusqu'à ce qu'elles coupent AH en des points K, 
K', et la corde CD qui coupera aussi la même droite 
AH en un point N. Il est évident que, dans ce mouve- 

MO.NGK. — 1. 5 



66 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE, 



ment, les points K, K' et N, qui sont sur la charnière, 
seront fixes, et que les deux points de contact C, D 
décriront des arcs de cercle qui seront dans des plans 
perpendiculaires à la charnière, et dont on aura les 
projections horizontales, en abaissant des points C, 
D, sur AH, les perpendiculaires indéfinies CP, DQ. 
Donc les projections horizontales des deux points de 
contact se trouveront sur les deux droites CP, DQ. 
Mais dans le mouvement rétrograde du plan perpen- 
diculaire, les deux tangentes JGK', JKD ne cessent 
pas de passer par les points de contact respectifs; et 
lorsque ce plan est parvenu dans sa position primi- 
tive, le point J se trouve de nouveau projeté en G, 
et les deux tangentes sont projetées suivant les 
droites GK', GK. Donc ces deux dernières droites 
doivent aussi contenir chacune la projection horizon- 
tale d'un des points de contact, donc enfin les inter- 
sections de ces deux droites, avec les droites respectives 
CP, DQ, détermineront les projections horizontales D 
et S des deux points de contact qui se trouveront 
avec le point N sur une même ligne droite. 

Poul" trouver les projections verticales des mêmes 
points, on mènera d'abord sur LM les perpendiculaires 
indéfinies Rr, S s; puis si l'on projette les points K, 
K', en A-, A', et si, par le point g, on mène les droites 
gA', gA', on aura les projections verticales des deux 
mêmes tangentes. Ces droites contiendront donc les 
projections des points de contact respectifs; donc les 
points r, s de leurs intersections avec les verticales Rr, 
S 5 seront les projections demandées. 

Les projections horizontales et verticales des deux 
points de contact étant trouvées, pour construire sur 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 67 

1r plan horizontal les traces des deux plans tangents, 
on concevra, par chacun des points de contact, une 
parallèle à la droite donnée. Ces droites seront dans les 
plans tangents respectifs, et Ton aura leurs projections 
horizontale et verticale en menant RU, SV parah 
lèles à EF, et rw, s<^ parallèles à ef. On construira, sur 
le plan horizontal, la trace T de la droite donnée, et les 
traces U, V des deux dernières droites; et les droites 
TU, TV seront les traces des deux plans tangents. 

Au lieu de concevoir, par les points de contact, de 
nouvelles lignes droites, on pourrait trouver les traces 
des deux tangentes GR, GS, qui rempliraient le nienic 
but. Quant aux traces des deux mêmes plans avec le 
plan vertical, on les trouvera par la méthode que nous 
avons déjà souvent employée. 

Cette solution pourrait être rendue beaucoup plus 
élégante, en faisant passer les deux plans de projection 
par le centre même de la sphère. Par là les deux pro- 
jections de la sphère se confondraient dans le même 
cercle, et les prolongements des lignes droites seraient 
moins longs. Nous n'avons séparé les deux projec- 
tions que pour mettre plus de clarté dans l'exposition. 
Il est facile actuellement de donner à la construction 
tonte la concision dont elle est susceptible. 

37. Seconde manière. — Soient A et a (/?g. 17) les 
deux projections du centre de la sphère, AB ou ah son 
rayon, BGD la projection de son grand cercle hori- 
zontal, et EF, ef les projections de la droite donnée. 
Si l'on conçoit le plan du grand cercle horizontal pro- 
longé jusqu'à ce qu'il coupe la droite donnée en un 
certain point, on aura la projection verticale de ce plan 



68 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

en menant par le point a l'horizontale indéfinie bag; 
le point g, où cette horizontale coupera e/, sera la pro- 
jection verticale du point de rencontre du plan avec 
la droite donnée, et l'on aura la projection horizontale 
G de ce point, en projetant g sur EF. 

Cela posé, si, en prenant ce même point pour sommet, 
on conçoit une surface conique qui enveloppe la sphère, 
et dont toutes les droites génératrices la touchent 
chacune en un point, on aura les projections des deux 
droites génératrices horizontales de cette surface 
conique en menant par le point G les deux droites GC, 
GD, tangentes au cercle BCD, et qui le toucheront en 
deux points C, D, qu'il sera facile de déterminer. La 
surface conique touchera celle de la sphère dans la cir- 
conférence d'un cercle, dont la droite CD sera le dia- 
mètre, dont le plan sera perpendiculaire à l'axe du 
cône, et par conséquent vertical, et dont la projection 
horizontale sera la droite CD. 

Si, par la droite donnée, on conçoit deux plans tan- 
gents à la surface conique, chacun d'eux la touchera 
suivant une de ces droites génératrices, qui sera en 
même temps sur la surface conique et sur le plan; 
et parce que cette droite génératrice touche aussi la 
surface de la sphère en un de ses points qui se trouve 
sur la circonférence du cercle projeté en GD, il s'ensuit 
que ce point est en même temps sur la surface conique, 
sur le plan qui la touche, sur la surface de la sphère, 
et sur la circonférence du cercle projeté en CD, et qu'il 
est un point de contact commun à tous ces objets. 
Donc; i°les deux plans tangents à la surface conique 
sont aussi tangents à la surface de la sphère, et sont 
ceux dont il faut déterminer la position; 2^ leurs 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 69 

points de contact avec la sphère, étant dans la circon- 
férence du cercle projeté en CD, seront eux-mêmes 
projetés quelque part sur cette droite; 3° la droite qui 
passe par les deux points de contact, étant comprise 
dans le plan du même cercle, sera projetée elle-même 
indéfiniment sur CD. 

Actuellement, faisons pour le plan d'un grand cercle, 
parallèle à celui de la projection verticale, la même 
opération que nous venons de faire pour le plan du 
grand cercle horizontal. La projection horizontale de 
ce plan sera la droite BAH, indéfiniment parallèle 
à LM; le point où il rencontre la droite donnée sera 
projeté horizontalement à l'intersection H des deux 
droites EF, BAH; et l'on aura sa projection verticale 
en projetant le point H sur ef en h. Si l'on conçoit une 
nouvelle surface conique dont le sommet soit en ce 
point de rencontre, et qui enveloppe la sphère comme 
la première, on aura les projections verticales des deux 
droites génératrices extrêmes de cette surface, en 
menant parle point A, au cercle 6 Kl, les tangentes ^K, 
h I, qui le toucheront en des points K, I, que l'on déter- 
minera. Cette seconde surface conique touchera celle 
de la sphère dans la circonférence d'un nouveau cercle 
dont Kl sera le diamètre, et dont le plan, qui sera 
perpendiculaire à celui de la projection verticale, sera 
par conséquent projeté indéfiniment sur Kl. La cir- 
conférence de ce cercle passera aussi par les deux 
points de contact de la sphère avec les plans tangents 
demandés; donc les projections verticales de ces deux 
points de contact seront quelque part sur Kl; donc 
aussi la droite qui joint ces deux points sera projetée 
sur la même droite KL 



70 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

Ainsi la droite menée par les deux points de contaet 
est projetée horizontalement sur CD, et verticalement 
sur K 1 ; elle rencontre le plan du grand cercle horizontal 
en un point, dont la projection verticale est à l'inter- 
seclion n de Kl, avec bag, et dont on aura la projec- 
tion horizontale N en piojetant le point n sur CD. 

Cela fait, concevons que Je plan du cercle v« rtical, 
projeté en CD , tourne autour de son diamètre 
horizontal comme charnière, pour devenir lui-même 
horizontal, et qu'il entraîne avec lui, dans son mou- 
vement, les deux points de contact par lesquels passe 
sa circonférence, et la droite qui joint ces deux points. 
On construira ce cercle dans cette nouvelle position, 
en décrivant sur CD, comme diamètre, le cercle CPDQ; 
et si l'on construisait la position que prend la droite 
des deux points de contact, elle couperait la circonfé- 
rence CPDQ en deux points, qui les détermineraient 
sur cette circonférence considérée dans sa position 
horizontale. 

Or, le point N de la droite des deux contacts, étant 
sur la charnière CD, ne change pas de position dans le 
mouvement. Cette droite doit donc encore passer parce 
point, lorsqu'elle est devenue horizontale. De plus, le 
point où elle rencontre le plan du grand cercle paral- 
lèle à la projection verticale, point dont la projection 
horizontale est à la rencontre des deux droites CD 
BAH, et dont on aura la projection verticale t en pro- 
jetant le point sur Kl; ce point, dis-je, dans son 
mouvement autour de la charnière CD, décrit, un quart 
de cercle vertical perpendiculaire à CD, et dont le 
rayon est la verticale ot; donc, si l'on mène, par le 
point 0, une perpendiculaire à CD, et si, sur cette per- 



CEOMéTRIE DESCRIPTIVE. 



peiidiculaire, on porte ot de en T, le point T sera un 
de ceux de la droite des contacts, lorsqu'elle est de- 
venue horizontale. Donc, si, par les points N et T, on 
mène une droite, ses deux points de rencontre P, Q, 
avec la circonférence CPDQ, seront les deux points de 
contact considérés dans le plan vertical abattu. 

Pour avoir les projections horizontales des deux 
mêmes points dans leurs positions naturelles, il faut 
concevoir que le cercle CPDQ retourne dans sa posi- 
tion primitive en tournant sur la même charnière CD. 
Dans ce mouvement, les deux points P, Q décriront 
des quarts de cercle dans des plans verticaux, perpen- 
diculaires à CD, et dont les projections horizontales 
seront les perpendiculaires PR et QS, abaissées sur CD. 
Donc, les projections horizontales des deux points de 
contact seront respectivement sur les droites PR 
et QS : or, nous avons vu qu'elles devaient être aussi 
sur CD; donc elles seront aux deux points de ren- 
contre R et S. 

On aura les projections verticahîs r, s des deux 
mêmes points, en projetant les points R et S sur Kl; 
ou, ce qui revient au même, en portant sur les verti- 
cales Rr, S 5, à partir de l'horizontale bag, r' r égale 
à PR, et s' s égale à QS. 

Les projections horizonlajes et verticales des deux 
points de contact étant construites, on déterminera 
les traces des deux plans tangents, comme dans la pre- 
mière solution. 

Cette seconde solution peut aussi être rendue beau- 
coup plus concise en faisant passer les plans de projec- 
tion par le centre de la sphère; ce qui réduit les deux 
projections à une même figure. 



72 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

38. Ces dernières considérations vont nous conduire 
à la découverte de quelques propriétés remarquables 
du cercle, de la sphère, des sections coniques et des 
surfaces courbes du second degré. 

Nous venons de voir que les deux surfaces coniques 
circonscrites à la sphère la touchaient chacune dans la 
circonférence d'un cercle, et que ces circonférences 
passaient toutes deux par les deux points de contact 
de la sphère avec les plans tangents. Cette propriété 
n'est point particulière aux deux surfaces coniques 
que nous avons considérées; elle convient à toutes 
celles qui auraient leur sommet dans la droite donnée, 
et qui seraient de même circonscrites à la sphère. Donc, 
si l'on conçoit une première surface conique qui, ayant 
son sommet sur la droite donnée, soit circonscrite 
à la sphère, et si l'on suppose que cette surface se 
meuve de manière que son sommet parcoure la droite, 
sans qu'elle cesse d'être circonscrite et tangente à la 
sphère; dans chacune de ses positions, elle touchera 
la sphère dans la circonférence d'un cercle ; toutes ces 
circonférences passeront par deux mêmes points, qui 
seront les contacts de la sphère avec les deux plans 
tangents; et les plans de ces cercles se couperont tous 
suivant une même ligne droite, qui sera celle des deux 
contacts. Enfin, si l'on conçoit le plan mené par la 
droite donnée et par le centre de la sphère, ce plan, qui 
passera par les axes de toutes les surfaces coniques, 
sera perpendiculaire aux plans de tous les cercles de 
contact, et par conséquent à la droite qui est leur com- 
mune intersection; et il coupera tous ces plans dans des 
lignes droites qui passeront par un même point. 

Réciproquement, étant données une sphère et une 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 7! 

ligne droite, si l'on conçoit par la droite tant de plans 
qu'on voudra, qui couperont la sphère chacun suivant 
un cercle, et si, pour chacun de ces cercles, on conçoit 
la surface conique droite dont il serait la base, et qui 
serait circonscrite à la sphère, les sommets de toutes 
ces surfaces coniques seront dans une autre même 
ligne droite. 

39. En considérant seulement ce qui se passe dans 
le plan mené par la droite donnée et par le centre de 
la sphère, on est conduit aux deux propositions sui- 
vantes, qui sont des corollaires immédiats de ce qui 
précède. 

« Étant donnés dans un plan (fig. 18 et 19) un 
cercle dont le centre soit en A, et une droite quel- 
conque BC; si, après avoir mené par un point quel- 
con(pic D de la droite deux tangentes au cercle, et la 
droite EF qui passe par les deux points de contact, on 
conçoit que le point D se meuve le long de la droite, 
et entraîne avec lui les deux tangentes, sans qu'elles 
cessent de toucher le cercle : les deux points de con- 
tact changeront de position, de même que la droite EF 
qui les joint; mais cette droite passera toujours par 
un même point N qui se trouve sur la perpendiculaire 
AG, abaissée du centre du cercle sur la droite. 

« Réciproquement, si, par un point N pris dans le 
plan d'un cercle, on mène tant de droites EF qu'on 
voudra, qui couperont chacune la circonférence du 
cercle en deux points, et si, par ces deux points, on 
mène au cercle deux tangentes ED, FD, qui se cou- 
peront quelque part en un point D, la suite de tous les 
points d'intersection trouvés de la même manière sera 



74 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



A 



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\ ^ FiiT /.•>' 



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Fi^ -Ji) 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



sur une même ligne droite BC perpendiculaire à AN. » 
Ce n'est pas parce que tous les points de la circonfé- 
rence sont également éloignés du centre, que le cercle 
jouit de la propriété que nous venons d'énoncer, c'est 
parce qu'il est une courbe du second degré; et toutes 
les sections coniques sont dans le même cas. 

En effet, soient AEBF (fig, 20) une section conique 
quelconque, et CD une droite quelconque donnée dans 
son plan : concevons que la courbe tourne autour d'un 
de ses axes AB pour engendrer une surface de révolu- 
tion, et concevons les deux plans tangents à cette sur- 
face menés par la droite CD; les deux plans auront 
chacun leur point de contact particulier. Cela posé, si, 
en prenant pour sommet un point quelconque H de 
la droite CD, on conçoit la surface conique circons- 
crite et tangente à la surface de révolution, elle tou- 
chera cette dernière surface dans une courbe qui pas- 
sera nécessairement par les deux points de contact 
avec les plans tangents. Cette courbe sera plane; son 
plan, qui sera perpendiculaire à celui de la section 
conique donnée, sera projeté sur ce dernier, suivant 
une droite EF; et cette droite passera par les points 
de contact des tangentes à la section conique, menées 
par le point H. Actuellement, si l'on suppose que le 
sommet H de la suiface conique se meuve sur la 
droite CD, sans que cette surface cesse d'être circons- 
crite et tangente à la surface de révolution; dans cha- 
cune de ses positions, sa courbe de contact aura les 
mêmes propriétés de passer par les deux points de 
contact avec les plans tangents, d'être plane et d'avoir 
son plan perpendiculaire à la section conique. Donc 
les plans de toutes les courbes de contact passeront par 



76 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

la droite qui joint les deux points de contact, et qui 
est elle-même perpendiculaire au plan de la section 
conique ; donc enfin les projections de tous les plans 
seront des lignes droites qui passeiont toutes par la 
projection N de la droite qui joint les deux points 
de contact. 

40. Enfin, cette proposition n'est elle-même qu'un 
cas particulier d'une autre plus générale qui a lieu 
dans les trois dimensions, et que nous nous conten- 
terons d'énoncer ici. 

« Etant données dans l'espace une surface courbe 
quelconque du second degré, et une surface conique 
circonscrite qui la touche, et dont le sommet soit en 
un point quelconque; si la surface conique se meut 
sans cesser d'être circonscrite à la première surface 
et de la toucher, de manière cependant que son sommet 
parcoure une droite quelconque, le plan de la courbe 
de contact des deux surfaces passera toujours par une 
même ligne droite (qui sera déterminée par les contacts 
de la surface du second degré avec les deux plans tan- 
gents qui passent par la droite des sommets) ; et si la 
surface conique se meut de manière que son sommet 
soit toujours dans un même plan, le plan de la courbe 
de contact passera toujours par un même point. » 

41. Seconde question. — Par un point donné, 
mener un plan tangent à la fois aux surfaces de deux 
sphères données ? 

Solution. — Soient A, a {fig. 21) les deux pro- 
jections du centre de la première sphère; B, è, 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 




78 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

celles du centre de la seconde ; et G, c, celles du point 
donné. Après avoir mené les droites indéfinies AB 
a6, projections de celle qui passerait par les deux 
centres, et après avoir construit les projections GEF, 
ge/, HIK, hik des grands cercles des deux sphères 
parallèles aux plans de projection, on concevra une 
surface conique circonscrite à la fois aux deux sphères, 
et qui les touche toutes deux. Cette surface aura son 
sommet dans la droite qui passe par les deux centres. 
On mènera aux deux cercles GEF, HIK les deux tan- 
gentes communes EH, FK, qui se couperont en un 
point D de la droite AB; et ce point sera la projection 
horizontale du sommet du cône : on aura la projection 
verticale du même point, en projetant le point D en d! 
sur le prolongement de ab. Enfin, on mènera les pro- 
jections CD, cd de la droite menée par le sommet du 
cône et par le point donné. Cela posé, si par cette der- 
nière droite on conçoit deux plans tangents à la sur- 
face conique, ils la toucheront chacun en une de ses 
droites génératrices ; et, par conséquent, ils seront tous 
deux tangents en même temps aux deux sphères. La 
question est donc réduite à mener, par la droite qui 
passe par le sommet du cône et par le point donné, deux 
plans tangents à la surface d'une des sphères, ce qui 
s'exécutera comme dans la question précédente, et les 
deux plans seront en même temps tangents à la seconde 
sphère. 

Il faut observer que l'on peut concevoir deux sur- 
faces coniques circonscrites aux deux mêmes sphères. 
La première les enveloppe toutes deux en dehors, et a 
son sommet au delà d'une des sphères par rapport à 
l'autre : les plans tangents à cette surface conique 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 70 

touchent chacun les deux sphères du même côté. La 
seconde surface conique enveloppe les sphères, l'une 
en dedans, l'autre en dehors, et a son sommet entre 
les deux centres. On trouve la projection horizontale D' 
de ce sommet en menant aux cercles EFG et HIK les 
deux tangentes intérieures qui se coupent en un point 
de la droite AB; et l'on a sa projection verticale en 
projetant le point D' en d' sur ab. Les deux plans tan- 
gents menés à cetle surface conique touchent aussi 
cliacun les deux sphères; mais ils touchent la première 
d'un côté, et la seconde de l'autre. Ainsi quatre plans 
dilïérents peuvent satisfaire à la question : pour deux 
d'entre eux, les deux sphères sont du même côté du 
plan; pour les deux autres, elles sont de côtés diffé- 
rents. 

42. Troisième question. — Mener un plan tangent 
en même temps à trois sphères données de grandeur 
et de position ? 

Solution. — Concevons le plan tangent en même 
temps aux trois sphères, et imaginons d'abord une sur- 
face conique circonscrite aux deux premières sphères, 
et qui les touche toutes deux; le plan tangent tou- 
chera cette surface conique le long d'une de ses droites 
génératrices, et passera par le sommet du cône. Si l'on 
imagine une seconde surface conique circonscrite à la 
première sphère et à la troisième, le même plan tangent 
la touchera de même le long d'une de ses droites géné- 
ratrices, et passera, par conséquent, par son sommet. 
Enfin, si l'on conçoit une troisième surface conique qui 
embrasse et touche la seconde sphère et la troisième, 



8o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



le plan tangent la touchera encore le long d'une de ses 
droites génératrices, et passera par son sommet. Ainsi 
les sonimets des trois surfaces coniques seront dans le 
plan tangent; mais ils seront aussi dans le plan qui 
passe par les centres des sphères, et qui contient les 
trois axes : donc ils seront en même temps dans deux 
plans différents ; donc ils seront en ligne droite. Il suit 
de là que si l'on construit, comme nous l'avons indiqué 
dans la question précédente, les projections horizon- 
tales et verticales de ces sommets, dont deux suffisent, 
on pourra faire passer par ces projections celles d'une 
droite qui se trouve sur le plan tangent. La question se 
réduit donc à mener par une droite donnée un plan 
tangent à celle des trois sphères qu'on voudra ; ce qui 
s'exécutera par les méthodes précédentes, et ce plan 
sera tangent aux deux autres. 

43. Il faut observer que, puisqu'on peut toujours 
concevoir pour deux sphères quelconques deux sur- 
faces coniques qui les enveloppent et les touchent 
toutes deux, la première ayant son sommet au delà 
d'un des centres par rapport à l'autre, la seconde ayant 
son sommet entre les deux centres, il est évident que, 
dans la question précédente, il y aura six surfaces 
coniques, dont trois seront circonscrites en dehors aux 
trois sphères prises deux à deux, et dont trois auront 
leurs sommets entre les sphères. Les sommets de ces 
six cônes seront distribués trois par trois sur quatre 
droites, par chacune desquelles on pourra mener deux 
plans tangents en même temps aux trois sphères. 
Ainsi huit plans différents satisfont à cette troisième 
question : deux d'entre eux touchent les trois sphères 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 8l 



du même côté par rapport à eux; les six autres sont 
tellement placés, qu'ils touchent deux des sphères 
d'un côté, et la troisième de l'autre. 

44. Ces considérations nous conduisent à la propo- 
sition suivante : 

« Trois cercles quelconques étant donnés de grandeur 
et de position sur un plan (/îg. 22), si, en les considé- 
rant deux à deux, on leur mène les tangentes exté- 
rieures prolongées jusqu'à ce qu'elles se coupent, les 
trois points d'intersection D, E, F, qu'on obtiendra 
de cette manière, seront en ligne droite. » 

Car si l'on conçoit les trois sphères dont ces cercles 
sont les grands cercles, et un plan qui les touche toutes 
les trois extérieurement, ce plan touchera aussi les 
trois surfaces coniques circonscrites aux sphères consi- 
dérées deux à deux, et passera par leurs trois som- 
mets D, E, F. Mais ces trois sommets sont aussi sur le 
plan des trois centres : donc ils sont sur deux plans 
différents, et par conséquent en ligne droite. « Si aux 
mêmes cercles, considérés deux à deux, on mène les 
tangentes intérieures qui se croiseront, les trois nou- 
veaux points d'intersection G, H, I seront deux à 
deux en ligne droite avec un xles trois premiers, en 
sorte que les six points D, E, F, G, H, I seront les 
intersections des quatre droites. » 

Enfin, cette proposition n'est qu'un cas particulier 
de la suivante, qui a lieu dans les trois dimensions. 

« Quatre sphères quelconques étant données de 
grandeur et de position dans l'espace, si l'on conçoit 
les six surfaces coniques qui sont circonscrites exté- 
rieurement à ces sphères considérées deux à deux, les 

ilUNGK. — I. 6 



82 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

sommets des six cônes seront dans un même plan et 
aux intersections de quatre droites; et si l'on conçoit 
les six autres surfaces coniques circonscrites intérieu- 
rement, c'est-à-dire, qui ont leurs sommets entre les 
centres de deux sphères, les sommets de ces six nou- 
veaux cônes seront trois par trois dans un même plan 
avec trois des premiers. 

45. Quatrième question. — Par un point pris 
arbitrairement, mener un plan tangent à une surface 
cylindrique donnée ? 

Solution. — 'Soit EiFK {flg. 23) la trace de la sur- 
face cylindrique sur le plan horizontal, trace que 
nous supposons donnée. Soient AB, ah les deux pro- 
jections données de la droite à laquelle la génératrice 
doit toujours être parallèle, et C, c celles du point 
donné. Si par ce point on conçoit une parallèle à la 
droite génératrice, cette droite sera dans le plan tan- 
gent demandé; et les points dans lesquels elle coupera 
les plans de projection seront sur les traces du pian 
tangent. Donc, si par ce point C on mène CD paral- 
lèle à AB et, par le point c, cd parallèle à aè, on aura 
les deux projections de cette droite ; et si, après avoir 
prolongé cd jusqu'à ce qu'elle rencontre LM en un 
point d, on projette le point c^ en D sur CD, le point D 
sera la rencontre de cette droite avec le plan horizontal, 
et par conséquent un point de la trace du plan tangent. 
Or, la trace horizontale du plan tangent doit être tan- 
gente à la courbe EIFK; donc, si par le point D on 
mène à cette courbe toutes les tangentes possibles, 
DE, DF, etc., on aura les traces horizontales de tous 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



R3 



Fis 23 




«4 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

les plans tangents qui peuvent passer par le point 
donné. Si par les points de contact E, F, etc., on mène 
à AB les parallèles indéfinies EG, FH, etc., on aura 
les projections horizontales des droites génératrices, 
dans lesquelles les différents plans tangents touchent 
la surface cylindrique; enfin on aura les projections 
verticales eg, /^, etc. de ces génératrices ou de ces 
droites de contact, en projetant les points E, F, etc. 
sur le plan vertical en e, /, etc., et en menant par ces 
derniers points des parallèles indéfinies à ab. Quant 
aux traces des plans tangents sur le plan vertical, on 
les trouvera par le procédé de la figure 12. 

46. Cinquième question. — Par un point pris 
arbitrairement, mener un plan tangent à une surface 
conique donnée ? 

Gomme la solution de cette question diffère très peu 
de. celle de la précédente, nous nous contenterons d'en 
indiquer la construction dans la figure 24, où la courbe 
EGFH est la trace donnée de la surface conique, où A 
et a sont les projections données du sommet, et où G 
et c sont celles du point donné par lequel le plan tan- 
gent doit passer. 

47. Sixième question. — Par une droite donnée, 
mener un plan tangent à une surface de révolution 
donnée ? 

Solution. — Nous supposerons que l'axe de la sur- 
face de révolution soit perpendiculaire à l'un des deux 
plans de projection, ce qui n'altérera pas la généralité 
de la solution, parce qu'on est toujours le maître de 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 85 



disposer de la position de ces plans, de manière que 
cette condition soit remplie. 

Soient donc A {fig. 25) la projection horizontale 
donnée de Taxe de la surface, aa' sa projection 
verticale, apia' la courbe génératrice de la surface, 
vt BC, bc les deux projections données de la droite 
par laquelle le plan tangent doit passer. Du point A 
soit abaissée sur BC la perpendiculaire AD, qui sera 
la projection horizontale de la plus courte distance 
entre l'axe et la droite donnée, et soit projeté le point 
D en ^ sur bc. 

Cela posé, concevons d'abord que le plan tangent 
soit mené ; puis supposons que la droite donnée tourne 
autour de l'axe de révolution, sans changer de dis- 
tance à cet axe, sans changer d'inclinaison sur le plan 
horizontal, et qu'elle entraîne avec elle le plan tangent, 
de manière qu'il touche toujours la surface : il est évi- 
dent qu'en vertu de ce mouvement, le point de contact 
de la surface et du plan changera de position : mais, 
parce que le plan tangent garde toujours la même 
inclinaison, ce point de contact ne changera pas de 
hauteur sur la surface, et il se mouvTa dans la cir- 
conférence d'un cercle horizontal, dont le centre sera 
dans Taxe. De plus, la droite donnée engendrera par 
son mouvement une seconde surface de révolution 
autour du même axe, à laquelle le plan tangent sera 
lui-même tangent dans toutes ses positions. 

En effet, concevons un plan par Taxe et par le point 
de contact du plan tangent avec la première surface : 
ce plan coupera la droite génératrice en un point qui 
sera celui du contact du même plan tangent avec la 
seconde j car indépendamment de la droite génératrice 



8b LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



F((r. 2 S- 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 87 

par laquelle il passe en ce point, il passe encore par la 
tangente du cercle horizontal au même point, puisqu'il 
passe aussi par la tangente du cercle horizontal au 
point de contact avec la première surface, et que, par 
la propriété des surfaces de révolution, ces deux tan- 
gentes sont parallèles. 

Comme c'est au moyen de la seconde surface de 
révolution que nous devons résoudre la question, il est 
nécessaire de construire la courbe suivant laquelle 
elle est coupée par un plan mené par l'axe; et nous 
supposerons que ce plan soit parallèle au plan vertical 
de projection, et par conséquent projeté sur le plan 
liorizontal dans une droite AF parallèle à LM. 

Soit pris sur la droite donnée un point quelconque, 
dont les projections soient E et e, et cherchons le 
point dans lequel il rencontre le plan de la section dans 
son mouvement. D'abord ce point décrira autour de 
l'axe de révolution un arc de cercle horizontal, dont 
on aura la projection horizontale en décrivant du 
point A comme centre, et de l'intervalle AE, l'arc EF, 
jusqu'à ce qu'il rencontre la droite AF quelque part 
en un point F; et l'on aura la projection verticale de 
cet arc en menant par le point e l'horizontale indé- 
finie cf. Le point F sera donc la projection horizon- 
tale de la rencontre du point décrivant avec le plan de 
la section : donc, si l'on projette le point F en / sur e/, 
le point / sera la projection verticale de cette rencontre, 
et par conséquent un point de la section. Si l'on fait 
les mêmes opérations pour tant d'autres points qu'on 
voudra, pris sur la droite donnée, on aura autant de 
points g, /, r, n, par lesquels on fera passer la courbe 
demandée. 



88 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

Cela fait, supposons que la droite donnée et le plan 
tangent, par leur rotation simultanée autour de l'axe, 
soient parvenus dans une position telle, que le plan 
tangent soit perpendiculaire au plan vertical de pro- 
jection. Dans cette position, sa projection sur ce plan 
sera une ligne droite, et cette droite sera tangente en 
même temps aux deux courbes apia\ grnf. Si donc on 
mène à ces deux courbes toutes les tangentes com- 
munes, telles que gi, np, on aura les projections de 
tous les plans tangents qui satisfont à la question, et 
considérés dans la position qu'ils ont prise, lorsque 
par la rotation ils sont devenus successivement per- 
pendiculaires au plan vertical. Les points de con- 
tact i, p de ces tangentes avec la génératrice de la 
première surface détermineront les hauteurs de ceux 
de cette surface avec tous les plans tangents : par con- 
séquent, si par ces points on mène les horizontales 
indéfinies it, ps, elles contiendront les projections ver- 
ticales des points de contact de la surface avec les 
plans; et si du point A comme centre, et avec des 
rayons égaux respectivement à it et à ps^ on décrit 
des arcs de cercle IK, PQ, ces arcs contiendront les 
projections horizontales des mêmes points. Il ne reste 
donc plus, pour achever de les déterminer, qu'à trouver 
sur quels méridiens de la surface de révolution ils 
doivent se trouver : c'est ce à quoi doivent servir les 
points de contact g, n. 

Pour cela, après avoir projeté les points g, n 
sur AG, en G et N, si du point A comme centre, et avec 
des intervalles successivement égaux à AG et AN, on 
décrit les arcs de cercle GH, NO, jusqu'à ce qu'ils 
coupent la droite BG en des points H et 0, ces arcs 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 89 

expriment la quantité de rotation que, pour chaque 
plan tangent, la droite qui passe par ses contacts avec 
les deux surfaces a été obligée de faire pour se trans- 
porter dans le plan vertical parallèle à celui de projec- 
tion. Donc on aura les projections horizontales de ces 
mêmes droites, considérées dans leurs positions natu- 
relles, en menant par le point A les droites AH, AO; 
donc enfin les points K, Q, où les dernières droites cou- 
jxront les arcs correspondants IK, PQ, seront les pro- 
jections horizontales des points de contact de la pre- 
mière surface avec les plans tangents menés par la 
droite donnée. 

Quant aux projections verticales des mêmes points, 
on les aura en projetant les points K, Q, en /f, ç, sur 
les horizontales respectives it, ps. 

Les projections horizontales et verticales des points 
de contact étant déterminées, on construira les traces 
de tous les plans tangents par les mêmes méthodes que 
nous avons déjà employées. 

Cette méthode peut facilement se généraliser eL 
s'appliquer aux surfaces engendrées par des courbes 
quelconques, constantes de formes et variables de 
positions dans l'espace. 



III. 

DES INTERSECTIONS DES SURFACES COURBES. 

48. Lorsque les générations de deux surfaces courbes 
sont entièrement déterminées et connues; lorsque, 
pour chacune d'elles, la suite de tous les points de 



QO LÈS MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

l'espace par lesquels elle passe n'a plus rien d'arbi- 
traire; lorsque pour chacun de ces points, une des deux 
projections étant prise à volonté, ]'autre projection 
peut toujours être construite; si ers deux surfaces ont 
quelques points communs dans l'espace, la position 
de tous ces points communs est absolument déter- 
minée; elle dépend et de la forme des deux surfaces 
courbes, et de leurs positions respectives; et elle est 
de nature à pouvoir toujours être déduite de la défi- 
nition des générations des surfaces, dont elle est une 
conséquence nécessaire. 

La suite de tous les points communs à deux surfaces 
courbes déterminées forme en général dans l'espace 
une certaine ligne courbe qui, pour des cas très parti- 
culiers, peut se trouver dans un certain plan et n'avoir 
qu'une seule courbure; qui, pour des cas infiniment 
plus particuliers, peut devenir une ligne droite et 
n'avoir aucune courbure; enfin qui, pour des cas infini- 
ment plus particuliers encore, peut se réduire à un 
point unique; mais qui, dans le cas général, est ce 
(ju'on nomme courbe à double courbure, parce qu'elle 
participe ordinairement des courbures des deux sur- 
faces courbes, sur chacune desquelles elle se trouve 
en même temps, et dont elle est l'intersection commune. 

49. Il existe entre les opérations de l'Analyse et les 
méthodes de la Géométrie descriptive une correspon- 
dance dont il est nécessaire de donner ici une idée. 

Dans l'Algèbre, lorsqu'un problème est mis en équa- 
tions, et qu'on a autant d'équations que d'inconnues, 
on peut toujours obtenir le même nombre d'équations, 
dans chacune desquelles il n'entre qu'une des in- 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 9I 

connues; ce (jui met à portée de connaître les valeurs 
de chacune d'elles. L'opération par laquelle on par- 
vient à ce but, et qui s'appelle élimination^ consiste, 
au moyen d'une des équations, à chasser une des in- 
connues de toutes les autres équations; et en chassant 
ninsi successivement les différentes inconnues, on 
arrive à une équation finale qui n'en contient plus 
qu'une seule dont elle doit produire la valeur. 

L'objet de l'élimination, dans l'Algèbre, a la plus 
grande analogie avec les opérations par lesquelles, dans 
la Géométrie descriptive, on détermine les intersec- 
tions des surfaces courbes. 

En effet, supposons que, considérant un point dans 
l'espace, et représentant par a;, t/, z les distances de 
ce point à trois plans rectangulaires entre eux, on éta- 
blisse une relation entre ces trois distances, et que 
cette relation soit exprimée par une équation, dans 
laquelle entrent les trois quantités a;, t/, z, et des cons- 
tantes. En vertu de cette relation, la position du point 
ne sera pas déterminée : car les quantités x^ î/, z pour- 
ront changer de valeur, et par conséquent le point 
pourra changer de position dans l'espace, sans que la 
relation exprimée par l'équation cesse d'avoir lieu; 
et la surface courbe, qui passe par toutes les positions 
que le point peut occuper ainsi, sans nue la relation 
entre ces trois coordonnées soit altérée, est celle à 
laquelle appartient l'équation. 

Par exemple, supposons qu'une sphère dont le 
rayon soit exprimé par A ait son centre au point d'in- 
tersection commune des trois plans rectangulaires, et 
qu'en considérant un certain point sur la surface de la 
sphère, on imagine des perpendiculaires abaissées de 



()2 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

ce point sur les trois plans et représentées par les 
lettres x, y^ z; il est évident que le rayon de la sphère, 
dirigé au point que l'on considère, sera la diagonale 
d'un parallélépipède rectangle, dont les trois arêtes 
seront x^ y, z; que son carré sera égal à la somme des 
carrés des trois arêtes ; et qu'ainsi l'on aura l'équation 
.7;2 -{-y- -\- z^ = A^. Gela posé, si le point change de 
position sur la surface de la sphère, ses distances rc, 
y, z aux trois plans rectangulaires changeront; mais 
sa distance au centre ne changera pas, et la somme des 
carrés de ces trois coordonnées, qui est toujours égale 
au carré du rayon, aura toujours la même valeur : on 
aura donc encore entre les coordonnées de ce point la 
relation exprimée par l'équation x~ -\- y- -{- z' = A^. 
Cette équation, qui a lieu pour tous les points de la sur- 
face de la sphère, et qui a lieu pour eux seuls, est celle 
de cette surface. Toutes les surfaces courbes ont ainsi 
chacune leur équation; et s'il n'est pas toujours facile 
d'avoir cette équation exprimée en quantités aussi 
simples que les distances x, y, z, il est toujours possible 
de l'obtenir en quantités plus compliquées, telles que 
les inclinaisons des plans tangents, les rayons des cour- 
bures : il suffit à notre objet d'en avoir fait connaître 
une pour exemple. 

Actuellement, si, ayant en x, ?/, z les équations de 
deux surfaces courbes différentes, et en supposant que 
pour les points des deux surfaces les distances soient 
prises par rapport aux mêmes plans rectangulaires, on 
élimine une des trois quantités rc, î/, z, par exemple z, 
entre les deux équations; par la simultanéité de ces 
deux équations, on établit d'abord que ce n'est pas de 
tous les points de la première surface indistinctement. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 93 

ni de tous ceux de la seconde, que Ton s'occupe, mais 
seulement de ceux de leur intersection, pour chacun 
desquels les équations doivent avoir lieu, puisqu'ils 
sont en même temps sur les deux surfaces. Ensuite 
l'équation en rr, t/, qui résulte de l'élimination de z, 
exprime la relation qui existe entre ces deux distances 
pour tous les points de l'intersection, quelle que soit 
la distance z qui a disparu, et dont il n'est plus ques- 
tion dans l'équation; elle est donc l'équation de la 
projeclion de l'intersection des deux surfaces sur le 
plan perpendiculaire aux z. 

On voit donc qu'en Algèbre l'objet de l'élimination 
entre plusieurs équations à trois inconnues est de 
déterminer, sur les trois plans auxquels tout l'espace 
est rapporté, les projections des intersections des sur- 
faces auxquelles les équations appartiennent. 

50. La correspondance entre les opérations de l'Ana- 
lyse et les méthodes de la Géométrie descriptive ne se 
borne pas à ce que nous venons de rapporter; elle 
existe partout. Si dans l'espace, pour opérer des géné- 
rations quelconques, on fait mouvoir des points, des 
lignes courbes, des surfaces, ces mouvements peuvent 
toujours être dictés par des opérations analytiques; et 
les objets nouveaux auxquels ils donnent lieu sont 
exprimés par les résultats mêmes des opérations. Réci- 
proquement, il n'y a aucune opération d'Analyse en 
trois dimensions, qui ne soit l'écriture d'un mouve- 
ment opéré dans l'espace et dicté par elle. Pour 
apprendre les Mathématiques de la manière la plus 
avantageuse, il faut donc que l'élève s'accoutume de 
bonne heure à sentir la correspondance qu'ont entre 



94 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

elles les opérations de l'Analyse et celles de la Géo- 
métrie ; il faut qu'il se mette en état, d'une part, de 
pouvoir écrire en Analyse tous les mouvements qu'il 
peut concevoir dans l'espace, et, de l'autre, de se repré- 
senter perpétuellement dans l'espace le spectacle mou- 
vant dont chacune des opérations analytiques est 
l'écriture. 

51. Revenons actuellement à notre objet, qui est 
la méthode de déterminer les projections des intersec- 
tions des surfaces courbes. 

Pour mettre plus de clarté dans l'exposition de cette 
méthode, nous ne la présenterons pas d'abord avec 
toute l'élégance dont elle est susceptible ; nous y arri- 
verons par degrés. De plus, l'énoncé sera général et 
applicable à deux surfaces quelconques ; et quoique les 
lettres que nous emploierons se rapportent à la 
figure 26, qui présente le cas particulier de deux 
surfaces coniques, à bases circulaires et à axes ver- 
ticaux, il faut néanmoins toujours concevoir que 
les surfaces dont il s'agit peuvent être, chacune en 
particulier, tout autre qu'une surface conique. 

