SA1DILM0MATHEMATISOH-PHYSIKALISCHERLEHRB&CHER
HERAUSGEGEBEN VON E. TBEfFTZ
18
GRAPHISCHE METHOD
VON
C.BUNGE
PROPESSOB AN DEB UNIVEBSITAT GOTTINGBN
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DEITTE AUPLAGE
MIT 94 ETOUREN IM TEXT
R6CCIVE'"
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1928
LEIPZIG VERLAG UND DRUCK VON B.G.TEUBNER BERLIN
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B. G. TEUBNEB, LEIPZIG
SCHXJT25FOBMEL FtJB DIE VBBBINIGTEN STAATEN VON AMEBIKA
COPYBIGHT 1919 BT B. 0. TEUBNEB IK
Vorwort zur ersten und zweiten Auflage. -
** * * *
Das vorliegende Buch enthalt die Ubersetzung der Vorlesungen,
die ich im Winter 1909/10 an der Columbia Universii&t in Newyork
in englischer Spraehe gehalten habe. Das Original ist in der Serie
der Columbia University Lectures mit den Mitteln des Ernest
Kempton Adams Research Fund h'erausgegeben und im Jahre
1912 erschienen. Der Universitat Columbia habe ich fur die Erlaubnis
zu danken, die Vorlesung auch in deutscher Spraehe herauszugeben.
Die* Vorlesungen waren, als sie in Newyork gehalten wurden, mit
ffbungen verbunden, in den en die graphischen Methoden zur An wen-
dung kamen. In der Tat ist es fQr jeden, der sich diese mathema-
tische Disziplin zu eigen machen will, unumganglich, selbst zu zeicbnen.
Die Anwendungen finden sich aber so zahlreich auf alien Gebieten
mathematischen Denkens, dafi man eine Sammlung von Aufgaben
entbehren kann.
Die zweite Auflage der graphischen Methoden erscheint im Wesent-
lichen unverS,ndert. Nui- von den Piguren sind eine gr5Bere Anzahl
neu gezeichnet worden, die allerlei Mangel aufwiesen. Eine Um-
arbeitung des Textes habe ^.ch dagegen nicht vorgenommen, sondern
lasse die Vorlesungen wieder in der Form, in der sie gehalten sind,
hinausgehen.
Go'ttingen, April 1914 und Marz 1919.
C. Range.
Inhaltsverzeiclinis.
Seite
1. Einleitung t
L Kapitel.
Graphisclies Beehiien*
2. Das graphiache Rechnen mit den vier Spezies 3
3. Ganze Funkfcionen 7
4. Lineare Funktionen mit beliebig vielen Yerilnderlicken ... 17
5. Graphische Behandlung komplexer Zahlen 24
IL Kapitel.
Graphische DarsteUnng der Ftmktionen einer oder
mehrerer unal>hangiger Ter&nderllclieii.
6. Funktionen einer unabharigigen Yeriinderlichen 36
7. Das Prinzip des Rechenschiebers 38
8. Rechtwinklige Koordinaten' mit ungleichmaBigen Skalen . . 46
9. Funktionen von zwei tmabhangigen Veranderlichen . ... 60
10. Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene ...... 57
11. Andere Methoden der Darstellnng von Beziehungen zwischen
drei Yeranderlichen 7a
12. Beziehungen zwischen vier Veranderlichen 82
HI. Kapitel.
Die graphischen Methoden der Differential*
und Integralrechnnng.
13. Graphische Integration 87
14. Graphieche Differentiation 102
16. Differentialgleichungen erflter Ordnung 105
16. Differentialgleichungen zweiter und haherer Ordnung . . .110
Einleitung.
1.
Die Lflsung vieler, wenn nicht aller, mathematischen Probleme
besteht in dem Ermitteln der Werte unbekannter GroBen, die ge-
wissen gegebenen Bedingungen genugen. Sie zerfallt in verschiedene
Schritte, deren erster die TJntersuchung ist, ob die gesuchten Gr6Ben
wirklich existieren, so dafi es mQglich ist, den gegebenen Bedingungen
zu genugen, oder nieht. Ist der Beweis der UnmSglichkeit erbracht,
so ist man mit dem Problem fertig. Man nebme z. B. die bertthmte
Frage nach der Qnadratur des Zirkels. Wir k5nnen sie formulieren
als die Frage nach ganzzahligen Koeffizienten einer algebraischen
Gleichung, deren eine Wurzel n ist. Vor dreiflig Jahren zeigte Lin-
demann, daB ganze Zablen, die diesen Bedingungen geniagen, nicbt
i^xistieren, und damit war ein Problem erledigt, das beinabe so alt
ist wie die Gescbicbte der Menschheit. Ein anderes Beispiel ware das
Fermatscbe Problem, fur dessen L6sung der verstorbene Herr Wolfs -
kehl aus Darmstadt testamentarisch eiaen Preis von 100 000 Mk.
ausgesetzt bat. Es sollen ganze Zablen , y, 8 gefunden werden 7 die
der Gleichung
genugen, wobei n eine ganze Zabl grBBer als 2 ist. Format* Be-
bauptung, daB es solche Zahlen nicht gabe, ist vermutlicli richtig,
bat sich aber bis jetzt niclit erweisen lassen. So kann dieses Problem
vielleicbt beim ersten Scbritt erledigt sein, vielleicbt aucb nicnt.
In vielen Fallen kann der erste Scbritt zur L5sung so wenig
Sebwierigkeiten bieten, daB man sofort zu dem zweiten, dem Auf-
suehen der Methode zur Berecbnung der gesuchten unbekannten Gr6-
Ben ; ubergeben kann. Oder es kann, selbst wenn der erste Scbritt
nicht so leicht ist, zweckmafiig sein mit dem zu zweit genanntcn
anzufangen, denn wenn es gelingt Berechnungsmethodfen zu finden,
welche die unbekannten GrOBen bestimmenf so ist der Beweis ihrer
Existenz ja einbegriffen, Gelingt es aber nicht, so ist es immer noch
Zeit, zum erstgenannten Schritt zurttckzukehren.
Eine nicht geringe Zahl von Leuten meint, dafi hiermit die Auf
gabe des Mathematikers erschSpft sei. Dies beruht, glaube ich, auf
der Tatsache, daB der reine Mathematiker nicbt gewohnt ist, seine
Einleitung. 1
Untersuchungen auf die Wirklichkeit auszudehnen. Das tiberlafit er
dem Astronomen, dem Physiker, dem Ingenieur. Diese wiederum in-
teressieren sich hauptsachlieh fur die wirklichen numerischen Werte,
die sich aus den mathematischen Rechnungen ergeben. Sie sind ge-
zwungen, die Berechnungen auszufuhren, und indem sie dies tun,
werden sie vor die Frage gestellt, ob sich dasselbe Ergebnis nicht
auf kdrzerem Wege oder mit geringerer Miihe erreichen liefie. Ge-
setzt der Mathematiker gibt ihnen eine zwar vollkommen scharfe und
logische Methode an, die aber 200 Jahre unausgesetzter Rechenarbeit
zu ihrer Durchfuhrung erfordert, so w&ren sie wohl berechtigt, dies
fur wenig besser als nichts anzusehen. So ergibt sich also ein dritter
Schritt zur vollst&ndigen LSsung eines mathematischen Problems,
namlich der, diejenige Methode zu finden, die mit dem geringsten
Aufwand von Zeit und Mtihe zur LSsung fuhrt. Ich behaupte, daB
dieser Schritt gerade so gut ein Kapitel der Mathema-tik bildet, wie
die beiden ersten und daB es nicht angeht, ihn den Astronomen,
Physikern, Ingenieuren und wer sonst noch mathematische Methoden
anwendet, zu iiberlassen, weil diese Leute ihr Augenmerk nur auf
die Ergebnisse richten, und daher geneigt sind, die Verallgemeinerung
der von ihnen etwa ersonnenen Methoden zu vernachlSssigen, wo-
gegen in der Hand des Mathematikers die Methoden von einem hohe-
ren Gesichtspunkte aus entwickelt werden und die Frage nach ihrer
Anwendbarkeit auf andere Probleme, auch solche anderer Gebiete
wissenscbaftlicher Forschung, gehorige Beriicksichtigung findet.
Bei dem heutigen Zustand der Dinge sind die Methoden des In-
genieurs und des Feldmessers in vielen Fallen dem Astronomen und
Physiker ganz unbekannt und umgekehrt, obgleich die Probleme, mit
denen beide Gruppen es zu tun haben, mathematisch beinahe idon-
tisch sein konnen. Ganz besonders gilt dies von den graphischen
Methoden, die fur bestimmte Aufgaben ausgebildet worden sind. Ihre
Verallgemeinerung erlaubt es, sie in einer Unzahl von Fallen anzu-
wenden, an die ursprtinglich nicht gedacht worden war.
In den folgenden Vorlesungen werde ich die graphischen Metho-
den von einem allgemeinen Gesichtspunkte aus betrachten, d. h. ich
werde versuchen, sie in ihrer allgemeinsten Form darzustellen und
zu lehren, um ihre Anwendung auf jedes Problem, mit dem sie
mathematisch zusammenh&ngen, zu erleichtern. 1 ) Dem Schiiler seien
1) tJber die Literatur des Gegenstandes siehe die )T Enzyklopadie
der mathematischen Wissenschaften u Art. R. Mehinke, ,,Numerisches
Rechnen 4 * und Art. C. Runge und F. Wilier s ,,Numerische und gra-
2. Das graphische Rechnen mit den vier Speziea 3
praktische tftmngen empfohlen. Nur die wiederholte Anwendung der
Method e kann ihm zur Beherrschung des Gegenstandes verhelfen.
Denn es geniigt nicht, die zu Grunde liegenden Gedanken erfafit zu
haben, es ist vielmehr notwendig, sicli eine gewisse Leichtigkeit in
der Anwendung anzueignen. Man konnte ebenso gut das Klavierspiel
nur durch Konzertbesuch, wie die graphischen Methoden nur durch
H6ren von Vorlesungen zu erlernen Jhoffen.
Erstes Kapitel.
GrapMsches Rechnen.
2. Das grapMsche Redinen mit den vier Spezies.
Jede meBbare GrSBe kann graphiseh durch eine gerade Linie dar-
gestellt werden, deren LSnge dem Werte der Gro'Be entspricht. Aber
das ist keineswegs die einzige MSglichkeit. Auch durch einen Winkel,-
die Liinge einer Kurve, durch den Flacheninhalt eines Dreiecks, eines
Quadrats oder einer anderen Figur, durch das DoppelverhSltnis von
vier Punkten auf einer Geraden und sonst noch auf mancherlei Weise
konnte man Grofien graphisch darstellen und tut es zuweilen. Die
Darstellung durch gerade Linien hat einige Vorztige vor den anderen
hauptsachlich die der Leichtigkeit, mit der elementare mathematische
Operationen ausgefuhrt werden konnen.
Zu welchem Zweckfe stellen wir GroJJen auf deni Papiere dar?
Es ist eine bequeme Art sie uns vor Augen zu fiihren, sie zu ver-
gleichen und zu behandeln 1 . Ware 'Papier und Bleistift nicht so billig,
oder ware Linienziehen eine langwierige und schwierige Sache, oder
ware xmser Auge ein weniger vollkommen ausgebildetes Werkzeug,
so wtlrden die graphischen Methoden an Bedeutung verlieren. Wenn
andererseits z. B. elektrische Strome ebenso leicht und bequem in
jedem gewtinschten Grade zu beschaffen wSren und sich ebenso gut
addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren liefien, k8nnte
es sich empfehlen diese zur Darstellung anderer meBbarer GrSfien,
mit denen weniger bequem umzugehen ist, zu verwenden.
Die Addition zweier positiver, durch gerade Linien dargestellter
Gr5Ben fiihrt man aus, indem man sie in derselben Eichtung eine
hinter der anderen abtragt. Die Eichtung ergibt fiir jede Strecke
einen Anfang und ein Ende. Der Anfangspunkt der zweiten Strecke
muB mit dem Endpunkte der ersten zusammenfallen und die ge-
wonnene, die Summe der beiden ausdrftckende Strecke iSuft vom An-
fangspunkte der ersten bis zum Endpunkte der zweiten Strecke. Eben-
Eretes Kapitel. Graphischea Rechnen
s.c subtrahiert man eine positive GroBe von einer anderen, indem
man den entsprechenden Strecken verschiedene Richtung gibt, and
den Arifangspunkt der abzuziehenden Linie auf den Endpunkt der
anderen legt. Das Resultat der Subtraktion wird durch die Strecke
ausgedriickt, die vom Anfangspunkte des Minuendus zum Endpunkte
des Subtrahendus lauft. Das Resultat ist positiv, wenn diese Rich*
tung mit der des Minuendus und negativ. wenn sie mit der des Sub-
trahendus ubereinstimmt. Dies ffthrt zur Darstellung positiver und
negativer Gr6Ben durch Strecken entgegengesetzter Richtung. Die
Subtraktion zweier positiver Gr5Ben voneinander kann dann als Ad-
dition einer positiven und einer negativen GroBe angesehen werden.
leh will mich nicht mit der logischen Durchfuhrung dieses Gegen-
standes auf halten, sondern die praktische Methode zur Addition einer
grSBeren Zahl positiver und negativer GrSBen, die durch gerade Li-
nien verschiedener Richtung dargestellt sind, angeben. Man nehme
einen geraden Rand, z. B. einen geknifften Papierstreifen, bezeichne
ihn an einer Stelle und bestimme eine der beiden Richtungen als die
positive. Nun lege man den Kniif nacjieinander auf die verscbiedenen
Streeken und fiihre einen Zeiger jedesmal soweit wie die betreffende
Strecke betragt und in der durch ihr Vorzeichen angegebenen Rich-
tung daran entlaug. Der Zeiger wird zuerst an dem auf dem Papier
bezeichneten Punkte aufgesetzt und der Abstand von diesem Punkte
bis zu dem, an welchem der Zeiger zuleizt ankommt, stellt dann die
Summe der gegebenen Gr5Ben dar. Der Vorteil dieser Methode be-
steht darin, daB die dazwischenliegenden Punkte nicht bezeichnet zu
werden brauchen, vorausgesetzt, daB der Zeiger seine Stellung bei-
behalt, w&hrend der Kniff von einer Strecte zur anderen bewegt wird.
Als Beispiel diene die Bestimmung des Flacheninhalts einer Pigur
(Fig; 1). Man zerlegt die Pigur in eine Reihe Va cm breiter recht-
eckiger Streifen, so daB ihr Placheninhalt in Quadrat/entimetern die
Halfte der Summe der Lftnge dieser Streiifen betragt. Der gekniffte
Rand wird nacheinander auf jeden der Streifen gelegt und der Zeiger
ihrer Langsseite entlanggeiiihrt. Den Rand versehe man mit einer
Zentimeterskala und der Zeiger fange
am Nullpunkt an. Dann gibt die End-
stellung des Zeigers den doppelten Wert
des Flacheninhaltes in Quadratzentl-
metern an. Es ist nicht nStig, die Strei-
fen, wie auf der Figur zu zeichnen; eine
, Schatzung der Lftngen genugt, nur die
Breite muB eingetragen werden. Ist die
2. Das graphische Rechnen mit den vier Speziea 5
Skala zu kurz, um die Summe aller Streifen zu messen, so braucht
man nur jedesmal den tiber das Ende hinauslaufenden Streifen zu
zerlegen, mit dem iiberschussigen Teil wieder von vorne anzufangen
und zu zahlen wie oft nacheinander der Zeiger die ganze Skala durch-
laufen hat. Sehr bequem laflt sich am Laufer eines Rechenschiebers
ein kleiner Zeiger aus Papier befestigen, so daB er an der metriscben
Skala am Eande des Eechenschiebers hin und her gefuhrt werden
kann. Der Flacheninhalt einer Figur lafit sich auf diese Art schnell
und mit einer Genauigkeit bestimmen, die sich wohl mit der eines
guten Planimeters vergleichen laflt. Soil der Flacheninhalt einer ge-
schlossenen Kurve bestimmt werden, so muB man durch paralleie
Linien auf jeder Seite ein
Segment abschneiden (Fig.
2), den Flacheninhalt zwi-
schen den Parallelen auf
die oben beschriebene Art
feststellen und den der bei-
den. Segmente fur sich er-
mitteln. Wenn die Kurven
der Segmente ohne zu grofie
Ungenauigkeit als Teile
einer Parabel angesehen
werden k(5nnen, sowirdder
Flacheninhalt des Segments
% des Produktes von Lange und Breite betragen. 1st dies nicht der
Fall, so muB man die Figur schatzungsweise durch ein oder mehrere
Eechtecke ersetzen.
Auf dieselbe Art l&Bt sich Addition und Subtraktion reiner Zah-
len ausfuhren. Man braucht nur die Zahlen als das Verhaltnis der
LSngen geradliniger Strecken zu einer festen Strecke auszudrticken,
dann ist das Verhaltnis der Lange der Summe der Strecken zu der
Lange der festen Strecke gleich der Summe der gegebenen Zahlen:
Dies laBt sich auch auf positive uiid negative Zahlen anwenden, wenn
man sie als das Verhaltnis der Lftngen geradliniger Strecken yon
verschiedener Eichtung zu derLftnge einer gegebenen Strecke darstellt.
Urn eine gegebene Gro'Be c mit einer gegebenen Zahl zu multi-
plizieren, drttckt man die Zahl als das Verhaltnis der LfLngen zweier
gerader Linien v- aus. Die GrSBe c wird ebenfalls durch eine Strecke
von bestimmter Lange ausgedriickt, dann gilt es nur, eine Strecke x
z\i finden, deren Lange sieh zu der von c verhalt wie a zu &. Dies
Fig. 8.
Erstes KapiteL Graphisches Eechnen
kann man auf mehrere Weisen durch Konstruktion zweier ahnlicher
Dreiecke erreichen, von denen das erste zwei Seiten von der Lange a
und &, das zweite als die der Seite Z> entsprechende Seite die Strecke
chat. Am bequemsten ist es gewohnlich, die Strecken
a und "b rechtwinklig zueinander aufzutragen und das
zweite Dreieck mit einer der Hypotenuse des ersten
parallelen (Fig. 3) oder aber zu ihr senkrechten
Hypotenuse (Fig. 4) zu zeichnen, Mit derselben Kon-
stmktio'n lafit sich die Division durch eine gegebene
Zahl ausfiihren, denn Multiplikation mit ft ist das-
. s.
selbe wie Division durch .
a
Sind a, &, c beliebige gegebene Zahlen, so konnen
wir sie als das Verhaltnis dreier Geraden zu einer bestimmten Strecke
ausdrftcken. Dann ist das Verhaltnis der durch die in Fig. 3 und 4
vorgefuhrte Konstruktion gefundenen Strecke zu der bestimmten
gleich der Zahl ^ C . Multiplikation und Division warden so gleich-
zeitig ausgeffthrt. Um nur zu multiplizieren, mu8 man Z, um nur zu
dividieren a oder c gleich i setzen.
Die Multiplikation und Division positiver und negativer GrSfien
lafit sich auf folgende Weise mit einschlieBen. Die den Strecken a, x
(Fig. 3) entsprechenden Strecken werden, wenn sie als positiv gelten
sollen, vom Nullpunkt nach rechts, wenn negativ, nach links abge-
tragen. Ebenso werden die 6, c entsprechenden Strecken fur positive
Zahlen nach oben, fur negative nach unten gelegt, Dann wird <aine
durch den Endpunkt der Strecke c gezogene Parallele zu der Hypo-
tenuse des rechtwinkligen Dreiecks ab immer zu der Zahl
ac
fiihren, gleichgiiltig welches die Vorzeichen von tf, d, und c sein
mSgen.
tfig.*. ~k*T\l Diese Definition stimmt nicht fur die in
Fig. 4 angegebene Konstruktion. Wenn hier
die positive Richtung der a entsprechenden
Strecke nach rechts und die positive Richtung
der b entsprechenden Strecke nach oben zu
angenommen werden, dann mftssen die positiven Bichtuugen von %
und c so liegen, daB, wenn das rechtwinklige Dreieck #, c um 90 Grad
gedreht wird, um die positive Richtung von x mit der yon a zu-
3. Ganze Funktionen
sammenfallen zu lassen, die positive Richtung von c mit der von b
zusammenfallt. Wollen wir die positive Richtung von x nach oben
zu annehmen, dann mufi die von c naeh links gerechnet werden,
oder soil die positive Richtung von c nach rechts laufen, so muB
die von x nach unten liegen. Behalt man dies im Auge, so schlieBt
auch diese Konstruktion die Vorzeichen ein.
8 3. Ganze Funktionen.
Wir haben gezeigt, wie gegebene Zahlen graphisch addiert, sub-
trahiert, multipliziert und dividiert werden konnen, indem man sie
durch das Verhaltnis der Langen gera.der Linien zu einer bestimmten
Streeke ausdruckt und als Eesultat dann das Verhaltnis der LSnge
einer gewissen Linie zu derselben bestimmten Streeke erhalt Durch
Wiederholung dieser' Konstruktion wird es nun auch mSglich, den
Wert eines beliebigen, auf diese vier Operationen in irgend welcher
Reihenfolge oder Wiederholung aufgebauten, algebraischen Ausdrucks
z\\ finden. Sehen wir zu, wie sich z. B. die Werte einer ganzen Funk-
tion von x, d. h. eines Ausdrucks von der Form
wo a 0;
a w , x beliebige positive oder negative Zahlen sind,
durch eine geometrische Konstruktion ermitteln lassen. Nehmen wir
zunachst an, daB alle vorkommenden Zahlen positiv seien> obgleich
sich die Methode ohne die geringste Schwierigkeit auch auf den all-
gemeinen Fall ausdehnen lafit.
# , %, 2 a n werden nacheinan-
dcr auf einer Vertikalen, die wir die
#-Achse nennen, abgetragen, als sollte
die ihre Summe a + a^ + #2 + * + Q n
darstellende Linie gefunden werden.
Die Langen dieser Strecken, in
einer geeigneten Langeneinheit ge-
messen, sind gleich den durch diesel-
ben Buchstaben bezeichneten Zahlen.
In Fig. 5 lauft a vom Punkte bis
zuni Punkte <7 1? a x von C A bis zu (7 2 ,
- a n von C n bis zu C n ^ l .
Es sei x gleich dem Verhaltnis der
Strecken Ox zu 01, (Fig. 5), welche
auf der Horizontalen von nach rechts '
hin abgetragen werden* Die Entferr
H c ^""
<*
-c,
B,
It*.,
Fig. 5.
8
Erstes Kapitel. Graphisches Rechnen
nung 01 wahlt man von geeigneter Lange, unabhangig von der
Einheit, in welcher die Strecken , a 1; 3 , a n gemessen werden.
Die Lange Ox ist also durch den Wert des Verhaltnisses x bestimmt.
Durch & und 1 werden Parallel en zur #-Achse gezogen. .Durch O. n+l
wird eine Parallele zu Ox gezogen, welcbe die vorigen Parallelen
in P n und B n schneidet. Nun zieht man die Verbindungslinie B n C? n ,
welche die Parallele durch x in dem Punkte P n _ t schneidet* Dann
wird die H6he von P n _i uber C n gleich a n x sein. Denn, wenn wir
durch P n _ t eine Parallele zu Ox ziehen, welche die y-Achse in D n
schneidet, wird das Dreieck C n I> n P n _ l dein Dreieck O n C n+t B n ahn-
lich und das Verhaltnis ihrer Seiten gleich x sein, daher C n D n = a n x.
Folglich 1st die Hohe von P n _^ l uber O n _ l gleich
Man wiederhole nun dieselbe Operation, indem man den Punkt
D an Stelle von O tt+1 setzt. Durch D^ wird eine Parallele zu Ox
gelegt, welche die durch x und 1 gelegten in P n ^ und B n _ l
schneidet, und die Verbindungslinie von B n _ t nach O n _ l gezogen,
die die a;- Parallele in P M ... 2 schneidet. Dann ist die Hfthe von P n _ 2
ber C,., gleich
*-**
c--^
und die H5he Uber 6^_ s gleich
(*.
und so fort. Man zieht P n _ 2 ^i-3 parallel zu 0#, verbindet J
und erhalt damit den Punkt P n ^ 3 . Seine H5he uber <
ist dann gleich
und fiber C n ^ z gleich
Schliefilich ergibt sich als Schnittpunkt
von JE?j C l mit der durch x gelegten Pa-
rallele zur y-Achse ein Punkt P (siehe
Fig. 6 fur w*4), dessen H5he liber der
x-Achse gleich
. .5
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4
A
Fig. .
a
ist. Wir wollen die Lime xP mit y bezeichnen, so da.B
y ~ u n x n -f a^^iO: 11 "" 1 + ---- \-a*x> + <**
3. Ganze Fnnktionen /^/ 9
in dem Sinne, daB y eine Yertikale dersell
ist wie die Summe der Vertikalen a n x\ a n _
Dieselbe Konstruktion gilt auch fur
fur solche, die grSBer sind als 1. Der einzigeNQnt
dafi der Punkt x in diesen Fallen aus der Strecke
links oder nach rechts hinausriickt. Das negative VorzeicKejT von
a M x + a .,, a M x* + ^_iic, etc.
n
bedeutet, daB die Bichfung der Linien nach unten lauft. Es ist auch
keine Anderung erforderlich, urn den Fall einzubegreifen, daB a , a^.
a n nach unten liegen und negativen Zahlen entsprechen. Sie
werden auf der ^-Achse abgetragen, als sollte die Summe
o + <*t + <*s H ---- + a n
gefunden werden, wobei C a4l entweder fiber oder unter C a zu liegen
kommt, je nachdem a a nach oben oder unten gerichtet ist. Die Kon-
struktion kann fur eine Eeihe von Werten von x wiederholt werden.
Dann stellen die Punkte P die Kurve dar, deren Gleichung
y =* a + a t x H ----- (- a n o? tt
ist, wobei Abszissen und Ordinaten durch x und y in von einander
nnabhangigen Langeneinheiten ausgedruckt werden.
Urn die Kurve fur hohe Werte von x zu zeichnen, bedarf es
einer Modification. 01 sehr klein zu wahlen, uni x auf dem BeiB-
brett zu behalten, geht nicht an, da die Linien B a C a dann zu kurz
werden und infolgedessen ihre Bichtung nicht genau genug darge-
stellt sein wtirde. Das richtige Verfahren besteht in der VerSnderung
der Variabeln. Man setzt z. B. X -r, so daB X IGmal so klein
wird wie x und setzt A _ ^ 1 na
*-a a a * AU
Dann erhalten wir, da
y = O + -10 + 10* - + .-. +
y -
Man trage die Strecken A Q , A, - - A n in einem geeigneten Mafi-
stabe ab und lasse X die Bolle von x ftbernehmen. Die Kurve unter-
scheidet sich nun von der gesuchten im MaBstabe und die Verklei-
nerung des MaBstabes kann nach Belieben fur Abszissen und Ordi-
naten verschieden oder auch gleich gewahlt werden, so daB die ge-
zeichnete Kurve der gesuchten im Verhaltnis von 1:10 ahnlich
wird. Es ist klar, daB in derselben Weise aiich jede andere Verklei*
10 Erstes Kapitel. Graphisches Rechnen
x
nerung vorgenommen werden kann. Je grdfier das Verh<nis ^- an-
genommen wird, um so grSBer wird der Wert von A n im Vergleich
zu den Koeffizienten mit kleinerem Index, so daB fur die Gestalt der
Kurven in sehr kleinem MaBstabe alle Glieder unwesentlich werden
auBer A n X n . In diesem Falle werden die Punkte C^, C% - C n sehr
nahe mit zusammenfallen und nur C n+l wird da von abstehen.
Es ist eine interessante Bemerkung, daB man, um eine ganze
Funktion
far irgend einen Wert von x zu berechnen, am besten genau in der-
selben Weise vorgeht wie die geometrische Konstruktion. Der Koef-
fizient a n wird znerst mit x multipliziert und o, n _ hinzugezSblt.
Nennen wir das Eesultat a' n _ t . Dies multipliziert man wieder mit x
und zahlt a w _ 2 hinzu. Nennen wir das Resultat a^_ 2 . Indem wir
so fortfabren, erhalten wir schlieBlich einen Wert von a, der dem
Wert der Funktion fur den betrachteten Wert von x gleicb ist. Mit
dem Rechenscbieber* lassen sich alle Multiplikationen mit x durch
eine einzige Stellung des Schiebers ausfuhren. Die Koeffizienten a a
und die Werte a' a schreibt man am besten auf folgende Weise in
Reihen
a n a n-i - ---- i a o
ax ^_x
Die Genauigkeit des Rechenscbiebers ist ziemlich die gleicbe wie
die einer guten Zeicbnung. Aber die Geschwindigkeit, mit der das
Resultat gefunden wird, ist sehr viel groBer. Werden also nur ein
paar Werte einer ganzen Funktion gesucht, dann lohnt die geo-
metrische Konstruktion die Muhe nicht. Anders liegt die Sache,
wenn es sich darum handelt, eine Kurve zu zeichnen. Hier wttrden
die durch Rechnung gefundenen Werte erst konstruiert werden miis-
sen, wahrend die geometrische Konstruktion die Punkte der Kurve
direkt liefert und deshalb den Vorzug vor der numerischen Methode
verdient.
Es gibt noch eine andere geometrische Methode, die sich in man-
chen Fallen ebenso empfehlen kann. Suchen wir den Wert einer
ganzen Funktion vierten Grades
und nehmen wir zun^chst an, daB alle Koeffizienten positiv seien,
3. Gauze Funktionen
11
Die Koeffizienten a , a^ a 2 , 3 , a 4 werden durch gerade Linien
dargestellt, wahrend x durch das Verhaltnis zweier Langen ausge-
drttckt ist. Die Strecken a , a 1? a 2 , a s , a 4 tragt man als gebrochene
Linie ab, a Q nach rechts von (7 bis C^, a x auf-
w&rts von C bis 2 , a 2 nach links von (7 2 bis (7 3 , a a
nach unten von C 8 bis (7 4 , a 4 wieder nach rechts
von #4 bis <? 5 (Fig. 7). B
Durch C 5 ziehe man eine Linie C$A nach
einem auf der Strecke GjC 4 oder ihrer Verlangerung
gelegenen Punkte -4, so daB das Verhaltnis CA
: <7 4 C 5 , positiv genomnien wenn CA die gleiche
Richtung hat wie Z C^ gleich x sei. Dann haben
wir si A
und
CA und C 3 ^L sind positiv oder negativ, Fi ^- 7<
jenachdern ihre Kichtung gleich oder entgegengesetzt ist wie die von
O^C^. Durch A ziehe man rechtwinfelig zu C$A eine Linie nach
einem Punkte B auf der Strecke (7 2 G s oder ihrer Verlangerung. Dann
haben wir
<7 3 P
x
und
C 3 B und C 2 J? sind positiv oder negativ, jenachdem ihre Richtung
die gleiche oder die entgegengesetzte ist wie die von C$C S . Ebenso
erhalten wir C D ~ a x 3 4- a x* 4- a x A- a
und schliefllich C E = a 4 # 4 + <* 3 ^ 8 + 0*2%* ^ a^x + a Q .
C Q E ist positiv, wenn E rechts von C und negativ, wenn es links
davon liegt. Wenn der Punkt A der
Linie (7 S C^ entlang riickt, so rtickt E der
Linie C Q C t entlang, uud seine Stellung
bestimmt die Werte der ganzen Punktion.
Um die Stellung von E fur irgendeine
Stellung von A zu finden, konnte man
ein Stuck durchsichtiges quadriertes Pa-
pier mit einer Stecknadel auf der
Zeichnung im Punkte <7 5 so befes- ^**^*
tigen, daB es frei um ihn drehbar ist.
Polgt man den Linien des Netzes fiber
nachdem man das Papier
Fig. 8,
um einen kleinen Winkel gedreht hat, so erhalt man die Stellung
von JEJ fur eine neue Stellung von A (Pig. 8).
12
Brstes Kapitel. Graphisches Rechnen
Um den Fall von negativen Koef-
fmenten mit einzuschlieBen, legt man
die betreffende Linie nach der entgegen-
gesetzten Eichtung. Ist z. B. a 3 nega-
tiv, so wiirde <7 4 uber C B zu liegen
kpmmen, aber C 3 A muBte ebenso wie
vorher nach unten positiv, nach oben
negativ gerechnet werden.
DaB die Methode auf ganze Funk-
tionen jeden Grades anwendbar ist,
leuchtet ein und bedarf keiner wei-
teren Ercirterung. Man kann sich ihrer
Fi . -, mit Vorteil bedienen, um die reellen
g * * Wurzeln einer Gleichung beliebigen
Grades zu ermitteln. Zu diesem Zwecke muB die gebrochene Linie
C^ABDE so gelegt werden, daB E mit zusammenffcllt. In dem
Fall von Fig. 7 z. B. ist leicht zu erkennen, daB es eine reelle Wurzel
nicht gibt. Fig. 9 zeigt die Anwendung auf eine quadratische Glei-
chung. Man schlagt einen Kreis fiber C C 3 als Durchmesser. Die
Punkte, in denen er CjO, schneidet, sind die Punkte-JL und A', die
den beiden Wurzeln entsprechen. In diesem Falle sind beide Wur-
zeln negativ.
Die zuerst angegebene Methode, die Werte einer ganzen Funktion
zu konstruieren, kann folgendermaBen auf den Fall ausgedehnt wer-
den, wo die Funktion als Summe einer Anzahl Polynome von der Form
g)+*t(* P) (^ a) (* *)+
gegeben ist.
Wir nehmen wieder an, daB a ,
a i 5 a * geradlinige Strecken be-
deuten, die, wie vorhin, auf der
Achse nach aufwarts oder ab-
wUrts abgetragen werden, als sollte
ihre Summe gefunden werden. a?, jp,
& r seien Zahlen, die das Verhalt-
nis gewisser Abschnitte auf der Ab-
szissenachse ausdriicken. Betrach-
ten wir den Fall von vier Gliedern,
^ das hochste Polynom sei drit-
x ten Grades. Der feste Abstand
zwischen den Punkten p und
B
j* Q>
r x pn
Pig. 10.
3. Ganze Funktionen IS
p + 1, q und q -f- 1, r und r + 1 auf der Abszissenaehse (Kg. 10) isc
willkftrlich gewfth.lt tmd die Pankte jp, q, r, x sind so bestimmt, daB
das Verhaltnis von Ojp, Ogf, Or, Ox zu diesem festen Abstand gleich
den Zahlen jp, #, r, a? 1st, Fur negative Werte werden die Punkte
links vom Nullpunkt gelegt. f
Man ziehe nun Parallelen zur y-Achse durch jp, #, r, #, jp + 1,
# + 1, r + 1. Auf der Parallele durcb r + 1 bestimme man den Ptokt
# , dessen Ordinate gleich der von 4 ist, und auf der Parallele durch
r den Punkt A^ dessen Ordinate gleich der von C 3 ist. Man verbinde
A Q und QQ durch eine Gerade. Der Schnittpunkt P dieser Verbin-
dungslinie oder ihrer Verlangerung mit der Parallelen durch x hat
tlber 8 oder A^ die HShe a 3 (x-~ r) nnd flber (7, die H5he a^ (x r) +a 2 .
