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Full text of "Geschichte der Mathematik: Neudruck"

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Samitilttiig e$$d)(n 



6. f. OSrdint'fdw Ttr>as*lti>n(Uung, Htlpzffl. 



' 80}&f. 



JUhcttran- ii. |tflaa(«abaiU^«i dm 
Dr. ponl Rippnl In Btilla n. Cmit 
CmwaBcd In BoAum. th. S8S. 

»kaMk. 1[B(ar(t.p$i|M Lltllilltc. 
^ohU IL fftuIHt. tPoii Dr.ftnft. Igacr, 
piDttilar an bn UirimifhlH IDun. 
inu 19 abblltiuiiocn. Ilr. TC. 

— lllnniialiril|t.n.Dr.KatIL5d)af«. 
DojtRl an bei Un(wT|tiat Bnlbi. 
mitas flbbiith nr.2i. 



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ll>r>i,)llt, 



Ro6. Sltatt; Pia- 



Oerjci^Tiis 6er erfi^ienenen Bänöc. 

Jtiabin*, lllthcn, con Prof. Dr. 
BdittUI Spane In Illingen, mtl 

iwn mttnn Sombart, picfetloi an 
»CT IbdwiflUU Btesliu. tli. 20». 

jMxtticaccHi^cnnij. OU, non Dr. 
fliftrt inone» In BtilUi. llt. 2tn. 

^rttlfnellli ■»» Jklaibra dok Dr. 
gerat. Sil)Ubnt pn>f<n>>i: »n 6n 
iielebrt(nid)ul( ba 3a[|annnui» In 
fjmntura. nt.47. 

— — Btl(i)Trt(ainmluita jut fltitlim(tl( 
u.aigebran. Di. Recmann Siliubtrl, 
Drof, on t«r IB(Ttbit(nldm[c bn 30. 
qamieums In IJamiiurg. IIc. M. 

3i)hrana»U. (Eräjc, Scnwgung unb 
Sntf<Tnung btt mmmcUIorpcT von 
a.S. tFUblus, ncuburb. v. Dr. ID. $■ 
maOttiau, Prof- a. b. Unlnnl. SiraR> 
bürg. inU36Rbb.u.l Stent, nt.ii. 

3llra|r^qAk. DIt BtK^fftn^dt btt 
fihnmtWai]MC von Dr. IDoItcr S. 
tOWiamit, Prof, an bti Untuetniat 
Stni^urg. mitlifltbllb. nr.ai. 
ifgnhcHT 

Smunr 

S^DAkalirdic, D. e. nialilci, pio|. 
rlHot^fm.u. PW — " ' 

-■Ulm. milt.RfW 



]UtItrtftnn, fU btxtTdi*», 0. Di. 

Stam SaWl.'Wtetn b.jtllM, mul*. 

un» in BmiUlI^nila. Iltil 70 Hbb. 

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3UlRlMnMkni>(, «rki^irdic, non 

pcol. Dr. fild). nialf^, ntUbtmbattt 

von BcHoi Dr. Sionj pol)l4amnti. 

tmt 9 PaUbilbtin. Iti. le. 
- Sänilfdir, von Dr. tto BlaA In 

n>l(n. mil 8 DoUb. tlT. 4Ö. 
JiKalqrt, Ctdin.-SktM., »an Di, S. 

£unge, Prot. a. b. Cibgcn. polDlilin. 

SdiuliLSarid). milKRW. Ili.ßs. 
»naiqh«. •i>4(». I: Dlfftr— '-' 

nibnung. Da« Di. 5(bc. ; 



Bmmtung 1. DlFJirtntlalniitnung t 
r. jrlrtr. 3unbt.piof. am Karls. 
gnmnaflumTn StutlgaTt. ITIU 4651g. 
nc. 14H. 
- — II: JnhanilRdinuHg. Don Dr. 
StMt. 3unf«, ptaf. am Koilsgimu 
Dollum In Stnllgiu^ffii' «> ^''■ 



Htnlflijmna[ium In Si\m.- 
mit S2 SIgunn. Hr. I'iO. 



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^arbaCutmilgs-IEiininaflums In Slutt- 
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Don Dr. K. Säiaftt, H||l[l(nt am 
lEtiiHibcniuitum in Bnincn. IltU 
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IttninnurFitU DOit Dr, t KoBI. 
loutd), Prottifor am Kgl. KoHtr. 
roill|e[nts.iBmnnoIium ju qonnomr. 



miflulQ, Prof. an bic joriiaMMi 
SiI«iiQi^. mil 50 flbbitft. Ilr. l 



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oigan. Ilntur r, Dr. I)tlnt. SimnKli. 

Jröf. an fctr Uniottlitat ttlojlg. 

ItlU 35 flfibitt. Hr. 132, 
«IttditMt. a«tll.3i*utlil< III : 

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«in^llfUtoff« oon roUhilin ITt. 

tehiH an bei Ptoift. hB^. Saifi 

|. Otnilintaitrl« In Kwfeia. 

28 Sift Hr. 188, 
fndtfa^nmg, Cc^iganabtrtintaAtn 

u. tomi. Bu^^aUiino Don Rob. Slrni, 

(Dbeclt^nr ö« «ft.flanbtlsrelirnnll. 

luptq-b. Bonbeli^o^ti^Hkj. Itipjio. 

mit nUlfn Sonniüor«!. Ht 116. 
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llfdli, DDi Dr. ntor nuboIp^C BoL 
a. 6, fffi^n, ^oCiildiiat tn Doroiilati. 



Ilfdli, Don Dr. niat «ubolpl 
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mU 22 ilaur«. Hl. 71. 

- aBBlflttr^e. Don Dr. lo^dnn«* 

- --- II : RjoHion b« IHrtoItoibt unb 
ntdalle. nt.SjS. 

- j^ongaolFdit, Mn Dr. 3o[. KWn „. 
hl IHann^fim. Itr, 87. D( 

11t»taud|:ITI«lalH — niBanBlbt. Uj 



5uao Bau«, Üfflltanl am *™i. 
raboralodum 6« KgL (Eti^nll^n 
gwbl^. Stuttgart i: Don b«i 
ailcfltnZclKn bis müerttnimui 
t^rie Don Can^lltr. Hr. ;»!. 
"" „•»J'«ii|lo»rM»btBfciniB»n 
oon Dr. Hugo Baiwr, Hljtlttnt am 
dWm. CabotalDitum »er KgL ItAi 
liodijiiluU SiHttBart I, II : fll„ 
pijalif*» D(iblntoing«n, 2 adle. 

- - ill: KarToc^ntliftdUtSlnbUBgni. 

- -iyiti'Kroninili^Dtrbtnbunafn. 

- Jl'"«»"j.r'^*< "("! Dr.3ol,Hltin tn 



--.-■In. Hr. 2«. 
-^ DiltiraUaHou. lim 2 lla|(ln. 

mit 16 flbbtib, Itr. 1B5. 
>W»ft«ir«l.pU. KunjrfofittiEflir. 
fiu* mit Btllpidcn fiu »ai Stlbtl 
itublum u. b. pnltifÄrn fiebniu A do 
Sdtbrii^ BoTtb, fibtTtn9nil.nr In 
immbttB. nttt 67 jlguTen. Ittfl, 

pKlJuS nt.B(t'FpT(leii fflr^?ä?K|i 
ituMum unft ben pratt. Scbraud) ddi< 
Sricbrid) BortB, lDb<ringenl(U[ in 

«umbers. mit 48 5i(iur~ 

Pant'ftHi'binn. ^it. ■„„ „,„ 
hutaniKtlr unb KonftruWon non 3n. 
C**!!! fe""" '""'"' '" B"mf n, 
mit 89 Rbbilbungrn. Ilr. 274 



liAtaniMt o, »littilliulibtuirilxc 
£r«4|tlt, 3nHii!nwWw,«nita,u. 
IDSrterb. bnaiugtgeb. o. Dr. Btrm. 
Jonflen, ÖwIMr b« HSnigln ^ulfc 
Si^ult In KSnigsitig t pr. Hr. 137. 
"•i?'*''""- Hubrun u. DfetriAtptn. 
mit Clnliitungunbmacttrbu^nan 
Dr. Ol. taitiyet, proftKor m btr 
Uniottlüät munlKr. Ht.lO. 



$aminlun8 6$$d)cn ' 



e.?. esrdidi'rd» TcrUsahandluna, lUIpiIff. 



80 Pf. 



f HTirriiHalrti^mni« » 



- Rtpttitorium u. Onfgabniliin 



].I>[ff(nntlaIied|iiiutg nnt Dr. 5cÄt. 
aiiiAr, pwhd« am Kurlsgnnu 
nnltum in StultgaTt DIU W $lg. 

e>balick*r mit ffimiBnuHl, iOitii 



Mit BUtteningtn. I. Stil: Du Kdfy- 
dt». iniiiT5'g.iL4iiiittin-n[.i5'A 

— U.Vdl: Doi S<4mltM|tn. mit 2S 
5igunn uitb S tEofcli. TU. 153. 

«IdrtvilHät. in(Dnl.pi|i)IU III.ITi 
CtttmllJU u-DIaaiuiUiniu. Don ! 
SifL jiatr; PTOtcnoT n. b. Unlv 
IDltn. mU 33 (UtUigR. Hi. 

Sltlitrail|tntt Mn Dr.^Ml.Sannttt, 



pbi)t<Iiillt^-4tnii|d|«n Siuntiiagni. 
mitlBSlgunn. nt.2G2. 
«Idttrottdinili. «infSbuna In t>k 
iitobcnu lEIddi- und rotATdltronti 
tcd|nlt von 3- mmnnnn, piof tnoi 
Int CItfttattd|nu im Ixt llgl. atiqn. 
fiw^MuIc StuMauit. I : tiit pt)B[l' 
luIlMHn (EranMaam. intl 47 SM. 

— II: nie «IdlllttDmlti^nlL mit T4 
Slgunn. nr.iff?, 

- in : Dlt ID«f!WIlKmtlf.^iilt mil 
109 SiSI"«- at. 1SB. 

«|rtaannt,9l(.h(*l|d1irA(»*Mi»*> 
iliuniahi Mu btut|4<n Dic^hingtn 
bt( 13. 3al|t4un>tits om Dr.DiHui 
lunf, flnuadui 6it Xalinliilitn 
Il(at>cmltt«imi[|cn1!4afl(nlnim(n. 
nt. 289. 

tlrbiaaai**''*'»^'*! ttvbRiam, )t«- 
larlidil von Dr. R. IlippalM fr- 
mUgliti 6» xanigl. Pnutll^cn 
_.. ■.^._ 3j,y^^ ^.^ 



<Nl|tli Mn pTD^noT Dr. IRiainai 

Rdidii In Bnmtn. Hi. 91L 
C«luirn«i*1iorii pvH •ntrdiiimk 

Sim BtIHmmtn b<T qlu|tantn In 
(ul[[l|liin!i milliiiiaitilcntMnpflalQni 
Don Di, W. migDla, ptafinoc un 
htt 5<nftatalttnii< ClfcnaA. l.SdI. 
Ulit 50 abMiAunacn. ni. 268. 
2. lEdl, mit 50 HSWltangni, 



ujaiaieici.pifiiiif[Ti.^aiorniii.iiiR 
f)IIfsni>ft<D.DrTDll)i.ma|[i^ £(!)[« 



jcmriirtifintr'n, Sa*. Don Dr 
EuMoie RdEltob <n Bctlln. Hill U 
SlBunn unl 1 tnfeL Ht. IBÜ. 

gtfHtiitittlttltt non ID. ßauba, 
Diplam^natnleut. lllit )at)Itclit|i« 
Slgunn. IIt. 28S. 

fillfabrtJiaHon. leMlUntiultdc II; 
tDtttid, tDliftcd, potamtntifniri, 
5|il^n> uni (Batatntntabrifittlon 
unb 5l1]fiibrUiilion mn ptof. mof 
ȟttiti, WnTlot t<n KinigL Cci^iL 
3diliDl|hIlt tuT StitllOntiultTit ]u 
Bnlin. mit 17 $ia. Ilr. ISö. 

jinaniniinfiiriliafl d. ptitlbenl Dr. 
K. »an btt Boia^l in BcrIliL Kr. I4& 



Et t)aiiBt|tatlan tut foiftll^n Dt» 






n lEtonittne, Sltito 



i(, (btncn u^i)aTtid|cn Srlaw 
... Ftrie, matb, SeagrapDlt, onatiit 
(Etomitrlc b. «bcnt U. b. HounitMi. 
SintTrRt.-u.3Nl<gni[itif|n.p.0.ll4. 
BQcfltit, PTof. am UgL RtalgnmR. In 
Si^n.-vmflnb. IR1118 Slg. lli. 61. 
- |ll|qHiialiril|(,Done.ina41(T,praf. 
am SiiimRallum In Ulm. IIt. 130. 

tartft^m»a tatf bcv 4. Vttfaliftltt, 



Sammlung Göschen 



Geschiclite 
der Mathematik 



Ambros Sturm 

PiofeSBor uu k. k. Obergymnitsiuiu m SBiUnitett«n 



Leipzig 
G. J. Göschen'sche Verlagshandlun; 



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Kc itiiit 



IWWiRDCOUECELlBHARlf 

FROlilTHEESTATEOf 
UMKtIKZI.HthURSOH 



Spamersche Buchdruck erel In Ltlpiig. 



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Inhaltsverzeichnis. 

Seite 

I. Altertum . 7—49 

1. Ägypter und Babjlonier 7 

2. Griechen 10—41 

a) Voreuklidischc Zeit ...,...,. 10 

b) Blüteperiode 22 

c) Hochklassische' Periode 33 

8. lUmer 41 

i. Inder 43 

n. Mittelalter 49—72 

1. Araber 49 

2. Die Zeit der Abacisten und Algoritmiker . . . 5T 

3. Die Zeit des Wiedererwa«iieDS der Mathematik 

in Europa 60 

4. Die Zeit des Aufschwunges der Mathematik in 
Deutschland 67 

in. Neuzeit 72— 14S 

1. Die Zeit des Aufschwunges der Algebra ... 73 

2. XVn. Jahrhundert 98 

3. XVin. Jahrhundert 127 

Anhang 144-146 

Hegister 147-152 



.,Go(J^le 



(, Google 



Tropfke 



Literatur. 



Cantor, M., Vorieanngen über Geachichto der Matbematib. 
3 Bände. 2. Anfl. Leipzig 1894, 1900, 1901. 

ZentheD.Geachichte der Mathematik im Altertum nsd Mittel- 
alter. Kopenhagen 1S96. 

— Geschichte der Mathematik im XTI. nnd XVII. Jahr- 
hundert. Leipzig 1903. 
" , Geschichte der Blementarmathematik. 2 Bände. 
. äg 1902, 1903. 

Hankol, H., Zur Geschichte der Mathematik in Altertum 
nnd Mittelalter, Leipzig 1874. 

Sater, Geschichte der mathematischen WiasenschafteD. 2 Teile. 
Zürich 1873, 1875. 

Arnetb, Geschichte der reinen Mathematik. Stuttgart 1852. 

Fink, Kurier AbriS einer Geschichte der Blementar-Matbe- 
matik. Tübingen 1890. 

Cantor, M., Mathematische Beiträge znm Kulturleben der 
Völker. Halle 1863. 

Cbasles, Aperen historiqne snr rori^ne et le d^veloppement 
des mäthodea en g^omätrie. 2. ed. Paris 1875. (Deutsch 
Ton Sohncke. Halle 1839.) 

Sterner, Glescbicbte der Secbenknnst. München n. Leipzig 
1891. 

Stoj, Zur Geschiebte des Recbennnt«rrichtes. Jena 1876. 

Mattbiessen, Gnmdzüge der antikev und modernen Algebra 
der literalen Gleichungen. Leipzig 1878. 

V. Braunmlthl, Vorlesungen Dber Geschicbto der Trigono- 
metrie. 2 Teile. Leipzig 1900, 1903. 



6 Literatur. 

Friedlein, Die Zahlzeichen und das elementAre Rechnen der 
Griechen und Rämer und des chriatlichen Abendlandes 
vom T. bis 13. Jahrhundert. Erlangen 1869. 

Stäckel und Engel, Die Theorie der Parallellinien von 
Euklid bis Ganß. Leipzig 1895. 

Reiff, Geschichte der unendUchen Heihen. Tübingen 1889. 

Tannery, Fftul, La gäom^trie Grecqne. Paris 1887. 

Loria, Le scienze essatte nell' antica Grecia. Modena 1895. 

Günther, S., Abriß der Geschichte der Matliemattk und 
Natorwissenschaften im Altertum. München 1894. (An- 
hang zum 6. Bande von Müller, Handbuch der klassischen 
Altertum s Wissenschaft.) 

Bretscbneider, Die Geometrie und die Gkemeter vor Euklid. 
Leipzig 1870, 

Allman, Greek eeometr7 from Thaies to Eudid. Dublin 1877, 

Neaselmann, Die Algebra der Griechen. Berlin 1K42. 

Zenthen, Die liehre von des Kegelschnitten im Altertum. 
Kopenhagen 1886. 

Cantor, U., Die römischen A^rimensoren. Leipzig 1375. 

Gerhardt, Geschichte der Mathematik in Deutschland, 
München 1877. 

Suter, Die Mathematik auf den Universitäten des Mittel- 
alters, Zürich 1877. 

GQnther, S., Geschichte des mathematischen Unterrichtes 
im deutschen Mittelalter. Berlin 1887, 

Unger, Die Methodik der praktischen Arithmetik vom Aus- 
gange des Mittelalters bis auf die Gegenwart. Leipzig 
1888. 

Q 15. Jahr- 



Der Geschichte der Mathematik sind gewidmet: 
Abhandlungen zur Geschichte der mathematiachrai Wissen- 
schaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. (Leipz^,) 
B^riindet von Moritz Cantor. 
Bibliotheca mathematica. Zeitschrift fUr Geschichte der 
mathematischen Wissenschaften. (Leipzig.) Heransge- 
gsben von Gnata.v Eneatröm, 



, Google 



L Altertum. 
1. Ägypter und Babylonier. 

Fragen wir nacsh den ältesten Heimstätten ■wißsfflj- 
schaftlicher mathematischer Forschung, so verweisen uns 
sowohl die Berichte der griechischen Schriftateller als 
auch die Ergebnisse der Altertumsforschung nach den 
alten Kulturzentren im Tale dea Nil und im Zwei- 
slromlande. 

Lassen einerseits die bureaukratischeu Einrichtungen 
des alten Ägypten auf ein entwickeltes Rechnungs- 
wesen BchlieBen, so sind anderereeite die Feldmessung 
und die mächtigen Bauwerke — nach streng geometri- 
schen Gesetzen und mit genauer Orientienmg — be- 
redte Zeugen für bedeutende Kenntnisse auf dem Ge- 
biete der praktischen Geometrie. Neuere Funde bestätigen 
und er^nzen diese Schlüsse in ^willkommener Weise. 

Ein mathematisches Handbuch aus der Zeit zwischen 
2000 und 1700 v. Chr., yerfaüt nach älteren Schriften 
von Ahmes dem Schreiber, bezeugt ein ausgebildetes 
Beclmen in ganzen und gebrochenen Zahlen mit syste- 
matischer Zerlegung in Stammbrttche (mit dem Zähler 1), 
z- B- ^ = i + -iV;T!V = TiV + -BiTr + F+7r; es bietet 
femer eine Anzahl eingekleideter Aufgaben über Glei- 
chungen des ersten Grades mit einer Unbekannten (z. B. 
Haufen sein -J, sein j-, sein f, sein Ganzes, es gibt 37; 
d. h. fx-|-|x-|-4^x-i-x = 37), Gesellschaftsvechnung, 



8 Altertum. 

fu-ithmetische \md geometrische Reihen, Das Hand- 
buch enthält ferner Berechnungen von Rechtecken, 
gleichschenkligen Dreiecken und gleichschenkligen Tra- 
pezen, eine Quadratur des Ereiees und Ausrechnungen 
verschiedener Körper. Auch treten gewisse Strecken- 
verhältnisse, die zu wiederholter Konstruktion eines 
Winkels verwendet werden — unsere trigonometrischen 
Funktionen Kosinus und Tangente — mit besonderen 
Kamen auf. 

Die Berechnung des gleichschenkligen Dreieckes mit der 
Orandlinie a und der Seite b erfolgt aach der Formel -^ , 
die des gleichschenkUgen Trapezes mit den Farallelseiten a, c 
und der nicht parallelen Seit« b nach der Formel -^(a + cjb. 
Diese NähemDgsformeln haben sich durch Jahrtausende er- 
halten. Wir finden sie wieder in den Schriften Herona von 
Alexandrien (wahrscheinlich nm 100 v. Gh.), ans denen sie in 
die rSmiscbe Feldmeßknnst asd dadurch auch in die Mathematik 
des Mittelalters übergingen. Zum Zwecke der Kreisquadiatnr 
nimmt Ahmes die Seite des dem Kreise flächengleichen Quadrates 
als f des Dorchmessers an, so daß sich n = s, 1604 . - . ergibt. 

Das Handbnch des Abmes, dieses ehrwürdige Drakmal 
unserer Wissenschaft, wurde in einer Blecbkapsel verwahrt anf- 
gefnnden und befindet sich als Papjrns Rhind im Biitischen 
Moaenm. Es besteht ans einer Rolle gelbbrannen Papiers 
von 20 m L&nge nnd 30 cm Breite. 

Während die Griechen als ihre Lehrmeister in der 
Qeometrie die Ä^pter bezeichneten, rühmten sie den 
Baby loniern bedeutende arithmetische Kenntnisse nach. 
In der Tat besaßen dieselben die Kenntnis der arith- 
metischen nnd geometrischen Reihen, sie lehrten die 
Heiligkeit und geheinmisvolle Kraft gewisser Zahlen 
und Verhältnisse — eine Lehre, der wir an den verschieden- 
sten Orten wieder begegnen. Überdies setzen ihre aetro- 
nomischen Berechnungen, ihr rationelleBMafiBystemiind das 



Ägypter nnd Babjlonier. 9 

von ihnen konsequent ausgebildete Sechziger-Zahlen System 
eine nicht geringe mathematische Einsieht voraus. Zwei 
Tontäfelchen aus der Zeit zwischen 2300 und 1,600 v. Chr., 
die der Geologe Loftus 1854 bei Senkereh am Euphrat 
entdeckte, enthalten, wie Rawlinson erkannte, die Qua- 
drate der ganzen Zahlen bis 60 und die Kuben der 
Zahlen bis 33, im Sexagesimalsystem unter Benutzung 
des Stellenwertes geschrieben, so zwar daß z. B. 64 
durch die Zeichen für 1 und 4 ausgedrückt ist 

Da es nnmi^lieh ist, alle Zahlen bis an einer eiüiger- 
mafien beträchtlichen Höhe durch neue Wörter zu bezeichnen, 
so kam es schon in ältest«r Zeit zur Bildung systematischer 
Änordnaiigeii, welche die Beneonimg aller Zahlen durch ge- 
eignet« Verknüpfung weniger Wörter ermöglichten. Am ver- 
breitetsten ist das Zehnersystem, das je zehn Einheiten 
einer Stufe zu einer Einheit der nächst höheren Stafe zu- 
sammenfaßt, daher nur für die Zahlen der Einerstufe (von 
Eins bis Neun) nnd für die Stufenzablen (Zehn^ Hundert, 
Tausend, . . .) eigene Namen zu schaffen braucht, um jede 
beliebige Zahl als ein nach Potenzen vonZehn geordnetes Polynom 
darzustellen. Seine Entstehung verdankt dieses System der 
von altera her gebräuchUchen Abzahlung an den Fingern. 
Ebenso entstand das in vielen Sprachen hervortretende, wenn 
auch uiemals koDsequent durchgeführte Fünfersystem durch 
Abzählen an den Fingern einer Rand und das bei den Azteken 
nnd Kelten gebräuchliche Zwanzigersystem durch AbzUilen 
an Fingern und Zehen. Sehen wir die Menschen bei Auf- 
stellung dieser Systeme mehr unbewußt der Anleitung der 
Natnr folgen, so waltete dagegen der reflektierende Geist bei 
der Schaffung des Zwölfer- und Sechzigersysl^ms, die — 
entsprechend den praktischen! dUrfnissen — bequeme Teilungen, 
besonders in Halbe, Drittel und Viertel, gestatteten, und daher 
für Maß, Gewicht und Währnng zu weiter Verbreitung ge- 
langten. Ihre innere Berechtigung wird durch den zähen 
Widerstand bezeugt, den sie dem vordringen des Zehnersystems 
entgegensetzen. Instieaondere behauptet das babylonische 
Sedizigersystem in der Zeit-, Kreis- nnd Winkeltailnng noch 
beute seine mindestens viertansendj ährige Herrschaft. 



2. Griechen. 
a) ToreuklidiBche Zeit. 

Die keineswegs unbedeutenden, aber wenig geord- 
neten und nur auf praktische Zwecke gerichteten £eimt- 
nisse der Ägypter wurden tob den Griechen zur Zeit, 
als sie sieb für wissenschaftliche Porschungen zu inter- 
essieren b^annen, übemomnien. Tbales, Pythagoras. 
Plato, Änaxagoras, Eudoxus u. a. brachten mathemati- 
sches Wissen aus dem geheinmisvollen Lande der 
Pharaonen in die Heimat Mit instiiiktiyem Feingefühle 
erkannten diese Männer rasch die eigentliche Bedeutung 
und den wissenschaftlichen Charakter der Mathematik 
und unter ihren Händen erstand das vollendete Gebäude 
der antiken Geometiie, dem, was Gedanken strenge an- 
belangt, kaum ein anderes Menschenwerk an die Seite 
gesetzt werden kann. 

Im Mittelpunkte der Entv^-icklung der griechische» 
Mathematik steht Euklid (um 300 v. Chr.). Sein 
Hauptwerk, die „Elemente" , bildet einerseits den Ab- 
schluß der älteren Periode und andererseits die Grund- 
lage für den weiteren Ausbau unserer Wissenschaft 

In der voreuklidischen Zeit sind es vorzüghch drei 
Persönlichkeiten, die maßgebend in die Entwicklung der 
Mathematik eingriffen, Pyth^oras im 6. Jalirhundert, 
Plato und Eudoxus im 4. Jahrhimdert 

Kach den übereinstimmenden Berichten brachte Thaies 
Ton Milet {640 — 548 v. Chr.), der Begründer der ioni- 
schen Naturphilosophie, zuerst geometrische Kenntnisse 
aufl Ägypten nach Griechenland. Ohne in Einzelheiten 
einzugehen, können wir im allgemeinen feststellen, daß 
er und seine Nachfolger die Handwerksregeln der ^op- 
tischen Mathematik vertieften und erweiterten. 



Griechen. 11 

Zu einer eigentlichen WiBsenschaft aber wurde die 
Itfatlieinatik durch Pythagoras (580 — 501 v, Chr.) er- 
hoben, der nach längerem Aufenthalte in Ägypten zu 
Kroton seine berflhmte Schule gründete. In ihr wurden 
die allgemeinen Grundsätze und der ideale Charakter 
der Mathematik fOr alle Zeit festgestellt und das logische 
Element, die Forderung des Beweises, eingeführt. 

Die hohe "Wertsdh&t^nng und eifrige Pflege dieser Wissen- 
schaft giUndet sich auf die philosophischen Überzengnngen 
der Fythagoreer, die nicht^ wie die ionisches NatuiphiloBophen. 
in der Materie, soDdem in der Form das Wesen der Din^ 
Buchten. Ausgestattet mit feinem SchQnheits- und Formen- 
sinne, geübt durch eifrige Naturbetrachtung, erkannten diese 
Denker hinter dem steten Wechsel der Erscheinungen das 
waltende G)«aetz, das in GröQen- und Zahlenbeziehungen seinen 
Ausdruck findet. Daher nannten sie die Welt Kosmos, das 
Geordnete, und die Zahl galt ihnen als das wirklich Seiende, 
das Wesen der Dinge. Die in der physischen Welt statt- 
findenden Zahlenbeziehungen mullteu nach ihrer Ansicht auch 
iu der moralischen Welt ^Iten, sofern dort Ordnnng und 
Harmonie herrBchen soll. So erhielt ihre Zahlenlehre einen 
mystischen Beigeschmack und zeigte Anknüpfungspunkte an 
die Lehren der Babylonier. 

Als im Anfange des 5. Jahrhunderts infolge poli- 
tischer Wirren in OroBgriechenland die Mitglieder des 
pythagoreischen Bundes verbannt wurden, gelangten 
ihre bisher geheim gehaltenen Entdeckimgen in die 
Öffentlichkeit und wurden Gemeingut der Kation. Als 
hervorragende Pythagoreer der sjÄteren Zeit sind zu 
nennen Philolaus (um 450 v. Chr.) und Archytas 
von Tarent (430 — 365). Außerhalb der pythagoreischen 
Schule sind als Mathematilier bedeutend Anaxagoras 
(499— il8), Hippokrates von Chios {um 440), Demo- 
trit (460—370), Hippias von Elis (geb. um 460). 

Der Hauptsitz der Wissenschaften war jetzt Athen. 
Durch Theodorus, den Ijehi-er Platos, und durch 



1 2 Altertnm. 

Archytas, den Treund des Plato nnd Eudoxua, ist 

die Verbindnng der pythagoreischen Schule mit der 
Akademie Piatos imd der matliematischeii Schule des 
EudoxTis in Cyzikus hergestellt. 

Plato (429—348 v. Chr.) schätzte die Mathematit 
sehr hoch, weil sie sich nur mit Ideen beschäftigt und 
daher den Geist vom Sinnfälligen, Nichtseienden, zu 
den Ideen, dem Seienden, hinwendet und ihn befäh^ 
die höchsten Ideen des Wahren, Schönen und Guten 
zu erfassen, was das Endziel der Philosophie ausmacht 
Damm belebte Plato seine Schriften mit zahlreichen 
Ausblicken auf mathematische Gebiete, legte seinen 
Schülern mathematische Probleme vor und gab ihnen 
geeignete Methoden an die Hand. In regem Verkehre 
mit der Akademie standen Eudoxus (4. Jahrhundert) 
und Beine Schule. Aristoteles (384—322) bildete 
besonders die Geschichte und Systematik unserer Wissen- 
schaft aiis. 

Die Forschungs weise der Pythagoreer wird toq 
M. Cantor treffend der Weg des mathematischen 
Experimentes genannt. Nur auf diesem Wege, den 
übrigens schon die Ägypter betreten hatten, war es 
möglich, in kurzer Zeit eine solche Fülle von Eennt- 
nisBCD zu sammeln. 

Wir erblicken in den Pytliagoreem die Begründer 
der Zahlentheorie. Sie unterschieden gerade und un- 
gerade Zahlen, Primzahlen (Linien zahlen) undzusammen- 
gesetzte Zahlen (Flächen- und ESrperzablen). Durch 
mancherlei Summierungen, die sie in der Zahlenreihe vor- 
nahmen, bildeten sie den Begriff der gesetzmäßigen 
Rdhe aus und gelangten zu den höheren arithmetischen 

Eeihen, zu den Dreieckszahlen „ — - durch Sum- 



Gri*ehen- 13 

mieniiig BämÜidier auieinanderfolgeDden Zahlen von 
1 bis n, zu den Quadratzablen durch Siunmierung der 
imgeraden nnd zu den heteromeken Zahlen [n {n + 1)] 
durch Summienmg der geraden Zahlen. So wuide der 
Grund zur Theorie der "Vieleckszahlen gelegt, die zu- 
eret Ton Philippua Opunäus, einem Schüler dea Plato, 
ByBtematdsch behandelt wurde. Zahlen, von denen jede 
gleich der Summe der Teiler der anderen ist, z. B. 220 
und 284, nannten sie befreundet. ToUkommen hieß 
eine Zahl, die gleich ist der Summe ihrer Teuer, wo 
sie selbst als Teiler nicht mitgerechnet ist; z. B. 6,28. 

Wenn auch derartige Untersuchungen einigermaßen den 
Ch&rakter einer Spielerei tragen, so boten sie doch in All«r- 
tom und Mittelalter mancherlei Gelegenheit zu mathematischer 
GeistesUbung. So finden wir z. B. in dem Drama „Sapientia" 
der Hrothswithavon Gandersheim (10. Jahrb.) die erwähnten 
Zalileagattnngen ansf Uhrlich abgeliandelt. 

Nach babylonischem Vorbilde beschäftigten sich die 
Pythagoreer mit der Lehre von den Proportionen. Sie 
unterschieden die arithmetische, geometrische und har- 
monische Proportion und die entsprechenden mittlerai 
„ . , a + c , — 2ac 

Proportionalen: —^ — , V^c, — -^■ 

' 2 ' a -)- c 

Noch mehr be wundem wir die rortachritte auf 
algebraischem Gebiete, unter dem Namen Epanthem 
des Thymaridas ist aus pythagoreischer Zeit ein Satz 
Überliefert, den wir unter Anwendimg modemer Be- 
zeichnungsweise so aussprechen könoen: Wenn n Un- 
bekannte (dÖQiartt) X|, Xg, . . . Xg vorliegen und außer 
ilirer Gesamtsumme x, + Xj + . . . + Xn = s noch die 
Summen der ersten mit jeder folgenden x, + x^ = a^, 
X, + Xg = aj, . . . X, -)- Xn = an_i gegeben {d>Qio/tiva) 

sind, so ist x, = -^ — ' ' ' — ^^ , "Weitere 



14 Altertum. 

algebraische Leistungen der Pythagoreer stehen in un- 
trenaharem Zusammenfaaoge mit ihrer Geometrie, in 
deren Mittelpunkte der nach dem Meister benannte 
Lehrsatz steht Die fOr das von alters her als recht- 
winklig bekannte Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 ge- 
machte Bemerkung, daß 3* -J- 4' =■ 5', wurde schritt- 
weise auf die übrigen rechtwinkligen Dreiecke ausgedehnt 

Die Recht winkligkeit dea Dreieckes mit den Seiten 3, 4, 5 
war eine alte Erfähnmgatatsacbe. Es ist wahrecheinlich, dai 
die Qarpedonapten (Seilknüpfer) bei den Ägjptem davon 
Gebranck machten, om ana der Nordsildrichtnn^ die Ostwest- 
richtting bei ihren Bauten festznlcgen. Zu diesem Zwecke 
wurde ein Seil von der Lüng-e 12 durch Knoten in die Teile 
3, 4, ö geteilt Wurde nun die Seite 3 in der Richtung- der 
Noidafldlinie durch Pflücke befestigt und das Seil aus^spannt, 
so gab die Seite 4 die gewünschte Senkrechte. Die Kenntnis 
dieses rechtwinkligen Dreieckes finden wir ferner schon in 
alter Zeit bei den Indern, die sich einer ähnlichen Seilapannnng 
bedienten, und bei den Chineaen. Vielleicht hatte diese Kenntnis 
Einflufi darauf, äaß man die UeBkette gerade in 12 Einheiten 
teilte! um durch sie bequem rechte Winkel abzustecken. 

Der Weg des mathematischen Experimentes, auf 
dem man zur Kenntnis des pythagoreischen Lehrsatzes 
gelangte, führte bei Betrachtimg des gleichschenkligen 
rechtwinkligen Dreieckes zur Entdeckung des Irratio- 
nalen, der bedeutungsvollsten Errungenschaft der Pytha- 
goreer. Sie erkannten, daß bei zur Einheit kommensurabler 
Kathete die Hypotenuse zur Einheit inkommensurabel, 
durch keine Zahl benennbar, daher ein „ä^^iov" und 
„SXoyov" (ohne Verhältnis) ist Es entsprach also jeder 
Zahl eine Strecke, aber nicht jeder Strecke eine Zahl. 
Denn der Gedanke einer Irrationalzahl, die zur Einheit 
nicht einmal ein aussprechbares Terhältnis hätte, lag den 
griechisdien Mathematlkem ferne. Da sie aber die Trag- 
wdte dieser Entdeckung vollständig zu würdigen wußten, 



Grieclien, 15 

so widmeten ach die hervorragendsten Mathematiker 
(Demokrit, Ärchy taa, Plato, Theätet, Eudoxua) dem Studium 
derselben. Welche Vorsicht sie dabei an den Tag 
legten, zeigt die Erzählung Piatos, sein Lehrer The- 
odorns habe bewiesen, daß ^2, \Z, ... bis yi? nicht 
in Zahlen angebbar sind. Theätet (um 390 v. Chr.) 
hat dann den Begriff des Irrationalen auch auf dritte 
Wurzeln ausgedehnt 

Durch die Entdeckung dee Irrationalen waren alle 
früheren Beweise über Flachenmessung, Ähnlichkeit usw. 
hinfällig geworden. Das 4. Jahrhundert widmete sieh 
der methodischen Arbeit, die neuen Grundlagen featzu- 
steUen. Als eigentlicher Schöpfer der wissen scliaftlidien 
Proportionenlehre ist Eudoxus anzusehen. Durch dieses 
fortwährende Bestreben, alle Sätze auch auf die in- 
kommensurablen QrOßen auszudehnen, gestaltete sich 
■ die griedÜBche Mathematik zur eigentlich exakten Wissen- 
schaft. 

In Verbindung mit diesen Fragen steht die rationale 
Auflösung der Gleichung x^-\-y^ = z^. Die Pytha- 
goreer gingen dabei aus von einer ungeraden Zahl 
2tx + l als kleinerer Eathet«; dann ist die Hälfte des 
um 1 verminderten Quadrates 2 «* ^^ 2 « die größere 
Kathete. Diese um 1 vermehrt, gibt die Hypotenuse 
2 a' + 2 a -|- 1 . Natürlich umfaßt diese Lösung nur 
einen kleinen Teil der überhaupt denkbaren Lösungen. 
Eine andere R^el gab Plato. der von einer geraden 
Zahl 2 « als Kathete ausging. Wird vom Quadrate der 
halben Zahl 1 subtrahiert, so hat man die andere Kathete 
«^ — 1 , wird dagegen 1 addiert, die Hypotenuse «* + 1 . 

Zur Auflösung quadratischer Gleichungen bedielten 
sich diePythagoreer der sogenannten Flächenanl^ping, 
indem sie die in den Gleichungen ax = V, ax — x* = b*, 



1 6 Altertum. 

ax -{- x' = b^ enthaitenen Aufgaben folgend ermaBen aua- 
gprachen: An eine gegebene Strecke ein Becbteck so 
anzulegen (nagaßdlXBiv), daß ee 1. gleich ist einem ge- 
gebenen Quadrate, daß ea 2. ein gegebenes Quadrat um 
ein Quadrat Übertrifft {{tJUQßä^LXei), daß ihm 3. noch 
ein Quadrat mangelt (JXleijiei), um einem gegebenen 
Quadrate gleich zu sein. In bezug auf die zweite Auf- 
gabe, die hyperbolische Flächen anlegung, war für die 
Pythagoreer von besonderer Bedeutung die Teilung 
einer Strecke a nach der Proportion a : i = x : (a — x), 
mittels der sie daa regelmäßige Fünfeck erhielten. 
Dadurch gelangten sie auch zur Kenntnis des fünften 
regebnäßigen Körpers, des Dodekaeders. Die Konstruk- 
tion der fünf regelmäßigenKörperundihreEinbeschreibung 
in die Ku^l wird von den Alten als eine Eauptleistung 
der Pytliagoreer geldert 

Die Bezeichnung- „goldener Schnitt" für die Teilung nach 
der Proportion a:i = x:(a^i) ist erat um die Mitte des 
19. Jahrh. aufgekommen, rermutlich im Anschlösse au Keplers 
,aectio divina". 

DaQ die Pjthagoreer der Konstruktion des regehDäfiigen 
Fünfecks große Wichtigkeit beilegten, gebt daraus hervor, 
daß sie dem Stemfünfeck, daa ans den Diagonalen des regel- 
mäßigen Fünfecks, besteht, dem sogenumten Pentagramm, 
maadierlei mystische Bedeutung zuschrieben nnd es zum Er- 
kennungszeichen ihres Bundes machten. 

Da nach plateuiscber Lehre die Elemente Fenär, Luft, 
Wasser, Erde in ihren kleinsten Teilen die Form von Tetraedern, 
Oktaedern, Ikosaedem und Hexaedern haben, so heißen die 
regelmäßigen Körper auch kosmiscbe oder platonische Körper. 

Mit Hippokrates von Chioa, dta- die ersten Ele- 
mente der Geometrie verfaßte, erscheint die Planimetrie 
so ziemlich abgeschlossen. Nachdem die elementarrai 
Sätze über die Lagen- und Gröflenbeziehungen der 
ebenen Figuren entwickelt waren, sudite man sie auf 



Oriechen. 17 

den Kreia und die Gebilde des Eaiomes auszudehnen' 
und atieß dabei besonders auf drei naheliegende Probleme, 
die bd scheinbarer Einfachheit unflberwlDdliche Schwierig- 
keitea darboten und daher für lange Zeit das allgemeine 
Interesse auch über die Fachkreise hinaus in Änsprueh 
nahmen, die Quadratur des Kreises, die Dreitei- 
lung des Winkels und die Verdoppelung des, 
"Würfels. Plato hatte die bis heute allgemein geltende 
Jestatellung getroffen, daß zu den geometrischen Kon- 
struktionen nur der Gebrauch von Lineal und Zirkel 
gestattet sei. Wenp eich nun auch in diesem Sinne 
alle drei Probleme als unlösbar erwiesen, so ist doch 
die Beschäftigung mit denselben die reiche Quelle neuer 
Erkenntnisse geworden. 

Wie erwähnt, begegnen wir schon im Handbuche- 
des Ahmee einem Näherungswerte fOr das Verhältnis 
der Peripherie zum Durchmesser, ebenso bei den Baby- 
loniem. Doch sind wir über ihren Ursprung nicht 
minder im Dunkel wie über die Quadratur, die Änaxa- 
goras im Kerker konstruiert haben solL Erst über' 
die geistreichen Quadraturen halbmondförmiger Figuren, 
durch die Hippokrates von Chios den Weg zu b^meo 
suchte, besitzen wir sichere Kunde. Den richtigen 
Weg, der die Berechnung mit beliebiger Annähei'ung 
ermöglichte, betraten Antiphon und Bryson, indem 
sie den Flächeninhalt durch ein- und umgeschriebene 
Vielecke von immer wachsender Seitfiazahl zu er- 
schöpfen (exhaurire) suchten. 

Auf diesem Wege fand später Archimedes 34^<w 
< 34- . Die genauere Berechnung- and die Frage nach dem eigent- 
lichen Cbarakter der Zahl n beschäftigten alle folgenden Zeit«n.- 
Brst 1882 fand das vi ertansendjäbrige Problem seine Erledigung:^ 
durch den Nachweis, da£ n nicht Wurzel einer algebraischen' 
Stuim, Gesohichte der UatbemiiUk. 2 



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18 AlUrtam. 

Gleichung mit rationalen Eoeffisient^i sein kOnne, womit zu* 
gleich erwiesen ist, daß die Quadratur des Zirkels konstniktiTon- 
AUsfllhTbar ist nnter alleiniger Anwendung tod Zirkel nnd Unaal. 

An die Halbierung des Winkels schließt sich natur- 
gemäß das Problem seiner Dreiteilung. Dieses Problem 
führte zur Erfiadung der ersten von der Kreislinie Ter- 
schiedenen, nach Entstehung und Eigenschaften bestimmt 
definierten krummen Linie durch Hippias von Elis 
(420 T. Chr.). Diese Kurve wurde sfÄfer von Dino- 
stratus (Ende des 4, Jahrh, v. Chr.) auch zur Qua- 
dratur des Kreises verwendet und erhielt daher den 
Ifamen Quadratrlx {lexQaycovi^ovaa). Sie veranschau- 
licht deutlich das Wachstum dessen, was wir jetzt Kreis- 
fimltionen nennen. Die endgtütige Lösung der Kreis- 
teiliuigsgleichung, zu der die Trisektion führt, verdanken 
wir OauB, der den Nachweis lieferte, daß durch eine 
endliche Anzahl von Operationen mit Zirkel und Lineal 
ein regelmäßiges n-Eck nur dann konstruiert werden 
kann, wenn n — 1 = 2p ist, wobei n eine Primzahl und 
p eine beliebige ganze Zahl bedeutet. 

Wie die Probleme der Plächenanlegung die geo- 
metrische Form für die quadratischen Gleichungen sind, 
Bo ist die Frage nach der Verdoppelung oder überhaupt 
nach der Multiplikation des Würfels die steieometrische 
Form für die reine kubische GMohung. Als man sah, 
mit welchem Erfolge Operationen mit ebenen Figuren 
auf die Lösung der Aufgaben angewendet werden 
konnten, die wir in Form qiiadratiacber Gleichungen 
darstellen, lag es nahe, ähnliches mit Würfeln und 
Parallelepipeden zu versuchen. Hippokrates führte 
das Problem zurück auf die Auffindimg zweier mitt- 
lerer Proportionalen a:x = x:y = y:2a, woraus sich 
er^bt X = a/2 . 



Griechen. 1 9 

Der TJrspnmg des PmblemE ist Tom geheimnisvi^en 
Schleier der Sage nmwobeD. Die Delier, von zahlreicheii 

■ünglilckarälleii betioffen, wandten sich um Abhilfe aa das 
Omkel in Delphi und erhielten den Äuftrfig, ihren wUrfel- 
fßmiigen Altar zn verdoppeln. Da ihnen die ErfuUnng dieses 
Befehles nicht gelang, wandten äe sich an Plato, der seine 
Schüler beauftragte, sich mit dem Stndiwn des Problems zu 
beschäftigen. 

Unter den Olteren LQsungen dieser Aufgabe ist die 
rein etereometrische des Archytas hervorzutieben, bei 
der die erste Kurve doppelter Krümmung, die 
Durcbdringungskiirve eines Zylinders und eines Kegels, 
auftritt Als reifste Fracht aber verdanken wir dem 
Delischen Problem die Entdeckung der Kegelscbnitts- 
linien durch MenScbmus, einen Schüler Platos (Mitte 
des 4. Jahrb.). Aus a:x = x:y = y;b ergibt sich 
X* = ay, y^ = bx, daher erhält man die zwei mittleren 
Proportionalen als Koordinaten des Schnittpunktes zwder 
Parabeln; andererseits ist auch xy = ab, daher auch 
Parabel und Hyperbel zur Lösung der Aufgabe dienten. 
UenSchmns schnitt die EegeMäcbe durch eine zu ednar 
Seitenlinie normale Ebene. Je nachdem mm der Winkel 
an der Spitze des Achsensohnittes ein spitzer, rechter 
oder stumpfer war, erhielt er den Schnitt des spitz- 
vinkUgen Eegels (Ellipse), des rechtwinkligen E^elg 
(Parabel) imd des stumpfwinkligen Kegels (Hyperbel). 