52. Premier problème général. — Les générations 
de deux surfaces courbes étant connues, et toutes les 
données qui fixent ces générations étant déterminées 
sur les plans de projection, construire les projections 
de la courbe à double courbure, suivant laquelle les 
deux surfaces se coupent ? 

Solution. — On concevra une suite de plans indé- 
finis, placés d'une manière convenue dans l'espace; ces 



G^OMélRIE DESCRIPTIVE. 9^ 

plans pourront, par exemple, être tous horizontaux, et 
c'est eu effet ce que nous supposerons d'abord. Dans 
ce cas, la projection verticale de chacun d'eux sera 
une droite horizontale indéfinie; et parce qu'on est 
maître de les mener à distances arbitraires, nous sup- 
poserons que dans la projection verticale on ait mené 
tant de droites horizontales {fi g, 26) ee', ce', ee', etc., 
qu'on ait voulu, et que la suite de ces droites soit la 
projection verticale de la suite des plans qu'on a 
conçus. Cela posé, on fera successivement, pour chacun 
de ces plans, et par rapport à la droite ee' qui en est 
la projection, l'opération que nous allons indiquer 
pour celui d'entre eux qui est projeté en EE'. 

Le plan EE' coupera la première surface en ujie cer- 
taine courbe, qu'il sera possible de construire, si l'on 
connaît la génération de la surface; car cette courbe 
est la suite des points dans lesquels le plan EE' est 
coupé par la génératrice dans toutes ses positions. 
Cette courbe étant plane et horizontale aura sa projec- 
tion horizontale égale, semblable à elle-même, et placée 
de la même manière; il sera donc possible de construire 
cette projection, et nous supposerons que ce soit la 
courbe FGHIK. 

Le même plan El*]' coupera aussi la seconde 'surface 
dans une autre courbe plane horizontale, dont il sera 
toujours possible de construire la projection horizon- 
tale, et nous supposerons que cette projection soit 
la courbe FOGPN. 

Cela fait, il peut arriver que les deux courbes, dans 
lesquelles le même plan EE' coupe les deux surfaces, 
se coupent elles-mêmes, ou qu'elles ne se coupent pas : 
si elles ne se coupent pas, quelque prolongées quelles 



96 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 97 



soient, ce sera une preuve qu'à la hauteur du plan EE' 
les deux surfaces n'ont aucun point commun; mais si 
ces 4^ux courbejB se coupent, elles le feront en un cer- 
tain nombre de points qui seront communs aux deux 
surfaces, et qui seront par conséquent autant de points 
de l'intersection demandée. En elîet, en tant que les 
points d'intersection des deux courbes sont sur la pre- 
mière d'entre elles, ils sont siir la première des deux 
surfaces proposées; en tant qu'ils sont sur la seconde 
courbe, ils sont aussi sur la seconde surface : donc, en 
tant qu'ils sont sur les deux courbes à la fois, ils sont 
aussi sur les deux surfaces. 

Or, les projections horizontales des points dans 
lesquels se coupent les deux courbes doivent se 
trouver, et sur la projection de la première, et sur la 
projection de la seconde; donc les points F, G, ... de 
rencontre des deux courbes FGIIIK et FOGPN seront 
les projections horizontales d'autant de points de l'in- 
tersection demandée des deux surfaces courbes. Pour 
avoir les projections verticales des mêmes points, il 
faut observer qu'ils sont tous compris dans le plan 
horizontal EE', et que leurs projections doivent être 
sur la droite EE'. Donc, si l'on projette les points F, 
G, . . . sur EE' en /, g, . . ., on aura les projections ver- 
ticales des mêmes points. 

Actuellement, si pour toutes les autres horizon- 
tales ce', ee\ . . ., on fait la même opération que nous 
venons de faire pour EE', on trouvera pour chacune 
d'elles, dans la projection horizontale, une suite de 
nouveaux points F, G, . . ., et dans la projection ver- 
ticale une suite de nouveaux points /, g, Puis, si 

par tous les points F, . . . , on fait passer une branche 



98 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

de courbe, par tous les points G, . . . , une autre branche, 
et ainsi de suite, l'assemblage de toutes ces branches, 
qui pourront quelquefois rentrer l'une dans l'autre, 
sera la projection horizontale de l'intersection des 
deux surfaces ; de même, si par tous les points /, . . . , 
on fait passer une branche de courbe, par tons les 
points g, . . . , une autre branche, et ainsi de suite, 
l'assemblage de toutes ces branches, qui pourront aussi 
quelquefois rentrer les unes dans les autres, sera la 
projection verticale de l'intersection demandée. 

53. La méthode que nous venons d'exposer est géné- 
rale, même en supposant qu'on ait choisi pour système 
de plans coupants une suite de plans horizontaux. 
Nous allons voir que, dans certains cas, le choix du 
système de plans coupants n'est pas indifférent, qu'on 
peut quelquefois le faire tel, qu'il en résulte des cons- 
tructions plus faciles et plus élégantes, et même qu'il 
peut être avantageux, au lieu d'un système de plans, 
d'employer une suite de surfaces courbes, qui ne dif- 
fèrent entre elles que par une de leurs dimensions. 

Pour construire l'intersection de deux surfaces de ré- 
volution dont les axes sont verticaux, le s,ystème de plans 
le plus avantageux est une suite de plans horizontaux; 
car chacun des plans coupe les deux surfaces en des 
circonférences de cercles dont les centres sont sur les 
axes respectifs, dont les rayons sont égaux aux ordon- 
nées des courbes génératrices, prises à la hauteur du 
plan coupant, et dont les projections horizontales sont 
des cercles connus de grandeur et de position. Dans ce 
cas, tous les points de la projection horizontale de l'in- 
texsicetion des deux sijirfaces se trouvent 4onc par des 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. <)() 

intersections d'arcs de cercle. Oh sent que si les sur- 
faces de révolution avaient leurs axes parallèles entre 
eux, mais non vrriicaux, il faudrait changer de ])lans 
de projection, et les choisir de manière que l'un d'enirc 
eux fût perpendiculaire aux axes. 

54. S'il s'agissait de construire l'ihtérsection de deux 
sui faces coniques à bases quelconques, Ct dont les 
traces sur le plan horizontal fussent données ou cons- 
truites, le système de plans horizontaux entramciait 
tlans des opérations qui seraient trop longues pour ce 
cas; car chacun des plans horizontaux couperait les 
dvux surfaces dans des courbes, qui srraient bien à la 
\ érité semblables aux traces des surfaces respectives : 
mais ces courbes ne seraient point égales aux traces; 
il faudrait les construire par points, chacune en parti- 
culier, tandis que si, après avoir mené une droite par 
les sommets donnés des deux cônes, on emploie le sys- 
tème de plans qui passent par cette droite, chacun de 
ces plans coupera les deux surfaces coniques en quatre 
droites; et ces droites, qui seront dans le même plan, 
se couperont, indépendaninfient des sommets, en 
quatre points, qui seront sur l'intersection des deux 
surfaces. Dans ce cas, chacun des points de la projec- 
tion horizontale de l'intcrseCtion sera donc construit 
par l'intersection de deux lignes droites. 

55. Pour deux surfaces cylindriques à bases quel- 
conques, et dont les génératrices seraient inclinées 
diversement, le système des plans horizontaux ne 
serait pas le plus favorable que l'on pourrait choisir. 
Chacun de ces plans couperait, à la vérité, les deux 



lOO LÇS MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

surfaces dans des courbes semblables et égales à leurs 
traces respectives; mais les courbes qui ne correspon- 
draient pas verticalement aux traces auraient pour 
projections des courbes qui seraient distantes des traces 
elles-mêmes, et qu'il faudrait construire par points. Si 
l'on choisit le système de plans parallèles en même 
temps aux génératrices des deux surfaces, chacun de 
ces plans coupera les deux surfaces dans des lignes 
droites, et ces droites se couperont en des points qui 
appartiendront à l'intersection des deux surfaces. Par 
là, les points de la projection horizontale seront cons- 
truits par des intersections de lignes droites. Au reste, 
ceci n'est que la conséquence nécessaire de ce que nous 
avons dit pour le cas de deux surfaces coniques. 

56. Enfin, pour deux surfaces de révolution dont 
les axes seraient dans le même plan, mais non paral- 
lèles entre eux, ce ne serait plus un système de plans 
qu'il serait convenable de choisir, ce serait le système 
de surfaces sphériques, qui auraient leur centre com- 
mun au point de rencontre des deux axes : car chacune 
des surfaces sphériques couperait les deux surfaces de 
révolution dans les circonférences de deux cercles qui 
auraient leurs centres sur les axes respectifs, et dont 
les plans seraient perpendiculaires au plan mené par 
les deux axes ; et les points d'intersection de ces deux 
circonférences, qui seraient en même temps et sur la 
surface sphérique et sur les deux surfaces de révolu- 
tion, appartiendraient à l'intersection demandée. 
Ainsi les points de la projection de l'intersection 
seraient construits par les rencontres de cercles et de 
lignes droites. Dans ce cas, la position la plus avanta- 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



geuse des deux plans de projection est que Tun soit 
perpendiculaire à un des axes, et que l'autre soit paral- 
lèle aux deux axes. Ce petit nombre d'observations, 
par rapport aux surfaces courbes qui se rencontrent 
le plus fréquemment, suflit pour faire voir la manière 
dont la méthode générale doit être employée, et com- 
ment, par la connaissance de la génération des sur- 
faces courbes, on peut choisir l'espèce de section qui 
doit donner des constructions plus faciles. 

57. Lorsque deux surfaces courbes sont définies de 
formes et de positions respectives, non seulement la 
courbe de leur intersection est déterminée dans l'espacé 
mais encore toutes les afîeetions de ces courbes s'en- 
suivent immédiatement. Ainsi, par exemple, dans 
chacun de leurs points la direction de leur tangente 
est déterminée : il en est de même de celle de leur plan 
normal, c'est-à-dire du plan qui coupe la courbe à 
angle droit, et qui est par conséquent perpendicu- 
laire à la tangente au point d'intersection. Quoique 
nous devions avoir souvent occasion, dans la suite., de 
considérer les plans normaux aux courbes à double 
courbure, nous n'entrerons ici, par rapport à leur déter- 
mination, dans aucun détail, parce que ces plans étant 
toujours perpendiculaires aux tangentes, il nous suffira 
d'avoir donné la manière de construire les projections 
des tangentes aux intersections des surfaces courbes. 

58. Second problème général. — Par un point 
pris à volonté sur l'intersection de deux surfaces 
courbes, mener la tangente à cette intersection. 



I02 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIEIQUE. 

Solution. — Le point pris à volonté sur l'intersec- 
tion des deux surfaces courbes se trouve en même 
temps et sur l'une et sur l'autre de ces surfaces. Si 
donc par ce point considéré sur la première surface 
on mène à cette surface un plan tangent, ce plan tou- 
chera l'intersection dans le point que l'on considère. 
Pareillement, si par le même point considéré sur la 
seconde surface on mène à cette surface un plan tan- 
«j'ent, ce plan touchera l'intersection dans le point 
que l'on considère. Les deux plans tangents touche- 
ront donc l'intersection dans le même point, qui sera 
en même temps un de leurs points communs, et par 
conséquent un de ceux de la droite dans laquelle ils se 
coupent; donc l'intersection des deux plans tangents 
sera la tangente demandée. 

Ce problème donne lieu à l'observation suivante, 
qui est d'un grand usage dans la Géométrie descrip- 
tive. 

« La projection de la tangente d'une courbe à double 
courbure est elle-même tangente à la projection de la 
courbe, et son point de contact est la projection de 
celui de la courbe à double courbure. » 

En effet-, si, par tous les points de la courbe à double 
courbure, on conçoit des perpendiculaires abaissées sur 
un des plans de projection, par exemple, sur le plan 
horizontal, toutes ces perpendiculaires seront sur une 
surface cylindrique verticale, qui sera coupée par le 
plan horizontal dans la projection même. De même, 
si, par tous les points de la tangente à la courbe à 
double courbure, on conçoit des verticales abaissées, 
elles seront dans un plan vertical qui sera coupé par le 
plan horizontal dans la projection même de la tan- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Io3 



gente. Or, la surface cylindrique et le plan vertical se 
touchent évidemment dans toute l'étendue de la ver- 
ticale abaiflsée du point do contact, et qui leur est com- 
mune ; donc les intersections de la surface cylindrique 
et du plan par le plan horizontal se toucheront dans un 
point qui st;ra l'intersectiou de la droite du contact. 
de la surface cylindrique et du plan vertical. Donc 
enfin les projections d'une courbe à double courbure 
et d'une de ses tangentes se touchent en un point qui 
est la projection du point de contacrt de la courbe. 

59. Nous allons actuellement faire l'application de 
tout ce qui précède à quelques cas particuliers; et 
pour commencer par des considérations simples, nous 
supposerons d'abord qu'une des deux surfaces dont il 
i&v!t détjBrminer l'dntersecrtion soit un plan. 

Première question. — Construire l'intersection 
d'une surface cylindrique donnée par un plan donné 
de position ? 

La position des pians de projection étant arbitraire, 
nous supposerons d'abord, ce qui est toujours possible, 
que ces deux plans aient été choisis de manière que 
l'un soit perpendiculaire à la génératrice de la surface, 
et que l'autre soit perpendiculaire au plan coupant, 
parce que, dans cette supposition, la construction est 
beaucoup plus facile; puis, pour donner aux élèves 
l'habitude des projections, nous supposerons que les 
deux plans de projection soient placés d'une manière 
quelconque. 

Solution. — Premier cas, dans lequel on suppose que 
la ^nératrice de la surface soit perpendiculaire à Vun 



Io4 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

des plans de projection^ par exemple, au plan horizontal, 
et que le plan coupant soit perpendiculaire à Vautre. 

Soient A {fig. 27) la projection horizontale de 
la droite, à laquelle la génératrice de la surface 
cylindrique doit toujours être parallèle; aa" sa pro- 
jection verticale; BCDE la trace donnée de la sur- 
face cylindrique, trace qui sera la projection horizon- 
tale de la surface indéfinie, et, par conséquent, celle 
de la courbe d'intersection ; soient /g la projection verti- 
cale donnée du plan coupant, projection qui sera aussi 
celle de l'intersection demandée, et FG la trace horizon- 
tale du même plan : il est évident que si l'on mène à 
la courbe BCDE, et perpendiculairement à LM, les 
tangentes indéfinies Ee", Ce", les droites ee", ce" 
seront les projections verticales de la génératrice dans 
ses positions extrêmes, et que les points e',.c', dans 
lesquels elles couperont la projection fg du plan cou- 
pant, termineront sur fg la projection verticale de l'in- 
tersection demandée. 

Cela posé, si par un point pris arbitrairement sur 
l'intersection (point dont la projection horizontale 
sera un point H, pris à volonté sur la courbe BCDE, et 
dont on aura la projection verticale en projetant le 
point H en i' sur fg) on veut mener la tangente à cette 
intersection, il est clair que cette tangente sera com- 
prise dans le plan coupant, et que sa projection ver- 
ticale sera la droite fg; il est clair aussi qu'elle sera com- 
prise dans le plan vertical tangent à la surface cylin- 
drique, et que sa projection horizontale, qui sera la 
même que celle du plan tangent, sera la droite FHN 
tangente en H à la courbe donnée BCDE . Ainsi tout 
est déterminé par rapport à l'intersection demandée- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



io5 




tob' LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

60. Actuellement, posons qu'il s'agisse de cons- 
truire cette intersection telle qu'elle existe dans son 
plan et, par un de ses points pris à volonté, de lui 
mener une tangente. Si le plan de projection verti- 
cale se trouve à une trop grande distance de la 
courbe BCDE, on pourra concevoir un autre plan ver- 
tical qui lui soit parallèle, qui passe dans l'intérieur 
de la courbe BCDE, et dont la projection horizontale 
soit la droite EG parallèle à LM. Ce plan vertical cou- 
pera le plan coupant dans une droite parallèle à sa 
projection /g, et autour de laquelle, comme charnière, 
nous supposons que le plan coupant tourne pour de- 
venir vertical et présenter en face la courbe demandée. 
Gela posé, par tant de points H qu'on voudra, pris 
arbitrairement sur BCDE, on concevra des plans ver- 
ticaux perpendiculaires au plan vertical de projection, 
et dont on aura en même temps les projections horizon- 
tales et verticales, en menant par tous les points H 
des droites llJKii' perpendiculaires à LM. Chacun 
de ces plans coupera le plan coupant dans une droite 
horizontale perpendiculaire à la charnière, et dont la 
projection verticale sera le point de rencontre i' des 
deux droites /g, ii'. De plus, dans chaque plan, cette 
droite horizontale rencontrera la charnière dans un 
point dont la projection horizontale sera l'intersection J 
des deux droites EG, HJKii'; et elle rencontrera la 
courbe demandée dans des points dont les projections 
horizontales seront les intersections H, K de la droite 
HJKu' avec la courbe BCDE. Enfin cette droite et 
toutes ses parties seront égales à leurs projections 
horizontales. Or, lorsque le plan coupant tourne autour 
de la charnière pour devenir vertical, toutes ses droites, 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. I07 

qui d'abord étaient horizontales, ne cessent pas d'être 
perpendiculaires à la charnière, et ne changent pas de 
grandeur. Donc, si par tous les points i' on mène à /g 
des perpendiculaires indéfinies A/f, et si sur ces perpen- 
diculaires on porte JH de i' en /i, et JK de i' en /c, on 
aura tant de points A, A: qu'on voudra, par lesquels 
on fera passer la courbe demandée e' kc' h. 

61. La courbe étant construite dans son plan, il 
s'agit par un de ses points A, pris arbitrairement, de lui 
mener une tangente; on aura la projection \erticale de 
ce point en abaissant du point h sur fg la perpendi- 
culaire hi'; on aura sa projection horizontale en pro- 
jetant i' en H sur la courbe BCDE; on aura la pro- 
jection horizontale de la tangente demandée, en me- 
nant la droite FN, tangente en H, à la courbe BCDE, 
et il suffira de rapporter sur le plan de la courbe un 
point quelconque de la tangente, celui, par exemple, 
qui est projeté sur le point N pris arbitrairement, et 
dont la projection verticale est sur fg en a'. Or, en rai- 
sonnant pour ce point comme pour tout autre point 
du plan coupant, il est clair que si par le point a' on 
mène à fg la perpendiculaire a' n, et que si sur cette 
droite on porte de a' en n la distance NA du point N 
à la droite EC, le point n sera le second point de la 
tangente. Donc en menant la droite hn^ on aura la 
tangente demandée. 

62. Quelle que soit la courbe donnée BCDE, on 
voit que l'intersection e' kc' h jouit de la propriété, 
que, pour un de ses points, quelconque, la sous- 
tangente a' n est égale à la sous-tangente AN de la 



I()8 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

première. Cette propriété, qui est très connue pour le 
cercle et l'ellipse, lorsque ces deux courbes ont un axe 
commun, n'a lieu par rapport à elles que parce qu'elles 
sont les intersections d'une même surface cylindrique 
par deux plans différents. 

63. Enfin, il peut arriver qu'on ait besoin de tracer 
sur le développement de la surface cylindrique l'effet 
de la section faite par le plan coupant. Pour cela, après 
avoir développé la courbe BCDE, avec toutes ses divi- 
sions, sur une droite IIQ; si par toutes les divisions 
de RQ on lui mène des perpendiculaires indéfinies, 
on aura sur le développement de la surface les traces 
des différentes positions de la droite génératrice, et il 
ne s'agira plus que de porter sur ces perpendiculaires 
les parties des génératrices correspondantes, comprises 
entre la section perpendiculaire BCDE et la section 
faite par le plan coupant. Or, ces parties de généra- 
trices sont égales à leurs projections verticales, et ces 
projections sont toutes terminées d'une paît à la droite 
LM, et de l'autre à fg. Donc, si le point H, par exemple, 
tombe en S sur la droite RQ, en portant ii' sur la per- 
pendiculaire qui passe par le point S, de S en T, le 
point T sera sur la surface développée celui où la 
génératrice qui passe par le point H est coupée par le 
plan coupant. I^a courbe XTYZ, qui passera par tous 
les points déterminés de la même manière, sera la 
courbe demandée. 

64. Il est évident que si l'on prolonge la tangente 
au point H jusqu'à .ce qu'elle rencontre la trace 
horizontale GF du plan coupant quelque part en un 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. I09 

point F, et que si l'on porte HF sur RQ de S en U, la 
droite TU sera tangente à la courbe; car lorsque la 
surface cylindrique se développe, ses éléments ne 
changent pas d'inclinaison par rapport au plan hori- 
zontal. 

Second cas, dans lequel on suppose la surface cylin- 
drique et le plan coupant placés d'une manière quel- 
conque par rapport aux deux plans de projections. 

65. Solution (fig. 28). — Soient A A' et aa' les 
deux projections de la droite à laquelle la généra- 
trice doit être parallèle; CEDF la trace donnée de la 
surface cylindrique; et HG/î, hh les traces du plan 
cou])ant. 

On imaginera une suite de plans parallèles à la géné- 
ratrice de la surface cylindrique, et qui seront de plus 
tous perpendiculaires à un des plans de projection, par 
exemple, au plan horizontal; chacun de ces plans sera 
projeté suivant une droite OKE parallèle à AA', et 
coupera la surface en des droites qui seront des posi- 
tions de la génératrice et qui rencontreront le plan 
horizontal aux points d'intersection E, F de la 
droite OKE avec la courbe CEDF. Si donc on projette 
les points E, F sur LM en e, /, et si par ces derniers 
points on mène à la droite aa' les parallèles ee\ ff\ on 
aura les projections verticales des intersections de la 
surface avec chacun des plans parallèles à la généra- 
trice. 

Ces mêmes plans couperont aussi le plan coupant en 
des droites qui seront parallèles entre elles, qui auront 
toutes leurs traces horizontales sur les différents 



IIO LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. lit 

points de la droite HG, et dont les projections ver- 
ticales seront aussi parallèles entre elles. Pour avoir 
ces projections, il faut d'abord chercher la direction 
de l'une d'elles, de celle, par exemple, qui correspond 
au plan vertical mené par AA'. Pour cela, si l'on pro- 
longe AA' jusqu'à ce qu'elle rencontre, d'une part, la 
trace du plan coupant en un point N, et, de l'autre, la 
droite LM en un point B, et si l'on projette le point B 
en b sur A6, les deux points N et è seront sur les deux 
plans de projection les traces de l'intersection du plan 
coupant avec le plan vertical. Donc, si l'on projette 
le point N en n sur LM, et si l'on mène la droite nb, 
on aura la projection verticale de cette intersection. 
Donc, en projetant sur LM tous les points O, dans 
lesquels la trace GH est coupée par les projections des 
l)lans verticaux, ce qui donnera une suite de points o, 
et en menant par ces derniers les parallèles oik à n6, on 
aura les projections verticales des intersections du 
plan coupant par la suite des plans verticaux. Donc 
enfin les points de rencontre i, k de chaque droite oik 
avec les projections ee\ ff des sections faites dans la 
surface cylindrique par le plan vertical correspondant, 
seront sur la projection verticale de l'intersection de- 
mandée; et la courbe qui passera par tous les joints i, 
/f, ainsi déterminés, sera cette projection. Si l'on pro- 
jette les points t, /c, en J, K, sur la projection OKE du 
plan vertical correspondant, on aura la projection 
horizontale des mêmes points, et la courbe KJP, qui 
passera par tous les points ainsi déterminés, sera la 
projection horizontale de l'intersection. 

66. Pour avoir les tangentes de ces deux projections 



ir2 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

aux points J, i, il faut se rappeler que ces tangentes 
sont les projections de la tangente à l'intersection. Or^ 
cette dernière tangente étant en même temps dans le 
plan coupant et dans le plan tangent à la surface cylin- 
drique doit avoir sa trace horizontale dans l'inter- 
section des traces horizontales de ces deux plans : de 
plus, la trace du plan tangent est la tangente en F à 
la courbe GEDF. Donc, si l'on mène cette tangente, et 
si, après l'avoir prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre 
la trace du plan coupant en un point G, on mène la 
droite GJ, cette droite touchera au point J, la pro- 
jection horizontale de l'intersection. Enfin, projetant 
le point G sur LM en g, et menant la droite gi, on aura 
la tangente en i de la projection verticale de la même 
courbe. 

67. S'il faut construire la courbe de l'intersection, 
telle qu'elle existe dans son plan, on concevra que le 
plan coupant tourne autour de sa trace horizon- 
tale HG, comme charnière, pour s'appliquer sur le 
plan horizontal. Dans ce mouvement, chacun des 
points de la section, celui, par exemple, qui est projeté 
en J, décrira un arc de cercle dont le plan sera vertical, 
perpendiculaire à HG, et dont on aura la projection 
indéfinie, en menant par le point J une droite RJS 
perpendiculaire à HG : donc, lorsque le plan sera 
abattu, le point de la section tombera quelque part 
sur un point de cette droite. Reste à trouver la dis- 
tance de ce point à la charnière : or la projection 
horizontale de cette distance est JR, et la dilîérence 
des hauteurs de ses extrémités est la verticale is. Si 
l'on porte JR sur LM de s en /, l'hypoténuse ri sera 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Il3 

cette distance. Donc, portant ri sur RJ de R en S, le 
point S sera un des points de l'intersection consi- 
dérée dans son plan abattu sur le plan horizontal; et 
la courbe STUV, menée par tous les points S semblable- 
ment construits, sera cette intersectioji elle-même. 

68. Pour avoir la tangente de cette courbe au 
point S, il suffît d'observer que, pendant le mouve- 
ment du plan coupant, la tangente ne cesse pas de 
passer par le point G de la charnière : donc, si l'on 
mène la droite SG, on aura la tangente demandée. 

69. Deuxième question. — Construire l'inter- 
section d'une surface conique à base quelconque 
donnée, par un plan donné de position ? 

Solution. — Nous supposerons, ce qui est toujours 
possible, que le plan vertical de projection soit placé 
perpendiculairement au plan coupant. 

Soient A et a' (fig, 29) les projections du sommet 
du cône ou du centre de la surface conique,* 
l^CDE la trace de cette surface sur le plan horizontal, 
/g la projection verticale du plan coupant, et G/ sa 
trace horizontale. On imaginera par le sommet du 
cône une suite de plans perpendiculaires au plan ver- 
tical de projection : les projections verticales de ces 
plans seront les droites a' c menées par la projection 
du sommet, et leurs traces horizontales seront les 
droites cC perpendiculaires à LM, qui couperont la 
trace de la surface conique quelque part en des 
points C, C, .... Ces plans couperont la surface en 
des droites dont les projections verticales seront les 

MONOK. — I. 8 



n| LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 1 15 

droites a' c^ ..., et dont on aura les projections 
horizontales en menant au point A les droites CA, 
C'A, .... Les mêmes plans couperont aussi le plan 
coupant dans des droites qui seront perpendiculaires 
au plan vertical. Les projections de ces droites seront 
les points h, ... de rencontre de /g avec les droites 
a' c, . . .,et Ton aura leurs projections horizontales en 
abaissant des points /i, ... sur LM les perpendicu- 
laires indéfinies AH, .... Cela fait, les droites h H, ... 
couperont les droites correspondantes CA, C'A, ..., 
en des points H, H', . . . qui seront les projections 
horizontales d'autant de points de l'intersection de- 
mandée; et la courbe PHQH', qui passera par tous les 
points construits de cette manière, sera la projection 
de l'intersection. 

70. Pour mener à cette courbe une tangente par 
un point H pris à volonté sur elle, il suffit de chercher 
sur le plan horizontal la trace de la tangente de l'in- 
tersection dans le point qui correspond au point H. 
Or, cette trace doit être sur celle du plan coupant, et 
par conséquent sur G/; elle doit être aussi sur celle du 
plan qui touche la surface conique dans la droite, dont 
la projection est AH ; de plus, si l'on prolonge AH 
jusqu'à ce (|u'elle rencontre la courbe BCDE quelque 
part en un point C, la tangente CF de cette courbe au 
point G sera la trace horizontale du plan tangent. 
Donc le point F de rencontre des deux traces / G, CF 
sera sur la tangente au point H de la courbe PHQH'. 

71. S'il est nécessaire de construire l'intersection 
considérée dans son plan, on pourra jndiiïéremment 



l6 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



concevoir, ou que le plan coupant tourne autour 
de G / comme charnière, pour s'abattre sur le plan 
horizontal, et construire la courbe dans la position 
qu'elle aura prise alors, ou qu'il tourne autour de sa 
projection verticale /g pour s'appliquer sur le plan ver- 
tical; c'est cette dernière hypothèse que nous allons 
suivre. 

Toutes les horizontales dans lesquelles la suite des 
plans menés par le sommet a coupé le plan coupant, 
et qui sont perpendiculaires à /g, ne changent pas de 
grandeur dans le mouvement du plan coupant, et ne 
cessent pas d'être perpendiculaires à /g : donc, si par 
tous les points h on mène à /g des perpendiculaires 
indéfinies, et si l'on porte sur elles les horizontales 
correspondantes KH, KH', de h en N et en N', les 
points N et N' seront des points de la section; et la 
courbe RNSN', menée par tous les points ainsi cons- 
truits, sera l'intersection considérée dans son plan. 

72. D'après tout ce qui précède, il est évident que, 
pour mener à cette courbe une tangente en un point N, 
pris arbitrairement sur elle, il faut du point N abaisser 
sur /g la perpendiculaire N/î, mener la droite a' h 
jusqu'à ce qu'elle rencontre LM en un pomt c, projeter 
ce dernier point en C sur la courbe BCDE, mener à 
cette courbe la tangente en C, qui coupera la trace G/ 
quelque part en un point F, et porter F/ perpendicu- 
lairement à /g de / en 0. La droite ON sera la tangente 
demandée. 

Quant à la manière de construire le développement 
de la surface conique à base quelconque, et de tracer 
sur ce développement l'efl'et de l'intersection par le 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. II7 

plan coupant, nous Texposerons incessamment, après 
avoir parlé de rinterscetion de la surface conique par 
celle d'une sphère qui aurait son centre au sommet. 

73. Troisième question. — Construire l'inter- 
section de deux surfaces coniques à bases circulaires, 
et dont les axes sont parallèles entre eux ? 

Solution. — Nous ne répéterons pas ici, sur la 
figure 26, tout ce que nous avons dit en exposant 
la méthode générale à laquelle cette figure servait 
de type ; nous observerons seulement que, dans le cas 
dont il s'agit ici, de même que dans celui de deux sur- 
faces quelconques de révolution, les sections faites 
dans les deux surfaces par les plans horizontaux sont 
des cercles : mais nous entrerons dans quelques détails 
par rapport aux tangentes, dont nous n'avons pas eu 
occasion de parler. 

74. Pour trouver la tangente au point D (fig. 9,0) 
de la projection horizontale de l'intersection, nous 
nous rappellerons qu'elle est la projection de la 
tangente de l'intersection des deux surfaces, au point 
qui correspond à D, et qu'il suffit, pour la déterminer, 
de trouver le point S qui est, sur le plan horizontal, la 
trace de la tangente de l'intersection. Or cette der- 
nière tangente est dans les deux plans qui touchent 
les surfaces coniques dans le point de l'intersection; 
donc, si l'on trouve les traces horizontales Rr, ()q 
de ces deux plans tangents, elles détermineront par 
leur rencontre le point S. Mais le plan tangent à la 
première surface la touche dans une droite qui pas3e 



Il8 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

par le sommet, et dont on aura la projection horizon- 
tale en menant la droite indéfinie AD. De plus, si l'on 
prolonge AD jusqu'à ce qu'elle rencontre en un 
point Q la trace circulaire horizontale TQUV de la 
surface, le point Q sera un point de la ligne de contact 
de la surface et du plan; par conséqueni, la trace hori- 
zontale du plan sera tangente en Q au cercle TQUV : 
scit donc menée cette tangente Q^. Pareillement, si 
l'on prolonge le rayon BD jusqu'à ce qu'il rencontre 
en R la trace horizontale circulaire RXYZ de la seconde 
surface, et si l'on mène à ce cercle la tangente en R, 
cette droite Rr sera la trace horizontale du plan tan- 
gent à la seconde surface. Donc, si par le point S d'in- 
tersection des deux tangentes Q(/, Rr on mène la 
droite SD, on aura la tangente au point D de la pro- 
jection horizontale de l'intersection. 

Quant à la tangente au point correspondant d de la 
projection verticale, il est clair qu'on l'obtiendra en 
projetant le point S en 5, et en menant ensuite la 
droite sd, qui sera cettp tangente. 

75. Il peut arriver qu'il soit nécessaire de cons- 
truire sur le développement de l'une des surfaces 
coniques, peut-être même sur celui de chacune d'elles, 
l'effet de leur mutuelle intersection; ce qui serait 
nécessaire, par exemple, s'il fallait exécuter les cônes 
avec des substances flexibles, telles que des feuilles de 
métal : dans ce cas, on opérera pour chaque cône, comme 
nous allons l'indiquer pour le premier. 

Nous observerons d'abord que, lorsqu'une surface 
conique se développe pour devenir plane, les lignes 
droites qui sont sur cette surface no changent ni de 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ij^ 

iorme, ni de grandeur, parce que chacune d'elles est 
successivement la charnière autour de laquelle s'opère 
le développement : ainsi tous les points de la surface 
restent toujours à la même distance du sommet. De 
plus, lorsque, comme dans ce cas, la surface conique 
est droite et circulaire, tous les points de la trace 
horizontale circulaire sont à égale distance du som- 
met ; ils doivent donc être à égale distance du sommet 
sur le développement, et par conséquent sur un arc de 
cercle dont le rayon est égal à la distance constante du 
sommet à la trace circulaire. Donc, si après avoir pris 
arbitrairement un point pour représenter le sommet 
sur le développement, on décrit de ce point, comme 
centre, et d'un rayon égal à aC, un arc de cercle indé- 
fini, cet arc sera aussi indéfiniment le développement 
de la trace horizontale de la surface. Puis, si, à partir du 
point T de la trace par lequel on veut commencer le 
développement, on porte l'arc de cercle TQ sur l'arc 
qu'on vient de décrire, on déterminera la position du 
point Q sur le développement; et la droite indéfinie, 
menée par ce point au centre du développement, sera 
la position qu'occupera la droite de la surface qui est 
projetée en AQ, et sur laquelle devra se trouveï le 
point D, d de la section rapportée. Pour construire ce 
point, il ne s'agira plus que de trouver sa distance au 
sommet, et de là porter sur là droite indéfinie, à partir 
du centre du développement. Pour cela, par le point d 
dans la projection verticale, on mènera l'horizontale dk 
jusqu'à ce qu'elle coupe le côté a G du cône en un 
point k; et la droite ak sera cette distance. En cons- 
truisant de même successivement tous les autres points 
dfr l'intersection, et faisant passer par tous ces points 



I20 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

une courbe, on aura l'intersection des deux surfaces 
rapportées sur le développement de la première : on 
opérera de même pour la seconde surface. 

76. Quatrième question. — Construire l'intersec- 
tion de deux surfaces coniques à bases quelconques ? 

Solution. — Soient A, a (fig. 3o) les projections 
du sommet de la première surface; CGDG', sa trace 
donnée sur le plan horizontal; B, è, les projec- 
tions du sommet de la seconde; et EHFH', sa trace 
sur le plan horizontal. On concevra par les deux som- 
mets une droite, dont on aura les projections en me- 
nant les droites indéfinies AB, ab, et dont on cons- 
truira facilement la trace I sur le plan horizontal. Par 
cette droite on concevra une série de plans qui cou- 
peront chacun les deux surfaces coniques dans le sys- 
tème de plusieurs lignes droites ; et celles de ces lignes 
droites qui seront dans le même plan détermineront 
par leurs rencontres autant de points de l'intersection 
des deux surfaces. Les traces horizontales de tous les 
plans de cette série passeront nécessairement par le 
point I; et, parce que la position de ces plans est 
d'ailleurs arbitraire, on pourra donc se donner arbi- 
trairement leurs traces en menant par le point I tant 
de droites IK qu'on voudra, pour chacune desquelles 
on fera l'opération que nous allons décrire pour une 
seule d'entre elles. 

La trace Kl de chacun des plans de la série coupera 
la trace horizontale de la première surface conique en 
des points G, G', qui seront aussi les traces horizon- 
tales des lignes droites, suivant lesquelles le plan coupe 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



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«I2î2 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

la surface conique : ainsi AG, AG' seront les projec- 
tions horizontales indéfinies de ces droites, et l'on 
aura leurs projections verticales en projetant G, G' 
en g, g', et en menant les droites indéfinies ag, ag' . 
Pareillement la trace Kl du même plan de la série 
coupera la trace horizontale de la seconde surface co- 
nique dans des points H, H', par lesquels si l'on mène 
indéfiniment BH, BH', on aura les projections horizon- 
tales des droites, suivant lesquelles le même plan de 
la série coupe la seconde surface; et l'on aura leurs 
projections verticales en projetant H, H' en h^ h\ et 
en menant les droites indéfinies bh, bh'. 

Gela fait, pour le même plan dont la trace est Kl, on 
aura sur la projection horizontale un certain nombre 
de droites AG, AG', BH, BH'; et les points P, Q, R, S, 
où celles qui appartiennent à l'une des surfaces ren- 
contreront celles qui appartiennent à l'autre, seront 
les projections horizontales d'autant de points de 
l'intersection des deux surfaces. Ainsi en opérant suc- 
cessivement de la même manière pour d'autres lignes 
Kl, on trouvera de nouvelles suites de points PQRS; 
et faisant ensuite passer par tous les points P une pre- 
mière branche de courbe, par tous les points Q une 
seconde, par tous les points R une troisième, etc., on 
aura la projection horizontale de l'intersection de- 
mandée. 

Pareillement, pour le même plan dont la trace 
est Kl, on aura sur la projection verticale un certain 
nombre de droites ag, ag', bh, bh\ dont les points de 
rencontre seront les projections verticales d'autant 
de points de l'intersection. 

Il faut observer ici qu'il n'est pas nécessaire de cons- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 123 

truire les deux projections de la courbe d'intersection, 
indépendamment l'une de l'autre, et (ju'un point de 
l'une étant construit, on peut trouver son correspon- 
dant sur l'autre projection, en le projetant par une 
perpendiculaire à la commune intersection des deux 
plans de projection sur l'une des droites qui doit le 
contenir; ce qui fournit les moyens de vérifier les ope 
rations, et d'éviter dans certains cas les intersections 
de droites qui se couperaient sous des angles trop 
obliques. 

77. Pour trouver les tangentes à la projection 
horizontale, celle, par exemple, qui la touche au 
point P, il faut construire la trace horizontale T de la 
tangente de l'intersection au point qui correspond 
à P. Or cette tangente est l'intersection des deux plans 
qui touchent les surfaces coniques dans ce point : sa 
trace sera donc dans la rencontre des traces horizon- 
tales de ces deux plans tangents. De plus, A(x' P est la 
projection de la droite de contact du plan qui touche la 
première surface ; ainsi la trace de ce premier plan sera 
la tangente de la courbe GGDG' au point G' : soit 
G' TV cette tangente. Pareillement BH' P est la pro- 
jection horizontale de la droite de contact du plan qui 
touche la seconde surface; ainsi la trace horizontale 
du second plan tangent sera la tangente au point II' 
de la courbe EHFH' : soit H' TU cette tangente. Les 
deux tangentes G' V, H' U se couperont donc en un 
point T, par lequel, si l'on mène la droite TP, on aura 
la tangente au point P demandée. 

En raisonnant de même pour les autres points Q, 
R, S, on trouvera : 1° que la tangente en Q doit passer 



124 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

par le point de rencontre des tangentes en G' et en H; 
•2^ que la tangente en R doit passer par la rencontre 
des tangentes en H et en G; 3° que la tangente en S 
doit passer par la rencontre des tangentes en G et 
en H\ 

Quant aux tangentes de la projection verticale, elles 
n'ont aucune difficulté, lorsque celles de la projection 
horizontale sont déterminées, car en projetant les 
traces horizontales des tangentes de l'intersection, on 
a les points par lesquels elles doivent passer. 

78. Cinquième question. — Construire l'intersec- 
tion d'une surface conique à base quelconque, et de 
celle d'une sphère ? 

Nous supposerons ici que les deux surfaces sont 
concentriques, c'est-à-dire que le sommet du cône est 
placé au centre de la sphère, parce que nous aurons 
besoin de ce cas particulier pour la question suivante. 

