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Den Hochgeachten / Wol Edien/ cſtrengen /
„. Ehrenveßen/Srommen/Sürfichtigen/Eprfammn
Gersen Burgermeiftern vnd Baht
der loblichen Statt Zuͤrich / meinen Hoch⸗
EN vnd Gnaͤdigen
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ge / Ehrenveſte / Fromme / Fuͤrſichtige /
VAEhrſame Weyſe / Hochehtende / Groß⸗
ET adoͤnſtige / Gnaͤdige Herren.
A 9 Was die Machelisfür ein alte / nutzbare /
N edle und fürtreffenliche Kunſt ſey / haben
die alten beruͤhmten Philoſophi wol erfeit/darumb fie die⸗
felbe den andern Wuͤſſenſchafften indemliehlichen luſtgar⸗
gen der freyen. Kuͤnſten nicht vnbillich haben vorgezogen /
wie gleichmaͤſſig auch jhre theil. Darumb dann der weyſe
Plato den eyngang feiner Schul vor den jenigen / welche
der Geometriæ (fo ein principal theil der Matheſis) vner-
fahren / hat verwahren vnd zuhalten laſſen / dieweil von di⸗
fer vnd der Arithmetica (weiche mit einandern verbunden)
die andern Scientiæ vnd Artes, die der Matheſi zugethan /
alß da ſind Aſtronomia, Aſtrologia, Muſica, Coſmogra-
phia,Archite&tura,Optica,ond andere mehr / alß von ei⸗
nem Maren bronnen herfuͤr quellen vnd flieſſen / vnd jhren
———— empfahen
olche dienen Geifttichen vnd Weltlichen / hoch und
nider ſtands Perſonen / zu frid vnd — zeiten / dann ſie
Fa
Deditation.
ermuntern die gemuͤhter Durch die geheimnuſſen / ſo in Ihe
nen verborgen / zu oomtemplieren und zu betrachten die ho⸗
hen Wunderwerck Gottes. Durch ſie werden die zeiten
vnd quantiteten vnderſcheiden vnd abgetheilt: auch die
Laͤnder / Staͤtt / Veſtungen vnd ſonderbare Gebaͤw abge⸗
theilt / auffgeriſſen / vnd ins werd? gefegt/Schlachtorbnun«
gen gemacht / die Feldlaͤger in grund gelegt vnd abgeſteckt:
wie auch alle Weitenen / Hoͤhenen vno Tieffenen zu maͤſ⸗
ſen / das Geſchuͤtz / Minen vnd Prucken darnach anzuſtel⸗
len vnd zu richten. Weiter ſo geberen ſie allerley kunſtli⸗
che Mechaniſche Inſtrument / in kriegs weſen vnd andern
zu gebrauchen / wie ſie dann auch allen Rauff-und:
Handelsieuhten / und allen ehrlichen Handwercken die
andreichung thun/mit Gewicht / Maaß / Abtheilung / vnd
alen / wie ſolches durch Geiſtliche und Weltliche Hiſto⸗
rien / wie auch durch die taͤglich Erfahrung zu beweiſen /
wie dann in heiliger Schrifft hin vnd wider vom Gewicht /
Maͤſſen / Abrheilen/und Läger ſchlagen 2E. meldung ge
fchicht : alß im andern und vierten Büch Moſis / im Buͤch
— Eſaja / Jeremia / Ezechiel / Amos vnd andern.
o ſind ſie jeder zeit von fuͤrnemmen vnd gelehrten Leuh⸗
ten in hohem anſehen geweſen / dann Joſephus bezeuget
in den alten Geſchichten / daß nach dem ſie zu den Chal⸗
deern gelangt / ein merckliches haben zugenommen / durch
den groſſen fleiß des Patriarchen Abrahams. Von den
Egyptiern ſind ſie nicht weniger hoch gehalten worden /
da ſie jaͤhrlich jhre Guͤter durch die Geometriam außthei⸗
den muͤſſen / wegen der vberſchwemmung des fluſſes Nili.
Welche endlich von den Egyptiern zu den Griechen durch.
die geſchicklichkeit Thaletis Mileſij, vnd Pythagorz Samij,
vnd anderer gebracht worden / welche durch liebe zu lehr⸗
nen / ſich nicht geſchewt haben die hohen vnd tieffen Meer
* *
Dedication. |
su oberfchiffen / und frömbde weit abgelegne Länder gu
durchwandern : von welchen fie dann bis auff uns kom⸗
men / vnd durch den fleiß viler beruͤhmten Maͤnnern maͤch⸗
tig illuſtriert / vermehrt und verbeſſert worden / wie jhre
Schrifften gnugſam bezeugen. Welche alß fie auch mir zu
leſen an die hand gewachfen/ich mich mit moͤglichſtem fleiß
bemuͤhet / die Fundament derſelbigen recht zu erlehrnen /
neben durchreiſung froͤmbder Nationen vnd Loaͤndern / da
ich mich dann fonderlich hab auff die Practick gewendt /
neben und under andern Kriego Obriſtenvnd Bawver⸗
ſtaͤndigen / allermeift under dem weiland Durchleuchti⸗
gen Zürften von Avpellino / zur ſelben zeit General vber die
Neapolitamſch Reuterh..
Weil ich aber von E. H. E. W. mit dem Burgrecht
begaabet worden bin / vnd mit einem ehrlichen Wartgelt
gnaͤdig vnd goͤnſtig vnderhalten wird: Alß hat ſich mir
deßwegen gebuͤren woͤllen / die ruhige zeit / ſo vno von Gott
dem allmächtigenond Ewer fuͤrſichtigen Regierung ver⸗
lihen / nicht gang vnnutzlich anzuwenden vnd hinzubrin⸗
gen / ſonder damit E. H.E. W. Ihren Burgern vnd Bur⸗
gers kindern ich ein zeichen meines danckbaren gemuͤhts
mochte zu erkennen geben / vnd hiemit allen Kunſtlieben⸗
den zu dienen / hab ich mir mit der huͤlff Gottes fuͤrgenom⸗
men / mit gelegner zeit die Architectur zu beſchreiben / vnd
auff dißmal mit der Geometria (welche Das Fundament‘
und Anfang derfelben/wie oben gemeldt) den anfang zu
machen / vnd dife mein Geometriam E. H. E. W. alß meis
ner gnaͤdigen vnd gebietenden Obrigkeit in aller vnder⸗
thaͤnigkeit zu dedicieren vnd zu zuſchreiben / vnd under jh⸗
rem weit beruͤhmten namen in truck zu geben / vnder dienſt⸗
lich vnd gehorſammeſt bittend / diſe mein vnderthaͤnigſte
Afkection vnd trewmeinendes Gemuͤht in _. —
ij en⸗
⸗
Dedication. |
kennen / und mich fampt gegenmwertigem Werd in jhren
fchug vnd fchirm auffzunemmen/damit ich durch Ihres ho⸗
es Anfehen vor widermwertigen zungen deſto freyer und:
icherer bleiben mdge. Diß vmb E. H. E. W. (die der alls
mächtig Gott bey langer gluͤck vnd fridlicher Regierung
ond ſteter Geſundheit wolle erhalten und bewahren) die
zeit meines lebens aͤuſſerſt vermoͤgens zu verdienen/erfenn:
ond weiß ich mich [fo wol vnderthaͤnigſtes gehorſams jeder
zeit ſchuldig / alß gantz begirrig. Datum Zürichden 1. Aue:
guſti / des 1027.jahrs.
EINEM
Vnderthaͤniger und Gehorſamer
Johann Ardũſer.
WVorꝛede
Ohrdengünftigen Laͤſer.
Vnſtiger vnd kunſtliebender Laͤſer / nach dem ich offt vnd
vilmal nachtrachtung gehaberwie in Teutſcher Spraach
die eheil der Matheſis, welche der Architectur angehören,
möchten in ein werck gebrache werden / (damit ein jeder / ſo diſe lobli⸗
che Kunſt su ſtudieren begert) ch deſſelben / alß eines Handbuchs
bedienen moͤchte / vnd nicht nohthalber ſo vilerley Authores jederzeit
bey der hand haben muͤßto/ welches den Reiſenden nicht wol moͤg⸗
lich / vnd denen / ſo nicht vil gelt haben / beſchwerlich. Alfo hab ıch mir/
mit der huͤlff Gottes / fuͤrgenommen / ein theil nach dem andern
(mann ich bey diſem erſten theil geſpuͤren / daß es dem Laͤſer annem⸗
lich ſeyn wird) von der Architectur oder Bawkunſt / auß den waa⸗
ren Mathematiſchen fundamenten / vnd den Roͤnaſchen Antiqui⸗
sereninach der leht des hochberüähmten Vitruvij su beſchreiben / vnd
wie dieſelbig fo wol im Krieg alß Fridens zeiten zu gebrauchen / mit
der jetzigen zeit gebraͤuchlichen wincklen / vnd linien defenſionis ac⸗
commodieren vnd richten. Damit ich aber / wie das ſpruͤchwort lau⸗
tet / nicht das Pferd beym 55 auffzaͤume / ſonder bey dem rech⸗
ten anfang anhebe / welches iſt die Arithmetica, vnd die Geometria,
wiewol ich die gmeinen Arithmetiſchen ſpecies nicht beruͤhrt hab /
ohne allein im andern Buch ein wenig die decimal oder zehen thei⸗
lige Arithmetica weil ohne das in Teutſcher Spraach ſchon zuvor
vil guter Buͤcher bon derſelben ſeyn außgangen / da ihm einer feines
gefallens erwehlen mag: welches mir von der Geometria auch
moͤchte fuͤrgeworffen werden / ſo doch rund zu bekennen / in Teut⸗
ſcher Spraach mir feines zur handen kommen / daß fo wol von der
Theoria,alf Practica tractiere / ſonder nohtwendig bey dem einen:
das eine / vnd bey dem andern das ander hab füchen muͤſſen / das
mich dann verurſachet / alle Authores, welche mir. von diſer ma⸗
terj zu handen kommen / mit fleiß zu durchgehen / vnd gegenwer⸗
tiges werck auff das kuͤrtzeſt vnd einfaltigeſt zu beſchreiben: nicht
der meinung / alß wann durch diſe geringe verzeichnuß ich es an⸗
dern / ſo vor mır in Teuſſcher Spraach von dergleichen geſchriben /
vorzuthun begere / ſonner allein ein ſummariſche Verzeichnuß
der Geometrie. auf dem beſten —— — dem —
Ö R
Vorꝛede.
fo mir BGott der Almoͤchtig in diſer kunſt vy hen m verfaſſen. Wie
"mann dann der groͤſte theil derſelben / ſo Ich hierzu gebraucht / oder
Pre geläfen/ nad) ordnung des Alphabete hernach verzeichnet
* —
Archimedes, Appianus, Brahe, Barbarus, Beyerus, Bernege-
zus, Bramerus, Braun, Cuſanus, Campanus, Carda nus, Comandi-
nus, Clavius, Ceplerus, Cantzælerus, Durerus, Dentælerus, Euclides,
Eberhardus, Friſius, Ferrerus, Faulhaberus, Grunenbergerus, Ga-
lilzis; Galgemajerus, Galucius, Hiron, Hulſius, Ludolphus à Ceu-
len, Lorerus, Monteregius, Münſterus, Maginus, Marolois, Nico-
medes, Nonius, Orontius, Papus, Patiolus, Purbachius, Pitiſcus,
Pieters dau, Ramus, Reinholdus, Rivius, Ritterus, Stuflerus, Simon
Jacob, Stevinus, Sibrandus, Sems, Schvventerus, Stolomeus, Theo-
doſius, Tortalea, Vitruvius, Vietci, Ubaldus, Uldricus, Velperus,
Zublerus, vnd vil andere / ſo mir jetz in vergeſſen kommen. Vnder
welchen etlich von der Theoria, andere von der Practica, auch ein
theil von beyden / aber nicht in Teutſcher Spraach / vnd jhren vil nur
von einem theil der practica, alß von dem gebrauch eines Geome⸗
triſchen Inſtruments / oder aber vom Feldmaͤſſen / oder von der qua-
dratura Circuli, &c. vnd dergleichen geſchriben haben.
Auß welcher vrſach / alß oben vermeldt / ich meinen anfangbey
der Geometria zu nemmen mich nutzlich gmeiner Teutſchen Na⸗
sion zu dienen hat angeſehen / vnd in zwoͤlff Buͤcher abzutheilen / vnd
denſelben noch die wen Bücher von der Ltereometria beyzufuͤgen /
vnd jedes Buͤch wider in feine Definitiones, Propoſitiones, vnd
Corollaria, das ſind Erklaͤrungen / Auffgaben / vnd ſchlieſſende Zu⸗
ſaͤt: die Auffgaben werden von Euclide in Theoremata vnd Pro-
blemata vnderſcheiden. Theoremata find Auffgaben / durch welche
«in Geometriſche Figur / oder quantitet in betrachtung gezogen /
vnd jhre eigenſchafft zu erweiſen fuͤrgenommen wird: Problema
aber iſt ein Auffgab / da etwas / ſo zuvor nicht iſt / zu machen fuͤrge⸗
nommen wird: die erſten werden allein im verſtand gefaßt / vnd
die andern durch die hand arbeit zuwegen gebracht. Weiter hab ich
ein jede Auffgab allein mie zalen gezeichnet / vnd nicht in Theore-
mata und Problemata abgetheilt / von wegen teil auch Capitel ver⸗
handen / damit die Concordangen im zuruck ſchlagen am rand defle
füglicher vnder ihren zalen zu finden ſeyen. Wann ſich ein Buff
6
| Vorꝛede.
"gab auff ein vorher gehendes Buch vnd Auffgab gehen thut / ſo man
dieſelbigen ſchreiben vnd demonſtrieren wil. Daß ich hierinnen aber
nur ein theil der Propoſitionen Euclidis, vnd nicht alle (wie dann
bey jedem titel zu ſehen )beſchriben hab / iſt nicht beſchehen fein fürs
treffenlichen verſtand vnd kunſtliche ordnung zu verbeſſeren / zu
welchen ich / vnd noch vil andere ſo mehr alß ich / vil zu gering ſeyn
werden / ſonder es iſt allein beſchehen / daß diß Werck nicht su groß⸗
damit es die form eines Handbuͤchs behalten moͤchte / derwegen hab
ich allein die Propoſitiones genommen / darmit ich mir getrawt hab
diſes / vnd alle folgende theil / fo von der Matheſis zu der Architectur
gehoͤrig zu demonſtrieren. | 0
Was dann das vberig anbelangtralß das slerlich Teutſch rer
den / vnd von ſubtilen Auffgaben / kan ich wol erachten / daß derglei⸗
chen bey mir nichts / ja vil mehr das widerſpil zu finden iſt / ſo woͤlle
man doch die mir von natur eyngepflantzte liebe / vnd guten willen
gegen loblicher Teutſchen Nation verſtehen / der troſtuchen zuver⸗
ſicht / es werden verſtaͤndige kunſtliebende mir ſolches nicht verar⸗
gen / dieweil in loblichen ſachen der gut will jeder zeit iſt geruͤhmt
worden / obgleich die thaat nicht allweg darbey iſt geweſen / vnd ich
auch kein anders lob begere / ſonder wol vernuͤgt ſeyn wil / wann ich
vngetadelt werde darauß kommen moͤgen / welches mir / doch wie ich
wol weiß / von jederman nicht widerfahren wird: dieweil ohne das
des neidigen Zoili gebrauch iſt / ein ding (ob es gleich gut iſt) zu tad⸗
len vnd nicht zu ruͤhmen / ob ers gleich nicht verſteht / vnd wol ſo bald
nicht geſehen hat / nach welchem ich doch wenig frag: ſonder den
kunſtliebenden freundtlichen Laͤſer nochmalen gebaͤtten haben wil /
er woͤlle mein nicht geringe arbeit vnd muͤhe / ſo auff ein gutes end
gerichtet iſt / im beſten von mir auffnemmen / ſo wil ich / gliebts Gomz
alle theil der Architectur, einanderen nach an tag geben.
Thun vns hiemit alle in Gottes gnaͤdigen u
| ſchirm wol befehlen.
Geometriz, Theoricæ & Pradicz
Summariſcher Innhalt.
erſten Důch find die rechten anfäng vnd fundament Euclidis, auß ſei⸗
—— ſechs erſten Bachern / damit alte Geometrifchen Auffgaben diſer
vierzehen Büchern demonſiriert vnd bewiſen werden. |
Das ander Buͤch / von zubereitung der maͤſſen / vnd der Decimal oder
hen theiligen Rechnung / wie auch von Fabrica, oder zubereitung der
metriſchen Juſtrumenten.
Das dritt / von den maͤß⸗vnd vnmaßlichen / auch rational vnd irratio-
nal quantiteten / oder groͤſſen wie Diefelben zu addieren, ſubtrahleren / mul⸗
tiplicieren / dividieren / vnd ıhre radıx zu ertrahteren ſeye.
Das viert / von den graden inien / wie dieſeibigen Seomerrifch zu ad⸗
dieren / ſubtrahleren / multiplicieren / dividieren vermehren vnd theilen / vnd
andere uach vnderſchidenlicher proporzion zu finden ſeyen.
Das flufft / von den Circkel linien / wie i⸗ Beomerrifch zu verwand⸗
Ieuiaddierenifubtrahieren vermehren / vermindern / vnd zu cheilen ſeyen.
Das ſechßt / von den rechtliniſchen Figuren / wie dieſelbigen Geo⸗
weeriſch gu verwandlen / zu addieren, fubtcabieren, zu vermehren / vermin⸗
dern / vnd zu theilen ſehen.
Das ſibend / wie die rechrlinifchen Figuren inn vnd vmb ein Circkel /
vnd ſie inn vnd vmb ein anderen zu fchrebens ond wie ſie gegen ein ande⸗
gen proportioniert ſeyen / auch wie Ihre ſeiten zu finden,
acheroon den Tabulis Imuum, tangentıum & -Tecanrium, was
———— leyen / wie fie zu calculieren / auch wie Fe zu gebrauchen / mit vnd
ohne rechnung.
Das ẽunt / wie alle weiteibreiter hoͤhe wud teffe zu maͤſſen / mit Iu⸗
ſtramenten / oder ohne dieſelben / auch mit vnd obne rechnen.
De — — legen / auffreiſſen und abfiecgen / vnd wie die
Jaud- ar machen vd
_ Das eifft / wie im Feld die linien / winckel vnd lachen Figuren zu ma,
chen / vnd wie die ſeiten derſelbigen zu ſinden / vnd wie man die Felder Aras
oder Junhalt / mit vnd ohne rechnung fuchen und finden ſoll.
vier bend I von zubereitung der Lang⸗Wein⸗Treit ·vnd Ge⸗
t⸗Ruͤten / vnd derſelben gebramehrig vnd v der Cor.
ae a ende — — —
u;
‚Geometrie Theoricz & Pra.
Das erſte Bach.
In welchem die —— —* |
echs erſten Büchern
poñtiones auß den ſ
Elementorum Euclidis;auff’das —
ſchriben
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lich zu wilſſerwtwendig ſeyn. er
Eamft ein vntheibares Man Sur anfang.
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2. Linestffehflargeöimiebreiteiäßit‘ —— |
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Ben) rn fein. grade lini⸗
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cqcher winket / iſt der winckel ſo v — nacht wirt
8. Angulur —n — Binder wird ne
rum̃en linie gema
⁊
1 Das erſte Buͤch der Geometria; |
——— winckel / AR der ſo von De
en linien gemacht wirdt.
10. Wann ein grade Linien quff einer graben linien ſtehet / vnnd
au beyden ſeiten 3 winckel — [6 merbenie moe n winckel
—E mia enckelrechte Linien —— en ö
ſteht / vnd die heißt Bafts ‚ das if / grund unten
| = Angulusobtufus „ ein weiter oder
Rumpffer wine fedxn nr L_ / L
——
Ter —ã— —** — Dann ein ein
rechter.
13. Terminus,ifidas end eines dinge.
= — — BE Pk begriß
Circkki iſt ein Sta sur I
5 —** beſchloſſ rn
vmbkreiß genanne / ba Inder — ** ers
ꝓuneten / vnd alle linien fi vom felben an
—— gegogen werdẽ die ſeyn ein Nr (Nfa $
26. Der gedachte puneren
— * deß
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nr —— Eve ——
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18;_ Scmicigeabus ein pafer@itetitiife
be
a ni a dem Diamere
d- ‚Segment Circall , Circhef
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Aldo Ga fu mb wi Arcan and One gan! vn.
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BonderunbainiitenBucii 3
die rad linien heißt Mubrenfa| corda, Sennen vnder ogne oder.
fehntr do mitten von diſer an den vmberriß ein perpendjcular w
hebt wirdt / ſo heißt die ſelb ſagitta, cin Pfeil oder Boltz.
Ein grade linien ruͤre ein
An: —5 nceifone iboetgein nl
ar. SedorCirculi,ein außſchnitt deß Circkels oder Tirckelzann /
iſt ein Figur 6 von zweyen graden linien (ſo auff dem Cen⸗
srotin winckel machen / vnd an ben umbereiß langen)ond.den vinb⸗
freiß zwiüſchen beyden graden linien.
42. Inn vbder vmbſchribne Figuren ſeyn die / ſo die ſeiten der
*— er Banr / der andern Figur ale winckelruh⸗
Reguſaris Regullerte Sign? ſeyn die jenigen /
Ba habenond — din in em u “
24. Rechtliniſche Figur iſt die / ſo mit graden linien beſchioſſen iR.
F ‚Die fo mit drey linen befchloffere wird drey ſeitige Figur
nt: die mie vieren vierſeitige Figur: bie mit machen han be |
—ã free
26. Triangulus zquilsterus, gfeichficgetger Triangel / iföerie
ven. gleiche faren har. .
27. Triangulus Kolceles,ider ſo allein zwo gleich ſeiten han
28. Itingelam Scalenam, a
chen fetten.
29. Triangulam Rectan um, ein
rechtwinckleter / oder wincke rechter Zr
angel / iſt der fo ein rechter winckel hat. A
30, nn — >
weit winckierer ————
8 Triangul = acutan
fbigwothctierer.
HR
ber alle winckel ſcharpff oder fp me
ii Qu — diejenige welche vier ve a
PR vier gleiche ſeiten. ee, Rei
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5 Das erſte Bach der Gẽdmetria
sy. Re rechtwincklet viereck / oder ein abl
—— ——— ſo vier —————— *
ſeitẽ gegen ein — nn wo EBEN
—— iſt die * ——— —F
aber. ungleiche winckel / mag auch aid |
ne vierung heiſſen.
f:. Rhomboides, ein ablan
——— haben.die fetten .. er ZB
Ferning AN eın Ertge junge: —5* rnit
—t⸗
—— ep au in —
6; Traperlam, on dieser .
kyn. dierv obrigen, alle ſo mie: —— —— haben:
y;. Linex Parallelæ gleich weitige oder eichlauffende *
Bon die. ſo ſie neben ein andern sogen Fine äh :niemalfchneiden
ader eſammen lauffen /06. fe: gleich ohne ende fort ogen wurden.
38:. Päralall de vierck di
D ee (loc ie wo fee
Eunjedes päralellog grammunateEanprilume oder rechtwinckter
viereck / hr arten. von: enge: graben: —*ð ſo mit einan⸗
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Won den Funda menten Vurlſci⸗ 3
(ein Giomon wie A.oder das paralellogrammum h. e. mit den
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42. Ein quantitet / cin groͤſſe / im 2*
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43. Proporsiönift war zwo quan’ |:
nitet / oder: * tinex.mareria vñ
ander.aeffeitiashale: |
natur / gegen
niperden.
ten / vnd vergli
Die oder gröfle ha⸗
4
en gleiche proporiion die erſte | 1, '
zur andern, una Di * sur vier⸗ ——
t
en vñ —— er —*
men / gleich vbertreffen / oder Adi ".
1 q vbertroffen werden / vonder male p *
licanten der andren vnd vierten /
oder. beyder zeſammen / als bie erſt I 3
—— — *
ie D. Win licanten
erften und dristen / ſo tompt von see» HM FODH FCDR
Yas.E. vnd von C. dag E weite — der andern vnd vierten gleiche
— — kompt von B das Gi vnd von D: das H. So nun
— — dann G. folft goͤſſer dann: H! ſo aber F. geich G.
—*— gleich H. oder einentiewmer/an ipewie es mölk. le dann
hat Am — eben die proponion wiec zu:D.
as; Die quantttet / oder groffe ſo gleiche proportlon haben / wer⸗
Ben proportionterte auantlecten oder geſer genennt.
4 46. Bann
- : Das cifle Bach der Geomietria,
»46: Wann drey quantkteren/oder groͤſſen / gepyroportioniert ſeyn /
noals wie die erſt zur andren / alſo die ander zur dritten / als dan iſt die
. proporflon der erſten zur dritten / weymahl fo groß als der erſten
urandern. | |
So aber vierquanritee oder groͤſſen in einer ſolchen praporrion
ſeyn / fo iſt dieproportion der erflen gegen der vierten / dreymahl fb
‚groß / als dieerſt gegen der andern / vnd fofortan.
147. Gleichfoͤrmige rechtliniſche Figu⸗
— 9— ſo —— haben,
vnnd die ſeiten vmb die. gleichen winckel &
2?
proportioniert ſeyn.
a8. Die Figuren ſeyn verkehre propor⸗
rioniert / wann in ein vnd der andern / die
vorgehende vnnd die volgende prgen ein
andren proportionitrt feyn: als in den .
. gtoen vierecken A.B.C. B. E. D. wann A.
B. zu B.D.wie K. B. zu B. C. fo reſpondie⸗
‚rend diſe Figuren verkehrt gegen cin an⸗
dren / dann in einer iſt das vorgehende
theil der erſten propomien als A.B. vnnd
- Die volgend der andren B. C. und in der
andren iſt das volgend der erflarB_C.
NNddas vorgehende der andren E:B.DIfE
weiten werben. & Mn 2 DE
49. Kin grade linien iſt geſchnitten |
Nach exıremam & mediam Ration, das iſt / nach der euſern vnd
mitlen proportion / wann ſich die gang linien heit zum groͤſſern
theil / wie das groͤſſer zum kleinern theil.
50. Es wird geſagt die —— werde Gomponiert[ oder
gmacht ) von proportionrwah bie quantitet / oder vil der proportion /
mit ein andern multipliciert werden / vnd ein. proportion machen.
Als A. zu B. iſt in dopleter proportion / das iſt / wie 2. zu 1. vnd
Bau C. in drippleter proportion / das iſt / wie 3. su 1, fo ſag ich dans
die proportiõ 88 C.iſt componiert oder gmacht von der proportion
A. zu B vnnd von der proportion B. zu C. oder die zahl Der propor⸗
sion A. su B. if gmultipliciert durch die zahl Ber proportion B.u C.
vnd A.jzu C. iſt in proportion ſexdupla, das iſt / wie 6. gu 1.
9 — Rand
” ’
u
VWonden Fohdaniemen Euch
Wann aber A. zu B. fidh verhelt in
ropoition Tripla / das iſt / wie 3: zu 1. vñ
gegen Ce halb / ſo iſt dann A. zu ©. in
proportion fefquialsera,das iſt / wie 3.400
2. —
nn aber A. eben die helffet were
— ——— zu C. in der proportion
fſfyſqpiecriia / das iſt / wie 4.30 3. ſo iſt von
ju C. in proportion ſotoſeſquialiera,
has ie 2.30 3. EL
tiplicier die seller der proponiion ff
A. zu B. mic dem geller der — B. Fr
bp mad portion A.. E
su C. gleicher gſtalt multip ice er die.
nenner / ſo tommen die Kenner der gro,
portionA.uC,.
ß
B.e3 6 Jenr * | a 422 4» F
Lo. L... 1 Liu 2 ... 2° Eng. .6 1
AB B:c.AC, . &B.Bc.AC. .ABBc. A:
« -SBmb ſon er cheilen fo. 2. derfeibeniftB. ꝙ.vnd C. iſtz.
——— 3. der theilen fo A. 2. iſt / vnd wird die propornon t
2 C.durch das mittel theil B. sufamımen gefegt/ als 2. gu 3. vnd als
fortanıfo mehr —— — — erſcheint fo 00.der Come
— — Componietendenuthcil ſich abꝛücht / ſ ve⸗
der —*— Co ierende: theil.
Denleipficker den Componierten heil mit einem Compenieren»>
denins kreutz / wie mã die brüch dieidiere/fe kompt der vbrige Com⸗
—— uß.
he 6 ——— .. 12
Zend
ac, BC. ÄB,AC, BC AB, AC, BE, ac, IJ
Axiomata, gmeine bekantnuſſen.
‚u: Die ding / ſo gleich ſeyn einem ding / ſind auch ein andre gleich
2. Wann man za gleichen dingen / Addiert gleiche ding / ſo wer⸗
3.So
| * or ee A ein andern gleich
\
$ ‚Das erſte Bach der Geometriag
). &o man von gleichen dingen / ſubtrahiert glei kb
bin bi Rear ——
4. So man zu vngleichen dingẽ / ardlert gleiche diu /ſo nad
Die vermehrten Ding vngleich.
$. So man von ungftihendingeny Suberähiert ding ſo
bleiben auch die Reſt vngleich. wu
— — dingſſo dopplet ſeyn eines dinge / die ſeyn auch ein andern’
Die ding / fo halb voder in drittencheil / tc. eines dinge / *
n auch ein andern gleich. |
5. Das gant ifimehrdannfein theil:
9. Alle rechte winckel ſeyn ein andern gleich.
10. Wann zwo Linten auff ein rechte Lnlen fallen / vnd die *
ckel innwendig auff. einer ſeiten kleiner dann zwen rechte winckel
machen / ſowerden diezwo linien auff der felben ſeiten (je man
—— Jauffen.
Zywo gtade Amien iheſchlieſſen kein Feld.
‚Aber eintunm / vderein krumme vnmd ein ade / oder wo
—S— — cnæin Feld.
ie Er #777)
on den Fundamenten Euclidis- *
Voh BEN vderaugaben.
Auff ein gebne u Biien) einen
chfeittigen Triangel zuſchrejhen: die
— ehe propofeion bob ofen Dahn |
aut Einen ee AB, die ’
Circkel / vñ
4%; ennd B. als Centta
der nur zwẽ dur
— AConndBC,
| — ſo iſt ABC. ein gieichſeii
sr ——
Pe Basen. —
ſeyn alle drey AB, ADAC, BA,cinanteen sei. Ä 14.4 diſ⸗
11
MWoh Koch Zertangd deren die do
ſeiten dep einen gleich feyu) Ben zweyẽ he
andern / vnd die wiickel ſo von den alı
— —E iſt auch Ali bafei chen reden / un
“ri — DR ppri⸗
e ſeiten A ——— RE
EN de srl Ser 2, ern Eck p fe
glei eyde von gleichen emacht
aycı bie baikh RC “ Ber ale. £, En me Ze
gleich Dem ander |
emosfrati
Or CEringermeEhPmIi Or, ‚6%
das iſt/ ABGABC, gleich ſeyn /
DDas erſte Büchder Geometris,,
BGſo iu die ſeitẽ BA. BG:gleich
geſetzt werden den ſeiten DF,DE,
o mñſſen die winckel ABG,FDE.
der cheil ſo groß als fein gantzes /
welches wider die 8. axiomata: da⸗
rumb iſt die baſen AC , nit lenger
als die bafenFE;fonder gleich / wie
auch der Triangel / als leg den Tri
angel ABC, auff den Zriangll
FD E. den winckel Bzaufkden winckel D, enb die linien DA; auff ae
linien D F. vnd BC, auff DE, fo kompt auch AC. auff FE, zeligen
vnd der winckel A. auff den winckel F, vñ C, auff S; darauß erſcheint
die gleichheit der vbrigen wincklen / vnd der gantzen Trianglen.
1 - Corollarium» | Ä |
Herauß ift offenbar /ſo zwen Triangel habenywo ſeiten deß eb
nen gleich zweyen ſeiten deß undren / vnd die baſen deß einen gieich
der baſen deß andern / daß auch dis winckel fo begriffen von gleichen
ſtiten ein ander gleich ſeyn.
.
r Ddie vnden der baſen / ſo a C, vnnd A B,vens -
| —
Die winckel auff der bafeı ili den
leichfußigen Triangien find gleich / wie auch
die vnder der baſen / ſo die zwo gleichen ſeiten.
verleugt werden(5. p 1.) |
M Titangel ABC, ſind die winckel auff
der baſen B C,ein andern gleich / wie auch
ps Seren in EuonndF, das AE,onnd A F,..
auch gleich werden / siehe BF, vnnd C E;onnd
find die winckel auff der baſen vngd darunder
Demonſtration. Er E
RS wen -A BJ AC, ſind gleich den jmiyen: d6-
enden Fuhdamenten Enclidis ⸗
XEF. AB.vnd der winckel A, iſt gmein / ſo iſt die baſen CE. gleich der
baſen BF,t+ vnd die winckel en E,tind gleich / wie auch die win. Obfichendf .
EC A, RB/A vnd EC Baleich F.BC, die ztehe on ECASFB
A ſo bleiben die winckel ACB,A BC, auff der baſen auch gleich 5. axrion
Weiter ſeyn die ſeiten E B,E C, gleich pen ſeiten FC. F B, deßgloichẽ
der winckel Bigleich dem winckel F, vnd die baſen BC, iſt gmein / |
darumb auch ein wingfel dem andern/folgedaß die winckel E BC,
ER B, ſo vnder deccbafen auch gleich ſeyn. -
Corollarium.
Hierauß iſt offenbar / wann ein Triangel zwẽ Iteich winckel hat
daß er auch zwo gleiche ſeiten haben muß / als die fo auff den gleichen
wincklen ſtehen. Mach —
— 9; 2
Wann wen Triangel haben zwen
winckel gleich zweyen wincklen einer. dem an⸗
dern / vnd ein ſeiten gleich einer ſeiten / Die ſo xxuſchen glei⸗
chen winrkien / oder tft vnderzogen gleichen wincklen/ die haben
auch die andern ſeiten gleich den andern ſeiten eine drr
Ze Aandern / vnd der v̈brig winckel gletch dem
.ıpbrigenwindd(aup.ı.) 7
Es ſeyn Die Triangel ABC, r
DE F,die haben zwen winckel
gleich zweyen wincklen einer dẽ
‚andern/als-B,gleih E,und ß34.
| 2 Seh ein feiten gleich einer
eiten. Erfilich die zwüſchen den
leihen wincflen / namlid BG,
leich EF, ſo ſeyn auch die vbrigen
FeitertIleich ven vbrigen ſeiten als
- A B,gleih DE, vnnd ACC, gleich D
F, vnnd:der vbrige winckel BAG;
gleich dem vbrigen winckel E DF.
Be R De»
>
EX
Demstifträtion.
OR ssunn D Bf ent bee A l
Pe NE
Wer EF. vᷣnd — DE., E F, et-
der andern / vnd der wine ne E vnnd En
GT, dieih ver baͤſen D F, vnnd der Triangel G B O,gfelch dem
riangel D EF,t vnd Die andern vinckel gleich ven andern wire
len einer dem anderẽ / als welchen — ki os den: fetten ı ſo
muß der winckel GC B, Hi m. DFE, aber F, iſt
Eh At, =. 55 B.der fleineedem
A —— — vngleich DE, ſonder
u ehn die ao AB,BE, gleich den
Ki 5 E — der winckel B,gleich dem wirtefel E, onnd dee
bafenc A, gleich der a eu —— AC,
an mu winckel
Peer A
—— Bi BAChE ef —33 — —
eine Em — Rn
— H;,gleich der baſen DF, *
— Erlange DEF; wie auch bie vbri.·
€ — fo gleicher ſeiten vnderzogen ſeyn.
ſeyen 839 die * 5* Haber EFD, iſt gleich BG
A,fo mu — ei mn ine quft, bem nngen ibe
mic entgegen im Triangd H AC Pr a Fe 23 ,
end une fonder gl ie iz, gleich D R. vnd Me de
Binde * a hafdı DE. h DE mie —2
vnd die baſen
wurde BA C.gleich E I D, vd ber
Ting ac glrdden —* —* vr ‚
Einen gebnen tchcliniſchen win
EEE EIERN:
9.P.i. )
Es ſey der winckel h AC, auß A nim tuie dem Endet mwo giel⸗
che Li⸗
Er u i j R © =
J MVon den Fündamesien Eddie, 9
qe nien A D,A E, siche DE, dntauff ſchreib
ein aleichfeteigeTriangel DEF, teitht A F, die
sheilt den winckel mitten cutzwey. |
Demonfiration.
Angefchen Die gleichen AD,AE, vnnd die
gmein AF,feyn die imo DA,AF, gleich den
jenen E a,AF,je eine der andern m Die
afen D F,gleich der baſen E F, daru iſt der
winckel D AF,gJeich dem winckel E A F,r.
E VL Pr
Bizin gehe gras Pinienitäiäh
j gleiche theil zecheilen /
| God.) | | i
——— = FE
eich ſeitigen Xria . | |
C» ıheil mirten entiweg tinie CD, |
| — ——— D: — E
Demoniration. |
AC. vnd CB.ſeyn gleich HrindC
A
}
ein / vnnd die two A C,C D,fenni gleich
Mweyen BC,C D, eine der andetñ / vnb
a Dreh ber bafın BD,TeINTBeHR 2.0.
—ãS hr dene wech. — — |
u | VII. F
Auff ein gegebne Linien auf einem
pimeronspbech/ eihperpenbichlarzee.
= zichen (11. .1.) J—
Linien fig A Bde. puncto eu C, nim̃ auff der Linien
—B——— —* autta üen
fi
Errs
i 152 definit,
10.
de als hier inG onnd E, und. EG
2 p.d.
definis,
“ Das erſte Bach der Geometriad
einen puncten als D, vnd mach C E, gleich C D ‚auf DE, frelb vB;
. »gleichfeitigen Triang tr Est auf deffen obriften winckeir „siehe
—
ein linienin C, ſo iſt FC, perpendicular auff AB,
Dem onfiration. |
DC Raleiih CE HA CF iſt tmein /
darum Feind die zwen DOJC F gleich J
den zwehen RC CEF eine der ande· *
ren / vnd die baſen D Figleich der ba⸗ IN
: ‚fen FE, vnd der winckel DC F, gleich SAN
dem windel FCE,T ale jeder eis Fi \
Rechter / tdannFC fibrauffDE,
vnd macht zwen gleiche winkel.
VIII. =
Auf einem puncten aufferc einer
graden Limien/auffdie Zinien cin
per pendicularzegichen (12;P.1.)
Die Linien ey AB, der pumum . —
ſey C, auß Cſchreib ein Circkel das —X
er die Linien AB, zweymal ſchnei⸗
——
theil mitten entzwey in H, vnnd
ziehe C GCHH, C E, ſo iſt CH, per
pendicular auff AB.
Demonſtration. RN N IE
GHond ME feind gleich/ und HC ifl gemein/ond die zwẽ GH
HC feind gleich den zweyen EH HC je eine der andern Lund die
baſis C.G, gleich der balis.C E, + darumb iſt der winckel HG
gleich dem winkel C HET al jeder ein Rechter / darumbiſt CH
‚perpendreular m ABI 1 - u 4
| | IX,
i + .. .
L. . ‘
Banden Fundamenten Buclidis 1
Fr IK
Wañ ein grade Einien auff ein au⸗
dere grade Linien falt / doch nit zuend der
t
ſelden /-fo macht fle auff der ſelben zwen
Rechte winckel / oder gleich zweyen Rechten.
(13. p. 12). —
&% Sinn CD ‚fatranff A-B;ond macht zwen winckel / gleich
RR eye Rechten. | j
| Demenftration; —
a Fee ” j N
WänvinintdADEEDB. 2 we
gleich ſeind / ſo ſeind ſie zwen rechte “zn,
winckel / Twan fieabernie gleich / Aoꝛ def. .
ſonder AB E, ſey groͤſſer dann; 3 |
ED B, fo siehe die Linien S,per- a |
pendicular auff A B,Ffo wirdt der ur 7p&
winckel ADC ‚gleich Bgm winckel
CD B, vnd der winckel CDB iſt
gleich beidẽ wincklen CDBEDB,. A : D D
«8 ADC gemein / fo werden alle = —
drey zeſam̃en gleich zweyen rechten / dann C Ds iſt ein rechter / weil
er AMC gleich iſt / vnd iſt gleich benden © DE, E DB, baru ſeind
beyde auch gleich einem rechten / wie auch A NE, B D ſeind gleich
weyenrechten. 2 Face Bea 3
> CE Zur
Wann wonrade Einien’ein ander
%
ſhyneiden / ſo ſeyn die winckel gegen ein
ander vber gleich 5. 295
Demopſtration.
Bu
T — —
> Je winckel Avnnd 3 fen gleich
zweyen rechten / wie auch Die win⸗
Ooſtehend · ckel Bend D,t⁊wann nur Bvon ei
und dem anderen genom̃en wirde /
son A vnd von D,fo —— —*
Axioms. A gitich dein —
——
Sei fey dem w —28
—
Je in einen ki un —
rechten win en ſeyn.
Wann ein grade Einiir auff soo
geadeparaliel Lmien ſeht / ſ macht es die inwen⸗
digen windel auff einer feiten gleich zweyen rechten / vnnd
Dddie enggegen geſetzten winckel gleich einer dem anderen /
2 gup bie auſſeren den iifrchigegen n vber uf
einer feisen. (29.p.1.
—
egeabe n Afelt auff bie er
a ———
Ddarumb ſeyn die inneren ** |
ee ze ne |
au eentgegen geſetßten —
ſo. rm cHG,HG Fin ach} Lan die
wife DHG, HG
. fioenen rechten) In CH 3,0%
7 —ãA ne — /
— Ben ey un — — — gg Tee
‚auch gie vnnd die ‚BAB, ſeyn glei
en. (opigmun Hong ahmHGF —
r ‚use Stat
en
5.p.d.
Cor ol⸗
Genden Iunanianeiuctin — 5
Coroligrium. 2
cin grade Linien andre
Bien A ende bewiſen are Be
Linien parallelen. xu.
Auf einem gebnen pun&o auf |
per graden Kirdien ein vechelinifchen wiuckel
Be See
oder ChrdelGF, sche ED mit der
on weite fehreib auß Centro E
vnd G wider Circkel / die ſchneiden
Ben Circkel GF in F, anf Adurch
F ziehe die grade AF, fo iſt der wein: ’
«il G A F, gleich dem gebnen winckel ECD, —
Demonftation, . :.-
e:GF , ſoſeyn die mo CE, CD, den Asiyeit AG,
A FE ED, fendatfe Keen geich 15 dek.$
den zweyen AG, GF rñ die baten CD if gleich der baten AF, vi
der winckel C gleich dem winckel At. - - | . Ca.:ph
. Corollarium .
ierauß men eines jeden winckels iſt der
Re fo —— —58 — —* — u beſchieſſen /
WERNE DIL DEE —— es
-XU,
ss Be
‘ . Oa Vuh de Geomerche
Durch einen gebnepunducit.
parallelen sesichen gegen einer gebnen _
| graben Linein (31. P-t-)
Srpundto eh D, die Sinien fly
A —5*— — AB, zuch ein
Ainien nach belieben als DG, vnnd
fheeib auß D a DC cinwindel
Sfltnde. CDF gleich dem mwindel DCAT
end verleng FDME, fo EFEDE
begert parallelen.
Demonſtration.
Weil die winckel ſo entgegen geſeit / als CDF, DC A «ld
fſeyn folge + vaß dis Sinten EF, ſo durch Den puncten D gerogen
role
AB parallel —
Btgen AB par elen ſeyn KIN.
up.d
‚En ſedem Triangel1ftd auß wen
dig winckel / fo ein ſeiten derlengt / gleich beyden
inwendigen jm entgegen / vnd alle dren inwendige
deß Triangels feinn Jieib weyen rechten(32. 1 12
FRI 1.2 A *
engt diefeiten s CinD. (6 | —
en Se fünermäntd ACD glei bey |
nr. den inwendigen A vñnd BI
augen
Demenflration-
| ‚dom C siehe
| a den Bo safe
el u — AC, vnnd
* acht die e >
ind, P a ug die paraleſes A cEfiten
>68 8 I“ : .
2
=
Ui
; 2 u »
Das ere Blich der Geometrie” 10
d D, vnnd macht den auſſeren winckel EC D, gleich dem inn eren
winckel B,auf ein er ſuten / vnd der winckel A, iſt gleich dem winckel
AGE darumb iſt der auſſer gange winckel C D, gleich aeiden in⸗
ven A ond B jme enegegen gefeht : ſetz den winckel AC B 9%
mein fo ſeyn beyde winckel AC B, ACD, gleich zweyen rechten’ /
+ und feyn auch gleich den dreyen winchen AC B, A CE,ECD,
welche drey gleich den dreyen wincklen deß Triangels / als ACB, |
C5 A, BA Cidarum fam Dit drey winckel eines Triangeis gleich
zweyen rechten wincklen. *
1. Corollarium.
Hierauß ik offenbar / daß der außwendig winckel ſo ein ſei·
gen verlengt groͤſſer iſt dann ein oder det a winckel tn Trian⸗
gel jme entgegen / ſonder beyde sfamuen gleich. sa’
.Corollarium. Zu.
Weil nur. erwifen das alle drey winckel eines Triangels ggeichc
ſeyn Meyen rechten / it vns die Straß eröffner zu finden (wien sh
ein jede Rechtliniſche Si ur Rechtwinckel hat foman diefelbin J
Triangel vertheilt / welcher zal jeder Jeit zwoo weniger als die Fi⸗
fetten hat / weil der Triangei der anfang der Figuren: als eun
uptten hat funffſeiten darvon zwo Reſt drey / vnd mag ein fünff⸗ |
in 3. Trian ¶ vercheilt werden / ſo jeder zwen rechte winckel hat / ._.._.
⏑⏑⏑⏑ gicicher geſtalt mit 2" 2
„Corollarium 5
» /
macht jeder jeig wen winckel / fo gleich zweyen rechten, Tennd ger 9.dp |
ſchicht in ee ten —F |
zwoͤfff / ſo iſt Durch obſtehendẽ zu
jen / Re genom̃en von zwoͤlffen / ſo bleiben vier
windelewelches ur beweiſen wariıc.
Tor j } € #- — XV.ODie
u
Desafwidte Gesmetriä,”
Die graden Finien fo zeſam̃en fü-
gengleicht und parallelen gegen einem ort / ſeyn
aaurch gleich und parallelen(33. P. 1.)
Die gleichen vnd parallelen ſeyen 48, C D, vnnd die graden
ACBD fügen ſie zeſammen gegen einem ort.
Demonſtration.
* * ſeyn paralken siehe 8 — ‚die *
neidt beyde parallelen/ darumb ſeyn
Inpd. ie pincke ABC, BC D;glethrtonnd .
2 ABi cD undnᷣc iſt — da⸗
rumb ſeind die zwo AB, BC gleich den
giveyen. B; sub Die mind *
BCD, feind gleich / darumb find ieba, Ä
ph nAC,BD auch gleich, T wie
dAaBc — die vbri — gleich den vbrigen
. fe einer dem anderen / welchen gleiche ſeiten — ſeyn / ale
— CBD, vnd BC fait auff a X vnnd pe o
entgegen ——— di dasımd A
Caanpd. sollen mic BD,t-
In den parallelogrammis ſeyn |
die ſtiten vñ winckel ein ander entgegengleich)
| vñ Der Dfameter ſchneides in zwen gleiche rheil(34.Pp-1.)
llel
u... und intel einander. ne z B
geſetzt gleich / vñ der diameter 8 Cſchneidts
wen gleiche heil.
Demonftration.
* ſale die fir BC auff zwo —
darum̃ ſein die winckel
MIACB,CBD —
| Den den Fundamenten Euclidis 4
auff bie parallelen AC ‚ED ‚undfeln zwen Triangel ABC,BCD,
‚welche haben zwen winckel ABC, BC A gleich zweyen wincklen
BCD, CBD einer dem anderen/ond AB iſt gleich CD ‚und CBifl un
gmein / ſo ſeyn die zwo AB,BC gleich den zweyen BC, CD, vnd die
winckel ſeyn bewiſen gleich ſeyn I darumb ſeyn die baſen AC,BD
auch gletch / + und der Triangel ABC gleich dem Triangel BCD, „..g
Ynz der vbrig winckel A gleich dem obrigen winckel D, welchen
gleich Einten onderzogen als die gmein BC.
we XVII.
Alle parallelogrammen sun Tri⸗
angei / ſo auff gleichen Baſen / vnd zwũſchen
| zwo parallelen geſetzt / ſeyn ein ander glich
(35. vnd 3759.). R
GES feyen erftichdte parakciogr aihen ABCD,EBCF auff die
AopafarBc gefchriben / zwiſchen die parallelen Ar BC xfo feyn
gedachte parallelogramen gleich. |
| Demonftraton.
gkeich BC ,Hfi Er gleich BE ‚tweilfic beide parellelogr am⸗ j
— Yard AD Are Erf DE —— Ob gfete
ee | —
DEF, 9 R i
‚fegndie wo. EA,AB geich den A DE r
zweyen FD DC, vnnd der win,
—r
gel EDC ‚tft gleich dem —r —
EAB,t darvon ge . ah
nommen der gmeine Ting — FR:
DEG,teflterend beide Trapezien ABGD ,EGCF ein ander glei! |
fe den Triangel BGC gmein (fe werden beide parallelogramımen. ar
- ABCD,EBCF gleich / F ſo auff Ber bafen BC ‚onnd zwůſchen den Axiome, "
parallelen AF,BC ‚fo theiſta C, vnd BF, jedes parallelogramen in !
sion gleiche Triangdı darumb if der Triangel BÜE Die helffte Obſtende.
[3
deß paraldegramm BADC dr BCE die beifee
x
‘
.
ort Das erſte Buch der Gesmeria,”
deß parallefogrammen BE H C darumb ſeyn auch beyde Tr
Axioma. 5 A CB FC ‚Kinandern gleich / ſo auch auff der baſen 8 u
T. * swBfchen Den parallefen A FB C ‚gefcgt feyn.
. 6
XVIII.
In den parallelogrammen ſeyn die
Complement / oder erfüll parallelogrammen
ſo vmb — —— ——
gleich(43. p. 1. N
%
n
e
j Demonftration,
| SH diameter AC, ſchneidt das
gantze parallelogrammum AB
C D ‚in zwen gleiche Triangel A BC,
A CD, vnnd die parallelograns,
mmAEKH,KGCH fo vmb den di⸗
ameter ſtehen / ſchneidt der diameter
en. AC,jedesauch in zwen gleiche Trian
165.p.d. — ſubtrahier die gleichen
riangel AEK,AKH, vnnd Die glich
chen RGGC, KCEF, vom gantzen pa
— tallelogrammen ABCD, fobleibt Die zwey EomplameneD K, vñ
3 Axiom. KB , ſo ein andern gleicht. |
XVII
1. Auffeingsbne graveBiniein
j quadeatzefchreiben |
(46. p. 1.)
7 > Je geben Linien fey AB ‚darauff erheb ein perpedleular Act
| od a}: madı AD ‚gleich der erſt gſetzten AB auf D, ziehe AB, pa⸗
ed, ralleliond eiggarallel auß B.gegen AD,t die [hneiden ein ander
in E vnd m das quadrar. *
— ee ‘,Demon-
puncten D, vnd E, vnnd feg die Lini⸗
Von den Fundamenten Eucida, - 2.
Demonſtration. | |
ABID', {fl iin parallelogrammum / das
rumb ſeyn AB,D', gleich / wie auch AD,
Bu, Fond AD iſt gleich gnommen AB, deß⸗
wegen feyn alle vier ſeiten ein ander gleich /
fo iſt das paralielograimum auch gleich win⸗
cklet / angeſehen das AD ‚auff zwo paraliel li⸗
nien falt als AB,DI, vnnd machs die
ckel in A vnd D,gleich zweyen rechten / a
A ,tfkein rechtet / darumb muß D, auch ein
reichter ſein / fo ſeyn in allen parallelogram⸗
men die winckel vnd feiren einander eñtgegen geſetzt gleich / + deß⸗ 16.y d
wegen ſeyn die vbrigen zwen winckel in g. vnd T,auch ein jeder ein
rechter winckel / dann ſie den rechten A ‚und D, entgegẽ geſetzt im Pas
rallelogrammũ ABID-, welches Le gleichwincklet / ſ a⸗·
rumb iſt es ein quadrat oder winckel rechte vierung F. 332.def. d
XX. =. a ER
So zwo graveEinienfenn/deren die
ein in etliche gleiche theil getheilt wird/fö iſt das
rechtwincklet viereck begriffen von beyden Linien / gleich al⸗
len Rechtwinckleten vnerecken begriffen won der. vntheilten
Lnien vnnd jeden thoil der theilten /
( b. pP. 2.) =
S feyen die zwo Linien A, vnnd 8 D_ Ed
BC, fh BC, ſcy getheilt in den _
-
D
" mA,auff BC, in den puncten B,5w EI 2.
rechten wincklen / F die reicht in F .@,H.K „od
darauf siehe BE ‚ein parallel : weitet '
. diebe gegen BF ‚Die parallelẽ auß D,E,C ,al6 15G; EH, CHſo wird
das viereck nK,gleichdenureyen BG,DA,EK. -
Demonftration,
Die dꝛey rechewinckleten viereck 8 G,D H,EK, welche begri
fen
vons
39.2.4.
: von den ſtucken BD,DE,E C der zerchellten Hinten 5 C ‚ou® Die
linien BF, (iſt gleich der Linien A) machen das pechtwinckiete vier⸗
eckh Bk, weiches begriffen von beyden graben linien BC, vñ B F,
Ge gleich der linien A ) Darumb iſt die auffgab warhafft/alsBc,
ſey⸗ vnd A, ſey 3. fo iſt ihre product B k, 27. vnd BC, 9. iff gerheile
in D, vnd E, iſt D, 4 vnd DE, 3. vnd E C, a. die geben mit der
linien A, ſo z. den product BG, 12. vñ D H,ↄ. vnd EX . zeſamen
addiert gibt auch 27.
XXI.
Wann ein grade Linien wirdt ges
ſchnitten wie es ſey / ſo ſeyn die rechtwinck⸗
ſeten viereck begriffen vonder gantzen Linien
vnd jedem theilsgleih dem quadrat der
sangen Sinien(2.p.2.)
Gate gang Sinienfey BC, darauf 5 C_E u
ſchreib ein uadrat ABCD,F 1!
heil BC, wie es fen in E, darauß siche
A B,eder CD ‚ein paralld EF, foifl
Das quabrar ber gangen Lini gieichh
beyden recht winckleten viereck? BE,
-
" ED.
-Demonftration.
- Das quadrarauff BC , wird er⸗ DF A
fült mie beyden recht winckleten vierecken BRED, als die Linien
BC ſey 8.der quadrat iſt 64. ſo ſey fie gecheilt in E,ifl BE 6.9Nd EC
2.wird BF 48.0nd ED 16.9ibt zeſammen auch Sg.
XXL —
Es werde ein grade Dinien theilt wie
ſie woͤlle / ſo iſt das quadrat der gantzen lini⸗
en/gleich den beyden quadraten der theilen / vnd dem
rechewinckleten viereck / ſo zweymal begriffen!
von den theilen(4. p. 2.)
Chreib auff die Linien / ſo mir AB gezeichnet das quabrat
ABs CD. theil die Einien in E, d arauß siehe AD ein paralelen
ER,T vnd
5 — I Bu 33
von AE,E B weymal —
dem quadrat vB der gankenlinten AB.
Demonftration.
. KG,BE,Kp, GE,HA, iſt jede
infon erheit dleih PC, vAHG,DF ‚HD,
GF , K.c iiede infonders sieh AE, ? |
folgt daß EX vnd HF guade ae fein /
—— die a ee fanpe
Rechewin ckleten / vierecken mit den ſelben theilen be
———æ—— der Sinten sc AB,
= ihr guadrat 100.008 AB ‚fl getheilt in E, vnd Ag ;tfl®. enny
Es ,2.fo tfl das quadrarauff AE, als HF ‚64. und das quadrat auf
PB als EK ift 4. vnd das viereck mach von AE sin EB,z.if 16.
Für AG. diß zweymal wegen deß vierecks GC AR 32. die addiert w
4 vnd 64. jo kompt auch 100 seiebasqnadratauff AB:
Coröllarium.
Auf —* pr on iſt offenbat / daß in den quadraten /
die parall
o.omub. ben Diamcuer gehen auch auadrac
mn.
Hann ein grade Pinien in zwen
gleiche / vñ zwen vngleichetheil getheilt wird / ſo
WM das rechtwincklet viereck begriffen von den vngleichen
theilen / ſampt dem quadrat zwiſchen den theilen /
gleich dem EN. — linien /
j:P-2
g% Je Sinien fey AB, iſt getheilt in
gleiche theil in C, vnnd in vnglei⸗
in D, ſchreib auffCB, das Quadrat
BCEF, T siehe den diameer BE, vnnd
euſß D age ‚ein parallel DG, die
den diameter tn H, vardurcᷣ
2»
Bin.
-_
balben linien cꝛ
tr Das erſte Bach ber Geom etria, - .
gehe AB, önparalidO HK,aufi A gegen CE cin patalkl AK, {6
b tedie gigur bereit. | |
Demonftration. ——
DI Complement CH,H F ſeyn gleich / fe OD gmein ſo iff
Gyʒ, gleichn oder A dann ſetz⸗
Dſo iſt die gaut AH, gleich demGnomon MN X aber A H;iftbe
iſt gleich DB, vnd FD,DL, iſt der
fiDK,fo begriffen von AD, DB,
LG,gmein,fo gleich dem quabrat.auff C D,fo wird der Gnomamı
in gleiche eheil theilt / tft AC, 5. vnd in D, in ons
gm AD, 8. vnd D.B, 2. das cheil wiſchen den
3.fein quadrat L G,ifl 9.0nd das viereck AH, iſt gleich dem Gno⸗
mon M N.X,ond iſt begriffen von ADB ,in DB2,gibt 16. Das quas:
drat auf DC.Ifl9. iu ĩIc. giot ⁊5. ſo vi ig das quadrat auff der
— X XIMT. |
Hai ein gaveBinien wird geſchnic
Den miltenentzuwey / vnnd wird noch eis aubere-
Brabelinien in grededaran gefegt / ſo if} Das techtwincklet
Linien / vnnd
wereck gemgcht von der gangen vnd angeſetzen
der angeſetzten Sinten vnd dem quadrat ber halben Sie.
nien / eben —* als das quadrat gemacht auff
der halben und angsfegten als eine, Zu
&inien/(6.p.2.) .
- irn anfwiinan.. E er.
—E — — er
buranin tin gradefinien gefekt B.n.fe.
6 dasrehneindierwiercd ADB „mir:
D C;ichreib dat quadrat DCEF,Innd
liche den dauter DE Sep auf Ar A
aber det Gnomon MN R.;
'
VondenFundamenenBacidier ° €
DUMM DE ‚paralkien A'K,B G,dife ſchneidt den digmeter in H.
dardurch be AD, ein parallelen KHM,fotft die Figur RER
m
| Demontftration. *
Die rechewinckleten viereck ALVB, ſeyn gleich / ameſehen die
die gleichen AC, CB , vnnd C Afft gl ak M — ap
iſt das rechrgroindkiet viereck A *
vnnd AM, if gmacht von a dann DM, — en:
chrwincki
dem —— — vnd ˖ dem quadrat *
CB, welcher Gnomon MXO , mir dem quadrat auff CB, das
gant quadrat auff CD ‚der halben vnnd angefegen als einer \
madıen: darumab Ifl Das quadrat gleich dem rechtwincklo⸗
sus. viereck begriffen von der sangen undan = nen vñ der
angeſthe: das mag auch burdyzahlen erwi —*
xXXvV.
Wann ein grade winien nach gfal⸗
a nee
von der gansen Linien oA — /
winckleten viereck zweymahl / wel
sangen.Einienend —— ebene
auabrat ———— a
Site AB, gecheilt in J
iſt der quabrat er ga **
en AB,v qua nn —
—
ſo zweymal — von BA, RT —
D,DG, und — deb andern
—* werd die Zigur geſchribẽ
0
afion.
‚Die recht less;
Pin geich /t aan den ANR-
Term
&.uulom,
,
Das erfte Vach der Ceomeni;
drat Ad, ſo wird BD, welches begriffen von BA — DO,
(dañ DF iſtgleich AB und D 1.gleid AC,)darzu der. quadrat de
andern theils BC, als K H,diß alles wird ‚gleich dem quadrat au
ber gangen Hinien A B, als BE ‚vnnd dem quadrac HF , (fo glei
sahlen bewiſen werden.
dem quadrat CD ‚mag auch durch
XXVI.
Die gleichen quancitetẽ —
gen einer quantitet / haben ein proportion/
vnd inwider d elbige zu den gleichen haben
= (ige wa den gli
DR). - |
©: — feyen A, vnd B; die an ae
ON zu C vnd hinwider C ‚gegen: A ‚ond Be
| Demonfiraton, -
Aunda fepiedese. vnd Cifta. baum
wie A, A, mc, alfoB, an uc.
FR pP PX ———
und erweitern | u:
wie C, © WA, alfoc, uB, ir
2 6 7 6. :
—— | |
— — —— eitter quantitet sie
Hierauß iſt
33 gleich ſeyn / dann weit vbñ
Buıc ‚enpeoporson pa ne —— ba ſeyn.
XXVII.
Bat zwo oder mehr propottionem,
ceiner anbern proportionglei
Ms guchalle vnder ein jndern glach — F
(ii.pꝑ. ) De
Von den SunbamentnErdidis - - %
Die proportion C zu D, vnd E, zu F, iſt jede inſonderheit gleich
der proportion / als A iu ß, darumb iſt auch C zu D, wie F zu F.
Demonſtration. Au Beige
Wie c u D, oder wie EP, u Dam
+ &..6.9% ——
deamB, A
| RR
Als bil quantiteten je eine gegen der
anderen / ein gleiche proportion haben / wie ſich =
nur jede vorgehendefich zu irer folgenden helt: alſo helt
- figdas Collect aller vorgehenden / zum
| aller folgenden(ı2.p:5.), .
Demonſtration. —E u... .
Wie in ʒ, oder c ju db.⸗ —
a — — —
oder muu — zZ = = &
Fa er <> asia * > Ze
fo ale vorgehende ACE u allen bolgenden BDF.
ER 12. m
| XXIXx. — |
Gleich wie die ganzen quantiteten
SEIN ander proportioniert ſeyn / alſo auch
— | jre theil Cix.p.g .....
er Rem 2 nme
>
a 7%
Das ee Bt derGenmetria,.
5 fo offt he als n in — die Geh om
vrovotcion
——
Mm das fo vil mahl ai in A Befihleß/afsn in B, darum̃
wien —— num, alfo B A.
5 7 2 12 4 7 id: 9
Wañ bier quantitet proportioniert
—— ———
wie die dritte der vierten / ſo iſt die proportion der
erſten auch gegen der dritten / wie die rt
| der viersen/ond re verwechßlet
16. ꝑ.5.
Demonſtratian.
Je ſich het A, iu B, alſo C zu D,darumlhär A eben die pru⸗
portion zu C, als B zu D, vnd hinwider —2 —
Wie A u z, alſo C u D. vñ wie A zu c.
12. 20. 6 10. 1. 6.
Mt B,itD, verwechßler.
20 Io.
Wie D mm E,alfo 348 a. vñ wie u,
10. 6. 20. 12. 10. 20,
alſo Ciu⸗. ——
T 2.
Angeſehen das. A gu Bi C no And die vor chenden a vnd
C gleich ſeyn / muͤſſen die volgenden Bond 5 u eich feyn 5*
aber groͤſſer groͤſſere / oder ig ae Kleinere / ‚daran arlihzufehen? >
wie offt die — * begriffen feun/t als C iſt
er a A begriffen / dar ee: von a
Be „Gy
Von den FundaminnEucide} - .x8
Die Driangel vnd parallelogram-
men / ſo ein hoͤhe haben / ſeyn gegen ein
ander wie jrebafen.(u.P.6.)- ER
Es fenen die Triangel ABC , ACD, vnd die parallelogram⸗
men EC,C F,bie haben ein höhe 7 namlich das perpendicular von!
A,auffdiebafen BD,darıımb wie diebafen CB , su derbafen CD,
alſo der Triangel ABC zum Triangel AC D, vnd wie BC. zu CD,,
alſo auch deß parallelogrammen EC, zum parallelogrammo CF.
Demonſtration. | | |
Berlengt BD auffjederfele
ein die pũcta H,ond L,darauf,
fig dic baſe 8 c ‚eriich mal albier
inGyndH,onddiebafen CD, -
auch fo offt in Kond l, siche
AG, AH,AK,AL ‚ond weil bie:
bafen CB ‚BG , GH, ein ander
erh fo fpnauhdietran mc BC D KK L
gel AHG, AGB, ABC ein an- | U
mi, aa ton.fo offe die bafen HC begreift Die bafen 8C, ſo offt be
—
der Triangef AHT den Triangel ABC: vnd ſo offt die ba⸗ 17.
LC begreifft die baſen CD; fo offt begreifft der Triangel ACL,.
Ben Triangel ACD ‚und warn die baſen CH; gleich der baſen CL,
foit auch der Triangel ACH, gleich dem Triangel ACL, foaber -
u groͤſſer / ſo ſeyn auch die Triangel gröffer / fo aber fleinde: —
Vnd es ſeym vier quantitetẽ die zwo baſen 30, CD., vnnd
wesen Triangel ABC,ACD vnd ſeind genom̃en gleiche multi⸗·
plici der baſẽ BC ‚und dem Triangel ABC,alsdiebafen UC, vñ
der Triangel AHC ‚ond die bafen-CD ‚unddem Triangel ADC, .
alider aleiche multiplici / als die bafen CL,ondder Triangel ALC,-
vnd iſt bewiſen wann die baſen HC , vbeririffts die baſen OL./ ſo
wertrifft auch der Triangel AHC ‚den Triangel aLc ‚fo gleich
geich / ſo lleiner kleiner / T der wagen tele die baſen BC, zu D ei Br
v
n
Das erſte Bach der Geometria,
% der Triangel ABC zu ACD, vnd bag maraflelogramum EC i 7
dopplet deß Triangels ABC. Und das paralldlogramisın FC dops
7.2.4 plet deß Triangels ACD,tpnd die theilder quantitet / ſo einerley
pliei / habon Akerieypropomion gegen einan der als wie dee
riangel ABC gum Triangel ACD , alfedas parallelogram̃um
E — CF. vnd iſt bewiſen wie Die baſen BC zu
CD,alfo die Trtangel ABCACD su einander / vnd alſo auch die
karallelogrammuin EC, CF. laut vnſers vorhabens.
— xx xXIL 5
Wañ in den Triangel ein grade bnd
parallelen einer ſeiten zogen wird / ſoſchneidts
die ſeiten deß Triangels proportioniert / vnd die
ſchneiden iſt nat einer ſeiten parallel(2. 8. 6.
—* DE ‚naralel nieder felinnc,
die ſchneidt die feiren AB, ACPrOpO A
‚oniert. |
Demonfiration.
. Wie —3D zu DA, alſo OE EA,
zieht BE, CD, ſo werden die Triangel
— — he fie —
4.9, parallelen DE, BC, vnd haben cin amel, 3
ER _ hebafen DE, vnd der Triangel DAE iſt
beyden gmein / vnnd gleiche quantiret ge-
gen einer quantitet / haben ein proportion
darumb wie die Triangel BEID zu
26. p.d. | DEA, alſo CDE JUEDA, wie aber 3ED juD EA affe
Triangel ein höhehaben/gleie :
Wbfichende Die bafen BD duDA ,i Danndie
. cher vrſach wie der Triangel CDE ‚um Triangel EDA ‚alfo Die
07.24. PAEHCE sur bafen EA ‚dasmıtiwie BD INDA,alfO CE ZUEA,T
Bann nur gedachter maſſen / wo ferten eines Triangeis pro⸗
portiontert geſchnitten feind/twieBD zu DA alfo CE iu EX, fol
., DE Mit BC parallelen / dañ wie diebafen / alſo auch die Triangel:
Opfichenbe teil die Triangel einhähe habe; +oii weil beiderriä BDE,CDR
LU u
or. egẽ AD E ein Hroporsion babe / ſo muß folgen daß fie gleich ſeyen -
nn Und wel fie gieich vñ aufeiner bafen DE —— fie — —
Parabel Linien ſtehn / if DE parauel mir BC,
17.. d. qwepen
— So in
Seen Batman di v .
So in einem —* ein windel
— *
ade —— —
Te EOMEAUE EEE
BAcCHn gleiche cheu /
und fehnelde die‘ BC in D, ba⸗
rumıb wie BA IN AC, alſo BD DC.
Demonßtration.
Ziehe AD auf C ein parallel li⸗
niCE serleng BA InE, fo werden Die
winfd ACE,CAD — *
—— — die
ſeiten vmb die gleichen winckel proportioniert /
| vnd gleicher art ſeyn die feiten fo ——
aogen ſeyn / (4. p. 6.) E
rd / vnd die Li⸗
baſen f —* haben — |
” BialledähterGeoitietis '
765° feynaawen Triangel Anc, F
—32 gleiche winckel als N ie, an
ABG. gleich DGC, bund RCA gleichh
* CED,end san EDC,fofepn I no.
ihre feiren proportloniert / onndgleihe A
art haben dic fo Heichen wincklen vn⸗
derzogen.
Demooſtration.
Setz beyde Triangel in einen um · 0 =.
eten alsin C zeſam̃en / das BC CE ‚ein
grabe linien mache. num feyn DieretnddeLABC, ACB kleiner dans
zwen rechte / darumb feyn ABC,DEC auch kleiner dann gwen rech⸗
sıp.d. WIE ACB,DEC gleich ſeynyt) darumb lauffen BA, ED ſo ſie
1o.axiom, verlengt sefammen im puncto E,.T.onnd biewindel ABC,DCE,
Car.ıi.n.d, ſeyn gleich / darumb iſt pc paralel mic BF,t gleicher vrſach iff AG
"RT und FE, parallelen/dann die windel ACB,DE C,fenn gleich / und
FA, CD iſt ein parallelogrammum.
Triangel FBE, iſt der ſeiten # E,bie parallelen AC geogen /
gi.ꝓ.da . dbarumb wie Ba zu AF, alſo BC zu QE, .
Wer ALF iſt gleich D. das parullelograimum AFDC
„rd. -rvndt æc ee ai z
12
wie BA IUCD,alfo BC zu CE, ð verkehrt 3 —
wie ABI BC, alſo DC zu CE, vnd CD iſt parallel mit 8F, darum
wie BC,36 CE ,.alfo FD iu DE, Aber DF,AC ſeyn gieich / Larumb⸗
wie BC zu GE alſb AC u ED, Werfebre
wie BG CA AICCE SED, ’
Vnd tft Bewiſen das:
- sie AB u BE, alfe DE Hr CE ‚une
Wie BC u CA,alfo CE MED, ſo iſt darch die gleich propertiotr
wieBA u AC, alſo En iu D E, und fenn die fetten der gleich win»
«lern Triangel die gleichen winckel ſtehn proportionterer
an ehe art from Di feisenitociche den gleichen —* en ſeyn vn⸗
So wen
So ven Triangelhaben ein win
ckel / gleich einem winckel / vnd vınb die gleichen
— die feiten proportionieri / ſo ſeyn gedacht Triangel
/ ond haben die winckel glech / welchen die hy
gleichen fee — ſeyn / |
&
Je Lriangil ABC, DFF habẽ die winstel BAC,EDF gleic
ar dife winckel ſeyn Die feiten proportioniert / als wie BA vu
AS alſo ED u VF, Aſeyn bey · | |
de Triangel ABC,DEF, gleich |
wincklet / als ABE gleich DEF,
vnd ACB glcich DFE.
Demorftration.
Seett auff D F, in die puntten
P vnnd F, Die winckel FDG
gieich BAC , welcher gleich iſt
EDF,pnnd dem windelDFG B c = |
gleich ACBıt fo wird der pbrk 12.0
‚geGsleich B;ond der Triangel DGF gleich windtier dem Ting
AsC ‚defroegen wie BA u AC alſo G D gu Dr feh au Dan
8 C.,alfo EDju DF,t darumbwiek Ds DF,alfo@D ; Dr,.t Obflehende
vnd EDift gleich DG end DF iſt gmoin / onnd die zwo ED, DF feyn 27.p.d.
Nieich den zweyen ED, F, vnd Dit windel EDF GB F, ſoyn gleich
vnd die baſen EF,FG ſeyn auch gleich / auch ein Triangel dem an⸗
dern / vñ die andern wincfel dem andern / je einer dem andern/
‚Denen fo vnderzogen gleiche ſeiten / derwegen ſeyn gleich die winckel
DFG. DFE, ‚und G gleich E,aber DFG, If gleich AC B. darumb iſt
ACB auch gieich DFE ‚ond BAC,E.DE ſeyn gleich geſetzt / ſo bleiben
Ben E auch gleich / vnd vie Triangel ABC,DEF, gleich wiricklet.
| Corollzrium.
a 24 lerauß ift öffenbar/warın zweher Trianglen ſeiten proportie⸗ |
fennifofegnfieauchgleich wähle 0.
3 E ij So auß
47.def,
34p-4,
. welche auch gleichen wincklen under
F RR. |
RxRXXVI.
So auf dem recheen winckel eines
rechtwinckieten Triangels / ein perpendicular
auff die Baſis zogen wird / ſo ſeyn die Triangel ſo da⸗
rurmb ſtehen er Triangel/ond fie gegen ein
| — br —
4
| =: M Triangel ABC tffaufpem redieen winsfel:BAC‚auffble
bafen BC das zerpenbichlar AD aripaön/ond fenn Die Triau⸗
gel ABD,ADC vnd der gang ABC ein andern mig.
Demonſtratiou.
Die vinckel BAC,ADC ADB ſeyn aleich / weil fe ale rechee
# windd ſeyn / vnd der wingfel B, HE beyden Trianglen 4BC, ABD.
ein / vnd bleibe der vbrige C gleich dem vbrigen BAD/ darumb
Eon bee kan gi et / vñ
hre ſeiten proportio /als
wie BC su BA! (fo jede einem rechten
winckel ondersogen ) alſo AB, U BD,
‚gegen ale C und BAD vnndalſo auch
ACH AD ‚fo beyde deim gmeinen win
did B ‚underzogt ſeyn / vñ weil diſe bey⸗ |
de Triangel gleich wincklet / vnd die ſelten vmb die
gel / ſo wird der vbrig 8 dem v DAC, darumb ſeyn die
Triangel AB D, ACH gleich wincklet / vñ ihre ſeiten proportioirert /
fearumb:
er teindet
Moportioniert/ t e ſeyn / So iſt bewiſen /
— — n / vnd die in D fein rechte win
T welche vmb die gleichen winckel |
wie BD 4. D A,(fö gleichen wincklen vnderzogen als BAD, ACDY
alfo AD DC ‚(fo — wincklen vnderzogen) als B vnnd
DAC ‚oder BA ju AC,(ſo jede einem rechten winckel vnderrogen)
als ADB, vnd ADC, vnd ſeyn heyde Triangel ABC, ADC, gleich⸗
ſormig / wie auch der gank ABC.
F Corol-
4
Getenr@ubemmenBEuchkdier — 1y
| . Corollarium.
Hierauß iſt offenbar / wann auf dem rechten winckel eines recht⸗
winctieren Triangelsauff die baſis ein perpendicular gezogẽ wird /
fd iſt das ſelbig in mircher proportdon wiſchen Den theilen der baſis /
welrer cin fetten ſo gegen jedem theil Der baſen / iſt in mittler propor⸗
tion zwiſchen ber baſen vnd gedachtem theil / als AD ſteht in mittlet
propertion mwiſchen BD,DC vnd die ſeiten AC ‚in mittler proporti
on elf? BC,D-C vnd AB in mittler proportion zwiſchẽ CB,DB-
2. Corollarium. ö |
{ deffenben / Ä Jieuren
— —ä an
Gleiche parallelogram̃a / [oda has
ben einẽ winckel glerch einem winckel/fofeyndR
ſeiten vmb die zteichen windtel widerſins proportion
vnd ſo ſie gleiche winckel haben vnd 8
proportioniert fon ro By: fie ein ander gleich /
Es ſexn abea⸗ parallellogramma BLIL,und d haben die win
dl XIG gleich / fo ſeyn die ſeiten widerſins proportio⸗
miert / wie c1318G,alfo Ki,uliE -
| Demonfftratior,
Set in ein grade Linien sefaien HT;TK, ſovird C Gauch
ein grade Unien / dann die winckel | HR! Gfein gleich / vnnd
H1G,CIK ‚ein auch gleich; + der vrſach wird C G vnd KH, jedes 10.2.4. -
ein grade Sinien geben : verleng LG, B H, die lauffen zeſammen
in , vñ madchen ein paraliclogrammiun HG,fo ſteht das paral⸗
(dogramum L!zum paralelograo GH, wie Kl. zu IH, T we⸗⸗ 3124
ter wie die parallelograma IB zu I A, alſo C 1,30 1G, beyde 9a
rallclograma B 1, IL, fenn gleich / darumb haben ſie ein: propot,
ana HG, T chen bie (üb proportion haben, CH 26.24,
!
” VDas erſte Bach der Geomerriä,
guiH,darum die ſeiten dergleichen 9.
garaldogramma B1,IL, foamb — —
die gleichen winckel ſeyn / die ſeind Dee .
widerſeits geproportiontert/ vnnd 2 —
1
fo fie widerſeits propoꝛtioniert ſend —
vnnd die ſeiten vmb gleiche winckel 3
ſtehen / ſo ſeind die parallelogram⸗·
ma gleich / wie Ol zu IG,alfo KIT
IH, vnd wie Ct zu 1G, alſodie pa⸗
rallelogram̃ BI zu IA , onnd wie
XIMIH, alſo die parallelogram⸗
da Lzu ix Ind wie BI zu TA, al⸗
for Liu 14, vnnd iſt dag parallelo,
— BI glei dem paral
lelogrammoi L,Ttoelches zu bewei⸗
finmwar.
r
J
M @
XXXVM.
Gleiche Triangel / ſo da haben ei⸗
nen: winckel gleich einem winckel fein jre feiten/
ſo den gleichen winckel begrcifft widerfeits proportiomert /
vnd fo fie widerfeits proportioniert / vnd einladen
winckel zu einem winkel haben feind
fie gleich 1 5:p.5.)
Set winckel in einem puncro zeſammen / wie in der vorge⸗
hende / das C A mit AD ein grade linien macht / ſo wird EA
mit ABaud cin grade linien machen / vnnd die windel D A E,
Bac * gleich / vnd die ſeiten darumb ſeind widerfeits propor⸗
oniert.
Demonſtration
Ziehe EC, ſoiſt der Triangel A C E, beiden Triangelen ABC,
‚ADE
Bon ven Fundamenten Buchdie, 7.
ADE gmein / darumb wiedie Tri, 2 | 4
angel ABC zu ACE, alſo 3à au 33 —
AE, ⁊ vñ wie die Triangl ADE IE
iu ACB, alſo DA zu AC, vnnd
wio Azu AE,alfODA , Ac.
vndi wo quantiteten haben zu ei⸗
nes cin proportion / als dir zwen
Triangel ABC,ADE , sum Tri-
angel ACE, barumb fen fie.
gleich / K der Triangel ABC, gleich
dem Trlangel ADE. _
Wann Hier gradelinien properties -
niert ſeyn / wie die erſt zur andern / alfodiedeitte
vierten / n die rechtwinckleten viereck ſo
* an sen enpbepien munen
herwider(10 p..)
e Linien ſeyen AB 2
Sʒ Drew FG fechs/B — — 3 |
nefo tft Das rechtwincklet viereck — —
den AB,BC ,alSÄBCH.
Demonftration,
WMacdhauß beyden enden vnnd⸗ —
en / Dierchrmindio ze |
beyven
= viereck / wird jedes achtzehen /
Wit iu BF. alſe ve in BC,v | I]
e 3 ‘.. —
37.5.d.
*
Dash Did Cremes
a ABuırG.aif EFMBC,
2 7 3 *
WVWnnd ſehn die ſeiten der viereck vmb die gleichen ——
ckehrt pr tert/ darumb ſeyn ſe gleich / F weil fie aber geich
ſeyn die Ai — —
XL.
J drey —* Linien proportio⸗
miert ſeyn / wie die erſt zur ——
zur dritten / fo iſt das recht
ment
fo ſeyn die drey linien —— —
Es
ſeyen die drey Linien AB, 5 Ey
weich eitioud BE ade / fe > 5 |
iſt dagrechrwindieraieret ABE der © 2
enden A B, BE gleich dem auadrar — J—
DCD Wer ihirien DC Ce
D Arari —
Die beweiſungaſt aller Dinge der
verigen dl — ——— priber |
ſcheid / das alhier drey proportionter. 6 D A 2
——— ... nein —— dann ein ——
ntficher)fo falt es in die vorige auffgab —— yierı
te — rderet werben werben Alfe Die zwo mittlẽ — —*
ABM CD, alſo CD au BE,
X
2 4. 4. T |
Seyn die recht winckleten viereif der enden 18 wie auch da⸗
mitel / vnd ſcyn gleich / vnd weil Re gefagter maſen gleich / Er
[4
Von den SundanenenBuckdil” — -=
verkehrt proportioniert fo vmb die gleichen winckel ſtehn / vnd
«fetten
die drey linien feyn proporrioniere / als wie AB zu CD, al
CD WBE‚T. | —2 |
XLL
jujo gebnen geraden Einlendue |
Dritte fo gegen jhnen propottioniert
zeſinden/( 11. p.6.)
| Sy Je Linien ſehen AB,AC ‚Die Te
in ein winckel zeſam̃en ais in A,
verleng AB,AC in en vnnd E, fi —
gleich A C, iehe 830, derſelben
ein paral IintenDE ſchneit AE * E,
MEC BER
- Demonftration. |
Im Triangel ADE , iſt der ſeiten |
DE ein parallelen BC darumb wie ABU BD, alſo AC u ent 25. |
vnd BD iſt gleich AC,darumb wie B/ BA MAC, Alfo ACH CE
©. 7 Pr
vnd — die drey AB,AC, CE properslettiert. wi
XL. Tr 6
Gegen dreyen graden Einten die
a: —— u
Bor bie $tniien A,B,.c‚ fehfie in einen windel; sefammen
gleich A, ynd GE gleich B ‚md DH gleich C ‚sit
G H» ‚der en Dun ‚ein parallelen EF, die ſchneide die ver⸗
Vng⸗ DH in Fond IR Ar die vierte —32 |
En 3 | "Des.
32.p.d.
h
,
m. p. d.
2
RAR ACH
u —
8 N 2
dem winckel d vnnd BAH gleich
r | Das afte Vach der Geomednia =
= Demonftration. Erin !
Im Triangel DER iſt der ſeitẽ EF,
die parallelen G H gezogen / darumb
wie DG zu GE, alſo DHʒu HF, vnnd
a" gleich A,und GE gleich B, vnnd
gleich c darumb
1
28 6 1—
und ſeyn die vier Linien proportiomiert / wie zu B.alfe C uHr.
XLIII.
Hufe ein gebe grade Binien / ein
rechtliniſche Figur zeſchreiben / gleichfoͤrmig
vnd l rmig geſtelt einer gebnen xe t⸗
ß —— —— — * ch
or Sinien ſey AB,die Figur
MDF ‚siehe CE nd chreib
auff AB , ein winckel ABH gleich
dem winckel DCE, 1 fo iſt der v⸗
briga HB gleich dem vbrige CED..
- fo feyn bende Triangl ABH, A BC D.
CDE geichwincklet / vnnd die fete
sen ſeyn proportioniert / deß gleiche -
auch die beyde Triangel AGH,CFE.
Demonftration,
Weil die Triangel gleichwincklet / fo ſeyn jhre feiten preporden:
nierert wie CE zu A alfo ED zu MB, vnd DC (UBA,
Better ſchreib auff die grad Sinien AH , den Triangel AGH,.
gleich wincklet dem Triangel CFE ‚fo ſeyn die feiten auch propor>
tioniert/wie CE iu AH alſo EF u HG;ond FE su GA.
Vod der windel Ban iſt gleich gemacht dem winckel DCE, ons
wir
⸗
Von den Fundamenten Buelidie. PP}
der winckel GAH, gleich dem windfel y CE darauß folgt daß der if
tze winckel GAB gleich ſey Dem gantzẽ winckel CD: ide vrſach
dft der gang GHB gleich dem gangen FED, vnd G gleich F, vnnd a
gleich D, je einer dem andern / darumb ſeyn beyde Figuren gleich⸗
wincklet / vnd ihre ſeiten proportioniert / vnud die Figuren gleichfoͤr⸗
mig / t vnd ſeyn gleichfoͤrmig geſtelt. 47. dacf. d.
| XLIIN, Ru
Ser gleichförmigen Triatigel pro⸗
portion / iſt dopplet gegen der proportion /
| in proportionierten feiten/
i R (19.2.6) °_
S ſeyn wen sleichfärmig ®
Triangel ABC, DEF, vnd
Der winckel B iſt gleich dem win
N |
ckel E, vnd wie AB gu BC,RIfo
DE zu EF, vnd die ſetten BC,
iſt mit der ſeiten EF einer art/
vnnd der Triangel DEB, hat
dopplete proportion / gegen dem
Triangel ABC, als da hat EF 5 23 - |
jUBC. |
[
R
Demonſtration.
Nimb gegen EF vnd BC, die dritte proportionlerte EG, xæ daß . p. d.
fie ſich halte / wie EF zu BC, alſo BT gu EG ziehe DG, vnd ſteht wie
DE, zu EF, alſo AB, in BC, verkehrt wie DE ju AB, alſo ERMVBC,
aber wie ER zu BC, alſo BC zu EG, deßhalben wie DE zu AB, alſo
BC zu EG, F vnd die ſeiten der Triangel ABC,DEG , fo vmb bie 27. p. d.
— winkel ſeyn verfehre gepgoporeiomerert deßwegen ſeyn dle z8...d,
riangel ABC,DEGil ande ih/on wie EF U BC,alfo BC
au EG,ond ſo drey limen proportloniert ſeyn / ſo hät die erſt zur drit⸗
sen dopplete proportion / als fie hat gegen der andern / t als EF HI 46. def. d.
EG, hat dopplete proportion / als EF hat zu BC,aberwie EFEG,
alſo der Triangel DEF zum Triängel DEG ;, Frefwegen har dir „5.4.
Aiangel DEF boppfereprgporttengum Triangel DEG,al8 da har
— — 50... EFM
Er su BE, vnd die el DEG eh darunib har
der Triangel Bot Orangen, —— ——
als da hat Er Ju BC:
Coröllarimm.-
erauß iſt offenbar fo dr Sinten proportiontert feyn / wie —
BB dritten / alſo iſt ein Triangel gmacht von der erften zum Trt
angel —— von der andern / wann fie gleichfoͤrmig / vnd gleichfoͤr
IYdann es — * wierE su EQ alſo der Ttf.
angel DEF un riangel DEG;pder. dem — ABC..
XLV.
Glachfdrmig rechelinifi cheFiguꝛen
werden theilt in gleichfoͤrmig vnd gleiche gahl
Triangel / vnd einer Natur zu — einige
sur andern —— dopple / als da haben die
gegen ein — Ta ſeiten -
20.9.4
ES fern die woreceinifäßen Figuren 'ABCDE,FGHIK,fö b-
ne der andern gleichfoͤrmig / die werden auß A und „In gleiche
gg AC., AD, vnd FH, FI, in
die Triangel ABC, ACD, ADE, vnd RGH, -FHLEIK, difehaben
Der erfte einer gur zumerſien Der andren Figur /alfo auch die vol,
genden der erſten Figut zum volgenden der andren Figur / gleiche:
pioportich/ale bopplerährer proportioniert ſeiten. |
Demonftr ation. —
Wie die 8— ED»
uEA,alfo Kigu Kr, |
vnd dife greiffen glei, | 1
che winckel E vnnd K,
darumb ſeyn die Tri
angel ADE,FIK, gleich
einher ı F onndmeil
fie gleich wincklet 1 dv» I
rumb feyn fie greifen G
Von den FündamenenEucidis: zy
mig / Fond der winckel ED A iſt gleich dem winckel KIF, vnnd der 47.def: |
"sang weinckel.E DC iſt gleich dem gantzen winckel Kın , durch die"
Feichform igkeit der Figuren / vnd der obrig. ADC gleich dem vbri⸗
gen æn, vnd durch Die gleichfoͤrmigkeit ver Triangel AED; FKI,
6 wie AD zu DE, Alf’ FLAWIK ‚und durch die gleichfoͤrmigkeit der
Figuren ift wie ED zu DC, alfo Ki. zu IH, vnd durch gleiche propor
. Honwie aDyu DC, alſo FLAUIH- | —— |
VGnnd vmb die gleichen winckel A DC, FIH feyn die ſeiten pro⸗
rtioniert / darumb ſeyn die Triangel ADC>FIH gleichwincklet / F35.p. d.
und gleichfoͤrmig. Gleicher gſtalt: wird bewiſen daß Die Trligagel
ABE, FG gleichwincklet ſeyn / datum̃ ſeyn auch jhre ſeiten propor
— daß die gleich Förmige Figurẽ ABCD
E>FGHIK,;in gleihfärmigen Triangel getheilt feyn on In gleicher
zahl / vnd von einer Natur oder arten allen/dannseie der Triangel
AED suder gantzen Figur / das iſt / zu allen Trianglen AED}YADC
ACB;,slfoder Triangel *Ki zu der gantzen Figut oder allen Lian⸗
glen Ki H, FICG, vñ ſeyn die vorgehenden Triangel proportio⸗
niert / u den folgenden/t vnd die rechelinifch Figur ABIDE ‚gegen 28.p. d,
der rechrlinifchen Figur FGHIK;hardoppfere proportion / alfo da.
hut cin feiren yon einer Natur oder artzzu einer ſeiten Derfelben art /
als xD jzu Kı,angefche daß die Triangel ADE,EIK, gleichfoͤrmig /
deßwegen haben fie gegen ein ander zwey mahl fo ein groſſe propor⸗
non / als jhre propor tionierre ſeiten. So iſt auch jetwedere gleichfoͤr⸗
mige Figur / in gleichfoͤrmige Triangel vnnd gleicher zahl vertheilt / >
die alle der einen Figur / gegen allen ber anderen Figur haben dop⸗
plete proportion / als die perportionierten ſeiten gegen einander)
darumb iſt die proportion der gantzen Figur ABCD / in doppleter
proportion zu der ganzen Figur RGHIK als die proportionierte ſei
senıfo gegen ein ander in gleicher proportion ſtehen / als ED: ai Ki...
1,Corollariumk: |
z Staußifittigmehroffänbarsafdie gleichförmige rechtlini⸗
hen Figuren gegeneinander feyen in doppleter proportion / len. -
fo haben die Reſpondierẽde ſeiten Dann fo man zu zweyen Iinren
die dritte proportioniere. nimpt: als die srl fen 9. die ander 6. die
dritt wird funden 4. ſo hat d⸗ zu 4 dopplete proporrion ale 9. zu 6..
vnd die Figur auff der erſten fo 9. hatt dopplete proportiom zus der Fi
gur auff der andern fp 6: es fen gleich ein vier fünff / ſechs oder —— us
‚tere Figur / ſo fie gleich und gieichfoͤrmig geſchribẽ ſeyn / wie inn Te
angelauch bewiſen iſt / tc. 3 2. Co⸗
4
— A _-._.._._. —
“DaserfleBüchder Geometria,
| 2.Corollarium, —
Iſt auch in gmein offenbar / wann drey grade Linien proportio⸗
siert ſeyn / als wie die erſt zur dritten / alſo iſt die Figur Der erſten zut
gur der andren / ſo ſie gleichfoͤrmig vnnd gleichfoͤrmig geſchriben
yn / dann fo auff die erſt fo 9. ein quadrat mit rechten wincklen ge⸗
ſchriben were / wurde das ſelbe 81. ſeyn / vnnd eines auff der andern
welche 6. wurd 36. ſeyn / darumb wie 81. zu 36. alſo 9. zu 4.
‘“ XLVL
Wann Hier Linien proportioniert
ſeyn / ſo ſeyn gleichförmig vnd gleichförmig ges
ſchrib n Figuren auff den ſelben auch proportioniert: vnd
fo die gleichfoͤrmigen Figuren proportioniert / ſo ſeynd
auch die Linien darauff ſie gmacht geproportivo⸗
niert/(22.p.6.) - -
Demonftration,
Obſtehende Wer nur erwiſen / K daß die proyortion der gleichfoͤrmigen Ft
| guren iſt dopplet / gegen der proportion jhrer proportionierten
ſeiten / ſo folgt daß die gleichfoͤrmigen Figuren auff nie proportio⸗
nierte Linien / gleichfoͤrmig geſchriben auch proportioniert ſeyen.
XLVII.
In den rechtwinckleten Trianglen /
ſeynd die Figurenauff den ſeiten ſo dem rechten
winckel vnderzogen / ſo groß als beyde Figuren auff den
ſeiten fo den rechten winckel beſchlieſſen / wann ſie ale
gleichſoͤrmig / vnd gleichfoͤrmig geſchriben
werden / (47. 1. vnnd
31. p. 6.)
| Es ſey der Triangel ABC, mit dem rechten winckel ABC , wel-
her von den graden Linien AB,BC beſchloſſen wird / — AC,
f f N. — dem
DondenSundamintenEucdi?‘ 24
dem felben undersogen/fo auff jede ein gleichfoͤrmige rechtliniſche
igur gefchriben wird / ſo iſt die auff AC , ſo groß als die auff-AB,
BC beyde zeſammen / es feinen glei gleichfoͤrmig Triangel / quadrat /
oder gleichfoͤrmige vier / fünff / ond mehr ecketen Figuren.
Demonſtration.
Schreib auff jede ein quadrat /
auff AC, das quadrat ACKT, auf
AB, das quadrat ABML,auff BC
das quadrat ACDE,T auß dem
rechten winckel ABC, siehe auff
AC ein perpendicular BF,T ver⸗
lengt in G, die theilt das quadrat
ACKıin zwen recht wincklete
viereck AG,welches gleich dene
quadrat ABMLiond GC fo gleich
dem quadrat BCDE dañ es ſeyn
drey proportionierte Linien als
Ai (ſo gleich iſt AC)AB Und AF,
Fond wann drey Linien ſeyn pro⸗
poͤrtioniert / ſo iſ das quadrat der
mittlen gleich dem rechtwinckle⸗
sen vierecken der enden / derwe⸗
gen iſt Das quadrat auff AB der
mittlen / gleich dem rechtwinckletẽ
viereck der ende 1A ‚(fo gleich AC)
vnd AF, dann beyde Triangel
ABC,AFB3 ſeyn gleichwincklet /
dann A, iſt beyden gmein / fo iſt
ABC, ein rechter winckel / wie auch
AFB fo bleiben die vbrigen ACB,
ABE auch gleich / darumb
wie CA ‚(pelche gleich iſt a1) zu F
AB, alſo Aß zu AF/F | | y4pl.
gleicher vrſach iſt ————
wie AdC(ſo gleich iſt O K)ju C B, alſo 30 zu CF,
vnd ſeyn wider drey proportionierte / darumb iſt das quadrat auff
der mırrlen BC gleich dem rechtwinckleten viereck der enden KC,
Id ER,T dañ die Triangel ABC ,BEC ‚feyn auch gleich windien 4opA,
— ge⸗
Das erſte Buch der Geömelria;
angeſehen den gmeitien C; vnd die rechten CBA, BFC, ſeyn biete
briagen auch gleich /nd weil das quadrat ABML gleich iſt Dem reche⸗
Ninckleten viereck AFGI, vnd das quadrat BC.DE gleich dem recht⸗
winckleten viereck GK, ſo muß folgen daß beyde quadrat AB;
ML, BCDE gefammen ( fo auff den Linien ſo den rechten winckel
beſchlieſſen) gleich ſeyen dem quadrat ACk ĩ, (ſo auff der linien fo
— winckel vnderzogen iſt. ER
Ein gleiche meinung hars mit allen gleichfärmigen vnnd gleich
geſchribnen Figuremdann die gleichförmigen Figuren feyn in dep
‚pleter,propornonijhrer proporrioniere? ſeite / als die Figur auff AC,
hat dopplete proportion ps der Figur auff AB , als da har die ſeiten
45. pnd. A aur ſeiten AB.T gleicher vrſach ifl die Figur auff AC ‚Doppierei
praoportion / zur Figur auff-CB,als AC zu CB, gleicher vrſach har
das quadrat auff AC, zum quadrat auff AB, dopplete proportion
als da hat AC zu AB, vñ wie die Figur AC, zur Figur A B, alſo das
uadrat AC, zum quadrat AB, vnd hinwider wie die Figur CA, zut
iaur.C B, alſo das quadrat CA, jum quadrat C B, vnd wie die TO
gur AC, zu beyden Figuren AB.BC ‚alfo auch das quadrat AC zu
eyden quadraten AB, BC, vnnd das quadrat AC iſt beyden qua⸗
draten AB,BC gleich / darumb iſt die —5 AC, beyten Figuren
Ye B-C gleich / ſo fie gleichfoͤtmig vnnd gleichförmig gefchribsn mer,
xLVIII.
Ein gegebne grade Binien se:
ſchneiden / nach der euſſerſten vnd
mitlen proportion /(3 o.p.6.
19.p.4. Y einien fey A B,daranfffchreib ein quabrar ABCD / Fond
heil AD mit entzwey in E, vetlẽg DA ın F,d5 EF gleich werd
E B/auff AF ſchreib ein quadrac AFCH, verfeng GHinl, verleng
FGond CinK, ziehe den diameter KHD, ſo iſt AB nach Der che
ſerſten und mitlern proportion geſchnitten in H.
v >
Demenftration.®
| Im parallelogrammo CDEK fepn die compiementa C H,
23.9.4, HE einander gleich / Tonndhaben ein winckel gleich einenn
| E | . andren
4 ⁊*
—
- Ven den Sundamenten-Euclidis. 25
‚anderen winckel / als der winckel
BM Igleich dẽ winckel AHG,
dan es iſt ein jed ein rechter /n
die ſeiten vmb die gleichẽ win⸗
ckel ſeyn vertehrt geproportio⸗
nierertdarumb.wie cH zu HG
alfo AH zUu HBb, vnnd H if
gs AD, oder AB, vnnd o H
aleich HA, Darumb wie AB
‚mA H,alfe A H zu HB, aber
AB ift gröfferdann A H, —— An groͤſſerals HB, derwegen
— * AB gefehnizten Än.H nad) der euſerſten vnnd ese
0, ortion.
XLIX.
Si gleichwinckletẽ parallelogram
ma huben gegen ein an der proportion ge⸗
‚macht von den ſeiten (23 ˖P. 6.)
S ſehen die parallelogramma sc D, CEFG, die haben den
winckel BCD, gleichdem winckel E cG ‚fo has das parallelo,
gram̃um AC ‚sum parallelogrammo CH ‚proporrion gemacht von.
Den ſeiten / als gemaͤcht von ———— ſo Bat Bc zu CG, vnnd der
praportion / ſo da hat DCAu CE.
Demonſtrati on.
Setge 80 in gredemir ce,
fo tompt DC auch in grede mi
CE , vnnd mad) das parall
gamunı DG ‚ındfeg die grad.
nıen K Hımdmadh wi 2
wie B CucG, we Ku —
8. aa " 3 | " = y Beer lu
— | F
wie PCau CE, dom, a %
ws. #+ > wii ®:. Jen
27.4.4
— Das erſte Buͤch der Geometria
Vnd iſt eben die proportion seifchen KjuL, vnd L5u MM’, a B
zu CG, vñ DC gu CE ‚aber die proportion K zu M, iſt gemacht võ⸗
Der proportion K zu L. vnd der proportio L gu M,darumb har K zu
L proportion gemacht von den ſeiten / dann u
- wie BE zu CG, alſo das parallelogram AC zum parallelogram̃⸗
8. Ps 2 r ak-
CH,t. i
6.
end wieBc un C G,alfe Km L, vnb >
Wie K sub,alfodg parallelogramı AC zum paralleloaraım cu. tʒ
6. 15 24. a re
gleicher geflale e
wie DC zu CE,alfobas paralldiogram CH sum parallelogram⸗
⸗ — rer 3.
+
mo GH,T
8.
Bond wie DC IN CE, alſo L su M, vnd
tee L jis M. alſo da parallelogram CH sl parallelogracio CF,T.-
ı$ 2. 6. 8. —
Vnd iſt bewiſen wie K_ gu. E, alſo dz paralitlograii AG zum pa⸗
rallelogrammo CH,
— * L su M, alſo di parallelogramm C H zum parallelogram⸗
CH, |
Folgt durch gleiche proportien.
— UM, io — »v»—r — Er,
6. 2. ze — 8.
Aber K u M,hat proportion gemacht von den ſeiten / darumbha⸗
ben die paralleiograita AC „CF auch proportion gemacht von ·
den ſeiten. — |
j 1. Corollarium.
Hierauß iſt auch vffenbar / daß die Triangel ſo ein windet‘
geich einem winckel haben / — ger wie die
teorcwinckleten yiereck ı fo gemacht von den feiten fo vmb die sich
Ben winckei / wei die Triangel ſeyn Die. Belffie.der rech winctleren
Ä Mon den FundamentenEuslide. ze
terect/ats pie winkel BCD,.EC G.beyder Triangel DCB,GCH,
fey en gleich / vnd ſeyen gemacht von. BC, CD ein recht wincklet vie
eck c ñ, vnd von EC, C Gein recht wincklet viereck CH ſo iſt Tr 33
wie der Triangel DC sum TriangelEGCG, .
T2. 4. .
Alſo dasrechewincklet viereck CA zum recht winckleten viereck CF,
24. 8.
Dann jeder Triangel IR Die helffte des recht wincklet vierecks /
Eder auch eines parallelogram̃en / wa fie gleicher hoͤhe / vnd gleiche
baſen Habenıtdarumb haben die gleich winckleten parallelograma 13. 4.
gegen einander eben die proportion / ale die rechtwinckleten viereck
gemacht von ihren ſeiten / dann jedes iſt dopylet des Triangels von
gleicher hoͤhe / vnd auff gleichen baſen.
i. VF
So im Circkel ein Einien durch d$
Centrum zogen wird / vnnd ein andre Linien
fo nit durchs Centrum zogẽ In zwen gleiche theil ſchneidt /
fo ſchneidt fie die ſelben Inn rechren wincklen / vnd wann fie
die ſelb zu rechten wincklen ſchneidt fofhneidifie
drire ſelb in mitten entzweh(3. p. 3.) :
D Je Linien AB iſt zogen durchs Centrum C, im Circkel ADB,
und ſchneidt in mirten entzwey die Linien DE, ſonit dur
Eentrum zogen in F, ond ſchneidts zu rechten wincklen. i
‚- Demonrftration. -
. Ziehe auf dem Centro die Sinien
CG. C E vnd VF, iſt gleich FR, vñ FC
iſt gmein / darumb fein die zwo DF,FC
leich den zweyen EF, FC, vnd die da- "ne detä
on DC,CE fein auch gleich, darum̃ *
iſt der winckel CFD gleich dem winckel |
CFE, t wann aber ein grade auff ei, Cor.ꝛ.d.
ner graden zwen gleiche winckel macht / ſo ſeyn ſie beide rechte
acht und weil AB pie Sinten „DE su rechten wincklen ſchneidt / ſo „def d.
chueidt ſie die ſelben in mirken entzwey / dann CD, C E fein gleich
| oT darumb⸗
S
w-
—
.Das erſte Bitch der Ceomients
15.def. d darumb feyn bie winckel CDF, CEF ein andren gleicht ponn
3.p.d.
4pd =
6.2.d,
C Fift gmein / der orfach fein die zvo DC ;C F, gleich den zweyen:
EC, CF, vnd der windel DC F gleich dem windfel ECF darum:
iſt die baſis DF ‚glsich der BafisFE, + vi iſt ein jede die helffte DE..
darumb iſt DE in mitten entzwey geſchnitten.
LE.
Das Centrum eines Circkel ſtucks
zefinden / vnd darauß den gantzen Cuckel
zu ſchreiben (25. p.3.)
As Circkel ſtuck ſeye ADEB;.
darinn ziehe zwo grade Linien
AD BE. die theil mitten entzwey in
C, vnd l, durch diſe beyde C onnd!,.
glehe zu rechtẽ wiucklen grade. Linien /
Die ſchneiden ein anderen im Cen⸗
ttoL, |
Demonftration;.
Weil jerweder AD, EB in swen‘ |
@leiche theil gerheilsiftiin C. vnd 1, dardurch gu rechten wincklen 72
arien sogen / muß durch obflehende nohrwendig folgen / daß ſie cin
anderen im Senseo ſchneiden.
LI:
VBann zwo grade Pinien in einem
Circkel ein ander ſchneiden / vnd nit durch Cen⸗
trum zogen ſeyn / die ſchneiden ein andern niemah⸗
len in der mitten / (4.p-3-) |
>
J M Eirefel ABCD ſchneiden ſich Die graden Sinten AC » DB,
scyim puncto E,ond geher feinedurch Centrum / darumb ſchnei⸗
Den fi ich nifin missen gnramwep, Demon-
| emon-
—
Von den Fundamenten Euclidis 25
Demonſtration. |
Gefetzt fiefehneiden fih in der mio A
te entzwey / alſo daß AE gleihfey EC,-
YNdDDE aleich EB , siehe auß deß Cir⸗
ckels Centro F, in den durchſchnidt E, -
die grade Linien FE’, ſo ſchneidt FE,:
ſo duͤrchs Centrum zogen / AC ſo nicht
blirch Centrũ zogen zu rechten winckl — | 3
7 wie auch mitten in zwey / derwegen iſt der winckel FEA, ein rech⸗50. p. d.
rer / deßgleichen ſchneidt FE. die linien BD, ſo nit durchs Centrum |
sogen zu rechten wincklen / vnd were der winckel FEB, ein rechter / vñ
iſt bewiſen daß FE A, ein rechten" darumb muͤſſen die winckel FEA,
FEB gleich ſeyn / der groͤſſer dem kleinern / ſo nit fein tan / darumb
ſchneiben ſich A C, DB, nit mitten entzwey. umb 8, Axioma.
Erinnerung.
. Ale Sinien fo durchs Centrum sogen / ſchneiden ein andern in
wen gleiche theil / K fo aber die eine durchs Centrum zogẽ die ander 15. defin.
nit / ſo wird die durchs Centrum zogẽ nit in mitten in zwey geſchnit⸗
ten. —
nn i LIII. —J— —
Im Cucckel ſtehen gleichegrade Ei
nien gleich weit vom Centro / vnðd wann ſie
gleich weit vom Centro ſtehen / ſo ſeyn fie
| cin ander gleich / (14. p.3.)'
MCirckel ADEB,feyn die gleiche AD.
graden Sinien AB, DE; die Reben‘
gleich weit vom Centro .
Demonſtration.
— auß dem Centro C ,auff jede’
AB, vnnd DE, ein perpendicular CF,
CG,tdie ſchneiden AB, vnnd DE, in
mitien in zwey / J in den puncien Fo:
G ij - G+
æʒ. act.
2
47.2.4
2. axiom.
Jap.d.
Das erſte Buůch der Geometri2,
BG.F nehe Ca, CD, welche gleich ſeyn / vnnd weil AB,DE ‚eleldh
ſeyn / vnd jede iſt in der mitten entzwey geſchnitten / ſo muß volgen
Axioma, daß auch ihre Halbe gleich ſeyn / ats Ar gleich FB , und DG gleich
GE, vnnd die mo PA, AC,gleich den smeyen GD ‚DC, vnnd die
perpendicular CF, CG, machen in F vnd Grechte winckel / darumb
iſt das quadrat auff CD gleich beyden quadraten auff BG, GC,
vnd das quadrat AC,aleich beyden AF ‚FC, Tvnd die quadrat DC,
AC, ſeyn gleich / ſo muͤſſen beyde quadraren DG ‚GC, gleich ſein hey⸗
den quadraten AF,EC,T vnd iſt bewiſen daß Ar gleich DG , das
rumb feyn auch ihre quadraten gleidy: Darauf volgt / daß die qua⸗
draten PG,CG auch gleich ſeyn / wie auch ihre ſeiten / als FC , gleich
CG. darumb ftehen die zwo AB,DE gleich weit yom Centro C, Her
wider CA,CD fenn gleich / wie auh CF gleich OG, weil AB,DE
gleich weit vom Centro / vnd GF, CCG, machen auff AB,DE in dem
puncto Fond G ‚rechte winckel / vnd ſchneiden AB, DE, in mitten
in zwey / F und die quadrat auff gleichen linien ſeyn gleich / als AC,
CF, gleich DC, CG. aber AC, DG, iſt jedes fo groß als die zwen qua⸗
drat ſo den rechten winckel beſchlieſſen / vnd weil FC,CG gleich / fo
muß volgen daB AY,DG ‚gleich ſeyen / verſtehe vie quadrat / ſo ha⸗
ben gleiche quadrat gleiche ſeiten / darumb iſt AF, qleich DG , fo jede
die helffte der graden Sinien ABb, DE, darumb ſeyn die ganzen lini⸗
en AB, DE, gleich.
LIIII.
Wann zu end deß Diameters ein
rechte Linien zurechten wincklen zogen wird / ſo
falt dieſelbig auſſer dem Circkel / zwüſchen der felben vñ dem
vmbtreiß mag fein andre grade Linten zogen werden: vnd der
winckel deß halben Circkels iſt groͤſſer / dann einiger an⸗
drer rechtlintſcher ſcharpffer winckel / vnd
der vbrig iſt kleiner (10. p. 3.)
JM Sir ABC, auff dem diameter AB, ifftogen das pers
Dypendicular AB ſo auſſer dem Circkel falt / zwüſchen diß vnd de
vmbkreiß mag kein andre grade Linten fallen / vnnd der wilickel deß
halben Circkels vnd deß diameters iſt groͤſſer dañ kein andrer recht⸗
linuſcher ſcharpffer winckel / vnd der winckel deß halben Circkels 3
Won den Fundamenten Euclidis. a2
Behperpendicularsiftffeinerdann eb oc o_y
nige: Anbrer rechtliniſcher windel.
Demonſtration.
Geſetzt das perpendicular falle im, ®
Ben Circkel als die Linien AC, fo siehe
.DoC, ſo iſt DA gleich DC , T vnnd die
winckel DAC,ACD ſeyn gleich ıt vñ
DAC , iſt ein rechter / (weil acpen | |
pendicular auff BA, fo müßte A CD'auch ein rechter ſeym / welches
nit muͤglich / darumb falt das perpendicular nit in den Circkel / aauch
nit in den ombfreiß wie AF, dann ziehe auß D auff AF ein grade .
Linien DS geſetzt fiefeye perpendicular auff AF , fo iſt der winckel
AGD ein rechter / vd DAG, fleiner dann ein rechter / vnnd D’A were
groͤſſer dann DG, (weil DA, dem rechten winckel AGD vnderzoge)
welches nit iſt / dann AD iſt gleich DH ,t und Diff nit groͤſſer dan 15. def.
DG ‚(das ſtuck gröffer dann das gantz *) deßwegen mag: zwüſchen 8. axieme,
das perpendicular AE,fo auffer den Circkel falt / vnnd dem vmb⸗
kreiß fein grade Linien zogen werden der vrſach iſt der winckel ber
griffen von dem diamerer BA, vñ halbenrombfanff AMCB , größ
fer dann fein andrer rechtliniſcher ſcharpffer windel / dann zwiſchẽ
den vmbtreiß AnC, vnd dem perpendicular AE ‚mag fein grade li⸗
nien fallen die gedachten winckel gröffer machen ihuͤe / vnd der win,
‚del begriffen von dem vmbkreiß AH C vñ dem perpenbieular AE iſt
Aeiner / der orfach iſt der wintkel begriffen von dem vmbkreiß AHC. _
vnd dem perpendicular AE fleiner ale fein anderer rechtliniſcher
ſcharpffer winckel. nn .
A “ e . =
| Corollarium. |
jeranf iſt offenbar / wann ein grade Anien ein Eirckel ruͤhrt /
— puncten deß rührens durchs Centrum deß Circkels
ein grade Unien zogen wird / fo ſteht die ſelbig perpendicular auff
der ruͤhrenden. AV
Auß einem gebnen puneten / ein gra
— de Linien zuzichen dis in Circkel ruͤrt / (1J. p.3.) Ser
a. p.d.
“E ‚stehe EA,auß E,mirE A ſchreib den
.
Das erſte Buch der Geometria.
GEEr punckten ſey A / der Circkel
BCD deßCirckels Centrum fey
Circkel AFG, auß D ‚erheb ein perpen.
dicular auff AE, als DF, gziche EBF,
vnd AB, welche den Circkel in Brürt.
Demonſtration.
Beyde Triangel EAB, EFD, ſeyn
gleich / dann ſie haben, den winckel E
gmein / vnd Die ſeiten E AsEB ‚gleich den ſeiten EF,ED ſo vmb den
gleichen winckel ſtehn / darumb ſeyn auch jhre baſen ABß D, ein an
dern gleich / F vnd die vbrigen winckel je einer dem andern / ais EDF
gleich EBA ‚aber der winkel ED iſt ein rechter / darumb iſt EBA,
Opfichende Much sin rechter, darumb rühre AB,den Circtel BC, in B.r.
15. def.
Cor. . p. d.
14. p. d.
‚LVI
Sie windel auff dem Centro veß
n
Circkels / ſeyn zwey mahl fo groß als die
auff dem vmbkreiß / wann ſie ein ſtuck vmbkreiß
‚jur bafen haben / (20. p.3.)
Nuneben geſetzten dreyen Cir⸗
@eY cflen/ift der winckel BCD, dop⸗
Plet der winckel BAC , vnd har dry
Caſus oder vuderfcheid.. |
Demontftration.
Zum erfien iſt CAgleih cn, f 8
deßroegen feyn auch die winkel A
vnd B gleihrt vnd der winckel C iſt
gleich beyden jhme entgegen als vnd ß, F darumb iſt der winckel
C dopplet deß winckels A, oder deß winckels B.
Zum andern iſt der winckel BCE ‚gletch beyden jhm enegegẽ als
B vnd BA C welche ein andern gleich ſeyn / angeſehen die gleichen. -
Cor. 3. p. d. CB, CA, æ datuinb iſt BCE., dopplet gegen einem vnd dem andern /
gleicher
WVon den Fundamenten Euclidi⸗ 2
leicher vrſach iſt der winckel ECD, gloich beyden CAD vnud
erh beyde auch gleich / darumb iſt ECD auch dopplergetn<. AD
oder D, vnd der gang BOD, iſt dopplet De gangen BAD.
im dritten iſt der wifi ECD , dopplet deß cviuckeis EAD,
PNd EC B;tfldoppict EAB, darauß volgt ſo man ben wincke CB,
vom winckel ECD, vnd den winckel EAB vom winckel EA Deq
nimpt / daß der vbrig BC.D auch dopplet iſt deß vhrigen BAD. —
LVII. |
Die winchel / fo meinem fegmento
Cut enli ſtehn / die ſeyneinaudern gieichh
— . K2up3.) en
AR Eimtel Anne ifindemieg A — —
menstonder theil deß Circkels / die
vinckel Anh E,ein andern gleich / dañ
€ haben ein ſtuck circũferentzen zu
er baſen BD. B
Demonſtration. =
Zum erften iſt F , doyplet deß ein vnnd deß andern winckels „ Obfichende
vnnd E, Fdenn alle Ey den pr BD surbafen:zui a |
/ 4
deren wann Bas ſegmentum weniger ift dann halber Circkel
siche A E ‚fo ſein die winckel ABE ‚EDA, ein andern gleich / darit
fie ein Bogen jur baſen haben / als a E, vnnd die winckel AGB,
GD fein gleich / hwie auch die vbrigen wen BAD ‚BED auch gi 1. 4.
ſo im kieinen ſegmento BAED auff dem Beogir sn jeden, >
nen en: LVIIL =
In gleichen Circklen werden glei⸗
che winckel gemacht auffgleichen Boͤgen on:
vwinckel ſeyen gleich auff dein Eentrooder auf - --
| dem vmtreiß (26. .3.) ——
2.2.d.
»+
ofeyeng und. m, bieauff-
et Das erſte Bach der Geomeiix 9
I u
Ä F N
ejeihen windet.e em
dem venbkreiß /vnd D, ſoi
der Wogen BC gleich dem
gen EF.
Demonſtration. |
Ziehe sc uf Er vñ in gleichẽ circklen fein gfeiche emiblameren
Barumfenttdft zwo BG,GC gieith dẽ zweyen EH,HP , vñ der win⸗
ckel S i gleich dern winckel H, vnnd die grad Baſis BC gleich der
graben bafen EFF weiter iſt der wine A gleich Dem winfel Dr,
daran iſt das ſegmentum BAC gleichförmig dem feguento EDE,
ee gieich / dann die "grade B € ift gleich der graden EF ‚ dat⸗
ums iſt das fegmencum B A © gleichdem fegmento ED F, Unnd
die gangen Cackel BAC , EDF ſein auch gleich / vnAd der vbrig
Bozen BC gleich dem vbrigen Bogen Er. |
Corollarium«
en (ft offenbar / das gleidhe grade Sinien/von gleichen
n / gleiche vmbkrei
ß ſchneiden / die groſſen a deu groffen / vn
‘
ER, u
In allen vierecken / ſo in ein Circkel
Ngeſcheiben / ſeyn die winckel / ſo ein ander
\;, > zugegen acen glei yooven schen.
— keineren.
(22.3.3
cket AnßCD, iſt das viereck ABCD zeſchriben / darinn
ſeyn die winckel n vnnd D gleich zweyen rechten / wie auch A
mic. | |
Demonf:arion,
Zede
- Ven den Fundamenien Euclidis
Demonſtration. —
Diehe ACER BD, ſo ſcyn die winckel
ADB, ACB geich / wie auch DCA, EZ
D B A darau ar das beide winckel
.ABB,ABDgl or bemwindelDCB
vnnd ale er sefammen / als ADB,
ABD, DAB ſeyn gleich zweyen rechten!
Fder wegen weil DC B gleich iſt den zwy⸗
en ADB, ACB, ſo muß DCs MHDAB —
amıch achte feynamenen rechten / gieicher vrſach Icon DIE wind
ABC , ADC gleich iweyen rechten. 4
ne BEN:
Ein geben vmbkreiß in mitten in
¶ʒwey ʒerheilen v pcc.
Es fen ver gom ornbtreiß an sicht ae A
Mr p,dietheile in zwẽ gleiche theil inC, —
auf dem erheb ein perpendicular / ſchued
den vmkreiß in D, mi zwen gleiche iheil. |
. Demonftration,
e AD end DB ‚und Aciſt gleich CB. vnnd CD iſt zmeiin — ..”
Barnmbfein die wo AT, CD gleichden zweyen BC,CD, onntd’der
vwiuckei ACD iſi gleich dem winckel BCD ‚datt ein jeder iſt ein rech⸗
ter / derwegen iſ die Baſis AD; gleich der Baſen BD , aberglelihe
grade Sinien ſchneiden gleiche vmbfreii oder bögen, + die gröffer Cor sd.p.d
. gun gröfferen/ond die fleinern zun fleineren/ ondeineunnddiean .n -.
der AD,BD ift eiciner dann halber Circkel / darumb iſt der vmbtreiit;ß
AD aleich dem vmbtreiß DB.vnd Der vmbkreiß ADz iſt in Din sen
. eicherhell gerheit arm en
% ® ‘ 2
— —
we Im, ’ -
> a
. be b)
⁊
a
2
| 6. weh:
= © BuotesteniGemeig,
| LXI,
J Caceit der winckel för iin hal
tckelein techter winckel / vnnd 57
— if er kieiner dann ein Rechter / und in dem £leinere
— er. gröffer. dann ein Nechrer / vnd der winckel deß gr
| ——— iR gröffer dann ein Rechter / vnd deß Het:
ngeren fegienu iſt eleiner dann.ein ein Recht
er //
en —
* winckel Bac im ha Reinredkerrend —
Bee — — eren —— A Meiner dañ cin
el ADCin ento CDA iſt
Fee! ba in — RE — gemacht von der gra⸗
Den AC', vnd dem — vmbtreißf ABC' groͤſſer dañ ein. rech⸗
ter / vnd der wind‘ add von der; — AC vnnd der kleiner
——— ADC iſt kletner daun ein Rechter |
— Diemonftration..
"Siehe A*᷑;, vnd verleng BA in F, vñ
sscdef. BAR gſtich Ex. Fand vie winct
Coup na na Blei T under
« gr undbende: x.
P.& . BEA,AEC;feyngleidseenentecten/}tnp —— deß win
ctels: ß AC darumb iſt BAC: einredirer winckel.
Im Triarigel. ABC ‚fenn beyde windfel ABC: ‚CAB —
dWwen rechte / vnd der. winckel BAC if ein. ———
del AB tleiner dam ‚in rechter. indem gr gear eg Pe * F
5. p. d.. cin anden tg0gen feyn gleich weyenre Te reny + darum ſeyn die
winckel Bo d Dgleich zweyen rechten / der wincke B aber iſt bewi⸗
ſen kleiner dann einrechrer/darumb iſt der winckel D(ſo in dem fia.
nen. AD C)gröffer dann cin rechter.
kamen Woͤſe rechter Sa
Von den Fandamenten Fuclidi⸗·. - gr
giſtder winckel deß groͤſſern ſegmenti / ſo gmacht von dem
vombtreiß ABC vnd der graden Linien ACC gröffer — rechter /
Bann der winckel gmacht von den graden AB, AC, iſt ein rechter.
Vnd der winckel deß kleinern —** gemacht von dem vm̃⸗
frei ADC, vnd der graden Anien Ac ſiſt kleiner dann ein rechter /
dunn der winckel begriffen von CE A.0nnd Ar,als CAs iſt ein rechↄ. p.d
REIT: angeſehen den rechten winckel BAC..
— — — “
Wann ein Einienen Circkel ruͤhrt /
Bnd vonrpuncten deßrůhrens ein Linien zogen
wirdt die den Circkel ſchneidt / ſo iſt der winckel gmacht
von der ruͤhrendrwvnd fchneidenden gleich dem wiñckel
ſo gmacht in den andern Igmentodep; |
| Crcfels/(32.p.ʒ ——
Ciruæiſt xD CH, ee neidende BD,.
Sen —— dem winckel p a. andeü
ſegmento D:AGB ‚ (oder: dem winckel DGB.) —
Demonſtration. |
KZiehe auß dem yuncien deß ruͤbrens
B, ein perpendichlar BA’, aufs, 3
wird das Centrũ deß Circkels auff der
ſelbigen ſtehen / N derwegen iſt BA dia⸗
meter / vnd der winrkel ADS iſt ein rech⸗
ter / Tvnd die zwen vbrigẽ winckel DAB,
DB Aſeyngleicheinem rechten / darumb EZ
ſeyn fie auch: gleich denn winckel AßBF. L =
weil er ein rechter iſt. Subtrahterden: gmeinen ABD', fo bleibt der‘
vbrig DBF gleich dem vbrigen DAB , 8 dem andrenfeamere
to DAGB, (oder gleich dem windel.DGB +) Auch iſt der win 57. . d.
ckel KBDigleich dem winctel BCD, auff dem andern ſegmento
.DCB, Es werdexin puncten ——— DC,
< Bʒ ſo .. == vtereck er ‚C ae ” as en
gſetzten winckel gleich zweyen rechten; h vnd g enden wincklen „on.
DBF,DBE ‚dann dik ind auch gleich % rechten / ſo ga pd
i i iij en
—*
‘
0. Dasafie Bach dir Geomterrla
wiſen daß bie winckel FBD und D AB gleich ſeyen / fo volge BARON
gaxioma vbrigen EBD,DCR auch gleich feynt.
-
.
»
.
r
LXIL ni
Auff ein grade gebne inien ein Ci
ckel ſtuck zeſchriben / daß ein winckel be⸗
grreff gleich einem rechtliniſchen gebnen
| winchel / (33. P.3.) |
charpff oder ſtumpff.
| | Demonftration.
Erſtlich ſo de
geben winckel C,
em rechter iſt fo \E A
ſchreib auff die ge 5
ben &inien aBein . -
Sun fy AB ſer geht wenckei c ver fähfiy geht recht
als C, ziehe CA,
halben Circkel / a u Gh \/
rein . ein en I |
ten nach gefallen „N
. ee
RW 4.
12.p.d.
2.pd.
Dofichende
CB,fo iſt der win s —
* ACB ein rechter winckel / darumb iſt er gleich dem gebnen win
dc. " —
Zum andern / wann aber der geben winckel C ſtumpff iſt nie ia
der andern Figur / ſo ſchreib auff AB in punctẽ A cin winckel DAB,
gleich dem ſtumpffen winckel Ct auff AD siehe ein perpen iculer
AE vnd theil AR mitten in zweh in F, darauß erheb cin perpendfe
cular das ſchnemt AE in G ‚siehe G B. vnnd weil die winckel vmb F
rechte winckel ſeyn / darumb feyn ie gleich vñ AF iſt gleich FB, vnd
FG iſt amein / barumb iſt GA ‚GB, auch gleich. TMit der weite
SaAoder G B, auß G, ſchreib ein ſtuck vmbtreiß AHB darein ſtell ein
winckel nach belieben als AHB , "welcher C oder DAB glei h iſt /
dann DA rühre den Circkel / vnd AB ſchneidt ven felben / vnnd der
wiuckel AHB ſteht auff dem andern ſegment.
Zum dritten / wann der geben wiuckel C ſcharpff were als der
J Indritten
_ PontenSundmminienEndidi - Fi.
ateng / ſo mach wider auff A.B in puncten A ben winckel
BAD gleich dem winckel C,Tauß A auff AD ‚erheb widerein pers 12.9.0
—— AE,pnd theil AB in mitten in mepinr, darauß erbeb
perpenbicular/das s ſchneidt AE in G, ziehe GB, vnd dieweil der
windel auff F zu beyden ſeiten recht darumb iſt er gleich / vnnd AF
Aeich FB, vnd & ſo volgt das GA , GB auch gleich ſeyn * 2.p. &
anf G alseinemCenrantt der weite GA ober GB, fehrelb ein
ſtuck Circkel AEB,piche BE, ſo iſt der winckel C oder 5 AB , gleich
Dem winchtl AEB,anff dem andern fegmentum AEB,F dank AD donchen ·
ruͤhrt den Circkel vnd AB ſchneidt den ſelben.
LXTIUL
Don einem gebnen Circkelein ee
m entum — ein rechtliniſchen
winckel —— gleiche einem gegebnen /
(34. —*
GE Circkel fen ABC ‚der geßen 2 D ‚ Acheein —
FBE. in B,auff FB ſchreiᷣ ein winckei p gleich dem ar
wen windel D fo ſchneid BC das beachere fegmeatuin. |
Demonftration,
BC fette vẽ Eirchel ABC, 3 fegenen —
tũ C A B, darein fehreib An winckel
auff. 3C nach beliebẽ als BA u aaa
re eh aiieenge
winfetruc ,t welder —
Boden dem wincku D. —*
1.
N
FG
er
Disaf näheren /·
Rn. en
Pi
Auer zu
Kannzwograde Biticheinanden:
im Circkel ſchneiden / ſo iſt Das rechtwincklet
15. def.
gleich / T dann
J
fo‘ macht ein...
ſturck in ey
der(oder eins
Ih MEHR Jain
viereck ſo giacht von dea zweyen ſtucken der einen / gleich.
dem rech winckleten viereck gmacht von den zweyen ſtucken der
andern vnd ſo die vierert gedachter maffen gleich /
ſo ſeyn die ſchneidenden Anten verkehrt ges
proportioniert/¶ 35. p. 3.)
—
DM Mär en uf u. gſtalt geſchehen / Erſtlich
wann ſte ein anderindeß Citetels Ceno ſchneiden / zum⸗
andern wann die ein durch Centrum din andere fo nie Durchs Cen⸗
trum jagen in zmen.gletche.cheil ſchneidt / zum dritten wann die cine
durchs Centrum ein ander ſo nit durchs Centrũ sogen tn vngleiche
heil ſchneide / zum vierdten / wann keine durch das Centrum zogen
wird ſo ſchneidt eine die ander in ungleiche che.
Demouſiration.
Zum erſten /
fo ſich die Li⸗
nien im Centre
—— fofyn
nr fine ae A,
quädrat/dafin CI, CG, C, CO, ſeyn alle gleich / darumb auch ihre
quadraten / T. |
zum anderen / want der Diamar oo cin grade / fo niche
durchs Centrum zogen / als BE in zwen gleiche theil —*8* F, ſo
iſt das necht wincklet viereck gemacht von KF,FO gleich De quadrat
deß einen theils BF, oder FE, oder ein theil BF IN das ander FE,
dann vie Lini K ift getheilt in zwen gleiche heil in C , vnnd in wen
vngleiche in F,darumb ıfl das recht wincklet viererk K F,F O mie
u | dem
*
Men den IundamenumEuchdie 35
dem quadrat OF ‚gleich bein quadrat CO ‚ober CET welches chen 23. p. d.
fo groß als die we quadrat CH,FE,T nim von beyden das gmein 47.p.d,
quadrat CH ſo bleibt dag viereck Kr, FO ‚gleich dem quadrat FE,
weiches gleich dem recht winckleten viereck BFINEB. - .
Zunm dritten wann der diameter AK der andern Figur / Die
&inten v 5 ‚fo nie durchs Centrum zogen tn ongletche cheil ſchneidt
in E fo ziehe auß de Centro C ‚die Liniẽ CV, ondaußc auff vB ein
perpendicular CF welche vB in Fin zwen gleiche theil theilt / da, op."
rumb iſt dz recht wincklet viereck gemacht v0 AE,EN mit dẽ
uad⸗
rat CE gleich dem quadrat CN,oder C V, T gleicher vrſach if das 23.p.d.
recht winchler vierecf gemacht von VE ‚EB mir dem quadratE FR
gleich Dem quadrat VF, welches mit dem quadrar FC chen fogroß
HR als das vorgemelt auadrat CV ‚t auch if ds quadrat CE glei 47.P-%
beyden quadraten CF,FE ‚darumb fo fubrrahier Das quadrat C E
von einem vnnd dem anderen / fo bleiben Die recht winckleten
viereck AE, EN, BE, EV ein anderen gleich.
-Zum vierten wann die ſchneidenden feine durch Centrum
gehet / als 6—M,FVV, ‚die ſchneidẽ ein ander in 1. ſo ziehe auß dẽ Cen⸗
tro C zwey perpendicular CV, auff RM, vnd CN AUF RVV , die
ER
ſchneiden RM in v,ond# VVinn,jede in zwen gleiche theil / Tale» go.pdı 1
he CI,CVV,CM,hieroben im dritten vnderſcheid iſt bewiſen / dag
ein recht wincklet viereck gemacht von RI, IM mit den zweyẽ qua⸗
draten CV, VI(das iſt mie dem quadrat Cy)gleich ſey Dem quadrat
CM,oder C VV, vnd das recht wincklet vbiereck gemacht von VV I,
1 F,mit den zwen quadraten IN, NC (das iſt mit dem quadrat CI)
auch sefammen fo groß feyen als das. quadrat CVV, nun von je»
dem das gmeine quadrar CI, weg genommen / fo bleibt das recht
wincklet viere RI , IM gleich dem recht winckleten viereck FL, j
oe 3: 2XIOmE,
Ivv,t, Ä
Vnd weil die viereck gleich und gleich wincklet / dann fie recht
wincklet / fo folge daß fie verkehrt geproportieniert ſeyn T als wie 37.p.d.
VXIàu IR, alfo MI SU 1F, dañ fooffe VVI INIR begriffen ift / fo
ori min IF begriffen. -
Feten
- —— — — ——— —
Dasaflı Buch der Geomietriag
| i LXVI, |
Wann auß einem puncto aufferter
nem Circkel ʒwo Linienʒogen werden / daß die
x.
eine den Circkel ſchneidt / vnnd die ander den ſelben ruͤhrt /
dañ iſt das recht wincklet viereck von der gantzen Linien ſo ſchneidt /
Bvnd dem ſtuck vom puncto zum Circkel begriffen / gleich dem qua⸗
drat der ruͤhrenden Linien / vnd wann auß gedachtem puncto mehr
Fade Linien sogen werden / fo den Circkel ſchneiden / fo ſeyn die Li⸗
24
punctum / fo auſſert dem BF
nienvond die ſtuck vom puncto zum Circkel verkehrt
geproportioniert(36.p.3.)
Viſer ſchnidt kan auch zweyer geſtalt geſchehen / wañ die ſchnel⸗
dend durchs Centrum gehet / oder wañ ſie nit durchs Centrum gehet.
Demanftratiom
Zum erſten / es fen der
!
Circkel / Pond die Sinien
darauf gesogen./ als pR
ſchneide durchs Centrum
in der erſten Figur / nun
iſt das recht wincklet vier⸗
ect Rp, PGC mit dem qna/
drat GC,oder CB gleich dem quadrat PC,t (daun GR iſt in wen
gleiche theil getheiltin C „und noch ein grade Sinien GD daran ge⸗
Cor.g4.p.d ſetzt) vnd der winckel B iſt in rechter-tdarumb ift das quadrat PC
47. p. d.
30. .d.
