Geometria metrica e trigonometria

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MANUALI HOEPLI

GEOMETRIA METRICA

E TRIGONOMETRIA

<^ER

Prof, di Àlgebra e Geometria analitica nella R. Università

di Bologna.

CON 47 INCISIONI NEL TESTO

QUARTA EDIZIONE

ULRICO HOEPLI

EDITORE-LIBRAIO VULLA. REAL CASA
MILANO

1895

PROPRIETÀ LETTERARIA.

MILANO- TIR LOMBARDI

7. fiOfii OSCURI 7.

V, INDICE

C'

'XI

i Introduzione Pag. l

PARTE PRIMA
Geometria Pi a n a .

Capitolo I. Le, figure rettilinee.

Paragr. P.ig.

I. Misura degli angoli Il

II. Misura delle aree 13

III. Relazioni fra i vari elementi di un triangolo . 22

IV. I poligoni regolari 24

Capitolo IL Ciclometria.

V. Considerazioni sui limiti 35

VI. Misure nel cerchio S^

PARTE SEGOxNDA
Geometria Solida.

Capitolo I. Lejìgare poliedriche.

VII. Misura degli angoli diedri 47

Vili. Misura del prisma 48

IX. Misura della piramide 56

Capitolo II. / corpi rotondi.

X. Misure del cilindro e del cono 67

XI. Misure relative alla sfera 75

428069

IV Indice.

PARTE TERZA
Trigonometria.

Sezione l. Le Suasioni Qoniometriche.

Para^r. Pag.

\. Ogpretto dello Tripronomeirlo 89

IL Determinazione della posizione di un punto

mediante numeri 00

in. Definizione delle funzioni goniometriche . . 92
IV. Angoli ed archi complementari e supplementari ^
V. Variozione delle funzioni goniometrìche. . . 101
VI. Archi aventi una stessa lineo trigonometrica 106
VII. Relazioni fra le sei funzioni goniometriche . tOS
Vili. Teorema d'Addizione per le funzioni gonio-
metriche .....«.• \\2

IX. Formole per la moltiplicazione degli angoli . 119

X. Formole per la bisezione degli angoli ... 121
XI. Cenno sulla disposizione e Tuso delle tavole

trigonometriche 125

XII. Funzioni triconometrlche di alcuni angoli . . f2S

Sezione II. La riso Iasione dei triangoli,

XIII. Relazioni fra gli elementi di un triangolo ret-

tangolo 134

XIV. Relazioni fra gli elementi di un triangolo qua-

lunque 136

XV. Risoluzione del triongoll rettangoli 142

XVI. Risoluzione del triangoli obliquongoli. ... 145

XVII. Area del triangolo 166

INTRODUZIOXK

I. Quando abbiamo sottocchio vari oggetti e
fissiamo la nostra attenzione su quelli che am-
mettono una determinata proprietà, diciamo che
essi appartengono ad una medesima specie (o
sono omogenei) rispetto alla proprietà che si è
presa in considerazione e fatta astrazione da tutte
le altre che i detti oggetti possono ammettere; di-
ciamo pure che gli oggetti cui quella proprietà
non appartiene sono eterogenei coi primi. Se la
proprietà presa in esame é suscettibile di più e di
meno, considerandola astrattamente essa si dirà
una grandezza; se poi, date due grandezze di
quella specie, è possibile definire per esse sia teo-
ricamente, sia sperimentalmente Veguaglianza e
V addizione; e se una di esse si può ripetere tante
volte da raggiungere o superare Taltra, esse si
diranno misurabili. Prima di definire in naodo
generale che cosa sia il misurare, ci sembra
opportuno chiarirne il concetto con un esempio.
Dati diversi oggetti, possiamo considerare in
essi ad esclusione delle altre proprietà, quella di
essere pesanti. A questo vocabolo non vogliamo
annettere nulla più del significato volgare; di-
ciamo cioè pesante un oggetto capace di agire

PlNCHERLE. 1

Introduzione,

sulla bilancia. Questa qualità astrattamente con-
siderata verrà detta peso; ed essendo evidente-
mente suscettibile di più e di menOy diremo che
il peso é una grandezza, ^eguaglianza di due pesi
si definirà sperimentalmente chiamando egual-
mente pesanti due oggetti che posti nei due piatti
della bilancia si fanno equilibrio; e se due og-
getti pesanti B e C fanno insieme equilibrio al-
Toggetto pesante A, si dirà che il peso di A è la
somma dei pesi di J5 e di C, e si scriverà:

Peso di A =: Peso di JB -h Peso di C. (i)

Ciò posto, dati due oggetti pesanti A ed £" e
supposto di poter fare i confronti con istrumenti
teoricamente perfetti, può darsi :

a) che il peso di A faccia equilibrio al peso
di 2, di 3, ... o di n oggetti che pesano come £",
e scriveremo

Peso di Az=2,3,... n volte il peso di E (2)

o più brevemente

A=:2E,3E,.,. n E;

b) che m oggetti che pesano come A fac-
ciano equilibrio ad n oggetti che pesano come
E, ossia

m volte il peso di A=:/i volte il peso di E (3)

o più brevemente

mArznE;

e) o finalmente che non esistano due nu-
meri interi soddisfacenti all'eguaglianza prece-

Inirodtmone. 3

dente; in tale caso però si potranno sempre tro-
vare due serie indefinite di numeri interi crescenti

Wl|j ^2» ^^3) • • • ®^ ^1) ^2> ^3? • • •

tali che

I m^A':>n<^Ez> (m, — 1) Ay

■1 mg A > ng £" > (mg — 1) A,

'Ws A > ng Zi > (mg — 1) A,

(4)

j Nel caso a) si dirà che il peso A è misurato

I dal numero intero 2, 3,... n rispetto airwmtó di

peso E; nel secondo caso 6) che il peso A è mi-

1 n

surato dal numero frazionario — rispetto alla

m

stessa unità; nel terzo caso e) si dirà che la mi-
sura del peso A rispetto all'unità E è il numero in-
I commensurabile definito dalla successione di fra-

. ^i % ^Z /i\

. zioni — > — j —^"'K)'

I m^ m, m^

I Le considerazioni precedenti si possono ripe-

tere per due grandezze omogenee di qualunque
specie, purché una di esse si possa ripetere tante
i volte da raggiungere o superare Tal tra ; infatti

I tali considerazioni fondansi unicamente sulle

! eguaglianze (1) a (3); e stabilite queste, le conse-

(1) Supponiamo nota al lettore la teoria dei numeri
incommensurabili : si può consultare in proposito il
Capitolo XII del Trattato d'Algebra Elementare del
prof. C. Arzelà (Firenze, Lemonnier, 1880) o il Gap. II
del mio. Manuale d'Analisi Algebrica (Milano, Hoepli,
1893).

Introduzione.

guonze che se ne deducono divengono indipen-
denti dalla specie della grandezza considerata.
Ai pesi potremmo dunque sostituire, per es., seg-
menti di retta od angoli, grandezze perle quali
valgono le proprietà indicate.

Definizione 1. Se per le grandezze Ay iy,.. di una
data specie si è potuto definire in qualunque modo Vegua-
fjUansa e V addizione^ e se una qualunque di esse A si
può ripetere tante volte da raggiungere o superare un'al-
tra B'y se poi si sceglie una grandezza K della specie
come unità, qualunque altra delle grandezze, per esempio
la -4, si potrà confrontare colla E. Se dal confronto ri-
sulta :

od

od infine

AzznKA^) («)

mA— /j Ti, {b)

mi A > ni /? > (m 1 — 1 ) A
m2A>niE>(m2 — \)A 5 (^)

m^A>n2E> (ms - 1)A

dove mi, mg, m^... ni, ng, ns... sono numeri interi cre-
scenti, si dirà rispettivamente :

a) che, rispetto all'unità iT, la grandezza A è misu-
rata dal numero intero n ;

b) che essa è misurata dal numero frazionario — ;

m*

e) che essa è misurata dal numero incommensura-
bile a definito come limite della successione di frazioni

ni 112 ns

mi * m2 ' ma * ' * *

(1) CoUe minuscole m, n affette o no da indici, inten-
deremo sempre numeri interi.

Introduzione. 5

IL La misura come è stata testé definita non
differisce dal rapporto fra A ed E, quale l'abbiamo
definito nel Manuale di Geometria pura, § XL
Nel caso che la misura sia in un numero intero
o frazionario, l'identità dei due concetti risulta
evidente, nel caso che la misura sia un numero
incommensurabile a, questo numero soddisfa an-
cora alla definizione data di rapporto, poiché se-
condo che m E sarà maggiore o minore di n A,

anche — sarà maggiore o minore di a.
ti

IIL Siano Aq B due grandezze omogenee ed

a, b i numeri che le misurano rispetto all'unità

E; se prendiamo di A e B le molteplici mA ed

n B, evidentemente queste avranno per misura i

numeri m a ed n 6. Se ora fra le molteplici delle

grandezze A e B passa la relazione

m A :> nB

si avrà anche per i numeri che le misurano

m a> nb

onde

a n .
b m

similmente se per le grandezze si avesse

m A "^ n B

ne risulterebbe per i numeri

ma^ nb,

6 Introduzione.

onde

a n

b m
talché il quoziente — soddisfa alle condizioni

poste nel § XI del Manuale di Geometria pura
corno definizione del rapporto delle grandezze
A e B. Si può dunque enunciare:

Definizione 2. Misura di una grandezza è il rapporto
di questa alla sua unità.

Osservazione 1. Il rapporto di due grandezze coin-
cide col numero che misura la prima di esse quando la
seconda si prende per unità.

2. Il rapporto di due grandezze coincide col quo-
ziente dei numeri che esprimono la misura delle due
grandezze misurate con una stessa unità.

L*unità delle grandezze d*una determinata spe-
cie si può scegliere arbitrariamente; per gli usi
pratici, si cerca che essa sia comunemente ac-
cettata e facilmente ritrovabile; nelle ricerche
teoriche, pur ricordandone Tarbitrarietà, essa si
mantiene ordinariamente invariabile in tutto il
corso d* una data questione.

IV. In ciò che segue e senza che sia neces-
sario avvertirlo ulteriormente sostituiremo alle
grandezze concrete i numeri che le misurano;
cosi con segmento intenderemo il numero che
misura il segmento rettilineo rispetto ad una
convenuta unità lineare, con angolo il numero
che misura V angolo rispetto ad una convenuta
unità angolare, con area il numero che misura

Introduzione,

una superficie, e cosi via. Mediante questa con-
venzione ci potremo servire delle locuzioni ab-
breviate di prodotto, quoziente^ ecc., di linee,
angoli, aree, intendendo con ciò il prodotto, quo-
ziente, ecc., dei numeri che le misurano; in par-
ticolare se colle stesse lettere A, B denotiamo ad
un tempo le grandezze ed i numeri che le misu-
rano, al rapporto A : B delle grandezze si potrà

sostituire il quoziente -— dei numeri. La sostitu-

B

zione dei numeri alle grandezze ci pone in

grado di tradurre vari teoremi della geometria

in relazioni numeriche e di applicare quindi i

procedimenti dell'aritmetica o delPalgebra alle

questioni geometriche.

J

T

1

PARTE PRIMA
GEOMETRIA PIANA

f

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^

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I

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CAPITOLO PRIMO

Le figure rettilinee.

§ I. Misura degli angoli.

Teorema I. In uno stesso cerchio od in due cerciii

eguali gli angoli al centro AOB, BOC stanno fra loro
come gli archi su cui insistono.

Preso infetti Tarco B A' molteplice dì B A se-
condo qualunque numero, 3 per esempio, e Tarco
BC molteplice di jB C secondo qualunque altro
numero, 2 per esempio, anche gli angoli A'OBy
COB saranno rispettivamente molteplici di AOB,

12 Geometria piana.

COB secondo i numeri 3 e 2 (*). Ora secondo che
BA^ é maggiore di BC, o eguale, o minore, anche
BOA' sarà corrispondentemente maggiore di
BOC, o eguale, o minore e quindi (*) si potrà
scrivere la proporzione

BOA : BOC= arco AB : arco BC,

e. d. d.

Osservazione. Si può prendere per unità di
angolo Tangolo retto; se allora, come unità d'arco,
si assume quell'arco che corrisponde all'angolo
al centro retto, cioè il quarto di circonferenza o
quadrante, in forza del teorema precedente il nu-
mero che dà la misura dell'angolo dà pure
la misura dell'arco intercetto sopra una circon-
ferenza qualunque avente il centro nel vertice
dell'angolo. Nella pratica si suole considerare la
circonferenza (qualunque sia il suo raggio) come
divisa in 360 parti eguali, dette gradi; ogni grado
si suddivide in 60 minuti primi, ogni minuto
primo in 60 minuti secondi. Se si prende per
unità d'angolo l'angolo al centro che insiste sul-
l'arco di un grado, un arco e l'angolo al centro
che insiste su di esso saranno misurati dallo
stesso numero di gradi, minuti e secondi. Per
es., 90 gradi (che si scrive 90°) esprimerà tanto
la misura del quadrante quanto dell'angolo retto.

(i) Geometria pura» § X, teor. l. D'ora innanzi ricliìa-
meremo il Manuale di Geometria pura colle iniziali
G. P. poste davanti al numero del paragrafo.

(2) G. P. § XI, def. 2.

Le figure rettUinee, 18

L'osservazione precedente si enuncia talvolta
in modo spedito, ma poco preciso, dicendo:

A) r angolo al centro ha per misura l'arco
su cui insiste.

Usando lo stesso linguaggio, e ricordando le
proposizioni 2 e 5 del § X della Geometria pura,
si possono pure enunciare 1 seguenti teoremi:

B) L'angolo alla circonferenza ha per misura
la metà dell'arco su cui insiste.

O L'angolo compreso fra una tangente ed
una corda ha per misura la metà dell'arco in-
terno sotteso dalla corda.

§ II. Misura delle Aree.

Teorema 1. 11 rapporto di due rettangoli ABCD, AEFG
è uguale al rapporto delle loro basi moltiplicato per il
rapporto delle altezze.

Si dispongano i rettangoli in modo che abbiano
un angolo A comune, e si prolunghi GO in if;
i rettangoli AEFG, AGBH avendo la stessa al-
tezza stanno fra loro come le basi (*) e si ha

AGBH: AEFG = AB:AE

vcìQ a questi rapporti di grandezze si possono, per
quanto si è detto neWIniroduzioney sostituire (*)
i quozienti dei numeri che le misurano rispetto

(1) G. A, 8 XII, teor. 1, coroll.

(2) Introd. Ili e IV.

14

Geometria piana.

ad unita convenute; onde si potrà scrivere:

AGBH_AB
AEFG'~ AE

(1)

intendendo che quest'ultima è una relazione /ra
numeri.
Similmente i rettangoli AGBH^ ABCD avendo

la stessa altezza AB danno la relazione (fra
numeri) :

ABCD AD

AGBH AG

(2)

e moltiplicando membro a membro le egua-
glianze (1) e (2)

ABCD AB AD

= -TT^X

AEFG A E AG

(3)

e. d. d.

Teouema 2. Il numero che misura l'area dì un ret-
tangolo è il prodotto del numero che misura In base per
il numero che misura l'altezza, supposto che l'unità di
area sia il quadrato avente per lato l'unità lineare.

Tx figure rettilinee. 15

Se infatti nella figura precedente si suppone
AE-=:zAG e si Hi AE eguale all'unità lineare;
se inoltre si conviene che il quadrato AEFG
costruito sull'unità lineare sia preso come unità
di superficie, allora

ABCD
AEFG

sarà (*) il numero che misura ABCD ed

AB AD
~AE' AG

saranno i numeri che misurano AB, AD; onde
la formola (3) del teorema precedente dimostra
la proposizione enunciata.

Osservazione I. Questo teorema si suole
enunciare nel modo seguente, meno preciso ma
più spedito:

L'area del rettangolo è misurata dal prodotto della
base per Taltezza.

Si può anche esprimere lo stesso enunciato
colla formola :

ABCD zizABx AD. ^

Se il rettangolo ha la base eguale airaltezza,
cioè se é un quadrato, AB = AD e la formola
precedente diviene

ABCD = AB
che si enuncia :

(1) Introd.^ HI e IV.

in Geometrìa pia7ia.

I/area del quadrato è misurata dalla seconda potenza
(detta perciò quadrato) del suo lato.

Osservazione II. Sostituendo a quattro seg-
menti A, B, C, D, in proporzione, i numeri che li

A C
misurano, si può dalla formola -—:=—— dedurre

colle regole dell'algebra Ax D=2BxC', ed in-
terpretando questa formola per mezzo del teo-
rema precedente, si può dire:

« Se quattro segmenti sono in proporzione, il rettan-
golo costruito sugli estremi é equivalente al rettangolo
costruito sui medi. »

E cosi:

« Se tre segmenti sono in proporzione continua, il qua-
drato costruito sulla media proporzionale è equivalente
al rettangolq degli estremi. »

III. Se a è il numero che misura l'ipotenusa
e b, e sono i numeri che misurano i due cateti
di un triangolo rettangolo, si avrà fra questi tre
numeri la relazione

«2 =: 62 -f C^.

IV. Se AB è una retta divisa in qualunque

A C B

Fìg. 3.

modo hi C ed indichiamo con a, ò, e, i numeri
che misurano rispettivamente i segmenti AB,

•V.

Le figure rettilinee. 17

A C, CJB, si ha:

onde quadrando colle regole dell'Algebra :

ma a^y 6*, c^, 6 x e esprimendo per il teorema
precedente le misure di aree, la presente formola
ci dà il teorema dimostrato direttamente nel Ma-
nuale di Geometria pura (§ VI, teor. 9):

« Se una retta è divisa in due parti qualunque, il qua-
drato costruito su tutta la retta è equivalente alla somma
dei quadrati costruiti sulle parti, più il rettangolo con-
tenuto dalle due parti. »

Anche altre analoghe formole di calcolo alge-
brico sono suscettibili di dimostrazione pura-
mente geometrica come si può vedere nel libro II
degli Elementi d'Euclide.

V. Si noti che il teorema 2 (come pure i se-
guenti) non esprime una verità assoluta, ma è
subordinato alla convenzione che ad unità di su-
perficie sia scelto il quadrato costruito suirunità
lineare. Questa convenzione che si fa pure nel
nostro Sistema Metrico legale, non è per nulla
necessaria; ma modificandola si dovrebbe modi-
ficare corrispondentemente Tenunciato del teo-
rema precedente.

Teorema 3. I/area del parallelogrammo è misurata
dal prodotto dei numeri che ne misurano la base e l'al-
tezza.

Sappiamo infatti (*) che un parallelogrammo è

(1) G. P., § VI, teor. 4.

PlNCHERLE.

18 Geometria piana.

equivalente al rettangolo che abbia eguale base
ed e<?uale altezza.

'O'

Teorema 4. L' area del triangolo è misurata dalla
metà del prodotto dei numeri che ne misurano la base
e Taltezza.

Sappiamo infatti (^) che un triangolo è la
metà del parallelogrammo avente eguale base
ed eguale altezza.

Osservazione I. Se indichiamo con S Tarea
di un triangolo, con a, ò, e i tre Iati e con a\ b', e'
le rispettive altezze, si ha

onde

1 1 1

S = -aa'::^-bb' = -ec'

r 25 ^, 25 , 25

ossia i lati di un triangolo sono inversamente
proporzionali alle altezze corrispondenti.

II. Il teorema precedente ci permette di mi-
surare Tarea di un poHgono qualsiasi, poiché
qualunque poligono (convesso o no) si può per
mezzo di diagonali ricondurre a somma o diffe-
renza di triangoli.

Teorema 5. L*area del trapezio AB CD è misurata
dalla metà del prodotto dell'altezza DH per la somma
AB-]- CD delle basi parallele.

Si divida per metà il lato CJ5 in £" e si con-
giunga DE che sega AB in G. I triangoli DCIÌ

(1) G, P., § VI, teor. 5.

V

l£ figure rettilinee.

19

BGE sono eguali come aventi CEznBEy gli an-
goli in E opposti al vertice ed ECD =: EBG come
alterni interni ; il trapezio ABCD sarà dunque

A H

equivalente al triangolo ADG, e sarà BGzzDC.
Ma (*)

ed

onde

1
area ADG-i-DHxAG

AG — AB + BG — AB -\- CD

area ABCD — ^ DH (AB + CD)

e. d. d.

OssERVAzioNK. Se EF è la retta che unisce i
punti di mezzo dei lati non paralleli, si ha ancora

area ABCD=iDHxEF;

infatti per la similitudine dei triangoli DEE, DGA
la EF è la metà della AG, ossia di AB-\-CD.

0) Teor. 1.

é

20 Geometria piana.

Teorema 6. Le aree di due poligoni simili stanno fra
loro come i quadrati dei lati omologhi.

a) Abbiansi dapprima i triangoli simili
AjBC, DEF e si abbassino le altezze omologhe
BG, EH. Si avrà (*)

ABCzn^ ACx BG, DEF- ^ DF x EH
2 2

onde

ABC AC BG

DEF DE EH

ma i triangoli ABG, DEH sono simili come

equiangoli perchè A = S per ipolesi e G ^:z H
come retti, onde

BG AB AC

EH ~^ DE ~ DF
e quindi

ABC AC AC AC

:=z^=r=LX

DEF~~DF DE" — «

DF

(1) Teor. 4

Le figure rettilinee. 21

b) Abbiansi ora due polìgoni simili ABCDE,
abcde; essi si possono scomporre in eguale nu-

mero di triangoli simili Tei, Te i\ V e f (*).
Per quanto si é dimostrato dianzi

T

2

AB

T

t

~ 2'

t'

BC T" CD

ab bc ed

ma per ipotesi

AB BC CD

onde

ab

be ed

T T

t ~" f

T" AB

f 2>

ab

e poiché in una serie di rapporti eguali la somma
degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti
come uno degli antecedenti al suo conseguente O,

(1) G P., § XII, teor. 5.

(2) V. Algebra Elementare neUa raccolta dei Manuali
Ho epa, pag. 68.

22

Geometrìa piana.

verrà

ossia

T+V-\-l

•^ir

r I 4'f

t-\-V-\-i

AB

ah

ABCDE AB

abcde

ab

e. d. d.

§ III. Relazioni
fra gli Elementi di un Triangolo.

Definizione. Projezione di un segmento rettilineo AB
sopra una retta è la porzione di questa retta intercetta
fra le perpendicolari abbassate ad essa dagli estremi A
e /)• del segmento.

Teorema 1. In un triangolo ABC il quadrato di un lato

Fig. 7.

BC opposto ad un angolo acuto A è uguale alla somma
dei quadrati degli altri due lati AB^ AC, meno il doppio
prodotto di uno di questi lati AB per la proiezione AH
dell'altro su di esso.

Nel triangolo CBH si ha per il teorema di

Le figure rettilinee.

23

Pitasfora

CB — HB-\-CH

(1)

ma nel triangolo CHA si ha per lo stesso teo-
renna

2 2 2

(2)

CH—AC—AH

ed essendo HB = AB — AH, viene quadrando (*)

HBz::zAB-\-AH''2ABxAH\

(3)

e sostituendo per HB, CH i loro valori (3) e (2)
nella (1) e riducendo :

CB=: AC+ AB -^2 AB X AH,

e. d. d.

Teorema 2. In un triangolo ABC ottusangolo il qua-
drato del lato opposto all'angolo ottuso A è uguale alla

Fig. 8.

somma dei quadrati degli altri due lati Atì, AC, più il
doppio prodotto di uno di questi lati AB per la proie-
zione AH dell'altro su di esso.

(1) § li, teor. 2, osservaz. IV,

24 Geomelna piana.

Dal triangolo rettangolo HBC si ha

CB = HB-\- CH, (1)

ma dal triangolo rettangolo CAH,

CH—AC—AH (2)

ed essendo HBz= AH-{-AB, viene (*)

HB = AH-i-AB + 2AHxAB (3)

onde sostituendo nella (1) ad HB e CH ì loro
valori (3) e (2) e riducendo

CB = AB + AC-i- 2 AFI x AB
e. d. d.

§ IV. I Poligoni regolari.

Definizione 1. Un poligono equiangolo ed equilatero
si dice regolare.

Per esenapio sono poligoni regolari il triangolo
equilatero ed il quadrato.

Teokema 1. Ogni poligono regolare ammette un cer-
chio circoscritto ed un cerchio inscritto (*) fra loro con-
centrici.

a) Sia il poligono regolare ABCDE (fìg. 9):

si seghino per metà gli angoli B e C e sia O il
punto d'incontro delle bisettrici; si congiunga
OA, OD, OE.

(1) G. P., § IX, defln. 2^8.

I j j j 3 ^ — —ata—iw i mi ' m m — t u ■ - ^««

I^ figure reitilinee.

25

1 triangoli DOC^ BOC avenxio CO comune
CD:=zBC per ipotesi, e BCO=: OCD per costru-
zione, sono eguali (*) e sarà CDO =z CBO ; ma

Fiff. 9.

CBO é la metà di ABC angolo del poligono re-
golare ed eguale a CDE, dunque CDO sarà la

metà di CDE ed OD sarà la bisettrice dell'an-
golo in D. Similmente si dimostrerebbe che tutte
le rette che giungono in O dai vertici del poli-
gono ne bisecano gli angoli. Essendo pertanto

BAO=:ABO=CBO:=BCO = ,..

come metà d'angoli eguali, ne segue che i trian-
goli ABO, BCO, CDOy.. sono isosceli f) e

(1) G. P.y § II, tpor. 1.

(2) G. P., § II, teor. 4.

26 Geometria piana.

e quindi il cerchio di centro O e di raggio OA
passa per tutti i vertici, ossia è circoscritto al
poligono.

h) Da O si abbassino le perpendicolari OH,
OKy OLy„ ai lati del poligono e si osservi che
esse divideranno le corde AB^ BC, CD,... per
metà (*). I triangoli BOH, BOK avendo BO co-
mune, OBH^^OBK come si è dimostrato pre-
cedentemente, ed HzizK come retti sono eguali
e sarà OHz=OK; similmente si dimostrerebbe
OKzzzOL, ecc., e quindi il cerchio di centro O
e di raggio OH sarà tangente a tutti i iati (cui
le OH, OKy... sono perpendicolari) nel loro punto
di mezzo, e sarà inscritto al poligono.

Definizione 2. 11 centro comune dei due cerchi in-
scritto e circoscritto ad un poligono regolare, dicesi
centro del poligono; il raggio del cerchio circoscritto
dicesì raggio ed il raggio del cerchio inscritto dicesi
apotema del polìgono regolare.

Teorema 2. Se una circonferenza è divisa in n archi
eguali dagli n punti A, B, C, £>..., congiungendo i punti
di divisione consecutivi si forma un poligono regolnre
inscritto nel cerchio, e conducendo nel punti di divi-
sione le tangenti fino ai loro più prossimi incontri si
forma un poligono regolare circoscritto al cerchio.

a) Il poligono inscritto ABCDEF è rego-
lare : infatti i lati AB, BC, CD,... sono eguali
come corde corrispondenti ad archi eguali O

(1) G. P., § VII, teor. 2.

(2) G. P.y § X, teor. 1.

Le figure rettilinee.

27

cioè il poligono è equilatero; e gli angoli

FAB, ABCy..
essendo angoli alla circonferenza che insistono

N. A

su archi eguali sono eguali (^), talché il poligono
è equiangolo.

6) Il poligono circoscritto GHKL.., è pure
regolare. Infatti gli angoli

naP,

NAF, NFA, GAS, GBA, HBCy.,

sono tutti eguali come angoli che sono forniati
ciascuno da una tangente ed una corda e che
comprendono archi eguali (^)\ adunque i trian-
goli NAF^ ABG, HBCy.. avendo eguali basi ed
eguali gli angoli alle basi sono isosceli ed eguali,

(1) § I, osservaz. B).

(2) § I, osservaz. C).

28

Geometria piana.

pertanto FNA = AGB = BHC:= ... ed il polìgono
è equiangolo; di più

NF=i AN—AG — GB — ...

ossia il poligono è equilatero, e. d. d.

Osservazione I. Da questa proposizione ri-
sulla che il problema di inscrivere o circoscri-
vere il poligono regolare di n lati in una data
circonferenza coincide col problema della divi-
sione della circonferenza in n parti eguali.

II. Poiché sappiamo dividere un dato arco
per metà (*), se abbiamo una circonferenza di-
visa in n parti eguali, sapremo dividerla in 2 n,
e quindi in 4 n, in 8 n,... parti eguali : ossia sa-
pendo inscrivere (o circoscrivere) in un cerchio
il poligono regolare di n lati se ne potranno
ottenere i poligoni regolari inscritti e circoscritti
di 2 n, 4 n, 8 n,,.. lati.

Fig. ti.
III. Dato il lato ABz=.a del poligono rego-

(1) G. A, § X, teor. 1, coroU.

Le figure rettilinee. 20

lare di n lati inscritto nel cerchio di raggio dato
/?, si può calcolare il lato AC=a? del poligono
regolare inscritto di 2 n lati. Unendo infatti OC,
questa retta risulterà perpendicolare ad AB e la
dividerà per metà (*), onde

.40=zAP+P0

ossia

da cui

a«

B} = -+ PO

4

1/

PO

4

ma

cp = co

1/--4

e dal triangolo ACP

AC:=AP+CP;
sostituendo ad AP, CP ì loro valori e riducendo

ce

= 1/2r{r-]/h^-^J

Questa formola permette di calcolare successi-
vamente i lati dei poligoni regolari di 2n, 4 n,
8n,... lati inscritti in un dato cerchio quando si
conosca il lato del poligono inscritto di n lati.

(») G. P., § X, ibid.

30

Geometria piana.

Teoiiema 3. a) Due poligoni regolari ABCD..., A' B'
C D'...^ di eguol numero n di loti sono simili;

h) i loro perimetri sono fra loro come i raggi OBy
O'R' o come le npoteme OM, O' M' ;

r) le loro aree sono fra loro come i quadrati dei
roggi o delle apoteme.

BMC

n tf M' C'

A'

/

.D'

0»

Fig. 12.

a) I due poligoni sono equiangoli. Infatti
la somma degli angoli interni in un poligono con-
vesso di n lati é data da 2n — 4 angoli retti; ma
se il poligono è regolare, essendo gli n angoli

, 2n--4
eguali, ognuno di essi vale d'angolo retto.

Di più i due poligoni hanno i lati proporzionali,
infatti i rapporti

AB:A'B\ BCiB'C,

sono eguali come aventi eguali antecedenti ed
ogufìli conseguenti. 1 poligoni sono dunque simili.

b) Si ha evidentemente

nAB:nA'B' = AB:A'B'

cioè i perimeiri dei due poligoni stanno fra loro
come i lati; ma i triangoli MOBy M^OB' sono

Le figure rettilinee, 31

simili come aventi M-z=:M^ perché retti ed

come metà (*) di angoli eguali, dunque

MO : M'O' — BO : B'O' = BM : B'M' ;

ma BM e B'M' essendo rispettivamente le metà
dei Iati dei due poligoni regolari, hanno lo stesso
rapporto dei lati, e per conseguenza dei perimetri:
dunque i perimetri stanno fra loro come i raggi
o come le apoteme.

e) Per il teorema 5 dei § II si ha

area ABCD... BC

area A'B'OD'

'" B'C

mn si è

trovato

BC OM

OB

B'C O'M'

~ O'B'

onde

area ABCD..,

2

OM
O'M'

2

OB

area A'B'CD'...

2

OB'

e. d. d.

Teorkma 4. I/aren di un poligono regolare è misu-
rata dalla metà del prodotto del perimetro per l'apotema.

Se si congiunge il centro del poligono con tutti
(1) Teor. 1.