Man suche nun auf der Parallele durch q + 1 den Punkt Q^ dessen
Ordinate gleich der von P t ist und auf der Parallele durch # den
Punkt A mit der Ordinate von <7 2 . Man verbinde A t und Q t durch
eine Gerade. Der PunM ; wo diese oder ihre VerlSngeruug die Paral-
lele durch x schneidet, P,, hat fiber 2 oder A die H6he
W-f) + ^l( )
und iiber C t die H5he
% (* - (* ) + t (* - 1 - tf) + i-
Endlich bestimme man auf der Parallele durch p + 1 den Punkt Q 9
mit der Ordinate von P 2 und auf der Parallele durch p den Punkt
^g mit der Ordinate von C x . Der Schnittpunkt der Yerbindungslinie
von A 9 und ^ 2 oder ihrer Verlangerung mit der Parallele durch ar t
P s , hat alsdann ttber C^ oder A^ die HShe
[a s (a? r) (* ^) + a 2 (a? q) + oj (* jp)
und die Ordinate von P 3 ist gleich der gegebenen ganzen Punktion
'
Fiir hohe Werte von jp, 3, r, x verfahrt man ebenso wie vorhin, in-
dem man neue Zahlen JP, Q, J?, X einfiihrt, die ein Zehntel oder ein
Hundertstel Oder einen beliebigen anderen Bruchteil von jp, g, r, x be-
tragen.z.B. p , *
f = jo> V jo-' jo 7 ^ i^-
Man schreibt dann
AQ , ^ 10a,, A t = lOOa,, -4g - lOOOa,,
y - A + A^~-P) + -^.(Z-JPJCZ- )
tmderhftlt + A, (i-P)(X- Q)(Z JB).
14
Erstes Kapitel. Graphiaches Rechnen
Der MaBstab fur die Strecken A^ A v -4 2 , -1 3 und y mufi dann
zweickmaBig verkleinert werden und die Werte werden auf dieselbe
Weise wie vorher konstruiert.
Betrachten wir nun die Umkehrung der Aufgabe. Wenn die Werte
einer ganzen Funktion fur ^ a
x p. #, r , 6
gegeben sind, sollen die Strecken a , a ls a 2 , a 3 so bestimmt werden,
daB der Wert der ganzen Funktion fur irgend einen anderen Wert
von x auf die vorher angegebena Weise gefunden werden kann.
Bezeichnen wir die gegebenen Werte der ganzen Funktion fftr
x =#, #, r t s m *t 2/.p y$ > #r> #* un ^ ^ e Puflkte auf den Parallelen
durch P) #, r, s mit diesen Ordinaten, mit P, $, .R, S (s. Fig. 12).
Fur x j^ verschwindet die ganze Funktion
bis auf a . Daher haben wir y p == a . Den Punkt
erhalt man demnach als den Schnittpunkt
einer durch P gelegten Parallele zur Abszissen-
achse mit der Ordinatenachse
Um <7 2 zu finden, zieht man die Verbindungs-
.^.linieP^ und bezeichnet ihren Schnittpunkt
mit der Parallele durch p + 1 (Fig. 11)
mit A. Eine durch A gelegte Parallele
zur Abzissenachse schneidet die Ordinatenachse in C$. Denn die
Differenzen y q y p und y a y p (y a Ordinate von A) sind den
Differenzen der Abszissen proportional und verhalten sich daher wie
*
Q
y-
-"f\ A
/
bis aui
Cv
q
P /
r/
i erh
Hj5 einer c
achse i
Ur
P <J p+1
Fig. 11.
Ebenso wie den Punkt Q auf der Parallele durch q kdnnten wir ir*
gend einen Punkt X auf der Parallele durch # mit dem Punkte jf*
verbinden und durch den Schnittpunkt der Yerbindungslinie mit der
p + 1 Parallelen eine Parallele zur Abszissenachse legen. Nennen wir
den Schnittpunkt dieser Parallele mit der durch #, X, und seine Or-
dinate y r . Dann haben wir
' as- y~"~yi> ^ I /, v r /_W N
j(r
Fuhren wir diese Konstruktion nicht nur fUr ^ & sondern auoh
f iir a; = r und x = ^ aus, so bekommen wir drei Punkte $ f t JR' t ^
S. Gauze FunMionen 15
ganzen Funktionen y' (a + o^) + a 2 (x #) + 03 (a; r)
darstellen.
Wir haben auf diese Weise die Aufgabe vereinfacht Anstatt eine
ganze Funktion dritten Grades aus vier gegebenen Punkten P, Q^ It, S
gilt es nunmehr, eine ganze Funktion zweiten Grades aus drei ge-
gebenen Punkten $', JR', S r zu finden. Durch das gleiche Verfahren
erzielt man eine zweite Vereinfachung. Man verbindet Q' mit JR' und
S' durch Gerade und zieht durch deren Schnittpunkte mit der # + 1
Senkrechten Parallelen zur Abszissenachse, welche die Senkrechten
durch r und s in den Punkten E" und &' schneiden. Die Ordinaten
dieser Punkte sind die Werte der ganzen Funktion #, welche durch
folgende Gleichungen
ftir x * r und x = s oder
y"** a + % + Og + a g (# r) definiert wird.
Die durch den Punkt R" gelegte Parallele zur Abszissenachse
schneidet die Ordinatenachse im Punkte C? 3 . C 4 endlich finden wir,
indem wir durch den Schnittpnnkt der Verbindungslinie JK" S" oder
ihre VerlSngerung mit der Senkrechten durch r + 1 eine Parallele
zur Abszissenachse legen.
Haben wir die Punkte .0^, C 3 , C 3 , C 4 , so konnen wir die Ordinate
+ <%(* j?) (* )(* r)
fur einen beliebigen Wert von a? konstruieren und so die Parabel
dritten Grades zeichnen, auf weleher die vier Punkte P, <2, jR, )S liegen.
Man kann die Konstruktion noch etwas vereinfachen, erstens in-
dem man p + 1 - setzt. Gegeben sind die Punkte P, $, JR, 5; es
steht uns also vollstandig frei, die Senkrechte durch p + 1 mit der
Senkrechten durch Q zusammenfallen zu lassen. In diesem Falle fallt
der Punkt Q' mit Q zusammen. Dann wieder ist die Parabel zweiten
Grades durch die Punkte Q' E' S' vom Abstande der beiden durch q
und $ + 1 gelegten Senkrechten undzugleich von der Lage des Funkt.es
J? unabhangig. Daher steht es uns vollstandig frei, um einen Punkt
auf dieser Parabel zu konstruieren, die Senkrechte durch + 1 mit
der durch E zusammenfallen zu lassen, selbst wenn der Abstand der
Senkrechten durch P und Q von dem der Senkrechten durch Q und
jR verschieden ist. In diesem Falle werden die Punkte E" und R'
zusammenfallen. Das Verfahren ist in Fig. 12 abgebildet. Von den
16
Erstes Kapitel. Graphischea Rechnen
3
\
I Fig. 12.
Punkten P, Q, R, S ausgehend konstruiert man zuerst die Punkte If,
/Sf, indem man R uud S mit P verbindet und Horizontalen durch die
Schnittpunkte A r und A t dieser Verbindungslinien mit der q Verti-
kalea legt. Darauf wird S" bestimmt, indem man Q (identisch mit
Q') mit S' verbindet und die Horizontals durch den Schnittpunkt der
Verbindungslinie mit der r Vertikalen legt. Nun kann die Gerade
ft" 8" gezogen werden (da R" mit R' identiscb ist). Von dem Schnitt-
punkte der Senkrechten durch einen beliebigen Punkt x mit R" S"
gelangt man auf der Horizontalen zu dem Punkte A' x auf der Senk-
rechten durch r. Man verbinde Q' mit A' x und nehme den Schnittpunkt
dieser Linie mit der Senkrechten durch x. Dieser Punkt liegt auf
der Parabel durch Q' R' S'. Er fuhrt auf der Horizontalen zu dem
Punkte A x auf der Senkrechten durch % und man zieht nun die Ver-
bindungslinie A X P. Ihr Schnittpunkt mit der Senkrechten durch x
liegt auf der Parabel dritten Grades durch PQRS.
Es ist klar, daB sich diese Methode auf jede Anzahl gegebener
Punkte anwenden lafit, wobei der Grad der Parabel iramer um Ems
kleiner ist als die Zahl der gegebenen Punkte.
Durch dieselbe Methode wie die Werte einer ganzen Punktion
lassen sich auch die Werte jeder rationalen Funktion
konstruieren. Denn eine rationale Funktion kann iromer auf die Form
eines Quotienten zweier ganzer Funktionen gebracht werden
4. Lineare Funktionen mit beliebig vielen Verandeilichen. 17
Nachdem man also Kurven kon-
struiert hat, deren Ordinaten die
Werte von g^(x) und # 2 (#) fur
eine beliebige Abszisse#(Fig.l 3)
angeben, findet man R(x) auf
folgende Weise. Durcb einen
Punkt P auf der Abszissenachse
zieht man eine Parallele zur Or-
dinatenachse. 6r und 6r
y-Ackse
x-Ackse
Fig. 13.
die Punkte, deren Ordinaten gleich g^(x) und g%(x) sind. Von
(TJL gelangt man auf der Horizontalen zu 6ri auf der Senkrechten
durch P und von G% zu G-'s auf der Ordinatenachse. Man ziehe die
Verbindungslinie PGf% und verlangere sie bis sie in A die Horizontal
durch 6r t schneidet. Dann ist E (x) gleich dem Verhaltnis &[ A zu
PO. Gr(A kann dann als Ordinate auf der x Senkrechten abgetragen
werden und bestimmt den Punkt, dessen Ordinate gleich R(x) ist,
wenn OP als Langeneinheit gewahlt wird.
4. Lineare Fnnktionen mit beliebig vielen Veranderlichen.
Betrachten wir eine lineare Funktion einer Zahl von Verander-
lichen re,, #o, . . . x.
wo a c , a x , a 2 , . . . a n gegebene positive und negative Zahlen sind.
Die Frage ist, wie der Wert dieser linearen Funktion fur verschie-
Fig. U.
a o Q o.j c 2 QiCy a 3 C 4 fl 4 C 5
dene Systeme von x i x Sf ...x n zweckmaBig kon-
^ struiert werden kann. a , a^ , . . a n seien Strecken,
die nacheinander auf einer horizontalen Achse je
nach ihrem Vorzeichen nach rechts oder links abgetragen sind, als
giilte es ihre Summe , , . . . ,
18
Erstes Kapitel. Graphiacbes Eechnen
zu finden. a beginnt im Punkte und endet bei Cp a 2 beginnt in
<?! und endet bei C 2 usw. (Fig. 14.) Die Zahlen x 1 x% . . . x n werden
durch die Yerhaltnisse von je zwei Langen ausgedrtickt. Man zieht
eine Senkrechte durch und wahlt einen Punkt P auf der horizon-
talen Achse. Es sei das Verhaltnis -j^ x^ -pfi %, usw. Wenn
P links vom Nullpunkt angenommen wird, gilt der Punkt D^ iiber
als ein positiver Wert von x^ unter als ein negativer; ebenso die
anderen Punkte. Auf der Senkrechten wird fiber ein Punkt D in
der gleichen Entfernung von wie P bezeichnet, und der Punkt P
mit den Punkten D , D 1? D 2 , D 3 , D 4 , . . . verbunden.. Dann zeichnet
man eine gebrochene Linie A Q A l A^A 3 A 4e , so daB A Q auf der Senk-
rechten durck 3 liegt, und OA^ zu PJ) paraUel ist; A l liegt auf der
Senkreckten durck <7 2 , und ^ ^j ist parallel PD^ A 3 liegt auf der
Senkreckten durch O s , und A 1 A% ist parallel PJ> 2 usw. Dann wird die
Ordinate # von A Q die gleiehe Lange wie a haben und nach oben
gerichtet sein, wean a nach rechts, nach unten, wenn a Q nach links
lauft. Die Differenz ^ y$ der Ordinaten von A l und A ist an Lange
gleich a^, da ^ ^ und a x in dem gleicken Yerkaltnis steken
wie OD l und PO. A 1 wird tiber oder unter A Q liegen, je nackdem
#!#! nack rechts oder nach links lauft, und es versteht sich, daB a^
fur positive Werte von ^ die gleiehe, fur negative die entgegenge-
setzte Riehtung hat, wie a v So hat die Ordinate ^ die gleiehe Lange
wie die Strecke a + a 4 o; 3 und lauffc nach oben oder unten, je nach-
dem die Eichtung der Linie a + a 1 a? l nach rechts oder nach licks
lauft. Ebenso wird bewiesen, daB die Ordinate # 2 des Punktes A% die
gieiche Lange hat wie
die gleicke LSnge wie
Fig. 15
usw. wobei die Eicktung nack oben oder unten
positiven oder negativen Wert der linearen Funktipn entspricht.
Wenn die Werte von a? n ^ 2 , . . . x n der Gleichung
4. Lineare Funktionen mit beliebig vielen Ver&nderlichen 19
a + a^ + 2 a; 2 H ---- + a n x n =
geniigen, mtiB die Ordinate y n verschwinden, d. li. der Punkt A n muB
m ft Cn + i dem Endpunkt der Strecke a n zusammenf alien. Und umge-
kehrt: der Gleichung 1st geniigt, wenn A n und C n + l zusammenf alien.
_o An -I
. 16.
Cn-J Cn
Folglich kann, wenn alle Werte der Zahlen x v # 8 .
. . . x n bis auf einen bekannt sind, der unbekannte
Wert auf graphischem Wege gefunden werden. Denn,
s 'gesetzt rr s sei der unbekannte Wert, so kann man
die gebrochene Linie von anfangend bis -4 2 und dann vom an-
deren Bnde mit A n anfangend bis A% -(Fig. 15) zeichnen. Eine Par-
allele zu A* A^ durch P liefert den Punkt 3 auf der Ordinatenachse.
Sind #!, # 2 , . . . #__! bekannt und nur x n nicht, so kann man die ge-
brochene Linie bis A n _ l zeichnen, und, da A n mit C n + i zusammen-
fallen muB, eine Parallele zu A n _ i A fl durch P ziehen, und so den
Punkt D n auf der Ordinatenachse tinden, der durch das bekannte Yer-
haltnis von ~p(f oder -/ryr den Wert von x n bestimmt. Auf den Figuren
15 und 16 sind alle Koeffizienten positiv. Auf Fig. 17 ist ein Koeffi-
zient ttg negativ angenommen. Der einzige Unterschied ist der, da6
/
Ji - **"
^
^
A
^
^
~^-^
o c 1 c^ c 3 c 6 c 4 c 5 c 7
Pig. 17.
C 6 links von <7 5 liegt und daB daher die gebroohene Linie von
zu j! 5 zuriickfiihrt.
Lassen wir die Lago der Punkte D 0l D t , J) 2 , . . . unverandert, rucken
aber den Punkt P nach P (Fig. 18) und konstruieren von neuern
20
Erstes Kapitel. Graphisches Rechnen
die gebrochene Linie, so'erhalten wir OA^A\A'^ ... an Stelle von
' des Punktes A' 1st offenbar
{} . . . Die Ordinate y' a
OD Q
FO
und daber
y*
1 P'O
PO
d. h., durch Versehiebung des Punktes Punter Beibehaltung der Punkte
D , D v D 2 , . . . kann man den MaBstab der Ordinaten der gebrochenen
Linie verSndern, und zwar umgekehrt proportional dem AbstandPO.
Dieses Verfahren empfiehlt sich, um eine geeignete GroBenordnung
ffir die Ordinaten zu bekommen, unabhangig von dem fur den Ab-
stand der Punkte D , D^ D 2 , . . . gewahlten MaB-
stab, welcher die Werte
t , x . A
, a:, -, . . . bestimmt.
Eine lineare Gleichung mit nur einer Unbekannten
lost man, indem man durch P eine Parallele zu A A t legt. Nun sei
eine zweite Gleichung mit zwei Unbekannten gegeben:
Die Strecken &
,
+ ^^
6 2 werden wie vorher abgetragen. Da wir
aus der ersten Gleichung kennen, so kcinnen wir die gebrochene Linie
J5 BI , die der zweiten Gleichung entspricht, konstruieren, und, da
_B 2 mit dem Endpunkt von ?> 2 zusammenfallen muB, durch P eine
Parallele zu -^ J? 2 legen und x% bestimmen. Auf dieselbe Weise kann
man x s aus einer dritten Gleichung
abieiten und so weiter eine beliebige Anzahl von Unbekannten,
4. Lineare Funktionen mit beliebig vielen Veranderlichen 21
wenn jede Gleichung eine Unbekannte mehr als die vorhergehende
enthalt.
In dem allgemeinen Palle, wo n Unbekannte aus n linearen Glei-
chungen gefunden werden sollen, wird nun jede der Gleichungen alle
die Unbekannten enthalten, und man wird daher nicht, wie in dem
oben behandelten Palle, eine nacb der andern ermitteln konnen. Aber
es liifit sich zeigen, daB vermittelst sehr einfacher Konstruktionen der
allgemeine Fall auf eine Reihe von Gleichungen eben der Art wie
die oben bebandelten zurtickgefubrt werden kann.
Fangen wir mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten an.
Die Strecken 0r , a I7 a 2 werden auf einer Horizontalen OA^A^A^ ab-
getragen und die Strecken & , & lt & 2 auf einer anderen Horizontalen
0'BBB (Fig. 19). Nun ver-
1-iiX^W/j ! ^" A * A~
bindet man und , A und 1? ,
A und JBj, A% und B 2 durch Ge- .
rade und zieht eine dritte Hori-
zontale, welche diese Verbindungs-
linie in den Punkten 0", C a , O lf " ' **** *' **'
C 8 schneidet. Diese Punkte ent- Fig ' 19 '
sprechen einer bestimmten linearen Funktion
C
und es ISBt sicb zeigen, daB diese fur denselben Wert von x l und o? s
verscbwindet, wie die zwei ersten linearen Funktionen. Der Abstand
der beiden ersten Horizontalen sei I und der Abstand der dritten von
der ersten und zweiten h und &. Dann ist leicbt einzuseben, daB
, li /, x k , h T
c - + J (fco O "= z o +T V
Denn eine Parallele zu 00' durcb den Punkt J. schneidet mit der
Linie A Q B Q auf der dritten und zweiten Horizontalen Strecken ab,
deren Lange gleicb c und & a ist, und da diese Strecken
zu einander in Verbaltnis y stehen, so folgt, daB
^o^ a o +y(o- ^)- 7 o + 7 V
In derselben Weise kann man sicb, indem man eine Parallele zu
A$BQ durcb J.! und zu A l B i durcb j4 2 oder 2? a (was auf dasselbe
binauskommt) ziebt, iiberzeugen, daB
22 Erstes Eapitel. Graphisches Bechnen
<i - i + 7 Ot - <*i) - 7 i + 7 & 2
und c^ a 2 + y (& 2 - a 2 ) - fa 2 + y ft,.
Multipliziert man die Gleichung
z
mit y und die Gleichung
&o + Mi + 6,*g
mit y und addiert die Produkte, so erhalt man
Die dritte Horizontale braucht nicht notwendig zwischen den zwei
ersten zu liegen. Wenn sie unter der zweiten liegt, so muB 7c, und
wenn sie iiber der ersten liegt, 7&, einen negativen Wert erhalten, da-
mit dieselben Ausdriicke fiir c^c^c^ Geltung haben. Folglich bleibt
der Scblufi richtig, dafi aus den zwei ersten Gleichungen die dritte
gefolgert warden kann.
Da es uns nun vqllkommen freisteht, die dritte Horizontale zu
zieben, wo immer es uns gefallt, kSnnen wir sie durch den Schnitt-
punkt der Linien A l S l und JL 2 5 3 legen. Dann fallen die Punkte Oj
und C 2 zusammen und es verschwindet infolgedessen c 2 . Wenn c x
nicht verscbwindet, k5nnen wir, wie oben gezeigt, x 1 und niit x l dann
x 2 aus jeder der beiden ersten Horizontalen ermitteln. Im Palle c t
aucb rerschwindet, das will sagen, im Falle die drei Geraden A%B%,
A^B! und A Q B Q durch einen und denselben Punkt bindurchgehen,
der nicht auf 00' liegt, sind die zwei gegebenen Gleichungen nicht
gleichzeitigzubefriedigen. Denn, wenn sie es waren, wiirde folgen da8
und, da C L und c 2 gleich Null sind ; miiBte auch C Q = sein, was der
Annahme widerspricht, daB 00' nicht durch den Schnittpunkt von
-4 2 J& 2 , A l B l und A B Q hindurchgeht. Wenn andererseits alle vier
Geraden -4 3 J? 2 , A 1 3 11 A Q B ^ 00' durch denselben Punkt hindurch-
geheii, daini verschwinden f , ^ und c 2 alle drei. In diesem Falle
widersprechen sich die zwei gegebenen Gleichungen nicht, aber b^b^
sind a a 1 a 2 proportional. Daher wird die zweite Gleichung dieselbe
Beziehung zwischen x und x% enthalten wie die erste, so daB nur
eine Bedingung fiir x l iind ar 2 zu erfiillen ist. Wir konnen dann einein
von beiden einen beliebi'gen Wert beilegen und den Wert des anderen
so bestimmerr, daB der Gleichung geniigt ist.
4. Lineare Funktionen mit beliebig vielen Veranderliehen 23
In dem Falle zweier li-
nearer Gleichungen mit einer o
beliebigen Zahl von unbe-
kannten GroBen t , # 3 , . . . # w
kann man vermittelst der- ,,
selben graphischen Methode
4> AI A 2 A s A 4 A 5 A 6
; \ \ \ / \ \
{Bo \Bi \S S \B*/B 4 \B S \B S
f \ v x i T
f'^0 it>i \d> 6-5^1/14 iCJj |6tf
C C t g Cy C 5 C 6
eine der GroBen eliminieren. ri * so -
In Fig. 20 ist dies fur den Fall von zwei linearen Gleichungen mit
sechs unbekannten GroBen gezeigt. Die zwei Horizontalen OA Q A l
A% A^A^At, AQ und 0' B B 1 B 2 B B B^B r , ) BQ stellen lineare Gleichungen
dar. Durch den Schnittpunkt von A B B 3 und A^B^ zieht man eine
dritte Horizontale, welche die Linien 00', A Q B , A 1 B 1 ...A 6 B G in
0"(7 ,0 f 1 ...<7 6 schneidet. Da C z und <7 4 zusammenfallen, verschwindet
die Strecke c und # 4 wird eliminiert, so daB die Gleichung nunmehr
die Form annimmt
Nun sei z. B. eine Reihe von sechs Gleichungen mit sechs Un-
bekannten geometrisch auf sechs Horizontalen dargestellt. Von diesen
behalten wir eine, aber an Stelle der anderen funf konstruieren wir
fiinf neue, aus denen eine der Unbekannten vermittelst der ersten
Gleichung eliminiert ist. Es kann nun vorkommen, daB gleichzeitig
auch eine andere Unbekannte verschwindet; dann bleibt diese GrSBe
willkurlich. Von den funf neuen Gleichungen behalten wir wieder
eine, die mindestens eine andere Unbekannte enthalt, und ersetzen
die vier iibrigen durch vier neue Gleichungen, aus denen diese nn-
bekannte GroBe eliminiert ist. Indem man so fortfahrt, wird in der
Eegel mit jedem Schritt nur eine Unbekannte eliminiert werden, so
daB zuletzt eine Gleichung mit einer Unbekannten iibrig bleibt. An
Stelle der gegebenen sechs Gleichungen, von denen jede sechs Un-
bekannte enthielt, haben wir nun eine Gleichung mit sechs, eine mit
fiinf usw. bis zu einer Gleichung mit einer Unbekannten. Die geo-
metrische Konstruktion beweist, daB dieses Sjstem von Gleichungen
dem gegebenen gleichwertig ist, denn wir konnen auf demselben Wege
in umgekehrter Richtung zu dem gegebenen System zunickgelangen.
Wir haben oben gesehen, wie die unbekannten GrSBen nun geome-
trisch konstruiert werden konnen. Es kann indessen vorkommen, daB
mit der Elimination einer Unbekannten gleichzeitig auch eine zweite
elirainiert wird. Dieser konnen wir dann einen beliebigen Wert bei-
legen, ohne die Moglichkeit der L5sung zu beeintrUchtigen. Endlich
konnen auch alle Unbekannte aus einer Gleichung eliminiert werden.
24 Erstes Kapitel. Grapbisches Recbneu
Wenn in diesem Falle ein von Null verschiedenes Glied tibrig bleibt,
so geht darans bervor, daB es unmb'glich 1st, den gegebenen Glei-
chungen gleichzeitig zu geniigen. Bleibt kein solches Glied ubrig, dann
enthalten die beiden Gleichungen aus denen die Elimination sich
ergab, dieselbe Beziehung zwiscben den Unbekannten und eine der-
selben darf fortgelassen werden.
5. GrapMsche Bekandlung komplexer Zahlen.
Eine komplexe Zabl g = x + yi
wird grapbiscb. durcb den Punkt Z dargestellt, dessen recbtwink-
lige Koordinaten den Zablen a? und y entsprecben. Wir nebmen an,
daB beide Koordinaten in der gleichen Langeneinbeit gemessen sind.
Man konnte aucb sagen, daB eine komplexe Zabl nicbts ist als eine
algebraiscbe Form, die Koordinaten eines Punktes in der Ebene hin-
zuscbreiben. Und die Recbnung mit komplexen Zablen stellt gewisse
geometrische Operationen mit den durcb sie ausgedriickten Punk-
ten dar.
Unter der Summe zweier koniplexer Zablen
versteht man die komplexe Zabl
wo # s ===== x l + #2 und y$ = y l + # 2 ,
und man schreibt z s = ^ -f- # 2 .
Graphiscb ermittelt man den Punkt P, welcber 5 darstellt, aus den
Punkten Z 1 und Z 2 , welcbe ^ und # 2 darstellen, indem man eine
Parallele zu OZ 2 durcb Z x legt und ZjP (Fig. 21) an Lange und
Richtung gleicb OZ 2 macht, oder indem man eine Parallele durch
Z 2 legt und Z 2 P an Lange und Ricbtung OZ l gleich macbt. Die
Koordinaten von P sind offenbar gleicb
#1 4~ ^2 ua ^ 2^1 "t" y% "
Zwei komplexe Zahlen z und ! f nennt
man entgegengesetzt, wenn ihre Summe
Null ist.
$ -[- ^' == o oder ^ #'
> und y y' oder j? =* j'.
Die betreffenden Punkte Z und Z' baben
x i
Fig. 21.
5. Grapbiscbe Behandlung komplexer Zahlen
25
denselben Abstand vom Nullpunkt, liegen aber in entgegengesetzter
Richtung.
Die Differenz zweier komplexer Zablen ist diejenige komplexe
Zabl, welcbe zum Subtrabendus binzuaddiert den Minuendus ergibt,
Daber z 1 - s 3 (x l * 2 ) + (^ y f )* .
Dies kann man auch so schreiben
g l + s's, wo *2 -= * 8 # 2 #j .
Das beifit: die Subtraktion der komplexen Zabl # 2 von ^ kann durcb
Addition der entgegengesetzten Zabl # 2 ausgefilhrt werden. dm
den der Zabl ^ s s entsprechenden Punkt geometrisch zu konstru-
ieren, mufi man eine Parallele zu OZ 8 durcb Z l legen und von Z l
in der Ricbtung von Z 2 nacb die Lange Z 2 abtragen. Oder man
kann aucb vom Nullpunkt aus eine Linie von gleicher Lange und
Ricbtung wie Z^Z l zieben. Aucb diese wird zu dem Punkte Z
fubren, der die Differenz g l # 2 darstellt.
Die Regeln fur die Multiplikation und Division komplexer Zablen
lassen sicb am besten durcb Einfubrung von Polar-Koordinaten aus-
sprecben. Es sei r die positive Zabl, die die Strecke OZ in derselbeu
Langeneinbeit ausdriickt in welcber x und y die Abszisse und Ordi-
nate messen, so daii
und <p der Winkel, den OZ mit der #~Acbse einscbliefit, in der
tung von der positiven ff-Acbse auf die positive ^-Acbse zu
alle vier Quadrahten gerecbnet (Fig*. 22). Dann
babenwir ,, = r cos <p, y _ r sin ^
und # re + yi = r(cos 9 + sin qpi).
Wir nennen r den Modul und g> den Winkel von s.
Der Winkel kann um irgendein viel-
facbes von 4 Recbten vergrSBert oder
vermindert werden, obne z zu verandern, aber
jede Anderung von r bedingt notwendig eine Ver-
jinderung von z.
Nacb dem Moivrescben Lebrsatze kann man scbreiben ^ =
TInter dem Produkt zweier komplexer Zablen
g = f gVi* und 5 === I'oC^**
Ricb-
durclt
26
Erstea Kapitel. Graphisches Rechnen
versteht man diejenige komplexe Zahl * deren Modal r. gleicb dem
Produkt der Moduln r, und r a und deren Winkel <p s gleich derSumme
der Winkel 9l und g> 2 oder nur urn ein Vielfaches von 4 Rechten
davon verschieden 1st,
Die Definition der Division folgt aus der Multiplikation. Der Quo-
tient ^ ist diejenige komplexe Zahl, welche nut s 2 multizipliert * t
gibt Daher muB das Produkt seines Modul mit dem Modul von a*
^eich dein Modul von s t und die Summe seines Winkels und dos
Wmkels von *, gleich dem Winkel von ^ sein. Oder man kann auch
sagen, dafi der Modul des Quotienten ^ gleich dem Quotienten der
Modnln i und sein Winkel gleich der Different der Winkel also
gleich ^ - <p a 1st. Eine etwaige Addition oder Subtraktion eines
vieltachen von 4 Eechten kann aufier Betraoht gelassen werden, da
sie weder d!e komplexe Zahl noch den sie darstellenden Punkt be-
einflufit.
Die der Multiplikation und Division komplexer Zahlen entspre-
chende geometrische Konstruktion ISBt sich am besten dui-ch Betrach-
tung zweier Quotienten von je zwei komplesen Zahlen, die dasselbe
Kesultat ergeben, darlegen. Schreibeu wir
*
Die. geometrische Bedeutung hiervon ist, da8
Das heifit: die Dreiecke Z,OZ, und Z.OZ, sind ehiander
x geometnsch ahnlich (Fig. 23). Sind von den Punkten Z l ,
Z^Z^Z^ drei gegeben, so kann der vierte
offenbar ermittelt werden. Es seien z. B.
^17 ^27 ^ gegeben. Man zieho eine Parallole
zu Z 1 Z^ welche OZ S in der Entferung /* 4
von sehneidet. Dann bilden dieser
Schnittpunkt, der Schnittpunkt auf OZ l
und der Nullpunkt, die Eckeri eines Drei-
ecks, das dem Dreieek Z^O kongruent
ist. Dreht man es um dem Nullpunkt so-
weit heruxn, daB die Linie OZ S mit OZ^ mr
Pig. 23.
5. Graphische Behandlung komplexer Zahlen
27
Deckung komrnt, so erhiilt man die Lange und Richtung der Seite
OZ$ und damit den gesuchten Punkt.
Diese Konstruktion enthalt sowolil Multiplikation wie Division
als besondere Falle. Lassen wir Z 4 mit dem Pimkte x = 1, y =
zusammenfallen, so daB 4 =1 (Fig. 24),
dann haben wir
~ = ., oder
Aus zwei von den drei Punkten Z 1 ,Z 2 ,Z 8
laBt sich der jedesmalige dritte Punkt durch
eine einfache Konstruktion bestimmen.
Die geometrische Darstellung komplexer
Zahlen ist mit Vorteil anzuwenden, um die
Eigenschaften .harmonischer Schwingungen zu
zeigen.
Nehmen wir an, daB ein Punkt P sich
auf der #-Acbse fortbewegt, so daB seine
Abszisse im Zeitpnnkt t durch den Ausdruck
x = r cos (nt + a)
gegeben ist, wo /?, r und a Konstanten sind. Nennen wir r die Am-
plitude und nt + a die Phase der Bewegung. Der Punkt P bewegt
sich zwischen den Grenzen x = r und x = r hin und her. Die
Zeit T = - nennt man die Schwingungsperiode, d. h. die Zeitdauer
einer vollstandigen Vor- und Kiickwartsbewegung.
Betrachten wir nun an Stelle von x die komplexe Zahl
z = r cos (nt + a) + r sin (nt + a) 7.
oder ^ = r^ w ' +a ^ ,
deren Abszisse a; ist, und verfolgen wir die Bewegung des Punktes Z.
Fur t *= haben wir ^ rc i
Bezeichnen wir diesen Wert mit ^r ft , so konnen wir schreiben
Fig. 24.
Die geometrische Bedeutung des Produktes
2? e n "
iat, daB die
Strecke OZ durch den Winkel nt um gedreht wird. Denn, da
der Modul von e nti = 1 ist, so wird der Modul von # durch die
Multiplikation nicht verandert. Die Bewegung des Punktes Z be-
steht daher in einer gleichfdrmigen Drehung von OZ tun 0. In dem
28 Erstes Kapitel. Graphisches Rechnen
/ \
/ V
/= J
Zeitpunkt t = haben wir die Lage
OZ Q und nach Ablauf der Zeit T *
Z\,t*0 wird dieselbe Lage wieder eingenom-
.a r\ men. Die Umdrehung geschieht in der
fc<S* -L ^Richtung von der positiven x Achse auf
/ die positive j/Achse zu (Fig. 25).
v / Die Bewegung von Z ist offenbar
^ / einfacher als die Bewegung der Pro-
-- t~%T jektion P von Z auf die ir-Achse.
Betrachten wir eine Bewegung, die
aus der Summe zweier harmonischer
Fig. 25. Bewegungen von gleicher Periode aber
verschiedenen Amplituden und Phasen entsteht,
x r t cos (nt + a 1 ) + r 2 cos (nt + a 2 )
und zwar indem wir sie wieder durch die Bewegung eines Punktes Z
ersetzen, der der komplexen Zahl
entspricht. Fur t *** ist das erste Glied
*i " r i e<tl> und das zweite % r c^*.
Setzen wir z l und j8f 8 in den Ausdruck ftir z ein, so haben wir
wo ^ ^ -1 + ^2-
Dies zeigt auf den ersten Blick, dafi die Bewegung von Z eine
gleichmaBig kreisformige ist, die in einer gleichfSrmigen Drehung
von OZ urn besteht. Im Zeitpunkt t = ist die Lage OZ&, die
der komplexen Zahl 9 . ,
* h = *i + *a
entspricht. Die Projektion von Z auf die a>Achse hat die Abszisse
r, cos (< + ,),
wo r a und a 3 den Modul und den Winkel von z s bezeichnen. So ist
gezeigt, daB die Summe zweier harmonischer Bewegungen gleicher
Periode wieder eine harmonische Bewegung ergibt.
Dasselbe gilt fiir die Summe beliebig vieler harmonischer Be-
wegungen von gleicher Periode. Denn die komplexe Zahl
* + r^****^ H ----- h
5. Graphiscbe Behandhmg
WO
Die Bewegung von Z besteht daher, ausgenommen im Falle 2$ = 0,
in einer gleichformigen Umdrehung von OZum 0, wobei Zimmer
dieselbe Liinge, gleich dem Modul von beibehalt. Die Lage von
OZ im Zeitpunkt t ist OZ (
'o-
Die Bewegung eines Punktes P, dessen Abszisse
x == ae~ ki cos (nt + a),
wo a, k, n^ a Konstanten sind (a und 7c positiv), nennt man eine ge-
dampfte harmonische Bewegung. Sie kann als eine harmonische Be-
wegung, deren Amplitude im Abnehmen ist, aufgefaBt werden. Um
diese Bewegung zn studieren, substituieren wir wieder eine kom-
plexe Zahl _ ^ kt -**
oder # = ac~ kt - <
wo # fur die komplexe Konstante ae ai geschrieben ist.
