Full text of "Geometria rettilinea e curvilinea: trattata con metodo preeuclidico e ..."

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McLi^h SI09~, ^'^.-S

SCIENCE CENTER LIBRARY

HORACE APPLETON HAVEN,
OF PORTSMOUTH. N. H.

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C/tJlxxl-O

■Hill E

ìf

DJ JlUi

TRATTATA

CON METODO PREEUCLIDICO

lì

CRONOGONIOMETKIA

per E. B.

ROMA

TirOCRAFIA IST. GOULD, VIA MARCHESA, 4

1899

PREFAZIONE

Gli antichi greci che per primi coltivarono la scenza in
Europa, facevano procedere parallelamente lo studio della
geometria e del calcolo numerico, applicando all'uno i prin-
cipii che progressivamente venivano riconoscendo nell'altro.

Questo metodo comparativo in breve condusse a risultati
che fecero maravigliare il mondo. 11 sommo Euclide abban-
donò il modo seguito dai suoi predecessori, e trattò la sua
geometria con metodo sintetico, come quello che basandosi
sulla stessa scenza più ;ad essa si addice. Ciò eseguì in modo
tanto ammirevole, che non solo fu seguito dalle ménti pia
elette della sua epoca, ma sei dei suoi libri giunti fino a noi,
formano tuttora base dellMnsegnamento geometi*ieo.

^rà^-J^',-'

1 ' •-■

«-

biamo intitolato Geometria trattata con metodo preeu^Udico,
Affinchè poi lo stesso libro possa riuscire di pratica utilità,
abbiamo fatto seguire la parte teorica da varie applicazioni

alla topografìa; quindi abbiamo dato un cenno sulla Crono-
goniometria, ossia modo di esprimere ed operare mediante lo

stesso carattere numerico tra le quantità eterogenee angoli e
tempi.

Attribuiamo alla graduazione non del tutto geometricamente
eseguita dei goniometri in uso, la causa prima degli errori che
s' incontrano nel rilievi topografici, e però nella Parte prima
Capitolo I e II, svolgiamo una teoria sulla formazione e natura
degli angoli costruibili o no mediante la riga ed il compasso,

indicando un sistema di graduazione della circonferenza del
tutto geometrico, il quale dà la misura di angoli sempre
graficamente costruibili. In preparazione delle esercitazioni

topografiche al Gap. IH parliamo degli elementi dei triangoli

diversi dai loro angoli, che ne permettono la costruzione e |

e misura. Allo stesso fine svolgiamo vari teoremi, taluni dei

quali hanno importanza speciale. Chiudiamo questa prima

parte esponendo un metodo breve ed esatto per la formazione
delle tavole trigonometriche.

Nella Parte seconda^ che ha lo speciale scopo di provare
come la geometria si estenda oltre I limiti che le si sono vo-
luti assegnare, ai Cap. Il e IH trattiamo delle potenze e ra-^
dici delle quantità geometriche di qualunque grado dì espo-
nentei poiché nelle dimostrazioni usiamo talvolta il calcolo

misto, cosi per essere meglio compresi, al precedente Oap. I
diamo alcuni modi pratici per determinare 1 ì radici ennesime
numeriche. Nel Cap. IV trattiamo della divisibilità dell'angolo

trattiamo
ezza delle
Iella quale
Ilare, seb-

i, parte si
vi metodi:
;i teoremi
data nelle
;on la de-
> mediante
seni degli

ire e della
ittere nu-
ì quantità

josto trovi

lassi meno
non certo
no sperare

I avuto la

— vn —

temerità di scendere in campo male armati a lottare contro
opinioni inveterate da secoli ed oramai divenute convinzioni,
non sfuggiremo al certo alia critica la quale nel decorso del-
l'opera non può mancare di trovare più di un giusto scopo.
Vogliamo però sperare che mollo ci sarà perdonato per es-
serci mossi col sincero intendimento di riuscire utili.

StiMco Soonoli

■» XZ? g;

PARTE PRIMA

CAPITOLO !•

Oosindbilità de£^ angoli ed aroM
mediante la riga ed il compasso

!• La geometria assegna per misura degli angoli la
semisomma o la semidifferenza degli archi che intercettano
sulla circonferenza le direzioni dei loro lati, secondochè il
vertice degli angoli stessi sia interno o esterno ad essa, e con-
seguentemente per Tangolo il cui vertice è al centro, asse-
gna l'arco compreso tra i suoi lati. Nonpertanto Timpossi-
bilità di rettificare la circonferenza e perciò gli archi in
genere, ha indotto i geometri ad adottare per la misura
dell'angolo al centro, la corda dell'arco compreso tra i suoi
lati calcolata in parti di raggio, e determinata graficamente
cioò mediante la riga ed il compasso. Si è così trovato che
il raggio riportato successivamente sulla circonferenza la
divide in sei archi uguali, ossia che esso è lato dell'esa-
gono regolare iscritto, e che la parte maggiore del raggio
diviso in media ed estrema r'^gione, riportato successiva-
mente sulla circonferenza la Jivide in dieci archi uguali,
e perciò questo segmento è lato del decagono regolare
iscritto,

C C

Ottenuti per tal modo gli archi -3- , "jk- » ove C

è la circonferenza » raddoppiaiiJo ciascuno di essi, si otteix-

e e

gono gli archi -q- , -^, dei quali le corde sono rispettiva-
mente lati del triangolo e del pentagono regolari iscritti ; e

C C
sottraendo Tuno dall'altro gli stessi archi, e cioè -g- ^

si determina Tarco t^ del quale la corda è lato del pen-
tadecagono regolare iscritto. Degli archi nel detto modo
determinati chiameremo jor^'mar^ i quattro seguenti : 1. Cir-
conferenza ; 2. Arco sotteso dal lato del triangolo equila-
tero iscritto; 3. Arco sotteso dal lato del pentagono regolare
iscritto ; 4. Arco sotteso dal lato del pentadecagono regolare
iscritto ; talché, data la circonferenza divisa in 360** gradi,
diremo primari gli archi ed angoli 360% 120% 72% 24^

2, La geometria fino ad ora offre un solo modo grafico
per determinare un angolo od arco minore di altro dato
e che sia in un accertato rapporto con questo, e ciò bise-
cando successivamente e finché sia praticamente possibile
Tangolo dato, ossia dividendo successivamente per 2 lo
stesso angolo. La stessa divisione si eseguisce sul valore
in gradi dell'angolo dato dividendolo ordinatamente per
le potenze del 2.

a) Diremo per brevità decomposto nei suoi duen-
nesimi un angolo successivamente bisecato, od anche
il valore di un angolo diviso ordinatamente per le potenze
del 2 ; e diremo duennesimo di esso uno qualunque degli
angoli inferiori ottenuti sia con le bisettrici successive, sia
con la divisione per le potenze del 2.

In genere useremo la stessa espressione per qualsiasi
quantità geometrica divisa successivamente per 2, sia gra-
ficamente sia nel suo valore,

3. Dividendo successivamente per 2 all' infinito il valore
di ciascuno dei quattro archi primari, si forma la seguente ;

Tavola dei duennesimi degli archi ed angoli primari
espressi in gradi e decimali di grado

Archi primari

360»

120"

72»

24»

Divisori 2

180»

eo»

36»

12»

> 4—2*

90»

30»

18»

» 8 3= 2^

45'»

15»

9»

3«

> 16 = 2*

22",50

7», 50

4»,50

1»,50

> 32 = 2*

11«,25

.3«,75

2»,25

0»,75

» 64 = 2*

5»,625

1»,875

1M25

0»,375

• • • •

• •

Un termine qualunque della tavola j per quanto vogliasi
avanzato^ esprime in gradi e decimali il valore esatto del"
l'angolo al centro di un poligono regolare iscrittibile grafi-
camente^ e la stessa tavola avanzata indefinitamente con-
tiene tatti i valori degli angoli al centro dei poligoni rego-
lari iscrittihili mediante la riga ed il compasso (1).

4. Può ottenersi direttamente il duennesimo di grado n
di una data quantità a, dividendo il prodotto a.5" per 10'',

fìL CI **

ossia avremo "2^= ""Ta^ ; std esempio il risultato di quattro

bisezioni successive dell'angolo 3°, poiché 5^ = 625, sarà
3' 3 X 625 1875 _

%'~ 10^ — 10000 ~"'-^®'^*

Se la quantità a è numero fratto o frazionario di/) cifre

fl.5*
decimali, allora il suo duennesimo di grado n è tàvt^.

. 3°,75 3',75X5' 234375 ^ „„,,„,
Ad esempio -gj- = ^^'^-v* = ìqqqqqq = 0',234375.

(i) n Gius nella lua opera e Oesquisitiones aritmeticae * ha dimostrato la possibilitA
d^iscQyere nel circolo il poligono regolare di 17 lati, ed in genere tutti i poligoni di n lati
qpundo n'# nuDiero primo ea n — i una potenza del 2. Questi poligoni non compresi nella
taToU non dicii^o graficamente costruiDiji non essendo a nostra cognizione il modo di
detsr^iìilAnkeil-rispettiyo itngolo al (dentro mediante la ri^ ed il compasso.

5. Diremo costruibili gli angoli ed archi che possono
determinarsi mediante la riga ed il compasso^ e non co-
struibili tutti gli altri.

6. Sono costruibili gli archi ed angoli primari e i loro
duennesimi e multipli per un numero intero airinfinito;
nonché gli angoli ed archi dei quali il valore è costituito
dalle possibili combinazioni per somma o differenza fra due
o più termini della tavola; quelli il cui valore è prodotto di
uno dei termini (ovvero di una delle dette combinazioni per
somma o differenza), sia per altro termine della tavola, sia
per un numero intero ; quelli ancora dei quali il valore 6
quoto esatto di uno dei termini o di una delle dette combi-
nazioni, sia per altro termine della tavola, sia per un numero
intero, che sia divisore esatto del valore angolare dividendo
e dia un quoto multiplo di 3 ; sono espressione di angoli
costruibili tutti i duennesimi all'infinito od i multipli per le
potenze del 2 di uno qualunque dei valori angolari nei detti
modi ottenuto ecc. ecc. Non sono poi graficamente costrui-
bili i valori degli angoli non compresi fra i descritti.

7. Comya vedesi dalla tavola, Tareo ed angolo più pic-
colo di un numero intero di gradi che possa graficamente

24**
costruirsi, è Tarco S"" ossia gs » ^ perciò l'arco 3*" 6

r unità geometrica degli angoli ed arclii graficamente co-
struibili.

Consegue, che dei 360 archi interi nei quali ordinaria-
mente si gradua la circonferenza, un terzo ossia 180 sono
graficamente costruibili^ gli altri due terzi ossia 240 sono
determinati per approssimazione,

%. Rapporto alla unità 3"" distinguiamo gli angoli in
genere in inieri^ fratti q frazionari, secondochè iHorovOf'^

-^ÌTiTT— i";- \^

lare è numero intero di gradi maggiore di 3, nùmero ih"
tero a frazionario minore di 3, o numero somma di un
angolo intero e fratto.

9. Diremo angolo base un angolo intero e disparì ;
ìnquantochè moltiplicato e divìso ordinatamente per le
potenze del 2, origina una serie ascendente ed altra
discendente di angoli ambedue infinite.

10. Per ridurre un angolo intero al suo angolo base,
si divide successivamente per 2 il suo valore finché si
ottiene un quoto intero dispari, che è il valore rfeW'angolo
base richiesto.

Un angolo fratto o frazionario che sia duennesimo
di un angolo intero, si riduce a//'angolo base, moltiplicando
il suo valore per quella potenza del 2 che ha ^esponente
costituito di tante unitày quante sono le cifre decimali del
valore del dato angolo. Esempi:

Ang. 240* : 2 = 120% 120^ : 2 = 60% 60* : 2 = 30%
SO** : 2 = 15^ angolo base.

Ang. 1%3125 X 2' = 2^ ang. base; essendo 4 le
cifre decimali.

Ang. 241% 3125 X 2' = ang?. girato 3861^ ang. base.

Ossia si costruisce Tang. 240*" raddoppiando per 4 volte
successive il suo ang. base 15"* ; si costruisce Tangolo
1%3125 con quattro bisezioni successive del rispettivo
angolo base 21% ed in quanto all'angolo 241%3125, per
comodo del calcolo e delle costruzioni grafiche, si decom-
pone nei valori di quanti vogliansi angoli costruibili,
e determinata la base di ciascuno degli angoli parziali,
si ricostruisce l'angolo dato, operando sopra le basi
ottenute nei modi descritti, e sommandone i risultati.
Faremo cioè ang. 241%3125 = ang, 240* + 1%3125 ; dei
quali i rispettivi angoli base sono come si è visto 15* e 21*;

talché raddoppiando quattro volte successive l'angolo
15** ed aggiungendo al risultato quello ottenuto con quai;tro
bisezioni successive dell'ang, 21°, si formerà quello richiesto
ang. 24r,3125.

11. Può determinarsi a prióri^ se utì angolo del quale
è noto il valore, sia costruibile o no :

Infatti un angolo Intero è costruibile se il suo valore è

multiplo di 3% ossia se la somma delle cifre del numero
esprimente il suo valore è multiplo di 3*".

Così sono costruibili gli angoli 117** e girato 2673*
come multipli di 3. Non sono costruibili gli angoli 118*^
e girato 2674** non multipli di 3.

Il valore di un angolo fratto frazionario costruibile ò
sempre multiplo di 3, e termina per le cifre decimali 0, 5

ovvero 0%... 25 o 0%... 75; però (juesti caratteri che divide
con alcuni angoli non costruibili , sono insufficenti a
determinarlo ; e perciò per accertarne la costruibilità dovrà
ridursi all'angolo base, e se questo risulterà costruibile lo sarà
anche l'angolo proposto. Esempio :

Ang. 1**,3125 di base 21*^ è costruibile tale essendo
ang. 2l^

Ang, 4'',0875 di base 65*^,40 ang. non costruibile,

12. Una opera7}one qualunque si eseguisce graficamente fra
due più angoli, effettuando prima numericamente la wtuta
operaTJone fra i valori dei dati angoli, per .quindi costruire
Vangelo risultato nei modi sopraindicati. Le esercitazioni to-
pografiche che seguono la teoria offrono degli esempi di
tali operazioni.

13. Prevale erroneamente l'idea che sia difficile deter-
minare degli angoli graficamente divisibili per uno o più

numeri primi, inquantochè un angolo costruibile è divisibile
graficamente per uno o più numeri primi, se questi sono
compresi fra i fattori numerici del suo valore.

„-1*-" »,

Consegue che decomposto nei modi aritmetici il valore
di un angolo costruibile nei suoi fattori primi, esso è grafi-
eamente divisibile per uno qualunque di questi fattori primi,
esclusione fatta per una sol volta del fattore 3** come unità
angolare.

Lo stesso angolo è anche graficamente divisibile per
i possibili prodotti fra i suoi fattori primi, escluso sempre
una volta il fattore 3%- lo è ancora per tutti i duennesimi
air infinito degli stessi fattori e loro combinazioni ecc. ecc.,
talché Tangolo dato ammette un numero infinito di divisori
grafici: ad esempio vogliansi i divisori grafici dell'an-
golo 315^ ^

Decomposto il valore dell'an-
golo nei suoi fattori primi nume-
rici, come vedesi a lato, si trova
che Tang. 315'' è trisecabile, quin-
tìsecabile e divisibile per 7, e con-
seguentemente è anche divisibile
per i numeri interi 3x5=:15»3x7=:21^jì)5X7 —
= 35»3X3X5 = 45^»3X5X7 = 105^ Eseguendo

infatti le divisioni— ^g— = 9% -^ = 45*" ecc. trovasi che i

quoti ottenuti sono espressioni di angoli graficamente co-
struibili ; e perciò si divide graficamente il 315'' per
uno dei detti divisori, costruendo direttamente nei modi
noti gli angoli quoti 45% 9*" . • . . ecc. Si trova

315" 31 5*^

05 , 2* ~ '^^''^^ 1 ' 2^ ^ ^^^"^ ®^^' ^^^ ^ quoti sono valori

di angoli costruibili ; inoltre i multipli del 315'' per un
numero intero ; i suoi duennesimi all'infinito, le combi-
nazioni per somma differenza, e prodotto di tali duennesi-
mi ecc., sono altrettanti valori angolari divisibili grafica-
mente per i divisori del 315**. Vedesi da ciò che quando un an-
golo base costruibile, escluso il fattore geometrico 3% ammette
altri divisori grafici, sono infiniti gli angoli costruibili che in

kerie ascendente o discendente sono graficamente divlslbitìl
per gli stessi divisori grafici di quell'angolo base.

14. Per formare con la riga ed il compasso un angolo
che risalti graficamente divisibile per uno o pia dimsori
siano no numeri primi, basta moltiplicare l'unità geome-
trica 3* per il colato dioisore o per il prodotto dei dati dioi-
sori. Così formeremo un angolo a divisibile graficamente
per p. g. V. . . . se faremo ang. a = 'S'pgo .... Ecco come
procederemo in pratica.

Si voglia costruire una serie infinita di angoli che
sieno graficamente divisibili per il numero 19.25.

Moltiplicheremo 19,25 per 3°.n, ovvero per -sr ; ad

3° X 7

ipotesi 19,25 X — o — ~ 202°,125, e qualsiasi multiplo

per un numero intero o qualsiasi duennesimo di questo
angolo prodotto, sarà valore di angolo divisibile grafica-
mente per 19,25.

Per quanto si è detto, i fattori numerici del dato
divisore 19,25 sono divisori grafici di uno qualunque
degh angoli nel detto modo ottenuti. Ad esempio faremo:
19,25 X 2' = 77. = 7 X 11. Quindi uno qualunque dei
detti angoli è anche divisibile graficamente per 7, perii
e per qualsiasi multiplo e duennesimo dì tali divisori ecc. :

troviamo infatti 202%125 : ^ = 36%75 » 202%125 : 11X7^

= 2',625° » 202M25 : 5 X 7 = 5°,775 ecc. ove i quoti
sono valori di angoli costruibili.

*5. Per deUrimnare a priori se un angolo è divisibile per
un dato numero, si osserva se il suo valore presenta i caratteri
arittnelìci di divisibilità richiesti dal dato divisore. Cosi:

È trisecabile un angolo intero del quale la somma
delle cifre del suo valore è multiplo di 9.

È quintisecabik un angolo del quale il valore è multi-
plo di o, e termina per le cifre 5 e 0.

È divisibile per 11 il valore angolare multiplo di 3, nel

auale la somma delle cifre di posto pari è uguale a quella
elle cifre di posto dispari, ovvero nel quale la differenza
delle dette somme sia multiplo di 11 ; e così di seguito.

Sttgli a&gòU noB oostmlbD! grafloamente

16. Non Sem costruibili mediante la riga ed il compasso
gii angoli interi, fratti o frazionari dei quali il valore censi*
derato in compiesse non è multiplo di 3.

17. Distinguiamo gli angoli non costruibili in determi-
nabili e non determinabili.

18. Un angolo determinabile è un terzo di altro costrui-
bile. Lo diciamo determinabile, perchè sebbene non possa
costruirsi graficamente, pure se é data la sua apertura, può
determinarsi esattamente il suo valore in gradi e decimali.

Tutti gli angoli interi non costruibili sono determinabili,
e degli angoli fratti o jra^ionari lo sono quelli dei quali il va-
lore è duennesimo di 1^ ovvero multiplo di un duennesimo
di V per un numero intero.

19. Il valore degli angoli fratti o frazionari determinabili
termina per le cifre 0%5 ovvero 0%... 25,0%... 75. Tale carat-
tere però divide con taluni angoli non determinabili e perciò :

Per accertare la determinabilità di un angolo non costrui-
bile si riduce al suo angolo base moltiplicandolo per il
triplo della potenza del 2 che ha l'esponente costituito di
tante unità quante sono le cifre decimali dell'angolo dato ;
il quale sarà determinabile se V angolo base risulterà

v«<

' • " t,

x •^^

— It) —

costruibile. Ad es. per Tang. 0o,4375, faremo 0,4375X^6 X
X 3 = 21<* angolo costruibile, e perciò ang. 0%4375 é deter-
minabile. Per Tangolo 62*^,4375; lo decomporremo neir in-
tero eS** e fratto 0^4375 del quale il primo è determinabile
ed il secondo trovasi tale come sopra, quindi ang, 62^,4375
é determinabile ecc.

20. NelKuso del goniometro, se un angolo formato
da due direzioni non abbraccia un arco esatto della gra-
duazione si riporta quest'arco tre volte sulla circonferenza,

ed allora se il detto angolo è determinabile, la punta del
compasso finisce col cadere sopra una divisione esatta della
graduazione, ovvero sopra una parte duennesima dell'arco 1^
di essa. Ad esempio riportato sulla graduazione tre volte
successive l'apertura di un dato angolo la punta del com-
passo segni arco 39^75 : ciò indica che il dato angolo è
39© 75
^ — = 13*^,25 valore esatto di angolo non costruibile.

21. Mediante la riga ed il compasso, un angolo non co-
struibile, non può jormarsi che per approssimandone, renden-
dosi cioè costruibile colV aggiunta al suo valore di un duenne-
simo del ^rado 1" tanto piccolo da potersi considerare in pratica
trascurabue Verrore.

Si divida il grado 1*" in duennesimi co-
me vedesi a lato.

Sia intero l'angolo da costruirsi.

Se il valore assegnato all'angolo supe-
ra di un grado quello di altro angolo intero
costruibile, si aggiunge ad esso uno dei
duennesimi del grado di posto pari, ossia
uno dei termini 0%5 » 0%125... 0%03125;
se il valore assegnato è inferiore di un

0^,5

0^,25

0^,125

0^0625

0o,03125

0%01 5625

)> » )} »

grado di altro angolo intero costruibile, allora si aggiunge
ad esso un duennesimo del grado di posto dispari e cioè

-^ lì —

ì, = Ó%25.... 0%015625.... Ciò cangia il valore deirangolo
proposto in quello di angolo costruibile, che differisce dal
primo ài quantità trascurabile, se tale è il duennesimo del
grado aggiunto. Ad esempio, voglia costruirsi con la riga
ed il compasso Pang. 61'' = 60'' + l^ Si riduce costruibile
scrivendo 61%03125 = 60^+ 1%03125 ; troviamo ang. base
1*,03125 = 33*; talché, costruito Tang. 60^ si aggiunge ad
esso il risultato di 5 bisezioni successive dell'ang. 33^ L*an-
golo così formato differisce dal 61*" di -f- 0^03. Vogliasi co-
struire invece Tang. 62'' = 63*^ — 1^ allora aggiungendo un
duennesimo di posto dispari faremo 62%015625. Ang. base
2%015625 = 129% e riunendo all'ang. 60M1 risultato di 6
bisezioni dell'ang, 129% si ottiene un angolo che supera di
0^,015 il 62%

Con metodi analoghi, che sarà facile rinvenire agli
studiosi, si formano graficamente per approssimazione gli
angoli non costruibili fratti e frazionari.

22. Per eseguire mediante la riga ed il compasso le
varie operazioni fra i valori di angoli non costruibili, si ren-
dono costruibili nel detto modo, si opera su questi come è
detto al (12) e si costruisce l'angolo risultato dalla opera-
zione aritmetica eseguita : il valore di questo differirà tanto
meno da quello ricercato, quante più cifre conterranno
i duennesìmi del grado V aggiunti agli angoli non co-
struibili prima di operare.

CAPITOLO II.

Ddi oirooli graduati o goniometri

23. Le primarie officine dei vari Stati e private nelle
quali si fabbricano istrumenti geodetici e topografici, pos-
siedono dei congegni meccanici di gi-ande costo (piatteforme)
nei quali l'esattezza della graduazione del circolo è rigoro-

^mente accertata con tutti i mezzi che la scienza moderna
offre in sussidio della grafica geometrica ; talché i goniome-
tri provenienti da tali officine devono ritenersi esatti. Non-
pertanto prima di servirsi di un istrumento d'ignota prove-
nienza, è prudente verificare l'esattezza della graduazione
del circolo che lo correda (1). Esponiamo un modo pratico

per effettuare detta verifica (Fig. !•)•

Sul filo di una riga sottile FK si stabilisca un segmento

jF7 esattamente uguale al diametro AB del circolo C del
quale vuole accertarsi l'esattezza della graduazione. Ogni
qualvolta il filo della riga passa per un punto M della gra-
duazione, in modo che gli estremi F,/ del segmento uguale
al diametro si trovino sopra i due diametri ortogonali pro-
lungati AB^EDj lo stesso filo della riga interseca la cir^
conferenza in un secondo punto H della graduazione, che
segna arco EH=^3.DM. Se ciò non avviene la gradua-
zione è errata.

(La prova si ripete per più coppie di diametri ortogo-
nali variamente inclinate).

Infatti, si traccino i raggi CM, CH e la GM parallela
al diametro ED e perciò perpendicolare a quello AB.

Se per ipotesi arco EH = 3.DM sarà, come esterno

lì. nj?u EH- DM 3-1 .
al circolo. Ang. CFH = s '^ — 9 — ^ ' ossia

ang. CFH= FCM perciò il triangolo VMF è isoscele ed
il suo lato MF (segmento del filo della riga esterno al cir-
colo) è uguale al raggio CM.

Per le parallele ÈF^ MG e secante CM trovasi angolo

GMC = MCF ; per le stesse parallele e per la secante FI
trovasi. angolo GMC= GMI^ onde triangolo rettangolo
GMC = GMI, e perciò segmento F[ = MF-}- MI= AB
diametro.

(1) Nel nastro trattato della corda nel ciroolo Roma 1895^ dafcriTÌamo Tari tnsattori
madianta i quali può graduarsi esattamente il eiroolo in gradi e decimi di grado.

— 13 —

24. L'inversa, ugualmente dimostrabile, offre un modo
semplice per eseguire la graduazione di un circolo C (Fi-
gura 1*). Infatti, tracciati prolungandoli due diametri orto-
gonali ABy ED e determinato sul filo di una riga un seg-
mento FI = ABy si costruisca nei modi geometrici arco
EH = 3^ Si faccia passare per H il filo della riga in modo

che gli estremi F, I del segmento si trovino sopra i dia-

metri ortogonali; risulterà arco DM = -q- = 1® grado,
arco contenuto 360 volte sulla circonferenza.

25. I goniometri in commercio, divisi in gradi e deci-
mali di grado, non possono usarsi per la misura costru-
zione degli angoli che diciamo costruibili come al (5), se
tali angoli sono frazionari non terminanti per 0%5, ovvero
fratti diversi da 0^,5. Quando vogliasi un goniometro col
quale si possano misurare angoli che siano sempre rico-
struibili mediante la riga ed il compasso, necessita gra"
duarne il circolo per duennesimi dell'arco 3^; e cioè di-
viso geometricamente il circolo in 120 archi uguali, si
suddivide ciascuno di questi con lo stesso numero di bi-
settrici successive, finché è possibile la chiara lettura
della parte fratta. Data tale graduazione :

1. Qualsiasi angolo misurato con essa ha un valore
esattamente esprimibile in gradi e decimali di grado, del
quale le cifre decimali sono tante quante le bisettrici in cui
siasi diriso l'arco 3*.

2. Un angolo misurato con tale graduazione può
sempre ricostruirsi mediante la riga ed il compasso senza
il sussidio del quadrante.

26. Crediamo utile richiamare alKattenzione dei geo-
metri, il principio generale geometrico $ul (juale si fonda
]^ misura degli angoli.

— 14 —

Suppongasi (Fig. 2'b) una serie di segmenti rettilinei
ab, bc, ed... gk; perfettamente uguali ad aè, collegati e gi-
ranti nei loro estremi, a partire dal vertice 6 di un dato an-
golo abm. Se prolungato in k Ìl lato mb di questo, si svol-
gano n segmenti della serie in modo che i vertici 6, d,f...
formati dagli estremi giranti si trovino sulla direzione mh,
e che l'ennesimo segmento giaccia sopra questa direzione
mh (Fig. 2 a), ovvero sia diretto all'estremo a del lato ba del
detto angolo, come gh (Fig. 2'b) sempre l'ang. ahm risulta
ennesima parte di quello dato abm ; talché sia costruito
geometricamente ang. abm = 6", e per ipotesi siansi svolti
nel detto modo sei segmenti, compreso quello ab formante

lato del dato angolo, risulterà ang. ahm = -^ ^ 1". In

egual modo sia retto l'angolo abm e svolti sei segmenti

sarà ang. ahm = ^ ^= 15° ecc.

Infatti (Fig. 2« b), tracciata la direzione ha siano svolti

nel detto modo 7 segmenti della serie. I triangoli successivi

hgf, gfe, f'ed... cba, perchè formati da segmenti uguali, sono

isosceli e perciò, chiamando 1 l'ang. in /i, per l'isoscele

fgh sarà angolo esterno in g = h ~\-f = 2. Per lo scaleno

triang. efh sarà ang. esterno 'mf^e-\-h = 2-\-l — 3;

così in proseguo finché rapporto al massimo scaleno abh,

si trova ang. esterno in b =a-\-h = Q -\-l = 7y ossìa

abm „ . ,. ,,, .

ang. ahm = — s- , per essere 7 i segmenti svolti, mquan-

tochè per ogni segmento aggiunto l'ang. abm sì accresce
di una unità h.

27. Se fino ad oggi ignorasi il modo di poter disporre
mediante la rissa ed il compasso, una serie di segmenti
uguali come alla (Fig. 2' a, b), e perciò non si sa dividere un
dato angolo in angoli uguali che siano in numero primo col
suo valore, però è sempre possibile, costruire delle catene

— 15 —

costituite di segmenti rettilinei, rigidi, perfettamente uguali
e giranti due a due per i loro estremi in modo che sotto
qualunque inclinazione dei segmenti successivi tra loro,
resti inalterata la rispettiva lunghezza.

Istrumenti costruiti sul detto principio permettereb-
bero la costruzione rigorosa di qualsiasi angolo, non che
la divisione di un dato angolo in n angoli uguali, qua-
lunque sia n (1).

28. Un gongolo graficamente costruibile può decom-
porsi in due angoli costruibili o in due angoli non costruibili.

Un angolo graficamente non costruibile può decom-
porsi in due angoli non costruibili, ocoero in uno costrui-
bile e l'altro no. Consegue che:

Due angoli esplementari, supplementari e complementari
e loro duenneeimi dello stesso grado, sono ambedue costrui-
bili ovvero ambedue non costruibili.

29. È facile dimostrare che i tre angoli di un trian-
golo sono o tutti costruibili, o tutti non costruibili, ovvero
uno costruibile e due no.

CAPITOLO HI.

Degli elementi triangolari

30. In un triangolo, oltre i lati e gli angoli^ esistono
altri elementi suffìcenti a determinarlo: Ad esempio:

Un triangolo è costruibile se è nota la sua altezza e
la lunghezza del segmenti in cui la proiezione dal vertice
divide la base.

(1) Nel citato trattato delle corde nel circolo desorivemmo un .compasso poligonale
awat Mi^pliM. miediaiìte il ^pu^ si determina direttamente Tan^lo al centro jdi im.poN.
lÌ£;ono regolare qualun^e sia 4 num^rb dei suoi lati.

— le-
si. Nel piano di un triangolo ed in correlazione con
esso esistono vari punti che diremo notevoli. Questi sono :

1. Il centro del triangolo. (Centro del circolo circo-
scritto ad esso).

2. Incentro. (Centro del circolo iscritto).

3. Ortocentro. (Intersezione comune alle perpendi-
colari dai vertici ai lati opposti).

4. Baricentro o centro di gravità. (Intersezione
comune delle mediane dai tre vertici).

5. Tre excentri. (Centri dei tre circoli exiscritti

al triangolo).

6. Tre vertici del triangolo.

7. Tre punti medi dei suoi lati.

8. Tre intersezioni coi lati delle bisettrici dai ver-
tici opposti.

9. Tre intersezioni coi lati dei diametri del circolo
circoscritto al triangolo, tracciati dai vertici opposti.

10. Tre piedi delle perpendicolari dai vertici ai
lati opposti.

11. Tre estremi nel circolo circoscritto al triangolo
delle bisettrici dei suoi tre angoli.

12. Tre estremi nel circolo circoscritto delle corde
dai vertici rispettivamente perpendicolari ai lati opposti.

13. Tre estremi dei diametri del circolo circo-
scritto ^ tracciati dai vertici.

14. Tre estremi delle corde mediane ai lati trac-
date dai vertici.

32. I detti punti notevoli, i segmenti rettilinei che con-
giungono due o più punti notevoli, gli angoli ehe qoeeti seg-
menti formano fra loro intomo ad uno dei punti notevoli,
costituiscono altrettanti elementi triangolari, inquantochò va-
riano di posizione e lunghezza col variare del triangolo.

— 17 -

33. Un gruppo di due o pi
lari, che sia sufficiente a perme
triangolo, lo diremo grappo dei

34. Chiamando primo un t
che abbiano per vertici tre dei
remo da esso dipendenti.

35. Tra i punti notevoli di u
dei suoi triangoli dipendenti esist
possono essere di grande aiuto
e topografiche. Ad esempio.

L'incentro di uu triangolo p
ortocentro del triangolo dipendent
suoi excentri nonché del Iriangolo
tici gli estremi delle corde blsettr

Il centro di un triangolo è ai
golo dipendente formato dalle con
suoi lati, ecc. ecc.

36. In virtù delle accennatt
noto un triangolo dipendente, k
triangolo primo; e siccome ogni
lo stesso numero di elementri de
lo stesso numero di grappi doti
tono la costruzione , così la gè
modi sia per costruire un volut
certare l'uguaglianza fra due tri

37. Lo studio delie accenna
comandiamo a coloro i quali si e

— 1-8 -

della geometria alle arti, non può svolgersi in questo ri-
stretto lavoro, nel quale ci limitiamo a dimostrare alcune
delle propi-ietà delle perpendicolari ai lati di un triangolo
da taluni dei suoi punti notevoli ; inquantochè, nelle eser-
citazioni topografiche che seguono , ci siamo avvantag-
giati di tali proprietà.

38. Per comodo degli esercenti in seguito riuniamo
un certo numero di gruppi determinanti triangolari costi-
tuiti di due o tre elementi lineari. L' operatore nel rilevare
sul terreno un triangolo da riprodursi e del quale trovi che gli
angoli non possono graficamente ricostruirsi (6) agirà
prudentemente se in luogo degli angoli accessibili del
triangolo, misurerà gli elementi lineari di un gruppo de-
terminante di esso; ciò gli permetterà la ricostruzione
del triangolo senza incorrere nel pericolo di possibili er-
rori nella riproduzione di angoli d'incerta misura.

CAPITOLO IV.

Proprietà delle perpendicolari ai lati di un triangolo

dai vertici di esso.

39. Le perpendicolari ai lati di un triangolo dai loro estremi
non comuni s'incontrano sulla circonferenza ad esso circo-
scritta.

Infatti (Fig. 3^ A,) nel triangolo acutangolo ahb^ si
congiunga il vertice a con la intersezione e delle perpen-
dicolari be, he agli estremi dei lati ab, ah. I triangoli
rettangoli ahe, abe, sono inscrittibili nella circonferenza
descritta col raggio ce dal punto medio e della ipoto

>-^-"-

— 19 —

nusa ae, quale circonferenza passando per i punt a, h, h,
vertici del triangolo aliò 6 anche ad esso circoscritta.

Dimostrasi egualmente per le intersezioni f g, delle
perpendicolari dagli estremi delle altre due coppie dei lati.

Nel triangolo ottusangolo flie i triangoli rettangoli
afsy alte sono inscrittibili nella circonferenza descritta con
la ipotenusa comune ae come diametro, la quale passando
per i vertici fj h, e; è quella circoscritta al triangolo.

Dimostrasi ugualmente per le intersezioni b, g delle
perpendicolari agli estremi dei lati delle altre due coppie
di essi.

40. Le perpendicolari ai lati nel vertice di un angolo
del triangolo fanno fra loro un angolo supplementare ad esso,
e perciò uguale alla somma degli altri due angoli del triangolo.

(Fig. 3* A.). Infatti siano //^, /^/ perpendicolari ai lati
huj. Ili) nel vertice h del tringolo acutangolo alih. Avremo:
Ang. alte -f- bhf — ahh =. 180'' — ahb = Ang. a -^ b ;
e nel triangolo ottusangolo //te avremo ahe-^-bhf — fhe
= 180^ — fhe = Ang. / + e.

41. Le perpendicolari nel vertice di un angolo del trian-
golo ai lati che lo formano, fanno con questi lati angoli
uguali.

Infatti come retti Ang. eha = fhb , ed anche eh a
— ahb = /hb-— ahb ossia Ang. ehb = ahf.

Consegue che in un triangolo la somma dei tre an-
goli è costituita del doppio, di uno qualunque di essi e
del doppio suo complemento : e che la somma di due
qualunque degli angoli del triangolo é uguale al terzo
pia o meno due volte il complemento di questo. Si adotta

f«

k<*

^°^:

» .-^

— 20 —

il segno positivo quando il terzo angolo è acuto, e ne-
gativo se esso è ottuso.

42. In un triagolo ahb (Fig. 3*B.) girando il peri-
metro a partire da un vertice b in un senso determinato
bha, diremo bh lato primo, h vertice primo ; ha lato se-
condo, a vertice secondo, ecc.

Dal vertice primo h elevato al lato primo la perpen-
dicolare hf ed abbassata al lato terzo la perpendicolare
hpy dei tre angoli bhp^ pha^ ahf^ dei quali la somma è
90% diremo per brevità derivato il primo, integrante il
secondo, complemento il terzo, esprimendoli con i segni
Dh Ih Ch ove /i è la lettera del vertice comune.

Così dal vertice secondo a, elevata la perpendico-
lare ag al lato secondo, ed abbassata la perpendicolare
ar al lato primo sarà angolo har = Da » angolo rab
= la « angolo bag Ca » essendo a la lettera del ver-
tice secondo ecc.

Chiameremo anche derivati diretti di un vertice h i
due angoli Oh ih considerati in complesso.

43. In un triangolo gli elementi d, i, c, di un vertice
qualunque concorrono permutandosi alla formazione degli altri
due vertici del triangolo.

Infatti (Fig. 3* B) nel triangolo acutangolo ahb^ ed
in elementi del vertice /i, per essere retto Tang. bhf^ e
rettangolo il triangolo bph, avremo angolo abh = phfj
essendo ambedue complementari dell'angolo bhp = Oh ;
ma angolo phf = ih -f Ch e perciò ang. abh =r i^ -]-
Ch. Egualmente per essere ambo complementari dell'ang.
pha = Ih sarà ang. hab = phe ; maphe = Oh -j- Ch quindi

— 21 —

ang. hab =: Dh + Ch ; talché nel triangolo acutangolo
ahb ed in elementi del vertice h trovasi ang. /i = dk +

Ih » Angolo a = T^i, -\- Ch » Ang. 6 = ih + Ch.

Si dimostrerebbe in modo analogo la formazione dei
3 angoli in elementi del vertice a. o del vertice b.

Nel triangolo ottusangolo fhe di complemento ne-
gativo ahf = hhe ed in elementi del vertice /i, per es-
sere retto Tang. ahe^ e rettangolo il triangolo ep'h avremo
angolo/d/i = pha ; ma,pha = ih — Ch e perciò ang./e/i ^
Ih — Ch, Egualmente per essere ambo complementari del-
Tangolo fhp = sarà ang. hfe = phb ; ma phb = di» —
Ch quindi ang. hfe = Dh — Ch; talché in elementi del
vertice ottuso h del triangolo fìie trovasi ang. h = Dh+
Ih < ang. / — Dh— Ch > ang. e = ih — Oh.

Si dimostrerebbe in modo analogo la formazione dei
tre angoli del triangolo in eie nenti del vertice/ ovvero e.

44. Dal precedente conseguono le seguenti equazioni
che sarà facile dimostrare ai nostri lettori.

1 . Nel triangolo acutangolo ahb avremo oh -{- ih -|-

Ch = Da + I* + O = Db + 'b + Qb = Dh + Da +
Db = Ih -|. la ^ Ib = Qb + Qa -f Cb = 90^

Nel triangolo ottusangolo //i6^ avremo Db -j- ih ^ eh —

If -|- Cf — Df = De -f Ce — le = Db [^ De — Df = Ib -f If — le —
= Cb + ce — ( h ~ 90^

45 II diametro del circolo circoscritto al triangolo, trac-
ciato da un suo vertice, inverte i derivati di quel vertice.

Infatti (Fig. 3* B) nel triangolo acutangolo ahb^ ì
triangoli rettangoli hag, hpb hanno l'angolo acuto agh

— 22 —

nisurati dallo stesso arco, e perciò angolo
: Dhe conseguentemente ang. ghb = ahp

in egual modo, tracciati i diametri, per
irti ci.

3lo ottusangolo fhe, tracciata la corda fg
ingoli hfg, hp'e hanno l'angolo acuto fgk
lisurati dallo stesso arco, e perciò angolo
^ Dh e conseguentemente angolo ghe =

diametri si dimostra egualmente per gli

te che tracciate dagli estremi non comuni
ilo di un triangolo, formano rispettivamente
complementari di quello, 8' incontrano nel ■

», 3' B) nel triangolo acutangolo àhb sia
hav = Cb. Il triangolo hhm è rettangolo
ilomcntari gli angoli in h e b, ossia la bm
e dal vertice ò al lato opposto ah del tri-
triangolo hra è rettangolo per avere com-
angoli in h ed in a, ossia la ar è perpen-
tice a al lato opposto hh del triangolo ahh ;
r rispettivamente perpendicolari dai vertici
s'incontrano nell'ortocentro o del triangolo
ii analogamente per le rette formanti coi
due angoli a, b angoli complementari ad

ngolo //te, agli esti'emi /', /( dei lati di un
sia angolo eft ^^ ahp = c«. Il triangolo etf
T avere in e ed / angoli complementari ;
ep'h è rettangolo per avere in eod h an-

— 23 —

goli complementari, quindi nel triangolo //te le /<, /i/)' ca-
dono perpendicolari dai vertici sui lati opposti rispettivi
e perciò esse s'incontrano nell'ortocentro o' del triangolo.

Dimostrasi analogamente per le rette foi manti coi lati
degli altri due angoli h, f e dai loro estremi, angoli ri-
spettivamente complementari ad essi.

Consegue: 4iV Che le perpendicolari abbassate da due

< vertici di un triangolo ai rispettivi lati opposti for-

< mano con questi lati nei detti vertici angoli compie-

< mentari al terzo angolo del triangolo. >

< 2^ In un triangolo iscritto j le corde tracciate per-
<L pendicolarmente dà due vertici ai lati opposti, deter-

< minano sulla circonferenza archi uguali dalle due par-

< ti del terzo vertice. >

47. Nel triangolo acutangolo iscritto ahb (Fig. 3' B) Tor-
tocentro o è anche incentro del triangolo dipendente nxq
formato dalle congiungenti due a due gli estremi delle corde
tracciate perpendicolarmente dai vertici ai lati opposti nel
triangolo primo.

Infatti essendo arco bn = bq > lix = hq > ax =
= an le corde xb, nJi, qa, nel triangolo nxq risultano
bisettrici dei suoi angoli n, x, q, quindi il loro incontro
o, è incentro di questo triangolo.

Ciò non accade nel triangolo rettangolo ovvero ot-
tusangolo, poiché nel primo l'ortocentro coincido col ver-
tice del suo angolo retto e perciò trovasi sulla circonfe-
renza circoscritta al triangolo; nel secondo l'ortocentro
cadt.» fuori del circolo circoscritto al triangolo; mentre in
ambedue i casi l'incentro ò dentro l'area del triangolo e
perciò dentro quella del circolo ad esso circoscritto.

Tale diversa proprietà può dimostrarsi mediante i

— r

— 24 —

derivati triangolari. Infatti (43) il valore dei tre angoli
dell'acutangolo ahb in elementi di un suo vertice h, sorto:
Angolo / = Dh + Ih > Ang. a = oh + Ch > Ang, b
= Ih -j- Ch e sommando Ang. /t-j-a-f-^ = 'S(Dh +
-f- Ih -|- Ch) = 180"*; ma il triangolo essendo iscritto, i
suoi angoli abbracciano sulla circonferenza archi doppi,
e perciò la somma degli archi abbracciati dal doppio va-
lore degli angoli del triangolo è evidentemente 2 X 180*
= 360** circonferenza ; formula che dice come in ele-
|: menti di un vertice di un triangolo acutangolo iscritto,

1"^ esiste un secondo triangolo acutangolo iscritto nello stesso

circolo del quale ciascun angolo è formato di un doppio
elemento del primo.

Tale proprietà non si verifica per il triangolo ottu-
I sangolo fJie. Infatti come al (43) il valore dei suoi an-

p, goli in elem« nti del vertice ottuso h è ang. h = Dh -^

-j- Ih » angolo / = Dh — rh > ang. e = j^ — Ch e
sommando angoli h +/ + e:=^2(ih -|-ih — Ch)
= 180^ ossia 2 (Dh + Ih ) = 180° -f ^^^ ^ per essere
gli angoli iscritti maggiori della circonferenza di 4 c^
perciò in elementi di un vertice ottuso h non può costru-
irsi un secondo triangolo iscrittibile nello stesso circolo.

48. Nel triangolo iscritto e sulle direzioni delle corde
perpendicolari dai vertici ai lati opposti, ciascun lato è
equidistante dalla circonferenza e dall'ortocentro.

Infatti (Fig. 3* C) nell'acutangolo ab per il già detto
essendo arco bn = bq sarà ang. ban = baq^ ma on è
perpendicolare ad aè, quindi il triangolo nao è isoscele
ossia segmento pn = pò. Dimostrasi in egual modo che
segmento rq = ro^ e segmento mx = mo.

Nell'ottusangolo y7ie, tracciata idealmente la /q^ poiché

I.'

— 25 —

per il già detto arco hx = hq anche angolo hfo^ = h/q^ ma
la qo' è perpendicolare alla fh, quindi il triangolo g/o'
è isocele e segmento Iq = lo\ Poiché Tang. heo, for-
f : ato dalla corda he, e dalla secante o^q^ è misurato dalle
semisomma degli archi he -^ eq = hx, così tracciata
idealmente la ex, sarà angolo xeh = heó* ; ma eh è per-
pendicolare alla /o' quindi il triangolo xeó* è isoscele e
segmento tx = to'. Le parallele xh, he « hn, eh danno
arco hx =: eb » he = nfe, e perciò arco ^e = en ; trac^
ciata idealmente la /n, sarà angolo efó" = e/n, ed es-
sendo o^n perpendicolare alla fé il triangolo nfo^ è iso-
scele, quindi segmento p^n = p'o\

49. Sarà facile dimostrare i seguenti :

In un triangolo iscritto, la congiungente due a due i
punti d' incontro con la circonferenza delle perpendicolari ele-
vate ai lati in un vertice, con quelle elevate negli estremi
del lato opposto ad esso, è uguale a questo lato.

Così (Fig. 3*c) nel triangolo acutangolo ahb, tracciate
le dette congiungenti, avremo ef = ab < fg = bh > gè
= ha ossia triangolo efg = ahh ; e per l'Qttusangolo //le
avremo ah --= ef « bg = hf> ga = he ossia triangolo
fhe = agb.

50. Nel triangolo iscritto la congiungente gli estremi del
diametro e della corda perpendicolare tracciata da un vertice
al lato opposto ò parallela a questo lato.

Così (Fig. 3*a). Nel triangolo iscritto ahh tracciate
dai vertici i diametri e le corde perpendicolari ai lati
opposti e congiunti gli estremi di ciascuna coppia di
questi, avremo gn parallela ad afe, gè parallela a hh, "xf

- 26 -

parallela ha; e neirottus angolo //tè avremo corda gfn pa-
rallela fé, xb parallela ehy aq parallela hf.

51. (Fig. 3*d) Fra i triangoli dipendenti che hanno
per base uno dei lati di un triangolo primo iscritto e
per vertice Tortocentro di innesto ed altri triangoli dipen-
denti iscritti nello stesso circolo, si verificano le seguenti
uguaglianze.

Per il triangolo iscritto ahh avremo ; Triang. aoh
= fhe = bga = ano. < Triangolo toh = heb =
hqh -= gaf. Triangolo hoa = afh = hxa = gbe.

Per il triangolo ottusangolo fhe avremo : Triangolo
fo'e = ahb = egf = enf. a Triangolo fo'h = fah =
aho = gbe >. Triangolo eo'h = ehb = hob = fag.

52. Due triangoli aventi la stessa base ed i vertici volti
nello stesso senso, e dei quali i lati dell'uno siano perpen-
dicolari a quelli dell'altro, il vertice deiruno è ortocentro
dell'altro.

Così (Fig. 3*J5) nei triangoli aob, ahh il vertice o del
primo è ortocentro del secondo, ed il vertice h di questo
è ortocentro del primo ; ugualmente • nei triangoli boh^
bah il vertice o del primo è ortocentro del secondo e
quello a del secondo è ortocentro del primo. Lo stesso
avviene nei triangoli Tioa, hba.

53. (Fig. 3*b) L'altezza hp di un triangolo ahb del
quale sia noto un lato ab e la proiezione su questo del

vertice opposto è data dalla formula — — = ,,

* ^ pn p q

— 27 -
^P X bp fp' X p'e

pò hp*

. In egual modo l'altezza ar

rapporto al lato oh sarà ar = = —^ — ecc.

rq ro

54. L'area di un triangolo ahb, (Fig. 3*b), è data dalla

formula ^-L±Jl ^ ""P X bp _ ap + pb apXjb

2 ^ pn ~ 2 ^ pò

• _ ^^ + ^^ br X rh òr -f- ^h ho X oA
- 2 X -— = 2~ X J^ ecc.

• ■ • •

55. (Fig. 3^) I triangoli dipendenti pam, mhr, rbp
aventi per vertice uno di queili del triangolo primo ahb, e per
base una delle congiungenti due a due i piedi delje perpendi-
colari abbassate dai vertici ai lati opposti di esso, sono fra
loro simili ed anche simili al triangolo primo ahb.

Infatti, i triangoli rettangoli èra, bph sono simili per
avere comune Tangolo b quindi ab : br :: bh : bp :: ha : pr.
Dimostrasi ugualmente per i triangoli map, mhr entrambi
simili a quello ahb.

56. Le perpendicolari dai vertici ai lati di un triangolo
primo sono bisettrici del triangolo dipendente avente per iati
le congiungenti due a due i piedi delle perpendicolari stesse.

. Infatti (Fig. 3*c) sia il triangolo />mr dipendente del-
l'acutangolo primo iscritto ahb. Sappiamo dal (47) che
nel triangolo nxq le perpendicolari ar, hpj bn ai lati del
triangolo ahb, sono bisettrici ai vertici del triangolo nxq :
pertanto come dal (48) segmento f>n = pò < rq z= ro >
mx = mo. quindi i triangoli nxq, pmr hanno i lati ri-

— 28 -
spettivamente paralleli ed i vertici sulle stesse direzioni
bisettrici degli angoli del primo che perciò sono anche
bisettrici degli angoli del secondo. Sia triangolo ptl di-
pendente del primo ottusangolo fke. Poiché, come dal
triangolo /o'e = ahb, sarà anche triangolo p'fl = pmr,
e le perpendicolari dai vertici ai lati o'p\ fi, et comuni
per i triangoli fhe, fo^e, saranno per il già detto biset-
trici degli angoli d^l triangolo dipendente p'tl.

57. (Fig. S'd) Nel triangolo a/iè, si congiungano con
la mr, i piedi delle perpendicolari abbassate dagli estremi
del lato ab sugli altri due lati ; nel quadrilatero abrm cosi
formato, il rettangolo delie diagonali è uguale alla somma
dei rettangoli dei lati opposti.

Infatti, i triangoli amb, arb sono rettangoli e perciò
iscrittibili nel circolo di diametro aò, quindi (Teorema di
Tolomeo) ar X bm = (ab X "^f) + (<*"* X br), e per
l'identica ragione ft/) X 6m ^ {bh X pm) -f- (bp X hm)
e ph X ar = (ah X pr) -\- (ap X hr). Per il triangolo
ottusangolo fhe l'uguaglianza dei triangoli /o'e, ahb
dà quadrilatero felt = abrm < otp'e ^^ hmpb > o'fp'l
T= hapr e perciò quanto si è detto per ì secondi si ap-
plica ai primi.

58. In un triangolo abbassate le perpendicolari dai
vertici ai lati :

1. Per ogni coppia dei lati formanti un vertice del
triangolo il prodotto della somma per la difTerenza dei lati
è uguale al prodotto della somma per la differenza delle
loro proiezioni sul terzo lato.

— 29 —
2. La difTerenza del quadrati dei detti due lati è uguale
alta difTerenza del quadrati delle loro proiezioni sul terzo.

Infatti (Fìg. 4') per la coppia dei lati ca eh formanti
il vertice e del triangolo aeh, si abbassi la perpendico-
lare al terzo lato, e dal vertice col lato minore eh come
raggio si descriva la circonferenza, che tagli in k il lato
fl6, ed in m, n il lato ac prolungato.

Come raggi dello stesso circolo risultano eh = ch =
~cm = cn ed inoltre segmento joi =; /)/i.. Le secanti an,
ah del circolo o tracciate dallo stesso punto a, danno
am X an ^ ab X ah^ e sostituendo eh alle cm, en, e
ph alla pb sarà (ae -f- <^b) X (ac — cb^ =i (ap -\- pb") x
Xiap—pb).

Per un noto principio sappiamo che < il prodotto
della somma per la differenza di due quantità, è uguale
alla differenza dei loro quadrati, > quindi (ac -j- c6)
X (ae — eb) ^= ae — eh* ; inoltre (ae -f- ci) X (ac — eh)
= (ap -f- pb} X (ap — pb), quindi ac — cb = ap — pb^'

Si osservi che nel triangolo isoscele heb per essere
ck ^ cb e ph := pb, sarà (eh -f- eh) x i'^f^ — cb) =
ph -^ pbXph — pb = 0. Ossia delle tre coppie di lati
del triangolo isoscele, una dà differenza zero e le altre due
danno uguale differenza.

59. In un triangolo scaleno la differenza tra i quadrati
dd lato massimo e minimo, è uguale aita somma delle diffe-
renze dei quadrati delle altre due coppie di lati nel triangolo :
talché s9 SL a > b> e sono tati di uno scaleno sarà a' —

e' = a' — b* t}- b^ — e (a).

Infatti, se nella equazione (a), si sopprimono nel se-
condo membro le quantità uguali di segno contrario

— 30 —

-j b*, si riduce alla identità a* — e* := a* — e*. Con-
segue che :

In un triangolo scaleno il prodotto della somma per la
differenza tra il lato massimo ed il minimo, è uguale alla
somma dei prodotti, tra somma e differenza delle altre due
coppie di lati.

60. Nella equazione (a) è facile vedere che le quan-
tità f^a'—c' < ^a' — b' > ^ 6«— e* sono lati dì un

triangolo rettangolo del quale il segmento ^a* — e* è
ipotenusa. Per brevità, tale triangolo rettangolo diremo
differenziale rapporto al triangolo che lo ha generato.
Il triangolo isocele non ha triangolo differenziale, o per
meglio dire, il triangolo rettangolo differenziale di un
isoscele, avendo un cateto uguale alla ipotenusa e l'altro
cateto nullo, si cangia in un segmento uguale alla ipotenusa.

61. (Fig. 5*) Siano ca > cb lati di uji angolo e del
triangolo acb. Dal vertice e coi lati, come raggi si de-
scrivano le circonferenze. Dall'estremo del lato maggiore
si tracci la tangente ap al circolo minore, e nell'estremo
del lato minore si elevi la perpendicolare bo semicorda
ossia ordinata del circolo maggiore, ad incontrarne là cir-
conferenza. Evidentemente ap = bo come semicorde tan-
genti al circolo minore. Nel triangolo rettangolo ape tro-

vasi (ap* := bo) = ca — cp^ = ca — cb^ ; ed anche {ap =

Consegue, che rispetto alla coppia dei lati ca, cb del
triangolo acb^ la tangente ap =: bo = 1^ ~* — ^* è il

lato corrispondente alla coppia stessa nel triangolo ret-
tangolo differenziale di quello dato acb.

-*-Tr

— 31 —

62. (Fig. 5*) Date due circonferenze concentriche di
raggi disuguali ea, eh, le distanze prese sulla stessa dire-
zione da qualunque punto della circonferenza maggiore ai due
incontri della direzione con la minore, e dà qualunque punto
delia circonferenza minore ai due incontri della direzione con
la maggiore, danno uguale prodotto.

Infatti, nel circolo maggiore, si tracci per il punto* è,
la corda fg. Dà noti teoremi sappiamo come le corde
fg, oh, per essere bo = bhy danno bfXbg = boX bh

= b^'

Nel circolo di raggio eb nel quale ap è tangente art

secante abbiamo an X am = ap ^ed essendo ap^ = 60\ sarà

bfxbg = am X an = ap = 6o*-

63. È facile vedere che la tangente^ ap ^ ~» ^

= ^ {ae -f- c6) X (<^^ — ^^ è costante qualunque sia
r inclinazione scambievole ossia Tangolo che formano i
lati ca, cb; talché per due triangoli acb^ aer che ab-
biano due lati rispettivamente uguali, nei corrispondenti
triangoli rettangoli differenziali il lato ap è comune, ma

poiché in un triangolo differenziale T ipotenusa è radice qua-
dra della differenza dei quadrati dei lati massimo e minimo,

così nel. triangolo differenziale la tangente lato ap sarà
ipotenusa, finché nel dato triangolo i lati della coppia da
cui proviene siano il massimo e minimo ; e la stessa
tangente ap nel triangolo differenziale diverrà cateto, sé
uno dei lati della coppia fosse medio tra quelli del dato
triangolo. Così, ad esempio, nel triangolo aeb sia il
lato ac massimo e eb minimo e la tangente ap sarà
ipotenusa nel corrispondente triangolo differenziale ; in-
vece nel triangolo aer sia lato ae massimo e er medio
allora la tangente ap sarà cateto del corrispondente trian-
galo differenziale.

, Consegue dall'esposto che :

1. A triangoli disuguali coirispondono triangoli
;oli differenziali disuguali ;

2. Due o più triangoli aventi triangoli differenziali
sono fra loro uguali ;

3. A triangoli differenziali aventi un lato uguale
ondono dei triangoli aventi due lati scambievol-
uguati ;

4. A segmenti rettilinei uguali dati come triangoli
;oli differenziali i triangoli isoceli corrispondenti
'a loro uguali ;

5. A segmenti disuguali dati come triangoli ret-
differenziali corrispondono triangoli isoceli disu-

6. Due triangoli equiangoli e perciò simili hanno
li differenziali simili, ecc. ecc.

i ristrettezza impostaci non ci permette di fare
ire l'utilità pratica che in taluni casi possa rica-
[alle proprietà speciali ai triangoli differenziali.

. (Fig. 6*) Rispetto ad una coppia di lati ea, cb

triangolo acb, diremo per brevità differenziale la

te ap ; quadrato differenziale il quadrato della

te ap; cìrcolo differenziale quello descritto con

;ente ap come raggio.

)ichè sono tre le coppie dei lati di un triangol-s

so ha 3 differenziali, 3 quadrati differenziali e

*li differenziali.

triangolo differenziale essendo rettangolo, consegue

quadrato differenziale dei lati massimo e minimo, è

-7^

.'i

'rf.

— 33 —

uguale alla somma dei quadrati differenziali delle altre
due coppie di lati del dato triangolo, e perciò l'area del
circolo differenziale ed in genere di tutte le figure co-
struite sulla differenziale della coppia dei lati massimo e
minimo, sono somma delle aree dei circoli differenziali e
delle figure simili costruite sulle differenziali delle altre
due coppie di lati ; conseguentemente l'area del quadrato
circolo o figura costruita sulla differenziale di una cop-
pia di lati che non siano massimo e minimo è differenza
fra le aree delle figure simili costruite sulle differenziali
delle altre due coppie.

66. (Fig. 6*) Sia ap differenziale dei lati ca, cb dello
scaleno acb. Per il vertice a si traccino quante vogliansi
secanti an^ ad, ab . . . al circolo minore di raggio cb :
e nelle loro intersezioni con esso, i raggi ed, cb, cr . . .
I triangoli acd, acb, aco . . . hanno una coppia di lati
uguali e rapporto ad essi la stessa differenziale ap.
Tracciate da un punto qualunque z della circonferenza
maggiore quante vogliansi secanti zq, zr . . . a, quella
minore, nonché i raggi cq^ ex . . . si otterrà egual-
mente un numero infinito di triangoli aventi una cop-
pia di lati uguali a quelli ca, ce, e perciò la stessa
differenziale ap. Dal vertice comune d di essi alle rispet-
tive basi si abbassino le perpendicolari eh, cK, ck . . :

Ciò posto, per il già detto avremo ae — ed = co* —

co = {ae -|- ed) X (ae — ed) = (ca -f- ^^) X (ca — co)

= Ka — KdL — ... ecc. ecc. Talché, date due circonfe-
renze concentriche di diverso raggio ea, eb, e che dà un
punto qualunque a della maggiore si tracci una secante alla
minore, la quale passi per ir centro comune e, ed altre se-
canti estórne al centro come aò ; i raggi ea, cb delle due
circonferenze possono considerarsi come lati di altrettanti

— 34 —

triangoli aventi per base ciascuno una delle secanti esterne
al centro ab; dei quali triangoli la tangente ap, tracciata
da un punto qualunque delta circonferenza mag^ore alla mi-
nore, è differenziale comune.

67. Fra i triangoli aventi per lati i raggi ca^ cb
di due circonferenze concentriche, quello piatto acn ha
la base maggiore, ossia la secante art la quale è som-
ma dei lati o raggi ca, cn; e quello di base minore
è il triangolo ripiegato aem del quale la base è la parte
am differenza fra i due lati del triangolo.

68. La circonferenza descritta sul raggio o lato mag-
giore ca come diametro, 'divide per metà nei punti e,
/i, h\ h'\ . . i segmenti delle secanti tracciate dal punto
a e racchiusi nella circonferenza minore, e perciò i segmenti
am, ao, . . . ap delle stesse secanti, compresi fra le due
circonferenze concentriche, danno su ciascuna di esse la
differenza fra i segmenti ac, cn < ah, hb . . . nei quali
la circonferenza di diametro ea divide il fascio delle
secanti tracciate per a ; e degli stessi segmenti il mi-
nore am è differenza dei raggi, ossia lati dei vari trian-
goli aventi per base le secanti da a alla circonferenza
minore, e quello maggiore a/>, ossia tangente differen-
ziale comune, è radice quadra della differenza dei qua-
drati dei raggi ovvero lati dei detti triangoli.

69. I triangoli aventi la stessa base e la stessa proie-
zione dei lati su di essa hanno uguale prodotto della somma
per la differenza dei lati, e conseguentemente la stessa dif-
ferenza dei quadrati dei lati.

— 35 —

Infatti (Fig. 7*) nel triangolo ach si tracci indefi-
nita dal vertice alla l)ase la direzione perpendicolare hd^
e si congiunga un punto qualunque d della perpendi-
colare con gli estremi a, h della base ; tutti i trian-
goli come adb che hanno il vertice sulla direzione per-
pendicolare hd al di sopra o al di sotto della base ah
air infinito, hanno le stesse proiezioni dei lati ha^ hb.
Sia Qp la tangente al circolo descritto col lato minore
eh del triangolo ach. In virtù di quanto precede, avremo
(da -(- db) X (^^ — df>) = {p<^ -j- ^^ X (^^ — ^^) = e^^
-{- hb) X ij^o. — hb) = da — db "= ea — cb = ha —
hb . , . = ap*

70. Diremo per brevità serie triangolare differen-
ziale una serie di triangoli che come alla (Fig, 7*)
abbiano per base comune una tangente a/), ovvero una
secante del fascio tracciato da un punto a esterno ad
un circolo di raggio arbitrario eb ed anche una delle
parti interna od esterna al circolo delle dette secanti,
e che abbiano ciascuno il vertice sopra la direzione
perpendicolare alla rispettiva base e passante per il centro
e del circolo cb. Così, rapporto al circolo di raggio eb
i triangoli ae/?, ac6, acr, adb^ ask . , ., non che tutti i
triangoli che come aer hanno la stessa base ar ed il
vertice sulla direzione perpendicolare ad essa per il ver-
tice d di uno dei triangoli suddetti e per il centro e
del circolo alla base comune, costituiscono la stessa
serie differenziale, inquantochè essi hanno la tangente
ap come differenziale comune dei quadrati dei rispet-
tivi lati.

Una serie triangolare differenziale si suddivide nelle
sotto serie rettangola^ acutangola e mista.

— 36 —

Una sotto serie rettangola è costituita da una colonna
di triangoli i quali come aep^ afp hanno per base la
tangente ap ad un circolo di raggio qualunque ed uno
dei cateti sulla perpendicolare indefinita pf alFestremo
p della tangente o differenziale ap.

Le sotto serie acutangole hanno per base comune
di una colonna di triangoli la parte esterna ar^ ao delle
secanti tracciate ad un circolo e da un punto a esterno
ad esso. I triangoli acr^ adr appartengono ad una co-
lonna della sotto serie differenziale acutangola ap.

Le sotto serie miste hanno per base una secante
intera dallo stesso punto esterno a ad un circolo e. La
serie mista si compone di colonne di triangoli ottusan-
goli ed acutangoli : i triangoli aeb^ adb appartengono ad
una colonna di serie mista.

È superfluo osservare per la stessa colonna di trian-
goli e rapporto agli angoli opposti alla base comune as^
sunti come vertici, che una sotto serie rettangola non
può contenere triangoli di vertici ottusi e acuti. La sotto
serie acutangola non può contenere triangoli di vertice
retto, ovvero ottuso, e le sotto serie mista contiene per
ógni colonna due soli triangoli rettangoli scambievol-
mente uguali e simmetrici rapporto alla base cgmune.

71. Dato un circolo differenziale di raggio ap (Fig. 7-)
nel piano ciie lo contiene possono costruirsi quanti vogliansi

triangoli aventi lo stesso quadrato differenziale dei lati

purcliè le rispettive basi ah^ ae ecc. siano tutte ra-
dianti dal suo centro a, ed i toro vertici in un punto esterno
all'area del circolo differenziale dato.

Si ti'acci infatti la tangente indefinita pf ad un estremo
di un raggio differenziale a/), e ad incontrare la tangente

— 37 —

/)/, SÌ traccino quante vogliansi direzioni ac, af radianti
da a. I triangoli rettangoli ape^ apf^ aventi per base un
raggio qualunque della circonferenza differenziale^ hanno
rapporto ai rispettivi lati lo stesso quadrato differenziale.
Rapporto a quel circolo differenziale, le infinite colonne .
di tali triangoli costituiscono la sotto serie rettangola cHe
diremo prima. Sia dato un segmento ah radiante dal
centro del circolo differenziale e vogliasi costruire una
colonna di triangoli aventi la stessa base sulla data di-
rezione ah e lo stesso quadrato differenziale dei lati della

suddetta serie prima e cioè ap ; e sia assegnato il punto
e, esterno al circolo differenziale come vertice di uno dei
triangoli della colonna ; allora tracciata la tangente cp
al circolo differenziale , con questa come raggio si de-
scriva la circonferenza e si congiunga il centro e di que-
sta con quello a del cingolo differenziale e con le inter-
sezioni r, h del circolo e con la data direzione ah. Per
essere ap tangente al circolo di centro e, i triangoli»

aer^ acb hanno a/>* come differenziale dei lati ed ap-
partengono alla richiesta colonna di triangoli. Dal ver-
tice comune e di essi si tracci indefinita alla base ah
ovvero ar, la perpendicolare hcd^ e congiunto un punto
qualunque d di questa con i punti a, r, 6, i triangoli
ade, arfr, avendo le stesse proiezioni dei lati dei trian-
goli ac6, aer hanno lo stesso quadrato differenziale ap^ ed
appartengono ai richiesti, come tutti quelli che possono
costruirsi air infinito dalle due parti della base comune
ah e col vertice sulla perpendicolare ad essa hd. Per
quanto dicemmo , qualunque secante per a al cir-
colo di raggio c6, può essere base comune di una co-
lonna di triangoli dei quali il vertice sia sopra una per-
pendicolare indefinita ad essa passante per il centro e,

e che hanno lo stesso quadrato differenziale dei lati ap^

— 38 -^

Tutte le colonne di triangoli di sotto serie mista o di
sotto serie acutangola nel detto modo costruite formano
la serie seconda ap in rapporto con la suddetta serie
prima rettangola.

Con lato minore db o dr di un triangolo qualunque
adh^ ovvero adr della serie seconda e dal vertice d, si
descriva una circonferenza e si traccino ad essa per
a quante vogliansi secanti. Ognuna di tali secanti o la
sua parte esterna può essere base coniune ad una co-
lonna di triangoli acutangola o mista dei quali trian-
goli il quadrato differenziale è quello della serie prima ap '

Infatti, sia ae una delle secanti per a al* circolo di
raggio rfè, si elevi ad essa la direzione perpendicolare
indefinita passapte per il centro, d. e si congiungano
quanti vogliansi punti 8, g della perpendicolare col cen-
tro a del circolo differenziale, e con le inteirsezioni n, e.

avremo ga — gè = sa — sn = ad* — de*' ma poiché
de = rfè, come raggi dello stesso circolo sarà ga gè =
sa sn = ad — de* =~ad* — db* = ap*-

Si dimostrerebbe in egual modo per la colonna d^
serie acutangola, cioè ga* — ^*= sa — so =" da
dr* = ap*'

Rapporto al circolo di raggio db tutte le colonne
di triangoli che hanno per base comune una delle se-
canti per a, o la parte esterna al circolo di questa, co-
stituiscono la serie terza ap^ in referenza alla serie prima
rettangola.

In egual modo col lato minore se di uno qualunque
dei triangoli di serie terza e col centro nel suo vertice
s descritta la circonferenza e tracciata a questa per a un
fascio di secanti; tutte le colonne di triangoli che ab-
biano una di queste secanti o la sua parte esterna al
circolo, come base comune, ed il vertice sulla perpen*

— 39 —

dicolare abbassata alla base comune per il centro s del

circolo della sèrie, formano la serie quarta ap » in refe-
renza alla prima rettangola, e così si procede di serie
in serie all'infinito.

Consegue da ciò che qualunque punto del piano di un
circolo differenzialet purché esterno alla sua area, può es-
sere vertice di un triangolo che abbia per base un segmento
radiante dal centro del circolo differenziate, del quale triHir
gelo il quadrato differenziale è queUo costruito sul raggio del
detto circolo.

72. (Fig. 7*) Intorno ad un asse indefinito ap si
faccia rotare idealmente un circolo differenziale di raggio
ap unitamente al piano che lo contiene, il che fa-
cendo il circolo differenziale genera una sfera che
diremo sfera differenziale; evidentemente qualunque sia
r inclinazione del piano nella sua rotazione restano
inalterate nei varii triangoli differenziali delle sue serie
tanto le scambievoli distanze dei vertici quanto le ri-
spettive lunghézze dei lati dei quali resta invariato il
rapporto.

Consegue che: Data una sfera differenziale qualsiasi
punto dello spazio esterno alla sfera, può essere vertice di
un triangolo il quale abbia per base un segmento radiante
dai centro delia sfera e del quale la differenza dei quadrati
dei lati sia il quadrato del raggio della sfera.

73. (Fig. 7*) La linea spezzata p e d s z . . . for-
mata dalle congiungenti due a due i centri dei circoli
generatori delle successive serie di triangoli differenziali,
diremo poligonale differenziale.

— 40 —

È facile vedere che la paUgondle differenziale può
costruirsi con segmenti che stiano fra loro in un voluto
rapporto, ed anche con segmenti che siano fra loro uguali
ed anche uguali al raggio del circolo differenziale. In que-
st'ultimo caso i vertici />, e, rf, s . . . della poligonale distano
progressivamente dal centro della sfera nello stesso rap-
porto delle radici quadre dei numeri naturali. Si avrebbe

cioè ap: ac: ad: . . . : : 1 : ^ 2 : ^ 3 . . . ecc.

74. Da un noto teorema sappiamo che i triangoli della
stessa base e mediana iianno la stessa somma dei quadrati
dei tre lati.

Diciamo addizionale una serie di triangoli che abbiano
la stessa somma dei quadrati dei tre lati.

Le serie addizionali di triangoli le distingueremo
in rettangole, acutangole ed ottusangole.

75. r Un triangolo di una serie differenziale rettan-
gola può generare una serie addizionale rettangola.

2"" Due triangoli qualunque di una colonna di una serie

differenziale acutangola o mista, possono generare una
serie addizionale rettangola.

Infatti s' iscriva un triangolo rettangolo. Sappiamo che
tutti i triangoli rettangoli della stessa ipotenusa e perciò
iscrittibili nello stesso circolo, hanno la stessa somma
dei quadrati dei lati (Teorema di Pitagora).

11 gruppo di tali triangoli costituisce una serie ad-
dizionale rettangola.

(Fig. 7*) Siano aeb, adb due qualunque dei trian-
goli di una colonna di serie differenziale mista. Avremo Te-
quidifferenza ad' — db' = 'ac — W^ dalla quale permu-

— 41 —
tando ricavasi ad* -f-c6« = ac -^ db (m) ossia nei due

triangoli di ugual base e proiezione dei lati, la somma dei
quadrati del lato maggiore dell'uno con quello del lato minore
dell'altro è uguale.

Pertanto nella equazione (m) i quadrati di ciascun
membro possono considerarsi come quelli dei cateti di
un triangolo rettangolo del quale V ipotenusa sia la stessa,
quindi ecc.

Per formare graficamente dà una serie differenziale
altra serie addizionale rettangola (Fig. 8*), all'estremo dì
un segmento cb lato minore di uno dei due triangoli
prescelti nella serie differenziale, si elevi la perpendico-
lare ba* = ad lato maggiore dell'altro triangolo ; eviden-
temente il triangolo rettangolo a'be vsarà quello generato
come alla equazione (m). Iscritto il triangolo a'6c, l'in-
sieme dei triangoli iscritti nello stesso semicircolo costi-
tuisce la serie addizionale rettangola richiesta.

La somma dei quadrati dei tre lati di uno qualunque
c'è^a^ dei triangoli dellaserie addizionale rettangola è eviden-
temente s. = 2, (a '6' -f" ^6'*)»

La coppia di triangoli prescelti nella serie differen-
ziale per formarne altra addizionale, potrebbe costituirsi
dì un triangolo qualunque adb e di quello piatto ahb^
il quale ha per lati le proiezioni comuni ai lati dei trian-
goli della colonna delle serie. In tal caso Teq^uazione m

diviene m' = ad -^ bh = db -J- ah^.

Quanto si è detto, dimostrasi ugualmente per due .
triangoli di una colonna differenziale acutangola.

76. Un triangolo isoscele può generare una serie addi-
zionale della stessa natura del suo angolo al vertice.

— 42 —

Infatti (Fig. 9*), sia retto, acuto ovvero ottuso Tan-
golo al vertice d del triangolo isocele adb. Col centro e
sulla metà della base e colla perpendicolare dal vertice
ovvero mediana come raggio, si descriva la circonferenza
bda : qualunque triangolo come a/6, avente il vertice /
sulla circonferenza, ha la stessa somma dei quadrati dei
tre lati dell' isoscele arf6, avendo con esso la stessa base
e mediana.

Con la base ab, come diametro si descriva la cir-
conferenza.

Quando V isoscele adb ha la semibase ca = ed me-
diana, allora la circonferenza md'n, m'd'^n' si fondono in
una sola adb della quale la semibase e la mediana sono
raggi ; il triangolo isoscele è rettangolo, e tali sono tutti
i triangoli della stessa base dell' isoscele, iscritti nella cir-
conferenza ; questi nel loro insieme costituiscono una
serie addizionale rettangola.

Quando neir isoscele adb la semibase è minore della
mediana, cioè ea < ed* come in figura, allora T isoscele è
acutangolo, e tali sono ancora tutti i triangoli come afb
della stessa base e mediana dell* isoscele.

Quando neir isoscele la semibase ca > ed mediana,
allora esso è ottusangolo, e tali sono tutti i triangoli
della stessa sua base e mediana.

Questi due ultimi casi danno le serie addizionali
acutangola ed ottusangola.

Consegue che la mediana eomune ai triangoli di
una serie addizionale è l'altezza dell' isoscele fondamene
tale della serie.

77. Dato un triangolo del quale la somma dei qua-
drati dei tre letti sia s, può facilmente eostruirsi una

— 43 —

serie addizionale acutangola, rettangola ovvero ottusan-
gola della quale la somma dei quadrati dei tre lati di
ciascun triangolo sia quella stessa del dato triangolo.

Infatti, sia s la somma dei quadrati dei tre lati del
triangolo af*b (Fig. 9»), Adottato come base uno dei lati
ab del triangolo che sia opposto ad un angolo acuto /', e
con la mediana cf come raggio deswitta la circonferenza,
tutti i triangoli, come a/'è, ad'b . • . della stessa base
ab e dei quali la, mediana è uguale alla €f\ hanno s per
per somma dei quadrati dei tre Jati, ed appartengono
alla serie acutangola richiesta ; inquantochè gli angoli
ai loro vertici sono acuti per essere la semibase di cia-
scuno minore della rispettiva mediana.

Vogliasi formare una serie addizionale rettangola
che dia la stessa somma s per i quadrati dei tre lati di
ciascun triangolo della serie. Fra i triangoli della serie
acutangola, come sopra costruita, ve ne sarà uno rettan-
golo abh del quale s è somma dei quadrati dei tre lati.
Iscritto il triangolo rettangolo abh^ per il già esposto
tutti i triangoli di base ah ed iscritti nello stesso circolo,
sono rettangoli od hanno s per somma dei quadrati dei
tre lati, ed insieme costituiscono la serie rettangola.

Si voglia formare una serie addizionale ottusangola
della quale s sia somma dei quadrati dei tre lati dei
triangoli che la costituiscono,* ed allora scelto nella serie
acutangola un triangolo abo che abbia alla base un
angolo, ottuso, col centro nel mezzo z del lato ao oppo-
sto all'angolo ottuso b e con la mediana zb come raggio
descritta la circonferenza, tutti i triangoli che hanno la
stessa base ao ed il vertice sulla circonferenza sono ottu-
sangoli ed hanno s per somma dei quadrati dei tre lati
e perciò costituiscono la serie ottusangola richiesta.
* Si opera in modo analogo, quando il triangolo ini-

— 44 —

ziale sia rettangolo e vogliansi formare la serie acu-
tangola ed ottusangola della stessa sua somma s dei
quadrati dei tre lati, ovvero che il triangolo iniziale
sia ottusangolo e vogliansi formare la serie rettangola
ed acutangola.

78. Se la somma 5 dei quadrati dei tre lati dei
triangoli di una serie addizionale è data numericamente,
allora per costruirla si suppone che V isoscele fonda-
mentale della serie, sia equilatero, del quale evidente-

« s
mente il quadrato di uno dei lati e 1 = — e perciò il

3
suo lato è / = ^"V", e Taltezza h = ^ / « / / \ *. Si co-

. . . ' . . l"^'

struisca il triangolo equilatero ad'b di lato / e con la
sua altezza ed' (Fig. 9*) descrivasi la circonferenza ;
i triangoli della stessa base che abbiano il vortice sulla
circonferenza formeranno la serie acutangola ed avranno
ciascuno 8 per somme dei quadrati dei tre lati. Da que-
sta serie, come si è detto, si ricavano volendo quelle
rettangola ovvero ottusangola.

Si osservi che quando diciamo i lati, e non i tre lati
di un triangolo, intendiamo di escludere la base di esso.

79. La somma dei quadrati del lati di un triangolo ò
uguale a quella dei quadrati di due segmenti costituiti della
somma e della differenza della semibase e mediana del
triangolo.

(Fig. 10*) Sia e punto medio delle basi a6, a'b* dei
triangoli ottusangolo adb^ acutangolo a'd'ò\ Si faccia

— 45 —

eV = ed mediana deirottusangolo, cb = ed* mediana del-
Tacutangolo. Chiamando b la semibase di ciascun trian-
golo ed m la rispettiva mediana ; per Tottusangolo tro-
vasi a6' = 6 -j- m, b'b = b — m; e per l'acutangolo
a'è= 6 -|- m, b'b= m — 6. Elevando a quadrato i se-
condi membri delle equazioni, sommando e riducendo
trovasi (b -f- ^Y + (6 — rrif = 2 (6* -f" ^^^ ^ssia il dop-
pio quadrato della semibase e della mediana, che per un
nolo teorema sappiamo essere uguale alla somma dei
quadrati dei due lati di ciascun triangolo.

Allorquando il triangolo è rettangolo, allora la sd^
mibase è uguale alla mediana, ed ambedue raggi del
circolo circoscritto al triangolo ; quindi nel triangolo ret-
tangolo il segmento somma 6 -j- m = rf è diametro del
circolo circoscrìtto ed ipotenusa del triangolo, ed il
segmento differenza b — m = 0.

•

80. In un triangolo la differenza fra il quadrato della
base e la somma dei quadrati dei lati è data dal doppio ret-
tangolo formato dalia somma per la differenza della semi-
base e mediana ; aggiunto o tolto al quadrato della base se-
condo Cile questa sia opposta ad angolo acuto ovvero ottuso.

Infatti (i'ig. Il* A, b), sia ab la base, em la mediana
di un triangolo ottusangolo ovvero acutangolo di lati /, l\

Come dal precedente abbiamo 1-^1'= am ~r mb •
Si costruiscano i quadrati dei segmenti ai, am^ mb come
in figura a, b ; dal solo esame di questa si vede che il
quadrato Q della base ab è aguale alla somma dei qua-
drati M, N dei segmenti am, mb, piti meno i due ret-
tangoli jR, R' aventi per base am e per altezza mb, se-
condochè il dato triangolo sia acutangolo ovvero ottu-
sangolo.

81. Segue dal precedente che : In un triangolo il ret-
tangolo formato con la somma per la difTerenza della semi-
base per la mediana, è uguale a quello formato con uno dei
lati del triangolo per la proiezione su qyesto dell'altro lato.

Infatti, da- un noto teorema sappiamo : che la diffe-
renza fi'a la somma dei quadrati dei lati e quello della
base è + il doppio rettangolo di un lato per la proiezione
dell'altro su di esso, secondochè detti lati formino tra loro
angolo ottuso ovvero acuto.

« Riescirà facile dimostrare i seguenti, 82 .... 88:

82. Il doppio quadrato dell'altezza presa dal vertice
di un triangolo di una serie addizionale, è differenza fra il
doppio quadrato del lato dell' isoscele fondamentale della serie,
ed il prodotto dei segmenti nei quali la perpendicolare dai
vertice divide la base.

83. Comunque, si divida in due parti m, n la somma s
dei quadrati dei lati di triangoli di una serie addizionale, i
segmenti r~ rT~ sono lati di un triangolo della stessa

sene.

84. Sopra una dii*ezione passante per il centro di
una circonferenzf», siano determinati due punti equidi-
stanti dal centro ; congiunto un punto qualunque della
circonferenza con quei due punti, la somma dei quadrati
delle due congiungenti è costante.

85. Siano concentriche e di diametri coincidenti due
circonferenze (Fig. 10*). Si congiungano gli estremi del

T7"

— 47 —

diametro della circonferenza maggiore con un punto della
minore formando così un triangolo ottusangolo O avente
per base il diametro maggiore ; si congiungano gli estremi
del diametro della circonferenza minore con un punto
della circonferenza maggiore, formando così un triangolo
acutangolo a avente per base il diametro minore: risul-
terà che <r La somma 8 dei quadrati dei quattro segmenti
congiungenti un punto dèlia circonferenza maggiore con
gli estremi dei due diametri, è uguale a quella dei qua-
drati dei tre lati delPottusangolo O; e la somma s* dei
quadrati dei quattro segmenti congiungenti un punto della
circonferenza minore con gli estremi dei diametri, è uguale
a quella dei quadrati dei tre lati del triangolo acutangolo a.>

86. Siano due circonferenze concentriche, ed in esse
quante vogliansi corde concorrenti ad un estremo del
diametro della circonferenza maggiore. Avremo che : La

circonferenza descritta sul raggio della circonferenza mag-
giore, assunto come diametro, taglia per metà tutte le sud-
dette corde.

87. (Fig. 12*) Se dal mezzo e dell* ipotenusa ab di
un triangolo rettangolo asb e con raggi arbitrari cq, cq\ . .
si taglia in /), r, il cateto 6s, e si congiungono queste in-
tersezioni con Testremo a della ipotenusa. Avremo :

bq -f- ^ = br -^ ra = br -{- rs* . . ecc. Avremo an-
cora : bqy^ qa =1 br y, rs < bq' y, q'a =ibpy^ ps . . . ecc.

88. (Fig. 13*) Col centro nelFestremo e del diametro
eb di una circonferenza o, e con raggi arbitrari cm, crrC
si descrivano gli archi che taglino in x. x* la circonfe-

- 48 —

renza o. Avremo : bz-^zrx^b=bC'j-emy^ mb = bxt ed
anche bz' -f" ^'^ y, nb = be r^ cm' X ^'^ = bx , . . ecc.

89. In un triangolo la somma del due rettangon formati
da ciascun lato con la proiezione della base su di esso, è
uguale al rettangolo formato dalla base per la somma su
di essa delle proiezioni dei iati.

Infatti (Fig. 14*a), nel triangolo ottusangolo adb siano
art, bm proiezioni della base ab sui lati ; e siano a/), bp
proiezioni dei lati sulla base. I triangoli rettangoli apdj
anb sono simili per aver comune l'angolo a ; quindi
ad : ap : : ab : an^ ossia ad y^ an = ap X ^^ (a)- I trian-
goli rettangoli bpd, bma sono simili per aver comune
l'angolo 6, quindi bd : bp :: ab : bm^ ossìa bd X bm
=z bp y ab (b).

Sommando termine a termine l'equazioni a, b tro-
vasi ad X ^^ -{- bd y bm = ap -{- bp y ab.

(Fig. 14* b) Nel triangolo rettangolo arfè, sia ah
proiezione della base ab sulla ipotcnusa: la proiezione
della stessa base sul cateto bd è nulla. I triangoli ret-
tangoli abd^ ahb sono simili per aver comune l'angolo

a, quindi da : ab :: ab ; ah; da cui da y ah = ab*.
(Fig. 14* e) Nel triangolo acutangolo arfè siano am,
bm proiezioni della base sui lati, ed a/), bp proiezioni'
dei lati sulla base, I triangoli rettangoli apd, abm sono
simili per avere comune l'angolo a, quindi
ad : ap :: ob : am, ossia ad X ^^ = ap X ab (a). I
triangoli n^ttangoli bpd^ bna sono simili per aver co-
mune l'angolo b onde bd : bp : : ab : 6n, ossia bd x
X bn =^ bp y ab (b), sommando termine a termine
le equazioni a, b trovasi ad X ^^ -j- 6d X ^^ =
ap -\- bp X ab.

90. In una colonna differenziale di triangoli, descritto
il circolo sulla base comune alla serie come diametro,
i rettangoli formati coi lati dei triangoli della serie che
radiano dallo stesso estremo della base comune, ciascono
per la sua parte intercetta nel detto circolo, sono fra loro
equivalenti.

Infatti (Fig. 15 a), nella serie mista siano i trian-
goli adbj aob. I triangoli rettangoli apcl^ abf sono si-
mili per aver comune Tangolo acuto a, quindi
ad : ap :: ab : af^ ossia ad X ^f= ^^^ ^ ^P-

I triangoli rettangoli apo, abh^ aventi comune l'an-
golo acuto a, sono simili e danno ao : ap : ab : ah,

cioè ah X ao =^ ab X ^P'

Paragonando le due equazioni trovasi :
ad X ^f = <^h X ao = . . . . = ab X ap.

(Fig. 15' b) Nella serie rettangola siano i triangoli
apdj apo; sulla baso comune ap come diametro si de-
scriva il circolo.

I triangoli rettangoli apo^ aep^ essendo simili, danno

ae : ap :: ap : aOj ossia ae x ^o = ap-

I triangoli rettangoli simili apd^ anxp danno

am :ap:: ap: ad, ossia am X ad = ap da cui ae X ao =

= am X ad = .... = ap'

(Fig. 15tc) Nella serio acutangola siano i triangoli
adg^ aog.

I triangoli rettangoli simili apd^ ang danno
an : ag :: ap : ad^ ossia art X ad = ag X ap.

I triangoli rettangoli simili asg^ apo danno
as : ag :: ap : ao^ ossia as x ^o = ag X ap. Parago-
nando le due equazioni trovasi an X ad = asX ao . . . .

-SC-
Si osservi (Fig. 15* e) clie, rapporto al circolo di
diametro ag, la perpendicolare indefinita joof sul suo pro-
lungamento è esterna al circolo ; rapporto al circolò di
diametro ap (b), la perpendicolare indefinita dp è tangente
al circolo ; rapporto ai circolo di diametro ab (a), la per-
pendicolare indefinita dp è secante al circolo.

Ne deduciamo che Dato nel piano un circolo ed una
direzione sia questa secante, tangente ovvero esterna al cir-
colo, e dato il diametro di questo perpendicolare alia detta
direzione, tutte le rette che passano per un estremo del
diametro ad incontrare la direzione moltiplicate ciascuna per
la sua parte intercetta nel circolo, danno lo stesso prodotto.

Ciò è dimostrato nel precedente teorema per un cir-
colo di diametro ag, e per rette come ad, ao^ ap^ trac-
ciata dall'estremo a del diametro ad incontrare in rf, o, /),
la direzione dp perpendicolare al diametro stesso, ed inter-
secanti la circonferenza nei punti n, 5, g. Dimostriamo,
come lo stesso avviene, per una qualunque delle rette
tracciate per l'altro estremo g del diametro più prossimo
alla direzione dp. La zg incontri la direzione in o e la
retta rg incontri la direzione in d. I triangoli rettangoli
simili gpo^ gza danno go : gp :: ga : g%^ ossia go X gz
= gpXga.

I triangoli rettangoli simili gpd^ gra danno
gd : gp : : ga : gr^ ossia gdX gr = gpX ga, da cui go X gz
= gdxgr = y . . = gpXga.

Per un circolo di diametro a/), tangente alla dire-
zione e//), qualsiasi retta radiante dall'estremo p del dia-
metro ad incontrare la direzione in un punto qualunque
d di essa, non ha parte intercetta nella circonferenza, ossia
tale parte intercetta è zero, talché il prodotto delle rette
radianti dall'estremo p del diametro ad incontrare un
punto qualsiasi dalla direzione è nullo.

— 51 —

Per un circolo di diametro aè, al quale la direzione
dp sia secante, come hd^ hf^ ha radianti dall'estremo h
del diametro più prossimo alla direzione, ragionando come
facemmo nel precedente per le rette ad^ ao^ ap^ si tro-
vei^ che bd X bh' = boX bf = bpXba = bfX hm =
bh xbs =

• •

91. Nel piano di un circolo, data una striscia perpendi-
colare ad un suo diametro, ed un fascio di corde radianti da
un estremo del diametro. Il prodotto di ciascuna corda per
la parte della sua direzione intercetta nella striscia è co-
stante. Tale prodotto è espresso numericamente dal valore
lineare della doppia larghezza della striscia moltiplicata per
il raggio.

Infatti (Fig. 16*). La striscia formata dalle parallele
bm'% ce sia perpendicolare al diametro a^ di un circolo
e\ Da un estremo a del diametro si tracciano quanto
vogliansi direzioni ae^ ah . . . . ad incontrare la striscia,
e dal secondo estremo g del diametro le direzioni ge\
gK .... rispettivamente parallele alleae, ah^ per comodo
della dimostrazione.

Sul diametro ag sia ap = a'p' larghezza della striscia.

Si elevi la perpendicolare pd che per ipotesi passi
per l'estremo o della corda ao e si tracci az = ao.

Dal precedente abbiamo agxcip = asxo^d =aox

X as = ao" : ma il rettangolo dei lati un triangolo è uguale
a quello dola sua altezza per il diametro del circolo circo-
scritto ; quindi per V isoscele iscritto zao avremo az X ao
"= aoX ao = ao = ag X ap. Sia ad ipotesi il diametro
ag = 2, ossia il circolo abbia per raggio l'unità lineare;
sarà ao* = 2 ap ; ma ap = ap' larghezza della striscia,

— 52 —

quindi ao^ = 2 ap' e per essere go* = ao^ sarà anche go^ «=
= 2 aWp\ Quando è il raggio r ^' !• anche i valori li-
neari ao^ ap risultano moltiplicati per r ; talché sarà

sempre ao = 2 a'p'r. Per essere parallele le .rette
d/), m"6, ec e segmento àp = a'p\ è evidente che
ad = me^ ari =fh . . . . e dk ciò as x ^^ = ^^ X/Zi
= 2 a^p'r ; inoltre, essendo le direzioni ge\ gh* per costru-
zione parallele alle ae^ ah risulterà corda ge^ = as ed
mV = me ; quindi gè' X m'e" = gh' x/*^'^ = 2 a7>V.

I segmx^nti paralleli ed uguali me, m'e" danno evi-
dentemente as X m'e" = 2 a'/)V. Si tracci la direzione
e*/)" del diametro passante per l'estremo s della corda as.
Avremo: ang. p''se = asc' = eap' ; talché, abbassate alla
c'/>" le perpendicolari m'à*\ e''p*'\ risulterà segmento
a"/)"^=a'/)'. Ne deduciamo che : Nel piano di un circolo data
una sua corda as, un segmento m'e" ad essa parallelo, e
le direzioni dei diametri passanti per i suoi estrenrii ; il
prodotto as X m'e*' della corda per il segmento, è espresso
in valore lineare da una delle doppie proiezioni rette
a'p^, a^'p^^ dello stesso segmento sulle direzioni dei detti
diametri moltiplicata per il raggio c^a = r.

92. In un triangolo iscritto, sé dall'estremo della corda
bisettrice di uno dei suoi angoli si abbassa la perpendicolare
ad uno dei lati che lo formano, ed anche al terzo lato.

i. Il segmento del lato, prolungato ove occorra, com-
preso fra il piede della perpendicolare ed il vertice, è se-
misomma dei lati formanti quel vertice.

2. Il segmento, compreso tra il piede della perpen-
dicolare e l'altro estremo del lato, è semidifferenza degli
stessi lati.

— 53 —

3. Il segmento, compreso tra il piede della perpen-
dicolare ai terzo lato ed uno degli estremi di questo, è la
sua metà. ,

Infatti (Fig. 17*), sia hp corda bisettrice dell'angolo
h del triangolo ahh : dal suo estremo p si abbassino ai
lati le perpendicolari pm^ pd^ pn ; si traccino le /)a, ph
e si faccia segmento ds = da.

1. Essendo il punto p medio dell'arco aph risulta
pa = ph. Il triangolo rettangolo hdp = hmp per avere
l'ipotenusa comune ed angoli acuti uguali in h; onde
pd ^= pm ed hd = hm. Il triangolo rettangolo jorfa ^ phm
per avere l'ipotenusa ed un cateto uguali onde da — hm ;

ed essendo hd = hm^ sarà ha — ad = hh-^ {hm =: ad)

• j , , ha -4- hh
ossia ha = hm = ^ — »

2. Essendo segmento ds = da = hm sarà hs — hb
ed as = ha — hb ; da' cui ad = bm = — ^i —

3. Per essere il punto p medio dell'arco apb, la
perpendicolare pn al lato o corda ab la divide per metà

93. In un triangolo rettangolo si abbassi la perpendico-
lare dal vertice alla ipotenusa e si tracci la mediana.

1. Sé degli angoli m, n che la perpendicolare forma
coi cateti, l'uno è divisore intero dell'altro,

2. Sé deg'i angoli clie la mediana forma coi cateti
l'uno é divisore intero dell'altro.

3. Sé dei due angoli acuti del triangolo rettangolo l'uno
è divisore intero dell'altro, sempre nel circolo circoscritto
al triangolo, il cateto minore é lato di poligono regolare iscritto

di 2Xfq-{-l lati, essendo a il quoto — ; ed il cateto mag-
giore é lato di poligono regolare stellato di 7 + 1 lati.

— 54 —

Infatti (Fig. 18* a), per ipotesi Tangolo dbe sia divi-
sore intero dell'angolo abe, ossia contenuto in esso un
numero esatto,^ di volte. Le corde dei g^-f-1 angoli
uguali a quello dbe^ sono fra loro uguali ed anche uguali
al cateto db ; pertanto essendo retto l'angolo dato abdj
la somma degli archi dm -j- a/m = 180% e perciò la somma
^7 -[- 1 delle corde uguali costituisce il semiperimetro di
un poligono regolare iscritto di lato db, del quale l'intero
perìmetro si forma di 2 X ((7 + 1) lati uguali al cateto
minore del triangolo rettangolo dato.

Poiché la semicirconferenza afd contiene 5^ -f- 1
archi uguali a bd ed il cateto maggiore ab sottende un
arco asb = q volte db, ogni qual volta si riporti sulla
circonferenza successivamente la corda ab, la distanza
dal suo estremo ad uno di quelli del diametro, conside-
rati alternativamente, aumenta di un arco db. Così (Fi-
gura 18» b) il cateto ab dà arco db^ e riportato in 5/, dà
arco/a ^2 db; riportato in/^ dà arco gbd = 3, db ... .
e così di seguito, finché riportato q-\-i volte sulla cir-
conferenza, il poligono regolare stellato si chiude con
(/ -[- 1 lati uguali al cateto maggiore ab del dato trian-
golo rettangolo.

2. La mediana del triangolo rettangolo abd (a)
coincide col diametro del circolo ad esso circoscritto (45)
e come derivati inversi risulta angolo ahf=idbe; e
perciò anche angoloy?>rf = abe ; onde quanto si è detto
per gli angoli formati coi cateti dalla perpendicolare
dal vertice, si applica agli angoli formati dalla mediana
con gli stessi cateti.

3. Per il triangolo isoscele acb risulta angolo bad
= a6/, e conseguentemente angolo adb =:fbd ; quindi
quanto si ò detto per gli angoli formati coi cateti dalla

— 55 —

perpendicolare dal vertice, si applica agli angoli acuti
del dato triangolo rettangolo.

94. La somma ah -\- hb dei lati di un triangolo
ahb (Fig. IO*) è legata alla base ab dalla correlazione

ab*
ah-f-hbzz: — , 0(?e ap è il segmento della base deter-

ap
minato dalla parallela alla bisettrice del vertice h,
tracciata dall'estremo di un segmento ao = ab preso
sopra uno dei lati prolungato ove occorra.

Infatti, per la bisettrice hf abbiamo ah :hb :: afifb
da cui ah -\- hb : af-\-fb : : ah : af ma ah : af ::
ao : ap^ quindi ah -\- hb : ab : : {ao « ab) : a/), ossia

a/i 4- /i6 = —

95. La somma s degli angoli formati dalla stessa parte
di una linea spezzata di n lati, che abbia i segmenti estremi
paralleli e rivolti nello stesso sènso, h s = 180'' (n — 2).
ossia uguale alla somma degli angoli perimetrali interni di
un poligono di n lati.

Infatti (Fig. 20*) siano paralleli e volti nello stesso
senso i segmenti estremi ^a, hi della spezzata abc .... hi.
Si tracci la trasversale ha. Il poligono ahcb ha lo stesso
numero n dei lati della spezzata ; ma per le parallele 6a, hi
e secante /la, sarà angolo bah = ahi : ossia la somma degli
angoli perimetrali interni del poligono è uguale a quella
degli angoli della spezzata dalla parte in cui sono rivolti i
suoi segmenti estremi paralleli. Consegue che : Quando i
segmenti estremi della spezzata sono paralleli e volti in
senso contrario^ la f^omma dei suoi angoli da una" qua-

5Jbr..

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Is-v

— 56 —

lanque delle sue parti è s=180** (n— 1), ossia uguale a quella
degli angoli perimetrali interni del poligono di n -\- 1 lati.

Se i segmenti estremi della spezzata sono divergenti o
convergenti e volti nello stesso senso^ la somma dei suoi an-
goli della parte in cui sono volti i segmenti estremi è
s= 180^ (n — 2) + a, essendo a l^ angolo che un segmento
estremo forma con la parallela all'altro segmento estremo.

Quando i segmenti estremi sono divergenti o con-
vergenti e volti in senso contrario, la somma degli angoli
è s = 180** (n — 1) + a, essendo a l'angolo come sopra.

Dagli esposti principii sì deduce che:

Per più linee spezzate di ugual numero dì lati,
ancorché intrecciate fra loro, le somme degli angoli dalla
stessa parte delle spezzate sono uguali ; se i lati estremi
di esse sono paralleli e volti nello stesso senso; se le spez-
zate hanno un segmento estremo comune e terminano
su di un allineamento formante parte di esse; se le spez--
zate sono r acci ause fra due allineamenti ed in altri po-
chi casi che omettiamo per brevità.

96. Per quanto può interessare la topografia, dallo
svolto fin qui emerge, che rìlìevando delle figure retti-
linee mediante la misura dei loro angoli, non sempre
questi possono riprodursi graficamente con esattezza in-
discutibile ; sia perchè molti angoli non sono grafica-
mente costruìbili, sìa perchè la graduazione dei gonio-
metri in commercio può ragionevolmente dubitarsi non
esatt ssìma. Pertanto, vari degli svolti teoremi dimostrano
che il rilievo e la riproduzione di un triangolo può effet-
tuarsi senza la misura dei suoi angoli ; e siccome le fi-
gure rettilinee si decompongono in triangoli dei quali
nella maggior parte dei casi gli elementi rettilinei si pos-

— 57 —

sono rigorosamente misurare, così riteniamo che per
r esatta riproduzione delle figure sia prudente l'astenersi
per quanto è possibile dalla misura e ricostruzione dei
loro angoli.

Descriveremo in seguito un Istrumento mediante il
quale sarà facile rilevare sul terreno i triangoli mediante
i loro elementi rettilinei, intanto diamo il seguente:

97. Elenco dei gruppi determinanti rettangolari costituiti
di due tre elementi tra i quali non entrano gli angoli.

1. I tre lati del triangolo.

2. Due lati ed il raggio del circolo circoscritto (due soluzioni).

3. Due lati e l'eccentricità di uno di essi (due soluzioni).

4. Due lati e la congiungente i loro punti medi.

5. Due lati e la lunghezza della perpendicolare dall'estremo
deir uno sull' altro.

6. Due lati e la perpendicolare dal vertice comune al. 3® lato.

7. Due lati, e la mediana dal vertice comune.

8. Due lati e la mediana dall'estremo dell'uno sull'altro.

9. Due lati ed uno dei segmenti in cui la perpendicolare dal
vertice comune divìde il terzo lato.

10. Due lati ed uno dei segmenti in cui ìs, perpendicolare

dall'estremo dell'uno divide l'altro.

11. Due lati e l'area del triangolo.

12. Due lati e la distanza da uno dei vertici al baricentro.

13. Due lati e la distanza dal punto medio di uno di essi al
baricentro.

14. Un lato, il raggio e l'eccentricità di un altro lato.

15. Un lato la sua eccentricità a quella di altro lato.

16. Un lato la sua eccentricità o il raggio e la perpendlco^
lare dal vertice opposto,

l^'Uff^^

— 58 —

17. Un lato, la sua eccentricità o il raggio e la perpendico
lare dà un estremo del lato ad altro lato.

18. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, ed uno dei seg-
menti in cui la perpendicolare dal vertice opposto lo divide.

19. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, e la mediana.

20. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, e distanza dal

suo punto medio al baricentro.

21. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, e distanza dal
vertice opposto al baricentro.

22. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, e la corda biset-
trice dell'angolo opposto

23. Un lato la sua eccentricità o il raggio e la corda biset-
trice di un angolo al suo estremò.

24. Un lato la sua eccentricità o il raggio e posizione del-
l'excentro corrispondente al lato.

25. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, ed il segmrento
della sua mediana tra il lato ed il baricentro.

26. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, ed il segmento
sulla mediana dal vertice opposto al baricentro.

27. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, e l'excentro di un
altro lato.

28. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, e la congìungente
i punti medi di esso e di altro lato.

29. Un lato, e le perpendicolari dal suoi estremi agli altri lati.

30. Un lato, e le congiungenti il suo punto medio con quello
degli altri due lati.

31. Un lato, la perpendicolare dal vertice opposto ed uno dei
segmenti in cui questa divide il lato.

32. Un lato, e le mediane dai suoi estremi agli altri lati.

33. Un lato, uno dei segmenti in cui la proiezione dal ver-
tice opposto lo divide, e l'area del triangolo.

34. Un lato e posizione del baricentro riferito ad esso,

35. Un lato, la perpendicolare ad esso dal baricentro ed uno
dei segmenti in cui questa divide il lato.

36. Un lato, e la posizione dell'ortocentro riferito ad esso.

— 59 —

37. Un Iato, la perpendicolare ad esso dall'ortocentro, ed uno
dei seg:menti in cui essa lo divide.

38- Un lato, e posizione dell'incentro riferito ad esso.

39. Un lato, la perpendicolare ad esso dairjncentro, ed uno
dei segmenti in cui questa divide il Iato.

40. Un lato, e le distanze dai suoi estremi al suo excentro.

41. Un lato, la perpendicolare ad esso dall'excentro, ed uno

dei segmenti in cui questa divide il lato.

42. Un lato, ed i segmenti sugli altri due lati dalle perpen-
dicolari ad essi dai suoi estremi.

43. Un lato, e dal vertice opposto la mediana e la perpendi*
colare ad esso.

44. Un lato e distanze del baricentro dal suo punto medio
e dà uno dei suoi estremi.

45. Un lato, la perpendicolare ad esso dall'excentro e la di-
stanza dell'excentro da un suo estremo.

46. Un lato, la sua eccentricità o il raggio, e l'area.

47. Un lato, la sua mediana e l'area.

48. Un lato, uno dei segmenti in cui il baricentro divide la
sua mediana e l'area.

49. Le tre mediane.

50. Le tre distanze degli excentri tra loro.

5 1. Le tre distanze tra 1 piedi delle perpendicolari dai vertici
ai Iati opposti.

52. Le tre distanze tra i piedi delle mediane.

53- Le tre distanze fra gli estremi delle corde bisettrici dai
vertici.

54. Le congiungenti due a due gli estremi dei diametri dai
vertici nel circolo circoscritto.

55. Le distanze dell'ortocentro da due lati, e da un estremo
di uno di essi.

56. Le distanze del baricentro ai tre vertici.

57. Suite mediane le distanze dal baricentro ai tre lati.

56. La distanza dell'incentro dà un lato e dal suo estremo e
daU'estreipo di altro lato.

— 60 —

59. La distanza deirincentro dà un lato e dai suoi estremi.

60. La distanza dell'excentro dal lato corrispondente e dal
suoi estremi.

61. La distanza di un excentro dà due vertici e di altro ex-
centro dal terzo vertice.

62 Un lato e rapporto ad esso posizione del centro e delPor-
tocentro.

63. Un lato e riferiti ad esso posizione del centro ed incentro.

64. Un lato e rispetto ad esso la posizione del baricentro.

65. Distanza deirincentro alPestremo di un lato ed all'excen-
tro corrispondente ad esso e distanza tra l'excentro e Taltro estremo
del detto lato.

Q&. Due lati e corda bisettrice dal vertice comune.

67. Un lato, più meno la differenza tvs, questo ed altro Iato
e la corda bisettrice dal vertice comune.

68. Un lato il raggio e la corda bisettrice da un estremo del
lato.

69. Un lato e dà un suo estremo la bisettrice e la perpendi-
colare ad altro lato.

70. Un lato e la posizione degli excentri degli altri due lati.

71. Due mediane ed un'altezza.

72. La corda perpendicolare dà un vertice al lato opposto e
quella che congiunge l'estremo della prima con un estremo del
lato perpendicolare ad essa.

N. B. Il superiore elenco non è completo.

98. Da ciascun gruppo determinante di due o tre

elementi lineari, possono formarsi moltissimi altri gruppi,

1
mediante — di ciascun elemento ; ad esempio :

Potrà costruirsi il triangolo di lati a, 6, d quando

T^y

— 61 —

n h fi

sia dato il gruppo determinante — ^ — — ovvero quello

a, 6, d.
m n s

99. Quando tra gli elementi del gruppo entra la
bisettrice ovvero la corda bisettrice può, in luogo della
detta bisettrice, sostituirsi quella che forma col lato

1
del triangolo, un angolo che sia — di quello che la corda

bisettrice fa con lo stesso lato,

100. Ciascun triangolo dipendente ha altrettanti
gruppi deterrninanti del suo triangolo primo ; e quando
sia noto un triangolo dipendente, lo è anche il suo trian-
golo primo (36) ; talché per costruire un voluto triangolo
basta che sia dato un gruppo determinante di uno qua-
lunque dei suoi triangoli dipendenti.

101. Sono poi molti i gruppi determinanti triango-
lari costituiti di quattro o più elementi fra i quali non
entrano i suoi angoli.

102. La geometria offre quindi piil centinaia ^ di
modi per costruire con esattezza un triangolo e perciò
qualsiasi figura piana di contorno rettilineo, senza ri-
correre alla misura degli angoli, la quale se per avven-
tura sia data esatta dal goniometro sul terreno, può fa-
cilmente errarsi nella riproduzione in disegno mediante
il quadrante graduato.

Qualora poi sia indispensabile Tuso dei goniometri,'
allora alla graduazione per gradi e decimi del rispettivo

— 62 —
e sostituire la graduazione dei cìrcoli
3 suoi duennesimi, inquantochè :

duazione si eseguisce geometneamente
'■rsi rigorosamente esatta.

angoli misurati con essa sono ripro-
'a riga ed il compasso.

di uno qualunque di tali angoli, ben-

sempre espresso da un numero deci-
sioni aritmetiche, eseguite tra i calori
inno per risultato finale il calore dì
ile mediante la riga ed Ìl compasso. ^

che abbracciano i detti angoli^ dei
il centro, sono lati di poligoni regolari
iscrittihili.

[Calcolabili i vantaggi che la geome-
ricavare dalla graduazione del circolo
duennesimi.

ìrcolo graduato per archi 3 e duanne-
ente formarsi le tavofe delle linee trlgo-
angoli.

'), si costruisca un arco del quale sia
to della corda in parti di raggio 1, ad
60° del quale la corda è raggio r ^ 1.
la bisettrice dd' avremo arco aed ^ 30*,
= am ^ 0,50 > coseno 30" = cm =
rso 30° = md=: 1 — cos. 30^ > corda
sen. verso 30°.

— 64 —

5Ìne delle tavole trigonometriche corda

dire, che ottenute come sopra le linee
Bno, coseno, seno verso, e corda degli
gono nei modi ordinari i valori delle
ometriche ; e che le tavole di queste
ogaritmiche corrispondenti, si formano
todi seguiti per quelle degli archi divisi
di grado 1°.

PARTE SECONDA

CAPITOLO I.

104. Per quanto diremo in seguitp sulla formazione
delle potenze e determinazione delle radici ennesime delle
quantità ge9metriche, crediamo opportuno di trattare in
precedenza sulla estrazione delle radici ennesime dei nu-
meri, tanto più che nei trattati scolastici di aritmetica
si trascura questo ramo importante del calcolo numerico.

Per brevità, toccando appena la parte teorica, espor-
remo alcuni modi pratici per estrarre la radice enne-
sima di esponente primo maggiore di 3.

105.

Tavola delle potenze del primi nove numeri naturali

2»

125

216

343

512

729

4»

256

625

1296

2401

4096

6561

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

729

4096

15625

46656

117649

26^144

531441

7»

128

2187

16384

78125

279936

823543

2097152

4782969

Si vede dalla tavola superiore che :

a) Una potenza è numero pari o dispari, secon^^
deche tale sia la sua radice ;

cifre delle unità delle potenze successive
si succedono periodicamente, ed in par-
Jtenze dei numeri 1, 5, 6, terminano per le
ì, e quelle dei numeri 4 e 9 terminano per
6, > 9, 1;

potenze di uguale esponente disparì termi-
re diverse di unità, ed imparticolare le pò-
terminano per la stessa cifra de unità della

andò un numero intero si forma di una
7e seguila da m zeri, la sua potenza di
limerò terminante per mn zeri. Ad esempio
}00000000 termina per 2 X 5 = 10 zeri, poi-
3 gli zeri della radice e 5 è il suo espo-

potenza di grado n di un numero intero,
tante cifre, quante ne avrebbe la sua cifra
l elevato, sé considerata nel suo calore, fosse
otenza dello stesso grado n. Cosi 37o =
76576 si forma di tredici cifre, avendone al-

ti/ un numero intero di m cifre decomposto
Ita, decine, centinaia . . . si formano le po-
si costituiscono successivamente della som-

— 67 -

ma di altrettanti prodotti, quante sono le unità
nute nella potenza delio stesso grado del numero i
cifre di quello dato. Ad esempio 376* = 769922E
si forma della somma dì 3* = 243 prodotti, inqui
sono tre le cifre formanti la radice e 5 il su(
nente;

g) Dei oari prodotti concorrenti per somn
formazione della potenza ennesima di un numero
posto nelle sue unità, decine, centinaia * .... il n
è la potenza ennesima della sua cifra di ord<
eleoato, ed il minimo è la potenza ennesime
cifra delle sue unità. Cosi il massimo prodotto (
rente per somma alla formazione del 769922997i
= 376* è il 300' = 2430000000000, ed il mi
6» = 7776 ;

h) La potenza ennesima di un numero
non primo si forma del prodotto delle potenze et
di tutti i suoi fattori primi.

Ad esempio, poiché decomposto nei suoi fatto
trovasi 105 = 3 X 5 X 7, sarà iÒo* = 3* X 5* X 7*
= 243 X 3125 X 16807 = 12762815625 :

k) La potenza ennesima di numero decim
primo si comp<ine del prodotto delle potenze a
dei suoi fattori primi, ed ha tante cifre d
quante sono le unità del prodotto fra il suo espo
ed il numero p delle sue cifre decimali.

Ad esempio 1,05" sarà numero di 10 cifre d

— 68 —

per essere 2 le sue cifre decimali e 5 il suo esponente:

^ 2* V 5* V 7^

onde 1,05* = 1,0000000000 " l'2762815625.

106. Gli esposti caratteri delle potenze dei numeri,
inversamente applicati, conducono alla determinazione
delle loro radici ennesime, come dai seguenti esempi :

107. Estrazione deHa radice ennesima di un numero che
sia potenza ennesima esatta.

1. Domandasi V 12762815625. Decomposto nei suoi
fattori primi trovasi 12762815625 = 3' X 5' X 7S e perciò

/ 1276281565 = 3 X 5 X 7 = 105 ; ossia

La radice ennesima di un numero che risulti com-
posto del prodotto di /attori tutti elevati allo stesso
esponente n, si forma del prodotto di tutti questi fattori
adottati senza esponente.

2. Si richieda K 1,2762815625. Poiché sono 10
le cifre decimali del numero, mentre 5 è Tesponente della

chiesta radice ; questa avrà -^ = 2 cifre decimali (/e).

Considerato il numero come intero e decomposto nei suoi
fattori primi, trovasi 12762815625= 3' X 5' X 7' di ra-
dice quinta 3X5X7 = 1 05; onde

l/ 1,2762815625 = 1.05 ; ossia
La radice ennesima di un numero di p cifre de-
cimalij che considerato come intero, risulti- composto di

— 69 —

fattori tatti elettati allo stesso suo grado n, si forma
del prodotto dei detti fattori adottati senza esponente ;

tale radice ennesima è numero di ^ cifre decimali.

108. Non sempre però un dato numero, sia pure
potenza ennesima esatta, è facilmente decompìonibile nei
suoi fattori primi: allora può determinarsene la radice
ennesinja applicando inversamente i principi (a, h . . . fe).

Si richieda V 91931877133

1. Il dato numero è dispari, quindi tale è pure
la sua radice settima (a) ;

2. Detta radice non può terminare per le cifre
1, 5, 9 perchè la data potenza non termina per una di
questo cifre (6), talché la cifra della unità della radice
sarà uno dei numeri 3, 7 ;

3. La ricercata radice è numero di due cifre
poiché, staccate dalla destra del dato numero 7 cifre,
cioè quante sono le unità dell'esponente (^), restano alla
sua sinistra 4 cifre, che sono tante quante quelle che
avrebbe la settima potenza della sua cifra delle decine
considerata come cifra semplice ;

4. Vedesi dalla tavola (105) che la potenza set-
tima del 7 è numero di 7 cifre, mentre quella settima
del 3 è numero di 4 cifre, quante cioè ne sono residuate
alla sinistra del dato numero; ne dedurremo che la
cifra delle decine della radice è il 3;

5. Si vede nella stessa tavola che la potenza set-
tima delle cifre semplici, la quale ha le stesse unità 3
del dato numero, è 7^ = 823543, ne dedurremo che la

— 70 —
cifra delle unità della radice è il 7 (e): ossia che

V 94931877133 = 37, come trovasi a riprova elevando
37 alla settima potenza.

109. Quando la radice ricercata ha pia di due
cifre, allora dopo di aver determinato nel descritto
modo la sua cifra di ordine pia elevato e quella delle
sue unità, si procede alla determinazione delle cifre
intermedie, come dai seguenti esempi :

1. Si ricerchi {/ 5030919566507

1. Decomposto il numero in gruppi di due cifre
trovasi che ne contiene più di 5, ossia più delle unità
del dato esponente ; ciò indica che la radice quinta del
numero si forma di più di due cifre. Si torni a de-
comporre il numero in gruppi di tre cifre ; trovasi che
ne contiene 4, più uno incompleto; ne dedurremo che
la chiesta radice è numero di 3 cifre ;

2. La cifra di ordine più elevato della radice
essendo le centinaia, la sua quinta potenza, oltre alle
cifre spettanti alla potenza quinta della sua prima cifra
a sinistra, avrà 10 cifre di più, p^ essere 2 gli zeri
delle centinaia e 5 il dato esponente; e però dalla
destra del dato numero si stacchino, mediante la vir-
gola 10 Gifire^ scrìvendo 503^0919566507^ e le residuali
tre cifre alla sinistra del iìiim!»Y>, sono tante quante
quelle della quinta potenza della sua cifra di or£ne
più elevato considerata come numero semplice

3. Risulta dalla tavole (105) che la quinta pò-

— 71 —

tenza del 3 è numero di 3 cifre, quindi il 3 è la cifra
della centinaia della radice.

4. Poiché la data potenza quinta termina per 7,
anche la cifra delle unità della sua radice sarà 7 (e).

5. La determinazione della cifra delle decine si
effettua per tentativi come segue: Suppongasi che detta
cifra sia 5, ossia che la radice sia 357. Elevato a quinta
potenza il 350, ciò che si effettua facendo seguire da
cinque zeri la quinta potenza del 35, risulta

350' > 5030919566507: allora si diminuisca il 5 di una

unità; poiché trovasi che 340 è contenuto nel dato nu-
mero, riterremo 4 come cifra delle decine; ed infatti si

rinviene a riprova 347* uguale al dato numero, e perciò
k^ 5030919566507 = 347.

2. In modo analogo si opera se la ricercata radice
si forma di un numero maggiore di cifre; ne diamo
un esempio per un numero decimale.

Si chieda V 286138,1721051424

1. Si consideri il numero come intero; decompo-
sto in gruppi di tre cifre trovasi che ne contiene più di
5^ unità dell'esponente ; allora si torni a decomporre in
gruppi di 4 cifre, e poiché ne contiene quattro, più uno
incompleto, vedesi che la radice é numero di di quattro
cifre.

2. Sempre considerando il numero come intero ed
operando come sopra, si trova che 1 e la cifra delle mi-
gliaia della radice, e 4 é la cifra della sua unità.

3. Si adotti per le centinaia della radice una cifra

— 72 —

arbitraria, ad ipotesi 3 ; talché la radice avrebbe 13
centinaia.

Si aggiungano 10 zeri alla destra della quinta po-
tenza del 13, essendo 2 gli zeri delle centinaia e 5

Tesponente. Poiché risulta 1300** maggiore del dato nu-
mero, si diminuiscano le centinaia di una unità, e sic-

I K

come 1200 è contenuto nel dato numero, riterremo 2
come cifra delle centinaia della radice.

4. Supposto 5 cifra delle decine, si trova che

1250 è di molto superiore al dato numero, allora si
riduca il 5 anche più di una unità, così ad ipotesi si

provi il 3; e poiché si rinviene che 1230 è contenuto
nel dato numerò, si ritiene il 3 come cifra delle decine.

Trovasi infatti a riprova che 1234*^ riproduce il dato
numero.

5. Ma il dato numero ha dieci cifre decimali, e

10
siccome .5 è l'esponente della radice, questa avrà -^= 2

cifre decimali (k) e perciò

l/ 286138, 1721051424 = 12, 34.

110. Se la potenza della quale si ricerca la radice
è frazione decimale^ si opera sai numero espresso dalle
sue cifre signifcative considerato come intero ; e dalla
destra della radice ottenuta^ mediante la virgola^ si di-
staccano tanti decimali quante sono le unità del quoto
ottenuto dividendo il numero delle cifre decimali della
data potenza per ^esponente della radice (k). Ad e-
sempio :

V V

Si voglia y 0,0000000243; faremo K ,243 = 3, e

poiché sono dieci i decimali della potenza e 5 è Te-

10
sponente, così la radice avrà -5" = 2 cifre decimali. Quin-

di \/ 0,0000000243 = 0,03.

111. Sé le cifre sìgnijicative della data potenza

frazionaria costituiscono un numero decomponibile in

fattori primi, allora considerandolo come intero, si

opera come al (107, 1»), dotando poi la radice ottenuta

delle volute cifre decimali come si è detto. Così, per

1/ 0,0000007776 ; trovasi 7776 = 2' X 3*, da cui

|/ 7776 = 2X3 — 6; e siccome sono dieci le cifre de-
cimali della data potenza e 5 esponente della radice, sarà

k^ 0,0000007776 =0,06 (k).

112. Risulta dai superiori esempi che si può sempre
estrarre con esattezza la radice ennesima di un numero
che sia potenza ennesima esatta, sia esso intero frazio-
nario o fratto : non è però cosi per i numeri primi che
siano assunti come potenze ennesime, né per tutti quei
numeri non primi che non sono affetti dallo stesso espo-
nente della chiesta radice. In tali casi l'estrazione della
radice eniiessima si effettua per tentativi ; e nella mag-
gior parte dei casi la radice ottenuta risulta numero
irrazionale, ossia essa non 6 rigorosamente esatta.

1. Si domandi |/ 5 , Col metodo aritmetico si

— 74 —
Gstragga |/ 5 = K 'J~b~ — 1,4953. Si estragga inoltre

ite |/ 5 è compresa

meri 1,4953 e 1,3076.

a potenza trovasi
;cegliersi un numero
i rinviene, con grande
irà come radice quinta

decomposto nei suoi
3* X 5, e però

:hè, determinata come

con approssimazione

3do di estrazione della
mo, o die non sia pò-
divenire troppo labo-
5Ì utilmente le tavole
lei numeri naturali.
to della tavola delle
uè cifre, e si richieda

Si rileva dalla
tavola che la po-
tenza quinta dei nu-
meri di 5 cifre, la
quale più si appros-
sima al 7000000

Nu-
meri

PoUnM di •tpoMDta disparì

3»

5«

14757

6898264863328774^5557

14758

699967225766434252768

14759

700280025629711289219

14750

700638144033737610000

> >

è 14758* = 699967225766434252768, e però con grande
approssimazione K 70000..= 14758, da cui a 4 decimali
K 7 = 1,4758. Lo stesso numero dà a 3 decimali
{/ 699967 =14,758, e a 2 decimali

V^ 6999672257 = 147,58 ecc.

Gruppi radicali

. (

114. Un numero p che non sia potenza ennesima
esatta, può risultare formato della somma o differenza
di due o più potenze ennesime f^satte. In tal caso le
radici ennesime delle potenze che por somma o differenza
riproducono il numero /), costituiscono un gruppo che
diremo radicale ennesimo del numero p.

Cosi, sia d" = a*" -|- è" — e* e le radici -{-^«-f-^» — e
formano il gruppo radicala ennesimo del numero o?".

/ A -[- a » -f- 6 »

Ciò si esprime scrivendo V d" = / "

— 76 —

Elevando a potenza il gruppo, faremo

^ -\- a X -^ b » — e = a° -|- 6" — e» = d'.

asservì che nel gruppo radicale : ì termini a, b, e
.0 legati né per somma né per differenza alla
one della radice ennesima del dato nuniero
Tino solo ad indicare come eleeatì ciascuno alla
ennesima presa secondo II rispettivo segno, ri-
<no quel numero.

>. L'uso dei gruppi radicali si utilizza nel cal-
ometrico in specie, come parzialmente vedremo
lito. '

imo alcuni esempii numerici sui gruppi radicali.

. Si chieda V 16839. Si vede dalla tavola (105)
»tenze, che quella la quale più si appossima per
al dato numero è 7' = 16807, e però faremo
- 16807 = 32 ; ma rilevasi dalla stessa tavola
= 2* ; quindi 16839 = 7' + 2' ; e sotto forma d

V A + ^ > + 2.

radicale V 16839^ /^ ^ Elevand*

za il gruppo, trovasi I

:f5=7'4- 2' = l'^807 + 32 =

ì. Si domandi V 16775. Vedasi dalla .tavola eh
nza quinta, la quale più si approssima per o*

-. 77 —

cesso al dato numepo, è 7* = 16807 : quindi

16307 — 16775 = 32 =i 2* ; e però sotto forma di gruppo

V A + 7 » — 2.

V 16775 = /^ Elevando a po-

radicale

lenza A + 7» — 2=7* — 2'' = 16807—32 = 16775.

3. Il gruppo radicale può risultare frazionario. Si

ia V/

voglia V 3130; poiché 5*=31 25, faremo 3130-3125 = 5, e

come

al (112.1°) trovato V 5 = 1,38, ne trarremo il gruppo

V 3130 = /^

-1-5» + 1,38.

radicale V 3130 = / Elevando a po-

tenza trovasi 5* + 1,38 = 3125 + 5 = 3130.

4. Per V 3120 avremo 3125 — 3120 = 5 ; e però

/ A + 5» — 1,38.
V 3120 = / Elevando a potenza

y — T;38* = 3125 — 5 = 3120.

5. Il gruppo radicale può essere fratto. Si chieda

/7.

Poiché 7 = 5 -|- 2, trovato come al (112, 1") che

e V 2 = 1,158, faremo

^-1-1,38» + 1,158.

Elevando a potenza

58' = 5 + 2 = 7.
dato numero sia frazionario. Si voglia

e intera è 32 = 2'. La parte fatta contiene
li quante sono l'unità dell'esponente 5, essa
»er sé stessa potenza quinta. Trovasi

, quindi V 0,00005 = 0,138 ; e sotto forma

/ A + 2 » + 0,138.
.dicale V 32,00005=/^

potenza 2' + 0^35' = 32,00005.

differenze fra le potenze successive dello
3 di due numeri quando sia nota la diffe-
esti, offrono anche un modo di estrazione
ennesima di uno di essi.

— 79 —

Come a lato siano a <b due numeri e d^
diflFerenza: disposte sotto ciascun numero in

verticale le sue potenze successive, da
una coppia di grado n dì tali potenze può
calcolarsi la differenza fra i termini della
coppia successiva di grado n-f-1. Tro-
vasi infatti d^ = ad^ -|- ^^i > d^= a^d^ -|-
-\- bdt » d^ ~ a^d^ -f" ^^3 ^^^*

la loro
colonna

a —

h — d^

b*— rf.

a'—

b'-d.

a'-

b*—d^

ó^—

^ d.

a'—

¥ d.

117. Sia richiesta V a\ Determinata una potenza
dello stesso grado 6* che sia di maggior valoi'e della
proposta a\ si faccia la differenza d^ = b^ — a^ Per il
sopra esposto avremo bd^ ^ d^a^ = d^ (\), da cui

d^ — 6* = a*, e — r = «. Ma nella formula (a) la quan-

LA/

tità dj è ignota e deve determinarsi per tentativi.

7
ndi V

Ad esempio si domandi v 823543.

Come a lato si for-
mino tre caselle a, b, d.

Nella prima a si
scrìva il dato numero
823543.

In linea nella ca-
sella B si segni
10' = 10000000,

ovvero altra potenza settima arbitraria purché maggiore
di quella data. Nella casella d, ed in linea, si scriva la

5764801 ; 823543 =: 7

101)00000

100000000

94235199

91764570
2470629

942a5109

5764801

V^ 823543 - 7,

10^ — 823543^91764570, aggiungendo alla
un zero. Nella casella b sotto 10 si scriva 10*.
ido quindi alla ricerca per tentativi della ra-
o le seguenti considerazioni,
•ciche io' di radice 10 è numero maggiore di
», la radice settima di questo è numero di una

'ale numero è disparì, poiché la potenza data
a).

)=V IO'

uppongaai 3 differenza fra 10 =
nero

i prodotto 3 X 823543 = 2470629 si sommi
la neon la differenza 91764570, ed il totale ot-
!35199 si sottragga nella casella a dal 10*:
5764801 si scrìva in lìnea a sinistra del dato
Ila casella a.

i faccia il quoto 5764801 : 823543 = 7. Que-
sarà radico settima del dato numero, sé vera-
Ita esatta l'ipotetica differenza 3, tra il 10 e
icercata.

i. verifica sì elevi a settima potenza il quoto
che nel caso risulta radice esatta trovandosi
[3 ; ma qualora si fosse rinvenulo un numero
> minore di quello dato, si sarebbe diminuita
ita di una unità l' ipotetica differenza 3, per
i vera radice.

olto metodo non è in pratica il più semplice
tite ; lo abbiamo unicamente esposto, inquan-
)plica con vantaggio alle serie triangolari dif-
70,71); come sarà facile verificare agli stu-

118. Facciamo finalmente osservare una proprietà
comune alle potenze dello stesso grado dei numeri pro-
gredenti in serie aritmetica secondo una data ragione^
senza trattenerci sui principii che generano detta pro-
prietà, nh sui vantaggi prattici che possono ricavarsene
nella estrazione della radice ennesima di un numero, co--
stretti a troncare questa già troppo lunga digressione* .

119. Caratteristica potenziale differenziale e multipla

Come a lato
in A, B^ e, una
serie di numeri
interi o frazio-
nari decimali si
disponga in li-
nea orizzontale.

Sotto cia-
scun numero si
scrivano le ri-
spettive potenze
dello s t e ss o
grado.

Sotto cia-
scuna potenza

Nbmeri

12 3 4 5 6 7

8 ... A)

Quadrati

1 4 9 16 25 36 49

64 . . .

Diff» 1-

3 5 7 9 11 13

Idem le"

2 2 2 2 2

2 Car. diff. quadra

Nameri

Il 12 IS 14 15 16 17 ... B)

Quadrati

121 144 169 196 225 256 269

Diff. !■

23 .25 27 29 31 33

Idem 2<'

2 2 2 2 2

2 Car. diff. quadra

Numeri

1,21 1.22 1,23

124 .. . 0)

Quadrati

1,4641 1,4884 1,5129

1,5376

Difi. 1»

0,0243 0,0245

0,0247

Idem 2*

0,0002

0,0002 Car. differ.
quadra fraz.

si scriva la sua differenza da quella che la precedo.

Sotto ciascuna differenza cosi ottenuta si scriva la
differenza tra essa e quella die la precede, e così si prò-

— 82 —

èegaa togliendo da ciascuna delle ultime differenze otte-
nute quella che la precede. Quando ciò siasi ripetuto
tante volte quante sono le unità deiresponente comune
alle potenze sulle quali si opera, si giunge ad una equi-
differenza eostante per due termini successivi delle serie.

Tale equidifferenza diciamo caratteristica potenziale
differenziale^ inquantochè essa è costante per le potenze
(jtello stesso grado, e diversa per potenze di diverso grado.

La caratteristica potenziale differenziale, diversifica
per potenze di numeri progredenti in diversa ragione.

a) Negli esempi a, b, c vedesi come, fatta per due
volte successive la differenza dei quadrati dei numeri
procedenti in ordine naturale, tante essendo lo unità del-
l'esponente 2 del quadrato, si trova l'equidifferenza 2^ la
quale è perciò la caratteristica potenziale quadra.

Essa sarà intera o frazionaria decimale, secondo^
che siano intere o frazionarie decimali le potenze dalle
quali proviene.

h) Negli esempi seguenti d, e, f, sì vede come fatta
per tre volte successive la differenza dei cubi dei numeri in
progressione naturale, si giunge alla equidifferenza 6, la
quale perciò è la caratteristica potenziale differenziale
cubica.

e) In modo analogo può operarsi per determinare la
caratteristica potenziale per qualunque grado di potenze
dei nemeri progredenti in ordine naturale.

- 83 —

120. È facile determinare la caratteristica differenziale
di grado n, inquantochè essa si forma del prodotto
n y^ n — 1.

Avremo cioè :

Caratt. prima = 1 ; Id. quadra 1x2 = 2; Id. cu-
bica » 2x3=6; Id. quarta » 6x4=24 ; Id. quinta » 24x5=120;
Id. sesta 120 X 6 = 720, e così in proseguo.

Numeri

12 3 4

5 6 7 D)

Cabl

1 8 27 64

125 216 343

Diir. l'^

7 {9 37

61 91 127

Idem 2«

12 18

24 30 36

Idem 3*

6 6 6 Ceratterìstica diff. eubica
» > >

Nameri

11 12

13 14 15. . . . E)

Cabi

1331 1728

2197 2744 3375 ....

diff. 1*

. 3W

469 547 631 ... .

Idem 2^

72 78 84 ... .

Idem 3^

6 6 Caratterìetiea di£ eubica

Numeri

1,21 > 1^

» 1,23 » 1,24 » 1,25 F)

Cubi

1,771561 » 1,815848

» 1,860867 » 1,906624 > 1,953125

diff. 1«

0,044287

•

» 0,045019 > 0,045757 > 0,046501

Idem 2^

0,000732 > 0,000738 > 0,000744

Idem 3*

0,000006 » 0,000006 Car. differ.

cubica fraz.

Diremo naturale la serie 1, 2, 6, 24, i20, 720 ....
della caratteristica differenziale delle potenze successive
dei numeri in ordine naturale.

- 84 -

121. l^a caratteristica differenziale delle potenze del
numeri in progressione aritmetica di ragione r, per le Sue-
cessloe poten&e, él forma del prodótto di qtiellà naturale
corrispondente per la potenza di r dello stesso grado. Così

Per la progressione aritmetica dei numeri -r- 1 • 3 •
5 • 7 • 9 .... di ragione 2, la corrispondente caratteristica
differenziale sarà car. diff. prima 1x2 = 5» Id. qua-
dra 2X4=8» Id. cubica 6 X 8 = 48 » Id. quarta
24 X It) = 384 ecc.

Per la progressione aritmetica di ragione 3 dei nu-
meri — r- 1 ' 4 ' 7 • 10 • 13 ' 16 sarà car. diflf. prima

1X3 = 3 » Id. quadra 2 X 9=/8 » Id. cubica 6X^7= /65
» Id. quarta 24 X 81 = i944 ecc.

122. Come nella seguente tavola si disponga una
serie di numeri in ordine naturale, e sopra ciascuno si
scriva il suo prodotto per quello accumulato dei numeri
che lo precedono. Per quanto si è detto (119), i prodotti
successivi ricogtituisco: o la serie naturale della caratte-
ristica differenziale.

Caratt
differ.

Grado

Caratteristica nultipla

1 2 6 24 120 720 5040

120
720

4«

1»2»3» 4> 5> 6 7
1»4> 9> 16 > 25» 36> 49
1 > 8 # 27 > 64 » 125 » 216 » 343
1 )► 16 » 81 » 256 > 625 » 1296 » 2401
1 » 32 > 243 » 1024 » 3125 > 7776 » 16807
1 » 64 » 729 » 4096 > 15625 » 46656 > 117649

In colonna verticale sotto ciascun numero si scri-
vano le sue potenze successive. Per questa disposizione
le potenze dello stosso grado dei numeri trovansi dispo-
ste in linea orizzontale.

— 85 —

Rapporto ad uno dei termini della colonna verticale
dello potenze di un numero, diciamo caratteristica pò-
tenùalc multipla il prodotto segnato sopra di esso e pro-
veniente dalla sua moltiplicazione per il prodotto ?^ccu-
mulato dei numeri che lo precedono,

123. La caratteristica potenziale multipla di un ter-
mine qualunque della t arsola il quale sia potenza di grado
n, è radice ennesima del suo prodotto per quello accumu-
lato delle potenze di ugual grado che lo precedono in linea
orizzontule nella tavola stessa.

Ad esempio : 3» = 243 ha per caratt. diff. 120, e per

caratteristica multipla 6, ed avremo 6 := V 1 X 32 X 243:
7^ zzz 343 ha per caratt. diif. 6 e per caratt. multipla 5040
ed avremo

5040 =V 1 X 8 X 27 X 64 X 125 X 216 X 343. '

CAPITOLO II.

Formasdone dell« potenze di una data quantità geometrioa

124. Nella progressione delle potenze di un numero,
il rapporto che passa tra due termini successivi è quello
stesso che passa fra runitàt ed il primo termine della
progressione.

principio si basano i vari modi grafici,
serie delle potenze di una data quantità

l'unità si considera in astratto, ma per
omeirica rappresentata da una figura,
ìcie alla quale si riferisce, dece essere
lata, potendosi attribuire alla figura
mensioni rapporto a diverse unità.

. 22' A, b). Sia oR unità lineare, ai un
iale si domanda la serie delle potenze

e sopra un lato dell'angolo arbitrario
inità oR, e sull'altro il dato segmento
i RI : preso oV = oi si tracci la f? pa-
fatto o2' — o2 si tracci la parallela 2'3
■ocedendo si avrà nei segmenti o1, oS,
la progressione delle potenze lineari dì

le parallele abbiamo Ro : ol :: ot : oS,

= 1 sarà o2 = ol : Così

3, ossia o3=oSxo/=o7'xo/ = o/ecc.

A, b) Si domandi la progressione delle
M segmento o/^ l.(A),ovveroo^ <S.(b)»
i lineare. Sul segmento ol come base, e
3, si costruisca l'isoscele oc/; si abbsissi
ingato la perpendicolare Ih' e si faccia
cci la IS, la 23 parallela alla et, la 34
? ecc. ; ed avremo coi segmenti crescenti

— 87 —

o decrescenti o 1, o2^ o3, o4 . . . .^ on^ la serie delle po-
tenze lineari del segmento ol (a, b).

Infatti, per i triangoli isosceli simili ocJ^ 012^ o83. . . .
abbiamo : co : ol :: ol : o2^ ossia 1 : ol \: ol : o2,

quindi o2 = ol ^ ed anche oc : ai : : o2 : o3 e però

o3 = oP ecc.

a) Consegue che, in un triangolo isoscele se si
adotta il lato come potenza di esponente n, di un segmento s
compreso tra e 2, la base è potenza di esponente n -f- 1
dello stesso segmento.

Così nel triangolo o23^ se si assegna al lato o2 il
valore s\ sarà o3 = s\ Se si ritiene o^ = s , sarà o3 = s^:

o2
ossia il rapporto --o è quello che passa fra due termini

successivi qualunque della progressione delle potenze del
segmento s. Pc^rtanto neir isoscele il rapporto tra il lato
e la base varia coH'altezza del triangolo ; talché, sulla
base ol può costruirsi una serie infinita di. isosceli di
diversa altezza, e perciò di diverso rapporto tra il lato
e la base. Ciascun lato dei triangoli delle serie può ri-
tenersi arbitrariamente come unità lineare, ossia come
raggio unitario di un circolo descritto dal vertice, del
quale la base ol b corda; consegue che la corda oi,
riferita alla unità, cangia di valore col cangiare del rap-
porto tra il lato unitario e la base del triangolo isoscele
adottato. Resta con ciò confermato che per la determi-
nazione grafica delle potenze di una quantità geometrica,
necessita la cognizione del rapporto tra questa e l'unità
della specie. Facilmente si comprende come per la de-
terminazione del detto rapporto, del triangolo isoscele

■^•-^*', ^s^ *'■' l'I : " ^'.-^ '•• ■ .^^sCt-.-a^-

la serie, oltre la base oiy basta conoscere un
ito capace di determinarlo, come l'angolo al
la base, l'altezza ecc.

24' a) Nel cìrcolo di raggio unitario co si
lire la serie delle potenze lineari della corda

)•

aia proiezione oh della corda ol% dà o2' = ol .
ìa corda o2 = o2' e sì abbassi la doppia
re o3* alla 2f. Nel triangolo iscritto Sol'
' = oSX ol' = o2' X ol = óì^ X ol ='~ol\
l'da o3 := o3' e si abbassi alla 31' la doppia
re o4'; avremo o4~o3Xol =■ ofX ol=zoT
guendo, formeremo la serie decrescente delle
ari della data corda ol, o2, o3, o4 . . . . on.
'ig. 24* b) Quando la corda iniziale oa„ delia
nsi costruire le potenze lineari, è maggiore
= 1, e minore del lato del quadrato iscritto

allora la serie delle sue potenze è crescente,
5 avanzata fìnehò uno dei suoi termini non
.metro os = 2, ossia il quadrato della corda

Quindi con l'approssimarsi della corda ini-
i lunghezza del lato del quadrato ad, dimi-
lamero dei termini della serie delle sue po-
i determinabili con la esposta costruzione

ig. 24' b) Quando la corda iniziale è mag-
to del quadrato iscritto, per formarne la serie

— 89 —

delle potenze lineari, deve dividersi per la potenza del 10
capace di dare un quoto minore del raggio co = i. Ad
esempio : si vogliano costruire le potenze di un segmento

lineare s> y 2 , e si trovi ^^ = ol*: costruita come so-
pra (a) la serie decrescente dello potenze di questa corda,
1, o2, o3j o4 . . . ., moltiplicando un termine della serie
di grado n per la potenza del 10, divisore di s dello
stesso grado n del termine, né resterà formato il termine
corrispondente nella progressione delle potenze del segmen-

8 8 S

to 5. Avremo cioè ol = -ttt y> o2 = ^nn » o3=

10 " "" — 100 " ""— 1000 -
che daranno la serie richiesta facendo

« = ol X 10 » «•.— o2 X 100 » 5' = o3 X 1000 . . . ecc.
Infatti, per ipotesi segmento «==o/ X 10; elevando

a quadrato e per essere of = 08 j avremo «* = o^ X 100 ;
elevando a cubo, ossia moltiplicando per s ^= ol X 10, e

per essére o3 = ofj avremo s^ z= o3 y^ 1000 . . . • così
in proseguo.

e) I^Iolla esposta costruzione è da osservarsi che
angolo eo3' = 1V2^ angolo co4 = 1V3 ecc. por avere
queste coppie di angoli i lati scambievolmente perpen-
dicolari, e perciò Tangolo che forma il raggio co con un
segmento potenza di grado n della serie, è uguale a quello
che la base IV del triangolo isoscele, che ha per lato
la corda iniziale o /, forma con la potenza di grado n — 1,
portata come corda del circolo dairestremo o del raggio.

d) 2 Per le doppie perpendicolari o2\ o3\ o4* ....
è evidente che i punti 2\3\4* .... n si trovano sulla cir-
conferenza di centro V e di raggio i'o, ovvero di raggio
a^.o e di centro a^.

- 90

125^'^ Costruzione delle serie delle potenze lineari di espo-
nente S"" di un dato segmento.

(Fig. 25*) Nel circolo di raggio ca = 1 e dall'e-
stremo del diametro, si faccia corda ao uguale al rag-
gio, prolungandola. Si domandino le potenze lineari di
esponente ^" di un segmento al < ca raggio. Si abbassi
al diametro ad la perpendicolare oh e presa corda aT
uguale al dato segmento, la perpendicolare Tn interseca
ih 8 il raggio ao. Si faccia corda a2^ = a2 e la per-
pendicolare SV interseca in 3 la ao. Si faccia a3' = a.S,
e la perpendicolare 3'/i" interseca in 4 la ao ; e così
proseguasi. Avremo la serie al y> a2 » aS » a4 . . . . art

e cioè al y> al y> al y> al . . . ., e sé il segmento alò
'potenza ennesima di altro segmento .% ad ipotesi
al = s^ sarà aS = s^ » aS — s^* » a4 — s" ecc.

Infatti, nel triangolo rettangolo alio avente per ipo-
tenusa il raggio, questo ò doppio della sua proiezione o
cateto a/i, e però i triangoli rettangoli simili an2^ an'3, an''4
hanno l'ipotenusa doppia della rispettiva proiezione ; ma
la doppia proiezione di una corda vSul diametro da un
suo ef^tremo è quadrato della corda, e perciò prolungati
lad incontrare la circonferenza in 1\ 2\ 3\ 4\... ì ca-
teti perpendicolari n^, n3, n4, e poichò a2 = a2\ a3 = a3\..

avremo al ^= 2Mn = a2 » a2 = 2.an = a3 »

» à3 =1 2.arC' =t a4 e così in proseguo : ossia nelle
serie aly a2y a3^ a4 '. ... art ciascun termine è quadrato
del precedente e radice del seguente, e formano così la

serie al al al al ^... al"". Quando poi il primo ter-
mine fosse af avremo la serie af >} all'" » al"" y> af""
(Aritmetico, elementare^.

— 91 —

a) Una serie decrescente come la descritta, è illi-
mitata ed i suoi termini possono avanzarsi finché sia
graficamente possibile.

b) Sé poi la corda iniziale è maggiore del raggio 1
la serie è crescente, e col metodo descritto può solo
essere avanzata fino a quel tarmine che più si appros-
sima, e non sia maggiore del quadrato 4 del diametro.

(Fig. 25*) Sia primo termine ab > ao^ e la perpen-
dicolare bh' al diametro prolungato ad incontrare la di-
rezione ao in b\ Si faccia ae = ab' e si tracci ee' pa-
rallela alla b'h' ; si faccia af = ae' e si tracci //* paral-
lela alla b'h' ». Poiché a/' > arf diametro la serie cre-
scente non può avanzarsi, e per il già dimostrato avremo

ab y> ab' = aè* » ae' -=. ab^ » af = ab^ . . . • e sé il primo

termine é aè* sarà ab i^ ab » ah"" » ub *.

e) Quando vogliasi un termine più avanzato nella
serie, o anche quando il primo termine é segmento mag-
giore del diametro ad — 2^ allora si divide il valore del
primo termine per la potenza del 10^ capace di dare un
quoto lineare 5^ < /. Si forma la progressione decrescente'
del quoto q nel modo suddetto, per poi moltiplicarne i
termini successivi per la potenza del /O* dello stesso
esponente del termine moltiplicando, la progressione dei
prodotti sarà quella del segmento dato. Così si doman-
dino le potenze lineari di esponente 2^ del segmento

s
s— 10. a /. Fatta corda a /' = jt^ e formata come sopra

la serie a 1, a2, a3j a4 . . . . an, ne trarremo quella del
segmento s, facendo 10 X ^ ^ — ^ ^ ^0* X «^ = 5* »

» To' X «3 = s% To' X «^ = «' ®^'

- 92

k)8truzIone grafica delle potenze di una data area.

elevando a quadrato i termini successÌDÌ della
w delle potenze de un numero, si forma la
te delle potenze del quadrato ài quel numero
i elementare).

L'area di qualsiasi Jìgura piana geometrica-
urahlle, può graficamente ridursi a quadrato
juiealente (Geometria elementare).

questi due prìncipii si fonda la costruzione
Ile potenze di una data arca.
"Fig. 22-23' a-b) Si voglia costruire una serie
piane delle quali le aree procedano come le
'H'arca di una figura iniziale,
uca la iigura iniziale al quadrato equivalente

per ipotesi sia lato ossia radice o1. Come
'.2**) si costruiscano le potenze lineari succos-
lato oi formando la serie o/, o2, o3 . . . . on
cun termine della serie come Iato si costituisca
0, formando la serie al* » oS » oS" . . . . on* e
pracìtato principio (a), le arce dei quadrati

procederanno come le potenze di quello ini-
ito ol. Nei modi geometi'ici si riduca ciascun
ad una figura piana di qualunque forma, pur-
3a ad esso equivalente, e ne resterà formata
a serie di figure piane di aree procedenti come

di quella della data figura iniziale.
In modo analogo si costruisce una serie di
ne delle quali le aree procedano come le po-
lell'area di una figura iniziale data.
25") Si riduca la figura inizialo data al qua-
ivalento che abbia per ipotesi ai come latQ

- ^à -

ossìa radice. Si formi la serie delle potenze lineari dì
esponente 2^ del segmento al, cioè a\, a2^ aS . . . . art.
Sopra ciascun termine della serie come lato si costruisca

il quadrato formando la serie ai ^ a2 , a3 ^ a4 e poi-
ché al, a2, a3, a4 = al, al*^ al^ al è progressione
nella quale ogni termine è quadrato del precedente e ra-
dice del seguente, cosi sempre per lo stesso principio (a)

i quadrati dei termini daranno al , al ^ al , al : pro-
gressione nella quale ciascun termine è pure quadrato
del precedente e radice del seguente, e perciò formata
di termini procedenti come le potenze di esponente 2" di

quello iniziale al . Riducendo i quadrati della serie in
figure piane equivalenti, le arce di queste procederanno
come le potenze 2" dell'area iniziale data.

Tralasciamo per brevità la descrizione di altri modi
grafici che • dà la geometria per la costruzione di figure
procedenti come le potenze di una data figura iniziale.

127. Formazione delle potenze angolari.

Le potenze di un angolo graficamente costruibile, si
formano determinando quelle del numero esprimente in
gradi e parti di grado il suo valore. Così per le potenze
dell'angolo 3** faremo la serie numerica di potenze
3, 9, 27, 8i, 243 . ... che riducesi angolare scrivendo

angoli 3% 9% 27% 81% 243^ quali angoli, descritta

la circonferenza, si costruiscono in successione l'uno del-
Taltro nei modi noti geometrici. ^

128. Quando l'angolo iniziale è frazionario o fratto,
si riduce al suo angolo base (10), si formano nel detto

— 94-

li questo, e si dà come divisore a cia«-
1 serie, la potenza del S dello stesso

serie delle potenze dell'angolo l^S del
se è 3", faremo

^ - Ag . . • • angoli che si costruiscono

dell'ang. 3°, due bisezioni dell'ang. 9*,
tng. 27° ecc.

olo iniziale non è graficamente costruì-
Ila serie determinati nel detto modo, si
.pprossimazione, come dicemmo al (21).

CAPITOLO in.

tea delle radici di quantità geometriche,
cala radicale rettilinea.

') Sulla retta indefinita as, sìa al unità
icasudi essa il quadrato unitario ai bey
ghi il lato be; si faccia a2 =^ab :=y 2
Midicolare 2d. Nel triangolo rettangolo

; = \/7{2'-\-2d'^ 1/2+1 = |/F Si
;d elevata la perpendicolare 3h sarà

fi= K 3 -|- 1 = |/ 4 , cosi proseguendo

• ■

■ * . . ■ . ■ '

Soppressa là costruzione, la retta indefinita as resta
divisa in segmenti ai, a^, a3 . . . . d/i, che rispetto alla
unità al, danno le radici lineari dei numeri naturali ;
ossia i detti segmenti procedono come i lati dei quadrati
dei quali le aree progrediscono come i numeri naturali.

Scala radicale spirale.

131. (Fig. 27*) Sia ol Tunità lineare ; si elevi ad essa la
perpendicolare 12 = oi, alla o2 la perpendicolare ^3=o/
alla o3 la perpendicolare 34 ■= oì e così proseguasi senza
limite.

Per i triangoli rettangoli successivi avremo

o2 = 1/2^ o3 ^ l/sT o4 = l/~ ecc.

È evidente che sotto questa forma può darsi alla
scala una maggiore estensione di quella lineare radi-
cale.

132. Fra le lunghezze dei segmenti radicali radianti
da un punto del piano e gli archi del circolo di raggio
unitario, esistono delle correlazioni le ragioni delle quali
non trovano luogo in questo ristretto lavoro. Tali cor-
relazioni offrono il modo di costruire una scala retti-
linea radicale di più facile lettura di quella sopra de-
scritta.

Scala radicale rettilinea a catena circolare

(Fig. 28*) Col diametro sulla direttrice ab si descriva
il circolo di raggio unitario c^, e quanti vogliansi altri
circoli ad esso uguali, consecutivi e tangenti esterni

ittrìce ed all'orìgine del diametro del
I zero della numerazione. Sulla metà
3vi la perpendicolare hi e parallela-
ì si traccino la secante ai cìrcoli glk,
ne ef.
la scala a partire dal zero :

contatto della ef coi cìrcoli, princi-
^,, si segnano con numeri costituiti
idotto deirS per ì numeri naturali suc-
)recedentemente segnato. Faremo cioè
<1+S=z=10flc, 8X^ + 10=26*

= 50 ecc.

ttrìce ab ì centri ed i punti di con-
ia catena si segnano ordinatamente
eri naturali ; cioè 0. 1. 4. 9. 16. SS. 36. ..
rare i punti successivi d'intersezione
della catena, a partire dal punto 1,
latamente al numero precedente i na-
ne naturale, facendo i -\-2 =-■ 3 »
- 6 = 13 ecc.
letare la numerazione si opera come

semplice. Così ad esempio, per de-
ibbasseremo alla direttrice dal n" 43
■he interseca in m la circonferenza c^,

zione della scala, un segmento che
>n uno dei suoi numeri, è radice e lato
l numero.

3 parole per dimostrare quanto rie-
)]o e nelle operazioni grafìche le scale

133. Fra le scale sopra descritte, la radicale retti--
linea a catena circolare si raccomanda per alcune sue
speciali proprietà. CJosì ad esempio (Fig. 28*) : Una se-
cante comune ai circoli e parallela alla direttrice^ taglia
ciascuno di essi in due punti x, y, tali che la somma
dei quadrati dei segmenti ox, oy è per ciascun cir-
colo costante^ ed uguale al doppio quadrato del segmento
che unisce il zero col punto di tangenza con lo stesso
circolo della ef. Avremo cioè nel circolo c^ » 1 -|- 3 =
= + 4 = a?+t^== 2X2 = 4 ; per il circolo e, » 7+13
= 4 + 16 = or + y = 2 X 10 = 20 ecc.

Detta proprietà permane anche quando la distanza
dei centri fra i circoli consecutivi della catena sia
maggiore o minore della somma 2 dei raggi. Ciò fa-
cilita le operazioni fra segmenti frazionari. Ad esempio:

(Fig. 29*) Sia data una catena circolare radicale
nella quale la distanza dei centri fra due circoli conse-
cutivi della catena sia 0,50, ossia la metà del raggio la= 1,
e si domandi la serie addizionale dei triangoli dei quali
la somma dei quadrati dei lati sia 26,50.

26 50
Faremo numeri calmente — ^ — = 13,25, quindi

13,25 —1=12,25 » [/ 12,25 = 3,50. Col centro nel mezzo
e del segmento ab = 3,50 X 2 = 7 e col raggio 1 si de-
scriva il circolo ; e tutti i triangoli, come amb che hanno
il vertice sulla circonferenza e e la stessa base afe, hanno
per somma dei quadrati dei lati 26,50.

Infatti si traccino il raggio perpendicolare ed e le

c/a, db, avremo ad = ac -\- ed = 3,50 -j-^ 1* =: 12,25 -|- 1
= 13,25, ossia à3* +T6* = 2 X 13,25 = 26,50. Ma i

triangoli come adh^ amb hanno la stessa base e me-
diana e perciò ugual somma dei quadrati dei lati, quindi

ma -^ mb — 2.ad =^ 26^50. Si traccino per rri la mn pa-
rallela alla abf e le na. né. Per Tuguaglian^a dei trian-
goli sarà ma -|- mb* = na -|- ^6 = 26,50. ecc. •

Determinazione della radice quadra di un segmento s <4.

134. (Fig. 30*) Vogliasi I/ab essendo ab < 4,
Descritto il circolo col raggio unitario, si porti sul
raggio, a partire dal suo estremo il segmento ah e nel
putito medio o di questo si elevi la perpendicolare od

che incontri in d la circonferenza. Risulterà ad = 1/ ab^
come più volte si è dimostrato.

Con altra costruzione (Fig. 31*), dall'estremo a del
diametro si porti il raggio a:s come corda, prolungan-
dolo, e la radice quadra di un segmento am < 4 preso
sulla sua direzione, è la corda art dall'estremo del dia-
metro all'intersezione n della perpendicolare abbassata
al diametro stesso dall'estremità m del segmento. Ciò
pure fu dimostrato al (124).

135. Per determinare la radice di un segmento s > 4,
come dicemmo ai (123, 3** b), si divida per la potenza
del 10 capace di dare un quoto q < 4, e descritto il
circolo unitario, si estragga la radice del quoto q nel

descrìtto modo ; avremo [/ s = 10"^. Ciò pure fu di-
mostrato (123, 3% b).

'9^

Determinazione delle radici di grado 2^
di un segmento minore di 4.

135>^. (Pig. 25^) Si domandi W af essendo af < 4.
Si porti a/* sulla direzione della corda ao = ac = 1.

La perpendicolare f'f al diametro arf, dà af V af\
Si faccia ae' = af; la perpendicolare ee* al diametro, dà

= V af =^ y ]/'ap~ = \/ a/^ SÌ faccia aV = ae e

la perpend. b'b dà ab=V ae=V y yj «/' = V^ «/'•
Si faccia aa' = a6 e la perpend. a^* dà a% =:

— V a6 = V K V^ ^~ar^ = ^^a/^ Ciò è evidente.

Sulla determinazione delle radici ennoBime di esponente primo
maggiore di 2 delle quantità geometriche.

136. Alla formazione delle potenze di urt segmento
(125 » 1^2^3" Fig. 22-23^ vedemmo che assumendo il lato
di un triangolo isoscele come potenza di grado a, la base
del triangolo è potenza di grado /i -f- 1 , ed ambedue i
segmenti sono termini di una serie di potenze, della
quale il primo termine è la base di altro triangolo iso-
scele simile di lato unitario : ma l'uno o Taltro dei detti
triangoli, non può costruirsi, se oltre* un loro lato norj

-lòò-

h dato altro elemento idoneo, come l'angolo alla base ò
al vertice, l'altezsa ecc.

Consegue che» dato un segmento 5, come potenza
ennesima e l'unità lineare u alla quale è riferito, non
può grafìcamente determinarsi la radice ennesima del
segmento s, né può ricostruirsi la serie delle potenze
tra le quali s è termirte ennesimo, se oltre ai termini «, u
non è dato anche un altro elemento determinante l'an-
golo che i segmenti u ed 8 formano tra loro.

Nel senso geometrico una potenza lineare riferita
alla unità va quindi considerata come un angolo del
quale siano solo noti i lati e perciò non costruibile ;
ma se di tale angolo oltre i lati è noto il valore,
allora la radice ennesima di un dato segmento è gra-
ficamente determinabile.

a) Infatti (Fig. 23* a, b), sia dato un segmento
o5 come quinta potenza, e l'angolo a che il dato segmento
forma con la unità lineare alla quale è riferito.

Costruito l'angolo a e determinato uno dei suoi
lati uguale al dato segmento o5, dalla metà di questo
si elevi la perpendicolare ad incontrare in 1 l'altro lato
e si tracci la 4.5. Dalla metà della o4 si elevi la per-
pendicolare ad incontrare in 3 la o5. Dalla metà della
o3 si elevi la perpendicolare ad incontrare in 2 la o4.
Dalla metà della o2 si elevi la perpendicolare ad in-
contrare in 1 la o5. Dalla metà della ol si elevi la
perpendicolare ad incontrare in e la o4. Si traccino le
ci, 1.2, 2.3, 3.4.

I triangoli isosceli e simili oel, ol.2 . . . ., o4.5, danno
la progressione continua -^ oc : ol : o2 : o3 : o4 : o5,
nella quale, per quanto fu dimostrato al (125.2*), i ter-

— 101 —

mini progrediscono come le potenze del segmento ol,

quando il segmento sia oc==l. Talché sarà y 05 = ol.

Consegue che: quando è noto l'angolo che una
data potenza lineare forma coli' unità alla quale è
riferita, non solo può determinarsi la sua radice, ma
può ricostruirsi la serie delle potenze alla quale il
dato termine appartiene, ossia può determinarsi un
termine qualunque della ierie 'dicerso da quello dato.

h) L'operazione si abbrevia se oltre il segmento
potenza e l'angolo a, è data anche Tunità lineare.

(Fig. 23* e) Si domandi v o3 essendo data Tunità
oc e l'angolo a che questa forma col segmento o3.

Si costituisca Tangolo 3o<? == a, e dall'estremo e del
segmento unitario si abbassi la perpendicolare cs al

segmento o3. Avremo v o3 = 2.os = ol.

Infatti il triangolo oc\ è isoscele. Sul prolunga-
mento del lato oc si faccia ol' = ol e si tracci l'2 pa-
rallela alla ci ; si faccia o2' = o2 e se per il punto 2'
si traccia la parallela alla el, questa dovrà passare dal
punto 3, quando tanto l'unità co quanto l'angolo a sono i
termini dai quali il segmento o3 dipendo come potenza ;

•• 1 ol o2
dovendosi avere la serie continua —

ol • o2 • o3

• • • •

e però v o3 = ol.

e) Dal triangolo rettangolo ose si vede come U

seno deW angolo a èsc=l — (■ò")» ^^^ ^1 è primo ter-

niine della serie di potenze^ e però v 03:::;r2 V 1— sen.a*

102

137. Se è dato un segmento come potenza enne-
sima e solo Tunità alla quale è riferito, per determinarne
i la radice ennesima deve ricorrersi al calcolo numerico.

L Come dai seguenti esempi :

1. Sia dato segmento b come potenza terza rife-

rita alla unità a e si voglia / 6.

Paragonato a con b si trovi b = 27.a = 27 :

S 8

quindi /& — V 27 — 3=: 3.a.

2. Rapporto alla unità a si domandi v segmento b.

1 1

Paragonato a con 6, risulti b= tòq"^ ^ Toq" • quindi

128

a 8.

3. Sia b = 3,375.a e si domandi y b ^ V3,375 .
L'esponente è 3 e tre sono i decimali del numero,

quindi' la radice terza ha una sola cifra decimale la quale
è 0,5, poichò per 5 termina la data potenza. Il cubo
massimo contenuto nella parte intera del numero è P,

3 . 8

perciò Yb = y 3,375 = 1,5 = l,5.a.

4. Risulti b = 6,59375.a e si domandi

5 B

y b — ^6,59375

La massima pote^nza quinta contenuta nella parte
intera del numero "^ l'^ = 1, e la parte decimale della ra-
dice quinta è 0,5, poiché il numero termina per 5, e sono

cinque i suoi decimali; e però / 6,59375 = 1^5 == l,5.a,

103

1 39. Determinazione delle radici di esponente 2\p ove p
è numero primo.

Si domandi l^af essendo af'< 4 (Fig. 25»).

Poiché l'esponente 40 = 8 X 5 dovrà estrarsi la ra-
dice ottava di a/' e quindi la radice quinta di quella
ottava ottenuta.

1. Operando come al (135**^) si determini Fa/» = ab.

2. Paragonato ab col ràggio unitario ca risulti
«6-1,61051.

3. Il n* 1,61051 ha la somma delle cifre di posto
dispari uguale a quella delle cifre di posto pari ; e perciò
è divisibile per 11, e poiché la radice quinta ha una sola

cifra decimale, dedurremo senz'altro che /i,0it)5i = 1»10.

4. Fatto aio == l,10,ac sarà a;s — y ab ^ ^ «/' •

139. Sé il segmento s del quale si vuole la' radice
ennesima è troppo grande, per potere operare grafica-
mente, si divida per la potenza ennesima di un numero p
infero e tale che dia un segmento quoto c[ sul quale si

possa graficamente operare ; e ottenuta la f^ quella
ennesima del segmento s, sarà 1^^=^ ^qX ^ p • Ad esempio

si domandi ^ s ^ essendo s segmento troppo grande, ma
diviso per Z^ = 32 (Fig. 23' A^^p^ risulti -qo == P5.. De^er-

— 104 —

al 136, a) ol = P^, poiché h^^2. A-

2.0I = r.

la serie -jr ol, o2, o3, o4, o5 ne trarremo
nento s facendo r= 2.ol » r* =4.ol » r'=8.ol »

r* = 32.dl = s. Per la dimostrazione vedasi
tto al (125.c) inquantochè si fonda sullo

li vuole una figura piana di area a, che
lesima dell'area k di una data figura piana
;ome al (126) si costruisca il quadrato
'la figura di area a. Si determini la ra-
i lineare del lato di questo quadrato^ ed
costruito sulla radice ottenuta come lato,
I a = ^^. Per la dimostrazione vedasi
mo al (126 (a).

re costruirsi la serie delle potenze di quella
i le quali l'ennesima e quella di area a, fa-
nze lineari del lato del quadrato a e ridu-
rato i termini successivi della serie, a cia-
rli, volendo, può sostituirsi una figura piana

re avrebbero le aree progredenti secondo le
ella a, e fra di esse l'ennesima potenza sa-
aroposta di area a (126.a.6),

>sservi che quando la radice ennesima di
si è ottenuta con metodo del tutto geome-
(134 al 136), allora tanto la radice ennesima
Ì6 delle sue potenze, sono segmenti di va-
sia rigorosamente esatto, ancorché la data

— 105 —

potenza ennesima espressa numericamente in parti di
unità sia numero indefinito o anche irrazionale.

Quando però la detta radice si è ottenuta con me-
todo grafico misto al numerico (137), tanto essa quanto
tutti i termini della serie delle sue potenze, sono segmenti
che si approssimano ài loro vero valore, quanto più si ap-
prossima al valore del segmento dato come potenza, il
numero che lo esprime.

Radici ennesime dei valori angolari

142. Finché la geometria piana elementare si ritiene
limitata a quelle sole figure che possono costruirsi me-
diante la riga ed il compasso, tanto Tangolo quanto l'arco
descritto dal suo vertice e compreso fra i suoi lati, non
possono ritenersi elementi geometrici perfetti. Dimostram-
mo infatti (6.16), che la maggior parte degli angoli non
possono costruirsi graficamente; il che equivale a dire
che la loro misura in gradi e decimali, nonché quella
degli archi che abbracciano, non può geometricamente
determinarsi.

Nel (Trattato delle corde nel calcolo Gap. V), dimo-
strammo come per angoli al centro ed archi rispettivi
procedenti come i numeri naturali, le rispettive corde
computate in parti di raggio, progrediscono con diversa
legge, e perciò anche le linee trigonometriche che a quelli
angoli si riferiscono. Di conseguenza non può determi-
narsi la radice ennesima di un angolo od arco^ rica-
vando geometricamente quella della sua corda o di altra
linea trigonometrica; deoe invece considerarsi il valore
dell'angolo espresso in gradi e decimali come un vero

ro secondo ì modi
ee numerica otte-
alore angolare ra-
; eostruito questo
ice di quello dato.

) che il maggior
91- è 4' := 64 e
r la stessa cifra 5
he il dato numero
i le unità del dato
che

igolo radice si co-

'5.

ile avendone Ì ca-
lce quinta è angolo

cifra decimale, in-
alore come le unità

za contenuta nella
1 l,e però sarà l°la
:e.

:ermina per la cifra
parte fratta ; quindi

— 107

V ang. 7^ 59375 = ang. 1*,5. Questo si costruisce bise-
cando Tang. 3.

3. Si sarebbe potuto operare applicando inversa-
mente il principio dato al (128) per Televazione a potenza
del valore di un angolo frazionario ; e cioè :

1. Si riduce Tangolo dato al suo angolo base, fa-
cendo ang. 7* 59373 X 32 = 243*.

2. Si rileva dalla tav. 105 che V 243= 3.

3. Poiché il dato angolo ha 5 decimali, mentre 5 è

Vesponente della radice ; questa avrà una cifra deci»

3
male, e però faremo g- = 1 ,5, ossia

V ang. 7%

ang. 7% 59375 = ang. 1*,5.

153. Se il dato angolo non è costruibile, si rende
tale prima di operare, sommandolo con altro angolo non
costruibile piccolissimo.

iiasi V7%

Vogliasi V 7% 5937. Sommando con esso angolo

a V 7,!

0^00005, faremo come sopra V 7,59375 =1,5: talché

con grande approssimazione V 7% 5937 = 1%5.

145. Deve anche considerarsi come, con bisezioni
successive, il duennesimo di un dato angolo può ridursi
più piccolo di ogni quantità angolare immaginabile, tal-
ché dato un angolo z che non sia della forma 3°j3, po-
tremo sempre trisecarlo sostituendo ad esso un angolo

trisecabile 3°/)-)- "9^ che differisca da quello js dì quan-
tità trascurabile. Consegue da ciò che nel senso grafico,
un angolo qualunque z può dividersi in un numero p
ài partì uguali^ sebbene p non entri tra i fattori di
quello dato z. Non è però cosi se l'angolo s si considera
dal lato geometrico, essendo la sua divisibilità dipen-
dente dalle sopra accennate condizioni, prima tra quali
quella che l'angolo s sia graficamente costruibile ; poi-
ché se ang. 7° non può costruirsi con la riga ed il com-
passo, non potrà neppure costruirsi ang. l'y^ò^ 36",
sebbene quest'angolo sia tra quelli della graduazione
della circonrerenza per 360°, e di conseguenza non pos-
sono costruirsi né i duennesimi degli angoli 7" » 35° né
alcuna delle loro combinazioni : quindi un angolo non
costruibile non può dividersi graficamente per p, seb-
bene quest'i sia fra ì suoi fattori numerici, e tale an-
golo non ammette altri dioisori grafici oltre il 2 e le
sue potenze.

146. Ma oltre la costruzione diretta dei quoti ango-
lari, sulla quale si basa il sovraesposto mètodo della
divisione angolare, la geometria dà altri mezzi per ese-
guire questa operazione.

Vedremo in seguito come la divisibilità degli angoli

•srrr^»' ":

— iii —
descriva Tarco aeh^ si abbassi alla base la perpendicolare

ed : risulterà ad ^"o"- Si faccia ad^ = -j- = -^. Sappiamo

.1
che le potenze di -g" procedono come i suoi duennesimi :

1 1 1

avremo cioè ao? = -g » ad^ = I" ^^ ad^ = g" ^dd^ ; tal-
ché ad^ è cubo di ad ; ma ae=za6=:l e 1^=1, quindi ac=ah^*^
e però i punti d^ e sono limiti dei cubi lineari di tutti

1
quei segmenti che come an^ sono maggiori di ad —-^ e

minori di ac = ì.

Fra il punto a e la perpendicolare ed si traccino
quanti vogliansi segmenti am^ an^ as^. . . . ao^, e dal
punto b altrettante corde dell'arco aeb ai detti segmenti
rispettivamente uguali 6m, 6n, b$ . , . . bo. Se ne deter^
mini il rispettivo cubo lineare, facondo come diciamo per
la corda bs l'is 'Scele bss^ di lato bs e vertice s, e quindi
con centro s^ e raggio s^ b si tagli in s^ la bs ; per il già

dimostrato risulta 6^3 = bs . Stilla as^ = bs si faccia

as^ = bs^ sarà as^ = as^ . Operando ugualmente per cia-
scuna delle corde e rispettivi segmenti radianti da a, ot-
terremo in am^ an^ .... ao^ i rispettivi cubi delle corde
bm ba . , . bo. Per i punti e, o^ ,.r^ . . . . m^^ d^ si faccia
passare una linea continua che risulta di leggera doppia
curvatura. Un segmento qualunque come ar^ racchiuso
fra il punto a e la perpendicolare ed^ sarà tagliato dalla
curva in modo, che la sua parte racchiusa tra questa ed
il punto a, è cubo del segmento. Avremo così i cubi

1
dei segmenti compresi tra ad^ i^q ac = 1.

Per determinare i cubi dei segmenti compresi tra

rio;- le parallele c?e, bf,
compresi tra a e la perpi
mentre !a curva co^. . .
mune a il cubo della t
detti segmenti. Dal verti
l'arco apj), e dal vertice
ap^g. Si costruisca nel s

dei cubi dei segmenti mine

raggio za = 3.ca qualsia
ag =■ S.aq » ap^ = 3.ap^ .
tra l'origine a e la per]
estremo sulla hz il rispetti-
zf, e per questi punti ;
curva continua fs^ n^ m^
muni g, p^ dello corde rad
il rispettivo cubo lineari
sii punti la curva ceriti
sposizione un segmento
modo che avremo am^ -
qualunque ap^ minore di
ap^ = 3.ap^ — a/), ^ ossìe
dalla curva /n, e?, , e d
dalla curva ika e dall'
zione a^— Sa — a' che p

nel circolo di raggio 1 e

ciò se uno qualunque de
gine a e la curva /h, d,
curva ika, si assume cor
nel circolo di raggio 1,

o per la circonferenza
5° che diviso per 3 dà
trovi e porti in ah corda

9, ang. girato

1 scala trisettrice ango-
a soluzione grafica del

lata dall' aritmetica, dà
iroblema della trisezione,
o presuppone che l'ope-
)recision"o per la deter-
rà il raggio unitario e
icarsi.
mia a, = 3.a — a^ sup-

la corda di un arco ed

a la corda e dell'arco
e 3.a a' _3.a6'— a'6»;

luendo del numeratore
ilo di 3 : il diminutore
cubo perfetto ; il deno-
satla di radice b, uguale

MikaJ

— 117 —

a 1

al denominatore nel rapporto -r- della corda dell'arco -o-

al raggio 1. Ciò posto, dato il rapporto tra la corda
di un angolo da trisecarsi ed il raggio : -r = -n •'

per dedurne quello -r della corda del suo angolo -ò- al
raggio opereremo come segue :

1. Determineremo il denominatore del rapporto
tra la corda dell'arco k al ragggio facendo y l/b*= b.

2. Faremo il cubo b^ dello stesso denominatore,

3. Divideremo per il cubo 6* il numeratore fa-

3.ab'— aV
ceiido Ti — q .

4. Il quoto ottenuto q^ che risulta frazionario, si
riduce intero e multiplo di 3, sommandolo con un nu-
mero n<2 capace di renderlo tale ; facendo q-\-n=3.a^

e un terzo di questo sarà il numeratore del rapporto

1
fra la corda dell'arco -g- ed il raggio, del quale il deno-

a
minatore è 6, talché questo rapporto risulta -r-.

5. La corda a, determinata in parti di raggio
1, sarà contenuta 3 volte esattamente nel dato arco di

corda tt.

.^-T'

— 118 —
6) Numericamente il calcolo si dispose come ve-

desi alla qui sotto tabella a. Ottenuta la corda

-T- = Tzr , si passa alla riprova A' nella quale

TritesioM dell*aDgolo al centro di

corda e

nel droolo di

raggio 1 = 6.

Rapporto ^ =

18590
-14641

ll>(2o) lT-1331

(lo) ^ Vl4«41 =

„ . 18590 .„ , 1287
(^) 1331 ^ 13 4- 1331

(40) 13 + 4§f

+ 1 -f- 24 — 15 intero •
1331

multiplo di 3

'-5-5
3 ^

Rapporto dall'arco

1 , .a
-g-alraggio j- =

RIPROVA

e 5
6-11 X3-

/ 5 Y 183^
■ \11/- 14641

il triplo della corda diminuita del suo cubo deve

riprodurre il rapporto -r- = flAlT ^®^^^ corda del-
Tangolo trisecato al raggio 1.

153. Quando il rapporto al raggio 1 della corda e
dell'angolo da trisecarsi è dato in parti decimali del rag-
gio, e che si disponga di una tavola dei cubi dei nu-

— 119 —

meri naturali , V operazione si semplicizza come ap-
presso :

1. Dal numero dei decimali della data corda si
determina quello m del decimali della sua radice cubica.

2. Fra i cubi dei numeri di m decimali, si cerca
nelle tavole quello che sommato con la corda e, da
un totale t multiplo di 3 è che nel tempo stesso abbia
m decimali.

3. Il quoto -o- = e' è in parti decimali di raggio 1

1
valore della corda dell'arco -q di quello proposto.

La riprova si effettua come al procedente esempio :
a) Numericamente si disponga il calcolo come dai
2 esempi qui appresso indicati b-c, nel primo dei quali la cor-
da e deirangolo da trisecarsi ha 3 decimali, e perciò tanto

1
la sua radice quanto il triplo della corda deirarco-2"hanno

un sol decimale.

Trisezione delPang. acb di corde e computata
decimali di raggio 1.

parti

Corda e = 1 ,375

1. La corda avendo 3 decimali, la radice cubica avrà
una sola cifra decimale.

2. Si rinviene nelle tavolo il cubo 0,5* = 0,125, che
sommato con e = 1,375 dà il totale 1,5, multiplo di

3 e di una sola cifra decimale come la radice.

3. Corda dell'arco -L = c*= i^ = 0,50.

(Riprova) 3 X 0,50 — 0,50' = 1,375 = e.

• • •, * T

>•

^•.

sommarsi é 0,3473 , sarà corda ^ = 20^ = e' = 0,3473,
Trisecando Tang. 90% trovato che il cubo da som-

1=7^3

90^

marsi è 0,5176 , sarà corda -3- = 30*^ = e' = 0,5176.

vt:. ";5H

f I

■ 'fé

t 4 ^«f

«J

~ 121 —

valore della corda 20"*, con approssimazione a quattro
decimali.

d) Se poi la corda dell'angolo da trisecarsi è data

da un numero di per sé stesso multiplo di 3, si opera

ITI ugual modo cercando il cubo del numero di m cifre,

del quale le prime m cifre sommate coi decimali della

data corda, danno pure un totale multiplo di 3 ; ed il

1
terzo di questo sarà valore della corda dell'arco 7^.

e) Si domandi la corda dell'arco 30** = -o".

Poiché la corda del retto è lato del quadrato iscritto

|/2=: 1,4142, numero del quale la somma delle cifre è

multiplo di 3; si rinvenga nelle tavole 0,5176 =0,1 386, . .,

del quale le prim^e 4 cifre sommate coi decimali della |

corda danno il totale 1,5528 pure multiplo di 3; sarà

corda dell'arco 30** = -3- = -^-3— = 0,5176. ^

/) Si osservi che il calcolo può abbreviarsi.
Infatti, il numero del quale le prime m cifre del cubo
devono sommarsi con gli m decimali della corda, esprime

1
di per sé stesso il valore della cercata corda dell'arco 5.

Così trisecando l'ang, 60°, trovato che il cubo da

, 60**

'V^

■■«

•1\

I
■*

■ I

• I

- 122 —

di trisecare l'angolo, permette

i del grado 1° =: q- , e di con-

3 grafica di tutti quei poligoni

;o è corda di un arco espres-

ro di gradi divisore del 360°;

duennesimo di questo arco, o

1 , ,.,

stesso, come dai

lolarì di 3' lati e di 2- X 3' lati

circolo e si prolunghi il diametro

„ af^ 90- . . ,

0° = -^ = -o" . 6 tracciata la ds

netro prolungato, la parte so della
sarà uguale al raggio ca (23).
s si descriva Ìl circolo, e mediante

ccia arco mn = -^= -o-=iO-

itrare in e il diametro prolungato
, e; risulterà la parte me della
uguale al raggio ca. Col cenfro
a il circolo, e mediante la scala

_ ^^
"3"

Btro prolungato, risulterà zh parte
tìlo e uguale al raggio ca ; o cos)

— 123 —

.,,. , afd bs tifd

Abbiamo arco 6s:=-^o- » nin~-q- = -^» 3

f>s afd ., „„ . 90

— Q=-syecc. : mtx afd^9(y, e pei Ciò ba = nr

= g- » 2r = 27"' ossia gli archi di -w . Come

angoli al centro di poligoni regolari iscritti a
arco del dodecagono, tnn del poligono dì 36 I
poligono di 108 lati . . . Duplicando successivE
stessi archi ne trarremo ancora altri di poligoni
lati, cioè 2.^3 lato dell'esagono » 2.mn. del polig
lati » 4.mn del poligono di 9 lati » 2.:-r del polig
lati » 4.5/' del poligono di 27 lati ; bisecando s
mente avremo poi a'I'inflnito i poligoni 2" X «

Divisione dì un angolo costruibile o determlnabìl
numero primo maggiore di 2.

156. (Fig. 37') Dall'uno all'altro lato di un
a partire dal vertice, si porti successivamente p
un segmento e"^o, e dai vertici c"\ e", e' col
>^'"o come raggio, si descrivano i circoli.

Come dimostrammo nella formazione gen(
angoli (27) avremo -ì— arco oo' • nn ■ inni' * ha : 1
assia la progressione deg/i archi proeeda come '
numeri naturali dispari. Facendo le differenze
fra i detti numeri e quello 9, trovasi 9 — 1=8 >
9 — 5=4» 9 — 7 = 2..., ossia dette differì
con ragione inoersa dei numeri dìspari la pr

dei numeri naturali pari. Ora, Jlnehè gli ang. j

- 124 —

minabilt, 9. , qualunque sia

re di angolo costruibile.

rsi ad ipotesi per 7 un dato
struibile o determinabile; come
;rminabilo; poiché trovasi anclie

-= 8%75; risulterà i)X8%75 =

bile: talclib costruito ang. cwaI —

, , , 9,rtc6 l,acb

a — acd — aeo= — ~— — — =— =

1 la eg l'ang. bcd risulterà an-
obi ede vasi.

si in 11 parti l'ang. determinabile

■h 96".25 „ „^ , . , .,

- = .. = 8°,75 determinabile:

ang. adi — acd — deh— — ^-j — —
ccato l'angolo deh sarà ango-

ediccsima parte dell'ang. detormi-

^remo ang. ack — 8%75 determi-

„^ , , VA.atk 9.ack
,75 » ang. deh — — jo TT^

3nda bisettrice dell' ang. deh ed

^12!5

ctck
avremo ang. egd' = -r^. In egual modo si divide per

altro numero primo n maggiore di 3 un dato angolo,
purché esso sia costruibile o determinabile e tale sia
la sua parte ennesima.

157. Quando poi il dato ang, aeh è indeterminabile
o che sia pure costruibile o determinabile, ma la sua
ennesima parte risulta valore di angolo indeterminabile,
allora quello 9,ac6 non è costruibile. Quindi si rende
determinabile Tang. aeb sommando o sottraendo da esso
altro angolo a piccolissimo, si opera come sopra sul
totale o sulla differenza ottenuta, e la sua parte ennesima

differirà da quello — • dell'angolo piccolissimo trascura-
bile -. Ad esempio:

Voglia dividersi per 7 V angolo indeterminabile
acò = 61%24. Faremo 61%24 -f 0,01 = 61%25 e trovato come

sopra ang. hcg = — y" questo sarà maggiore del richiesto

61%24

— = — dell' angolo trascurabile 0**,0014. Se fosse dato

ang. acfe = 61^26 si farebbe 61%26 — 0^01 = 61%25, ed
allora l'ottenuto ang. bcg sarebbe minore di quello ricer-
cato delle quantità trascurabile 0°,0014.

Se l'angolo da dividersi per n è troppo grande, si
opera nel descritto modo sopra una sua parte aliquota
g, ed ottenuta la parte n* di questa, quella del dato angolo
sarà qn. Ad esempio, voglia iscriversi l'ettagono regolare.

360°
ì, ma arco —x- è

reo troppo grande
opereremo sopra

che rende-

le è maggiore di
0^00l4.

lo indeterminabile
terminabile che ad
si ricorda che un
li all'infinito sono

concludere che il
ngolo per un nu-
,0 i geometri, può
; supporsi che la
mi nazione grafica
lomctriche e dà il
ra anche il mezzo
di poter costruire
. serie di triangoli

figura, ed allora
anche indetermi-

— 12*7 —

159. Da quanto si è detto sulle radici delle quan-
tità geometriche e sulla divisione dell'angolo pei" un
numero primo, resta dimostrato come la geometi'ia con
mezzi assai elementari, e talora meglio di qualsiasi ramo
del calcolo, risolva problemi di ordine superiore, e che
essa si estendo in un campo assai più vasto di quello
che le si f? voluto fino ad ora assegnare.

s'^^g

>|k

PARTE TERZA

Geometria piana elementare curvilinea

160. La geometria elementare si costituisce di tre
distinte parti o stati geometrici.

Primo : delle linee e segmenti. Secondo ; delle aree
e Fiaperfìci. Terzo; dei volami.

Ciascuno stato geometrico si forma di figure rettili-
nee e curvilinee.

La misura delle figure del primo stato è Vanità li-
nearej del secondo è Vanità qaadrata^ del terzo Vanità
cahiea.

Nei corsi scolastici di geometria elementare, esclu-
sione fatta del circolo, non si fa menzione delle figure
curvilinee, sebbene queste nelle loro applicazioni siano
di grande utilità.

Non intendiamo di scrivere un trattato sulla geome-
tria piana e solida curvilinea, che risulterebbe volumi-
noso quanto quello della rettilinea, ma ci limiteremo ad
esporre un riassunto sommario della sola geometria piana
curvilinea, tale però che dia un'idea adequata di questo
importante ramo della sccnza.

Questo nostro intendimento ci costringerà a seguire
un metodo di esposizione non troppo ordinato e prege-
vole nel senso didattico, e di ciò domandiamo scusa in
precedenza ai nostri lettori.

1^9

CAPITOLO L

Figure ipocratiche

161. Fino dairanno 430 avanti N. S. G. C, Ipocrate
di Chio per il primo dimostrò la misura dell'area di una
figura di contorno curvilineo col seguente teorema :

(Fig. 38') Sui tre lati del triangolo rettangolo iso-
scele abd come diametri, costruiti i semicircoli volti nello
stesso senso, se dal semicircolo aibd si tolgono i segmenti
circolari bai^ hdk resta il triangolo abd: se gli stessi
segmenti si tolgono d^^^i semicircoli bag^ bdh restano le
lunole aibg^ dkbh: quindi la somma delle aree delle lu-
noie aibg 4- dkbh = abd triangolo rettangolo isoscele.

162. Diremo ipocratiche tutto le figure provenienti
dal detto principio. In una lunola ipocratica chiameremo
cord2 la congiungente i punti estremi a, b della lunola.

<163. La corda ab riferita ai due archi formanti
la Imola aibg, è lato del quadrato iscritto nel circolo
al quale appartiene l'arco aib, e diametro nel circolo
dell'arco agb ; quindi arco aib = 90*", arco agb = ISO"*, e
arco aib : agb : : 90** : 180** : : 1 : 2, ossia, gli archi for-

marti la lunola ipocratica sono nel rapporto o.

130 .

164. L'area della lunola ipocratìca è ^ del quadrato

ingoio rettangolo isoscele,

e si abbassi alla corda
divide per mntfl tanto il
acb, che la limola aigb ;
scele aee = ioapg trian-
triang. rettang. isoscele
rome raggi, e con centri
' deserlcono gli archi ad
'.'altro cateto, H triangolo
ehi è equivalente al tnan-

ipocratìca

' di raggio ca si bisechi
abbassi al diametro ah la
si descriva il circolo; dal-
'pendicolare en, e col rag-
r intersezione q si abbassi
ey si descriva il circolo
! corde ah, Im, nr, ys .. . ,
descrivano i semicircoli,

Jk^

- ì3ì -

ne restano formate le lunole ipocratiche aibg, lemiy
nqre .... Indicando i circoli coi loro raggi, rapporto al
circolo ca la corda ah è lato del quadrato iscritto, e
rapporto al circolo el è lato del quadrato circoscritto ;
la corda Im è lato del quadrato iscritto al circolo ci e
lato del quadrato circoscritto al circolo cn e così di se-
guito : ma nel circolo il rapporto tra il quadrato iscritto

ed il circoscritto e g , quindi i circoli ca, e/, cn . . . sono

in serie duennesima decrescente, e perciò anche le aree delle
lunole e delle altre figure simili curvilinee e mistilinee ,
che gli archi e corde decrescenti formano incontrandosi fra
loro; avremo così le serie -^ circolo ca : ci : cn :
cy : .... settore aci : ice : ncq : ycr : . . • • : : segmento
circolare ahi : Ime : nrq : yst^ : .... : : triang. misti-
lineo ail : len : nqy : . . . . : : triang. mistilineo ile : enq
qyr :.«... : : settore irregolare cag : eli : cne : cyq :....:

triangolo isoscele eli : cne : cyq : .... : : ah : lu

nr : y$ :....:: anello circolare ca — ci : ci — cn
cn — cy : ....:: trapezio mistilineo alei : Inqe

111 1

167* Le potenze di ^ procedono come i suoi duen*^

nesimi^ Avremo perciò t

TT circolo ca : ci : cn : cy :....:: 1 : ci : ci :

ci : ... ci -if settore aci : Ice : ncq : ycr : . . : : 1 : Ice :

Ice* : Ice : . . . . Ice"" ecc. , ossia le serie decrescenti
delle potenze delle aree di tutte le figure suddette

— 132 —

3he possono formarsi combinando
posizione.

tte figure sono quadrabili quelle
ocratiche, e sono solo quadrabili
lei rapporto n della circonferenza
re.

segno = por indicarne l'equìva-
nadrabili, e del segno ^ per in-
due figure non quadrabili.

doci alla sopraesposta serie duon-

tla aihq = aeh = -j- , por la

1 '^'^* — I 1

lo -j- = nr», avremo lunola

iche esprimere in parti di raggio 1,

qyc triangolo ; ms.qyc ^Hc quin-

Hc ecc.

' le figure di quadratura appros-
\ ci <? ed — ci anello » circolo
. . settore aci *? lem ^ semicir-
. . ecc.

settore lee sf aleì trapezio misfi-
: ìo'lte semilunola, togliendo ordi-
le seconde quantità, trovasi set-

— 133 —

tore Ice — Iqc ^ trapezio mistilineo Ctleì — ialite semì-
lunola, ossia semisegmento circolare etlq <^ aoio'l trian-
golo mistilineo ecc.

170. Per il teorema di Pitagora si vede che il prin-
cipio dimostrato da Ipocrate si estende alle lunole costruite
sopra i lati di qualsiasi triangolo rettangolo.

(Fig. 40*) Sui tra lati del triang. rettang. aètì? descritti
i semicircoli volti nello st(3sso senso, togliendo successi-
vamente dal semicircolo maggiore e quindi dai due mi-
nori i segmenti circolari bai^ hdk risulta lunola
acbg -^^ bkdh = abd; però le lunole così formate non

1 1

avendo gli archi nel rapporto g né Tarea uguale ad 7 del

quadrato della rispettiva corda, non sono ipocratiche, né pos-
siamo in un modo diretto dividere il triangolo adb equiva-
lente alla loro somma, in due parti che siano rispettiva-
mente equivalenti a ciascuna lunola : ma poiché possiamo
quadrare le lunole ipocratiche costruite sopra i lati del
triangolo, potremo determinare il rapporto delle aree di
queste con quelle delle prime ; come dal seguente esempio:
(Fig. 41*) S'iscriva il triang. nttang. aèd, e sopra
i suoi cateti costruiti i semiquadrati ac'6, bc'^d si for-
mino le lunole ipocratiche aibg^ bkdh. Si traccino c^n
parallela ah^ cm pai allela alla bd nonché le bm^ bn ;
avremo triangolo anb = ach per avere la stessa base ed
altezza, e per la stessa ragione triang. bmd — bcd. Prego
dp T= mn si tracci la bp : triang. mbn = dbp per avere
ugual base ed altezza, ma i due semiquadrati sono equi-
valenti alle rispettive lunole, quindi lunola
(liòg ^ bkdh = anb -|- bmd = abp.

• f • t

- 134 —

Paragonando le lunole ipocratiche con quelle asbg^
a:idh che formano i sennicircoli descritti sui tre lati del
triangolo ahd^ abbiamo lunola {aibg+bkdh)-{a$bg+bzdh)=
= abp — abd = dbp = aibs — bzdk,

Coll'avvicinarsi dei lati ba, bd a quelli del triangolo
rettang. isoscele iscritto nello stesso semicircolo, dimi-
nuisce la detta differenza, la quale diviene nulla quando
lato ba = bd^ ed allora soltanto le lunole formate sui
tre lati sono ipocratiche.

171. Possiamo delerminare graficamente il rapporto di
quadratura che possa fra le aree delle lunole ipocratiche costruite
sui tre lati di un triangolo, ed in genere di qualsiasi figura ret"
tilinea.

Infatti (Fig. 41*) Sui lati a/), aè, bp di un triangolo
abp come corde si costruiscano le lunole ipocratiche
l, l\ f\ e dal mezzo p" della base ap del triangolo si
tracci la parallela p'b' ad uno dei suoi lati. Avremo

evidentemente ap' : aV : Vp' : : / : /' : V' : : ap : ab :bp .

1 72. li rapporto che passa fra i quadrati dei lati e dei seg-
menti costituenti una figura, passa anche fra le aree delle lunole
ipocratiche costruite sugli stessi lati e segmenti come corde.

Infatti, se e, c\ e", sono lati o segmenti di una
figura assunti come corde di altrettante lunole ipocra-
tiche /, l\ V\ avremo come sopra

^, :/', :r, ::| : |^* : |^' : : 3* : ?* : 7'^

Consegue che sono infinite le figure ipocratiche qus^-
drabili.

— las-
ci limitiamo a darne alcuni esempì non volendo
eccedere i limiti propostici,

o) (Fig. 38") Se nel triang. rettang. isoscele abd
h l'ipotenusa ad = 2, l'area della lunola della quale è

2* _, , _,

corda sarà r — ^* "f^^ ^<^ = ab -{-bd, quindi anche la

2«
ba, bd (

perciò l'area della figura curvilinea

aedhbg = 1 -j- 1 — 2. = ab', ossia quadrato iscritto nel

circolo di raggio ca =: 1.

6) (Fig. 41') Se nel triang. rettang. abd e ipote-
nusa ad = 2. sarà anche lunola aedbs -j- «'^^ + bkdh= 2.
L'area a della figura curvilinea aedhbg sarà di conse-
guenza 2 — lunola acbs -\- lunola b:-dk\ ma al (169) di-
mostrammo che lunola aìbs — b::dk = dbp, quindi area
della figura curvilinea a ^ 2 — dbp.

e) (Fig. 42') Nel triangolo ottusangolo abd si
voglia co.struire una lunola ipocratica che sia somma
di quelle costruite sui lati ab, bd de! triangolo. Fatto
ep = eb mediana, avremo (79) che ab -\- bd ^ ap -\- pd .
Sulla perpendicolare in p alla ad -si prenda pò = pd,
risulta ao ~ ap -\- pò = ab -\~ bd , e dividendo per 4
sarà lunola (ao = l) ^^ (ah ^ T -\- bd ^ /").

d) (Fig, 43') I triangoli aeb, qob abbiano uguali
proiezioni dei lati, sia cioè pa ^ pq e bp comune. Sulle
corde oq, ca, ap si costruiscano le lunole ipocratiche,
sull'arco oo'q si faccia corda o'q* parallela alla oq ed
uguale al lato ob; sull'arco cma si faccia corda em
parallela alla ae ed uguale al lato cb\ sull'arco pha
si faccia corda hi parallela alla ap ed uguale a pb ,
sulle corde o'q\ em, ih si costruiscano le lunole ipocra-

— 136 —

jio cb oentro e sì descriva Varco, e per a
la tangente at, si faccia tìr = -n • Dalle
ali triangolari abbiano
' _ o'q' ) — (ac — cb' ~ ac ~ em ) = Ut*'-,
■e di contorni curvilinei e di aree x,8 co-
ifferenza delle lunole ipocratiche costruite
angoli gob, acb, nonché tutte quelle che
truire sopra due concorrenti ad, bd in un
uè d della perpendicolare pò all'infinito
equivalenti e ciascuna di esse equivalente
i di area z fra le lunole ipocratiche le
3er corda le proiezioni comuni pa, pb.

ai* _,
anche area x = s~-z^-^ = ar > come

>b X 09 ~ ob va ~{- cb X ea — eÒ _

~~4 ^ 4 ~

, — I
ap — pb at — ^

ircolo e di raggio 1 {Fig. 44'*) sia iscritto un
iti essendo re > 4. Sopra ciascun lato come
uisca la lunola ipocratica b', ed Ìl trian-
o isoscele ahb, ne reste? à formata una
unt ■ cinta da corona di n lunole fra loro
somma dell'area della stella a con quella
oli ahb, costituisce (|uella del poligono di
Ile le aree delle n lunole sono equivalenti
'. n triangoli ahb, quindi l'area della figura
lata dalla stella a e dalla corona delle lu-
ale a quella del poligono iscritto di n lati,
accade se ìl poligono iscritto è irregolare,
più dei suoi lati non sia maggiore di quello
scritto,

- 137

CAPITOLO IL

Figure isoscelìche

173. (Fig. 45') Due circoli di ugual raggio ca, c'a'
siano fra loro secanti : con la metà ob della corda comune
db si descriva la semicirconferenza bed ; da uno degli estre-
mi b della corda comune ai due circoli si tracci ad ar-
bitrio altra corda bn pure ad essi comune.

Le corde come bn^ tracciate nei due circoli secanti,
per uno degli estremi b della corda comune bd alle loro
intersezioni, tagliano sulle due circonferenze, a partire dal-
l'altro estremo d della corda comune archi uguali: ossia

arco ds^n = dsa.

Infatti, Tangolo dbn è simultaneamente iscritto nei
due circoli fra loro uguali e perciò intercetta sulle loro
circonferenze archi uguali, ossia arco da = dn.

11 triangolo a'dn è isoscele e Tarco dhb è retto
come iscritto nella semicirconferenza deb^ e poiché ciò
si ripete per qualunque diversa inclinazione della corda
ònj consegue che la circonferenza di raggio od è luogo
geometrico dei piedi delle altezze di una serie infinita
di triangoli isosceli i quali come quello a'dn, hanno il
vertice sopra un estremo d e la base concorrente all'altro
estremo b della corda db comune ai due circoli secanti
nei loro punti d'intersezione,

I segmenti circolari come a'ds^ nds' sono uguali,
perchè per il già detto hanno archi e corde uguali.

— 138 —

triangolo mistilineo a'd^n, se dal-
ie i] stigmento circolare nds' resta
vece si toglie Ìl segmento uguale
D di Iati curvilinei a'sds'n; quindi
olo mistilineo è guàdrabile ed uguale
rettilineo a'dn.
guai modo che triangolo mistilineo

Vi. perchè in circonferenze uguali
iO ang. iscritto s'bn; perciò segmento
Considerando l' intera figura as^'r'n,
ito circolare a'sr resta il quadrila-
n ; se si toglie il segmento uguale
itero rettilineo à'^s'n, quindi l'area
quella del mistilineo il quale perciò

roprietà i triangoli curmlinei conte
considerarsi come triangoli isosceli
quadrilateri mistilinei come a'rss'r'n
'(' di triangoli isosceli di lati cur-

gure piane di contorno rettilineo,
eo, le quali, in virtù di prìncipii
osto hanno area quadrabile, le di-

)pia isoscelica quella formata da due
te, curve regolari o no, ovvero miste,
I uguali, giacenti sul piano e con la
I stesso senso ancorché siano in-
come (Fig. 45*) archi dsa\ ds'n
(Fig. 46*) come le coppie di linee ■

abd, ab'd* (a, r, c, d, f, v
dalle due parti uguali al
cui-vatura dbah'd'.

b) Una linea Ìsola
dicendola tale, dove cons
una coppia isoscelica coi
rapporto ad osau di^po.sti

e) Diciamo cordo
(Fig. 52*) la retta ad c\

d) Per brevità es
seelieo o isoscelicn, col :

Ango

175. Due linee di ur
un loro estremo formane
sono i lati, e vertice è il
golo A. sarà retto, acuto,
che tale h quello delle et
mano.

176. L'angolo ìsoscelk
formato dalle corde del su
mente esso ha per misura
compreso fra i suoi lati Isi

Infatti (Fig. 47'a), sii
e con raggi arbitrari! ah,
he ; dai punti b, e si abh
pendicolari bq, en. Per \\
abd, aef e per essere ipo
golo rettang. bqa = ena i

f .*

- i4l -

gli angoli rettilinei delle corde dei loro lati /^ sono fra
loro perpendicolari o parallele.

5) Quando gli angoli rettilinei delle corde di due
angoli A^ sono fra loro complementari, supplementari,
esplementari , anche i corrispondenti angoli A^ diremo
complementari^ supplementari ed esplementari.

6) L'angolo ^ è costruibile graficamente o no (astra-
TJone fatta dalla costruitone dei suoi lati curvilinei) se co-
struibile no è Y angolo jormato dalle corde dei suoi lati /y^ ;
e un angolo /^ diremo costruibile o non costruibile determina-
bile no, secondo che tale sia Vangolo formato dalle corde
dei suoi lati A.-

178. Un angolo /v può sempre bisecarsi e perciò de-
comporsi nei suoi duennesimi.

Infatti (Fig. 47* b), la bisettrice ap dell'angolo delle
corde oda sia uguale ad una di esse ; costruita la curva
aop sulla pa come corda ed uguale ad uno dei lati A^ CLfnb^
risulta angolo A. bmaop = /y^ poand = pad = pab, ossia
la curva aop è bisettrice A. delKang. K bmand. Con raggio
arbitrario dal vertice come centro descritto l'arco ss'
esso taglierà le curve nei punti s, s\ s" equidistanti dal
vertice d, e per il già dimostrato avremo costantemente
arco ss"' = s's'\

Bisecando nel detto modo per n volte successive,
Tang. K bmand si forma la serie dei suoi duennesimi Aw.

179. Un angolo A^ può trisecarsi e decomporsi nelle sue
parti 3"^ e 3- X 2' .

Infatti, come è detto al (151) si trisechi l'angolo delle
corde dei lati di quello dato A., e fatta la trisettrice uguale

— 142 —

ad una delle corde dei Iati, si costruisca su di essa la linea
A. uguale al lato. Trisecando n volte l'ang. A. dato, e bi-
secando n volte una dello parti ottenute, si formano gli
angoli A. che sono 3" o ,T X 2" di quello dato.

180. Un angolo A^ a costruibile, ovvero sé ang. a non

è costruibile ma - determinabile, può graficamente dividersi
per /). e conseguentemente anche in p.2'' e />.3° parti uguali.

Infatti, come al (156) diviso per p l'angolo delle
corde dei lati dell'ang. Aw <^i se esso è costruibile ovvero

che - sia determinabile, si faccia la linea psettriee uguale

ad una delle corde dei lati dell'ang, a^ a, e si costruisca
su di essa la linea Aw uguale ad uno dei detti lati. Ciò

posto, bisecando o trisecando l'angolo ottenuto -, ne ri-
caveremo quelli che sono p.2'' ovvero p.S^ del dato an-
golo Aw ^•

Se l'angolo a non è determinabile si opera su di
esso con metodi di approssimazione, come si e detto al
(157).

181. Devo farsi bone attenzione che l'uguaglianza
fra due o più angoli Aw 6 del tutto indipendente dalla
forma ed uguaglianza dei rispettivi lati A^, ma solo dipen-
dente dalla uguale apeilura dei lati A. stessi. Ad esempio
(Fig. 48'') sui lati uguali ad, ab di un angolo rettilineo
bad, come cordo, si costruiscano con la curvatura volta
nello stesso senso quantevogliansi coppie isosceliclie aeè,
ac'd » amò, ani'd » a'^b, ao'd .... siano esse formate da
ÌL^ linee spezzate curve o miste, purché perfettamente uguali

-143 -

àae a due tanto prese in sé stesse quanto in referenze alìe
rette ad^ ab ; siccome le corde arf, ab comuni alle
dette coppie formano Tangolo dab^ così le varie isosce-
liche formano gli angoli Aw bcac'dj bmam'd, boao'd. . . .
Quali angoli sono fra loro isoscelicamente uguali perchè
tutti misurati dallo stesso angolo rettilineo bad delle
corde comuni.

Dato un gruppo di angoli A^ come in (Fig. 48') :

1. Dal vertice comune a e con raggio arbitrario af
descritta la circonferenza questa interseca i lati A^ in punti
che diremo omologhi.

2. Per la natura stessa degli angoli A. avremo arco
e cprda ff = ee' = mrri* = oo' = . . . .

3. L'ang. rettilineo bad delle corde comuni diremo
fondamentale del gruppo angolare.

4. Un gruppo può costituirsi di un numero illi-
mitato di angoli A^.

5. Gli angoli di un gruppo angolare /^ sono costrui-
bili o no, determinabili o no secondo che tale sia r angolo
fondamentale bad.

6. Possiamo bisecare^ trisecare e dividere per p
due o più angoli del gruppo nei modi e condizioni indi-
cate^ ed operare tra i valori degli stessi angoli come si
è detto per quelli rettilinei^ e la parte ennesima di uno
degli angoli risulta equivalente a quella di altro angolo
del gruppo.

182. (Fig. 49*) Due linee isosceliche bma^ andj
inversamente disposte, s' incontrino per un loro estremo,
l'angolo che esse formano diremo isoscelico rovescio^ for-
mato cioè da una coppia d' isosceliche inverse.

•^

'fi

'■4

- 144 -

183. L'angolo K rovescio è isoscelteamente uguale a quello
yv dritto costruito sui iati dell'angolo rettilineo delle sue corde.

Infatti, sia ang. A. bmand e bad angolo delle corde.
Con raggio arbitrario descritto dal vertice Tarco bd e
tracciate le corde ba^ da^ per essere linea A, amb = and^
risulta figura mistilinea abm = adn.

Ponendo la prima nel posto della seconda, Tang. K
rovascio si trasforma nel rettilineo bad^ ma questo è mi-
sura deirang. K dritto che ha per lati uno di quelli del-
Tang. A. rovescio, quindi ecc. :

a) Quanto si è detto per gli angoli A,, si applica
agli ang. A^ rovesci.

b) Un gruppo angolare A. nel quale entrano angoli
rovesci^ dicesi misto.

184. Se due o più linee A. hanno le corde scambie-
volmente parallele, divergenti, convergenti, perpendicolari,
oblique ecc., anche le linee Aw diremo tali.

Poligoni isosceilci

185. Se le corde di due o più coppie A. si congiun-
gono Tuna coll'altra per i loro estremi con qualunque
ordine di successione in modo da racchiudere un' area
formando un poligono rettilineo, le rispettive linee A.?
siano anche inversamente disposte, racchiudono pure una
area formando un poligono isoscelico dello stesso numero
di lati di quello rettilineo. (Fig. 50') I poligoni p, q, r
sono isoscelici.

186. Un poligono isoscelico e sempre pari di lati.

Infatti esso si forma di n coppie isosceliche ciascuna,

- Uh -

ài due lati, e però il poligono risulta costituito di 2n
lati A^.

a) Un poligono isoseelico dispari di lati è tale
solo in apparenza.

Infatti (m, o) nei triangoli mhn, m'hn' se le rispettive
basi rettilinee si considerano come formate da una sola
retta, non sono isoscelici, ma se ciascuna delle basi si
divide per metà in />, ciascuna di esse può essere consi-
derata come un angolo piatto A. di vertice />, del quale
i segmenti /)m=/>n, p'm'=p'n sono nel tempo stesso lati e
corde, allora i poligoni m, o si trasformano in isoscelici,
ma sempre di un numero pari di lati, avremo cioè (m)
triangolo mistilineo maha'n =pmaha'n quadrilatero A,.

b) Il lato dispari potrebbe essere curvilineo, allora
quando tale lato è divisibile in due parti tra loro uguali
ed isosceli camente disposte si cangia in polig. A^ pari di
lati ; così (Fig. 50* n) nel pentagono curvilineo formato
da due coppie isosceliche e dal lato curvilineo amfne sia
questo tale da essere diviso in / in due parti fma^ fne
formanti coppia Aw ; il poligono si trasforma nell'esa-
gono Aw di vertici a,/, e, ^,.0, h.

Per brevità diremo isoscelici anche i poligoni appa-
rentemente tali di un numero n dispari di lati, i quali
possono ridursi nel detto modo in poligono A^ di /i-|-l lati.

187. Nomineremo un poligono isoseelico secondo il nu-
mero apparente dei suoi lati.

a) Gli angoli perimetrali interni del polig. K pos-
sono essere isoscelici no.

b) Il polig. K può costituirsi di lati appartenenti a
coppie Aw dirette o inverse.

? iserlttiblle o ho, dicesi
poligono rettilineo delle

ìgolare o irregolare. Esso
no rettilineo delle corde
i sia la forma dei lati iso-

dalte eorde diconsi anche
? isosee/ico.

composto. Dicesi com-
due o più polig. /\^ com-
sola figura.

L loro uguali se hanno lati
iisposle.

toscelICD è equivalente a
elle corde.

idrilatero /v. hedmnz sia
l z= bnh', avremo anche
e figura kde = bh'n. Po-
sto dei suo uguale hbs e
la uguale Wi'n, il poli-
latero rettilineo hbh'd, e
— /lò X h'p.
ra l'equivalenza di altro
elle corde qualunque sia

ali Isoscelicl

ineo abcdef sia pari di
pari di essi ; detti lati

— 147 -^

siano due a due fra loro uguali comunque ordinati nel
perimetro.

Sopra ciascuna delle m coppie di lati uguali come
corde, si costruiscano quante vogliansi coppie di linee
isosceliche direttamente o inversamente disposte, ne ri-
sulteranno formati altrettanti poligoni isoscelici che hanno
comune il poligono rettilineo abedef delle corde. L' in-
sieme di tali poligoni /y^ costituisce un grappo poligonale
isoseelico^ del quale il poligono rettilineo delle corde diremo
fondamentale.

1. // gruppo /v^ si dirà quadrilatero esagonale, ot-
tagonale . ... se il suo poligono fondamentale è un qua-
drilatero^ un esagono ecc.

2. I poligoni K di un gruppo Aw sono infiniti.

3. / polig. K di un gruppo sono iscrittibili non
iscrittibili regolari o no ecc. secondochè tale è il poli-
gono fondamentale.

4. Per il precedente teorema l'area di ciascun
poligono Aw di un gruppo è equivalente a quella del suo
poligono fondamentale, e conseguentemente le aree di
due poligoni qualunque del gruppo sono fra loro equi-
velenti.

5. Fra due o pia poligoni di un gruppo possono
scambiarsi le coppie isosceliche variando in molti
modi la forma dei poligoni stessi, ossia formandone
altri polig. A. del medesimo gruppo. Ad esempio (Fig. 51'')
dei polig. A^ xmnx'nm\ orzo*z'r\ scambiando le isosce-
liche ambj fme del primo con quelle arb, fr'e del secondo,
tutti aventi la stessa corda ab = fé, ne resteranno for-
mati due altri poligoni A^ xrnx*n'r\ omzo'z'm, i quali
appartengono allo stesso gruppo A^, sono equivalenti Tuno
all'altro e ad uno qualunque degli altri poligoni del gruppo

— ,-.

-- 148 —

)R(1 hanno per comune misura l'area del poligono fonda-
mentale del gruppo stesso.

190. Due o più gruppi poligolani /y^ si dicono equi-
valenti se sono tali le aree dei rispettivi polig. fonda-
mentali ; ad esempio in due poHg. rettilinei di n lati dei
quali ogni lato dell'uno è uguale ad uno di quelli dell'altro,
sebbene diversamente ordinati, e sono anche iscrittibili
nello stesso circolo, le loro aree sono equivalenti , assu-
mendo questi poligoni come fondamentali di due gruppi
/V^ questi sono tra loro equivalenti.

In ugual modo un triangolo di altezza h è equiva-
le

lente al rettangolo della stessa base e di altezza g, e que-
sto equivalente a tutti i parallelogrammi che hanno la
sua base ed altezza; quindi i gruppi /^ che hanno per
polig. fondamentale il triangolo o il rettangolo equiva-
lente o uno dei parallelogrammi equivalenti a questo
sono equivalenti.

Consegue che nelle operazioni possono sostituirsi le
une alle altre le figure appartenenti a gruppi equivalenti,
facoltà che permette di variare all' infinito la forma di
una data figura senza alterarne il valore.

191. / lati isoscelici di un poligono possono essere
archi di una data curva geometrica e allora il poli-
gono prende nome da questa curva ^ossis, diremo cir-
colare, elissoidale parabolico^ iperbolico cassinoidale ecc.,
un poligono Aw che si forma di archi di circolo o di una
ellisse, della parabola, della iperbola, della cassinoide... ecc.

Se si considera che tutti i poligoni isoscelici sono
quadrabili e possono assumersi come basi di altrettante
figure solide, si vedrà l' importanza che hanno le figure
isosceliche nella pratica.

193. Quadrìtaterl Isotcc

Il quadrilatero isoscelic
consegue che in genere Ìl
un parallelogramma o un
triangoli isosceli di ugual bi
base, e perciò qualunque
quadriletero A. quello corr
il quadrato o il rettangole
losanga o il romboide (Fi|

Consegue che nel qua^
cui il quadrilatero delle o
seelici opposti sono paralh
per metà.

a) Il quadrilatero i
trante, allora la sua area
isosceli. Così (Fig. 50', m)
rnsos'a abbiano comune
isoscelici. Poiché triang.
msos'n = mon sarà evidente
=■ mhn — mon = hmon qui
rientrante.

b) Nel quadril. A. (
bero confondersi nel loro
apparentemente continua,
cangia per la sua apparen

Trìangol

193. Ripetiamo che i
quadrilateri K. Così (Fig.

-5»^

— 151 —

Così (Fig, 54*) nel triangolo curvilineo bhas'or^ sia
ambh lunola ipocratica, e sia arco br'o = brm ed arco
a:o'o = azni^ e perciò il triangolo bmazor' isoscelico,
tanto questo triangolo quanto ' la lunola ipocratica
sono quadrabili, qumdi é quadrabile anche il triangolo
bhaz'or* costituito dalla loro somma. Tale triangolo è
isoipocratieo per somma.

Sia budh' lunola ipocratica, e sia arco dse == dsh\
arco bne=bnli quindi il triangolo dh'bnesb isoscelico :
tanto questo triangolo quanto la lunola sono quadrabili,
è perciò quiadrabile anche il triangolo dubnes che si
forma della loro differenza. 11 triang. dubnes ò isolpo-
cratieo per differenza. Sia per ipotesi arco or'b = 90"*,
sulla sua corda ob come diametro descritto il semicircolo
oqb risulterà or'bq lunola ipocratica, ed avreiTiO triangolo
curvil. oqbhaz' = triang. A. bhaz'or* — or'bq lunola ; ma
queste due figure sono quadrabili e perciò è tale anche
il triangolo oqbhaz' il quale ^> isoipocratico per dlf-
ferenza.

197. Un iriangoio sferico dicesi iscritto o iscritti^
bile quando è tale il suo quadrilatero rettilineo delle
corde.

198. Sarà facile dimostrare i seguenti teoremi :

a) Fra i triangoli sferici sono iscrittibìli quelli
dei quali il quadrilatero delle corde è un rettangolo.

b) / triangoli sferici iscrittibili nello stesso circolo
o in circoli uguali sono isoperimetri.

e) Fra i triangoli sferici iscrittibili nello stesso
circolo in circoli eguali, quello di area maggiore ha

- 153 —

200. L'area lU un triangolo sferico ed in gene
figura isoscelica può decomporsi in parli proporzioi

(Fig. 56') L'area del triangolo sferico ahdì^i
tic! a, d, e voglia dividersi in tre parti che stìani
come m i n : z.

Sia aedb quadrilatero delle corde del tri
Si divida la corda de in modo che segmento
qc : ; m : n '. S.

Per i punti p. q si traccino lo parallele
ad incontrare in n, r Ìl lato maggiore del trii
Si tirino le corde br, rn, nn, ds, sm, me, e sui
mn, sr come corde e con lo stesso raggio Ai
triang. sf., si descrivano gli archi ncm, rxs.

Per l'uguaglianza dei segmenti curvilinei
risulta sp = rh » mq = m\ ossia rs = hp = ig =

I parallelogrammi kpdh, ùjph, aeqì avendo
altezza stanno fra loro come le rispettive basi,
hpdb : iqph : aeqi : : dp : pq : qe : : m i n :

Ma per avere ugual base ed altezza il ]
gramma hpdb — rsdb = triang. sf. sxrbd : parai
ma £(//}/i— n/nsr=quadril. A. nvmsxr; e fìnaimcnt
logramma aeqi = aemn — quadrilatero/^ aoemor
sxrbd : ncmsxr : aoemvn : : m : n : s; ma ciasc
parti in cui si è decomposto il triang. sf. pi
camente trasformarsi in altra figura isoscclici
Ionie la quale sia in ugual rapporto con un
isoscelica equivalente al triangolo sierico, quii

201. (Fig. 57' a) (n un trìangoio sferico fbazoz
circolari che lo formano prolungati s' incontrano in u

— 154 —

Il quale è sulla perpendicolare abbassata dal vertice e del trìan-
gtle sf. alla corda af del suo lato arco maggiore abf.

'"'■""■ ~' — I e, e', e" i centri dei oircoli di ugual
ippartengono gli archi formanti il trian-
centri e, e', e" si prolunghino i lati Gir-
anti e\ e" hanno ea por corda comune
lei centri è ad essa perpendicolare e la
il quadrilatero c'cc^s è una losanga. I
ugual raggio e, e' hanno la as come
la linea ce' dei centri cade perpondico-
età ; quindi tracciate le cs, ea, il trian-
isoscele e perciò cs = ea raggio, ossia
giore fha prolungato passa per il punto
del prolungamento degli archi minori
triang. sf.

la se ad incontrare in 6 l'arco abf, e
, ae. Nei circoli secanti di ugual rag-
3 comuni sa, se formano l'angolo asb
tamente nei due circoli ed avremo arco
, ossia triang. eab isoscele (172). SÌ ab-
licolare alla eh ad incontrare in /' la cir-
traccino le fh, fé ; risulta triang. efb
quadrilatero aefb b un romboide, ed
dei dato triang. sf Ìl !'omboÌde aefb
■o delle corde, e perciò la sh è perpcndi-
irda del lato circolare maggiore abf del
co.

le por tutti i triiuigoli sferici aventi per
irco abf il luogo geometrico del punto
comune al prolungamento dei loro lati
'.o a's/" inverso ed uguale a qu^-llo abf.

— 155 —

202. // punto d' ìnferse^ione comune s al
mento dei ire lati circolari dì un triangolo Sj
damo suo nodo sFerìco.

203. Una direzione dal nodo di un trian^
die incontra i suoi lati, determina su questi e
lungamenti archi uguali, compresi tra la direzione
pendicolare abbassata dal nodo sferico alla cord
arco maggiore de) triangolo sf. ovvero la stessa
e quella che unisce il nodo sf. con l'estremo com
dei detti lati.

Infatti (Fig. 57 a), sia la radiante sa che
in r, a i lati o loro prolungamenti del triang. sf.
poiché i circoli e, e', e" hanno uguale raggio,
asb iscritto simultaneamente nei tre circoli
sulle loro circonferenze archi uguali, avremo
e corda me = esa = amb. Sia qualunque a
zione sm, per l'angolo msb iscritto nei tre circe
avremo ugualmente arco e corda ne = es = n
l'angolo asm sarà arco rn = as = am.

(Fig. 57' b) a) Quando la distanza e.s- tra

e del triangolo ed il nodo sf. è uguale alla

he
del lato circolare aze avremo ang. hsb = -^

sono tre i segmenti uguali se ^ ea ^= ab portai
lice con i loro estremi dall'uno all'altro lato d
hsb, e sappiamo dal principio generale sul qua!
la costruzione degli angoli (26), che allora ang. h

ossia hsh =^ — q-.

— 156 —

g. 57' e) Le figure che le varie direzioni dal
s formano con gli archi che intercettano sui
i del triangolo sferico e loro prolungamenti,
oscftliche, ossia di area quadrabile. Avremo
itero A. bmr'r" « bma'e » base. ... e triang. /^
. . . tutti quadrabili ecc.

g. 57* e) Col raggio ca del triang. sf, e cen-
sf. s si descriva la circonferenza che diremo
irto al triang. sf.

Isiasi punto o, o*, d, d\ della circonferenza
centro e con lo stesso raggio del triang. sf.
3Ìrconferenze, gli archi di queste intersecati
ni tracciate dal nodo sferico ad incontrare il
ano fra loro uguali : avremo cioè arco e
r' ^ cp = aa' = .... ex — s'è = rV" = r"c
s'è =^ cccp =^ amò . . ecc.
'me si è detto al precedente, le fifjure for-'
3 archi qualunque, con le radianti dal nodo
iudono, sono tutte di area quadrabile.
-.entri e, e', e" dei lati circolari del trian-
fbaa'e sono sulla cÌrconferen:;a sferica,
vertici a, e, f del triangolo sferico sono centri
olari di un secondo triangolo sferico di ver-
uguale al primo ed immersamente disposto,
due triangoli sferici, dei quali i vertici det-
entri degli archi eostitaenti t lati dell'altro,
ugati.

nodo sferico s del triangolo sferico di oertici
jhe' coniugato col nodo sferico s' del trian-
di vertici e, e', e".

- isV -

6. U uguaglianza e simmetrica disposizione di due
o pia triangoli sferici tra loro coniugati genera tante
combinazioni isosceliche, le quali non ci è permesso svol-
gere in questo lavoro.

7. Non deve confóndersi il triangolo sferico iso-
scelico, che è figura quadratile, con quello detto sferico
perchè delineato sulla superfice della sfera, del quale
trattano la geometria e la trigonometria,

206. La maggior parte delle proprietà dei triangoli
sferici A. si estendono ai triangoli Aw formati con archi di
curve geometriche diverse dal circolo.

Le curve geometriche si distinguono in chiuse come
V ellisse^ la cassinoide, la cicloide ecc., ovvero aperte qutàli
la parabola j V iperbola ecc.

a) Nelle curve regolari chiuse e simmetriche alle
(due loro assi coordinate, sono iscrittibili tanto i paralle»
grammi quanto i romboidi, e perciò tutte le figure iso-
sceliche dei quali sono quadrilateri delle corde. In questo,
tali curve sono superiori al circolo nel quale s* iscrivono
i soli rettangoli.

Nelle curve geometriche aperte s' iscrivono i soli tra-
pezi, talché una figura isoscelica semplice non può avere
che tre soli dei suoi vertici sopra una di queste curve.

207. Come nei triangoli sferici, se due o pia trian-
goli Aw costruiti con archi di una data curva geometrica
hanno uguale l'arco maggiore essi sono isoperimetri ed
equivalenti.

208. Iscrivendo in totalità o per tre vertici un qua-
drilatero K o triangolo apparente isoscelico in una curva
geometrica degli archi della quale si compongono i lati del
triangolo A., non solo si ottiene la misura di un frammento

3 —

a, ma tale frammento può
proporzionali, o in figure \
in un dato rapporto. Ad

Ig sia parte dì ellisse, di
scriva in essa per tre vertici
;hi dm'e ~ aiCe = bnd = bma.
ambndm'en' = ahde. Sulle
Ti* diano corda nb = nd,
costruisca su di essa curva

V rCsnbma = em'dnsri' qua-
pste figure è metà del trìan-
t mistilineo bman'e=bndm'c
3 A. ambndm'en' ; quindi
i da ambo le parti bsn, resta
= sndm'e, da cui si deduce

cieliche conduce talvolta col
mata con archi di una data
inazione di alcune proprietà
essere stabilite mediante il
ilicate e difficili operazioni.

mnr'sr, della quale è noto
renza rettificata 2itr, e la
lircolo generatore 2r. Si co-
; moso'nr'sr del quale l'area
<a8 = 2nrx2r= 4»r';e
; ossia Varea del irian-
di quella del circolo gè-

— 159 —

a) Consegue che, Data la possibilità di costruire
una cicloide rigorosamente esatta^ il problema della qua-
dratura del circolo sarebbbe risoluto^ ardendosi infatti

msnz
^ = — T — — mas.

b) Dimostra la geometria analitica che Tarea h
delia cicloide è il triplo di quella del circolo generatore,
ossia H = 3./nas, quindi triangolo mistilineo di lati ci-
cloidali concavi mozo'n = mas = ^ ecc.

Ma non vogliamo uscire dai limiti della geometria
elementare più di quel tanto che ci è rigorosamente im-
posto dalla necessità di far valere l'importanza della geo-
metria piana curvilinea ; anzi, incalzati dalla abbondanza
della materia, abbandoniamo ì teoremi che riguardano
i poligoni A. in genere, e ci limitiamo a svolgere solo
alcuni caratteri e proprietà dei poligoni /y^ regolari di lati
circolari.

210. Poligoni regolari A. di lati circolari.

In genere si classificano fra i regolari tutti quei
poligoni isoscelici dei quali il poligono delle corde è re-
golare, qualunque sia la forma e disposizione successiva
dei lati deir isoscclico (187.c/), e però la varietà dei poli-
goni regolari isoscelici è grandissima.

I poligoni regolari isoscelici, dei quali i lati K sono
archi di circolo, diconsi circolari; tra questi si distin-
guono quelli dei quali gli archi che ne formano i lati
sono descritti con lo stesso raggio del circolo circoscrit-
tibile al poligono A^.

Per essere brevi, parleremo di questa sola specei
trascurando tutte le altre.

— i60 —
jressione per K indica uh polìgono circolare
ìlico.

lineremo un p.i),r A. secondo il numero dei
no regolare rettilìneo formato dalle corde
5 gli archi circolari costituenti ìa metà di
a f\^ del primo. Così {Fig. 60*), diremo otta-
ìguroi A, B, e, sebbene essi siano quadrila-
li ciascun lato /\^ si forma della coppia di
'uno saliente e l'altro rientrante.
ro e raggio del por A. sono quelli stessi e,
ad esso circoscritto.

por f^ il raggio si dice isoseelico quando è
imo di uno dei lati costituenti una coppia A
3I poligono. Cosi (Fig. 60' a) ca, eh sono

iegue che i raggi A. di un por /\^ sono tanti
aie isosceliche che ne formano il perimetro
ggio f^ può essere anche curvilineo mistilìneo.

nh ^= cn"f = cn"d, inquantochè possiamo
rre che la cna, girando intorno al suo
1 l'altro estremo a descriva la circonfe-

irA.è anche circoscrittibile; raggio del cir-
critto è la cs congiungente il punto medio s
irchi rientranti perimetrali del poligono col

<otema del por A. è quello stesso cp del
ineo costituito dalle corde del suoi semi-

rimetro di un por A à uguale aila circonferenza
:ritta.

-lèi -

Infatti (Fig. 60* a, b, c) detto perimetro sì forma
degli n archi uguali nei quali la circonferenza ad esso
circoscritta resta divisa dai vertici del poligono rettilineo
regolare iscritto, il quale dà nome a quello isoscelico.
Consegue che :

a) Sé n è numero del lati A. del por A^, il valore

360^

circolare di un suo lato è ,

. n

b) I poligoni e r K dello stesso raggio e numero di lati
sono isoperimetrì.

211. L'area di un por A. din coppie Isosceliehe è equi-
valente a quella del poligono regolare di 2n lati rettilinei
dal quale prende nome.

Infatti (Fig. 60* a, b, c) il perimetro di un por Aw di n
lati A^ si forma di 2n archi circolari fra loro uguali, dei
quali metà sono salienti e metà rientranti ; di questi archi
sono corde i 2n lati del poligono regolare rettilineo che
dà nome a quello isoscelico ; ciascun arco con la rispet-
tiva corda, forma uh segmento circolare, ed insieme 2n
segmenti circolari fra loro uguali, dei quali metà salienti
e metà rientranti.

Nella formazióne del pop A», gli n segmenti circolari
salienti sono in aumento dell'area del poligono regolare
rettilineo di 2n lati, mentre gli n segmenti circolari rien-
tranti sono in diminuzione dell'area stessa ; e poiché la
somma delle aree dei segmenti salienti è uguale a quella
dei rientranti, togliendo dalla figura isoscelica i primi e
ponendoli nel posto dei secondi, il por A. si trasforma nel
poligono rettilineo dal quale prende nome.

Consegue che due o più p e r A di ugual raggio e nu-
mero di lati sono equioalenti.

- 162 —

lo, dato un poligono regolare iscritto
duennesima cr&scente dei poligoni di
di lati, anche la serie duennesima
e al poligono iniziale di n Iati, sì
livalenti rispettivamente ai termini
: duennesima del poligono rettilineo

"ie di fcr K iscrìtti nello stesso cir-
lali, dei quali i lati procedono in
termine più, acansato nella serie ha

ì duennesima è infinita, e l'area di
"ie duennesima può approssimarsi
calore " dell'area del circolo circo-
iza poterlo mai raggiungere ; quindi
rie f^.
t nel circolo dì raggio 1 è espresso
curvilineo dal semiperimetro di un
'la serie o della semicìrconferensa^
ito dall'area del circolo.

di raggio 1, data una serie duennesima
ritla e la corrispondente serie duen-
ea dello stesso termine rettilineo o ìso-
ita in valor lineare dal semiperimetro
I che precede nella serie quello con-

) nel circolo di raggio ed =: 1, sia
regolare iscrìtto di n lati. Si bisechi
lato del poligono di 2n lati. Si co-
ro A. cbmdna, esso Ò equivalente al

— 163 —

quadrilatero rettilineo cbda^ e poiché iloprA.è pari di
lati, esso si costituisce di n quadrilateri isoscelici, ed è
equivalente ad /i X chda^ ossìa all'area del poligono re-

1 j- o 1 *• L^ cdXab \.ah ah . ,.

golare di 2n lati; ma €baaz= — s — ^^"2~^^'2"' q^^J^di

Tarea del poligono regolare di 2/i lati è a , ossia il

semiperimetro del poligono che immediatamente lo pre-
cede nella serie duennesima.

Diamo un esempio di applicazione del detto prin-
cipio.

214. Catcolare il numero ^, rapporto della circonfe-
renza al diametro.

Il lato del triangolo equilatero iscritto nel circolo di
raggio 1 è /= ^3^1 7321^ quindi Parea dell'esagono

regolare iscritto è ci^ = ~ — p — =2.59815.

Il lato dell'esagono è /'=:!, e peròTarea del dodeca-
gono è a^ =—2^= 3.

Il lato del dodecagono è /"=0.5176, e quindi Tarea

^ 1 r 1 A' OA^ ,' ^ 0.5176X12
del poligono regolare di 24 lati e a^'= g =

= 3.1056 • . . così proseguendo, poiché al (103) abbiamo
dato un modo rapido per calcolare il lato del poligono
di 2n lati quando sia noto quello di n lati, potremo av-
vicinarci facilmente e colla maggiore approssimazione
desiderabile al valore *.

215. Dato un pc r A^ iscritto sì può formare la serie dei
p r y\^ dei quali le aree siano in progressione duennesima.

b) Infatti sìa iscritto il per A^ dì n Iati efghi,
i) si costruisca una serie di circoli di raggi
.... in progressione duennesima decrescente,
incoio s' iscriva un fmK dello stesso numero
ari di quello dato efghi ; sarà facile dimo-

aree e perimetri così costruiti docrescono
•ne duennesima, e al pari delle serie duen-
atiche, avremo in quanto alle aree: p«r/v^ di
;'^' : c'g" : e^g"' .... : : anello poligonale A.
f~cY : eY'~cY' : ... : : settore y^
e' '• h"g"f"e' .... ecc.

1 '1 '

= B • • • - • 2-
ihe anello poligonale

- ■ . —^hh'g'f'fg, ed anche quadrilatero A.

e'f"*g"%'" ecc.

to ai perimetri, poiché in un circolo dì area

trema è Z^, e però il rapporto che passa

oli passa ancora tra le rispettive eirconfe-

alla suddetta serie duennesima di p o r A^, chia-

/)", p"\ />' i perimetri dei poligoni suc-

serie» avremo

P P' P"
p : . . . . p . : :~ : — : „ : ■ . : : semi-
^ ^ n n n

-Mir(^y=.-^'

arco circolare -':—:— : : ar-
ni m m

: m p" : m

oi — : ■ 2'" '" » e se il valore dell'angolo p : m

— 166 —

è divisibile per A:, qualunque sia numero A:, e che Tarco,/) : m
non sia rientrante, avremo anche

$9 _»»»

p : m p : m p : m p : m _ „ ,„
/e • k ' k • . k '-P'P P -P

.... ecc. : talché tutte le operazioni che. sono possibili
tra i valori angolari^ lo sono anche tra aree e peri-
metri dei PCP Aw di una serie duennesima e tra le loro
parti come sopra indicate.

216. Un p e r A. può frazionarsi in figure di area equi*
valente, o delie quali le aree «ano in un voluto rapporto.

Infatti (Fig. 60* a) possiamo decomporre un. dato
per A. di n lati A. in n quadrilateri A hz^gzfc^ e come
al (200) possiamo decomporre il quadrilatero A in parti
eguali o proporzionali m, p^ z . . . q^ e le corrispondenti
parti eguali o proporzionali del per A, sono date dalle
figure composte con quelle ottenute mn, pn^ zn^ . . . qn.

217. La somma dell'area di un per a con quella del
circolo ad esso circoscritto è il doppio del poligono regolare
rettilineo elio dà nome al per /y^.

Infatti (Fig. 60* b) abbia.TiO p e r A di vertici a, 6, g^ h, i=
=^abdef...i poligono rettilineo regolare; ma il diame-
tro ^6 divide il per A nel seriiicircolo gbe o nel semipo-
ligono circolare di archi rientranti e di vertici g^h, i, a, b :
duplicando trovasi e-^-gebaih^Z abdef. . . i.

a) Chiamando a* l'area del poligono circolare, e p
quella dal poligono regolare rettilineo, abbiamo ir-[-A=

TT-j-A P ,

= 2p, e dividendo per n » — ' — = -^ ; ossia la somma

n Kfn

dei due settori circolare e poligonale è gnhc'-j-gwihc'==

= 2ghc'; da ciò emerge il seguente:

^ 166 —

218. (Fig. 62*) Sia un triangolo di base rettilinea
e di lati curvilinei uguali inversamente curvati, come i
triangoli ambtnd^ : enhrCf. Si abbassi dal vertice alla
base la perpendicolare hh^ e si tracci una direzione bs
ad incontrare la baso prolungata senza tagliare il lato
del triangolo ; avremo che :

La somma sbma-^sbm'd, ovvero sbne'\'sbny dei trian-
goli misti! inei, è uguale al doppio del triangolo rettangolo

5/1
shb, ossia essa è uguale al rettangolo ^X^^^*

Infatti triang. mistilineo bhdm'=bham. Si sovrap-
ponga il primo al secondo e tracciata la b§ ne resta
formato il triangolo rettangolo bhs=sbma-\-hbma ; perciò
sbma-j-hbma=$hb e sbm'd — (1ibm'd=hbmaJ^=shb : quindi

2shb='^Xhb.

219. Sia isci'itto nella circonferenza un polig. rego-
lare di n Iati, e l'arco sotteso da ciascun lato sia diviso
in due archi uguali ; con questi 2/i archi come ìsAìi a
partire dai vertici del' poligono, si costruisca come alla
(Fìg. 63* A, n, e, D, e) una serie decrescente di poligoni
circolari, dei quali i vertici salienti dell'uno coincìdano
con quelli vòlti verso il centro e deW altro, finché ciò
possa effettuarci senza che gli archi si taglino. Si con-
giunganò con rette i vertici del poligono più piccolo
volti verso il centro, quando non accada che coincidano
in questo punto, e ne resterà formato un poligono rego-
lare simile air iniziale iscritto di n lati.

•Gli m poligoni circolari così costruiti formano, a
pai*tire dalla circonferenza verso il centro, m corone
comp Kstc ciascuna di figure curvilinee uguali.

— 167 —

Vedesi dal solo esame della (Fig. 63* a, b, c, d, e)

che essendo n il numero dei lati del polig. rog. iniziale

n
iscritto, quello delle dette corone è o^ ^' che a partire

dalla circonferenza verso il centro, g — 1 d' tali corone

sono isosceliche, ossia formate di figure fs^. La sola
corona non isoscelica è quella che ha il perimetro interno
comune col poligono simile a quello regolare iniziale
come in b, d, e, ovvero i vertici interni al centro e, come
in A, e.

220. È evidente che i poligoni circolari costruiti^
come si è dettOy sono isoperimetri col circolo^ talché se
questo ha il raggio unitario^ il loro valore è 2 « ; con-
seguentemente il doppio perimetro di ciascuna corona /y^
è 4-.

■■J

281. Chiamando h l'area della corona non isosee-
lica del gruppo, la somma s delle aree di tutte le figure
costituenti il gruppo stesso è s=« — h, per essere ^ area
del circolo.

222. 1. Se il polig. reg. iniziale iscrftto è pari di lati
e di area a, la determinazione del valore della somma s delle
aree delle figwe costituenti il gruppo può avanzarsi fino al
valore a.

2. Se il numero degli n, lati dei polig. regol. iniziale
iscrìtto è dispari, e sia a' l'area del poligono di 2n lati, la
somma <s* delle aree delle figure formanti il gruppo può avan-
zarsi fino al valore a'.

— 168 —

Infatti (Fig. 63* b). Sia pari di lati il poi, reg. ini-
ziale. Con la metà deirarco abd sotteso ad ipotosi dal
lato ad del quadrato iscritto, si costituisca la corona /y^ s,
nonché il quadrato mnop. Per essere arco hd=^de=^ef^
anche ang. bad=dae=eaf. . . perciò triang. mistilineo

ap'mr=i-^ semisegmento circolare, ma triang. mistilineo

ap'mr^^CLp^nr^ e però triang. mistilineo mrar^n=zadb seg-
mento circolare. Sostituendole àree dei quattro segmenti
circolari determinati dai lati dèi quadrato iscritto a quelle
dei triangoli mistilinei formanti la corona h, risulta

s-}-mn=:ad polig. regol. iniziale paii di lati*; ciò dimo-
strasi anche per qualunque altro polig. regolare iniziale
pari di lati.

2. Sia dispari di lati il poligono reg. iniziale dato
(Fig. 63* a). Con la metà dell'arco abd sotteso dal lato,
che sia ad ipotesi ad del triangolo equilatero iscritto, si
costruisca la corona A. di arca h ; s' iscriva V esagono
regolare di area a\ e si traccino i raggi ca, efe, cg. Il
quadrilatero abcg è una losanga, per essere lato ab del-
l'esagono regolare iscritto uguale al raggio, e però arco
e corda bma=bm^c, ossia segmento circolare bam^bem*;
sostituendo il primo al secondo e ciò ripetendo per i sei
segmenti circolari uguali a .quello barn formanti le tre
figure lenticolari come btrCcr^ trovasi l'area della corona f^
/i=a' area del poligono di un doppio numero di lati
di quello dispari iniziale. Dimostrasi in ugual modo per
qualunqiie altro poligono regolare iniziale dispari di lati
che sia assunto come base di un gruppo di poligoni
circolari, o corone circolari.

169 —

223. Le proprietà speciali ai poligoni circolari si uti-
lizzano in pratica segnatamente nella misurazione di una
quantità di figure simmetriche, di anelli cilindrici aventi
per base poligoni circolari o anelli di figure isosceliche.

CAPITOLO III.

Figure listate

224. Diremo liste o Usiate le figuro isosceliche della
spece che ora descriveremo.

Per brevità useremo talvolta il segno A^^ per indi-
care le liste o listate.

225. (Fig. 64* A, b) Una linea di qualsiasi forma a bed{K\
ovvero m n o p (b), la quale non abbia punti d' intreccio,
sia giacente sul piano, e lo percorra secondo un' altra
linea qualunque purché non abbia punti d' intreccio
come dd\ dd'd'\ dd'd''d^'' (a), ovvero m rn rn' m"' (b),
la parte del piano coperta dalla prima nel suo percorso
diciamo lista^ e figura listata diremo la parte limitata
di una lista.

Le figure dalla 64* alla 68* sono listate.
a) Le figure hd si distinguono in semplici e ri-
piegate.

Le listate semplici sono generate da una linea ahed
(Fig. 68* a) la quale rapporto ad uno dei suoi estremi
a.d non ha punti rientranti. Le listate ripiegate sono ge-
nerate da una linea mnop (Fig. 64* b) la quale rapporto
ad uno dei suoi estremi p,m ha dei punti n, o rientranti
o salienti.

6) Le listate semplici (Fig. 64* a alla 67*) sono in
sostanza quadrilateri isoscelici^ e di conseguenza né pos-

— 170 —
caratteri e proprietà. Le Uste ripiegate
più liste semplici combinate per somma

lattro linee parallele ed opposte due a due
orimetro di una listata semplice sono i
est! uno si suppone semovente sul piano
neratrice della lista, e l'altro direttrice,
igate diconsì lati tutti quelli delle liste
formano.

Kl semplici o ripiegate qualunque lato può as-
ineratrice rapporto all'altro lato considerato
inquantochè (Fig. 64' a) delle due linee
'" può supporsi che per un suo estremo d
ira parallelamente a s6 stessa tutti i punti
armando la Kl. abdd'd'"a"\ ovvero che la
1 suo estremo d percorra ugualmente tutti
rima formando la stessa Kl.
iscun lato K della lista si dice corda la
iunge i suoi estremi. Nella A./ semplice le
quattro lati K ne costituiscono i7 quadri-
"de.

idrilatero delle corde dì una /^l è sempre un
,, né può e&sere un romboide. Nelle /^l ri-
i lati, anche i rispettivi quadrilateri dello
legati ossia in parte si sovrappongono,
essa di una listata semplice (Fig. 65') è la
ah occero ak o anche eh' ovvero bk' al-
lato del suo quadrilatero delle corde al
n una Kl ripiegata (Fig. 68' a) si assume
% perpendicolare tx^h occero à'k' abbassata
tra corda dei suoi lati estremi.

— 171 —

226. L'area di una 1^1 semplice è uguale a quella del ret-
tangolo equivalente al suo quadrilatero delle corde.

(Fig. 65*) Infatti, per essere la listata amepdnbo qua-
drilatero y\^, la sua area a è e(iuivalente a quella del suo
quadrilatero delle corde aedh^ ma Tarea di questo è uguale
a quella di uno dei rettangoli ahy^ak ovvero aey^ah
della stessa sua base ed altezza, quindi area della listata
amepdnbo z= \ =: ab X ^^^ == ne X. ^'^•

Consegue che: Più liste semplici sono equivalenti se
hanno una corda uguale e la stessa altezza riferita a

questa corda. (Fig. 66*) Le A^ a, b, c nelle quali corda
ab=a'b'=a''b'\ ed altezza dh == d'h' = d''h'' sono equi-
valenti, e la loro misura h ab y^ dh.

227. (Fig. 67*) Sui lati di una A./ diciamo omolo-
ghi i punti d' intersezione con essi di una retta iq' paral-
lela ad una delle sue corde ae^ e biomologhi quelli omo-
loghi s%z' di due linee ss'ar, :ss'y uguali e parallele tra
loro ed alla generatrice ee'a della listata che trovansi den-
tro l'area di questa.

228. Qualunque punto s' (Fig. 67*) deirarea di una Kl

semplice, è biomologo rispetto a due punti e', ^ di due lati /^
consecutivi della listata.

Infatti, per il punto s' si può sempre far passare una
linea ss'x uguale e parallela alla generatrice ee'a della /\^/,
la quale con un suo estremo s sia sopra uno dei lati
consecutivi alla generatrice ; preso sulla generatrice un
punto e' omologo di quello dato s\ si tracci la e^s\ e su
questa come corda si costruisca la eo^'s^ parallela ed
uguale al segmento eo's del lato A^- Ne resta eviden-
temente formato il quadrilatero A. ee's^s nel quale s^ è
nel tempo stesso agli estremi di due linee ss\ e^o^'s'

— 172 —

uguali e parallele ai segmenti ee\ eo^Sj della generatrice e
del lato consecutivo ; ossia «' è biomologo rapporto ai
punti e\ s di due lati consecutivi della KL Si dimostra
in ugual modo che il punto s* è biomologo con le cop-
pie dei punti s.«", s'^x, x.e' dei lati della f^l.

229. 1. Una hd semplice può dividersi in parti di aree
uguali in un ricliiesto rapporto.

2. La stessa A./ può decomporsi in un numero arbitriario
di quadrilateri t^ e perciò quadrabiii.

Infatti: 1. (Fig. 67*) Il quadrilatero ahde delle corde
di una listata m abbia ugual base ed altezza del rettan-
tangolo pfkN\ Si dividano le loro basi uguali pf= ah
nelle parti uguali o proporzionali volute che siano ad
ipotesi pm = atj mn = ti, ^/— ib ; nei punti m, n si
elevino le perpendicolari ed in quelli t^ i si traccino le
parallele al lato ae del quadrilatero delle corde, le quali
taglino i lati K della hd nei punti x^s » ij,z e su questi
segmenti come corde si segnino le ss'x, zz'y uguali e
parallele alla generatrice ee'a della A^/; questa resterà cosi
divisa nelle Sd. m, p, q di aree nel voluto rapporto.

Poiché per il più volte dimostrato abbiamo
\ì=aea't=pmXpk, p=:ta'e'iz^mnXpk, Q=ie''db^=nfXpk e
però
M : p : Q : : pmXpk : mnXpk : nfXpk : : pm : mn : nf.

2. Presi dentro l'area della hJ quanti vogliansi punti
biomologhi è\ 2', .... , come al precedente si costruiscano
i quadrilateri A^ e§s'e\ sxz's' ì quali sono quadrabiii, e
però non solo la Kl resta così decomposta nella quantità
dì parti volute, ma togliendo dalla figura ad arbitrio una,
due, n di queste parti, la A^^ si cangia in altre figure di
contorno irregolare e di area quadrabile. Inoltre se dalla
Kl si toglie ad ipotesi il quadrilatero A. szz's' e si colloca

— 173 —

al di fuori dell'area di essa in modo che il lato 9i del
quadrilatero coincida col segmento uguale xy del l^-to
della lista, e ciò si ripeta per altri quadrilateri tolti in
ugual modo all' interno della lista e poi aggiunti all' e-
sterno di essa, si formeranno altrettante figure irregolari
di area equivalente a quella della f^l.

230. Due liste si dicono parallele^ per pendieolarU
oblique secondo che tali siano fra loro le corde dei loro

lati A..

Angeli listati

231. Due liste che hanno la generitrice rettilinea,
aguale e coincidente^ ovvero delle quali la generitriee
delVuna forma coppia isoscelica con quella deWaltra
incontrandosi per un estremo^ formano un angolo che
diremo listato (ang. hJ) (Fig. 69* a, b, c, d, e, f) sono an-
goli M.

a) Se le due liste di generatrice come è detto
sono poi fra loro uguali, Tangolo che formano è listato
isoscelico (Fig. 69* a).

b) Quando le generatrici delle due liste che s'in-
contrano per un estremo formano coppia isoscelica, l'an-^
golo listato è smussato (Fig. 69* b).

e) Se i lati delle liste formanti V angolo sono archi
di curve geometriche, questo si nomina da quelle curve
(Fig. 69* e, D, e).

d) L'angolo listato è retto, acuto, ottuso, piatto,
concavo, converso .... Secondochè tale è quello che for-
mano le corde dei suoi lati listati.

- 174 -

isura degli angoli listati è li-
eo delle liste che lì formano,
listati dei quali possa misurarsi
gì lati /^l, sono quelli formali
e delle quali la generatrice è
dente, o dei quali le generatrici

)ta limitazione gli angoli listati
iondaria, sebbene taluni di essi,
tuiti da liste formate da ardii
biano delle notevoli proprietà,
al (173) ove si rilevarono alcune
'colare (Fig. 69" e). Tali speciali
on ci è concesso di qui svolgere

listato si attribuisce per misura
leo delle corde dei lati isosce-
delle liste che formano l'ang. KK
Tfiente esatto solo per l'angolo
ra è detto. Avremo cioè (Fig. 69V)
>iremo poi misura dell'ang. W
ìll'angolo circolare (Fig. 69' e) di
i l'angolo piatto formato dalle
ing. Kl a al vei'tice— 180" — 2/':
o dalle liste circolari limitate dai
ipposto rotto l'ang. fad, diremo
ille liste circolari limitate in f,d:
ell'angolo acuto formato dalle
h,i, e finalmeuto la misura del-
ito dallo liste circolari che tor-
k, sarà 360° circonferenza de-
lo ripiegato kak.

Poligoni radiati

234. Sia dato un poligono isoscelico regolare o nò
(Fìg. TO' A, b).

Con i suoi n lati come generatrici, e secondo direttrici
arbitrarie si costruiscano altrettante liste, ne resterà formata
una figura come e, d, e, f, g, h, i ovvero b, r, l,m,n,o che
diremo poligono radiato, il suo poligono centrale e ovvero
B diciamo nodo del radiato, e raggi listati le liste gene-
rate dai lati del poligono f< centrale o nodo.

235. Il poligono radiato si distingue in regolare ed
irregolare ; esso è regolare se il suo nodo è poligono
isoscelico regolare di qualsiasi forma di lati A.? ^
che i suoi lati listati abbiano la stessa altezza rife-
rita in ciascuno alla corda del rispettivo lato /^ del po-
ligono generatore.

236. I poligoni radiati sono quadrabili : componendosi

essi di poligoni Aw e di liste Aw che sono quadrabili.

237. Può decomporsi un poligono radiato in parti uguali

in un voluto rapporto ; potendosi così decomporre i po-
ligoni Aw e le liste delle quali si forma, come si dimostrò.

238. Dato un gruppo di poligoni isoscelici, ciascun
poligono Aw del gruppo può assumersi come nodo di un
poligono radiato ; ne resta così formato un gruppo ra-
diato del quale è poligono rettilineo fondamentale quello

stesso del gruppo isoscelico del suo nodo.

— 176 -

è39. Quando con gli n poligoni isoscelici di un
gruppo K si formano n diversi gruppi isoscelici e da que-
sti n radiati^ V insieme dei gruppi radiati costituisce un
l'' fascio.

240. In un fascio radiato^ se pia liste radianti ge-
nerate da diversi lati f^ aventi la stessa corda^ hanno
uguale altezza riferita a questa corda le loro aree sono
equivalenti.

241. (Fig. 70» b) Può dividersi in n segmenti joo, og
un lato isoscelico pq del poligono nodo di quello radiato,
e sopra ciascun segmento, come generatrice può costruirsi
una o più listo di direttrici arbitrarie. Se a ciascuna di
queste liste parziali si dà la stessa altezza del raggio
listato del quale sono parto, la somma delle aree delle
liste parziali ò uguale a quella del raggio listato. Avremo
cioè liste s'-|-<?"'-(-8-|-5*"= /\J' poqeid.

242. (Fig. 70* A, r) Con le rette afe, ed^ ef . . . . si
congiungano duo a due gli estremi a, fe » e, rf » e,/. . . .
dei lati Ac più lontani dal centro delle liste radianti ; ne
resta formato il poligono mistilineo abkgfe .... (a), ov-
vero ab' o' ed' te' .... (b), l'area del quale diremo campo
radiato od anche campo del poligono radiato.

Le congiungenti afe, cd^ ef . ... possono essere due
a due linee costituenti coppia isoscelica, allora il campo
radiato è isoscelico.

Il campo radiato è regolare o no secondochè tale
sia il poligono radiato che contiene.

177

243. Il campo radiato è quadrabile, per essere area
di poligono parte rettilineo e parte isoscelico ovvero di
poligono isoscelico.

244. La parte dell'area del campo radiato non coperta
dal poligono radiato che contiene è quadrabile, poiché essa è

differenza tra le aree del primo e del secondo poligono
che sono quadrabili.

245. Se un campo radiato è regolare, ossia tale., è il
poligono radiato che contiene, possono evidentemente
formarsene le serie duennosime ascendente e discendente.

246. Da quanto si è accennato sui poligoni radiati
si vedo che essi trovano estesa applicazione nelle arti e
nella misurazione.

247. L'area di una lista ripiegata è quadrabile solo
quando essa possa decomporsi in più liste semplici delle
quali sìa somma.

Infatti (Fig. 68* a) sia ahcmed generatrice ed aa'
direttrice della lista ripiegata ahmedd' rn e' o' a\ Prolungata
la e" e in o, e la hm in m\ Tarea della lista resta decom-
posta nel quadril. aoo'd* e quadril. mist. oenmh^ più liste
enmm'ne* e medd'e'm\ figure tutte quadrabili escluso il
quadrilatero mistilineo oeamb. Chiamando a l'arca della
lista ripiegata, poichò segmento circolare o no cmn^c'm'n''^
avremo a = aoo'a'-\-ohrnc-{-mdd'm'-\-cm'n; ma questa
ultima figura non isoscelica non è quadrabile e però non
lo è neppure l'area a,

Sia invece generatrice della IK ripiegata la
a/on'bcamedj nella quale per ipotesi sia arco o/i"6 =

- l'78 —

, l'area a della ripiegata è qiià-

;ata !a c'è in o e la bm in m',

)mposta della somma delle liste

ìm'n'e' -\- tnedd'e'm', le quali sono

uadrilateri delle corde, ed avremo

mdd'rn'.

lista ripiegata che abbia generatrice
iuadrabile nel solo caso che le parti
npllci costituenti la ripiegata siano
acb'abìli.

sia arbeod generatrice ed aef di-
nee, della ripiegata arbodhgmj^
semplici arbonmf'^cmghs"*do\e
quadrilatero curvilineo eos"ns'ms'.
=fm e che tracciata la oe pa-
aesta uguale, fatto allora arco c^e
(Ilo mz'n, ne resta formata la lista
tuita dai due quadrilateri fra loro
ìezcs' che di conseguenza sono
uendo alle liste semplici formanti
quadrilateri delle corde avremo

e figure quadrabili si dicono an-
e lunole d'ipocrate, le isosceliclie

ino quelle che si formano di due
alla stessa spece combinate per
sì i poligoni radiati sono figure

figure formate con le combina-

- m —

zìoni per somma o differenza di due o più figure sem-
plici di diversa spece. I triangoli isoipoeratici sono figure
miste.

Fra le figure composte e miste si distìnguono le a/i-
nulari quali le corone dì lunole ipocratiche o di figure
isosceliche, o le zone annulari formate dalla differenza
tra le aree di figure quadrabilì della stessa o dì diversa
spece.

250. Le figure composte e miste godono in genere
le stesse proprietà delle figure semplici delle quali si for-
mano, e perciò danno luogo ad infinite combinazioni
geometriche assai utili in pratica, ma che per lo spazio
ristretto non possiamo descrivere.

Figure spezzate o frammentarie

251. Diconsi spezzate o frammentarie tutte le Jigtiro
delle quali il valore deWarea è parte esatta di quella
di una figura semplice quadratile.

Vedemmo che le figure quadrabilì possono in ge-
nere decomporsi in figure delle quali l'area sia una loro
parte esatta ; una qualunque di tali figure parziali è fram-
mentaria di quella da cui proviene.

a) Togliendo da una figura quadrabile una sua
frammentaria la residuale è pure figura frammentaria
della prima, lo stesso si verifica quando si tolgono n fram-
mentarie da una figura/; ossia / — n è pure figura fram-
mentaria.

b) Le due parti n, f—n nelle quali si è decom-
posta una figura /, si dicono completanti l'una dell'altra

e) Le frammentarie si suddivìdono in semisosee-
liehey perforate ed irregolari. Sono semisosceliche le

— 180 —
tali ciascun lato cureilineo o mistilineo m
In segmenti due a due uguali e capaci di
ola isoseelica.

figure samisascaliche sono direttamente qua-

'ìg. 71' a) i Iati curvilinei o mistilinei, eoa,
g, mistilineo asco'b siano divisi per metà
' in parti uguali di forma ed isosTOlicamente
«late le corde ce, oa, o'e, o'b risultano due
e per dritto, e formeranno coi lati del trian-
:o le figure tra loro uguali n^n, n"^n"\
!e fìg. n, ft" nel posto delle loro uguali
triangolo mistilineo si trasforma nel rettili-
uale e perciò equivalente,
gelo mistilineo (b) a'oe'o"7>' del quale i lati si
di coppie di segmenti due a due uguali e su-
ssere ciascuno decomposto in coppia isosce-
i i punti o, o', o" . . . . , tracciate come sopra
iascuna coppia, queste sono per dritto e con
la formano i lati c'a\ e'h' del triang. retti-
quale, operando come sopra, si trova egui-
ìUo mistilineo.

igolo mistilineo (e) se i tre lati sono suscet-
■e divisi isosceli camen te in s, s', s", ponendo
irne o nel luogo delle interne e rispettiva-
o', trovasi che il triang. mistilineo è equi-
tilineo a"c"b".

modo sì dimostrerebbe per qualunque poli-
icelico diverso dal triangolo.

franiBiBntarie senisosceliche sono completanti

— 181 —

Infatti (Fig. 71* b) si completi il parallelogramma
ab'd'c\ e sul lato b\V = a'c' si costruisca il lato cur-
vilineo h'rr'cT ^= a'o'oc' ; risulta triang. mistilineo b = b'
e l'intera figura lista semplice. Ugualmente (Fig. 71' e)
si completi il parallelogramma a"c"6"rf" ; si costruisca
lato curvilineo d''nb''=a'*8e'\ e a'*md'' = Vs'c'' sia diret*
tamente che inversamente disposti, e V intera figura
risulta isoscelica.

254. Le semisosceliche sono apparentemente dispari
di lati, inquantochè ogni lato apparente della figura si
costituisce di una coppia o più coppie isosceliche. Così
(Fig. 71* a) il triangolo apparente A^ aoco'b è un esa-
gono del quale i lati rettilinei pa = pb sono per dritto.
Il triangolo apparente a'o'oc'o'''b' (b) è un decagono del quale
due lati rettilinei /)'a' = p'b' sono per dritto ecc.

255. Le semisosceliche hanno le stesse proprietà delle
isosceliche.

Infatti: 1. Dato un poligono rettilineo come fonda-
mentale si può formare un gt^uppo di figure semisosce-
liche fra loro equivalenti^ inquantochè (Fig. 71* a) per
i punti medi dei lati del polig. fondamentale si possono
far passare quante vogliansi linee di diversa forma che
siano tagliate da quei punti in coppie isosceliche, di cia-
scuna delle quali il rispettivo lato del poligono fonda-
mentale è somma delle corde.

2. Le figure dello stesso gruppo semisoscelico sono
tra loro equivalenti^ e fra due o più figure del gruppo
possono scambiasi n coppie di lati^ formandone altre fi-
gure appartenenti al gruppo stesso (189, ^f).

3. Due o pia gruppi semisoscelici che hanno equiva-

— 182 —
•3 jondamentale, sono equivalenti; eie
ppo possono sostituirsi a quelle dell'al-

soscelica può decomporsi in quante co-
le quali Varca sia in assegnato rapporto

semisosccl ica o tra loro.

semisoseelica può formarsi un poligono
elico del quale la figura data è nodo.
V gode di (ulte le proprietà dell' iso-

rruppo semit'oscelico può formarsi un fa-
Isoscelieo che ha lo stesso poligono fonda-
)po generatore. Il fascio radiato semi/^
oprietà di quello /V eee.

;a di una figura quadrabile / di qual-
Igano quante vogliansi altre figure qua-
i però che un segmento del rispettivo
cuna sia uguale ad un segmento del pe-
;a figura /, per modo, che collocando le
l'esterno dell'area della prima possano
segmento uguale. Ciò effettuato, ne resta
onda figura equivalente alla prin*.a che

a di un poligono regolare di n lati, to-
^11 che abbiano un lato uguale a quello
icendoli coincidere per questo lato uguale
3sto (Fig. 72* A, b), ne resta formala una
i (rota dentata).

poligono di n lati (Fig. 72' e) iscritto nel

r, sia perforata da un poligono stel-

«ndo circolo h' dello stesso raggio r si

) con un poligono m' ^= m , e con gli n

— 183 —

segmenti circolari a 60 del primo si formano k figure per-
forate lenticolari radianti dallo stellato del secondo, l'area
del circolo perforato b' risulta uguale a quella del poli-
gono perforato b, e però quadrabile ecc.

257. Data una figura inmale possono costruirsi in-
finite perforate di area ad essa equivalente e perciò equi-
valenti tra loro.

a) Più perforate equivalenti ad una stessa figura
costituiscono un grappo perforato del quale quella figura
è fondamentale.

b) Data una figura iniziale perforata può costruirsi
sui suoi lati un poligono radiato perforato, del quale la
figura iniziale è il nodo,

e) Date più perforate dello stesso gruppo^ e sui loro
perimetri, costruite altrettante liste che ne abbiano per
base dei segmenti, ne resta formato un fascio radiato per-
forato del quale è fondamentale la stessa figura iniziale
del gruppo ecc. ecc.

d) Le perforate trovano in pratica utile ed estesa
applicazione.

258. In genere, come vedemmo, le figure quadrabili
di qualsiasi forma sono decomponibili in figure delle
quali le aree siano fra loro, o riferite alla figura iniziale,
in un assegnato rapporto. Se tali figure parziali non
appartengono ad una delle classi sopra descritte si dicono
frammentarie irregolari.

La varietà di forma delle frammentarie irregolari
non ha limite, e però data una di tali figure, non sempre
riesce facile verificare se essa sia quadrabile; i modi di
verifica variano anche essi per figure di diversa, forma,

— 184 —
endocì lo spazio limitato di classificarli ed
amrnte, ci limitiamo a dare ì seguenti

3* a) Sia data la iigura irregolare misti-
li che i segmenti curvilinei hma, b'm'a' del
sono fra loro uguali ed isoscelica mente
! il segmento curvilineo oos può essere
to in coppia isoscclicu. Si traccino le
2S. Per l'uguaglianza delle figure r := r'
ndo r, n nel posto delle loro uguali, la fi-
Forma nel triangolo rettilineo abs ad essa

la figura curvilinea irregolare (Fig. 73'b).SÌ
suoi segmenti liop, hsm si possano dividere
)io K. Si traccino le corde poh, pm, mh e
lele ed uguali allew/), mh\ sulla corda kg,
ngmentn curvilineo hq'g = mqp e si faccia
1 modo che siano isoscclicatnente disposte,
lata una seconda figura irregolare W = n :
■o f\. mshq'gs'pq ^ » -f- u' ^^ mhgp e però

> e) Sia dato Ìl pentagono iircgolaro p
;hi di ugual raggio. Si determinino Ì cen-
c^ , dei suoi Iati circolari. Si prolunghi l'arco
per ipotesi dal vertice e. Si traccino le
: ad esse ad incontrare l'arco abe, si ab-
pendicolari /7i, do. Si verifichi che /)/= hni
ì dedurremo che i triangoli circolari abe/p.
orici e di conseguenza l'area del pentagono
I differenza, sarà p — abefp — bmesd ^
d.

't*

— 185 —

259. Come si è visto nelle figure quadrabili regolari
o nò, i lati curvilinei o mistilinei, siano o no isoscelici,
sono però sempre isoscelicamente disposti, ossia due a
due piegati nello stesso senso ; se il contorno di una fi-
gura si forma di segmenti curvilinei o mistilinei piegati
due a due in senso contrario, la sua area ordinaria-
mente non è quadrabile. Così il circolo, ed in genere le
altre coniche sono quadrabili solo con approssimazione.
Fanno eccezione i quadrilateri A^ che hanno il rombo
come quadrilatero delle corde, i quali sono quadrabili
anche quando i loro lati opposti siano curvati in senso
contrario, come (Fig. 74* a, b, c).

260. In genere qualunque figura quadrabile può
ridursi non quadrabile sommando o sottraendo da essa
una o più figure non quadrabili.

Qualunque figura non quadrabile può ridursi qua-
drabile sommando con essa una o più figure non qua-
drabili. Ad esempio : iscrivendo il circolo nel quadrato^
l'intera figura è quadrabile, ma tanto il circolo quanto i
quattro triangoli mistilinei, che sommati con esso for-
mano il quadrato, non sono figure quadrabili.

261. Si vede dal sopra esposto che tra le figure di
contorno curvilineo e mistilineo quelle di area quadrabile
sono assai più numerose delle non quadrabili, e perciò
nella maggior parte dei casi* si possono misurare figure
piane e solide con metodi elementari, senza ricorrere al
calcolo ed alla formula di Simpsons come ora si usa.

nio geometrico p
ert I è ima lun-

chiale è linea geo-

ìsso piano e non
punto geometrico,
i immateriali, non
pure immateriali,
reto.

' è un piccolo se-
metrico, e la linea
presenta una linea
ire visibili, devono

inea grafica come
;simi che si suc-
sono essere geo-
etrico p = non
= ; e perciò al
dimensioni, affin-
3neratore di figure

msioni, possiamo
i o figura che abbia
i e larghezza, che
, possa giacerò in-

— 187 —

tera sul piano e sia tale che riprodotta n volte, le n fi-
gure uguali possano coincidere per un lato uguale nei
due sensi ed in modo da coprire una parte del piano
senza interruzioni ; e però tale ipotetica figura dovrà
essere un parallelogramma qualunque.

(Fig. 75* A, B, d) Suppongasi la retta ah (a) come
formata di quadrati m, m\ m" .... piccolissimi tra loro
uguali, successivi e concidenti per un lato ; la retta ed
costituita di parallelogrammi n, n\ n'\ . . . piccolissimi
fra loro uguali, successivi è coincidenti per un lato
scambievolmente uguale ; la linea efg formata da paral-
lelogrammi o, o\ o", di ugual base ed altezza e di di-
versi angoli, disposti successivamente e coincidenti per
la base scambievolmente uguale, ed allora le linee aè, ed, efg
divengono altrettante liste geometriche (225) di genera-
trice ph piccolissima, e com^' tali possono validamente
assumersi quali fattori geometrici nella generazione delle
aree d'infinite figure.

Nella fatta ipotesi si vede che la curva efg è in
realtà una spezzata costituita di lati successivi tanto pic-
coli da darle l'apparenza di continuità, ossia apparenza
curvilinea.

Ci baseremo sulla sopraesposta formazione ipotetica
delle linee grafiche per dedurne la ragione della forma-
zione delle figure geometriche.

263. Le linee di qualsiasi forma possono conside-
rarsi ciascuna in sé stessa, o l'una paragonarsi con l'al-
tra in referenza alla rispettiva lunghezza ed allora esse
appartengono al primo stato geometrico (160), ovvero due
o più linee possono considerarsi quali elementi concor-
renti alla formazione di una figura ed allora esse, come
liste, appartengono al secondo stato geometrico.

188 —

inque forma, come figure del
[inno per misura l'unità rcttilì-
lan-ii una lunghezza aibitraria.
Ilo la lunghezza o rettificazione
somma delle corde di suoi
limi uei quali siasi arbitraria-
;orde possano senza orrore sen-
ime rettificazione del rispettivo

cazione e misura dello curve

superiore, qui accenneremo

Ila circonferenza e delle poli-

circonferenza potremo consi-
liare iscritto di un numero n

, w 360-

iell arco — — possa ritenersi

e rettificazione dell'arco stesso,
trovato il valore della corda

Ì7930029; poiché
ire 60°X6=360», sarà

)0031 957930029; e però in parti

conferenza

<32768=6,283184707141632....
icora -= 3,1415923535708m...

)ne della policentrica possono
hi formanti per somma la po-
uibili, 2. gli stessi archi sono

— ià9 -

1 due casi comprendono quello in cui dett
sono in parte costruibili ed in parte no.

1. (Fig. 76*) Nella policentrica ahde .... di

e, e', e" sia raggio ea = 1. Nel circolo e si

,360" , . , , ,.360» , .

ni) = -7q-, nel circolo e arco ha = -tk-, nel cir

360°
arco de = "gj"» e però gli archi ab, bdy de . . .

costruibili. Trovato come al precedente

jQggQg ^ 0,000031957930029; e tenuto calcolo

versi raggi ca, c'6, c'W, avremo

arco ab= jq = ^^ =19660,8x0,0000319579

arco6(i=^g-=-^2- = 16384X0,0000319579300

^fin* 1 Qfìfiftft
arco de= ~j^ ="2^ ^8192X0,00003195793005

e sommati i tre prodotti, si avrà la rettificazione
simata dell'arco abde della curva.

2. Gli archi ab, bd, de non siano costruibili;
si dovrebbe dividere ciascuno di essi, ad ipotesi
numero arbitrario n di archi uguali piccolissimi ;

vrebbe raccogliere sul raggio la proiezione h del
che ha l'estremo comune col raggio stesso, e qu
terminata in parti di raggio 1 la lunghezza della
proiezione 2./i, la rettificazione dell'arco sarebbe
ab=nX {/ 2.h. Ugualmente per gli archi success
nendo calcolo dei diversi raggi, sì avrebbe arco

bd - n'X i^^I' X c'b, e de = n" X [^2J^ X e
che arco della policentrica

abde = nX l^^ + « X l^2JÌ}xc'b-\-n"XÌ^^f

— 19Ò —

rminare con esattezza il rapporto
L proiezione piccolissima 2.k può
1 pratica riesce più semplice e con-
archi non costruibili altri costrui-
iai primi di quantità trascurabile,
le nel primo caso. Ad esempio, si
» c'6 = 30»,02 » e'd = 15',033, so-
nte ad essi gli archi costruibili

360°
15°= ^7-, ed operato come al

con sufficente approssimazione la
/a abde.

razioni geometriche che possono
del primo stato, ossia considerate
idipcridentemente alla scambievole
ì sul piano, appartengono puro al
; esso sono moltissime ed impor-
.n noveriamo,

isidevnte nel secondo siato geo-
emenli capaci di generare aree e
la natura e forma dì liste geome-
1 stesila generatrice rettilinea pic-
! liste, il loro valore reìatìco è in-
Uica lunghes^a e forma ma ordÌ-
alla loro scamlnetole posizione
ino.

, d) le liste semplici a, b, d rappre-
i, cfg costituite di punti grafici
i parallelogrammi successivamente
)cr un lato uguale, quali punti

. ..«. •■!

- 191 —

sono rappresentati in figura in m, n, o in grandi dimen-
sioni, poiché le liste a, b, d sono fra loro equivalenti per
avere la stessa base ph = p'W = p''W e la stessa al-
tezza pk = p*k' =jo"/c", così le lince aè, ed, efg. . • • che
esse rappresentano, sebbene di diversa lunghezza, diremo
e riterremo come equivalenti, tali infatti esse risultano
nella formazione delle figure come si dirà.

(Fig. 77*) Siano le coordinate xy^ kz^ e nel loro
piano la gè parallela alla kz^ nonché quante vogliansi
linee rette, curve, spezzate o miste aè, as6, amh^ anb^ aof^
ag . . . . comprese tra le parallele k:^, gè, e tali ehe si
possano raccogliere le proiezioni dei singoli punti di cia-
scuna sul segmento ab dell'ordinata xy, in modo che
per punti della stessa linea ^ le proiezioni non si sovrap-
pongano ; ed allora le linee a6, asè, amò, anh, aof. ag....^
come linee del fcecondo stato, sono equivalenti per essere
liste di ugual generatrice rettilinea piccolissima e della
stessa altezza ab.

a) L* insieme delle dette linee costituisce xxnjascio
di equivalenti lineari^ del quale la linea ah giacente sulla
xy è fondamentale.

h) Qualunque linea del fascio che non coincida in
tutta la sua estenzione con la ab diremo alterazione geo-
metrica di questa, e due linee qualunque del fascio di-
remo dilatazione o contrazione Tuna dell'altra, secondo-
che Tuna abbia maggiore o minore lunghezza dell'altra.

e) È evidente che nel fascio ogni alterazione della
fondamentale ab è sua dilatazione ; che la fondamen-
tale ab è la massima contrazione delle linee del fascio^
e che la massima dilatazione di una linea qualunque
del fascio è infinita.

d) (Fig. 75*) Nel fascio la sola fondamentale a6,

— 192 —

come linea non alterata, si ritiene formata da k punti
grafici quadrati, tutte le altre linee del fascio sono alte-
rate e devono ritenersi come formate ciascuna da k pa-
rallelogrammi determinati dalle intersezioni con esse dei
prolungamenti dei lati dei punti quadrati, normali alla
xy, come in grandi proporzioni si vede in a, r, d; talché

I punti grafici costituenti per somma una linea alterata
sono tanti quanti quelli costituenti la sua contrazione mas-
sima.

È facile vedere che ai punti grafici formanti per
somma una alterata, non può attribuirsi la forma di lo-
sanghe.

e) (Fig. 77') Un fascio d'equivalenti lineari che
ha la fondamentale ab' sulla zk coordinata alla xy, di-
remo pure coordinato al fascio di fondamentale ab.

f) Una linea di un fascio diremo coniugata con una
linea di altro fascio coordinato o no^ se le due linee hanno
una loro contrazione scambievolmente perpendicolare
e concorrono come fattori alla formazione di una Ji-
gura.

269. In taluni trattati di geometria elementare si de-
finisce una supcrfice piana come generata da due rette
fra loro perpendicolari, delle quali l'una parallelamente
a sé stessa percorre tutti i punti dell'altra.

In altri dicesi la superficc piana generata da due
rette delle quali una per un suo estremo percorre tutti i
punti dell'altra parallelamente a so stessa.

Altri dicono : la supcrfice generata da due rette con-
giunte per un loro estremo, è il prodotto dell'una per la
perpendicolare abbassata dal suo estremo non comune
sull'altra; ed anche il prodotto degli n punti costituenti
una retta per gli m punti di altra ad essa perpendico-

— 193 —

lare genera una superfice che ha il valore quadrato
fnn. • . .

Quando voglia bene osservarsi queste ed altre simili
definizioni rispondenti a casi speciali, non soddisfano alla
formazione generale delle aree delle infinite figure piane
rettilinee e curvilinee. Ciò avverrà finché si considerino le
linee generanti una figura nella sola loro lunghezza ; ma
se le stesse linee vogliansi considerare come liste geo-
metriche appartenenti ad un fascio d'equivalenti lineari,
allora poiché qualunque linea del fascio è eostituita dello
stesso numero k di punti grafici della fondamentale^ re-
stano facilmente spiegati i fenomeni della formazione
delle figure, nonché il valore delle loro aree.

Figure generate da lìnee considerate come liste semplici

270. Se due linee aventi un punto comune^ sono tali
che le proiezioni dei punti grafici costituenti ciascuna^
si possono raccogliere senza, sopramontarsi sopra una
rispettiva contrazione rettilinea^ e che dette contrazioni
siano scambievolmente perpendicolari^ allora una delle
due linee f percorrendo parallelamente a se stessa tutti
i punti deW altra purché non s' intrecci con essa, genera
una figura quadrilatera della quale Varca è il rettan-
golo delle loro contrazioni perpendicolari, ovvero anche
il prodotto mn degli m punti grafici costituenti una
linea per gli n punti grafici formanti V altra.

Infatti: 1. (Fig. 78* a) Le amb, and abbiano per ri-
spettive contrazioni massime le ab, ap. La and, paral-
lelamente a se stessa e col suo estremo a, percorra tutti
i punti della amb, ne resta generata risoscclica mn'm'n
di area abed : ma abed = abop, rettangolo delle con-
trazioni massime delle due linee fattori. La stessa area

194 —

ifici costituenti una delie linee
l'altra, poiché se la conti'a-
la di q punti grafici quadrati,
compone di q punti grafici
linee sono equivalenti (264) ;
issima ap si forma di r punti
atazione and si costituisce di r
imi e le due linee sono equi-

- ab y^ ad ^ qr.

) i fattori geometrici amb, and

asi amb X <^"-d = ab ^== amb,

.lore dell'area, e non la forma

lerata.

liugate o fattori grafìe! amb,

omune o, e sia ad ipotesi a:^

amb. Per il punto o e paral-
iciano percorrere alle a'nd tutti
generata l'isoscellca mVm"n"

delle corde a"d''b"b' è un pa-

i alla az e si abbassi ad essa per
ntrare in s la corda d'b" ; si pro-
i" si elevi alla a"i' la perpen-
p. Avremo parallelogramma
vere ugual base ed altezza» e
"è's = à"z' X o,"p rettangolo
e fattori ; ma la a"& è contra-
mentre à"p non è contrazione
nel CEiso contemplato le coniu-
tengono a due fasci non coor-

- 1&5 -

Inoltre, per appartenere allo stesso fascio, le amh é
la az si f'^'^mano dello stesso numero h di punti grafici
e sono fra loro equivalenti, come anche a^nd si forma
dello stesso numero k di punti grafici della a'*/) e sono
fra loro equivalenti, e perciò A^ n'rrC'n'm' = a'^z\a''p =
= amh X CLTid^ rappresentando questo ultimo prodotto in
punti grafici quadrati, il valore dell'area e non la forma
apparente della figura A. n'm"/i"m'.

271. Riteniamo sufficente il teorema precedente a
far conoscere la formazione delle figure generate da due
fattori grafici considerati come liste semplici. Tali figure
comprendono tutte le isosceliche che hanno per ^quadri-
latero delle corde un parallelogramma.

Tanti casi speciali che possono di por sé stessi con-
siderarsi enunciati di altrettanti teoremi, trovano la loro
dimostrazione in quello svolto- Ne enunciamo taluni la-
sciandone la dimostrazione ai nostri lettori.

i. Più linee di qualsiasi forma^ purché se ne possano raccogliere
le proiejgioni non intrecciate dei singoli punti sopra una loro cantra»
siane rettilinea scambieoolmente uguale, danno uguale prodotta^ sé
moltiplicale per lo stesso segmento rettilineo, o ancìie per altra linea
di qualsiasi forma, purché si possano raccogliere sopra una sua
contrazione rettilinea le proiezioni non intrecciate dei singoli suoi
punti, e ciò finché l'angolo che formano le due linee fattori sia tale,
che runa per un suo punto percorrendo Valtra non s* intrecci con
questa.

2. Se un segmento rettilineo per un suo punto percorre paratie^
lamente a sé stesso il perimetro di un triangolo, genera con i lati di
questo tre quadrilateri, dei quali l'area di uno è equivalente alla
somma delle aree degli altri due.

a) I tre quadrilateri possono cangiarsi in altrettante isosceliche
semplici, senza che resti alterato il rapporto delle loro aree.

3. Se in un poligono di n lati sia regolare o no, si traccia una
diagonale tale che si possano raccogliere su di essa senza intree^

'•■ f"

— 1&6 —

darsi le proiezioni rette o oblique dei vertici del poligono, e si faccia
percorrere per un suo punto il perimetro del poligono da un seg-
mento rettilineo parallelo al fascio delle proiettanti i vertici, ne re-
stano generati n quadrilateri dei quali la somma delle aree di
quelli situati da una parte della diagonale, è equivalente a quella dei
quadrilateri situati dall'altra parte della diagonale stessa.

a) SI possono assumere i quadrilateri così generati come
quelli delle corde di altrettanti quadrilateri A. semplici, senza che
resti alterato il rapporto del valore rispettivo delle aree.

4, Moltiplicando una curva circolare o no nel senso della sua
convessità ovvero della sua concavità per un segmento rettilineo il
quale per un suo estremo percorra la curva parallelamente a sé
stesso, si ottiene uguale prodotto.

a\ Il fattore grafico rettilineo può sostituirsi con altro curvi-
lineo del quale il primo sia corda o contrazione, purché tale che
percorrendo la curva in tutta la sua estenzione non s' intrecci con
essa, senza per questo alterare il valore dell'area della figura
generata.

5. In un circolo tracciato un diametro ed una secante comun-
que inclinata con esso. Se si determina sulla secante, a partire dalla
sua intersezione col diametro un segmento, e questo per lo stesso
punto (f intersezione parallelamente alla secante e dalia stessa parte
di essa, si fa percorrere tanto il segmento del diametro che l'arco
della circonferenza compreso tra l'estremo del diametro e la secante,
ne restano formate due figure l'una curvilinea l'altra retUUnea di
area equivalente ecc. ecc*

272. / rapporti di quadratura che la geometria deter-
mina fra i lati e segmenti di una figura rettilinea si appli-
cano e verificano tra le aree dei quadrati delle curve o
spezzate costruite sui lati rettilinei della figura assunti
come corde. Per figura quadrata intendiamo la isosceliea
la quale ha per quadrilatero delle corde il quadrato.

Il teorema di Pitagora e suoi derivati , quello
di Euler, quello di Tolomeo, e quanto dicemmo sulle

— 197 —

serie triangolari tanto addizionali che differenziali e
simili^ si applicano alle aree delle figure curvilinee e
mistilinee quadrate^ purché il contorno di tali figure non
s'intrecci^ come sarà facile verificare.

273. Come talvolta con operazioni geometriche si ot-
tiene espresso in valore lineare il prodotto di due o pia
segmenti rettilinei^ così con le stesse a simili operazioni
si possono esprimere in valore lineare i prodotti tra
segmenti curvilinei e mistilinei.

Ad esempio : Nel circolo e di raggio 1 il quadrato
di un arco è espresso in valor lineare dalla sua doppia
proiezione retta sopra un diametro che parte da un suo

estremo, avremo cioè (Fig. 24*a) arco 1 .4.0 = 2.oh =o.2'=o.t .

Infatti larco 1.4.0 è dilatazione della corda o.l, e si

compone dello stesso numero k di punti grafici, e poiché

0.1 = 0.2' = Ar, sarà anche arco 1.4.0 = k ^ o.2\

Per la stessa ragione avremo arco o.l' X o.3 =:
= corda o.l' X ^-3 = oA\

Supposto come al (124.3"*) che sia o.4' potenza enne-
sima di o.V fatta corda o.4 = o.4* sarà arco 4.o potenza
ennesima di quello o.l.

Questa facoltà, che facilita ed abbrevia il calcolo
geometrico, dà origine a vari interessanti teoremi che
siamo dolenti non ci sia concesso di svolgere.

274. Nel quadrato unitario coao' si descriva il qua-
drante o'o''o (Fig. 79*) e si traccino quanti vogliansi
raggi co'\ co''' .... e dai loro estremi le perpendicolari
o"/i, o'"h' alla co. Sulla base comune co si costruiscano le
losanghe coa'o'\ coa''o''' ,,., I lati di queste essendo uni-»

, ho", /l'o"'

', oeo*" .... fi

= 1 X seno , »
»'" X seno oeo-;
iga sono sup-
e di lato uni-
tttivi angoli. Di
lato unitario co
eo\ ne reste-
li cbfd, cbfd\
aree rispettive
= ce X ed' X

•ed" ecc. :

>gramma sono

il prodotto di
%ngoio che essi

I della baso per
consecutivi per

lotto di due lati

na diagonale,
coppie di lati

ile moltiplicati

formano.

aie le possibili

i dello, somma
due a due da

io per il seno

tori,

— 199 —

6, L'area a di un poligono regolare di n lati, del

f • n

quale sta s angolo al centro^ è a = seno • X o-

Una figura isoscelica qualunque, per avere Tarea
uguale a quella del rispettivo poligono delle corde, si
misura nei modi sopra esposti, operando sul rispettivo
poligono delle corde.

275. // valore deWarea di una figura isoscelica,
della quale il poligono delle corde non è un parallelo-
gramma^ ossia che detto valore non è il prodotto di-
retto di due fattori grafici lineari^ esso è parte enne-
sima di uno di detti prodotti, ovvero anche somma di
pia prodotti di coppie di fattori grafici lineari.

(Fig. 80*) Per V intersezione e delle diagonali, ov-
vero centro di un parallelogramma qualunque abed^ si
traccino quante vogliansi direzioni ae^fg^hi^ km . . . .
Ciascuna di esse evidentemente divide l'area del paral-
lelogramma in due figure uguali inversamente disposte,
delle quali l'area di ciascuna è la metà di quella del
parallelogramma a 6(?rf; talché avremo aeb=fgeb=amkb...=

aby^ad taby,ad\ ^ . . ,.

= — 2 — =1 — 2 — I. seno bad^ Ora, se i triangoli e

trapezi così formati si assumono come poligoni delle

corde di altrettante isosceliche, l'area di ciascuna sarà

aby,ad laby,ad\ , ,

A = — 2 5 ovvero I — s — /. seno had^ quando nei

primo caso sia ad l'altezza e nel secondo caso non sia
ad l'altezza del parallelogramma abed,

(Fig. 81*) Sia badVaW poligono pari di lati due a
due uguali è paralleli ed anche poligono delle corde della
isoscelica mnom'n'o^ ; tracciate le aa\ bb\ risulta eviden-
temente triang. acb == «'c6' e figura, abm = cCb'm\ Pop-

— 200 —
' e figura a'b'ni' in abc\ in modo die
a. sul suo uguale ab, e linea a'm'6
amb ; ne resta formato Ìl paralle-
ìd avremo cbma -[- ca^m'b' = acbc' —
io acb : in modo analogo chnd' 4"
ed'), seno bed; e cd'oa' -f- caoV —
rea*: talché, cliiamando con 5, ic, r. ...

itivi al centro del poligono, l'area di
Ile dell' isoscclica della quale i suoi lati

^-\-(chXc(l'). seno«-(-(e(i'Xca'). seno r
lati del polìgono, la sua area è somma

li e però costituita di g prodotti di due

le dimostrare che anche nei poligoni
ìUte numero dispari di lati, tali cioli
in poligoni pari di lati, come anche
A. pari di lati nei quali lo corde dei
lali non sono parallelamente disposto,

3 quindi delle somme dei prodotti di

ri grafici lineari.

;ure generate da due linee considerate

, delle quali l'una per un suo punto

'allelamente a sé stessa, meritano spe-

intreceiate delle quali cioè due distinti

) si sovrappongono intrecciandolo.

CD (Fig. 83") sono intrecciate.

to lineare curvo, spezzato o misto, di-

rvatura lo. sua eonoessità o eoncacìtà

regnata direzione sul piano.

^^~*

— 201 —

Esiste un limi fé di curvatura scambievole oltre il
quale due fattori lineari graffici cessano di generare una
isoscelica semplice^ della quale cioè Varca è quella del
suo quadrilatero delle corde^ e generano invece una fi-
gura ripiegata.

(Fig. 82*) Due circoli secanti e, o siano di uguale o
diverso raggio. Se i loro raggi ca^ oa » c6, oh diretti agli
estremi a, h della corda comune, sono fra loro perpen-
dicolari, essi sono anche scambievolmente tangenti in a, h
alle circonferenze dei due circoli.

Nel circolo e si assumano i lati ah, ad del quadrato
iscritto come contrazioni massime degli archi amh =
z= asd = 90^ Se asd percorre per Testremo a tutti i
punti dell'arco amh, ne resta formato il triangolo sferico
ads*bm il quale è isoscelico semplice.

Infatti il raggio eh è tangente in b agli archi uguali
bma, hs'Cj onde questi archi hanno comune il solo punto
è, il quale essendo anche vertice del quadrilatero delle
corde della figura curvilinea, questa è isoscelica semplice,
ossia equivalente al suo quardilatero delle corde.

Nei due circoli secanti e, o* i raggi formino negli
estremi a, h della corda comune angoli ottusi ; allora Tarco
asd percorrendo per il suo estremo a tutti i punti di
quello a/i6, genera il quadrilatero nsn's' il quale è iso-
scelico semplice ; poiché gli archi bma^ hs'e di cordo 6a,
he hanno comune il solo punto 6, nel quale sono tan-
genti, quindi gli archi di maggiore apertura e di corde
uguali hna^ hs'e hanno comune il punto h nel quale sono
secanti, ma questo punto è vertice del quadrilatero delle
corde di quello curvilineo nsns" il quale è però isoscelico
semplice.

Nei circoli secanti e, o" i raggi agli estremi a, b
della corda comune formino angoli acuti: fatto percor-

»T^

— 202 —

rere Tarco asd quello arh^ ne resta formata una figura
curvilinea la quale avrà il perimetro intrecciato in un

punto %.

Infatti, si elevi ht perpendicolare all'estremo del rag-
gio o"6 e perciò tangente in h all'arco arb ; poiché eh
è tangente in h all'arco òse, e le due tangenti formano
tra loro l'angolo cbt tagliando in /i, li gli archi arb, bs'e,
così questi archi dovranno intersecarsi oltre che nel punto 6,
in un secondo punto z situato dentro Tapertura deiran-
golo cbt.

Sommando nei tre casi gli archi fattori grafici, per
i circoli secanti e, o poichò ai'co ami=asc/==90^ sarà arco
amb-\-asd=Ì80\

Nei circoli secanti e, o' abbiamo arco asd— 90\ arco
anh < 90"* e quindi asd-\-anb < 180''.

Nei circoli secanti e, o" abbiamo arco asd =^ 90%
arco ard > 90% quindi arco asd -^ arb > 180*": e però

5^ i fattori grafici di una figura quadrilalera sotw archi
circolari di qualsiasi raggio^ essa sarà isosccìica semplice equi-
valente al suo quadrilatero delle corde, se la somma dei due
archi fattori è uguale o minore alla semicirconferen:ia, la slessa
figura sarà invece intrecciata se la :o iima dei due archi fat-
tori è maggiore della semtcirconferenT^a,

Siccome poi in ciascuno dei due archi fattori pos-
siamo iscrivere un frammento di poligono regolare o no,
così il detto limite si estende alla curvatura di tutte lo
coppie di fattori grafici che siano segmenti di linee spez-
zate o miste iscritte in quelh archi.

Le figure intrecciate sono innumerevoli e però qui
ci limitiamo a dare un cenno di quelle generate da duo
frammenti di poHgoni regolari di uguale raggio e numero
pari di lati, che per la loro forma diremo poligoni caudati.

— 203 —

277. (Fig, 83* e) Sui lati ae, ai del quadrato aemi
come diametri si descrivano i semicircoli aee^ agi volti
nello stesso senso. S' iscrivano nei semicircoli i semipe-
rimetri abcde^ afghi di un polìgono regolare pari di lati.
Al semiperimetro afghi per il suo estremo a si faccia
percorrere tutti i punti di quello dhede^ ne resta generato
il poligono caudato akmce intrecciato in e, costituito di
due figure poligonali distinte, e cioè q corpo^ p appendice
o eoda.

a) Il poligono generatore del caudato deve essere
pari di lati, affinchè il suo semiperimetro sia esattamente
iscrittibile nella semicirconferenza.

6) La curvatura di ciascuno dei fattori grafici,
essendo la semicirconferenza la somma delle loro cur-
vature, è 360* > 180** limite assegnato alla somma delle
curvai ure dei fattori lineari della isoscelica semplice
(276), e però il caudato è di necessità figura intrecciata.

e) Sui lati ae, a/, come contrazioni massime, si
possono raccogliere senza che si soprammontino le proie-
zioni di tutti i punti grafici q costituenti i semipoligoni
fattori ; quindi il loro prodotto b q* , ossia l'area del qua-
drato circoscrittibile al circolo nel quale sono iscritti i
semìpoligoni generatori ; il valore q* dell'area del caudato
non è però reale, ma solo relativo a tutte le isosceliche
che possono costruirsi in gruppo isoscelico (189) sui lati del
quadrato delle sue corde, mentre Tarea vera del caudato

è maggiore di q : poiché se n sono i lati di ciascun se-

mipoligono generatore, detta area si forma di n prodòtti
grafici ciascuno di due fattori lineari, i quali per la loro
diversa scambievole inclinazione, maggiore di quella as-
segnata come limite alle isosceliche semplici, sul piano par-
te si dilatano e parte si .sopramontano alterando la forma

— 204 —
dell'area della figura, la quale diviene perciò maggiore

di quella q prodotto dei due semiperimetri considerati
come generatrici di liste semplici.

d) Uarea di un caudato è quadrabile perdio co-
stituita della somma delle aree di due figure rettilinee
(Fig. 83* d); fa eccezione il caudato curvilineo generato
dà un semipoligono di un numero infinito di lati (semi-
circonferenza), che percorra con un suo estremo altro
semipoligono uguale. L'area di questo ò solo quadrabile
con l'approssimazione del rapporto ^ della circonferenza
al diametro.

e) La differenza tra l'area effettiva del caudato

e quella q del suo quadrato delle corde, cresce in ra-
gione del numero dei lati dei semipoligoni generatori.

f) Per quanto riguarda la geometria elementare
questi poligoni hanno importanza limitata alla loro mi-
sura, della quale perciò ci restringiamo a trattare.

278. Il punto d' intreccio del perimetro di un cau-
dato coincide con quello delle semicirconferen;^e nelle
quali sono iscritti i due sem /poligoni fattori^ nel solo
caso in cui ciascuno di essi è metà di un poligono re-
golare^ del quale il numero n dei lati è potenza del 2.
Infatti, la quarta parte di una potenza del 2 e nu-
mero intero ; e per un poligono regolare iscritto del quale
il numero n dei lati ò potenza del 2, in un quadrante

sono iscritti esattamente j dei suoi lati; ma nella formazió-
ne del caudato (Fig. 83* e) le semicirconferenze e' e" cfie
hanno i diametri scambievolmente perpendicolari si ta-
gliano in e nei quadranti cha^=cdè » ch'm^=cqo] quindi

— 205 —

dentro i quadranti cqe •= cele risulterà iscritto un nu-
mero intero esatto di lati del poligono generatore, e però
il perimetro del caudato s' intreccia nello stesso punto
d' intersezione e delle semicirconferenze e\ e".

Il numero pari degli n lati del poligono generatore
del caudato non sia potenza del 2, esso sarà della forma
n=:2/> ove/) è intero e dispari; nella (Fig. 83*b) in ciascuna
semicirconferenza o\ o" è iscritto un semipoligono di un
numero p dispari di lati, talché, come vedesi in figura,
nella formazione del caudato, Y intersezione s del suo
perimetro non può coincidere con quello o delle semicir-
conferenze o' o''.

279. Considerando la circonferenza come poligono
di n lati infinitamente piccoli, il numero n sarà sempre
potenza del 2.

Infatti le semicirconferenze e, o generino il caudato
(Fig, 83* D);se si suppone che le dette semicirconferenze
si formino di lati successivi uguali e piccolissimi, nella
formazione del caudato, V intersezione o' è comune tanto
alle semicirconferenze quanto ai semipoligoni di lati pic-
colissimi, e però per il precedente, il numero n di questi
nel poligono generatore è potenza del 2.

280. Varca del caudato^ del quale il numero dei
lati del poligono generatore è potenza del 2, è uguale
al quadrato delle corde del caudato stesso aumentato
del triplo dell'area della sua appendice.

(Fig. 83* e) Infatti, sia acmi quadrato delle corde
del caudato qp, del quale il poligono generatore abbia
un numero di lati potenza del 2. Collocando il semipo-
•ligono agi nel posto del suo uguale ecm^ e quello izm
nel posto del suo uguale ace, si sovrappongono della

— 206 — ì

idice del caudato, quindi l'area di questo
-f- p'. Si dimostra facilmente che p'=p, ,

+ 3.P.

I Sia il caudato di un numero infinito di !
1 semicircolo e nel posto del suo uguale o',
posto del suo uguale o. L'area del cau-

- ap -j- 2.R -|- r' ; ma per quanto dÌmo-

) r' = R e però k^ ap -\- 3.r.
I II caudato generato dai semlquadrati acb,
del rettangolo adfg e dell'appendice li-
1 numero dei lati del quadrato è potenza
i-ea A = adfg -j- 3.cb ; pertanto rettangolo

grò so k' è lato infinitamente pìccolo del
uadrato formante la retta eh, sarà

3.k' ; ossia a c somma del quadralo ab
; un rettangolo avente per base il lato del
'atore e per altezza il triplo di quella del
"ormante questo lato.

sul piano una linea ed una direzione, se
questa dei singoli punti grafici costituenti
tramontano in tutto o in parte, diremo la
rapporto alla direzione.
jmento della direzione sul quale si rac-
ezioni dei punti della linea ripiegata di-
•azione ripiegata.

io delle due contrazioni coordinate dei
i una figura, una ovvero ambedue siano
ura generata è ptire ripiegata.

— 207 —

e) Quando dei due fattori grafici uno solo ha con-
trazione ripiegata, la figura generata è ripiegata sem-
plice ; se le contrazioni dei fattori sono ambedue ripie-
gate, la figura è ripiegata intrecciata.

d) Queste figure, alle quali appena accenniamo,
si formano della sovraposizione sul piano di quelle ge-
nerate dalle coppie di segmenti progredenti o retroce-
denti dei quali si formano i due fattori grafici lineari.

e) L'area di una ripiegata tanto semplice che intrecciata \
è quadrabile, se i jaltori grafici sono rettilinei^ ovvero se es-
sendo curvilinei o ìnislilinei^ sia possibile decomporre la figura
generata^ in tante isosceliche o altre figure quadraìnli, delle quali
l'area della prima sia somma^ come già dicemmo.

282. Fra segmenti curvilinei e mistilinei va distinta
YequivaleuT^a^ la propor:^ionalilà e la similtudine.

a) Due più segmenti sono equivalenti se hanno
uguali contrazioni massime poiché in tal caso si consi-
derano come formati dallo stesso numero k di punti
grafici.

h) Due o più coppie dei detti segmenti sonojoro-
porzionali, se le contrazioni massime dei segmenti di
una coppia sono fra toro nello stesso rapporto di quelli
dei segmenti di un altra coppia.

e) Due segmenti sono simili se hanno la stessa
forma e diversa grandezza; essi sono proporzionali alle
rispettive contrazioni massime se riferiti alla stessa unità
lineare; nel caso però che si assumano come figure di
egual forma^ misurate da unità di diversa grandezza»,
allora devono ritenersi come equivalenti. Così ciascuno

.1
degli archi a, a\ a** . . . . sia - delle rispettive circonfe-
renze e, c\ e" di diverso raggio ; se riferisconsi alla stessa

— 208 —

unità lineare, come archi di ugual misura sono simili e
stanno fra loro nel rapporto delle rispettive corde o raggi ;
se poi i raggi dei circoli e, e\ e" si ritengono come unità
di diverse grandezze destinate alla misura di figure simili
o no di forma, allora gli archi a, a\ a" di ugual misura
devono ritenersi come equivalenti, ossia come formati
ciascuno dello stesso numero k di punti grafici.

d) Quando un segmento curvilineo è considerato
in sé stesso, si adotta la sua corda come contrazione
massima. Così la contrazione massima dell'arco 90** è il
lato del quadrato iscritto ; quella dell'arco 120*" è il lato
del triangolo equilatero iscritto ; quella della semicircon-
ferenza è il diametro : ossia nel circolo di raggio 1,
Tarco 90"* è equivalente a /^2~, Tarco 120'' è equivalente
a ^aT? Tarco 180** è equivalente a 2 ecc.

283. Il lato a;? (Fig. 84*) dell'angolo curvilineo ir-
regolare ;sar/ sia diviso in segmenti amb^ abd^ ade • . . . ,
6 sul lato ay sia dato il segmento anf. Voglia dividersi
il lato ay in archi che stiano con quelli nei quali è di-
viso il lato az nel rapporto amb : anf.

Si tracci un angolo rettilineo arbitrario i'ay\ e le
corde afe, ad, ae . . . . af dei dati segmenti; sul lato ai"
si faccia ab' = ab » ad* = ad » ae' = ae . . . ., e sul lato

ay' si prenda of = a/, si tracci bf e per i punti d\ e'

altrettante parallelo ad essa d'g* » e'K ... ; i segmenti
ag\ ah' si portino come corde dal vertice a sul lato ay
in ag^ ah : avremo amb : abd : ade \ .... : : anf : afg :
agh : . . .

Infatti ciascun arco amb^ abd^ ade .... anfh equi*
valente alla rispettiva corda assunta come contrazione
massima, e poiché per costruzione aV : ad' : ae' : . . . . : :
: : af : ag' : ah' : . . . . cosi sarà anche amb : abd :
: ade :....:: anf : afg .: agh : . . . .

— 209 —

Consegue che fra segmenti curvilinei o nìistilinei,
considerati come figure del secondo stato geometrico, si
possono effettuare tutte le operazioni eseguibili fra i seg-
menti rettilinei ; ossia con segmenti curvilinei potremo
formare delle proporzioni o progressioni, costruire la serie
di potenze ; estrarre l'ennesima radice di un dato seg-
mento ecc. e ciò finché si possano raccogliere senza
sopramontarsi le proiezioni dei singoli punti del segmento
curvilineo o mistilineo sopra la sua corda o sopra altra
linea data come sua contrazione massima. In ugual modo
si vede come le costruzioni grafiche e proprietà geometriche pos-
sibili tra figure simili rettilinee, si possono eseguire èen:;^ ecce-
:iiione tra figure curvilinee, che abbiano i lati delle prime come
corde»

CAPITOLO V.
Selle figure di area qnadraUle per approssimazione

284. Paragonando il colcolo geometrico col nume-
rico, trovasi che il primo prosenta mezzi più perfetti, sia
per esprimere le quantità, sia nel dare i risultati esatti
delle operazioni effettuate tra quelle quantità.

Infatti, nel calcolo aritmetico i numeri si distinguono
in Jinitu indefiniti e irrazionali.

Sono iudefiìtiti i numeri che legati alla unità per un rico-
nosciuto rapporto, non possono però esprimersi mila loro inte-
grità mediante i caratteri di un dato sistema di numerazione;
ad esempio, nel sistema decimale più in uso per la sua fa-
cile ed estesa applicazione, si esprimono in modo indefinito

1
tutti quei numeri che sono - dell'unità e suoi multipli in-

— 210 —

terl, allorché n è diverso da 2 e da 5; come anche si
esprimono con numeri indefiniti le radici di numeri in-
teri che non siano per sé stesse numeri interi. Sono poi
irraTjonali i numeri indefiniti i quali, sfuggendo ad ogni ana-
lisi^ non possono in alcun modo essere rapportati cdla unità o
suoi multipli. Così il numero ^ valore dell'area del circx^lo
di raggio 1 e simili sono irrazionali.

Le operazioni aritmetiche eondacono a risaltati nu-
merici della stessa natura dei numeri sui quali ■ siasi
operato, così operando fra numeri indefiniti o irrazionali,
od anche fra numeri finiti con indefiniti e irraziona-
li, si ottengono risultati che sono indefiniti o irrazionali.

Il calcolo, nei suoi diversi rami e forme, esclusa
la geometria, non presenta caratteri capaci di dare una
idea concreta dei valori indefiniti o irrazionali.

Nella geometria invece le quantità espresse con JU
gure nei suoi tre stati geometrici^ sono tutte finite ^ os-
sia non esistono valori geometrici indefiniti o irrazionali;

così, ad esempio, possiamo determinare con esattezza

1
rigorosa - della unità o di un suo multiplo, ovvero an-
che la radice ennesima di qualsiasi quantità ; e possiamo
anche con una linea o una figura esprimere un va.
lore irrazionale come quello « arca del circolo di raggio
unitario. Disgraziatamente, paragonando una figura con
l'unità della sua spece, non sappiamo a vista e senza
un"' analisi speciale, formarci un'idea del loro giusto
rapporto, sebbene questo esista accuratamente esatto
ed espresso in modo finito da quella figura geome-
trica ; ma non dobbiamo per questo, come ordinaria-
mente si fa, attribuire alla geometria una deficenza
esistente solo nella difficoltà che incontriamo nell* inter-
pretarne i caratteri.

_ 211 _

Inoltre ci serviamo dei numeri per esprimere il va-
lore delle quantità geometriche, e siccome gran parte
dei numeri non possono concretarsi e restano di forma
indefinita o irrazionale, così le corrispondenti quantità
geomftriche che esprimono, abbenché in sé stesse esatte,
appariscono come indefinite ed irrazionali. Ad esempio, .
il lato del quadrato iscritto nel cìrcolo di raggio uni-
tario é valore geometrico finito, ma lo rendiamo appa-
rentemente indefinito esprimendolo col segno v/T che dà
solo un* idea generale del rapporto che passa fra l'u-
nità ed il lato stesso, ovvero lo rappi-esentìamo col nu-
mero indefinito 1,4142 .... ; così possiamo costruire
esattamente un parallelepipedo del quale i lati o fat-
tori siano K~ X /«T X ^ p~' "** P°' "O" sappiamo espri-
mere questo stesso volume con un numero finito.

La geometria più ricca dì caratteri degli altri
rami del calcolo, può esprimere tutti i numeri immagi-
nabili con figure dei tre diversi stati geometrici ; ad
esempio, un numero k razionale o no, può rappresen-
tarsi nel primo stato geometrico con un segmento retti-
lineo e con infiniti segmenii curvilinei e mistilinei, lo
stesso numero k può rappresentarsi con infinite figure di
variato contorno del secondo e terzo stato. Questa pro-
prietà permette nel calcolo geometrico di sostituire alla
Jigara di uno stato quella di altro stato della quale il
calore è espresso dallo stesso numero. Di tale sostituzione
abbiamo dato vari esempi anche in questo ristretto lavoro.

Di più nei tre stati geometrici le figure nel loro in-
sieme costituiscono il carattere geometrico che in vìrttl
della simihtudine, risulta superiore al carattere usato in
qualsiasi altro ramo del calcolo. Possiamo infatti nello
stesso stato geometrico determinare ad arbitrio quante
vogliansi unità di diversa grandezza, e riferite a queste

— 212 ^

diverse unità, possiamo costruire infinite figure simili
che rapporto alla rispettiva unità hanno lo stesso valore
numerico. Trattando delle radici di segmenti maggiori
di 2 vedemmo quanto riesca utile in pratica questa im-
portante proprietà.

285. Una linea / sia divisa in due parti a, h, cia-
scuna di queste diciamo complemento ad 1 delV altra.

L'area di un rettangolo adXab possiamo ritenere come
formata dalla ad ripetuta tante volte quanti sono i punti
grafici costituenti la ab ; ma come linea del secondo
stato, ad è una lista rettangolare, la quale ha per gene-
ratrice il lato piccolissimo = 1 del punto grafico qua-
drato, e la direttrice limitata alla lunghezza ad ; talché
se ad si forma di k punti grafici, come lista geometrica
essa è il prodotto l./c, e però tanto in valore lineare,
quanto in valore quadrato avremo ad = l.k = k. Pos-
siamo quindi definire Varea del rettangolo ab X ^d eome
costituita della somma del prodotto grafico ad = k ripe-
tuto tante volle quanti sono i punti grafici costituenti la ab.

Se i fattori grafici ad, ab sono contrazioni massime
di alterate qualunque, purché tali che la scambievole cur-
vatura nel loro punto d' incontro non sia maggiore di
180% sempre Varca del quadrilatero curvilineo generato
dalle alterate^ è somma di una di esse ripetuta tante
volte quanti sono i punti grafici costituenti r altra.

Aree così generate sono sempre quadrabili, e l'indi-
cato metodo per computarne il valore diremo somma-
torio.

L'area di una figura può essere somma di tanti pro-
dotti lineari di diversa lunghezza, quanti sono i punti
grafici costituenti una data linea suo fattore ab ; in tal
caso, se il valore lineare dei prodotti ordinatamente sue-

213

cessivi cangia secondo una data legge sia aritmetica che
geonnetrica, finché tal legge è nota, la figura generata*
appartiene alle così dette geometriche, ed il valore della
sua area può essere computato col metodo sommatorio.
Spetta airanalisi superiore ed al calcolo differen-
ziale integrale, lo stabilire le leggi alle quali devono
ubidire i segmenti lineari successivi capaci di costituire
con metodo sommatorio una figura che abbia per con-
torno una voluta curva, pei'tanto quando queste leggi
appartengono alla aritmetica e geometria elementare,
anche le figure generate possono essere analizzate e mi-
surate con metodi geometrici elementari, come ci prove-
remo di dimostrare.

286. (Fig, 85*) Nel metodo sommatorio si suppone
che Tasse as delle ascisse di una curva anbn'a' sia diviso
in un numero arbitrario di segmenti uguali piccolissimi,
ciascuno dei quali rappresenta la base di una lista ret-
tangolare sottolissima nq ordinata della curva. Le ordi-
nate successive della curva stessa devono procedere va-
riando di lunghezza secondo una assegnata legge arit-
metica o geometrica. Ciò posto, si misura Tarca asa'b dì

una figura facendo il prodotto s.q ove s è somma di
tutte le ordinate successive che dall'origine a coprono
Tarea della figura, e q è uno dei segmenti uguali picco-
lissimi nei quali si é divisa Tasse as delle ascisse. Per
la misura della curva, anbria\ se partendo dall'origine a
le differenze delle ordinate successive prese due a due
sono ci, d^ • c/jp of„j . . . , la rettificazione della curva

sarà v^diIjI^-4~^^i'+tf'"4"V^rfji'+9^ • • • • ^^^^^<^ '^ somma di tutte
V ipotenuse dei triangoli rettangoli piccolissimi i quali
hanno per cateti la differenza tra due ordinate sucees^

site ed uno dei segmenti uguali in cui è divisa tasse as
delle ascritte.

Il calcolo nel metodo sommatorio si abbrevia quando
le ordinate della curva sono espresse da numeri finiti o
in accertato rapporto conVunità, e che le stesse ordinate
crescono o decrescono in progressione aritmetica o geo-
metrica ; poiché in* tal caso possono applicarsi lo for-
mule aritmetiche che danno la somma s dei termini di
una progressione della quale sia noto il primo e Tultimo
termine,

287. Col metodo sommatorio Varca di una figura
curtilinea può calcolarsi esattamente se le ordinate alla
curva sono espresse da numeri finiti^ ed è solo calcola^
bile per approssimazione se le ordinate alla curva sono
espresse da numeri indefiniti o irrazionali.

Qualunque sia la legge che regola le ordinate alla
curva ancorché il valore di queste sia espresso da nu-
meri indefiniti o irrazionali. Varca racchiusa tra la
curva ^ la sua proiezione retta sulVasse delle ascisse e
le due ordinate estreme^ è sempre esattamente calcola-
bile, quando delle n ordinate successive la metà pro-
cedono secondo una data legge e V altra metà sono
complementi a k delle prime ^ essendo k un numero
finito arbitrario.

Infatti (Fig. 85*) Sia rettangolo adho = /e, e nella
sua area sia tracciata una curva amx% qualunque sia
la legge che né regola le ordinate ; se l'area della misti-
linea adbx'm è somma delle n ordinate, quella della
mistilinea hbxmao è somma degli n complementi alle
ordinate stesse ; ed avremo adbx'm-^anbho=ady^dh'=k.
Sull'asse delle ascisse sia ds = da = ho ; si costruisca
la mistilinea bdsa'n' — bhoamx \ evidentemente sarà

^•^.-*><k *^^ « ■- ' m^ ^.

— Sl5 -^

anello ttiisliiitìea à^'h^hàì'ìh = ad X dh = k: pertanto,
heìla ùm'n'hdb'm delle sue ordinate la nnetà costituenti
là figura hdsa'ri sono complennenti inversamente ed ordi-
natamente disposti di cjuelli costituenti la figura adhx'ra
e viceversa, quindi ecc.

Ancorché le n ordinate non dano dUpoéte ordinata^
meniù ùome gti n loro complementi. Varca della figura
C sempre quadr abile.

Infatti, sia la curva byoob'—hoc'mh\ e le curve 6Va, bn'd^
siano in apparente continuazione della prima come lo
erano già della seconda ; tracciata la corda bb\ avremo
evidentemente figura bV (cy^=^bV x^ m ^ e però asa'nbx'm^:^
^^ asa'n'byxb^ == ad X dh =^ k,

288. Se tana di una figura cónte td descritla è quadra-
bile, le aree par\iali s, s* cosHluitc tUi id s della sórttmd delle n Or-*
ditiale^ l^altra s* della somma degli n cofHplehtenti ad ei'ie^ soHo
separatamente quadrahili solo quando le n ordinate ovvero i
loro n complementi sono espressi da numeri finiti.

Infatti, siano indefiniti o irrazionali i valori delle or-
dinato costituenti per somma Ta figura mistilinea arf/vcr'm,
anche Tarea di questa sarà espressa da numero inde-
finito o irrazionale per* essere somma di numeri della
stessa natura ; e sarà anche indefinita o irrazionale la
differenza k — adbx'm^=bhoamx'=^s^ somma dei com-
plementi a k dello detto ordinate, poiché se s, s sono
l'uno numero finito e l'altro no, la loro somma risulta
numero indefinito.

289. In virtù del superiore principio. si vede che col
metodo sommatorio si può calcolare l'area d' infinite fi-
gure isosceliche o no; questo metodo si sviluppa in una
teoria che offre interesse scentifico, pertanto ci limitiamq

i^ '- • t. '.■■•• •—

■\ -

— 216 —

ad esporre solo alcuni teoremi che si riferiscono a talune
figuro formate da archi circolari, ed alla misura delle
arce o segmenti di area delle coniche.

290. Nel circolo due corde consecutive di archi non
sovraposti si dicono completanti rispetto alVarco ehù le
contiene ; la corda di quest'arco è V addizionale delle
compitanti. Così le corde dì due archi complementi; ri
sono completanti Tarco 90^ e la loro addizionale é la corda
dell'arco 90% lato del quadrato iscritto.

a) Se due completanfi un arco sono fra loro uguali^
ciascuna di esse dicesi completante inedia di quelVarco.

b) Nello stesso circolo o in circoli uguali, le corde di archi
complementari diconsi complementari e suppletnentari si dicono le
corde di archi supplementari O.

Nei teoremi che seguono, parlando del circolo, deve
intendersi che sia di raggio unitario ; sarà facile agli
studiosi estendere gli stessi teoremi a circoli di raggio

r>\

291. (Fig. 86*) Due circoli di ugual raggio siano
tangenti esterni in a ; si tracci per a la perpendicola-
re /i/i' alla linea ce' dei centri. Qualunque retta cf^grrtjbd

parallela alla linea dei centri e terminante in due punti
simmetrici delle circonferenze e, e' rapporto alla hh\ è in va-
lore lineare il quadrato della corda tracciata dal punto
di tangenza a ad uno degli estremi dei detti segmenti li-
neari.

Infatti, si tirino lo corde ae == afy> ag = àm » ab—ad^
e sulla linee dei centri si raccolgano le loro doppie proie-

(1) Vedi Trattato delle eorde nel circolo.

* 1 »

— 217 —

zioni rette z:^\ kìz\ cc\ Poiché, la linea dei centri coin-
cide coi diametri al punto di tangenza a, il quale è anche
estremo comune alle corde, così per il più volte dimo-
strato, le rispettive doppie proiezioni sono i loro qua-
drati lineari, ed avremo

ae^=af=sz'=ef » ag=^am=cc'=gm » ab=ad=kk':=bd.

Da ciò provengono i seguenti teoremi facilmente di-
mostrabili, sulla misura delle aree con metodo somma-
torio.

1. (Fig. 86*) Due circoli di ugual raggio siano tangenti
esterni ina, e una parallela e/ alla linea dei centrine in-
contri in punti simmetrici le circonferenze formando il
triangolo mistilinco esas'f. Finché la corda ae di uno
dei lati circolari del triangolo è minore del lato del qua-
drato FT, talché questo lato circolare è arco non mag-
giore di 90% ovvero che la parallela e/ non sia maggiore
della distanza dei centri ee'=2 diametro, allora l'area

del triangolo mistilmeo si forma della somma dei quadrati
lineari delle infinite corde minori di quella ae che si possono
tracciare per a dentro Tarco ase lato dei triangolo.

2. Se la parallela alla linea dei centri eT> 2 diametro,
e di conseguenza arco am'f'>90% e corda af'> v/T lato
del quadrato, allora il triangolo asg'e'f 'm's' in parte esterno
ai circolo, è ripiegato nella figura e'eaff'm'g', delia quale
Farsa si forma della somma dei quadrati lineari delle in-
finite corde tracciate per a dentro l'arco ase e dei quadrati
lineari di quelle tracciate per a dentro l'arco g'xe\ ossia dei
quadrati lineari delle corde comprese fra quelle ag' ed ae'.

3. Se i eircoli c\ e" di ugual raggio sono esterni^
una parallela ff ' alla loro linea di centri purché non
maggiore della loro disianza^ determina esternamente ai
circoli un trapezio mistilinco raff'n, del quale l'area

— 218 —

si forma della somma di quella del rettangolo arXat
più di quella dei quadrati lineari di tutte le corde trac-
ciate per r dentro Varco rnf.

4. Se la parallela e'T " alla linea dei centri è mag-
giore della distanza di questi^ allora tracciata la tan-
gente parallela me'x, il trapezio mistilineo è ripiegato
nella figura arf 'e"xm'f"fs' della quale l'area si forma
della somma del rettangolo arXah con quella dei qua-
drati lineari delle infinite corde tracciate per r dentro
Varco rnf, più quella dei quadrati lineari delle infinite
corde tracciate per r ad incontrare l'arco xg"e*\

292. (Fìg. 87 a) Due circoli e, e' di ugual raggio siano
secanti. L'area della figura lenticolare ambm", costituita
della parte nella quale i due circoli si sopramontano, si fbrma
della somma dei prodotti lineari delle infinite coppie di com*
piotanti come ra, rb elle possono iscriversi in uno degli arclii
amb=am'b del contorno della lenticolare.

Infatti, sia ra^ rb coppia di completanti l'arco amb
di centro e.

Nel triangolo iscritto arò abbiamo raX/'6=2.r/i=rr'
per essere il circolo e di raggio unitario, e però hr=hr\
ossia il punto r' è equidistante e simmetrico di quello r
rapporto alla addizionale ab delle completanti. Ciò veri-
ficandosi per qualsiasi altra coppia di completanti lo
stesso arco amb, consegue che i punti o\ n\ m\ r\ s'
rapporto alla addizionale aò, sono equidistanti e simme-
trici a quelli o, n, m, r, s, ossia per i primi passa un
arco am'b=amb che appartiene alla circonferenza <?' di
ugual raggio di quella e ; pertanto i punti o\ n\ m\ r' s\
sono estremi dei prodotti lineari di altrettante coppie di
completanti l'arco amb, quindi l' insieme (somma) di que-
sti prodotti lineari forma l'area della Icnticplare arnbfn\

- 219 —

293. L'area del circolo k — ^s\ forma della somma del
prodotti lineari delle infinite coppie dei lati dei triangoli ret-
tangoli iscrittibili nella semicirconferenza.

Infatti (Fig. 87* a), in due circoli secanti e, e\ col
diminuire della distanza dei centri, cresce Tarea della
figura lenticolare ambm' costituita della parte nella quale
i due circoli si sopramontano : quando i centri e, e' coin-
cidono nello stesso punto (Figura 87* b), gli angoli cur-
vilinei a, b della figura lenticolare raggiungono l'apertura
uguale alla curvatura della circonferenza, e la detta fi-
gura si trasforma nel circolo o, nel quale gli estremi di
un diametro qualunque possono segnare i vertici della
figura lenticolare così ridotta, e però formata da due
semicirconferenze amb^ am'b nelle quali in qualunque
coppia le completanti sono fra loro perpendicolari ed
hanno il diametro come addizionale. Ma poiché nel triàn-,
golo rettangolo iscritto anb abbiamo nay^nb=nn' corda
del circolo, e ciò ripetesi per le infinite coppie di com-
pletanti la semicirconferenza amò, così l'area del cìr-
colo A = i^ si forma della somma di tutti i prodotti li--
neari delle infinite coppie dei lati dei triàngoli rettangoli
iscrittibili nella semicirconferenza.

294. (Fig. 87* a) Si osservi che il massimo prodotto
lineare di tutte le coppie di completanti l'arco amb^ ò
quello mm' quadrato lineare della completante media
ma=mb e doppia freccia dello stesso arco.

La corda rm che congiunge l'estremo comune r di
una coppia di completanti ra, rb coirestremo m comune
alle completanti medie, dicesi corda integrante le com-
pletanti ra, rb.

— 220 —
295. La somma del prodotto lineare di due completanti
reo circolare col quadrato lineare della rispettiva Inte-
te è uguale al quadrato lineare della completante media,
1 alla doppia fi*eccia dell'arco.

Infatti (Fig. 88") i circoli di ugual raggio e, e' si
amontino della lénticolare amhm\ con Io stesso rag-
si descriva l'arco snis' tangente nel punto medio m
arco amb; negli estremi della corda ab si elevinole
lendicolari as, bs\ e si completi 11 rettangolo aè.s's. Il
igolo mistilineo bomes' = ams risulta di lati circolari
ali e di base rettilinea bs* parallela alla linea dei
ri, e però la sua area si forma della somma dei qua-
,i lineari delle infinite corde che possono tirarsi per
lell'arco moè; si traccino quante vogliansi parallele eo'
linea dei centri tra gli archi anCb, sms', e per la
ettiva intersezione o si traccino le completanti oa, oh
irò integrante om. Per qualunque coppia di comple-

:i avremo costantemente oa \ ob = oo", mo ^ oe e

i oa X o6 -j- om == co' -^00^= o'e ^= mni" quadrato
are della completante media ma ^:=^ mb e doppia frec-
dell'arco amb.

296. (Fig. 88') La Usta mistilinea am'bs'ms è equi-
3nte al suo quadrilatero delle corde abs's, e queslo
guale al rettangolo circoscritto alla lénticolare ambm.
amando a il rettangolo circoscritto, s Tarea delle len-
(lare che è somma degli infiniti prodotti lineari delle
pie di completanti, s' la somma dei quadrati delift
nite corde che possono tracciarsi per m dentro l'arco

R — «
!>, avremo a ^ s -|- 2.s' » s ;= a — 2.s' » s' ^= — g — '

ia le somme s, 2,s' sono rìspettioamente complementi

- 22Ì —

Nel circolo, limite massimo delle lenticolari, del
quale Tarea è n ed il quadrato circoscritto è 4, avremo
^ = é — 2.$' doppia somma dei quadrati lineari delle
corde non maggiori del lato del quadrato iscritto ; i nu-
meri ^ , 2.8* sono rispettivamente complementi a 4, ed
ambedue irrazionali ; poiché essendo tale ^ lo sarà anche
il suo complemento 4 — r: z=: 2.$\

297. (Fig. SO"") L'area a racchiusa entro due drcpH
secanti e, e' di ugual raggio è a = 2 (ab x ce' + s') + s,
essendo ab corda comune ai circoli, ce' distanza dei centri,
s' somma dei prodotti lineari delle completanti l'arco bgd sot-
teso dalla corda bd = ce' ed s somma di uguali prodotti
lineari delle coppie di complelanti l'arco anb.

Infatti osservarndo là figura si vede che l'area a si
forma del rettangolo a'^fda' più quattro segmenti circo-
lari di corda bdy più due segmenti circolari di corda ab :
ma per essere angolo fbc' = bde il quadrilatero c'bdc è
un parallelogramma, ossia bd=^bf=ce' distanza dei
centri. I quattro segmenti circolari presi due a due for-
mano due lenticolari ciascuna di area s' costituita come
è detto, ed inoltre segmento a^dm' -f- ^''Z^' ~ amba lenti-
colare di area s come o detto : sostituendo e sommando le
dette quantità, trovasi a = 2 {aby^cc'-{-$^y\-s.

2. La stessa area è a =:(2.cc'-f- -^ ) — 2.z essendo ce'
distanza dei centri, z somma degli infiniti quadrati lineari
delle corde non maggiori della complementare bg alla bn
completante media dell'arco anb sotteso dalla corda ab co-
mune ai circoli.

Infatti la figura mistilinea egm'g'e^n si forma del
circolo e =::^ e della lista g'ngen'e'=^ee'g'g=2.cc' per essere
2 il diametro ; ma figura egm'g'e'n' — a = 2.grbr'e = 2.;s, e
però A=(2.cc'-j- w) — 2.z.

— èèè —

3. La stessa area è anche A=y — 4.z essendo y )a
somma degli infiniti prodotti lineari delle completanti Tarco
ag'a'm'dgb supplementare di quello anb sotteso dalla corda ab
comune ai circoli, e z è somma dei quadrati lineari delle in-
finite corde non maggiori di quella bg, come sopra è detto.

Infatti : la somma y dei prodotti lineari dei lati degli
angoli della serie acutangola iscritti nell'arco ag'm'gh^
ossia delle coppie di completanti questo arco, costituisce
Tarea della mistilinea egm'g'e'rC più quattro volte il trian-
golo mistilineo egrbr'^:^^ e però egm'g'e'n* — 4.;?=y — 4.;?=a.

298. Diamo un esemp.o di applicazione pratica del
metodo sommatorio alla misura dell'area del circolo e
delle altre coniche.

Dicemmo che il valore dell'area del circolo è espresso
dal numero ^ il quale è somma degli infiniti prodotti li-
neari dei lati dei triangoli di una serie rettangola iscritta
nella semicirconferenza.

Ciascuno di detti prodotti lineari è una corda del
circolo che come linea del secondo stato geometrico, può
considerarsi quale lista sottilissima avente forma di tra-
pezio.

Il numero delle corde o liste costituenti per somma
quello ^ è infinito ed esprimendolo limitatambnte con m,
quanto maggiori saranno le unità contenute in m, tanto
più la somma delle m corde o trapezi si avvicinerà al
giusto valore di ^^ , il quale ò perciò numero indefinito.
Inoltre i? è anche irrazionale come somma dei prodotti
dei lati di triangoli rettangoli, i quali come sappiamo per
essere valori radicali sono espressi da numeri irrazionali.

Consequeché - potrà esprimersi numericamente come
fece Vallis sotto forma di prodotto d'infiniti fattori, o
sotto forma di frazione continua quale lo rappresentò

a I

-è23 —

Brounker ovvero anche sotto forma di serie infinita come
lo presentò Leibniz, ma sempre in modo indefinito. La
sola geometria sotto forma deWarea del circolo^ o an^
che sotto forma di corda nel circolo^ ci presenta finito
il numero irrazionale « . Ciò premesso :

Sappongasi il raggio unitario diviso in 100 partì
uguali e però il diametro in 200 ed il doppio diametro
in 400 parti uguali, e sia prestabilito di rappresentare
con numeri a 5 decimali in parti di raggio 1 i valori
radicali dei lati dei triangoli rettangoli dalla serie iscritta
nella semicirconferenza.

Delle 400 parti uguali nelle quali è diviso il doppio
diametro 4, le prime 200 sommate a due a tre a n, si consi-
derino come altrettanti quadrati lineari, per modo che il
doppio diametro resta così diviso in 200 coppie di quadrati
lineari espressi in parti decimali del raggio 1, dei quali la
somma di ciascuna coppia è 4 ; le radici dei segmenti
di ciascuna coppia sono lati di un triangolo rettangolo
iscritto nel semicircolo di raggio 1. Avremo infatti

K 0,01 +1^3,99 =K 0,02 +K 3,98 = K 2,00 +K 2,00 = 4.

In virtù del più volte dimostrato le corde perpendi-
colari abbassate dai vertici dei 200 triangoli rettangoli
così costruiti sul diametro, loro base comune, dividono
il raggio in 200 parti uguali. Fra queste corde, ossia pro-
dotti dei lati, il massimo è quello [/ 2 X k 2 = 2 dia-
metro, per modo che Tarea del semicircolo resta così
formata di 200 liste irregolari o trapezi aventi tutti la
stessa generatrice ossia altezza 0,005.

Affichè anche il residuale semicircolo resti in ugual

modo diviso, esclusione fatta del diametro [/ 2 Xr 2
dovranno ripetersi gli altri 199 prodotti lineari inversa-

- 224

Prodotti

0, 1997500000
0, 28^1313858
0, 3451191929

Loti dol trian. rettangoli

/^ÓTOI X ^3799 =

/Òr02 X ^37^8 =

^ÒTOS X ^3797 =
> > >

» > >

^^2700 X / XlìO = 2, 0000000000

316, 1224537173
313, 1224537173

Somma

S =

S' =

S+ S'

^. = 8-^8'

■

200

= 628. 2449074346
- 3, 141224537173

mente disposti ; così V intera area del circolo resta for-
mata di 399 trapezi di uguale altezza, dei quali la somma
dà per approssimazione il valore ^ dell'area del circolo.
Il calcolo sì dispone come sopra. Fatta la somma s

dei prodotti a partire da quello k coi X k 3,99 a quello

[/^X l^2rossia diametro, trovasi s=31 5,1 2245371 73.
Sottraendo il diametro 2 trovasi s'=:31 3,1224537173; e som-
mando s+s'=628,2449074346, si divide per 100, tante
essendo le parti nelle quali si è diviso il raggio, ed
avremo il valore approssimato dell'area del circolo in
rapporto al quadrato dol raggio ; dividendo ancora per 2
troveremo con approssimazione a tre decimali ^ = 3,141
area del circolo e rapporto della circonferenza al dia-
metro. Quando vogliasi maggiore approssimazione si di-
vida il raggio in un numero maggiore di 100 posti uguali,
facendo r:=:1000 ovvero r:=10000 ecc. e si esprimano i lati
di triangoli rettangoli della sorie con numeri aventi più
di 5 decimali ; nel resto si operi corno è descritto.

299. Il circolo è una ellisse nella quale i fochi coin-
cidono nel centro, il diametro è il parametro, i raggi
vettori si sovrapongono formando il raggio del circolo,
le assi sono fra loro uguali.

È noto che nella ellisse le ordinate riferite ad un
suo asse^ sono proporzionali a quelle di uguali ascisse
nel circolo descritto su queir asse come diametro, nello
stesso rapporto che passa tra le due assi dell* ellisse.

(Fig. 90*) Si elevino quante vogliansi ordinate prolun-
lungate cg^ mt^ pq . . . b\ diametro ad di un circolo e. Sulla
direzione della ordinata cb passante per il centro si deter-
minino i segmenti arbitrari ce^ ch^ cg . . . , sulle direzioni
delle altre ordinate mm% pò si determinino dei segmenti

che siano rispettivamente con esse nei rapporti-7 ^> "T » "1

.... e per i punti così determinati a, 5, r, e ... . d »
» a, je, o\ /i . . . . d 3) a, q^ t^ g . . . . rf . . . . fatte passare
delle curve continue, queste risulteranno altrettante semi
ellissi aventi un asse comune ad e formanti una serie
della quale il semicircolo di diametro ad è fonda-
mentale.

L'area « del circolo essendo somma di tutte le doppie
ordinate al diametro ad, quella a di una ellisse della
serie di asse minore 2 ce, 6 data evidentemente dalla pro-

porzione a : ^ : : (cd=l) : ce onde a = — -. In uguale
modo per Tarea a^ di un ellisse aqtg .... di asse mag-
giore 2xg ed asse minore ad, avremo a^ = — ecc.

Sono in tal modo quadrabili con l'approssimazione «
dell'area del circolo, non solo le ellissi della serie all' in-
finito, ma anche le lunole formate dalla semicirconferenza
del circolo fondamentale e dà una semiellisse come am^bde^

— 'Sè6 -

nzhdb^ nonché quelle formate da due semiellissì della
serie come deazh^ deatg ; i segmenti di lunola ellittica
come rsaom\ eram^by e conseguentemente le aree delle
figure regolari o no che possono decomporsi in ellissi,
lunole ellittiche, semilunole e segmenti ellittici.

300. Nella parabola i quadrati delle ordinate sono
in ragione diretta delle ascisse corrispondenti; mentre
nel circolo i quadrati delle corde da un estremo del
diametro sono in ragione diretta delle rispettive proie-
zioni su di esso. In virtù di tale correlazione (Fig. 91*)
sopra quante vogliansi ordinate prolungate del circolo e
si prendano dei segmenti pò, cn\ qr, ds rispettivamente
uguali alle corrispondenti corde ae^ ah^ an, ad. Avremo

ap : pò : : ac : cn* : : . . . . ad : ds, ossia la curva con-
tinua che passa per i punti a, o, n', r, s é una parabola.
Sulle direzioni delle ordinate della detta parabola si de-
terminino dei segmenti in un rapporto arbitrario facendo
pz : pe :: cv : cn' : : dt : ds od anche pb : pò :: cg :
: cn' :: . . . . dk : ds e le curve continue fatte passare
per i punti a, z^ o, m'\ t » a, 6, ^, h\ k sono altrettante
parabole costituenti insieme una serie della quale il cir-
colo fondamentale è quello di raggio ca.

Nella serie la parabola dan'rs^ la quale ha per ordi-
nate le corde corrispondenti del circolo fondamentale, di-
remo equilatera e generatrice della serie.

L'area del segmento sn^an^s' della parabola equila-
tera, in conseguenza della descritta costruzione, si vede
che è somma a delle infinite corde che dall'estremo di
un diametro si possono tracciare nel circolo fondamen-
tale, e però si calcola sommando i valori in parti di
raggio 1 dei lati degli m triangoli di una serie rettan-
gola iscritta nel semicircolo. Ci avvicineremo sempre più

— 22^? —

al giusto valore dell'area a, quanto maggiori sono le
unità costituenti m.

Le aree delle parabole della stessa serie evidente-
mente stanno fra loro come le rispettive ordinata corri-
spondenti ossia di uguali ascisse, e però per Tarea a ^
del segmento parabolico tvav't' faremo a : a^ : : ^n' : cv,

A, co

ossia Aj -= -^, e per il segmento parabolico kgag'k'

A.eq

avremo a,. = — f.
^' cn

In modo analogo si calcola per approssimazione e

per differenza Tarea di uno spicchio parabolico kgan\ di

un triangolo mistilineo del quale un lato sia circolare e

Taltro parabolico come dhan's^ di un frammento come

vv'xm^ gg'x'h\ ed in gènere delle figure regolari o no

che possono decomporsi in segmenti spicchi e frammenti

parabolici.

301. (Fig. 92*) Il diametro ab del circolo e iscritto
nel quadrato sia Tasse primo di una iperbola rettangola.
Per costruire la curva si divida il semiasse primo, ossia
raggio ca, in un numero arbitrario di parti uguali co.

A partire dal vertice a si portino successivamente in
1, 2, 3 • . • . n segmenti uguali a co, e si elevino le per-
pendicolari indefinite all'asse prolungato ab. Col centro
successivamente nei punti o, a, 1, 2, 3 .... n e raggi cre-
scenti o6, abj 16, 26 ... si taglino in s, s' » n, n » m, m' »
y> p^ p* » . • . • le perpendicolari successive. Per i punti
/>, m, n, s, a, s\ n\ m\ f fatta passare la curva continua
questa sarà V iperbola rettangola, inquantochè essa ha
gli assintoti ce/, ce scambievolmente perpendicolari.

Infatti, nel circolo di raggio ob abbiamo 16x12 =

»:'v

?!*

— 228 —

ìt= ib y(^ia = 1s^ ; nel circolo di raggio ab abbiamo

26 X 24 = 26 X2a = 2n ecc.

Si taglino nello stesso rapporto arbitrario le ordi-
nate successive prolungate ove occorra, della iperbola
rettangola, facendo Ir : Is : : 2c> : 2/i : : 3a: : Si» : : . . .
e simmetricamente all'asse si riportino in r\ v\x\f' i
punti r, e, a?,/, e la curva continua /rac'/' è una iper-
bola della serie nella quale il circolo e è fondamentale, il
suo diametro ab asse primo comune, e V iperbola rettangola
pnan'p' generatrice della serie ; qualsiasi altra curva
kqaq'W costruita in egual modo ma con ordinate che
siano in un diverso rapporto di quella della descritta
con quelle corrispondenti alla rettangola, è pure iperbola
della serio.

Il raggio ea del circolo fondamentale suppongasi
diviso in 100, 1000, 10* parti, e come dicemmo per le
altre coniche, l'area a di un segmento />/ia/ijo' della iper-
bola rettangola è data dalla somma delle doppie ordinate
alla curva. Avremo cioè :

A = 2 (y/l« X 16 + v/2a X 26 -f . . . . y/na X^6+...-)-

L'arca a, di un segmento di altra iperbola della serie
sta a quella a del corrispondente nella iperbola rettan-
gola nel rapporto delle rispettive ordinate riGerite alla
ascisse comuni ; talché se Aj e l'area del segmento iper-
bolico foaof\ ed a^^ e l'area del segmento iperbolico

kqaq'W avremo:

A X Ir aXI^

,j : : Ir : \s ossia a^ — — r

s ^ ^^ = ~U~ ^'''''

Come si disse per la parabola, si possono calcolare per
differenza e con approssimazione le aree dei triangoli
jnistilinei aventi per lati un arco circolare ed altro iper-

— 229 —

bolico come Agamp^ ovvero aventi per lati archi iper-
bolici come foanp^ o segmenti come qkk'q\ vfpm^ e con-
seguentemente di tutte quelle figure regolari o no che
possono decomporsi in triangoli o segmenti iperbolici.

302. Riteniamo di aver provato a sufficenza che
nelle sue applicazioni la geometria può estendersi molto
più di quanto oggi si ritiene. Sono incalcolabili i van-
taggi che potrebbero trarre le arti e le industrie da
questa scenza, qualora si volesse modificarne T insegna-
mento segnatamente nei corsi tecnici. Ci riterremo ben
fortunati se a raggiungere tal fine, alla nostra debole
voce si unirà quella di coloro i quali assai più di noi
competenti, possono trovare ascolto presso chi presiede
al pubblico insegnamento.

PARTE QUARTA

Esercitazioni topografielie

Dimostrammo come la causa prima degli errori che frequente-
mente si verificano nel rilevare un terreno, può attribuirsi alla
eventuale imperfezione della graduazione dei goniometri usati (2d»25X
nonché alla impossibilità di potere riprodurre in disegno con rigo-
rosa esattezza la maggior parte degli angoli rilevati.

Suggerimmo di sostituire alla attuale graduazione del circolo
in 360^ quella per archi 3° e loro duennesim! (25), la quale può
costruirsi rigorosamente esatta, mentre anche tutti i suol angoli
sono esattamente riproducibili mediante la riga ed il compasso

Quando tale sostituzione non sia possibile, per evitare errori,
alla graduazione per 360^* l'operatore dovrebbe preferire i molti
mezzi che oflfre la geometria per misurare o costruire gli angoli
senza ricorrere alla divisione della circonferenza per gradi e decimi
di grado.

Nelle esercitazioni che seguono, abbiano supposto che l'opera-
tore si serva della catena agrimensoria e della faìsa squadra sia
ad intraguardi sia a canocchiale.

La falsa squadra si forma di un disco metallico girante sopra
un sostegno. Nel centro del disco, con rigorosa esattezza s* inter-
secano due linee tra loro perpendicolari e le bisettrici dei quat-
tro retti che esse formano.

Una delle linee di mira è fissa al disco e collima con una delle
dette perpendicolari segnata 0.'* 180^ Taltra sovraposta è esattamente
girante nel centro del disco.

Per questa disposizione girando il disco sul quale le due linee
di mira segnino un angolo al centro, questo può riprodursi sul
piano rigorosamente esatto sotto diverse orientazioni.

Altri, più di noi competenti, ci hanno preceduto nel dare me-
todi per misurare o costruire gli angoli sia con la catena agrimenso-

— 231 —

ria sia con la falsa squadra, e nella soluzione dei problemi ci siamo
talvolta prevalsi dei mezzi da essi indicati.

Supponiamo che i nostri lettori siano esperti nella agrimen-
sura, e però salvo poche eccezioni, ci siamo limitati alla misura
delle distanze e dei perimetri ed aree di figure inaccessibili alPo-
peratore.

Esercitazione I. — Costruzione, misura e decomposi^
sione in duennesimi degli angoli mediante la catena
agrimensoria ed operazioni varie tra i valori angolari.

(Fig. 03») 1. Costruire i quattro angoli primari 360* » 120* » 72» »
> 24^ (3).

È nota la costruzione, mediante la catena agrimensoria dell'an-
golo retto e però costruiremo ang. 360® facendo 4 X W» = W^. Si
sa ugualmente costruire l'angolo 60o, perimetrale del triangolo
equilatero, quindi faremo ang. 120« =2 X 60^.

360«
Per costruire ang. 72** =: —^ (Fig. 93*) nel triangolo rettangolo

cad sia ad = -g", de = da, cm =z ce. Nel punto medio o del segmento

ma si elevi la perpendicolare ab, con centro a e lunghezza abnzcm,
si tagli la perpendicolare in b, e tracciata la bc risulta ca, consi-
derato come raggio, diviso in m in media ed estrema ragione ;
quindi ca : {cm = ab) : : ab : am-, ma per la perpendicolare ob
sulla metà della base ma, il triangolo mba è isoscele e slmile a
quello acb che è però anche esso isoscele. Consegiie che nel circolo
di raggio ca è ab lato del decagono regolare iscritto, quindi angolo

, 860* 180* — 960
ac6 = -jQ- = 36% ang. cab = g — 7^.

Per costruire angolo 24« si formi l'equilatero bcg avremo an-
golo acg :=z bcg -- bea = 60^ — 36« z= 24**.

2. Decomporre in duennesimi un angolo dato per dir^ioni dei
lati.

— 232 —

Dovrà bisecarsi successivamente il dato angolo (2.a)

Con la catena agrimensoria sappiamo bisecare un angolo me-
diante le intersezioni delle perpendicolari elevate al lati in punU
eqiildislanll dal vertice, ovvero anche per intersezioni di segmenti
uguali assunti come raggi, da centri presi sui lati equidistanti dal
vertice; ma per una serie duennesima decrescente di angoli che
in breve divengono piccolissimi, i detti due modi danno luogo flacil-
mente ad inesattezze. Esponiamo però un modo per bisecare l'an-
golo mediante la misura lineare.

(Fig. 94*) Vogllansl i duennesimi dell'angolo aeb.

Per un punto m di un suo lato ac si tracci 1' allineamento ah
parallelo all'altro lato cb, e su questo allineamento si faccia rr]f=
'=mc *fg=fc> gk = gc e cosi proseguasi.

Per i triangoli isosceli /me, gfc, figc .... e per le parallele cb,

acb
mh avremo ang. mqf ~ mfc — fcb ; ossia ang./c6 = -2~ 1 *n((olo

feb acb
fcg — fgc ~ gcb ossia ang. gcb =: -^ -=^ -^ ; ang. gch = ghc= liai,

gch fcb acb
ossia ang. hcb =.-^— —^ = -g- ecc.

3. Misurare dal vertice gli angoli $iano essi interi /rasionari o
fruiti, costrwbUi o no.

Un angolo costruibile formandosi delle possibili comblnaztoni
tra i duennesimi del quattro angoli primari (6), è sempre misura-
bile con la catena agrimensoria o fettuccia metrica, polche pos-
siamo costruire con queste tanto gli angoli primari che i loro
duennesimi.

Sia dato un ang a per direzione del lati, si sottraggano da
esso tutti gli ang. primari e duennesimi di questi che è capace di
contenere, e l'angolo residuale si raddoppi successivamente, ne
resterà formato uno degli angoli primari se quello dato a è costrui-
bile (6). Se cosi operando non ne resti formato un angolo prima-
rio, ciò indica che l'angolo a non è costruibile con la riga ed il
pompasse, ed in tal caso potrà essere determinabile o no (H)'

— 233 —

Quando sia determinabile è anche terza parte di altro angolo
costruibile (18) e perciò il suo angolo triplo sarà angolo primario
o composto di duennesimi di angoli primari. Ad esempio. Si trovi

900

a ~ 90^ -|- "g" "^^ ^^^' ^' ^ duplicando :s 5 volte ne resti formato
ang. -^ = 36®; avremo ang. a = 90« + -g- -f- 1 ^r = 32) = 90° -f

+ 11^25 + 1M25 = 102*.375. Accada invece che duplicando succes-
sivamente ang. js, si superi arco 120^ senza incontrare angoli pri-
mari o loro duennesimi. allora si formi ang. 3.^ che essendo
costruibile si decompone in duennesimi di angoli primari come si

24*»
è detto. Così ad ipotesi togliendo dall'angolo 3 2 ang. -^=6"* resti

un angolo piccolissimo 2\ e questo duplicato quattro volte suc-
cessi ve riproduca Tang. 6®, ne dedurremo ang. 3.«=: 6^+54 =6^375

6® 375
da cui ^= -^ =:2M25, quindi ang. a=90'»+ll^25+2°,125=103**,375,

esatta misura di angolo determinabile che però non può riprodursi
mediante la riga ed il compasso; per renderlo costruibile dovrà
ridursi tale come esponemmo al (21).

Suppongasi che quando come sopra nella misura delPang. a
si trovi ang. 3.^ non costruibile ; ciò indica che il resto ang. 3 è
indeterminabile, e rinvenuto che ang. 3,3 supera di quantità tra-
scurabile quello 6®,375, come esponemmo al (21), per misura del-
Pang. a si adotti quello delPangolo costruibile che più si appros-
sima per eccesso all'ang. 103**,375; ovvero trovato 3.^ inferiore di
quantità piccolissima all'ang. 6^375, si adotterà l'angolo costruibile
che più si approssima per difetto all'ang. 103**,375.

L^esposto modo di misura degli angoli mediante la catena
agrimensoria la fettuccia metrica è geometricamente esatto, però
richiede nell'operatore grande pratica e precisione.

4. Riprodurre sul terreno o in disegno gli angoli rilevati o dei
quali sia dato il valore in gradi e duennesimi di grado.

La riproduzione di angoli rilevati si effettua ripetendo inversa-
mente le stesse operazioni eseguite per misurarli. Cosi, ripresi i

— 234 —

precedenti esempi, si riproduce angolo a sommando OO'^-f- "fi~+"39"

ossia costruendo in successione l'angolo retto, il risultato di tre bi*

sezioni di questo è quello di 5 bisezioni delPang. 36«. Si costruisce
il determinabile ang. 103^,375, sostituendo alla sua parte non co-
struìbile 2«,125, »ìn angolo costruibile che ne differisca per eccesso
o difetto di quantità trascurabile e ciò come è detto al (21), ope-
rando nel resto nel descritto modo. Se Tangolo da costruirsi è dato
per gradi e duennesiml, si ricerca nella tavola (3) quel duennèsimi
di angoli primari i quali combinati per somma, differenza, pro-
dotto o quoto riproducono il valore angolare dato, quindi si ripro-
0UCOIK) ordinatamente e successivamente gli stessi duenneslnù per
foriparne Pungolo. Deve fero osservarsi che lo stesso angolo può
comporsi di diverse combinazioni tra duennesiml di archi primari,
in tal c^ao si presceglie quella che sia più facile eseguire o grafi-
camente o sul terreno.

Finalmente se il valore angolare dato è indeterminabile, si rende
determinabile sommando con la prima sua cifra a destra le unH&
necessarie a renderlo multiplo di 3 e terminante per le cifìre
0^,5 » 0", . . 25 > 0^ . . 75 e si opera nel resto come si è detto. Ad
esempio voglia costruirsi ang. 103^,372, scriveremo 103*,375 che è

4eteruìinitbile e sommando con esso ang. 0*»,03125 = -^ diverrà
aogok) costruibUe 103^40625; lo decomporremo negli angoli 90° -f

t24®\
12*=:-^|-f-P,40625 ; ridurremo quest'ultimo al suo angolo base

facendo l*»,40635X(2*=:32)=45^ e flnalmenie costruiremo con grande
approssimazione II riclulesto 103^,372, sopimando il retto eon la
me.t^ dett^aj^olp 24.* ed U risultato di 5 bisezioni del semiretto.

Quando poi si vogliano costruiire con rigorosa esattezza angoli
determinabili o indeterminabili, necessita fornirsi di catene costruite
come è indicato al (27) per quindi operare come è detto al ('^6).

5. Eseguire sul terrmo^ o in disegno volate operaaioni tra daH
iH»ioH ongalarL

ha operazioni fra $ll angoli si eseguiscono numertcamente tr»

— 235 —

ì loro valori, e quindi si costruisce sul terreno o in disegno l'an-
golo dato dal risultato dell'operazione numerica.

Riteniamo suffìcenti due esempi per norma degli esercenti,

1. Si richieda y ^^^ quintuplo di un angolo a dato per dire-
zioni dei iati.

Misurato come sopra risulti ang. a — 5°,25.

5«,25X5 15^

Faremo — ^ — = 3^75 = -^r che si costruisce con due bise -

zioni dell'angolo 15 =: -^.

2. Domandasi una serie crescente di angoli interi della quale
sia primo termine ang. 3° e somma dei termini la circonferenza.

La somma dei primi n nurtierl naturali è s = — ^^-^ =

= -"2 — , e 2.8 =z rv-j-n {\). I numeri stanno agli angoli corrispon-
denti come 1 : 3 ; somma assegnata della serie angolare è la cir-

360^
conferenza 360° : quindi 3.s = 360^> s = -3 — = 120^ che sostituito

— * — i

nella formula (a) dà 2X120— n +/?, da cui /i = 240 — n ; però, si tolga

dal 240 il maggior quadrato intero del quale è capace, cioè 240—

—(2.25=15)=: 15, e questo sarà il numero /idei termini dei nu-
meri che in ordine naturale danno per somma 120. Triplicando i
primi 15 numeri in serie naturale ne ricaveremo quello dei quin-
dici angoli 3% 6^ 9^ 12« . . . . 45° dei quali la somma è 360°.

Es. II. — Con la catena agrimensoria misurati per
eaminamento n lati di una poligonale^ t^erijìeare se
siasi errata la misura degli n — 1 angoli precedenti.

Dal principio (95) risulta che la somma s degli angoli di una
poligonale di /i lati è s = nX180°— g+g', essendo g, ^' gli angoli
che formano due parallele con i lati estremi della poligonale.

(Flg. 20») Sia 6 origine della poligonale bcef.., h, si formi con l'^alli-
neamento 6a l'ang. afte arbitrario. Da un punto «dell*allineamento6a

— 236 —
sia visibile un vertice h della poligonale. Si ponga un segnale ina
e si misurino gli angoli hab—p > ahc^q: giunti con la misurazione
in h, con la direzione ha sì faccia ang. ahi =p, e si misuri an-
golo ghi=q'. Essendo n i segmenti già misurati della spezzata, la
somma dei suoi n— l angoli pure misurati sarà s=nX18^*'— ^-f-i?'-
Se ciò non si verifica la loro misura è errala e dovrà ripetersi in-
versamente finché non siasi rinvenuto e corretto Terrore.

2. La poligonale sia nel sottosuolo oin terreno coperto, allora
si misuri l'angolo afte = g che la direzione dell'ago magnetico forma
in b col primo lato Modella poligonale, e giunti in h sì misuri l'an-
golo ghi — (t che l'ago magnetico fa col lato hg. Avremo come
sopra 8 = nX180<'— g-f g'.

3. Sìa h origine della poligonale situata in terreno soleggiato,
e dal punto h non sia visibile alcuno dei suoi vertici.

Si collochi In h una palina verticale e si misuri l'angolo g/U^q
che l'ombra proiettata dalla palina sul suolo forma col lato Itg,
contemporaneamente si osservi sul cronometro per minuti primi
l'ora k. Giunti in b si collochi una seconda palina verticale e si
misuri l'angolo mbc = g' che l'ombra di questa forma col lato bc
e si osservi l'ora te*.

Le direzioni hi, bm delle ombre delle paline non possono essere
parallele a causa del tempo te'— te impiegato nella misurazione e
per il moto solare apparente. Suppongasi tracciata la ba parallela
alla ft(, l'ang. abm che misura l'inclinazione scambievole delle di-
rezioni delle ombre hi, bm è espresso in tempo dall'ora te' — te. Dovrà
perciò ridursi questa misura in gradi e decimali. Il giorno es-
sendo diviso in ventiquattro ore. l'angolo che l'ombre dì un
gnomone formano tra loro dal principio alla fine di ora 1 = 60'

360»
è ^ = "24 =10".

Si risolva la proporzione 6(y : 15" : ; te'— te : ang.afcm, nella quale
sia ad ipotesi te = ore 8, e te* := ore 8.45, ed avremo angolo abm —

46'X15''
— 0„- — gQ — = ang. ll'',25, e perciò angolo abc = abm + mbc —

■= W, ^-{-mbc = q' ('), da cui come ai precedenti s^nXlSO"— ?+?'■

(I) Vedi Parts IV - GrooogoniometriA.

- à37 -

4. fJon si dispónga né dell'ago magnetico né del cronoihetrò.
Allora misurato alPorigine l'angolo abc = q, 1 valori rispettivi agli
angoli successivi della poligonale dovrà essere In ciascuno decom-
posto In due parti, delle quali la prima é supplemento della se-
conda dell'angolo precedente ; faremo cioè ang. abc = gr » ang. e =
=(1800— a6c)+r ^ ^ng. e=:(180<>— r)+s > ang. / =(180*— s)+< » ang. g=
(180®— <H--a^. Giunti in h formeremo con rallineamento hi angolo
ghi = ct — 180® —-ar. Per questa costruzione non necessita dimostrare
che le ha, hi risultano parallele, e come ai precedenti avremo

S=:nXl80®— g+^'.

Es. III. — Ad un segmento inaeeessibile ; tracciare
delle parallele da punti dati o arbitrari; da punti dati
abbassare delle perpendicolari ad esso^ ovvero abbassare-
la perpendicolare al suo estremo^ sulla metà o in altro
punto visibile dell' allineamento. Tracciare degli allinea-
menti che formino angoli voluti con quello inaccessibile.
Misurare guest* allinea mento o dividerlo mediante dire-
zioni in parti eguali o proporzionali. Compire le stesse
operazioni se dal punto assegnato rallineamento oltre
essere inaccessibile sia anche invisibile.

(Fig. 95«) Siano ma, mb direzioni da un punto arbitrario o asse-
gnato m a due punti visibìli a, b deirallineamento inaccessibile. Si
raccolgano in p, q le proiezioni dei punti a, 6 ; si faccia mq' = mq
ed mp' — mp, e si tracci prolungata la /)'?' che risulterà parallela
al segmento inaccessibile ab.

Infatti triangolo p'mq'* = pmq, e poiché il triangolo pmq é si-
mile al triang. omb (55^ consegue che per la inversione la pV risul-
terà parallela alla ab.

Siano g, h prolezioni degli estremi a, b del segmento inacces-
sibile sulla parallela ad esso df, e risulterà g/t = ab.

Siano a, b estremi deirallineamento inaccessibile, evidentemente
le perpendicolari ga. hb elevate alla df parallela alla ab nei punti
di proiezione g, h, cadono perpendicolari alla ab nei suoi estremi

— 238 —
del segmento gh=ab, e la perpendicolare ra cade
ovvero r' divida il segmento gh — aò in modo
h : : m : n, & \& perpendicolare r'e' incontra la
26' i éb : X m ■■ n.

assegnato del piano, le perpendicolari alle
zionl su di esse p, q dei punti «, 6 s' Inconti-ano
|uaie è ortocentro del triangolo amb, e perciò la
licolare alla ab per il punto assegnato m.

i uguale ad un voluto angolo s, evidentemente
ler essere alterni interni gli angoli /?'6, abq' : se
jale ad un voluto angolo 90° — s sarà angolo
el triangolo rettangolo be'm gli angoli acuii sono

dal punto dato del piano a due punti visibili
>rmano fra loro un angolo ottuso aob, gli stessi

1 in modo analogo, raccogliendo cioè le proiezioni
;ui prolungamenti delle oa, ob.

oa, ob formano fra loro angolo retto, allora le
;se dei punti a, b s' incontrano nel dato punto o
ime si è detto, e perciò dovrà tracciarsi una di-
D punto visibile deira'llneamento ab per operare
icuto, ovvero ottuso cosi firmato, nel già descritto

;li stessi quesiti mediante la falsa squadra da
rbitrario m, si prenda l'apertura dell'angoto amb
■ezioni ai due punti a, b dell'allineamento inac-
a in m la perpendicolare mft alla ma, sì per-

l'apertura alla falsa squadra, finché trovasi un
ig. ahb = amb, ed allora la direzione hb cade
) all'allineamento ab. Infatti i triangoli amb, ahb
ingoio al vertice sono iscrltlibili nello stesso seg-

perciò il punto h si trova sulla circonferenza
triangoli; male perpendicolari oift, Wt agli estre-
,ngolo di un triangolo s'incontrano sulla circon-

ad esso (:ì9). poiché mh è perpendicolare al

-m -

iato ma ed H pimto h trovasi isullà cfrcoDfefeniKA, anche hh sarit
perpendicolare al Iato ab nel suo estremo. Tracciata pei^ h \sl hd
perpeniicolare alia hb risulterà parallela aHe ab e facòdlta isti di
essa le proiezione g del punto a, si opera nel Kstó Còttiè s! è détto
per la soluzione dei vari quesiti.

Quando con la falsa squadra si vuole abbassare direttamente la
perpendicolare sulla metà del segmento inaccessibile ab (flg. 9^) ; da
un punto arbitrario m^ si biseclii con la mg Tangolo amb fornliato
dalle direzioni ai due punti visibili a, b dell'aHineaménto ; ed ele-
vata la mh perpendicolare alla mg, si percorra Anche trovasi un
punto h che dia ang. ahb =r amb ; la bisettrice hg* deirangolo ahb
cadrà perpendicolarmente sulla metà del segmento ab

Infatti, iscritti idealmente i triangoli ahò^amb, di egual base ed
angolo al vertice, le loro bisettrici ai vertici devono incontrarsi nel
punto medio d delParco adb sotteso dalla base comune ab: ma il
triang. rettang. dmh è pure iscritto nella stessa circonferenza della
quale perciò l'ipotenusa dh è il diametro, e poiché questo ha un
estremo nel punto medio d dell'arco adb, è perpendicolare alla sua
corda ab e la divide per metà in r.

Finalmente quando (Fig. 97*) per un dato punto t {dal quale
oltre essere inaccessibile è anche invisibile un aUineamento mn) si
voglia tracciare una parallela, abbassare la perpendicolare o traC'
ciare altro allineamento che formi un voluto angolo con quello invir
sibUe ; per il dato punto /, si tracci un allineamento fé arbitrario
per lunghezza e direzione, marcando il suo punto estremo e, e
si percorra tra gli ostacoli una linea spezzata qualunque eda
della quale senza segnare o misurare i segmenti, si annota il va-
lore degli angoli successivi dalla stessa parte del segmento inac-
cessibile mn ; e ciò finché si raggiunga un punto a dal quale sia
visibile il segmento mn e che si trovi sul suo prolungamento. Si
misuri l'angolo dab = q' che l'ultimo segmento della spezzata fa
con la direzione mn, ed allora per quanto si e detto al (95), se n
è il numero degli angoli, compreso quello 9' ed s la loro somma,
si formi in/, coll'allineamento /e, un angolo efh^qri^iSO^ n — É^
e la direzione fh risulterà parallela al segmento inaccessibile mn.

— 240 —

tJna perpendicolare qualunque alla /A, parallela ad mn, risul-
ìerà anche perpendicolare a questo allineamento; e qualsiasi alli-
neamento /e il quale formi con la /A un voluto angolo s, forma in
senso inverso lo stesso an^lo col segmento Inaccessibile mn o col
suo prolungamento.

Es. lY. — Dato sul terreno un triangolo in parte o
del tutto inaceessìbile^ determinare alcuni dei suoi punti
notevoli (31) mediante la falsa squadra.

1. Domandasi il centro del triangolo ahb del quale è accessibile
la base ab (Fig. 98» a).

Negli estremi a,b si elevino le perpendicolari ai lati ad incon-
trarsi in d. Il punto d è sulla circonferenza circoscritta al triangolo
ahb ed il suo centro sarà l' incontro e delle perpendicolari elevate
alle bd, ad nei loro punti medi m, n, ovvero V incontro e della di-
rezione dh con una delle dette perpendicolari.

2. (Fig. 98* b) Nello stesso triangolo determinare centro, orto-
centro, incentro, baricentro ed excentro corrispondente al lato ac-
cessibile ab.

Nel triang. ahb avremo ang. /i = 180^ — a + &.

Si formino con la base ai suoi estremi ang. bac — abc = 90**—//
e come dal (41) risulterà e centro del triangolo.

In a, b si formino coi lati ang. hao = hbo = 90^ «— /i e come
dal (46) sarà o ortocentro del triangolo.

Evidentemente le bisettrici degli angoli a, b alla base danno
V incentro i del triangolo.

Sia m punto medio della base ab, e p proiezione su di essa

mp
del vertice h, si faccia segmento mr ^i-^^ y ed elevata alla base la

perpendicolare r^ ad incontrare la direzione mh in ^. sarà ^ baricentro

del triangolo, poiché sappiamo che sulla mediana hm la distanza

2.hm
hs del vertice h al baricenti-o ò g .

Finalmente le perpendicolari alle bisettrici ai^ bi nei vertici a^ b

_^4l -

clanYio còl loro incontro e l'excentro relativo al lato ab del trian-
golo ahb,

3. Essendo accessibile un solo vertice determinare il centro del
triangolo.

(Fig. 98» e) Dal vertice accessibile b si tracci parte della per-
pendicolare bm al lato inaccessibile opposto. Si faccia angolo
hbc = abm, si elevi bd perpendicolare alla bh e si percorra con l'a-
pertura dell'ani, dbc finché trovasi un punto che dia angolo
hdb = cbd : l* intersezione e delle rf/i, bc è il centro.

Infatti, il triangoto deb è per costruzione isoscele, quindi de=bc,
ma per l'angolo retto dbh l'angolo dbc =r 90° — cbh, e nel trian-
golo rettangolo dbh l'angolo bdh := dòe = 90° — bhc, quindi hbc —
= bhc, ossia ch^cb^^ ed sono raggi di un circolo di centro e il
q uale è quello circoscritto al triangolo ahb,

4. (Fig. 98* d) Determinare il centro del triangolo essendo questo
accessibile al solo porta segnale.

Come all'Es. HI si tracci la direzione perpendicolare sulla
metà del lato ab del triangolo ahb, e ad essa si tracci un allinea-
mento perpendicolare indefinito fg sul quale si marcano In /, g le
intersezioni delle direzioni ha, hb ; in questi punti si elevino alle
dette direzioni ad incontrarsi in s le perpendicolari /s, gs. e si faccia
fissare il segnale nell'incontro e della mo con la direzione sh, che
sarà il centro del triangolo ahb.