24.p.d.
das recht wincklet yirwsef HP,DE mit dem quadrat sc ( fo ad
‚gleich. beyden auadraten PB,BC, nim von einem vnd dem ande,
ven das gmeine quadrat BC ,fo bleibt das recht wincklet vtereck RP,
PG gleich dem quadrat P B.
Zum anderen / in der anderẽ Figur / ſo die Linien nicht durch Cen⸗
trum ſchneidt als PH/fonimdas Centrũ C. darauß ziehe CI pers
pendicular auff PHsiche CB, GR, C P, vnd die winckel in 1 ſeyn
rechte / darumb ift Negleich IE, Fan welche geſetzt das ſtuck FP in
grede, darumb iſt das recht winctlet viereck HP, PF mit dem qua⸗
drat 1F, gleich dem quadrat Ip, * ſetz gmein das quadrat 10, ar
r
enden Zundamensen-Euclidis 34
Gen dẽ quadrat en FI. IC gleich dem quadratp C (welches gleich
denquadrate p 1, IC )UÄCF iff gleich-CB , + darnmbiftdasredye 15. deh
wincklet viereck HP, PF mit dem quadrat CB, gleich. dem quabrat
‚Cp,dber dem quadrat CP ſeyn gleich beyde quadrat PB.BT,T an» 47. p:4,
geſehen den rechtẽ winckelß, deßwegen tfl das recht windieevirek
HP,PF mit dem quadrats C, gleich beyden quadraten PB, BC, nim
von einem vnnd dem anderen das quadrat OB, ſo bleibt das recht
wincklet viereck HP,PF ‚gleich dem quadrat PB.
Dieweil nun dag quadrar der rührenden gleich iſt dem reihe
winckleten viereck / ſo von der ſchneidenden / vñ dem ſtuck vom pun⸗
eto sum Circkel gemacht / ſo folgt das ulle recht wincklete viereck von
dem ſchneidenden / vnd von dem ſtuck vom puncto zum Circkel ges
muacht ein andren gleich ſeyn / die ſchneidend gehet durchs Centrum
oder · nit / vnd weil fie ein anderen gleich ſeyn / vnnd gleich wincklet /
dann ſie recht wincklet / fo ſeyn fie verkehrt geproportioniert 1 + als 37. p.
wie HP zu PG,alfo RP u PF, dañ ſo offt Gp in n hegriffen / fo offt
iſt IP in pr begriffen.
1Xxvu.
In ein gebnen Circkel ein Trianz
gel zeſchriben / gleich wincklet einen
| gebnen Zriangel(2.P.4.) Ä |
Er aeben Cir⸗
ckel ſey ABC,
der Triäget EFG,
ziebe vber den Cir⸗ F
del ein rührende N
IBH ‚Dierähreden A
Circkel inz, mach
den winckel 1BA,
gleich dem winckei ñ ee
G, vnnd dem win, —
del NRC, gleich dem winckel E, ziehe BC ‚fo iſt der winckel ABC, .
leich dem winckel F, vñ der Triangel ABC iſt gleich wincklet dem
riangel EEG,
Buy . De.
322d.
Cor.$4.p.d
#HFrpD,H
Das erſte Buͤch der Geometria,
Demonſtration.
Der winckel 18 A(fo gleich gemacht dẽ winckel G) iſt gleich s win⸗
ckel auff dem andern ſegmento BCA, als der winckel e, vnnd
gleicher vrſach iſt IBC (fo gleich gmacht dem windelE) gleich
dem auff dem andern ſegmento BAC, als dem winckel A, vñ bleibt
der vbrige winckel ABC ‚gleich dem vbrigen winckel F, vnnd iſt der
gantze Triangel ABC ſo in den Circkel geſchriben / gleich wincklet
dem Triangel EFG.
LXVIII.
Vmb ein gebnen Circkel ein Tri⸗
angel zeſchreiben gleichwincklet eis
an hr Zrlangel!
*S ſey der geben Circkel ABC ‚der geben Trian d DEF, auf:
Gnade Centro K „gicheein hen KB nad afallen —
auf KBmach
den winckel
2 J
durch die pũ⸗
eten AsCöäie-
he grade li⸗
nien die den Ä
2
Circkel ruͤhrend / die werben in gedachnen — rechte winckel ma:
chen. vnd werden vmb den Circkel den Triangel ſo gleich wincklet
dem gebnen machen.
Demonftration.
| — Die vier winckel deß vierecks ANBEK ſeyn gleich vier rechten / F
und die winckel NAX, XBN, ſeyn jeder ein rechter / arumb —
Von den Fundamenten Euclidis. 35
vbrigen zwen AKB,ANB ‚auch gleich zweyen rechten / vnd die win⸗
ckel DEG,DEF ſeynigleich zweyen rechtenF vnnd AKB iſt gleich 9.p.d.-
gmacht dem winctel DEG, darumb bleibt der vbrig ANB gleich
DEF ‚gleicher gſtalt wird bewiſen Daß der winckel M gleich ſeye dem
winckel DFE, vñ der vbrige winckel Lift gleich dẽ vbrigẽ winckel D.
LXIX.-
In ein gebnen Triangelein
Circkel ʒeſchriben (4. P.4.)
CE Triangelfey ABC ‚sheif feine winckel mitten in zwey mie
den Linien BD,C.D ‚die ſchneiden ein ander in D, auß D siehe
auff alle linien perpendicular DE ,DF,D G diſer einenimb für den
ſemidiameter / vñ auß de Centro D ſchreib ein Circkel / der wirt dei⸗
nem begehren ein gnuͤgen thun:
emonſtration.
Die winckel ABD, FBD ſeyn „”
gleich / dann der gan ABF iſt in
zwen gleiche theil getheilt / vnnd die
winckel in E-und F ſeyn auch gleich“
dann esifkjeder ein rechter / vnnd
feyn swen TriangelEDB,BDF die
haben zwen winckel / gleich zweyen
wincklen / vnd die ſeiten DB gmein/
ſo den gleichen wincklen vnderzo⸗
gen / vnd die andern ſeiten gleich dẽ J | ;
“ andern feisen/als DE tft gleich DF,T gleicher vrſach iſt DC glelh”4.p.d,
| PF,0nd DE gleich DG, vnd feyn Die drey DE,DF,DG ‚gleich. Da» F
rum̃ ſchreib auß dẽ Centro D mir der weite diſer einer ein Circkel /
der wird auch durch die vbrigen puneten gehen / vnd ruͤhrt die gra⸗
den linien AB,BC,C A,unddie vbrigen BF, BE ſeyn gleich vnnd
CE gleich Cs wie auch Au gleih-AG.
LXX. |
Pmb ein gebnen Criangeleinen.
| Circkalzu ſchreiben (5.P.4.)
s
.
‚heshenlidie ſchneidẽ cin ander in F,
Das erſte Düch der Teomerrias" -
Por der Triangel ABC ‚theil A
AB in D, vnd AC in E ‚mit den
Jerpendicular DE ‚EF,in zwen glei⸗
siche BF,AF vñ CF, difer eine nim̃
für ein halben diameter / vñ ſchreib
auß F als Centro einen Circkel
Aꝑ Celcher wird alle winckel ruͤß1 ‚fe
zen vnd nit ſchneiden.
Daemonſtration.
AD iſt gleich DB,vnd DF ifl gmein / vnnd die winckelinn fein
rechte winckel / fo tft die baſen AR gleich der baſen Br + gleicher
aſtalt iſt Ar gleich CF ,endalledrey AF, BF, CF, ſeyn einandern
gleich / darumb mit der weite diſer einen / ſchreib auß Centrum Fels
nen Circkel der wird durch die puncten ABC gehen / vnd iſt der Cir⸗
ctel nach begehren vmb den Triangel geſchriben .
Nota / wann der Triangel ſcharpff wincklet / ſo falt das Cenerum
in den Triangel / wann aber der Triangel rechtwincklet ſo falt das
Centrum auff ein ſeiten deß Triangels / wann aber der Triangeleæi⸗
nen ſtumpffen winckel hat / ſo falt das Centrum auſſert deß Trio
angsisıT.
LXXI
Die winckel in gleicher. Circklen ha⸗
ben eben die proportion / als die boͤgen darauff
fie geſtelt / fie ſeyen gleich auff dem Centro oder auff
Dem vmbtreiß u = - die Sector /
Es ſeyen Die gleichen Circkel ABC,DEF ‚die haben auff jhrem
Centro G ond H diewinchel BGC,EHF/pnnd auff dem vmb⸗
freiß die winckel BAC, EDF, vnd fliehen auff DemmbogenBcC , vnnd
EF,darumb tie der bogen Bc ‚aum bogen EF, aſſo der winckel
BGC zum winckel EUB, vnd der winckel BAC qum winckel EDF
vnd der Sector 6BC, jzum Sector UEF.
Demon⸗
Don den Fundamenten Eudidis} 1
Nimb ſo vil
bôgẽ CX. XL
gleich BC ale
du wilt / vnnd
ſovil FM, MN
gleich ER, ne⸗
be GK, GL,
„md HM, HN -
vnnd die weil |
te un
ander gleich / ſo ſeyn auch die winckel ein ander gleich / darum ſoo 4
Der bogẽ BC ‚muftipliciere wirdt vom bogẽ BL 9 offt wird der — 18.. })
cd BGC, multipliciert vom winckel BGL gleicher vrſach fo offt des
bogen EF, vom bogen EN gmultipliciert wird / ſo offt wird auch der
winckel ERHF, vom winckel EHN gmultipliciert / vnnd fo der bogen
BL gleich iſt dem bogen En, ſo iſt der winckel BGC ‚gleich dem win⸗
el EHN,twann aber der bogen BL, groͤſſer dann Der bogen EN, fo
{ft auch der winkel BGL,ArÄffer dann der winckel EHN , fo aber
Feiner fleiner :darumb wie der bogen BC zum bogen EF /alfobet " -
wincfel BGC zum winckel EHF , aber wieber windel BEC zum
winckel EHF ‚alfo der windel BAC zum winckel EDF ‚ dann jeder
auff dem Centro iſt Doppler dep auff dem vmbkreiß / T darumb 6. d.
wieder bogen BC sum bogen Er ,alfoder wincket BGC jum win _
el.EHF ‚und der windel BAC zum winckel EDF , Vnd haben die
winckel fo in gleichen Circklen eben die preportion wie die bögen da»
rauff fie ſtehen / fie feyen gleich auff dem Centr oder auff dem 5.
vmbereiß / gleiche proportion habẽ auch die Sectores siehe BE,CK,
vnd EF, FM, Es ſeyn gleich GB,GC.GKsTt vnd begreiffen gleiche 15. dek d.
winckel 1200, C GR, darumb ſeyn auch die baſen BC, E gleich / |
wie auchbie Triange[ BGC ,C GK vnd der bogen BC iſt gleich dem
bogen CK vnd die grad BC gleich der graden CK, darumb ſeyn
auch beyde ſegmenta BCO,CKPp ein ander gleich / wie auch die
Sectores GBOC,GCRK welchẽ auch gleich ik 8 Sectores GKL
Barum ſeyn fie alle drey Sectores gleich / vnd gleicher vrſach ſeyn die
Sectores HEF, HFM, HMN, ein ander gleich / darum wie der bogẽ
BL UM bogen EN, alſo die drey Sector GBCKL zu den dreyen
HEFM, vnd wieder bogen. BC zum bogen EF ‚alfo der Sector B
'S Cum Sector EHE. : Zwü⸗
d1.2.d,
Das erſte Bath der Geomeiria,
L x X I I. J
dwiüſchen zweyen gebnen Linien ei⸗
ne in mitler proportion zefinden / daß ſich
Die erſt zu diſer halte / wie diſe zur
dritten(1 3. p.«.) |
€ S ſeyen die Linien A vnnd
B, die ſetz in ein grade Linien
zeſam̃en in D, di darauß wer.
de BDA, darauff ſchreib ein ec
halben Circkel BCA, unnden
beb auß D ein -perpendienlar
DC, die ſchneid den halbe Cir·
ecinc, vnnd iſt DC die be⸗ |
Demonftration, BCAB
Wann BC vnd OA gezogen wadut / fo iſt der TriangelBCA
kecht windler/T ond auß dem rechten winckel C ‚ift auff die baſen
Ba, ein perpendicular gezogẽ / als CD, fo in mitler pro portid zwü⸗
Cor.36.p.d ſchen den theilen BD, DA der baſis / Fond ſteht wie BD ( fo gleich
B)au DC(ſo gleich C)alſo C D zu DA (fo gleich A ) darumb wie die
cinien Bu C,alfo C ju A.
LXXIIL
Ein grade Einien su cheilen / das ein
andere ſo kurtzer als die helffte vorgeſtelter
inien in mitler proportion ſey zwuͤſchen
den theilen.
NR Einien ſey A, derẽ mach gleich BA darauff fchreib ein halben
irckel BEA , auf feinem Centro C , erheb ein perpendich,
lar CD, gleich der anderen Linien B, fo kürtzer dann die helffte
von A, dann ſonſt wurde fie vber den halben Circkel auflarıs
gen / auß D ziehe ua ein parallelen DE die ſchneide — =
6
Se PndonaunFci 3
au eg RE,
weiches gleich D ——* 2
„der Einien —— — — |
proportion zwüſchen BF ,'FA,
vnnd iſt Ba fo gleich A in E-b%o
gerter mafen getheilt, das BEE
mirlee proportion ſteht ui |
ſchen den heilen BF,FA. Ar
Demonftration.
©0.BE, . RA gejogenasieb har:es ſein demonſtration ‚ae bie
‚aber, angehen den recht winckleten Triangel BEA.
ILXXIV. -
Auff ein gebne grade Binien ei ein
zefcheiben
recht liniſch parallelogramum
einem Triangel / und das es einen — beoemme /
gleich cim gebnen 2
winckell 44 p-1.)
ES feye 6 Trb
angel ABC
vnd der winckel / ſo
geben iſt C , dund
v
auf fähreib ein pa⸗
rallelogrammum
gleich dem Trian⸗
glABc, ’
toinetl Ei, — 7 fege den Triangel AB C
-an die grad Linien aH ‚daß deß Triange es bafen AB mit. BH in ein
ı grade Linien komme / * cheil die baſen A-B in mitten in zwey in
pᷣ ; vnd mach auff PN in. n ein winckel ABF gleich dem gebnen C.
vnd ziche u BF Die parallelen auf D vnd Hals DE,MG ‚und auß
C ei
Tr
Das erfie Buch der Ceometria.
C ein parallelen GC mit AH verlengtih E,0nd verleng ED in c
auß G durch B ziehe ein blinde Linien / die ſchneidt die verlengte ED
tmı,außIsiche LLmit AH parallelen / verleng FBinK,vnnd CH
in L foiftdasparallelogrammun.gr gleich dem Triangel ABC; |
vnd har ein winckel wic e. | | |
Demonßtsation.
Die bafis AB iſt in mitten in ‚wen gerheift in D vnd das paral⸗
lelogrammum BE vnd der Triangel ABC haben ein hohe vnd daß⸗
parallelogrammum hat halbe baſen deß Triangels / darumb ſeyn
16. 17. p. d. ſie ein ander gleich / vnd die Complementa EB,BL ſeyn ein ander
18.p.d. gleich + darumb iſt das parallelogrammum BL dim Triangel
zo.p.d. ABC auch gleich / vnd der winckel HBK gleich dem windel ABF,t
(fo gleich dem gebnen winckel e ) end dag parallelogramum BL:. YE
ae En Triangel ABC vnnd hat ein windel HBK gleich dem
w (he. ö
| LXXV, 5
Ein quadrac gleich einem rech cwin⸗
ckleten viereck ʒeſchreiben (14. p.2).
Sꝛ⸗⸗ rechtwinckelt vier⸗
eck ſey AC, verlẽg AB |
. inD, dasBD gleich werde
BC, vnd ſchreib auff a D ein
halben Eirckel AED , vers
leng CB an den halben Cir⸗
AdinE,fo ift BE ein feiren
deß quadrars foglcih dem | Ä
rechtwinckleten viereck AC. =
Demonftration,
2.pd, BE iftin miteler propordion wüſchen AB, BD, F vnnd BDA
— gleich BC darumb iſt BE in mirrler proportion zwüfchen AB, BC,
vond ſo drey proportioneree Sinien ſeyn / ſo iſt das quadrat der mis
Pd len gleich deim rechtwinckleten viereck der enden J··
m Dam
Bonden Fundamenten Euclidis. 33
F LXXVL Bu
Wann die ſeiten eines Triangels in
mitten in zwey geſchnitten werden / vnd darauß
in die gegen vberſtehenden winckel grade Linien zogen
werbedieſchneiden fich.in ein puncten / vnnd das thei
gegen dem a dopplet deß
iſt der Triangel ABC deſſen
jede ſeiten iſt in mitten in zwen
gesheile in den puncten DEG da⸗
rauß in die gegen vberſtehende win⸗
ckel ſeyn grade linien gezogen DB,
EC, GA, die ſchneiden ein anderen
in F, vnnd iſt jede von E gegen den
wincklen dopplet / deſſen fo fie von F
gegen jeder ſeiten iſt.
Demonſtration-
Angeſehen die parallelen A C, EG, vnd die gmein bafenE C. ſeyn
beyde Triangel AEG,C GE, ein andern gleich / t nimb von einen 17.p.4.
ond dem andern den gmeinen TriangelEFG , fe bleiben die reft —
AEF,CGF auch gleich / vnnd angelehen.die gleichen baſen AE, 3. 2xiom, ]
EB fenn beyde Triangel AEF,ERB ‚etnanderngleidrt gleicher or, 3 1.prd.
un feyn die Triangel CFG,GFB gleich / fo iſt erwiſen daß beyde
Triangel AFE, CFG gleich ſeyn / ſo muß volgen daß die Triangel
EFB,BFG auch gleich ſeyen / vnd der Triangel AFB( fo gleich bey.
den Trianglen AFE,ERFB)ift Doppler deß Triangels FBG ‚darum .
iſt die bafen AF auch Doppler der bafen EG ,t gleicher vrſach iſt BF 3 1.p.d.
dopplet FD, vnd CF dopplet FE.
Volgend zwoͤlff Anhaͤng.
1. Hierauß iſt offenbar / wie ein dritten theil von einer Linien ze⸗
ſchneiden.
| RK ij 2. Der
u
Sas erſte Bach der Geometria |
2. Der sang Triangel wirb erſtlich in drey gleiche. Triangel ge⸗
theilt als AFB, BFC, vnd CFA.. Re
3. Dergang Triangel ac wird auth in ſechs gleiche Trian⸗
gel getheilt als AFE, EXB, BFG, GFC. CFD, vnd DFA. |
4. Er wird auch in drey gleiche vicreck getheilt ats ADFE,BEFG,.
CDFG.
. Vnd wann bie ſchnidt zuſammen zogen werden / ſo ſeyn die
feisigen mit deß Triangels ſeiten parallelen / namblichen DG. mit:
AB vᷣnd EGmit AC, vnd DE mit CB. |
6. Vnd diſer iſt jede halb fo lang als mir deren fie parallelen iſt
als DG iſt halb ſo lang als AB,und’EG halb ſo lang als AC, vtmp
BE halb ſolang als CB, vnd ein jede diſer ſchnidt ein vierten theil
vom aansen Triangel / vnd mit jhme gleichfoͤrmig / als DE ſchneib
vom Triangel C AB,den Triangel D AE, ſo ein vierten cheil deß
gantzen vnd mit jhm̃e gleichfoͤrmig.
7. Darnumb ſchneiden zwo ein viereck ſo halb fo groß als der Tri⸗
angel / als die viereck AD GFE, BEGD, oder CDEC iſt jetweders die
helffte deß gantzen Triangels / vnd wird allweg von zweyen
sen Linien abgeſchnitten / wie DGGE ſchneiden ab Das viereck AD
GEꝛc.. | | |
8.. Ein jedes viereck wird mir Der erſt vnd letſt zognen Sinien in
dwen gleiche vnd gleichfoͤrmige Triangel verctheilt / als Die erſt zogen
AG ‚heilt das viereck AD GE. in die zwen gleiche vnd zn.
Triangel A6D, vnd ACE, vnd die letſt zogne DE, theilt dz geda
— auch in zwen gleiche vnnd gleichfoͤrmige Triangel ADE,
9. Die erſtzogne A O ſchneidt den eyngeſchribnẽ Triangel DEG,.
in Der proportion als den vmbſchribnen ABC: se
10. Die Triangel gegen den wincklen ſeyn drey mahl fo groß / als
Die gegen dem Sentro, als DAE iſt dreymahl ſo groß als DEF ‚ıc.
deßwegen ſeyn Die beym Eentro ein zwoͤlfften cheil deß gantzen / vñ
ihre heiter ein vier vnd zmengigifter theil deß gangen / als DEF iſt
n — Sifeen theil von ABC, vñ DFX ein vier vñ zwentzigiſter thell
ı1. Dieletſt sogen ſchneide von deren vom Centro sum win
ckel ein vierten cheil / als FX iſt ein vierten cheil von FA.
12. Hie⸗
Denden Fundamenten Euclidis. 39
12.. Hierauf volgt daß AG ſechsmahl fo lang IK als KF, vnd al⸗
fo mir den vbrigen / etc.
UXXVII.
Die Complement fehen in mitler
proportion zwüſchen den parallelogramen /
ſo vmb den dameter ſtehen ·
⸗
AMyarallelogrammo FC fie’ ”
hen die parallclogrammarK, -
RC vmb den diameter EC, gegen
welchen ein und das ander Com» Fr:
pement AKL, oder KH dann eins: ar’
dem anderenegleich) iſt in mitler
propertion: nn
> Demonftration-
Beyde Complementa AK, Kij fein aleich/ darumb ſeyn ſie 18.p.r.
yon vier proportionierten Linien beſchloſſen / als 32. P. I.
wie FE NE A;alf0 AB zu BC, aber
4. w &.- 4:
wicH E 3U EA, alfodas parallelogrammum FXK zum Eomple-
4 Zu 24
ment KA, ⁊ gleicher vrſach. | 31. p. i.
12;-
wie ABU BC, alfodas Complement AK jum parallelogram⸗
6. 3 12. |
MOKC:
©.
Vnd die parallelogramma FK,KC ſeyn gleichfoͤrmig un”
von proportionierten Linten befchloffen / darumb feyn fie gegen ein
andern aud) proportioniert / K vnd zu einem und dem anderen pa⸗6.. 1.
rain FK, KC Mproporrioniereivas Complement AK,
Kö ne
= DaserfieBüchder Geometria,
wie das parallelogramun FK sum Complement KA.
44. I 2s
ı Alfo das Complement AK sumparalldlogram KC.
.o. s I. 6.
Vnd die drey / dasparalielogram F K, das Compfettiettt 'Kas
end das parallelegram X C ſeyn gegen einander proportiontere/
darumb it das Complement_ A K in mitler proportion zwüſchen
beyde parallelogramın FK vi KC zwüſchen welche dz ander Com⸗
plement X H auch in mitier proportion iſt / angefehen das beyde
Complement AX vnd K H gleich ſeyn.
LXXVIII.
In den weit winckleten Trianglen
| iſt 03 quadrat auff der feite/woelches dem weiten
2* winckel iſt vnderzogen groͤſſer dann beyde quadraten der
ſeiten / welche den weiten winckel begreiffen / vmb zweymal das
recht wincklet viereck / ſo in mitler proportion iſt / zwüſchen dem qua⸗
drat der einen ſeiten / ſo vmb den weiten winckel / vnnd dem
quadrat deß zuſatzes als die ſelb Linien verlengt iſt
sum perpendicular ( 12.P.2.)
gm Trtangel ABC iſt dem wei⸗
ten winckel B A C vnderzogen dig
feiten BC , deren quadrat iſt groͤſſer
dann die quadratẽ der ſeiten C und
AB „fo den weiten winckel begreifr
fen / vmb zweymal das recht wincklet
viereck AL, welches iſt in mitler pro⸗
portion zwüfchen den quadraten EH
Ober. vnd UD, + welche gemacht fiyn von
drer ſeiten CAvnd jbrem veriengren
yherl AD biß zu dem perpendicular
Demonſtration.
Beyde Complement CH vnnd
8.Pn- N ſeyu gleich / Toñ ein jedweds iſt in
+
Bon den Zundamenten Euclidis, 460
mitler proportion zwlfchen dem quadrat N vnd HD / Pwelche ge⸗ Oben
macht von der ſeiten CA, vnnd dem verlengten ſtuck AD an das
perpendicular BD,teldhes in D ein rechten winckel macht darum
iſt das quadrat AB gleich den quadraten AD HndD B,t gleicher 47.P-1-
vrſach iſt das quadrat BC gleich beyden quadraren auff C D-unnd
BD ‚welchen auch gleich iſt de Snomon AuG FEE mit dem qua,
drat AB der Gnomon aber ifl gleich dem quadrarauffc A, vimd
beyden Complementen CH,HF,omb welche das quadrat BC groͤſ⸗
fer iſt / dann die quadratẽ auff CA vnd AB welche den weuen wins
ckel begreiffen. | | |
Corollarium,
Hierauß iſt offenbar / warn man rom quadrat BC die fund
beyder quadraren auff CA onnd AB ſubtrahiert / foreftierend die
zwey recht winckleten viereck CH und HF ‚ounnd fo man bie ſelben
mit beyder lenge / das iſt mit doppleten bafen C A dividiert / das ihre
breite kompt / welcher gleich iſt D A,angefehen das quadrat ADGR: .
EXXIX | 2
In allen Triangle iſt das quadrac
der ſeiten / welche dem ſcharpffen winckel vnder
zogen / kleiner dann beyde quadrat der zweyen ſeiten / wel⸗
che den ſcharpffen winckel beſchlieſſen / vmb zwey mahl das recht
wincklet viereck / ſo in mitler proportion zwuſchen dem quadrat der
ſeiten daraͤuff das perpendicular (auß dem anderen
winckel) falt / ond dem quadvat deß ſtucks vom
ſcharpffen ar sum Rene
: (3.2.
ya Tetangel ABc iſt dem ſcharpffen winckel ACB vnderzogen
die ſeiten AB, deren quadrat iſt kleiner dañ die quadrat der an⸗
Deren zweyen ſeiten AC vñ © B, welche den ſcharpffen winckel be⸗
reiffen vmb zwey mahl das recht wincklet viereck CE , fo in mitt⸗
er proportion iſt zwüfche dẽquadratẽ auff CB ‚vi auff CD, Tvon 77.p.d;
Iharpffem winckel C sum perpendicular AD.
Demon:
a7pd.
dicular fait / vnd OD vom ſcharpffen
Das erſte Wach der Geometria,
Demonſtration.
/
Beyde Complemente feyn gleich/
addier das quadrat·C · Du jedem / ſo
ſeyn beyde ſumen auch gleich / vñ jede
ft in mitler vroxertiõ wüſchen ben
quadraten BC Darauf das perpen⸗
winckel sum perpendieular / welches
‚in D ein rechten winckel macht / das
rumb iſt das quadrat ACalecich bey⸗
‚dei quadraten AD UNd,DC ;T glei⸗
cher vrſach tft das quadrat A Baleich
beyden quadraten auff AD vnd DR.
vnnd das quadrat A B If. feiner danndie zwen quadraten BC und
CA vmb das quadrat.C.D ,v ind den Gnomon fo vmb das qua⸗
eg E gefchriben.ıft / das iſt zwey mal das recht wincklet vier,
ect E.
Corollarium.
Hierauß iſt offenbar / wann man die quadrat AC Und CB ab⸗
diert und von der ſum̃ dag quadrat AB fübtrahtert / ſo reſtiert der
winckelhacken fo vmb das quadrat FE gefihriben iſt / vnd Das qua⸗
drat CD das iſt das recht wi ıcfleeviereck CE zwey mal / darumb
diuidier Das ſeibig durch dopplete baſen CB , fo kompe dag viereck
breit / ſo gleich CD rom ſcharpffen winckel um peryendicular / an⸗
geſehen dus quadrat CF.
Einsam Bude
Geome,
Geometriæ Thheoricz &
u pradlicx. 2 ——
Das ander Buch,
—E —
neun. — en
ſpeci es/das i wie man fie aodierei fudırableren / milci⸗
ieieren) Diyiniecen / auch DLABIR quadrecn mn Cabeca
Alien
ander von 16. ſchuh eiliche von 12. ſchutzeſo hraucht man an vi⸗
len orten — — yn die ſchuh
andere eimen kurhen ſchuth / ja man ſiner wol in einer Seraut zweyer⸗
ley ſchuh / damit aber · deß werck auff eimnes Reben Landesare vnd gie⸗
genheit gerichtet ſeye / So neĩe man deſſelbigen orts werefſchuh
das detante maͤß vnd cheife jnin Yo. gleiche theile / (vnd nit im 2.
wie ſonſt gebreuchlich der jedes Serupuis prima, odererflie Seru⸗
pul fol genempt werden / Deren ein theil wiotrein zehen gleiche theil /
melches icrupula ſecunda, oder ander ferupul ſeyn werden / deren ei⸗
‚nie wider in zehen gieiche cheil gibt Serupula Terra , oder Britte
ſerupul / vnd alfe ſort an fo hoch vder fonerie man: mihntugımie der!
theilung continuiert werden / ob es wol ım Feldmeſſen meines er⸗
achtens gnug iſt die dritte ſerupul / weil ein dritte irgpufcbenein
tauſendeſter theil eines ſchuhs in die leng machen thut / vnnd die
(hub end ſcrupul vndercheil mit einem krum̃en ſtrichlein wie diß
ſo ſeyn die zur rechten deß ſtrichleins ſerupul / vnnd die zur lineken
ſeyn ſchuh / wie in den in gẽdẽ Speciebus durch ercpel toeisläuffiger/
dach auff das kürtzeſt fol erfiehre werden / dann welcher mehreruber
AAcht dar von begere/der indriolches in der Arichmetica
Sterin / ober in Herien D. Hartman Beyers
loꝑiſtica decimali.
Der’
Das ander Bach Geometriæ
Er IL | ; = Be, |
Dom Numerieren der decimal
zahlen, |
W hy die zahlen su fehreiben vnh auß zuſprechen feyen / es ſeye zu
chreiben 125.ſchuh / vnd 7. erſte / d ant er / vnd duue ſtrupuih
fo Rus alſo 129 ( 782. vnd ſeyn Die erſten zu der lincken deß krum̃ew
frrchleins 2. eintige / das ander 2. zechner / das dritte iſt ein hundert /
darumb werden fie noch art der gemeinen Arithmetisa außgefpro⸗
chen / als ein hundert end neun vnd zwentzig ſchuh / vnnd Die zu der
rechten deß ſtrichleins ſprich auß noch art der ſerupul / als ſiben er⸗
ke / acht andre / vnd zwen dritt ſcrupul / wann aber zahlen it der mit,
te abgehen / ſo muͤſſen die ſtel ober ort mie o erfült worden / damis ed
kin außſprechen feinen jrrthumb verurſachen thuͤe.
Als 8763 (0540670024, das iſt acht tauſend / ſibenhundert vnnd
drey vnd ſechtzig / fünff ander / vier dritte / ſechs fünffte / ſiben ſechßte /
zwen neunte vnd vierzehende ferupuf . dieweil fein erſte / vierte / ſi⸗
kende noch achtete verhanden / fo muͤſſen die ort mit o erfült wer⸗
den / dann — wurden die fünff anderen / für fünff re / vnnd bie
ſechs fünfften für ſechßſechß dritte / vnd Die ſiben ſechßten für ſihen
dierte / leſtlichen Die zwen neunsen vnnd vierzehenden / fuͤr zwen
———— vier ſechßte außgeſprochen / welche zu wenig / darbey zu
chen wie notwendig es ſeye daß die ort oder ſtell / fo abgeben mit @
erfült werden. |
Wann dife zahl aber noch arı gemeiner brüchen ſolte geſchri⸗
ben vnd außgefprochen werden fo ſteths wie volge 8763 2 —
- pndmourde außgefprochen acht tauſend / fihenhundert drey vnnd
ſechßtzig gantze / unfbüpert vñ viertzig tauſend mahl tauſend / ſechß
hundert vnd fibengig tauſend / vnd vier vnnd zwentz igiſten / zehen
tauſend / tauſend mahl tauſendeſten theil eines gantzen / welches im
ſchreiben on außſprechen vil muͤhſam̃er weder noch art der ſcrupul /
su welchen kein nenner € forderet wirdt / ſonder an deſſelbigen ſtatt
allein das krum̃e ſtrichlein geſetzt zu enefcheide die ſcrupul von dem
gantzen.
lctnit zuſetzen.
So aber alles ſceupul vnd kein gantze verhanden / ſo muß das
ſtrichlein
— — — —
Wann aber allein gantze verhanden / ſo bedarff man das ſtrich⸗
>
WVWvon der zchen theiligen Arichnetica 8
ſtrichlein sur lincken gefchtiben werden / welches fo vil als dem ſeru⸗
pul den namen gibt / daß ſie nit für gange angefchen werden /
er
feine erſte acht ander ſiben dritte / vnnd vier ſchreibe alf
(0974116. und alſo mir den vbrigen. |
| 7 Zu
et I |
Vom Addieren der decimal
zahlen.
2
ann mehr zahlen in ein ſum̃a gu bringen / fo fer gleiche sahles
vnder einander / als ſchuh under ſchuh / erſte onder erfle / ander
vnder ander ſerupul noch ordnung / vnd addier noch art der gemet⸗
nen Arithmetica / vnd ſetz wider Die gleichen namen / under die gleh⸗
chen nam̃en / zu welchen das krum̃e ſtrichlein anweiſung gibt.
2. Exempel. 8
Esfeye su addieren 2093 (375544943 (3243 fo fea ſie noch
ordnung vnder ein ander wie volgt. ———
2093 Die
—W 4 3 92 4
GREERÄEEED
kompt in der fumma | 80377 (7008 rd
Hier fahe an zur rechten noch art gmeinem brauch / vnd abbier
Die 3. vñ 5 vierten gibt 8. vierte / Die fchreib herunder ander DIE vier⸗
ten / darnach addier 4. vnd 6. dritte kompt 10. dritte / das iſt ein an⸗
der / darumb ſchreib ein o vnd behalt eins / vnnd addier 2. vnd 7. an⸗
der gibt 9. ander / darzu eins ſo ich behalten gibt 10. andre das it
ein erſte / darumb ſchreib ein o vnd behalt eins / vnd addier 8. vnnd
L.erſte gibt 16. erſte / darzu addier das erſt fo ich behalten kompt 17.
ne iſt 7. erſte / pnd ein gantzes / darumb ſchreib die 7. nach dem
en ſchreib das trumme ſtrichlein / vnd behalt das gang / vnd ad⸗
dier 3.0nd z. gantze gibt 6 darzu / das gantze fo ich behalten gibt 7.
gange / die ichreib vnder die gantzen nach deut fleihleih 7 darnach
addier 4. vnd 9. gibt 13 ſchreib 3. vnd behalte1. vnd addier 9. vnd 0.
darzu addier das 1. ſo ich behalten gibt 10. ſchreib o. und behalt 1.
das addier zu den vbrigen zweyen / gibt 3 die ſchreib herunder —
haſt du addiert / vnd har von Dem Algorichmo deß gmeinen
gu a
$ens gang fein. vnderſcheid / wel ches in allen exemolen zuverſten fit.
= a Sn
Das ander Bach \Geamanriz;.
i — 2. Exempei. |
Ee ſey zu addieren: 8361 007°
nn EG
kompt 3326(0
Su 6 3. Exempel. —
adbdier J ———
kompt SrBılasrz.
Pe 1 |. EEE
— | —
wewpt Tre
| s.Erempd. |
zu Er
bie be
kompt 7 10608312
6. Exempel.
Zu er
2 addier 0089
komyt 7743
| | .. Erempd.
Pater
addier zeſaeumen less
kompt | 220( 48707.
| URL.
Dom Subtrahieren der de-
cimalʒahlen.
andern die
Cineman —— ——
‚Won dergehen —— 43
der IArſcha eclea und fchreib Die gleiche amen jean |
—8* —* (oma 2 waß wi
= 2 .Erempel.
Fi abier' — 3037(7 —
DU | 2094(8705
rs Reſtierr — Ber:
— 2, Exempel. | 943(8243
Don j | Sy8ılscrz
Subtrahler | se — 23
Mu | 3. Erempde- | 982(s
Don — 41705
Gassrahler | ——
Reſtiert 1(96702
EN “ 4, Exempel. |
Don 153 —
er —
"Posba def addicrene vnd Subtrahierens a
Addieren wirdt probieret Durch ſuberahieren / od
Ahilen fo addiert worden fo oft du 5 — —* Be: |
. Br der Summa / ſo der Reſt dem obbehaimem Reft gltich / ſo i
| „. Subrrabteren wirbt problerr durch Addieren / oder wir
der zahl darvon Guber worden den Reſt behalt / en
von Pau Sie — —— —— dem Reſt ſo
o diſer d alten
En) ſo iſts recht Subtrahiert wende eſ —— Reſt
IIII.
Dom mutlciplicieren der beci⸗
malzahleı. $ wi Br 85
.
c
Das ander Düch Geometriæ
St die sahlen nach gmeinem brauch under in ander / vñ mul⸗
tiplicier nach gmeinem brauch / vnnd Addiers nach gmeinem
brauch / vnd ſovil ſtell als beyde der Multiplicandus vnd Multipli-
cans haben in den Scrupul / ſo vil ſtell ſollen für die Serupul indie
ſumma geſetzt werden / das iſt / man addiert die ſtell der Scrupul / die
ſumma jeigt wie vil ſtell nach dem ſtrichli zur rechten mit zahlen ſol⸗
len erfült werden. E —
em | ”
Multiplicier —
Mit |
Kompt B8BC(iuiʒi sſe
Hier iſt nach gmeinem brauch gmultipliciere worden / wie auch
addiert / vnd haben beyde obgeſetzte zahlen ſechs ſtell für die Scru⸗
pelimamlichen drey der Multiplicandi vnd drey der Multiplicans /
darumb ſet ſechs nad) dem krum̃en ſtrichli in die ſumma.
Demonſtration. —
Es iſt das parallelogrammum AETK,tfE die ſeiten AE 3 (s49
nam̃lich ED 3. ſchuch / DC s.erfle/CB 4.andre/ vnnd BA 9.dritte
Scrupul / vnd die feiten AK iſt 264. als KH 2. ſchuch / HG 3. erſte /
GF ein andre / vnd FA vier dritte Scrupul / diſe zahlen ſeyn hier o⸗
ben ordenlich vnder ein andern geſetzt und gmulnmpliciere.
Erftlich multiplicier AB (ses
mit AF (004
Kompt für das paralleloegrammum AL, ’ —
000936
feyn quadraren fo jedes ein dritte lang /ond ein dritte breit iſt /
Item multiplicier BC (04
mit AF Ze (004
Gele
fompt das parallelogrammum LC, (oosis
feyn parallelogram̃um / ſo jedes ein andre lãg / vñ ein dritte breit iſt /
Item multwlicier CD ⸗
mit AF ...
fompt das parallelogrammum CM, (oo20. |
8
Von der zehen theiligen Arichmetica. 44
felparaielogrammumıfo jedes ein erſte lang / vñ ein dritte . iſt /
Item multiplicier DE Ä
WitAR 1
—
kompt das parallelogrammum ME, (er j
fen paralietogramum fo jedes ı fchlich lang / vñ ein Deisre breie ih
addier alle sefamıen gibt das paralidlogramum PE, (se
eicher gſtalt multiplicier AB,BC, CD,DE.MÄRG,
kompt dag yarallelögrammunn FO, (03549
em multiplicier AB,BC,CD,DE, mit GH, 2
0 fompr das paralielogrammum HO, 1(0047 0
tem multiplicier AB,BC,CD, DE, mit HK,
kompt das yaralelogrammum HT, 7(058
bie gantz ſam̃a gibt — AETK SMä
— — —
’
|
Li
Das ander Dach Geomewin,
Heer auß iſt offenbar Bene: all ein ——
te mit ein ander, en t werden ſdann An. mit
re leder gangen AK * Me Nähe Au,
ng ex m IR, N |
DLR gunr vun od jeder chciiicin chenden theit fie
fie aber ſoin folten) iſt von wegen u.
* — Tan das Jormat zu groß were werben.
— 2. Exempel. J
Wꝛulcplicier so 936
ms 2714
_ 2723 904
680976
6128786:
1361952
Sum Ä 1984(2 s +05"
| 3. Exempel. |
Multiplicier 86(2
Er a ae ——
21863
43 105
17242
kompt | | 21811 (13
+Erempd. N |
Multpucier 105543
mit FR ‚or
\ 78215
62572
dompt (Si; s5 4er
Be % Erempel, | Ä
WMultiplicier —* 7
Ä ze —
29376
9 792
fonıpe Mersrays,
— ⸗
—
Von der chen theligen Arilnetica 27
—8* V. |
| Vom dibidieren der vecimal -
| zahlen.
GEARS gan ai serheifenrond zur vedieen der ſelben aber
range cin ſege de utheiler / vnd Ben quotient darunder.
. Eyemycl.
ER er
In diſe Exempel iſt 8(2125 8 mit 2. 3 14 getheilẽ / darumb ſich
wie offt ð Theiler 2 (314. in 2N222 begriffẽ ſeye / vñ ind 3 vor ED
fetz die in dẽ quotient vnder den Theiler / vñ multiplicier mit jmede
gantzen Theiler / das product 6942. ziehe von 3212, reſtiert 1270.
darzu ſetz die nechſt volgend zahl herunder iſt 3. vnd ſich wie offt der
gantz theiler AK 2 (314 darinn begriffen ſey / vnnd find s vor DC,
Die feh in quotient / nach dem erſt fundnen 3. vnnd multiplicier mie
dem gangen Theiler / das product 11570 fubtrahier von 12703.
reſt 1133 darzu fen Die. 8 herab / vñ fich wie offt der Theller in 1 13 38.
begriffen ſeye / find 4 00x C B ‚die k wider in den quotient nad den
„g. end multiplicıer ven gantzen Theiler Darmit/ das product 9256.
Füberahier von 11338 reſt 2082. darzu feß.die 6 herab / vnd fich wie
offt der Theiler in 20826. begriffen fey;fo find ich vor BA 9.Die mul
tiplicier mit dem gangen Theiler / das product ziehe von 20826 geht
sid auff. — u
.
—
* ‚392% es .* ° j
M a Dips
13. Dasanbee Bach Geometri
23 |
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— ZEREEREEE BEE N BE BE FI II
m — — eg WESEN WEEBE a
———— ,. \ GEBEREE ER Rum
Se ea ILS THmDD]
Darnach ſubcrahler d die feyah der ſtellen deß Thellers Serupulr
von der zahl der ftellen der Scrupulider zahl fo jerheilen gweßt / ſo⸗
vil zahlen bleiben / ſo vil zahlen muͤſſen in den quotient zum Scin—
pul kommen / als im Theiler haben die Scrupul drey ſtell / vnnd die
zahl fo retheilen haben die Scrupul s flel/varumb ſubtrahier 3. von
— reſtiert z. darumb follen 3 ſtell im quotient dor die Serupul kom⸗
men.
Im fahl aber deß Theilers Scrupul mehr zahlen haben wurde /
weder die zahl ſo gerheiter, fo muß die zahl der Scrupui fo zetheilen /
= o ergentzt werden / biß man def Theifers Serupul toͤnne —
e. yempel.
Es ſey zu dividieren 954657. mit 5 (oꝛ3. weil der Theiler drey
abten in den Scrupulen hat / als kein erſte / 2 ander / 3 dritte / —
Vrn dertchen thelihen Audacetica. 6
die zahl fo sechellen nie mehr dann suduahlen’ als; erſte / vnd 7 an
dre / hier muß die dricte mit einem a erfült wenden. damit es auch
Zrey zahlen geh / vnd ſteht alfo:
ir(o:s
954,701 ——-
g023 : |190(
„45207
——W—
Hier hab ich den Theiler (0 23. in 0543 ein mahl / vnnd reſtiert
45 20 darzu ſetz die 7 herab / ſo hab th in 45207. den Theiler (02:
neun mahl / vnd geht auff / vnd bleibt noch die zugeſetzte o vber / da⸗
rumb ſetz den ſelben auch in den quotient / vnd ſubtrahier die ſtell der
Scrupul / von einander / bleibt nichts darumb kompt keine Scrupul
in den quotient. | |
Bann aber-allein die ein zahl / als der cheiler / oder aber Die zahl
fo zetheilen gerupul har / als dann fo muß zu deren fo keine ſcrupul
hat / ſo vil o amflarc der ſcrupl geſetzt werden.
ER 3. Exempel.
Es fen mu bividieren 533 durch 4264. hier hat der Theiler drey
—— — ſetz drey o an ſtatt der ſerupul zu den gantzen 73 3.
vnd odivbier wie obgelehrt / ſo ſtehes alſo:
ee — 3 3 (00 4(254
4264 lıas
‘ 2 "10660
— 3828
ei Br 21320
we 3 ij u Km
ı
4. Erempel. zz
"Soft jetheilen 82 (304. mit $(o2. ſtehe wie volge:
82(304 ie
soz2 I16lsorzıgı2g
ie [ fo gerhellen neun o angefekt/ond zwor
= —— — nden / |
2 Dario sah inden erupult Mefubrrabirr son *5
—
Lumb hab ich wider in o beugt
vnd 5 andre
—ãâSä—
„Daß Hai decimal frrupui fommen.
*
=
Wien der ichen heiligen Ärichmeden) 4
: urn fol in quotient su dem ferupuf kommen / ob diſes ſchen ein
ange cheulung / ſo bleibt nichtdeſtoweniger noch mehr vber / weiit
Die gecheut zahl vnnd der theiler fein gemeines maͤß oder nenner
— aber die zahl ſo zecheilen / kleiner dann der cheiler / fo
ſetz ihr noch etliche o zu / vnd dividier wie ſonſten.
3. Exempel. | x
Es ſeye zu dividieren Co mit o4 er volgen
ge 664
320
Hie hab ich erſtlich ein o —— ſeyn noch 32 bliben / da⸗
gt darumb ſeyn drey zahſen in dẽ
frupui / vnd der theiler hat eine / die mim von den dreyen Reſten se
zahlen / darumb tft das gang quotient ſcrupul / namblihen 7 erſte /
Meiches aber nach art deß giein dividierens
Zuſatz 9
Hierauf iſt offenbar / ſo man in einem gemeinen bruch / den sel.
fer niit Dem neriner dividiert / (oelches geſchicht mit zuſetzung Der ©)
m
Ich wil in bechmal ſerupul vorwandlen / diß iu verzichten ſo di⸗
vidler den zeuͤer ir Dem nenne 4 weiches gefehicht —
rk m mit zwo o, dann abhebt 300, auf
7 '
A nn
"20 |
20
RU Sn
22.2. Dasander Büch Geometrie,” -
Bw Neoleichr ndann wie3. zu 4.
Alfors.m LOOm:- .
Irtem ich wil £00 Im decimal ſcrupulẽ verwandlẽ / ſteht wie volgt:
200
1(o0v eo
| Vnd gibt ( 005 das ift y dritte ſcrupul
oo Proba
Defmultiplicierens und dividierens.
Das multipficieren wird probiert durch das Dividieren/
oder wirff 9 von der multiplicierten zahl / vnd ſetz den reft zur linckk
einem Creutz / weiter wirt 9 vom multiplicanten / den reft feg sur
rechten deß Creutzes und mutnplicierheyne neben dem Creutz mit
"ein ander / vnd vom product wirff > fo offt du kanft / den reſt fen ober
das Creutz/ letſtlich wirff vom gangen product / den reſt ſetz vnder
das Crentz / ſo dife vnd die ob dem Treutz gleich / ſo iſt es recht multi⸗
pliciert. — — WIR
Das bdividieren vird propiere durch multiplicieren / oder wirff 9.
vom theiler fo offt muglich / den reſt ſetz neben ein Creutz vnnd wirff
9.vom quotient / den reſt ſetz am andern ort deß Creutzes / diſe zwo
zahlen neben dem Creutz multi: mit ein andere/ vom product
‚ reirf,9. den reſt fg ober has Sreug/fo im dinidieren nicheg vherbli⸗
ben. fo aber errvag vberbligen fo addierg darsy/ond, vonder ſumma
wirff9 ſo offt muͤglich / den reſt fen ebtr dae Ercutz / er
—von der zahl fo dir idiert worden ſo offt miiglich / den reſt ſetz vnder
das Creutz ſo diſe deren oh dem Creut geich tſt / fo iſt es recht divi⸗
’
. diert. F "VL: | J
Voaon excrahierung der quadrat
ann nur gankesahlen vorhanden! ſo extrahier die wurtzel wie
in gem: iner Arithmetica / hangen aber auch ſer upul daran / ſo
punctier erſtlich die ganzen zahlen / darnach von der lincken gegen
| | der
—
Dan derseheniheiligen Arikhmetica 48
der rechten auch die ſcrupul / wann aber die ſerupul zahlen nirparı
fo muͤffen fie mir zuſetung © par gemacht werden / vnd darnach ſo
fuch die wurtzel wie in gemeiner Arithmetica / vnnd ſo vil puncten
under den gantzen zablen ſtehen / fo vil gantze zahlen muͤſſen zu der
fundnen win geb fommen, und die vbrigen zur rechten zu den ſcru⸗
pulen dienen. 5
7 Erempel.
Ich fol die wurtzel auß 28203 5 (3449. fuchen/fofang zur rechten
vnder Dem ganken an/als under dem 5. vnd punctiers / vnd laß eine
ledig / vnd punctier wider / vnd ſo fort an / fo wol under den ſcrupul
zur rechten / als under den ganzen zur linden, _
282035(3449|531(07
ee
DE
320
10o3 =
307 — 4: ⸗
1135 |
1061 +
7434
1062.
743449
106207
743449
Vnd ſuch dẽ erfien puncren zur linckẽ fo 28. jhre wurtzel ſo 5. dag -
feß in den quotient / vnd fein quadrat siehe von 28. refliere 3. Dart
ir den nechftfolgenden punceen oder begriff herunder fo 20. vnder
diſe 320. fe die wurgel dopplet ſo 10. Doch das die zahl gegen der
rechten ledig bleib / vnd fihe wie offe du dife Doppfere win gel als 10.
in 3 20. haben moͤgeſt / der geftale ı daß die new wurtzel / ſampt dicfe
: T0:4uadrasvon 3 20. moͤgeſt abnehen / finden 3. die ſetz vñ der Diele
dig zahl zur rechten / ſo ein o, vnd ſetz die z. nach dem5 in den quo⸗
rtient / mit diſem 3. multiplicier die 103. kompt 309. die ziehe von
320 reſtiert 11. darru ſetz den nechſt folgenden begriff 35. herunder /
.vnnd doppiier Die gang funden wurtzel 53. gibt 106. die fe wider
vib ein zahl gegen der rechten / vnd arbeit wie zuvor / ſo ro
Ä Das ande Bäck Gromertie.
ben quseient 15 1 (07. vnd Die sangen zahlen haben vaneten
= begriff / us gehoͤren Die drey erſten gablen * lincken m
den gantzen als 53 1. vnd die zwo nechſten als (07. zum ſcrupul / vã
hebt die zahl gang auff / darumb iſt es cin geſchickee zahl / fo ein Re
nonal zahl genent wirdt.
| 2. Exempel
Ermapier die wurkelauß 21373917924 146203 »
6.
37
86
| | 184924
Vnd iſt diß erempel wider ein Karıonal zahl / und kommen drey
gantz zahlen in die wurtzel zu den gantzen angefchen die drey puncten
ber gantzen / vnd zwo zahlen gu Dem ſcrupul wegen der aweyẽ pun⸗
cten vnder dem ſcrupui. |
Wann es aber ein vngeſchickte ſurdiſche zahl iſt / ſo man Iratio⸗
nalzahl heißt / f: wire im ertrahleren alweg noch et was vberbleibz,
da magſtu dañ noch erliche par o anhencken / vnd die wurtzel noch
en
neher ſuchen. J
F 3.Exempel.
Es wirt begert die wurtzel von 4568. (643. wann ich diſe zahl
punctiere / ſo muß ich hinden zur rechten der ſcrupul noch ein ð zu
ſetẽ die begriff voitomẽ zumachẽ / fo kompr mir na wurtzel 67. (59.
yvnd blieben noch 2349 wann ich nur die wurgel neher Haben woil/
fen ich zur rechten noch mehr par Oo ju/ danı von einem jeden par»
tompt mir gan zahl in den quotient / vnnd ficht.dguwerd alfo-
[1 ee —
enteo Ile ihnen 2
45 o20⸗ eo \67.(591787 .
103 [807100
135183467
946284269.
j "2932283100 „ nu
‘
1351834740 Eur
3211008476 _
\®
Un)
3
4
oO
O
os
=
un
&
[_ 35
— —
BE 8 * wen Be
J Das ander Buch Geometriæ. |
vberbliben / darnub mag gu der fundnẽ werr tzel leſttich diß sehen
zugeſetzt werden / ſo mehr oder plus bedeut / Bann der rechten wurtzel
noch etwas abgehet / wann aber die wurtzel auß 10 7377244 mehr
dunn 4 von einer acheen ſcrupul were / moͤchte fic-für ein athte feru,
* angenom̃en werden / vnnd noch der zahl diſes zeichen ſchrei⸗
n / ſo weniger oder minus bedent / dann: die wurtzel vmb eiwas ze⸗
groß genommen iſt / vnd ſol das ſuhr an General regel gebraucht
werden / wann nad) dem Arrabtern mehr dann ein halbes bleibt / ſol
das ſelbig für ein ganes angenommen werben / iſt es aber weni⸗
e
=
—
a ———
ger dann cin halbes / ſo magmans gar fahren: laſſen.
— die — — Kuna re were ifo == —
gantzen / on er außſſprach deßquadrats
ſcrupui fprich auß die ler ferupul ion guweiche: j
| Cm: |
Dan fol die wurtel auß 002 lichen ſteht wie folgt.
$r80:025| (425
. or Vom
4225"
Deß miabrats letſte ſerupul ſeyn 5 ſechßte ſerupul arums
Be be auorienten letſtt zahl AR ah l. in
Wann aber auf fernpuk bie wurtel geſucht wirt / denen an⸗
er wiegebie /vnd m
ſrrupul auß ſprach halb / fprichkanfi pie Icrflg ferupul deß quoriensen«-
ET — Pen
Kauß ı dritten vnd vierten / vnb &.fünffe
—2c u GER
(onz64-
l
Dmtrinteen Arikımsdca 30
L{ooı7s+ |(o+s ri
NS
Ey
264
Sind kein erſte RER SEE Für ben quote,
Semonfiracion ch anyahisrene
| 8 gel,
6
mann
| s. Ermpd,
a0(:slale
—
425
88
45
—— — aa
Drat ABCD,20. = m —— Kir Den — 4025. als j.
für die zwen Aecht winckleten viereck BG vnd GD, dann Jede iſt 4
gantze lang / vnd 5. erſte brei eiugmd € xr. fir Bas quadrat CHGI All
sein »as die Sinien AB iſt gerheilt in zwen on eiche Be Das
Das quabterber garıyen unen IB |
sender cheilen / ‚and azwey map, dem ve teindtier — vniten
*
4
—
Bpr
BasanderBäck-Geomerri: -
yon den theilen / T das iſt den zwey recht winckleten vierecken BG,
G D,darumb dupplicier die funden wurtzel 4. gibt 8. diß nimpt mie
dividieren weg die beyde recht winckleten pieref BG vnnd 6D, ſo
begriffen von den theilen / vnd bleibt das quadrat CHGI , deſſen
wurtzel iſt 5B(ſo gleich GH) als (⸗. iſt alſo Die gang wurtzel AB
4(5:
Wann man aber die wurtzel noch art der gemeinen brüch / auf
diſem exempel ziehẽ folce/ fo weredeß quadrars ABCD gantzer inne
halt 20. —das iſt ſo slche ſo wol auf dem jell als dem neñer die
Auadrar wurtzel fo- das iſt 4£. oderaber multiplicier den zeller
8.1.mir dem nenner 4. vnd auf dem product 324. ziehe die quadraf
wurtzel fo 1B/dife dividier wider mir dem nenner 4. fo kompt auch
qätwie oben/harobgefenten beweiß. : |
AFiſt 4 vnd FB iſt 3.dife 44 multiplicier in fich quadrat
gibe das iſt 20 Snamlichen 16 für das quadrat Ax GF, vnd jedes
rect wincklet viereck BG vnd GP iſt 2. zeſammen 4. zu den 10 gibt
20 vnd das quadrat BAECI iſt zebbier ale sefammen / kompt für
Das quadrat ABCD20— . PL:
Vnd laßt imeprrahieren nichs vber / darumb iſt es cin Ratio⸗
nal oder geſchickte sahl..
man aber begert die quadrat wurtzel auß einer vngeſchickten
zahl —— kem quadrat zahl gantz volllommen / ſo * ein ſol⸗
ches zeichen v/ gebzaucht werdẽ / als zu diſen zahlen 2.3.5.6. 7. 3. 10.
vnd der gleichen / ſo bedeut das zeichen die wurtzel von einer zahl
# 8.fo bedeut es Radicem quadratam auß 8. diß vnnd dergleichen:
ſeyn vngeſchickte ſurdiſche oder taube zahlen / dann man jhre wur⸗
Ati niemahlen haben kan / vnd werden Doch durch diſe ſurdiſche Kr
o
Len / die aller kunſtlichiſten ſachen ſolviert vnnd demonſtriert /
13
wol in der Geometria / als in der Arithmetica / wis in volgendem
buch mir mehrem beſchriben wirt. ” :
Proba.
Ä Deß extrahierens der quadrat wurtzel.
Das eptrahleren wirdt problert wanız man die funden *
—
Von der gehen theiligen Arichmetica Fe
winfa felbften multiplicieret / fo muß wider die quadrat zahl
men.
Oder wirff 9.von der fundnen wurtzel / den Reſt ſetz neben ci
und das ander ort deß creutzes / vnd multipliciere fie mit einander
vom product wirff wider a fo offt du kanſt / den Reſt ſetz vber dag
ereutz / wann im extrahieren nichts vber bliben iſt / ſo aber etwas
vberbliben fo addiers darzu / vnd wirff 9. von der ſuma fo offt mü⸗
glich / den Reſt fen dañ vber das creutz / letſtlich wirff 9. von der qua⸗
drar zahl fo offt du kanſt / den Reſt fen vnder das creutz / wañ diſe vñ
die ob dem creutz gleich iſt / ſo iſt es recht extrahiert worden.
| VIE z
Don ererahierungder Cubic
| wurtzel.
So allein gantze zahlen vorhanden / ſo punetier von der rechten
nach der lincken das allweg drey zahlen zu einem begriff kom⸗
men / vnd extrahier die Eubicwurgel nach dem Proceß der gemete
nen Arithmetica / hangen jhr auch aber ſcruyul an / fo punetier erſt⸗
Aich die gantzen noch gemeiner art allweg drey zu einem begriff. dar⸗
nach punctier die ſcrupul von der lincken nach der rechten / wann
aber nur Die erſte vñ ander ſcrupul verhande/fo muftunod) ein o zu
ſetzẽ / damit du drey zahlen zum begriff habeſt / wait aber erfle/ ans
dre / dritte und vierte vorhanden / ſo muß man zwẽ o zuſetzen / damit
es zwẽ begriff gebe thuͤe / vñ fo vil muͤſſen gantze zahlen in den quati
ent / das iſt in die wurtzel ommen / der Reft gehoͤrt den ferupul.
Vnd warn im extrahieren noch etwas vber bleibt / ſo moͤgen
"ned erliche o bey gefuͤgt werden / allweg drey in ein beariff / vnd das |
‚fo lang biß du vermeinſt du habeſt die wurgel guam gnugſam fürs
den / doch wird allweg noch mehr vberbleiben / wann die zahl kein ge⸗
ſchickte oder Rational zahl iſt / wie im quadrat auch beſchehen.
Exempel.
Es wird begert die Cubic würkelauß.279726( 264. fo fang:
bonder den gantzen zur rechten an punctieren / als vnder dem 6. vnd
laß zwo zahlen ledig / darnach mach dẽ anderen punctẽ vnder 5. dar⸗
nach punc ier die ſcrupul / ſo kompt ð punctẽ vnð die 4, dritte / damit
dann die erſte wurtzel habe moͤgeſt / —— biß auff 2 b -
Ä c
Das ander Baͤch Geometriæ,
Wr Cubiei / wel· hes vroduct du dann von dẽ erſten begrcifft zur lin
cken hand wmagſt abziehen / deren wurtzel nim zum erſten begriff /
wartzel deß andrer-begreiffis ſuch wie folgt.
NMim per RegulamGeneralem 3. vnd 3 / ſo iſt das ein an are der
wurtzel das ander fein quadrat / vnd ſtaht Das werck wie volgt.
279726( 6,4 |65.(4 6——
— 0 a / 3— G 38.25 _
— —
63726 40
* 300
sion | ——
101264 34225 - 1267 -4
Im 65— 19-16
4
3120
50700
f101264
Für deß erfien Begriffe wurger hab ich s funden / deſſen Cubus
216. dann 7 were zuvil / dañ ihre Cubic zahl were 3.43 .fo gröffer da
279.der erſte begriff / eßwegen mnf man —— (welches
6. ) nem̃en pnd.neben ein ſtrichl in den quotiene fegen / vnd free,
hier jhre Cubic zahl. 216 vom erſten begriff 279. ſo bletbr 63. daruu
ſetz a. gen nechſtfolgenden begriff 726. vnd ſuch die wurkel von
63726. alſo.
Setz neben die wurtzel zur rechten 3. darunder wider 3. fo per
Regutam Generalem genommen mwirdr / neben die vnder jurrech⸗
een in grader Linien ſetz die funden wurtzel S darob neben die andren
3.fein quadrat ſo 36.0nd multiplicier Die wurtzlen (3. vnnd 6.) das
product 18. ſetz gleich darneben zur rechten / vnnd inutiplicier die
quadrat(als 3.mit 36.)jhr prodnet 108. ſetz gleich wider jur rechten
vber dag producer 18. e
Bndfihe wasfür ein zahl fo ſey mie dem quadrat 108. gemulti⸗
plicierer das product möge von dem Refl 63. vnnd der erften sah
deß folgenden begriffs fo 7.fubrrapiere werden / vnd fingen r. dann
ſo ich weite Anımmen / vnd mic 108 multiplictryn / fo kom̃e 448. ſo
groͤſſer Hann 637. datumb ſo Hit 5. die [ch zur rechten ee —
runder
Se VonderschentheillgenÄrichmetiea; sz
bdarunder neben 18. ſetz ſein quadrat zy. darunder siche ein ſtrichli /
vnnd multiplicier x. Cubiet:/ das producet ſetz vnder das ſtrichlein /
vnd multwlicier 25. mit 18: vnd ſet das probuct 450. vnder 127%
doch vmb ein zahl gegen der lincken / weiter multiplicier 5. mit 108.
Bas product 540rſetz wider vnder und vmb ein zahl gegen der Ans,
cken / diſe dꝛey product addier / fo nun die ſumma 58625. mg fu
wahlert werden ſo iſt es recht / wo nit / fo muß für die Hure noch
weniger dann 5 gefucht werden / bier fan man aber Bit 5. wol nem⸗
men dann man mags8szy.von 63 726.fubrraßieren'/ vnd reſtiert
noch5 101. darzu ſetz den folgende begriff herunder / ſo wird die wur⸗
gel vonis 101264; (fa noch gebnem bericht fol geſucht werse)e.feuns
dann ſo man 3. vnd J. vber ein ander ſetzt und neben Wie Under die
gang funden twurtzel ð 5. vber diſe hhre guadeararey. vnd arbeit wi⸗
der ais oben / fo ko inpt 12075. vnnd 195. vnnd ſuch die wurtzel
daß fie mie 1267 — möge vom Reſt vñ deß begriffs⸗
nechſter zahl ſubtrahiere werden! naniicher an gıdız vnnð find
en g.were zuvil / vnd arbeit wider wie obenſo fompr g 101264.
6 dem oberen Reſt ganggfeich/darunmd iſt es ein Rational zahl.
Yaır heben bie gangen zwen begriff / darumb gehören Die zwo
zahlen d rwurtzel zu den gantzen / vnd dir dritt zudem ſcrupul.
Wann aber die wurtzel allein auß ſerupul zesichen were / ſt
arbeit wie mir dem gantzen / vnð mit dem dritten theil außſprach der
Feabie lecſter ferupulufprich auf die lecſte ſerupul im quotient.
ne
Eyempel- |
Es fol die wurtzel auß Co ssau.gefischrwerbeir / fo mans pun⸗
erlersinotrds der puncten under die dritten und ſechßten und neuns
ren fallen / es iſt aber dio ſochßtee nit dorhanden / derwegen muß noch
ehr o mgefetzt werden / damit der begriff gang werde / dann weil die
leiſt gantz zur rechten punctiert / fo trifft der puncten
alieis die dritt ſctkuyut wetches Mm acht zenemmen /
2 * voig⸗ das werck. |
rr
Das ander Bäch Geometrie,
(s40980 |(sc3 3 — 64 - 192 6 |
a aß
128980 216
124056 864
— 1152
— —
46072 | |
— gm 7396 22188 — 2
b j 8
1032
44376:
| 4447928 |
Fach dem die zwen ho gig noch 4924. 00d wolt
n Die wurgel neher ſuchen / ſo fe drey o zu / vñ ſuch weiber dee pure
gel/ſo findſtu nach gebnem bericht 2. Die fer in den quocient zu den
wurtzlen / dieweil es zwen begriff / vnnd einen darzu geſetzt gibt drey /
vnd die ſerupul bey der erſten ferupul anfangen fo tfedielerfie
Beh drittẽ begriffs nunete / dẽ brititheil darvon ſeyn deiste / darum
iſt die letſte wurtzel dritte.
Demonſtration.
Deß Excrahierens der Cu⸗
bicwurtzel. —
Es ſeye ein rechewimeleter Cutas deſſen Coͤrperlichen
mhalt iſt 12(1 6 — ſuch die wurgel,
wie glehꝛrt:
—
| —
*
Vnd ſind
‚welches cın ſeiten des Cubi deffen MU ui
die nimb vom ganzen Cube De
lichen gnomon AIK,4167 , fo den Cubum — *
Breyen orren vetectt / arum⸗ muß die funden werte C 3. mit 3.
muitipliciert werden. fo toemınen diqſecho ſtuc AU ıL.M,PO , OQ.
KR ,ONDRS,der wurgel quadrat —— Age obdem
Peg per Regn kam general? gefens if / eh wege weilder er
busan ** — bereit er Bürsd quadrat iſt die
1% CHPN ‚welche 4 mahl die flein fläche CE inn heit / darumb
ompt auß der multipfteasion ı2 flaͤchen wie CE , weiter fuch die
nero wurtzel deß Cubi MQ. vnd finden 3 vor MN ‚(fo gleich C A)def
fer flaͤche iſt NT fo 9.ond fein Cubus MY if 27. das iſt 27 der Flet
‚ner EnbusmwieD ‚fü 5 dritte ſcrupul lang / ER breit ift /
vweiter mufrrpfterer die fläche NT fo 9.mıt den €. fturcken AL, LM,
PO,DO. KR undrRs fofompt 54 ſtuck wie C , —6 ein gankte
lang rot (ri —*— drettend nick als CV , weuer multiplitier die
Work OA⸗. mit den na jede gleich CE fofompt 36
Nuck wie g tete (0 — breit wie O vnnd etwie CV ‚fo
‚man dñ diſ producte addiert /fofompt4 167: [ode reſt gu in
nimbet / weil es ein Raronalzahlift virhelt alfod ga zCubus AB
——A— Aynd 36. ns —* wir B vınd 54. Cubi⸗
—— 7. tleiiter CH D,weigihes hr'ver
zur
—2 —2* auß
2. as ander Vach Geontetrian .
pelichenfolrerfonwere Der Cubus AB 12 Ddas iſt / ſo siehe
0090 1000
fowol auf dem ueller als dem nenner die Cuble wurtel fo /das ig
— zz
2 Proba, |
ı Def Extrahiereno der Cubicwuczel
DIE wird probiert! wann man die funden wurtzel Cublce much
pliciert / oder Durch Die hinwerſfung der 9. vor der wurtzel fo offt ale
mügtichiden ref Cubiee mulsiplicere /onnd vom product 9. fo oft
miiglich / warmn im Ertrahieren nichts vberbliben / den reſt fer neben
ein linien / wann aber im Extrahieren etwas vberbliben / fo addiers
darzu von ber Summa die 9: den reſt ſetz neben ein linien / letſtlich
‚y. von der Cubic zahl fo offt muglich / den reſt fed am andern ort ber-
linien / wann diſe beyde zahlẽ neben der linien gleich ſcyn / ſo iſts raoͤht
Extrahiert worden.
GErkllerung bon den Beomerb
| ſchen Inſtrumenten.
| Vꝛr ber Fabrica / oder zu bereithung der Inſtrumenten / welche
in diſem werck gebraucht werden: ob zwar deren vilerley ſeyn
koͤnten / ale Scala altimerra in dorſum Aſtrolabium, Radius L ads
mus, Radius Aftronomicus ‚Baculus Jacobi, Anulus Aftronomicus,
Quadrans Aftronomicus, Semicirculus,Sextans, Quadratus Geo,
. actricus, Triangulus proportionalis,Inftrumentum parıdum, vnd
vil andere mehr: von welchen Ich zwey zu diſem werck erwelt Hab.
Erſtlich Bas Inſtrumentum partium ‚oder Circkel leiter / we
feiner nutzbarkeit / vnnd geſchmeidigkeit / beſſen erfinder Galileo de .
. Galilei von vilẽ geachtet wirdt / vnd fein gebrauch von diſem / ſo wol
‚in Teutſcher als andren Sprachen ifl — worden / ſo hab ich
doch deſſen Fabricä, vnnd gebrauch / fo vil zu meinem werck dienſt⸗
lich hier ein auch beſchreiben woͤllen.
Zunm anderen einen quadranten / auff einem Horizontal Cr⸗
Gel mit welchem allerler meſſung gang giwiiß zuberrich en
— Don
.
—
BE NUR u N
| Ven der zehen cheitzen Ärichmötica, 34.
Me VIII.
Von dem Inſtrumento par⸗
" sium/ oder Circkel leiter / vnnd
feiner zubereitung-
Es werde genommen von Silber / Moͤßing / Ißen / oder anders
ver Materi / ey ſtuck oder Reglen / die in einem gwind gleich
einem Circkel zeſammen gemacht / man mag jhnn lang oder kurtz
machen / doch auff das aller kürtzeſt wie der abriß weiße, je fenger a⸗
ber je beſſer / vnnd eine erſte ſerupul breit / oder brefger / viind 12.
dritte / oder 26. andere ſcrupul Dich / die beyde Kegien werden alſo
zeſammen gemacht / wañ beyde inwendige Anien verlengt werden
daß ſie ein andren in Centro ſchneiden / vnnd ſo man jnn gant auff
thuͤt daß die außern zwo ſeiten ein grade linien machen / iin Centro
‚werde ein geviertes loch Durch gemacht / durch welches cin ſtrauben
mit dem abſehen als wie in Azuſehen / oder die ſtrauben F fol —
en / welche dañ mir einer. häülſſen wie G wirt angezogen / in welche
< piliffen das cheil I deß doppleten Circkeltnopffs wire geſtoſſen /
vnnd mie dem flralibli Kin der kaͤlen I verveſt / weiter wire Das dop⸗
pelt gwind auıf Die hülſſen L — welche hülſſen oben an ei⸗
nem ſtab iſt gemacht / welcher ſtab vnden ein ſtarcken ſtaͤfftzen / oder
vber drey fuͤß fol haben (wie der mit dem quadrant hernach zuver⸗
ſteben gibt) das Inſtrument darmit zurichten / wie es in der arbeit
juſehen iſt / vnnd der ſtab wann er geſtett / das er s.fchüh hoch ſeye.
"Sehr werde wider von zweyen ſtucken (aber ſchneller ats dte ſchueler
- flen)imo Reglen sefammen gemacht in O / wie die erſten / vnnd
wann fie gantz auff gerhan / ein gar juſte grade Linien machen thuͤe /
vnd die zantz Regel N O P, zweymahl ſo lang ſeye als ein ſchenckel
if uments / in M werde fie auff ein hülſſen M gemacht / weil
che ſich gantz far an dem ſchenckel A B hin ond wider ſchieben koͤñe /
vnnd habe ein fürſchieſſend runde ſcheiblein / darmit die lang regul
mir einem ftraibli mög veſt gemacht werden / vnnd das Centrum
der regul NO, müß gang fleiſſig auff Die ſcherpffe innwendig der
regel AB, kommen / das gleich in O wird allein gemacht / damit die
regeldeſto geſchmeldiger ſey bey ſich utragen / weil fie mit dem In⸗
ſtrument ein lenge bekombt / wer daſſelbig nie acht / bee mag ſie von
eins ſtuck machen laſſen / welches - e won zweyen iſt. Wa—
.. 4 i !
x
Das ander Buͤch Geometriæ
Weiter werden zwey abfehen mit jhren hülſen gemacht / wie
Qonnd K welche ſich auch an die ſchenckel —— nnẽ / vnd daß
ihre abfehen mir deme im Cenıro ſteiſſig ein höhe ha
derẽ einẽ in der ſcherpffe onder Dem hen / werde mie
einer —5 an fetten ein ſenckel Tangehenckt.
ich ſollen noch ein / oder zwey hohe geſchlitzte abſehen wie
di werden / weiche ſich auch mit jhren hülfen follen an dẽ
deß Inſtruments hin vnd — —— koͤnnen / vr
an das außcheilen v
. IX.
Vie das Server helaer Ci:
a | _
arnean mweyerley cheilung gebracht werben / als Die Anna
und die grad deß quadranten / vund u man wil mag nd
Scalam altimerram darauff gecheile werden.
te Non den Sinibus.
- Schreib ein rechten winckel BAC ‚daran leg das Inſtrum ment/
vn laß dem Inſtrument von 8 hinauf ſo vil ort ale der ſchieber
M oben verdeckt / vnd auß A mit Der weite AB ſchreib ein Circkelbo⸗
gen BC ‚welches ein viertentheil eines Circkels iſt / darum̃ fo wirdts
ein quadrant genempt / den theil in 90: gleicher theil / vnnd Hehe auß
den theiler auff AB perpendicular / die Karen ABin ‚puneren
weiter ziehe mit der innwendigen ſeiten deß In etlich pa⸗
rallelen auff beyden —— erſte zimblich ſchmal / die ander
etwas breiter / die drirte noch breiter / darinn Die zahlen von 10. zu 10°
hinderſich vnnd flirſich —— — werden / wann ale ıheif
der linien AB; uments gerragen wer⸗
den / ſo kommen 90: * vnd wider are bey A, deßgleichen
auch auff dem ſchenckel 40, ſo kompt ↄ0. in , vnnd wider zu ruck
— — Ga ae
eil gecheilt wer r ſov er n zu⸗
laßt / welche in Die. erſten ſchmalen cheil gezeichnet werden, / vnd were
minuten genenüuit / vnd bie chei voñ Den yo. werden —
rn:
. Bon den Inſtrumenten. 55
rund ſcyn dife theil die Sinus / wie in den achten Bůch me meh
rem fol erkiert werden / dann man weder diſe linien noch Die volgen⸗
bis dahin nit gebrauchen wird,
ev Vous quadrant. =
— Auß c mie ver weite CA, ſchreib wider — AD, der
wird von der graden CB in D geſchnitten / vnnd AD iſt ein halber
quadrant / dann AD, iſt gleich DE cell AD IN 45 gleiche theil / oder
grad / vnd jeden grad wider in feine Ko: minuten vnd darff der boe
en DE nit getheilt werden / dieweil die ſelbigen theil vber das In⸗
** hinauf reichen / wañ durch die cheil auß C grade linien zo⸗
iger uk nd wie vor auff bem ſchenckel AB paralle⸗
willen die ſelbigen bring alle theit / als leg ein linial auff C,
das ander theikauffdie gemachten theil deß Bogens AD, vnd ziehe
bielinien ober das Inſtrument / wie der riß zu ertennen gibt / vnnd
ragen Aanjefangẽ / von 10.zu 10, Die zahlen darzu / ſo endet 45
B, dann ſchreibs wider zu ruck fo endet ao: bey A/ vnnd iſt der
—— quadrant von A zu Bond das ander halbe cheil von B wider
ruck in A wie alles beſſer auß der Figur abumem̃en / alſo mit vis
Rn worten: zu boſchreiben. —
3. Vondem ſondern cheilen Der langen Regel.
Bon Centro der langen regel / trag die Sinus hinauß auß
wendig gegen O , der gſtalt daß von einem Centro: zum andern
gleich die lenge der linien AR ſeye / vnd ſchreib wider Die zahlen von
hen zu schen dar zu / vnd theil von N zu’ co: in 60: eiche heil / die
— der regel hinauß biß zu ende/erzeicht biß in p auff 140.
geiche theil / vnd iſt das Inſtrument auf der foꝛdern fetten fertig:
Wie dae hinder cheil der Circhel
lieiter zutheilen ſeye.
HSVff weiches hier viererley theilung gebracht werden / die eine zu
v ver auftheilung ver graden linien / welches gleiche theil ſeyn / die
— eines quadrantẽ /
NMe dririe iſt die liniea Geomerrica 7 durch melde ale flaͤchen ver⸗
Mc vnr vertleinert mim when: Di Die
44.1.
.47. . rx.
Das andet Buͤch Geometrix, ra
Die viertte iſt die linien ſtereometrica / durch welche bie Colpo⸗
20 vergroͤßt vnd verkleinerr werden/difelinien auff das Inſtrumẽt
Jetheilẽ / fo ziehe auß dem Centro V, auff jedem ſchenckel Vx, vnnd
VX, vier grade linien / die theil hernach auß wie volgt.
ı, Von den gleichen theilen / Die graben
| Linien zetycilen. Ze.
Erſtlich cheil die euſerſten Linien auff jedem ſchenckel in 120. glel⸗
che theil / und ſchreib vom Centro auß die zahlen von 10. zu 10. dar
iu. : z
2. Bon der Subtenfa. | |
Auff die nechft nach Lifer / werden die ſubtenlæ eines qua⸗
drãten alſo getheilt / ſchreib auff die ein linien fo zetheilen einen quas
dranten V cb,der geſtalt daß c b, gleich werde vb, vnd in b auff der
gedachten linien ein rechten winckel mache / auß b als Centro mit
der weite b Vſchreib ein bogen cV. vnd ziehe fein vnderzogne vc
verlengt in e, daß Ve gleich werde der linien fo au theilen / vnnd fuch
die viert proportionierte / + die ſich halte zu dem halben diameter
Vb wie die ſubtenſa e v uncV, vnd finden vd, mit diſer weite
ſchreib auß d (verſtehe auff der linien fo zetheilen) den bogen oder
uadrant e V, den theil in feine 90. gleiche theil / oder grad / End fo es
cin kan ein jeden theil oder grad in fein So. minuten / darnach (6
den einen fuß deß Circkels in das Centrũ v, mit dem andern leg
von rheil zu cheil/die fubrenfa auff beyde linien jedes ſchenckels / To
Die euferften ohne eine vnd ſchreib wider vom Centro auß ar zefan⸗
‚gen bie zahlen von 10. zu 10 darzu / ſo kompt zů end der linten bey
X, vnd Y,Die 90. %
Ä 3. Von der Linien Geomerrica. -
Die theil Reomerrifch alſo es ſeye ein linien AB, dieweil einer im
‚ Seomerrifche flächen theilen biß auff 25. — ſo theil die
linien erſtlch ng. gleiche theil / zu dem n fchreib 1. welches
das quadrar deß erften cheus / zum andern theil Tchreib 4 weiches
das auadrar deß anderen theils / zum dritten ſchreib 9. fo Das quad⸗
- rat deß dritten theils / vnnd alfo fortan / nach dem fo mach una ein
rechten winckel BAC, vnnd mach AC gleich dem erſten theil / vnd
siehe C 1, diſe weite ſetz von A in 2. ſo iſt auff A 2 cın quadrat fo
groß / als die beyde quadraten auff Al, vnnd AC,T gleicher vrſach
iſt a 3. ſogleich C 2. in quadrat ſo drey mahl fo groß als dag quad⸗
Far AC, vnd alſo aragit fortan / biß die Linien gar auß satg
indie Taffel für Die vierdte zahl. —
BGletcher geſtalt verhatt dich mit allem vbrigen biß die Taffet
VVeon der zchen theiligen Arkmetica c
Gleich alſo werden alle Geomerriſche Linien ge⸗
cheilt / als ich beger. die auff dem Inſtrument in 100.
theil zecheilen / fo nim die quadrat wurtzel auß 100. wel⸗
de iſt 10. vnd heildiedrire Linien auff beyden ſchenct· |
len in 10. gleiche theil / vnnd ſuch die vbrigen theil wie
oben vermeldt.
Anderſt durch ein Taffel / die wird alſo aubereitet:
man ſchreibt die zahlen von 1 anzefangẽ noch odnung / 4
fo hoch man die Taffel haben wil / als hier biß auff 100. 3
vnd multipliciert ein jede zahl mit woooos.das iſt / man
ſetzt zu jeder zahl feche o. vnnd extrahiert die quadrat
wurtzel auß allen producten / die ——— ſchreib noch
ordnung neben die erſten zahlen in die X ffel. re R
J Exempcl.
Maltiplicier die erſt zahl welche iſt 1. mit roooooo. ale ſetz noch
dem 1echß o. ſo iſt und 1000000. multipliciert / auß dem pro⸗
duct erfrabier die quadrat wurtzel / welche tft 1000. diſe ſchreib neben
das 1. in die Taffel für die erſte zahl. u
Darnach multiplicier die ander zahl / welche tft 2. mit 1000000,
fo kompt 2600000. auß dem product ertrahier- wider die quadrat
wurtzel / welche iſt 1414. diſe ſchreib neben das 2. indie Taffel für
die ander zahl. ee |
Item multiplicier die dritt zahl / welche 3. iſt mit 100000o. ſe
kompt im product 3000000. darauß extrahier wider die quadrat
Sn 3732, für die dritt zahl / Die ſchreib neben 5. in bie
affel. —
Item multiplicler Die vierte zahl fe 4. mit 1000000 · ſo tonpe
4000000. darauß bie quadrat wurtzel iſt 2000. die ſchreib neben die
*
wantz vollendet iſt / da dann bey der lerſten zahl /
welche 100 iſt / 10000. in der Tuff zeſchrei⸗
bean funden werden.
. Volgi
8 a ER
—
Das ander Dach Geomeiri,
Voaolgt die Taffr1l.
* ı|1000 BıpR 4116403 |61],
I 2lı414 * 4690 142|6480 |62|7
2314796 |43 6577
A
1637937 ||
65 3062 |
166\8124 :
678185 8
| 1 8246 :
69|8307
7018366 |
71|8426
‚47218485
7318544 |
17418602 194
7518660
76\8718
7718775 I
7818331
17918888 .
808944
tearch der Topf
Theil erſtlch die Linien in za. gleiche hetf 1 weſhent⸗
von 100. wann man die gang Linien in 100. theilen wil / i jeder
cheil anequadrat zahl / aio die exſt iſt daſquedet ei. vnnd die
nder das quadrat von 4. vnd die driet das quadrat vqn ⸗ me
- —
cnach ſo hei man diſer cheilen einen. in aoo. oder. 1000. -
—* cheil / als hier in 1000 den ihetl AI, —* nö 2. —
en theil 414. Dir addier qu A N 1090.06 fomupsfür.a’2. der thei⸗
len 1414. wie die ander zahlın der Taffel zu erkennen gibr.
Gleicher vrſach gebt A 3. diſer eheilen 1732. vnnd alfo mir den
andren letſtlich fo ſchreib von ro au 10. die a dariu / ſo wirdt ſich
Bulle, einen Dis 1oo.befinden.
— | . 4. Von
—
Won den IAuſtrumenten. 37
Mon der Linjen Stergometrica.
Die vierte Linien ſo inwendig deß Inſtruments iſt linea ſtereo⸗
wmerrica auff welche die Corperlichen groſſen a / vie
valaties were Die Linien Aß, die wirdt begert in 125.01 8
bifche theil gu rheilen / ſo cheil erſtlich die Linien A B.in 5. —*
‚gleiche theil / ſo gibt der erſt theil 1. ſo ein ſeiten deß Cubi |
z. iſt / zum andren theil fchreib 8, welches ein Cubus von 2.
uſt / drittẽ ſchreib 27 das iſt ein Cubus von 3. zum vier,
sen ſchreib 4. ſo ein Cubus von 4. zum letſten ſchreib 125.
Bas iſt in Cubus von x. wann man die vbrigen theil Ges⸗
merriſch finden wil / ſo muß das ſelbige mit der duplicatiõ
der Cuborü geſchehen / da man zwüſchen A ı. vñ A 8. zwo >
Linien in micler proportion ſucht / wie im vier ten buch der
3 1.glehre wird / ſo gibt bie kürtzer A 2. vnnd Die lenger gibt
|.
Am pndaljo mirden vbrigen. | —
Anderß durch en Zaffih ie wir ao .
m | zuhereit. | z
‚Schreib wider die zahlen von 1. anjefangen noch od,
nung / ſo hoch man ———— he als: bier. Hi auff
127. vnd multtplieier jede zahl mir 10090000090, das iſt /
fer juıeder zahl neun o. vnd eytrahier die Cubic wurtzel / A
le ſchreib nach ordnung neben die zahlen in bie Taffe /
wie bey der zubereitung der quadrat Tafel auch beſchehen iſt.
Exempel.
Multiplicier die erſt zahl / welche 1. iſt / mir TO00000000. als
ſetz noch Dem 1. neum o.auß Dem produet ęxtrahier die Cubic wur⸗
——— iſt 1000. die ſchretb in die Taffel neben 1. für die erſt
zah a re
| —— di ander zahl / welche jſt 2. mit 1000000009.
auß dem product 2000000080, extradier wider die Cubic wurgel/
BER 1259, 1087 ac ſen neben die 7. in die Taffel fuͤr Die ander
za
Vnd aſſo ſortan biß die Taffel vallendet if.
.r eo ⸗
—
—*
Das ander Buͤch Geometrie
Volgt die Cubic Taffel biß auffi25.
Itooo |26]2962 y113708 76 [4235 |101]4657 I
2\1259 |27|3000 |5213732 |77 4254 |102/4672 |
42 12813036 |53j3756 |78 |4272 |10314687 |
' 1104|4702
20514717 J
106
[714217
Vom gebrauch der Tafel,
_ ‚Bifesharmicder Taffel der quadraten faſt ein waͤg / ale man
thellt die Linien AB fo gerheifen in g. gleiche theil / welches bie Cuhie
reurkelift yo 125. ſo iſt ein jeß cheil ein Cubic zahl / als die erſt iſt ein
Cuhus von r. die ander iſt ein Cubus võ 8.die dritt ein Cubus von
27. die vierte ein Cubus von 64. vnd die letſt ein Cubus von 125.
Darnach theil A: 1. in 100. oder 1000. gleiche cheil / als hier im
10ooo. ſo iſt von r. zu 2.der ſelben theilẽ 259. die addier zu dem er ſten
1000. fompt 1259.für A 2. wie die zahlen in der Taffel zu —
®
—
— — — —— — —— — —— — ee
ee ni =
Won den Inſtrumenten. 48
gebẽ gleicher vrſach aibea 3. diſer theilen 1442 . vñ alſo mie den ohne
Zen / vnd alſo wird die inerſte Linien deß Inſtruments getheilt / vnd
vom Centro auß anzefangen von 10. zu 10. die zahlen darzu ge⸗
ſchriben kompt su endt 125. vnd werden alſo die vier gedachten dis
nien auff das Inſtrument geheilt ſeyn.
5. Vom hinderen theil der langen Regel.
Mach der Sinus Linien AB zweymal æein fo lange Linien fg,
auff die fchreib cin halben Circkel / den theil in feine 180. gleiche
theil / vnd fo eg die gröffe zugibt jeden heil wider in so. diſe rheil leg
alte nider auff die Linlen fg, wie mit der ſubtenſa def quadranten
befchehen / vnd ſchreib die zahlen von Centro der Regel anzefahen/
Darju von 10.50 1q. fo pirſtu die ſubtenſen eines halben Circkels
darauff haben / mir welcher man Die weite der wincklen finden fan,
6. Vom Gewicht
Woͤlte man aber auch die proportion oder das Gewicht der
metallen haben / fo fan das ſelbige leicht beſchehen / wenn man erfla
lich von den metallen ein bekanten diameter ein wolgeformier te
kugel hat / vnd ich dann zum exempel am ort deß ſchenckels V y, den
diameter von Bley / Eiſſen vnd Stem hieſſiger Statt geſetzt hab /
F B ein pfundt Bley /-o E ein pfundt Eiſſen / o 8 ein pfundt
ein / welcher hier ana meiſten gebreuchlich / gieicher geſtalt mag mir.
anderen metallen auch beſchehen / noch eines jeden belieben.
Noch vil andre Linien moͤchte man auff das Inſtrument
bringen / als ineã Terragonicã, o da dient zu verwandlen der Res
ae flachen Stauren / vnd zweyerley Sinien zu den fünff Regular
orporum / Dig erſt wie die Corpora zu verwandlen / Die ander wie
fie in ein ſpheram zu ſchreiben ſeyen / vnd andre / welche ich hier von
wegen der vile der Linten / ſo auff dem Inſtrument nur verwirrung
verurſachen / hab außgelaſſen ı mic beyſuͤgung der drey gedachten
Linien jhrer Tafflen / darauß fie noch eines belieben möchten auff
ent gebracht werden / wann einer jhren nicht enperen
e.
Linea Tetragonica.
Theil ein ſelten ‚nes gleich feitigen Triangels im 100. in 1000,
eder 100000. gleiche theil / zu difem Triangel ſuch die feiren aller
Regular Figuren / wie auch deß Circkels — — er
on }| i
ER
« En
so „Jia
= Das ander Bäch Geometrie
deß gedachten Triangels innhalt gleich ſeyn wird / auß dem innhale
flch der Fiauren — / durch hilff eines bekanten innhaltse
einer gleichfoͤrmigen Figur vnd jhrer ſeiten.
Vo'gtdie Taffel vonz.biß auff2o. eck.
. 3| 100,000]. _ j; Semidiameser | 9\264,66|13|181,22|17| 138,001
: 4658,04 |O4 371,31 10|237,23|14) 168,04] 18) 130,26].
5|501,66 |: 7] 345,19 ı1[z15,02|1gJ156,67|19|123,34] ,
I 6l4oß,25° |. 81 295.47 12]196,66] 10 146,74|20| 117. 12] .
8. Die linien zum verwandlen der Corporum.-
Bann ein: feiren der pyramidis / oder‘ Tetraedrum in rooooo.
geiche cheil: gechetle wird / ſo ſteht Die proporrion wie volgt / rtc.
Vnd die Taffel zur erkennen gibt.
Tetraedrum ( 1000. 00. Hexxdrum- g49.29 ro
Oftahzdrum 2 629.92. Icofahzdrum 2 371.90"
Sphzta | 608.22. dodecahedrü. Q 244.65.
9. Die Linien zum eynſchreiben der Corporum.,
Bann Axıs (phiere in: 1000. oo gleiche heil’ getheilt wird / fe:
fFehr die proportion der andern. wie.die. volgende.
Taffel weißt.
| Sphæra 1000.00‘ Cubus: 175. 35
sı6.50 Pyramis: $ 86650. Icofahzdrum' f 5
Odtahgdrum:}: 707.10: Dodecahgdrum | 356.82;
10° So moͤchte auch auff den fordern’ cheil deß inſtruments / der‘
theil deß Geometriſchen quadrate getheilt werden / dieweil aber alle
Dimenfiones oder meſſungẽ durch den quadrät beſchehẽ moͤgẽ hab‘
ichs vnnotwendig geacht / weil deß Geometriſchen quadrars ſeyn fel’
ten ſo vmbra recta vnnd vmbra ver ſa genempt werden / vnnd alles
weiche theil ſeyn / welche nicht anders ſeyn dunn Tangent eines ber
gen / ſo weniger als ein halber quadrant / wie im A ppendice
deß 2.buͤchs weiter fol erklert werden.
XL.
Yu
W ION 9
Vañ nur das Inſtrument gedach⸗
ter map getheilt wirt / ſo ſeyn die Linien /
welche pon go oen yablen begriffen;
auff den Reſpondierenden linien /
mir einandern proportio⸗
tiere
Demonffration;
Fe were anflar deß Cen
trums deß Inſtruments
der puncten A, darauß ſeyen
zwo linten zogen AcC, vnnd
AB:siche BE vnd rheif AB in
D,darauß siehe BC «in paral
‚beten DE ‚fofenn Beyde Trian
gel ABC,ADE gleich winck⸗
ler /Hangefehen die parallel?
BE, vnd DE, wie auhdem
gmeinen winckel BAC, vnnd
dieweil fie gleichwincklet / ſeyn
jhrer ſeiten proportioniert / F
wie ADSUDE „alfo AB, ju
BC, vnd wie AD qu DB, alſo V
DE u B C, vnd ſo AD ein gwüſſer theil iſt von Ab, als hier ein helf.
te / ſ hat DE zu B C’audh dieſelbige proportion ale halb fo groß / vnd
AB vnnd AC were jedes 100. gleiche theil fo were AD vnnd AE
jedes 50. der ſelben theil / welches dic helffte von 100 fo ich nur ein lis
nien vom 3 in O ſetz / vnnd die weite DE nimm’ ſo iſt dasſelbig die
helffte von BC’, vnnd obgleich ein andere linien genommen wurd
als u h, ſo türtzer dañ BC, ſo thlie Das inſtrument zu biß F Die 100
erlangt / darnach nimm Die weite yo, vnnd yo fü D I welche dann
auch’ die heifte iſt der linien BF durch obberürte Demonftration,. ;
dann AT iſt gleich AD vnnd AF gleich AB, T weil auß dem gemei⸗15.def. 1.
nen Centro A dicbögen EI. vnnd CF geſchriben worden /einaleie —..
dien geweiß vnd verfiand hat es mirallen den linien / foauff dem
Inſtrument auß dem Ceutro sogen ſeyn / als die — dar
ij.
auff
⸗
Das ander BächGreomerrtx.
auff ſich die finus proportionieren / deßgleichen die linten ber gleicht
cheilen mic bewiſſen / vnnd die linien der fubtenfarum / oder vnder⸗
I gg da fich alle vnderzogne gegen «in anderen. proportionieren
un
Se proportionteren fich die ſelten der flachen Figuren nad
Dem innhalt Derfelbensauff der linea Geomesrica.
Vnnd auff der linea Stereomerriea/ proportionieren ſich Die
bafen der Coͤrporlichen Figuren / nadı Ihrem innhalt / wann die Fi⸗
guren vnd Corpora gleichſoͤrmig ſeyn.
XII.
Don zubereithung deß qua⸗
dranten / mit ſeinem Horizontal⸗
circkel oder ſcheiben.
Rſtlich fo werde ein Circkel runde ſcheibẽ wie A võ moͤß holtj ob
‚anderer materi gemacht / vnd fo groͤſſer fo gwüſſer Die operatiõ
Mit der ſelben verrichtet wirdt Auff die ſcheiben ſol ſenckel rechte ein
quadrant BCD gemacht werden / deſſen halber diameter fo lang ale
Der diameter der ſcheiben fein ſol / vnnd hinden etwas mehr als der
quadrant fol ſtehen bleiben wie BC gu erkennen gibt / auch werde
gmacht ein gfiche regel auffdas Centrum 1. deß quadranten ı mit
zweyen abſehen G, vnnd H,deren geficht löchlein nach der ſcherpffe
Der geficht regel gerichtet ſeyen / vnd fo dick als die gefiche regel Fiſt /
werde einregel E an den quadranten gemacht / von ı. in D, vmb Die
breite difer regeltwerde dag Centrum deß quadranten von der ſchei⸗
ben A erhaben / in mitten der fcheiben-A als Centro macht ein loch /
darinn ein rund gedrehter nagel geheriwelcher unden am quadrant
feſt gemacht iſt / vnnd vnder der fcheiben mir einem fchlteßlein wird
angezogen / damit der quadrant perpendicular auff der fcheiben zu
ſtehen komme / vnnd ſich darauff gan fart möge herumb wenden /
vnd daß das forder theil jeder regel F, vnd E, gantz fleißig vber dag
Centrum der ſcheiben gange. Weiter werde ein regel MN mir eim
fuͤßlein M gemacht / ſo lang breit und dick als die regel F, ſo diſe mit
dem fuͤßlein M auff die ſcheiben Aan die regel E, geſetzt wirdt / fü
wirdt ſie perpendicular auff der ſcheiben ſtehen / darumb fie perpen⸗
dicular regel ſol heiſſen / darnach ſo werde gmacht ein > nie.
| reyen
EIER Er
este st
fühlen ran welchen fornen her eyſene ſtefften ſeyn / vnnd an
den dreyen enden an dem ſtab mit ſchrauffen ſollen verſehen wer⸗
den / weicher ſtab ſol in Triangel gmacht werden / ſo weit als ein fuß
hoch iſt / damit fich die fuͤß koͤnnen vmblegen / vnd als dann ein gang
runden ſtab formieren / welcher dann geſchmeidig iſt bey ſich zetr
‚dann ſo er zuſammen gelegt eden 23 fchüch Lang feyn wird / vnd
er offen ſo iſt er 41 oder s. ſchuͤch hoch auff dem ſtab werde ein
außgeſchw es —* L gemacht I welches in jedem eck ein —
Das ander Bhch Geomerriz.
ben hab / auff welchen die . A seligen kompt / welche mit HH
der feihen vnd dem Bley fenckel o möge nach dem Horuont geriche
ser werden / damit aber der Triangel L, vnd die fcheiben A , mit
gen eb ein anderd falen/fo werden Die drey ſtrauhen geformiert
tie PQ mir dem. mikerlein. SR , welches muͤterlein vnden auff die
ſcheihen wırd feſt gemacht / damit wann die ſtrauben in das muͤter⸗
kein geſtraubt fey,/ darinn mögen herumb gehen ohne anziehen / vñ
Doch die fcheiben beim Triangel behaiten chůe / wie alles auß dem abe
riß baſffer su ſehen / als es moͤge beſchriben werden,
XIII.
Donver außcheilung diſes
| Inſtruments. |
Vß dem Centro A, fehreih etliche Circkel / vnnd rheilden gan
Avtzen vmbkreiß in 3 60. gleiche theil / oder grad / vnnd jeden grad»
wider in fin 60 minuten / vnd ſchreib von zehen zu zehen die gablen
darzu / biß auff 360. zu welche ein zimbliches ſpatium wird gelaſſen.
Weiter ſchreib auß dem Cenito 1. auff dem quadranıe BCD,
auch etliche boͤgen / vnd theil den quadranten in 90. gleiche theil o⸗
dir grad / vnd wider jeden grad in fan 60. minuten / darzu ſchreib
von 10.30 10 bey D angefangen Die zahlen darzu / ſo wird ſich der
Ho.aradincC enden. j
Weiter foıft die Regel E yon ı. anzefahen an ſtatt deß halben
dian eters oder Radij / vnd die geficht Regel F an flatt deß ſecãus /
vnd die perpendicular regel MN an ſtati deß ſinus recti, wie auch an
ſtatt der Tangent / wie ſolches alles im achtẽe buch beſſer erklert wird /
was Radius / Sinus Tangens vnnd Secans ſeyen: dieweil aber die
Regel E an ſtatt deß Radij iſt / fo theil fie ınn 100. inn 1000.14
„gar in 10000000. gleiche cheil wenn es die grölfe deß Iaſtrumeu es
erleidenemag / vnd eben diſe theil trag auff Die geſicht Regel F- vom
Centro ı hinauß / vnd ſchreib von 1q. zu 10. bey dem Eentro anze
fahen die zahlen darzu / letſtlich trag Die theil auch auff Die, Regel
MN, von M ansfan.en / vnd ſchreib auch Die zahlen yon 103Ju io.
darzu / ſo in das Inſtrument außgetheilt.
Nora, Hier iſt zu erinneren wann cin Circkel ſol in fein 360. theil
geryeilt werden? fo theilt man jn erſtiich mu beyden Re zij
SE recqten
nn
VWMon ben Infrumente⸗ TE
ssindelin vier gieiche quadrant / fe jeder muß in no,
heilt werden / als aheil ein bagen deß auabranten lich in ders
gleiche theil / fo jedes 30. grad / deren eines cheil caider in drey alei⸗
che theil / ſo jedes 10 grad / der en theil wider jedes in zwen gleiche
theil / ſo jedes 5. grad / die theil dann in s:afeiche theil / vnd dann wi⸗
Ber jed en theil in feine minuten / gleiche foͤrtetl moͤgen bey der chei⸗
lung der graden Linien geſucht werden / wie darvon weiter im vier⸗
ten buch ſel gehandlet — 1v
Von theilung der gar kleinen cheil/
nu Pen; ie Amien.
Dèewel dic heil gar nach zeſam⸗ B
= men fallen / warn man vn gat F__
"Atmen hribſot in erliche cheii chet. I
en fornagin fütchei we RAUS
AIV
' wire. rn
| eye
Es wire begerr die grad Sinten xv in too. tere
len / diß zu verrichten fo nim̃ die "breite woache verhanden als a'C,
vnd ſchreib mie AB vnd AC ein rerht wincktet viereck aB DT,
vnd cheil ABin 10.gleiche theil / wunn man nur em jeden diſer theu
wir in 10. theilẽ ſol / damtit die gantz Hinten ABm roo.theil gethlilt
werde / fo fallen die hell’ gar nach zeſnm ain / darumb fo theils durch
Trans verſal linien /als theil C Dwider in 10,gleiche theil Doch Das
ein halber theil bey C vnd ein ehe. ſedervñ 9. chramjilden/
-Budsgiche.diecheil durch_Tiränsverfalen geſanmen Kuntidsheif AC
vnd BD jede ın g,gleicher. theil/dife theu ziehe wider jcfammen 7: ſo
mit AB ‚oder mit CD parallelen ſeyn / VhBdIegaNE AB iſt in 100,
1 · r
£ ld Jun I SLR TO AA,
vnd ein hunderreſten cheil von AB. >
Demoiiſtration
Angeſchen die vur allelen, weiche die gleich winckleten Trian⸗
gel verurfachen / wolcher [are un npopor tionieret ſeyn / als wie
MAG MAC, alſo G U CH, vnd AG iſt ein ſwwſſren theu - A er
um
= Bas ander Büch Geometriz)
bdarumb iſt & K auch ein fünffter heil von En, vnd CH iſt die Beil
te von AB, darumb iſt GE eingehender theil vom Ar , vnd ein hui⸗
derteſter theil von AB« |
S WVWVon den Circkelboͤgen.
Diſe tei⸗ 0 |
Tüg mag
beichehe
2 x Dr}
\ Sins, als . ;
Tycho Brachus in feiner Aftronomiz inftaurarse mechanica Ichat/
sder mit den arcubus transverlalibus , wie ſolches Benjamin
SDBranimer in ver beſchreibung feiner proporiional platen beſchrihẽ
hat / wie volgt. Eee
| 2. Exempel. .
Es wird begert u theilen der bogen AO in 5. gleicher theilſſo
nim Die breite als «8 leilden mag als Oc ‚auf dem Centro deß Bo⸗
gens als auß D ‚init der weite DC ‚fihreibein Bogen / welcher mit
Erg ı. dem Bogen AO parallden ſeyn wird / weiter ſchreib Durch die dreh
yuncten A C D einen Circkel bogen / T den felben theil in 5. gleiche
theil in G.FE, durch alledife ſchreib auß D als Centro doͤgen /
welche dem bogen A. O parallelen ſeyn werden / wann bie im gan⸗
hen Circkel herumb geichriben / fomag mandann cın bogens Si
nial nach der Linien AHGFEC juricheen / inte bil / welchem.
denn alle Tränsverfalen mögen geriffen werden. en
Demonftrarion;
Auf D als Centro ziehe blinde Sinienin AUGEFEC die ma⸗
2 chen die winckel OD R, EDF, FDG, GDH,HDA , ein andren:
FT. p. 1. gieich / dann fie ale gleiche ſtuck Circumferentzen jur baſen haben /
As CB;EFFG, GH, HA, vnd die gleichen winckel verurfa⸗
chen gleiche theil. J
Vnd mag alſo auff gedachte manier alle Heine theil I wie
auch die grad in feine Scrupul onnd Minuten etheile werden.
Es woͤlle ſich der Bönflige SAfer nicht jrren lafen / das im abe.
riß die Inſtrument nicht fo ſcharpff getheilt ſeind / welches
vnderlaſſen — jhrer Meinen formas/fo fie.
auff dem papier haben.
—
Bonden Inſtrumenten. Un
5 J XV.
— — —
Von der Maͤßletten.
22 den gedachten Inſtrumenten wird auch ein Mäßferren er⸗
fordert / die von zehen zu sehen ſchuh abgetheilt fol werden’ damit
fie auff die decimal gerichtet ſeye / als ich laß mir zehen ſtuck vor
geſch achtẽ dͤren Dänenem holtz anf arbeiten ſo jedes 10 (2 lang
ſeye / vnd 2. erſte Scrupul breit / und vier dritte Scrupul dick / wie
Die ſtuck AB zu erkennen geben. Diſe mach in B mir einem wider
nieteten Nagel auff ein anders ſtuck dag vom A zum Nagelin b
gleich To.fchuh feyeralfo werden 5. ſtuck zeſammen gemacht’ das al⸗
weg zwüſchen dem Centro per Degel 10 ſchuh ledig bleibe vnd ſich
die ſtuck alſo ⸗· —⸗ — —
ber ein andr& lee 7°" —— eng
‚gen fönnenigle esse *
cher geſtalt mach
die andren fünff ER = >. ůů—
flu auch zeſam — —
Mmeniond fügdie ——
fünf m de fünf — ——
fen in c mis ei⸗ — un
vnd iſt diß cin Ketten von ro.deeimal Ruten. u
. Wil einer aberdie Kärten gefchmeidiger habenfo mag jedes
ftud allein von fünff (hub lang gemacht werden „fo wird dann die
gantz Ketten fünff decimal Ruten. |
» Ben A und D follen zwen zimlich groffe Ring gemacht werden/
die Ketten — >
Diewweil diſe
..- ——
etten nie weit zu führen wegen Ihrer vngeſchmei⸗
digkeit / fonder allein dienſtlich in der nche zugebrauchen / fo
ag einer ein Reiten von Drar zeſam̃en machen laffen / dag jedes -
uck ein halben ſchuh lang ſey / oder ein wider fing gedrehte vñ in dl
geforne vnd wol gewixte ſchnur / wie dann difer auff' schen manier .
9on zn Schwenter in feiner Geomeitia prackica beſchriben
werden. J N
— Von theilung der Maͤßketten.
Ein decimal Ruten werde in feine 10.ſchuh getheilt end wann
die Kerten von holtz gemacht wird / ſo mag jeder ſchuh wider in fein
2 u Scrupul
—
= Das ander Buͤch Geomerriz;
Scrupul getheilt werden / onnd die. felben wider in andre Seru⸗
pulisc. auch mag man auff den einen cheil die fubtenfen eines hal»
ben Circkels deſſen biamerer fo lang als die Kerten iſt cheilen / zu
der Ketten fol einer auch zehen rot oder weiß geferbte ſtaͤble haben
das alle zehen in einer hand moͤgen gefaßt werden / vnd anderthal⸗
ben ſchuh lang / deren gebrauch in der 7. des 11.buchs erklert wirdt.
XVI. |
Dom winckelereug,
ar man Die fuperficies oder Felder meſſen wil / vñ weder das
Inftramentü partiũ ned) den quandrantẽ mir der Hyoriontal
ſcheiben bey handen harıfo gebrau ht man das windel creutz / wel⸗
ches ein quadrat oder ein ſcheiben v0 mößing/oder Holtj / auff wel⸗
hen Die wen Diamerer zu rechten wincklen jogen ſeyn / vñ zu jebens
endt gleich hohe abfehen gemacht werben muͤſſen.
Etliche cheilens im ombreiß in acht gleiche cheil / vnnd ſetzen
auff jedes endt abſehen / diß iſt dann ein doppletes winefel creut
Andre laſſen ihnen ein Büchß drehen / darinn su rechten wind‘,
— en nr gemacht wird / weicher dann su dem abfehen
{en .
Es werde nur in ein oder den andren weg gemacht / fo fol es
der gſtalt gemacht werden / Damit mans auff ein Stab / welcher
— J. ſchuh hoch koͤnne feſt fielen / wann man es brauchen
| = XVII,
Von dem Compaß oder Magnet
Funge. |
ERÜG werde von moͤßing ein gefiertes chens Blaͤch zu gerich⸗
„ tetifo ein guten Meſſer rucken dick / vnnd ein halben (hub lang
on breit / dieweil es aber unbequem bey, fich jetragẽ wegẽ der breite /
fo möchte mans von weyen ſtucken machen laften / und dann mit
einem beſchlechdlein ſauber zefammen gehenckt/ bamit mans zeſam
‚menlegen koͤnne / vnd fo mans auff chut / de es am obren
be ed. ffthut / daß theu
8*
Von den Inſtrumenten. 63
en difem blat wire ein Käftfin gemach wie A zu verſtehen gibt /
en boden hinden vnd vornen fürgehen fol / welcher vornen in 8
biß auff dic hefffte fol weg genemmen werben / fodann por ein zei⸗
ger Diener / vnnd hinden in H fol es ein rumdes loch haben / durch
welches das fireublin Kwieanch durch das Centrum deß blats vñn
Das loch der Circkel leiter gehen ſol / vnnd vnden mir der hülſen
G werde angezogen / darumb fol dag blat / wie auch das loch im Gen
tro ð Circkelleirer geviert ſeyn / damit ſich dz ſchreüblin dariñ nit vm̃
trehẽ koͤñe / wañ mans mir Shülfen G anziecht im bodẽ deß kaͤſtlins /
mach ein ſtaͤfften D, darauff ein ſauben und wol beſtrichens magnet
zünglein wie BC gemacht zu ligen komme / das knoͤpfflein in B fol
beweglich ſeyn das sünglein darmit in Das gwicht zu flellen / fornen
mad innwendig in der mitte gegen dem zlinglein einen puncten E,
nach welchem jeder zett das felbige gericht faL werden im gebrauchen
deß Magners. Vber das zünglein werde wider ein ſchoͤn durchſich⸗
tg lab gemacht / ſo tieff in das kaͤſtlein damit Das zuͤnglein nit vom
ſtaͤfften D moͤge fallen / vnd doch vnverhindere ſich darauff bewegen
möge. Letſtlich mach ein geſchobens lidlein vher das kaͤſtleim / welches
man im gebranchen ein wenig auffziehet Damte man den puncten
E gegen welchem man den ſpitz def zůngleins (um gebrauch mit wẽ⸗
dun g deß kaͤſtleins )ſehen toͤnne. |
a8 Blat fol in fein 360. grad getheilt ſeyn / ja auch in feine mi⸗
nuten fo es die größe erleiden mag / vñ dañ vonder rechten nach der
lincken die zahlen von 10 gu 10. darzu gefchriben. Serftlich ſchraub
Das fäftlein ſampt dem blat auff die Tockelleiter mie dem ſchreub⸗
lein K vnnd der hülſſen G feſt auff: die hülſſen fek auff jhres gwind /
nd das ſelbig auff feinen ſtab geſchraubt / vnnd die Circkel leiter in
ein grade Linien auff gechan / vnd an jedem end ein hoch abſehen wie
8 angeſchoben / fo iſt das Inſtrument zum gebrauch fertig.
An ſtatt deß Blats mag man auch ein braͤtt gebrauchen das
ben eben ſey / vnd hinden und foren hohe abfehen habe / Auff wel⸗
ches mandann ein papyr kleibt / vnd das kaͤſtlein drauff macht / wie
auff das Inſtrument.
Vnd ſo das zünglein nach feinem puncren xſteht / ſo chut man
Nach deß kaͤſllems zeiger ein ſcharpffes rißlein / vnd ſchreibt ein zahl
oder ein Buchſtaben darzu / welches an ſtatt der grad in welche das
blat getheilt iſt dienen thut / wie folches in dem schenden Buͤch / im
welchem der brauch deß Compaſſes oder Magnets beſchriben wird /
mit mehrerem zu ſehen iſt.
D fi | Don
¶ Das ander BächGeometriz,
Von einem quadrant zum abtragen.
Es ſol einer ein ſchoͤnes
durchſichtiges horn in mans
‚gel deffen ein papyr nem̃en /
vnd darauff ein quadranren
reiſſe wie der hieneben geſctzte
mit A gezeichnet zu erkennen
gibt / deſſen vmbkreiß fol in ſei⸗
ne 90. grad abgetheilt werdẽ /
vnd von 10zu 10. die gahlen
darbey geſchriben biß auff 90.
vnd wider zu ruck auff 90. vñ
ſo es erleiden moͤcht / wider ein
jeder grad im euſſerſten Cir⸗
ckelriß in mehr kleine theil ge,
theilt werden / als in 2. 4. oder mehr / nach dem man fan vnnd es die
groͤſſe erleiden mag.
Was mehrers vnd weiter fuͤr Inſtrument von noͤten ſeyn / als
ein par gute hand Circkel / ein Reißfedern / ein grade Linial / vnnd
der gleichen / welche einem jeden bekandt / darumb ich es vnnotwen⸗
big geacht der felben zubereitung hier einzuführen mie wilen ſchrei⸗
en
Sonders im vbrigen einem jeden heimbſtellen / andre und mehr
z—— nach eines jeden gfallen su machen vnnd zu gebrau⸗
en / darzu ein jeder am beften luft batıwieda‘.n deren vilerlcy er⸗
Be fenn(wie anfangs gemeldt) vnd noch mögen erfunden wer
n.
Ende deß andern Buͤchs.
=
vrome-
’
*
Geometriæ ——— pra
cticæ,
| Das dritte Buͤch. |
Don den maͤßlichen onno snmäß
chen / auch Rational / vnd Irrational quantites
sen oder größen: / diß iſt cin vermifchung der Arithmeti-
:a, vnd der Geomeıria , auß welchem die dreyzehen Irrational: ,
in nu zaͤhlen / deß zehenden Buͤchs Elemen- _
torum Euclidis zuwerck ge⸗
zogen werden.
Definitionen -
gone quantiteten I oder groͤßen / feyn die ſo von einem
gmeinen- maß gemeflen werben.
2. Vnmaͤßlich ſeyn die —— oder rößen, gu welchen man
kin gmeines maß finden.fan.
3. Die graden Linien feyn maͤßlich in: macht vnd potenz/ober —
moͤgen / wann jhre quadraten von einer fläche gemeſſen werden.
4. Bnmäßlichin macht vnnd porenz/oder vermögen / ſeyn die
| graben Linien / wann man gu ihren quadraten / tein fläche ſo die fer
en miſſet finden vnd haben fan.
Mr Die weil es alſo Reher’fo wird aemonftriert daß gegen jeder a
etzten graden Linien / ſein vnendtliche Lnien / maͤßlich/ vnd vnmaͤß⸗
lich / etlich in die lenge / vnd im vermoͤgen / andre allein im vermoͤgẽ /
= die gefegt grade £inien iffgeheiffen Rational ‚oder ———
6. Vntd die Linien fo mir diſer moßlich im die lenge / onnd vermoͤ⸗
Do auch Rational, verſtendtliche / geheiſſen. Wann ſie a⸗
mit diſer allein mäßlich im vermögen/ond fie einander moͤblich
in der lenge / ſo werdens geheiffen die fo cin Rational ——
haben / wie hernach demonftriertwerbenfell. . . -
7. Vnd deſpmithin Pam Peheien Tererional.
8. Vn o
I)
Das dritt Büch Geometrie,
8. BIN BaBOA Stäbe ehren draden Linien {ff Radanal.
9 Dndbrenächen fo mäßlıc zu difemifeyn Rational,
10. Vnd die ſo vamaͤßlich zu diſem ſeyn Irrational.
11. Die graden Linien weiche vnmaͤßliche flaͤchen machen / die
ſeyn rrauonal, vndſo to quadrat ibutfkiten/fo es aber andre recht
linuſche Figuren / die jenigen fo den ſelben gleiche quadrat machen.
Volgeꝛtd die defim tiones der dreyehen Irratio⸗
tere are: * nal iceten, *
12. Eıniquantiter welche ſtchet in mitler proportion,, zwüſchen
zweyen quadeireiẽ ſo allein im vermoͤgen gegen ein ander maͤßlich
ſoym / iſt rrational, vnd wird ein medialiſche quantitet geheiſſen
13. Wann geben wird ein Ratlonal quanzizer, oder groͤſſe / vñ ein
binomium, (das iſt Lein quantitet von zweyen nam̃en / oder theilẽ)
vnd der groͤſſer theil fo vil mehr vermag dann der kleiner / rimb ein
Paaren deflen feiren mit jhren maͤßlich In die lenge / vnd fo der groͤſ⸗
c theil maͤßlich iſt in der lenge mit der geſetzten Rational / ſo iſi es
ein erſtes binduum, das iſt / ein der erſten yon zweyen nam̃en.
14. Wann aber der feiner theil maͤßlich iſt in der lenge mic der
geſetzten Racional, fo ift es ein anders binommium,
15. So aber kein heil maͤßlich in der lenge mie der gefekten Ra
tionat ſo iſt cs ein drittes binomium.
16. Wannm aber der groͤſſer cheit mehr vermag weder der kleiner /
vmb ein quadrat deſſen ſeiten — in die lenge vnnd
der aroͤſſer thein deß binom̃ maͤßlich iſt in die lenge zu der geſet⸗
ten Rational, ſo iſt es ein viertes buionuum.
17. So aber der kleiner theil deß binomij / muͤßlich iſt in die len⸗
ge mit der geſetzten Rational, fo iſtes ein fünfftes binomıium,.
„18. So aber fein theil mÄßfich m der lenge mit' der geſetzten Ras
sional,foift es ein fehfieg binomium.
19. Bund fo geben wirt ein Rational quantiter, oder gröjfen?
vnd ein Refiduum / (das iſt / ein zweynamige quantitet, ſo
ein theil von der gantzen abzogen vnd der reſt) vnnd die gantz ſo vil
mehr vermag als die abzogen / vmb das qu.tdrat einer graden limẽ
"su jhren meßlich in die leng / vnnd die gang meßlich iſt mit der geſetz⸗
ten Rational, fo iſt es ein erſtes Refiduum.
20. Wann aber die zugeſetzte neßlich iſt in die lenge der gf ehren
atio-
„Fand. vnd vnmeßlichen grohinen. EI
bern 6 quadrat Braten —— —* an eng en
re L. a pr ‚ch in der lenge / gu berigfehren Rational/
vnnd die gang vermag. fon mehr als Die:jugelehte 1. als das qua⸗
drat einer geaden linien meßlich zu ————— iſt es ein drit
tes Refiduum.
22. Vnnb wann die g je — zugefetzte /
als dag quadrat einer gr me Kanten 3 —— ia |
eye * gantze — —*— — meßlich der van Ratio
. Bw u nid ich iſt mit d
res Per hei air a
2* — sehn Ani! a) Ma ver a.
Wann zwo ende arfiie in
en. oder zahlen ] ſeder zeit Die kleiner von
y
Arad ae — —
der zahlen vnmeß |
er 107° 5 |
Sy Sinten ſehen aaganb |
—— ee |. — ih
see — *
- Dinishttdättddl * Bu IR
Da h fan —
nebam Ba — F | B.
Een:
Bender, are —* han mine E DE "
—
*
—
Das dei Buch Geometrie;
DR, fomiffet E am Dr, aber fie miffer Die ganke CD, darumb
miffer fie audy Die vbrige Cr, vnnd C, miſſet BG, pnnd’E miller-
auch BG, aber fie miffer die gantze AB, darumb milfer fie auch dere
uf AG,das gröffer Das feiner / welches pit müalich / darum ſo miſ
ſetkein ginein mafı AB,CD ‚ ſonder fie ſeyu v.meplich.
J ee I, — . 5
Zu zwo gebnen meſſlichen Eine" -
waoder ʒahlen / jhr gmein groͤtes
maßs zeſinden.(3. p. io 5.:.
Je zwo gebnen meßlichen linien ſeyen AB, 6. vnnd oD, 3
nirdie feiner 0 D., 3. bie groͤſſer AB, 6. miſſet wie im er⸗
fen u beſchicht / da dann CD, 3. die AB,6. weymahl miſſer⸗
dann ſo du von 6 ſubtrahiereſt / fo R
Reſt; fogleih CD ‚darumbifi ch,
fe 3. dasgmeine mai / dann ein gröfe
ers als OD, ſo 3. kan Aſ, nit meſſen. |
Im anderen Cafufy AB 7.018 CD, :B
3. ſubtrahier allmeg die kleinen vonder
groͤſſer als CD, 3.von AB,.7. reſtiert ä F
EB,4.darvon widen CD ‚3.rel FB, T |
fo I welies das aroͤſte gemeine maß’ D EB!
bann ce miſſet AB, 7: ſibenmahl vand: | | f
ACACACEK
ED, 3. dreymahl. etc.
Im dritten Caſa iſt AB, 11. vnd
ED, 3. ſubtrahier ED, 3. von erg ander ee -
AB 11.vefliere GB, d. darvon oider CD reſt HB,s.barvon wider
CD, 3. forefliere EB,a. diſe ſubtrahler von CD, 3.tefliert. FD.ı.. -
welches —— geimeine maß iſt dann es miſſei AB, ı 1. cilffmal
vnd CD, 3. drey |
| Demonftration,
, „Sefegees feyein gröffers gemeines ma f Vals Kv’} , ſo miſee
Rau CD,aber CD milfer A.E, darumb miſſet K quch AB, vnd
gedie gante AB, darumb miffer fie auch den:re 'EB,aberEB.
MO darneit miſet Rauch CE, fh mie iraucgdiegang "
“
u
CD,
Von den meß⸗ vnd vnmeßlichen grͤßen. 66
CD, ſo muß ſie auch den reſt FD meßen/ das groß das kleiner / ſo
nicht ſeyn fan / darumb iſt fein groͤſſers gmeines maß dann FD
au dritien Caſu, und æ* B im andren Cala, vnd CD im erſten Gala,
Corollarium. |
| lerauß iſt offenbar / wann ck quantitet mißet zwo quamtite, J
* ee auch ihr großes gemeines maß, ’ —
III.
Wie zu drey meßlichen Linien oder
m.(l4P J
S ſeyen die drey Anien A,8. vnd B Sof C,4.[6 fuch zwuſchen |
ge vnnd B das groͤſte gmeine maͤß / T find D,2.f0.das felbige, C Obſtehendẽ
auch miſſet / ſo haft du Dein begerem als im erſten Cafu.
Bann aber D ‚das C nie miſſet / ſonder es miſſet alletn⸗ B,
und jhraräftes.gmeine maßıt sarumefo ſuch swülchen:C vnd d. Cor. abflt
dag größe gmeine maß find henden.
E ‚fo miſſet E,dag D, vnnd D | nr |
mıfigt Avnd B,darumb miſſet
E auch A vnnd di B, vnd miſſet
C ‚darumb iſt das E im an⸗
drzu Calu das groͤſte gm eine
maß su A,B,C. a "
- Demonttration, | |
Geſetzt es were ein groͤſJ |
ſers gmeines maß als ‚todde " |
CD .ARCc
chhes als dann miſſet A,B,C, A |
darumb miſſet sau ABB, Ef. ı And
Und das gröfle gmeine maß | EEE
don A,B,iff D darumb miffer Fauchdag D,und das C und F miſ⸗
fet C, D, vnd das gröfte gmeine maß von C, D, als E,T dag gröffer Tor. der ob,
das kieiner fo nis feyn fan / darumb ft fein gröffers: gmeines maß chenden.
Dann E, ——
RK Corok.ı
Corollarium:
ierauf iR offenbar / ſa ein größte mihet drey größen / ſe
i Be J ch jhr groͤſtes gmeines mäß / gleicher ac alt wird
von —— ——— geſucht. *
Die mäßslichengroffen haben ge:
— gen ein ander proportio / wie ein zahl
imeinemzaßlls.puo)
Sfeyen mäßlice srößen A,8 9nd a c. vnd 4 jun hat
— die zahl 8. zur Jahl « u a un hat pres
Demonftration,
A u B IR maͤßlich / darunb můgen
von einem mäß werden /
‚sc ſo 2.vñ fe offt als A von cCgeweſ⸗
n wirde ſo vil eintzige ſyen in h. ei.
ſoofft B von C gemeſſen wird food TI
eingige fyen in E „nun mifler C.das A. 4 ry
durch Die japl.fa in D. vnd das eingige . en
F miflet D durch die eingige /foinim A CBDERM
Barumb fo offt F das D mißierfo offe.mißer.e Das A „ darumb wie
€ iu A, alſo F au D, verfchrewie. A au G,alfoD sur.
4
8 1.4 8 2 4 ı
\ Vnd C mißer gleicher geſtalt das n ‚vb die eingigen ſo in x.
Ind das F mißer E ‚durch die eingigen foin hine felp. — - ”
un mißer F das R, vnd C das d, barumb
Die C u. B,alfo Fu E.
| 2 6 ı 3
Vnd iſt bewiſen wie A zu C;alfo D m r, vnd durch gleiche pro⸗
portioa iſt wie AB, alſo die zahl D zur ahi E,darunb habenñ dig
un
.,8 6 4 - 3. |
weßlichen groͤßen A vnd u zeſammen oruon / wie die zahl Dp,
Bit zahl Bl prop ahl D,
Won den mäßig 6y
Corollarium.
wird durch zahlen ertent / Die
Aihen großen: fo man wil wüßen was proportion — su u habe / fe
ſuch —5 mäß.c/ t vnd ſo offt C das A miſᷣet ıfo vil cinkige p.d.
feind in D,end ſo offt C das B mißet / ſo vil einttige ſeind in E vnnd
Ahat proporuon zu B,wiebie zahl D ur zahl .
| 2. Corollarium.
Hierauß iſt auch offenbar / wann zwo en oder itered
— * ein zahl zu einer: ehe een di meßlich/
dann A vnnd-B ſeind meßlich / vnd haben proportion, wie bie zahl
D, zut ahl . | | |
4 *
3, Corollarium. —
Hier auf iſt offenbar / wann man two zahlen vnd ein Hinten har?
wie ein. ardre linien zu ſinden / daß ſich
Das jenige / fo von ihren gemache / halte zu | |
dem / ſo vonder gebnen: linien gemacht if}
wie ein jahl.n der andren / vnd fie die zahl
D ſo 2. vnd E,welche IR y vnnd die linien
A;darum mach wie bie zahl D, ſo diu ð zahl
E, ſo s.alfo die linien A. ‚ zu einer andren
linien F , vnd fo man zwüſchen A F ‚eine
nimpt in mider proportion alsB fo Kehte F
wie A su F / alſo das gemacht von A it N;
dem fo gemacht von B, alswie Die erſte Bi:
dur — / ae * — — ABEFD =
er erften zu der Figur der andren / gleichfärmta vnnd gleichfor⸗ —
wig —— — wie zu B, alſo die zabſ D. zur ahl B, da. COTASPE
rumbd iſt gemacht wie Die zahl D „sur zahl E , alſo das gemacht von
Ber graden linien A au Dem fo gemacht von der graben linien v.
Die vnmeßlichẽ quantiteten / oder
troͤſſen haben gegen einander nit proportion /
wie ein dhl an einer soft —8 BER
"Es foibiesnmBRUBTsrHTen a3. fartä das A a
aber nit meßlich / darum̃ hat A gut B,nit proportion wie ein
a Das per Bach eometiæ,
Demonftration.
zo
.
» a
7
hat zu B ‚ wie ein zahl zu einer gablıdan fo A zu B propon
siö har wie ein zahl zu einer zahl fo iſt a maͤßlich su B ‚fie iſt
%
sahl zu einer zahlẽ / darumb haben die vnmeßlichen größen
gegẽ ein ander nie proportion, wie ein zahl iu einer zahl.
Die quadrat fo gemache bon &
VI. |
graden in Dieleng meplichenlinien / ha⸗
ben gege ein ander proportion wie quadrat jahlen/ vnnd
die quadrat / fo gegen ein andren proportjon haben / wie
" Auadrar zahlen / haben jhre ſeiten in Die fettge meßlich. A.
2. Cor. 45.
p.i.
ber die quadrat gemacht von vnmeßlichen Linien in die
lenge habẽ nit proportion, wie die quadrar zahlen / vnnd
die ſo nit proportion haben / wie die quadrat zahlen /
haben auch — ſeiten nit meßlich
9. P. IO.
Die graden Linien fo meßlich in die lenge ſeyen A vırdB ‚To iſt
das quadrat auff A, zum quadrat auff B proportioniert, wie 4wo
quadrat zahlen / als die quadrat zahl E zur quadrat zahl 6.
Demonftration,
Wella vB meßlich ind lenger
darum har A zu B proportion,
wie ein sahl zu einer sahlı + ale
die zahl C zur zahl D dze iſt wie
5 8
A, zu B, alſo 5. zu 3. vñ die pro⸗
portion deß quadrats A ‚sum
quadrat B. iſt in doppleter pro, E
rotion, als die Linien A, sur 5*
inien B,T vnd Die proportion Def quadrats vom C , sum quadrar
bon D ift Doppler der proportion, fo da hat die zahl C ; ur zahl D,
vnd iſt erwiſen daß die proportion def uadrars A , um —
B,
Don dere maß/ vnd vnm aßlichen gröſſen
4
Bi „ tft auchin doppleter pro»
gortion, als A zu B, oder als
C. zu D, und dieweil die quad»
raten sun quadraren dopplete
proporu@e haben 4 deffen ſo
&
.
.
1 " x
N
£ [1 a
+? ” v ’
.
*
rs
*
ðda hat ein feiren zu einer ſeiten / | n
fosttwiedas quadra von, 4
zum quadrar von B, alſo die: RB mo —
quadrat zahl von C ‚jur quad⸗ 7 g: —
— rat zahl von D.
— Anderſt.
Das quadrat A Jum quadrat B,harproportion wie die quade
Tat zahl E,5ur quadrar zahl G, darumb iſt A B meßlich in die lenge /
vnd die ſeiten der quadrat zahi E fey-C, vnd die ſeiten der quadrat
nzapſ G eye D, nun mulripficier C ,D ‚macht *, darum fen E,F,G ,
in ſteter proporuon,als in der proportionwie CfUD. Ä
Vnnd zwüſchen den quadraren A’ vnnd B iſt in mittler propor⸗
rion Daß rechtwincklet: vierecfs H fo gemadjt von AB, vnnd zwü⸗
ſchen den quadratzablen EG ‚ıft in mittler groportion Die zahl F, E
vnd eher wie das quadrat a zum rechtwinckleten viereck Half xE
zu 5 on» wie das rechtwincklet viereck n zum quadrat B. alſo F iu.
G’aber wie das quadrat A sum rechtwinckleten viereck Halfo A zu⸗
B darum ſeyn AB, meßlich / dann ſy haben die proponion / wie E zu
F namlich wie Czu D, dann C zu D iſt, wie E gu F: dann C in ſich
feldften gemulriplicterer har gemacht das E vnnd € gemultipliliert
mit D hat gemacht das F darumb wie C ju D ‚alfo E zu F.
Vnnd obwol AB ‚nit außzefprächen mir einer geſchickten sur _
ſeyn fy doch meßlich / vnnd haben proportion wie ein zahl zu einer
zahl als wie C zu D, und werden Radızgenemptidann fu ſeyn die
wurtzel auf den quadraten / F als A if Radix auß 24. vnd B iſt c.p. 2.
Radixauf 6. dieweil aber 6. vnnd 24 mit quadtar sahlen / aber.
wol ein praportion haben wie quadrat zahlen / als / 6. iſt u 24
wie 1. zu 2. hann das quadrat A iſt quadruplet / gegen dem quadrat
B,darumb iſt Adoppier von B, dann die rechtliniſchen aleichfoͤrmi⸗
en. Figuren ſeynin doppleter propostion als jh2e preportionierte j
eiten / F. — has F Cor.45.qꝛ
— | Corollarium:. en,
Auß öbgefegrem beweiß iſt offenbar / daß die mehlichengraden!ie..
Karin die lenge / auch meßlich ſeyn in jhrem vermoͤ8g. *
45. d.
Das driet BüchGeometrie, |
bie fosmmeplich in Meleng / ſeyn darumb mit alaegaıs-
m —558 vermoͤgen.
die fo vnmeßlich im vermoͤgen / ſeyn in alweg vruneßlich it
die lenge: dann bie. guadrat fo. gmacht von malichen graden lini⸗
en in die leng / die haben ein proportion / wie ein quadrat zahl / zu *
ner quadrat zahlıend die proporiion haben wie ein quadrar ja
su einer quadrat ahl / die Haben die ſeiten in die lenge meßlich / vnnd
nie allein in die lenge / ſonder auch im
Vnud die quadae ſo nit proporrion haben wie ein quadrat zahlf/
gu einer obere fonder einfaitg wie ein andre en einer
ss ER indes allein im vermögen meßlich
Siam ee —— nis alle fo in die lenge vnmeßlech / auch ien ver,
5* —
VII.