Das Produkt H
ist eine komplexe Zahl, die einem Punkte Z l entspricht, welcher auf
demselben Radius mit Z$ liegt und in dem Zeitpunkt t mit Z Q
zusammenfallt, dann aber sich dem Nullpunkt in geometrischer
Progression nahert. In der Zeiteinheit nimmt die Entternung zwiscben
Z 1 und in dem konstanten VerhS.lt-
nis e~ k :l ab. Die Multiplikation mit
e nti dreht OZ 1 durch einen Winkel
nt tun 0. Wir kQnnen also die Bewe-
gung von Zbeschreiben als eine gleich-
formige Drehung von OZ urn 0, wiih-
rend welcher Z sich in dem Sinne
gleichmaBig nahert, daB in gleichen
Zeitabschnitten die Entternung im
gleichen Verhaltnis abnimmt (Fig. 26).
Im Augenblick t = f allt die Lage
von Z mit Z zusammen. Als eine
Periode dieser Bewegung bezeichnen K * 2G>
wir den Zeitabschnitt T = , in welchem OZ eine vollstandige
30 Erstes Kapitel. Graphisches Rechnen
Drehung um ausfuhrt, obgleich Z nicht in seine urspriingliche Lage
zuriickkehrt. Jedes von Z in einem gegebenen Zeitabschnitt durch-
laufene Stuck der Spirale 1st jedem anderen in einem gleichen Zeit-
abschnitt durchlaufenen geometrisch ahnlich. Denn geset/t, daB der
zweite Zeitabschnitt T Zeiteinheiten spater anf lingt als der erste, so
haben wir fiir den ersten
- e nti , und fiir den zweiten z' e Q e-*+*
Sind nun z und # 2 ^^ e Werte von z an zwei Zeitpunkten t t und 2
des ersten Zeitabschnitts, und z\ und z\ die entsprechenden Werte
von z r an zwei Zeitpunkten t + T und f 2 + T des zweiten Zeitab-
schnitts, so haben wir -'
*i ^e-t^-g. e'^-y ii.
^2 ^8
Daher ist das Dreieck Z 1 OZ 2 dem Dreieck Z\ OZ% geometrisch ahn-
lich. Da Z l und Z 2 mit beliebigen Punk ten des ersten Teils der Kurve
zusammenfallen konnen, so sind die beiden Kurvenstucke offenbar
einander geometrisch ahnlich.
Die Projektion von Z auf der x Achse fiihrt Schwingungen von
abnehmender Amplitude aus. Die Umkehrpunkte entsprechen den
Punkten der von Z beschriebenen Spirale, wo ihre Tangente der
y- Achse parallel ist, d. h. wo die Abszisse von -r- verschwindet.
Nun ist ~- * ( ft + ni) e" kt e nti ( A" + ni) z
Oz_
oder = ft + ni = ^e*^,
wo Q und K Modul und Winkel der komplexen Zahl k -j- ni be-
zeichnen. ,
Folglich wird, wenn wir -77 durch einen Punkt Z' darstellen, das
ctt
Dreieck Z 1 OZ sich selbst geometrisch ahnlich bleiben. Die Umkehr-
punkte der gedampften Schwingungen entsprechen den Zeitpunkten,
in denen OZ' senkrecht nach oben oder unten gerichtet ist, oder der
Winkel von -jr gleich ~ oder -r~ ist. Der Winkel von ts wird dann
5C &7t
gleich A oder -- I plus oder minus einem Vielfachen von 2 n
sein. Da andererseits der Winkel von 2 sich mit der Zeit nach der Form el
nt + <*
verSndert, finden wir die Zeitpunkte, wo die Bewegung umkehrt,
durch die Gleichung
5. Graphische Behandlung komplexer Zahleu 31
n t + <x = ~ A + 2 NTV, oder nt + a = A +
wo N eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Die Zeit
zwischen zwei aufeinander folgenden Umkebrungen ist daher gleich
* , d. b. gleich einer balben Periode. Alle die Punkte Z, die den Urn-
kehrpunkten der Bewegung entsprechen, liegen auf einer und der-
selben Geraden, die durcb den Nullpunkt hindurchgeht, und mit
der positiven #-Achse einen Winkel ^ I bildet. Die Amplituden
der aufeinander folgenden Scbwingungen nehmen daher im gleich en
Verhaltnisse ab wie der Modui von #, d. b. wahrend einer halben
kn
Periode im Verhaltnis e n zu 1.
Betrachten wir die Schwingungen eines Systems mit einem Frei-
beitsgrad, auf welches eine als harmonische Funktion der Zeit ver-
anderlicbe Kraft wirkt, und beschranken wir unsere Betracbtung auf
die Lagen in unmittelbarer Nahe der Lage des stabilen Gleichgewichts.
Wenn die GroBe x die Lage des Systems bestimmt, genugen seine
Schwingungen einer Diiferentialgleichung von der Form
d*x , , dx ,9 T-, / ,\ i\
WT^T + 'CTT + n *% = FcQS(pt) M
at" dt
wo m, k, n, jp, F positive Konstanten sind.
Dies ist wieder ein Fall, in welcbem die Einfuhrung einer kom-
plexen Veranderlichen __ x
und die geometriscbe Darstellung komplexer Zahlen dienlich sind,
urn die Losung zu gewinnen und einen Uberblick uber die verschie-
denen Erscheinungen, die sich ergeben konnen, zu gewUbren.
Um g einzufuhren, betrachten wir zugleich die Differentialgleichung
dt* dt
multiplizieren die zweite Gleicbung mit i und addieren sie und die
erste. Wir haben dann
Die Bewegung des die komplexe Zabl g darstellenden Punktes Z dient
1) Siebe z. B. Rayleigb, Theory of Sound, Vol. I, Kap. Ill, 46.
32 Eretes Kapitel. Grapbiscbes Recbnen
dann zugleicb, um die Bewegung von x zu zeigen. Wir braucben nur
die Projektion von Z auf die aj-Acbse zu Detracbten.
Eine LSsung der Differentialgleicbung erbalt man, indem man
2= e p "
scbreibt. Fiibrea wir diesen Ausdruck: fiir g ein ; und streicben den
Eaktor eP", so baben wir
^ F
- yp\ ^ jp ? oder % =
Z Q ist eine komplexe Konstante, die, wie wir spater seben werden,
sebr einfacb geometriscb dargesteilt werden kann.
"Diese L8sung e p "
ist nicbt die allgemeine. Wenn wir mit *' irgend eine andere LSsung
bezeichnen, so da8
so finden wir durcb Subtraktion der Gleicbungen
oder, wenn wir / ^ = u scbreiben,
Die allgemeine Losung dieser Gleicbung ist
u . u^e-
wo w x und w 2 beliebige Konstanten und A n A 2 die Wurzeln der
Gieicbung far A sind wJL s u + # _
__
A 2 j "~ Sim ^ V 4t f w*
Wenn -^sffroBer ist als , so dafi die Quadratwurzel einen reellen
Wert bat, wird]/^ - ~ jedenfalls kleiner als sein. Daber
werden ^ und A 2 beide negativ und die Moduln der komplexen
Zablen u^ und u^* werden mit der Zeit verscbwindend klein
werden. Wenn andererseits ^~ kleiner ist als -^, dann entsprecben
die komplexen Zahlen u^' und w 2 6 ; -*< beiden Punkten, welcbe Spi-
ralen bescbreiben, die sicb, wie wir oben geseben haben, dem Null-
_ 5. Grapbiscbe Behandlung komplexer Zahlen 33
punkt in einem fiir gleiche Zeitabscbnitte konstanten Verbaltnis
nahern. Dalier werden sie auch mit der Zeit verschwindend klein
werden.
Nach Verlauf einer gewissen Zeit wird daber der Ausdruck
* = e p "
gentigen, die Losung auszudriicken.
Der Punkt Z bewegt sicb gleicbmaBig um auf einem Kreise,
dessen Radius gleicb dem Modul von ist, und vollendet einen Um-
2 n
lauf in der Periodc , der Periode der auf das System wirkenden
Kraft. Die Bewegung der Projektion von Z auf die #-Aebse ist durcb
den Ausdruck x = r cos (pt + ct)
gegeben, wo r der Modul und a der Winkel von # sind Es ist
eine harmoniscbe Bewegung mit der gleicben Periode, wie die der
Kraft, aber mit einer gewissen Phasendifferenz und Amplitude, die
von den Werten jP, w, &, H, p abbangig sind.
Diese Beziebung zu studieren ist wicbtig, um von den Erscbei-
nungen, die sicb ergeben konnen, eine Vorstellung zu gewinnen. Zu
diesem Zwecke eignet sicb besonders die geometriscbe Darstellung
komplexer Zablen.
Betracbten wir in dem Ausdruck fiir #
77*
t r- den Nenner mv? + hpi + w 2
und nebmen wir an, da6 die Periode der auf das System wirkenden
Kraft nicht bestimmt sei, wabrend die Konstanten des Systems
M, 7c, n und die Amplitude der Kraft F gegebene Werte haben. Die
Grb*Be p ist die Zabl der von der Kraft wabrend der Dauer von 2jr
Zeiteinheiten ausgefiibrten Scbwingungen. Diese Grofie p sei un-
bestimmt, und es handle sicb darum, zu zeigen, wie sicb fiir verscbiedene
Werte von p die Amplitude und Pbase der erzwungenen Scbwingungen
zu der Amplitude und Pbase der Kraft verbalten.
Tragen wir die Kurve der Punkte auf, die der komplexen Zabl
w 2 mp* + I'p i
entsprecben, wenn p die Werte p = bis + oo amiimmt.
Diese Kurve ist eine Parabel, deren Acbse mit der #-Acbse zu-
sammenf allt und deren Scbeitelpunkt im Punkte x = w*, y = liegt.
Hire Gleicbung kann man durch Elimination vonp aus den Gleicbungen
x n 2 wp 2 , y = kp finden, namlicb x w 3 p2/ 2 -
Erstes Kapitel. Graphisches Eechnen
Aber es ist besser p nicht zu eliminieren und die verschiedenen Punkte
fur verschiedene Werte von p zu konstruieren. In Fig. 27 ist die Kurve
.y fftr p bis p == 3 gezeichnet,
nnd die Punkte jp=0, 1,2, 3 sind
bezeichnet. Die Ordinaten sind
p proportional. Sie sind gleich
0, ft, 2ft, 3ft fur p = 0, 1, 2, 3.
Der Abstand der Projektion eines
beliebigen Punktes der Kurve auf
Fi* 27. die a>Achse vom Scheitelpunkt
ist p 3 proportional. Er ist gleich 0, w, 4we 9m fur # = 0, 1, 2, 3.
Bezeichnen wir fur einen beliebigen Punkt P auf der Parabel
die Entfernung vom Anfangspunkt mit r und den Winkel zwischen
dem Radius und der positiven #-Aehse mit g>, so daB
n* wp* + kpi rc^*'. Dann haben wir n = e~ (pi
* u *
und folglich
und x
7 COS <
Die Amplitude der erzwungenen Schwingungen ist r urngekehrt
proportional. So zeigt unsere Figur 27, fur welche Periode der Kraft
die erzwungenen Schwingungen am groBten werdeD, ffir die n&mlich,
die dem Punkte auf der Parabel entspricht, dessen Abstand vom
AnfangspuDkt am kleinsten ist. Jn Figur 27 ist der Punkt mit It
bezeichnet. Man kann ihn den Punkt der grSBten Resonant nennen.
Sind die Konstanten des Systems derartig, daB die Ordinate des
Punktes, in welchem die Parabel die y-Achse schneidet, im Verhaltnis
zu der Abszisse des Scheitelpunktes klein ist, dann wird OH nahezu
rait der ^-Achse zusammenfallen (Fig, 28). Der Winkel zwischen
OR und der positiven #-Achse ist dann sehr nahe gleich 90, das
will sagen,die erzwungenen Schwin-
gungen. grSflter Resonanz werden
um etwas weniger als eine Viertel
Periode hiuter den Kraftschwingun-
gen zuriickbleiben. Bei unveriin-
derten Werten von m und n wird
dies fur kleine Werte von ft, d. h. bei einer schwachen Dampfung,
eintreten. Wenn^? von der Schwingungszahl der grdBten Resonanz nur
ein klein wenig abweicht, so entfernt sich der Punkt P von R so, daB
r betrachtlich zunimmt und <p entweder sehr klein (fiir Werte von
Pi die kleiner sind als die Schwingungszahl der groBten Reso-
nanz) oder nahe gleich 180 wird (fur Werte von jp, die groBer
rig. ss.
6. Funktionen einer unabhangigen Veranderlichen
35
sind als die Schwingungszalil der groBten Resonanz). Eine Ab-
weichuog der Periode der Kraft von der Periode der groBten Re-
sonanz wird die Amplitude der erzwungenen Sehwingungen be-
trachtlich verringern. Zugleich wird das Zuriickbleiben ibrer Phase
binter der Kraft beinahe verschwinden , wenn die Schwingungszahl
der Kraft kleiner ist, oder sich auf fast eine balbe Periode belaufen,
wenn die Scbwingungszabl der Kraft gro'Ber 1st. Fur hohere Werte
von Jc verbreitert sich die Parabe) und diese Erscheinung tritt zuriick.
Das Minimum des Radius r wird weniger hervortreten. Der Winkel
zwischen OR und der #-Achse wird kleiner und kleiner und fur
einen gewissen Wert von Jc und alle hoheren fallt der Punkt It mit
dem Scheitelpunkt der Parabel zusaramen. In diesem Falle gibt es
keine Resonanz; sondern wenn die Periode der Kraft unbegrenzt zu-
nimmt (p m also kleiner und kleiner wird), nimmt die Amplitude der
F
erzwungenen Schwingungen zu und nahert sich dem Grenzwert 8 ,
ohne daB es eine bestimmte Periode gibt, fur welche die erzwungenen
Schwingungen starker sind als fur alle anderen.
Zweites Kapitel.
Grapliische Darstellung der Funktionen einer oder
mehrerer nnabhangiger Yeranderlichen.
6. Fnnktionen einer nnabhaBgigen Veranderliclien.
Eine Funktion y einer Veranderlichen x
y = f(x}
wird geometrisch gewohnlich durch eine Kurve
dargestellt in der Weise, daB die rechtwinkligen
Koordinaten ihrer sSlmtlichen Punkte, in irgendwie
gewahlten LSngeneinheiten gemessen, gleich x und
y sind. Diese graphische Darstellung einer Funktion
ist ungemein wertvoll. Aber es gibt
noch eine andere fur gewisse Zwecke
nicht weniger wertvolle Art der
graphischen Darstellung, die in der
angewandten Mathematik mehr als
in der reinen gebrauchlich ist, und auf diese wollen wir hier unsere
Aufmerksamkeit richten.
Nehmen wir an ; daB die Werte von y fur gewisse aquidistante
Werte von #, z. B,
36 Zweites Kapitel Darstellung von Funktionen
- - 6, - 5, - 4, - S, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 8, + 4, + 5, + 6,
berechnet seien. Wir bringen nun auf einer Seite einer Geraden
eine gleichmaBige Skala ftir y an; auf der andern Seite der Ge-
raden markieren wir durch Teilstriche diejenigen Punkte dieser
Skala, deren #- Werte zu den oben angegebenen aquidistanten #- Werten
gehflren, und schreiben die betreffenden #- Werte daran (Fig. 29).
Diese Zeicbnung gestattet uns den Wert von y fur die bezeichneten
#- Werte abzulesen mit einer Genauigkeit, die von der GrSfie des
MaBstabes, der Zahl seiner Teilstriche und naturlich von der Fein-
heit der Zeichnung abhangt. Sie ermoglicht uns auch die Werte von
y ftir einen Wert von x, der zwischen den bezeichneten liegt, ftbzu-
lesen, wenn die Abstande zwischen zwei aufeinander folgenden Werten
von x so klein sind, daB die entsprechen-
den Abstande von y einander beinahe
gleich sind. Man kann nach dem Augen-
maB Werte von x mit einer gewissen Ge-
nauigkeit interpolieren. Man kann ande-
rerseits auch die Werte von x ftir belie-
bige Werte von y ablesen. Wir wollen
t dies die Darstellung einer Funktion durcb
eine Skala nennen.
Fig. go. Man kann von dieser Darstellung leicht
zur Davstellung derselben Funktion durch
eine Kurve ubergehen, indem man durch die mit den Werten von x
bezeichneten Punkte Gerade im rechten Winkel zu der die Skala
tragenden Geraden legt, und auf diesen die ihnen entsprechenden
#-Zahlen, in einer beliebigen L^ngeneinheit gemessen, abtrligt (Fig. 30).
Auf gleiche Weise kann man von der Darstellung der Funktion
durch eine Kurve zu der durch eine Skala ubergehen.
Die Darstellung durch eine Skala stellt, so kann man es ansehen,
die Bewegung eines Punktes auf einer Geraden dar, wo die Werte
von x die Zeit bedeuten, und die mit diesen Werten bezeichneten
Punkte die Lage des sich bewegenden Punktes in dem jedesmaligen
Zeitpunkt. Durch den Ubergang zur Kurve wird die Bewegung in
der Geraden in eine Kurve ausgezogen, deren Abszisse die Zeit be-
deutet (Fig. 30).
Die Darstellung durch eine Skala wird mit der durch eine Kurve
kombiniert verwendet, urn die Funktion einer Funktion graphisch
darzustellen.
Sei y eine Funktion von x und x eine Funktion von t. Wir wollen
nun y als Funktion von t ausdrucken:
6. Funktionen einer unab hangigen Veranderlichen 37
Sei y f(x) durch eine Kurve in der gewobnlichen Art gegeben,
und x = g>(t) durcb eine Skala auf der tf-Achse, welche die Punkte
angibt, wo t = 0, 1, 2, ..., 12. Man findet nun die Werte von y,
die den Werten * 0, 1, 2, ..., 12 entsprechen, indem man die
Ordinaten der Kurve y=*ffa} ftr die den Werten tf = 0, 1,2,.. ., 12
entspreehenden Abszissen zeichnet. Diese Ordinaten werden in der
|5J
x "
/
1
1
/I
1
^ 1
j
i
i
i
i
i
i
i
j ,
Oi
t:0 1
t:0 1 %
34567
4 5 6 7 S 9 10 11 n
Tig. 31.
Regel nicht gleicbe AbstSnde haben. Sobald wir sie aber so ver-
scbieben, dafi sie aquidistant werden, bilden sie die Ordinaten der Kurve
.
mit t als Abszisse (Fig. 31).
Die Darstellung einer Eunktion durcb eine Skala lafit sicb in
der Hinsicbt verallgemeinern, daB keine von den beiden Skalen auf
beiden Seiten der Geraden notwendig gleicbmafiig zu sein braucht.
Die Lange der Teilstrecken kann sich auf beiden Seiten von einem
Ende der Skala zum andern verandern. Wenn die Veranderung
langsam genug ist, kann trotzdem mit Genauigkeit interpoliert wer-
dent Man kann diesen Fall als eine Zusammensetzung zweier FSlle
der ersten Art betrachten.
38
Zweites Kapitel. Darstelhmg von Funktionen
3-
2-
1-
--0
t-6 --J
27
F~-3
b
3?
05
-4
/--<? A -
*/y _-6
^Z
3^
0-
-2
_-3
rp
U--4
Diese Skalen werden aneinander gelegt,
so dafi die Skala x die Skala t beriihrt,
w&hrend die Skala y als dazwischen her-
ausgeschnitten gedacht wird (Fig. 32).
-5
'.*-=?
7.
rig. 32.
Das Prinzip des Reclien-
scMebers.
Untersuchen wir, wie die Beziehung
zwischen x und t durch die Verschiebung
der x- und t- Skalen gegeneinander verSndert wird.
Verschiebt man die x Skala urn einen Betrag y = c, so daB ein
Punkt der #-Skala, der einem Punkt y der ^-Skala gegeniiberstand,
nunmelir dem Punkt y + c gegeniibersteht, dann wird die durch die
neue Stellung der Skalen ausgedriickte Beziehung zwischen x und t
durch die Gleichung /./ \ _
gegeben sein. Wenn z, t und #', t' zwei einander gegentiberstehende
Wertepaare bezeichnen, haben wir gleicbzeitig
oder durch die Elimination von c
Der gewohnliche Rechenschieber tragt zwei identische Skalen y = logo?
und y = log f, die gegeneinander verschoben werden k5nnen, auf
denen x und t die Werte 1 bis 100 durchlaufen. Wir haben daher
log x log t = log x log t\ oder -- = -,- -
f f 7?
2.5 3 4
Das
5 6 7
Fig. 33.
will sagen,
daB in jeder be-
liebigen Stellung
der x- und /-Ska-
len alle einander gegeniiberstehenden Werte von x und t dasselbe
Verhaltnis (Pig. 33) haben. Dies ist das Prinzip, auf dem die Anwen-
dung des Eechenschiebers beruht. Er setzt uns in den Stand, irgend
eine der vier GrSBen a?, , #', t' zu berechnen, wenn die andern drei
gegeben sind. Wenn 2, B. #, tf, x' bekannt sind, stellt man den
7. Das Prinzip des Rechenscbiebers
39
Schieber so, daB x dem t gegenuberliegt, und kann dann f gegen-
tiber dem #' ablesen. Auf seinen beiden anderen Randern tragt der
t-
T-
J /,'5 k
I
A J A
?
ff 2p 3()4Q fff 307/00]
30 40 60 80100
f ? ? 9
T* 7
Fig. 34.
Rechenschieber zwei 'ahnlicbe Skalen, beide doppelt so grofi wie
die ersten (Pig. 34). Wir kSnnen schreiben
y = 2 log X und y 2 log T.
Vermittelst eines kleinen Rahmens, der eine Querlinie tragt, und
auf dem Instrument verscbiebbar ist, dem ,,Laufer", kann man die
Skalen x und T oder t und X miteinander vergleichen. Wenn z. B.
fur irgend eine Stellung des Instruments or, I und a/, T' zwei einander
gegeniiberstehende Wertepaare sind, dann ist
log x 2 log T log x 2 log T' oder ~ 2 ~TJ-
Sind drei von den Gr&fien a;, 2 7 , a;', T' bekannt, so kann die vierte
abgelesen werden. So findet man den Wert
indem man 2 und re einander gegentiberstellt und den T' gegentiber-
liegenden Wert abliest.
Wir wollen jetzt den Teil des Instruments, der die Skalen t und
7
f f.Mfff
^ ?L
30 40
V V
tftfl f i
X
i I i *
-A"
Fig. 35.
T tragt, umkehren, so daB die T-Skala an der a;-Skala, und die
tf-Skala an der X-Skala entlang verschoben werden, aber in umge-
kebrter Eichtung wie vorher (Pig. 35).
40 Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
Dann k<5nnen die Skalen f, T dutch
y 2 log* und y = 2 2 log T,
ausgedriickt werden.
Stellt man das Instrument beliebig ein und betrachtet die Skalen
x und #, oder X und T mit Hilfe der Querlinie, so bat man
log x + log t log / + log t' und log X + log T log X' + log T'
oder xt**x't' und XT=*X'T',
so daB je zwei einander gegeniiberliegende Werte dasselbe Produkt
ergeben.
Fur x und T haben wir
log x + 2 log T log #' + 2 log T', oder xT* =* x T'*.
Wenden wir dies an, um die Wurzel einer Gleichung von der Form
zu finden. Man dividiere durch ii y so daB
* + =
und bringt T = 1 gegenuber X = b. Schiebt man dann den Laufer
auf T = w, so Undet man auf derselben Querlinie t = u 2 und X = ,
so daB man die zwei Werte te 2 und einander gegenuber auf den
Skalen t und X abliest. 1st positiv, so nimmt es ab, wahrend s
zunimmt. Man durchl&uft nun mit dem Auge die Skala bis wo
die Differenz z 2 a ist. Hat man die Stelle gefunden, so zeigt
die T-Skala die Wurzel der Gleichung. Man nehme z. B.
t>
u* bu *** 3, oder 11? 5 =*
' u
f ? 45Q78920 W
Ji'iVi'l'
?/" /
a r
Pig. 30
Man stellt T 1 gegenuber X = 3 und durchlauft mit dem Auge
die Skalen X und tf (Fig, 36) bis zu dem Punkte wo t 5 X
Er findet sich annaherungsweise bei t = 6 } 2, und nun liest man auf
7. Das Prinzip des Rechenachiebers _41
der T-Skala T = 2,50 als Naherungswert der Wurzel der Gleichung
ab. Dies 1st die einzige positive Wurzel. Aber fur eine negative
Wurzel ist - negativ und muBte daher der positive Wert von -- plus
dem Werte von w f gleieh 5 sein. Wir sucben der Skala entlang und
finden X = 1,63 gegeniiber #=3,37, T 1,84 annahernd ent-
sprechend. Also ist 1,84 eiDe andere Wurzel. Da der Koeffizient
von u* in der ersten Form der Gleichungen verschwindet, so folgt,
daB die Summe der drei Wurzeln gleieh Null sein muB. Danach
ware die dritte Wurzel negativ und angenShert gleieh 0,66. Um
festzustellen, daB dies stimmt, schiebt man das Instrument urn, fafit
den Wert T 10 am anderen Ende der Skala ins Auge und bringt
diese Stelle in dieselbe Stellung, die vorher das Ende T = 1 ein-
nahm. Durchlauft man nun die X- und f-Skalen mit dem Auge, so
findet man t = 0,43 gegenttber X 4,57, so daB X + t 5,00.
Auf der T- Skala lesen wir 0,655, womit sicb far die dritte Wurzel
der Wert 0,655 ergibt.
Ist b negativ, dann ist immer eine und nur eine negative Wurzel
vorhanden. Denn, wenn u die Werte u = bis oo durchlauft,
durcblauft w 2 - die Werte oo bis + oo ohne umzuwenden. Ist
u
t positiv, dann gibt es immer eine und nur eine positive Wurzel;
denn dann lauft u* von oo zu + oo fur u * bis + oo.
u
Im ersten Ealle kann es zwei positive Wurzeln oder keine geben-, im
zweiten zwei negative oder keine. Fur positive Werte von a existiert
in beiden Fallen nur eine Wurzel. Dies erkennt man leicht an der
ersten Form der Gleicbung ^3 i au -_ j
denn, wenn a einen positiven Wert bat, so folgt, daB if + au fur
u = oo bis + 00, ohne umzuwenden, von oo bis + oo lHuft,
und daher jeden gegebenen Wert nur einmal annebmen kann.
Um zu entscheiden, ob im Falle, wo a einen negativen Wert hat,
drei Wurzeln oder nur eine existieren, scbreiben wir
9 5
_-_-,.
Fiir negative Werte von b gilt es zu ermitteln, ob positive Wur-
zeln existieren. Flir positive Werte von u hat die Funktion u % ~
em Minimum, wo der Differentialquotient verschwindet, d. h. fur
2^-1-A^o oder 2w 2 = -
7. Das Prinzip des Rechenschiebers 43
Wir wollen ein solches Instrument zur Berechnung der Vermeh-
rung eines auf Zinseszins zu zwei Prozent uud dariiber ausgeliehenen
Kapitals angeben. Wenn x der ZinsfuB und t die Zahl der Jahre ist ;
verraehrt sich das Kapital im Verhaltnis
Man kann offenbar ein Instrument bauen, fur welches
ioo/ - V ^ 100;
Denn, wenn wir zunachst den Logarithmus und dann den Logarith-
mus des Logarithmus nehmen, so bekommen wir
log t + log log (l + ^~) log t' + log log (l + jgjj).
Wir brauchen nun nur fur die #-Skala
y + log log (l + jfo) lo lo I 1 + 5o)
und fur die f-Skala y = logw log*
anzunehmen. Fiir x = 2 haben wir y = und daher in der normalen
Stellung des Instrumentes t = . Am anderen Ende haben wir < = 1
und daher y = log w. Nehmen wir nun n = 100 an, so daB y = 2
fur 1. Wenn die Lange des Instrumentes etwa 24 cm betragen
soil, muB die Langeneinheit der y-Skala 12 cm sein. In der nor-
malen Stellung geniigen die einander gegeniiberliegenden Ablesungen
von #, t, der Gleichung
vioo
Gegeniiber t 1 lesen wir den Wert ar- = 624 uud dies ergibt
Ein auf Zinseszins zu zwei Prozent angelegtes Kapital wachst in
100 Jahren in dem Verhaltnis 7,24 : 1. Oder man kann auch sagen:
die gegeniiber t 1 abgelesene Zahl x = 624 ist der Zuwachs eines
Kapitals von 100 durch Zinseszins zu zwei Prozent in 100 Jahren.
Dieselbe Einstellung des Instrumentes gibt die Zahl der Jahre an, in
der das Kapital zu einem hCiheren ZinstuB um den gleichen Betrag
wachst. Denn alle einander gegeniiberliegenden Werte #, t gentigen
der Gleichung
44 Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
Fur irgendeinen anderen gegebenen ZinsfuB x von mehr als zwei
Prozent und eine beliebige andere gegebene Anzahl von Jahren t
findet man den Zuwachs des Kapitals, indem man x und t einander
gegenuber einstellt und die #- Skala gegeniiber t = 1 abliest. Die
einzige Einschriinkung ist die, daB der Zuwachs nicht groBer sein
darf als 624, denn dann wiirde rf~ 1 iiber das Ende der #- Skala
hinausriicken.
Das Instrument setzt uns also auch in den Stand fur einen ge-
gebenen Kapitalzuwachs die Zahl der Jahre zu finden, wenn der Zins-
fuB gegeben ist, oder den ZinsfuB, wenn die Zahl der Jahre bekannt
ist, mit der einzigen oben erwahnten EinschrUnkung.
Wir kSnnen unser Instrument darauf einrichten, noch groBere
Kapitalsvermehrungen einzubeziehen, indem wir fur n einen hoheren
Wert wahlen. n = 1000 z. B. wird fur t 1 y 3 geben. Soil
das Instrument keine grSBeren Abmessungen erhalten, so mtissen die
Skalen im Verhaltnis 2 : 3 verkleinert werden.
Betrachten wir ein anderes Beispiel
Bei normaler Stellung des Instruments entspricht der mit x oo
bezeichnete Teilstrich der Skala dem Werte y und steht t = n
gegenuber. Wenn wir am anderen Ende = oo haben, entsprieht die
Lange des Instruments y = . Wahlen wir fur n den Wert 0,1, so
daB die Lange des Instruments y = 10 ist; das will sagen, die LSn-
geneinheit der y- Skala betragt ein Zehntel der Lange des Instru-
ments. Fftr eine beliebige Einstellung haben wir
^ + J = * r + T'
Wenn der Teilstrich x = oo gegeniiber t' c ist, so erhalten wir
Das Instrument setzt uns also in den Stand irgend eine der drei
Grofien #, , c abzulesen, wenn die beiden anderen gegeben sind, wo-
bei die einzige Einsehrankung ist, daB alle drei zwischen 0,1 und oo
liegen miissen. Das Instrument kann dazu benutzt werden, den Ge-
samtwiderstand zweier parallel geschalteter elektrischer WiderstSnde
7. Das Priuzip des Kechenschiebers 45
zu bestimmen; denn wenn jener mit J?, diese mit E^ R% bezeichnet
werden, so genugen sie der Gleichung
Ebenso kann es dienen, um die Eutfernung eines Gegenstandes
und seines Bildes von den Hauptebenen eines beliebigen gegebenen
Systems von Linsen zu berechnen. Denn, wenn
f die Brennweite und x und t die Entfernungen
des Gegenstandes und seines Bil- ^ _
des von den entsprechenden Haupt-
ebenen sind (Fig. 37), so ist die
Gleichung
1 4- I I ***""'
x + I" f
Auf der Buckseite des Schiebers eines gewohnlicben Bechenschiebers
ist meistens eine Skala ^ _ 2 + log sin *
angebracht. Wenn man den Schieber umkehrt, so daB diese Skala
der Skala y => log x verschieblich gegenilberliegt, so bekommt man
fur eine beliebige Einstellung
log x log sin t log x log sin t', oder
fur jede zwei Wertepaare #, ; #', t\ die einander gegeniiberliegen.
Sind zwei Seiten eines Dreiecks und der der grOBeren gegeniiber
liegende Winkel gegeben, so liefert uns eine Einstellung des Instru-
ments den der kleineren gegentiberiiegenden Winkel, ebenso, wenn
zwei Winkel und eine der gegeniiberliegenden Seiten gegeben sind,
die Lllnge der anderen Seite.
Wenn x = a der Wert gegeniiber t' = 90 ist, haben wir
x =* a sin t.
So konnen wir die Lage einer beliebigen harmoniscben Bewegung
fur jeden Phasenwert ablesen.
Ein Instrument, das die Skalen
y == log sin x und y log sin t
tragt, setzt uns in den Stand jeden der vier Winkel re, , x\ t' fur welche
sin x _ sin as'
Bint Bint'
zu finden, wenn die drei anderen gegeben sind. Wir kftnnen also,
46 Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
wenn wir die Deklination, den Stundenwinkel und die Hohe eines
Himmelsko'rpers kennen, auf dem Instrument das Azimut ablesen.
Wir brauchen nur x 90 Hohe, t = Stundenwinkel, x = 90
Deklination zu setzen, dann ist t' Azimut oder 180 Azimut.
Es ist dabei nicht nfltig die Gradzahlen 90 Hohe und 90
Deklination auszurechnen. Die Differenz kann auf der Skala ab-
gezahlt werden, indem man sich an Stelle von 90 , an der Stelle
von 80, 10 usw. geschrieben denkt, und die Teilstriche der Skala
ruckwarts statt vorwarts zahlt.
8. Rechtwinklige Koordinaten mit nngleicliinafiigen Skalen.
Die zwei Arten, die Beziehung zwischen zwei Veriinderlichen aus-
zudrdcken, durch eine Kurve und durch Skalen, ftihren auf eine Kom-
bination beider Methoden.
Angenommen, die rechtwinkligen Koordinaten von x und y seien
Funktionen von u und v, der Art, daB
x = g?(w) und y = ty(v) .
Die Funktion # = tp(ii) wird durch eine gleichmaBige Skala fur x
auf der Abszissenachse dargestellt, die auf der anderen Seite eine un-
__ gleichmaBige Skala far u trUgt; die Funktion
y i/; (v) durch erne gleichmaBige Skala fiir y
_ auf der Ordinatenachse, die auf der anderen Seite
_mit einer ungleichmaBigen Skala fur v versehen
wird. Durch die Teilstriche der w-Skala zieht man
senkrechte und durch die Teilstriche der #-Skala
wagerechte Linien. Diese beiden Systeme von Pa-
rallelen bilden ein Netzwerk von Rechtecken ver-
Fig. 38. schiedener Gro'Be (Fig. 38), und eine beliebige
Gleichung zwischen u und v kann durch eine Kurve in dieser Ebene
ausgedruckt werden.
Die ZweckmaBigkeit dieser Method e wird man an ein paar Bei-
spielen erkennen ko'nnen. Sie ermoglicht es uns, die Form einer
Kurve durch eine geschickte Wahl der Funktionen 9?(w) und ty(y]
zu vereinfachen. Man kann z. B. leicht sehen, daB eine Kurve, die
eine Gieichung f(u^v) = ausdriickt, immer durch eine Gerade ersetzt
werden kann, wenn man die u- Skala richtig bestimmt. Denn, wenn
die Punkte der Kurve, denen u 1, 2, 3, 4, . . . entspricht, nicht auf
einer Geraden liegen, so riickt man sie auf eine Gerade, ohne ihre
Ordinaten zu andern (Fig. 39). Dies erfordert eine Anderung der u-
Skala, aber es andert nichts an der Gleichung /*(w, v) = 0, die nun
durch die Gerade ausgedruckt wird.
8. Rechtwinklige Koordinaten mit ungleichmafiigen Skalen 47
Angenommen wir wollten die Beziehung
u* v s __
wo a und 1) gegebene Zahlen sind, darstellen.