Solution. — Soient A, a {fig. 3i) les projections 
du centre commun des deux surfaces, BCDE la 
trace horizontale donnée de la surface conique, 
am le rayon de la sphère, et le cercle If g' m la pro- 
jection verticale de la sphère. On concevra par le 
centre commun des deux surfaces une série de plans, 
que l'on pourra de plus supposer tous perpendicu- 
laires à l'un des deux plans de projection. Dans la 
figure 3i, nous les avons supposés verticaux. Chacun 
de ses plans coupera la surface conique dans un sys- 
tème de lignes droites, et la surface de la sphère dans 
la circonférence d'un de ses grands cercles; et pour 
chaque plan, les rencontres de ces droites avec la cir- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 




il6 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIÈNTIF'lQUE. 

conférence du cercle détermineront des points de l'in- 
tersection demandée : soient donc menées par le 
point A tant de droites indéfinies CAE qu'on voudra, 
qui seront les projections horizontales d'autant de 
plans verticaux de la série, et en même temps celles des 
lignes suivant lesquelles ces plans coupent les deux 
surfaces. Chaque droite CAE coupera la trace horizon- 
tale BCDE de la surface conique en des points C, E, 
qui seront les traces horizontales des sections faites 
dans cette surface par le plan correspondant; et si, 
après avoir projeté les points C, E sur LM en c, e, on 
mène les droites ac^ ae, on aura les projections verti- 
cales des mêmes sections. Il s'agit actuellement de 
trouver les rencontres de ces sections avec celles de la 
sphère par le même plan. 

Pour cela, après avoir mené par le point A la droite 
GAF parallèle à LM, on concevra que le plan vertical 
mené par CE tourne autour de la verticale qui est 
élevée par le point A et projetée en ci a, jusqu'à ce 
qu'il devienne parallèle au plan vertical de projection, 
et de plus qu'il entraîne avec lui les sections qu'il a 
faites dans les deux surfaces. Dans ce mouvement, les 
points C, E décriront autour du point A, comme centre, 
des arcs de cercle CG, EF, et viendront s'appliquer 
en G, F ; et si l'on projette ces derniers points sur LM 
en g, /, les droites «g, af seront les projections verti- 
cales des sections faites dans la surface conique, con- 
sidérées dans la nouvelle position qu'elles ont prise 
en vertu du mouvement du plan. La section faite dans 
la surface de la sphère, considérée de même dans la 
nouvelle position, aura pour projection verticale la 
circonférence If g' m. Donc les points de rencontre /', 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 127 



g' de cette circonférence avec les droites ag, af seront 
les projections des points de l'intersection demandée, 
considérés aussi dans la nouvelle position du plan. 

Actuellement, pour avoir les projections des mornes 
points considérés dans leur position naturelle, il faut 
supposer que le plan vertical de la série retourne dans 
su position primitive. Dans ce mouvemeni, tous les 
points du plan, et par conséquent ceux de l'inter- 
section qu'il contient, décriront des arcs de cercles 
horizontaux autour de la verticale élevée par le point A 
comme axe, et dont les projections verticales seront 
des droites horizontales. Donc, si par les points g\ f 
on mène les horizontales ^'i, f'h^ elles contiendront 
les projections verticales des points de l'intersection : 
mais ces projections doivent aussi se trouver sur les 
droites respectives ac^ ae; donc elles seront aux points 
de rencontre i, h de ces dernières droites avec les 
horizontales g'i, f h. Ainsi la courbe /c/mi, imenée paj* 
tous les points construits de la même manière pour 
toute autre droite que CE, sera la projection verticale 
de l'intersection demandée. 

Si l'on projette les points i, h sur CE en J, 11, on 
aura les projections horizontales des mêmes points 
de l'intersection; et la courbe KHNJ menée par tous 
les points J, H, construits de la même manière pour 
toute autre droite que CE, sera la projection horizon- 
tale de l'intersection. 

79. Pour trouver la tangente au point J de la pro- 
jection horizontale, il faut construire la trace horizon- 
tale P de la tangente au point correspondant de l'in- 
tersection. Cette droite doit se trouver à la rencontre 



I'28 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

des traces des plans tangents aux deux surfaces au 
point de l'intersection qui correspond au point J. Or 
il est évident que, si par le point C on mène à la 
courbe BGDE la tangente CP, on aura la trace du 
plan tangent à la surface conique. Quant à celle du 
plan tangent de la sphère, on opérera comme nous 
l'avons vu pour les surfaces de révolution, c'est-à-dire 
en menant par le point g' au cercle If g' m la tangente 
g'o prolongée jusqu'à la droite LM en o, en portant 
ensuite a' o sur CE de A en 0, et menant par le point 
la droite OP perpendiculaire à CE. Donc les deux 
traces CP, OP se couperont en un point P par lequel, 
si l'on mène la droite JP, on aura la tangente au 
point J. 

Enfin, il est évident que l'on aura la tangente au 
point i de la projection verticale de l'intersection, en 
projetant le point P sur LM en p, et menant ensuite 
la droite ip, qui sera la tangente demandée. 

80. Si la sphère et la surface conique n'étaient pas 
concentriques, il faudrait concevoir par leurs deux 
centres une ligne droite, et choisir la série des plans 
coupants qui passerait par cette droite. Chacun de 
ces plans couperait la surface conique dans des dioites, 
et celle de la sphère dans un de ses grands cercles, 
comme dans le cas précédent, ce qui donne également 
une construction simple; mais alors il serait avanta- 
geux de placer le plan vertical de projection parallè- 
lement à la droite menée par les deux centres, afin que, 
dans le mouvement que l'on fait faire à chaque, plan 
coupant pour le rendre parallèle au plan vertical de 
projection, les deux centres soient immobiles et ne 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 129 



changent pas de projections; ce qui simplifie les cons- 
tructions. 

81. Sixième question. — Construire le dévelop- 
pement d'une surface conique à base quelconque, et 
rapporter sur cette surface ainsi développée une sec- 
tion dont on a les deux projections ? 

Solution. — On concevra la surface d'une sphère 
d'un rayon pris à volonté, et dont le centre soit placé 
au sommet du cône, et on construira, comme nous 
l'avons fait dans la question précédente, les projec- 
tions de l'intersection de ces deux surfaces. Cela fait, 
il est évident que tous les points de l'intersection sphé- 
rique étant à la même distance du sommet, ils doivent 
aussi sur la surface développée se trouver à la même 
distance du sommet, et par conséquent sur un arc de 
cercle décrit du sommet comme centre, et avec un 
rayon égal à celui de la sphère. Ainsi, en suppo- 
sant que le point R {fig. 33) soit le sommet de la 
surface développée, si de ce point comme centre, et 
d'un rayon égal à am {fig. 3i), on décrit un arc de 
cercle indéfini STU, ce sera sur cet arc que tous les 
points de l'intersection sphérique viendront s'appli- 
quer, de manière que les parties de cet arc seront ros- 
pectivement égales aux parties correspondantes de 
l'intersection sphérique. Il s'agit donc actuellement, 
après avoir pris à volonté sur cette intersection un 
point pour origine, par exemple, celui qui est projeté 
en N, n (fig. 3i), et un point S {fig. 33) pour son cor- 
respondant sur la surface développée, de développer 
Jes différents arcs'de l'intersection sphérique, et de les 

MONGE. — I. 



l3o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

porter successivement sur l'arc de cercle STU de S en 
des points T. Pour cela, la courbe sphérique étant à 
double courbure, il faut lui faire perdre successive- 
ment ses deux courbures, sans altérer sa grandeur, 
de la manière suivante : 

L'intersection sphérique étant projetée sur le pian 
horizontal en NJKH (flg. 3i), on peut la regarder 
comme tracée sur la surface d'un cylindre vertical, 
dont la base serait NJKH : on pourra donc développer 
cette surface, comme nous l'avons indiqué (fig. 27), et 
rapporter sur cette surface cylindrique développée 
l'intersection sphérique, en développant l'arc NJ 
(fig. 3i) en N' J' (fig. 82), et en portant la verticale i' i 
(fig. 3i) perpendiculairement à N'N' (fig. 82) de J' 
en J". La courbe N"J"K"H"N'', qui passera par tous 
les points J" ainsi déterminés, sera l'intersection sphé- 
rique privée de sa courbure horizontale, sans avoir 
changé de longueur. On aura la tangente au point J'^ 
de cette courbe, en prenant JP (fig. 81) et la portant 
sur N'N' (fig. 82) de J' en P', et menant la droite J"P\ 

Actuellement, on développera la courbe N" J^K^'H^N" 
pour la replier sur l'arc STU (fig. ZZ) : par exemple, on 
portera l'arc N" J" de S en T, et le point T sera sur la 
surface conique développée, le point où s'applique 
celui de l'intersection sphérique, dont les projections 
sont J, i (fig. 81). Donc, si l'on mène la droite RT, on 
aura sur le développement de la surface la génératrice 
dont la projection horizontale est AC (fig. 81); enfin, 
s'il se trouve sur cette génératrice un point qu'il faille 
rapporter sur la surface développée, il ne s'agira plus 
que de prendre (fig. 3i) la distance de ce point au 
sommet de la surface conique, et de la porter (fig. ZZ) 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. l3l 

sur RT de R en V; et le point V sera sur la surface 
développée celui que l'on considère. 

82. Septième question. — Construire l'intersec- 
tion de deux surfaces cylindriques à bases quel- 
conques ? 

Solution. — Lorsque, dans la recherche qui donne 
lieu à la question dont il s'agit, on n'a pas d'autres 
intersections à considérer que celle des deux surfaces 
cylindriques, et surtout quand ces surfaces sont à 
bases circulaires, il est avantageux de choisir les plans 
de projection de manière que l'un d'entre eux soit 
parallèle aux génératrices des deux cylindres : par là 
l'intersection se construit sans employer d'autres 
courbes que celles qui sont données. Mais, lorsqu'on 
doit considérer en même temps les intersections de 
ces surfaces avec d'autres, il n'y a plus d'avantage à 
changer de plans de projection; et même il est plus 
•facile de se représenter les objets en les rapportant 
tous aux mêmes plans. 

Nous allons donc supposer les génératrices des deux 
surfaces placées d'une manière quelconque, par rapport 
aux plans de projection. 

Soient donc {fig. 34) TFF'U, XGG'V les traces 
horizontales données des deux surfaces cylindriques ; 
AB, ab les projections données de la droite à 
laquelle la génératrice de la première doit être paral- 
.lèle; CD, cd celles de la droite à laquelle doit être 
parallèle la génératrice de la seconde. On concevra une 
série de plans parallèles aux deux génératrices. Ces 
plans couperont les deux surfaces dans des lignes 
droites ; et les rencontres des ^eux sections faites dans 



l32 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. l33 

la première surface, par les sections faites dans la 
seconde, détermineront les points de l'intersection 
demandée. 

Ainsi, après avoir construit, comme dans la figure i5, 
la trace horizontale AE d'un plan mené par la 
première droite donnée parallèlement à la seconde, 
on mènera parallèlement à cette trace tant de 
droites FG' qu'on voudra, et Ton regardera ces paral- 
lèles comme les traces des plans de la série. Chaque 
droite FG' coupera la trace de la première surface en 
des points F, F', et celle de la seconde en d'autres 
points G, G', par lesquels on mènera aux projections 
des génératrices respectives les parallèles FH, F'H', ..., 
GJ, G' J', ... ; et les points de rencontre P, Q, R, S, 
de ces droites, seront les projections horizontales 
d'autant de points de l'intersection des deux surfaces. 
En opérant de même pour la suite des droites FG', on 
trouvera une suite de systèmes de points P, Q, R, S, 
et la courbe qui passera par tous les points trouvés 
de la même manière sera la projection horizontale 
de l'intersection. 

Pour avoir la projection verticale, on projettera 
sur LM les points F, F', . . ., G, G', ... en /, /', . . ., 
g, g', . . ., et, par ces derniers points, on mènera aux 
projections des génératrices respectives les paral- 
lèles //i, /' /i', . . . , gi, g' i'j ... qui, par leurs ren- 
contres, détermineront les projections verticales p, 
g, r, s des points de l'intersection. En opérant de 
même pour toutes les autres droites FG', on aura de 
nouveaux points p, ç, r, 5; et la courbe qui passera par 
tous ces points sera la projection verticale de l'inter- 
section. 



l34 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

Pour avoir les tangentes de ces courbes aux points R 
et p, on construira la trace horizontale F' Y du plan 
tangent en ce point à la première surface cylindrique | 
puis la trace G' Y du plan tangent en ce même point à 
la seconde ; et la droite, menée du point P au point Y 
de rencontre de ces traces, sera la tangente en P. Enfiil, 
projetant Y sur LM en ?/, et menant la droite py, on 
aura la tangente au point p de la projection verticale. 

83. Huitième question. — Construire l'inter- 
section de deux surfaces de révolution, dont les axes 
sont dans un même plan ? 

Solution. — On disposera les plans de projection 
de manière que l'un d'entre eux soit perpendiculaire 
à l'axe d'une des surfaces, et que l'autre soit paral- 
lèle aux deux axes. D'après cela, soient A {fig, 35) 
la projection horizontale de l'axe de la première 
surface, aa' sa projection verticale, et cde la géné- 
ratrice donnée de cette surface. Soient AB, paral- 
lèle à LM, la projection horizontale de l'axe de la 
seconde surface, a'b sa projection verticale, de manière 
que A et a' soient les projections du point de rencontre 
des deux axes; et soit fgh la génératrice donnée de 
cette seconde surface. On concevra une série de sur- 
faces sphériques, dont le centre commun soit placé 
au point de concours des deux axes. Pour chacune des 
surfaces de cette série, on construira la projection 
iknopq du grand cercle parallèle au plan vertical de 
projection; et ces projections, qui seront des arcs de 
cercle décrits du point a' comme centre, et avec des 
rayons arbitraires, couperont les deux génératrices en 
des points A, p. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



Cela posé, chaque surface sphérique coupera la pre- 
mière surface dans la circonférence d'un cercle, dont 
le plan sera perpendiculaire à Taxe aa\ et dont on 
aura la projection verticale en menant l'horizontale ko^ 
et dont on aura la projection horizontale en décri- 
vant du point A comme centre, et d'un diamètre égal 
à Ao, la circonférence de cercle KROR'. De même 
chaque surface sphérique de la série coupera la seconde 
surface de révolution dans la circonférence d'un cercle 
dont le plan sera perpendiculaire au plan vertical 
de projection, et dont on aura la projection verticale 
en menant par le point p une droite pn perpendicu- 
laire à a'b. 

Si le point r, dans lequel se coupent les deux 
droites ko, pn, est plus près des deux axes respectifs 
que n'en sont les points /r, p, il est évident que les 
deux circonférences de cercles se couperont en deux 
points, dont le point r sera la projection verticale 
commune ; et la courbe menée par tous les points r, 
construits de la même manière, sera la projection ver- 
ticale de l'intersection des deux surfaces. Projetant le 
point r sur la circonférence du cercle KROR' en R et R', 
on aura les projections horizontales des deux points de 
rencontre des circonférences de cercles qui se trouvent 
sur la même sphère; et la courbe menée par tous les 
points R, R', construits de la même manière, sera la 
projection horizontale de l'intersection demandée. 

Ces exemples doivent suffire pour faire connaître la 
manière dont il faut employer la méthode de construire 
les intersections des surfaces et de leur mener des tan- 
gentes, surtout si les élèves s'appliquent à construire 
avec la plus grande exactitude, s'ils emploient de 



l36 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 





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GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 187 

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grandes dimensions, et si, autant qu'il sera possible, 
ils tracent les courbes dans toute leur étendue. 

84. Dans tout ce qui précède, nous avons regardé 
les courbes à double courbure comme déterminées cha- 
cune par deux surfaces courbes dont elle est l'intersec- 
tion, et c'est, en effet, le point de vue sous lequel elles 
se présentent le plus ordinairement dans la Géométrie 
descriptive. Dans ce cas, nous avons vu qu'il est tou- 
jours possible de leur mener des tangentes. Mais, de 
même qu'une surface courbe peut être définie au 
moyen de la forme et du mouvement de sa génératrice, 
il peut arriver aussi qu'une courbe soit donnée par la 
loi du mouvement d'un point générateur; et alors, 
pour lui mener une tangente, si l'on ne veut pas avoir 
recours à l'Analyse, on peut employer la méthode de 
Roberval. Cette méthode, qu'il inventa avant que 
Descartes eût appliqué l'Algèbre à la Géométrie, est 
implicitement comprise dans les procédés du Calcul 
différentiel, et c'est pour cela que les éléments de 
Mathématiques n'en font pas mention; nous nous 
contenterons ici de l'exposer d'une manière sommaire. 
Ceux qui désireront en voir des applications nom- 
breuses pourront consulter les Mémoires de VAca- 
demie des Sciences, antérieurs à 1699, dans lesquels les 
ouvrages de Roberval ont été recueillis. 

85. Lorsque, d'après la loi de son mouvement, un 
point générateur est perpétuellement poussé vers un 
même point de l'espace, la ligne qu'il parcourt en vertu 
de cette loi est droite; mais si, dans chaque instant de 
son mouvement, il est en même temps poussé vers 



l38 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

. t , . '. 

deux points, la ligne qu'il parcourt, et qu^, dans 
quelques cas particuliers, peut encore être une droite, 
est en général une ligne courbe. On aura la tSMigente 
à cette courbe en menant par le point de la courbe 
deux droites, suivant les deux directions différentes 
du mouvement -du point générateur, en portant sur 
ces directions, et dans le sens convenable, des parties 
proportionnelles aux deux vitesses respectives de ce 
point, en achevant le parallélogramme, et en menant 
la diagonale, qui sera la tangente demandée f car cette 
diagonale sera dans la direction du mouvement du 
point décrivant, au point de la courbe que l'on consi- 
dère. 

86. Nous ne-^iterons qu'un seul exemple. 

Un fil AyLB (fig, -36) ^tant attaché par ses extré- 
mités à deux points fixes A, B, si, au moyen d'une 
pointe M, on tend ce fil, et si l'on fait mouvoir la 
pointe, de manière que le fil soit toujours tendu, la 
pointe j décrira une courbe DCM qui, comme on sait, 
est une ellipse dont les points fixes A, B sont les foyers. 
D'après la génération de cette courbe, il est très facile 
de lui mener une tangente par la méthode de Roberval. 
En effet, puisque la longueur du fil ne change pas, 
dans chaque instant du mouvement le rayon AM 
s'allonge de la même quantité dont le rayon BM se 
raccourcit. La vitesse du point décrivant dans la direc- 
tion AM est donc égale à sa vitesse dans la direc- 
tion MQ. Donc, si l'on porte sur MB, et sur le prolon- 
gement de AM, des droites égales MQ, MP, et si l'on 
achève le parallélogïïimme MPRQ, la diagonale MR 
de ce parallélogramme sera la direction du point gêné- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ' iSg 

rateur en M, et, par conséquent, la tangente au même 
point de la courbe. On voit clairement, d'après cela, 
que dans l'ellipse la tangente partage en deux parties 
égales l'angle BMP formé par un des rayons vecteurs 
et par le prolongement de l'autre ; que les angles AMS 
et BMR sont égaux entre eux, et que la courbe doit 
avoir la propriété de réfléchir à un des foyers les 
rayons de lumière émanés de l'autre. 

Il est facile d'étendre la méthode de Roberval au 
cas des trois dimensions, et de l'appliquer à la cons- 
truction des tangentes des -courbes à double cour- 
bure. En effet, si un point générateur se meut dans 
l'espace, de manière qu'à chaque instant de son mouve- 
ment il soit poussé vers trois points différents, la ligne 
qu'il parcourt, et qui, dans quelques cas particuliers, 
peut être plane et même droite, est en général une 
courbe à double courbure. On aura la tangente de cette 
courbe en un point quelconque, en menant par ce 
point des droites, suivant lea trois directions diffé- 
rentes des mouvements du point générateur ; en portant 
sur ces droites, et dans le sens convenable, des parties 
proportionnelles aux trois vitesses respectives de ce 
point, en achevant le parallélépipède; et en menant 
la diagonale du parallélépipède, qui sera la tangente 
de la courbe au point que l'on considère. 

87. Nous allons appliquer cette méthode à un cas ana- 
logue à celui de l'ellipse; et la figure 87, que nous 
allons employer, représentera l'objet en perspective, 
et non pas en projection. 

Trois points fixes A, B, C étant donnés dans l'espace, 
soit un premier fil AMB attaché par ses deux extré- 



l4o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

mités aux points A et B 5 soit un autre fil AMC, d'une 
grandeur indépendante de celle du premier, et qui 
soit attaché par ses extrémités aux deux points A 
et C ; si un point générateur, saisissant en même temps 
les deux fils, se meut de manière que ces fils soient 
toujours tendus, il parcourra une courbe à double 
courbure (^). Pour mener à cette courbe une tangente 
au point M, il faut remarquer que la longueur du pre- 
mier fil AMB étant constante dans chaque instant du 
mouvement, la quantité dont la partie AM s'allonge 
est égale à celle dont la partie MB se raccourcit, et que 
la vitesse du point générateur dans la direction AM 
est égale à sa vitesse dans la direction MB. De même, 
la longueur du fil AMC étant constante, la vitesse 
du point générateur dans la direction MC est encore 
égale à sa vitesse dans la direction AM. Donc, si sur 
le prolongement de AM, et sur les droites MB, MC, 
on porte les parties égales MP, MQ, MR, et si 
l'on achève le parallélépipède MPUSVQRT, la diago- 
nale MS de ce parallélépipède sera la tangente de- 
mandée. 

Comme la méthode de Roberval est fondée sur le 



(^) M. Dupin, en s'occupant de la détermination d'une 
sphère tangente à trois autres, a fait voir que la courbe 
indiquée ci-dessus comme à double courbure, est plane 
et du second degré ; ce qui tient à la théorie générale du 
nombre infmi de foyers qui appartiennent à chaque courbe 
du deuxième degré. Voir la Correspondance sur l'École 
Polytechnique, t. I, p. 22 ; t. II, p. 887, et les Développe- 
ments de Géométrie, par M. Dupin, p. 280. (Note commu- 
niquée par M. Dupin. ) 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. l4l 

principe de la composition du mouvement, il est facile 
d'apercevoir que, dans les cas moins simples que ceux 
que nous avons choisis pour exemples, on peut s'aider 
des méthodes connues pour trouver la résultante de 
forces qui sont dirigées vers un point, et dont on con- 
naît les grandeurs et les directions. 



FIN DU PREMIER VOLUME. 



TABLE DES MATIERES 

DU PREMIER VOLUME. 



Pages, 

Avertissement v 

Notice, biographique vu 

Programme xiii 

I. 

Objet de la Géométrie descriptive i 

Considérations d'après lesquelles on détermine la 
position d'un point situé dans l'espace. De la mé- 
thode des projections l 

Comparaison de la Géométrie descriptive avec 
l'Algèbre 17 

Convention propre à exprimer les formes et les posi- 
tions des surfaces. Applications au plan 19 

Solutions de plusieurs questions élémentaires rela- 
tives à la ligne droite et au plan 25 

II. 

Des plans tangents aux surfaces courbes, et de leurs 
normales 39 

Méthode pour mener des plans tangents par des points 
donnés sur les surfaces 4^ 

Des conditions qui déterminent la position du plan 
tangent à une surface courbe quelconque; observa- 
tion sur les surfaces développables 56 



" LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE " 



HuYGENs (Christian). — Traité de la lumière. Un vol. de x-155 pages 
et 74 figures ; broché, net 3 fr. 50 

Lavoisier (A.-L.). — Mémoires sur la respiration et la transpira- 
tion des animaux. Un vol. de viii-68 pages ; broché, net. , . 3 fr. » 

Spallanzani (Lazare). — Observations et Expériences faites sur les 
Animalcules des Infusions. Deux vol. de viii-106 et 122 pages; 
chaque vol. broché, net 3 fr. » 

Clairaut (A.-C). — Eléments de Géométrie. Deux vol. de xiv-95 et 
103 pages avec 69 et 77 figures; chaque vol. broché, net. 3 fr. 50 

Lavoisier et Laplace. — Mémoire sur la chaleur. Un vol. de 78 pages 
avec 2 planches; broché, nel ♦ . . 3 fr. » 

Carnot (Lazare). — Réflexions sur la métaphysique du Calcul infini- 
tésimal. Deux vol. de viii-117 et 105 pages avec 5 figures; chaque 
vol. broché, net 3 fr. » 

D'Alembert (Jean). — Traité, de Dynamique. Deux vol. de xl-102 et 
187 pages avec 81 figures; chaque vol. broché, net 3 fr. » 

Dutrochet (René). — Les mouvements des végétaux. Du réveil et du 
sommeil des plantes. Un vol. de viii-121 pages et 25 figures; broché, 
net . . . 3 fr. » 

Ampère (A.-M.). — Mémoires sur V électromagnétisme et V électrodyna- 
mique. Un vol. de xiv-110 pages et 17 figures ; broché, net 3 fr. » 

Laplace (P.-S.). — Essai philosophique sur les probabilités. Deux 
vol. de xii-103 et 108 pages; chaque vol. broché, net ... 3 fr. » 

BouGUER (Pierre). — Essai d'optique sur la gradation de la lumière. 
Un vol. de xx-130 pages et 17 figures ; broché, net. . . 3 fr. i 

Painlevé (Paul). — Les axiomes de la Mécanique. Examen critique. 
Note sur la propagation de la lumière. Un vol. de xm-1 12 pages et 
4 figures; broché, net 4 h. » 

Sous presse : 

Mariotte (Edme). — Discours de la nature de Vair. De la végétation 
des plantes. Nouvelle découverte louchant la vue. Un vol. de 
00 pages; broché, net > 

MoNGH (Gaspard). — Géométrie descriptive. Deux vol. de xvi-144 
et 138 pages avec 53 figures; chaque vol. broché, net. ... » 



Il est tiré de chaque volume 10 exemplaires sur papier 
de Hollande, au prix uniforme et net de 6 francs. 



LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE 

Collection de Mémoires et Ouvrages 

Publiée par les soins de Maurice SOLOVINE 



^ _ it 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



PAR 



Gaspard MONGE 

AUGMENTÉE DTNE THÉORIE DES OMBRES ET DE L4 PERSPECTIVE 

EXTRAITE DES PAPIERS DE l'aUTEUR 

Par Barnabe BRISSON 



II. 




PARIS 

GAUTHIER-VILLARS ET C", ÉDITEURS 

LIBRAIRES DO BUREAU DBS LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 

Quai des Grands-Augustins, 55. 
1922 



Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés 
pour tous pays. 



GÉOMÉTRIE DESCHIPTIVE 



IV. 



APPLICATION DE LA MÉTHODE DE CONSTRUIRE LES 
INTERSECTIONS DES SURFACES COURBES A LA SOLU- 
TION DES DIVERSES QUESTIONS. 

88. Nous avons donné [fig. '26) la méthode de 
construire les projections de l'intersection de deux 
surfaces courbes définies de forme et de position; et 
nous l'avons fait d'une manière abstraite, c'est-à-dire 
sans nous occuper de la nature des questions qui 
pourraient rendre nécessaires de pareilles recherches, 
l/exposition de cette méthode, considérée d'une ma- 
nière abstraite, serait suffisante pour le plus grand 
nombre des arts; car, si l'on prend pour exemples 
Fart de la coupe des pierres et celui de la charpenterie, 
les surfaces courbes que l'on y considère, et dont on 
peut avoir besoin de construire les intersections, 
forment (irdinairement l'objel princi[)al dont on 
s'occupe, et elles se présentent naturellement. Mais la 
Géométrie descriptive devant devenir un jour une des 
parties principales de l'éducation nationale, parce que 
les méthodes qu'elle donne sont aussi nécessaires aux 
artistes que le sont la lecture, Técriture et Tarithmé- 
tique, nous croyons qu'il est utile à-^ faire voir par 
quelques exemples comment elle peut suj_'pléer l'Ana- 

MONOt. — II. I 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



lyse pour la solution d'un grand nombre de questioiis, 
qui, au premier aperçu, ne paraissent pas de nature 
à devoir être traitées de cette manière. Nous com- 
mencerons d'abord par des exemples qui n'exigent 
que les intersections de plans, nous passerons ensuite 
à ceux pour lesquels les intersections de surfaces 
courbes sont nécessaires. 

89. La première question qui frappe d'une manière 
remarquable ceux qui apprennent les éléments de 
Géométrie ordinaire est la recherche du centre du 
cercle dont la circonférence passe par trois points 
placés arbitrairement sur un plan. La détermination 
de ce centre par l'intersection de deux lignes droites, 
sur chacune desquelles il doit se trouver nécessaire- 
ment, frappe les élèves, et par sa généralité, et parce 
qu'elle donne un moyen d'exécution. Si toute la Géo- 
métrie était traitée de cette manière, ce qui est pos- 
sible, elle conviendrait à un plus grand nombre 
d'esprits; elle serait cultivée et pratiquée par un plus 
grand nombre d'hommes; l'instruction moyenne de la 
nation serait plus avancée, et la science elle-même 
serait poussée plus loin. Il existe dans les trois dimen- 
sions une question analogue à celle que nous venons 
de citer, et c'est par elle que nous allons commencer. 

90. Première question. — Trouver le centre et 
le rayon d'une sphère dont la surface passe par quatre 
points donnés arbitrairement dans l'espace ? 

Solution. — Les quatre points étant donnés par 
leurs projections horizontales et verticales, on con- 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



cevra par l'un d'eux des droites menées à chacun des 
trois autres; et l'on tracera les projections horizon- 
tales et verticales de ces trois droites. Puis, considé- 
rant la première de ces droites, il est évident que le 
centre demandé devant être à égale distance de ses 
deux extrémités, il doit se trouver sur le plan perpen- 
diculaire à cette droite, et mené par son milieu. Si 
donc on divise en parties égales les projections de la 
droite, ce qui donnera les projections de son iniiieu, 
et si l'on construit les traces du plan mené par le point 
perpendiculairement à la droite, ce que nous savons 
faire, on aura les traces d'un plan sur lequel le cenire 
demandé doit se trouver. Considérant ensuite les deux 
autres droites, et faisant successivement pour chacune 
d'elles la même opération, on aura les traces des trois 
plans différents, sur chacun desquels doit se trouver 
le centre demandé. Or, de ce que le centre doit être 
sur le premier de ces pians et sur le second, il doit être 
sur la droite de leur intersection; donc, si l'on construit 
les projections de cette intersection, on aura, sur 
chaque plan de projection, une droite qui contiendra 
la projection du centre. Par la même raison, si l'on 
construit les projections de l'intersection du premier 
plan et du troisième, on aura encore, sur chaque plan 
de projection, une autre droite qui contiendra la pro- 
jection du centre. Donc, sur chaque plan de projec- 
tion on aura deux droites qui, par leur intersection, 
détermineront la projection demandée du centre de la 
sphère. 

Si l'on employait l'intersection du second plan et 
du troisième, on aurait une troisième droite qui pas- 
serait par le centre, et dont les projections passeraient 



4 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

encore par les projections demandées, ce qui fournit 
un moyen de vérification. 

Quant au rayon, il est évident que si, par la projec- 
tion du centre et par celle d'un des points donnés, on 
mène une droite, elle sera sa projection; on pourra 
donc avoir la projection horizontale et la projection 
verticale du rayon, et par conséquent sa grandeur. 

91. Si l'on est libre de choisir la position des plans 
de projection, la méthode précédente peut être consi- 
dérablement simplifiée. En effet, supposons que celui 
de ces plans que nous regardons comme horizontal 
(fig. 38) passe par trois des points donnés, de 
manière que des projections données A, B, C, D des 
quatre points, les trois premières se confondent avec 
leurs points respectifs; puis, après avoir mené les 
trois droites AB, AC, AI), supposons que le plan ver- 
tical soit parallèle à AD, c'est-à-dire que les droites TiM 
et AD soient parallèles entre elles; les projections ver- 
ticales des trois premiers points seront sur LM en 
des points a, ^, c, et celle du quatrième sera donnée 
(jnelque part en un point d de la droite Dd perpen- 
diculaire à LM. Cela posé, la droite menée du point A 
au point B étant horizontale, tout plan qui lui sera 
perpendiculaire sera vertical, et aura pour projection 
horizontale une droite perpendiculaire à AB. Il en est 
de même pour la droite menée du point A au point C. 
Donc, si sur le milieu de AB on lui mène la perpendi- 
culaire indéfinie Ee, cette perpendiculaire sera la pro- 
jection horizontale d'un plan vertical qui passe par le 
centre de la sphère; donc la projection horizontale du 
centre sera quelque part sur la droite Ee. De même, 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 







¥x; ^-\^^^ 

/ '- — I V.> \ 






\\ 



>^ 



6 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

si sur le milieu de AG on lui mène la perpendicu- 
laire indéfinie F/, cette perpendiculaire sera la pro- 
jection d'un second plan vertical qui passe par le 
centre de la sphère, et la projection horizontale de 
ce ceîitie fera quelque part sur un point de la 
droii(; l'Y; donc \() point G d'intersection des deux 
droites Ee, F/ sera la projection horizontale du centre 
de la sphère, dont la projection verticale sera, par 
conséquent, sur la droite indéfinie de projection Ggg'. 

La droite menée du point A au quatrième point 
étant parallèle à sa projection verticale ad, tout plan 
qui lui sera perpendiculaire sera aus^i perpendiculaire 
au plan vertical de projection, et aura pour projection 
verticale une droite perpendiculaire à ad. Donc, si sur 
le milieu de ad on lui mène une perpendiculaire indéfinie 
HA, on aura la projection d'un troisième plan qui 
passe par le centre de la sphère; donc la projection 
verticale de ce centre, devant se trouver en même 
temps et sur gg' et sur Hh, sera au point K d'inter- 
section de ces deux droites. 

Enfin, si l'on mène les deux droites AG, aK, on aura 
évidemment les deux projections d'un même rayon de 
la sphère; donc, si l'on porte AG sur LM, de g en J, 
la droite JK sera la grandeur du rayon demandé. 

92. Deuxième question. — • Inscrire une sphère 
dans une pyramide triangulaire donnée, c'est-à-dire 
trouver la position du centre de la sphère et la gran- 
deur de son rayon? 

Solution. — La surface de la sphère inscrite devant 
toucher les quatre faces de la pyramide, il est évident 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



que si par le centre de la sphère et par chacune des 
six arêtes on conçoit un plan, ce plan partagera en 
deux parties égales l'angle que forment entre elles les 
deux faces qui passent par la même arête. Si donc 
]u»rmi les six arêtes on en choisit trois qui ne passent 
}»as toutes par le même sommet d'angle solide, et si 
par chacune de ces arêtes on fait passer un plan qui 
partage en deux parties égales l'angle formé par les 
deux faces correspondantes, on aura trois plans, sur 
chacun desquels le centre de la sphère demandée doit 
se trouver, et qui, par leur intersection commune, 
doivent déterminer la position.de ce centre. 

9^1 Pour sinq)lilier la construction, nous suppose- 
rons que les plans de projection aient été choisis de 
manière (juc celui que nous regarderons couihkî 
horizontal soit le même qu'une des faces de la pyra- 
mide. 

Soient donc {fig. Sg) A, B, C, D les projec- 
tions horizontales données^ des sommets des quatre 
angles solides de la pyramide, et a, ^, c, d' leurs pro- 
jections verticales; par le sommet de la pyramide, on 
concevra des plans perpendiculaires aux trois côtés 
de la base; ces plans seront verticaux, et leurs projec- 
tions horizontales seront les droites DE, DF, DG, 
abaissées perpendiculairement du point D sur les 
côtés AC, GB, BA de la base. Chacun de ces })]ans 
coupera la base de la pyramide et la face qui passe par 
l'arête en deux droites qui comprendront entre elles un 
angle égal à celui que la face forme avec la base. Si 
donc on porte sur LM les droites DE, DF, DG, à partir 
de la verticale T>dd\ de d en e, /, g:, et si par le som- 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 




Fi^ 3y 










GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



met à' on mène les droites à' e,, d'f^ d' g^ ces droites 
formeront avec LM des angles égaux à ceux que 
les faces correspondantes de la pyramide forment 
avec la base; et si l'on partage chacun de ces trois 
angles en deux parties égales par les droites ee\ ff\ 
gg\ les angles que ces dernières droites formeront 
avec LM seront égaux à ceux que formeraient avec 
la base les faces d'une seconde pyramide qui aurait la 
même base que la pyramide donnée, et dont le sommet 
serait au centre de la sphère demandée. 

Pour trouver le sommet de cette seconde pyramide, 
on la coupera par un plan horizontal, mené à une 
hauteur arbitraire, et dont on aura la projection ver- 
ticale, en menant une horizontale quelconque pn. 
Cette droite coupera ee', ff\ gg' en des points h\ i'. A', 
desquels on abaissera sur LM les verticales hh^ i' i, 
k'k] et si l'on porte les trois distances e/i, /i, kg sur 
les perpendiculaires respectives de E en H, de F en J 
et de G en K, on aura en H, J, K les projections 
horizontales de points pris dans les trois faces de la 
seconde pyramide, et qui se trouvent sur le plan 
horizontal arbitraire. Donc, si par les points H, J, K 
on mène aux côtés respectifs de la base des parallèles 
PN, NO, OP, ces droites seront les projections des 
sections des trois faces de la seconde pyramide par le 
même plan horizontal ; elles se couperont en des points 
N, 0, P, qui seront les projections d'autant de points 
des trois arêtes de la seconde pyramide; et si par ces 
points on mène aux sommets des angles respectifs de 
la base des droites indéfinies AP, BO, CN, ces droites 
seront les projections des arêtes; enfm, le point 
unique Q, dans lequel elles se rencontreront toutes 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



trois, sera la projection horizontale du sommet de la 
seconde pyramide, et par conséquent du centre de la 
sphère demandée. 

Pour avoir la projection verticale de ce centre, on 
raènera d'abord la droite indéfinie de projection Qq(/, 
sur laquelle elle doil se trouver; puis ou projet lera les 
trois points N, 0, P sur l'horizontale np en n, o, p; 
par les projections «, b, c, des sommets des angles res- 
pectifs de la base, on mènera les droites op, ho, en, qui 
seront les projections verticales des trois arêtes; et le 
point unique q', dans lequel ces trois dernières droites 
se couperont et qui sera en même temps sur la droite 
Qqq\ sera la projection verticale du centre de la 
sphère. 

Enfin, la verlicaic qq' sera évidemment égale au 
rayon de la sphère inscrile, et les points Q, q seront 
les projections du point de contact de la surface de la 
sphère avec le plan de la base. 

94. Nous avons fait voir (3) par quelles considéra- 
tions on pouvait déterminer la position d'un point, 
lorsque l'on connaissait ses distances à trois points 
connus de position; nous allons actuellement donner 
la construction de cette question. 

Troisième question. — Construire les projections 
d'un point dont on connaît les distances à trois autres 
points donnés dans l'espace? 

Solution. — Nous supposerons les plans de projec- 
tion choisis de manière que celui que nous regar- 
derons comme horizontal passe par les trois points 
donnés, et que l'autre soit perpendiculaire à la droite 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Il 

qui joint deux de ces points. D'après cela, soient A, 
B, G {fi g. 4o) les trois points donnés ; A', B', C 
les distances données de ces points au point 
Jcniandé. On joindra deux des points par la droite AB, 
perpendiculairement à laquelle on mènera LM «pii 
détermine la position du plan vertical de prctjccliun. 
Puis, des points A, B, C, comme centres, et avec des 
rayons égaux aux dis lances respectives A', B', C/, on 
décrira trois arcs de cercles qui se couperont deux à 
deux en des points D, E, F, J, P, Q; par les points 
d'intersection de ces arcs considérés deux à deux, on 
liiènera les droites DE, FJ, PQ, qui seront les projec- 
tions horizontales des circonférences de cercles, dans 
lesquelles les trois sphères se coupent; et le point 
unique N, dans lequel ces trois droites se rencontre- 
ront, sera évidemment la projection horizontale du 
point demandé. 

Pour avoir la projection verticale du même point, 
.on mènera la ligne de projection indéfinie ^nn' ; puis, 
observant que le cercle projeté en DE est parallèle au 
plan vertical, et que sa projection sur ce plan doit être 
un cercle de même rayon, on projettera la droite AB 
ur LM au point r, duquel, comme centre, et avec un 
intervalle égal à DR, ou à la moitié de DE, on décrira 
le cercle dnen \ et la circonférence de ce cercle coupera 
la droite Nn/i' en deux points ti, n', qui seront indiffé- 
remment la projection verticale du point demandé. 