Wañbier proportionierte groͤſſen
ſeyn / vnd die erſtiſtmeßlich zu der andern / ſo iſt
dritte meßlich zur vierten / wann aber die erß
it vnmeßlich zur andern / ſo iſt die driete vn⸗
mep̃lich uw vierꝛen( i0.p.i10.)
ge eyn vier propertionierue
— — —
ſſen / namblichen 8
as: wie auch: vnnd D TER EB
u;
4 3 oe *.
de kn aß rer
unbe WD, Dr
—X —* —X ſeue auch meßlich zu D. Dann wann
A meße ich u B, ſo iſt die propertion A gu B, wie ein zahl mi einer
—9 und wie A BE B alſo Cqqu Didaru
porgion wie ein zahl zu einer zahl / daxumb If
ae 2 ——— —— 5
ontennäßmubvunäglichengifen. . €5
8 vnmeßlich / ſo hat A ju B nit proxostiõ wie ein zahl zu einer zahl / 1.p.&
vnd wie Azu B, alſo C zu D, hat C zu D auch nit proportk
on wie ein zahl zueiner zahl. Don
VIII.
Vie zu einer geſetzten graden Eine
en / andre zwo vnmeßlich grade Linien / die ein
allein. in deren ander aber auch in der Inge
vnnd im vermögen zu finden ſeyen
Kpio) .„. 0200
e gefeht grad Linien fey A,
Kits zahlen BC die nit pro⸗
portion haben wie ein quadrar zahl
su ciner quadrat zahl / noch wie ein
Communicant zahl zu eine Com .
municant zahl (das ſeyn sahen ſo
durch ein gmeines maß moͤgen zu
quadrat zahlen gemacht werden) |
vᷣnd mach wie B iu C „ alſo Das qua⸗ |
drat von A zum quadrat vom .
Demonftration. u 7
: Das quadrar von A iſt meßlich u
init dem quadtat von B, vnd B iu C, bat nitproportion felt ein
quadrat zahl zu einer quadrar zahl / vñ das quadrat A sum quadrat
D,hat auch nit proportion wie ein quadrat zahl zu einer quadrat a
yahlıdarumb if A ji D vnmeſlich in die Inge /t aber wol mehtich. SP:
vermoͤgen. z |
Weiter nimb zwüſchen AD eine in mitler proportion,, als E fo
if wie A zu D,alfg das quadrat von A jum quadrat gon E ‚T vnnd Zufat
A ift unmeplichin der ſenge zu B, yarımb iſt auch Bas quabrat A 45-P-I-
vnmeßlich sum quadrat von E,t deromegen iſt Aa E vnmeßlich 6. p. d.
im vermgen / vnd iſt zu der gefetzien Raxional Linien. A, funden die
finien Dim vermögen meflidyrajg Rational allein im vermögen
meßlich / aber Ein allvorg Irrational / dann fie mit der Rational -
weder in der lenge noch potenk meßlich ſeyn. ra en
#5
⸗
42
27,p.1.
u L03
Die groͤſſen ſo meß ich, sur einer
vroͤſſen / ſeyn auch gegen einander meß⸗
tidrCiz.p.10,)
Kan: eine nnd die ander
ich ſeyn zu C, ſo
—— lich zu B8.
Demonftration,
Dann fo a meßlich inc,
ſo hat A zu C, rtion wie
ein zahl — — —— ſey
die al paar bie zahl D,
B, + 3 Tr +
— —— feharc > MB, we. aPEFeHKT |
prop6srtion wie ein zahl
sahl / vnnd habe wie FinG,
und ſey geben was für Fe es ſey als die da har DWE ‚ent
die da har F u G, nim̃ mehr proportionierte sahlen in glaͤcher pro⸗
portion, als HXL, vnd fen wie D zu E, HWK vnnd wie k zu
—**— K zu L. deßwegen wie Au C ‚alfe OD Ju E,ond wie D iu E,
alfo Nzu R: Iſt auch wie A un ——— GC zu B, alſo
Pu o.vnd wie F4u, alſo iſt auch wie C zu B,alfo KinL:
vnd wie Au C, alſo N zu —— durch gleiche proportion, +
wie A zu B,alfo n zu L,dann A 1 B hat preportion wie die abln
ar ab barun⸗ HA —
Bat Ko6 grölfn /ond eine derſel
meßlich zu einer / vnd Die ander uns
| + — mann p · io —
—
— —— *
BES Ryan men gie BEE: — ——
lich uc ‚onnd B vnmeßti fb € r
Ian Bier. 7
N
ich v ch zu B,ð ihm», —
Be An er nr die —* Veaechente
XL - —
WBann zwo meſoliche quantiteten
deren die eine iſt vnmeßlich einer andern i
ſo iſ der ſelben andren / die —
meßlich(14.p. 10.
own memehlihegrößen A Und. „
‚und die eine der Felen fey m. —
—* c, ſo iſt * die vbrig B vn „ 4-
—— derfelben Der
" Demonftration. |
— ———
ich zu A auch vnm n kran / da⸗
weni 30% miießlich / ſonder er BI
Manısino weiße gooſſen deſam⸗
mengehetzt / ſo iſt die gantz einer jeden ſonderuch
meßlich vnd weil die ganz meßlich einer jeden / lo
eyn die erſt geſegten meßlich(16.p. 10)
& Lrifaienseppemestinenhe —
C, di 3
en — —— —
# Demon,
Das drut Bäch Geometrie
— Es ſey AB.BC meßlich der groſſen D. — —
a.detd. en m miferAB.vä C/fo miſſet fie auch AC, darum IR AC tneß-
lich jedem cheil fonderlich / vnd herteider wann AC meßlich wedene,
einen theil / als AB, ſo iſt AB mir BC auch meßlich /esfin CA ..
ñ AB meßlich einem andern als DB, vnnd D miflet CA und AB,
e miffer auch die vbrig BC ‚ onnd mißer AB, deßwegen mißet D>
“ro.
277 MYBEAB,BC ‚deriwegen iſt AB,BC mehlidh..
u XIII.
Dann zwo vnmeßliche groͤſſen je
Fammen geſetzt voreden / iſt die gar v: miſe
lich einer jeden ſonderlich / ſo ſeyn die felben gegen
ee ein and:e auch onmeplid(17.p.10). wit
&S+ neſam̃en Die vnmeßlichen groͤſ⸗ BY
fen AB,BC , fotfi die gaac AT, vr ©
unmeRlichjcbem eeil A B.BC. p.__ rw
Demonftratiom —
Bann fie nit vnmeßlich, ſo wird CA, AB, von einer groſſen -
weben / als von D, ſo es müglich were / vnd mißer.D beyde CA,AB,
bb mißet ſie auch ven Reſt BC ‚und fie mifer BA ‚ barumb mihet
D beyde ——— Befioegnin An ‚BC meßlich / ſie ſeyn aber y m
meßlich geſent / darumb fönnen fie nir meßlich ſeyn / veßivegen wird
CA,AB von feiner groſſen gemeßen / darum̃ ſeyn fie vnmeßlich / vñ
AC iſt vnmeßlich einer jeden AB, BC ‚wie auch fie gegen einander /
darauß jeſchen / ſo die zeſammen geſegren / gegen einem.
She vnmeßlich / daß fie auch gsen dem andren
cheil vameßlich Mm 2
—⸗
KIT, anu
*
er’
KUH, &
nr ; 5 - .n
Wañ wo bugleiche gebne grade li⸗
nien ſeyn / vnd auff die lenger ein parallelogrammum ge⸗
ſthriben wird: gleich dem vierten theil des quadrats der kleineren
Deren noch abgehet ein quadrat Figur / vnd die Linien in die lenge
tn meßliche theil cheilt / fo vermag die größer mehr dann die kleiner /
omb ein quadrat einer graden linien mit jren meßlich in die lenge:
wann fie aber Die finien in vnmeßliche chril theilt im Die lenge / fü
vermag die größer mehr dann die fleiner / vmb ein |
anadrat einer graden finten mir jren vnmeß⸗
ich in dielengecı8 vnd 19:p:.10) _
Sfejen’Stelir
nıen A B 20
vnnd BC v/ 300.
iſt auff der groͤſſern
AB das paralielor
ramı AL geſchri
en gleich DE vier⸗
cen eheil deß quad⸗
rats der linie'uC,
ale heil BE, n =
mirte in awey · in , auff AB’ ſchreib cin halben Erckel/
auf F auff A B erheb dag perpendicular HT: vnd ſetz die helffte von:
BC,al&BD , ven Fin H,undifl A B iſt groͤſſer dann BC, darumb
iſt die helffte von AB(als FI)auch groͤſſer dann Die helffte BC (als
F H)auß H siehe AB ein parallelen HK, die ſchneidt den vmbkreiß
in K Darauf siehe auff AB ein perpendicular K E verlẽgt in L;da
ELgleihfinen 8, onndfchreib das parallelogrammum A L, ſo
gleich dr quadrar BD ‚fd der viertetheil deß quadrats auff BC, dañ
KE(fo geh BD)fFIN mitler proportion zwilfiben A E unnd EL
: (sie — in Eᷣ gerheils deren noch abgehet ein qua⸗
at |
Sr zahlen cheils alfo /ntin halbe: A B fflro. bie quadrier gibt
100. vnd J— V300 .iſt zoo. darvon nım ein vierteil ft 75
die fubrrahter von 1o0.refliert 25 darvon die quadrat wurgtel iſt AR
Die addier su halber AB als zu AF 10. kompt AE 15. vnd reſtiert
EB 5. vnd EB misE A meßplich iſt in der es M fü — HA
Von den mäßwminäpteiinensfien. Fr
Kan?
43. p. i.
13. ꝑ. d.
e MDanadriu MaCeemetriæ.
AE, mehr dann EB, vmb enr quadrat einer Linten mit jren
meßlich in die lenge vnd ins gegen cheil. —
XE, iſt dei 3 D daxumb iſt BD in mider ꝓroportion, zwiiſch
AE, EB, vnd iſt Das quadrat auff aD, fogleidh dem vierten cheil
deß quadratg auff 30,) gleich dem pH mn AL, Tem
geh et nach ab dig ı at figur BL, De
3 Band thellt an. in .E,onnd feye AE mit ER. erſtlichen mäß.
lich indteienge/ mach RG , gleich FE , ſo iſt die vbrig GA gleich
EB, vnd die grade AB ift gerheile in gleiche cheil in E vnd in vnglei⸗
che in E, darumb iſt di Rechtwincklet viereck AL ‚init dem quudrat
FE, gleich dem quadrat FB, Tvñ das fo viermal begriffen võ a ‚EB _
‚mit viermahl dem quadrat FE, iſt gleich dem quadrat FB, vier⸗
mahl / aber das fo viermahl begriffen ven AE, EB iſt gleich denqne
BrarBC vnnd dem fo viermah I gmacht von FE. iſt gleich das qua⸗
drat GE, dann GE, iſt dopplet von GF, vnnd dem ſo viermahl ge⸗
macht von BF iſt gleich Das qugdrat BA dann AB iſt dopylet vom
FB, darum feyn Die quadrat giuchat von BC, Und GE , gleich dem
quadrat AB iſt alſo das quabrat AB, gröfler dann das quabras
BC, vmb das quadrat GE, vnnd vermag dielinien AB ‚mehr. dañ
BC, vmb das quadrat GE, vnnd AB, iſt mit GE ‚ meßlich in die
Tengeiwell.AE meßlich in die lenge EB, darumb iſt AB , auch meß⸗
dich indie lenge mit BE, taber EB, iſt meßlich in der lenge mit
BE,AG dann BB iſt gleich AaG, deßwegen iſt AB,auch meßlich in
Die lenge AfG, EB, vnnd der vbrigen GE,T vnd vermag AB, mehr
danns C, als das quadrat einer linien / mie jhren meßlich in die
lenge.
2 Bann aber-AB, in E , geſchnitten wirt vnnd nit moͤßlich in der
lenge das An, zu EB, in die lenge vnmaͤßlich / ſo iſt AB, IN BE, a
vnmaͤßlich in die lenge / abtr EB, iſt in der lenge vnmoͤßlich einer
der andern AG,BE,darumbift AB ‚in Die lenge vnmaͤßlich
zu AG ‚BEwieaud) der vbrigen GE, vnd vermag
AB, mehr dan BC , vmb das quadra ei⸗
ner graden linten mit jhren in der
lenge anmaoͤßlich / weil Au,
in vmaͤßluche theil iß
Bade.
| Don den meß⸗ vnd vnmeßlichen groͤßen. 22
u Von den R ational Hnd medi-
” aliſchen quantiteten, u
R ational ſeyn die ſo der gefesten
Rational meflich feyninder lenge / vnnd un vers
mögen/fofie aber der siegten Karionaf allein mept h im
germögeniondfie ein ander meßlichin die lenge / fo haben fie ein
- Rational propertion, und das rechtwincklet viereck von den
7 eine ober bein andern begriffen
iſt Radios
= nal (20 p.10.) Ä
bie zeſeit ausut.
gem: das rechtwincklet > c
Sereet ac ibestiifennonden | es
wo Rationat in die lenge vnd | | |
bermögen mepitchenätuient AB, I
BC „uber L Rational E-
WR AC Rarional, vnd das recht⸗
x
Jinckier viereck ER welches iſt
ffen von den zweyẽ im ver⸗
be
| * meßlichen linien FG, LVG Ya K
GK der geſetzten Rational E, F
—
and) Rational, vñ die zwen FG- |
lich in der lenge in einer Rad | I: |
| Demonſtration. |
Schreib auff AB das quadrat AD vnnd auff PG das quadrar
Fu fo iſt jetweders quadrat AD end FH Rational, vnd AB iſt in 9. def. d.
die leng meßlich BC,ond BD iſt gleich AB, darumb iſt DB meßlich
i / darumb iſt DA auch meßlich AC, vnd AD: Aff Rational‘ , ſo iſt
RC, vnd wie DB u BC,alfd DA U AC,T aber DE HE BC’, meh⸗ Jı.p. 1.
—
A auch Rauional,t gleicher vrſach IR FK Rational, dann. Fri 7.pd.
+
a! F Das deitt Bach Geomenix a
geich Gr, vnd GF iſt tn Die leng meßlich GK ‚darumb iſt AG an
‚mißlidh GK,0nd wie HG Iu GK,al[o HF u FK ‚Derhalben if HR
* tmeßlich FR aber AF iſt R.arional darumb iſt FR auch Ratio
nal mr ’ . 0. .
Dieweil aber mGLio sieh GE) vnnd GR.allein im
meßlich der gſetzten Rarional,onnd fie gegen ein anderen meßlich in
der lenge / ſo haben fie cin Rational proportiog, als nim̃ HF,
vnd FR, das groͤſte gimeine maß fo Das quadrar HF ; HR
ein mahl / vnnd RK zweymahl / darumb wie 1. zu 2.alfo HG ĩu GK.
vnd hat IG gu GK,ein-Rational proportion, wie 1.30 2.
VMnd das jo meßlich einer Raxional, ſey auch ſelbſten R
- demanftrier es alfo: ſeñ das quadrat A,Rarional, vnnd meßlich der
ↄadef.d.
flaͤcht B.darumb iſt B auch Rarional, es ſey auch ein andre fläche
O meßlich mit,fo iſt auch C Rat onal, dann die flachen A Ind C
ſeyn beyde meßlich det flaͤchen B, daruimb ſeyn ſie auch ein ander
meßlich / vnd C iſt meßlich zu A, vnd A if Rational, darumb itc
auch Rational. xc. _ Zr
Dom Addieren / Subtrahieren/
*
——
WMultiplicieren vnd Dividieren der quanti⸗
Obſtehendẽ
teten, welche zu der geſetzten Rational allein im
vermoͤgen Rational meplich feyn. zu
XVI.
VvVon Addieren.
Sſeye zn adbieren AB. 3.00
BCY 12. die allein im vermoͤ⸗
gen meßlich mit der gefegten Ratio
nal,aber fie ſeyn ein andren meßlih .
in der lenge / darumb haben fie.cin -
Rational proportiont.,
Addier beyde quadraten AB vnd —
BC ‚die Summ behalt / vnnd multiplicier beyde quadraten AB vnd
BoC, vnd das prodact multiplicier wider mit ꝓauß dem produdt. ı
nimb
Don den hund vnm
HIKHEITREN 4}
gimb wider die quadcat wonsugeirdie addier gu der vchalenen
der fumma srrvahlet toldes Dis quadrat Br
riesig dichrgerie funmma- J —
— Volgt das werck. —
quadrat BC | | Ä
Zdier das quabrat AB | r
und behalt die ſumma FK,FIB — 5
Zarnacı fo muitipiicier Das quadrat X 12
mit Dem quadrat HB | Ss
bas produgt multiplickee | “ ur:
7 · Ä 4
auf der ſumma die wurvc Ar
kommen begde.scchtwindtierediered EG,GE ° 12
darzu addier hie fumma beyder quadraten FK,HB a
domprdasauadratEc T ee Oz 22pd.
Aarauſ die wuxgel: iſt die ſumma ac yıy
| Anderſt.
Oieweil beyde aBV3. vnd BCY 3 2.an die leng meßlichſeyn / |
Ich das gräfle gmein⸗ maß+ fov/ 3. das miſſet As ein maht > 2,78
FX Aanmahi parumb wie das guabra 3. zum quadrat R, i2 |
alle 1.54 vnd die rechtliniſchen nenn Sign Tea on
doppfeter proporsion NEE PropPF vonsersenfeiten/ T.darumb wie Cor.45.p-s
ABV3AUBCN .alfo 1.12. darumb SE j
Exırahier Die quadrasgentkel auß 1 iſt
vnd auß 4 it.
Aadi⸗rhena car uvglau Def
siuliplirzeritt ch ſelbſt
das product multiplicier
mit dem nahm‘
fo kompt fir. ao, wie eben
Soaberm — Rational miäßlicheim verms⸗
gen Aein onẽ ſik ein ander in dir 49°
ESIPRE TE
2.
8
enge vnmeßlich als vnd
| T vnnd
—
-
dDa⸗ brit Dach Geemeri |
vnnd dergleichen / fo zebraucht man das wort plas bas iſt mehr
an deß ſelbigen ſtat werde ein ſoͤlich zeichen —+- — vnd ſteht die
fumma alfev s * 3 / das wirt alſo außgeſprochen / Radix diey«
lus radix auß funf··
— Oder adbiers nad vnderricht der erſten opetation
As zum quadrat 5
addier das quadrat F
die fumma bebalt u
mi demquadrat — 5.
multiplicier das quadrat a *
Basprodultdumplin 2"
als multiplicier mie -.
auß dem rodect 4— | | 60°
Die wurtzel iſt / | _v co
warzu abdier die Behalten ahl / 8-+-vV ca
auf der ſumma die wurtzcl iſt die recht ſumma / V.8--v 60’
die gleich iſt v sv / ſo man das wilin einfaltigen zahlen auf
das ffeſt probieren. 3 Ä
So exwahler die quabrar wurtzel auß y vnd auß ;. vnd addier
beide wurtzlen / welches die ſumm von 5 3. |
Dolget. das werck ˖ N
f(oopooe * 3(0o0000®
(2 3 = en er
2
die ſumma der wurtzlen iſt 308 6 8
Vnnd fuͤr . 2 soo ſo extrahler Die wurtzel auß a0 ad⸗
dier zu 8/auß der ſumma wider die wurtzel / welches iſt die ſamma
von V. 2 Vo. Folgt das werck.
Auß dem andern cheil. GEGC(o O OGSO OSGSOI o o o
Die wruttel / die FTESUTER
addier zum erſten che: ae — a
Die wuntel ae: 8 Ch
DVon den maͤß vnd vnmaͤßlichen groͤſen. 7%
fo gleich der wurtzel außy stv 3 vnnd alfo verhalt man ſich
"allen Vniverfal sahlen fo das zeichen v’ mie dem pundto mit
fuͤhrt / welches beyden thetlen gmein iſt / wie an ſeinem ort mim
rem ſol erfiere werden. Wann aber mehr quanuitet oder zahlen?
meßlich in der fengein einer Rational proportion, u addierẽ ſeyn / |
fo ſuch ihr groͤſtes gmeine maß / vñ brings in ein Rauonal pro, 244 · d
‚perrion,daraufß abdier alle murgien / die fuina multiplicier in fi .
Teiofien/das produft wider mit dem gmeinen maß ı fotompedie
‚gange umma i | |
Es ſeyen sn adbieren- v4 v a ‚Vee
* | | ! 3
>
’
Sa > NR
Elaf[es|..n. u
Iſt die Summ
nn RUE
Vom Subtrahieren.
Von ac v 27. ſol man Subtrahieren AB V 3. vnnd haben tn
die lenge ein Rational meßlich proportion. —
Datumb addier-beyde quadraten AC, vnd 4aB- die ſumma be⸗
halt / vnd multiplicier beyde quadraten AC, mit AB, das prodt 5
dugplieridas iflimultipliciers mit 4- auß dem product nim wider ;
die quadrat wurgel,die ſelbig Subtrahier von der behaltnen ſuma
der quadraten / auß dem reſt ſo Extrahier wider die quadrat wurtzel /
welche itt der begehꝛte Reſt. zT i.. .Orpe
nf
Per |
Destrie DR Geoment= "*
Operation-.
Zum quadrat AC. 27
addierdasquadrat LA 3
EHE 30
das quadrat A 27 11 H
** = viadrat LA}
— | E
Fe funden wurtzel iRdasrecnmindtier viereck HC ſe tan
yzp.n ler proportionzwälchenbeuben quadraten LA,AC ‚THnnd ut Dit
linien AC getheilt in B, darupib iſt dag adrar AiD- der ganzen fo -
nien A C, mit dem quadrat EA(ſo gleich Ab )deß einen cheils / gleich
dem rechewinckieren viereck / ſo ——— zweymal von der gantzen
linien AC, vnd dem ein x $ heil‘ 45, vnnd dem quadrat deß andern
mu
æ5. P. r. theils C, F deßwegen das: rechtwincklet viereck IC zwey⸗
mahl gnom̃en werden / daru
— das rechtwincklet — * HC —
reden gnomon PA, vnd das quabrat LA, ı8
* —* ber behalenen ſuũia MA,AD, 3®
Mefttert Bas quabrat FK: 12-
darauß die wurtzel iſt ber ref bc’ yız
Anderſt.
Diewe nad nA Eee Freche —*2
zp.d. Ron) fo 1 ihr größe Fun v3 das AG ein
maht / vnd 6 D.neun mahl / arumb wie Das quadrat LA A fo gleich
beim quadrat AB fo z)um quadrat AC a7. alſo 1.09: HA die recht⸗
liniſchen — — ſeyn in depyleter h⸗
Cor.ꝓgx di rer propordioniertenfeiten/t darumbwicL A v 3 ( fe —* AR)
piac V27:alE ı, 5 Ru Bifes feyn ie wre auß 1. vnnd anf 9.
‚beilensegen fo ſubtrahier von der wurtzel N
die wurnehi r
Don Kl — =
in ſich qua 2
Bas groduct — | Va
burch das gmeine maß v5
omr für den Reſt 80, wie F — —
nn en — — —
Kondenmäßsondunmäßlichendeöften. 75
Bo aber iu Subtrahleren tieren zwo quamtiter oder zahlen / ſo
Kur lenge vnmeßlichv⸗ vyvon vs. vnd dergleichẽe ſo gebraucht
man das wort mirus das iſt weniger / an welches ſtart ein ſollich sek
den ⸗ wide vnnd jeher der Reſt alſo⸗ eV er
Radix. auß fünffen/weniget. adix auß dreyen.
ESuberahiers nach vnderri
ober cht der erſten operation,
bie ſuma behalt 3
shit dem quadrat £
mulsiplicher das quadrat 3
Bas product dıipfier ıf
als multipliciers mir x;
auß dem prodact 5
* ee "60°
Die Subtrahter von der ebbehalenen fumma ®
"Merflete‘ — d-2V60
aufdem Kepkvtereurgel fl: ver |
ches leicht zu prebieren / dann ſo man
wide gleich ift vs iv 3 weiche®
multiptickrrtonpt auch 8 v6
ey 3.guawrat |
In einfeitigen ahlen die wurtz auß fünff 263 6
darvondie veurtel auß ſo 1(733
gleſtlert | | 604
dem iſt gleich die wurtzel auß 3 V60 a 14
yon | | 8(ooaveo"
ſubtrahier die wurtzel auß Sof (745 —
auß dem Reſt Ver (154933 i
ck $ 04
BIN?” 270:
Proba.
"San ſuberahieren pyobirer das addieren! J
vnd das addieren probiert das ſubtrahieren /
| XVIII.
Dom Multiplicieren.
Das dritt Buͤch Geometrie,
EGEs ſeyen zu multiplicieren zwo quantiteten oder zahlen / alx AB
vVı8.0nd APVS ſo der geſetzten Rational meßlich im vermoͤgen /
vnd ſie einander meßlich in die lenge.
Multiplicier jhre quadraten / auß dem product errahter die qua⸗
drat wurtzel / welches iſt das begehrte product. —
Vnd wann das product Rarional, ſo ſeyn die erſt gfetzten quan⸗
titeien oder zahlen allweg meßlich in die lenge. | —
Wann aber die geſetzten quantiter oder zahlen ein ander allein
meßlich im vermoͤgen / ſo iff jhres produdt Irrarional, we
i Operation. .
! L,
Das rechtwinekfet viereck
BD iſt in miiler proportion
zwüſchen den quadraten AF,
TIP. CE, tonndiffbegriffen von
A AB der fetten deß quadrats
AF, vnnd von BC der ſeiten
deß quadrats CE. darauß
folgt |
fomandasquadratAF, 18
— mit dem quadfat BE 8:
a
nmultipliciert / 144 =
vnd auß dem proouft D vsıA
V cxtrahiert / tompt das 12
xechtwincklet viereck d
An derſt.
Dieweil AB V18. vnd AD v 8.mit einandern meßlich in der len⸗
| e nach einer Rational proportion. Nim̃ dere gröfles gmeine maß
zpd ‚T das miſſet das quadrat AF neun mahl, vnnd das quadrar
rmahl darumb wie das quadrat AF, zum quadrat BE , alſo
Anu 4. vnd die rechtliniſchen gleichförmigen Figuren ſeyn in dop⸗
Cor.ęę. pl pleter proportion jhrer Proportionierten fetten / F darumb wie AB
v.ı8.31 BCVB. alſo 3. zu 2. und ſeyn beyde meßlich in die lengerbas
rumb ift jhr product als das rechtwincklet viereck BD Rarional ale
12. deßwegen mag man hier allein Die wurklen multiplicieren / vnd
das product peider Durch das allgmeine maß / als Ä
we De ee, Aengz die
[2
.
.
*
—
—&
on hei meß⸗ vnd vnmeßlichen groͤſſen
y6
‚Sicwurgel auß . iſt ! 3
He mulrtipficier mit der wertzel auß 4. [0 *
das product multiplicier | 6
mitdenrgmenenmaß . 2
fo kompt wie oben das rechtwincklet viereck BD 12
diß obgefegt mag für ein General Regul gebraucht werden in allen
Fremplen wann die quantiseren oder zahlen in der lens⸗ meßii
ſeyn gegen ein ander / vnd ber gefehten Rational allein im vermögt.
Wann fie aber ein ander gant onmeßlich.in der lengeials AB -
wire v 17 vnd AD V 7.fo multiplicier ihre quadr aten mit ein ander
ren/ond auß dem produdt 1 ı9.diev iftv 119. für das rechtwincklet
piereck BD, welches Irrational. |
So aber u multiplicieren v ı 5 mit 2. fo bring 2. under gleichen
nam̃en ale 4. vnd multiplitier 15 mit 4, kompt 60, Darauf die vi -
”
.
das begehne product v’60...
IX, .
Vom Dibidieren.
S ſeye zn Dividleren die quantitet ABb 18 durch die quamiten
ADV 8. ſo meßlich in die lenge.
Dividier jhre quadrate//
auß dem quotient die iſt da E
begehrte qquonent.
Wann die quantitet meſt·
lich ſeyn in der lenge / ſo kot C
im quorient allweg ein Ra»
tional jahl.
Ss fie aber in der lenge
nie meblich fo kompt ein-Im
zationaljahl,
Operation, D VA
Das rechtwincklet viereck | J
BD iſt in mitler proporrion zwilſchen beyden quadraten AP,CE ?
vnd begreift das quadrat CE ein mahl end ein halbes mahl / vnnd
wird auch to offt vor uadrat au begriffen / ann ir
TIP
7.
Hk.
Das dritt Bi Geomente,
WIEECHMCA AO CA, iu AF,T
8 12 ı2 48 |
vnd Es iſt gleich BC ‚welches gleich iſt AD , angefehen bie parafle,
len vnd das quadrat / darumb
Wie EC zu C A,alfo,E B(f0 gleich AD)in BA,
3 ı2 8 Vis
vnd RC.zu © A,flehr wien. 3.0ber wie au.
darumb ficht EB,518.B A ‚auch wie 2.5u 3 oderseie 1.30 1].
Syierauß folgt wann man das quadrat AB 18.
dividiert mit dem quiaadrat AD’ 3
und qufß dem quosicnt 25
Die / nimpt fo kompt fuͤr den rechten guotlem =,
Anderß. |
Es iſt ABv ı8.0nd ADV/ 8. meßlichn die lenge / vnd —
einander wie 3. zu 2.wie.bann erwiſen iſt vnnd 3. begreifft 2. ein
mabl vnd ein halbs / darumb begreifft ABVIS, BEVBL. (ſo gleich
AD )auch ein mahl vnd ein halbs / vnd iſt der quotient anderhalbs /
* oͤben / vnd iſt ein Radonalzahlidann'AB od AD ſeyn meſlich
die lenge. _
Deßwegen darff man bier allein Die wurtzlen dividieren / ſo kam̃t
der wahrc,guouent, |
die wurg AB 3:
dividier durch Die wurgdl AD 2
komyt im quotient als oben ı$
& aber dic quantitet allein meßlich tin dermgðfo tatipr fit ir
zational zahl/ als AB,werev 17 vñ AD.V7. ſo dividier jhre quudrat
17 mit ztompt 25 darauf v iſt ſ 2- für Dem: quosiemt fa einicran
tional zahl.
Mann aber zu dividieren werev zo mit 2/fo dividier 20 mit
dem quadrar von 2 fb 4 anß dẽ quorent welcheaiftg.die-v/ ſo tompt
für den rächten quotienev. 5.
Proba,
Das dimidieren probiers das zunlipficinum vnnd das wine
ckeren probiert das dividieren.
"mm
— ekbegti
von möge: on
—
vendwire acdia⸗
gr > 3d, *
Us Rechtwincklet viereck ſeye be⸗
urn hen DzP — <
‚mögen Rational Tinten AB,2
md BC VBals AC, v32baraußv if
W 32, ein feiten fo ein gleiches quadrat
Fu iſt die Pe
unded,
Demon®ration.
“Auff eib das auadrar Rrional / dann AB,
Rational) Be B,ifl3C, in aD „ (eRarlon Bann 25.6
mäßliäh geſettz darumb fiche
gleich BD FRB C,alleinimwermögen:
es RT BC alfoDA,MAC.
v2
MDB, ——
mann in die lenge Eu AC, aber
rumb iſt AC, — IM
— —— banner beyden quadraten au u
— * een W j 7. p.d.
30: fe cin false — ne
g1.g. 1.
Das quwrar
gleich demquas
r
den viereck
Das dyitt Bůch Ceemetriæ.
re OO REE
u , gr 2. fo: © . — —
Ein Binierfomeßliß einer
TMedialiſhen / fl auch
Mecdialiſch. (24.p. is) —
(ES iſt diemedial a:fo w/ 3 .ihequadrariftv/ 3,.0nnd A fen meß⸗
ich su B ſo iſt auch ein medialiſche dgguanrar von B;iftv ı2-
fe ein Rational CD, fo 2. darauff ſchreib Die rechtwincklete Rächene
CE,gleid) dem quadrar A ‚das verricht alfordag quadrat A v 3 bie
vidier mit dem quadratder Rational C D, ſo 4 kompt v = für-die:
breite.DE ‚fo im vermögen Rational / vnd mit C D, in die lenge
vnmaͤßlich / weiter dividter das quadrat BV12 mit dem quadrat
ber Rational C D,fe4/fo fornpe v 3 für die breite DF, welche im ver
mögen Rauonal / vnnd mit CD, in die lenge onmäßlıch / vnnd die
m r en CE, iſt gleich der flächen B v 12.0nnd die linten B if media:
Demonftration.
A iſt meßlich dẽ u
quadrat B ‚das u: DE _F
rumb iſt das | |
rechtwincklet
Biere CE (fd
at A) meßlich
dem rechtwin⸗
—8
CF(ſo * denr quadrat B,)vie HC Ju CF, alſo DE, UDE F ba,
rumb iſt DE meßlich in Die lenge mit H F, aber DE 9ND:DR feyn je
de allein im vermoͤgen Rational, vnd jede iſt vnmeßlich in die (en
mit der geſetzten Rational D.C ‚defimegen ſeyn fie allein im —
gen mit DC Rational meßlich / vnnd die rechtwinckleten viereck bes
griffen von linten allein im vermoͤgen Rational maͤßlich feyn Irrzs
sional,Tond die linien fo dem felben ein gleiches quadrat macht / iſt
Itxational / vñ medialiſch / vnd die linien B macht jhr ein gleiche qua⸗
— al
Von dan ma/ vad vnetchcchen gwſſen. 72
drat / darumb iſt B fo maͤßlich der medialiſchen A auch medial
| | Corollarium. vun : i
Hierauß iſt offenbar / das ein fläche fo maͤßlich einer medialiſchẽ
Mayer medialiſch iſt / ann CD, vnnd DE, ſeyn allein im ders
pe — ee — jhnen
begriffen iſt 1rrational / vnd media vñ iſt gleich dem quadrat chende
B,darumb iſtdas quadrat B auch medialiſch. en DH
ee ı
Das rechewincklet bierech fo begrif⸗
fen von graden medialiſchen in die lenje
meßlichen linien / iſt medialiſch |
425. 9. 10 | -
CI“ rechewincklet viereck AC ‚fo begriffen von graben media,
’ ifchen in die leng maͤßlichen lnten Ada 3 nand BC:W 2
iſt medialtſch. em ee ————
Demonſtration.
Schreib auff AB, dz quadrat B B ec
AD, welches medialiſch / dañ AB, £
iſt in dielenge maͤßlich mit BC,
vnd AB, iſt gleich BD , darum̃ iſt
‚ DB, mÄßlıd) in die lenge mit BC
vnnd wie ER - ‘
DB ‚inBC ‚alfo DA ,uAC,t
wa Wa I W32' v8
; aa ar, Bi .
Hierauß volget das auch DA, meßlich iſt AC,aber AD, iſt me-
dialiſch / darumb iſt auch AC, medialiſch / Fond AD, wirt von AC Cor. der 9
swenmahl gemeffen / darumb wirt DB, von BC, auch zweymahl gern,
emeſſen. N a
Don Addreren / Subtrahieren / Multipliciere
vpnd Dividieren der medialifchen quanditeit ©.
Ä —— a Vom ab⸗
XXIII.
Vom Nodieren.
Es fee m nbieen as ‚Wr:
vnd BC, So media⸗
liſche in die leng meßliche quanite-·
ten / addier die qundraten mit dem
dopplet ſo im mittler pr ion:
üfrhen: enden quadrateñ / vnnd
auß der ganten
——— — —
umma iſt die ſumma bender
Operation. .
quanıiien NS tuabeaus —*
BC, 1 ;
—— quabrats AB,, —
Was:
| vr
Sk fiimma A G,vund CD, Ichaik: rm
Bas quadrat BC, multiplici vie u
Mir dem quadrat AB,. - | Y J
das vroduce dopplirr Vo
| ——— v "16:
| —
ER —
Mm: to
GROHE eider die wurtel Ve das gᷣ⸗
Dont männer a9
Bessibedie twinckleten vierecfuG, GC; v 80 | Vısösle
Bicabttes jinel BU var vol
E
vr
v -
fompr: vas gante abrat AD v40
barauß tompt A Lofelter limien AC- wir
Anderſt.
Wire b W ſvn sc; FSs in delen m I
— — Vega — —* a Be
ein mahl / vnnd GD;,V dofe —— —— — | '
geſehen das zeichen w / ſo kompt monnd 4darambu;
wie dasauadrat AG, 2403 quadrat — v 80:1 alfe i zu A vnd
We Rechtliniſchen glei — —— eunindeppiikrgsopor
- iondhrerproportioniersenfeiten: T "Cars 25
AB; 5 iu —XEXC m 21 darumb⸗
wurtzel auß · if:
ame —
a J
—E— > |
Baice meben genen mehr vi
** —X Ac, wie — = —
aber zwo oder mehr medlaliſche quantiteten'auch metall
(em * Rauonalvorhanden ſeyn / ſo in vᷣer lenge vnmaͤßlich / ſo ge⸗
man wider dj plus / als xy zu w: 3. Reberalfo A 8
unnd — jonndvsi — — —121
weredas cyſte Radlx auß Radice 5. mehr Radix — er
Das dritt Buͤch Geometriæ.
de das ander were 6. mehr Radix auß 5. mehr Radix auf. Ra
ice 6, ꝛc.
: XXIIII.
Vom Suberahieren.
Es ſollen zwo in die lenge
medialiſche quantiteten ſub⸗
trahieret werden / als AB
wrvon AT, wW 405.
Addier diequadraren / von
der fumma fuberahier das.
Dopplg-fo in mitler propor⸗
sion zwüſchen den quadra⸗
sen/außdem refiR adix qua⸗
drara,ift der begehrte reſt.
Operation.
| vr
u der quantiter def quadrats ac Vaoı'vBılo
Addier Die guantitet def quadrats LA, (ſo gleich dem rel AB)
* ———
10
F 10
Vioo
die Sum̃a MA vnd AD behalte vsoo
darnadı nimb das fo zwüſchen Heyden quantiter ber dusdenen %
mitler proportion ift Doppler /alfo
Die quantirer deß quadratsR C vao of
multulicier mir der quantitet deß quadrats ab(oder LA) * 5
Das product duppli⸗er V 2025
das iſt multipliciert mit vis
a
das produgt iſt
Von demnaß⸗vnd vnmaßlichen groſen. 8o
uf dem produet die wurgel u 32400
iſt: darauß wider diewurkl. . 0. ‚180
iſt dag quadrar MA und der gnomon FAKDIEV 1 8 0
v 36 6 ö
REN der ſum̃a ð quititer d quadrasey 5 0 |
Yıolıo
7
*
vis
| Pu vs
efleredasquadrar FR... — ‚v30
darauß die Vlompr BC der wahre Reſt —
Zu Anterſt.
Dieweil beyde AB5. vnd AC w ao in die lenge meßlich ſeyn
on. iſt das groͤſte gmeine maßıt das miſſet das quadrat AGYS- 2. p.d. '
ein mahl/defen wurhel iſt 1. vnd miſſet das quadrat ADV405. ein
vndachtzig mahl / deſſen wurtzel iſt 9. angeſehen das zeichẽ darum
wie das quadrat AGV 5. zum quadrat ADV 4o5.alfoı.u
Vnd die rechtliniſchen gleihförmigen Figuren feyn ın dopple⸗
tet proportion ihrer proportionierten ſeiten / darumb |
wie LAws.(fogleih AB) ACWaog.alfo niuz.barımp | EAAPE
Subtrahier yon der wurtzel 3.
Die wurtzel | 1
den reſt | >
uadrier N‘ . 2,
Bas pradu&t | 2 ee "4,
‚quadrier wider angeſehen das zeichen;. 4,
das produdt mulcplicier, vıd
Amet Dem gemeinen maß / vs
auf dem product Vso
die / ſo reſt fuͤr WR; 2
— — Banı
t
.
>
A353
wurtzel auß diſer fundne wurza/
| — die quadrat wur hel / iſt da⸗ rech⸗
Operation.
vwer⸗ iſt das wahre Product 30. vnnd alſo mit allen au⸗
Das drict Bach Feometrie.
Wann aber 3wo
man fuhrahieren./ 3. Reheralfon gs w/3. Das: Radin auf
“ef. einiger Radix auf Radioe 5.0der.w/ 20 4.iſt Radiz
2.
XXV.
Fern Wirlmmipleieme __E
ein andren die quantiger der quabrat |
ahlen/end.auf dem praduöt die gun, c
Das reche wincklet viereck BD iſt in D A |
aitler Proporiengmlifchen den quadraten a F,CEt+ vnnbd iſt be
DON AB der ſeitendeß auabrarg Ar ‚MdYon BC der
guadrats CE „darauf folge foman das AF mit dem
Sadrat I muttipliciert / vnd auf dem product Die quadrar wur⸗
tzel Erxtrahiert / darauß wider die
xt das ractewinchler viereck B.
DIE quantitet deß guadtars Ar
Aultiplicier mit der quantuet deß quadrats CE
AU dem product. |
devg
aa Difer ntin wider Die
wecche iſt das recht windietuierefsn
So aber zu mulciplicieren were ein medialuche
ner Rational als ıy sy mit 2.f0 bring 2 vnder gleiche
W168. darmit multiplicier sy 5. tompt 8o.darauf V t He
Dom
Bon ben mäßennd pumäßfichen en %;
e a J
e —*
— 2: AB we
| —E die uantiteten ihrer ann .
d rar sahlen ang dem produdt Radix
auß der zadice iſt da rechte quotient. >
— = | le
— Eon a
im Mitrler proporsiongwülfchen beyden quadraten AR, UNdCE,t 77.5. 1:
vnd begrifft das augbret CE; DER onnd. * t wirt sach |
vom quadrat AF, begriffen / daru
wie C, N CA A ,9jo CA, INAF,
vs .vE o vo ya. +" N “ F
vnd EB, iſt gleich BC,darumb
wie EC. zu SA,alfoEB, iu BA, r
vr ve wi. 3. wız.
aber EC, iſt von CA ‚sroeymahl bearifen/Darums iſt EB, (ſo aleich
BC , )auch zweymahl von AB, begriffen / darumb
Swie EB, M3. 30BBA, VIA2. alfo 1. 3U 2. vnd. Ehe te quötis
ent /vnndifBC,.wW3.inAB,w 12. zweyma
oð dividier das rechwinefletvieret BD,V6. mit Bc, V3. Ki
: 31. p. 1.
gleichen zeichen ſo —
dividier ar Me ;
In). 1 | Be A
. außde quotient zweymahl ⸗ tompt a8. * |
. oder dividier — 36, .
. Dur - 12
auß dem quotiens aweymahl⸗ tempt BC, —28
"Si |
\s
0
—R
“ah
_ idee die wurtel if ein Raulcaaliſche Mhe
Dao drit Bach Geometriæ
XXV
ichs medialiſche allein im ber⸗
mögnmeplidhe linden yufierferun
al flache beſchlieſſen:(28
Oasen:
BDW 54. u diſen or sr .
— — *
ſteter
—
A wg
mt 2
AIEEF wediales allein im vermögen meßlich
Ranenalifl.: Ä
Demonſtration
— — —— Rarionatineplidh /darumũ
—*8* ieffen ein
J vnder —— allein im n san AE KR er
... — medialiſch / vñ
* 7
rg v
auß dem —8 1298 Ä
Diewurgel auf diſer 36
Ä er, cD
..
——— — ED
XXVIII.
Wie wo Medialiſche allein im ver⸗
| ‚enögenmefliche Eindanze ——
ae 775, ya
Se
‚46. und nimbBE W 128
in mirer proportion/ ul
fen AB 4 — BCVS.
und fach Die viert propor⸗
sionierte / als
-- zu CD, alſo BE
vs« wıa8
*
— — —— begeren / vnd be⸗
fchlieffen ein |
Demonſtration.
—* darum⸗
e
: wiſchen ihnen in pesopoeros cin mediauſche tie
ze, vnd CD ,feyn alt un vermögen mal, Bunt iadet A.
CD ‚alfe BEER darumb iſt BR, E
— — ——
en cinmed Rldhe (als
die wurtzel / anß diſet LE
— vs oe
- Ip.
. ein halben Cırefel ACB dar
der, : ; e NE ER, ee
Das driet Bach Geometrie,
XXIX.
Wie mã wo grade inienfe 6 allein
im vermögen Rationalmeflich findẽ ſoi / derẽ
die lenger mehr vermoͤge weder die kürtzer vmb ein
quadrat einer mit Sen Br in ee
30.P. 10.) .
Nyyr ein Ratiocal, k as;
nien nachgefallen / bie — Be. „ee
feye A B , 8. darauff ſchreib | —
nach nim̃ zwo quadrat zabiẽ J
der geſtalt / wañ man die klei
ner von der groͤſſeren ſubtra — >
Eee A 1 B
7,
nimmdie quadrat jahlDE, : er
— Bervonfahmahe qua NIE, EEE
reftiere fein quadrat zahl als HK, — | — Br
vnnd ſuch die viert proportionierte zahl als mie die.
quadrat zahl DE, zu der ea ag die auadrat zahl AB,
EEE EEE
"greiner anderen quabvar zahl itto. dMauß iſt 4. diefeg ven
auffden halben Circkel in C, Hecht AC, vnnd CB, vnd na
© Weaeuiingendgenöicumo AB, BC. - . a ee
„ nr . 64 — ——
we Desioniktation..: a
Wie did gu ini zahl DEU der quadrat gli. —5*
quadrat AB nem quadrat AC, vnd AB, iſt Ration-i ‚fo
AC. —— vnnd DE, vnnd HK hat nit ion .
wie ein quadrarzahl su einer quadrar zahl / — hat das here
dDrat AB , zum quadrat BC ‚auch nis
drat zahlen / darumb ifl AB A BC, „in im Beige on ——
rum ſeyn AB,B'C allein im vermoͤgẽ
mag mehrdunn BC, Saab’ das —— ren
in die lenge meßlich. —— *
Don den inch vnd vnmhlichen en 83
XXX
Wie ma a sog grade kinienfoalleitt
- imvermögelfRarichalmäplidy/ finden ſol / derẽ
die lcnget mch⸗ he damde edann die kürtzer als ein qua⸗
drat einer EB or ihren ey bie lenge vn⸗
j1.p. 10.
Nzum ein Rational li⸗
nten nach gefallen die
feye AB , 8. darauf fchreib
‘ein halben cır@tl AEB, vnd
nimm zwo zahlen der- geitule
wann man ſie addiert dag
ein. Penn zabl gebe. | Ä |
Ateınd och Br
x Mimm die zahl p,
NNdDEG, vnnd addier ſie zu ſammen — Ze
ſo toinpt die quadrãt abl Hk, — 16
vnd ſuch Die viert propornonerte als wie die
a . Au der gahl CD, alfo dag kan AB; ‚MAR AR,
= 1a O4
Fr AF,V Av 40. die feR von A, auff ven halben — F,
| Birds Ar ꝓnd D, ſothut AB, ond Ak, beinent begeren ſtahi
— —
v
Heu abi
gionmiß
F Das driet Buch Geometrie,
XXXIL
Wie 2wo medialiſche linien zu finder
ſo allein in ſhrem vermoͤgen maͤßlich ſe yn / vnnd
— Made beſchlieſſen / dero lengere mehr
e — ein quadrat einer linten
mir in Dielonge miſſet. (32. 9.10.)
linien / ſo g⸗ -
————
— —
——5 — di vierect iſt Bi
darumb iſt das. qua
medialiſch / — —
a0o. 9.4. 35 (6 w za Tem +onnd
umen A
BE (BIRD, aitgroperdonln er made
WR AC, ME B alſo ABM EF,
Ey v8 W 1798 w34
dnd das quadrar.CB fl glei h dem rechtwinckleten vlereck ap ABEF.
Er] —
| Uber das quadrat CB ,ffl Radional/ darumb I das vierect AEEF,
auch Rational / vnd die zwo linien AE, EF, ſeyn die wir begeren.
Demonſtration.
Dem rechtwinckleren viereck AC, CB, iſt gleich Das auabras
22. . AE,onndifmeblalifch, vnnd wie AC, —————
Band AC lin im vermögen RG gl
F⸗
— — N
REF, auch allein ine verm 55 ne
sumbifl Er, ee md verdiene be on.
— —* ‚Er,.
| ——— als ein quabrad
— —— — AB,
| ——————
—
vie rn
iſt meßlich mit C, in die leuge / — —— ne
‚trahler vom quadrat a . ——2— 6
at BF, Yan ol N
| >
va
V„’ IT
ur
— | ey 16 I
wel E- 1792|V a76lı6]4
als Die ein vnd die ander wirt durch das öhc map aufgt haben /
— ———
wie V.567 179 Mg.
Gleicher geſtalt mögen we MrDIahEߣ ſinlen fanden werben / :
dle ein Rarional fläche beſchlieffen / vnnd die lenger mehr versabge
dann die kürtzer vmb ein quadrat einer linien mit jhren vnmaͤßicch
In die lenge / das geſchicht wañ man die erſt geſetzten linien Ac, OB.
—** Die groͤſſer AC, mehr vermoͤge dann die kürtzer CB, als
ein quadrat einer linien mis ihren vnmeßlich in die lenge. T zap.d-
ie
Se, Rue Gere; u
Br: ae Ar er — F — —J—
4
Sk Kös medialiß Ahnen ——
„Bl — umapteh ſe nee
mehr vermoͤge weder dic fürger v ein quadräl"
eg ſich mie ihren Ina use In — 1
Ga miſſet. 33 34. RE):
& drey Kran welche allein eg —
feyn , gie AB,3.8C,V48.0nd AE, V 28. der geſtalt das A'B
—* edann AE, —— ein de einer — linien
ur die lenge meßlich / didde Ba
dem quadrat BD,V 3072 aber die —— iſt — ar
⁊o.p.d. Das auadrat auch medialiſch / wie auch ſein [open BD; V3072.
“>
Da DET!
Demonftration.
mad) wieBA SH AE, alſo BD zu DEF,
8VAs wW3072 wWy588
Vuñnd die |
nn i
: flaͤche BC -
nA E,fenn.
gleich ö rede
winckletẽ flaͤ
de BD in
- DF durch die
‚in BG,3u der 24
faͤche Bcin v23 A
0, ABsalfo AB
31.pr, duAE,taberderflächen AB inBc — das — nd
der flädie BC in EA ,iftgleich die fläche BD in Dr , darumb wie
AB Zr AB ‚alfo das quadrat BD zu der flädhen BD in DF,aber dar
* a
Von den maͤß⸗ vnd vnmaͤßlichen zroſſen. 85
das quadrat BD zu der flächen BD,DF,alfodielinien BD uDr/+ 31 Pl
darumb wie AB zu AE alfo BD Ju DF,aber AB ift allein im verms
ger meßlich mit AE, darumb iſt BD zu DF auch allein im veYrmd
en meßlich / vnd BD iſt medialiſch / derwegẽ ift DF auch medialiſch /
vnd wie AB zu AE,aljo BD zu PF, vnd AB vermag mehr dann 21. p. 1.
AE alg ein quadrat einer ınien mit jhren meßlich in die lenge / da⸗
rumb vermag BD auch mehr dann DFals cin quadrat einer gm
den linien mit Ihren meßlich in Die lenge. Weiter ſo iſt die fläche q
BD,- DF medlahifhyrF dann ſie iſt gleich der Häcdye BC in AE fo me« KEG,
dialiſch iſt vnd feyn funden zwo medtalifche linien ſo ein medialifche
fläche begreiffem vnd die gröffer vermag mehr dann Die kleiner / —
das J—— ale meßlich in die lenge —
vom quadrat AB | 64 —
ſubtrahier dasquadrat AE 28*
Auf dem reſtierenden quadrat | 36
a
—XR
-z
vi
die (Rep die lense mit AB — PEN J
weiter EZ
vom quatrae BD‘ —— E =
aa ra MV 49 7
i — 5 5 j
Ze % _
nr 18 sn
a. = — u
Dr a Eh V16% —
vr
an ei menu =’; 972; a
Wr2 >
ie wacht if Ä WAsrziveı I yo.
rien BD! nL3072|Vas6lıeg °°.::
Vnd iſt die eine vnnd die ander neit dem groͤſten maß auffgeha⸗
hen / vnd die wurtzien Eyrahiert / vnd ſtehet ok W972.H1 W 3072.
alſo 3:11 4. Gleich alfesubgarzwomodlaiifehe linten funden wer⸗
n / oix em ANTEIL re Ya daß die gu mi
.30p.
- ein quadrat einer linien
ab ag theil in vngle
2
23 PL 17 gwüfchenden cheilen / gleich dem quadrat Mınder halbe linien/*
d. ren noch ab ein quadrar Figurit pnd die gradlinien A.B iſt gefchnit
Das dritt Bach Gesmetrin
vermoͤge dann Die flirger vmb ein quadrar einer Linien mie fixen in
ge
der lenge vnmeßlich. Das geſchicht wann man die drey linien der
geſtalt — As mehr vermoͤge er AE ‚als ein quadrat ci⸗
ner linjen mit jhren in die lenge vnme lich.
XXXIIL
Wie man swo linien fo fich weder in
Der lenge noch im vermögen meffen/ond ein me⸗
dialiſche fläche beſchließt / (vnnd fhre quadrat zeſam⸗
men Rauonal ſ
füchen vnd finden fol/ (34.p.10.)
Ett zwo imwermd, KL_-__\®
>” gen Rational meß⸗ | \
dliche linien ⁊ der afaly [| —
daß die groͤſſer mehr ver, A > EI 1B/sD’/F8
mög dann die kleiner / als I
mir jhren vnmeßlich in
Die lenge / als AB.8. vnnd
BCVv2orhelflBe in une
ten in zwey in D, ſo iſt zje
er —
DR
Meiline , der aflaldag LO Pl
BC oder DC in milder proportion flande elifchen ben cheilen⸗
TAEIMdEB/(AlS REF die gleich iſt BD oder DC)fo wird dag redht>
wincklet viereck der heilen / gleich dem quadrat Er(fo gleich vons
quadrat BD,der halben linien BC )fo iſt auff die linien AB ein recht⸗
winckler viereck AT, geſchriben gleich dem quadrat BD, und acht ihr
sen in gleiche theil in G, vnd in vngleiche in E, darumb IE das vecht⸗
wincklet viereck begriffen von den graben AEEB vnd dem quadrae
Nur angeſehen daß AB 8 iſt / fo folgt daß das quadrat MN ber hal⸗
ben linien 16.feye/und das vlerte cheil ei quadrars BC ,. als dags
auadrat ER (Dein gleich iſt das rech et viexecè AI, — 1)
F
4
x C
Von den meß⸗ vnd vnmeßlichen groͤſſen. BE
Tubtralker vom quadrat MN der halben linien welches 16.f0 reſtiert
Bas quadrar IL fo 11.009 die grade linien GE iſt V 11. die abote
zu AG 4. dieweil aber beydelinien in dielenge vnmeßlich fo muͤſſen
fumeaee- addiert werden / als mir dem zeichen — / fo ſtehet Die
mma alſo 4 + vV ıı. für AE, weiter ſubtrahier von GB4. der hal⸗
enlinienGE vVıı.riftfür EB4 — V ıı,ondgefcdheche durch das
minus, weil ſie in die lenge vnmeßlich ſeyn / erfllich Hiche AF vnnd
‚EB ‚welches die begehrte liniẽ welche fich weder in der lenge noch ver⸗
mögen meſſen / vnd ein medialiſche ſtache beſchlieſſen / vnd jhre qua⸗
draten zeſam̃en ſeyn Rational.
| Demonttration,
Die linien an iſt gefegtdaß fie meh: vermag dann die Imi? BC,
als das quadrar einer linien mir ihren vnmeßlich in die lenge / vnnd
auffdie linien AB wird ein rechrreinekicte fläche geſchriben gleich dẽ
quadrat Er (fo gleich b D)einem vierte theil deß quadrats BC der
kleinern linien / darumb theilt das ſeibig die groͤſſer linien AB in E, ET:
in swen onmeßlich sbeil in die lengert darumb iſt AU u EB in die Tr
lenge vnmeßlich / vnd
wie AE Ju EB, alſo ap sup, vñ ar iſt gleich dem 3iP-
A4A47TVII 4>V 11.32-+V704.32-704 |
Auddrat AF und PB gleich dem quadrat BF,T außjeden ſo kompt 47 Pt.
Ä dk limien AF V. 32-4 V 704. vnd für FBV.32-— y 704. |
vnnd wie AE zu EB,alfo AP gu PB,aber AE iſt vunmeflich mit EB,
Darumb ist das quadrat AF(ſo gleich der flache AP) vnmeßlich dem 2
quadrat F B(fo gleich der Bäche P vnnd ſeyn deifenswegen Die zwo i
gradenlinien AF vnd FB Im vermoͤgen vnmeßlich / vnd AB iſt Ra»
sional wie auch Kin guadrat AQ)_fo gieich beyden guadratea AFP
FB,tendsD iſt gleich Ep, daruuib iſt BC depplet vonEF ,vı8d5 47 PL
rechtwincklet viereck AB,BC iſt dopylet dem rechrwinckissmi vier.
eck AB,ERF,aber die fläche AB,BC Ye medialiſch / darum iſt das 20.p. d.
| Vızlo
scchtwindierwieref AB,EF auch incdiallſch / vnnd das ſo begriffen
„W320 *
von AB. En, iſt gleich deme welches begriffen von Aß, FB, wann fle
ichfoͤrmig vnd gleichſoͤrmig geſchriben ſeyn / + darumb it das. fo 47: . 1.
griffen von AF Und FB auch medlaliſch / vnnd iſt erwiſert daß die
. | az y ij quadrat
= .. — 4 . £ z R -
= Das dritt Büch Geometriæ.
quadrat AB,FB zeſam̃en Rational ſeyn / yñ ſeyn Die zwo linien ar
FB im vermoͤgen vnmeßlich / vnd beſchlieſſen ein medidliſche Küche
vnd jhre quadrat zeſammen ſeyn Rational. —
Dieweil aber inn diſer vnd hernach volgenden propofitionen,
der zwey vnd mehr nam̃igen zahlen / welche in der Ienge-gang vn⸗
meßlich / wie auch der vniven ſal zahlen vil mahl meldung geſchicht
fo ſoll hier etliche Epempel wie mã die ſelbigen addierẽ / ſubtrabierẽ /
multiplacieren / vnnd dividieren ſollen geſtelt werden. Die zwo vnnd
mehr nam̃igen zahlen aber werden in binomios vnd Reſidnos pt,
derſcheiden wie hernach in der 44 vnd 45. diſes demonſtriert wirt /
und werden die binomĩ mit dem zeichen plas zeſammen gefuͤgt /
end die Reſidui mir dem zeichen munus abzogen.
XXXuiti.
Vom Addieren.
—
— HAB adonredterinfateigen Rarlonal zahlen zeſam̃en nach dem
*
‘
®
gebraud) der meinen Arichmerica, vnd die Surdifchen nach
ber 16.hifes mit dem zeichen vnd —— handelalfe im abdieren
In zu — — und — ii = — —
+ gu oder —- zu +- fo ſubtrahier die zahlen von ein a
ben reſt zeichne mit dem zeichen der gröflern,
1, Srempel.
| = v2
Addier 8-+-vsolvasiıı =
— ———— IV 93H
ſumm | Is-Pyı28 8
* . 8
v4 j
v2
"2. Eremya
Bon denmaͤß⸗ vnd vamahlichen gzoſſen. 87
Koler
ſumma
. Exempel.
F | | aryıs NE
⸗ Exyemyel.
v3
TV 27 Y „3 *
Toavızl Vvala
aavas 5 —
—
— t
| 3
v9
v2
vı8
| | a
*Excmvel. Bee
12V 98 — 14
sv 4alV sr
10-y6of 11
41
11
11
a Ar
'
.. 5 Das dritt Buch Geometriz,
— · Exemyd.
I
on — ev 3 v 7 |
svarivso—vVztlvala
addier | +2 ee g ——
7 1
| h4 -
| | ‘#9 Vi
we En V v7
Br Summe — LIE TE yr
6. Erempe. .
vv)
has 1 — 12 2X
abdier | | N — 104
| 8
Y
„
Summe 22
— vı
Es iſt -V 18 vnd 7 V 18. welche gegen ein andern a
hen / darum⸗ man allein ev 3000.98 ⸗ Yı2. addieren age
ä | 17.Esempd.
| Na >
en en v32—rf Visa»
. — GR Ga
Von den maͤß⸗ vnd vnmaͤßlichen groͤſen. 88
Hier iſt von v’ 2 ſubtrahiert V18. vnd 5.008 8
. Beibs der Kot 3+-vVa.flir die Summa
Die zahlen aber ze fein Ratiosal ——————
mit dem abddiert.
3. Exempel
Adbiee Fer: 26- v5
8 3*1
PER 7 207 3
XXXV. |
Dom &Suberahieren,
Bärrahier Die gmeinen Rational zahlen nach gebrau _
Ro: — —— vnnd die Surdiſchen —
1
mit dem zeichen und-=- halt dich volgender geſtalt / |
—rvon oder — on ⸗vnnd die obersahl groͤſſer iſt / dann fe
btrahier vnnd ſchr her hend, € |
—— — lleiner iſt / Kühe ——
en zeichen.
-f= von — oder ⸗ von -+Darın fo Bier un frei 200
zeichen Der Gern / es ſeye gleich groͤſſer oder kleiner. | |
\ BE »Ermpd. E
u
Ben | % — 128 Ya
Sur — 412
Sul Zu BEZ .
ö vs
v2
v v7a
Ki Das dritt Birch Geometräie, -
2. Comp...
: .6. rn 2 Du, "
3jv9IvV27 ji
— 4
333
Reſtiert =
vı
43
v3 "
3. Eyrmpel.
>
Von —— ge Wa
0 — V III—
Subt trahier BE SE nr — —
I 77 77 er Hu
| J Vası
vi
ROTEN
In diſem driteen Grempel hat 21. mit en... x
mögen ſubtrahiert werden / fonder v3. weniger laut —
—.darumb fomußv/z gu v 48 addien werten Y vnd da
30-+ af ſubtrahiert werden,fo Reſtiert 75.
— 4. Exempel. — —
Ze 70—-vaolvgla ”
— ar 26 Varlvals ,.-
reſtiert 45 V5 I
" 1
yı
vs.
In diſem
/
Von den maß/ vnmaͤßlichen graffen. 89
In diſem 4. Exempel geher der oberen zahl v zo.ab/onnd der vn⸗
veren Var: parumb juhtrahier v 20. von V5. reſtiert Vy. die⸗
wei die ober zahl v zo. einer ift / dieſelbige v s.addilere gu 70. vnnd
sonder ſuna 70--v f die 25 ſubtrahiert / reſtiert noch 45 Yx.
So aber Die zahlen kein Rauonal proporuon haben / fo werden ſie
mit dem ⸗ſubtrahiert. Zn
5Exempel.
eo . erg \ * —
Von. 1710.VIↄ
fubtrahi 2 —3
reſtigt \; 1 9—V3 5
Qie demonftrariön deß addierens vnd fubtrahierens deß ſurdiſch·
cheils beſtehet in der operation Der 16. vnd 17. diſes.
xx
Dom Multiplieieren.
[5 * it
(FE RRIIA fene Me vabten ordenlich en der einander / und multipli⸗
cier alle die vnderen durch alle dieobern / die product addiert
+refammen niit dem vnnd ⸗hand et alfo.
als man multiplicieret mit + gibt -r
onnd — mit gibt — eswirt aber — geſetzt / wie hernach ſel
Aemqnſtcjert werden.
24 p. d.
J
„vr F En 2
h IL D.N A
erexiit hnnd mit ae. 3
a ——— Re en
4
7 5 .r F J % -
= ⸗. Exrempel. | a
mulduliche VAiISAV
wi —
aæl⸗is« Väαν— ıfe
ev 3er vaulvelt
mein: 5 zo-try/ 336: J
© ve
— dıie
Anderſt. |
e ır. ®.
ww.
en z
slvalV 3Vili. 2
42 a223h 4.
14 Vie
€ Ä Y2E .
| 20h Vj36 . 26
| | | Be
v336
Diß: obgefente Erempel iſt erſllich alle Dia andren durch alle die
obren multiplicieenals.v 28: mtr V7 auß dene produltv/ 136 Dev
iſt 14. mehr 1 2. mit v7 tompt VB4.mehr V2B. mie v3. tompt
VL Ietſtlich v iz. mit V3. auß dem product 36 de. Viſt 6 / die
er zu der wurtzel 14. nach art gmeiner zahlen kompt 20: dar⸗
36.9:&- nach addier v4. ıu: v/ 84. die weil aber beyde gleich ſeyn ſo darff
. . Manalinibie eine dupplieren / das ht mit 4.
Won den maß vnd vnmaßlich en aroſſen. 98
multiplirieren / To kombt die finunawy 355. die addier zu 20. ſo iſt
Das gantz produet — * icdem groͤſten gmeim |
zum anderen iſt vnnd 7. mit dem groͤſten en Ze
Be en worden / als mit· —* fie FR |
sional.proportioftmeglih/ond miſſet 7.diev/ 28. vtermahi / de
wurtzel iſt 2. vnnd miſſet v7 die V7 ein mahl / deſſen wurtzel iſter.
multiplicier beyde wurtzlen kompt 2. Das product mit dem gmeinen
maß7. kompt 14 und das gmeintiaß von 12. vnnd 3. iſt z.
das miffer 12 viermahl / deſſenwurtzel iſt 2 vnnd miſſet v3 ein
mahl / deſſen wurtzel iſt 5. fo.mutrikttdiere beyde wurtzlen vnnd das
— durch Das gmeine maß 3. kompt ð. die addiert su 14.
mpt fürden enſten theil 20. wie oben.
rnach ſo muleipliciere.die wurchle in di Creutz ſo kompt 2. vñ 2.
die addiert zeſam̃ẽ gibt . diß multipliciert in fich ſelbſtẽ / tombt o vñ
multipficitri behde gmeine maß 08 mae⸗⸗ Fi: v3 mit dẽ product
V2i.muitipliciert die 16.fotompt wie obẽ fuͤr dẽ andern cheil v 338.
Dann die 4. welche auß dem addieren tomen ſeyn der 2.1mit de‘
- 2. zur Rößtenfelldasprodutt ſeyn Ga 38 mit V3. vnd ı2.mit -
7. in das Creutz gmultipliciert / dieweil aber. die zahlen mir v7. vñ —
V3. geändert worden fo muleiplicher dic/7 mit 3. das product
v2 1. multipliciert mit der Summu 4. vnder dem zeichen v/ mie
26. ſo Iampt336. vnd das gantze prodact iſt 20o 336.
Si 2. Exempel.
"MByte. Yung Neue Ina
— 128-5 iv64|8 |J12--
— —— Be ER on 72h
SE ee 760 40.37
{ ae
— — |
i ag “io! so
: — | i 2 5 —
Zu (75
2 a %“ " $- 2 &
prolu _ a Winde
k ‚> Eh. er „ DÄEHMRE (
= — Geamæ m
Hm =
Mealtiplicier 20,=V6orlvızılıı] 29,
sm Nr 2 VgZtlige:
a ννενναXι.
nn = | 40& 77 1192 en
; j = € 2 €
137 Br [ 17,
... 1 —
— 32
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waiL, sa40- 113
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an Do — —
45 135 r
2 uaags
— x
BR
1420055
Fu | Vz
eroda rt | V7ıod— ht er
| Demonftrationdeg Multiplieierens.
Bann awo linien ( welche Refidungeben)fepn/ fo wird auch
das rechtwincklet viereck von ihnen begriffen befanne.. - -
€ ech geben Reñ⸗
dasfinsACvN ARE undau A e B 4
AC ſeye angefeht CH, onnd ü
.. MAEflangdettED,ond |
die gange AB feed. onnd -' @
‚ CBV 12. 0nd Die ganke AD
iſt vnd dæ* V3. ſo t ac
S--Vı2 mdaRr4—v;3.: D H N
welche das viereck Son men en
ad auq bekandt mag
—
Von denmaͤß⸗ vnd vnmaͤßlichen groͤſſen. 91.
Ken? Es werde AB vnnd AD geſchnitten wie fie woͤllen in den
yunceen © end E, fo iſt das rechtwincklet Viereck begriffen AB vnd
"AD ſampt dem rechtwinckleten viereck begriffen von den Theilen
CB vnd ED, gleich dem rechewinckieren viereck begriffen. von der
gangen Au vnd einem theil ED , fampt dem rechtwinckleten vier⸗
eck / ſo begriffen von AD vnd dem theil CB, und dem fo begriffen rõ
Den andern theilen AC vnd AE, vnd ſeyn die rechtwinckleten vier⸗
eck fo begriffen von AB vnd AB, 3 2. vnnd das fo begriffen von CB
und ED iſt V36 das iſt 6. vnd das fo begriffen von AB vnd ED, iſt
v 192 vnd das ſobegriffen von AD vnnd CB iſt v 192.-Dife in
Badıces addiersefamengibt v 768. vnd addier 32. vnd 6. foifl.38.
an 768. ſampyt dem Jo.begriffen von AC Und AE , darauß er⸗
si * das rechtwincklet viereck begriffen Von AC,AE ſeye 38
— 7 . ö j i
Mult · plicier 2VA | AB 8 yT2 Ch
* 44V. . RD4=V3 ED
6. 6 Ba J
— —, — &
prout 38 —v768 FV 36FK
on
In dee. multiplication AB 8. mit AD 4.fompe das redhrwind
ker diereck AK 32. man begehrt aber allen das rechtwincklet viereck
— kommen der gnomon CKE, vñ AD mit
CB, Macht dj vierecẽ CK vnd ED, mit AB; macht die viereck ER,
mehr dann der Gnomon vmb das viereck FX, vnd CB, mit ED,
greifft das viereck FR, ſo — aber es wirt für — genommen vnd
zu dem viereck AKaddiert / damit man beyde viereck OK, vnd RK.
das iſt den Gnomen-CK E, vnd das viereck FK , abziehen moͤge / ſo
veſtiert das viereck AR, welches von AC, vnd AE ‚begriffen sense
Vnnd ſo man ein Binomium mie feinem Refiduo/ oder ein
Refiduum mit feinem binomio multipliciert / ſo kompt jeder zeyt
ein einfaltige Rarional zahl herauß/ dann die multiplication in das
kreüt bringt gleich vil herauß / dan das ein har das seichen — / das
— — = un — — DER
inomium mit ſeinem Refiiduo / oder sin Neticuam
dk De kein 83 Kae
—
* — Dasdritt Bach Geometrix
mit feinem binomio in dag freig zu multtplicieren / welches wol Au
‚mercten/fondereinfaltig’die Rarional mit einander / vnnd Die dag
zeichen v mie führen / fer allein Die zahl ohne das zeichen / fo if.fie
ſchon gemultipliciert / vnd ſubtrahier ein zahl von.der anderen wate
dic) Das zeichen + oder. das aumweiſfet / wie in Den emden arfüge
ren 3. Exemplen zuſchen iſt. ——
| 1. Erempd.
Denn Binomrium 4++V3
Muitiplicier mit feinem Befidnn — — 4-3
— +16
—
den Refiduum en ch V6—2
mulcipiicier mit ſeinem Bintsmio —
Be : — +5
? ’ er
ijſt das produkt 2
3CExemyel. |
Das Binomium Ve-hy2
Multiplicier mitſeinem Reſiduo VviV
| -
IN ; 4
iſt das prõda F 7
XXXVII.
4 —
Dom Sibidieren.
Ann ein wey nammige zahl ſol mic einer et'narflä
Rdiridiert werden/fo bringe vnder gieichi geichen Panne
| ee 42.12 2
Von —X ge
. heller das zeichen V mit ſich fuͤhrt / ſo —— die zweynam̃aẽ sch
Pf sechetlen auch vnder das zeichen⸗ aber der Teiler Ratio
nalohne Das seichen v ſo heil die ein os zahlen fo das zeichen
nit haben / vnd den vbrigen cheil ſo das zeichen v harıfo bring den
— 2 EURER A |,pi-dinidien alſo wie gemeibe:
Wann aber — zweynammige zahl iſt / ſe muß
Theilers R:chiduum Ber —— Thoiler gms» - -
pliciert werden / ſo ——* infaltige zahl für ven Theiler / wie in
den drey:ierffen: Exemplen ber eben: iſt. — gſtalt
muß durch deß Theilers Reſiduum oder deffelben binomium Die
zahl fo zetheilen iſt gmultipliciert werden / — volgenden Exẽ⸗
plen zuſehen / dann wann me Jahlen mic einer zahl —
werden ſo haben die — proportion wie die erſt er
sen zahlen / dann ſoman 75. vnd t jedes mit 3. multiplicierg‘
das product 225. zum produdt 12. wie 7y.41 4;
Dann ſo man 225. durch He12.bieidiere: kompt * ſo vil —
auch ſo man 75. durch 4 SNviviertx — *
Mir dem zeichen +- und — halt di wie volgt
ſchreib in den Mes ieüfchen Diegweennammige zahl wider das:
een ee an exempel zu eye
"un Erempdi-
18 +-Vio
durch — —
roch . stv:
on *. Erempel.
Oividier VaAay3
— ——
DMoidier nd VrahV 10
- wir.
Comp 7— 162-rV 5
re Ä 4 Exem⸗
I
J | m
A 4 Erempd. ?
Dividier * 255
"me | — —
-Sompe V 1358 — 7
7. Gempel.
Dividier Vigo-t-if
mie. I2 nut .
tomm' NEL
u 2:38 4
J.. ep.
| ® Pr ® !
. R . [|
F r 4
— — ⁊
—
—**— die zahl ſo zechellen5 leg = 4
Refiduo de. Theilere
Mi2-+-Vio
Refiduum V 12-10 =
— +36
+12 , . 20 -
—— 1O nr —.
ION o
quotient — 1V7
V avır=vVıolyı 1-3 is
2 7 1
70° 21
E20 yı
9°
ni
a Von den meß⸗ vnd vnmeßlichen groͤſſen. 27
7 Exempel. |
Mufeipticter Die sahl fo aerheilen 34-4 VBolvgoolze+jige
it dẽ Refiduo deß Theilers 135 + „lvsrelact [8947
— — — — — —
238 120 10347
—
—— 27 40 103F
a 0, eo
FE De
Theiler ViIzy7 240% 104 4136
R efiduum V 135-7 nr 3102.
; — 104. | 1034...
TE SE. 7;
| Be
I er Kl
V2 13996 7,,"13447 1069983 a.
der Theiler wi. v —⸗
der quotient 28.44 . v2 13 96
2 Proßä u
; —
Das addieren probiert das ſubtrahieren / und das. ſubtrahier
probiert das addieren / vnd Das divi dieren probiert das multiplicie⸗
ren / vnd das multiplicieren probiert das dividieren.
‚. nd die demonſtrauon deß dividierens iſt gegründt auff die ope⸗
Tationder 19. dann durch die ein nam̃ige zahl fo fie Kational, divi⸗;
diert man die Rational, wann er aber Irradional , ſo theil jhre qua».
draten wie in der 19. geſchehen / ec. me
m Srfierung. a ee
Die Vaiverfal zahlen darvon in der 16. dtfesmieldugs geſchehen /
Pe Aa 5 ſceyn die
Das driet We
ſeyn Die V auß den quadrat sablen fo auß multiplickernng der zwey
oder mehr nam̃igen zahlen ensfpningen / dann fo man /12 3 An
fich ſelbſten multipltriert / ſo tompr 21V 43 2.daranf v iſt ein Vo
nivxceſabaghi / welches das pünerkein nach beim seichen. —— —
gbt vnd ſtehet alſo⸗. 21 432. So man aber v ız—-3 in fl
auadrat mulsinlicert / ſo tampt 2101.43 darauf iſt in Varia
verfal zahl / vnd ſteht wie folgt Azı —v 432. außallen der gleichen
sarien muß v_ auß der sangen zahl / fo mol auß dem ſurdiſchen ale
auß dem Rawenal heil gejogen werden / dieweil aber ber nn
[das zeichen v mit ihm führe fo. muß die V erfilich auß dem ſur⸗
chen theil gesogen werden / vnd bie felbigt sum Raxional rheil ad»
diert / oder fubrrabiere werden/nach dem einer von dem geichen *
und —- angewiffen wird / vnd auß der Summa ober dem Reſt wi⸗
der v gibt das begehren / wie in obbermeldter 16. durch ein exempel
ertler worden / vnd ſeyn Rational Vniverſal zahlen / dann anfl
V-21--v432.magmanv/ı2--3.fegen vnd anſteht . 21 4
32. mag V12- 3. geſetze werden.
Andre fegn lrrationab Vniverſal ablen / ale.V2. vnnd⸗.
. wie auch . 2 V.V. vnd V. æa . 2V2. vnnd
der gleichen / die werben addiert / ſubtrahiert / multipliciert vnd divi⸗
biert wie volgt. |
XXXIVIL .
Vom Addieren.
GEN werde adbierrnie inter 16.0 ae als daß mar
die quadrat addiere und dann ert/idas product wie
der durch 4. auß dem produlidie v’ „Die felbige sn per Summa der
—— Die curtzel iſt ie each Summa.
4
| 1. Eyemyel.
—— addier .2 V. nimb jhre quadraten ⁊
2-— 2 gadiert gt: 4. erg gibt 2. das multi⸗
plicier mir 4. ſo kompt 8. Devaufi v iv’ 8. das addier zu 4. komyt
av. hierauß v fompt für die ſumma v .4-m-V 8.
- —
| PN 24Vꝛ
abier die quadraten —— rend ze y2
u 4 | 4
2
amehriplicher durch 4
| dierauß⸗ ®
=. . W iſt = MA
hierzu addier die ob behalinen
Auß der Summe die / |
welche die begehrte Summe. — |
| Demonflrariom
. Btefinien as ti geheilt m © |
MD Acc ET N A
2--v2. darauf find die gante —1
fımma Sender cheilen / fo abbier
beyde quadrat AG 2 vnnd
CB 2—v2. fo — fuͤr bedde G
quadrat Aı vnd 1Cſo die quadrat
auff AC vnd CB ſeyn)⸗. darnach
ſo nimb awüfhen n gedachtẽ
n ſache Chi in wir
ler proportion, das iſt mulfiplicter daß quadkat ic
draͤt CB ‚auf dem produdt X ‚tomptv 2 für dieäche cn.(fogleid
tipticker fie mie ſo komyt für beyde get CH VBb. die
abdiet zu der Summa beyder quadraten AI — ‚f4tomt
fr das ganze quadrat AB'qt-vV 8 darauf V. fo hprfür ms Vi
tv 8. weiches die begthite Summal —
zahlen / gantz ſcharyff / fo Extrahier die quadrat wurtzel auß 8. mit
anhengung erlicher par x. darauß die Sc ulkommen / J.
fourgel addier zu 4. auf der Summa wider die quadrat
medesdanndielenge ab ſeyn uürd. Aa ij V
Das dritt Bch Geomegizi . ""
Volgt das Wert.
Auf F OFT PP F
Devil Kusagar air
Beaddirn Mn 2n; *
hierauß = 6 82 84 : 7 ı 2000008
z * —8 ._ a . . ..
bie komyt für an 2( s 2 Fe * 2 58
— 24
2. Erempdl. \
Es fey su addieren v.a V. æ V2 ju V. 2 Va Abbe
Ihre quadraren iſt 4. dann multiplicier die quadraten kompt
42V2. das iſt 2 v2. das multiplicier mir 4 fo fompr8—
v32 bieraußdiev iv 8-—V 32 für zwey mahldas rechtwinck⸗
"las viereck fo in mitler proportion zwůſchen beyden quadraten / die
addier zu 4 der Summa der quadrafftompt 4--V.8-—V 32. hie-
rauß die v fompt für die ſumma beyder sahlen .4 . 832.
Zum quadrar Va Vz
addier Das quadras 2—V.a-rV2.
die Summa behalt ET u
‚ Das quabrar oo zev.aeyz
multiplicier mie dem quadrat 2 V2-rV2
kompt 42Va
dagiſt / u 2—y2 4
das duplier / das in multiniciers mit 16
auß dem puoduẽet ——
biev _ v.8--V32
dariu addier Die finiiia der auadrasen 4
außderfumma . 4+V 83V; z
die iſt die begehrte ſumma — ——— —
WvVon den maͤß⸗vnd vnmaßtichen groͤſen. 97
Diß in gemeinen zahlen zu finden
Extrahier Die wurtzel auß 2 32(o000000000800000
En | glesoas#24
btrahier von 8 ( 8000000
diefundenwurgl g (65535424
auß dem reſt 2( 34314570000008
die wurßelifl 0 alssorss7$
dar zu addier 4:
außder fumma " $(ssor3373000'000
Die wurtzel iſt die gantze ſumma 263 5 17522
XXXIX.
| 7
Dom Su drahieren.
Nat addier die quadraten / dann multiplicier die quadraten /
dag product wider Durch 4. auß dem product.dieſelbe ſuhera⸗
hier von der ſumma der quadraten/darauß v/ıft Der begehrte Reſt.
»&rempl. J—
Von.4 Yd ſeye zu ſubtrahieren ⸗. 2 Vꝛ. ihre quadraten
4VB8 und 2-—-v 2.addier gibi6-v 2 vnd multiplicier die qua⸗
draten jo kompt 4 Pie mulriplicier mit 4. kompt 16. varauß v iſt 4.
die fubrrahter von 6 V2. fo refliert 2+-V 2. barauß ſo reſtiert
der wahre Refiv. a v2 sr
aa . v2
Zum quadrau * 4+rvVB8lvalz-
addier das quadrat 2—V2V ılır
die ſumma behalt 2
1
vi
Va
Su | en 7
a5. p. 1.
| Ve
das adbrat aufn 4
——— a I ER
—
2
4 —
— 4
kombt 4
das mufeiplicier mie 4 |
auß dem product Y | 16
Mo a
Von der Summa vbeyde quadraten S-+Yr
Subtrahier die. gfunden v 4
auß dem Reſt die ⸗ 2 | —
iſt der wahre Keft fo —*
| Demonftration, ' nn
Di elinienapifv.ar A cc»
v8. darvon iſt ſubtrahiert
der theilchv 2——y2.iffdie
frag nach dem Reft AC, ad-
bier beyde quadraten AB 4
VB vñ CB 2V2 cdem
gieid iſt das anadrar HK)
Fompr fuͤr Die quadraten AR
ELS-H-V2.(melche die qua
Dratenauff Aaß vñ zc ſeyn)
nach demme fo nimb ind. —
ſchen beyden gedachten quadraren ein fläche GE
portion iſt Das iſt muftipficerdag Quadrar AR,
ma beyder quadraten AE. pn ELweſche sy 2. Reſtiert noch ds
uadrat ATz—+-y2,tdar v fofompı rACV.2-VA2. ſader
Vegehrre et au ſe HR | ger
⸗
F Vonden mah vnd ummäßtihengeöffen- 96
d b wüſſen / wievil diſes in gmein |
Ki —* ——* — —————
ber Summa wider die Fam — geben Be!
s;Exempd.
Von v. —E —
vıof
em quadrar ; Kr Ze
aber das quadrat “40 - +20
‚3 —
BDu ſamma behalt tr ”
Das ander Büch Geometriæ
v | | Vio⸗ |
das quadrat 137 IV321—8? *ı7z
multiplicier mit bem quadrat 2 va |v42o 0 +20l5.
2 160 160 j2&
1% | 15 j2z
3* 175 104
105 260
X
72* 275%
& — 105
J 3672 .. 13780
175 2756
e | 26°
— — — Es
das produ&t dupfier tr: — Y139406
das iſt multiplicier mit > ic
2168 1736436
2 289406
auß dem produdt 2170 — __ 4830500
iſt durch die 2 diſes die wurte/ 37 — year
%
—
== Von der
je
Wondeims— or ee: 9 |
ey
Won der ſuma der — / —EDE 14
ſubtrahier die wurtzel Zul 9 1. =
— .— er
auß dem reſt die wurtel VAT. er
Aſt der begerte reſt Vu: —
vo _ R a = x — 9
44 J ’ r | ; x Ia
ap . —
u 2. 105
225
| —
9
0 evVarss-
|
XL: i
Dom Multiplicieren. |
2. Vltiplicier vie — quadraten / auß dem Produ Ye
an iſt das begerie product.
Ejempe.
un
Esg ſeye su muleipliciere v/ IV. mit . 2V3. ſo —
iadrat das quadrat von 12 xiſt 2t vnd das quadrat
vwonv.2—y3 Mavzn, i
N
& b vnnd mu |
N er Eben
:
L
Ik r/Yı. a. 32
+ ee
* 07:
*
—
N,
* *
vnnd multiplicier das quadrat — |
mit dem mama ——
+2.
| se Bee
auß dem produft V —
iſt das wahre prõduct 2
Be 2. Exempel. =
Multiplicier Val) iImit V.2x. multiplicler fee qua⸗
draten / |
As — — Aulevı:
"suuiniplicien miedem quadrat A Va
ä — —
product ———
iſt das mahre product v.s-trvVaivizivf
Diſes in einfaltiger bekannter Rarionalzahl schaßen ‚fo abbier
gel auf V’2E. gu den erſten 5. vnnd die murgel auf den. zwe
Yırad unnd vs. ſubtrahier vonder ſumma ber wo ergen /
außdemreft die wurtel / in das wahre prodwetrwie ſolches durch DIE
Bichen . auch Fond —⸗wirt angw iſſen.
| 3. Erempil.
Wulttplicier va ar mit5. Die quabrat ſeyn
2V.2V. vnnd 25.
anuttplicker das quadrat ah
mirdemquadraronder gleichen wihenze Ger 390627
auß dem produftdie wurtzel ⸗* —S —— — —
1 — ** .ı250-IrvV 781250
4, Exempel.
Dultiplicier v. 2 V2V. mit ae uw
dies jihre qiadraten.
Das quadtot
Donunmißentimuiälitnchtfen. - 93
dae quadrae | 22V Ä
sultipliciemisdemänaene — — amd at Vs
P} : * 4 — ee :
—23
anf en große bien —
— Damonftaeon.
— — andern emultiplieiert werten I fon |
das pr eich dem rechtwinckleten viereck ſo in mittler propor⸗
id rnit milde EEE.
hen die wo zahlen 2 vnd . die gmultipliciert gibe 18. vnnd
FR au nd von ↄ iſt 81. die mit ein ander. ulch _
plicier gibt 32 324.darauß v iſt 13. foin m
‚beyden quabraren vnd iſt gleich dem proanct 18.der zweyen zahl
2mit9. "Darum 204m —
quadraten — ‚ey 3 vᷣnnd2 ⸗ v.
te |
nö ——
Nom Dibidieren.
vidierdie anadraten durch |
Aa ee —
1. Exempel. | > — ee
Biyivinv air V Krach Bünde bee auadraien ale
das quadras 24-+-yı- 17
daudier daxchdoc anetca Bu | 16
uf dem quoriene die wurtei De = 077.5
iſt der begehrte quorieme nen Var
| SH 2 Erempd,
-_
— —
ze u . \ Erenra |
Dieibier vr durq ——E Are quadratẽ ſeyn son
das quadrat deß Weilers 24Vi F
mulciplicier mis feinemmbindnie vis |
2* ı®
” v i ‘
5 —
| —
| 8
— ö a 17
Dr | r =
nicht ſo mulciplicier das aaaeatſo ji 3 2
wi deß Theklere binemio J | vis
das producet dividiere | ® sei-ry |
durch den fundnen There - : - - — PP |
auß dem quotien die mung | — 22 3
MR Der begehrre quociens u u Veri-ry 1m |
| * Erenbel.
Diridlere 2.
— durch. EN kompt ie.
mp
Be —— — welches cin Tangeuyon 11,.gt0%
Das au
— ie
Von den maͤß⸗ vnmaͤßlichen groͤſſen. 9» x
Das quadrar 9 has 2.2
multiplicier mit ſeinem Relidao -2--V.atVz -.
| — end,
a j z . 2 +y2
Das produkt mulcipficer 2-Vz
mit feinem binomio on a rV2 |
| — =: | De
auß dem proauct die wurtel⸗
ag welches der rechte Theiler. - v2
: Das quadrarfo zecheilen multiplicier mit dem quadrat von deß
Theilers Refiduo dag product multiplicier wider. mie de binomio
deß products deß Theilers vnd feines Refidui , als das quadrar 2
— v2 vV 2 multipiicteermie dem Refiduo deB Theilers fo 2-—-V
2V2. vnd das prodult 6-V2—V.324-vsız. multiplicier
mit dem binomio 2-+- v.2.dod) alles vnder gleichen zeichen der Vni⸗
verfal zahl? darum muß V.32 FVI Iz mitdeßbinomi: 2—+-V.
2.feine quadrat fo ⸗V3 2. gemultipliriert werden / ſo kompt inalo
lem 14 +vV 128 —V.320-rV 1003 52. darauß v iſt V. 14 - V12.
8-=v.320--V 1003 5 2.difer durch 2 dividiert / ſo kompt das fa⸗
cr 7 mV 32V 8o-Py 6272 baraußdiev iſt . av. — Vz
Be aber die wurtzlen auß ſolchen vnd anderen dergleichen zahlẽ
gu extrahieren ſeyen / ſol zu end difes Buͤchs Demonſtriert / vnd mie
Exemplen erklert werden / welches ich bie zu erinneren notwendig
geachtet hab. ee Bu
° BR
8* — DR ;
—
Bi Wolgt das
Te Te Fer
Sefe:a.
dier zum rſten shell /
wurgel / vñn
5 Bu een De Beten ie un... A
32,
2-H-Vpi2 vı8l4 — —
en eur 24 :
; —
| 12 Yralvs
+: VSIV
—
++
oe V3 V. 8a VW
Vnd * — 8 endv ee er ‚Der — Theil
binomiſchẽ zahl / darum — — deß andern
thellsivom quadras he — — / >
d die helfft vom erſtẽ cheil iſt der ander cheil der
Vnd ſicht das werck wie volgt:
multiplicier 492
X Ben
B PEREN RT,
at vVısch
&ı —* —*—
= 8o-+V6272
—
vom auadrat deß erſten cheils ſubtrahier
das quadrat deß andern theils
auß dem Reſt die wurtzel SR
1
Burdstie62.filgenbe fine 2-1 wedies der anber eheil
Wer wurget | Ä |
vomerfienhellt
Subtrahier derranbern heil
aufs ven Neff vie wurtzel
das begehrte orten
m | ®
5zx
sn Rn —
4 FI 4
EEE»
r 2 * J
7Vz3;ꝛ
“
>.
+
z
AA
4Vr |
v2. 1 |
4Vr2
VAV
und V2*1 der ander cheil die
hen su haben / ſo eutrahier Radicem
auf v2.darı addıer die Summa fubtrahler vom erſten theil / ſo
iſß deß Reis fein Racixdie allgmeine zahl.
Demonſtration.
Waßñ durch ein zabk zwo grnẽ
Yeprodulteben die properiioma
zahlã multipliciert werden / ſo habẽ
(8. die. zwo gebnen zahlen / vnd ſo
Ye produlitwider dur d) ein zahl multipiictert werden: fo haben die
grodunt winter die proporuon,als die erſt gebnen gahlen / vnnd der
gotien: zweyer sahlen/ift gleich Radici quadrarz auf dem quote |
one, der vwoeyer quadraten zahlen ſeiten / die zwo gebnen zahlen ſeyen
vnd⸗ die multipficier mit 3.
fo haben die product &.0nd 12. eben
die proporiionaisreie die gebnen zahlen z. vnd⸗ vnud ſo man die
urs duc 6.vnd 12.wier darch ein zahl multipliciert als mit 108. ſo
haben die produet 648.vnd 1296. auch die proportion wi 2. zu.4a.· 7*
dis jedes iub dupla, das iſt /
ws2.14 a ulſo 6 zu ie auch 648 iu 1296. | Aber
U um sie ereneilhäittee ee EEE nu
Ä - DasdritMüchGseomenie,
. Merv.a—v.2+V2 vnd V. 2 V.2Vꝛ. iſt jede mie V
VV multipliciert worden / darumb wie . ⁊ V. 2Vx
zu V. .2V2. alſo das product 2—y2 zu dem produkt
6-+V2-—vV.32-rV 512. diſe product iſtjedes / wider multipli⸗
ciert durch . 2 V2. darumb wie v. 2V. 2V. iu V. ⁊-
v.2-+v2. alſo das product 2. jum roduct 14-+y 128 V/ 320
-t-V 100352. or
Vnnd wann ein quadrat zahl durch ein andre quadrar zahl di.
vidiert wird / vnd auß dem quotient Vãſt gleich dem quotient wann
der quadratzahlen ſeiten durch ein ander dividiert werden / die qua⸗
drat zahl 36. werde durch Die quadrat zahl 4. dividiert / auß dem
quotient 9.die wurtzel iſt 3. fo vil kompt auch wann man s. die ſel⸗
ren von 3&.durd 2. ſeiten von 4. dividiert / darumb iſt . 4 V8.
V2-1. der rechte quoiient dieweil es Radix iſt auß beyden qua
drat zahlen V. 2 V2 vnd 2 V.2 V2. welches zu bewei⸗
fin war. Vnd fo yıl von den binomio vnd Reſiduo mie Die ſelbigen
zu addieren/ abtrahieren / multiplicieren / vnd dividierin feyen / auch
von den Vnuverſal zahlen / c.
— | XXLII.
Wie zwo Linienvie ſich weder indie
lenge noch in vermögen meſſen / vnnd ein Ratio⸗
nal fläche beſchlieſſen / welcher quadraten zeſam⸗
men medialiſch ſeyn/zfinden ſeyen /
35.p. 10.
Ser zwo medialiſche finten fo allein {m vermöge meßlich ſeyn /
— der geſtalt daß ſie ein Rational flaͤche beſchlieſſen / vnd die len⸗
ger mehr vermoͤge dann bie kürtzer / als das quadrat einer g aden li⸗
31.2.4 nien mit jhren vnmeßlich in die lenge / vnd ſeye AB V5SAvund BC
V2 theil BC tn E in mitten in zwey / ſo kompt fuͤr jeden theil B
oder EC Wız.vnd AB theil der geflultinF, Daß BE oder EC
1. mitler proportion ſtande zwüſchen den Theilen AF Und FB,T&S0
37P-Ie wird dasrechwincker viereck Al, begriffen von den Theilen /gleich
dem quadrat FD, (ſo gleich dem quastac BE oder EC der halben li⸗
mien BC)lo iſt auff AB ein rechtwincklet viereck gefchriben gleich de
2 4undrat BE deme noch abgeher ein quadrat Figur / vnd rbeil AB in
mitten
=
"ihre quadraren zeſam̃en
Von den mäßsondonmäßlickengröflen.. roꝛr
mitten in zwey in.G , fo iſt AG w33/onnd fein quadrat LUM iſt
Vv 3 /darvon ſubtrahier die-fläche AT v ı& fo gleich Dem quadrat
FD oder BE) forefttert das quadratıX , berlinien GF welches‘
It darumb iſt Gr weynnd bie ganke AR W 3, w_Ionnd
BrwW33-- wi quadrier jede kompt für das quadrat N VE-r-V
z / vnd für BI v6 vaz/adbier zu jeder das gmein quadrat FD
v3 / ſo iſt das auadrat
ADV133-rv43/ vnnd
dz quadrat DBiſt v 132
—y 43’ onnd die linien
ADiftv.v 133+-V4%
vNdDBY v133—431
welche im vermögen uns
meßlich vnd beſchlieſſen
ein Ranonalfläche / vnd
ſeyn medialiſch.
Demonſtration.
Die linien AB, vermagmehrdann BC, als ein quadrat einer
linien mir jhren vnmeßlich in die lenge / vnd auff AB ,wirrein recht⸗
wincklete flaͤche geſchriben gleich dem quadtat BE, vnd theilt AB;in
zwen vnmeßliche theil in die lenge / F darumb iſt AF, zu FB, vn⸗ 14.p.d,
meßlich / vnnd wie AF-zu FB, alſo AO, zu FP, vnnd AO, iſt
gleich dem quadrat AD, vnd FP, gleich dem quadrat DB, darumb
mie AF, zu FB, alſo das quadrat AD zum quadrat DB ‚aber AF iſt
FB, vnmeßlich darumb iſt Das quadrat AD ‚jun quadrat DB, vn⸗
meßlich / darumb ſeyn Die zwo linien AD, vnd DB, im vermoͤgen vn⸗
meßlich / vnd dag quadrat AB ‚v 54. iſt medialiſch vnd iſt gleich bey»
den quadraten AD, DB, T darumb ſeyn die quadrat zeſammen 47 pt
medialiſch / als V 74. vnnd BE, iſt gleich FD, darumb iſt BC, dopplet
von FD, vnnd das rechwincklet viereck Ab,BC doppiet deß recht⸗
winckleten vierecks AB, FD, aber das rechtwincklet viereck AB,BC,
iſt Rational / darumb iſt dag viereck begriffen von A B,FD , auch
Rational / vnnd iſt gleich dem fo begriffen von AD, DB, wann fie.
gleichfoͤrmig vnnd gleichfoͤrmig geſchriben ee / T darumbitdte 47 p. 1.
— CEc
age
32.2.d..
37 p. I..
Das dritt Bach Geemetriz;.
che von AD; vnnd DB, den gfundnen linien begriffen Rariomaly‘
gl quadraten —— ——— andern
gantz vnmeßlich lau vnſers begerens.
XLIII. |
Wie zwo linien die ſich weder in der
lenge noch im vermoͤgen meſſen / vnnd ein
— fläche beſchlieſſen / vnnd jhre qua⸗
draten zeſammen ſeyen medialiſch / vñ vnmeßlich
der fläche. ſo von ihnen begriffen / ifinden
ſeyn. (36.. 10.
Eh no medialiſche linten / ſo allein tin vermögen meßlich ſeyn /
Sum medialifche ſtaͤche beſchlieſſen / vnnd die lenger *
vermoͤg weder die kürtzer / als das quadrat einer graden linien mie
jhren vnmeßlich / +. vnd ſeye AB, 8. vnnd BC,w2: forheil erſt⸗
lich BC’inmirecnin zwey in E, ſo kompt für jeden theil BE oder EC.
Vvnd AB theil der geſtalt in x, das BE oder: EC in mitler pres
portion ſtande zwüſchen den Thet:
len AF, vnd EB,T.fo iſt die recht⸗
winckler flaͤche begriffen. von den:
Theilen AF vnd FB als AT gleich
dem quadrat FD. (‚welches gleich
dem quadrat:BE oder EC der hal.
ben linien RC)vnd iſt auff AB cin:
rechtwincklete Rächer gefhriben
gleich dem quadrat BF, deme noch
abgehn ein: quadrat Figur / cheil:
AB in mitten in zwey in o, ſo IF AG V i Jvnnd das quadrat LM
v.ızdarvon ſuberahier die fläche Aı v=(f6 gleich dem quadrat DE
oder BR)ſo reſtiert das quadrat IXVS/vnnd GE WZonnd Ar W
Is-HwilendeBw 2 wälayadtierjede / tompt für das qua⸗
DEIN VaEHV 3. vnd FIV3ʒ EV .Rddier si jedem das gmei⸗
. qua
Won den maß⸗vnd vnmaßlichen groffen. os
nt quadrat FD V-fofompr für das quadrat AD Vak V.vnd
das quadrat DBY4E-—V 3. dert linien ſeyn ADV.v43--V3.
und DB vv 43V 3. welche im vermögen vnmeßlich / vñ beſchlieſ
‚fen ein medialifche fläche/und ——A—— |
eo aAliſch / vnd vnmeßlich der fläche von den linien begriffen.
Demonſtration.
Die linien AB vermagmehrdanngc ‚als ein quadrat einer li⸗
nien mit jhren vnmeßlich in die lenge / vnd auff AB iſt ein rechtwick⸗
lete geſchriben gleich dem quadrat der halben linien BC ‚dems
abgeht ein quadrat Figur / darumb theilts A ß in F in vnmeß⸗
liche theil / vnd wie A F du FB,alfe AO au Fp, vnnd A0O iſt gleich 14.0.4,
dem quadrat AD; vnd FP gleich dem quadrat D B, darumb ſeyn die
‚Quadrat AD vnd DB vnmeplich / iſt aiſo AD zu DB im vermögen
vnmeßlich / vnd das von Ab begriffen iſt medialiſch / als 18. da⸗
rumbaſt die Summa beyder quadraten AD, Dal fo jhm̃e gleich)
. auch medialiſchtond B Eriſt gleich FD ‚ darumb iſt 3C doppier von
‚FD vnd das rechtwincklet viereck AB, BC iR dopplet deine fo bes
ee = — FD, aber das — — — nun
Iſt das ſo von. AB,FD auch me vnd iſt gleich deme
fo begriffen von A.D in DB ‚weil fie gleichformig / darum iſt das .. 1.
von ADiN.DB auch medialiſch / vnd Aß iſtzu BC in die lenge vn⸗
meßlich / aber CB su BE IR meßlich / darumb iſt AB zu BErin die len-
ge auch vnmeßlich / vnnd das quadrat AB vnmeßlich der Häche bes
griffen von AB, BE, aher das quadrat AB iſt gleich beyden quadta⸗
ten AD ,DB,T end der lähen AB, BE: gleich die fläche AB FD, 47.0.1,
wambtich ale rechtwincklet Häche AD, DB, darumb feyn Die quadrar
AD.DB vnmeß̃lich der rechtweinchteren fiächen / ſo begeiffen von den
gfuadnen linien AD, DB.
XLIV.
Wañ zwo allein im bermögen mef-
liche linsen oder zahlẽ addiert werden / ſo
iſt die ſamma Irrational vnd ein
binomuum.(37.p.10.
Sch | Es
Ji. p.1.
xo.p.d.
10.dif.d,
zı.dıf.d,
- Das dritt Buͤch Geometriæx
Es ſeye AB ,2.0fi BC ,v 3. die
ſeyn allein im vermögen Ra
sional meßlich / fo fie addiere wer,
den ı fo gibts ein binomium, als
AC, 2-rV3. ihre quadrat iff
7V48. dann das quadrat AB,
iſt 4. vñ dag quadrat BC, AlE DF>
iſt 3. vnd das rechtwincklet vier,
ef begriffen von AB,BC,als CF.
iſt v ı2.das dopplet fommen bey»
be viereck CF, FE,V48.. das ad⸗-
dier su beyden quadraten AF, FD
ſo tompt das quadrat AD ſo Ir
rationalwie auch ſein ſeyten AC,
ſo an binomium.
Demonſtration
Weil AB, BC, allein im vermögen Rational meßlich / ſo ſeyn fie
in der lenge vnmeßlich / vnd wie AB, zu BC, alſo das quadrat AB,
zum rechtwinckleten viereck begrifft von AB, BC, Tdarumb iſt das
quadrat AB, zum rechtwinckleten viereck begriffen von AB BC, vn-
meßlich / aber dem viereck CF, iſt meßlich das ſo zweymahl von AB:
BE ‚begriffen iſt dann es dopplet / und dem quadrat BC, ſeyn meß⸗
lich die quadrat AB,BC, T darumb iſt das fo zweymahl begriffen
von AB,BC, 48. vnmeßlich den quadratẽ AB,BC,7. diſe quadrat
. AB,BE ‚7.addier zudem fo zweymahl begriffen von ARBBC, V4B.
kompt das gantze quadrat AC, 7 V48. fo vnmeßlich der ſumma
Der quadraten ABBC, 7. welche ſumma Rational iſt / darumb iſt
Das quadrat AC Irrational / T vnd die grad linten AC, iſt lIrratio⸗
nal / vnd ein binomium.
Wann von einer Rational finien
oder zahl / ein ander ſo zu der ganzen allein
im vermoͤgen Rational meßlich ſubtrahiert
wirt / ſo i der reſt Ierasional vnd ein Reſidu⸗
um.(74. p. 10.) |
Es ſey
VWon den maͤß⸗ vnd vnmaͤßlichen groͤſen ex
5 fey AB, 2. ſo Rational /
darvon ſubtrahier BCV 3.
ſo allein im vermoͤgen meßlich
iſt / mit der gantzẽ AB, ſo reſtiert
ein Refiduum AC, 2- V 3 .hr
quadrat iſt7 —v 48.dann das
quadrat AB ,iſt 4. vnd das quas
drat BC, als DF, iſt 3. vnd das | < |
rechtwincklet viereck begrüfen ac B
von AB, BC, als CF, iſt i. —
das dopplet kompt das ſo zwey⸗ — ——
mahl begriffen von AB,BC ,al& CE, V4s. diß ſubtrahter von beydẽ
quadraten AF,DF, f07. reſtiert das quadrat AC, ſo Irrational
wicauch fein ſeyten AC, ſo ein Reſiduum. | %
Demonftrauon.
Weil aB,Bc ‚allein im vermögen meßlich / fo ſeyn fie in der
kenge vnmeßlich / vnd wie AB, Ju BG (fo gleich BC , ) als das qua⸗
drat von AB, als Ar, zum rechrwinckieten viereck FG, (fo gleich
CF, )begriffenvon AB.BC vñ AB, iſt BC, vnmeßlich / darum̃ iſt dz
quadrat Ax vnmeßlich / dẽ viereck FG,oder FC, aber dem quadrat
AB, ſind meßlich die quadrat AB, BC, aber dẽ ſo begriffẽ võ AB BC .
v 12.ift meßlichdas fo zweymahl begriffen võ Aß,BE, als CEVAb.
deßweaẽ ſeyn Die quadrat AB,BC ‚unmeßlich dẽ fo zweymahl begrif
fen võ AB,BC,v48.t darum̃ ſeyn dẽ vbrigẽ quadrat AC, vnmeß 11. pd.
lid) die quadraten Aß BC. Toañ die — AB,BC ſeyn gleich dẽ 13. p. d.
fo zweymahl begriffen von AB,BC ‚fampe dem quadrat AC,Tond 25. p. 1.
die quadrat Aß, BCſeyn vnmeßlich dem quadraf AC vnd Die qua,
drat AB, RC, ſeyn Rational/datumbift AC , Irrarional / wie auch —
die linien AC, iſt Irrational / 4 vnnd iſt ein Reſidum. ıı.def.d,
XLVL .
Die Summe zweyer medialiſ chen
linien oder zahlen / ſo allein im vermögen
meßlich vnd cin Rationdl fluche beſchlieſſen /
iſt Irrational / vnnd die erſte zweyer J
medialiſchen. (38 p — —
c
-
Sud
Cor.zı.p.d
—
3 I.P. 1.
7. p. d.
12. p. d.
11. p. d.
ı1.def.d.
t.
Das drut Büch Greometrix;
vnd das gantze quadrat Anifl Irratiov Fe
nal mie auch die linien AC ‚fo die an»
der / zweyer medialifchen.
Demonftration,
Sch ein Rational DE 4. auff die
ſchreib ein rechtwincklet viereck DBF
Vso-tv4B.gleih dem quadrat AN,
vnd dag viereck DR V’ so. gleich beydẽ
quadraten AL, UN, ſo wird die breite
DHV z5 / vnnd das vbrige viereck HR '
wird gletch dem fo zwey mahl begziffen
von AB,BC,algs beyden viereck CLM -
V,48. vnd Die. breite HG iſt V3.0nnd
die zantz breite DG iſt v3 h 3. Es
iſt geſetzt daß AB mit BC ein medialt,
ſche fläche befchlteffen/ond das fo zwey
mahl von AB,BE ‚begriffen iſt meßlich/dann es iſt dopplet / vnnd
weil es meßlich der medialiſchẽ / iſt es auch medialiſch / on AB auch
BC ſeyn medialiſch / darumb ſeyn auch die quadrat AL,LN media-
liſch / Es iſt aber die flaͤche DK gleich den quadraten AL, LUN, vnnd
die Hädhe HF gleich dem viereck CL’ LM ſo zweymabi begriffen vd
AB, BC, darumb ſeyn beyde flaͤchen EH,HF medinfifch/ vnnd auff
ein Rational geſchriben / darumb ſeyn beyde DH, HG ‚im vermögen
Rational, vnd in der lenge mit DE vnmeßlich / vnnd AB iſt BC in
die lenge vnmeßlich / vnd wie AB.zu BC, alſo AL AULC,T darumb
iſt das quadrat AL zur flaͤche LC vnmeßplich / F aber dem quudras
AB iſt meßlich die ſumma der quadraten AB,BC,dann AB iſt BC
im vermögen meßlich geſetzt / darumb ſeyn Die quadrat meßlich / vnd
jhre ſumm iſt meßlich einem vnd dem andern / + vnnd die ſumma
beyder quadraten AB BC ‚als DK vnmeßlich dem fo Swen mahl be⸗
griffen von AB,BC als UF, F darumb iſt DH mit HG in der lenge
vnmeßilich / deßwegen ifEDG''rrarional , vnnd das ſo begriffen
von einer Rational pr: deiner Irrational iſt Irrrational, darumb iſt
die flache DE Irrationai / vnnd Irrational iſt dic von welcher ſie ent⸗
ſpringt ſo hier iſt AC, darumb iſt AC irrarional vnnd die andere
zweyer medialiſchen.
Kurtze
>. VWonden maß⸗vnd vnmaͤßlichen graſſen. 107
F Kurtze Erklerung · nt
Sie wird geheiffen die ander/zmenge medialiſchen / dann die fläs
‚he ift medialiſch / vnd nit Rational, als das ſo begriffen von AB,
BC, dann die medialiſch gehet nach der Rational. |
XLIX.
Wann von einer medialiſchen Eini⸗
moder zahl / ein medialiſche Linien oder zahl ſo
allein im vermoͤgen meßlich vnd ein medialiſche fläche
‚mir der gantzen beſchüießt / ſuberahiert wird / ſo iſt der
Reſt irrational vnnd die ander Reſiduum der
| 2 medialiſchen / (70 p 10.
S ſeyen wider die nechſt obgeſetzten
AB VI8 vnnd BCVBS. die ſubtra-
hier / fo Reſtiert ACwW 18 — wE.ifl Ins
rational, und jhr quadrat iſt 0 V
48.dann das quadrat Ab iſt V18. vnnd
bas quadrat OP v8. vñ das rechtwinck⸗
let viereck CP ‚fo begriffen von AB, BC
iſt 12. diß dopplet iſt das rechtwincklet
viereck CQv 48.58 ſubtrahler von bey,
den quadraren Apvı8.und OP V 8.f0
vso.fo Reſtiert das quadrat ACvV’ fo
—/43.da8 iſt Irrational, wie auch fein
feiten/welche eines der andern Refidui ' |
Der mediglifhen. ———
Demonftration. EFxK L
Setz ein Rational DE ‚4. darauff fchreib ein rechtwincklet hier,
eck DK, v’ go. gleich den quadraten auff AB, BC, als AP, vnd Or
Das macht die breite DH ,v/ 35. vnd ſchreib auff HK ‚(fo gleich der
Rational DE, das rechtwincklet viereck GK, fo gleich dem fo zwey
mahl begriffen von Ab, BC, als CR ‚das mache Die breite RG.3
(oder NA, )vnd reſtlert die breite DG,v/ 35 v3.onnd das vbrige
“
A
P
N
—*
—
>
a)
[
DD» te
= un At —
— — —
7..4.
Ir.p. d.
31. p. 1.
LE. def. d.
v
—
ODoas driu Wich Geometriæ
viereck DE, iſt gleich dem quadrat AC, 1 Die quadrat AB. BC, ſeyn
medialiſch / has iſt DK, auch medial iſch / fo auff die Rational
DE, geſchriben / darumb if DH, allein au vermoͤgen Rational / vñ
mit DE, in der lenge vnmeßlich / vnd das fo begriffen von A,B,BC,.
iſt medlaliſch als Cp, darumb if auch medialiſch das fo zweyinahl
beariffen von A1B, BGC, als EQ dem iſt gleich GK ‚) darumb iſt
Gk, auch medialiſch + fo auff HK, die Rational geſchriben macht
bie breite GH, ſo Im vermögen Rational vñ vnmeßlich in die leuge
mit DE, vnd AB, it BC ‚in die lenge vnmeßlich / dann ſie allein ine
vermoͤgen meßlich geſetzt / darumb iſt das quadrat AP, vnmeßlich
su dem ſo begriffen von AB,BE, aſs PN, æ dann wie AB, iu EN,
(fo gleich BC Jap AP su PN, dem quadrat Ab, iſt meßlich die ſum-
ma der quadraten 4p.Op, dann AB, tft BC, im vermögen meß⸗
lich geſetzt onnd die ſumma der quadraren ale DK iſt vnmeßlich
dem fo zweymahl begriffen von AB,BC ‚ale GK,t aber tote DK,
iu GK,alfo DHUHG ‚T darumbifl DH in die Inge vnmeßlich
mit G', ſeyn aber Beyde DH,HG ‚Rarional allein im vermoͤgen
meßlich / darumb iſt DE Refiduam: vnnd DE iſt Rational , aber da
viereck begriffen von per Raidonal vnd Irrarionaliff Irrarional ‚ das
rumb iſt dag viereck DPF Irrasiomat/aher dielinien AC ‚vermagdag
viereck DF ‚Deßtwegen iſt AC Irrauonal,t vnd die ander Refiduum.
der medialiſchen.
53. 1.
L
Wann zwo Einien oder zahlen ad⸗
diert werden / ſo im vermögen vnmeßlich / vnnd
vnd die ſumma jhrer quadrat Rational iſt / vnd das
fo von jhnen begriffen: medialiſch / ſo iſt die Amna
——— maiores.
&25 swo linien oder zahlen # ABV.32-+- V784.BCV.32-—
v 704.fo Die addiers werden / ſo fompt ACv.32--V 704: m,
V.32—-v704.ifl Irrational, vnd jhr quadrar iſt 64-+-v 1280. dañ
das quadrat AB IfF32+-Y 704.01nd dag quadrat sc iſt 32
794.thut sefammen 64. fo ein Rational sahl für beyde quadrat AB,
RC,al6 AD,DF vnd dag rechtwinckket viereck / ſo begriffen von AB.
vnd
”
.
Von den maͤß⸗ vnd vnmaͤßlichen groͤſſen. 106
vnd 3c, Iſt DV3 20 ſo ein E
smediales, diß dopplet / kompt
für beyde rechtwincklete vier⸗
eck CD,DE , v 1280 fo auch
medaliſch ennd Das gantze
quadrat AF iſt Irrational wie
auch die linden AC,onnd ſeyn
maiores.
Demonfitrition.
Es ift mediatifch daß von
AB,BC begriffen / bit | F |
auch das fo simcy mahl begriffen medialiſch / Faber die ſum̃a der ua, Cor.zı.d,
dratẽ AB, B - Rational, datum̃ iſt das fo zwey mahl begriffenve
AB, BC, vnmeßlich der ſumma der quadraten AB,BC vñ die qua-
drat AB,BC ‚mir dem fo zwey muhl von AB,BC, ale das:
Quadras auff AC als Ar iſt onmeßlich der ſumma der Quadrasen
AB,BC fo Ratisual,darzımb 4 AF Irrardonal vnnd die ſeiten AC
Sf Irrarional,t vnd if mamees. | 11.dekd,
Surge Erllerung. Ze
Wird geheiflen malores weil die Rational flächen / welche gu
macht von AB,B C, groͤſſe ſeyn / dann Die medialiſchen / ſo zweymaͤhl
begriffen von AB.BC.
LI.
Wann bon einer Einien versah,
ein Linien oder zahl mit der gantzen im vermioͤ |
gen vnmeßlich ſubtrahiert wirdt / vnd die fumma ihr vnnd |
der gantzen quadraten Rational iſt / vnd das von ibnen bes - ur
griffen medialiſch / ſo iſt der Reſt Irradional |
snndfeynminores, 2 | Ä
(77.p.10.) nn . |
ROM: die nechſt obgeſchten Aß8“. 32-4-V/ 704. vnnd |
BCYV.32—y704.dic BEESDEINESIIS" ie ACY —
904 FV. 32704 vñ iſt a
Irrational, vnnd Fi quadrar
iſt —** 1280. dann das
quadrat auff AB iſt 22
704 vnd das quadrat BC als
DFiſt 32 704. ſeyn zeſam
men 64.fo ein Rational iſt on
das rechtwincklet wiered CF,
begriffen von AB,BC ıflv 3 20
fo ein mediales , dopplet ift das
rechtwincklet viereck CEV 1280.biß fubrrahier von beyden quadra⸗
ten AD,DE ſo 64. ſo reſtiert das quabrat D 4 —-Y 1280das iſt
Vrauoaai wie auch fein friten / weiche {fi minores.
Demorftration.
Die Summa deß quadrats aß, 8. als AD,UMdDF,ifiRa
rional / vnnd das ſo zweymahl begriffen yon AB: ‚BE, als-CE iſt
medialiſch vnnd die fumma beyder quadraten AB ,B * iſt vnmeß⸗
lich / deme fo; ahl begriffen von AB,BC ‚pnd die quadrat AB,
BC, ſeyn vnmeßlich dem quadrat AC, taberdie quabrat AB,BC:
des fepn Rational/ darumb iſt AC „ Irrarionai / vnd die linien AC,.
ı1.defd. als der reſt / iſt Irrational / T vnnd iſt minores/ ELITE
BR linien iſt malores +.
LII. | e ü
Die Summa zweyer im bermögen
vnmeßlich linien oder zahlen / Deren quadrat
— Pe. / vnnd das von ihnen begrife
\ fen Rational iſt / iſt Irrational end vermag ein
Rational — Prag flaͤche.
(41.p 10
38. Vch zwo liniẽ oð zahlẽ T B, V. yı I-H43BcCV. ur
8% die addier sefammen fofempr für NY vızi-rvaR.
v133-—-v4$. {fl Irrational / vnd fhr quadrat IR 14 6-
— das quadrat Ab iſt 133 40 vond das quadrat — ft
Von den maͤß⸗vnd vnmaͤßlichen groͤſſen. 107
VI33 V⸗Afñ. thᷣt zeſammen v . | | —
74.ſo medialiſch / vnnd das reccht 5 F.
wincklet viereck CD, fe begriffen
e von AB,BC iſt 3.foein Rational
diß dopplet kombt für beyde rechts |
wincklete viereck CD, DE ‚6. fo
auch ——— vnnd das gantz u
quadrat AF, iſt Irrational wie. | ,,,.
auch die linten AC, weiche ver, vertvat
mag ein Rational vnnd medialb B
cfaͤche. A
el
AST NH Vor |
Demonſtration.
Die Summa der quadraten AB,BC ‚tft medialiſch / vnnd das
fo zweymahl begriffen von Ab, BC, iſt Rational / darumb iſt die
- fuma der quadraten AB,BC, vnmeßlich / dem fo zweymahl begrif⸗
fen von AB-BC, vnd das sank quadrat auff AC ‚alg AF Ki; vn⸗
meßlich dem fo zweymahl begriffen von AB,BC ‚taber dasfogwey ı 3.p.d
mahlvon AB,BC ‚begriffen iſt Rational / darumb iſt das quadrat
AF ‚Irrasiona / vnd die ſeyten AC, iſt Irrasionaly F vnnd iſt dieje, ıu.def, d, °
‚ Big fo vermag ein Rational und medialifchs flaͤche.
LIIL
Wañ bon einer linien oð dahl / ein li⸗
nien oder zahl ſo mit der gautzen im vermoͤgen
vnmeßlich ſubtrahiert wirt / vnd die ſumma jhrer vnd
der gangen qufadrasen medialiſch / vnd das ſo j vey⸗
mabhl von jhnen begriffen Rational iſt / ſo iſt der
Reſt Irrational / die mit der Rationai aliie
| medialiſch macht. (78.5. 10) | ;
(Fe feyen wider die nechfl obgefehtd AB vV.Vı Er vgE BC
vv 133 —44.die fubrrabier fo reſt für AC,v.v 133 vV4E.
— V.v133— Va}. vnnd iſt Irrarional / vnnd jhres quadrat
AD, iſt VJ46. dann das quadrat AB iſt V Er vos. vnd das
& Ä | j qua⸗
11.def.d.
Das dritt Buch Geomettix.
quadrat BC iſt 134 — vVaR ve
chut zeſammen v 54 fo media⸗
liſch / vnnd das rechtwincklet
viertck CF, begriffen von AB,
BC , iſt 3. diß dopplet iſt für
das recht wincklet viereck CE,
©. fo weymahl begriffen von |
AB, BC, vnd iſt Rational / diß as
fubrrapiervon beyden war» A € B GC
sen AD, DF—, 54. reſtiert füt | er
das quadraf ADV S4——-5.fogreational / wie auch fein Teyten ac.
welche mit der Rational alles medialiſch marke.
Demorftratien.
Die ſumma der quadraten AB, BC iſt medialiſch / vnnd das ſo
gweymahl begriffen von AB,B:C iſt Rational darumb ſeyn Die qua⸗
drat AB,BC vnmeßplich / dem fo zwey mahl begriffen von AB;BC,
darumb iſt auch das vbrige quadrat AT vnmeßplich / dem fo zwey⸗
mahl begriffen von 4BBC, aber daß zweymahl von AB,BC bes
griffen iſt Rational, darumb iſt das quadrat AC Itrational, vnnd
Ben iſt Irrational, + fo mir der Rational alles medialiſch
ma
LIV.
Die ſumma weyer linien oder zah⸗
len / welche im vermoͤgen vnmeßlich / Deren quas
dratẽ ſumma medialifch iſt / vnd das von ihnen bes
griffen medialiſch vnnd vnmeßlich der ſummã jhrer
quadraten / iſt Irration al / vnnd vermag imo
medialiſche fläche.
(42.P.10.)
Such
Von den maͤß⸗ vnd vnmaßlichen groͤſen. 108
rn Dich zwo linien oder zahlen TAB 4
VVaarvzmdBCV va -
v3: die addier zeſammen / ſo kompt fir _
Ac, V. ꝰ .VVʒ.
iſt Irrarionat / vnd ihre quadrat iſt 18
VS. dann das quadrat AB tiVa$
V vnnd das quadrat BC, als LN.
iſt 44 V3. thut zeſammen v 18.6
medialiſch / vñ das rechewincklet viexeck
_CL,fe begriffen. von AB, BC, iſt ViIx.
fo audi medialiſch / diß Doppler kompt
für bende rechtwinckletewiereck CL,LM
‚v6. fo auch — / vnd des gan
quadrat AN, der linien AC, iſt Irra tio-
nal / wie auch dielinten AC, vnnd ver⸗
mag zwo medialiſche flaͤche.
Demonſtration.
Setz ein Karional DE ex dran
ſcheib ein rechtwincklet viereck DF, v 18. gleidy den quadraten AB,
- BE vnd das viereck GH ,v & gleich Dem fo zweymahl begriffen von
AB,BC,fowist die breite DG V2. vnd GR, V. iſt die gang breite
DKV2-PV —f6 Irrarlonal /sand von zweyen nammen / vnnd das
gantze rechtwincklere viereck DH, iſt gleich dem gantzen quadrat
auff AC, als AN ‚T die ſumma der quadraten AB, BC, iſt media- 22. p. x,
liſch / darumb iſt Dr , medialiſch / wie auch OH, dann bag ſo zwey⸗
mahl begriffen von AB, BC, iſt medialiſch / vnnd iſt jede fläche DF,
&H, geſchriben auff die Rarional DE, darumb iſt DG, vnnd GK.
tin vermögen Rarienal / vnnd in die lenge mit DE vnmepßlich: vñ
die ſumma der quadraten AB, BC, iſt vnmeßlich dem fo zweymahl
von AB, BC, begriffen / deßwegen iſt DF, vnmeßlich zu GH, vnnd
wit DF, zu GH, alfo DG, zu GK, Tdarumbift die grad DG, pn» 31. p. 1.
meßlich der graden DX, ſeyn aber Rational im vermoͤgen / darum 7 p. d.
feyn ſie allein im vermoͤgen Rational meßlich / darumb iſt DX, Ir
rational. Von zweyen nammen: DE, iſt Rational: darumb iſt die
fläde DH, Irrational / vnnd die fic vervrſachet iſt 1rational / aber”
Dir grade AC. vervrſachet DH,Dasumbiff AC, Irranonalı Fvnnd i I. det. d.
dermag zwo medialiſche fläche, RKuͤrtzere
7 Das dritt Buch Geometriæ.
Kurtze Erflerung.
Es vermag zwo mebialifche fläche / dann die ſumma der qua⸗
draten AB, BC ‚ft medialiſch / wie auch Das fo weymahl von AB,
BC ‚begriffen wirt.
LV-
Wañ von einer linie oder zahl / ein li⸗
nien 08 zahl ſomit ð gantzẽ im vermoͤgẽ vnmeß⸗
lich —— wirt / vnd jhres vñ das gantz quadrat
medialiſch iſt / wie auch dz fo zweymal von jhnẽ begriffẽ me⸗
vnnd 80,. 43 V3. die ſubtrahier
dialiſch / vnnd das rechtwincklet viereck
iſt lrrational wir auch fein ſeyten AC, EH
Bialifch vñ vnmeßlich mic 8 fin ma der quadratẽ / ſo iſt J
reſtiere noch ACV. VV -V.
—
- CP , bsgriffen von AB,BC , iftV 1}. /
dopplet iſt das viereck CQv6.fo zweh⸗
*—
Reſt Irrational / fo mir der medialiſchen alles me
dialiſch macht. (79. p. 10.)
Es ſeyen — neät obgenetre hr
nen oder zah €/ ABVv.v43+-V3
— —
43—-v 3.ifl Irrational / vñ jhr quadrat |
AO, iſt 18V 6. Bann das Quadrat IR.
AD, ilv42—+vV 3.00 dag quadrat OP A cBN
v43——-V3.thüt sefammen v ı8.fome DE <
mahl begriffen von AB, BC, vnnd iſt
medialiſch / di ſubtrahier von beyden
quadraten Ap ‚ennd OP ‚fo VIS. re-
ſtiert / das quadrar 40, 18. — v6 dif
pe ar uns mb we m a
welche mit der medialiſchen alles media
u Uſch mache.
\
Demonftration.
Setz ein Rational DE 3. darauff ſchreib dag rege wincklet viereck
«DR
—
Von den maͤß⸗vnd vnmaͤßlichen ardfien. 109
DF gleich beyden quadraten AB,BC ‚die macht Die breite DG;vV 2; }
vnnd ſubtrahier darvon HG, fo gleich dem ſo zweymahl begriffen
von AB, BC, vnd macht Die breite K:G, VE derrefipH, gleich
Dem quadrat AC, vnd macht die breite DRV2-=-V end Dr, iR
medialiſch(dañ es afeich beyden quadraren AB, BC, ſo medtalifcht) Cor.t2 p.d
vnd D F, iſt geſchriben auff die Rational DE, vnd macht diebreire '
DG, fo Rationa / iſt aber in der lenge mit DE, vnmeßlich / darumb
iſt D G, allein im vermögen Rational / vnd dag ſo zweymaht begrif⸗
fen von AB, BCziſt medialiſch / (und iſt im gleich die fläche Kr ) das -
rumb iſt KF, auch mediglifch/gefchriben auff die Rational KH, ( fo
gleich DE , ) macht die breite KG » darumb iſtRG, Rationalinder -
Ienge vnmeßlich mit DE, darumbift KG ‚allein im vermögen. Ra»
sional meßlich / vnnd die quadrat AB, BC, ſeyn vnnießlich dem fo. ;
zweymahl begriffen von AB,B CC derwegen ifEDF,onmeßlih X F,
aber wie DF,5u Kr, alfo DG, zu KG,T darumb iſt DG, uK6,31P I.
vnmeßlich / vnd ſeyn Rarional Darumb ſeyn fie allein im vermoͤgẽ
Rational meßlich / darumb iſt DK, «in Refiduum / Fond DE, Rt 45 · p. d.
Rational vnd das fo begriffen von der Rational vnd Reſiduumiſt-
Irrational /+ vñ die von welcher eg entſpringt iſt Irrational / es ent, 20. p. d.
ſpringt aber von AC, darumb iſt AC, Irtational / + fo mir der me, 11, def, d.
dialiſchen alles medialiſch madır.
- Steman diefeße Binomia
A vnd die ſechsKelidua ſuchen J J
54
‘
vüfindenfl. «
LVI.
Wie die erſten binomia vᷣnnd
Reſidua zefinden ſeyen /
J (49. vnd 86 p. io.) F
F Be: So
Das dritt Buͤch Geometrice.
DPI ZU
hafft ale Ab {8'BC propartioa ee BB
habe wie quabrat zahlen / vnnd 8
— ——— ge
haben w zahlen / ſet
anthein Rational D, vnnd ER N I
feyin der. lenge meßlihmie no, E *
ſo iſt EF auch Rational, vnd fü a ⏑
AGIH. CB vnd EFGCdarauk IK L,
ſuch den andern theil alſo / *.
wie ßBA, zu AC, alſo das qua-⸗ —
16122
drat ER im quadrat FG, auf
36 27
diſem v Hfliv 27.da8 addier zu EFG ſo kompt das erficbinominm'
6.p d.
4P. d.
v. p.d.
23. def. d.
19,dck. d.
=> v 27.0nnd ſubtrahiers von EF6. tefliere das erſt Reidmm 6-
ey 27.
Demonftration..
BA, AC har nit proportion wie quadrar zahlen darum“ -
hat das quadrat EF,jum quadrat FG: „. auch nit proportion wie
quabrar zahlen T vnd ſeyn allein im vermögen Rational meßlich /
darumb iſt EG von zweyen nammen/t endiffen erſtes binomium
vnd das quabrat.EF,obertrifft das quadrar G, vm̃ da gnadrat H,-
Vnd wie AB, zu B Jalſo das quadrat ER, zum quadrat H,.
16 4 | 3€: *
Aber AB u BC, hat proportion wie quaͤdrat zahlen / darumb hat
EB, zu h, auch proportion wie quadrat zahlen / vnnd iſt EF in der
lenge meßlich mit n. kvnd ER vermag: meht dann EG, alſo das
quadrat einer graden linten mit jhren meßlich in die lenge / vnd ſeyn
EF, FG alltin im vermoͤgen Rational meßlich / aber Er iſt D in der
— 'FG das erſtbinomium. +.
eicher vrſach iſt Ic: ein erſtest Reñdunm,; dann die gant IL,
vermag ſo vi mehr als der angeſetre cheil R. vmb ein quadrat ei⸗
ner Iinten mit ihren aneßlich in die lenge / vnd die gang IL iſt mit der
geſetten Rauonai D auch meßlich in die lenge +. —
a
——
v⸗
VDon den meß⸗ vnd vnmeßlichen groͤſſen. 1
LVII.
Mie die andern binomia bᷣnnd
Reſidua zefinden / (yo. vnd
87. P. 10.)
— — — — — —
SE wo zahlen AC,CB , Der geſtalt daß fie fammenhaffr ale
AB ju BC proportion hahen/wie quadrat sahlen / und in AC
nit proportion haben wie quadratzahlen / ſet auch ein Rational D,
vnd FG iſt mit D meßlich in dielenge / ſo tft FG auch Rational, vnd
ſey AC 9. CB 3. vnd FGG. darauß ſuch den erſten theil alſo /
mwie C A jun AB.alſo das quadrat FG, zum Quadrat FE, auß diſem
9 12 36 48
V iſt vaB.hiersu adbier den andern cheil EG C.fo kompt für das an⸗
‚der binomium v 484-6. | :
Bon v 48. ſubtrahier FGG. fo refliere das ander Refidunm v/ 48
6.
Demoniftrauon.
CA, iu AB hat nitꝝropor- 5
‚sion wie quadratsahlendarum — I;
har dasquadrat GF sum qua A 0 3
drat FE auch nicht proportion :8
wie quadratzahlenıdarumb iſt —
GE ju FE vnmeßlich in der lẽ⸗ —
gert fonder nur allein Rational —— ⸗
meßlich ım vermögen, deßha, TE ‚FE
benift EG vözweennamment wAt=6
vnd iſt en anders binomum. x U
Das quadrar EF, vbertrifft |
quadrat FG vmb di quadrat n —
H,ohmie Ab, u BC ‚alfodag "I
12 ‚3
auadrat BF ‚Hm quadrat H,abır AR zu BC, bac.genpasaien:zuie
| 48 | 12 |
quadrat sahlen/darumb hat das quadrat ar aquadrat H ”
.Daẽs drit BüchGeämerrii, "7
proportion wie quadrat sahlen/onb iſt Er sun in ber Inge mep⸗
lich Fvnd EF yermag meh? dann FG vmb das quabrat.M Der gras
dert kinten mit ihren meßlich in Die lenge / vnnd feyn beyde EF, FG
im vermögen allein Rarional'meßlih/onnd FG der feiner cheil iſt
in der lengameßtich der gefekten Radanal D, darumb iſt EG eines
deß andern binomii,t.
Gleicher vrſach tft IL ein anders Refiduum/t dann die angeſetz⸗
teLK iſt meßlich in die lenge der gefehten Rational, vnnd die gang
IIL vermag meht / laß die angeſetzte LK ‚omb das quadrat H, wel
w
ches feiren mir jhren meßlich ift in die lenge.
| LYHI, De
Wie man das dritte binomium
vnnd Reſiduum finden ſol /
(sıond 88. p.io.)
Ett zwo zahlen AC, CB, er —W
der geſtalt daß ſie ſanien — — B
bafft ABU BC einproporuon 0
habe wie quadrat zahlen / vvund —— ——
zu AC nicht proportion habe d»
en nt .. feg * —
ein zahl D fo mir quadrat und Z —
daß ſie weder zu BA noch zu 3 v8 ũ
ACproporuöhabtwieringua FW, © |
drat zahi / zu einer quadrarzahlı / Y_
vnd fer auch einRational E, vñ L- M
esfene die sahl ac ıs.CHB5. “Em
D 30.0nd Die RationalE ſey6. K
darauf ſuch die theil. R
Wie D, su AB,alfo das quadrasder Rational E, zum quadrat FG’
30 20 3 6 ) 24
auf difemv/ iſt der erftechell V24. den andernchetl fuch alſo /
wie BA, iu AC-, alſo FG, zu GH, außdifem v iſt 18. für GH, die
20 15 24 18
addierslfFG, v 24: fo kompt das dritte binomium ya4-r-V/ *
© pn
*
—
ss
«
v
Von den meß⸗ vnd vnmeßlichen o roͤſſn. um
end ſubtrahier / 18. von v24 reſtiert das dritte Refiduum 24.