Wenn u und v gewohnliche rechtwinklige
Koordinaten w Siren, wurde die Kurve eine
Ellipse sein. Machen wir aber
x *= u 2 und y v 2 ,
so wird die Gleichung der Linie in rechtwinkligen Koordinaten
3 4
Fig. 39.
und die Kurve wird somit in eine Gerade verwandelt, die einen Punkt
auf der positiven x- Achse mit einem Punkt auf der positiven #- Achse
verbindet. Der Punkt auf der x- Achse entspricht dem Werte **=* Hh a/
auf der w-Skala und der Punkt auf der #-Skala entspricht dem Werte
v I auf der v-Skala (Fig. 40).
Jeder Punkt auf der Geraden entspricht den vier Kombinationen
+ /, + v ; , + v ; + w, V] w, v, weil ic die gleichen Werte
fiir entgegengesetzte Werte von u und y fur entgegengesetzte Werte
von v hat. Man kann v als eine Funktion von , oder u als eine
Funktion von v ablesen.
Wenn eine zweite Gleichung -5- + rj- = 1
a i ^i
gegeben ist, so finden wir die beiden Gleichungen gemeinsamen L8-
sungen durch den Schnittpunkt der beiden Geraden. Fig. 40 zeigt
die LQsungen der zwei Gleichungen
2* "^ 3*
und
5 8
als naherungsweise gleich v =* 1,2, und v 2,4.
Ebenso l^Bt sich eine andeie iu der mathematischen
Physik hSufig vorkommende Funktion
2.5
2
a 6' m
durch denselben Kunstgriff vennittelst einer Ge-
raden darstellen.
Macht man
25 3 ifl
Fig. 40.
4
log ^,
48
Zweitea Kapitel. Darstellung von Funktionen
so erh'alt man y = log a ^ log e,
wo log a und log e die Logarithmen von a und e zu irgend einer
Basis sind. Die w-Skala wird auf der #-Achse und die v-Skala auf
der ^-Achse abgetragen und die Punkte u = 0, v = a
und u = w, ; = sollen verbunden werden. Der Punkt
t? := wird gefunden,indem man die Entfernung v 1
bis v = e von a abwiirts abtrilgt (Fig. 41). Es ist nicht
notwendig, daB x und y in gleichen Liingeneinheiten
gemessen werden.
Gesetzt nun, es sollen
die Konstanten a und m aus
zwei Gleichungen
gefunden werden. Unser Diagram m wurde zwei Punkte
liefern, die 1? ^ und 21 t? 2 entsprechen. Die Verbin-
dungslinie dieser beiden Punkte scbneidet die Ordi-
natenachse in v a und die Parallele zur Abszissenachse durch
v = m w = m.
e
In der angewandten Mathematik kommt das Problem in derBegel
in der Form vor, daB mehr als zwei Wertepaare w, v gegeben, aber
alle mit Beobachtungsfeblern behaftet sind. Das richtige Verfabren
ist dann, die entsprecbenden Punkte aufzutragen utid eine gerade
Linie hindurebzxilegen, die sicb so gut wie mflglich den Punkten an-
paBt. Man kann sich mit Vorteil eines schwarzen Eadens bedienen,
den man fiber ^ie Zeicbnung spannt, um so durch Ausprobieren die
Gerade zu nnden, die am nacbsten an alle aufgetragenen Punkte
berankommt (Fig. 42).
Ein anderer Fall ist der, daB die Veranderlichen w und v mit den
recbtwinkligen Koordinaten x und y durch die Funktionen
x = log w und y = log v
10
8
6
8. Rechtwinklige Koordinaten mit ungleichmilfiigen Skalen 49
verkntipft sind. Sogenanntes ,,logarithmisches Papier" mit par-
alleler Liniierung fur aquidistante Werte von u und dazu
rechtwinkliger Liniierung fur aquidistante Werte von v ist im
Handel erhaltlich (Fig. 43).
Durch diese Votrichtung lassen sich Dia-
gramme zeichnen, die die Beziehung
u r v* c,
wo r, 5, c Konstanten sind, durch gerade
Linien wiedergeben. Denn, wenn man
den Logaritbmus nimmt, erhalt man
rx + sy = log c.
Die Gerade verbindet den Punkt u c r auf der u-Skala mit dem
i
Punkte v =* c 9 auf der v-Skala.
Logarithmisches Papier kann ferner in alien den Fallen mit Vor-
teil benutzt werden, wo eine Keihe von Beziehungen zwischen den
Veranderlichen u und v betrachtet werden, die sich nur dadurch
unterscheiden, dafi u und v in einem konstanten Verhaltnis verau-
dert werden. Wenn u und v als rechtwinklige Koordinaten aufge-
tragen wurden, kSnnten die ihre verscbiedenen Beziehungen zuein-
ander darstellenden Kurven alle aus einer derselben erzeugt werden,
indem man den Mafistab der Abszissen und unabbiingig davon den
MaBstab der Ordinaten verSnderte, so dafi alle diese Kurven ein sehr
verschiedenartiges Aussehen erhalten wurden. Schreiben wir als Glei-
chung einer Kurve w^ , y ) ^ Q ,
dann konnen die Gleichungen aller iibrigen in der Form
0,
wo a, & positive Konstanten sind, geschrie- I
ben werden. Die Punkte w, v auf der ersten I
Kurve ftthren zu den Punkten auf einer der "
anderen Kurven, indem man u amal so grofi ~
und v &mal so grofi nimmt. Denn, wenn
w i r u f = an und v = bv scbreiben, so ftihrt "
die Gleichung /"(w, v) zu der Gleichung
zwischen u und v'
f \a '
10
68
10
50 Zweites KapiteL Darstellung von Funktionen __
Durch die Anwendung logarithmischen Papiers wird das Dia-
gramm aller dieser Kurven sehr vereinfacht. Die Gleichung /*(*, v)
ist einer gewissen Gleichung 'q>(x, y] Equivalent, wo
x log t*, y = log v. Nun seien x, y die rechtwinkligen Koordi-
naten, die u\ v entsprechen, sodaB
x' _ log u = log w + log a a? + log a,
/ log v * log + log & = y + log 6 .
Zu dem Punkte #', #' gelangt man vom Punkte #, ?/ aus, indem man
in der Eichtung der a;-Achse eine bestimmte Strecke log a und in
der Eichtung der ^-Achse eine bestimmte Strecke log b abtragt. Auf
logaritlimischem Papier gezeichnet ist daher die ganze Kurve
f(, ) -
kongruent mit alien Kurven f(- , -r j = .
Man kaxm sie mit jeder von diesen Kurven zusammenfallen las-
sen, indem man sie parallel zu sich selbst verschiebt.
9. Punktionen von zwei unabhangigen VeranderlidLen.
Wenn eine Funktion einer Veranderlichen y = f(x) durch eine
Kurve dargestellt wird, werden die Werte von x auf der #-Aclise
abgetragen und die Werte von y durch auf der #-Achse senkrechte
Linien ausgedriickt. In ahnlicher Weise kann eine Punktion von
zwei unabh&ngigen VerSnderlichen
dargestellt werden, indem x und y als rechtwinklige Koordinaten
aufgetragen und senkrechte Linien, deren Langen is proportional ge~
macht werden, auf der ##-Ebene in alien den Punkten errichtei
werden, wo f(x, y) definiert ist. Auf diese Weise entspricht die Funk-
tion einer Plache im Eaume. Nun hat es praktische Schwierigkeiten,
Flachen im Eaume herzustellen und es erscheint deshalb wunscbens-
wert, andere Mittel anzuwenden, die es ermoglichen, Funktionen
zweier unabhangiger VerJinderlicher auf einer Ebene darzustellen.
Dies kann auf folgende Weise geschehen.
Nimmt man a?, y als rechtwinklige Koordinaten, so bilden alle
Punkte, ftir welche f(x\ y] denselben Wert hat, eine Kurve in der
xy- Ebene. Denken wir uns eine Anzahl dieser Kurven gezogen und
mit den Werten von f(x, y) bezeichnet. Wenn die verschiedeneu
9. Funktionen von zwei unabhangigen Ver'anderlichen 51
Werte von /*(#, y) dicht genug gewfthlt sind, sodaB die Kurven in
dem von unserer Zeichnung umfaBten Teil der ##-Ebene hinreichend
dicht liegen, sind wir nicht nur imstande, den Wert von f(x,y) an
irgend einem der Punkte auf eincr der gezeichneten Kurven anzu-
geben, sondern wir k5nnen auch mit ziemlicber Genauigkeit den
Wert von f(x, y) an einem zwischen zwei von den Kurven gelegenen
Punkte interpolieren. In der Regel wird es sicb empfehlen, aqui-
distante Werte von f(x, y) zu wahlen, urn die Interpolation der da-
zwischen liegenden Werte zu erleichtern. Die Kurven konnen als die
senkrechte Projektion gewisser Kurven auf der Flache im Raum, der
Schnittlinien der Flache mit aquidistanten zur #^-Ebene parallelen
Ebenen, betrachtet werden.
Diese Metbode ist die Verallgemeinerung der Skalendarstellung
einer Funktion einer Veranderlichen. Denn die Darstellung einer
Beziehung zwiscben t und x durcb eine Kurve, dei*en Ordinate x und
deren Abszisse t ist, wird dadureh in die Darstellung durcb eiue
Skala iibergefiibrt, daB gewisse Punkte der Kurve, namlicb ihre
Scbnittpunkte mit aquidistanten Parallelen zur #-Achse, auf die x-
Acbse projiziert und mit den "Werten von t bezeicbnet wei'den. Die
Kurven bei der Darstellung einer Funktion von zwei unabhangigen
Veranderlichen sind den Skalenteilen bei der Darstellung einer Funk-
tion von einer Veranderlichen analog.
Diese Methode, eine Funktion zweier unabh'dngiger Veriinderlicher
oder, wie man auch sagen kann, eine Flache im Raum, cturch eine
Zeichnung in der Ebene darzustellen, wird z. B. von Schiffbauern
verwendet, um die Gestalt von SchiiBfen, und von Feldmessern, um
die Gestalt der Erdoberflache wiederzugeben. Wir wollen die Methode
zur Losung eines rein mathematischen Problems anwenden.
DieGleichung
definiert z als eine Funktion von p und #. Stellen wir diese Funk-
tion dar, indem wir p und q als rechtwinklige Koordinaten nehmen
und die Linien fiir Hquidistante Werte von z xiehen.
Fur jeden konstanten Wert von z haben wir eine lineare Glei-
chung zwischen den Veranderlichen p und #; diese ist also durch
eine Gerade darstellbar. Diese Linie schneidet die Parallelen p 1
und p = 1 in den Punkten q == z* # und q = # 8 + z. Be-
rechnen wir diese Werte fiir z Q; 0,1; 0,2 - 1,3 und
zeichnen die diesen Werten entsprechenden Linien, soweit sie in
einem die Werte p 1 bis + 1 nnd q = - 1 bis + 1 umfassen-
den Quadrat liegen. Fig. 44 zeigt das Ergebnis. Auf diesem Dia-
52
Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
-0,7
gramm kSnnen wir sofort die Wurzeln irgend einer Gleichung dritten
Grades von der Form . .
F + ps + q=*Q
ablesen, wenn p und q innerhalb der Grenzen 1 und + 1 liegen.
Fttr p 0,4 und q = 0,2 z. B. lesen wir z = 0,37 ab, indem wir
den Wert von ss nach der Lage des Punktes zwischen den Geraden
# = 0,3 und & = 0,4 interpolieren.
Wir erkennen auch, dafi nur eine reelle Wurzel existiert, denn
nur eine Gerade geht durch den Punkt hindurch. Auf der linken
Seite des Quadrats
ist ein dreieckig
gestalteter Be-
reich, wo die Ge-
raden einander
schneiden. Jedem
in dies em Bereich
gelegenen Punkt
entspricht eine
Gleichung mitdrei
reellen Wurzeln,
z.B.fiir den Punkt
p o_ 0,8 und
q + 0,2 lesen
wir g 1,00;
+ 0,28; + 0,72.
Auf der oberen
und unteren Gren-
ze dieses Bereiches
fallen jedes Mai
zwei Wurzeln zu-
sammen.
Pig. -14.
Auch fur Werte von p nnd q auBerhalb der Grenzen 1 und + 1
kann das Diagramm benutzt werden. Wir brauchen nur gf ~ an
Stelle von einzufiihren, und <m hinreichend groB zu wShlen, Statt
z +jp^ + 2 = erhalten wir w s #' 8 + pm& + q =
oder, wenn wir durch wi s dividieren,
z* + rnr ^.+ ^a- = oder
WO
p r ^ ^L
9. Punktionen von zwei unabhangigen Veraiiderlichen 53
Dadurch, dafi man far m einen hinreichend hohen Wert wahlt,
kann man p und q zwischen die Grenzen 1 bis + 1 riicken, sodaB
die Wurzeln 8 auf dem Diagramm abgelesen werden konnen. Diese
geben mit m multipliziert die Wurzeln # der gegebenen Gleichung.
Eine Funktion -von zwei unabhangigen Veranderlichen braucht
nicht explizite ausgedriickt, sondern kann in der Form einer Glei-
chung zwischen drei Veranderlichen
g(u, v, )
gegeben sein, von denen je zwei als unabh&ngig und die dritte als
Funktion dier beiden anderen angesehen werden k6nnen.
Die grapbische Darstellung kann manchmal durch eine Modifika-
tion der oben beschriebenen Methode erleichtert werden. Die Kurven
fiir konstante Werte einer der drei Variabeln, sagen wir w, werden
nicht mit u und v als rechtwinklicben Koordinaten aufgetragen,
sondern erst nach Einfuhrung neuer Veranderlicher #, einer Funk-
tion von HJ und y, einer Funktion von v, die man zu rechtwinkligen
Koordinaten macht. In manchen Fallen kann es z. B. gelingen, durch
richtige Wahl der Funktionen x <p(u} und y = ty(v) fiir die Kur-
ven ^v * const, gerade Linien zu bekommen. Dies wird ofFenbar der
Fall sein, wenn die Gleichung #(, v, w) == in die Form gebracht
werden kann
fl(w)y( u ) + 6(w)tp() + c(w) = 0,
wo a, &, c beliebige Funktionen von w, <p eine beliebige Funktion
von u und ty eine beliebige Funktion von v sind. Denn durch Ein-
fuhrungvon -,,(), ,-,(),
wird die Gleichung ax + by + c == ,
wo a, &, c fur einen beliebigen konstanten Wert von w Konstan-
ten sind.
Als Beispiel wollen wir die Beziehung zwischen der wahren
Sonnenzeit, der Hohe der Sonne fiber dem Horizont und der Dekli-
nation der Sonne ffir einen Ort, dessen Breite gegeben ist, betrach-
ten. An Stelle der Deklination der Sonne kSnnten wir auch die
Jahreszeit setzen, da die Jahreszeit die Deklination der Sonne be-
stimmt. Unsere Aufgabe ist es also, fiir einen Ort, dessen Breite
gegeben ist, ein Diagramm zu zeichnen, auf dem fiir einen beliebigen
Zeitpunkt und beliebige Sonnenho'he die wahre Sonnenzeit abgelesen
werden kann.
54 Zw cites Kapitel. Darstellung von Funktionen
In dem von dem Zenit Z, dem Nordpol JP (wenn der gegebene
Ort auf der nordlichen Halbkugel angenommen wird) und der Sonne
S gebildeten spharischen Dreieck (Fig. 45) sind die Seiten die Kom-
plemente der Deklination <J, der Hohe li
und der Breite cp. Der Winkel t am Pol
ist der Stundenwinkel der Sonne, welcber
in Zeit ausgedriickt, die wabro Sonnen-
, zeit gibt.
Die Gleicbung zwischen diesen vier
GroBen kann nach der bekannten For-
mel der spharischen Trigonometrie in
der Form
sin h sin cp sin 6 + cos cp cos 6 cos t
geschrieben werden. Die Breite cp soil konstant gehalten werden, so
daB nur , A, d veranderlich sind.
Schreiben wir nun x ^ CQg ^ ssgt g - n y ?
sodaB die Gleichung die Form
y = sin cp sin d -f- x cos cp cos 6 annimmt.
Wenn x und y als rechtwinklige Koordinaten aufgetragen werden,
bekommen wir ftir jeden Wert von $ eine Gerade. Wir denken uns
horizontale Gerade gezogen fur aquidistante Werte von li bis
7^ 90 und vertikale fiir aquidistante Werte von t = 180 bis
t = + 180 oder, in Zeit ausgedriickt, von Mitternacht zu Mittor-
nacht (Fig. 46). Um die Geraden 6 = const, zu ziehen, berechnen
wir die Punkte, wo sie die Senkrechten schneiden, welche x = 1
und x + 1? oder, in Zeit ausgedriickt, Mitternacht und Mittag
entsprechen. Ftir x 1 haben wir y cos (cp + f) und fiir
x SB + 1 y = cos (cp <J). Bringen wir auf der Senkrechten x = 1
eine Skala mit den Teilpunkten y cos (95 + <5) fur iiquidistante
Werte von (9 + S) an, und auf der Senkrechten x = + 1 eine Skala
mit den Teilpunkten y cos (9? <J) fur Hquidistante Werte von
cp g t pie Skala ist dieselbe wie die Skala fiir 7^, mit dem einsdgen
Unterschiede, daB die Werte von (cp 6) die Komplemente von h
und die Werte von cp + d die Komplemente von 7? sind. Fur eine
Breite von 41 z. B. haben wir
fur d g> + # <P *
Juni 21 23,5 64,5 17,5
September 23 und Marz 21 . 41 41
Dezember 21 - 23,5 17,5 64,5.
9. Funktionen von zwei unabh'angigen Veranderlicben 55
Fig. 46.
Die Werte von <p -r 8 und qp 6 liefern die Schnittpunkte mit den
Senkrechten x 1 und x = + 1> sodaB die Geraden diesen Tagen
im Janre entsprechend gezogen werden kSnnen. Die beiden auBeren
Linien sind parallel, aber die mittlere 1st steiler. Ihre Schnittpunkte
mit der Horizontalen h = geben die Zeit des Sonnenauf- und
unterganges, 1 )
Genau genommen entsprechen die Geraden nieht bestimmten Tagen,
Die durch einen beliebigen Wert von d bestimmte Gerade ftndert
1) Das heiBt den Moment, wo der Mittelpunkt der Sonnenscheibe
auf dem Horizont gesehen werden wiirde, wenn es keine atmospharieche
Brechung gabe. Um die Brechung zu berticksichtigen , miifite man an
Stelle der Linie h = die Linie h == 0,6 in Betracht ziehen.
56
Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
im Laufe des Tages ihre Lage fortwahrend, da sich 6 fortwahrend
verandert. Aber die Anderung von S wahrend eines Tages ist kaum
wahrnehmbar, wenn die Zeichnung nicht in sehr groBem MaBstab
ausgeftihrt ist.
Wenn in der Gleichung a x + by + c =* Q
a und 1) von w unabhangig sind und nur c eine Funktion von w ist,
sind alle Geraden w = const, parallel. In diesem Falle ist es nicht
notig, die Geraden w = const, zu ziehen; es geniigt vielrnebr eine zu
den Linien w = const,
rechtwinklige Linie zu
ziehen und mit einer
Skala zu versehen, auf
der die Punkte, welche
aquidistanten Werten
von w = const, ent-
sprechen, bezeichnet
sind. Auf die Zeichnung
legt man ein Blatt a us
durchsichtigem Papier
oder Zelluloid, auf wel-
ch em drei gerade Linien
gezeichnet sind, die von
einem Punkte ausgehen
und zu den Eichtungen
3 /4 5
rechtwinklig laufen
(Fig. 47). Wenn man
das durchsichtige Blatt, ohne es zu drehen, so schiebt, daB die
ersten zwei Geraden die - und v- Skala an gegebenen Punkten
schneiden, wird die w- Skala von der dritten Geraden in dem dem
Wert von w entsprechenden Punkte geschnitten. werden. Diese Me-
thode hat den Vorteil, daB man dasselbe Papier fur eine Menge
Gleichungen zwischen drei Veranderlichen bemitzen kann, da man
eine groBe Zahl von Skalen nebeneinander legen kann. Bei einer
einzigen Gleichung kann man auch den Bereich der Werte w, v, w
in eine Reihe kleiner Bereiche teilen und fur jeden drei Skalen zeich-
nen, indem man alle it- Skalen oder v~ Skalen oder w- Skalen neben-
einander legt. Die Zeichnung wird dann dieselbe Genauigkeit haben
wie eine sehr viel groBere, auf der fur jede der drei Yer&nderlichen
nur eine Skala ist.
10. Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene 57
10. Abbildung einer Ebene anf eine andere Ebene.
Betrachton wir nun zwei GroBen x und y jede als Funktion zweier
anderer GroBen it und v
x 9 (M, v) y = if; (w, v).
Um dieser Beziehung zwischen zwei Gro'Benpaaren eine geome-
trische Bedeivtung zu geben, betrachten wir x und y als die recht-
winkligen Koordinaten eines Punktes auf einer Ebene und w, v als
die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes auf einer anderen Ebene.
Dann entsprechen die beiden Punkte einander in gewisser Weise. Wenn
die Funktionen <p (w, v) und if; (<w, v) f iir die Werte w, v eines ge-
wissen Bereiches definiert sind, werden sie fur jeden Punkt 'w, v
dieses Bereiches einen Punkt in der rcy-Ebene ergeben. Nennen wir
dies eine Abbildung der t^-Ebene auf die ##-Ebene. Ebenso laBt
sich eine Funktion einer Veranderlichen x - qp (w) als die Abbildung
der M-Linie auf die aj-Linie auffassen. Man kann daher sagen, daB
die Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene in gewissem Sinne
die Verallgemeinerung der Idee einer Funktion einer Veranderlichen
darstelli Nehmen wir an, daB 9 (w, v) und if; (^, v) beide nur je einen
Wert fiir gegebene Werte von u und y, fiir welche sie definiert sind,
haben. Dann wird auf der ##-Ebene immer nur ein Punkt einem ge-
gebenen Punkte in der wtf-Ebene entsprechen. Aber einem gegebenen
Punkte in der x y-Ebene konnen sehr wohl mehrere Punkte der u v-
Ebene entsprechen.
Versuchen wir dies durch eine graphische Darstellung der Abbil-
dung von Ebenen auf einander klar zu machen. Man zieht zu diesera
Zwecke die Kurven x = const, und y const, auf der wv-Ebene fur
aquidistante Werte von x und y. Diesen entsprechen auf der ay-Ebene
iiquidistante Parallelen zu der aj-Achse und zu der y-Achse (siehe
Fig. 48). Der Selmittpunkt zweier Geraden x a und y b ent-
spricht den Schnittpunkten der Kurven
a und if>w,e> b
auf der w,? -Ebene. Wenn sich diese in dem betrachteten Bereich der
u,v -Ebene nur einmal schneiden, dann entsprechen einander nur je
ein Punkt in dem betrachteten Bereich der u,v -Ebene und ein Punkt
der xy -Ebene. Es kann aber auch vorkommen, daB zwei solche Kurven
sich mehrmals schneiden. Wir wollen die Bedingungen dafur unter-
suchen, daB dies nicht der Fall ist.
58
Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
Betrachten wir die Kurven x const, auf der wr-Ebene als die
senkrechten Projektionen der Kurven gleicher Hohe auf einer iiber
dem Teil der w?-Ebene sich ausdehnenden Fliiehe. Von einem belie-
0,7
0,4
0,1
0,3
Fig. 48.
N
bigen Punkte P dieser Flache, welcher den Werten w, v entspricht,
rucken wir nun auf der Flache um einen unendlich kleinen Betrag
weiter, indem wir u in u + du, v in v -f dv und x in x + dx ver-
Sndern, wo dann ^ ^
x ^ Ju " ~dv
Schreiben wir du - cos a ds, dv = sin a ds ,
wo ds die Lange der unendlich kleinen Strecke von u, v bis u + dw,
v -{- dv in der z^y-Ebene und a den von ihrer Richtung mit der po-
sitiven u - Achse gebildeten Winkel bedeuten. Sei PN eine Gerade,
deren Projektionen auf den u- und r-Achsen gleich ~r~ und sind,
v U C'D
und schreiben wir $<p , ^qp . ,
75 = >* COS A, 7-r- ** Sin A,
wo r die Lange der Strecke PN positiv genouiraen und A der von
ihrer Richtung mit der positiven it- Achse gebildete Winkel sind. Dann
haben wir o o
cos * ~
oder
dx ,
^-r cos (a - I).
dx
jj mifit die Steilheit des Anstiegs. Es ist positiv, wenn die Richtung
nach oben, und negativ wenn sie nach unten lauft, und sein Wert
10. Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene 59
1st gleich der Tangente des Steigungswinkels. Aus der Gleichung
dx
ds
dx f
r CC) s ( a -
dx
erkennt man, daB die Steigung fur a A, wo -, r, am steilsten
W$
1st. Die Gerade P.W auf der w-v-Ebene gibt die senkrechte Projektion
der Richtung des steilsten Anstiegs auf der Flache x ~ cp (w, v) an
und die Lange von PN, in derselben Langeneinheit wie u und v ge-
messen, ist gleich der Tangente des Steigungswinkels. Man nennt die
Strecke PN den Gradienten der Funktion <p (w, v) im Punkte u, t?.
Die Richtung des Gradienten ist rechtwinklig zu der Eurve 9 (w, #)
const., welche durch den Punkt , v hindurchgeht; denn in der
Richtung der Kurve haben wir
~ und daher a I = 90.
Ist PN* der Gradient der Funktion ty (w, v) im Punkte w, v, so mufi
der Winkel zwischen PJ!^ und PJV entweder gleich dem von den Kur-
ven x = const, und y = const., die sich in den Punkte w, v schneiden,
gebildeten Winkel, oder gleich seiuem Erganzungswinkel sein, jenach-
dem man den einen oder den anderen Schnittwinkel betrachtet.
Nehmen wir an, daB die Gradienten PN und PN f in keinem
Punkte des betrachteten Bereichs der wy-Ebene verschwinden, und
daB ihre LUnge und ihre Richtung stetige Funktion en von u und v
seien; nehmen wir ferner an, daB der Gradient PN* (Komponenten
Hu ' ~3J ^ r ^ en ^ anzen Bereich links von dem Gradienten PJV(Kom-
r. n .
ponenten ^ , ^~J oder fUr den ganzen Bereich rechts von dem Gra-
dienten PN liegt, dann folgt, daB jede der Kurven x const, jede
der Kurven y = const, in dem betrachteten Bereich nur einmal schnei-
den kann.
Dies laBt sich durch Betrachtung der Richtung der Kurven x
= const, und y = const, in der wfl-Ebene beweisen. Betrachten wir
auf der Kurve y == const, die Richtung, in welcher x zunimmt. Wenn
diese Richtung von PN abweicht, muB die Abweichung weniger als
90 betragen, weil ~ und daher cos ( fy positiv ist. Betrachten
wir ferner auf der Kurve x ~ const, die Richtung, in welcher y zu-
nimmt. Wenn sie von PN' abweicht, muB die Abweichung weniger
als 90 betragen. Wir wollen diese Richtungen die ic-Richtung (auf
der Kurve y ** const.) und die 2/-Richtung (auf der Kurve x const.)
60 Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
benennen. Wenn nun der Gradient PN* links vom Gradienten PNliegt,
mufi die ^-Bichtung auch links von PN liegen, (denn, lage sie rechts
von PN, so wiirde sie, da sie zu PN rechtwinklig 1st, mit PN' einen
stumpfen Winkel bilden) und dalier mu6 sie links von der #-Richtung
liegen, (denn, wenn sie rechts ISge, wiirde PN\ welches zur #-Rich-
tung rechtwinklig 1st, mit der #- Bichtung einen stumpfen Winkel
bilden, was, wie wir gesehen haben, nicht moglich ist). Ebenso ist
leicht einzusehen, daB, wenn PN' rechts von PN liegt, die y-Bich-
tung auch rechts von der #-Bichtung liegen muB. Wenn also PN' in
dem ganzen betrachteten Bereich auf einer und derselben Seite von
PN liegt, wird ebenso die #- Bichtung in dem ganzen betrachteten Be-
reich auf ein und derselben Seite der ic-Bichtung liegen. Dadurch ist die
M6glichkeit ausgeschlossen, daB zwei Kurven x const, und y =* const,
sich in mehr als einem Punkte schneiden k5nnen. Denn, wenn wir
der Kurve y - const, in der #-Bichtung folgen, so tiberschreiten wir
beim ersten Schnittpunkt die Kurve x = const, von der Seite der klei-
neren #-Werte her zur Seite der groBeren #-Werte. Wenn nun die
#-Werte, indem wir der Kurve y const, weiter folgen, fortgesetzt
zunehmen, konnen wir offenbar nicht zu einer Kurve x = const , die
einem kleineren #-Wert entspricht, zuriickgelangen. Die einzige Mog-
lichkeit eines zweiten Schnittpuaktes wiirde sich dadurch ergeben, daB
sich die Bichtung, in der der rc-Wert auf der Kurve y const, zu-
nimmt, umkehrte, so daB beim Fortschreiten in der gleichen Bichtung
x wieder abnahme.
Dasselbe gilt fiir die Kurve x const. Wenn wir einer Kurve
x =a const, von einem Schnittpunkte mit einer Kurve y = const, aus
weiter bis zu einem zweiten Schnittpunkt mit derselben Kurve folgen,
ist die einzige Mtfglichkeit die, daB sich auch die /-Bichtung umkehrt.
Dieses aber ist ausgeschlossen, weil
. es damit in Widerspruch steht, daB
die y- Bichtung in dem ganzen Be-
, , reich auf einer und derselben Seite
rig. 49. ^ x der ^.Richtung liegen sollte. (Fig. 49.)
Man kann die Sache mit Vorteil auch von
einem anderen Gesichtspunkt aus ansehen. Be*
trachten wir einen Punkt A auf der wfl-Ebene mit den Ko-
ordinaten u und v und andern wir u und v um unendlich
kleine Betriige du und dv, so daB wir vier Punkte A BCD erhalten,
die ein Rechteck mit den Koordinaten
A : u, v] B : u + du, e?; C : u, v + dv\ D : u + du, v + dv bilden.
10. Abbildung einer Ebene auf eiue andere Ebene 61
du
dv
Auf der rry-Ebene sind diese Punkte in den Punkten A, I?, (7, D,
den Scbnittpunkten zweier Kurven u und it + du mit zvvei Kurven
v und v -)- dv abgebildet (Fig. 50).
Die Projektionen der Geraden AB in der o^-Ebene auf die Ko-
ordinatenachsen erhalt man, indern man die Verftnderutigen von x und
y fur einen konstanten Wert von v und einen um du verllnderten
Wert von it berechnet ? /,
Ebenso erhalt man die Projektionen von AC durch Berechnung der
VerJlnderungen von x und y ffir einen konstanten Wert von u und
einen um dv veriinderten Wert von v,
Bezeichnen wir AB und JLC" mit d$ l und <i5 2 , ferner mit y t und
die Winkel zwisehen der ic-Achse und AB resp. J,C, so 1st:
! ds i cos
und
oder
und
d^ sin y l
d s% sin y% ,
cos ?' 2
y
/a
Wir k6nnen
62 Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
den MaBstab der Abbildung im Punkte A in der Richtung AS und
ds,
TV
den MaBstab der Abbildung im Punkte A in der Richtung A C nennen.
Dabei ist die wy-Ebene als die urspriingliche angenommen, die auf
die ##-Ebene abgebildet wird. Nimmt man die Sache umgekehrt, dann
sind die MaBst8.be der Abbildung in den Richtungen AB und AC
die reziproken Werte -7 und -r
* ds l ds s
Der Flacheninhalt des Parallelogramms A B CD in der rry-Ebene ist
, . ,
ds,s, sm (ft - yi
Nach der Definition der Winkel y 2 un ^ 7i ^ s ^ n (^2 7i) Psitiv,
wenn die Ricbtung AC von der Ricbtung AB nach links zeigt (die
positive y-Achse links von der positiven #-Achse angenommen) und
sin (y 2 y,) negativ, wenn AC nach rechts zeigt. Der Wert von
dcp dty dcp dfy
~du aJT^ ~dv "dti"'
den man auch die Funktionaldeterminante der Funktionen ^(w,^)
und i|>(w,#) nennt, druckt daher das Yerhaltnis des Flacheninhaltes
von ABCD in den beiden Ebenen aus, und sein positives oder
negatives Vorzeichen bedeutet die Lage der Richtungen AB und
^.5 in der #^-Ebene zueinander. Geht also die Funktionaldeter-
minante an einer Stelle durch 0, so heiBt das, daB die Richtungen
AB und AC zusammenfallen, die Kurven u = const, und v const,
sich also beruhren.
Wir haben den MaBstab der Abbildung von Strecken in den Rich-
tungen AB und AC gefunden; suchen wir nun, ihn far Strecken in
beliebiger Richtung auszudrticken. Von einern beliebigen Punkte A
in der w^-Ebene, dessen Koordinaten u und v sind, aus, gehen wir
zu einem dicht dabei gelegenen Punkte Z) iiber, dessen Koordinaten
u + AM, v 4~ A 'V seien. In der #/-Ebene finden wir die entsprechen-
den Punkte A und D (Fig. 51) mit den Koordinaten
x = (p (w, v} x + A x <p (u + A, v + A v)
* y == if; (M, v) y + A# ip (w + Aw-, v -f A v).
Wir entwickeln nach dem Taylorschen Lehrsatz und, indem wir, der
Kiirze wegen,
10. Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene 63
Ay
Fig. 51.
schreiben, erhalten wir
x *** g> M A' + <p*A v + Glieder hoherer Ordiumg
Ay = if; w A 4- i/>A0 + Glieder bSherer Ordnung.
Die Lange und den Richtnngswinkel von AD bezeichnen wir iu der
-<U'-Ebene mit Ar und a, in der #2/-Ebene mit A s und A, Der Grenz-
wert, dem sich das Verhaltnis -^ nabert, wenu D, ohne daB sich die
Richtung AD verandert, an A heranriickt, ist der Maflstab der Ab-
bildung im Punkte A in der Eichtung AD.
Sebreiben wir A = Ar cos a, At> A 7* sin a,
so ergibt sich
A# - (<JP M COS + y^sina) Ar + Glieder hSherer Ordnung
A^ = (i/; w cosa + ^sina) Ar + Glieder httherer Ordnung.
Dividiert man durch Ar und verkleinert Ar beliebig, so findet mau
als Grenzwert
dx , . dy
= (p u cos a + 90,, sin a, -p
.
w cos < + % sm a.
Statt -7- und -^ kaun man aucb -= cos L -3- sin Jl scbreiben.
r ar a?' ar
cos A
> a cos a -f"
p tf siu
g4 Zweites Kapitel. Darstellung you Funktiooen
d$
Diese Gleichungen zeigen den MaBstab der Abbildung -=- , welcber
den verscbiedenen Eicbtungen A in der ##-Ebene und a in der wt?-Ebene
entspricbt.
Durcb Einfubrung komplexer Zablen kann der Zusammenhang
nocb besser deutlicb gemacbt werden.
Setzen wir
* - ~fo + 57 * "" 2r *"' *i ***<? + *M 82 = 9* + ^-
Multipliziert man die zweite der beiden letzten Gleicbungen auf
S. 63 mit i und addiert die beiden, so kann man sie als eine einzige
Gleichung in der komplexen Form
8 =* ! cos cc -f % sin a
scbreiben. Der Modul von g ist der MaBstab der Abbildung der uv-
Ebene im Punkte A in der Eicbtung or. Der Winkel yon & ergibt die
der Eicbtung a entsprechende Eicbtung in der #?/-Ebene. Pur cc =
baben wir g == ^ und 8 = ^ s fttr o; = 90.