Infatti per essere rettangoli, i triangoli hfs, hgs sono iscrlttibllì in
un circolo del quale l' ipotenusa comune sh è diametro. Per essere
triang. ahb simile a quello fgh la sh è anche sulla direzione del diame-
tro del circolo circoscritto al triangolo ahb ; ma in questo triangolo
la mo perpendicolare nel mezzo del lato ab passa per il centro, il
quale ò di conseguenza V incontro e della mo con la direzione sh
del suo diametro.

5. Essendo accessibile un vertice b del triangolo bad determi*
narne V ortocentro (Fig. 99*).

Si raccolga in h la proiezione del vertice a e si tracci la dm
perpendicolare al lato inaccessibile ba, evidentemente l' intersezione
o è Tortocentro del triangolo.

i accessibile la base db, sì elevi a questa la perpen-
punto h proiezione del vertice a, e si faccia angolo
z, fatto ho = h$ sarà o ortocentro.
inoisibiU i nertici del triangolo dalle rispettioe proie-
eterminare queste proiesioni.

Dal lato ab sia invisibile il vertice h, si elevino alle
r dei lati nel vertici a, b le perpendicolari ad incon-
ìuxiia trìang. amb = anh, si abbassi per m alla ab
re mp raddoppiandola In pò, sarft p proiezione del
e h sulla ab, e le bo, ao prcduogate daranno le proie-
ttici b, a sui lati opposti.

unto n è sulla circonferenza circoscritta al triangolo
lametro di essa. Per essere triangolo amb =• anb
m trovasi sullft detta circonferenza ed in questa 1 seg-
1 sono corde, e perciò ang. ahn ~ bhm ; pertanto
quindi ahn e derivato inverso e bhm derivato di-
ì h (45), ossia la mh è perpen<licolare alla ab, e p
vertice h sulla ab. Per essei-e pò =pn sarà o orto-
golo ahb (48) e perciò le ao, bo cadono perpendicolari
e danno su questi le proiezioni e, q dei vertici a,b.
kIo si elevi ad ab la perpendicolare rg ad incon-
i rg si elevi in g la perpendicolare sf ad incontrare
' si abbassi /r" perpendicolare alle ab e si determini

sulla a6 delvertice invisibile /i facendo bp= ar'A-i tr

ciata idealmente la hp. per i triangoli simili avremo

bh e e^f : ah : ; ar' : ap » òg : bh : : br : bp, quindi

abX^r
bp e ar'-\-br : br : : apf-pb ; pb, da cui pb~ „^,\ t '

- Misurare la distanza di punti inacces-

retto bcs sia decomposto in duennesimi dalle cm,
ono calcolarsi 1 segmenti di queste bisettrici Buc-
asi tra il vertice e ed una parallela «/t al lato co del

1 (T»T. M)

Oistuoe date dalle bisettrici dei resto di lata 1

ANGOrJ

DISTANZE

scm = 45^0000
Hcr — 67^5000
Mcg ^ 78^7500
sch ±z 84^3750
sci 87^1875

> » >

9m — m.l. 1,0000
8/- = » 2,4142
«^ — > 5,0273
sA = > 10,1530
si :^ > 20,5011
> > » » » 1

— 243 —

retto, e da queste dedurne le distanze sm, ?/i «p . . . . dei loro e-
stremi dal punto di stazione 8.

Infatti sia cs=l : essendo per ipotesi ang. scm=»45^ s^rà 8m=««c==-l.
Dalla (Eserc. I, 2®) sappiamo che mf^mc, gf^fc . . . ecc. Nei trian-
goli rettangoli rase, fsc, gsc abbiamo sm = 1, mc= v 2, > /s :z=
K 2 + 1 » flrs =/c+/s = K v/(2+l)'+l + ^^"2" +1, e così prose-

guendo se ne formi la tab. m
come a lato, nella quale il
valore degli angoli succes-
sivi è dato dalla somma
a due, a tre, a quattro ad n
dei duennesimi del retto, e
però sono facilmente co-
struibili come è detto alla
(Es. I, 4«).

Le distanze metriche in numeri decimali possono moltipllcarsi
successivamente per 10 mediante il trasporto a destra della virgola.

a) 1. Ciò posto dalla stCLSione s e sulla direzione sm, si voglia
fare collocare alia distanza di m.l. 754,65 un segnale fe.

Moltiplicando per 100 le distanze della tabella m abbiamo 100 M ==
= m.l. 1015,30, lunghezza alla quale corrisponde angolo sch ««

= 84^375. Si risolva la proporzione 1015,30 : 100 : : 754,65 : x da cui

754,65 X 100
^ ^ — 1015 30 — ^ '^•'- "74,327. Si elevi alla direzione sm la perpendi-
colare «e, e su di questa si determini sp="ml. 74.327. Si faccia in p
angolo «pte==84°,375 e l'incontro /e degli allineamenti /)te, sm prolun-
gati, danno sk = mi, 704,65.

b) Inversamente si voglia misurare la distanza dalla stazione s
di un punto k .

Costruito sul terreno Tangolo sch = 84°,375 si prende la sua
apertura con la falsa squadra, si eleva alla direzione sk la perpen-
dicolare se, e si percorre con la falsa squadra in modo che una
delle linee di mira sia diretta al punto s, e ciò finché in un punto/),
Taltra linea di mira incontra il punto k.

- è44 —

Si misuri accuratamente e si trovi sp, mnl. 74,32*7.

Si risolva la proporzione 100 : 1015,30 : : 74,327 : sk, da cui sk —

1015,30 X 74,327
= Yqq mi- 754,65.

2. In campo aperto misurare la distanza di un punto e da altro
inaccessibile b. (Fig. 101*).

Per il punto e si traccino ad arbitrio due allineamenti fra loro
perpendicolari, sui quali si raccolgono in a, d le proiezioni rette del
punto inaccessibile Fj. Avremo distanza cb = ad.

Infatti nel rettangolo abcd le diagonali sono fra loro uguali.

3. Sia 8 punto di stazione, x punto lontano (Fig. 102*): si tracci
un allineamento sp che formi con la direzione sx un angolo acuto
tanto più prossimo al retto, quanto maggiore è la distanza del punto
X ; sia /> proiezione retta del punterei? sulla sp, e sia o proiezione del pun-

top sulla direzione sx, sarà distanza sx = ^

Infatti i triangoli rettangoli spx, sop, aventi comune l'angolo

acuto s sono simili onde sx : ps : : ps : so ossia sx rr ^

4. (Fig. 95«) Vogliasi la distanza di un punto m da due punti
a, b inaccessibili.

Sulle direzioni ma,mb si raccolgono le proiezioni p, 7 dei punii
a, b ì triangoli rettangoli aprn, bqm sono simili [ er avere comune
Pangolo acuto m quindi ma : mp : : mb : mq da cui

mpXmb ^ maXmq .^ .

ma = — — — i^mb ^ — — — e perciò misurata come al prece-
dente la distanza ma di uno dei due punti, se ne ne ricava nel
descritto modo quella dell'altro.

5. (Fig. 95*) Nella misura di un segmento ab veduto a distanza,
quando si possono raccogliere le proiezioni g.h dei punti a,b sopra
una parallela qf al segmento inaccessibile, come vedemmo allo
Es. Ili, si ottiene direttamente gh- ah,

6 (Fig. 95*) Quando ciò non sia possibile (Fig. 103«) si traccino
come air Es. HI le db, fm perpendicolari all'estremo ed al punto
medio del segmento inaccessibile ab, ed all'altro estremo a di que-

' \ - . - - ^

— 245 —

sto si diriga una trasversale da che incontri le due perpendicolari.

Sarà ah V 2,ah X cd^- V 2 (dc-{-ch )Xcd

Infatti, per essere fm parallela alla db per il punto medio della
ab, risylta e centro del circolo circoscritto al triangolo rettangolo
abd, del quale ed è raggio. Si raccolga in h la proiezione dell'e-
stremo b sulla da ssLìkah^- de + eh, e conne dal (91) ab ----^

^' Y 2Xdc-\-chyK ed. Cosi numericamente risulti crf^m.* 10 e c/i =:
=: m.'2.25 ossia ah= m.* 12.25 e 2a/i = mJ:5, quindi sarà ab =

= K 2 ahXait z:= Y 2ò;><,\0 = K 250 -= m,^ 15,81.

7. (Fig. 104'') Si tracci un allineamento arbitrario mp. Si rac-
colgano sopra questo le proiezioni rette m.p de;;li estremi rt, b del
segmento inaccessibile : per il punto m si tracci la parallela mg
alla ab. Si prenda sulla mp un segmento arbitrario me, e si rac-
colga in d sulla parallela alla ab la prolezione retta del punto c;

mp
misurati i segmenti me, mp, md sarà ab = mdxcm

Infatti, descritto il circolo di centro e e raggio em, risulta dm

semicorda nel detto circolo; ma la corda mg è parallela ad ab-, e

come si deduce dal (91) avremo, ab X 2.mdxem =- 2,mp e dividendo

mp
per 2 sarà ab x (mdxcm) — mp ; ossia ab -- fj^^y^^

8. (Fig. 95*) Alle direzioni ma, mb si elevino le perpendicolari
mg, m/i, si prenda con la falsa squadra l'apertura dell'angolo amb,
e si percorrano le perpendicolari finché si rinvengono sotto le lìnee
di mira simultaneamente i punti a, b, si marchino 1 punti g, h e sarà
gh = ab.

9. (Fig. 105*) Si scelga un punto s dal quale siano visibili gli

estremi a, b deirallineamento inaccessibile. Si traccino le direzioni

«a, sb ed una terza sW che faccia angolo più o meno acuto con le

due prime. Si raccolgano sulla sh* le proiezioni h, K dei punti a, b,

e sulle direzioni sa, sb in k, /e' le proiezioni dei punti A, h\ 1 trian-
goli rettangoli sha, skh per aver comune l'ang. acuto s sono simili

hkxsh k'h'xsh'

onde come si A detto fta= —^ — , e distanza AV> -- — ^;»^ — .Sia ab-

— 246 —

bassata idealmente bm perpendicolare alla ha; nel trìang. rettan-

= V ^»

golo amò sarà ab= v ma-\-mb\ pertanto mb=hh' ed ma=ha—Kb

^\/hk

quindi ab^ ^ hh! -\- ha^h^b)

Es. VI. — Determinare in vari modi restremo della
corda bisettrice di un vertice di un triangolo.

In un triangolo diciamo corda bisettrice di un veri;}ce il seg-
mento delia bisettrice dell'angolo in quel vertice compreso dentro al
circolo circoscritto al triangolo.

(Fig. 106*) Nel triangolo ahò si voglia determinare l'estremo d
della corda bisettrice hd al suo vertice inaccessibile h.

1. Avremo ang. A = 180® — (a+*)- Agli estremi aò della btóe

ahb
SI facciano con essa ang. bad = abd^^ e risulterà d estremo

della corda bisettrice del vertice h.

Infatti la bisettrice hd dà arco da = db, quindi angolo dhn =r

ahb
= dhb = '-2 "^ ^^^ = ^^^ come misurati da arbhi uguali.

2. Si elevi la perpendicolare md sulla metà della base ab e si

ahb
faccia ang. mbd== -g"' ^^^ evidentemente d estremo della corda

bisettrice del vertice h.

3. Si elevi la perpendicolare me sulla metà della base ab, e si
formi con la base ang. bac = 90* — ahb. Sarà e centro e ca raggio
del circolo circoscritto al triangolo. Si faccia ed = ca. evidente-
mente d estremo del raggio ed perpendicolare alla base ab è sulla
metà dell'arco adb e perciò anche estremo della corda bisettrice
del vertice h.

4. Per la metà della base ab si tracci la perpendicolare crf, e
da un suo estremo a, si tracci parte della perpendicolare ae al
lato bh ; si formi col lato ah angolo hac = bae : il secondo di que-
sti è derivato diretto ed il primo derivato inverso del vertice a nel
triang. ahb, e perciò le ac, de determinano col loro incontro il

— 247 —

centro e del triangolo, quindi fatta cd = ca raggio del circolo cir-
coscritto, risulterà d punto estremo della corda bisettrice al vertice h.

5. (Fig. 107*) Si elevi of perpendicolare : in a alla direzione ah,
si elevi nel mezzo della base le perpendico'are md-, si formi con
la base ang. bag = 90° — hba-^ si tracci la bisettrice deirang. gaf,
e rintersezlone d di questa con la md sarà estremo della corda
bisettrice al vertice h.

Infatti tracciata idealmente la hg perpendicolare alla base ab,
sarà ang. bhg ^-- bag ^W — hba, quindi ang. bhg è derivato diretto
del vertice A, del quale ang. ahg è derivato inverso : poiché per
essere retto l'angolo haf V ipotenusa fh è diametro del circolo
circoscritto al triang. ahb- da ciò bg = of, ossia la bisettrice ad
delPang. gaf come anche la perpendicolare md sulla metà della
base s' incontrano nel punto d deiParco adb punto estremo della
corda bisettrice al vertice A.

6. Si elevino ad incontrarsi in / le perpendicolari af, bf alle
direzioni ah, bh sui loro estremi a, b: sulla metà della ab si elevi
la perpendicolare md ; per / si abbassi alla md la perpendicolare
/ar raddoppiandola in :sg; si tracci la bisettrice ad dell'angolo gaf,
e l'intersezione d della ab con la md per il già detto risulta estremo
della corda bisettrice dal vertice h.

7. (Fig. 108«). Sì traccino indefinite le bisettrici ak, br degli
angoli a, b, del triang. ahb, e nei punti medi o, n dei segmenti di
queste bisettrici tra i vertici a, b e V incentro i si elevino ad esse
le perpendicolari, queste s'intersecheranno nell'estremo d della
corda bisettrice del vertice h.

Infetti per le bisettrici ak, br nel circolo circoscritto al triangolo
sarà arco kb = kh, ed arco ra = rA ; e supposta hd bisettrice del

vertice h sarà anche arco da = db. Da ciò arco ai+ hk =^ bd -\- bk.

ad + hk
Nel triangolo adi trovasi angolo aid =-^ arco — ^ , ed angolo

^ . bd + bk

dm -== arco — g — » Quindi angolo aid =- dai, ossia il triangolo adi

è isoscele e da^ di, ma da = db e perciò anche il triangolo bdi è
isoeeele e cooseguentenaente le perpendicolari nei punti medi o, n
<}eUe rispettive basi, s'incontra^no nell'estremo del lato comune id

— 248 —

che è distanza fra V incentro i e l'estremo d della corda bisettrice
dal vertice h.

8. (Fig. lOd*). SI prolunghi il lato hb, SI tracci nel vertice a la a^/
parallela alla kb, si bisechi con la qf l'angolo fwtg ; si elevi la
perpendicolare md su' la metà della af, e la pd perpendicolare
sulla metà del segmento bf\ l'incontro d di queste perpendicolari
è estremo della corda bisettrice del vertice h del triang. ahb.

Infatti per la bisettrice q/ abbiamo ang. gqf^fah, e per le
parallele ag, hb anche ang. gof = qfh, onde il triangolo ahfdì ver-
tice /i è isoscele, e perciò la bisettrice da questo vertice coincide
con la perpendicolare elevata dal punto medio m della sua base
qf. Msi hf= ha e bf^^ ha -^hb, pertanto dal (92) sappiamo che

Pestremo d della bisettrice del vertice h si trova nell'incontro della
perpendicolare alla metà della base con quella elevata sulla metà

della differenza dei lati ha, hb quindi, ecc.

9. In altro modo. Si prolunghino i lati ha, hb ; si tracci ag pa-
rallela ad hb\ e si elevi of perpendicolare in a alla bisettrice am'
dell'angolo ;sag, e l'incontro d* delle perpendicolari elevate dai punti
medi dei segmenti af, bf sarà evidentemente estremo della corda
bisettrice al vertice h,

10. (Fig. HO») Quando del triangolo aa;b sia data la base ab
ed i prolungamenti af, bs dei lati, e che sia invisibile il vertice a\
allora tracciata per a la ah parallela alla bs, e preso segmento
ah-^nfsì tracci Is^fhg: evidentemente il triangolo /^^ risulta iso-
scele, e perciò la perpendicolare nel punto medio n della sua base fg
passerà per il vertice invisibile x e sarà bisettrice in questo ver-

fah
tice. Nel triangolo /rgr ang. x=fah, si faccia m b angolo abo=r^-^

e risulterà o estremo della c«)rda bisettrice del vertice invisibile x.

11. (Fig. HI*) In altro modo sia l'incontro e delle bisettrici
degli angoli formati dai prolungamenti dei lati del triangolo agb
con la sua base ab, sarà e excentro corrispondente alla base. Il
centro d del triangolo aeb è anche punto estremo della corda bi-
settrice del vertice g del triangolo agb.

Infatti si determini il centro d del triangolo aeb s' iscriva il
triangolo, e per il vertice e si tracci prolungato il diametro ediche

— 249 —

passerà per il vertice g del triangolo agb, poiché tracciate le corde
m', bi, i triaÈngoii eaU eòi iscritti nei semicircoli d sono rettangoli,
ma le ae, be sono bisettrici degli angoli bak, abf, quindi le ai, bi
sono bisettrici degli angoli rispettivamente adiacenti bag, abg. Con-
segue che restremo i del diametro et è incentro del triangolo agb^
e la direzione ei che passa per l'excentro e e per V incentro i in
referenza al vertice g del triangolo agb, è bisettrice del vertice g e
passa per esso.

12. CFig. 112*) Si elevino in a, b le perpendicolari alle direzioni
ah^ bh dei lati del triangolo ahh. Sì bisechi l'angolo bfe che esse
formano in opposizione al triangolo ahb, e si raccolga sulla bi-
settrice la proiezione d del vertice A, sarà d estremo della corda
bisettrice al vertice h.

Infatti iscritto il triangolo e tracciato il diametro //i e la gh,
perpendicolare alla base ab, per il più volte detto angolo bhg=-àhf.
Il triangolo fdh è rettangolo per costruzione, e poiché la sua ipo-
tenusa hf è diametro il punto d trovasi sulla circonferenza.

Il triangolo efo é isoscele, per avere la bisettrice al vertice/
perpendicolare alla base oe\ quindi eiUg. feo=foe=hob \ e perciò nei
triangoli rettangoli hae, hbo essendo angolo ae/i=6o/i anche ang. a/i«!?=
= hhe, ossia la dh é corda bisettrice del vertice h nel triangolo ahb.

Es. VII. — Mediante V estremo della eorda bisettrice
dell'angolo di un triangolo misurare i lati formanti
queir angolo.

(Fig. 106») Determinato l'estpemo d della bisettrice al vertice h
del triang. ahb, si prolunghi uno dei suoi lati hh-, si raccolga in p
la proiezione del punto d. Si faccia prri* ^pbe dal punto d si faccia
segnare 11 punto /sotto YsiUg. pdf = pdh, e sarà/6 = ?ia t^fnC ==■ hh.

Infatti pf===ph, nia come dal (92) ph è semisomma, ph semldif-
ferenza dei lati ha, hb-, e da ciò fp -\-pbr=ah e /m' =/p — p6 = hb.

I vari modi di determinazione dell'estremo della corda biset-
trice al vertice di Un triàngolo, svolti nella precedente offlrono, come
dall'esposto esempio, molti mezzi per misurarne i lati finché il trian-
golo sa in parte accessibile: la stessa corda bisettrice e talora un
frammento di questa, permettono anche di misurare i lati di un

— 250 —
Gu;cessìbile, o de) quale solo stano accessibili frammenti
i come dai seguenti esempi.

ì') Sia inaccessibile il trian^ ahb. Sia g l'intersezione
idicolari agli estremi dei lati ha, hb del triangolo. Sia
e della perpendicolare alla metà della base inaccessi-
■ercorra la dm finché trovasi ilpuntorf dal quale angolo
jarà. d estremo della corda bisettrice al vertice A; pol-
tro g delle perpendicolari è sulla circonferenza clrco-
iangolo ahb, e per essere angolo adb = agb, anche il
;ulla circonferen7A e nella meià dell'arco sotteso dalla
)uindi prolungato il lato hb, raccolta la proiezione p, e
unti/, s sotto gli angoli pdf = pdò * pds = pdk, risulterà
edsp—pf^fib. Elevata alla dm in d la perpendicolare
lu questa la proiezione A' del vertice a, risulterà

114*) Operando dentro l'area del triang. ahb del quale

isiòili i vertici, misurarne i lati.

di noti si tracci la bisettrice mh di un vertice.

ìmq perpendicolare alla mh e perciò ^m = -g

lunto m e per quello medio o di mq si traccino come

è detto, le parallele nr,m8 al lato ha; e quelle mp, ru

Essendo hb=.hq risulta qa= ha — hb ; per la mp paral-

qa ha~hb
dal punto medio m della g\ risulta qp ^-^^ — g — ■

— . perIeparaH.mp,n;7dei punti medioedestremodella

ho Afl + hb.
3p=:-2 = — 4 Da ciò si ricava lato ah—2.gp-\-pq >

=. 2.sp — pq e lato ab=4.r8 inquantoché per essere

ab
sulla r« = -j-

tesso quesito quando uno dei lati ab del triang»to ahb è

accessibile (Fir. 115«).

te I segmenti sp, pq sì calcolino come sopra i lati ha, hb,

• — 251 —

per il lato inaccessibile ab si tracci la fra? bisetirice al vertice- b.

Idealmente sia ha' r= ha ed a'd parallela alla b./^: dal (94) rilevasi

rtìì

c\\e ab -^ bh =: j^ ove nel caso le lunghezze ah^hd sono incognite;

però possiamo determinare hd per dedurne ah, poiché nei trian-
goli simili a'hd, bhx conosciamo i lati ha\ hb ed anche hxz=:hz-\-zxz:z.

ah4-hb
= — 2 — 1 ^'^' ^^^ posto, per la proporzione hb : ha"* : : hx : hd

2 _2

ha^ y,hx ah ah

trovasi hd = — j^ — : ma ab -\-bh — j^ quindi ba^j^ — hb

4. Nel caso in cui del triangolo sia accessibile un lato, il pro-
lungamento degli altri due ed il resto sia invisibile; come quando si
opera in un'area recinta da muro/6a/c (Flg. HI*), e vogliono misu-
rarsi i lati invisibili ga, gb del triangolo, allora si determini Te-
stremo d della corda bisettrice al vertice g, come è detto alla E?er-

cit. VI, 10), nonché il punto k sotto l'angolo hdk zr hdp, e risul*
lerà evidentemente ah =gb > kh — haz= ga.

Si vede dalle precedenti che la corda bisettrice di un vertice
permette le costruzione di segmenti uguali ai lati di un triàngolo
talché questo si misura e può ricostruirsi senza ricorrere alla mi-
sura e riproduzione dei suoi angoli, ciò che diminuisce la proba-
bilità di errori, ma la geometria offre altri modi per rilevare i
triangoli senza misurare i loro angoli, e siccome la misura dei poli-
goni si riduce a quella dei triangoli nei quali si decompongono
mediante le diagonali da un vertice, cosi non crediamo superfluo
il destinare la seguente esercitazione nel ricordare taluni dei detti
modi.

Es. Vili. — Misurare sul terreno del triangoli in parte
o in tutto inaccessibili^ coi metodi del triangolo simile^
del rovesciamento^ della riproduzione^ del calcolo delle
distanze ecc.

1 (Fig. 95*) Sia accessibile il vertice m del triangolo amb, si ele-
vino le mh, mg rispettivamente perpendicolari ai lati m«, rnb, e sj

— 252 —

percorrano finché si trovano i punii /?, g dai quali abbiasi àngolo
ahò = amò == ago. Sappiamo che le ga, hh saranno ambedue per-
pendicolari alla ab nei suoi estremi, quindi gh^ ab e parallela ad
essa ; e triangolo p*mq^ simile ad amb. Da ciò si ottiene la misura
dei lati del triangolo amb mediante i rapporti gh ; pq^ : : ma :
: mp' : : mb : mq\

Gli angoli del triangolo amb sono dati da quelli del suo simile
p^mq\

2. (Fig. 116*) Sia accessibile la base del triangolo ahb, le per-
pendicolari bo, ao agli estremi dei lati sono corde del circolo cir-
coscritto al triangolo; e perciò dai punti medi m, /i di queste elevate
ad incontrarsi in e le perpendicolari alle oa^ ob, il triangolo mcn
risulta simile a quello a/zb ed i lati del primo stanno agli omologhi
del secondo come 1:2.

3. Sia invece inaccessibile il triangolo ahb ; tracciate da distanza
le perpendicolari agli estremi dei suoi lati ad Incontrarsi in o ; si
segni la />/)' parallela alla ab (Es. IFI), marcando le proiezioni p,jD'
degli estremi a, b della base ; a partire da o si determini un seg-
mento oar' che stia ad op" in un voluto rapporto m : m; si elevi
in s'* la perpendicolare ad incontrare in ò' la ob. Si tracci ò'a' pa»
rallela alla pp\ Si elevino in b\ a* alle ob, oa le perpendicolari ad
incontrarsi in h\ evidentemente il triangolo a'/iW è simile a quello
ahb ed i lati del primo stanno agli omologhi nel secondo come

min,

4. (Fig. 117») Misurare il triangolo abd, del quale è accessibile il

vertice a mediante il suo rovesciamento.

Elevate nel vertice a le perpendicolari am, an ai lati ab, ad,
da un punto arbitrario m dalla perpendicolare al lato ad, e sotto
Pangolo amd' = amd si segni il punto d\ Da un punto arbitrario n
della perpendicolare an al lato ab sul suo prolungamento, sotto
Pangolo anB* = anb si segni il punto b\ Evidentemente 11 triangclo
ad^ff r: adb.

5. (Fig. 118») Sia inaccessibile il triangolo, si prolunghino per

intraguardo in b'*^, d \ i lati ab, ad del triangolo inaccessibile abd,

ed !n punti arbitrari e, e' elevate ai prolungamenti le perpendico-
lari, da un punto qualunque o di quella alla direzione da si se-

— 253 —

gnìno su questa i punti a% dC sotto gì» angoli coa^ = eoa » codP '= cod.
Da un punto arbitrario o' della perpendicolare alla direzione ba si
segnino i punti a'% 6" sotto gli angoli €'*à*à^'' — &o*a, e c'o'6'* = cV6 :
evidentemente risulta a^d* ^ad% a^b" « ab, perciò in uno dei modi
noti fatta tì'6' parallela ed uguale ad a'^b** evidentemente sarà triah-
golo a^b'^iP rz abd.

6. (Fig. 119*) Riprodurre il triangolo inaccessibile abh mediante
le proiezioni rette dei suoi vertici.

Si elevi una perpendicolare dp al prolungamento di un Iato bh
del triangolo inaccessibile, e sulla pK perpendicolare alla dp si rac-
colgano in s\ b\ K le proiezioni del vertici a, 6, h. Sia Vk perpén*
dicolare al prolungamento del lato ba^ ad incontrare la at^ si elevi
b'a' perperdicolare alla 6'/c; risulta evidentemente triang. cCVìfC=Hibh^
inquantochè i due triangoli avendo lato ab = a^V e parallelo ad
esso e lato bh = VW e parallelo ad esso, hanno anche angolo
abh = a'6*/i' ecc.

7. (Fig. 120*) Essendo accessibile la base ab calcolare i lati dd
triangolo ahb.

In uno dei modi svolti allo Es. IV si determini il centro e del
circolo circoscritto al triangolo. Sia q proiezione del vertice h sul
raggio cb e sìa p proiezione dello stesso vertice sul raggio o dia-
metro ca, ed avremo hb^V 2.bqXcb '% ha^v 2.ap X cb

8 Nella prolezione s del vertice h sulla base ab si elevi la per-
pendicolare. Si faccia ad incontrarla ang. abo =^90^ —bah e si tracci
la ao. Il punto trovasi sulla circonferenza circoscritta al triangolo
ahb ; e però il triangolo hbo iscritto in essa da bh X bo ■^- 2Jjs,r es-
sendo r raggio della detta circonferenza. Si determini e misuri come

sopra il raggio r='cb e sarà hbxbo-^ 2J)S X bc, ossia hb-=^' — j^ —

2asx bc.
ed analogamente ha ^ —

9. Calcolare i lati del triangolo inaccessibile abd (Fig. 121^). So-»
pra un allineamento arbitrario a'd\ siano a\ b\ d*, proiezioni rette
dei vertici del triangolo. Come alPEs. V, 3% si misurino le distanze

2 2 t

à^h bh^ d^h**

aaK 66' dd? ; ossia art' ^ 'cùd^^^'^b&^ ^^ ^ dV^ » ^^ ^^' ^* ^^^^

- 254 —

ab = K flW^*+(aa'— 66')' > ad = K a^*+(a'«— dcP)* > bd zr

- K 5^'+(d'd— 66')*.

10. (Fig. 122») Misurare un triangolo afb deZ goate é praticabile

un lato ab e suo prolungamento.

Si prolunghino il lato afìn m ed a6 in g. Si cerchi sulla direzione ab

barn
un punto d che dia ang. «c/f^— 2", ed un secondo punto g che

abf
dia ang. 6^/ = -g". I triangoli /ad, fbg risultano isosceli avendo

per costruzione alla base angoli metà dei supplementari ai rispet-
tivi vertici, e perciò i segmenti ab, ad, bg sono rispettivamente uguali
ai tre Iati del triangolo abf.

11. DaW interno deWarea misurare i lati di un triangolo del
quale sono inaccessibili i vertici.

(Fig. 123*) Nel triangolo adb elevate alle direzioni db, da le per-
pendicolari mo, no in modo che la mo sia diretta al vertice b, .
si faccia con una perpendicolare fé alla direzione ab, un angolo
feb =r nob, si prolunghi la be, si percorra finché si rinviene un punto e
che dia ang. bea— 2/eb. Si abbassino da e alle direzioni del lati
le perpendicolari eh, cp, ck, ed avremo ab = 2,pk > ad=2.hk >
> db=> 2ph.

Infatti, per essere dbm, aòc angoli derivati inversi del vertice b
la be passa per il centro del circolo circoscritto al triangolo adb ;
ma il triang. acb è isoscele, quindi e è il centro, e le perpendico-
lari da esso ai lati danno i loro punti medi h, k, p\ pertanto le
congiungenti i punti medi dei lati di un triangolo formano un se*
condo triangolo simile che ha i lati omologhi metà dei primo,
quindi ecc.

Se il terreno molto imbarazzato non permette la misura diretta
dello distanze fra i punti medi dei lati, si calcoli nel modi noti il

rap:gÌo cb ed avremo evidentemente ab —2 y cb^ — eh i^ bd :=:

^2. |/d/-cfc' >ad ^2 v7b^—cp\

Nella pratica interessa talora la costruzione di un triangolo al

pari della sua misura, perciò crediamo proficuo ricordare nella

seguente esercitazione alcuni modi di costruzione di un triangolo.

255

Es. IX. — 1. (Fig. 124*). Dato un lato e due dei S
elementi triangolari di un tertiee (42-43) eostruire il
triangolo.

Nel triang. ahb sia data la base ab ed i derivati del vertice.
Le perpendicolari am, bn agli estremi della base, danno ang. nbh =
= D, , ed ang. mah = ì^ : ovvero si faccia ang. abh = 90^ — D^;

ed ang. bah = 90^ — ^^^ • ®d in aoìbedue i casi il triangolo ahb è

il richiesto.

Infatti nel primo caso, sì abbassi dal vertice la perpendicolare
hk e come alterni interni ang. khb = hbn mzt)^ € angolo kha ^

2=z ham = I. .

Nel secondo caso nei triangoli rettangoli hkb, hka avendo co*
struito in a, 6 gH angoli complementari di quelli assegnati come
derivati del vertice ^, evidentemente questi sono i richiesti.

2. Siano dati uno del lati hb ed i derivati del vertice h. Si formi
Tang. h con la somma bhk + kha degli assegnati derivati, e deter-
minato il lato hb, si abbassi bk perpendicolare alla hp ad incon««
trare la ha : ovvero si faccia ang. hbk = 90** — D, ad incontrare

la ha ; in ambedue i casi il triangolo ahb è evidentemente il richiesto*

3. Sia dato un lato qualunque del triangolo e ang. D^ e C^

ovvero ang. I^^ ^ C^^- Si ottiene il terzo elemento del vertice A

facendo il complemento della somma degli elementi dati ; cosi sia
ang. khb + bhg = Dj^ + C^ . elevata in h la perpendicolare ha alla

hg risulterà ang. kha ~ I^^ ; lo stesso dicasi per ottenere il deri-
vato h. Formati cosi i tre elementi del vertice si ricade nei casi
precedenti, che risolvonsi come si è detto.

4. Costruire sul terréno un triangolo del quale sotto date fó iu/t-»
gheSsze m, n> b ctei ire Utti^ essendo m>n.

~à56 -

(Plg. 125») Sia 8 la somma m i-n e d la dlfTerenza m-^n. Si

s X e?
faccia il quoto q = — ^ — e per costruire 11 triangolo sul terreno, se

il terzo Iato b è maggiore di ciascuno degli altri due lati, allora
sopra un allineamento si prenda ab =r q, ed aft' = 6 ; se invece il
terzo lato 6, è minore dì ciascuno degli altri due, si prenda ab^b
ed ab^ = g. Si elevi la perpendicolare nel punto medio h della dlf-

^v-'-m;

ferenza 6 — g ovvero q — b — bh\ e si faccia ìxai

congiunto il punto e così gli estremi a, h del lato dato h il triangolo

ach ovvero acV resterà completato.

Infatti suppongasi costruito il triangolo ; col lato minore n =
r= Ci& = cV come raggio, si descriva idealmente la circonferenza
Sarà ac'\-cd=^m ^•n =8 somma, e ac — ed' = m — /i = d diffe-
renza dei latim, n, Afifìnchè il triangolo acb ovvero acb* possa chiu-
dersi, il terzo lato b = «6, ovvero 6 = ab\ dovrà incontrare la cir-
conferenza in un punto b ovvero b\ inquanto che esso dovrà es-
sere non maggiore della somma e non minore della differenza
degli altri due lati. Nel secondo caso si prolunghi ab in b\ Le se-
canti ad, ab* danno ad X od' — ab' X ab, ossia 8Xd:= b X q \

sXd
quindi q =: — g — .

In ambedue i casi la perpendicolare he, sulla metà della dif-
ferenza bb', corda del circolo di raggio cb\ passa per il centro e
vertice del triangolo acb ovvero acb\ Nei triangoli rettangoli ckb,

bV
chb* l'ipotenusa cb =- e6' = n, e caleto hb = /i6' == -y , Da ciò ricavasi

..=v/--m'.

Taltezza eh del voluto triangolo cioè eh

Si osservi che è noia l'area di un triangolo del quale si cono-
scono i tre lati, poiché avremo come sopra

altezza /i = y/n* - /^T da cui area a i= y .

5. Lo stesso quesito. Siano date le lunghezze ad, ab, bd dei tre lati
del trlang. Sì determini una delle date lunghezze ad come base, e

— 2hl —

si faccia la difTerenza fra il quadrato di questa e la somma dei qua^

drati degli altri due lati ; cioè ab-\-bR — ad=r. Sarà r = 2,ab X

r
X f>P , ove bp è proiezione del lato bd sul lato ab, e quindi bp ~ y^ù

(Fig. 126*) Sia costruito idealmente il triang., e g, p siano proiezioni

dei vertici a, d sui lati opposti. I triangoli abl.pbq sono simili (55)

abxpb
e perciò db : bp w ab - bq, ossìa bj= ^^ > Sfa j proiezione del

punto q sul lato ab. Itriangoli simili bqs, bdp danno bd > bp :ibq \bz

bpXbq

da cui bs = ' ^^ . Calcolati nel detto modo i segmenti bp, bq, bs,

per costruire il triangolo, sopra un allineamento si determinino
i segmenti bp, bz\ si elevi alla bp in z la perpendicolare, si deter-
mini la lunghezza zq di questa, facendo zq=y bq^^bz^ : si tracci
indefinita la direzione bq e si elevino in p, q le perpendicolari
alle ha, bd ad incontrarle inversamente \n a, d e tracciata la ad,
per 11 già detto il triangolo adb è il richiesto.

6. Lo stesso quesito. In un rapporto arbitrario con i lati dati
per il triangolo si determinino tre segmenti tali che le rispettive
lunghezze siano minori della catena agrimensoria della quale si
dispone ; si costruisca mediante la catena e per intersezione con i
detti segmenti il triangolo pqb che risulta simile a quello fiòh le-
sto. Si prolunghino due dei suoi Iati bp, bq^ ed elevate ad essi in
p, q le perpendicolari ad incontrarli in a, d, per il già detto risul-
terà adb il triangolo richiesto.

I teoremi svolti sulle serie triangolari addizionali e differen-
ziali offrono molti modi per risolvere problemi riguardanti le co-
struzioni sul terreno ; ci limitiamo a darne due soli esempi.

7. (Fig. 127") Sia data la base ao e l'altezza ph di un triangolo,
9i domanda un secondo triangolo di dloersa base e della stessa al^*^
tezza, che abbia col primo Varea in un assegnato rapporto m , n e
la stesM somma dei quadrati dei tre lati.

Sopra un allineamento si determini un segmento ao eguale
alla base data per il primo triangolo, ed un secondo segmento ob

- 258 —

che stia ad ao nelPassegnato rapporto m : n. Dall'estremo h si deter-
mini un segmento bp = ao. Si elevi in p la perpendicolare facendo
ph eguale all'altezza assegnata ai due triangoli ; si traccino le ha,
ho, hb, ed i triangoli aho, ohb saranno i richiesti.

Infatti nel triangolo ahb le proiezioni joa, pb dei lati danno

ah'-\-pb^ hb + ap (75) pertanto pb-=ao > ap^ ob e sostituendo

« « 2 2 2

ah-\-ao = hb + bo. Aggiungendo da ambo le parti ho, sarà

« % 2 2 ^ 2 2

ah-\- ko -^ oa^ bh -\- ho -\- ob. Inoltre le aree dei due triangoli della
stessa altezza stanno fra loro come le basi ; ossia triang, aho :
: ohb :: ao : ob : : m : n.

8. (Fig. 128*) Dato un triangolo isoscele adb costruire grafica-
mente una serie di triangoli che abbiano la stessa base ab e diano lo

stesso prodotto dei lati da X db = da.

Si prolunghi la base : si faccia segmento ah^da-^db; con
questo segmento come raggio e centro nel vertice, si tagli in
h' la base prolungata; si traccino quante vogliansi direzioni
ad Incontrare il segmento ah' esterno al triangolo. Come dal (90)

avremo dh' X do = dg' X dm = dfx dn=: . . . .da x db=dà\ os-
sia ciascuna coppia dei segmenti dà i lati di uno dei triangoli
della richiesta serie; e perciò col centro alternativamente negli *
estremi a, b della base e con i due segmenti di ciascuna coppia
come raggi, si costruiscano i triangoli agb, afb ecc. che saranno
i richiesti,'

ESé X. — Sebbene la misura del poligoni si riduce
a quella dal triangoli nel quali possono decomporsi con
le possibili diagonali da un loro vertice^ crediamo oppor-
tuno dare alcuni modi pratici per misurare l poligoni In
tutto In parte Inaccessibili.

1. Da un punto o interno all'area di un poligono InaccèBsibUe
al perimetro, misurarne latti angoli perimetrali ed area.

(Fig. 129*) Alle direzioni oa,ob di due vertici consecutivi si eie*

- 259 —

vino le perpendicolari ob\ oa\ e si percorrano finché si trovino i
punti a\ V dai quali sotto Pangolo aob sono simultaneamente si-
tuati i punti a, b. Avremo a'b' = ab (39). Della a*b' si marchi la
parte a"A" racchiusa dentro angolo aob.

Si elevi in o alla ob la perpendicolare oc^ e si percorra finché in e'
sotto Pang. i&oc cadono i punti b, e, la c'6*' risulta parallela al latocfi:
della c?U*^ si marchi la parte c^'^V^ compresa dentro Pang. boc.

Si elevi alla oc la perpendicolare ocT e si rinvenga d' dal quale
sotto Pang. cod cadono i punti e, d e della parallela (Pe^ alla de, si
marchi la parte d'V compresa dentro l'angolo eod\ e così prose-
guasi girando nello stesso senso il perimetro. Avremo poligono
a^b^c?'*dP . . . = p* simile a quello abcd = p e però a"i6" : (a''b^^=^b) : :

: : b'^cT : bc : : c"d" : ed : :

Gli angoli perimetrali del poligono ? sono dati da quelli corri-
spondenti nel poligono simile p*.

L'area h del poligono p, essendo h quella del simile p', e data

dalla proporzione u : h :: a'A' : a'^b^\

2. Misurare un poligono inaccessibile mediante Ut sua riprodu-
sione*

(Fig. 130*). Siano a\ b\ c\ d? proiezioni rette dei vertici inaces-
sibili a, b, Cy d sopra un allineamento qualunque a*d\

Come alla (Es. V) si misurino le distanze a*a^ b'b, c'*c.,. prolun-
gando queste proiettanti. Si aggiunga alla prima distanza a'a un
segmento a^a*^ tale che a^a + a'a'^ = k lunghezza intera ed arbi-
traria. Si aggiungano alle calcolate distanze b'b, c'c, d'd dei seg-
menti che diano aa^' = bb'^ = cc^' = dd" =^k ed evidentemente il po-
ligono a^V^c^'dP è uguale a quello inaccessil)ile abcd e può diretta-
mente misurarsi.

3. Se sul terreno vogliono calcolarsi le lunghezze del lati del
poligono inaccessibile; misurate le distanze a*a, //'/>, eV, d'd se ne

deduca la misura dei lati facendo a6= V cCb"^ -|- (à'a — b'^b) ,bc^

= V J/&*-\-(&c—b'*b)* e così dì seguito.

4. Tagliare i lati di un triangolo ahb in modo die il tronco
quadrilatero abde sia iscrittibile (Fig. 131*).

- 2iS0 —

In un punto arbitrario d del lato bh si faccia ang. edh = hàb
evidentemente risulta ang. e«6 + ftcte ^ 180°; ossia il quadrilàtero
deab è iscrittibile poiché in esso gli angoli opposti sotìo supple-
mentari.

5. Veriftcare se un dato punto e del piano $iu eqàidUgttLnte da
più punti a^ b, d ... e cioè se il poUgono àbdetg sia iscrittibile dal em*
tro e (Fig. 132*).

Si traccino parzialmente le direzioni ca, cb, ed.., ed à partire
da e si determinino su di esse i segmenti uguali cà\ cb\ ed!',... Se
risulta angolo c6'a = ca'6 « ang. cò'rf = crf'6 ecc. allora e sarà cen-
tro del poligono iscrittibile abdefg.

Infatti per avere un lato eguale ed angoli eguali il triangolo
cba* = cab* , come anche triang. cdb* == cbd* ossia ea ^cb ^cd^., 4
e perciò ra^gi del circolo di centro e.

Si osservi che congiungendo due a due gli estremi dei seg-
menti uguali radianti da e si forma il poligono a*b'd'e' ....g* il
quale risulta simile a quello di perimetro inaccessibile abde...g\
quando siasi verificato che questo è iscrittibile e perciò misurato
nei modi noti ad una distanza ca, e fatto il rapporto ca : ca\ misu-
rando il poligono praticabile a'bd'é*... g' se ne deduce come al (1®) le
misure del suo simile impraticabile abde...,g.

6. (Fig. 132*). Con raggio arbitrario oovero assegnato costruire
dal centro e un poligono inscrittibile regolare o no del quale siano
dati ordinatamente gli angoli al centro.

Se il poligono è irregolare si facciano al centro gli angoli acb^
bcdj.... ordinatamente eguali a quelli assegnati.

Se il poligono è regolare di n lati, si facciano al centro n

360**
angoli eguali nei modi svolti alla (Es. I) secondochè -zr- sia an-

golo graficamente costruibile o no; quindi su^li allineamenti ca,
ab, ed si prendano i segmenti uguali ca\ cb\ cd\ Se il raggio è
arbitrarlo sopra uno degli allineamenti ca^ si collochi a piacere
un segnale a, e sulPallineamento seguente cb"" si collochi un se-
gnale b sotto l'angoto ca*b=-cVa, Suirallineamento ed* si òollochi
un segnale rf, sotto l'angolo c&'d==» cd'6, e così in proseguo finché

— 261 —

il poligono si chiude. Se poi il raggio è assegnato r, come alla
(Es. V. V) si collodi! il segnale ad una distanza ca = r, e nel resto
si opera come sopra.

La misura degli angoli perimetrali Iati ed area del poligono
abete.. ,g si deduce da quel'a degli stessi elementi nel suo poligono
simile a'6'cfe*....g'.

7. Costruire un poligono irregolare iscrittibile del quale sono dati
i lati successivi e la congiungente gli estremi non comuni di due lati
consecutioi.

(Fig. 133*) Come. alla (Es, IX. 4^) si costruisca il triangolo aòrf
del quale è data la lunghezza dei tre lati ; si determini il centro e
del circolo circoscritto al triangolo abd che lo sarà anche all'in-
tero poligono. Si misuri il raggio ed, e per procedere alla compie-
tazione del poligono si costruiscano ordinatamente come al prece-
dente 1 triangoli isosceli dee, ecf ,., gca ì quali abbiano per rispet-
tiva base i lati successivi assegnati al poligono.

8. Co$truire, girando il perimetro, un poligono irregolare del
quale è dato per lunghej?sa e posizione un lato ab non che il valore
degli lì angoli successivi z, z', z" al centro inaccessibife, essendo z
l'angolo al eentro corrispondente al lato dato ab (Fig. 134*).

Nell'estremo b del lato dato, si faccia ang. abg =: -"— ^ , e

determinato un segmento bg, si faccia ang. bgi = ^ ed ang. bgh—z\
Si prenda gh = gb, e si tracci prolungata la bh.

Per determinare la lunghezza bd del lato opposto al secondo

angolo al centro 'z\ si risolva la proporzione bi : ba :: bh : bdi^ bd^

baxbh ^
z= — y — . Si faccia in d ang bdm = dbg e preso segmento dm=:bg,

si faccia ang. dmo = j"; preso mo:= md si tracci indefinita la do,

e si determini la lunghezza del lato opposto alPang. z^ facendo

bdxdo
bh : bd :: do : de ossia de = — ^ — , e così proseguasi finché il

perimetro si chiude.

La dimostrazione è evidente.

2. Costruire il poligono, dato un vertice e le direzioni al centro
invisibile jmssctnti per i vertici del poligono.

— 262 —

(Fig. 134*) ?iano acH, bh\ d(P . . . le concorrenti al centro invi-
sìbile e, e sia a un vertice del poligono. Si elevi in questo punto
alla oa' la perpendicolare ad incontrare in h la bò\ Nel triangolo
rettangolo cah, Pang. acuto he complemento di quello al centro e ;
e l'angolo che la perpendicolare ah all'estremo del raggio

del poligono iscritto forma col lato ab di questo, è bah = 2

e perciò si faccia in a con la perpendicolare ah l'angolo hab =z

go^^ahb
z= 2 > 6 risulterà ab lato del poligono fra ^e concorrenti al

centro aa\ bb\ In egual modo elevata in b, là perpendicolare alla
/i*, ad incontrare in i la rfrf', si faccia in b con la bi angolo ibd =

W-'-dib
= — 2 — , e risulterà bd lato del poligono; e così proseguasi fin-
ché il poligono si chiude.

Quando accada che due concorrenti successive bb\ fp siano
tra loro inclinate in modo che la perpendicolare bi non incontra
la/r, allora si prenda bi^ah e sulla bi si costruisca 11 triangolo
bdi=:abhf risulterà evidentemente isoscele ncb = bcd. Si elevi in d
alla di la perpendicolare dk = bi e si faccia triangolo kde = bdi, e
cosi proseguasi finché si raggiunga un punto e, dal quale la per-
pendicolare alla ke incontra laconcorrentejJT', ed allora fatto ang. lqf=

= — g-^» ^^^^ f vertice, e fé lato del poligono . .

3. Percorrendo il perimetro costruire un poligono regolare di n
toW, del quale è dato un Ixto ab.

(Fig. 135*) Si costruisca col lato dato in un suo estremo un ang =

360^
— —— sia no angolo costruibile, nei modi dati alla Es. I. Si

360^
prenda bd = ab ; si faccia ang. jsde = dbs = -^ ; si prenda de=db

e cosi proseguasi finché il poligono si chiude.

Infatti nel poligono regolare gli angoli esterni e volti nello
stesso senso sono quanti gli angoli al centro ed eguali ad essi.

Es. XL — Misure dei terreni di perimetro mrvilineo
mistilineo.

'".■r

j j

— 263 —

La varietà delle figure di contorno curvilìneo o mistlUnéo
e di area quadi abile è infinita (Parte III), di conseguenza sono infi-
niti i casi nei quali Tarea di un terreno di perimetro curvilineo o
mistilineo risulta in tutto o in parte quadrabìle direttamente L'ope-
ratore il quale possegga la perfetta cognizione delle forme perime-
trali che caratterizzano le figure quadrabili, prima di procedere
alla misura di un terreno, girandone il perimetro deve paliiiare e
misurare le corde dei tratti non rettilinei di esso, quindi parago-
nandole due a due riconoscere sé per avventura presentino 1 carat-
teri di forma delle figure quadrabili.

Ne diamo un solo esempio.

(Fig. 136*) Percorrendo il perimetro del terreno t, siansi pic-
chettate e misurate le corde ab, ce, cf, gh, hi, ih, Im dei suol tratti
curvilinei e siasi verificato

L Che corda e/=gh e con grande approssi^pazìone figura

2. Che il tratto fi/g del fosso possa decomporsi nelle figure

3* Che la corda ce non ha la sua uguale, ma può essere sosti-
tuita dalle corde ed = hi e dc^ Im, e che por approssimazione
risulta fig. 4- ^ = '-^^' > +^ — — ^'.

4 Che corda ba = ih e fig. + ^ = — o' e corda qn => qa e
figura -f- P = ^P', ne dedurremo che l'area del terreno t è equivalente
a quella dd poligono rettilineo ahcefghìdmnq, del quale si procede
alla misura diretta.

Il metodo isoscelico riesce in pratica utilissimo nei casi di
permute, miglioramenti stradali, rettificazioni di confini e simili. ^^ì

Ad esempio :

1. (Fig. 136*). I confinanti t, b gravati in consorzio della manu-
tenzione del fosso irregolare e di confine hgyf e, determinano di ret-
tificarne il corso con permuta di ugual quantità di terreno.

Poiché r appezzamento ^' della proprietà t è equivalente a
quello X della proprietà b, il corso del fosso può regolarsi secondo
la linea spezzata hgfe. Ovvero essendo appezzamento cy/ della pro-
prietà B equivalente a quello hyg della proprietà t, il fosso potrà
seguire il rettifilo he.

— 264 —

2. I conflnanti a, t determinano di portare in rettifllo il ^dco
aqn della loro strada consorziale e di confine, senza scambievole
perdita di terreno.

Si veriflchi che segmento curvilineo qHn = qVa^ e la strada
potrà percorrere il rettifilo an senza diversità di acquisto o per*
dita di terreno tra i conflnanti.

■ir^frì-

(303) Un istrumento topografico deve essere di semplice costru-
struzione, di facile uso, e graduato con metodi del tutto geome-
trici. Riteniamo che Pistrumeiito il quale ora descriveremo somma-
riamente, risponda alle dette condizioni.

Aritmètro

(304) (Fig. 137A). Al semicircolo metallico abd è saldato un
semi* anello circolare aeb ed una lancia ce terminante con liofilo
sottile mn ; questo al suo estremo è fissato in e al semi-anello. I fili
verticali di due mirini a cerniera coincidono con la direzione del
diametro a b del semicircolo nei due estremi di esso.

(Fig. 137b). Quattro menscleUe m coHegan<^il semicircolo e se-
mi-anello col sottostante rocchetto r, il quale è impernato e girante
sul piede metallico p.

11 piede p ha una doppia snodatura a sfera s la quale permette
d'inclinare il piano del semicircolo fino a renderlo verticale. Lo
stesso piede p si posa, fissa e livella sul tavolo del tripode t come
si usa per gli altri istrumenti topografici.

Un asse ossia cilindretto verticale a passa a leggiero sfrega-
mento per un foro praticato nel centro e del semicircolo; la parte
inferiore del cilindretto termina in punta k e posa nel giusto mezzo
del rocchetto r.

Immediatamente sotto al piano del semicircolo, al detto cilindro
è saldato nel suo centro un disco circolare d, graduato come dire-
mo. All'estremo superiore del cilindretto e al disopra del seinicir-
colo, è saldato il sostégno del canocchiale e,

— 265 —

Per la descritta disposizione mentre il semicircolo e semianello
sono fissi al piede p, col canocchiale e ruota anche il disco gra-
duato d.

Il diametro ab del semicircolo diremo linea base e quello ad
esso perpendicolare de diremo direttrice.

Graduazione delV Aritmètro

(Fig. 137* d) Sul piano del disco d e concentriche con esso sono
segnate quattro circonferenze di raggi crescenti ca, cb, ed, ce, delle
quali la più piccola ca è adibita alla misura degli angoli, e le altre
tee alla misura dei seni degli stessi angoli.

Dei diametri perpendicolari ab, de il primo si dice pure linea
base ed il secondo direttrice-, con questo collima la linea di mira
del canocchiale saldato, come abbiamo detto, all'estremo superiore
dello stesso asse del disco rf.

Nelle intersezioni della direttrice de con le quattro circonferenze
si segna il zero delle rispettive graduazioni, le quali si sviluppano
simmetriche dalle due parti della direttrice dagli estremi e aquelli b
dei quattro diametri coincidenti con essa.

Le semicirconferenze di raggio ca si graduano per archi 3^ e
loro duennesimi, come dicemmo al (25).

Per graduare le circonferenze di raggi e// ed, ce si dividano in
100 parti uguali ciascuno dei raggi ce coincidenti con la linea base
A.B. Si march no sulle due semicirconferenze corrispondenti i punti
d' intersezione con esse delle parallele alla direttrice de passanti
per gli estremi delle dette parti. Dalle 200 intersezioni dèlie pa-
rallele con la circonferenza ce, si traccino diretti al centro altret-
tanti segmenti rettilìnei che incontrino la circonferenza di raggio ed;
ogni dieci di detti segmenti rettilinei a partire dal zero, uno si pro-
lunga ad incontrare la circonferenza di raggio cb. Quando riesca
possibile, ciascuna delle 10) parti nelle quali sono divisi i raggi ce
sulla AB, si suddivide in 10 parli delle quali si marcano stilla cir-
conferenza maggiore ce le intersezioni delle parallele alla direttrice de,
se ciò riesce impossibile, si divida per metà ciascun centesimo
del raggio e si marchino sulla circonferenza le intersezioni da

— 266 —

questi punti. Ciò posto, le semicirconferenze di raggio cb restano
divise ciascuna in 20 archi disuguali, quelle di raggio ce in 200
archi disuguali.

A partire dal zero e dalle due parti della direttrice de le divi-
sioni della graduazione delle semicirconferenze cb si marcano coi
numeri naturali da 1 a 20; le divisioni delie circonferenze ce di
dieci in dieci si marcano coi numeri 100, 200, 300 ... . 2000.

Lettura delle graduazioni

(305). Ripetiamo che con Parltmètro si misurano in archi 3® e
duennesimi gli angoli che la linea di mira del canocchiale fa con
la direttrice de, ed 1 seni di questi angoli :

a) Nella circonferenza ca ciascun arco 3^ sia diviso ad ipotesi
in sedicesimi con quattro bisezioni successive.

b) Il disco graduato d gira col cannocchiale del quale la linea
di mira trascina il zero delle graduazioni; consegue che coirincli-
narsi del canocchiale a destra o a sinistra della direttrice, ì punti
delle graduazioni uguali ed inverse, passano successivamente sotto
al filo sottile mn di essa, e danno (Fig. 137'' d) con Tarco ms della
circonferenza ca la misura dell'ang. ecf che la linea di mira cf fa
con la direttrice de.

c) L'arco sm abbracciato dalPang. fce sia di 36** + ^ ; poiché

-j^= 0,1875 COSÌ ang. fce = 36« + 7 x 0,1875 = 37^ 3125.

Può facilitarsi la lettura usando una tabella dei sedicesimi del-

1 15
Parco 3* da "jg a j^ ridotti in cifre decimali.

rf) Nell'apertura delio stesso ang. fce = 37^3125, dei tratti di-
retti al centro che tagliano le tre circonferenze cb, ed, ce, vedasi
più prossimo al filo mn della direttrice quello marcato 5 sulla cir*
conferenza cb. Siano 8 i punti di divisione della circonferenza ed
compresi fra il filo della direttrice ed il tratto 5. Siano 7 Vt = 7,5 i
millesimi che sulla circonferenza ce sono compresi tra il filo mn
^ il primo dei fratti che tagliano simultaneamente le cirponfe-

— 267 —

renze ed, ce ; riunendo leggeremo seno 0,5b75 ; laiche angolo fce =:
= 37^3125 = seno 0,5875.

306. Mediante i mirini a cerniera situati agli estremi della
linea A.B, Taritmètro può usarsi sia come squadro agrimensorio, sia,
come falsa squadra.

Uso deirAritmètro

307. (Fig. 102") Misurare la distanza di un punto s da altro
inaccessibile x.

Si tracci una base sm che formi con la direzione sx un angolo
arbitrario tanto più prossimo al retto quanto maggiore è la distanza
del punto x. Sì raccolga sulla sm la proiezione retta p del punto x.
Risulti ad ipotesi p« = m.l. 72.65, si faccia stazione in « e con la linea
base AB della aritmètro sulla direzione sp, si miri in x, e si leggali seno
dell'angolo x che sia ad Ipotesi 0,2346. Si risolva la proporzione

72 65
0,2346 : 72,65 : : ì : tx ed avremo distanza sx = o2S46 "^ ^^^^^ li-
neari 309,676

2. Per rilevare un poligono aòcd ... da riprodursi in disegno,
fatta stazione in un punto s interno o esterno alla sua area, si mi-
surano successivamente nel descritto modo le distanze da s dei suoi
vertici a, b, <;, rf, . . . . nonché gli angoli successivi formati dalle loro
direzioni osò, òse, csd, ....

308. (Fig. 126*) Dal vertice b misurare lati ed area del triang. abd.
Sulle direzioni ba, bd si raccolgano in />, q le proiezioni rette

del vertici a, d ricavaìidone come sopra le lunghezze dei lati ba, bd,
e letto sotto Pangolo abd sen. ^^ = sen. ^^^ , l'area del triangolo

baxbdx sen, ^^^
sarà A = 2 — ^ (^'^4)

a) Quando le proiezioni rette /), q sui lati dai vertici opposti
cadono troppo lontane dal vertice />, sì misurano questi lati trac-
ciando per ciascuno una base arbitraria come si è detto al (307).

309. (Fig. 129*) Per misurare perimetro ed area di un poligono
abcdo si fa stazione in un suo vertice o ovvero in altro punto in-

— 268 —
'area del poligono, e misurate come sopra le distanze oa'
oa X ob

i dei suoi vertici se ne deduce area a = - ;

oli X oc ocxod

,fc + —9— X sen. .„v — 9 — X sen- ,

■ bocX

Segnale duplo

138' A) Il segnale duplo si forma di due paline pc, p'd' a
di altezza db dal centro di questa approssimativamente
i quella della lente del canocchiale deirarltmètro in azione
0. Nella parte posteriore delle paline e al disotto delle car-
' (Fig. 138» B), sono fissate due asole a di forma rettan-

centro di una delle cartelle e delle paline è praticato un
foro traverso al quale pa=sa esattamente un piccolo ca-
e m n; il sostegno s del canocrhiale m n è fissato nella
«teriore della cartella e, in modo che la linea di mira del
iale risulta perpendicolare al piano della cartella stessa.
, 138' A, D) Un'asta (trasoersa) t della stessa sezione delle
etalliche a che devono abbracciarla, è destinala a collegare
«line mantenendole alla distanza fissa di metri 4 tra i due
ille cartelle e, e'. La trasversa si forma di due parti uguali 7, k
*d) da collegarsi mediante la vile b. La trasversa In com-
i m. I 4,20, si collega alle paline mediante i puntali g ap-
loro piede.