—y18,
: Demonftration..
ı
D, zu AB,hat nit proportion wie quadrassahlen / darumb har
Bas quadrat E,jum Quadrat FG, auch nif proportion wie quadrat
zahlen / darumb it E 3u FG, ınder lenge vnmeßlich. + 6.p.d.
Vnd BA, zu AC, hat auch nit proporiion wie quadrat zahlen /
darumb hat das quadrat FG, zum quadrat GH, auch nit pro»
portion wie quadrat zahlen / deßwegen ſeyn fie in der lenge vnmeß⸗
Ich darumb iſt FH, von zwh nammen das iſt ein binomium fund 44. p.d.
iſt das dritte: dann das quadrat FG, vbertrifft das quadrat GH,
vmb das quadrat K.
- Ed wie AB,iu BC ,alfo Dagquadratr G, zum quadratK,
7 To Ge 24 6
aber AB,sıt BC , hat proportion wie zwo quadratt zahlen / das
rumb hat das quadrat. FG, zum quadrat K auch proportion wie
zwo quadraͤt zahlen / vnd EG ‚ift in der leng.meßlinmieK / T da, 6.p.d.
rumb vermag FG, Mehr dann GH, ale ein quadrat einer linien
mit jhren meßlich in der lenge / vnd beyde FG, GH, ſeyn der gedady
ten Rational vnmeßlich in die lenge / darumb iſt FH deß dritten bi⸗
wnomii eins.* 15. def.d.
iſt in der lenge.
pi»
Gleicher vrſach iſt LN, def dritten Reſidui eines / + dann weder. zı.def.d.
« Die gantz UN/ noch Das angeſetzte theil MN , iſt mit der geſetzten Ra
rionalE, meßlich in der lenge/und die gang vermag ſo vil mehr als
die zu geſetzte / vmb das quadrat einer linien / font jhren meßlich
—
LIX.
Sie das vierte Binomium
vnd Reſiduum zefinden, ,
(72. vud 89. pio.)
Ch S%
44. p.d.
⸗
60.p.d.
16.def.d.
22. def. d.
D
D, welche dem erſte theil BF, —
in die lenge meßlich ſeye / ſo ſt E F 6
4
Das dritt Bäch Geometrie
Etz zwo zahlen AC,CB 10 —
der schglrbar ſie zſſam A ce >»
menhafft aid AB ‚zu keiner c |
proportion habe wie quadrat —
zahlen/ vnd ſetze ein Rational
EF, auch Rational / end die
zahl AC ‚fiy 10. CB,6.Pnnd KL
die Rarional.D ſey 6. vñ EP,
4. darauß ſuch den anderen vs_
theil / MH
wie BA,ju AC ‚alfo das quadrat ET jum quadrat FG, darauß die
ı6 10 Pr 3 er
viftv ıo. die addier zu ER, 4. ſo kompt ein viertes binomium 4-+-
Vio. fübtrahier.V.ıo von EF, 4. fo reſtiert ein viertes Rehdu-
um 4V10.
Demonſtration.
BA, AC, hat nit proportion wie quadrat zahlen / darumb har
EF ‚iu FG, auch nit proportion wie quadrat zahlen / darumb iſt EF
gu EG, allein im vermögen meßlich vnd nit in der lenge / darumb
iſt EG, von zween nammen / + ond iſt ein viertes binomium/dann
Das quadrat EF, vbertrifft das quadrat FG, vinb das quadrat H.
ond wie AB zu BC, alſo das quadrat EF, zum quadrat H,
16 6 16 6
Aber AB ‚zu BC, ‚har nit proportion wie quadrat zahlen / darumb
TER, vnmeßlich in der len ze mit H, Fond vermag aiſo EF, mehr
dañ FG, alſi das quadrat einer graden linien / mit jhren in der len⸗
ge vnmeßlich / vnd ſeyn EF, FG, allein im vermögen Rational meßr
lich vnnd Er, iſt meßlich in der lenge der Rational D ‚darumb iſt
EG, ein viertes binomium. F
Gleicher vrſuch GEIL ‚ein viertes Refidaum dañ die gankt IL,
bermag inehr dann die angefigre KL, vmb ein quadrat einer grade
linien Ihren vnmeslich in der lenge / als das quadrat H vñ die gang
AL iſt meßlich in der lenge mie der geſehhten Rational D,
Wie das
WVon den mäß end vnmaͤßlichen groͤſſen. — Es
N L . \
Wie das fünffee binomium vnd
| Refiduum ʒefinden ſeye / (y3.
* vnd 40. P.10.)
Ep zwo zahlen AC, CB, der — ea
geftale daß ſie fammenhafftt - —
als AB zu feiner proportion habe
wie quadrar zahien vnnd ſetziein |
Fee ar FG — m: Ay D | |
lenge meßlich mit D / fo iſt FG,
auch Rational / ond die zahl AcC, ——
iſt 16: CB,4: FG, 2. darauß ſuch
den erſten theil alſo. vF--Z ö
wie CA, su AB,alfodag quadrae Ik L
Fee —— vi
16 20
GEF; sum quabrat FE, hierauß V
4: f: | Ä — |
it vr. bierguiaddier FG, 2. fo fompr das fünfft binomium vs 2.
vnnd ſubtrahier FG, 2. ſo reſtiert das fünfft Refiduumv s—2.
Demonſtration
CA, zu AB, har nit proportion wie quadrat zahlen / darumb hac-
GF, su FE, auch nit proportion wie quadrat zahlen / darumb ſeyn
EF, FG, allein im vermoͤgen Rational meßlich / F vnd iſt EG ein 6. p. de
zweynammige Fond’ ein füufftes binomium. Das quadrat EF, 9 44-P. d.
bertrifft das quadrat FG, vmb das quadrat B. -
Vnd wie AB, zu B C, alſo das quadrat EF, zum quadrat H,
20‘ 4 ‘ ? fi r
Aber AB, In sc hat nit proportion wie quadrat zahlen / darumb
iſt EF, zu H, in dielenge vnmeßlich / F vnd vermag E r,mehr dann 6 p. d.
FG, vmb ein quadrat einer linien fo jhr in der lenge vnmeßlich / vnd
EF, FG, ſeyn allein im vermögen Rational meßlichſvnnd FG, Die,
kuͤrtzer tft mir der gfehten Rarional D meßlich in der lenge / darumb |
WEG ,tin fünfftes binomium. + Gleicher 17.def.d.
7 Das dritt Büch Geometrix,
a3. defd. Gleicher vrſach iſt IL, ein fünfftes Refiduum + dan die möchtet
KL. iſt meßlich mit der gefegten Rational in die fenge.
LXI
Wie das ſechßte Binomium
vnd Reſiduum zefinden ſeye.
(34. vnd 9 1.P.10.) *
Etz zwo zahlen AC,CB, ber geſtalt daß fie ſammenhafft als
AB, zu feiner proportion habe wie quadrat zahlen / vnnd ſey
noch ein ander zahl ſo nit quadrat als D, ſo auch zu keiner weder zu
BA, noch zu AC, proportion habe wie quadrat zahlen / vnnd ſetz ein
Rational E, die key J vnnd AC, 10. CB, 6. vnd D, 20. vnnd ſuch
die thetil /
wie D ‚AU AB, ‚alfoi BAR SLADEALYONE Ju quadrat EG FG daraußy/
20
u iſt der he V20 den anderen a ſuch alſo /
— wie BA,AC, alfodas quadtat FG, FG ,jum quadrat GH, GH,daraus Pr
16 10 20. 12$
der auoer theu V ı2E.
Addier beyde theil eſammen / ſo kompt für ein ſechßtes binomium -
Vvr2o -V123. vñ ſubtrahier ein theil vom andren fo 0 tempt für ein
J ſechßtes Reſi duum v2o—Yvı22. Ä
Demonftrarion,
D, zu AB, hat nit proportion Kg
wie quadrat sablen,darumb hat dz
. aAuadrat E, zũ quadrat HG ‚auch A een >
= Nitproportion toie quadrar zahle / m
£ d darumb iſt E, iu FG, in der lenge —
p vnmeßlich. + —
Vnd AB. zu acC, hat auch nit E
proporuon wie quadrat zahlen / da —
rumbhat das quadrat FG zum FT <, HH
quadrat GH, aud nit proportion vage virk
wie quadrat zahlen / deffenmegn LM MN
ſeyn fie ın Ber lenge vnmeßlich / vñ —
if EG, iu GH, allein im vermögẽ K
Von den mah / vnd vamahlichen gröſſen. 13
Rauonal meßlich / vnnd mn, if ein zweynammige T vnnd iſt ein 42.8
ſechßtes binemium...
das quadrar FG, vbertrifft das quadrat CH, vmb Das quadrat K.
nd wie Aß, zu BC, alſo das quadrat 6, zum quadrat K,
16 6 | 20 3
Aber AB, zu 8C hat nitproporiionwie quadrat zahlen / varumb
hat das quadrat FG,jum Auadrat K, auch nit proportion wie qua⸗
drat zahlen / darumb iſt FG. in der lenge —** rt micK,onnd .p.d.
———— mehr dann GH, als ein quadrat der linien mir jhren F
in die lenge vnmeßlich / vnd FG,GH, ſeyn allein im vermögen Ras
sional meplich / vnd keine iſt der geſetzten Rational meßlich in die len⸗
ge / F darumb iſt An, ein ſechßtes binomium. 18.def.d,
BSleicher vrſach if LN,ein ſechßtes Rcfidaum/ + dann weder die-24.def.d.
gantze LN, noch der angeſetzte theil MN, iſt mie Der geſetzten Ratio⸗
nel E, meßlich in der lenge / vnd bie gang vermag fo vil mehr dann |
die zu gefehte/ / vmb das quadrat einer Linien fo mir ihren vnmeßlich
iſt in der lenge.
LXII. IE:
Einer jeden flaͤche / ſo bon einer Ras
etional / vñ einer zweynammigen liniẽ ober zahl
begriffen / quadrat wurtzel iſt / die jenig grad linien oder
ein zahl / ſo der gedachten flaͤche ein gleiches quadrat
macht. 1. vnnd 92. . 10. ) |
Das Britt "Bhch Geometriæ.
(Fe iſt ein Rational AB5. vnd ein ioeynammigr AD 4-F Vz.
oder AU4 = V'r2. gerhelltimfeinenammenimE, darumb iſt
AE 4.0 E DV 12. diſe theil in zwen gletcherheildn F fo kompt für
EF OBEr EDV 3. auff den groͤſſernithen AE: ſchreib ein rechtwinck⸗
— let viereck Q gleich dem vierten theil deß quadrats ED, als gleich
24. Pie dem quadrat I, dem noch abgeht ein quadrat Figur / + die ſchneid
AE in G, wirdt A G3. vnd GRI, auß G,E,E , itche AP parallelen
GH,EK,EL,fo fe jn die rechtwinckleten viereck a15. GX5. vnnd
EL oder ECVK vund die gant ſaͤche AC, begriffen vonderKas
sional ABs. und der zwey nammigen AD4-FV? 12. 0der AD4-=r
z V 12.ifl 20V 300.0d8r 20r au em fisch ein linien o⸗
der zahl / deren quadrat gedachter fläche sleich ſeye / die iſt dann bie‘
= wurtzel der weynammigen Hädhe AC,Difesucrfahten / fo fcheeib
ein quadrat sN gleich der ſtaͤche Aa 5. vnd ein quadrasınB , gleich
Der flaͤche GKs. vnd ſetze ſie zeſammen / DAEMN, NX, in ein grade
—— komme / ſo iſt ON mie NR: auch in grader linien / vnnd ſchreib
gantze quadrar.sı.Bagift gleich der gangen Nchen AC2o-t--
300. |
Theil den cheil ao. in zwen ſolche cheil / daß das fo von
> I5.TIO I .Oder vi/ V. ewnt
4 PA. Be ee, : —
Anderſt·
Subrrahier die quadrat dercheilen von ein anderen als z00 von
400. auß dem Reſt die wurgel iſt 10. Die addier sum groͤſſern chef
20. die Summa z30. halbier / darauß die wurtzel iſt v1 den er⸗
ſten theil / die heifftevon za als 5. ſub vom groͤſten cheil 20.
auß den Reſt 5. die wurgel iſt vs. für den andern vnnd iſt die
wurtzel wie oben is VY. oder ix Vy.
D emonſtration.
| Das rechtwincklet viereck begrifervon AG, Cu iſt gleich dem
quadrat auff EF darumb iſt EKin mitſer proportion zivuſchẽ AG,
Ir. PA. E vnd wie AG qu EF, alſo die finden AH, iu EL, Fond wie Er,
E CG, alſo Die Faͤchen EL, zu CK vndæ - iſt in mitler ee
al
MU...
N
Bontenmäß-undunmäßlihen aröfien. 1
— AC, vnd GE darumb iſt dic flaͤchen EL „ auch in meirker
ion jzwüſchen beyden flaͤchen An, vnd GK ‚ endder flächen
| = * gleich das quadrat SN, vnd der flͤche CK if gleich das qua⸗
drat NP,ond zwüſchen den guadraten sn, NP If in mitler pro
a das viereck EL, aber zwuͤſchen beyden quadraten SN,NP,
‚yore
Iſt auch in mitler proportion das rechtwincklet viereck ARda⸗ I7.P I.
rrumb iſt xR gleich EL, vnd pe —— Ox, vnd EL iR zici — —
FC, vnd Disgang. EC, gieich bey Complemenien MR vnd OX,
vnd das ganz recht — ende C.iſt ik sieh dem ganeen 55
Be RE ft ſo vil als die. auß der flaͤche AC le
aus AK2ostECY 300 iſt Mx die würgd(/alEMNV IL --NXVF.
Megehrſt aber in der. 2. Fig ur die wurtzel / als auß der Häche-AC-
ae durch ober demonftratign / das Quadrat MN, OS
gleich iſt der flaͤche AH von demguadrat MN OS,, — dus
quadratdnch. (fo gleich Ver fläche E) doch daß fie ein guseinen
wind MMO haben / darnach verleng dbite und-cbina,fo iſt die
Km —— an iſt gleich MTond MNAR- gmein / darumb
| echtwincklete viereck EN vnd RT., gleich vnd es iſt gleich
V. vn ON iſt gemein / darun ſeyn auch beybe rechtwin
viereck eN,NV gleich/omd beyde Compiemem MR vnnd xO ſeyn
gleich dem znomonf gh ſampt bein quadrat AN ch, aber beyde
TDomplement MR, — Rn DI, ſo 300. |
darumb iſt der gnomo ampt dem quadrat dN cb der gedach
ren flache DX —* 5* vie —— AR gleich beyden qua⸗
draten AOS vnd d Ncb. vbrige AC der andern Figur /
Hl gieich dem quadrat a bes, deſſen fetten a b iſt ſo vil als die wur⸗
55 en fläde AC, .. AK 20--DKV 300. vnnd
ab iſt die w als a cVi —— eV
j iſt alfo ——— deß Siiräbterens der guadrat wur⸗
gel / anß ven ſechs binomiüls, vnd ſechs Refiduis, ob wol das Extra⸗
** durch diſe Regel werzichter wird / ſo vervrſachet es doch vn⸗
chidliche wurtzlen / dann die wurtzlen deß erſten binomi geben
— Feen — alſche
e wurtzlen deß andren e erſten sweyer medialiſchen.
* — — ach andern zweyer mediali iſchen. ſ
maiores
#4 fen die jenigen fo vermögen «in Rational vndemedi⸗
Ska — —8 ſoda vermoͤgen zwo medialiſche üb
— ee nn Die ven
F—
Das drici Bach Geometrim, ·
von deß erſten B.eidni geben einfaltig R efiduum.
edut der mebtal
erregen
vierten gehen miner
fänffeen ſeynd / di * ver tional ale medialiſch machen.
*8 —— Der meblafifähen alles medtelif 14
Fr olches durch die nachvolgenden ſechs Erempelleichtiich au ſo
1. Exempel.
Die quadrat wurtzel auß dem binomio,sub erſien x
— —
6 6 6
un * € Var | 4
säivız 36 alvıä
u 27 a“
36
*
8 sis
&
>
|
|
6
ua
: _
alvaitv 3 ana/ ı3
alfe Die wurtzel —E— ein
——— — 52* dann bie — fee —
tm der
Vnd die u eu u a 6-=Y 27. va
wiPph ĩꝛ, Hauch Refkduum/ + erſten 7u di⸗e
ander ſo allein — ———
Proba |
Di eo aber reqͥt ſry q worden fo prebiers alſo/ in difem
onnd velgenden multiplicter di wider in
— a Er
Lılrya
Gonbasmäßeenbnmäßihenändflen. 15.
Varvız Vahıvıl
—— vazyıs
z 2
4 ri 4 aut:
6 6 3 | 6 3
— |
24 24
3 _ —
rar Br 22V
2. Exempel. |
J | ie
Von den andren binomiis vnd Refiduis. | |
Vql-r6 — — * — 4 -
| 36. 6 va7lv Ar
AR |
s2|V ı2|V4 12 1
Vvasly⸗ —
c Yı
e — * v3
v3 | valwa
.Y % a:
Y 108
V— ___
v27 (weytwWg.
Vnd iſt die wur dem andren binBmio V48-F-6.die |
- BR —— dew27rw3.T . fie — u
ein: iſche Aeche namlich 3. = |
wurtzel auß v 48.6. dem andren Refidme/ If wW27-= a
> 41 3.fo ein Refidunm ber wedialiſchen + dann die fuberabierte / vñ 478°
⏑ ⏑⏑——————
Das dritt Büch Geometiie,
| Proba, Ze er R
Di —
F 27V3 —
wol |
. 3VelV weılVY.
a RR
er
4 7
|
. Wı6 2
De A .
VER->6 ö .
————
v -Eyıt 2
vi * vba) F
eve Wılı | 707
— 4
3 .y:
18 vi
. 6 v —
— —
Mu
VırlWighwig
dritten binamio’ ey 18 Dewartel W
e. m wie ae — * T dans fie —*
—— —— Y24-4-Y18. Wim
PR —— 2
x POHBichs bes garen in mama ia· y/ vd. Grobe
Von den maß ⸗ vnd vnmaßlichen groͤſſen · 116
Proba- |
W—
uiʒ
valvsE 1389 (2 |
iv iv 38: 433. g:
- 15, di
& — u.
x g L |
- W 16.
v4 7—
v6‘ v324l18|V 18:
Vayrvıß: Zu
Von den vierten. biaomiis und Reſiduls. | :
410 £; —
4 | z-rVıt
16 = nu eva >
ivVe Zr
arVe
2 —— ⸗
NE
| Auf 4-4-V 10. dem vierten binomio die wurqel / iſt
V.2-rV 13. V 25V 1. vnnd ſeyn maiores + Dann die fürha 50. p. d.
Een — — begreiffen |
n medialiſche Räche- |
Auf 4-—-v so dem vierten Refiduo'ı bie wurgeläft V.2--V 1%.
u y.2-vV 1£.0nd ſeyn midores/t.danıı die ſumma der quadra, S1.p.4
een iſt Rational / vnnd die ſubtrahiert mis der gantzen beſchlteßt ein
medialiſche flaͤche Proba
Das dritt Bach Geometriæ,
Proba.
V. VIM-. . eV
V.2VIM. . tyamvıl
24V: 12 av 13
2—-yıl ->4
410 Io
Dieweil die 5 — ſyn fo abbier allein die wurgien!
a. 2—y ızmahlv.2-+vVızifl eben 2-rvV 4. ———
vılmalv.a—vısifl2--v12. DIE prodult addier gu
V 13. tompt 4. für ben erften theil "darnad fo muleiprickrin das
Prelig als die erſt zahl oben fo v.2--v sh mit der letſten onden fo
V.2——V 13. das iſt multiplicier allein jhre wurtzlen 2 81 mit
2——y ı3.fofompt v 2%. das duplier weil die er zwch⸗
mahl geſchehen mußıfo kompt für den erſten theil
5. Exempel.
Von den fünfften binomi⸗ vnd Reſũduis.
vr
Vi AVAVA |
— ER
14 ä |
vs FE
vj+ı 3 -
— 7
⸗ Kine 14 1+2 —
ie 144 +4
Vund die wurtzel auß Dem fänffren binomio V -2. ifiv.vVi
Sr. ul At Scor © he nn —
Von den mäßeubonmäfihen öffen. u N
ae ie wurtd auf dem funffeen Refidus v 1-2. V V iz
Fat ever ef mi der Rational mans —2
Proba.
vvı+ . ViI
Alns —
—
Ma — 2 Zu
alvıW ak Fra
J
— J
—ö ie.
— 2
F —
6, —
Banden ſechßcen binömiis,ond Reiduis.
vr
VYıryız ee —
Vız 122 44 1 ⸗ sr/ıy
vr
4 1
5 — =
vs va. very —2 vevii
— EX 2 Dart)
un a bar er ph
neh) vıl2. ſidie fo mit der Karion⸗l als u —
\ ———
YMZV iR eine ſo verma ——— + ben Di
s4rd ſum̃a ihrer quadras? iſt — and Das võ hNẽbe
Vnd Die wurgel ann duiyzo-rVı
sry . . V VV 555 —
55.p. d. — — +. dann die ſumma jhrer quadraten {
Das Hecgmahl von jhnen begriffen (An
Proba,
yyıavız NV. veyn
Y Verve
ılv 67 1 5
aä vsayı Pt
Gm ED — —
. Gebme
NER
i 48
Geometriæ Theoricæ &
Practicæ,
Das vierte Büch.
Von den graden Linien.
Wie dieſelbigen ou addieren ſubtra⸗
multiplicieren/onb dividieren / zu ver⸗
wachen / der — vnderſchidli⸗
Auff ein cbne läd ein — Li
—— — puncten
Es ſeyẽ die vun⸗
eten AB ‚daran
(ea ein grades Lini⸗
al / vnnd ziehe ein
ſcharpffe Liniẽ nach
dem ſelben / wann a⸗
ber die puncten ſo
weit von ein andern / daß es das Richtſcheit nie erlangen age % |
nimb mis einem Circkel mehr dann die halbe weite zwüſchen
vnd ſchreib auß A vnd B als Cenrris zween Circkel — 5*8* **
Feen rec C ‚und D,auf den Centris C vnnd D, ſchreib Die
ent ſchnidt Er dardurch siche ein grade Linien verlengt in A vñ
Dal ** demem begehren ein genügen.
SH Auß
Er Das — ——
Auß einem — puncten /ei⸗
ner gebnen Linien ein parallelen
———
GI Er acen p ii m: ö
cten rl E, ie Be |
ebd | |
—— 2) NEN
EC,sndäußcden A c D B
Circkebbogen EA die. .
fehneiden ein ander in n,onbanfr vnverruckrem Eirckel ſchreib bey⸗
de Cirgelboͤgen FB, vnd FD, die ſchneiden ein ander in . ſiehe ein
Ober. grade Unien von E durch F, Adie chund deinem begehren ein ande -
ER san ckdd EC, vnnd EBMEERS:
8
nnn. —
= N)
Auf einem puncten mitten in ei
ner Linien / ein perpendicular
wnerdeben.|
| &% grad Linien iſt a
punctẽ iſt ——————
m. en — in 4.
DC Lt” perpendicuiar auff
AB, damn AC iſt gleich Oß, vnnd
AD eich AD,UNBCD fl smÄn/ -
— u. 1 winckel in * Mi.
na w e —
oder, weindet EISEN
ur Ye.) —— u
- Bon den geraden Einien, 17 Dr
IIII.
Zue end einer gebnen graden Lini⸗
en / ein a re |
beben.
Se ſeye — £inien ion AB ‚auf dem
endt A, das perpendicular
AE — *—8 fl weite deß Cir⸗
chels du wilr auß Centro a: ein Circkel
bogen CD. vnd mit unnernichtem Cir⸗
ckel ſchreib auß D den bogen AC,. die
chneldeneinander in ,. vnnd auf G-
reibdenbogenE AD:, siehe ein grade:
er d — 3*
DAS in E vnd; grade EA, die:
iſt perpendicular auff AB ‚Dann auff den diamserer DX iſt ein hal⸗
ber Circkel geſchriben / in welchem der winckel EA D, ein rechter win
dl iſt/ —* IR EA en aufAB.. „ip.
Außeinem nen Epittietet auſſert
einer geraden: inien / ein perpendicularʒu
| end der ſelben Linien zezichen.
Er geben yuneten ſey C, die Linien
her die theil mitten in c
mninr,taußr mit der weite FE ‚oder.
FC ——* ben Circkel / der wird
die linien ED tn D durch ſchneiden / wo |
1
— — ED biß es ſchneidt / vnnd
ehe DC die iſt ee DE,
= der en dCDE ſteht im alben
Circkel / darumb iſt er ein rechter / vnd D —
CD D perpendicnlar auff DE.
a Si. Vom
24 225
Bas viaic Dh Geomerriz,
VI.
Vom Addieren der linien.
IB der linien Aa, wirt —
begehrt die linien B, gu
62*
addieren ifo mach der vB 9
— —
nien 4, gieich OD, auß © is — *
En
ſchreib ein bogẽ UC, auß E
ſchneid den bogen in G vñ
N / auf diſen zween puncten G vnd at machden kreũt ſchneide in ı
dardurch sieh auß D die linien DE, gleich der linien B ſo iſt CF, dit
ſum̃a beyder Hinten A Und B, dañ CD, iſtegleich A, vñ d F, gleich
B,
2. Esfeyeeintinien A ſo ır. einer gewärfen.mak lang /
ich addieren ein linien ſo Radız au ee a
So fü vı3.alfe [reiben 5 A —
rechten winckel CBD, vnd nimm D
von den 15. drey / die fetz von B in — An
C/ vnnd 2. von Bin DV zieh CD c’B
welches iſt V auß 13. dann das ?
— CB,ift9. vnnd das quadrat BD, iſt 4 bie addier fo kompt
das quadrat auff CD, 13. T darauß tompt V13. für CD ‚die
addier an A fo 15. ſo kompt Die gangefumma EF.1 VI3.
.Es ſey ein linien AB, Vaʒ. 14773
a6, * vıy 3. daran ſey iu adbeeren 4, Desflbig
entſprungen / ſo ſuch —
Die 4. alſo / mach ein —
schreminfdipao A B
Ondfenvon A,auff | 128
theil noch — Pr — L
BCPD, vn *
einen in nſo iſt 3NI. — — PAR
v2.die fendon An * — „u
1. fo ip 1.173. die ee E DECBA
ſet von Ain K ıfo iſt
Won den graden Linien. ' 120
CK, v7.dann das quadrat AD, iſt 4. vnd AK, iſt 3 ſo iſt das qua⸗
Brat CK, 7. tbaraugv if CR. v7. die ſetr von A in Lſo iſt DL, 47.1.
vꝛʒ.die feh von A inM vnd ein tcheil darvon ſie entſprungen / als
AB,bon Min / vnd die linien AB, fo V2z3. ſetz von A in E / vnnd
ſuch die viert proportionierte EF welche ein Rational theil / dar võ
AB, v 23. eniſprungen iftidife Er , nimm 4 mahl / vnnd ſetz ſie an
AB, v 23. fo fompıdie gank ſumma AC,v 234-4.
der linten AB. v/21 ſol ich addieren v/ derſelben maß.
Pe Be. P
mit erlich gleichen theifen fc "A /zı Er N
V2zi. vnno v7. find GH,Vzt.
Die ſetz von, in LondfindEr .
- YV7.diefeguon Linn/onndfeg .
Die linien 4B, von D in K, und
fisch die viert proporiionierte
KM, welche v7 dann DK ‚if
gleich AB, fo v’z3. vnnd DL.IR
den fleineran. sheilen v23. vnd
LN, V7q. vnnd mad; DM gleich
A, weiches die ganze fumima y 21-7. dann DL.HILM, |
332.93
alſo DK, mEn.T |
. xs ſo VIę.b Railo
5, De ne 15. beschrich 3. Ranionak heil in abbiarcnidardon
Wwıy.afe . K
A B | ẽ
‘
ſe iſt C RVI. a
deren If gieich AD, iſt DBv/e.derinifi gleich AE, vnnd 48 iſt
cheil / ſo in EFV ı5.darauß wider die wurtzel / als zwũſchen ein? theil
als AB, vnd BG(fogleich EFV5. mimb media proportional Bi.
die iſt VI5. an die fen 3. der cheilen darvon fie entfprungen von 1.
in X, vnd AB n/ 5. ſci von B in n, vnnd nimb Die viert idee
FERN
42. p.r.
Das viert Bach Geometriz,
zierte weiche 3. Rational cheil / darvon AßB, VI 5. entſprun.
gen ‚Deaddier zu AB, ſo iſt AM, Die gantze ſumma w/i5-t-3. oder
39i.
VII.
Dom Sub crabierender
‚Almen.
on derfinien AB ala micrahi eren die linien c, ſe
Die linten C mit eis
nem Circkel / ſetz ein fuß in B
mit dẽ andren ſchneid durch A 3
D, ſo iſt AD, der reſt. — 5
Von der liniẽ ſo einer ar ou
Sid mung Ar — 7
Such bie v7. find FG
ſchneid von B ‚gegen Ain C a *
CA, oder D, ſo 10 V7. —
—57
3. Von der graben linien ABV — * |
wollen fü a >
srahieren / fisch im rechten win⸗ cc
cel FEG, noch einen bekanten
cheil 17. vnnd yı3. die ferin ein ein grade linlen an einander!
als von A in HVI7. von
HinDvız.inAfegAB,
nach befichen/pas «in win»
edel mach / zieh DB ‚derfelb?
H ein parallelen HI,
P eu AIVIy. vñ LVIy.
die fubrahia Yon AB,
HAC,VIA
N
J
4. Ben emer graden linien fo 6. einer befandeen maßı ein ander
fov.7rv 18. berfeiben maß iſt / in fubtrahieren.
mir den Theilen von AB ſuch . :
tm rechten windflCDEYV IB. Ä |
die addier gu 7. der gedachten
theilen / als ſetz /18 von D in F,
vnd 7. von Fin G, auß DG nim
Valfo / ſen noch em cheil von G
in nvnd nim̃ zwüſchen /183
53 vnnd 1. das iſt zwüſchen DG, —
vnd GH , die media proporio- A XK
nalGI, fov.7 418. diſie
fubtrahier von AB,als von B gegen A falt in K, iſt AR der Reſt fo
6-=V 18.
5. Von der finien ap ſubtrahier ihre quadrat wurtzel.
Die linien A. A
Biffv7-rV
3» darauß
ſuch die wur⸗
tzel / vnnd ſub⸗
trahiers von
Ber liniẽ / ſuch
nach einer Ra
tional zahl im
rechtẽ winckel
DCB,v7 vñ Vʒ. vnd feh V7. von B in F, vnd v.3 von Fin G.auß
B erheb ein perpendicular BA,gleich der linien AB > auff die linien
BG, ilche AG, der ſelben auß F ein parallelen FH , als dann iſt BH
V7 vñ HA, V3. ſuch ein Rarional darvon fie en ſprungẽ mach ein
rechten winckel IGK,mad) GI,gleich.H A ,v/ 3. vnd BH,V7 ſetz von
1, auff die verlengte 6K ‚ falt in K ‚fo iſt GK,2. der. Rational maß}
als 60, vnnd OK ‚jedes 1. wann GK, in mitten in zwey —
wirt: nimb von AB, diev als GO, iſt i. vnnd OL, mach gle ich
AB, als V7æV3. vnd nim̃ zwiiſchen GO,1.6N OL.7 Den
in miteler progoruien OM, die iſt die v derlinien AB, fo v.v 7
#3. t diß ſubtrahler von AB, fo reſtiert An, wel he 7 V3. -.
vyyrV3. nl —
Won den graden Lnien. rar
B qa. p
N
N
st ! r
72.p. 2 =
117. die linien aber gu finden/
— Dun oki Bach Geomeitlz,
A VIII. |
Mon dem multiplicieren
dbdoer linien.
1. Es ſeyen zu multiplicieren bie linien Au mit der Inka B>.
A, ſey i13. vnd B,3 Difemie -
ein ander multipliciert abe V
fo feg A vnd B, inein grade lie.
‚aten zeſammoen in m,DAS CH,
erde v ı3.0nd EE 3. von den
3. nimm ein theil / vnnd ſetz es
auff C E, von E, in D, onnd: |!
ſchreib vmb den Triangel cp, A
E ‚ein Eirekl: CDEH;.t.ver»
lenge DE, In; foift EH, da&& |
hegshrre pradul, dann das rechwincklet viereck Cr, FE, iſt leich
dem rechtwinckleten viereck DEFH,T. vnd das viereck CF, in FE,
thut v1 17. ſo vil iſt auch das rechtwincklet viereck DF,FK, diß di-
vidier mit DF, ı. ſo kompt flir FH. VIINq..
2. Es ſey su: multiplicieren:
die linien A, mit der linien B,.
A, ſey v3: und B, V5. die ſetze
mn Dz an einander / das AD,
gieſch werde vñ DB; aldi
B, ſuch einen Rarional theil
— darvon —— —
ngen: Id n. Ra ,
hell EA,fehvonD, vberſich
in C, vnnd ſchreib vmb den
Triangel ACB, den Circkel
ACB F, Tomb verfeng CD
an den Smblanf in, foik
"DPF, das product / + dat AD
MDB, sr VYry. diß dividier
durch CD, fompt Vi5. für:
DE..
“ \ F IX.
* |
Von dengraden Lanen — | —X
Von dem &
Man wil die ſinien A, durch die linien 8.
S ſey A, 24 vnd B,3.die
ſetz in ein winckel zeſam⸗
men als ADE, di AD, aleich
werde Bommd DE, gleich 24,
vnnd verleng ED, in C, das
DC,3.feyvon B, oder — 98
A, vm die drey yanctdACE,
ſchreib ein Circkel ACBE,T
verleng AD ‚ar den vmb⸗
lauff in, ſo iſt DB, der bw
gehrte quotient / dann ſo A,
24. getheilt wirt durch B,3.
tenpt C,8. aber C, tiſt gleich
DB, vnd B gleich AD, die gt,
ben mit ein ander ein recht.
IX,
[A
3
/
wincklet viereck wie CD, in |
DE.t
.
2. Es ſeye zu dividieren Die nieit A, durch die linten z
Es ſeye die linien Aw. 39: und |
darben vnnd B,abfenumen iſt / ſo ſind ich ©
Vnd ſetz A wider anB,in
einen winckel D, dz DE ‚gleich
werde A, vnd AD gleich B vñ -
ED, iſt verlengt in Ciſt DC,
ein: Rational theil vmb die
dreh puncte EAC ſchreib den
Circk EACB, Tverſeng AD
an mblauff in B, iſt DB,
der quotient / oder CVↄ.dañ
diß mit Va. multipliciert /
kombt 19. wie auCDH; m
PERL.) >
/
l
.
\
IE
{
B,V
R.)
*
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ibidieren der
BEE.
» — 0
—A
P. in
sg ©
An
SE
: N
nr
6 al
J
8 65. p. lt,
s g wr %
has Antionalmaf
DR vu 5 |
VERLOR. \
—
“2 Desert Duch Cesmetrix
ie kin rechtwincklet biereck⸗
durch ein Linien zu Dividieren.
— A
Fe fen das recht⸗
wincklet viereck B
D CE, vnd die grad li⸗
verlengt in U, zieh den
diamever KB, wol ver⸗
1.7 enge / das ſie die ver
bengte D E, in F, ſchneid
foitER, der quorieme / zieh auß F gesen Er, ein parallelen x .
verleng OB, inc „fo ſeyn beyde recht wincklete viereck DB,BH,
0.757 eih ̃ darumb vermag Bı, (fo gleich A)IR BG, (fogliihER)
vil als EB in BC. xı
EBin rechtliniſchen Triangel / durch
cein grade linien zu Dividieren nach
eocinem gebnen winckel.
dat. cn m
Wu Ego eadie \ 1% —
fen AßB, in D, bas BD, gleich
werde der linien Fr, auff DB, in i
B, ſchreib dẽ winckel DBn gleich A
Dem windel O,auß C, sich BD |
ein parallelen CE, und auß a, | Sr B>
vñ D,sich,BH, paralldien AL, ZUSBESEN VERERRBEN
vnud DE, vnden wol verlengenl 1.7
Pi
. Benben graben Linien, "| 128
auf E, durch Bsicehe Die diagonal EB, verlengt / ſchneidt bie ver⸗
lengte 1A, in G und AG, iſt dag quotient, dann fo auß G mic AD,
ein parallelen GL,30gen wirt / fo ſeyn beyde Complement IB,BL,
gleich + unnd der Triangel ABC , iſi die helffte deß vierecks zB ‚und 18. p. .
ber Triangel BDX, iſt dic heiffte deß vierecks BL, Tdarumb ſeyn IP. -
beyde Triangel gleich / vnnd BxK , iſt gleich AG ‚dein quotient.
XI | | |
Einjevereßelinifche Pigur / durch
grade Linien zu Dividieren / nah
fürgebnem winckel.
Je rechtliniſch Figur iſt das Irregular flinffeck ABCDE, bie
grad linien iſt s, und der winckel iſt oO.
Blring das fünffeck ABCDE, in den Triangel AEF , als siche
DB, derſelben auß C, ein parallelen OG, zieh DG, darnach EG,
derfelben auß D, ein parallelen DF, zieh Er ‚fo den Triangel AEF,
macht / gleich dem fünffeck ABCDE , den Triangel AEF, dividier
durch die linien 8, wie in der oberen glehrt / kompt GN, oder FM,
für den quotient. | N
Corollarium.
erauß iſt offenbar daß auch ale Circkel / vñ bie mie Circkellinik
beſchloſſne Figuren / mit einer graden linien zu dividieren ſeyen / ſo
man denſelbẽ zuvor in ein Triangel oder quadrat verendert / wie im
rol genden Buͤch fol glehrt werden. |
‚
.
Bl Zu
wa. © Das vierdt Bkrk Geemetrie
XIII. |
. Ein grade Einien super
mehren durch ein gebue
anzahl.
Kommen — —
ner vermehren daß fie | |
viermadl felang werde / ſo nimm mir dem Circkel die weite AB, dk
ſetz noch dreymahl von B, hinauß auff die verlengte AB „m die pun⸗
eten CDE, ſo iſt 4E, viermahl fo lang als AB.
— linien gu vermehren / die mit dena Circkel fehler nit zu
aßen iſt.
Dielinienfeygp,dDienolte — —
— daß ſie - ABER CH FG D
lang wurde / diß zuverrich⸗
ten —* ein weite nıfı dem Cirdel nach belichen als AC , dife fh
noch zweymahl fort in F, vnd D, daß die gange AD triplet ante su
AC.darnach nimb CB ‚Die ſetz dreymahl von D gegen A,in CH PB
Efoift AE, drey mahl fo lang ale AB.
XIII.
- Big ein grade Einien zecheilen
| gleicheiner geteilten |
& (10.p. 6.)
Pommso» AED EB
de linien O „die
wie Die gerheilt AB, z .
winckel sefammen SUSE
in A, vnd mach AK gleich der linien O, ziehe BK, vnd As iſt getheile
Ed... wi — in den
— — —
- Bendengraden Unien. 124
inden —— O DE- darauß giehe BK parallelen EH, DC, vnnd
CF ‚die ſchneiden AK (fo gleich der linien O)in den puncten FG H,
dannmie AC ‚su Cs ,affe Ar su FK,ond wie AD ‚iu DB;alfo AG,
HI GK vnd mE AE, iu EB, alla AH Su AK ,T.. :
XV.
Mit vnberꝛucktem Cuckel ein
Linien in gleiche theil zetheilen.
Sſch die Linien AB , die
wil man in 5. gleicher: heu
eheilenimacstn. A: vnnd B zween
gleiche wider fing gekehrte winckel
CAB,ABD;veon RE gegen D\, vnd
von AanC ',. fige mis vnver⸗
puchtem. Circkel erliche theil hin⸗
auß / allzeit einen weniger dann
die Linien ſol theil haben / als hier
vier / die ziehe zeſammen wie die
Eh gur weißt / vnd theilt die Linien au in 5. gleicher theil st. weil die
eil auff ac gleich ſeyn / c.
Durch das Inſtrument Pardum;.
2; Die lenge der finien AB; nimm mit einem Circkel / die ſet von:
50. in yö.auff der linten recte diviſionis vnd laß das Inſtrument
vnperruckt / vnd nimm die weite en 10. vnd 10. auff gedach⸗
a. 1: Vie if. der fünffte theil von AB; dann 10. iſt der fünffte
n50.
Non / wann die theil deß Inſtruments biß in das Centrum
32. p. I.
32.P1..
glengend / ſomoͤcht man die lengẽ zwüſchen 5. vnnd 5. fegen / onnd.
Die weite zwüſchen· 1. vnd 3. nemmen / dieweil aber das — |
nit biß ins Centrum auffacht / fo muß ein ander: zahl der be⸗
gehrten proportion ertoelt werden. ME j
1, Don:
12.p.d,
Das vierdt Bäch Geomeitie, -
X VI.
1. Doneiner graden Linie
einen gwüßen theil 3u nem⸗
men. (9.P.6.)
SSR, geben linien ſeye A,
von deren begehr ih 10
mach AB, gleich derlinien A,
auß A,derlinien AB, zieh ein
linien AC ‚daß jiemit AB, ein
winckel mach / darauff ſet 11.
gleiche theil biß in C, stehe Bc
derſelben auß dem zehenden theil ein parallelen 10. D, die ſchneid
son AB,das ſtuck DB,fo &pon AB, (ſo gleich der linien A,) dann
tie AC, getheilt iſt / alſo die linien AB, T
Durch das Inſtrument.
Faß mit einem Circkel die linien A, oder AB, die fe von 99. in
99. vnd nimm Die weite zwüſchen 9. vnd 9. diſes ſch won B, in D, fo
auch —ron AB, ober von A, ſeyn wirt.
. 2. Von einer gar kurtzen graden linien ein gwũßen cheil zu nem̃en /
von n ——
As, begehr ich ·ſo BY mm 7 une - Vase
ABdreymahl/aigAE, an, = * —
die ſetz wider pissen! als A,E,H,G,D foifl AD zwoͤlff mahl AB,
vnd weil AB folin drey eheil gechetle werdenifeift AD 36. darumb
nimb AD ,mirden Circkel auff dem Inſtrument zwüſchen 36. vnd
36. der linie redtz ,darnach nimb zwiiſchen 35. vnd 35. die weite /
vnnd ſetz es von D ın fo iſt AI der dritte theii von AB, oder J 909
AB. ; s
Adan
+" Von den graden Linien. us
XVII. J
Man begehrt ein grade Kinien in
zween theil zu theilen alſo / daß der theilen
aunuadrat zeſam̃en g fepenypem quadrat
NN
U
«iner andern gebnen Linien.
RL Unien ſey a, die _
Nꝰt ander geben linien
fey B, von deren mach ein
quadrat Ab CD, vnnd ſet
Die heiffte von Aim qua⸗
drat von AINO,UnNnNd N
vnnd fchreib das quadrar
AFE G deſſen feiten gleich
ſey NO, verleig AD in H,
vnd fchreib das rechtwinck Sr
ler viereck Qh, gleich den gnomon FCG, doch daß es die breite
nit verendere vnd ſuch zwuſchen QA, AH das iſt z3wüſchẽ AH,HM,
ein in mitler proporrion HI, die theil in zween gleiche theil in K, vnd
verleng HM in L,daß HL gleich werde HK ‚stehe KL, diſes addier
zur helffte der linien A ‚welche helffte iſt 80, ſo kompt SR vnd iſt die
linien A in R nach begehren getheilt. J
Demonſtration.
Diſes mag mir zahlen alſo erwiſen werden / die linien Aſey ı$.
vnd B 17. NA ond AO iſt jede 9. dic helffte der linien A, darumb tfl
FA(fo gleich NO)V 162. die ſubtrahier von AB 17. reſtiert flir FB
ı — 162.dem iſt gleich HM addier AB,17.0nnd AFY 162. ſo
tompt für A, 1IV ı62.multiplicier AH, 17 tv 162. mit HM
17 —-V 162.auß dem product 127.diev.fomprfür HI,V ı27.dife
balbier fompı für aX,v 3 13/demift auch gleich HL,onnd KL iſt ⸗
633/T dife addier zu halber AS fo 18. kompt für SR,9-+-v 833 /def 47.2.1:
fen quaßtarift 1445--vV 20573.0nd AR iſt VGʒ æ / fein qua⸗
drat iſt 1443-=V 20573. addier beyde quadrasen fompı 289. ſo vil
iſt auch Das quadrat der linien B, alſe ABCD.
” HF Man
æt. ꝑ.i.
Das ide Dh Geometrie.
XViIii.
Man begehrt ein linien der gefiale
nn ha —— — L
enger a qnabrardefi gräfe
een m —
Gen linten ſey B, (uch
die
—* ser,
ara * | Dr
eineren heil.
in sahen: Be linien A, fey 18. vnnd d, 5
55 ie —— |
ur. — —
AIR,
Lin grade Einien zu cheilen / daſ
das quadrat deß groͤſſeren theils / mit dem
ie finien/ dem qua
———— Rue u
: au
en — ne FEX. — 11. 1 a.
en gedachten Traangte iſt auch:
er «POT, gmein / vnnd der
— eifdifen Trian auch
geichfoͤrmig ver TriangelO FI, dann der winckelinn —
wer winckel O FI, iſt iſt gleich dem winckel PEK., vnnd Dit
‚ groportioniert,aller Triangel POLPEQTOPFI,FEK 2b a.
“wat Er iſt gleich beyden quadraten AK, KF' ** —— A
empel EK(fo gleich der Linien AMfen 40 a
nd -. gleich der linien a)ifl 32 und GE(fe ꝗleich dertinien C)
iſt 28.fubtrahter GK 28 Yon Gr 72. reßierrir 4. fein guabrasift
3 6.abbier zum quadrat EX. 1600,29 pt das quadrat ER 1EL6, dr
ranav (RER v 16ı16.bie beiffre BLM IE v 404,
Br gt 10. Weir | a
wien Er,atf One FA biervoil ſuberahier ar fort
* Yısıc. m. Yıoyaa. m We
in Dasniade Wii Geomickiz,
— —
v909 d N : —7
deſſen quadrat 09. addiert zum anabkat EI oder IF 404. fo kompt
das quadrat auff HF 1313. dem iſt gleich das quadrat auff HE
dann EL iſt gleich IF vnd IH iſt gmein / vnd ED iſt gleich der kinien
C, vnd DA iſt der groͤffer theil / vnd das quadrat HE iſt gleich beydẽ
quabraren der limen C ‚und dem quadrat deß groͤſſeren chells DH,
und iſt gleich dem quadrat HG.deB kleinern theils ond dem quadrat
der finien B,(danm GF tft gleich der ligien 3.) vom quadrat HF op
der HE 13 13.fubrrahter die quadrat FG 1024. vnd ED 784. jerg
fonderlichsrefliert Die quadrat GH 289. vnnd HD 529. auß jedem
die v fompt für GH 17.0nd fÜrHD 23. >...
—
WBoann ein grade Einien befanne iſt
a... nach der euſſern vnd mittletn propor·
| Hongefihnitenufe BR IERUNE
MEAFS ſehy die grade AB 10.06 -
ſchnitten nach der —
ntd mitiern proportion inH,
43.2.2. Fſo iſt auch ein jedes cheil be,
kandt / alb 1125 ⸗5. vnd
HB, 15 V 125. von AB Io,
nimb die helffte iſt x5. derẽ mach
gleich AE,ond ihre quadrat if
. 25. vnnd Das quadrat AB {fl
*
.
Besen — W
pn Wlammen/ ſo kompt Das quadrat EB 125.+ daranß komnt fur
- BF V125.(fogleldh EBJaber EA iſt dic ſu |
AF,V 129 -5. dem iſt leich AH kr te ſubtrahier / ſo BR für
WEBAMAH, alſo AH, gumD, =
RN Vuayag fang ©S
&s
Von den graben Linien. 127
2 ZN a XXL J
So ein Einien gecheile wire nach
der eüßren vnd mittlern proportion / ſo iſt das
nauadrat deß größeren theils vnd der halben linien /
fünffmahl ſo groß als das quadrat der halben
— Sinien. (1.p. 13.).
Es ſey wider die liniẽ AB--
fo 10. vnnd ſey nach der
euſſeren vnnd mittleren pro⸗
ortion geſchnitten in H, T
o iſt der gröffer theil Al, VI
25 */. vnnd die halb linien
"zum groſſen eheil AH.Vi25
ug jofompt EF,V ı25.defe
fen quadrat tft 127. fo fünfte
mahl fopil vermag / als das
quadrat der halben linien ſo
25. 2
*
Demonſtration. | Ä
Vermehr das quadrat der halben linten ſo 27. mit /. fd fompe
auch 125. welches dem quadrat auff Der linten Er, gleich iſt vnnd
FA iſt gleich dem groͤſſeren cheil / vnnd A)E, gleich der halben li⸗
nien / nach laut der auffgab. —
F XXI u
Wann ein Linien nach der euſſeren
vnd mittleren proportion getheilt wirt / vnd al⸗
lin der gröſſer theil bekaũt g/ wie Die gang lini
vnnd Deb tleiner theil zeſinden ſeyen.
| 6 Da⸗
Ja.p1.
a pndntmmgwälden cn,
vnnd ep ei Bi
gortion t als F, iſt y
mach glei DG. vnd made
wie C6,mMC6D, alſo
— ſo A —* * =
Boppiie Ar AE, ſo. —
dr Y%
ober — — ‚refläere flit Den kleineren cheu vn.
Vier: 4 Vao-3
Demonftration,
uadrarder halben als auff AE. iſt · V20. vnd das
— EF, alſo — * alien * in Rene
il vermag als cu halben
—* A en re ae ee wicht —**
vos.
XXI
Wann ein Einiennac ver eufleren
vnnd mittlen proportion getbeilt wirt / vnnd
man gar kleineren pr
proportion erw ee Aura sanken hama
— *** ch amacht
| —
4. p.i ri
on ben graben Linien. ı28
GI 33: sang Einten feyv/ 20-+. ſo iſt der aräfer chell 4. vnd der
feiner v 202.10 diſem addier den aröfferen theil halb fo 2.
komp v 20. das quabrat if 20. vnnd ft fünffmahl mehr dann das
duadrat von der gröfferen Psoportiom (ben cheil.
Demonftration.
das halbe heil der aröfferen proportionfo2.ifl . os
Quadrier
muiiplucier mit 5. fofompt ze; olt das quadrat yon Dem keinen
heil vnd Halb ui ern isaug 20. F
XXIIII.
ch der euſſern
:R „net
eich DG.v mach
gleich
Wie , o D, alſe BH,. — — "yp
vr vr : Ei. =
Ma, ‚ . a E. »
Yırt. m
Voplier HL tomye na der gchffer bel”
Vſi Voorı |
asdem abdier ben kleineren thell vu.
« OR,
u. Das vierdt Bach Geometriz,
ompt für Die gantze AB, en
A 6V20.
Demouniſtration.
Dite drey linien E. F, C D, ſeyn proportioniert, darumb wie CD
gij 5 ,alfo das quadrat CD sumquadrat Fund CD iſt fünffmahl
folang als E darumb iſt das quadrar C D,auch fünff mahl fo groß.
als das quadrat F, vnd wie diegank CD ‚u GD,alfo BL ju HL ‚pit“
das quadrat der gangen CD {fl fünff mahl fo groß als das quadrar
GD darumb iſt das quadrat BL aud) fünffmahl fo groß als das
quadrat IL, vnd BH iſt der fleiner theil/darumb iſt HL die helffte
deß groſſen theils / vnd HA der gröffer theil / vnd BA die gang Linien.
XxXVv.
Wann ein grade linien gecheilt wirt
nach der euſſren vnd mittlen proportion / ſo ſeyn
Die zwey quadrat ſo gemacht von der ga ntzen Lie . -
nien vnnd dem kleineren theil / dreymahl ſo groß
als das quadrat vom role theil.
— (4.913.
Es ſey die gang linien AB, € EB x
6. V20. vñ ihr quadrat a
tft AC, 56V 2880. der klei⸗
ner theil 3iſt 4 fein quadrar ı
iſt 16. das addier um quadrat - |-
AC, 56-+-V 2880. fompt 72 -.
-+v/ 2880 flir die ſumma bey,
Der quadrat der ganzen linien
BA, vnnd dep Acinerencheilg D A
BH,fodrenmahl fo groß ais dz 2
quadrat deß groſſen theils / da⸗
ee —*
ein quadrat iſt — En " H Pr ‚Vaocı2. '
F.24 320. diſen vermehꝛ mit 3.fo
72-t-V 2880. wie oben. oujen veriehꝛ mit 3. ſo lomet auch
. Bon den graden Einien- ı29
XXVL
Wañ ein Biniengecheile wird nad
—— — an die
n liniẽ dem groͤſſerẽ
— 87 au lan — — —5 fe
mitifen tion / vnd
init re
(F. B. 13.)
= BAR ni ans Knien ep AB;V2o+3$;
fe theil AE, 4: want » En
ſie nach * euſſeren vnd mittlet en pro⸗
portion geſchnitten wirt / vnd hei AG ab dier alt
die linten AB,als AD ſo iſt Du auchꝗ nach der
vnd mittlern propoftion in A, vnd u Anh AB, — * Emile Ko
pꝓortion / vnd AD, bie kleiner.
Demonfi auon. |
Bann breylinien properkoniert ſeyn / ſo dasr ewincklet
viereck der enden / gleich dem June une dann
vwie DA, m AB, alſo Ab; U BBS
V25+2 Vırk2 Par Fr
[2 vior2 203 4
V m vie 5⸗ 310. Brain vier⸗
der enden
—— quabra Dir eilen.
Corollari ium.
Hierauß iſt offenbar / wann ein grade linien nach der euſſeren
vnnd mitten proportion getheilt wirt / vnnd vom groſſen theil ein
ſtuck geſchnitten wirt gleich dem kleineren / ſo iſt der Reſt auch ge⸗
theiult nach Der euſſern vnd mietlen proportion.
BE Bann
Das vien Dach Gesmeniz,
‚XXVIE | |
Wann ein inien heile wire nach
der euſſtren vnnd mittler proportion/ vnd zwü⸗
ſchen beyden theilen ein media proportional
nommen wirt / ſo ſeyn die zwey quadrat der
ze; zweyen kleinen cheilen/gleich Dem qua⸗
| drar deß groflen cheils.
Es ſey die linien ap, ſo 202. D ——
die iſt getheilt nach der euſſeren vnd
mittler proportionis C, fe iſt der größe
fer heil AC, 4. 0nd der fleiner GB, iſt
Vz. wüſchen difen nimm einein
mittler proporiion als. CD, iſt .v 3 4 0 B
=. — iſt v320—8,
rzu addier das quadrat CB, ſo 24320. kompt 16. ſo vil if.
auch das quadrat AC deß groſſen theiüs. ee
XXVIII.
Wann ein grade Linien cheilt wire
nach der euſſeren vnd mittler proportion / vnd
wwälchen dem gantzen vnd dem groͤſſeren theil me⸗
dia proportional genemmen wirt / ſo iſt das
Madrat ber sanken linien / gleich beyden qua
dralen auff dem groͤſſeren cheil vnnd
ber — propor⸗
N
Von den graden Linien. TOR
Sy gantz linien feye AB, -
20-+2.( deren ft gleich
AE,) iſt gedachter manen ge⸗
rheiit in D, DEAD ‚4A vñ DB,
* — vnd oe —
iſt geſetzt das groſſe theil von As
* * die gant CE, auch
gerheile nach. der euſſeren vnnd
mittier proportion in A, vnd
iſt CA4. vnnd AE, V20 2.
darzwüſchen nimm eine in mit
fer proporiion als AF,vV.V3 —— |
20-48. deren quadrat iſt v 320-8. dariu abbier das quadrar
AC. 16. tompt 24-+-v 320. ſo vil iſt auch Das quadrat AE,
XXIX.
Ein jede grade Einien zecheilen / alſo
— Haß dep groͤſſeren theils quadrat /
ſey den quadraten der an⸗
gleichſ den zween theilen.
S ſeye die linien Aß, die |
gs ich su theilen in — = 3
drey theil der geſtalt / das das
quadrat deß groͤſten theils /
gleich ſey den quadraten der
andren zweyen / ſo nimm ein
linien nach gefallen / die theil
nach der euſſren vnd mittler
proportion / vnd nimm zwü⸗
ſchen den zween theilẽ eine in
mittler proportion / diſe vnd
die zwen theil ſetz in ein grade
linien zeſammen / daß ſie mit
AB, ein winckel mache / vnnd
ſeye AC, der groͤſſer theil / vñ |
\ DE derkleiner chei / vnd OD, in mittler proporılen zwuſchen beit
* fpefien
Das vierdt Wach Geometrie
cheilen / ſo iſt die linien AR, gerheilt in den puncten CD, in gleicher
proportion theil die linten AB ‚in G, Fʒ Tfoifl Das quadrat AG,
gleich beydẽ quadratẽ GP, FB, dañ wie fich halte dic quadrat ð linie
AE,fohalten fich die quadraten desdinien AB, dann bie eine iſt
theilt mie Die ander / vnd das quadrat AC, iſt gleich beyden quadra⸗
ten CD. PE,
Corollarium. | Ä
Strauß iR offenbar / wann ein Tinten gedachrer maſſen getheil
N net
5 XXX.
Fin linien in veen cheil zu theilen /
daß der eine theil ſey in mitler proportion
iwülchendentanderntheil/ondene:
gefehten Anien. |
eiinien eg A.
bie ander ge *
mad) BC gleich
| Muh za den Theilen ein Triangel gemacht wirde / ſo iſt er recht»
winckle
ſetz von cinD , die
verleng weiter / daß
DA gleich werde der:
linien A, vnd fchreib.
auff die gãtz AR auf:
dem Centro E. ein halben Erckel BFA, auß C auff AB erheb ein
perpendicular GF, von dem nimb halbe linie CB ‚(fo gleich b find?
B)als C G ſo reſtiert GE ‚welchen die linten fo von A fol geſchnitten
werden / vnd in mitler propartion ſteht / zwüſchen dem Reſt von A,.
und der Linien B..
Demonftration. |
7, Ziehe B A durch G ein parallelen HGI, vnd mach &K gleich GH..
giehe GD, der ſelben wider auß K ein parallelen KL,jiche GL ‚deu
felben auf A wider einparallelen AM/mad) GH gleidh B oder BC,
end auff HM auf Eentro N, ſchreib ein halben EircfelHEM , weil
der ſelbige durch F ſchneidi / ſo folgt daß GF iſt in micler properriom
»„ «Te ww. sn
Von den graden Linien: 131
den HG ,GM,t vnd HG,Ifl gleich gmacht der Hinten 3, vnnd
GM ift gleich LA ‚dem vbrigen ſtuck ron A dann GL,MA ſeyn pa- 36.p.1«
rallelen, wie au) GI,DA vnd DL ifl gleich GK(oder GF )wegen
der parallelen KL, GD. vnd GK,DL » deſſentwegen iſt der abge⸗
ſchnitten theil DL in mitler proportion zwüͤſchen L.A dem Reſt võ
A vnd der geſetzten Linten B..
| | x . |
Wie mansworlinien in mider pro-
portion zwüſchen zweyen gebnen linien füchen
vnd finden ſol / hab ich die erfindun Platonis, Hieronis,
end Eraroftenis,befchribensmwer dieerfindung Philonis Biſaniii,
Apollonii, Dioclis,Pappi,Spori,Menechmi Architæ, |
vnd Nieomedis, begehret / ſindt ſolches write
läuffig beym Tartalea, vnnd
Clavio.
€ |
EB ‚die feg: zeſam⸗ —
men im puncten € B
gineinrehrewin: - |
ckel / vnnd verleng J
beyde GB in D,. 2Z__D
vnd EBINC ‚der
dem neben’ geſetz⸗ | Zu
sen Inſtrument / do die zween ſchenckel LK,MN fü Kein rechten‘
windel machen / diß Inſtrument heb auff die linien wie die Figur
weißt / vnd ruck die beroegliche Regel HE biß fie an F vnnd D ‚ats
ficht. fo wird dann BC,BD „. in mitler propertion. ſtehen zwüſchen
GB vnd BE.
Demorffration:- - !
Deren EDC iſt ein recher Daran el das gerpendicniar Ä
36.p:1,
24.P. I.
R
Das viert Buͤch Geometriæ,
DB auff die baſis EC, derwegen iſt DB in mitler proportion sw,
ſchen EB,BC st. gleicher vrſach iſt C B in mitler proportion zwüſchẽ
GB, BD, barauß folgt daß wie EB, zu BD, alſo BD,5U BC, vnd wie
DB zu BC, alſo BC ‚iu BG ‚und ſtehn alſo die vier linien EB, BD,
BC,BG ‚in fleter proportion, vnnd die zwo D.B,BC ſeyn in mitler
proportion ʒwüſchen Eb, 16.
Hieronis,
a. Es ſeyen zwo linien AundB,dbe A
ſetz in einen rechten winckel gefamen/
daß AB gleich werde der linien A 6 PRTT—IN
BC gieidy der linten-B,und vollende NN SR
das rechtwincklet viereck ABCD, UNS NN
siehe beyoe diameter AC, BD. die N NN
fchneiden fihin E verleng pc, end FR
DA ‚auf dem Centro E fehreib ein
fuck Circkel MN. den siehe mie einer
radenlinien sefammen / wann die .
Pelbige durch den puncten B gehet / ſo
haben wir vnſer vorhaben / wo nicht
ſo ſuch durch ein bewegliche Regel
oder einer parallelen, die drey pune⸗
tenF BG, wo die verlengten DC, vnd DA, vom Circkel ſo auß dem
Centro E geſchriben geſchnitten werden / vnd mit: dem puncten B in
en graden linien ſtanden / wie FBG ſo iſt CP, vnd AG, die fe wir
uchen.
Demonſtration.
Ziehe ein perpendicutar auff DC ‚die ſchneid DC, in wẽ gleiche
tbe in H, an DC, iſt in grede geſetzt DF ,darumb iſt das rechtwin
cklet viereck DF, FC, mit dem quadrat HC’, gleich Dem quadrat
HF, Taddier zu jedem dag quadrat HE, fowirt das rechtwincklet
viereck DF.FC, mit dem quadrat CE, (fo gleich beyden quadr atẽ
CH, HE, Jgleich dem quadrat EF, (ſo gleich beyden quadraten FH,
HE.
leicher vrſach iſt das rechtwincklet viereck DG. GA, mit dem
quadrat AE, gleich dem quadrat EG, aber AE,EC, ſeyn gleich. wie
AUG F, EF.darumb ſeyn Dis rechtwinckleten viereck DF,FC, vñ
SR DG,
| Von den graden Linien. - 132
DGh GA, auch gleich / vnd wann die rechtwinckleten viereck der en⸗
den und der mirtlen gleich ſeyn / ſo ſeyn die vier liniẽ proportioniert
welche folche viereck machen Tale wie FD zu DG, alfo AG, zu CF 39.p. i.
pnb wie ED, zu D G, alſo FC, zu CB, vnd BA, iu 46, dann im
Triangel FDG ‚tft CB,parallelen mit DG, vnd AB, par allelen mit
DyF, darumb wie BA, zu AG, alfo AG iu FC, vnd FC, IN CR.
Eratoſtenis.
Es ſeyen zwo linien AB, vnnd CD, ſo ſchreib auff ein grade
ſinien AC, drey rechtwincklete quadrat mir der liniẽ AB, als die. qua⸗
drat BE.GF, HC, vnd mach CD, gleich der fürgeren linien CD diſe
quadrat mag man von gutem dickem papyr ſchneiden / vnd laß das
mittel GP, feſt ligen / vnnd ſchieb BE, darauff / vnnd HC, darun⸗
der / biß die Biameter GF, vnd HC, die auffrechten GE HF, ſchnei-
den / das die puncten in BXLD, in ein grade linien koͤmmen / vnnd
Doch die Diamerer mir einander parallelen ſeyen / wie auch die auff⸗
rechten BA, GE, HF, als dann werben KE, vnd LF, in mittler pre
portion ſeyn / zwüſchen beyden BA,DC,,
Demonſtration
Es werdend verlengt in der dritten Figur beyde 8D, vnnd a40;
die lauffen zeſamẽ in M im Triãgel AB M, vñ ſeyn der baſen BA. die
parallelen KE, LF, vnd DC, gezogen / vnd im Triangel EBM, ſeyn
Der bafen EB, Die parallelen KF, und Lo. aeiogen / darumb fenn
die feyten proportioniert / wie auch die cheil/ Tale wie BM, zu MX
alfo AM, ju ME, (im Triangel ABM, Jonnd EM, zu ME, (im
Triangel EBM ‚) gleicher geftalt wie KM, zu ML, alfo EM, zu MF
‚(im Triangel EXM,)#Rnd FM, u MC; (im Triangel FKM, aber
wie EM, ZU ME, alſo AM zu ME,darumb wic AM ju ME, alfö EM
Ju ME, vnnd EM, u MC, vnnd wie AM, SUME, alſo nn
32. p. 1.
34,1.
Das vierdt Bach Geometriæ,
vnnd wie ZM, zu MF, alſo KE, zu LF, vnnd LF uU DC /tymnd
ſeyn zwüſchen BA, DC, zwo in der mitilen proportion funden als
KE,LF,lauth vnſers vorhabens.
Hlerauß iſt offenbar / wann drey proportionierte linien befannt
feyn / fo mögen andre gegen ihnen fo vil man wil in ſtehter propor⸗
sion gefunden werden. Es weren bekannt Die drey linien RG. AC.
BD, der andren Figur / begehr eine die ſich halte zu EG ‚wieEG,
zu AC, wann die linien nach gebnem bericht in rechter weite von
einander ſtehen foperlenge BG ,onnd BE, auß E, sicht AC, ein
parallelen Eh, die ſchneidt die verlͤngte DG,inh darauf siehe GE
ein parallelen hf, welche fich zu GE,helt/ wie GE, iR CA, woͤlte
man aber eine haben Die ſich zu DB, hielte / wie DB, zu CA, ſo ver⸗
lengt G D, vnd EB, auß D, ziehe C B,ein parallelen D i,die ſchueide
die verlengte EB, in i, darauß ziehe BD, ein paralleien i I die helt
ſich su BD ‚wie BD In AC, in gleicher geſtalt wirt k m funden / vñ
alſo forıhan.
2 Corollarium.
Hierauß iſt auch offenbar / daß mölifchen zweyen gebnen linien /
nit allein zwo in mitiler ßroportion mögen funden werden / fonder
fo vil man wil / als zwüſchen ab und gfder dritten Figur / wirt be⸗
gehrt auf in mittler propottion jefinden / ſo nimm ſechs quadrat /
ynnd ſchieb ſie auff und vndet einander wie glehrt / ſo kammen Die
fünff AB, EK,FL,CD,e 4, welche ſich zwüſchen ab, amd zf. pro⸗
porkonieren, —
Ende deß vierten Düchs.
‚(geemes
= | u3
Geometriæ, Theoricæ, &
Practicæ,
Von den Circkel linien vnd Figuren.
Wie die ſelben zu Veiſſen / zu ber⸗
wandlen / zu addieren / ſubtrahieren / ver⸗
muchren / verminderen / vnnd
ztheilen ſeyen. |
| I. a
Wie ein Circe su Veiſſen ſeye /
m Centre.
Us — Aber ein ng
deß Eirckels den andern fußchu au
nach belieben /onndreiß herum von A
wider zu A, fo haſtu Deinem m... ein
gnuͤgen nsethan.
IL.
Durch drey debne puncten ſo inf
ner graden Linien ſtehen / ein Circkel
zu Reiſſen.
Es ſcyen die drey yuncten ab efo nit auff eher graden mi
gber ſey dann
dardurch begehr ich ein
Ehre su Reifen / auß alein
drey puncten a be fhreib Cir⸗
eelbögen / die ſchneiden ein
ander in i, vnd h,auchinf, on
Bsliche durd) gf,ond ih grade.
mien / die fhneiden cin ander
in e welches dag Centrum der
dreyen puncten abc iſt, +.
in.
Mehr als drey puncten zu finden
en a
ſeynd betandt die drꝛen puncten
abc, weil ab gimblich nach
ammen / begehrt ch
ed ut
De dardurch der Eir
III
BWie die Ellipſesdaoiſt / die ovalẽ
wm Keiſſen ſeyen / ſo die
ee
u
zu rechtem winckel in E ‚nina die weite
FAUFF IDEE ‚ ſurco
Fr leng fo geben iR AB.die breiten C ‚und ſchneiden einander
DFder geflalt daß fie
ẽ⸗
@
we Wp WEe® yn
Don ben Leea Ein, | %
OR"
ER her,ha Lfeon ——
‚ale AL ih ee hlansciärtte 555 ıf.de..ı.
T nauhgle ch A gefchriben, geht auch
se ber —
R
2. Auß gebner Inge vnnd
breite / vil puncten deß vb»
eines wol fer⸗
mierten oval.
Die aeben lenge ſey ab,
die breit d c. dee fi di:
ander gu rechtem winckel is
e. nimb Die weite ea ober eb,
fen ein fuß deß Circkels in c
oder in d, mit dem andern
ſchneid den fangen diamerer
abin Arten zwü⸗
ſchen p e oder e q € pun⸗
eten nach belleben als fghik
Imn,ond nimb u. bf
Circkel /
ein —ã— Circkels Fe —
m andrea reiß die bösen
Das fünfft BAch Greometriz,
AB¶, vnd auf Centro p, die boͤgen DC .danıı nimb Die weite af, vnd
ſchreib wider auß dem Centro p q,die Creutz ſchnidt in A. vñ DC,
darnach nimb Die weite b g, vnd ag,ond ſchreib auß p vnnd q, die
Circkel boͤgen: Dann nimb die weite bh, und a n vnnd fdhreib wb
der auß p, vnd q,die Circkel boͤgen / vnd fo fortan : lecſtlich gichs mie
einer wol fotmierten bognen linie zeſammen / Die virde ein ſeine
wol formierte oval geben.
3. Wann fein gebne lenge vnd brelte iſt / cin Or naq gefalen
Mechanickgu ſchreiben. — ——
Nimb mit einem Circkel die
weite nach dem die Oval wilt groß
haben / feh ein fuß ins Cehtrum G,
mit dem anderen fchreib ein Circkel
FC,BD, vnd mit vnverrucktem Cir
ckel ſchreib auß F, den Circkel C 1%
D ‚der ſchneidt den erſten in C, vnnd
D darnach fer «in fuß in D, den an⸗
deren thu auff vber den Circkel das
er jhn bloͤßlich ruͤhre / vnd ſchreib von |
eim Circkel zum anderen den Circket er
bogen / deß gleich auß Centro C, ſchreib den. andren Circkel bogen
fo iſt die Oval vollendet.
4. Begehrſtu die Oval lenger / ſo siehe AB, viid C D, zuo rechten
—2*8 ſchneiden ein ander in
E, auß E, ſchreib mit begehꝛter
weite den Circkel GHFI, der
ſchneidt AB, in G. und F, vnnd
CD,inH, vnnd 1, mit gleicher
weite deß Circkei⸗ ſchreib auß G
ben Circkel BE, vnd auf F,den
Circkel AR, darnach fehden Cir
ckel fuß in J. vnd thu jhn auff pi
vber den Circkel BE, das er jhn
Boßrührerond ſchreib durch C,
den Circkel bogen / vnnd ſetze jhn
in , vnnd ſchreib den bogen durch D, fo haſtu Bein begehren.
4. ——
—
=
Von den Circkel Linien. 335
Ziehe AB darauf nimb anocy
Centra GF, vnnd ſchreib auff
GE, alebafen zwen gleichfuͤßl⸗
‚ge Triangel GHF , vnnd GIF,
ri ihre füß wol verlenar ſeyen /
siehe HT, auch wol verlengt / die
ſchneidt AB, zu rechtem winckel
in E, auß Centro G, ſchreib den
bogen MBL,. auf F, den bogen
KAN, auf. H,den bogen MDN, a
auß Centro 1, den bogen LCK,,
und mir diſer Regel mag man kleinere vñ groͤſſere Oralen ſchreibẽ /
wie das sinem die arbeit in dic hand gibt. | KR
. Dom verwandlen. |
-/ | V.
Ein Circkel in ein quadrat
su verwandlen / nach der lehr |
deß beru hmten Archimedis.
CINE demontirier: ‚wm
manden dıamerer 32 mal L
für den omblauff neme fo fey.es
gu vil / vñ 327. ſey an wenig / vnd
nach der * ren proporiion /
wil einer auß dem neben geſetztẽ
Cuirckel AEB, ein gleiches qua⸗
drat machen / theibden diameter
AB, in 14. gleicher theil / au
— th — erheb a
AB icular / dz ſchneit
den vomıbfreiß in E, ziehe EB, ſo
ein ſeyten deß begehrter qua⸗
drate IX LM, ſo dem Cir
ey nahem gleich iR,
4
st, —— —
42. p. 1.
Ober.
Das fünfft Bach Geomerriz;
Anderſt.
ee. — Be mpeg -. ze.
welchem gleich iſt BG, vnd der hellen 22. BH,
kriegſtu wider Dein begehren. | .
— VI. | e
Ein quadrat inein Circkel
zu verwandlen. |
23% erftiich ein linien welcher quadrat einem Circkel gleich
ſey / als in der oberen bie linien BE, vnd meines vorha⸗
benden quadrats ſeyten fen die linien a b,die fa von Bin F darauß
siche auf BE, «in perpendicular / die ſchneidt den diamerer BA in
D, vnnd BD, iſt der diamerer deß gefuchten Circkels / welcher dem
quabratauff ab, gleich iſt / Nann FD, iſt E A, parallelen im Trian⸗
gel AED, Tberumb wie EB, tu BF. alſe AB, 56 BD,
a vii. |
Ein Ellipſes in ein quadrat
| zu verwandlen.
Sx2⸗ medis proportienal
smwüfchen Aß, vnnd CD, se
—— —
C6,
diamerer / vnd ſchreib in Cir⸗
del C C. der iſt der Oval gleich /
diſen Circkel verwandel in ein
en den der Oval
Von den Circkel nien. | 36
J VIII. |
Ein halben Cuckel in ein gan⸗
gzzen / vnd hinwider den gantzen in
ein halben Cirtkel zu vers
Vvamicn
S ſey der halbe Circkel
ABC, darinn ſeyn bey⸗
de Triangel AbC, ADB,
rechtwincklet / vnd die gleich
foͤrmigen Figuren auff der
ſeyten ſo dem rechten win⸗
ckel vnderzogen geſchriben /
ſeyn gleich denen beyden ſo
jbnẽ gleichfoͤrmig vnd auff
den andren zwo ſeyten ge⸗
ſchriben ſeyn / vnnd AB, iſt gleich BC, deßwegen iſt ein he 47.1.
auff AC,doppier deß Circkels auff BA, darauf folge daß
Citckel ABC.auff AC geſchriben / gletch iſt dem Circkel AEB an
AB, geſchriben.
Einem halben gleich sefihrelben einen gautzen. |
Auff die mitte AB, siche ein perpendicnlar FD, Die ſchneid AC,
in D, auß Cemro D, mit ber weite DA, oder DE , fchreib den halbe
Circkel der iſt dem gantzen auff AB, gleich.
Corollarium.
erauß bar / daß ber halb mon ABE, gleich iſt dẽ recht
— Ah A en mie dem halb mon ein gleiche bafen
ba dann der Cirekel ſchneidts auff AB, iſt gleich beyden Circkel
nitten auff AD,DB, nimb hinweg alle drey Circkel ſchnidts / ſo
bleibt der halb mon ABE. gleich dem Triangel ABD, den beyden
halbe Circkel ABE,ABD ſeyn gleich / Dann der diameier AB, theilt
den Circkel in zween gleiche theil. | Zu
73 ·P. I.
—XR
Das funfft Buͤch Geometriæ,
IX.
Ein Circkel zeſchreiben / deſſen omb⸗
lauff gleich fey einer gebnen linien /
weiches deß Catdinals Nicolai de
Cufa afindung iſt.
Sʒ geben linien
eh A B,die chei A ů
in drey gleiche eheil/ B
auß difen mad eis -
gleichfeitigen Trian⸗
el AßC, vnnd theil
* ſeyten in zwen
gleiche theil in den
puneeen DFI, auß
diſen ziehe ihn gegem
vberſtende winckel grade linien die ſchneiden einander in E, theil
DC, in zwen gleiche theil in G, dardurch ziehe Die grad linien EG,
verlengt . von EG, in H, ſe iſt GH, *. von EG, mit der weite EH,
W
® auf : ſchreib den Sırakelrdchen vmbereiß ifl der graden lınien AB.
t —
eich.
Nimb de ß Circkels halben diameter / vnnd die linien AB, auch
halb / dar zwüſchen mediä proportional gibt. ein ſcyten deß quacrats
ſo dem Circkel gleich iſt.
Demonſtration.
Die gantz linien ABß. ſey V9732. ſo iſt deß Triangels feyceny/ı
-@8. vnd dic halb als DC, v 27. ziehe das quadrat DC, võ quadrat
B, ſo xeſtiert dag quadrat BD 2 ı. darauß v iſt 9. für BD, darvon
iſt 3. für DE» Tbschulb DE, als DG, iſt v6. addier beyde quas
Draten ED ,9. vnd DG, oJ. ſo kompt das quadrat EG ı53.1das
raußv dtv ısz.tascheil in vier gleicher theil kompt . diſcad⸗
dier u EG,V 153. ſo kompt EH, v 2482. diß iſt der halbe diameier /
den duplier kompt der gang diamet er V93. das halt ſich zu AB,
dem omblauff Y972. wie 1. zu 3 (42357 vnd falt zwüſchen bey⸗
% Tergun deß Archimedis / dann ſoman nach feiner lehr den dia⸗
meter
Min vier gleiche heil mie beyden dia,
der euflren vnd mittlern proporsios
Don den Circkel Linien. 7
meter 3:.mahl für den vmblauff nimpr it bey nahe 3(14: 8,011.
fo zegroß / vnnd fo man den diamerer 332 mahl für den vmblauff
nimbt iſt bey nahem 3(1408451, — iſt zu wenig / doch iſt die funden
dahl noch zegroß / dann Rodolphus ä Ceulen / ſchließt das wahre
facitdeß vmblauffs / (wann der diameter iſt)
3 (14159205353979323847 5 au vil
Sn} 3 (241591653589795238 46 weiches? zu wenig iſt.
X. |
Die der smbEreiß in ein grade
linien zu verwandlen / vnd den Circkel
in ein quadrat / welche Erfindung deß
alehrten Franciſci Vietæi iſt.
Es fey der vmbkreiß b cAl,den the
meırenbc, onnddl, die ſchneiden ein
andren zu rechten wincklen in a, vnnd
theil a c,in der mitten in zwey in e,dar
durch siehe di, vnd auß i, siehe ein per.
pendıcular auffdl, vnd theil a b, nach
in f, ziehe hf, vnnd derſelben auß b,ein
Parallelen b g, die ſchneidt dic verleng⸗ |
tedl,ing,fo ut ag, ein wiercheil vom ombfraiß deß Circkels ba cl.
Media proportional wiiſchen dem diamerer gl, vnd ag, dem
viertheil deß vmblauffs / gibt ein ſeyten deß qua Ms fo dem Cir⸗
ckel gleich iſt.
Bon de ſubtrahier die helffte von a c, ſo reſtiert dk, (fo gleich
bilfo ein ſeiten eines zehen ecks in den Circkel geſchriben.
Demonſtration.
Der di . deß Circkels ſey bekandt vnd ſey 2, ſo iſt a e F, vnd
de, Vis / hier võ ſubtrahier 2 e./ ſo reſtiert⸗für a k oder b ef.
-
und beyde Triangel.d ac, di l ſeyn aleich winctlet / dañ die winkel in
a vnd i ſeyn recht / vnd Der wnckel d iſt gmein / da m. se
Das fanfft Bach Geomerriz,
wiede,suda, «ifodi, in di, |
yı ı 2 Vi
m Srtangeldih,tk zcder feiten ki parallelen, darumb
AH e su d a, alſo di, zudh, hiervon ſubtrahier ‚da, |
Wr 2 ve ı
So reſtiert ah, und von ba, ſubtrahier br, ſo reſtierta f.
2 7T vl Vi!
T
Anaeſehen die aleichwinckleten Triapgelafh.abg, if
wie fa zu an, alſo bazzu ag,diß iſt deß vmbtreiß bdcl,
—
1333 Pe Era Zr zu
Difes viermahl iſt ter gang: vmbkreiß 37 v7 u diſem vera
heit fich der dıamerer fo 2. wie 1.50 3(1 416407 ifinoch ze groß/ oil
iſt neher nem wahren facis als deflen von Cufa,
Anderſt.
Es ſey der Circkel achd, den rheifen
beyde diameter a b ynd c din vier gleiche
theil / vnd ſchneiden ein ander zu rechtem
winckel in e,die fetten b deines quadrats
dem Circkel in geſchriben halben theil / ſct
von e in —— den halben diameter ec. a
auß a durch g siche ein wol verlengte li⸗
nien,ond theil ab halben diameter nach
der euſſern ode pror.ortion ini
fo iſt ei der groſſer theil / dem mach gle cq
hb ‚jichegh, der feiben außbett: parallelbk „ die ſchneidt die von,
Em : : r k, vnd akıfl ein feiten eines quadrarg fo dem Curckel ac
gleich iſt. |
Demonftration.
Der diameter feyez.feiflidb Vz ein ſeiten deß quadrare in dem
Circkel geſchriben / deſſen heiffte iſt Vxvnd iſt glich e g, theil a e in
mitten in wey in q, iſt ge z/ vnde 6,1 aodier jhre quadraten / tompt
| das Alße
Von den Circkel Linien. 138
das quabrat eq ı%/ darauß vi cqv ızıderen mad gleich q i.
Vnd mach eĩ gleich bh1 /das ſubtrahier vom diamerer ab
2. refliertah, 22-—-V ız/addier die quadrat a e,c g auß der ſumma
— iffag, VI / vnd die Triagelahg,abk feyn gleichfoͤrmig /
arumb Eu
wie ah, zu ag.alfoab, u ak, ein feiren def quadrats dem
33-vıi Vı 2 vVıırvz
Circkel acbd gleich/difeak auadrier kompt dz quabratolmnmel,
dies 12 V17] das iſt 3 (1414407. ſo vil iſt auch 3 halı ce vmkreiß deß
Circkels a e bd wann der diameter 2 iſt / dann 2. verhelt ſich zu ſei⸗
= mn 33 7as iſt zu 662232214. wie 1 u 36 410407.
—3 N \
. IL, 5
Nom Addieren der Circkel.
Es ſeyyd vier Cir⸗ |
del A B, C-D, bie DON
wil ich zeſammen ad» B >
dieren / ſchreib ein rech⸗
sen winckel g af ſetz da
rauff von a in b den di⸗
ameter a b deß Circkels⸗ |
A, von a in c den diamagy _
ser ac def Circkels B,.
ziehe be, dife weite feg
sonainf, vnd den di.
ameter ad deß Circkele
C vonaind,siche df, deren mach gleich ag,.unnd ſetz den diameter
ae deß Circkels D vñ a in e, ziehe e gdarauff ſchreib ein Circkel gae,
der iſt gleich den vier Circklen A,B,C,D,t. | 47. p. i.
Gleicher gſtalt werden die haiben die viertheil vnd andre gleich⸗
Prmige Circkel ſtuck addiert.
Mm ij Dom.
Das finfit Baͤch Geomenriz,
‚XII,
Dom Suberahierender
Circkel.
om Circkel ABC ‚teil ich ſub⸗
“trahieren den Circfel DEF,
siche dc diamerer AC deß Circkels
ABC vnnd nimb dic diameter FD.
der Circkels DEF, dẽ mach gleich.
CR. der reicht den Circkel in B, zien DJ
he BA, vnd auffiden diameter. AB: z
ſchreib ein Circkel. AGB der iſt dañ
A7:Ble der reſt/ angeichehen.den rechten
winckel ABC ſt der- Circkel auff
AC, e- beyden Circkien auff AB,BC,und die auff BC IR gleich
dem Circkel DEF darumb iſt der auff AB dir begehrte Reſt.
XIII.
Dom bermehren onnd Herz
Pleineren der Circkel. |
ES fen der Cirgel z den wil ich vergr daß ſich der vergro⸗
ſte halte zum Circkel ß, wie die linien zur linien b, diß zuver⸗
richten / ſo mach a g gleich der. linten b, vnd ge gleich der liniena vñ
ah gleich dem diemeser def Citcfels a Vnd ſuch die. vierte propor⸗
42. p. 1.. tionierrehk + vnd awüſchen ah,hk; media proportional hi die iſt
ber diameier deß Circkels A, der helt ſich zum Circkel B, wie die lini⸗
en a, ur linien b. Sr
Demrnftrauon..
Dannwieag, messalnahsuıhk,mwüfhenah, hkiffhite
Mitier proportion darumb.feyı & dr. yi:nıenah,hi, hk inflerer-
u Proporiion,darımbmwiedieerfic ah zur dritienhk-, alfc die Figur
2C.Q45:p.4:der erſten / ju der Fiaur der andern T. wann ſie gleichförmig vnnd,
gicichfoͤrmig geſchriben ſcyn. —
Von den Circkel Linien. 339
Ein gleiche meinung hat es mit dem
verkleineren.
Als man begehrt den Circkel a; gu verkleinern / daß ſich der ver⸗
kleinerte halze zum Circkel A, wie die linien b zur linien a / diß zuver⸗
richten fo mach a d gleich der linien 2; vnd de gleich der linien b, vnd
ab gleich dem diameter deß Circkels A, nimb die vierte proportio-
nierte b c wiiſchen diſer vnd der linien ab media proportional iſt
bẽ, das iſt ein diameter deß kleineren Circkels / als der Circkel B, der
Brit um Circkel A, wie die. linienb zur linien a durch aber des.
Mo ation.
Durch das Inſtrumentum Partium.
Sich erſtlich auff lineam rectam dergleichen: theil / wie fich die
Anien b zur linien a verhalte / als ſetz die linien b von 10 in 10. end
laß das Inſtrument vnverruckt / vnnd ſuch die linien a, vnd findſt fie
zwüſchen 15. vnnd 15: vnd ao. gu 15. iſt wie 2. zu 3 darumb nimb
en Rum ti dm
Das flinfft Buͤch Geometriz
den diamererdeß Circkels 3, den ſet swälchen 2. vnnd 2. in linea
Geometrica / vnd nimm die weite zwüſchen 3. vnd 3. anff dedachter
linien dag gibt den diameter deß Circkels 4, haſtu aber den Circkel
A, vnd wilt jhn verkleineren / ſo nimm den diamerer deß Circkels A
vnd ſetz jhn zwüſchen 3. vnd 3.0nd die weite zwüſchen 2. vnd 2. gibt
den diameter deß Circkels B.
Wirt aber begehrt ein Circkel in vnder⸗
ſchidenlicher proportion zuvergroͤßeren / vnd
su verkleineren / in einer operation.
Es ſeye ein Circkel deſſen diamerer ſey AB diſen ſetz noch etliche
mahl auff die verlengte AB In C,D ,E, vnd F, ſo iſt BC,der diame-
ter anderthalb mahl / darumb iſt media proportional zwüſchen AB,
BC, alsB b, ein diameter eines Circkels fo anderthalb mahl fo
groß iſt / als der Circkel deß diamerers iſt AB, aber BD, iſt dopplet
deß diameters AB darum iſt 8 c, ſo in mittler proporsion zwüſchẽ
AB, BC, ein diamerer eines Circkels fo zweymahl ſo groß als der
Circkel deſſen diameter iſt AB, vnnd alſo forchan mögen fo vilerley
duameter funden werden als einer begehrt.
Iſt mitdemInftrumento Partium
auch leichtlich zufinden-
Dann fo einer ein Circkel begehrte ſo dopplet deß Circkels auf
AB, ſo nimb AB, mit einem Circkel / die ſetz von J, in I, auff linea
Geometrica / vnnd die weite zwliſchen 2. vnd 2. gibt ein diameter
eines Circkels ſo zweymahl ſo groß als der Circkel auff 4B, vnnd
die weite zwüſchen 3. vnnd 3. gibt den diameter eines Curckels fo
dreymahl ſo groß / vnd alſo mit den andren.
Zu verkleineren.
Setz ben diamerer BC ‚auff der verlengten OB. noch ein halbes
mahlals von B,in £/fo iſt bg (welche in mittler proportion iſt gpoßts
fen cB, Bf) ein diamerer eines Circkels fo halb fo groß als der
— deß diameters Bc, vnnd alſo kanſtu es verjungen fo weit
wilt.
BR
R | Bon “ Circkel Linien. 140
_ WE ‚© ||| Bess
Wie die Circkel zu cheilen ſeyen
auß dem Centro. |
Ä Es ſeye der Circkel BCD , den wil man
auß dem Centro A, in drey gleicher theil
theilen diß zu verrichten / ſo theil den vmb⸗
kreiß in drey gleiche theil in den puncten B
‚ DC ‚auß dem Centro / in die felben ziehe li⸗
nien / die theilt den Circkel in drey gleiche
thei/ den vmbkreiß aber theil alſo / den haibẽ
d.ameter AB ſetz mit einem Circkel zwüſchẽ
6o vınd So. ın der linien fubtenfarum deß
ALnurumenti parııum, vnd nimb Die fubtens |
ſam deß begehrten theils als hier 120. das iſt zwey mahl So. ſo? deß
begehrten ambfreiß.
Wann man aber deß Eirckels vmbkreiß wolte in acht gleicher
tkeil cheilen/fe nimpr man die ſubtenſam von 45. das iſt / man nime
die weite zwüſchen 4r.0nd 45. dasifl z vom gantzen vmbkreiß ı dife
weite feg 8 mahl im Cirekel herumb / vnd wird dir den vmbkreiß in $ k
gleicher theil theilen / vns fo man auß dem Centro in alle theilen it,
er sicht / ſo cheilis den Circkel in acht gleicher ſeciores oder Cir⸗ y1.y 5
el zeun. —
XV.
Ein Circkel mic parallel Ci⸗
nien zetheilen.
S ſey der Circkel ABDC ‚fomanje
wil in zween gleicher theil theilen / ſo
Verzicht ſolches der diameter EG.
So man ihn wil in drey gleicher theil
sheilen, fo ſuch ein Circkel zahn AEB der
ein dritten cheil ſeye deß gantzen Circkels /
Tondverleng AF IND, vnnd BE INC,
siche AB Und CD, vnd AB iſt lach CD,
dann die winckel AEB,C 1: D ſeyn gleich /
T wie auch die linen EA,EB,ED ‚ vund
15. def. 1.
52.p. 1.
ITJ.p. I.
12.P.4.
Das fünfft Büch Geometrie,
EC ‚tdeßgleichen die boͤgen AB, CD, T deßwegen feyn die a
jeen AEB, CED auch gleich als jedes ein dritten cheil/ond Die vbri⸗
aen zween Circkel zeen AEC, BED feyn auch ein driteel: durch daß
Eentrum E jiebe.F G-parallelen mit AB oder CD,sicht BF, GC, ſo
ſeyn die Triangel AEB,AFB gleih/tdarımb iR der Triangel
AFB mit dem Cuckel ſchnits auff AB auch ein drieren chefl/gleicher
vrſach ift der Triangel DGC mit dem Circkeltrumb auff CD ein
dritten theil / vnd reſtiert das ſtuck BFCG mir beyden Circkeltrum⸗
men auff AF Und GD ſo auch ein dritten theil / Vnd ſuch ein grade
linien gleich halben bogen AF,mit diſer vñd halbem diameter mach
ein rechtwincklet viereck / darvon ſubtrahier den Triangel AFE, den
Reſt dividier durch Die linien BF/T fo kompt Hd zur breite / als das
rechtwincklet vtereck EB cd, welches gleich iſt dem Circkel rum auf
AD, gleicher gſtalt fo machs im andern theil / tompt dag viereck GC
a bgletch dem Circkel trumb auff 6D, vnnd theilen die zwo ab,dc,
den Cerckel in drey gleicher theil / doch nur Mechanice,
Gleid er gſtalt arbeitet man fo man den Circkel in mehr cheil
theilen wolte / Alſo man wolte jhn in 7. theil cheilen / fo ſuch erſtlich
ein Circkel zann der deß gantzen Tirckels ſeye / im vbrigen wie obẽ.
XVI.
Von zubereitung der Oinien
quadratricũm. -
Shreibeinguadrarabc A,pfi 4
teil dic zwo ſeynẽ fo ein andern
entgegen, als ad vnd be, in etiche I
gleiche theil als hier in 12 in ſo vil
gleiche theil / theil auch den quadrãt
oder bogen db, fo in das quadrat
geſchriben iſt / auß allen theilen zie⸗
he a b, oder dc, pirallelen ond auß
a ziehe liniẽ in die eyeil deß bo zens /
die ſchneiden die parallelen in —
untten 12 3 25. ꝛc. dardurch -- -
5— außd,ein Di formiereebog:n — —————
linien / welches Die begehrt linien
quadrawix ſeyn wirt.
.
Den
Bon den Circkel Linien. 141
_ Wentorf pancıen e reche sufinden / fo chell den lecſten cheil
"ale — theil als a f —
lelen ma dund deß bogens letſten —— —
die ſchneidt die ac mn in a, vnd mach a
gnehe ab ein —õãaä » » r pr Taler
| durch punccen / Die wirt zb, un puncten e
den / vnd Die bogen Kinicnıd ec, IR die begehre linien
Volgt der gebrauch derlinien
quadratricum
xvir.
Nach begehiter proportion
einen —
ion wie
ens Cem
vnnd vmb den quadrãt bd das atabcd,und ne lineamqu2
drasicem ed, t und siche auf a intau enteo Ober.
d
—— ——————— — Kos
Ih, dann a k iſt |
peabein yarab
| — lu ſchnud ende aan a li
42.P: I.
42. pP: I.
Das fünfft Shit Geomeiriz,
a m n,die ſchneide den bsinn, vnnd wie bie listen derder li⸗
nien p,alfoalsıih, alſo auch terbogen ba, zum bogen af, vnnd
hinwider wie piug, alfohlzul a, alſo auch der bogen kn sum bogẽ
m
‚Nora ‚wann quadrasrix funden / fediener dieſelbige zu einem
begen / ob er gleich mit ein em kleineren oder groͤſſeren diameter ge⸗
ſchriben wirt / dann bie grade a n theilt fo wol den bogen r f.ino, als
wie auch den groffen ıx in u,mie die linien p vnd q jeſammen ſeyn.
So man aber den gantzen quadrant db nach der gedachten pros
. — en wil / * theil den ſemidiameter d a, Mie p zu q, in v-
g wie oben.
n man aber das quadrant voll cheilen / daß das gantze qua⸗
Drär ſich zum cheil halte / wie o zu q, fo ſuch su den dreyen ein vterdte
in ſtehter proporuon / + afewie pm q, alſo ber ſemidiameier ad,
su einer vierdten / im vbrigen wie oben. nn
— XV III.
SEin halben Circkel zu cheilen
in der phroportion ʒweyet
Linien.
S fer der halb
A ad —
wil man cheilen in
der proportion wie
die linien B, sur It
nien A, das iſt wier
au z. diß zuverrichtẽ
—
r ©
wie diefinien B und
A, jefammen habẽ /
DE se
A,) vnd e a ſem #, L,
der linien B,) nimb bie viert In fhrer —— ——
ae ch ei, auß J ehe IK parallelen mit eb die fehnelde quadrarnis
in X.dardurch sicht auß Centro e ein Linien ck f, vnd ed
— — mn — —
Von den Circkel Linlen. 142
bfzu b d,tofe die linien mi zu ea, das iffroig B zu A, gleicher Aflate
ttheil den andren quadrãten ea dinh ſo wire kd gleich of, vnnd ak
deich de, ſetz da f von hin g ſo wirt * gleich hd ‚und verheit ſi bg
juba, den halben Circke/ wie die uͤnen B gu A „das iſt / wie im
berwiber wie der halb Circkel ab zu gb, alſo a ejulm, da⸗ iſt A,
Road wie die bögen alſo die ſectores deß Circkels + fl wie
der bogẽ hf, si quadrãt b.d,alfo der ſector bef gum ſector be d,od
wieder bogt bo sum 5* bei * Circkels bd a, alſo der ſecior
beg zum halben Cirche ba
71.p. 1.
Nota, warn mehr Bann = hafber Circkel zu cheilen / ſo theil
| erſtlich nach begehren jeden quadrant / vnd leeſtlich ven vbrigen bo,
gen / vnd addiers gedachter maſſen zeſammen / alſo auch wann mehr
als drey viertheil vom Cirekel / fo theil erſtlich die quadranten / letſt⸗
lich den vbrigen bogen vnd addiers ſie / wie geſagt.
XIX.
Wann zween ongleiche Circkel *
handen / ein bogen vom groͤſſeren zeſchnei⸗
doen / gleich eim bogen im kleineren / vnd Bi 0
wider vom lleineren ein bogen zeſchneiden / —
gleich einem genen im
groſſen.
Dar grofferen neben
gefent:m. Circhel be⸗
gehr ich ein bogen —
den gleich dem bogen d< im
kleineren / diß zuverrichen
mach higleich c e,ond heil
am bogen ed inb, alſo das
Ech der bogen ch zum bone
Id halte / wic hi zuik, T
vnd siche c b, vnd dem win⸗
cel ce b mach sic ben win rinckelhkf, + ſo wirt der bogen,
geich dem bogen d.
— ſanco vom Aleineree Eiergein bogen gleich —
17. .d.
ee I. -
begen at Circtel/machc a gleich k den bes
—8 ÖhgYugr, yaltewiecenucn sh mag fin
8 Diebe Kl,ond dem weinctelhhk 1 mach glchih den windtelced
Wat der bogen cd gleich dem bogen hf.
| XX.
Sie boͤ in ade Einien
Biebögenin ga
g! “ a9
Yircten ei
vmbetreiß / ais des Erddiselmn
— ann mu.
Corollarium
— *
: Don don Circkel Tinien. 143
Eirckel aber der halb Alawetre gleich werenefo it af geich
— —— he —— fortan.
XXL
Ein bogen ſo weniger dann ein qua⸗
drant / in ein grade Linien una Ä
ea ,ad die P\
ent, ter pr
rn. —*8* ii
7 a a 5
ar ——* ein propo⸗· 32.2.1,
.. > De dreyen
ad, vnnd dem perpendicular
1p;f0 auß dem. Dem. burchfihnidt
Barieis per FOL DET
Der new fundnen df;, fo 1
en L-
" n 2.58 |
2 ip) ifo fd Imt a u iD de DE
.d. Zu
ben were/fo hat es eben die men fach wiber ein propor,
siomierte gegen ad,ond cqper ve r, vnd der. new funden fd, .
gen |
* t / ſo ver⸗
q in cin S
unimuond addiers — * dein
— wann der bau Dann cha Habbee
XXII.
die circkel zu quadrieren/
vnd hinwider. |
Goſe⸗
E—e *
/
nn
®
Das fänffe Bäch Geomerriz;
ES“ ein Circkel AmBn def
fen halben vmblauff iſt gleich
funden dielinien AL ‚sroüfchen da⸗
fer et rt year
ter AH(deren AK) iſt AE
Tepe media — fo ein fetsen
deß quadrats fo dem gedachte Cir⸗
pc ckel gleich iſt / vnnd das quadrat
auff Ar ift gleich dem Circkti AF
C ‚unnd das quadrat auf AGi
— dem Circkel AGD , vnd alſo
rtan.
Hinwider auß dem quadrat ein
Circkel zemachen / ſetz ein ſeiten des
vorhabendeu quadrats von A in F, durch diſe beyde puncten ſchreib
ein Circkel der geſtalt / daß das centrũ auff dein gmeinen dıameter
Ab ſtande alſo hier in J, vnd das quadrat auff AE aibt den Circkel
AEB deſſen Centrũ iſt . vnd deß quadrats auff AG „ein gleichen
Circkel iſt AGD deſſen Centrũ iſt in B, Bund aiſo fortan mut allen
Circklen vnd quadraten / ac.
Endtds fünfen Düche,
un,
rn
a | Geome:
IE EPEFFETERaEr er
-- Geometrix, Theoricxæ -
Practicæ, |
Das ſechßte Buͤch. |
Vonden rechtliniſchen Figuren.
ie piefelben su verwandlen / zu ad⸗
dieren / ſubtrahieren / vermehren / vnd var
mindern / vnd zu theilen ſeyen.
Vom verwandlen.
| IJ.
Einen Triangel in ein parallelo-
grammum zu verwanblen/der einwinckel s
habegleich einem gegebnen.
Ne
Sfmeakiäder Ti... m ER
angel ABC, vnnd der B L 6 R .
winckel fey O, ſo theil jede =
As in ivnnd BCHn
F n nacten in zwey / vnnd 2
ziehs mit einer. iniẽ ze ſam⸗ *
mar verlengt in D vnd E, | |
Die wied mie AC parallo> | G
lenfinns tinaauff AC A em PN: 32.8. 1.
ſchreib den winckei CAD- =
gleich dẽ winckel o vnd zu AD sche auß C ein parallelen CB, ſo iſt
das parallelogrammum ACED,gleih dem Triangel ABC, Anger
fehen die parallelen BK,EC ‚feyn bie winckti KBF,FCE Al T 11. p.1.
und der winkel BEK en dem winckel C pE,fo bleiben die vbri 10 pr.
gen auch gleich / vnd die ſeiten Dr gleich der fein FC» ——
0
Das — Goomenis
P-3:_ Yerigefeisenrt gleicher drſach iſt Der Triangel AD 1.gleich dem Tr
® ansdarı, vnd der gantze *3 ABC Aleich dẽ päsalleiograum,
ADE
5 Bam enbernfiy er Zrtengs MLN, vnnd heil die bafen un ie
der miteen in swegin P, barein mach auf PN Den winkel NPQ
EHER
a Cie
16.17. 1. —— — 8*
II.
Ein biereck in ein Triangel zu
Es fen ein Wired ABCD 48
rian⸗
— ſeyn gleich / angeſe⸗
es CE, *
—— ea BD ‚! vnd angeſe⸗
IB pen den gmeinen Triangel BED,
ee
IIL
IL Driangel in parallelograni,
mm zu verwandlen nach gebner hoͤche /
Die einen —— IR
Egp wind
Gina ab gleich ſey der- Höhe
AB „site
Aa her ein
KH der Zola —
Triau
nñ̃ dẽ Tiangda c.
verivandelin das pa, ;
rallelogrammum fh 1,73
da, —— hab gleich ee Es |
geben hör auf ab ‚fairen, ven d — auß cein parallelen
ce ,siched e, ſo iſt der Trlangele d b, gleich dem Teiangelae b, und
verwandelden Triangel edb, in das parallelogrammum bk,fe Of.
ein winckel habe wie C , T.
IV.
Ein Irregular ſibeneckt in ein paral
lelogrammum zu verwandlen / Das ein
winckel ha Da ra einem en ein
Kom pas ſlbenech a berafi; das theil Ihn: Tage A,
CD;E diefeg anff ein grade imen a a diſet sicht ei paraltelih
Eh, fo weit von ⸗a an Dir gebentähr AB in dtefe Äh m.
Ober.
—D
11. p.ä.
Das feafı Bach Geometriz, |
le Triangek ı + ſo kommen Die Triangel Fhb,bic, em, mas,
vund afd fo iſt a die gmein bafen aller Triangten/ de heilen
mitæ in mey in.G, end mad —— GEIL alekh Bern sehn
winckel o auß G ‚1 EH ‚Die parallelen GX, vnd außM, HicherG,
die parallelen HK, foif das m GEHE, gleich
dem gedachten Irregular —— ehen die bafend’F,
wmınd dicparallelen d F, A, vnd iſt ſo hoͤch als bie AB, vund
bas imoen winckei GFHSNDHRG, gleich dem gebuen winckei
V.
Es fer dastrregulienefünft aba ac. dacſabice ellin feine
a — — ab —öö a
das made een ea L, gleich dem Ircegulierten
nffeck
bacde,pnd hat die geben Inge ab,onnd den winckel a L m:
—* —
nen windelp.
— m cn ER Se m 8 za
Don ben Rekdiniihendigupit:.. 146
Ein parallelogrammum in ein
anders ſo hoͤher oð niderer iſt / nach geb⸗
ner hoͤhe zu verwandlen.
S ſey das parallelogrammum de die begehr⸗ :,e_
te hoͤhe de,sieheg e,derfelbenaußfstuparallo |
lenfa,auß a,siche dc ein parallelenab vnd auf c
siche da ein parallelen ch,foifl das parallelogram
mum db, gkich dem rammd de, dann
die Complement a c, vᷣnnd fb,jeyn gleich / T vnnd
af, iſt gmein.
Wanu aber dag parallelogrammum db, befandt/
1
⸗
das begehrſt in die höhe df,zu verwandlen /fosiche > a 5
f a, derfelben auß c ein parallelen cg, außgsiche =
dc tinparallelenge ‚onnd auߣjiehe dg, cin paralleienfe, fo iſt
wie erwiſſen das perallelogrammmum d e,gleich Dem parallelograin-
siodb, (ai onfers serpabens. — |
VIL |
Fin parallelogrammum in
ein andren /ciner gebnen breite
zu verwandlen.
S ſey erſtiic
das parallelo —
——— | 2
Di \
* fenvonc in | VG
h, Ben ns = F-----
eidt Die verleas |
ein br
ifdielenge/mah mn
(ich fg, auß = k
k ER ke, parallelenib,verfeng abine, außisiche be ein paral»
Icen ik, fo feyn die parallelogrammak b, vnn bc,gleich.
Do 1j Demon
i3.21.
Das ſechſ WBach Geometrie,
Demonſtration.
DBerlengaoint;jiehee d’verfengeBififiz Die verkengt a1; ſchnele
gefhiche in i, auß1 siehe abein parallekn in ‚serlenge.k, in n, vñ
d, in m; ſo ſeyn die Compltmear.b.c, vnd du, gleich / aber b i, iſt
gleich dm, darumb ſeyn beude parallelogramma ndyndie, auch
gleich / vnnd das parallelogrammumi e, iſt gleich dem parallelo-
grammo bc.
Anderſt.
Es ſey das parallelogrammum c de g, bie begehr⸗e breite IR
a a ro Eächea£,die föndbrge inh,foifihic die
lenge / darumb verleng d;onnd siche derfelben auß hein paralles
len ial, mach ha, gleich ð gebnẽ breite mn, außl ziehe gc ein paralle⸗
len Ik fo ſeyn beyde parallelogramm? Kh, vñ c «sin andern gleich /
der beweiß iſt augenſcheinlich
VIIIL.
Ein Triangel in ein qua⸗
drat zu verwandlen.
Es ſey derr Triangel’ABC,, BB:
auß dem: winckel B; felldag:
perpendicular.BD,auff AC, vnd
sheil die bafen:AC in der mitte tn:
zwey in E, vnnd mach EF, gleich
dem perpendicular. BD, ſo iſt EI, Di
fo in mittler proportion swüfche A Is
AE,EF, ein ſeiten deß quadrats
Eh,fodem Triangel ABC, gleich M
il, dañ mach GK, gleich En, vñ
GL, gleich AE, Oder EC, vnnd vollende die Figur / fo ſeyn beyde
Complement MG ennd Ehein ander gleich / Tdanncs ſeyn drey
linten LG, (fo gleich AE,) Gh vnnd GK, (fo gleich BD,)propora
tioniert / Darumb iſt das rechtwincklet viereck der enden/ als MG,
gleich dem quadrat auffder mitilen als das quadrat En. F
Au
"Donden Kateliikten Figuren = 147
Außeinem: rechtwinckleten bier⸗
eck ein quadrat zeſchreiben.
Es fen das: redemindtier
vtereck ABCD,.fo nim̃
wüfchen einer langen feyren: A.
aleBC, vnd CH, (ſo gleich |
einer kurtzen feyren )' ein in: |
miteler proporiion:al$ CE, m. KCc—H 4
Die iſt ein ſeyten deß qua⸗ U —
drats EG; ſo dem rechtwinckleten viereck ac; gleich iſt / dann es
ſeyn drey proportionierte wie diexrſt sur ander. / alſo die ander sur
dritten / darumb iſt das rechtwincklet. viered der enden / gleich dem
quadrat ber. mittien. 2.
x.
- Ein Figur gleichfoͤrmig einer
aaandroen / vnd gleiches Innhalts ei⸗
ner gebnen Figur zuſchreiben ·
Es ſeyn die Figuren a. b c d deren wil ich eine gleichtoͤrmig ma⸗
chen / vnd gieiches innhalts der Figusengn mi; diß verricht
alſo / verwandel die ein vnnd die ander in gleiche höhe Triangelo , g-
pq,ondafd,t. der bafen.o q; mach gleich a vnnd nimm mediam Pu.
proportionalema r; zwüſchen bender: Triangle bafen als zwüſchen
af, ( fo gleich o q) onnd.a didife:fundenar,ickvondine, hierauß
giehe ab ein parallelene i; ziehe db, Die: wirt von der parallelenei,.
in i geſchnitien / auß i stehe i hmit b c-paralleien; foift eihd gleich⸗
förmig der Figur abcd, vnnd:iſt gleiches innhalts der Figur gm
m l,angefehen die drey proportionierten ſa, a r, vnd ad.
Anderſt.
atidem Irreguliertenfünfiget ab cde, begehteein gleich
E dem Icregulierten fünff . beachneein gli.
2.2.d,
6. 3. d.
45. p. 1.
W Vvhehla DAR Ceomneniæ
p
eiches inne
lts der Fi⸗
guren ABCD
erätih } =
ede in
ein Triangelt
alsfcg, vnnd
ABF, vnnd die
Triangel um
quadraten Fe
n,ci,onnd e M
dMo, die ſetz auf
die verlengte
baſen a en, als
von e in n, vnd
e in M, siehe
ad vnd derſel⸗
pa | D
auf p siche de, 2 1 * —
ein parallelen . ' F Eo *
PQ:auß Q itchech, ein parallelen OR, auß Riehe ab, ein parals
leien Rs, fo tft das fünffeck e PQRS , gleichſoͤrmig dem fünffeck
edcba, vnnd gleiches innhalıs deß quadrats e ANo, (welches
gleich iſt der Figur ABCDE:)
Demonſtration.
Dann wie en zu eM, alfoed ep, nur angeſehen das ale
Triangel darinn ein end das ander fünffefedeba,ep QR ge-
sheiteift / gleichwincklet feyn / je ein Meiner gu einem groſſen / ale
Der kleiner ep Q sum groffene dc, vnd alfo die andren end die ſey⸗
ten darumb ſeyn proportionierr/ deßwegen feyn die Triangel je eo
ner gegen feım gefellen gleichfoͤrmiq / wie auch Die gangen fuͤnffeck /
darumb iſt die proporion dep fünffecks dcba dopplet / gegen dẽ
fünffeck e PQR s, als die proportion der ſeyten e dur ſeyten e p, F
gleicher vrſach iſt das quadrat e czum quadrate N, doppleter pros
Portion alsdie feyrenen zur ſeyten e M, vnnd wie e n zu ec, 8
edqan
Van den Rechtliniſchen Aguren 148
A mie ꝑ, darauß ſolge das wie das fünſſeck edc ba, mu
fünfet
eRQPM, alfo das quabrat en ci, zum fünffeck eRQPM, T vnnd 27. p. 1.
dratene ĩ zum quadrat e ᷣ No, vñ iſt derwegen das fünf:
das
rgx Qpe gleich dem quadrat eMNo, F welches quabrat gleich iſt Cor. deras.
der Figür ABCDE, darumb iſt das fünffeck SRQPe, auch gleich p.˖ 1.
der: Bias ABCDE, vnd gleithfoͤrmig dem fünffeck a bed e.
XI.
Ein Triangel zeſchreiben gleich⸗
foͤrmig einem gebnen / die propor⸗
tion haben wie ws
Unien.
S Triangel fo *
geben iſt ABC,
an ca gleiche
fermigen, ſchreiben /
"u gebnen pro,
portion habe wie a
ei B, m .. G,
ein-linien oe |
teß gehnen Triangeis BIN
bafen ein proportion „, .
habe / wie die linten B°
suriinten:c fo tompt | | |
pE,mlfiendifrvt A WC 20 D 28 FE
der baten AC , als zwü
. fen rn; ( fogleih BE, ) vnd DC, (ſo gleich ACC.) nimd medizm:
proportionalem DG, darauff ſchreib ein Tri DGnH, gleich⸗
förmigdem Triangel ABC; vnnd halten ſich zeſammen wie diel⸗
nien B, zur linienc.
| Demonftratios:
Dann es ſeyn drey liniẽ in ſteter proportion als FD,DG,DC» .
vnd die erſt vnd die dritt als CD zu DF, ſteht in der proportion
wie dielinien:C zur linien B,meirer wie die erſt ¶ D zur dritten DF , —
ne Figur auff des erſten CD ‚ur Figur auff der andern — — der ⸗⸗0
CR
—
I. or, 36
p. i.
men, als
—2
Das ſechßt Buͤch Geometriz;
wie C mB,alfo der Triangel ABC , zum Trunngel pus. wm
x 6 —
Degde Ariane gleiförmigrend geihfdrmig geidid n ſau.
XIL
Don einer gebnen graden Einien /
ein rechtwinckleten Triangel zeſchriben / daß dep
Circkels diamerer(welcher in den Triangel geſchriben)
ein gebne lenge hab / doch nicht lenger als ein ſechh⸗/
gen theil * — gebnen
.. x [4
2 a die
eden Inge
de diame
zers fie BC
fo weniger
dann 3 der
gantzen lini⸗
en sa ,mirhaldersa als mit AD, vnd halber BC mach ein recht⸗
wincklet vtereck Du, von BA nimb BC den reſt halbier in ,feiß
das halbe AE oder EC die baſis deß Triangels auff die halbe bafen
deß Triangels als auff FE mach ein rechtwincklet viereck EL gleich
em rechtwinckleten viereck DM : deß vierecks EL fennhöch HK IR
n mitler proportion zwüſchen FK vnd XG, ⁊ ziehe FH ‚HG melde
irfammen gleich feyn der pbrigen linien BE ‚onnd ber Treyangel G
HF iſt der begehrte und iſt gleich Dem rechtwinckleten viereck EOL
F ‚dann fie ein haͤche haben als HK und die baſen deß Treyangdis
FG iſt Doppler deß rechtwinckletẽ vierecks EQLEF feinerbafen EF,
die linien AB [eye 44. vnnd die geben lenge deß diameters fine BC
8.dorie iſt gleich BL, vnd Lui iſt ze. alsdichelffee vnBa ‚nur
angefehen die gleichen Complement E’L end LA ‚und den aleichen
wincekel im L, fo ſeyn die feiten vnd Den feiben verkehrt proporties
EQE
>
Von den Rchtliniſchen Figuren: 249
sie QL der vierte theil von C Anu LM,alfo DL halber diameier,
— |
MLF, iſt gleich dasperpendicular HK ‚das multiplicier mir Er,
95 s: 9
(fo gleich Q.x. fo kompt für den Innhalt deß Triangels GHF 88.
diß dividier durch halbe BA fo 22. fo kompt a. für halben diameter
wie oben / vnd hernach in der 27.0087. Büchs fol bewißen werden.
XIII.
Wann allein die drey perpendicu-
lar eines vnbekanten Triangels bekannt ſeyn /
deß ——— bern ſeiten zu
als D ‚des
ren mach gleich DA, mit diſer und der linten:a-[hreib ein rechtwin⸗
dletvierec® ABC D diß dividier durch beyde linien B,unnd C , TfO 10.p. 4
fommen die quotiee EM, vnd HL ‚fo haben diſe drey quotienz gege
ein ander proportional8 BC,EM,HL ‚mie Dieperpendicular A, B
c ‚dann iede feiren mit dem perpendicular fo auff fie felt / macht ein
rechtwincklet vierech/gleich dem fo gmacht von halben diamerer ond
der ſumma ber dreyen ſetten / ſo mach nur auß Difen drey fundnen
. feiten oder quotienten BC ,EM,HL, einen Triangel ABC ‚auß A
Pp Kauf
Das ſechßt Bach Geometriz,
fl auff BE ein petpendicular AD, dannayadh DG gleich der linie
A, vnd she auf G beyden AB, vnb AC ‚parallelen, GE,GF. auß
EvudrF itchedieperpendicular E X.vnd FH ‚die. werden gleich ſeyn
= x |
Man begehre ein Linien zeſuchen /
die mit einer gebnen Linien / als einer Linien. Vñ
der geſuchten Linien ein rechtwincklet viereck mache /
gleich Dem quadrar einer geſetzten
F Linien.
a erſt schen Sinien fey B,
‚bie ander A,diefek in einem
rechten winckel F sefammen / daß
FB gleich werde der Sinten B , vnd
FA gleich der linten A, vnnd heil
F Btn mitten in zwey in D, darauß
als Centre mir der halben linien
B,al8 FD ſchreib etn Circkel FCB
E,auß A durch Centrũ D sichebiß
anden vmblauff in E ein grade li⸗
nien AE ‚fo ift ACdie linien fo wir fuchen / die das rechtwincklet vier
et fo begreiffen von AC,CE als einer linien / das tft AE mitAC der
fundnen/tfl gleich Dem quadrat auff AF,t aber AR iſt gleich der lie
nien A,0nd FB gleich CE, (dañ beybde ſeynd diameter deß Circkels)]
fo gleich der linien B, vnnd AC iſt Die jentg ſo wir t haben.
XV.
| Es wirdt begehrt Hot zweyen 1 gta
den Linien / zween rechtwincklete viereck
zemachen — ander gleich
Die
—
0 ⸗
zu. WE
cheil / = hier
VWVon den Kechtlinifchen Fiauren‘
in ongleiche im
c., vnd mad
ab, gleich der
"io
linien A, die iſt gerhei'rin c, unnd von ben rheilen a c, vnnd c1,( fo
gleich cb,) mach das rechtwincklet viereck al,ond zwuſchen der lan⸗
gen vnd kurtzen ſeyten / das iſt zwüſchen a c,cb,nimb mediam pro,
rılerialem < F,oerleng a bin d,das bd, gleich werde der linien B,
auff b d, fchreib ein halben Circkel / und außfjichea d, ein paralle,
lenfi ‚die ſchneide den halben Circkel in i, darauß siehe auff a d
perpendicnlari g, die theilt die linten b din g,mirbg und zdma
das rechtwincklet viereck ah, fo dem rechtwinckleten viereck al,
gleich iſt / dann das quadrat auff fc, oder g i,tft gleich einem vnnd
Sem anderen rechtwinckleten v
ſeyn gleich.
XVI
tereck al, vnd gh, Dann ck, vnd gi,
Wann drey linien geben werden / die
vierte zeſuchen daß das rechtwincklet viereck
von dergantzen vnd angeſetzten alles einer lini⸗
en / vnd dem arg festen theil / glei ¶ werde dem
rechtwenckleten viereck der erſten
zweyen linien.
&S ſeyen geben
drey Iinien A,
B,C fo fuhsuc,
ein linie D, welche
mit C, als einer
linien / vnd der It
nien D, ein recht,
wincklet viereck
mache / gleich dem
rechtwincklerẽ vier
3.2.4,
Das fechft Bhch Geemetriæ.
eck begriffen Von den zwo linien A vnd B,madı DA, gleich Der linie
A, vnnd DC, gleich der linien B ‚fo gibt DC, in DA, das rechtwin⸗
eklet viereck AC, zwüſchen der furgen onnd langen ſeyten media
proportional il AK, deren quadrat gleich iſt dem rechtwinckleten
viereck AC ‚weiter fer die linien C, von A ‚in H,onnd theils in mit,
ten in zwey in L siehe KL, vnnd mad LE, glei LK, foif AE,
( deren gleich iſt die linien D,) die gefischte / dann das rechtwincklet
viereck fo begriffen von EH, (welche gleich iſt beyden linien C , vnd
D,) vnd ER, (ſo gleich if der linien D, ) als dag rechtwincklet vier⸗
eck EG, iſt gleich dem rechtwinckleten viereck AC, fobegriffen von
AD, (fo gleich der linien A)ond AB, (fo gleich der linien B.)
Demonftration.
Schreib das quadrar auff LE ‚welches gleich iſt beyden quadra⸗
ten LA, vnd AK, T aber dag quadrat AK, iſt gleich dem rechtwin⸗
ef leren viereck AC, darumb iſt das quadrat EL, aröjfer dann das
quadrat AK, ( fo gleich Dem rechtwinckleten viereck AC,) vmb das
uadrat AL, als MK., vmb daffelbigifl das quadrat EL, auch groͤſ⸗
er als das recht wincklet viereck RG dañ die Complemen: ON, NI.
ſeyn gleich / + ſo iſt NL vnd MH ‚auch gleich/ angeſehen die gleichen
AL,LH, vnnd HM iſt gleich NO, vnnd das rechtwincklet viererck
HF, iſt wenig dann das quadrat EL vmb das quadrat ME, da⸗
ru ſeyn beyde rechtwincklete viereck AC, vnnd EG, ein andren
Vom addieren der rechtliniſchen Figuren.
XVII.
Es fenen su addieren drey Tri⸗
— angel / in gebner hoͤhe.
fs feyen die drey Triangel ABD, DFI, IHN, DIE geben
höhefen der höhe deß Triangels ABD, foferealledıry Tri⸗
angelauff ein grade linien AN, auß B, siehe AN die parallelen
BM, indiefelbige höhe bring auch Die andren zween Triangel /
Tfommen die Triangel DEL, GMN, vnnd mach die baſen
GN gleich
— nm vE v- vr. ws CO u 2 vu. =
Von den rechtlinifchen Figuren. agt
GN gleich LC, fo iſt £
AC gleich den dreyen nn un
bafen AD,DL, GN, |
vnnd ziehe BC, fo ifl
der Triangel ABC,
glei den drey Tri⸗
anglen ABD,DFI,
IHN, oder den drenen
dann fie haben alle ein |
höhe, derwegen ſeyn ſie zeſammen wie jhre bafen.t ap.
XVII
ofen suadtieren ein Triangel
vnd ein vngeſchickt viereck / deſſen
ſumma ein: Triangel ſey in
der hoͤhe deß vierecks
BE Triangel ſey ABC,ond das vngeſchickt viereck feye CDR..
F,bringbeyde in gleiche höhe Triangel KHC,CDG , siehe
DK ‚foift der Triangel KD G, gleich beyden Triangin KHC, CD.
6 ‚(fo gleich beyden DE Triangel ABC ‚vn dem viered CDEF).
fie haben ein hoͤhe / daru mb feyn fie wir j
jhre bafen, ö
©
Br tü &
47. p. 1.
Das ſechßt Buch Geometriæ.
XIX.
Es ſey zu addieren ein Irreguliert
fünffeck / zu einem Irregulierten ſechseck /
daß die ſumma ein Triangel ſeye ſo hoch
als das fünffeck.
Sy Erwandet beyde in die Trtangel der Höhe deß fünffecks / als di
fünffef GHKLM in den Triangel OKN vnnd das ſechseck A
SCDEFinden Triangel SR Q ‚von sin T feß diebafen NO deſß
Triangels OKN (fo gleich dem fünffeck GHKLM)jIche TR,RQ,
fo iftder Triangel TRQ , gleich benden Triangien OKN,SRQ,
(welche gleich ſeyn den gebnen fün ff⸗vnd ſechseck) dann fie haben
ein hoͤhe / vnd die baſen T Q, iſt gleich beyden baſen O N Ind SQ.
XX.
Es ſeyen zu addieren drey
quadraten. |
ES ſeyẽ die drey quadrat A, B, C, ſo mach ein rechten winckel B
AC vnd mach AB gleich der ſeyten deß quadrats A, vnnd AC
gleich der ſeiten deß quadrats B, ziehe BC fo iſt das quadrat auff B
C ‚gleich beyden quadraten As (ſo gleich A)onnd AC(ſo gleich B)Yr
mach BD gleich BC, vnd ſchreib vmb das quadrat AG , den gno⸗
— mon
Von den rechtiinifchen Figuren; 132
mon ALG, wel⸗ 1
er gleich if dẽ men B
quadrat B , wei⸗ \
ser verleng LD
in E, daß DE
leich werde der
eiren deß qua⸗
drang © „siche B-
E deren mad)
(dh BF auf F
chreib vmb das
quadrat DH ein
gnomon DMH,
der iſt gleich dem
quadrat C vnd das sank quadrat FI, iſt gleich den dreyen quadra⸗
ten ABC,T-
XXI.
Es ſeyen zu addieren zwey Re-
gulierte fünfſeck.
es, ſeyn die zwey regulierte
ff:f ABDEF, vnd ACG
113 ‚ mach ein rechten winckel BA
c , mad AB gleich einer ſeiten
deß fünffecks ABDEF ‚ vnd auff
ZC ſet das ander. fünffeck ACG
HI,siebe BC, deren mach gleich
'BN ‚siche BE,BF ,wolverlengt, L
auf N siehe AF ein paralllenn 6
nei die — in H
M, siehe FE ein parallelen ML die ſchn
— —— ——
ACGm, vnd das MLKB if aldi
Denden fünffectenrt. Finfef NMLEBIR SIG.
Corollariım.
Hierauß iſt offenbar / daß a re kr
| Ä ar⸗
472},
Das fehfe Dach Ceometriæ
che arbelt iſt im addiere n auch mit allen gleichfoͤrmi
vnd —— er FE
XXII.
An ein Irreguliertes biereck ein an⸗
dre Figur zu addieren / auffein gebne linien
vnd zwüſchen ” seriengien feiten deß
CAS 1rreguliertevteredift ABCD ‚onnddie geben linien fege
BO ‚die verlengten BA,UNd CD ‚deß vierect feyn BL,CP,dar»
gwüſchen an AD addier das irreguliert fünffeck AEFGH auff die
linien AO — eck in den Triangel AEX, dann
wider in die hoͤhe von D auff BA kompt der Triangel AIL, oder L
D A ‚siehe DO,der fel.enauß L ein parallelenLLP ‚jiche OP, fo iſt
das viereck OBCP auff der linien BO die ſumma beyder Figuren.
XXIII. |
3%9 Irregulierte Figuren zu ad⸗
dieren / daß Die ſumma gleichfoͤrmig ſeye
einer gegebnen Figur.
&Sfeyen die wo Figuren a bed ef, vnd ghikl,heil jede Figur
in Triangel mit df, fcond ca,theiljedefdendeain zween glei
che cheil in n, auß dẽ minckicb,f,e,c,giche perpendichlar auff die uns
| Drrjoguenf
m — — -
larbo,
Deren m
medi
feiten eines quadrats / ſo beyden Trb
anglenabc,ack gleich iſt / Do
A E
AF gleich gn vnd AD geich fm, :
Dr foiR anquadrarauf DF — gueabcdef: +weiter 47.Ple
Heyden. Figuren abedef, 47 u
quadrats CG ‚+ fofeyn bey de Figuren addiert / vnd auß der ſumma ioꝑp. .
ae gemacht ſo aleichfoͤrruta tiner gehmenne.
we OD Dous
Das fechie Buch Geometriæ
Vom ſubtrahieren der rechtlini chen
Figuren.
XXIIII.
Man begehrt einen Triangel von
einem andern zefubtrahieren
S ſeye der Trtangel ADB dar⸗
von wirdt begehrt iu ſubtrahi⸗
ren der Triangei BEC , bring den
Triangel BEC, in die hoͤhe deß Tri-·
angels ADB: , fompt BFG die ba-
fen BG ſchneidt von der b :fen BA,
reſtiert AH siceheD H, ſo iſt der Tri,
angel HDB gieidy dem Trtangel.B
FG (fo gleich dem Triangel BEC)
end refliert der Trtangel ADH.
XXV,
Doneinem Zriangel/ ein andren
Triangel zu ſubtrahieren / mit cine
| | _ Pparallei feıten- |
Om Triangel' ABC ‚fubrrahter den. a *
Triangel CDE,bringbeyde Trian⸗
gel in ein hoͤhe ſo komyt fuͤr den Triangel
ODE, der Triangel CFG iwiiſchen bes
ben baſen AC,CG, nimb mediam pros
gortionalem CH, deren mad gleich CK,
auß x ziehe AD ein parallelen KL , die
ſchnetd vom Triangel ABC ‚den Trians \ \ | / |
gel KLC fo g. eich dem Triangel Cr G. o⸗ NH * |
dcr CDE, vnd KL iſt parallelen AB , ji@ |
be KB.der ſelben auf L ein paralicien LI, Vnnd /iche 18, fo ik dee
K
DondenXtecheinifchen Figuren. 154
Triangel1BC,gleich dem Triangel KLC iſt auch glei dem Iris.
angel C4:G ‚angefehen daß IC gleich iſt OG, vnnd reſtiert noch das
viereck᷑ ABLK, Be
XXVI.
Wie zween quadrat bon ein andren
zu ſubtrahieren ſeyen.
e—
an m
r \
f x
b a —
E$ feye vom quadraf A,dag quadrat B,5u ſubtrahieren / ber je
er sen def quadrars A mach gleich b 4, darauff fehreib ein halben
Circkel bc a,0nd feg die ſeiten deß quadrats B, voh.b in c, ziehe ca,
das iſt ein ſeiten deß quadrats C, ſo der reſt iſt ldañ dermindelbca, -
iſt ——— darumb ſeyn beyde quadrat b c ‚ac gleich dem qua⸗ 61.p. 1.
dratb a.
XXVII.
* N .e ⸗
wo Irre gulierte gleichfoͤrmige
| Figuren / von ein anderzu ſubtra⸗
hieren ˖ |
gydı der Figur B , wird begehrt su fubrkahleren die Fiaur A fe
mit B sans gleichfoͤrmig onnd der reft auch gleichförmig ſeye /
mach a d gleich aac, vnd fchreib auff adein halben Circkel ag d, und
feg a b der Figur Avon zin g,stehe g d. deren mach gleich Fe, vnnd
ſchreib darauff die Figur C , gleichförmigder Figur B,oder A,T 43. P. 1.
welche Figur C der reſt iſt. Dh Nota
8
——
“ ce © f
Nora wann die Figuren fo sefuberahteren nie gleichfoͤrmig we⸗
ren / ſo muͤſſen fie su gleichförmigen Sauren verwandlet werben
vnd Dann procedieren nach gebnem bericht.
XXVIII.
Es wird begehrt bon einem vnge⸗
ſchickten viereck ein dritten theil zeſubtra⸗
| hieren / mit — leisen deß vierccks
ob ã
S ſeye das viereck ABCD, barvon begehrt man .ieſuberahlo
—— eisen AB Deß Wirte ABCD paralleica,
Von den Rechtliniſchen Figuren. 155
VDiſes verricht volgender geſtalt / verwandel das viereck ABOD,
in den Triangel ABE ‚theil die baſen AE in drey gleicher theil / die⸗
weil 3 fol ſubtrahiert werden in den puncten K ‚I,jiehe 1B, vnnd ver⸗
leng AD in 6 ‚verleng auch BC ſchneidt AG in F, vnnd mach FG
gleich FI, vnd fuch swüfchen AF, FG mediam proportienalem FH,
deren mach gleich FM,auß Msiche AB «in paraliclen ML fo iſt dag
viereck MLCD; von ABCD.
Demonftratiön,
Wieder Triangel ABF, zum Triangel 1BF, alſo AF mir, T31p-1;
auch alfo AF ‚su FG, gleiche propostion haben auch die aleichför.
migen Zriangel ABF,auff ber erſten / vnd MLF auff der anderen/
Der drcy proportionierien linien AF,MEF (ſo gleich FHE ) UNdDFG.
Vnd dieweilbeyde Triangef IBE,MEF sum Triangel ABF glei⸗ |
dx proporion haben/fo feun fie ein andren gleich/T. 27. PL.
. XXIX, | |
Es wird begehrt ein gleich breites
ſtuck erh year ein rechtwincklets vier⸗
eck herum m a dritten theil deſſelbigen
ES ſey das cum A EP
cklet viereck ABCD m
heil Bc ing. gieiche cheu
in 1. U, G, vnd BAR den ©
nenner fo fuhrrahiertfol HK
werten ale hier in 3. weil
2. (01 ſubtrahiert werden! —
Inden paneten EB, ns \
mad CK | —
beneinemals AE vnnd DI) NV.e EL
nimb wůſchen eine ı und \ ni
dem andern theil als zwii \ — —
ſchen IC,CK media pro- x x
portional CL , theil CD |
in N, vnnd fendie helffte CH yon N in d, au
——— n Sei = Pr ni
Das ſechßet Bach Geometriæ,
Co ſchrets ein halben Circkel / darauff felle auf C die media pros
portional CL ‚die ſchneidt den halben Circkel in M auß dem jıche
KB ein parallelen MPQ R ‚die ſchneidt CD in p.vnd IR PC diebrei
se deß riemens fo fubtrahierr ſol werden / darumb jıche in diſer brei⸗
te allen vier ſeiten AB,BC,CD,DE parallelen QR,RS,ST,TQ,
ſo iſt der iemen ARRCCTTAen dritthel.
Demonſtration.