Aufgaben, die mittels Zirkel und Lineal nicht iQsbar 
sind, wunlen von den Oriechen hänfig auf eine Einsohiebnng 
znrtclj»etührt. Als Beispiel diene die Dreiteilnng des Winkels 
AOO (Fig. 1). Man ziehe den Durchmesser AB und durch 
G eine Sekant«, die den Kreis in E nnd den Durchmesser in 
D schneidet, derart daß ED ^= r, dem Radius des Kreises, wird. 
Dann ist bE = i AG- Zieht man AP || OD, ferner die Radien 
OB nud OF, so siebt man: <BOB = -|-FOE = -j- AOO. 
Die Konstruktion der Einschiebnng ist. natürlich mit Zirkel 
und Lineal nicht mäglich, ist aber filr praktische Zwecke 



leicht anarfilirbar, indem man hat eisem Streifen r aüftrilgt 
und denselben durch C gehen Mt, während ein Endpunkt O, 
der Strecke r aaf dem Durchmesser AB g'Ieitet Bei Be- 




Fig.1. 

wegnng des Streifens wird in einer gewissen ZiSige der andere 
Endpunkt von r auf den Kreis fallen und damit ist der Punkt E 
bestimmt. Es ist von Interesse, daß Vi^te (1593) diese 
Einacbiebnng seiner Lösung der Gleichungen 3. Qrades im 
irreduziblen Falle zugrunde legete. 

In Terbindung mit der Lehre vom Irrationalen 
sehen wir auch die ersten Infinitesimalbetrachtungen 
auftreten. Fragen über Stetigkeit imd ün Stetigkeit, un- 
begrenzte und begrenzte Teilbarkeit geometrischer Größen 
erregten den Streit der Philosophen. Am schärfsten 
tret^ uns die Schwierigkeiten, die der ünendlicbkdts- 
begriff darbietet, entgegen in den Sophismen des Eleaten 
Zeno. Die Mathematiker umgingen diese Schwierigkeiten 
durch die sogenannte Exhaustionsmethode, die von 
EudozuB ihre wissenschaftliche Vollendung erhielt 

Das Schema dieser Methode ist folgendes. Es seien z. B. 
A und B zwei krammlinig b^renzte Flächen, die zu ver- 
gleichen sind. Zu diesem Zwecke sucht man tili jede dei 
zwei Flächen zwei Reihen von geradlinig begrenzten Flächen, 
(ein- nnd umgeschriebene Poljgone), die eine bestehend ans 
Fachen, die kleiner, die andere aus Flächen, die größer sind 



Griechen. 21 

als A, IjeziehanB^weisa B. Es sei also Cm <A <Dd 
Bin<B<Fn ™} = 1,2.... Die Eeihen C, Cj, ... sind 

femer so gewählt, daJt zu jeder Fläche E W^iie m n gehören 
derart, daß sowohl Dd — Cm < E als auch Fd — Bni<E. 
Ist nun für zwei bestimmte 'Werte von mn Dn^Em, be- 
ziebnngsweise Fn^Cm, so weiß man, daß A<B, beziehungs- 
weise A > B. Ist aber, wie auch immer mn g-ewählt werden, 
stets Dn>Eni und Fo <Cni, ao ist A^B. Angenommen 
nämlich, es sei A > B ao hat mau A— B < Dn — Em ■ Da 
bei passender Wahl Ton mn Dii<Cm+E nnd Eii>>Fn 
— E>CiD — E, 80 folgt A — B<2E, mithin wegen der 
WUlkUrlichkeit von E, A<B. Auf ähnliche Weise ergibt 
sich B<A, somit mnß A = B sein. — Es ist eine Eigen- 
tümlichkeit der alten Mathematiker, allgemeine Uethoden nicht 
anzugeben, ja »^ar zu verbergen. So finden wir auch den 
allgemeinen Charakter der Eihanstionsmethode nirgends an- 
gedeutet, sondern sie wird von Fall zu Fall in vollster Breite 
angewendet. 

So entwickelte eich die Geometrie als Träger einer all- 
gemeinen Größenlehre mid es ist selbstveratändlich, d&B 
in den philosophischeti Schulen eines Plato, Aristo- 
teles, Eudoius auch die Methodik und Philosophie 
dieser Wissenschaft nicht Ternachlässigt wurden. Ent- 
sprechend den strengen Anforderungen der Dialektik ent- 
wickelte sieh eine ausgebildete Terminologie, scharfe 
B^riffsbestimmungen, Unterscheidung zwischen analy- 
tischer und synthetischer Methode. Insbesondere wurde 
auch in der Akademie zuerst (durch Leon um 370) 
die Notwendigkeit des Diorismus hervorgehoben, d. h. 
der Untersuchung, ob und in welchen BMen die Lösui^ 
einer Aufgabe überhaupt möglich sei. 

Plato kannte noch keine eigentliche Wissenschaft der 
Mathematik. Das Wort /la&'i/j-ara umfaßte bei ihm noch 
alle wissenschaftlichen Lehrgegenstände. Erst bei den Peri- 
patetjkem bekam das allgemeine Wort die besondere Bedeutong, 



lie ea fortan beibehielt, und amfoßte Logistik (Recheukanst) 
und Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, Mnaik nod 
Astronomie. 

b) Blfiteperlode. 

Nachdem die Mathematik durch die emsige Arbeit 
dreier Jahrhunderte nach ihren verschiedeoen lÜditungen 
entwickelt und au^:ebildet und den strengen Anforde- 
rungen der Dialektik gemäß in ihren Grundlagen ge- 
testet worden war, gelangte sie im 3. Jahrhundert v. Chr. 
durch den Q^us der drei grOSten Mathematiker des 
Altertums, Euklid, Arohimedes und ApoUonius, 
zur Blüte. 

£uklid von Alexandrien (um 300 v. Chr.) hatte 
seine Bildung in Athen erh^ten bei den Schülern des 
Plato und Endoxus, Archimedes und Apollonlus 
liinwieder lernten in der euklidischen Schule. Die mit 
Euklid so glücklich inaugimerte alexandrinische 
Schule blieb durch neun Jahrhunderte, von Ptolemäus 
Soter bis zur arabischen Okkupation Ägyptens, maß- 
gebend nicht nur für die griechischen Länder, sondern 
auch für fremde Gegenden, besonders Indien. Archi- 
medes und ApoUonius gehörten ihr zwar nicht an, standen 
aber mit ihr in regem Yerkehre. 

Das Hauptwerk Euklids sind die Elemente 
{atoix^Ta) in dreizehn Büchern. Es bringt auf Gmnd 
weniger hinreichender Voraussetzungen die Geometrie 
und in geometrischem Gtewande auch die Arithmetik 
als ein zusammenhängendes Ganzes zur Darstellung. Die 
Hauptsache war die Anordnung der Sätze, so daß jeder 
folgende lediglich durch vorangehende beweisbar wurde. 
Obwohl der Yerfasser dabei nur das rdn dialektische 
Intererae im Auge hatte, ohne p:aktische oder päda- 
gogische Ziele zu verfolgen, so ergab sich doch von selbst 



Oriechen. 23 

der große Torteil, daB man sieh bei w^teren Entwick- 
limgon auf Beio Werk berofen und stfltzen konnte. 
Proklus von Byzanz, ein Kommentator Euklids im 
5. Jahrhundert n. Chr., sagt: „Euklid ordnete TJeles 
von EudoxuB Herrührende zu einem Oanzen, führte vieles 
von Theätet Begonnene zu Ende und stützte das vim 
den VorgSngem nur leichthin Bewiesene auf unwider- 
legliche Beweise.* 'Was die Form der Darstellung an- 
belangt mit den berOhmten Schlußformeln „was zu be- 
weisen war {5}KQ idei änodEt^at)" und „was zu kon- 
struieren war {8neQ Idet not^aat)"; so läßt sich die 
Anknüpfung an alta^yptische "Vorbilder nicht verkennen. 
Sohon früher waren Elemente geschrieben worden, sie 
gingen aber bald verloren, da Euklids Meisterwerk alle 
Überflügelte. 

An der Spitze des "Werkes stehen die Definititmen 
(Seot), Forderungen {alt<^/iaTa) und Grundsätze oder 
Axiome {xotval hryouu). Das erste Buch enthält die 
Eigenschaften und die Kongruenz der Dreiecke, die 
Lehre von den Parallelen, Parallelogrammen und von 
der Fl&ohengleiohlieii Den Schluß bildet der pytha- 
goreische Lehrsatz. Im Anschlüsse daran lehrt das 
zweite Buch ein Quadrat als Summe oder Differenz von 
Quadraten und Rechtecken in der verschiedensten Weise 
znsammenzusetzen, schließlich jede geradlinige E^gur in 
ein Quadrat zu verwandeln. Demnach hat dieses Buch 
auch eine arithmetische Bedeutung. Es lehrt nämlidi 
die Multiphkafion von Polynomien, wobei nach griechi- 
schem Brauche Strecken die Stelle unserer allgemeinen 
Zahlen vertreten, femer die Auflösung der Gleichung 
X* -J- ai = a*, von der natürlich nur die positive Wurzel 
anerkannt wird. Das dritte Buch behandelt den Erds, 
das vierte Buch die dem Kreise ein- und umgeschriebeoeD 



24 , Altertum. 

Vielecke, l)esoiidere die regelmäßigen, danuiter auch 
das Fünfeck. Der weeeotliche Inhalt dieser vier Bflcher, 
welche die Gleichheit von Strecken imd Flächen nach 
allen. Bichtungen behandeln, stammt bereits aus der 
vorplatoniaehen Zeit 

Nunmehr kommt die Ungleichheit in Betracht, so- 
weit sie meßbar ist, und zwar ist diese Messung eine 
zweifache, eine geometrische und arithmetische, und 
beruht auf der Lehre von den Proportionen, die im 
fünften Buche behandelt wird. Um der Schwierigkeit 
zQ entgehen, Kommensurables und lo kommensurables 
za trennen, werden nur Strecken Verhältnisse behandelt 
Dieses Buch stammt von Eudoxus. "Wir finden darin 
das erste Beispiel' für das Schaffen eines abstrakten 
Qrößensystems in der "Weise, die man ii]i 19. Jaia- 
hundert wieder erfunden hat Der für kommensurable 
Strecken definierte Begriff d€s "Verhältnisses wird auf 
inkommensurable Strecken ausgedehnt nach dem Grund- 
satze der Pennanenz der Gesetze, Das Ansehen Euklids 
war so groß, daß man noch im 17. Jahrhimdert an den 
Verhältnissen und Proportionen festhielt, obwohl sie 
seit Einführung der Irrationalzahlen fiberflüssig ge- 
worden waren. 

Das sechste Buch handelt von der Ähnlichkeit der 
ebenen Figuren. Hier finden wir die erste Maximum- 
au^be. Dieselbe besagt nach unserer Schreibweise, 

X (a — i) werde ein Maximimi für x = — , Auch die 

Lösungder Gleichungen i(a — x) = b^undx{a + x) = b' 
wird durch Flächenanlegung ausgeführt Dieses Buch 
stammt aus der Schule der Pythagoreer. Ebenso 
das 7-, 8. und 9. Buch, die 2jahlentfaeorie, d. h. Eigen- 
schaften der ganzen Zahlen als solcher behandeln. 



Griechen. 25 

"Wir finden hier die Sätze über gemeinBames Maß und 
Tielfachea, Zahlenproportionen, Primzahlen, aber auch 
Beiträge zur praktischen Arithmetik, z. B. die Ketten- 
division, die Sununienuig der geometrischen Reihe. 

Das 10. Buch, zum Teile auf Theätet fn&end, ent- 
hält die Lehre vom Irrationalen. Es bringt die allge- 
meine Theorie tou Ausdrücken der Form f a -j- :/b imd 
ist ein unverzügliches Denkmal griechischen Scharf- 
sinnes. 

Das 11. Buch behandelt die Lage von Geraden und 
Ebenen im Baume, das 13. Buch enthält die Sätze 
über das Volumen des Prisma, der Pyramide, des Zylin- 
ders, des Eegels und der Kugel, aber nirgends eine 
'wirkliche Berechnung, das 13. Buch endlich handelt 
über die der Kugel eingeschriebenen Korper und schließt 
mit dem Satze, daß es nur fünf regelmäßige Körper gibt 

Das Ansehen nnd die BewnndeniDg, die dieses Idassische 
Meisterwerk als Muster strengster Konsequenz imd exaktester 
Durch fühning' verdient, haben sich tnjta mancher Gegner, 
die ihm za keiner Zeit fehlten (z. B, die Cjniker, Petms 
Bamna, Schopenhauer), nngeachwäebt erhalten nnd kein Buch, 
die Bibel ausgenominen, erlebte so viele Ausgaben nnd Über- 
setzungen, sowie auch kein anderes mathematiscbes Werk 
einen solchen BinflnH auf das Geistesleben der Menschheit 
auaObte. 

Besondere Hervorhebung verdient die 5. Forderung (nach 
anderer Zählang das 11. Axiom), die verlangt, daß man zugebe, 
daß zwei Gerade sich auf der Seite schneiden, auf der die 
Summe der inneren Anwinkel kleiner als 2 R ist. Gegen diese 
Forderung erhob man zu allen Zeiten Bedenken und suchte 
sie durch einen beweisbaren Satz zu beseitigen, bis man endlich 
im 19. Jahrhundert erkannte, daß ein Beweis nicht möglich 
aä, denn die Euklidische Raumform sei eine zufällige und die 
niditreuklidischen Geometrien, die auf diese Forderung ver- 
zichten, seien logisch gleichberechtigt. Nicht auf dem Wege 
der Spekulation über die Euklidischen Forderungen, sondern auf 



26 Altertum. 

dem praktischen Wege der Verallgememerang der Enklidischea 
Geometrie gelangte die moderne projektiviache Oeometrio, 
deren Begründer Desargues (1639) Ist, zagleichemErgeboisse, 
indem sie durch Binfühmng des uneigenüichen Punktes den 
Unterschied zwischen schneidenden und nichtschneidenden 
Geraden aufhob. Da bei Projektion eigentliche und nneigent- 
liche Punkt« ineimmder übergehen, so vnirdec die bei be- 
liebigen Projektionen bleibenden projekti Tischen Eigenschaften 
als unabhängig vom Parallelenaxiom erkannt. Zn gleichem 
Resultate kam auch die Geometrie der Lage. 

Die meisten Ausgaben der Elemente enthalten lg Bttcher. 
Das 14. ist eine tüchtige Arbeit des Hjpsiklea (nm IBO v. 
Ch. in Alexandrien) Über die regelmäßigen Eürper, das 15. 
eine nubedeutende Leistiug ans dem 6. Jahrhunderte n. Ch. 

An die Elemente schJieSt sich eine andere Schrift 
Euklids an, die Daten (dedo/ieva), in denen gezeigt 
wird, daß, wenn gewisse Dinge gegeben sind, andere 
mil^geben sind; 2. B. wenn die "Winkel eines Drei- 
eckes der GrCBe nach gegeben sind, so ist das Drei- 
eck der Art nach gegeben. Der Inhalt geht Ober die 
Elemente nicht hinaus, wenn auch nicht alles dort 
enthalten ist Hier finden wir auch die geometrische 
LBsung des Gleichungssystems xy = b*, x + y=-a, 
also der Gleichung x^ ip b* = as. Bezugnehmend auf 
die im 6. Buche der Elemente behandelten Aufgaben 
können wir also sagen, daß hier auch noch der letzte 
Fall der quadratischen Gleichiing x^ -f 'j' = *^ behan- 
delt ist Somit war Euklid imstande, jede quadratische 
Gleichung, die überhaupt reelle Wiu'zeln hat, aufzulösen, 
und es ist höchst -wahrscheinlich, daß diese Aufgaben 
für ihn nicht bloß zusammenhangslose geometrische 
Probleme waren, sondern daß er das volle Bewußtsein 
dieses algebi-EÜschen Zusammenhanges besaß, denn nur 
so läßt sich die Entstehung des 10. Buches der Ele- 
mente erklären. 



Griechen. 27 

Den Daten der Fonn nach rerwandt, dem Inhalte 
nach aber viel bedeutsamer sind die Poriamen, von 
denen jedoch nur einzelne Proben erhalten sind. Stellen 
die Daten Übungsanf gaben zur Auffrischung der Elemente 
dar, so sind die Porismen Anwendungen derselben von 
selbständigem Werte. Als Beispiel für ein einfaches 
Porisma diene folgendes: An den Satz: „Wenn ein 
Kreis gegeben ist, ist auch sein Mittelpunkt gegeben" 
knüjA sich mit Notwendigkeit die Aufgabe, die Konstruk- 
tion zn finden, durch die man den Mittelpunkt wirklich 
erhftlt, Yon besonderem Interesse sind mehrere Sätze 
über Transversalen und Punktreilieu, ■welche die Grund- 
lage für die metrische Behandlung der pro] ekti vischen 
Geometrie abgeben, z. B.: Schneiden die Seiten eines 
vollständigen "Vierseita sich in 6 Punkten, von denen 
drei in einer Geraden li^iende gegeben sind, und sind 
von den übrigen Funkten zwei der Bedingung untec- 
worfen, je auf einei- Geraden zn bleiben, so wird auch 
der letzte Punkt eine Gerade zum geometrischen Orte 
haben, die aus den vorhandenen Angaben bestimmt 
werden kann. Diu^h die Behandlimg derartiger Orts- 
probleme schließen sich die Porismen dem Inhalte nach 
an eine andere verlorene Schritt Euklids an; „Über 
Oberflächenörter", vermutlich über Kurven auf Zylinder- 
und Kegelflächen. Verloren sind femer die vier Bücher 
über Kegelschnitte. Dagegen hat sich eine Abhandlung 
über Teilung der Figuren größtenteils erhalten. 
Schließlich sei noch erwähnt, daß eine astronomische 
Schrift Euklids, betitelt „Phaenomena", eine Sphä^ik 
enthält, d. h. stereometrisdie Sätze über die Kugel, von 
denen allerdings manche sich schon kurz vor Euklid 
bei dem Astronomen Autolykus von Pitane finden. 

Archimedes von Syrakus (287 — 212) ist der 



28 Altertnm. 

grtBte Mathematiker des Altertmns. In der „Kreis- 
messung" findet er 3fg<ji<3fJ. In der Ab- 
handlung, „über die Schneckenlinien" haben wir die 
ganze Theorie der transzendenten Archimedischen Spirale 
Q = <p-KojiBt Ferner besitzen wir von Archimedes 
eine „Quadratur der Parabel", eine Schrift, betitelt 
„Über Kugel und Zylinder". In letzterer berechnet er 
Oberfläche und Volumen der Kugel durch Vergleichen 
mit dem umgeschriebenen Zylinder. Ein imderes Stereo- 
metrisches Werk ist „Über Konoide und Sphäroide". 
Darin behandelt Archimedes die durch Umdrehung eines 
Kegelschnittes um eine seiner Hauptachsen entstellenden 
Körper, die rechtwinkligen Konoide (Dmdrehungs-Para- 
. boloide), die stumpfwinkligen Konoide (einmantelige Um- ■ 
drehunga-Eyperboloide), längliche und breite Sphäroide 
(ümdrehungs-EUipsoide nm die grofie und kleine Achse); 
er bestimmt die ebenen Sdinitte und das Volumen von 
Äbachnitten dieser Körper. (Hier finden wir auch die 
Quadratur der EHipee). 

In allen diesen Untereuehuugen bewundern wir die mit 
höchstem Geschicke angewendete Exhaustionsmethode. 
Nicht selten treten konvergente unendliche Reihen auf, z. B. 
in der Quadratur der Parabel die Reihe 1 + i + ^ + 
. . . . ^ -J^, Oberhaupt weiß Archimedes Ausdrücke aus- 
zuwerten, die uns unter den Formen ^idi-a-J-c', 
y X* d X = J e* und ähnlichen geläufig sind. 

In der Schrift „Ober Kugel und Zylinder" kommt 
die Aufgabe vor, eine Kugel durch eine Ebene derart 
zu schneiden, dafi die Volumina der beiden Kugelab- 
schnitte in gegebenem Verhältniaae stehen. Die sich 
ergebende Gleichung x* — ax' -|- b' c ^ o hat Archimedes 



Qriecheu. 29 

auf die BediDgungeD ihrer Lösbarkeit gepüft und mit 
größter "Wahrscheinlichkeit auch gelöst. 

Tielleicht beschäftigte sich Arehimedes auch schön' 
mit der sogenannten Feilschen Gleichung x* — ay* = l,' 
"Wenigstens führt das Rinderproblem, das die Berechnung 
einer Anzahl von Bindern, die SizUien enthält, aus 
einigen sehr kompHzierten Angaben fordert, zur Gleichung 
I» _ 2 • 3 • 7 • 11 • 29 ■ 353y* = 1 , die in ganzen Zahlen zu 
lösen ist Sollte auch die Aufgabe nicht tou Arehimedes 
stammen, so ist doch lüeht zu zweifeln, daß er sie 
hätte lösen können. 

In den "Werken des Arehimedes treffen wir 2um 
ersten Male Ergebnisse praktischen Rechnens. Die 
Ausbildung der Mathematik in den ideahstischen Schalen 
der Pythagoreer und Platoniker erklärt die ängstliche 
Soigfalt, mit der die besondere Arithmetik, die Logistik, 
von der Ärithraetik (Zahlentheorie und Algebra) getrennt 
wurde, ebenso, ja in noch höherem Giade, als man die 
(Jeodäfiie vrai der Geometrie schied. Daher blieb das 
Zahlenrechnen der Griechen hinter ihren sonstigen mathe- 
matiachen Leistungen zurück. Nicht als ob Logistik 
und Geodäsie gering geachtet worden wären, aber sie 
entbehrten des wissenschaftlichen Charakters. 

Das älteste griechische Rechnen bediente sich wie 
das ägyptische der Finger und des Rechenbrettes. 
Durch gewisse Fingerstellungen wurden Zahlen fest- 
g^kalten, um das Gedächtnis zu unterstüt^u. Auf dem 
Bechenbrette (Abakus, Sfaubbrett) wurde mit Steinen 
oder Terschiebharen Knöpfen operiert, die in verschiedenen 
Reihen verschiedenen Stellungswert besaßen. Das Rechnen 
auf dem Fapiere kam erst in der alexandrinischen Zeit 
mehr in Übung. Addition nnd Subtraktion fanden in 
der auch bei uns üblichen "Weise statt Die Multiplikation 



30 Altertum. 

wurde, entsprechend der griechischeD Zahlenschrdbimg, 
Bo ausgeführt, daß jedes Olied des einen Polynoms mit 
jedem Oliede des anderen multipliziert wurde. Über 
die Methode der Division sind wir nicht genOgeod unter- 
richtet Was das Wurzelau sziehen anbelangt, so kamen 
höhere als dritte Wurzeln jedenfalls nur ausnahmsweise 
in Betracht Häufig wurde die Wurzel durcb Probieren 
oder geometrische Konstruktion gefunden. Doch waren 
Archimedes und auch spätere Mathematiker im Besitze 
eigener Algoritmen dee Wurzelausziehens mit guter 
Annäherung. Aber es ist bisher nicht vollständig ge> 
Inngen, ihre VetfahrungsweiBe aufzudecken. 

Zur praküschen Arithmetik kOnnen wir auch eine 
Vertiefung des dekadischen Zahlensystems rechnen, die 
Archimedes in der „Sandreohnung" lieferta Es soll 
nämlich eine Zahl angegeben werden, grOSer als die 
Anzahl der Sandkörner, die eine Kugel enthält, deren 
Badius gleich der Entfernung des Erdmittelpunktes vom 
Fixstemhfmmel ist, Archimedes faßt zu diesem Zwecke 
je acht aufeimmderiolgende Bangstufen in eine Oktade 
zusammen. Die Einheit der 2. Oktade ist also 100 000 000, 
die der dritten Eins mit 16 Nullen usw. 100 Millionen 
solcher Oktaden bilden die erste Periode usw. Man sieht 
in dieser Aufgabe mit Recht die arithmetiscbe Ergänzung 
der Gshaustionsmethode. Dem Unendlichkleinen nahezu 
zusammenfallender Eaumgebilde wird das ünendlichgroBe 
der alle Grenzen übersteigenden Zahl entgegengesetzt; 
um beide dreht sich die ganze Infinitesimalrechnung. 

Das Hauptwerk desApollonius von Perga (zwischen 
250 imd 200 in Alexandrien, spilter in Pergamum), 
dee ,^roßen Geometers", sind die acht Bücher Kegel- 
schnitte (xiovatä). In diesem Werke ist alles von älteren 
Schriftstellern, von Menächmus, Aristäus (um 320), 



Euklid \i. a. Herrührende mit einer FüHe eigener Ent- 
deckungen zu einem Ganzen verarbeitet ApoUonius 
erkannte, daß man alle Kegelschnitte auf einem imd 
demselben geraden oder schiefen Kegel erhalte. Ferner 
vnßte er, daß die Kiirven, zu denen man durch üm- 
kehruDg der schon wiederholt erwähnten Flächen- 
anlegungen (der Parabole, Hyperbale und Elleipsis) 
gelangt, mit den Eegelschnittelinien identisch sind, d. b. 
er kannte jene Eigenschaften dieser Emren, die wir heute 
aus deren Scheitelgleichungen herauszules^i gewohnt 
snd. Ee treten tms in seiner Behandlung koordinaten- 
ähnliche Streckenscharen entgegen, doch sind sie un- 
trennbar von der betreffenden Figur und keineswegs 
allgemeine TTilfalini an 

Das 1. Buch behandelt die aUgemeinen Eigenschaften 
der Kurven zweiter Ordnung, das 2. Buch die Asymptoten 
der Hyperbel, dann die DurchmeBSer und Tangenten 
der Kegelschnitte Oberhaupt, das 3. Buch die Sekanten 
und Brennpunkte. Hier kommt auch die Erzeugung 
eines Kegelschnittes durch zwei solche Strahlenbflsohel 
vor, die wir jetzt als projektivische bezeichnen. Das 
4. Buch behandelt die Diuühdringungen und Berührungen 
zweier Kegelschnitte. Das S. Buch ist das bedeutendste. 
Es enthält die Aufgabe, wie und wie viele Normale 
von einem gegebenen Funkte aus an einen Kegelschnitt 
gezogen werden können, unsere moderne Theorie des 
KrOmmungsmittelpunktes und der Evoluten. Das 
6. Buch handelt über gleiche und ähnliche Kegelschnitte, 
das 7. Buch über Komplementarsehnen und konjugierte 
Durchmesser. Das 8., verloren g^angene Buch Boh^t 
bestdmnite Aufgaben enthalten zu haben. 

Man nannte die K^elschnittslinien körperliche ört«r 

im Glegensatie zu den ebenen örtem (Kreia und Gerade), 



32 Altertum. 

alle anderen Karren hießen lineare örter, sowie man &adi 
die Aofgaben in ebene, körperliche and lineare einteilte. 

Viele andere Schriften des Apollonius sind ver- 
loren gegangen; erhalten sind nur zwei Bücher über 
den Terhmtnisschnitt. Es sind auf zwei festen Qeradea 
zred feste Punkte A und B gegeben. Es soll nun durch 
einen gegebenen Punkt außerhalb dieser Geraden eine 
Gerade gezogen werden, die die beiden gegebenen in 
Punkten und D schneidet, so daß AC : BD einen be- 
etimmt«n Wert hat 

In der Schrift „Über Berührungen" war die bekannte 
„Berühningsaufgabe des Apollonins" enthalten, d. h. die Auf- 
gabe, einen Kreia zu zeichnen, der drei Bedingungen genflge, 
deren jede darin bestehen kann, durch, einen gegebenen Pn^rt 
zu gehen oder einen g^ebenen Kreia zu berühren. 

In die Zeit der großen Mathematiker fällt auch die 
"Wirksamkät dee berühmten Gelehrten Bratosthenes 
(276—194), der auf mathematischem (Jebiete bekannt 
ist durch seine Siebmethode, die durch zwei JahrtauBende 
das einzige Verfahren blieb, um die Primzahlen nach- 
einander aufzufinden. £r ei^and auch einen sinnreichen 
Apparat zur Darstellung zweier mittlerer Proportionalen. 
Berühmt ist seine Qradmessung, die erste, von der die 
Geschichte Kunde gibt, — nach geometrisch richtiger 
Methode. 

Er bemerkt«, daß ein Brunnenschacht in Sjene (dem 
heutigen Assuan) am längsten Tage bis anf seinen Boden von 
der Sonne beschienen werde, daü sie also in dieser Zeit im 
Zenith stehe. Er maü nun die Zenithdistanz der Sonne in 
Alexandrien am Solstitialtage und fand sie gleich 7° 12'. Da 
nach seiner AnnaJune die beiden Orte iu Reichem Meridian 
liegen nnd 5000 Stadien voneinander entfernt sind, so schloß 
er: So oft 7" 12' in 360* enthalten sind (d. i. 50 mal), ebenso 
oft ist der Bogen 5000 Stadien im Erdumfang enthalt«n, d. h. 
der Meridianumfang beträgt 5000X60 = 250000 Stadien. 



Griechen. 33 

c) NacIiklasBiBCbe Periode. 

Nach Ablauf des 3. Jahrhuaderts t. Ch. hatte die 
griechisdie Mathematib üiren Hsheptinbt überschritteD, 
und wenn es auch Id der Fotgtöeit keineswegs an 
bedeutenden Mathematikern fehlte, so mangelte doch die 
üniTersalität, die die klassische Periode auszeichnete, 
und die Fortschritte bezogen sich mehr auf Spezialgebiete. 
Iiföbesondere im Anschlüsse an die aufstrebende Astro- 
nomie gelangte die arithmetisclie Seite unserer Wissen- 
schaft, die in der klasaiBchen Zeit wenig Beachtung ge- 
funden hatte, zu immer größerer Ausbildung, erwuchs 
die Trigonometrie zu einer selbstSudigen Disziplin 
und machte die Geometrie der Kugel bedeutende Fort^ 
schritte. Die eigentliche und keineswegs unwürdige 
Fortsetzung der klassischen (Jeometrie aber bildet die 
Theorie der höheren Kurven, die nach dem Beispiele 
des Archimedes eifrig gepflegt wurde. 

Höchst wahrscheinlich fällt in das 2. Jahrhundert 
V, Ch. die Lebenszeit zweier Mathematiker, die zur 
Lösung des delischen Problems und der Trisektion 
dgene Kurven ersannen, Nikomedes und Diokles. 
Ersterem verdanken wir die Konchoide (Muschellinie), 
letzterem die Cissoide (Efeulinie). Die Konchoide ist 
dergeometrischeOrtderEndpunkteallergleichen Strecken, 
die von den Schnittpunkten eines ebenen Strahlenbflachels 
mit einer Transversalen auf den einzelnen Strahlen abge- 
tragen werden. 

Die Gleichung dieser Kurve ist (i' -f y*} (i— a)'^b'i*. 
Ist die Leitlinie ein Kreis und der Fol innerhalb desselben, so erhält 
man die Kreiskoncboide, die Roberval (1602—1675) .Jimaijon 
de Pascal" nannte. Ist die Leitlinie eine Ellipse, Parabel 
oder Hyperbel, so entstehen elliptische, paraboliache und hyper- 
botiscbe Kontjioiden. Da Nikomedes auch einen Apparat er- 
fand, die Konchoide in einem Zuge zu konstruieren, so ist sie 
Sturm, Resehicht« der Uatbenwfjk. 3 



34 Altertimi. 

nach dem Kreis imd der Geraden die ältest« Linie, von deren 
meclianischer Konstralttioii wir unterrichtet aind. 

Die Gleichung derCissoide iat (i' + y') x — ay*^o; sie 
ist noch heute ein beliebtes Beispiel der Anwendong d^ 
Differential- und Integralrechnung auf Geometrie. 

Ein dritter derselbeo Zeit angehöriger Oeometar ist 
PerseaB, der Erfinder der spiriechen Linien. Eine 
Spire (Wulst) ist ein ringförmiger Rotationskörper, der 
dadurch entsteht, daQ ein Kreis vom Badius r um eine 
in seiner Ebene liegende Achse rotiert. Man hat dra 
Falle, je nachdem der Abstand der Achse vom Mittel- 
punkt e=r. Durch Sohnitte parallel zur Achse erhalt 
man die spirischen Linien. 

Die schleifen fSrm ige Spire hieÜ Hippopede (Pferdefessel) 
und vrarde schon von EndoKus behandelt. Xenophon be- 
schreibt sie als di^enige Art des Iianfes, die bdde Seiten 
des Pferdes gleichmäßig ausbilde (Achterreiten). Sie ist 
wahrscheinlich identisch mit unserer Lemniskate. 

Ein Mathematiker von hervorragender Bedeutung 
war Heron von Aleiandrien (wahrscheinlich um 100 
V. Chr.), der Tertreter der praktischen technischen Geo- 
metrie. Die zahlreichen unter seinem Namen erhaltenen 
geometrischen Abhandlungen verBchiedenartigen Inhalte 
bildeten ■wahrscheinlich urspriinglich die Teile eines 
groOen geodätischen Werkes, dessen Zweck war, die 
n-.is altagyptischer Tradition stammenden mtmgelhsften 
Vorschriften zu verdrängen und durch genauere, aber 
noch immer für das praktische Kechnen bequeme Begeln 
zu ersetzen. Dieses große Werk zerfiel dann vermute 
lidi unter den Händen der Abschreiber imd Abkürzer 
in einzelne Abhandlungen, Geometrie, GeodSsie, Stereo- 
metrie, Ausmessimgen , Buch des Landbaues, über die 
Dioptra {ein feldmesserisches Instrument, der Keim 



Griechen. 35 

uttseres Theodoliten). In der letzteren Schnft finden 
wir die mit hoher Eleganz gegebene Ableitung der 
Heronsctien Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche 
aus den drei Seiten. 

Da sich Heron niemale mit der theoretischen Enl- 
'wicklung begnügt, sondern stets von der 'wissenschaft- 
lidien Grundlage zur praktischen Än'w^enduiig fort- 
sdireitet, so darf es nicht wundernehmen, daß er 
auch der Tertröer einer entwickelten Bechenkunst bis 
zur Atisziebung von Quadratwurzeln, der "Vertreter einer 
eigentHcheii Algebra bis zur Auflösung der unreinen 
quadratischen Oleichungen ist, soweit von einer solchen 
ohae Anwendung symbolischer Zeichen die Rede sein 
kann. Es ist fOr seinen Standpunkt kennzeichnend, dafi 
et gelegentlich Eredsfläche, Peripherie und Durdunesser, 
also eine FISche und zwei Längen zu einer Summe 
verein^ Das ist nur denkbar, wenn er dabei auf 
ganz algebnüschem Boden stand. Von Heron steht es 
audi fest, daB er die Gleichung &x^ ~\-hs = cals Rechen- 
aufgabe betrachtete, wenn man schon diese Kenntnis 
Eluklid und Archimedes nicht zugestehen sollte. Er setzte 

lax-f-^l =ac+l — 1 , woraus 



-+(D'-I 



t wurde, naclidem man schon im Anfange a, b, o 
ganzzahlig dargestellt hatte. 

Seit dem Alexanderzuge waren die Griechen näher 
mit der chaldäiscrhen Astronomie bekannt geworden. 
Die Teilung des Kreises in 360* treffen wir zuerst bei 
Hypsikles (etwa 180 v. Chr.) und von mm an kam 



36 Altertum. 

ia der aphärischen Geometrie und TrigoDometrie aus- 
BohlieBlich das Sexagesimalsystem zur Anwendtuig. 
Als dea eigentlichen Erfinder der Schnenrechnung und 
der Bphfliiachen Trigonometrie haben wir Hipparch 
zu nennen, der zwischen 161 und 146 v. Chr. astro- 
nomische Beobachtungen anstellte. Die Eiigelgeometrie 
bereicherte er durch die stereographische Projektion, 
indem er die Himmelskugel von einem Pol aus auf ihre 
Äquatorebene abbildete. 

Der Begründer der Qoniometrie ist Heron, der 

— cot^ -für n= 1, 2, 3, 12 numerisch berechnete, 

i n 

Um die Mitte des 1. Jahrhunderts v. Chr. verfaßte 
Theodosiue ein Lehrbuch der Sphärik in engem An- 
schlüsse an Autolykus und Euklid. Weit bedeutender 
ist das gleichnamige "Werk des Menelaus von Älexan- 
drien (um 98 n. Chr.), eine Art spliärischer Trigono- 
metrie. Hier finden wir den Satz für das sphärische 
Dreieck: a + b + c<4E, a + /S+y>2R, femer die 
Kongmenzsätze für sphärische und ebene Dreiecke und 
die Sätze über Transversaler im Dreiecke, die man jetzt 
als „Sätze des Menelaus" zu bezeichnen pflegt (Satz 
von den 6 Größen, regula sex quantitatum.) Seine sechs 
Bücher der Sehnenbereohnung sind zwar verloren ge- 
gangen, hatten aber großen Einfluß auf Klaudius Ptole- 
mäus (um 140 n. Chr.), der das vollendete, was 
Hippareh und Menelaus begonnen hatten. Er schuf für 
den astronomischen Gebrauch eine Trigonometrie von 
so vollendeter Form, daß sie weit Ober ein Jahrtausend 
nicht überboten wurde. Sie findet sich vereinigt mit 
seinem astronomischen Lehrgebäude in den 13 Büchern 
der „Großen Zusammenstellung (jueydXi] oiVioffs)", die 
gewöhnlich Älmagest genannt wird. 



Griechen. 37 

Im 9. Kapitel des 1. BucheB finden vir die 
griecliiijohe Goniometrie. Ptotemäuß teilt den Dureh- 
messer des Kreises in 120 gleiche Teile und setzt dann 
die Teilung sexagesimal fort. 

Die erate Unterabteilung hieß in den lateinischen Üler- 
setzungen partes miuntae primae, die zweite partes minatae 
secnndae. So entstanden die Bezeichnungen „Minuten" und 
„Sekunden". 

Er gibt nun in der Sehnenfafel für alle Winkel von 
i/j* zu ^/j* bis 90* die zugehörigen Seimen in Teilen 
des DurciinieBaers an, indem er zuerst höchst sinnreich 
und elegant die Sehne von '/g® berechnet, dann die 
leicht zu findenden Sehnen von 120", 90", 720, 60», 
30" und schließlich mittels des nach ihm benannten 
ptolemäischen Lehrsatzes die übrigen Sehnen, Die 
ebene Trigonometrie findet übrigens keine systematische 
Behandlung, sondern nur insoweit sie in den Sehnen- 
tafeln und den damit zusammenhängenden Sätzen ein 
Hilfsmittel zu den in der Sphärik nötigen Berechnungen 
liefert. Dagegen enthält das 11. Kapitel des 1. Buches 
eine vollständige Trigonometrie des rechtwinkligen 
Kugeldreiecks, für das mit Hilfe des Transversaleusatzes 
von Menelaus folgende Q-leichungen hergeleitet werden; 
cos c ^= cos a • cos b, sin a = sin « ■ sin c, cos a sin b sin « 
= eos« sina, cosb sine cos« = Binb coac Bemerkens- 
wert ist, dafi Ftolemäus fOr n eine bessere Annäherung 
kennt, als Ärchiraedes, nämheh jr = 3'8'30, d. h. 
" - 3 A tMt - 3lVir - 3.1" 666 . . . 

Anknüpfend an alte Traditionen entwickelte um 
diese Zeit die Schule der Neupythagoreer eine 
rege arithmetisch-algebraische Tätigkeit. Besonders er^ 
wähnenswert ist des Nikomaohus von Oerasa (um 
100 n. Chr.) „Einleitimg in die Arithmetik". Er bildet. 



kann man sagen, in diesem Werks besonders die arith- 
metische Seite des Euklid aus und hat daher mit einem 
gewissen Rechte den Namen des „Elementenschreibers 
der Arithmetik" eriialten. Er behandelt mehr die Zahlen 
für sich, ohne geometrisdieYorsttillung; namentlich gibt 
er auch eine geschickte und vollständige Theorie der 
Polygonalzahlen, deren allgemeine Definition übrigens 
schon Hypsikles kannte. 

Derselben Schule gehörte Theon von Smyma (nm 
130 n. Chr.) an, der in seinem mathematischen Werke 
das lehren wollte, was zum Studinm Piatos notwendig 
war. Ton besonderem Literesse sind hier die ins Ge- 
biet der unbestimmten Analytik gehörigen Bekursions- 
formeln för die Seiten- irndDiametralzahlendJ^ 2^^!, 
die zur Annahme nßtigrai, die Griechen seien der Sache 
nach mit der Elettenbruchentwicklung von y2 bekannt 



Ihren Höhepunkt erreichte die griechische Arith- 
metik und Algebra mit Diophantns von Alexandrien 
(zwischen 250 und 380 n. Chr.), dessen Hauptwerk den 
Titel „Arithmetisches p^ßiö/wjuxd)" führt. Mao kann 
in der Entwicklimg der Algebra drei Stufen unter- 
scheiden, die rhetorische, die synkopierte und die sym- 
bohsche. Auf dei ersten Stufe werdeu alle Eechnungen 
doFch "Worte ohne Benützung von Zeichen dargestellt. 
Dagegen bedient sich die zweite Stufe schon ab- 
kürzender Bezeichnungen für häufig gebrauchte Aus- 
drücke, ohne sie jedoch dem Satzbau zu entziehen. 
Der bedeutendste und in der älteren Literatur einzige 
Vertreter dieser Stufe ist Diophant Er hat Abkürzungen 
für die Potenzen der Unbekannten bis zur sechsten, für 
die Subtraktion, die Gleichheit usw. 

Die von Diophant behandelten Aufgaben sind teils 



Griechen. 39 

beetimmte, teils unbestimmte. Eretere betreffen Olej- 
chungeD des ersten und zweiten Grades und einen 
Spezialfall einer kubischen Oleiohuiig. Diopluint teilt 
^ber die dleichungea nicht nach ihrem Örade ein, 
sondern nach der Anzahl der Glieder. Durch äufleret 
geschickte Kunstgriffe velß er meistens mit einer Un- 
bekannten auszukommen. 

Was die unbestimmte Analytik betrifft, so finden 
wir zwar schon bei den Fjthagoreem, bei Archimedee, 
Heron, Theon von Smyraa vereinzelte Beispiele, aber 
Diophant Qberragt sie weit durch seine Keisterschaft 
und rein algebraisdie Behandlung. Dabei darf man 
jedoch durchaus keine allgemeinen Methoden ei-warten, 
sondern jeder Einzelfall wird für sich behandelt, frei- 
lich ganz virtuos und entsprechend der Aufgabe. Es 
werden auch nicht etwa ganzzahlige Lösungen verlangt, 
sondern wie bei den bestimmten Gleichungen sind nm- 
negative und irrationale Wurzeln, die ja dem Griechen 
kdne Zahlen sind, ausgeschlossen. 

Bei den verschiedeneu künstlichen Wendungen, die 
zur Auflösung der Gleichungen zu machen sind, ergeben 
sich manche schöne Sätze der Zahlentheorie, die dann 
später auf die großen Zahlentheoretiker des 17. Jahr- 
hunderts von entscheidendem Einflüsse waren; z. B. 
daß man {a» + b«) (c* + d«) auf zwei Arten als Summe 
zweier Quadrate darstellen kann; daß jedes Quadrat auf 
beliebig viele Arißa als Summe zweier Quadrate auf- 
gefaßt werden kann. Eein zahlentheoretiscli war eine 
andere Schrift Diophants, Porismen, die aber grCßten- 
feils verloren ist. Eine kurze Theorie der Polygonal- 
zahlen ist mehr im euklidischen Sinn gehalten. Die 
auf Diophant noch folgenden Arithmetiker, meist Neu- 
platoniker, sind von geringer Bedeutung. 



40 Altertam. 

Wir schließen die Übersicht Ober die griechische 
Matiieraatik mit der rühmeDd^i Hervorhebung eines 
Sammelwerkes, das wegen seines reichen Inhaltes und 
der Sorgfalt seiner Angabea eine unschätzbare Quelle 
fOr die Oeeohichte der griechischen Mathematik bildet, 
der Sammlung {owaytayt]) des Pappus von Alexandiien 
(wahrscheinlich um 300 n. Chr.), dessen arithmetischer 
Teil leider größtenteils verloren ist 

Der Yerfasser schildert den Inhalt raathematiseher 
Schriften, die zu seiner Zeit in Ansehen standen, nicht 
ohne eigene bedeutsame Zusätze, die seine Meisterschaft 
in solchen Untersuchungen bekunden, die wir heute als 
neuere Geometrie bezeichnen. Wir finden hier den 
Fundamental Satz der Iiehre vom Doppeiverhältnisse, den 
Begriff des vollständigen Vierecks und Viei-seits, die 
Lehre von der Involution von Punkten, von der Krds- 
berühning und Ähnlichkeit bei Kreisen (alle Ter- 
bindungslinien der Endpunkte direkt oder invera 
paralleler Radien zweier Kreise schneiden eich je in 
einem festen Funkte der Zentral linie). Auch die so- 
genannte „Aufgabe des Pappus", die Descartes den 
ersten Anlaß zu seinen geometrischen Überlegimgen gab, 
ist hier enthalten; "Wenn mehrere Gerade einer Ebene 
gegeben sind, den Ort eines solchen Punktes zufinden, daß, 
wenn man von ihm Perpendikel oder allgemein Gerade 
unter gegebenen Winkeln nach den gegebenen Geraden 
zieht, daa Produtt gewisser unter ihnen zu dem Pro- 
dukt aller übrigen in einem konstanten VeriiSJtiiisse 

stehe: für drei Gerade — ^ = k, für vier — ^--k, 
e e,e a Cj ' ege« 

ftlr fünf — -'—i, usw. "Von den Griechen rührt die 

aejCj 

Lösung der ei-sten zwei Fälle her, die Kegelschnitt© 



Römer. 41 

liefern. Pappus ersaim neue Kurven doppelter Erflm- 
mung auf der Kugel und eine Serie neuer Erzeu^ngcn 
der Quadratrix. SchlieBlich sei noch erwähnt, daß der 
seit dem 17. Jahrhunderte als Guldinache Regel be- 
nannte Satz schon bei Pappus auftritt, dafi das Volumen 
eines Umdrohungskörpera gleich ist dem Produitö aus 
der von der Ueridiankurve umscMosaenen Pläche und 
dem Wege, den der Schwerpunkt dieser Flache während 
der Umdrehung durchläuft 

3. Bömer: 

Die Mathematik der ßOmer hatte einen durchaus 
praktischen Charakter nicht bloß in der alten Zeit, 
sondern auch dann, als sie die griechische Wissenschaft 
kennen lernten und allenthalben griechische Bildung 
aufnahmen. 