Ce sera d'après les autres circonstances de la ques 
tion qu'on déterminera si les deux points n et n' 
doivent être tous deux employés; et dans le cas où il 
n'y en aurait qu'un de nécessaire, quel est celui qui 
doit être rejeté. 



I^ LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



Le lecteur pourra se proposer de construire les pro- 
jections (Tun point dont on connaît les distances à trois 
lignes données dans Vespace. 



95. Quatrième question. — Un ingénieur par- 
courant un pays de montagnes, soit pour étudier la 
forme du terrain, soit pour faire le projet de travaux 
publics qui dépendent de cette forme, est muni d'une 
carte topographique, dans laquelle non seulement les 
projections des différents points du terrain sont 
exactes, mais encore les hauteurs de tous ces points 
au-dessus d'une même surface de niveau sont indiquées 
par des nombres placés à côté des points respectifs, et 
auxquels on a coutume de donner le nom de cotes. Il 
rencontre un point remarquable qui n'est pas placé 
sur la carte, soit parce qu'il a été omis, soit parce qu'il 
a été rendu remarquable depuis la confection de la 
carte. L'ingénieur ne porte avec lui d'autre instru- 
ment d'observation qu'un graphomètre propre à 
mesurer les angles, et cet instrument est garni d'un 
fd à plomb. 

On demande que, saiis quitter la station, il construise 
sur la carte la position du point où il est, et qu'il trouve 
ia cote qui convient à ce point, c'est-à-dire sa hauteur 
au-dessus de la surface de niveau ? 

Moyen de solution. — Parmi les points du terrain 
marqués d'une manière précise sur la carte, et qui 
seront les plus voisins, l'ingénieur en distinguera trois, 
dont deux au moins ne soient pas à la même hauteur que 
lui; puis il observera les angles formés par la verticale 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



et les rayons visuels dirigés à ces trois points, et, 
d'après cette seule observation, il pourra résoudre la 
<|uestion. 

En effet, nommons A, B, C les trois points observés 
dont il a les projections liorizontales sur la carte, et 
dont il pourra construire les projections verticales au 
moyen de leurs cotes. Puisqu'il connaît l'angle formé 
}»ar la verticale et par le rayon visuel dirigé au point A, 
il connaît aussi Pangle formé par le même rayon et par 
la verticale élevée au point A; car en négligeaat la 
courbure de la terre, ce qui est convenable, ces deux 
angles sont alternes-internes, et par conséquent égaux. 
Si donc il conçoit une surface conique à base circu- 
laire, dont le sommet soit au point A, dont l'axe soit 
vertical, et dont l'angle formé par l'axe et par la droite 
génératrice soit égal à l'angle observé, ce qui déter- 
mine complètement cette surface, elle passera par le 
rayon visuel dirigé au point A, et par conséquent par 
le point de la station : ainsi il aura une première sur- 
face courbe détei minée, sur laquelle se trouvera le 
point demandé. En raisonnant pour les deux autres 
points B, C comme pour le premier, le point demandé 
se trouvera encore sur- deux autres surfaces coniques 
à bases circulaires, dont les axes seront verticaux, 
dont les sommets seront aux points B, C, et pour cha- 
cune desquelles l'angle formé par l'axe et par la géné- 
ratrice sera égal à l'angle formé par la verticale et y)ar 
le rayon visuel correspondant. Le point demandé sera 
donc en même temps sur trois surfaces coniques déter- 
minées de forme et de position, et par conséquent dans 
leur intersection commune. Il ne s'agit donc plus que 
de construire, d'après les données de la question, les 



l4 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



projections horizontales et verticales des intersections 
de ces trois surfaces considérées deux à deux; les 
intersections de ces projections donneront les projec- 
tions horizontale et verticale du point demandé, et 
par conséquent la position de ce point sur la carte, et 
sa hauteur au-dessus ou au-dessous des points observés, 
ce qui déterminera sa cote. 

Cette solution doit en général produire quatre points 
qui satisfont à la question; mais il sera facile à l'obser- 
vateur de distinguer parmi ces quatre points celui qui 
coïncide avec le point de la station. D'abord, il pourra 
toujours s'assurer si le point de la station est au-dessus 
ou au-dessous du plan qui passe par les trois points 
observés. Supposons que ce plan soit au-dessus du 
plan des sommets des cônes ; il sera autorisé à négliger 
les branches des intersections des surfaces coniques 
qui existent au-dessous de ce plan; par là le nombre 
des points possibles sera réduit à quatre. Ce serait la 
même chose si le point de la station était au contraire 
placé au-dessous du pian. Ensuite, parmi ces quatre 
points, s'ils existent tous, il reconnaîtra facilement 
celui dont la position, par rapport aux trois sommets, 
est la même que celle du point de la station, par rap- 
port aux points observés. 

96. Construction. — - Soient A, B, C {fig. 4i) ^es 
projections horizontales des trois points observés, 
prises sur la carte; a, 5, c les projections ver- 
ticales des mêmes points, construits en portant sur les 
verticales B5, Ce, à partir de l'horizontale LM, qui 
passe par le point a, la différence des cotes des deux 
autres points; et soient A', B', C les angles observés, 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



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LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



que les rayons visuels, dirigés aux points respectifs A, 
B, G, forment avec la verticale. 

On mènera les verticales indéfinies aa', bb', cc\ qui 
seront les projections verticales des axes des trois 
cônes; par les trois points «, 6, c, on mènera les 
droites a/, bin, en, qui formeront avec ces verticales 
des angles respectivement égaux aux angles donnés A', 
iV, C'; et ces droites seront chacune la projection ver- 
ticale de l'un des deux côtés extrêmes de la surface 
conique correspondanlc. 

Cela fait, on mènera dans la projection verticale 
tant de droites horizontales ee' qu'on voudra; on les 
regardera comme les projections d'autant de plans 
horizontaux; et pour chacune d'elles, on fera l'opéra- 
tion que nous allons décrire pour celle d'entre elles qui 
est indiquée par EE'. 

Cette droite coupera les projections des axes des 
trois cônes en des points /, g, A, cpii seront les pro- 
jections verticales des centres des cercles, suivant 
lesquels le plan horizontal correspondant coupe les 
trois surfaces coniques ; et elle coupera les côtés 
extrêmes des cônes aZ, èm, en en des points /', g\ A', 
tels que les distances //', gg\ hh' seront les rayons 
de ces mêmes cercles. Des points A, B, C, pris succes- 
sivement pour centres, et avec des rayons respective- 
ment égaux à //', gg', hh\ on décrira des cercles dont 
les circonférences seront les projections horizontales 
des sections faites dans les trois surfaces coniques par 
le même plan EE' ; ces circonférences se couperont deux 
à deux dans des points D, D', K, Iv', J, J', qui seront 
les projections d'autant de points des Irois intersec- 
tions des surfaces coniques considérées deux à deux; 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. I7 

t I. en projetant ces points sur EE' en d^ d\ A-, k\ i, i', 
on aura les projections verticales des mêmes points 
des trois intersections. 

En opérant ensuite de même pour les autres 
droites ee\ on trouvera pour chacune d'elles de nou- 
veaux points D, D', K, K', J, .T', dans la projection 
horizontale, et de nouveaux points c?, d\ /c, k\ i, i\ 
dans la projection verticale; puis par tous les points D, 
D', . . ., on fera passer une courbe DPD\ qui sera la 
projection horizontale de l'interseclion de la première 
surface conique avec la seconde; par tous les points K, 
K', ..., on fera passer une autre courbe KPK' qui 
sera la projection de l'intersection de la seconde sur- 
face et de la troisième; et par tous les points J, J', . . ., 
on en fera passer une dernière JPJ' qui sera la projec- 
tion de l'intersection de la troisième surface et de la 
l)remière. Les points P, . . ., dans lesquels ces courbes 
se couperont toutes trois, seront les projections 
horizontales d'autant de points qui satisfont à la ques- 
tion. 

De même dans la projection verticale, par tous les 
points d, d\ . . ., on fera passer une première courbe; 
par tous les points A-, k' ^ . . ., une seconde; et par tous 
les points i, i\ . . ., une troisième. Ces courbes seront 
les projections verticales des intersections des trois 
surfaces considérées deux à deux; et les points />, . . ., 
dans lesquels ces courbes se couperont toutes trois, 
seront les projections verticales de tous les points qui 
satisfont à la question. 

Les projections P, p d'un même point seront dans 
une même perpendiculaire à LM. 

L'observateur, après avoir reconnu parmi tous les 
MON ai;. — 11, J 



l8 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



points P celui qui appartient au point de la station, 
aura la projection horizontale de cette station, et par 
conséquent sa position sur la carte; puis, au moyen de 
la hauteur du point correspondant p au-dessus de la 
droite LM, il aura l'élévation du point de la station 
au-dessus du point observé A, et par conséquent il 
trouvera la cote qui convient à la station. 

97. Dans cette solution nous avons construit les 
projections des trois intersections des surfaces, tandis 
que deux auraient suffi. Nous conseillons d'agir tou- 
jours de même, parce que les projections des deux 
courbes à double courbure peuvent se couper en des 
points qui ne correspondent pas à des points d'inter- 
section, et que pour reconnaître les projections des 
points d'intersection, il faut suivre les branches des 
deux courbes qui sont sur la même nappe d'une des 
surfaces; ce qui exige une attention pénible, dont on 
est presque toujours dispensé en construisant les trois 
courbes; les points où elles se coupent toutes trois 
sont de véritables points d'intersection. 

98. Cinquième question. — Les circonstances 
étant les mêmes que dans la question précédente, 
avec cette seule différence que l'instrument n'est pas 
garni de fil à plomb, de manière que les angles avec 
la verticale ne puissent pas être mesurés ; on demande 
encore que l'ingénieur, sans quitter la station, déter- 
mine sur la carte la position du point où il est, et qu'il 
trouve la cote de ce point, c'est-à-dire son élévation 
au-dessus de la surface de niveau à laquelle tous les 
points de la carte sont rapportés ? 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. I-9 

Moyen de solution. — Après avoir choisi trois 
poinjs du terrain qui soient marqués d'une manière 
préeise sur la carte, et tel que le point de station ne 
soit pas avec eux dans le même plan, l'ingénieur me- 
surera les trois angles que forment entre eux les rayons 
visuels dirigés à ces trois points ; et au moyen de cette 
seule observation, il sera en état de résoudre la ques- 
tion. 

En eiïet, si nous nommons A, B, C les trois points 
observés, et si on les suppose joints par les trois 
droites AB, BC, CA, l'ingénieur aura les projections 
horizontales de ces droites tracées sur la carte; de plus, 
au moyen des cotes des trois points, il aura les diffé- 
rences de hauteur des extrémités de ces droites; il 
pourra donc avoir la grandeur de chacune d'elles. 

Cela posé, si dans un plan quelconque mené par AB 
on conçoit un triangle rectangle BAD (fig. 42), 
construit sur AB comme base, et dont l'angle 
en B soit le complément de l'angle sous lequel le 
côté AB a été observé, l'angle en D sera égal à l'angle 
observé, et la circonférence de cercle décrite par les 
trois points A, B, D jouira de la propriété, que si d'un 
point quelconque E de l'arc ADB on mène deux 
droites aux points A et B, l'angle en E qu'elles com- 
prendront entre elles sera égal à l'angle observé. Si 
donc on conçoit que le plan du cercle tourne autour 
de AB comme charnière, l'arc ADB engendrera une 
surface de révolution, dont tous les points joui- 
ront de la même propriété; c'est-à-dire, que si d'un 
point quelconque de la surface on mène deux droites 
aux points A et B, ces droites formeront entre elles un 
angle égal à l'angle observé. Or, il est évident que les 



'10 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 21 

points de cette surface de révolution sont les seuls qui 
jouissent de cette propriété; donc la surface passera 
])ar le point de la station. Si l'on raisonne de la même 
manière pour les deux autres droites BC, CA, on aura 
deux autres surfaces de révolution sur chacune des- 
quelles se trouvera le point de la station; ce point sera 
donc en même temps sur trois surfaces de révolution 
différentes, déterminées de forme et de position; il 
sera donc un point de leur intersection commune. 
Ainsi, en construisant les projections horizontales et 
verticales des intersections de ces trois surfaces consi- 
dérées deux à deux, les points où les projections se 
couperont elles-mêmes toutes trois seront les pro- 
jections du point qui satisfait à la question. La pro- 
jection horizontale donnera la position du point sur la 
carte, et la projection verticale donnera l'élévalion de 
ce point au-dessus ou au-dessous des points observés. 

99. Si celte question était traitée i)ar l'Analyse, elle 
conduirait généralement à une équation du 64^ degré; 
car chacune des surfaces de révolution a quatre nappes 
distinctes, dont deux sont engendrées par l'arc de 
cercle ADB, et dont les deux autres sont engendrées 
par l'arc AFB. Chacune des nappes de la première 
pouvant être coupée par toutes celles de la seconde, 
il peut en résulter i6 branches dans la courbe d'inter- 
section ; et les 1 6 branches pouvant être coupées par les 
quatre nappes de la troisième surface, il peut en résulter 
64 points d'intersection des trois surfaces : mais ces 
points ne satisferaient pas tous à la question. En effet, 
si d'un point quelconque F de l'arc AFB on mène des 
droites aux extrémités de AB, l'angle AFB qu'elles 



21 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

comprendront ne sera pas égal à l'angle observé; il en 
sera le supplément. Les nappes engendrées par l'arc 
AFB, et les nappes analogues dans les autres surfaces 
de révolution, ne peuvent donc servir à résoudre la 
question; et tous les points d'intersection, qui appar- 
tiennent à quelques-unes de ces nappes, sont des points 
étrangers au problème. 

Dans la Géométrie descriptive, on peut et l'on doit 
exclure l'arc AFB et ses analogues dans les deux autres 
surfaces; chacune de ces surfaces n'a plus alors que 
deux nappes ; et le nombre de leurs points d'intersec- 
tion possibles se réduit à huit. De ces huit points, 
quatre sont d'un côté du plan qui passe par les trois 
axes de révolution, et quatre sont de l'aulre. L'obser- 
vateur connaissant toujours de quel côté il est placé par 
rapport à ce plan, il ne construira pas les intersections 
qui sont placées de l'autre côté, et le nombre des points 
qu'il pourra trouver est réduit à quatre. Enfin parmi 
ces quatre points, s'ils existent tous, il reconnaîtra 
facilement celui qui sera placé par rapport aux 
points A, B, C, de la même manière que celui de la 
station l'est par rapport aux trois points du terrain 
qu'il a observés. 

100. Construction. — On choisira la position des 
deux plans de projections de manière que celui que 
nous regardons comme horizontal passe par les trois 
points observés, et que l'autre soit perpendiculaire 
à la droite menée par deux de ces trois points. Soient 
donc ABC {fig. 42) le triangle formé par les points 
observés, considéré dans son plan, et A', B', 
G' les trois angles donnés par l'observation. On 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a3 



mènera perpendiculairement au côté AB ia droite LM 
(jui indiquera la position du plan vertical de projec- 
tion; et l'on construira, comme nous venons de 1 in- 
diquer (98), les arcs de cercle générateurs ADEB, 
BGC, CLA des trois surfaces de révolution, dont les 
côtés AB, BC, AC sont les axes. Cela fait, du point A 
comme centre, on décrira tant d'arcs de cercle EOL 
que l'on voudra, et qui couperont les généra Irices, 
dont les axes se rencontrent en A, dans des points E, 
L, desquels on abaissera sur les axes respectifs les per- 
pendiculaires indéfinies l^^E', LI/; ces perpendicu- 
laires se couperont quelque part en un point H qui 
sera la projection horizontale d'un point d'intersec- 
tion des deux surfaces dont les axes sont AB et AC, 
et la courbe AHP menée par tous les points H . . . 
trouvés de, cette manière, sera la projection horizon- 
tale de cette intersection. Puis, après avoir projeté 
l'axe AB en a, on décrira du point a comme centre, 
et avec des rayons successivement égaux aux perpen- 
diculaires EE', des arcs de cercle ee'A, sur chacun 
desquels projetant le point H correspondant en //, on 
aura la projection verticale d'un point de l'intersec- 
lion des deux mêmes surfaces de révolution; et la 
courbe ahp menée par tous les poin Ls h. . . construits 
de cette manière, sera la projection verticale de cette 
intersection. 

On opérera de même pour les deux surfaces de révo- 
lution autour des axes AB, BC; c'est-à-dire, du 
point B de rencontre des deux axes, comme centre, on 
décrira tant d'arcs de cercle MKG que l'on voudra; ces 
arcs couperont les deux génératrices en des points M, 
G, desquels on abaissera sur les axes rcspcctiis les 



24 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



perpendiculaires indéfinies MM^, GG'; ces perpendi- 
culaires se couperont en un point J; et la courbe BJP 
menée par tous les points J... sera la projection 
horizontale de l'intersection de la première et de la 
troisième surface de révolution. Du point a comme 
centre, et avec des rayons successivement égaux aux 
perpendiculaires MM', on décrira des arcs de cercle 
mm' i^ sur lesquels on projettera en i les points J cor- 
respondants; et la courbe aip menée par tous les 
points i sera la projection verticale de la même inter- 
section. 

Cela fait, tous les points P . . . , dans lesquels les deux 
courbes AHP, BJP se couperont, seront les projec- 
tions horizontales d'autant de points qui satisfont à 
la question; et tous les points p- - -, dans lesquels se 
couperont les courbes ahp^ aip, seront les projections 
verticales des mêmes points. 

Les projections ainsi trouvées ne donneront pas 
immédiatement la position du point de station sur la 
carte, ni sa hauteur, parce que le plan horizontal de 
projection n'est pas celui de la carte; mais il sera facile 
de la rapporter sur les véritables plans de projection. 

101. Sixième question. — Le général d'une armée 
en face de l'ennemi n'a pas la carte du pays occupé 
par celui-ci, et il en a besoin pour faire le plan d'une 
attaque qu'il médite. Il a un aérostat. Il charge un 
ingénieur de s'élever avec l'aérostat, et de prendre 
toutes les mesures nécessaires pour faire la carte, et 
pour en donner un nivellement approché : mais il a 
lieu de croire que si l'aérostat changeait de station sur 
le terrain, l'ennemi s'apercevrait de son dessein; en 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



conséquence il permet à l'ingénieur de s'élever à dilîé- 
rentes hauteurs dans l'atmosphère, si cela est néces- 
saire; mais il lui défend de changer de station à terre. 
L'ingénieur est muni d'un instrument propre à mesurer 
les angles, et cet instrument est garni d'un fil à plomb : 
on demande comment l'ingénieur pourra exécuter les 
ordres du général ? 

Moyen de solution. — L'ingénieur fera deux sta- 
tions dans la même verticale, et il connaîtra leur 
distance en faisant mesurer la corde que l'on aura filée 
|)()ur relever de l'une à l'autre. Dans l'une des stations, 
par exemple dans celle qui est inférieure, il mesurera 
les angles que fait la verticale avec les rayons visuels 
dirigés aux points dont il veut déterminer la position 
sur la carte; puis, parmi tous ces points, il en choisira 
un qu'il regardera comme premier, et que nous nom- 
merons A, et il mesurera de plus successivement les 
angles formés par le rayon visuel dirigé au point A, 
et ceux qui sont dirigés à tous les autres. Dans l'autre 
station, il mesurera les angles formés par la verticale, 
et les rayons visuels dirigés à tous les points du terrain. 
D'après ces observations, il sera en état de construire 
la carte demandée. 

En effet, puisque l'on connaît les angles formés par la 
verticale, et les deux rayons visuels dirigés des deux 
stations au même point, ce point se trouve en même 
temps sur deux surfaces coniques déterminées et 
connues, car ces surfaces sont à bases circulaires; elles 
ont leurs axes dans la même verticale ; la distance de 
leurs sommets est égale à la différence des hauteurs des 
deux stations, et les angles que leurs génératrices 



'26 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

forment avec l'axe commun sont égaux aux angles 
observés. De plus, puisque l'on connaît l'angle formé 
par le rayon visuel dirigé de la première station à ce 
point, et par celui qui est dirigé au point A; le point 
que l'on considère sera donc encore sur une troisième 
surface conique à base circulaire, dont l'axe incliné 
sera le rayon visuel dirigé de la première station au 
point A, dont le sommet sera à la première station, et 
dont l'angle formé par l'axe et la génératrice sera égal 
à l'angle observé. Le point que l'on considère se trou- 
vera donc en même temps sur des surfaces co- 
niques (') à bases circulaires connues de forme et do 
position; il sera donc au point de leur intersection 
commune; et en construisant les projections horizon- 
tale et verticale de cette intersection, on aura la posi- 
tion du point sur la carte, et son élévation au-dessus 
ou au-dessous des autres. 

102. Sans changer de considérations, la construction 
peut devenir plus simple, au moyen de quelques-unes 
des méthodes que nous avons déjà exposées précédem- 
ment : car, connaissant les angles formés à la pre- 
mière station par le rayon visuel dirigé au point A, et 
par les rayons visuels dirigés à tous les autres points, 
et connaissant, pour chacun de ces angles, les angles 

(^) Deux de ces surfaces sont des cônes droits à base cir- 
culaire, qui ont pour sommet le point A et qui se coupent 
nécessairement suivant deux droites. On détermine un 
point de chacune de ces deux droites par l'intersection de 
deux cercles, en considérant les cônes comme des surfaces 
de révolution dont les axes se rencontrent (art. 83). 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a* 

quo CCS côtés forment avec la verticale, il sera facile 
de les réduire à l'horizon, c'est-à-dire de construire 
leurs projections horizontales. Si donc on prend sur 
la carte un point arbitraire pour représenter la projec- 
tion de la verticale de l'aérostat; et si par ce point on 
mène une droite arbitraire, qui doive représenter la 
projection du rayon visuel dirigé au point A; enfin, si 
par le même point on mène des droites qui fassent, 
avec la projection du rayon dirigé au point A, des 
angles égaux aux angles réduits à l'horizon, il est évi- 
dent que chacune de ces droites devra contenir la 
projection horizontale du point du terrain qui lui corres- 
pond. Il ne s'agira donc plus que de trouver la distance 
de ce point du terrain à la verticale. Or, si dans la pro- 
jection verticale, et sur la projection de la verticale de 
l'aérostat, on prend deux points qui, en parties de 
l'échelle, soient distants l'un de l'autre d'une quantité 
égale à la distance mesurée des deux stations, et si par 
ces points on mène des droites qui fassent avec la ver- 
ticale des angles égaux à ceux qui ont été observés 
pour un même point du terrain, ces droites se cou- 
peront en un point dont la distance à la verticale sera 
la distance demandée. Portant donc cette distance sur 
le rayon correspondant, à partir de la projection de 
l'aérostat, on aura sur la carte la position du point du 
terrain. Les deux mêmes droites, dans la projection 
verticale, déterminent, par leur intersection, la hauteur 
du point du terrain ; prenant donc sur la projection ver- 
ticale les hauteurs de tous les points du terrain au- 
dessus d'un même plan horizontal, on déterminera les 
cotes qui conviendront à tous les points de la carte, 
et l'on aura le nivellement du terrain. 



28 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



Celle construction est assez simple pour ne pas avoir 
besoin de figure. 

La droite menée de la projeclion de la verticale de 
l'aérostat à celle du premier point A observé, ayant 
été tracée d'abord arbitrairement sur la carte, il 
s'ensuit que la carte n'est point orientée; et, en effet, 
dans les observations que nous avons indiquées, il n'y 
a rien qui puisse déterminer la position des objets 
par rapport aux quatre points cardinaux de l'horizon. 
Mais si l'ingénieur observe à terre l'angle que fait avec 
la méridienne un rayon visuel horizontal dirigé du 
pied de la verticale à un des points placés sur la carte, 
et s'il rapporte cet angle sur sa projection, il aura la 
direction de la méridienne, et la carte sera orientée. 



103. Ce que nous avons vu jusqu'à présent de la 
Géométrie descriptive, considérée d'une manière 
abstraite, contient les principales méthodes dont on 
peut avoir besoin dans les arts. 

Si donc on avait établi dans toutes les villes un peu 
considérables des écoles secondaires, dans lesquelle;- 
les jeunes gens de l'âge de 12 ans, et qui se destineni 
à la pratique de quelques-uns des arts, auraient été 
exercés pendant deux années aux constructions gra- 
phiques, et familiarisés avec les principaux phéno- 
mènes de la nature, dont la connaissance leur esl 
indispensable; ce qui, en développant leur intelligence 
et en leur donnant l'habitude et le sentiment de k 
précision, aurait contribué de la manière la plus cer 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 29 

taine aux progrès de l'industrio nationale, et ce qui, 
en les accoutumant à l'évidcnc» , les aurait garantis 
pour toujours de la séduction des imposteurs de tous 
les genres; et si nous ne nous proposions que de faire 
le livre élémentaire qui aurait dû servir de base à l'ins- 
truction de ces écoles secondaires, il faudrait terminer 
là les généralités, et passer immédiatement aux appli- 
cations les plus utiles, et à celles dont l'usage est le 
plus fréquent. Mais nous ne devons pas écrire seule- 
ment pour les élèves des écoles secondaires, nous 
devons écrire pour leurs professeurs. 

On ne doit faire entrer dans le plan d'une instruc- 
tion populaire que des objets simples et d'une utiiilé 
journalière : mais si un artiste rencontre une seule 
fois dans sa vie une difficulté dont il n'ait point été 
question dans les écoles, à qui s'adressera-t-il pour la 
lever, si ce n'est au professeur ? et comment le pro- 
fesseur la lèvera-t-il, s'il ne s'est exercé à des considé- 
rations d'une généralité plus grande que celles qui 
forment l'objet ordinaire des études ? 

Pour donner aux professeurs la connaissance de 
quelques propriétés générales de l'étendue, et dont 
on peut avoir occasion de faire usage dans les arts, 
nous allons consacrer quelques leçons à l'examen de 
la courbure des courbes à double courbure, et de celles 
des surfaces courbes. 



DE LA COURBURE ET DES DÉVELOPPÉES DES COURBES 
A DOUBLE COURBURE. 

J04. On sait que si une droite, considérée dans un 
plan, tourne autour d'un de ses points supposé fixe, 



32 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



Ces deux branches se toucheront donc elles-mêmes 
en P^ 

Le point P' dans lequel une courbe se réfléchit 
ainsi, de manière que ses deux branches se touchent 
à ce point, se nomme point de rebroussement. 

La courbe MNP'O, sur laquelle s'appuie la droite 
en la touchant perpétuellement, s'appelle la déve- 
loppée de la courbe GPP'P"H, parce qu'un de ces 
arcs quelconques MNP' est égal à la partie correspon- 
dante MP de la droite mobile, et la courbe GPP' P" H 
s'appelle la développante de la courbe MNO. Gomme 
on peut avoir autant de courbes décrites de la même 
manière que l'on peut concevoir de points P, p sur 
la droite AB, regardée comme indéfinie, il est évident 
qu'une même développée peut avoir une infinité de 
développantes différentes, telles que GPP'P"H, 
gpp'p"h; et toutes ces développantes ont la propriété 
d'avoir les mêmes normales. Nous verrons incessamment 
que réciproquement il n'y a pas de courbe qui n'ait 
une infinité de développées différentes. 

105. On fait usage dans les arts de quelques déve- 
loppantes, et principalement de celle du cercle, qui est 
une spirale dont le nombre des révolutions est infini, 
et dont toutes les branches successives sont éloignées 
les unes des autres d'une quantité constante, égale à 
la circonférence du cercle développé. C'est suivant 
la courbure de cette développante que l'on coupe les 
cames ou dents des arbres tournants qui soulèvent 
des pilons, comme dans les bocards, parce que le 
contact de la came avec le mentonnet du pilon étant 
toujours dans la même verticale, l'effort de l'arbre 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 33 

pour soulever le pilon est constamment le même. 
Vaucanson employait souvent la spirale développante 
du cercle comme moyen d'engrenage pour transmettre 
le mouvement d'un arbre tournant à un autre arbre 
qui lui était parallèle, surtout lorsqu'il fallait que 
l'engrenage fût exact cl transmît subitement, sans 
temps perdu, le mouvement d'un arbre à l'autre. 

106. Nous avons fait voir (104) comment la déve- 
loppante peut être formée d'après la développée ; il est 
facile de concevoir comment, à son tour, la dévelop- 
pée peut être formée d'après la développante. En effet, 
nous avons vu que toutes les normales de la dévelop- 
pante sont tangentes à la développée. Si donc, par 
tous les points P, Q d'une courbe proposée GPQP', 
on conçoit des normales, la courbe MNO qui touchera 
toutes ces normales sera la développée. De plus, si par 
deux points P, Q consécutifs et infiniment proches 
on conçoit deux normales PB, Q^b, le point M où elles 
se couperont, pour se croiser au delà, sera sur la déve- 
loppée; et ce point pourra être regardé comme lii 
contre d'un yjetit arc de cercle qui, étant décrit avec le 
rayon PM, aurait la même courbure (pie l'arc PQ de 
la courbe que l'on considère. Le rayon PM du cercle, 
dont la courbure est la même que celle de l'arc inli- 
niment petit PQ d'une courbe, se nomme le rayon da 
courbure de cet arc; le point M où se coupent les deux 
normales consécutives en est le centre de courbure; et 
cette courbure est connue lorsque la position du 
point M est déterminée. 

107. Jusqu'ici nous avons supposé que les courbes 

MU.NUL. — II. 3 



34 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



étaient planes, et nous n'avons considéré que ce qui 
se passe dans leur plan. Nous allons passer aux courbes 
à double courbure, telles que celles qui sont produites 
par l'intersection de deux surfaces courbes. 

Si l'on conçoit une droite menée par le centre d'un 
cercle, perpendiculairement à son plan et indéfini- 
ment prolongée de part et d'autre, on sait que chacun 
des points de cette droite sera à égales distances de 
tous les points de la circonférence, que par conséquent, 
si l'on imagine qu'une seconde droite, terminée d'une 
part à un des points de la circonférence et de l'autre 
à un point quelconque de la perpendiculaire, tourne 
autour de cette dernière comme axe, en faisant cons- 
tamment le même angle avec elle, son extrémité mo- 
bile décrira la circonférence du cercle avec la même 
exactitude que si l'on eût fait tourner le rayon autour 
du centre. La description du cercle au moyen du rayon, 
et qui n'est qu'un cas parliculier de la première, par 
sa simplicité est plus propre à donner l'idée de l'étendue 
du cercle : mais, s'il ne s'agit que de description, la 
ju'emière peut dans certains cas avoir de l'avantage, 
parce qu'en prenant sur l'axe deux pôles placés de part 
et d'autre du plan du cercle, puis menant par ces deux 
points deux droites qui se couperaient en un point de 
la circonférence, et faisant ensuite mouvoir le système 
de ces deux droites autour de l'axe, de manière que 
leur point d'intersection fût fixe sur l'une et sur l'autre 
droite, ce point décrirait la circonférence du cercle, 
sans qu'il eût été nécessaire d'exécuter auparavant le 
plan dans lequel elle doit se trouver. 

108. Soit KA a D [fig. 44) ^iii^ courbe à double 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 35 

courbure quelconque tracée dans l'espace. Par 
un point A de cette courbe soit conçu un plan 
MNOP perpendiculaire à la tangente en A; par le 
point a infiniment proche soit pareillement imaginé 
un plan mnPO perpendiculaire à la tangente en a; 
ces deux plans se couperont en une droite OP qui sera 
l'axe du cercle dont le petit arc Aa de la courbe peut 
être censé faire partie : de manière que si, des points A, 
«, on abaisse deux perpendiculaires sur cette droite, 
ces perpendiculaires, égales entre elles, la rencontre- 
ront en un même point G qui sera le centre de ce cercle. 
Tous les autres points g, g\ g" y ... de cette droite 
seront chacun à égales distances de tous les points de 
l'arc infiniment petit A a, et pourront par conséquent 
en être regardés comme les pôles. Ainsi, si d'un point 
quelconque g de cet axe on mène deux droites aux 
points A, a, ces droites gA, ga seront égales entre 
elles, et formeront avec l'axe des angles AgO, agO, 
égaux entre eux; en sorte que si l'on voulait définir 
la courbure de la courbe au point A, il faudrait donner 
la longueur du rayon de courbure AG, et que s'il 
s'agissait d'assigner le sens de la courbure, il faudrait 
donner la position du centre G dans l'espace. Mais s'il 
est simplement question de décrire le petit arc, il 
suffira également ou de faire tourner la droite A g 
autour de l'axe, sans altérer l'angle AgO qu'elle fait 
avec lui, ou de faire tourner le rayon de courbure AG 
perpendiculairement à cet axe. 

Ainsi la droite OP peut être regardée comme la 
ligne des pôles de l'élément Aa; le centre de courbure 
de cet élément est celui de ses pôles dont la distance 
à l'élément est un minimum^ enfin son rayon de cour- 



36 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

bure est la perpendiculaire AG, abaissée de l'élément 
sur la ligne des pôles. 

109. Que l'on fasse actuellement sur tous les points 
de la courbe à double courbure la même opération que 
l'on vient de faire sur un de ses éléments, c'est-à-dire 
que par tous les points consécutifs A, A', A", A'", etc. 
{fig. 45) l'on fasse passer des plans MNOP, perpen- 
diculaires chacun à la tangente de la courbe au 
point où il la coupe; le premier de ces plans rencon- 
trera le second dans une droite OP qui sera le lieu 
géométrique des pôles de l'arc AA'; le second rencon- 
trera le troisième dans une droite O'P', lieu des pôles 
de l'arc A'A'', et ainsi de suite. Il est évident que le 
système de toutes les droites d'intersection, ou la 
surface courbe qu'elles forment par leur assemblage, 
sera le lieu géométrique des pôles de la courbe KAD; 
car cette courbe n'aura point de pôle qui ne soit sur 
la surface, et cette surface n'aura pas de point qui ne 
soit le pôle de quelqu'un des éléments de la courbe. 

110. Avant que d'aller plus loin, il est nécessaire 
d'exposer quelques propriétés dont jouissent les sur- 
faces de ce genre, indépendamment de la courbe qui 
a servi à leur formation. 

Ces surfaces peuvent se développer sur un plan sans 
rupture et sans duplicature. En effet, les éléments tels 
que OPP'O', dont est composée la surface, sont des 
portions de plans infiniment étroites, et qui se joignent 
successivement par des lignes droites. On peut donc 
toujours concevoir que le premier de ces éléments 
OPP'O' tourne autour de O'P' comme charnière, 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 3y 



jusqu'à ce qu'il soit dans le plan de l'élément suivant 
0'P'P"0"; qu'ensuite leur assemblage tourne autour 
de O"?*, jusqu'à ce qu'il soit dans le plan du troisième 
et ainsi de suite. D'où l'on voit que rien n'empêche 
que de cette manière tous les éléments de la surface ne 
viennent sans rupture se ranger dans un même plan. 

De même que les plans normaux à la courbe KAD, 
par leurs intersections successives, forment une surface 
courbe, à laquelle ils sont tous tangents, pareillement 
les lignes droites dans lesquelles ils se coupent se ren- 
contrent successivement dans des points qui forment 
une courbe à double courbure, à laquelle toutes ces 
droites sont tangentes : car deux de ces droites consé- 
cutives sont les intersections d'un même plan nor- 
mal, avec celui qui le précède et avec celui qui le suit 
immédiatement. Ces deux droites sont donc dans un 
même plan; elles se coupent donc quelque part en un 
point, et la suite de tous ces points de rencontre forme 
une courbe remarquable sur la surface développable. 
En effet, les droites consécutives, après s'être croisées 
sur la courbe qui les touche toutes, se prolongent au 
delà, et forment par leurs prolongements une nappe 
de surface, distincte de la nappe formée par les parties 
des mêmes droites avant leurs rencontres. Ces deux 
nappes se joignent sur la courbe qui est, par rapport à 
la surface entière, une véritable arête de rcbroussement. 

Actuellement, du point A {fig. 45) de la courbe, par 
lequel passe le premier plan normal MNPO, soit 
menée dans le plan, et suivant une direction arbi- 
traire, une droite A g jusqu'à ce qu'elle rencontre la 
section OP quelque part en un point g; par les points A' 
g, soit menée dans le second plan^normal la droite A' g 



38 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre la section O'P' 
en un point g'-, soit pareillement menée A" g'g'\ et 
ainsi de suite. La courbe qui passe par tous les points g, 
g'g'\ etc. est une développée de la courbe KAD; car 
toutes les droites A g, A' g', A" g" sont les tangentes 
de la courbe gg' g'\ puisqu'elles sont les prolongements 
des éléments de cette courbe. De plus, si l'on conçoit 
que la première, A g, tourne autour de OP, comme 
axe, pour venir s'appliquer sur la suivante, A' g, elle 
n'aura pas cessé d'être tangente à la courbe gg'g"; 
et son extrémité A, après avoir parcouru l'arc AA', se 
confondra avec l'extrémité A' de la seconde. Que l'on 
fasse de même tourner la seconde ligne. A' g', autour 
de O'P', comme axe, pour qu'elle vienne s'appliquer 
sur la troisième, A"g', elle ne cessera pas de toucher la 
courbe gg'g" et son extrémité A' ne sortira pas de 
l'arc A'A", et ainsi de suite. Donc la courbe gg'g" 
est telle, que si l'on conçoit qu'une de ces tangentes 
tourne autour de cette courbe sans cesser de lui être 
tangente et sans avoir de mouvement dans le sens de 
sa longueur, un des points de cette tangente décrira 
la courbe KAD; donc elle est une de ses développées. 
Mais la direction de la première droite Ag était arbi- 
traire; et suivant quelque autre direction qu'on l'eût 
menée dans le plan normal, on aurait trouvé une autre 
courbe gg'^' qui aurait été pareillement une développée 
de la courbe KAD. Une courbe quelconque a donc 
une infinité de développées qui sont toutes comprises 
sur une même surface courbe. 

Les droites A' g' et A" g' forment des angles égaux 
avec la droite O'P^; et l'élément g' g" étant le prolon- 
gement de la droite A" g\'^i\ s'ensuit que les deux élé- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 39 

ments c«tfisécutifs gg\ g'g" de la développée gg'g" 
forment des angles égaux avec la droite O'P' qui passe 
par leur point de rencontre. Or, lorsqu'on développe la 
surface pour l'appliquer sur un plan, les éléments de 
la développée ne cessent pas de faire les mêmes angles 
avec les droites O'P'; donc deux éléments consécutifs 
de la courbe gg' g'\ considérés dans la surface étendue 
sur un plan, forment des angles égaux avec une même 
ligne droite; donc ils sont dans le prolongement l'un 
de Taulre. Il suit de là que chacune des développées 
d'une courbe à double courbure devient une ligne 
droite, lorsque la surface qui les contient toutes est 
étendue sur un plan; donc elle est sur cette surface 
la plus courte qur l'on puisse mener entre ses extré- 
mités. 

i)\\ déduit de là un moyen facile d'obtenir une déve- 
loppée quelconque d'une courbe à double courbure, 
lorsqu'on a la surface développable qui les contient 
toutes. Pour cela, il suffit, par un point de la courbe, 
de mener un fil tangent à la surface et de plier ensuite 
ce fil sur la surface en le tendant : car, en vertu de la 
tension, il prendra la direction de la courbe la plus 
courte entre ses extrémités; il se pliera par conséquent 
sur une des développées. 

111. On conçoit, d'après cela, comment il est pos- 
sible d'engendrer, par im mouvement continu, une 
courbe quelconque à double courbure : car, après avoir 
exécuté la surface développable, touchée par tous les 
plans normaux de la courbe, si, du point donné dans 
l'espace et par lequel la courbe doit passer, on dirige 
<leux fils tangents à cette surface; et si, après les avoir 



4o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

plies ensuite sur la surface en les tendant, o» les fixe 
par leurs autres extrémités; le point de réunion des 
deux fils qui aura la faculté de se mouvoir avec le plan 
tangent à la surface, sans glisser ni sur l'un des fils, 
ni sur l'autre, engendrera dans son mouvement la 
courbe proposée. 

112. Tout ce que nous venons de dire, par rapport 
aux courbes à double courbure, convient également 
aux courbes planes, avec cette différence, seulement, 
que tous les plans normaux étant perpendiculaires 
au plan de la courbe, toutes les droites de leurs inter- 
sections consécutives sont aussi perpendiculaires au 
même plan, et par conséquent parallèles entre elles. 
La surface développable, touchée par tous ces plans 
normaux, est donc alors une surface cylindrique, dont 
la section perpendiculaire est la développée ordinaire 
de la courbe. Mais cette surface cylindrique contient 
de même toutes les développées à double courbure 
de la même courbe; et chacune de ces développées 
fait, avec toutes les droites génératrices de la surface 
cylindrique, des angles constants. Le filet d'une vis 
ordinaire est une des développées de la développante 
du cercle qui sert de base à la surface cylindrique sur 
laquelle il se trouve; et quelle que soit la hauteur du 
pas de la vis, si le diamètre du cylindre ne change pas, 
le filet sera toujours une des développées de la même 
courbe. 