32 Geometria piana.

i vertici, si formeranno tanti triangoli quanti sono
i lati; si conducano poi le altezze di questi trian-
goli che saranno le apoteme del poligono. L'area
di ogni triangolo è misurata dalla metà del pro-
dotto dell'altezza per la base, cioè dalla metà del
prodotto delFapotema per il Iato corrispondente
del poligono regolare; Tarea del poligono sarà
la somma delle aree dei triangoli, cioè la metà
del prodotto del rapo tema per la somma dei lati
o perimetro.

Consideriamo ora alcuni poligoni speciali.
I. Quadrato. — Si divide evidentemente una
circonferenza in quattro parti eguali tracciando
due diametri perpendicolari, e i}) questa costru-
zione permette di inscrivere e circoscrivere il
quadrato. Sapendo inscrivere il quadrato, in forza
del corollario del teorema 2 si può inscrivere
l'ottagono regolare, indi i poligoni di ÌQ, 32,... ed
in generale di 2"" lati.

Il lato a del quadrato essendo manifestamente
ripotenusa di un triangolo rettangolo ed isoscele,
il cui cateto è il raggio R del cerchio circo-
scritto, si avrà

az=zR\/2.

Applicando a questo valore di a la formola tro-
vata a pag. 29 (osservazione III del teorema 2)
si trova per lato a? dell'ottagono

X

=z /? [/2 — v/2.

(1) Teor. 2.

/

Le figure rettilinee.

33

II. Triangolo EQUILATERO ed Esagono. — Nella
circonferenza data di centro O si adattino a par-
tire dal punto B le corde AB, BC eguali al raggio
e si conducono per A, B, C ì diametri AD, BE,
CF: dico che la circonferenza verrà cosi divisa

Fig. 13.

in sei parti eguali. Infatti, i triangoli AOB, BOC
sono equilateri, perciò

AOB, BOC

valgono ciascuno — di angolo retto; e valgono

o

2

pure — di retto i loro opposti al vertice

«5

EOD, ÉoP:
ma gli angoli formati intorno al punto O valgono

insieme 4 retti, dunque i rimanenti AOF, COD
valgono insieme

8 4
'-3 = 3

PlNCHERLE.

3

34 Geometria piana.

di retto, ed essendo gli angoli AOF, COD eguali

2
come opposti al vertice, ognuno di essi varrà —

o

di retto. I sei angoli al centro intorno al punto O
sono dunque eguali, perciò sono eguali gli archi
su cui insistono, talché la circonferenza é divisa
nei punti A,B,C,i),£',F in sei parti eguali, e per
conseguenza nei punti A,C,£' in tre parti eguali.
Si ha cosi il modo di inscrivere e circoscrivere
ad un cerchio i poligoni regolari di 6 e 3 lati, e
quindi di 12, 24, ... 3 x 2"" lati.

Se si congiunge EC, il triangolo BCE è ret-
tangolo perché ECB è nel semicerchio, quindi

. EC-\-BC=:BE;

ora detto R il raggio, a il lato del triangolo equi-
latero,

BEz=.2R, BC-R,

onde

a=\/"3/2.

CAPITOLO II
Ciclofnetria.

§ V. Considerazioni sui limiti (^).

Abbiasi la serie dei poligoni regolari di n, 2n,
4n, . . . lati iscritti in un cerchio, e siano indi-
cati rispettivamente con

ed

a, a', a", a"', . . .

i loro perimetri e le loro aree; abbiasi pure la
serie dei poligoni regolari di egual numero di
lati circoscritti allo stesso cerchio, e siano ri-
spettivamente

p pf jytt pfff

ed

i loro perimetri e le loro aree. Applicando una
nota proposizione della Geometria pura sulle
lunghezze delle linee spezzate inviluppate ed in-

(1) V. il Manuale di Analisi Algebrica (Milano, Hoepli,
1893), Preliminari.

36 Geometria piana.

viluppanti (*) si ha evidentemente

di più, per essere Tarea a parte di a\ si avrà

pure

a < a\

Per ragioni analoghe si avrebbe

ed

A > A\

Finalmente Tarea ed il perimetro di uno qualun-
que dei poligoni inscritti essendo rispettivamente
minori dell'area e del perimetro di uno qualun-
que dei poligoni circoscritti, si potrà formare la
serie di disuguaglianze

/></>' <P" < P'" < . . . < P"' < P" <F <P

ed

a<a' <a" < a'" < . . . < A'" < A" <:A' <A,

Ma si intuisce come al crescere del numero dei
lati la differenza fra il perimetro del poligono
inscritto e del circoscritto di egual numero di lati
vada sempre diminuendo e si possa ridurre pic-
cola quanto si vuole, senza però che essa possa
mai diventare nulla; e lo stesso dicasi della dif-
ferenza delle aree. In altri termini, si intuisce re-
sistenza di una certa lunghezza Calla quale i pe-
rimetri p,p', />",... pur rimanendo sempre minori

(1) G. P., 8 IV, teor. 4, coroll. 2.

Giclometria, 37

di C, ed i perimetri P, P, P", . . . pur mantenendosi
sempre maggiori, vanno accostandosi tanto quanto
si vuole, senza mai raggiungerla esattamente. E
similmente si è condotti ad ammettere resistenza
di una certa area S alla quale le aree a, a\ a", . . .
mantenendosi sempre minori di 5, e le aree A,
A\A'\. .. mantenendosi sempre maggiori, vanno
avvicinandosi indefinitamente senza mai rag-
giungerla esattamente.

Le considerazioni che precedono possono con-
cretarsi nei seguenti enunciati :

Depiniziong 1. Data una serie indefinita di grandezze
omogenee

-Al, ilg, A3,... -4n,... (1)

se esiste una grandezza omogenea L tale che le diffe-
renze An — L {oL — Ati) possano diventare e mantenersi
col crescere di n minori di qualunque quantità asse-
gnata piccola a piacere, si dirà che la grandezza L è il
limite cui tendono le grandezze della serie (1).

Dalle cose dette risulta che i perimetri dei po-
ligoni inscritti e circoscritti di n, 2 n, 4 n, . . .
lati tendono ad un limite che è la lunghezza in-
dicata con C, e le aree dei poligoni stessi ad un
limite che è Tarea 5.

Definizione 2. Il limite cui tende il perimetro di un
poligono regolare inscritto o circoscritto in un dato cer-
chio quando si raddoppia indefinitamente il numero dei
lati si chiamerà lunghezsa della circonferenza.

3. 11 limite cui tende Tarea di un poligono regolare
inscritto o circoscritto in un dato cerchio quando si
raddoppia indefinitamente il numero dei lati si chia-
merà area del cerchio (i).

m Mentre può sembrare a prima giunta poco naturale

38 Geometria piana.

Pkincifio sui LiMiri. Se si hanno due serie di gran-
dezze

e

tendenti ai limiti L ed L\ e le grandezze corrispondenti
nelle due serie si mnntengono sempre eguali,

anche i limiti L ed // saranno eguali.

i^ VI. Misure nel Cerchio.

Teokema 1. Due circonferenze stanno fra loro come
i raggi.

Siano due circonferenze di raggi RyR' e diciamo
CfC le loro lunghezze rispettive 0); inscriviamo
in ciascuna di queste ì poligoni regolari di n, 2n,
4 n, . . . lati ed indichiamo con p, p^, p2, . . . i pe-

di definire in simile guisa la lunghezza e Tarea del cer-
cliio, grandezze il cui concetto appare intuitivo, si ri-
fletta però che è impossibile darne una definizione in
termini più semplici e che non venga a contenere impli-
citamente qualche circolo vizioso (V. Houel, h'ssai Cri-
tique sur Ics princìpes de la Geometrie Élémentaire).
Onde dare tutto il rigore alla presente teoria bisognerebbe
dimostrare che preso un segmento e piccolo ad arbitrio
si può sempre prendere r tanto grande che sia P(^ì—p(^}
< e; lo stesso per le aree; ed inoltre mostrare che il li-
mite è indipendente dal numero n di lati del poligono
da cui si parte. Ma tale complemento di dimostrazione
che d'altronde si può fare con metodi elementari (V. Fai-
FOFEK, Elementi di Geometria)^ eccederebbe i limiti im-
posti al presente Manuale, e ci basti di averlo accennato,
(i) § V. def. 2.

Ciclomeiria, 39

rimetri dei poligoni inscritti nel primo cerchio,
con />', yy'ij P's» • • • i perìmetri dei poligoni di egual
numero di lati inscritti nel secondo Si avrà (*)

ossia

p Pi Pi ^

// p\ p\ ' R

p

P' Pi P\ Pt P'2

» » ■» • •

lì FV Fi R R R*
Le due serie di quantità

P Pi Pi

— , — , — , . . .

R R R

P' P\ P\

-, — -, — -,

R' R R

hanno dunque i termini corrispondenti costan-
temente eguali, quindi per il principio sui limiti
saranno eguali anche i loro limiti che sono ri-
spettivamente (*)

c

R

e

C

R'

C

— i

onde

R R
e. d. d.

Teorema 2. II rapporto fra la lunghezza della circon-
ferenza e quella del diametro ha un valor costante.

(1) § IV, teor. 3, b.

(2) § V, defln. 2.

40 Geometria piana.

Dalla proporzione stabilita nel teorema pre-
cedente risulta

ossia, prese due circonferenze qualunque, il rap-
porto fra la lunghezza della circonferenza e
quella del diametro ha in ambedue lo stesso va-
lore; in altri termini questo rapporto si conserva
costante in ogni circonferenza.

Osservazione. I. Il rapporto costante fra la
circonferenza ed il diametro si suole indicare
colla lettera «; si é trovato che questo numero
è incommensurabile, ma si hanno metodi per
determinarlo coirapprossimazione che si vuole.
Il suo valore con un errore di meno di un die-
cimillionesimo é

7r = 3,1415926;

per le applicazioni che richiedono minore esat-
tezza si possono usare, secondo i casi, i valori

27 355

3, 14, o — > o 3, 1416, o — -:
7 113

quest'ultima frazione dà il valore di ir a meno
di un millionesimo.

II. Abbiamo trovato ——=:-, da cui

2R

C=2nR. (a)

Questa formola serve a determinare la lun-
ghezza della circonferenza, dato che sia il raggio.

Giclomelria. 41

Tkorbma 3. Le aree di due cerchi stanno fra loro
come i quadrati dei raggi.

Siano due circonferenze di raggi R^B! e diciamo
5,5' le loro aree i}). Inscriviamo in ambedue i
poligoni regolari di n, 2/i, 4n, ... Iati e diciamo
aj, a^y CLzt"* 1© ^'"Ge dei poligoni inscritti nel primo
ed a\, a'j, a'3, . . . le aree dei poligoni corrispon-
denti inscritti nel secondo cerchio. Si ha (')

a a

1

onde

a a! a.

«2

a'z

• • •

—

R^

/e'«

: >

dz'

a'2

R^ R'^ R^ R^ R^ R^
Si hanno cosi le due serie dì quantità

a ai a^

9 — ' > — j •

R^ R^ R^

ed

a' a\ a\

— , — , — ; • • •

/?'2 R^ R^

i cui termini corrispondenti si mantengono co-
stantemente eguali; perciò saranno eguali anche
i loro limiti, ossia

5 S'

R^ R

'«

e. d. d.

(1) § V, defln. 3.

(2) § IV, teor. 3, e.

42 Geometria piana.

Teokema 4. I/urea del cerchio è misurata dalla metà
del prodotto della circonferenza per il raggio.

Abbiasi un cerchio di raggio i? e se ne indichi
ancora con C la lunghezza, e con 5 l'area. Se in
questo cerchio inscriviamo i poligoni regolari di
71, 2n, 4n,... lati, abbiamo per ciascuno di essi (*)

area = — perimetro x apotema ;

quest'eguaglianza valendo per tutti i poligoni della
serie varrà anche per i limiti; ma 5 è il limite
delle aree, Cdei perimetri, R delle apoteme,onde

S=i— CR. (6)

2

Corollario. Sostituendo per C il valore dato
dalla formola (a) viene

che serve a calcolare l'area del cerchio cono-
scendone il raggio.

Problema I. Calcolare la lunghezza deirarcu di h
gradi nella circonferenza di raggio B.

Questo problema si risolve con una semplice
proporzione; infatti la circonferenza consta di
360 gradi fra loro eguali, e d'altra parte la sua
lunghezza è 'ZiiR, onde detta a? la lunghezza
dell'arco dato, si avrà :

x:2tz Rz^h: 360

(1) s IV, teor. 4.

Giclomeiria. 43

ilei cui

X — {d)

360

PiiOiJi.EMA 2. Calcolare l' area del settore circulore
(o superfìcie compresa fra due roggi) quando 1' angolo
dei due raggi sia di h gradi.

Questo problema si risolve con una propor-
zione, al pari del precedente: infatti il cerchio
si può dividere in 360 settori eguali corrispon-
denti agli angoli di 1 grado, mentre d'altra parte
l'area del cerchio è data da tt/E^; detta pertanto
» Tarea del settore dato, si avrà :

onde

s = (e)

360

OssKRVAzioNE. Termineremo questo capitolo
dando un breve cenno di uno dei metodi che si
possono tenere onde giungere a determinare un
valore approssimato del numero rr. Si osservi che
la lunghezza di una circonferenza di raggio 1 é
2 IT, e d'altra parte che questa lunghezza è com-
presa fra i. perimetri />,//./>",... dei poligoni re-
golari inscritti di n, 2 n, 4 n lati, e P, P', P",.- t^^i
poligoni circoscritti di egual numero di lati.

Se partiamo, per esempio, dai quadrati inscritto
e circoscritto, troviamo che i loro lati sono rispet-
tivamente v/ 2 e 2, onde i loro perimetri sono 4 v/ 2
e 8, ossia 2 TT é compreso fra 5, 6 ... e 8, e i? fra

44 Geometria piana.

2,8... e 4. Ma abbiamo (*) il modo di calcolare
il lato del poligono regolare inscritto di 2n lati
conoscendo il lato del poligono di n lati; inoltre
conoscendo il raggio ed il lato di un poligono re-
golare se ne calcola immediatamente Tapotema:
ed il lato del poligono regolare circoscritto stando
a quello del poligono inscritto di egual numero
di lati come il raggio sta alPapotema, si può cal-
colare il lato del poligono regolare circoscritto
di 2 71 lati. Cosi procedendo, troveremo per pe-
rimetri degli ottagoni regolari inscritto e circo-
scritto i numeri 6,08 e 6,60; onde ir sarà com-
preso fra 3,04 e 3,30.

Proseguendo nello stesso modo si potranno cal-
colare di mano in mano i lati ed i perimetri dei
poligoni regolari di 16, di 32 . . . lati, inscritti e cir-
coscritti al cerchio di raggio 1 ; ma fra i perimetri
dei poligoni inscritto e circoscritto é sempre com-
preso 2 IT, e siccome si hanno due serie di numeri
che comprendono 2 7r e vanno sempre fra loro
avvicinandosi, cosi s'intende come procedendo
nel calcolo si possa ottenere il valore di ir col-
Tapprossimazione che si vuole.

Il metodo che abbiamo accennato sarebbe pra-
ticamente di applicazione lunga elaboriosa quando
si volessero raggiungere grandi approssimazioni,
e si hanno processi assai più rapidi per calco-
lare tt; ma lo abbiamo indicato perché è teori-
camente uno dei più semplici ed elementari.

(1) § IV, teor. 2, osservaz. III.

PARTE SECONDA
GEOMETRIA SOLIDA

CAPITOLV) PRIMO
Le figure poliedriche.

§ VII. Misura degli angoli diedri.

Si è visto nella Geometria pura (§ XIX, teo-
rema 5) che due angoli diedri stanno fra loro
come gli angoli rettilinei corrispondenti. Da questa
proposizione risulta che se si prende come unità
di angolo diedro quel diedro che ha per angolo
rettilineo l'unità degli angoli piani, lo stesso nu-
mero che misura un angolo piano misurerà anche
l'angolo diedro corrispondente.

Si può scegliere come unità T angolo diedro
retto, che, come è noto, ha per rettilineo un an-
golo piano retto: in tale caso le misure degli angoli
piani o diedri si esprimono in parti di angolo
retto. Si può anche prendere come unità l'angolo
diedro che ha per angolo rettilineo Tangolo piano
di un grado e chiamarlo angolo diedro di un
grado; in tal caso un diedro e l'angolo rettilineo
corrispondente hanno per misura lo stesso nu-
mero di gradi, minuti e secondi. Ad ogni modo
la misura degli angoli diedri si riconduce, me-
diante il teorema citato, a misura di angoli piani.

48 Geometria solida.

§ Vili. Misura del Prisma.

Definizione 1. In un parallelipipedo rettangolo una
qualunque delle tre costole che concorrono nello stesso
vertice chiamasi dimensione del parallelipipedo. Un pa-
rallelipipedo rettangolo ha dunque tre dimensioni.

Due delle dimensioni si possono riguardare
come contenenti il rettangolo di base e la terza
va allora considerata come altezza. È chiaro che
si può sempre imaginare costruito il paralle-
lipipedo rettangolo avente per dimensioni tre
segmenti rettilinei arbitrariamente dati.

Definizione 2. Un parallelipipedo rettangolo che ha
le tre dimensioni eguali, dicesi cubo.

Teorema 1. Due parallelipipedi rettangoli di eguale
base stanno fra loro come le altezze.

Questo teorema è un caso particolare del teo-
rema 5, § XXI della Geometria pura»

Teorema 2. Due parallelipipedi rettangoli di eguale
altezza stanno fra loro come 1 prodotti delle altre due
dimensioni.

Siano P e P' i volumi dei due parallelipipedi
rettangoli , supposti misurati con qualsivoglia
unità di volume e siano a, 6, e le dimensioni del
primo ed a', 6', e' quelle del secondo. Si formi un
terzo parallelipipedo rettangolo P" avente per di-
mensioni a, 6', e; per il teorema precedente:

considerando P e P^' come aventi per base il
rettangolo contenuto da a, e e per altezze b e b^
rispettivamente, si avrà

pff

j '

Le figure poliedriche. 49

considerando P" e P' come aventi per base il
rettangolo contenuto da ò' e e per altezze a 8 a\

P" a

P' ■

"" a' '

moltiplicando membro

a membro le

uguaglianze

precedenti,

si ottiene

P

axb

P' ""

a'xb"

e. d. d.

,

Teorema 3. Due parallelipipedi rettang^oli stanno fra
loro come i prodotti delle tre dimensioni.

Siano P e P' i volumi dei due parallelipipedi
rettangoli ed a, ò, e ed a', 6', e' le loro dimen-
sioni rispettive. Si formi un terzo parallelipipedo
P" avente per dimensioni a, ò' e\

Considerando P q F^ che hanno la dimensione
comune a, si ha per il secondo teorema:

P bxe
P" "^ 6' X e '

considerando F q P" che hanno a comune le
dimensioni h' e e', si ha per il primo teorema :

F '^ a' '
onde, moltiplicando membro a membro:

P _ axhx e

~F^ aJxb'xd'
e. d. d.

PlNCHBRLE. 4

50 Geometria solida.

TiiOKEMA 4. 11 numero che misura iì volume di un
parallelipipedo rettangolo è il prodotte], dei numeri che
ne misurano le tre dimensioni, supposto che l'unità di
volume sia il cubo che ha per lato l'unità lineare.

Nella Formola trovata

P a b e

zr — - X — -r X

r /.' -' '

P' a' b' e

si supponga che a', b\ & abbiano eguale lun-
ghezza; di più questa lunghezza venga presa
per unità lineare: il parallelipipedo P' sarà il
cubo costruito sull'unità lineare e si convenga

P

di assumerlo come unità di volume. Allora— è

il rapporto del volume P alla sua unità, ossia la

a b e
misura (*) di P; cosi —, —, —, non sono altro che

a' ò' e'

le misure dei lati a, 6, e, e poiché si é conve-
nuto di rappresentare cogli stessi simboli le gran-
dezze e le loro misure, potremo scrivere

Pzzzaxbxe
e. d. d. .

Osservazione I. Questo teorema si suole
enunciare più brevemente:

11 volume del parallelipipedo rettangolo è misurato
dal prodotto delle tre dimensioni,

ed anche (*), poiché il prodotto di due dimensioni
misura Tarea del rettangolo che esse contengono:

(1) Introduz., HI.

(2) 8 II, teor. 2.

Le figure poliedriche'.

51

11 volume del parallelipipedo rettanj?olo è misurato
dal prodotto della base per l'altezza.

II. Se le tre dimensioni sono eguali si ha

ossia il volume del cubo è misurato dalla terza
potenza (detta perciò cubo) del suo lato.

Teokema 5. Il volume di un parallelipipedo retto è
misurato dal prodotto della base per l'altezza.

e p

D

Q

K

4---

N

M

Fig. 14.

B

Abbiasi il parallelipipedo retto, ma a base non
rettangolare AB... GH, e si faccia in esso una
sezione retta MNPQ cioè perpendicolare alle
costole AB,GH. Il prisma proposto, di cui di-
remo P il volume, sarà equivalente al prisma
retto avente per base MNPQ e per altezza
AB (*): ma la base MNPQ è un rettangolo perchè

(1) G. P., § XXI, teor. 3.

52 Geometria solida.

i diedri in AB,GH essendo retti, sono pure retti

Af,P che ne sono i rispettivi rettilinei; ne viene
che il prisma retto di base MNPQ e di altezza
AB è \xn prisma rettangolo, e si ha (*)

P—ABxMQxMN

Ora la retta AB essendo per costruzione perpen-
dicolare al piano PAf, è perpendicolare altresì
alla (*) MQ, ossia MQ è l'altezza del parallelo-
grammo ABCDj per cui O

ABxMQ=:ABCD

e sostituendo

Pz=:ABCDxMN.
e. d. d.

Teorema 6. Il volume fll un parallellpipedo qualunque
è misurato dal prodotto della base per l'altezza.

D

Kig. 15.

Abbiasi il parallellpipedo qualunque AB... GH,

(1) Teorema precedente.

(2) G. P., S XVII, defln. 1.

(3) § II, ieor. 8.

Le pjiire poliedriche, 53

e si faccia in esso una sezione retta MNPQ per-
pendicolare alle costole AB,GH. Il volume P
del prisma proposto equivale al volume di un
prisma retto, avente per base la sezione retta e
per altezza la costola AB {*), ma il volume del
prisma retto potendosi misurare per mezzo del
teorema precedente, si avrà

Pz=MNPQxAB.

Si conduca ora l'altezza NO del parallelogrammo
MNPQ\ questa è (^) perpendicolare al piano
ABCD ed è perciò Taltezza del parallelipipedo
primitivo; ma essendo

MNPQ =:MQxNO
viene

P—MQxNOxAB;

essendo finalmente MQ x AB la misura dell'area
ABCD,

P—AACDxNO
e. d. d.

Teorema 7. 11 volume di un prisma qualunque è mi-
surato dal prodotto della base per Taltezza.

a) Abbiasi dapprima un prisma triangolare
ABCDEF il cui volume si dica P, e si completi
il parallelipipedo AB ,,. FAT formando il paralle-
logrammo ABCH sulle AB, AC e conducendo
la costola HK parallela alle costole del prisma.

(1) G. P., § XXI, teor. 3.

(2) G. P., § XIX, teor. 9.

54

Geometria solidcL

Il parallelipipedo cosi costruito ha la medesima
altezza di P,ed ha un volume doppio perché, come
si è visto nella Geometria pura {})y il piano diago-
nale divide un parallelipipedo in duo prismi trian-
golari equivalenti. Ora per il teorema precedente
si ha

2 P ZZI ABCH X DO',

ma si ha altresì che ABCH é doppio di ABC,
onde

ossia
e. d. d.

2P=2ABCxDO,
P = ABCxDOy

B B C

Fig. 16. Kig. 17.

b) Abbiasi ora un prisma qualunque

ABC. . . HLM,
la cui altezza sia FO: se per la costola AF e le

(1) G. P., § XXI, teor. 5.

Le figure poliedriche. 55

costole non consecutive CH^DL, ... si fanno pas-
sare i piani AFC^, AFDL, .. . il prisma verrà a
scomporsi in tanti prismi triangolari ABCFGHy
CADHFL, ... aventi l'altezza comune FO. Detti P,,
^V ^^3> i volumi dei prismi triangolari e P il vo-
lume del prisma dato, si ha (a)

P^ — ABCxFO
P^ — ACDxFO
P.^ — ADExFO,

e sommando

P—{ABC-\-ACD-\-ADE)xFOz:iABCDExFO,

Teorema 8. La superfìcie laterale del prisma retto è
misurata dal prodotto dell'altezza per il perimetro di base.

Infatti nel prisma retto le faccie laterali essendo
rettangoli, la superficie laterale sarà la somma di
tanti rettangoli ABFG^ BGCH, CHDL, ecc., cia-
scuno dei quali è misurato dal prodotto dell'al-
tezza che è l'altezza del prisma, per la base,
che è uno dei lati del poligono base del prisma.
Talché si avrà:

ABFG = AFxAB
BCGHz=:AFxBC
CHDL — ARxCD

e sommando:
Superf laterale del prisma =:

AF X {AB + BC+ Ci) -f- . . .),

e. d. d.

56

Geometria solida.

§ IX. Misura della Piramide.

Teouema 1. Se due piramidi SABC, S* A' B* C hanno
eguali altezze S/ZzzS'/i' e basi equivalenti, le sezioni
MNP, M'N'P' fatte ad epuali distanze SK:=S'K' dai
vertici sono equivalenti.

Fig. 18.

Sappiamo che MNP è simile ad ABCy ed
M'N'P' simile ad A' H C (*) e sappiamo altresì («)
che

MN SK M'N' S'K'

AB

SH

r-DT

A'B

S'H'

Ma dalla similitudine di MNP, ABC ed M'N'P\
A'B'C risulta C)

2

MNP MN

ABC «

AB

(1) G. P., § XXII, teor. 1.

(2) ibid.

(3) § II, teor. 6.

Le figure poliedriche, 57

ed

2

AB'

onde ancora

2 2

MNP SK M'N'P' S'K'

ABC ___2' A'B'C ^2'

SH S'H'

ma per ipoteei

SKz=:S'K\SH — S'H\
onde

SK S'K

f LTf

2

e

SH S'H'
MNP M'N'P'

ABC A'B'C '

ma per ipotesi

ABC= A'B'C
onde (*) sarà pure

MNP=.M'N'P',

e. d. d.

Teorema 2. Due piramidi SABC, S'.4'Z>"C di eguale
altezza e di basi equivalenti sono equivalenti.

Se è possibile, le due piramidi S ed S' non
(i) G. P., § Xf, rf).

58

(jeomelria solida.

siano equivalenti, ed abbia maggior volume la 5;
la differenza dei due volumi sarà un volume che
si può immaginare foggiato a prisma, avente per
base la base ABC della piramide S e per altezza
una lunghezza che indicheremo con x.

Si divida l'altezza comune delle due piramidi
in n parti eguali: essendo n qualunque, ma tanto
grande che la n^'"»'» parte dell'altezza, che diremo
.(/, riesca inferiore ad a?, il che si potrà sempre
fare; e dai punti di divisione dell'altezza si tirino

Fig. 10.

le sezioni parallele alla base, DEF^GRI,JKL
nella prima e nE'F\G'H'I\J'ICU nella seconda
piramide; si completino poi i prismi aventi per
basi queste sezioni e per altezze la n"'"^ parte
dell'altezza delle piramidi, inscrivendoli alla pira-
mide S' e circoscrivendoli alla piramide S; de-
notiamo con 1, 2, 3, 4 questi ultimi e con ì\ 2', 3'

I^ figure poliedriche. 59

i prismi iscritti in S\ I prismi T e 2 sono equi-
valenti perchè hanno la stessa altezza y, e le basi
DEF,D*E'F^ equivalenti (*) ; similmente sono
equivalenti i prismi 2' e 3, 3' e 4 ; il prisma 1 é
dunque la differenza fra il complesso dei prismi
circoscritti ad S ed il complesso dei prismi in-
scritti in S\ Aggiungasi che i prismi circoscritti
ad S dando un volume maggiore di 8, e quelli
inscritti in 8^ dando un volume minore di 8\ la
differenza fra i due sistemi dei prismi sarà mag-
giore della differenza fra le due piramidi.

Ma il prisma avente per base ABC e per al-
tezza a? (maggiore di y per costruzione) e che
rappresenta la differenza fra i volumi delle pira-
midi, è maggiore del prisma di base ABC e di
altezza y che rappresenta la differenza fra i due
sistemi di prismi: giungiamo pertanto aji una
necessaria contraddizione tostochè ammettiamo
che fra i volumi delle due piramidi di eguale
altezza e di basi equivalenti possa passare una
qualunque differenza. Le piramidi 8, S' devono
dunque essere equivalenti, e. d. d.

La dimostrazione precedente fatta per il caso
di piramidi triangolari si applica senza modifi-
cazione a piramidi di base qualunque.

Tkorema 3. 11 volume della piramide é misurato dal
terzo del prodotto della base per Taltezza.

a) Abbiasi dapprima la piramide triangolare

8ABC\

(1) Teor. 1.

60 Geomeiria solida,

si formi il prisma triangolare ABCSDE avente
per base ABC ed uno dei vertici opposti nel ver-
tice ideila piramide. Il prisma si può scomporre
nelle tre piramidi SABC, SBDE, SBCE che hanno
due a due eguali basi ed eguali altezze (*) e
sono quindi equivalenti (*); perciò il volume del

prisma sarà triplo del volume della piramide
SABC di eguale base ed eguale altezza. Ma il
volume del prisma è misurato dal prodotto della
base per Taltezza, onde il volume della piramide
è misurato dal terzo del prodotto della base per
l'altezza.

b) Abbiasi ora una piramide qualunque

SABCDE

di altezza SO; questa si scompone per mezzo dei
piani SAC, SAD in tante piramidi triangolari

0) G. A, § XXII, teor. 3.
(2) Teorema precedente.

Le figtcrc poliedriche.

61

SABC,SACDySADE aventi l'altezza comune /SO.
Detti Pi, Pj, P3 i volumi delle piramidi trian-

B

Fig. 21.

golari, e P il volume della piramide data, si ha

P,~~ABCxsO

ó

1

P2 = - ACD X SO
3

1

Po— -ADE X. SO,
3 ^

onde ?!ommando:

1

P=:- (ABC-h ACD -h ADE) x 50=:

= - ABCDE X SO.
3

62 Geometria solido.

Teorema A. 11 volume (Jel tronco di piramide é mi-
surato dalla formola

^XBx(l + i- + -g-)

dove V rappresenta il volume, A Taltezza, B e /He due
basi, e L ed Z d-ue lati omologhi delle basi.

a) Abbiasi dapprima un tronco di piramide
triangolare; è noto (*) che esso si può scomporre
in tre piramidi aventi per altezza comune l'al-
tezza A del tronco e per basi, rispettivamente
B, fe, ed una media proporzionale fra -Beò, ossia
\/ B b. Si ha dunque

1 _ 1 . . 1

V=z -AxB-h-Axb-h-Axs/Bb. (1)
3 3 3

Ora sappiamo che le basi Beò sono simili, per
cui essendo L ed Z due dei loro lati omologhi, si
avrà (*)

B L«

onde

6 Z«

Bl^
bzn —

e.

, — B\

Sostituendo nella (1) viene

,1^1 ABl^ 1 ABI
V=:-AB-\ 77-+-

3 3 L* 3 /.

(1) G. P., § XXil, teor. 4,

(2) § li, teor. 6.

Le ficfìrre 'poliedriche.

03

e raccogliendo:

1 / / V

3

L

L»

)

e. d. d.

b) Abbiasi ora un tronco di piramide a basi
qualunque AB , , . HKL. Le costole AF, CU sono
in uno stesso piano perchè concorrerebbero nel
vertice della pirannide, e lo stesso dicasi di AF,

DK; conducendo questi piani si scompone il
tronco in tre tronchi a base triangolare di eguale
altezza A, ed indicando con V|, Vj, Vg i loro volumi
e con 3^,82,3^ le loro basi inferiori si ha

Vt =

AxJ?^

3

V,-

AxB^
3

U —

AxB^

[
[

[

AB
IH — T^-\-

FG

(iyj

1-H

CD /CDVl

HK

r-f-

ED

1+ +

KL

KTkÌÌ

64 Geometria solida.

ma le basi essendo simili

AB CD ED

FG HK KL " L '
onde sostituendo e sommando

1 / ^ . ''\

3

1 / / Z«\

c. d. d.