Das parallelogrammum CB, B F, iſt q deß gantzen parallele,
grammi ABCD, vnnd die media proportional CL, zw iſchen cı,
CK ft 4 vom parallelogrammo CB, B F,angefehen das CK glei
iſt zF, vnd C1,}. von CB,0ndCO fl .deß ombfreiß von ABCD
dann Cn,ift die heifftevon CD, vnd NO ‚die helffte von CB ‚ennd
Das uf QO ‚( fo gleich dem quadrat PM, )ifl+ de sangen Kie,
mens / das quadrat PM, iſt aber 2. deß parailelogrammi CB,BFE,
ENd das gang parallelogrammum CB,BF, (fo gleich dem ganzen
Riemen ) iſt z.deßrechrwindkleren vierecks ABCD.
XXX,
Es wirt begehrt bon eim fünffeck/
ein ſtuck zů Subtrahienen;(anpes
nem gebnen puncten/ ) gleich
ceinem Triangel,
Om fünffece ABCDE auf dem puneten o, wil ich ein
ſubtrahieren gleich dem Triangel ABC, vetwandie das fuͤnff⸗
v
DO ın
Bon den rechtliniſchen Figuren. Ise
eck in den Triangel G CF, vnd hab acht auff die fo Dem puncten o,
iſt vnderzogen / (als C.G,) mit difer dividier den Triangel ABC, :
- nachdem winrfel E,T (fo gleich muß feyn dem winckel CGF,) fo 11. . M-
kompt das produft AL, dein madı gleih GH, fo wirt HC, gleich
. LD, vnd GC.,gleich AD, vnd der Triangel HCG, gleich dem Trio
angelLDA,oder ABC, oder dem vpiereck HCDE,„Ddann HC,
nnd DG, feyn parallelen ziehe Ho derfelben auß C ein parallel
Ci ferfifich siehe To,die ſchneid auß dem puncto o mır Der iinien oT,
Bas viereck PEIo.ſo gleich Dem viereck HC DE, angefehen die pas
rallelen Ho, vnno IC, welches gleich iſt dem Triangel ABC, ,
XXXI.
Von einem fünffeck / ein ſtuck zu
Sub rabieenmit parallelen ein e. ſey⸗
ten deß fünffecks / vnd das daß ſtuck ſo
ſubtrahiert ſol werden / ein acwüfle.
proportion hab zu einem an⸗
dren fünffeck.
om oc
et abede, £
wllihein ſtuck
Subtrahieren /
mit der ſeyten
de, parallelen/ /
vnnd daß das
Subtrahierte
uck / u einem
nffeck pro⸗
portið habe als
sum fünffeck A, wie 3 zu 2. diß zuverrichten / sicheauß gegen die
ein parallelen ah, darnach verwandel dag vıeredl h aed, in den
Zrıangelha f,undverleng.ae vnd cd, die fehneiden cin ander im
r, an den Tıtangelm af ‚fo gleich dem fünffeck A, ſetz nach halb fo
vil als der gedachte Triangel / als mach fo, aletch der halben bafen:
nl, siehe n-o ‚fo uitift der Triangelmno, anderthalb mahl fo aroß
als das fünffeck A,das ift / es ſteht (der Triangel zum Rn
ch PB
Das ſechßᷣt Bäch Geometrie,
:3M2. — — mneo, in Die höhe def
oder das abc de, ſo kompt Der
Mauern —**— machfg gleich mnr,
Triangel ga dem Tri weit x,
ig, —æ— — —— vñ ix,(fogfeichi g)fe
” bcde, dasvierecfiked, welches ı8.mahl fo groß
le A, darunib —* — * 302
Demonfiration.
Wie der Triangel h al zum Triangel — afchi,gtg1,alfe
auch hel zu 1 x, gleiche proportion haben bie en Arianı
gel hal,auff Der erſte Kemer ebresti 34
der drey proporsionierten linien hi, — l rn, fo gleichi x, vnd
die weil beyde Triangelgal,iki, zũ T propor
sion haben: fo feyn fie ein — —— von einem vnnd dent
andren Er nen Zriangel del,foift gaed,( fo gleich dem
Trianarlgaf, angefehen —— def, ) onndiked,and
Au / als jenes 13 ,mahi fo vil als Das fünffert A, das igwie 3 n2
XXXII.
Von einem ſechs eck/auß einem geb⸗
nen puncten / ein gwüſſen theil vom ſelben
auß der mitte zu ſuberahieren.
Om ſechs eck
ABCDER
wirdt begehrt? auß
der mitte auß dem
gehen puncten o
zu ſubtrahieren /
bring das ſechs ccf
Inden Triangel G
CH vnund theil die
bafen GH Mm die
zahl deß nenners
"im ou >. ur “ — —
Von den Xechcliacſchen Figuren 1
as Mer in 9. aleicher cheil / nim̃ von Hin 2 von Gin
X ‚tiche — —— —— IN, LR,
Eche OR md O, ſo it ORCN!,
Demonſtration.
Wann 0 vad 1 —S were der 1. ñ
Triangel SCH Wie Mbaſen Li mderbafen on, + ini 31.ꝓ.1.
9. den Teian abet das ÖKCN, %
— —— — rind kud ORCN am
ur GCH,Oder zum sone anch wie 4.1 9.da6 |
Pr
XXXI.
Don —— ſechs eck/wirdt begehre
ieren / parallel einer feis
ven — ic aner gebnen
ſeye auß a eche ba eff parallclndk she dt.
6 vbrig fünffeck abcdf, ‚nnbasvierck A, in geta
hdf,kim,und meet ch kmalcheg do IRdcr
sd geh dem Triangeik — eck A ‚ver
— ——— rn num gi vnd
—555— ——— ——
31. p. 1.
Das fechßt dh Geometrix;
Die demonſiration iſt wie die 28. vnd zi. diſßee.
XXXIII —
Pon einem ſechs eck wil man ein geb
me Size pynd ochanſihotwiden deỹ
lechoecko urn ner feiten deß |
i »
| — dg.iſt das begehrte fluck oder vierec /vnnd noch vom
XXXvV. I
Don einem ſibeneck / auf eim geb⸗
nen puncten / wirdt begehrt eingebne Figur vnd
————
noch ein fünften — eß ſibenccks zu fübe En
B,onnd A 6 EP nn mp
mad; /
deß ſibenecks / auß dem puncten o,bring beyde das ſibeneck Und das
ei in gleiche höhe Triangelhd i, ilk, ſo jeder fo hoch als das
eneck / die bafen ik deß Trianget ik I feg vonh in m daran feg #/
der bafen h i,von min n, vnd hiched m, vnnd dn, fo iſt der Triangel
hd m gleich dem Triangel ilk, onnd der Triangel mdn ifl deß
Triangele bh di,( fo gleich dem ſibeneck) stehen o, derfelben auß d,
ein parall&ien dp, lerftlich siche p o, Die ſchneid vom ſibeneck A,dag
flufco pn ab,fo gleich dem Triangelhdn, angefchen die paralle«
lend c,ph,undder Triangelhdn, iſt gleich dem fünffeck B, vnd .
deß ſibenecks A, nach der auffgab.
XXXVI.
Einen gewiſſen cheil bon einem
Triangel zu Subtrahieren / auf
eim PIRREN fe — dem Tri⸗
2*
®
S feye der Triangelabc, darvon wil man 3/ fubrrabieren
Rauß dempuncten f, fo außert dem Triangel ſteht / theil die ſey⸗
ten be, in fo vil gleiche theil als der nenner iſt ẽ fo hier z. weil es)
in den puncten e vnd 1. ziehe e a vnnd auß f, das perpendicular fh,
gu die bafen b c, weiter auß f die paralleien f g,mit ac, vnnd siehe
c, ein paraliclendp, foweitvonbc, als dag perpendicular fh,
erleng < ain o, jiehe e.o, derfelben auß a ein parallelen ai, ziehe io
2 iſt der Triangele as, 3/ vom Triangel abc, dieweil der Triangel
«ea auch 3.ifl/weirer theil die linien cg in n. der gſtalt das en ſeye
FTIR Ha
“x, 2
= Das ſechße Bäc Cheometrt a,
in mieler pro
portion zwil⸗
ſchẽ dem
ng,.onnd der
30.P. 4. Hinienci,t
als machch
glcih ci, vñ
nımb medıf
proportios
nalem sw
ſchen ge vnd
c k.tomptc q
shell ck, in
mittẽ in zwei
uinl, vñ mad
Ingleid iq
auf f ‚dur
asiche die li⸗
niẽ fam, ſo iſt
der —
gels
— —
—A
Beyde Tri
ange gfn,
oc, haben gleiche böhe / darumb wie der Triangelgfn, um Zeh,
——— ‚mic, die erſte zur dritten der
drey proportioniertengn, nc, ic, alfo die
C0.44.p.1. Figur der andren, + dicweil aber der Trianad a fn
sion hart zu den Triangien nmc,ioc,darıumb ſeyn
gur der erſten / nur
eiche pr ⸗
—*
mac, ioc, ein ander gleich / vnud der Trianarl ıoc eich dene
Triangel e ac, fo: A A Die parallelen : © — iſt der
riangel am c, anıh / verſtand gantzen
der ſo im abſchnide kompt auß dem puneten J.
bac, vnnd
Sleich meinung har es / oigleicht weniger yon bc * au
Bonvden rechtliniſchen Figuren. sn
ats von a auffbe wie in Der anderen Zigue
XXXVII.
Ein gwiiſſen cheil von einem Tri⸗
— —
M S ſeye der Triangel ABC,
Fk iſt der punort 0; durch
— —— —
d ein: genampten om
— als hie wirt be
ieh —
baſen as in ſo vil theil o⸗
der in die iomals d5 ſtuck
sumsangen Triangel haben ſol / ae |
als hier in 3: — * ſol ſubtrahiere werden / fo iſt BD,5.der baſen /
wetier gehe auß o mit AB ein ꝓarallelen oc, derfeiben mach aleich
BE, ziehe DC vie Cð ſelbẽ wider auß D’ein’paralield DF, ziehe ER
ſe iſt der Triangel ERB . deß gantzen: Triangels ABC, dañ er I
gleich dem Trtangel D CB, angeſchen die paralleien:EC,DF vnnd
der Triangel DCB;ifl 3 deß Triangels ABC ‚dann die bafen BD,
(4: derbafenBA , vnnd wie die balen alfo die Triangel si weiter 31.2.1
mMahrH glchh GB ‚unnd nimm mediam proportionalem gwülfche
BEUNDdD EH;( fo gleich GB ) find FI, vnnd rhell BF der geſtalt das
Fiifötäirger dann die heiffte Br, in mittler proporrion ſtande wi -
ſchen den theilen / T als ſchreib auff BF, ein halven Circkel BXF, vũ 78.p. 1.
sicht auß 1 gegen C B ‚die parallelen IK die ſchneidt den halben Cir⸗
ckel in K. * auff CB sichedas ndicalar KL, die ſchneidt
CB in L, vnnd iſt FB gedachter maflen int, geheilt fo der rechte
heil puncten / dann. fo man auß Difem durch o ein grade linien
— ſo ſchneidt fie ab den Triangel MLB, ſo 4; deß Triangels
ACB.
a" Demon
Bu Das ſechßt Buch Geometrix
F Demonſtration.
Weil das quadrarKL gleich iſt dem quadrat IF aber die ſeiten
i F iſt in mitler proportiongwälfchen HF vnd FB wit auch wüſchẽ
FL vnd LB, darumb ſeyn beyde rechtwincklete viereck gemacht von
HF. FB, vnd FL, LB, ein andren gleich (dann ſie beyde gleich, dem
quadrat F i)und weil ſie einandren gleich / ſo ſeyn jhre feiten verkehrt
proportionier =. en
Wie BE SU FL, alſo LB 5U BG, verwechßlet wie FB zu BL alſo
BLU LG ‚und durdy die gleihförmigen Triangel BLM,GLO iſt
wie BL zu LG ‚alfö MB Ju OG ‚undifl erwiſen Baß
wie FB zu BL,alfo BL zu LG ‚darumfbwieMB zu OG, alſo BF it
BL. vnd feyn deßhalben die rechtwinckletẽ viereck fo begriffen von B
Mond L, vnd von gE(telche gleich if! GO )onnd BF gleich / aber
das fo begriffen von BE, BFiſt > deffen ſo begriffen von BA, BC,
dann der Triangel BFE iſt deß Triangels BCA , vnnd har zum
Triangel BAC (weil fie.cin gleichen winckel als den gmeinen B ) ebẽ
die praportion,; als die rechtwinckleten viereck gmacht von ihren ſei⸗
Cor,49.pı HT dir vrſach iſt der Triãgel BLM au deß Triangels BACI/M,
Voaom vermehren vnd vermindren der
{
rechtlinifchen Figuren;
XXXVIII. |
- Ein Triangel in gwiiſſe cheil zu⸗
| vermehren / oder verkleinern
Borgemiameniten 000m
hilff ſeines perpendiculars, deß
Triangels hoͤhe iſt kg. ſo ich de
ſe noch ein mahl ſetz in vndin 4
‚der hoͤhe ki auff die baſen ac ein N
Triangel a defihreib / fo iſt er
noch ein mahl fo groß als der
— abc, m jhn *
NO mehr vergroͤſſern / daß er u ag 7%
drey aan fü Ban werde / als —— Aue 5
der Triangel abe, ſo fep dic hoͤ⸗
— = : . Sig,
Don den Kechtlinifchen Figuren. 160
be f g,dreumahl biß in o,0nd fchretb auff acden Triangel 2 c o,dee
iſt —5 mahl ſo groß als der Triangel abc.
Be aber ein Triangel su verklemeren / als den Trlangel a
© c,fogiehe dagperpendicu'arfo,dastheilnach dem̃e begehrſt den
Triangel gu verkleineren / als hier 3 in g vnd i, ein Triangel in der
böhrfgauffac als ab c der iſt de Triangels zo c. |
Oder aber vermehr die bafen, als es wereder Triangel ABC. ver
lengdie baſen vnd feg fie noch ein mahl in Daiebe D B,fe iſt der Tri
angel ABD dopplet / ſetzeſt aber die baſen noch einmahl inE , ſo iſt
der Triangel ABE drey mahl ſo groß als der Triangel AßC, dann
BERN bafen + Ein gleiche meinung hats mie dem vermin⸗ 31. 5. 1.
XXXIX.
Ein Triangel gu vermehren / in der
proportion ʒweyer Linien.
KIr hegehre su vermehren den A 5
Triangelab cin der proporti⸗
on wie die finten Bu A: , fisch gegen Ä
beyden ae. (fo gleich A)ond e £.( deren
"> re
gleich iſt Byond der bafena b,dievirt And. h
proportionierte fompt bd,siehedc, . d |
ſo helt fich’der Triangelbcdzum ch — lm I Mi
angel a cb, wie die Iinten B zur linien B J
A dann wieB zu A, alſo d b zu ba, vñ |
wie die bafen alfo auch die Triangel/p- . 31.4,
gleichen proceſs im vertleineren.
wer . XL. =
Ein quadrat zu Heraröffern oder
verkleinern / nach dee proportion zweyer
gernen graden Linien.
Clay
2.2
diſe fchreibd5 quadrat bh Ik,
- Bas
2.Cor.4f.
_ mereid, pnndswüfchenhi,id medi
*
—
Das ſech Bach Geometrin.
€ © feye das auadratabcd
zu vergroͤſſern / inn der pro
portion wie Die linien A *
linten B mach a e gleich B, vñ
ef gleich A,ıu diſen zweyen
vnnd * — ab- —*
Herne (r.proporiion,t
iſt d g wliſchen a bb g nimb
media preporsional bh, auff
bale fach sum quadrar ab
ed, wicdtelinien A sur link
en B.dasifi wie 4 u 3. dann
es ſtehet wie Azu B,das iſt wie
a e zu ef, ——— —— vnnd
2 pro⸗
—— n — ſeyn drey
Proportionierse linien a b ‚bie,
bg darumb wie die — ab,
iger HE — die Fi a of
r auff der andren / ſo fie gleichfoͤrmig vnnd
——— oe Su EUR] alfo hier beyde quadrat aber wie die
erſt a b zur dritten bg.alfo ju .
Gleiche arbeit ä Weweih verlleineren / Es fey ba⸗
quadrat bhik,das wil man vertleineren in der —— die
linien B ps A,gu diſen vnd der befenhinitub Die jer
Ahr},
ſchreib das anadrat icf e, das halt ſich —8 * x. wie die
linien B, sur linien —
— (rege
ſſerrode ʒverkleinern
on zweyer gebnen Limen.
igur zu vber⸗
proporii⸗
Es ſeve
gut abcedef,
die begehrt ei⸗
ner zu vergroͤſ⸗
ſern in der pro
portiõ wie die
linien A sur li⸗
nien B, diſes au
verrichten nim̃
für dich dẽ win
ckel a,auß dem
siehe durch alle
windedb,c.d,e
gradlinien ver
lengt hinauß /
vnnd mach a £
| 1) ſt die Figur
der erſten / zu der Figur der andern / ſo fie gleichfoͤrmig vnd steihfir
mis geſchriben / wie die erſte linien a b, zur dritten b I welche aber g
gen ein ander ſtehn wie A ju B. N:
Eben diſen procefs brauch im verfeinern / allein wie in der o⸗
bern iſt angedeut / als wañ man zu verkleinern begehbar / die Figur a
anne p.inder proportion wie die linien B gu A ‚hier müßte man
ag gleich machen der linien A vnd g halcich der Linien B, vnd zu der
baten a m die viert praportionierie ſuchen / darnach die media pros
— — ‚die ſelbe ſetz von a auff a m langt in b, darauß die paralle⸗
gedachter maſſen herumb gezogen / welche die Figur abcde fges
ben werden / in gedachter proporuon.
zZ Das ſechßt Büch Geometrix,
LI °
Fin Irre guli ert fünfftck zu ber⸗
geöfleren oder verkleineren / auß einem
gebnen puncten in der Figur/in der
ptopor — — gebnen
Ann man die o
bren wol verſtã⸗
den / ſo wirts hier keine
jrru na mehr bringen /
wie ein Figur auß eu |
nem puncten ſo in⸗
ner der Figur iſt zu |
vergroͤſſen / der geſtalt
daß der puncten bey
der Figuren Eonrü AB
feye / und wil hier den
Bericht vom verkleine⸗
ren beſchriben Es ſey |
bas fün ffeck ABCDE ‚ber puncten in ihren feye Fr „Die Hinten ſeyen
A Und B,0nd Aiſt swenmahl folang als B,auf dem Centro F zie⸗
de in alle winckel ABCDE finien/ond Verieng EAYNDEF, mach
EL gfeidy A vnd LM gleich B, ziehe LF;der feiben auf Mein paral
len MK ‚fo tſt FK Die vierte proporsionserte, elifchen Difer NER
nimb media proportional FG, deren mach aicich FK darauf
EA DITED parallelen ki,kı,außisiche AB ein parallelenih,a
hjichese cin — hm;auß mjiche CD ein parallelen mi.
ft das fünffekiihm Ik sum fünffer® ABC DE ‚miedtelinitn B, zur
linien A, aks halb fo groß / angeſeben die drey proportiorerten EF,
kF( fo gleich FG)end FR darumb mie die erſt EF ‚zur dritten FK,
C08.44.p.1 alfo der Triangel E F A ‚der erſten / zum Triangelkir,derandren/P
Dieerfle EF tur dritten EX ıfl dopplet, darumb iſt der Triangel E
FA audi dopplet deß Triangelek ie end das gang fünffe AB©
DE iſt dopplet / deß gangen funff: cs ihmlk, dann fie gicichfoͤrmig
2C0.45.p.7 vnd gieihförmig geſchriben ſcyn / T. Ohe
Von den Rechtliniſchen Figuren 163
Durch das Inſtrument pariium ſuch auff den gleichen theile
wie ſich die linien A surlinten 8 halte / vnd finden wie z zu ı.fo ni
die weite FE mit einem Circkel / die feg von 2 In 2. auff die linea Ges.
omerrica vnd nim̃ die weite zwüſchen ı vnnd 1. die feg von Fink,
darauß ziehe wie glehrt parallelen herumb / vnnd alfa mir allen an,
⸗
dren.
Vom theilen der rechtliniſchen
Figuren .
XLIII.
Ein DTriangel auß einem winckel /
Fe; ingleiche theil zetheilen. 3
he 8
wil mã auß dem
winckel a in zweẽ
gleicher theil thei⸗
len / ſo theil die ba⸗
gleiche —— IN
siehe af, foift der 5 N |
Triangel abf, — ni
gleich dem Triangel afc,dann fie halten ſich gegen einander / wie
die theil der baſen F.
Begehrſt jhn aber in drey gleiche theil zecheilan wie der ander
Trian gel getheilt iſt / ſo cheil die baſen bein drey gleiche theil in de ,,.»,
giehe a ia: fo halten fich die Triangel b ad, da c,eac,wir die baſen 14. P. 4
i dae, vnd e cfocin andren gleich.
⸗
⸗
1
*
⸗
4
/
!
3 Ip. 1.
Be XLIHL —
Die Triangel zecheilen auß ei⸗
nem punckten auff einer
| ſeiten .· |
Beh: -: Cr
+
"Das eh Buͤch Geometrix,
€® were zu theilen
der Triangel bac.
auß dem puncten din
wween gleiche theil / fo
theil die bafen in der
mitte in zwey in e, vnd
iche e a, vnnd d a, der
elben auß e ein paral,
lelen ef, ziehe af, die
theilt dẽ Triangel bac | -
in zween gleiche cheil / dann ber Triangel a e c iſt die helffte deß Tri⸗
angelsba c,ond if gleich dem Triangel dEc, angeſehen beyden px
rallelen da,ef,
Bann aber der Triangel in mehr cheil fol gecheilt werden / ſo
eheil die bafen in fo vil gletcher theil als der Triangel fol gecheilt wer
den / Als hier den andern Triangel fol man in — er cheil chei
len / ſo cheil Die bafen b cin e vnd in dren gletcher theil/sichee a und
g3 vnd da, diſer auß e vnd g parallelencf,gh,siche df, dh fo dei-
Ben beach cin gu Ägen hun I: Angefehendieparalleienda, ch,
&
XLV.
Einen Triangel auß zween punc⸗
a Proportion
zetheilen.
ES der Triangel ABC ,denwilmä 3
theilen auß Den puneten D,E ‚daß dg
mittel ſtuck? deß sangen Triangelshals
te / ſo theil die baſen AC in 7 gleicher theil /
vñ nim̃ zween theil võ A in F,auß F giche
DB tin parallelen FH, vnd nimb 1. theil
yon C in G, auß G ziehe EB ein paraile-
Ben G 1,3iche DH., vnd EI, ſo iſt dz ſtuck D
HBIE?/ deß gantzen Triangeis ABC.
Demonſtration.
u EB
Mann FB URDBG jagen werden / ſo wirdt der Lriang ad
Rondenrechelinifchen Figuren. 163
(fo gleich dem fünffee®_DHBIE angefthen bie parallelen GLEB,
vnd FH,DB): ſeyn / dañ Die bafen FG har 4.cheil vñ wie die hafen F
G;4. iu der bafen AC ‚7.alfoder Triangel FBG , oder das fünfſeck |
DHBIE,jum Triangel ABC /t. 31.p. i.
XLVI.
Einen Triangel zecheilen/mit
der theil Linien einer ſeien
parallelen.
Es ſey der Triangel AB |
C , darvon wil ich ab» : |
fhneiden mit AB parallelen,
fo theil BC in drey gleicher
theil / deren einen fek von C
in D, nimb zwüſchen BC , C
D media proportional CE,
Deren mach gleidy CF ,auß F
siehe BA ein parallelen FG,
Die wirt ; abfehnelden/ dann.
auff dendren proportionier
ten BC, FC, CD, iſt der Tri⸗
angel ABC der erſten sum.
Triangel GFD derandern/
wie die erſt BC , zur dritten
5 D N e3pon BC, danı m.
der Triangel GFC,; vom |
Triangel ABC ‚durch dife erweißlichkeit / wird jeder Triangel in fo
vil gleicher cheil getheilt als man wil. |
s man begehrt den vndern Triangel ABC ‚in drey gleiche
theil zetheilen / mit der ſeiten AB parallelen: , heil ac in 3 gleiche
theil / deren einen feg von C in D, vnd einen von D in E, zwüſchen A
C. CD media proportional iſt C F,deren mach gleich CL, auß 1zie⸗
be AB ein parallelen IL ‚weiter zwiiſchen AC , CE media propore
tional iſt C G ‚deren mach gleich CH,auß H siehe AB «in parallelen
HK,foiftder Triangel ABC, mit HK vnd IL in drey gleicher theil
® «
Sch Ein
| Das fcchit Bäch Geometriæx,
.XLVII. |
Kin Driangel auf ainemwinckel
zetheilen / mit einem
viereck.
Se Triangel —— das viereck cdef, das verwandel in
den Triangel cdg,mag ch gleich ac, vnd mach den Trian⸗
gel cih, gleich de Trtangel
cdg, anf i siche ag cin
parallelen ik, siche k a,
die theilt de Triangel nach
begehren/ dann angeſehen
die gleichen bafen ac,ch,
vnnd die gleiche höhe bee
der Triangel akc,cih,
— ſie auch ein andern
XLVIII.
Einen Triangel zecheilen / das
ſich die theil gegen ein ander halten /
wie zween geben Triangel.
¶S ſeye zu theilẽ
He ab b w R &
c, der geſtalt de ſich
die theil zeſammen
halten / wie die Tri⸗
angelcde vñe fg,
diß zuverrichten / ſo
bring beyde Trian⸗
geled e,ef 8 '
gie bone deß
— abe, ſo kommenc hi, ekl,rheil diebafen ac in der pro
| pordon
. Don den rechtlinifchen Figuren. 16H.
— der beyden baſenci, (deren iſt gleich a m.) vnnd el (deren
ft gleich min,) fo kommen bie theil ao, oc, die halten ſich gegen ein
ander wie die bafen ci, el ziehe o b, die theilt den Triangel nach bes
gehren / dann wie 20 juoc,alfoder Triangelabo, sum Triangel
o bc, aber wie a o, zu o <‚alfec i, gu el ‚oder der Triangsi cd e zum
Triangelefg.
a XLIX.
Fin Triangel auß einer ſeiten ze⸗
theilen / das ſich die theil zeſammen
| rd suengeone —
as, v :
*
gehrt mA
zetheilen
auß dem
ncıe ©,
dz fich Die
theil zeſã⸗
men halse wie die viereck def. hi K, diſes mvernichtẽ / ſo verwan
del beyde viereck in gleiche haͤhe —** edg,gin,vnd mad) AR,
gleich der bafen c g, vnnd R S, gleich der bafen gin, vnnd theil die ba⸗
fen AC wie dieimien AS , t aefchiche in siche PB, vnnd or, der,
eiben auß p ein parallelen.pQ , leiſtlich che oQ „die cheut den
angel ABC, nach begehren.T | |
Demonftration.
Wie die viereck cd ef,g hik, aegen ein andern / alfe die Trian⸗
glcedg,glan, aber wie die Triaugel alſo jhre baſen / auch gleicher
gſtalt wie die th.il AP,PC ‚auch alſo die Triangei ABP, PBC, odct
die beyden theil ABQD, oc.
Ein paraD
.s CX
147.
442-4
31.21.
Dae ſachhe Dach Geomerriz, F
L.
Bin parallelo grammum in
gleiche theil zetheilen / mit parald
lelen einer ſeiten.
As parallelogrammum ABCD,folman -
&% 3.gleiche theil theilẽ mir AD ‚parallelen Den
ſo theil AB in EF ‚Und DC in GH, in drey giel-
he theil / ziehe EG, FH, fo halten fich Die paral, 3
lelogrammen AG, EH, FC, gegen einander
‚ wie diebafen AE,EF,FB, T bife ſeyn gleich! -
darumb ſeyn die gedachten parallelogrammen
ACG, EH, FC, auch gleich.
AEFR
LL
Ein viereck auß einem winckel
zutheilen.
os viereck ABCD begeh: ich auß dem winckel B in drey gleich
theil getheitenzfo verwandel das vierecfin den Triangel ARF,
theil AF IN G end E ‚in drey gleiche. theil/ jiche BG, fo HE ABG
weiter siche BE ſo iſt BGE auch 3/langt aber vber auf. vmb den Tri
angel DIE ‚Darumb zieh. auf E acgen DB ein parallelen EH ‚ziehe
B, ſo iſt BHI gleich IDE ‚angefehen die parallelentH, DR, Diße
—
wegen
'
Bon ben Recheiinifchen Figuren. 166
wegen iſt das ſtuch BIDG , gleich dem Triangel sec Ruhr“
fliert für den vorige IBCH amd |
Triange and;
Eehn das viereck ABCD ſo tiehe diamerer AC , den bel
a area ngihe
parallelen EG,BD ‚EH. |
LIL
Ein biereck auß einem punchent
u auffeiner ſeiten zu theilen.
essen seen
eck abed,
dẽ punerte, in zween
eiche cheil 1 ſo ver⸗
der ein garallelen 1 leſtitch
— ——— Bas wieret nach De apntiyangefthen. die —— —
eeladg,
ee Aal
| LIIL ne
Ein biereck auß mehr puncten
Es fnruuekeninevierte ab dc,auf Den punzune « Mb
deep gieiche theil / vnd xid iſt in u gaiche theil gecheilt /
verwqebel dacuterectab Ar Ad ⏑— We d E
w.. .
dreygleiche theil in g.
vnbh,icheeadt(& 5 E18
ben auß g ein parat, "
lelengk, jiebe e x, fo
iſtakec? angeſehen
die parallelen, weiter
"siehe fa, der ſeibẽ auß
heit} parallelen,
Gcheflfoftekim 2 CE eg ng
Der wie auch dag v. —8
brige viereck ĩ ba +
Wañ aber Die heil u
puncıen nit in gleicher IR.
wire von din ander |
fichen/als im vierecko
inp, fen Die rheif
Luncten qr,fo verwan
Del wider das viereck in
den ned om,
fo theil dic daſen en, m Tr
den puncten (1 in drey
Bieter theul/ vñnd arbeit wie oben / ſobekompſtu auch dein begch⸗
LIU
Ein biereck auß einem puncten zu
ktheilen / welche auffeiner ſuten ſte det / i der
proportiou wie ein Ztlangd zu cinem
Das ſechßt Buch Geometrie,
e
Dicke
ES u heilen das viereck AB CD „auf dem punenn x ‚oe
der groporiienwie der Triangel ef g,iu dem vbiereck A bc d, fe
bring das viereck ABCD in den Triangel ABF ‚und das piered A
bed, wie auch den Triangel efg;, in ween gleiche hoͤhe Triangell
Abe,chi,diefeg in grade linien an ein ander als A 1, iche E ‚dere
derſelben auf e wo die Triangel gefammen ſtoſſen ein parallelen. e
G ‚ond siehe EB,der felben auf G cin parallelen GH , vnd sicht GB
UND EH,DIe theili das vicreck ABCD: nachbegehren. D® F
emon⸗
Don den sechtlinifchen Figuren. - 166
Demonftration.
Wie Aezu ei, al⸗
ſo AfG zu GF, vnnd
wie AG zu GE, alſo
der Triangel ABG,
zum Triangel GBF,
der Triangel AB
G {fl aber gleich dem
viereck ABHE, ange⸗
ſehen die parallelen
EB,GH, vnd das v⸗
brig viereck EHCD
iſt gleich dem Trian,
GBF, vnnd ſeyn
eyde viereck ABHE,
EHCD gegen einan⸗
der / wie Ac,ei, wel⸗
che zeſammen ſeyn /
wie das viereck Abc
d,onndder Triangelcfg,
LV.
31.p. 1.
Es wird begehrt zu cheilenein Hiers
ceck / daß die theil linien mit einer ſeiten
parallelen ſeye.
ES ſeye zu theilen das viereck A
BCD mit der ſeiten DC aner
ee ern verender dag viereck in
N Triangel ABE, theil die bafen
AE;Infovıl gleiche theil / als das
viereck fol geheile werden’ ale hier
in zween in F ziehe 8F, vnd auf B
siehe BG, parallelen mit CD, die
ſchneidt ab den Triangel EB GG, fo
mehr dañ die helffte vmb den Tri⸗
nB
D FIC #3,
angel FBG ‚darumbfuhmrahierden — Triangel
9,
EBG,
15.24.
23.2.1.
47h
Das fechfite Bach Geometrix
ESG mit 86 einer parallelen M1,t dife iſt auch prraitelen mire
D, vnd theilt das viereck in zween gleiche theil / iſt ohne demonliranie
ohoffenbar. |
LVI.
Ein rechtwinchlet viereck in ͤween
gleiche theil zutheilen / das Die cheilli⸗
nien mit onen purallelen
S iſt dz rechtwincklee
viereck abcd, mach b
g, li ba, vnnd cheil
BC, Inder mitte in weg:
in o zwuͤſchen o b,b £ mes
dia proporrionak iſt be,
weiter theil ge in der mit⸗
te in zwey in f. nehe fe.
mit der wette fe fchreib-
auß f. den halben Circkel
q eh, der ſchneidt be ing;
vnnd qe, if die begehrte
Breite; darumb ziehe auß
q gegen cq, ein parallelen:
qs,ondmrad q p geicb qe, aufß ſchreib ch, ein parallelen pr,fo
der winckelhacken BC. Xgleich bein rechtwinckiccen vierecka p.
Demonftrarion,
Schreib die quadrat g k und fin, ſo iſt das rechtwincklet viereck
b q, ſo begriffen vongbendb c, mit dem quadrat fn, gleich dem
Quadrat gk,t zrofifhen der halbenbc., als bo vnd p 8» (fo gleich
ba,)mediaproportionalift be,darumb ift das quadratbe dic helff⸗
ee def rechtwinckleten wierect bd, mach fh gleich fe, ſo iſt das qua⸗
Brataufffhalshm gröfer dann das quadratbe, vmb das aua⸗
aufffb alsbf, tdißgmein quadrar b ‚ nimm hinweg / fobleibe
der guemonbuß, gleich dem quadrat eb; ( fo gleich dem —
(
om
Von den Rechrliniſchen Figuren. . 167
viereck bd; ) vnd der ęgnoon bi ſ eiſt gleich dem viereck ba, vnd der
romon buſ, iſt gleich der helffte deiſeiben / darumb il der gnomon
* m auch halb deß vierecks ba, vnd iſt gleich dem rechtxinckleten
viereck re, dannrdb iſt aleich pa, datm b g, it gleich b a,vnd hg,
gleichhr, darumbreftierrb h gleich pq, vnd der gnomon BC,7.
“ guomon’k im-alfo Dir helffte deß rechtwiuckteten
erecks
LVIL
Ein viereck zu cheilen / ſo zween recht
winckel hat / vmd ʒwo ſeyten parallelen /
mit parallel: ſcheidlinien den ſrilen fo den
| rechten winckel vbeſchlieffen.
GES fertassirrect ABC, das har Biefeyten AB,DC, Paräb
lelen vnd die winckel in z vnnd C, ſeyn rechte winckel / halbier
AD, inE,außL siehe AB, ein paralleien LT, vnd CB, ein paral⸗
Ielen NR, ſo iſt das rechewincklet viereck BONR ‚gleich dem viereck
ABCD,dann a Riſt gleich DN, vnd AL, LD, ſeyn auch gleich und
LT, theiledg viereck BENR.In zween gleiche theil / auff RNſchreib
das quadrat:RNOV, vnnd mach BHgleich BC, auß n erheb ein
endicular HT: auß & durch O ziehe ein’ grade linien ROT; Die
chneidt das perpendicular AT in mach gleich XL, auß G.
erheb das perpendiculax dem mach gleich BX, ſo iſt BK media
ptoromional 3wũ ſchẽ
RB8, vnnd BX,auß A. *
durch Y siehe ein gra⸗
de lınien / die ſchneidt
HI in M, nimb HM,
mit dem Circkel / fe
ein fuß in K den an⸗
Iren auff BH,in2.oß
Centro 2. mach den
bogen Ks. die ſchneidt
AB, in s, ſo iſt sB die
geſuchte breite / darum
jiche SB, parallelen
mob
— — ————
Das ſechßt Bach Geometriæ,
mir BC vñ mach SE gleich SB, auß E siche BA,ein parallelen Er,
fo cheild Die beydẽ FE,EG, dj viereck ABCD in iweẽ gleiche heil.
Demonftration durch zahlen.
As, iſt 12. vnd BC,6 vnd DC to.addicer AB, 12. iu DC, 10.
diß nimb halb / iſt 1. für RB,oder NC,dif multiplieier mit 36, 6.
kompt für das gange viereck ABCD, 66. fein heiffte iſt 33. weiter
ft AQ,30ndAv, 7. ſo ſtehts -
BIS AV, in VO, alfo AQ,mQP ‚Bifmnidpfickrmier B,
. 6 3 2? 11
komm 28*.hieraußv/ift v 283. für BK weiter
wie AV, zu VY, alfo AH zu HM, diſem iſt gleich aK,oderzs,
7 3 9 |
DIE quadrier iſt 592%, von difem fuhtrahler das quadtarı x 28%]
Mert das Quadrat 28 3.12, ,heraußv il 2B 3 12) das führer
Bier von 28(ſo gleich 2K) 7:0 refliere Die breite Bs 7. — v/ zıly
diſe fubrrahier von NCıı, Meftere für NG v3 132 4 32,/fubıre
bier die breite Bs7. — v3 1,,/000 866. ſo reſtiert EGV m
15/multiplicirt NG v3 11 + 3320it EGVs 2 — 18,
3 3.für Das viereck NE / ſo die helffte def pierecks ABCD, deßᷣwegen
iſt der gnomon GBF auch 33.
LVIII.
Ein fünffeck auß einem win⸗
| ckel zetheilen.
ES fen su theilen das fünff⸗
ec ABCDE in drey glei,
he theil / verwwandel dag inf
eek inden TrtangchFDG ‚pi
theil Die bafen FG. in ſo 04
ri theil / als das fünffeck
ol gerheilt werden / als hier in
Sin H, vnd i, ziehe DH ,unus
DLvnnd Difalt auff aß. da- FF HA JE ©
rumb ſo fihnedısabbasnier, .. = Er 2.
& it «w eck 130 D
enden Rechtliniſchen Fignren. 10h
ee 1BCD fo gleich dem Triangel iD fo $raber Du falt auſſert A
B.deßwegen siche auß H aeaen DA ein parallelen HK ‚Hiebe D R, ſo
tft Das vierect ALDK auch z/wie auch der vbrige Triangel KDE.
LIX.
Ein fünffeck zu cheilen aufß einem
pauncten auff einer ſeiten. —
ES Tre m heiten im
find ABCDE auß
‚dein yuncıen Fr, theil es
siehe KF,der felben au
D em parallelen DL;
gehe LE,ME ſchnetdt 60
dem fũt ieck dag vierec
BCHL melde 3 |
funffecks / weiter theil di Sg
vᷣbrig ſtuck fo ein fünffeck AL FDE In zween gleiche cheil / F mit der Ober.
ninien *0, dann der Trianget F mnifl gleich dem fünffeck ALFD
Fmvnd die bafenmn iſt in mitten in zwey getheilt in o darumb uf. F
@ AL and: wie auch FDEO, mie foldıes fein newe demanftratien
bedarff dann angefchen dir parallelen, vnud verwandiung / iſt die
fürgab warhafft. nn
LX.
Ein fünffeck zu cheilen / daß die
theil Linien perpendicular auffeiner
ſeiten fit 6.
E S wird begehrt su cheilen das fünffeefab de, mir einem pers
„ gendicular auff e din zween gleiche theil / diß zu — —
a
L “ .
Das ſech Bach Geometrim.
Mean e auf — pP
ed «in per ze 0
gendicular € |
z. vnd verwã
del das fünff⸗
eck in eine *
mei = hen aufferrhatb deß füngpecke das
an 2 v ma x \ E
Bas verwande in ein Triangel lo n, gleicher Höhe deß
e m, deſſen Halbe baſen, vnd dichafen In ſetz von gin k, vñ nimb mer
diam proportionalem wuiſchen fg, g als g p, die ſet vonfink,
auß herheb auff de das perpendisular h q, welches das fünffeck in
gioeen gleiche thell heiter ⏑——⏑ — ⏑—
diſes betxachten chut. | e
LXL
. Ein einbogetfünffecf iu heilen
mit parallelen Der dre yen
| ſeiten.
ferb,
4
ES ft das
. fünf AB
CDE ‚theil fein
bafen E A in ſo⸗
cten Gannudh F
deren theil einẽ
ſetz zwey mahl
auffidie veragt.
bafıı vol E in
H,ondi,
Vrn benraklünifien: Zune 169
4, vnd 1,0nnd nimb zwüſchen der gangen bafen AE , vnnd einen
sheil EH,media proportional wie auch zwüſchen der gantzen bafen
AE,end beyden thellen EI, fommen EL, deren madı gleihE m,
Ind EK deren mach gleich AN, auß E siehe imdiewindelC YndB,
grade linien / weiter auß m vnnd N Jiche AB, paralielenma,Nb;
auch auß a und. b mit BC parallelenac;b.d, vnd auß c vnnd
mit CD parallelen ce,df,dierheilen das fünffest nach begehren /
welches leicht zu erweiſſen / F angeſchen die drey proportioneriẽ 45.2 1.
vnd die gleichformigen Figuren / vnd gleichfuͤrnig geſchriben
der erſten vnd andren. ⸗ —— -
LXIL | |
Ein jedes ſechseck detheilen
auß einem winckel.
aan
zween glerche chetl cheh
fen auß ven wind a
. yertsandel Bas (ehrt
in cin Trlangef'IAH,
veſſen ben Hi, theil in
zween gleiche v hrim
GA AG, Base *
Yas ſihoect made |
j adheenno ches Mumeeciiee BeroeißungköhuefFinscil Darsleihenauff”
aber ſchan offter mahlen feyn demenlizzst worden.
LXR =
Lin jede lrreguli erte Figur
zellen
— es ſtye dais vngefchtekte jeheneck ab cärtig * IK daswit man
mer glelche theil wellen.
| be 1 Te 4 15 |
.
— —— —
— mn — ——— _ „al — ———
3 1.92.
14P. 4.
u 7" x. ——
Theil die Figur erſtlich in ſeine Triangel C, D. E, F, G H.
vnd ſuch ein linien la der gſtalt getheilt / das ſich die cheil zeſamen
halten / wie die Triangel / das iſt / bring die Triangel alle in ein hoͤ⸗
he / ſo halten ſich die bafen zuſammen wie die Triangelst: vnd theil
ix ,fodie bafewaller Triangel in fo vil gleiche cheil als Die Figur
fe geheilt werden/ ſo hier in 4. in den puncten u, vr, x, vnnd die
ender Triangel feyn im DER Triangels A ‚unnd mn deß Trian⸗
els B,vnd nodeß Triangels C, vnd o y deß Triangels D, vnnd
ſo fortan mit allen / darnach fo ſihe auff welche. bafen die cheil pun⸗
‚nenu,vv,x fallen / vnd falt u zwliſchen nie baſen an;no der Trans
glen B, vnd C, in den: puncten n darumb iſt «in. Triangel fo auff
die baſen In geſchriben in der höhe AB, ein vierten tyeil aller Ti⸗
angeln / oder deß zehen ecks / dann wie die baten/ alfo die Triangelst
iſt auch gleich beydẽ Trianglen vñ B, welchen auch gleich tft Das
pieredab cd, onnd da, iſt die erſte eheil finten/der ander cheil pun⸗
cten falt auff die baſen o p invvdeß Triangels D, darumb theil Die
fetten dein y, : wieo vv,ju vv p,siche y K. Die ſchneidt ab Das vier,
eck * d, " audy ein Hiercheil / dann es gleicheinem Triangel
auft die baſen n vv geichriben in der hoͤhe AB, welcher Trianee! x.
ART dann wie die bafen alfo die Triangel : der lerfte eheil yuncren x,
falt auf diebafenr ſ deß Triangels G darumb cheil die fetren sie,
— — — — — — — *
— — — — — a a ae
Bon den Rechtlimifchen — Br m
lehe die heil linien f. ſo iſt das ſechseck RK Ye
= Eile —— gne durch obgedachte bewrißligkeit.
alt moͤgen all ander vngeſchickte rechtliniſchen Fi⸗
— — oder 4 theil getheilt werden / dann ſo die Fi⸗
gur in gleich höhe Triangel verwaudlet wirt ſo theilt man her⸗
nadygefagter maffen die algmein bafen allee Trianglen in ſolcher
proporsion gleich oder vngleicher cheil / als die Figur zu theilen be⸗
gehrt wirt. |
Ende deß ſechßten Buͤchs ·
‘x B «
—
[2
.
®
. .
| di Geome'
| | /
Geometriæ, Theoricæ &
Practicæ.
Von iñ snd vmhſchreiben der recht⸗
liniſchen Figuren / wie dieſelbigen inein Circkel/
vnd vmb ein Circkel / aueh ſie inn vnnd vmb einandren
zeſchreiben ſeyen / deßgleichen wie etliche gegen einan⸗
der proportioniert vnd wie die ſeiten der inn
vnnd vmbſchribnen zu⸗
finden.
L
Die VRegulierten / das iſt/ die gleich⸗
winckleten vnd gleichſeitigen Figuren in vnnd
vmb ein Circkel geſchriben / haben mit dem Cir⸗
ckel a er gefchriben ein.
As ſechseck ABCDE _ D |
7 5 iR dem Eirckei ABC. —
DEF in geſchriben / hat mie
dem ſelbẽ wie auch mit dem
es vmbgeſchriben ein Cen⸗
trum / als das Centrum 6,
welches auch mit dẽ andern
reguliertẽ Figuren zuverſte⸗
hen iſt.
Demonſtration.
Theil alle winckel in mit⸗
pn. ten in zwey / mit den linien AG,BG,C6,D GEG,FG, * ſo alle im
andren.
Von in vnd ombfchreibinder Figuren. 17€
gadenn in G ſchneiden / vnd feyn einandern gleich / + weil fie halbe
iameter def see Circkels ſeyn / in den Circkel ſchreib
ein gleich ſeitigen Triangel a CE / ſo werden ſeine winckel vnnd ſei⸗
sen von gedachten lintey an mitten in zurh geſchnitten / dann ein
z.. be — wenige u dann ein- —— —
e ſeiten deß Triangels ein under ogneaweyer feiten
vnd CG,EG,AG ſeyn gleich und fein iede halber en
ckels fo vmb das ſechseck geſchriben / auch halber dia
15. def. 1.
meter deß Cir⸗
ckels ſo vmb den Triangelgeſchriben / vnd die ſeiten deß Triangels
fo ein vnderzogne iſt zweyer ſciten deß ſechsecke/ ſo muß Ber Circka
auß dem Eentro G ‚mit der weite diſer einer / ſo wol durch die win⸗
ckei deß Triangels / als durch die mindkel deß ſichs ecks grhen / haben
derwegen ein Centrum / wie quch ein Centrum mit dem inn vnnd
vmbſchribnen Crckel / vnd alſs mit andern·
II.
Ein Vegulierten Triangel / ſeche
eck / vnnd zwoͤlffeck / ꝛc. in ein Circkel zu
| ra
Es ſey der Circkel ABC ‚deffen C-
trum iſt , mie halben diameter
ſchreib auß Centro D,denbogen AEB.
ziehe A B, das iſt ein ſeiten deß gleich ſei⸗
rigen Triangeis ABC, vnnd ber bogen:
AD B, iſt deß vmblauffs deß Circkels
ABC.
| ıy.@f,z.
| Pils
IL.
nf,
Bas fibendt Bach Geomerriz,
swensigechsinden Circkel su ſchreiben / vnd fo forsanımag ein 48.
eck / vnd dann cin ↄ6. eck / funden werben/tc. |
Demonſtration.
Auß Centro def diameters AD,
if geſchriben der Circkel ABCDEF,
auß D mit D S ſchreib den Circkel C,
GEH. Siche EG verlengt in B vñ CG
verlengt in F, vnd ziehe ABCDEFA
ſo ein ſechseck von gleichen wincklen
vnd ſeiten / dañ GE, GD ſeyn gleih/t
wie auch DE,DG,darumiflDE ‚EG
auch gleich / dann D G iſt ein onnd der
— —— gel DEG
iſt von gleichen ſeiten und wincklen / *
vnnd jeder Triangel har bie drey win,
gkel gleich zweyen rechten / t bertwegen
iſt der winckel EGD weyer rechten‘
wie ud GED vnd CG ſteht auff Der graben EB ‚ vnnd made die
sindd EGC,CGB gleich iweyen — — CGB audı
ſveyer rechten / vnd dieavinckel EGD,DGC ,C GB, ſeyn gleich vnd
jeder iſt gleich deine fo ihm entgegen geſetzt / F als EGD {fl gleich A
GB,0NdDGC gl FGA,HRd CGH aldi EGF, darumbfegn
fie alle ein andren glei) aber gleiche windel werden gmadır auf
gleiche hoͤgen t.ond gleichen bögen feyn gleiche undergogen / + das
rumb ſeyn Die onderjognen AB;BC,CD,DE,EF,EA , ein ander
ch / darumb iſt das ſechsech inden Circkel geſchriben von gleichen
iſt auch gleichwincklet / dann der bogen A iſt gleich Dem bar
gen ED, ſetz den bogen ABCD gmein / ſo iſt der gantz vmbtretß FA
BCD , gieich dem vmbkreiß EDCBA, vund der windel FED,
auff dem Bogen FABCD; iſt gleich dem winckel AF E auff dem bo,
gen EDCBA ‚gleicher gſtalt poire erwiſſen das die andren windel
ABC ,DEF ‚gleich feyen eim vnd dem andren AFE,H-ED, darumb
iſt das ſechseck auch gleich wincklet.
Ein Friangel hat halb weniger feiten dann cin ſechseck / darum̃
iſt die vnder zo gne zweyer feiten deß ande ein fetten deß Trian⸗
gels / vnnd dieweil alle boͤgen darauff Die fenren deß ſechsecks gleich /
fo feyn fie doppler auch gleich / vnnd iſt der Triangel von gleichen
— Das
feiten / auch von gleichen wincklen.
V on in⸗ vnd vmbſchreiben der Figuren. 17a
Das ſechseck aber hat halb weniger ſeiten dann das zwoͤlffeck
darumb iſt das zwoͤlffeck auch von gleichen ſeiten / vnnd wincklen
vnd alſo mit den vbrigen.
Corollarium.
Hierauß folgt / well die fetten deß ſechsecks gleich iſt dem halben
diameter de CTuckels / das auch die vmbſchri nen ſechseck Erian-
gel nd zwiffeck / sc. von gleichen feyten vnd wincklen ſchen.
MII. |
In ein Circkel ein quadrat / acht⸗
vad fecheschineckzeichreiben.
6. p.4.) |
«
—2
6
S ſeye ein Circkel ACBD, deſſen
Centrum iſt R, vber dag ziehe zu
rechten wincklen beyde diameter AB,
CD, die theilen den Circkel in vier
„gleiche theil in denpuncten AC,BD ,
die siehe zeſammen / fo ıfl das quadrat
- ACBD in den Erckel ingeſchriben /
vnnd jede feisen tft gleichen boͤgen vn⸗
Berpaen | Ä
s fer ein Bogen BFC, theil in der
mitte in zwey in F, siehe BF, fo ein
ſeiten eines acht echs. |
Deb halben bogens BF ‚fenn undersogen iſt en ſeiten eines ſechs
gehenecks / vnd fo fortan / mit einem 3 2. vnnd 64. ecken / Ik,
Demonſtration.
Die vier EA,EB,EC,ED, ſeyn glei It: und diewinckel in 3 rF. dct. ꝛ
iu)
U YasfiiendeidärGeometrie _
‚Senn gleich / dann ſie ſeyn alle rechtwin⸗
— ſeyn die baſen Aß. ABP,
2.7.2. CB, CD, gleich / Tes ſeyn auch ale win
ckel auff der baſen ð gleichſaͤße Trian
3p. i. glen ein ander gleich / ̃ als jeder ein
halber rechter / weil jeder Triaugel zweẽ &
14.1. rechtwinckel vermag / vnd der winckel PT
in Ezein rechter iſt / vñ zweẽ halb rechte
zeſam̃en ſeyn ein rechter / dann fie ſtehn
— im em ern — die
pet. meier deß Circkels / Igleiche meinun
bats mit den vbrigen. ⸗
IV. .
Vmb ein Enefelein quadrat zu⸗
ſchreiben / wie auch die vbrigen
in dopyleter proportion.
CD ,mb
sufchret,
ben / ziehe — deß Circkel⸗
gu rechten winckl
so.
orırapt... Diewined in ABC D,fonmalle rechtewinckel / + wicanch bie
Br winckel in E, fo — parallelen ſeyen beyde HG,KF, bemdi-
ameter CA, vnd GF., HK, parallelendem diameier BD, vnd HG
FK iſt ein parallelogrammum / darumb ſeyn die entgegen geſetzten
15.p. i. ein ander gleich / als G gleich KF, vnd GF, gleich HK,t aber der
merer AC iſt auch gleich ein und der andren HG,KE; uns 7
; = H
Vonu in⸗ vnd vmbſchreiben der Figuren. 173
le iſt alech der diamerer BD, weil aber beyde diameter gleich ſe
et UnEnTIG,GE, FK,KH, ein andrer gleich feyen -
gas Tee ehe rgegen afehgin G,E,K>H, angefehen
Die gay REBGJAEDF;CESH,EDKC, pnddiemeil
dag parällelogrammum HGFK von gleichen. feiten/ond Re
wincklen / darumb iſt es ein quadrat fo vmb den Circkel gen riben
V.
sallelogrammum HGr x, iſt von vier gleichen ſeyten /
fr u ehe wincelen / Yan die wincfelinE ſeyn rechter
engel
seen Sur
ES gr ein * — |
der euflern vnd mittlern pkagopzaı
imc,tauß Amir AB, ſchreib ein Cu
el BDE Mad) BD gleich A O,siche DA
vüDE yinde Triägel AD O fchneih dã
eitefel ACD ſo iſt ein vñ B anatminstch
AB D,ADB ‚Doppler deß winckels AD.
Demonftration. . .
run pꝛncten p. (eu
en zogen BA vnnd BD, na kon
ruͤhrt jhnn / darumb iſt dag BE vier —
quadrat BD, vnnd BD, tührsaen. Guckel in D. vnnd der winckei 66-P-1-
BD C, iſt gleich dem winckel auff der = portion als DAC,T 62 p-1.
feRdS wihckel.c DA gmᷣein / wi
beuden CDA. hAO, aber da Ih BED, Kg
ODA.DAC anche,
:BDA,ÖBD, BUDIA Mila A :
vnd die mincte rer 55 —45 9
"ck BDA ‚DBEA,BC Dei As ana ae nn
.€,BCR,Iusihifh maiſe , deid BG, + ar — — p.i
Das ſibendt Bach Geometriæ,
CA-dehßwegen iſt AC auch gleich OD, wie auch der winekel Co A,
gleich dem winckel DAC, vnd die winekel CDA,DAE, feyn dop-
\ plet deß winckels DAC, vnnd der winckel BED iſt gleich den win⸗
ctlen CDA, DAC, darumb iſt der winckel BED dopplet deß win;
‚cfels DAC,aber BCHjſt gleich einẽ vñ Dem anderen BDA,DBA,
deßwegen iſ einer vnd der ander BDA,DB A,dopplet Dei winckeig
BAD,
VL
Dir
jeden weinckel auff der bafenin zween
1. 2. 1. gleiche thel / + mir der liniencE,DB
pnnd ziehe AB,BC., CD. DFE, RA, ſo
fl das fünffeck ABCDE, in den
Circkel geſchriben / vnnd haͤt gleiche
— vnnd ſeyten. — De fün F
ie vnderzogen dem n bogen der ſeiten fees
ein feisen deß zeheneeks / vnd fo fortan.
Demonßration,
Es ſeyen beyde winckel ACH. ADC, ſo auff Derbafen Dis
tocen gleiche cheil geſchnitten / forfolgt das die fünffwinckel DAC,
ACE,ECD.CDB,BD A,tinander gleich ſeyn / aber gleiche winctd
sE.P.R Diewerdenauff gleiche bögen gmadht /* unnd gleichen bögen ſeyn
Co. 58.p'1 gleiche vnder zogen / Farumb ſeyn die linien AB»BC,ED,DE,EA
| auch gleich / vnd das fünifect ABCDE hat gleiche fetten : es ıfl aber
auch gleichwinctlet / daum der bogen AB, iſt gleich Dem bogen DE,
ſet den
vn wm | „WE —
Don in⸗/vnd vmbſchreiben der Figuren“ 174
» eg den bogen. BC D,gmein/fo if der gantze vmbkreiß 480D, gleich
‚ deingangen vmbkreiß EDCB, aber auffdem vmbkreiß ABCD,
‚ keire gmacht der winckel akD, vnd auff EDCB, der winetel BAE,
darumb iſt der winckel BAE ‚gleich dem winckel AED , T gleicher gy.o,r. .
vrſach iſt jeder winchel ABC,BCD,CDE ‚gleichiedem winckel BA |
E,AED,pndift. das fünffeck gleichfeitig vnd gleichwincklet.
Vnd diew eil cin scheneck Doppler mehr feiten hat / darum iſt bie
vnderzogen dem halben bogen (dem die ſeiten be fünffecks iſt vn⸗
derzogen ) ein ſe iten deß regulierten zehenecks / vnnd alſo mit den
vbrigen / ſo in doypleter proparsion auffſteigen.
VII.
— Dmbein Circkel ein regular |
fiünffeck sufchreiben. er
| (1.P4)
ES it der Eirchel ABCDE, daramb wirt begehrr ein regular
Efunffeck sufchreiben / erſtlich fey ein fünffect in den Circkel ge-
ſchriben / T deren winckel den vmbkreiß in ABCDE erreichen / auß Ober.
diſen zihe in das Cntrũ * gredelinie ABCDE Vnd gieheweirer
Durch die puncten ABCDE, ruhrende / Tdie machen in den gedach⸗55. P. 1.
ten puncien rechte winckel / vnnd beſchlieſſen das fünffeck von Co. 74.p.
gleichen ſeiten vnnd wintklen vmb den Circkel geſchriben / in den
puncten GHKLM. ER 2
Demontftration.
7 Auß Fr siche in alle winde!G .. — 26 —
HKLM grade lin €.1,0ndD d ewin A
ckel in A,B,C,D , vnnd B, ſeyn
rechie winckel / darumb iſt das u
quadrat FK gleich beyden qua- - J
draten EC vnd CK/T es iſt auch
gleich beyden quadraten FB.BRKK. B
Die quadrat FB,FC ſeyn ein au⸗ \
K
der gleich / dann die linten FB, F
C, ſeyn gleich / T ſo ſeyn die vbri⸗ 15. def.i.
ne Be Tr genzwey
r 4
x
Cor.2.p: 1.
g8.p.d.
4P-L
6 axio, ı..
6.axie.. 2.
Das ſibende Buͤch Geometrid,
niet quadrat BK,KC auch gleich / wie auch hie feirch l VXVXR
gleich Ko, vnd FB iſt gleich RC, vnd FKiſt gmein / vnd
BF.HK, ſeynd gleich den zweyen CF ,FK,pnd die bafenBK , gi
der baſen XC, vnd der winckel 3FK gletch dem winckel xC, Ton
der winckel BKF, gleich dem winckel OKkF, vnd der winckel bE C. iſt
dopplet deß winckels KPR G vnd BKIC dopplet deß winckels BAT,
gleicher orfach ut der wirickel EEB dopplet deß winckels C EL, end
CLD Doppler deß winck. ls CLE und der. Bogen BC ,. gletd des
bogen © D ‚darumb feyn die winckel BFC,CFD,aud gleihrt.ond
BFC, iſt Doppler deß winckels KFC ‚und der winckel DᷣC, iſt debp⸗
plet deß winckels LEC ‚darumb iſtexxC. ꝗleich C EL. „Dit ſeyn zweẽ
Triangel EKC,FLC die haben ziveen winckel / gleich zweyen win⸗
cklen einer dẽ andern / vnd ein ſeiten gleich einer ſeiten / vñ ein gmei⸗
ne FC vnd folgt deßwegen daß die andern: ſeiten gleich det ander
feicen end der vbrig winckel gleich dem vbrigen winckel / Un KC.
gleich CE ‚fo iſt KL ‚Doppler von K Cs gleicher vrſach beweißt ſich di
HK ‚Doppiet fene von BK ‚und B, iſt gleich KC fo ſeyn auch die dop
pletenKH,KL aletch/ T-wie auch gleicher vrſach die obrie HG,GM,
ML,fidh er weiſſen gleich ſeyn / HK, RL, vnd iſt das fünfte HKLM
G voi gleichen feiren: Auch gleich wincklet / dann die. winckel EKC,
FLC ſeyn gleich end HXL, iſt Dopplet EXC, vnnd der winctel K
M ‚ft dopplet deß winckels FLC, durum̃ iſt der winckel AKL ‚glei
dem winckel KLM, T gleicher gſtalt erweißt man / daß die andern K
HG, HGM, GML gleich ſeyn / einem jeden HRLXLM, vnnd ſeyn
alle fünff winckel ein ander gleich / vnd das fuͤnffeck fo vmbſchriben /
t@von gleichen ſeiten / vnd winckien·
VIII.
In ein Circkel/ ein de: üliert ſiben⸗
eck / vnd vierzeheneck / ꝛc.
| nice beweißlich.
KL.
Bon an⸗ vnd vmbſcheretben der Fighren. 175
Vß deß Circkels Centro R.iche
auff ein feiten deß ſechsecks inde CI
Circkel gefchriben ein pe ee DIE
EG, dle —— Ahtnectstin : sz. BR: 7
ein Circkel aefchriden if’ deren be Al”
gen ıft der fibende heil deß ganzen.
ombereiß deß Circkels. Ben
Dem balb aedachten bogen end ..
dergogne iſt ein ſeiten eines wierschen: u
ectsin den felbe Circkel gefchribenze. ,» — — , J
Wieiter wann man durdj»fe — auß dem C
to x mien ziecht/ wlerimflln ffeck vermeidt / vnd Dar Die endt ruͤ
rende linlen ziecht / ſo wırdr as Rbeneck.ngrgleiche winctlen en
ſeiten vmb den Circkel — E mieng olgeiien. —
4
—
IX. = : 2” j
In ein Circkel/ern Beguliere nenn⸗
22 —WUDUUV 1
eck zuſchreiben / allein mechanice
ot, a R R ; ;
——S ok
O ameter AB,C
D su rechtẽ winck
fen / die ſchneiden
ein ander in E,
vderlenq CD weit
hinauß / ovnnd ſetz
die ſeiten der for⸗
genden / vnnd fol⸗
Zendẽ in geſchrib⸗ B
nen Figur von A auff den vmbereiß gegen D, als die feiren deß ache
ects in H,ond ein friten deß jebenecks in F durch diſe siche auß A It,
nien biß fie die veriengte ſchneiden in K, vnd L. vnd theil KLiN der
mitte in given In 1, ziehe 1 die ſchneidt den ombfreißin G ‚siehe A
G, welche ein ſeiten dei neunecks in den Circkel geſchriben iſt / deſſen
bogen heiffre / i cin bogen oder Der acht zehende iheil deß Circtels.
Ya
-
..
.
—
RXRx Mi In ein
—— ——— —
’RreinlCircfeldas elffeckme ·
chanicẽ zu ſchreiben.
wer 2 A er
, IIND Ber
B,CD , iu ai —
rechten win |
cffen zogen
wesädic
D wol ven,
enge / die
ſchneidẽ ein
ander in E, —
hier ſetz widervon Agegen D auff den vmbkreiß die vorgende / vnd
nachvolgende ſeiten der eingefchribnen Regulierten Figuren / das
zeheneck von in Nꝓnd das zwoͤlffeck von in M, duech diſe beyde
siche auf Alinien / die ſchneidt die verlengte tm p, vnnd Q .chel p.
Bi jioecn gleiche cheil iR ‚Daräuß siehe in Aein grade lmmien / die
fi ga den onbfreiß.in.O ‚siehe AO fo ein ſeiten deß ein geſchrib⸗
en elffecks / deſſen bogen beiffte iſt ein bogen eines zwey vund zwen⸗
aig ecks / in gedachten Circket geſchriben.
Nor, gieich wie — ver neun / vnd Alffeck / ſo in den Cir⸗
ckel mögen geſchriben funden werden / alſo werden auch mirhıl
der por vnd nachgehenden / die ſetten der dreyzehen / vnnd ſibeneben
. echıfo in ein Circkel geſchriben / vnnd alle der gieichen gefunden.
XL
Tin ein E:rcfelein Begular fünff-
zehen eck zu ——“
J Pı4-
Won in vnd vmdſchretben der irren. 17€
NVe men puncten tm Eirckel als
A. fhreid. cin Reguliertes fünff/ A.
ect / deſſen feirenift ac. vnnd cin Kerr | C
guiteris dreyeck / deſſen ſeiten iſt a
He cheil in der mitten in zwey in pP.ſe Ch.
IB CD oder DB ein ſeiten eines fin no
geberrects in gedachten Circkel geſchri
bensaudift BE eins funffisheneche —
Demonftradion, |
Ser bogen ac Def ſunffecks iſt De ganken yınbfreiß/ vnnd
Ber bogen AB il 3 eß gantzen vmbkreiß / ſubtrahier Den bog?! AcH/
dom bogen AB Hirefliere der bogen CB-F/difen cheil in zween glei⸗
die theil in D. ſo iſt der bogen CD oder DB „I. def gantzen umbfreiß/
vnd die vnder zogen iſt ein feisen eines fünftschen ecke in den Eite
rl ben
per ſuber ahler denhogen AECB Z vom bogen ACBE ze reſtiert
Ber bogen BE fo auch / vnnd die vndertogen BB iſt ein feiten d
" Binffichenectsindch Eircfel gefährtben. !
Vnd die vnderogen dem haiben bogen BR, iſt ein ſeiten eines
dreißigects in den Circkel geſchriben / cn. |
| | x IR. | =
Harn die feicen der Vegulierten
ſechs vnd zehen ecks / ſo inein Circkel geſchriben
addiert werden / ſo iſt die ſumma geſchnitten nach der
euſſern vnd mitlern proportion. vnd die groͤſſer
proportionif ein ſeiten deß ſechs ects /
Ben : GP »3.) : : an
FJ AR Circkel ABC; ſeyẽ die gedachten Jigurẽ eingeſchriben / vnd
addler die ſeiten BC deß zehen ecks / vnnd CD fo ein ſeiton deß
fechs ces iin ein grade linten sfammen/ond die gang funıma BD,
iſt geſchnitten nach der euſſern end mirlern proportionin C, vnnd
Die gröfer propension © D iſt ein ſeiten deß ſechsccts.
en. Dal thendi Shi Gesmeniz, -
| Dempoßrasion.
Pamznecen, „onnt
erleng BE inA, vn BC
ein Aal deß scheut
tg den Cuckel geſchriſen / ſo
if der boge ACB Quistupla
deß bogensuc „ vnndA
quädrupladeß bogens BC,%
ber wie v bogẽ ACaũ bogẽ C
B alſo ð wuickel AEC-
17P1. cfel CEB. als aud)quar
Arupis / vñ dae wine EBG,
3.1. BCðꝛ, ſeyn gleich / ans der
herr c “ A — a
DARU « Ponpiet de
PT wenckels ECR. ä vnd EG. iſt aleich CD „algjedeift gleich der ſey⸗
3.P-Ie tẽ VER fenn die winckel CED,CDE auch aleich/t
vandder winken iſt gleich heyden Darumb ifl cr Doppler dem
, Winkl D.C, iſt aber erwiſſen Dag der toitickel AEC, Doppler
fey.deß winckels ECB ,Cehhalben tft der mingfel AEC,, quadrupla
. bh wincqels ED Cser iſt aber. auch quadruplerdem windel CEB,
7 . axio.i. Barımbfcyn bedewindan DC>CHB, At ander aleich vnno
EBD, iſt gmein / der zween Triangel BEC, ENNdBED ſo ſeyn die
reſtierenden wincke BED,E GB, quch gleich /vnnd die *
gleichwin —* ſeiten er
—— 8
EAlq k 3,51,.8
j man Den — an
14 —* der an vndm Mia» pröporuen * *
Xilk
Wannd die fie eines regulierten
Rasschegeih alt Beiksnach ber dufen und
wirrke IR PRO PAIR) iſt dic groſer propotti-
EN EN
. ESs fey
mn GE "Tu We WE wur "GE (mE
Sie feieen def Begnkar funffeck
ie feien def zu. Fünf
Dos in vad vmdſchteiben burSiguren, uirn
Ap, se A MO. € RB
DaF AC,
fenein feiten deß ces
—— oda ech — ——
ortion in D, ſo
ehe Fa a kn ak ne
XIIM.
vermag ford
* —— nenn ecks in den
gſchriben/
— 3.)
Circkel A D, iſt das
Regmar fil Aca
s vnnd gehen char.
Cuckel geſchriben.
Ne
Ne fünffecfg eben fugen is is ha
mirsaineiten im a, HeheeA,.
vnd KB, Hinfei |
— Pen bogen — Pd
K, den theil wider in der mitte in —* FK,die Sechs
i EIN dechteon win NE Pop er „ eTo-Pı i.
thats RA in u ovecauwitttic —— IT Rn, ro
„der bogen AB, dopplet deß bogeng AK ‚oder Pa *
3.p' L,
34. 0. 1.
49 pl.
54+P- 1.
LLP.L,
Das fibendt Bach Gebmeriiz.
AB ,tflgleich der bogen CD ‚darumbiflder bogen CD , anch bei
plet deß boaens BRK,vnd CD iſt Doppler deß bogens C G ‚darum iſt
C 6 ‚gleich BK,T aber BK iſt dopplet deß bogens KM,oder MA du-
rumbift CG auch dopplet von KM, vnd CB. iſt dopplet BK , ange
fehen daß C B,gleich iſt BA, vñ die gantze GB iſt dopplet deß bogens
BM, vnd der winckel G FB, iſt dopplet deß winckels BFM, iſt auch
dopplet dem winckel BAF , oder RB A dann fiefenn gleich / ange
fehen Die gleichen FB, FA, T deßwegen ifl der winckel ßFM, gleich
dem winckel FAB, vnnd der winckel HBF iſt amein beyben Trian⸗
gm ABF,BEN, vnd der vbrig AFB gleich Demi vbrigen BNF „end
on beyde Triangel AB age h wincklet / arumb
ie AB ju Br ‚alfo FB Ju BN, FTdarumb iſt das rechtw incklet vier
ect der enden AB,BN.gleich dem quadrarder mitlern BF, 1 focin
ſeiten deß ſechsecks ın den Circkel gefchriben.
* Wceuer iſt A L.gleich BK, vnd LN {fi gmein / vnd zu rechten win
gflen auff KA, darumb iſt die bafen RN, gieich Der bafen N A ‚' vnnd
der winckel LXN, qleich dem winckel LAN ;aber dem winckel LAN,
iſt gleich der winckel KBN, vnd die winckel LEN, KBN ſeyn auch
gleich / vnd der winckel NAK iſt gmein beyden Trianglen AKB, A
XN, vnd der vbrig winckel AXB ‚gleich Dem vbrigen RNA, vnd bey
de Triangel KAB,KNA ſeyn gleichwincklet darumb wie BA, u
AK alſo KA, zu AN/t darumb iſt das rechtwincklet viereck der en»
Den BA,AN ‚gleich dem quadrat der mitlern AX, ſo ein ſeiten
zehenecks / vnd die rechtwinckleten viereck AB BN,ONDBA AN,
begriffen von der ganken linien AB, vnd jedem theil BN. vnd AN,
ſeyn gleich dem quadrat der — linien BA, darumb if das
quadrat BA ‚der ſeiten deß fuͤnffecks gleich beyden quadraten BE
der ſeiten deß ſechsecks / vnd K.A ſeiten deß schen ecks / tc.
| XV. oo
Ein ſeiteneines gleichſeitigen Tri
angels ſo in ein Circkel geſchriben / iſt im ver⸗
BE ER
(Est der gleichletrige Triangel ABG,tn tin Eirckel geſchri⸗
* o vermag ein ſeiten dreymahl ſovil als deß Circkeis hal⸗
ameter.
Demos
Don in⸗vnd vmbſchreiben der Figuren. 178
Demonftration. J
Ziehe EB dieweil der Triangel
AB T, gieichſeitig iſt / ſo iſt der bogeẽ
BEC, ein drittentheil deß gantzen
vmbkreiß / vnnd der bogen BE ‚ifl
ein ſechstenth eil defleiken. darumb
iſt BE, gleich halben diamerer/al6 -
einſeiten eines ſechsecks / vnd AE,
iſt dopplet von D E.daru mb iſt das
quadrat AE ‚quadrupler:deß qua⸗
drats D,E, oder BE, vnd das qua-
drat AE, iſt gitich beyden quadra⸗
ten AB, BE, darumb ſeyn Die qua⸗
drat Aß, BE, auch quadruplet / dem quadrat 3E, (ſo gleich dem qua
drat DE ‚)deffentwegen vermag AB,dreymahl fo vil / als der hal⸗
be diam eier DE, U Br —
XVI
Bann ein gleichſeitiger Triangel
in ein Circkel geſchriben wirdt / ſo iſtdas
perpendicular vom Centro deß Circkels
auff ein ſeiten gezogen / die helffte deß
halben diameters.
IJðR — ABC, fo in den
DDCirckel geſchriben / iſt auß Cẽ⸗
tro D, auf die ſeiten BC ‚ein perpen
dicular gezogen / als DF, dag iſt die
helffte deß halben diameters DE,
Demonſtration.
‚BE fo ein ſeiten deß ſechsecks iſt
gleich BD, wie auch jhre quadrat /
nimb von einẽ vnd dem andren dj
gmeine quadrat BF, ſo reſtierend
m...
%
«+4 7P!.
29.Pp. I.
zıpl
f6.p.1.
a.p.1.
Oas ſibende Dach Geometrie,
| beyde auabraren DF vnd FE auch glelch / une auch Ihre ſtiten / da⸗
rumb iſt Dr gleich FE vnd iſt DF die helffte deß halben diametert
DE.
XV,
Wann in ein Cirekel ein Regulat
fünfjech geſchriben wird / ſo iſt das perpendis
eular vom Centro deß Circkels auff ein fa funfſ⸗
— ——— deß Sn — I |
den felben Eprkchgeihribsumgeedeng.
214}
& wird in ein Circkel das
Reanlar fünffef AHBCK
geſchriben / vnd auß deß Circkels
Centro D auff die ſeiten BC ein
pernendicular DE gejogen / die:
eff die helffte deß ſechr⸗ vnd sehen:
«ts in diſen Circkel ꝓſchriben.
Demonſtration.
Biene necr „undmad-
EG gleich EF, he Gc , der
ganse vmbfreiß: If füngfmahf
mehr dann der bagen: BFC „oft
AKC iſt die —* deß aansen vnbfreiß.vf CF die helffte OFB.
darumb iſt der bogen AK CF ‚audı ſünfſmahl mehr weder der bo⸗
sen CF, F darumiſt der bogen Ax C viermahl den bogen CE vnd
BILAKC U CF, alſo der wii clei ADC zum winckel CDF, aber
der winckel ADC if dopplet dem winckel IFC, vnnd der winckel
EF C , iſt gleich dem winckel 3 GE ‚angeieben bis: lachen EP, FG,
end die gmein EC vnd die rechten winckel in E, ſo ſeyn die baten F
C. CG, auch g eich, T vnd der winchei ADE fl quadrupiet deß win⸗
ckeis EDF ‚und dopplet deß winctels EFPC, oder 1 GC, darumb iſt
dcr winckel EFC oder der winckel AGC audrdoppier Def winchelig
GDC end DG iſt gleich GC aber GC iſt gleich Cr darumb IR DE .
Axcich CF, vnd GE iſt gleich EF, datumb IK DE gisich den beyden
EF,FC,,
Won inn ⸗vnd vmbſchteiben der Figuren. 179
ER RC ſetz DE amein / ſo iſt DF FC dopplet von DE,sımb DFIR
— Ber ſeiten deß ſechsecks / vnd FC alcich der ſeiten deß sche ecke
umb iſt DE dic helffte der ſeiten deß ſechs⸗vnd deß zehen «fe
XVIII.
Wann im Vegulierten fünffeck/den
nechſten zween wincklen grade linien werden
imsbergogen/lo fchucden fie — — cuſſern vnd
mitlern pgro porrion vund Das ge oſſer theil iſt gleich der
— fünffetio( 8. 2.13.)
Requlterren Tief?
iſt den nechſten zween win⸗ N
eflen Avnd B grade lınien AC,
BE vnderzogen / die ſchneiden
ein ander in m nach der euffren
ond mirlern proportion/onnd C
der groͤſſer sheil CH oder HESIfE
gleich der feiten deß fünffecks.
Demonſtration. |
Schreib vmb das fünffeck ei⸗
nen Circkel / vnnd die zwo RA
AB ſeyn gleich den zweyen AB, |
BC ‚pnd-hegreiffenn gleiche winckel / darumb feyn die baſen AC ‚BE
aut aicich wie auch die Triangel ABE, BAC, & vnnd Die andren %-P-F.
winckel gleich den andren wincklen / einer dem andren / ſo den glei⸗
chon fetten vnderzogen / als der winckel BAC, iſt gleich dem winckel
ABE.PNd AHE iſt boppiet deß winckels BAH,T vnd der winckel E 14-R-T.
AC iſt dopplet deß winckels ßBAC.dbann der bogen, ED-C iſt dopplet
deu bogens C n darumb ſeyn die winckel HAE.AHE gleich/ vnd die
grade HB aeith der graden EA, oder AB vnd diewen EA vnnd AB Cor.ʒ. pi.
gieich ſeyn ſo feyerdit winckel ABE,AE B,aucdı gleich / Ft es iſt aber
Amwiſen daß die. winckel ABE, BAH gleich ſeyen / darumb iſt BEA
auch aleich ZA H, vnd ABE iſt ginein beyden Trianglen ABE, AB
H ‚vd der vb · iz wirckel BAE ‚Ül gleich dem vbrigen AMB ‚und der
Zriangel ABz iſt gieichwinctlet dem Triangel ABH. Darumb
Y y a Wie
B A
⸗
Dasfibende®üch Geometriz, --.
34P.1, Wie EB zu BA, alſo AB zu BH, F vnd BA ff gleich EH, darum̃ wie
BE U Eh, alſo EH zu HB, aber BE iſt gröſſer dann EH, darumb iſt
EH auch groͤſſer dann HB,ond die linſen BE tff geſchnittẽ nach der
euffern vnd mitlern proportion in H, vnnd dag gröffer theil HE iſt
gleich der feiren deß fünffecks / gleicher gflale woird mit der linien AC
erwifen/daß fie in H geſchnitten feye nach der euffern vnnd mirlern
proportion,bud das groͤſſer theil HC iſt gleicher ſeiten deß funff⸗
sic. |
IX
Sie rechtliniſchen gleichförmigen
Sigueeninein Circkelgefchreiben/feyen
gegen einander wie die quadrat jhrer
diameter.(1.p.12.)
7
WR
M N =
SAD die Eircfel ABCDE vñ FGHKL ‚feyn wey gleichförmige
Ser fünffeek geſchriben / die halten ſich gefammen wie die quadrat
beyder diameter / dag ift wie das fünffeck ABCDE, zum fünffeck
„ FCOHKL, alfodasquadrat BM, zum quadrat GN,
Demonftration. -
Zieht BE AM vnd GL,EN vnnd dieweil die Figuren gleichfärs
rmig / dar⸗
Bon in⸗vnd ombfchreibender Figuren. 180
"mig’darumb feyn fie gleichwincklet / vnd die ſeiten vmb die gleichen
winckel feyn proportioniert / als der winckel BAE, iſt gleich dem
winckel GFL, vnnd wie BA zu AE, alſo GE zu FL, darumb ſeyn
die Triangel ABE,FGL gleich wincklet / onnd dem winckel AEB 35.p. i.
iſt aleich der winckel AMB, dañ fie auff gleichen boͤgen gemacht / T 58.p. i1.
vnnd der win ckel FLG iſt gleich dem winckel FNG, darumb iſt der
winckel AMB ‚auch gleich dem winckel ENG vñ die wincfel BAM,
GFN, ſeyn rechte winckel / T darumb fenn fie ein andren gleich und 61. p. 1.
die zween vbrigen bleiben auch gleich / deſſentwegen ſeyn beyde Tri⸗
‚angel ABM. FGN, dleichwincklet / vnd die ſeytẽ proportioniert / als
wie BMzu GNOalſo BA su GF, aber die proportion deß quadrats
BM sum quadrat 6 Naiſt boppleter proportion als BM u GN, ton 4) P-!-
Der proportion BA zu RG, vñ Doppler iſt auch dieproportion ð Fi⸗
guren AbChDE, vnd RGHRL, darumb wie dag quadrat BM, zum
» Quadrat GN,alfo bie Figur ABCDE, ju der Figur FEGHKL.
eo: XX. |
Die Circkel ſeyn gegenein
ander wie die quadrat jhrer di⸗
ameter. (2.p ı2.)
FStaedte mi
Gırefel ABC, B
vnd DEF, DiefichE
gegẽ ein ander wie E
Die quadrar irrer
diameier / als wie
Das quadrat AC, A c F
zum quadrat DF,
alſo der Circkel AB
C, zum Circkel D
EF.
Demonſtration.
Wer diameter AB, feye 2.fo iſt ſeyn quadrat 4. vnd deß Circkels
a AB C, ſein
Das ſibendt Buch Genmeirtz;
As C. ſein innhalt iſt z(1un a:0i9sgeresiz2ae. nnnd der dlameter
DF, fen ı. ſo iſi feinguadraraud ı. vnnd deß —Sæ kankalı iſt
—— 44330951r. pad ſtehen zeſammen / wichag quadrat
deß diameters AB, jun quadrat D<ß diamerers BF,
Ao der iũha d Cucio anc, —RDDD — Eines DEF,
— —— — — —2*
das quadrot AB, HE qualtat HF, in prepprinn gu»
deyola., Datif wit 4. 00 1. ale audı der Einchct as Cum Eiscel
F,
XXL
Wann ein grade linien dem Circkel
ein geſchribẽ wirt / ſo iſt das EEE DENN
— RegHlen on den a enden < 2
es —
adrat der ein gefchrikng ode
— —— Sirtd tcheil /
(Rodoighis Crulen m bduchvom Cir⸗
ckel im erſten cap )
MCirckel ABC, iſt einge
Diſchriben Die grad AB, de⸗
ren d.fferengen jum diameter
iſt FC, vnnd der rerig bogen
zum halben Circkel iſt RC, dẽ
eheu I. der mitte in zwey in D,
ziehe AD,DB,DC, ſo iſt dag Ne
rech menckist. biercet be riffen
pen; Kitten desmerier E und
der difterenzer F C,gls ich dem
quadrat DC, der vnderzognẽ
dem vorigen bogen zum hal⸗
ben Circtel halben theil.
Demon-
WVon in/ nd vinbſchreiben der Figuren. 18:
0 Demonftradiomn
NN DE Ind DF,UN die winckelß AD. D AC, ſeyn gleich / dañ |
‚ Hefkehen auff gleichen Bögen / Tonnd AB ift. gleich Arnd AD, ME TEP I.
sin ein / deſſentwegen iſt die bafen B.D ‚gleich der baſen DF,aber BD z
Ä Fa DC ,darumbift DF, auch aleich DE, vnnd beyde winckel
.DFC,DCF feyn ein ander gleich / Faleicher vr ſach ſeyn die winckel 3 P. I.
ECD, EDC, ein ander gleich / dann ED, iſt gleich EC, vnnd derd⸗
wege if der gant vinckei EDC gleich dein wind iD FC, (fo gleich
dem wincfel DCF,) vnd der winckel DC RB, tft. gmein beyden Tri
anglen EDC,FDC,fo ſeyn auch die vbrigen winckel DEC,FDC,
ein ander gleicht ſeyn alfo die Triangel ED-C,D FC, gleichwinceklet
vnnd die feiten proportioniert / Wit EC,5U:CD, alſo CD, iu CF;
vnd dierbeil die drey linien EC,CD,CF, proportiöniert ſeyn / ſo iſt
das recht wincklet vierect der enden EC, CF, gleich dem quadrat
der mittlen CD, Tief cheiſtd ſevnde rzog en dem vbrigen bogen 8B040. P. I.
‚sam halben Ctetel halen denn
ES ſeye ein Circkel ac
B, deſſen diamerer CD
fene 2. fo iR DB die ſelten
2 eingeſchribnẽ ſechsecks
1f0 gleich dem halben dia⸗
sneser CE,t der fetten deß
echsecks DB ihr quadrat
o 1. ſubtrahier vom quas
Dratdeß diameters CD fo
refliert dag quadrat CB
06 3. darauf v it v 3. für
ein feiten deß eingefehribe
nen Triangels ABC , diſe
feisen CB,v 3 , ſubtrahier
Das ſihendt Buͤck Geometrie,
von deß Circkels diamerer CD ‚2. den reſt multiplicier mie halbem
"diameter ED, ſo kompt das quadrat DG be woͤlffecke in den Cir⸗
ckel geſchriben ſo Y.hicrauß iſt 2 . für die ſeiten D
Ober. G deß eingeſchribnen 12. ecks / und das 24. eck zu finden / ſubtra⸗
bier das quadraeDG 2.-— v 3.bef zwoͤlffecks / vom quadrat def
diameters f6 — quadrat GC 2V. (¶ſo Complement
sum halben &r elh)darauß iſt CC V. 23 .das fubtrahier
vom diameter CD. 2.refliert fuͤr daͤs quadrat DH, (dieweil der hal
Obe. diameter 1. iſt deß 24. ecks 2-. V 2. VV 3. hierauß iſt DhV.
4. 2V3 ſo ein ſeiten deß ein geſchribnen 24 ecks + Then
. gleicher gſtalt wird funden für ein ſeitẽ deß
48. ecks V.2V.AV. 2öVj. für die feiten
ↄ60. ecks a V. ⁊ V.2V.2V3. flr die
192.188 V 25V 2 V 2-rV 24V 2 V3.für die feitẽ dej
2⸗ av 2 ar Var av av 3; für die
—* V.2V..ä. a V R VE
rn, XXIII.
Die ſeiten der quadrat(vond deren ſo
—— auffſteigen) ſo in ein
riben zufinden / (La. C. vom
— * Cap.)
ud un, | car
3. fo fein fetten de einger IS:
fhribnen vieredds v 2. dañ 3
Das quadrat AD iſt gleich
beyden RAVnd ED fo iedes
1. dann der winckel in Eifl
47. . 1. ein rechter twindelt fotfk:
ADV 2. end fein Comple-
ment DC iſt auch v2. ſeyn
differenz zum diameter {ff
Das auadrat GD2.-——vV2.
Hierauß V iſt . 2 V2. ſo
ein ſeiten deß eingeſchrib⸗
F
nen achtecks / vnd gleicher vrſach kompt für GK ſo ein uhr de |
u — —
Von in⸗ vnd vmbſchreib der Figuren. 18:
i6. s/. -V. 2æV2. vnd für GH fo ein ſeiten def
32.0 faV.2-—V.2->-V.22-V 2.0nd für einfeitende
G4.tl8V 2 V 2 V.2-V 2 V2.0nD für einfeisen def
EN EV 2æV. æ EV a Vajıc: |
m nn XXIIII.
Die ſeiten der gleichſeitigen fünff⸗
ech vnd — ſo in bopplet mehr feitenanfp
en ſo in ein Circkel riben
finden/(L.a. C. ah er
| I 4.Cap.) |
fl ver Circkel ADB
C, deſſen dismeter DC
oder AB 'fl 2. vnd ſchneiden
einandren zu rechten win⸗
len in E ‚cheilden halben
diameser AE nach der euſ⸗
fern ond mitlern proporti⸗
ontnG ‚fo iſt das groͤſſer
heil EG cin fetten deß ein,
geſchribnen zehenecks / Fr
CG iſt ein ſeiten deß aleich⸗
ſeitigen vnnd glei hwinckle⸗
sen fünffecks / in den Circke
zeſchreiben / dañ fie vermag
fo vH als beyde GE ein fetten deß zehenecks / vnnd EC ein ſeiten deß
4
ſechs ecks in ſelbigen Etrefel.gefhriven: + diewelder winek. E cin 14 p. d.
rechter iſt / deſſentwegen theıl halben diamerer EB In mitten in zwey
in F,£omptfär FE $/deffen quadrar , addier zum uadrat L.
fomps ı, 1darauß v gibt für EC ( derift gleich HG )vV ız/hiervon
ſubtrahier E Fä4refliere für EGvV 12 —31f0 ein ſeiten deß zehenecks /
deſſen quadrat 13—y 13: addier zum quadrat EC,1.auß der ſum⸗
ma25——vızdiev fomptv.23—v ı5für CGfo ein feiten deß
fünffecks / weiter ſubtrahier dad quadrat DL deß ächen ecks / ſo *
. V 13’vom quadrat deß diameters DC 4. r eſtiert das quudrar-LC
23 rvV ızbieranßv iltv.23--v 13/das ſubtrahier vom diame⸗
ter CD 2. ſo reſtiert das quadrat DK 2* .23Hierauß ⸗
Z3 j Ave
Das ftbende Büch Geometriz,
V. 2 V. a V für cin feiren deß wentzig ecks / vnd für DH
nden ich gedachter maß ſo ein ſeuen deß
ao.ecks Ve Y.22hV ız/ondfür ein feiten deß |
80. ecs . V 2 Va ty air yı vnd für ein ſeiten de
100. a at Var Var V 22-t-y 13/ unndalfo fore
ianic.
XXV.
Sie feiken der gleuhhſeicigen fünf
zehen eck / vnnd deren ſo in doppiet mehr ſei⸗
—— — F
Es werde in den Circkel
ABC deffendiameter 2.
ein gleichſeitigen Triangel
ABC, vnnd ein Big
nffeck AMDEN gefchrls-
en/T der gſtalt daß Die ſei⸗
ten DE deß fünffecfs mie
der ſeiten BC deß Triangelg‘
arallelen ſeyen / fo il der
gen QCAvnd der bogen:
QWAWM / deß gantzen vmb⸗
kreiß / Nimb Q F V / von Q
C z/reflire EC hi deß gan⸗
dnd die vnderzogen EC iſt ein ſeiten deß fünffsehen ecks in den Cir⸗
— fenge ſuch alſo / fubrrahiee KEY. I Vz die
helffte der fetten deß funftecke / von LCVꝛ halber ſeiten deß Trian⸗
gels / reſtiert HC V3=-V.5v Fu deifen quadrar sy;
Vom inn-ondombfchreiben der Figuren 183
v VN / auß beine die wurtzel iſt CP v2 4VutV. 13V
3 /bie fubtrahter vom diameter PE 2. denrefl av 23 Vier
v tv = multiplicier mit halbe diamerer OE fo i. ſo kompt das
— EG 2 Vai Er V 17V ran dem die wurtzel
ofompt für 6V.2 —v iv tv. velches ein
feiten iſt eines gleichfeirigen dreißigecks / vnd für EF finden ih ge⸗
dachter maffen welches ein ſeiten eines |
coleds av ar. 2 rev für ein ſeiten
deß
* — arvz eV 2 er zer V ss füreln
ſeiten deß |
— dev... vr iv I
Seit:
. "Bd alfe fortan werden die ſeiten der Regular eingeſchribnen
——— —— nichts anders dann die ſubtenſæ eines vor⸗
abenden Bogens / Bon welchen die Taften Iinuum gemacht wer⸗
den, dann.bie fetten deß eingefehribnen 240 ecks / iſt ein vnderrogne
einem bogen fo 1.gr. end zeminuten / vñ Ihr helffte iſt ein finus von
45. minuten / dieweil der gantze ombfreiß deß Circkels helt 3 60. gr.
das iſt 21600: min. wie tn voigendem Blick weitlaͤuffiger ſol er⸗
klert werden / da man dem diamerer welches bie groͤſſeſt fubtenfa
20000000: fegen thut / vnd jhr helffte welches der gröfte Sinus oder
(be diameter 10000800. feyn wird / darumb fo muͤſſen die wurtz⸗
fen auß den aniverfalzahten zogen werd? mit beyſuͤgung etlicher o.
Damit man den wehrt in einfaltigen Kational zahlen befomme / wie
bey dem addieren Der univerfalgahlendeß dritten: Buͤchs iſt durch
exempel erklert woꝛden.
XXVI.
Die ſeiten der gleichſeitigen /
vnd gleichwinckleten Figuren /
ſo vmb ein Circkel geſchriben
zufinden.
&2 die fetten der gleichſeitigen vnnd —— Fiquren
in den Circkel geſchriben gefunden ſeyn / fo nimb cin vierten
heil deß quadrats auff der feiten der ingefchribnen Figur / vom qu⸗
31 fü drat deß
Das ſibendt Büch Geometrix,
Ex
G
drat deß halben diametersiauß dem reſt die gibt das perpendicw
lar vom Centro deß Circkels auff jede feyren der ingeſchribnen Fi⸗
gur / mit hilff deſſen vnnd der ſeiten der ingeſchribnen Figur / die ſei⸗
sen der vmbſchribnen zufinden / dann die in vnd vmbſchribnen ſeyn
parallelen / deßwegen geben es gleichfoͤrmige Triangel.
Es ſeye der Circkel ACBD, darinn if geichri.en der Triangel
ACD, der diameter AB, deß Circkels iſt 2. vnnd ein ſeiten deß Tri⸗
angels ACD V3. von deſſen quadrat 3. ein viertheil welches .de
fubtrahter von dem quadrat deß halben diameters OD foI, refiterf
d3 quadrat © VV,zdaraußyv ifläfüro vv, alfofud auch die aͤndn
perpendicular. finde für dj perpendicular deß quadrats o x,vV’ 3. vn
für dep fünffecks o y. . IV. vnd für deß ſechsecks oz,v! .dait
fe ſuch die feiren Durch die Regel der proportion alſo / |
wie dz perpendicular o vv, zu deß Triangels ingefchribne ſeitẽ CD,
* v3
alſo der halbe diameter o B, zu deß Triangels vm̃ſchribnẽ ſeitẽ EF,
1 yız
Für das
Don in⸗vnd vmbſchreiben der Figuren. 184
Für das viereck.
Ce. vmbſchriben ſeiten KL iſt in alweg gleich dem diameter deß
Für das fünffeck.
Wie di perpendicular o y‚sudeß eingſchribnẽ fünffecfe ſeitẽ MN,
Varvk_° vv
alfo der halbe diameter o B, zu deß vmbſchribnen fünffecks feine eQ
| 1 vsVas
— Für das ſechseck
Wie dr perpendicalaro z, iu deß ſechsecs ingeſchribnẽ fert Ks,
| Vz: 1
alſo der halbe diameier o B, sin deß ſechseck vmſchribnẽ fairen TV,
| 1 vı3
‚ » Bd alfo werden.alle ſeiten der vmbſchribnen regullerten Fi⸗
guren funden / welcher helffte sangentes fenn / end die auß deß Eir⸗
rTkels Centro gu ende der ingefihribnen biß an die vmbſchribnen zo⸗
gen werden / das ſeyn die ſecantes / dann BF iſt deß Triungels cams
gens vnd o E der ſelben ſecans / das iſt cin tangens vnd ſecans von
6o.gr. dan die ingeſchriben CD, deß Triangels iſt ein ſubtenſa von
120. gr. vnnd jhre helfft vv. D, iſt ein Anus von 60. gr. eben der vr⸗
fahift BL Tangens von 45. gr. vnnd o L fein ſecans / vnnd BQ,
Tangens von 36. gr. vnd o C ſein ſecans und BV, Tangens von
z30. gr. vnd o V fein ſeeans / wie im folgenden Buch mis mehrem
m XXVII.
An allen Trianglen iſt das recht
wincklet viereck begriffen von der bafen vnnd
: Bemperpendicular;gleich dem rechtwinckieten view
ö eck ſo begriffen von halben diameter def eingefihre
r nen Circkeis ſampt der ſumma der Sr
drey ſeiten. In
— |
Gor.f4-p-1 vnnd das rechtwincktket vtereck
17.p. Ls |
69.2.1.
eingeſchribnen Circkels.
Das ſibendt Buͤch Geometri æ,
IN den Triangel ABC iſt gę⸗
Yſchribẽ der Circkel PBRG,
dem Centro K ſeyn zogen die per⸗
pendicular ED,EF,EG,tie fallen
wo der Triangel de Circkel ruͤhrt /
aacht von AB in CH; gl:ich
Sie iwinckletẽ viereck fo gmacht
yon halbem diameier deß einge **
fchribnen Eteckels als ED, und ? Du er
Ver dreyen ſeiten AB,BC,CA.
Demonftration. ?
Das rechtwincklet viereck begriffen von AB,ED iſt Doppler deß
Triangels ABE,t darum̃ iſt dp echewincklet vierect begrifft vð
in EG dopplet deß Triangels BC E,onnddas rechtwincklet viereck
zegriffen von CA in FE, iſt Doppler deß Triangels CAE / aber alle
drey Triangel ABE,BCE,CAF ſeyn gleich dem Trianägl ABC,
darumb feyn die rechrwinckleren viereck begriffen von halben dias
“meter vnd jeder feitenvoder halben. diamerer und allen drey feiten ze⸗
ſammen dopplet deß Triangels ABC,aber das rechtwinckiet vier⸗
eck Begriffen von AB in CMiſt auch Doppler dem Triangel ABC,
deßwegen ift das techtwincklet Viereck begriffen von ABin CH,
gleich den rechtwinckleten vierecken ſo begriffen von ABin ED vnd
. BCINEG vñ AC in EF, oder dem rechtwinckleten viereck det drey
ſeiten AB,BC,CAINED.
‘4. Cordllarium.
Hieerauß iſt offenbar wannidie dreyeſeieen deß Trlangels vnnd
ſeyn innhalt bekandt ſeyn / ſo wird auch deß Circkels diameter jhm̃e
ein geſchribẽ auch bekandt / duhſo mã Lividiert deß Triangels iñhalt
durch halbe ſumma der drey ſeiten / ſo tompt Der halb diameter deß
42 Corollarium.
Hieruuß witd aulch b ecand tdie bee wo der Tetangel den Circkel
rährs;dann:bejde Triangel AFE,BGE gfammen feyn,gleich dem
Triangel AkBIdann AEF iſt gleich ADE / vnd BGE gleich BDE
daru
+
Von in⸗vnd vmbſchreiben der Figuren. 185
darum̃ fubtrahier den Triangel ABE dopplet / vam iñhalt deß gan⸗
an es ABC, den * dividier Durch haiben diameter def
| c re CG oder CH vnd alſo mit den v⸗
XXVIII.
Ein jeder Triangel iſt in micler pro
portion / zwüſchen dem mir |
—— — *
"Er HR Triangel AB C. ix eingeſchrien der groſe Circkel auß dem
se
OF ena B B Wer | N
An aleich werds DC,IND AD glei Ar.darumb If 0 anchefeh
AF „ vnnd |
CD gi C x |
als auff BG,
Bas qauadrat
31.2. 1.
Oftende. End halben aiaweer def eingeſchrbnen Circkels / ais BN oder Bprt“
2,7 Das ſibende Buch Geometriæ
drat zLMAQ. vnd verleng QM in p,. vnd LM in N fo iſt das reiht,
wincklet viereck BIN oder BP ( welche gleich dem Triangel ABC)ik
mitler proporrion, zwüſchen beyden quadraten BM vnnd BT.
Demonftration.
. Das quadrat Bıift zum rechtwinckleten viereck BP, ( fo gleich
dein viereck BN)wIEGB iu BQ_,t gleicher vrſach wie das rechtwin
eflct viereck BN.(ſo auch gleich dem viereck BP zum quadrat BM,
alfo GB su B Q ‚darumb wie das quadrat BL sum rechtwinckleten
viereck P, (ſo gleich dem rechtwinckleten viereck pN)alſo das felbig.
viereck BP zum quadrat BM, vnd der Triangel ABC, iſt gleich dem
rechtwinckleten viereck begriffen von halber ſumma der drey ſeiten
‚fo fedes in mıtiter relon grofifchen beyden quadraten BL, vnnd
en re ABC un —* proporuon *
— den quadraten BT.geichriben auff die halb ſumma der dreyen
feiten / vnd B geſchriben auff den halben diamerer deß eingeſchib⸗
ven Creckels.
Coroſlarium
lerauß iſt offenbar / n ein rechte Tinten gecheilt wird wie.
fie en —— — der Theilẽ in mitler propor⸗
ion wliſchen beyden quadraten der Theilen.
| XXIX. 0
Die Beaular rechelinifchen Figu⸗
ren ſo in ein Circkel geſchriben / ſeyn in mitler
proportion swfifchen den Regular rechtliniſchen
Figuren / ſo — ſeiten haben / vnd inn
vnnd vmb den Circkel geſchriben —
werden.
FR den Eifel‘ AD F, iſt geſchriben Das Regular ſechseck ABD
LFK welches iſt in mirler proportion zwuſchen beyden Tri⸗
anglen HC1fo vmb den Circkel geſchriben / vnd AD F fo in den Cir⸗
ckel geſchriben / vnd halbe weniger ſeiten haben als vas BR
F ee EeMON-
— — — —
—
Ron inn⸗vnd vmbſchreiben der RKguren. 186
Demonſtration.
.Auß deß Circkels Centro ‚Ha - N Pr
De ein gradelinten ED , diefthnetde N .
deß vmbſchribnen Triangels ſeiten
CIin D, puncten deß ruͤhrens su
rechten wincklen / im ſelben pun⸗
eten wird der eingeſchriben Triangel
ADF , den vmbſchribnen Triangel
HCI beruͤhren / dann der eingeſchri⸗
ben iſt ein vierten theil deß vmbge⸗
ſchribnen, darumb ſchneidt AD die ſeiten Cı In Din zween glei, © anhang
che theil / vnd hapen ein rechtwinckleten TriangelEDC, vnnd DA 7 6. p, 1.
deß eingeſchribnen Triangels ſeiten ſchneid CF in G gu rechtẽ win⸗
cllen / angeſehen daß HF gieich FI, vñ der Triangel CAD iſt gleich⸗
foͤrmig dem Triangel HCI,darumbift AG gleich GD, vnnd Ac
gleich DC, dann der Triangel ADC iſt gleich ſeitig / vnnd GOifl
gmein / darumb muß der winckel in G auff ein vnd der andren faire 10.def
N feyn als jeder eitt rechter t ond theilt GD den red.swinckleren z ns
riangel EDC in zween gleichförnnge Trianzel EDG,GDC,t 3% P-!-
vnd ED tff in mitler proportion zwüſchen EG vnd EC ‚Taber ED 1C0.36.p.1
iſt gleich EB,darumbift BE auch in miticr proportion jwüfhenE ,
G vnd EC deßwegen wie EG zu EB (6 gliihED)alfoEBjuEC,
vnd die Trrangel auff dife geſchriben ſeyn einer höhe / darumb mie
EG zu EB/allo der Trfangel EDG zum Triangel EDB, vi wie 3 p. 1.
EB zu EC;alfoder Tıtangel EDB, zũ Triangel EDC ‚und EB iſt
erwiſen in nınler proportion zwüſchen EG vnd RC darumb iſt der
Triangel EDB auch in mirler proporiion zwüſchen den Trianglen
EDG,EDC ‚der Triangel EDB aber iſt ein ſechßten theil deß einge,
ſchribnen ſechßecks / vnnd der Irlang I DEG IR.ein fechßter cheil
deß eingefihrionen Triangels ADF,t vnd der Triaugel EKDCiſt 10. anhang
ein ſechoter theil deß vmb ſchribnen Triangels HCI, vnnd wie die 76-P-1.
fiuef proportioniert, alſo auch jhre gantze / F deßwegen iſt das ein, 29 P-!.
geſchriben ſechseck ABDLFK in mitler proportion zwüſchen dem
vmb vnd eingeſchribnen Trianglen NCI vnd ADF.
Corollarium.
Hierauf iſt offenbar / daß cin gleichen verſtand hat mir alle recht⸗
liniſchen Regular Figuren / da allzeit die eingeſchribnen m-mitler
proportion ſeyn / der ni vnd vmbſchribnen fo halbe wenigar ſeiten
haben. Ana In
Co S4-P. X
10.P.1.
emgeſchriben / iſt dasrechtwincklet viereck dee
—
m
Das fbende Bach Ceometrix.
XXX
In ven Trianglen ſo dem Circkel
o ſeiten / ſo den winckel beſchlieſſen / darauß das per⸗
—— ein Selen falt / gleich dem en
ten viereck de — vnd deß Cir⸗
metrer.
MCirckel An CD., iſt eingeſchri- x
Aben der Triangel, ABC’, deſſen
perpendicularifEB E,deß Eirckels dia,
meter iſt BD\,.f6 iſt bag rechtwincklet
viereck begriffen vomAB, BC, gleich DE:
vechtwindiere vtereck begriffẽ v5 per»
gendiculauB E;9nd. beim diamerer BD; € UV Y A.
Demonftration;.
che Die ſo iſt der Triangel 8c Drechtwishierionnd.dieroitte
ckel BAC,BDE ſeyngleich / Fvnd BEA iſt ein rechter. winckel / wie
auch BC D;föhleıben Die vbrigen ABE,DBC auch gleich / vnnd Die
feitenbender- Triangel AFB,D’CB feyn proponioniert, T.tvit AB
zu BE, Alfo DB In BC. deßwegen iſt das rechtwincklet viereck der en⸗
den AB,BC ‚gleich dem rechtwinckletẽ viereck der mitlern BF, BD. t
1. Corollarium:
— iſt offenbar/ daß die drey bekandten ſeiten deß Trian
auch bekandt machen den: diamerer.deß vmbgeſchribnen Circkels.
2 Corollarium:-
Hier auß iſt auch offenbar / daß die viereck fo In dẽ Circkel geſchribẽ
jhre diagonai linten proporiioniert machen / dañ die winckel BDC.
CAB in den Trianglen ABO,CDO ſeyn gleich / vnd AOB » COD
ſeyn auch gleich / + wie auch Die vbrigen ABO,D CO „ vnd die ſeitẽ
vm̃ die gleich winckletẽ Triangel ABO,DCO ſeyn proportioniert,
als wie BA zu AO, alſo CD Ju DO, oder wie AO Ju OB ‚alfo DO,
du O Cvnd wie AB zu BO,Alfo DC CO, darumb If das rech⸗
wincklet
Ven in⸗vnd vindſchreiben der Figuren. 187
wincklet viereck der enden BA,CD ‚gleich dem rechtwinckleten vier
eck der mirlern.AO,OD vnd wann AD zogen wird / ſo wird glei⸗
her gſtalt bewiſen daß Der rechtwincklet viereck der enden BC, DA,
fen. dem rechcwincklerẽ vereck der mitlern BO ,OC..
3. Corollarium. m
Hierauß folge / daß das rechmmindkier. viereck beyder dies
gonal linien Ac, pD. deß eingeſchribnẽ vierecks gleich iſt dem recht⸗
Wwinckleten vierecken inciner imma benentasgen:gftacn. fehlen D-
A in BC, vnd ABiN DC.
XXXXL. *
Don bier vngleichen graden li⸗
men / ein viereck zu ſchreiben / darumb
ein Circkel maggefchriben werden / wie
es Maroloisin ſeiner Geometria.
beſchreic
ES fenen vier linien A,B,C;D; darauf ſol das begehrt viereck
geſchreiben werden.
Ziehe zurechten wincklen die zwo linien b <, Kun; die ſchneiden
«in anderina, mac ab, gleich der linien A, vnnd ac, gleich der
linien 8.vnd ad aleich der linien C, vnd ze, gleich der linien D, ſo
wirt ak, in mittler proportion ſeyn⸗ zwüſchen den linien A, vnnd
B, und ai in mittler proporrion zwilſchen den linien A vnd C, vnd
ah, in mirtler proportion zwüſchen den linien AD’, diſe leg auff
dic grad ab, von a-inh,i,k, weiter. mach a f gleich C und a g gleich
D, ſo wirt anın mirtter properrion feyn zwůſchen B-Ond C, vnnd
am in miteſer proportion zwiſchen C vnd D; letſtlich iſt ad, gleich
‚und 2 g gleich ð, darumb iſt a 1, in mittler proportion zwüſchen
vnd D.
Ziehe kl fo iſt das quadrat Kl; gleich dem quadrat ak; ſo gleich
dem rechtwinckleten viereck A in B,yond dem quadrat al, ( fo gleich
dem rechtwinckleten pierec begriffen von C in D; ) vnnd das qua»
drat ai,T fo gleich Tem rechtwinckleten viereck begriffen von A vnd
<, ) addier zum quadrar am, ( fo gleich dem rechtwinckleten vier,
Aaa Hi eck
Pe]
Das Abende Bach Geemerie;
ck begriffen von Cin D,) vnnd das qundrar ah, (fo gleich dem
rechtwinckleten viereck begrifſfen von A vnnd D,) addier zum qua
drat al, (ſo gleich dem recht winckleten viereck begriffen von B, vnd
C,) fo kommen die quadrat auffhn, vnd im, darnach ſo ſuch die
Diagonal deß vierecks / darumb der Circkel fol geſchriben werden /
als mach ein winckel qou / vnd ſetz von o in p, ein lenge gleihhn,
vnd o q, gleich im. vnd or gleich Kl, vnd ziehe pr,vnnd qr, aufp,
ziche qr, ein parallelen pf, ſo iſt o (,die kürtzer diagonal / mehr siehe
auf q mit pr, ein parellelen qu, ſo iſt o u die lenger diagonal: wei⸗
ter ziehe vv. x, die mach gleich der linien A, auff diſe vv x ſchreib mit
des diagonal o ſ, vnnd der linien C, dem Triangel vv x z, weiter
ſchreib auff die linien vv x, mit der diagonal ou, vnd der linien D,
den Triangel vvxy,ziehe 2), welche gleich wire ſeyn der "> >
| : re
—
%
Vonin⸗vnd vmbſchreiben der Figuren" 188
* vmb das quadrat vr zya,cin Circkel / der wirt al winckel
ren. 2 —
Demonſtration.
Es ſeyen die linien A,r4. Und B,S. und C, c. vnnd D 5. ſo *
die media proportional auch befande als akwıı2 fompr von
AB, vnd a liſtv30. kompt von CD, die abdier zeſammen fo fompe
flir kLv 142.deren iſt gleich gemacht or.
Weiter iſt ai, Sofompt von AC ‚und am, iſt v30.fompt von
€ ee beyde a houdam, fompt im,y’so. deren iſt gleich ge⸗
macht op
So' öiſt ahk, Vzo kompt von AD, vnnd an iſt VaB. fompt von
BC,addier beyde ah unndan, tompt hn,v ıı8. deren iſt gleich ge⸗
macht o q,angefehen die parallelen qr,pf im Triangelo qr, if 3 PL
wieo 0 4. u op, alſo or. or, m der diagpnal of,
: Yıı8 vo vı4: 2. Vıoßıt
weiter angeſehen die Darallelen Pr,qu,im Triangel oqu iſ 32. p. 1.
wie o p, zu p Pq alfo or, or, zu der diagonal ou, ou,
l En
vy90 yııg v142 | —R
muitiplicier o ſmit ou, 3. kompt fo vil als die fummabeyder rechts
winckleten vierech begrigen von A in B, vnnd C in D, ſo 142. vmb
weiches ein Circkel maggefchriben werden. t 2786.p. 1.
Anderſt.
‚Di ſolches viereck darumb ein Circkel mag
geſchriben werden / zeſchreiben lehre a |
Herꝛ Vietæalſo.
es feyen die vier linienA,B,C,D ‚darauf wilman ein viereck
| fchreiben varumb man möge ein. Circkel ſchreiben / vñ das A;
gegen C, vnnd D. „gegen 8, ſtande diß zuverrichten ſetz AD
gleich der linien A, vnd nimb die differentz zwüſchen A und C ‚(die
weil diſe beyde gegen ein ander fichen ſollen) welche ſey on, die theil
in der proportion als ß gegen D ‚dann o p iſt gleich B,vnd p q gleich
D, ztehe qn ,. derfelben außp ein parallelen p m, die theilroninm,
- Daß ſich die cheil om zu.mn halten / wie dielinien B ju D-, darnach
mach AE . dem — ” 9m,ond.DF gleich) dem ==
F | min,
. MEF gleich
de ſeiten / da
Das ſibendt Buch Geom etriæ,
theil an, fo
iſt Ak vnnd
FD jefamen
teich der die
erẽtzẽ wills
fen A und
C, derwegen
C, verleng
AD auffb
ferenrzen vd
D iu B, vnd
ſchreibanß Amirder weite AQ BE halbẽ Circke QUG. vñ nimb die
70.p. 1.
1y. p. i.
17. p. i.
2. p. 1.
2. Cor. 14.
p-!.
weite DE, vnd ſet den Circkel m F mit einemfuß / mic dem andern
ſchneid den halben Circkehin L giche Lidie iſt gleich DE, vnd siehe
auß A durch Lein grade linien gleich der linien B als AB, auß n
gehe LE ein parallelen BC.gletch der iinien C. letſtiich glebe DC Die
ſol al⸗ich ſeyn der linien D, vnnd ſchreib vmb Das viereck ABCD
ein Circtel / rF.
Demonftration.
Verleng BC ſchneidt die verlengt AD in 1, auß F ziehe AB ein
parallelen FH, vnd ziehe EB, vnd die perpendicular LN,KO,BM,
Cp, nur angeſehen die parallelen BH 9nd LF, auch BL vnnd HF,
item KF vnd BC, vnd FC, BK, vñ feyn die liniẽ BH. LF gleich wie
auch FH, BL, Item BC gleich HEFT nun iſt BC gleich EF, darumb
it KF gleich EF, vnd der Triangel EXF, iſt gleichwincklet vñ gleich
foͤrmig den Trianglen EBI,CFI HDI, vnd die Triangel DH F,D
HC ſeyn gleich / K sn jedem gechan den Trtangel DH1,f6 werden die
TriangelFHI.D C1 gletch/_ Item der Triangel FHI iſt gleichförmig
dem Triangel ABI. ſo muß auch den felben gleichfärmig ſeyn der
Triangel D C1,.nun ſeyn die winckel p CIENdBCD sefamen zween
rechte winctel, T vd tft erwiſſen durch anſebung ber ——
E Trianglen / daß die winckei DCI vnd LAN gleich fenen/fo muß
gen daß die zween winckel gegen ein ander vber als LAN vnnd B
CD auch aleich ſeyen zweyen rechten / fo ſeyn die vier winckel eines
Ieden vierecks gleich vier rechten + darumb ſeyn Die wickei ABC
. 2.)
Von inn⸗vnd —— dee Figuren. 189
Und ADC zeſammen auch rechten wincfien / darumb
iſt das viereck bereit daru Pier irckel mag geſchriben werden. ys.p.r.
XXXII.
Sen diameter deßCirckels ſo vmb
das vngeſchickt viereck geſchriben zefinden /
wie auch die theil deß ſelben vnd der ſeiten
da ſie ein ander ſchnei⸗
MCirckel AFBC
D, iſt eingeſchriben
das viereck ABCD, da⸗
rinn iſt die feiten —v—
Und 4.4. vnd die dia-
onal DB, io. darauß
ch das perpendiculae
DHalfo/ quadrier die li⸗
nien / ennd addier dag
quadrat AB, 144. zum
anadrat DB, 100. von
. 92 ſumma 244. ſubtra⸗
"bier Das quadrat AD,
16 reftiert 223. fo stocn.
mahl begriffen von AB,BH,darımböieibier 228. durch vepplete |
bafcn AB fo au Tolamıyt Nſur vu. +das ſubtrahier von der gau⸗ 72.P. 1.
tenAB, 12.reſtiert 23. für AN, deſſen quadrat 63, fubrrahier vom
— 16. refliert das quadrat DH. S!. + Darauf iſt DH 47. p. I.
92 meiter ſeyn die winckel DBA.UNd DFA, gleich / dann fie auff
vmbereiß fiehenrt undwiewindel DHB,DAF ſcyn rechie 8. P. 1.
Eu ckel / darumb feyn die sbrigen ADF, a vnd die
Zriaug Arena — — —2—22 — feiten peopornis
—— —— Am, —A—
8
Yı
— —* alſo DA, MAF,
Vs! R} 4 Yu Bbb 2 KR
defip.:.
jo P. I.
102 1.
Das fibendt Büch Geometriz,
Es if auch ver winckel DBF, cin rechter fo im halben Circkel
ſtehet darumb fubrrahier das quadrat DB, 100. vom Auadrat DE,
164*-. reftiert das quadrat BE, 64%,. darauf iſt die linien BF.
v 64:;. mehr addier beyde quadrat AB, 144. vnd AF, 148)3 von
der imma 292%;. fabtrahier dag quadrat BF, 647,. denrefl 228.
dividier Durch doppleten bafın AB fo 24. kompt 9 für AK, + und
der reſt zu AB ale KB, iſt 23. deffen quadrat 6x. ſubtrahier 96 qua,
drat BF 64 F;. fo refliert das quadrat KF, 7:22. darauf v IfEHK,
Vrrir.. weiter fo siehe auß Centro E ein perpendicular EI, auf
AB ‚die heile Diefelben in zween gleiche theil in 1, t fo wirt 1B, 6. dar⸗
von ſubtrahier KB, 25. ſo reſt IK, 38. (fo gleich EL, ) difer quadrar
123. fuhrrabler vom quadrat deß halben diameters EF ſo 413. re
ert das quadrat FL,28:7;. baraußv’ Il FL,v’28:,;. vnnd die
gel HDG,KEG, ſeyn gleichfoͤrmig / dann Die windel DGH,
FGK, ſeyn gleich / + vnd die in H vnd Be echte / ſo ſeyn auch
die vbrigen gleich / es iſt ihnen auch gleichfoͤrmig beyde Triangel
IEG vnnd LFE, angeſehen die parallelen XE, IE, vnnd GK,EL,
darumbwieLF , U FE, alſo KF. U EG,
Vals Ya, vol Vantertcdken
WeEF, iu FE, alſo HD, N DC,
va: Ya Vol vi
Itẽ mie eFL, im LE, alſo FR, in K G,bitr iu addier K.n.fompe für
VaßlzE 3: vyTi Val! 23
36 diſes ſuberahier von AB ſo reſtiert für AG,
Va — — gi—vz
Corollarium.
Hierauß iſt offenbar / das der diamerer deß Cirtkels ſo vmb ein
‚Triangel gefhriben auch befande wirt / wie auch feine ſtuck / und die
ſchneidt da fie ein anderen ſchneiden /angefehen das-der diameter
DF, deß Circkels ADC BE,gmein iſt / welches fo wol vmb den Tris
angel ADB, als vmb das pin ADCB geſchriben wirt.
Wann
Von in⸗vnd vmbſchreiben der Figuren. 190
XXXIII. F
Wann in ein Circkel ein Begular
fünffeck geſchriben wirt / ſo vermoͤgen die qua⸗
drat deß fünffecks ſeiten / vnnd der zweyen ſeyten
vonderzogne / fünffmahl mehr dann das
guadrardes halben dia-
MCirckel ABCEB, iſt ein
geſchriben ein regular fünff
eck / iſt den zweyen ſeitẽ AF,FE,
undergoge die grade linien AE,
- deren quadrat mit dem quadrat
einer feire deß fünffecks ift fünff
mahl mehr / dann das quadrat
deß halben diamerers deß vmb⸗
beſchribnen Circkels.
Demonſtration.
Deß Circkels diamerer ſeye |
AD, vnd feye 2. wirdfunden für
die ſettend fünffects v.23—v ılıt darauf find ich bie vnderzo⸗24 P d,
gnev.zä-rv ız.T oder sichedag quadraf DE, deß zehenecks fo 22 P. 4.
13-—v 11.00 quadrat DA deß diameter⸗ fo 4. dj quadrat ð vndzo⸗
gnẽ ſo 23-+v 12. darzu addier dz quadrat einer ſeitẽ deß fünſfecks
fo a3--v ı2.tompt 5. welches fünffmahl mehr dann das quadrat
DO ‚dei halben diamei ers ſo 1.
XXXIV.
Wann in ein Circkel deſſen dia⸗
meter Rationaliſt / ein Reguliert fünff⸗
eck geſchriben wirt / ſo iſt ſein ſeyten Irra- —
sional/onDd ein viertes Reñduum fo
nunores geheiſſen (11.
p iz.) Bbb eij Es ſeye
In 27
22.de.}.
15. p. d.
29. ꝑ.d.
Das ſibendt Büch Geometriæx.
Es ſeye der Circkel ABCD A
EF, deffen diameter AD,
feye2. (6 Raıtonaty darinnik
gefchriben ein ln fünf,
ick ABCEF ‚fo > eiren
Irrational vnnd iſt ein viextes
Reſiduum.
Demonftration,
Weil der diamerer 2.0 ff |
das quadrat der ſtiten deß ein⸗
arios
nal als 2%. onnd das von der gangen vnnd angeſetzten begriffen tk
r ich ber gantẽ
fo 24.weiches gantz ſo vil mehr vermagals ein quabrat einer grade:
Itnien —* in die lenge / darumb iſt es ein viertes Re⸗
Hie der diameter deß Circkels Ir
finden) ſo vmb die Regulierte Figur ſol
geſchriben werden / auß der bekandten
ſeiten der Figuren.
ES fene befandr AB. foV 12. -
auff die ſeye ein gfeichfeitiger
Triangel gefchriben/onnd begehr
den diameren deß vmbſchribnen
Eirckels zu finden / das quadrat ber linien oder ſeiten AB iſt 12. dar⸗
son nimb ein dritten theul iſt 4: darauß iſt 2. für den. halben dia⸗
meter dei embfchrinen Cireistt.
Sol aber. auff a Bein quadrat geſchriben werden / ſo nimb auf
dem quadrat von A B:boppler weiches 48. die v If v/ 43.für den die
amcıcı deß embfchribnen Circdds/t., | Will
B
Von in-ond umbichreibender Figuren. ig
Bill man aber auff AB ein Regular fünffeck fchreiben / ſo ſuch
fünffecks zweyer feiten vnderzogne / find y ag V3. die iſt 22-P-4-
geſchnitten nach der euffern vnd mitlern proportion,ond AB fov/
12. iſt der groͤſſer theil / guadrier alle beyde fo fompe 18-4 v 180.0nd
12.die addier / von der — 30-+ v ı8o.nimb ein fünfftentheil /
weh er 7barauß iſi . 6-+-V 73 fr den halben diames
ser deß vmbſchruͤnen Eirckels t- 29.p.d,
Wird aber begeherein ſechseck auff die linien aufchreiben / ſo iſt
der halb diamexer def vmbſchribnen Circkels gleich der liniẽ AB yt. 2.P 4
WE
Einien AB, NINE
B
— A =
fünffeck zu⸗ |
ser sufinde/
fo ſchreib ein
Circkel gr
——
als hier die nffecks als CH ‚uni verleng beyde dẽ diamerer
CD/ vnd die hai * EO, vnd mach E 5 der linien A |
B,auß Fiiche EO ein-parallelen FG’, ſchneid die verlenare CD in
G ,ond ſchreib mit dem halben diamerer GO ‚den Circkei OKHL,
der ſchneidt FG in 1,5iche O1,(fo gleich EF)ond OG iſt der begehrt
halb diameter. Bi HM Es ſeye
Das ſibendt Buͤch Geometriæ, |
Es feye der diameter CD 2. ſo fi CEV. 25VI /vnd die int.
AB oder EFiſt Va 2. ſo kompt für den diameter OH V. 24 +
1155. | |
Demonftradiön,
Im Triangel FG C,ift der ſeiten FG ‚ein parallelen EO geiogẽ /
darum̃ wie die ſeitẽ deß fuͤnffecks CE, zu ſeinẽ halbe diamerer CO,
v.23—y1z 1
Alſo EF, (ſo gleich der linien aB)zumhalken diameter .OG,
vı2 VEHVTE .
Gleicher gflalt wird procediert, fo ein diameter einer andern Figur
begehrrwird. m
XXXVI.
Auff ein grade Einien die Regular
Figuren zuſchreiben / wie Herr Schwen⸗
ter in der 35. Auffgab deß vierdten Buchs
u
im erſten Tractat be⸗
ſchreibt.
ORG Unien ſeye AB, die
nim für halben diameter,
vnnd fihreib ein halben Circkel
AGDC ‚pndterleng ABinC,
darnach fo rheil jeder zeit den
vmbkreiß deß halben Circkels
in ſo vil gleicher boͤgen als die
Figur ſol ſeiten haben / zween
der ſelben laß jeder zeit auſſert
der Figur / vnd die vbrigen ſeyn
der bogen deß winckels der Figur:
Zum Exempel.
Ich wil ein fünſſeck auff gedachte Sinien AB ſchrelben / fo theil dẽ
bogen AGDC ins. gleiche boͤgen / ſo ſeyn zween von Cin.D , ziehe
BD fo
on insond vmbſchreiben der Figuren. 192
BD, ſo iſt ABD ſo die vbrigen dren boͤgen begreifft der winckel deß —
fünffecks / vnd ABß. BOD iſt jedes ein fetten deß fünffecks / ziehe a D, vn
en ymb den Triangel ABD den Circkel ABDEF ‚teonnd pol, vo.p.r.
hendts das fünffeck F. | Sp.d.
Wuͤman aber eln ſibeneck auff gedachte Linien ſchreiben / ſo theil
den halben Circkel in ſiben theil / vnd laß zween gegen C, vnnd fünff
zum winckel.
— neuneeh eheilden halben Eirckel in neun > theil / vnd
faß weengegen C vnd ſiben zum winckel / vnd alſo mit allen ande»
ren/tie aber der Triangel und quadrat auff gedachte linien zuſchrei
ben iſt in der 1. vnd 19. deß erſt glehrt. |
| XXXVIIL
Wie in jeden Triangel die quadrat /
vnnd rechtwinckleten viereck zu ſchrei⸗
| ben ſeyen. |
Mt d
en zung a — — — F
chut / vnnd AB,7.indifen begehr ich A cr
erfilich ein quadrat gefchreiben / ſo er _ /
heb auf C vnd B perpendicular gleich I.
der balen CB, als CF, vnd BE , vnnd | A
ziehe auß / auff BC ein perpendicular
AD ‚iche FD vnnd ED. die ſchneiden I
die ſeiten deß Triangels als AC in H,
ond AB in G darauß siehe auff die ba⸗
fen CB perpendicular HR, vnnd GI,
vnd gzehe HG ‚fo iſt das quadrat KHG
zinden Triangel C AB geſchriben.
Demonftration.
ir die theil der bafen CD findt 5 — J
man. für DBꝛvnd in Trianael DFC iſt der ſeiten CF ein
‚parallelen KH.gejogen/darumbteit DHSUDF, alfo DK U DC,
vᷣnd wie DF uU FC ,alfo DH gu HK, auch wie DC u CF, alfoDK
su. KH vnd ſchneidi al ſo DF Bi ſeiten AC proportioniert als wie
CH i8
\
N
32.p.1.
10. def.1.
421.
‚ der winckel in. F gleich DE
big a gleich Dem vbrigẽ
Das fikendt Buch Geometrix.
CH HA, alſo DL in LAıt dann HL iſt der kica CD im Trian⸗
gel CAD parallelen,
In gleicher propartion ſchneidt DE die fetten AB in G, als wie
BG iu GA,alfe DL(ſo gleich 16)3u LA, vnd EC iſt CB paralicken
im Triangel C AB, iſt wie BD zu DA, alſo GL LA / vnd wie AD
gu DC / alſo AL zu LH, vnd durch gleiche proportion, wie BD MD
C, alſo GLʒu LH, ſetzwie BC zu CD, alſo GH zu HL, verkehrt wie
DC zu CB, alſo LH Ju HG ‚aber wie AD Ju DC, alſo AL LH,
vnd durch gleiche proporuion wie AD Ju BC,alf6 A. iu GH, vnnd
iſt wie BC ju AD ‚alfo DL zu LA ‚gleicher gſtalt durch gleiche pres
portion wie BC zu jhꝛ ſelb alſo 1G (fo gleich DL) GH ‚darumb ff
IG aleich GH ‚folgt daB alle IG,GH,HK,K I, ein ander gleich ſeyn /
end IG wie auch HK ſeyn mars mit AD, vñ die windd ADB,
ADC ſeyn rechte winckel / darumb fyn GID , HKD auchredhte
winckel / vnd GH iſt IK parallelen, darumb ſeyn die windtelIGH,
GHK auch rechte / vnd IGHK har vter rechte winckel / vnd vier glei⸗
ehe ſeiten / darumb iſt es ein quadrat ſo in den Triangel geſchriben.
eg —
terauß folgt / daß wie CF zu C B ‚alfo helt ſich Die Der recht
— viereck in den Triangel —* LD. Nogleich CI) as
I der breite / wie in der andren Figur zeſchen.
| XXXVI. |
Vmb ein quadrat /ein Triaugel
zeſchreiben ſo gleichwincklet einun gebs
nen Triangel
Es iſt das quadrat D
EFG, vnnd der geben
Triangel ABC, dem ſel⸗
ben ſchreib auff ER ein
gleichförmigen EFH,T
daß dð winckel in E gleich
werdet demwinde A uf
wınddB, ſomtrdider 9
Don in-ond oinbfißreiben der Figuren. 193
£,verleng beyde feiten. HF, end HE ‚bißfie die verlengt u =
m K,mdıI (ancid:nıfo iſt der Triangel IHK Be
Lriangei BCA, vnd iſt vmb das quadrat geſchriben.
Demonſtration.
Eure arallelen IK, darumb tft der winckel 1 geich dem winkel
PEH,(fo ieh dem winckel A gemache) vnd der wine X
dem winckel EFH,(fO —— —
‚© darumb it vmb das quadrat / ein Triangel
windie einem gebuen. | 0 rn
KEKIK I
Eu ai quantasrein glei gig
—
— —
aal AC,aD onewen ein anpren is . —
ae
⸗
een ckel ge⸗
= darıumb sicht AR, —
ann
aber ge arg
Ihe gleichfoͤrmig auch gleſchle
XL,
Pmbein —
geich
n )vũ u iſt .
Er Triangel fy ABC , darımb
fhreib ein Circkel / vnnd siche auß
A ein perpendicularaufBc ‚gehrdurdh
das Sentrüi H , dardurch sıche DE zu
rechten wincklen / reichen den Circkel in
D vnnd E.dardurch siehe auß A grade
Itnien wel werkargt in. G.0md a auß C
siche auf AG. einperpendicular,väc G
auß B auff AH Das perpendicnlar BH,
werleng beyde fo lauſſen fi ufamıncn
Ye
"An 1,siche no fhneld Alin K gurechren wincklen / vnnd fchrreibenn
‚».C0.14.B.1 rechte teinckel/t daru
rechte / vnd die ſeicen
ein andern in mitten im zwey / darumb ſeyn die vnderzognen den
rechten wincklen als An, AG, vnd IH,IG ein ander gleich / vnd die
winckel in und G ſeyn rechte winckel / angeſchen die perpendicm
lar —* von vier graden ſeiten beſchlaffen / har vier
mb ſeyn beyde winckel HAG vnnd HIG auch
ſeyn e¶ darumb iſt vmb den gleichſeitigen
Triangel ein guabrar geſchriben. |
XLL
Stein Regnlirefünfit
__ SSLAGF, Au gieichwinctie / und jbe
eingleichfeirigen Triangel
zuſchreiben.
ES fen dasfünffee ABCDE, da '
rumb fchreib ein Circkel / in den Cir
ckel ſchreib ein gleich ſeitigen Triangel
AGF daß ein winckel mit eim winckel
deß fünffecks ſich ruͤhr ende / als im win⸗
ckel a fo ſchneidts die ſeiten deß fünff⸗
eds in 1. vñ A.iche TH ‚bie iſt mie GB
parallelen/darumb feyn beyde Trian
Ayaur D
re feiten Propossionierr, enb ser Tei. FE un)
angel AGF bat gleiche ſeiten / darumnb Bar Der Triangti
AIH auch gleiche ſeuen / dnnd iſt in dab Regu⸗
ert Funffed geſchrwben.
—
— Sa — Ta cn
" EA,tiche GH, die wirt auch parallelen
Don inn⸗ vnd vmbſchreiben der Figuren. 194
XLIL
Dmbeingleißfeiigen Tri.
angel/ein Reguliert fünffeck ze⸗
got der Triangel ABC , ſchreib
auff BC Kin regaliert fünffect. BC : -
LDK,tauß A siehe KD einlparallelen
Ar vnad LD ein parallelen AB, vnnd
durch C, jiehe BK, ein parallelen HF,
vnnd durch B ziehe CL, ein parallelen
GE,mad FH gleich FA, vñ EG gleich
feyn mit BC, nur angefehen Die pärals
lelen beyder fünffeck / folge das fie gleich
wincklai ſeyn / vnd die ſeyten proportio
niert / vnno das fünffeck BCLDR, iſt
gmacht von gleichen ſeiten / da umb hat
Das ſaͤnfeck GHFAC ‚auch gleiche ſei⸗
ren / vnd iſt vmb den Triangel geſchribẽ
XxLiii.
Ineein Veguliert fünff⸗
Seck / ein quadrat zu⸗
| fchraben.
ES feyerastünffeda bede, —
ziehe be Darauf ſchreib ein
— e gt ‚siehe af,a g, die
neide die ſeyten deß fünſfecks na
t
—
7
ini, vnnd hi ziehe ĩ h, ſo ein ſeten N | il *
deß eingeſchribnen quadracs iſt. | 1:7
\ ı /
Demonftration, J/
2)
Dannwie af, zura m, a'ſo ai, PL ———
Sn
Cce ij zu ae,
ia
vr
Das ſibendt a; Geomentz,
—
— ihsasi a at
VMmb ein quadrat ein Re⸗
guliert funfferk ʒuſchreiben.