Treffend charakterisiert Cicero die Stellung^ der Rfimer 
g^geoUber der griechischen Mathematik: „In snmmo apud 
Gtraecos honore g«ometria foit; itaque nihil mathematicis 
illoatriilB: at dos ratiocinondi metiendigue ntilitate hnina artis 
terminavirnos modanj." 

Sie besaßen daher keine selbständigen mathe- 
matiachen Leistungen, im Gegenteile haben aie nicht 
selten griechiachea Wissen unverstanden und entstellt 
Oberliefert Gleichwohl waren sie zunächst die einzigen 
Lehrmdster des Abendlandes, und jahrhundertelang 
herrschten Regeln und Methoden, die aus römischen 
Quellen atammten. 

Außer dem Rechnen an den Fingern und auf dem 
Äbakus wurde auch das Eopirechnen in den Scdiulen 
geflbt, besonders Bruchrechnen, das aich insofern sehr 
mOhaelig gestaltete, als nur Zwölftel (Teile des As oder 
der Uneia) in Gebrauch waren, andere Brüche also 



42 Allertium. 

nur annäherungsweise ausgedruckt werden tonnton. 
Zur Erleichterung benutzte man Tabellen (caiculi). Ziem- 
lich komplizierte Aufgaben über Fragen des Erbrechtes, 
des Privatbesitzes und d^ ZiusenentechSdiguag be- 
schäftigten die ifimischen Bechner. 

Aufgabe der praktischen Geometrie war es, Bauten 
zu orientieren, Lager abzustecken, Stadtpläne zu ent- 
werfen. Unter Augustus wurde eine Vermessung des 
Reiches vorgenommen, deren Oberleitung dem Vip- 
saniuB Agrippa zufiel, während Balbus mit der 
Defailaueführung betraut wurde. Unter demselben 
Eaiser verfaßte Varro seine Encyklopädie, ia der auch 
Mathematisches vorkommt, und Vitruvius Pollio sein 
berühmtes Lehrbuch der Baukunst. Etwas spätei' 
schrieb Columella über den Landbau; er war in dei- 
Feldmessung Schüler Herons von Alexandrien. Aus 
der gleichen Quelle schöpften auch die Agrimensoren 
oder Gromatiker (so genannt nach der groma, einem 
feldmesserisehen Instrumente), die auch einiges theore- 
tisches Wissen zeigen: Frontinus, Hyginus, Balbus, 
Nipsus, Epaphroditus, Vitruvius Rufas. In rein 
.mathematischer Hinsicht ist hervorzuheben, das Epa- 
phroditus die independente Formel für die Polygonal- 
und Pyramidalzahlen kennt. In der späteren Kaiser- 
zeit ülDeraetzte Appulejus den Nikomachus, Mathe- 
matisches finden wir auch im Somnium Scipionis des 
Makrobins und in dem allegorischen Wissenschafts- 
roman (satira) des Marcianus Capella (5. Jahrb.). 

Aus der Zeit der Gotenherrschaft sind zwei Sdirift- 
steller zu nennen, deren Werke im Mittelalter großes 
Ansehen genossen, Boethius (480 — 524} und Cassio- 
dorius (475 — 570), Boethius schrieb eine „In- 
stitutio arithmetica", die im wesentlichen eine Über- 



Inder. 43 

Setzung der Arithmetik des Kikomachiis ist, eine ,Jd- 
stitutio musica" (Intervallenlehre) ebeofkUs nach 
griechischen QueUen. Von den zwei Büchern „Gteo- 
mefrie", die ihm zugeschrieben werden, enthält das 
erste einen Auszug a);s Eukiid, der aufler den Defini- 
tionen, Forderungen und Axiomen die Lelirsätze der 
ersten drei Bücher der Memente, aber ohne Beweise 
enthalt Das zweite Buch lehrt die Berechnung der 
einfachsten ebenen Figuren an Zahlenbeispielen. Oassio- 
dorius behandelte unter dem Titel ,^ artibus et di- 
Bciplinis liberalium literanmi" in encyklopädischer Form 
die sieben fireien Künste. 

Der Begriff der freien Kttnate {meiet«ns sieben) wurde 
schon von den Griechen ausgebildet und ging toü ihnen zu 
den Hämem und von dteseu in die Literatur des Mittelalters 
über. Boethina bedient sich zuerst der Bezeichnung 
Qnadruvinm für Arithmetik, Mneik, Geometrie und Astro- 
nomie, dem sich dann bald das Trivinm (Grammatik, Rhetorik, 
Dialektik) anscbloG. 

i, Inder. 

Hand in Hand mit einer von alters her sich be- 
kundenden phantastischen Vorliebe für große Zahlen 
und einer allgemein verbreiteten Fertigkeit in der 
Stellui^ und Lösung geistreicher Probleme, die nicht 
selten in dichterischer Einkiddung auftraten, entwickelte 
sich bei den Indem eine klare Einsicht in das Wesen 
des Zahlensystems, die sie befähigte, jene wisseusdiaft- 
lich und kulturhistorisch so bedeutungsvolle Eriindung 
zu machen, die wir als Positionssystem bezeichnen. 

Es ist naheliegend, dalt sich die schriftliche Zahlen- 
beseichnnug an die sprachliche anscblofi, nnd so fmden wir 
denn bei vielen Völkern, z. B. bei den Bömem und Griechen 
(der filteren Zeit)', Zeichen für die einzelnen Stnfenzablen (I, X, 



44 Altertum. 

C, M), die zur Daratellnng- ihrer Vielfachen entsprechend oft 
wiederholt werden mußten; z. B. 243=COXXXXIU. 

Die Schwerfälligkeit dieser Zablenschreihung bewog die 
Griechen, zn dem zwar systemlosen, aber praktisch vorteilhaften 
Mittel zu greifen, als ZaJilzeichen die Buchstaben des Alphabete 
{und drei Episemen) za verwenden — 27 Zeichen, womit sie 
die Einer, Zebuer und Hunderter darstellten. Zur Bezeichnung 
der Tausender Tersahen aic die Buchstaben mit. einem Striche 
und konnten so alle Zahlen bis 999999 schreiben. 

Vollkommenere Systeme besaßen zweierlei Zahlieicben, 
für die Stufenzahlen und für die Einenahlen. Dabei haben 
nach dem multiplikatoriachen Prinzip die Einerzahlen die Bolle 
von Koeffizienten (243 wird schematisch geschrieben "204X31), 
im elevatorischen Prinzip aber dienen die Stufenzahlzeichen 
nur mehr als Stellenzeiger {243 = 243). 

Es ist bei einer derartigen Zahlenschreibung naheliegend, 
die Zeichen fUr die Stufenzablen ganz wegzulaasen, womit 
der Ubei^ang zum Position3a;rstein vollzogen erscheint. In 
der Tat finden wir, wie erwähnt, schon auf alten babylonischen 
Tontäfelchen eine solche Benutzung des Stellenwertes. Aber 
die allgemeine Durchführung dieser Abkürzung scheit«rt« 
daran, daß man Zahlen, wie 2G3, nicht zu bezeichnen wußte. 
Erst mit dem Gedanken, das Fehlen von Einheiten einer Stufe 
durch ein Zeichen (die Null) ersichtlich zu machen, war das 
Positionssystem erfunden. Dieses System, eine Frucht der 
lebhaften Phantasie und klaren mathematischen Einsicht, welche 
die Inder vereinigten, gebärt zu den wichtigsten Erfindungen. 
In wissenschaftlicher Hinsicht ist es ein Beispiel . — wohl das 
einzige — eines absolut vollkommenen Systems, das der 
Menschengeiat eraonnen hat, und was die praktische Bedeutung 
' betrifft, so genügt der Hinweis, daß es gestattet, mit denselben 
zehn Zeichen 0, 1 , 2, ... 9 jede Zahl, sei sie noch so groß, 
zu bezeichnen, — daher ea auch Gemeingut des Volksunter- 
richtes aller gebildeten Völker geworden ist. 

Gesichert Ist das Vorkommen der Null etwa seit 400 n. Chr. 
Die indische Bezeichnung derselben sunya (das Leere) wurde 
von den Arabern as-sifr Übersetzt. Daraus entatand unser 
Wort „Ziffer". 

Eigentlich mathematiache Schriftsteller gab ee bei 
den Indem nicht, dagegen finden wir in den astro- 



Inder. 45 

nomischeD und astrologischen 'Werken mathematische 
Kapitel eingestreut. Die drei bedeutendsten Schriftsteller 
dieser Qattui^ sind: Aryabhatta {geb, 476 n. Chr.), 
Brahmagupta (geb. 598 n. Chr.), Bhaakara Acarya 
(geb. 1114 n. Chr.). Die ■wissenschaftliche Mathematik 
der Inder stammt zum großen Teile aus griechischer 
Quelle und wurde konform dem nationalen Gteniua ge- 
staltet, übersteigt aber im allgemeinen nicht den von 
den Qriechen erreichten Standpunkt, ausgenommen in 
der Arithmetik und Algebra, denn hier trafen griechische 
Wissenschaft und die den Indem eigentOmliche Ver- 
anlagung glücklich zusammen. 

Bei den erwähnten Schriftstellern und bei dem 
Griechen Maximus Planudes (14. Jahrh.) finden wir 
die vorzüglichen Methoden indischer Rechenkunst, 
die zunächst durch Vermittlung der Araber ins Abend- 
land gelangten. ünt«r den Multiplikation smethoden 
heben wir die „bhtzbildende" (heute Fourierache) hervor. 
Dieses Verfahren kann /Dan allgemein eo darstellen: 
(ao -f 10 ai -I- 100 a, + . . .) (bo + 10 bj -J- 100 b, -I- . . .) 
= aobo-|- 10(a(,bi -l-aibo)-|- 100(aob5-|-aibi-|-ajbo)-|-... 
Nach dem hier auftretenden Gesetze verschaffte man 
sich jode Rangziffer sogleich vollständig genau. Bereits 
bei Aryabhatta finden wir die heute noch gebräuch- 
lichen ßegehi für das Ausziehen der Quadrat- und 
Kubikwurzel. In den indischen aritiimetischen Büchern 
(besonders in Bhaekaras Lilavati) erkennen wir alle 
auch in unseren Bechenbüchem wiederkehrenden An- 
wendungen der einfachen und zusammengesetzten Regel- 
detri, der Gesellschafts- und Hischungsrechnung, der 
Zinsen- und Zinseszinsenrechnung, usw. Hervorheben 
müssen wir die anmutige, nicht selten poetische Eän- 
kleidung der Aufgaben. 



46 ÄJtertuin. 

Die Algebra, die hauptsächlich in Bhask&ras 
Vijaganita (Wurzekechniuig) enthalten ist, bezeichnet 
Zeuthen als ein mit Beweisen verbundenes Rechnen. 
Aber die Beweise sind nicht mit griechischer Strenge 
geführt, sondern die Richtigkeit der Lösung bestätigt 
die Richtigkeit der Rechnung. Biophant hatte sich 
zwar Ton der geometrischen Darstellung frei gemacht, 
aber gleichwohl beschränkte er seine Losungen auf 
rationale Zahlen. Solche Bedenken lagen den Indem 
ferne und sie konnten daher, allerdings auf Kosten 
der strengen Logik, das Oehiet ihrer Berechnungen 
viel weiter ausdehnen. Anch in bezug auf die negativen 
Zahlen bewiesen sie geringere Vorsidit als die Griechen. 
Sie nahmen die Resultate so, wie sie sich eben aus 
der Praxis des Rechnens ergaben. So erkannten sie 
auch die Doppeldeutigkeit der Quadratwurzel und legten 
daher einer quadratischen Gleichung zwei Wiu-zeln bei, 
wobei einer negativen Wnrzel allenfalls der Sinn einer 
Schuld unterlegt wurde. Negative Zahlen an und für 
sich wurden allerdings im allgemeinen ,,Ton den Leuten 
nicht gebilligt". Gleich Diophant gebrauchten die Inder 
für die unbekannte und ihre Potenzen abgekürzte Be- 
zeichnungen. Während aber ersterer mit einer Unbe- 
kannten auszukommen sucht, unterschieden sie beliebig 
viele Unbekannte, und zwar durch eine beigelegte 
Farbe. Sie unterschieden sechs Gmndoperationen, indem 
sie das Potenzieren und Radizieren dazu zählten. Um- 
formungen irrationaler Ausdrücke, Rationalmachen des 
Nenners waren ihnen geläufig; sie erkannten auch die 
Unmöglichkeit der Quadiatwnizel ans edner negativen 
ZahL Der Grenzwert von a:0 wird von Bhä'skara 
richtig gedeutet: „Je mehr der Divisor vermindert wird, 
um so mehr wird der Quotient vei^rößert. Wird der 



DiVisor aufs ftußersfe vermindert, so Tergrößert sich 
der Quotient dxda äußerste. Aber solange noch ange- 
geben -werden kann, er sei so und so groß, ist er noch 
nidit aufs äußerste vergrößert;; denn man kann alsdann 
eine noch größere Zahl angeben. Der Quotient ist also 
Ton unbestimmbarer <}r5ße nnd wird mit Recht nnend- 
lich genannt" 

Die größten Fortschritte machten die Inder auf dem 
Gebiete der unbestimmten Analytik, wobei sie 
eich im Gegensätze zu Diopbant nicht mit rationalen 
Lesungen begnOgten, sondern ganzzahlige verlangten, 
Unbestimmte Gleichungen 2. Grades von der Form 
xy + ai + by = c formten sie um in (i -|- b) {y + a) 
= c -|- ab. Es brauchte dann nur c + ab in ein Pro- 
diikt ganzer Faktoren zerlegt zu werden. Den Höhe- 
punkt der Mathematik der Inder aber bezeichne die 
Lösung der Gleichung y*>-ai*-{-b. Durch ihre 
Bechenfertigkeit gelangten sie zu einer LösungsmeÜtode, 
deren B^ründung allerdings nnr in der Brauchbarkeit 
der erhaltenen Resultate lag. Sie wurde durch 
Lagrange wiedererfunden und bewiesen. Diese so- 
genannte „zyklische Methode" muß zwar nicht zum 
Ziele führen, aber sie kann bei geeigneter "Wahl der 
Hilfsgrößen ganzzahlige Werte geben. Man löst zu- 
nächst die Gleichung y' — ai' + l mit Hilfe der 
empirisch angenommenen Gleichung aÄ*-l-B = C*, 
ans der sieh andere Gleichungen aÄ2 + B„ — Oj ab- 
leiten lassen, die dann durch geschickte Kombinationen 
eine Lösung von ax* + 1 — y* ergeben. 

Schon von alters her besaßen die Inder nicht unbe- 
deutende geometrische Kenntnisse, so die auch den 
Ägyptern bekannte Seilspanuiing, d. h. die Absteckung 
rechter Winkel mit Hilfe eines Seiles, das durch Knoten 



48 Altertum, 

in die Abschnitte 3, 4, 5 (oder 15, 36, 39) geteüt ist; 
femer die VergrSBerung der Oberfläclie von Körpern 
unter Beibetialtung der Form; dann eine Zirkulatur 
des Quadrates, d. }l die Eoastmktion eines Ereises, d^ 
gleich ist enem gegebenen Quadrate us'w. Alles 
aber, was wir an tieferem geometrischen Wissen bei 
diesem Volke treffen, verdankt es den Griechen, Dabei 
lag jedoch den Indem die strenge Dialektik ihrer Lehrer 
ferne.* Sie begnügten aioh, zum Beweise die ent- 
sprechende Figur zu konstmieren und das Wörtchen 
„siehe" beizufügen. Charakteristisch ist auch die arith- 
metische Behandlung geometrischer Probleme. Für n 

gebrauchen sie die "Werte ■-■ : — ^ = 3,1416 und ylO. 

In der Trigonometrie bedienten sie sich nicht, wie 
Ptolemäua, der Sehnen-, sondern der Sinustafeln. 
Frei von der Abneigung der griechisdien Mathematiker 
gegen praktische und angenäherte Rechnungen führten 
sie an Stelle der Sehnen die Halbsehnen als Funktionen 
des halben Winkels ein und schufen so die Sinustrigono- 
metrie. Das ist die wesentlichste Fördening, welche 
der Trigonometrie durch die Inder zuteil wurde. Doch 
verwerteten auch sie ihre trigonometrischen Kenntnisse 
nicht für geometrische Zwecke zur Lösung von Dreiecks- 
aufgaben in der Ebene, sondern fflr astronomische 



der Behandlung unbestimmter Gleichungen 
machten die Chinesen, deren Mathematik im äbrigen 
durchaus indischen Ursprunges ist, einen bedeutenden 
Schritt ftber ihre Lehrmeister hinaus durch die soge- 
nannte „große Erweiterung", die sich am besten durch 
ein Beispiel charakterisieren läßt. Gesucht sei eine 
Zahl, die durch 3, 5, 7 dividiert beziehungsweise die 



Beste 2, 3, 2 liefert. Man suche k^, tg, kg so, ( 



6-7-k. , 1 7.3.1t. 
3 '^ + 3' 5 ' 


=,.+it^=„+i 


wml. 

Slan erhält z. B. k^ 


= 2, kj= 1, ka = 1 und 


5 ■ 7 . 2 = 70 
7-3-1 = 21 


70-2= 140 
21-3= 03 



• 1 = 15 15-2= 30 

eine Lösung der vorgelegten Aufgabe. 

Auch die .^n^^^'^'^i^S ^^ ^^^ Arabern seit dem 
Ende des 11. Jahrhunderts bekannten Binomialkoeffi- 
zienten in die Gestalt des arithmetischen Dreiecks 
treffen ■wir zuerst bei den Chinesen (1303). 



II. Mittelalter. 
1. Araber. 

Die reichen Schätze mathematiseher Kenntnisse, welche 
die Öriechen und Inder aufgespeichert hatten, fanden 
an den Arabern verständnisvolle und dankbare Erben. 
In raschem Siegeslaufe hatte dieses am Anfange des 
7. Jahrhunderte n. Chr. aus dem Dunkel des Nomaden- 
lebens hervortretende Volk die Länder durcheilt und 
hundert Jahre nach dem Tode des Prophetea herrschte 
der Islam vom Indus bis zmn Ebro. Diese ungeheure 
Ausdehnung ihres Gebietes bot den Arabern die (ie- 
legenheit, griechische und orientalische Kultur auf- 

Sturm, Gexchichte der MRtbematih. 4 



50 UitteMter. 

zunehmen, und sie unterzogen sich dieser Arbeit rasch 
imd erfolgreich, teils im persßnlichen Verkehre mit den 
Gelehrten der unterworfenen Nationen, teils durch eine 
rege OberBetzungstätigkeit, die sie seit der Mitte des 
8. Jahrhunderts auf Veranlassung kulturfreundlicher 
Ealifen entfalteten. Vor aUem bildet die Pflege der 
Mathematik einen allgemein anerkannten Ruhmestitel 
arabischer Wissenschaft Die geschiditliche Bedeutung 
der arabischen Mathematit ist nicht so sehr in selb- 
ständigen Forschungen und Fortsehritten zu suchen, als 
i-ielmehr in der heboTollen und verständigen Verarbeitung 
des ihnen zugänglichen Materials und darin, dafi sie 
indische Rechenkunst und griechische Wissenschaft dem 
Abendlande zugänghch machten zu einer Zeit, als eine 
direkte Benutzung der Quellen nicht möglich war. Ins- 
besondere ist es ein Hauptverdienst der Araber, das 
Prinzip der indischen Zifferschrift aus Indien geholt und 
über alle ihre Reiche, bis Spanien einschließlich, ver- 
breitet zu haben. 

Die Geschichte der arabisulieii >tatheTnatik beginnt 
in der Abassidenresidenz Bagdad {gegriindet 762), wo 
unter den Ealifen Almansur, Harun Arraschid und 
AlmamuD die griechische und indische Mathematik 
und Astronomie durch Übersetzungen und selbaländige 
Bearbeitimgen Eingang fanden. Der indische Sindhind 
(Surya-Siddhanta, ein Lelirbuch der Astronoaüe etwa aus 
dem 5. Jahrhundert n. Chr.), der Almagest des Ptole- 
mäue und E}uklidfi Elemente waren die ersten Schriften, 
die übersetzt wurden. Es folgten Übersetzungen aus 
Archimedes, Apollonius, Heron, Diophant n. a. Als 
tüchtige Übersetzer taten sidi Ishak ibn Hunein 
(t910). Tabit ibn Kurra (833—902), Kusta ibn 
Luka (864—923) und Abul Wafa(940— 998) hervor. 



Aiaber. 51 

Gleichzeitig begaim sich auch eine selbständige literarische 
Tätigkeit zh entfalten, an deren Spitze wir das bei'Ohmte 
Werk des Miihammed ihn Mnsa Alchwarizmi 
(um 820) „Älgebr w' ahniaiabala", ein Lehrbuch der 
Algebra, stcdlen. 

,AIgebr'' bedentetWiederheratellung, „almntabala" Gegen- 
überstellung, Beide bedeuten Umfonnungen einer Gleichung. 
Bildet mau a. B- aua x' + a = x' + bs + a, i' = s» + bx, 
so ist das almukabala. Auaas — b=:x'bildet manas'^x'-l-b 
dnrch algebr. Da nämlich abzuziehende Zahlen als ein Mangel 
angesehen worden, so war ihre Entfernung eine Wiederher- 
stellung. Ans algebr ist der Name Algebra zur Bezeichnung 
der Lehre von den Gleichungen entstanden. Das Wort 
Algaritmns, das zur Bezeichnung eines Kcchnungs Vorganges 
angewendet wird, ist aus Alchwarizmi gebildet. 

Uuhammed ihn Musa folgt griechischen und 
indischen Vorbildern, doch ist im a%emeinen der 
griechische Einfluß überwiegend. Der schon bei Diophanf 
hervortretende Einteilnngsgrnnd der Gleichungen nach 
der Anzahl der Glieder, nicht nach dem Grade, ist hier 
vollständig durchgefilhrt, indem für die Gleichungen 
ersten und zweiten Grades folgende sechs Formen auf- 
treten; X* = ax (ein Quadrat ist gleich Wurzeln), x* = a 
(ein Quadrat ist gleich einer Zahl), ax = b, x* -J- »x — b, 
x* + a — bx, ax-|-b = x*. 

Die Lösung der Gleichungen zweiten Grades ge- 
schieht auf geometrischem Wege, zum Teil auch durch 
andere Figuren als bei Euklid; z. B. x^-f 2x='15 ent- 
weder durch eine vollkommen symmetrische Figur (Fig. 2{ 
oder wie bei Euklid mit Hilfe des Gnomon (Fig. 3). 
Für AB = s, BC = |, BD=1 ist im ersten Falle 
X* + 4 . -J- X -I- (^)* ™ 15 4- 1 , (3E + 1)* = 1 6 ; im zweiten 
x*-|-2>i-x-|-l*=»15-l-l. Alchwarizmi erkannte audi, 
daß die Gleichung x*-|-a* = bx zwei -Wurzeln hat 
4* 



Ein ■wesentlicher unterschied von der griechischen 
Algebra liegt darin, daß er Zahlenbeispiele zu seinen 











A 

B 














F^a. Fig. 8. 

theoretischen geometrischen Lösungen hinzufügt, waa 
bei Euklid nie, bei Heron selten vorkommt, während 
hinwieder bei Diophant die allgemeine Lösung fehlt 
Aus diesem Grunde haben spätere Schriftsteller oft in 
diesem Buche gesucht, was sie auch bei EuMid schon 
hätten finden können. 

Eine wirkliche Verschmelzung der griechischen und 
indischen Behandlung der Arithmetik trat bei den 
Arabern nicht so rasch ein. Im Gegenteile finden wir 
um das Jahr 1000 n. Chr. zwei Schulen, die, wahr- 
scheinlich auch in religiösen Fragen sich befehdend, in 
der Mathematik einen gegensätzliclien Standpxmkt ein- 
nahmen. Alnasawi erweist sich vollständig vertraut 
mit indischer Eechenkunst, während Alkarchi nicht 
bloß auf dem streng wissenschaftlichen Standpunkte des 
Euklid steht, sondern auch prinzipiell die Benutzung 
der Ziffern seibat bei weitläufigen Berechnungen aus- 
schließt. Auch in seinem algebraischen Werke Alfakhri 
fußt letzterer auf griechischer Grundlage, indem er 
DiQphanta zahlreiche Untersuchungen und Beispiele 



Araber. 53 

wiedei^bt, zugleich aber ftber sein Vorbild hinaus in mehr- 
facher BidituDg fortschreitet. Er erweitert die Zeichen- 
sprache, benutzt gelegentlich auch Zeichen för zwei Un- 
bekannte und behandelt neue Arten von unbestimmten 
Gleichungen; z.B.y^ = x' + ax^,z* = x' + bx*; er setzt 
y = mx, ZB=nx, woraus folgt x' = m' — a =n* — b, 
wobei m^ und n* 'willkürliche Quadratzahlen mit der Diffe- 
renz a — b sind. Übrigens ist nicht zu verkennen, daß 
sich auch Alkarchi auf dem Gebiete des Irrationalen mit 
größerer Freiheit bewegt als die Griechen und irrationale 
Wurzelgrößen als Zahlen auffaßt, ohne natürhdi allgemein 
gültige Begründungen ftir das Rechnen zu liefern. Daß sich 
(lieÄraberdessen bewußt waren, sehen wir bei Alchaijami - 
(+ 1123), der zwischen arithmetischer und geometrischer 
Auflösung der Gleichungen unterscheidet Die erstere ver- 
langt er rational, ja sogar ganzzahlig, die letztere kann 
irrational sein und muß deshalb geometrisch dai^estellt 
werden und verlangt auch einen geometrischen Beweis. 
Während bei Älchwarizmi und den älteren Arabeni 
die Gleichungen noch im fortlaufenden Texte gesehrieben 
waren und alles in Worten dargestellt wurde, entwickelte 
sich in späterer Zeit eine ziemlich ausgepi%te Zeichen- 
sprache, besonders bei den Westarabem. Die von den 
Iiidem angewendete Methode des doppelten falschen 
Ansatzes zur Auflösung von Gleichimgen erhielt bei den 
Arabern besonders durch Ihn Albanna (geb. um 1252) 
eine weitere Ausbildung. Sie hieß die ' Methode der 
Wagschalen und ging in die lateinischen Übersetzungen 
als „i-egula falsi" über. Ist z. B. die Gleichung ax -f b = 
gegeben und sind z^ und z^ beliebige Zahlenwert« und 
setat man dann az,-|-b = yi, az2 + b = yj, so ist 

X = -^—L lll , Diese Methode ist dadurch von be- 

yi-ya 



54 Mittelalter. 

sonderer Bedeutung geworden, dsB sie in neuerer Zeit 
zu eioer NftherungsmeÜtode für Gleichungen hsberen 
Qrades (Interpolatdonsmethode) erweitert wurde. 

Gleichungen von höherem als dem 2. Grade wurden 
ganz in griechischer Welse gelöst mittels Kegelachnitfs- 
linien und anderer von den Alten zu diesem Zwecke 
erfundener Kurven. Auf diesem Gebiete tat sich Alkuhi 
(um 975) hervor; in systematischer Beziehung ging am 
weitesten Alchaijami, der die Gleichungen 3. Grades 
in Gruppen teilte, indem er die zweigliedrigen Formen 
einfache, die dreigUedrigen und Tiergliedrigen aber zu- 
sanunengQsetzte Gleichungen nannte. 

Auch bei Besprechung der Arithmetik Aer Araber 
haben wir ein Weck des Alchwarizmi an die Spitze 
zu stellen, das nur in lateinischer Übersetzung vor- 
handen ist und mit den Worten beginnt: ,rAlgoritmi 
dielt". Es tritt uns hier das indische Fositione- 
aystem entgegen, auch die Bechnungsmethoden weisen 
auf indische Vorbilder hin. Es werden sechs Operationen 
gelehrt Beim Addieren und Subtrahieren be^nt man 
links, beim Halbieren rechts, beim Verdoppeln wieder 
links. Beim Multiplizieren beginnt man mit der höchsten 
Ziffer des MultipUkands und schreibt die Teilprodukte 
darüber. Da jede Ziffer des Produktes, die durch Ein- 
heiten eines spätei'en Teilproduktes zu ändern ist, im 
Sande oder Staube verbessert wii-d, so steht zum Schlüsse 
das Produkt über dem Multiplikand. Beim Dividieren 
wird der Divisor unterhalb des Dividenden geschrieben 
imd rückt während der Operation nach recht». Quotient 
und Rest erscheinen über dem Divisor. 

Die Westaraber hatten im Wesen dieselben Methoden, 
dodi lehrt Ihn Älbanna (geb. um 1252) auch das 
Kolumnenrechnen, wobei die Kolumnen in Gruppen 



Araber. 55 

TM je dreien zusammengeht werden. Die bei den 
Westarabem gebräuchlichen Ziffern Bind infolge zeitlich 
yerschiedener Entlehnimg aus Indien von denen rer- 
Bchioden, die sich schon früher bei den Ostarabem ein- 
gebttif;ert hatten. Die im zehnten Jahrhunderte im 
Abendlande auftretenden Ziffern sind Yarianten der 
westarabischen. 

Auch auf dem Gebiete der allgemeinea Arith- 
metik folgen die Araber den Indem. Namentlich die 
Oslaraber beschäfligteo sich mit der Anffioduug rationaler 
rechtwinkliger Dreiecke (Alchodschandi um 970, 
Ibn Alhusain um 1000) imd mit der Aufgabe, ein 
Quadrat zu finden, das, um Gegebenes vergrößert oder 
verkleinert, -wieder ein Quadrat gibt Auf diesem W^e 
gelangten sie zu interessanten zahlen theoretischen Er- 
gebnissen besonders über quadratische Reste; auch be- 
weist Alchodschandi, daß im rationalen Zahteageblete 
die Summe zweier Kuben nicht wieder ein Kubus sein 
kann. Manche Sätze über kubische Beste verwendete 
er zur Begründung der Neuner-, Achter- und Siebener- 
probe. 

In der Geometrie -waren die Araber durchaus 
Schüler der Griechen, die nirgends, namentlich aucli 
nicht in der Lehre von den Kegelschnitten, über ihre 
Lehrmaater hinauskamen. Bei Alch-warizmi finden 
wir die Einteilungen nach Euklid, die Bechnungen nach 
Heron. Neben dem griechischen Werte ji = -2^ ver- 
virendeten die Araber auch die indischen -^^ft?- und "flÖ- 

Abul "Wafa schließt sich in seinem Buche „Über 
geometrische Konstruktionen" enge an Pappus an. Er 
sowohl als auch viele andere arabische Mathematikei- 
beschäftigten sieh mit der archimedischen Aufgabe der 
Kugelteilung, mit dei- Yerdoppelung des WOrfeU und 



56 Mittelalter. 

mit der Dreiteilung des Winiels. Die späteren (Jeometer 
zeigten sich besonders gewandt in der Zurüekfühnmg 
geometrischer Aufgaben auf Gleichungen, ohne jedoch 
theoretisch bedeutsame Resultate zu erzielen (z. B. Abul 
Dschud, um 1050). 

Abul Wafa führte zuerst Konstruktionen mit einer 
nnTeränderlichen Zirkeläffnung aus (vielleicht durch 
eine Bemerkung bei Fappns darauf aufmerksam gemacht). 
Von hier verbreiteten sich derartige Aufgaben zu den italie- 
nischen Mathematikern, die sie im 15. und 16. Jahrhundeite 
mit Vorliebe behandelten (Lionardo da Vinci, Tartaglia, 
Benedetti u. a.). In Deutschland finden wir die Geometrie 
mit einer Zirkelweit« in der .Geometria deutsch' (Ende 
des 15. Jahrhunderts) und besonders bei Albrecht Dürer. 

Die arabische Trigonometrie stammt aus griechi- 
schen und indischen Quellen, aber nicht ohne bedeutende 
eigene Leistungen. Älbattani (um 850 — 929), der größte 
arabische Astronom und Mathematiker, führte an Stelle der 
im Abnagest berechneten Sehnen des Winkels die indischen 
Halbsehnen des doppeltenWinkels (den Sinn s) ein, und zwai- 
in vollem Bewußtsein der Bedeutung dieses rortschrittes. 

Die Entstehung des Terminus „Sinus" ist wahrscheinlich 
folgende: Die Sehne heißt im Sanskrit jiva. Die Araber 
Übernahmen diese Bezeichnung als Fremdwort: dschiba. Oenan 
dieselben Konsonanten, welche arabisch dschiba zu lesen sind, 
lassen aber auch die Lesung dschaib zu (da die arabische 
Schrift keine Vokale bezeichnet). Letzteres ist nun ein wirk- 
liebes arabisches Wort, das von den lateinischen Übersetzern 
ganz richtig mit sinus wiedergegeben wurde. 

Auch ein audei'er Gegensatz zum Almagest tritt bei 
Älbattani noch schärfer als bei den Indem hervor. 
Die Lehrsätze haben das geometrische Gepräge durchaus 
verloren und den Charakter algebraischer Formeln an- 
genommen. So spielt in den Berechnungen der Quotient 

—. , unsere Kotangente, eine -wichtige Bolle. Älbattani 



Die Zeit der Äbacisten und Algoritmilier. 57 

kennt auch den zweiten Hauptsatz der sphariecheii 
Trigonometrie, freilich nicht in allgemeiner FommlieruQg. 
Abul Wafa erfand eiue neue Methode zur Be- 
rechnung Ton Sinustafeln, die den Sinus von -J- Grad 
mit einer Genauigkeit lieferte, die sich bis zur 9. Dezimal- 
stelle erstreckt. Ferner führte er die trigonometrische 
Funktion Tangente ein, indem er die Werte des Quotienten 

— von ihm „Schatten" genannt — berechnete 

cos« 

und in eine Tafel vereinigte. Gleichzeitig entstanden 
auch die Hakimitischen Sinustafelo, auf Ver^uilassung 
des ägyptischen Kalifen Alhakim von Ibn Yunus 
(960—1009) angefertigt. 

Unter den Westarabem bringt Dschabir ibn Äflah 
(gewöhnlich Geber genannt, um 1100) eine sphärische 
Trigonometrie mit strengen Beweisen. Sie entliält eine 
Reihe von Formeln über das rechtwinklige sphärische 
Dreieck, geht aber in der ebenen Trigonometrie nicht 
über den Älmagest hinaus, ja vermeidet sogar Sinns 
und Kosinus imd rechnet mit den ganzen Sehnen. 

Einen glänzenden Abschluß fand die arabische 
Trigonometrie durch den Perser Nasir Eddin Tusi 
(1201—1274), der in seiner Schrift „Über die Figur 
der Schneidenden" (d. h. über den Satz des Menelaus) 
eine ganz vollständige ebene und sphärische Trigonometrie 
darstellt, die beide hier zmn ersten Male als Teile der 
reinen Geometrie auftreten, d. h, nicht mehr als Ein- 
leitung in die Astronomie dienen. 



2. Die Zelt der Altaeisten und Alsoritmlker. 

Während den Arabern die Werke der griecbisehen 
Mathematiker zur Verffigung standen, besaßen die abend- 



58 Hittelalter. 

l&adisclien Völker zur Zeit der Merowinger und Earolinger 
blofi einige dürftige, von Römern angefertigte Auszüge 
aus Euklid und Heron, die an üm^g und Bedeutung 
weitaus nicht dem Schätze mathematischer Kenntnisse 
gleicbiamen, den die Griechen vpn dai Ägyptern über- 
kommen hatten. 

In den Kloster- nnd Domschulen wurde das 
Kopfrechnen geübt in Verbindung mit Finger- und 
Kolumnenrechnen. Eine bedeutende RoUe spielte 
dabei die Berechnung des Osterfestes (computus 
paächalis oder ecclesiasticus). Wir besitzen aus jener 
Zeit eine Sammlung von Eechenrätseln (propositionee 
ad acuendos sensns iuvenum), diean ähnliche Sammlungen 
in der griechischen Anthologie und in indischen Schriften 
erinnern und noch heute in den Aufgabenbüchem wieder- 
kehren. Sie stammen ans den Schulen Bedas (672 — 735) 
und Alkuins (736 — 804), die wir als die Hauptver- 
fret«r der sieben freien Künste in jener Zeit anzusehen 
haben. 

Demselben Kreise gehören an Erabanus Maurus 
(788— 856),WalafriedStrabo(810— 894),Eemigius 
von Auxerre (f Tun 908), Odo von Cluny (879 
bis 942), Abbo von Pleury (945—1003). In welcher 
Weise die Eechnungen ausgeführt *-urden, davon er- 
halten wir Kenntnis durch Gerbert (940 — 1003, seit 
999 Papst Silvester II.) und seinen Schüler Berneli- 
nuB {um 1020). Es ist das Rechnen auf dem Kolum- 
nenabakus unter Anwendung vco Marken, die mit den 
Ziffern (mit Ausschluß der Null) bezeichnet waren und 
Apices hießen. Charakteristisch ist die komplement&re 
Division, die neben der einfachen gelehrt wird. 

Der Divisor 16 z. B. hat bia 20 das Komplement 4, der 
Divisor 78 bis 80 das Komplement 2, der Divisor 623 bis 700 



Die Zeit der Afaaciaten imd Algoritmiker. 59 

das Komplement 77. Nun wird durch den Tergrößerten Divisor 
dividiert ncd zum Beste jedesmal wieder das Produkt aas 
dem Qnotienten und Komplemente addiert. Dieses Verfahren 
ist zwar sehr wnständlich, aber zuverlässig, da die Quotienten- 
ziffer niemals za groB angeeetzt werden kann. 

Durch den Einfluß Gerberts, der ein selbstdenkeudef 
Mathematiker war, fand die Schule der Abacisten ■weite 
Verbreitimg. Über den Abakus schrieben Guido von 
Arezzo (um 1028), Franko von LQttich (um 1040), 
Hermannua Contractus (1013 — 1054), Radulf von 
Laon (tll30), Gerland (um 1134). 

iUmälilich erwuchsen dieser Sdiule immer zahl- 
reichere Gegner in den Algoritmikern, die nach 
indischer Art unter Anwendung der Null redineten. 
Auf zwei Wegen, durch den direkten Verkehr (besonders 
der italienischen Kaufleute) mit den Arabern und dureli 
Übersetzungen aus dem Arabischen ina Lateinische, ge- 
langte seit dem Beginne des 12. Jahrhunderts griechische 
und indische Mathematik zu den abendländischen Völkern. 

Als hervorragende Algoritiniker und Übersetzer sind 
zu nennen Plato von Tivoli (um 1120), Ätelhart von 
Bath (um 1120), Johann von Sevilla (um 1140) 
und besonders Gerhard von Cremona (1114 — 1187). 
Durch die eifrige Tätigkeit dieser Männer war das 
Abendland am Ikide des 12. Jahrhunderts im Besitze 
lateinischer Übersetzungen des Euklid, des Almagest, 
der Schriften des Theodosius und Menelaus, der Astro- 
nomie des Albattani, der Arithmetik und Algebra des 
Alchwarizmi. Die indische Positionsarithmetik, die Auf- 
lösung der Gleichungen 1. und 2. Grades waren all- 
gemein zugänglich. Durch die wachsende Kenntnis und 
Wertschätzung der griechischen Mathematik begann 
unsere Wissenschaft sich neu zu entfalten. 



60 Mittelalter. 

3. Die Zeit des WiedererwacheDS der Vsthemaük 
ia Europa. 

An der Spitze der neuen Bpoche stehen zwei 
Meister ei-sten Ranges, deren Einfluß für Jaiige Zeit 
loaßgebeBd blieb: Leonardo von Pisa und Jordanua 
Nemorarins. Leonardo von Pisa (1180—1250), 
ancb Fibonacci (Filius Bonacii) genannt, lernte schon 
als Knabe in der pisanischen Handelsniederlassung 
Bi^ia in Nordafrika, später auf Elisen in Ägypten, 
Syrien, Griechenland, Siriüen die mathematischen 
Schriften der Inder, Pythagoreer, Eukhds u. a. kennen. 

Das Resultat seiner Forschungen war der „Liber 
Abaci" (1202), der das Wissen der Araber nach dem 
christhchen Äbendlande verpflanzte. Dieses Buch ist 
die Fundgrube geworden, aus der die sjäteren Rechen- 
meister und Algebraiker sdiöpften, und bildete dadurch 
die Grundlage der neuen "Wissenschaft. Es enthält die 
vier Spezies in ganzen und gebrochenen Zahlen, die 
elegante Subtraktionsmethode durch Zuzählen, die blitz- 
bildende Multiphkation der Inder, die Rechnung mit 
Brüchen in moderner Art auch bezüglich der äußeren 
Foira durch Einfühnmg des Bruchstriches, dann die 
Regeldetri, arithmetische Reihen erster und zweiter 
Ordnung, die Regel vom einfachen uod doppelten 
falschen Ansätze; femer spezielle unbestimmte Glei- 
chungen, Quadrate und Kubikwurzelausziehung nach indi- 
schem Muster, irrationale Größen, Algebra und Almiitala, 
zahlreiche geometrische Anwendungen, quadratische 
Gleichangen nach arabischer Behandlungsweise, auf- 
stei^nde Ketten brO che. Ijeonardos Darstellung in 
diesem Werke ist durchweg von Beweisen in geometri- 
scher Form begleitet 



Die Zeit des Wiederer Wachens der Uathematik inEoropo. gl 

Dasselbe ist auch der Fall in seiner „Practica geo- 
metriae" (1220), die, auf Euklid, Archimedes, Heroii 
und Ptolemäus basierend, metrologische, aritbinetisclie, 
planimetrische, trigonometrische und stereometrische Auf- 
gaben dureheiQaiider enthält, wobei besonders die Aus- 
züge aus den damals sehr wenig bekannten stereome- 
trischen BüclieTn Euklids herroriiuhebeii sind. Auch in 
diesem Werke bewegt sieh Leonardo mit großer Selb- 
ständigkeit, besonders in der Kreisrechnung, wo er 
jt=1440:458^(=3,1418..) bestimmt. Seine Beweise 
sind oft Yon den griechischen verschieden. 

Zwei andere Schriften, „Liber quadratorum" und 
„Flos", enthalten Zahlen theoretisches, Lösung spezieller 
unbestimipter und bestimmter Gleichungen und verfolgen 
den Zweck, die Methoden zu schildern, nach denen 
Leonardo die Aufgaben löste. Yon besonderem Interesse 
ist die Lösung der kubischen Gleichung x*-|-2x- 
4-10s = 20, fOr die Leonardo den außerordenthch 
genauen Näherungswert x= 1» 22* 7''42"'33''4''40'*"' 
angibt, leider ohne zu verraten, wie er ihu erhielt 

M. Cantor faßt sein Urteil über Leonardo folgender- 
maßen zusammen: „Er war ein gewandter Rechner, 
ein feiner Gteometer, ein geistreicher Algebraiker, ■wie 
es vor ihm nur vereinzelte gab; er wußte die Algebra 
auf geometrische Fragen anzuwenden, wie kaum Abul 
Dschud es verstand; er war endlich ein geradezu 
schöpferischer Zahlenfheoretiker." 

Leonardo stand in naher Beziehang zuca Hofe des Kaisers 
Friedrich II., der seiner wissenschafüicben T&tig'keit r^es 
Interesse entgegenbrachte. 

Jordauus Kemorarius (f 1236, ein Deutscher 
aus der Mainzer Diözese, wahrscheinlich identisch mit 
Jordanus Saxo, dem zweiten General des Dominikanov 



62 Mittelalter. 

Ordens) verfaßte eine „Arithmetik", in -welcher die bahn- 
bpechende Neuerung herFortritt, überall an Stelle will- 
kürlicher Zahlen Buchstaben zu setzen, allerdings so, 
daß sie mangels geeigneter Symlxile im Zusammenhange 
des Textes auftreten und nicht zu einer eigentüdien 



Eine andere wahrscheinlich von Jordanus verfaßt« 
Schrift gleichen Charakters ist der ,^goritnius demon- 
stratns". Der Traktat „De numeris datis'', ein System 
algebraischer Regeln, gibt neue Methoden zur Lösung 
algebraischer Öieichungen und Gleichungssyateme, Auch 
sein geometrisches Werk „Über Dreiecke", das auf der 
Grundlage der Elemente Euklids ruht, zeichnet sieh durch 
selbständige Bearbeitiuig des StoHes aus. 

Obwohl Leonardo und Jordanus aus arabischen 
Quellen geschöpft haben, finden wir doch bedeutende 
Verschiedenheiten, die späterhin für die Schüler beider 
charakteristisch sind. Jordanus führt Verdopplung und 
Halbierung als eigene Eechnungsarten an, Leonardo nicht; 
Leonardo lehrt die Neunerprobe, Jordanus nicht; Jordanus 
hat eine Art komplementärer MultipHkation , Leonardo 
nicht. Letzterer nennt das Quadrat census, Jordanus 
nur quadratuB. Aus all dem geht hervor, da£ Leonardo 
mehr der Schule des Alkarchi, Jordanus mehr der des 
Alnasawi folgt 

"Weiterhin überwog die Autorität des Jordanus weif> 
aus gegenüber Leonardo aus naheliegenden Gründen. 
Der Einfluß des italienischen Kaufmannes überschritt 
kaum die Grenzen seines Vaterlandes, Jordanus dagegen 
war Mitglied des an Universitäten und Schulen maß- 
gebenden Dominikanerordens imd Professor an der 1206 
gegründeten Dnivereität in Paris, die zur Zdt der 
Scholastik, eine führende Rolle besaß. Übrigens stehen 



Die Zeit des Wi«deret«achens der Hathematik in Europa. 63 

beide Mfinner im 13. Jahrliuiiderte auf einsamer HShc. 
Niemand vermochta sie zu erreichen, kaum einer zu 
verstehen. Dieselbe Bemerkung trifft auch noch für 
das 14. Jahrhundert zu. Gleichwohl ■weisen diese Zeiten 
doch manch ■wichtige Fortschritte und neue Ansätze auf, 
die zum Teile erst in viel späterer Zeit ziu- Entwick- 
lung gelffligten. 