Definizione 1. Una piramide che ha per base un po-
ligono regolare e la cui altezza cade nel centro della
base si dice regolare.

2. Apotema di una piramide regolare è la perpendi-
colare abbassata dal vertice ad uno dei lati della base.

3. Tagliando una piramide regolare con un piano
parallelo alla base si forma un tronco di piramide re-
golare. Apotema del tronco è la porzione di apotema
della piramide compresa fra le due basi.

Teorema 5. La superfìcie laterale della piramide re-
golare è misurata dalla metà del prodotto del perimetro
di base per Tapotema.

Abbiasi la piramide regolare SABCD di cui
SO sia l'altezza, SH^SK le apoteme (fìg. 23). Le
oblique SAy SB, SC,... essendo egualmente distanti
dal piede O della perpendicolare C) che è centro
del poligono di base, sono eguali, quindi sono
eguali i triangoli SABy SBC,.., come aventi i tre lati
eguali ciascuno a ciascuno, e sono perciò eguali

(1) G. P., § XVII, teor. 5.

Ze figure poliedriche.

65

r^

anche le apoteme SH^ SK. Ora (*)

SAB = -SffxAB,

SBCzzi-SKxBC,
2

somman(Jo e notando che

SH=:SK—...,

viene :

1

Super/, lai. della piram. zzi — SH {AB-\-BC-\-,
e. <i. (1.

•),

Teokkma 6. La superficie laterale del tronco di pira-
mide regolare è misurata dalla metà del prodotto del-
Tapotema per la somma dei perimetri delle basi.

Fig. 23.

Fig. 24.

Abbiasi il tronco di piramide regolare AB.,.GH,

(M § H> teor. 4.

PlNCHERLB.

5

66 Geometria solida.

e siano MNy PO... le sue apoteme. Risulta dalla
dimostrazione del teorema precedente che

onde si ha (*)

area ABEF=-MNiAB + EF),

area BCFG = - PQ (BC+ FG),

sommando e notando che MN=:PQz:z., , , si
ottiene :

Superficie laterale del tronco di piramide zz
= - MN(AB -f- BC+ . . . + EF+ FG + ...)
e. d. d.

(1) § II, teor. 5.

CAPITOLO II.
I corpi rotondi*

§ X. Misura del Cilindro e del Cono.

Definizione I. Un prisma si dice regolare quando è
retto ed ha per base un poligono regolare.

2. Un prisma retto s! dice inscritto ad un cilindro
(circolare retto) quando le basi del prisma sono inscritte
alle basì del cilindro ; circoscritto quando le basi del
prisma sono circoscritte alle basi del cilindro.

Osservazione. Le costole di un prisma inscritto
in un cilindro sono generatrici del cilindro, ed
il prisma ha la stessa altezza del cilindro.

Definizione 3, Una piramide regolare si dice inscritta
o circoscritta ad un cono quando la base della piramide
è inscritta o circoscritta alla base del cono ed il vertice
della piramide coincide col vertice del cono.

Osservazione. Le costole della piramide in-
scritta ad un cono sono generatrici del cono, ed
i due solidi hanno la medesima altezza.

Se si considerano i prismi regolari inscritti in
un dato cilindro ed aventi per basi i poligoni
regolari di n, 2n, 4 /i, .lati, indi i prismi regolari
circoscritti le cui basi hanno egual numero di

68 Geometria solida.

lati, si scorge chiaramente che le superficie la-
terali ed i volumi dei prismi inscritti vanno cre-
scendo di mano in mano che cresce il numero
(Ielle loro faccio, mantenendosi però sempre in-
feriori rispettivamente alla superficie laterale ed
al volume di uno qualunque dei prismi circoscritti.
Per questi avviene invece che al crescere del
numero dei lati della base vanno diminuendo le
superficie laterali ed i volumi, mantenendosi però
sempre maggiori della superficie laterale e del
volume di uno qualunque dei prismi inscritti.
Inoltre la differenza fra la superficie dei prismi
inscritti e circoscritti si può, al crescere del nu-
mero delle faccio, rendere piccola quanto si vuole,
e lo stesso dicasi dei volumi. Si intuisce da ciò
resistenza di una superficie e di un volume de-
terminati, cui le superficie laterali ed i volumi dei
prismi inscritti e circoscritti vanno accostandosi
indefinitamente, i primi mantenendosi sempre mi-
nori ed i secondi sempre maggiori. Questa super-
ficie e questo volume si diranno rispettivamente
superficie laterale e volume del cilindro; e ricor-
dando la definizione 1 del § V, potremo enunciare:

Definizione 4. La superfìcie laterale del cilindro è il
limite cui tendono le superfìcie laterali dei prismi rego-
lari inscritti o circoscritti, quando se ne raddoppia in-
definitamente il numero delle facete laterali.

5. Il oolume del cilindro è il limite cui tendono nel
medesimo caso 1 volumi dei prismi regolari inscritti o
circoscritti.

Considerazioni analoghe a quelle che prece-
dono permettono di enunciare ancora:

/ corpi rotondi» 69

Definizione 6. La superficie laterale ed il oolume del
cono sono i limiti cui tendono rispettivamente le super-
ficie laterali ed i volumi delle piramidi regolari inscritte
o circoscritte, quando il numero delle loro foccie late-
rali si raddoppia indefìnitamenie.

7. La superficie laterale ed il colutne del tronco di
cono sono i limiti cui tendono rispettivamente le super-
ficie laterali ed i volumi dei tronchi di piramidi regolari
inscritti e circoscritti, quando il numero delle loro faccie
laterali sì raddoppia indefinitamente.

Indicheremo in ciò che segue con S la super-
ficie laterale del cilindro, cono o tronco di cono
che si considera, con V il volume, con A l'al-
tezza, con L la generatrice; con R il raggio della
base del cilindro o del cono e con R oà r ì
raggi delle basi nel tronco di cono.

Teorema 1. La superficie laterale del cilindro è mi-
surata dal prodotto della circonferenza di base per l'al-
tezza; il volume del cilindro è misurato dal prodotto
dell'area della base per Taltezza.

Inscriviamo nel cilindro i prismi regolari aventi
per base i poligoni di n, 2n, 4n,... lati ed indi-
chiamo:

con p, r', r", . . . i volumi e con s, s\ s", . . .
le superficie laterali dei prismi ;

con /), //, p'\ ... ì perimetri e con 6, b\ U\ . . .
le aree delle basi.

I prismi avendo tutti la stessa altezza del ci-
lindro, si ha (*)

s = A/), s' = Ap\ s" = Ap'\ ... ;

(1) vili, teor. 7.

70 Geometria solida.

abbiamo cosi le due serie di quantità

ed

Ap, Ap\ A/)", . . .

i cui termini corrispondenti sono eguali, per cui (*)
anche i rispettivi limiti saranno eguali; ma il li-
mite delle s, s', 8", . • • ^ la superficie laterale 5
del cilindro, il limite dei perimetri /), p\ //', . . .
è la circonferenza di base i})\ oxì<\q la super jicie
laterale del cilindro è misurata dal prodotto
delValtezza per la circonferenza di base.
Si ha parimenti (^)

V = Ab, o' z= Ab\ v" = Ab'\ . . .

onde i limiti cui tendono le due serie di gran-
dezze

V, v\ p", . . .
ed

Ab, Ab\ Ab'\ . . .

saranno eguali; ma il limito delle v, e',... é il
volume Fdel cilindro, il limite delle aree 6, ^',...
è l'area del cerchio di base (*); onde // volume
del cilindro è misurato dal prodotto del cerchio
di base per V altezza.

Corollario 1. Ritenendo le notazioni indicate

(1) § V, Principio sui limiti.

(2) § V, defin. 2.

(3) § Vili, teor. 6.

(4) § V defln. 3.

1 corpi rotondi. 71

e ricordando le forinole del § VI, si ha :

2. La superficie totale i del cilindro essendo
costituita dalla superficie laterale più le due
basi, si ha:

1 = 2 ir RA + 2nR^ = 2TzR(A-\- R).

Teorema 2. La superfìcie laterale del cono è misurata
dalla metà del prodotto della circonferenza di base per
la generatrice; ed il volume è misurato dal terzo del
prodotto della base per Taltezza.

Indichiamo con s, s', s", ... le superficie late-
rali e con 0, o', v",,,, i volumi, con h, h\ K\,,.
le apoteme, con p, p\ />", . . . i perimetri e con
ò, b\ b'\... le aree delle basi delle piramidi re-
golari inscritte di n, 2 ri, 4 n, . . . faccio laterali.

Le superfìcie laterali di queste piramidi sono
date (*) da:

2' ' 2 2^

onde i limiti cui tendono le due serie di grandezze

ed

{ph,^p'h',^p"h",...

saranno eguali; ma il limite delle s, s', s",... è
la superficie laterale del cono, il limite delle

(0 § IX, teor. 5.

72 Geometrìa solida.

py p'ì p"i "• è ^^ circonferenza di base, infine il
limite delle a poterne h, h\ N\ ... è manifesta-
mente la generatrice del cono; onde la super-
Jìeie laterale del cono è misurata dalla metà del
prodotto della eireonferensta di base per la gè-
neratrice.
Si ha parimente (*)

3 3 3

onde i limili cui tendono le due serie di grandezze

r, v\ T>^\ . . .

ed

1 1 1

3 '3 3

saranno eguali; ma essendo limite delle e, v\ e",. . .
il volume del cono e delle 6, b\ 6",.-« il cerchio
di base, si ha che il volume del cono è misurato
dal terzo del prodotto della base per Valtezza.
Corollario 1. Il teorema precedente si es-
prime colle fopmole

3

2. La superficie s totale di un cono essendo
formata dalla superficie laterale e dal cerchio
di base, si avrà

2 n: ir i? L + ir /?« = IT 72 ( L + i^) .

(1) § IX, teor. 3.

/ corpi rotondi. 73

Teorema 3. La superfìcie laterale di un tronco di
cono è misurata dal prodotto della semi-somnnn delle
circonferenze di base per Tapotenja; ed il volume è
misurato dalla formola

r=|,„..4(, + ^ + -;i-)

Indichiamo con
s, s', s'\ ... le superficie laterali,
p, v\ v'\ . . . i volumi,

/), p\ /)", ... e P, P^, l^\ . . . i perimetri delle basi

superiori ed inferiori,
ò, b\ b'\ ... e ByB\ B", ... le aree delle basi,
h, h\ A", . . . le apoteme

dei tronchi di piramidi regolari aventi rispettiva-
mente per basi poligoni di n, 2n, 4n, ... lati
ed inscritti nel tronco di cono.

Si ha (*)

s"=zi(//'-f /"')./r',...

onde i limiti cui tendono le due serie di quantità
ed

^(p" + P")-h",...
(1) g IX, teor. 6.

74 Geometria solida.

saranno eguali; ma essendo limite delle s, s', s",.-.
la superfìcie laterale del tronco di cono, delle
/},/)',... e P, P', ... le circonferenze di base,
delle A, A', . . . Tapotema, si ha che la superficie
laterale del tronco di cono è misurata dalla
semi' somma delle circonferenze di base per Va-
potema.
Si ha pure (*)

1
— - A
3

/ e 6-2 \

\ ^ c c^/

1 / e' C'2\

dove e e Cf e' e C,.,, sono lati omologhi nei
poligoni di base dei tronchi di piramidi; ma es-
sendo essi inscritti nei cerchi di raggi r ed Ì2
si ha (2)

ed r

ondo

ce H

1 / r r^\

3 \ R ^ R^J

g' - - A
3

e poiché H, B\... hanno per limite ir /?*, si avrà

(1) § IX, teor. 4.

(2) 8 IV, teor. 3.

/ corpi rotondi. 75

passando al lìmite

1 / r r^

3

e. d. d.

Corollario 1. La superficie laterale è es-
pressa da

5 = 77 L(«+r);

la superficie totale é composta di questa, i)iù i
due cerchi di base, ossia è data da

2 =z ir L (« + r} + TT /?* + IT r« =
= izR(L+R)-i-'Kr(L + r).

2. La formola che dà il volume potendosi
scrivere

1 1 1

3 ^3 ^3 '

si può dire che:

Il volume del tronco di cono equivale al volume di
tre coni aventi per altezza comune Taltezza del tronco
e per basi rispettivamente la base superiore, Tinferiore
ed una media proporzionale fra queste due basi.

§ VL Misure relative alla Sfera.

Tkohema 1. Se un segmento rettilineo AB ruota in-
torno ad una retta indefinita a?(/ (asse) contenuta nel suo
piano e che non r attraversa, e si innalza la perpendi-
colare MH ad esso nel suo punto di mezzo fino all'in-
contro coir asse, il segmento genera una superficie che

7(5

Geometria solida.

è misurata dal prodotto della sua proiezione CD sul-
Tasse per la circonferenza di raprgio M II (i).

a) Se il segmento AB é parallelo all'asse,
esso genera nel ruotare intorno ad a? r/ la su-
perfìcie laterale di un cilindro (*) che avrà per
base la circonferenza descritta da AC e per al-
tezza CD', onde (')

sup. AB =22 n AC. CD,

ma essendo AC:=iMH,

sup. AB = 2 w MH . CD.

b) Se il segmento AB ha un estremo sul-
l'asse, cioè se il suo estremo A coincide col
punto C, esso genera la superficie laterale di un
cono (*) che avrà per base la circonferenza de-
scritta da BD e per generatrice AB\ onde (^)

sup. AB:=z-K BDxAB.

(1) I.a superficie generata da una linea A H verrà in-
dicata per brevità colla scrittura Sup. AB.

(2) G. />., § XXIII, defln. 3.

(3) § X, teor. 1.

(4) G, P., § XXIII, defln. 4 e 5.

(5) § X, teor. Z.

/ corpi rotondù

77

Ma i triangoli ABD^ AMH, simili come aventi

D — M perché retti ed A comune, danno la pro-
porzione

AD:AM-BD:MH

onde (*)

AB
AD X MH— BD X AM— BDx —

ossia

BD X AB z=:2 CD xMH

e sostituendo,

sup. AB=:2nMH,CD,
e) Se finalmente il segmento AB é inclinato

B

Fig. 27.

rispetto all'asse, esso genera la superficie laterale
di un tronco di cono (*) avente per raggi delle

(1) § II, teor. 2, osservaz. II.

(2) G. P., § XXIII, defìn. fi.

78 Geometria solida.

basi AC, BD e per apotema AB, onde (*)

sup. ABz=,t:{AC-\-BD)AB.

Ora la retta MA' che passa per i punti di mezzo
dei lati del trapezio ABCD è parallela alle basi
AC, BD ed eguale alla loro semi-somma (*); ma
se si tira la parallela AEa CD, i triangoli BAE,
MKH avendo

E=K

perchè retti, e

BAE=:^MH

come aventi i lati perpendicolari, sono simili e
danno la proporzione

onde
ma

AB:AE = MH:MK,

AB.MK—MH.AE,

AC+BD
MK= — -^ , AE= CD

onde

AB.(AC+BD)=z2AB. MK ~ 2 MH . CD
e sostituendo

sup, AB = 2 MH. CD
e, d. d.

Teorema 2. Se ABCDE è la metà di un poligono re-

(1) § X, teor. 3.

(•) § II, teorema 5, osserv.

/ corpi, rotondi.

79

polare di un numero pari di lati, e si fa ruotare la Altura
intorno al suo diametro AE, il perimetro ABCDK ge-
nera una superfìcie misurata dal prodotto del diametro
per la circonferenza inscritta al poligono.

Si abbassino dal centro le apoteme OM, ON,
OP,.. . che dividono i Iati del poligono per metà
e perpendicolarmente; si abbassino pure dai ver-
tici le perpendicolari BH, CO, DK all'asse. Si
ha per il teorema precedente

sup. AB = 2nAH.M0
sup. BC=2nEO.NO
sup, CDz:zZnOK.PO
8up, DE=2nKE,QO

ma la superficie generata dal perimetro ABCDE
non essendo altro che la somma delle superfìcie
generate da AB, CD,.., ed essendo

MO r= ivo = . . . ,

viene sommando

sup. ABCDE=2 -K MO {AH-\-HO + ...) =

= 2 TT MO . AE,
e. d. d.

80 Geometria solida.

Teorema 3. [.a misura della superfìcie S della sfera
di rap:gio H è espressa dalla formoln

Sappiamo (*) che una semi-circonferenza ruo-
tando intorno ad un suo diametro genera una
superficie sferica; se ora in essa semi-circonfe-
renza (vedi fig. 27) si inscrivono i semi-poligoni
regolari ACE^ ABCDE, ... di n, 2n . . . lati, si
intuisce che le superfìcie generate dai perimetri
di questi semi-poligoni tenderanno (quando il
numero dei loro lati cresce indefinitamente) ad
un limite che sarà la superficie della sfera. In-
dicando con S^, S^, Sg,. . . le superficie generate dai
perimetri dei semi-poligoni, e con a,, a^, «3, . . .
le relative apoteme, avremo, essendo AEziz2R:

onde i limiti cui tendono le dìie serie di gran-
dezze

Si) 02» 03) • • •

e

4 ^ Rttiy 4 1? R(i2i 4 "K Ra^y . . .

devono essere eguali; ma essendo 8 il limite delle
Siy S^, . . . ed R il limite delle apoteme ai, a,, . . .
viene

S = 4itR^,
e. d. d.

Corollario 1. Poiché n R^ è l'area di un cer-
chio massimo, si può dire che la superficie sferica

(1) G. P., s XXIV, defln. 1.

/ corpi ToionAL 81

è equivalente airarea di quattro circoli massimi.
2. La superfìcie di due sfere sono fra loro
come i quadrati dei raggi.

Teorema 4. Se un triangolo ABC ruota intomo ad un
asse indefinito xy contenuto nel suo piano e che passa
per il vertice A senza attraversare il triangolo medesimo,
esso genera un volume che è misurato dal terzo del pro-
dotto della superfìcie generata dal lato BC (opposto al ver-
tice che è sull'asse) per Taltezza AH corrispondente (i).

a) Il triangolo abbia il lato AC sull'asse. Si
abbassi Taltezza BK, Il volume generato dal

Fig. 29.

triangolo ABC è la somma dei volumi dei due
coni generali da ABK, CBK i quali hanno per
base comune il cerchio di centro AT e di raggio
KB, e per altezze rispettivamente AK e CK,
Si ha dunque (*)

voi ABC— - 7T Wi. AK+ - TT BK. CK

1 2 1

:=i-T.BK (AA'+ KC) = - TT BK.AC.

ó «5

(1) 11 volume generato da un'area ABC ^\ indicherà
per brevità con ool. ABC.

(2) S X, teor. 2, coroll. 1.

PlNCHERLB. 6

82 Geometria solida.

Ora si noti che i prodotti BK.AC e AH.BC
misurando ambedue il doppio dell'area del trian-
golo ABC (*) sono eguali; si avrà quindi

voi. ABC=: ^^BK.AH. BC;

d'altra parte la superficie generata da BC ó la
superficie laterale del cono BCK e sarà quindi
misurata da

IT BK. BC;

sostituendo, viene

1
voi ABC^ - AH. sup. BC,
ò

c. d. d.

6) Il lato BC del triangolo incontri Tasse

Fig. 30.

xy nel punto G; in tal caso il volume generato
da ABC è la differenza fra i volumi generati da

(1) § li, teor. 4.

/ corpi rotondi.

83

ABG e CAG ; ma per il caso precedente si ha:

1

voi ABG = - AH, sup. BG

ó

voi ACG=- AH.sup.CG
«)

onde sottraendo:

1
voi. ABC— - AH. (sup. BG — sup. CG) =

1
= — AH . sup, BCy

e. (], d.

e) Il lato BC sia parallelo all'asse (fìg. 31).

K k

Fig. 31.

Si abbassino le perpendicolari BL, CA" all'asse;
il rettangolo AHBL genera il cilindro, il trian-
golo BAL un cono di eguale base ed altezza; il
volunne generato da BAH sarà la differenza fra
il cilindro ed il cono; ora essendo (*)

vol.ALBH~T.BL.AL
1

vol.ALBz=z-T.BL,AL

(M § X, teor. 1 e 2.

84 Geometria solida.

viene sollraendo

2 2 2 2

voi. ABH =i--t:BL.AL = -tzAH. AL.

ó «5

Similmenle si troverebbe:

2

vol.ACHnz-nAH.AK

onde sommando

2 — 2
voi. ABC^- TT AH (AL + AK) =

2

Ora la superficie laterale del cilindro BCLK è
generata dal lato BC ed è misurata da

2 IT CK, LK— 2 7t AR. LK,

onde sostituendo

2
voi. ABC=z- AH. sup. BC,

e. d. d.

Teorema 5. Se ABCDE, metà di un poligono regolare
di un numero pari di lati, sì fa ruotare intorno al suo
diametro A/i, l'area del semi-poligono genera un volume
che avrà per misura il terzo del prodotto delI*npotemu
per la superficie generata dal perimetro AHCDK.

Per mezzo dei raggi OB, OC, OD, si scom-
ponga il semi-poligono in tanti triangoli aventi
per altezze le a pò teme

OM, ON,.,..\

/ corpi rotondi.

85

si avrà applicando il teorema precedente

1
voi AOBzzi-- OM . sup. AB,

ó

1

voi BOC— - ON. sup. BC,

ó

sommando, notando che il volume ^^enerato dal

Fig. 32.

semi-poligono è la somma dei volumi generati
dai singoli triangoli e che le apoterae OM, ON
sono eguali fra loro, si ottiene

col ABCDE—- OM. sup. ABCDK,

ó

e. (1. d.

Teorema 6. Il volume della sfera è misurato dal terzo
del prodotto della superficie sferica per il raggio.

Sappiamo (*) che il semi-cerchio ruotando in-
torno al suo diametro genera il volume della
sfera; se ora nel semi-cerchio inscriviamo {^g. 32)
i semi-poligoni regolari ACE, ABCDE, di n,

(1) G. P., s XXIV defln. 2,

86 Geometrìa solida.

2/1,... lati é chiaro che i volumi generati dalla
rotazione dei semi-poligoni tenderanno (quando
il numero dei loro lati si radoppia indefinita-
mente) ad un limite che sarà il volume della
sfera. Indicando con r,, Og, O3,.,. i volumi gene-
rati da questi semi-poligoni, con ai, ag, ag,... le
rispettive apoteme, con s,, S2, Sg,... le superficie
generate dai loro perimetri, si ha per il teorema
precedente

— i _i — *

onde i limiti cui tendono le due serie di quantità

^\ì ^2' ^Zv"

ed

i i i

g *« ^i> Q ^2 ^2) 77 *3 ^3V

saranno eguali. Ma il limite dei volumi o^, Ogv
é il volume della sfera, il limite della superficie
Sj, Sj,,.-. è la superficie sferica, il limite delle
apoteme, «i, fl2r- è il raggio: onde il volume
della sfera è misurato dal terzo del prodotto della
superficie sferica per il raggio.

Corollario 1. Si é trovato che la superfìcie
della sfera di raggio R é misurata da

onde il volume V di quella sfera sarà data da

2. I volumi di due sfere stanno fra loro come
le terze potenze dei raggi.

PARTE TERZA
TRIGONOMETRIA

r

SEZIONE I.

Le funzioni goniometriche.

§ I. Oggetto della Trigonometria.

Abbiamo visto (*) come sia possibile di tradurre
molte proposizioni della Geometria in formole al-
gebriche, e come si abbia cosi il mezzo di appli-
care i procedimenti del calcolo alla risoluzione
delle questioni geometriche. Però le semplici pro-
posizioni della Geometria elementare non permet-
tono di stabilire tali relazioni che leghino algebri-
camente fra loro i lati e gli angoli di un poligono
e in ispecie di un triangolo, benché sia posto in
chiaro che fra tali elementi vie necessariamente
una dipendenza (poiché dati i lati di un triangolo
ne risultano determinati gli angoli, perchè al lato
maggiore di un triangolo si oppone l'angolo mag-
giore, ecc.). D'altra parte, la mancanza di queste
relazioni costituirebbe una lacuna grave special-
mente per le applicazioni della geometria, perchè
non si potrebbero risolvere con calcolo quei pro-

0) V. Introduzione.

90 Trigonometria.

blemi che hanno per oggetto di determinare gli
elementi incogniti di una figura rettilinea, dati che
siano alcuni dei suoi elementi in numero suffi-
ciente, mentre le costruzioni grafiche non danno
in generale nella pratica risultati abbastanza
esatti. A questa lacuna della Geometria metrica
supplisce la Trigonometria il cui oggetto prin-
cipale è la risoluzione dei triangoli, cioè il cal-
colo degli elementi incogniti di un triangolo di
cui siano noti numericamente elementi in nu-
mero sufficiente. Però , prima d'intraprendere
lo studio della risoluzione dei triangoli, é neces-
sario di definire e di studiare alcune linee o me-
glio rapporti di linee che stanno in stretta rela-
zione cogli angoli, e che si sostituiscono ad essi
nelle formole; ed è ciò che faremo in questa
prima sezione. Conviene aggiungere che la Tri-
gonometria non ha soltanto T importanza pratica
che le viene dalla risoluzione dei triangoli e
conseguentemente di tutte le figure rettilinee,
ma giova anche alla teoria, somministrando
formole e relazioni che vengono in giuoco in
quasi tutte le parti della matematica.

§ II. Determina«zione della posizione
di un punto mediante numeri.

Dato un punto O fisso sopra una retta indefi-
nita x' X, la posizione di un secondo punto M
della retta non sarà pienamente determinata se
si conosce la sola lunghezza del segmento OM,
ma bisogna pure sapere se il punto M si trova

Le funzioni goniometriche, 91

dairuna o dairaltra parte di O (*). Si suole in-
dicare il senso del segmento a partire da O di-
cendolo positivo quando é contato in un deternni-
nato verso, negativo quando è contato nel verso

X M X

I I

Fig. 33.

opposto, e la posizione del punto Afe determinata
senza ambiguità da un numero positivo o nega-
tivo che rappresenta cosi il segmento in gran-
dezza od in senso. Ad ogni punto del segmento
corrisponde dunque un numero: ed al variare
del punto M sulla retta quel numero può pas-
sare da valori negativi grandissimi in valore
assoluto a valori positivi pure grandissimi, o
come si suol dire, da -r oo a + oo.

Analogamente si può fissare la posizione di un
punto in un piano. Siano tracciate nel piano due
rette {assi) x'Xy y'y segantisi perpendicolarmente
nel punto O {origine)) un punto M del piano é
determinato quando si conoscono in lunghezza ed
in senso le distanze MQ, MP di esso punto dagli
assi, o le loro eguali OPy OQ. Queste distanze
si dicono coordinate del punto M; QM (ossia OP)
si dice pure ascissa di M, e PM (ossia OQ) si
dice ordinata. Il senso di questi segmenti si fissa

(1) Comunemente si dice a destra o a sinistra, al di-
sopra o al disotto di O, secondo la disposizione della
figura.

92

Trigonometria,

ritenendo positivo le ascisse coniate dall'asse yt/
verso destra, negative quelle contate verso sini-
stra, e positive le ordinate contate dalFasse xx
verso Talto, negative quelle contate dall'asse xx'

7

X'

f

M

P

X

y

Fig. 34.

verso il basso. Gli assi dividono il piano in quattro
angeli retti o quadranti, e per un punto

del l'* quadrante xoijy l'ascissa é4- e l'ordinata +

del 2^
del 3°
del 4*»

tjoxf,
x'oy,
y'ox,

»

4-

4-

§ III. Definizione delle funzioni goniometriche.

Abbiasi una retta OR terminata in O ed inde-
finita verso R (raggio) e su cui le lunghezze OM

Le funzioni goniometriche.

93

si riguarderanno sempre come positive; si sup-
ponga che questa retta primitivamente adagiata
secondo ox venga a ruotare nella direzione della

voM,

freccia descrivendo Tangolo crescente xoM, ed
inoltre che la OR dopo essere ritornata in oaralla

Flg. 35.

fin^ di un giro, possa continuare a ruotare indefi-
nitamente: talché l'angolo a?oi\/ possa superare
quattro angoli retti e diventare grande quanto si
vuole, ritenendosi sempre positivo. Supponendo
che le OR ruoti in senso contrario alla freccia,
gli angoli descritti si riterrebbero negativi.

Fatte queste ipotesi, Tangolo andrà considerato
come una quantità che può assumere tutti i va-
lori da — 00 a -|- 00.

94 Trigonometria,

Fissiamo un valore deirangolo xoR e condu-
ciamo le coordinate MP, OP, M'P, OP... per
vari punti del raggio 0R\ i triangoli simili MOP,
MOP danno

Mp_^ M'F OP __ Op Mp M'P
ÌYm ~' 6W' OM ~^ T)W Up " VP '

ossia i rapporti

Mp OP Mp
OM' OM' ~Op

sono costanti per tutti i punti di uno stesso raggio
OR. È chiaro invece che mutandosi la posizione
del raggio, varieranno i valori di quei rapporti,
e vedremo in seguito come essi possono servire
a definire la posizione del raggio OR. Enunciamo
ora le seguenti definizioni:

Definizione 1. Quando due quantità variabili A e B
sono talmente legate che ad una variazione arbitraria
della prima consegue una determinata variazione della
seconda, questa si dice funzione dell'altra.

2. Se MP, OP sono l'ordinata e Tascissa di un punto
qualunque Af del raggio OR (flg. 35), i rapporti

MP OP MP
OM' OM' op'

ed i loro inversi sono funzioni dell'angolo li ose e ven-
gono perciò delti funzioni goniometriche.

MP OP

3. 11 rapporto -^-r^ si dice seno, Ttry si dice coseno

UM UM

MP y^

ed -Tyfj si dice tangente dell'angolo Box, \ rapporti

inversi xtr» -7^-FJ» ttt: si dicono rispettivamente rose-
MP OP MP

cante, secante e cotangente dell'angolo stesso.

Le funzioni goniometriche, 95

4. Se si indica con x il valore dell' angolo Rox
(espresso per es. in gradi) le sue funzioni goniometriclie
si denotano rispettivamente con

sen Xy cos a?, tang a?, cosec a?, sec a?, cotg x.

Ricordando in quali casi (v. il paragrafo pre-
cedente) le coordinate di un punto sono positive
o negative, e ritenendo OM sempre positivo, pos-
siamo enunciare il

Teorema 1. Il seno e la cosecante sono positivi per
gli angoli Rox compresi fra 0^ e 180°, negativi per quelli
compresi fra 180° e 360*^.

Il coseno e la secante sono positivi per gli angoli com-
presi fra 0° e 90^, e fra 270° e 360°, negativi per quelli
compresi fra 90° e 270<>.

La tangente e la cotangente sono positive per gli an-
goli compresi fra 0*^ e 90® e fra 180<* e 270°, negative per
gli angoli compresi fra 90° e 180° e fra 270° e 360°.

È evidente pure il

Teorema 2. Le funzioni goniometriche sono le stesse
per due angoli che differiscono dì 360° o di un multiplo
di 360°, poiché a due angoli che differiscono di 360° cor-
risponde la stessa posizione del raggio 07?.

Ma alla definizione precedente delle funzioni
goniometriche, che ne mette in luce la vera na-
tura, si trova vantaggioso molte volte di sosti-
tuire un enunciato alquanto diverso. Se sul raggio
OR fissiamo un punto M tale che sia OM — 1,
mentre il raggio eseguirà la sua rotazione il punto
M descriverà una circonferenza di centro O e di
raggio uguale all'unità, che segherà gli assi nei
punti AA\ BB': ad un angolo descritto dal raggio
OR a partire dalla posizione iniziale oa? corri-

96

Trigonometria.

spenderà un arco descritto dal punto M a partire
dal punto A (che si dirà principio degli archi).
Si riterranno positivi gli archi descritti nel senso
della freccia, negativi quelli descritti in senso op-
posto, ed il punto 3/ potendo percorrere più volte

la circonferenza, l'arco come Tangolo sarà una
grandezza variabile da — oo a 4- oc (*). Ciò posto.

(M I/orco si può ritenere valutato in gradi, come ran-
gole; oppure espresso come lunghezza, il raggio essendo
preso come unità ; allora V intera circonferenza {Wfì) è

misurata dal numero 2 ir, il quadrante lOO'*) da y» ^" ^^-

micirconferenza (180°) da tt (v. Geometria metrica. § VI).
Colla lettera x noi indicheremo per ora tanto l' angolo
quanto Tarco espressi in gradi.

Le funzioni goniometriche. 97

il seguente teorema ci dà nuove definizioni delle
funzioni trigonometriche.

Teorema 3. Se si conducono Tordinata MP di un punto
M deUa circonferenza di raggio 1 e le tangenti in A, lì
alla circonferenza fino alPincontro col raggio OM in 1\ S:

a) I numeri che misurano MP, OP, TA saranno ri-
spettivamente il seno, il coseno e la tangente deU' an-
golo xoRizx (o dell'arco AM),

b) I numeri che misurano OS, 02\ BS ne saranno
rispettivamente la cosecante, la secante e la cotangente.

MP
a) Per definizione, il rapporto -prT^é il seno

dell'angolo Rox; ma OMziz 1, onde il seno sarà
il numero che misura MP. Per la stessa ragione
il coseno è il numero che misura OP. La tan-
gente è data per definizione da

MP TA

OP "^ OA'

ma

OAiz:OAf=l,

onde

tang X = TA.

OM ,
6) Per definizione, il rapporto —7- è la co-

MP

secante dell'angolo Rox\ ma i triangoli simili
OMP, OBS danno

OM _ OS

MP'^ OB '
ed essendo

PlNCHBRLE.

98 Trigonometria.

ne viene

cosec X = OS.

OM

La secante è data dai rapporto ; ma dai

triangoli simili OA/P, OAT si ha

ed essendo
viene

OM _ OT
OP '^ OA '

OA = ì,
sec a?= OT.

OP
Infine la cotangente é definita dal rapporto -—-

PM

e dai triangoli simili OMPy OBS si ha

OP BS

ed essendo
viene

PM OB '
cotg 0? = BS.

La dimostrazione presiedente fatta per il caso
che il punto M sia nel primo quadrante si può
ripetere in tutti gli altri casi e le eguaglianze
precedenti si mantengono inalterate, sussistendo
anche i segni conformemente al teorema 1 e alla
convenzione del paragrafo II. Questa conven-
zione non si applicherebbe alla secante ed alla
cosecante come risultano definite dal teorema
precedente; ma in tal caso si converrà di dar
loro anche nella seconda definizione i segni che
risultano dal teorema 1.

Le funzioni goniometriche, 99

La proposizione cosi dimostrata spiega perchè
le funzioni goniometriche si dicono anche fun-
zioni circolari. Esse sono anche dette talvolta
linee trigonometriche benché il loro carattere
sia di rapporti; vi si sostituiscono segmenti
(linee) nel teorema precedente, facendo la con-
venzione che il cerchio in cui essi segmenti
sono descritti abbia per raggio V unità,

§ IV. Angoli ed archi complementari
o supplementari.

Definizione 1. Due angoU o due archi (di cut uno può
nnche essere negativo) la cui somma algebrica vale un
quadrante (90°) diconsi complementari,

2. Due angoli o due archi (di cui uno può anche es-
sere negativo) la cui somma algebrica vale due quadranti
(180°) diconsi supplementari.

Se X indica un arco od un angolo, 90^* — a? è il
suo complemento e ISO'* — a? il suo supplemento.

Teorema 1. lì coseno, la cotangente e la cosecante
di un arco (angolo) sono il seno, la tangente e la secante
dell'arco (angolo) complementare (v. flg. 36).

Si prenda per un istante B come principio
degli archi e si contino gli archi positivi da B
verso A. L'arco BMmBA — AM è evidente-
mente complementare di AM; ora abbassatala
perpendicolare AfQsul diametro BB' questa sarà
in grandezza e segno il seno di BM; cosi BS
ne sarà la tangente ed OS la secante (*). Ma si

(1) Teorema precedente.

100

Trigonometria,

è visto che OPzizMQ, BSed 05sono rispettiva-
mente il coseno, la cotangente e la cosecante del-
Tarco AM: dunque il coseno, la cotangente e la
cosecante di un arco sono rispettivamente seno,
tangente e secante per l'arco complementare.
Questo teorema si può esprimere colle formole:

sen

(90°

^x)-

:cos

a?,

tang (90°

-a?)-

:COtg

a?,

sec

(90**

^x) =

: cosec X

(^).

Trokbma 2. II seno e la cosecante di un angolo sono
eguali a queUi deU' angolo supplementare; le altre fun-
zioni goniometriche di un angolo sono eguali e di segno
contrario a quelle dall'angolo supplementare.

r

Fiff. 37.

Si tiri il raggio OR' tale che Ffod^ = Hox',

(1) Questo teorema spiega i nomi di coseno, cotan-
gente e cosecante i quali stanno a significare seno, tan-
gente e secante deirangolo complementare.

Le funzioni goniometriche. 101

gli angoli Rox ed Rox sono evidentemente
supplementari. Ora condotte le ordinate MP,
M^P' di un punto M ài OR e di un punto M'
di OR'y i triangoli simili OMP, OM'P' danno in
valori assoluti:

MP M'P' OP OP' MP M'P'

rw^f ' r\\A rwjif ^ rio rMjr ^

OM OM' ' OM OM' ' OP OP

ma (§ II). MP, M'P' hanno eguali segni mentre
OP, OP' hanno segni contrari; dunque il seno
e quindi la cosecante sono gli stessi nell'angolo

Rox e nel suo supplementare, mentre le altre
funzioni sono eguali e di segno contrario.
Questo teorema si esprime colle formole:

sen x=z sen (180°-a?), cosec a?z= cosec (180''-a?)
cos a?=z:-cos (180*^-a?),sec xi=-sec (180^ -a?)
tanga?=:-tang(180°-a?),cotg a? = -cotg (180' -a?)

Costruendo Tangolo xoR" eguale e di segno
contrario ad Rox, risulta immediatamente dalla
figura il

Teorema 3. Il coseno e la secante di due angoli eguali
e di segno contrario sono eguali, le altre funzioni go-
niometriche sono eguali e di segno contrario,

che si può esprimere colle formole

sen (- a?) =: - sen x, cosec (- a?) =: - cosec x%
cos (- a?) = cos a?, sec (- x) := sec x,
tang (- a?) = - tang a?, cotg (- a?) r=: - cotg x.

à

1 02 Trigonometria,

§ V. Variazioni
delle funzioni goniometriche.

Per studiare più facilmente le variazioni delle
funzioni goniometriche al variare dell'arco od
angolo corrispondente, ci riferiremo alla defini-
zione delle medesime date dal teor. 3 del § III.

Seno. Il seno di un arco (angolo) piccolissimo
è pure piccolissimo ed é nullo se l'arco è nullo.
Al crescere dell'arco e finché questo si mantiene
nel primo quadrante, cresce anche il seno, e
quando l'estremo variabile M dell'arco viene in
By il seno è OB ossia l'unità. Si scrive pertanto

sen 0**=:0, sen 90°=:1.

Quando l'estremo M dell'arco passa nel se-
condo quadrante e l'arco cresce da 90° a 180°,
il seno decresce da 1 a mantenendosi sempre
positivo; quando l'estremo M passa nel terzo
quadrante e l'arco varia da 180° a 270**, il seno
diventa negativo (§ li) e decresce (cresce in va-
lore assoluto) da a — 1. Infine nel quarto qua-
drante l'arco variando da 270® a 360°, il seno
rimane negativo e cresce da — 1 a 0. I valori
del seno sono dunque sempre compresi fra gli
estremi — 1 e + ^- Come si é detto, l'arco po-
trebbe continuare a crescere ed oltrepassare una
intera circonferenza, ma il valore del seno per
l'arco 360° -f- x essendo eguale al seno dell'arco
X (*), o, come si suole dire, il seno essendo una

(1) § 111, teor. 2.

Le funzioni goniomelriche. 103

funzione periodica deirarco, col periodo di 360%
non si avrebbe nulla di nuovo da aggiungere
sulla variazione del seno.

Tangente, La tangente di un arco piccolissimo
é piccolissima e la tangente dell'arco nullo é
nulla. Al crescere dell'arco cresce la tangente
e diventa grandissima quando l'arco é vicinis-
simo ai 90^ Se Tarco raggiunge i 45% il trian-
golo OAT {fi^. 36) è isoscele, e

tang 45° = 1 ;

la tangente ó dunque minore dell'unità per an-
goli minori di 45^, e maggiore dell'unità per gli
angoli da 45° a 90®. L'arco di 90** non ha pro-
priamente tangente, ma sarà possibile prendere
un arco minore, tanto vicino ai 90°, che la sua
tangente superi qualunque quantità assegnata:
ciò si esprime in linguaggio abbreviato dicendo
che la tangente di 90° è infinita. Si può scrivere,
indicando con e una quantità positiva:

lim tang (90* — e) = oc.
per srzo

Quando l'estremo mobile M dell'arco oltre-
passa di poco il punto B, la tangente pur rima-
nendo grandissima in valore assoluto é diventata
negativa, e si può scrivere, • indicando ancora
una quantità positiva,

lim tang (90° -f- e) = — oo.
per e zzo

104 Trigonometria,

Al crescere deirarco da 90° a 180'' la tangente
rimane sempre negativa e cresce da — oo a
(decresce in valore assoluto). Quando l'arco
continua a crescere da 180° a 360**, la figura ci
mostra che la tangente riprende i valori assunti
da a 180**, essendo

tang (180° 4- a?) = tang a?,

cioè la tangente è una funzione periodica del-
Tarco, col periodo di 180^

Coseno. II coseno di un arco piccolissimo è
vicinissimo ad OA ossia all'unità, ed il coseno
dell'arco nullo è Tunità. Al crescere dell'arco
decresce il coseno e diventa zero quando l'arco
raggiunge i 90°. Nel secondo quadrante il coseno
diventa negativo e decresce da a — 1, mentre
l'arco cresce da 90° a 180** ; nel terzo quadrante
il coseno rimane negativo e cresce da — 1 a 0,
mentre l'arco cresce da 180° a 270°; infine quando
l'arco cresce da 270° a 360° il coseno diventa
positivo e cresce da ad 1.

La cosecante, la cotangente e la secante es-
sendo rispettivamente le inverse (*) del seno, tan-
gente e coseno, le loro variazioni si deducono
immediatamente dalle variazioni di queste. Le
variazioni delle sei funzioni goniometriche sono
riassunte nella seguente tabella :

(1) S li, defin. 3.

Le funzioni goniometriche.

105

4

ca

•

•

•

•

H

o

o

o

o

z
o

8

+

co

2

8 8

OQ

09

£1

8

1

o

o

o

4>

1 +

o

o

<

73

«

•d

•o

73

1

H

*" ^^^-^

O

+*

r

1

«

•

•

o

•

63

O

o

09

co

H

z

Vi

8 8

co

^^

2

8 8

<

o
u

Vi

'-

o

+ 1

o

1

o

1 +

r^

+

r

1

t3

+

cq

•

«

•

•

H

09

o

o

09

z

8

+

0)

co

8 8

co

4)

<
o
u:
e/}

o
73

T-<

tri
o

o

8

1

O

,•»

+

1

<s

o

\

+

1

t

1

u

•

•

•

z

Ed

e
z

o
co

8 8

o
(»

o
co

8 8

ó

Vi

<=>

+ 1

o

tu
O

+ 1

<

+

0k

1

+"

1

1

•

o

«

O

•

o

09

co

o

Ò

z

<V

<D

Vi

SO

^

t-

1-H

ai

4)

Cu

»-*

o

o

O
0)

o

o

T-<

o
o

1

73

1

1

+

•

e

•

•

o

«0

CO

o

09

<1>

«

0}

4)

t^

s-

,.^

CJ

z

Cd

o

C

—

O

o

o

1

tri

Vi

+"

73

1

1

1

o

o

o

o

o

O

O

O

O

ai

1

0>

00

t^

(0

<

T*

01

co

106

Trigonometria,

§ VI. Archi
aventi una stessa linea trigonometrica.

a) Se dal punto M della circonferenza di
raggio 1 si conduce la parallela all'asse xsf si
otterrà sulla circonferenza un secondo punto M'
avente la stessa ordinata di Af, ossia gli archi

che hanno il termine in Mod M^ hanno lo stesso
seno. Ma detto a? Tarco AM, AM' sarà 180" — a?
ed in M termineranno gli archi compresi nella
formola (*)

m.360° + a? (1)

(1) § II, teor. 2.

Le funzioni goniometriche, 107

(m intero) ed in M' gli archi dati dalla formola

m . 360^ + 180° — 30,
ovvero

(2m+ 1) 180" — a?; (2)

le formole (1) e (2) ci danno tutti gli archi aventi
il medesimo seno, e quelli soltanto.

b) Dallo stesso punto M si tiri la parallela
all'asse yy'\ si ottiene sulla circonferenza un
secondo punto M" avente la stessa ascissa di M
ed é chiaro che gli archi terminati in M ed M"
hanno lo stesso coseno. Ma detto x Tarco AM,
AM'^ sarà 360** — a? ed in M termineranno gli
angoli compresi nella formola

m . 360"" + X,

in M" gli angoli compresi nella formola

m . 360® — X,
e la formola

m . 360° li: X (3)

ci darà tutti ed i soli archi aventi uno stesso
coseno.

e) Dal puntò M si tiri il diametro A/M'" ;
gli archi terminati in M ed M'" hanno la me-
desima tangente, ma detto x l'arco AAf, gli archi
aventi per estremi M ed M"' sono

m . 360° + X,

ed

m. 360° +180°+ a?

108 Triaonowelria.

e questi si possono compendiare nella formula

m.l80° + a?, (4)

che ci dà tutti ed i soli archi aventi una stessa
tangente.

Essendo per definizione la cosecante, la secante
e la contangente le inverse del seno, del coseno
e della tangente, le formole (1) e (2) rappresen-
tano tutti gli archi aventi la stessa cosecante,
(3) tutti gli archi aventi la stessa secante e (4)
tutti quelli aventi la stessa cotangente.

Si osservi che gli archi terminati nei quattro
punti (vertici di un rettangolo inscritto) M, M', M'\
Af'Vhanno le loro funzioni goniometriche eguali
in valore assoluto e differenti al più per il segno.

§ VII. Relazioni
fra le sei funzioni goniometriche.

Fra le sei funzioni goniometriche debbono ne-
cessariamente passare delle relazioni, poiché le
formole del paragrafo precedente dimostrano
che data una delle sei linee l'arco corrispon-
dente può terminare in soli due punti della cir-
conferenza, e che per conseguenza le altre fun-
zioni goniometriche sono determinate, alTinfuori
del segno. Poiché i valori assoluti delle funzioni
trigonometriche sono determinati tosto che sia
assegnato il valore di una di esse, sarà neces-
sario che le equazioni che le legano siano in
numero di cinque distinte; difatti, se fossero
quattro si dovrebbero assegnare valori arbitrari

Le funzioni gonìometriche.

109

a due delle funzioni per potere determinare le
altre, e se fossero sei (indipendenti^ si potrebbe
da esse equazioni ricavare valori determinati
per le sei funzioni qualunque sia l'arco, il che è
assurdo, poiché le dette funzioni sono essenzial-
mente variabili al variare dell'arco. Le cinque
relazioni si trovano facilmente come segue.

M>R

a'

Se M è un punto preso sul lato OR dell'an-
golo Rooezzx, si ha (*)

MP OP , MP

sen X r=z -zrrr , cos a? = -;^:z7 > ^^^^ ^ ^

OM

OM

OP

(1) § H, defln. 3.

110 Trigonometria,

Quadrando e sommando le due prime, viene

A/P+ OP

sen* a? 4- cos* a? =

2

OM

e poiché per il teorema di Pitagora

2 2 2

MP + OP — OMy

si ottiene:

sen* X 4- cos^ a? = 1. (1)

Dividendo membro a membro le due prime e
confrontando il risultato colla terza, si ha

(2)

sen X

tang X,

COS X

Infine

le definizioni 3 del § II danno

cosec X —

1

sena? '

1

OtìC de

cos X '

cotg X —

1

•

(3)

(4)

(5)
tang a?

A queste cinque relazioni distinte se ne pos-
sono aggiungere altre, che sono però semplici
conseguenze delle prime. Per esempio som-
mando le eguaglianze

sen^ X cos* x

tang*a?:=: — , 1 =

cos* X cos* a?

I^ funzioni goniometriche. 111

e tenendo conto della (1), viene

1

tang* a? + 1 — — - — = sec* x, (6)

eos* X

e similmente si troverebbe

cotg«.+ l=-L--co-c'.. (7)

sen* X

Le formole precedenti possono servire a cal-
colare i valori delle funzioni goniometriche di un
angolo, data che sia una di esse. Come esempio,
sìa dato il valore a della tangente di un angolo
X ; viene dalla (5)

cotg X :=, — ,
a

e dalla (6)

onde

_^ 1

COS X =zdz -

v/l4-a«
finalmente dalla (7)

«=-i/'+i

cosec a? = zh 1 / i -| z=z ± ' —

» a
onde

a

sen X zndz

\/l+a«

Data la tangente, Tarco può terminare in due
punti come M ed M'" (v. ùg. 38); ciò spiega come
le sue linee trigonometriche, ad eccezione della
cotangente^ siano determinate in grandezza, ma
non in segno.

112

Trigonometria.

^ Vili. Teorema d'Addizione per le funzioni

goniometriche.

TiJOREMA. 11 seno ed il coseno dell'angolo a + b si
deduce dai seni e coseni degli angoli a e b mediante le
formole

sen (a 4- 6) = sen a cos b + cos a sen ^i ^ / x
cos (a + ^) = cos a cos b — sen a sen 6. \ ^^^

a) Abbiansi dapprima gli angoli a^nxOR,

b — ROR' ambedue minori di 90° e la cui somma
sia pure minore di 90°. Prendendo OR come lato

T£ funzioni goniomelriclie, 113

iniziale dell' angolo ROR' ed abbassando da un
punto M della OR' le ordinate MNP sulla Ox,
MQ sulla OjR, si avrà per definizione:

NP OP

MQ OQ

om='''''^om'=''''> ' *)

MP . OP

^^z= sen (a + 6), — ^=cos(a+ 1).

Si Uri la QH parallela e la QK perpendico-
lare ad OK; i triangoli MHQ, NOP sono simili
come aventi i lati rispettivamente perpendicolari
e danno

MQ_MH_HQ

ON^ OP~~'~NP'
onde

ON.MHzuMQ.OP (1)

HQ.ON=MQ.NP; (2)

i triangoli ONP, OQK pure simili danno

QK (=: PH) OQ OK

NP ON OP

onde

ON.PH—OQ.NP (3)

ON.OK=OQ.OP; (4)

sommando (1) e (3) e sottraendo (2) da (4), viene
ON. MP = MQ, OP+ OQ . NP

PlNCHERLB. 8

114 Trigonoraetria,

ON. OP— OQ . OP—MQ.NP
e dividendo per OM,ON

MP_MQ OP^ OQ NP
ÒM "~ OM' ~ON "^ DM ' NO'

OP_OQ OP Mi) NP
OM^OM'ON^OM'ON'

e sostituendo per questi rapporti i loro valori (p)
viene finalmente

sen {a'j-b)z=: sen a cos ò + cos a sen ò,
eos (a + 6) in cos a cos b — sen a sen ò,

e. d. d.

6) Abbiansi ora due angoli a e b minori
ancora di 90®, ma la cui somma sia maggiore
di 90°. Poniamo

a':=90'» — a, ò'rzgo*» — ò;

gli archi a' e 6' saranno minori ancora di 90® e
sarà pure minore di 90** loro somma

a'+6'=:180° — (a + ^);

agli angoli a' e b' si potrà dunque applicare la
formola (a) per il caso precedente e si avrà :

sen (a' + ò') = sen a' cos b' -{- cos a' sen 6'
cos (a' + ^') == cos a' cos ò' — sen a' sen 6';

Le funzioni goniometriche, 115

ma si ha (*)

sen a' =z sen (90"^ — a) = cos a,
e

cos a' = cos (90^ — a) = sen a,
onde

sen (a' -f- 6') = cos a sen ò -f- sen a cos 6
cos (a' + 6') — sen a sen 6 — cos a cos 6.

Ma sappiamo (-) che

sen (a' + 6') == sen [180° — (a -f- 6)] zi: sen (a + 6) ,
cos (a' + 6') =z cos [180° — (a + ò)] = — cos (a -f ò) ;

sostituendo questi valori nelle formole precedenti,
e cambiando segno ai due membri della seconda
di esse, si ottengono precisamente le formole (a)
che si volevano dimostrare.

e) Se le formole (a) valgono per gli angoli
a e ò, esse varranno anche per questi angoli
aumentati di un multiplo qualunque di 90°.

Basterà dimostrare che le forinole valgono an-
cora se uno degli angoli (per es. a) si aumenta
una volta di 90°. Sia dunque

a'z=:a + 90°,
donde

a = a' — 90°,

applicando agli angoli a e 6 le formole (a), valide

m § IV, teor. 1.
(2) § IV, teor. 2.

116 Trigonometria,

per ipotesi, si ha :

sen {w — 90® + h) —
= sen (a' — 90"*) cos 6 + sen ò cos (a' — 90*'),

cos (a' — 90^^ + b) =
— cos (a' — 90") cos b — sen (a' — 90**) sen b ;

ma si ha (*)

sen (a' — 90" + b) = sen [ — (^K)" — a' — ò)] —
= — sen (90" — a' — 6) = — cos {a' + ^>),

cos (a' — 90" + ft) r= cos i: — (90" — a' — b)\ =
=: cos (90® — a' — 6) =: sen (a' ^- [/),

e parimenti

sen (a' — 90") =i: — cos a', cos (a' — 90®) n sen a' ;

onde sostituendo nelle precedenti :

— cos (o' -h 6) = — cos a' cos b 4- sen a' sen 6,
sen (a' + 6) zz sen a' cos 6 + cos a' sen 6 ;

ossia le formole (a) valide per a e 6, si conser-
vano valide anche per a -+-90® e b.

Da ciò risulta immediatamente che le dette for-
mole valgono per angoli a q b grandi quanto
si vuole : questi angoli si possono infatti sempre
scrivere

a = m . 90" + a', 6 = n . 90*^ + ò'

dove a' e b' sono minori di 90" : e lejormole (a)

(1) § IV, teor. 1 e 3.

Le funzioni gomometriche. 117

valide per questi ultimi, varranno anche per gli
angoli a' e b' aumentati rispettivamente di m
volte ed n volte 90°, cioè per gli angoli a e ò.

d) Infine gli angoli a e ò possono anche
essere negativi ; in tal caso infatti si possono au-
mentare di tante volte 360® da ridurli positivi, e
sappiamo d'altronde che con ciò le funzioni tri-
gonometriche degli angoli non si mutano.

Corollario 1. Le formole precedenti permet-
tono di calcolare il seno ed il coseno di a-\-b,
conoscendo i seni e coseni di a e 6; applicando
le stesse formole ad a + 6-|-c, si esprimeranno
prima il seno e coseno di a + 6 + e per i seni e
coseni di + 6 e di e, e tenendo conto nuova-
mente delle formole (a), si potranno esprimere il
seno e coseno di a -|- ò + <? per i seni e coseni
di a, 6 e e. In simil modo si potranno esprimere
il seno ed il coseno della somma di un numero
qualunque di angoli per i seni e coseni degli
angoli addendi.

2. Si ha (0

sen(à + ò)

tang {a-\-b)— -

"^^ ^ ^ cos {a + b)

e tenendo conto delle (a)

sen a cos b + sen 6 cos a

tang (a -4- ft) ==

cos a cos b — sen a sen b'

Dividendo i due termini di questa espressione
frazionaria per il prodotto cos a . cos b e tenendo

(1) s VII, formola (2).

1 18 Trigonometria,

conto nuovamente della forinola (2) del § Vili,
viene :

sen a sen h

— — _ _i_

. . cos a cos 6
tang (a + 6) =r

sen a sen b
COS a cos h

tang a + tang h

1 — tang a tang b j

3. Cambiando 6 in — 6 nelle formole (a) e (7)
e ricordando il teorema 3 del § IV, viene

sen (a — 6) = sen a cos b — sen 6 cos a \
cos (a — 6) =1 cos a cos 6 + sen a sen 6 (

(5)

tang a — tango

tang (a - ò) =z -— -"^ , (e)

1 -f- tang a tang 6

formole di sottrazione per le più importanti fun-
zioni goniometriche.

4. Sommando e sottraendo membro a membro
le (a) e le (6), la prima colla prima e la seconda
colla seconda, si ottengono le formole:

sen (a + b) -|- sen (a — 6) = 2 sen a cos ò
sen {a-\-b)^ sen (a — 6) = 2 cos a sen 6

(0
cos (a + ^) "- cos (a — 6) z=:-2 sen a sen 6.

cos (a + 6) + cos (a — 6) =: 2 cos a cos 6 4

che servono a trasformare somme e differenze
di seni e coseni in prodotti. Se infatti poniamo

a + 6=ia?, a — b=:y^

Le funzioni goniometriche. 119

donde {Manuale d'Algebra^ § 64)

a m , ■=: ---

2-2

si trova

sen X + sen uzzi 2 sen cos

' -^ 2 2

sen 0? — sen y zn 2 sen cos

^ 2 2

x-^rj X — y

cos a? + cos V 3z 2 cos — — ^ cos

^ ^ 2 2

x-\-y X — y
cos X — cos r/ z= ^ 2 sen sen '

^ 2 2 ;

Dividendo membro a membro le prime due e
ricordando la (2) del § VII:

^+y

>W

tener

»

P)

sen a? + sen ^ "2

sen a? — sen y x — y

-> tang-^

che avremo- occasione di usare in seguito.

§ IX. Formole
per la moltiplicazione degli angoli.

Problema. Date le funzioni goniometriche di un an-
golo, trovare le funzioni goniometriche dei suoi multipli.

Questo problema si può sciogliere con pro-
cesso ricorrente: cioè conosciute le linee trigono-

120 Trigonometria.

metriche deirangolo a e trovate quelle dell'an-
golo multiplo ma^ si trovano le linee trìgono-
metriche del multiplo seguente (m -f- 1) a me-
diante le formolo d'addizione

sen (m + 1) « = sen (m a -f- ^^ =
rz sen m a cos a + cos m a sen a,

e cosi di seguito. Per il caso di m = 2, basta fare
azrò nelle formolo (a) e (7) del paragrafo pre-
cedente, e si trova :

sen 2 a =: 2 sen a cos a, (1)

cos 2 a = cos* a — sen* a, (2)

2tanga

tang2a=- -^ (3)

1 — tang^a

che servono a calcolare il seno, il coseno e la
tangente dell'angolo doppio conoscendo queste
funzioni relative all'angolo semplice.

Per calcolare sen 3 a e cos 3 a, si applicherà
nuovamente la formola d'addizione

sen 3 azzisen (2 «+ «) = cos 2 asen a+sen 2 a cos a,
cos 3 arz cos (2 a 4" ^) =cos2 a cos a— sen 2a sen a,

e ponendo per sen 2 a, cos 2 a i valori (1) e (2)
e riducendo,

sen 3 a = 3 sen a cos* a — sen^ a,
cos 3 a =r cos^ a — 3 sen* a cos a.

Si è trovato (§ VII, formola 1):

1 z=: sen* a + cos* a ;

Ix futiiionì goniometriche. 121

sommando questa formola colla (2) viene

cos 2 a + 1 — 2 cos^ rt, (4)

onde

cos 2 a =z 2 cos* a— 1 (4')

e sottraendo da quella stessa formola la (2),

1 — cos 2 a 1= 2 sen* a, (5)

onde

cos 2 a = 1 — 2 sen* a, (5')

che sono di uso frequente.

§ X. Forinole per la bisezione degli angoli.

Problema. Date le funzioni gOniometricbe di un an-
golo, trovare le funzioni goniometriche della metà di
quest'angolo.

a) Nelle formole (1) e (2) del paragrafo pre-

a
cedente si cangi a in ~^, e viene

a a
sen a z= 2 sen — cos —

2 2

cos a = cos* sen* — •

2 2

(1)

Queste eguaglianze si possono considerare come

a a

due equazioni fra le due incognite sen — e cos—,

sen a e cos a essendo cogniti. Ma la risoluzione di
questo sistema si semplifica tenendo conto della

122 Trigonometria.

relazione (1) del § VII; si ha infatti:

1 =: sen* — h cos^ —
2 ' 2

e sommando e sottraendo colla prima delle (1),
viene

1 + sen a =: sen* — h cos* — \-2 sen — cos — >

2^2. 2 2

^ a „ a a a

1 — sen a =: sen* — + cos* 2 sen — cos — »

2 ' 2 2 2

onde

a , a /

sen — h cos — = rh \/l -f- sen a

2^ 2

(2)

a a

sen cos — 1= dt v/l — sen a

2 2

e conoscendosi la somma e la differenza delle

a a

due incognite sen — e cos —, queste sono date

da (*) :

sen — z= — I di v/i + sen a i \/l — sen a\

;(3)

sen — — — j ± v/i -f- sen a =p v/i — sen a\.

In queste formule vanno presi insieme o i
segni superiori o gì' inferiori.

(1) Manuale d'Algebra, § 64.

Le funzioni goniometriche. 123

La moltiplicità di valori per sen — e cos — ,

dato che sia sen a, si spiega osservando che, dato
il seno, Tarco corrispondente {fi^. 38) può termi-
nare sia nel punto 3f, sia nel punto M'; l'arco

a

— potrà dunque essere la metà di AM^ o di 360°+^-^^

o la metà di AM\ o di 360° + -4M' e si avranno

cosi quattro punti della circonferenza in cui può

a
terminare — e quindi quattro combinazioni di

a a

valori per sen — e cos —

b) Se nelle formule (4) e (5) del paragrafo

a
precedente si pone — al posto di a, viene

^ a ^ a

2 cos* — = 1 + cos a, 2 sen* — = 1 — cos a,
2 ^ ' 2

onde

tt . ^ /l + cos a d /i — cos a ,

cos-=±|/-:t:-^— ,sen- = ± j/-^_ (.,

a a

che danno i valori di sen — e cos — espressi per

il solo coseno dell'angolo a.

a
e) Si ponga ancora — al posto di a nella for-

mola (3) del paragrafo precedente, e si ottiene:

a
2 tang -

tanga=

1 — tang* -
° 2

1 24 Trigonometria.

che si può scrivere :

a a

tang a tang^ — [-2 lang lang a:=:o

Ci £t

e risolvendo questa equazione di secondo grado

a

rispetto all'incognita tang —, si ottiene (*):

a — 1 =fc:\/l +tanif*«

tang — = •

2 tangtt

a
Il doppio valore che si trova per tang —, data

che sia tang a, si spiega osservando che data la
tangente, l'arco corrispondente può ammettere
i valori espressi dalla formola

m. 180** 4- a;

le metà di questi archi ammettono pertanto i va-
lori compresi nella formola

m. 90' + -j
2

i quali hanno due tangenti distinte, che sono

a a

quelle di — e di 00®+—-

\}) Manuale d'Algebra, § 64.

Le funzioni goniometriche, 125

§ XI. Cenno sulla disposizione e Fuso
delle tavole trigonometriche.

In tutte le questioni che si trattano col sussidio
della trigonometria ed in ispecie nei problemi
di risoluzione delle figure rettilinee, gli angoli non
compariscono mai direttamente nelle formole,
bensì per mezzo delle loro funzioni goniometriche;
mentre sia nei dati, sia nei risultati di tali pro-
blemi figurano i valori degli angoli stessi, espressi
ordinariamente coirunità grado. Si presentano
dunque da risolvere i seguenti problemi:

a) dato il valore numerico di un angolo, tro^
vare i valori delle sue funzioni goniometriche;

ò) data una delle funzioni goniometriche, as-
segnare il valore degli angoli corrispóndenti, e a
tale uopo basta (per le formole del § VI) asse-
gnare il valore del minimo di essi angoli.

La risoluzione teoretica di questi problemi esce
dal campo della matematica elementare; è solo
col sussidio dell'analisi algebrica che si possono
stabilire delle formole che esprimono le linee tri-
gonometriche per mezzo (o come suol dirsi, in
funzione) dell'angolo ed inversamente, e che per-
mettono quindi di risolverei problemi suaccennati.
Per le applicazioni numeriche, si dovrebbe, in
ogni caso speciale, applicare quelle formole; però,
onde risparmiare calcoli laboriosi da ripetersi ad
ogni nuova applicazione numerica della trigono-
metria, si é pensato di eseguire questi calcoli una
volta per sempre e di consegnarne i risultati nelle
cosidette Tavole Trigonometriche. — Queste ta-

126 Trigonometria.

vole constano di più colonne; nella prima si tro-
vano scritti gli angoli da a 90% ad intervalli i più
ristretti che sia possibile (ordinariamente di dieci
in dieci minuti secondi) e di fronte a questi nelle
altre colonne si dovrebbero trovare i valori delle
rispettive funzioni trigonometriche. Osserviamo
però che i valori delle linee trigonometriche cor-
rispondenti ad angoli multipli di 10" sono gene-
ralmente incommensurabili ed è quindi necessario
di limitarsi ad esprimerli nelle tavole in forma
di frazioni decimali, con tale approssimazione che
basti per la massima parte dei casi pratici; ma
tutte le formole per la risoluzione dei triangoli
potendosi ridurre a contenere sole moltiplicazioni
divisioni di funzioni trigonometriche (*), vi si
potrà applicare il calcolo logaritmico; per tale
ragione ed allo scopo di abbreviare i calcoli
si é trovato opportuno di inscrivere nelle tavole
non i valori delle funzioni gonioraetriche, bensi
quelli dei loro logaritmi.

Le tavole servono anche a trovare i logaritmi
degli angoli non inscritti nelle tavole stesse, po-
tendosi ammettere senza errore sensibile che
entro limiti abbastanza ristretti le variazioni dei
logaritmi delle funzioni gonioraetriche sono pro-
porzionali alle variazioni dell'angolo (*).

(1) Le formole del § Vili (^), permettono di ridurre le
addizioni e sottrazioni di seni e coseni a moltiplicazioni
ossia rendono le somme e differenze di seni e coseni
calcolabili per logaritmi,

(2) L' errore diventerebbe sensibile se V anp:olo fosse
molto piccolo, epperò nelle migliori tavole si trovano le
linee trigonometriche degli angoli da a 50, di secondo
in secondo.

Le funzioni goniometriche, 127

Basterebbero tavole calcolate per i soli seni e
coseni: infatti essendo

1 1

cosec X = > sec x = >

sena? cosa?

se ne deduce, prendendo i logaritmi

log cosec a? =: — log sen a?,
log sec a? := — log cos a?

onde basta cangiare il segno ai logaritmi dei seni
e coseni per aver quelli delle secanti e conse-
canti. Inoltre dalla formola

sena?

tang a? =

cosa?

si deduce

log tang X = log sen a? — log cos a?,

ed i logaritmi delle tangenti si possono ricavare
con una semplice sottrazione da quelli dei seni
e coseni.

Però le tavole trigonometriche contengono or-
dinariamente anche i logaritmi delle tangenti e
cotangenti da a 45^ Infine essendo

sen (90" — a?) = cos a?,
onde

sen (45° — a?) =: cos (45"" + ^)>

e similmente

cos (45° — a?) zi: sen (45"* + a?),

si vede come bastino tavole contenente gli angoli
da a 45° invece che da o 90°.

1 28 Trigonometrìa .

I seni e coseni di tutti gli archi e le tangenti
degli archi minori di 45** essendo minori dell'u-
nità, i loro logaritmi avranno la caratteristica
negativa.

Alcuni autori di tavole hanno stimato conve-
niente di schivare le caratteristiche negative au-
mentandole tutte di 10 unità, e scrivendo p. es.
8,997821 invece di "2,997721; i logaritmi si dicono
allora a caratteristica alterata od aumentata.

§ XII. Funzioni trigonometriche
di alcuni triangoli.

Nel paragrafo precedente abbiamo accennato
all'esistenza di formole che esprimono i valori
delle singole funzioni goniometriche in funzione
del valore dell'angolo, ma il piano di questo li-
briccino ci vieta di entrare in maggiori partico-
lari su questo argomento, e ci limiteremo a mo-
strare come per alcuni angoli particolari sia
possibile di calcolare direttamente ed in modo
semplicissimo i valori delle funzioni goniometri-
che, e quindi dedurre per mezzo delle formole
di moltiplicazione e bisezione, i valori delle fun-
zioni stesse per vari altri angoli, multipli o sum-
multipli dei primi.

a) Sia dapprima Kox un angolo di 45°. Con-
dotta l'ordinata MP di un punto M del lato OR
si formerà un triangolo rettangolo MOP in cui

essendo l'angolo MOP di 45°, anche OMP sarà

Le funzioni goniometriche.

129

di 45*"; il triangolo MOP sarà dunque isoscele
ed

si ha dunque

MP—OP;

MP

tang 45° =i = 1.

"" OP

Fig. 41.

Si ha inoltre per il teorema di Pitagora

onde

MP+OP=i2MP = 2 0P=:OM

OM

OP =

MP =

V'2

sen 45®.

MP
OM

1

v/2

cos 45^ :

OP
'^ OM'

•

1

v/2

PlNCHERLE.

9

130 * Trigonometria,

Da questi valori si deduce mediante le forinole
di bisezione (§ X, formola 4) e dando al radicale
il segno + perchè si tratta di angoli acuti :

sen 22% 30' = 1/ ^ "" "7= _ ^2 — v/2
%30^=zt/^ + "7|_ ^2 + v/2

cos 22 ,

2

da cui (§ VII, formola 2)

'.30' = l/?^
r 9-1-

tang. 22°, 30' zz 1/ ^

2-f\/2

o moltiplicando per (2 — \/2) [/2-f-\/2 i due
termini della frazione e riducendo

tang. 22^30' = v/ 2^—1.

Con ripetute applicazioni delle formole di bise-
zione si potrebbero calcolare in modo analogo le
funrioni goniometriche degli angoli compresi

90°
nella formola — .

2™

b) Sia Rox un angolo di C0°; se MP è la
ordinata di un punto M del lato OR si avrà

Le funzioni goniometriclie.

131

e facendo in M un angolo ^71^0 = 30*^ il trian-
golo OMQ sarà equilatero ed OP sarà metà di
MO\ onde

n OP 1

cos 60'' = -— - = -.
OM 2

Il triangolo rettangolo MOP dà inoltre

.2

- 2

MP '^OP= OxV/ = 4 OP,

onde

MPz=iOP\/3 =

MOv/3

2

ifP \/3

sen 60° = —-- = — ,
OP 2

MP
tang. 60« = — =: \ 3.

Dalle formole di bisezione (o anche dal teor. I
del § IV poiché l'angolo di 60** è complementare

132 Trigonometria.

di quello di 30°), si deduce:

1 v/3 J_
sen 30° in -, cos 30° =: — , tang 30° = ,-

2' 2 ' *^ v/3

e con nuove applicazioni delle formole di bise-
zione si potrebbero calcolare le funzioni gonio-

30°
metriche degli angoli compresi nella formola —^

c) Abbiasi da calcolare sen i8°; si osservi
perciò che

2 . 18°+ 3 . 18°=:90^
onde

sen 2. 18°=:cos3. 18«.

Ma per le formole del § IX,

sen 2 . 18°=z2senl8°cosl8°,
cos 3 . 18° :=: cos^ 18 — 3 sen« 18° cos 18°,

onde eguagliando e dividendo per cos 18°,

2 sen 18° =z cos« 18° — 3 sen* 18°;

ma

cos* 18° = 1 — sen« 18°,

onde

2senl8°iz:l— 4senM8°,

ossia

1 1

sen* 18° + - sen 18° =

' 2 4

e risolvendo questa equazione di secondo grado
nell'incognita sen 18",

^ — ld=v/5
sen 18°=: — — .

Le funzioni gonioìnetriche. 133

Il segno — del radicale va escluso, poiché l'an-
golo di 18** è acuto, onde

. . \/5 — 1

sen IS** = -^ ,

4

e conoscendo il seno si calcolano facilmente le
altre funzioni trigonometriche dell'angolo di 18**
e si trova:

^ v/io + 2v/5

COS 18^ =: ■

4

v/5 — 1
tang IS'' ~

^10 + 2 v/5

Da queste, colle formolo di moltiplicazione, si
deduce:

^ ^ ^10 — 2\/5
sen 36^ :=: ^— ^

v/5+ 1
cos 36'^ — -^—-

^'^lO — 2 v/5

v/5 + 1

Infine le formole di bisezione permettono di

dedurre da queste le funzioni trigonometriche

dell'angolo di 9° e degli angoli compresi nella

9<*
formola — .

9m

SKZIONK II.
La r^isoltizlone dei triangoli*

§ XIII. Relazioni
fra gli elementi di un triangolo rettangolo.

Si denotano generalmente con A, B, C, i nu-
meri (espressi in gradi) ciie misurano i tre an-
goli di un triangolo, e con a, 6, e, i numeri che
misurano i lati rispettivamente opposti.

B

Fig. 43.

Sia ABC un triangolo rettangolo, A l'angolo
retto; si hanno già dalla Geometria le relazioni

ora la proposizione seguente ci darà nuove rela-
zioni fra gli stessi elementi.

La risoluzione dei tiHangoli 135

Teorema. In un triangolo rettangolo :

a) Ogni cateto è dato dal prodotto deir ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto (i).

b) Ogni cateto è dato dal prodotto dell'ipotenusa
per il coseno dell'angolo compreso.

e) Ogni cateto è dato dal prodotto dell' altro cateto
per la tangente dell'angolo opposto al primo;

Se prendiamo BA come lato iniziale deiran-
golo B avremo per definizione

CA _ BA CA

sen B =: — — , cos B = — — , tang B zz.

CB' CB' ^ BA'

similmente prendendo CA come lato iniziale del-
l'angolo C, le definizioni del § III danno

BA CA BA

senC=— , cosCz=— , tangC=.— ;

sostituendo in queste e nelle precedenti le no-
tazioni

Bi4 = c, BCzza, CA = b,

si ottiene

6 = asen B, e = a sen C, (3)

c = acos B, 6=: a cos C, (4)

bz=ic tang B, e = b tang C, (5)

che dimostrano il teorema.

Osservazione I. Quadrando e sommando la
prima delle (3) colla prima delle (4) si ottiene

6« + e* = a* (sen« B + cos* B)

(1) Intendasi sempre : il numero che misura ogni ca-
teto è uguale al numero che misura l'ipotenusa, molti"

vlicato, ecc.

136 Trigonomeiria.

ma essendo (*)

sen2B + cos«J5 = l,

si ricade sul teorema di Pitagora: il che non
é che una semplice verificazione, poiché il teo-
rema di Pitagora stesso ha servito a stabilire
la formola citata

II. Essendo la tangente inversa della cotan-
gente dello stesso angolo, si ha dalle (5)

e ~ 6 cotg B, b=ie cotg C (6)

ossia :

Un cateto è dato dal prodotto deir altro per la cotan-
gente dell'angolo opposto a questo.

§ XIV. Relazioni
f^a gli elementi di un triangolo qualunque.

TEoriEMv 1. In un triangolo qualunque ABC un lato
AB è dato dal prodotto del diametro AD del cerchio
circoscritto per il seno dell'angolo opposto C.

Si congiunga BD\ l'angolo B essendo retto
perchè nel semicerchio, il triangolo ABD dà:

ABz=:AD^QnéDA\
ma

ABz=:c, BDA = C

perchè nel medesimo segmento; infine chiamando

(1) § VII, formola (I).

Iji risoluzione dei triangoli.

137

R il raggio del cerchio circoscritto, si avrà
AD=:2R, onde:

c=:2R sen C,

e. d. d.

Fig. 44.

Teorema 2. In un triangolo i lati sono fra loro come
i seni degli angoli opposti.

Essendo a, 6, e i lati, A, B, C gli angoli op-
posti ed R il raggio del cerchio inscritto, si ha
per il teorema precedente

an:2R sen A, b^=z2R sen B, ctz2R sen C,

onde

a

e

sen A senB sen C

2R,

(2)

e. d. d.

Teorema 3. In un triangolo qualunque un lato é doto
dalla somma dei prodotti degli altri due per i coseni
degli angoli che formano col primo.

Abbassiamo dal punto B la perpendicolare BD

138

Trigonometria,

al Iato AC\ se questa cade fra A e C avremo
dai triangoli rettangoli ABZ), BDC (*)

AD zz AB cos A, DC—BC cos C
onde sommando

ACzuAB cos A + BCcos C.

Se invece la perpendicolare BD non cade fra
A e C si avrà

AD = AB cos ^AÒ, DC^ BC cos C,

ma

cos BAD = cos (180'' — A) z= — cos A (2)

onde

AZ)=: — AB cos A,

e sottraendo e notando che

AC=DC-'AD,

(1) § XIII, teor. I, b).

(2) § IV, teor. 2.

La risoluzione dei triangoli, 139

si ottiene

AC— BCcos C+ AB cos A,

Nei due casi, ponendo per i lati i loro valori
a, 6, e, si ha

6 = e cos A -{-a cos C

Osservazione I. Si possono trovare due altre
formole analoghe alla precedente e formare cosi
il sistema :

a=:6cos C + ccos JB j

b~e cos A-\-a cos C ^> (3)

e -zza cos B-^-b cos A /

II. Le formole (3) si possono anche dedurre
dalle (2): si ha infatti da queste moltiplicando i
due termini del secondo rapporto per cos C e
del terzo per cos B

a b cos C e cos B

sen A sen B cos C sen C cos B

òcosC+ccos-B

~ sen B cos C 4- sen C cos B

ma (*)

sen B cos C+ sen Ccos B = sen (B -\- C)
e

sen (J5 4- C) = sen (180^ — A) = sen A («)

(i) § VII, formolo (a).
(2) § IV, teor. 2.

1 4< ) Trigonometria.

talché

a b cos €-{-€ cos B

sen A sen A

ossia

aznb cos C-\-c cos B,

che è una delle (3).

TuOREMA 4. In un triongolo qualunque il quadrato di
un lato è dato dalla somma dei quadrati degli altri due,
meno il doppio prodotto di questi per il coseno dell'an-
golo che essi comprendono (,v. flg. 45).

a) Nel triangolo ABC in cui A è acuto
si ha e)

2 2 2

BC=zAB + AC— 2AC.AD;
ma dal triangolo rettangolo ABD (')

AD z= AB cos A,
onde sostituendo

2 2 2

BC= AB + AC— 2 AB . ACcos A.

b) Nel triangolo ABC in cui A é ottuso
si ha (?)

2 2 2

BC=z AB + AC'\-2AC. AD
ma dal triangolo ABD rettangolo

AD — AB cos ^AD =: AB cos (180'^ — A) =:

=: — AB cos A,

(1) Geometria metrica, §111, teor. 1.

(2) § XllI, teor. 1, b).

(3) Geometria metrica, § 111, teor. 2.

La risoluzione dei triangoli, 141

da cui sostituendo

BC— AB-\- AC—'Z AB , ACcos. A,

Ponendo per 1 lati i loro valori a, 6, e, si ha
nei due casi

Osservazione I. Si possono trovare due altre
forme analoghe alla precedente e formare il si-
stema

a2 — 6« + c2 — 2 oc cos A, \

62 = a« + c« — 2accosS, ^ (4)

e* :=i: a2 + 6« — 2 aò cos C, I

II. Le formole (4) si possono dimostrare in-
dipendentemente da coQsideraztoni geometriche
e deducendole dalle (3). Moltiplicando infatti
le (3) rispettivamente per a, b, — e, sommando
membro a membro e riducendo, si ottiene

a2 + 6* — c« = 2 aò cos C
ossia

c« = a* + 6* — 2 aò cos C,

che è una delle (4).

IH. Essendo cos A < 1, ^a prima delle (4) dà

a^ ^ ò* + c2 — 2 he
ossia

a^ :> {b — e)*, a > ò — e

142 Trigonometria.

donde

b < a + e,

condizione clie per quanto si è visto in Geome-
tria deve essere soddisfatta dai lati di qualunque
triangolo.

IV. Alle relazioni fin qui trovate si deve ag-
giungere l'altra, che vale in qualunque triangolo:

A + B+C=180^

V. Le osservazioni fatte a questo teorema
ed al precedente dimostrano che le relazioni
che si sono trovale non sono tutte indipendenti,
e non potrebbero esserlo perchè tre elementi di
un triangolo (fra cui almeno un lato) servono
a determinare gli altri, cioè fra i sei elementi
non possono passare più di tre relazioni distinte.
Si noti infine che per dedurre le (3) dalle (2) si
è dovuto tener conto della relazione fra i tre
angoli del triangolo.

§ XV. Risoluzione dei triangoli rettangoli.

Come si è già detto nella Introduzione, risol-
vere un triangolo significa trovare il valore nu-
merico dei suoi elementi, dato che sia il valore
di alcuni di essi, in numero sufficiente.

Un triangolo rettangolo essendo determinato
da due elementi fra cui almeno un lato, si pos-
sono presentare quattro casi diversi di risolu-
zione, secondo che sono dati

a) ripotenusa ed un cateto.

La risoluzione dei triangoli, 148

b) l'ipotenusa ed un angolo acuto,
e) un cateto ed un angolo acuto,
d) i due cateti.
Questi casi vengono successivamente trattati
nei seguenti problemi.

Problema 1. Data T ipotenusa a ed il cateto b di un
triangolo rettangolo, calcolarne gli angoli B, C ed il
cateto e.

Si ha

b a sen B

da cui

„ b

senB —

a

e prendendo i logaritmi

log sen B = log 6 — log a ;

essendo noti b ed a, sarà noto log sen B e le
tavole trigonometriche daranno il valore del-
l'angolo (acuto) B, Trovato B, si ha

C=90° — B;

ed il cateto e si ha dal teorema di Pitagora

e =z v/a* — ^' = \/(flt + ^) (a — ^);
questo valore si può calcolare per logaritmi:

log e = - } log (a + 6) + log (a — b). \

Problema 2. Data l' ipotenusa a e T angolo li di un
triangolo rettangolo, calcolare i due cateti />, e, e ran-
gole C.

A

144 Trigonometria.

L'angolo C è dato immedialaraente da

CzzQO*^ — B;

ed i cateti dalle formole (*)

6 = a sen B, e — a cos B

(la cui prendendo i logaritmi

log 6 :zz log a + log sen B,
log e = log flf -j- log cos B,

Problema 3. Dato il cateto b, e rangole B di un
triangolo rettangolo, calcolare Tangolo C, Tipotenusaa
ed il cateto e.

Si ha immediatamente

Czz 90*^ — B.

inoltre (2)

e = ò tang C

onde

log e log ^ + log tang C;

infine

6 — a sen B,

(la cui

6
senB

e prendendo i logaritmi

log a zz log b — log sen B.

(1) § XIII, teor. 1, a) e b),
{«) § XIII, teor. 1, e).

La risoluzione dei iriangolL 145

Problema 4. Dati i cateti by e dì un triangolo rettan-
golo, calcolarne Tipotenusa a, e itlì angoli acuti i7, C.

Si ha

6 zr e tang B,

onde

^ h

tangBrr —

e

(la cui

log tang B zn log 6 — log e,

e le tavole trigonometriche delle tangenti servi-
ranno a trovare il valore dell'angolo B.
Trovato langolò B, Tangolo C si ha da

C = 90^ — B

e ripotenusa a da

az=

sen B
onde

log a =: log h — log sen B.

Osservazione. Si sarebbe potuto ottenere la
ipotenusa daf teorema di Pitagora

ma questa formola non si presta al calcolo per
logaritmi.

.^ XVI. Risoluzione dei triangoli obliquangoli.

Un triangolo qualunque essendo determinato
da tre dei suoi elementi, purché fra questi vi sia

PlNCIlERLR. 10

1 46 Trigonometria.

almeno un Iato, si potranno presentare quattro
diversi casi di risoluzione dei triangoli, secondo
che saranno dati

a) un Iato e due angoli,

h) due Iati e Tangolo opposto ad uno di essi,

e) due lati e l'angolo compreso,

d) i tre lati.

Problema 1. Dato il lato a e gli angoli li e C di un
triangolo, calcolare il terzo angolo A ed i lati b e ^.

L'angolo A è dato subito da

Si

ha
de

inoltre (*)
a

b
ìnB~

e

e

on

sen A ~" sf

a sen B

b^ -,

sen A

"sen C

a sen C
~" sen A

e ricorrendo ai logaritmi

log b zz log a + log sen B — log sen A,
log e = log a -f- log sen C — log sen A.

II problema é sempre possibile ed ammette una
sola soluzione, sotto la condizione B-t-C < 180".

Problema 2. Dati i lati a, b di un triangolo e l'angolo
A opposto ad a, trovare gli angoli B B C ed il lato n.

(i) 8 XIV, formola (2),

La risoluzione dei triangoli, 147

Dalle forinole (2) del § XIV, si ha

a _ 6

san A sen B

onde

h sen A
seriJ5=:- (1)

a

e prendendo i logaritmi,

log sen B ::= log b + log sen A — log a;

e questa fornnola, facendo conoscere Tangolo B

per mezzo delle tavole, ci riconduce al problema

precedente.

Discussione analitica. Il seno di qualunque

angolo non potendo superare 1* unità, si deve

avere

6 sen A < a, (2)

condizione necessaria afifìnché il problema sia
possibile. Si noti che nel caso in cui

6 sen Arra

l'angolo B vale 90**, ed il triangolo da risolvere
è rettangolo. Questo caso si può escludere dalle
considerazioni che seguono, poiché saremmo
ricondotti al problema 1 del § precedente.

Supposta verificata la (2), l'angolo B non ri-
sulta pienamente determinato; infatti le tavole
danno un angolo minore di 90° e che diremo B^
avente il dato seno: ma vi sarà pure un angolo
B2 maggiore di 90° e supplementare di B,, il
quale avrà lo stesso seno, poiché

senB = sen(180° — B).

148 Trigonometria,

Ma il problema precedente (cui siamo ricondotti)
é possibile sotto la sola condizione

A + B<180^;

onde avremo due soluzioni, od una sola, o nes-
suna, secondochè le somme A-\-B^ ed A + ^2
saranno ambedue minori di 180®, o la prima di
esse minore e l'altra maggiore di 180^, o ambedue
maggiori di 180^ Vediamo di esprimere queste
condizioni mediante i dati del problema, e a tal
uopo distinguiamo due casi:
a) A > 90^ Essendo

B8>90°,

la somma A-l-B^ sarà certamente maggiore di
180** e l'angolo B^ non potrà dare alcuna solu-
zione. L'angolo acuto B4 potrà dare una solu*
zione se

A'hBi< 180%

ossia se sarà

J5, <180'» — A;

ma i due angoli B^ e 180^ — A essendo acuti,
all'angolo maggiore corrisponderà il seno mag-
giore (*) e si dovrà avere

sen B^ < sen (180° — A)

ossia

sen B^ <; sen A.

(») § V, Seno.

La risoluzione dei triangoli, 149

Sostituendo per senili il suo valore (1), viene

ò sen A

<. sen A

a

ossia

6 <«.

Questa è la condizione sotto cui, per A > 90^ si
prtrà formare un triangolo cogli angoli A, B^ e
coi lati a, ò: ed il problema avrà una soluzione.
6) A < 90^ L'angolo B^ è minore di 90^
Tangolo A pure, quindi gli angoli A e B, po-
tranno appartenere ad uno stesso triangolo e si
avrà certamente una soluzione almeno. — Perché
l'angolo ottuso i?* possa pure dare una soluzione
dovrà essere

A -f B, < 180^
ossia

A<:180 — Bg, o A<B4,

e gli angoli A e B^ essendo acuti, si avrà per
l'osservazione già fatta dianzi :

sen A <; sen B^.

Ponendo per sen B^ il suo valore (1) :

b sen A

sen A <C

a

da cui

«

Sotto questa condizione si possono ottenere
due soluzioni coi dati del problema, supposta pui*

1 50 Triijonometria.

sempre verificata la (2). Riassumendo, si può
formare la seguente tabella delle condizioni di
possibilità del problema :

b sen A>a

ih - a
\ ^b <a

b sen A <^a \

I ib <r a

\ A < 00" ]

{b -> a\2 »

soluzioni

»

1 »
1 »

Discussione geometrica. La discussione pre-
cedente acquista un maggior grado di chiarezza
ove si confronti colla discussione dello stesso
problema trattato graficamente.
Abbiasi da costruire un triangolo, dati i lati a,

b e Tangolo A opposto ad a. Si faccia un angolo

xAy=LA^ e sul lato Ax dell'angolo si prenda
AC=6: poscia nel centro C con raggio a si de-
scriva una circonferenza che segherà il lato Ay
dell'angolo in due punti B^ B^j od in un solo B,,
o in nessuno; nel primo caso unendo CB^, CB^,
si avranno i due triangoli ACB^^ ^CB^^ costruiti
coi dati del problema, nel secondo unendo CB^
si avrà il solo triangolo ACB^, nel terzo non si
avrà alcuna soluzione.

Intanto osserviamo che affinchè la circonfe-
renza possa incontrare il lato Ay, il suo raggio
a deve essere maggiore della perpendicolare CH
abbassata da C su Ay: ma dal triangolo rettan-

Im risoluzione dei triangoli,

golo CAH si ha

CHzz. ACseii Az^b sen Ay
onde deve essere

a > ò sen A

e si ritrova la condizione (2). Nel caso che

a = CH =z b sen Ay

151

Fig. 4G.

la circonferenza toccherebbe il lato Ay e la so-
luzione del problema sarebbe il triangolo ret-
tangolo ACH.

152 Trigonometria,

Ora se Tangolo A è ottuso, vi potrà essere al
più un incontro della circonferenza col iato Ay^
e affinché vi sia, dovrà essere a > b. Se invece
A è acuto ed a ;> CH un incontro si avrà cer-
tamente, e se, ne avranno due se é a < 6.

Problema 3. Dati due lati &, e di un triangolo e l'an-
golo A compreso, trovare gli angoli B, C ed il lato a.

Si ha O

ò e

sen B sen C
ma da questa proporzione risulta

sen B + sen C h -^ e

sen B — sen C 6 — e

ed applica

nido la formola (6) del § Vili,

B+C

tang

^2 6 + c

tang ^

ma

J5+C— 180" A,

onde

— -^— = 90** —

2
J5+C A

(1) § XIV, teor. 2.

La risoluzione dei triangoli, 153

sostituendo nella formola precedente viene

B—C ò— e A

tang -^ := -^^- colg --

e prendendo i logaritmi

log tang — g — =

A

=r log (6 — C) -I- log COtg -g log (6 + C).

Questa formola fa conoscere per mezzo delle ta-

vole l'angolo — r — e quindi B— C; ma B-|- C è

noto essendo eguale a 180** — A, talché si trova

facilmente B e C, e siamo ricondotti al primo caso.

Osservazione. Il lato a si potrebbe ottenere

da

a* r= 6« -I- e* — 2 6 e cos A,

ma questa formola non è calcolabile per loga-
ritmi.

Problkma 4. Dati i tre lati a, &, e, di un triangolo
trovare i tre angoli.

Dalle formole (4) del § XIV si potrebbero ot-
tenere i valori di cos A, cos B, cos C espressi
per i lati a, ò, e del triangolo, ma le espressioni
che si otterrebbero in tal guisa non risultando
calcolabili per logaritmi, converrà modificarle
col seguente procedimento. Dalle citate formole
si ha:

cos A = — — r

26c

154

Trigonometria,

ma delle forinole di bisezione (*) si ha altresì

sen

\/^

— cosA A _^/l + cosA

-, cos -

V

2 ^2
e sostituendo per cos A il suo valore

^Y^y — 4T^ —

cos— =

1

2ÒC + 62 + C2 — «2

da cui

sen -

»

2

4bc

2 — (6 — c)2

46 c

(a + 6 — e) (a — 6 + c)
Tb~c

COS -— — ^ ^ '

4 6 e

(a + 6 + e) {b-\-e—a)
Ab e

Ponendo

ora

a + b +

e 2/3

onde

a — b — e

:2(/J-

e),

a — 6-f-/? —

:2(p-

^),

ò + c — a —

:2(/)-

«),

(1) § X, forraole 0),

La risotiaioìie dei iriani^olL

155

e scrivendo insieme alle precedenti le formole
analoghe relative agli altri angoli, si ottiene il
sistema :

sen

sen

A _ ^ /(p — 6) (p^ e)

bc

(p — e) (p — a)

e a

C ^ /(p — a) (p—V)

9

V

ab

/'

(2)

A ^ /P ip — o)

cos = I / ~~^

2 |/ be

"' ìp~-b)

cos

V'

e

-e)

C

cos —
2

Queste formole, evidentemente calcolabili per
logaritmi, risolvono il problema.

Osservazione. I radicali sono reali se le dif-
ferenze

p^a, p'-b, p — e,

ossia

b-\~e — a, c-f-a — ò, a + ò — e

sono positive: cioè il problema è possibile se
sono soddisfatte le note condizioni

6 + oa, a + ob, a + b:>c.

156

Trigouomeiria.

§ XVII. Area del triangolo.

l*KOBi.EMA 1. Esprimere T area di un triangolo per
mezzo di due lati 6, e e delPangolo compreso A.

Sia il triangolo ASC, S la sua area, BH rat-
tezza : si ha (*)

S —

1

ACxBH

A H C

Fig. 47.

ma dal triangolo rettangolo BAH

BH—ABsenA,

onde sostituendo

1
8:=:-^ ACx AB sen Ay

e ponendo per AC, AB i loro valori 6, e

S = -^ 6 e sen A.

(1)

(1) Geometria metrica, § li, teor. 4.

La risoluzione dei triangoli, 157

Analogamente si troverebbe

S =: ^TT- ae sen B =z -— <xò sen C.
2 2

Pkoblema 2. Esprimere V area di un triangolo per
mezzo di un lato e e degli angoli.

Si ila (*):

sen B sen r'

onde:

sen B

b^e

sen C

Sostituendo nella (1) del problenna precedente
viene:

1 e* sen A sen B

" ~2 sein"c" ~~ *

Problema 3. Esprimere l'area di un triangolo per
mezzo dei tre lati a, &, e.

Essendo O

A A

sen i4 =: 2 sen -r- cos

2 2

la formola (1) del problenna 1 si può scrivere

A A

8 =: 6 e sen -r- cos

2

(1) § XIV, teor. 2.

(2) § IX, formola (I).

158 Trigonometria.

e ponendo per san —, cos — i loro valori dati

dalle formole (2) del problema 4 del § prece-
dente, si ottiene

'"=''1/'^'^

ip -l>) {p-- e)

he
e riducendo

,S = v//J (/) - a) (/> - b) (p - e). C^)

FINE.

g^

i

ULRICO HOEPLI HE

LIBRAIO-EDITORE DELLA REAL GASA

MILANO

ELENCO

DEI

ANUALi HOEPLI

PUBLICATI san AL 1894

La collezione dei Manuali Hobpli, iniziata col fine di
popolarìzzare i principi! delle Scienze, delle Lettere e delle
arti, deve il sno grandissimo snccesso al concorso del più
autorevoli scienziati e letterati d^Italla, ed ha ormai conse-
guito, mercè la sua. eccezionale difiTusione, uno sviluppo di
più che quattrocento volumi, per cui si è dovuto classifl-
carla per serie, come segue:

SERIE SCIENTIFICA, STORICA, LETTERARIA,

aiUREDICA E LOaUISTICA

(t L. 1,60 il volume)

pei Manuali che trattano delle scienze e degli studi letterari.

SERIE PRATICA

(t L. 2 il volume)

pei Manuali che trattano delle industrie agricole, manifat-
turiere e degli argomenti che si riferiscono alia vita pratica.

SERIE ARTISTICA

(t L. 2 il volume)

pei Manuali che trattano delle arti e delle industrie arti-
stiche nella loro storia e nelle loro applicazioni pratiche.

SERIE SPECIALE

pei Manuali che si riferiscono a qualsiasi argomento,
ma che per la mole e per la straordinaria abbondanza di
incisioni, non potevano essere classificati in
una delle serie suddette, a prezzo determinato.

BTl

E

Titti i Manuali Hoepli sono olegantenonto \ip in tela

SLSICO BlI MAIfALI lOEPU *

PUBLIOATI SINO AL 18W.

Acetato (Vedi Siderurgia), • Le.

)àei|ue (L(b) lulDerali e lermall del Reg-aa d*llalla,

di Luigi Tigli. Topografia — Analisi — Elenchi ~
Denominazione delle acjjue — Malattie per le quali si
prescrivono — Comuni in cui- scatarisQono — Stabili-
menti e loro proprietari — Acque e fanghi in com-
mercio— N^egozianti d'acque minerali di pag. xxii-562. 5 50 .

.4casllca (Vedi Luce e suono),

AduiterazioDe e falsifleazioBe defili alimeatt, del
Dott. Prof. L. (j^ABBAi di pag. vin-212 2 —

Affrleoiiura* (Vedi Agronomia — Alimentazione del
bestiame — Analisi del vino — Animali da cortile «

— Apicoltura — Bachi da seta — Bestiame — Bo-
tanica — Cacciatore — Cantiniere — Caseificio —

Cavallo — Chimica agraria — Coanac — Coleotteri '

— Colombi — Coltivazione, ecc., delle piante tessili

— Concimi — Contabilità agraria — Economia dei
fabbricati rurali — Sinologia — Enologia domestica

— Estimo — Floricoltura — Frumento e Mais —
Frutticoltura — Funghi — Gelsicoltura — Igiene
rurale — Insetti nocivi — Insetti utili — Latte,
cado e burro — Legislazione rurale — Lepidotteri —
Macchine agricole — Malattie crittogamiche — Ma-
lattie dei vini — Olii — Olivo — Orticoltura — Piante
e fi^ — Piante industriali — Pollicoltura — Prato

— Selvicoltura — Tabacco — Tartufi — Uva passa
■— Vino — Viticoltura — Zootecnia),

Agronomia, del FroL F. Cabega di Muricce, 2* ed.,
di pa». vi-200 1 50

Alcool (Fabbricazione e materie prime), di F. Oanta-
MESSA. (In lavoro).

Algebra oompleaioDtare, di PiNCHEBLE. Parte L
Analisi algebrica, di pag. yin-174. 1 50 ^

— Parte II. Teoria delle equazioni, di pag. iv-170 con

4 incisìiaii nel testo 150 .

Algebra olemeniare, del Pro! S. PlNCHBBLE, 5* ed., *

di pag. vm-210 1 50

Alimentazione, di Gt, Straffobello, di pag. vin-122. 2 —
A limeniazlone del bestiame, di T. Poooi. (In lav.).
Alpi (Le), di J. Ball, trad. di L Cremona, pag. vi-iaÒ. 1 50

— (Vedi Dizionario alpino — Prealpi oerpamasche).
Alterazione del vini. (Vedi Analisi del vino — Ma-
lattie ed alterazioni),

AmminUtrazione pubblica* (Vedi Catasto italiano

— Codice doganale — Contabilità comunale — Di- |
ritto amministrativo — Imposte dirette — Legge co- v
munale — Ricchezza mobile — Contabilità dello Stato), ?,

rElefico dei Mamudi Hoepli, 3

L. e.
ytnallal alarebrlea. (Vedi Algebra complementare).
,%nalUÌ del vino, ad USO dei chimici e dei legali, del
Dott. M. Barth, con pref. del Dott. I. Nessler, trad.
del Prof. D. F. C. Comboni, di pagr. 142 con 7 incis. 2 —

— (Vedi Cantiniere — Cognac — Enologia — Malattie
dei vini — Vino — Viticoltura).

.analisi spetlrale. (Vedi Spettroscojda),
Analisi Toiiiiiietrica applicata specialmente ai pro-
dotti commerciali e industriali, di P. E. Alessandri.
(In lavoro).
Anaiomia e flsiolog'ia comparata, delProL R. Besta,
di pag-, vii-218 con Si incisioni . . . 1 50

— (Vedi Animali Parassiti — Batteriologia — Fi-
siologia — Imbalsamatore — Insetti — Protistologia
— Zoologia).

Anaiomla mlcroseoplca» (Vedi Tecnica)*

Anatoiula plllorlca, di A. LoMBABDINi, pagf. VI-118
con incisioni 2 —

/tnimaii (Gli) parasslil deiraomo, del Prof. F. Mer-
canti, di pag. iv-179, con 33 incisioni 1 50

/tnimall da cortile, del Prof. P. BoNizzi, di pag. xrv-
238 con 39 incisioni 2 —

— (Vedi Bestiame — Colombi — Pollicoltura).
Antichità private del romani, del Prof. W. Kopp,

trad. del Prof. N. Moreschi, 2" ediz., di pag. xn-130. 1 50

— (Vedi Archeologia delVarte).

Antisettici. (Vedi Infezione, disinfczione e disin-
fettanti).

Antropolog:Ìa, del Prof. G. Canestrini, 2* ediz., ri-
veduta ed ampliata, di pag. vni-232, con 23 incisioni, 1 50

— (Vedi Etnografia — Fisiologia — Paleoetnologia).
Apicoltura razionale, del Prof. Gr. Canestrini, 2*

edizione riveduta di pag. iv-196, con 43 incisioni . . 2 —
Apprestamento delle fibre tesolll. (Vedi Filatura).
Arabo volg'are (Manuale di), di De Sterlich e Dm
Khaddag. Raccolta di 1200 vocaboli e 600 frasi più

usuali, di pag. 143, con 8 tavole 2 50

Araldica ((i^rammatica), di F. Tribolati, 3* ediz., di

pag. vni-120, con 98 ine. e un'appendice sulle ** Livree „. 2 50
Archeoloipia delFarte, del Prol L Gentile:

Parte L Storia delVarte greca testo, 2* ed., p. xn-228. 2 —
„ Atlante per l'opera sudd. di 149 tavole^ indice. 4 —
Parte II. Storia delVarte etrusca e romana, testo,

2* ediz., di pag. iv-228. 2 —

Parte EL Atlante per l'opera sudd. di 79 towo/e, indice. 2 —
Architettura Italiana, dell'Ardi. A. Melani, 2 voi.,
di pag. xvin-214 e xn-266, con 46 tav. e 113 fig., 2* ediz. 6 —
I. Architet. Pelasgica, Etnisca, Italo-Greca e Romana,
n. Architettura Medioevale, fino alla Contemporanea.

4 Elenco dei Manuali Hoepli.

_-

ArltMeilea prailea, del Dott F. Panizza, di pa-
gine VIII-18B 1 50

ArÌiBi«ti«« razIoBale, del Prot Dott. F. PAmzzA,
2" ediz., pag:. xn-210 1 50

Arto del dire (K), del Prof. D. Ferrari, 2» ediz.,
corretta ed anipliata, di pag:. xvi-190 1 50

— (Vedi Rettortca — Ritmica — Stilistica).
Arte Militare. (Vedi Storia deU%

Arte mineraria, dell'liig. Prof. V. ZoPPETTl, di pa-
gine iv-182, con 112 figrure in 14 tavole 2 —

Arte ifreea, etrosea e romana. (Vedi Archeologia
delVarteh

Arti. (Vedi Anatomia pittorica — Archeologia ddVarte
— Architettura — Decorazùyne — Disegno — Pit-
tura — Scienza dei colori — Scoltura).

Arti (Le) rralielie fotemeeeantche. Zincotipia,
Autotipia, Elioffrafìa, Fototipia, Fotolitografia, Foto-
silograna. Tipofotografia, ecc., secondo i metodi più
recenti, dei grandi maestri nell* arte : Albert, An-

GERER, CrONENBERG. EdER, (d^ILLOT, HuSNIK, KoFAHL,

MoNET, Poitevin, Roux, Turati, ecc., con un cenno
storico sulle arti grafiche e un Dizionarietto tecnico ;
pag. iv-176 con 9 tavole illustrate 2 —

— (V. Dizion, Fotografico — Fotografia dei colori —
Fotografia per dUettcmti — Ricettario fotografia).

Asfalto (L'), mbbricazione - applicazione, dell'lng. E. Ri-
ghetti, con 22 incisioni, di pag. vin-152 2 —

Assicurazione sulla vita, di 0. Pagani, di pa-
gine vi-152 1 50

Assistenza denflt Infermi noirOspedale ed In fa-
mlfflia, del Dott. C. Galliano, di pag. xxiv-448, con
7 tavole 4 50

— (V. Acquee minerali — Igiene — Soccorsi d'urgenza).
Assonometria. (Vedi Disegno assonometrico).
Astronomia, di L N. Lockybr, tradotta ed in parte

rifatta da E. Sergent e riveduta da Gt. V. Schiapa-
rellIj 3* ediz., di pag. yi-156, con 44 incisioni ... 1 50

— (Vedi Gravitazione — Spettroscopia).

Atlante g-eografleo-storleo dell' Italia, del Dott G.
Garollo, S carte, 76 pag. di testo e un' Appendice. 2 —

— (Vedi Alpi — Dizionario geografico — Esercizi
geografici — Geografia — Pronttuino di Geografia).

Atlante g'eoflp'alleo universale, di KiEPERT, con no-
tizie geograiche e statistiche del Dott Gt. Garollo,
8« ed&. (dalla 70000 alla 80000 copia), 25 carte, 88 pa-
gine di testo 2 —

Atmosfera. (V. Climatologia -Igroscopi -Meteorologia).

Atti notarili. (Vedi Notaro — Testamenti^.

Elenco dei Manuali Hoepli,

L. e.
AUrezzalura, oiaiieTra delle navi e sefpiaiaiioBl
narUtliue, di F. Imperato, di pagf. xxii-36(), con
fiff. 232 nel testo e xv tavole litografate 4 50

— (vedi Ingeqnere navale — Marinista navale)*
Anto ti pia* (Vedi Arti Grafiche),

Avieoltiira. (Vedi Animalt da cortile — Colotribi do-

mestùii — Pollicoltura),
Bachi da seta, del Prof. T. Nenoi, di pa^. vi-276,

2* ediz., con 41 incisioni e 2 tavole 2 —

~ fVAdi Gelsicoltura — Industria della seta — Tintìtra

della seta^.
Balistlea. (Vedi Esplodenti- Storia deWArte Militare),
Batlerlologrla, dei Proif. G. e R. Canestbini, di pa-

g:ine vi-210 con 2^ illustrazioni 1 50

— (Vedi Animali Parassiti — Microscopio - Proti-
stólogia),

Besilane (L) e l'asrrleeUara In Italia, del Prof. R
Albeiiti, di pag. vui-312, con 22 zincotipi«) .... 2 50

— (Vedi Agricoltura — Alitnentazione del bestiame),
Blaneherla* (Vedi Disegno, taglio e confezione di —

Macchine da cucire).
Blbliegralla, di Q. OTTINO, 2* ediz., riveduta di pa-
gine vi-166, con 17 incisioni 2 —

— (Vedi Dizioìiario bibliografico),
niblloteearlo (Manuale del), di Petzholdt, tradu-
zione di Gr. BiAGi, e Gr. Fumagalli, di pag. xx-361 con

un'appendice di pag. 213 7 50

BiogrraOa. (Vedi Cristoforo Colombo — Dante —
Omero — Shakespeare),

Bitume. (Vedi Asfalto),

Blasenl* (Vedi Araldica — Paleografìa).

Borsa (Oper. di). (V. Valori pubblici - Debito pubblico).

Botanica, del Prof. L D. Hooker, traduz. del Prot. N.
Pedicino, 4* edizione, di pag. xiv-134, con 68 in-
cisioni 1 50

Bromatolog'la. (Vedi Adulterazione — Alimentazione
— Conserve alimentari — Frumento e mais — Latte
burro e cacio — Panificazione),

Burro. (Vedi Latte — Caseificio).

€aeclat4»re (Manuale del), di Q-. Franceschi, di pa-
gine viii-2fi8, con 10 tavole e 14 incisioni nel testo. 2 50

Calcolo diflerenasiale, del Prof. E. Pascal (volume
doppio). (In lavoro).

Calcolo Intesrrale, del Prof. E. Pascal (voi. doppio).
(In lavoro).

Calligralla (Manuale di). Cenno stoiico, cifre nume-
riche, materiale adoperato per la scrittura e metodo
d'insegnamento, con 69 tavole di modelli dei principali

Dandde). ■
di p. xii4^. 2 -
Bse, dell^Inge-

w).

impletaiaeiite

Latte, bttrro,

E. BRDin, di
S-

ello C. VoL-
. tavole. . . 2 50
tavole Ioga-

r. BOOLETII,

lling. G. Òk-

Dterpolazionl 13—
vrori — Di-

Tdemetria).

anifieozione).
EiduzioDe del
ine 4' ediz. 1 50
dì p. vm-a» 2 50

loBtrìali, ecc.,

UCI UUIA,. riUl. U. VTlUlllA, Ul t«g. iU-Qirl 5 —

~ (Vedi ^nu/igi tio;«me(riea).

Ciclista (Manuale delh di À. Galante, riccamente

illuBirato, di pag. n-lSi, con 73 fototipie 2 50

CllBialaUgrla, di L. De Maucei, p. x-2M, con 6 carte 1 50

— (Vedi IgrtmMj» -~ Meteorologia — Sùmoloffia).
Cadice da)[anale Italiana eoa «amuMit* e nate,

doll'Avv. E. Brdni, di pas. xx-1078 con 4 indaionì. 8 50

— (V. Amministrazione pwiblica - IVasporti e tariffe).

Elenco dei Manuali Hoeplù 7

L. e.
Codlee metrle* Internazionale. (Vedi I Prototipi

del metro e del kilogramma).
Cognme (Fabbricazione del) e dello sjplrlto di vino

e distillazione delle fecee e delle vinacce, di

Dal Piaz-di Prato, di pag. x-168, con 37 incisioni. 2 —
Coleotteri Italiani, del Dott. A. Griffini, p. xvi-SJl

con 215 incisioni (volume doppio) 3 -^

Colombi domestici e eolombleoltnra, del Prof. P.

BoNizzi, di pag. vi-210, con 29 incisioni . . . , . 2 —

— (Vedi Animati da cortile — Pollicoltura).
Colombo C. (Vedi Cristoforo Colombo),

Colori e la pittura (La scienza dei), del ProCL. Guaita,
di pa^. 248. .... 2 —

— (Vedi Anatomia pittorica).

Colori e vernici, di Gt. GoRiNi, 3' ediz., di p. rv-181 2 —

— (Vedi Fotografia — Luce e colori — Vernici).
Coltivazione ed Industrie delle piante tessili,

propriamente dette e di quelle che danno materia per
legacci, lavori d'intreccio, sparteria, spazzole, scope,
carta, ecc., colVag^unta di un Dizionario delle piante
ed industrie tessili, di oltre 3(XX) voci, del Prof. M. A.
Savorgnan D'Osoppo, di pag. xn-476, con 72 incis. 5 —

— (Vedi Filatura - Gelsicoltura - Piante industriali).
Compensazione deg-li errori con speciale applica-
zione al rilievi ifeodetlci, di F. Grotti jmg. iv-160. 2 —

Com|»utÌsteria, del Prof. V. GiTTi, voi. L Computi-
stena commerciale, 3* ediz., di ps;^. vi-168. .... 1 50

— Voi. n. Computisteria finanziaria, di pag. vin-156. 1 50
Compntlsterla ag-rarla, del Fro£ L. PbtkIi di pa-
gine vi-212. 1 50

— (Vedi Contabilità — Logismografia — Bagioneria
— Scrittiire d^affàrii.

Concia delle pelli ed arti afllnl, di G. GoRINl,
3* edizione interamente rifatta dai Dott. G. B. Fran-
ceschi e G. Venturoli, di pag. ix-210 2 —

Concimi, del Prof. Funaro, di pag. vn-253 . . . . 2 ■—

— (Vedi Chimica agraria).

Confezione di biancheria. (Vedi Diseano, taglio e).

Conserve alimentari, di G. GoRiNi, 3* ediz. intera-
mente rifatta dai Dott. G. B. Franceschi e G. Ven-
turoli. (In lavoro).

— (Vedi Adulterazione — Alimentazione — Frum^ento
e m^is — Latte, burro e cacio — Panificazione).

Contabilità comunale, secondo le nuove disposizioni
legislative e regolamentari (Testo unico 10 febbraio 1S89
e R. Decreto 6 luglio 1890, del Prot A. De Brun,
dì pa|[. viu-214 1 50

— (Vem Diritto amministrativo — Legge comunale).

8 Elenco dei Manuali Hoepli.

L. e.

Contabilità sT^B^rale dello Stato, delVAvv. E.
Bruni, pag. xn-422 (voi. doppio) 3 —

— (V. Computisteria — Bagioneria — Logismografia).
Corpi grassi e «tearlnerlay delllng. E. Marazza.

— ( vedi Industria stearica).

Correttore e compositore tipoarrafo. (Y. Tipografia),

Corse (Dizionario delle), (Vedi Cavallo),

Costitazlone di tatti |flt Stati* (Vedi Ordinamento),

Costami. (Vedi Etnografia),

Cristallografia geometrica, fisica e chimica ap-
plicata ai minerali, del Pro£ F. Sansoni, di p. xvi-3È,
con 281 incisioni nel tests (voL doppio) 3 —

— (Vedi Geologia — Mineralogia).

Cristoforo Colombo, di V. Bbllio, con 10 ine, p.iy-136 1 50

Crittogame. (V. Malattie crittogamiche delle piante),

Croooiogla. (Vedi Storia e Cronologia),

Cabatara* Prontuario per la cubatura dei legnami, di G.
Belluomini, 2* edìz. aumentata e corretta, di pag. 204. 2 50

Carve* Manuale pel tracciamento delle curve delle Fer-
rovie e Strade carrettiere di (3^. BL KrOhnke, tradu-
zione di L. Loria, 2' ediz. di pag. 164, con 1 tavola. 2 50

Uaatologla, di Gr. A. Scartazzini, 2* ediz. Vita ed
Opere di Dante Alighieri, di pag. vi-408 (voi. doppio) 3 —

Debito (II) pabblico Itallaoo e le regole e i modi per
le operazioni sui titoli che lo rai)presentano, di F. Az-
zoNi, di pag. viii-376 (voL doppio) . . 3 —

Decorazioae e ladastrle^ artistiche^ con una intro-
duzione sulle industrie artist. nazionali, dell' Arch. A.
Melani, 2 voL di complessive pag.xx-460, con 118 inds. 6 -—

Demografia. (Vedi Statistica).

Iliboseameoto. (Vedi Selvicoltura),

Didattica per gli alunni delle scuole normali e pei mae-
stri elementari del Prof. Or, Soli, di pag. vin-214 . 1 50

Digesto (B), di 0. Ferrini, di pag. iv-134. .... 1 50

Dlaamica elemeatare, del Dott. 0. Cattaneo, di
pag. viii-146, con 25 figure 1 50

— (Vedi Termodinamica).

Diplomatica, del Prof. L. Zdekaxter. (In lavoro).

Diplomi. (Vedi Araldica — Paleografia).

Diritti e doveri del dttadlal, secondo le Istituzioni
dello Stato, per uso delle pubbliche scuole, del Prof. D.
Maffioli, 8* ed., di pag. xvi-208 ........ 1 50

Diritto ammlulstratlvo giusta i programmi governa-
tivi, ad uso degli Istituti tecnici, del Prof. Gr. Loris,
2* edizione, di pag. xxn-506 (volume doppio). . . . 3 —

Diritto civile Italfaao, del Prof. O.ALBicrNi,p.vul-128 1 50

Diritto comoierclale. (Vedi Mandato).

Diritto couiaoale e provloclale, di Mazzoccolo.
(Vedi Legge comunale e provinciale).

Elenco dei Manuali Roeplù 9

L. e.
Olrltio eoiititazionale, di F. P. CoNTUZZI,.p. zn-320. 1 50
Diritlo ecclesiastico, del Doti. 0. Olmo, di pagine
xn472 (volume doppio) • . . . . 3 —

— (Vedi Benefici vacanti),

Olrltto iDterDaaElouale privato, delVAvv. Prof. F. P.
CoNTUZZi, di pae. xvis&2 (volume doppio) . . . . 3 —

Diritto internazionale pnbiillco, dcirAvv.Prof.F.P.
CoNTUZzi, di pae. xii-320 (volume doppio) 3 —

Diritto penale, dell' Avv. A. Stoppato, di p. vni-192. 1 60

Diritto romano, del Prof. C. Ferrini, di me, vin-132. 1 50

Dloeg-no* I prìncipi! del Disegno e gli stili dell'Orna-
mento, del Prof. C. Bono, 3* edizione, di pag. iv-206,
con 61 silog 2 —

Diseg^no assonooietrieo, del Prof. Paoloki, dì pa-
gine iv-122 con 21 tavole e 23 figure nel testo. . . 2 —

Disegno g>eoBietrico, del Prof. A. Antilli, di pa-

g'ne viii-^, 6 %ure nel testo e 28 tavole litografiche 2 —
«ipno topog-raflco, del Capitano Gt, Bertelu,
2* ediz. di pag. vi-137, con 12 tavole e 10 incisioni . 2 -—

— {Vedi Cartografia — Telemetria),

Disegno, tannilo e confezione di biancheria (Ma-
nuale teorico pratico di), di E. Bonetti, con un
Dizionario di nomenclatura, p. vin-216 con 40 tav. 3 —

Disinfezione. (Vedi Infezione),

Distiilazione. (Vedi Alcool — Cognac),

Dizionario alpino Italiano. Parte 1* : Vette e valichi
italiani, delllng. E. Biqnami-Sormani. — Parte 2*:
Valli lombarde e limitrofe alla Lombardia, delllng. C.
Scolari, di pag. xxii-310 3 50

— (Vedi Alpi e Prealpi bergamasche).
Dizionario Eritreo italiano arabo-aniarlco, di

A. Allori. (In lavoro).

Dizionario della ling>na del Oaila (Oromonica).
(Vedi Grammatica),

Dizionario bibiio|rra0co, di C. Arlìa, di pag. 100. 1 50

Dizionario Filatelico, per il Raccoglitore di rranco-
bolli con introduzione storica e bibliografia di J. Gelli
di pag. Lxiv-412. 4 50

Dizionario fotoirraflco ad uso dei dilettanti e profes-
sionisti, contenente oltre 1500 voci in 4 lingue, nonché
500 sinonimi e 600 formule del Dott. Luigi Gioppi,
di pa§:. viri-600 con 95 incis. e 10 tavole fuori testo. 7 50

-— (Vedi Arti grafiche fotomeccaniche — Fotografia per
dilettanti — Ricettario fotografico).

Dizionario |feo|fraflco nniversale, del Dott. G. Ga-
ROLLO, 3' edizione, di pasr. vi-632 a due colonne . . 6 50

Dizionario italiano. (Vedi Vocabolario italiano).

Dizionario italiano e IToiapnk, di 0. Mattel (Vedi
Vclaipuk).

10 Elenco dei Manuali Roeplù

L. e.

Dizlouarlo tenutat delle eorse, di C. Volpini, di
pag:. 47 . 1 —

Dizionario unÌTeri«aie delie Ungile Italiana, te-
deaea, lufflese e franeeae, disposte in un unico
alfabeto, 1 voi. di pag. 1200 . . 8 —

Dog'ane. (Vedi Codice doganale — Tra^sporti).

Oottrina popolare, in 4 lìngue. (Italiana, Francese,
Inglese e Tedesca). Motti popolari, frasi commerciali e
proverbi, raccolti da G. Sessa, 2* ediz., di nag. iv-212. 2 —

Eeonomia del fabbrleatl rarall, di V. NICCOLI, di
pag. vi-192 2 —

— (Vedi Estimo rurale — L^islazione rurale),
Eeonomla polUlea, del FrolT W. S. Jetonb, traduz.

del Prot. L. Gobba. 3* ed., riveduta, di pag. xiv-174. 1 50

— (Vedi Scienza delle finanze).

EledrlclAta (Manuale dell'), di G^. Colombo e R Fer-
rini, di pag. vin-204-44 con 40 incisioni 4 —

— (Vedi Éluminazione — Telefono — Telegrafia),
Elettrieltà, del Prof. Fleeming Jenkin, traduz. del

Prof. 11. Ferrini, di pag. vin-180, con 32 incisioni. 1 50

— (Vedi Magnetismo — Unità assolute).
Elettrolisi. (Vedi Galvanoplastica),
Eliografia. (Vedi Arti grafiche),
Eiubrioloifia e morfolog-la g-euerale, del Prof. Gt,

Cattaneo. (In lavoro).

Euelelopedia Hoepll (Piccola)^ in 2 volumi di 3875
pagine di due colonne per ogni pagina con Appen-
dice. L'opera completa elegantemente legata. . . . 20—

Euerifla flslea, di R. Ferrini, di p. vi-l(Ì8, con 15 ine. 1 50

— (Vedi Dinamica elementare — Termodinamica),
Eoologria, nrecetti ad uso degli enologi italiani, del

Prof. 0. (JTTAVI, 2* ediz., riveduta e amidiata da A.
Strucchi, di pag. xn-194, con 21 incisioni . . . . 2 —

— (Vedi Analisi dd vino - Cantiniere - Cognac ^Enologia
domestica - Malattie dei vini - Vino - Viticoltura),

Enologia domestica, di R.SERNAGl0TT0,pa?.vin-223. 2 —
Enloniolci^ia. (Vedi Coleotteri italiani — Insetti no-
civi — Insetti utili — Lepidotteri),
Equazioni (Teoria delle), del ^Proi S. Pincherle, di
pag. xii-170, con 4 incisioni 1 50

— (Vedi Algebra complementare).

Errori e preiflndizl Toljgarl, confutati colla scorta
della scienza e del raziocinio da Gt, Strafforello,
di pag. iv-170 1 50

Esereizi ifeog'raflei e quesiti, di L. HUOUES, sai-
l'Atlante di R. Klepert, 2" ediz., di pag. 76 . . 1 —

Esereizi di tradazione a complemento della

•atiea firaneese, del Prof, G. Prat, p. vi-183 1 50

Elenco dei Manuali Hoeplù 11

— ■ L. e.

Esercizi di tradazione con v#eali«»iarlo a eain*

piementa delia g^rammatlea tedesca, del Prof. G.

Adler, di pag. iv-236 1 50

— (Vedi Grammatica tedesca — Letteratura),
espiadeotieDiododirablirlcaril,R.MOLlNA,p.xxBOO 2 50
Estetica, del ProL M. Pilo, di pagr. xx-260 .... 1 50

— (Vedi Etica — FUosofia — Logica — Psicologia),
Estima rurale, di F. Careqa di Muricce, p. vi-164. 2 —

— (Vedi Agronomia — Disegno topografico — Eco-
nomia dei fabbricati rurali — Greometria pratica).

Etica, del Prof. L. Friso. (In lavoro).
K:toa|prafla, del Prot. B. Malfatti, 2* ediz., intera-
mente rifusa, di pag. vi-200 1 50

— (Vedi Antropologia — Paleoetnologia),
Etoalogcla. (Vedi Antropologia),
Fabbricati rurali. (Vedi Economia dei).
Fabbriche. (Vedi Proprietario di Case)
Fabbro. (Vedi Fonditore — Operaio — Tornitore).
Falegroame ed ebanista. Natura dei legnami, maniera

di conservarli, prepararli, colorirli e verniciarli, loro
cubatura, di Gt, Belluomini, pag. x-138, con 42 ine. 2 —

Falsifleazlone deffli alimenti. (Ved' Adulterazione),

Farmacista (Manu ile del), del Dott P. E. Alessandri,
di pag. xn-628, con 138 tav. e 80 incisioni originali. 6 50

Ferro. (Vedi Siderurgia).

Ferrovie. (Vedi Trasporti),

Filatelia, (Vedi Dizionario filatelico)

"filatura. Manuale di filatura, tessitura e lavorazione
Yneccanica delle fibre tessili, di E. Òrothe, traduzione
^sull'ultima edizione tedesca, di p. vin-414, con 105 ine. 5 --
- (Vedi Coltivazione — Piante industriali).
llolog>la classica, rreca e latina, del Prof. V.
Inama, di pag. xii-19o 1 50

/— (Vedi Letteratura greca e romana).

Filonauta. Quadro generale di navigazione da diporto
e consigli ai principianti, con un Vocabolario tecnico più
in uso nel panfiliamento, del Gap. C^^. Olivari,p.xvi-286 2 50

Filosofia morale, di L. Friso, p. xvi-336 (voi. doppio) 3 —

— (Vedi Estetica — Etica — Logica — Psicologia),
Finanze (Vedi Scienza ddlé).

Fiori. (Vedi Floricoltura — Piante e fiori).
Fisica, del Prof. Balfour Stewart, trad. del Prot. G.
Cantoni, 4- ediz., di pag. x-188, con 48 incisioni . . 1 50

— (Vedi Calore — Energia fisica — Luce e stiono),
FÌslologrÌ»9 di Poster, traduz. del Prof. Q. Albini,

3" ediz., di pag. xn-i58, con 18 incisioni 1 50

Fisiologia comparata. (V. Anatomia— Embriologia),
Fitoiogia. (Vedi Botanica — Flora italiana — S'Io-

ricoltura — Frutticoltura).

12 Elenco dei Manuali Hoepli,

L. e.

Flora ilallaoa UMeablle, dì R. PmOTTA. (In laYoro).
Florleoltnra (Manuale di), di 0. M. Fratelli Roda, di
pag. vni-186, con 61 incisioni 2 —

— ( V odi Botanica — Piante e fiori).
Fog>natura cittadlDa, dell'Ine. D. Spataro. (In lav.).
Foodkore lo initì I metalli (Manuale del), di a. Bel-

LUOMiNi, di pag:. 146, con 41 incisioni 2 —

Fooologria greca, del Prof. A. CiNdUiNi. (In lavoro).
Fonologia Italiana, del Dott. L. Stoppato, p.vin-102. 1 50
Fonologia latina, di S. Consoli, di pa^. 206 . . . 1 50
Fotogalvanotlpia. (Vedi Arti grafiche).
Fotografia dei colori, del Dott. C.tìONACiNi. (In lav.)
Fotoffrafla pei dilettanti. (Come il sole diping:e), di

G. MuFFONE, di pafi:. x-204, 2* ediz., con molte inds. 2 —
•^ (Vedi Arti grafiche — Dizionario fotografico —

Ricettario fotografico).
Francobolli, (vedi Dizionario Filatelico).
Frumento e mais, di G. Cantoni, p. vi-168 e 13 incis. 2 —

— (V. Adulterazione — Alimentazione — Panificazione).
Frutticoltura, del Prof. Dott. D. Tamaro, con 63 il-
lustrazioni, di pag. vin-192 2 —

— (Vedi Pomologia artificiale — Uva passa).
Fulmini e parafulmini, del Dott. Froi. E. Cane-
strini, di pag. vin-166, con 6 incisioni 2 —

Funghi (I) ed 1 tartufi, loro natura, storia, coltura, con-
servazione e cucinatura. Cenni di Folco Bruni . .2 —

Fuochi artificiali. (Vedi Pirotecnia).