113. Après avoir exposé la théorie des courbes à 
double courbure, nous allons nous occuper des surfaces 
courbes. Cet objet est de nature à être traité avec 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



beaucoup plus de facilité par le secours de l'Analyse, 
que par la simple contemplation des propriétés de 
l'étendue : mais les résultats auxquels il conduit 
peuvent être utiles à des artistes que nous ne devons 
pas supposer familiarisés avec les opérations ana- 
lytiques; nous allons donc essayer de les présenter 
en n'employant que des considérations géométriques. 
Cette mélhode introduira la clarté qui lui est particu- 
lière, mais aussi elle apportera de la lenteyr dans la 
marche. 

Les surfaces, par rapport à leurs courbures, peuvent 
être divisées en trois grandes classes. La première 
comprend celles qui dans tous leurs points n'ont aucune 
courbure; les surfaces de ce genre se réduisent au plan, 
qui d'ailleurs peut être placé d'une manière quel- 
conque dans l'espace. La seconde classe renferme 
toutes celles qui dans chacun de leurs points n'ont 
qu'une seule courbure; ce sont, en général, les sur- 
faces développables, dont deux éléments consécutifs 
peuvent être regardés comme faisant partie d'une sur- 
face conique, même en regardant la grandeur de ces 
éléments comme indéfinie dans le sens de la généra- 
trice de la surface conique. Enfin, toutes les autres sur- 
faces courbes composent la troisième classe; dans 
chacun de leurs points, elles ont deux courbures dis- 
tinctes et qui peuvent varier l'une indépendamment 
de l'autre. Commençons par considérer les surfaces 
courbes les plus simples, et d'abord les surfaces cylin- 
driques. 

114. Soit ABFE (fig. 46) une surface cylin- 
drique indéfinie à base quelconque, sur laquelle 



\l LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



on considère un point L pris arbitrairement. Par ce 
point concevons la droite génératrice CLG, et une sec- 
tion JLK faite par un plan perpendiculaire à la géné- 
ratrice; cette section sera parallèle et semblable à la 
base de la surface. Enfin, par le point L concevons à la 
surface la normale LP; celte normale sera perpendicu- 
laire à la génératrice CG, et par conséquent dans le 
plan de la section JLK ; de plus, elle sera perpendicu- 
laire à la tangente de la section au point L, ou, ce qui 
comprend à la fois les deux conditions, elle sera per- 
pendiculaire au plan tangent à la surface en L. Gela 
posé, si l'on prend sur la surface deux autres points 
infiniment voisins du point L, l'un M sur la géné- 
ratrice CG, l'autre N sur la section perpendiculaire, 
et si par chacun de ces points on mène une nouvelle 
normale à la surface, ces deux normales MQ, NP 
seront chacune dans un même pian avec la première 
normale LP; mais ces plans seront différents pour les 
deux dernières normales. En effet, le plan tangent à 
la surface en li étant aussi tangent en M, les deux 
droites LP et MQ sont perpendiculaires au même plan; 
elles sont donc parallèles entre elles, et par conséquent 
dans un même plan. Ces droites parallèles peuvent 
être regardées comme concourant à l'infmi. Quant aux 
normales LP, NP, elles sont évidemment comprises 
dans le plan de la section perpendiculaire; elles con- 
courent donc en un certain point P de ce plan; ainsi 
les deux plans qui contiennent les trois normales deux 
à deux sont non seulement différents, mais perpen- 
diculaires à l'autre. 

115. Actuellement, quelque autre point que l'on 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 




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'^'k 



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y J'tu^ 



44 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

prenne sur la surface, infiniment voisin du premier 
point L, si par ce point on conçoit à la surface une 
normale OQ, cette normale ne sera pas dans un même 
plan avec la première normale LP, et par conséquent 
ne pourra la rencontrer : car si par le point on con- 
çoit une nouvelle section iOk perpendiculaire à la 
surface, et qui coupe quelque part en un point M la 
droite génératrice qui passe par le point L, la nor- 
male OQ sera dans le plan de cette section. Les deux 
normales LP et OQ seront donc dans deux plans paral- 
lèles, et ne pourront être elles-mêmes dans un même 
plan, à moins qu'elles ne soient parallèles entre elles : 
or elles ne sont point parallèles. En effet, si l'on conçoit 
la normale au point M, nous avons vu que cette nor- 
male MQ sera parallèle à LP; mais elle ne sera pas 
parallèle à OQ : donc les normales LP et OQ ne sont 
point parallèles entre elles; donc elles ne sont pas dans 
un même plan; donc elles ne peuvent jamais se ren- 
contrer. 

116. On voit donc que si, après avoir mené par un 
point quelconque d'une surface cylindrique une nor- 
male à la surface, on veut passer à un point infiniment 
voisin pour lequel la nouvelle normale soit dans un 
même plan avec la précédente, et puisse la rencontrer 
même à l'infini, si cela est nécessaire, on ne peut le faire 
que dans deux sens différents : i^ en suivant la direc- 
tion de la droite génératrice de la surface, et alors la 
nouvelle normale rencontre la première à l'infini; 
2° en suivant la section perpendiculaire ti la surface, 
et alors la nouvelle normale rencontre la première en 
un point, dont la distance dépend de la courbure de la 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 45 

base dans le point correspondant; enfin, que ces deux 
directions sont entre elles à angles droits sur la 
surface. 

Les deux points de rencontre des trois normales sont 
donc les seuls centres de courbure possibles de l'éléniont 
que Ton considère sur la surface; les deux plans diffé- 
rents, qui passent par la première normale et par 
chacune des deux autres, indiquent le sens de chacune 
de ces courbures; les distances du point de la surface 
aux deux points de rencontre des normales sont les 
rayons des deux courbures; et l'on voit que dans les 
surfaces cylindriques, un de ces rayons étant toujours 
infini, tandis que la grandeur de l'autre dépend de la 
nature de la base de la surface pour chacun des points, 
il n'y a qu'une courbure finie; l'autre est toujours 
infiniment petite ou nulle. 

Ce que nous venons de dire peut s'appliquer faci- 
lement à toutes les surfaces développables, dont deux 
éléments consécutifs même indéfinis dans le sens de 
la direction de la droite génératrice peuvent toujours 
être considérés comme faisant partie d'une certain<' 
surface cylindrique. Passons maintenant au cas général 
des surfaces courbes quelconques. 



117. Soit ABCD {fig. 4?) une surface courbe 
quelconque, sur laquelle on considère un point L 
pris à volonté, et par ce point soit conçue une 
droite FL/ tangente à la surface : la position de cette 
droite ne sera pas déterminée; elle pourra être menée 
d'une manière quelconque dans le plan tangent à la 
surface au point L. Puis concevons que la droite F/ 
se meuve de manière qu'elle soit toujours parallèle à 



46 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

elle-même, et qu'elle soit toujours tangente à la sur- 
face courbe; elle engendrera par son mouvement une 
certaine surfac(î cylindrique EegG, dont la base 
dépendra de la l'orme de la surface courbe, et qui tou- 
chera cette surface dans une courbe LCKAL, engendrée 
elle-même par le mouvement du point de contact de 
la droite génératrice avec la surface proposée. Cette 
courbe de contact LCKAL est en généial à double 
courbure. 

lis. Dans le cas très particulier de la surface courbe 
du second degré, c'est-à-dire de la surface qui, étant 
coupée par un plan quelconque, produit toujours une 
section conique, la ligne de contact avec une surface 
cylindrique qui l'enveloppe est toujours une courbe 
plane, quelle que soit d'ailleurs la direction de la géné- 
ratrice de la surface cylindrique. 

119. Dans le cas un peu plus général où la surface 
courbe est engendrée par le mouvement d'une ligne 
courbe plane, fixe dans son plan, mais mobile avec lui, 
lorsqu'il roule sur deux surfaces courbes données, pour 
chaque point de la surface il existe une direction à 
donner à la droite génératrice, pour que la surface 
cylindrique engendrée par le mouvement de cette 
droite touche la surface courbe dans une courbe plane, 
et cette direction doit être telle, que la droite soit 
toujours perpendiculaire au plan mobile, lorsqu'il 
passe par le point que l'on considère. Les surfaces de 
révolution en sont un cas particulier. En effet, si par 
un point quelconque d'une surface de révolution on 
conçoit une droite tangente à la surface et perpendi- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 4? 

culaire au plan du méridien qui passe par ce point, 
et si l'on suppose que cette droite se meuve de manière 
qu'elle soit toujours tangente à la surface et perpendi- 
culaire au plan du même méridien, le point de contact 
de la ligne avec la surface parcourra la circonférence 
du méridien, et la droite engendrera une surface cylin- 
drique qui touchera la surface de révolution dans la 
circonférence même du méridien, et par conséquent 
dans une courbe plane. 

120. Pour tout autre cas, une surface cylindrique 
I circonscrite à une surface quelconque touche cette 
(Surface dans une courbe LCKAL qui est à double 
( courbure. 

La droite FL/ ayani d'abord été menée d'une nia- 
aiière arbitraire dans le plan tangent à la surface au 
\ point L, si par ce point on conçoit la tangente LU à la 
courbe de contact LCKAL, cette tangente fera avec 
la ligne droite génératrice FL/ un angle FLU qui 
dépendra et de la nature de la surface courbe, et de la 
direction arbitraire donnée à la droite FL/. Conce- 
vons, ce qui est toujours possible dans chaque cas par- 
Iticulier, que la direction de la droite FL/ change, sans 
que cette droite cesse d'être tangente à la surface au 
! point L, et que, d'après cette nouvelle direction, elle 
se meuve parallèlement à elle-même en touchant 
toujours la surface ; elle engendrera par son mouvement 
une autre surface cylindrique circonscrite à la surface, 
qui la touchera dans une autre ligne de contact à 
double courbure; cette nouvelle courbe de contact 
passera encore par le point L, et sa tangente en ce 
point fera, avec la nouvelle direction de la droite gêné- 



48 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

ratrice, un angle différent du premier angle FLU. Con 
cevons enfin qu'on ait ainsi fait varier la direction d 
la droite génératrice, jusqu'à ce que la surface cylin 
drique, engendrée par cette droite, touche la surfac 
dans une courbe de contact, dont la tangente en 1 
soit perpendiculaire à la droite génératrice. 

Cela posé, soit {fig. l\è) une surface courb 
quelconque, sur laquelle on considère d'abord ui 
certain point L; soit FLJ la droite tangente à l 
surface en L, dont la direction soit prise de manier 
que, si on la fait mouvoir parallèlement à elle-mêm 
et sans qu'elle cesse de toucher la surface, elle engendr 
une surface cylindrique EFGHJK, qui touche la sur 
face en une courbe, dont la tangente en L soit perpen 
diculaire à FLJ. La ligne de contact de la surfac 
cylindrique avec la surface proposée sera une courb 
à double courbure; mais au point L son élément s 
confondra avec l'élément LN de la section GNLD fait 
dans la surface cylindrique par un plan perpendicu 
laire à la droite génératrice FLJ. Les deux extré 
mités L, N, de cet élément, se trouvant sur la ligne d 
contact, seront en même temps sur les deux surfaces 
et si par ces points L, N on mène deux normales Lr 
NP à la surface cylindrique, elles seront aussi noi 
maies à la courbe. Or ces deux normales sont dans 1 
même plan perpendiculaire à la génératrice de la sur 
face cylindrique, et doivent se rencontrer quelque par 
en un point P, qui est le centre de courbure de l'arc LN 
donc si sur une surface courbe quelconque on pren» 
deux points L, N, qui soient placés sur la ligne d 
contact de cette surface avec la surface cylindriqu 
dont la droite génératrice soit perpendiculaire à l'élé 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 49 

ment LN de cette ligne de contact, les normales à la 
surface courbe, menées par ces deux points, seront 
dans un même plan, et se rencontreront en un point 
qui sera le centre de la courbure de la surface, dans le 
sens du plan qui contient les deux normales. 



121. Si sur la droite FLJ on prend un point m infi- 
niment proche du point L, et si par ce point m on 
conçoit une normale à la surface cylindrique, cette 
normale sera parallèle à LP et ne sera pas normale à 
la surface courbe. Mais si l'on conçoit que dans le plan 
de la courbe ALMB, déterminé par les droites FLJ 
et LP, la droite FLJ se meuve sans cesser de toucher 
la surface et prenne la position infiniment voisine fi, 
de manière qu'elle touche la surface dans un point M 
infiniment voisin du point L, et si l'on suppose que 
cette droite /Mi se meuve parallèlement à elle- 
même en touchant toujours la surface, elle engendrera 
une nouvelle surface cylindrique efghik, infiniment 
peu différente de la première, tant pour la forme que 
pour la position, et la ligne de contact de cette nou- 
velle surface cylindrique passera par le point M. La nor- 
male MQ à cette surface cylindrique, au point M, sera 
aussi normale à la surface courbe; elle sera dans un 
même plan avec la première normale LP, puisqu'elles 
seront toutes deux dans le plan déterminé par les 
droites FLJ, /Mi; et ce plan sera perpendiculaire à 
celui qui passe par les normales LP, NP. Les deux 
normales LP et MQ se rencontreront donc en un cer- 
tain point R, qui sera le centre de courbure de 
l'arc LM, et par conséquent le centre de la courbure 
MONGE. — II. A 



5o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



de la surface dans le sens du plan qui passe par les 
droites FLJ, /Mi. 

On voit donc que si, considérant sur une surface 
courbe quelconque un point quelconque L, on conçoit 
une normale à la surface en ce point, on peut tou ours 
passer, suivant deux directions différentes, à un autre 
point M ou N, pour lequel la nouvelle normale soit 
dans un même plan avec la première, et que ces deux 
directions étant dans des plans no maux rectangu- 
laires entre eux, elles sont elles-mêmes à angles droits 
sur la surface courbe. 

122. Actuellement, ces deux directions sont en 
général les seules pour lesquelles cet effet puisse avoir 
lieu; c'est-à-dire, que si sur la surface courbe on passe 
dans toute autre direction à un point 0, infiniment 
voisin du point L, et que si par ce point on mène à la 
surface la normale OQ, cette normale ne sera pas dans 
un même plan avec la normale LP, et ne pourra par 
conséquent la rencontrer. 

En effet, concevons que la seconde surface cylin- 
drique ait été inclinée de telle manière que sa ligne 
de contact avec la surface passe par le point 0; 
l'arc OM de cette ligne de contact se confondra avec 
l'arc de la section G'OMD' perpendiculaire à la surface 
cylindrique ; les deux i ormaîes en et en M à la 
surface seront aussi normales à la surface cylin- 
drique, elles seront dans le plan de la section perpen- 
diculaire ; elles se rencontreront quelque part en 
un point Q : mais la normale OQ ne rencontrera pas 
la normale LP; car pour que ces deux normales se 
rencontrassent, il faudrait que le point Q de la nor- 



'i GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 5l 

I maie coïncidât avec le point R, dans lequel cette nor- 
I maie rencontre LP; ce qui en général n'arrive pas, 
r parce que cela suppose une égalité entre les courbures 
^ des deux arcs LM et LN, et ce qui ne peut avoir lieu 
que pour certains points de quelques surfaces courbes. 
j Par exemple, la courbure de la surface de la sphère 
étant la même dans tous les sens, suivant quelgue 
^' direction que l'on passe d'un de ses points à un autre 
infiniment proche, les normales menées par ces deux 
points sont toujours dans un même plan; et cette 
surface est la seule pour laquelle cette propriété con- 
vienne à tous les points. Dans les surfaces de révolu- 
tion pour lesquelles a courbe génératrice coupe l'axe 
perpendiculairement, la courbure au sommet est encore 
la même dans tous les sens, et deux normales consé- 
cutives sont toujours dans un même plan; mais cette 
propriété n'a lieu que pour le sommet. Enfin il existe 
(les surfaces courbes, dans lesquelles cette propriété 
a lieu pour une suite de points qui forment une cer- 
taine courbe sur la surface : mais cola n'arrive que pour 
les points de cette courbe; et pour tous les autres 
points de la surface, la nouvelle normale ne peut ren- 
contrer la première, à moins que le point de la surface 
par lequel elle passe ne soit pris suivant l'une des deux 
directions que nous avons définies. 

123. Il suit de là qu'en général une surface quel- 
conque n'a, dans chacun de ces points, que deux cour- 
bures ; que chacune de ces courbures a son centre par- 
liculier, son rayon particulier, et que les deux arcs sur 
lesquels se prennent ces deux courbures sont à angles 
droits sur la surface. Les cas particuliers pour lesquels. 



5';! LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

comme dans la sphère, et dans les sommets de surfaces 
de révolution, deux normales consécutives quelconques 
se rencontrent ne sont pas une exception à cette pro- 
position. Il résulte seulement que pour ces cas les deux 
courbures sont égales entre elles, et que les direclions 
suivant lesquelles on doit les estimer sont indiffé- 
rentes. 



124. Quoique les deux courbures d'ime surface 
courbe soient assujéties l'une à l'autre par la loi de 
la génération de la surface, elles éprouvent d'un point 
de la surface à l'autre des variations qui peuvent 
être dans le même sens ou dans des sens contraires. 
Nous ne pouvons pas entrer, à cet égard, dans de très 
grands détails, qui deviendraient beaucoup moins 
pénibles par le secours de l'Analyse; nous nous conten- 
terons d'observer que pour certaines surfaces, telles 
que les sphéroïdes, dans chaque point les deux cour- 
bures sont dans le même sens, c'est-à-dire qu'elles 
tournent leurs convexités du même côté; que pour 
quelques autres surfaces, dans certains points, les 
deux courbures sont dans des sens opposés, c'est-à- 
dire que l'une présente sa concavité et l'autre sa con- 
vexité du même côté (la surface de la gorge d'une 
poulie est dans ce cas); que pour quelques autres sur- 
faces dans tous les points, les deux courbures sont dans 
des sens opposés (ia surface engendrée par le mouve- 
ment d'une ligne droite, assujétie à couper toujours 
trois autres droites données arbitrairement dans 
l'espace, est dans ce cas); enfin que dans une surface 
particulière ces deux courbures opposées sont, pour 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 53 



chaque point, égales entre elles. Cette surface est 
celle dont Taire est un minimum. 

125. Passons maintenant à quelques conséquences 
qui suivent des deux courbures d'une surface courbe, 
et qu'il est important de faire connaître aux artistes. 

Soit (fig. /jg) une portion de surface courbe 
quelconque, sur laquelle nous considérions un 
point L pris arbitrairement, et soit conçue la normale 
à la surface en L. Nous venons de voir que l'on peut 
passer, suivant deux directions différentes, du point L 
à un autre M ou L', pour lequel la nouvelle normale 
rencontre la première, et que ces deux directions sont 
à angles droits sur la surface. Soient donc LM et LT/ 
ces deux directions rectangulaires en L. Du point M 
on pourra de même passer dans deux directions diffé- 
rentes à un autre point N ou M', pour lequel la nor- 
male rencontre la normale en M, et soient MN, MM' 
ces deux directions rectangulaires en M. En opérant 
de même pour le point N, on trouvera les deux direc- 
tions NO et NN' rectangulaires en N; pour le point 0, 
on aura les deux directions OP, 00', et ainsi de suite. 
La série des points L, M, N, 0, P, etc., pour lesquels 
deux normales consécutives sont toujours dans un 
plan, formera sur la surface courbe une ligne courbe, 
qui indiquera perpétuellement le sens d'une des deux 
courbures de la surface, et cette courbe sera une ligne 
de première courbure, qui passera par le point L. Si l'on 
opère pour le point L', comme on l'a fait pour le 
point L, on pourra d'abord passer, suivant deux direc- 
tions rectangulaires, à un nouveau point M' ou L", 
pour lequel la nouvelle normale rencontre la normale 



54 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



en L', et l'on trouvera de même une nouvelle série de 
points L', M', N', 0', P^ etc., qui formeront sur la 
surface courbe une autre ligne de première courbure, 
qui passera par le point L'. En opérant de même pour 
la suite des points L", L'% U^\ . . ., trouvés comme L', 
L", on aura de nouvelles lignes de première courbure ... 
L" M" N" 0" P", L" M' W 0'' F'\ etc., qui passeront 
par les points respectifs L", L"\ L'^, etc., et qui divi- 
seront la surface courbe en zones. Mais la suite des 
points L, L', L", L"\ etc., pour lesquels deux normales 
consécutives sont encore dans un plan, formera sur la 
surface courbe une autre courbe qui indiquera perpé- 
tuellement le sens de l'autre courbure de îa surface, 
et cette courbe sera la ligne de seconde courbure; M, 
M', M", M"', etc. formera une autre ligne de seconde 
courbure, qui passera par le point M; la série des 
points N, N', N", N''', etc. formera une nouvelle ligne 
de seconde courbure qui passera par le point N, el 
ainsi de suite, et toutes les lignes de seconde courbure 
diviseront la surface courbe en d'autres zones. Enfin 
toutes les lignes de première courbure couperont à 
angles droits toutes les lignes de seconde courbure, et 
ces deux systèmes de lignes courbes diviseront la sur- 
face en éléments rectangulaires; et cet effet aura lieu, 
non seulement si ces lignes sont infiniment proches, 
comme nous l'avons supposé, mais même quand celles 
d'un même système seraient à des distances finies 
les unes des autres. Avant que d'aller plus loin, nous 
allons en apporter un exemple, avec lequel on est déjà 
familiarisé. 

126. Si l'on coupe une surface quelconque de révo- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 55 

lution par une suite de plans menés par Taxe, on aura 
une suite de sections qui seront les lignes d'une des 
courbures de la surface; car pour qu'une courbe soit 
ligne de courbure d'une surface, il faut qu'en chacun 
de ses points l'élément de surface cylindrique, qui 
toucherait la surface dans l'élément de la courbe, ait 
sa droite génératrice perpendiculaire à la courbe; or 
cette condition a évidemment lieu ici, non seulement 
en chaque point de la courbe pour un élément de sur- 
face cylindrique particulière, ce qui serait suffisant, 
mais même par rapport à toute la courbe pour une 
même surface cylindrique. De plus, si l'on coupe la 
même surface de révolution par une suite de plans 
perpendiculaires à l'axe, on aura une seconde suite 
de sections, qui seront toutes circulaires et qui seront 
les lignes de l'autre courbure; car si, par un point quel- 
conque d'une de ces sections, on conçoit la tangente 
au méridien de la surface, et si l'on suppose que celle 
tangente se meuve parallèlement à elle-même pour 
engendrer l'élément d'une surface cylindrique tangent 
à la surface de révolution, l'élément de la surface 
cylindrique touchera cette surface dans l'arc de cercle, 
et cet arc sera perpendiculaire à la droite génératrice. 
Ainsi, sur une surface quelconque de révolution, les 
lignes de courbure sont, pour une espèce de courbure, 
les méridiens de la surface, et pour l'autre courbure, 
les parallèles; et il est évident que ces deux suites de 
courbes se coupent toutes à angles droits sur la surface. 

127. Si par tous les points d'une des lignes de 
courbure LMNOP {fig. 49) d'une surface courbe 
on conçoit des normales à la surface, nous avons vu 



56 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

que la seconde normale rencontrera la première en 
un certain point, que la troisième rencontrera la 
seconde en un autre point, et ainsi de suite; le système 
de ces normales, dont deux consécutives sont toujours 
dans un même plan, forme donc une surface déve- 
loppable, qui est partout perpendiculaire à la surface 
proposée et qui la coupe suivant la ligne de courbure. 
Cette ligne de courbure étant elle-même partout per- 
pendiculaire aux normales qui composent la surface 
développable est aussi une ligne de courbure de cette 
dernière surface. L'arête de rebroussement de la sur- 
face développable, arête qui est formée par la suite 
des points de rencontre des normales consécutives, et 
à laquelle toutes les normales sont tangentes, est une 
des développées de la courbe LMNOP; elle est le lieu 
des centres de courbure de tous les points de cette 
courbe, et elle est aussi celui des centres d'une des 
courbures de la surface pour les points qui sont sur la 
ligne LMNOP. Si l'on fait la même observation pour 
toutes les autres lignes de courbure de la même suite, 
telles que V M' N' 0' F', L" M" W 0" F", etc., toutes 
les normales de la surface courbe pourront être re- 
gardées comme composant une suite de surfaces déve- 
loppables, toutes perpendiculaires à cette surface, et 
le système des arêtes de rebroussement de toutes les 
surfaces développables formera une surface courbe 
qui sera le lieu de tous les centres d'une des courbures 
de la surface proposée. 

Ce que nous venons de remarquer pour une des deux 
courbures de la surface a également lieu pour l'autre. 
En effet, si par tous les points L, L', h'\ h"', ..., 
d'une des lignes de l'autre courbure, on conçoit des 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 57 

normales à la surface, ces droites seront consécutive- 
ment deux à deux dans un même plan; leur système 
formera une surface développable, qui sera partout 
perpendiculaire à la surface proposée, et qui la ren- 
contrera dans la ligne de courbure Lï/ L" l"\ . . . 
qui sera elle-même une ligne de courbure de la sur- 
face développable. L'arête de rebroussement de cette 
dernière surface sera le lieu des centres de courbure 
de la ligne LI/ U' L'", . . . , et en même temps celui des 
centres de seconde courbure de la surface proposée, 

pour tous les points de la ligne LL' h" L"\ Il en 

sera de même pour toutes les normales menées par les 
points des autres lignes de courbure MM' M'' M'", . . ., 

N N' N" N"", En sorte que toutes les normales 

de la surface courbe proposée pourront être regardées 
de nouveau comme composant une seconde suite de 
surfaces développables, toutes perpendiculaires à cette 
surface, et le système des arêtes de rebroussement 
de toutes les nouvelles surfaces développables for- 
mera une seconde surface courbe, qui sera le lieu des 
centres de la seconde courbure de la première. 

128. Dans quelques cas particuliers, les surfaces 
des centres des deux courbures d'une même surface 
courbe sont distinctes, c'est-à-dire qu'elles peuvent 
être engendrées séparément, ou qu'elles ont leurs 
équations séparées. On en a un exemple dans les sur- 
faces de révolution, pour lesquelles une de ces sur- 
faces se réduit à l'axe même de rotation, et pour 
lesquelles l'autre est une autre surface de révolution 
engendrée par la rotation de la développée plane du 
méridien autour du même axe. Mais le plus souvent, 

/ 



58 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. • 

et dans le cas général, ces deux surfaces ne sont point 
distinctes, elles ne peuvent être engendrées séparé- 
ment; elles ont la même équation, et elles sont deux 
nappes différentes d'une même surface courbe. 

129. On voit donc que toutes les normales d'une 
surface courbe peuvent être considérées comme les 
intersections de deux suites de surfaces développables 
telles, que chacune des surfaces développables ren- 
contre perpendiculairement la surface proposée et 
la coupe suivant une courbe, qui est en m.ême temps 
ligne de courbure de cette surface et ligne de courbure 
de la surface développable, et que chacune des sur- 
faces développables de la première suite coupe toutes 
celles de la seconde suite en ligne droite et à angles 
droits. 

130. Voyons actuellement quelques exemples de 
l'utilité dont ces généralités peuvent être dans cer- 
tains arts. Le premier exemple sera pris dans l'Archi- 
tecture. 

Les voûtes construites en pierres de taille sont com 
posées de pièces distinctes auxquelles on donne le 
nom générique de Poussoirs. Chaque voussoir a plu- 
sieurs faces qui exigent la plus grande attention dans 
l'exécution : i^ la face qui doit faire parement et qui, 
devant être une partie de la surface visible de la voûte, 
doit être exécutée avec la plus grande précision^ cette 
face se nomme douelle; 2® les faces par lesquelles les 
voussoirs consécutifs s'appliquent les uns contre les 
autres, on les nomme généralement joints. Les joints 
exigent aussi la plus grande exactitude dans leur 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. tnj 



exécution; car la pression se transmettant d'un vous- 
soir à l'autre perpendiculairement à la surface du 
joint, il est nécessaire que les deux pierres se touchent 
par le plus grand nombre possible de points, afin que 
> pour chaque point de contact la pression soit la 
moindre, et que pour tous elle approche le plus de 
l'égalité. Il faut donc que dans chaque voussoir les 
joints approchent le plus de la véritable surface dont 
ils doivent faire partie; et pour que cet objet soit plus 
facile à remplir, il faut que la surface des joints soit 
de la nature la plus simple et de l'exécution la plus 
susceptible de i)récision. C'est pour cela que l'on fait 
ordinairement les joints plans, mais les surfaces de 
toutes les voûtes ne comportent pas cette disposition, 
et dans quelques-unes on blesserait trop les conve- 
nances dont nous parlerons dans un moment, si l'on 
ne donnait pas aux joints une surface courbe. Dans ce 
cas, il faut clioibir parmi toutes les surfaces courbes, 
qui pourraient d'ail 'eurs satisfaire aux autres condi- 
tions, celles dont la génération est la plus simple et 
dont l'exécution est plus susceptible d'exactitude. Or, 
de toutes les surfaces courbes, celles qu'il est plus 
facile d'exécuter sont celles qui sont engendrées par 
le mouvement d'une ligne droite, et surtout les sur- 
faces développables; ainsi, lorsqu'il est nécessaire que 
les joints des voussoirs soient des surfaces courbes, 
on les compose, autant qu'il est possible, de surfaces 
développables. 

Une des principales conditions auxquelles la forme 
des joints des voussoirs doit satisfaire, c'est d'être 
partout perpendiculaires à la surface de la voûte que 
ces voussoirs composent. Car, si les deux angles qu'un 



6o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

même joint fait avec la surface de la voûte étaient sen- 
siblement inégaux, celui de ces angles qui excéderait 
l'angle droit serait capable d'une plus grande résis- 
tance que l'autre; et dans l'action que deux voussoirs 
consécutifs exercent l'un sur l'autre, l'angle plus petit 
que l'angle droit serait exposé à éclater, ce qui, au 
moins, déformerait la voûte, et pourrait même altérer 
sa solidité et diminuer la durée de l'édifice. Lors donc 
que la surface d'un joint doit être courbe, il convient 
de l'engendrer par une droite qui soit partout perpen- 
diculaire à la surface de la voûte ; et si l'on veut de plus 
que la surface du joint soit développable, il faut que 
toutes les normales à la surface de la voûte, et qui 
composent, pour ainsi dire, le joint, soient consécuti- 
vement deux à deux dans un même plan. Or nous 
venons de voir que cette condition ne peut être 
remplie, à moins que toutes les normales ne passent 
par une même ligne de courbure de la surface de la 
voûte; donc, si les surfaces des joints des" voussoirs 
d'une voûte doivent être développables, il faut néces- 
sairement que ces surfaces rencontrent celle de la 
voûte dans ses lignes de courbure. 

D'ailleurs, avec quelque précision que les voussoirs 
d'une voûte soient exécutés, leur division est toujours 
apparente sur la surface; elle y trace des lignes très 
sensibles, et ces lignes doivent être soumises à des lois 
générales et satisfaire à des convenances particulières, 
selon la nature de la surface de la voûte. Parmi les 
lois générales, les unes sont relatives à la stabilité, 
les autres à la durée de l'édifice; de ce nombre est la 
règle qui prescrit que les joints d'un même voussoir 
soient rectangulaires entre eux, par la même raison 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 6l 

qu'ils doivent être eux-mêmes perpendiculaires à la 
surface de la voûte. Aussi les lignes de division des 
voussoirs doivent être telles, que celles qui divisent 
la voûte en assises soient toutes perpendiculaiies à 
celles qui divisent une même assise en voussoirs. Quant 
aux convenances particulières, il y en a de plusieurs 
sortes, et notre objet n'est pas ici d'en faire l'énuméra- 
tion; mais il y en a une principale, c'est que les lignes 
de division des voussoirs qui, comme nous venons de 
le voir, sont de deux espèces, et qui doivent se ren- 
contrer toutes perpendiculairement, doivent aussi 
])orter le caractère de la surface à laquelle elles appar- 
tiennent. Or, il n'existe pas de ligne sur la surface 
courbe qui puisse remplir en même temps toutes ces 
conditions, que les deux suites de lignes de courbures, 
et elles les remplissent complètcmont. Ainsi la division 
d'une voûte en voussoirs doit donc toujours être faite 
par des lignes de courbure de la surface de la voûte, 
et les joints doivent être des portions de surfaces déve- 
loppables formées par la suite des normales à la sur- 
face qui, considérées consécutivement, sont deux à 
deux dans un même plan; en sorte que, pour chaque 
voussoir, les surfaces des quatre joints, et celle de la 
voûte, soient toutes rectangulaires. 

Avant la découverte des considérations géomé- 
triques sur lesquelles tout ce que nous venons de dire 
est fondé, les artistes avaient un sentiment confus des 
lois auxquelles elles conduisent, et, dans tous les cas, 
ils avaient coutume de s'y conformer. Ainsi, par 
exemple, lorsque la surface de la voûte était de révo- 
lution, soit qu'elle fût en sphéroïde, soit qu'elle fût 
en berceau tournant, ils divisaient ses voussoirs par 



62 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

des méridiens et par des parallèles, c'est-à-dire par 
les lignes de courbures de la surface de la voûte. 

Les joints qui correspondaient aux méridiens étaient 
des plans menés par l'axe de révolution; ceux qui 
correspondaient aux parallèles étaient des surfaces 
coniques de révolution autour du même axe; et ces 
deux espèces de joints étaient rectangulaires entre 
eux et perpendiculaires à la surface de la voûte. Mais 
lorsque les surfaces des voûtes n'avaient pas une géné- 
ration aussi simple, et quand leurs lignes de courbure 
ne se présentaient pas d'une manière aussi marquée, 
comme dans les voûtes en sphéroïdes allongés et dans 
un grand nombre d'autres, les artistes ne pouvaient 
plus satisfaire à toutes les convenances, et ils sacri- 
fiaient, dans chaque^ cas particulier, celles qui leur 
présentaient les difficultés les plus grandes. 

Il serait donc convenable que dans chacune des 
écoles de Géométrie descriptive établie dans les dépar- 
tements, le professeur s'occupât de la détermination 
et de la construction des lignes de courbure des sur- 
faces employées ordinairement dans les arts, afin que, 
dans le besoin, les artistes, qui ne peuvent pas con- 
sacrer beaucoup de temps à de semblables recherches, 
pussent les consulter avec fruit et profiter de leurs 
résultats. 



131. Le second exemple que nous rapporterons sera 
pris dans l'art de la gravure. 

Dans la gravure, les teintes des différentes parties 
de la surface des objets représentés sont exprimées 
par des hachures que l'on fait d'autant plus fortes 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 63 



OU d'autant plus rapprochées, que la teinte doit être 
plus obscure. 

Lorsque la dislance à laquelle la gravure doit être 
vue est assez jurande pour que les traits individuels 
de la hachure ne soient pas aporçiis, le genre de la 
hachure est à peu près indifférent, et, quel que soit 
le contour de ses traits, l'artiste peut toujours les 
forcer et les multiplier de manière à obtenir la teinte 
qu'il désire et à produire l'effet demandé. Mais, 
et c'est le cas le plus ordinaire, quand la gravure est 
destinée à être vue d'assez près pour que les contours 
des traits de la hachure soient aperçus, la forme de 
ces contours n'est plus indiiïérenîje. Pour chaque 
objet, et pour chaque partie de la surface d'un objet, 
il y a des contours de hachures plus propres que tous 
les autres à donner une idée de la courbure de la sur- 
face; ces contours particuliers sont toujours au nombre 
de deux, et quelquefois les graveurs les emploient tous 
deux à la fois, lorsque, pour forcer plus facilement 
leurs teintes, ils croisent les hachures. Ces contoiivs, 
dont les artistes n'ont encore qu'un sentiment confus, 
sont les projections des lignes de courbure de la sur- 
face qu'ils veulent exprimer. Comme les surfaces de 
la plupart des objets ne sont pas susceptibles de défi- 
nition rigoureuse, leurs lignes de courbure ne sont pas 
de nature à être déterminées, ni par le calcul, ni par 
des constructions graphicjues. Mais si, dans leur jeune 
âge, les artistes avaient été exercés à rechercher les 
lignes de courbure d'un grand nombre de surfaces 
différentes et susceptibles de définition exacte, ils 
seraient plus sensibles à la forme de ces lignes et à leur 
position, même pour 1rs objets moins déterminés ; ils les 



64 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

saisiraient avec plus de précision, et leurs ouvrages 
auraient plus d'expression. 

Nous n'insisterons pas sur cet objet qui ne présente 
peut-être que le moindre des avantages que les arts 
et l'industrie retireraient de l'établissement d'une 
école de Géométrie descriptive dans chacune des prin- 
cipales villes de France. 



THÉORIE DES OMBRÉS 



l)K LA PEUSPECTIVE 



(Extrait des Leçons inédites de M. Monge^ 
par iM. Brissov, ingénieur des Ponts et Chaussées.) 



132. Après avoir exposé les principes généraux à 
l'aide desquels on résout les différentes questions 
qu'embrasse la Géométrie descriptive, il est conve- 
nable d'en faire connaître quelques applications. Nous 
nous proposons de nous occuper d'abord de la déter- 
mination des ombres dans les dessins, et ensuite de la 
perspective. 

Dans une école destinée à répandre les méthodes de 
la Géométrie descriptive, il serait convenable que les 
élèves commençassent les applications de ces mé- 
thodes par l'étude de la coupe des pierres et de la 
charpente. La correction rigoureuse des épures, que 
comporte ce genre de recherches, accoutume l'esprit 
et la main à plus de précision; les problèmes qui se 
présentent sont plus variés en général et offrent plus 
d'exercice à la sagacité. Mais dans un cours spéciale- 
ment consacré à la Géométrie descriptive propre- 
MONGK. — II. 5 



66 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

ment dite, il est naturel de prendre pour premier objet 
d'application la Théorie des Ombres, qui doit être 
regardée comme le complément de cette science. 

On a dit que la Géométrie descriptive doit être envi- 
sagée sous deux points de vue. Sous le premier, on la 
considère comme un moyen de recherches pour arriver, 
avec précision, à des résultats dont on a besoin; et 
c'est ainsi que l'emploient la coupe des pierres et la 
charpente. Sous le second, elle est simplement un 
moyen de représenter les objets; et dans ce cas, la 
détermination des ombres est pour elle un auxiliaire 
avantageux. 

Les personnes qui sont au courant des méthodes 
de cette science savent qu'une projection seule ne 
sufFit pas pour définir un objet; qu'il faut nécessaire- 
ment deux projections, parce qu'il y a toujours sur un 
plan une des dimensions qui manque, mais qu'au 
moyen de deux projections, les trois dimensions se 
trouvent déterminées. Lors donc que l'on considère 
la description d'un objet faite complètement au moyen 
de ses deux projections, on doit comparer la projection 
horizontale avec la projection verticale ; et c'est de 
cette perpétuelle comparaison que l'on déduit la con- 
naissance de la forme de l'objet propose. 

Quoique la méthode des projections soit facile et 
qu'elle ne soit pas dépourvue d'un genre particulier 
d'élégance, cependant cette obligation, de comparer 
sans cesse deux projections l'une à l'autre, est une 
fatigue qu'on peut diminuer considérablement par 
l'indication des ombres. 

Supposons, en effet, que l'on ait une projection 
horizontale, comprenant toutes les dimensions en Ion- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ()7 



gueur et en largeur, mais qui ne détermine en rien les 
dimensions en hauteur; si l'on admet que les corps 
soient éclairés d'une manière bien connue (et il con- 

; nt d'adopter en général la manière la plus natu- 
nlle, celle avec laquelle nous sommes le plus fami- 
liarisés), par des rayons de Uimière parallèles entre eux, 
par exemple, ces corps vont porter ombre les uns sur 
les autres et sur le plan horizontal au-dessus duquel 
ils sont placés; et par le moyen de l'étendue des 
ombres et de leurs formes, on jugera immédiatement 
des dimensions verticales. Ainsi, la direction des 
rayons de lumière étant connue, on n'a pas besoin de 
deux projections : une seule, avec le* tracé des ombres, 
donnera une idée complète de l'objet que l'on consi- 
dère; et si l'on a la projection horizontale et la pro- 
jection verticale, l'une et l'autre avec les ombres cons- 
l'-uites, ces deux projections seront plus aisées à lire, 
montreront plus facilement l'objet que si l'on 
j l'avait que les projections nues et sans ombres. 

Ainsi, pour tous les arts où il s'agit de représenter 
des objets, où la Géométrie descriptive n'est pas em- 
ployée comme moyen de recherches, mais d'expo- 
sition, la détermination des ombres est avantageuse 
et rend plus parfaite la représentation que l'on se pro- 
pose de tracer. 

La détermination des ombres comprend deux parties 
distinctes, l'une est la description graphique du con- 
tour des ombres, l'autre est la recherche de l'inten- 
sité des teintes à attribuer à chaque partie des sur- 
faces qui reçoivent ces ombres. 

Nous nous occuperons d'abord de la première partie, 
de celle qui est relative à la description graphique. 



68 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



DE LA DESCRIPTION GRAPHIQUE DES OMBRES. 

133. La théorie des ombres est entièrement fondée 
sur un phénomène que tout le monde connaît, c'est 
que la lumière se propage en ligne droite. Nous sommes 
si accoutumés à cotte proposition, que toutes les fois 
qu'on cherche à vérifier si une ligne est droite, on la 
compare à un rayon de lumière. Veut-on s'assurer 
qu'une règle est droite, on la compare, dans toute sa 
longueur, avec le rayon de lumière passant par ses 
deux extrémités;, cherche-t-on à savoir si une 
rangée d'arbres est alignée, on se place de manière 
que le rayon de lumière qui vient d'une extrémité de 
cette rangée jusqu'à l'œi! passe le long des arbres, 
et si tous sont placés exactement le long de ce rayon, 
on reconnaît qu'ils sont parfaitement alignés. 

Nous admettons donc, comme principe, que la lu- 
mière se répand en ligne droite. Il faut cependant 
observer que cette proposition n'est rigoureusement 
vraie que quand le milieu dans lequel la lumière se 
meut est d'une densité uniforme; mais dans les appli- 
cations aux arts que nous avons ici uniquement en 
vue, on a rarement besoin de considérer les rayons de 
lumière comme prolongés à une grande distance, et 
traversant des milieux de densités sensiblement diffé- 
rentes : il nous sera donc permis de supposer les mi- 
lieux uniformes et les rayons de lumière rigoureuse- 
ment en ligne droite. 

Nous distinguerons deux cas : celui où l'espace est 
éclairé par un point lumineux unique et celui où il est 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 69 



éclairé par un corps lumineux de dimensions finies; et 
nous considérerons d'abord le premier cas. 

Le point lumineux lance dans tous les sens des 
rayons de lumière, dont l'ensemble occupe entière- 
ment l'espace, si aucun corps ne s'offre pour les arrêter 
dans leur direction : il n'en sera pas de même s'il se 
trouve un corps opaque, c'est-à-dire qui ne soit pas 
pénétrable aux rayons de la lumière, qui les arrête ou 
les réfléchisse en tout ou en partie; les rayons qui ne 
le rencontreront pas continueront de se répandre 
dans l'espace; mais ceux sur la direction desquels il 
est placé seront arrêtés et ne s'étendront pas dans la 
partie de l'espace qui est au delà, et qui, par l'inter- 
position du corps, sera ainsi privée de lumière. 

Concevez une surface conique ayant son sommet au 
point lumineux et enveloppant le corps opaque, et 
supposez-la prolongée indéfiniment; elle sera au delà 
du ci^rps opaque, la limite de la partie de l'espace dans 
laquelle pénètrent les rayons envoyés par le point 
lumineux et de celle où il ne saurait en arriver aucun. 
Cette dernière partie, privée de lumière par l'interpo- 
sition du corps opaque, est ce qu'on appelle Vomhre 
(le ce corps; telle est du moins la définition de ce qu'on 
entend par le mot ombre, lorsqu'en parlant d'une 
éclipse de Lune, par exemple, on dit que la Lune entre 
dans l'ombre de la Terre. Le Soleil est le corps lumi- 
neux duquel les rayons parlent et se répandent dans 
toutes les directions; la Terre est le corps opaque qui 
intercepte une portion de ces rayons; et deriière elle, 
par rapport au Soleil, il se trouve une partie de l'espace 
privée de lumière. Tant que la Lune est hors de cette 
partie, elle est éclairée et renvoie de la lumière, elle 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



est visible; mais du moment qu'elle y entre, elle ne 
reçoit plus de lumière, n'en renvoie plus et devient 
invisible. 

Dans le langage ordinaire toutefois, ce n'est pas là 
ce qu'on entend le plus souvent par le mot ombre, 
lorsque par exemple en se promenant au Soleil on 
remarque que les ombres sont courtes à midi. Dans 
celle acception, l'ombre n'est point l'espace privé de 
lumière par l'interposition d'un corps qui arrête une 
partie des rayons lancés par le point lumineux, mais 
c'est la projection de cet espace sur la surface qui la 
reçoit; c'est dans ce dernier sens que nous emploierons 
habituellement ce mot. 

Supposons que le point lumineux soit à une distance 
infmie; les rayons de lumière qui viendront de là 
jusqu'à nous seront parallèles entre eux, à peu près 
comme nous le paraissent ceux du Soleil. Dans cette 
hypothèse, à laquelle nous nous arrêterons d'abord, 
on peut considérer deux cas, celui dans lequel le corps 
opaque, qui porte ombre, est terminé par des surlaees 
planes, et par conséquent par des arêtes rectilignes et 
par des sommets d'angles solides, et celui où il est ter- 
miné par des surfaces arrondies. Nous commencerons 
par nous occuper du premier qui est extrêmement 
simple. 

Si le corps qui reçoit la lumière et qui porte ombre 
est terminé par des faces planes, on conçoit aisément 
qu'une partie de ces faces est éclairée, cpie Tautre est 
obscure, et que la ligne qui, sur ce corps, sépare la 
partie éclairée de celle qui ne l'est pas est formée par 
l'ensemble des arêtes rectilignes d'intersection des 
faces obscures et des faces éclairées; cette ligne est 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 71 

facile à trouver, et c'est elle qui détermine le contour 
de l'ombre cherchée. Si l'on conçoit que le corps opaque 
vienne à disparaître, mais que cette même ligne con- 
tinue de subsister, et qu'on lui suppose une épaisseur 
sensible, l'ombre de cette ligne, tracée sur la surface 
qui doit la recevoir, sera le contour de l'ombre du 
corps. On voit que dans le cas que nous considérons, 
le problème se réduit à trouver l'ombre de certaines 
lignes droites connues de position. 

Pour fixer les idées et rendre ce qui précède plus 
sensible, supposons que le corps qui porte ombre 
soit le parallélépipède ABCD ahcd (fi g. 5o), que 
la direction des rayons de lumière, parallèles entre eux, 
soit indiquée par L/, et que le plan MN soit la surface 
qui doit recevoir l'ombre. On juge immédiatement, 
d'après la direction des rayons de lumière, que les 
faces ABCD, ABa/>, AD ad sont éclairées, et que les 
faces DCdc, CBc6 et abcd ne le sont pas; que les 
arêtes DG, CB, B b, ba^ ad et dD sont les limites de la 
partie éclairée et de la partie obscure. Les ombres D'C, 
G'B', h'b', b'a', a'd' et d'D' de ces six arêtes, sur le 
plan MN, forment le contour ou les limites de l'ombre 
du parallélépipède; les ombres des six autres arêtes, 
tombant dans l'intérieur de l'aire enveloppée par ce 
contour, sont confondues dans l'ombre totale du corps 
proposé. 

En général, quand il s'agit de corps terminés par des 
surfaces planes, les arêtes limites, ou qui séparent les 
faces éclairées des faces obscures, se distinguent immé- 
diatement ou sont faciles à déterminer; et plus tard 
nous indiquerons un moyen simple de les reconnaître 
sûrement, si dans quelques circonstances leur position 



72 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



Fi^ ^o 




GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



pouvait laisser de rincerliliide. La question se borne 
donc, comme nous l'avons déjà dit, à trouver l'ombre 
d'un certain assemblage de lignes droites connues de 
position. 

Cherchons en premier lieu l'ombre d'une de ces 
droites. Nous observerons que le corps qui porte 
ombre étant connu de forme et de position par rap- 
port aux plans de projection, les arêtes qui terminent 
ses faces sont également connues par rapport à ces 
mêmes plans, c'est-à-dire qu'on a ou qu'on peut 
trouver leurs projections horizontales et verticales. 
Supposons que l'objet lumineux soit un point unique 
place à une distance infinie; la direction des rayons de 
lumière, dans ce cas, sera donnée par la projection 
horizontale et verticale d'une ligne droite à laquelle 
ils devront tous être parallèles. Les rayons de lumière 
qui rencontrent la droite dont nous cherchons à déter- 
miner l'ombre forment un plan, dont la position, par 
rapport aux plans de projection, résulte de la condi- 
tion de passer par la droite proposée et d'être parallèle 
à la direction de la lumière. Ce plan, prolongé, contient 
évidemment l'ombre de la droite ; ou, si l'on considère 
le corps dont cette droite est une des arêtes, il 
sépare la partie éclairée de l'espace de celle que l'inter- 
position de ce corps prive de lumière. Ce même plan 
va rencontrer la surface sur laquelle l'ombre est reçue, 
suivant une certaine ligne qui est l'ombre portée par 
la droite sur cette surface, ou qui appartient au con- 
tour de l'ombre du corps proposé. La surface étant 
connue et déterminée par rapport aux plans de pro- 
jection, on pourra toujours construire son intersection 
avec le plan que nous avons conçu, et parvenir ainsi 



^4 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

à connaître complètement cette partie du contour de 
l'ombre cherchée. 

Ce que l'on aura fait pour une première arête du 
corps qui porte ombre, on le fera pour une seconde, 
l)our une troisième, et enfin pour toutes celles dont 
l'assemblage forme, sur ce corps, la séparation des 
faces éclairées des faces obscures. 

Si le point lumineux était à une distance finie, la 
solution précédente serait encore applicable en y 
apportant une légère modification. Les rayons de 
lumière partant de ce point dont on doit connaître les 
projections, et dirigés vers la première des arêtes qu'on 
a considérées, formeront également un plan déterminé 
dans l'espace, ou par rapport aux plans de projection, 
par la condition de passer par cette droite et par le 
point lumineux; et les raisonnements que nous avons 
faits tout à l'heure, relativement au plan qui, dans la 
première hypothèse, contenait les rayons de lumière 
parallèles, se répéteront pour celui qui contient les 
mêmes rayons, lorsqu'ils partent d'un point placé à 
une distance finie. 

On voit que ces recherches ne sont que de simples 
applications des méthodes de la Géométrie descrip- 
tive. Pieconnaître sur le corps qui porte ombre les 
arêtes qui séparent la partie éclairée de la partie 
obscure; par ces arêtes faire passer des plans qui soient 
parallèles à la direction des rayons de lumière, ou qui 
contiennent le point lumineux s'il n'est pas à une 
distance infinie, et construire les intersections de ces 
plans avec la surface qui doit recevoir l'ombre : dans 
le cas qui nous occupe, telle est toute la solution. 

Nous avons dit que la distinction des arêtes limites, 



CEOMETRIP DESCRIPTIVE. 



dont les ombres circonscrivent Tombre propre du 
corps, est en général facile à faire; et en effet, il suffit 
pour cela de chercher indistinctement les ombres de 
toutes les arêtes : celles d'entre elles qui entreront 
dans l'intérieur du polygone formant le contour de 
l'ombre du corps ne peuvent appartenir aux arêtes 
limitey. Ainsi, dans la figure 5o, les ombres b'c\ d'c\ 
Ce, A'a', A'D', A'B' des arêtes Z>c, de, Ce, A«, 
AD, AB n'appartiennent à aucune des arêtes limites, 
|)uis(]u'elles entrent dans l'intérieur du polygone 
a'b'B'CD'd'. 

Mais on peut avec nioins de Iravaii reconnaîlre si 
de deux faces planes d'un corps, l'une est éclairée et 
l'autre obscure, ou si elles sont toutes deux obscures, 
ou toutes deux éclairées, et par conséquent si leur 
intersection est une arête limite ou non. Eîî cfTct, par 
un point quelconque de cette intersection, imaginons 
un rayon de lumière; si des deux faces l'une est 
éclairée et l'autre obscure, ce rayon de lumière pro- 
longé les laissera toutes deux du mênie côté; mais si 
elles sont l'une et l'autre éclairées ou l'une et l'autre 
obscures, il passera entre elles deux. Cela posé, les 
deux faces planes que nous considérons appartiennent 
à deux plans donnés de position dans l'espace, et dont 
par conséquent on peut construire les traces sur les 
pians de projection, ainsi que les projections horizon- 
tale et verticale de leur intersection; que par un point 
quelconque de cette intersection on fasse passer une 
ligne parallèle à la direction de la lumière, et que l'on 
construise ses deux points de rencontre avec les plans 
de projection; si ces deux points sont en dehors des 
traces des plans proposés, le rayon de lumière ne passe 



76 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

pas entre les deux plans, et l'un est éclairé et l'autre 
ne l'est pas; si l'un des points ou tous les deux se 
trouvent en dedans des traces, on en conclura que le 
rayon de lumière passe entre les deux plans, et que 
ces plans sont tous deux éclairés ou tous deux obs- 
curs : dans le premier cas, leur intersection est une 
arête limite; dans le second, elle ne l'est pas. Ainsi 
l'on peut reconnaître d'avance quelles sont les arêtes 
par rapport auxquelles on doit opérer pour obtenir le 
contour de l'ombre du corps proposé. 

Les corps que l'on considère dans les arls présentent 
fréquemment des arêtes verticales, c'est ce qui rend 
souvent utile l'observation suivante. La projection 
horizontale de la ligne verticale se réduit à un seul 
point; la ligne passant par ce point dans le plan 
horizontal de projection et dirigée vers le point lumi- 
neux renferme toujours la projection horizontale de 
l'ombre de la verticale, sur quelque surface que cette 
ombre soit reçue; ce résultat est vrai, que le point 
lumineux soit à une distance finie ou infinie. En elï'et, 
dans l'un et l'autre cas, l'ensemble des rayons de 
lumière passant par la verticale forme un plan ver- 
tical qui doit contenir l'ombre de la verticale proposée, 
et qui la donnera par son intersection avec la surface 
qui doit recevoir l'ombre. La trace de ce plan vertical, 
dans le plan horizontal de projection, contiendra par 
conséquent la projection horizontale de l'ombre, 
quelle que soit la surface qui la reçoive. 

Au reste, cette observation s'applique également à 
toute droite perpendiculaire à un plan quelconque de 
projection. Le plan formé par les rayons de lumière 
qui passent par cette droite est perpendiculaire 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 77 

comme elle au plan de projection, cl sa trace sur ce 
plan doit contenir évidemment la projection sur ce 
même plan de l'ombre portée par la droite sur quelque 
surface que ce soit. On conçoit que dans quelques cir- 
constances et en choisissant avec intelligence les plans 
de projection, le résultat précédent peut simplifier 
beaucoup les opérations. 

Ce que nous venons de dire renferme à peu près 
tout ce qui est d'usage habituel dans la théorie des 
ombres, et résout les questions relatives aux corps ter- 
minés par des surfaces planes et des lignes droites 
et éclairés par un point unique. Les livres qu'on a 
coutume de publier sur cet objet vont rarement plus 
loin, et n'ajoutent guère à ce qui précède que divers 
développements d'opérations graphiques pour lesquels 
nous renverrons aux leçons de Géométrie descrip- 
tive. 

134. Passons maintenant au cas où le corps qui 
porte ombre n'est pas terminé par des surfaces planes. 
La ligne qui sépare, sur la surface du corps, la partie 
éclairée de la partie obscure n'est plus, en général, 
un assemblage d'arêtes facile à reconnaître; c'est une 
courbe qu'il faut déterminer par la seule propriété 
d'être la limite de ces deux parties. Les rayons de 
lumière que reçoit la partie éclairée pénétreraient 
dans le corps s'ils étaient prolongés; la partie obscure 
n'en reçoit pas, parce que ceux qui pourraient lui 
arriver auraient à traverser le corps qui portp ombre 
avant de lui parvejiir; mais il est facile de voir que les 
rayons qui vont à la courbe limite de la partie obscure 
et de la partie éclairée n'entrent pas dans ce corps 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



et ne font que toucher sa surface. Ces derniers rayons 
sont donc tangents à la surface du corps ; chacun d'eux 
se trouve dans un plan tangent à cette surface et pas- 
sant par le point lumineux. On peut donc construire 
la courbe dont il s'agit, en menant du point lumineux 
une suite de plans tangents à la surface du corps pro- 
posé et en déterminant les points de tajigence; chacun 
de ces points appartiendra à la courbe cherchée. Nous 
ne nous arrêterons cependant point à ce mode de 
solution, et nous allons en exposer un autre qui est 
aussi général et d'un emploi plus facile pour le genre 
de recherches dont il s'agit, car on sait que l'élégance 
et la simplicité des constructions graphiques dépendent 
du système de moyens qu'on adopte pour obtenir 
chaque élément du résultat. 

Nous supposerons toujours le point lumineux à une 
distance infinie, et la direction des rayons de lumière 
indiquée par les projections horizontale et verticale 
d'une ligne donnée, à laquelle ces rayons doivent être 
parallèles. Le corps qui porte ombre étant ccnnu de 
forme et de position, par rapport aux plans de pro- 
jection, ainsi que la surface sur laquelle l'ombre doit 
être reçue, on demande de construire la projection de 
cette ombre et, pour y parvenir, de déterminer sur la 
surface du corps qui porte ombre la ecurbe qui sépare 
la partie obscure de la partie éclairée. Cette dernière 
recherche, outre qu'elle entre dans la solution du pro- 
blème qui nous occupe, est encore i<itéressante pour 
les arts du dessin et de la peinture, puisqu'elle fait 
connaître sur la surface du corps éclairé, où doivent 
s'arrêter les teintes claires et commencer les teintes 
obscures. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 79 

La méthode que nous allons exposer est analogue 
à celle quia été donnée, dans la Géométrie descriptive, 
pour les intersections des surfaces cylindriques. 

Concevons un système de plans parallèles à la direc- 
tion de la lumière et, de plus, perpendiculaires à l'un 
des plans de projection, au plan vertical par exemple. 
Les opérations que nous allons indiquer pour l'un des 
premiers plans se répéteront aisément pour les autres. 

Nous remarquerons d'abord que, puisqu'il est per- 
pendiculaire au plan vertical de projection, il est 
entièrement projeté suivant sa trace, ainsi que toutes 
les lignes qu'il peut renfermer. On peut le concevoir 
comme composé de lignes parallèles à la direction de 
la lumière ou, ce qui revient au même,» de rayons lumi- 
neux. Or, il doit en général couper la surface du corps 
qui porte ombre suivant une courbe. Des rayons de 
lumière situés dans le plan, les uns rencontrent la 
courbe et s'y arrêlent : ils font évidemment partie des 
rayons qui sont interceptés par le corps proposé et 
dont l'interruption produit roiiibrc derrière ce corps; 
les autres ne rencontrent pas la courbe et, n'éprou- 
vant aucun obstacle, se propagent au loin dans l'espace ; 
enfin il se trouve des rayons de lumière qui, placés 
entre ceux qui rencontrent la courbe et ceux qui ne 
la rencontrent pas, ne font simplement que la toucher; 
et l'on observera que, si le corps qui porte ombre n'a 
pas des dimensions infinies, il doit se trouver en général 
deux rayons âe ce genre. Ces derniers, tangents à la 
section du corps par le plan que nous considérons, 
sont aussi tangents à la surface de ce corps; leurs 
points appartiennent donc, d'après ce que nous avons 
dit précédemment, à la courbe limite de la partie de 



8o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

la surface du corps qui est éclairée et de celle qui ne 
l'est pas; enfin leurs points de rencontre avec la sur- 
face sur laquelle l'ombre est reçue appartiennent 
également au contour de cette ombre. 

Ce sont donc ces rayons qu'il nous importe de re- 
connaître et de construire ; la propriété qui les carac- 
térise doit nous en fournir les moyens. Puisqu'ils sont 
tangents à la courbe d'intersection de la surface du \ 
corps qui porte ombre, par le plan que nous considérons, 
leurs projections horizontales doivent être tangentes 
à la projection de cette même courbe. La surface du 
corps est connue, le plan coupant est donné de posi- 
tion; supposons donc que la projection horizontale de 
leur intersection soit construite. Si nous menons à cette 
projection des tangentes parallèles à la direction du 
rayon de lumière projeté sur le plan horizontal, elles 
seront les projections des rayons dont il s'agit, et les 
points de tangence seront les projections horizontales 
de ceux où ces rayons de lumière touchent la surface 
du corps proposé. La projection ou la trace du plan 
coupant sur le plan vertical contient la projection 
verlicaie du rayon de lumière, et pour déterminer sur 
ces projections celles des points de tangence dont on 
vient de parler, il suffit d'élever par les projections 
horizontales de ces points des lignes perpendiculaires 
à la commune intersection des deux plans de projec- 
tion. On obtient donc ainsi, en projections horizon- 
tale et verticale, deux points de la courbe qui, sur la 
surface du corps proposé, sépare la partie éclairée de 
celle qui ne l'est pas. 

Si l'opération que nous venons d'indiquer se répète 
pour un nombre quelconque de plans parallèles à la 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



lumière et perpendiculaires au plan vertical de pro- 
jection, on trouvera, en projection horizontale, une 
pareille suite de points, par lesquels faisant passer une 
courbe on aura la projection de la courbe limite qui, 
sur la surface proposée, sépare la partie éclairée de la 
partie obscure. On trouvera également, en projection 
verticale, une autre suite de points, et la courbe qui les 
réunira sera la projection verticale de la même courbe 
limite. 

Occupons-nous maintenant de la détermination du 
contour de l'ombre sur la surface qui doit la recevoir. 
Le plan parallèle à la lumière, que nous avons d'abord 
considéré, détermine en général, comme nous l'avons 
vu, deux rayons lumineux tangents à la surface du 
corps qui porte ombre, et qui sont eux-mêmes situés 
dans ce plan. Les points de rencontre de ces rayons 
avec la surface qui reçoit l'ombre appartiennent au 
contour qu'il s'agit d'obtenir. Ces points de rencontre 
doivent évidemment être placés sur la courbe de l'in- 
tersection du plan avec cette même surface. Le plan 
et la surface étant connus et déterminés de position, 
on peut construire la projection horizontale de leur 
intersection. Supposons cette projection construite; 
les projections horizontales des deux rayons de lumière 
que nous considérons la rencontreront en des points 
qui seront les projections de ceux où les rayons eux- 
mêmes rencontrent la surface; et ces derniers points 
appartiennent, ainsi que nous l'avons dit, au contour 
demandé. Si des points obtenus en projection horizon- 
tale, on mène des lignes perpendiculaires à la com- 
mune intersection des plans de projection, ces lignes 
détermineront, par leur rencontre avec la projection 

MO.NuE. — 11. 6 



82 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. ' 

verticale du plan coupant sur lequel nous avons opéré, 
les projections verticales des mêmes points du contour 
de l'ombre portée. 

En répétant cette dernière opération pour chacun 
des pians parallèles à la direction de la lumière, on 
obtiendra, sur l'une et l'autre projection, une série 
de points par lesquels faisant passer des courbes on 
aura les projections horizontale et verticale du con- 
tour de l'ombre du corps proposé sur la surface des- 
tinée à la recevoir. 

Au nombre des plans parallèles à la direction de la 
lumière, il peut s'en trouver qui, après avoir coupé 
le corps portant l'ombre, ne rencontrent pas la surface 
qui doit la recevoir, ou quelques-uns des rayons tan- 
gents à la surface du corps, et déterminés par ces plans, 
peuvent ne pas rencontrer ensuite la courbe d'intersec- 
tion de ces mêmes plans avec la surface sur laquelle 
on suppose que l'ombre doit être portée. Dans l'un 
et l'autre cas, ces circonstances feront reconnaître que 
cette surface ne reçoit pas entièrement l'ombre portée 
par le corps, mais qu'une partie lui échappe, pour être 
reçue par une surface plus éloignée ou se perdre dans 
l'espace. 

Pour rendre tout ce qui précède plus facile à com 
prendre, nous allons l'appliquer à un exemple. 

Soit une sphère représentée par les projections 
verticale et horizontale A, A' (fig, 5i) de deux de 
ses grands cercles; supposons que la direction des 
rayons djC lumière soit donnée par les projections LL, 
L'L' d'une ligne à laquelle ils doivent être parallèles, 
et cherchons les projections horizontale et verticale 
de la ligne qui sépare la partie éclairée de la surface 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



B3 



Fis Si 




84 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

de la sphère de la partie obscure, et celles du contour 
de l'ombre portée par la sphère sur un cylindre droit 
à base circulaire, donné en projection horizontale par 
le cercle B'. 

Conformément à la méthode que nous venons 
d'exposer, concevons une suite de plans parallèles 
à la direction de la lumière, perpendiculaires au plan 
vertical de projection, et par conséquent projetés sur 
ce plan suivant leurs traces Pp, PiPi, P2 P2j • • •• 
Considérons en particulier le plan P; il coupera la 
sphère suivant une courbe dont la projection verti- 
cale ne peut être que sur la trace Pp, et dont la pro- 
jection horizontale sera la courbe p'p'p'p'' Après 
l'avoir construite nous lui mènerons les deux tan- 
gentes ^' B' et 1' t\ parallèles à L'L', lesquelles 
seront les projections horizontales de deux rayons de 
lumière tangents à la sphère; quant aux projections 
verticales de ces mêmes rayons, elles ne peuvent être 
l'une et l'autre que la trace Pp elle-même. Les points 
de tangence T' et 0' sont les projections des deux 
points où ces rayons de lumière touchent la sphère, et 
qui appartiennent par conséquent à la courbe qui 
sépare, sur sa surface, la partie éclairée de la partie 
obscure. Pour avoir les projections verticales de ces 
mêmes points, on mènera les deux lignes T'T et 0' 0, 
perpendiculaires à la commune intersection des deux 
plans de projection, prolongées jusqu'à la rencontre 
de la trace Pp, et l'on obtiendra ainsi, en T et 0, les 
projections verticales des deux points dont il s'agit. 
En répétant pour chacun des plans P^, Pg, P3, P4, • . . 
l'opération que nous venons d'exécuter pour le 
plan P, on trouvera sur le plan horizontal la courbe 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 85 

rr,T;0; 0'(-);e;r3, et sur le pian vertical la 
courbe TTj Tg ©i ©©3 0; Tg, pour les projections de 
celle qui, sur la sphère, sépare la partie éclairée de la 
partie obscure. 

Reprenons les rayons de lumière dont T't' et S' 0' 
sont les projections horizontales, et dont Pp est la 
projection verticale, et cherchons les points où ils 
rencontrent la surface du cylindre ; ce seront des 
points du contour de l'onibre portée sur cette surface 
par la sphère. Le plan P coupe la surface du cylindre 
suivant une courbe projetée sur le plan horizontal, 
dans le cercle qui sert de base au cylindre. Les lignes 
T't' et 0' 6' rencontrent ce cercle dans les points r' 
et p', qui sont par conséquent les projections horizon- 
tales des points de rencontre que nous cherchons; 
pour avoir leurs projections verticales, il suffît de 
mener les lignes r' r et p' p perpendiculaires à la com- 
mune intersection des deux plans de projection, et 
jusqu'à la rencontre de la ligne Pp. Si l'on répète 
également cette dernière opération, relativement aux 
autres plans Pj , Pg, . . ., on trouvera les projections 
verticales de divers autres points de contour de 
l'ombre portée par la sphère sur le cylindre, et l'on 
construira la courbe rrir2 pi ppg p^ qui sera la projec- 
tion verticale de ce contour. 

En considérant le plan P3 et les deux lignes T._^t'^ 
et ©3 0'.^ qui sont les projections horizontales des deux 
rayons de lumière tangents à la sphère, situés dans le 
plan dont il s'agit, on observera que l'une de ces pro- 
jections, celle qui est désignée par T3 ^3, ne rencontre 
pas la base du cylindre, qui est la projection horizon- 
tale, ainsi que nous l'avons observé de la section de 



86 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

la surface cylindrique par le plan Pg; le rayon de lu- 
mière auquel appartient la projection T^ t'.^ ne ren- 
contre donc pas cette surface et passe à côté. On en 
conclura que l'ombre portée par la sphère n'est pas 
reçue en entier par le cylindre, et que le contour de 
cette ombre sur la surface cylindrique n'est point 
fermé, mais s'arrête aux points où les rayons de lu- 
mière tangents à la sphère sont aussi tangents au 
cylindre. 



135. Nous avons supposé jusqu'à présent que le 
point lumineux était à une distance infinie; et cette 
hypothèse est celle qui est le plus fréquemment admise, 
parce qu'elle est à peu près conforme à la manière 
dont les corps sont éclairés par le Soleil; mais si l'on 
supposait le point lumineux à une distance finie, il 
suffirait, pour rendre la méthode précédente appli- 
cable encore dans ce cas, de substituer aux plans paral- 
lèles que nous avons employés une suite de plans 
assujétis à passer par le point lumineux, et du reste 
toujours perpendiculaires au plan vertical de projec- 
tion, comme dans la première hypothèse. 

Le procédé que nous venons d'exposer peut souvent 
se simplifier dans les questions particulières, d'après 
la génération de la surface du corps qui porte l'ombre 
et de celle qui la reçoit. Nous renverrons, à cet égard, 
aux méthodes de la Géométrie descriptive qui, dans 
ces recherches, sont susceptibles de diverses applica- 
tions intéressantes. Il nous suffit d'avoir fait con- 
naître un mode de solution qui comprend dans toute 
sa généralité le problème de la détermination gra- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 87 

phîque des ombres, lorsque le corps lumineux se 
réduit à un point unique. 

La solution de ce problème satisfait à peu près à 
tout ce que demandent habituellement les arts du 
dessin; ce qui nous reste à dire nous donnera lieu de 
fr\iie quelques observations qui ne seront jjas sans 
iiUérêt sous le rapport de ces mêmes arts; mais comme 
. n supposant que le corps lumineux ait dos diiru nsions 
Unies, les constructions graphiques deviennent extrê- 
mement compliquées, et seraient d'ailleurs d'un usage 

peu près nul, ce sera plutôt sous le point de vue de la 
héorie que sous celui des applications que nous allons 
îraiter cette dernière partie de la détermination 
linéaire des ombres. 

Lorsque le corps lumineux n'est qu'un point et que 
rien dans l'espace ne réfléchit la lumière, l'ombre 
portée par un corps opaque sur une surface placée der- 
rière doit êtTv? parfaitement noire, puisque aucun rayon 
ne peut y arriver directement, à raison de l'interposi- 
tion du corps opaque, ni indirectement, car nous sup- 
posons qu'il n'existe aucun autre objet qui puisse y 
réfléchir de la lumière. Cette ombre étant donc d'un 
noir absolu sera par conséquent égale dans toute son 
étendue; et de plus elle se terminera brusquement à 
son contour qui sera une ligne parfaitement nette et 
prononcée. 

11 n'en est pas ainsi lorsque le corps lumineux a des 
dimensions finies; le contour n'est pas tranche brus- 
quement, et c'est par une dégradation insensible que 
l'on passe du noir de l'ombre à la clarté. 

En efîet, cherchons et qui a lieu dans ce cas, en 
bupposant toujours qu'il n'existe dans l'espace que le 



88 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

corps lumineux, le corps opaque et la surface qui reçoit 
l'ombre. 

Concevons un plan tangent à la fois au corps lumi- 
neux et au corps opaque, et tel que les deux corps se 
trouvent du même côté relativement au plan; puis 
concevons-en un semblablement tangent et infiniment 
voisin du premier, qu'il coupera suivant une droite 
tangente à la fois aux deux corps. Concevons encore 
un troisième plan tangent, infiniment voisin du second ; 
il le coupera suivant une autre droite également tan- 
gente aux deux derniers pians, et l'on observera que 
cette seconde ligne doit rencontrer la première, 
puisque l'une et l'autre se trouvent sur le second plan 
tangent. En multipliant ainsi les plans tangents, on 
aura une suite de lignes tangentes à la fois aux deux 
corps et se rencontrant deux à deux; elles appar- 
tiendront à une surface que l'on doit reconnaître, 
d'après sa génération que nous venons d'indiquer, 
pour être du genre de celles qu'on appelle déç>elop- 
pables (110). 

Cette surface développable enveloppe à la fois le 
corps lumineux et le corps opaque; et dans la partie 
de l'espace qu'elle renferme au delà de ce dernier, il 
ne peut pénétrer aucun rayon lancé par le corps lumi- 
neux; l'aire de l'intersection de cette surface avec celle 
qui reçoit l'ombre sera donc d'un noir parfait, et par 
conséquent égal dans toute son étendue. 

Maintenant, concevons une autre suite de plans 
tangents au corps lumineux et au corps opaque, mais 
placés de manière que l'un de ces corps se trouve d'un 
côté du plan, et que l'autre se trouve du côté opposé; 
les intersections successives de ces plans donneront 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 89 



naissance, comme tout à l'heure, à une nouvelle sur- 
face développable qui enveloppera, ainsi que Ja pré- 
cédente, le corps lumineux et le corps opaque; maii 
on observera, par rapport à cette surface et aux lignes 
droites dont on peut la concevoir composée, que l'un 
(les corps se trouve d'un côté et l'autre du côlé opposé, 
il résulte de cette disposition que, de tous les points 
extérieurs à cette seconde surface développable, on 
découvre en entier le corps lumineux, sans qu'aucune 
partie de ce corps puisse être cachée par l'interposition 
du corps opaque. Si l'on construit l'intersection de 
cette surface avec celle qui reçoit l'ombre, chacun des 
points situés en dehors de cette intersection jouira 
d'une clarté totale, c'est-à-dire recevra tous les rayons 
qui peuvent lui parvenir du corps lumineux. 

Si l'on considère maintenant les deux surfaces déve- 
loppablcs à la fois, on remarquera que dans l'espace 
qu'elles comprennent entre elles, au delà de leurs 
courbes de tangence avec le corps opaque, une partie 
des rayons lancés par le corps lumineux est inter- 
ceptée par le corps opaque, et qu'ainsi cette portion 
de l'espace n'est pas complètement éclairée. Cher- 
chant ensuite ce qui a lieu sur la surface qui reçoit 
l'ombre, on observera que l'aire comprise entre les 
deux contours donnés par les intersections de cette 
surface avec les deux surfaces développables forme, en 
général, une espèce d'anneau pour lequel l'ombre et 
la clarté sont incomplètes. Au milieu se trouve l'ombre 
absolue, et en dehors la clarté totale; mais chacun des 
points situés dans l'aire annulaire elle-même ne reçoit 
qu'une partie des rayons émanés du corps lumineux, 
le reste lui étant enlevé par l'interposition du corps 



()0 LES MAITRES t)E LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

opaque. Si ce point, pris sur Faire annulaire, est voisin 
du contour intérieur donné par ]a première surface 
développable, il ne peut recevoir la lumière que d'un 
très petit segment du corps lumineux, le corps opaque 
lui dérobant tout le reste; il est par conséquent très 
près de l'obscurité. Si ce même point est voisin du 
contour extérieur donné par la seconde surface déve- 
loppable, il n'y a, par rappoit à lui, qu'ime très petite 
partie du corps lumineux qui reste couverte par le 
corps opaque; il est donc très près de jouir de la clarté 
totale. On voit par là que du contour intérieur au 
contour extérieur, dé terminés par les deux surfaces déve- 
loppables, l'ombre va en diminuant et la clarté en aug- 
mentant, de manière qu'il y a une dégradation insen- 
sible entre î'ombie absolue renfermée dans le contour 
intérieur, et la clarté totale qui a lieu au delà du con- 
tour extérieur : cette aire annulaire, qui entoure 
l'ombre absolue et dans laquelle l'ombre et la clarté 
sont incomplètes, se nomme la pénonihre^ ce qui si- 
gnifie presque ombre. 

Nous n'avons encore considéré la distribution de 
l'ombre et de la lumière que sur la surface placée der- 
rière le corps opaque ; il nous reste à la considérer éga 
lement sur la surface même de ce corps. 

La courbe de tangence de la première surface déve- 
loppable avec le corps forme la ligne de séparation de 
la partie de la surface qui ne peut recevoir aucun rayon 
de lumière de celle qui peut en recevoir. La courbe de 
tangence avec la seconde surface développable forme 
également, sur la surface du corps opaque, la ligne qui 
sépare les points pour lesquels une partie des rayons 
lumineux est interceptée par la convexité même du 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 9I 



corps opaque, de ceux pour lesquels cette convexité 
ne peut en arrêter aucun. Il se trouve donc sur la sur- 
face du corps opaque, entre sa face obscure et sa face 
éclairée, une zone ou pénombre, sur laquelle l'intensité 
de l'ombre diminue par gradation insensible, pour 
passer de l'ombre absolue à la clarté totale. 

Ce que nous venons d'exposer, en embrassant dans 
toute sa généralité le problème qui nous occupe, se 
simplifie beaucoup et devient très sensibl»^ dans des 
exemples particuliers. Supposons que le corps lumi- 
neux et le corps opaque soient l'un et l'autre des 
sphères représentées par les cercles L et O {fig. 62) 
sur un plan de projection, dans lequel leurs 
centres soient placés ; que la surface sur laquelle 
l'ombre doit être portée soit le plan SS perpendicu- 
laire à la ligne LO qui joint les centres des sphères. 
Dans ce cas, tous les plans tangents à la fois aux. deux 
corps et placés de manière qu'ils se trouvent tous du 
même côté, par rapport à chaque corps, formeront, 
comme on le sait, par leurs intersections successives, 
une surface conique que nous indiquerons par les 
lignes TT', TT', suivant lesquelles cette surface coupe 
le plan de projection. Son sommet, ou centre, tom- 
bera au delà de la sphère 0, si cette sphère est d'un 
rayon plus petit que la sphère L; et au contraire en 
deçà de L, si cette dernière sphère est la plus petite. 
C'est à cette surface conique que se réduit la première 
surface développable que nous avons considérée en 
traitant le cas général. On voit aisément que l'espace 
qu'elle renferme au delà de la sphère opaque ne peut 
recevoir aucun rayon de lumière émané de la sphèr<; L; 
son intersection avec le plan SS est un cercle dont MN 



9^- 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 98 

est le diamètre et dont rintéricur est absolument 
privé de lumière. 

Si l'on conçoit maintenant d'autres plans tangents 
également aux deux sphères, mais tels que ])ar ri)]>p<>rt 
à chaque plan l'une des sphères se trouve d*un côté 
et l'autre du côté opposé, ces plans, par leurs inter- 
sections successives, formeront une autre surface 
conique dont le sommet sera placé entre les deux 
sphères, et que nous indiquerons comme la première, 
par les lignes tt\ tt\ qui sont ses intersections avec le 
plan de projection; cette seconde surface conique 
répond à la seconde surface développable que nous 
avons considérée, dans le cas général. On voit de 
même que tout l'espace qu'elle laisse à son extérieur 
reçoit les rayons émanés de la sphère L, sans qu'aucun 
soit arrêté par la sphère 0. Son intersection avec 
le plan SS est un cercle dont mn est le diamètre, et tous 
les points du plan, extérieurs à ce cercle, reçoivent les 
rayons de lumière sans obstacle de la part de la 
sphère opaque. 

Mais l'espace compris entre les deux surfaces co- 
niques au delà de leurs courbes de tangence avec la 
sphère, et qui se trouve indiqué sur le plan de projec- 
tion par les aires angulaires T'ct\ T'ct\ ne reçoit pas 
complètement les rayons lumineux de la sphère L, 
puisque chacun de ses points ne peut découvrir qu'une 
partie du corps lumineux, le reste lui étant dérobé 
par l'interposition de la sphère opaque : cet espace ne 
sera donc pas entièrement obscur ni entièrement 
éclairé. Les points du plan SS, situés entre le cercle du 
diamètre MN et le cercle du diamètre mn, seront dans 
ce cas: l'intervalle de ces deux cercles formera donc 



94 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

un anneau pour lequel ni l'ombre ni la clarté ne seront 
absolues. 

Si, sur cet anneau, on prend un point voisin du 
cercle intérieur, tel que le point p, on voit, d'après 
la figure, qu'il ne peut recevoir des rayons lumineux 
que de la partie de la sphère L, correspondant à 
l'arc g/; si, au contraire, on prend un point voisin du 
cercle extérieur, tel que p', on voit qu'il peut recevoir 
des rayons de la partie de la sphère lumineuse, cor- 
respondant à l'arc g' /', beaucoup plus grand que g/; 
la clarté doit donc aller en augmentant, ou l'ombre 
en diminuant, du cercle intérieur au cercle extérieur, 
ou dans l'étendue de ce que nous avons nommé la 
pénombre. 

Sur la surface de la sphère opaque, la courbe de tan- 
gence du premier cône est un cercle projeté suivant 
son diamètre aa. La courbe de tangence du second 
cône est un autre cercle projeté suivant son diamètre hh. 
La partie de la surface de la sphère qui est au delà 
du cercle aa est entièrement dans l'obscurité; celle 
qui est en deçà- du cercle hh reçoit sans obstacle tous 
les rayons de lumière. Mais les points situés sur la zone 
comprise entre ces deux cercles ne voient qu'en partie 
ia sphère lumineuse, sont par conséquent dans un état 
intermédiaire entre la clarté et l'obscurité, et l'ombre 
perd de son intensité, du cercle aa au cercle hh^ sans 
qu'il y ait nulle part de passage brusque et précis : il 
y a également une sorte de pénomhre dans l'étendue 
de cette zone. 

On peut regarder, on général, comme inutile de 
déterminer d'une manière géométrique les contours 
des pénombres, ce qui serait d'ailleurs fort long et fort 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 9^ 

embarrassant; mais quelques observations assez 
simples peuvent fournir des données sur la mesure ô,e 
la largeur qu'il convient de leur attribuer. 

La distance entre le corps lumineux L et le corps 
opaque restant la même, si Ton rapproche parallè- 
lement à lui-même le plan SS de ce dernier, la ligne Nn 
qui indique la largeur de la pénombre diminue, si l'on 
éloigne ce plan elle augmente; on voit aisément qu'elle 
est proportionni Ile à la distance du corps opaque au 
plan sur lequel l'ombre est portée, et qu'elle dépend 
d'ailleurs de l'angle ncN formé par les arêtes TT' 
et tt' des deux cônes qui enveloppent la sphère opaque 
et la sphère lumineuse, angle qui dépend lui-même 
de la distance entre le corps opaque et le corps lumi- 
neux, et des dimensions de ce dernier. 

Si nous supposons que le corps lumineux soit le 
Soleil, la distance de cet astre à la Terre étant partout 
sensiblement la même, l'angle dont il s'agit sera tou- 
jours égal, quel que soit le corps opaque que l'on con- 
sidère comme éclairé par le Soleil. Cet angle mesure 
ce qu'on appelle le diamètre apparent du Soleil ; il est 
d'environ un demi-degré, et de cette donnée on peut 
conclure que la largeur de la pénombre sera environ 
la ii5^ partie de la distance comprise entre le point 
qui porte l'ombre et celui où elle est reçue sur le plan, 
que nous supposons à peu près perpendiculaire à la 
direction du rayon de lumière. Il est facile de voir que s'il 
s'éloignait de cette position, la largeur de la pénombre 
augmenterait d,ans le rapport inverse du sinus de 
l'angle que le plan ferait avec la direction de la lu- 
mière; on trouverait par exemple, en supposant cet 
angle de 4o°» tjue la laçgeur d,ç la pé^omlprç devrait 



96 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



être la 8i® partie de la distance entre le point qui porte 
l'ombre et celui où cette ombre est reçue. 

Il est donc essentiel dans les dessins de donner une 
plus grande largeur à la pénombre, à mesure que 
l'ombre portée s'éloigne de l'objet qui la produit, et 
les résultats que nous venons d'indiquer suffisent 
pour faire connaître l'étendue à donner à chaque partie 
de la pénombre, avec plus de précision même que 
l'exécution des dessins ne le comporte ordinairement. 

Nous avons remarqué qu'il se trouvait également 
une pénombre, ou zone incomplètement éclairée, sur 
la surface du corps opaque. Supposons toujours que ce 
corps soit la sphère 0; et pour trouver l'étendue de 
l'arc ba qui mesure la largeur de la pénombre, conce- 
vons aux points è et a deux normales à la surface, qui, 
dans le cas de la sphère, seront les deux rayons ob 
et oa. On sait que l'angle formé par les normales est 
égal à celui que forment entre elles les tangentes TT' 
et tt'; ainsi, la mesure de l'arc ba ne dépend que de 
deux éléments, l'angle formé par les tangentes et le 
rayon ob auquel l'arc est proportionnel. 

Si la lumière vient du Soleil, l'angle dont il s'agit 
est toujours le même, quel que soit le corps éclairé, 
et d'un demi-degré à peu près. 

On en conclura donc que la largeur de la pénombre 
sur la sphère est à peu près égale à la ii5^ partie du 
rayon. 

On peut, sans erreur sensible, étendre ce résultat 
à un corps de figure quelconque, en observant qu(?' 
pour avoir la largeur de la pénombre correspondant 
à un point déterminé de la ligne de séparation dt la 
face obscure et de la face éclairée de ce corps, il faut 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



concevoir par ce point, et dans le sens du rayon de lu 
niière, un plan normal à la surface du corps, et prendre 
la II 5® partie du rayon de courbure de cette section. 
I^a nous hornani à ce qui précède, sur cette partie 
<lr la théorie des ombres qui a pour objet la déter- 
mination géométrique de leurs contours, il nous reste 
à traiter de celle ((ui est relative à la recherche de 
riiilensité des teintes qu'il faut donner aux différentes 
parties des surfaces ombrées, pour qu'elles nous 
offrent dans les dessins toutes les apparences d'ombre 
et (le lumière que les objets imités nous présentent 
dans la nature ; mais pour embrasser un tel sujet dans 
toute son étendue, il ne suffit pas d'envisager unique- 
ment, comme nous l'avons fait jusqu'à présent, un 
corps lumineux, un corps opaque et une surface qui 
reçoit l'ombre, en faisant abstraction de toute cir- 
constance accessoire. Il faut étudier les objets avec 
tout ce qui les entoure dans la réalité, et avoir égard, 
entre autres choses, à la position du spectateur et 
aux modifications que la lumière peut éprouver avant 
d'arriver à son œil, pour y porter la sensation du 
spectacle sur lequel il attache sa vue; ces considéra- 
tions nous semblent exiger que nous fassions précéder 
ce que nous avons à dire sur cette matière par l'exj 
si t ion de la théorie de la perspective. 



no- 



THÉORIE DE LA PERSPECTIVE. 

136. L'art de la Perspective consiste à représenter, 
sur un tableau dont la forme et la position sont con- 
nues, des objets également donnés de forme et de 
position, tels qu'ils paraîtraient à un œil dont la posi- 

MONGE. — II. "j 



gS LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

tion serait aussi déterminée. Pour rendre cette défini- 
tion encore plus sensible, supposons que le tableau 
soit d'abord une glace transparente. Si, de tous les 
points des objets proposés, on conçoit des rayons 
dirigés vers l'œil, que ces rayons, en traversant le 
tableau transparent, y laissent leurs traces em- 
preintes de la couleur et de la teinte propre aux points 
dont ils partent, l'ensemble de ces traces formera sur 
le verre la représentation complète des objets : c'est 
cette représentation qu'on se propose d'obtenir dans 
l'art de la perspective. On voit qu'ici, comme dans la 
théorie des ombres, on doit admettre deux parties 
distinctes : l'une est purement géométrique, et son 
objet est de déterminer d'une manière précise sur le 
tableau la position de chaque point représenté; 
l'autre a pour objet la recherche de la teinte d'ombre 
et de lumière qu'on doit donner à chaque' partie du 
tableau, et c'est par des considérations physiques 
qu'on peut en général la traiter. Cette dernière partie, 
qu'on désigne sous le nom de Perspectwe aérienne^ 
rentre entièrement dans le cercle des recherches que 
nous essaierons d'exposer plus taTd, pour compléter la 
théorie des ombres; nous ne nous occuperons donc ici 
que de la première partie, appelée Perspectwe linéaire. 
D'après les définitions que nous venons de donner, 
il est facile de concevoir que la perspective linéaire 
se réduit à construire la section qu'une surface déter- 
minée fait dans une pyramide dont le sommet et la 
base sont donnés. L'œil est le sommet; la base peut 
être regardée comme répandue sur la surface des 
objets qu'on se propose de mettre en porspecftive, et 
la surface sécant;e est le tableau. 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. Ç)i) 



Les méthodes de la Géométrie descriptive donnent 
aisément la solution de ce problème pris dans toute sa 
généralité, c'est-à-dire, en supposant même que le 
tableau soit une surface courbe quelconque; cepen- 
dant, comme nous avons surtout en vue ce qui est 
d'une utilité habituelle dans les arts, nous ne nous 
étendrons avec quelque détail que sur ce qui concerne 
les perspectives à tracer sur des surfaces planes, et 
nous nous contenterons de présenter ensuite quelques 
observations concernant les perspectives à construire 
&ur des surfaces courbes. 

Nous supposerons que le tableau soit un plan ver- 
tical ou perpendiculaire à celui des plans de projec- 
tion que l'on considère comme horizontal; on pour- 
rait sans difficulté le supposer incliné d'une manière 
quelconque par rapport à ces plans ; mais l'hypothèse 
à laquelle nous nous arrêtons est plus naturelle et sim- 
plifie les constructions. 

Ainsi, la position de l'œil, celle d'un objet connu de 
forme et enfin celle d'un plan vertical étant données 
par rapport aux plans de projection, il s'agit de 
trouver les rencontres de ce plan avec les droites 
menées de l'œil à chacun des points de l'objet proposé, 
et de les rapporter sur un tableau représentant ce 
même plan vertical supposé rabattu. 

Diverses constructions peuvent donner les points 
de rencontre avec plus ou moins d'avantage et de 
facilité, selon les positions respectives de l'objet, de 
l'œil et du tableau; nous allons exposer en premier 
lieu celle qui est la plus simple et ordinairement la 
plus commode. 

Plaçons d'abord le plan vertical de projection dans 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



une position telle, que celui du tableau lui soit per- 
pendiculaire, et qu'en conséquence ce dernier s'y 
trouve projeté par une ligne verticale qui sera sa trace. 
Soient 0' et 0" {fig. 53) les projections de l'œil, 
T'T' et "Y""Y" celles du tableau, ou les traces du 
])lan vertical aTU|uel il appartient; supposons qu'on 
ait au delà les projections des objets à nieltre en 
perspective déjà faites, ou (pie l'on doit conunencer 
par faire sur les plans de projection qu'on a adoptés; 
par exenqde, celles d'une pyramide à base quadrangu- 
laire, dont les sommets ou angles solides A, B, C, D, E 
soient donnés en projection borizonlale aux points A', 
B', C, D', by, et en projection verticale aux points A", 
B", C, \)\ \\". 

Si, de l'ceil, oji mène une ligne à im premier point 
de l'objet proposé, on aura })our les projections de celte 
ligne les droites O'A' et 0"A". Les points a' et a", où 
ces droites coupent les projections T' T' et T" T" du 
tableau, sont évidemment les projections du point 
de rencontre du rayon visuel avec le tableau; il ne 
s'agit plus que de trouver la position de ce point sur le 
tableau lui-même, que nous concevrons enlevé de sa 
position x'T'T"T" et placé en MN. Un moyen sinq^le 
d'y parvenir est de déterminer sur ce tableau deux 
lignes que l'on prendra pour des axes auxquels tous les 
autres points doivent se rapporter; la position de ces 
axes étant fixée sur les plans de projection, on cber- 
chera la distance à laquelle se trouve, de cliacun d'eux, 
le point de rencontre du rayon visuel avec :e tableau, 
et à l'aide de ces distances la situation du point sur le 
tableau sera facile à marquer. Ces deux axes pouvant 
être pris arbitrairement, nous supposerons que, par 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



[01 



Fio^ S3 




^ 



T' 




?0> LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

l'œil, on mène deux plans, l'un horizontal et l'aut e 
vertical, perpendiculaires tous deux au tableau; leurs 
traces sur ceux de projection seront O'Y et 0"X; ils 
couperont le plan du tableau suivant deux lignes, l'une 
horizontale, représentée en projection verticale par le 
point X, et l'autre verticale, représentée en projection 
horizontale par le point y; ces deux lignes seront les 
axes que nous adopterons et, sur le tableau, nous les 
représenterons, savoir, par XX l'axe horizontal, et 
par Y Y l'axe vertical. 

Cela posé, nous avons dit que a' est la projection 
horizontale du point où le rayon visuel mené au pointA 
rencontre le tableau ; ya' sera donc la distance à laquelle 
co point doit se trouver de la verticale passant par le 
point î/, ou de l'axe YY sur le tableau MN. Si donc sur 
ce tableau on mène à droite ou à gauche de l'axe YY, 
selon qu'en projection horizontale a' est à droite ou à 
gauche de î/, une parallèle à une distance égale à ya\ 
cette parallèle aa^ renfermera le point cherché. De 
n^ême a" étant la projection verticale du même point, 
xci"' mesure la distance à laquelle ce point se trouve de 
l'axe horizontal, mené dans le tableau par le point x : 
qu'on tire donc sur le tableau une parallèle a" a à 
l'axe XX, en ayant l'attention de la placer au-dessus 
ou au-dessous, selon que dans la projection verticale 
le point a" sera au-dessus ou au-dessous du point x; 
les deux lignes a'a, a"a, parallèles aux axes, donneront 
par leur rencontre le point cherché, ou la perspective 
du point A; on peut faire la même opération pour tous 
les points de la pyramide ABGDE dont on obtiendra 
ainsi la perspective complète. 

Quelques observations abrégeront beaucoup le 



GÉOMÉTRIE DESCRrPTIVE. I03 

travail; on remarquera d'abord que la perspective 
dune ligne droite est une ligne droite lorsque le 
tableau est une surface plane. En elVet, les rayons 
visuels menés de l'œil aux divers poinfs de la droite 
j.roposée sont dans le plan mené par cette droite et 
]iar l'œil; par conséquent, leurs points de rencontre 
avec le tableau doivent être sur la droite d'intersec- 
tion du tableau par le plan auquel ils appartiennent. 
Ainsi, il suffît de construire les perspectives de deux 
points de la ligne proposée et de les joindre par une 
droite, pour avoir la perspective de la ligne eFîe-même. 
Dans l'exemple que nous avons pris, on pourra donc 
se contenter de construire les perspectives des cinq 
sommets A, B, C, D, E de la pyramide; et en les joi- 
gnant par des droites, on aura les perspectives des 
arêtes. 

En second )ieu, si le corps dont on veut faire la pers- 
pective est opaque et inipérjctrablc aux rayons visuels, 
la partie antérieure dérobera la vue de l'autre partie; 
il est donc inutile de construire la perspective des 
points qui appartiennent à cette dernière; ainsi, dans 
l'exemple proposé, le point E de la pyramide ne pou- 
vant être aperçu de î'œil placé au point O, il est inu- 
tile de cbercher sur le tableau MN le point qui lui 
correspond. 

La partie visible d'un objet est séparée de celle que 
l'œiî ne peut apercevoir par une ligne que Ton appelle 
contour apparent. La perspective du contour apparent 
est le trait qui, sur le tableau, enveloppe l'image de 
l'objet qu'on se propose de représenter; il est donc im- 
portant, en général, de bien détermine r le contour appa- 
rent d'nn objet et d'en faire avec soin la perspective. 



I04 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



Lorsque les objets à représenter sont terminés par 
des surfaces planes et des arêtes reclilignes, il est en 
général facile de distinguer les faces visibles, pour une 
position déterminée de l'œiJ, de celles qui ne le sonl 
pas, et par conséquent de reconnaître celles des arêtes 
dont l'assemblage forme la ligne du contour apparent. 
Mais lorsque ces objets sont terminés par des surfaces 
courbes, le contour apparent n'est plus formé de lignes 
droites : c'est alors une courbe qu'il faut déterminer 
sur Ja surface du corps, à l'aide de son caractère par- 
ticulier, qui est de séparer la partie du corps qui est 
V sible de celle qui ne l'est pas, par rapport à un œil 
doiil la position est donnée. On voit que cette re- 
cherche est tout à fait semblable à celle de la ligne qui 
sépare, sur un corps opaque, la partie éclairée de la 
partie obscure, lorsque le corps lumineux est un point 
unique, placé à une distance finie : il s'agit également 
de trouver la courbe de t|ingence d'un cône dont le 
sommet est donné, et qui enveloppe un corps terminé 
par une surface connue. Nous croyons inutile de nous 
arrêter à cette recherche, et nous renverrons aux solu- 
tions que nous avons données des questions parfaite- 
ment analoo;ues, dans la théorie des ombres. 



137. Nous devons faire connaître ici un résultat de 
perspective très important par ses fréquentes appli- 
cations, et dont l'observation est essentielle pour la 
correction du dessin; il consiste en ce que toutes les 
fois que l'on doit mettre en perspective plusieurs 
lignes droites parallèles entre elles (mais non pas au 
tableau), sur quelque tableau que ce soit, les perspec- 
tives de ces droites concourent en un seul point. Si 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. I05 

ce tableau est plan, ces perspectives sont elles-mêmes 
des lignes droites qui passent toutes par le même point, 
proposition facile à démontrer. 

En effet, une droite étant donnée pour la mettre en 
perspective, on conçoit que l'ensemble de tous les 
rayons visuels menés de l'œil à cette ligne forme un 
plan passant par la ligne et par l'œil, et dont l'inter- 
section par le tableau trace la perspective demandée; 
alors, si par l'œil on suppose une droite parallèle à la 
ligne donnée, elle se trouve en entier dans le premier 
plan. Maintenant, qu'on ait une seconde ligne, paral- 
lèle à la première, à mettre également en perspective, 
et que l'on considère aussi le plan passant par cette 
ligne et par l'œil, comme traçant par son intersection 
avec le tableau la perspective qu'il s'agit d'obtenir, 
puis qu'on mène par l'œil une droite parallèle à la 
seconde ligne donnée, elle sera entièrement dans le 
second plan. Mais les deux lignes données étant paral- 
lèles, les droites qu'on mène par l'œil, parallèlement 
à la première et à la seconde, se confondent en une 
seule qui est en même temps dans le premier plan et 
dans le second : elle est donc leur ligne d'intersection; 
le point où elle rencontre le tableau est par conséquent 
celui où se croisent les lignes suivant lesquelles ces 
plans coupent le tableau, ou, ce qui revient au même, 
celui où concourent les perspectives. Il suit de là que, 
pour mettre en perspective tant de droites parallèles 
qu'on voudra, il n'y a qu'à mener par l'œil une ligne 
<iui leur soit parallèle; le point où cette dernière ren- 
contrera le tableau sera le point de concours auquel 
tendront les perspectives de toutes ces droites. 

Les projections de la droite menée par l'œil sont 



Io6 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

parallèles à celles de la ligne à mettre en perspective, 
et sont par conséquent faciles à construire; on a les 
traces du tableau sur les plans de projection : il est 
donc aisé de trouver le point de rencontre de la droite 
et du tableau. 

Le résultat que nous venons d'expos^er peut abréger 
beaucoup les opérations, lorsque te tableau est une 
surface plane, et qu'il s'agit de tracer les perspectives 
de différentes lignes parallèles. Dans ce cas, ces pers- 
pectives sont elles-mêmes des lignes droites, et leur 
point de concours étant déterminé ainsi que nous 
l'avons indiqué, il suffira, pour les tracer, de connaître 
sur le tableau, relativement à chacune d'elles, la pers- 
pective d'un second point. 

Mais ce n'est pas seulement co^nime moyen d'abré- 
viation que ce que nous venons de dire doit être 
considéré; c'est encore lo procédé le plus sûr pour 
éviter des incorrections dont notre œil est facilement 
blessé. Nous sommes en général moins sensibles aux 
grandeurs réelles des objets qu'au parallélisme des 
lignes que nous jugeons devoir être parallèles. Que 
deux lignes soient un peu plus éloignées ou un peu 
plus rapprochées l'une de l'autre qu'elles ne doivent 
l'être, il faudra un œil exercé et quelque attention 
pour saisir ce défaut; mais si elles doivent être paral- 
lèles et qu'elles ne le soient pas, nous nous en aper- 
cevrons sur-le-champ et nous en serons vivem^ent 
choqués. Si donc, lorsqu'on met en perspective plu- 
sieurs lignes parallèles, les perspectives qui doivent 
concourir au même point n'y concourent pas en effet, 
cette erreur blesse extrêmement l'observateur, et les 
parallèles ne lui paraissent plus telles; ainsi, on peut 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. I07 

toujours regarder comme essentiel de déterminer sur 
le tableau le point d^ concours des lignes qui repré- 
sentent les perspectives de« droites parallèles, afin 
d'être sûr que les perspectives passent par ce point. 

Dans l'exposition dn procédé de construction que 
nous avons domné ci-dc«sus, nous avons supposé que 
le plan vertical de projection était perpendiculaire 
au i)lan du tableau; nous avons trouve dans cette dis- 
posilion l'avantage d'avoir le tableau projeté en 
entier sur une seule ligne. Si le tableau était oblique 
au plan vertical de projection, pour trouver la hauteur 
de chaque point de la perspective au-dessus de l'axe 
horizontal auquel on le rapporte, il faudrait, du point 
où la projection horizontale du rayon visnel rencontre 
la trace horizontale du tableau, abaisser une perpen- 
diculaire sur l'intersection des deux plans de projec- 
tion, et la prolonger jusqu'à la rencontre de la projec- 
I ion verticale du rayon a isuel. Ce travail, quoique assez 
long, peut dans quelques circonstances être moins 
pénible que la construction préliminaire d'une projec- 
tion verticale sur un plan perpendiculaire an tableau. 

Supposons qu'on ait à mettre en perspective une 
suite de pilastres semblables, et dont la direction soit 
oblique ati plan du tableau ; il serait fort long d'en faire 
la projection sur un plan verlical perpendiculaire au 
tableau, mais en la faisant sur un plan perpendiculaire 
à la direction des pilastres, elle se réduit à la projec- 
tion d'un seul d'enire eux. On voit que, dans ce cas, 
il devient préférable d'adopter cette dernière disposi- 
tion, malgré l'inconvénient d'avoir une ligne de plus 
à tracer pour construire la perspective de chaque 
point. 



Io8 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

I:î8. En général, lo problème que présente la pers- 
pective linéaire, en le considérant dans ses éléments, 
se réduit à construire le point de rencontre du tableau, 
par le rayon visuel mené de l'œil à un point déter- 
miné; et il est utile de connaître plusieurs moyens de 
le résoudre, afin de faire usage, en chaque circons- 
tance, de ceux qui exigent le moins de travail. La plu- 
part des méthodes données dans les ouvrages qui 
traitent de la perspective, et particulièrement celle 
que nous avons déjà développée, rentrent dans le 
mode général de solution que nous allons indiquer. 

Si, par le point à mettre en perspective et par l'œil, 
on conçoit deux plans difterents, le rayon visuel se 
confondra avec leur intersection, et comme iis cou- 
peront nécessairement le tableau, si l'on construit les 
lignes ou les traces suivant lesquelles ils le rencontrent, 
le point où ces traces se croiseront appartiendra à 
l'intersection des deux plans entre eux, et sera par 
conséquent le lieu de rencontre du rayon visuel et du 
tableau. C'est au dessinateur à choisir parmi le nombre 
infin de plans qui peuvent passer par l'œil et par le 
point à mettre en perspective, les deux plans dont il 
lui est le plus facile de déterminer les traces sur le 
tableau, l^^n les prenant perpendiculaires, chacun à 
l'un des plans de projection, on retombe sur la méthode 
de construction que nous avons déjà donnée. Il peut 
être souvent avantageux de supposer l'un des plans 
perpendiculaire au tableau même; dans ce cas, il est 
aisé de voir que sa trace passera par les pieds des per- 
pendiculaires abaissées de l'œil et du point proposé sur 
le tableau. Plus généralement, si l'on conçoit, par le 
point et par l'œil, deux lignes parallèles entre elles, 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, I09 

l'inlerseclioli du tableau et du plan qui les contient 
}>assera par les points où le tableau est lui-même ren- 
contré par ces parallèles. 

Ces diverses observations sufliscnl \)cm' nu tliv les 
]»«;rsoniies, (pii sont au courant des méthodes de la 
(Jéoniéfrie descriptive, en état d'abréger dans un grand 
nombre de cas et de simplifier beaucoup les opérations 
«pi'exige la pratiipie de la perspective linéaire. 

Supposons maintenant (jue le tableau n<'. soit plus 
un plan, mais une surface courbe donnée; les considé- 
rations que nous venons d'exposer doivent en général 
conduire, pour chaque cas, à la plus avantageuse des 
constructions possibles. En elîet, parmi tous les plans 
passant par l'œil et par le point dont on demande la 
])erspective, et qui contiennent en conséquence le 
rayon visuel, on peut toujours choisir celui qui, 
d'après la nature connue de la surface proposée pour 
tableau, doniK^ par son intersection avec ce laltleau 
la courbe la plus aisée à construir» , soit sur le plan 
même que l'on considère, soit dans Tune de ses pro- 
jections. Il sera ensuite facile de trouver Tinlersec- 
tions de cette courbe avec le rayon visuel, ce (jui déter- 
minera le point où le rayon rencontre le tableau. 

Si, par exemple, le tableau était une surface sphé- 
ricpie, il faudrait que le plan mené par l'œil et par le 
point à mettre en perspective passât également par 
le centre de la sphère; alors l'intersection serait 
toujours un grand cercle, dont on trouverait facile- 
ment sur le plan même la rencontre par le rayon 
visuel. 

Si le tableau était une surface conique, on ferait 
passer constamment le plan contenant le rayon visuel 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



par le sommet du cône ; l'intersection de ce plan avec 
le tableau serait une ligne droite dont on trouverait 
sans peine les projections, et leur point de rencontre 
avec celles du rayon visuel. 

Les panoramas sont des perspectives tracées sur des 
surfaces cylindriques verticales à base circulaire, le 
point de vue étant pris sur l'axe même de ces surfaces. 
Pour mettre un point quelconque en perspective sur 
la surface d'un cylindre vertical, on concevia par l'œil 
et par le point proposé un plan vertical qui coupera 
cette surface suivant une de ses arêtes, déterminée par 
la rencontre de la trace horizontale du plan avec la 
circonférence du cercle servant de base au cylindre. 
Que l'on fasse la projection verticale de cette arête, sa 
rencontre avec la projection verticale du rayon visuel 
déterminera la hauteur à laquelle le rayon visuel ren- 
contre la surface du cylindre, au-dessus de la base 
de ce dernier; et il sera facile, d'après ces données, 
de construire la perspective du point proposé, soit sur 
la surface même du cylindre, soit sur le tableau sup- 
posé développé. 

139. Ce qui précède donnant les moyens de ré- 
soudre toutes les questions que peut présenter la pers- 
pective, nous n'ajouterons plus que quelques observa- 
tions. 

Lorsqu'on a un tableau offrant la perspective d'un 
objet, prise d'un point déterminé, on peut en déduire 
le tracé d'une perspective du même objet prise du 
même point de vue, et sur un tableau différent. En 
effet, l'œil et le premier tableau étant déterminés de 
pasition, la direction des rayons visuels menés de l'œil 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i!t 



à chacun des points de l'objet représenté se trouve 
fixée, et l'on peut en déduire par conséquent leur ren- 
contre avec la surface d'un autre tableau dont la posi- 
lion est donnée. 

Mais ce qu'on vient de dire ne saurait plus avoir 
lieu, si l'on prenait un autre point de vue ; rien dans ce 
cas ne déterminant la direction des rayons visuels, et 
une simple perspective ne sufîisant pas pour définir 
l'objet représenté. Une perspective est une sorte de 
]»rojeclion qui ne diffère de la projection orthogonale, 
dont on lait haibituellement usage, qu'en ce que la 
pre>niière «'opère par des lignes qui concourent au 
]>0'int de vue d'où la perspective est prise, tandis que, 
])our la seconde, ces lignes sont perpendiculaires au 
pian de projection; or, on sait qu'un objet n'est com- 
plètement défini qu'à l'aide de deux })rojections : il ne 
le serait également qu'à l'aide de deux perspectives, 
par rapport à chacune desquelles on connaîtrait la 
position du point de vue. 

Nous terminerons ici nos recherches sur la partie 
géométrique de la théorie des ombres et de la perspec- 
tive. Les méthodes que nous avons exposées em- 
brassent, relativement à la représentation des objets, 
à peu près tout ce qui, dans l'usage, est susceptible 
d'un tiacé rigoureux. Ainsi, divers objets étant pro- 
posés et déterminés par leurs projections, si on les 
suppose éclairés d'une manière connue, on construira 
les contours des parties éclairées et des parties 
obscures sur la surface de chacun d'eux, et ceux des 
ombres qu'ils portent les uns sur les autres, puis on 
tracera sur un tableau d'une forme donnée la pers- 
pective de ces mêmes objets, ainsi que des contours de 



LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



eiirs ombres, prise d'un point connu; il ne restera 
plus, pour compléter leur représentation, qu'à donner 
aux diverses parties de leur image les teintes avec 
lesquelles, dans la réalité, elles s'ofl'rent à nos regards. 



DE LA DÉTERMINATION DES TEINTES DANS LA REPRÉ- 
SENTATION DES OBJETS, ET DE LA PERSPECTIVE 
AÉRIENNE. 

140. La partie de la théorie des ombres et de la pers- 
pective dont nous avons maintenant à nous occuper 
est très compliquée, et a besoin d'être étudiée avec 
plus de soin qu'elle ne l'a été jusqu'à présent; elle 
exige quelques connaissances physiques et surtout 
un grand nombre d'observations. 

Malheureusement, les peintres, qui sont obligés de 
réfléeliir à tout moment sur cette matière, publient 
peu les résultats de leurs méditations sur leur arl. 
Peut-être plusieurs découvertes curieuses, des obser- 
vations importantes, demeurent-elles ignorées et 
perdues pour l'instruction générale, parce que les 
artistes qui les ont faites n'ont pas su en rendre un 
compte précis, ou ont négligé de prendre ce soin. Nous 
sommes bien loin de présenter les recherches que nous 
allons exposer comme un corps complet de doctrine ; 
ce- ne sojil que des idées jetées en avant el destinées à 
ouvrir une carrière à peu près nouvelle; puissent nos 
essais faire naître des recherches plus profondes, et 
devenir amsi pour la science le principe de quelques 
progrès ultérieurs. 

La teinte qu'offre à notre vue un objet éclairé 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. Il) 



dépend, premièroinent, de l'intensité propre de la lu- 
mière reçue du corps lumineux et renvoyée à notre 
œil, et de la manière dont a lieu sa distribution sur la 
surface de l'objet, et la réflexion qui la fait parvenir 
jusqu'à nous; secondement, des modifications que la 
lumière éprouve par l'elïet des milieux ou d«' l'air 
qu'elle traverse, et des autres circonstances aux<|uelles 
elle est soumise : c'est dans cet ordre que se suivront 
les considérations auxquelles nous allons nous livrer. 
Commençons par chercher l'intensité de la lumièi'c 
venant du corps lumineux à l'objet éclairé et, pour 
plus de simplicité, supposons que le corps lumineux 
soit unique, et considérons-le comme réduit à un point. 
On sait que V intensité de la lumière émise par un point 
lumineux diminue en raison im>erse du carré de la dis- 
tance; il est évident, d'après ce principe, que plus 
l'objet éclairé est éloigné du corps lumineux, moins 
il en reçoit de clarté. Cette observation n'est pas d'une 
très grande importance dans les arts du dessin, parce 
qu'on suppose habituellement les objets éclairés par 
le Soleil. Dans ce cas, la distance du corps lumineux 
étant immense, par rapport aux dimensions des 
objets éclairés et aux distances qui les séparent entre 
eux, elle peut être regardée comme égale pour tous, et 
que par conséquent il n'y a aucune diiïérence entre 
l'intensité de la lumière qui parvient aux divers points 
des objets que l'on considère; mais si l'on avait à 
représenter une scène nocturne, éclairée par une lampe 
ou un foyer, il faudrait avoir égard aux distances des 
objets éclairés au corps lumineux, et donner une clarté 
plus vive à ceux qu'on voudrait faire ]>araître plus 
voisins du point d'où pari la lumière. 

MONUI . — 11. S 



l4 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



« 



Ce que nous venons de dire n'est relatif qu'aux 
parties éclairées; quant aux parties dans l'ombre, dès 
qu'on suppose qu'il n'y a qu'un seul point lumineux, 
et qu'on fait abstraction de tout ce qui peut réfléchir 
la lumière, elles ont toutes une intensité égale, elles 
sont toutes d'un noir absolu. Cette assertion peut 
paraître extraordinaire, parce que nous ne sommes 
pas habitués à voir les corps éclairés de cette manière; 
le Soleil est bien pour nous, dans le jour, la cause de 
la lumière, mais les autres corps la réfléchissent et 
nous la renvoient, tellement qu'il lait clair où les 
rayons directs du Soleil n'arrivent pas, et que nous 
n'avons jamais occasion de voir une ombre complète : 
on ne peut s'en former une idée que par les expériences 
de la chambre noire, et surtout par celles du micro- 
scope solaire. Lorsqu'on introduit dans la chambre 
noire un faisceau de rayons solaires, en les faisant 
tomber sur un verre lenticulaire; ces rayons se réu- 
nissent au foyer, s'y croisent et de là divergent, en 
formant un cône de lumière qui se projette, suivant 
un cercle très lumineux, sur le mur opposé de la 
chambre. Que l'on dispose un tableau très blanc pour 
recevoir ce cercle lumineux, et qu'au-devant l'on 
place un objet qui intercepte une partie des rayons, 
l'ombre paraîtra du noir le plus intense et sera ter- 
minée par un contour très précis, très tranché. Dans 
ce cas, en efl^et, la lumière part d'un point unique, le 
foyer du verre lenticulaire par lequel passent les 
rayons lumineux; et il n'y a pas assez de lumière ré- 
fléchie pour diminuer sensiblement l'obscurité de la 
chambre noire, dans les parties où les rayons n'arrivent 
pas directement. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Ii5 



141. Considérons maintenant la lumière renvoyée 
de l'objet éclairé à l'œil de l'observa tevir. Si elle avait 
à traverser un milieu parfaitement libre, qui ne lui 
oll'rit aucune résistance, qui n'en interceptât aucune 
partie, deux objets de la même clarté paraîtraient 
à notre œil de la même clarté, quelle que fût leur dis- 
lance par rapport à nous. Pour s'en rendre compte, 
que l'on conçoive deux cercles égaux, également 
éclairés, et situés sur des plans également inclinés par 
rapport aux rayons menés de leurs centres à l'œil; 
l'intensilé de la lumière renvoyée par chacun d'eux 
décroîtra en raison inverse du carré de leurs distances 
jusqu'à l'œil, mais en même temps les grandeurs des 
images, suivant lesquelles ces cercles se peindtont à 
l'œil, décroîtront aussi en raison inverse des carrés 
des mêmes distances. Ainsi, d'une part, si la lumière 
renvoyée par tous les points du cercle le plus éloigné 
est moins intense, d'une autre part, elle est plus ras- 
semblée et se condense pour nous ofîrir une image plus 
resserrée; ces deux cfTets contraires se trouvant dans 
le même rapport, se balancent pour donner lieu à la 
sensation que notre œil éprouve, et il en résulte que 
les deux cercles placés à des distances inégales doivent 
pourtant présenter la même clarté. 

Cependant, il n'en est pas ainsi dans la nature, parce 
«lue l'air dans lequel se meut la lumière n'est pas com- 
plètement transparent. Nous chercherons plus tard à 
apprécier les altérations que sa transparence impai faite 
fait éprouver aux rayons lumineux, mais nous devons 
auparavant examiner comment la lumière se comporte 
à la surface des corps éclairés, soit pour s'y distribuer, 
soit pour revenir à notre œil. 



llO LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

Nous diviserons les surfaces en deux classes, rela- 
tivement à la manière dont elles reçoivent et renvoient 
la lumière, savoir, les surfaces polies et les surfaces 
mates. 

Nous ne connaissons pas de surfaces parfaitement 
polies, mais nous regarderons comme approchant de 
cet état celles qui forment miroir. On sait que les 
rayons de lumière, qui viennent frapper une surface 
polie, sont réflécliis en faisant l'angle de réflexion égal 
à l'angle d'incidence. Si la lumière émane d'un point 
unique, chaque point de la surface polie ne reçoit et 
ne réfléchit qu'un rayon, et parmi ces rayons un seul 
parvient à l'œil; tous les autres lui échappent : l'œil 
n'aperçoit donc que le point de la surface qui lui 
renvoie ce rayon; le reste est pour lui dans une com- 
plète obscurité, et le point visible en paraît d'autant 
plus brillant. La surface, la position de l'œil et celle 
du point lumineux étant connues, la détermination 
du point brillant est un problème de Géométrie des- 
criptive, dont la solution est plus ou moins compliquée, 
suivant la génération de la surface proposée; il s'agit, 
en effet, de trouver sur cette surface un point tel, que 
menant de là des lignes à l'œil et au point lumineux, 
ces lignes soient dans un plan perpendiculaire au 
plan tangent et fassent avec lui des angles égaux (34). 
11 est facile de voir qu'en supposant la surface polie 
assez étendue, il doit y avoir en général un point bril- 
lant. Sur les surfaces planes, sur celles qui ont dans 
un sens des éléments plans indéfinis, telles que les sur- 
faces cylindriques, coniques et développables, il ne 
peut se trouver, ainsi que sur les surfaces arrondies, 
que des points lirillants, et non pas des lignes ou des 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. II7 

arêtes brillantes, du moins tant que la lumière vient 
d'un point unique. Si elle vient d'un corps de dimen- 
sions finies, plusieurs points de la surface })olie ren- 
voient à l'œil des rayons dont l'ensemble lui présente 
l'image plus ou moins altérée du corps lumineux; le 
reste demeure d'un noir d'autant plus parfait que la 
surface est plus polie. Lors donc que l'on doit repré- 
senter un corps poli, il faut, après avoir déterminé la 
position du point brillant, p( iiulre ce point d'un blanc 
très éclatant et tenir le reste du corps dans l'obscu- 
rité. 

Les surfaces mates, dont se compose la seconde 
classe, beaucoup plus nombreuse (pie la première, 
diffèrent des surfaces polies en ce que, de tous leurs 
points auxquels parviennent des rayons du corps 
lumineux, elles en renvoient à notre œil, à moins 
qu'un corps interposé n'y mette obstacle. 

Il est assez facile de se faire une idée précise de la 
quantité de lumière que cbaque partie d'une surfaces 
quelconque reçoit du corps lumineux que, pour plus 
de simplicité, nous regarderons comme un point 
unique. On sait déjà, qu'abstraction faite de l'obli- 
(piité suivant laquelle la surface présente chacune de 
ses parties, l'intensité de la lumière qui lui arrive est en 
raison inverse du carré de la distance du point lumi- 
neux. De plus, si l'on conçoit que ce point soit le 
centre d'une sphère, la quantité de rayons reçue par 
un élément de la surface éclairée pourra se mesurer 
par la portion de la surface de la sphère comprise dans 
le cône dont le sommet est au point lumineux, et dont 
la base est l'élément de la surface proposée. Plus cet 
élément sera oblique, par rapport aux rayons qu'il 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE, 



reçoit, plus le cône sera resserré, et moins la portion de 
la surface de la sphèlie qui s'y trouve comprise aura 
d'étendue. On peut donc en conclure, que plus la sur- 
face éclairée se présente obliquement aux rayons 
lumineux, et moins elle recevra de lumière. On exprime 
d'une manière mathématique ces résultats, en disant 
que pour chaque point de la surface, V intensité de la 
lumière est en raison directe du sinus de Vangle d-'inci- 
dence du rayon sur le plan tangent en ce point, et en 
raison inverse du carré de la distance au point lumi- 
neux. 

II est plus difficile d'apprécier d'une manière satis- 
faisante, comment la lumâèrc est réfléchie par les 
corps mats, (ît quelle quantité chaque partie de leur 
surface en fait parvenir à notre œil. Cette recherche 
dépend de la contexture de l'enveloppe des corps; et 
nos connaissances physiques sont trop imparfaites, 
pour nous fournir les données qui nous seraient néces- 
saires : ce que nous allons dire sera donc fondé sur des 
hypothèses; nos résultats ne seront <iue probables, et 
nous ne les proposons que jusqu'à ce que l'on puisse 
les remplacer par d'autres, fondés sur une théorie 
plus certaine. 