Uso del segnale duplo

Nel punto presodi mira dall'operatore, il suo assistente ìn-
l suolo la palina pe che ferma quando la mira del suo canoc-
JH incontra la lente del canocchiale dell'aritmètro. Monla
a la Irasversa fissandone col l'ago g un estremo alla pa-
e l'altro alla palina p'c'.

questa disposizione la linea di mira del canocchiale del-
iro cade perpendicolare in e alla linea doi centri ce' = m.l- 4
rtelle.

♦ »

— 269 —

312. Misurare direttamente dalla stazione s la distanza di uh
punto a accessibile al porta segnale.

NelVaritmctro la lettura della graduazione dà direttamente il
seno dell'angolo esc' che formano le linee di mira ai centri e, e'
delle cartelle del segnale duplo, e però Tassistente fissa nel descritto
modo il segnale duplo nel punto a.

L'operatore fa collinare la mira del canocchiale con la direttrice
fissa DE dell'aritmètro, mediante il rocchetto r gira il piano di que-
sto finché sotto la mira cade il centro e della cartella, quindi ruota
il canocchiale finché cade sotto la mira il centro della cartella c\

ed allora legge nella graduazione seno a. Risolve la proporzione

4
sen. ^ : 1 : : 4 : sa da cui distanza sa = -^^ — . Ossia col doppio

segnale. La distanza di un punto lontano a è il quoto di 4 per il
seno àeWangolo formato dalle linee di mira ai centri delle due car-
telle e, e*.

a) Si osservi che quando la linea e, e' dei centri delle cartelle
é inclinata all'orizzonte, anche il piano deiraritmètro deve incli-
narsi mediante la doppia snodatura a sfera s (Fig. 137*b) finché
passa per la linea e, e'.

b) Per misurare lati ed aree dei poligoni si opera come ai su-
periori esempi, sostituendo per la misura delle distanze dei vertici
dal punto di stazione, il metodo del segnale duplo descritto a quello
dell'allineamento base (307).

Misurare rattezza h di una torre

313. L'assistente fissa il segnale duplo al piede della torre e mi-
sura l'altezza k dal centro e della cartella al suolo ; che risulti ad
ipotesi k =- 1,22.

L'operatore nota sen. ^^^» ad ipotesi -= 0,08, quindi collocato ver-
ticale il piano deiraritmètro mira con la linea base ab di esso il
centro e della cartella, e col canocchiale la sommità;? della torre;
risulti seno ^, =: 0,5475. Risolva la proporzione sen. ^^^* t sen - csz--

0,5475 X 4
:: 4 : CZ ossia 0,08 : 0,5475 : : 4 : CJ » C J — — qq^ = 27,375 ; e

— 21Ò —
però altezza della torre A = cj + ^ = ni. 1. 27,375 + 1,22 = m.l. 28,595.

313. (Fig. 118') Misurare la distanza fra due punti inaccessi-
bili a, b.

Siano (f, a" le cartelle del segnale duplo. L'assistente colloca
le paline del segnale sul prolungamento della direzione ab.

L'operatore annota sen, c'o*a''~ ^ * ^^^' c"o*a =^ > sen. ^.^.^ = r;
e risolve le proporzioni m : n : : 4 : c'a ; da cui e* a = jo, quindi
m : r ; : 4 : c'i&, da cui c^b = q ; perciò a6 = g — />.

314. (Fig 136') Misurare l'area di un appezzamento di perimetro
in tutto o in parte isot'jelico.

Siasi verificato come alla (Es. XI) che un dato perimetro è co-
stituito parte di coppie isosceliche dirette o inverse, e parte di
segmenti rettilinei.

Si marchino con biffe i punti rf,/, y.g.i .. . nei quali i segmenti
curvilinei restano divisi in linee isosceliche; quindi scelto un punto
di stazione s dal quale siano visibili tanto i detti punti che i ver-
tici del poligono, se ne misurano le rispettive distanze sia col me-
todo delle basi (307) sia con quello del segnale duplo. L'area del-
l'appezzamento si calcola facendo i semiprodotti delle distanze suc-
cessive prese due a due e moltiplicate per il seno dell'angolo che
esse formano, e ciò girando il perimetro nello stesso senso, come
si espose alla (Es. XI), e prendendo la metà della somma dei detti
semiprodottì pei rispettivi seni.

315. Riteniamo sufficen temente dimostrato che con l'aritmètro
i rilievi dei terreni risultano facili, solleciti e che inoltre presentano
il vantaggio di dare gli elementi di figure sempre riproducibili me-
diante la riga ed il compasso.

r^B®j{(^|^

mm ' ■

CE|<lfÌÒ

SULLA CRONOGONIOMETRIA

La Cronogoniometria è la scenza di rappresentare ed operare con
lo stesso carattere numerico tra spazi di tempo ed archi di circolo.

Suo fine è l'eliminazione dal calcolo delle difficoltà che s' in-
contrano nel ridurre Tuna alPaltra le dette quantità, e ciò asse-
gnando loro una comune misura.

Fino ad oggi non si conosce un metodo di calcolo cronogonio-
metrico soddisfacente, e però esponiamo per sommi capi un si-
stema che sembraci corrispondente allo scopo.

I. — L'attuale misura degli angoli ed archi è la circonferenza
divisa in 360 gradi. Il grado diviso successivamente per le potenze
del 60, dà i minuti primi, secondi e terzi . . . Nella misura del tempo,
la circonferenza rappresentante un'ora, è divisa in 60 parti o mi-
nuti primi. Un minuto primo diviso successivamente per le potenze
del 60 dà i minuti secondi, terzi ecc, : talché, assunta la cir^

1 1
conferenza come unità, il grado 1* = ii;; =" =^k^ X 10 > il minuto

primo P' = ==T X 10 > il secondo V'^ = -=r-x IQ . . > ^ in mi-

• 1 1

sura di tempo ora = 1 » minuto primo 1' = -— - » id. 1'* = ===? »

60 60

> id. 1"'= =5^ ecc. Nelle due misure, paragonando 1 minuti pri-

— 272 —

1 1

mi trovasi P' : r :: =r X 10 : tt; questa correlazione Imbarazza

il calcolo misto trai due valori con quantità radicali.

É poi di somma importanza il poter rappresentare le opera-
zioni miste tra archi e tempi con carattere grafico, cioè con figure
geometriche costruite mediante la riga ed il compasso; ma ciò
con gli attuali sistemi di misura riesce spesso impossibile, poiché
non sappiamo dividere graficamente la circonferenza in 360**, né il
grado in 60 ecc., né tampoco in misura di tempo possiamo divi-
dere graficamente il minuto primo in 60, né il secondo in 60, ecc.

Nella graduazione della circonferenza per 360® e divisione de-
cimale del grado in minuti primi, secondi ecc., non possiamo gra-
ficamente dividere né la circonferenza in 360^ né il grado in 10
parti uguali.

Lo stesso avviene per la circonferenza graduata con sistema
decimale, non potendosi graficamente dividere nò il quadrante
per 100", né una di queste parti per 10.

Esponiamo sommariamente un sistema nel'qualesono rimosse
le suddette difficoltà, inquantochè •

1. Una sola graduazione della circonferenza è comune misura
degli angoli ed archi, nonché dei tempi ad essi equivalenti.

2. Tale graduazione si es-guisce mediante la riga ed il com*
passo ed è perciò rigorosamente esatta.

3. La stessa graduazione dicersijìca di poco da quella in uso
nel goniometro e cronometro, e in modo da rendere più rigorosa-
mente esatta la costruzione di questi istrumenti.

4. Nel calcolo si possono sostituire gli uni agli altri gli angoli
e tempi.

5. Tutte le operazioni eseguite fra le due diverse quantità, pos-
sono rappresentarsi con figure geometriche costruite mediante la riga
ed il compasso.

Poiché nella cronogoniometria angoli e tempi hanno una sola
misura, i cronometri divengono cronogonioinetrl ed i goniometri
si trasformano in goniocronometri.

273

IL Graduazione del Goniocronometro

(Fig. 139«) Due circonferenze concentriche ca > eh sono desti-
nate la prima al'a misura degli angoli {goniometro), la seconda
alla misura del tempo {cronometro)

Con i metodi geometrici si gradui la circonferenza ea per
archi 6®; essa resta divisa in &ò archi che si distinguono ordina-
tamente col numero 6** e suoi multipli per i numeri in ordine na-
turale da 6® a 360«.

Delti archi 6** si bisecano successivamente Anche lo permette
la chiara lettura.

Dai punti 6^ 12^ 18** . . . 360<> si tracciano altrettanti segmenti
diretti al centro ; questi, incontrando la circonferenza cb del crono-
metro, la dividono in 60 archi uguali, ossia minuti primi, che a
partire dal zero, corrispondente al 360*^ della circonferenza ca, di
cinque in cinque si distinguono con i numeri 5 e suol multipli per
i numeri in ordine naturale dà 5 a 60.

Nel calcolo cronogoniometrico si adotta l'arco &" come minuto
primo, ossia 1"' della circonferenza; talché, tanto il circolo del
goniometro quanto quello del cronometro, restano divisi in 60 mi-
nuti primi.

Le bisettrici successive sono comuni ai due archi corrispon-

denti 6° = 1®' ed l\ La prima bisettrice -g" = — 2 — ^ ^'*' ^^ ancora

Parco intero 3^ unità geometrica degli angoli ed archi (7).

Le bisettrici successive dividono i minuti primi nei due circoli
in 4, 8, 16, 32, 64 ... 2» parti uguali.

Una qualunque di tali parti può assumersi comò minuto
secondo; cosi sia adottato quale minuto secondo P" 1' arco
dato dalla sesta bisettrice dell' arco (6° = P') = 1', e cioè

~ "26" = "W' "^"2^ "= "64* ' ^^ allora nelle due circonferenze

ca, cb, divisi i loro sessantesimi con sei bisettrici ciascuno in 64
parti, una di queste è il rispettivo minuto secondo P" =• 1", il quale

in misura di tempo ridotto in valore decimale è -gj- == 0',015825, ed

in valore decimale in gradi è "^ = — g^ — = 0^09375.

Sei bisettrici successive dell'arco 1", danno nella sua sessan-

taquattresima parte il minuto terzo r'' = -^-g^ — =0',000244140625,

che moltiplicato per 6^ si riduce al corrispondente valore angolare
in gradi e cioè 1^'" =- 0',000244140625 X 6* = 0^00146484375.

Sei bisettrici del minuto terzo danno il minuto quarto 1"" ecc.

Disposizione del Cronogoniometro

Nel cronogoniometro (orologio) la circonferenza ca è graduata
per minuti primi e mezzi minuti con 12G archi 3^.

NelParea del circolo ca sono tre piccole circonferenze a, b, d
divise con bisettrici successive ciascuna in 64 archi uguali e de-
stinate alla misura dei minuti secondi, terzi e quarti.

Un sistema d'orologeria muove gP indici dei vari quadranti.

Come negli orologi in uso, nel circolo ca sono due indici : uno
gira la circonferenza in dodici ore, e segna Torà per ogni arco di 5
minuti primi, l'altro gira la circonferenza in un'ora e segna i suoi
60 minuti primi. L' indice del circolo a ne gira la circonferenza in
un minuto primo e dà i suoi sessantaquattresimi ossia secondi.
L'indice del circolo b gira la sua circonferenza in un secondo e
dà con i suoi sessantaquattresimi il minuto terzo ecc.

Nel goniocronometro, per ottenere la chiara lettura della gra-
duazione, può applicarsi il sistema descritto per il cronogoniometro»
In tal caso il movimento del meccanismo è trasmesso da un asse
centrale al quale è saldato il sostegno del canocchiale in modo che
la linea di mira di questo, sia o no inclinata all'orizzonte, con la
sua rotazione mette in movimento il meccanismo.

Con questo sistema si possono misurare con la massima esat-

— à75 —

iezza archi piccolissimi o flrazionari espressi da numeri di molte
cifre decimali. Il valore di tali archi è sempre finito ed essi sono
graflcamente riproducibili mediante la riga ed il compasso.

Per la circonferenza divisa in 60 minuti primi, e questi suc-
cessivamente per le potenze del 64 in secondi e terzi . • . , tanto nel
goniocronometro quanto nel cronogoniometro la graduazione è la
medesima, quindi possono usarsi indifferentemente tanto nelle mi-
sure degli angoli che dei tempi.

GP indici di uno di essi segnino 2, 16% 11" 14*" ; in misura di tem-
po si scriverà 2o, 15', IP, 14'*'; e in misura angolare C^2, 15®*, U^'^M^''^
i due valori sono equivalenti ; però dovranno rispettivamente ri-
dursi a numero decimale onde diano una idea concreta dei valori
stessi. Allo scopo i termini di ambedue si riducono a minuti primi
e decimali di questi, facendo per il tempo 2.o, 15\ 11", 14"' = 2X60 +

1' r

+ lo' + 11 X -54- + 14 X opr = 120' + 15' + 11 X 0',015625 +

+ 14 X 0',000244140625 = minuti 135', 17529^96875 (t), e per l'angolo
C0.2, 15«', 11 »'», 14®'" = 135',17529296i75 X 6® = 811^,0517578125 (a)
angolo girato, inquantochè nel goniometro riferito alla graduazione
in 360% il minuto 1®' = 6°. Quindi, sebbene i valori t, a siano equi-
valenti pure i numeri decimali che li esprimono stanno come
1 a 6.

Per rimuovere questa disuguaglianza di espressione decimale
delle due quantità, dobbiamo considerare che se non ci è per-
messo di alterare l'espressione numerica del valore angolare vii^
colato alla graduazione della circonferenza in 360°, possiamo però
supporre, senza alterazione del valore relativo al tempo, che un
minuto primo dell'ora sia al pari di quello angolare diviso in 6
parti uguali, ed allora avremo

T = 811',0517578l25 = ang. A=«811°',0517578r?5 ossia anche in nu-
mero decimale t = a.

Finalmente per liberare il calcolo dalla riduzione in decimali
dei minuti primi secondi . . . possono formarsi le tavole cronogo*
niometriche che seguono.

r- • ,^ ^^^

S76

Tavole decimali crooogoniometrlche (C.gm)

Tempo. Angolo

r— 6« — r

r — 0\09375 — 1° ''

l'-' = 0',00146484375 — 1« »«

2' — 12° — 2^

2-' — 0', 1875 — 7°''

2'" 0',0029296875 . = 2«"'

3» _ igo — 30

3»' — 0',28125 iz: 3°''

3'" — 0',00439453125 — 3« '"

4' = 24° = 4°

4'' 0',375 . . 4° "

4"' - 0\0:)5859375 . . = 4° '"

5' = 30° =z 5°

5" =: 0\46875 = 5°"

5'" — 0',00732421875 — 5° "'

6* — 36° — 6°

6" = 0V56:'5 . — 6°''

6'-' — 0\0087890625 . — 6^ "'

7' = 42« := 7«

T' — 0\65625— 7°"

7'" = 0',0 1 025390625 — 7* '"

8' z= 48« — 8°

8'' — 0',75...— 8«"

8'" — 0',0H71875...— 8<»"'

9' — 54° — 90

9" — 0',84375— 9°"

9" — 0',0 1 3 1 8359375 — 9° "

10' — 60° —10°

lO'V— 0\9375.=il0^"

IO'" — 0\014648 1375 . n: 10« "

ir =:66« =110

ir — r,03125— ll°"

ir" — 0',0 161 1328 125 — 11° "'

12' — 72° -12°

l2-'-lM25.. 12«"

12" — 0',017578125 . . — 12^ '"

13' — 78* —130

13" mr, 2 1875— 13°"

13"' — 0',01904303375 — 13»'"

14' = 84<^=:140

14»' — l',3125 . — 14° "

14'" — 0',0205a78125 . = 14° '"

15* — 90^-15^

15"— r,40625 15°"

15"' — 0',02197265625 — 15° '"

> > »

> » » » >

» » > > » >

60' = 360°

> » > > y>

» > > > > >

> > > » >

> > » » > >

> » > » »

> » > > » »

» » > > »

> » > > » »

64' --6' — P'

64'" — 0\09375 — l« "

La tavola dei minuti primi si forma moltiplicando 6° per i nu-
meri in ordine naturale da 1 a 60; quella dei secondi, terzi . . .

■

moltiplicando il vaflore decimale angolare di un secondo, di un
terzo ecc. per 1 numeri in ordine naturale da 1 a 64.

L'uso delle tavole si riduce nel segnare in colonna i valori cor-
rispondenti ai termini indicati dagli indici sulla graduazione, la
somma di questi è l'espressione del valore decimale angolare o di
tempo indicato.

Si dispone il calcolo co-
me a lato (Tab. N).

Per brevità l'espressione
G.c.m. indica il goniocrono-
metro e quella C g m il cro-
nogoniometro.

Il numero delle cifre de-

20, 15', 11", 14

9>»

Tab. N.

2o =: 2 X 360° = 720°

15' = = 90° (Dallo t*vol«)

11"— = 1 0,03125 id.

14'"= = 0o,0205078125 id.

Ang. girato

811^0517578125

— 277 —

cimali da assegnarsi al valore del minuto secondo^ deve essere
regolato dalPuso dal quale si defelina il G.c.m, ; così se qUesto deve
impiegare! nelle operazioni trigonometriche basta che il minuto
Secondo sia espresso da numero a 4 decimali, ma se poi fosse de-
stinato ad operazioni astronomiche, nelle quali necessita talora di
avanzare il calcolo fino ai minuti quarti e quinti, allora è più con-
veniente esprimere il secondo con numeri a sei decimali ossia

V = -qJ- X 6 ~ 0,09375.

Qualunque sia il duennesimo del minuto adottato come secondo,
la formazione delle tavole è identica alla descritta. Sia ad ipotesi

r* = -yg =-. 0',0G25 ; in valore angolare avremo 1°" = 0,0625 X 6« —

0® 375
= (y 375; ed il minuto terzo sarà r'" = -\q- — 0«.0?34375.

MoltiplicaU questi due termini per i numeri naturali da 1 a 64,
ne restano formate le rispettive tavole.

111. Il calcolo cronogoniometrico si divide in due parti distinte
e cioè :

1. Nel calco' o misto, il quale si serve di tutti i mezzi che offrono
l'aritmetica e* gli altri rami del calcolo per operare tra dati valori
angolari e di tempo, come se fossero quantità della stessa spece.

2. Nel calcolo geometrico che si serve della geometria nei ^uoi
vari rami e facoltà, sia nella rappresentazione gi-afica delle figure
corrispondenti alle operazioni miste eseguite tra angoli e tempi, sia
neiranalizzare le correlazioni e rapporti che passano fra gli ele-
menti costituenti dette figure, tanto in sé stesse quanto riferite ad
altre della stessa spece.

Vedesi da ciò che questo ramo della scenza, il quale potrebbe
riuscire assai utile nella fisica, nella meccanica e segnatamente
nella astronomia, si svilupperebbe in un esteso trattato: pertanto
qui ci limitiamo a darne un' idea as^ai sommaria.

— 278 —

Calcolo misto

Polche nel calcolo anche i tempi Fono espressi da numeri de-
cimali angolari, nelle operazioni miste deve aversi presente quanto
dicemmo intorno agli angoli nella psrte prima di questo libro.

Aggiungiamo che se un angolo girato o spirale si forma
di un numero intero n di circonferenze C, si rappresenta
nella forma angolo Cw. Quando l'angolo girato oltre le n cir-
conferenze contiene un angolo a >> 360^ si lappresenta col segno

Cw-f a, e graficamente si costruisce l'angolo a<S6(j^ e si segna Cn den-
tro la sua apertura se a < l8Co, ovvero prossimo al vertice ed esterno
all'angolo se a > 180®.

Un angolo girato intero e dispari b può essere base (9) di
altri angoli girati ovvero d'infiniti angdi non girati frazionari e
fratti, e però quando da un angolo base e girato b voglia rica-
varsi quello a dal quale proviene, devono essere note le n bisezioni

b
successive di b che riconducono a quello a, allora avremo a r^-gi

Ad esemp'o si richieda espresso in ore e minuti primi, secondi e

terzi il decorso di tempo t, il quale duplicato per 8 .volte succes-

662259^
sive, ha generato Pangolo base girato 6622W. Avremo 2» =-4^56 =

= 25860,94921875.

25860 66^"

Per la parte fratta si cerchi nella tavola C-g.m colonna dei se-
condi, il massimo termine in essa contenuto, e si trovi
0',94921875=l0"=r0',9375 + 0',0117l875. Si veda se questo resto è
tra i termini della colonna dei minuti terzi, e si trovi 0',01 171875 = 8*"
e riunendo ordinatamente avremo <=:7o, ir, 10'\ S"*.

Poiché un angolo ed il tempo ad esso equivalente sono espressi
dallo stesso numero decimale, consegue che le operazioni aritme-
tiche miste si eseguiscono come quelle ordinarie, sia che i due va-
lori siano dati sotto forma di numeri concreti complessi che sotto
forma di numeri decimali.

279

Vedonsi a lato in à.h
due esempi della somma
mista tra angoli e tempi
tanto sotto forma di numeri
concreti e bomplessi, quan-
to sotto quella di numeri
decimali; e* sotto le due for-
me diamo esempi di sot-
trazione in CD.

Riteniamo superfluo da-
re anche esempi di ope-
razioni miste, sulla molti-
plicazione, divisione, pro-
porzioni, progressioni, serie
di potenze ed estrazioni di
radici, per le quali tutte ri-

5o' 27o'\ l2o'"
370', I60", 320"'

7' , 16" , 18'"
19', 0", '^3'"

68', 60", 21'" =

4130,

Somma

,65576171875

320 ',548828125
2230 ',546875

43',5?63671875
ll4',03369l406-25

4130,65576171875 =

= 68',

Somma
B

60", 21"'

370», 16", 320'"
— 7', 16", 18"'

30', 0", 14'":

= 180

Sottrazione
C

o,02or:o78j:5

2230,5468750000
— 43\5263671875

1800,0205078 1?5:

= 30',

Sottrazione
D

, 0", 14'"

mandiamo a quanto fu precedentemente svolto circa alle stesse
operazioni tra i numeri esprimenti valori angolari. Daremo un solo
esempio che sia di norma nelle applicazioni dei richiamati prin-
cipii nelle operazioni miste.

Si domandino tutti i divisori interi possibili del decorso di tempo
50, 28', 60", 32'", si riduca in valordecimale airang.girato 1973<>, 471875
di angolo base 126315^ Decomposto quest'angolo base nei suoi fat-
tori primi trovasi 126315 = 3X3X5X7 X401. Si moltiplichino
questi fattori primi tra loro in tutti i modi possibili, ne risulte-
ranno i divisori esatti ed interi del tempo 5o, 28', 60", 32'". e cioè
3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105 315, 401, 1203, 2005, 2807, 3609.
18045, 25263.

Infatti, dividendo il dato tempo per uno qualunque dei detti di-
visori, si ottiene per quoto un angolo costruibile riducibile a tenapo

5o, 28'. 60", 32"'

— = angolo

2807

equivalente esatto, cosi faremo ad ipotesi

I9730, 671875

^^ = 00,703125, che mediante le tavole C.g.m, si riduce al

tempo equivalente Oo, o', 7", 32"',

— 280 -

Quando poi si fossero ricercati tutti i divisori possibili esatti
Interi, frazionari o fratti del tempo ro,28\ 60'', 32''\ come si espose
al (13) tutti i duennesimi all' infinito dei suoi divisori interi deter-
minati come sopra, nonché le combinazioni di tali duennesimi per
somma differenza prodotto o quoto, risulterebbero altrettanti divi-
sori esatti dell'angolo 1973o, 671875 e perciò anche del tempo equi-
valente 5o, 28', 60", 32'".

Inoltre la teoria svolta sui valori angolari talora semplìcizza
la soluzione di alcuni problemi : ne diamo un esemplo.

Suppongasi che un corpo percorra nello spazio la circonferenza
secondo 1 ipotetica legge delle poteruse dei tempi dioise ordinatamente
per le potenze degli archi^ ovvero secondo i multipli per p di una o
Valtra o di entrambi le serie di potenze, e cioè con la velocità crc-

scente v = -^ , ovvero v — ~^ e anche v =- -^ ecc. ove < è il mo-
mento corrispondente all'arco a, H verifichi che il corpo traver-
sando un mezzo resistente sfugga alla suddetta legge, e invece in
tempi uguali percorra archi dei quali il valore numerico cresce
ordinatamente di una cifra decimale, o viceversa percorra archi
ugual idei quali i tempi successivamente corrispondenti sono espressi
da numeri che crescono ordinatamente di una cifra decimale, si
domanda come la resistenza r del mezzo abbia modificato la legge
prima di velocità del corpo.

Possono darsi più casi, dei quali per essere brevi ne conside-
reremo due, e cioè quando il corpo travereando il mezzo percorre
in tempi eguali archi graficamente costruibili, ovvero percorra
archi uguali in tempi dati da numeri che non sono espressione di
archi costruibili.

1. Penetrando nel mezzo resistente il corpo percorra in tempi
uguali gli archi 1«,5 > 2^,25 > 3«,375 »... Essendo uguali i mo-
menti li rappresenteremo sotto la forma^T"^ » 2°^ ^ 30^^25 ^'"

ducendo all'angolo base i successivi denominatori angolari avremo

2 4 8

35 > -gS > 27 ' ^ • • ' ^^'''^ frazionaria crescente nella quale nu-
meratori e denominatori procedono come le potenze di numeri fn-

— 281 —

teri e però secondo ]a lepge prirra vzn --^ che regola il corpo al
di fuori del mezzo rrsislenle. Pertanto, traveisando questo mezzo,

il co rpo procede con la velocità modificata vr ^ 377^ > 9^74 >

1 30 00 270

* 270 : 8 > • • • = ~2~ * "i^ * ~8~" * • • • serie frazionaria decre-

?cente costituita dei termini della prima inversamente disposti,
quindi la resistenza del /7?e^^o ha invertita la legge prima e avremo
a»

vr =

n •

2. Jl corpo traversando ilmessio resistente percorra invece archi
uguali in tempi progredenti 4,2 > 5,88 > 8,?32 »...

Considerando i tempi come archi non costruibili e per essere

uguali gli archi, scriveremo -^ > -g-gg » g 032 * Si cerchi

fra le cifre semplici quel numerò che moltiplicato per il primo ter-

1 5

mine ne rende intero il denominatore, ossia ^ x 5 = 2f > ed al-
lora si moltiplichino i termini successivi della serie ordinatamente

5 25 1 25

per le potenze del 5: avremo -^i * "T^ * 3029 * • • • serie nella

quale i denominatori sono espressioni di angoli costruibili come

5 25

multipli di tre. Si scriva la serie sotto la forma 3y~7 > "3X49 *

125
» 3X343 > e in questa i denominatori procedono come il triplo

delle potenze del 7, mentre i numeratori come le potenze del 5:

3^n (l^

ne dedurremo legge prima v = -^ e legge seconda vr ^ 3-^.

È superfluo trattenerci più a lungo sul calcolo misto il quale
sempre facile ed elementare, è in tutto uguale al calcolo aritmetico
in virtù della convenzione di rappresentare angoli e tempi con gli
ste«si numeri decimali ; pertanto ciò non ci devo far dimenticare
che angoli e tempo sono quantità distinte, poiché i primi sono 360™»,
mentre i secondi non sono che 00»"i della circonferenza, che senza
la citata convenzione di ritenere il minuto primo anche esso di-
to

— 282 —

viso In 6 parti uguali al pari di quello angolai'e, ci renderebbe im-
possìbile di rappresentare con angoli costruibili tutti quel, spazi di
tempo, che espressi per minuti primi, non hanno In sé stessi la
forma di angoli costruibili.

III. Grafica cronogoniometrlcd

La grafica cronogoniometrica ossia calcolo cgm consiste nel
rappresentare con figure geometriche operazioni eseguite o pro-
gettate tra angoli e tempi, o linee e tempi ovvero fra diversi spazi
dì tempo considerati come lunghezze aventi due a due un punto
comune ed una assegnata scambievole inclinazione, e però

Nel calcolo cgm si considerano le linee, gli angoli o ambedue
questi elementi come esprimenti spazi di tempo.

Vedemmo già come nelle figure geometriche gli angoli possono
rappresentare altrettanti tempi in virtù dello stesso carattere nu-
merico ; vediamo ora dentro qual limite, nelle stesse figure, anche
le linee possono rappresentare durata di tempo.

Nel significato geometrico e grafico la linea è una lunghezza
generata da una successione ininterrotta di punti geometrici o gra-
fici (26'i), si sostituiscano a questi punti generatori i momenti, e
alla lunghezza la durata del tempo, e allora la linea geometrica o
grafica si cangia nella Unea cgm.

Come la lunghezza di una linea geometrica è relativa a quella
di un assegnata unità di misura, cosi la lunghezza di una linea cgm
è relativa a quella della assegnata unità di misura cgm.

a) La lunghezza assegnata alla unità lineare cgm è arbitra-
ria al pari di quella geometrica, però gli elementi costituenti una
data figura cgm vanno riferiti alla stessa unità.

b) Due più figure cgm geometricamente uguali, sono tali se
misurate dalla stessa unità, se riferite a diverse unità cgm, sono
simili a cagione della ugual forma e diverso valore dei lati.

e) Due più figure gcm geometricamente simili, se misurate
dalla stessa unità cgm sono simili, se misurate da unità che siano
nello stesso rapporto di due loro lati omologhi sono equivalenti.

i^__ i

— 283 —

d) Come unità lineare cgm si adotta il raggio del circolo cgm
ovvero gcm ; quale raggio come dicemmo è di lunghezsia arbitraria,
e può determinarsi tanto più. grande quanto maggiori sono le di-
stanze o durate di tempi che debbonsi rappresentare ; così ad esempio
per le operazioni astronomiche potrebbe adottarsi come unità il
raggio del circolo equatoriale terrestre.

I descritti metodi cronogoniometricì di misura sia degli angoli
sia dei tempi, sono in tutto corrispondenti a quelli attualmente
seguiti per le figure geometriche, e poiché gli angoli cgm sono
tutti costruibili mediante la riga ed il compasso (I.5<>) così ;

1. Qualsiasi quantità ed operazione cronogoniometrica può rap-
presentarsi con una figura geometrica.

2. La cronogortiometria con le sue operazioni abbraccia Cinterà
geometria.

Pertanto se la cronogoniometria può avvantaggiarsi di tutte le
facoltà della geometria, ne divide anche le deflcenze, poiché come
In questa tra i segmenti rettilinei cgm e gli archi non esiste comune
misura.

Infatti se il raggio unitario cgm si ritiene diviso al pari dei-
Torà e sue parti date in numeri decimali dalle tavole cgm^ allora
evidentemente qualsiasi segmento rettilineo rappresentante decorso
di tempo é esattamente misurabile, per essere commensurabile con
la unità. In tal caso però i segmenti rettilinei cgm, riferiti alla cir-
conferenza, non si trovano numericamente nei rapporti di quelli
omologhi geometrici nel circolo di raggio unitario, ed il calcolo
geometrico per applicarsi alle linee cgm, diverrebbe assai com-
plicato.

Se poi il raggio cgm si ritiene diviso al pari di quello unitario
geometrico per le potenze del io, allora non esiste comune misura
tra il tempo ed i segmenti rettilinei Non deve inoltre dimenticarsi
che i segmenti nel circolo unitario computati in parti di raggio,
possono esprimere tutti i numeri immaginabili dei quali gran parte
sono indefiniti o irrazionali, e perciò incommensurabili col raggio;
ad esempio i lati dei poligoni regolari iscrittibili, escluso quello
dell'esagono regolare, sono tutti incommensurabili col raggio e però

! "

¥r-^

',' 1

— 284 —

indefiniti o irrazionali : quindi, dato pure che i] raggio cgm sia
diviso al pari dell'ora, sempre i lati dei poligoni regolari c^m, non
che tutti gli altri segmenti al pari di essi indefiniti o irrazionali,
restano incommensurabili col raggio, cioè questi segmenti non pos-
sono rappresentare con rigore mattf malico un decorso finito dì
tempo, ma solo con approssimazione senza limite.

Per le svolte ragioni riteniamo che nelle applicazioni della geo-
metria alla cronogoniomeiria, si debbano usare ambedue i metodi
di divisione del rapgio unilaiìor^m, secondochè la natura dei pro-
blemi da risolversi indichi più opportuna Tuna o l'altra divisione.
Nella scelta tra i due modi può solo servire di guida il sano cri-
terio avvalorato dalla prat'ca.

Potrà usarsi per le figure cgm nel loro insieme e nelle rispet-
tive parti, la nomenclatura di quelle geometriche corrispondenti.
CJosi due o più lìnee cgm potranno essere rette o curve, regolari o
no, spezzate o miste ; potranno essere fra loro perpendicolari obli-
que, secanti, jarallele, convergenti, divergenti .... L'angolo cgm
sarà retto, acuto, ottuso, girato, rettilineo, curvilineo, isoscelico o
no ... . Due o più angoli cgm potranno essere tra loro uguali o
no, complementari, supplementari, esplementari, ovvero essere ri-
conosciuti tali per posizione, scambievole dei lati al pari dei geo-
metrici. Un triangolo cgm sarà retto, acuto, ottuso, equilatero iso-
scele, scaleno, isoscelico regolare o no-, e in genere qualunque pò*
ligono cgm potrà nominarsi nel suo insieme e nelle sue singole
parti con i termini adottati per quello geometrico che lo rappre-
senta.

Tutte le correlazioni, proprietà e principii inerenti alle varie
. figure geometriche, si estendono senza eccezione alle cronogonio-
metriche, e però a volerne trattare in dettaglio bisognerebbe ripe-
tere quanto si è fino ad oggi scritto sulla geometria; ciò risulte-
rebbe più che superfluo inutile, però ci limitiamo ad alcuni esempi
che servano a guidare nella applicazione della geometria alla ero-
nogoniometria.

— 285 —

IV. Esempì pratici

Unico scopo degli esempi seguenti è il dimostrare come la
geometria si applichi direttamente nelle operazioni cgm^ e poiché
non vogliamo invadere altri campi della scenza, cosi i soggetti
dei quesiti che ci proporremo, sono del tutto immaginari, come
immaginarie sono le velocità attribuite ai corpi, le leggi che ne
ne regolano il moto e simili. Di ciò avvertiamo il lettore al doppio
scopo che non ci faccia un addebito di ^queste volute inesattezze,
ne cada in equivoco ritenendo 1 \alori immaginari come esatti.

Nelle operazioni cgm per la misura dei seni degli angoli dati
per direzione dei lati si fa uso del Aritmètro, però quando sia
possibile, per semplicizzare le operazioni è preferibile servirsi di
un Guniocronometro nel disco del quale sia stata aggiunta la cir-
confeienza graduala secondo i'Aritmètro (304).

iSft^KiiPio I. — Sia R raggio del circolo equatoriale terrestre
Tunilà cgm, e siasi riconosciuto che la luce per giungere dal pia-
neta A alla terra impiega Oo, o*, 0'% W\ 6"", 25''*" e dal pianeta b
alla terra impiega Oo, o', 0'\ 10"', 10"", 32'"": domandasi la
distanza dei due astri dalla terra e fra loro, nonché l'area del
triangolo che le visuali agli astri formano con la congiungente i
loro centri, sapendosi che la luce percorre la lunghezza del raggio r

r"
nel tempo ■^^. d«

Mediante le tavole decimali cgm: sufflcentemente avanzate ai
minuti quarti, quinti ecc., si faccia la somma dei numeri decimali
corrispondenti ai valori delle distanze da a e b. Si dividano i totali
per il decimale corrispondente al valore di r =- d ; risulterà distanza
dalla terra airastro A = SA = R.512,50 e dalla terra all' astro b =
i^ 8b 1= R.315,25. Mediante l'arìtmètro si misuri angolo e seno asb,
e si riproduca in rapporto di scala l'ang. asb.

La distanza ab fra i due pianeti si misura direttamente me-
diante la scala» ovvero si calcola nei modi noti geometrici mediante

— 286. —

gli elementi noti sa, sb, ang. asb, sen.^^. L'area del triangolo abs

saXsb
òH = ^2— Xsen.^^.

Dato il raggio unitario cgm = r dioiso per le potenze del 10
tutte le linee riferite al circolo cgm si misurano come i segmenti
omologhi nel circolo di raggio 1. Cosi per i lati di poligoni regolari
iscritti, avremo lato del triangolo equilatero cgm, l = r ^ 3 > Id. del

quadrato cfl'm. l'=r^ 2 > Id. del pentagono l" = r X 1,1756 »

» Id. dell'esagono l'" = r : ecc.

L'area a di un poligono regolare cgm di n lati è data dalla

air* 360**

formula geometrica a = -g-, sen. -^—(274). Per Y area del circolo

cgm nella detta formula n è infinito.

Ricordiamo ancora che l'area di un poligono regolare di n Iati

nel circolo di raggio 1 è data numericamente dal semiperimetro

n
del poligono di g lati.

E!i. II. — In un'ora si percorrono m. 1. 3250. Il raggio cgm —
zzR si percorre in Oo, 24', 8". Domandasi quanti metri sviluppa
il perimetro del dodecagono regolare cgm, quanto tempo occorre
a percorrerne il perimetro, e quale è la misura della sua area.

Trovasi dalle tavole cgm, r = ang. 144°,75 quindi 360^ : 144^76 : :

8250X144,75
: : m. 1. 3250 : r » R = ^ = m. 1. 1306,7708(33). Nel circolo

di raggio 1 il lato del dodecagono è 0,5176, e però l = 0,5176 X
X 1306,7708(33) = 676^3845831608 ; e però sviluppo del perimetro j5 =

= 676,3845831608 X 12 = m. 1. 8116,6149979296.

Per determinare il tempo occorrente a percorrere il perìmetro

8116,6149979296
faremo m. 1. 3250 : 8116,6149979296 :: 360» : t, da cui <= 3255

=: ang. 899^0711997688172, che mediante le tavole cgm si riduce
all'ang. C^, \1^\ 0<»", 48o"\ e questo ridotto al tempo corrispon-
dente dà 2o, 29', 54", 5'" Per la misura dell'area A, polche l*an-

golo al centro n del dodecagono è 30® e seno ^ = 0,50, avre-

6
mo 6 X R* X 0,50 = -g- X 1707650,398090863889 = metri quadrati

5122951,194272591667*,...

— 287 —

Nello svolto esempio le misure metriche del raggio cgm è
della quadratura del dodecagono cgm, nonché il tempo occorrente
a percorrere il perimetro del poligono, sono ottenute per appros-
simazione non essendovi comune misura tra il percorso di ore
1 = m. 1. 3250 ed il tempo occorrente a percorrere il raggio r =
= Oo, 24' , S'^.

K». 111. — Un battello a vapore con celerità uniforme segue
per ore lo, 6', 8", la direzione ab e per ore 2d, 10\ 9" la direzione
bd perpendicolare in b alla ab ; quanto tempo occorre per percor-
rere il raggio R della circonferenza cgm passante per i punti
a, 6, dì

Poiché il triangolo abd é rettangolo, avremo ad = J^^TTTf^t

ad
e R = "2" ; perciò ridotti al valore angolare decimale i lati ba, bdj

la metà della radice della somma dei loro quadrati sarà il raggio
R, il quale risulterà o no commensurabile coi lati, secondochè la

somma ba + bd risulti o no quadrato perfetto, del quale cioè la
radice sia numero finito.

BH. IV. — Sia raggio r= m. 1. 125. Siano le dodici ore meno
Oo, 5', 8" ; decorso uno spazio di temj o il cronometro Indichi ore
00, 7*, 4'\ Calcolare la lunghezza metrica dei lati del triangolo
ìscrittibile nel circolo cgm di raggio r del quale Pangolo al vertice
sia dato dalla somma Oo, 5', 8*' + Oo, T, 4". Dalle tavole cgm in
valore decimale angolare avremo Oo, 5', 8'* = 30o,75 e Oo, 7\ 4'* =
= 42^375, somma ang. 73o,l25.

(Fig, 3« e). Con l'allineamento hn si faccia ang. n/ir = 30^75
ed ang. nhm === 42<>,375 : si formi ang. ahg =: nhr. Sulla hg si prenda
/ic -^ m. 1. 125=»R. SulPallineamento hm si raddoppi in a la proie-
zione retta del punto e : per a si abbassi ap perpendicolare alla
hn prolungandola ad incontrare in b Tallineamento hr; sarà ahb
il voluto triangolo, del quale i lati si misurano direttamente o
secondo I noti modi geometrici.

Infatti nel triangolo l'angolo al vertice è somma dei due tempi
dati e ch=iK. Per essere ang. nhb = oAc, questi sono derivati inversi
del vertice h e perciò hg è direzione del diametro del cìrcolo cir-

— 288 —

coscrltlo al trìanfrolo del quale // è vertice e e centro; ma per la
doppia proiezione ha dal centro e suirallineamento hm, il trian-
golo ìica ò isoscele ossia ca=c/i^R raggio; conseguentemente la
perpendicolare ap al lato ìin del derivato h, incontrando la dire-
zione hr completa il triangolo ahb iscrittibile nel circolo cgm di
raggio eh = r.

/ principii geometriciy che in parti di raggio danno i prodotti e
quoti dei segmenti riferiti al circolo di raggio 1, si estendono alla
cronogofiiometria.

K». w. — In due ore si percorra il raggio r = m. 1. 3000 e due
distanze ab, de si percorrano la prima in ore lo, 48', 4", la seconda
in LO, 49', 8". Con un segmento lineare vuole rappresentarsi la terza
potenza del prodotto ab X de.

Dalle tavole cgm avremo R=72v>« »a6=648,375 » Gte=:294,75; quindi

648,375 ^ , 294,75

720 : 648,375 :: l : ab > ab=: ""720" = 0,90j5; de =z -72^" =

=z 0,4094 : da cui ab X de = 0,3687. (Fig. '^4''\). In rapporto di scala
sia co — u m. l. 3000. bi desciiva la circonferenza, si prenda in parti
decimali del raggio co segmento oT == o,36<>7 e si porti come corda
in oi' ; si abbassi alla cola perpendicolare 17i e si prenda /A2'm ho\
si faccia corda oZzz o2\ si tracci la 2.1' e si abbassi a questa rad-
doppiandola in 3' la perpendicolai e da o; e per quanto fu dimo*

strato al (ì2o) risulterà in valore lineare o3' = (ao X de).

I principii geomccrici sulla uguagliansa dei prodotti delle corde
di un circolo per i loro prolu/igamenCi Jlno aW incontro della perpen-
dicolare a quello del diametro, dimostrati agli (89, 90) (Fig. 15* a b c),
si estendono al calcolo misto ; talché evitando ripetizioni inutili, dai
principii stessi dedurremo che: Dato un punto della superjlce di
una sfera cgm quale ce/Uro di radiazione di Luce, suono ed altre

proprietà di un corpo, rappresentabili graficamente per dXrcJsione ed
intensità; se nel prolungamento del diametro 2.R si determina una
lunghezza 1 tale che il prodotto 2.r1 rappresenti il grado il limite
della proprietà, e per V estremo della lunghezza l, si faccia passa^^eun
piano perpendicolare alla direzione del diametro, il piano stesso è
all'infinito luogo geometrico limite di tutti i fattori rettilinei dei quali

— 289 —

ciascuno moltiplicato per la corda della quale \è prolungamento, dà il
prodotto 2 Ri.

Si applicano anclie alle optiraaioni miste i rapporti di quadra-
tura dei segmenti dati dal teorema di Pitagora e derioati^ da quello
di Tolomeo e da quanto dicemmo sulle serie triangolari, differenziali
ed addizionali ai (69, 75) e simili.

(Fig. 15* e) Sia g estremo del diametro della sfera cgm, e pd la
traccia di un piano perpendicolare al suo prolungamento. Si trac-
cino per fl' ed a le zo, rd, ao, ad . , . iSe per il principio sopra richia-
mato abbiamo gz X go = gr Xgd = gax gp^ sJ.R 1, ed anctie
ad X ^^ = ^0 X «« = €tp X ag = f -J- 2.r X f — 2.R, per le serie

triangolari diflerenziaii ed addizionali avremo ad — ao=:gd-^go =

= dp "•pOf ed anclie ad-{-og = ao + fl'd = gU-^po =: go-^dp.
be i detti segmenti paragonati per quadratura stanno a rappresen-
tare spazi di tempo, senza duplicate esempi, si vede con facilità
quanto, applicati ai calcolo misto, possano riuscire utili.

Anche la geometria curoilinea precedentemente trattata trooa
estesa ed utile applicazione nel calcolo misto,

¥jH. \i. — Lanciato un piccione viaggiatore p, sollevandosi
piega prima a destra delU verticale, quindi volge a sinisti'a de-
scrivendo una curva. Due minuti dopo è lanciato un secondo pic-
cione p' che sollevandosi volge a sinistra della verticale descri-
vendo una curva. Decorsi minuti 2 Vt si vede il piccione p' nella
direzione del primo p, e mantenersi con esso in direzione sempre
più avvicinarglisi, finché decorsi altri minuti 2 V« lo raggiunge, si
domanda :

1. Quale curva ha descritto ciascun piccione; 2. Quale dei pic-
cioni ha volato più rapidamente; 3. Fn quale rapporto sono le di-
stanze percorse da ciascuno.

Si risponde :

1. I due piccioni hanno descritto archi di circonferenze se-
canti di ugual raggio ; 2. I piccioni hanno volato con uguale ve-

5
locità; 3. Il rapporto tra le distanze da loro percorse è -y.

— 290 —

infatti (Fig. 45') Sia b punto di ianciamento. Nelle circonferenze
secanti di ugual raggio ca — c'a', due visuali qualunque bn, bs" dal-
l'estremo b della corda comune al circoli nel punti d'intersezione,
intercettano sulle loro circonferenze archi uguali , ossia arco
a'« = fw' e a'»rf = ns'rf; ciò non verificasi in altre curve né In cir-
coli di diverso raggio, e poiché i piccioni sonosi veduti sulla stessa
direzione fino all'arrivo, essi hanno percorso archi di circonferenze
secanti di ugual raggio.

Ladurata totale del volo del secondo piccione p' è di minuti 5, e sic-

5
come dopo minuti 2 '/■ = T ^' '^'*^^ raggiungere la direzione di

quello p, ciò accadde quando si trovava nella direzione bn di

quello p e nel punto a' esatta metà del proprio percorso ba'd.

La durata del volo del primo piccione p é di minuti 7, però

5
1 percorsi dei piccioni sono nel rappoi-to -y.

Gli svolti esempi danno una debole idea della utilità che
reca il calcolo cronogoniometrico nella soluzione dei problemi,
nonpertanto li riteniamo suflìcenti a dimostrare come il me-
todo da noi suggerito, usa indifferentemente nel calcolo ordì- ■
nario aritmetico, le quantità, eterogenee angoli etompi senza com-
plicarne la forma, e sfugge tutte le lamentate difficoltà che fino
ad oggi si sono incontrate per ridurre l'una all'altra le deti« quan-
tità nel calcolo misto.

r«to^g^*i

INDICE

Prefazione

PARTE PRIMA

Gap. L — Costruibilità degli angoli con la riga e il compasso
(7) Unità geometrica degli angoli ed archi .
(13) Divisibilità grafica degli angoli .
(16) Degli angoli non costruibili graficamente .

Gap. II. — Dei circoli graduati o goniometri

(25) Graduazione della circonferenza per archi 3°

Gap. HI. — Degli elementi triangolari

Gap. IV. — Proprietà delle perpendicolari ai lati di un trian

golo dai suoi vertici

(42) Derivati triangv»lari

(58 al 73) Serie differenziali triangolari

(74 al!'83) Se ie triangolari addizionali .

(89 al 01) Pro lotti tra segmenti riferiti al circolo

(92) Pmprietà della bisettrice nel triangolo

(95) Somma de^li n angoli di una poligonale

(97) Elenco dei gruppi determinanti triangolari .

(103) Formazione delle tavole trigonometriche .

Pag. HI

PAftTE SECONDA

Gap. 1» — Radici numèriche di esponente primo ♦ » •

(1 14) Gruppi radicali i ...... 4

(118) Caratteristica potenziale differenziale e multipla

Gap. IL -• fl24) Formazione delle potenze di quantità geometriche
(\2obis) Potenze 2n di un dato segmento 1 «

(126) Potenze di una data area 1 « « . 4

(127) Formazione delle potenze angolari « « «
Gap. llli -— Estrazione grafica delle radici di quantità geometriche

(130 al 133) Scale radicali

(1356(8) Radici di esponenti 2m di quantità geometriche
(130) Determinazione delle radici geometriche di espo*

nente primo

(142) Radica ennesiipe dei valori angolari •

«5

id.

105

— 292 —

Gap. IV. — (144) Divisione degli angoli per numeri diversi dà 2n Pag. 108

(147) Sulla trisezione dell'angolo » HO

(150) Scala trisettrice angolare » 112

(15'?) Calcolo misto applicato alla trisezione . . > 116

- (155) Iscrizione dei poligoni regolari di 3^ e 2" X 3** lati » 122

(156) Divisione delPangolO per un numero primo > 123

PARTE TERZA

(160) Geonieiria plana elementare earvlllnea » 128

Gap. I. — (161) Figvre ipocratiehe » 129

Gap. U. — (.173) Figvre isosceliche > 137

(175) Angoli ìsoscelici > 139

(185) Poligoni ìsoscelici > 144

(192) Quadrilateri os^ia triangoli apparenti Ìsoscelici » 149

(209) Triangolo equivalente al circolo . . . .' > 158

(210) Poligoni circoJari iboscelfci > 159

(214) Calcolo del mpporto v della circonferenza al

(liameti*o . > lOl

(219) Corone circolari isosceliche > 16(>

Gap. III. — (224; Figvre listate » 169

(231) Angjli listati » 173

^34) Poligoni radiati > ]75

(251) Figure spezzate o frammentarie irregolari . » 179

(256) Figure perforate > 182

Cap. IV. — (262) Formazione delle fgure piane curvilinee . » 18«

(265) Rettificazione della circonferenza e policentrica > 188

(27t) Generazione delle isosceliche sempli^*i . . > 193

(276) Limite di curvatura e figure intrecciate . . » 200

(277> Polìgoni caudati » 203

CHp. V. — Figvre qnadrabili per approssimazione . . > 209

(284) Parallelo fra il calcolo geometrico eJ il numerico > 209

(285) Metodo sommatorio. .*..». » 212
(201) Formazione delle ai*ee del circolo e "«egmenti

circolari > 216

(298) Misura dell'area del circolo e di altre coniche . » 222

PARfEQUARfA

Esercitazioni iopogfajlche con la catena agrimensoria e falsa

squadra » . . » 230

£sercitazione t. — Costruire e misurare gK angoli con la ca-
tena agrimensoria '. . . > 231

/ I

— 293 -

Es. 1]. — V( rifirare )a mistura degli argoli di una poligonale Pag, 235

Rs. HI. — Ad una c'irezione inaccessible tracciare parallele,

abbassare perpendicolari o allineamenti che formino

con la direzione angolj voluti, ecc. Ripetere la stessa

operazione se la direzione è iiiaccessibiFe e invisibile . » 237

Es. IV. —'Detei minare i punti notevoli di un triangolo in parte

o in tutto inaccessibile > 240

Es. V. — Misurare la distanza di punti inaccessibili ... > 242
Es. V. — Determinare l'estremo della corda bisettrice al ver-
tice in un triangolo in parte o in tutto inaccessibile > 246
Es. VII. — Misurare i lati di un triangolo mediante V estremo

della corda bisettrice al vertice '. » 249

E?. Vili. — Misura dei triangoli il/accessibili cof metodi diversi
E^s. IX. — Costruire un triangolo dato un lato e due elementi

triangolari ovvero dati i tre lati

Es. X. — Misure di poligoni inaccessibili con metf di Vari
Es. XI, — Misurare terreni di contorno cuxvilineo o mistilinco

ARITMETRO

Graduazione delf Aritmétro
Uso dell'Ar tmètro

I. CENNO SULLA C R ON OGON I O M E TR I A

U. Graduazione del Goniocronometro ....

Disposizione del Cronogoniometro ....

Tavole tlecimali cronogoniometriclie ....

Calcolo misto numerico

III. Grafica cronogoniometrica ed applicazioni

Indice

Errata-Cori ige

i5l

255

258

262

264

265

267

271

273

574

276

278

282

201

294

22
24

55
25
26

27
28

31
31

33
33
36

47
52

52
57
78
86
87
96

100
107
111
HI
111
122
124

124

125
130
130

131
133
133
133
134
135

1 6
139
147
147
198
198
914

30
26

29
1

20
3
3

12
14

3»
14

24
2

14
8
5

27
4

11
22
20
16

17
23
24
25
2
11

9
28
30
30
31

ang. eft =ahji= Ce
neiraeutargolo ab
Lo parallele xh, he
ad aò. gè
ottusangolo fhb
apXpb

P9
hr '\' vh

hv '\~vh

«*«„***

trìang. ptl
lati ca, eb

= ac^ — . cb*
= 60*

=^apy ac* — c6*
vertiea cornane v
centro comune e
i irì^goVìJieb, adb

= &r« 4- rs^

= 2.aVp'

le perpendicolari md\ e^^p"

. . . deterainanti rettangolari

42,00005

h'2 ^ ho

ocl,012,o23 ....

la perpendicolare che . . .

ad incontrare in 1.

(153)

Tareo acb

delFareo acb

come or

arco az

angolo bc'f

ang. ach

ang. cgd'
lunola aicb
diametro ab

:: ab : lu^ :
parallela ab, cm
triaogolo anb-ach
trìang. bmd = bcd
oMdh che ...
bhdh = 2

(Fig. 52*)

itsosceliche amb, fme

, otnao*3*m

prodotti

ascntt^

*Dg. €ft = ehp =. C«
nelPacutangolo ahb
Le parallele xb, he
ad ab, q*e
ottasangolo fhe

so^tpressa

br -\^rh br ^rh

2~" ^ ro

trìang. p*tl
lati ca. cb

= bo

ap = yac — cb
vertice comune e
contro comnne e
i trogoli ttcb^ adb

= 2.af/

le perpendicolari mà'\ e'*p^

. . . determinanti trianMiari

32,00005

K2 = Vo

ocl,ol2/)23

la perpendicolare 43, n e col rag«

gio on Tarco ...

ad incontrare in 4.

(N3)

Parco acb

dell'arco ac^b

come ar"

arco ri

angolo dcg^

ack
ang. -J3-

ang. dcg'
lunola aiì-g
diametro ad

:: <iò* ; /m*
parallela ab\ c^m
triangolo anb, ac*b
triaog. bmd = 6c"d
bzdh che . , .
bzdh = 2

(Fig. 46^)

isoaceliche amb^ fine
, omzo^z^vfC
semiprodotti
semiprodotti
oKme

- 295 —

parolltla ff
«tfT'n
l'trco mf
parallala e'T
pftnlleU me'x
Kroomr

360»

parallela tf

l'arco rw/™
p»r*lkbt a"f
paralUU mh;
Ureo mf

a <t360»

PREFAZIONE.

I rie) i[UÌtlU)....

I stilli assai (lini

ilei de'-.ii
! stilli usa

Tar. 1

Fig. 2»-

A..'.

L.B

Fig. 3*B

7»

Fig. 3*C

\-T

r^:.:

<v^- /

Fig. 3*D

Fig. 4«

Fig. 6»

Cx'

/■:

Tav. II

Fig. 7* ^

Fig. 6'

I - '' '

7 \ \

'6 " >*

Fig. 11»

Fi«. 11*A

Fig. ll-B

TW,

ò Q

& a

Fig. 12*

Fig. 13» X

q <t

Tri onT

Tav. II

Fìg. W^A

Fig. 14*.

Fig. 14'B

Jfig. u*c

Pig. 15»

/ 9'

:01

. c

;
;

Pitf. 15*B

Pig. is-'C >^

-* "^

^n/"^ /L^

'^ì^

1 ^^V^

/Jl^ 1

^v^

//// ]

//y^r 1

Fig. 17»

Tav. IV

Fig. 20»

Fig. 21»

Fig. 22* A.

1^^

— Fig, 22^

■^^a

Ri' 2

Fig. 23»

Pig. 28'B

K-'it oh 3

§:-

Pi«. 23'^C

C -

.^-4-

Fij. 24' A

EEI^"^.^*^'

Fig. 24'B

\ f"

Tav. V

Pig. 25* ^^

Fig. 27*

Fig. 26*

e b d x i ìc

- n - - -

. _r- "

100

Fig. 28*

fe-

_ _ *_

25 ir

t 86; 49; e*. 64; 81;c« 100 . b

-e

73 ~- 91

Fig. 29*

e -^ -^ /i - fr- -'■■^ - gl' i/—

/ ' ' ' --^'"^--''"''■T^ — Ir --3^

i à

, — X

Fig. 81*

Fig. 30*

-^ -il

Tav. V

Fig. 34*

Fig. 35*

Fig. 32*

Fig. 88' vedi Tav. VII

-^.

* n in' m <^

Fig. 36*

TaT. VII

Fig. 33'

P\ 0/

1 •

/ ■

/ I

/ i

i
I

/ •' '

■ /
/

I
t

g^ ?^av

\
I

'^i

4» _/i

■ — ^ ~ ~- . 1

.•/

9 ^' Fig. 37*

/ "■ /-—-A, -

TaV. vii]

Fig. 89*

Pig.40»

Pig. 41»

rig. 42»

Fig. 48*

Fig. 44*

Tav. IX

Fig. 46» F

Fig. 48»

Fìg. 49» a

Tav. X

Fig. 50« M

Fig. 50*

Fig. oOa V

Fig. 50aS

Fig. 61*

Fig. 52« A

Fig. 52aB
e

Fig. B3»

Fig. 54*

- -.n'

•

-■L:,4_J

\. ;

Tav. XI

Fig. 55*

Fig. 56*

Fig. 57» A

Fig. 60* A z^.^-

CTir

■.^;

1 ' -^

_ 1 .« ' -

1
1 ' '

■yr

*- ^

Fig. 57» B

>>■

i--^ Ì--IC

Fig. 57» C

Tav. XII

Fig. 61*

Fig. 62»

Fig. 63» A
m

Fig. 68* B

Fig. 63* C

Tav. xrrr

Fig. 67»

Fig. 68»A

ìì^^^ll)

Fig. 69»A 5

Fig. 68*B

Fig. 69»B

Fig. 69a C

- I ' ^ ^

■\

\-/

Fig. 69» F

Fig. 69*]

" .f^

Fi§, 69*E

-^"^^.1 B*C .~^ tf

•>"

Fig. 73» A

Fig. 73* B

Tav. XV
'^Wc Fig 73^C

Fig. 74* A

Fig. 74* B

Fig. 74* C

fc'

,t*

Fig. 78» A

Fig. 77»

• M*

Tav. XVI

Tav. XVII

Fig. 87«A

Fig.BS»' ^c*

Fig. 89«

Fig. 90«

--.i^-,

Fig. 91»

Fig. 92*

Tav. XVm

Fig. 94*

I 1

I ■ 1
' \ *

' » '

' \

1
i

I \

/••

« I

I . ' \

^---

Fig. 98»A *

p> f*^ ^-^^z^

-'n-r

Fig. 97»

Fig. 98»B

Fig. 98* C

Fig. 98*D

Fig. 99*

I \

Tav. XJ^

Pig. 108»

7/1

Fig. lOia

tir^

Fig. lOJa

:^a

I \

/ti-.-:.

<\ Fig. IO.»!*

L--.Ì.'

^'"- r^-Wf

.--- -'-V^'

Ì7

Fig- 106»

Fig. 107

'-i*^ r^w

/•

Fig. 108

,'?

Fig. 109^ Ji

Fig. 110* ^

/;>.

W^XWXX^XWV^WVWWWN VWNWWXWW »\X\\N\

.^\

;^-^

I \

s ,

Fig. Ili» ^^ ' \

■ ■%XXVV.>» \\XNVVWVXX'\\SVX\\SV.SV\\VNN\\KV\NX*V A\VVS,VN>

^^r^

n
\V

I \
I \

Tav. XX

Fig. 112»

Fig. 113»

^ J - ' X

\ ^ ^ I , ' '

h'c-

-*s

Pig. 114»

• I

Fig. 115»

'^- ^^'i^^'J^P'^

Pig. 116»

. Fig. 117»

-:W>'

-H*

Fig. 118»

Fiff. 119»

;ì\.

Tav. XXII

Fig. 133»

Fig. 132»

--«'

Fig. 137» B

Fig. 137»A

i IB

Tav. XXI II

"': \

a^-^v

(

I ;.

'^^mmm^mi^mmifmmmtm

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