Fuochista. (Vedi Macchinista).

Galvanoplastica, ed altre applicazioni dell'elettrolisi^
Galvanostegia, Elettrometallur^a, Affinatura dei me-
talli, Preparazione dell'alluminio. Sbianchimento della
carta e delle stoffe, Risanamento delle acque. Concia
elettrica delle pelli, ecc., del Prof. R. Ferrini, 2* ed.,
completamente rifatta, di pag. xn-392 con 45 incisioni. 4 —

Gelsicoltura, del Prof. Dott. D. Tamaro, p. xvi-175,
con 22 incisioni nel testo , . . . 2 —

— (Vedi Coltivazione e industria delle piante tessili).
Geodesia. (Vedi Compensazione degli errori — Cele-

rimensura — Cuì've — Disegno topografico — Geo-
metria pratica — Telemetria).

Geodinamica. (Vedi Sismologia — Termodinamica
— Vulcanismo).

Geoirrafla, di Gt. Grove, trad. del Prof. E. Galletti,
2" ediz., riveduta, di pag. xn-160, con 26 incisioni. . 1 50

— (Vedi Alpi — Atlante — Cartografia — Disegno to-
pografico — Dizionario geografico — Mare — Pron-
tuario di geografia).

Geog>rafia classica, di H. F. TozEE, traduzione e
note del Prof. L Gentile, 5" ediz., di pag. iv-168. . 1 50

Elenco dei Manuali Hoepli, 13

L. e.

Geografi» flsIcA, dì A. Geikie, traduzione sulla 6*
edizione inglese di A. Stoppani, 3' ediz., paff. iv-132,
con 20 incisioni 1 50

Geologi», dì Geikis, traduzione sulla 3* edizione in-
glese di A. Stoppani, 3' ed., di p. vi-154, con 47 ine. 1 50

— (Vedi Cristallografia — Mineralogia).
Geometri» anali tie» dello spazio^ del Prof. F.

AscHiERi, dì pag. yi-196, con 11 incisioni 1 50

Geometria analitlea del jplaoo, del Pr. F. ASCHIEBI,

di pag. vi-194, con 12 incisioni 1 50

Geometria descrittiva^ del Prof. F. Aschiebi, dì

pag. iv-210, con 85 incisioni 1 50

Geometria metrica e trlgoBometrla, del Prof. S.

Pincherle, 3" ediz., di pag. 71-152, con 16 incisioni. 1 50
Geometria pratica, dellTng. Profl G. Erede, 2" ediz.,

riveduta, di pag. x-184, con 124 indsioui 2 —

— (Vedi Oderimensura — Disegno assonometrico —
Disegno geometrico — Disegno topografico — Geo'
desia — Regolo calcolatore — Statica — Telemetria).

Geometria projettiva del plaoo e della stella,
del Prof. F. Aschirri, 2* ed., di p. vi-22rf, con 86 ine. 1 50

Geometria projettlva dello spazio, del Prof. F. A-
scHiERi, con molte incisioni. (In lavoro).

Geometria para elementare, del Prof. S. PlN-
CHERLE, 3" ediz., di pag. vi-140, con 112 incisioni . . 1 60

Ghisa. (Vedi Siderurgia).

Giardino (II) Infantile, del Prof. P. Conti, di pa-
gine iv-214, con 27 tavole (voi. doppio) 3 —

Ginnastica (Storia della), di F. Valletti, di p. vm-184. 1 50

Ginnastica femminile, di F. VALLETTI, di pag. VI-112,
con 67 illustrazioni 2 —

Ginnastica maschile (Manuale di), per cura di J.
Gblli, di pag. vin-108, con 216 incisioni 2 —

— (Vedi Scherma).

Gioielleria, oreficeria, oro, argento e platino,
dì E. BosBLLi, di pag. 336, con 125 incisioni ... 4 —

— (Vedi Pietre preziose — Metalli preziosi).
Giuochi. (Vedi Scacchi).

Giurisprudenza. (V. Codice doganale —^Digesto —
Diritto amministrativo — Diritto civile — Diritto
costituzionale — Diritto ecclesiastico — Diritto in-
ternazionale pubblico e privato — Diritto penale —
Diritto romano — Imposte dirette — Legge comu-
nale — Legislazione rurale — Mandato commerciale
— Notaio — Ricchezza mòbile — Testamenti).

Grafolog>Ìa con numerosi autografi del Prof. 0. Lom-
broso. (In lavoro).

Grammatica araldica. (Vedi Araldica).

14 Elenco dei Manuali Hocpli.

L. e.

Grammatica e dlxtonarlo della lÌog>aa del Galla
(oromoDlca), del Prot, E. Viterbo.
Voi. I. Galla-Italiano, di pag:. vni-152 . . ^ , . 2 50
Voi. TI. Italiano-Galla, di pag. lxtv-106 2 f»0

Grammatica fk-ancese, del Prof. G. Prat, p. xi-287. 1 59

— (Vedi Esercizi di traduzione).
Grammatica «[reca, del Prof. Inama. (In lavoro},

(Vedi Fonologia — Morfologia}.
Grammatica della llngpaa g>reca mederoa, del

Prof. R. LovERA, di pag. vi-154 1 50

Grammatica loarlese, del Prof. LUGI Pavia, p. xn-280 1 50
Grammatica Italiana, di T. OoNCARl, di p. vlI-201. 1 50
Grammatica latina, del Prof. Valmagoi, di p. x-250. 1 50

— (Vedi Fonologia latina — Letteratura romana).
Grammatica e Tocabelarle della ling>aa rumena,

del Prof. R. Lovera, di pag:. yiii-200 1 50

Grammatica sanscrita* (Vedi Sanscrito).
Grammatica spanfnaola, del Prof. L. Pavia. (In lav.).
Grammatica tedesca, del Prof. L. Pavia, p. xviii-251. 1 50

— (V. Esercizi di traduzione — Letteratura tedesca).
Gravitazione. Spiegazione elementare delle principali

perturbazioni nel sistema solare di Sir G. B. Airy,
traduzione con note ed aggiunte del Prof. F. Porro,
con 50 incisioni, di pag. xxrv-176 1 50

— (Vedi Astronomia — Spettroscopio).

Grecia (La) antica, di G. Toniazzo. (V. Storia antica).

Idroterapia. (Vedi Acque [cura ddlé]).

Ig>iene del lavoro, TRAMBUSTI A. e Sanarelli. di pa-
lino viii-332 con 70 incisioni 2 50

lg>lene della vita pnbbilca e privata, del Dott G.
Faralli, di pag. xii-250 2 50

l|f iene privata e medicina popolare ad uso delle fami-
glie, di 0. BocK, trad. di E. Parietti sulla 7* ediz. ted.
ojoìì una introduzione di G. Sormani, di pag:. xn-278. 2 60

■igiene pnbbilca, del Prof. Sormani. (In lavoro).

Igriene rnrale, A. Oarraroli, pag. x-470 (voi. doppio). 3 —

— (Vedi Assistenza agli infermi — Soccorsi d^urgenza),
Iflriene scoiastLca, di A. Repossi^* ed., di pag. iv-216. 2 —
lg>lene veterinaria, del Dott. U. Barpi, di p. vin-228. 2 —

— (Vedi Zoonosi).

Igrroscopi, lg>rometrl, umidità atmosferica, del
Prof, P. Cantoni, di pag. xn-146, con 24 ine. e 7 tab. 1 50

— (Vedi Climatologia — Meteorologia).
Illuminazione elettrica (Impianti di), dell' Ing. E.

PiAzzoLi, 2' edizione interamente rifatta, di pag. xrv-
466, con 263 incisioni, 78 tabelle e 2 tav. litografate, 6 50
Imbalsamatore (Manuale dell'), preparatore tassider-
mista, di R. Gestro, 2" ed. riv., di p. xn-148, 38 ine. 2 —

— (Vedi Naturalista viaggiatore).

Elenco dei Manuali Hoeplù 15

[ , -—

;. ' IniptaDtl elettrici. fV. Elettricità — Illuminazione),

Imposta sul redditi di ricchezza mobile (Vedi

Uicchezza mobile).
Imposte dirette (Riscossione delle), E. Bruni, p. yin-158 1 50
Imposte sul fabbricati. (Vedi Proprietario di case),
iDchlostrI. (Vedi Yernici),

Industria della seta, di L. Gabba, 2* ed., p. lV-208. 2 —
Industria (L') stearica. Manuale pratico dell' Ing. E.
Mabazza, di pag. 288, con 76 ine. e con molte tab. 5 —
È^ Industrie. (Vedi Avicoltura — Arte mineraria —

Asfalto — Bachi da seta — Caseificio — Concia delle
pelli — Conserve — Galvanoplastica — Gioielleria
-— Merceologia — Molini — Olio — Orologeria —
Piccole industrie — Tabacco — Tintore, ecc.).
Industrie artistiche. (Vedi Decorazione),
Industrie tessili. (Vedi Coltivazione — Gelsicoltura

Filatura — Seta),
Infezione, dlslnfezlone e disinfettanti, del Dottor

Prof. P. E. Alessandri, di pag. vni-19(), con 7 ine. 2 —
lng>eg>nere civile. Manuale dell'Ingegrnere civile e indu-
striale, di G. Colombo, 13* ed. OJr , 32*» e 33* migliaio), di
p. xiv-356, con 203 fig. e con una Bibliografia dell'Inge-
gnere disposta in ordine alfabetico delle materie di p.l48 5 50
n medesimo tradotto in francese da P. Marcillao. 5 50
lng>effnere navale. Prontuario di A. Cignoni, con
36 fie., di pag. xxxn-292. Leg. In tela L. 4 50, in pelle. 5 50

— (Veai Attrezzatura — Macchinista navale),
lng>rassl. (Vedi Chimica agraria — Concimi),

Insetti nocivi, F, Franceschini, p. vni-264, 96 incis. 2 —
Insetti utili, di F. Fbanceschini, di pag. xn-160, con

43 incisioni ed 1 tavola 2 —

Inieresse e sconto, di E. Gagliardi, di pae. vi-204. 2 —

— (Vedi Contabilità — Computisteria — Debito pub-
blico — Raaioneria — Valori mMlifn),

Istituzioni dello Stato (Le). (Vedi Diritti e doveri
dei cittadini — Ordinamento degli Stati),

Ittlolog^la. (Vedi Piscicoltwa — Ostricoltura e Mi-
tilicoltura).

Latte, burro e cacio. Chimica analitica applicata al
caseificio, del Prof. Sartori, di pag. x-162, con 24 ine. 2 —

— (Vedi Adulterazione degli alimenti — Caseificio),
L,egge sulle caldaje. (Vedi Macchinista e Fuochista).
^^^SS^ (Li& nuova) comunale e provinciale, anno-
tata dall' A vv. E. JMazzoccolo, 3" ediz., con l'aggiunta

di due regolamenti e due indici, di pag. viii-fS . . 4 50
•^^fiTfir'» .(Vedi Codice doaanale — Diritto amministra-
tivo-civile - commerciale - ecclesiastico -penale - romano
— Imposte dirette — Legislazione rurale — Oì'di-
namento degli stati — Uicchezza mobile)*

à

16 Elenco dei Manuali Hoepli,

. ___

Leggisi azione rurale secondo il programma governativo

per gli Istituti Tecnici dell' Avv. E. Bruni, di p. xi422 3 --
Liegcoaini. (Vedi Ctibatura dei legnami — Falegname),
Lepidotteri ItallaDl, del Dott. A. Griffini, di pa-
gine viii-238 con 149 incisioni 1 50

Letteratura anerleana, di G. Strafforello, p. 158 1 50
Letteratura dauese. (Vedi Letteratura norvegtana).
Letteratura ebraica, di A. Revel^ voi., di pag. dM. 3 —
Letteratura e|f Izlaua, del Dott. L. Brigiutl (In lav.).
Letteratura francese^ del Prot. F. Marcillac, trad.

di A. Paganini, 2' ediz., di pag. vin-184 1 50

Letteratura grreea, del Prof. V. Inama, 10* ediz., mi-
gliorata (dal 35" al 40" migliaio), di pag. vin-234 . . 1 50

— (Vedi Filologia classica — Verbi Greci Anomali),
Letteratura fodlaoa, del Proi A. De GubernatiS,

di pag. vin-159 1 50

Letteratura ìn^\e»e^ del Prol E. SOLAZZI, 3" ediz.,

di pag. viii-194 1 50

Letteratura Islandese, di S. Ambrosoll (In lavoro).
Letteratura Italiaoa, di C. Fenini, 4" ed., di p. VI-204 1 50
Letteratura latloa. (Vedi Fonologia latina — Gram-
matica latina — Letteratura romana).
Letteratura norireg^ana del Dott. S. CONSOLI, di

pag. xvi-272 1 50

Letteratura persiana, del Prof. I. Pizzi, di pag. x-208. 1 50
Letteratura provenzale, A. Restori, di pag. X-220. 1 50
Letteratura romana, del Prof. F. RiòiORlNO, 3* ediz.
riveduta e corretta (dall' 8* al 12" migliaio), p. iv-320. 1 50

— (Vedi Filologia classica — Grammatica latina).
Letteratura spag^nola e portog>hese, del Prof. L.

Cappelletti, di pag. vi-206 1- 50

Letteratura tedesca, del Pro! 0. Lange, traduz.
di A, Paganini, 2* ediz., corretta, di pag. xn-lGS. . 1 50

— (Vedi Esercizi — Grammatica tedesca).
Letteratura ung^heriMe, di ZiQÀNY Arpàd, di pa-
gine xn-295 1 50

Letterature slave, di D. CiÀMPOLl, 2 volumi :

I. Bulgari, Serbo-Croati, Yuffo-Russi, di pag. TV-144. 1 50
n. Russi, Polacchi, Boemi, di oaer. rv-1^ . ... 1 50
Libri. {Yeàì Bibliografia — Bibliotecario — Dizio-
nario Bibliografico — Paleografia — Tipografia),
Ling>ua araba. (Vedi Arabo volgare),
Llng>ua del Galla (oromonlea). (Vedi Grammatica).
Ling-na franeese. (Vedi Grammatica e Esercizi),
Llngpua grreca. (Vedi Grammatica — Letteratura),
Lingotta grreea moderna. (Vedi Grammatica),
Lingotta latina. (Vedi Grammatica — Letteratura

romana).
Llnyna rumena. (Vedi Grammatica),

Elenco dei Manttali Hoepli. 17

_—

lilDgcua saoseriia. (Vedi Sanscrito),

Ungnti tedesca. (Vedi Esercizi — Grammatica —

Letteratura),
L.lag>aa tlg^é. (Vedi Tigre),
lilng^ae eomparate* (Vedi Storia comparata),
Llnipae dlrerse* ( V. Letteratura delle singole lingtie),
LilDrae dell' Afk*iea, di R. OusT, versione itafiana

del Prof. A. De Gubeenatis, di pag. iv-110. ... 1 50
— (Vedi Arabo volgare — Dizionario eritreo — Gram»

matica oromonica — Tigre),
Lingue neo-latine, del Dott E. (jI^obba, di pag. 147. 1 50
Lilng^ne straniere (Studio delle), di Marcel, ossia

l'Arte di pensare in una lìngfua straniera, tradoz. del

Prof. Damiani, di pag. xvi-r36 1 50

LilTree* (Vedi Àralaica),

Log>arltntl (Tavole di), con 5 decimali, pubblicate per

cura di 0. Mùller, B* ediz., di pag. xx-142 .... 1 50
Loff>lca, di W. Stanley Jevons, traduz. del Pro£ 0.

CANTONI, 4* ediz., dipag. vin-154, e 15 incisioni . . 1 50

— (Vedi Estetica — Etica — Filosofia — Psicologia),
Logrlea matematica, di G. Bubali-Forti, p. yi-158. 1 50
Lorlsmog^rafla, di C. Chiesa, 3' ediz., pag. xiV-172. 1 50

— ( V . Computist. - Contabilità dello Stato - Ragioneria),
Lnce e colori, del Prof. Q:. Bellotti, di pag. x-156,

con 24 incisioni e 1 tavola. 1 50

Cuce e suono, di E. Jones, trad. di U. FoRNARLdnlav.)

Macchinista e fàochista, del Prot. G. GaUTERO,
6* edizione, con aggiunte dell' Ing. L. Loria, di pa-
gine xiv-180, con 24 incisioni e col testo della Legge
sulle caldaie, ecc. (dal 10" al 12* migliaio) 2 —

Macchinista narale (Manuale del) di M. LlGNAROLO,
di pag. xn-404, con 164 figure 5 50

Macchine ag'rlcole^ del conte A. Cencelli-Perti,
di pag. viii-216, con 68 incisioni . . • 2 —

Macchine da cucire e ricamare, dell'Ing. Alfredo
Galassini, di ^ag. vii-230 con 100 incisioni .... 2 50

Macchine. (Vecu Ingegnere civile — Ingegnere na-
vale — Macchinista e fuochista — Macchinista navale
— Meccanismi (500) — Meccanica — Orologeria),

Mag>netlsmo ed elettricità^ del Dott. G. POLONI,
di pag. zn-204, con 102 incisioni 2 50

Mais. (V. Agricoltura — Frumento — Panificazione),

Malattie crlttog>anilche delle piante erbacee
coltivate, del Dottor R. Wolp, traduzione con note
ed agriunte del Dottor P. Baccarini, p. x-268, 50 ine 2 —

Malattie ed alterazioni del Tini, del Prot. S. Cet-
TOLiNi, di pag. xi-138, con 13 incisioni 2 —

Malattie trasmissihlll dag>ll animali air nomo.

(Vedi Zoonosi),

18 Eletico dei Manuali Hoepli, \

'

L. e.

Mandato eoiiiiiier«lale, del Prof. E. VlDABl, p. vi-100 1 50

mare (H), del Prot V. Bellio, di pag. iv-140, con
6 tavole litografate a colori 1 50

Marino (Manuale del) ntilllare e ntereantlle, di
De Amezaga> con 18 xilografie ed un elenco del per-
sonale dello Stato maggiore, di pag. ym-261. . . . 5 —

Mastici. (Vedi Vernici e lacche).

Materiali da costruzione (Vedi Resistenza dei —
Travi metallici composti).

Matematica* (Vedi Algebra — Aritmetica — Cele-
rimensura — Compensazione — Equitazioni — Geo-
metria — Logaritmi — Logica tnatematica).

Materia medica moderna (Manuale di), del Dott.
G. Malacrida. (In lavoro).

Materie coloranti. (Vedi Colori e Vernici — Tin-
tore — Piante indtuitriali — Vernici e Lacche),

Meccanica, del Prof. R Stawei/L Ball, traduz. del
Prot. J. Benetti, 3* edizione, di pag. xvi-214, con 89
incisioni 1 50

Meccanismi (5(X)), scelti fra i più importanti e recenti
rìferentisi alla dinamica, idraulica^ idrostatica, pneu-
matica, macchine a vapore, molim. torchi, orologerie
ed altre diverse macchino, da H. T. Brown. tra-
duzione italiana sulla 16* edizione inglese, dall' In-
gegnere F. Cerbuti, p. vi-176, con 500 ine nel testo 2 50

- (Vedi Orologeria — Tornitore meccanico).
Medag>lle. (Vedi Numismatica).
Medicina. (Vedi Anatomia — Animali parassiti —

— Assistenza agli infermi — Batteriologia — Em-
briologia — Fisiologia — Farma^ta — Igiene —
Materia medica — Frotistologia — Soccorsi d^ur-
genza — Terapeutica — Zoonosi).

Metalli. (Vedi Peso dei metalli — Operaio ■— Fondi-
tore — Tempera — Tornitore).

Metalli preziosi (oro^ argento, platino, estrazione, fu-
sione, assa^, usi), di G. Gorini, 2* ediz., di pag. 196,
con 9 incisioni 2 —

— (Vedi Oreficeria e Gioielleria).
Metailurgcla. (Vedi Siderurgia).
Meteorolog>la ifenerale, del Dott L. De Marchi,

di pag:. vr-156, con 8 tavolo colorate 1 50

— (Vedi Climatologia — Igroscopi — Sismologia).
Metrica del ffrecl e dei romani, di L. MiJLLER,

tradotta dal Dott. V. Lami, di pa^. xviii-130 ... 1 50

— (Vedi Letteratura greca — Ritmica — Verbi greci).
Metrologia. (Vedi Prototipi internazionali del metro

e del ktlogramma).
Micologia. (Vedi Funghi e Tartufi — Malattie Crit-
togamicJie),

gegr
- ( V(

Elenco (lei Manuali Hoejdi, IS

L. e.

Mlcr#seopÌo (II), ossia Guida elementare alle più fo-
cili osservazioni di Microscopia, del Prol Camillo
Acqua, di pag:. xii-226, con 81 incisioni 1 50

— (Vedi Batteriologia — Protistologia — Tecnica
microscopica).

Miele.. (Vedi Apicoltura),

mutarla. (Vedi Esplodenti — Scherma — Storia
arte militare).

Illoeralogria g^enerale, del Prof. L. Bombigci, 2* edi-
zione riveduta, di pag:. xiv-190, con 183 incisioni e
3 tavole cromolitografate 1 50

lllneralogria descrittiva, del Prof. L. Bombiooi, 2*
ediz. di jpa^. iv-300, con 119 incisioni (voi. doppio). . 3 —

— (Vedi Crtstalloarafia),
Miniere. (Vedi Arte mineraria).

Miniatura. (Vedi Colori e vernici — Luce e colori —
Decorazione e ornamentazione — Pittura),

Miti. (Vedi Errori e pregiudizi), *

Mltiiieoltnra. (Vedi Ostricoltura —Piscicoltura),

Mltolog^la eoniparata, di A. De Gubernatis, 2* ediz.,
di pag. vin-150 1 50

Hi tologr'a ffr^^A» di FORESTI Voi. I Divinità, p. vin-264 1 50
Voi. U, Eroi 1 50

Mltologrla rontana, di A. FORESTI. (In lavoro).

Mollai (Industria dei), di C. Siber-Millot. (In lavoro).

Momenti resistenti e pesi di trarl ntetalllelie
eaniposte. Prontuario ad uso degli ingegneri, archi-
tetti e costruttori, con 10 figure ed una tabella per
la chiodatura, di E. Schenck, di pag. xl-188. ... 3 50

— (Vedi Peso dei metalli — Resistenza dei materiali),
Manete. (Vedi Archeologia — Numismatica — Paleo-
grafia — Tecnologia e Terminologia monetaria),

Morfolog'ia, (Vedi Embriologia),
Morfoiogrla flrreea, del prof. V. Bettei. (Ih lavoro).
Morale. (Veii Etica — Filosofia morale).
Musica. (Vedi Armonia — Cantante — Pianista —

Storia della musica — Strumentazione — Strumenti

ad arco ecc.).
Mutuo soccorso. (Vedi Società di)
Naturalista vlag^gìatore^ di A. IssEL e R. GESTRO

(Zoologia), di pag. vin-ltì, con 38 incisioni . . . . 2 —

— (Vedi Imbalsamatore — Zoologia),

Mantlca. (Vedi Attrezzatura — Filonauta — In-
gegnere navale — Macchinista navale — Marino),

Mòtaro (Manuale delj, aggiuntevi le Tasse di registro, di
bollo ed ipotecarie^ le norme ed i moduli pel Debito
pubblico, del Notaio Aw. A. Garetti, 2* ediz., rifusa
e notevolmente ampliata, di pag. xii-340 3 50

— (Vedi Giurisprudenza — Testamenti),

20 Elenco dei Manuali Hoepli,

L. e.
Mamlsmatiea, del Dott. S. Ambrosoli, di pag. zyi-216,
con 100 fotoincisioni nel testo e 4 tavole 1 50

— (Vedi Araldica — Archeologia — Paleografia),
OHI Tentali, anÌiM»ll e mlBerall, loro applicazioni,

di G. &ORINI, di pag. vin-214, con 7 incis., 2' ediz.,
completamente rifatta dal Dott Gt, Fabbis .... 2 —

— (Vedi Industria stearica — Olivo ed olio — Saponi).
Olivo ed «Ilo, Coltivazione dell'olivo, estrazione, iw-

rifi^cazione e conservazione dell'olio^ del Prof. A. Alci,

3' ediz., di pag. xii-330, con 41 incisioni 3 —

Omero, di W. Gladstone, traduz. di R. Palumbo e
C. FioRiLLi, di paff. xn-l06 1 50

Operalo (Manuale dell'). Raccolta di cog^iizioni utili
ed indispensabili a^li operai tornitori, fabbri, calderai,
fonditon di metalli, bronzisti, a^ustatori e mecca-
nici, di G. Belluomini, 3* edizione, di pag. xvi-21(>. 2 —

— (V. Falegname - Fonditore - Paga operat - Tornitore).
Operazioni dog>analÌ. (Vedi Codice doganale — Tror

sporti).
Opifici. (Vedi Proprietario di Case).
Ordinameiito dtagìì Stati liberi d^ Europa, del

Dott F. Racioppi, di pag. viii-310 (voi. doppio) . . 3 —
Ordinamento deyll Stati liberi faori d* Europa,

del Dott F. Racioppi, di pag. vin-37t) (voi. doppio). 3 —
Oreficeria e |ploJelleria, oro, arjgento e platino, di

E. BosELLi, di pag. 336, con 125 incisioni .... 4 —

— (Vedi Metalli preziosi — Pietre preziose).
Oriente antico CL'), di L GENTILE. (V. Storia antica).
OrnamentasEione. (Vedi Colori — Decorazioni — Di-
segno — Piftura — Scoltura).

Orografia. (Vedi Alpi — Dizionario Alpino — Pre-
alpi Bergamasche).

Orologreria moderna, dell' Ing. Garuffa, con 187
illustrazioni, di pag. viii-302, con 276 incisioni . . . 5 —

Orticoltura, del Prof. D. Tamaro, con 60 incisioni 4 —

— (Vedi Agricoltura).

Ostricoltura e mitilicoltura, del Dott D. Oabazzi,
con 13 fototipie, di pag. vin-202 2 50

Ottica, di £. (jrELCjcH, con molte illustrazioni (In lav.).

Ovlcoltura. (Vedi Alimentazione — Bestiame).

Pag>a g>lornallera (Prontuario della), da cinquanta
centesimi a lire cinque, di 0. Negbin, di pag. 222. 2 50

Paleoetnolofrla, di L RAGAZZONI, p. xl-252, con 10 ine. 1 50

Paleofrrafla, di E. M. Thompson, traduz. dall'inglese,
con aggiunte e note di G. Fumagalli, di pag. yin-156,
con 21 incisioni nel testo e 2 tavole in fototipia . . 2 —

Panflllamento. (Vedi Filonauta).

Panificazione razionale, di POMPILIO, di pag. iy-126. 2 —

Parafulmini. (Vedi EUUricità — Fulmini).

Elenco dei Manuali Moeptù 21

- ■■ » ■■ ■ ■ ■.- ■ ■,-■■- - ■,.■■■ I I I ■ ■■■■ ^^ ■■■ » I

L. e.

Parassitoloipia. (Vedi Animali parassiti),
Pedai^ofaria. (Vedi Didattica — (Giardino infantile —
Ginnastica femminile e maschile — Igiene scolastica).
Pelli. (Vedi Concia deUe velli),
PeosloDl. (Vedi Società di Mutuo soccorso).
Peso del metalli, ferri quadrai!, rel(aog>olarl«
. elllodrlel, a squadra, a V, a Y, a Z, a T e
a doppio T, e delle lamiere e tubi di tutti 1
metalli, di Gt, Belluomini, di pag. xxiy-218 ... 3 50

— (V. Fonditore — Ingegnere civile — Ingegnere navale

— Momenti resistenti — Operaio — Resistenza),
Pianista (Manuale del), di L. Mastbigli, di p. xvi-112. 2 —
Piante e florl sulle finestre, sulle terrazze e nei cor-
tili. Coltura e descrizione delle principali specie e va-
rietà, di A. Pucci, di pag. vni-l98 con Ilo incisioni. 2 50

-- (Vedi Botanica — Floricoltura — Frutticoltura),
Piante Industriali, coltivazione^ raccolto e prepara-
zione, di G. GoRiNi, nuova edizione, di pag. 11-144. 2 —
Piante tessili* (Vedi Coltivazione ed industrie delle

— Gelsicoltura),

Piccole industrie, del Prof. A. Errerà, di p. xvi-186. 2 —
Pietre preziose, classificazione, valore, arte del p:io-
jelliere, di G. Gorini, 2" ed., di pa^. 138, con 12 me 2 —

— (Vedi Metalli preziosi — Oreficeria — Gioielleria),
Pirotecnica moderna, di F. Di Maio, con 111 inci-
sioni, di pag. viii-150. 2 50

Piscicoltura, del Dott. E. Bettonl (In lavoro).

— (Vedi Ostricoltura e Mitilicoltura),

Pittura. Pittura italiana antica e moderna, del Prof. A.
Melani, 2 voi., di pag. xx-164 e xxvi-2()2, illustrati
con 102 tav., di cui una cromolit. e 11 figaro nel testo. 6 —

— (Vedi Anatomia pittorica — Colori (scienza dei) —
Colori e vernici — Decorazione — Luce e colorii.

Poesia* (Vedi Arte del Dire — Dantologia — Lette-
ratura — Omero — Rettorica — Ritmica — Shak'
speare — Stilistica),

Pollicoltura, del March. G. Trevisani, con 70 illu-
strazioni, di pa^. xvi-176 2 50

— (Vedi Animali da cortile — Colombi),
Pomologia artificiale, secondo il sistema Gamier-

Valletti, del Profl M. Del Lupo, p. vi-132, con 44 ine 2 —

— (Vedi Frutticoltura — Orticoltura),

Prato (II), del Prof. G. Cantoni, di pag. 146, con 13 ine 2 —
Prealpl berg>amasclie (GuidJa-itinerario alle), com-
presij passi alla Valtellina, con prefazione di Stop-
pani, 2* ediz., di pa^. xx-124, con carta topografica e

panorama delle Alpi Orobiche 3 --

~ (Vedi Alpi — Dizionario alpino — Geografia),
Preg>iudlsl* (Vedi Errori e pregiudizi — Mitologia),

22 . Elenco dei Manuali Boepli,

L. e.

ProDtaurlo di ge^grtkùti e siatlsilca, di G, Ga-

BOLLO, pag. 62 1 —

— (Vedi Atlante Universale — Atlante d* Italia —
Dizionario geografico — Geografia).

Prontuario per lo pag-ho. (Vedi Paghe).
Proprietario di ease e di oplOel (Manuale del),

Imposta sui fabbricati dell' A vt. (xIORDani, pag. xx-264. 1 50
Protlstolofjrla, di L. Maqgh, 2* ediz., di pag. xvi-278,

con 93 incisioni nel testo (volume doppio) 3 —

— (Vedi Animali parassiti — Batteriologia — Mi-
croscopio).

Prototif»! (!) internazionali del metro e del kilogrramma
ed il codice metrico internazionale,di A.TACCHiNL(In lav.)

Proverbi In quattro llnyae. (V. Dottrina popolare).

Psieolofpla, del Prof. C. Cantoni, di pag. iv-l58 . . 1 50

Psieoloiria flslolog'lca, di G. Mantovanl (In lav.).

Raeeog>IÌtore di fb*ancobolll» (Vedi Dizionario fila--
telico).