* — ic Arc auf
cdcfg,weh
—* a mit t eien IR.
gleich werbe IK oder Ih,siche m m,die
mie de, paralleien ſeyn / vnnd En
Acich Ik, oder Ih,nur fe fünf
ede J————
Den Uelen / barumb iſt das umbfriben fünffer ki
Dbesmolder einsund vmbſchribn⸗ ne zahl ſo w
doch — * — — rd ade mi lade Ye
ſolches beym F nd beym Maselois/ wie auch in Seren
SchvventersG Geemeniagralica und beyandren mehr.
Ende deh fibenden Wächsr
& QGeome-
Ä 195
Geometrixz, Theoricz &
Pradticz. —
Das achte Baͤch.
Nondentabulisfinuum, Tange-
tium & fecantium, was Diefelbigen ſeyen / ein kur
ſeiten vnd ein winckel / oder ali drey ſeiten bekande getgeben / ſo
enſe winckel auch funden /
wie in diſen vnd in dem volgenden Bud
—— wer⸗
Wetter wie ohne rechnungdie ſiaus, Tangentium und ſecan⸗
tkm, deßgleichen auch auß den bekandten wincklen unnd einer ſei⸗
sen/die vbrigen ſeiten der Triangle / allein made dem Inſtrumento
partium, oder Circkel leiter / oder mit dem quadrant zufinden ſeyen.
Definition.
1 Co It menfur,das Herbie maß der wincke iſt ein Arcus, ober
2Dtdbogen / welcher auß dem ſpit deß winckels als einem Sen
tro geſchriben / vnd zwüſchen beyden graden linien ſo auß dem Cen⸗
tro zogen / vnnd den winckel beſchlieſſen begriffen wird: als die
menſar deß winckels BAD, iſt der bogen BD ‚oder der bogen op, im
Triangel ABC.
2. Ein jeder Circkel wird in 360.gleicher theil getheilt / welche mã
| Sec iij grao
Das acht Bäch Geometriz, |
gradus nempt / vnnd ein grad wider in ——
Eo. gleicher theil fo ſerupula prima 0,
der erfie minuten ſeyn: vnd ı.crfle in
60. andre minuten ond ı.andre in CO.
dritte minuten vnnd alſo fort biß auff
die zehẽdt fo cs die nehturfft erfordert /
wiewol mans gmeinklich bey den erſtẽ
oder auffs hoͤchſt bey den andren ber
rüuwen laßt: vnd werben nach I =
fer. manier als folgt bezeichnet
36.15.40.da8 iſt 36.grad/ıy.erflige,
: andre. Da ob die grad eino. ob die erfien maison ein firichlein vñ
vber die andren zwey ftrichlein und alfo fort geſetzt werden.
Vnd die cheil ſeyn gröffer in den gröfern Circklen / vnnd die bo⸗
gen fo gleich vil theil Haben in gleichen Circklen die ſeyn gleich / vnnd
in vngileichen Circklen werdens gleichfoͤrmig genennt: als die bir
gen DBENd GH ſeyn gleich / vnd D B vnd PO —* gleichfoͤrmig / als
DB ſeye 40. gr. im groſſen Circkel EBD, ſo iſt PO auch 40 gr. im
kleinern Circkel LO P.
3. Deß Circkels quadrant iſt 90. gr. welches ein vierten cheil võ
gantzen Circkel EGFD ſo 360. gt. als die bögen ED,DF,FG,GE,
ift jedes ein vierten theil deß Circkels / dann die zween diameter EF
vnd GD ſchneiden ein andren zu rechten wincklen in A, vnnd theilt
den Circkel in vier gleiche theil / darumb iſt 200. ar. ein bogen ſo deß
rechten winckels mentur iſt.
4. Complemem, ergenqzung / iſt der bogen ſo dem voꝛrbabenden
bogen noch abgehet zu 90. gr als der bogen BD, ſo 40. gr. iſt Com
plement def bogens BE ‚fo Jo. gr.
y. Ein halber Circkel iſt ein bogẽ võ zween quadrantẽ / das iſt 180.
gr. dañ er das maͤß zweyer rechten wincklen if, als die helffte ein 6
zganzzen Circkelse: Als der bogen GED iſt ein halber Circkel / Da: n
er iſt ein bogen zweyer quadranten GE, vnd ED, vnnd iſt das maß
beyder rechten wincklen G AE, vnd EAD.
6. Deſti halben Circkels Complemens,ift der bogen fo noch abge⸗
het zu 180. ar. als der bogen GEB, 140. gr. iſt ie Cmplemeni dcr
bogen BD ‚fo 40.97. ee
) “
7. Ein
Von den Tabulisfinuum Tangentium, &e. 196
7. Eingrabdelinien wird sum Circkel gehalten / wann fie mit deß
Eirckels diameter einerley theil bat: als der diameier werde in
20006000. gleicher theil gerheilt/fo hat gedachte linien ein gwüſſe
anzahl der felbigen theil.
8. Vnnd die linien sum Circkel gehalten feyn ſubtenſa, Sinus,
_ Tangens, vnd Sccans. i
9. gubtenla iſt eingradeltnten in ein Ctrefel gefchriben / welche
den felberrin zween theil cheile / welchen Kuchen fie beyben vnderzo⸗
gen iſt / darumb fie febtenfa,das iſt / vnderzogne genennt wirdt.
‚so. Die groͤſte ſubtenla iſt die / welche den Circkel in zween gleiche
theil ſchneidt / ſonſt daameter genempt / wirt beyden ſtucken als bey⸗
den halben Circklen vnderzogen / als GC ‚welche fo wol dem halben
Circkil SFC, als dem halben GHC ‚Indergogen wirt: ee
11. Subtenfa fo nic die gröften ſeyn die / welche den Circkel in ons
gleiche cheil theilen / da der ein theil iſt der bogen IF B, fo Heiner dan
der halbe Circfelionnd Ber ander heil iſt der bogen HB, fo.grölfer
dann ein halber Circkel / vnd 18 / iſt die onderjogne beyder theilen.
. 12, Simus iſt eineweders rectus oder verfas ‚das iſt ein rechter / oder
verkerter ſinus.
13. Sinus rectus iſt die halb ſubtenſe dep doppleten bogens / als
ſinus rectus, oder rechter finus/ deß bo⸗ |
gens BE,oder BC, iſt die grade linien
BE,fo halbe ſubtenſa der bögen BC, o⸗
. 8 BG,boppleridas ift die halbe BED-fe
dẽ bogẽ BCD,08 BGD, vnderzogẽ iſt /
vñ gleicher vrfach ſinns rectus ð boͤgen
BF oder BH. iſt die grade BK „Die helff⸗
Vte der graben BXI, fo den boͤgen BFI.
oder BHL,IfE vnderzogen
. 14 Darumbift der finus eines bogens
- fo fleiner als das quadrant / auch inus
. deſſen dcr fo vil gröfler ale dz quadrant
. aie BE, iſt fowel finus retus aber 4 ._ 2
gens BG, als deß bogens BC, weil BE ‚Die helffte iſt der grade BD,
Veiche fo wol dem bogen BGD, als dem bogen BCD,IR ——
⸗⸗
Das acht Büch Geomerriz,
By. Alle finus ſeyn perpendicular auff dem. diamerer deß Circkels /
daun der diameier GC ſchneidt BD, fe nie durch den Centrum zo⸗
gen ın mitten ın zwey / darumb ſchneidts fit es auch zu rechten win⸗
cklen / (j. p. i.) wie auch UF, ſchneidt IB ‚in mitten in zwey / vnnd
a rechten wiuetlen. |
16 Def finus Complementiftder jenig finus rectus / welcher ges
büre dem Camplement def vorbabenden bogens / oder das ſtuck dis
ameier begriften zwüſchen dem finu recto vñ deß Circkels Centro /
als BK (fo gieich dem ſtuct diameter AE,) iſt ũaus Complement Def
bogens BC ‚dann der bogen BF, iſt Das Complement def bogens
BC, (4.8ef.d.) deſſentwegen il BK finus reftus deß bogens Br,
vnd Complomen:deß bogens BC.
17. Sınas verfasiaher verkehrter tung / iſt der ſchnidt deß diamerers
welcher begriffen zwüſchen finu recto vnnd emrmuf ei: / alsder
finus verfus deß bogens B Ciſt der ſchnidt EC ‚und finus verfus Def
bogens BG. iſt der ſchnidt GE, vnnd der bogen GE B,Deß
Anus verl GE iſt mehr dañ ein quadrant / vnd der bogen BC, De
oein quadr ant.
flemeren ſiaus verfi EC AR Meiner dann
- 18. Sinuseamg oder maximus, iß der gantze aber groſte finus, fe
jeder zeit der (emidiameter ‚(difer wire fonft Radius genept /) vnd
fein boge iſt alzeit ein quadraui. we
19. Tangens / das iſt die ruͤhrende / iſt die jentg grade linten / welche
zu end deß dıamerers bey dem einen ort deß vorhabenden bogens
perpendicular big an die ſecant / welche auf dem Centro durch das
anterorı deſſelbigen bogeng gezogen iſt reichen chut / els CL, IR
Tangens deß bogens BC.
20. Secansidasift die ſchneidend grad linie weiche auf Dem Gans
ıro durch dag ander ord deß bogens biß andte Tangens zegen wirt /
als ALiſt ſecans deß bogens BC.
Die Tabulæ — Tanzenrkum und Secanılum =
nir weiter als biß zum quadrant / dann ber bo gen weicher
dann ein quad rant / hat chen deu Aou⸗. ao der bogen welcher fall
fleiner iſt als dag quadrane 14.def d.)vnd die Agen der Tangen
ceen vnnd Secanten moͤgen mir mehr ſeyn daun aim quadranut.
22. Auß den theilen der graden linien fo sum Circkel acbaler vo.
Bon den ang rer &c.
197
Side Jabale⸗ Sin J — Samen |
hellen radius- ober der. € diameter
der gaq ArETrcher LORD —— —
Folgende Erempel erteremkrt. ——
Teams ae PR
—*8 en ee — 2.p.
m fe: theil deß gantzen: vm alv
ED Did — ns
BED, widus Iso. gr.
121,727 BE»
ein von 30. ar. vnd die
“ ubsenda BD; iſt gleich dem
radio wel * nie
v n iſt die helffte als
—x bon zo0. grad
oooooo. nun begehr ich de
—— 60. grad/alsden -
um BK, welcher deßfinus
BE fein Complemen: feyn
w
ft. j
Dom quabratdeß radij AB. \
en — — —
Bas Anus —E fo are Ag) 86602 “
oadı FB,
eichfoͤrmigẽ Trian A And: LS,
wie 4 — e I ED» —— —8 ur engen. ni
10000000 _ .. 237560
Be ee un
wie Ar sure 4 Msaforniis Ac,jur ſecant Al deß —
—c»cc 10000008 ———
ee 52 aeg
MWetrer ſehu veyde Triafiget Ans Ar’
Dad A U nn Ale —
—— Aare ——— —
wigtlien a» ci a or Meier‘
[4
42.27.
u Das acht Büch Geometrie,
"welter nie AX au radio 0 AB, alforadias AF pur lccam AO Def vin
*
cels 84F, 6o gr. |
| bie Gebremla yon 30. di ac te
m vonrdgAC, _
Complement AB, Baus
Fern 1339746
fein quadrat addier er
ee ———
auß der ſumm⸗ 7249193445 16
Die wurtd /¶x die ſcaſa 8 ze, J
—— — Circkel geſ
Fee bogenBc, unbersogen if 30. gr.fo —— 23
— — antenne BCDGP, ſo 360. gr. dic
acoti0. weches cin is von ix. x.
Anderſt.
ch ſuch die chribnen wdiffecke st welche 2
F Jo nd tn Fe men min ern Fl
gung erlicher d. wie Das wer —— |
EN ‚ 3900600000008
Die wurgel g 1050
——— era arızor
den reſt multiylicier 2.679,70
mie | 8000000
auf ben produßt 36735009000000
Diewurteigiprdiciubena ac ,ukobe g 2 7 6 3 8 0
Vnnd alſo maſſen in ein / oder den anderen toeg / Die feiren der
eingefchribnen er auff ein ı0800.cef / welches ein fubıenfa
— naten
werden / deien ſnus einer
* iß ein —
Von den Tabulis ſinnum Tangentium,&c. 198.
L
‚In ſedem rechewincklaen Cr
| angel / mag ein jede feiten für
ein radius genommen
werden.
gs feye der rechtwin⸗ |
Alete Triangel ABC
fo fchreib auß A, mic der
weite AB,DE Cirdel Br,
vnd wider auß A mit der
weite A den Circkel c
DE, vñ auf C, mit der
weite CB den Circkei BG R
virmag AB oder AC, o⸗
der BC, file radiü ge»
nomm? werden.
Demonftratign,
Ao, iſt gleich AED
rumb iſt AC ‚radiusst im Circkel C DE, vnnd CB; iſt Anus rectus / 18. def. *.
vnd BA.ſinus Complemem / + 13vnd
Im Circkel BF, iſt AB, radius / vnd BC, Tapgeng ‚nnd AC ker def.d.
«ans + Leiſtlich ift im, en BEG ‚der radius CB,die Tangens BA 19.0nd 20,
vnd fecans CA. def.d.
“na
Corollarium. Fe
“ Hierauf iſt offenbar / wann zwo ſeiten betande ſeyn (das die!
zween fpigen winckel / mit bil deß IDEE m au
befande werden. De
Exempel
mTrian ABC, befand 40, 5. vnd AB 4. vnd der rechte
| i ai Ddd er winckel
—
14p. —
_
RE ir wiectel atfo
BI AC,m AB,alfora lue. X. au ————
49. 4. 10000006. ——
— ——— ——
ee ——
finden, ſo nimb die nchf |
— 7998523. daaha urden Taflen einen bogen
* ar. ⸗. weil dNe Taßen allein auf der erſten minuten —22
—— man after den bog mauch in den andren eninnten ha⸗
ben toikı
fubrra —— —— 8000358:
Ben nechſttieineren finum . | 98k793
der reſt iſt ein fiu⸗ einer minuten / | 1745
Weiter ſubrtahier von dem fundnen as /6000000
Ben nechſt kleineren imm 99859
reſtiert 1407
——E
wien 745 0 6 das iſt zu 1. rg 1407.11 45.
vnnd: kompt für den sangen bogen 5 3.917.748. . welches deß win⸗
ckels AG B;fein menfur iſt ondrekter är as Camel
36. 61:52: 12: Dean man cn ——
ARNDT dawen ſie bag tin rechten winutet machen.
— u, Erempel.
Bann nberdie zwo ſo den rechten winckel beſchlieſſen betande
ſeyn / als Ab.4 vnd BC ; z iſo ſuch die winkel alſo /
wit AB AB; BCAlfradig AB, UN. Tängenı BC,d«f winckels 3A0
7 7 10000000: 70⸗ο
Diſe ſuch in den Taflen onder den Tangenten / ich find fie aber nit /
darumb nimb die nechſt kleiner/ weiche iſt 7,59119. deren bogen
ſindſtu eye near vnnd sur linden / als 36. 52. be⸗
gehrſt jhn aber newer ichaben / als Dam —
Don den Tibulisranuu Tangensum.ölc. 199
503665 -
7479119
Der veſt i Tängenstiner minuten‘ 2 474
Walter ſubtrabier vonder fundnen Tangenı ⁊500000
Dienchhft tleiner Tangent "7499119
| 88:
reſttere.
- Syierauß fuch Die ſecundes alſo /
wie 4546: 66. alſo 881: m 12: |
es F:.ag med
2. ı2. fein C ACHSE: 7:48 Weil
B en ein rechten winckel ſeyn dan ABC iſt cin rech⸗
—VV . N :
—2 r
‘
Auß einer belandten ſeicen / vnd der
—— —
deren rechtwinckleten· Triangels / zwo v⸗
En ee Be: :
erwiſſe jed ſeiten mag für ein radinmm "
nd ren Tragen! fo nimb
ein betandte ſelten für radium all ums sheiler / wel⸗
ches im theilen vil nahe erſpuren chut.
I«- Exempel.
Es feye bekande Ac; 5. vnd der winckel BAC, 98 13. 12. of
fein Complement ACB,.53.91.7. 48. vnd Dir winckel ABC, iſt
ein rechter / darauß ſuch die feiten alfo / R
geleradius AC, iu finm CB, def winckels A, aiſo AC, iu CB.
ed ———wr·
10000000 6000014 3553 12 7 3
Die weil die Tafle allein auff die erſtẽ minutẽ Calculiert / ſo finde
manden bogen 36.gr. 523. 12 nit darinn / fonder allein 36 52.
: Ddd U deren
"u DasadedhchGenimeie, !:..
deren finus iſt 1999 49 welcher dann zellein / vnd der aus von 30.
55. iſt coo i 870. welcher zu aroß / darumb
trahier vom nechſt groͤſſeren ũnn Co0187&
den nechſt fleineren finum B 9999549
reſtiert der ſiaus einer minuaenn 2327
darauf ſuch die ſinus von ı2.alfe/
wie 4 iu ihrem ſinu 232”. alſo 13. zu jhrem ſinn 400
darzu addier den nechſt kleineren inum $999549
die ſumma iſt die inus 6000014
deß bogens z30.gr. 52. 18. |
weiter wie radıus AC / zu ſinu AB,deß winckels C, alſo AC.IM AB, -
10000000 Soooooo 193748 fs 4
Es feye befandt AB »4.
fein Complement B,53.81.7. 48. hierauß ſuch
Wie — AB u Tangens BC, deß winckels A, alſo AB „iu BC,
10000000 sooo 3gr. 3. 13. 4
An den Tafflen find ich allein Die Tangens deß bogẽs 36. gr. 52.
welche iſt 7499 1 19.10 ſuch die Tangens von ı2. als folgt
2. Eredipd.
vnd der windel A, 36. gr. 52.12. ſo iſt
ſuch die ſciten.
Bon dem nechſt groͤſſern ſinu, 7503665
Subtrahier deß bagens 3 6. gr. y 2. fein finus, 7499119
Reſtiert Tangens einer minuten / en: 4546
Wie 66. zu ihrer Tangens 4546.alfa 12. zu jhrer Tangens 909. »
darzu addıer die Tangens von 36. gr. 52. 7499112
| So kompt die Tangens def bogens 36. er. ga. 12. 7500028
meiter wie radıus AB sur fecdsAC ‚Deß winckeis A alfo AB Ju AG,
ER ar ee [2 age, GEmmwerskunm
10000900 12f00016 35gr. j4.. 7 4 7
Find aber in dẽ Tafflẽ die fecis allein võ 36. gr y3. welche 1249947 1
diſe ſubtrahier von der nechſt groͤſſern fecans, 12502199
Reſtiert fecans von einer minuten 2728
darumb wie 63. zu ihren ſecans 2728. alſo 12. zu jhrer ſecans, say,
darzu addier Die ſecans von 36.41.52. 1249947 1
fo kompt die fecans deß bogens 36. gr. f2. 12. 12500016
Don den —— ſinuum Tangentium &e. 200
3 . Exemyel. Fr
Esfeybefandt ac, 3. — 4 gr.3. 48. Pine
Complemenr B,36 47 52. 12. hierauß ſuch die ſeiten /
‚Wieradius cB.iur ur Fangens ı BA deß winctels C,c C,alfo cs m BA,
10000000 13333284 159.346 BE 4
Dann die Tangens von 48. iſt | 6463
Darzuadbier die Tangens $% gr. 7. | 43 326823
die ſumma iſt Tangems von sur. 3.4 13333284
weiter wie radiu⸗ Eʒ.iur ſeci⸗ * —ã CA,
e 10000000 : 16666628 s3gr. 1.448 3 f
dann ſecans von 48.ifl f170
darzu adoler dic lecans vorfs3 gr.5. 16661458
komp: fecans von 53 #7. 4 Mm. "16666628
| Kin allen Trianglen ſeyn die finus
recti der winchlenauffder bafen proportio⸗
aiert, mit deß Triangels ſeiten · |
AN
BE propor. VYV
—
\
DER AC JUE Gna CD,alfo die feiren BC zu0n fm ER.
‚ Dmeon,
34 P.!.
32.p. rI.
Das acht Buͤck Gtamecx.
Demonſtration.
Mag Ar sch BC ‚auf C, vñ E,siche perpendicular anff AB,
WECD,EFPpIRCD, ———— — der
ſabienſa CH, vmd der hatbe hogen 2 HAft Die menſun deß windels
u, vnd EEE IR in def tninsteis A dann ia € Dax
E G,ond ber halbe bogen EG iſt die menſur deß winckels-A ‚und wie
AC su CB,alfo AE,(fogletch BC)HUREF,T Darsmsb.u.dfe feiten A
Sei ſinu CD.defwindes A wie die ſeiten Cmihem Ina BV
winchels B.
Corollarium.
Hierauf iſt offenbar / waß itieinem Trbamgef
zwr ſeiten hetande /
sd ein winekei der ein en bekandren ſeiten en geſenn / daß pie
vbrigen winckel auch bekande 1% = bekandt die ſeiten
AC vnnd Cs, vnd der win — AC entgegen
gr/esift erwiffen das wie — CD, en
Dagrechrwindler viereck — 35* 35*
ck der mittlen /tdarumb ſo man das echtwinckler **
micuen der ſeiten BC, vnd wide Do
— — der finus ER, derghr in d ——
die menſur wit daruı addier: den winckel B, die 2
fr on dem Lon zrrgen rachten win⸗
en rn ——
——æ—— 18 PER I BETTER:
Frenupd.
Es ſeye — 1m. — er *8 dia 155:
a)
fo ift fee cuũ: D Dear
—— —
11
— — bi 2 F
E77 6363636
iſe fundne finus iſt nit in der — /
nechſt tleineren finum } zn — Arne Re Ihr Bogen
39.91.31. ſo die menſur deß ir)
andren min, :
er ae, re u
FR
0
u — — — wor we weu
Von den Tubulis ſinuinn Tangenttum. &c. zor
ſo —— nechſt arten finu 6367270
den nechſt kleineren | — 6363026
reſtiert der — einer min. ——
weiter ſubtrahjer von dem fundnen om 6363636
den nechft fleineren finum 63 63028
reſtiert — 2m 10
—* ſuch die andren min. affor /
wie 2244.41 60. alfo 610. sn ıE. p;
fo ift der bogen deß ganzen winckels A, 379:41.3 {.18.
darzu addier venbogendefwindelsB, 30 gr.
die ſumma ſubtrahier 69.913 1.18.
vonpnätnfl. 1 ı1 :. Mod.
reſtiert der. bo — ſo —mRRR 110. gr. 24.44.
ſein ſinum ſuch als folgt ae se Se
der ſinus von 116 28 ifl Sau 9387740
darzu addier den finum don 15. 271
die ſamma iſt der finns don 1 10.98.28.44. 7. 9 —2
3" * IV.
Auſß einer rbelandeen ſeicen sis den
drey bekandten wincklen / eines jeden Tri⸗
angels fo nit rechtwincklet / vbrige mo -
feiren inerfahren. u DE
E&$ iſt erwiſſen / dafdiefinus der winrklen fo auff det bafıs pro,
poriioniert ſeyn / wie deß Triangeis feiten/t darumb fo koͤnnen
die vbrigen zwo ſeiten deß Triangels nit verborgen bleiben.
Exempel. | . F |
Es ſey befandr AC, u, vnnd der winckel 3,39. gr 3% 15.
deſſen ſinus E, iſt 63624
vnd der winckel B,30. gr.deſſen finus- ed: Se
und der winckel C, 110 gr. 23. ad deffen finus if. 9368011
hierauf fuch die ef‘ ee 1177, Eee WiCD,
14. de£..d
Ober.
mieco D ‚finus deß winckels 3 zu ER Er Amen,
ga00000 3688. 6365624 —RX
alſo die ſelten C. su ber ſeiten. 80.
11 — ——
weiter wie CD e CD. ſinus deß weinen, Mm ha pw,
4000000 3öst. esor — ED
alſo die ſeiten AC, suder ſeiten AB.
31 20(015=
So aber bekandewere BC,ı die drey winckel wie ben ver⸗
es o ſuch die v
rg we CD D Amdeß winckeis s
* 624 38.0.41.15 Jooscon 35.3.
alfo Die fein BC ‚au der fetten AC,
u“ ma
. WeiElER, r,fnmedihwindden, 1 zu Den i deß wincelec.
| 6363624 3Bar.3L.ıg 18. 936801 uéæas
| alſo die ſeiten BC ‚uber ſeiten an,
zo(a 0Wann
⸗
Von den JJ. 102
————————
ſd ſtehts wie folgt.
wie finus deß winckels is EF, ſau deß winckels ·.
2368011 t1ögt.2g 48. 6367624 — 5zæ
alſo die ſeiten AB, iu der feiten BC, . J
ae —
wmeiter wie finus- deß winckis . CD, — windden,
95a LIEGE JRR
alfo bie ſeiten AB, AB,su ber feiten 4 AC, |
20(1 F a
Sievicfiminage ei ſeicen / zuder
ſelben ſeiten differente / alſo die tangens halber
— weyer ent ſetzten wincklen⸗ u!
Er ne . ” a
J7 Triangel 480, iſt
rangens der halben ſum—
* Der weyen windien A,
nd B, gu ens.differentz og L
fo der ine vber / oder der. ze ae I >
rei end AC ihren. !
wintklen entgegen —5* GC nn MR.
Demonftration, | ,
le he ein Iinien AM darauff ſeeinen wind] MAR, gleich dẽ |
mi AD TriangeigARC, im pnneren A, auff die linien AR,
Eee ij fhrei
OP 1.
du Das acht BücgGeomerriz; .- :
ſchreib Aber einen winekel RAD, aleich dear:winckchn, deß Tri⸗
angels ABC, (wann aber der winckel B, groͤſſer dann ein rechter
fo ſchreib ſeyn Complement zum halben Circkel /) ſo iſt der winckel
MAD, die ſummabeyder wincklen A\ond B, deß Triangels ABC“
vnnd dic halb ſumma iſt DaF, oder AM, vnnd der winckel EAE,
iſt die differenz / deß fo der winckel DAE, (welcher gleich dem win,
ckel B,oder feinem Complement ) ober die helffte DAR , oder der
winckel EAM, (welcher aleich Dem winckel A.) vnder ter helffte
FAM , ſchreib auß A, als Centro den Arcum DFC, vnd ziebe DC,
die iſt Die brand Des ſucaina⸗weyer wincklen / vnnd der finus def
winckels DAE,_ __
iſt DG , ondfinus *' TE | |
deß winckels EAC
iſt CH, vnd Tan
gens halber ſum̃a
der zweyẽ wincklẽ
il FM, oder FK,.
onnd.die Tangens
der.differenz fo on.
der oder ober die
helffte iſt FE, oder
FL ,onnd die. Tri⸗
angel GDP,pıınd. N
HCP, ſeyn gleich⸗ 4
wincklet / dann die
winckel in G, vnd n, ſeyn rechte winckel / vnd der winckel DPG, iſt
gleich dem winckel CpH,tfofeyn die vbrigen GDP, vnnd HCP,
auch gleich / Vnd weil fie gleichwincklet / ſ ſeyn ihre ſeiten propor⸗
-sioniers/ als wie ſinus GD, zu der ſeiten Dr’, alſo der finus HC, zu
der ſeiten CP ‚und im Triangel ABC, iſt wie der ſiuus deß winckels
D, zu der ſeiten ACC ‚alfo der finus deß winckels A, zur ſeiten BC.
Aber GD, iſt finus deß winckels DAE , (ſo gleich dem winckel
B,) vnd HC, iſt ſiaus deß winckels RAC, (ſo gleich dem winckel
A, gemacht /) darumb haben die ſeiten DP, zu PC der beyden Tri⸗
analen GDP, PCH, eben die proportion / als die ſeiten AC. zu der
ſeiten BC, im Triangel ABC, nur angeſeben die gleiche propori
on/ fo iſt DC, an flach der-fumma der veyden gebnen leiten AC, vñ
‚CB, deß Triangels ABC, das iſt wie AC, zu CB, der cinen / alſo
DP, zu PC, der andren / vnd NP iſt Die dhffteenz der zweyen feiren
DP, PC, welche anſtadt der ſeiten AC, vnnd GB, ſeyn/ a ha
Don den Taabulis finuum Tangentium.Xc. 103 235
helffte der dıfferenzift OP, vñ werden gmacht die Triangel AKL,
FEM, vnd ADNOPC welche auch gleichwincklet feyn / angefehen
die parallelen DC, vnd KM, derwegen ſeyn auch die ſeiten mit jhrẽ
ſtucken proportioniert / F als wie DC, die ſumma der zwo ſeiten / 32 p 1.
Ju NP, der differenz derſelben /alſo KM, dopplete Tangent der hal⸗
ben ſumma der zweyen wincklen / zu LE, doppleter Tangent der
differenz fo vber oder vnder das halbe.
Oder.
Wie OcC, die halbe ſumma der zweyen ſelten / zu OP, jhren hal⸗
ben differenz/alfo FM, Tangens halber ſumma der zween entgegk
eſetzten wincklen / zu RE, Tangens differenz-fo vber oder under die
Iffre..
— Oder.
Wied C fümma der zwo ſeiten / zu NP differentz der ſelben / alſo
FM Tangens der helffte der zwẽ entgegen geſetzten wincklen / zu FF.
Tangens dıfferentz, vber oder vnder der helffte / als die gantzen u:
den gantzen vnd die theil zu den theilen / darumb
Wie die gantz KM,ju der gantzen LE, alſo die helffte EM, zu der
helffte FE.
Corollarium: |
Hierauß iſt offenb ar / wann zwo ſeiten bekandt / ſampt dem win
ckel welchen fie beſchlieſſen / daß auch die vbrigen winckel deß Trian⸗
gels bekan dt werden.
Erempel-
Am Triangel ABC, iſt bekandt die feiren C A,ızund CB, 8. vnd
der winckel C welchen fen begriffen if 35. hieran fisch Die vbrigen
winckel wie polgt: ee
derbefandeenfilenAC, —. 12
ddier Die befandten ftiren. CB, , sg
Die Summa behalt / ‚20
Eee Hi Weiter
Das acht Buch Geomerriz,
Rechter ſubtrahier vonder bekandten ſeiten AC, 12
Die bekandt ſeiten CB, 3
Den Reſt behalt auch / |
Vnud ſubtrahier von dem hafben Circkel / 185
Den befanden winkel, | 30
Den Reſt halbieeeeeeee v 156
Auß diſem halben theil / 75
Die Tangensift/ | 37320508
Weiter wie DC die ſumma beyder ſeiten / zu NP differenez derſelbẽ /
20 4
Alſo die Tangens FM der halbẽ ſum̃a der zween vnbetãdtẽ winclkle /
RL 37320508
Zu Tangens FE der differentz ber winckel als 5 vberond A under
7464108 |
en taten theil / diß gibt in der Taffel ein bogen von 38.44 welcher
zeklein /
Darumb ſubtrahier vom nechſt groͤſſer Tangens 7467314
Die nechfl fleinere Tangens | 7462324
Reſtiert Tangens einer min. | .4530
Weiter fubrrahier vonder fundnen Tangens 97464101
Die nechſt fleinere Tangens “9462824
Reſtiert EN 1277
Dife werden die andern min. offenbaren
Wie 4730 u 65 alſo 1277.38 17. diſe addier gu den fundnen 32.
44. ſo kompt die differentz 38.44 17. vmb ſovil iſt B , v er Die hal⸗
be ſumma 77. beyder winckien / vnd A darunder /
Deſſentwegen addier zu der halben ſumma beyder wincklen 7%
Die dıfferentz 38.48.19.
Die ſumma iſt der wincfel B 17f.44.19.
8 Weiter
Von den Tabulis ſiunm Tangent, & c. 204
Weiter ſubtrahier von der halben ſumma 7%
Diediffreumz 36-44.17-
Der Reſt iſt der winckel A 38.18.43.
| VL | |
Wann auß dem wincfeleines Tri⸗
angels auß welchem das perpendicular felt / mit
Der weite einer ſeiten ein Circkel gelchriben wird / fo ſchneidt
der ſelbigen von den zwo andern ſeiten proportionierte cheil /
gegen der ſeiten darauff das perpendicular felt /
vnd der ar eyen
| fetten.
feye der Triangel ABC ‚ auß
demminckela.als&enero/ mit
der weite Ac ‚ichreib ein Circkel CD
EF der ſchneid die ſeiten AB, vnnd A
C, zeſammen in E, vnd CB in F, ꝓto-
ꝓortioniext.
Demonftration,
Verleng BA in D, ſo wird AD,
gleich ——— dem p
differen⸗ der ſelben zwo ſeiten / ( dann AE iſt gleich A C)iu BR
ſchnidt der exſten auff welche das perpendicuiar feit.
Corollarium.
Hierauß iſt offenbar / ſo die drey ſeiten eines Triangels bekande
—* die * eher — — uden wer⸗
den >
Be Exempel.
Es ſeyen bekande all drey fetten AB 2OBC,21.0nd Ac, —
Das acht Buck Geometrizx;
Triangel AB C, vnd dag perpendicular falt auff die lengſte feiten /
ak ort zu finden, fo addier / vnd ſubtrahier die zwo kürtzeſten ſei⸗
ten / als
su der ſeiten AB, | . 20
addier Die fetten AC, 13
die ſumma BD, behalt 33
von der fetten AB... - 20 °
ſubtrahier die feiten AG» 13
reſtiert BE, diferenz | g
pud wie die ſeiten BC,3u BD ‚der ſumma der. io ſeiten / alſo Derfd,
ar 33
differenz BE, jumfchnide BF, F
7 X
von der gantzen BC, — 21
fubtrahter. BF, ee: dl
reſtiert FC, Be 10
das halb iſt CG,oder Gr, ee
darzu addier-FB, 11
kompt für BG, | 16
darauß fisch die winckel als folgt /
| wie BG, 11 BA, alfo radıus BG, MI fecanı BA, beß winckels B,
16 20 10000060 12500000 zagi.ıt
weiter wie C G,5u C A ,alforadı9 CG ‚zu ſecãt C A,deß winckels C,
mu nn ame
13 "10000000 26000000 65.22.48.
beyder fumma 104.415.
ſubtrahier vom halben Circkel 185 4
reſtiert der winckel A 7rak.ı
Wan
Von den Tebulisfeurum Tangentium.&c. 205
x u . TR „VIE ” | | .
Dan auß einem winckel eines Tri⸗
angels / auf welchem das perpendicular außert
Bi . Triangels felt/mit der weite einer feiten ein Eirs .
ceel geſchriben wire, fo ſchneidt derſelbige von einer ſeiten
ein theil fo proporuoniert zu der verlengten das
rauff das perpendicular felt / wie biefeite an ,
ſert dep Circkels / zu der ſamma der aa.
dren zwo ſeiten.
Es ſeye wider ein Triangel ABC;
Lauß dem winckel A, als Centrum
mit der weite der ſeiten AC, ſchreib ei⸗
nen Circkel FDEC, der ſchneidt von
Ber ſeiten AB,das ſtuck EB, welches
pꝓropor tioniert iſt mit der verlengten
RC,alfo mit BF, auff welche dag per»
endicular AG felt / wie die feiten BC
o außerdem Circkel / su der fuma der
andren zwo ſeiten als zu BD.
Demonflratiom | 7
- Auf dem puncten z, gehen zwo gradelinien BD ‚und BE ‚welche
Ben Circkel ſchneiden / darumb fenn ſie verkehrt proporwoniere , + 66.P.T.
als wie BC zu der ſumma BD,beyder.fenten BA, vnd AC, alfo der
Iben.diferenz BE Ju. BF ſo die ſetten BC, verlengt in F, als einer
— auff welches verlengte theil in die mitte daß perpendicular
4
14
Corollarium. |
Hierauf ift offenbar / daß auf den drey befandren feiten / die
winckel funden werden/obgleich das perpendicular außert deß Tri⸗
angels felt.ıc. |
Exempel.
Es ſeyen bekandt alle drey ſeiten AB,20 DC, 11. CA, 13. im Trio
u ff angel
, vñ das perpendicular fele au
a u Mac
su der ſeiten AB, 20
addier die feiten AC, 13
die ſumma BD ‚behaif | 33*
von der ſeiten AB, 20:
ſubtrahier die feiten AC, | 135°
veftiert EB, däßferenz.
wie die firen.nc ‚udenfaiban Dia bie dißferens ’EBSM BF, J
uk 35: 7 ar.
rauff — perpendicular felt.
von BF, ar
ſubtrahier 0, 11.
reſtiert CF,. i LO
diß halb iſt G, oder Gr,
darzu addier BC, X
kompt 16
Sara —— idee winckel
wie BG HEB A:alfüradins BG; tur Sand B A} —XX —A
A 20» 10800000 : 12500000 ? 33.42.11 j2.1%
vñ wie ——— ſecis CA. beß windels GCA
1% 10000000" 26000090 67.22.4$
diß ——— 180
reſtiert der winckel ACB, 11235313.
darzu addier den winckel u 35.52. 15. |
die ſumma ſubtrahter 148.24.25.
vom halben Circkel. 180
ſo reſtiert für den wincel BAC, 36 36353.
A—
Von den Tabulis ſnuum Tangenium,&c. 206
vii u:
Wie die Horißontaliſchen winckel
Bufinden / mit onnd ohne Inſten⸗ |
8
——
—8 riche die Inftrument nach dem Horizont / vnnd nach den
anderen wincklen deß Triangels / ſo wird der winckel ſo die li⸗
nien (oder das gſicht ) mit cin — En auch bekandt.
rempel.
Im Triangel ABD, wird be ehrt der winckel BAD, nimb das
Inf
J Das acht Buͤch Gheometrix;
Inſtrument / das fen auff den ſtab T A nach dem Horiont / vñ rich⸗
te Die Regel AM nach B. vnd Die Regel AN naher D, wann man a⸗
ber D nie ſchen kan / ſo nimb perpendiular darüber ein · atmeräf alg
C, mit hilff dem hoben abſehen in N, ſo gibt die weite zwüſchen so,
vnd 90. der finus linien / auff der ſubtenſa der langen Regel die an⸗
zahl der begehrten ar ad / welche der bogen ſo deß begehrten winckels
menſur iſt: Zum Exempel / ich right mein geſicht von Anadı B, vñ
vber den andren ſchenckel naher C , mit hilff deß hohen abſehens in
N, fo ſteht Die Regel AN ‚naher D, ſchieb die lang Regei zwüſchen
90. vnd 50.20nM tn N, fe. ſchneidts auff den gradın / def halben
Circkels welche auff die lang Regel ſeyn gerragın 27.97.46 m. 35.
für die groͤſſer deß winckels MAN, oder BAD, gleich vil kompt auch
wann man die Regel MZz, wüſchen 30: vnnd 30 der finus linen
ſchieben che / fo ſchneidt auff der finus linten der Reg MZ 1%
53. 18 diſe zahl duplier / kompt 25 4 34 wie eben.
Wann aber der winckel ADB ‚begehrt wirt / vnnd einer befunde
fi in der höhe in Diſo richt man mit bil deß hoben abfehene FC,.
die ſchenckels deß Inſtruments naher A,ond B. doch daß die ſchen⸗
ckel nach dem Horijzont ſtanden / im vbrigen wie oben.
Durch das quadrant.
Wirt aber begehrt der winckel ABD, den wil man mit den qua⸗
dranten nemmen / ſo ſtelle die — ſcheiben nach dem Hori⸗
sont in B, vnd wo die zahlen anfangen als V;, richt naher A, nach di⸗
ſem laß die Snorigonraf ſcheiben gang vnverruckt / vnnd richte den
quadrant nach D, ſo der puncten D, vnſichtbar ſo nimb ten pun⸗
eten C darnach richt den quadrant mic hilff der afiche Regel HL.
vnd hab acht wo der quadrant die Horizontal ſcheiben ſchneidt / wel⸗
ches geſchicht in K, ſo iſt der bogen VE, welcher auch 2544.30. iſt
¶( dieweil AD, gleich DB, ) weiches Die menſur Def winckeis ARD.
Ohne Infrument-
Es wirt begehrt der windelBAD, ſo miß in grader finden Yon
A, gegen B, und gegen D ‚etliche anzahl Ruͤten ober ſchuͤch / als bier
100 von A, in . vnd 100 von A in E,danı miß ER, vnnd finden
48 das halbier gibt 24. für jede helffte FG, oder GE. vnnd ſuch den
winckel alſo /
ie
Von den Fabulis ſimum Tamentium. Xe. 207
"Wie AF iu FG, alſo radius Ap, zu ſinu EG, deß winckels * AS
100 24. 1000000 2408000: 15.55. 18.
ER Ya um EEE
diſe funbnen winckel duplier / ſo kompt der winckel FAE,2746:3&
vnd alſo moͤgen alle ander winckel funden werden.
Nora, magmanaber AR nit gleich nem̃en AB, ſo ſchneid ab ein
Triangel gegen dem winctel A, nach gefallen / vnd miß ſeine drey
ſeitẽ / darauß ſuch die. winckel durch die ein. oder Die ander der nechſt
forgehenden.
IX;
Don dert perpendichlarifeßet win⸗
cllen / —
den ſeyen ·
EL Inſtrument parrium heyckt man ſenckelrecht an einen ſtab /
vnd thut es auf in rechtẽ winckel / vnd richt den einen ſchenckel
‚nad dem oberen winckel der gitaltıdas der bleyſenckel den andren
ſchenckel ſchneiden moͤge / das iſt wann man nach ſtehet cas die pers
dendicutar mehr iſt weder die ' afıs / dann fo wend die ſchenckel von
Dir / warn die baſis aber mehniſt ſo wend die ſchenckel gegen Dir)
wie es einem in der practica an die hand geben wire! fa ſchneid der
fenckel auff dẽ ſchenckel deß Inſtruments Die menſur deß winckels.
Exempel.
Es werden begebrt die winckel BEC, und BCE, im Triangel.B
Er,fo thu das Inſtrument partium auff gu rechtemn winckel / vnnd
hencks an einen ſtab in F, vnd wend die ſchenckel ron dir / vnd richt
den ſchenckel FL, nach C, mit hilff der abſehen / ſo ſchneidt der bley⸗
ſenckel LM, den andren ſchenckel in K, ſo gibt die grande FK ‚Die sahl
deß bogens fo die menfur: de winckels FE.K, fo gleich dem winckel
: FCB,angefeher. die parallelen-C B vnnd LK, auff welche felt die li⸗
nien PC, vnd die winkel gedachter maflen gleich macht / Talsje- TI-P-L-
den 28.34.12 fo ıfl das Complement als der windfel CFB,63.25.&
angefeben den rechten in B,
Werden aber begehrt die winckel deß Trlangele ABC, ſo henck
| ff nj „das
—8
Das at Bach Geometrie, -
————— — dein —— — — *222 — —— nn — — 2
—
— u _— mu un. m ER 4 ZA a zu a nn m. BE
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das Inſtrument partium zu vechtem · winckel an ein ſtab in a, vnd
wend die ſchenckel gegen dir / weil die baſis A B, mehr iſt dann das
perpendicular C, vnnd ‚richt mie hiiff der abfehen den ſchenckei
G A, naher dem winckel C, fo ſchneide der bleyſenckel D.P, den ſche⸗
ckel GA, in G, vnd G A, iſt an ſtach deß bogens ſo deß winckels GD
A, ſem menfur ſeyn wirt / als namlich 26.25. 56. vnd iſt gleich dem
winckel BAC danun DG, vnd CB, feyn parallelen / datauff falt die
Iinien C G, vnd macht den winckel CGD ‚gleich bein winkel ACB,
fo jeder 58.3 2. 4. dann fie ſeyn Complement der winckel GDA,OBET
CAD ,angefehen die rechten winckei GAD BAD ABC.
Durch das quadrant.
Dei dein quadramı aber / ſtell die Horizontal ſcheiben jeder sehe
ee 7 0e
\
Yon den Tabulis Gnuum Tangentism.&Xc. 208
nach dem Horizont / ſo wire das quabrant perpenäicular d
— ae le
au @ Fate: x r
gehen cis menlürfepn wirt,. .
Eyempel.
E werden begehrt die winckel deß Triangels BCE, ſo fh die
Horonrai ſtheiben mie dem quadrant in E,ond ſtell jhn gang chen
End richte die geſicht Regel naher C; ‚fozeigt der bogen IH , auff €
AuadrantIEN, alsbald das map deß winckels CEB, welches 4%.
18.2%. fo ift-fein Complemenr ECB, 47.43.33: dann der winckel
EBC iſt ein rechter winckel. EEE
Ing cher geſtale werden alle audere winckel aller ber Trlangel
fündensfo perpendicular auff einer Horizontaliſcher flacht ſtehen.
—
—
Auff ein gegebne grade linien / ;
einen winckel zeſchreiben der ein be⸗
gebrie vahl rin —
S feye die nien’ AB; = —
darauff wil ich in B, ei⸗ a |
nen winckel machen von:
43. onnd in A; einen von:
5.3 5. wiedifesdurch dag.
nftrumengum'parsium/ °
und fonft su verzichten. fol!
durch das folgend’ Exem⸗ E
pel ertlert werden.
Exempel.
AußB, reiß mir einen Circkel einen Circkelbogen O G, unndfek
BO, von co. in 60o. auff der linien fubtenſa rum deß Inſtrumenti par
tum) vnd bepaledas Inſtrument vnverruckt / vnnd nimb — |
a
en rn Das acht Bi Grcomerriz. Fr
dachter linien Die. meite zwüſchen a vnd 44. Die ſetz auff ben bo
von O, in E,Pnd.ziehe .auß B, durch F, ein grade linien BEC ‚fot
der winkel ABC, nad) begehren geriſſen / Die weil der bogen QE,
fo fein. menlur 44. helt.
Anderſt
Auff die linien AB, leg den quadrant von horn daß fein Com
trum in A, komme / vnd ſein ſeit AF, auff Aß, vnd zehl von Ag,al
—auß FR in H, die vorhabenden 56 zõ. da mad das gmerck H,Onnd
iehe auß Adurch H, ein grade linien AHC ‚fo iſt der winckel BAC,
Der begehrte / dañ der. bogen FH, welcher fein menſur der iſt 6. 34
J xl
Auſ belandtem radio die ſi⸗
nus vnd jhꝛe Complementdurch die
Inſtrument zufinden ˖
ſeye bekandt AB der radius / welcher iſt 100. darauß xirde
a Der ſiaus ven 45.91, vnnd fein Complemey. .-
Durch die Cuckel leiter · Co
mb 100. gleicher theil
awüſchen 90. vnd 90. mir der lan, F
gen Regel / vnnd halt das Inſtru⸗
ment vnverruckt / ſo gibt die weite
awüſchen 40. vnd go.auff der lan⸗
gen Regel 63(3. gleiche cheil / fiir
den ſinum DE, von 40. ar. vnnd |
zwüſchen so vnd 50. gibt auff der A
langen Regel 676 gleicher theil
für fiaus-Complement FD, von —
40. gr. oder finus rectus võ 50. gr.
a
Durch den quadrant.
Richt die aeſichtregel auff 40. gr. und ruck Die perpendicalar
Kegel an der baſis hin vnd wider bihfie die 100. an der si read
chneide
Von den Tabulis ſinuum Tangentium,&c. 209
ſchneide / ſo ſchneidts auffder perpendicular regel für finum rectum
& 6. vnd an der baſis 70.(0 für Anns Complement wir oben.
: XI
radium vnd Die andern finus |
zeſinden ·
Durch die Circkel leiter.
ſeye bekande der rechte finus DF von zo. gr. welcher iſt 76(6.
‘Darauf begehrt man zeſuchen den radium Añ, vnnd ein ſinus D’
B von 40. gr. mit der lang regel gleicher cheilen nimb die weise zwü⸗
fchen 50. ond so. auff en ſinum, vnnd laß das Inſtrument vnver⸗
ruckt / ſo gibts zwüſchen 90 und 0. den radium Too. vnnd zwiſchen
40. vnd 40. den ſinum DE 64[s.
Durch den Quadraut.
Richt Die geſicht Regel auff 5o. vnd ruck die perpendienlar regel
an der baßs hin vnd wider biß der bekandt finus * die geſicht re⸗
ge ſchneidt / ſo zeigt Die geficht regel vom Centro biß an. Das perpen⸗
dicular ‚den radium 100. vnd an der baſis :64(3 fürden finumton
40 gr. —
J XIII |
Außbefandeem radio, die fub tens.
u ſam zefindeneines vorhabenden
bogens. J
Durch die Circkel leiter.
48 ‚Es
Das acht Bäch Geometriz,
ES fey bekandt der radius AB fo
„100. darauß wirdt begehrte Die
fubtenla von 40. gr. Nimb 100 mit
den gleichen theilen der lang regel
zwüſchen 30.0nd zo.darnach nımb
die helffte von 40 iſt 25-10 gibt die
weite 20. vnd 20 auff der lang regel
« Die ſubtenſa BD 68(+ gleicher theil _
fo 40. gr. ondergogcn. '
Durch den quadrant.
Nicht die gefiche regel auff 40
gr. und nimb swällchen 100 vñ 100. EEE
—— regel vnnd der bais die weite / bie gibe die begehrte ſab⸗
te
XIIII.
Auß belandter ſubtenſa / den
radium ʒefinden.
Eestf befandt. BD 63(4 welches die ſubtenſa von 40. gr. die nimb
mit der lang vegel zwüſchen 20 vnnd 20. als der nefte von 40.
nad) dem nimb die weite zwüſchen zo und zo gibt 100. gieicher theu
für radium AB . 5
Durch den quadrant.
Michr die gefichuregel auff 49: ge. vnnd nimb die weite der ſub⸗
venig BD 684 wiſchen bafis vñ der geficht Regel / die falt auff 100
darumb iffradius AB, 100. XV
Yußbefandter lubtenſa eines bo-
gens/deflelben inum redtum, vnd verfum
| Mm finden. Dur ch
—
Von den Tabulis ſinuum Tangentium. &c. 210
Durch die Circkel leiter.
nt bekandt fubtena ſeye BD : - -
68 («von 40 gr. diſe 40. gr.
halbier iſt 20. die —** von
30 reſtiert 70 darnach ſo uimb die
{ubtenfam BD 68 (+ zwliſchen 90
vnd 90. fo iſt die weite zwüſchen
70 vnd 70 der rechte ſinus DE 64
(3 gleicher. cheil / welcher ein finus
Son 40. gr. den felben richt zwü⸗
ſchen 40 unnd 40. vnnd nimb bie -
gleichen cheil zwüſchen so vnd Ta.
welche 76(5 fo der ſinus Comple⸗
ment von jo gr. die fubrrahter #5
radio AB 100. fo reſtiert EB 23
(+ der finus verfus von 40 gr.
Durch den quadr
Richt die geſicht regel auff go. gr. vnd Faß mit aͤnem Circkel die
fenae der ͤdeenie fo 68 ( +.die feg von der baſis gu der gficht regel
erifft die 100 vnd soo. daran ſchieb die perpendicular regel’ fe
fchneidts auff der felben 6463 für finumrecium,von der ſelben biß zu
end deß quadranıs gibts 23 (+ für den ſinum verſum EB von 40.81.
XVI.
Auß gebnem radio/ die Tangens e
vnd ſecans er gebnen bogens
nden-
Durch die Circkel leiter.
DE bekandt radius iſt AB 100 Es wird hegehre die Tangens
undfecans ron 40 gr. die 100. nimb mit der langen regel glel-
chen theilen zwüſchen so und Fo. ale Complement von 40. vñ nim̃
Die weite zwuſchen 40 vnd 40. welches 83 (sfür Die Tangens B G
GG # vn
. Das act Bach Geometriz,
yon 40 ar. Ind die weite swllfcden Jo vnnd ao. iſti zo (+ für die le⸗
cans AG VON 40 gr. I ,
Durch den quadraut.
Richt Die geſecht regel auff 40. gr. vnnd ſchieb Die perpendicm
lar —— — au — radium, fo ſchneidt die geſicht
regel vnd perpendicular ein ander / als auff dem perpendieular 83
(sfür Tangens BG, vnd auff der geſicht regel 130(; für ſecans AG.
XVII.
Auß gebnem ſinu verſe o eines bo⸗
tgens / deſſelben finum rectum vnd die
ſubtenſam yefinden-
Durch die Circkel leiter.
es ſeye der gegeben finus vers ara
{ns EB 23X+ von 40. ar. den’
halbier il zo. gr. vnd richt 23 (+
greüfchen 20 vnd 20. weiter ſu
trahter 20 vor so. refliert 70: ſo
gibt Die. weite zwüſchen 7o vnnd
‚90 finus rectus DE von 40 gr.
fo 64.($ gleicher theil iſt / vnnd die
weite swlülfchen o vnd so iſt die
fubtenfabD 6ꝰ ( dergedachten
40 gr.
Daurch den quadranten.
Zehl vem omBfreiß gegen dem Centro auff der bafis die bekand⸗
um 23(4. daran ſchieb die perpendicular regel / vnd richt die gefiche
regel auff 40 gr welche von der perpendicularregel ſchneidt 64 (3
für den ſinum rectum DE „die weite zwüſchen diſem ſchnidt vnnd
radius gibt 68(4 für Die ſubtenſa DB von 40 gr.
auß
enden Tabulis inuum Tangent,&c, 2ix
XVII. |
Auß gebner ſubtenſa eines bo
gens / deſſelben Tangens vnnd
ſecans ʒzefinden
Diuch die Circkel leiter.
AR geben fubrenfa ſeye DB 68 (+ von 40 gr. darauß füch die
Tangens,nimb halben bogen: B D-fo zo.die fubrrahler von 90;
refttere 70. vnd nimb mir dem gleichen eheil der langen regel Diebe
fandte DB63 ( + wuſchen fe und ro. Complement von 40 gr. ſo
iſt Die werte zwuſchen 70 und 70.die Tangens BG 83 (» von 40 gr.
weiser nimb die weite 20 Und 20.0 30(+ für DG ‚die addier zu radio
usAD 100 ſo kompt 130(5 für fecans AG von 40 gr.
Durch den quabranten,
Richt die geſicht regel auff 40 ar. vnnd nimb mir einem Circkel
63( gleicher theil / die fetz von der geſi t regel auff die bafıs in zwo
gleicht zahlen / trifft 100 vnd 100. auff diſe zahl der bafis ſchieb Die
p̃erpendicular regel die ſchneidt ſich von der gſicht regel in 83 (⸗Afür
Tangens. B G, vnd ſchneid die geſicht regel in 130(5 flir ſecans AG.
XIX. |
Auß gebner Tangens,ven radi-.
um vnd [ecanten Zefinden.
Durch die Circkel leiter.
DI geben Tangens feye BG 83 (o von go gr. daranp fuchradis
um pi fecanıE die meite 83 (snimb zwüſchen go vñ go mitder
lang regel / Vnd laß das Inſtrument vnverruckt / vnd nimb mit gen
dachter regel der gleichen cheilen zwüſchen go und 50. welche iſt 100
für den radium AB ‚etſtlich nimb die weite zwüſchen 90 vnnd 90.
kompt 130 ( s gleicher iheil für Die fecans AG von 40 gr.
vs Gas iij Durch
\
Das acht Vͤch Geometriz, : .
Durch den quadrant.
Richt die gficht auff 40 gr. vñ
ſchieb die perpendicular regel hin
vnnd wider biß die bekandt zahl
83 (svon ber geſicht regel ge⸗
ſchnitten wird / ſo ſchneidt die per,
pendicular regel von der baſen
100. für den radium AB vnd von
der geſicht regel 130(5 für fecans
—
XX.
Auß drey befanneeniwincklen / vnd
einer ſeiten / die vbrigen ſeiten eines jeden
rechtwinckleten Triangels yefinden-
&S feye der Triangel A
BC ‚tft der windelin
ein rechter / vnd der winckel
A35 vnd der winckel O sy.
vnd die ſeiten AB iſt 10. wel
che dem winckel C vnderzo⸗
gen iſt / darumb fo nimb 10
der gleichen theilen der lan⸗
gen regel zwliſchen 55. vnd
75. vnd laß das Inſtrumẽt
vnverruckt / fo gibe es zwü⸗
ſchen 35. vnnd 3 5. der alei⸗
chen theil 7. auff der lang
regel fir BC , vnd Die weite
swlifhen 90 vnnd gogibe 12 (» fir die feiten aC, Gleicher gſtalt
wird mir allen rechtwinckleten Triangien practiciere:da man Die
C
E A
erſt
Von den Tabulis ſinuum Tangentium. &c. 212
erſt und dritte zahl auff der ſinus linien nimpt / vnd die ander vnnd
vierte zahl auff den gleichen theilen der. Langen regel.
Durch den quadrant.
Die perpendicular regel ruck an der bafıs auff die bekandte zahl
10, vnd die geſicht regel auff den 35 gr. fo ſchneidt fie von der per
pendicular regel 7 für BC, vnd wird von der ſelben geſchnitten in
aæ (2 für AC. | |
XXI
Auß den bekandten wincklen vnd
einer ſeiten / die vbrigen ſeiten ei⸗
nes jeden Triangels ſo nit rechte
wincklet zufinden.
Durch die Circkelleiter.
M Triangel ABC, |
ſeyn mir befandr die
winckel A, jo.36. vnnd B,
43 wie auch C,8%.35.0nd
Die ſeiten AB,ı2. welche dẽ
winckel C iſt vnderzogen /
darumb ſprich von 8% 3.
fommen ı2. was kompt
von 74. 36. Oder von4f.
als mit der langen Regel | | |
nimb mic den gleicher eheifen 12. die weite zwüſchen 85.36. vnnd
82.30. onndlaß das Inſtrument vnverruckt / onnd nimb micden
en theilen die weite zwüſchen 16.36 vnnd 55.30. finden 965.
ir
— weiter nimb die weite zwüſchen 44. vnd 44 kompt 8604. für
AC.
Durch den quadrant,
Ziehe ein Iinien AB ‚die heil in 12. aleiche theil / weil die bekandt
linien 12. iſt / in A, ſchreib ein winckel FAC, gleich dem winckel *
o
to.p.d.
Das acht Buch Cheometriz,
fo 53.30. vnnd in B, auff AB ‚einen winckel O RE, gleich dem win⸗
ckel8,1042.1 an beyde / die ſchneiden ein andern in:c,faß BC
mit einem Circkel / diſe weite find ich mit der theilten linien AB, dad
fie 96. iſt / vnd AC, B(4. | |
XXL.
Auſz den belandten wincklen zwey⸗
er Trianglen / vnd einer bekandten ſeiten
deß einen / die vbrigen ſeiten zuſtnden / wann
bepyde — eine hoͤhe
en.
Durch die Circkelleiter.
ES fen die
ween befans
sen Triangel A
BC,CBD ‚die
haben ein höhe
als AB, vnd hab
im Triangel A
BC, bekandt dẽ
rechten winckel
in A, vnnd den
winckel ACB,
3 %.fo iſt ſein CO
plementABC,
- 5% unndim Triangel CBD SR mir befandr der winckel ADB, 2£.
34. deffen Complement zum quadrant iſt Der gang winckel ABD,
welcher iſt 63.2&/ darvon fubrrabier den winckel ABC 52. fore-
fliere der winckel CBD ,8.28.daranß ſuch die fetten wie felgt / wañ
mir auch ein feiren deß einen Triangels bekandt tflrals hier CD,
welche 4. iſt / die nimb mie dir langen Regel gleicher cheilen zwüſchẽ
8 28 vnd 3 28. vnd laß dag Inſtrument vnverruckt / vnd nimb mit
den gleichen theilen, die weite zwüſchen 3%. vnnd 3%. Complement
deß winckels BCD, ſo kompt mir BD, 15(6060. vnd die weite jrofifchen
25 34 vnd 25. 34 deß winckels CDB, gibt mir 1202. für BC.
eh
Von den Tabulis finuum Tangentium.&c. 213
eh hab ich im Triangel ABC, auch ein ſeiten befande ale BC,
12(3. welche dem rechten re erh gr Ahnung nimms
mit den gleichen cheilen Der langen regel 12(2 slifchen 90. und 90.
fo gibe die weite ss. vnd ss. die Teen AC, 1o.ond die weite 35. dñ
35. gibt diefetten AB, 7.
nd alfo mir allen andren / nimb jeder zeit der bekandten Linien
jhrer zahl auffder langen regel zwüſchen Den zahlen auff der finus
linten/welche gleich Dem winkel welchen dic befande linien iſt ons
derzogen / ſo gie ein andre sahl fo gleich einem andren winckel / wi
der auff per langen regel deffelbigen winckels vnder zogne.
Fan Durch den quadrant ·
Im Triangel ABD, iſt bekandt ber winckel 4a08, 25 34. def
fen Complemen: iſt der winckel ABD,63.24 deſſen Tangens iſt E
G, vnd im Triangel ABC, iſt der winckel ACB, 385. deſſen Com-
lement iſt der winckel ABC, 55. die gibt die Tangens EF, die zie⸗
* vonder Tangens EG, ſo reſtiert Tangens differenz FG, ſtell die
erpendicular regel zu end deß quadranten auff Die Horizontal
heben‘ vnd richt die defiche regel auff den sy vnnd merck wo ſie
Die perpendicutarregelfchneide / darnach richt fie auff den 63 26.
vnð fich wider wo fie die perpendicularregel ſchneide / vnd heil die
perpendicular regel zwůſchen den fchnidten in fo vil gleicher theil /
als die befandelinten CD, iſt / als hier in 4. mir difen fan man ae
pbrigecheilfinden. |
Sum Exempel.
Es weredas quadrant HBE,die perpendicularregelwere EG, '
die wıre geſchnitten von der aeſicht regel in F, vnd in G,fotheil FG -
in 4. gleiche theil / derſelben iſt FE, 10. fo ſchließ ich das CA, 10,
feye / dieweil CD, 4. iſt / vnd EB, iſt der kleinen theil 7. darumb iſt - -
B,auch7 vnd alſo mit den andren / dann wie GF, zu FE, alſo DC,
su CA, vnnd wie GF, zu EB, alſo DC zu AB, dann die ſeiten EG,
viid AD, ſeyn parallelen / vnd die winckel in B ſeyn gmein / deßwe⸗
en ſeyn die kleinen vnnd groſſen Triangel gleichwincklet / vnnd die
eiten proportioniert. u Da DE
Ende deß achten Büchs
Hhh CGeome-
8.28.
Geometrix, Theoric® &
bracticæ.
Das neundte Buch.
Von meſſung der vnbegenglichen
ſichtbaren graden linien / das iſt / wie alle weis
ten / breiten / hoͤhen / vnd dieffen zu meſſen ſeyen /
— nut vnud — vnn⸗
Erſtlich von ber weite oder lenge.
Von einer gebnen weite / ein vᷣn⸗
begengliche weite zmeſſen.
e geben weite AB ſey zo durauß fol acC vnd BC funden wer⸗
mn oıfeegu verzichrenufe oberer Di wingel / Ffo wird fun⸗
den für den winckel A, 95. und der winckel B;63.3&.%. ſo iſt der v⸗
brige winckel C, 23.3 8. y darauß ſuch AC; vnd BC.wie volgt:
Wie AB radlus, jn AC Tangens deß winckels B,
"10000000. 20000000 65.268.
Aſo die bekandt weite BAyzu der weite AC;
30: 727
Weiter
Die BA radius, jzu BC ſecansdeß winckels B,
roococo 22369504 - 626.h
Alfo dic bekandt weite BA ‚su der weite BC,
| „o 67608
Ohne
Auß den befanbien — ſelten deß Tri⸗
angels Ab C, ſuch Die vbrigen zwo ſeiten 4c, vnd BC, auff dem In
ſtrument pariium, oder. auff dem quadrant durchdie 20 y. 8.
Ein anders Exempel.
Ohne Inſtrument allein mit vier, ſtaͤben
Es wirt wider begehrt die weice AC vnd BC. zeſuchen / diß zu ver:
richten / ſo ſteck mit vier ſtaͤben ein parallelagrammumaßälg ADE! 7.3
F,pnd gang auff der graden DA jurucin.B . daß bir. das.geiiähr. ——
mit den ſtaͤben DA, vnd mit EC, in gradeliienfamme / darnach
miß BD,DE,ond BA, ſind für BD 8. vnd DE I& vnnd AB 30
rauß ſo ſuch deß Triangels ABC mn - AG, u
32.
823.
— Das nieundt Vuch Ceometr iæe,
durch die regel Der proportion,bieweilbender Triangel ABC , DB
5 een ſeyn / angeſehen die parallelen DE A
eiten AC,+ im Triangel ABC, darumb
BD, DE alſo BA U AC-
— —— — 3 ve %
ss 16 32 60 |
Weiter. =“
sc
® 1708 30 67lus
Ohne Rechnung: - |
Thell BD tu zogleicher hell’, mir der felben cheilen mif DE,
End BE ‚find für DE 6o.undfür BE 67 (10. barauf (fie ih d4
AC oi / vnd BC 67 (1os-
IL |
Ein weite mit dreyen Scenden
zumeſſen.
Wann man von einem Stand zum andren
nit gehen kan / ſo muß der dritte Stand
erweit werden.
ES were u meßen DA ‚manfan aber in a nirfehen/bann allein
auß D end auß C oder auß B,aber DB fan wegen hindernuß
deß waſſers vnd der gleichen nie gemeffen werden / darumb fo mu
man drey ſtend nem̃en als D. C. vnd E,und obferbier Die weindel‘ A
DB vnd ADC tm fland D, vnd im ſtand c , obfervier den winckel
DCA, vnd dem winckel ADB mach gleich den BCE ‚das geſchich
warn man auff der verlengten DB cın perfon laßt hin vnnd wider
gehen hiß in Erdaß ECB ein gleichen winckel mache BDA „ fo finde
man für den wincfel BDC. 16. gr. 2. vnd derwindel ACE ( weh
cher gleich dem winckel ADBJIRE BF Sr. zo0 zudem addler = —
Dos
- — — — — — —
+ Don meflen der weiten.
Ih
HROOINLLLNNN
il
ckel DCB 47. gr. 30. ſo iſt der gang winckel DCE133. zr. Nuee
angeſehen die gleichen winckel ABD vnd EBC, Tvnnd ADB iſt 10.3. 1-
tder winckel BCE ‚darumb bleiben Die vbrigen DAB,
gleich gemach
BEC auch gkeich / vnd die fetten beyder Triangel BAD vnnd BEC
ſeyn proportionieri, vnnd miß alle ſeiten deß Triangels BEC ‚fo
r BE, 19. für BC I0. vñ für CE 17. darauß ſuch DB alſo
ndichf
Si CE finus deß winckels EDC, Ju. DE ſinus deß winckels DCE,
a6gr.2. 7313537 133 gr.
2761956
Alfo CE ‚ander gantzen DE „ hierdon
17 11 1 |
Subtrahier EB 19 | Ä
26(05 darauß ſuch DA, Die
Reſtiert fiir BD
9.p 8.
Das neundt Buͤch Geometriæ,
Wie folge:
Wie BC, .alſo BD, {UDA,
017 26lur ul
Wirdt aber begeht BA,fo ſtehts
Wie CB zu BE, alſo DB; BA,
1019 26(0i5 49423
Dhnetechnung-
Wann die winckel befande ſeyn / vnd die feiten C.B.fo finde man
die vbrigen alle nach der z1.p.8.
Ein anders Erempd.
Es wird begehrt die weite n A, ſo macht mithilff eines Inſtru⸗
ments in I den rechten winckel A HF, vnnd laß in H ein ſtab vnnd
gang in E ‚da mach zween gleiche winckel AFH vnd HEG mit hilff
einer perſon ſo auff der verlengten AH hin«nnd wider gehet biß ex
in dag geſicht gegen kompt welches geſchicht in G , fo iſt der win⸗
del AFH ‚gleich dem windel NFG, darnach fo miß HG finde 37.
vnd iſt gleich HA ‚angefehen.die gleichen winckel AFH vnd MFG,
deßgleichen die beyden rechten winckel in H,darımb feyn Die vbri⸗
en winckel FAH vnd FGH auch gleich / vñ die ſeiten FH iſt ginein
eyden Trianglen FAHURD FOH, darauß folgt daß GH gleich IR
HA, vnd FG gleich FA,T.
III.
Von einer hoͤhe ſo perpendicular
auffeiner Horizontaliſcher ebneflehet/ein
weite vnd die hypothenuſam oder ſchreg weis
te zu meſſen in einem Stand.
E Sbefindt ſich iner auff dem Thurn AC in C, vnnd begehrt die
write AB, vnd die hypothenuſam C A zu meſſen / ſo obſervier den
winckel ACB + finden 36 gr. 73. deſſen Complement zum quadrãt
iſt der winckel ABC 53 gr. 7. dann ber winckel in AAf ein —
wncte
EEE) — e EEE
— — — —
— |
„1
1 : SRG N
Muri I N .
m 200 muss ann mern m sun ae ar —— g 5
| *
JI
| |
B
S—
—— PR
Fand
Mm
INNEYNINUNMNHHUTLUNG
N
Bas
au» anna we Wen din GEE> un vun an men ame eilin
nn —
>
winckel / weiter miß dichöhe CA mit einer ſchnur daran ein awidhe
gebunden fo die ſelbig auff den boden an A ziecht / vnnd finden für C
A 62. darauß ſuch aB vnd Ch als folgt.
Wie CA radius, zu AB Tängens deß winckels ACB,
"10000000 vαρν 36.81.73.
Alſo die hoͤhe CA. zu der weite AB, |
' ee Sles—
Weiter ſuch ca
Wie
8.p.8.
2 Bas neundt Buch Geomerriz,
wie CA, radius, zu CB, ſecans deß winckels ACB,
10000000 12502 199 26.gr.y 3.
alfo CA, zu der hypotenuſam CB,
— srl
Ohne Rechnung⸗
Wann die winckel vnd ein ſeiten als CA, im Triangel ABC,
bekandt ſeyn / ſo ſuch Die vbrigen zwo feiten AB, vnd CB, durch Die
20 p.b.
IV.
Von einer höhe in zween ſten⸗
| Den ein weite zumeſſen.
&S befindr fich einer auff einem Berglein in F, vnd begehrt Die.
weite zu B, nach dem Horksont/ond mag den andren land nach
Der zwerch nemmenin G, diß zuverrichten fo obferwier die winckel
inF end G, tond finden für HFG,( welcher gleich iſt BEG,) als
jeder 71 ar.13.0nd IGF, (ſo glei) BGF,) als jeder ein rechrer ifl
90. gr. foreftiereder vbrig GHF, (fo glei) GBF,) ı8.gr 7. vnnd
miß GF, finden 230. darauß ſuch HF ‚(welcher gleich iſt EB,) wie
folget.
wie FG,radius,ju FH, fecans deß winckels HFG,
10000000 32159210 71 gr.3.
alſo die ſtand linien FG zu der weite rn, ( welcher gleich iſt EB,)
230 7397(0.—
Ohne rechnung.
Auß den bekandten wincklen vnd der bekandten ſeiten FG, fiudt
man , (ſo gleich EB, )durch die z0.p.8.
Ein ander Exempel.
Es wirt begehrt die weite BA ‚wie auch Die weite nach dem Hori⸗
: sont
— —— den au — ——— ——
sont alsc a,man fan aber den andren ſtand nienert anderſt habe
als in Eder puncten C, aber iſt onfichebar dDieweiler in dem Berg
fendelrecht under B ‚fallen wirtidarumb fo muß die felbige.BC ‚He
— —— durch abwegung bekandt muß gemacht werden /
wie folgt.
Erheb ein ſtangen auß O D, darauff leg ein andere ſtangen DE
nach dem ſenckel / darauff erheb wider ein ſtangen EF, darauff leg
wider ein ſtangen ſenckelrecht als EG, auff diſer erheb die ſtangen
GH, mit der zwerch ſtangen HL ‚darauf wider die auffrecht ſtan⸗
gen LM, auff welche leg die ſtangen von Menach N, welches alles
gar liche durch die Circkel leiser abzuwegen — u eben
u
Das neundt Bach Giecnietriz,
sufchen / in n ‚leck den lab NB, daran henck die Circkel leiter
fiel den quatrant dahin / vnd obſervier den winckel nn.
21. gr. —2* winckel ABC, «ↄ gr. dieweil der winckel in , ein
rechter winckel iſt / darnach fol, gmeſſen werben von E ‚aufkdie fan.
gen FG ‚fo sc.mehr yon G ‚auff die ſtangẽ HL iſt 70. ſo vil iſt auf
von L, auff die — MN, vnd NB, iſt 34. addier alle zeſammen
ſo kompt fire
— ih er su achten das fuͤr die hoͤhe ee
em
ann sind — —— ſo —
daß der riß deſto ſichtbarer werde / weichen in diſem Gnd Andere
& —
en zu
auf dem bet andten perpendiculariond den bekandten win.
— vnd BA wie folgt.
wie BC,radius —— CA Tangeasbes indes ABC,
10000080: 26050891 94 *
alſo BC,WCA,
230 s99. —
| Weiter
wieBc ‚BC radins (it BA BA, fecans def wiucteis AB ABC,
10000000: 27904281. er.
alfo BC,MBA,
230 le
Ohne rechnung.
Auß den bekandten wincklen und der befandrenfelten BC, fiuße
man CA vnd BA, durch die 20. p. 8.
V.
Ein weicesumeffen ſo die ſtend
tiefſer ligen / vnd man ſie nach der
swerch neifien muß.
Esmwire
Zu
ne
wirt begehrt zu meſſen Die weite von A, under D, mach dem
Horizont ais in B,ınan fan aber allein den yuncten D;fehen /
und erwat nach ein ſtand vassırD ;fehen koͤnniſt welches -achehächt:
in C, und miß ACC Il 400 vn obſervter die wuneket in A,0ndC,T-4p.8;
vnd findenfür A, 90. gr. vnd C ‚47 gr.4.durauß fuch AB, mit hiiff
deß puncten D. dañ die zween Trianget ABC vñ AD E feyn gleich⸗
wincklet / angeſehen die rechten in A and die gleichen ABCLAUIC,, -
darumb |
wie CA, radiy ju AB, Tanges dep wineftts ABC ‚(fo gleich ACD)
10000000 10748734 " 47 gr.4 .
alſo 24, die ſtand linien / zu der meice A
400 429(949 Iti ij Ohnet
Das neundt Buch Geometriæ
Ohne rechnung.
Diſer wirt verrichtet durch die 20. p. 8.
Nora Wann aber AC, nit zumeſſen / ſo nimb ben dritten ſtand
in E,ond mach mir einem Inſtrument den rechtenwinckel OEF.
mie hilff einer perfon fo auff C A, hin und wider gehet / vnnd miß
FA ‚find 42(25. vnd AE, ſo 130, vnd iſt in mider proportion zwũ-
36.p.1. Favnd c, tdarumb
wie FA, zu AE, alſo AE qu der ſtand linien AC,-
*82 130 130) 400
Von der breit oder der lengen / da
man zu keinem ort kommen kan / wie
Die ſelben zu meſſen. |
VL
Ein lenge zu meſſen / zu welch em
man nit gehen kaeu.
&S feye su meſſen die lenge der Mauren AB , fü erwell zween
ſtend C vnd D, vnd miß CD’ finden 300. darnach fo obferwier
bie winckel ACD fo ↄ o gr. vnd BCD zogr. im Stand C darnach
obſervier BDC 1os gr. vnd ADC 4748.43.1 So hab
ich im Triangel ADC bekandt zween winckel ACD-so gr. vnnd A
DC 47 gr. 43. vnd die ſeiten C D 300. darauß ſuch C A. alfo folgt /
BieDC radius zu CA Tangens deß winckels CDA,
8.2.8.
LEN TE TEE (SEZGETEEN> GENE (EEE
10000000 10996281 478 g1.43-
Alfo DC die ſtand linien zu CA,
300 329(358
Meiter:
Iſt im Triangel BCD befande diewindel BDC 105 gr.und
C » 3° gr. fo iſt der vbrig CBD 45. vnd bie ſeiten CD 300. degu
B, fe
Dom mellorderlenge: 219
| Wie CD finus deß winckels CBD Ju CB ſinus deß winckels CDB,.
7071068 4 gr. 2 105 gr.
Alſo CD. die ſtand linien zu OB. |
300: .409(807
Reiter:
Im Triangel ABC ſeyn bekandt zwo ſeiten C A 329(888. vnnd
CB 409(807. vnd der winckel ACB 6o gr. dann der winckel ACD
iſt so gr. darvon führrahter den winckel BCD 30 gr refliert der
winckel ACB Sogr. wie oben Nun auß den zwo bekandtẽ fetren/ vñ
Jii tij dem
j AN?
Das neunde Bach Geometriz,
Dem hekandten winckel fo fie beſchlieſſen / ſuch die zween vbrigen win
ckel / I vnd find für BE > gr.35.0nd e reſtierende ABC 49.97.
25. darauß fisch AB alfo/
Wie CB Anus def windels CAB,iu AB finusbehwindeis ACB,
943 1260 70 gr. 35. 8660254 6o gr.
Aſo CB,3u der begehrten AB,
4099er 376(s0s
Ohne rechnung ·
Diſes tan gar leiche geſchehen mir einem ebnen braͤet / ober
einem Trum̃el boden / oder mit einem banck vnd dergleichen /
fo muß man ein Imial haben / welches an ſtatt der geſicht regel muß
gebraucht werden.
Es were zu meſſen die lenge der mauren AO ‚fo erwell nach be⸗
ſter glegenheit zween fiend.E vnd F, vnd miß die lint? EF findt 332.
iehe auff dem braͤtt eder banck fo du brauchen wilt ein linien g. die
theil info vil gleicher cheil als die linien EF groſſe theil hat / vnnd fe
das broͤtt nach dem Horizont in F, vnd richt die linienifg naher
vnd laß das braͤtt vnverruckt / vnd richt das linial von fnach A, v
chu ein riß auff dem breit nach lengs deß Linials als fn, weiter richt
das linial naher O, vnd mach den riß £k,barnadh laß ein gmerck in
EF, vnd trag das bräct in E. vnd richt die linieng £naher.F ‚ond [aß
das braͤtt vnver ruckt / vnd richt das linial von g hach A, vnnd mach
nach dem linial ein riß auff das braͤtt als gl, die ſchneidt die linien f
hin m, weiter richt das linial naher o, vnnd mach den riß gen, der
ſchneidt den biß fk in i ziehe im,ond fo wit theil als ii m-der chelien f
z hat / ſo vil iſt die maura o der theilen darmit EF gemeſſen iſt wor⸗
den. Vnd mit den theilen fg moͤgen alle andre theil gmeſſen wer»
den / wie auch ein jede weite / dann augeſeben Die gleichen winckel/
ſeyn die kleinẽ Figurẽ auff dem braͤtt den groſſen gleichfoͤrmig / vñ
die fetren progottionser: darumb ſo man das braͤtt nach dem fen»
ckel auffricht fo moͤgen auch allc hoͤhen / vnd dieffen zmeſſen werdẽ /
welches wol zu mercken.
Von der hoͤhe / vnd der hypothe-
nuſa wie ſie zu meſſen. —
u
Vom meſſen der hoͤhen · 220
VII. J
Auſz gebner weite / die hoͤhe / vnd
die hypothenuſam zumeſſen.
IM it
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u =
I) ı Il) |
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—
——
—
ES ſeye die geben weite AD, oder CH fo jedes 36. oder ſeye geben
Ar welches ao iſt / darauß ſuch die hoͤhe / vnd die hypothenufam
wie volgt / obſervier den wineel CHB,finden sı gr. 21.10 ſtehts
die n radius,u.CB Tangens deß winckels CHB,
10000000 12504388 sıgt.2l.
fo.
Das neunde Bär Geometriz,
Alſo HC die geben weite / zu C Bidet hoͤhe /
BE 0 4le
Darm addier die hoͤhe AC 5
Kompt die gantz höhe AB —*8*
Weiter.
Wie HC radius, zu HB ſecans de winckels CHE,
10000000 160112377 Figl.ak
Alſo HC die geben weite su. HB der hyporhenufa,
RZ 7766
Ohne rechnung.
Such CB vnd HB durch die 20.p.8.
Anderſt allein mic einer langen zu meſſen.
Don E naher A ſteck die ffang.LK perpendicular auff EA, einer
üſſen maß als hier 12. leg dich an rucken mit dem augin E, vnd
ihenaher B. vnd hab acht wo der radius deß geſichts die fangen
ſchneide welche geſchicht in K,mif LK.find ı 5 vnd EA, iſt 40. vnd
die winckel in Avnd L, ſeyn rechtwinckel unnd-der winckel AEB>
iſt beyden Trianglen ABE, DKE, gmein / darumb ſeyn die vbri⸗
gen winckel auch gleich / vnd die ſeiten proportioniert / als
it EL, vom augzu der ſtangen / zu LK ‚vom boden zu der ſtangen
12 15
ſchnidt / alſo die geben weite EA zu der hoͤhe AB,
40 go
Weiter.
Addier bie quadrat yon E A,ı800.0nnd AB,2foo.auß der fumma
47.p.1. 4100. die wurtzel / gibt die hyporenufam EB,64 (ozi. T
| Obne
Dom mieſſen ver bien. a2
Ohne rechnung ·
Thell die 12. von E ps Lin fo vil gleiche cheil ale
* EA iſt. als bier in 40. mit diſen cheil rn un MT
he Aß, vnd auff EK he mern age ———
gen Triangel.EKL IND EBA
derſt allein. mir einem fpiegelsedergefchlermi — we
Das waffer.oder den ſpiegel leg in vnd gang zu ruck biß du img
waſſer oder — — ſichtt durch den —2— der Re⸗
Flexion welcher denn Triangel ne iſt das: geſchicht —
— —
5. vnd von: FE
und die Triangel BG, — yots —— 230 |
vnnd GE
parallelen,daraufffi
auch B A ‚nd machen ein winckel Aeich Dem
i FGE —— — Bd die vbrigen gleich den vbri⸗
riten beyder Triangei EFG,EA
8 —— — hoͤhe zã aug⸗
ee an 4
Pr
DM hypörkenufa RATEN IE
Ohne rechnung ·
—
Bett
vnd auff EG dic hypeihenufam.
VIn.
Au einem cheil baandær geitedi-
vbrige weite die —— ——
ES Mirtendrdiemeite — — welche iſt 3 i. oder
es ſeye geben FL welche iſt 340444. — obſervier die —
PB
F Das — Geometriæ,
en — —.
TE
u
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—— bh
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——
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a 20
m
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——
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——
—— .
AG
nn un - m.
wc ran. ae ayr.? „gem fudgfeden wide Rine
: Tangens darnach
Subrrabier vonder groffen Tangey —EE PBC gr er.
. mei iſt 12444903
b CINE Tangii RC deß winckels RBC AIR. 3. welche ss SIT
Reſtiert Tangens differentzpR. 5% „
Daraguß ſuch bie obrige weirealfe er “
Wie Tangens differenez ferents Ph. iu da kleineren Tangens Rc, RC,
- er 7777 0 Be:
Er Vom meffen det hohen · 22
fe bie bekandt kaciie BRan der vbrigen weite RC,
Be I 7
Dadode fach alſor
Be Tangeng differentz ;PR,äU radius diusCB,
” u 6890399. 10000880
2% dehtande weite ERoiu ber böhecs CB,
| —* 1. 7 |
J Vod ſuch vie bypothenuſam Biene
Bon zween rechten wincklen Ido gr.
Subtrahier den winckel ORB — 60 gr.57.
Reſtiert der winckel PRB 11988. 3.
Dariu addier den winckel BPC 38gr.47.
Die ſumma ſuberahier 777 gr. yo.
Von BE | 180 gr.
eeluert der winckel PBR 22 gr. 10.
So ſtehts
Wie PR PR finus inus deß winckels PBR AU PB ſc deß winckels PR PRB,
| 3773021 2297.10, 8741963 ° | 119803. 3.
Aſo die bekandt weite PR, zu der hypothenuſa RB,
31 ze
Meter.
ghie PR finus aus dep winckels PR, Rh finus iaus dep windelsarc,
3773021 " 228.10, 10. sy 3897.47,
——
Alſo die bekandt weite PR,5U der hyposhenufa RB,
31 — -.
— Kt Ohne
>
a p.I
IIJ. P. I.
Das neundt ich Geometriæx.
Ohne rechnung
RC, vnnd CH, vnnd pB. vnnd R, ird auch funden Durch bie.
22.p.8. Ä
Anderß allein mit. einer fangen zu meſſen.
Bon na angen D T perpendicular auffrichten /
Barhinder un hear F,onD fid nach Bund hab ade
woDder radinsdeß gefichte die Ransın fhnadegefchicht in T ‚und
seichne Die punceen Devnd T an ber ſtangen / vnd miß FD fo‘ 8. vnd
DT wdcesiftı angin H:, da laß die. Rangen wider
perpendicalan gg DT, vnnd lege =
— —— — weit biß Dir S. vnd B. mit —
linien fommen / das geſchicht wann das aug in
— ſindt 17(02. vnd s iſt 1404. (daun es 4 vo
DT)darna
© von HL. " uylse:
Die welie DF 8;
EEE. SER, >
So refert Lı „2
— an J A, vnd D Auch M, vnnd
Ben guichnenwindel A FB beyder Trranglen ABER und DTR, wel-
— AFB auch * iſt der ande NIS., dañ I iſt gleich
Us gleich DT ‚baruımb ſeyn dic bafen. IS vnnd FT auch
—RX vno die Triangel AuF, DTF. HS l ſenn gleich wincklet / vñ
Si iſt narallelen TF, mie auch ST. vnd IF;aber gleiche vnd paralle⸗
len binden zeſammen gleiche vnnd parallelen/-t: darumb ſeyn die
winckel L1x vnd LET. ein andren gleich / vnd der winckel FLB iſt
gmein Trianglen EhL vnd s I.darumb ſeyn Die vbrigen
winckel ASI vnd LBE anch gleich / vnnd die LIS,LFB
ſeyn gleich wincklet / vnd jhre fetten proportioniert,
wie Lin IH IH alfa die betandt Weite LEN der, vhrigen weise CHA,
(> 7 78 u .a7(778
Weiter für die hoͤhe.
Wie Li, mS, alſo die belande weit. LE Imdee hobe AB,
„(s2 14(4 341% go
wetter
—
Vom meſſen der hoͤhen. 223
Weiter fürdichypodkenufa, |
Die wurgel auß der ſumma beyder quadraten FA vnnd AB gibt
=. die wurkel auf Der ſumma beyder quadraten LA vnd AB
B.
Ohne rechnung.
Theil Lin 34444 gleicher cheil / mit welchen man dann miffer
IH vnd Us, vnd I18, wie auch Ls, die dann die weite FA, die hoͤhe A.
Bvnd FB, wie auch L, offenbaren werden.
allein. mit einem Spicgel / oder einem geſchier
Anderſ allein — pieg — nem geſch
Den Spieel / dder das waffer leg oder ſtell in Fund gang zeruck
in G, ſo ſichſt anß Q’den guneren eher kriegſt den Triangel CQ..
F ‚welcher dem: Trı der reflexion oder dem Triangel FBA
leich wincklet iſt / miß FG iR 2 (re. vnd .5. darnach leg den
Spiegel — in N, ſo ſichſtu auß O im ſpiegel den
puncten n vnd bekombſt den Triangel LQN, welcher gleich wind.
ler dem Triangel der reflexion, oder dem Triangel LBA, miß LN
iſt 6(222. vnd NO, s.(dann fie gleich õ Q)von NL Gi
Subtrahier GF 2(778
Meirm.. Ko
Angefehen die rechten winckel in . vnd 6 vnnd die gleichen ſeiten
FG,MN,GQonnd NO, ſecyn die Triangel NOM,GQ F ala
wincklet / dem Triangel ABF aber iſt gleich wincklet der Triangel
GQ. F,da-umb ſeyn beyde Triangil ABh, NOM auch gleich winck
let / wie auch die Triangel ABL,NOL ‚wie auch die theil als Die Tri⸗
a LBF vnd LOM, vnd Die ſeiten proportioniert.
ie LM, zu MN, alſo die weise LF ‚u der vbrigen weise r A,
3(444 2(778 34(444 27(785
Weiter für die höhe. |
Bie LM, NO ,alfo die befande weite LF suder höhe AB,
1444 ) 34(; +4 so
KH Be
Das neundt Buch Geomerriz,
Dichyporkenufa wirdfunden wie oben mit den ſtaͤben.
Dinerechnung. a
e Thoeil LM in 34l444 gleicher theil / mit welchen alle andre cheü
funden werden. — |
Auſ einem cheil nach der zwerch geb
nen weite / die hoͤhe / vnd die hypothenu⸗
ſa zu meſſen.
—
UL
N 2
ıl try
.s
T
u
GR
D +e.
J
-
—
mE um σ GENE Gum — —
—
— i
Vom meſſen der hoͤhen · 224
ES befinde fich einer in einem thal da man weder zu ruck noch
für ſich gchen fan/fonder allein nach der zwerch / vnd fol ein höhe
auff einzu berg meſſen. Vnd ſeye geben die weite DE , auß dif u
groeen fienden fol Die höhe BA auff dem berg CB gemeſſen werde
diſes zu verzichten fisch Die weite DE + finden 400. darnach obſer⸗5. p. d.
Pier beyde winckel CD B welcher fl 21 gr.49.01d CDA iſt 30 gr.
5 3. darauß ſuch die höhe ale folge.
an der groffen Fangens C A def winckeis ED Ass ar. 53. ni
7503665
Sub. die fleiner Tangens EBdef winckels CDBz 17.49.4003 3089
welche iſt
Mefliert Tangens diferentzBA
‚wie DE radıus, zu BA BA Tangens differäiz Alfopc DC, ‚mer bibesa, BA, .
1000C.430 3509476 Ä E 400: | r40(023
Wie d DC radius,ju D DA, vñ Da,lans der. windieen PR CDB ;
EEE GEETEEEAIFTR E © a 2 — 3
. 10000000: 12502199. 9. 10921477 & 368.53. ‚21 88.49
Aiſo die weite DC, iu den zwo hyporhatufis DA, vnnd DB, a
7 49 8 Fan . go0(0s8 43088
I Odnerechnng · 9,2
Dc — die zo oder 21.p 8 ons BA durch a“ he.
Eu 8. letſtlich DB vnd DA wider durch die 20. p. 8.
Vonden dieffen / wie sieben
de
Das neundt Bäch Gecmetriz,
x
Auß einem cheil gebner höhesu meſ
fen wie dieff es ſeye zu dem Fůß eines Thurns
auffeinemandren doch nideren berg gelegen / deß glei
— deß — eu
nachdem Horizont / vnnd nach der
Ihypochenuta,
9.2.8. te surersicheen foo fervier die winckel in F, vnd in E, +.
Erſtlich
PP p bie winckel FRcC. — DFAD
309. 15. darnach verfüge dich in Das ag: Er für die
eh vnd ERAD 12 41.13. vnd bie höhe von F in
pm er ſch — —— nd das v.
en
ber green ———aS —— „> u 4 =
Ss De inirT ang E Pain EBC,24 —
Reſtiert die Tangens dfereas ft E O4 O —
oe —— wis vage
Tangens. difteruns
me FE Auder llaueren Tangeaset,
u en
"fe FEMEC dem Horlnnt dicfſer ige dañ e.
220 —*2
Bon der. groſſen Tangens. FD deß winckele aD. 30 sr. =
Yielicneetngts EDNFainddoEAD 2363 ar
weiche
Hr Tangensdifferentz FE 356670
ie Tangenscifferenz PE ‚ederfleineren‘ Tangem ED,
3666766. "zı6ga2 jı22
Alſo bnæp Joni als a mach dem Dortsnt defer veräuhe,
220 129(0 '
Auß der befande Diefe/oie höhe —
OBon der fundnen — a6y Tem
Sub ahrer die idle ED ' ——
So refmert die höhe deß Hun⸗ AB 160(1 460
iu Muss
; Das neunðt Buch Geomätrix, |
E Wunde aber begehrt die weite DA nach dem
Hor izont / ſo ſtehts
Wierx FE Tangens üfferanz,m DAradius, BIN
“ 3666706: ! 10080090- ;
Aſo die — * xx.m der weiten D deren iſt gleich CB,
Ei 220 0
Weiter fuch diehyporhenufas _
wie BCradius,iu BE, und BF Secane der wIndhn EC yob FET,
10000000; TOp6490r. 12910278 24 81.17. 39. 14
Aſſo die weile BC BC u bein hypothienufls BE BE,Hnnd BF,
| wo Glen °
Weiter
wie ADradius su KB HH Ar fecans der wincklẽ EAD —
nn nn — — r — — —
. 0008000 10231703 11576278 1280.13. 304.15,
Aſo die weite AD, den hyporhenufis. 4P, AE, nnd AF, AF,
600 6 —2 —2—
Ohne rechnung.
—— — 2.8. be it glaich die 1 R
on E trahier ED reſtiert DC ‚dem gt AB,
Die weire DA fe gleich BC findfl durch 20.p. :
Wie auch dichypotrhenufz BE, vnd BE,
Deßgleichen AE Und AF, .
XL
Auf einem cheil nach der werch
Bine —— ae
thenufam zu meſſen. dere
N
ES befinde ſich einer auf einen Berg / vnnd wil dep felbigen hoͤ⸗
She / das iſt / wie dieff es zudem grund deffeibigen ſeye maͤſſen /
man muß aber die ſtaͤnd nach zwerch deß Beras nemmen als in C,
vnd in E ‚auf diſer bekandten CH fisch mit hilff der hohen abſeben
CG ,pnd EF,die weite CD,t (deren gleich iſt Ba)vñ finden 6000 4.p.d.” * °
— die winckel T OBA, finden 39 gr. 48. 9.p.8.
- Softe
Wie BA radius st AC Tangens deß winckels CBA,
mug ru — — rip *
10000000 B33661f . 39 91.48.
Alſo B A,zu der dieffe oder hoͤhe deß Bergs AC, 5
6000 u .. foo1(197 ».
—
— 1% Wels
%
228.
Dasın = —XX BEN j *
Weiter ſuch die hypochenuſam.
Wie nA radius, in BC ſecans deß winckels BA,
10000900 13016028; = 3ggt.4b..
Alſo B A, su der kyporhemula.BC,, | |
6000; 780(94:
Ohne rochnung.
nn en —
xIl
Von einẽ cheil gebneꝛ weite/ ein ding
ah "rs
ES ſeye en maur DM’, hinder welcher ein ſtangen AC lenet /
von welcher man allein. das fluck:B A ſehen kan / vnnd die geben
bekandt weite IR GB-40.: darauß wirdt begehrt zu meſſen wie lang
die ſtangen AC ſede: / auch wie weit ſie vnden von der maur lend)
als die weite DC, diſes zu verzichten: / ſo ſihe wo der ſenckel von A
hinfalle(welches man mit dem Inſtrument erfahren kan) als in F.
darnach miß RE finde 17: ſo reſtiert EG 23. darnach verfüge dich
in 6,und obſervier die windel T EGB findt 25 gr. 2. vnd EGA ſin-
* — vnd die winckel in E vñ x ſeyn rechte winckel / darum̃
t
ie GE radius,j8EB.Tangensbrß winckels EGB;.
10000000: 4251616 23 60.2.
Alſo die weite GE ander. hoͤhe EB,
49; = 17 (ou6 u
Weiter
-—
SR ts ppInEE Ne
¶ele radias Gʒ, ju der Tängens FA deß winckels FGA,
„ 10000000: 13481390 {3 87.26.
Alſo GF iu derhöhe: mA,hiervon ſubtrahier
| 23: - zıfoer
7 H welche gleich iſt EB 17(007
Reſtiert HA. 7
LUl i
Mu
19 Bas minder Buch Geometriz;
Nur angefchen die parallelen H Fond BE das iſt HB.gICCH FD.
‚als 17. darumb hab ich ein Triangel HAB befandt den rechtẽ win⸗
— in vnd die zwo ſeiten fo.in hegreiffen als AH 14. vnd HB 17.
arum
wie Al, iu Us alſo radias AH ‚Ju Tangens } HB, diſes gibt in Ber
14 "7 . 10000000 . 21421857
. Tafel einenbagen von so gr. 3 1. 377. welches die menfur deß win⸗
ckels H AB,dem iſt gleich der winckel DRC, dann Db iſt parallelen
mit LA ‚auff welche falt die grade AC.
Addier u der hoͤhe Ar 8 —8
Die hoͤhe deß maͤſſers FL &
ſo kompt die gank höhe A je
Vnd der winckel in Li in rechter + dann AL falt ſenckel reche
auff den Horizont KD vnnd der winckel LAC iſt auch bekandt / da⸗
rumb iſt mir im Trlangel LAC, betandt die ſeiten LA „ vnnd bie
wincfel LAC vnd der rechte in L,darumb
‚wie ALra radius ‚iu AC ſecans deß windeleLAc,
10000900 15730313 sogt.31.37.
Alſo die hoͤhe AL suder flangen AC, j
36&(oor 56064
Weiter.
Am ErtangelDac iſt bekandt der winckel DBC ‚end derrechte
inD:ondjuBE I7(007
Addier ED ; j
. Sotomprffrds ' '22(oor
arumb wie BD cadius,u DC DC Tangens deß winckels CBD,
10009p00 12142877 E ‚sogr. 3637.
Alſo BD. u DC ſo weit lent die Fangen AC vom puncten D,
22(002 26(723
Ohne rechnung.
ac vnd DC wird — nach der 20. p. 8.
Appen⸗
Vom meſſen miit dem Geometriſchen auadrat. 223
t
Ir ,”
“
Appendix,
Zum beſchluß diſes Büchs / wil ich kurgz die ſcalam aliimerram
welches ſeyn die ſeiten auff dem Geomerrifchen quadrat und derſel⸗
ben gebrauch(welche umbra recta und umbra verſa genendt / vnnd
nichts anders ſeyn dan Tangenızeines bogens fo weniger dan hal⸗
ber quadrant ) erkleren. Als im ſtand C ſchneidt der ſenckel auß G
den ſchenckel OA in K, vnd CK iſt Tangens eines bogens ſo weni⸗
ger dañ halber quadrant / als deß bogens welcher das maͤß iſt deß
winckels C GK welcher gleich dem winckel C AB ‚und die winckel in
C ondB ſeyn recht wincke / derhalben feyn beyde Triangel OGK,
C AB gleich wincklet / vñ die ſeiten proportioniert, wie XC, zu C G.
alfo CB u BA, das iſt
1I.p. i.
Das neuudt Buck Geometrie;
(wie Tangkes KC deß winckels CGK suradig CG,alfo CB ‚BA,
Beſindt ſich aber einer in.D ;forift durch —*— beweißlichkelt PD
Die Tangens deß winckels DLP ‚darumb Jubtrahter yon der Tas⸗
gens D , die Tangens CK ‚forefliert Tangens differenz PO da-
rumb wie PO,ju:OD,alfo DC ‚su C B. das iſt
wie po Tangensdifferentz u. O D der fleineren Tangens, alſo
wie PO Tangts differem, qu DL rallioꝰ, aſſo Do, urder hohe 8
Dann die gleich winelleten Triangel CCGK. BA Cſeyn — *
von den gleich winckleten Trianglen DLP,BAD
reſt als die vbrigen Triangel OLN,CAD aud
— deß andern nern dem 2. ‚dann
mitler proportion zw Tangens, vnd Tangens Conmplement.,
dann wie Tangens SE ‚radio FQAlſo Q x ( welche gleich iſt ra⸗
dio EQ )ju Tangens ComplememRV, x SE
Qvnd ERyv ſeyn geich wincklecſeyn auch gleich incklet dem
Triangel EB A,darıumab
wieVR Ju.RQ alſo EB; B A dasiiſt
wie Tangens VR u radio R(Q) „alfo EB JUBA,
In * aber iſt en rg h.y;foifl Tengens Com
plement deſſelben winckel die graden g. darvon ſubtrahler: die TE
gens R v‚forefliert Tangens differemz f g. darumb
wie gf ‚iu fx,alfo FE.IU FB. das iſt
Weg fTangens differentz, Atf᷑ x fleiner Tangena, alſo FE.SUEB,
urch
Wie Rogel der proporuon, auß der bekandten weisen Die höhe vnnd
ein werte gofacht wote Die fünff —— Exempel erkleren.
1 m
Auß gebner weite die hoͤhe zefindẽ / fo der ſenckel uubram rectam
ſchneidt /
)
\
WVom meſſen mie densGieomerrifchen quabrat. 229
ſWneidt / die bekande weite ſeye CB ;30.0nd der ſenckel CK ſchutidt
* in ee rei J——— nn
WÜeXc, theil Vmbræ rectæ zu OG der gantzen ſeiten Tale die wei⸗
fo ‚100
ite CB. der Höe BA,
‚3® 60 |
2. Exempel.
Aud gebner wehte / ie Böheyefndensfoden fine umbran ven .
um fehnetbe/diebefande weitefept EB , 75. vnnd der ſcuckel Q⸗
füneie ton s un Yabıar tarfofichte J—
ie die gaute felsen Q. Ess; Es theilen Vnbre verſe Alſo die wech
KEB,mdrrhöheRN,
7 ‚60 I
| 3. Exempel.
ein anß einem theil gebner weire/bie vbrige weite / vnd
he ———— der Ende Beyer ———— — — =
CK tmfland C auff Vmbra recta goin K,und ſtand d
8 ſenckei LP auff venbrarcktaoin vpAarauſᷣ ſuchdie vbria
CB, vnd dic höhe 84. als folgt: |
Von Dp idt EL %o
Subtr — o (welches gleich CK dem kleineren ſchnide) so
eidt.
Sie befandre heil Der weite ſeye OD, 18. fo ſcheidt Def *
wo
So DEE ſchnideen differeme — 30
; —2 ſano diffeanz, neo D .elfediı weit DC HOPE
zo DE | Yan 18
vbrigen weite CB, |
30 r
Die hoͤhe fuch alſo
r
—
Dası neunde äh —
vie po Aitſer eate. in DL der sangen feisen/alfobie weine DC DC, 9
— Er
erhöße BA,
60. .\
4. Exempel.
Auß einem cheil gebner weite / die vbrig weite / vnd hoͤhe —5
wann die ſenckei beyde mahlen auff vmbram verfam ſchn
Der bekandte cheil der weite iſt FE — der ſe Qs
im fand E ſchneibt Botn s auff vmbra verla vñ im ſtãd * —
der ſenckel hy auff vmabra verſa 64 inY, darauf fudh — —— >
wech {in ver sangen wei
— ee u; * die Beben ofen in der
ES begreigft / darumb
weite EB begriffen / al E die theil
Dwidier — DH mit dẽ — *— EsSadẽ arorient behalt/
100 [72 Fr
Dividier die gant ehren Ti r ‚mis den hellen P y, von dem quotlen
Suberahier nen obbehaltnen quotient 65
Mit diſem reſt⸗7 66as5
ODwidier die bekande Pre
So kormpt die höhe BA zen an
Dann foot eyinEhegefen feel nn begrifen
Inder.
Verkehr vmbre — ‚inumbr
Wie —— — * * * un den hei
ie 100 108
dir vmbræ recte Rv,
125
Weiter. Eee
Wom mefſſen mit dem Geeometrifchen quadrat. 230
Wie die cheil der umbre verſæ x, iu # halſo ha zu den thellen dee
n en 64* 100 DEE
umbræ rectæ x g hlervon
Sub trahier x g (ſo gleich 1 v) | 125 _
rin :, _ — zılr
Darumbweicgf, Mfx; alfo Die weite XP. u der vbrigẽ weite EB,
Juan 12 18(75 7
weiter ſuch die hͤb an:
wiegt, mx, aiſo diebekandt weite FE AuberhöhtBA,
Te" — — 5266
5. Exempel.
Auß einem theil goͤner weine / die vbrig⸗ weite / vnd hoͤhe zu meſ⸗
ſen / wann die ſenckel ein mahl vmbram rectam, ds ander mahlvm⸗
bram verfam ſchneidt /
Die bekandt weite ſeye CE 4T- onnd der ſenckel CK im fland C
ſchneidt go. umbræ red in K,ondim ſtand R ſchneid der ſenckel
s auffvmbram verfamdoinS , Die verwandelin theil umbræ
oo 12
rætæ tompt RV
Darzon fubtrabier RV(ſogleich CK) go
Reſtier Tv | BE
Darum̃ wie VT, iu Tk alſo die weite EC ‚suber vbrigẽ weite CB»
795 90 x 45 30
Vnd die boͤbe ſch |
Wie VT ‚iu Des gangẽ ſeiten RQ, alſo Die weite.E auð hoͤhe BA.
75 us 2 ur 45 60
Ende deß neundien Bachs.
Mmm ij Geo
es
Geometriæ, Theoricæ &
Practicæ.
Das ʒehendt BE:
Dom Ermblegenromsb Abſtecken |
derſelben
—* Grundlegen it eit ein. Kunſt /
— - — boden Riß / einer
ndeſchafff / Statt / Feßun / Feldo / Walde/
Seal —— vnd form / dem groffen
— das * geßchriben wirdt: —
das chen ſo ein grund oder einer Statt / Feſtung / oder
anderm gebaͤuw / ſo auff ein payyr gerigfen ig / we man derrfelben:
in groſſer demnuffdem paphr gantzgleichſoͤrmig)/
m Seid: — vnd 2* —————
Baw durnach zu hren vnd
Wie nin das ein vnd das auder mit vnberſchtd
— — —S— nad
Sie durch —* linien in
¶ Sheye in Bu ABCDE ‚ barburdh Man vn⸗
verhindret gehen mag / da —* mang mi der diagonal Or
dur; — legen / weil En grundriß diſer gſtalt
ne ſchler deſchlleßt. Band wil diſes durch drey ac,
LS
wu Ti _ rum — mn. — —
WVWVom Grund legen.
Arno daß erſtlich |
auff jeden winckel ein
merck oder ſtab ge⸗
werde / als mB,.
C,D,E vnnd dann ſo
nim̃ den wie
Era
Erſtlich miß AB, B'
C,onnd:Ac', ſo haſtu
Bie ſeiten deß · Trian⸗
gels ABC bekandt / da⸗
rumb ſo ſchreib einen
Triangel auff ein pa⸗
pyr deſſen ſeiden jede ſo —
Bil feiner cheil hab / als Die fire gARBC groſſe heil:
arı fo bekompſiu jhm̃e cinenglsichförmigen Triangel / dieweil Die:
eiten ein * proportion haben.: Taleicher ſtalt miß AD, DC. 34 P. I.
und ACH ſchon dekandt / vnd ſchreib an Den erſten Aian gel / ader
ein Triangei / deſſen ſeiten mit den ſeiten deß riangels AGD’ iS
ale proportion haben / wie deß erſten ſeiten zum Triangel'ABC,
eiſtlich nimb für Dich den Triangel ADE vnd handel wie glehrt / ſo
hebompſtu auff dem papyr cin. Figur Deren: auff dem: FJeld sand
gleichfoͤrmig.
Anderſt.
Obſer vler die winckel BAC;CAD:DAR,TofMmiPAB;AC,AD; 8.p. 8.
vñ Ar. darnach mach auf einẽ faubre payyr drey winckel / gleich den
wincen BAC,CAD;DAE deren ſeiten ſeyen wol verlengt:/ da⸗
rauff miß ſo vii Heiner theil / uls AB,AC AD, vnnd AE groſſe theil
haben / ein jedes auff feiner. reſpondierenden linien/onnd mo ſich die
sheil enden / die feiben puncten siehe. mit graden linten eſammen / ſo
wirſtu aber ein gleichfoͤrmige Figur derẽ auff dem Feld bekom̃en / 1. 43. . 1.
| Anderſt.
Nims ein chen brucz/darauff Heib cin ſaubers pavyr / vnd leg du
bratt nah dem Horizont auff ein ſtͤl oder erwas anders auff den
winkel A ‚ober den winckel & mach auff dem papyr cin puncten f,
ih halt ein grades linial (welches an ſtatt der gficht regel. ge⸗
audıe aisd) Das felbige siche naher nnd siehe Die linken fg. miß
Rum iij AB,
5 4P. L
8.p 8.
9.p.8.
Das zehendt Buͤch Geometriz,
AB, ſo vil klaner cheilfeg von fin g.darnach richt Die regel vonf
auf C, vnd ziehe Die Tinten f h,ond. mib AC, ſo vil Meiner cheil ſet
vonfin h, vnd ziche gh, weiter richt die regel naher D, vnd naher E,
vnd ziehe die linten fi,ond fl, vnd miß AD, ſo vil theil ſet von fini,
vnd miß AE ſo ril theil ſetz von kin k, vnd ziehe i, vnd i k, fo iſt die
Sigurfghik,der groſſen ABCDE gleichfoͤrmig / angeſehen die glei
eye winckel vnd proportionierien ſeiten /t.
Mm
Doneiner bekandtẽ hoͤhe / ein grum
riß zenemmen / einer Statt / eines Feldts o⸗
der etwas andess ſo gantz eben im
Horizontligt.
ES feye ein Horizontaliſch eben Fcld-C DEF GH,in melden ein
Berglein AB iſt / ſo iſt 110 ſchuͤch hoch / ob welchem man alle win
‚el deß Felds ſehen kan / darumb obſervier in A alle winckel CRD,
DBE,EBF,FBG,GBH,HBC,t wie auch die winckel BAE, BAD.
no BAH,BAG,BAF,T und finden für BAE 71 gr. darauß fuch
BE alfo/
wie radius AB, zu Tangens BR def. winckels BAE,
10000000 29042109 71
Alſo AB,ju BE,
110 319(46
Gleicher aftale ſuch ale die andren / ſo findt man für. BD , 243
(z23. vnd für BC ‚270. flir BH, 340. (425. für BG, 25. vnd für BE,
321(271. | |
Ohne rechnung.
So ſuch auß der bekandten Au die vbrigen BE,BD ‚BC, BH,
BG end BFdurch die 20.
.8.
Vnd trags hernach alle auffdas papyr. Erwell ein puncten
als k, an ſtatt deß punctens B,0nd mach den winddlkm aleich
dem winckel CBD, vñ mkn,glei a ee
— — alfo
alſo fortan mir den vbrigen / vnd fetz auff jede refpendierende linien
6 vil kleine theil mit einer maͤß leiter / als groſſe cheil m maͤſſen ſeyn
den / als auff K 1,270. dieweil BC, 270 ſchuͤch lang iſt / vnnd auff
it m 243 (523. vnd auff In. 3 19(46:. auffk6,321(arı.auffkp, If.
letſtlich auff q. 340(425. vnd siehelmnopg , fo ſeyn beyde
guren gleichfoͤrmig / x dann die winckel vmb K.ſeyn gleich gemacht 47.de;r)
den wincklen vmb # ein jeder zu den feinen. Vnoͤ die linien welche ö
auß dem puncten kgejogen ſeyn proportioniert , mit Denen weldje
auß B gehen / darumb feyn auch die baſen fo den gleichen wincklen
Inderjogen proportioniert,
Fin:
ang ie
IL
Fin grundriß ʒenemmen mit einem
graden Beistieines.cetowckhes man nit
B —
eich ober das komme / vnd riche die ſinten ke ende
C, ziehe die inienhg,;miß BC 193 vil kleiner
ſetz von hin g, vnd laß ein ſtab in B. vnd deg das braͤtt nach dem Ho⸗
inc ‚tuit dem paitcren gbberdas C: vnnd rüht die Hieng Ih
naher Bond das afichenadh D,Heheg f die (Gneibtef inf, und ıR
bie Sigur hg fe.der grofen —— hg steh
nckel/vnd die ſehr ſich die Figur
PN f — zeſammen —ãe— um erfahren wann Die
ten CD aemeffen wird welche ——— vnnd die linien gẽ
fleißig ı go fleiner thetl machen thut.
Finen
‚ Bon dem grund legen; 235
JIIL |
Einen Bald varumb man gehen
ee in u
FA u:
| E
D
— A
OR
L\
/. . cr
Circkels ge⸗
geich net
&p8.
"2 Das schendt Buͤch Geomerriz,
Wann aber die ſubtenſa deß halben Circkels nit auffdie maͤß⸗
ketten gerheilt iſt / aber A F vnd AG ffl jedes die halb mäÄßfereen dag
iſt yo ſchuͤch / ſo ſich dann wie vil ſchuͤch FG ſeye / die fchreib auff / ond
trags alſo auff das papyr / ziehe ein grabelinten EA verlengt in r,
DaB AF ſofleiner theil ſeye / datnach fofaß mir einem Circkel ge
der kleinen cheil / vnd mir einem andren ſaß fo vil kleiner theil als *
G groſſer eheil oder ſchuͤch hat / den ſelben fek mic einem fuͤß in F. den
andren Circkel mit den yo fer in A,ond ſchreib mie beyden Circle
a ein andren ein Creutz / welches fich ſchneidt in G, dardurch sie,
auf A cin wol verlengt linien / die mach fo vil einer cheil als AB.
offer cheil hat / vnd alfo nerhalt Dich ben allen vbrigen wincklen vñ
ne ſo wirſtu wider der groffen ein gleichförnuge Figur bekom⸗
Gleicher gſtalt mag mie der maͤßkettẽ der grundriß einer Star.
Ringmauren vnd der gleichen genommen werden.
s V.
Ein Statt oder Schloß durch die
— ſeiten in grund
wiege
S ſeye ein Schloß ABCDEF für den arundriß deſſelbi⸗
* — serie Pr Rör A 4 Der nes :
lingon * —— —— —
| | |
AB eo (: yo
(2 620 B 108
CD 480 c 8
ee dieſeen 3 nn Ee vnd für die vinckelg2
(er 342 E 72
FA 366 B 230
Miß auch Die kallinien / vnd die flügel / als AM.AN , vnnd HN;
ML. deßgleichen miß den ſemidiametrum Def Thurns als KB, vnnd
A wie aud) alle die vbrigen. Vnnd obſervier auch die winckel der
Bol werck / oder aber obſervier auß welchem ort der Cortina, die de⸗
Schon linien zogen ſeye / vnd ſchreib ass fleißig auff / ſo iſt — In
.. —* 2
| Vom dem grund legen. 230
Aufftragen fertig/ welches volgender aſtalt verrichtet wirt.
Nimb ein ſanbers papyr / darauff ziehe ein grade linien po, Die |
mach fo vil fleiner theil als AB groß theil har als «co. unnd mad in
p ein winckel fpg gleich dem winckel KBI,THnNd mad) pQ_fo viel 10,p.8,
kleiner theil als BC groffer theil hat / vnnd mach wider den winckel
D QRaleich dem winckel BCD, vnd alſo fortan mit den vbrigen.
Vnd macho e gleich AN, vnd o a gleich AM, vnd ab aleich ML,
vnd ed gleich NH, vnd den winckelc, gleich dem winckel G vnd sie.
he a ho c, wie auch ed, vnd de, gleicher gſtalt trag das Bolwerck C
auff / vnd nam pf gleich BK,vnd p ggleich BI, vnd reiß auf p, mit
der weite diſer cinerp Goder p g. den — irckel riß fg, ſo an ſtatt deß
Nun ij Thurns
en,
x6.p. 3..
Das gehende Däch Geometriæ
Thurns 8 feyn wird. Vnd alfo verhalt zen
Fo —— — Figur auff dem papyr der groſſen gleich⸗
rmig werden.
Nora,dieweil in obſervieren der ſtumpffen und ſcharpffen win⸗
ekel leicht vmb etwas mag gfelt werden / das hernach in beſchlieſſen
der Figur ein groſſen fehler bringen kan / daß die beſchluß linien
ein ander / oder aber nit gar zeſammen fallen / diſem su begegnen ſol
wan die Transverſal oder zwerchlinien gu hilff nemmen (wann ei⸗
ner nit von gebaͤuwen oder andrem verhindert wird) Durch weiche.
man noch andre winckel obſervieten fan.
VI. |
Die ort der winckel mit den
a
—
anderer verhindrung / aber in A
enden windeitt:BA:C weldier iſt 39 gr: 30. und
fanıman
"in F kanman obfervieren die winckel ERB If 35. CED iſt Fı ar.
35. vnd DFE der iſt 14 gr. 25. Auch kan man mefien AB bie iſt 280.
BC welche iſt 432. C D die il 473.0nd DE fo 481.C F iſt 600. walh
emer diſe windekond feiren Iefandı hat / ſo wird. die Figur folgender
gflalt auff das papyr getragen.
Ziehe Dielinten BC darauff feh mir dem Cixckel ſo vil kleine heil.
als BC groffe heil hat / namblichen 432...
Vnd die fundnen winckel fuhrrahler jeden: von: einem: rechten
windel/fo reftierend Die winckel der bafen,dannı der winckel auff dE
Eenreo iſt doppier dei winckels auſfdem vnbfreißrt.:
As fubtrabter vom rechten winckel 0gr.
Den winckel AC 3981.30,
Dem Reſt sost.30,
Mach gleich beyde winckel C B6. vnd BC G,unduerleng BG , vnd
C 6 die ſchneiden ein andren in G ‚welches iſt das Centrum / vñ der
winckel imG iſt dopplet dem winckel BAC ‚auß G mit der weite GB
oder G C, ſchreib den Circfel bogen ABC, die leng BA welche 280,
feg ın kleinen theiler von B auffden bogen in Asjtche BA, .
; Weiter
— — Tu Tr —
F, vnd ſetz 473. kleiner theil von C auff den bogen in D,
Weiter ſuber ahier vonrrechten winckel ⸗ogr.
Den winckel CFB | n_
Dem reft ſy
Mach gleich beyde winckel CBH,BCH verfeng BH,UMBCH:, DIE
ſchneiden einandren im Sense H,darauß ſchreib mir der weite HB,
oder HC,denibogen BCF,auß c auff den bogen fe coofleinte theil
in FF, |
Vnd ſubtrahler vom rechten winckel yo gr.
Den winckel OFD gıar.3f.
38 gr.2s.
em reſt
Dun gleich beyde winckel DCI,CDT die ſchneiden ein andren im
Genero 1,darauß ſchreib mit der weite 10, oder 10 den bogen CD-
Vnd fübrrabtervomsejhienwindd 9088:
Den winckel DFC 174 gr. 25.
Demrefl 77gr.35.
Mach gleich beyde winckel EDK,DEK,Perfeng DK vñ EK ſchnei⸗
den ein andren im Centro K, darauß fo une mit der weite K D.o⸗
Stan iij der
| Das jchendt Back Geometrie,
der XE den bogen FDE, vnd ſetz von D in , ‚der kleinen cheil Er.
„ ondsiche FA, vnd FE ‚fo iſt die Figur auff Das papyr getragen gãt
gleichfoͤrmig der groſſen / dann die winckel auff der baſen ſcyñ einan
J.p.1. dren gleich / vnnd der winckel auff dem Centro iſt dopplet deß
winckels auff dem vmbkreiß / aber der winckel auff dem vmbkreiß
Ei.p.t. macht mit dem einen auff der baſen ein rechten winckel / J.
"VE,
" Ein grunar in zween oder mehr
ſtenden zenemmen / welchen man vberſehen
kan / mit eim braͤtt / oder banck / vnnd
der gleichen.
ES wird begehrt in grund gelegen die ort ABCDEFG , welches
man auß den zween ſtenden A vnd B,oberfchen mag. Es hat ei⸗
ner aber kein Geometriſch Inſtrument beyhanden / ſo mag einer
ein ſolckes mit eim graden braͤet / einem banck / oder mir einer Trum⸗
nel verrichten vnd mit einem Linial / in mangel deß Linials mitei⸗
nem faden / wie dann ein jeden der marckt wird kramen lehren.
rſtlich fang an in A vnd leg ader ſtell das Braͤtt / oder Banck
nach dem Horiont / darauF ein ſaubers papyr gekleibt ſeye / vnd zie
he ein linien OH ‚Die wend gegen B der geſtalt das O fleißig vber di
A komme / vnd halt das Linial an O, vñ mit dem andren theil riche
es auff jedes ort / vnd ziehe nach jhme Die ſinten OI OX, OL ;OM,
ON,ondgangin B,dahin ſtell wider Das Braͤtt oder anders nad
dem Horizontider gſtalt / daß dic linie HO auff A gerichter ſeye / vñ
halt das Sinialan.Hn vnd richts mie dem andern theil auff cin jedes
ort / vnd ziehe wider linten nach dem Linial auff das papyr / die were
den die erſt gegognen ſchneiden als in 1. welches an ſtatt deß orte C,
.pnd in x ſo an ſtatt deß orts D, in L-fo an ſtatt deß orts FE, vnd in M
— ſtatt deß orts F, letſtlich in N ſo an ſtatt deß orts G fein
wird.
Darnach miß die weite zweyer ort / vnnd gilt gleich welche es
fſeyen vnd am beſten meſſen fanft/alg bier BD welches iſt 1045. in
ſovil kleine gleiche thel muß jhre reſpondierende linten ais HX
etheilt werden / auff welcher man dann die weite aller vpbrigen ort
** fan. Als es wird begehrt zu wüſſen wie weit die zwey a D
vnd F
Von dem grund legen. ne -
j er Er er ER nut \
«
vnd F von ein andren ligen / ſo nimb mir einem Circkel die grade K
Mond fihe wie vil der theil der linien BXfie habe / vñ finden 1012.
darauß iſt zuſchlieſſen daß D von xauch 1012. groſſe theil lige / an⸗
—* Die gleichwinckleten Triangel / vnnd Die proportionierte
iten.
Nora Hier iſt zu bedencken / wann die Figur auff dem Braͤtt zu
klein wolte werden / daß dann der gwüßheit leicht ſchaden bringt / ſo
mag man folgenden waͤg brauchen / wann im Rand A bie linien auf
Dem papyr gezogen ſeyn / vnd man in das B kompt / ſo mag man ein
anders papyr aufffleiben/ond wider obgedachter maſſen die linien
ziehen / vnd fich dann nach hauß verfuͤgen / vnd folgender geſtalt ab⸗
tragen. Nimb ein ſaͤubers papyr / darauff siehe ein linien AB. vnd
nimb das papyr fo du im ſtand A gebraucht haſt / und leg den pun⸗
u .. me
aM,
Das uhende Bach Geomerriz,
eten o auff das A end die linien o H,auff Melinien AB , vund giehr
nach den linten o N,o M, o L,o K, o 1,wol verlengt linien auff Das
vnder papyr / darnach leg das papyr welches du im andren land B
braucht bekrend (eg den puncten.H auff B , vnnd die linien HO
auff BA sondverleng wider alle linien deß ſtands B auff dem vndrẽ
yapyr die werden die auf A gejogeninC ,‚D,E,F und G ſchneidẽ
welche dann an ſtatt der orten — in. den grund glegt haſt ſeyn
werden
Wann dann im groſſen die weite zweyer orten gem aͤſſen wird /
md die weise der reſpondierenden ort in fe vil gleiche cheil theilen
werden / ſo wird mie den ſelben cheilen / die weite aller vbrigen orten
ſunden / als hier oben mit der gecheilten HK.befcheben iſt.
VIII.
Mit dem Compaß oder Magnet
nadel / die groͤſſe der winckel zenemmen /
a an
Bon dem grund legen: 237°
&S fene ein Statt maur ABCDEFG/ iu weldherfeltenman
tommen kan / die begehrt man mir dem Compaß oder Magnet
nadel in.grund zelegẽ / daſes su verrichten fo ſchraub das kaͤſtlein mit
Der Magnet nadel vnd Dem außgetheilten blatt auff Die Circkel lei⸗
rer(ſo gantz wird auffgechan.) Vnd fang an auff an AB pi
laß ein langes Richtſcheit an Die mauren halten (weil Die mauren
jederzeit erwas onchen.) An das Richtſcheit hale Die blatten daß das
hinder cheil der Circke leiser re gegen dem Richtſcheit * —
ſo wende das kaͤſtlein mit agnet nadel heru
del auff jhrew ſtyich — —— ——
zeigt / vnd ſihe nun. von dem zei
deins pend nahe nee r 332. ar. 30. — —*
‚AB ſo 250. die ſchreib auch auff / nach diſem halt
die mauren BC vnd bie blatten wie ig An = ieh,
Vnnd wende das koͤſtlein biß die Magnet nabel in che / dee weiße
Der zeiger auff 279 er. 30. dife ſampt der lenge der feiten BC welche
190 die ſchreib widerumb auff / vnd alſo fartan nimb aller ſeiten
ihre Deckination oder abeecichung/ond lange / Die ſchreib ale auff
Hand ſindſt /
1: 250 33% gr.30.
BC 190 | —
7209 41.21
Fur die hl DE En 2518.
je 36 250
FG 420 1 79
ASA 104[(10-— 4Megys.
den Amoaichungen werben die · winckel —— — fh ſub
ale Pen Abweichungen voneinander
von zweyen
‚techenmpinckien / fo Ueiht der
iſt gaommen.
Zum Exempel. |
Ven der Abweich der ſeiten AB 338 are.
Subreapieseie Abmeldung Der foren C 259 90.30
Gefieder wind ca Ze Pie .
De
fo ein ſeiten verlenge 4 den —5**
—— —— Sn en Dahme
Te
Das zehendt Buͤch Geometriæ,
Den ſubrahier von zweyen rechten wincklen 180 gm:
So reſtiert der winckel ABC | wg.
Vnd von ver abweihung BC 25991.30. .
Subtrahier die — CD: 209 gr.2ıE
So reſtiert der winckel KCD. yo gr. 8
Den Subtrahier von zween rechten wincklen zog. ·
Reſtiert der windelscD PR 27. 52: =
Beirer fubrwahtert von der abweiihung.DE: - 2518.
Ike abweichung CD. 209 1.2 .rE
SoreflietDeeminde LDE | 41. 325
Den fuberahier von zweyen rechten wincklen 180 gr
Reſtiert ber außwendig winckel O DE OO BIER
Den ſubtrahier vom gangen Circkee 36ogr.
So bleſkbe fürben-gangen ein begnen winckel CDR: 221 gr. 383
Vnd von der abweichung DE zyı gr.
Subtahier die abweichung — — 150 gr.
reftiereberwindefMER x oi gr.
en ſubtrahier von men rechten winckkſen 120 gr.
So reſtiert der vinckel DER u 79 gr.
Mehr fiberabie ven da aiweibens nn ES 7 CT. Fa
Die abweichung FG; — a
Röftierediewininee 0 gie
Men ſubtra —— — — — — 180 gr.
So reſtiert der viuckel Er: | BE 7. |
Beier von der abweichung FG: — 27gr.
Subtrahier Die abweihung 6A; x6 gr.
Ser RrwindelOGA £ IT.
n ſubtrahier von weyen rechtenn28380 gr.
Eo blebe der windii gar IHK
see
Von dem grund legen. 238
Letſtlich vonder abweichung AB | 333 41.30,
Subtrahier die abweihung GA . y6 gr.
Wom reſt 282gr. 30.
SubrrahlerdenhalbenCirtd 18ogr. :
So reſtiert der winckel GAB | 102. 41.30.
Alſo hab ich alle winckel vnd feiren bekandt / deßwegen fo ſchreib
‚it den kleinen theilen ein gleichförmige Figur auff das papyr / T. 10 p. ð.
vnd 43. p.i.
Anderſt.
Maimsb ein glac gehobleres braͤtt / ſo an einer ſeiten grad ſeye / da⸗
rauff kleib ein ſaubers papyr / vnd in mitten auff das braͤtt ſchrauff
Das kaͤſtlein mir der Magner nadel mie welchem du die abweichun⸗
en alſo nemmen magſt halt das braͤtt mit dern graden t heil an die
eiten DE ‚und wende das kaͤſtlein bi das zünglein ober nadel inn
Ge fo chu nach dem zeigerlein deß kaͤſtleins ein ſch
es Rißlein / vnd zeichne es mir einem buͤchſtaben 7 oder einer zahl /
als hier iſts mit 1 gezeichnet / vnd miß DE das ſchreib auff / vnd halt
DaB braͤtt an die ſeiten DC, vnd wend Das kaͤſtiein wider biß diena⸗
del in ſtehet / vnd mach wider an deß kaͤſtleins zeiger ein Rißlein / di
zeichne mir 2. vnd miß DC die ſchreib auff / vnnd alſo fortan biß du
aller ſeiten jhre abweichung auff das braͤtt verzeichnet haſt / vnd jhre
lengen auffgeſchriben / darnach trags alſo auff
imb wider ein ſaubers papyr Das leg auff einen diſch / vnd siehe
ein linien auff den ſelben als hier Die limen MD, darauff ſetz fo Pit
kleine (heil als DE laug iſt / von D in E, vnnd richt den zeiger deß
kaſtleins auff die erſt zahl x. vnd halt das braͤtt mit der graden ſeitẽ
an D E. vnd wend das papyr ſampt dem braͤet herumb big die Ma⸗
gnet nadel inu feher/foligr dann die linien DE nach der rechten ab⸗
weichũg / darum̃ mach dz papyr mit wachs feſt auff den diſch / vnnd
ruck das kaͤſtlein mit dem zeiger auff die zahl z. vnnd die grad ſeiten
deß braͤtts an den puncten D, an welchem das braͤtt ſo lang hin vnd
wider drehe biß die Magnet nadel inn ſtehet / darnach ziehe nach der
graden ſeiten deß braͤtts ein linien auff das papyr / verlengt daß fie
jo vil kleine theil bekomme als CD groſſe theil har. Vnd alſo for⸗
tan biß die Figur gantz aufftragen iſt / welche dann der groſſen gleich
foͤrmig werden wird / angeſehen die gleichen abweichungen vnd die
proportionierten ſeiten. | ä
7 Doch” 1. No-
die
Das zehendt Buͤch Geometriz,
1. Nora wann man zu den feiten nit wel kommen fan / aber wol
langs der felbigen fan hinſehen / wann einer darhinder ſteher / ſo ſici
= en vnd richt Die gſicht regel lange der feiten hin / imm vbri
——— walb in grund efegen/ da man wel ss
IX.
Wie man der krumbliniſchen Figu⸗
ren als waſſer und der gleichen jhre grund⸗
riß nemmen ſol·
ES fee ein waffe: (oberfonften ein kruñlin iſche Figur)wie AB
CD deſſen grundriß zenemmen fo erwell ein ſtand darauß du
am meiſten winckel ſehen koͤnneſt als hier das E, darauß miß in alle
el als EA, Ec, Ee, E g, vnd fo fortan / vnd obſervier alle win⸗
N
Non dem grundlegen- 139
ckel vms BF oder mic dem braͤtt + und fo man auß E nit alle win⸗ 8.p 8.
edel oder krümmen fehen tanıfo magnıan noch mehr end erwellẽ/ ».p.4
vnd trags hernach alfo auff / mache ein puncren auff cin faubere
apyr / vmb den ſchreib gieiche winckel den wincklen vmb E, vnnd
etz auff jede die lenge der reſpondierenden ſeiten in kleiner propor⸗
— vnd wo ſie enden die ziehe mit einer wol ſormierten linien ze⸗
ammen.
Erwell die lengſten linienfoman lange deß waſſers hin ohne
Verhinderung möge abſehen / als hier AB,EC ‚md CD diſer Iinien Oper;
mimb jhre abweichimg/t und laß auß den greffen trũmen deß fing Vbtr⸗
auff die linten perpendicular fallen / als miß AB der gſtalt daß ein
zedes ort abfonderlich dahin die perpendicular auß den Früämen fal⸗
ken als Ab,bd.df,.fiund hu,difelengen fchreib ale ſteißig auff/
und miß alle —— die ſchreib auch auff / glei⸗
— mie den linien BC und CD vnd alſo fortan.
Diſe trag hernach alſo auff das papyr / auff weiches du erſtlich
ein linien ziehen muſt / welche dus dann nach der erſten ung
ſtelleſt mir wendung deß papyrs / vnd mach fie ſo vii kleiner als AB
groffe theil hat / die cheil hernach in ber proportion wie AB durch die
perpendicutar gerheileift/t anfallen cheilen sche perpendicular ſo 24. P.4.
vil kleiner Heil hoch als bie groffen ſeyn / jhre endt ziehe mir einer wol
linien zeſammen / in gkeichen halt dich mie ben vbrigen
re nr BC, vnd CD , darnach nimböte breite deß waſſers /
nach weicher breite du dann in kleiner proportion deiner krum̃ ge⸗
zognen linien ein parallelen ziehen kanſt wann es ein fluß iſt / mit
der beſcheidenheit wann es an einem ort breiter iſt oder enger gegen
welchem perpendicular / Es feye —— —— — ret
Kroderenger machen. |
— es aber ein See iſt / ſo muß man jhn ringe herumb in
Nora, So man nicht darzu meſſen kan noch die perpendicular
* - SORTE meſſen / ſo verricht es mie 2. oder u r
A p.
Goo üj Don
sp8.
-9
a Das zehendt Bäch Geometriæ,
Von drey vnd mehr ftenden/ ein.
Tandtſchafft in grund zelegen.
ES feye ein Sandrfchafft die har zwo Stett / ein Schloß / vnnd 4%
hen doͤrffer / die begehrt — grund zelegen / die Stett ſeyn A,
vnd N,das Schloß B vnd die Doͤrffer C>D,E ‚F,G,H>0,K,L,M,
Dife in grund gelegen fo erwell zween end / darvon die andren ort
Achen magſt / magſtu fie aber von zween fienden.nicht ſchen / ſo —
den dritten / vnd fo es die noturfft erfordert den vierten / vnnd
amehr / biß man alle ort ſehen kan / in diſem Erempel aber iſt es gnug
ſam mir dreyen / als die Statt A4, darvon man alle ort ſehen lan /
vnd das Schloß ß von welchem alle ort zeſchen außgnommen die
„Statt N vnd die Doͤrffer KL ,M darumberwell den drittẽ ſtand /
darvon du diſe ſehen moͤgeſt / als das Dorff O.