Iq Paris verfaßte Johannes de Sacrobosco 
(f 1256) seinen weitverbreiteten Trattat über die Eedien- 
kunst, eine SaroinluDg von Regeln fOr das praktische 
Bechnen mit ganzen Zahlen ohne Beweise und Zahlen- 
beispiele, das Jahrhimderte hindurch als Grundlage für 
den Unterricht benutzt wurde. Er unterscheidet neun 
Becbnungsarten : Numeratio, Ädditio, Subtracüo, Mediatio. 
Duplatio, Multiplicatdo, Divisio, Progressio, Extractio. 
Unter Progressio ist aber nicht etwa die Lehre von den 
Progressionen im allgemeinen zu verstehen, sondern nur 
die Summienmg der natürlichen, der geraden und der 
ungeraden Zahlen. Extractio ist das Ausziehen der 
Quadrat- und Kubikwurzel. Einen vorzflglichen Eom- 
mentar zu diesem Lehrbuche mit trefflichen Beispielen 
verfaßte 1291 Petrus von Dacien. 

Die übersetzende und kommentierende Tätigkeit des 
12. Jahrhimderts ■wurde auch jetzt noch eifrig fortgesetzt 
Wir erwähnen Wilhelm von Moerbecke {f bald nach 
1281), Wilhelm von Lunis (13. Jahrhundert) und 
besonders Johannes Campanus (um 1270), die ihrer 
Zeit neuen Wissensstoff zuführten. Letzterer ist be- 
sonders berühmt durch seine Ausgabe der Elemente 
Euklids (ndt Einschluß des 14. und 15. Buches). 
Dieselbe enthält zwar nicht die erste Obei-setzung Euklids 
ips Lateinische — es existiratei solche sdion aus dem 
Griechischen imd Arabißchen — , aber sie erlangte den 



04 Mittelalter. 

giößten Einilufi auf die folgende Zoit durch die 
Bern erkuD gen und Zusätze des Verfassers. Wir er- 
wähnen den Satz über die Summe der Winkel im 
Stemfünfecke, über die Dreiteilung des Winkels (mittels 
der Konchoide), über die Irrationalität des goldenen 
Schnittes. Der Winkel zwischen Tangente und Kreis- 
bogen, den Campanus für kleiner als jeden geradlinigen 
Winkel erklärt, führt ihn zur Betrachtung stetiger Gröflen. 
Die Streitfragen über diesen Winkel (von Jordanus 
„Kon tingenz Winkel" genannt) beschäftigten die Mathe- 
matiker lange Zeit und bahnten der Infinitesimalrechnung 
die Wege. 

Der hervorragendste Vertreter der Mathematik in 
England zu dieser Zeit ist Thomas Bradwardinus 
(1290? — 1349). Er verfaßte eine Arithmetica speculativa 
und eine Geometria speculativa. In letzterer behandelt er 
die Lehre von den Stemvieleeken und isoperimetrischen 
Figuren, von den Proportionen und irrationalen Größen 
sowie mancherlei Stereometrisches. In der Schrift „über 
das Stetige" unterscheidet Bradwardin zwei Unendlich- 
keiten, die kathetische und die syn kathetische, erstere 
identisch mit unserem Überendhchen oder Trane- 
finiten, dem vom Anfang an das Merkmal der Begrenzt- 
heit fehlt, letztere übereinstimme ad mit unserem End- 
losen oder Infiniten, welches aus der endlichen Größe 
durch unbegrenztes Wachsen hervorgeht. 

In Frankreich ragt um die Mitte des 14. J^irhundertB 
als vorzüglicher Geometer Dominieus de Clavasio 
hervor („Practica geometriae" mit Beweisen, 1346), 
weitaus am bedeutendsten aber und als Mathematiker 
gleichen Ranges mit Bradwardinus ist M"ioole Oresme 
(imgeföhr 1330—1382). In den .Jjatitudines fonnarum" 
behandelt er die gi-aphische Darstellung veränderlicher 



Die Zeit desWiedererwachens der Mathem&tik in Eoropa. 65 

Naturerscheinungen, -wobei die eine Größe als Länge 
(Abszisse) aufgetragen wird, z. B. die Zeit, die andere 
als Breite (Ordinate), z. B. die Temperatur, Es nehmen 
also hier die Koordinaten den Charakter eines allgemeinen 
Hilfsmittels an, doch sind die „Latitudines" kebeswegs 
der analytischen Geometrie gleichzuachten, denn es fehlt 
noch die Verbindimg der analytischen Formel mit der 
geometrischen Form. 

Das bedeutendste Werk Oresmes ist der „Älgorismua 
proportionum", wo bereits Potenzen mit gebrochenem 
Exponenten auftreten, die erst in viel späterer Zeit 
(iemeingut wurden. Auch die Regeln fflr das Rechnen 
mit derartigen Potenzgrößen sind entwii-kelt; z. B. 

a" =(a )", iap')"=a". 

Trotz dieser großen Forlschritte, ■welche die Franzosen 
auf mathematischem (Gebiete gemacht hatten, büßten 
sie doch die führende Rolle nach und nach ein. Da- 
gegen bürgerte sich die Mathematik in Deutschland 
mehr und mehr ein und auch in Italien bereitete sich 
ein neuer Aufschwung vor. Der örund dieser Um- 
wandluEg ist hauptsächhch in den politischen Eieignlssen 
zu suchen, die einerseits die Entwicklung der Wissen- 
schaften hemmten, andererseits die aualändiBcheu Ge- 
lehrten veranlaßten, in ihre Heimat zurückzukehren. 
So gelangten die im Laufe des 14. Jahrhunderte nach 
dem Muster von Paris gegründeten deutschen Uni- 
versitäten Prag (1348), Wien (1365), Heidelberg 
(1386), Köln (1388), Erfurt (1392) zu rascher Blüte. 
Wenn auch der allgemeine Unterrichtsbetrieb in den 
mathematisdien Wissenschaften an diesen Schulen lange 
Zeit minderwertig blieb, so fehlte es den Freunden der- 
selben doch nicht an gegenseitiger Anregung. 

Sturm, Oescbiolite der U»thematik. 5 



66 Mittelalter. 

"Wien Tör allen war die vorzugswdse n 
Dmversität Sie verdankt diesen Vorrang zwei deutsdien 
(belehrten, die vorher in Paris Mathematik lehrten und 
äaon an die neue Universität übersiedelten, Albert von 
Sachsen und Heinrich von Langenretein aus Hessen. 

Albert von Sachsen (f 1390), der erste Rebtor 
der Wiener Universität, verfaßte Abhandlungen über 
Proportiooeil, Quadratur des Kreises, Yerhältnis der 
Diagonale eines Quadrates sn seiner Seite u. a. ESne 
eigentlich mathematische Lehrtätigkeit scbdnt Alb^^t 
Fon Sachs«! in Wien ebensowenig entfaltet zu haben 
alfi Heinrich von Langenstein {1325—1397), doch 
halfen beide der Hathematik in Deutschland zu ein^ 
bleibenden Statt«. 

Französischen Einfluß bezeugt xncb die erste in 
deutscher Ausgabe (neben der lateinischen) verfaßte 
Geometrie, die sogenannte „öeoraetria Culmenaia" (am 
1400). Dieselbe enthält im Anschlüsse an Dominious 
de Clavasio, aber auch gelegentlich über ihn hinaus- 
gehend, Berechnungen von Dreiecken, Vierecken, Viel- 
ecken und teilweise krummlinig begrenzten Figiu«n. 

All die großen Fortschritte, die französische und 
englische Mathematiker machten und die allmähli(^ auch 
nach Deutschland sich verbreiteten, entstammen der 
Schule des Jordanus, den Oelehrtenkreisen d^ Uni- 
versitäten. Von einer Algebra aber ist noch immer 
keine Rede trotz der Ausbildung, deren sie sich bei 
Leonardo von Pisa und Jordanus erfreute. Nur in 
Italien, v/o die kaufmännische Schule des Lecoiardo 
niemals ausstarb, obwohl auch hier ein Bückgang un- 
leugbar stattfand, beschäftigte mau räch mit dieser 
Disziplin. Schon Leonardo hatte eine Zahlen gleichung 
dritten Grades nÄhenmgsneise gelöst, nachdem er ge- 



DieZeit des Au&chwungesd. Mathematik in Deutschland. 67 

zeigt hatte, daß es nicht möglich sei, sie durch Quadrat- 
wurzehi allein zu löjen. Nim sind es aber nicdü: mehr 
SD sehr beetinunte Zahlen gleichuDgen, die das Interesse 
beherrschen, sondern die Frage nach der aUgemeinen 
Auflösimg der Oleichungen dritten und vierten Cbades 
tritt immer mehr in den Vordergrund. 



4. Die Zeit des Anfsdiwnnges der Kathematik 
in Dentflchland. 

Im IS. Jahrhundert beginnen elementare mathema- 
tische Kenntniase Volkseigentum zu werden. Es ent- 
stehen eigene Bechenschulen, die Kenntnis der indischen 
Ziffern dringt in immer weitere Kreise vor, deutsche 
und ilali^iische Bechenmeister pfleget die Bechenkunst 
und ilire Schriften erlangen seit der Erfindung des 
BQdi^druckes weite Verbreitung. 

Eine wichtige Bolle spielt in den Schulen das 
Betjmen „auf den linicn". Das Abakusredmen der 
alten Oxiechai und Eömer war im früheren Mittelalter 
in ein Kolumaenreclmen übergegangen, dadurch daß die 
einzelnen Rechenpfennige auf den betreffenden eenk- 
recht zum Eechner gerichteten Kolumnen zu einer 
Ziffer sich verdichteten. Das Rechnen „auf den Linien'- 
ist dagegen wieder identisch mit dem ältesten AbakuE- 
rechnen, nur wurden die Linien durchweg wagerecht 
gezogen. Von unten nach oben hatte eine Marke auf 
der 1., 2., 3., . . . Linie den Wert 1, 10, 100, . . . , 
zwisdieo den Linien aber bedeutete sie 6, 50, 500, , . . 
Untenstehende Figur (Fig. 4) stellt uns die Zahl 41097 
dar. Beim Subtrahieren legt man den Minuenden, beim 
Multiplizieren den Multiplikanden auf. Die Division 
wird bAb wiederholte Subtraktion behandelt Dieses 



Linien rechnen erhielt sich bis ins 17. Jahrhundert, wo 
es dem eigentlichen Zifferrechnen , Ton dem es auch 









— 


■-■ 


' o 


nO^ _ , 


o"o 


_^ 


^ 



schon bisher in besseren Schulen begleitet war, weichen 
mußte. 

Zu den ersten gedmekten Rechenböchem in deutscher 
Sprache gehören die Bamberger Rechenbücher von 
1482 (nur in wenigen Fragmenten erhalten) und 1483. 
Letzteres enthält nach dem Uuster italienischer kauf- 
männischer Rechenbücher die vier Spezies in ganzöi 
und gebrochenen Zahlen, „die gülden Regel" (Rcgeldetri), 
„vom Wechsel" (Umrechnung von (Jeldsorten nach ver- 
änderlichen Wertverhältnissen), „von gesellachaft", Tollet- 
rechnung zur Berechnung des Feingehaltes von Legie- 
rungen (Tollet wahrscheinlich vom venezianischen toleta 
— tavcJetta), Mischimgsrechnungen. 

Die bedeutendsten Namen auf dem Gebiete der 
wissenschaftlichen Mathematik im 15. Jahrhundert© sind 
Nikolaus von Kusa (1401 — 1464) und Johannes 
RegiomontanuB (Johann Müller aus EOnigsberg in 
Franken, 1436 — 1476), Ersterer konnte bei seiner 
vielfältigen politischen und wissenschafüiehen Tätigkeit 
unserer Wissenschaft nur als Nebenbeschäftigung huldigen. 
Um so mehr müssen wir seinen mathematisch schöpferi- 
schen Geist bew undern, der nicht so sehr in abgeschlossenen 
Resultaten, als in neuen Gedanken und Fragestellungen 



Die Zeit des Änfschwung^ d. Miitheinatik in Dentacbland. 69 

zutage tritt, die der Mit- und Nachwelt bedeutsame 
Änre^ngen darboten. Seine meisten mathematischeo 
Schriften beziehen sich auf eine Aufgabe, allerdinge 
eine Aufgabe schwierigster Art — die Arkufikation 
ener Geraden. Vom gleichseitigen Dreiecke ging er 
zu umfangglpichen Vielecken von immer größerer Seiten- 
zahl und endlich zum Kreise über, den er als Dnend- 
liohvieleck auffaßte. Das Hauptverdienst des Eusanere 
auf mathematischem Gebiete ist seine Auffassung des 
Unendlichkleinen, dessen allbeherrschende Bedeutung 
bei ihm zuerst deutlich hervortritt. 

Begiomontan gehörte der Wiener Hochschule an, 
die noch immer an nmthematischer Bedeutung die 
anderen deutschen UnivereitÄten überragte. Schon seine 
Vorgänger Johann von Gmunden (f 1442), der erste 
Fachprofessor der Mathematik an emer deutschen Hoch- 
schule, und Georg von Peuerbach (1423 — 1461) 
hatten die Trigonometrie neu zu beleben brennen. 
Letzterer verfaßte eine Sinustaiel, worin er den Halb- 
messer gleich 600,000 setzte und die Winkel von 10 
zu 10 Minuten fortschreiten ließ. Diese Tafel gclangle 
nicht zum Abdrucke, wohl aber im Jahre 1541 die 
einleitenden Bemerkungen, in denen sich Georg von 
Peuerbach als klardenkenden llatliematiker zu er- 
kennen gibt. 

Der eigentliche Schöpfer der modernen Trigonometrie 
ist Kegiomontaa, der in seinem Iichrbuche „De 
tiiangulis omnimodis" die Grundzilge der ebenen und 
sphärischen Trigonometrie aufstellt. Dieses 1463 voll- 
endete Werk umfaßt fünf Bücher. Wir finden darin 
den Sinnssatji, die Formel für die Fläche eines Drei- 
eckes: ^absiny u. a. Die wichtigsten Sätze des 
ganzen "Werkes besagen, wie man aus den drei Winkeln 



70 Hittelalter. 

des spharieoheD Dreieckes die drei Seiten, aus den 
drei Seiten die drei Winkel berechnen kann. Die Be- 
deutung des ersten Satzes tritt uns klar entgegen, wenn 
wir erwägen, wie schwer es einem in ebener Geometrie 
Creschnlten werden mnBte, sich in den Gedanken zn 
finden, es könnten die drei Winkel zur Bestimmung 
eines Dreieckes ansreichen. Dieser Satz ist unbedingt 
neu und Eigentum Regiomontans, während der zweite 
allerdings schon bei Älbattani Torkommt. 

In seinen trigonometrischen Tafeln vollzog Repo- 
montan den Fortschritt zur vollständigen Durcifflhrung 
des dezimalen Systems, und zwar in voller Erkenntnis 
seiner Bedeutung. Während seine ersten Sinustafeln 
gleich denen des Johann von Gmunden und QeoTg von 
Peuerbaeh noch eine Vermengung des sexagedmalen 
und dezimalen Systems enthalten, ist seine dritte Sinus- 
tafel auf den Badius 10' berechnet. Die Genauigkeit 
ist also dieselbe wie in einer siebenstelligen Tafel, 
ohne daß jedoch eigentliche Dezimalbrüche zur Ä.n- 
weuduDg kämen. Auch in seiner Tangentenlafel ist 
die dezimale Teilung durchgeführt, indem die numeri 
{Tanj,-enten) in Teilen des Radius 100 000 angegeben 
werden. 

Durch sein Werk über die Dreiecke brachte Regio- 
laontan die Trigonometrie wieder so ziemlich auf jene 
Höhe, die sie bei den Arabern erreicht hatte. Leider 
hinderte ihn der Tod, sein Werk selbst im Drucke zu 
veröffentlichen, und so kann von einer umfassenden 
Einwirkung erst geredet werden, nachdem es 1633 ge- 
druckt worden war. 

Nicht minder wechseiroll als das Schicksal Regiomon- 
tans selbat war auch das seiner Schriften. Im Alter von 
15 Jahren kam er nach Wien als Schüler und Mitarbeiter 



Die Zeit des Aufschwunges d. Mathematik in Deutschland. 7 1 

Peqerbaehs. Nach dem Tode des Meisters flbemahm er die 
Weiterflibrung seiner nDTolleiideteu Arbeiten, darunter einer 
Übersetzung des Almagest aus dem Griechischen, die Peuer- 
bach im Aaftr&gpe des Kardinals Besaarion herstellen wollte. 
In Begleitung dieses Kardinals reiste nun Begiomontan nach 
Italien, nm sich mit der griechischen SpnuSie vertrant lu 
machen, kehrte 1468 nach Wien zurück, folgte aber bald einem 
Rufe des Matthias Korviniis nach Ofen. 1471 finden wir ilm 
in Nürnberg, wo er eine Sternwarte und Druckerei einrichtete 
und sich dauernd niederlassen wallte. Aber schon I4TÖ wnrde 
er von Siitus IV. lur Kalenderreform nach Rom berufen, wo 
er bereit» am 6. Juli des folgenden Jahres, erst 40 Jahre alt, 
starb. Sein Nürnberger Freund Bernhard Walther, dem er 
sein ganzes wissenschaftliches Hab und Glnt anvertrant hatte, 
hielt dieses bis zu. seiaem Tode (1504) ängstlich verborgen. 
Jetzt aber wurden die wertrollen Handschriften leichtfertig 
verstreut. Dabei scheint manches verloren gegangen zn sein. 
Die fünf Bücher über die Dreiecke kaufte WiUibald Pirk- 
heimer, der sie durch Johann Schöner zum Drucke be- 
fürdem lieB. 

Wenn auch die reine Geometrie in dieser Zeit 
zurücktrat, so finden wir doch bei duzelnen Mathe- 
matikern selbständige Leistungen. Begiomontan 
iinterzog in einer Schrift vom Jahre 1463 die Kreis- 
qiiadratur des Eusanue einer strengen Kritik. Au£er- 
dem schrieb er eine Einleitung zu einer beabsichtigten 
Euklidausgabe und versah eine Eiiklidhandschrift mit 
Zusätzen, unter denen besonders die I^hrsätze übar 
Stem Vielecke hervorzuheben sind. 

Mit Stemvielecken beschäftigte sich auch Lionardo 
da Yinci (1452 — 1519), der, ohne eigentlicher Mathe- 
matiker zn sein, doch bei jeder Gelegenheit sein Interesse 
an geometrischen Konstruttionen, besonders der regel- 
mäßigen Vielecke, bewies, wobei er nicht selten die 
Anwendung nnveränderlicher Zirkelweite forderte.- 

Bis in die zweite Hälfte des 15. Jahrhunderts 
dauert der durch Jordanus und Leonardo von Pisa ver- 



72 Nenzeit. 

mittelte EinfliiB der arabischen Geometrie, Jetzt erst 
eröffnet der EumanismuB ein direktes Zurflolcgehen auf 
die altea Quellen, zunächst auf die Agrimensoren, dann 
auch auf die älteren Origioale, deren Kenntnis besonders 
durch die byzantinischen Gelehrten, die nach der Zer- 
störung Konstantinopels (1453) nach dem Westen zogen, 
verbreitet wurde. 



III. Neuzeit. 
1. Die Zeit des Aufschwunges der Al^bra. 

Von größter Wichtiglieit ist die im 15. Jahrhunderte 
sich vollziehende Ausbreitung der Algebra über die 
Grenzen Italiens hinaus. Die Sltcf^te Spur einer 
deutschen Algebra finden wir in einer Münchener Hand- 
sehrift vom Jahre 1461, die teils in lateinischer teils in 
deutscher Sprache die Summe des damals in Deutach- 
land vorhandenen mathematischen Wissens enthält Wir 
finden dort den Algorismus proportioniim des Oresnie, 
die Geometrie des Bradwardin, die geometrischen 
Schriften des Kusanus, die Oeometria practica des 
Dominieus de Clavasio, femer eine voUslilndige Bruch- 
rechnuug, dann zahlreiche Regeln zur Lösnng von Auf- 
gaben. In diesem Zusammenhange erscheint das er- 
wähnte deutsche Stück Algebi-a, dessen Anfang lautet: 
„Machmot in dem puech algebra und almalcobula hat 
gepnichet diese Wort census, radix, numerus. Census 
ist ain jede zal, die in sich selb multiplieirt wirt, das 
ist numerus quadratus, Radix ist die wurtz der zal 
oder des zins. Numerus ist ain zal für sich selb ge- 
merket, nit als sie ain zins oder ain. wnrtz ist" Daraus 



Die Zeit des Aufschwunges der Algebra. 73 

ersehen ■wir, daß ein Auszug aus der Algebra des 
Alchwarizmi vorliegt. 

Einen Dresdener Handschriftenband aus derselben 
Zeit, der verschiedene algebraische Abhandlungen ver- 
einigt, benutzte Johann Widmann von Eger, der 1489 
sein Werk ,,Behennd und hübsch Bechnung uff allen 
tauffmann schafften" veröffenthchte. Diese Schrift eot- 
liält als erste Abteilung „Von kunst und art der zal 
an yr selbst" das Rechnen mit ganzen und gebrochenen 
Zahlen, als zweite Abteilung „Von der Ordnung der 
zal" die Lelire von den Proportionen, die Regeldetri 
und eine Menge von einzelnen Aufgaben verschiedensten 
Namens. Hier erscheinen zuerst die Zeichen + und 
— und werden nicht einmal als neu eingeführt Hier 
finden wir auch eine „Regel ÄJgobi-e oder Gosse" er- 
wähnt, das älteste Zeugnis dafür, daß man in Deutsch- 
land vnißte, daß in Italien, wohin allein das Wort 
„Cosse" verweisen kann, die Algebra in Übung war. 

Im dritten, geometrischen Teile beruft sich Widmann 
auf Julius FrontinuB. Die Schwierigkeiten der Terminologie 
in deutscher Sprache Gehen wir aus Delinitionen wie: Funktns 
ist ein klein Ding, das nit zu teilen ist; Angulos ist ein 
Winkel, der da gemacht ist von zweien Linien. Man unter- 
scheidet „gescherffte" (spitze) nnd „»eji«" (stumpfe) Winkel. 

Die Lehre von den Gleichungen führte bei den Italienern 
verschiedene Manien. Außer Algebra auch ars magna (im 
Gegensatze zu ars minor, der gemeinen Arithmetik), ais rei 
et census (res, das Ding, bedeutet die Unbekannte, censas 
ihr Quadrat). Von der Bezeichnung cosa (= causal für die 
Unbekannt« stammt der Käme regola della cosa und daher 
die „ars cossica", die ,Coß' der deutschen Algebnüker des 
15. und 16. Jahrhunderts. 

Widmann ist der erste, der an einer Universität — 
in Leipzig — Vorlesungen Ober Algebra abhielt Er 
legte dabei den erwähnten Dresdener Sammelband zu- 



74 Nenzeit. 

gründe, dem er selbst einige Aufgaben beifQgte. Alles 
in allem ergibt sich folgendes: Algebra gelehrten Ur- 
sprnnges aus der Schule des Jordanua war um die 
Mitte des 15. Jahrhunderts in Deutschland bekannt, 
mit ihr vereinigte sich Algebra italJenisch-kaiifmäanischea 
Ursprunges und "Widmann ist der erste, bei dem wir 
diese Vereinigung nachweisen können. 

Italienischer Einfluß macht sich auch geltend in 
einem mathematischen Werke ersten Ranges, das der 
Franzose Nicolas Chuquet in Lyon 1484 unter dem 
Titel „Triparty en la Science des nombres" veröffent- 
lichte. Der erste Teil handelt vom Rechnen mit ratio- 
nalen Zahlen. Wir erwähnen die hier vorkommenden 
Bezeichnungen Million, Million von Millionen oder aucli 
Byllion, Tryllion usw. Sehr bemerkenswert ist die ge- 
meinsame Betrachtung einer ariLhmetischen und . geo- 
metrischen Reihe: 

1 2 3 ... n 
a a- a' . . . a" 
Multipliziert man, sagt Chuquet, zwei Glieder der 
unteren Reihe, so erhält man wieder ein Glied der- 
selben Reihe, dessen in der oberen zu suchende 
Ordnungszahl die Summe der Ordnungszahlen der 
beiden Faktoren ist. Damit ist der Gedanke logarith- 
mischen Rechnens ausgesprochen, wenn auch ein wirk- 
liches Rechnen erst mehr als hundert Jahre später 
darauf gegründet wurde. Den Abschluß des ersten 
Teiles bildet ein Mittelwertsatz zur näherungs weisen Auf- 
lösung von Gleichungen. Der zweite Teil behandelt 
Irrationalzahlen. 

Im dritten Teile finden wir die Algebra. Wahrend 
C'huqueta Vorbilder fftr die einzelnen Potenzen der ün- 



Die Zeit des Aulsohwiii^:es der Algebra. 75 

bekannten eigene Zdcben verwendMi, ersetzt er sie 
duroh kleine rechts oben angeschriebene Zahlen. So 
bedeuten 12', 12', 12* nach heutiger Bezeichoong 
12 X, 12 x', 12 X*. Folgerichtig b^eichnet er die 
Zahl 12 seibat diureh 12", ja er scheut sich nicht, 
sogar negative Exponenten einzuführen. Seine 01eichungs- 
auftösungen zeigen eine aufiallende Ähnlichkeit mit dem 
heutigen Yerfahren; z. B. 

R' 4*p4' p2'pl egaak a 100 V4s' + 4s + 2s + l =100 
R' j'p 4' dune partetgg rö 2' daultre V4i' + 4x = 99-3i 
4'p4' eganli a 9801 m 396'p4' 4s'+4x = 9801-396x+4j" 
400" dnne pari et 9801 daultre 400 1 = 9801 . 
Überall bewundern wir den klaren Blick, der nicht an 
Sonderfällen haftet, sondern sich dem Allgemeinen zu- 
wendet. . 

Da Chuijuets "Werk nicht im Drucke erschien (erst 
1880 wurde es gedruckt) und überdies dem Verständ- 
nisse der Zeitgenossen erhebliche Schwierigkeiten bot, 
erlangte es bei weitem nicht den verdienten Einflulä. 
Um eo größere Verbreitung fand das gleichzeitige Werk 
„Summa da Ärithmetica Geometria Proportioni et Pro- 
portionalita" des Luca Paciuolo, das 1494 in Venedig 
gedruckt wurde. Es enthält neben der praktischen 
Arithmetik die ganze Algebra in den ersten vier Ab- 
schnitten, Geometrie und Stereometrie im engsten An- 
schlüsse an Leonardo von Pisa im fünften Abschnitte. 
Als besondere Verdienste des Paciuolo wollen wir 
hervorheben, daß er das Halbieren und Verdoppeln ans 
der Reihe der Rechnungsarten ausschloß, daß er femer 
der modernen Divisionsmethode (unterwärts) Bahn brach. 
Er nahm auch die zahlentheoretiechen Untersuchungen 
des Leonardo in sein Werk auf nnd förderte dadurch 



76 Neuzeit. 

das mathematische Denken in einer BiclituDg, die Aber 
die praktischen Bedtlrfnisae hinausging. Die Summa 
ist das erste Lehrbuch der Bechenkunat, in dem 
Wahrscheinlichfceitsaufgaben vorkommen, während aller- 
dings der Begriff der Wahrscheinlichkeit im mathe- 
matischen Sinne schon älter ist -Von hervorragendem 
Werte sind die algebraisch gelösten Au^ben der Geo- 
metrie, die den Zusanmienhang von Algebra und Geo- 
metrie zum allgemeinsten Bewußtsein brachten. Fflgen 
wir noch bei, daß wir in dem reichhaltigen Werke 
auch eine Anleitimg zur doppelten Buchführung und 
einen Tarif, d, h. Münz-, Maß- und Gewich tsvei^leichungs- 
tabellen finden, so werden wir das Urteil M. Cantors 
begreifen, daß die Summa jenes Werk war, welches 
das Bedürfnis der Zeit erforderte, welches aber 
auch dieses Bedürfnis durchaus befriedigte. Es 
b^aiin bei den ersten Anfangsgründen der Eechec- 
liuust und endete mit Aufgaben, die auch ein heutiger 
Ijeser nicht ohne Nachdenken lösen kann. Es entiiielt 
Vorschriften, die außerhalb des Gebietes der Rechen- 
kimst fielen, aber für den Kaufmann von Bedeutung 
waren; es entstammte der Feder eines Mannes, der 
früher in kaufmännischen Kreisen lebte, später an ver- 
schiedenen Hochschulen als Lehrer tätig war. 

Paciuolo veranstaltete femer eine Euklidausgabe, die 
im Jahre 1509 bei Ratdolt in Venedig erschien. Die 
erste Druckausgabe des Euklid, enthaltend die aus dem 
Arabischen stammende Übersetzung und die Anmerkungen 
des Campanus, war von demselben Buchdrucker im Jalire 
1482hei^esteIltworden. 1505 veröffentlicIiteZamberti 
eine Euklidübersetzung aus dem Griechischen und erging 
sich darin in heftigstem Tadel gegen Campanus. Paduolos 
Euklid ist als eine Ehreuretlung des Campanus anzuseilen. 



Die Zeit des AufechwuDges der Alg'ebra. 77 

Druckauegabea älterer Mathematiker veranstaltete 
auch der Franzose Lefövre aus Etaples (Faber Stapu- 
lensis 1455 — 1537) in der auagesprocheoeii Absicht, 
dadurch dem Tiefstände der Mathematilt an der Pariser 
Universität abzuhelfen. 1496 gab er die Arithmetik 
des JordanuB Nemorariua heraus, 1514 die Werke des 
Nikolaus von Eusa, 1516 die Elemente Euklids (in der 
TjerOhmten Druckerei des Stephaous) nach der Über- 
setzni^ des Campanus und des Zamberü, 

Die vielverheißenden Ansätze der Algebra in Deutsch- 
land und Italien im 15. Jahrhunderte gelangten im 
Laufe des folgenden Jalirhunderls zu erfreulicher Ent- 
faltung. Das erste deutsche Lehrbuch der Algebra ist 
das Bechenbuch des Heinrich Schreiber aus Erfurt, 
genannt Grammateus, Lehrers an der "Wiener Uni- 
versität, dessen bemerkenswerter Titel zugleich eine 
vollständige Inhaltsangabe umfaßt: „Ayn new kunstlich 
Buech, welches gar gewiß und behend lernet nach der 
gem^nen regel Detre, welschen practie, regeln falsi un 
etliche regeln Gosse mancherlay schöne un zuwissen 
notürfftig rechnug auf kauffmannschafft. Auch nach 
den Proportion der kunst des Gesägs jm diatonischen 
geschlecht auß zutaylß raonochordü, oi^lpfeyffS vii 
ander jnstniment auß der erfindung Pytht^re. Weytter 
ist hierjnnen begriffen buechhaltcn durch das Zomal, 
Kaps und schuldbuch. Visier zumachen durch den qua- 
drat vn triangel mit vü andern lustigen stücken der 
GSometrey. Gemacht auff der löblichen hoen schul zu 
Wien in Oesterreich durch Henricu Grammateum, oder 
schreyber von Erffurdt der siebS freyen kUnste Maister. 
Mit Kayserliche gnaden vnd Privilegien das buech nicht 
nach zu truckg in sechs jare." Am Ende: „Gedruckt 
zu Nürnberg durch Johannem StQchs für Lucas Alant- 



78 Neuirät. 

aee Bfldifurer vnd Butler zu Wien." Wir Beben, daß 
Oramuiateus eine gewisse YoUstindigksit anstrebt«, wie 
sie in der Smnme dee Paciuolo »reicht ist, die ihm 
als Vorbild gedient haben mag. Er läßt auch zuerst 
unter den deutschen Schriftstellern das Halbieren und 
Terdopp^ weg. Die sogenannte welsche Praktik ist 
niclits anderes als die alte Tolletrechnung. In der 
Algebra behandelt er dieselben sieben 61eichung8f(»inen, 
die eich schon in der Dresdeoer Algebra vorfinde. 
SemeMusterbeispielesind: 2x = 4 , 3x» = 27,2i» = 128, 
2in_).x = 65, 2i*+18 = 15x, 12x + 24 = 3rtx», 
5x* = 20 480. 

Die im Titel enthtütenen Naraen Zomal und Kaps sind 
Jonmal and Kapsel, d. i. das Tagebuch und das Eassaboch 
nur Aufzeichnung des in einer Kapsel Terwahrtrai Bargeldes. 

Charakteristisch fOr das 16. Jahrhund^t ist das 
Auftreten zahlreicher Rechenbücher, die je nach den 
Schulen, für die sie bestimmt waren, in lateinischer 
oder deutscher Sprache das Becfanen „auf den Linien" 
und „auf der Feder" in größerem oder geringerem um- 
fange lehrten. Daß sie einem wirklichen Bedürfnisse 
entgegenkamen, beweisen die oft zahlreich«! Auflagen, 
die sie erlebten. Wir nennen einen Algorithmus lin^üis 
von Balthasar Licht (Leipzig l&OO), Johann von 
Landshut (Erakau 1513), Heinrich Stromer (Wien 
1520), das Elnchiridion des Johann Huswirt (1501), 
den Algorithmus des Theoderidi Tzwivel (1507), die 
Hecdienbüdier des Jakob Eöbel (1514, 1520), der noch 
die römischen Ziffern als „die gewenlich teutsch Zal" im 
Gegensatz zu der „Ziffern zale" benennt, des Johum 
Bfischenstein (1514), des Peter Apianus (1532), 
dw sät Oranunateus der erste Universitätslehrer (Ingol- 
stadt) war, der ein deutsches Rechenbuch v^Sißte, des 



Die Zeit des Än&chwnnges der Algebra. 79 

Gemma-FrisinB (1550), des Georg Eeichelstein 
(1532), der als einer der Ersten in Deutechland die 
Eechenregeln in Eeime brachte; z. B. 

,So du magst ¥0D der obem nit 
Eis Ziffer BubtraMm mit sitt, 
Von sehen sollt sie ziehen &b, 
Der nechst under addir eins knab." 

Der berOlimteste unter den deutficheu Bechenmeistem 
ist Adam Rieae (1492 — 1559), dess^ Rechenbücher 
■weiteste Verbreitung fanden. Er -veröffentlidite 1518 
eine Rechnung auf der Linie, 1522 ein Rechenbuch 
auf der lioie und Feder. Das dritte und häufigste 
Buch führt den Titel „Redmung nach der Lenge auff 
den Liuichen und Feder. Darzu forteil und behendig- 
keit durch die Proportiones Practica genannt mit grünt- 
lichem Unterricht des Viaierena. Durch Adam Riesen 
im 1550 Jai". Diese Rechenbücher ragen nidit so- 
vohl inhaltlich, als <iielmehr in methodischer Hinsicht 
hervor und lassen den erfahrenen Lehrer erkennen. 
"Wir finden überall das Aufsteigen Yom Konkreten zum 
Abstrakten, vom Einfachen zum Zusammengesetzten. 
Endlich legt Biese besonderes Gewidit auf die stete 
Übung des Erlernten, die ja gerade heim Bechenunter- 
richte von der größten Bedeutung ist. Er igt uner- 
schöpflich in „holdseligen" Exempeln, die in immer 
neuem Gewände den tdten Stoff darstellen. Und ent- 
sprechfflid dem Wunsche des rechnenden Publikums 
seiner Zeit setzte er den Mechanismus des Verfahrens 
bei jedem Beispiele auseinander. Diesen Umst&iden 
verdankten seine Rechenbücher ihre Popularität, ihre 
weite Verbreitung und ihren 200 Jahre dauerndem Ge- 
Inuuch. Bemerkenswert ist, das lüese das Wort 
Uillion nur in der Verbin<lung „eine Million Gulden" 



80 Neuzeit. 

gebrauchte, die unbenannte Zahl aber durch „tausend 
tausend" bezeichnete. 

Außer den gedruckten Schriften hinterließ Biese 
auch eine handschriftliche CoB (vollendet 1524), die 
sich eng an die Dresdener Algebra anschließt Dadurch, 
daß Riese den in seiner Vorlage als Wurzelzeichen 
dienenden viereckigen Punkt rechts mit einem schrägen 
Striche versah, wurde er der Urheber des noch heute 
üblichen "Wurzelzeichens. 

Vollen Beifall errang die im Jahre 1525 gedruckte 
CoB des Christoph Eudolft Der erste Teil ist der 
Rechenkunst gewidmet und entspricht inhaltlich einem 
von demselben Verfasser 1532 herausgegebenen Eechen- 
buehe. Doch weist letzteres manchen Fortschritt auf. 
Wir finden dort das Wort „Million", femer die Eegel 
für die Division dimdi 10, 100, lOÜO usw., man solle . 
so viele Ziffern „mit einer vii^t" abschneiden, als der 
Divisor Nullen besitze, eine Methode, die schon Regio- 
montan geübt hatte. Bfä Abfassung der Goß bediente 
sich Rudolff einer Wiener Handschrift „Kegulae Cosae 
vel Algebrae", einer tiefflichen Abhandlung, deren kurze 
und dennoch klare Regeln einen sehr angenehmen Ein- 
druck machen; z. B. Conditiones drea + vel — in 

addilione. i21>facit+>. Si fuerit <+ ^J~>, 

simpUciter subtrahatur brevior numenia a majori et 
residuo sua adscribatur nofa. Auch zahlreiche Bei- 
spiele in lateinischer und deutscher Sprache sind den 
Regeln beigefügt Trotz der freien Benutzung der 
Zeichen + und — kannte Eudolft doch nur positive 
Gleich 11 ngs wurzeln, er bediente sich auch für die 
Potenzen der unbekannten noch immer der bei den 
alt«n Cossisten üblichen Symbole; dagegen machte er 



Die Zeit des AuiMiwunges der Algebra. 81 

darin einen wichtigen Fortschritt, daß er endlich die 
zahlreichen Regeln wegließ und sich auf die allgemeinen 
Gleichungsformen beschränkte. Als Wurzelzeichen 
wendete er, gleich Riese, den Haken (viereckiger 
Punkt mit schrägem Striche) an. Ein einfacher Haken 
bedeutet« die Quadratwurzel, ein zweifacher die vierte, 
ein dreifacher die dritte Wurzel. Auch die in seinen 
Vorigen enthaltenen Beispiele vermehrte er erheblidi 
durch kubische Aulgaben sowie durch bestimmte und 
unbestimmte Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 

Den Anhang zu Budolfls Reohenbuche bildet die 
,.Schimpf[rechnung", eine Sammlung von Recheo scherzen 
und Rechenrätseln, worunter sich auch die Aufgabe 
von der gemeinsamen Zeche (regula coeci, regula vii^ 
ginum, regula potatorum) befindet, eine unbestimmte 
GleichuDg, die in allen Aufgabenbtlchem wiederkehrt. 

Das Hauptwerk der deutschen Coß ist die „Arith- 
metica integra" des Michael Stifel (1486 oder 1487 
bis 1567), die 1544 gedruckt wurde. Mit diesem 
Werke erweist sich Stifel nicht bloß offenkundig als 
den weitaus bedeutendsten Cossisten, sondern audi als 
den ersten großen deutschen Zahlentheoretiker, ja als 
einen der größten fttr alle Zeiten, da er ganz nene 
Probleme in Angriff n^im. 

Das Werk ist eingeleitet durch eine Vorrede 
Melanchthons, der sich überhaupt bei jeder Gelegen- 
heit in Wort und Tat als Preund unserer Wissenschaft 
belehrte und den mathematischen Unterricht besonders 
dadurch förderte, daß er Sorge trug, überall, auch in 
den nicht gelehrten Schulen, das alte römische Etectmen 
durch das indische zu ersetzen und vor allem statt 
der römischeu Zahlzeichen die iodisdi-arabischen eiu- 
zufOhren. 

Stnrm, Geschichte der K&thematik. 6 



82 Neuzeit 

Das 1. Buch handelt über die rationalen Zahlen. 
Hier finden 'wir die ZuBcunmenstellung einer arithme- 
tischen und geometrisohen Beihe, die wir Bcbon bei 
Chuquet antrafen, aber mit erheblichen Zusätzen. Stifel 
erweitert beide Reihen audi nach linhs, z. B. 
_3, _2, —1, 0, 1, 2, 3 
i, i, i, 1, 2, 4, 8 
und sagt, es wäre möglich, an dieser Stelle ein ganz 
neues Buch über die wunderbaren Eigeoschaften der 
Zahlen cinzusclialten, wodurch er Toratinend die Fruchte 
barkeit des Begrißes bekundet, den man sjSter das Loga- 
rithmieren nannte. Er nennt die Glieder der arith- 
metischen Beihe „Exponenten" der entsprechenden 
Glieder der geometrischen Beihe. 

Stifel machte auch den ersten Schritt zu dner Er- 
weiterung des Begriffes der Wurzel, indem er das 
Wurzelausziehen weiter, ja man kann sagen beliebig 
weit ausdehnte. Zu diesem Zwecke stellte er eine 
Tafel der Binomialkoeffizienfen bis zur 17. Potenz zu- 
sammen mit der Bemerkung, daß „ihre Fortsetzung ins 
Unendliche jeder leicht einsieht, wenn er erst die Art 
sie herzustellen erkannt hat." Bei der ausführlich aus- 
einandergesetzten Bildung dieser Tabelle geht Stifel von 
dem Satze aus, den wir jetzt so zu schreiben pflegen: 

Dies ist das erste nachweisbare Auftreten des sogenannten 
FascalBcben Dreieckes in Enropa. In China treffen wir diese 
Berechnung der Binom ialkoeffizieoteo, und zwar genan in der 
heute üblichen Anordnung schon in einer Schrift aus dem 
Jahre 1303. 

Wir finden femer in diesem Buche interessante Ab- 
schnitte über Teilbarkeitsregeln, vollkommene Zahlen, 



Die Zeit des Aofschwimges der Algebra. 83 

Primzablen. Die Anzahl der Teuer eines Produktes 
von n Primzahlen wird nach Oardano zu 1 + 2 + 2* 
+ ... + 2"~' angegeben. Diametralzahl heißt das Pro- 
dukt zweier Zahlen, deren Quadrateumme ein rationales 
Quadrat gibt Da unzählige leohtwinklige Dreiecke gleiche 
Hypotenuse haben, so gibt es auch mehr als eine Quadratzahl 
mit gldcher Quadrat summe ihrer Faktoren, z. B. 65*=25* 
+ 60» = 39^ + 52»; daher sind 25-60 = 1500 und 
39 • 52 ■= 2028 Diametralzahlen von gleichem Dia- 
meter. Stifel führt diese Untersuchung so weit, daß 
er zu der richtigen Behauptung kommt, ein Produkt ab 
Bei dann und nur dann eine Diametralzahl, wenn 
(£:b — C2n» + 2n):(2n+ 1) oder a:b = (in« + 8n 
+ 3):(4n + 4) sei. 

Eine andere Aatgabe ist die des zirkutäi-en Ab- 
zählcDS, eine Art von Schließungsproblem. Die 4 n — 4 
Baadfelder eines aus n* kleineren Quadraten bestehenden 
Quadrates sollea mit Ordnungsziffem versehen werden, 
indem man, auf irgend einem Randfelde beginnend, 
nach Abzahlung dner bestimmten Felderzahl in be- 
stimmter Bichtung eine Ordnungsziffer einsetzt, bis 
eämthche Felder mit Ausnahme der ersten b^iffert 
sind; es fragt sich, wieviel Felder jedesmal abzu- 
zählen sind, damit die Aufgabe erfüllt werde. Weiter 
beschäftigte sich Stifel mit der Herstellung von Zauber- 
qnadraten. 

UagischeQnadr&te werden so hergestellt, daß nmn alle 
Zahlen von 1 bis n' in ebenso viele schachbrettartig geordnete 
Felder verteilt, so daß die Summe der Zahlen in jeder Hori- 
zontalreihe, in jeder Vertikalreihe und in beiden Diagonal- 

reihen stets dieselbe wird, nämlich ° „'^ \ da 1 + 2+ 3 

n"(n*+l) ^ 

-|-.,. + n'^ — i-^-! — in n Reihen von gleicher Summe 



verteilt ist. Ein bekanntes Beispiel ist das Quadrat der ersten 
16 Zahlen auf Dilrera Kupferstich „Melencolia": 



1 


U 


15 


4 


12 


7 


6 


9 


8 


II 


10 


5 


13 


2 


3 


16 



Die Beschäftigang mit Zauberqaadratea tretTsTi wir bei Indem, 
Chinesen, Arabern, Byzantinern; der erste deutsche Mathe- 
matilfeT, der ihnen sein Interesse zuwendete, war Adam 
Riese in Beinern Recbenbncbe von 1523. 

Das 2. Buch handelt vom Irrationalen im engen 
Anschlüsse - an das 10. Buch der Elemente Euklids. 
Ausgehend von dem Satze, daß dnroh Multiplikation 
eines Bruches mit eich selbst niemals eine ganze Zahl 
entstehen kSmie, zeigt er, daß ein Irrationales nie gleich 
sein könne einem Rationalen, wenn es auch z^suhen 
zvei Bationalzahlen falle. Datier leugne Euklid die. 
Zahleigenschaft des Irrationalen und handle im 10. Buche 
nur von irrationalen Strecken. So ist das 2. Buch der 
Arithmetiea integra eine fortlaufende Erläuterung jenes 
schwierigen Euklidischen Buches, wobei sich StiEel einer 
bequemen Zeichensprache bediente. Er gebrauchte die 
Zeichen 4- und — und brachte System in die von Riese 
und Kudolff eingeführte Wurzelbezeichnung, indem er 
dem Wm-zelhaken seine Potenzzeichen beifügte und da- 
durch auch in der Darstellung dem Wurzelbegriff die 
allgemeinste Entfaltung verlieh. 