Ragioneria, del Prof. V. Gitti, 2* ediz., di pag. vi-132. 1 50

— ( V . Computisteria — Coìitaòilità — Logismografia).
Reclami ferroTlarl. (Vedi Trasporti)»

Redolo ealeolatore e sne applicazioni nelle ope-
razioni topog>raflelie, delllng. G. Pozzi, di pag.
XV-23S con 182 incisioni e 1 tavola 2 50

Reliirione e llnrae deirindla Inffleae, di R. OuST,
trad. dal Profl A. De Gubeknatis, di pagr. iy-t24 . 1 50

— (Vfidi Tjetteratura indiana).

Resistenza del ntaterlall e stabilità delle eiMtrn-
zionl, dell'Ing:. Gallizia, pa^. x-336, 236 incisioni e
2 tAvole 5 50

— (Vedi Peso dei metalli — Travi metallici).
Rettorlea, ad uso delle Scuole, dif . Capello, p, vi-1^ 1 50

— (Vedi Arte del dire — Ritmica — Stilistica).
Ricamo. (Vedi Macelline da cucire).
Ricchezza mobile (Imposta sui redditi di), dell'Av-
vocato E. Bruni, di pag. viii-218 1 50

Ricettario rotof^rAfl^'o^ l)ott. LuiGi Sassi, di p. vi-150 2 —

Rimedi. (Vedi Terapeutica).

Riscaldamento e Tenti I azione defll ambienti abl«

tati, del Prof. R. Ferrini, 2 voi., di pag. x-332, ^1 incis. 4 —
Riscossione d'Imposte. (Vedi Imposte dirette),
Rlsorg>lmento Italiano (Storia del), del Proi F. Ber-

TOLiNi, di pagf. vi-151 1 50

— (Vedi Storia e cronologia — Storia italiana).
Ristanratore del dipinti, del Conte G. Secx^o-Suardo,

2 voi., di pag. xvi-2'59, xn-362 con 47 incisioni . . . 6 —
Ritmica e metrica razionale Italiana, del Pro-
fessore Rocco Murari, di pag;. xvi-216 1 50

— (Vedi Arte del dire - Bettarica - Smistioa).

Elenco dei Manuali Hoeplù 23

lUvolazirae (La) fflraDeese a7894790), del Pro! Dott
Gian Paolo Solerio, di pag. iv-176 1 50

Sanserito (Avviamento allo studio del), di F. Q-. Fumi,
2* ediz., rifatta, di pae. xn-254 (voi. doppio) .... 3 —

Saponeria, dell'Ing. E. Marazza. (In lavoro).

Scacchi (Manuale pel g^iuoco degli), di A. Seghiebi,
di pag. xv-222, con 191 illustrazioni 2 50

Sciiernia tlailana (Manuale di), su i principii ideati da
Ferdinando MasieUo, di J. (Jelli, di pag. vin-194,
con 66 tavole 2 50

Scieoza delle finanze, di T. Carnevali, pag. iv-140. 1 50

Scienze natnraii. (Vedi Anatomia comparata — Ani-
mali parassiti — Antropologia — Arte mineraria

— Batteriologia — Bestiame — Botanica — Chimica

— Coleotteri — Chimica agraria — Concimi — Cri-
stallografia — Fisioloaia — Flora italiana — Funghi
e Tartufi -— Gelsicoltìira — Geologia — Imbalsa-
matore — Insetti — Lepidotteri — Microscopio —
Mineralogia — Naturalista — Ostricólt'wra — Piante
e Fiori — Piscicoltura — Pomologia — Protisto-
logia — Selvicoltura — Zoologia),

Scolinra. Scoltura italiana antica e moderna, statuaria
e ornamentale dell' Archit Prof. A. Melani, di pa-
gine xvm-196, con 56 tav. e 26 fig. intercalate nel testo. 4 —

Sceitnra in icffno. (Vedi Decorazione e industrie
artistiche — Faleaname),

Scritture d' alTari (Precetti ed esempi di), per uso
delle Scuole tecniche, popolari e commerciali, oel Pro-
fessor D. Mapfioli, di pag. vin-203 1 50

Selvicoltura, di A. Santilli, pag. Yin-220 e 4Q ine. 2

Sericoltura* (Vedi Ba4A,i da seta — Gelsicoltura -
Industria della seta — Tintf*ra della seta),

Shaicspeare, di DowDEN, trad. di Balzani. (In lav.). 1 50

Siderurg>ia (Manuale di), dell'Ing. V. Zoppetti, pub-
blicato e completato per cura dell' Ing. E. Garuffa,
di pag. iv-368, con 220 incisioni 5 50

— (Vedi Metalli — Tempera).

Sisnioio|ri»9 del Capitano L. Gatta, di pag. vni-175,
con 16 incisioni e 1 carta 1 50

Soccorsi d' urgr^nzAf del Dott. C. Calliano, di pa-
gine xli-299, con 6 tavole litografate, 3" edizione . .3

Società di Mutuo soccorso (Manuale Tecnico per le).
Norme per l'assicurazione delle pensioni e dei sussidi per
malattia e per morte del dott. CI. (^^ardenghi (in lav.).

Spettroscopio (Lo) e le sue applicazioni, di R. A.
Proctor, traduz. con note ed aggiunte di F. Porro,
di pag. vi-178, con 71 incisioni e una carta di spettri. 1 50

Spirito di vino, (Vedi Alcool — Cognac).

24 Elenco dei Ma/nuali Hoepli.

L. e.

Sport. (Vedi Alpi — Cacciatore — Ciclista — Dizio-
nnrio Alpino — Ginnastica — Scacchi — Scherma).

Statica (Prìncipi di) e loro applicazione alla teoria
e costruzione «leg-ll strumenti metrici, per l'Ing:.
E. Bagnoli, di pag^. viii-252 con 192 incisioni , . . 3 5()

Statistica, di F. VmGiLn, di pag. vin-176 . . . . 1 5()

Stearlneria. (Vedi Indmtria stearica).

Stemmi. (Vedi Araldica),

Stenog'rafla, di G. GiOBGETTi e M. Tessaroli (se-
condo il sistema Gabelsberger-Noe), di pag. 2(X). . . 2 —

Stilistica, del Prof. F. Capello, di pag. xii-164. . . 1 50

— (V^edi Arte del dire — Bettorica — Ritmica,
Storia antica (Elementi di). Voi. L VOriente Antico^

prospetto storico, di L Gentile, di paff. xn-282 . . 1 50

Voi. II. La Grecia^ di G. Toniazzo, di pag. vi-216. 1 50
Storia e cronologia ntedIoeTale e nioderna, in

OC tav. sinottiche, di V. Casagbandi, di pag. xvin-204. 1 50
Storia deil^arte militare antica e moderna, di V.

Rossetto, con 17 tavole illustrative, di pag. vni-504. 5 50
Storia della g^lnnastlca. (V. Ginnastica - Scherma),
Storia Italiana (Manuale di), di C. Cantù, di p. iv-160. 1 50

— (Vedi Risorgimento — Storia e cronologia).
Storia della musica, del Dott. A. Untersteineb, di

pag. 300 (voi. doppio) 3 —

Storia naturale. (Vedi Scienze naturali),
Strateg^la. (Vedi Storia délVarte militare).
Strumentazione (Manuale di), di E. Pbout, trad. ital.

con note di V. Riccl con 95 esempi, di pag. x-2^ 2 50

— (Vedi Armonia — Cantante — Pianista).
Strnnientl ad arco (Gli) e la musica da camera,

del Duca di Caffarelli F., di pag. x-235 . . . . 2 50

Strumenti metrici. (Vedi Statica).

Suono (Vedi Luce e suonò).

Sussidi. (Vedi Società Mutuo soccorso).

Tabacco, del Profl G. Cantoni, di p. iv-170, con 6 ine. 2 —

Tacheometria. (Vedi Celerimensura),

Tag-llo e confezione di biancheria. (V. Disegno).

Tariffe ferroTlarle. (V. Codice doganale - Trasporti),

Tartufi e fung^hl. (Vedi Funghi).

Tasse di reg>Ìstro, bollo, ecc. (Vedi Notaro).

Tassidermista. (Vedi Imbalsamatore — Naturalista
viaggiatore).

Tavole iogcarltmlche. (Vedi Logaritmi),

Tavole tacheometriche. (Vedi Celerimensura).

Tecnica di anatomia microscopica, del Prof. D.
Carazzi, di pag:. xi-2ll con 5 incisioni 1 50

Tecnolog'la e termlnologrla monetarla, di G. SAC-
CHETTI, di pag. xiV'192 2 —

Elenco dei Manuali Hoepli. ^

L. e.

Telefono, di D. V. PICCOLI, di pag. iv-120, con 38 ine. 2 —
Telegrafla, di R. FERRINI, di pag. vi-318, con 95 ine. 2 —
Telegrafia niarUtlnia. (Vedi Attrezzatura),
Telemetria, misura delle distanze In g>aerra,

di Gr. Bertelli, di pag. xiii-145, con 12 zincotipie . 2 —

— (Vedi Cartografia — Celerimensura — Compensa-
zioni errori — Disegno topografico).

Tempera e eementazione, dell' Ing. Fadda, di pa-
gine viri-108, con 20 incisioni 2 —

Terapeutica (Manuale di) rimpiego ipodermico e la
dosatura dei rimedi del Dott. &. Malacrida. (In lav.)

Termodinamica, di C. Cattaneo, p. x-196, con 4 iig. 1 50

Terremoti. (Vedi Sismologia — Vulcanismo),

Tessitura. (Vedi Filatura),

Testamenti (Manuale dei), per cura del Dott L. Sb-
rina, di pag. vi-238 2 50

Tlg>rè-ltalÌano (Manuale), con due dizionarietti ita-
liano-tigre e tigre-italiano ed una cartina dimostrativa
degli i(uomi parlati in Eritrea, del Gap. Manfredo
Camperio, di pag. 180 250

— (V. Arabo volgare — Grammatica Galla — Lingua
delVAfrica),

Tintore (Manuale del), di R. Lepetit^ 3" ediz., di pa-
gine x-279, con 14 incisioni (voi. doppio) 4 -f^

Tintura della seta, studio chimico tecnico, di T. Pa-
scal, di pag. xvi-432 5 —

Tipog>rafla. L — Guida per chi stampa e fa stampare.
— - Compositori e Correttori, Revisori, Autori ed Edi-
tori, di S. Landi. di pag. 280 . 2 50

Topoffrafla. (Vedi Cartografia — Celerimenstira —
Compensazione errori — Disegno topografico — Re-
golo calcolatore — Telemetria),

Topog>rafia di Roma antica, di L. Borsari, con
illustrazioni. (In lavoro).

Tornitore meccanico ((^l^uida pratica del), ovvero
sistema unico per calcoli in generale sulla costruzione
di viti e ruote dentate, arricchita di oltre 100 pro-
blemi risolti, di S. Dinaro, di pa^. 161 2 —

— (Vedi Meccanica — Meccanismi — Operaio),
Trasporti, tariffe, reclami ferroviari ed ope-
razioni dog>anall. Manuale pratico ad uso dei com-
mercianti e privati, colle norme per l'interpretazione
delle tariffe e disposizioni vigenti, ^er A. G. Bianchi,
con una carta delle reti ferroviane italiane, di pa-
gine xvi-152 2 —

Travi metallici composti (Momenti resistenti, pesi
dei), di E. Schenck, pagine xl-188, 10 figure e tabella
per chiodatura 3 50

— (Vedi Peso dei metalli — Resistenza dei materiali).

20 Elenco dei Manuali Hoepli,

. __ _ __

Trlangfolazlonl topogri*Aflelie e trlanjfolazlonl ca-
tastali, deiring. 0. Jacoangeli. (In lavoro).

Trifconometrla. (Vedi Geometria metrica).

Unità assolate. Dofinizione, Dimensioni, Rappresenta-
zione, Problemi, deiring. G. Bertolini, di p. x-124-44. 2 50

Uva passa (Industria dell*) e della essleazlone delle
frutta e decli •rtaflrff'l. Prof. L. Paparklix (In lav).

Valli Lombarde, di SCOLARO. (Vedi Dizion, alvino).

Valori pabbllel (Manuale per lapprezzamento dei) e
per lo operazioni di Borsa, Dott. F. Piccinelli, di
pag. xiv-236 2 50

Veiooipedlsmo, di A. Galante. (Vedi Ciclista),

Ventilazione. (Vedi Riscaldamento).

Verbi flrreel anomali (I), di P. Spagnotti, secondo le
Grammatiche di (Curtius e Inama, di pa^. xxiv-107. 1 50

Vernici, lacche, mastici, ÌncÌilostrÌ da stampa,
ceralacche e prodotti affluì (Fabbricazione delle),
dell'Ing. Ugo Fornari, di pag. vin-292 2 —

— (Vedi Colori e Vernici).

Veterinaria. (Vedi Bestiame — Cavallo — Igiene
veterinaria — Zoonosi).

Viagcgcl. (Vedi Ciclista — Cristoforo Colombo — Na-
turalista viaggiatore).

Vinacce (Fabbricazione delle). (Vedi Cognac).

Vino (II), di Grazzi-Soncini, di pag. xvi-152 . ... . 2 —

Viticoltura. Precetti ad nso dei Viticoltori italiani,
del Prof. 0. Ottavi, rived. ed ampliata da A, Struochi, .
3' ediz., di pa^. vni-184 e 22 incisioni • 2 —

— (Vedi Analisi del vino — Cantiniere — Enologia
— Enologia domestica — Malattie dei vini — Uva
passa — Vino).

Vocabolario (Nuovo) della lln|fna Italiana, di
A. Straccali e L. Gentile. Volume di circa 1400 pa-
gine. (In lavoro).

Voiapnlc (Dizionario italiano-volai)ùk), preceduto dalle
Nozioni compendiose di grammatica della lingua, del
Prof. 0. Mattei, secondo i i)rincipu dell'inventore M.
ScHLEYER, ed a norma del Dizionario Volapiik ad upo
dei francesi, del Prof. A. Kerckhoffs, di paf. xxx-198. 2 50

— (Dizionario volapiik-italiano), del Profl 0. Mattei,
dipag. XX-20Ì 2 50

— Manuale di conversazione e raccolta di vocaboli e
dialoghi italiani- volapiik, per cura di M Rosa Toh-
masi e A. Zambelli, di pag. 152 2 50

Volumetria* (Vedi Analisi volwmetrica).
Vulcanismo, del Capitano L. Gatta, di pag. vni-238i
con 2^ incisioni 1 50

— (Vedi Climatologia — Igroscopi — Meteorologia •—
Sismologia).

Elenco dei Manuali Hoepli. 27

L. e.

Mìneoitpìm. (Vedi Arti grafiche),

Z^oloffU, Proff. E. H. Qiolioli e Gr, Oavanna, 3 voi, :

L Invertebrati, di pag. 200, con 45 figrnre ... 1 50
n. Vertebrati. Parte I, Generalità, Ittiopsidi (Pesci

ed Anfibi), di pag: xvi-156, con 33 incisioni. . 1 50
jn. Vertebrati. Parte II, Saiiropsidi,Teriopsidi (Ret-
tili, Uccelli e Mammiferi), p. xvi-200 con 22 ine 1 50

— (Vedi Animali parassiti — Batteriologia — Coleot-
teri italiani — Imbalsamatore — Insetti — Lepi-
dotteri — Naturalista viaggiatore — Frotistologta),

Zoonosi, del Dott. B. Galli Valerio, di pag. xv-227 1 50

— (Vedi Igiene veterinaria).
Zooto«nÌa, del ProL Tampeliki. (In lavoro).

INDICE ALFABETICO DEGLI AUTORI.

Aoqua C. Microscopio. . . pag. 19
Adler G. Esercizi di lingua te-
desca 11

Aduooo A. Chimica agraria . . 6
A}ry G. B. Gravitazione .... 14
Alberti F. II bestiame e Tagri-

coltura. 5

Albloini. Diritto civUe 8

Albini G. Fisiologia II

Alestandri P. E. Analisi vola-
mevrica ....••...•.•• o

— Infezione, Disinfezione . . 15

— Farmacista (Manuale del). 11
Allori A. Dizionario eritreo. . 9

Aloi. Olivo ed OUo 20

Afflbrotoii. Numismatica .... 20

— Letteratura islandese ... 16
Amezaga. Manuale del Marino 18
Antllli A. Disegno geometrico. 9
Arila C Dizion. Bibliogràfico. 9

Arti graficlie. eoe 4

Atchieri F. Geometria proiet-
tiva dello spazio 18

— Geometria projettiva del
piano e della stella 13

— Geometria descrittiva ... 18
^ — Geometria analit. d. piano 18
" -^ Geometria analit. d. spazio 18

Azioni. Debito pubblico ita-
liano 8

Baocarltti P. Malattie crittog. 17

Bagnoli. Statica 24

Baìfour-Stewart Fisica Il

Bali J. Alpi (Le) 2

Ball R. Stawell. Meccanica . . 18

Balzani A. Bhakspeare 23

Barpi U. Igiene veterinaria. . 14
Barth H. Analisi del vino ... 3
Belilo V. Mare (II) 18

— Cristoforo Colombo 8

Bellotti G. Luce e colori. ... 17
Belluomini G. Cubatura legnami 8

— Peso dei metalli 21

— Falegname ed ebanista . . 11

— Manuale dell'Operaio ... 20

— Fonditore . . . , 12

Benetti J. Meccanica 18

Bertelli G. Disegno topografico 9

Bertelli G. Telemetria 25

Bette! V. Morfologia greca . 19
Bertolini F. Storia del risorgi-
mento italiano 22

Bertolini G. Unità assolute ... 26
Beata R. Anatomia e fisiologia
. comparata 8

Bettoni. Piscicoltura . . . poff. ti
Biagi G. Bibliotecario (Manna*

le del) 5

Bianchi A. G. Trasporti, tariffe,

reclami, oper. dogan. ... 25
Bignami-Sormanl.Diz. Alpino. . 9

Book. Igiene privata 14

Botto C. Diserò (Prino. del). 9
Bombiod L. Minerai, generale 19

— Minor, descrittiva 19

Bonacina. Fotografia d. colori 12
Bonetti E. Disegno, taglio e

confezione di biancherìa. . 9
Bonizzi P. Anim. da cort. ... 8

— Colombi domestici 7

Borlotti F. Celerìmensura ... 6
Borsari L. Roma antica. .... 25
Boselii E. GioieU. e Oreflc. 13-20
Brigiuti R. Letterat. egiziana. 16

Brown. 500 Meccanismi 18

Bruni F. Tartufi e fdnghi 12-24
Bruni E. Imposte dirette. ... 15

— Contabilità dello Stato . . 8

— Catasto italiano 6

— Codice doganale 6

— Legislazione rurale 6

— Ricchezza mobile 22

Buraii-Fortl. Logica matematica 17
Galliano C. Soccorsi d'urgenza 28

— Assistenza infermi 4

Camperlo H. Manuale Tigre-
Italiano 25

Canestrini E. Fulm. e parafdlm. 12
Canestrini G. Apicoltura .... 3

— Antropologia 3

Canestrini G. e R. Batteriologia 5
Cantamessa F. Alcool (Indu-
stria e fabbricazione delP). 2

Cantoni C. Logica 17

— Psicologia 22

Cantoni G. Fisica. 11

— Tabacco (II) 24

— Prato (II) 21

— Frumento e Mais 12

Cantoni P. Igroscopi, Igrome-
tri, Umidità atmosferica. . 14

Cantù C. Storia italiana .... 24
Capello F. Rettorica 22

— Stilistica 24

Cappelletti L. Letterat. spagn.

e portoghese 16

Carazzi D. Ostricoltura 20

— Tecnica microscopica ... 24
Carega di Muricce F. Agronomia 2

— Èstimo rurale 11

Indice alfabetico degli autori.

29

Carnevali. Scienza di finanze. 23
Carraroli A. Igiene rurale ... 14
Casagrandi V. Storia e crono-
logia 24

Cattaneo C. Dinamica element. 8

— Termodinamica 25

Cattaneo 6. Embriologia e

morfologia 10

Cavanna G. Zoologia 27

Cenceili-Perti A. Macchine agr. 17
Cettolini S. Malattie dei vini. 17
Chiesa C. Logismografia ... 17
Ciampoii D. Letterature slave 16
Cignoni A. Ing. navale (Pron-
tuario deU') 15

Cinquini A. Fonologia greca . 12
Colombo G. Ingegnere civile
(Mannaie dell') 15

— Elettricista (Manuale dell') 10
Combonì E. Analisi del vino . 3
Concari T. Q^rammatica ital. . 14
Consoli S. Fonologia latina . 12

— Letteratura Norvegianà e
Danese 16

Conti. Giardino infantile ... 18
Contuzri F. P. Diritto costitu-
zionale 9

— Diritto intemaz. privato . 9

— Diritto intemaz. pubblico 9
Cossa L. Economia politica . 10

Cremona I. Alpi (Le) 2

erotti F. Compensazione degli

errori 7

Cust R. Religione e lingue del-
l'India inglese 2*2

— Lingue d'Africa 17

Dal Piaz di Prato. Cognac, Vi-
nacce, ecc. 7

Damiani. Lingue straniere . . 17

De Amezaga. Marino militare
e mercantile . 18

De Brun A. Contabilità comu-
nale 7

De Gubernatis A. Mitologia
comparata 19

-^ Letteratura indiana .... 16

— Beligione e lingue dell'In-
dia inglese 22

— Lingue d'Africa 17

Del Lupo P. Pomologia artiflc. 21
De Marchi L. Meteorologia . . 18

— Climatologia 6

De Sterlich. Arabo volgare . . 8
DIb Khaddag. Arabo volgare \ 8
Di Calfarelli F. Strum. ad arco 24
Di Maio F. Pirotecnica. .... 21

Dinaro S. Tornitore meccanico 25

Dizionari 9-10

, Dowden. Shakspeare 23

Enciclopedia Universale 10

Erede U. Geometria pratica . 13
Errerà A. Piccole industrie. . 21
Fadda. Tempera e cementa-
zione 25

Faralli G. Igiene pubblica. . . 14
Fenlni C. Letteratura ital. ... 16
Ferrari D. Arte (L') del dire ... 4
Ferrini C. Diritto romano ... 9

Ferrini C. Il Digesto 8

Ferrini R. Elettricità 10

— Elettricista (Manuale dell') 10

— Energia fisica 10

— Galvanoplastica 12

— Riscaldamento e ventilaz. 22

— Telegrafia 24

Fiorini C. Omero 20

Foresti A. Mitologia greca.

Voi. I Divinità e voi. U Eroi 19

— Mitologia romana 19

Fornarl U. Vernici e lacche. . 26

Foster M. Fisiologia 11

Franceschi G. Cacciatore ... 5
Franceschini F. Insetti utili. . 15

— Insetti nocivi 15

Friso. Filosofia morale 11

— Etica 11

Fumajgalli G. Paleografia. ... 20

— Bibliotecario 5

Fumi F. G. Sanscrito 23

Funaro A. Concimi (I) 7

Gabba L. Chimico (Man. del). 6

— Seta (Industria della) ... 15

— Adulterazione e falsifica-
zione degli alimenti 2

Gabeisberoer. Stenografia ... 24
Gagliardi É. Interesse e sconto 15

Galante A. Ciclista .... 6

Galassini A. Macchine da cu-
cire e da ricamare 17

Galletti E. Geografia 12

Galli-Valerio B. Zoonosi .... 27
Gallizia. Resistenza di mater. 22
Gardenghi G. Società di Mutuo

Soccorso 23

Garetti A. Notaro (Manuale del) 19
Garnier-Valletti. Pomologia . . 21
Garello G. Atlante geografico
universale 4

— Atlante geografico-storico
deU'ItaUa 4

— Dizionario geografico ... 9

— Prontuario di geografia. . 22

30

Indice alfabetico degli autori.

Garuffa E. Orologeria . . pag» 20

— Siderurgia 23

Gatta L. Bismolo^a 28

Gatta L. Vulcanismo 26

Gautero 6. Macchinista e fnoch. 17
Geikie A. Geografia fisica ... 13

— Geologia 13

Geioich E. Cartografia 6

— Ottica 20

Gelil J. Dizionario filatelico . 9

— Ginnastica 13

— Scherma 23

Gentile 1. àrcheoloi^a deirarte 8
-> Geografia classica 12

— Storia antica 24

Gentile L. Vocabolario italiano 26
Gestro R. Naturalista viaggiat. 19

— Imbalsamatore 14

Gian Paolo Soierìo. Rivoluzione

(La) francese 23

Giglioli E. H. Zoologia 27

Gioppi L. Dizionario fotograf. 9
Giordani. Proprietario di case

(Manuale del) 22

Glorgetti G. Stenografia .... 24
Gittl V. Computisteria 7

— Ragioneria 22

Gladstone W. E. Omero .... 20
Gorìni G. Colorì e vernici. . . 7

— Concia di pelli 7

— Conserve alimentari .... 7

— Metalli preziosi 18

— Olii 20

— Piante industriali 21

— Pietre preziose 21

Gorra E. Lingue neo-latine . . 17

Grazzi-Sondni. Vino (II) 26

Griffini A. Coleotteri italiani . 7

— Lepidotteri italiani 16

Grothe E. Filatura, tessitura. 11

Greve G. Geografia 12

Guaita L. Colori e pittura. . . 7

Hoepli U. Enciclopedia 10

Hooicer i. D. Botanica 5

Hugues L. Esercizi geografici 10
imperato F. Attrezzatura navi 5
Inama V. Letterat. greca. ... 16

— Grammatica greca 14

— Filologia classica 11

issel A. Naturalista viaggiat 19
Jacoangeli 0. Triangolazioni

topografiche e catastali. . . 26

Jenicin F. Elettricità 10

Jevont W. Stanley. Econ. poli-
tica 10

— Logica 17

Jones E. Calore (II). . . . pag. 6

— Luce e suono 17

Klepert R. Atlante geogr. univ. 4

— Esercizi geografici 10

Kopp W. Antich. priv. dei Rom. 3
KrOhnke G. H. A. Curve (Trac-
ciamento delie) 8

Lami V. Metrica dei Greci e

dei Romani 18

Landi S. Tipografia 25

Lange 0. Letteratura tedesca 16

Lepetit R. Tintore 25

Ugnarolo. Macchinista navale 17
Lockyer I. N. Astronomia ... 4
Lombardini A. Anatomia pitt. 3
Lombroso C. Grafologia .... 13
Loria L. Curve (Trace, delle) . . 8

— Macchinista e fuochista. . 17
Loris. Diritto amministr. ... 8
Leverà R. Grammatica greca

moderna 14

— Grammatica rumena. ... 14
HaffiOil D. Diritti e doveri . . 8

— Scritture d'affari 28

Maggi L. Protistologia 22

Malacrida G. Materia medica. 18

— Terapeutica , . 25

Malfatti B. Etnografia 11

ManetU L. Caseificio 6

Mantovani G. Psicologia fisio-
logica 22

Marezza E. Corpi gnrassi. ... 8

— Industria stearica 15

— Saponeria 23

Marcel. Lingue straniere ... 17
Maroillao F. Letteratura frane. 16
Marolllao P. Ingegnere civile. 15

Mastrigli L. Cantante 6

Pianista . . 21

Mattel C. VoÌap'fik'(DizÌoiiy. ! 26
Mazzoccolo. Legge (La nuova)

comunale e prov. annotata 15
Melani A. Scoltura italiana . . 23

— Architettura italiana ... 3

— Pittura italiana 21

— Decoraz. e ind. artistiche 8
Mercanti F. Animali parassiti 3
Molina R. Esplodenti e il modo

di fabbricarli 11

Moresclil N. Antichità private

dei Romani 3

Muflone G. Fotografia 12

Mailer L. Metrica dei Greci e

dei Romani 18

MUller 0. Logaritmi 17

Murari R. Ritmica 22

Indice alfabetico degli autori.

31

Negrin C. Prontnarìo per le

paghe pag 20-22

Nencl T. Bachi da seta 5

Niccoli V. Economia dei fab-
bricati rurali 10

Oli vari G. Filonauta 11

Olmo C. Diritto ecclesiastico. 9
Orlandi G. Celerimensara ... 6
Ottavi 0. Enologia 10

— Viticoltura 26

Ottino G. Bibliografia 5

Pagani 0. Assicuraz. sulla vita 4
Paganini A. Letteratura frane. 16
-— Letteratura tedesca. .... 16

Paiumbo R. Omero 20

Panizza. Aritmetica razionale 4

— Aritmetica pratica 4

Paoloni. Disegno assonomet. 9
Paparelli S. Uva passa e frutta 26
Panetti E. Igiene privata ... 14
Pascal. Tintura seta 25

^ Pascal E. Calcolo di£ferenziale. 5

• — Calcolo integrale 5

Pavesi A. Chimica 6

Pavia L. Grammatica tedesca 14

— Qrammatica inglese .... 14

— Grammatica spagnuola . . 14
Pedicino N. A. Botanica .... 5

Percossi R. Calligrafia 5

Petrì L. Computisteria agraria 7
PeUlioldt.Bibliot.(Man.del) . . 5
Piazzoli E. niumin. elettrica . 14
Piccineili F. Valori pubbUd. . 26
Piccoli D. V. Telefono. ..... 25

Pilo M. Estetica ^ . 11

Pinclierle S. Algebra elem. . . 2

— Algebra complementare. I. 2

'^ — Analisi algebrica 8

^ — Equazioni 2-10

— Geometria metrica e tri-
gonometria 13

— Geomet. pura 18

Pirotta R. Flora italiana. ... 12
Pizzi I. Letteratura persiana. 16
Poggi T. Alimentazione del

bestiame 2

Poloni G. Magnetismo ed elet. 17

Pompilio. Panificazione 20

Porro F. Spettroscopio 23

— Gravitazione di Alry. ... 14
Pozzi G. Regolo calcolatore e

sue applicazioni 22

Prat. G. Grammatica francese. 14

— Esercizi di traduzione . . 10
Prootor R. A. Spettroscopio. . 23
Prout E. Strumentazione. ... 24

Pucci A. Piante e fiori . . pag, 21
Racioppi F. Ordinamento degli
Stati liberi d'Europa .... 20

— degli Stati fuori d'Europa 20
Ramorino F. Letterat. romana 16
Regazzoni 1. Paleoetnologia. . 20
Repossi A. Igiene scolastica . 14
Restori. Letteratura provenz. 16
Revel A. Letteratura ebraica. 16
Ricci V. Strumentazione. ... 24

Righetti E. Asfalto 4

Rocco- Murari. Ritmica ItaL . . 22
Roda FUI. Floricoltura ..... 12

Roscoe H. E. Chimica 6

Rossetto V. Storia Arte mili-
tare 24

Sacchetti G. Tecnologia, termi-
nologia monetaria 24

Sanarelii- Igiene del lavoro. . 14
Sansoni F. Cristallografia ... 8

Santini. Selvicoltura 28

Sartori G. Latte, cacio, burro. 15

— Caseificio 6

Sassi L. Ricettario fotografico 22
Savorgnan d'Osoppo A. Coltiv.

è indust. delle piante tessili. 7
Scartazzini G. A. Dantologia. . 8
Sclienclc. Travi metallici. . 19-25
Schiapareiil G. V. Astronomia. 4

Scolari. Valli lombarde 26

Secco-Suardo. Bistauratore dei

dipinti 22

Seghierì. Scacchi 28

Sergent E. Astronomia ..... 4

Senna L. Testamenti 25

Sernagiotto R. Enologia dome-
stica 10

Sessa. Dottrina popolare ... 10
Siber-Millot C. Molini (Ind. dei) 19
Solazzi E. Lettor, inglese ... 16

Soli G. Didattica 8

Sormani. Igiene pubblica. ... 14
Spagnotti P. Verbi greci .... 26
Spataro D. Fognatura cittadina 12
Stoppani A. Geogr. fisica ... 18

— Geologia 18

— Prealpi bergamasche. ... 21
Stoppato A. Diritto penale. . . 9
Stoppato L. Fonologia italiana 12
Straccali A. Vocabolario ita-
liano 26

Strafforello G. Alimentazione. 2

— Errori e pregiudizi 10

— Lett. amer 16

Strucohi A. Cantiniere 6

— Enologia 10