Als dannfang anin A, vnd obſervier die winckel ſinden für
BAC, 1ð ꝗr. für BAD 42 gr. vnd BAE 83 gr. vnnd alſo fortan obs
ſer vier alle winckel BAF. BAG BAO, BAM, vnd OAK. O AL, OA
M., O AN, darnach verfüge dich auff das Schloß B, vnnd obſervier
die winckel ABC fo 117 gr.den addier zum winckel BAC fo ı8 gr.
Die fumma 13 5 von dem halben Circkel 180 fubrrabiert / ſo reſtiert
fürdenwindel ACB, 45. gr. vnnd miß die Standlinien AB finde
ee BCvnd AC wie folgt.
it AB finus deß winckels ACB, zu BC finu Ach winckels BAC,
7071068 Af dt. 3090179 ı8 gr.
Alſo die ſtandlinien AB,gu der weite BG,
3300 144.(u2
Weiter fir AC.
Wie AB finus deß winckels ACB, zu AC finu deß wiickels ABC,
er 4rst. Bpıooss u78r.
Alfo die ſtandlin ien AB,suder weite AC,
3300 —ã
| | Sit:
+.
a Den ©
— RIO,
— _
Das zehendt Buͤch Geometriæ,
Bleicher gſtalt ſuch die winckel AßD. vnd ADB, auf diſen un
der bekandten AB,wirdt BD und AD auch bekandt / wie auch Dich,
brige ſeiten aller Triangel / AE B, AFB,AGB,AOB vnd AHB,dar
nach gang zum dritten ſtand O, vñ verhalt Dich wie in 3, ſo werden
Dir die winckel vnd ſeiten der Triangel ORA.OLA, OMA, ONA
auch bekandt / Wann dann die fetten aller Trianglen bekandt ſeyn /
ſo trage dann —— auff Das papyr.
Nimb ein ſaubers papyr / darauff mach zween puncten welche
an ſtatt der Stenden A vnd 8 fein werden / vnnd ſeyen Die puncten
1,m, zehs mit einer blinden linien zeſammen / vnd cheils in 3 300 glei
cher cheil / dann ſowil iſt die ſtand linien A R. diſer cheil faß mir einem
Eirckel 1442(13. dann fo vil iſt BC onnd.gib acht nach welchem ot⸗
der. weht ſich O hinmeige / als zum Exempelles neige ſich gegen mit
nacht / vnd nimb ante cinem andern Circkel 41 53244 dann ſovil iſt
AC,difen Circka ſetz in1,ond den anderninn vnnd ſchreib gegen
dit cin wenig bogen / die ſchneiden fihinn, welches an far
mima
deß Dorfisc if.
Wetrer faß at dem Circkel die funben weite BD. Ind AD ‚auf
Di an Tui sa
n vnd den andren in.m ‚on en
dem.ort dahin fich.D neigt zween Circkel boͤgen / die ſchneiden * an
der in O, welches iſt an ſtatt deß Dorffs D vnd alſo trag alle vbrige
ort auff das papyr / ſo fompt : an ſtatt deß Dorfiso darauf /onnd
Ifchretb-dte Circkelſchnidt welche im Aland D ſeyn anommen
worden kompt an ——— ———— an ſtate deß L,
mannoc nich Giend erteilen /toie +6 Die arbeis eineim jeden
ſelbſten wird an die hand geben.
Ohne rechnung.
Such auß den bekandten windien/und der bekandten ſeiten A
B ‚die vbrigen ſeiten durch die zı.p 8.
Anderſ.
Obſervier alle winckel vmb den ſtand 4, 3. vnnd O vnnd erwell
auff dem papyr drey yuncten an ſtatt diſer @rendtials Im vnnd
und ſchreib vmb 1 Die winckel gleich Den winecklen vanb A vnnd ab
—
— I u — u mE TE Te ed
— — mn un
Von bem grund legen. 241
‚om gleich den wincklen vmb 5 ‚und vmb x. gleich den wincklen vmb
MO. derlengt alle wol hinauß die werden ein ander impuncten ſchnei
den / welche au ſtatt der. orten fo man in legen wil / gleicher
gftalt bring die Berg / Waſſer vnd Wald auch auff das papyr / wel
ches dich fo ſchwer nit wirdt ankommen / wann. du die ob gebnen
Auffgaben deß grund — wol verſteheſt / vnd wird die Figur auf
cm
dem papyr gan En
die gleichen winckel vnd die proporiionierten ſeiten.
Andemn.
Diß kan auch mit einem braͤtt verrichtet werden/F.
ig deren auff dem FE I Tangefchen 47.
der.
7.
Nora Wann aber begehrt wird ein gantz e General baſchreibung
der welt oder einem theil als Ruroſpæ vnd der gleichen welches mie
longitudine vnd larirudine muß verrichtet werden und nicht hieraus -
= reift vnnotwendig vom felbigen vil zeſchreiben / ſonder es an
ſein gebürendes ort zu ſparen.
Vom abſtecken.
eo. XL
Bo ſeye im Held abtefterfen cin
Irregular ftinffeck.
ES feye Bas fünffef ABCDE das felim Feld abgeflecke werdet
der firaß FG parallden,difeg zu verrichten fo obſervier die wine
ckel deß fünffecks / vnnd mach wider auff dem Feld gleiche winckel /
welches eben geſchickt verkehrt gegen dem grund legen / dann da ſelb
ſten nimpt man die winckel vom groſſen / vnnd tregt fie auff das pa⸗
pyr / hier nimpt man aber die winckel von dem papyr / vnnd tregt
ſie auff das Landt in groffer form / deſſentwegen fo ziehe der ſtraß F
G ein parallelen fo weit von jhr als AB von EG ſtehen ſol / die mach
folangvon A in B als auff dem xapyr die linien AB der feinen chei
len lang iſt / in Avnd B mach deren auff Dem papyr gleiche winckel /
deßgleichen die fetren jede ſo vil gräffer cheil als die auff Dem papyr
fleine theil Haben’ cin jede wie Die winckel gegen jhren reſpondieren⸗
den / das iſt / gegen der jenigen fo auff den papyr wirbt angcbilder.
Als nimb auff dem papyr die weise der wenckel EAD , DAC,
Ppp. er.»
und CAB,unbmiß AE,AD), AC,AB,ond verfüge dich in das feld
wo die Kr ungeheuer ge FG darauff miß su. rech⸗
sen wincklen gwo gleichelinten A, vnd GB; fo weit von ein andren
als AB lang fol ſeyn / vnd laß dir in Aſvnd B pfäl ſtecken / vnd mach
den obſervierten wincklen gleiche winckel mit der Circkelleiter / oder
mit der Horizontal ſcheiben / oder mit ſchregmaͤß / oder durch ein ans
dren der obgedachten waͤg / oder nimb die abweichung deß wägs PG
mit dem Compaß / nach derſelben abweichung richt die ſeiten AB,
Deines riß / vnd laß vnverruckt / vnd nimb die abweichungen AE , E
D. DC, vnd BC ‚die felbigen rag hernach Im Feld ab / ale leg ein
langrichtſcheit an den pfal A. vñ an das ſelbige wider das braͤtt mit
dem Compaß oder Magneg nadel / vnd richt das zeigerlein deß Mas
net kaͤſtleins auff ſein abweichung / darnach ſo wend das Richt⸗
* mir dem braͤtt herumb / biß das zünglein nach feinem puncten
im kaͤſtlein ſtehet / vnd ſich nach dem Richtſcheit hinauß in E, vnnd
miß die lenae von A in FE in groſſen theilen / zu end laß wider ein pfal
——— welchen weiter das Richtſcheit fol glegt werden / vñ dag
raͤtt mit dem Compaß daran / vnnd alſo fortan biß die gantz Figur
auffgetragen iſt da laß jederzeit zu jedem winckel D, vnd C ein pfal
ſtecken / vnnd von einem pfal gu dem andren ein gräblein machen /
welches cin ſchuch dieff vñ breit ſein ſoll / daß dañ an ſtatt deß — J
lei⸗
m— mm m — ——— — — — —
drung deß Theihs
Von bem rund legen 241
Gl—icher werden alle andre rechtli en abge⸗
ee a
» AC, “y nor
Xii.
Ein linien zu berlengen dahin man
nicht ſehen kan / wie die ſelben abze⸗
ſtecken ſeyen.
On a durch ff
ein grade linie
abgeſteckt werdẽ / wel⸗ | *
che ſol zoo lang ſeyn /
man kan aber nicht
weiter ſehen als in 8.
von wegen verhin⸗
CD , darumb ſo ſihe
von A nach E under
dem Theich hin / vnd
obſervier den winckel
BAE,t finden 39.08
miß auff AE biß hin» —
der den Theich als c
er in E, vnd finden
AE ur dis |
en drey befandeen
als der verlengren AB fo 300.0nd AE 40oo. vnd dem winckel Bar
39 ar. fo von innen begriffen / ſuch die winckel AEF + finden 48 gr. cp.
3 u EFA,92 gr. 28. und ſuch wo ER die verlengte AB ſchneide /
als folgt /
Wie AF ſinus deß winckels E, zu Er ſinu deß winckels EAB,
7493411 48 47.32. 6293204 39 gr.
Alſo die vuſichtbar Ar, BEP, |
300 2asılss Ppp ij Dar⸗
SEE
Ä Das zehendi Bach Geommrize;-
Darnach verfuͤge dich in E und mach den winckel AEF VOR &
gr.3 2. vnd miß auff EF die funben as ı(os die enden ſich in F, da
—— winckel EFA 92 gr. ao diſer verlengt ˖ ruͤhre den
Theich in K,Barumb siche FR, ſo iſt die gen AR 300. laut vnſers
vorhabens / vnd As iſt verlengt biß in x.
VOhne rechnung ·˖
¶Wach in A ein winckel naqh belieben / as hier ein rechten BAG;
Rn — — mach in B als FBI, vnd verleng beyde AG vñ Br-
in gleicher lenge / daß son G durch 1 vnder dem Theich hin mö
in n, vnnd miß von sin H ſo vil als AF lang fein fol als hier
200. vnd mach in H ein winckel GHE ‚gleich dem winkel BAG ‚vü:
mad) UF, gleich AG, in F mach den windef HFK ich Dem
wind ACH, ir Theich
nem begehren ein
“
Ende deß ehenden Buchs:
Geo⸗
ma u öα
243
— Theoricæ &
Practicæ.
Das eilffte Buͤch
Wie die Area vnnd innhalt
aller felder zumeſſen
ſeyen.
G Ann ein Area und flaͤche zumeſſen fuͤrtompt / das iſt mann be⸗
gehrt zumüiffen wie vil Juhart / Ruͤten ſchuͤch / erſte / andre /
vnnd dritte — dieſelbige in jhreni be FAR in die gfierte faſſen
thuͤe / als ich finden 83621238. ——— —*— ich es ſeyen tut
deren jedes ein ſchuͤ y. .. breit iſt / vnnd ein gfierter ſchuch
gnennt wirt/ er deren jedes ein ſchuͤchl ana aber allein:
ein gehende theil eines ſchuͤchß aa ı. ſtuck ſo ein ſchuͤch lang
aber allein ein hundertiſten theil eines ſchuͤchs ad 2. ſtuck fo
ne lang und ein chaufendeften cheil eines ſchuͤchs breit / meh
fa ham fs vnnd ein zehen thauſendeſten heil eines
— r 8. ſtuck deren jedes em ſchuͤch lang vnd ein hun
theil eines ſchuchs breit / welches fo ein ſchmales
Kit 0 Fa nichts ertragen mag / darumb ichs für gnaw gnuͤg
ſam achten thun / im feld’ IB auff die Dritte-fcrupul zumeffen / wel⸗
ches dann erſt ein thauſendeſter theil eines afterten ſchuͤchs antref⸗
fen thut / doch wil ichs einem jeden meſſer ſelbſten heimſtellen bie:
Serupul ſo hoch zegebrauchen als ihme belichen mag / vnnd auch nach
dem hen mon: — hoch geachtet wirt.
den an orten da andere maͤß ge⸗
braucht werden / vnd * od sum meſſen gebrauchen die decimal:
ruͤten / vnnd wirt begehrt In das orth da mann gmeſſen hat acker /
morgen / oder juhart zuserwandlen / damit das werck an allen orten
zugebrauchen / ſo mach nach deſſelbigen orts werckſchuch dein deci⸗
mal růten / darmit miß das vor geben feld vnd finden 7865 37802.
* fluck / das iſt fibenhundert vnd ſechs vnd achtziig thauſend
nff hundert vnd ſiben vnd dreiſſig gfierter ſchüch / acht erſte / ſechs
Ppp iij andre
Das eilffte Bach Geometriz,'
andre / vnd zween dritte fcrapul flaͤchmaͤß / verſtand ſchuch eng und
erſte andre vnd dritte ſerupul breit / wie hie oben auch vermelt.
Aber diß orts gebrauch iſt ein lange ruͤten von 12. ſchũhen / derẽ
144. ein gfierte ruͤten machen / vnd 00. gfierte Ruten oder 86400
— chuͤch ein Morgen / darumb —*——* die gefundnen
7865 377 gfierten ſchuch durch 860400. ſo kommen ⸗ morgen / vnnd
bleiben 89377. gfierter ſchuͤch / die dividier durch 144 ——
ſo — — 9 afier * ee a
auch dic v ferupul zu addieren / darumb muſtu
sen wie vil ſie nach deß orts glegenheit vermoͤgen / etc⸗
Als 10 «rfle gibt ein gfierten ſchũch / vnd 100. andre auch ein /
vnd 1000. dritte auch ein gfietten ſchuch / DTarumb ſetz in die regel
der proportion alſo /
wie 10 zu ı alſo 8u7 ? ¶ 1003 400
wie 100 gu a alſo 6 zu & a} ee: 39
dk ı I
gie 1000 ju 2 alfo 2 zu 4.
Addier die drey brũch? onnd?; vnnd I zeſammen gibt 22}.
vnd iſt 78553 7(s0n.gleih morgen / 62. růten / vnd ). gfierter
ſchuͤchen / an dem ort da 12 ſchuͤch ein růten macht / vnd 600. gfierter
ruͤten ein morgen. 2
Gleichen praceß heltſtu wann das ort ein ander⸗gattung ruͤten /
oder margen oder juhart hette.
J.
Bie im Felvceingrade Rinien
abzeſtecken ſeye.
wirdt
begerr A 6 D _E B
AjtB, cin
grade [fen abzeſtecken / ſo Fred arfifichin A Und B ween AB / oben
darauf mach? nmaswcißralg zweh papyr/hamie mane befto rechter
FEDER toͤfte / vnd iaß Dir meüfchen A Und B andere fleb fledfen/ber ger
Aut daß ie mir AB in ein grade linien kommen / welches geſchicht in
CD vnd E, ſo iſt dann ACDEB ein grade linien.
te
Wie auff dem Feldt ein rechter
| winckel zemachen.
Oo begehreimaeinredheeit x
winckel zemachen / ſtell da⸗
hin dein Inſtrument zum grund
legen / vnd richt die abſehen in ein B|
rechten winckel / dte zwey nach E, |
vnd die zwey nach D vnnd ſterk
zwüſchen AEF vnd AD die graden
linten ab/t. -[
Der thu das Inſtrumẽt pam \
tiumsirrechten wincklen auff / vñ |
richt den einen ſchenckel nach B en andren naher C , fo gibts in A.
wider ein rechten winckel |
Wann du aber kein Inſtrument beyhanden haft / ſo verriches al⸗
fein. mir einem gnomoroder winckelhack / richt ein ſcheuckel nach B,
den andren nach c gibts auch dein vorhaben. |
Vnd ſo man difen auch nicharfo miß von A in B 30: ſchüch / laß
in Avnd in B ein ſtab / weiter miß von A gegen C 40 [hir / vnnd
von B gegen © sofchüchrdte ſchneiden ein ander in C. vnnd iſt der
winckel BAC ein rechter / dann beyde quadrat auff AB. fo 900:
vnd auff AC fo 1600. ſeyn 2500 ſo vil iſt auch das quadrat 30. da⸗
rumb iſt der winckel dem die iengſte ſeiten vnderzogen ein rechter / F. 47. P. 1.
III.
Auſz einem puncten im Feldt / auf
ein grade linienein perpendicular
zeziehen.
an n der puncten in der linien / ſo mach Im gedachten puncten
auf der linien sin rechten wine, tonndverieng die ſeiten fo Ober.
haſtu ven begehren. FR
Bann aber der puncien aufferr dei linien iſt / als auff dielinien
| j " AB,
A
y
124
Ober.
Erſt d.
— — —
DA — vnd wi⸗
die wey ab
puncten C u. die
nach der
andren zwey lini⸗
en DE flandensweldies in F, Ache auß.r. in C ein linie $
Die wir dt Deinem begehren aznug thun.
MI
Im Feld einer Einienvurß ein
ee parallelzes
schen.
Je linen * der
puncten ſey. C, auß C 1
auff AB siche ein perpens —
dicnlar CE,T vnd.ein au € *
ders auß Dals Dr, vnn— — N —
mahDFgkIhEC, und | |
siehedurd CF ein linien | “ ! *
+ die iſt dann mit AB pa
rallelen, angeſchen die 70 — 6
Das ei Oh | ———
as a EIERN
der ini»
tanftı fo siehe
gleihenlinienEC, PDF,
vnnd die gleichen winckei
in E vnd D.
Im Feld deß Erckel Centrum
vnd — zefnden.
Erwell |
Er ar theil re en E 3. AB zithe ein
perpenaieuiar FG, hab acht wo Re den vmbkreiß ſchueide als n 5.p. d
diameter, den cheil
u Fond in G ge⸗
sn _ = vi
Sas Centrum bnnd beyde dia⸗
me ter einer Oval ʒefinden.
cheil jetweder in mitten in zwey in —
* dardurch ziche O n die cheil vider me „/-E
senin n O welches Centrum / das —
rauß fehreib ein bogen der fehneide den
ombfreißin 1, vnd K,stehe 1x ‚Die theil
mitten in zwey in L.durch L sichesurcdh
sen wincklen MN,mweldges der fürger dis
ameter, durcho siehe Dem kürtzern dia⸗ |
meter zu rechten wincklen PQwelches eg
Deriengerdiamerer fepuwirdt: . RR.
VL 0.
Wie im Feld die graben linien
RER * . 6,
ag dene: (ei u =
erieen lang — fh
K Soräten oder So ſchuch / darzu
—— * die gantz lini⸗
Wie Bei Feldein Snbegengige
TEEN
lar linie zu meſſen /
fo im Triangel A
BC von.cC auf Die
bafen ap felt / fan
aber von wegen mo
raſt vnd ——
nit von C auff AB
kommen / darumb
nimb ein: puncten
AB
NY
pD'
8*
IB
auff der baten Aß als in * du nach dem rechten winckel neben
dem moraſt hin ſehen tänne als bier Er,in x fich —
2.3
Monm Feldt meſſen. 246
rechten winckel in G,und auff EG gang hin vnnd wider biß du zu
rechtem winckel das.c ſehen koͤnnneſt / welches geſchicht in 6 miß
EG und FE.+blenddiersefammenfobaftudein begehen. Odber.
Se man aber durch ben Triangel nit gehen fan / ſo nimb auff
As auß.B:das perpentucular BD,darauff gang hin vnd wider biß
Dis u rechtem winckel das C ſehen kanſt / weiches geſchicht in Dz dar
nah ſomiß D die chut deinem begehren ein genügen / dann fie de
perpendicular gleich iſt angeſehen die parallelen AB,CD vnd die
rechten winckel in D, vnd B.
1X.
Im Feld die lenge einer p erpendi-
cular linienzu erfahren / welche manweder auf
ſert nos indem Triangel meſſen kan / aber wol deß
riangeis drey feiten darian basıperpew
dieular sogen iſt.
ES m Zrianse ABC, deſſen
drey ſeiten man meffen fan / vnnd Aa
befinde ſich nach der zehen theiligen rü
ten AB,20.BC,21.AC, 13. mit hilſf
diſen begehr ich das perpendicular A
D su erfahren / nach der 6. propoſition F
deß achtẽ / oder alſo / quadrier aleirey CC D B
seiten kompt für AB, 400. für BC,
1. AC,I169. abbier beyde quabrat AB, 400. BC, 441. vonder
a 341 fubrahier das an ıdrat AC,ı69.refl&y2 für Dy rechte
——— iffen von BAnDd BD. darum 79.p.1.
dividier 872. durch dopylete balen Ta als durch 42.ſd kompt 18.
für DB fein quadrat iſt 256. diß Jubtraier Dom-quadrat AB, 400.
foref für das quadrat AD 144. hierauß v if 12 für das perpen⸗
aicuiar AD,gleicher gſtalt kompts wann Die quadrat AC. 162. vnd
CB 441. addierſt / vñ von der ſumma 610 das quadrat AB., 400-
ſubtrahierſt / ſo bleibe 210. für Das recht wincklet viereck zwey miahl
fo begriffen von BE vnd CD , darum̃ fo diridier 210. durch dep⸗
plete baſen BC fo42 fofompr für CDs. deffen quadrat 27 Juben,
hier vom quadrat AC,ı69. ſo reſt wie oben fir das quadrat AD
ı4a.dbaraußy ff 12. für bdas perpendinlar AD. . .. .
| EEE > TE ze So
= m m .m — — ln.
ik 29
| N bekande linienfey AB, 42. de
tkompt 24, für ein linien E ‚deren erheb
0
Pr du am 2an Geomeateh
So im clö das perpendicular
auſſert dem Triangel felt/ond doch nit zu meſſen
iſt wegen holtz oder waſſer) aber wol deß Trian⸗
pergendiculer
geis ſeiten / wie dann das
su erfahıen,-
AB Trtangel ABC’, fältauß a auff die vers
lengt bafen BD, das perpendicular AD auf
ferdeß Triangels / vnd ifenir gemeffen wegen vn⸗
glegenheitiaber wol deß Triangels ſeiten / die be»
nden ſich nach der. zehen theiligen TURn-AB,-
20. BC, 8. vnd AC, 16. mit hilff diſen erfahıd'
perpendicalar ADe nach der 7: propofitiondeß
achten / oder alſo / quadrier alle ſeiten iſt AB, 400.
BC, 64. AC, 256 addier beydr AC,. B
z56.0Nd BC, 64.dife fumma 3 20. ſubtrahier od:
quadrat 48. 400. ſo refliert 80. für bau reche wincklet viereck pe
mahl fo begriffen / von , CD. darumb dividier 80. durch BC
gwey mabl als durch 10. fo kompt 5. für CD: deffen qumdrarzy.fub-
trahler von qnadrat AC,256. fo reſtiert fuͤr das quabrat AD, 23r.
3
u
hierauß WI v 23 1. oder 151(09—. Zür Das perpendiaular AD.
XL |
Auff ein bekandte linien ein recht⸗
wincklet parallelogrammum
fo cin gebne morgen zahl be⸗
greiffe.
cimal rũten / die gegeben morgen
sahl ſeyn 1008. gfierter decimal ruͤtẽ /
diſe 1008. dividier durch AC , 42. fo
imo gleiche perpendicular auff AB“
— MAD,
DBomddunden. -- 247
dis AD ,BC.Äche-DC ‚fo belt das rechtwincklet viereck AB CD die
gebne moꝛgẽ zahl Kdañ das recht winttlet parallelogrammum fie 38.defir,
Friffen von den zwo graden linien / ſo den rechten winckel machen /
darumb ſo man multipliciert AB, 42. tele AB 24. ( dann AD iſt
gleich ER ſo kompt 1008, filr das recht wincklet viereck ABCD.
Xi
Auff ein bekandte linien ein Trian⸗
gel zeſchreiben / ſo ein gebne morgenzahl _
begreiffen thuͤe. |
ebefandrelinteniff AB,6B. die geben morgen gahl I 884.
AMeeimol rũten / dividier 884. durch halbe bekandte linien Aß,
das iſt —— ſo kompt für ein linien E, 20. ſetz uff AB einge
pendicular gleich E, es ſey |
end-oder wo es woͤll als
dr parallelogrammi ſo glet
cher höhe vnd gleiche bafen: | Ä
Baben/darumbdintdiert und multiplieiert man nur mie halber ba⸗
fen, Dann fo ich muleiplicter mit der halben bafen AB , 68. das
34.die perpendicular DC ‚26 (fo gleich E)ſo kompt die morgen zahl
834. für den Triangel ABC, dann wann ich DC, 20. mit der gan⸗
genbafen AB ‚68. multiplicierẽ wurde/fo keme das rechtwincklet gas
sallelogrammum ABGF, 1768. fo doppierdeß Triangels /dann A
€ ſchneidt das parallelogrammum AD'C F ‚und BC das parallelo,
gramanım BD G jedes in zween gleiche theil/t datum̃ iſt der Tri⸗ 160.. 1.
angel ABC die helffte deß parallelogrammi ABGF.
XIII. |
Die die Helder in recht wincklete
Triangel zu verteilen / wann man ohne vers
hindrung dardurch sehen fan. Es
Das eylfft Wach Geametriz;
S ſey mmeſſen das — ABCDE, fofled auff
alle ſeine eck ABEDE ſtab oder. marckreichen / ein gleichfoͤrmige
. —
x ı \
IN |
m
Fan, IP
| _ | | EN 7
| ⸗
— h H\x J
A "Tr * -E .%*
Figur seichne in das ſchreib bůchlein / miß Die linien AC ,AE vnnd
CE,t end auß B.auff. AC, vnd auß.C auff AE, vnd auß D auff c
E. diehe die perpendicular BF,CG,DH,T die miß auch / vnd ſchreib
- ‚alles in das ſchreibbuͤchlein / iu den reſpondierenden linien der gleich
foͤrmigen Figur.
XIIII.
Wann man aber von wegen SGaa⸗
mens oder waſſers nicht durch das Feld
kom men kan / wie cs in recht wincklete Tri⸗
angel zu vercheuen.
X ES ſey wider das gedacht Irrogulat fünffeck ABCDE ſo ziehe
AE durch Cem parallelen MN, vnd MA durch D’einparatielen
NO, es ſey auch zogen AM, ſoiſt vmb das Irregular funffeck cın
parallelogrammum AMNO geſchriben siche auff AM auß B das
‚perpehdiwular PP, ypnnd ſchreib wider in das ſchreibuͤchlein ein
gleichfoͤrmige Fegur / vnd miß die ſeiten der recht winckleten Trian⸗
gel. ſo den rechten winckel begriffen / vnd ſchreibs in dag ſchreib buͤ ch⸗
lein zirden reſpondierenden imien. an
Auß be»
Vom Feld meſſen. on 248
\ | i | c h :
N
„EN
|
\
l
i
|
> AV, E04,
Auß dẽ belandten ſeiten vñ diago⸗
nalen ein Figur in ſhre ncklete
Triangel yerheilin ohne In⸗
| firument. u
2;
S ſeye wider das gedachte trregalar fünffed ABCDEAÄR AB
‚ 80.B C, IOO.CD ee ‚fa.EA A 180, AC N I jo. CE, 108,
(135. vnd Halt die Figur drey Triangel ABC,ACE; —— en
perpendicular' ſuch nach der 9. propefidondifts / oder der 6.
— achten. Als erſtlich nimb für den ‚Triangel ABC,
aa - . . E N :
1: Die AC, iu AB,B 0; alſo die diſterenta von AB:BCHUCH,
150 180: 20' 24
Subrrahter CL,von AC, reſt ar, diß halbier kompt für Ars:
24. 170 126 6;
Subtrahier AF,von AC ref FC, z
so %
2. Vnd
—
Das eylfft Bach Cieometriu,
BR I AB gu Ap,.alſo radias B, iu an Ar des vieiccas ann
0 6 aoooooeoo ur FI 7
Deſſen Complemeat iſt BAF SB gr 3. .
Ox wie ar. iu AB alforadins AF iu fecamı B beſᷣ winddesAr
63 80 100000090 WIE EHE
Deffen Complewem iſt ABF Fıgr. 97.
3 Vnd wie AB radins „ IMBF finu Dei windeisnar,, alſo AB,
10000009 ‚S163489 . 38.903.
———
4ys00-
Dann nimb den Triangel ACE.
1 BR AB U AC,CE ‚alfoihr diferenis in AK,
180 ar0ee a 7%
AK, führte. b. reſuei En Biähaib fie EG (fo gleih gr)
en En | e
Suttrabler Eu\oon AE Keller AG,
60 180 120
2. Vnd wie C. tu AC. aiſo radint AC ‚gun 40 deß winckel⸗
159 120 10000000 oooooo
ACG, J 4u “
73 gr.
Deſſen Complement il CAG 36 gr. 53.
Oder wie AGAHAC alforadius AG iu fecam AC deß winckel⸗
120 158 10000099 1IAa5oocoo
Deſſen
249
Deſſen :Complemchrift’Ac Dopgan 73 St.
3. Vnd wieradius AC, zu Mau C6 ER ‚als Ac,
30000000 5999549 3685» 1j0
Letſtlich nimb far dich den Triang CDE.
WIeCE : BE CD,DE‚alfofhre.differemz ucT,
108[(100 77 * Bon
CLfubrsaßler von x CL. reſtieriax ahheaßeiſtxn KR an.
— —2 ayl43 .Irgas
EH En fubreaßiereponnE; Erefinen, —
Kross 108(s RICH
BecD;wcı CH 1,0lfo:radius. CD, MÄRLCH Roeß geindtels CDH,
110 Ilse. "10000000 77772 KL, gr
Deren Complementif.D.C H 2688.29.
Oder wie CH, MC DAlforadius CH R,wkamCD! deß windeis
—2 100 ° 10000000 41192 72106
DCH,
2647.29.
Deffen Complement fl CDH 63 gr. 31.
Vnd wie En rad DH fipu Dep fe wipgels DCH, 1, gg,
_ 10600000 4459377 ‚2698,29, 21e
Br f
’»_- ’
ee 977, 7 07 1.000025
— XVI.
“€ ß 5 ⸗ | )
Außz bekandten feicen vnd wincklen /
ein Figur inrechtwincklete Triangel
S ſeye ein Wald / dardurch man weder ſehen noch meſſen kan /
welcher macht ein Ircegular viereck/ ſo nimb die weite bir win⸗
8.p. 8.0der delrt und mißdtefgire/t vnd find für die winckel DAB, 59.81.47-
J. p. o. für ABC, 10 i. gr. x2. fuͤr C D, 89 gr.41.für CœDA, 1 12. vñ fur dic
7p4 fein EB Befürbc,tonfür n,400nd BA, 120, hierauh (ah
agonal.. . P
Nimb für dich den Triangei ABC. —
Darinn iſt bekandt AB 80. vnd BC ‚100. addier bende gibt 184.
für die fuma. Subtrahier And von der aͤndern / reſt zo für die di
‚zerz. DE winckel ABC, 10i. gr.ʒ 2: ſubtrahler võ 180. gr. reſtieri für
die zwedn vͤbrigẽ winckei ach Triangels ABC —*8 gr.8
deſſen helffte iſt 39. g.1: darumb =
Wic AB,BC un jhꝛer differentz alſo Tangent deß winck els ſo die
| ae. ‚1T> /EF TE Er 275
helffte der vbrigen weyen wincklen / m Tangem
907277
” Def windlelsweldjer under ober ober das halb heil
S.gr.IL. |
Diſe 5. gr. 11. addier zu 39. qr. 14 ſo kompt ð wuckel BAG. 43. q
asondfubtrahter 5. gr· 11 oh. 14.f0 refltere der winckel BC Ar
34.4r.3.hierauß fach dag perpenditular alfo |
ieradius A B, iu finus BE def winckels BAE,alf6 AB,jUBE, -
19000000: 6998711 44.98.25. 80 sa
Itẽ wie radius Ac, ju finus AE, deß wiuckels ABE alſo AB, iu AE,
" ...1RP00000: » 714@6Br 45 gr. 35. 8o Sylt
W e⸗
em
Yakaiiniduunc, ner REREREFERE, alſo be 16 8*
aooceooo uimo 55.r. yv. poæ
CE, —
k 2'672 — 2 N
Adbier AE . un: BEZ
Zu „GE: u 5 8 rn
Komye ac... | Tree
Danınimb ADC für
Subtrahier dẽ winckel BAE AAM. gr. 25. võ winckel DAB,S9 61.47
-foreftiert für den — DAC i5 ꝗr. 22. Def Complement iſt der
Be radins AD,tufans DF us DF deß winckels p C. aſo AD AD „u DF,
10000000. 2649952 15.41.22. 120 31(5ı |
Oder ſubtrahier den windfel B et .ar.3. võ winckel BED ,8C.ar.
41 fo refliert.der winckel DCA,f2.38. deffen Complemen: iR der
winckel CDF,37.9% 22.
Item mie radias CDsin inus DE deß winckels DOF, alfo CD,a
4600000 7947678 2.gr. 33. 40
DE, —F Fe Ä
FRICZ,,
RE 2... Wie
ws i S i den * aa —
Das ehf ia Secnetriæ
Wie der Felder Innhale ar meſſen ſeye.
Ob wol der Triangel in der ordnung die erſte Figur / ſo wil ide
doch auß ſonderbarem bedencken das meſſen bey den recht winckle⸗
ten rechtliniſchen parallelogrammẽ anfahen / weil das meſſen der
recht winckleten rechtliniſchen Trianglen auch in der ſelben regel
beſtehet / obwol das Feldmeſſen meiſten theils auff den recht winckle
een Triangelen beruͤwet / dariñ die Figuren on Felder fo zu meſſen /
ſollen getheilt werden / ſo hab ich Doch nit ermanglen woͤllen von den
En ——
moͤcht für tommen.
xVvi.
Augew⸗ belandten ſeiten / ſo eilien
rechten winckelbegriffen / der recht winckle⸗
ten parallelogrammen vnd Triangſen
anhaltenden. |
En parallelogramamımiffBegriffen von ee graben Tinten: fo ein
38.defin.,.. _ Tehremindelmache/t darum ſo man die zwo limiẽ fo ——
winckel machen / mit ein ander ——— ⏑— ei⸗
nes recht winctleten parallelagrammi von gedachtẽ linie begiffen.
Eyempel
SEs ſeyen wo linien AB, vnd 3C, die begreifen betr Er oine
BR.
chen ſie das quadrat ABCD darumb ſo das gedacht quadrat geben |
wereiondwirdibegeherfein innhalt zu meſſen / ſo miß ex ich ein ſet· —**
gel ABC’fo'122, oder u26.
gel vorhanden: fojedt ſeiten
non man fie mie ein andern mul
st fof 0 vn
mit gantzer BEY mir ganter aus taciitplicieren⸗⸗ſ
aWinpe der vahre tunhalt deß gels ABC. ur
Beten f
Kömprdasgmadtat ABCD ar
Deſſen helfft iſt der Triangel ABC xı(y
der muldiplicier BC | £
Mit halber AB. ar
So fompr auch der Triangel ABC Xalf
Wanm es aber ein recht wincklet verlen⸗⸗ vlereck iſt ſo multtylt⸗
rier beyde ſeiten ſo den rechten winckel mahhen / ſo gay eher xechte
innbale.&s ſey das vtereck DEF G,dewein fürge DE 4- Und ein lan⸗
EF y5.den rechten winckel beſchlieſſen / die er mit ein an
Ber fo lomde der wahre innhaladeß vierecks 20, deſſen helffte iſt dee
Triangel DEF. |
Eultiplieier Er | “ 5
Mine ee '
Kompt das recht wincklet vlereck D RRG oe
I®
Deſſen Heifrtei der Trlangel DEF |
Sder multiplicter dic an halb / mie ver anbreir ganvfokeenpe
—— DEF. |
sn Kır hi Kf
17.2.1.
diex Triengel ABD, DBC,
fomen dann AD me DE bap H
mulnptsckeren wurd
fe fome Das recht windiict Pier,
2ER ADEG fo deyplet If —
en fe ren
Pomp Das recht wundfier vinecf ACIHL.3 5. foemdi glchih Dem
u ABC.
Kprupd-
MufrtpliciereD
mr hafber AC alsmir AE
Esupt das rede windicr wierel AEF@ rn
Fiß iſt gleich Dem Trıangel ABC
oder mulnplcier AC
mit hafber BD als mis CI»
Gkomot das red windier dieree ACIH
fo aus neh dan Trisaget ABC
DB, .
ee 3 ——
| | j IR. j
Augß den drey befanden ſeiten /
eines jeden Triangels innhalt
Es ſeye der Triangel N ſeyn / als
AB,10.BC, 17. vnd AC, 31. auß diſen bekandten find ich den
innhalt alſo / addier alle drey feiten / die ſumma 48. halbier / van dis
“Fer helffte nimb jede ſeiten AB, 10. BC.17-AC,& ı.fonderlidh / die
oͤrey reſt 14.9. vnd z. vnd Das halbe theil muitiplicier coontinuam
durch ein —2 dem grodsct — die quadrat wurtzel
34. wechesifiden wahre inhalt deß Triangels ABC-
—— GSempel. | '
Addler a ze:
juBC a. ER 17
vndac 21.
vie ſumma 48
halb iſt ad
won dem halben cheit En Zu 242
ziehe jede feiten ſonderlich za, 17. ar.
reftierend noch SR 24. 77
maltiplicier dene | 144
mit dem reſt | *
das produet — 7
mit dem reſt | 2
Dasprodatt- 294
wider mit der helſſte alrr ſeitew⸗ 24
at difemiufien nroduct, 72 56
Die. anadranmungeliffkiuminngafrärk Triaugels ABC. _ 24
| . Deman--
9.21
sy.def.z.
69.p.1.
2.p. 1.
47-p-3.
J— Das effe Ma ſreotiæ.
Demorſtration.
m Tetangel as irckel eiben auß deuten
— stend aißo — — O F, auff die
eiten AC ,ABBC „. perpondicular ein andren gleich ſeyn
— eiter —* ——— — vnd —
vnd nun iſt CD aleich CF. umh AD glcich AB.vnd BFgleid BE,T
eicer nerleng BA {NG daß AG gleich werde, DC, vnd verleng 2
In WdE AD auß den enden n vnd G sicht per
— Anciden ein ander ha Kaiche XA, vnd KC, *
* 21 gleich DC, vnd sicht Kr,wie. auch KB » fo wird,KB.durd)
ei — ‚Oo gehen / vnd den winckel ABC in mirsen in ante
eil cheilen.
Criffgfeh A6 ‚vonD $ E KM
cifglähcr-tunih RITA
iſt AEAlIhCH,oundEB, *
gleich BF, deßwegen iſt bie 4
BH , vnnd beyde zeſammen
fern — dreyen ſeiten
deß Triangels ABC ‚Darum
ur ein * ide allein die heiffte
ver dreyen ſeiten.
Nimb die ſeien Ac, s €
20. der halben fumma ber |
dreyen ſeitẽ / ſo bleibe Die.difs SAT
Seronz EB ‚weiter — ein 47
ma / ſo bleibt die cufferemez E A, letſtlich Die Sc — game
%G halber ſumma / ſo reſtiert die Fe Actubfan
by: ffre der drey feirenvalie drey dıfferentzen tn
8:6 oder BH ‚weiter iſt BK gmein; darum̃ a eh ‚BK, a:
eyden HB,BK ‚Pond der winckel HBK, Doug
jede Die helffte deß winckels HB ir iR GK,gläidh *8
vnd dag quadrat K A iſt gleich
n quadraten AG ce
= vrſach id; quadrar KC, —
—— darum̃ ſ. yn jre quadrat au sl en HH
A % ßwegen ſeyn jhre quadrar auch gleich *— u
each DC ‚(fo o gleich AT ) darumb —* * quadraten auch gleich /
d fo-pit aſldbar quadrat AG Ma ſo
vilvdas auadra: DC (fe gleich AT)g: Me alsdar quadrar AD Dt ſo
q cich
’ Vom Feld meſſen. 277
ghaich OI)darumb fo muß XI perpendicular feyn auf AC, vnd AL
iſt gleich AG,undder Triangel KG A gleich dem TriangelKALOE
AK theiltdas viereck KG AL In zween gleiche theil / vnnd Die winckel
GaAl vnd GKIfenn gleich zweyen rechten / angeſehen daß die win⸗·
‚del AGK,AIK ‚rechte winckel ſeyn / vnnd jedes viereck vier rechte
winckel hat / auch ſeyn die winckel O AI vnndi As gleich zeyen 2. zuſat 12,
rechten / darumb iſt der winckel EAD, gleich dem winckel GK,PND:P-1. |
der winckel EOD ‚gleich dem winckel G AI, vnd die viereck KGAL
'9NdAEO Dfegn gleichförmig / vnnd ſeyn durch KA vnd AO in
(eichförmige Triangel gecheile/alfe tft der Triangel AEO gleich⸗
‚förmig dem Triangel KG A ‚darumb wie KG, zu GA, alſo AE , ält
.EO deßwegen iſt das reche wincklet viereck fo gmacht von EA, AG,
gleich dem recht winckleten viereck — EOGK, tnun 32.
wie das quadrat 5O ‚sum recht windleren viereck G AAE (welches
gleich dem recht winckleten viereck EOGK ſo mit dem quadrat EO
ein höhe hat)aiſo EO. zu CK,t undwieEO Ju GK, aiſo BE, 30 B 3 !'P-T-
G;t dannim Zriangel BGK.IfE EO,ber fetten GK paralleien/ F 34-P-F
gnd wie BE.5U BG ‚alfo dag quadrat EO, zum recht winckleten vier 32 P-T-
uf EO GX. (ſo gleich dem recht winckleten viereck EAAG ‚T) 27.p.I
Hier feyn vier proportionierre gröffen/dann wie BE.5U BG „als
fo das quadrat EO, zum recht. winckleten viereck EAAT, IND wir,
den die preduft gleich / wann man das quadrare O mit der linien
BG, oder das recht wincklet viereck EA AG(ſo gleich dem recht win
‚cfleren viereck ROG)mit der linien EB multipliciert / ⁊ welches ſo 39-P-T-
il als fo man dic drey dıfferenszen durch ein ander multipliciert /
diß product wider mit 8 G der helffte der dreyen ſeyten /das iſt eben
vie die multiplication deß qnadrats EO. in das quadrat G, zwü⸗
ſchen welchen der Triangel ABC in mitler proportion ſtehet / das 28.2.7.
m̃ die radix auß dem product, wildes entſpringt auß der multi⸗
plicarion’der quadraten EO IN 8 G, vñ iſt der wahr m̃halt deß Tri⸗
angels ABC. | a 2.
. — |
Huß befandcer feiterveines jeden
Zleichſeitigen Triange's innbalt
| sefinden.
SH E⸗
— — —
45 p. 1.
* eylfft Buaͤch Geometriæ
en —— deſſen jede feinen ze.
N r Y ‚fo iſt * iñhalt -’.t cder B
4330127019, weiter wie die: opor»
sion deß innhalts zweyer gleihförmb
gen Trianglen/alfe die recht winckle⸗
een viereck beyder Trtangien fo vmb
ei winckel ſtehn rt well aber F
die hie von gleichen ſeiten / ſo \
dasıch t wincklet wiereck ein Ma AT Ze c
drat / darumb wie der innhalt eines
Triangels sum innhalt deß andren!
alfo das quadrat def einen von einer fen au quadrat deß andre
arumb hat der bet feiten ı.
von einer ſeiten D deſſen
vnd jhre quadrat iſt 1. vnd ſein ——— proportion jü
Triangel / Bern feiten 20. fein quadrat if 400. fein innhalt
V_ 30000. darumb
wie Das quadrat »paneunhale Ye alſo das quabrat 400. um ins
halt y_ 30000,
Stehe ondergleichen zeichen alle: .
Wie Ai. in V.Ralſo v 180000 fu V 30606: hierauf die wurgelr
kompt für den wahren innhalt deß Triangelg 173 (2050: 078,
Oder machs alfo:
Wie das quadrat 1.51 (4330127015 dem innhalt deß Triangels /
Aſſo das quadrat 400. zum innhalt deß Triangels 173 (2 050 *0⸗6.
wie oben.
XXI.
Wann ein winckel ſampt zwen ſei⸗
— — ſeyn / eines
jeden Triangels nord Inhalte
Es fee
Wonm deld meſſen. 254
&$ feye der Trlangel BDE deſſen zwo feiten BD fo 30. vnnd BE
fo so. end der winckel DBE welchen fie befchlieflen iſt 60 grad/
bekandt ſein / auß diſem ſuch Ben innhalt alſo /
"wie radius, zu dem finus vambetandtẽ winckel DRE.
VE Erz msn ee (ua)
10000000 :8680254 G6ogr.
Afo das halbe prodaet per wo belandten ſeiten / zum innhalt
750 |
BG San
sl I
Demonftratioe. |
Das produdt der zwo
felten BD in BE iſt recht
wincklet viereck AE , DIE
halb iſt das recht wincklet
viereck AH weiter multi⸗
— halbe baſen deß
riangels BDE als BH,
mit dem perpendicular
DF , ſo kompt das recht
wincklet viere HC ‚das
rumb fichet die proporti⸗
on wie radius BA, (fo
gleich dem finus DF,)alſo
Das halb product der zwo |
-feitenrals das recht wincklet vierock arı zum recht wincklecen vier
ee HC (welches gleich dem TriangelBDE)T angefehen ie gleich 3 1. p. 1.
hoͤhe beyder recht wingflesen AH und HC. |
Ein gleihe meinung hat eg fo der befandrewinckel fo von den |
befanden feiren begriffen ein weiter winckel iſt als im Triangele
KE iſt der winckel EBK befandt fo 120 grad / vnnd ift fo vil ober 90
grad/als DRE vnder 90 graden iſt / darumb haben beyde winckel K |
BE,DBE einen floum,T vnd beyde Triangel haben ein bafen BE, 14. def. 8.
vnd ſeyn einer höhe als der finus D F ‚datuımb ſeyn beyde Triangei
BDE,BKE ein ander gleich / F deßwegen iſt das recht winchler vier⸗ 17.p. 1.
ic ‚auch gleich dem innhalt deß Triangels BKE. |
Seh _ Aug
Ss
. ıB.
E1.n.d,
40. R. 1.
838(4355.T1 hierang v iſt 2b(ↄ577- für die ſeiten A.
| Das wiffi Bäch Geometrias,
XXII. u
Auß erfandeniußSiweper ſeiten / oh⸗
. ue erkandtnuß der: winckel eines jeden Tri⸗
angels innhalt zeſtuden / ſampt der vbri⸗
gen ſeiten.
MTriangel ABC iſt bekandt AC = vnd BC æo. au biſem
3. ehr ich deß Triangels innhalt sefinden.
eng AC in D, vnd BC in E, daß CD werde 13: vnnd CE,
14.0der ein andere zahl / miß DE finden 14. nun Pi den inuhaltı
deß Trlangels CDE + find 8a. .
fo helt fich der Triangel CDE, B:
sum nn. ne —
C$,T. $.propors
dien. F ——
wiere su CD, alſo der Triangel'CED zum TriangelCBD,
rer Kruse 120
weiter wie der Triangel BED zũ Triangel ABC, alſo DC IU CA,
Vnd wie DC, zu c A,alfaber Triangel D CB sü.Trtangel CBA,
15 30 120 276 (0a
Iſt alfo ver Triangel ABC 270(023
e ſeiten A:B ſuch alſo / dividter den innhalt ABC 276(523 - mit
halber baſen BE 10. kompt dag perpendicular AP 27(1092-- ‚+ DIS:
auadrier ifl 765(847 — quadrier auch AC , 30. gibt 900. darvon
nimb od 947 — ‚reftierr 133 (173. hieraußvV/ ik ıı(soflr CF,
Das fubrrahler von CB,20.refl FB &(+1;dif quadrier gibt 71 (5025.
DIE addier zum quadrat AF, 72660s 45 --, ‚fo kompt das quadrat AB
Auß
| XXIII. F
Huf einer belandten ſeiten / eines
CTriangels innhalt zefinden / vnd auch die
zwo vbrigen ſeiten ·
¶ Siſft der Triangel ABC ‚indem kan ich nur x0 betandt ma⸗
Echen dann nach AB end CB iſt weder zu ſeben noch zemeſſen /
von wegen gchölg und andren impedimentis deſſen innhale begehr
ich zu meſſen / miß |
AC iſt 24. Die ver⸗
leng in D. daß auß |
DR Bfehe mög"
miß Ad iſt 16. vñ
DB iſt z6. vnd ſuch
die groͤſſe deß win⸗ |
ckels D finden 3° Ey
ad / nun iſt be⸗ * Ps
ne dr wnfl -— DD As
Da vnnd die zwo D. F
B, 36. vnd D C.40.
ſo in be
finden 360.
Zum Exempel · |
Wie radius 15000000, zum ſſius 5000000 deß winckels D°fb
30 ar. alfo das halb produkt von DB 36. in DC 49 als 720. zum
innhalt deß Triangels DBC 360. |
Weiter wie radius 1E000000.44 fing SBooooodeß windels D,
zogr. alfo das halber product von DB 36 In DA: 16 als 288. um
innhaltdeß Triangeis DB A 144.dißfubrrahier vom Triangel. D
BC 360: ſo reſt fürden Triangel' ABC 216. . g
Oder alſo / ſuch wie glehrt den innhalt deß Triangels DBA iſt 144.
iſt wie DBA, zu ABC ‚wie DAMuUAC, darumb 31. p. 1.
ie D A-au AC, alſo DBAJU ABC,
16 24 144 216
Die vnbekandten ſeiten Abs, Bo, ſuch alſo / dividier den innhalt
Sss itj deß
*
griffen/darumb fo ſuch deß Triangels DBC fein: Innhalt-F zr.pdi
„
— — — — —
Nas kB Geomeniz,
—— er ——— eg L
arBEı
DB- 36. ibt 1296. darvon füberabter 3 24. —— t
(177-= für DE.diß ſubtrahier von’ DC. „40. — Ser für EC,
diß fubtrahier von AC — 1$(77 für AE, quadtier AE,ı5(ı77
tbt 2 305 41. diß quadrat zum quadrat BE , 324. kompt f 54
LE A
23 45. ⸗
nn. er ——— vr — er die eisen von
xxini.
Auß bekandten diagonal vnd per-
pendicular / deß Rhombii vnd Rhombois
des innhalt zu meſſen.
S ſey der Rhomibus ABCD darinn siehe beyde Tue AG,
es ‚weilm — — eich o ſchneiden Die diago⸗
nal ein ander ju rechten wincklen / vnnd — die Rhombumis
vier recht wincklet gleicher
Triangel / darumb ſo mul B
tiplicier die cin diagonal
halb / mit der andren gãtz /
* kompt der wahre inn⸗
alt deß Rhombus. A: q
Erempdl |
Die diagoual AC ſey "rd Loc
25(424. vnnd BP zo '-
(s3». halbier die «ine als |
bier BD tompr 10 (260.
darmic nmufehplickr AC 1
25 (+24. ſo kompt für ven A
wahren innbalt deß Rhombi ABCD 26 1 (os.
Aaderſt.
So man dir diagonalınk meſſen Lafo ntıh ein wingfe befand! |
L 4
vnd ein feiten/onb procedier nach der 21. diß / das kommende du⸗
plier / ſo gibes auch den innhalt. |
Exempel.
SH ſinden für den winckel BAD ‚77 gr. y2 vnnd für ein ſeiten
ber Rhombus find ich 10(3360. inn ſich ſelbſt gmultipliciet iſt 266
(844 / darumb
Wie radius, zũ finus deß bekandten winckals BAD,
10000900 9776611 7786.52.
Alſo das halbe producs einer bekandten ſeiten / zum innhalt deß Tri⸗
133(432 16655
angels ABD,
260(003
Nota.
CR ınn im innhalt etwas onderfcheld afplirt wird / foman ein
Figur auff zween waͤg miſſet / als in obgeſeztem Exempel der vn⸗
derſcheid ein erſt ſerugul iſt: Fließt daher / weil man die ſcrupul ſo v⸗
ber die dritten fahren laßt / auch bißweilen wann mehr dann 5 viertẽ
es für ein drirte angnommen wird / wie auch die winckel allein in
grad ond erfien minuren vnd nit auch in fecunden gnommen wer»
den / welches inallen Exemplen da etwas vnderſcheid / zu verſtehen
AIm Rhomboides multiplicier ein lange ſeiten / mit dem perpen⸗
dicular fo von einer langen ſeiten auff die ander falt / fo kompt der
innhalt / angeſehen daß FG vnd IH parallelen ſeyn / wie auch FI vñ
GH, darumb iſt L6 gleich FM, vnd fomanıH , mie KF multipli-
ciert / ſo kompt das rechtwincklet viereck HIML., welches gleich der
Rhomboides IFGH fein wirdt.
| Emmi
Pr Rhomboldes ıF GH iſt ein lange ſeit en als RG ober ın ein
jede 30(4122. dĩ perpendicular von einer zum andren als LH oder FK
— auch gleich iR Miſt 7(5+5. darmit multiplicier ein lange
ten fo 30(4.. ſo kompt fürben innhalt dei Bibomboides
a29(499 —
n
a
AR
13. 15. p. d.
®
Das evſſft Buch Geometrie,
Syn ſahl daß man Durch die Figur nie gehen.tan ſo nimb das
perpendicular von auſſen als Mi, xc.
XXV.
Wie der innhalt deß Trapetzi-
ums
S kan fich begeben daß das Traperzium zwo ſeiten parallelen
habe / als das Frapetzium ABC D ‚hat bie zwo lenger ſeiten pa⸗
rallelen als DC iſt paraljel AB, als dann fo miß beyde lange ſeiten
vnd addieren zeſammen / die ſumma halb multiplicier mie den: per⸗
pendicular von einer parallel zur andren / ſo haſtu den innhalt.
Exemptl. |
AB, fey lang 54(273. 9nd DC ,44(305. dag perpendicularEC,
iſt 1845.
Addier AB, SAlırs
zu DC —
die Summ 99139
halbier 495
diß Halb muleipficker mit Ec ‚ober einer ander ſo jm gleich ‚Idl«s
das productiſt der wahre innhalt / 2146548
So man nit durch das Feld schen kan / ſo nimb das perpendicu⸗
larvon Dauff die verlengt BA als DF. welches EC gleich fein wird.
Dieweil aber ein Feldmeſſer nie lãg wird ſuchẽ obẽ ein Feld mit pa⸗
rallel linien beſchloſſen / oder ob cs recht wincklet / weil ſelten im Feld
der gleichen Figuren für fomm/fo mag das gedachte Traperzium
mit der diagonal und den perpendicularen AE,C F ‚inrechrwincfie
te Triangel gecheile werdenst und die ſumma beyder perpendicus
lar ‚mit halber diagonal multiplicieren / ſo fompt auch ſein innhalt.
Exempel.
DB feyn lang 64(435. das perpendicular CR, Id 204242. vıınd
AE 16(182,
Abddier
WVom Feld miſſen. 277
Adier 22(vo0
MAE J 1&(132 i
die ſumma | aB(380243
ultipficiersuit halber Hiagonäl DB o. :32(213
"das — dmhaltdey gungen Tepe Dıylsarasırse
vierte ſcrupul Mer
als ein ha —
—— dritte ſeteẽ /
vnnd die v
fahren laſſen / als
für die 7. dritten /
unhee! fo
ver gant tühalt
9 rals 4 wel⸗
ches bey Aalen r%
plen m mer A
Wann —
— —— To pellsänfeine
—— ——22 zus. 162.
er —— ende —— banaupogrinihat /aHe
er halbe erpendiew
— —— — pe
—A der —— — diagonal,
ſo ie |
12; —— fer mm iibn ” nz
Apdier KL Ä x sie me
u HM :- N n F Burma;
mit der ſumm | | FR pulrsi‘
muleiplicierdichalb cn | | 69(s9 8
h —.
dar product iſt der innhardeß 3 1d6 GHIK G144[(494 ..
Wann man aber durch das Kin wich kommen fan von wegen
ae Ttt Zr 71
tr
zıp2.d.
ESta ſein recht
23.00 15. Xwincklete Triangel ABC,ACE,CED,t vnd miß die bafen vnd
18. p. d.
i Das eylfft Buͤch Geometriæ,
Saamens oder andren / ſo miß feine vier ſeiten ynd winekel / iſt 6x
So. vnd KI 100. vnd der winckel G XI ſo fie begriffen iſt 101. gr. 32%
ber hat ein finus 9798086. vnd GH fl 120 und HIiſt 40. vnnd be⸗
greiffen.den windel GHI fo 1 12.94. beffenfiuns iſi 2271835. ſo ſuch
den innhalt + wiefol
wie radius, ju finu fiaus Veh winteis KGKR,
10000080 9798086 HI dr.32.. : |
alfo das halbe prodaftyon 6K in Kı,ju iñdalt deß Triägels GKI,,
4000 6 0 , Ilse
weiter wie radius,ju fings deß winckels CHE, or
LO000000 9271839 112 = |
alfadapalbe It produciyon of in ni RING mũbaltdeß Neien⸗ce cn ce,
400°. 220 46". rl
abdin beyde Triangel ORT CHE —
XXVL F
Wie aller rechtliniſcher bilecketer Fi
gimeninnhaltsu finden ſrye ·
ey ein Teregular funffeck ABCDE .-Yag:ıheif im
a pen RAC I150. AE 180:.CE-108 (106, die perpendicus
BF 49(308 —— DH 42(0s bierauf ch dẽ m̃halt alſo /
multiplicier halbe bafen mit dem p cular fo auff ſie falc tb
komptrines jeden Triangels innhalt / oder multiplicier halbes per⸗
pendicular mit ganger bafen ‚(erfllich addier alle produci, fofompe:
Der ganay innpalt;
*
Erxemycli.
mnleipticier halbe baſen AC 7
mir dem perpendicular BF — 49(508
komprder innhalt deß Triangels xac36586
ne; Vom Zeldt meſſen = 258
ri
N
ü nn me te der em
N
=
⁊ — a = ’ . |
i a K — €- nn | E E
multiplicier halbe baſen AE ol"
miledem perpendicular CG " = .89(992
fomprfürdeninnhaitdeß Triangisacah ° 809967
mufriplieler halbe baſen OR; - * —— 444083
mit dem perpendicular DH , . . 4033
kompt für den innpaledegTriangliscDE 26520933
addier die drey product ſo kompt der gantze innhat
Heß Irregulat fünffecks u — 14706403
nderſt. —
Faſſe das gangt Irregular fünffecfin ein sache windlet viereck
AMNO,t vnd ſuch deß ſelben innhafe/+ darnach fuch jedes Trian⸗ 14p. d.
{8 ABM ,MBC,CDN,DEO,fopinb das fünfte ABCDE jhre iñ 17.p.d.
altzond addiers zeſammen / die ſum̃a ziehe vom innhalt deß recht
ꝓincfleten vterecks AMNO ſo bleibt der innhalt dep Irregular fünf
ed. ABECDE,mIB erfllich die bafen und perpendicular,ift AO odet
MN 2 15(373.0nd AM oder ON iſt 89(003. vnd MC iſt 120 CN, ↄ5.
Ca37.ND,f4(72.D0 ,35(275.OE 3 5(437.BP,20 (Sı. vnnd BQÜ „,.-
1 2(75. darnach fo muktiplicier Die hulden bafen der Triangel / mit °
dem perpendicular,fo fompt eines jeden Triangeld innhalt.
Exempel. |
multiplicier AO ; zıf (47 8
niit AM z BIC HT 2
ſo kompt das recht wincklet vireck AMNo..49383762*
— Ti für die”
—
18.0der 19.. gelsıf.den
p.d.
MeriifiidächGeomerriz;-
I nr —
aiultiplicherrtyaibe AM | —
mit der perpendienlar ẽ·· | oft |
Kompt der innbalt de Triangeld ABM" 230[ls7-r
multtpkteier Halbe bafen MC’ Es |
mit dem perpendienlar BO: | ı2(75
kompt der innhaledeß Triangels MBC: 7056
„ uuletplicier habe CN: win |
mit der HANKEN.ND... |
kompt der innhalt deß Trlangels CND) ale
multiplicier halbe DO) ı7(sssg.
"mit der sanken OE. ‚ | . 35 u
lompe flit den innbalt deß Niangels vn 0 —0
addier die vier nroduct dervier Triangel die 4937(008°
dae Sub —— — | —
hden mnhbale deß iregalar funffecks ABCDE. —XXE
XXVII. |
Wie aller Vegulierten Figu⸗
ren imhalt ʒefinden.
gH Run au demenmodn Se ur in alle winckel grade: linien
zogen werden / die vertheilen ——z— vit gleiche Trian
gel als —3 — fetten hat / darumb ſuch den annhalt eines: Tıranı-
eh innhalt multiplicier durch / die zahl. der. ſeiten / ſo
kompt der gantze innhalt der regulierten Figur:
Oder multiplicier. das perpendicular vom Centro auff ein ſeiten:
mit halbem vmblauff der Figur / ſo kompt auch der innhalt.
Es ſey ein reguliert fünffeck ABC DE,theil.AB.end AB, ſo jede
12 in zween gleiche theil in H vnd 6 ‚darauf ziehe grade linteninn:
gegen. ober fiendewindel D end G,die ſchneiden cin ander in E mel
ches Centro deß fünffecs / miß AF ‚dem ſeyn gieich Eitze ſo ns
indie _
259
ge
ABER IRA ,.
Mnkesaofrenaufoimefahentunhalsae Triangeläit: Rd
| Zum Erempel. |
AMdier uras: F al
‚ dopplet AR ee . ol 418
DR. F
Karate — u a an
fettensfonderlich: -jolses. 10(208,- m
Die ve ef ©. 6 alios.
mnlsiplice . .... | —
abe mit derhelffte der drey feisentt Ir
Auf dem grodudt: 2455(17504-
Die wurtel iſt eniunfali deß Biaugels AFB: 40l152
Me wurteſanpiciticiex muit der jahlder Ttianglen
ſp tompe der innhaltdeſ ſũuffeds ABCDE: - Zurleır
Norxrgleicher gſtale wird der innhalt aller anderre Figuren
fanden Dann fosehweniffect wererond man den fn alt eines Tri.
Maels hac ſo multiplicier den ſelben · mit eylff / ſo lompt der innhalt
or gantzen eylffecks.
Noits aller Figuren Centra werden gebachter‘ maflen. funden
wann die Figur son: ungradenfitten iſt / wann ſie aber von grader
zaht fersemift fo ziehe allein von: einem: gegen: vberſtenden winckel
am · andernein grade linien / die ſchneiden ſich auch im Centro / etc.
Andeiſt.
Wann man die linien mitqgiehen kan noch das Centrum gedach
rer maſſen finden wegen-Saamens oder andren verhindrungen
fo ſuch das Centrum durch die ſinus, wie auch das perpendicular võð
Tencro auff ein ſeiten. Tier ii | Man
»7°Y | 7.77 Geometriz;
- Mamdinfblerr 360 grad eines gan⸗ dp N:
gen Circkels / durch die zahl der Feirenoe 4 |
ber wincklen ſo die Figur hat / derẽ Cen⸗ |
trũ man —— giggan de E.
winckel im Centro / den ſelbẽ siehe note
ſemicirculo 180. den reſt halbiert / gibe G
der andren ein winckel / als es fax wi⸗ | Ä F
ber das fünffece ABCDE beſſen jede
‚feisen 12. iſt. A H-3
LU) 7 1.17 ee
dividier | 360 gr.
durchdie zahl der winckel ſo — f
Compefür ein windel auf dem Centro als aucvifen TR.
ſobtrahier von eim halben Circkei ıdoar,
reſtiert winckel FAB-BA 108er,
a winckel FAB, darumb
48
le radius AH, tangent HF Dep winckels FA H,afform.guer, j
—— 13763819 | . 6 8Cass
tiſen quotien — durch deß funffe haib? vomtren sel.
kompt für deß fünffecke Aß ODE ſein innhate 247(04s
. Auf gleiche manier Ei ER eaular Sigare
ſunden / ſie haben fo vil kun — rg .
Wie der Circkel Ihre innhalt eu
indenfey.
&5 bewelßt der fürereffenlicheaschimeder ſa man den diamerer
3;:malCdas iſt bey nahem 364205 ) für den ṽlauff nirme/
daß es zu vil / vnd 37 :.(fo bey nahem z(1408 411... Niffes zu wentg /
darauff Herr Ludolph von Coͤln die proporeion noch neher geſuch
da cr ſetzt wañ man den diameter 3 (141592053 979323842. nem̃e daß
es zu vil / ſo man jn aber 3(141591053599793259 40. nem̃e daß es zu we⸗
nig / derbalben er in noch einer groͤſſeren proportion gefucht ale 3
(141592653597 0725 8401043385127 051. Mr VIC
233402643393170:;0, tft dh wenig / hat alſo den defect im erſten Creme
pelin ein zwen tziaiſte ſeruwul beſchloſſen / vnd im andren Exempel in
ein zween und dreißigiſte ſcrupul. OO
.: Woniebmehi: "; 160
Woenen alſo deß Archimedes, und Jadofphen,proponientmit
hım Exempei erkleren / da in in vnd der andren proportiomder iñ⸗
haltdch Circkels gieich Beine veche winckleten Triangel / deſſen⸗
wofeiten ſo den recheen vinet ei begreiffen / die eine gleich ſen dẽ v⸗
freiß deß Circkels / die ander gleich dem halben diamerer deß felben /
deßwegen fo man die eine linien gantz / mit der andren halb multi⸗
gileierenfo lompe ein reche minckies viereck fo gieich dem Circkei.
—A
‘ 20
(2 4 %
oe
Eo ſey ein Circkel ABCDdeffen diamererifi bekandt welcher il
AL ‚14. barauß begehr td) nachdeh Archimedis proportinn den fit,
halt * Eucdels gu ſinden darumb’f6 fuch ich deß gedachten Cire
Aſo vmbdkfreiß außbrfandremdiamerer,alß: -» ; it, 0:
wie 7.511 22. alſo der be anbt diämerer 14.. #8 snbirtiB 44 .
wann aber der vmbkreiß 44.befandt were / darauß begeht ich den die .
erer zeſuchen / dann fo ſprich ich — ——
wie 22.507: alſo der hdetandt vmbkreiß 44. zn feinem dlamerer TA
Schreib ein rech winctien Trianget DEF duß VR·gleich —
31. p. i.
—
Erckels vnbiecihenann Eitesehehen diamerer, va (bach
angds groſſeedas Amumb heibebafen DF.als DI, dem
halbemliamerer DEs
tomprdas.reifussindicumiereet DECH, JO Sci e\
BCD.
Halbier D r 4
-fomPt.DH das 22
‚multiplicioamitDE 7
tomproerinnheirdefiirtds ABcD mid url 174
Wann man vber die Heiner proporiennimptials wann man
den diamerer 3 mahl fürden vmbkreiß nimpt / vnnd (ey vider der
——— 14. darauß ſuch den vmbkreiß
wie 71:44:223.0lf0 1441437:
wann ber der vmbkrei bet andt / ſo ſuch den Aiamnerer.uffo.
223:34771.alfo 43 %7.4U 14
NHicrauffackbeninnhalt/alsden balben vtubtreißz DH 2177
muultiplicher aste hafbens diamerer DE 7
kom̃t der nhalt deß Circkels a iſt u weniga sy lsoraotısı
vnd tft alſo der defeet in diſe z4ahl ein geſchloſſen (ost +
welches im Feldmeſſen nit vikertragen
—— ä—
Es were dañn garein gre
portion cudelphen beſleiſſen.
Es beweißt archimedes andrdas . deß nedrats auff Das Hin,
meter geſchriben / gleich ſeydeß. Sirckels iuhait / Daraus folgt daß
alle Circkei gegen ein auder proportion ‚haben 4 ui ‚Die quadtat
f2e diamerer ‚+ C ser dic quadrat hres v ) darumb fo
allein der diamerer bekandt / oder Allein der vmbkretß nen innhalt ze
finden ohne erfandrnuß deß andren.
„Allein auß bekandtem diameter CB deſſen quadrat DBMN.,
heit Kb zum recht winckleten vier eck DB LK, wie ND, iu DK „I das
recht wincklet vtereck D BL aber iſt gleich dem recht winclerẽ vier⸗
eck RGHR. Cwelches geich dem Triang | DEE, Oder Deb Gurcte⸗
ABCD innhalt )iſt / dannhaſt gleich EB. daun jedegift halber dis,
ameter, darımmb ſeyn bende ra cbt-minchlere viert DEIK DIID E BL
1 Auch aͤleich / ſo ſeyn vie recht winckleten vier eck DEIK vnd
auck aleich / dann HD iſt in der mitte in zweh gefehnitter.in.K dben
DN TA Aktich deimdiamierer def Citctels) in 14 gleiche cheil 7 fo fol
DK Iifelchercheikhabendarumb. <; 10: rar ae A
—— ——— α—
14 11
Dom Feld weſfen. 261
le ND, MDR ,alfo das quabrat N NB,foauff —EXR
196
| deſchribe / roche wnekler vierect Bx ſo gleich des Circkels iñhalt /
BY
re auf berandtem vmbkret̃ welchem gleich iſt die linien DF ‚da
— Qa,das beit — recht *
rauff ſchreib Eee
faut Archimedes
A—
eh ea
dhOE
— re eilt / ſo
Felange DEF welcher gleich DE
eRD,MDO + wafı nur der diame, 31. p. 1.
ompt der ombfreiß.44. der feiben theil
proporiion,nun iſt RD, vnd DDo, 35. dañ 6
Der vierte theil vom ——— ſo 14. daru
ui ‚RD ,jUD D Q,alfepas auadrat 8 Xaũ techt indie viereck F FO.
2936. \ ra
Iſt nur der innhalt hekandt / vñ begehtſ den Uameter deß Circkels⸗
gu erfahren / darumb
sie ã B; zu d Du aiſd di viereck L.D,(fo gleich dendaldiũ wa.DM,
ar 4
E71 2 178
spe 14. für den —
der. auß dem innhalt a. any
wicoD InDR.affod} oe OreD, dos iñhalt m qua.rx
— 7 4. FJe⸗ — —X —
Hierauß die wurtzel iſt 44. ———
oder es were ein Circkel deſſen innhaltiſt 62⸗
wie 11.30.14.lf0 962(z. iu 1227.
rauf die wurgel kom
den vinbfeeiß
ptfür Den diameter 3 . a
wie 3(5. 044.alſo —* m 12 teo.
Hierauß die wurtzelto
mpr für ven
mnbereth 116
ep wöllen wir d Srempd nach def Br mannma Piie
ren / mit hilff der diamerer jhrer quadraten / dann die Circkei gegen
ein ander ebẽ die pro
+ ſo der diameter 2
»
niion haben / als die quadrat jhrer diamerer, Anm 20:87.
if fein — sun Ringe Circkels inn⸗
halt 3f14159245559979323847 iſt gu kur
Vnd — 7720502 ein /
Der .., Din
| 3 (14259265358979328847 UV
Bam. |
3(14:59365350979323348 IN WEING
£ UEXECVAXII
T UXXXRREXX
| 2. Exempel.
F
Wie 4 iu
Er 3(141593653538793239 4626433837050 I WENIG:
2. ES 3 (ss 1000s2p2As008406953578009199 SU FÜ
— m wenig
beyden Exempi wie nach es dem rech
— — wäh 4
AM 196
——
na
ee
06196016
hen diamerex 33 mahl zum vmblaugf nimpt / fo man
Vom Feldt meſſen. 262
33° mahl nimpt / ſo fompr für den innhalt 153 (6140 u
% [3
.
diß fuberahier von 15 3 (939037.4:fo reftiert (0365254 fo
— su wenig dann deß Ludolphen zwüſchen heyden innen / dem
ren innhalt dil neher iſt. | 2
| | U XXIX.
Wie der viertel vũ halben Circklen
vnd andren ſe Moren vder außſchnidt der
— Lirdefibreinnhaltzufi
—— ——
n 2
ebeil in zwee 3 — A st
jeiredre in zween gleiche heile Son K der
e * una Circkels As CD,ꝝ ſoſſt des TriausslDE. Obe.
HF, vnd wie .
K,uDr, alſo
der Triangel D
EX, zum Trian
gel DEF, T glei |
cher vrſach iſt ð | ;
Triangel DEH ‚gleich dem halben Circkel als D AB E dann DHÄR,
gleich UF, eben der vrſach iſtder Triangel DES gleich dreyen vier,
tel Circkel als DECBA, dann Dsaſt drey viertel von DEF ‚, darumb
*
iſt der Triangel DES ‚auch drey viertel deß Triaugels DEF, (ſo
gleich dem Circkel ABCD ) hierauß folgt daß alle recht wincklere
Zriangel fe ihre bafen gleich eines ſectors vmbkreiß / vnd dag perpẽ⸗
digular gleich halben diameter de fecrors.dem ſectori gleich fein/
darumb fo man halben vmbkreiß / mit halbem diameser eines ſectors
multipliciert / ſo kompt deß ſectors iunhalt / deßgleichen iſt auch mie
mhalben Circkel zu verſtehen / deß Circkels diameter iſt 14. foifl
fein vmbtreiß DF 43 (9822954.f0 iſt deß halben Circkels ombfreig
D.H 2 1 (991482 deß viertel Circkels vmbkreiß iſt DK 10(99557 4:01
| ren drey
*22
312.1
Das cvifft Dig Seometriæ
Axeꝝ viertel Circtels vmbtreißᷣ iR DS 3 2(99er223. Mit muletpffchök
Bife ee ombercig jede halb / mit halbem diametrer ſo kvmpt deß vierten
heils / deß halben / vnd der drey vicrtel / deß Circkels jhre innhalt.
Eyrempel.
— —— ri al
6 multiplicier . —
Mit halben diamerer DE. 1. EEE
Kampt der ector DAR. 38(43 45097
Den vınbereiß ori halbier ee
multipticier =
ee ie _ A; —
AKompt für ven halben Circkel DEBA - blosseıdz
Denumbfreißpshalfer geerzus
Sie multiplicier 16 40571!
Mir halbem diameterDE ’
Lonıpt ber ſecor DECBA zıg(emsaser-
nn der innhalt aller anbrer feftoren ——
ob fie gleich went ner mehr als in wiertsi Cirsfelisdre acht. ai6.
Dep viel — Ci Circkei ſeyn.
xxx.
Miedasfe mentum/dasift Cir⸗
Se
—— halber Chr
ckel / ſo muß deß gangen ſectors oder außſchnides deß Circkei
innhalt funden werden / F Vnd in dem kleineren Circkel ſchnidt als
ein halber Circkel den vbrigen Triangel darvon ſubtrahieren / vnd
im groͤſſern Circkel ſchnidt darzu addieren
Man begehrt den iñhalt deß —— — ADCB ſv —
— G vn un
Vom Felde meſſen. 263
Ham Ber halbe Circkel / ſo ſuch den inn⸗
halt deß ſectors AE CB,t von dem fund
nen innhalt nimb den Triangel ACE,(O
it derreft der wahre innhale deß Circkel
ſthnidts ADCB , wird aber begehrt der
innhalt deß Circkel fehatders ADCF , ſo
mehr danreder halbe Errckel / fefuh abe -
der den innhalt deß Circkels ſectors oder
außſchnidts AE CR ſein innhalt / Tdars
zu addier den Briangel ACE , ſo iſt die
fun der . deß Circkel ſchnidte ADCP.. |
Zu erfahrung deß ſectors innhalt / muß zuvor befand feyn der
Halbe diameter, vnnd der halbe vmbkreiß / man hat aber nichts be⸗
andt dann die fennlinien-AC welcht 6Or vnnd den boltz DB ſo 10.
darauß ſuch den halben diameter AR. oder CE „ Talsmultipliciee 65. p. x.
halbe ſennlinien in ſich ſelbſten/ dz product dividier durch den boltz /
*— quotient addier den boltz / ſo kompt ber gant diameter, den hal⸗
erfohafluhalbendiameen.
Exempel.
Multiplicier in ſich ſelbſſen AD oder DC halben 30
| F
das aroduct
—— benbolg DB: *
np mE = 5
darzu addier ven bolſ DB’ 10
die ſumma iſt dei diamerenBF ber 109
halbier fompt für halben diameter AB. so
Darpon siche den belt 10
reſtlert für DE 40
Den bogen oder vmbekreiß zu ſinden / ſuch wie vil grad / minu⸗
een fecunden der bogen Deines vorhabenden Circkel ſchnidts
habe / a — —
Vov iij weie
Das eyifft Bach Geometriæ,
wie AE der halb diameter, u AD halber (eunlinien „.alforaäins 4
so 30 10000000
AEtufinus AD, |
Difer gibe den bogen AB 46 4r. 52. 11.dopplet gibt den bogen A
BC 73 8.44.22.
halbe om
ken ſeyn hınden.akfürg:
deß umbereiß iſt ıks
rumb fo. man.dife-1(s50790:. mit Jo Diwibiert / .fo.Lomapt. der vmb⸗
freiß von einem gradiiff( or 4533. DHEL so minuten
tkompt venombfreiß einer. minaten iſt(ooaꝛsos. diſe dividier mit Co
ſecunden ‚fofompi der vmbtreiß einer ſecunden iſt ¶ oooce42. Nota
wann im dwidieren mehr dann ein halbes bleibt / ſo nimbs für ein
gantzes an.
I diſem bekandeen fuch ben vmbkreiß deines Circkels ſchnidt /
wie ı grad / iu ſeinent vmbkreiß ᷣ3BAlſo 38 grad / zu jihrem vmb
freipᷣſsꝛtiuas.weiter
wie .ı minuten, zu jhrem vmbtreißloooꝛoos alſo za minuten / u jh⸗
rem vmbereiß (oi5us.weiter
wie ſecunda / zu jhrem ombfreiß (ooo0048.alfe ı rilecumien / zu
ua ® (ovoos28, r
addier Die drey fundnen vmbfreiß Po:
Z o1s22363
i (soon)
So kompt der bogen AB (6434934
darumb wie radıus EA sum vmbtreiß an ‚alfe der halb diammsıer
10000000 (6434934
— 4.
J ——— 2(17493
dig multiplicier mit halbem Aiamerer EA Er
ſo kompt der feftorAECB 1608 (746
darnach füch den innhalt deß Triangels ACE alſo
Vom Feld meſſen. 264
Beer — je
4
ſo kampeder inuhalt deß Triangels ACH 1200(
denn ziehe vom ſectore AECB 1608(746
- en ſchnidts ADCB 408(748
alt wird mit dem — Circkelſchnidt ADCF ge
25 n daß man hier den Triangel ACEaddieren muß /
ennlinien AC MR bier CME 60. vñ der boltz DE iſt bier se,
—E diameser als obgl
Exempel.
BERN AD 3a
me DC . 30:
Das prod⸗ẽ dividier 908
durch den bolg DF- 90
autur quotient BD 10
addier den bolg DF 90
Die ſumma iſt ber diameier BE 100
halbiert gibe ben halben diameter FE F "so
darvon dehe den obren quodienBD. 10
reſt für DE 40
—————— Circkel ſchnidts ſuch aſo
wie der hallbediameter ABS halber (ennliniemA D;,alfo sadiusAF,
go | 30 10000000.
Su finus AD, AD, | |
6000000: | u
Das gibt ein bogen An z6r. g2. ır. die siche von halbem Ei,
Fan er veftiert filr den bogen ARE 143 gr. 7.49. auß
wie 1 ar.ju Fine UA ran. 143 gr. zu jhrem vm̃kreiß _
2 (4958239. weiter —
e
Das evlffi act Geometriz;
wie ı min. gu jhrem vm̃kreiß (oooꝛso⸗.alſo 7 min. zu haemm diũkreiß
(ooꝛoseʒ.weiter
wie 1 ſecunda, zu jhrem vmbtreiß ooooo⸗æ.alſo 49.fecunden su jrem
vm̃treiß (0002552.
addier Die drey fundnen vmbtreiß ælasyui
F
kompt fürden bogen ar | 2(4980934
Darumb wie radius EA, sum ontbfreiß A F ‚alfo ber. halb dıametes
10000000 ° 2(4930954
EAsumbgn DO — AR,
*
das multiplicier mie halben diameter EA —
ſo kompt der ſector AECh 1:
daruu addier den Triangel ACE ep Ei
ſo kompt der Eirdelfhnides ADce A⸗
XXXI.
Wie der oval(Ellipfis genandt) iñ⸗
ba’tzufindenfeye,
E dia proportional jrelifchen bey⸗
den diamerer einer o val iſt ein dia-
meter eines Eirckels fo ð oval gleich /
laut archimedis heweiß. R
Es fipe eiaovalMPNQ , dere der
öffer diamerer PQ ift 60 vnnd der
ürtzer MN 46. mulitplicter ein diame
ger mit dem andren / kompt 2760, dcs
zaußv iſt 27. oder g2(ssz02uflie
ein diameter eines Circkels der der o⸗
val gleich iſt / daruß ſuch dẽ imhalt alſo /
wie 4. das quadrat deß diameters 2.11
feinem innhalt 3 (1415920. alſo 2760 85
—
Mom Jeldt meſſen. 265
auadrat Dei diamerersy 2760. oder g2(55 57 021. zu feinem
ek 2167 (98394. diſes aſt dem innhalt der oval MPN
XXXII.
Einer Fignr fo geſtaltet wie ein
Monſchein / innhalt zu finden.
ES ſeye die Figur ABCD, bie
& von zween il ſchnitten be B
ſchloſſen / die ein gmeine fennlinien
babe als 40, vñ der Circkel ſchnits
AECB hat den boltz BE, vnd der Cir
ckel ſchnidts AECD hat dẽ boltz ED.
and miß beyde boͤltz iſt BE 90 vnd D
E 30 vnd die ſennlinien AC if} 120.
darauf ſuch beyder Circkel ſchnitten A
innbait / + finden für den groͤſſeren 30.p.d.
AECB,9804(59958:5.0nd fürden fleineren AECD ‚2518 (ors25.
diß fubrrahier vom gröffern/fo reſtiert für den innhalt deß Felds A
DCB 7288 (5343325, | |
XXXIII.
Wie aller FEiguren fo mit graden Hit
krummen linien nie e
zu finden. |
Siſt die Figur ABCDEFGH, die theil in ihre recht wincklete
| TriangelT ABE. deſſe nbafen AE if 248. d; perpendicular BLift 13.14. oder
120. end fein innhalt 16080.0nddeß Triangels BCE fein bafenB 1-P- d,
E iſt 228.dag perdencicular CLIT 1 18.0nd der innhalt iſt 13412. „
vnd deß Triangels EF G fein bafen iſt EG fo 140. vnd das perpen-
dicular Kr iſt 30. fein innhalt ift 2100. deß Circkel ſchnides 168
fein fennlinien it} 100. der boltz iſt 20. darauß find ich dẽ iñhalt 1375
(orı — ‚+ diſe iñhalt addier alle zeſam̃en / ſo kompt ð iũhalt ð Saure 30.p.d.
S Xxx. ABCER
18. p. d.
30. p. d.
Dos coli Dh Geometrie,
Ä ;
NN
Fa a 0 ge E
Ss ‚Ir
— ze... el Be ——
DER angels CDE CERiſ 138. v
dicular MD iſt 28. vnd der innhalt 1932.T oft deß Circkel —*
femnlinien iſt 6o. der bolg 10.der innhalt408(7+5.t diſen iñhalt vñ
den Triangel CDE 1932.addier / die ſumma 2340(746 ſubtrahier /
vom innhait der Figur ABCEFGH ſo 3300760. -, ‚reftiert für
den innhalt der ‚ABCDEFGH 30666(325.J0b wol die linien
CB nit allerdings gerad, fonder von P in Qkrum̃ / weil aber ſolche
krüm̃ klein vñ A der einen feiten fo vil alsder andern für ein gra⸗
de linien außgehen / vnd gleicher anzahl / ſo mag mans wol dardurch
Die grade linien gelten laſſen im fahl man aber nach der gwüßheit
wolte arbeiten / da vil an gelegen were / ſo müßte eines jeden Circkel
— innhalt geſucht werden / die von auſſen der graden linien
trahiert / vnd Die von Ihnen addiert / zu der gantzen Figur ABCD
EFGn, ſo kompt der wahre innhalt.
Exempel.
Zum Triangel CDR 1932
addier ven Chrete ſchnidts DER 408(745
Diefumma CERD 2340(746
Behale *
vnd addier zu dem Triangel ABE 16080
Ben Triangel BCE 13452
vnd den Triangd EF6 | 2100
wie
Vom Seht meſſen. 166
Weauäjden Circkel ſchnides u0s Be 77710,
Con der fumma ABQPCMEFGSH | *
fübrrahter die ob behalten ſumma CERD —
reſtiert der iñhalt der gantzen Figur ABCDEFGSH, 30666G2-
XXXIIII.
Wie der innhalt der Felder ſo an
—— ligen zu meſſen |
R | ven. |
Warn eins beras
innhalt wirdt
begehrt zu meſſen
auff einer ſeiten / on
iſt in feinem durch
ſchnidt formiere wie
der Triangei HCB,
ond die Häche welche
au maͤſſen iſt die hal
ẽ BCDE:wañ nur
gu wiiſſen a
D:
*
#
u;
wird / wie oil gfiertet
maß dic ſelbige int»
lt nach jhrer fla⸗ Rn a
Er [6 wird gemaͤſſen wie in flachen boden alb ob gelthrn
Exempel. |
Die bilden oder Häche deß beras habe vier rechte winckel / vnnd
die fetten CD if 12. vnd CB iſt 10. eines mit dem andern multi⸗
liciert gibrr1 20, dfieraffundıt. | u
; Dieweil Aber Ken Der fÄdhE (AT gemtſſenwerden / fonder 7 d
nach der frucht fo an dem fehNgeR wachffen vhůl/ weiche niemahlen
perpendicular auff der flaͤche nn rpendicular auff
Der bafen der halden darauf folge daß kin frucht an cinem berg vil
ein lengers loch machen thut / als wann fie perpendicular auff dem
| ri ſelben
2
Tan
‘
Das eyifft Bach Geomerriz,
gelben Reben wurde / darauß dann erſcheint daß cin fruche an einem
[ag erfordren wird / alsim flachen Horuzontaliſchen
— kein Berg mehr — fan. dann die a⸗
che ſeiner baſen.
Demonftratiom
Theil mit einer maß die baſen An, ber halden OBED inadie
gleiche theil / vnd wann cin Baum oder ander ding diſer gſlerten
sheil einen zu feiner bafen haben muͤßt / ſo möchten von- A: zus >> acht
Der gleichen ſtehen / ſo ſag ich das auch nie meh: von B inC
fichen möchten dann ziehe auf jedem theil der bafen gegen AC pw
sallelen verlengt biß fie die feiten Be: ſchneiden / vnd FG fhnadts
in G ‚und macht ın dem Berz oder Halden ein loch folangals C G.
welches acht mahl in CB beariffen iſt / vnd IR longer Dann AF mb
Gı,dann fo die Baum perpendiculasauff der Fäden CB, ED ‚fit
ben wurden / fo erforderten die felben: nicht mehr plag in die afterte
als Cı,deren Bann jehenvon.c.in u ſtehen möchten / vnnd 120.
auffder gantzen Bade BCDE „ dieweil ſie aber ſtracks gegen Sim
mel ſtehen / ſo haben auff C B nicht mehr dann wie gefagt acht bͤum
platz / vnd auff der gantzen flaͤche pC DE, 20. welches ven allen an⸗
dern Früchten gu verſtehen iſt / deſſentwegen kein Perg mehr frücht
cragen kan als deß Bergs bafen. Welches in meſſung der Guͤter
fo Bergachtig oder haldachtig wol gs merckeniſt. Darumb es
gnugſam̃ wann die baſen oder füh deß Bergs — gmeſſen
wirdt: Doch fol ein Landemaͤſſer erſtlich bey beyden parcheyen als
dem Käufer ond Verkaͤuffer ſich Berichts erholen / wie fie den ſel⸗
bigen su mäflen begehren / mit vermeldung der vrſachen / dieweill
die Frucht an haldachten orsen mehr plag erfordren chut / als en
ebnem boden / tc.
XXXV. |
Aller Felder innhalt ohne
Rechnung zu fin⸗ |
Im
DemFcd meſſen. 267
nl grundriß deß Feldes ( welcher nach vnderricht de 10.
Buche zuvor muß nommen rad auff. das papyr mic einer
Befandten feiten in feiner proportion gebracht werden ) dividier
durch die lenge einer decimal rüsten, T: vnd ſo offt du dann don Thel. sap |
Ber auff den quotienthinauß ſetzen magſt fo vil helt das Feld gfier⸗
ser schen heiliger ruͤten / vnd fo der theiler den quotient nit gar miſ⸗
fersfonder etwas vber laßt / fe wird dasfelbige mie dem rheiler ein
vecht wincklet viereck machen / daſſelbige dividier durch Die 5 ei⸗
nes ſchuͤchs /t vnd ſihe wie offt der quotient den theiler begreiffe ſo 10. P. 4
erter ſchuch ſchreib auff / vnd wann noch etwas vberbleibt (ſo
vil gfi
ein recht wincklet viereck ſeyn wird) das dividier mit der lenge einer
erſten ſcrupul, vnd fo der theiler den quotient miſſet / fo vil gſierter
erſter ſcrupul ſchreib wider auff. Vnd alſo fortan / mag der innhalt
—
7.8 Das eyffft 6 æ,
ſo nach gefuche werden als einer wil / oder die —
———————— —— —
t. Vnd ſo vii du erter
dre / ꝛtc haſt / ſo vil iſt der innhalt deß Felds
Sum Exempel.
E⸗ ſeye ein vngeſchicktes fünffeck A80D., deſſen grundriß trag
auff das papyr in kleiner proportion mit einer bekandten ſ.iten / als
AB welche iſt zwo schen theiliger ruͤten / darumb dividier das fünf
eck durch Die fenge einer rüren als AF. ſo kompt im quotiem KG,
sen tft gleich T darauff fer den heller ** HinL,ond je mM,
N, O,P,auß jedem siche HF ein parallelen, die ſchneiden ab fünf
ee fo jedes ein schen theilige rüren fang vnd breit ee Darumb
chreib sum innhalt 5 gfierter räten-/. vnnd iſt noch vbrig das rede
ale ——— er —*— Fr
8 15 fo inien R
— — deu theller —: Schr ——
Das iſt der cheller macht t 53 quadrat / *
(ah lang vnd breit iſt / darumb ſchreib sum innhat
ſchuͤch vnd laßt nicht vber / darumb iſt der al
SER! —— — ruͤten vnd 53 afierrer ſchüch / im
gſtalt moͤgen all —
— — ee ande Ja fe Fe ei —*
Anderſt durch ein eintziige Multiplicauon.
erwandle den elds in ein quadr [
— —— hen
auß der bekandten feicen deß Feldte auch befandr iſt / die —*
icier in ſich quadrat / fabafhı den den wahren
miultipl —— —*
Ende deß ehifften acho.
Bu ücom:-
a Ba RER. 268
Geometriæ, Theorice&
— Practicæ. |
Das zwoͤlfft Süd.
Wie alle Felder in gleiche vnd vn⸗
gleiherhelzuchelen ——
ſeyen. |
Nach dem in borgehendem Buͤch
gelehrt / wie der innhalt allerley Felder ſo krum̃
u F nden vnnd Calculieren ſeyen. Se
I.
ie die Triangel auß einem win⸗
ckel in zween / drey / oder mehr gleiche oder
vngleiche theil zu theilen.
sei die Triangel ſo gleicher höhe fich gegen ein andren hal
ger wie jhre bafen, fu theilt man allein die baſen, das iſt ” —
o dem
LP. II.
Das zwoͤlfft Buͤch Geometriæ
ſo dem winckel darauß die cheil gehen ſollen vnderrogen / in ſo vu
eicher oder vngleicher theil als der Triangel ſol vercheilt werden.
uß dem winckel in die ſelbigen theil ziehet man bie ſcheid Knien!
welche den Triangel nach begehren vertheilen.
Exempel.
Es fen der Triangel ABC. den bes
gehrt man suchellen auß dem winckel
A indrey gleiche theil / DIE zus verrich⸗
ten fo dividier die longe der bafen CB
fo 120 mit 3. den quotient 4o miß von
B-gegen-C in D,dahın fen cın marck o⸗
der ſcheid ſtock non D miß wider 4o
biß in , da ſetz wider ein ſcheid ſtock /
auß dem winckel A zu edem ſcheidſtoek
D, vnd F, ziehe die marck linien AD,
AF, T die theilen den Triangel in drey
gleiche theil.
Wurd aber begehn den Triangel
in mehr gleicher theil zu cheden / ſo theil
man jeder zeit Die baſen in fo vil theil
als der Triangel ſol getheiit werden.
2. Wurd aber begehrt den Triangel in
vngleiche theil u cheilen / ſo theil die ba⸗
ſen mit den ſelben vngleichen theilen /
Auß den theilen ziehe die ſcheidlinien
in den winckel auß welchen der Trian⸗
gel ſol getheilt werden.
Exempel.
Der Triangel ABC wirdt begehrt under drey perſonen gu chei
len / der geſtalt daß der erſten werde:. der andren 5. der dritten die
vbrigen J. diß zu verrichten fo theil die bafen BC fo 120 in 5. den
quotient 24.miß von B in D da ſetz ein ſcheidſtock / darvon ziche in
den winckel A ein ſcheidlinien / die ſchneidt vom Triangel ABC den
Triangel BAD fo; def sangen Triangels ABC ‚dann BD ifl ; ton
BC ‚weiter dividier die bafen BC ſo ı 20 mit 3 fo fompt 40. die miß
ron D in F da ftel wider ein ſcheidſtock / vnd Hehe die fheidfinten A
F, ſo iſt der Triangel DAF ;.deß Triangels ABC dann DF iſt* =
BC,Y
\
WBm theilen der Felhern. 269
Bt ” der vbrig Triangel FRC iſt Beh Tiengel ac dann
FCifl von BC. — —
3. Wird aber begehrt allein ein bekandte morgẽ zahl vom Trian⸗
gel ABC abizeſchneiden / doch muß man wüſſen daß es weniger dañ
deß Triangels innhalt / ſonſt were. es vnmüglich / Das groͤſſer von
dem tleineren uu ſchneiden.
Eꝛempel.
Vom Triangel ABC begeher. man zeſchneiden die morgen zahl
2560. auß dem vinckel A ,diß zu verrichten fo ſuch das perpendicu-
lar AE ſo do. T diß halbier / mit der helffte 40. dividier dein morgen 3.11.
zahl 2560.1 fompt im quotient 64.die miß von BAU) C in D, auß 12.p. 11.
pm — linien / dre ſchneidt ab den Triangel BAD ſo 2580.
heit. Im fahl die ſeiten BC fürger were dañ 64. fo erſcheint darauf
Daß der gantz Ariangel ABC nicht 25600 hielte / darumb die 2560.
darvon su ſchneiden vnmüglich ſein wurde.
I J a SE
Wie die Triangel mic ſcheidlinien
einenfeitenparallelen/ingletchevmduvns . »
gleiche theil zu theilen ſcyen.
1 ZN fo vil gleicher. heil al der Triangel fol getheilt werben? mie
"5 einer ſolchen zahl devidiert man die fetten darauff die ſcheid
*X J 4
4
ꝓuncten fallen ſollen.
| Exempel.
Es ſey der Triangel ABC ‚den begehr ich in drey gleiche theil zu
theilẽ mir der ſeitẽ ACparallelen, o muͤſ,en die ſcheid puncreauff A_
B vnd BC kommen / dere eine muß bekandt ſeyn als hier BC fo 810,
die dividier in drey gleiche theil kompt 270. diß multiplicier mie BC |
8 10.auß dem produft 2 18700.nimbv ‚fompt 467(s537:-1- die miß 4
son BinD,darauß ziehe AC ein parallelen DE,fo iſt der Triangel
BDE vom Triangel ABC. = |
Weiter nimb 3 vom BC 810. als 540. die multiplicler mit 81o. |
auß Dem product 437400. nimbdie v. IR 661 302 5 die miß vor
| | VYyy Bin
Das woſi "Bes Ceomauıtx;
cten auff BA, wie auff BC geſche⸗
/ 7— Be ſcheid punctenzu⸗
DE, vnd GF.
Man mochte auch auß 3 auf AC
ein perpendicular nechen / vnd das ſel⸗
be cheilen wie mit 8Cgeſchehen / vnnd
durch die theil zu rechten wincklen li⸗
nien durch ziehen / die cheilen dann dẽ
Triangel auch nach begehren / vnd ſeyn
mit AC parallelen
z. WBirbaberbegehreden Triangel
in vngleiche theil zu cheilen einer ſeͤtẽ
parallelen, ſo numb allweg die *
sheil von der ſeiten darauff Die ſcheid⸗
zn ßehen follen. / im obrigen als‘
Exempel.
Den Triangel begehrt man in drey
ongleiche theil zu cheilen / daß der erffe B,
theil gegen n habe?. vnnd der daran
fo bleibe dem vbrigen „2. darumb DIE
gu verzichten nimb von: der felren BC.
fo 810 dte3 feynn 324. die multiplicie B H © o
mit 810 BC,auß de produdt 262440. |
die Viſt p12. (80 diemißwon BIRD, außD sche AC ein pa-
rallelen DE ſo iſt der Triangel BDE Fdeß Triangels ABC ‚weiter
addicr z su 3.fo fommend H.barumb nimb von der feiren BC fo 810
die 15 [cyn 594.die multiplicier mic der ſeitẽ BC 810. auf dem pros
duct 481 140 die V ift69 ns die miß ron Bin G Darauf ste
be AC Me paral'den G F, ſo iſt der Triangel BG FX deß Triangeis
ABC, vnd das vtereck GFAC II „*. weil aber der Triangel BD:
dfſt
| Won cheilen der JRader 270
ed : re C,fo folgt daß das vteruct DEF G feye 3 deß
3. Wird aber begehrt allein ein bekandte morgen zahl vom Tri⸗
angel ABC abzeſchneiden / mit einer ſeiten parallelen.
Dom Triangel ABC begehrt mandiemmorgen zahl 52650 dr
ſehneiden / mit der feiten is muß zu.
= = innhalt deß ganzen Triangels AB.C.gefuche werden, Fond 190. 11.
250.
Run fein die innhalı der Triangel propomieniers, wie die. quad⸗
rat ihrer feiten t darum . 9%
Wie derinubalt deß Triangele BA C. aum innhalt deß Trian.
263 250
gels BED,
ſ260y0 Bu
Aſo das auadeacherfetrin gumquadrat der fehl BD Herauß.
‚68100 431220
Die wurtzel iſt 362( 4 -1t= |
Dife miß von B in D,auß;D Hche Cæin parallelen DE „die ſchneide
ab den Triangel BDE f0 52652. laut vnfrem begeren.
Demenfiration,
Im Triansd ABC. iſt AT, ein parallelen zogen dEED, de
rumb fein die wuckel BDE,BCA gleich / vñ der winckel B iſt anıein?
fo bleiben auch die vbrigen winckel BED,BAC æiu ander gleich / da⸗
rumb fepn beyde Triangel BED,BAC gleichſormig / vnd gleichfor⸗
inig geſchriben / nim zů beyden baſen BC, vnd BD die dritt propos
sionierte BH,T darumb wie die erſte BC, zur drttten IR, alſo der 24. p. 1.
Triangel BAC auf der erſten BC, zum Triangel BED Auf der an⸗
deren BDT vnd der Triangel auff der anderen BD, heis die begert Cor.M p.i
morgen zahl welches auch tim theilen zu verſtehen iſt.
Di Bi
19. p. 1.
. hi Daswölfeidch Geomeiriz,
| Zu III.
Wie die Triangel zecheilen in gleich
oder vngleiche theil / mit perpendicular
auff ein ſeiten.
gan der winckel recht iſt mit der ſelten darauff die perpendicw
lar fallen ſollen / im vorhabenden Triangel BAC, ſo verricht die
theilung wie in der ober. |
egunde winckel aber nit recht / ſo er; auß dem winckel A.auff
Die bafen BC /darauff die perpendicularfalten follen / dag perpen
dicular AD fallen / vnnd theilden vorhabenden innhaltdes Trian⸗
gels in fo vil gleiche oder ungleiche cheil / als der Triangel fol ge⸗
cheilt werden / die felben quotient siehe von den Trianglen BAD ‚OR
C AD dein perpendicular AD parallelen; —
Vnd weil ſie dem perpendicufar pas
rallelen., ſeyn auch fie Die cheil Linien:
; pe, pendicnlar.. .
Exempel.
Der Triangel BAC wirt begert in
drey gieiche cheil gu cheilen mir perpen
ehe dicular linien auff BC ‚DIE zuverrich⸗
richten nimden iñhalt deß gantzẽ Triangels BAC ‚ttfl 195000.die
fen ınnhalt theil in fo vil cheil/als der Triangel fol vertheilt werden
als hier in drey gleiche theil / kompt fir +deB Triangels Efboo: vnd
Biebafen.BC iſt 200. vnd das porpendicular AD iſt 487(5. vnd theil
die baſen BC in D.alſo das BD iſt y590 und DC iſt 270 kompt für
den innhalt deß Triangels BAD, i 340602(5. vnd file den Triangel
DAC,60937(5. fo diſer dem dritten cheil 65000. gleich were / fo
ſchneide AD 3 ab/meil der Dritte cheil aber mehr iſt / ſo fan vom Tri⸗
angel DAC das } ſo «000. nit abgeſchnitten werden / ſonder beyde
Heit linien fallen in den Triangel BAD. darum
Wie der innhalt deß Triangels BAD, aum dritten theil deſſel⸗
134062(r 6000
ben / alſo das quadrat auff der ſeiten BD,jum quadrat ber felten ch
46200 — E —
Dom theilender Felder: ‘ - z7t
ses Triangels vom: gemacht / auß diſem die wurtzel iſt 382(95°—,
diſe miß von B in E, auß E erheb auff BC ein perpendicular EG, di
ſchneit vom Triangel BAC!.namlich den Triangel BGE fo —000.
weiter wieder Triangel BAD gun zween drittel deſſelben / alſo das
134062(5 _ 130000
auatrarauff der feiten BD, zum quadrat der feiren eines Triagels
302500 293333 (333333
ſo v6 zween drittel gemacht wird / auß diſem die v iſt 54.1 (60255. die
miß von Bin F, auß F erheb auff BC ein perpendicular FH, das
ſchneidt vom Triangel BAC zween Drittel / alsden Triangel BHR
aber der Triangel BGE iſt ein drittel / ſo folgt daß dz viereck EGHE
auch ein drittel ſey /wie auch das vbrig viereck HACF refliert auch
«in dritten theil / vnd iſt der Triangel mit perpendicularen,auff BC,
in drey gleiche theil getheilt.
| IIII.
Wie die Triange! zecheilen in glei⸗
che oder vngleiche theil / auß einem punc⸗
ten ſo auff einer ſeiten deß Triangels.
1.2, 0010 vi gleiche oder vnaleiche theil als der Triangel fol gerhetle
werdẽ / dividier das product od recht wincklet viereck fo ginacht
von den zwo ſeiten dar auff die ſcheid oder theil puncten ſeyn.
Exempel.
Den Triangel ABC
fol einer außde punctẽ R
D fo auff der ſeitẽ BC
eher in s. aleiche theil G
theilen/ diß su veruch⸗
gen fo miß BA,0N BC,
darauff die jcheid und
theil puncten fichen/
- findfür BA24o.0nnd „ h
flir BC_250. weil du id
BC miſſefi / ſo m wie weit D von B ——
⸗
m — ——— — — ——
Cor.49.
p.i.
Das will Buch Geomerriz,
ao. vnd multiplicter AB 240
mit BC 25f0
Das product dividier ‚60000
durch die zahl in welche der Triangel folcheilt werdenfohier 5
212000
der quortent iſt + deß vroduct 12000
Dasdinibier duch BD 120
Den quotient fe&
Die. gleich. hähe — — —— — oh
der Eriangel;BFD ein fünfte Fb eier tor Hende Tri
nckel habẽ / als dẽ gmeinen win
«td B,darumbift ihr nenn gnacht von jbren —— das iſt
" soo00
BFINBD,
ze er
alfe? der er Zriangel B —— BFD,
Dun tan ıch die 1aa.Dan-G in A nit mehr haben 7 darum wer⸗
den die vbrigen ſcheid puncten auff Di ſeiten AC fallen / darumb fo
muß ſie auch un werden end iſt iang 100. vnd — BD
von BC ‚reflfür DC 130.
nun nıltiplicıer CB 2/0
mit CA 100
das product 25000
dividier durch f
den — dividier 5000
dur) C 130
difen quotient 38( —
fen von Cin.E ‚und H,außdifen ziehe in D Die ſcheidi vñ
DH fo durd ober erwaßlichkeit jeder Triangel CDE,PRDEDH
Def gantzen Triaagie ABC darumb iſt dz vbrig veereck —
ISau
| Vomeheilen der fin. ars
G au :. iſt alfo der Triangef ABE auß dem yuncren DfSaufE der _
fetten BC ‚in g.gleiche cheil getheilt.
z. Wann aber von einem Triangel ein gwüſſe morgen zahl Mr z
gbgefchnitten werben/auß dem puncren auff einer feiten.
Exempel.
om Triangel ABC, beger ich gegen dem winckel C, 1560. ab⸗
zuſchneiden anf dem puncto D, diß zuverrichten siehe auß.D auff
BC ein perpendicular DE ‚daß miß find 60. mit beſſen heiffico 3“
dividier 1760. t dẽ quorient 12.18 98 C in F ‚darauf ziche Dielimit .a.p. 11.
FD, welche dẽ Triangel DE C abfihneit/fo die morgẽ zahl 15 60 helt.
Wann aber mehr keme dann BC, lang were / alsuran wel⸗
B te ablegen 5040. fo mandiß durch 30. dag
halbe perpendiular dividiert / ſo kompt 168.
welches mehr dann BC ſo allein rso.langiflf
derwegen fo multiplicier BE 150. mit 30. als
halber DE, kompt 4500 für den Triangel
CBD, den ſubtrahier von 1040. reſtiert noch
g40.die maß noch vom Triangel DBA abge⸗
ı legt werden als fuch das perpendicular auf
\ D auff AB,als DH iſt 40. mit deſſen helffte die .
c D A vidier 540 kompt 27. ſo weit miß von BinG,
giehde GD ‚die ſchneidt ab / das viereck DGBC,,
fo die begert morgen zahl po 40. innhalt / dann der Triangel CBDe
iſt 4500. vnd der Triangel BDC iſt 540. Tifl zeſammen 5040. 18.p. 11.
Nora wie die Triangel durch die puncten ſoinn oder auffer dem
Triangel su theilen / iſt oben im 6. Büch Geometrifeh gewiſen / bey
welchem ich es jetz beruhen laß / weil im Seid nis bald der gleichẽ thei⸗
kungen für kommen. v
Wie alle biereckete Figuren’ fo die
ʒwo ſeiten parallelen darauff die ſcheid pun⸗
cten fallen/in gleiche oder vngleiche theil
zu theilen ſeyen.
1. Exflich ſey ein recht wincklet vierec / das wird begehrt in drey
geiche cheil zu theilen.
rn u rn a
m dm EB une
EEE
“gemaın
31.p. a.
\
Das zwoͤlffte Buͤch Geometriz,
Erempd.
Es iſt dz rech A FE 65 B
wincklet vier⸗ |
eck ABDC, vñ
weil es ein
recht wincklet
viereck / ſo iſtt . |
B glih CD, : 4
— — 1
die dividier A —
durch die ach € FE 4 DLOoM
in wilde Das
viereck fol gerheilt werden ala hier mir 3. fo kompt 214. die miß von
C in F. vnd fort in H, vnd von A in E, vnd fort in G ‚siehe die ſcheid⸗
linien EF, vnd GH ‚die zertheilen das viereck in drey gleiche eheil/F
u fie gleicher Höherparumd ſeyn ſie gegen einander wie jhre has
3. Iſt aber zu theilen das viereck 1x ML Tonic recht wincklet / fo
theil jede parallelen inſonderheit mir der zahl / darmit das viereck ſA
gecheilt werden.
Exempel.
DUB jede parallelen Riſt 200. vnd LM iſt 260. vnnd dag vier⸗
eek fol in zween gleiche heil geiheilt werden / darumb dividier jernses
dre als IXz200vnd LM ‚260 mit 2 kompt 100 fuͤr IN, vnnd 130.
für LO, ziehe NO die theilt dz viereck IXLM in zween gleiche theil /
angeſehen die gleiche Höhe, und Die gleichen R0, OM, vnd IN, NX.
Begehrt man aber ein viereck in vngleiche theil zetheilen / ſo di⸗
vidier die ſeiten nach der proporuon, wie die theil gegen ein ander
haben follen.
Exempel.
Das red wincklet viereck ABDC deſſen die zwo ſeiten AB vnnd
CD jede iſt 642. vnd die zwo AC vnd BD jede 600. wil ma in givec.t
ungleiche theil theilen / daß dem ein? theil werde &.dem andren 3. diß
za verrichten fo nimb von der langen ſeiten einen fo 642 Diez ijt 256
(3. die miß von Aın G, vnd von cc in H siehe GH die ſchneidt —
viere
Vom theilen der Felder. 253
niereck AGHC ſo à deß vierecks ABDC vnd der reſt als das viereck
GBDH iſt die J. angefchen daß ſich cin viereck zum andren halt / wie
Ihre baſen.
4. Wirdt aber begehrt allein ein bekandte morgenzahl abzeſchnei⸗
den / mi der ſcheidlinten fo einer feiten parallelen.
Exempel.
Vom recht winckleten vlereck AB DC begehr ich abzeſchneiden
428400. daß die ſcheidlinien der fetten AC parallelen ſeye / mß AC
iſt 600. auff die ſchreib die geben morgen zahl 128400. als divi⸗
dier diſe durch 600. den quotient 214. miß von A in E , vnd vonc
in F ‚siche EF,fo heit das recht wincklet viereck AEFC die begehrten
margen zahl 128400.T
Anderſt.
Nimb deß gantzen Felds innhalt iſt 385200. das helt fich su ſei⸗
mer baſen, wie die morgenzahl 128400 zu feiner bafen/das iſt /
wie ABCH, zu CD, alſo AEFC, zu CF,
REED ren 0 — J
385200 642 128400 214
5. Wann aber ein vierec nit recht wincklet / ſo dividier bie mare
genzahl ſo al zeſchneiden mit dem herpendicular von einer paralle
Ten zur andern / der quotient zeigt wie weit auff jeder ſeiten der ſcheid
Exempel.
puncten ſtehen ſoll.
Vom vier⸗
eck EFGH ſo
nie recht win,
cklet / begehr ich
ab zeſchneiden
ein ſtuck ſo
3 10200. diß zu
vᷣerrichten nim̃
Die perpendicu-
lar El iſt 600.
darmit dividier
die morgenzahl
3190200. den
zn
’ 1 1.P.1 I,
Das zwoͤlfft Büch Geometriz,
- quotient 17 miß von Ein K, vñ von HinL siche KL ‚bie ſchneide
ab die begehrt morgen zahl / als das viereck EKLH. |
VL
ie die ongeſchickten biereck Tra-
pezium genendt / in gleiche vimd vs
gleiche theil zu theilen
ſeyen.
2, 2) Arroil das riere ABc Dein ween gleiche cell cheiſen/
diß zu verrichten. ſuch den puncten G der gſtalt daß ABG
in ein grade linien ſtehe / mie auch DC G,oder ſuchs durch Rechnũg.
Exempel. |
BR
Bang uff AB suru biß dir CD in das geſicht komme / vnd mit
G ein grade linien mache.
Oder füch den puncten Galfo/auß D vnd C [aß auf die verleng
Ye AB perpendicular fallen als DE, vnd CR, die miß iſt DE yzo.
vnd CFiſt 230. ziehe CF 230. von DE 530 reſtiert DH 300, nn
miß HC iſt coo. darumb
mie DH.zu HC, alſo DE. iu EC.
300 600 5390 1060
WEG
Vom cheilen der Felder. 274
REG 2080
addier AE 150
kompt AG darvon 1210
fübrr.apier AB E 80
reſtiert 388 diß multiplicier 630
mit halber CF ſo 118
kompt der innhalt deß Triangels Bc% 72450
vnd multiplicier AG 4210
mit halber DE fo - 265
kompt der innhaft dep Triangels AD c hiervon 320650
ſubtrahier den Triangel BC.G 72450
reſt der innhalt deß vierecks ARCD diß halb 242200
iſt für das viereck ABCD halber theil / 124100
darzu addier den Triangel BC G | 72450
kompt 1965y50
Diſe letſte ſumma ſchneid vom Triangel 4D C. alfo * ad
wie der innhalt dep Triangels AD.G zu diſer letſten ſumma /
320650 I26550
alfo das quadrat auff AG sum quadrat auff GI hierauß v iſt GT,
1484100 By7asalrıassı 94764
Daun ſo miß von G in ı diſe funden 947(341-=- ‚außı siehe
AD ein parallelen IK ‚Die theile das viereck ABCD in zween gleiche
theil / dann der Zriangel IK G begreifft den Triangel BCG vnd d5
halbe viereck ABCD. Fa
2. Wegehrt mans aberin und iche heilzu thelen 7 To Thellden
innhalt deß vierecks in die felb zahl vnd proportion, Den quotient
addier zu dem Triangel BC G,dic ſumma ſchneidt dann vom gan⸗
gen Triangel ADG wie glehrt. .
Man begehrt es in zween ungleiche theil su theilen / das dem ein?
Bis Wi theil
Das zweit Bär Geomerriz,
fomtme / dem andren das whrig / darumb fo das viereck be⸗
kandt /
als hier tldasvieredABCB: 248208
deſſen nimb ziſt 292860
darzu addier den Triangel BCG 72450
diſe fumma ſcheid von Dim Triangel ADG | 371730
‚ wieim oberen Exempel gelchre mit KL parallelen AD.
3. Wurde aber begehrt die ſcheidlinien perpendicular auff As
vn fo muß man bekandt baben den innhalt deß Triangels
F
Exempci.
wie DE SU EEC, alſo CF MIFG,
130° 1066 230 46e
komp der innhaltdeß Triangels EC: gz900
auadrier Die ſeiten FG iſt 211600
und wieder Triangel FC G-, vim quadrat auff FG „ alſo das ind
52900 211600
ſo abtelegen / iu dem quadrarauff 6 n. hierauß Die wurtz die ſeg ven
a ee
cinH.
Auf i erheb auff AB: das perpendicnlar HI, ſo iſt das vierec
BCIH die begehrren 3. ond das viert AD-IH die deß
gantzen vierecks ABCD, vnd im andren Exempel iſt das viereck B-
BGLXond das viereck ADLK die beſihe die ander Jigur.
Auß
Mym theilen ber Feider. 2
VII.
Auf einem puncten / ein jede rechtli⸗
niſche Figur in gleiche oder vngleiche theil zu
theilen / der puncten ſtande gleich in einem winckel /
oder auff einer ſeiten / oder in der Fi⸗
gur innen.
a su verrichten fo cheil anf gedachtem puncten die Figur in
jhre Triangel / vnd ſuch eines jeden innhalt / + die addier zeſam⸗
men / vnd dividler die ſumma mit der zahl als die Figur ſol getheilt
werden / oder nach begehrter proportion wann die theil ſollen vn⸗
gleich ſeyn.
Exempel.
Es iſt ein Ir
ar ſechs⸗
/ das fol in
vier gleiche shell
gerheile werden
auß einem pun⸗
ten als hier der
|
|
4
puncten O,auff |
—— / — von O tn F ein verlengre in G,tiche auch
e ngel/alı | DA
OD, vnd O C, ſo iſt bie — gecheilt / vñ muß eines je⸗
ven Triangeis innhale. gefucht werden +.
i FEG. 29600
DVnd findenrfür die Triangel O6B. 76449
ODC.139482
Die ſumma alsdiegung Figur ABEDEF 342052
dividier durch Die sahl darinn bie Figur fol cheilt werdẽ ſo hier 4
kompe für ein vierten theil 25513
—— 31 u addier
15. 3. 11.
18. ober 19
pi
12.p. 11.
12 p. ti.
Das zwatfft Bach Geümeniz,
Addier beyde TriangllAFO 42000
vnd ‚KEG 29608
die fumma fuhrrahier 71608
von ; weil das vterthel mehr 37913
reſtiert 23913
der reft dividier durch halbe OC fo 275
Dem quotient nimb gleich oAstı—
$
ein ꝓerpendicular· anff OG AH , das iſt ſchreib auff OG ein
Triangel OGHſo13913 haktert fo ſchneidt die linien On von
Der Figur ABCDEF,alsdag viertel AOHEF.
nun iſt vom Triangel O D 26448
der Triangel.O.G.H weg genommen 13913
reft für den Triangel OHD 625 27
Bas fubrrahler con; Sr
reftiere 22986
den reſt dividier durch halbe. O D fo 294
Dem quoriene gleich-erheb ein perpendigular anff OD ls
Bas ift ſchteib auff OD den Triangel ODIT Ache :Ogbie fchneit
ab OHDA, ſo aud ein piertel von ARCDEE,
und vom Triangcl ODC iſt 139482
der Triangel OD weg genommen 22986
reft für den Triangel OIC 116496
von demnimb | 35513
den reſt 30983
dividier durch halbe OC_ 287
kompt 107(0547 m
deren mach glelch Bag perpendicular anf K auff OC das t sichew
der ſchneid vom Triangel OIC 116496
den TriangelOXC 30983
reftiere der Triangel OIK fo! der Figur 85513
vnd das vbrig viereck OXCB iſt auch.
end iſt alſo die Fiaur ABCDEF in vier gleiche theil getheilt / durch
Die ſcheidiinien ONOI, vnd OK. | e Nora
;
Dom theilen ber Felder 276
„Nora welt mun die Fiqur inongleiche.cheit theilen / ſo theil man
den innhalt der gantzen Figur nach der ſelbẽ proportion vñ ſchneid
dann von der Figur ein jeden quotienrwie gelehrt.
Glet her gſtalt procediereman fo der puncren / darauß die theil
gehen in einem winckel / oder in der mitte der Figur ſtehet / allein daß
die Fiqur auß den ſetbigen punctenin die Triangel vertheilt werde /
und dann fo vil Triangel zeſammen nimpt / onnd noch ſo vil von sie
nem biß man den begehrten theil hat:
vun |
Wie ein Figur auß mehr als einen:
puncten / ingleiche oder ungleiche theil ze⸗
theiten / die puncten ſtehen gleich wie
fie wöllen.-
‘ur: verzichten: f6 den i te {
OS Knidenfeen mbieiaßtglekhroberongiehhe A Dokier
ren / als die gan Figur fol getheilt werden: dann ſo nimpt man ein
theil für ſtch/ vnd ſchneidt den felben von ver Figur auß dem erfien
puncten/darnadi'nimprimnmwiderein-chettfüieronn® ſchneidt jhn
mom reſt der Fizur auß dem andern yuncten/ond fofortan.. _
Ezxyempel
Es ſey das irregular
ſechseck ABCDEF, das
ſol man auß den punc⸗
ten A, G vnnd H in vier
gleiche theil theilen / diß
gu verrichten fo ſuch den
innhalt deß ganne ſechs⸗
für ! hier 66469: vnnd
nimb für dich den punc⸗
ten A, darauß siche in
die winckel E Und D lin
12.p.11,
t. P.II.
aa p.I.
Das 3woͤlfft Bach Geometriæ,
=> fach beyder Trianglen innhaltfindenfür AFE 314476
end für
AED 39300
addier beyde Trianqel kompt für AFED 74776
ſulxrahier darvon + fo 66469
reſtiert
8307
vmb ſo vil if AFED mehr dann der begehrte viercheil 7 Barıımb ſo
ſubtrahier vom Triangel AL: D die 8307. das iſt ſchreib anf AD DE
Triangel ADI, 83307 7 mit der ſcheidlinien Ar.
dann nimb für den puncten G siehe GD, vnd ſuch den innhalt deß
Triangels ADG Ä 32759
dar maddier den Triangel ADI 8303
Sie ſumma | 40757
ſubtrahier vom eim viere 65469
refliert
25412
vmb fo vil iſt das vier eck ALDG wenigerdann ein viertel / darumb
addier darzu 25412. alſo ſchreib auff GD den Triangel GDK
25 418.1 mit der ſcheidlinien GK. =
Letſtlich fo nimb für den puncten ſo jher der Fiqur ſtehet / doch
ſol vie ſcheidlinien von H in C nach einer gmeinen Landtftraſſen
ehen / darumb ziehe UC, vnd die blindlinten HK, vnd UC. vñ ſuch
—* Trianglen innhait vnd finden.
gürdeninnpalt der Triangel 3 GHK 23780
CHK 34230
addier fie die fumma ATææœx
ſubtrahier vom viereel 66469
reſtiert 8399
Vmb ſo vil if pas vngeſchiekt viereck GK CH weniger dann ein
viertel / darumb addier darzu 8399. das iſt ſchreib auff HC den Tri
angel UCL 339 mit der ſcheidlinien HL , vnnd iſt dag ſechseck
ABCDEF in vier gleiche theil gecheilt / durch die linien Ar , vnnd
OK,UNdDGHL, | |
Fin
“ .
— 277
Ein allgemeine Regel die
Felder zu theilen.
Te Im
geſchicktes ſechs⸗
eck ABCDEF, .. €
das fol einer in
drey gleiche theil |
fheilen / fo muß —
erſtlich fein gan» B
ger innhalt ber
* Iepn / u |
nfelbigen in fo
Sil cheil dividie/ EMS NK
ren / alß das Feld fol gethellt werden / alß hierin 3. daſſelbige —
in quotient kom̃t ſchmeidt von dem ſechseck / vnd von dem vbrigen
ſchneidt wider .
Exempel.
Der gan Innhale des Felds ſeye 190749. diſe dividier durch
Die zal / in welche das Feld ſol getheilt werden / alß hier mit z. ſo kom̃t
fuͤr — 63783.
Difes von dem gangen Feld abzutheilen / ſo nim̃ Auff gutdun⸗
«fen von A gegen Feinpuncten G. daß ein perpendicular auß dem⸗
ſelben auff AF gesogen bey — ein drittheil —— alß
63533. alß auß G sche auff AF das perpendicular GH. welches
300. lang iſt / vnd ſuch den ianhalt he vierecks ABHG, vnd finden
8000. welches mehr ik dann ein drittheil /
darumb ſubtrahier son 83000
dem drittheil | 43582
reſtiert
vmb fo vil iſt dag viereck ABHG u sroßfnefenewsegen fo nah bie |
ſcheidlinien beſſer zuruck gegen A genommen werden / alß ſchreib
auff GH das recht wincller viert Puz
aaa
II. p. I1.
24417
300
Brenn 220]
2
RL weiches iſt 270. ſo Meniger dann Gil vmb das ſiack
‚Io 30 mit feiner beiffte 15
multipiicier H I(dem gleich if GK) 18(39
lose fůr den jnnbalt des Triangels HLI | 1220(85
22.P11. Io SüLmnf noch ma dein wiererf ABLK addiert verden/ t
alß dividier
mit halber LK 135
das kommende HH
end von K in M vnd siche ML, welches die rechte feheiblinien ſeyn
Ertiche die
— er — ————— perpendieular
den innhaltdes HLI 1220(8:
dtvidiert durch die gange linien LK 270
Das quotient alsz!
fa vonK gegen F. mo esfich endet darauß erheb ein perpendicular
bis an BC, dieweil diſes aber ren
aril / deſſenwegen fo muß man den vbrigen feinen
der auff gedachte manier fubrrahieren/end —— —
a Er ER SE HE en
ahe iſt
— —555 gſtalt wird wider ein theil (alß hier ein dritcheif)go
Br fr nahe une nom
X. Wie
a WVWVon theilen der Jeder. 278:
Wie die Eirchelrunden Felder
zu theilen ſeyen. / F
A jeder Circkel wird durch feinen diame- Ä
ter in zwen gleiche theil getheilt.
Sol aber der Circkel in mehr theil auß dem
Centro gerheilt werdenvift folches auch leicht /
dann man theile den vmbkreiß in fo oil gleiche
cheil / alß das Feld ſol gerheile werden / vnd auß
dem Centro in alle theil die ſcheidlinien zogen /
die cheilen den Circkel nach begeren. |
u Erempel, . |
Es feye ein. Circkel deſſen vmbkreiß ſeye 13 yo.den ſolt du in
drey gleiche theil theilen / mit den theil linien außdem Centro
fo dividier den vmbkreiß 1350
mwir der zal / darinn der Circkel ſol getheilt werden / alß 3
45%
den suorient
miß vonD in B. vnd in G,auff dem vmbkreiß.
Auß dem Centro in diſe puncten siehe grade linien / die cheilen
den Circkel nach begeren.
XL Zu
Sen Eircfelvurd parallel
linien zu theilen.
O nim̃ des begerten theils fein ſi⸗
I nus verſus, vnd wie ſich radius
zum felben verhalt/ alfo halt fih des
Gircfels halber diameters zum beger⸗
ten pfeil / ſo von dem ombfreiß gegen A
Dem Centro folgemäffenionddadurd .
zu rechten wincklen die ſcheidlinien ge⸗
zogen werden.
| | Aaaa ij Exem⸗
Bas zw oiꝛ Bach Geometriz,
Efrxempel.
Des bekañten Circkels diameter ſey AB, welcher iſt 400. vnd
ff den Circkel in drey gleiche theil cheilen/parumb ſuch des Cir⸗
ckels ſchnidt / fo ein dritcheil eines Circkels iſt / deſſen diameter iſt
20000000 ſeyn ſinus verſus welcher iſt 73 70048. ſo verhalt es ſich
wie AC radius, zu AH ſinus verſus, des winckels ACE.
74gr. 3 8.
10000000 7350048.
alſo der halbe diameter AC,sum pfeil AHE.
| 200 147(001
So weit miß von Ain H, vnd von Bin K vnd siehe durch Hvnd K.
zur rechten wincklen linien an den. vmbkreiß / die werben den Circkel
nach begeren theilen.
Hier iſt zu mercken / wann ein Circkel in 5. gleiche theil zu thei⸗
len were / fo nim̃t man erſtlich den ſinum verſum eines fuͤnfften
theil des Circkels / deſſen diameter iſt 20000000, vnd arbeit alß
aben / vnd nim̃t die gefunden zal vom vmbkreiß auff jeder ſeiten ge
gen dem Centro, vnd zeucht zu rechten wincklen die ſcheidlinien dar⸗
durch / darnach nim̃t man ſinum verſum der ʒ. vnd procedier wider
alß oben / das funden miß wider vom vmbtreiß nach dem Centro
auf = diameter, vnd siehe. die. fcheiblinien su. rechten wincklen
ardurdy
| Ein gleichen verfland hat es / wann der theilen noch mehr ſeyn
ſollen / alß ſiben / ſo nĩt man erſt finus verlusvon 3.barnadı von
letſtlich von Fond arbeit alß oben / vnd alſo fortan.
Wie aber die halben Circkel / Erckelzan / vnd Erckelſchnidts /
wie auch die Felder / ſo mir graden vnd krummen linien beſchloſſen
uichellen ſeyen / duncke mich vnnohtwendig mehrere roeitläuffigfeit:
darvon zu machen / dann ſolches durch diſe und bie zwen.
naͤchſt vorgehenden leicht zu ver⸗
richten iſt.
AU
—
Vom theilen der Felder; zz 379
XI. |
Vie allefelder ohne Vechnungzu
ttheilen ſeyen / ſie ſeyen gleich von graden
oder krummen linien beſchloſſen.
Rſtlich ſol der Grundriß des Felds / nach der lehr des zehenden
Buͤchs / fleiſſig genommen / vnd im kleiner proportion mit der
Maͤßleiter auff das papeir getragen werden / vnd nach dem das feld
eſtaltet / oder zu heilen begert wird: Durch die 14 .0nd 15. des
— 2*8 durch die z 1 -Ierflenn Auffgaben des ſechßten / theilen /
vnd ſo man dann von den wincklen su den theil linien / mit der klei⸗
nen Maͤßleiter miſſet / ſo werden ſolche maß in groſſer proportiom
Bon den wincklen des Felds su ihrem theil oder ſcheidyuncten leicht»
lich, zu maͤſſen / vnd von einem theilpuncten um anderen Me
ſcheidlinien abzuſtecken / vnd das Feld alſo
zu theilen ſeyn.
—
al
a 2 Sr
in
®
\ Von den Copern. 2116
. t0. Bon ebnen und runden flächen find begriffen die Conus
Cylinder vnd ſchnidt der Spherz. re
11. Pyramisift ein ebens Corpusoder leib/fo begriffen von reche
liniſchen Trianglen / ſo von den reihtlinifchen bafen in der hoͤche in
einem puncten sufamen lauffen/ond ein ecket oder rund( nach gſtalt
oder form der bafen) sugefpigeen kegel formieren/befommen ihren
namen von der baſen / dann fo diefelbige ein Triangelfo wird es cin
dreyeckete pyramis geneñt / von „ein viereckete / von s.cin cin fuͤnff⸗
eckete / von 6. ein ſechseckete / wie M.vnd fo fortan. F
2. Die Pyramis haben ein flaͤche mehr / weder winckel auff der
aſen. | Ä
13. Vnder allen Pyramis tft allein eine Regular, welche von
vier gleichen Regular Trianglen befchloffen.
.. 14. Prifma oder eckete Saͤul / iſt ein Corpusder zwo bafenıfo ein
andern entgegen gefent gleiche / vnd gleichfoͤrmige flaͤchen / vnd ein»
andern parallel ſind / vnd die vbrigen flaͤchen / ſo von einer baſen zu
der andern gegen parallelogramen ſind / vnd alſo ein eckete / vnden
vnd oben gleich dicke Saͤul formieren / welcher baſen auch drey / vier /
oder mehr ecket ſeyn / von welchen ſie auch den namen bekommen /
dann fo die baſen ein Triangel / ſo bekom̃t die Saul fuͤnff waͤnd oder
flaͤchen / vnd wird von den Griechen pentaedron geneñt / das iſt ein
fuͤnffwaͤndige / iſt die baſen aber ein viereck / ſo bekommen 6. waͤnd /
wie o vnd psund wird Hexaedrum geheiſſen / fo die baſen aber vil
winckel hat / vnd die Saͤul oder priſmen mehr dann 6. waͤnd bekom̃t /
wie N; fo werdens poliedrum oder mehr waͤndige Figuren geneñt.
! Y Vnd hat jede prima zwo waͤnd mehr dann windel auf
der bafen.
* 16. Hexaedrum find parallelepipedum oder Trapezium.
17. Parallelepipedtm oder parallel der flaͤchen / hat die entge⸗
gen geſetzten parallelogramum gegen einanbern parallel oder gleich
weit / vnd macht alfo cin parallelifchts Corpus oder Saul / welches
recht oder ſchreg wincklet ſeyn kan.
18. Recht wincklet find ſie / wann jhre flaͤchen rechte ſatte win⸗
Eel machen / wie die Coͤrper o vnd p.
19. Cubus iſt ein Corpus von ſechs gleichen quadraten begrif⸗
fen / wie p, vnd iſt vnder dem Hexaedron allein Regular. 8
ao. Ver⸗
ren / vnd zwoͤlff ebnen / vnd vier farten wincklen begrif
o
Das dreyzehend Buͤch Geometriz,
20. Berlängse recht wincklete Cörper find von vngleichen a⸗
chen begriffen / wie Die prifma oder Saul o.
21. Schreg winckiete parallelepipedum iſt das / ſo von ſchregen
wincklen begriffen / wie die Rhombus vnd Rhomboides.
22. Rhombus tft ein Hexaedrum, von 5, gleichen ſchregen vie⸗
zungen begriffen / wie Q
23. Rhomboides {fl auch ein Coͤrper von ſechs waͤnden oder flaͤ⸗
hen (fo parallelogramma ſeyn / da allwaͤg allein zwey einandern
entgegen geſetzt —— vnd ſchrege winckel machen wie R.
24. Traperzium iſt ein Corpus begriffen von flaͤchen / ſo weder
‚entgegen geſetzt gleich / auch nicht parallelogram ſeyen / ſonder gegen
einandern vngeſchickt / wie 8.
25. Regular oder Regulierte Corper find fuͤnfferley / wie Eu
clides im 13.0nd 1 5. Buch darvon ſchreibt / alß Tetrae drum, Hexa-
edrum. Octaedrum, Icoſaedrum, vnd Dodecaedrum.
26. Tetraedrum oder vier voͤdige kegel / iſt ein pyramis oder ke⸗
gel / von vier Triangliſchen gleichen flaͤchen / vnd geichen ſei⸗
n.
27. Hexaedrum Cubus oder wuͤrffel / iſt ein Coͤrper / ſo gemacht
von s.gleichen quadraten / 1 2.gleichenfeitensund 24. ebnen / vnd 6.
ſatten wincklen. |
28. Oftacdrum oder 8. böbigeiifl ein Corpus von acht gleichen
a a ei S.fattenseindfien
n Ä
29. Icofacdrum oder 20. boͤdige / iſt in Corpus gemacht von
20. gleichen Triangliſchen boͤden / zo. gleichen ſeiten / so. ebnen / vnd
12. ſatten wincklen.