Man setze ein
.-
6 "r~ c .
cos a == -- . - ^ sin
-- ~. -
, ^* z*
'1 + 7 *i ?
und scbreibe a r 5 = - ,
so daB der Ausdruck fflr z wird 8 = ae {ti + be~ ai .
Dies fiibrt auf eine einfacbe geometrische Konstruktion der kom-
plexen Zablen g fur verscbiedene Werte von a. Der Ausdruck ae ai wird
durcb die Punkte des Kreises dargestellt, der entstebt, wenn man die
die komplexe Zabl a ausdriickende Slrecke durcb die Winkel a = . . . 2 it
um den Nullpunkt drebt; ebenso der
Ausdruck le~ ai durcb die Punkte des
Kreises, der entsteht, wenn man die l>
ausdriickende Strecke im entgegeDgesetx-
ten Sinne durch die Winkel a ...
2n um den Nullpunkt drebt (Fig. 52).
Die Addition der beiden komplexen Zah-
len ac"* und l>er tti fiir beliebige Werte
von a ist leicbt auszufiihren. Die der
komplexen Zabl g entsprecbenden Punkte
bescbreiben eine Ellipse, deren zwei
10. Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene
65
Hauptachsen die von a und I gebildeten Winkel halbieren. Dies 1st
leicht zu erkenneii, wenn man schreibt:
a . r t d** - *>', b = r 2 d** + *> ''.
CC Q bedeutet die Richtung, welche den von a und b gebildeten Winkel
halbiert, und a t bezeichnet den halben Winkel zwischen a und Z>, po-
sitiv oder negativ genommen, je nach der Lage von a und b
ocier & G "" i * 6 ~~j"~ /a c * *
^ .[- r${ ) cos ( a i) + ( r i ^s) si n (
Bezeichnet man die Koordinaten der komplexen Zahl
und 11, so hat man
I
e""* * mit
= cos (a. a,) und
und ^ geniigen der Gleichung
sin a
von
und
~-
die eine Ellipse darstellt.
Diese Ellipse, durch einen Winkel a gedreht, ergibt die Punkte,
welche & entsprechen. Die Hauptachsen sind 2 (r t + r 2 ) und 2 (r x r 2 )
(Fig. 53). Die Konstruktion
Fig. 53 ist deutlich. Nachdem
9 aufgetragen sind, findet man -~
und "". 8 , indem man AZ 2 durch
einen rechten Winkel nach rechts
und iiaeh links dreht. Von diesen
Punkten zieht man Gerade nach Z v
Die Halbierung dieser Geraden gibt
a und b.
Die Radien der so gefundenen
Ellipse, in der eingefuhrten Langen-
einlieit gemessen, geben die MaB-
stabe der Abbildung fur die ver-
schiedenen Richtungen in der xy-
Ebene. Man konnte auch sagen, die Ellipse sex das Abbild in der
^-Ebene eines unendlich kleinen Kreises in der uv -Ebene, im Ver-
Mltnis des unendlich kleinen Radius zu 1 vergroBert und mit dem
Mittelpunkte in A.
66
Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
Nach diesen Vorbereitungen wo lien wir nun den Fall betrachten,
wo die Abbildung nicht mehr ,,ein-eindeutig" ist, d. h. also, wo sich
die x- und ^-Kurven mehr als einmal schneiden. Wie wir gesehen
haben, wird das eintre-
ten, wenn der Winkel
zwisehen den Gradienten
oder auch der zwisehen
den Kurven selbst nicht
uberall im Bereich das-
selbe Yorzeichenhat. Es
wird also eine Kurve
geben, auf welch er er
den Wert hat, wo sich
demnach die Kurven
x = const, und y = const,
beruhren. Hier muB, wie
^ oben gezeigt, die
u Funktionaldeter-
minante verschwin-
den. Dasselbe zeigt auch die
Darstellung mit komplexen
Zahlen. Denn wenn die Winkel
von z l und # 2 gleich sind, so
mtissen, da #j saes cp u -f- ty u i und
#2 aaa g> -(- T^fc, (f u Und ty u prO"
portional cp. und ty v sein, mit-
hin cp i// 9? ^ M !=5 0.
Nelamen wir also an, daB
sich die Kurven x const, und
y = const, in der w#-Ebene
uberall schneiden, auBer auf
einer gewissen Kurve, wo ihre
Eichtungen in der in Fig. 54
veranschaulichten Weise zu-
sammenf alien. Auf dieser
Kurve nruB, wie erwahnt, die
Funktionaldeterminante
Fig. 54a.
den, weil die Bichtungen der
Gradienten zusammenfallen.
Untersuchen wir nun die Abbildung auf die o?#-Ebene.
Verfolgen wir eine der Kurven y = const., sacren wir / */-. in
10. Abbilduug einer Ebene auf eine andere Ebene 67
ven x = # 4 , # 3 , x% "bis wir im Tunkte A der Kurve x =*= x^ die Kurve
D = erreichen. In der ##-Ebene ist die entsprechende Bahn eine
Parallele zur #-Achse mit dem Abstande y lt welche # 4 , # 3 und x 2
schneidet und bei x i einen Punkt A erreicht. Schreiten wir nun
auf der Kurve y = 7/ t in der te#-Ebene jenseits von D = welter
fort, so tiberschreiten wir von neuem die Kurven # 2 , r 3 , usw. dieses
Mai in umgekehrter Ordnung. Also fiihrt die entsprechende Bahn
in der a;^-Ebene nicht fiber A hinaus, sondern durch dieselben Punkte
x $y\ 5 #3#n usw ' zuriick. Dasselbe gilt fur jede beliebige der y = const.
Kurven. Zeichnet man in der a^-Ebene die Linie, die den Punkten in
der uv- Ebene entspricht, wo x = const, und y =* const, sich beriihren,
so findet man die Abbildung der v-Ebene nur auf einer Seite dieser
Kurve. Die andere Seite hat keine entprechende Punkte w, v. Jedem
Punkte C auf dieser Seite entsprechen aber in der uv- Ebene zwei
Punkte (7, die auf verschiedenen Seiten der Kurve D ** liegen.
Man denke sich zwei Blatter Papier auf die ##- Ebene gelegt und
beide der Ku^ve A J5 entlang durchschnitten. Die beiden jenseits der
Kurve gelegenen Stucke verwerfen wir und kleben die beiden iibrig-
bleibenden Teile langs der Kurve zusammen. Dann ist die ttv-Ebene
derartig auf das Papier abgebildet, dafi immer ein Punkt und nur
ein Punkt auf dem Papier jedem im betrachteten Bereich der w^-Ebene
gelegenen Punkt entspricht. Die Kurve D = in der wy-Ebene ent-
spricht dem Rande, \vo die beiden Papierstiicke zusammengeklebt
sind. Jede gerade oder krumme Linie, die in der wy-Ebene die Kurve
J) = o schneidet, entspricht einer Linie, die von ein em Papierblatt
auf das andere tibergeht. Sie braucht dabei ihre Richtung nicht
plotzlich zu andern, wenn sie den Rand erreicht, denn sie kann in
der Richtung der Tangente auf ihn zukommen. Dies ist tatsSLchlich
die Regel und eine plotzliche RichtungsSnderung die Ausnahme. Jede
beliebige Linie LAL (Fig. 55) in der uv- Ebene, deren Tangente
an dem Schnittpunkte A mit der Kurve D = nicht mit der den
Kurven x const, und y *= const, gemein-
samen Tangente zusammenfallt, wird einer
Linie in der #?/-Ebene ent-
sprechen, die ihre Richtung"
am Rande nicht pldtzlich
andert.
Dies ist am besten analy- ^ p ig . 55 .
tisch zu verstehen. Betraoh-
ten wir entsprechende Richtungen an den Punkten A der uv- Ebene
und der ##-Ebene. Wie wir oben gesehen haben, ist die Beziehung
A ~+awi.*AiiA n dai. T?/5/MnncrflTi fFicr. 56^ durch die Gleichuncren
y
38 Zweites Kapitel. Darstellung von FunktioDen
f\^ t
V
i - ds dx . .
cos A -j = -=- = m cos cc -f- w sin #
wT* oir u
. . ds dy
sin A -= = -T-~ = if? a cos a -f~ 1^ W sin a ,
ausgedruckt. Im Punkte A haben wir
v<* !_.. __. ^ Angenommen,daB
A
dxldr $
Fig. 56.
l * die Gradienten in
A nicht verschwin-
den, so daB wir schreiben konnen:
g? w =rcosy, 9? ff =rsiny, if; M r'cosy', t/; 8 = r'siny',
wo r und r' positive GroBen sind, so reduziert sici die Gleichung
qp u ty tyotyu, S=!S auf sin (y y') =* 0, das ist y == y', oder y = y'
+ 180. Folglich ist ds
cos A -j~- r cos ( y)
. . ds
sin A j-
r cos
r'cos(of y).
Wir haben also fur alle Richtungen in der wv-Ebene, fur welche
cos (a y) nicht null ist, /
Das will sagen: in der #^-Ebene entspricht nur eine bestimnate Rich-
tung und die ihr entgegengesetzte alien den verschiedenen a-JEfcich-
tungen mit Ausnahme derjenigen, fiir welche cos (a y) 0. In
diesem Ausnahmefall, d. h. wenn die Richtung a rechtwinklig zur
Richtung y des Gradienten ist, also mit der der Kurven x = const.
und y = const, tibereinstimmt, haben wir
Daher^
dr
COS I -j
dr
.-0.
und k bleibt unbestimmt. Jede beliebige Richtung A,
**
fur welche tg A von ~ abweicht, entspricht einer festen Richtung
a y + 90 Oder a y 90, wahrend -" 0.
Da die Kurve D auf den Rand der Papierblatter abgebildet
ist, sind alle Linien, welche in der Wi?-Ebene die Kurve JD = in
einer von der Richtung der Kurven x const, und y const, ab-
weichenden Richtung schneiden, in der ##-Ebene als Kurven abge-
bildet, die in A eine mit dem Rande gemeinsame Tangente haben.
10. Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene
69
Alle Linien auf einein der beiden Papierbogen, die im Punkte A in
einer von der Richtung des Randes abweichenden Richtung auf den
Rand treffen, mtissen Abbildungen von Linien der w^-Ebene sein, die
A in der Richtung der Kurven x = const, uud y = const, erreichen.
Der Mafistab der Abbildung ist null in der Richtung x = const, und
y = const. In jeder anderen Richtung erweist er sich von null ver-
schieden, denn ds -------
a __j/( r +r )cos-(--y).
Er hat ein Maximum in der Richtung of = y oder = y + 180, die
zu den Kurven x = const, und y == const, rechtwinklig ist.
Zum Yerstandnis dieser Einzelheiten wird es beitragen, wenn
wir ein Beispiel betrachten, wo die Abbildung der 949- Ebene auf die
#?/-Ebene eine einfache geometrische Bedeutung hat, wo namlich die
Ebenen Grund- und Auf rift einer gekriimmten Flache darstellen. Der
Rand in der ##-Ebene ist hier der UmriB der Flftche, die Projektion
derjenigen Punkte, wo die Tangen-
tialebene zu der Aufrifiebene recht-
winklig ist.
Denken wir uns ein en Zylinder
mit kreisfo'rmigem Querschnitt, der
durch eine durch seine Achse ge-
legte Ebene in zwei halbe Zylinder
geteilt ist. Den einen halben Zy-
linder denken wir uns in solcher
Lage, daB seine Achse mit der
GrundriBebene einen Winkel d bil-
det, wahrend die AufriBebene par-
allel zu seiner Achse sei (Fig 57).
Fiihren wir rechtwinklige Koordi-^""
naten it, v in der GrundriBebene
und rechtwinklige Koordi naten #, y
in der AufriBebene ein. Ein Punkt
P auf dem Zylinder ist durch ge-
wisse Werte M, v, die seinen Grund-
rifi, und gewisse Werte #,#, die
seinen AufriB angeben, bestimmt.
Es ist aus Fig. 57 leicht zu
kennen, daB
x == u und
E
er-
y
it tg 6 H ---- T ]/<^ ^^,
wo a der Radius des Querschnittes ist, Untersuchen wir nun den
70
Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
AufriB der Punkte P als Abbildung ihres Grundrisses. Die Funk-
tionen 9 (w, v) und tj; (11, v) sind in diesem Falle
q>(u, v) = it
ty(u, v) = u tg i
und <r> = 1.
E-
^JH.
v
I
Fig. 58.
Die Funktionaldeterminante ver-
schwindet fur v = auf der Linie
EF. Die Linien y const, sind die
Schnittlinien des Zylinders mit hori-
zontalen Ebenen. Im AufriB sind es
horizontale Geraden, im GrundriB
Ellipsen (Fig. 58). Verfolgen wir
eine dieser Kurven, so iiberschrei-
ten wir die Linie EF im GrundriB, im AufriB aber berfihren wir
sie nur und kehren alsdann auf derselben Horizontalen zuriick. Die
Linien x = const, sind in beiden Ebenen Gerade, entsprechen im
Raume aber Ellipsen. Auch hier tiberschreiten wir in der GrundriB-
ebene die Linie JEJF, die wir in der AufriBebene nur beruhren, urn
dann in der Vertikalen in der Eichtung nach unten wieder zurtick
zu gehen. Die Projektion jeder auf dem Zylinder verlaufenden Kurve,
die EF in einer nicht rechtwinklig zu der AufriBebene stehouden
Richtung schneidet, auf die AufriBebene, hat EF (der AufriBebene)
zur Tangente, denn die wirkliche Tangente
im Raume kann, da sie in der Tangential-
ebene des Zylinders liegt, keine andere Pro-
jektion haben, wenn sie nicht auf der Auf-
riBebene senkrecht steht. In diesem letzteren ^
Falle ist die Projektion der Tangente ein
Punkt und die Tangente des Aufrisses wird
durch die Neigung der oskulatorischen Ebene
bestimmt.
Wir wollen noch den speziellen Fall be- "-"" Fig ' 69 '
trachten, wo die Kurve D==0 in der u y-Ebene mit einer der Kurven
x = const, oder ^ = const, zusammenfallt (Fig. 59), wobei ange-
nommen ist, dafi die Gradienten der Funktionen o (t*, v) und ty (w, v)
10. Abbildung einer Ebene auf eine and ere Ebene
71
an den Punkten dieser Kurve nicht verschwinden. Wir haben ge-
sehen, daB an einem Punkte, wo D = 1st, der MaBstab der Ab-
bildung in den Richtungen der Kurve <p(ii,v) = const, oder i^(w, v)
= const, verschwinden muB Lafit man die Kurve D = mit einer
Kurve <p (w, v) = const, zusammenfallen, dann folgt, daB die Lange
des Bildes dieser Kurve in der ##-Ebene gleich Null und die Kurve
also bei der Abbildung in einen Punkt zusammengezogen sein muB.
Denn die LSnge des Bildes einer Kurve 9(^3 v) = const, ist gegeben
durch das Integral
MaBstab der Abbildung in der
> v*
^s^^^ ^^^^^^^^^ " "~^ =
wo dr ein Bogeneleraent und ^~
Richtung der Kurve bezeich-
nen; Da ~ langs der ganzea
Kurve mill ist, so muB das
Integral notwendig ver-
schwinden.
Als Beispiel wollen wir
betrachten :
Die Linien x = const, in der
# -Ebene sind gleichseitige
Hyperbeln, die Linien y =
const, sind Parallelen zur u-
Achse (Fig. 60). Langs der
w-Achse haben wir gleich-
zeitig y = 0, x und
j) = v BBS o. Die ganze w-Achse ist in dem Punkte x
der #y-Ebene abgebildet.
SchlieBlich wollen wir noch den Fall betrachten, wo der MaB-
stab der Abbildung eines beliebigen Punktes in alien Richtungen der-
selbe ist, wenn er auch an verschiedenen Punkten nicht derselbe zu
sein braueht.
Schreiben wir wie vorher:
. __ i dx , dy . __ d$ i*
dann ist die Beziehung zwischen dem MaBstab der Abbildung -j^
und den Winkeln A, a, welche einander entsprechende Richtungen in
der xy- und der u i?-Ebene bestimmen, durch die Gleichungen gegeben
Pig
0, y
72 Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
# = ff t cos cc + z% sin cu, oder = ae fot + &e~
a-
In dem Falle, wo der MaBstab der Abbildung -7- , d. h. der Modul
von # von a unabh'dngig 1st, muB eine der Konstanten a oder 6 ver-
schwinden, wie man sofort an der Konstruktion von g (Fig. 52) er-
kennen kann. Betrachten wir den Fall Z> = 0,
,.ac" -?".
dr
Die komplexe Zalil a kann | a \ ^ 8 geschrieben werden, wo | a \ den
Modul von a und ct den Winkel bezeichnen. Beide konnen von Punkt
zu Punkt verschieden sein, aber an jedem Punkte baben sie be-
stimmte Werte.
Folglich haben wir fl _ a und A
Das will sagen: von einem Winkel a, der eine Eichtung in der
wv-Ebene bestimmt, ausgehend, finden wir den die entsprechende
Richtung in der o/y-Ebene bestimmenden Winkel k durch Hinzuad-
dieren eines bestimmten Winkels a . Jede zwei Richtungen a, a'
werden daher den gleicben Winkel bilden, wie die entsprechenden
Richtungen A, A/ in der o?^-Ebene. Dasselbe trifft zu, wenn a
und # = &0~ a *. Der einzige TJnterschied ist der, daB im letzteren
Falle die Ricbtung von 2 sich mit zunehmenden Werten von a im
entgegengesetzten Sinne dreht. Man iiennt eine solche Abbildung winkel-
treu oder ,,konform", Analytisch werden Abbildungen dieser Art durch
Funktionen komplexer Zahlen dargestellt.
x + yi < f(u + ZH) oder x + yi f(u vi).
Angenommen, daB die Funktion einen Differentialquotienten besitzt, so
ist die zugehorige Abbildung konform, denn wir haben
und darum entweder ^ oder ^ -- **
Daher im ersten Falle,
t(-,+^)k. & = l
und im zweiten Falle a = O t 6 =* ^ .
11. Beziehungen zwischen drei Ver&nderlichen
73
y
\
\
x const*
Fig. 61
11. Andere Methoden der Darstellung von Beziehungen
zwischen drei Veranderliclien.
Die Abbildung einer Ebene auf erne andere kann dazu dienen
die graphische Darstellung einer Funktion von zwei Veranderlichen,
oder, wenn man will, einer Beziehung
zwischen drei Veranderlichen, zu verall-
gemeinern.
Wie wir oben gesehen haben, kann
eine Gleichung
g(x, y, g) ==
zwischen drei Veranderlichen #, #, s dar-
gestellt werden, indem man x und y als
rechtwinklige Koordinaten nimmt, und
die Kurven & = const. (Fig. 61) fur iiqui-
distante Werte von z auftragt. Denken
wir uns nun die ajy-Ebene auf eine andere
Ebene abgebildet. Die Linien x = const.,
y const, und 8 = const, werden durch drei Scharen von Kurven
darzustellen sein. Der Umstand, dafi drei Werte jc, y, z der Gleichung
g(x, ?/, z) == geniigen, wird geometrisch dadurch angezeigt, dafi
die drei entsprechenden Kurven einen gemeinsamen Schnittpunkt
haben.
Eine andere Methode gewisse Beziehungen zwischen drei Veran-
derlichen ?*, v, w darzustellen besteht darin, da8 man drei Kurven
xeichnet, deren jede eine Skala tragt. Die Werte w, ?, w sind jeder
auf einer der drei Skalen abzulesen. Die Beziehung zwischen je drei
Werten w, v, w soil nun geometrisch durch die Bediugung ausgedriickt
sein, daB die drei entsprechenden Punkte auf einer Geraden liegen
(Fig. 62). Diese Methode ist sehr viel bequemer als die, welche drei
Kurvenscharen benotigt. Es macht weuiger Miihe ein Lineal an zwei
Punkte w, v auf zwei Kurven anzulegen und den Wert w auf der
Skala der dritten Kurve abzulesen, als den Schnittpunkt zweier be
stimmter Kurven u = const, und v = const, in dem Netz aufzusuchen,
die Kurve w = const., die durch denselben Punkt hindurchgeht, heraus*
zufinden, und den ihr entsprechenden Wert von w abzulesen. Denn
man inufi bedenken, daB die bestimmten Werten von u und v ent-
sprechenden Kurven nicht notwendig auf der Zeichnung zu finden
sind, sondern interpoliert werden mtissen, ebenso die gesuchte Kurve
w = const. Es ist wahr, daB bei beiden Methoden Interpolation en
y const.
74
Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
(I)
notig sind, aber die Interpolation auf Skalen, wie die in Fig. 62, ist
leiehter vorzunehmen.
Es muB indessen bemerkt werden, daB, wShrend die drei Kurven-
scbaren eine ganz allgemeingultige Darstellungsmethode jeder belie-
.7
6
to
bigen Beziebung zwiscben drei Veranderlicben abgeben, die andere
Metbode auf eine gewisse Art von Fallen bescbrankt ist. Urn diesen
Gegenstand naber zu untersucben wird es notig sein, die Linienkoor-
dinaten zu erklaren.
Beim Festlegen eines Punktes durcb recbtwinklige Koordinaten
bestimmt, so kann man sagen, x eine einzelne unter einer Scbar von
Geraden (Parallelen zur Ordinatenacbse) und y eine einzelne aus
einer anderen Scbar von Geraden (Parallelen zur Abszissenacbse) und
der Punkt wird als Scbnittpunkt beider Linien (Fig. 63, 1) festgelegt
Ein abnliebes Verfahren kann man anwen-
den, um eine bestimmte Gerade in einer Ebene
festzulegen. Es soil x einen Punkt auf einer
festen Geraden so bestimmen, daB die Ent*
ferimng des Punktes von einem festen Punkte
A auf der Geraden, in einer gewissen Einbeit
geniessen, gleicb x ist, auf einer Seite von A
F*" positiv, auf der anderen negativ gerecbnet.
Ebenso bestimmt y einen Punkt auf einer
festen Parallele zu der ersten Geraden so, daB die Entfernung des
Punktes, von einem festen Punkte B auf einer Geraden, in derselben
Weise wie x gemessen, y betragt. Die durcb beide Punkte hindurch-
gehende Gerade ist so durch die Werte von x und y bestimmt und fttr
alle mogliclien Werte von x und# erbalten wir alle Geraden der Ebene
(I).
11. Beziehungen zwiechen drei Veranderlichen
75
mit Ausnahme derjenigen, die zu den Geraden, auf denen x und y
gemessen werden, parallel laufen. Der Einfachheit halber wahlen
wir die Punkte A und B so, daB AB zu den beiden Geraden recht-
winklig liegt (Fig. 63, II). Wir nennen x und y die Linienkoordinaten
der Verbindungslinie der zwei Punkte x und y in Fig. 63, II; ebenso
wie x und y in Fig. 63, 1 die Punktkoordinateii des Schnittpunktes
der Geraden x und y genannt werden.
Eine Hneare Gleichung zwischen Punktkoordi-
naten
y = mx +
an*
ist die Gleichung einer Geraden, d. h. alle Punkte,
deren Koordinaten der Gleichung geniigen, liegen
auf einer Geraden. Wenn wir andererseits x und y
als Linienkoordinaten ansehen, finden wir den ana-
logen Satz: alle Geraden, deren Linienkoordinaten
der Gleichung = mx \
gentigen, gehen durch einen gewissen Punkt. Man nennt die Glei-
chung daher die Gleichung des Punktes in Linienkoordinaten.
Urn dies zu erlautern, ziehen wir fcuerst die Linie x = 0, y = ft
(APO in Fig. 64). Wenn wir nun fiir einen beliebigen Wert von x
AE = x und PQ = mx machen und damit also y = BQ = mx + ft,
somuB der Schnittpunkt von JR$ und AP voux unaWangig sein, denn
PO
Ad
mx
x
PO
Das Verhaltnis -T-TJ bestiramt die Lage von auf der Geraden
AP und, da es von x unabhangig ist, und auch die Lage von AP
von x unabhangig ist, so gilt dasselbe fiir
0. Fiir negative Werte von m haben PO
und AO entgegengesetzte Eichtungen, so
daB zwischen A und P liegt.
Fiir einen gegebenen Punkt kann
man die entsprechendeu Werte m und ft
finden, indem man mit A und dem Punkte ^
verbindet, der im Abstand 1 von A auf der
Geraden liegt, auf der x gemessen wird.
Sind P und Q die Schnittpunkte dieser
Linien mit der Geraden, auf der y gemessen
wird, so haben wir BP *= ft und PQ ?= m. Also ergibt jeder-belie-
Trige Punkt der Ebene die Gleichung
76 Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
y = mx -(- ft,
ausgenommen die Punkte der Geraden, auf der x gemessen wird.
Fur m = reduziert sich die Gleichung auf
" f*7
d. h. auf die Gleichung eines Punktes der Linie, auf der y ge-
messen wird.
Fur y = mx + f* konnte man auch schreiben x = my + ft' und
die gleichen Betrachtungen mit vertauschten Eollen von x und y
anstellen. Diese Form schlieBt die Punkte der Geraden, auf der y
gemessen wird, nicht ein, dafiir aber die Punkte der Geraden, auf der
j? gemessen wird. Fiir diese haben wir m = 0.
Die allgemeine Gleichung eines Punktes in Linienkoordinaten ist
in der Form ax + ly + c -
gegeben, aus der man jede der oben erwahnten Formen ableiten
kann, indem man sie durch a oder & dividiert. Die Teilung durch c
ergibt eine andere bequerne Form
ax . ty
oder, wenn man schreibt:
_ == % __ =- y "IT ~\~ 7T S==B 1 ,
a u v XQ 2/0
wo # den Sclmittpunkt der Geraden BO (Fig. 64) mit der #-Geraden,
2/ den Schnittpunkt der Geraden A mit der ?/-Geraden bestimmt.
Eine Kurve laBt sich ausdrticken durch eine Gleichung
#! (w) x + &i (u) y + C A (w) ,
in welcher a A (w) , Z)j (it) , c x () Funktionen einer Veranderlichen w
sind. Jeder beliebige Wert von w liefert die Gleichung eines ge-
Wissen Punktes und mit verSnderten Werten von u beschreibt der
Punkt die Kurve. Denken wir uns die Kurve gezeichnet und eine
Skala der Werte von u in hinreichend geringen Abstanden darauf
angebracht, um die dazwischen liegenden Werte von u interpolieren
zu konnen. Zwei andere Kurven seien in derselben Weise gegeben
durch die Gleichungen
a 2 (t?) x + 1% (t?) y -f c s (t?) -
tf s (w) x + \(w) y + c 3 (?) ==
und mit Skalen der Weiie von v und w versehen.
11. Beziebungen zwischen drei Veranderlichen 77
Nun sind wir in den Stand gesetzt, die Bedingung zu formulieren,
die durcb die Werto w, v, w erfullt sein muB, wenn die drei ent-
sprechenden Punkte auf einer Geraden liegen sollen. Wenn x und y
die Linienkoordinaten der dutch die drei Punkte bindurchgebenden
Geraden sind, so mxissen x und y gleicbzeitig alien drei Gleicbungen
geniigen.
Folglicb mu6 die Determinante der drei Gleicbungen verscbwinden :
a i (Vs ~ Vs) + flj (&,(?! Vj) + a, (V 2 - Vi)
und umgekebrt, wenn die Gleicbung zwischen , t>, w in diese Form
gebracbt werden kann, wo a 17 &,, c t beliebige Fanktionen von w,
ferner a 2 , & 2 , C 2 beliebige Funktionen von ;, und a s , 6 8 , c s beliebige
Funktionen von y sind, so kSnnen wir die Gleichungen aufstellen:
d}X + b L y + q 0, a^x + & 2 # + c a 0, a$x + & 3 y + c s
und sie grapbiscb durch Kurven darstellen, die Skalen fiir w, t?, w
tragen. Die Beziehung zwiscben w, ;, w ist dann gleicbbedeutend
mit der Bedingung, daB die entsprecbenden Punkte der drei Kurven
auf einer Geraden liegen. Aber es darf nicbt vergessen werden, daB
nur eine bescbraukte Gruppo von Beziebungen in die erforderlicbe
Form gebracbt werden kann, so daB die Metbode nicht auf jede be-
liebige Beziebung anwendbar ist.
Die Gleicbung eines Punktcs
ax + by + c
bebalt dieselbe Form, wenn die Lftngeneinheiten fiir x und y ge-
andert werden. Wenn x' die Zabl bezeicbnet, welcbe dieselbe Liinge
wie a;, aber in einer anderen Einheit, mifit, mtissen die beiden Zahleu
x und x' in einem konstanten Verbiiitnis zueinander steben, das dem
umgekebrten Verbaltnis der beiden MaBeinbexten gleich ist. Daber
bat man, wenn die MaBeinbeiteu voneinander unabhttngig geiindert
werden, , /
' x~*Xx, y^py,
und die Gleicbung des Punktes kann geschrieben werden:
alx + 6f*y' + c - oder a x' + I' y' + c *= 0,
wo a =* la und !>' = (ib.
Es ist unter Umstand^n bequemer, die Linienkoordinaten in an-
derer Weise zu definieren. Bezeichnen wir die in der gleicben L&ngen-
einbeit gemessenen recbtwinkligen Koordinaten mit J und iy, dann
kann die Gleicbung einer Geraden in der Form
78 Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
v\ -" tg 9? | + ^
gesclirieben werden, wo 9 den von der Geraden mit der -Achse
gebildeten Winkel und rj Q die Ordinate des Schnittpunktes der Ge-
raden init der ^-Achse bezeichnen. Nennen wir nun tg cp und t] die
Linienkoordinaten der durch die Gleichung dargestellten Geraden
und bezeichnen wir sie mit x und /, so bestimmen die Werte von x
und y eine gegebene Gerade und jede beliebige Gerade, die der Or-
dinatenacbse nicbt parallel ist, kann auf diese Weise bestimmt
werden. Die Bedingung, daB eine Gerade x, y durch einen Punkt |, y
hindurchgehan soil, wird ausgedriickt durch die Gleichung
93 = # + y oder y = x + ^-
Wenn man fur r und y feste Werte annimmt, stellen alle die Werte
von ^, 77, die dieser Gleichung geniigen, die Punkte einer Geraden
#, 2? dar ; und wir nennen daher die Gleichung die Gleichung einer
Geraden, Gibt man andererseits und ^ bestimmte Werte, so stellen
alle Werte von #, y, die der Gleichung genugen, die Geraden dar,
die durch den gegebenen Punkt , 17 hindurchgehen, und die Glei-
chung heifit dann die Gleichung eines Punktes.
Die allgemeine Form ax + ^ + c ^
kann auch geschrieben werden:
und ist also die Gleichung des Punktes, dessen rechtwinklige Koordi-
ft f
naten = T und i? = -^ sini Der Fall, wo b = oder
ax + c
ergibt die Gleichung eines unendlich weit entfernten Punktes in der
durch . c
defmierten Richtung 9? oder der entgegengesetzten Richtung q> + 180.
Alle Geraden, deren Koordinaten a;, y der Gleichung
ax + c =
geniigen, entsprechen demselben a?- Werte, aber einem beliebigen Werte
von y, d. h. sie sind alle parallel und alle Geraden dieser Richtung
gehSren dazu.
Erortern wir nun einige der Anwendungen von Linienkoordinaten
auf die graph ische Darstellung von Beziehungen zwischen drei Ver-
anderlichen.
11. 'Beziehungen zwischen drei Ver&nderlichen
79
Die Beziehung
kann in der Form
UV '
w
log u + log v =- log w oder x -f- 3/ aos log w
geschrieben werden, wo
# = log u und # = log v.
Wir tragen nun x und 2/ als Linienkoordinaten auf zwei parallele
Gerade auf, welche Skalen fur die u- und 0-Werte tragen (Fig. 65).
Die Gleichungen x = log u und y = log v
ko'nnen als Gleichungen der Punkte
dieser beiden Skalen angesehen werden.
Die Gleichung
x + y log w
1st fur einen beliebigen Wert von w
die Gleichung eines Punktes. Dieser ist
leicht als Schnittpunkt zweier beliebiger,
seiner Gleichung geniigender Geraden
zu konstruieren, z. B. der Geraden
x = log w, y und der Geraden x = 0,
y = logw. Die erste dieser beiden Ge-
raden erhalt man, indem man den Teil-~
strich u = w auf der w-Skala mit dem
Punkte B verbindet, die zweite, indem.
man den Teilstrich v =* w auf der v-
Skala mit dem Punkte A verbindet.
Wenn die Einheiten von x und y die
gleiche Lange haben, wird der Schnitt-
punkt auf einer Geraden liegen, die ge-
nau in der Mitte zwischen den die u-
und 0- Skalen tragen den Linien liegt
und zu ihnen parallel lauft, und die Intervalle der w-Skala werden
halb so groB sein, wie die der beiden anderen Skalen (Fig 65).
Die Beziehung
uv = w oder log u + log v log w
driickt die Bedingung aus, daB den drei Gleichungen
x log w, y log t?, x + y B " a log ^
gleichzeitig durch die gleichen Werte von x und / gentigt werden
kann, das will sagen, daB die drei Punkte auf den w-, v- und w-Skalen,
Fig. 65.
80
Zweites Kapitel. Darstellang von Fanktionen
die den drei Werten von
raden #, y liegen.
Die allgemeine Beziehung u a v?
wo a und
v und w entsprechen, auf derselben Ge-
beliebig gegebene Werte sind,
kann ebenso behandelt werden. So kSnnen .
auf diese Weise z. B. Druck und Volumen
eines Gases bei adiabatischen Veranderungen
dargestellt werden. Man hat in diesem Falle
wo p der Druck, v das Volumen und k und
w Konstanten sind.
Fur ein gegebenes Gas hat Jc einen ge-
gebenen Wert, dagegen hangt w von der
Gro'Be der betrachteten Gasmenge ab.
Wir schreiben:
w liber in
und stellt einen Punkt dar, den man als
.den Schnittpunkt zweier beliebiger Geraden
#, y konstruieren kann, deren Koordinaten
der Gleichung geniigen, z. B.
^*" Dann geht die Gleichung pv*
die Gleichung , , =
x
log w, y =
und
0, y ~ log w.
Die erstere dieser Linien verbindet den Punkt B (Fig. 66) mit dem
Teilstrich p w auf der jp-Skala und die zweite verbindet den Punkt
A mit dem Punkte der t>-Skala, fur welchen y == 7c log w ist. Ein
vom Schnittpunkt auf die Linie AB gefalltes Lot trifft diese im
Punkte & und da das Verhaltnis 7:7^5 ffleich dem Verhaltnis der Ab-
c/ jt> i ^
schnitte auf den p- und v-Skalen ist, d. h. gleich ;- = v-, so ist
K -LOg w K
es von w unabhangig. Alle den verschiedenen Werten von w ent-
sprechenden Punkte liegen auf derselben Parallele zu den p~ und
v-Skalen und die w-Skala ergibt sich aus der zentralen Projektion
der p-Skala auf diese Parallele mit dem Projektionszentrum J5
(Fig. 66). Die Ausfuhrung der w-Skala ist i\brigens iiberflussig,
11. Beziehungen zwischen drei Veranderlichen
81
wenn nur die Gerade gezeichnet
wird, die sie trSgt. Dean beim
Gebrauch des Diagramms geht
man meistens von Werten jp , v
aus und sucht andere Werte j?, v,
Die die Teilstriche p und v ver-
bindende Gerade schneidet die
w-Skala in demselben Punkte wie
die Verbindungslinie der Teil-
striche jp und VQ, so daB wir den
Wert von p$v\ nicht zu kennen
brauchen. Es gentigt, den Schnitt-
punkt zu bezeiehnen, um, wenn v
gegeben 1st, den Wert von jp, oder
wenn p gegeben ist, den Wert von
v zu finden.