Nous admettrons donc que chacune des molécules 
qui appartiennent à une surface mate agit à la ma- 
nière d'un corps lumineux, en réfléchissant dans tout 
l'espace libre la lumière qu'elle a reçue et qu'elle 
n'absorbe pas. On sent que ces molécules doivent 
offrir une infinité d'aspérités, qui ne sont sensibles 
pour nous qu'en ce que le corps nous paraît mat, et 
qui n'empêchent pas que la surface qui l'enveloppe 
ne soit à nos yeux unie et continue. Dans cette hypo- 



GEOMETRIE DESCRIϻTIVE. II<) 

thèse, chaque molécule placée à la surface du corps 
nous renvoie un rayon de lumière. Considérons un 
clément de la surface ; nous avons déjà vu que la dis- 
tance à laquelle se trouve de nous cet élément influe 
sur la grandeur de l'image qu'il nous présente, mais 
non sur la clarté avec laquelle il nous apparaît, autant 
du moins qu'on n'a aucun égard aux altérations 
qu'éprouve la lumière par l'elfet du défaut de trans- 
parence de l'air qu'elle traverse pour nous parvenir. 
L'ensemble des rayons réfléchis par tous les points 
appartenant à cet élément et dirigés vers l'œil 
forment un cône dont l'élément est la base et l'œil 
le sommet, et le noinbre des rayons compris dans ce 
cône est proportionnel à l'étendue de l'élément de la 
surface. Si l'on conçoit une sphère dont l'œil soit le 
centre, et d'un rayon égal à la distance comprise entie 
la base du cône et l'œil, la portion de la surface de 
cette spiière, qui sera comprise dans le cône, donnera 
la mesure de l'espace angulaire dans lequel les rayons 
se trouvent réunis. L'intensité de la lumière arrivant 
à l'œil pourra donc s'évaluer, par le rapport de 
l'étendue de l'élément que nous considérons à celle 
de cette portion de la surface de la sphère. L'étendue 
de l'élément restant la même, celle de la portion cor- 
respondante de la surface de la sphère sera d'autant 
moins grande, que cet élément fera un angle plus aigu 
avec les rayons visuels; ainsi, l'intensité de la lumière 
réfléchie par la surface mate sera d'autant moindre, 
que cette surface approchera plus d'être perpendicu- 
laire aux rayons qu'elle nous renvoie, ce qu'on peut 
exprimer d'une manière mathématique, en disant que 
pour chaque élément de la surface, celle intensité est 



l'}.() LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

en raison im^erse du sinus de Vangle que fait le plan 
tangent ai^ec le rayon visuel. 

Ce résultat ne doit pas être interprété à la rigueur, 
lorsque l'angle dont il s'agit est presque nul; dans ce 
cas, les aspérités de la surface mate, se couvrant en 
partie les unes les autres, nous dérobent une portion de 
la lumière qu'elles devraient nous faire parvenir. Ainsi, 
en regardant une surface plane mate sous un angle 
très aigu, on ne la voit pas avec une clarté très intense, 
comme l'indique l'expression analytique que nous 
avons proposée; cette expression devient alors incom- 
plète, parce qu'elle ne tient pas compte des petites 
aspérités, dont la surface est couverte, et des rapports 
de leurs dimensions avec les distances qui les séparent. 

Nous citerons un exemple remarquable à l'appui du 
résultat précédent. 

La Lune peut être regardée comme un corps mat, 
éclairé par le Soleil, dont il nous renvoie les rayons. Si 
cet astre était enveloppé d'une atmosphère, les rayons 
qu'il nous renvoie des bords de son disque auraient à la 
traverser sur une plus grande épaisseur et, sans doute, 
ils nous arriveraient plus affaiblis que ceux qui vien- 
draient du centre. Mais les observations astronomiques 
prouvent que la Lune n'a point d'atmosphère sensible; 
et, à raison de sa forme sphérique, nous devons voir 
près de ses bords une plus grande étendue de surface 
sous un même angle visuel : il doit donc nous arriver 
de là plus de rayons réfléchis, et les bords doivent, en 
conséquence, nous paraître plus éclairés; aussi obser- 
vera-t-on que la clarté de la Lune a plus d'intensité sur 
le contour de son disque que dans son milieu. 

La nature nous offre un grand nombre de corps dont 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 



les surfaces sont intermédiaires aux deux classes 
exi renies que nous venons de considérer, et participent 
jusqu'à un certain point, comme le démontre l'expé- 
rience, aux propriétés des surfaces polies et des sur- 
faces mates. Relativement à ces corps, on peut 
admettre que les molécules ({ui appartiennent à leur 
enveloppe extérieure sont des petites sphères à peu 
près polies, réfléchissant en partie la lumière, à la ma- 
nière des corps polis, et plus ou moins engagées dans la 
solidité même du corps proposé, selon que son poli 
est plus ou moins parfait. Si elles étaient isolées, 
chacune olîrirait un point brillant; mais comme elles 
ne nous laissent voir qu'une partie de leur contour, 
toutes ne peuvent pas nous présenter un point de ce 
genre : celles-là seules jouissent de cette propriété, 
pour lesquelles le point brillant tombe sur leur seg- 
ment antérieur et visible, qui se confond sensiblement 
avec la surface générale du corps. On peut conclure de 
là, que si, sur la surface du corps proposé considérée 
comme continue, on cherche la position du point 
brillant, ainsi qu'on le ferait dans le cas où le corps 
serait poli, on aura, en quelque sorte, le centre de la 
partie de la surface où se trouvent les molécules polies, 
susceptibles de nous offrir des points brillan s; et l'on 
conçoit que cette partie lumineuse sera d'autant moins 
resserrée, que les molécules polies dont il s'agit seront 
plus saillantes, ou que le corps sera moins lisse. En 
d'autres termes, on peut dire que pour les corps impar- 
faitement polis le point brillant s'élargit et se répand, 
en s'afîaiblissant, sur un espace d'autant plus étendu, 
que le poli est moins parfait. Sur le reste de la surface 
du corps proposé, les molécules ne nous renvoient 



122 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 

Ja lumière que de la manière propre aux surfaces com- 
plètement mates; et ce que nous avons dit à ce sujet 
trouve là son application. 

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré dans la lu- 
mière que l'intensité avec laquelle elle arrive au corps, 
s'y distribue et s'y réfléchit pour revenir à l'œil du 
s; éclateur; nous avons fait abstraction des altérations 
qu'elle subit dans les milieux qu'elle traverse, et par 
l'elFet des autres circonstances qui agissent sur elle : 
ce sont les modifications résultantes de ces diverses 
causes que nous avons maintenant à étudier. 



142. L'air que la lumière traverse pour arriver 
jusqu'à nous n'est pas doué d'une transparence par- 
faite ; ses molécules arrêtent quelques rayons de lu- 
mière et les réfléchissent, comme le font les corps 
opaques. Cet effet, qui est insensible pour les objets 
peu éloignés, devient frappant pour les lointains; il 
s'étend sur les parties éclairées comme sur les parties 
placées dans l'obscurité; il diminue l'intensité de la 
clarté des premières et de l'ombre des secondes, et 
modifie la couleur des objets. 

La lumière que réfléchissent les molécules de l'air 
a une couleur déterminée; l'air, comme tous les autres 
corps de la nature, a sa couleur particulière; c'est ce 
qui forme le bleu de ce que nous appelons le Ciel. Si 
l'air n'existait pas, ou ne renvoyait pas de lumière, 
le ciel nous paraîtrait d'un noir absolu, sur lequel les 
astres formeraient des points brillants. Le bleu du ciel 
est d'autant plus vif, que l'air a moins d'humidité; et 
c'est pour cette raison que le ciel des pays méridio- 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I2'i 

naux est habituellement d'un azur ])lus beau que 
celui des pays du nord. 

Lors donc qu'un faisceau de lumière traverse une 
étendue d'air assez considérable, il perd en chemin 
une partie des rayons dont il est formé, et par consé- 
quent de son intensité. 

Cette observation n'est pas aussi importante, 
lorsque l'on considère le rayon de lumière dans sa 
marche, dei»uis le corps Inminoux jusqu'à l'objet 
éclairé, que lorsqu'on le suit comme rayon visuel dans 
son retour de l'objet éclairé jusqu'à l'œil. En efîet, 
relativement à tous les objets éclairés par le Soleil, par 
exemple, qui s'ofTrent à nos regards dans un instant 
déterminé, la lumière traverse une couche d'air sensi- 
blement égale pour éc]airer chacun d'eux, et la perte 
qu'elle éprouve dans sa marche diminue également 
la clarté de tous. Il y a cependant des circonstances 
où il est essentiel d'avoir égard à cette perte; et, pour 
représenter dans un tableau un elTet de soleil levant, 
un peintre remarquera que la lumière traversant alors 
horizontalement une grande étendue de l'atmosphère, 
avant de parvenir aux objets qu'elle coloie, a bien 
moins de force et d'éclat qu'au milieu du jour. 

Mais c'est surtout dans le trajet de l'objet éclairé 
jusqu'à l'œil, qu'il est essentiel d'examiner comment 
la lumière est altérée par la masse d'air interposée. 
Non seulement une partie des rayons réfléchis par 
l'objet se trouve interceptée, mais les molécules d'air 
intermédiaires reçoivent aussi des rayons directs 
de lumière et les réfléchissent avec leur propre cou- 
leur, dans la direction même de ceux qui sont ren- 
voyés à l'œil par l'objet éclairé. La sensation que cet 



1^4 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



objet doit faire éprouver à l'œil est donc altérée de 
deux manières; d'abord, en ce qu'une partie des 
rayons qui doit la faire naître est arrêtée; et ensuite, 
parce que des rayons étrangers et d'une couleui 
bleuâtre se mêlent aux premiers. Cet efïet est d'autant 
plus prononcé, que la masse d'air interposée est plus 
considérable; et l'on peut admettre comme principe, 
qu'à mesure que la distance des objets éclairés à notre 
œil augmente, leur clarté diminue, et leur couleur 
propre participe davantage de la couleur bleue de 
l'atmosphère. 

Pour les objets dans l'ombre, un effet analogue a lieu. 
S'il n'y avait qu'un corps lumineux et point d'atmo- 
sphère, l'ombre serait d'un noir absolu; mais les objets 
environnants, et particulièrement l'air lui-même, 
éclairent jusqu'à un certain degré les parties des 
corps qui ne reçoivent pas directement la lumière, et 
c'est ainsi que leurs formes deviennent sensibles pour 
nous. De plus, les rayons qu'elles peuvent nous ren- 
voyer sont aussi en partie arrêtés par les molécules de 
l'air intermédiaire; ces molécules reçoivent et réflé- 
chissent vers notre œil d'autres rayons, qui nous 
parviennent dans la direction où l'ombre que nous 
considérons est placée relativement à nous, et qui 
affaiblissent l'intensité de cette ombre, en y mêlant 
une teinte bleuâtre; on peut donc admettre égale- 
ment, que plus les objets non éclairés sont éloignés 
de nous, plus l'ombre diminue d'intensité, en se rap- 
prochant de la teinte de l'atmosphère. 

Concevons deux files d'objets semblables se pro- 
longeant à une grande distance, l'une composée 
d'objets éclairés et l'autre d'objets dans l'ombre. La 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 125 



clarté des objets qui composent la première ira s'affai- 
blissant à mesure qu'ils s'éloignent; si on les suppose 
de couleur blanche, le blanc diminuera d'éclat et, de 
plus, il changera de couleur par degrés insensibles, 
d'un objet au suivant, mais d'une manière marquée sur 
la longueur de la file, et il passera à une teinte bleuâtre. 
En même temps, l'ombre des objets qui composent 
la seconde file diminuera d'intensité; elle s'éclaircira, 
non pas en s'approchant de la couleur blanche, mais 
de la couleur bleue. Si les deux files d'objets que nous 
considérons s'étendent extrêmement loin, il arrivera 
enfin que le blanc de ceux qui sont éclairés et le noir 
de ceux qui sont dans l'ombre, décroissant toujours 
pour se rapprocher du bleu, se perdront en se confon- 
dant dans la couleur de l'atmosphère. C'est ce qu'on 
remarque, lorsqu'on aperçoit de hautes montagnes, 
dans un lointain de 25 ou 3o lieues; leurs cimes cou- 
vertes de neige et brillantes de clarté, leurs grandes 
ombres si prononcées, lorsqu'on les voit d'une petite 
distance et pendant un beau jour, tout s'éteint presque 
entièrement et se fond dans l'azur du ciel. 

Ainsi, quand on veut faire sentir dans un tableau 
l'intervalle qui sépare deux objets inégalement 
éloignés, il est de principe de peindre celui qui est le 
plus distant de couleurs moins vives, en éteignant les 
clairs et en affaiblissant l'intensité des ombres; et 
quand on doit représenter des objets très lointains, les 
couleurs doivent prendre une teinte générale bleuâtre. 

Ce principe est bien connu, et même on l'exagère, et 
l'on en fait très fréquemment un abus qu'il est utile 
de signaler. D'après ce que nous avons dit, ce n'est que 
lorsque la ditférence entre les intervalles qui séparent 



[•26 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

divers objets de notre œil devient considérable, qu'il 
en résulte une différence sensible entre les effets pro- 
duits par les masses d'air qui occupent ces intervalles, 
sur la lumière que les objets nous renvoient. Si l'on 
a par exemple devant les yeux une façade d'archi- 
leclure, dont une partie forme une saillie ou un 
avant-corps de i"^, la couche d'air de i"^ d'épaisseur, 
que les rayons visuels venant de la partie en arrière- 
corps ont à parcourir de plus que les autres, pour 
arriver jusqu'à nous, ne leur ôtc rien de leur intensité, 
ou du moins leur en ôte trop peu, pour que la diminu- 
tion soit appréciable par nos sens. En supposant 
donc l'avant et l'arrière-corps parallèles entre eux et 
semblablement éclai es, c'est à tort qu'on établirait 
une différence entre les teintes qu'il faut donner à l'un 
et à l'autre, comme le font beaucoup de dessinateurs; 
ils nous paraissent également éclairés et doivent être 
représentés avec la même clarté. 

Cependant, nous distinguons parfaitement dans la 
réalité qu'une partie forme saillie sur l'autre; il n'est 
pas même nécessaire que 1 avant-corps porte ombre 
sur la partie en arrière; et lors même que la direction 
du rayon de lumière venant du Soleil et la position 
de l'œil sont tels, qu'aucune ombre n'est apparente, 
on juge sans peine quel est le plan le plus voisin et 
quel est le plus éloigné. Il est essentiel de reconnaître 
ce qui dirige à cet égard notre jugement, pour l'imiter 
s'il se peut, et que )a peinture avertisse l'œil par les 
mêmes moyens que ceux qui l'avertissent dans la réa- 
lité. 

Représentons-nous toujours une façade d'architec- 
ture d'un ton de couleur parfaitement uniforme, et 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 1^7 

dont une partie forme sur l'autre un avant-corps. Si 
l'on place un obstacle quelconque, tel qu'une planche, 
«lui nous dérobe la vue de l'arête par laquelle se ter- 
mine l'avant-corps, il nous devient impossible de 
juger laquelle des deux parties est la plus voisine de 
notre œil; mais si l'obstacle est enlevé, on en peut 
juger à l'instant . Cette expérience fort bimple nous 
apprend donc que c'est par la manière dont la lumière 
agit sur l'arête qui termine l'avûnt-corps, que nous 
sommes avertis qu'il existe une saillie. Si l'arête dont 
il s'agit était une ligne droite mathématique, l'action 
de la lumière sur l'arête serait nulle, ou parfaitement 
inappréciable, et nous ne pourrions pas encore dis- 
tinguer quelle est la partie qui est en avant-corps. 
Mais cette arête n'est jamais tranchante, jamais une 
ligne droite mathématique : les matériaux dont elle 
est composée ne sont pas d'une compacité absolue, les 
instruments dont on fait usage pour les tailler ne sont 
point parfaits, on n'a point apporté au taillage une 
précaution infinie ; et en sortant des mains de l'ouvrier, 
cette arête était déjà loin d'être ligourcusement pré- 
cise. Depuis, tout ce qui a pu la frapper ou simplement 
la frotter a dû l'émousser davantage; et, définitive- 
ment, au lieu d'être une arête tranchante, ce n'est 
qu'une surface arrondie, que l'on peut considérer 
comme une portion de cylindre vertical circulaire et 
d'un très petit rayon; c'est par la manière dont la 
lumière agit sur cette surface cylindrique, et en est 
renvoyée à notre œil, que l'existence de la saillie nous 
est indiquée. 

Nous avons montré précédemment que chaque 
partie d'une surface courbe reçoit d'autant plus de 



/ 



128 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCENTIFIQUE. 



lumière qu'elle se présente plus directement aux 
rayons lumineux, et que la lumière qu'elle renvoie à 
notre œjl a d'autant plus d'intensité, que cette sur- 
face s'offre plus obliquement à nos regards. D'après 
ces principes, il doit se trouver sur la petite surface 
cylindri(|ue, qui représente l'arête du côté où vient la 
lumière, une partie dont la clarté est plus vive; et, sur 
l'autre arête, une partie dont la clarté est moindre 
que celle de la façade du bâtiment; le tout dépendant, 
pour la détermination précise, de la position de l'œil 
et de la direction des rayons lumineux. 

Ainsi, pour faire sentir, dans l'exemple proposé, 
qu'il y a une partie de la façade qui forme saillie, il 
faut ménager aux arêtes, du côté de l'ombre, une 
ligne un peu moins claire, et à celles qui sont du côté 
de la lumière, une ligne plus éclairée, qu'on appelle 
reflet; du reste, la teinte sur les deux plans parallèles 
dont se compose la façade doit être la même. 

Nous devons ajouter cependant encore quelques 
développements qui tiennent à d'autres considéra- 
tions. 

Nos organes sont doués de certaines propriétés qui 
altèrent les sensations qu'ils nous transmettent. 
L'organe de la vue, par exemple, prolonge la sensa- 
tion au delà de l'instant où il l'éprouve; c'est ce que 
démontre une expérience bien connue : quand on fait 
mouvoir avec rapidité un charbon allumé, placé au 
bout d'un bâton, on voit, non pas le charbon occu- 
pant successivement différents points, mais un ruban 
de feu continu. 

Ce même organe jouit d'une autre propriété, c'est 
d'étendre, d'agrandir les objets, d'autant plus (ju'ils 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE. Ï9.9 

sont plus éclairés; en voici un exemple frappant. 
Quelques jours après la nouvelle Lune, et lorsqu'elle 
approche de son premier quartier, elle est visible sur 
l'horizon, encore un peu après le coucher du Soleil ; 
un quart environ de son disque seulement est éclairé, 
mais ce qui est dans l'ombre reçoit par réflexion 
quelque lumière de la terre et n'est pas invisible pour 
nous; la partie éclairée paraît alors d'un diamètre 
beaucoup plus grand que celle qui est dans l'ombre, 
et il semble y avoir un ressaut considérable au pas- 
sage de la courbure de l'une à la courbure de l'autre. 
A l'époque du dernier quartier, et avant le lever du 
Soleil, la même illusion se renouvelle; mais la partie 
dans l'ombre au premier quartier est alors éclairée, et 
paraît à son 'tour plus grande que l'autre, qui est 
devenue obscure. Plusieurs expériences confirment 
cette faculté qu'a la vue d'étendre les dimensions des 
objets blancs et éclairés, aux dépens de ceux qui sont 
obscurs; nous ne rapporterons que l'expérience sui- 
vante, comme la plus simple. Lorsqu'on place, à côté 
l'une de l'autre, plusieurs bandes parallèles, parfai- 
tement égales en largeur et alternativement noires et 
blanches, en les regardant d'un point un peu éloigné, 
les bandes blanches paraissent beaucoup plus larges 
que les noires. 

Une troisième propriété, que l'œil partage avec nos 
autres organes, tient à ce qu'en général les sensations 
fortes affaiblissent momentanément en nous la per- 
ception des sensations plus faibles. C'est ainsi que le 
canonnier, qui vient d'entendre la décharge d'une 
batterie, est insensible à l'impression d'un bruit mé- 
dioci-e. Il arrive même qu'une sensation vive, éprouvée 

MONGE. — II. 9 



LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE. 



par un organe, couvre tout à fait une sensation reçue 
ensuite par un autre organe d'une sensibilité plus 
obtuse. Avant de boire de la liqueur, nous sentons son 
parfum, mais notre odorat y devient insensible, 
aussitôt que nous en avons bu quelques gouttes; la 
sensation forte éprouvée par le palais émousse tout 
à fait la sensibilité de l'odorat. Cet effet des sensations 
vives est très remarquable sur l'organe de la vue : les 
objets brillants nous rendent insensibles à ceux qui 
ne jouissent que d'une moindre lumière; lorsque l'on 
passe du grand jour dans un lieu peu éclairé, on ne 
distingue rien dans les premiers moments; on a de la 
peine à reconnaître les personnes les plus voisines de 
soi; mais peu à peu, la vue s'habitue à cette faible 
clarté, et l'on parvient, après quelque temps, à lire 
même un caractère assez fin. îl est vrai qu'au moment 
où l'on passe de la lumière à l'obscurité, la prunelle 
de l'œil se dilate et permet l'entrée à un plus grand 
nombre de rayons ; mais cette dilatation de la prunelle 
a lieu instantanément, et n'est pas la cause de l'effet 
que nous venons de rappeler : il tient à ce que l'œil 
ne perd que lentement l'impression vive que lui a 
laissée la clarté du grand jour. 

En appliquant ces remarques à la détermination du 
reflet qu'on doit ménager sur une arête éclairée, on 
reconnaîtra que ce reflet paraît à l'œil un peu plus 
large qu'il ne l'est en effet, et que les parties contiguës 
paraissent un peu plus obscures. Pour reproduire dans 
la peinture ces apparences, essentielles à la vérité, de 
l'image, il faudra donner une plus grande largeur au 
reflet, et placer parallèlement, à droite et à gauche, 
une teinte un peu plus sombre sur une faible étendue. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. l'Jl 



Si nous avions à notre disposition des couleurs aussi 
vives que celles de la nature, si nous pouvions peindre 
le reflet d'un blanc aussi éclatant que celui qui a lieu 
dans la réalité, il deviendrait inutile de lui donner plus 
de largeur, et de le rehausser en quelque sorte, par 
l'opposition de teintes plus sombres placées à côté : 
la copie fidèle de ce qui existe leproduirait, sur nos 
organes, l'effet produit par l'objet lui-même; mais 
nous sommes obligés de compenser par une sorte 
d'exagération, qui nous est facile, l'imperfection de nos 
moyens d'imitation. 

143. Après avoir traité des modifications ({ue la 
lumière éprouve, spécialement dans son intensité 
absolue, et quelles que soient les couleurs dont elle 
nous apporte la sensation, il nous reste à examiner 
quelles sont les variations que subissent les couleurs 
elles-mêmes par l'action des diverses causes qui 
peuvent les modifier. Cette recherche se rattache à la 
partie de l'Optique, dont l'objet est l'étude de la lu- 
mière colorée; elle est beaucoup trop vaste pour que 
nous l'embrassions dans son entier, et nous nous bor- 
nerons à un petit nombre d'observations, que nous 
croyons susceptibles d'une assez fréquente applica- 
tion. 

Une des causes principales des variations 
qu'éprouvent les couleurs tient à la nature du corps 
lumineux; ainsi, le bleuet des champs, qui est d'un 
beau bleu pendant le jour, semble violet à la clarté 
d'une bougie; à la même clarté, le vert des feuilles et 
des plantes devient beaucoup plus sombre, et le jaune 
se lapproche beaucoup d'un blanc un peu rose; c'est la 



\ 

102 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE, 

raison pour laquelle les personnes dont le teint n'est 
pas très blanc paraissent avec plus d'avantage à la 
lumière. 

Mais les changements qu'on observe dans les cou- 
leurs ne proviennent pas uniquement de la nature de 
la lumière, soit directe, soit réfléchie, dont les objets 
sont éclairés; ils tiennent souvent, en partie, à une 
appréciation inexacte que nous faisons des couleurs, 
lorsque notre jugement est, pour ainsi dire, faussé par 
des circonstances particulières : nous en citerons 
quelques exemples. 

Le matin, avant le lever du Soleil, et lorsque le ciel 
est d'un bel azur, si, devant une fenêtre ouverte, 
nous avons sur une table un papier blanc et une 
bougie, le papier se trouve à la fois éclairé par la 
clarté de la bougie et par la lumière déjà répandue dans 
l'atmosphère, et que l'air nous renvoie. Dans ces cir- 
constances, que nous placions un corps qui intercepte 
en partie la clarté de la bougie par rapport au papier, 
l'ombre portée sur le papier ne sera plus éclairée que 
par l'atmosphère, elle paraîtra d'un beau bleu, ce qui 
doit être en efîet, puisque la lumière réfléchie par 
l'atmosphère est bleue; mais si nous éteignons la 
bougie, le papier ne sera en entier éclairé que par cette 
même lumière bleue, et cependant, nous n'hésiterons 
pas alors à le juger blanc; et s'il se trouve à côté un 
papier d'une teinte bleue, il nous paraîtra sensible- 
ment blanc comme le premier. 

Supposons encore que nous soyons dans un appar- 
tement dont les fenêtres soient parfaitement exposées 
au Soleil, et que nous les fermions par des rideaux 
rouges; la pièce sera alors entièrement éclairée par 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 



de la lumière rouge; au bout de quelques instants, 
rœil, familiarisé avec la teinte rougeâtre répandue sur 
tous les objets, reconnaît pour blancs ceux qui sont de 
cette couleur, et il regarde aussi comme blancs ceux 
qui sont de la couleur rouge des rideaux : mais ce n'est 
pas tout. Si dans le rideau il se trouve une ouverture de 
3rain ou 4""" de diamètre, et qu'on présente à peu de 
distance un papier blanc pour recevoir le faisceau de 
rayons du Soleil qui passe par cette ouverture, ces 
rayons peindront sur le papier blanc une tache verte; 
si les rideaux étaient verts, la tache serait rouge. 

Nous ne pouvons pas ici expliquer pourquoi la 
tache est verte dans le premier cas, et rouge dans le 
second; parce que ce phénomène dépend de la théorie 
de la composition de la lumière; mais nous allons 
essayer d'exposer comment il se fait que, l'apparte- 
ment étant éclairé par de la lumière rouge, par exemple, 
un objet blanc qui reçoit cette lumière paraît encore 
blanc, un objet rouge paraît également blanc, et 
pourquoi la lumière blanche des rayons solaires, qui 
n'éprouve aucune altération, puisqu'elle passe par 
une ouverture du rideau et qu'elle est reçue sur un 
papier blanc, paraît cependant d'une couleur toute 
différente. 

Il nous est nécessaire de faire précéder ce que nous 
avons à dire sur ce sujet par quelques considéra- 
tions sur le rôle que la lumière blanche joue, en général, 
dans l'opération de la vision. 

Lorsque l'on regarde un corps, quelle qu'en soit la 
couleur, chaque molécule de sa surface visible nous 
renvoie des rayons blancs avec ceux qui sont empreints 
de la couleur propre du corps. 



l34 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 



Plus nous recevons des rayons de ce genre, et plus 
l'objet nous paraît éclairé, ou plus sa couleur nous 
paraît vive et claire. On connaît le cinabre, substance 
composée de soufre et de mercure, de laquelle on 
obtient ce rouge brillant qu'on emploie dans la peinture 
des vitraux : en masse, le cinabre est d'un rouge brun 
assez terne, et semblable à celui de la brique fortement 
cuite; mais, à mesure qu'on le broie, il perd cette 
couleur obscure et foncée; en se divisant, il acquiert 
plus de surface et nous renvoie de la lumière blanche 
par un plus grand nombre de points; enfin, quand il 
est réduit en poudre impalpable, il offre un rouge très 
éclatant et devient du vermillon. Chaque molécule 
du cinabre renvoie donc à l'œil plus ou moins de lu- 
mière blanche; et c'est lorsqu'elles peuvent en ré- 
fléchir une plus grande quantité, que cette substance 
prend une couleur plus brillante. De même, si nous 
examinons un chapeau, chaque poil dont le feutre est 
composé est un petit cylindre, qui, vu au microscope, 
présente une arête blanche, semblable à celle que nous 
voyons sur un bâton de cire d'Espagne, quand nous le 
regardons au grand jour; cette arête renAoie donc à 
notre œil de la lumière blanche. Ce que nous venons de 
dire relativement à ces deux exemples, est vrai de 
tous les corps de la nature ; c'est cette lumière blanche, 
réfléchie de tous les points visibles, qui détermine 
essentiellement la teinte de clarté propre à chaque 
partie de l'objet considéré, parce que les rayons blancs 
sont les plus complets et les plus vifs de ceux que 
chaque molécule nous renvoie; ce sont ceux, par con- 
séquent, qui nous font mieux connaître les formes, 
apprécier l'inclinaison de chaque élément et la cour- 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 1)5 

bure en chaque point de la surface. Nous sommes 
habitués à cette grande abondance de lumière blanche 
et aux services qu'elle nous rend dans la vision ; et c'est 
comparativement à elle qu'en général nous jugeons 
de la lumière colorée. 

Ceci posé, si les objets ne sont éclairés que par de la 
lumière déjà colorée, si, comme nous l'avons supposé 
tout à l'heure, des rideaux ou des vitres rouges donnent 
cette couleur à toute la lumière que le Soleil projette 
dans un appartement, ce ne sera plus au moyen de la 
lumière blanche que nous jugerons de la forme des 
corps, puisque les rayons blancs que chaque point 
aurait réfléchis, si la lumière n'eût pas été altérée, 
deviennent alors des rayons rouges. Ces rayons, cepen- 
dant, sont encore les plus complets et les plus vifs de 
ceux qui nous parviennent, et quoique notre œil en 
soit affecté d'une manière différente, il juge cependant 
par leur secours, comme il l'eût fait à l'aide des rayons 
blancs ; il est donc conduit naturellement à les regarder 
comme blancs, et c'est en comparant les autres rayons 
à ceux-là qu'il apprécie leurs couleurs. On voit, d'après 
ceci, que s'il se trouve dans l'appartement un corps 
du même rouge que la lumière dont la pièce est éclairée, 
cet objet, renvoyant des rayons de même nature que 
ceux que nous jugeons blancs, nous paraîtra blanc 
également. On vérifiera facilement cette expérience, 
en plaçant un verre rouge devant ses yeux et en regar- 
dant, au travers, des objets blancs et des objets rouges; 
les uns et les autres paraîtront de la première de ces 
couleurs. 

La même cause qui nous détermine à regarder 
comme blancs des rayons qui ne le sont pas en effet 



l3() LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE. 

ne nous permet pas d'admettre comme tels ceux qui 
le sont réellement; et telle est la raison pour laquelle la 
lumière naturelle du Soleil, qui passe à travers une 
petite ouverture d'un rideau rouge, va porter sur un 
papier blanc une couleur qui nous paraît très sensible- 
ment différente de la couleur blanche. 

Les observations précédentes, cj[ue nous avons faites 
en considérant un exemple particulier, sont de nature 
à être facilement généralisées, et s'étendent à toutes, 
les circonstances où la lumière dont les corps sont 
éclairés n'est pas telle que celle que nous recevons 
habituellement du Soleil. On sent combien il peut 
être essentiel, quelquefois, d'y avoir égard, surtout 
quand il s'agit de peindre un objet qui ne reçoit que 
de la lumière réfléchie, ou altérée par les milieux dia- 
phanes qu'elle a traversés. Presque toujours, la lu- 
mière qui n'arrive que par réflexion est empreinte de 
la couleur des corps qui la réfléchissent; cette modifi- 
cation influe sur les apparences que présentent les 
couleurs de l'objet qu'elle éclaire, et sur le jugement 
que nous portons de leurs rapports. 



FIN DU DEUXIEME ET DERNIER VOLUME 

« 



T\i;i i; DES MATIEHES 

m !>».t XIK.MK VOI.IMT. 



l'ases. 
Application des intersections des surfaces à la solu- 
tion de divers'-s questions I 



V. 

Utilité de renseignement de la géométrie descriptive 

dans les écoles secondaires 28 

Des courbes planes et à double courbure, do leurs 
développées, de leurs développantes, de leurs 
rayons de courbure '^9 

De la surface qui est le lieu géométrique des déve- 
loppées d'une courbe à double courbure; propriété 
remarquable des développées, considérées sur cette 
surface. Génération d'une courbe quelconque à 
double courbure par un mouvement continu .... 36 

Des surfaces courbes. Démonstration de cette pro- 
position : « Une surface quelconque n'a dans 
chacun de ses points que deux courbures ; chacune 
de ces courbures a un sens particulier, son rayon 
particulier, et les deux arcs sur lesquels se me- 
surent ces deux courbures sont à angles droits sur 
la surface » 4o 

Des lignes de courbure d'une surface quelconque, de 
ses centres de courburs et de la surface qui en est 



t38 table des matières. 

le lieu géométrique. Application à la division des 
voûtes en voussoirs et à Tart du graveur 53 

Théorie des ombres et de la perspectiçe. 

Utilité des ombres tracées sur les épures 65 

De la description graphique des ombres 68 

Théorie de la perspective. 

Méthodes pour mettre les objets en perspective. ... 97 
De la détermination des teintes dans la représenta- 
tion des objets, et de la perspective aérienne 112 

Des variations que subissent les couleurs dans cer- 
taines circonstances i3i 



FIN DE LA TABLE DES MATIERES. 



LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE 



HvYGENS (Christian). — Traité de la lumière. Un vol. do x-155 pages 
et 74 figures ; broché, net 3 fr. 50 

Lavoisier (A.-L.). — Mémoires sur la respiration et la transpira- 
tion des animaux. Un vol. de vni-68 pages ; broché, net. . . 3 fr. » 

Spallanzani (Lazare). — Observations et Expériences faites sur les 
Animalcules des Infusions. Deux vol. do viii-106 et 122 pao-es; 
chaque vol. broché, net 3 fr. » 

Ci-AiRAUT (A.-C). — Eléments de Géométrie. Deux vol. de xiv-95 et 
103 pages avec C9 et 77 figures; chaque vol. broché, net. 3 fr. 50 

Lavoisier et Laplace. — Mémoire sur la chaleur. Un vol. de 78 pages 
avec 2 planches; broché, net 3 i'r. » 

Caunot (Lazare). — Réflexions sur la métaphysique du Calcul infini- 
tésimal. Deux vol. de viii-117 et 105 pages avec 5 figures; chaque 
vol. broché, net 3 fr. » 

D'Alembert (Jean). — Traité de Dynamique. Deux vol. de xl-102 et 
1 87 pages avec 8 1 figures ; chaque vol. broché, net 3 f r. » 

Dv'TRocHET (René). — Les mouvements des végétaux. Du réveil et du 
sommeil des plantes. Un vol. de vni-121 pages et 25 figures; broché, 
net 3 fr. • 

Ampère (A,-M.). — Mémoires sur V électromagnétisme et l'électrodyna- 
/-rttgue. Un vol. de xiv-llOpagcs et 17 figures; broché, net 3 fr. » 

Laplace (P.-S.). — Essai philosophique sur les probabilités. Deux 
vol. de xn-103 et 108 pages ; chaque vol. broché, net. ... 3 fr. » 

Eovguer (Pierre). — Essai d'optique sur la gradation de la lumière. 
Un vol. de xx-130 pages et 17 figures; broché, net... 3 fr. > 

Pajnlevé (Paul). — Les axiomes de la Mécanique. Examen critique. 
j\ote sur la propagation de la lumière. Un vol. de xin-112 pages et 
4 figures; broché, net 4 fr. » 

Sous presse : 

\UiiioTTE (Edme). — Discours de la nature de l'air. De la végétation 
Jis plantes. Nouvelle découverte touchant la vue. Un vol. de 
00 pages; broché, net » 

MoNGE (Gaspard). — Géométrie descriptive. Deux vol. de xvi-li4 
tt 138 pages avec 53 figures; chaque vol. broché, net. ... » 



Il est tiré de chaque volume 10 exemplaires sur papier 
de Hollande, au prix uniforme et net de 6 francs. 



Paraîtront successivement : 

Newton. — Principes mathématiques de la philosophie naturelle. 
Lamé. — Examen des différentes méthodes employées pour résoudra 

les problèmes de géométrie. 
Pascal. — Traité de l'équilibre des liqueurs. Traité de la pesanteur 

de la masse de l'air. 
Galilée. — Dialogues cl démonstrations concernant deux sciences 

nouvelles. 
Fermât. — De la comparaison des lignes courbes avec les lignes droites. 
Carnot (Sadi). — Réflexions sur la puissance motrice du feu. 
D'Alembert. — Eléments de philosophie. 
Faraday. — Recherches expérimentales sur l'électricité. 
Helmholtz. — Mémoires sur l'hydrodynamique. 
Malus. — Théorie de la double réfraction de la lumière. 
Laplace. — Mémoire sur les inégalités séculaires des planètes et des 

satellites. 
EucLiDE. — Les Éléments. 

De Saussure. — Recherches chimiques sur la végétation. 
Archimède. — De la sphère et du cylindre. 
Gauss. — Méthode des moindres carrés. 
Foucault. — Mémoires relatifs à la mesure de la vitesse de la lumière 

et au mouvement de la Terre. 
Gay-Lussac et Thénard. — Recherches physico-chimiques. 
Ingenhousz. — Expériences sur les végétaux. 

Chevreul. — Recherches chimiques sur les corps gras d'origine ani- 
male. 
Newton. — Optique. 
Lamarck. — Philosophie zoologique. 
Coulomb. — Mémoires sur l'électricité et le magnétisme. 
Mendel. — Essai sur les plantes hybrides. 

Leibniz. — Mémoires sur l'analyse infinitésimale et la dynamique. 
Bravais. — Mémoire sur les systèmes formés par des points distribués 

régulièrement sur un plan ou dans l'espace. 
BiciiAT, — Recherches physiologiques sur la vie et la mort. 
Laplace. — Sur la théorie des tubes capillaires. Sur l'action capillaire. 

De l'adhésion des corps à la surface des fluides. Considérations sur la 

théorie des phénomènes capillaires. 
YouNG. — Théorie de la lumière et des couleurs. Correspondance 

choisie sur des sujets d'optique. 
Volta. — Lettres sur l'électricité animale. 



Faraday, Ampère. — Rotations électromagnétiques. 

Herschel. — Discours préliminaire sur l'étude de la philosophie ncUU' 

relie. 
Lagrange. — Mémoire sur la tfiéorie du mouvement des fluides. 
DuTROCHET. — De l'endosmose et de V exosmose. 
Gauss. — lîecfierches générales sur les surfaces courbes. 
RiEMANN. — Sur les hypothèses qui servent de base à la géométrie. 
Clifford. — Essais et conférences sur les fondements et la philosophie 

des sciences. 
Laplace. — Exposition du sijstcme du monde. 
Réaumur. — Mémoires pour servir à l'histoire des insectes. 
Fresnel. — De la lumière. 

Geoffroy Saint-IIilaire. — Principes de philosophie zoologique. 
Descartes. — La géométrie. 
Clairaut. — Théorie de la figure de la Terre. 

Lavoisier. — Décomposition et recomposition de l'eau. Réflexions sur 
la décomposition de l'eau par les substances végétales et animales. 
Desargues. — Traité des coniques. 
FouRiER. — Questions sur la théorie physique de la chaleur rayonnante. 

Résumé théorique des propriétés de la chaleur rayonnante. 
Hales. — Essais de statique végétale. 

Mendeléeff. — Mémoire sur le système naturel des éléments chi- 
miques. 
SwAMMERDAM. — Mémoires sur les abeilles. 

LoBATSciiEFSKi. — Pongéométrie ou théorie générale des parallèles, 
suivie des opinions de d'Alembert sur le même sujet et d'une discus- 
sion sur la ligne droite entre Fouricr et Monge. 
Spallanzani. — Expériences sur la digestion de l'homme et de diffé- 
rentes espèces d'animaux. 
AccADEMiA DEL CiMENTo. — Essois d'cxpéricnces physiques. 
BoLYAi. — La science absolue de l'espace. 
Harvey. — La circulation du sang. 
De Saussure (H.-B.). — Essais sur l'hygrométrie. 
Clifford. — Mémoires mathématiques. 
Bernard (Claude). — Introduction à l'étude de la médecine expé- 

rimer^ale. 
Hertz. — Equations électrodynamiques fondamentales des corps en 
moyivement et des corps en repos. 



D'autres volumes sont en préparation. 



PARIS. — lAirRIMERIE GAUTHIER-VJLLARS et C 
66543 Quai des Grands- Augiislins, 55. 




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stamped below, or on the date to which renewed. 

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