30. Dodecaedrum oder gzwölff boͤdige / iſt ein Corpus gemache
von12. — fuͤnffecketen boͤden / 30.9leichen ſeiten / 00. ebnen /
vnd 20. — ne
31. Sphzra oder tugel / iſt ein Corpus von einer runden fläche
begriffen/ das iſt / ſo cin halber Circkel wie T. vmb feinen ——
( fo feſt in beyden polus ſtehen fol) vmbgetriben wird / bis wider zu
a anfang / daß alfo ein ganze fugel runde fläche beſchreibt / ſo ig
u fugel faßt / vnd begreyfft wie V. |
32. Die achß der kugel iſt ein grade Anien / ſo vefkin ihrem *
—3—
Von den Coͤrpern 281
ſteht / vmb welche fich der Halbe Circkel vmbtraͤyet / alß der diamerer
oder achs a b der Figur T.
33. Centrum der Spherz oder kugel / iſt eben das Centrum des
halben Circkels.
34. Diameter der kugel iſt ein grade linien / welche durch das
Centrum geht vnd ſich gu beyden orten am runden fuperfieij oder
fläche endet / vnd iſt der achs gleichideflen ort puncten polus geheifs
fen werden.
35. Der gröfte Circkel der kugel iſt der / deſſen diameter die achs
oder derſelben gleich iſt.
36. Spheraoides oder truckte kugel / iſt ein ablang rundes Cor⸗
pus, von einer ovaloder gerruchten runden Rächen begriffen / das iſt /
10 man die halbe oval vmb jhren laͤngern diameter herumb traͤyet /
bis wider zu jhrem anfang / vnd alſo ein Ey runde flaͤche beſchreibt /
in 1 Spheraoides oder ablang getruckte fugel wie sin ey in ſich
ießt. —
37. Conus oder kegel / iſt ein Corpus begriffen / ſo ein ſeiten eines
recht winckleten Triangeis / ſo den rechten winckel beruͤhrt / wie ein
achs ſtill ſteht / vnd der Triangel daran vmbgetriben wird / bis wi⸗
der zum anfang / vnd alſo ein kegel formiert / vnd macht ein runde
flaͤche / in ein puncten zugeſpitzt / mit der ſeiten dem rechten winckel
entgegen / vnd die ander ſeiten / ſo den rechten winckel beruͤhrt / macht
ein ebne Circkel flaͤche / ſo die baſen des kegels ſeyn wurde.
38. Die ſeiten alß e dsdaran man den Triangel vmbtroͤyet / iſt
die achs des kegels / fſo ſelbige der baſen des Triangels gleich iſt / das
iſt halben kegels / ſo bekomt oder iſt der kegel im ſpitz recht wincklet /
wann ſie aber kuͤrtzer / ſo iſt er weit wincklet / iſt fie aber laͤnger / ſo iſt
ſie ſcharff wincklet. —
39. Cylinder ober runde Saul / iſt ein Corpus begriffen / ſo ein
recht wincklet para llelogram vmb ein ſeiten e £fo ſtill ſteht / vmbge⸗
wendt wird big wider zu jhrem anfang / wie Z, und mit der einen
feiten ein runde flaͤche macht / vnd mir den zwo bafen macht zwen
ebne Circkel flͤche / ſe beyde baſen des Cylinders ſeyn / wie Fig. &.
40. Achs des Cylinders iſt die ſeiten ef, der Sig. Z,vmb welche
das parallelogram iſt vmbgewendt worden.
41. Schneidt der Sphera oder kugel find die ſtuck / wann die ku⸗
gel in zwey geſchnidten wird / vnd foder pe durch die mitte r
Das dreyzechend Bäch Geometriz,
fo ſchneides die kugel ins groͤſten Circkel in der mitte entzwey / vnd
wird der ſchnidt durch das Centrum gehen.
42. Wann es aber die Spherzin vngleiche theil ſchneidt / ſo ge⸗
het der ſchnidt nicht durch die mitte / der ſchnidt beſchehe wie er woͤlle /
fo macht er wo vngleiche flaͤchen / alß ein kugel runde / vnd ein ebne
Circkel flaͤche.
Folgen die Auffgaben.
RR den verſtand deſto beſſer zu faſſen / woͤllen wir lehren /
wie die Coͤrper lebhafft für augen zu ſtellen / darzu nim̃t man
Carten oder dick pappet Papeir / darauff reißt man die baſen vnd
waͤnd des vorhabenden Coͤrpers / vnd ſchneidt dann den riſſen nach
halb durch / vnd das vberighinweg / vnd biegts hernach zuſamen / vnd
leimt es / ſo hat man das vorhabende Corpus.
N.3.
ı. Wie ein Pyramis su formieren.
Reiß erſtlich die vorhabende bafen von drey / vier oder mehr
ecken / alß hier ein quadrat / von gleichen ſeiten vnd rechten wincklen /
vote A, auff ihre ſeiten reiß die waͤnd / ſo hier gleichſeitige Trian⸗
gel ſind / hernach ſchneids nach dem riß halb durch / vnd das vberig
hinweg / vnd biegs zuſamen / ſo gibts ein gevierte Pyramis, wie B.
2. Wie ein Priſma zu zubereiten.
Reiß wider vorhabende baſen / vnd Ihre waͤnd / alß hier find
die baſen ſechsecket wie CD, vnd die waͤnd wie E, vnd machs wie
oben / vnd biegs zuſamen / ſo gibts ein Coͤrper wie F.
3. Wie die rechtwinckleten parallelepipedum
zu machen.
Woͤllen eines machen / ſo vngleich in der breite / dicke und hoͤ⸗
— Pi grundriß wie G, und biegs zuſamen / ſo gibre ein Cor-
pus wie Al. |
4 Won subereitung der Rhombus,
Reiß ſechs fache und gleiche Rauten oder Rhombenwic I
vnd biegs zuſamen / ſo gibts ein Corpus wie K. Wi
| $. 6
Von den Coͤrpern. 282
5. Wie die Rhomboiden zu formieren.
Reiß fie auffgethan wie L fo gibt es zuſamen gelegt ein Cor-
pus wie M.
6. Wie einem ebnen gegebnen Corpus, ein gleichfoͤrmigs
auff ein gegebne grade linien zu ſchreiben.
Es were wider die zerlegte Rhomboides LNOPGR die ge-
gebne lini df, darauff ſchreib die Rauten / gleichfoͤrmig der Rauten
L,? vnd auffg h die Rauten / gleichfoͤrmig der Rauten o vnd alſo 43.p. 1.
mit den vbrigen allen. |
N.4:
7. Wie Die Coͤrper nach gegebner proportion gu ver⸗
mehren oder. zu verkleineren feyen.
Es feye was fuͤr Coͤrper es woͤlle / Pyramis ‚Prifmen; Sphe-
ren,oder ander / die begert man zu vergroͤſſern / in der proportion wie
die linien F, ſo 18. zu E, ſo 3. fontm diſen vnd der ſeiten des Coͤr⸗
vers oder diameter der Sphera,C D, ſo 2. die viert proportionierte
G, ſo 5 4. * ſteht / 42. p. x.
wie E in Foalſo D, fo gleich der ſeiten der Figur zu G⸗iwuͤſchen den
b⸗
;_ 18 2 14 —
awen letſten D und G, nim̃ zwo In mittler proportion Tfofommen 31. p.4
254
Lſo 6. vnd Hfo 18. auff die fo CD am naͤchſten / alß auff S.fchreib ein
gleichförmiges Corpus T dag thut dem vorhaben ein gnügen.
Wolte man aber Das Corpus verfleinern/fo ſucht man die vier⸗
te alfo : wie Fin Esalfo CD uu;; zwuͤſchen difen zwen letſten / zwo in
ober
ı8 5 2
mittler proportion gefuche/z.0nd „anff die fo CD am naͤchſten / alß
2
2. ein gleichfoͤrmiges Corpus geſchriben / das chut deinem begeren
ein gnügen. x
. a 5 x
8. Auff ein sechtlinifche was formes wolle) gegebne bafen
oder ingegebner höcherein Prifma gleiches innhalts einer gegeb⸗
nen Prifma,oder ein Pyramis, gleiches jnnhalts ei⸗
ner gegebnen Pyramis zu machen.
geg yIa Bo E⸗
-
Das dreyzehend Baͤch Geometriæ,
Es ſey gegeben die baſen DE 1 2. die Priſma CAB der baſen CAto.
42.p. 1. vnd die hoͤche AB.« ſo ſuch die vierte proportionierte 1 wie die baſen
DE, zu der baſen ACsalfo die hoche AB &. zur hoͤche DF 5. das gibt
12 10
mit der baſen 1 2.den jnnhalt 60. ſo vil iſt auch der jnnhalt der gegeb⸗
nen Prifma, wann aber die baſen DE nicht betkañt / aber wol die hoͤ⸗
che DE, fo ſuch die vierte / wie Die hoͤche DE, zu der hoͤche AB alſo Die
f 6
bafen ACssur bafen ED, oder weil der gegeben prilmenbafen end
10 132
hoͤche bekañt / ſo ik ihr jnnhalt auch bekañt / ſo So. diſes durch gegebne
baſen DE dividiert / ſo kom̃t die hoͤche DF 5. vnd wann der jñhalt So,
durch betañte hoͤche DE 5. dividiert wird / ſo foime die bafen DE 12.
Die Pyramis iſt . jhrer Priſma (7. p. 12.Euc.) wann fie ein ba⸗
fen vnd gleiche höhe haben / darumb wie die Priſma, alſo auch jhr .
das iſt jhre Pyramis.
9. Auff ein gegebne recheliniſche baſen / ein Priſma gleich
einer gegebnen Pyramis zu machen / vnd hinwider.
Es fen die gegeben baſen D fo 24. die gegeben pyramis AB, deren
bafen A 36. die hoͤche AB 18. hierauf fisch die höche der priſma, wie
die bafen D.sur bafen A, alfo der drittheil der hoͤche AB, das iſt 6. zu
24 36 18
der hoͤche CDsfo mach auff die baſen D.fo 24. mir der höche CD,fo 9:
9
ein prifma,die iſt der pyramis gleich. |
And hinwider fo die bafen Afo 36. geben / vnd die prifmen deren
bafen 24. und die hoͤche 9. vnd wil auff die bafen A 36. ein pyra-
mis machen / aleich den gegeben priſmen / ſo fichte wie die aſen
A, jur baſen D, alfo die hoͤche C D, 9. dreymal das iſt 27.3ur höche
36. 24
AB, ſchreib auff die gegebne baſen A in der hoͤche AB 18. ein pyra-
18 36
‚wisshie wirdder priſma gleich,
Ä 10. In
2
Donden Coͤrpern 233
10. In gegebne hoͤche ein prima gleicheiner gegebnen
ppyramis zumäthen/ond hinwider.
Die gegeben höhe ſey DC.9. der gegebnen pyramis baſen A. 36.
vnd jhr hoͤhe AB. 18. ſo ſuch die viert proportionierte / wie die gegeben
höhe CD; zum dritten theil der höhe der pyramis fo 6. alſo die baſen
zur baſen Dsauffdife mach mit der hoͤche C D.9. ein priſmen / wel⸗
36 24
che der pyramis gleich iſt.
Hinwider wann die priſmen mit jhrer baſen D. 24. vnd der hd
Ai CD ↄ. geben / vnd der hoͤche der pyramis 1 8.ſo ſuch die vierte / wie
die gegeben hoͤhe AB, ʒu der höhe . dreymal iſt su 27.alfo die baſen D
18 24
zu der baſen A, auff diſe mit der hoͤhe 18. ſchreib ein pyramis⸗die iſt
36
gleich der priſma. .
11. Auff gegebnerechtlinifche baſen / ein priſma gleich
einem ebnen Coͤrper su machen, | —
Der Coͤrper fen A den cheil in pyramis, vnd ſchreib auff die .P d.
gegeben baſen ein prifma gleich einer pyramis;Tauff dieſelbig priſma
oder bafen wider ein priſma der folgenden pyramis gleich / vnd alſo
fort mit den vbrigen.
12. Zu zweyen vngleichfoͤrmigen Coͤrpern das dritt zu
machen / dem einen gleich / dem andern gleichfoͤrmig.
Es weren die zwen Coͤrper A ı200,0nd B ı go.von ebnen fl»
chen begriffen/ond wird begert das dritte gleich Bsrnd aleichförmig
A su machen / vnd wie ſich das —— auff Ahbait / zum Corpus auff
B,alfo der Cubus auff EF>sum Cubus auff GH.
Wie das Corpus anff A zum Corpus auff Bsalfoder Cubus auff
1200 150
EF sum Cubus auff GH, deflen ſeiten iſt 6. darauff ſchreib ein Cor-
1728 216
pus Gt gleichförmig dem Corpus A welches dann gleich wird dem . p. d.
rpus B.
| Bbbb ij 1330
Das dreyzehend Buͤch Geometriæ,
N.6
13. Zu zwen gleichfoͤrmigen Corpern / das dritte auch
gleichfoͤrmig / vnd in ſteter proportion zu machen.
Der gebnen Coͤrper gleicher art ſeiten ſeyen A. 4. vnd E.6. u
41.p.ı. diſem ſuch die dritte in ſteter yroportion / talß wie Azu E-alſo E iu B.
46 6 9
6.p.d auff Bein gleichfoͤrmiges Corpus gefehriben/! das thut deinem be⸗
geren ein gnügen.
14. Einen gegebnen Conum,ein gleiche pyramis ‚ dem Cy-
linder ein priſma / der pyramis ein Conum der prifma ein
Cylinder gleich zu machen.
WVerwandle die bafend«s Coni indie bafender pyramis, ſe ha⸗
J. p. 5-00 be fo vil eck alß fie woͤlle T welches von den bafen der Eylinder vnd
10.p.6. priſmen auch zu verfichenifluond hinwider / verendere die bafen der
pyramis vnd prilma im Cirdfelfo bafender Coni vnd Cylinder,
und fchreib die anderen Coͤrper / doch mit onverenderter hoͤche.
‚ 15. Gegebner prifmen und Cylinder in felbiger hoche
gleiche pyramis end Conus zu machen / vnd
hinmider.
41.:6. Der gegeben prifmen und Cylinder / ihre bafen triplier / auff
diſes dritten theils baſen / in der höche der priſmen oder Cylinder /
ſchreib die pyramis oder Conus: vnd hinwider / wann die pyramis
oder Conus gegeben / fo nım der baſen drittheil durch obange zoane /
darauff ſchreib in der hoͤche der pyramis oder Coni, die priſmen oder
Cylinder.
Zugab.
Von der verenderung der pyramis oder Coni, priſmen oder
Cylinder / in rechtwinckleter parallelepipedum, von welchen baſen
entſpringt ein quadrat / das iſt / verendere die baſen in ein quadrat /
darauff ſchreib in der hoͤche der prifmen oder Cylinder / oder drittheil
der hoͤche der pyramis ober Conistin parallelepipedum.
16. Gegebne pyramisoder Conus, priſmenoder Cylinder /
| auff was form bafen es feyerin gegebner hoͤche zu
— verwandlen.
EP Desgegebnen Corpus baſen vermehr oder verminder/tin pre
pornon
j Von den Coͤrpern. 284
portion / ſo die gegeben höherzu des geschnen Corpus höhe hat / es ſey
gesehen der Hexaedrü ABC, deſſen bafen AC iſt 9.diehöche AB.16.
und die gegeben hoͤche iſt DE fo 4. ſo ſuch erſtlich die viert proportio⸗
nierte Tal wie DE u AB, alfo die bafen AC zu der bafen DF, wil 42.P.I.
4 16 9 36
man die bafen quaͤdrat haben/fo iſt v auß 36.das iſt 6. ein feiren
der baſen / wil man die bafen von ſechßwincklen und ſeiten haben/fo
iffein feiten . V192. welches bey nach 3.722. 42. fan man alſo
ein Hexacdrum oder Octaedrum nach der Höhe DE machen / oder
ein andere form Corpus nad} belieben / deſſen bafen 36. vnd die hoͤ⸗
che 4- fo iff oder wird es dem gegebnen Eörper gleich / dann das ein
end das ander wird 144.
17. Gegebner priſma ein gleichen Cubus
zu
machen.
Bann die bafen der prifma nicht quadrarfofucheinfeiten
eines quadrats/fo der bafen gleich ſeye / darnach nim zwo in mitt, 8-p-6-
ler proportion / zwuͤſchen der ſciten des quadrats / (ſo allweg Die erſte)
und der hoͤche der gegebnen priſmen der Cubus auff die erfte media
proportional, fo der ſeiten des guadrats am naͤchſten gemacht / iſt
gleich der priſmen / wann die ſeiten des quadrats 6. die hoͤche der
prifinen 48. die zwo in mittler proportion find 12. vnd 24. auff 12.
ein Cubus geſchriben / iſt gleich der priſma. |
Zugab. |
Gleicher geftalt wird der Pyramis,.Conus vnd Cylinder glei⸗
die Cubus gemacht.
13. Einem gegebnen Cubus, ein gleiche parallelepipedum
„oder winckelrechte Saul / in gegebner hoͤche oder auff
gegebne baſen zu machen.
Der gegeben Cubus ſey B. 125. alß jede ſeiten x. vnd die gegeben
nöche iſt Als. ſo ſuch Die dritte in ſteter proportion wie 41. p. 1.
A zur ſeiten Cubi 5. alſo 5. zu C, mit diſen 33. vnd der ſeiten Cubi
8 3 5.
5. mach ein recht wincklet vierecẽ / darauff erheb das parallelepipe-
dum,tit der hoͤche der gegebnen linien oder hoͤche A.8-fo wird fie Er
u»
\
Das dreyzehend Buͤch Geometriz,
Cubus gleich / wann aber die bafen gegebensfonicht parallelogramy
fo mach ihren ein gleiches quadrat / deſſen ſeiten feye L.6.fo muß wi
der die dritt proportioniert gefunden werden / alſo
wie Ls sur ſeiten Cubi sale D zur N; dann ſuch die viert propor⸗
6 | _ 4%
tionierte / die fich sur fetten des Cubi halte / wie bie funden 43. sur
feiten des quadrats / flcht alfo wie Lfeiren des quadrats / ſo der
6
bafen gleich sur 48. alfo feiten Cubi 5. zur 322. in dife gefundenchd,
che 3:2. mach auff Die gegebne bafen 36. (meiche erſtlich in ein quads
rat oder rechtwincklet viereck verendert) die rechtwincklet Saͤul /
die gleich dem Cubus. er :
Zugab.
.Die Cylinder / Prifmen,Conus vnd Pyramis, nach gegebner
hoͤche oder auff gegebne baſen / in ein rechtwincklete ſaͤul oder paral-
lelepipedum zu verwandlen / mach auß der Zugab der 17. diß jhnen
gleiche Cubus, vnd durch diſe auß dem Cubus gleiche Saͤul / nach
der gegebnen hoͤche / oder auff Die gegebnen baſen.
19. Gegebner kugel ein gleichen Cylinder
zu machen.
Der Chyhlinder deſſen baſen gleich dem groͤſten Circkel / der ku,
gel / vnd die hoͤche der achs derſelben / der iſt der tugel gleich 3 2.p. 1.
Archimedes, vber die Sphæræ vnd Cylinder / wann die achs 15.iſt /
fo find die darvon 10. mit diſer hoͤche auff dem groͤſten Circkel der
Sphæra, ein Cylinder gemacht / der wird der Sphere gleich.
20. Auff ein gegebnen Circkel / oder nach gegebner hoͤche ein
ylinder gleich einer Sphæra oder kugel zu machen.
Die Sphera-ifl 14372. ihr achs mit Age zeichnet 14. der dia-
meter des gegebnen Circkels iſt B.7.darauß ſuch die dritt proportio⸗
nierte / wie Bzu der achs A, alſo A zu C,wider wie die achs A u:
7 14 14 28 14 28
alſo Czu D.hiervon iſt Tdie hoͤche des Cyl inders / ſo auff den Cir⸗
28 56 373
edel geſchriben / deſſen diameter 7. iſt / vnd die Sphera gleich wird.
Wann aber die hoͤche E. 375. geben wurde/difenim ——
„ Von den Coͤrpern. 285
für Diff 56. iwuͤſchen difer und der achs der Sphera Afo ı14.nie _
media proportional, Tfo font C fo 28. dann ſuch Die dritepropor, 72.P-15
tionieree wie E, u der achs Malſo Asu B, welches iſt der diameter |
28 .14 14 7 —
des Circkels / ſo die baſen des Cylinders iſt.
21. Einer gegebnen Sphara,ein gleichenCubus zu machen?
. oderhinwider dem Cubus cin gleiche Sphaera,
Archimedes beweißt inder 32.p. 1. von der Sphzra und Cy⸗
linder / daß die Sphæra vier mal fo — ſey alß ber Conus, deſſen ba⸗
fen der groͤſte Eirckel der Spheeræ, vnd dic hoͤche derſelben Sphæeræ
halber diameter, vermehr den groͤſten Circkel in quadrupleter pro⸗
portion / t auff diſen Circkel mach in der hoͤche des halben diameters ı 3. p. 5
ein Conus, der iſt der Sphæræ oder kugel gleich / vnd durch die Zus
gab der 17. diß / mach den Cubus gleich dem Conus. Oder extrahier
die Cubicwurtzel auß dem jnnhalt ber Sphæra 729. ſo . welches gibt
die ſeiten des Cubi.
Hinwider dem Cubus ein gleiche Sphæra zu machen / die baſen
des Cubi 81. verwandle in ein Circkel / Tdarauff ſchreib mir der hoͤ⸗ 6. p. y.
che 9. ſo gleich der ſeiten des Cubi, ein Cylinder / ſo dem Cubus gleich
iſt / uͤſchen dem diameter des Circkels / vnd der hoͤche des Cylin⸗
ders anderthalb mal / nim zwo in mittler proportion / vnd die ſo 31.p.4.
dem diameter am naͤchſten / iſt die achs der Sphera oder kugel / ſo dem
Cubus gleich iſt.
22. Ein 8phæra in ein rechtwincklet / oder wievil waͤndiges
Corpus man wil / zu verwandlen / oder herwider bie priſmen
oder Corpus in die Sphæra.
Schreib ein rechtliniſche baſen nach deinem begeren / vnd gleich
der baſen des Cubi,fo der Sphæra gleich iſt / auff diſe in der hoͤche des
Cubi ſchreib die priimaswelcheder Sphæra gleich iſt / dann derCubus
iſt der Sphæra gleich / vnd die prima oder pyramis dem Cubo- dehß⸗
wegen auch gleich der Sphere. Hergegen mach der priſma ein
gleichen Cubum, vnd dem Cubo ein gleiche Sphæra-wie hieoben.
23. Jedes Regular Corpus in ein kugel oder
Cubum 31 verendern.
Vom Cubo iſt hieoben gemeldt / von der pyramis oder Tetra -
Cece edrum
2 5.p.d.
1 —
21. p. d.
20.p.6.
11. p.d.
17.p.d.
Bas drepschend Buͤch Geometrix,
edrum in der Zugab 1 wie aber den pyramis gleiche priſmen oder
paralleliſche Säulen sn machen / in den Taste den paralleliſchen
Säulen gleiche Cubus zu machen/ond den Cubusyf gleiche kuge/
welche dem Tetraedrumauch gleich feyn wird. _
Mir den obrigen dreyen O&aedrum,Icofaedrum vnd Dodeca-
edrum verendere jhre flaͤchen in ein quadrat / addier alle quadrart
des vorhabenden Corpus⸗darauff ſetz ein pyramis, deſſen höhe gleich
ſey dem perpendicular vom Centrum des Coͤrpers auff ein fläche,
fo iſt ein foldıe pyramis dem Regular Coͤrpyer gleich / derpyramis
mach ein gleichen Cubum vnd dem Cubo ein gleiche Sphzramsfo
iſt felbige der pyramis, wie auch dem Regular Corpus auch gleich,
24. Zweyer oder mehr Cubus ein gleichen
machen |
u R
Mach Tjedem Cubdein gleiche paralleliſche Säulen auff ein
gegebne bafenıfeg eines auff das ander / ſo vil Cubi ſind / ſo word die
paralleliſche Säul allen Cubis gleich / darauß mach 1 ein gleichen
Cubum,fo haft dein begeren.
ugab.
Hierauß iſt PPSPHENR allen Coͤrpern ein gleichen Cu-
bum machen kan. Dann erflich macht man den Corpern zin giei⸗
che prifmayderfelben ein gleichen Cubum;oder in zalen addiert man
alle Coͤrper / vnd wurde fommen 34328 125.darauf radix Cubica,
gibt ein felten des Cubisfo allen Corpern gleichfeyn wird.
25. Mehr Spharen su addieren ober
fübtrahieren. _
Allen Spheren mad; gleiche Cubos; und abdierg sufamenin
ein Cubum; auß dem mach ein Spheram, oder fo zwen Spheren zu
fühtrahieren/verwandfe beyde in Cubos,pnd ſubtrahier den Heinen
vom groflenranf dem reſt inach ein Spheram,fo haft dein begeren.
26. Die Cubos,paralleifche Saͤulen / vnd Cylinder / nach
—— gegebner proportion zu zerſchneiden.
Zerſchneid die daſen nach der proportion / ſo gegeben / vom ſchnidt
thu den waͤnden des Coͤrpers parallelſchnidt / in zwen oder mehr
u deinem vorhaben / welche fuck fich zuſamen halten / wie
re baſen.
| Geo-
286 -
" Geometrixz Iheoricz& .
Practicæ |
Erfier theil des vierzehenden
Düchs
Don zubereicung der Eang Mein
Treit · vnd Gwicht Ruͤten / vnd derſelben ge⸗
| brauch in mäflung ond vifierung der Corpern /
wie — Treit vnd
Von der Viſier Ruͤten.
Sr 9. Bach iR von dem Feld Sangmäß gehandlet / wie auch im
SM ı10.0nd 11. vom Zeld —*28 bleibt vns hieruͤber von dem
Leib oder Coͤrperlichen Maͤſſen zu handlen vnd zu erklaͤren / vnd wie
das Flachmaͤß entſpringt auß der multiplication zweyer Langmaͤß /
alſo entſpringt das Leibmaͤß / wann man Das Flachmaͤß mit dem
Langmaͤß multipliciert. |
N. 1.
Es feye um. Erempeldas Flachmaß A. 36. das Langmãß ed. 6.
darmit multiplicier das Flachmaͤß 36. ſo komt das Leibmaß B.216.
Es ſind viererley Maͤß:
1. Iſt das Feldmaͤß / von Daumen / Schuh / Ruͤten / vnd Mor⸗
gen oder Juchert.
2. Das Weinmäß / oder andern fluͤſſigen dingen / alß quertlin /
halb vnd gantze maaß / kopff / (da einer zwo maaß bey vns halt) ei⸗
mer / ſaum vnd fuder.
. Die Treitmaaß / alß maͤßlein / achtheil / viertheil / maͤten vnd
mich.
4. Die Gwichemaͤß / alß die quintij / loth / pfund vnd cenener.
nder diſen erfordert jede maͤßſorten ein ſonderlich lang⸗
V
maͤß / alß das Feldmaͤß / die ſchuch / elen / klaffter / oder růten / vnder des
Cecce ij nen
Das vierseßend Buͤch Geometriz,
nen muß man eins sum anfangnemmen / alß wie hier den fehuch /
vnd ſelbigen muß man in ſeine ferupelm zertheilen.
Zum anfang des langen Weinmaͤß / ſoͤte ein maaß gſetzt wer⸗
den / dieweil aber hier bey vns zu Zärich das außmaͤſſen vom zapf⸗
fen mie koͤpffen beſchicht / da einer / wie oben gemeldt / zwo maaß halt /
fo woͤllen wir zum anfang das Langmaͤß die laͤnge einer ſeiten eines
koͤpffigen Cubi ſetzen / das iſt / ſo ein geſchirr fo jnnwendig gleiche ſei⸗
ten vnd rechtwinckel hat / vnd juſt ein kopff halt / diſes Langmaͤß oder
ſeiten des Cubi zertheil in feine ſcrupeln. |
zum Treitmäß nemmen wir die feiten eines Cubi, ſo «in vier,
shell Korn halt / vnd theils auch in feine ferupeln.
Zum Gwichtmaͤß aber nemmen wir die ſeiten eines pfündi-
gen Cubi eines gwuͤſſen metalls / vnd zertheils auchin ſcrupeln / das
iſt ein gang in 10. gleiche theil / ſo erſte ſcrupeln / deren cine wider in
10. vnd alſo fortan.
Von der Lang Ruͤten.
S* Ruͤten mag von holtz oder eyſen gemacht werden / ſechs
oder mehr ſchuh lang / ein halben daumen breit / vnd halb ſo
dick / vornen ein wenig zugeſpitzt / von eyſen darff fie nicht fo breit vnd
Diet ſeyn / ſie wird ſonſten su ſchwer / auff diſe Ruͤten trag die Feld⸗
maͤß auff ein ſeiten / darzu wir hier den Geometriſchen ſchuh nem⸗
men wollen / dann er iſt am weitſten bekañt / deſſen helffte gibt die li-·
nien AB. N.2. gu erkennen / den zertheil dann in feine erſte / andere
vnd dritte ſcrupeln / oder ſo weit es einem beliebt.
IL
Wie die laͤnge des Peinmaß zu ſuchen / vnd
auff die Ruͤten zu tragen.
AB ein ſteinenen gradſittigen winckelrechten kaſten / der zimlich
groß ſeye / fleiſſig bleyrecht ſetzen / dareyn laß ein anzal eymer waſ⸗
ſer / ſo fleiſſig gemaͤſſen / ſchuͤtten / vnd miß mir dem Geometriſchen
ſchuh gang fleiſſig / des waſſers laͤnge / breite vnd tieffe / vnd multipli⸗
ciers durch einandern / Das iſt die länge mir der breite / as product
—
Von der Biiir-Nam, 287
* mit der hoͤche / ſo bekõt man den Leib des eyngemaͤſſenen
waſſers.
Zum Exempel. Ich hab in den kaſten laſſen maͤſſen zehen
mer / das iſt zoo koͤpff Zuͤrich maͤß / vnd miß es mit dem Langmaͤß /
vnd finden die laͤnge zal 62(5 2 die breite 3 204 diſe beyde mit einan⸗
dern multipliciert / gibt des waſſers ſuperficij, ſo 202 (648. diß mul
tiplicier wider durch die tieffe des waſſers / ſo 22(0047 5. ſo kom̃t
für den Raum oder Leib des waſſers 44573(877828- diß durch
300. £öpff waſſer / ſo im kaſten dividiert / ſo fome für den Raum oder
Leib eines kopffs 148(775 592760. dann wie ſich halten 300. koͤpff
zum Raum 44573(877828. alſo halt ſich ein kopff / um Raum
148579 5927 60. deßwegen extrahier auß diſer zal / die Cubiewur⸗
tzel/welche iſt y(296. das iſt ein ſeiten eines föpffigen Cubiſchen ge⸗
ſchirrs / immwendig im Raum / das zeichne / hernach auff die Ruͤten /
vnd zertheil den wider ein jeden theil in ſein erſte / vnd ander / auch
wol dritte ferureln/oder laß die länger gantz / vnd theil allein ein laͤn⸗
ge auff ein neben ſtaͤblein / in erſte / andere vnd dritte ſcrupeln / damit
man hernach die vbrigen theil maͤſſen kan / diß ſtaͤblein kan auch zu
einem Medial dienen.
III.
Wie das Langmaͤß auß einem Weinfaß
zu finden.
N man feinen faften haben koͤñte / ſo mag ein fauber inn⸗
wendig außgehawen Weinfaß erwehlt werden / das gleiche boͤ⸗
den hab / vnd fein Circkelrund ſeye / vnd daß nicht zu vaſt gebauchet
ſey / vom ſpont gegen dem boden / ſonder zimlicher maß gradlauffe /
ſoiches Faß werde dann fleiſſig geeicht / gfinnet / dasift/das waſſer
werde fleiffig dareyn gemaͤſſen / vnd geſetzt / es ſeye dareyn gangen
26.eymer / 25. kopff / das iſt Z05. koͤpff / auters Zuͤrichm aͤß.
Dann nemme man die Feldruͤten / darauff der Bcomerrifche
ſchuh / darmit maͤß man das Faß gang fleiſſig / alß beyder boden dia-
meter;den ſpont diameter, vnd die weinlaͤnge / gſetzt man finde für
den boden diameter 45(9 Beomerrifche zol / fuͤr den ſpont diameter
g 1(5. die weinlaͤnge von einem boden sum anderen 64(14. hierauß
fucht des Faß Raum oder cörperlichen innhaltfo die sol für gantze
Sece ii wer⸗
7.p. 2.
ro
Das viersedend Bü Geometriz,
werben angenommen. Addier den front und boden diameter⸗
die ſumma halb iſt der equierte dismeter, addier auch beyder dia-
meter Circkelflachen / von der ſumma heifft ſubtrahier des æquier⸗
sen diameters Circkelflaͤche / von ber differentz nim̃ diſen addier zu
Des æquierten diameters Circkelflaͤche / ſo om des Cyiinber⸗ boden⸗
ſaͤchen / die multiplicier mit der weinlaͤnge / ſo kot der jnnhalt des
Faſſes 119(606 77062 65. hierauf ſchließ alſo / doy5. Zürich koͤpff / er⸗
füllen ven Raum 119(6065706865. was erfüllt cin kopff / ſo kom̃t
148(579591.daranß radix oder Die Cubiſch wurtzel / iſt 5296. die
— einer ſeiten eines koͤpffigen Cubi, ſteht in der rechnung alf
olgt:
im ſpont diameter sılr. I 2083(0722
— den bodẽ diameter 45(9 dihr eircelſach ſind · eo
der ſumma 97(4 ihr 3737(75697
helfft iſt der zauiert diam.48C7 den. helffte iſt 1868C878485
ſubtrahier von des equiertẽ diameters Circkelflaͤch 1862(72097
bie differeng 606157515
3.der differentz 2(052505
gu differentz / addier des æquierten diameters
Circkelflaͤch 1862(72097
Die ſumma iſt die Cylindriſch bodenflaͤche / die 1864(773475
multiplicier mit der weinlänge 64(14
fo vilgehen Eubifcher zol in das Zafıdie 1196065706867
dividier durch den jnnhalt des Faß / ſo föpff Bos(l
auß dẽ quotient / ſo ein kopff wein erfuͤllt / extrabier 148C $79590910
bie Cubiſch wurtzel / ſo cin ſeiten eines föpffigen CubisC 2 9 6
Dife länge tragt man einandern nach auf die Ruͤten / vnd deren
einen theil auff ein neben fFäblein/daflelbig in feine erſte / andere vnd
auch wol dritte ſerupeln vertheilt / ſohat man das Lang⸗
maͤß der Weinruͤten.
JJ— 1V.Wie
Von der Bifier-Rüten. 288
IV. |
Wie die laͤnge der Treitmaͤß zu
ſuchen.
6% iſt gegen der oberen fein anderer vnderſcheld / dann alß wie
oben die feiten eines Eöpffigen Cubi iſt gefucht worden / alſo muß
hier die feiten eines viertheils / das if eines Cubi, fo ein viertheil
Treit halt geſucht werden/auß einem rechtwinckleten / gradfittigen
kaſten / oder aber auß einer ſtanden / durch vergleichung der böden/
end finden / daß ein Zürich viertheil / (deren vier ein muͤth thun)
2370495 161776. Cubiſcher zol oder wuͤrffel haben / darauß iſt die
Cubiſch wurgel (426. fo ein Langmaͤß / die faß auff dem Geome⸗
triſchen ſchuh / vnd trags auff die Ruͤten / vnd theil ein Langmaͤß / wie
oben in ſeine erſte / andere / auch dritte ſerupeln.
V.
Von der laͤnge des Gwichtmaͤß.
95; iſt gegen den oberen aber fein anderer vnderſcheid / dann
daß man die länge einer ſeiten eines pfündigen Cubi ſuchen
muß / dieweil aber Die metal vngleich / ſo muͤßte man gu jedem / es we⸗
re gleich eyſen / bley / kupffer / ziinn / moͤſſing / oder ein anders metall /
ſein ſonderbares Langmaͤß ſuchen / wir wollen aber allein ein exem⸗
pel vom metall zu den Stucken oder groſſen Geſchauͤtz geben / ſo von
zinn vnd kupffer vermiſchet wird / dann ſelbige kommen im brauch
am meiſten fuͤr / ſo man das Gwicht eines groſſen Stucks / Carthau⸗
nen oder Schlangen gern wolt wuͤſſen / vnd man kein gelegenheit
sum waͤgen haben kan / die Ruiten außzutheilen / hab ich gefunden /
Daß ein klumpen metall / oder ein pfündiger Cubus su 36.Joth dag
pfund / wie hie zu Zürich halt 2 (801415682. Cubiſcher wuͤrffel / da⸗
rauß die Cubiſch wurtzel iſt 14096 oder ı(4ı — für ein Lang⸗
mäß/ eines pfuͤndigen Cubi. Aber zu 3 2. loth das pfund fo halt der
Cubus 2(490147273. darauß iſt die wurtzel 1(3 56. fo ein ſeiten
des pfuͤndigen Cubi, ſo man auff die Ruͤten tragt / ſo man das jfund
su 32.loth haben woit / vnd zerfellt ein Sangmäß in feine ſcrupel / wie
oben auch. —
Das vier zehend Buͤch Geemetriz,
Nota. Es ſind die metall bißweilen von vngleicher lega / oder
fallt das eine im guß ſchwumachter weder das ander / daß dann im
viſieren nicht fo gantz eigentlich zutr effen moͤchte / ſo nicht der vifier
ſchuld / ſonder des metalls / doch wird es nicht vil faͤhlen / ſonder bey
nachem zutreffen.
VI.
Von der Flach Ruͤten.
NE Sängen oder Maͤß der Sangrüten wachen in gleicher A⸗
rithmetiſcher progreſſion / dann zwey Maͤß iſt ein dopler Lang⸗
maͤß / vnd drey ein dreyfaches / vnd alſo fortan / darumb find dic fcg-
menta einandern gleich / weil fie längen ohne breiten / die Flachmaͤß
aber ſteigen in vngleicher laͤnge / nach der proportion der wurtzel jh⸗
rer quadraten / dahero der puncten Zweymaͤß nicht dopleter länge!
des einmaͤſſigen / ſonder hat nur 1(414. dieweil die ſchnidt nicht nur
bloſſe laͤngen / ſonder auch breiten haben / darumb iſt der puncten von
dreymaͤß 1(73 2. vnd erſt der vierte puncten iſt dopleter laͤnge / vnd
obwol fo vil Flachruͤten möchten zubereitet werden / alß Regular flaͤ⸗
hen find / ſo iſt doch allein die Circkelruten im brauch / vnd zu den
anderen Figuren werden ſie mit der Langrüten abgemaͤſſen / vnd
nach ihrer eigenſchafft multipliciert / vnd ihr jnnhalt funden.
vn.
Wie der Kirckel oder Flachruͤten theil zu finden
vnd auffzutragen ſeyen.
ya in gedancken ein Cylinder / deſſen hoͤche fene ein Sangmäß
des jenigen/ darzu die Circkelruͤten dienen ſol / es feye gleich
Seld-Wein-Lreit-oder Swichemäß von einem boden sum ande,
ren/ond der boden were ein quadramäßıfo wird der jnnhalt ein
Leib oder eörperliches Maͤß ſeyn / die länge der fegment der Circkel⸗
ruten / Welche auch diameter geneñt werden / zu haben / iſt zu beden⸗
Een / daß ſich die diameter snfamen halten / wie die quadratwurtzel
jhrer Circkelfaͤchen / aber die geringſt Circkelflaͤchen iſt ı (die quadrat
wurgel darauß iſt auch ı (und der diameter iſt 1283379 1671 ——
wann man diſe zal mie den quadratwurtzlen der Tirckelſlaͤchen
multipliciert / ſo kommen die begerten diameter. *
m
[4
Von der ViſterRuͤten. 2289
Zum exempel / wann ich den diameter vonder flaͤchen 2(ha⸗
ben wil / dann der erſte von der erſten Circkelflaͤchen ı(iftfehon bes
kañt / namlich 112 838 weil die Eircfelfläche ein quadrat maͤß /
fo extrahier auß den 2( die quadratwurtzel / mit zuſetzung etlicher
par nullen / fo fan mans continuieren / ſo weit man wil / vnd finden
1(41421-+- und flcht wie folget: wie die geringflen
Circkelflaͤchen / guadratwurtzel / zu jihrem diameter;in theil der Lang⸗
— ı( 1(12838——.
maͤß / alſo der Eircfelflächen jhre quadratwurtzel / zu ihrem diameter;
| 2( _ 1(41421-+ ı(5959 4
in rheilder Langmaͤß. Auff gleiche manier werden alle andere dia-
meter gefunden/die trag dann auff die Ruͤten / alß faß mit dem
Circkel auff dem Laͤngmaͤß ı(12838 — die trag auff für den er
ſten diameter,; und 1( /9 0 für den anderen’ dieweil aber alle
diameter der geftale zu ſuchen / zimlich vil arbeit erforderer/fo möcht
alleın der erjt diameter 1(12838 — gefucht und auffgerragen
werden / vnd die vbrigen auß ber quadrat tafel / T fo der erſte dia- 10.P-2-
meter auffgerragenfo theilt man Denfelben in 1ooo.gleiche theil /
derſelben rheilen 1 (414. niit auß der Tafel Hir den anderen dia-
meter „end ı(732.für den dritten/ond 2(000. fuͤr den vierten / vnd
fo fortan / vnd find die zalen nichts anders/dann die quadratwurtz⸗
len bis auff die dritte ſccupeln.
Anderft wann man die Kürten bis auff 100 .hanptdlamerer
continuieren oder erlengen wolte / ſo mas man die wurgel von 100.
nemen fo 1o.ifl/ond mit der gringfien Eircfelflächen 1 (12838 —
multiplicieren / ſo fome des hunderteſten diameters ſo 1(28379
fo faß diſe 11(23379 mit bem Circkel auff dem Langmaͤß / vnd
trags auff die Circkelruͤten / vnd theils dann in 10.gleiche theil / ſo
fommen diſe 10.hauptdiameter 1. 4. 9. 16. 25. 36. 49. 64.8 1. vnd
100. die mittel diameter trag mit huͤlff eines getheilten hauptdia⸗
meters auß obangesogner quadrat Tafel auff die Ruten.
Nota. Hier iſt wol an mercken / welche Langrüten oder Lang⸗
maß man braucht / darzu dient hernach die Circkelruͤten / es ſey gleich
FeldWein⸗ Treit oder Gwichtmaͤß / vnd haben in der
mbereitung alle einen wäg.
en Ddbb VII. Wie
Das viersehend Bach Geometrie.
viii
Wie die erſten ſcrupel der Kirckelruͤten
zu finden.
ESJF vefäict wie bey den ganten IR gemielbt worden: num
exempel / der diameter der erſten ferupelift .. des gantzen / da⸗
rumb fo multiplicier (1. mit 10. ſo kommen (10. darauß die wurtzel
if (3 1622. die ſetz alſo in Die regel /
wie der gringſten —2 ihre quadratwurtzel / zu jhrem
ı( ı( .
diameter; in theil der Langmaͤß / alfo der Circkelflaͤchen Ihre quad⸗
1(12838 — | . (io
ratwurtel / zu jhrem diameter;in theil der Langmaͤß.
Gin (37682
Difen gefundnen diameter (35682. thellin 1000. gleiche theil /
und trag dann die ferupel auff die Růuͤten / auß der quadrattafel / wie
bey dem gantzen vermeldt worden / bis die theil anheben gleich wer⸗
den / welches beym dritten hauptdiameter beſchicht / ſe mag man
dann die ſpatia in 10. gleicher ſcrupeln zertheilen / vnd fo die fpacia
eng werden / nur in 5. gleicher theil / welches von den andern und
>
Dristenfcrupeln auch au verfichen fl.
IX.
Wie die andere und dritte ſcrupeln
zu finden.
Hier iſt su mercken / daß bie andere ſcrupel ift =, und die dritt
zoom: EB gantzen / deßwegen fo niin die quadratwurtzel auß einer /
vnd der andern / ſo (1. vnd (03 162. vnd ſetz indie regel proportion /
ſo ſtehts wie folget:
wie der gringſten — quadratwurtzel / zu jihrem diameter,
1 1 ı(12838
alfo der Eirchelflächen quadratwurtel / gu ihrem diameter in heit
1
Ber angmäßpur andern ferupel —
| «fe
Bon der Viſier⸗Raͤten 290
alſo auch der Circkelflaͤche quadratwurtzel / zu Ihrem diameter, in
(ooIo - (03162 . (03568 —
Langmaͤß jur dritten ſcrupel.
Wie die theil des vmbkreiß zu finden / vnd
auff die Flachruten zu tragen.
Woor⸗ man aber ein Ruͤten zurichten / daß man gleich mit mäfe
ſung des vmbkreiß die Circkelflaͤche haben koͤñte / hier iſt aber
zu mercken / daß ſich die vmbkreiß zuſamen halten / wie die —
wurtzel jhrer Circkelflaͤchen / vnd wann die gringſt Circkelflaͤche halt
(fo iſt ihr quadratwurtzel auch ı( vnd jhr vmikreiß iſt 3(449 1
wann diſe mit den quadratwurtzlen der Circkelflaͤchen multipliciert
werden / ſo kommen die begerten vmbkreiß.
Zum exempel / man begert den vmbkreiß der flächen 2( dann
Der erſt iſt bekañt / alß 3 (54491 vnd der flaͤchen 2( quadratwur⸗
tzel iſt (4142 1 ſo ſtehts:
gie der gringſten Circkelflaͤche quadratwurtzel / zu ihrem vmbkreiß /
| ı( ı( 30540 1m
alfo der Circfelflächen quadrarmurgelsu üprem vmbkreiß / im theil
2( _ 10414211 s(o1325—
der Langmaͤß. Alſo werden die vbrigen auch gefunden / die trag.
dann auff die Ruͤten / vom cheil der Langmaͤß / wie oben die diame-
ter, oder theil den erſten vmbkreiß in 1000. gleiche theil / vnd trag
die mitlen vmbkreiß auff auß der quadrat Tafel / wie die diameter.
XI. v
Von den Koͤrperlichen Ruten.
es wie die Flachmaͤß aufffleigeninadh proportion der wurtz⸗
ien ihrer quadrat / alſo fleigen die Cörperlichen oder Leibmaͤß
auff / nach proportion der wurtzlen jhrer Cubi, daher der punctender
anderen Maͤß iſt 1279. ſo der erſten iſt 1000. vnd des dritten iſt
1442. wie in der Cubiſchen Tafel in der 10.des anderen Buͤchs su’
ſehen / vnd weil die Eylindrifch sum Wein vifieren am braͤuchlich⸗
= Al wollen wir fie erſtlich vornemmen / vnd auff das Wein⸗
maͤß richten. |
I Oddd ij XII.Wie.
Das wiersehind Buͤch Gcometrix,
xii.
oͤrperlich Sylind
Wie man die F ——*9*— riſch
di
Rüten zubereiten ſolle.
yArremme für die drey Figuren N. 3. vnd gfegt der Cubus
ABCDEFG Halte ein kopff / der iſt vmb ein Eylinder RS
geſchriben / darauß muß ein Cubus gefunden werden / ſo vmb ein
koͤpffigen Cylinder geſchriben ſeye.
Die bafen des Cubihaltfich sur baſen des eyngeſchribnen Cy⸗
linders / wie der Cubus zum Cylinder / vnd binwider wie die bafen
des Cylinders zur baſen des Cubisalfo der Cylinder zum Cubus,die
baſen des Cylinders aber iſt ein eyngeſchribner Circkel / wie abcd,
oder wie VRZX, vnd die baſen des Cubi iſt ein vmbgeſchribnes
quadrat / wie mno p, oder ABCD, und halt ſich das vmbſchriben
quadrat sum Curckel / wie 14. zu 11. oder wie 1(27324— du ı(.
vnd wir haben bekañt den innhalt eines koͤpffigen Cubi oder Cylin⸗
ders / aber nicht die fetten des vmbſchribnen Cubi, ſonder muß durch
die proportion wie folget qeſucht werden:
wie das quadrat ABCD zum Curckel YRZX alſo der koͤpffig
| 1(27324 ı(
Cubus ABCDEFGH zum Cylinder RS. mir diſem
148(57959 116(61548
ſuch des vmbſchribnen föpffigen Cubi fein wurtzel oder ſeiten /
wie der Cylinder RS su dem vmbſchribnen koͤpffigen Cubi
116(61548
ABCDEFGH alfo der föpffig Eylinder T V zum vmbſchribnen
148(17959 - _148(57959 .
Cubi IKLMNOPQ hierauf die Cubicwurtzel / die iſt cin fetten
189030500963 1 . u Zee,
des vmbſchribnen Cubi NO, diß atiadrierigibt 320969186. das
704188 |
dopplier / fo fommen beyde quadrat auff N O md LO, denen ifl
gleich dag quadrat auff LN, fo 6, (938372. (durch Die 49.066 1.
Tuclidis) darauf Die quabrarmurg ift 8Cıa-für bie —
ort⸗
Von der Difis-Räten. 291
ortlinien LN. deren iſt gleich TV welches das Cörperliche Maͤß / des
koͤpffigen Cylinders im Langmaͤß iſt.
Difes gefundene Mäß trag mit dem Circkel auff die Ruͤten
hinauß / ſo gibt die erſt ſection ein kopff / die ander 8. die dritte 27. vnd
alſo fortan / mit der Cubiſchen auffſteigung. |
’ Di mittel zalen 2.3. 4. 5.6. vnd 7.tragauß der Cubictafel al⸗
fo auff/ theil die erſte diagonal oder ſeiten des koͤpffigen Cylinders in
1000. gleicher theil / ſo Eomme dem andern kopff i(259. dem dritten
1(442 vnd ſo fortan. |
NMota. Dife Rüren treffen mir anderen Cylindern / ſo ein an⸗
dere proportion haben / alß der darauß die Ruͤten gemacht / nicht
zum fleiſſigſten zu.
XIIL
Wie dic theil der Sörperlichen Ruͤten / auß
einem gmaͤßnen Weinfaß zu finden feye. |
inch ein wol proportiontertes Weinfaß / welches weder zu
grad / noch su vaſt baucher feyesfonder habe die proportion / fo
meiften theils Faß an ſelbem ort haben/da man dic Ruͤten brauchen
wil / diß Faß laß auff das allerfleiſſigſt eichen / ſinnen / oder maͤſſen.
Zunm exempel / es halte 10. eymer / 7. kopff / lautere ſinn iſt 307.
koͤpff / ſo halt das halbe Faß 15 3(5.koͤpff / darnach miß sum ſpontloch
die diagonal AB vnd AC, fo fie gleich / ſo iſt es gut / wo nicht / ſo ver⸗
gleich ſie / das iſt / nim die helffte beyder ſummen / geſetzt man finde
dergleichen theilen des Geometriſchen ſchuchs 42(5. diſe multipli⸗
cier Cubici, ſo tommen 76765 (62 5. diſe fer in die regel proportion /
wie folget:
Wie koͤpff 15305. um Cubus 76765(625. alſo cin kopff sum
ubus soo(10179 15 15. auß der letſten zal extrabier radix Cubi,
ſo 76337. das iſt das coͤrperlich Cylindriſch Mäg eines toͤpffigen
Cubi, zn allen Faͤſſern / weiche Die proportion baben / wie das jenige /
darauß die Ruͤten iſt gemacht worden / diß coͤr perliche Maͤß y(937.
des Geometriſchen ſchuchs theil in 1000. gleicher theil / diſer theilen
1259. gehoͤrt dem anderen kopff und 1442. dem dritten / vnd 1587.
dem vierten / 1709. dem fuͤnfften / 1817. dem ſechßten / 19 12. dem
fibenden/ 2000. dem achten / vnd fo fortan / wie in den Cubictafel zu
iſt.
ie Oddd iü xIVv. Wie
Das vier zehend Buͤch Geomsteiz, U
XIV.
Wie die Sörpertich Spheriſch Ruͤten
Jeroben iſt von der Coͤrperlichen Cylindriſchen Weinruͤten
gemeldt / wie fie ſollen zubereitet werden / welches von der Treit⸗
rüren auch zu verſtehen iſt / wann man derſelben Langmaͤß nimt / ſo
IR bier noch vberig von den Coͤrperlichen Sphæriſchen Ruͤten kurt
etwas zu vermelden / weil aber weder Wein / noch Treit mit ſolcher
gemaͤſſen wird / ſonder fie iſt mehr dienſtlich das gwicht der Sphe-
riſchen Coͤrpern su erfahren / da jedes metall fein fonderbares ger
wicht hat / vnd deßwegen ein fonderbare Ruͤten erfordert / ſo wolen
wir allein von den eyſen / bley vnd ſteinenen kuglen handlen / welche
man zu den Stucken braucht / darmit zu ſchieſſen / vnd wollen ein
exempel von dem eyſen geben +atf laß ein wol formierte runde ku⸗
gel von eyſen fleiſſig waͤgen / und finden 35. pfund zu 36. loth das
pfund / dann nim̃ den diameter der kugel / der halt der theil des Geo⸗
mrerriſchen ſchuchs (588. diſe sat multiplicier — kommen
(203297472. die fe in Die regel proportion vnd ſprich:
Wie 3 5. pfund zum Cubus (203297472.alfo 1.pfund sum Cu-
bus (5808499.hierang ertrahier die Cubiſch wurtzel / die iſt( 180
das iſt der diameter einer pfuͤndigen eyſenen kugel / denſelben theil
in 1000 gleicher theil / vnd trag alle theil auß der Cubic Tafel auff
bein Ruͤten: in gleichem verfahrt man auch mit bley /
vnd ſtein / vnd allen anderen
metallen.
M
Au⸗
202 -
Ander vler zehenden
Vom dem gebrauch der Viſier
Vom brauch der Feld Ruͤten / wie darmit der
Corperlich jnnhalt Leib oder Raum allerhand
oͤrpern zu maͤſſen.
dem 9. Buͤch iſt von maͤſſung der laͤngen gehandlet / vnd im
10. vnd 11. von maͤſſung der laͤngen vnd breiten / jetz iſt noch
vbrig vom Leib oder Coͤrperlichen Maͤß zu tractieren / do man die
laͤngen / breiten vnd hoͤchen oder tieffen mit einandern zu maͤſſen
hat / vonallerhand Coͤrperlichen Fiquren / alß Pyramiden. Coni, Cu-
bi, Parallelepipedum, Priſmen, Cylinder, Trapezia,Regular Coͤr⸗
per / die Sphere oder kugel / und andere ſiguͤrliche Coͤrper / ſo fort
fommen möchten. | |
L 2 |
Von den Pyramiden / vnd cConi oder
keglen.
I,
Je Pyramis vnd Coni iſt ein dritter cheil der Saul / welche
von gleicher hoͤche / vnd gleiche bafen/haben(7-p. ı 2.Eucl.)d@
rumb fo multiplicdere man den jnnhalt der bafen mıı =.der hoͤche der
pyramis oder Coni, ſo tompt der Coͤrperlich jnnhalt.
Den jnnhalt der baſen ſucht man nach lehr des ı . Buͤchs /
nach deme die baſen ein form hat / die hoͤche muß man maͤſſen / oder
durch rechnung der folgenden waͤgen einen ſuchen.
In den pyramis von viergleichen ſeitigen Trianglen / iſt das
quadrat der ſeiten / zum quadrat des diameters / ſo vmb die Sphere
geſchriben / wie 2.10 3. (13. p. 13. Eucl.) vnd durch dieſe bige iſt dag
perpendicular oder hoͤche der Pyrramis?. des gedachten diameters
der Sphæræ.
2. Wie
6.p.8-
Das vierschend Baͤch Geometriz,
2. Wieder diameter nd das perpendiculat
su finden N.4. j
Es feye die pyramisab c dderen ſeiten find gleich jede 12.019
machen vier gleiche Triangei / darauß ſucht man den diameter alfo.
wie 2.3u 3.alfo das quadrat 144. der ſeiten 12. zum quadrat
des diameters 216. Darauf die quadrammurgel/ift der diameter
14(69694 — daraon nim̃t man 3.fo Das perpendicular / welche iſt
9(798 — alß die hoͤche a Köeffen;- iſt 3(266.
3 Auff einen andern wäg das perpendicular
su finden,
In den gleichfeltigen Trianglen iſt das quadrat vom Centro
sum wincfcl3. bes quadrats der ſeiten / dieweil die feiten ı2. fo if
das quadrat 144. darvonziff 48.für Das quadrat Fc;das ſubtra⸗
hier vom quadrat ca, 144. fü refliert das quadrat a fsfo 96. darauf
die quadratwurtzel ſo 9798 — für das perpendichlar a f.alf oben.
4. Noch auffein andern waͤg das perpendicular
u finden,
Vom quadrat dcr 44.fübtrahier das quadrat des36.fore
fliere das quadrat cc»$08. hierauf die radix iſt für die linice,
10(792. deren iſt auch gleich ac » weil die pyramis von gleichen
Trianglen iſt / vnd treffen beyde perpendicu lar ce vnd a e einandern
im c. vnd machen den Triangela e c, darinn alle ſeitenbekañt / alß
a ciſt 12. aber a e vnd ec iſt jede 10(392. hierauf ſuch T den run⸗
eten f auff ce, dahiu das perpendicular fallt / vnd finden / daß fron
eftande (927. deſſen quadrat 47(9833 3. vom quadrat ca; 144-
ſubtrabier / ſo reftiere Das quadrat a f,96(01667. hiervon nim̃ die
wurtzel / ſo komt für das perpendicular a fs9(798 wie hieoben auch.
5. Wie das perpendieular zu finden/manndie bafen cin
gleichſeitiger Triangel / aber die Triangel der hoͤche / haben
nur zwo feiten gleich / wie N. y.
In der pyramis g h ĩ k, wird dag perpendicular auff dem ei⸗
nen oder Dem andern Der zwen Icrften waͤg geſucht / vnd finden das
perpendicular gm.29(5.47 —= deffen: iffo( 8a.
s Wie
‘
Von der Bifier-Rüt. 293
6. Wie die hoͤche der pyramis zu finden/welche von
| vngleichen Trianglen find.
Ss ſeye die pyramis N.6. alß ABCD,dartnn iſt AB 4 AC
39.AD 39.Bc 42. Bd, Do» jede 45. darauß ſucht man die hoͤche / alß
im eriangel ABC, ſuch das perpendicular vom Aauff BC, vndin
triangel BCD das perpendicuiar von D auff GB vnd finden daß 6-P-8-
AFfalt vonC ı x. vnd von B 27. das quadrat FCz25. ſubtrahier
vom quadrat CA,ı 52 1. ſo reſtiert das quadrat AF 1296. darauß
radix quadrata, fo fomt für AF 36. vnd der Triangel BCD, hat
zwo gleiche feiten / alß DB und DC, vnd das perpendicular fallt auß
dem winckel D,auffdie vngleiche ſeiten BC, ſo 42. darumb ſchneidts
dieſelbige in zwen gleiche theil in E, vnd E iſt yon Bund von 21.
darvon ſubtrahier CF; fo iſt ein perpendicular vom andern al F
von E6.dannı ſubtrahier das quadrat EC 441.Hom quadrat cD
2025. ſo reſtiert das quadrat DIE, angefehen die rechten winkel in
E, welches iſt 1584. darauß die quadratwurtzel iſt 39(8 — fuͤr die
lini DE, derſelben zeuch ein gleich länge vnd parallel F.G;laß dir
auch feyn es ſeye gezogen DG vnd G Aspnd weil DG parallel mit
C B;und der winckel in Fiſt ein rechter/fo iſt der in G auch ein rech⸗
ter (29.p.1.Euclidis )barumb fubtrahier das quadrat DG 36.00 -
auadrat DA 1521. fo refliert bag quadrat GA 1485. hierauß ra-
dix> fo findft die länge G A»38(536 — . Jetz haben wir in gedan⸗
den ein Trtangel FAG »beilen ſeiten ſeye AF»3 6. vnd FG, ſo gleich
ED 39(8 —- und GA 38(536-—. Indifem Triangelmuß das
perpendicular / fo von A auff die linien FG falle gefü cht werden / wel⸗
che dic hoͤche der pyramis iſt / (10. p.x 1. Euclid.) diſe su ſinden / hand⸗
fe nach obgedachten reglen / alß ſuch erſtlich den puncten H. wo Das
perpendicular fallt / vnd ſinden / daß der puncten Al 22(27 5 von
G ſeye / und 15525 3. vom F» deſſen quadrat / alß HF 307(13614
fubreahter vom quadrat AF 1256( fo refliert das quadrat AH
.. 989(86386 vbierauß die auabratwurgel/ fo AH 31(446-Mı
für die hoͤche / vnd 3.von derſelbigen iſt 10(482° |
N.7.
7. Wie die hoͤche der Coni su finden.
Dom quadrat AB 576, ſubtrahier das quadrat DB 36. ſo re⸗
Eee ' ſtiert
Das viersehenb Buͤch Geometriz, .
fliere.das quabrafAD 540. darauß die quadratwurtzel / ſo kom̃t die
höche AD-2 32 38 —— deſſen iſt 7746.
UN. 8. F
s. Wie die hoͤche der koͤpfften Pyramiden
| m find
Det.
Base Bonacı2. ſubtrahier ge 7. 10 reſtiertc d.s.dannfe ſtehts in
20.P.11:
der regel proportion /
wie DCiu ecsalfo ac zu cb. (durch 4.p.6.EuMdis)
g ı6 12 38(4 _
Vnd weil die pyramıs ein quadrat zur bafen hat / ſo iſt die diago-
nal al 16(97 — vnd die helffte am oder mliſt 8(4835.difer quad⸗
rat72 — ſubtrahier vom quadrat cb; 147456. ſo reſtiert das
quabrat bms1402(56.darauß die quadratwurtzel / iſt die hoͤche b
370451. deſſen iſt 12(484-das perpendicular b o.ſuch alſo:
wiecbjubmsalfoeb du bo, deſſer .iſt 7282.
z39ä z7(agı 22(4 21(846
Ns.
9. Wie die hoͤche der koͤpfften Coni zu
finden.
Von halber AB, alß von AE 6.fubtrahier FH 3. ſo refliere AD 3.
difen quadrat 9.fubrrahter vom quadrat AF 256. fü refliert das
auadrat FD 247.darauf die quadratwurtzel 1 5(7 16. iſt die hoͤche
FD. Wurd aber auch des abgefihnidenen Coni fein höche begert /
fo ſtehts in derregel:
wie AD zu DE;alfo AE su EC, darvon fubtrahier DF,f0 reſtiert IC
3 17(716 6 31(432 ıs(716 15(716.
— N.4.
- 10 Wieder innhalt der erfienPyramidis
| | su finden. Ä
Such den jnnhalt der bafenr! finden 62(3 14 — diE multi⸗
xlicier durch 2. der hödherfo 3(266.fo komt der Cärperliche innhale
203(648-- bo vil foms auch foman 3.bafen mir ber gangen e
Cr En u
Von der Viſter Raten. 24
che multipliciert / oder auch gante baſen / mit gantzer hoͤhe / vnd auß
dem produet nim̃t.
N.5.
11. Wie der jnnhalt der andern Pyramiden
zu finden. 2
Durch obangesogne des eilfften iſt der jnnhalt Der bafen hik
350074. diß multipliciert mir 3. der hoͤche / ſo 9(849-fo kom̃t fir den
Coͤrperlichen jnnhalt 345(444 = -
* N.«c. ® ö —
12. Wie der jnnhalt der dritten Ppramiden
zu finden. | | ZZ
Such den innhalt der baſen T/oder multiplieier die ſeiten 19.p. 112
GB 42. jhr helffte 21. mit dem perpendicular DE 35(8. fo auß D
auffB Cfallt / ſo kom̃t der innhalt der baſen BCD 83 5(8. diß mul
tiplicier durch?. der hoͤche A Hu welcher drittheil iſt 10(482. ſo forse
für den coͤrperlichen jnnhalt 2700( 876 .
N.7. Ä
13. Wieder jnnhalt des Coni zu ſinden
Such den jnnhalt der baſen / und finden 1 13(097-—.dif 28.p.11.
multiplicier duch 5. der hoͤche AD. fo 7(746. [0 komt fürden Coͤr.
perlichen innhaltdes Coni 876(049 .
| N.7.
14. Wie Die fläche vmb den Conus zu finden,
Dieweil der baſen ihr diameter 12.fo iſt der vinfreiß 37(699 -—-'
T difer helffte 18(849 5. multiplicter durch einfeitendes CuniB A 28.p. 11:
2.4. ſõ kom̃t 452(3 88. für die fläche vmb den Conus ohne die bafen/
dann ſein Maͤche ift wie ein ſector oder Circkelzahn / die baſen
1130097. darzu addiert / ſo iſt die flächen fampr der bafen sog (485.
N.$.
15. Wie der innhalt der koͤpfften Pyramiden
| u find
ei ö en.
Die baſen acKiſt ein quadrat / vnd ein ſeiten iſt 12. das quad⸗
| | Eeee ü rat
48 p-11.
Das vierʒehend BächGeometriz,
rat 144. diß multiplicier Durch 12(484. welches iſt 3. derhoͤche b m
ſo komt der ergängten pyramis jnnhalt 1797(696-dißbehats.
Weiter iſt die ober baſen ge fi auch ein quadrat / ſo 49.difen
multiplicier Durch 72 82. welches 3. Der hoͤche o b ifo fofsr der ab⸗
geſchnidenen pyramis ihr jnnhalt 356(818. diſes ſuberahier von
den obbehaltnen 177696. ſo reſtiert der waare jnnhalt ber koͤpffi⸗
gen pyramiden 1440(878.
; an.“ . 9 ä €
16. Wieder jnnhalt der koͤpfften Coni oder kegel
su finden.
Dieweil beyde bafen Circkelflaͤchen ſind / alß die under AB.
113(0973 ı. T die multiplicier mit 10(477. welches iſt 3.oon der
* EC, fo kom̃t der ergantzte fegel ACB 1184(92052 — diſes
ehalt.
Darnach fo multiplicier die Circkelflaͤche der baſen FG fü
28(2743 3.mit g(239. weiches iſt ı. der hoͤche C H. ſo fonır der inn⸗
halt des abgeſchudtnen als FEGC 148(1292 1. Die fübrrahier
vom inhalt 1184(92072. des ganzen kegels / ſo reſtiert für den
koͤpfften tegel 1036(7913-
N.O.
17. Wie der koͤpfften jnnhalt / durch vergleichung
| ber böden su finden.
Damit man den fählersfo ihren vil hiermit begehen / zu erken⸗
nen / die da beyde diameter addieren / vnd der ſumma helffte jhr Cir⸗
ckelflaͤche mit der hoͤche multiplicieren / vnd vermeinen den waaren
innhalt zu bekommen / welches aber nicht ſeyn kan / ſonder es bringt
zu wenig / dann die boͤden oder flaͤchen derſelben halten ſich nicht zu⸗
ſamen / wie ihre diameter, ſonder wie Die quadrat jhrer diameter;
(2.p. 12. Euclidis) vnd Die proportion ber diameter iſt kleiner dann
die proportion der quadraten / darauß folget / daß die Sirefelflächen
der verglichnen diameter weniger iſt / dann die helffte beyder Circu⸗
lariſchen baſen oder boden flaͤchen / vnd iſt deßwegen allwaͤg zu klein /
vnd die flaͤchen der helffte den Circulariſchen baſen iſt zu groß / vnd
ſteht der erceß gegen jenem defect in doppleter proportion.
Zum exempel / vnſer koͤrffte kegel diameter iſt 12. vnd =
Don der Viſier⸗Rauͤten. 295
halten ſich gegen einandern in fub doppelter proportion / Ihrer
quadrat 144: vnd 36. oder deren Circkelflaͤchen ı13(09773 3. vnd
28(27433. dann 6. in 12. hab ich zweymal / aber 36. in 144. oder
28(27433. in 113(09733. habich vier malıond ſteht 4.gegen 2. in
doppelter proportion/ond gibt die heiffteder verslichnen diameter
die flaͤche 63(61727. welche zu klein / vnd die Hächen der heiffee der
verglichnen boͤden / ſo 70(68583.die iſt zu groß / dann die waare cor⸗
rigierte Cylindriſche fläche fol feyn &y(97 344. wie hernach mit
auffgeſetzem exempel zu ſehen / vnd wird folgender geſtalt erhebt / von
der verglichnen bodenflaͤche ſubtrahier der verglichnen diameter-
flaͤchen / von der differentz oder reſt nim̃ ein drittheil / vnd addier den⸗
ſelben zu der verglichnen diameterflaͤche / fo komt die recht Cylin⸗
driſch flaͤche.
sum groſſen diameter; 12
addier den kleinen 6
die ſumma | 8
helffte / jhr 9 >»
Circkelfloaͤche multiplicier | 63(6172?
mit der hoͤche CH. _15(71600
das producrift su klein 999(8087
Zu dert groffen Circfefflächen 113(09733
addier die feiner Circkelflaͤche 28(27433
außder fumma | 141 (37166
die helffte / ſo die verglichen Eirchelflächemnleiplicier ' 70(63583
mit der hoͤche CH. 15(71600
das product iſt zu groß 1110(89850
Ee ee ih un
J
Das viexrichend Bach Ocenittrie,
Zu der groſſen Circkelflache / wann der diameter 12. iſt 1 13(09733
- addier die fleiner Circkelflache des diameters 6, 28(27433
Die fumma 141 (37166
halb / iſt die zquierte Tirckelſlach / darn 7068583
fuͤbtrahier die mitteiflach / von der halbe ſum̃ beyd. Biam. 63 (61725
auf der differentz / nim̃ den 7Co68r8
drittheil darzu addier 2(35619 .
die mittelflaͤche / 460661725
das product iſt die Cylindriſche flaͤche / die 65(97344
multiplicier mir der hoͤche / 15(716
das product iſt der corrigierte jnnhalt / 1036(8365%
nach der 10. regel haben wir funden. 1036(7913
iR der onderfcheid oder differeng (04528
welches nicht vil ertragen mag / darumb diſe letſte regel ohne fühl zu
brauchen / wann die boͤden oder flächen ſehr ungleich ſind / vnd der
vergleichung der diameter nicht zu trawen iſt / die vngleichheit ſeye
dann in proportione fexuifexta ‚dag iſt wit 6.50 7. oder gringer /
dann ſo mass mit vergleichung der diamcter Pat haben.
II.
Von den Cobis oder wuͤrfflen / vnd den paral-
lelepipedis vnd rechtwinckleten Eörpern.
N.10.
> ..2. Wie der jnnhalt der Cubus ober würfflen
su finden. w,
(AS were ein Cubus DBE,»deflen feiten find 18. das multipli⸗
cier in fich felbften/alß DA 18 mir AB 18. ſo kom̃t das quadrat
ABCD 324 das multiplicer wider mir der hoͤche BE 18.0 kom̃t
Der waare jnnhalt des Cubi 78332.
N.II.
Vonñ ber Viſier· Ruten 26
N.II.
2. Wieder innbalt eines außgehoͤlten kaſtens
zu finden
s Es fey der faften TG K, multiplicier KG mie FG,fofede 24,
das product 576. mit der hoͤche FI 12. dag product 69 12. behalt.
Bann wand und boden jedes dick 4.fo tft die innwendiglänge vnd
breite noch jede 15. die mir einandern multipliciert gibt 256. dag
. wider mit der rieffe 8. muitipliciert / ſo fort für die höle 2048. das
fubtrahler vom obbehaltnen 69 ı 2.fo reſtiert der waare innhalt des
leibs 4864.
N. 12.
3. Wie ein rechtwincklet / vnd in der mitte laͤhres
Corpus zu maͤſen.
Es were das Corpus DB C,fo hoch 20. lang 26.0nd breit 23.
diß multiplicier mit einanderen Cubici, alß lange vnd breite / das
produet mit der hoͤche / das product ı 1960.behalt/ dann fo muldipli,
cier FE 26. mit EG 1 1. das product 286. mit GH 14. das product
4004. ſubtrahier von obbehaltnen 1 1960. ſo reſtiert des leibs jnn⸗
halt 7956.
4 Ein parallelepipedum / das iſt ein ſaul von gleichen
parallel waͤnden beſchloſſen / u maͤſſen.
N.13.
Es hette das — rechte winckel / ſo multiplicier
die breite K Is. mit der hoͤche IM 8. dag product 64. wider mit der
länge IN 30.f0 kom̃t für den Eörperlicheninnhalt 1920.
N.14.
3. Wie ein Maur / ſo auch ch parallelepipedum
| zu maͤſſen.
Machs wie hiernaͤchſt oben die lange O 828. multiplicier mie
der hoͤche OR 22. das product 616. wider mit der dicke OR.EP
_ Bot ber Coͤrperliche innhakt 3696.
| 19m
Das vierʒehend Buͤch Geometrie.
| III |
Bon den Priſmaten und Cylindern /
oder Säulen.
Man muldplicere die bafen der Vriſmaten oder Cylindern
mit ihrer höcherfo har man den Cörperlichen jnnhalt.
1. Wieder Prifmat N.ıs. Ihren jnnh alt
pa finden.
Die bafen iſt ein aleichfeitiger Triangelrjede ſeiten 8.fo kom̃t
der jnnhalt 27(7128 1. (durch 20. des eilfften) DIE multiplicier mit
ber höche 32.fo iſt der jnuhalt 886(21. J
2. Wieder Priſmat N. 16. ihr jnnhalt
| um finden. |
Der baſen iſt ein quadrat / jede ſeiten 9. und Der innhalt 54
(durch 17. des eilfften) diß multiplicier wider mir der hoͤche / ſo auch
32. kom̃t der innbalt 2048.
3. Wieder Priſmat N. 17. fr jnnhalt
zu finden,
Die vaſen iſt ein Regular fuͤnffeck / jede ſeiten 8. jhr jnnhalt
1 10(11204. (durch 27. des eilfften) diß wider mit der hoͤche 3 2. mul⸗
tipliciert / ſo iſt der innhalt; 72z305 328. |
4. Wieder Priſmat N.14. hr jnnhalt
‚su finden,
Die baſen iſt ein Regular ſechßeck / oder ſechßſeitiger Triangel /
jede ſeiten 3. iſt (durch die 20. des eilfften) die baſen 27(71281.dif
multiplicier mie ⸗. das product 100027523. wider mit der hoͤche
32 ſo kom̃t der jnnhalt 73 2086.
35. Wieder jnnhalt des Cylinders N.i9.
er su finden,
pt diameter iſt 3. der innhalt der Circulariſchen bafen pol 205
(durch 28.descilfften ) die multiplicier mir ihrer höche 3 2. fo Com
uͤr den innhalt 1608(43-4,
6. Wie
Don ber Viſter· Aueen
6. Wieder Eörpertiche jnnhalt des Cylinders
N. 20. zu finden.
Sein diameter ifl28. die Circulariſche bafen ( durch 28.048
eilfften) 15(752. dife multiplicier mit der höche 25. Das produce
15393 (8. behait / der hoͤle diameter iſt 18. die Circkelflaͤche 254(469
die multiplicier durch die tieffe 20. das product g089( 3 8. ſubtrahier
von oben behaltnen 15393 (8. ſo reſtiert der leib des halben Cylin⸗
ders 10304042.
7. Wie der innhalt der — zu finden / deren
baſen ein Trapexium iſt.
N.z
# L,
Es were ein Fuck von einem Wahl oder Schůuͤtte / deren bar
fen ABCD hat wo fetten paralicl AB 48. und CD 24. die addier
sufamen/chut 72. difeshalb 365. multipficier mit der hoͤche FD ı6.
das product oder bafen ABCD 576. multiplicier mis Der länge
BE 100. iſt des Wahls jnnhalt 57600.
. 8. Wie mehrere ira N.22.23.24. jnn-
tzu ſuchen.
Es ſeye wider ein Wahl ſampt ſeiner bruſtwehr vnd banck / ſo
ſuch den innhalt des gantzen durchſchnidts / alß erſtlich des Wahls
a bcd468.dann das guierteftucfbruftwehr fg Kiĩ 36. vnd die Tri⸗
297
angelgck4. efh Pech rirechhinehngenärr hehe yore 18.p. 11
dier alles zuſamen / ſo formt für Den gantzen durchſchnide de hls /
Bruſtwehr vnd Banck 24(5. das mit des Wahls längemb 150:
multipliciert / ſo komt 7867 5. fuͤr den jnnhalt N. 22. Gleicher geſtalt
wird der innhalt der Bruſtwehr / der fauſenbraͤyen funden / ſo nicht
anders dann ein priſmen mit einer trapeziſchen baſen / wie auch
der banck / deren jnnhalt iſt funden sols.mirder länge 150.multi⸗
pliciert/ſo gits den jnnhalt 7575. wie N.23.
Wil man des grabens lauffs bruſtwehr N. 24. ſuchen / deren
baſen ein Triangel Scaleno / vnd halt 153. darzu addier das Tra-
pezium der band 4(7. die ſumma 1 1 7(g.mitderlänge ıso.mub
siptictert ſo tom ber innhalt 23625.N. 24. darzu addier beyde oben
fandene innhalt / von N 23. 7577. En N. az. ſo 786 ÄEN
N me
-
Teil np
& Das vierschend Bach Geometriæ,
fort der innbalt 109875. des oberen und vnderen Wahls /
vnd der Bruſtwehr des verdeckten wägs. Gleich fo vil komat auch /
wann man alle drey durchſchnidt des Wahls s24(y- der fauſe⸗
bräyen so(s.ond der abdachung 1 57(5.addiert die ſumma 73 265.
mit der länge ı so-multipliciert, .
9, Wie der jnnhalt des Grabeno lit. O
zu finden.
Dieweil su quffbawung der Waͤhl / man die erden auß dem
Graben nemmen muß / ſo fol fein jnnhalt bekañt werden / alß wann
Die tieffe gegeben / fo 9.darmit dividiert man des durchſchnidts ſu⸗
rficial jnnhalt des Wahls / der Fauſebr aͤyen / vnd der abdachung
0 73 24.dte dividier mit 9.fo komt 81,2. oder 81(94444-1- fürdie
‚mittel weite.
Die under und ober weite su haben / ſo addier die ein boͤſchunq / ſo
‘fie gleich / fo fie ungleich iſt / ſo addiers / vñnd ni die helffte / die addier /
gibtg die
| ober weite / vnd fo mans ſubtrahiert / ſo gibrs die vnder
weite / ſo die boͤſchung gleich / und gleich der tieffe iſt /ſo 9. fo addter
vnd fubtrabier 9. zu vnd von 83175.ſo kom̃t die ober write 904.00
Die vnder weite 72:7.
IV.
Bon den fünff Regular Sörpern.
1. Auß befaßten diameter der Sphzra,oder holen kuglen /
fo vmb die Coͤrper geſchriben / derfelben jhre ſeiten Geo⸗
merriſch su finden N.25.
Er bekañte diameter ſeye AB 1 2. darauff ſchreib ein halben
Circkel AEB;theil AB in mitten in zwey in C vnd in D,der
geſtalt daß AD zweymal fo lang werde / af DB auß CD, vnd A,
erheb das perpendicular auff AB,alß CE,D F.die ſchneiden den
ha!ben Circkel in E und F, vnd dasperpendicular AG. mach gleich
dem diameter AB, siehe G C. die ſchneidt den halben Circkel in H.
dem AH,AF,B Fond BE;theil BE nach der eufferen end mir
leren proportion in NFfo tft A Fine ſeiten Tetraedrum oder pyra-
mis von vier gleichfetrigen Trianalen/wie der gumorff end anff⸗
dug N.26. iu estennengibt / vnd FB iſt die ſeiten ——— —
Von ber ViſierRaͤten 208
Cubiswie der grundriß vnd yerſpectiviſch auffzug N.27. vnd EB
ein fetten Octaedrum wie bende riß N.28.0nd A Hiſt die fetten Ico-
ſaedrum, wie der grundriß N.29.0nd BNiſt die ſeiten dodecac-
drum,wie beyde riß N. 30. |
3. Wie die feitenund jnnhalt Tetraedron zu finden
auch durch zalen N.z 5.
Wir woͤllen laſſen ſeyn den diameter AB 2. ſoiſt AF die ſei-
_ ten Tetraedrifo halt ich der diameter zur ſeiten / wie 3.40 beyde in
ihrem vermögen (13.p. 13.Euslidis ) darumb
wie 3.30 2. alfd ı 40 vermoͤgen des diameters / zu 96. vermögen der.
feiten darauf v fo kom̃t für die ſeiten AF Tetracdri Y,96. wel-
ches irrational verſtaͤndtlichen zalen iſt 9(798. damit ſuch deniun
hal Tmuktipkiejer die baſen mir eim drischeil der höcherfo kot der 1. p. d.
unhalt. ar:
3. Wie die ſeiten vnd jnnhalt des Cubi zu finden.
Der diameter AB,N.2g.ift im vermögen dreymal fo vil / alß die
feiten B Fdes Cubi.( 14.p. 13. Euclidis) darumb nim̃ vom quadrat
AV ſo 144. fodas N des diameters / ein dritten theil / ſo 28.
welches das vermögen der ſeiten des Cubi, darauß / ſo iſt ein ſei⸗
gen Cubi V 48. in geſchickten rational zalen iſts 028 / darmit
ſuch ven jnnhalt + alf multiplicier cin ſeiten in ſich ſelbſt / das pro⸗ 2.p. d.
duct wider mit der ſeiten des Cubi.
4. Wie die ſeiten vnd jnnhalt des Octaedrons
u finden.
Der diameter AB N. 2 ;.tfl im vermoͤgen dopplet ſo vil / alß die
feieen octaedri BE»( 1 5.p.13.Euclidis)darumb nim̃ das vermögen
des quadrats auff AB, alß AV 144- halb fo 72. fo das vermoͤ⸗
gen der feiten BE, darauß die wurtzel iſt die fetten BE Y 72. in ra-
tional zalen 8(485. dann ſuch den innhalt.
Die gviert gmeine bafen beyder pyramis, ſo den octaedron
machen / iſt 72. die multiplicier durch ein drittheil des diameters
der Sphere, ſo 4. (dann der diameterift gleich der hoͤche beyder py-
samiden)fo kom̃t der waare jnnhalt 288.
ti 3. Wie
Das vier zehend Bach Geometriz,
3. Wie Die feiten Icoſaedri, vnd auß einer bekañten ſeiten
der diameter der Sphæræ, vnd der jnnhalt Icoſaedron
zu ſinden.
Wann ber diameter A B, N. 2 5.rational iſt / ſo iſt die fetten AH
des Icoſaedron irrational, vnd ein minor; (16. p. 13.Euchdis)durd
dieſelbe dit der diameter der Spherzim vermoͤgen fuͤnffmal ſo vil
alß des halben diameters des Curckels abcde N. 29. fo vmb die
fünff Triangel geſchriben / deßwegen nim vom quadrat AV 144.
ein fuͤnfften theu / alß das rechtwincklet viereck Z S>dem iſt gleich gt»
macht das quadrat QVU, fo 25% darauß die wurtzel iſt / 287. ii
ver taͤndtlichen zalen 503 607 6. für V R > ſo gleich halben diameter
af,N 29. Es iſt aber Die ſeiten Des vmbgeſchribnen fuͤnffecks / m
dem Cırcfel a bede, auch ein ſeiten Iooſaedri. Diſes zu haben ſo
fh die ſetten des zebenecks / alß N. a . theu VR(ſo gleich dem halben
diameter a f, vnd darumb auch ein ſeiten des ſechsecks in gedachtem
Circkel geſchriben nach der euſſeren vnd mittleren proportton in O,
deren iſt gleich VT. der aröffer theil / dann das quadrat X V iſt ein
viertheil des quadrats V R. weil VR dopplet iſt von VX, darumb
der . iſt 73. die addier zu dem quadrat VR 282. ſo kommen 36. fuͤr
das quadrat RX. dem iſt gleich das quadrat auff X Tsich beger aber
allein das quadrat VT, deſſen ſeiten iſt — 7%. ein ſeiten des
zehenecks / a6 XT — VX iſt In rational verſtandtlichen zalen
6 — 2(633 21. das iſt 3(3 1679. vnd beyde vermögen / des ſechß
und des zehenecks zuſamen / ſind gleich dem vermoͤgen des fuͤnff⸗
es / 19. p- 13. Euchdis)) das vermögen des ſechßecks / fo gleich
dem vermögen des halben Diamerers af ifl 283. darzu addier
das vermögen des zehenecks / fo 433 — v/ 10392. fo fommen
72 —— v 1036,.für das vermögen des fuͤnffecks / hierauß die wur,
gelifivV.72— V 10363. fo cig feitendes fuͤnffecks/ fuch die wurgel
— —— ———
nim̃ wider Die wurtzel / ſo ( 308. die fetten des fuͤnffecks / wie auch die
ſeiten des Icofacdti.
So eines Ieoſaedri fetten betañt / ſo ſucht man ben diameter
Ber vmbſchribnen Sphere ‚mer hälff eines betañten Icolacdri/ Die
belaũte feiten were 8. ſo nĩ das oben gefundene /fo Relts gr die
en
Voan der Bifier-Räsen. 2899
Riten Icoſaedrum Y.72-— v 1036 7. suimdismeter 12. alſo die
ſeiten 3. zum diameter y .160-- v f120. |
Odber in rational zalen.
Wie die feiten 6( 308. zum diameter 1 2.alfo 3. zum diameter
15(216.
Auß bekañter ſeiten vnd diameter / den jnnhalt
leofaedron zu finden.
Difes Corpus wird in zo. pyramıden vertbeilt / deren baſen
find die 20. gieru-fsiriger Triangel ihr ſpin ıfl das Centrum der
Sphzrs ‚fo auch das Centrum de Icoſaedri iſt / vnd ihte ſeiten von
dei bajei. zum Centro, in gleich dem halber dıameter der Sphere,
der diameterfiye ı 2.o1d die baſen iſt ein gleichſeitiger Triangel jede
ſeiicu 6, og. deſſen quadrat iſt 3z90791 — / darvon emn drittheil iſt
2 ;(2636. deſes ſubtr ahter vom quadı at der ſeiten der pyramis 36.
( dann die feiren ift gleich dem halben diameterfo 6.) fo r eſtiert das
quadrat des perpendiculars von dem Centro oder fpıg auff die baſen
ſo 22073 63 79. bierauß Die wurtzel iſt 4.768 27. davon ein drittheil /
fo 1(589. mu diſem mutiplicier den jnnhalt der baſen / ſo 1723. ſo
fon der jnnhalt einer pyramiden 27(378. das mulsıplicier mit
20. vo es find zo. pyramis / fo kom̃t für den innhalt Icofaedron
547(569
6. Wie die ſeiten / vnd auß einer befaikten feitender diame-
ter Sphæræ, vnd der innhalt dodecacdıon |
n.
wu ſinde |
Bann der diameter der Sphere, fo vmb den dodecacdron
gefchrib.nirational verſtaͤndtlich iſt / wie hier N. 25. der diameter
AB;'o iſt die ſeiten dodecaedron BN irrationalsond ein Reſidum
(17. p 13-Euclidis ) ond fo man die feiten des CubiB Fsfo auch in
foıne Sphzız gefehriben mag werden / nach der eufleren und mitt,
feren propornion in N theile/fo iſt der groͤſte heil BN «in ſeiten do-
decaedronpnd weil der gang diameter AB 12. iſt / 9nd fein ver»
moͤgen oder quadrat AV iſt 144.darvon ein dritcheilifl 48. welche
Das vermögen der jeitendes Cubi darauß die wurgelifl v 48. für
die feiten B Esdife rheil in N, nach der eufferen und mittlern propor⸗
tion / zum quadrat OK 48.addier das quadrat OL 1 2. ſo kom̃t das
quadrat LK co. darauf die wurtzel fo v 60. deren iſt gleich Die ii
| Sie nien
37.P-}-
Das wierschend Buch Geometriz,
nien LP, es wird aber allein die finten OP begere 1 weſche If}
v 60 — v 12. deren iſt gleich OM, deßgleichen auch BN,die ſei-
ten dodecacdrisdasthut in irrational jalen 4(282 — .
Auf bekaũter feiten den Sphazrx der diameter
su finden.
Difes befchiche mic hätff eines befafiten Cubi,
wie Re ha v’60 = v ı2.dur ſeiten Cubi y 48.
alſo die feiten dodecacdri y 64.surfeiten Gubi Y 30-4. T web
dies in rational zalen gibt 12(944. für die ſeiten Cubisoder fegin
rational proportion / —
wie die ſeitendodecaedri 4( 282.10 der ſelten Cubi6(928.
alfo dic feicen dodecacdri 8.jur fetten Cobi 12(344-
Diſe gefundene fetten des Cubifo 12(944. quabrier/ Das
quabtat oder vermögen 167547. nim̃ drey malsoder multix licier⸗
mit 3. (dann das quadrat des diameters oͤrey mal ſo groß aiß das
quadrat ber ſeiten des Cubi ) jo kofnt das quadrat Des diameters / ſo
J02(641.darauß Die quadratwiursel iſt 2242. welches iſt der die-
meter der Sphęræ ſo vmb den dodecaedrum geſchriben wird / wann
ſein ſeiten 3.1. |
Auß befafiter feiten und diameter, den jnnhalt
dodecacdri zu finden.
. Ber dodecacdron oder wbiff boͤdiſch Corpur wird in zwoͤff
pyramıs getheiltiveren bafen die zwälfft gleichfestt: eck / de⸗
ven (pıg das Centrum der Sphæra, weiche auch Centrum des Cor⸗
pers iſt / vnd die ſeiten / ſo vom ſpig oder Centrum auff ale winckel
der baſen fallen / ſind aleich dem halben diameter der Sphærs.
Die betañt ſeiten BN. ſo wir funden 42 82. vnd ver halbe dia-
meter 6.[0 die länge einer ſeiten deſſen quadrat 36.darvon fubtra⸗
bier das quadrat Des halben diameters des Circkels / ſo vmb die
fuͤnffeckere baſen geſchriben / weiche ſolgender geflale mas geſuch⸗
werden / in der gringſten proportion / wann die ſeiten des fuͤnffecks
I, fo iſt fein diameter 1(7013. diß multiplicter mit der feiten Det»
nes fünffeets ſo 4(282. fo kom̃t für den diameter des Circfelgy
fo vmb das fuͤnffeck geſchriben wird 7(284.deffen helfft 3(&42 vnb
fein quadrat 130264164. dag ſubtrahier von dem oberen quadrat
36. ſo
I Von der Bifier-Räten. 300
36. ſo reſtiert 22073 5836. darauß die murgel iſt 4077. die hoͤche ehe
ner pyramis, darvon ein drittheil iſt 1059. das multiplicier mit ei⸗
ner fünffecferen baſen welche folgender geſtalt mag funden wer⸗
den / wie das geringſt quadrat / der ſeuen des fuͤnffecks / alß J, zum
innhalt des fuͤnffecks 17204774. alſo ber bekañten ſeiten 4(28z.
ihre quadrat 1803 3y524. sum jnnhalt der fuͤnffecketen baſen
310545825. diſe multiplicter mit oben gefundnem drittheil / welches
I(9. ſo tomt golıy79. für den Coͤrperlichen jnnhalt einer pyra-
mis, die multipicier mit 1 2. dieweil es fo vil pyramis ſind / ſo forms der
gantz nnhalt des zwoͤiffboͤdiſchen Coͤrpers 601(8948. |
V.
Von der kugel oder ſphæra, vnd der truckten
kugel oder Pphærtoidis.
1. Auß bekañtem diameter, alß der kugelachs / ihre
kugelflaͤche zu finden. |
3), SEN 3 1.feye die bekañũte kugelachs ı 2,bie quadrier iſt 144. dar⸗
mir ſuch des gröften Circkels / ſo vmb die kugel geſchriben fein
Cirefetläche Twelche iſt 113(09724-- dife gefundene Circkel⸗ 28. p. 11.
flache multiplicier mit 4. (dañ Archimedes beweißt in der 32.1
daß die kugelflaͤche viermal mehr ſey alß des groͤſten Circke
fo wird für die tugelfläche kommen 452(38896.
3. Auß befanter fugelachs der kuglen cörperlichen
innhalt su finden.
Gedachter Archimedes beweißt inder 34 p. 1. von der Sphe-
ga vnd Cylinder / daß die Sphzra oder kugel ſeye viermal ſo groß alß
der kegel / deſſen baſen gleich dem groͤſten Circkel der kugel / vnd die
hoͤche gleich dem halben diameter der kugel / derwegen multiplicier
Die gröfte Circkelſtaͤche / ſo oben gefunden 119(09733. Mit 2. alß «in
drittheil der halben kugelachs / ſo komt für den jnnhalt des kegels
226015448. diß multiplicier wider mit 4. (ofoms fuͤr den jnnhalt
Der fugel 904(77792. BR |
Anderſt fo die aröft Circkelflaͤche mir zwey drircheilder kugel⸗
achs / das ift mis 8. (wann die achs 12.) multipliciert / fo — —
ug
t
Das vier ʒehend Buͤch Geometriz,
kugel innhalt wie oben / alß multiplicier 1 13(09724- mit 8. ſo kom̃t
904(77792-Wie oben. s
Widerumb anderft / multiplicier Die gefunden kugelflaͤche
412(33896.mit 2. welches ein fechstheil der kugelachs / (ſo 12. iſt)
fo komt für den Coͤrperlichen jnnhalt der kugel 904(77792-
Wil mans nach der Proportion Archimedis nemmen / ſo er
ſetzt / wann ein kugel 11. ſeye / fo ſeye der Cubus auff jhrer achs 21.
deßwegen wie der Cubus 21. zur kugel ı 1.alfo der Cubus 1728. des
diameters 1 2. zu der kugel jnnhalt ↄ20 (14285.
3. Wann der jnnhalt einer kugel bekaũt / wie ſhr
achs su finden.
Die kuglen halten fich zuſamen / wie bie Cubos Ihrer achſen /
man habe bekañt den jnnhalt einer kuglen / welche 300. wererend
wolt gern dielänge ihrer achs haben / hier zu fol ein fugel ſampt jhrer
achs bekañt ſeyn / darzu wol? wir Die kleinſt kugel in gangem neimen
ſo 1( vnd jhr achs iſt 11 2407.deren Cubus iſt 1(909854783 143-
ſo halten ſich zuſamen /
wie die kugel ı (zum Cubus 1(90985478 3 143. jhres diameters /
alſo die bekañt tugel 300. zum Cubus 172(956434943-Ihres dia-
meters / hierauß extrahier die Cubiſch wurgefo (3056 y.weiches
iſt der diameter oder achs der kugel / ſo im Coͤrperlichen jnnhait 300.
“
ab.
Hierauß iſt —— * mehr gegebner kuglen ein kugel
zu machen / die ſo vil halte / alß bie anderen alle / ſo gegeben find: dann
ſo man aller kuglen jnnhalt addiert / vnd auß der ſumma nach obge⸗
er lehr Die kugelachs fucht / ſo wird ihre kugel den anderen allen
eich.
4. Wie die flächen der zu ſinden / wann der
Sehe pe)
Es feye die kugelabed , N. 32. deren diameter bad iſt 12.
und dk linien a c, ſchnetd gedachte achs su rechten wincklen in & in
sroen ungleiche theu / aig a be Fer kleiner / vnd ade f der groͤſſer tel
oder proportion / vnd iſt der bolg der flciner fb ; en der groͤſſer
6 d 8C sus diſen beyden hoͤchen oder bölgen fc, ie
p 1
: Domder Difter-Räcm. sor
7 alß multiplieier b F 3 g.mic fd g(s- fo tom̃t dag quadrat auff hal, Cr
ber fänten af 29(75.darzu addier das quadrar des bolges fbı 2(25.
fo formt das quadrat a b 42. darauf die wurgelifl v 42. diß dopplier
das iſt multiplicier mis 2.onder gleichen zeichen v 4-fofem v ı 68
für den diameter eines Circkels / welcher gleich. der Eircfetfläche der
kleinern proportion oder fugelfehnig ohne die Circkelariſche bafeny
vmb den dinmeter ze geſchriben / (41 p.1.Archimedisder Sphere .
und Eylinder )des diameters quadraͤt iſt 108. darmit multiplicier
73.0der (78539832.ſo formt die Sphzrifche fläche des kugelſchnitzes /
132.0der 131(9468976.
Wolte man aber die flaͤche des groͤſſeren Rugeffehnidrs haben /
ſo fisch nach gegebner Ichra d, vnd addier beyde quadrat afzs(7r.
und fd 72(25. ſo kom̃t das quadratad 102.darauf die wurtzel iſt
V102. das dopplier vnder gleichen zeichen / multipliciers mit 4.
fo fommen v 408. fürden diameter, deſſen Circkel gleich iſt der ku⸗
. gelnächervarumb fo multipucier fein quadrat 403. mit . ober mit
7(813982,1d tommen für die flaͤche Des gröfleren Cuckelſchuidts
32057142 36. oder 320(4424656, 0
5. Wie der Corperlich jnnhalt der Sector oder Kugel
sahn oder außſchnidt su finden. |
Der kngel Sektor find wider zweyerley / alß N. 3 2. der kleine
abce,fo den kugelſchnitz macht / vnd einen kfegel / deſſen ſpitz in das
Centrum der kugel gehet / vnd mit Dem kugelſchnit ein gmeine bar
fen hat; aiß der Circkel vmb den diameter ac geſchriben.
Der graͤſſer Sector iſt der groß kugelſchnig ac ds weniger dann
gedachter kegel ac e, es beweißt Archimedes in der letſten des erſten
Bůͤchs von der Sphæra vnd Cylinder, daß der Sektor oder kugel⸗
zan gleich feye einem kegel / deſſen baſen fo vil in der flaͤche habe / alß
die flaͤche der kugelſchnidts / vnd der ſo hoch ſey alß halber diameter
der kugel / welcher 6. wann der diameter ı 2.der drittheil von 6. iſt 2.
darmit multiplicier die ein vnd ander oben gefundne flaͤche / der ku⸗
gelſchnitz alß 13 1(9468976. mit 2. ſo komt für pen fugeljan cabe
263(89379 52. wetter multiplicier die. groͤſſer fläche 320(442465 6
mie 2.fo kom̃t fürden gröfleren Sector cadc 640(88493 12. und
fo man beyde Schtores addiert / ſo kommt der gangen kugel jnnhalt
904(7787264.wis oben bey der gantzen fugel,
Ggss 6. Wie
Das veerʒehend Buch Geomoettix,
6. Wie der jnnhalt des kugelſchnidts
Zu zu ſinden. —
Hie haben wir nichts weiters zu thun / dann den jnnhalt des
begels a ce zu ſuchen / deſſen baſen iſt der Circkel vmb den diameter
ac geſchriben. Es iſt ac lang 15.ihr quadrat iſt 119. das multi⸗
plicier mir dem jnnhalt des kleiuſten Circkels (785 3982. ſo kom̃t der
bafın jnnhalt 33(4623 852. diſes multiplicier dürch die hoͤche des
kegelt Fe 205. vom product 233(6559745. nim̃ ein driitheil / iſt
556325324. fo der Coͤrperlich innhalt des kegels iſt / diſes ſubtra⸗
bier vom kieineren Sectore eabe 263(893795 2. fo reſtiert der
feiner fugelfihnig abef 186(0084704. den innhalt des kegel⸗
(8853248. addier sumgröflern Score eadc 640(88493 12.
de fumma 71807702 56. iſt der gröfler fugelfchnig a de & Die ſum⸗
n.4.dif.
n.6.diß.
28.p.11.
ma beyder / iſt der jñhalt der gantzen kugel 004(77 872 64 wie oben.
7. Wie die Guͤrtelflaͤche zwuͤſchen zweyen Cirdelflächen
oder Kugelſchnidten begriffen zu ſuchen vnd zu finden.
Es ſeye die ug N. 3 3- geſchnidten mie ac und ik, ſuch ſedes
theils kugelſchnides flaͤche / Talgachb und ı k d,die addier / die ſum⸗
ma fubtrahier von der ganzen kugelflaͤche / ſo reſtiert die guͤrtelflache /
* zwuͤſchen beyden Circklen auff ac und ik geſchriben begrif⸗
en ie’
s. Wie der Coͤrperlich jnnhalt der Guͤrtelſchnidt
zu ſinden.
Hie iſt nichts anders zu thun / dann daß man fucht beyder fr
gelſchnidts innhalert fo beyder kugelſchnidts addiert / die ſum̃a vom
Toͤrperlichen jnnhalt der gantzen kugel ſubtrahiert fo bleibt der jnn⸗
halt des guͤrtelſchnidts.
9. Wie der jnnhalt der Sphxroides, oder ablangen
truchten kuglen ınnhalt sufinden.
Es ſeye die truckte kugel ABCD, N.34- deren länger adıs
IM AC 12. die kleiner BD 8. ein Circkel auff dife gefehriben halt
50(2654848. T mit eim drittheil des halben/ oder ſechßtheil des
gantzen mehrem diameters AC, fo 2. multipliciert / ſo ket Der ke⸗
gel
Von der Difier-Rüten. 302
gel 100(5 309696. diſen doppliert / das gibt den jnnhalt der halben
truckten fuglen 201(0619392. (29.p. Arehimedis yon Conoides
vnd Sphzroides ) diß letſte dopplier oder multiplicier den kegel mit
4.fo tom der Coͤrperlich jñhalt der truckten kuglen 402(1238784.
10. Wann eintruchte kugel in vngleiche theil geſchnidten /
jedes ſchnidts Coͤrperlichen innhaltzufinden,
Vorgemeldte truckte kugel AB CD werde mirdenlinien EG
in zwen vngleiche theil geſchnidten / vnd wird befunden / daß FG ſeye
»(89.darauff ein Circkel geſchriben iſt im jnnhalt 48(392689. des
ſſeren theils achs iſt HC 7. vnd des kleineren theils achs HA5.
o ſtehts wie die achs HC 7. zu der ſumma EC6. vnd HC 7. ſo 13.
alſo der kegel / welcher gemacht mit der baſen des Circkels auff FG»
ſo 48(892689. vnd der hoͤche HA 5. des kleineren theils FG A, wel⸗
cher keael iſt 81(487815. sum jnnhalt des kleineren theils / das iſt
wie HC 7. zu 13. alfo der kegel 8 1(4878 1 g. zum jnnhalt des kugel⸗
ſchnidts FHGA ı51(378023. Vnd wiedie ahs HA 5. zur fums»
ma von HA s.vnd EA. das iſt ı 1. alfo der fegel deſſen bafen ge»
dachter Circfelauff FG 48(89 2689. vnd ber hörheder achs HC 7.
welcher fegel 1 14(08294.1.jm innhalt des kugelſchnidts FHGC
250(98217.
11. Ein koͤpfften truckten kugel länger diameter
zu finden.
Ein Weinfaß vergleicht ſich einer koͤpfften truckten kugel / wie
auch der däng länger diameter: alß es were die koͤpffte truckte kugel
N. 3 5.in ihrem Raum / fo gleich einem Weinfaß ABCD E F. da
wird begärt die achs ML,der ergängten kugel / ſe mißt man den
fpont diameter BE 64. boden diamster CD 35. vnd die vber ort
BD 60.00 fpont diameter 64. fubrrahier den hoden diameter 35.
den reſt 29. halbier fo 145. dem iſt gleich K E» das fubrrahter vom
fpont diameter BE 64. fo reftiere für BK 49(5. fein quadrat
2450(25. ſubtrahier vom quadrat BD 3600. ſo reſtiert dag quad⸗
ratKD 1145(75.darauß die wurgel 3 3 (90751. das iſt die halb
Saßlänge GO oder G N; man wolt aber die gang achs ML haben
darumb feg halben ſpont diameter von Aquff die achß M Lin Hs
Gass ij dag
Dasvierschend Buͤch Geometriz. _
das beſchicht alfo vom quadrar des halben fpont diameters B&
1024. dem iſt gleich das quadrat AH, fübrrahier das quadrat des
halben boden diameters AN 306(25.f0 refliert das quadraı NH
717075. darauß bie wurgel iſt 26(7908 56. die führrahter von
halber Jaß länge NG 33 (9075 1. ſo reſtiert für HG ;(1 1666..
vnd wie ſich halt NH 26(79084 6.1 HG Y(116664.alfo AH ; 2.
(fo gleich BG) HI 2(y. das addier u AH 32. fofomt Algolr-
( — haben achs MG. das dopplier / ſo tomt die gantze achs
Bi(.
12. Wie Der jnnhale der koͤpfften eruckten kuglen / oder der
minhalt = ni .
Such den Sörperlichen innhalt ber halben truckten kuael BL
a. 9. diß. FMA,t vnd den kugelſchnig AFMden ſubtrahiert von BEFMA,
d.i0.diß. fo hat man den innhalt halber truckten kaglen / dieſelb Doppiser/fo be⸗
kom̃t man den gang Coͤryerlichen jnnhalt.
VI.
Vom brauch der Wein Ruͤten.
8* Weinrůuͤten iſt von dreyerley theilung / alß das Langmaͤß /
die quadrat oder —— das Coͤrperliche Maͤß / vnd
wie hiervor in den Fünf Capitlen diſes cheils / alerley Coͤrper mit
dem Langmaͤß von rüten / ſchuch vnd Daumen find gemaͤſſen / vnd
jhr innhalt gefunden worden / ſo wird hier der jnnhalt der gſchirr ge⸗
maͤſſen / wie vil fuder / eymer / toͤpff vnd quaͤrtlin von Wein / Waſſer /
oder anderen fluͤffigen dingen fie halten.
u . Wie ein rechtwinckleter trog oder kaſten
sn vißeren.
Es were ein kaſten N. 36. deſſen junwaͤndige laͤnge / weite vnd
Siehe maͤſſe man mit der Langruͤten / da jedes Jangmäg ein kopff
oder zwo maaß iſt / vnd finden in der länge koͤrff oder gleiche theil der
dangruͤten 12(84.0nd in der wette 6(35.ondinder rieffe 3(y.mub
&iplicier alle durch einanderen / alß die länge mit der weiie / ſo forus
Men 8ı[y34. diß produce mie der tieffe / ſo komme der jnnhalt des ka⸗
ii ſtuck 285(369.f0 jedes ein kopff wallerroder anderenfiäffigen
vermag / vnd thun 30. koͤpff ein eymer lautere ſiun / vnd ı =.
emer
Donder Viſier⸗Ruͤten. so.
eumer ein füder / darumb dividier mit 30. fo kommen 9.eymer
15(36.koͤpff.
2. Wie ein kaſten zu viſieren / ſo nicht
winckelrecht. |
Es feye ein: Brunnen kaſten N.37. welcher die smolangen ſei⸗
sen parallel ſeye / vnd die hoͤche mit dem boden iſt winckelrecht / iſt die
ein iange ſeiten 14(8. die ander 7(8.die addier / die ſumma 22(6.
halbier / jo 11(3. das multiplicier mit der weite / ſo winckelrecht auff
die lange muß gemaͤſſen werden / ſo 6(2. das product 70(06. multi⸗
plicter mit der tieffe / ſo winckelrecht auff dem boden / fo 34. ſo kot
der jnnhalt 23 80204 das thut 7. eymer / 28. koͤpff / zz quärtlin.
Nota. Were aber diſer / oder ein anderer kaſten / die vnder und
ober weite nicht gleich / ſo muß einer jeden jnnhalt ſonderlich gefucht
werden / vnd fie jufamen addieren / von der ſumma die heiffte mir
der tieffe multiplicieren / ſo font auch der jnnhalt.
3. Wie ein bůete zu viſteren,
Es were ein buͤrrewie N.3 3. ſo miß mir der Sangrüren bie under
ond die ober weite creutzweiß / alß bie ober von a in b, vnd von e in ds
vnd ſo ein vngleichheit geſpuͤrt wird / ſo vergleich fie mir einem Cir⸗
ckel / oder dem medial ſtaͤblin / vnd ſo die differentz nicht ſehr vngleich /
fo multiplicier die flaͤche neben dena verglichnen diameter, mit der
tieffe der buͤtte / wann bie differentz aber sinmslich vngleich / ſo muß die
Cylindriſch boden fläche geſucht werden· 17.P$5
Zum exempel / die weite am boden iſt das Langmaͤß 7(6. darne⸗ diſes.
ben iſt das Flachmaͤß 45(3 64. vnd die ober weite iſt das Langmaͤ
$(7. darneben die flaͤche iſt 25(517. die ſaͤnckelrecht tieffe iſt das
— $(4- vnd die ſumma beyder Flachmaͤß iſt 700381. die
helffte 35 (44 mit der tieffe x(4.multipliciert / ſo koĩen 19 1(376
welches zu vil vmb 2(53 8. ſo man aber das mittel zwuͤſchen beyden
diameter nim̃t mis dem Sangmäßıfogibts darneben auff der rüren
das mittel Flachmaͤß / ſo 34(73. mit der tieffe 5(4 Multipliciert / gibe
187(542. Welches zu kleitn vmb 1(296. fo aber die Cylindriſch bo⸗
denfläche gefischt wird / ſo 34(97. vnd mir der tieffe s(4. multipli⸗
ciert / ſo kom̃t der recht corꝛgierte jnnhalt ber bürte/fo 189(838-
Gsss ij Zu⸗
Das vierʒehend Buͤch Geometriæ
ugab. |
Hierauß ifl NER ber böden fich vber die
proportion fexquifexta,das iſt / wie 6.3u 7. erſtreckt / daß der gemein
wäg nicht su halten / ſonder allweg die Cylindriſch bodenflache muß
geſucht werden.
4. Wie die Faͤſſer zu vifieren.
Maͤſſe erſtlich die ſpont fiefferoder diameter a b, N. 39, vnd
Wergeichne es jnnwendig des ſponts mit einem kreiden ſtrichlein.
Dann miß den forderen boden creutzweiß von vnden auff vnd
vberzwerch / ſindt ſich erwas vngleichheit / ſo verzeichne es mit einem
kreiden ſtrichlin / vnd vergleiche mir dem Medial / oder nim̃ das mü⸗
tel mit einem Circkel / da mach wider ein kreiden ſtrichlein / vnd loͤch
bie anderen zwey auß / ſo hat man ben verglichnen diameter des
porderen bodens. =
Gleicher geftale miß den Hinderen boden / vnd vergleich jhn / ſo
ein vngleichheit geſpuͤrt wird. |
Darnadı vergleich des vordern und hindern bodeng diamerer.
gerftlich vergleich den verglichnen boden diameter mit dem
fpont diameter, fo befomt man den mittel diameter ‚darneben auf
der Flachruͤten zeigts die mittelflaͤche. |
Dann fo miß die fräfch oder garglen laͤnge / darzu thut man
in gemein noch ein garglen laͤnge fuͤr der dicke beyder boͤden / vnd
gib acht ob die boͤden hineyn oder herauß gebogen ſeyen / ſo ſie hineyn
gebogen / ſo addierſt ein drittheil der ref des bugs zu den garglen!
iſt er aber hinauß gebogenfo ſubtrahierſt ein drittheil feiner cieffe
yon den garglen/ nur Die oberig länge der garglen und böden dicke /
ren vornen oder binden an einem ort auff das Faß mireiner
reiden.
Letſtlich miß vom leeſten kreiden ſtrich die Faß länge grad kin»
auß / vnd ſo die rüten su furg were / ſo ſchieb heforerogd nim̃ alſo fleif
fig die Weinlaͤnge / pnd ſchreib dann alles ſieiſfig auffidann mim
des mittel diameters Circkelſlache (fo der ſpont end boden diamerer
die proportion ſexquiſeta nicht vbertreffen) ſonſt muß die Cylin⸗
brifch bobenfläche genommen werden/ond mit der Weinlange mul,
tiplicier / ſo bekoñe man / wie vil das Faß toͤpff halte / die mögen dann
I fuͤder und eymer gemacht werden. |
—
Von der Viſier⸗Ruͤten. 304
Zum exempel / man find: den ſpont diameter 782. Langmãaß /
das gibt darneben auff der räten 48(02898. Flaßmaͤß / vnd für den
sauierten vnd verglichnen boden diameter a(53. darneben 33(49.
Flachmaͤß / dann miß die garglen / ſind fie gleich lang / alſo jede (37.
das thut für beyde garglen vnd boden dreymal ſo vil / ſo 1(1 1.der
vorder boden iſt (18. außgebogen darvon cin drittheil / fo (os. die
ſubtrahier von 1(1 1. ſo reſtiert 1(05. vnd der hinder boden iſt (24⸗
eyngebogen / darvon ein drittheil iſt (08: die addier zu 105. ſo kom⸗
men ı(13.die zeichnen oben auff das Faß hinden oder vornen / vom
end der garglen an mit einem kreiden ſtrich / darvon ſo miß die vbrig
länge bes Faß bis zu end der garglen / vnd finden 10(26. für die
Weinlaͤnge. Dann multiplicier des mittleren diameters 7(17 5.
flaͤche / alß die mistelfläche/ fo auff der rüren 40(43 3 —— mitder
Weinlänge 10(26. fo kom̃t für den innhalt 414(840405-fo aber
die Cylindriſch fläche 4oly417. mir der Weinlänge 10(26.mub
tipliciert wird / fo komt der rechte Eylindrifche waare jnnhalt
415(957842:10elches mehr iſt dann das ober 171. toͤpff.
t. Erinnerung.
Wie ſich zu verhalten / wann die Ruͤten zu kurtz
were.
Nach abzug der garglen und boͤden iſt das Faß oder Wein⸗
länge noch 13(23. dann nim̃ mit einem ſtab des Faß ſpont vnd bo⸗
den diameter, vnd vergleich ſie / vnd wurde der verglichen diameter
lang gfunden Beomerrifche ſchuch 50874. vnd die ruͤten were nur
4. ſchuch lang / ſo theil den gefundnen verglichnen diameter g(874-
in zwen gleiche theil / ſo 2(9 37. die halt an die ruͤten / die geben (56.
Laͤngmaͤß / vnd darneben 24279. Flachmaͤß / das multipliciert man
Mir der Weinlaͤnge 13(23. das product 32 1(211. wider durch des
theilers ſo hier 2. ſeinen quadrat 4.fo komt der jnnhalt des Faß.
2. Erinnetung. |
Wolte man aber die Cylindriſch fläche haben / ſo verhale man fi;
mit dem theıl/darinn der diameter gerheilt iſt / wie bey dem gantzen
diameter permeldt/fo man jhn wegen der fürge der rüren in zwey
getheilt fo nime man fpont und boden diameter / jedes die beifreidie
sehen
Das vier zehend Bach Geometris
geben die flächen auff der ruͤten / darmit verfahr alß wann es ganze
diameter weren / die kommend Cylindriſch flaͤche / multiplicier mit
der Weinlaͤnge / das product mit 4. alß die quadrat zal des theilers /
vnd wann man sum cheilen hette 3.genommenufo iſt ſein quadrat⸗
zal . darmit muͤßt man das product multiplicieren. |
3. Erinnerung. I
Bann fein Flachruͤten vorhanden/aber wol wievil cheil
Geometriſchen fhuhseintöpffigen Cubus,oder fein fetten machen /
ſo wir funden 1480559 59 ı .deflenfeisen oder wurgel iſt z (206. zol /
Das nim̃ für ein Langmaͤß / darmit miß die diameter, den fpont und
Die boͤden / ſolche diameter quadrier / darmit multiplicier die Circko⸗
flàche (7853982301. ſo die des Circkels deſſen diameters
aadrat ı( iſt / (ober erhebs durch die 28.p. 1 1.) fo before man die
begerte Circkelflaͤche.
3. Wie die Faß mit der Coͤrperlichen Ruͤten
zu viſieren.
Man ſtoßt die Kürten pber eck in das Faß wie N.40o. von Ain
B, vnd merck innen am puntloch Den pungten mit einer kreiden / alß
dann miß von A in Cevnd mercks wider / ſo es beyde mal gleich fo:f
es recht in der mitte / wo aber nicht / ſo zeichne sg beyde mal vnd nimt
Das mittel Dargweüfchen nach der salder koͤpff / ſo es jedes mal zeigt /
vnd nicht nach derglejchen theilung / ſo findſt gleich auff der Ruͤten /
wievil das halbe Faß halte / das dopplier / ſo hat man den gantzen
jnnhalt des Faſſes: zum exempel / man nim̃t innen an der taufel
ein gewuͤſſen puncten / vnd finden vom ſelben in B210.koͤpff und
gegen © 211. die zuſamen addiert / gibt Die gantz eych 42 1. köpff / chut
1 S ——
Erinnerung / wann die Ruͤten zu kurtz.
So nim̃ mit einem ſtab / ſo Lang gnug / die zwerch linien / die cheil
in 2. oder z.theii / bis dein Růͤten glangen mag / des theils Cubiſche
zal multiplicier mit dem jnnhalt / ſo auff der Ruͤten gefunden : zum
exempel / die zwerchlinien miß ich mit einem ſtaͤnglein / vnd ſinden ſie
lang 12. Geometriſche ſchuch / mein Ruͤten iſt aber nicht laͤnger
Dann 5. derſelben ſchuch / darumb theil die 1 2. in z. cheil / an einen
r
5 — — u — wm
Von der @ifier-Näm. 30
fer heil halt die Ruͤten / ſo zeigts darneben auff ber Coͤrperlichen
Ruͤten 125. koͤpff /diſes mit 27. alß der Cubiſchen zal von 3. gemul⸗
ripliciert / ſo ommen 3375.koͤpff / oder 1 1 23. eymer / das iſt 9. ſaum /
4.eymer. —
Wie ein Faß / darauß Wein gezapfft wor⸗
den / zu viſieren
Das Faß laß erſtlich nach dem hinderen vnd vorderen boden
gleich legen /dann fo miß alle heil alß wann man ſonſt ein Faß vi⸗
fieren ſoͤlte / vnd noch darzu die Wein oder ſpontvoͤlle / vnd ſchreib al⸗
les ordenlich auff. |
Dann fubtrahter vom fpont diameter den boden diameter;die
differentz halbınim von der ſponrvoͤlle / ſo bleibt die boden voͤlle / wel⸗
che beyde voͤllen fuͤr boltz der Circkelſchnidts angenommen werden /
(vnd durch die 29.p. des 11.) die ſannen und die Sector geſucht / vnd
Durch, addierung vnd ſubtrahierung des triangels den jnnhalt oder
flaͤche / der Circkeiſchnidts (durch die zo p· des 1 1.)diefelben vergli⸗
chen / vnd mir der Weinlaͤnge multipliciert / ſo komt der jnnhalt des
vollen theils.
Diſes erforderet ſehr vil arbeit demſelben zu begegnen / hat
Her: D. Johann Harmann Peyer den geringſten diameter ı( its
100, boͤltz oder pfeil ſtuck zertheilt / vnd ein Circkelſchnidts Tafel ge⸗
macht / da der Circkelſchnidts flaͤchen gleich / neben jhren pfeilen zu
ſinden / doch nur auff die primen vnd ſecunden ferupeln calculiert /
Die vbrigen find Durch der flaͤchen differeng zu erheben.
Zum erempel/alß fübrrahter vom fpont diameter den boden
diameter, von der differentz nim den viertheil / das ſubtrahier vonder
ſpontvoͤlle / ſo bleibt die mittel voͤlle / diſe mittel voͤlle dividier durch
den mittel diameter.fo befomft den Tafel pfeil / den ſuch in der Tafel
vnd ſchreib die flaͤche darneben herauß / vnd multiplicters mir des
sangen Falles jnnhalt / ſo kommt der jnnhalt des vollen theils / den von
gantzem jnnhalt ſubtrahiert / fo har man den lären theil.
Wann aber tertzen vnd quarten verhanden / ſo multiplicier den
Circkelſchnidts / flaͤchen / differentz darmit / vnd addiers zu der flächen
der erſten und anderen ferupeln, Zum —4 were das 2
8
m
Das viersehend Buch Geometriz,
‚39. )deſſen ſpont diameter 7(82.der boden diameter 6 y 5.
ne 10(: —— Faſſes jnnhalt 415(958 — du
— iſt Wein gezapfft / ſo ſoß die Viſier· ruten durch das fpontloch
auff den boden / ſo benetzt der Wein die Ruͤten al6992 5. Wwelches
die ſpontvoͤlle / vnd ſen alſo in die rechnung:
Vom ſpont diameter 7(22
fubtrahier don boden diameter | 653
von der different nis | ı(29
. den viertheil (3225
den fubrrahter von der ſpontvoͤlle " 4(69927
fo reſtiert die mittel voͤlle J 437675
die dividier durch den mittel diameter 720175
fo kom̃e der Tafel pfeil / der gibt (61
in der Circkelſchnidts Tafeldie (63892 —
multiplicier durch des Faß jnnhalt 4150958
fo forar der volle theil / den fubrrahter 265(76388
> »
yon des Faſſes jnnhalt / ſo bleibt derlärechel 15olı9aı2
Oben der 1. diſes N. 17. iſt erwiſen / daß ber mittel diameter
su klein ſeye / vnd fo der vnderſcheid der diameter groß / ſo wird der
Tafel pfeil auch zu groß / vnd kom̃t tm jnn halt su vil / deßwe gen muß
man zum diviſor oder theiler der Cylindriſchen flaͤche
diameter nemmen / welchen man alſo
ſol ſuchen:
2
Rp |
a Se
—— nn LAã na — —— —
Von der Viſier.·Raͤten. 300
Zum ſpont diameters flaͤche / a48628932647
addier des boden diameters fiaͤche / 33(490084545
berfumma 5 81(519067192
helffte iſt die eorrigierte flaͤche / darvon ſubtrahier 400759533596
des mittel diameters 70175. ſein flaͤche 40(432788151
vom reſt oder differentz (326745445
ein drittheil addier zur mittel fläche (108915148
fo kom̃t die Cylindriſch flaͤche / darauß 4054703 290
die auadratmurgelimuleiplicier _ _ : 6(36723
mit des Heinften Circkelflaͤch ı( diameter ı(12838
pn u
fo tomt der diameter der Eylindrifchen flaͤche / damit 7.1845 5°
dividier Die mittel voͤlle / | 437675
fofomeder Tafel pfeil ’ (60918
fo geben (So.die fläche in der Circkelſchnidts Tafel (62647
die differentz darneben 1(24482
multiplicier mit den vbrigen (00918
das product addier zur obgefundner Tafelflaͤche (01142
die ſumma multipliciee (63789
durch des Faß gantzen jnnhalt / 4 $(958 |
ſo kom̃t der volle theil / den nit 2656339
von des Faß jnnhalt / ſo bleibe für den laͤren cheil 150(610
Vnd iſt der vnderſcheid nicht gar ein halber kopff / daß ber vol⸗
theil im erſten theil zuvil kommen iſt / vnd fü die diameter nicht
fehr vngleich / ſo mag der erſte waͤg alß der leichte ohne
nachtheil gebraucht werben. Ä
a *
ı$ =
i Pe
N N
—WM E
= — Hbhb ij | Sie
—*
Das vier zehend Blick Geometriz,
Circkelſchnitz Tafdl.
biffexeng | pfeil] fläche ||dUfereug ||pfeiäiflächen
1 1@ll Gotoz 135 zu192]|1(21849 ——AI
69 735956 1(16 723
2| 47711 (ay6s6hl;6 |32410||1(22592 | |yo 174768 |jnlı6ı2
3) _874]j (46736|137 33636 (23278
ra mar
71178930 1(14948
al 134211 (sa7sollzs 34869 |1(23908 72 177039 ||1(13700
el 186911 (58032139 [36108]10(24482||73 178216 jjılı2381
_6|_ 24501] (62759||40 137383 la (25002 - 49340 ||1(10988
7| 30771] (67057 } 141 38603 |n(as468| |7; 80450 |jıle9sı7
3) 37481) (71003 |\43 139858 1(24878] |76 82544 1,1(07965
a 444811. (74647 43_ 4116 1(36243 82643 |]1(0633:
g204j| (78043 Ist 42379||1(26549 83688 ||1Co4Sıı
9851] (81230 43644 111(26804 84734 |11(02797
85762 |\1(00888
8677: |] (988
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8
79.
so
5
12) 6797|j (84209 "2 44913||1(27009
13 7639 (87012| 147 461835 (27162 | |8ı
141 Ssoo|h (896651148 1474341|1(27264] [82 |87760 || (96752
15] 9498 9406| (92153 gi 48737 —— —— 88727 | (gasıs
16l10324]| (945151150 Igooco|lı(2731% 1,84. [89672 (3215
17111273 (6752 lei g1273111(27264] | 85. [905 94- || (8965:
18] 2240 _(98874+ 52 52546 ı(27162||86 [91491 (87012
9236ı }1 (84205
[ 13229 1(00888 53 23817 ı(27009| tz C
93203 $ı12;0
201142381l1(02797 1134 |55087 el; 2
94015 78083
21132661 |1(0461 1 ss s63:6]j1(26549
1(06332 76 126243 94796 || (7465
223 16312 90
ı(2<878| |9ı
1(25468 | |92
1(235002| 193
(244821194
1(23908 19%_
95342 |} (7,003
96252 II (670:
96923 | (6275:
1(07966 i <8883
(09517 ss 60143
1(10988 15? 9 161397
(12381 61647
ı(13709 6 63892
1014948 Pr Sr
ı(16127||63 166364
64 67599
1G8a86 65 68808
(19268 — 700 911(2018:
1(20138 712320|11(29268
— B 12413 all
25
(5803
98331 | (42759
1(23278||96 {98658 || (46716
(2492| 97 199126 || (3968€
(218491198 [pgsa3 || (30802
(17238
alle 55 (1691%
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En⸗
—⸗11 Vena
Von ber Difier-Raun 307
| Erinnermg.
Wann die ſpontvoͤlle/ oder fpontläre/derfpont und boden dia-
meter differeng halber theil gleich iſt / daß alßdann der Weinoder
ſpont laͤr / bloͤßlich · den boden erreichen kan / daß man alßdann das
groſſe theil / es ſeye gleich ſponevoͤlle oder laͤre / viſſeren muß / daſſelbig
dann vom innhalt des gantzen Faſſes abziehen / ſo bleibt der ander
theil / weiches auch beſchehen muß / wann die ſpontvoͤlle oder laͤre
kleiner iſt dann gedachter halbe differentz der diameter / da der Wein
den boden nicht erreichen mag / ſo die ſpontlare der groͤſſer theil iſt /
noch die ſpontlaͤre / wann die ſpontvoͤlle det groͤſſer theil ſeyn wird.
VvIIJ. |
Vom brauch der Treit Ruͤten.
S* Treit wird behalten in kaͤſten / ſtanden / oder an ſchutten
auff den kornboͤden / oder auff einem hauffen / daſſelbige wird
gemaͤſſen durch ein viertheil N. 41. oder Durch ein getheilte Treit⸗
Ruͤten. | ES nr
7 Wiedas Treit in kaſten su maͤſſen.
Es were im kaſten / wie N.42. von rechten wincklen und gra⸗
den ſeiten / ſo miß mit der Treit⸗Ruͤten die laͤnge / breite vnd hoͤche /
fo man alle drey durch einander multipliciert / ſo bekõt man den
waaren jnnhalt. t
2. Wie das Treit in einer ſtanden zu maͤſſen.
Es were ein ſtanden / wie N.43. nun mit der Treit · Ruͤten den
oberen vnd vnderen diameter, ſelbe flaͤchen vergleich / oder ſuch jhre
Cylindriſche flächen / die gefunden Cylindriſch fläche multipliciert n. 13. der
man mit der höche des Treits / ſo formrder waare jnnhalt. 1.p-dP.
Erinnerung.
Dieweil der_ under diamerer nicht su maͤſſen / mißt manden
vmbkreiß / was kom̃t / darvon siehe man die Dicke der taufflen / vnd
der reiff / ſo behalt man den vmblauff des boden / deſſelben flächen ad⸗
dier zu der oberen flaͤche / vnd ſuch die Cylindriſch flaͤche / die multi⸗
plicier durch des Treits hoͤche / ſo hat man / wie vil Treit in der ſtan⸗
den ſeye. Hohh u 3. Wie
n. 2. der
29.P- dig .
Das vierschend Buͤch Geometriz,
3. Wie mit der Corperlichen Rüten das Treit in
den ſtanden zu maͤſſen.
So man ein Coͤrperliche Ruͤten zum Korn oder Treit beyhan⸗
den hette / ſo ſtoßt man ſie vbereck in die ſtanden / ſo zeigt Die zwerch⸗
linten gleich anff der Ruͤten den jnnhalt des Treits.
4. Wie das Treit auff einem Kornboden oder
Schuͤtte zu maͤſſen. |
Der Treit hauffen ſey auffgeſchuͤte wie N. 44.0nd fo gleich hoch
gemacht alß moͤglich / vnd fo «8 feyn kan rechtwincklet / ſo macht es
den mittlern hauffen an fich ſelbſten / dann multiplicter Die länge,
breite vnd hoͤche / welche mis der Treir-Rüten gemäffen/durdh cin
n.4.der 2, andern / ſo before man den mirrleren hauffen dann miß die vier
p-diß. iſmaten E, T doch iſt der Prifinaren beyde end rechtwincklete
n.15.p-3. Fiangel / darums fo muldplicier ein ſeiten init der anderen keiffie
diß. ben jnnhalt mic der länge der priſmen / letſtuch find noch vier pyra-
n.12.p. 1, mis Fsderen innhalt ſuch T. Letſtlich addier allee sufamenifotomz
diß . wievil viertheil Treit es ſeye / ſo die Ruͤten auff wierrheil iſt gericht /
den jnnhalt durch · · dividiert / ſo lommen wievii muͤtt e⸗ ſeye.
3. Wie das Treit auff einem hauffen
zu maͤſſen.
So das Treit auffein hauffen geſchuet wird / ſo formierts ein
Conus oder kegel / deſſen jnnhalt ſuch mir der Treit-Küreniden jnn⸗
n.rz3.der halt . Noch andere exempel kan einer jhme felbſten fuͤrne mmen /
1. pdiß. ſo er alle exetnpel in maͤffung der Coͤrper wol verſtanden hat,
IX.
Dom brauch der Gwicht Ruͤten.
Ach deme wir den brauch der Feld Wein⸗vnd Treit⸗Ruͤten
ertlaͤrt / it hiernach vberig von der Gwicht Ruͤren auff das
kuͤrtzeſt zu handlen. |
1. Wie der gradfittigen Corper ihr gwiche
sucrfahren. -
In subereltungder Ruͤten iſt
(don gemeldt / daß die metall von
vn⸗
+
’
| Von der Viſier⸗Ruͤten. 308
vngleichem gwicht / darumb ein jedes metall fein ſonderbare Ruͤten
erforderet / ſo wollen wir das metall der Stucken für vns nemmen /
vnd es kaͤme fuͤr zu maͤſſen ein rechtwincklet Stuck mit parallel
flächen beſchloſſen / wie N.46. ſo nim mit dem langen Gwichtmaͤß
dio lange / breite und hoͤche / und multipliciers mit einanderen / ſo nI.Der 2.
wird das product das gwicht anzeigen. p-diß.
3. Wieder Cylindriſchen Esrper Gwicht
zu erfahren. |
Bann ein Eylinder von metall / wie N.47. fürfämerfo ſuche
Man feines bodens Cylindriſche fläche mit dem ſlachen Gwichtmaͤß /
daſſelbig multiplicier mir der länge des Coͤrpers / im theilen des lan⸗
sen Gwichtmaͤßß / ſo gibt das product das Gwicht.
3. Wie das Gwicht der Conus oder kegel
zu finden.
Es wers ein kegel / wie N.48. nim̃ mit der Rachen Gwichtmaͤ
der baſen ihre flaͤche / dieſelbig multiplicier durch ein drittheil der h
che des fegeisii fo zeigt das product das gwicht an. n. 13. der
4. Wie mandas Gwicht eines groſſen Sue . "PR
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Es were ein Stuck / wie N.49. welches fein Cylinder / ſonder
vilmehr ein koͤpffter kegel iſt / hier nime man den vmbkreiß vornen
vber der halß / vnd hinden vber daß zuͤndloch / darmit fo fuch die Cy⸗
lindriſche verglichne gwichtflaͤche / die muitiplicier mic der länge des
Stucks des langen Gwichtmaͤß / das product behalt / dann fuch die
gwichtflaͤche des lauffs / die multiplicier mic der langen Gwichtmaͤß
der laͤnge des lauffs / das product ſubtrahier von oben behaltnem
product / der reſt iſt das gwicht des glatten guſſes / zu deme kom̃t noch
Die zierd / alß die frieſen / delphin vnd ſchiltzapffen / denen gibe man
meinlich ein fuͤnfftheil des glatguß / oder man vifiert jedes ſtuck
onderbar / vnd addierts zu dem glatguß / ſo bekõt man Das gwicht
des gantzen Stucks.
Erinnerung.
Auß obgefundnem vmbtreiß muß man den —
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Das viersehend Buͤch Geometrix, £
beſſelben gewichtflaͤche fuchen / es were dann die Flachruͤten / auff die
heil des vmbkreiß gericht / ſo finde man gleich auff der Ruͤten die
gewichtflaͤchen. | —
5. Das Gwicht der Kiglen su haben
Es were die Kugel N. 70. ſo hat man nichts anders zu thun /
dann man nim̃t den diameter oder achs mit dem Coͤrperlichen
Gwichtmaͤß / ſo zu ſolchem metall dienet / ſo zeigt gleich das gwicht /
was die Kugel wigt: hiemit fo wollen wir es beſchlieſſen / vnd Gott
gr allmaͤchtigen / von dem alles gussallein herkom̃t / allein die ehr
geben.
Nota. Weilen vor vollendung der zwey letſten Buͤchern vn⸗
ſer Formenſchneider tods verfahren / haben die Figuren nicht / wie
in den 12. erſten Büchern geſchehen / an ihrem orr koͤnnen geſetzt
werden / ſonder ſind hernach ins kupffer gebracht / hinden angetruckt /
und in dem Text oder Beſchreibung durch Numeren und
Zifferen angewiſen worden.
ENDE
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