Ein anderes Beispiel liefert
die Gleichung
+
0.
Fig. 67
Sieht man x und y als Linien-
koordinaten an, so ergibt jeder
Wert von w die Gleichung eines
Punktes. Man zeichnet die durch diese Punkte gebildete Kurve und
versiebt sie mit einer Skala der entsprechenden w- Werte. Nun be-
stimmen je zwei beliebige Werte von x und y eine Gerade, deren
Scbnittpunkte mit der w~ Skala die Wurzeln der Gleichung ergeben.
Jeder einzelne Punkt der w-Skala kann als Schnittpunkt zweier Ge-
raden bestimmt werden, deren Koordinaten a?, y der Gleichung ge-
niigen, z. B.
x * 0, y = w* und x - t#, y - 0. *)
Auf Fig. 67 ist die Skala fur die positiven Werte w = bis w 2,5
gezeicbnet.
Auf dieselbe Weise kann ein Diagramm zur LSsucg der kubi-
schen Gleichung to 8 + a?w + -
1) Fur kleine Werte von w ist diese Zusaminenstellung ungiinstig,
weil der Schnittwinkel klein ist. Man kann statt dessen x = 2,
t/ = w 2 1w als erste Gerade nehmen.
82
Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
oder irgend einer beliebigen Gleicbung von der Form
w*- + xw** + y =
entworfen werden.
12. Beziehnngen zwischen vier Veranderliclien.
Die Methode kann so verallgemeinert werden, daB sie auch die
Beziehungen zwiscben vier VerSinderlicben umfaBt.
Augenommen, vier Yeranderlicbe w, t>, w, t seien untereinander
durch die Gleichung
verbunden. Angenommen ferner, daB fur irgend einen bestimmten
Wert t t Q die resultierende Bezieliung zwiscben w, v, w durcb ein
Diagramm der oben betrachteten Art,
~ 5 drei Kurven mit Skalen fiir w, v, w,
ausgedriickt werden kann, und daB
fur andere Werte von t die u- und
^-Skalen unverSndert bleiben, wabrend
die #?-Skala sich M,ndert. Dann bat
man, den verscbiedenen Werten von t
entsprecbend, eine Scbar von w- Skalen.
Verbindet man nun die den gleicben
Werten von. w entsprechenden Punkte,
so erbalt man ein aus Kurven t
= const, und w = const, gebildetes
t"
iV
Fig. 68.
sprecben den Werten von t
genugen.
Jede beliebige Beziebung von der Form
13 Netz (Fig. 68). Beliebige Wertepaare
w, v liefern Gerade, die dieses Netz
scbnfeiden. Die Scbnittpunkte ent-
und w^ die der gegebenen Gleiobung
r) - 0,
wo <p(it) eine beliebige Funktion von w, y(v) eine beliebige Funk-
tion von ?, und f(t, w\ g(t, w\ h(t, w) beliebige Funktionen von
t und w bedeuten, kann auf diese Art dargestellt werden.
Man braucbt fur diesen Fall nur die Linienkoordinaten a?, y ein-
zufubren, indem man __. / \ **.&(}
scbreibt und erbalt so eine lineare Gleicbung zwiscben x und yi
f(t, w)x + 0(t, w)y + h(t, to) = 0,
12. Bezieliungen zwischen vier Yeranclerlichen 83
welche fiir jedes gegebene Wertepaar von t und w die Gleichung
eines Punktes darstellt. Piir einen gegebenen Wert von t und ver-
anderliche Werte von to erhalt man eine Knrve t const, mit einer
Skala fur w und fiir eine Reihe von tf- Werten eine Kurvenschar
t = const. Ebenso liefert die Gleichung fur einen gegebenen Wert
von w und veranderliche t- Werte eine Kurve w = const, mit einer
Skala fur t und eine Reihe von w- Werten ergibt eine Kurvenschar
w = const. Aus beliebigen gegebenen Werten von u und v berecbnet
mau die Linienkoordinaten x und ?/, und die Punkte, wo diese durch
x und y definierte Gerade das Netz der Kurven t = const, und
w const, schneidet, liefern die Werte t und w, die mit den ge-
gebenen Werten fur u und v zusammen der Beziehung geniigen. AIs
Beispiel mag die Bcziehung zwiscben der
Hohe, dem Azimut und der Deklination dines
HimmelskSrpers und der Breite des Beobach-
ters dienen. Es seien 7a, a, d, die Hohe, das
Azimut und die Deklination und 9 die Breite. f~
Die Winkel y g>, y /*, y * sinddie
drei Seiten des sphariscben Dreiects PZS
(Fig. 69), das von dem Pol P, dem Zenit Z und dem HimmelskSrper
8 gebildet wird. Das Azimut ist als Supplementwinkel des Winkels
PZS definiert.
Die Gleichung ist
sin d sin go sin Ji cos q> cos h cos a.
Schreiben wir x = cos a, 2/ = sin 5,
so lautet die Gleichung
y =s sin 9 sin 7z ic cos <p cos /&.
Wir wollen uns in diesem Falle des zweiten Systems von Linien-
koordinaten bedienen, wo x die durch die Tangente des mit der
Abszissenachse gebildeten Winkels gemessene Neigung der Geraden
und y die Ordinate xhres Schnittpunktes mit der Ordinatenachse ist.
Bezeichnen wir die rcchtwinkligen Koordinaten des Punktes mit |, 17,
so bekommt die Gleichung der Punkte die Form
t? o;g + y oder y rj gas,
so da8 in unserem Falle
| cos g) cos 7i, iy sin 9 sin ft
ist Mit Hilfe dieser Formeln kann man die Kurven 9 const, und
84
Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
h const, zeicbnen. Es ist leicht zu erkennen, dafi es Ellipsen sind.,
und daB die Kurven <p const, dieselben sind, wie die Kurven h <=* const,
Fur einen bestimmten gp-Wert und einen veranderlichen h-Weri be-
kommen wir
cos 8 g> ' sin 8 cp
und fur einen bestimmten A-Wert und einen veranderlichen y-Wert
15
30
-J' + ..iL..
cos 2 A ' sin 2 A
1.
Jede der Ellipsen schneidet alle an-
45 deren, und sie bilden auf diese Weise
ein Netz. Ein Schnittpunkt der Ellipse
g> Ct mit der Ellipse A =* c a ent-
spricht auch den Werten A c und
<JP =~ Cfr da die Ellipse q> = ^ mit der
Ellipse A = Cj identisch und die El-
lipse (p = c 2 mit A = c a identisch sind
(Fig. 70). "Die einfachste Art dieses
Netz zu zeichnen, besteht darin, die
Geraden fc , / , N
. g -j. ^ aa. cos ^ _ ^
und rechtwinklig zu ihnen die Geraden
> | <YI = cos (g? + A)
. fur Uquidistante Werte von <p + h und
9? A zu ziehen. Die Ellipsen laufen
150 diagonal durch die von den beiden
M & Systemen von Geraden gebildeteni-echt-
% iv v ^ ^ i. - a eckigen Felder. Die Skalen fttr q> und
A, welche beide ffir beide VeranderHche Geltung haben, werden auf
denKoordinatAnachsen aufgetragen. Die d-Skala wird auf der Ordi-
natenachse angebracht, und ist mit den p- und A-Skalen auf dieser
Achse identisch, denn die einem gegebenen Werte * - c entsprechende
an^ ' Sm ' C ^ 6S ^ aUCh di6 9 rdina * e ^sjenigen Punktes,
Die Skala fur das Azimut kann nicht ganz in derselben^ei^'w^e
^^i^^t^S^SaT^ weil c sa die Neigung der Ge
; | == 1, v = f "* J - - C Se cturc "
Pig. 70.
v - ' Eine d * n NnUpnnkt mit
behebigei, Teilstriah dieser Skala yerbindende Gerade hat dS
_ 12. Beziehnngen zwischen vier Veranderlichen 5
Neigung der Geraden x = cos a, y = sin 6. Urn sie rait der Geraden
x, y zur Deckung zu bringen, mu8 sie sicb selbst parallel verscboben
werden, bis ihr Scbnittpunkt mit der Ordinatenacbse mit dem Teilstricii
d zusammenfallt. Dies fubrt auf eine andere Art das Diagramm zu
benutzen. Man zeichne ein Strablenbtiscbel vom Nullpunkt nach den
Teilstrichen der Azimutskala (Fig. 70) und fuhre diese Zeicbnung
auf durchsicbtigem Papier aus, welcbes man auf die Zeicbnung der
Ellipsen legt. Flir einen beliebigen Wert von d verschiebt man es,
sei es nacb oben oder.nach unten, so, daB das Zentrum des Strablen-
biischels auf den Teilstricb d zu liegen kommt. Solange der Him-
melskorper seine Deklination nicbt wesentlicb andert, setzt uns das
Diagramm in dieser Lage in den Stand jeden der drei Werte 9, 7>, a
aus den beiden anderen zu ermitteln.
Als zweites Beispiel diene die Beziebung zwiscben der Dekli-
nation #, dem Azimut a und dem Stundenwinkel t eines Himmels-
korpers und der Breite 9 des Beobacbters.
Diese Beziehung findet man, indem man die H6be li aus der
ung sin d sin 9 sin li cos tp cos Ji cos a
wegscbaift. Zu diesem Z we eke druckt man sin h und cos h durcb die
anderen Winkel d, tf, a, 9 aus und setzt diese Ausdrucke an Stelle
von sin/i und cosh in die Gleicbung ein.
Wir haben
cos h cos d -T , sin h = sin 9 sin S + cos g? cos d cos t.
Setzt man diese Werte ein, so erbalt man:
sin 6 = sin 3 ^ sin d 4" sin g> cos g> cos d cos t cos 9 cos d sin t ctg a
oder cos 2 9 sin S * sin 9 cos 9 cos S cos t cos 9 cos 6 sin tf ctg a.
Durcb Division mit cos 2 9 cos<? erhalt man schliefilicb
tg $ = tg 9 cos ^ -- ctg a.
cos 9
Um diese Beziebung grapbiscb darzustellen, fiibrt man die Linien-
koordinaten
ein und erbalt y tg 9 cos ^ -- a/.
Bedienen wir uns des zweiten Systems von Linienkoordinaten. Die
recbtwinkligen Koordinaten g, <r\ des durcb die Gleicbung ausgedrdck-
ten Punktes ergeben sick danacb als
86
Zweites Kapitel. Darstellung von Funktionen
i
sin t
cosq?'
tg (p cost.
Die Kurven cp const, sind Ellipsen, cos 2 <jp 2 +
Die Kurven = const, sind Hyperbeln
. JlL,
cos 2 *
1.
1.
Die Ellipsen und Hyperbeln sind konfokal; die Brennpunkte fallen
in die Punkte 5 sa = 1, 17 = 0, so daB die Kurven sich rechtwinklig
schneiden.
Die Skala fur cp kann auf der Ordinatenachse an den Punkten,
wo sie die Ellipsen schneidet, aufgetragen werden. Sie ist mit der
Skala fur S identisch, da in beiden Fallen die Ordinate die Tangente
des Winkels ist, mit dem einzigen Unter-
schiede, daB 6 auf dem negativen Teil
der Achse negafciv ist und g> nicbt. Die
t- Skala kann auf einer der dem h5ch-
sten in Betracht kommenden ^-Werte ent-
sprechenden Ellipsen aufgetragen werden.
Diese Ellipse bildet dann die Grenze der
Zeichnung, so daB hohere <p-Werte nicht
dargestellt sind. Dem Azimut entspre-
cbend zeicbnet man ein Stranlenbiischel
auf durchsichtiges Papier, welches man
auf die Zeichnung der Kurven legt. Das
Zentrum des Strahlenbuschels wird auf
den Teilstrich d gelegt, und das Azimut
ist gleich den von den Strahlen mit der
positiven Bichtung der Ordinatenachse
gebildeten Winkeln (Fig. 71). Es genugt,
wenn man die Kurven und die Strahlen
nur auf einer Seite der Ordinatenachse
zeichnet. An dem Scheitelpunkte der Hy-
perbeln andert sich der Wert von t plo'tz-
lich. Die Linie t = 6 fc ist vom Brennpuhkt
| *** 1 ? ^ B. o ausgehend gedacht. Wenn das Zentrum des Strahlen-
buschels im Nullpunkt liegt, fallen die Strahlen rait den Asymptoten
der Hyperbeln zusammen; a 15 entspricht t =* 1 A , a 30
t = 2 h usw
Fig. 71
13. Graphische Integration 87
Drittes KapiteL
Die grapMschen Metlioden der Differential- und Integral-
rechnuug.
13. GrrapMsche Integration.
Im vorhergehenden haben wir gezeigt, wie sich die elementaren
matbematischen Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation
und Division und ihr Gegensttick, die Ermittelung der Wurzeln einer
Gleichung, auf grapbischem Wege ausfuhren lassen, und wie Funk-
tionen einer oder mehrerer Yeranderlicher graphiscn dargestellt und
behandelt werden kSnnen. Aber die graphischen Methoden wurden
der allgemeinen Bedeutung entbehren und nur von sehr beschranktem
Nutzen sein, wenn sie sich-nicht aucb auf die infinitesimalen Opera-
tionen der Differentiation und Integration anwenden lieBen Ja, ge-
rade hier zeigt sich erst ihr voller Wert. Denn bei Anwendung der
Differential- und Integralrechnung auf naturwissenschaftliche und
technische Probleme sind die betreffenden Funktionen oft nur gra-
phisch gegeben, wahrend ihr eigentlicher analytischer Ausdruck un-
bekannt ist. Man kann sie durch analytische Ausdriicke annahern.
Aber die Berechnung und Behandlung der Annaherungen wSre in
vielen Fallen weitlaufig und unbequem. In solbhen Fallen ist es von
der allergrofiten Wichtigkeit, daB man die Operationen der Infini-
tesimalrechnung ausfuhren kann, obgleich die Funktionen nur gra-
phisch gegeben sind.
Beginnen wir mit, del* Integration, weil sie leichter und allge-
ineiner anwendbar ist als die Differentiation.
Denken wir Tins eine Funktion y => f(x) durch eine Kurve ge-
geben, deren Ordinate y und deren Abszisse x ist Es gilt eine Kurve
zu finden, deren Ordinate J ein Integral d.er Funktion f(x) ist
X
Y-ff(x)dx.
a
Wir wollen die Langeneinheit der Abszissen von der der Ordi-
natexi unabhangig festsetzen Der Wert von T mifit den Inhalt der
Flache, die von den a und x entsprechenden Ordinaten der Kurve
y = f(x) und der #-Achse begrenzt wird, wobei das von den L&ngen-
einheiten von x und y gebildete Kechteck als Flacheneinheit zu Grunde
gelegt ist
gg Drittes Kapitel. Graphiscbe Infinitesimalrechnun g
la dem einfachen Falle, wo f(x) eine Konstante 1st, wird die
Gleichung y f(x) = c durch eine Parallele zur ;E-Achse dargestellt
and ;t
= / cdx
*'
j a).
Y ist die Ordinate einer Geraden, die die #-Achse im Punkte x = a
schneidet. Die Konstante c ist die Verilnderung von Y fiir einen
Zuwachs 1 des Wertes von x. Ist P der Punkt der #-Achse, wo
x 1, und Q der Punkt, wo die Gerade y = c die Ordinatenachse
schneidet (Fig. 72), so ist die gesuchte Gerade eine Parallele zu PQ.
Man konstruiert sie, indem man durch den Punkt x a der #-Achse
(Fig, 72, wo a *** 0) eine Parallele zu PQ zieht.
Die Addition eines gegebenen
Wertes t\, welche der Gleichung
die Form
Ycfa aj + Ci
gibt, ist gleichbedeutend rait einer
Verschiebung der Geraden um den
*#Betrag c t in der Eichtung der Or-
dinatenachse. Fiir x = a hat man
_,. nt> dann Y = c , so dafi man die
irig. ?j. f* *
Gerade v (^ \ i ^
JL ss = s> c\x a) + Cj
erhalt, indem man eine Parallele zu PQ durch den Punkt x * a,
.# t'i legi
Als zweiten Fall wollen wir annehmen, da8 die Kurve y = f(x)
aus einer Anzahl von Abs&tzen besteht, d. h. daB die Funktion in
gewissen Zwischenraumen x = x bis # a , ir 2 bis a; 3 usw. verschiedene
konstante Werte annimmt, die sich bei x 2J %$ usw. plotzlich ver8,n-
dern. Bei der das Integral
darstellenden Kurve Sndert sich die Ordinate nicht pldtzlich. Die
Kurve besteht in einer stetigen gebrochenen Lime, deren Ecken die
Abszissen x%, x%, usw. haben. Die Eichtungen der einzelnen Absiitze
findet man auf die eben beschriebene Weise, mit Hilfe des von P
ausgehenden Strahlenbtischels nach den Punkten a, /?, y, usw, (Fig. 73),
wo die Horizontalen die Ordinatenachse schneiden. Um diese ge-
brochene Linie zu konstruieren, zeichnet man eine Parallele zu Pa
13. Grrapbiscbe Integration
89
dureb den Punkt x = a? 4 (in Fig. 73 ist x l = 0) bis zu der Senk-
rechten x -= # 2 . Dureb ihren Schnittpunkt mit der Senkrechten a; tf 2
wird eine ParalLele zu P/3 bis zur Senkrecbten x % und durcb.
deren Scbnittptmkt mit der Senkrechten # o? s eine Parallele zu Py
gezogen und so fort.
SchlieBlich wollen wir den Fall einer frei gewiiblten, durcb eine
JvCr::.,.,
. *"" "* "* *
beliebige Kurve dargestellten Funktion y
Kurve
betrachten. Um die
zu feaden, setzen wir an Stelle von y - /"(a?) eine Funktion, die aus
verseHedenen konstanten Werten in verschiedeneri AbsUtzen besteht,
und deren Wert sicb plOtzlich findert t wenn X von einem Absatz in
den nacbsten ubergebt, so daB die die Funktion darstellende Linie
eine Beibe YOQ Stufen bildet, die je nach der Abnabme oder Zu-
nahme von f (a?) nacb unten oder oben fiibren. Diese Stufen sind in
folgender Weise angeordnei Der liorizontale Teil ^^ der ersten
Stufe (Fig. 73) geat von einem beliebigen Punkte A l der gegebenen
Kurve aus. Der senkrecbte Teil A^ und das B&chstfolgende hori-
zoatale Stuck S t B 9 werden dann so gezeicbnet, daB B 1 B^ die Kurve
scbneidet und daB das Integral der gegebenen Kurve bis zum Schnitt-
punkt K b dem Integral der Stufenlinie bis zu demselben Punkte gleicn
ist, d. 1. der Inbalt der von der gegebenen und der Stufenkurve be-
grenzten Elacne mu8 auf beiden Seiten des senkrechten Stuck es Ag L B l
90 Drittes Kapitel. Graphische Infinitesimalrechnung
gleich sein. Wenn iiber K b verfugt ist, kann die richtige Lage von
A^ leicht nach AugenmaB mit hinreichender Genauigkeit ange-
geben werden. Das Auge 1st fur GroBenunterschiede kleiner Flachen
recht empfindlich. Zudem vergrb'Bert jede Versehiebung von A^B^
nach recnts oder links den einen und verringert gleichzeitig den an-
deren Flachen teil, so daB sich scbon eine geringe Abweichung von
der ricbtigen Lage bemerkbar macht. Ebenso wird das senkrechte
Stiick JS S C der nacbsten Stufe J? 2 C, C 2 so gelegt, daB die Flachen
auf beiden Seiten einander gleicb sind. Das Integral der gegebenen
Kurve bis zum Punkte K c wird dann wieder den gleicben Wert
haben wie das Integral der Stufenlinie bis K c und so aucb bei den
ubrigen Stufen. Das Integral der Stufenlinie konstruiert man auf die
oben bescbriebene Weise. Es wird dargestellt durcb eine gebrochene
Linie, die vom FuBpunkte der Ordinate von A l ausgeht. Die Ecken
liegen auf den senkrechten Absatzen, oder ibren VerlS-ngerungen. Es
ist leicbt einzusehen, daB sich die gebrochene Linie aus einer Reihe
von Tangenten der Integralkurve
X
-//()***)
zusammensetzt, deren Beriihrungspunkte auf denselben Senkrechten
liegen wie die Punkte A^ K b , K c usw. (In Fig. 73 sind diese Punkte
mit 0, 2, 3, ... bezeichnet). DaB diese Punkte auf der Integralkurve
liegen, folgt aus der Anordnung der Absatze, nach welcher das In-
tegral der gegebenen Funktion in K b , -5T C , . . . gleich dem Integral der
Stufenlinie ist. Nun stimmen in den Punkten A l K t> K c . t . die Ordi-
naten der gegebenen Kurve mit denen der Stufenlinie iiberein; daher
mtissen beide Integrallinien fur diese Abszissen dieselbe Bichtung
haben.
Nachdem man die gebrochene Linie konstruiert und die Punkte
2, 3, 4 ... (Fig. 73) bezeichnet hat, zeichnet man aus freier Hand
oder mit Hilfe eines Kurvenlineals die Integralkurve so, daB sie die
gebrochene Linie in den Punkten 0, 2, 3 ... beruhrt. Da die gegebene
Kurve ihre Ordinate nicht plotzlich Sndert, andert die Integralkurve
ihre Eichtung nirgends plotzlich. Die Zeichnung ,zeigt, wie genau die
Integralkurve durch die gebrochene Linie bestimmt ist. Es gibt tat-
sachlich keine Moglichkeit, die Kurve merklich anders zu legen, ohne
die Bedingungen.zu verletzen.
Die Ordinate der Integralkurve ist hier in derselben Einheit ge-
1) In Fig. 73 ist die untere Grenze 0.
13. Graphische Integration
91
messen wie die Ordinate der gegebenen Kurve y == f(x). Es kann
mitunter bequem sein die Ordinaten der Integralkurve in einem an-
deren MaBstabe zu zeichnen als die Ordinaten der gegebenen Kurve.
Der Wert des Integrals kann z. B. so groB werden, daB die Ordinaten
der Integralkurve iiber die Dimension des Zeiehenbrettes hinaus-
reichen wiirden, oder so klein-, daB ihre Anderungen niclit mit aus-
reichender Genauigkeit meBbar waren. Im ersteren Falle verkleinert,
im letzteren vergroBert man den Mafistab. Dies gesehieht, indem
man den Punkt P, den Ausgangspunkt des Strahlenbtischels , das
die Kicbtung der gebrocheneu Linie bestimmt, verlegt. Wenn P dem
Nullpunkt naber geriickt wird, werden die Eicbtungen Pa, P^ 5 . . .
steiler, und zwar gerade so viel wie wenn, bei unveranderter Lage
Fig. 74.
von P, die Ordinaten der borizontalen Teile A 1 A 2J B^B^,^ . . . in dem-
selben Verbaltnis der beiden Entfernungen PO vergr5Bert wiirden.
Daber werden durcb eine Yerkleinerung der Entfernung PO die Or-
dinaten der sicb ergebenden gebrocbenen Linie im umgekehrten Ver-
baltnis vergr5Bert. Umgekebrt werden durcb VergrSfierung der Ent-
fernung PO die Ordinaten der sioh ergebenden gebrocbenen Linie
im umgekehrten Verbaltnis der Entfernungen verkleinert, weil die
Kicbtungen Pa, P^, ... sicb durcb Verlangerung der Entfernung PO
in derselben Weise verandern wie wenn die Ordinaten von A 1 A 2 ^ I
-Bi-Bg, . . . im umgekehrten Verbaltnis verkleinert waren. Die auf
Grund der langeren Entfernung P'O konstmierte gebrochene Linie
wird daher dieselbe sein, wie sie sicb ergeben wiirde, wenn die Ordi-
naten der Stufenlinie verkleinert wiirden, und fiibrt daber auf eine
Integralkurve, deren Ordinaten im gleichen Yerbaltnis kleiner sind
(Fig. 74).
92 Drittes Kapitel. Graphische Infinitesimalrecbnung
Diese Art der grapbiscben Integration von
1st niclit auf die Werte x > a besebrankt. Die Metnode 1st ebenso
gut auf die Fortsetzung der Integralkurve filr 30 < a anwendbar, die
Stufen miissen nur dann von rechts nacb links laufend gezeichnet
werden. Die untere Grenze a bestimmt den Punkt, wo die Integral-
kurve die #-Aebse schneidet.
Es gibt eine Methode zur Konstruktion der senkrechten Abs&tze der
Stufenlinie, die in mancben Fallen nutzlich sein kann, obgleicb man in
der Eegel ohne sie auskornmt und einfach nacb Augenmafi zeicbnet. Es
seien A und B (Fig. 75) zwei benacbbarte Scbnittpunkte der Kurve mit
borizontalen Abscbnitten der Stufenlinie; das
- zwischen A und B liegende Stuck der Kurve
sei ein Stuck einer Parabel, deren Achse der
#- Achse parallel ist. Die Lage des senkrecbten
Absclmitts der Stufe zwiscben A und B ist
dann durcb eine einfache Konstruktion be-
stimmbar. Man lege durcb den Halbierungs-
punkt der Sebne AB (Fig. 75) eine Par-
allele, CD zur &- Achse, welche die Parabel in
D scbneidet. Der senkrecbte Teil der Stufe EH scbneidet CD in
einern Punkte zwiscben C und D, dessen Entfernung von C doppelt
so grofi ist wie seine Entfernung von D. DaB dies die ricbtige Lage
von EH sein muB, folgt, wenn bevviesen werden kann, daB der FlSchen-
inhalt von ADBQA gleich dem des Recbtecks EH B Gist. Die Fliiche
ADBGrA zerfallt in zwei Teile: das Dreieck ABG und die von der
Kurve und der Sebne eingescblossene Flacbe AD BOA. Das Drei-
eck ist gleicb dem Recbteck FJBG-, wabrend ADBCA gleicb zwei
Dritteln des Parallelogramms MNBA und daber gleicb dem Recbt-
eck EHJFht. Zusammen sind sie also gleicb dem Recbteck EHB G
und die von Stufenlinie und Kurve eingescblossenen Flilcben auf bei-
den Seiten von EH sind daber inbaltsgleicb.
Nimmt man die Kurve zwiscben A und B als Stuck einer Parabel
an, deren Achse mit der Ordinatenacbse parallel ist, so muB die Kon-
struktion etwas vera"ndert werden. Durcb den Halbierungspunkt C
der Sebne AB (Fig. 76) lege man eine Senkrecbte^ deren Scbnitt-
punkt mit der Parabel D sei. Auf CD sucbe man den Punkt 7f
zwiscben C und D, dessen Entfernung von C doppelt so grofi ist
wie die von D uud lege durch ibn eine Parallele zur Sebne AB,
13. Graphische Integration
93
Die Parallele schneidet eine durch C gelegte Horizon tale im
Punkte L.
Dann muB EH durch L gelieu, vvie sich fblgendermaBen beweisen
laBt. Der Inhalt der von der Parabel ADB und der Sehne AB be-
grenzten Flache ist gleich zwei Dritteln dcs Fliicheninhaltes von
MNBA, wenn MN die Tangente der Parabel im Puukte 1) ist.
Nennen wir den Sehnittpunkt von NM mit der durch (7 laufenden
Horizontalen D', so haben wir offenbar
/y T 2 /"> n'
is Lt = ~- O JJ
Also ist das Rechteck E1IJF der von Parabel
und Sehne begrenzten Flache inhaltsgleich und
EHBG ist inhaltsgleich ADSGA.
Jede beliebige Kurve kaim an jeder
Stelle durch ein Parabelsttick angenahert
werden, wenn der anzunuherude Toil der
Kurve klein genug gewilhlt wird. Ist die
Richtung der Kurve nirgeuds den Ko-
ordinatenachsen parallel, so konnen beide
Arten von Parabeln als AnnShe-
rung verwendet werden, sowohl
die, deren Achsen der.r-Aelise, wie
die dereti Achsen der ?/- Achse par-
allel sind. Ist aber die Richtung der Kurve in einem ihror Puukte
horizontal (Fig. 76), dann konnen nur die Parabeln mit senkrechter
Achse, und ist sie in einem Punkte vertikal, nur die mit homontaler
Achse benutzt werden. Jenachdem muB also die eine oder die andere
Konstruktion gewahlt werden, um die Lage des senkrechten Stufen-
absatzes zu bestimmeu.
Man zeichne die Stufen nicht zu klein. Obgleich man dadurch
den Unterschied zwischen der gebrochenen Linie und der Integral-
kurve verkleinern wurde, so erwUchst aus der groficreti Anzahl von
Eeken der gebrochenen Linie die Gefahr der Summierung von kleinen
Zeichenfehlei*n, die an den Ecken nicht gan/ zu yermeidcn yind. Nut-
die praktische Erfahruug lehrfc die der Methode angeniessenste Stufen -
grb'Be zu finden.
St.tische Momente von Flache u konnen durch doppelte Integra-
tion gefunden werden. Betrachten wir die von der Kurve y f(x)
(Fig. 77), der re- Achse und den Ordinaten JF= und a= g begi-enzte
Flache. Das statische Moment mit. Bezug auf die durch or =* g ge-
Fig. 76.
94
Drittes Kapitel. Graphische Tnfinitesimalrechnung
legte Senkrechte 1st das Integral der Produkte jeden Elements
ydso und seiner Entfernung x von der Senkrechten
Betrachten wir M als Funktion von
so ergibt die Differentiation
Man erkennt also, dafi eine graphische Integration der in x an-
fangenden Kurve y = f(x) die Kurve liefert, deren Ordinate -jy ist.
Daber wird eine zweite Integration dieser letzteren Kurve die Kurve M
als Eunktion von ergeben. Da M fur = verschwindet, muB die
zweite Integration auch bei der Abszisse x = anfangen.
Fig. 78.
Pig, 78 zeigt ein Beispiel. Jede Ordinate der durck die zweite
Integration gefundenen Kurve ist das statische Moment der auf ibrer
linken Seite liegenden Flacbe mit Bezug auf die Vertikale durcb die-
selbe Ordinate. Die am weitesten nacb rechts liegende Ordinate ist
das statiscbe Moment der ganzen Flacbe mifc Bezug auf die recbts-
iiegende Vertikale. Das statiscbe Moment der ganzen Flacbe init Be-
13. Graphische Integration 95
zug auf eine Vertikale durch einen beliebigen Punkt x 1 1st das Integral
/ 0*i x
a
Betrachtet man es als Funktion von x^ so 1st sein Diflerentialkoeffizient
fd r
J "dx\ & ~ *> ydx = J ydx -
Das besagt, daB der Differentialkoeffizient von x 1 unabbangig und
also das statische Moment durch eine Gerade dargestellt 1st. Da sein
Differentialko efficient durch die Horizontala durch den letzteji Punkt
rechts auf der Kurve x
jydx
dargestellt 1st, findet man die Richtung der Geraden, indem man eine
Linie durch den Punkt P und den Schnittpunkt Q der Horizontalen
mit der Ordinatenachse zieht (Fig. 78). Die Lage der Geraden isfc
dann bestimmt durch die Bediugung, da6
fur # = dein statischen Moment
gleich ist, man braucht daher nur durch den letzten Punkt E der
durch die zweite Integration gefundenen Kurve fur M() eine Par-
allele zu PQ zu ziehen. Die Ordinaten dieser Geraden fur eine be-
liebige Abszisse x l stellen die Werte von
I
e t x)ydss
in der Langeneinheit der Ordinaten gemessen, dar. Der Schnittpunkt E
mit der ic-Achse bestimmt die Lage der Senkrechten, in Bezug auf
vvelche das' statische Moment gleich Null ist, d. h. der durch den
Schwerpunkt ftihrenden Senkrechten.
96 Drittes Kapitel. Graphische Infinitcsimakechnung
Das Tragheitsmoment der Flache
ft**
6
in Bezug auf die Achse x = | laBt sich auf dieselbe Art ermitteln.
Es wird ausgedriickt durch das Integral
Betrachtet man es als Funktiou von , so ergibt die Differentiation
" 6
dT -\(* xV*
-jjj L(s &) $
d. h. der DifFerentialkoeffLzient ist zweimal so groB wie das statische
Moment in Bezug auf dieselbe Acbse. Dies gilt fur jeden Wert von |.
Man erhalt also durch Integration der Kurve fur Jf() den Wert ^T
als Funktion von J. Fur g hat man T == 0, so dafi die Kurve
auf der a;- Achse in = anfangt.
Das Integral
jydx
a
1st Null fttr a? = a. Die das Integral darstellende Kurve muB die
x- Achse in x == a schneiden (wobei Werte x > a und x < a zuge-
lassen sind) und von diesem Punkte ausgehend konstruiert man die
gebrochene Linie. LaBt man sie statt dessen vom Punkte x = a, # = <?
ausgeben, so ist der einzige Unterschied, daB die ganze Integralkurve
parallel zur Ordinatenachse um einen Betrag c nach oben, wenn c
positiv, und nach unten, wenn c negativ ist, verschoben wird; di*
Form der Kurve aber bleibt unverandert. Etwas anderes ist es, wenn
die Kurve zum zweiten Mai integriert wird. Denn statt
X X
J ydx integriert man nun J ydx + c.
a a
Die Ordinate dor Integralkurve wird daher um einen Betrag = c(x )
verandert, und wenn zudem die zweite Integralkurve in x - a, y (\
anstatt in x = a, y = anfangt, so betragt die Veranderung
c(x a) + %,
so daB die Differenz zwischen den Ordinaten der neuen Integralkurve
und den Ordinaten der Geraden
13. Graphische Integration
97
y C (x a) + 6^
den Ordinaten der ersten Integralkurve (Fig. 79) gleich wird.
Diesc Wirkung der Hinzuaddierung eincr linearen Funktion 2u
den Ordinaten der Integralkiirve wird ebenfalls erreicht durch ein
Verschieben des Pols P iiack oben oder unten. Denn es kommt offen-
bar auf dasselbe hinaus, ob die zu integrierende Kurve urn den Be-
trag c nach oben oder ob der Punkt P um denselben Betrag nach
unten verscboben wird, so daB die gegenseitige Lage von P und der
zu integrierenden Kurve zu einander dieselbe 1st wie vorlier. Eine
Fig. 7y.
Veranderung der Ordinate von P um c verSndert die Ordinaten
der Integralkurve um c(x a). c(x a) ist die Ordinate einer zu
der Verbindungslinie von dem neuen P mit dem Nullpunkt parallelen
Geraden.
Durch dieses Verfahren, die Verschiebung von P nach oben oder
unten, gelingt es mitunter die Integralkurve ohne Verkleinerung des
MaBstabes der Ordinaten innerhalb der Dimensionen des KeiBbretts
zu behalten. Eine gute Regel ist, die Ordinate von P etwa gleich
der mittleren Ordinate der zu integrierenden Kurve zu wilhlen. Die
Ordinaten der Integralkurve werden dann an beiden Enden ungefahr
gleich sein. Der Wert des Integrals
X
J yd?
ist gleich der Differe&z zwischen der zu x geh<5rigen Ordinate der
Integralkurve und der zu x gehorigen Ordina,te einer parallel zu PO
98 Drittes Kapitel. Graphische Innnitesimalrechnung
durch den Puakt der Integralkurve mit der Abszisse a gelegten Ge-
raden. bedeutet dafiir den Anfaugspunkt des Koordinatensystems
und P braucht nicht auf der ru-Achse zu liegen.
Wenn die Ordinate von P genau gleich der mittleren Ordinate
der zu integrierenden Kurve fiir das Intervall x = a bis 6 1st, werden
die Ordinaten der Integralkurve an beiden En den genau gleich sein.
Aber die mittlere Ordinate 1st nicht bekannt, bevor nicht die Kurve
integriert ist.