Das 3. Buch enthält die Algebra. Hier rÄumt Stifd 
vor allem mit den acht Q-leichungsformen und zahlreichen 
Regeln der Vorgänger, die er als „vexationes populi", 
Menschenquälerei, bezeichnet, auf und ersetzt sie durdi 



Die Zeit des Aufschwunges der Algebra. §5 

eine einzige. Auch für mehrere unbekannte und ihre 
Potenzen stellt er symbolische Bezeichnungen aut Die 
regelrechte Anordnung eioer Gleichung ist nach aeinei' 
allgemeinen Torschrift die, daß die höchste Potenz der 
■unbekannten mit positivem Koeffizienten auf der einen, 
alles übrige auf der anderen Seite der Gleichung steht; 
doch. bedient er sieh auch anderer Anordnungen, ja in 
einem Falle reduziert er die Gleichung auf Null. "Wie 
für die anderen Cossisten haben auch für Stifel nur 
positive öleichungBwurzelQ einen Sinn. Negative Zahlen, 
die er im Gegensätze zu den „wahren" „absurde" Zahlen 
nennt, erklärt er als der erste für kleiner als Null, weldie 
die Mitte zwischen beiden einnehme. Am Schlüsse 
des 3. Buches werden schwierigere Aufgaben des Car- 
dano behandelt, wobei es sich gewöhnhch um ZurÜck- 
führung der Gleichung auf einen niedrigeren Grad handelt, 
die aber nicht nach einem allgemeinen Verfahren, sondern 
durch besondere Kunstgriffe ausgeführt wird. 

Ein Jahr später (1545) veröffentlichte Stifel die 
„Deutsche Arithmetica", die nicht für wissenschaftliche 
£reise berechnet war und daher im ersten Teile nur 
das Bechnen auf den Linien, dieses allerdings in vollem 
Umfange sogar bis zum Ausziehen dritter und vierter 
Wurzeln, im zweiten Teile die Goß bringt, deren Auf- 
gaben bis zu den gemischt quadratischen Gleichungen 
fnhreü. 

1553 veranstaltete Stifel eine neue Ausgabe der 
Eudolffschen Goß, deren Inhalt er erläuterte und weiter 
ausführte. Besonders zu erwähnen ist die Wurzelaus- 
ziehung aus algebraischen Ausdrücken, wobei er sich 
wieder der T^el der Binomialkoeffizienten bediente. 
Stifel, der aus Cardanus die Reduktion höherer Olei- 
diungen auf niedere durch Wurzelausziehen kennen 



gelernt hatte, meinte nämlicli, daß auf solche "Weise 
äie LösTing ijler Gleichun^n mSglich sein mnsse. 

Schon RudoHf hatte seine Goß mit einer Hindeattmg 
auf die tubischen Gleichungen geschlossen. Dies veran- 
laßte Stifel, die unterdessen ver5tfentlichta Lösung und 
Beispiele dazu beizuf ö gen unter dem Namen der „Cubiceoß". 

Die "Werke Stifela «nrden von deu Mathematikem 
aller Länder eifrig au^ebeutet, so daß der Einfluß der 
deutschen Goß neben der italieniachen Algebra allgemein 
maßgebend wurde. 

Den wichtigsten Fortschritt machte in der ersten 
HSlfte des 16. Jahrhunderte die Algebra in Italien durch 
die allgemeine Lösung der Gleichungen des dritten 
und vierten Grades. Im "Verlaufe der Geschichte dieser 
Entdeckung treten besonders die Namen Hieronimo Car- 
dano (1501—1576), Nicolo Tartaglia (1501?— 1657) 
und Luigi Ferrari (1522 — 1565) hervor, deren Träger 
durchwegs bedeutende Mathematiker, aber abenteuerliche 
Charaktere waren, so daß es nicht möglich ist, aus dem 
Getümmel leidenschaftlicher Fehden, die sie unterein- 
ander führten und die weit über die gelehrten Kreise 
hinaus Parteiungen erregten, die Wahrheit herauszuhören. 

Schon am Anfange des Jahrhunderts war Sdpione 
del Ferro (f 1526) im Besitze der Auflösung der kubischen 
Gleichung von der besonderen Form x' + ax = b; diese 
Kenntnis erlangte späterhin auch Tartaglia und dmvh 
ihn Cardano, der sie 1545 veröffentlichte und zwar 
gegen den Willen Tartaglias. Zugleich teüte Cardano 
auch die durch seinen Schüler Ferrari vollzogene Lösung 
der biquadratischen Gleichung, die kein kubisches Glied 
enthält, mit. Die Veröffentlichungen erfolgten in dem 
Werke „Artis magnae seu de regulis algebraicis über 
unus" (gedruckt 1545 in Nürnberg). 



Die Zeit des Aufschwanges der Algebra. 87 

Cardano behandelt nicht bloß die Gleichimgsformen 
x8 + ax = b, x*=3ax-f-b und x* + b = ax, deren 
Lösung ihn Tartaglia mehr oder minder deutiich ge- 
lehrt hatte, sondern aneh x" = ax* + b, x*4"*^* = bi 

x*4-b=ax*. Die beiden ersten werden durch x=y-|-— , 

X = y — — vom quadratischen GUede befreit Die dritte 

Vb« 
Form behandelt er durch x = - — , wodurch sie in 

3,- y 

y8 + b = ayb'y übergebt Kubische Gleichungen mit 
vier Gliedern führt er durch Substitutionen, die stets 

auf i=»yi-^ hinauskommen, auf frühere Formen zu- 
rück. Er fand zuerst drei Wurzeln kubischer Gleichungen, 
■wahrend früher nie Gleichungen mit mehr als zwei 
"Wurzeln bekannt geworden waren; er erkannte den Zu- 
sammenhang des Koeffizienten des quadratischen Gliedes 
mit der Summe der "Wurzeln, auch im Falle gleicher 
"Wurzeln. 

Hier finden wir audi eine Näherungsmethode zur 
Auflösung von Gleichungen, die erste, die in Europa 
veröffentlicht wurde, Cardano leitet sie aus dem doppelten 
falschen Ansätze her, der von nun an wahren Näherungs- 
methoden Platz machte. Er scheut sich auch nicht, in 
diesem Werke mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen 
zu rechnen, die er selbst Ln einer früheren Abhandlung 
für ganz unmöglich erklärt hatte. 

Ja umfassender Weise kommt er auf das Imaginäre 
noch einmal in einem späteren "Werke, der „Regula 
Aliza" von 1770, zu sprechen, wo wir auch den Aus- 
spruch finden, es sei leicht, eine, auch wohl mehrere 
"\Vurzeln zu entdecken, wenn die Gleichui^skonstante 



eine zusammengeeetzte Zahl ist; falls sie aber eine Prim- 
zahl ist, so sei es schwer, auch nur eioe Wurzel zu finden. 
Cardano kannte also die Entstehung der Oldchungs- 
konstante als Produkt der Wurzeln. 

Id der nachgelassenen „Ars magna arithmetlcae'^ be- 
hauptet er, allerdings ohne Beweis, falls eine Gleichung 
n-ten Grades, auf Null reduziert, nur einen Zeichen- 
wecheel der GLeder ■wahrnehmen lasse, so sei immer 
eine und nur eine positive Wurzel vorhanden; zwei- 
maliger Zeichenwechsel sei das Kennzeiclien mehrerer 
positiver oder lauter imaginärer Wurzeln; auf voll- 
ständiges oder unvollständiges Vorhandensein der Glei- 
chuDgsglieder kommt es nicht an. 

Wir verdanken Cardano auch die erstmalige richtige 
Beantwortung von Wahischeinlichkeitsproblemen in der 
„Practica ArithmetJcae et mensurandi generalis" von 1S39, 
wo er eine von Paduolo nicht entsprechend geiOste 
Aufgabe richtig erled^ Hier finden wir aneh scion 
die Aufgabe, die man 200 Jahre später „Petersburger 
Aufgabe" nannte: T^in Reicher und ein Armer spielen 
nm gleichen Einsatz. Gewinnt der Arme, so wird am 
folgenden Tage um verdoppelten Einsatz gespielt und 
dieses Verfahren fortgesetzt; gewinnt der Beiche, so ist 
das Spiel sofort zu Ende. In einem nachgelassenen Werke 
„Über das Würfelspiel" spricht er mit klarer Einsicht das 
später so genannte „Glesetz der großen Zahlen" aus. 

J)as Hauptwerk Tartaglias, der „General Trattato di 
nnmeri et misure" (1556 — 1560), ist ein vortreffliches 
Lehrbuch der Rechenkunst und Geometrie von großer 
Beichlialtigkeit und Klarheit, in dem uns auch manches 
Keue begegnet, danmter einige Beihenbetrachtungen und 
kombinatorische Aufgaben, femer eine wirkliche Methode 
zum EatioDalmachen zweigliedriger Nenner. 



Die Zeit des Aufachwungfes der Algebra. 89 

Ton besonderer Bedeatung erscheint eine Aufgabe 
ans der Lehre von den Maximalwerten einer Funktion: 
Die Zahl 8 soll in zwei Teile geteilt werden, die mil^ 
einander und überdies mit ihrer Differenz vervielfacht 
das größtmögliche Produkt hervorbringen. Tartaglia 
eagt: Man halbiere 8; das Quadrat der Hälfte, vermehrt 
mn sein Drittel, ist dann das Quadrat der Differenz 
der beiden Teila Allgemein lautet also die H^el, 
■wenn a die Zahl und s, y die beiden Teile sind, 

(a\* 1 /a\* a* 
2/ "^3 V2/""3 ' ^° 

=^=y+^^i2' ^=^-Vt2- 

Der letzte Abschnitt des Werkes enthält die Algebra, 
die jedoch über quadratische Oleichmigen nicht hinaus- 
geht. Den Glanzpunkt des „Oeneral Trattato" bilden 
die geometrischen Kapitel, deren zahlreiche — häufig 
auf den (Gebrauch unveränderter Zirkel weite edage- 
Bchränkte — Eonstniktionsaufgaben Tartaglia als ge- 
wandten imd geistreichen G-eometer erkennen lassen. 

Als einfache Beispiele der int«ressaDten Konstraktionea 
mit einer ZirkelöffnuDg führen wir folgeude an: Eine Strecke 




1 täae beliebig gegebene Antahl gldcher Teile zu teilen. 
Im die Endpunkte der Strecke werden mit dem gegebenen 



90 Neuzeit. 

Zirkel Kreise beschrieben and auf ihnen Bogen von 60° vom 
Schnittpunkt« der Strecke ans &nfgetragen, auf dem einen 
Kreis nach obeni auf dem anderen nach unten. Die Mittel- 
punkte der Kreise verbindet man mit den ao auf den Kreisen 
selbst bestimmten Pnnkten durch Radien, die pat^lel sind 
und auf das n-(z. B. 3-)facbe verlängert werden. Die Ver- 
bindungalinien der entsprechenden Punkte auf diesen beiden 
Strecken schneiden die gegebene Strecke in den gesuchten 
Punkten. — Über einer Strecke AB ein gleichseitiges 
Dreieck za zeichnen. Man schneide Ton A aus anf der 




(eventuell verlängerten) AB mittels des gegebenen Kreises 
AD ab und ebenso Ton B aus BC, konstruiere über AD und 
BC die gleichseitigen Dreiecke, wodurch man B als dritten 
Eckpunkt des gleichseitigen Dreieckes Aber AB erhält. (F'g 6.) 

Obwohl in dieser Periode des Aufschvninges dei- 
Algebra die Geometrie zu rock treten mußte, beweist uns 
doch das Beispiel Tartaglias, daß ea nicht ganz an 
Mämiern fehlte, die ihr verstand niBvolle Beachtung 
widmeten. Diese Tatsache finden wir bestätigt, wenn 
wir einen Blick auf die anderen Länder werfen. Wir 
heben den PortugieaenPedroNunez(Nonius, 1492 — 1577) 
hervor, der den Rumbus, die Linie kürzester Schiffsbahn 
entdeckte, die später von Snellius Loxocirome benannt 
wurde. 

Nunez machte auch einen geistreichen Vorschlag für ge- 
naue Winkelmessungen, der aber mit dem sogenannten Nonius 
nichts zu tun hat, dessen !E^ndung vielmehr dem deutseben 
Mathematiker Clavius (Klau) zuzuschreiben ist (1606). 



Die Zeit dea Aufschwunges dar Algebra. 91 

ÜDter den Deutschen erwähnen ■wir Peter Apianns 
(Bienewiti, 1495 — 1562) und Gemma-Frisius 

(1508 — 1555), der die ersten Vorschriften za einra 
widiren Triangulation gab imd dasnit an die Spitze 
der niederländischen geographischen Schule trat, deren 
Haiiptvertreter, Gerhard Mercator, sein unroittelbarer 
Schüler ■war. 

Ein tüchtiger Geometer war Johannes Werner 
(1468 — 1528 ), ein gründlicher Kenner der grie- 
chischen Kegelschnittslehre und Freund strenger Be- 
■weiafühmng. In einer seiner zahlreichen Hand- 
Bchriflen trigonometrischen Inhaltes war die Erfindung 
der sogenannten Prosthaphäresis (von ngöo'&eaig, 
Addition und &q)alQBaig, Subtraktion) enthalten, der 
Vorgängerin des logarithmischen Rechnens, die Multi- 
plikationen durch Additionen und Subtraktionen er- 
setzen lehrte. 

Neben Werner haben wir als hervorragenden geo- 
metrisclien Schriftsteller zu nennen Albrecht Dürer 
(1471—1528), den größten deutschen Künstler des 
16. Jahrhunderts. 1525 veröffentlichte er ein Werk 
unt«r dem Titel „Underweysung der messung mit dem 
Zirkel und richtscheyt in Linien ebnen vnd gantzen 
corporen durch Albrecht Dürer zusamen getzogen vnd 
zu nutz allen kunstliebhabenden mit zugehörigen figuren 
in truck gebracht", das eine reiche perspektivische Lite- 
ratiu" in Deutschland begründete. Unter den zahlreichen 
Kurvenkonstruktionen finden -wir hier zum erstenmal 
die Epi zykloide. 

Dürer ist der erste, der Näherungskonstruktionen 
stets mit dem vollen Bewußtsein ausführt, daß er es 
mit solchen zu tun habe. So sagt er z. B. bei der 
Verwandlung des Quadrates in einen Kreis: „Solches 



92 Neozeit. 

ist noch nit vod den gelertea demonstnrt Mechanice 
aber das ist beyleyfig also das es im werk nit oder 
gar ein kleins feit mag dise vei^leyclmQss also gemacht 
werden." In der auf den Würfel angewendeten Lehre 
von der Beleuchtung und vom Schattenwerfen spricht 
er den Satz aus, daß alles, was zwischen denselben 
Orenzstrahlen enthalten sei, dem Auge in einer Größe 
erscheine, „es sey nabent oder fern, aufrecht vber ort 
oder krum". Auch die Zeichnungen zusammenhängender 
EOrpernetze sind Därers Erfindung. In allem bew&hrta 
sich DOrer als wahren Qeometer, der geometrische 
Strenge mit Freude an der Gestalt verband. 

Dürer Termeidet die Fremdwörter. Er nennt die Kreis- 
fläche „eyn runde Ebne", das Quadrat „^fierte Ebne", die 
Kugel ,eyn kugelet« Ebne", die Zylinderfläcfae „eyn bogen 
Ebne", Der Ponkt heißt „eyn tnptf", Parallele .die alweg 
gleich weit von einander lauffen" oder .ejm barlini", die 
Ellipse .Bierlinie", die Parabel .Brennlinie", die Hyperbel 
„Gabellinie" die Epizykloide „Spinnenlinie*. 

Eine wissenschaftliche Tat vollzog 1533 Simon 
Grynäus der Ältere durch die erste Ausgabe des 
Urtextes der Euklidischen Elemente samt den ErlSute- 
nmgen des Proktus. DerselbeöelehrteveröffenthchlelöSS 
den griechischen Almagest, und 1544 erfolgte unt^r Leitimg 
des Thomas Yenatoriua (OechaiiEf) eine Ausgabe des 
griechischen Archimedes. Zugleich wurden die Übeiv 
Setzungen der griechischen Mathematiker bald ins 
Lateinische, bald in eine lebende Sprache immer häufiger 
(z. B. 1562 eine deutsche Übersetzung der ersten sechs 
Bücher der Elemente Euklids von Wilhelm Holzmann 
[Xylander], 1576 eine lateinische Diophantübersetzung 
von demselben). 

Infolgedessen nahm die Ausbreitung und Wert 
Schätzung geometrischer Kenntnisse stelig zu und ee 



Die Zeit des Aufachwnnges der Algebra. 93 

mehrten sich die Schriftsteller, die das von den Alten 
Überlieferte durch neue Gesichtspunkte zu bereichern 
strebten. Hierher gehSreo die Franzosen Johannes Buteo 
(1498 — 1572), ein geistvoller Geometer, iind Petrus 
Bamus (1515 — 1672), die Italiener Giovanni Battista . 
Benedetti (1530—1590), Francesco Maurolico (1494 
bis 1575), Federigo Commandino (1509 — 1575), 
velche die Mechanik durch geometrische BegrOndung 
der Mathematik anzugliedern begannen. Die beiden 
Letztgenannten entwickelten Überdies eine rege Tätig- 
keit als Übersetzer und Herausgeber der antiken Mathe- 
matiker. 

Maurolico ist auch der Erfinder der Methode der voll- 
Btändigeo Induktion durch den Schluß von n auf n-fl, 
einer der fruchtbarsten der gesamten Mathematik. 

Bedeutende Förderung auf dem angedeuteten Wege 
Terdankt die Mechanik dem großen niederländischen 
Mathematiker Simon Stevin (1548 — 1620), der das Gesetz 
des Gleichgewichtes auf der schiefen Ebene und das 
hydrostatische Paradoxon entdeckte und DntersuäLungeu 
über die Stabilität schwimmender Schiffe und Ober d^ 
Seitendruck der Flüssigkeiten anstellte, wobei er sich 
infinitedmaler Zerlegung der Seitenwand bediente. 

Als gewandten Geometer erkennen wir Franpois 
Yiäte (1540 — 1603), den grOfIten franzßsischen Mathe- 
matiker des 16. Jahrhunderts, aus seinen 1593 ge- 
druckten "Werken: „Bffectionum geometricarum canonica 
reoensio" und „Snpplem^tum geometriae". Das erstere 
ist eine algebraische Geometrie, d. h. eine Zusammen- 
stellung der Konstruktionen, durch die man gewisse 
Bechnungsaufgabeu geometiisch lOsen kann. Das zwdte 
Werk behandelt Aufgaben, die nicht mehr mit Zirkel 
und Tjneal, sondern durch verschiedene Kurven lOsbar 



94 Nenzeit. 

sind. Hier findet sioh als allgem^es ßrgebnis der 
bedeutungsvolle Satz, daß jede kubische oder biquadra- 
tisobe Gleichung, wenn sie sonst nicht lösbar sei, da^ 
durcb gelost 'werde, daß man sie entweder auf die Ein- 
sdüebuLg zweier mittlerer ProportionaleD oder auf eine 
Wiulceldreiteiluiig zurückführe. Viöte ist auch der 
eigentliche Entdecker der Äbnlidikeitapunkte zweier 
Ereise, wenn er audi die Anregung dazu aus Pappos, 
der 15S8 durch Commandinus herausgegeben worden 
war, erhalten haben dürfte. In seinen „TennischteD 
Aufgaben" von 1593 ist der £osinu5satz ausgesprochen, 
femer zum ersten Male das reziproke Dreieck eines 
sphärischen Dreiecks erwähnt Das Bestehen polarer 
Beziehungen zwischen je zwei Sätzen der Sphärik, sogar 
die allgemeine Gültigkeit des Dualitätsprinzips, das 
im 1 9. Jahrhunderte ein Hauptwerkzeug der synthetischen 
Geometrie wurde, erkannte er mit voller Klarheit 

Im selben Jahre stellte Adriaen van Boomen 
{Adrianua EomanuB 1561 — 1615) eine öffentliche Auf- 
gabe, deren Lösung auf eine Gleichung 45. Grades 
führte. Viet« lieS die Lösung schon 1594 im Drucke 
erscheinen. Sowohl der, der diese Aufgabe stellte, als 
auch der, der sie löste, mußte wissen, wie die Sehne 
des m-fachen Bogens aus der des einfachen gebildet 
werden kann. Viöte ging aber noch weit darüber 
hinaus. Er begnügte sich nicht mit der einen von 
van Boomen berechneten Wurzel, soDdern gab alle 
23 positiven Wurzelwerte. (Negative Gleiehungswnrzeln 
'v^'urden auch damals noch nicht gezählt) 

Auch von anderer Seite fand im 16. Jahrhundei-te 
die Tr^nometrie eifrige Pflege. Nikolaus Koper- 
nikua (1473 — 1543), der seinem unsterblichen Werke 
„De revolufionibus" einen kurzen Lehrgang der Trigono- 



Die Zeit des Anfschwnnges der Algebra. 95 

metrie einverleibte und der auch die Fuuktdon Sehaute 
in die WiBsensehaJt einführte, hatte als SchOler Georg 
Joachim RhÄticue (1514—1576), den VerfasBer des 
groBartigaten trigonometriachen Tabellenwerkes, in dem 
Sinus, Tangente und Sekante der um 10" zunehmenden 
Winkel auf 10 Dezi mala teilen berechnet 'waren. Ea 
wurde 1696 von Yalentin Otho als „Opus Palatinum 
de triangulis" herausgegeben und enthielt auch eine 
vollständige ebene und sphärische Trigonometrie, in 
welch letzterer besonders die Unterscheidung der doppel- 
deutigen EUIle zu erwähnen ist. Noch genauere von 
Bhäticus Terfafito Tabellen, den „großen Kanon", gab 
Bartholomäus Pitiscus (1561 — 1613), der Urheber 
des Terminus „Trigonometrie", 1613 unter dem Titel 
„Thesaurus mathematicus" heraus. 

Ein TJehimworbenea Spezialgebiet bildete so. jener Zdt 
die Kreisrecbnaag. Viöte setzte das Verfahren des 
Antiphon in Rechnung nm und gelangte auf einen Wert ftlr 

— , der das erste unendliche Produkt ist, du aufgestellt wurde. 
Im nOanon mathematicus" hat er ic auf 10 Stellen richtig be- 
rechnet Adrianas Romanns entwickelte n auf 16 Sl^en 
nndLndolf van Cenlen (1540— 1610) auf 20, 32 und schlieJJ- 
. tich auf 35 Stellen. Erwähnenswert ist der von Adriaen 
Uetins (1671— 163&) berechnete Wert Ji = |H wegen der 
vortrefflichen Annähenuig bä vergltichweise Ideinen Ter- 
hältniGzahlen. 

Als bedeutende Algebraiker in der zweiten Hälfte 
des 16. Jahrhunderts sindRafaele Bombelli und Sterin 
zu nennen. Ersterer stellte in dem 1572 veröffent- 
lichten Werke „l'AIgebra" die Wurzeln der kubischen 
Qleichung im irreduziblen Falle durch Umformung der 
Irrationalitäten in der einfachsten IToim dar. Hier 
Idirte er auch die AuBziehuug der Quadratwurzel mittels 
der EettenbrUche an einem Beispiele. 



96 Nenzeit. 

Im Anschliisse an Bombelli verwendete Stevin bei 
Bezeichnung der Potenzen der unbekannten eingeringelte 
Zahlen, wobei auch der richtige Begriff der eingeringelten 
Null und eines eingeringelten Bruches nicht fehlt; so 
wftre z. B. ein eingeringeltes -| das Symbol für die 
Kubikwurzel aus dem Quadrate der Unbekannten. Er 
versteht auch das größte gemeinsame Maß zweier Poly- 
nomien (multinomie algebriqtie nennt er sie) zu finden 
in der Absicht, gemeinschaftliche Faktoren aus deu 
Gleichungen wegzulassen und dadurch der Lösung 
höherer Gleichungen näher zu kommen. 

Der größte Algebraiker seiner Zeit war Vifete, auf 
den die eigentliche Theorie der algebraischen Glei- 
chungen vorzüglich zurilckgeht Sein größtes Verdienst 
ist die Erfindung der Buchstabenrechnung. Nicht 
als ob vor ihm überhaupt keine allgemeinen Buchstaben- 
großen gebraucht worden wären, aber die ausschließliche 
und folgerichtige Verwendung haben wir ihm zu vec- 
danken. In dem 1591 ersohieneneu Werke ,JJi artem 
analyticam isagoge" spricht er das Geeetz der Homo- 
geneität aus, vermöge dessen nur Längen mit Ijäogen, 
Flachen mit Flächen, Körper mit Körpern, Verhältnisse 
mit Verhältnissen verglichen werden können — ein 
Gesetz, das den griechischen Mathematikern der klassi- 
schen Zeit als selbstverständlich galt, von Heron, 
Diophaut u. a. aber nicht mehr befolgt wurde. In der 
Logistica speciosa (aUgemeinen Arithmetik) führt nun 
Viöte dieses Prinzip für die BuchstabenrechnuDg durch. 
Die großen Buchstaben des lateinischen Alphabets, die 
er dabei verwendet, stellen Gebilde vor, die dem Ge- 
setze der Homogeneität unterworfen sind. Es sind 
Größen, nicht Zahlen — allerdings nicht mehr geome- 
trische Größen, da die in einer Gleichung auftretenden 



Die Zeit des Anfsehwnoges der Algebra. 97 

Glieder fast beliebig hoher Dimension sein kOnneD, 
Tenn sie nur alle gleich hoher Dimension sind. Die 
gesuchten OrOßen "werden durch die Vokale A, E, J, 
0, "V, Y dat^stellt, die gegebenen durch die Konso- 
nanten B, G, D usw. Er bezeichnete also mit Buch- 
staben nicht nur die unbekannten GrSBen, sondern auch 
solche, denen man in der gerade vorliegenden Unter- 
suchung irgend einen Zahlenwert beilegen konnte. So 
begründete er eine wirkliche Buehstabenreehnung, die 
alle RechuuDgen umfaßt, die man durch Einsetzen aller 
möglichen "Werte für die Buchslaben erhielte. 

In den „Anmerkungen zur Logistica Bpecio^a" be- 
handelt Vigte unter anderem die BUdung rationaler 
rechtwinkliger Dreiecke auseinander und zwar ganz 
allgemein diurch Zusammensetzung von sin n a und 
cos na aus sin« und coe«. Eine Anwendung davon 
macht er zur Lösung der Gleichung dritten Grad^ 
im irrediiziblen Falle, die er auf eine Winkeldreiteilung 
zurückführt. 

Als Hauptergebnis seiner mathematischen Unter- 
suchungen gibt er selbst die Zusammen eetznng von 
Gleichungen aus linearen Faktoren und die Darstellung 
der Koeffizienten durch die Wurzeln an. Da er nur 
positive Wurzeln anerkemit, so wendet er allerdings 
diese Kenntnis zunächst nur auf Gleichungen mit lauter 
solchen Lösungen an; doch ist es wahrscheinlich, daß 
er in einem verloren gegangenen Werke auch für 
Gleichungen, die negative Wurzeln besitzen, die Bildung 
der Koeffizienten darlegte. 

In einer 1600 gedruckten Abhandlung finden wir 
eine Näherungsmethode zur Auflösung algebnüscher 
Gleichungen beliebigen Grades, die Ähnlichkeit mit dem 
WurzeUiusziehen hat Wenn auch das Verfahren för 

Sturm, Geschichte der Hnthematib. 7 



98 Neuzeit. 

Gleichungen verschiedener Grade sich ändert und nnr 
auf die Berechnung einer (positiven) Wurzel abzielt, 
ist es doch ffir die Zukunft von grundlegender Be- 
deutung geworden und übertrifft die ,^ldene Begel" 
des Cardaoo und die Methode St«vins. 

Die glänzenden Erfolge, die das Gtenie ViMea aus 
der glücklichen Yerbindung der Algehra mit der Trigono- 
metrie in beiden Disziplinen errang, wurden vermehrt 
durch den Sobwdzer Mathematiker Joost Bürgi 
{1552 — 1632), der zuerst eine Gleichung mit voller 
Absicht auf Null reduzierte und erkannte, daß die 
übrigen "Wurzeln der zur Berechnung der Seite eines 
regelmäßigen Vielecks dienenden Gleichung durch die 
Diagonalen gegeben sind. 

Eine für das praktische Bechnen höchst wichtige 
Vereinfachung gelangte durch die großen Mathematik^ 
Viöte, Stevin, Bürgi zum vollständigen Durchbruche, 
die Einführung der Dezimalbrüche. Besonders Stevin 
sprach in seiner Äbhandlimg „La Disme" (1585) klar 
den Gedanken aus, alle Rechnimgen des Geschäftslebens 
ohne Brüche, nur mittels ganzer Zahlen auszuführen. 
Von ihm unabhängig gelangte Burgi, der sich zuerst 
eines Punktes zur Abgrenzung von Dezimalstellen be- 
diente, zu der gleidien Vereinfachung. Er lehrte auch 
schon die abgekürzte Multiplikation. 



2. XTII. JabrhuDdert. 

Die wissenschaftliche Mechanik, die wir in Italien 
entstehen sahen, nahm in diesem Lande einen außer- 
ordentlichen Aufschwung durch Galileo Galilei 
(1664 — 1642), der in seinen „Discorsi e demostrazioni 
matematiche intorno a due nuove scienze" die Be- 



XVn. Jahrhundert. 99 

wegTingslehre begründete. Die in dem neuen Gebiete 
notwendigen Untersuchungen waren vomehmlich infini- 
tesimaler Natur und wirkten so intensiv auf die Mathe- 
matik zurück, daß der Begriff der Bewegung in dieselbe 
eindrang und zur Klärung des Begriffes der Stetigkeit 
■vieles beitrug — eine Erscheinung, die besonders in 
den Formen hervortritt, unter denen sieh die Infinite- 
simal reclinung in England entwickelte. 

Galileis hervorragendster Schiller, Evangelista Tor- 
rieelli (1608 — 1647), gab 1644 ein mathematisches 
Sammelwerk „Opera geometrica" heraus, in dem er die 
Tangente an die Parabel mit Hilfe des Parallelogrammes 
der Bewegungen konstruierte. Hier finden mr auch 
zuerst den Begriff der einhtlllenden Kurve angedeutet, 
femer die Rektifikation der logarithmischen Spirale. 

Als bedeutenden Geometer haben wir noch einen 
anderen Schüler Galileis zu nennen, "Vincenzo Viviani 
(1622— -1703), der aus den wenigen vorhandenen An- 
deutungen die Wiederherstellung des 5. Buches der 
Kegelschnitte des Apollonius versuchte, die durch das 
bald darauf wiedergefundene Werk glänzend bestätigt 
wurde. 

Ein anderer dem Galileisohen Kreise angehöriger 
Mathematiker istBonaventuraCavalieri(1591? — 1647), 
der 1632 die Entdeckung Galileis, daß die Fallinie eine 
Parabel sei, veröHentüchte. Auch die Formel für den 
Flächeninhalt des sphärischen Dreieckes machte er in 
einem gleichzeitig gedruckten Werke bekamit. Sein 
Hauptvi'erk führt den Titel „Geometria indivisibilibus 
contdnuorum nova quadam ratione promola" und wird 
gewöhnlich fcura als „Die Indivisibilien" bezeichnet. 
Es erschien 1635, verbessert 1653. Die Hauptsätze 
sind: Ebene Figuren oder auch Körper stehen in dem- 



100 Neuzeit. 

selben Verhältnisse wie die Gesamlheit ihrer parallelen 
Geraden oder Ebenen; femer: Ebene Figuren wie 
Körper sind gleich, wenn in gleicher Höhe geführte 
Schnitte gleiche Strecken beziehungsweise gleiche 
Flächen ergeben. Bei aller Unklarheit, die dem Begrifle 
der Indiviaibilien anhaftet, treten doch hier zum ersten 
Male die Ideen der Differential- und Int^ralrechnung 
deutlich hervor. 

In den einfachsten Fällen liefert Cavalieris Methode 
folgende Ei^bnisse. Für das Faratlelogramm sind die unteil- 
baren Oröllen Parallele zur OruDdlioie; ihre Anzahl ist 
proportional der Höhe. Daher ist die UaOzahl der Fläche 
eines Parallelogrammen das Produkt aus den Maüzahlea der 
amndlinie und Höhe. Der ontsp rech ende Schluß gilt für 
das Prisma, um ein Dreieck mit dem Parallelogramm von 
gleicher Qrandlinie und Höhe zu vergleichen zerlegt man 
wieder die Flächen in Indivisibilien dDrch Parallele zur Grund- 
linie. Die Indivisibilien des Dreieckes sind I, 2, 3, , . . n, 
die des Paralleli^ranimes n, n, . . . n, also das Verhältnis 

Dreieck _ l-|-2-i-... + n_ n(n + I) _l(' 1\ 
Parallelogramm n - n 2 n' 2 1 "*" n/' 

woraus für n = oo der Wert -J- folgt. Ebenso erhält man fUr 
die entsprechenden Körper 

Pyramide ^ l'-f 2' + ...-i-n* ^ n(n-l-l) (2n + l) 

Prisma n' 6 n' 

woraus für n = 00 der Wert J folgt. 

Cavalieri war ohne Zweifel beeinflußt von dem 
großen Johannes Kepler (1571—1630), dessen 1615 
gedruckte „Stereometria doliorum" (Fässerm essung) die 
Grundlage aller späteren Kubaturen geworden ist 
Dieses Werk besteht aus drei Teilen, deren erster im 
Anschlii.sae an Archimedes die Rauminhalte von 92 Um- 
drehungskörpem änden lehrt, von denen einige nach 



XVH. Jahrhundert. 101 

Frücliteii benannt werfen, so der apfelförmige, der 
zitronenförmige, der oÜTenförmige Körper, Kepler go- 
lai^ zur KörpermesBung voe der FlflcheEmessung aus. 
Die Kreisperipherie hat so viele Teile als. Punkte, also 
unendlich viele. Jedes Teilchen ist die Basis eines 
gleichscheDkligen Dreieckes, dessen Scheitel der Mittel- 
punkt des Kreises ist Ein einziges Dreieck mit der 
Peripherie als Basis und dem Radius als Höhe besitzt 
demnach alle jene Dreiecksgrundlmien aneinandergefügt, 
. und über jeder derselben gibt es ein Dreieck mit dem 
Scheitel als Spitze, das einem jener früheren Dreiecke 
gleich ist; folglich ist das ganze Dreieck gleich der 
ganzen Kreisfläche. Durch Analogieschlüsse geht nun 
Kepler zu den Körpern über. Interessant ist es, dafi 
wir in diesem Abschnitte die erste inverse Tangentea- 
aufgabe antreffen, indem bei Bestimmung der Art einer 
Kurve von einer g^ebenen Tangente ausgegangen wird. 
Der zweite Teil des Werkes untersucht die zweck- 
mäßigste Faßgestalt, die bei Verbrauch der geringsten 
Menge Holz den größten Inhalt besitzt. Info^edessen 
handeln die meisten Sätze über WftTJma und Minima, 
in deren Wesen Kepler so tief eindrang, daß er das 
Terschwinden der Veränderungen einer Funktion dicht 
beim Maximalwerte erkannte. 

In der „Ästronomia nova" von 1609 stellte Kepler 
eine Untersuchung an, die zur Auswertung des be- 
stimmten Int^rala /sin ip-A<p=l^oosfp führt. In 

der „Harmonice mundi" behandelte Kepler zum ersten- 
mal Stemvielflächner; ferner führte er den Begriff des 
ErOmmungahmses in die Geometrie ein und die un- 
endlich fernen Gebilde, indem er für die Parabel 
einen blinden Brennpunkt aufstellte, der nnendlich 



102 Neuzeit 

weit von dem ersten auf der Achse entfernt sei, so 
(laß die zu ihm hin gezogenen Geraden zur Ädise 
parallel seien. 

Wie die astronomischen Entdecliungen, die Keplere 
Namen unsterblich machten, beweisoH auch seine mathe- 
matiscJien Leistungen eine wunderbare Vereinigung 
wahrhaft dichterischer Phantasie mit der klarsten mathe- 
matischen Einsicht Infolge letzterer verschmähte er 
es auch nicht, den Erleichterungen des praktischen 
Rechnens seine Aufmerksamkeit zu schenken, die am 
Anfange des 17. Jahrhunderts erfunden wurden, den 
Logarithmen. 

Die erste Erfindung der Logarithmen dttrfte Bürgi 
zuzuschreiben sein, während der Ruhm der Terbreitung 
und allgemeinen Nutzbarmachung derselben unbestritten 
dem Lord Neper zukommt. Bürgi, dessen Ver- 
dienste für die Anwendung der Algebra auf die Trigono- 
metrie und die Einführung der Dezimalbrüche schon 
erwähnt wurden, war einer der erfindungsreichsten 
Rechner. Ausgehend ron zwei zusammengehörigen 
Reihen, einer arithmetischen und einer geometrischen, 
verfertigte er zwischen 1603 und 1611 eine Tafel der 
roten und schwarzen Zahlen, deren erstore die Zahlen 
der arithmetischen Reihe (Logarithmen), letzlere die der 
geometrischen Reihe (Zahlen) darstellten. Die Tafel ist 
doppelten Einganges imd nach den roten Zahlen ge- 
ordnet, daher in Wirklichkeit eine antilogarithmische 
Tafel. Trotz Keplers Aufforderung: kam aber Bürgi nicht 
dazu, seine Tafel in Druck zu geben. Dies geschah erst 
1620 unter dem Titel: „Arithmetische und Geometrische 
Progress-Tabulen , sambt gründlichen vnterricht , wie 
solche nützlich in allerley Rechnungen zu gebrauchen 
vnd verstanden werden soll." Noch dazu dürfte dies^ 



XVn, Jahrhundert 103 

„gröndliehe Unterricht" gar nicht gedruckt worden sein 
(orst 1856 nach einer Handschrift). 

Inzwischen erschien 1614 die „Descriptio mirifici 
logarithmonim canonis" dea John Neper (1550—1617), 
der 1619 nach dem Tode des Verfassers die schon 
vor der „Descriptio" ausgearbeitete „Constructio" folgte, 
Neper geht aus von der Bewegung zweier Punkte. 
Der erste bew€^ sich gleichförmig und die von ihm 
zurückgelegten Wege bilden die arithmetische Reihe 
der Logarithmen; der zweite bewegt sich gleichzeitig, 

aber so, daß er in der 1. Zeiteinheit — des ganzen 

1 ™ 
Weges, in, der 2. Zeiteinheit — des noch übrigen 

Weges usw. durchläuft {durchfließt, sagt Neper). So 
entsteht die fallende geometrische Beihe der Zahlen. 
Während also die Logarithmen wachsen, nehmen die 
Zahlen ab. Sowohl bei Bürgi als auch bei Neper gibt 
jedes Glied der arithmetischen die gesuchte Nummer 
des entsprechenden Gliedes (Verhältnisses) in der geo- 
metrischen Reihe, daher der Name „Logarithmiis" (Xöyov 
äQi&ft6g). Als Basis des ursprQnglichen Neperschen 

Systems ergibt sich annähernd— , Später setzte Neper den 

log 10=1 und ließ somit Lc^arithmen und Zahlen gleidi- 
zeitig wachsen. Dies geschah unter dem Einflüsse des 
Henry Briggs (1556 — 1630), der die Logarithmen der 
Zahlen 1 bis 20 000 und 90 000 bis 100 000 berechnete. 
Die Berechnung der übrigen Logarithmen besorgte Adriaen 
Vlack. InDeutschland fanden dieNeperschenLogarithmen 
eifrige Verbreiter in Benjamin Drsinus (1587—1634?) 
und besonders in Kepler, der sie auch in seinen 1627 
herausgegebenen Rudolf! nischen Tafeln benutzte. 



104 Nenieit. 

Herrorzuheben sind noch die Leistungen fTepers 
auf dem Qebiete der sphärischen Trigonometrie erst- 
lich durch die ZuBammenfassung aller Fälle des renht- 
'winkligoD Dreieckes in eine Begel und zweitens durch 
Anfst^ung der ersten zwei der nach ihm benannten 
Analogien: 

y + Ä b 

,i„___.B,n{,.-«).tg- ^^^ 



n (;- + «). sin i- 



. y + « -»-- f> 2 

' 2 
Dia vereinfachte Fonn der ersten Gleichung imd die 
beiden Fohu-formeln zu diesen stammen von Briggs her. 
Auf dem Felde beider Trigonometrien arbeitete 
sehr erfolgreich Willibroni Snellius {1581—1626), 
der bereits die Aufgabe des Rückwärtseinschnddens 
(später fälschlich „Potienotsche Aufgabe" genannt) »nd 
die „Hansensche Aufgabe" vollständig erledigte. Außer 
der schon Nikolaus von Kusa bekannten Oleidiung 

X = — gibt er für X auch noch eine obere Grenze 

2 + cos X 

tg— + 28in— an. Noch weit schwieriger war die von 

Kepler gestellte Aufgabe, von einem Punkte des Durch- 
messers eine Gentde zu ziehen, die den Halbkreis im 
Vei-hiatnisse m:n teilt. AJbert Girard (1590—1632) 
führte in die Trigonometrie manche bequeme Be- 
zeichnnugen ein und gab zuerst die sphärische Flächen- 



UVU. Jahrhundert. 105 

foimel in der 1629 gedruckten „Invention nouvelle en 
l'a^bre". 

Die eigentliche Bedeutung des letztgenannten Werkes 
liegt aber, eeinem Titel entsprechend, im algebraischen 
Inhalte. Wenn auch nicht neu, so dodi viel klarer 
als frQher sind Oirards Eenntoisse von den oegativea 
und imaginären Gleichuogs wurzeln. Er weiß, daß jede 
Gleichung so viele Wurzeln hat, als ihr Grad anzeigt, 
und daß die Koeffizienten aus den Kombinationen der 
Wurzeln sich darstellen lassen, VöDig neu ist die Be- 
rechnung symmetrischer Funktionen der Oleichungs- 
wurzeln (bis zur 4. Potenz) aus den Koeffizienten. 
Qirard erfand auch den Gebrauch der Klammern in der 
Buchstabenrechnung. Thomas Harriot (1560 — 1631) 
ftlhrt« in seinem Werke „Ärtis analjticae praxis", das 
erst 1631 gedruckt wurde, das Zeichen für „größer" 
und „kleiner" (^ ein. Er bediente sich auch konse- 
quent des von Hebert Becorde 1556 eingeführten 
Uleidiheitszeiehens (=) und stellte die Gleichungen in 
Obersichtlicher Form dar (aequatio canonica). 

Die 1637 gedruckte, epochemachende „G^raötrie" 
des Renö Descartes (Cartesius 1596 — 1650) wurde 
auch in der Algebra bahnbrechend. Die Anwendung 
der Buchstaben x, y, z für die Unbekannten, die heute 
noch übliche Potenzbezeichnung, die termini „reell" und 
,4niaginär" stammen aus diesem Werke. Weitaus am 
bedeutendsten aber ist die Zeichenrege] : Eine Gleichung 
kann so viele positive Wurzeln besitzen, als das 
Gleichungepolynom Zeichenwechsel aufweist, und so 
viele negative, als das Qleichungspolynom Zeichenfolgen 
liat. Zur Auflösung der Gleichungen bediente er sich 
der Zerlegung des Gleichungspolynoms in Faktoren — 
eine Methode, mit der sich auch Florimond Debeaune 



(1601 — 1652) und Franz van Schooten (1615—1660) 
in ihren ErlJuteruDgen zu Descartes' Geometrie be- 
schäftigten. Letzterer, der sich durch die Herausgabe 
der Werke Viötea und einer lateinischea Übersetzung 
von Descartes' Geometrie große Verdienste erwarb, gab 
dabei eioe der ersten Anwendungen- der von Descartes 
erfundenen Methode der uobestimmten Koeffizienten. 
Debeaune ist auch der Verfasser einer Schrift über 
die ganz neue Frage nach leicht bestinunbareo Grenzen, 
zwischen denen die Gleichungswurzel liegt. Mit der 
Aufgabe, eine Gleichung als Produkt mehrerer Gleichungen 
niedrigeren Grades darzusteUea, beschäftigte eich ferner 
Johann Hudde (1624 — 1704), der die Regel aufstellte, 
me man entsehdden könne, ob eine Gleioliung gleiche 
Wurzeln besitze. Ihm verdanken wir auch die an- 
fachfite und übersichtlichste Ableitung der Cardanischen 
Formel. 

Zwei bedeutsame Aufgaben der Algebra behandelte 
Pierre de Fermat (1601—1665), der größte Mathe- 
matiker, den Frankreich hervorgctiracht hat. Er be- 
handelte das Eationalmachen von Gleichungen und 
führte es zurück auf die EUramation von n — 1 Unbe- 
kannten aus n Gleichungen höheren Grades. 

Noch viel hervorragendere Terdienste erwarb sich 
Fermat in der Zahlentheorie. Auf diesem Gebiete 
hatteClaudeGaspard Sachet de Möziriac (1587— 1638) 
ganz neue Bahaen eröffnet durch seine mit lateinischer 
Übersetzung und Anmerkungen versehene Ausgabe des 
griechischen Texfes des Diophant (1621). Hier und 
in den 1612 veröfteatlichfen „Problömes plaisans et 
dölectables qui ae fönt par les nombres" hatte er eine 
vollständige Theorie der unbestimmten Gleichimgen des 
1. Grades gegeben. Über Diophant lünausgehend ver- 



XVn. Jahrhundert. 107 

langte er ganzzahlige Lösungen und entwickelte auch 
eine allerdinga etwas umständliche Äufl5sungsmethode, 
da die EettenbrÜche und ihre Eigenschaften daraale 
noch nicht genügend bekannt ^aren. 