JSTachdem sie integriert ist, findet man die inittlere Ordinate fur
den Zwischenraum cc = a bis 6, indem man durch P eine Parallele
zu der Sehne AB der Integralkurve legt, wo die Punkte A und 7>
zu den Abszissen x = a und x = b gehoren. Diese Gerade schneidet
die Ordinatenachse in eiuem Punkte,
dessen Ordinate die inittlere Ordi-
nate ist.
Denken wir uns uinen Balken, der
an beiden Enden unterstiitzt und mit
einer Last belastet ist, die so verteilt
sei, wie Fig. 80 es zeigt, d. h. die auf dx ruhende Last sei gemessen
durch die Flache ydx. Integrieren wir diese Kurve graphisch, indem
wir im Punkte A anfangen und P auf der Linie A B annehmen. Die
letzte Ordinate im Punkte JE? der Integralkurve
.r
fyd*
a
gibt die ganze Last und ist daher gleich der Summe der beiden Auf-
lagerdrucke in A und J5, die der Last das Gleichgewicht halten.
Durch die zweite Integration dieser Kurve erhalt man die Kurve,
deren Ordinate gleich
X *
CYdx, ist, wo Y fur Jydx
a a
geschrieben ist. Die Ordinate dieser Kurve an einem beliebigen Punkte
x == stellt das statische Moment der Last zwischen den Senkrechten
x = a und x = g in Bezug auf die Achse x =* dar. Ihre letzte
Ordinate BM (Fig. 81) ist das Drehungsmoment der ganzen Last
um den Pankt B und, da die Auflagerdrucke die Last im Gleich-
gewicht halten, muB es dem Drehungsmoment der Auflagerdrucke
um deaselben Punkt und daher dern Drehungsmoment des Auflager-
druckes in A urn JS entgegengesetzt sein. Wir haben also, wenn
der Auflagerdruck in A mit F a bezeichnet wird,
d. h. F a ist gleicToi der mittleren Ordinate der Kurve
X
Y^fydx
a
in dem Intervall x a bis &. Die mittlere Ordinate findet man, in-
dem man eine Parallele zu AM durch P ziebt, welche die Senkrechte
durch A ira Punkte F schneidet, so daB AF = F a . Da DJ5 der
Surame beider Auf lagerdrucke gleicb ist, wird eine Horizontale durch
F die Strecke DJ5 in J? = F a und (?D F b teilen.
Verscbiebt man P auf die Horizontale FG nacb P' und wieder-
holt die Integration
so erhiilt man eine Kurve mit gleicben Ordinaten an beiden Enden.
Fangt man in A an, so muB sie in B enden. Ihre Ordinaten sind
gleicb der Different der Ordinaten der Sebne ^ Jlund der Kurve AM
(Fig. 81) und stellen das Drebungsmornent aller auf einer Seite eines
beiiebigen Punktes des Balkens angreifenden Krafte um diesen Punkt
dar (Last und Gegendruck des Auflagers).
100 Drittes KapiteL Graphische Infipgtesimalrechnnng
Der Flacheninhalt einer geschlossenen Kurve lafit sich durch Inte-
gration uber die ganze Grenzlinie ermitteln. Setzen wir x a und
x = b als die beiden auBersten Abszissen einer gescblossenen Kurve,
so daB die Senkrechte x = a die Kurve ira Punkte A, und die Senk-
rechte x b sie im Punkte B bertihrt (Fig. 82). Durch A und B
ist die geschlossene Kurve in zwei Teile zerlegt, deren jeder A und
B verbindet. Bezeichnen wir den oberen Teil mit y^f v (x) und den
Fig. 82.
unteren mit y f%(x), dann ist der Flacheninhalt im ganzen sleich
der Different 8
r r - ?
Jt\(x)dx -Jft(x)dx Oder gleich J f^x)** + f\(x)dx.
"a a ' {
Wir lassen die Integralkurve liber den oberen Teii an einem be-
liebigen Punkt E auf der Senkrechten x*~a anfangen und zeichnen
die gebrochene Linie bis F auf der Senkrechten x = b (Fig. 82).
Dann integrieren wir wieder zurttck, uber den unteren Teil und setzen
die gebrochene Linie von F nach ^ fort. Die Linie EG, in der fur
die Ordinaten gewShlten Langeneinheit gemessen, ist dann gleich
dem Flacheninhalt. Die Flacheneinheit ist dabei gleich dem Recht-
eck, das von PO und der Langeneinheit der Ordinaten gebildet wird.
Der Flacheninhalt ist also gleich dem des von PO und E& ffebil-
deten Eechtecks.
Die Methode ist nicht auf den in Fig. 82 gezeichneten Fall be-
schrJinkt. Fig. 83 zeigt einen komplizierteren Fall. Aber in alien
13. Graphische Integration
101
Fallen, wo es nicht darauf ankommt, die
Integralkurve, sondern nur darauf, die
Differenz zwischen der ersten und der
letzten Ordinate zu tinden, ist die Methode von geringem Wert, weil
sie mit dem Planiraeter nicht konkurrieren kann.
Beim Konstruieren der gebrochenen Linie sind bisher die Stufen
so gezeichnet worden, daB die Flachen auf beiden Seiten des senk-
rechten Stufenabsatzes einander gleich waren. Es ware gerade so
zulassig, die Stufenlinien so anzuordnen, daB die Flachen auf beiden
Seiten ihrer horiz ontalen Abschnitte einander gleich waren (Fig. 84).
/ /
// A
Fig. 64.
102 Drittes Kapitel. Graphische Infinitesimalrechnung
Die gebrochene Linie wiirde sich dann aus einer Eeihe von Sehneu
statt aus Tangenten der Integralkurve zusammensetzen. Die Punkte
JT a , If 6 , ..., wo die horizontaleu Stufenabslitze die Kurve schneideri,
wiirden die Abszissen derjenigen Punkte der Integralkurve angeben,
wo ihre Eichtung der Eichtung der gebrochcnen Linic parallel ist.
Aber dies hilt't zum Zeichnen der Integralkurve nur wenig, und das
ist der Grund, warum die erste Methode, wo die gebrochene Linie
aus Tangenten besteht, vorzuziehen ist. Wo es sich indessen nur
darum handelt, die letzte Ordinate der Intcgralkurve zu linden, sind
beide Methoden von gleichem VVerte.
14. Graphisclie Differentiation.
Die graphische Differentiation einer Funktion, die durch eine
Kurve dargestellt wird, ist weniger befriedigend wie die graphische
Integration, weil die Werte des Differen-
tialkoeffizienten meistens durch die Kurve
nicht sehr genau bcstimmt sind. Das Ver-
fahren besteht darin, an die gegebene
Kurve Tangenten zu legen, und durch P
-H 1 ' Parallelen zu diesen zu ziehen (Fig. 85).
\ ^ Die Schnittpunkte diescr Parallelen mit
* der Ordinatenachse liet'ern die Ordinaten
Flg " 85 ' der abgeleiteten Kurve. Die Abszisse zu
jeder Ordinate stimmt mit der Abszisse
des Bertihrungspunktes der entsprechendon Tangente ftberein. Die
Hauptschwierigkeit besteht daiin, die Tangenten genau zu zeichnen.
In der Eegel empfiehlt es sich, eine Tangente von gegebener Eichtung
zu ziehen, und dann ihren Beruhrungspunkt zu bestimmen, anstatt
zu versuchen, fiir einen gegebenen Beriihrungspunkt die Tangente
zu ziehen. Eine Methode, den Beriihrungspunkt genauer als durch
bloBe Anschauung zu bestimmen, besteht darin, zur Tangente parallel
eine Anzahl von Sehnen zu ziehen und sie zu halbieren. Die Halbierungs-
punkte bilden eine Kurve, die die gegebene Kurve im Beriihrungs-
punkte der Tangente schneidet (Fig. 86). Wenn eine Anzahl Tangenten
gezogen, ihre Beriihrungspunkte bestimmt, und die die Differentiai-
koeffizienten darstellenden Punkte konstruiert sind, muB die differ en -
zierende Kurve durch diese Punkte gezogen werden. Dies gelingt
am sichersten mit Hilfe der Stufenlinie. Die hoiizontalen Stufenteile
gehen durch die Punkte, wahrend die senkrechten Abschnitte jedesmal
mit dem Schnittpunkt zweier aufeinander folgender Tangenten au'f
14. Graphische Differentiation
103
derselben Senkrechten liegen. Die differenzierende Kurve verbindet
die Punkte derart, daB die Fl&chen zwischen ihr und der Stufenlinio
auf beiden Seiten jedes senkrechten Stufenabsatzes gleich sind. So
Fig. 86.
ergibt sick bei der graphischen DiiFerentiation geiiau dieselbe Eigur
wie bei der Integration, nur werden die Operationen in umgekehrter
Beihenfolge vorgenommen.
Fig. 87,
Eine Veranderung der Entfernung PO (Fig, 87) verJindert die
Ordinaten der differenziercnden Kurve im selben Verhaltnia und aus
demselben Grunde wie sie bei der Integration die Ordinaten der
104 Drittes Kapitel. Graphische Infinitesimalrechnung
Integralkurve verandert, aber im umgekehrten Sinne. Jede Anderung
der Ordinate von P verschiebt nur die Kurve urn den gleiehen Be-
trag naeh oben oder unten, sodaB, wenn gleichzeitig die #-Achse
verandert und durch das neue P gelegt wird, die Ordinaten der
Kurve sich gleicb bleiben und den Differentialkoeffizienten darstellen
werden,
1st eine Funktion /'(#, y) von zwei Veranderlichen durch ein
Diagramm gegeben, welcbes die Kurve /*(#, y) = const, fur tiqui-
distante Werte von f(x, y) zeigt, so konnen die partiellen Differen-
tialkoeffizienten an einem beliebigen Punkte # , y Q gefunden werden,
indem man Kurven zeichnet, deren Ordinaten f(x 9 y^) zur Abszisse $
oder /*(#< y) zur Abszisse y darstellen und die oben angegebene
Methode anwendet. Zu diesem Zwecke zieht man eine Parallele zur
oj-Achse z. B. durch den Punkt a? , y und errichtet an den Punkten,
wo sie die Kurven f(x, y) const, schneidet, Ordinaten, die die Werte
von /*(#, # ) in irgend einem passenden MaBstabe darstellen. Durch
die so gefundenen Punkte ziebt man dann eine glatte Kurve und die
Tangerite derselben im Punkte # liefert den Differentialkoeffizienten
gfBr.-^y-y..
Die Difterentialkoeffizienten J-^ -~ lassen sich graphisch am
besten durch eine Gerade darstellen, die vom Punkte # 7 T/, dem die
Differentialkoeffizienten entsprechen, ausgeht und deron Ltinge und
Eichtung derart sind, daB ihre orthogonalen Projektionen auf die
,/} f 7\f
x- und 7/-Achsen gleich ^~ und A- sind. Diese Linie stellt den Gra-
dienten der Funktion f (a 1 , y) im Punkte x^ y dar. r ) Sie ist recht-
winklig zur Kurve f(x, y) const., die durch den Punkt a?, y hiu-
durchgeht. Hire B/ichtung ist die der steilsten Steigung. Ihre Lange
miBt die Neigung der FlUche s = f(x^ y) in der Richtung der steilsten
Steigung. Dies lafit sich durch Betrachtung der Neigung in einer
beliebigen anderen Richtung zeigen, Verandern wir $ und y um
r cos a, r sin a
und betrachten wir die entsprechende Vertlnderung
A# f(x + r cos , y + r sin a) f(x, y)
der Funktion. Nach dem Taylorschen Lehrsatze kann man dafur
schreiben
1) Siehe Kap. IT, 10.
15. Diiferentialgleichungen erster Ordnung 105
Q / O f
~~ r cos a + -rr- r sin a 4" Glieder hoherer Ordnung in r.
# ist die Richtung vom Puukte #, ?/ nach dem neueu Puukte
x + r cos a, T/ + r sin , und r ist die Entfernung der beiden Punkte.
Teilt man A durch r und luBt r sich der Null nfthern, so findet man
lini - = -5 cos a + o sin a.
r ex oy
Dieser Ausdruck miBt die Neigung der Fliiche g => /'(#, y) in der
Richtung a. Fiihrt man nun die Liinge I und den Winkel A des
Gradienten ein und schreibt
df . . cf 7 . ,
.L j cos i ' = Z sin A ,
dx 3y
1 f s\ f
dann hat man cos a + : J- sin a I cos ( A).
(j oc G y
Das will sagen: die Neigung in einer beliebigen Richtung a ist pro-
portional cos (a A)-, sie hat ihr Maximum in der Richtung des
Gradieuten ( = A), wird Null in einer dazu rechtwinkligen Richtung,
und negativ in alien Richtungen, die einen stumpfen Winkel dazu
bilden. Werden alle drei Koordinaten in gleichen Einheiten gemes-
sen, so ist die Lange von , in dieser Einheit gemessen, gleich der
Tangente des Winkels der steilsten Neigung. Wenn die Llingen-
einheit, in welcher die Werte von f(x, y) aufgetrageu sind, unver-
andert bleibt, wahreud die den Werten x und?/ entsprechende Langen-
einheit geandert wird, so verSndert sich die Lange des Gradienten
wie das Quadrat der Langeneinheit.
15. Differentialgleiclnmgen erster Ordnuag.
Stellt man sich die Aufgabe eine Differ en tialgleichung erster
Ordnung d y
auf graphischem Wege zu loseu, so ist die erste Frage die, wie die
Diflferentialgleichung graphisch gegeben sein soil. Wenn x und y die
Werte rechtwinkliger Koordinaten bezeichnen, so ist die geomctrische
Bedeutung der Diifferentialgleichung, daB an jedem Punkte .-, y, wo
/*(#, y) detiniert ist, die Gleichung eine bestimmte Kurvenrichtung
vorschreibt. Man denke sich durch alle Punkte, fur welche f(x, y)
gewisse konstaute Werte hat, Kurven ge/.ogen, dann entspricht jede
Kurve einer gewissen Richtung oder der entgegengesetzten. Bezeich-
106
Drittes Kapitel. Graphische Infinitesimalrechnung
9
nen wir nun die Kurven
durch Zahlen oder Buch-
stabeii, und zeichnen ein
Strahlcnbusckel , dessen
Strahlen mit denselben
Zahlen oder Buchstaben
versehen werden, in der
Weise, da 8 jede von ihnen
die Kichtung auf der mit
der gleiclien Zabl oder
dem gleicben Bucbstaben
bezeichneten Kurve an-
zeigt (Fig. 88). Die Zeich-
nung beschrankt sicb na-
ttirlick auf einen gewissen
Bereich, innerhalb dessen
wir die der Differential-
gleichung geniigendeii
Kurven aufzufinden be-
absicbtigen. Es kann sein r
dafi f(x,y) uber die Zeich-
nung hinaus aucb noch
defimert ist; diese Be-
reiche miissen dann fiir
sich behandelt werden.
Die graphische Dar-
stellung der Differential-
gleichung im betrach-
teten Bereich besteht in
der Beziehung zwiscben
den Kurven und den
Strablen. Man beacbte
besonders, daU diese Dar-
stellung von dem Koordi-
natensystem unabhangig
.ist, mit dessen Hilfe die
Kurven aus d er Gleicbtmg
abgeleitet worden sind.
Man katin nun ein be-
16. Differ entialgleichnngen erster Ordnung 107
liebiges Koordinatensystem , q einfuhren, und durch die Zeichnung
die Gleichung j
defmiercn, d. h. man kann den Wert von qp(|, 17) an irgend einem
Punkte g, 12 unserer Zeichnung ermitteln. Wenn z. B. die Langen-
einheit fur und 17 die gleiche ist, zieht man durch den Mittelpunkt
des Strahlenbuschels in der Richtung der positiven -Aehse eine
Gerade und in der Entfernung 1 vom Mittelpunkte eine dazu rechtwink-
lige Gerade. Der Abschnitt auf der zweiten Geraden zwischen der ersten
Geraden und dem Schnittpunkt mit einem der Strahlen liefert, in
Langeneinheiten gemessen, und in der Richtung des positiven 77 po-
sitiv gezahlt, den Wert von g>(g, 17) fur alle dem betreftenden Strahl
entsprechenden Punkte g, 17. In dieser Beziehung ist die graphische
Darstellung einer Differentialgleichung der analytischen Form iiber-
legen, in welcher bestimmte Koordinaten benutzt werden und der
Obergang zu einem anderen Koordinatensystem einige Bechenarbeit
verursacht.
Suchen wir nun einmal die durch einen gegebenen Punkt P auf
der mit (a) bezeichneten Kurve (Pig. 88) hindurchgehende Kurve zu
finden, die der Differentialgleichung gentigt. Man beginnt damit eine
Reihe von Tangenten einer Kurve zu zeichnen, die als erste Annahe-
rung dienen soil. Durch P zieht man eine Parallele zu dem Strahl
(a) bis nach dem Punkte Q etwa in der Mitte zwischen den Kurven
(a) und (ft). Durch Q wird eine Parallele zum Strahl (b) nach dem
etwa in der Mitte zwischen den Kurven (fc) und (c) gelegenen Punkte
Jt gezogen. Durch E legt man wieder eine Parallele zu dem Strahl
(c 1 ) und so fort. Die diese gebrochene Linie an den Schnittpunkten
mit den Kurven (a), (b) . . . bertihrende Kurve ist eine erste An-
niiherung, aber man braucht diese Kurve nicht zu zeichnen. Um eine
bessere Annaherung zu linden, fiihrt man ein System rechtwinkliger
Koordinaten #, y ein, dessen aj-Achse etwa in der inittleren Richtung
der gebrochenen Linie liegt. Nennen wir y^ die Funktion von #, die
der ersten Annaherung entspricht. Dann erhlilt man die zweite An-
naherung y 2 als eine Integralkurve von f(x, y)
y =ss y
y y p
wo iCp, y p die Koordinaten von P bezeichnen. Zu diesem Zwecke muB
zuerst die Kurve konstruiert werden, deren Ordinaten gleich f(x, y^)
sind. Die Werte von /'(#, y^) findet man in den Punkten, wo die
108 Drittes Kapitel. Graphische Infinitesiinalrechnung
erste Annaherung die Kurven (a), (&) . . . schneidet, in der schou oben
beschriebenen Weise. Durch den Mittelpunkt des Strahlenbiischels
wird eine Parallele zur #-Achse gezogen und in einer als Langen-
einheit gewahlten passenden Entfernung vom Mittelpunkt eine dazii
rechtwinklige Gerade. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit den
Strahlen geben Abschnitte, deren LSngen gleich den Werten /*(#, y^)
auf den entsprechenden Kurven sind. Diese Werte triigt man als
Ordinaten zu den Abszissen der Schnittpunkte der ersten Anniiherung
mit den Kurven (a), (&), . . . auf und zeichnet nun eine Kurve
(Fig. 88). Diese Kurve integriert man graphisch, mit dem Punkte P
beginnend, dann ist die Integralkurve eine zweite Anniiherung. Auch
diese Kurve braucht man nicht zu zeichnen; wenn eine dritte An-
naherung konstruiert werden soil, geniigt die gebrocheiie Linie. In
diesem Falle mu6 das obige Yerfahren wiederholt werden, was dieses
Mai viel schneller geht als vorher, weil die Werte /"(a?, y) auf den
Kurven (a), ([>) . . . bereits konstruiert sind und zur Verfugung stehen
Urn die Kurve Y = f(x, y,}
zu finden, braucht man nur dieselben Ordinaten neuen Abszissen zu-
zuordneu, den Abszissen der Schnittpunkte der zweiten Annaherung
mit den Kurven (a), (&) ... Dann wird die Kurve
gezogen und vom Punkte P anfangend graphisch integriert.
Angenommen nun, die Integralkurve unterschiede sich nicht von
der zweiten Ann&herung, so wiirde das bedeuten, daB
2/2 y p +f& y*) dx oder da6 ^ f( x > %) -
d. h. daB y% der Differentialgleichung geniigt.
Wenn eine wahrnehmbare Abweichung besteht, stellt die Integral-
kurve eine dritte AnnSherung dar. Picard hat gezeigt, daB man auf
diesem Wege fortschreitend (unter einem unten zu entwickelnden
Vorbehalt) die gegen die wahre Losung der DiiBferentialgleichung
konvergierenden AnnSherungen findet, so daB nach einer Anzahl von
Wiederholungen des Verfahrens der Fehler der Annaherung unmerk-
lich werden muB.
Bezeichnet man mit y n die Funktion der M-ten Annaherung, so
hat man
16. Differentialgleichungen erster Ordnung 109
Unter denselben Anfangsbedingungen y = y fur x = x p geniigt
die wahre Lflsung der Gleiehung:
y
Daraus ergibt sich, da6
Oder
Nehmen wir nun an, daB der absolute Betrag von
fiir alle Werte von #, t/, y n innerhalb des betrachteten Bereichs eine
gewisse Grenze M nicht liberschreitet, dann folgt daraus, daB die
folgende Beziehung zwischen dem Maximalfehler von y n , der mit e n7
uud dem Maximalfehler von y n i, der mit n4>1 bezeicbnet sei, be-
stehen mu6. Da der absolute Wert des Integrals nicht groBer ist aLs
Me n !*->!
(wo I x x p I den absoluten Wert von x x p be^eichnet), so haben wir
Folglich kann, so lange die Strecke x x p , liber welche inte-
griert wird, so klein ist, daB
der Maximalfehler von y n +i nicht groBer sein, als ein gewisser
Bruchteil des Maximalfehlers von y n . Ebenso aber folgt es, daB der
Pehler von y n nicht groBer sein kann als derselbe Bruchteil des
Maximalfehlers von y w _i und so fort, so dafi
Da aber c l eine Konstante ist und Jc eine Konstante, die kleiner ist
HO Drittes Kapitel. Graphische Infinitesimalrechnxmg
als 1, so mufi k n e^ fur einen hinreichend hohen Wert von n so klein
werden, wie man will, d. h. die Annaherungen konvergieren gegen
die wahre LSsung.
Da M erne gegebene Konstante ist, so wird die Bedingung der
Konvergenz M\*-x,\k<l
I p i -__
die Integration in der Richtung der #-Achse beschr&nken; aber das
Verfahren kann trotzdem fortgesetzt werden, denn man kann jeden
beliebigen Punkt P', der mit hinreichender Genauigkeit erreicht ist,
zu einem neuen Ausgangspunkt machen, indem man eine der nenen
Annahme angemessene neue #-Achse einfuhrt. In der Regel wird es
sich nicht lohnen, den Wert von M zu ermitteln, um dann vermit-
telst desselben das MaB der Konvergenz festzustellen, die Konstrnk-
tion der Annaherungen selbst zeigt gewohnlich deutlich genug, wic
weit die Integration auszudehnen ist. Sobald zwei aufeinander fol-
gende Ann^herungen keine Abweichungen voneinander zeigen, stellen
sie die gesuchte Kurve, d. h. die wahre L<5sung dar.
Angenommen, dafi f(x ^ y ^ _ f(x ^ y)
y* y
fur alle in Betracht kommenden Werte von ic, #, y n eiu negatives
Vorzeichen hat, angenommen ferner, dafi y n y fiir die ganze Aus-
dehnung der Integration
das gleiche Vorzeichen hat, d. h., daB die AnnSLherungskurve y n ganz
auf einer Seite der wahren Kurve liegt, dann muB ofFenbar, wenn
x x positiv ist, y n +i y das umgekehrte Zeichen haben wie y n ?/,
oder die Annaherungskurve 2/ w+1 liegt ganz auf der anderen Seite
der wahren "Kurve, wie y n . Ftir dieso und alle folgenden AnnShe-
rungen muB die gesuchte Kurve zwischen zwei aufeinander folgenden
Annaherungen liegen. Wenn die erste Anniiherung y t ganz auf einer
Seite der gesuchten Kurve liegt, gilt der Satz fiir je zwei beliebige
aufeinander folgende Annaherungen. Dies ist fiir die Schatzung des
Fehlers sehr bequem.
In Pig. 88 ist ffo &)/( y)
2/ y
vom Punkte P bis in die Nahe von 8 negativ. Die erste Anniiherung
liegt ganz oberhalb der gesuchten Kurve. Daher muB die zweite An-
nU,herung in dem Stticke von P bis etwa 8 darunter liegen.
15. Different* algleichungen erster Ordnung JJJ
Wenn das Vorzeiclien von tfayJ ffatf positiv ist, gilt der-
y n y e
selbe Satz fur negative Werte von x x p . Wenn man in der posi-
tiven aj-Richtung integriert hat, kann es sich empfehlen, das Ergebnis
durch Integration nach riickwSrts nachzupriifen , wobei man von
einem erreichten Punkte ausgeht und sich vergewissert, ob die Kurve
zum ersten Ausgangspunkt zuriickkehrt. In dieser Bichtung hat man
den Vorteil, dafi die gesuchte Kurve zwischen aufeinander folgenden
Anniiherungen liegt, und kann die Genauigkeit der Zeichnung besser
beurteilen.
Wir haben gesehen, daft die Konvergenz von dem Maximum des
absoluten Wertes von _
fiir alle in Betracht kommenden Werte von it', y, y n , abhJlngig ist.
Um diesen Maximalwert ZM finden, konnen wir ebenso gut
fiir alle Werte von #, y im betrachteten Bereich untersuchen f denn,
/) /'
wenn man -^ als stetige Funktion von y voraussetzt, so folgt, dafi
der DiflFerenzenquotient /"fe yj f(%, ?/)
9t Vn ~~ y
gleich -^ fiir denselben rr-Wert und einen zwischen y uud ?/ rt liegen-
den ^-Wert sein muB. Dies ist sofort ersiehtlich, wenn man f(x, y)
als Ordinate zur Abszisse y fur einen bestimmten x-Wert auftragt.
Der Wert des Differenzenquotienten wird bestimmt durch die Neigung
der Sehne zwischen den beiden Punkten mi* den Abszissen y und y n .
Die Neigung der Sehne ist gleich cler Neigung der Kurve an einem
bestimmten zwischen den Enden der Sehne liegenden Punkte Der
O f
Wert von ^ an diesem Punkte ist gleich dem Werte von
Ermitteln wir nun, wie das Koordinatensystem am besten zu
wahlen ist, urn g -- so klein wie mSglich zu machen und so die beste
Konvergenz zu erzielen. Zu diesem Zwecke wollen wir untersuchen,
wie sich bei einem Wechsei des Koordinatensystems der Wert von
- an einem bestimmten Punkte ftndert.
112 Drittes Kapitel. Graphische Infiniteaimalrechnuag
Geben wir von einem gegebenen System recbtwinkliger Koordi-
naten |, ij aus und schreiben mit diesem die Differentialgleicbung
Die Riebtung der die Differentialgleichung befriedigenden Kurve
bildet mit der positiven |-Acbse einen Wink el a, den die Formel
bestimmt (vorausgesetzt, daB die Koordinaten in der gleichen Ein-
heit gemessen werden). Fiibren wir nun ein neues System recht-
winkliger Koordinaten x, y ein, das mit dem , ^-System in Be-
ziehung gesetzt wird durch die Gleichungen
x = | cos co -f *YI sin w y = sin o> + n cos eo,
welche gleichbedeutend sind mit
| = it; cos co j/ sin w i] ~ x sin w + # cos co ,
wo w den von der positiven #-Richtung mit der positiven *Rich-
tung gebildeten Winkel in der iiblichen Weise von \ nach x gezahlk
bezeichnet.
Der von der Richtung der Kurve mit der positiven Ricbtung der
.-r-Achse gebildete Winkel ist a w und daber
Folglicb erbalten wir fiir einen gegebenen Wert von w
a/; ^ _______ i__ fa
dy cos 8 (a CD) \dy
oder, da ct als eine Funktion von 5 und 77 gegeben ist,
Der Einfachheit balber nebmen wir an, daB die -Acbse die Taa-
geate der durcb den gegebenen Punkt bindurcbgehenden Kurve
9& n) 5as const, sei, so daB ^? 0.
Dann haben wir
COS
/
und es gilt nun, zu ermitteln, wie i sich fftr verscbiedene Werte
15. Differentialgleichuugen erster Ordnung
113
o
von co andert. g 1st der Gradient von a; er 1st von w unabhtingig
und kann durch eine vom Nullpunkt A (Fig. 89) ausgehende zu der
Kurve a = const, oder g>(, rf) =*= const, rechtwinklige Gerade dar-
gestellt werden. -^
Dafl der Wert von positiv angenomnien ist, bedingt keine
Fig. 89.
Einsehr&nkung; es
bedeutet nur, dafi
die Richtung der
positiven i] - Aehse
in der Eichtung des
Gradienten gewUhlt
ist. Die' Gerade A B (Fig. 89) ziehe
man in der Eiehtung der positiven
|-Achse und mache sie ebenso lang,
wie den Gradienten.
Urn die Werte von fttr die verschiedencn Lagen der o?-Achse
ay . df
Anschauung zu bringen, trage man die Werte vor ^- als Ab-
or, - den Wert
szissen auf der #-Achsc auf ; z. B. nimmt ftir co
-g- cos ct an. Die diesem Werte entsprechende Abszissse ist AB'
(Fig. 89), die Orthogonalprojektion von A B auf die in der Eichtung
a = a gewahlte fl?-Achse. Fiir eine beliebige andere, irgend einem
anderen Werte von co entsprechende, Lage AC (Fig. 89) findet man
Drittes Kapitel. Graphische Infinitesimalrechmmg
!~ cos < durch. Orthogonalprojektion von AB auf die Richtung von
oi\
AC. Die Division durch cos (cc co) liefert dann AC' und eine noch-
malige Division durch cos (cc co) ffthrt dann auf AC, wo C'C senk-
recht zu AC' gezogen ist. So lafit sich eine Kurve konstruieren,
7)f
deren Polarkoordinaten r = -^- und co sind, deren Gleichung in Po-
larkoordinaten also lautet:
a cos to T , t .. < cu
-------- .
7 cos* (cv
T , t .. <
. --- oder >* cos (a o>.) J- = - r cos co .
* cv ft> L * o
In rechtwinkligen Koordinaten |, 17 ausgedriickt, nimmt die Gleichung
die Form
(cos a^ + sm
an. Dies zeigt, da6 die Kurve eine Parabel ist, deren Achse zu der
Richtung a rechtwinklig ist. AB' ist eine Sehne und der Gradient AG
ist eine Tangente der Parabel. Halbiert man AB' und zieht durch
den Halbierungspunkt JB rechtwinklig zu AB' bis zur if Achse die
Gerade EK, so findet man ini Halbierungspunkt dieser Geraden den
Scheitelpunkt J) der Parabel. Die drei Punkte J., B\ D zusammen
mit dem Gradienten geniigen, um uns tiber die Gr6Be und das Vor-
xeichen von ^~ fur die verschiedenen Lagen der positiven .T- Achse
oy
zu orientieren.
f\f
~ vcrschwindet, wenn die x- Achse zu der Kurve o; == const.
dy
rechtwinklig steht, so daB dies die giinstigste Lage zu sein scheint.
Man nmB aber im Auge behalten, daB die x- Achse fiir eine gewisse
Ausdehnung der Integration dieselbe bleibt. Wenn wir zu anderen
Punkten ubergehen, ist die Kurve cc const, dort nicht mehr recbt-
winklicr zur a;- Achse. Die Lage der x- Achse ist giinstig, wenn der
/5/*
Durchschnittswert von ~ klein ist. In Fig. 90 sind die Parabeln fur
eine Anzabl Punkte an einor der Diiferentialgleichung in erster An-
naherung genugenden Kurve konstruiert.
Wenn die Parabeln dazu dienen sollen, die numerischen Werte
von |~~ zu geben, muB auch die LSlngeneinheit, in der die Koordi-
naten gemessen sind, angemerkt werden. Der numerisch Wert von
%f
~~~ ilndert sich wie die Lang-en einheit, und daher muB die Lange der
ihn darstellenden Strecken sich wie das Quadrat der Langeneinheit
15. Differentialgleichungen erster Ordnung
115
Sndern. Wenn man aber eine Lime zieht, deren Lange, in derselben
Einheit gemessen, gleich -^ ist, so wiirde diese von der Llmgenein-
dy
heit unabhangig sein. Denn, wenn I die die Langeneinheit darstellende
Mg. 90.
Strecke und l\ I" die die Werte -5 und -5^ darstellenden Strecken
dy \
/) f
sind, so wiirde -* gleich dem Verhaltnis j und
dem Ver-
,
haltnis -y sein; daher J"**-??"' ^ a ^' "bw einer Veranderung der
Langeneinheit sich wie f verlindert, isfc I" von der Liingeneinheit
unabhangig. Diese Linie I" stellt die Grenze dar, jenseits welcher
fif fif
das Produkt %- - 1" grSfier wird als 1. Wenn ^- iiberall denselben
oy <?y
Wert h,tte, wiirde dies die Grenze bedeuten, welche der oben be-
sprochenen Konvergenzbedingung entsprichi Man kdnnte die Lange
Drittes Kapitel. Graphische Inimitesimalrechnung
von JL i n den verschiedenen Richtungen abtragen, ebenso wie ^
J^
abgetragen wurde. Es ergibt sich dann eine Kurve, die der ParabeL
Punkt fur Punkt entspricht, es 1st eine nach reziproken Radien ab-
gebildete Parabel. Aber alle diese Vorbereitungcn lohnen in der
Regel der Muhe nicht Man nimmt besser, obne erst mit dem Sucben
naeh der allergunstigsten Lage Zeit zu verlieren, die Integration
geradewegs in Angriff mit einer x~ Achse, die auf den Kurven a = const.
etwa rechtwinklig steht, so lange die Ricbtung der Kurve mit der
Kurve a = const, einen einigermaBen betriichtlichen Winkel bildet.
Bei der Durchfiihrung des Verfabrens wird die Konvergenz sicb schon
zeigen. Wenn der Winkel, den die Ricbtung der die Differential-
gleichung befriedigenden Kurve und die Kurve a = const, miteinander
bilden, klein wird, riiekt der Scbeitelpunkt der Parabel weit hinaus
und wenn die Ricbtung der bciden Kurven zusammenfallt, I6st sich
die Parabel in zwei zu der Ricbtung der Kurve a = const, rechtwink-
lige Parallelen auf. In diesem Falle ist die bcste Lage fiir die #- Achse
die Richtung der Kurve ct = const. Obne sich in eine ausfubrlicbe
Erorterung der gtastigsten Lage fiir die .r-Acbse einzulassen, kann
man die allgemeine Regel aufstellen, da6 die #-Acbse nicht zu der
die Differentialgleichung befriedigenden Kurve rechtwinklig, d. h. der
Parabelachse nicht parallel sein darf, aber man braucht diese Regel
kaum zu formulieren, denn sie wird sich in der Praxis von selbst
/} f
Geltung verschaffen, weil fiir solche Lage der x- Achse nicht nur ~~ ,
sondern auch /*(o?, y) unendlich werden und es untnoglich sein wiirde,
die Kurve T = /(or, y) aufzutragen.
Es gibt noch eine andere Methode, eine Differentialgleichuug
erster Ordnung
zu integrieren, die in manehen Fallen der oben beschriebenen gleich-
wertig ist. Wie die erstere ist sie einer gewisson numerischen Me-
thode analog.
Die numerische Mefchode geht von gegebenen Werten a', / aus
und berechnet die einer kleinen Veriinderung von x entsprechende
Veranderung von y. Sei h der Betrag der Veriinderung von #, und
k der von #, so da6 x + h und y + k die Koorclinaten eines Punktes
auf der die Differentialgleichung befriedigenden Kurve sind, die durch
16. Differ entialgleicbun gen erster Ordnung 117
den Punkt rr, y bindurcbgebt. k wird auf folgende Weise berecbnet. 1 )
Man berecbnet nacbeinander vier Werte fc x , fr 2 , fc 3 , & 4 aus den folgen-
Gleichungen
Dann bildet man die aritbmetiscben Mittel
j &
und g = -
und findet als sebr nahe Aunaberung, wenn li nicbt zu groB ist
*-I> + i($-lO.