Kettenbruchartig-e Biitwiek!iirg-en hatten wir zwar seit 
den Griechen wiederholt zu erwähnen, aber eine wirkliche 
Kettenbrachbezeiohnung- gab erst Pietro Antonio Cataldi. 
der 1613 die Quadratwurzelausziehung mittels eines unend- 
lichen Kettenbmohea lehrte. Unabhängig voa ihm schuf 
Daniel Schwenter (1585 — 1636) die Gmudlage der ganzen 
Lehre von den Kettenbrttchen mit dem Zähler 1, die spätei- 
(1703) Ton Christian Hnygena entwickelt wurde. 

Die „Problemes plaisans . . .' blieben bis in unsere Zeit 
Quelle für Unterhaltungs-Mathematik und es war ein, wie 
der Erfolg zeigte, glücklicher Gedanke, in neuester Zeit 
weitere Auflagen des alten Werkes zu veranatalten. 

Bachete Diophant übte auf Fermat eine mächtige 
Wirkung aus, die sich darin äußerte, daB er sein Hand- 
exemplar mit Handberaerkungen füllte, die dann 1670 
veröffentlicht wurden. Ändere zahlentheorelische Sätze 
finden wir in den „Opera varia" (1679) und inr» 
„Commercium episloücum" (1C58). Solche Sätze sind 
z. B.: ,^ ist unmöglich, einen Eubus in zwei Kuben, ein 
Biquadrat in zwei Biquadrate und allgemein irgend eine 
Potenz aufler dem Quadrate in zwei Potenzen mit dem- 
selben Exponenten zu zerlegen." (Der Beweis dieses 
Satzes, den Fermat nach seiner Behauptung besaß, ist 
nicht erhalten, und ea gelang bisher nicht, einen all- 
gemanen Beweis zu erbringen.) „Jede Zahl ist ent^ 
weder eine Dreieckszahl oder die Summe von zwei oder 
drei Dreieckszahlen, entweder eine Quadratzahl oder 
die Summe von zwei, drei oder vier Quadratzahlen, 
entweder eine Fünfeckszahl oder die Summe von 
zwei, drei, vier oder fünf Fünfeckszahlen usw," 
„Jede Primzahl p, die kein Teiler von a ist, teilt 



108 Neuzeit. 

aP-i_l" (Fermatscher Satz). 1657 legte Fermat 
allen Mathematlkeni die Aufgabe vor, a x^ -^ i = y» ^ 
ganzen Zahlen zu lOsen, wenn a eine gegebene ganze 
Zahl, jedoch keine Quadratzahl ist (die später sogenannte 
PellBche Gleichung). Ist es auch Fermat nicht gelungen, 
eine zusammenhängende Zahlentheorie zu schaffen, so 
kommt ihm doch das Verdienst zu, ein Gebiet der 
WissenBchaft von neuem eröffnet zu haben, das seitdem 
eine so bedeutende Entwicklung gewonnen hat. 

Mit zahlentheoretischen Stadien beschiUtigte sich 
auch Blaise Pascal (1623—1662); von nodi viel 
größerer Bedeutmig aber sind seine Leistungen in der 
Eombinationslehre und 'Wahrscheinlichkeits- 
rechnung, die in dem „Tnütö du triangle arithmStique", 
der 1665 in den Buchhandel kam, enthalten sind. Das 
arithmetische Dreieck ist eine Tafel der Binomial- 
koeffizienten in übersichtlicher Anordnung zur Auf- 
findung höherer arithmetischer Reihen und dCT Kom- 
bination »zahlen. Besonders wichtig ist seine An- 
wendung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung, zu der 
Pascal durch zwei Aufgaben eines Freundes veranlaßt 
wurde, deren erste fragte, ob es vorteilhaft sei zu 
wetten, dafi man in einer gewissen Anzahl von Würfen 
mit zwei Würfeln den Seohserpasch werfen werde, 
während die zweite zu wiss^ verlangte, vie man die 
Einsätze verteilen solle, wenn man ein Spiel unter- 
brechen müsse, das auf dne gewisse Anzahl gewonnener 
Einzelspiele gerichtet sei. Auf Einladung Pasc^ 
wendete auch Fermat diesen Fragen seine Aufmerksam- 
keit zu und verwendete die Kombinationslehre in dem 
neuen Gebiete. Dem Beispiele der beiden fninzOsist^iea 
Mathematiker schloß sich unverweilt auch Huygens an, 
der 1657 ein kleines Werk „über das Würfelspiel" ver- 



XVn. Jahrhandert. 109 

Der erste, welcher die neue Disziplin auf 
die QkonomischeD Wissenschaften anwendete, war Jan 
de Witt (1625—1672), der 1671 über die Art be- 
richtete, wie man die Höhe einer Lebenerente auf 
Grund einer Sterblicliteitetabelle zu bestimmen habe. 
Auch H u d d e machte Veröffentlichungen über diesen 
Glegenstand. Eine zuBammecf aasende Behandlung er- 
fuhr die Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Jakob 
Bernoulli in der nach dem Tode des Verfassers ge- 
drückten „Ars coniectaodi" (1713). Seither hat es 
kaum einen bedeutenden Algebraiker gegeben, der nicht 
auch einzelne Schritte in dieses Gebiet gemacht hätte. 

Claude Mydorge (1585—1647) verfaßte ein Werk 
über Kegelschnitte, das zwar im wesentlichen noch den 
von ApoUonius betretenen Bahnen folgt, aber durch 
manches Neue und besonders durch die übersichtliche 
Form ausgezeichnet ist Ganz neue und umfassende 
Clestchtspunkte hat man dagegen Girard Desargues 
(1593 — 1662) zu verdanken, der seinen Untersuchungen, 
besonders über die Kegelschoitte, die Bystematisehe An- 
wendung der Perspektive zugrunde legte. Er ist der 
Begrilnder jener Disziplin, die 150 Jahre Spflter den 
Namen der „deskriptiven Geometrie" erhidt. Sein 
wichtigstes Werk handelt über die Kegelschnitte (1G39). 
Hier finden wir die konsequente Anwendung der unend- 
lich fernen Gebilde, den Terminus „Involution" (nicht 
identisch, aber zusammenhängend mit der Involution 
der neuen Geometrie), die perspektivische Beweisführung, 
die Behandlung der Kegelschnitte überhaupt (nicht jedes 
einzelnen im besonderen). Auch der beriihmte Dach 
Desargues benannte Satz ist hier ausgesprochen. 

Desargues' Gedanken fielen jedoch auf keinen fruoht- 
baren Boden, ihre Weiterführung blieb einer späteren 



HO Neuzeit. 

Zeit vorbehalten. Den Praitikem war seine Dar- 
stelliiDg zu sdiwieng und fremdartig, die Tlieoretiker 
aber wendeten iltre Aufmerksamkeit vielmehr der damals 
entstehenden analytischen Geometrie zu. Nur Pascal 
verstand Desai^es' Leistungen so vollkommen, daß er 
sogleich ■weitere Portschritte zu machen imBtande war. 
Schon im Alter von 16 Jahren verfaßte er eine Schrift 
über die Kegelschnitte, die den bebannten Satz vom 
„Pascalschen Sechseck" (ton Pascal selbst „Eexagramma 
mysticum" genannt) enthielt. Er benutzte dasselbe, um 
die Eigensctiaften von TMigenten- und Sehnenvierecken 
der Kegelschnitte sowie dabei auftretende harmonische 
Teilungen und Durchmessereigenschaften herzuleiten. 
Pascal ist auch der Verfasser einer Abhandlung über 
die Methode der geometrischen Beweisführung, des 
ersten modernen "Versuches einer Philosophie der Mathe- 
matik. 

Ein bedeutender Geometer, der ebenfalls die Per- 
spektive auf die Kegelschnitte anwendete, ohne sich 
jedoch in demselben Grade wie Desargues von den allen 
Methoden zu befreien, war noch Philippe de Lahire 
(1640 — 1718), dessen Hauptwerk „Sectiones corneae" 
1685 erscliien. Hier treffen wir zum ersten Male den 
Namen „Harmonikale'', femer den Beweis, daS sieh 
die Berührungssehuen in einem Punkte schneiden, wenn 
die Ausgangspunkte der Tangentenpaare auf einer 
Geraden hegen. Die Namen „Pol" und „Polare" sind 
allerdings erst im 19. Jahrhunderte entstanden. 1694 
veröffentlichte de Lahire eine Abhandlung über die 
Epizykloide. 

Erwähnenswert ist auch seine allgemeine Methode zur 
Bildung: magischer Qaadrat«, nachdem schon Bachet, Pennat, 
Frenicle sich mit diesem Gegenstande beschäftigt hatten. 



XVII. Jahrhundert. 111 

Die analytische Geometrie, die in der ersten 
Hälfte des 17. Jahrhunderte entstand, verdankt ihren ür- 
^^prungden zwei größten franz5sischenMatheinatikem,Des- 
cartes und Fermat Verschiedene Schriftsteller zeigten 
das Bestrehen, bald die Geometrie der Algebra, bald 
die Algebra der Geometrie dienstbar zu machen, aber 
sie kamen nicht über die Eonstruktion von Strecken 
hinaus, die sieh in den Gleichungen als unbekannte be- 
fanden. So Oirard, van Schooten, de Sluse nnd 
Marino Ohetaldi aus Ragusa {1566 — 1627). Der 
letztere kam in seinem nachgelassenen, 1C30 gedruckten 
Werke „De resolutiooe et eompositione mathematica" 
dem neuen Gebiete am nächsten. Den entscheidenden 
Schritt aber machte erst Deaeartes in seiner „Geo- 
metrie" von 1637. Der algebnüsche Inhalt dieses 
Werkes wurde schon oben skizziert, der geometrische 
besteht aus der analytischen Geometrie der Ebene und 
oicem Hinweise auf die analytische Geometrie des 
Raumes. Doch bietet er nicht etwa einen Lehrgang 
der analytischen Geometrie dar, sondern nur einen kurzen 
Abriß, der die Gruiidl^en dieser Disziphn in großen 
Zögen andeutet. Descart«s definierte die Bedeutung 
der Algebra für die Geometrie dahin, daß die Gnind- 
operationen der Arithmetik sich auch in der Geometrie 
verwenden lasseu. Wie schon ApoUonius Punkte eines 
Kegelschnitts durch parallele Sehnen und ihre in der 
Richtung des konjugierten Durchmessers gezogenen Ab- 
stände von einer demselben System angehörigen Tangente 
bestimmte, so ist auch boi Descart:es jeder Punkt einer 
Kurve der Schnitt zweier Geraden. Aber er trennt 
diese Systeme paralleler Geraden ganz von den Kurven 
und weist ihnen eine selbständige Existenz zu. Die 
fimdamentalen Elemente zur Bestimmung eines Punktes 



1 12 Neuzeit. 

sind seine Koordinaten, zwei für einen Funkt der Ebene, 
drei fOr einen Punkt des Raumes. 

Kach Beiner eigenen Aussage verdankt Descartes 
die erste Anregung zn seinen geometrischen Unter- 
suchungen der Aufgabe des Pappus, den Ort z 
vier oder mehreren Geraden zu finden. K'' 
hätte die Vorzug der neuen Methode besser zeigen 
können als dieses. Für den Fall von drei Geraden be- 
zeichnet Descartes einen Abstand mit y, den Abstand 
des Pußpunktes von einem festen Punkte der zu- 
gehörigen Geraden mit x und beweist, daß jede andere 
gesuchte Strecke leicht konstruiert werden kann. liäBt 
man femer j nach und nach um unendlich wenig 
'wachsen, so wächst auch z um unendlich wenig und 
man ert^t auf diese Weise unendlich viele Punkte de.'; 
betreffenden Ortes. Die Unterscheidung der Kurven in 
zwei Klassen, die später von Leibniz algebraische 
und transzendente genannt wurden, ist Descartes ge- 
läufig. Er fordert auch die Einteilung der ersteren 
nach dem Grade und faßt deren je zwei zu einem 
i^nus" zusammen. {Erst Newton nannte eine Kurve, 
die durch eine algebraische Gleicliung n-ten Grades 
zwischen ihren Paiallelkoordinaten bestimmt ist, eine 
Linie n-ter Ordnung oder auch [n — l]-ter Gattung.) 
Eine unmittelbare Folge der Cartesiani sehen Koordinaten 
war die Zulassung negativer Zahlen. Sie hatten jetzt 
reale Bedeutung erhalten, da sie durch Strecken dar- 
gestellt werden konnten. 

Schon vor dem Erscheinen der „G4om6trie'', spätestens 
1629, war Ferraat im Besitze einer analytisch-geome- 
trischen Methode, wie aus Briefen hervorgeht; ver- 
öffentlicht freilich hat er seine Untersuchungen erst 
später. Dieselben gelien in wesentlichen Dingen weit 



XVIL Jahrhundert 11-J 

Ober Deseartes hinaus. Die Herstellung der Gleichung 
dnee geometriacheu Ortes «ird mit einer Klarheit be- 
Bchriehen, die wir bei Descartes vei^blich aucheu. 
Die Oleichungen können nach Fermat hergestellt Verden, 
wenn man zwei unbekannte Strecken unter gegebenem 
Winkel, meistens einem rechten, aneinandersetzt und 
filr eine der beiden Strecken einen Anfangspnnkt wählt. 
Die Bedeutung seines methodischen Verfahrens wird 
erhöht durch da fflr allemal gewählte Buchstaben zur 
Bezeichnung gewisser Punkte und StreekeD. Außer 
den Gtleichungeu der Kegelschnitt« in verschiedeneD 
Formen besitzt F^mat ausdrücklich die Gleichung der 
Geraden, die sich bei Descartes nicht findet In einer 
bedeutend später, etwa 1660 entstandenen Abhandlung 
wendet er sich g^en Descartes, der nicht erkannte, 
daB zwei Kurven, deren eine vom m-ten, die andere 
Toa n-ten Grade ist, genflgen, um eine Gleichtuig vom 
mn-ten Grade zu lösen. Dagegen macht« Fermat keinen 
Tersuch, die analytische Geometrie auf den Baum aus- 
zudehnen. 

Die Torteile, welche die analytische Geometrie dar- 
bot, kamen weniger der elementaren Geometrie zu- 
statten, als vielmehr der höheren Kurvenlehre, indem sie 
sich in natürlicher Gegenseitigkeit mit infinitesimalen 
Betrachtungen verband. 

Derartige Betrachtungen hatten Kepler und Cava- 
lieri zum Zwecke von Quadraturen und Kubaturen an- 
gestellt; in Descartes' „Geomötrie" treffen vrir zum 
ersten Male die Lösung einer Aufgabe, die von nun an 
durcli lange Zeit die Mathematiker beschäftigte, die 
Tangentenaufgabe. Descartes behandelt sie als 
Normalenaufgabe in der Weise, daß er um den auf der 
z-Achse gelegenen Fufipunkt der im Kurvenpunkt« P 

Sturm, Geschichte der Hstbematik. 8 



114 Neuzeit. 

erriclitefaQ Normale einen Kreis durch P beechrdbt und 
ausdrückt, daß dieser die Kurve im Punkte P in zwei 
aufeinanderfolgenden Punkten schneidet, d. L er stellt 
die Bedingung auf, daß nach EUmination von x die 
Gleichung in y eine Doppelwurzel hat. In dem Brief- 
wechsel Descartes' finden wir manche Dinge aus dar 
höheren Kurvenlehre, Quadraturen, Kubaturei von 
Rotationskörpern imd Tangentenkonstruktdonen, auch eine 
inverse Tangentenaufgahe. Von den hehandelten Kurven 
seien erwähnt Parabeln verschiedener Ordnung, die 
Zykloide ftloulette , Trochoide) , das f olium Cartesii 
(x* + y^ = n X y), die logarithmische Spirala Descartea 
versteht seine Aufgaben mittels genialer Kunstgriffe 
zu behandeln, läßt aber einen den imieren Zusammen- 
liang umfassenden einheitlichen Qesichtspunkt ver- 
missen. 

Fermat dagegen bedient aich einer allgemeinen 
Methode, die er folgendermaSen beschreibt: Uaa setze 
in dem zu einem Maximum oder "Winimiiw i zu machenden 
Ausdrucke statt der unbekannten A die Summe zweier 
Unbekamiten A -f E und betrachte die beiden Formen 
als annähernd gleich, streiche auf beiden Seiten, was 
zu streichen ist, und erhält dadurch lauter mit E be- 
haftete Glieder. Dividiert man dann durch E und 
elidiert die E noch enthaltenden Glieder, so bleibt die 
Gleichung, die den Wert von A liefert, der das Maxi- 
mum oder Minimum hervorbringt; d. h. nach unserer 

Bezeidmung: A aus der Gleichung suchen --■- — ^0. 

Das erste Beispiel Fermats verlangt, B in zwei Teile zu 
teilen, so daß ilir Produkt ein Maximum wird. Nach 
der ersten Annahme heißen die Teile A und B — A, nach 
derzvreiten AnnahmeA-|-E undB— A— E. Manhatalso 



XVII. Jahrhundert. • 115 

A(B-A)-={A+E)(B— A-E)oder 0=E{B— 2A— E). 
Nach DiviBion durch E ist B = 2A + E. Nun -wird E 
elidiert und es ist A = -^B. Die Mängel der An- 
wendung sind evident, auch fehlt jegliche Begründung, 
gleichwohl ist sich Fennat des Yorzuges seiner Methode 
vor der Cartasianisehen mit Recht wohl hewußt. Dieser 
tntt besonders in den Tangentenkonstruktionen an die 
Zykloide, Cissoide, Eonchoide hervor. Die hierbei an- 
gewendete Methode ist mit der für Maxima und 
Minima nahe verwandt, fennat beschäftigte sich aber 
nicht bloß mit derartigen Anwendungen der später 8o- 
genannteD Differentialrechnung, sondern auch mit solchen 
der Integralrechnung. Hierher gehören seine Quadra- 
turen von Hyperbeln irgend einer Ordnung mid von 
beliebigen Parabeln, femer auch Eektifiliationen, die er 
durch Zurückführung auf eine Quadratur, d. h. also 
durch Zurückführung eines bestimmten Integrals auf 
ein anderes löste. 

öiles Personnier, gewöhnlidi nach seinem Ge- 
burtsorte Roberval genamit, {1602 — 1675) vollzog die 
Quadratur der Zykloide mit Hilfe der etwas s|äter als 
Sinuslinie erkannten Kurve. Seine bedeutendste Leistung 
ist aber eine Tangentenkonstruktion, bei der er das 
Parallelogramm der (Geschwindigkeiten verwendete, indem 
er die Kurve durch Zusammensetzung zvreier Be- 
w^:ungen entstehen lieft. Zur selben Zeit (1644) ver- 
öffentlichte Torricelli seine „Opera geometrica", die 
eine weeenthch gleiche Methode enthalten, zu der er 
jedoch ganz unabhängig von Roberval gelangt war. 
Außerdem kannte TorriceUi auch schon die Rektifikation 
der logarithmischen Spirale. 

Einen ähnlich weitgehenrlen Einfluß wie die ,Indi- 
visibilien" Cavalieris übte ein umfangreiches Werk des 



116 



Neuzeit 



öregorius a. S. Vincentio {1584 — 1667), eines 
Schülers des iim die Tei'breitung gröndlieher mathe- 
raatiseher KeDntuiese hochverdienten Christoph ClaviuB 
(1537 — 1612) aus, das „Opiis geometricuni quadratiirae 
circuli et sectionum coni" (1647). Trotz mancher 
Fehler enthält das Werk zahlreiche infinitesimale 
Methoden unil Betrachtungen oft von ziemlicher All- 
gemeinheit, welche die Erfindnngspabe des Verfassers 
kiindtim und för die weitere Entwicklung der Diffe- 
rential- und Integralrechnung Bedeutung erlangten. 

"Wie Fermat die größte Gewandtheit in der Lösung 
solcher Aufgaben bekundete, die auf eine Differentiation 
föhreo, so bewies sich Pascal als der größte Meister 
im Integrieren vor der Erfindung des eigentlichen 
Kalküls der lategralrechnung. 1CÖ8 setzte er öffent- 
Uch einen Preis ans auf die Lösung mehrerer Aufgaben 
über die Zykloide und 1659 veröffentlichte er nicht 
nur die Beweise der verlangten Sätze, sondern auch 
die allgemeine Methode der Quadraturen oder Inte- 
grationen, von der sie Anwendungen sind. Unter 
anderem war er bekannt mit 
"" " der sogenannten partiellen Inte- 
gration, Ju'dv=uv — j'v'du, 
wenn er auch diesen all- 
gemeinen Satz in zahlreiche 
Einzelfälle zerlegen midäte. 
Piisoal betont auch die Ähn- 
lichkeit der Dreiecke EKE 
lind AID (Fig. 7). Werden 
RR und somit auch EE un- 
endlich klein, so wird auch 
das Dreieck EKE unendlich klein. Dieses Dreieck 
wurde das Vorbild für das „charakteristische Dreieck", 



(m 

Ria 



XVn. Jahrhundert. 117 

das später Leibniz für eine beliebige Kurve auf dieselbe 
Art bildete und dessen Seiten er durch die Differen- 
tiale dx, dy und ds bezeichnete. 

Mit dem ungefähr gleichzeitigen Tode Fennats, 
Desargues' und Pascals war die glänzendste Periode der 
französischen Mathematik im 17. Jahrhunderte vorbei, 
was auch dadurch bestätigt wird, daß die Leitung der 
1666 gegründeten „Acadfimie des Sciences" dem Nieder- 
länder Christian Huygens (1629 — 1695) anvertraut 
wurde. Dieser berflhmta Gelehrte beteiligte sich an 
den meisten Fragen, die damals die Mathematiker be- 
sciiäftigten. Er schrieb über die Quadratur der Eegel- 
selmitte unter Benutzung des Schwerpunktes, über 
Wahrscheinlichteitarechnung, ferner eine wahrhaft klas- 
sische elementar-geometrische Abhandlung über die Ereis- 
rechnung. Sein Hauptwerk ist die 1663 herausgegebene 
Schrift „Horologium oscülatorium" (Pendeluhr). Sie 
enthält fünf Teile: 1. die Beschreibung der Pendeluhr, 
2. der Fall schwerer Körper und ihre Bewegung auf 
der Zykloide, 3. die Lehre von der Evolution, 4. der 
Schwingungsmittelpunkt, 5. die Fliehkraft Im 2. Teile 
wird der Tautochronismus der Zykloide nachgewiesen. 
Der 3. Teil handelt über Evolventen und Elvoliiten und 
zeigt, daß jede Tangente der Evolute auf der Evolvente 
normal steht, daß die Evolute der Ort der Durchschnitts- 
puukte konsekutive Normalen auf die Evolvente ist, 
daß zu jeder Kurve die Evolute gefunden werden 
könne und daß letztere stets quadrierbar sei. 1693 ver- 
öffentlichte Huygens im Anschlüsse an Permat Ab- 
handlungen flbCT Maximal- und Minimalwerte und über 
tlas Tangente oprobleuL 

Veninlaßt durch Pascals Preisausachreibung wendeten 
viele Mathematiker der Zykloide ihre Aufmerksamkeit 



118 Neuseit. 

zu. So Renfe de Sluae {1622—1685), der eine 
eigene Auflösung des TangertenproblemB für algebra- 
ische Kurven besaß, ferner die Bogenannten Perlen, 
deren aUgemeine GHeichung b y" = (o — x)p x™ lautet, 
zuerst untersuchte. Er stellt« auch die erste all- 
gemeine Untersucliung Aber Inflexionspunkte von 
Kurven an. Die Bogenlänge der Zykloide fand als 
erster Christoph Wren (1632—1723) und verwendete 
sie znr Lösung des Keplerschen Problems. 

1659 veröffentlichte John Wallis (1616—1703) 
ein Werk, in dem die Paacalschen Aulgaben gelSat 
wurden. Sein Hauptwerk aber ist die 1655 erschienene 
„Arithmetica infinitorum", deren Titel schon besagt, daß 
er im Gegensatz zu Cavalieris geometrischen Methoden 
rechnerisch verfuhr. Oberhaupt liegt seine Stärke in der 
Anwendung numerischer Induktion — Interpolation 
nannte er sie — , durch die er zu wichtigen Besultaten 
gelangte. Der damals allgemein übliche Brauch, exakte 
Beweise durch unvollständige Induktion zu ersetzen, 
die Neigung zu gewagten Verallgemeinerungen wurde 
von Wallis auf die Spitze getrieben. Im Anschlüsse 
an Gregorius a. S. Vincentio und Andreas Tacquet 
(1612 — 1660) bediente er sich der heute noch HWichen 
Form des Grenzüberganges und zwar schon rein arith- 
metisch. Als ganz selbsfänd^ Operation und bequemes 
Mittel zur Definition neuer Zahlen, die nicht zu den 
gewöhnlichen Irrationalitäten gehören, verwendete dann 
den Grenzübergang James Gregory (1638 — 1675) in 
seinem 1667 gednickten Werke „Vera circuli et hyper- 
bolaa quadratura". Diese Ansicht, die .nur durch 
ungenügende Festlegung der Gnmdbegriffe Platz greifen 
konnte, blieb bekanntlich bis ins vorige Jahrhimdert 
die herrschende. 



SVn. Jahrhundert. 119 

Wallis 'war das bedeatendste IlOt^Iied eines Ereises 
von Mathematikern, die sich seit der Mitte des Jafar- 
buaderts zu gemeinsamer Arbeit zu Tersammeln pflegten 
und durch Briefweehtiel auch mit auswärtigen Gelehrten 
verkehrten. Aus dieser Vereinigung entetand die 
j^önigliche Gesellschaft" in London 1665. Auf ähn- 
liche Weise entstand die Pariser „Akademie" 1666, 
Die Akademie in Berlin wurde 1700 gegründet. 

Der erste Vorsitzende der Königlichen Gesellschaft 
war der Viscount WiOiam Brouncker (1620—1684), 
der durch zahlen theoretische Untersuchungen, eine 
Quadratur der Hyperbel und besondere dadurch bekannt 
ist, daß er die unendhche Faktoreofolge, die Wallis zur 
Darstellung von n verwendete, in die Form eines un- 
endlichen Kettenbmches brachte. 

Dieser Gesellschaft gehörten aufler den schon er- 
wähnten Wren und Gregory auch Nikolaus Mer- 
cator (aus Holstein, f 1687), Edmund Halley 
(1656—1742) und Isaak Barrow (1630—1677), der 
Lehrer und Freund Newtons, an. 

Aus den ünendlichkeitsbetrachtungen des 17. Jahr- 
hunderts entstand als ein eigenes Gebiet die Theorie der un- 
endlichen Reihen. Nikolaus Mercator entwickelte 
in seiner „Logarithmotechnia" von 1668 die Eeihe für 
log(l -f x). W selben Jahre veröffentUehte Brouncker 
drei Arbeiten über unendliche Reihen, worin er sich 
auch mit Eonvergenzbeweisen beschäftigte, ohne frei- 
lich darin jene Bedeutung zu erblicken, die sie für uns 
heute haben. Denn noch das 18-, um so mehr das 
17. Jahrhundert hatte von der Notweniligkeit der Kon- 
vergenzuntersuchungen keine Ahnung. 

Eine höchst bedeutungsvolle Abhandlung Aber unend- 
liche Beihen, „De analysi per aequationes nuraero termi- 



120 Neuzeit. 

nonim infinitas", hatte der größte englische Mathe- 
matiker IsaakNewtoii(lG43—1727)acIion 1666 vollendet. 
Er entwickelte die Binomialreilie auch fär den Fall 
solcher Exponenten, die nicht positiv und ganzzahlig 
waren, feiTier kannte er die Reihen für sinz, cosz, aro 
sinz und die Exponentialreihe. 

Anoh der berühmte Philosoph und Staatsmann Gott- 
fried Wilhelm Leibniz (1646—1716) beschattigte sich 
schon frühzeitig mit derartigen üntersnchungen. Während 
man bisher gewohnt war, knimmlinig begrenzte ebene 
Figuren zum Behuf e der Quadratur durch parallele 
Ordinalen in Rechtecke zu zerlegen, teilte Leibniz der- 
artige Flächen von einem Punkte aus in Dreiecke und 
nannte dieses Verfahren die Transmutation. Als erste 
Frucht dieser Studien fand er, daß der Inhalt des Kreises 
vom Durchmesser l dimjh die Reihe \ — i + ^ — -}■ + ■■' 
ausgedrückt wird. Er kannte den wichtigen Satz, daß 
eine fallende alternierende Reihe einen endlichen Wert 
besitze. Der Beweis für diesen Konvergenzsatz, den 
er allerdings erst 1714 bekannt gab, findet sich nodi 
in den heutigen Lehrbüchern. 

Im Sinne Newtons setzten Halley und Abraham 
de Moivre (1667 — 1754) die Eeihentheorie fort Die 
Leibnizische Richtung verfolgte besonders Jakoh Ber- 
nouUL In einer 1689 veröffentlichten Abhandlung 
kommt Jakob BemoulU auf die harmonische Reihe zu 
sprechen und beweist, daß sie eine unendlich große 
Summe besitze. Damit ist festgestellt, daß die Summe 
einer unendlichen Reihe, deren Endglied verschwind^ 
bald endlich, bald unendlich ist. 

Die Geschieht« der Mathematik hat eich mit fünf Trtigern 
des Kamens Bernoulli zn beschäftigen, den Brildetn JaKob 
(1654—1705) und Johann (1667—1748), dann mit Ni- 



XVn. Jahrhundert. 121 

Claus 1.(1687 — 1759), dem Sohne eines dritten Brndem, endlich 
mit den beiden Söhnen Johanna, Niclaus U. (1695—1726) 
und Daniel (1700—1782). 

In der erwähnten „Änalysia per aeqtiationes" be- 
handelt« Newton nach der Eeihenentwickliuig durch 
Wiirzelansziehen die angenäherte Lösung von Zahlen- 
gleich ud gen durch BeiheQ und machte damit einen 
ziemlich großen Schritt Über das von Stevin und Viöle 
Erreichte hinaus. 

1690 erschien der „Traitö d'algöbre" von Michel 
Rolle (1652—1719), der außer einer wirtlichen 
Methode zur Auflösung unbestimmter Gleichungen auch 
Näherungsmethoden zur Bestimmung der Gleichungs- 
wurzelu enthält, unter denen die Methode der Kaskaden 
hervorragt. Die Kaskaden sind nämlich nichts anderes 
als die aufeinanderfolgenden Äbleituageo der gegebenen 
Gleichung und Bolle kennt den Satz, den wir heute 
so aussprechen: Zwischen zwei aufeinanderfolgenden 
Wurzeln der Gleichung f'(z) = kann nur eine einzige 
Wurzel von f(z) = li*^n. 

Auch Leibniz beschäftigte sich zu verschiedenen 
Zeiten mit Gleichungen und setzte die schon in seiner 
mathematischen Erstlingsscbrift „De arte combinatoria" 
(1666) ausgesprochene Überzeugung, daß die Vervoll- 
kommnung und Erweiterung einer Wissenschaft von 
einer passend gewählten Zeichensprache abhänge, in 
die Tat um. 1676 wendete er zum ersten Male 
Stellenzeiger oder Indices an, um Punkte derselben 
CbttuDg mit den gleichen Buchstaben bezeichnen zu 
können; 1693 erfand er die Anwendung mehrfacher 
Stellenzeiger zur Auflösung des Eliminationsproblems 
und erhielt dadurch eine Elirainationsgleichutig, die wir 
heute als die zu Null werdende Determinante schreiben. 



122 Neuzeit, 

Die allgemelDe Auflösung a^braiacher Oleicfaniigen, 
zunächst der Qleichung 6. Oradea, iat ein im brief- 
lichen TerVehre Leibnizens mit Walther von Tschirn- 
hans (1651—1708) viel behandeltes Thema. Schon 
1678 erklärt Leibniz, er glaube einen Beweis zu be- 
sitzen, daß die allgemeine Losung höherer Gleichungen 
nicht möglich sei — ein Beweis, den erst anderthalb 
Jahrhunderte später (1824) Abel lieferte. 

Ober den ersten Erfinder der Differential- und 
Integralrechnung ist ein langer, erbitterter Streit 
geführt worden. Unklarheit in betreff der Sache, um 
die es sich handelte, Parteileidenschaft, Nationaleitelkeit 
haben gleich anfangs die Frage verwirrt. Heute können 
wir dieselbe dahin beantworten, daß die Erfindimg der 
Differential- und Int^ralrechnung in die erste Hälft« 
des 17. Jahrhundert« zu verlegen ist. Die ver- 
schiedensten einschlägigen Aufgaben wurden an den 
verschiedensten Orten behandelt und zwar zuerst Auf- 
gaben der Integralrechnung, dann auch der Differential- 
rechnung. Aber als führend erwiesen sich die franzö- 
sischen Mathematiker, vor allen Pascal und Permat 
Es handelte sieh noch darum, den inneren Zusammen- 
hang all dieser Aufgaben herzustellen. Am klarsten 
erk^mte ihn ohne Zweifel unter allen Mathematikern 
jener Zeit Fermat, doch ist dem von ihm eingeführten 
E nicht anzusehen, von welcher Größe ea als Ver- 
ändenmg aufti'itt. 

Leibniz und Newton waren es, die diesen Zu- 
sammenhang vollständig erkannten und zum Ausdrucke 
brachten und daher als die Erfinder des Kalküls der 
Differential- und Integralrechnung bezeichnet werden. 
Was der Intinitesimalreclmung bisher noch fehlte, die 
einheitliche Sprache und Schrift, das gab ihr Leibniz. 



XVn. Jahrhundert. 123 

Newton besaS darüber selbständig Ähnliches, zum 
Teil Bchon früher, aber sein Wort „Fluxion" (das Leib- 
nizsche Differentia]) kommt erst 1687 in dem Werke 
„Philosophiae naturalis principia mathematica", seine 
Bezeichnung 1693 durch Wallis in die Öffentlichkeit. 
Dagegen war Leibnizens grundlegende Abhandlung 
schon 1684 vorhanden. Seine TeröftenÜichungeii 
wirkten schulebUdend, seine Methoden imd Bezeich- 
nungen wurden Gemeingut aller Mathematiker, aber 
auch sein Charakter steht heute frei von jeder Makel, 
die ihm Parteihaß anzuheften trachtete, vor unseren 
Augen. 

Den Ausgangspunkt für Leibniz bildete d^r schon 
im August 1673 aDgeateUte Versuch einer allgemeinen 
Tangentenmethode, wobei er sieh des Pascalschen 
„charakteristischen Dreieckes" bediente. Der große 
Sehritt der Erfindung des neuen Algoritmua erfolgte am 
29. Oktober 1675. „Es wird nützlich seiD,"Bchreibt Leibniz, 
„statt omni» {Cavalieris Bezeichnung) J zuschreiben. EÜer 
zeige sich eine neue Gattung des Kalküle. Sei dagegen 
y'l=ya gegeben, so biete sich ein entgegengesetzter Kalkül 

mit der Bezeichnung 1 ^ — - . Wie nämhch / die Ab- 
messungen vermehrt, so vermindert sie d. j aber be- 
deutet Summe, d Differenz." Bald nachher schon ent- 
fernte er das d aus dem Nenner nnd schrieb statt -^ 
die noch heute geltende Bezeichnung dx. Im Drucke 
veröffentlicht« Leibniz seine Entdeckungen zuerst im 
Mai 1684 in den seit 1682 erscheinenden ,^cta eru- 
ditorum" unter dem Titel: „Nova methodus pro maximis 
et minimis, itemque tangentibus, quae nee fractas nee 
irrationales quantitates moratur, et singulare pro Ulis 



124 Neuzeit. 

calcüli gemis." Er führt die Größe dz als eine be- 
liebige, nicht etwa als eine unendlich kleine Strecke 
ein. Hier iat zum ersten Male der unterschied zwischen 
einem Maximiun und Minimum erkannt und aus- 
gesprochen. Weiter ist der Differential kalt ül dargestellt 
und die Debeaunesche Aufgabe gelöst Das Int^ral- 
zeichen erscheint zum ersten Male im Dnicke 1686 in 
der Abhandlung „De geometria recondita et analysi 
iDdivieibilium atque infinitorum", worin Leibniz auch 
die Tranazendeaten einführt als GrOSeo, die durch 
keinerlei Gleichung bestimmten Grades erklärt werden, 
vielmehr tlber jede atgebnüsche Gleichung hinausgehen. 
In weiteren Aufsätzen führt er die Begriffe der krumm- 
linigen Koordinaten und der Einhüllenden ein, löst die 
von Viviani 1692 gestellte, sogenannte „Florentiner 
Aufgabe", aus einer Halbkugel rings um die Grund- 
[läche hemm vier gleiche Öffnungen herauszubrechen, 
ao daß die restliche Fläche quadrierbar sei. 1693 lehrte 
er die Integration von Differentialgleichungen durch 
Reihen, wobei auch die abermalige Differentiation ^cr 
Differentialgleichung zum ersten Male vorkam. 

Daß Bektifikation, Kubatur, Quadratur Aufgaben von 
wesentlich gleicher Natur seien, spricht Newton schoa 
in der mehrerwähnten „Analysia per aequationes" ana. 
Im Anscliliisse an Barrows 1664 — 1666 erschienenes 
Werk „Mathematicae lectiones" geht Newton von der 
Bewegungslehre aus. Barrow stellt die in den auf- 
einanderfolgenden Zeiten statthabenden Q-esch windig- 
keiten durch Strecken dar, deren Gesamtheit ein Bild 
der vollzogenen Bewegung darbietet. Auch die Tangenten- 
aufgabe ist ihm eine Anwendung des Gedankens, Mgen- 
schaften der Kurven aus der Zusammensetzung von Be- 
wegungen abzuleiten. Die Methode der durch Rechnung 



XVIL Jahrhundert. 1 25 

herzustellenden Tangenten verdankte er seinem Froiinde 
Newton. Letzterer ging aber weiter, indem er in der 
„Analysis" noch den Begriff der Augen 13 licltsveiänderi lag 
(momentum), der in der kürzesten Zeit sich vollziehenden 
räumlichen Veränderung, hinzufügte. Nevrton beab- 
sichtigte, 1671 eine große Abhandlung „Methodiis 
fluxionum et serienim infinitarum" zu veröfientlichen. 
Durch eine eonderbare Verkettung von Umständen er- 
schien sie aber erst nach seinem Tode, 1736. Die 
Aufgabe der Fluzionsmethode ist eine doppelte, die Ge- 
schwindigkeit zu finden aus dem W^;e und den Weg 
aus der Geschwindigkeit. Ein stetig sieh ändernder 
Raum heißt ein Fluens. Die Geschwindigkeiten, nach 
welchen die einzelnen Fluenten (x, y, z, m) sich ändern, 
heißen Fluxionen (x, y, z, u). Die zweite Aufgabe, 
von der Fluxionsgleichung zur Gleichung zwischen den 
Fluenten zur dckzukehren , löst Newton durch Ent- 
wicklung in unendliche, nach Potenzen der Fiuenten 
fortlaufende Reihen. Als dritte Aufgabe behandelt er 
Maxima und Minima, als vierte die Tangenten- 
konstnihtioD, alB fünfte die Größe der Krümmung einer 
Kurve in einem bestimmten Punkte, wobei der Fluxionen- 
quotient durch eine Strecke z dargestellt wird, so daß 
dieFluxion des Fluxionenquotienten auch gebildet werden 
kann. 

Der neue, von Leibniz erfundene Kalkül wurde von 
den Brüdern Jakob und Johann Bernoulli mit 
wahrer Begeisterung aufgenommen und auf die Lösung 
Bäier und neuer Probleme angewendet Jakob be- 
handelte bereits 1690 die Aufgabe der Isochronen, 
wobei er sich zum ersten Male des Wortes „Integral" 
bediente, das auch von Leibntz gebilligt wurde. Zum 
Schlüsse stellte er die Aufgabe, die Gestalt eines bieg- 



126 Neuzeit. 

samen, an zwei Punkten frei aufgehängteD Seiles zu 
finden, die schon Galilei, aber erfolglos, zu lösen ver- 
sucht hatte. Sie wurde von Leibniz, Huygens und" 
Johann Bernoulli gelöst Andere Untersuchungen 
beechäftigten sich mit den Segelkurven, der logaritii- 
mischen Spirale, der elastiachen Kurve, der Lemniakate. 
Johann Bernoulli behandelte 1694 die Differential- 
gleichungen erster Ordnung, wobei auch der Ausdruck 
„Trennung der Yeränderliehen" vorkommt Ausohließend 
an Leibnizens Integration durch Reihen gibt er die all- 
gemeine Formel der Entwicklung einer Funktion in 
eine unendüche Reihe. 1697 stellt er die Aufgabe, 
eine Kurve zu finden, die gegebene Kurven nuter ge- 
gebenem, .unveränderlichem oder nach einem bestimmten 
Gesetze verftnderlichem Winkel schneidet, die er im 
folgenden Jahre „Trajektorie" nannte. Auch die Rech- 
nung mit den ExponentialgröBen stellte er 1697 
fest, wobei er als Beispiel die iogarithinische Kurve 
(y=-logx) verwendete, die zuerst Descartes 1639 
behandelt hatte. Im Jahre 1696 legte er den Mathe- 
matikern die erste Aufgabe der Variationsrechnung 
vor, den Weg zu finden, auf welchem ein Körper von 
einem Punkte A zu einem Punkte B in der kürzesten 
Zeit fällt Die Anregung zu dieser Aufgabe entsprang 
der von Huygens entwickelten Wellentheorie des Lichtes. 
Das Jahr 1697 brachte dann die Losungen von Johann 
Bernoulli selbst, der die Kurve (Zykloide) Brachisto- 
chrone nannte, vom Marquis de l'ffospital, von 
Tschirnhaus, Newton, Leibniz und Jakob Ber- 
noulli. Nur die beiden letzteren behandelten das 
Problem als Maximal- und Minimalauf gäbe, und die 
Methode von Jakob Bernoulli blieb bis auf Lagrange 
für die Behandlung ähnlicher Fälle die herrechende. Anoh 



XVin. Jahrhundert. 127 

das schon aus dem Altertome stammende isoperi- 
metrisohe Prohlem erfuhr zuerst durch Jakob Ber- 
noulli eine streng wissenschaftliche Behandlung, 
während hinwieder Johann 1698 das Problem der 
kOrzesten Linie zwischen zwei Punkten einer Fläche, 
das auf Raumturven führt, die das 19. Jahrhnndert 
„geodätische Linien" nannte, zuerst mit Erfolg in An- 
grifl nfthm. 

Zu den wissenBchaftlichen Freunden Leibnizens 
gehörte Ouillaume Fran9ois Marquis de l'Hospital 
(1661—1704), der 1696 das erste Lehrbuch der 
Differentialrechnung „Analyse des infinement petits 
pour llntelligence des lignes courbes" veröffentlichte. 

Als grundsätzhcher Gegner der Ijeibniz sehen Diffe- 
rentialrechnuDg erhob äeh Bernhard Nieuwentijd 
(1654 — 1718), dessen Einwendungen teilweise ganz 
berechtigt waren, da die Lehre vom ünendÜchkleinen 
an Unvollkommenheiten litt, die erst durch Cauchy voll- 
ständig behoben wurden. Ein persönlicher Feind Leib- 
nizens war Nicolas Fatio de Duillier (1664 — 1753), 
der den Anstoß zu dem erwähnten Fiioritätsstreite tlber 
die Erfindung der bifinitesimalreclmung gab (1699). 

3. XTIU. Jahrhundert 

Durch die Hebung des Schulwesens in diesem Jahr- 
hunderte wurde der elementare Bechenunterricht 
gefördert Bedeutsam für sane Entwicklung wurden 
die methodischen Schriften von Johann Christoph Sturm 
(1635—1703), Chiiatian Wolf (1679—1754), Abraham 
Gotthelf Kästner (1719—1800) u. a. Als Schulbuch 
war von besonderem Werte die 1732 erschienene 
„demonstrative Rechenkunst" von Christlieb v. Claus 



128 Nenaeit. 

herg (1689 — 1751). Während bei allen Zinsrechnungen 
mit gesuchtem Endwerte bereits das 16. JahrhuDdert 
die richtigeü Methoden besaß, kamen in der Babatt- 
rechnung noch lange Zeit Unrichtigkeiten vor, bis 
Leibniz darauf hinwies, daß der Rabatt auf 100 be- 
rechnet werden müsse. Clausberg stellte sich ent- 
schieden aiif die Seite Leibnizens und so einigten sich 
allmählich Mathematiker und Juristen auf die richtige 
Formel. Die Wechsel- und Arbitr^erechnung erfuhr 
durch Clausbei^ eine eingehende Begründung und Aus- 
führung. Aus dieser Zeit stammt auch die „Beessche 
Reget" von Caspar Franz de Rees (geb. 1690), die 
dem von Clausberg benutzten Kettensatz eine andere 
Anordnung gab. 

Durch die von Leibniz. begründete kombinato- 
rische Analysis nahm auch die Wahrscheinlich- 
keitsrechuung einen neueo Aufschwung. 1713 er- 
schien Jakob BernouUis nachgelassenes "Werk „Ars 
coniectandi" in vier Abschnitten. Der erste enthält die 
Huygenssche Abhandlung mit bedeutungsvollen Er- 
weiterungen. Im 2. Abschnitt ist eine ausführliche 
Darstellung der Eombinationslehre gegeben. In ihm 
treten auch zum ersten Male die „Bernoullischea Zahlen" 
nuf. Der 3. Abschnitt bringt Anwendungen der Eom- 
binationslehre auf Fragen der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung und die LOsung mitunter recht schwieriger 
Probleme. Der 4. unvollendete Abschnitt endlich ist 
der Glanzpunkt des "Werkes; in ihm werden der Wahr- 
scheinlichkeitsrechaung ganz neue Bahnen gewiesen 
durch das berühmte pBemoullische Theorem" (Gesetz 
der großen Zahlen), das neben die bis dahin allein be- 
trachtete Wahrscheinlichkeit a priori die für alle An- 
wendxmgen auf die verschiedenen Gebiete des Lebens 



XVin. Jahrhunilert. 129 

viel wichtigere Wahrsohanliclikeit a posteriori stellt 
Von hervorragender Bedeutung ist auch die „Doctrine 
of Chances" (1718) von Moivre. Weiterhin taten sich 
auf dem Gebiete der Kombinatorik und Wahrscheinlieh- 
keitsrechnung hervor Leonhard Euler (1707 — 1783, 
Brackenaufgabe 1736), Daniel Bernoulli (Peters- 
burger Aufgabe), u. a. 

Gegen Ende des Jahrhunderts wurde dieaes Gebiet von 
einer Anzahl deutscher Gelehrter mit Vorliebe gepflegt und 
es entstand unter Föhning Hindenburgs (1741 — 1808) 
die „kombinatorische Schule", als deren Vertreter ■weiter 
nochEschenbaeh(1764— 1797), Rothe (1773—1842) 
und besonders Pf äff (1765 — 1825) 2u nennen sind. 
Sie zeichnete sich durch eine gewisse Eleganz der 
Resultate aus, vermochte täxr auf die Entwicklung der 
Mathematik im 19. Jahrhunderte keinen Einflufi zu ge- 
winnen, da sie den neuen und fruchtbaren Methoden 
gleichzeitiger französischer Mathematik^, wie lägrange 
und Laplace, ferne stand. 

Der erste, der nach Fermat zahlentheoretische 
Untersuchungen in großem Maßstabe wieder aufnahm, 
war Elller, der zu vielen Fennatadien Sätzen die Be- 
weise lieferte, femer die allgemeine Lösung der unbe- 
stimmten Gleichung 2. Grades nebst vielen scharfsinnigen 
Lösungen einzelner Gleichungen gab. Nach Euler ist 
vorzüglich Joseph Lotus Lagrange (1736 — 1813) als 
Zahlentheoredker zu nennen. Er bewies, daß eine be- 
liebige Zahl als Summe von vier oder weniger Quadraten 
darstellbar ist und daß eine reelle "Wurzel einer algebra- 
ischen Gleichung beliebigen Grades in einen Kcttcnbmch 
verwandelt werden kann. Hr gab den ersten Beweis 
dafür, daß die Gleichung x* — A y* es 1 stets in ganzen 
Zahlen lösbar ist, und entdeckte viele Sätze Ober Prim- 

StiiriD. GeBfhkhte dor Mnthemutik. 9 



1 30 Nenieit. 

zahlen. Eoler und Lagrange vermochtoi auch schon 
für -einzelne Fälle das j.qiiadratiBt^e Reziprozitfttegesetz" 
zu zeigen. Andrien Marie Legendre (1752 — 1833) 
verBuchte einen vollständigen Beweis in sdner Ab- 
handlung „Essai sur la thSorie des nombres" (1798), 
doch g^ng derselbe völlig einwurfafrei erat 1796 dem 
grSfiten deutschen Mathematiker, Karl Friedlich G-auß 
(17-77—1855), der ihn in den berühmten „Disquisitiones 
arithmeticae" (1801) veröffentlichte. 

Einen Tvichtigen Fortschritt in der Algebra be- 
zeichnet die 1 707 veröffentlicht« „Arithmetica universalis" 
von Newton. Hier wird zum ersten Male die Frage 
nach der wirklich vorhaDdenen Anzahl komplexer Glei- 
chungs-wurzeln anfgeworfen nnd zu beantworten ver- 
sucht Die schon von Girard berechneten symmetrischen 
Funktionen (der Potenzsunmen) der Wurzeln einer alge- 
braischen Gleichung werden benutzt zur Auffindung 
einer Grenze, unter der die Wurzelwerte liegen mtkssen. 
Gleichzeitig gibt Newton zu verstehen, man könne auch 
Formeln für die Summen höherer Wurzelpotenzen finden. 
Nach der algebraischen Auflösung der Gleichui^n 
werden auch geometrische Methoden gegeben, deren 
Zweck es ist, erste N^erungswerte zu finden. 
Weitere Erläuterungen zu Newtons Regel für die Auf- 
findung der Anzahl komplexer Wurzeln einer Gleichung 
gaben Colin Maclaurin (1698 — 1746) und Georg 
Campbell. Ale tüchtigen AJgebraiker haben wir auch 
zu nennen Jean Paul de Gua de Malves (1712 — 1785), 
der die Anzahl der komplexen Gleichungswurzeln auf 
geometrischem Wege bestimmte. 

Euler beschäftigte sich 1748 mit der Resultante 
zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten und führte 
ihre Bestimmung auf die Lösung eines Systems linearer 



XVm. Jahrhondert. 131 

Oldchiingen zurück. Der ifame „Besultante" Btammt 
Ton Etienne Bdzout (1730 — 1783), der angab, wieviel 
gemeinBame Wurzeln hSchsteDS ein Oleidningsaystem 
erfollen. Wdteiiiin wurde die Etiroinationstheori« ge- 
fordert durch Lagrange, der 1770 die Bedingung für 
mehrere gemeinBame Wurzeln aufstellte, und 8im6on 
Denis FoisBon (1781 — 1840), der eine Methode zur 
Bildung Bjomnetrisdier Funktionen der gemeinsamen 
Werte der Wurzeln eines Gleichungssysteois lehrte. 
Äof Lagrange geht auch der Begriff der Invarianz zu- 
rflck, indem er 1773 zeigte, daB die Diskrimiiiante der 
quadratischen Form ax* + 2bxy + cy* beim Obei^ange 
von 3C zn x + Ay imverändert bleibe. 

Ifachdem alle biaherigen Bemühungen, die allge- 
meine Äuflfiaußg von CHeichungen , die den 4. Qrad 
überstiegen, zu finden, sich alB fruchtlos erwiesen hatten, 
versuchte Euler 1749 zunächst die Gleichung vom 
Orade 2n in zwei Faktoren n-ten Grades zu zaElegen 
mit Hilfe unbestimmter Koeffizieiiten, ohne jedoch be- 
friedigende Ergebnisse zu erlangen. 1762 versudite 
er, eine Wurzel der Gleichung n-ten Grades aus n — 1 
Radikalen n-ten Grades mit untei^neordneten Quadrat- 
wurzeln zusamraenzuBetzen, wobei er auch bis zum 
4. Grade keine Schwierigkeiten fand. Aber schon bei 
Glfflohnngen b. Grades mufite er sich auf spezidle 
Fälle beschranken. So erhielt er auBs6 — 40i» — 72x> 
+ 50 X -H Ö8 = diö Wurzel 



= |/_31 + 3)C:7 + ['_31_S|Cr7 



-f K— 18+io/^-f K— 18— loy— 7. 

B6zout eliminierte aus den Gleichungen y° — 1 = und 

ay''~'-l-by''-*-)-. , .-(-x= y und gelangte so zu 



] 32 Nenzeit. 

einer Qleicliung n-ten Oradea f (x) = 0. Weiterhin be- 
diente er sich der Eueffizientenvergleichung. Er ver- 
mochte zwar ebensowenig die Oleichimg 5. Qrades zu 
lösen; doch gab ibm das Problem Yeranlassung, die 
Eliminnlionsmethode zu verbeesem. 

LagraDge veröffentlichte 1771 eine inhaltsreiche 
Abhandlung, in der er durch Reeolventenbildung die 
"Wurzdn einer Gleichung als Funktionen der KoeffizienteD 
untersuchte. Zugleich beleuchtete er alle bisherigen 
Methocien der Gleiohungsauflösung und zeigte, wie die 
Grenzen der Wm-xeln und die Zahl der imaginären 
LOeungen bestimmt weiden können. Während sich also 
das allgemeine Problem als unlösbar erwies, wurden in 
speziellen Fallen wichtige Resultate gefunden. So be- 
handelte Moivre die reziproken Gleiehimgen, Euler 
die symmetrischen Gleichungen und BSzout gab die 
Bedingimg an, unter der die Gleichung n-tei Grades 
auf die Form y" -f a = gebracht werden kann. Ferner 
gehört hierher die Kreisteilungsgleichung, für die Gauß 
(1801) eine abschließende Theorie aufstellte. 

In der Dissertation von 1799 gab Gauß den ersten 
sdner Beweise für den Satz, daß jede algebraiadie 
Gleichung eine reelle oder komplexe Wurzel hat. Hier 
sprach er auch die schon von Leibniz angedeutete Ver- 
mutung aus, daß es unmöglich sei, Gleichungen von 
höherem als dem 4. Grade durch Wurzelgrößen auf- 
zulösen. Den strengen Beweis lieferte Abel im Jahre 
1824. Was die Anzahl der Wurzeln einer Gleichimg 
smbelangt, so hatte schon 1742 Euler den Satz richtig 
so formuliert, daß jeder algebraische Ausdruck in 
Faktoren ersten und zweiten Graziles mit reellen Koeffi- 
zienten zerfällt werden kann, aber den strengen Beweis 
vermochte weder er selbst noch Jean leRond d'Älembert 



XVni. Jahrhundert. 133 

{1717 — 1783) noch Lagrange zu erbringen. Auch 
diesen Fundamentalsatz der Algebra bewies zum ersten 
Haie Gauß in der genannten DisBertatioD. Auch in 
der Folge kam Gauß noch dreunal (1815, 181(i, 1849) 
auf dieses Thema zurück und stellte weitere Beweise auf. 

Die bereits von Leibniz begonnenen Untersuchungen 
über Determinanten wurden erst von Gabriel Gramer 
(1704 — 1752) wieder aufgenommen. Bözout, Charles 
Auguste Vandermonde {1735 — 1796), Pierre Simon 
Laplace {1749 — 1827) vervollkommneten die neue 
Theorie, Lagrange zeigte ihre Anwendbarkeit bei Auf- 
gaben der analytischen Geometrie. 

Die Reihentheorie, die, wie wir sahen, aus den Un- 
endlichteitsbetrachtungen des 17. Jahrhunderts entstand 
und rasche Fortachritte machte, fand auch im 18. Jahr- 
hunderte wesentliche Förderung, besonders durch An- 
wendung der Differentialrechnung — allerdings mehr 
nach der formalen Seite, da man sich um Konvergenz 
und Divergenz wenig kttraraerte. 

1715 veröffenthchte Taylor seine berühmte Heihe, 
die er mit Hufe der von ihm umgestalteten sogenannten 
„Newtonschen Interpolationsformel" herleitete. Er hob 
auch schon diejenige Spezialform seiner Eeihe, die 
später den Namen der „Maclaurinschen" erhielt, aus- 
drücklich hervor. Den Beweis des binomischen 
Lehrsatzes für beliebige rationale Exponenten, den 
Newton noch nicht besafi, gab zuerst Maclaurin in 
seinem umfangreichen Werke „Treatise of fluxions" 
(1742), wo er auch den polynomischen Satz bewies. 

Die schon von Gregory aufgestellten Reihen 



i = tgx-- 



|(tffx)» + |(fgx)s-i(tex)' + ... 



deren erste für den Zentriwinkel 45" in die LeibnizBche 
Reihe für — übergeht, ferner die tod Leibniz ent- 
wickelten Reihen für sinverax, sinx, oosx, e~"* 
und e' fanden neue Ableitungen und weitere Beh^id- 
lung diirch Johann Bernoulli, Euler uAd Lagrange. 
Johann Bernoulli machte audi schon den Übergang 
vom ArcuBtangens zum LogariÜunuB einer negativen 
Zahl (1702). 

Die grOfite Gewandtheit in Behandlung unendlicher 
Reihen zeigte aber Euler, der die Exponentiabeihe 
aus der Binomialreihe abldtete, femer rationaLe Funk- 
tionen in Reihen entwickelte, die nach sin und cos 
der ganzen Vielfachen des Argumentes fortachreiten, 
wobei er die Koeffizienten dieser trigonometrischen 
Reihen durch bestimmte Integrale definierte. 

Uoirre behandelte in angehender Weise die 
rekurrenten Reihen, in denen jedes folgende Qlied 
in konstantem linearen Zusanunenhaoge mit dem vor- 
hergehenden steht. Bereit» 1707 veröffentlichte Moivre 
das berühmte nach ihm benannte Binomialtheorem. 
In enger Beziehung dazu steht die von Roger Cotes 
(1682 — 1716) gefundene Zerlegung von a*±b^, wo X 
eine ganze Zahl ist, in E^ktoren. Jean Baptiste Joseph 
Fourier (1768 — 1830) wendete die von Euler ge- 
gebenen trigonometrischen Reihenentwicklungen auf die 
Darstellung einer beliebigen Funktion durch Reihen an, 
die nach trigonometrischen Funktionen vielfacher Winkel 



XVnL Jahrhundert. 135 

fortechreiten; Pierre Simon Laplace (1749 — 1827) gab 
It^eaentwickluDgen mit zwei Variablen, namentlich in re- 
kurrente Reihen; Audrien Marie Legendre (1752 — 1833) 
veranlaßte dun^ Einführung der Eugelfunktionen eine 
wichtige Erweiterung der Eeihentheorie. 

Wie auf den meigten anderen Gebieten der Mathe- 
matik, so trat audi in der Beihenlehre mit Oanß ein 
Wendepunkt ein; es begann die Zeit der exakten Behand- 
lung, die Aufstellung der Kriterien der Konvergenz und 
Divergenz, die Untersuchung des Bestes und der Fort^ 
aetzuDg der Keihen über den Konvergenzbereich hinaus. 

Eine ausführliche Darstellung der geahnten mathe- 
matlschen Wissenschaft um die Mitte des 18. Jahr- 
hunderts mit Ausschluß der Differential- und Integral- 
i-echnung gibt Eulers ,Jntroductio in aoalysin infini- 
tonun" (1748), enthaltend die algebraische Analysis 
und die analytisohe Geometrie. Der erste Teil behandelt 
die Funktionen, ihre ümfromung und Darstellung durch 
unendliche Beihen, die Exponentialgrößen, Li^rithmen 
und Kreisfunktionen imd ihre Beihenentwicklung, un- 
endliche Produkte, Zerlegung von Brüchen, rekurrente 
Reihen und ihre Anwendung zur Berechnung der Wurzeln 
der Gleichungen, Anwendung der Eeihenlehi-e auf Zahlen- 
theorie, Kettenbriiche. 

Die Anwendung der Koordinatenmethode auf den 
Raum von drei Dimensionen nahm in konsequenter 
Weise zuerst AntoineParent (1666 — 1716) vor. indem 
er Oberflächen durch eine Gleichung zwischen den drei 
Koordinaten eines Eaumpunkt^ darstellte (1700). Emen 
wesentlichen Fortschritt machte diese Anwendung durch 
Alexis Claude Clairaut (1713 — 1765), der in dem 
1731 gedruckten klassischen Werke „Recherches sui^ 
les courbes ä double courbura" die Raumkurven be- 



136 Neuzeit. 

Iiandelte. 1704 YeröEfenÜichte Newton seine „Enume- 
ratio linearum tertii ordinis", in der er zueret den Grad 
einer Kurve durch die Anzahl von Durchschnittapiinkten 
mit einer Geraden bestimmt« und die so definierten 
Kurven 3. Grades in Gruppen zusammenfaßte. Et 
fand zahlreiche solche Kurven, die sich als „Schatten" 
von fünf Typen darsteUen lassen, womit ein bedeutender 
Fortachritt der Perspektive verbunden war. Newton 
konstruierte die K^elschnitte aus fünf Tangenten, be- 
handelte mehrfache Punkte einer Kurve im Endlichen 
und unendlichen und gab Kegeln zur Untersuchung des 
Verlaufes der Kurven in der Umgebung eines ihrer 
Punkte (Newtonsches Parallelogramm), sowie auch zur 
Bestimmung der Oi-dnung der Berührung. (Auch 
Leibnizond Jakob Bernoulli hatten Aber Oskulaldonen 
geschrieben.) Erläutenmgen und Fortsetzungen dieses 
Werkes verdanken wir James Stirling (1692—1770) 
und Maclauria in seinem vortrefflichen Werke „Geo- 
metria organiea" (1720), 

Als die ersten wirklichen Lehrbüdier der algebra- 
ischen Kurven haben wir zu bezeichnen den schon er- 
wähnten 2. Band der „hitrocluctio" von Euler (1748) 
und die 1750 erschienene .^ntroduction ä l'analyse des 
lignes courbes algöbriques" von Cramer, in der sich 
auch die erwähnten Untersuchungen über Determinanten 
finden. Euler führte die Systeme von Punkten dee 
Schnittes zweier Kurven in die Geometrie ein durch 
den Satz, daft durch acht Schnittpunkte zweier Kurven 
3. Ordnung der neunte bestimmt sei. Der von Euler und 
Cramer bemerkte und erst 1818 von Lam6 gelöst« 
scheinbare Widerspruch zwischen der Anzahl der eine 
ebene algebraische Kurve bestinunenden Punkte und 
der Zahl der unabhängigen Schnittpunkte zweier Kurven 



XVIIL Jahihimdert. 137 

derselben Ordnung heißt das ,^uler-Cntmer8che Para- 
doxon". 

Yon Einzeluntersudiungen seien erwähnt die Be- 
stimmung des algebraischen Ausdruckes fUr den Ab- 
stand der Mittelpunkte des einem Dreiecke ein- und 
umgeschriebaien Kreises dnrch William Chapple 
(1746), die ersten Untersuchungen über den Flächen- 
inhalt überechlagener Vielecke Yon Fr. Meister (1769). 
Josef Saurin (1659—1737) behandelte 1716 die Tan- 
genten in den vieliachen Pinikten einer Kurve. Die 
1678 TerCffentlichten Transversalen sätze des Giovanni 
Ceva -wurden von Robert Simson (1687 — 1768) und 
Matthew Stewart (1717 — 1785) weiter ausgedehnt. 

Die projektivische Geometrie gelangte zur Entr 
faltung durch die 1795 veröffentlichten „Lepona de 
geomStrie descriptive" von Gaspard Monge {1746 
bis 1818)- Dieses Werk schuf den Begriff der geo- 
metrischen Allgemeinheit und Eleganz. Durch Ein- 
führung des Imaginären in die reine Geometrie ent- 
deckte Monge zahlreiche Eigenschaften der Flächen und 
Kurven, die zu ihrer Klassifikation dienten. Aber auch 
die Theorie der Krömmung der Flächen (Differential- 
geometrie) erhielt durch dieses Werk mächtige Förderung. 
Vorarbeiten auf diesem (?lebiete stammten von Lagrange, 
der 1761 die Differentialgleichung der Minimal flächen 
aufstellte, von Euler (1764) und Meusnier (1776); 
Monge behandelte es eingehend in der „Application de 
l'Änalyse ä la Gfeomfetrie" (1795). Die Perspektive des 
18. Jahrhunderts wurde im Anschlüsse an Desargues 
besonders durch Taylor und Joh. Heinrich Lambert 
(1728 — 1777) ausgebildet. Ersterer bestimmte in der 
„Linear perspective" (1715) eine Gerade durch ihre 
Spur und den Verschwind ungspunkt, eine Ebene durch 



138 Neuzeit. 

ihre Spur und Verschwinduogsgerade. Lambert benutzte 
diese Methoden zur perspektiTiBCheii Abbildung von 
räumlichen Oebilden allgemeiner Lage. 

Im engsten Zusammenbange mit der projektlTischea 
(Geometrie entwickelte slcli auch die darstellende 
Geometrie durch Arbeiten Ton Abraham de Bosse 
(17. Jahrhundert), einem SchQler Desargues', und 
FrSzier (1682 — 1776). 2u einer selbständigen Dis- 
ziplin vuide sie durch Monge erhoben, der in der 
„Ö4oiiigtrie descriptive" Horizontal- und Vertikalebeoe 
mit dem Orundschnitte einiflhrte, Funkte und Gerade 
durch zwei Projektionen, Ebenen durch zwei Spuren dar- 
glellte. Mächtig förderad wirkten für die neue Disziplin 
die gleichzeitig entstehenden technischen Schulen. 

Die Rechnungen der Trigonometrie waren durch 
Tlötes Einführung algebraischer Behandlung und durdi 
die Erfindung der Logarithmen wesentlich erleichtert 
worden. Ln 18. Jahrhunderte erhielt dieser Zweig der 
Mathematik seine heutige Vollendung. Die übersicht- 
liche Gestaltung der Formeln ist in erster linie Euler 
zu verdanken, der konsequent die Seiten des Dreieckes 
mit ft, b, 0, die Winkel mit A, B, C bezeichnete. Er 
definierte die goniometrischen Funktionen als Zahlen, 
um sie in die Reihen einfuhren zu kfinoen, und leitete 
die ganze sphärische Trigonometrie aus einigen wenigen 
Formeln ab {1753 und 1779). 1753 machte er auf 
den Zusammenhang der Formeln für die ebene und 
sphärische Trigonometrie aufmerksam, den Lambert 
1765 genauer auseinandersetzte. De Oua bewies 1783 
den schon 1727 von F. C. Maier behaupteten Satz, 
dafi man die ganze Trigonometrie aus dem Eosinus- 
satze herleiten könne, — ein Beweis, den Lagrange 
(1799) und Gauß (1810) vereinfachten. Neue Formeln 



X\TII. Jahrhundert 139 

für andere DreiecksstQcke, für den Umfang, die Winkel- 
summe, den Radius des ein- und umgeechriebenen 
Kreises, femer die Hauptsätze für Yielecke und Yiel- 
flaobe wurden in diesem Jahrhunderte aufgestellt An 
dieBen Fortscluitten beteihgten sich außer Euler haupt- 
säohlich Leiell (1740—1784), Lhuilier (1762 
bis 1833), Lagrange, Legendre, Garnot und &auB. 

Zur Fertigstellung der Lehre vomDifferentiieren 
hatten schon Leibniz und L'Hospital das fTOtige 
yerOffentlioht. Ein axtsf Uhrliches Lehrbuch der Differenti^- 
recbnung schuf Euler in den „Institutiones calculi 
differentialis" (1756), einem fOr die Entwicklung der 
Reihentheorie bahnbreciienden Werke, Dagegen herrschte 
in betreff der Grundlagen der Infinitesimalrechnung 
noch immer Unklarheit tmd Uneinigkeit Den höchsten 
Standpunkt nahm in dieser Hinsicht Lagrange ein, 
der 1797 versuchte, eine Theorie unabhängig vom TJn- 
endliditleinen nur auf dem Wege der algebraischen 
Änalysis zu begrflndeu. Wenn er auch damit nicht 
durchzudringen vermochte, so bahnte er doch den Weg 
für jene Punktionentheorie, die sich unter den großen 
Analytikern des 19. Jahrhunderts mächtig entfaltete. 

Auch die viel schwierigere Aufgabe des Inte- 
grierens machte besonders durch Cotes und Moivre, 
die dne große Menge von Integralen lösten, solche 
Fortechritte, dafi in Eulers „Institutiones calculi inte- 
gralis" (1768) beinahe alle Integrale rationaler, irratio- 
naler und transzendenter Diffeientialausdrtlcke vorhandmi 
sind, die wir heute in den Lehrbüchern finden. 

Zu den schwierigeren Partien der Int^;ndreclmung, 
die um diese Zeit die Aufmerksamkeit der Mathematiker 
auf sich zu ziehen begannen und späterhin grofie Be- 
deutung eriangten, gehören die elliptischen vad 



140 Nenzeit. 

Abelachen Fucktioaen, derea An&oge auf Jofa. Ber- 
noulli und den Grafen Pagnano (1682—1766) zu- 
rückführen, der 1718 und eingehender 1750 die Bek- 
tifikatioiiderLeniniskateauf die der Ellipse und Hyperbel 
gründete. Euler veralJgemeinerte die UntersuchaDgen 
Fagnanoa (Addition stiieorem). Auch Maclaurin nnd 
d'Alembert beschäftigten sich mit der Zuröckführung 
von Integralen auf die Eektifikation der Ellipse und 
Hyperbel. John Landen (1719—1790) und Lagrange 
brachten nach diesen Voruntersuchungen den G^;en- 
stand auf einen Standpunkt, der von dem Legendres, 
des eigentlichen Begröndera der Theorie der elliptischen 
Funktionen, nicht mehr allzufeme war. 

Toa geringerer Tragweite als die elliptischen Funk- 
tionen, aber dennoch von bedeutendem Einflüsse auf 
die Theorie der Traoszendenten sind zwei bestimmte 
Integrale, die zuerst von Euler, und später von Le- 
gendre, der ihnen den Namen „Eulersche Integral«^' 
gab, behandelt wurden, die Betafunktion und die 
Öammafuottion (1730). Die Theorie der Gammas 
funktionen, deren Hauptsatz in einer nachgelassenen Ab- 
handlung Eulers (1790) alisgesprochen ist, wurde von 
Legendre (1817) zu großer Vollkommenheit entwickelt 

Die Probleme der Brachiatochrone und der Isoperi- 
metrie, mit denen sich Jakob und Johann Bernoulli, 
Clairaut u. a. befaßten, venmlaßten auch Euler zu 
mehreren Abhandlungen, die er 1744 in einem reich- 
haltigen Werke („Methodns inveniendi eta") zusammen- 
faßte, vorin er eine neue und allgemeine Darstellung 
der Variationsrechnung gah. Er verließ in diesem 
Werke den älteren geometrischen Standpunkt und näherte 
sich der Auffassung Lagranges, der in einer 1762 
veröffentlichten Abhandhmg durch rein analytische 



XVm. Jahrhniidert. 141 

BehaodluDg und eine passende Bezeichnnngsweise der 
Tarifttionsreelmung die bis jetzt noch tlbetwi^end 
geometrischen ÄitFgaben der Uaxima und Minima zu 
einem selbständigen analytischen Eatkül erhob. 

Das schwierige Gebiet der Differentialglei- 
chungen erfreute sich einer besonders eifrigen Behand- 
lung von selten der grOSten Mathematiker des 18. Jahr- 
hunderts. Wenn auch die meisten einschlagigen Ab- 
handlimgen nur ganz spezielle Gleichungen behandeln, 
80 verdanken wir doch vor allem Euler, Clairaut, 
Lagrange und Monge die Aufstellung der ■wesent- 
lichen allgemeinen Gesichtspunkte in -dieser ausgedehnten 
Theorie. Die ersten Anfänge gehen zurück in die Zeit 
der Erfindung der Infinitesimalreehnung. Das wesent- 
lichste Moment in der Lösung der Gleichungen erster 
Ordnung mit zwei Variablen, die Trennung der Variablen, 
wurde schon 1697 von Job. Bernoulli klar ausge- 
sprochen. Sowohl er als auch sein Bruder Jakob 
lösten auf diesem Wege eine große Zahl von Differen- 
tialgleichungen, deren wichtigste die von letzterem den 
Mathematikern vorgel^te „BemouUisehe Differential- 
gleichung" war. Johann Bernoulli kaimte auch schon 
die Lösung der homogenen Differentialgleichung 
vermittels Trenoung der Variablen. Mit der Lösung 
der homogenen imd linearen Differentialgleichungen war 
die Aufgabe der Integration der Differentialgleichungen 
erster Ordnung imd ersten Grades bedeutend reduziert, 
da eine große Zahl komplizierterer Gleichungen sich 
auf jene zurückfahren läßt. Von besonderer Bedeutung 
wurde die vom Grafen Jacopo Riccati (1676 — 1754) 
aufgestellte „Riccatische Differentialgleichung", mit der 
sich die bedeutendsten Mathematiker beschäftigten. Ein 
neues Prinzip der Integration, die Theorie des inte- 



142 Neuzeit, 

grierenden Faktors, wurde 1734 durch Euler und 
unabhängigvon ihm durch Älexi8Fontaine(1705 — 1771) 
und Glairaut eingeführt 

Die Bingulären Losungen und deren ErmitUung 
durch abermalige Differentiation eltdeckte Taylor 
(1716). Mit diesem Gegenstände beech&ftigten eich 
wdtOThin Clairaut (1734), d'Alembert (1748), Euler 
(1756),-Laplace (1773) und Lagrange (1774), der 
die geometrische Deutung der eingulären Integrale gab- 

Für die Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei 
Variablen gab Euler 1728 eine Methode der Zurück- 
fuhrung aaS die 1. Ordnung an. Auch d'Alembert 
beschäftigte sich in mehreren Abhandlungen mit den 
linearen Gleichungen 2. Ordnung. Ist die Differential- 
^eiohuQg 2. Ordnung nicht linear, bo ist gewöhnlich 
nur eiue approximative Int^^ation durch Reihenentwick- 
lung m&glioh. 

Die Versuche, eine allgemeine AuflCsungsmeäiode 
für Differentialgleicbnngen höherer Ordnung zu finden, 
wie sie namentlich von Fontaine (1764) und Con- 
dorcet (1765) angestellt wurden, erwiesen sich als 
fruchtlos. Dagegen erreichten hauptsächlich auf dem 
Gebiete der linearen Gleichungen n-ter Ordnung Euler, 
Lagrange, d'Alembert, Lexell a a. BohOne Erfolge. 

Was DilferentialgleicIiungeQ mit mehr als zwei 
Ter&nderlichen anbelangt, so behandelte d'Alembert 
die simultanen (1747 und 1748), Clairaut (1740) 
und Monge (1784) die totalen Differentialgleichungen. 
Der erst«, der das Gebiet der partiellen Differential- 
gleichungen betrat, war Euler (1734), Bevor aber 
die allgemeine Theorie der partiellen Differential- 
gleichungen 1. Ordnung zu weiterer Ausbildung ge- 
langte, beschäftigten eich d'Alembert, Euler, La- 



XVIII. Jahrhundert. 143 

grange a. a. aus AiüaB 'des Problems schwingender 
Saiten mit deDen 2. Ordnung. Ton einem allgemeineren 
Standpunkte behandelte die Oleichiingen 1. Ordnung 
zuerst Lagrange in mehreren Abhiuidlungen (seit 1772), 
dann Laplace (1773). 

Mit der Theorie der h&heren partiellen Differential- 
gleichungen befaßten eich gegen Ende des 18. Jalir- 
hunderte besonders Euler, Condorcet, Monge, La- 
place und Legendre. Bei allen diesen schwierigen 
Untersuchungen liegt das Haiiptmoment in der Be- 
stimmung und Deutung der wiUMlrlichen Funktionen. 
Den größten Teil der wirklich integrierbaren partiellen 
Differentialgleichungen höherer Ordnung findet man im 
3. Bande von Eulers „Integralrechnung". Für die voll- 
ständ^ Integration der linearen partiellen Differential- 
gleichung 2. Ordnung mit drei Veränderlichen gab 
Laplace unter gewissen Einschränkungen eine Methode 
(1773), die Legendre auf die Gleichung mit vier Ver- 
änderlichen und auf einige Fälle der linearen Gleichung 
3, Ordnung ausdelinte. Die tiefgehendsten Untersuchungen 
über die Bestimmung der willkürlichen Funktionen sind 
von Monge angestellt worden. 



Wir finden um die Wende des 18. Jahrhunderts 
fast die gesamte mathematische Tätigkeit in Frankreich 
vereinigt Aber bereits 1799 trat, wie erwähnt, in 
Deufachland Karl Friedrich Gauß (1777—1855) vor 
die öffenöiclikeit — der „Ärchimedes des 19. Jahr- 
hunderts", der, anfangs auf einsamer HOhe wandelnd, 
durch den belebenden Einfiiiß seines unerschöpflich 
reidien Genius die schlummernden Kräfte erweckte 
und die führende Stellung der deutschen Wissenschaft 
auf mathematischem Gebiete begründete. 



Anhang. 



Das 19. Jahrhundert liegt Doch zu nahe, als daS 
es jetzt schon in seiner Bedeutung für die Entwicklung 
der Mathematik und der mathematischen Forschung er- 
kannt werden könnte. Um aber zu kennzeichnen, wie 
die jetzige Qeoeration die Mathematik des 19. Jahr- 
hunderts auffaßt-, sei es gestattet, das Inhaltsverzeichnis 
des rein mathematischen Teiles der „EncyklopBdie der 
Mathematisdieu WisscDschaften" beizufügen, die seit 
1898 im Auftrage der Akademien der Wissenschaften 
zu München und Wien und der Gesellschaft der Wissen- 
schaften zu Oöttingen, sowie unter Mitwirkung zahl- 
reicher Fachgenosaen herausgegeben wird. 

I. Arithmetik und Algebr«. 

A) Arithmetik. Grundlagen der Arithmetik. — Kon- 
biiiat«rik. — Irrationale Zahlen und Konvergrenz QDeiidlicher 
Prozesse. — Kompteae Zahlen. — Mengenlehre. — Endliche 
diskrete Gruppen. 

B) Algebra. Grundlagen: Rationale Funktionen; alge- 
braische Gebilde; Invariantentbeorie. — Gleiohnngen: Sepa- 
ration und Approximation der Wurzeln; rationale Funktionen 
derWurzetn; Galoissche Theorie nnd Anwendungen derselben; 
Gleichungssjsteme; endliche Grappen linearer Substitutionen. 

C) Zahlentheorie. Niedere Zahlentbeorie. — Theorie 
der Formen. — Analjtische Zahlentheorie. — Algebraische 



Anhang. 145 

Zahlen. — Arithmetische Theorie algebraischer QrOQes. — 
Komplexe Multiplikation. 

D) Wahreoheinlichkeits- nnd Anagleichangs- 
rechnnng. W&hrschänlichkeitsrechntmg. — Aufvleichan^- 
ledmimg. — Interpolation. — Anwendnngen derWahiwhem- 
tichkeitsrechnnng:. 

B) Differenzenrechnung, 

F) Nnmeriacbea Kechnen. 

U. Analysis. 

A) AnalyatB reeller Orößeu. Prinzipien der Infini- 
tesimalrechnung. — Differential- and Litegralrechnmig. — 
Beatimmte Integrale. — Gewöhnliche Differential gleichnngen. 

— Partielle Differentöalgleichungen, — Kontinuierliche Tiina- 
formationagrappen. — Randwertaufgaben : Gewöhnliche Diffe- 
rentialgleiäungen; partielle Differentialgleichungen der Foten- 
tialtheorie; andere partielle Diifereutialgleichungen. — Beihen- 
entwicklungen, — Variationsrechnung. 

B) Analyaia komplexer Größen. Allgemeiue Fuok- 
tionentheorie. — AlgebrEÜsche Fnnktionen nnd ihre Integrrale. 

— Bestimmte Iht^rale. — Lineare Differential g-ieichungen. 

— Kugel fuuktionen u. dgl. — Nichtlineare Diti'erentialglei- 
chungen. — Umkehrfunktionen: Elliptiache Funktionen; Abel- 
Bche Funktionen; automorphe Funktionen; Thetafunktionen; 
Funktional-Gileichnngen und -Operationen. 

UL Geometrie. 

A) Rein geometrische Diaziplinen. Prinzipien der 
Geometrie. — Elementargeometrie. — Baumeinteihmgen nnd 
Konägurationen. — Analysie situs. — Grundlagen der pro- 
jektiTon Geometrie. — Daretellende Geometrie. — Inversiona- 
geometrie. 

B) Grandlagen der Anwendung von Algebra nnd 
Analyais auf die Geometrie. Prinzipielle Fragen. — 
Kcordinatiouamethoden. — Geometrische Analyse. 

C) Algebraiaohe Geometrie. Kegelschnitte. — All- 
gemeine Theorie der höheren algebraiachrai Kurven. — Spezielle 
algebraische Kurven. — Flächen zweiter Ordnung. — Allge- 
meiue Theorie der höheren algebraischen Flächen. — Spezielle 

Sturm, O«aoblolile dei Uathematik- 10 



1 46 Anbangf. 

algebraische FlKchen. — Mehrdimensionale B&ame. — Alge- 
braische Transformationen nnd Korrespondenzen. — Geometrie 
höherer Ranmelemente. — Abzählende Methoden. 

D) Diffefentialeeometrie. Anwendnng der Diffe- 
rential- nnd Int^r&lrecnnung' anf Knrren und Fliehen. — 
Kurven «nf den Flächen. — Besondere transzendent« Korken. 
— Besondere transzendente Flächen, — Abwicklung nnd Ab- 
bildung zweier FISchen aofeinander. — Berühmngstransfor- 
mation. — Gestalt yon Kmren, die dnrcli Differentialglei- 
chungen definiert sind. — Differentiale Liniengeometrie. — 
Differentialgeometrie mehrdimensionaler MannigftJtigkeiten. 



(, Google 



AlucisteD Sl-fä. 




B 


Ab*ku3 2B, 41. 67, 






Abbo T. tlearj 68. 




B 


Abel 1S2. 132. 




B 


Ab«lache Funitionen 


Iflometrie 


B 


139; 110. 


111—113, 


B 


Abul Dachud 56. Sl. 




fi 


AbnlWafaBO. 65.E6.6T. 


11. 17. 






;. 










AdditioDamebhode Sa M. 








0-32. BO. 




Adriaiius Romanas W. So. 




- Niciaus 1. iaö." 






- Niclaus 11. 121. 


.Urpter T. la 12. 11. £8. 


9-67. 69. 




14.47.68. 


72.Tft84. 


tialglaichnnB 14L 


ihslf^hkiBit^imlrt« »1 
Akademlaa 12, 21. 






a27~3a 


128. 


6a 66. 61. 


BeraonlUsche Zahlen 123. 


Alantoe« T7. 




Besearion 71. 


Älbattani 66. 69. Tft 


L16.19. 


Betafunktion Itö. 


ilbert TOD Sachsen 68. 




Wioqt 131. 182. 188. 


Alchaijsml 63. 64. 
Älohodacbandi 66. 


21. 


Bbaakam Acarja 4b. IS. 




Bienewiti 91. 




[telb«a S. 


Billion 74. 


61. 6tK B», 78. 




Binomialtoefflslentensa. 




Dreieck 


85. 108. 


aa.29. 






Alrebra 18. 14. 29. %. 
S. 39. 46. 61. 62. 60. 




120. 133. 134. 






82.66.72-98.105-107. 


il. 27. 88. 


chung 67. 88. 87. 94, 


130-133. 


101. 


Boethius 42. 43. 




A69. 


BombeUi %. 96. 


Älioritmus 51. 






A hakim 67. 

A karchi 62. 68. 62. 


e. 


Bosse 138. 
Brachisti}cbron«12S.lia 


A kabi 54. 


a. 11. 13. 


Bradnardin 64. 72. 


A tnin E6, 




BrauniSliI 5. 


Almane. 


irisc 106. 


Almagest 36. 50. 66. 67. 




SmÄ 



Brouncker 118. 
Bruchstrich 60. 
BrackeDanfsib« isa 



BOTTi 96. Ufi. 108. 



Cantor & 6. 12. 61. 76. 

CardanoSS. G6. 86-88. Se. 

Camot 138. 

Cartesiue s. Sescartea, 

Cassiodoriua 42. 43. 

Cataldi lOT. 

Caochi 127. 

CaTalieriSaioailS-llg. 
11& 

Censns 62. 78. 

Ceia 137. 

Chapple 137. 

CharakterJBtiBchea Drei- 
eck 116. 138L 

Chaales 5. 

ChineBenU.18.m8^84. 

Chaquet 71. Tb. 

Cicero 4L 

aBSoide 33. 84. 115. 

ClairBQtl3&.Uai41.1& 

CInuebere 127. 128. 

ClaTios %. 116. 

Colnmella &. 

CoBiniandino 93. M. 

Condorcet 142. 143. 

CoQ 73. 80. 81. Sä. SB. 

Cotm 184. 139. 

Gramer 133. 136. 

O'Alembert 132. 14a 142. 
DarBtellende Geemetrie 

109. 1S8. 
Debeanne 1C6. 106. 124. 
Uellachen Problem la. 83. 
Demokrit 11. 1&. 
Desargnes £6. lOa 110. 

117. 137. IBS. 
Oeacartea 40. 106. 106. 

111-114. 136. 
Determinanten 121. 133. 

186, 
Deiinialbrflche 70 80. 99. 



Diunetraliahlen S9. 
Differential IIT. ISS. 124. 
Differential KOCmetrie 137 
DifferenHal elei chmwcn 

134. 126. 137. 141-148. 
Differential rcchnnnir 114. 

116. 122. 133. 189. 
DiffereDtialieicheD I2S. 
DlDeatratoB lä 
Diaklaa 38. 
Diaphant 38. 30. 46. 47. 

sa 51. 63. 92.96. 106. 107. 
Dioptra84. 
DioriBmiu 81. 
DiTiaionamethode 30. 64. 

68. 58. 67. 76. 
Dodekaeder 16. 
DominicDB de Clarnsio 

61.66.72. 
DorpelteBnchBUirang 76. 
DoppelTerhUbiia 40. 
DreieckBiablen Vi. 
DrelteiluDBr des Winkels 

IT. 18. ^66. 64. 91. 97. 
Dresdener Algebra T'J. 

78. 80. 
Dschabir ihn Ailali 67. 
Dnolil&t M. 
DOrer 66. 81 91. 02. 



Elastische KiirTe 136. 
Ellipse 16. 19. 2& 31.33. 92. 
ElliptiBche l'anktioaen 
EneetrOm 6. [139. 140. 
Engel 6. , 



EplzrklDlde 91. 92. 110. 
ErstosthencB 82. 
Escbenbach 129. 
EudoxuslO ■" ■" " "■ 



71. 76, 77. 84. 92. 
ünler 129. 130. 131. 182. 
134. 136. 136. 13T. 138. 



Erolnte 31. 117. 

Eihanstion 90. 31.2&801 
Gxni>nentialEr<UI«n 19G. 

Fscnano 14a 
P^inie 9a 117. 
ratio de DntUier 127. 
Feldmesanng 8. 
Pflnnitl06-10e.110.lll 
bisllG.116.117.I22.lSS. 
Feimatseher Sati 107. 
Feirari 86. 
Ferro 86. 
Pibonacci Oft 



FUeheniahlea 12. 
Florentiner ÄDfEsbe 124. 
Fintton 123. IS. 
Falium Carteaii 114. 
Pontaine 142. 
Fourier 134. 

Fourlersche Uethode 4(1. 
Franko t. Lotöch 6ft 
Freie Kaoste 43. 68. 
Frenicle 110. 
Fr^zier 138. 
Friedlein 6. 
Friedrich II. 61. 
Prontinus 42. TS. 
FOnfeck 16. 24. 
FOnfereystem 9. 
Funktionentheorie 136. 
189. 

dalilei SS. 99 126. 
Qammafonktian 140. 
GauB 18. 130. 132. iSS; 
136. 138. 139. 143. 

Qechaaff'92. 
Qemma-Frisins 79. 91. 
QeodBsie 29. 34. 
Qeodatiache LiliieD 187. 
Geometrie der Lue 26. 
Seomettisehe Reihen EL 

Georg T- Penerbach 6SL 

TO. 71. 
flerbert 68. 69. 
Oerhard i. Cremona KL 
Gerhsrdt 6. 



GerlBnd Vä. 
Qeiültrhalttnttaamtl T. 

45. 68. 
OeMti dar großea Zahlen 

äheUldi 111. 

Oinrd 104. Iflb. 111. m. 

aieiehheitaeicheD 106. 



QraKOrius & 8.TinMDUo 

1K.118. 
arecoTT HS. Iia 18ä 
GraniabareuiK 118. 
Oriocben fl. 10—41. 48. 

44. 46. 46, 48. 49. EO. 

5L 62. 53. 66. 58. B7. 

68. 69. BI. 67. »1. 90. 
firom&tiker 42. [im. 

GiCiJler- und Kleiner-Zei- 

cben 10& 
GiDtidop«ratiDlieD 4S. M. 

63. 76.78.. 
Oirnftus d. Altere 92. 
Gua, de 130. 138. 



HaklmitiBcha Tafeln 67. 
Balley 119. IS». 
Huikel 5. 



HaniBdonapten 14. 
Harriot lOS 
Harun ArraSbhid 60. 
Heinrich t. Langanslein 



Heronsche Farmel 86, 
Heteromeke Zahlen 18. 
Hexagramm» m;titicnin 

110. 
HindeDbnrE 1S9. 



HindeDbnrg le 
Btppsrcli 36. 
Hippiae 11. 1" 



Hippokrstea t. Chi«« 11 

IB. 17. 19. 
Hippopeda 84. . 
Bflhere GleichanEen -M. 

121. 122. ISl-lSä 
HolzmaDD 92. 
Bnbanns Hanmi 66. 
HrotliBvitlia 18. 
Hudde 106. 109.. 
HuBwirt 78. 
HnjOTHS 107. 108. 117. 

126. 128. 
HjEinDB42. 
Btperbel 16. 19. 81. 89. 

Sä 116. 119^ 14a 
HypdkleB 3S. 36. 88. 
n i&64. 



Il m lOO. 

Infleiionipnnkt« 118. 
iDflniteslnial rechnnniSO. 

80. 6i SS. 99. 100-102. 

118 ■ 127. 138. 141. 
Intecralrecbnnng 116. 

116. 122. 139. 
InteEralzeichen 128. 124. 
Interpolation 118. 
Inia-^ - - ■"' 



n 131. 



InTerae TeDgentenaut- 

gabe 101. 114, 
InTolution 40, 109. 
Irrationales 14. 16. SO. 



24. S 



74. 84. 118. 

lahak ibn Hnnein 60. 
Isochrotie 125. 
rsoperimetriee4. 127.140. 
Italiener 66, BS. 68. 72. 

73. 74. 98. 
Johann t, Gmunden 69,70, 

— T. Landahnt TS. 

— T. Sacroboseo 83. 

— T. Setiila 69. 
Jordan U9 Nemorarins 60 

bis 68. 64. ea 71. 74. 77. 
Kaps 77, 78, 
Kaskaden 121. 
Kistner 127. 



Kombinatorik 88, 106. ICa 

12S.129, 
Kombinatorlache Scbnle 

129, 
Konchoide 33, 34. 84. 116. 
Konoid 28. 
Kontingeni Winkel 61 
KonvergBra 119. 12a 131 



Koperoilnia M. 
Koplrecbnen 41. 68. 
KUrparlicbe Orter 81. 
Karpemetze 92. 
KOrparzahlen 12. 
Koeinus 8. 67. 
KoHinossati M. 
Kosmische KOrper 16. 
Koamoa 11, 
Kolangente 66, 
Kreisfunktionen 136. 
Kieisrecbnung £a 37. 48. 



Krei BloilungagleiEbung 

isa 

KrOmmnngatheorie 101, 

lai. 187, 
Kubische OleEchnng 18. 

Sa 2ä 3a 64. 61. 66. 

S7. 81. 86, 87. M. 96. 

B7. 106. 
Kubische Beste 66, 
Kugel fdnktionen 1.S6. 
Knsta ibn Lnka 60. 



Lablra, d« 110. 

LsDibsrt IST. 138. 

Lun« 136. 

Luiden 140. 

L&pJace 1S8. 183. 134. 14ä 



Logendre ISO. JSB. 139. 

140. 148. 
Leibnil 112.117.120-127. 
12a 133. 134. 136. 130. 
LemDiskate 34. 126. 140. 
Lemei. 
Leonario *, Pisa 60—63. 

66, 71. 75. 
Lei«U läB. 142. 
L'HospiUl 13& 127. 18». 
Lhni liier 139. 

.ieht 78. 

.im&MD de PbschI 33. 

.iDeaVnnd Zirkel IT. 18. 
Lioeaie Oiter 81. 
Li oieDrechnen ÖT. 68. TS. 

79. 86. 
LmieoiBhlen 13. 
LiaDordoduTiDci b6.7L 
I.oftus 0. 
Lomrithmen T4. 62. 91. 



Henmiei' IST. 
Miilion 74. TS. SO. 
Miaute 37. 
HischmiggrechDiuig 45. 

68. 
Hoivrfl I20i 129. 189. 134. 

Moiige 137. ISa 141. 142. 

iliihamnied ibu Unsa51. 
UultinlikationsDiethode 

29. SO. 45. 54. 60. 62. 

67.9a 
MOncbenar Algebca 72. 
Musik 21. 43. 77. 
Mydorge 109. 

KAhemncsinetbodeii 64. 
71. 87. 97, 121. 130. 135, 
•" ■ ""liD Tusi — 






Blitclkuiin ISO. 13a 138. 

140, 
Uaier, F. C 138. 
Hskrobins 43. 
Marciaaus Capalla ^ 
Matbemutik 21. 
MAli)hiessen 6. 
Hanrolica 93. 
MaiimumaufEabe 24. 69. 

101. 114. Iß. 117. 124. 

125. 126. 141. 
MailmuB FloDudes 45. 
Mecbanik 93. 98. 99. 
Meister 187, 
Melanchthon 81. 
Msagcbmns 19. 30. 
Menelaus 86. 87. 57. 59. 



112. 



Panibel 16. 19. Sa 81. 33. 

83. 99. lOi. U4. 116. 140, 
Paralleleaaxiom 26l SB. 
Fareob 135. 

Partielle Integration 116. 
Paacal lOa ift, .116. 117. 

iia 12a 123. 

PascsiBchesSecbseck 110. 
Pellache Glelcbtine 29. 



108. 129. 
Pendelnhr 117. 
Perlen 118. 



Neea 



6.50. 8 



Neper 102-104. 
Neperache Analo£ieDl04. 
Mosselmann 6, 
Neuere Geometrie 40. 
Neonerprobe 55. 62. 
Neaplatoniber 39. 
Nenpythaforeer 37. 
NewtonlßLUaiSO-lK, 

130. 133. 136 
Newton 9Cbe Interpol a- 

tioosfoimel 1^ 
Newtonscbaa ParalUlo- 

granini 136, 
Nieuwentijd 127. 
Nikolaua t. Kuaa Sa 69. 

71. 72. 77. 104. 
Mkomachus 37. sa 42. 4a 
Nikomedes 3a 
Nipaus 4ä 
Nonins 90. 
Null 44 6a 59. 



Oreamo 64. 65. 73. 
OriontierDoe 7. 42. 
Oskulstlon 136. 
Oaterrecbnung 5a 



Petersburger Aufgabe 

Petras V- Daiien 63. 
Pfalf 189. 

PhitippuB Opuotios la 
Philolaua 11. 
Pirckhoimer Tl. 
Pitiacu» 96. 

Pinto 10. 11, la la 15. 
17. Ift 21. 22. 29. aa. 
Platonisclie Körper IG, 
Plato von Titoli Ba 
Poisaon 131. 
Pol und Polare HO. 
Polynomiacher Lehrsats 



Porla 



a27. 



FoBitlODsersteni 4& 44. 

5a54. 69. 
Pothenotsche Aa&abe 

104. 
Primzahlen 12. 
Priorit&totrelt ISS. IST. 
ProitktiTitche Qooma- 

trit sa ST. IST. 188. 
ProklmSS. 82. 
Proportionen la ». 96. 

ei 66. 7a 
ProathaphSresta 91, 
Ptolemaua 36—87. 4a 60. 

61. 
PyUiBgoras und P/tha- 

Boreer la 11. 12-1& 

2i 89. 81). 60. 77. 
Pftbairoreischer Lehr- 



Oiiadratische GUicbun' 

eea IC 18. 33. 26. 35. 

39. 46. 51. Ga 60. 8&. 89. 
Quadratische Reste 55. 
itnadrstiBcbes Reiiprozt - 

tfttsgraetz isa 
Quadratrix 18. 41. 
üuadratuT d«s Kreises 8. 

17. 18. 91. 92. 



Rnbattrechnung: 128. 
Badulf T. Laon 58. 
Rainn8 25.93. 
Ratdold 76. 
RanliDaoii 9. 
Rochenbrett 29. 
Recbenr&tsel45.58.79.Sl. 
Recarde ir6. 
Ree8sehe.B«gel 128. 
Reseldetri 45, 80.68.73.77. 
Regioniontiin 68—71. 80. 
R«gulafalsi53.60.77.8T. 
Reichelatein 79. 
Reifte. 

Reknrrente Reihan 13i. 
Remigins t. Aaierre 58. 



iM. 

RbSticna 96. 
Riccatiscbe Anfgabe 141. 
Riese 79. Sa 84. 
Rinderprablem 29. 
Bobarral 33. 115. 
Rolle 121, 

Rtimer41-4a 44, 58,67. 
78. 81. 

Rothe 139. 
Ronlette 114. 
RackHftrtseinschae iden 

104. 
Radaisea 81. 81 BC 86. 
Rndoldniscbe Tafeln 103. 
Rumbas SO. 

Saurln 187. 

SchlieBunnprobleni 83. 
Schöner 71. 

Schooten, lan 106. 111. 
Schopenhaner £&. 
Schrei bar 77. 78. 



SellspaDDniiK 14. 47. 
Sekante %. 
Sekunde 37. 

Sieb desEratosÜienes 32. 
Siebenemrabe 55. 
Simson iSI. 
Sindhind 50. 
Sinus 48. 56, 57. 



Snalllus 104. 
Sphilrik 27. 86. 37, 54. 
Sphiroid 28. 
Spirale 28. 
Spire 34. 
SMckel 6. 
Stammbrdche 7. 
StellenzeiEer 121. 
Stophanua 77. 
Stereographische Pro- 

Stemer 5. 

St«mTielecke 16 64. 71. 

SteravieltUohe 101. 

Stetigkeit 99. 

SteTin 93. 96. 96.98.121. 

Stewart 137. 

Stifel 81-86. 

Stirling 136. 

Stoj5, 

Stromer 78. 

Sturm. J. Ch. 137. 

Subbaktinnsmethode 29. 
51 60. 67. 79. 

Suter 5 6. 

Symmetrische Funktio- 
nen 106. 130. 131. 

Tabit ihn Kurra 60. 
Tacquet Uä 
Tangente 8. 57. 
Tangen tonproblem 113 

bis 115. 117. 118. 128, 

134. 1& 
Tanne rr, P. 6. 
Tarif 76. 

Tartsglia 56. 86-»0. 
Tautochrone 117. 



Tbales la 
Ttaeltet 15. 23. 35. 
TheodoUt SS. 
Theodonis 11. Vi. 
Theododui 86. Gft 
Theon T " " 

V'l ■ 



Q T. Sii^mi 
laiidai 13. 



Transmatation ISO. 

Triangulatian 91. 

Trigonometrie a 33, 3a 
3?, *a 66. 67. 69. 7a 
91. M 96. 97. 9a 99. 



Trorfke 6. 
Tscbimhaus 126. 
Tzwirel 76. 

Vnbeatimmte Glekhun- 

nen 38. 3a 47. 4a 58. 

80. 81, 81, 106. 107. 121. 

129. 
ünendlirh 30. 46. 64. 69. 

127. 
Unendliche Produkte S6. 



Uoendlicb ferne Gebilde 
101. 109. 

TandermoDde 133. 
Varialionarechnnng 126. 

1«. Hl. 
Varro 43. 
Venatorius 92. 



VoltaUsdife IndoktioD 



Z&h1«nUiM>rie 12. 84. 39. 
aatie.61.7&8LI06bil 

ve. 119. 129. laa is& 

Zamberti 76. T7. 
ZtLuberqoBdrate B3. 84. 



g^ sa 10. 



iia 

ZehnsnTstom 9. 
Zeno Sa 
Zentlieti 5. 6. 4a 
Ziffer 44. »L 68. TR 81. 
ZiDBreChnnriE iZ 46. ISS. 
Zomil 77. TB. 
ZwsniigenjiBtein 9. 
ZwiatenjfMm 9 " 



(, Google 



gMtUk»»* >•« ■. IttMtM». 



MaDr.RÜMtKUbvannnMnlg- 



$annilttng 6$$d)en 



3«liidtgaiitan 
CthnBonlibanb 
8.7. ClflMini'rdit TcrlagthancHinis, tcfpifs- 



80 Pf. 



bn^outflath 



(«Tlgtnl btl 
cfUiiSniDtt' 



StMlictHt.SariblUKk*, n. Dr. Hob. 
fiau^n, Prot, «n ba UniDctlillt 
itm. 1. mu ItO Slgonn. rtt.ii2. 
mm*. MU <t. maaiM, PidIcUdi 
am «qmnanum in utm. OW in 
jmtfnib. Slg. Ib. 41. 



<mbfaUKf«biilntU». VerHI • 3ii> 
»utlrit li: tDdtnl, SHittnl, P«ta> 



rot. ntai cattli 
mal StairtfAn 
E[tlL3ntiutlnt ju 



cattln, Dlidur to 
"' I »ntniltKnt fQi 

ItiuBctltn. mu 27 

Siguitn. Hl. 18i. 

I »m Dr. O. )Mr 




mttffiM», «aMTriM. *m Dr- Hai 

Bnimn, Prof. am Ci^mnaniin 1 
Pfoijlftfm unb PriDott^nit MI lt< 
Wmt an t« Ccdim. Qodgtdgult 1 
Koibrntit. ttT. aau. 
{•■mtriMMiM" Q'' 4™* l)^ t 
flu^buTg. Hl^ 160. 
bM «qtoirtfHirdr*» lUiikM M 
Dr. K. tlotll In Kcnqitti. IIi. 1» 
jpnitliln, im l|llitt(l<>U«r (bU 
1500) DOnbi. S- «ur- **"" — 
. KgL Cui|tngi|mn * ' 



iMlagU ».pioMlof Dr. Cbn^Siaos 
tu Shittgait. nUt 16 flbbUb. iinb 4 
loMKmUftbaUjterätM. Hl. IS. 



proftnin Dr.IR. Stnom tu . 
ftg. ntil tT 5ISIUU. 



»«rl^iu 

. . Si). BBilltii, pioMI« ~ 
IlMlaiininaflum tn Sip 
ntL mit 33 51gUMK. ni.S£6. 



Biri.Br, m! 
muaiflbbiu 



StnuR In Stia^urg. 



in ianl^a. Bcbonbliui 
Dotbltmanii, ptsf. i 
ii m^m. mu 1 



[(Hin. nr. SS. 

"— *bttg:tn)«lüica( oon Dr. 
Obnlt^c am HgL Cuitm* 



7 lUttgitnwkHci 

S.KumObnlt^cam , 
giimnaninn tn B*riln. Hi. 31. 

ß^ au^: tlwiltiitnntit. 

grmtanriHi.Don Dr.ILSItrt. . 
Jnof. o. b. UntMit' BttlliL tb. 86. 
«Hidiirilli. Bon Dr. I 
Snsbobii, piotcllor on btr b< 
Uidnriuat Pias. Hr. «9. 



3ä«(, 0. Qonotiirpntftitot tn 
UäntfL BS». l.Bb4ii.:lS00'1 

. — 2Bb(bii.: l§e3«lCnbtb.3abTb. 

m.a7. 
' Snnul* M> orf M( grlMb. Stil MM 

De Dr. 3. BaqnB«- Jlt-^l- 



in StxnBhirg. Hr. & 

»t» ailnt iNnffin ,._ 

Dr. St. f^ommd, pcof. a. b. UniMil. 
milM^it. OT.6m.u.llIait nt.tt. 



6. 7. e8rd)tn'rdK TfrlaoabandUras, tcfpils- 



Dr. Kart Ufiliij, Pr<rl. 
Itroi. Si. iw. 
. - II: PomSMbteäi: 



in btr UntD. 



cSwraott 
profrän 6«t ÜiÄ. äüoj. Ht. 106. 

tamiMt, Mn RioIgqmnalliil'Dil. 
r.3illHod|i»iBtuBoi>all). nc.lB. 

- t.nmtit.o.Dr.WW,.Jua>,<libal. 
orawItMOTninalluiiiinnlalnt nr.*- 

- »iWilir*.. oon PffeÜ»' ""lo 
«ammä. HtKor »t« »IfaloiBi 



- »n C«inri( litt«: C^mlt. 

- bnr INalivd (UI)'' ^f" 
■ h*viNat%(w<>ttll1.: inat««matU. 

- »** WKiib litfKt muiu. 

- »w pakaeoe»! I<t4<: paöagtogll. 

- kcT Viraiui <iefi<- Piniii' 

- ht*ttmttaitn9iamav»\:'Romaa. 

CiomnatU, Vtutf^. 

- kcB ktBirmra SHtcvrUlt*' 

t»(ro» |i*li<: UiUnridilsitxitn. 

in M*. oon Dr. «ril!t Btrndtlm, 
Dtoftflin an twt UntonfU« St«fi. 
■Milk Hr.2TO. 
«(fniik4(it#lihra. IXr mtn|d|Ud|t 
ksnin. T*tn Bau ui« |clM COHg- 

IcUtii -- " "-*■ ■"■— *"T- 

UIUI 

mit 

(InHiEtitiBirtn Don rottn« SomBm 

rolcltoi an b. UnlcHlitiU Bttüa 
11. &, 203. 20i. 
OmUrtamihn. nta|-, tnHiB;' ui 
<t«nt4tiiotfRi Don De. Aug. BUi 
Prof, an tciQandcUti^llIc «1 Xil 
nr.2SS. 



»IrtdifttwnmiaMiiHt, 9i'. non C 

KhRMunnn, 3iig(ni«ur mrt Bo*Hrt 

a[ CIdltDt«l)nir an bei HlunidpiU 
bool of Sc^iologn In ItlERil|tftt(. 
mit 78 Siaunn. Ilt. aS7. 

Äotd f« DHtn- mit S fl»U». - 

Cctt unb II iaitln. Hr. IM. 
««Itfritb ••"•*w|S»^- fl 
maim oon flue, iDoI|ram ,-- 
f\Sltnbaii u. «ott|rit6 oon Stras- 
burg. RuHua^I au5 ina bSf, Cpo( 
mit amntrtuigcn unb IDBltiiAuA 
Bitn Dr. K mamlb, pcot. an Kgl 

L pr, Tlr. 2i 
»»mnuttlk, ftntr«*. utift tuTjt 
StIÄIÄM MT fttuttditn Spiadtt ran 
SduUrol proldlor Dt. O. DK" *" 
DRi6tn. nr. 20. 

- «uttAtrilii, li 5«m"tl'lK« "0" 
Dr. Bau» tRclttr, ptoftfliw «« 
bei «^luti^lllt 3U miOMltrann. 
nt. 117. 

II 1 BttKutungsIttn unb Sqntol 

tMU Dr. I)ans DUI^, I^<>tt]f« ™ 
t<t taolicrMuIc )H mouIbTOUt. 
Itr. iia. 

- gottinlM'. ftrunbrft Itt UltA 
midKU SptoAlibn Don praMfM 
DrTlD.Cotfl^lumägbcbuig. tiT.sa. 

- |Nttt*l«ailikcnKit|(. Dn in»f 
Eöiat tut tu Hunübl nnt miM> 
bo^eulfdit SiamniatU mll buaan 
isirttibudi non Dr. ID. Salt(n; 
Prof. fl.irilniDM|itatlloitii*.IlT.l. 

Pias- nt. 6C. 
]l«Il( au^ : Sutfiji^" «(fptai^i- 

budi. — Etlebuäi. 
»Mtbtltkarrtfpmbttn. f n*tri4(> 

SDn Prot' ^ <" Bmui, Slflcitt bt 

rSBltnictlon publlflut. Rr. Ite. 

- (Snaliriltc, Dan S. C. IDbUfkIti, M. 
A.. Sbttlt^r an King CbDOi« Vll 
«roimitat S^oal fci King'» ^— 



Sammlung QSscbeit äitr: sopf. 

e, % eSlUim'fihc TtrUothsndlune, I^dpifg. 



$aniiilHnd G^sAeit 



K V(rla<rahandlini8, IMpztt, 



8o;ßf. 






Scnb BcÜcri^ pnMJot am 
ttO« 



l ivuu ni nk *fMi KotU tet 



imi 11 biUbt^ >. PraffL Ib. 

Dr.OJOnilbiKai! 
flUUtmigaimt t 



Dt. nTaM^^MIw «m tft KgL 
CiÄR. BMMidi mflwbnt. am 
p3fäiCmSab.u.tvmi». tb.i7(L 

pra(. Dr.ILaipptlInBKnnn. ntll 
U faUOuagni luk 1 Korti. tlt.184. 
- WMt «ITaMrtlnfaHM BMPnf. 
Dt. R CnngntM i* »nbburg Lc. 
*- -- ,Ilt.2I6. 




Dr. fntttb •tunb, pUnltcMnl 

to ItelnälttU IDicn. llltt lOlIert* 
fllBltntlon. iwb 1 HaiU. Ite. Mi. 
— »•• •MomMw •odrfin n. Dr. 
3. SnmnUt, Oitriäni n Rcob 
gnnwt l> ^^mil BUt M Ab. 



ttum unk C(^t tn CrtimM am 
C«anbiSpStnriNai w Boin. nu 
tl flUUA. IB» t KÜt*. r — 

biWta. im l6IM«ll«n mt 
IKttit. nt. UT. 
<«t«kHrt*tMafUfal|( tfrtt 

Mii Cmff CimgnBcd b 

UultnuitM suit UttcIiwtcKStb 
mt JBI KutauL Dm pnf*n*t 
Dr. ^ Dkfhntadwf fai Staüm 
L E HHI 1 Vofd wrt K la- 
MUmgai "- ~" 

kfliuHiui 
Dr. BD. t 



Potf«. llE.2. 

- INtmu m. Satmhttm. tOtttbtm. 
BOH Dr. ConuMtl- Ht.G. 

lUfL VfutMMit pliDBI II. S^: 
CUf|l luib tDtanc. Dm Dr. •>«. 
3Aäti, Pnrftnot OK b«i UtriniTfllal 

mu. mnaiAmmam. tti.77. 

[UmtM', 3LMa*a*>irilp, lirit 
•mmnoHt, UtaMnnt luu tf 
Iba^VCK ora t^. SjHwfflw 

cdmint «M Dt. ßtraöin 3t 
DbdUi; »et lUiiigfil Odfe^ 
VStAgibag L pi. UT. ISL 

- »Mie.SiibTlnni»ft«« Itl 

Um tä^ «%•». IRnrw 

>M »(rdiMlUk kM 1«. M*- 
lm>k«vta. AMunO^H uA Mtt 

fdoi iMii Pnl. •. Bttf^ ffibo. 



$ammlun9 6$$d)en 



it ■rirlaoabaTKUuns, Ldpilg. 



SOJgf. 



, getMÖtiin 

gtmUIt uHb (TlOutitt Don Prof. 
Dr. jnnm So^i. Ri. W. 

^tcratnrtn. Vit, kM 9vUata. 
L (MI: Dlt tittnttutni <Citalltni 
tmb 3HMtni n. Dr. Dt. Babetlornit 
PTtoäÜndtl an in UxlDnluai 
(DItn. tlT. 16a. 

— EL Cdli IHt ßltratum t<i p»> 
kj, Stmitni MI« aantn, wm r^- 
1R. natmlonM, PrlwltMlelU 
ter UrimtiUU nHtn. Or. les. 



DOTi Dr. Hnl iNn Briüi|arii l a aii m, 
proftnoi ON bn KgL IIM|iitfd|ni 
ttoätmiüt fn münden. Hi^ 318. 

- pjHntM*) son Dr. Iftnna 
30iid|fm in QamfiuTg. Ilr. BS. 

- IMMilr*. iMn Dr. Cmg pdmntQ 
Gl ntflnoi«). tit. IBe. 

- Mmtitäit, Don Dr., 3oii( Kar 
In ItHtn. t. Ua: AlNn Cttcn 
ttt ]Ui: IDlttitiBcbuil. Hr. 377. 

1. (MI: Doi 19. TabTbnntnC. 

nr. 378. 

(aanrtl^auB. tHtrflttngt Sattln 
unb <E«(ntitfiIn für logarU^mltdici 
uni titgonomtmiai«* *"-* — '- 



~ ' "' QMmnu Stuttgoit. 



-«fr! 

''Hr.BB. 

- <BninM«t anb B<mptli)p<n bu 
cnsHMtnuM'Otii^tNlWMBan Dt, 
finiatb m. ÜL StbiBcr, Diof . an bei 
Banb<Iiq«4;#il* Im Hab. 2 Stile. 

- mtUMTäi». mU Berl jung 
bei (EtlAldbtt bn W ifttn 
iwn Dr. aifnb S«li tm» 

an b*T UMtoctfUtt xiU, 

nt.70. 

Urflt, >MM Dr. Karl CoMnr, 
„_r o. i. ttnlocttUBt Qdbcb 

- VMMrrir*. I. Cdl: n« I*UmHIAi 
nnb WTiMglMK OMmm bct Dtttlui 
allm von Dr. tDoIlgong (beWtrt, 
^oMtoi an bnUnlMTtltai RoM. 



^& , 

an btc iBel<I|iteM( 

— in» fn QaiwuTi 

fc piirt«io«it 1 

ntntnui|_ tn i 
n Dr. El). CQct 



jntnMmnigttttU 
< SIbuitA pn 
IgitaiWuIe b. 2 



t «inlrM*H^ BM* !*• 



mit Cüiltftvngcn unb H 
Dci|it)ni iwn PtoF. S. E 
Itbnt am AUoIalgiiii 
UWt- "" " 



it unb Dlaandtei 



biafennan bti UirianttUll'Mtn.' 

nutsTiUHik tb.78. 

laiCTit, «*r«tM* kn, I. n. in. 
IT. T, DOM DrVlU«. mmim. Dt»' 
Mtn an bn Untnnfltat Bnilaii. 
te. 107-111. 

taMfwMdcaust«, flt«. Uun. 
gttaHti C(f|ibii4 iMt Bdftriclni fw 
Eas S^fl^uUMM MMbbtn pMH. »» 
bnmdi Mn 5t.Bact4, IBbwfMnnUnt 
hl Pfln^. nwtwit» nc.g. 



$<iiiiinlung 6$$d)en 



StbiibginltM 
DlnmanUanb 
e. 7. esrdKn'rdM Ttrlagshandluns, ttfpifg. 



80)af. 



VNf-, pcOnt- ■>•» »«tBtiiii«- 
wcfta con Dr. RMgnKBKnb, pcof. 
«Bte(Q<utb(Isiil|uItlnK«n. lic.2S3. 

PMonahri'* mh Dt. (Mo tUipn In 



lEiiflaD 2^V' P™| 



ilta. 
19 kbbÜb. nc. 78. 



llkilMcb Sijolt, EtbtdlungsDOTttdi« 
an bn DeutfÜitn Snisatte In Qam> 
buig. mit 28 BbmVt. im lEtJ' ""' 
8 Saftltt. Ht. 112. 
llUtiüK (Hnocganitc^tS^nntc 2.XtlI) 
».Dr,(Ds(arSä|infM,6lBL3nBtr' — 
(tiriltt"' <"< bic KSnIaL Buugt 
f^ult In Stuttgart. 11c, 212. 



Htttorvlatl* DSD Dr. ID. QniBRt 

(ftofclioT an brt UntonfllU 3nnf 
Ecui. mit wabbilbungen II-' " 
Cafän. He, ^ 



D>alt^ D. b. DogelntiM mit (tiüi 
Dabl out IRtnntfane unA SpTu^ 
bld|iuiig. mu Hmnclfungcn uiw 
ctnim ICSrtfTliuifi oon IDtla 
lEüntttr, ProltffioT an bn (Dbtmal- 

Kiult unb an aa Ctdgn. Qi>^|d)ult 
(tuttgatt. nr. 23. 
]|la>M*''at(, iBSlmni* «. Vbq- 
ItaldBii •(» VtUnita. Von Dr. 
. tD.Iinaula,PiDt.a.b,5oTnatabtmlt 
«ttiwii, mit so abbub, nc. lu. 



bd I«. 3a^il). RuMtnafilt unk 
mit Ctnltmingm unb Hinnntungtn 
— ... ß..^ u ßjj[^_ 5,f,j., 

]u MvHg, tli. 
mMk, «*rdil>bt( bn allH m 

aritUlaUnllifatit. »n Dr 

Imidin, mit ]al)lrel«|tn Olbäti. 

imti ntutUbcllagni. Ilr, 121. 
INnfUialiM« <armniUI|«i cimn. 

aaW*>MU(n> n. Sttplian Xn^I 

lit. 119. UO. 
]|Nn|lk0>rd|fa4t* »(• 17, nn> 18. 



Pniftltai an bn 



Pcoftnai I 
KÜln. ni. 



Dr. ang. Blln 
fianbclif^nlt < 



St«iilMnKr»H 

tolcnbtltiiltltn. 



«1» 1». BaM 

K SninMb tn 

tu. 161. 166. 
9aiaaih*t,%Ua*m*itu, a.Sttv^m 
wittn M Cdpjig- ni. 220. 

«ruMq navitmann, DtoMln 
En UnivnlUai UUL Rl. Ifi. 

vSMtrdl*, vm 

«fl. PI•^" 

1 nhiTjni 

tontik. läintiÄbdft bi« la 
Borb von Itanbc&idriffai 

ipanbltn Htfll btT S^^fo^i 

Von Dr. fianj Sd|UlKi ^IHctnat 
bct nan<aation*d(Müt 3U CObcd. 
mit W fObUbungtn. Hl. Bl 
lltbtlaafl, f n, «91 In fliusaU 
unb tnltleib<id|baitldit Scommatu 
mit hirjcm IDtFdnbuiti nun Dr. ID. 
<Balt^T, nnf clfn an bcr UnlMiftlftl 



ifi auA: C( 
iif|iI)unnTt 



: Cibcn, Dtult^M, Im 



Samtniuns 6S$(bcn 



e.?. e«rrf»n'rtt>* TcrUcrthandlung, Lripii«. 



- ^ - nfiiat oiMuittnMia- mti 

fellor Dr. ID. RriB, DlttBoi te 
Pä6aflMtj4(n Stnrfna» an *et 
Unipnlftfit J«""- "c- lä- 
«ifi^tAt» »er. oon (Dttrir 
Dr,q.tDfiin«lii!Dl(Sbo6tii.Il(. 



87 RbbÜbüngnt. 
tralUlanvI^ilitioi' Kedtttolnnigt 
unb lAitMi>QiS< AtDnomctrtt DOn 
pTafttdre 3. Si>nb«d!nn In Bltslau. 
filttlSsV«" nr-260- 

yicraiMtvt ncbfl einen AnE. . .. 
SftattnitoniliufHon unft pomlld" 
ptilntKli)« oen Hrdjitdt Ijans Srm- 
bnatt, (DttdctitcT an bet Baugt> 
racäl^ule Kfiln. IRft 8« fUbflb. 
nr.57. 

■ttrnaravbt* no" Dr. H). Brul 
DtoT (ti. Untonfliat Sttafebutg 
fim 16 flbbilii. nr, 173. 

^"^ — ■ (Dbtrie^iet Dr, 4. tl(m 



Mfliu<|*n-HI«nbal«BU, -»not«- 
' «^ ttÄ -jflmBe&Bt» oon D'- 
ID. miaula, pröfefTor an b" Soril- 
afabemlt Ct|«iii4- niU 50 ab- 
HCbimBtn. Hr. 111. 
l|fliml*Brtiil|, So*. EinttUune bu 
oftomtm pfliinyi"''^' ""'• «" 
nilÄtigllni unti iitrannte|lin ßdcn 
Don Dr. S- Rein»*» '" F—— -"' 
Dt, ID. miaulfl, proftl,.- _ -- 
5otil(Jai»in1» «ftno*. mu BO 



iHiniartll, Vit. bw 4l*tnaiT>V 

on Dr. Q). miaula, prol. an bn 
^ritslotitinlt Eftfna^ OlltSOitt- 



V e. J. ggrdwn'fll»« TtTU>(f»li«niUun(r. Kriprig. 

V l^drrinU *nik X«t«i 3>u tMtAt. ^di«, •««•. RnutBa^t n>b <i> 
Im Ue pUtotaAU, »<m Dr. IUI). Uultä^MX pn>|. Dr. 3«0w So^i. 

3 Slgnm. ni-Se. 



Rudolf OogM, ,.._ 

Ki. i|w)n«n niaWiunbaHMiBU 
^(cn. intt]<4IitU|n flUObHnfli 

OndUHlrnnk* im» knrtMira •*• 
rd|td|1i sim Dr. Cari 3anb, PnT. 
■Lft-UnlHrHlJUEUifaiacit. ZBinbc 
WI.2T 9. ua 

DmbmnXuifinaimMiatt I. II. III. 
nt 138. 140. 187. 
fMMMttprt, tUatnubu, Don Di. 
Ib. SttmBng In Cborlotlcnburg, 
I : IXt nitt^it. nx. 1B9. 



OnrniMlici^cohtin 

mu cfaititaid- ni.ei. 

|bllatmM«(ri4bM*. tUMUmmt- 
lub*. Don D. Dr. lüoi CifiT, Piaf, 
öitln UntenflUlt Bitslou. iti. 392. 

— IMMUt, von Ptoftilot Dr. Cb. 
■mnft Qunq. Ib. S3l 

»rgUMoAin, Don Prof. Di. ' 

lUidU tn Sttmm. Hc. 2de. 

Momn. a<i«liVt»-taitW<nltomi 

D«n Dr. Ifinnni^ nUtItt. Sx. i 

Don Dr. CrtoBtTHAt^ PnMfoi an 
btr UahWTlraU Prag. iIe.«. 

IMWldiM Ixttintäi nlt dlonn v 
Dr. Crlft]Btnuln, profc|1«i an I 
Unhxnttat Prag. Üt. ei. 

tl<4* ^'A- fe am ni ollt 



Sanarti***. Iki« OcTRlA [ : SOngc« 
tlcrt VM matbMaaä Dnl. Dr. 
Unn SomHiL DorfH^t td Hgl 
ttatniallnitalliutt* tu Smttgar 
Httt It fltUOmgnL Ib. ZS2. 

t>on»«ninitMBiataH. nwiMSI 
nt.2se. 

in kivRcvwtlCCr^CtnWtung 

D. Dr. 5nin V. IDaaiMt e. •. Prot. 

0. t. IlnlD<A «tl«!. tau ef «»• 

bUtamgnt. ni.ua. 
9d|nU,Ji>»>amc,tmM*t<— . 

son Qiui« Alin4«in tn Bolh a. S. 

Ot.ä68. 
tdniimwi*. nuuwui bn Sob. 

fi^ult nm Di.B.S<i}ftrt, Scmlnit 

Dbetlc^tR in Rinuibng. Ib. ED. 
timplMm* jHMttrtilhw«» a< 

Igaufcn. 3n AuiDd|l ^cnm««« 
DM Prof. Dr. S. Bobotag, Dwi 
an bti UniMTlllilt BiHtoH. Ib. 18 



1. ntiULJntuftTU 



ff?n)tb«ML njtrt«! 

tUnrtl, Spt|en> ut_ 

fobrilation unb SUifabL 

proMin ntoi SnlTun, Dinttot btr 
Hbntal. St«ülf(l|tn Sntniltldlc tfb 

«.iSEanbAt ju "-"- 

jlgum. dl. IBS. 

Cnnnmatit. Übafttamt luib Cb 
Ubittnraeu •. Dr. Rcnt. 3mktn, 
IHidtor bcr Kbnlobi OtllfääMl« Im 
USnlgibtig L pr. nt.?e. 

fBk«atnHMrfr4*.D. Dr. R. ntot» 
UT, snt. a.b. iiMhi. Cm nnt •bwt 



$ammlHad QSscbea 



CcfaiDantibanb 
6.7. eSrdiinTd» TtrUgshindluno, K^lpzlg. 



80J&f. 



PntanUrf*n>trra,9i)» afftollMt, 
fcMtfiiilitnM I. •. (l«8«B>Dart 
IHM Dr. pmil Stütanti, SiBmnii|iaI> 
- -- ■ ^wl*^a. m.iao. 

i paf. Dr. Srirt- 
ncD aciicr, virrmrr bt% KgL dtnin 
nanuml 311 CudüiL I. CtU: Pol 
Antang an bis 311111 tnbt bti 18 
^uiir^unterts. Bi. 275. 

II. ViU 1 Dom B«alnn to 19 

3a[)il|unbcdi 61s auf bU «cgcn. 



nir«Upl<»n. 

man] Bmtiu): Vxm. an »ii 4u 

ii>in. mu S3 abb&. m. 12. 

mtktbtrrtifl, So* kcatfdia, an 
illtTariMini, Mnltlcril^ wib gb 
mcifiliffini SdfhihiiiflCH, mft («Ion- 
Um wrD^l^ngnng txc Intn- 
noHonalri Dtitiflg* non Dr. Sutton 
Rautn, Patf ntaimall In HbaTlatttn- 
bDig. nT.2as. 



Urio. 

JfttlUiitmi^mtUn, fiw, um Dr. 

lur. pani ntolbf n^antt, Dojcnl bn 

DttfliStninssroillfnläiaft an '— 

^anbtte[|oiC[^[i KSln. IIt. S 
|iaiknrkan»t ma Dr. mii^atl Qobtr- 

lanbt, prioalbounl an 6n Unbxil. 

Itllin. mit 36 iUbiU). ni;T3. 
|ralk»[lcb. pa» HtMiit. ms- 

— 61)11 utiinrläuttil DonPtoItnor 
3ul. Soljir. Itc. 25. 
|ttflb«ntlrtril|i>ft*Ultc* d. Dr. Svcl 

lobs. Sulfit, protflfot an tici; Unt- 

«ilität Sntßuta l. B. Itt, la 

|p»Ui»B>irtrAan»l>«littli non PtS. 

«bfni_pr. R. Dan btl Borgl)! In Bit. 



cUifAittt 
« Prof. Di 



' itt Üil*tm' üFtriJtf un 

— "-^ '^- ' Allhof, «»(tWii 
11 LtOtinur. ItC' 



Humal)! aus mtimtlana a. SpradN' 
U^iu. DIU anmnfaagni luA 
tfmm DSittrtn^ mu Otto MmUk 
Prot. >. t. ebcmaIMnIt nii o. t. 
ttdpL I)o4t4- f> Slnttgait Or. ak 
)fla»«nlnnt>(, vor Dr. llati Qana4 
praftffn an Act IVtout HanMf 
afobtmlt. I. Ccil: IbMToinilr— 

iDot«!. nntwauiuiiitgnt^ 

- II. «tU: OigaidtAt IPoml 1 
u Aibfitamgra. nr. 2E& 

Sti^t mb QMnM. Don Dr. CuttaD 
Mo«, nofetm an ^« UiifMrfllAt 
IPiW. ntlt <T AtMIlL Jtc 77. 
ünnddi», «««Mfr*«, »%•«- 
Mokmäniili) MM K 0010(1 a. 
m. RSttlngn, DbiL-SnaattiMiM. 
mu M jlgHRiL IIt. S^ 

yärdimt. CntU'r " " 

VOimtrA BIÄ^iMt, , 

l«n i|llfsitDff( Mn Dr.lDlä.IItaHot 
Ct^rtt an txi piaift. bn. SaAidml« 
füT II«tUln(ni[tile In KitfiU. mtt 
28 St» ni. 186. 
HnlTtv, V**! unb Mm ORSatbrntg 
hl 3iibu|trlc unb ttmtttt oon Dr. 
Ctn|I Ctbcr, DIpLrSngen. In SaoQdb. 
mit ts flbbiitimaen. Ib. sei. 

mtbcriL CatUOnbnttrlt D: tDt. 
bHd, miifntL piotanttMIcRnf, 
Spltm- unb «oAfiunfabcUattoa 
unb 51Ij|tfbrltatlon non |hr*-"-- 
Itlat ^iitla, IMrFUt 6« H 
Iti^n. Snitninidlt t^ Ccii 
taim* }U Bnlin. mu 2751g. I 

yivhrad «citlU3nbnttTti □ 

ftertl, ÜHittnl, Ootanunti , 

Spltjcn* unb <EarMntnfabtttattoH 
unb Sl^obKIatlon «on propiloi 
mar tiMa, DlitlUre b(T KSKigl. 
<t(^n. Ztnttallltll« ffit Ci|^d«> 



ttl.l6-. 

. .. . ttlolftinn D. Climen» 

baii unb Sottfrlib oon Stto^n. 



buflTlrju Berlin. mU zTSig. 
WolfroM am t*r* " 

Rat, tOal 

Mrt nm Stto^rg. 

. bnn Iflf. San ndt 
flnnurtungni U. IDSTitniulD s. Dr. 
K. moiolb, Piof. a. KflL SAibiUg. 
lolltg. y Konigibng tpt- He. äS, 



SammlHtid 68$d)en 



e. "J* MMioiTdit TtrUgshandlung, ttfpzfs. 



;80}af 



iffeWn tn . . 

nnb C([lbl»tn. III.89. 



neu btaxb. D. Prof, 3, DonbnHni 
tttplom. unb ftaatl. gtgiT. 3ng(nUi 
In Bitslau. mit »o jlg. unb 3 
Saftln lml([t. Ili,58. 



tPeitere Bfinfec erft^eincn in roterer So^ge. 



^ ammlung Q chubert 



Sammlung mathematischer Lehrbflcher, 

die, inl «rluentctufüJchci anmdlige bcrnbeod, den Bedttifnlmn de« 
PralcHken Rechaunc tKEco und lugleieh durch eine leicht faSlIctic 
Dantellung de« Slofft auch fOr den NIchtfachmann veratandilch sind. 



G. J. aOMhen'SGlw VerlafiharHilung In Lelpi^ 



Verzeichnis der bis jetzt erschienenen Bande: 

der dcntoHend«. 

n Dr. Jobii ScbrDdcr in 
aurc. M.9.- 
MtlU 



.. ,„ von Prot 

Dt. L ScQealDKer In KUuien- 
burt 2. Aufla«. M.8^-. 

.4 PraS« der SIelMiinge* von Prot. 
C Runge in HannoTer, M. 5.201 

9 Wehredielnllehkelt*- und Asa- 
oMebungt-lleeknini von Dr. Nor- 
bert Herz In Wien. M. &— . 



n In Wien. H.i.—. 

3 Mtaljtiuhe flouMtrle dei IUmbm 
II. fall: Dia Riehen nwHon 
ara<e« von Prolesaot Dr. Mn 
Simon In StiaBburg. M. 4M. 



I. TeH: Dia prajaktln« Trane* 
fomaHanea nebtt Ihren kn- 
waoduaien von Prot Dr. Kail 
DoehlemannlaMQnChen.M. 10. — . 

9 Mlfemelne Theprte der Rauat> 
kunan und FIAehan I. Teil von 
Proleisor Dr. Victor Kommerell 
in ReuUinien und Profeuor Dr. 
Karl Kommerell In Kellbronii; 
M. im. 

II Theoria der algebnlachen Funk- 
tionen und Ihrer Integrale von 
Oberiehrer E. LantUrIcdt In 
StTafiburg. M-SJOl 

B Theorie und Praile der RaHwa 
von Prof. Dr. C Runge In Kui- 

, M.7. 

gaonair 

von Pr 

ZIndler ID Innabruck. M. 12.—. 



Sammlung Schubert 

G. J. Qfischen'sche Verlagshandlung, Leipzig. 



Ml 

Ä 

El 
43n 



44 Allaamsin« Theorls dar Hiuni- 
kurvan und Fliehen IL Tall von 
ProlessarDr.VlctorKoniniCTClIln 
Reutllntcn u. Proleiiar Dr. K«n 
KommcrellinHellbroDii. M.5ilO. 

45HMara Knalf«!* IL 1*JJ: Funk' 
Üainn, PotaniraHiin, Walekungen 
von Professor Dr. HcrmanD 
Schubert Id Hamburg. M.3S0. 

46 TkaUtuaktlonan b. hmarMllpUtoh» 
FuRkUoMn TOD Obetlehrer E. 
Landfriedt to StraBburt. KUSO. 

48 ThtmodjnaMlk II. T«U von Prof. 
Dr.W.VolAOOttlDseiL U.lO.-~. 



gm bällabtoar Mnung von Dr. J. 
Hom, Profeaioran der Bergaka- 
demie zu Clausthal. M. lO!— . 
51 UnlangaaaMlria bH Anwaadungan 
II. TM TOD Proletsor Dr. Koarad 
Ziodtcf' In Innsbruck. M. 8.—. 



Bmit Hartwig In Bamberg. 
Hathamatlteha flMgraBM« von Dr. 

Ernst Hartwig In Bamberg. 
DlrttanaiidaflMiMtrr«II.T«lh Am 



ProLEricbäetgettn Kassel 

A dar Mathtnafik von Prof. 

Dr. A. von BraunmBhl und Prof. 

Dr. S. ODüther In München. 
DmaiBik von Profeasor Dr. Karl 

Heun In Karlsnibe. 
Ttehnitoh« Hachanlk von Prof. Dr. 

Karl Heun in Kadsnihe. 
Sgodbl« von Profestor Dr. A. Galle 

in Potsdam. 



Paul Epstein In StraBburg. 
tuirilak* prolakiho AaaaMtrla. 
MaMtriaohe rrMtformallonM II. Tall 

von Profeasor Dr. Karl Doehle- 



Boehai In Htidelberg. 



Dr. ]. Classen In Hamburg. 

~ 'wUtaithnanlkasria von 
'. NtHo in OleBen. 
Asn dritter Ordnung. 

Patan«»ltlieoriB v.Prol. 

Dr. A. Wangerln In Halle. 

and Faatlgkalttlahr« In 
Bwinnsn von Dr.lnE.H.RelBner 
In Berlin. 
Eiaatfiftltt- und Festig kaltslahri Im 
Haashlnanbau von Dr. Rudolf 
Wagner In Stettin. 
Qrapktschss Raehnin von Prof. Aug. 

Adler In Prag. 
Partielle DltfarantlalBlelchungan von 
Professor ]. Hom in ClaustbaL 
■dlagan dar thMretiMbsn Chemie 
von Dr. Franz Wenzel In Wien. 



O. J. OSschen'sche Verlagshandlung In Leipzig. 



CrundriBderHanilelsseosraphie 

Dr. Max Eckert 

Piivaldonnl der Erdkunde an der Univerailüt Klei 

2 Bande 

I: All|c«eliifl Wirtuhafta- and Verkehrageographr« 



Preis: Broschiert M. 3.80-, geb. In Halbfranz M. B.— 

11: Spezielle WIrUchafU- und Verkehrsfleogrophle 

Prelt; BrOMbiert M. 8.-, geb. In Halbfranz M. S.M 

r^ieser Orundrifi Ist ein Veriuch, die Handelsgeograpbie als ein eln- 
'-' bellllcbea wlsaenscbattlicbes System, das die gesamte Wirtsctaafts- 
,d Verkehrsgeoerapble umla61, danustellen. Ibr Wesen und Ibre 
Aufgaben bestimmt der Verfasser dabin, daS sie von der Kenntnis der 
allgemeinen Lage und der oro graphischen und hydrographischen Vor- 
aussetzungen aus die gründliche Einsicht in die Erwerbs- und Ver- 
ktbrsvertaaltnisse sowohl eines einzelnen Landschaftsgebittct bzw. 
' :i einzelnen Wirtschaftsrelches, als auch der gesamten Erde, unter 
er Berücksichtigung der wichtigsten kllmato logischen, geolog^ctaen, 
volkaHTlrtscbaftlichen und politischen Falitaren, vermittelt 



Leltfoden der Hondekseosrophie 

Dr. Max Eckert 

Preis: In Leinwand geb. M. 8.— 

r\leser Leitfaden Ist für die Hand des ScbQlers bestimmt Er Ist im 
^-^ allgemeinen ein Ausiug aus dem vorstehenden „QmndrIB der 
Handelsgeographie"; wenn sich aber auch die stolfliclie Verteilung 
Im groBen und ganzen nach diesem Werk richtet, so sind doch In 
einzelnen Punkten bedeutende Veränderungen vorgenommen worden. 
AuBerdem wurde das statistische Beiwerk auf ein Minimum beechrtnkt 



O. J. OOschen'sche Verlagshandluag in Leipzig. 

Alisemeine und 
spezieile üDiilschoftsseosropliie 

Dr. Ernst Friedrich 

Pitvatdoicnt an der UnlvertltRt Leimig 
Mit 3 Karteil 

Preis: BroKhten M. MO, geb. In Halbfranz M. azo 
ieses Buch »acht in ein haloglla«haa V*v«tllndiiia der 

Wlrtschait (Produktion und Veikebr) e[nzufabren, Indem ea zeigt, 
wie lede firtlichc Wirtscbaft als Teil in dem zusaminenhangenden und 
durch tellurlache Palrtorcn beatlmmten Wlrtachaftateben der Eide 
dasteht. Dabei wird, wie ei richtig ist, die Produktion der Lfinder 
In den Vordergrund gestellt, der Verkehr an zweiter Stelle behsodelt. 



Zcichcnl^unst 

Methodische Darstellung des gesamten Zeichenwesens 
unter Mitwirkung erster Kräfte herausgegeben von 

Karl Klmmlch 

582 Seiten, mit 1091 TcKt-IUustrationen, 
sowie 57 Färb- und Lichtdrucktafeln 



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