Die neuen Werte x - * + *, Y - y + ft
werden dann far x und y eingesetzt und auf dieselbe Art die Koor-
dinaten eines dritten Punktes berecbnet, usw.
Diese Rechnung kann mit Vorteil auf grapbischem Wege ausge-
ftihi-t werden, wenn die Funktion f(x, y) sicb in einer zweckent-
sprecbenden Weise darstellen laBt. Man denke sicb eine Reibe aqui-
distanter Parallelen zur OrdinateDacbse: x = # , x = x l , x = x% ,
a? =* a? 3 , . . . An diesen Geraden entlang ist /"(#, ^) eine Funktion
von y. Man trSgt nun die Werte von /*(#, y) als Ordinaten zur Ab-
sxisse y ab, wobei die y-Achse als Abszissenacbse dient. So erbaltman
eine Anzabl Kurven, welcbe die Funktionen f(x , y), /*(, , y), /' (# 2 , 2^), . . .
darstellen. Von einem Punkte A(%Q,y Q ) auf der ersten Senkrechten
x = x Q (Fig. 91) ausgebend, gelangt man auf folgende Weise zum
Punkte B i auf der Senkrechten x a; 2 . Eine Horizontale durcb den
Punkt -i fubrt aiif den Punkt A' auf der f(x Q ,y) darstellenden Kurvo.
Seine Ordinate ist gleicb /'(#<) #<>) Ein aus dem Punkte -^' auf die
#-Achse gefalltes Lot ergibt den Punkt A", den man mit P verbindet.
P ist ein Punkt auf der negativen Seite der y-Acbse und die Strecke
PO ist gleicb der Langeneinbeit der /*(#, y) darstellenden Linien, so daB
OA" ___ ( ^
p Q " ~" / V$-> %/
Nun ziebt man AB^ recbtwinklig zu PA", so daB man, wenn die
Differenzen der Koordinaten von A und B l mit h und \ bezeicb-
net werden,
1) Siehe W.Kutta t Zeitschrift fur Matbematik und Phyeik, Bd.46,
S. 443.
118
Drittes Kapitel. Graphische lufinitesimalrechnung
hat. Von Q , dem Schnittpunkte von
AB l mit der Senkrechten x^x 1 a us,
werden (7^ und C," in derselben Weise
bestimmt, wie A' und J." von A aus,
nur daB man C[ auf der Kurve zu suchen hat, die die Werte von f(x^y)
darstellt. Dann zieht man die Linie AB% rechtwinklig zu PC'^. Man
hat nun, wenn die Differenz der Ordinaten von A und J5 2 mit Jc%
bezeichnet wird, OG
__
oder fc 2
Von (7 2 , dern Schnittpunkte der Geraden AB% mit der Senk-
rechten x=*x aus, findet man ebenso einen Punkt i? 3 auf der Senk-
rechten x = XQ und die Differenz 7c a zwischen der Ordinate von J5f s
und der von -4 ist dann
Von B 3 gelangt man auf der Horizon talen zu B$ auf der f(x^y)
darstellenden Kurve und auf der Senkrechten hinunter zu B$. Dann
wird AB rechtwinklig zu PB^' gezogen, so dafi die Differenz fc 4
zwischen den Ordinaten von J? 4 und A
ist. Die Halbierung der Strecken
und j t l>' 4 ergibt die Punkte
16. Differentialgleichungen zweiter und hoherer Ordmmg 119
E l und jE 2 und der Punkt B liegt zwischen E l und E 2 so, daB seine
Entfernuug von E l halb so groB 1st \Vie die von E%. Der Punkt J5
fallt dann mit groBer Genauigkeit auf einen Punkt, der die Diffe-
rcntialgleichung befriedigenden Kurve, die durch A hindurchgeht.
It dient nun als neuer Ausgangspunkt , wie vorher -4, und auf
diese Weise findet man nach einander eine Reihe von Punkten der
gesuchten Kurve.
Urn sich von der erreichten Genauigkeit einen Begriff zu machen,
kann man die Entfemung der parallelen Hilfslinien vergroBern. Man
kann z. B. die Senkrechten x = x und x = x$ auslassen und den
Punkt auf der Senkrechten x = # 4 mit einem Schritt, statt mit zweien
erreichen. Ber Fehler dieses Punktes sollte dann etwa sechzehnmal
so groB sein wie bei dem vorhergehenden in zwei Schritten ausge-
fuhrten Verfahren, so daB der Fehler des ersteren Punktes etwa ein
Funfzehntel der Entfernung zwischen beiden Punkten betragen sollte.
1st ihre Entfernung nun so gering, daB sie nicht in Betracht kommt,
dann sind die Schritte unno'tig klein gewahlt.
Die Werte f(x, y) kSnnen unter Umsi&nden so groB werden, daB
man eine gar zu klein e Langeneinheit anwenden muBte, um sie auf-
tragen r /u konnen. In diesem Falle muB man x und y vertauschen
und die Differentialgleichung in der Form
dx _ 1
"3y ~rt*y)
schreiben. Dann tragt man die Werte von . fur Squidistante
Werte von y als Ordinaten zur Abszisse x auf und andert dement-
sprechend die Konstruktionen.
16. Differentialgleidmngen zweiter und holierer Ordnung.
Diiferentialgleichungen zweiter Ordnung kSnnen in der Form
--
dx* \> dx
geschrieben werden. Fahren wir anstatt des 2 \veiten Differential-
koeffizienten den Krunamungsradius ein und denken wir uns, daB wir
auf einer die Gleichung befriedigenden Kurve entlang gehen in einer
Richtung, die durch den Winkel a, den sie mit der positiven #-Achse
bildet, bestimmt wird (der Winkel auf die tibliche Art von der po-
sitiven aj-Achse durch 90 Grad bis zur positiven ^-Achse und weiter
gezahlt), so haben wir, wenn s die Lange der Kurve von unserem
Ausgangspunkte an bezeichnet,
120 Drittes Kapitel. Graphische Infinitesimalrechnung
dy , dx
- = tg tf , -y = cos cf .
^ , , , dx 6 ' ds
Folghch
d z v * f * 1 da ., da 3 d*y
r_z = ^ -__== _ . oder 3 = cos j a -J-
da:* cos 2 a da; cos 3 a ds ds dx*
-^ gibt die ,,Krummung u , d. h. das MaB der Richtungsanderung beim
& S
Fortschreiten auf der Kurve an und wird positiv gezahlt, wenn die
Anderung nach der Seite der hoheren a- Werte stattfindet (wenn die
positive a?-Achse nach recbts und die positive y-Achse nach oben
liegen, bedeutet ein positiver Wert von -v~ , dafi die Bahn sich nach
links wendet). Geben wir dem Krummungsradius dasselbe Vorzeichen
wie~r- und bezeichnen wir ibn nait ^, so haben wir
ds
_-,= cos 3 cf/*0, y, tg).
Man kann also sagen, daB die Diflferentialgleichung zweiter Ord-
nung den Krummungsradius als Funktion des Orts und der Rich-
tung ausdriickt.
Nehmen wir an, daB diese Funktion dreier Veranderlicher durch
ein Diagramm so dargestellt sei, daB die Lilnge und das Vorzeichen
von o fur jeden beliebigen Punkt und jede beliebige Eichtung leieht
zu ermitteln sind.
Von irgend eineni gegebenen Punlcte und in einer gegebenen
Richtung ausgehend, kann man dann die die
Diflferentialgleichung befriedigende Kurve
durch cine Reihe von Kreisbogen annahern.
Sei A (Fig. 9S) der Ausgangspunkt. Man
zieht M a A rechtwinklig zur gegebenen
Richtung und gibt ihm die Lange ^. Fiir
positive Werte von $ muB M a auf der po-
sitiven Seite der gegebenen Richtung, fitr
negative auf ihrer negativen Seite liegen.
M a ist der Krummungsmittelpunkt der
Kurve im Punkte A. Man schlagt nun mit
> M a A als Radius um M a einen Kreisbogen
A B und zieht die Verbindungslinie BM a .
Auf dieser Geraden oder ibrer Verlangerung wird der Punkt M \
bezeichnet, dessen Entfernung von B gleich dcm Q- Werte ist, der
B und der Richtung des Kreisbogens bei B entspricht. Nun wird
um N b mit dem Radius M b B ein Kreisbogen BC geschlagen, usw.
16. Differentialgleichungen zweiter und hSherer Ordnung 121
Der Krumraungsradius der gesuchten Kurve Sndert sich stetig,
wShrend sich der unserer Anniiherung in A, B, C . . . sprungweise
andert. Je kleiner man die KreisbSgen wahlt, urn so geringer wird,
wenn die Kreisbogen genau gezeichnet sind, die Abweichung der An-
naherung von der wahren Kurve sein. Aber es ist zu beachten, dafi
beim tJbergang von einem Kreisbogen zura anderen kleine Pehler
unvermeidlich sind. Daher wird die Genauigkeit, wenn man die
Kreisbogen so klein macht, daB ihre Zahl fiir ein gegebenes Kurven-
stiick uagebuhrlich groB wird, doch nicht gr5Ber werden, als sie sicb
aucb mit langeren Kreisbogen erzielen laBt. Die giinstigste Lange
laBt sich mathematiscb scbwer bestimmen^ es mufi dies der Erfahrung
des Zeichners liberlassen bleiben.
Etwas ist zu gewinnen, indem man Mittelpunkte und Eadien der
Kreisbogen von den angegebenen Werten abweicben laBt. Der Kreis-
bogen AB (Pig. 92) ist offenbar mit einem zu kleinen Radius ge-
schlagen, da der Radius der Kurve nach B zunimmt. Hatte man
M b als Radius genommen, so ware er zu groB gewesen. Offenbar er-
halt man also eine bessere Annaberung, indem man den Radius des
ersten Kreisbogens dem Mittel von M a B und M b B gleich macbt,
und auch die Richtung, in der dieser Bogen seinen Endpunkt erreicbt,
wird der wahren Richtung naher kommen.
Um sich das Auftragen zu erleichtern, empfiehlt es sich ein In-
strument zu benutzen, das in einem flachen Lineal besteht, an dessen
einem Ende sich ein Loch zur Aufnahme eines Bleistifts, ernes Ka-
pillarrohres, oder einer sonstigen Vorrichtung zum Linienziehen be-
findet. Langs der Mitte des Lineals lauft eine gorade Linie mit Ska-
lenteilung und ein kleiner DreifuB aus Nahnadelspitzen wird mit
einem FuBe auf diese Linie und mit zwei FuBen auf das Papier ge~
stellt. So beschreibt der Bleistift einen Kreisbogen. Wenn der Ra-
dius geandert werden soil, wird das Lineal in seiner Lage erhalten,
indem man es auf das Papier driickt bis der DreifuB an eine andere
Stelle geriickt ist. Mit Hiife dieser Vorrichtung gelingt es den Blei-
stift genau in derselben Richtung weiterzuleiten, wahrend es bei Be-
nutzung eines gewShnlichen Zirkels nicht leicht ist, kleine Uneben-
heiten der Kurve an den Punkten, wo zwei KreisbSgen zusammeu-
stoBen, zu vermeiden.
Eine andere Methode besteht in der Verallgemeinerung der Me-
thodezur graphischen Losung einer Differential gleichung erster Ordnung.
Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung
122 Drittes Eapitel. Graphische Infmitesimalrechnung
kann in der Form zweier simultaner Differentialgleichungen erster
Ordnung gesehrieben werden
dy dz f N
df = *> 35 -*(*>*>*)
Betrachten wir die allgemeinere Form, wo die Diiferentiaikoefti-
zienten ^ und -y-- als Funktionen von #, #, z gegeben sind:
dy ./ v dz f N
Man kann #, #, # als die Koordinaten eines Punktes im Eaume
und die Differentialgleichung als ein Gesetz auffassen, das fur jeden
Punkt im Eaume, wo /"(a?, #, s) und g(x, y, z) definiert sind, eine ge-
wisse Eichtung oder die ihr entgegengesetzte vorschreibt. Eine Kurve
im Eaume geniigt der Differentialgleiehung, wenn sie niemals von
der vorgeschriebenen Eichtung abweicbt. Hire Projektion in der
a?2/-Ebene stellt die Funktion y dar und ihre Projektion in der xs-
Ebene die Funktion $.
Stellen wir y und z als Ordinaten und x als Abszisse in der-
selben Ebene und mit demselben Koordinatensystem dar. Jeder be-
liebige Punkt im Eaume wird durch zwei Punkte mit der gleichen
Abszisse dargestellt. Die Funktionen /*(#, y, i) und g(x, y, z) seien
entweder durch Diagramme oder durch gewisse Konstruktions- oder
Eechenmethoden gegeben. Fur irgendeinen Punkt, mit dem wir es
zu tun haben, werden die Werte von /*(a?, y, i) und g(x, y, z) als Or-
dinaten zur Abszisse x aufgetragen, der tJbersiclit halber- aber nicht
im gleichen Koordinatensystem wie y und 0, sondern in einem an-
deren mit der gleichen Ordinatenachse und einer zu der ersten #-Aehse
parallelen und von ihr hinreichend weit entfernten #-Achse, damit
die Zeichnungen in beiden Systemen nicht iibei*einander greifen.
Unser Ausgangspunkt sei irgendein Punkt P(x p ,y pl 8 p ) im Eaume.
Wir stellen ihn dar durch zwei Punkte P v (x p , y^) und P 2 (^, ^ p ) im
ersten Koordinatensystem und zugleich die Werte von f(x p , y p , p )
und g(x p , y p , z^} durch die zwei Punkte A und A% im zwei ten Ko-
ordinatensystem (Fig. 93). Die Punkte A l und A% bestimmen ge-
wisse Bichtungen MA[ und M A% der Kurven x, y und #, z. M (Fig.93)
1st ein Punkt, dessen Entfernung von der Ordinatenachse gleich der
Langeneinheit ist, in der die f(x,y,i) un.& g(x,y, i) darstellenden
Ordinaten gemessen sind. Durch P t und P s .zieht man Parallelen zu
[ und M A% bis zu den Punkten Q l und Q% mit den Koordinaten
^ und x^ z q . Mit diesen Koordinaten sind die Werte f(x g ^y q9 s g )
16. Different! algleichungen zweiter und hSherer Ordnung 128
und g(x q , y (l , ^) bestimmt, welche man durch die Ordinaten der
Punkte .#! und JB 2 darstellt. Diese Punkte wieder bestimmen ge-
wisse Richtungen, zu denen man die Parallelen Q l JKi und Q%It%
aieht usw. Auf diese Weise findet man erste Annaherungen y und
Pig. 93.
^ fiir die Funktionen y und 5 und, diesen AnnSherungen entspre-
chend, Kurven, welche /"(#, y x , ^) und g(x, y 15 ^) darstellen. Diese
Kurven werden nun graphisch integriert, wobei die Integralkurve
von f(x^y^^ in P 1 und die Integralkurve von g^y^^ in P 2
anf^ngt, und fCLhren zu zweiten Annaherungen y% und 2%:
- s j.
124 Drittes Kapitel. Grapbiscbe Infinitesimalrecbnung
Fur diese zweiten Ann'aberungen bestimmt man die Werte von
ffa y$ #2) un< * fffa y*i **) an e * ner ^ e ^ e von Punkten langs der
Kurven #, y$ und #, # 2 , die binreicbend dicht liegen um die Kon-
struktion der f(#, # 2 , 2 ) und g(x, y^ ^ darstellenden Kurven genau
genug zu macben. Durcb ihre Integration erhalt man eine dritte
Annaherung y s , % :
und fUhrt damit fort, solange eine Abweichung der letzten Annahe-
rung von der vorhergehenden nocb bemerkbar ist. Sobald sich fiir
eine gewisse Entfernung x x f keine Abweicnung mehr nachweisen
lafit, bat man die die wabre L5sung darstellende Kurve erreicht (soweit
die Genauigkeit der Zeicbnung es zulafit). Die Kurve wird fortge-
setzt, indem man ibren letzten Punkt zum Ausgangspunkt eines neuen
gleicbartigen Verfabrens macbt.
Das Intervall, fiber das das Integral zu erstrecken ist, darf iin
allgemeinen eine gewisse Grenze nicbt tiberscbreiten, wo die Kon-
vergenz der Annaberungen aufbSrt, aber es stebt uns frei, es so klein
wie wir wollen zu wablen. Damit wacbst dann freilicb die Zahl der
Scbritte, die erforderlicb ist, um eine gewisse Entfernung zu erreicben.
Es ist offenbar nicbt zweckmafiig, das Intervall zu klein zu macben,.
vielmebr werden wir es so groB wie mOglicb wablen, wenn nur die
Zabl der Annaberungen nicbt iiber Gebubr wacbst.
In dem Fall der Differentialgleicbung
ist /"(a?, ^, z) = 8 und die Kurve 0, x ist mit der Kurve identiscb, die
die Werte von ffay,*) darstellt. Wir brauchen sie daber nicbt
nocb einmal zu zeicbnen.
Der Beweis der Konvergenz der Annaberungen ist beinabe der-
selbe wie in dem Fall einer Differentialgleicbung erster Ordnung.
Fur die n + 1-te AnnSberung baben wir
Fur die wabre Kurve, die durcb den Punkt a; p1 y p , & f gebt, finden
wir durcb Integration die Gleichungen
16. Differentialgleichungen zweiter nnd hfiherer Ordnung 126
* *
y~*r+J /"(, y, *)<**; * - t f +fff(x, y, e)dx
*" .,
daher - =
Nun schreiben wir
I .
undebenso
'*
Die Differenzenquotieaten
n
und die drei anderen sind gleich gewissen Werten von -, -, |^ ,
g~ ftlr Werte der Verfinderlichen zwiscben y und y n und zwiscben
r und s n (y, y rt , JP, # w selbst nicbt ausgescblossen). Nebmen wir an,
dafi ftlr den Bereicb aller in Betracbt kommenden Werte yon
dcr absolute Betrag von ~ un & ?r~ i&tihi groBer ist als M^ und der
von T~ und * nicbt gr5Ber als JJf 2 und daB d w , das Maximum
der absoluten Betrftge von y y n und ts ^ in dem Intervall o^
bis ic bezeichnen, dann folgt, dafi die absoluten Betrage von
) und
* nicbt groBer sind als
Daher erhalten wir fttr die grdBten absoluten Werte von y B+1 y
und jf n+l g, die durcb tf w+1 und c w+1 bezeicbnet sein inogen, die
oberen Grenzen
^ (*. + O I * - *, I. .+ l ^ ^tC*. + O .*-*,
Bungo, Gr*phiohe Methodeu. 3. Aufi. 9
126 Drittea Kapitel. Graphische InfinitesimalrechDung
Wenn daher das Integrationsintervall a; x soweit beschr&nkt
dann 1st, 8 U + 1 + , l + 1 nicht groBer als der Brucuteil 7c von (#
aber aus demselben Grunde ist
und folglich () n + 1 + f - + 1
Das heifit: fiir einen hinreichend groBen Wert von n werden rf w + i
und n44l beide so klein wie wir wollen.
Gerade so wie bei der Diflerentialgleichung erster Ordnung lobnt.
es sich in der Begel nicbt, die Konvergeir/ 7,11 untorsuchen, xim tli
GroBe cles Intervalles und die Zanl der Operationen zu ermitteln,
die eine binreichend genaue Anniiherung der graphischen Mcthode
verburgen. Es ist besser, durcb Zeicbnung der.Ann&herungen sofort
die Aufgabe anzugreifen und die Operationen solange zu wiederbolen,
bis sich keine Verbesserung mehr ergibt. Die Kurve wird dann dor
Diiferentialgleichung geniigen, soweit die Genauigkeit der graphi-
schen Methoden geht.
Wenn die Werte von f(x,y,si) oder Q(x,yjZ) zu groB werden
so konnen wir denselbeu Kudstgriff anwenden wie bei der Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung. An Stelle von x konnen wir eine
der beiden andcren Veranderlichen y oder $ als Unabhangige be-
trachten, so daB die Gleichungen die Gestalt annebmen
"<fy
oder wir kcinnen auch ein neues Koordinatensystem a?', y', / ein-
fiibren und die Differentialgleichungon betrachten, die sich hierfur
ergeben.
Die zweite Methode der Integration von Differentialgleichungen
erster Ordnung kann ebenfalls auf Differentialgleichungen zweitor
Ordnung ausgedehnt werden. Wir betrachten gleich den allgemei-
neren Fall
Wir gehen aus von einem Punkte mit den Koordinaten ar, y, z und
bercchnen die Anderungen von y und z (die mit ft und / be'/eichnet
16. Dilferentialgleichungen zweiter und b<3herer Ordnung 127
warden) fiir eine kleine Anderung Ji von x durcb die folgenden den
frtiheren analogen Formeln
\ ffa V, *) /'; ^ = fcjft -0 /<;
._ ? . 2 2 ,
und erhalten mit einem hohen Grad von Genauigkeit
*-l + t(ff^JP)5 l-JP' + Hfl'-lO-
Die Rechnungen k6nDen nun graphisch ausgefuhrt werden; zu diesem
Zwecke mtissen die Funktionen f(x, y, s) und g(x., y, #) in handlicher
Form gegeben sein. Wir bemerken, daB in unseren Formeln die
erste Vcranderliche die Werte #, ^--~~', a? + ft annimmt. Beim zwei-
ten Scbritt, wo x + *, t/ + A', * + Z die Koordinaten des Ausgangs-
punktes sind, die dabei dieselbe Rolle spielen wie a?, ^, ^ beim ersten
Scbritt, stebt es uns frei, die Anderung der ersten Yeranderlicben
gleich der Inderung beim ersten Scbritt zu machen, so daB sie in
den Formeln des zweiten Scbrittes die Werte x + Jt, x + jh, x+$h
annimmt usw. fUr die folgenden Scbritte. Alle Werte der ersten
Verftnderlicben k8nnen also als Equidistant angeseben werden. Be-
zeicbnen wir diese "dquidistanten Werte mit
Die Werte von f(x, y, i) und g(x, y, z) kommen in alien unseren
Formeln nur ftir die konstanten Werte
x = # , !, a? 2 , . . .
vor. Fur jede dieser Konstanten sind f und g Funktionen. zweier
unabbangiger VerJinderlicber und mlissen als solcbe grapbiscb durcb
Zeicbnung der Kurven f == const, und g = const, dargestellt werden,
wo jedem a;- Werte eine besondere Zeicbnung entspricbt. Diese Zeicb-
nungen mufl man als die graphiscbe Form, in der die Differential-
gleicbungen gegeben sind, betracbten. Es kann nattirlicb mancbmal
sebr unbequem sein, die analytiscbe Form einer Differentialgleicbung
128 Drittes Eapitel. Graph ische Jnlinitesirualrecbnung
in die graphische zu ubersetzen, aber dieser Umstand kann nicht
fiiglich der graphiscben Metbode zur Last gelegt werden.
Die Methodo ntm 1st dieselbe wie bei der Differentialgleicbung
erster Ordnung. y und z sind die Ordinaten ein und desselben
Koordinatensystems mit der Abszisse x* Es worden ftquidistante
Parallelen der Ordinatenachse mit den Abszisseu
X # , X == !, X = # 3 , tlSW.
gezogen. Auf der ersten x j? bezeichnet man zwei Punkte mit
den Ordinaten # und ^ , liest von der Zeichnung, die die Werte von
o>y)2) un< i $f(%oiyjz) als Punktionen von ;/ und s gibt, die
Werte f(x Q , i/ Q ^ Q ) und #(# ,y 01 ^ ) ab und zieht die Verbindungs-
linien von
Die Sehnittpunkte dieser Linieri mit der Parallelen jc = rr, Hetern
die Punkte ^ ^
*u % + Y und *n^o + ^
Mit diesen Ordinaten lindet man auf der zweiten Zeichnung die Werte
^i^o + |^o + 1) nd ^yo + ^ + J)
und kann vermittelst derselben die Verbindungslinien der Punkte
ziehen. Die Schnittpunkte dieser Linien mit der Linie a; x t liefern
die Punkte j. ,
^o + lf und ^i^ + f,
und mit Hilfe dieser Ordinaten finden wir die Werte
<lie uns in den Stand setzen, die Verbindungulinien vou x a , y und
# , * mit den Punkten a;,, y + A^ und o^ , ? 4- i, zu ziehen.
Mit diesen beiden Ordinaten lesen wir auf dem dritten Dia-
graram (x ** Xg) die Werte
mit deren Hilfe wir schliefllich die Verbindungslinien #* und
* , % 4- * 4 ^ >, ^o -f ^ ziehen kSnnen.
16. Differentialgleichungen zweiter und htfherer Ordnung J29
So erhalten wir auf der Senkrechten x~ # 2 vier Punkte B^ JB 2 ,
B 3 , B entsprechend y + ft,, T/ O + fr 2 , # + fc s , # + 7c 4 und vier
Punkte J?i, J?j, jBg, J?4 entsprechend ^ + ?,, -t + J 2 , ^ + Z s , ^ + ? 4
(Fig. 94). ' ,
B 2 B B und ^ t J5 4 werden durch die Puukte C t und C 2 halbiert,
JfJ B's und JE?i J9^ durch die Punkte C(, C 2 '. Endlich werden G l C 2
und Cj C?3 in drei gleiche Teile geteilt und die Punkte B und B' in
den Teilpunkten angenommen, die O l und (7| am nitchsten komraen.
Fig. 94.
Dieselbe Koustruktion wird dann roit B nnd B' als Ausgangs-
punkten wiederholt und liefert zwei neue Punkte auf der Senkrechten
& x^ usw. Um die Genauigkeit zu priifen, wird die Konstruktion
mit doppelt so groBen Intervallen von x wiederholt. Die Abweichung
in den Werten von y \ind $, die man fftr x ~ x findet, setzt uns in
den Stand, die Fehler der ersten Konstruktion abzuschatxen. Sie sind
ungefUhr gleich ein Fiinfzehntel der beobachteten Unterscbiede.
Beide Methoden lassen sich ohne Schwierigkeit verallgemeinern
auf die Integration von Differentialgleichungen beliebiger Ordnung.
Man kann eine Differcntialgleichung n-ter Ordnung in der Form
schreiben
130 Drittes Kapitel. Grapbiscbe Jnttnitesimalrochnung
d tl x /. dx
d ""' "^'"37' " ' * '
oder aucb in derFonn von n simultanenDifferentialgleichnogen erst or
Ordnung dx
ft "^i'
dx
^f+^ffax,^,^,. ..*.,).
Eine allgemeinere und symmetrischere Form ist die
Die Funktionen a;, a; n a; 2 , a? M l werdeii dann in doraselben Koordi-
natensystem als Ordinaten zur Abszisse t aufgetragen, so daB wir n
verscbiedene Kurven erbalten. Werni die Funktionen f(t,^x l ,3c^,
- - ^n-i) * n uandlicber Form gegeben sind, so daB ibre Werte fiir
irgend welche Werte von *, x, x^ . . . x n ^ l sebnell geftmden warden
kSnnen, so ist es leicht, n Knrven zu konstruieren, deren Ordinaten
die Funktionen a?, # t , ^ 2 , . . . * n-1 darstellen. Von gegebenea Wertei.
von #, a?, #j, 05 2 , . . . x n _ l ausgehend, braucben wir nur dieselben Me-
thoden anzuwenden, die f(ir die erste und zweite Ordnung ause'iuander**
gesetzt worden sind.
Graphisches Rechnen. Von Studienrat Prof. Q. Prol$, Bergedorf bei
Hamburg. Mit 164- Fig. im Text. [104 S.] Id. 8. 1920. (ANuG 708.)
Geb. JIM 2.
Das Ganze zeichnet sicli durch grofic Klarheit cler Darstellung und viele Hnvweise
auf praktische Anwendungcn aus. (Zeitschrift fUr technische Physik.)
EinfUhrung in die Nomographie. Die Funktionsieiter. Von Studienrat
P Luckev Marburg. Mit 35 Fig. im Text und auf i Taf. und mit
53 Aufgaben. 2., verb. Aufl. [IV u. 60 S.] kl. 8. 1925. (Math.-Phys.
Bibl. Bd. 28.) Kart. JIM 1.20
Ganz hervorragend ist das nomographische Biindchen von Luckey; wic die ver-
schiedensten tbeoretischen und praktischen Gebiete in den jjraph.sch darstellenden Be-
trachtungskreis gezogen warden, das erfullt uns stets
Nomographie. Praktische Anleitung zum Entwerfen graphischer Rcchen-
tafeln mit durchgeftihrten Beispielen aus Wissenschaft undTechnik. Von
Studienrat P. Luckey, Marburg. 2., neubearb. und erw. Aufl. der ,,bin-
fuhrung in die Nomographie-, 2.Teil. Mit 57 Fig. im Text und 48 Aufg.
[108 S] kl. 8. 1927. (Math.-Phys. Bibl. Bd. 59/60.) Kart. JUC 2.40
grpe as nr
tpfscSn Beipielen ausfuhrlich beachriebea. Kobe,, den cmfachen
Nets- und Lcitertafeln koramen auch die Tafeln mit beweglichea
zu ihrem Rechte. Besonders wertvoll wird das Buch durch die zahlreichen vollstandig
durchgefUhrten Anxvendangsbeispiele.
tfber die Nomographie von M. d'Ocagne. Eine Einfiihrung in dieses
Gebiet. Von Geh. Reg.-Rat Dr. Fr. Schilling, Prof, a, d. Techn. Hochschule
in Danzig. 3. Aufl. Mit 28 Abb. [47 S.] gr. 8. 1922. Geh. MM 2.
Die Nomographie und darait die vorliegende Schrift. welche ilirer klaren Uarstellung
weffen cine bequerae EinfUhrung in dieses Gebiet bietet, nichtsdestowciuger aber, insbe-
sondere im Schluaparagraphen, tlieoretisch intercflsante Ausblickc gewiihrt, verdioneu
nicht nur die Beachtung des reinen Mathematikers wic der Vertretor der verschiedenen
Gebiete angewandter Mathematik, sondern konnen auch sicher fur den Untornclit, ins-
besondere den an technischen Mittel- und Hochschulen, fruktifiziert werden.*'
(Zeitschr. f. d. mathem. und naturwiss. Unterricht.)
Mathematisches Praktikum. Von Dr. H. V. Sanden, Prof, an der Techn.
Hochschule in Hannover. (Teubn. math. u. techn. Leitfaclen Bd. 27.)
x. Band. Mit 17 Fig. i. Text sowie 20 Zahlentafeln als Anhang. [V u. 122 S,j
8. 1928. Geb. JIM 6.80. 2. Band. [In Vorb. 1928]
Der voliegende erste Band seUt nur die Grundbegriffc der Differential- und fatogral-
rechnung voraus und bohandolt den Reolienschieber, den Lehrsatz von Taylor, die Awt-
15sung algebraischer und transzendentcr Gletchungen, die Ausgleichsrechnung, die num-
rische Integration und Differentiation sowie die Xerlegung und ZusammenaetxanK peno-
discher Funfctionen. Die wichtigsten mathcmatisohen Grundlagen sind jeweils kur
zusammengestellt und die Aufgaben selbst untcr aorgfaltiger Genauigkeitsdiskuion bs
zur letzten Zahl durchgerechnct. Kin zweiter Band ist in Vorbereitung und soil m gleichdr
Wcise die gewShnlichen Differentialgleichungen behandeln.
Zahlenrechnen. Von Dr. L. von Schrutka, Vroi. a. d. Univ. Wien. [X u.
1468.] 8, 1923. (Sammi. math^ghys. Lehrb. Bd. 20.) Kart 3Ut 4.40
Praktische Analysis. Von Dr. //. v. Sanden, Prof. a. d. Techn. Hoch-
schule in Hannover. 2., verb. Aufl. Mit 32 Abb. im Text. [XVIH u. 195 SI]
8. 1923. (Handb. der angewandten Mathematik.) Kart 3Ut 5.60
Verlag von B* G.Teubner in Leipzig und Berlin
Differential- und Integralrechnung. Von Dr. L. Bieberbach, Prof. a. d.
Univ. Berlin. (Teubn. math. u. techn. Leitf. Bd. 4 und 5.)
I. Differentialrechnung. 3., verb, und verm. Auti. Mit 34 Fig. [VI u. 142 S.]
8. 1928. Geb. MJt 4.40
II. Integralrechnung. 3., verb, und verm. Aufl. Mit 25 Fig, [IV u. 152 S.]
8. 1928. Kart. ca. MJt 4.60
Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung und ihrer An-
wendungen. Von Geh. Hofrat Dr. R, Fricke, Prof. a. d. Techn. Hochschule
in Braunschweig. 2. 0.3. Aufl. gr.8. 1921. Geh.jeJOf 1 0.60, geb.jeJ^ 13.
I. Band: DifFerentialrechnung. Mit 129 in den Text gedr. Fig., i Sammlung
von 253 Aufg. u. i Formeitab. [XII u. 388 S.]
II. Band: Integralrechnung. Mit 100 in den Text gedr. Fig., i Sammlung
von 242 Aufg. u. i Formeitab. [IV u. 406 S.]
Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Urspriinglich Ober-
setzung d. Lehrbuches v. J. A. Serret, seit der 3. Aufl. ganzlich neubearb.
von Geh. Reg.-Rat Dr. G. Schemers, Prof. a. d. Techn. Hochschule in Berlin.
I. Band: Differentialrechnung. 8. Aufl. Mit 70 Fig. im Text. [XVI u.
6708.] gr.8. 1924. Geb. Mi 22.
II. Band: Integralrechnung. 6. u. 7. Aufl. Mit 108 Fig. im Text. [XII
u. 612 S.] gr. 8. 1921. Geh. 3Ut 17.60, geb. JUt 20.
III. Band: DirTerentialgleichungen und Variationsrechnungcn, 6. Aufl.
Mit 64 Fig. im Text. [XII u. 732 S.] gr. 8. 1924. Geb &M 24.
H5here Mathematik ftlr Mathematiker, Physiker und Ingenieure.
Von Dr. A'. Rothe, Prof. a. d. Techn. Hochsch. in Berlin. (Teubn. math.
u. techn. Leitf. Bd. 2123)
I. Band: Differentialrechnung und Grundformeln der Integralrechnung
nebst Anwendungen. 2. Aufl. Mit 155 Fig. im Text. [VIlu. 186 S.] 8.
1927. Kart. MJC 5.
II. Band: Integralrechnung, Unendlicfce Reihen, Vektorrechnung nebst
Anwendungen. [In Vorb. 1928]
HI. Band: Raumkurven und Flachen, Linienintegrale und mchrfachc
Integrale, gewdhnliche und particlle DirTerentialgleichungen nebst
Anwendungen. [in Vorb. 1928]
Gewflhnliche Differentialgleichungen. Von Studienrat Dr. K. Fladt,
Stuttgart. Mit 8 Fig. im Text. [67 S.] kl. 8. 1927. (Math.-Phys. Bibl. Bd. 72.)
Kart.
Partial differential equations of mathematical physics. By f Arthur
Gordon Webster, A. B. (Harv.), Ph. D. (BeroL), Professor of Physics, Director
of the Physical Laboratory, Clark University, Worcester, Mass. Ed. by
Samuel J. Plimpton, Ph. D. (Yale.) Assistent Prof, of Physics, Polytechnic
Institute, Worcester, Mass. Mit Fig. [VII u. 440 S.] gr.8. 1927. (Teubners
math. Lehrbiicher Bd. XLII.) Geh. 3U 23. , geb. J2JC 25.
Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin
